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Full text of "Traité de géométrie descriptive"

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r • 



TRAITÉ 



DE 



GÉOMÉTRIE 



3041. * Abbevilîe. Imprimerie Briez, C. Paillart et Retaux. 




® TRAITÉ 



DE 



GÉOMÉTRIE 



DESCRIPTIVE 



PAR 



\ / / V • Ik. 13 XL JSi JML A. Xl, 



CINQUIKMK ÉDITION 



^^^*»^>^^^^^^^^^^^^^>^i# 



^ PARIS 



ARM.AND COLIN ET C", EDITEURS 

16,nnEDBcoiiDâ, 16 

' 1873 



I\^a^y 57ù%7J2.l 






Avis. Les nombres placés en tête du côté opposé au numéro de 
chaque page, iàdiquent la planche. Les numéros des figures sont 
placés dans le texte. Enfin, les nombres seuls entre parenthèses 
sont des renvois aux articles précédents. 

Le numéro de chaque article est au commencement de )^ alinéa. 



P RÉ F A CE 



. 



Cet ouvrage étant destiné aux personnes qui oom— 
mencent Tétude de la Géométrie descriptive, j'ai cru 
devoir adopter la méthode d'induction qui permet d'aug- 
menter graduellement les difficultés et de ne généraliser 
les principes qu'après ^voir familiarisé le lecteur par la 
comparaison de nombreux exemples, avec les caractères 
qui distinguent chacun d'eux et qui déterminent la place 
qu'il doit occuper dans l'ordre général. 

Mon but étant surtout de préparer aux applications, 
j'ai dû attirer l'attention sur les propriétés particulières, 
d'autant plus que c'est dans l'habitude de découvrir ces 
propriétés et d'en profiter pour abréger le travail ou 
lui donner plus de précision, que consiste toute l'habi- 
leté du praticien. 

Les traités d'application que j'ai publiés m'ont fait 
sentir la nécessité de donner plus d'extension à quelques 
parties des principes. Ainsi^ j'ai cherché à rendre aussi 



VI PRÉFACE. 

# 

complète que possible la théorie des cylindres et cônes 
circulaires, parce qu'elle forme la base de presque 
toutes les applications. 

Je me suis appliqué à bien faire C(?mprôndre le parti 
avantageux que Ton peut tirer des projections auxi- 
liaires ; et j'ai tâché, surtout, de familiariser le lecteur 
avec les dispositions d'épuré usitées dans la pratique. 
C'est aussi dans ce but que j'ai ajouté un chapitre sur 
les plans cotés, qui permettent d'adopter immédiatement 
le système de plans de projection qui convient le mieux 

* 

à la question proposée. 

J'ai donné des méthodes nouvelles et élémentaires 
pour la rectification et la quadrature des courbes ; pro- 
blèmes que l'on n'avait- résolus jusqu'à présent que par 
des calculs très-pénibles. 

J'ai dû admettre quelques théorèmes qui ne peuvent 
être convenablement démontrés que par l'algèbre ; je 
n'ai fait, em cela, que suivre l'exemple des auteurs qui 
m'ont précédé. Il est généralement reconnu que le lan^ 
gage algébrique est nécessaire pour mettre en évidence 
certaines propriétés dont la Géométrie descriptive ne 
peut donner que la traduction. Le lecteur qui voudra 
compléter ses études, devra donc avoir recours aux 
traités d'Algèbre appliquée, pour la démonstration 
des théorèmes dont je viens de parler. D'ailleurs, lors- 
qu'il s'agit des lignes ou des surfaces du second degré, 
il est tout naturel de renvoyer aux ouvrages qui traitent 
(je ces matières ; de même que l'on renvoie à la Géomé- 



PRÉFACE. Yll 

trie élémentaire, toutes les fois qu'il s'agit des propriétés 
du cercle, de la ligne droite ou du plan. 

J'avais publié dans le recueil des exercices et questions 
diverses quelques problèmes qui ont été placés dans 
l'édition actuelle au rang qui convient le mieux à l'en- 
chainement des idées. 

Avant de terminer cet avertissement, je dois rappeler 
au lecteur qu'il ne peut apprendre la Géométrie des- 
criptive que la règle et le compas à la main ; il ne doit 
"lire qu'en faisant à mesure toutes les constructions in- 
diquées. Je l'engage même à tâcher de résoudre seul, 
et sans consulter le texte, les divers problèmes propo— 
ses. S'il éprouve d'abord quelque hésitation, il en sera 
bien dédommagé plus tard par J'habitude qu'il aura 
acquise d'analyser et de décomposer ses idées. 



\ 



GEOMETRIE 



DESCRIPTIVE. 



LIVRE PREMIER. 



CHAPITRE PREMIER. 

IVotion» préliminaires* 

1. La Géométrie descriptive a principalement pour but 
de décrire les corps et de les exécuter. 

2. On décrit un corps, lorsqu'au, moyen d'une certaine 
combinaison de lignes et de points, on parvient à en exprimer 
toutes les dimensions. 

3. Pour exécuter le corps que Ton a décrit, il faut déduire, 
du dessin que l'on a fait, les dimensions de ce corps, et repor-' 
ter ces dimensions sur la matière dont il doit être composé; 

4. 11 y a deux manières d'exprimer les dimensions d'un 
corps que l'on se propose d'exécuter : Tune consiste à expri- 
mer ces dimensions par des nombres, après avoir choisi une 
certaine unité ; Tautre consiste à dessiner le corps. 

Mais il ne faut pas entendre par là que Ton doive le dessiner 
comme on le voit. Il suffit de jeter les yeux sur .le premier 



2-, NOTIONS PRÉLIMINAIRES. PL. 1. 

■ \ 

objet venu, pour s'apercevoir qu'on ne le voit pas dans ses 
vérîlàbies dimensions ; il est d'ailleurs facile de reconnaître 
que le plus petit déplacement, à droite ou à gauche, fait varier 
la forme sous laquelle nous apercevons cet objet. On peut con- 
clure de là que nos yeux ne nous font voir que des formes 
apparentes, des formes relatives et qui dépendent, non-seu- 
lement de la grandeur véritable du corps que nous regardons, 
mais encore de la place d'où nous le regardons. C'est dans la 
Perspective que nous nous occuperons de cette espèce de 
dessin. . 

On voit, par ce qui vient d'être dit, que ce n'est qu'au 
moyen de conventions particulières que l'on peut parvenir à 
représenter par le dessin les véritables dimensions d'un corps. 

Il est évident que la forme exacte d'un corps et sa grandeur 
seront parfaitement déterminées lorsque l'on connaîtra les po- 
sitions relatives de tous les points qui com'posent ou terminent 
sa surface. On est donc conduit d'abord à cherche? comment 
on peut déterminer la position d'un point. 

5. Du point. L'espace n'ayant pas de limites, on ne peut 
déterminer la position d'un point qu'en le rapportant à des 
limites de convention. 

6. De tous les moyens que Ton pourrait employer pour 
déterminer la position d'un point dans l'espace, un des plus 
simples est de donner la distance de ce point à trois plans 
choisis arbitrairement et connus de position. 

Mais la méthode des projections permet souvent de n'em- 
ployer que deux plans, et les constructions seront encore 
simplifiées, si l'on suppose ces deux plans perpendiculaires 
l'un à Tautre. 

Oes plans sont nommés plans de projection. 

Nous pourrons supposer que l'un soit horizontal et l'autre 
vertical. 

t. Soit, pi. 1, fig. 1, un point M dont on veut déterminer 
la position dans l'espace* Concevons un plan horizontal ZAX, 
et un plan vertical ZAY. 

Si du point M nous abaissons la ligne Mm perpendiculaire 



n. i. , COTIONS PRÉLIMINAIRES. 3 

sur le plan horizontal, le pied' m de cette perpendiculaire sera 
\dL projection horizontale du point M, et si Ton abaisse Mm', 
perpendiculaire sur le plan vertical ZAY, le point m' sera la 
projection verticale de M. 

On voit que si Ton donnait les deux projections m, m\ d'un 
point, ce point serait déterminé ; car il est évident qu'il devrait 
se trouver à l'intersection des deux lignes mM, m'M menées 
perpendiculairement aux plans de projection. La droite Mm se 
nomme projetante verticale et la droite Mm' est une proje- 
tante horizontale. 

8. Concevons maintenant que Ton fasse tourner le plan ho- 
rizontal ZAX jusqu'à ce qu'il se trouve dans le prolongement 
du plan vertical ; le point m viendra se placer dans le pro- 
longement de la ligne pm' et au-dessous du point p, et la 
figure YZX, flgr2, sera ce que Ton appelle une Épure. 

La droite AZ représente Yintersection des plans de pro- 
jection. Nous la désignerons par les deux lettres A et Z. 

Les épures se font ordinaireiAent sur du papier que Ton 
tend sur une planche bien plane et bien dressée ; quelquefois 
cependant les constructeurs font leurs épures sur des murs, 
sur des planches, ou sur la terre ; mais, dans tous les cas, 
les projections tracées sur une épure doivent être dessinées 
avec le plus grand soin. 

9. Le plan qui contiendrait leis deux droites Mm, Mm', 
serait évidemment perpendiculaire aux deux plans de pro- 
jection, et par conséquent à leur intersection AZ; de sorte 
que les lignes mp, ra'p deviennent le prolongement Tune 
de l'autre, lorsque Ton suppose le rabattement du plan hori- 
zontal ; d'où il résulte que sur l'épure les deux projections 
d'un même point doivent toujours se trouver sur une même 
droite perpendiculaire à la ligne kl. 

10. La fig. Mmj)' étant un rectangle, on a Mm = m'p et 
■Mm' = mp. 

Donc, la distance de la projection horizontale d'un point 
à la ligne kl est toujours égale à la distance de ce point 
au plan veftical de projection. 



4 NOTIONS PHÉLTMINAIRES. PL. 1. 

11. La distance de la projection verticale d'un pçint à 
la ligne kl est toujours égale à la distance de ce point 
au plan horizontal de projection. 

12. Les lignes et les plans, éonsidérés ici comme con- 
ceptions géométriques et comme moyens de solution de 
problèmes, doivent être regardés* comme infinis. On doit se' 
rappeler que, dans les figures de géométrie, on ne les termine 
par des points ou lignes q'u'afîn de faire sentir leur position, 
en attendant que l'on connaisse les moyens plus exacts fournis 
par la science que nous étudions. ' 

La distance d'un point à un autre, le côté d'un triangle ou 
d'un polygone quelconque, doivent être regardés comme des 
portions de lignes droites; les faces d'un polyèdre, la surface 
d'un cercle, ne sont que des portions de plans. Il est évident, 
d'après cela, que les plans de projection étant infinis, par- 
tagent l'espace en quatre parties également infinies. Or, 
quelque grand que soit l'objet que l'on veut projeter, fût-ce 
un monument de la plus grande dimension, on conçoit que 
l'on peut toujours supposer le plan horizontal au-dessous des 
premières fondations, et le plan vertical de projection au delà 
des constructions les plus éloignées ; de sorte que Ton peut 
supposer tous les corps que Ton veut projeter placés au-dessus 
du plan horizontal et devant le plan vertical ; mais on verra 
par la suite que la nature des questions que l'on aura à 
résoudre exigera quelquefois que l'on sache déterminer 
la position d'un point situé derrière le plan vertical ou 
dessous le plan horizontal. Voyons ce qu'il faut faire pour 
cela. 

13. Les plans de projection étant infinis, il est évident que 
lorsqu'on forme le rabattement de l'épure, la partie ZAX du 
plan horizontal, fig. 3, s'applique sur la partie inférieure ZAY' 
du plan vertical, tandis que le prolongement ZAX' du plan ho- 
rizontal se relève et vient se placer derrière la partie supé- 
rieure du plan vertical. Il résulte de là que, sur une épure, 
l'espace qui est au-dessus de la ligne AZ représente en même* 
temps la partie supérieure du plan vertical et le prolonge- 
ment du plan horizontal, tandis que Ja portion de l'épure qui 



1 



PL; !• NOTIONS PRÉLIMINAIRES. 5' 

est au-dessous de AZ représente le plan horizontal et la partie 
inférieure du plan ^vertical de projection. 

±^. Supposons actuellement qu*un point s'éloigne ou s'ap- 
proche du plan horizontal. Il est évident qu'il aura toujours 
la môme projection horizontale, et que la projection verticale 
seule s'éloignera ou s'approchera de la ligne AZ. 11 est encore 
facile de voir que/ltant que le point M, flg.4, sera au-dessus^ 
du plan horizontal, sa projection verticale m' sera au-dessus 
de AZ, tandis qu'au contraire, quand ce point sera au-dessous, 
du plan horizontal, sa projection verticale sera au-dessous 
de AZ ; et cette môme projection serait sur AZ, si le point que 
l'on veut projeter était situé dans le plan horizontal môme. 
Donc, selon qu'un point dans l'espace sera au-dessus du 
plan horizontal^ dans le plan horizontal ou au-dessous, 
la projection verticale de ce point sur V épure sera avrdessus, 
de la ligne AZ, sur la ligne AZ ou au-dessous. 

15. De môme, selon qu'un point dans l'espace sera en 
deçà du plan vertical^ dans le plan vertical ou au delà^ . 
la projection horizontale de ce point sur l'épure sera au- 
-dessous de la ligne AZ, sur cette même ligne ou au-dessus. 

Car il est évident que, lorsque le point sera en deçà du plan 
vertical de projection, sa projection horizontale n, fl^. 5, 
viendra, par le rabattement de Tépure, se placer au dessous 
de AZ, tandis que si le point N est au delà du plan vertical, 
sa projection horizontale n étant sur le prolongement du plan 
horizontal, viendra se placer, par le rabattement, dans la 
partie supérieure de Tépure. 

16. La figure 6 représente Routes les positions d'un point 
par rapport aux plans de projection,, savoir : 

— Au-dessus du plan horizontal et en deçà du plan 
vertical. 

— Au-dessus du plan horizontal et au delà du plan 
vertical. 

m 

— Au-dessous du plan horizontal et en deçà du plan 
vertical. 



6 MOTIONS PRÉLIMINAIRES. PL. i. . 

— Au-dessous du plan horizontal et au delà du plan 
vertical. 

— Situé, dans le plan horizontal et en deçà du plan 
vertical. 

— Situé dans le plan horizontal et au delà 4u plan 
vertical. 

— Situé dans le plan vertical et au-dessus du plan 
horizontal, 

— Situé dans le plan vertical et au-dessous du plan 
horizontal. 

— Situé en même temps dans les deux plans de pro- 
jection, 

17. De la ligne droite. Si par tous les points d'une 
droite HN, fig. 7, on conçoit des perpendiculaires au plan 
horizontal de projection, 

La droite mn^ qui passe par les pieds de toutes ces per- 
pendiculaires, sera la projection horizontale de MN ; le plan 
qui contient toutes ces perpendiculaires se nomme plan pro- 
jetant, 

La projection verticale de MN est la droite m'n', qui passe 
par les pieds de toutes les perpendiculaires abaissées des 
divers points de MN sur le plan vertical. 

Deux points suffisant toujours pour déterminer la position 
d'une ligne droite, on peut dire que, 

La projection d'une droite est la droite qui passe par les 
projections de dei^x points de la ligne projetée. Si l'on don-, 
nait les deux projections mn^ m'n\ il est évident que la 
droite serait déterminée, car devant être en même temps 
dans les deux plans projetants mn MN, mV, MN, il est évi- 
dent qu'elle ne peut être que leur intersection. 

18. L*épure. 9 représente les diverses positions qu'une 
droite peut prendre par rapport aux plans de projection^ 
savoir : 

— Oblique aux deux plans de projection,. 

— Perpendiculaire au plan horizontal. 

— Perpendiculaire au plan vertical. 



PI., i.. NOTIONS PRÉLIMINAIRES. " 

% 

— Perpendiculaire à la ligne AZ. 

— Parallèle au plan horizontal. 

— Parallèle au plan vertical. 

— Parallèle aux deux, plans de projection, 

— Sitiiée dan's le plan horizontal, 

— Située dans le plan vertical, 

— Située dans les deux plans de projection, 

19. Du plan. Si l'on conçoît dans l'espace un plan quel- 
conque pqs, fllg. 10, ce plan coupera les deux plans de pro- 
jection suivant deux lignes pqy qs. Ce sont ces deux lignes 
que Ton est convenu d'adopter pour déterminer la position 
du plan. 

On les nomme 4iraces du plan. 

La ligne pq est la trace verticale. 

la ligne qs est la trace horizontale. 

On Voit qu'un plan sera connu et déterminé de position 
toutes les fois que Ton donnera ses traces : car on sait, en Géo- 
métrie, que, par deux lignes qui se coupent, on ne peut faire 
passer qu'un plan. 

20. La figure 12 représente toutes les positions d'un plan 
par rapport aux plans de projection, savoir : 

— Oblique aux deux plans de projection. 
* -^ Perpendiculaire au plan horizontal, 

— Perpendiculaire au plarl vertical. 

— Perpendiculaire aux deux plans de projection. 
-=— Parallèle au plan horizontal. 

— Parallèle au plan vertical. 

— Parallèle à la ligne kl. 

— Contenant la ligne AZ. 

21. 11 est quelquefois nécessaire de recourir A un troisième 
plan de projection. Ainsi, par exemple, lorsqu'une droite est 
perpendiculaire à AZ, ses deux projections étant toutes deux 
perpendiculaires à cette môme ligne, n'en faut, sur Tépure, 
qu'une seule, et la ligne donnée resterait indéterminée. Dans 
ce cas, il est nécessaire d'ajouter d'autres conditions, comme, 
par exemple, de déterminer les projections de deux points 



• 1 - ■ I 

8 ^ . NOTATIONS. Pt. 2. ^ 

de cette ligne, ou de la projeter sur un troisième plan de 
projection, que Ton prend souvent perpendiculaire aux deux 
autres, et que l'on rabat comme on fait pour le plan horizontal. 

22. La figure 13, pi. 2, représente un point M projeté 
sur trois plans de projection, et la figure 14 est le dévelop- 
pement de répure, m, m', m" sont les trois projections du 
point M ; pq, pY» PV sont les trois projections d'une même- 
droite, et ks est la trace sur un plan auxiliaire Y'Z' d'un plan 
passant par la ligne ÂZ. . 

23. Notations. Avant de continuer nous allons exposer 
quelques considérations générales nécessaires pour TintelU- 
gence de ce qui doit suivre. 

La Géométrie descriptive peut être considérée comme une 
langue" au moyen de laquelle on expose les relation^ qui 
existent entre les différentes parties de Tespace. % ' 

La Géométrie descriptive est la langue de l'ingénieur, c'est 
la langue dont il se sert lorsqu'il veut se faire comprendre des 
ouvriers ; et quoique ces derniers ne soient pas encore assez, 
éclairés pour apprécier l'exactitude du langage géométrique, 
ils comprennent parfaitemen t les relations qui sont exprimées^ 
par une épure ; s'ils ne comprennent pas le langage parlé, 
s'ils ne comprennent pas le langage écrit, ce qui provient de 
ce que beaucoup d'entre eux n'ont pas les connaissances géo- 
métriques suffisantes, ils comprennent parfaitement en re- 
vanche le langage dessiné. 

MaiSy pour obtenir ce résultat, il faut apporter beaucoup de 
soin dans la disposition de l'épure et dans le choix des lignes 
destinées à relier entre elles toutes les parties du problème, 
de manière à faire reconnaître autant que possible l'ordre dea 
opérations par lesquelles les quantités inconnues sont dé- 
duites des quantités données. 

Je crois que c'est le but que l'on doit chercher à remplir 
dans un ouvrage destiné à familiariser le lecteur avec la so-^ 
lution graphique des problèmes, et j'ai toujours pensé que 
le Traité de Géométrie descriptive le plus parfait serait celui! 
qui n'aurait pas besoin de texte, ou au moins dont le text6 
^ne remplirait qu'une fonction secondaire. 



PL» 2. NOTATIONS. 9 

Excepté pour Texplication des principes, le texte ne de- 
vrait être qu'une sorte de légende destinée à faire comprendre 
la décomposition de la question principale, et Tordre dans 
lequel il faut exécuter les opérations particulières qui doivent 
concourir au résultat. 

Je sais que cette opinion n'est pas entièrement partagée par 
quelques professeurs qui, pou.r mieux fixer l'attention des 
élèves sur les principes généraux, croient devoir écarter de 
leurs cours toutes les circonstances particulières que l'on ren- 
contre dans la pratique) 

Réduisant alors Vépure à sa plus simple expression,, ils ne 
lui attribuent qu'un rôle analogue à celui que joue la figure 
dans la ^monstration des théorèmes de la Géométrie élé- 
mentaire ; mais les personnes qui ont appliqué la Géométrie 
descriptive savent très-bien que la disposition de l'épure et 
le choix des plans des projections est la partie la plus essen- 
tielle 'de la solution des problèmes. 

. 24. S'il n'est pas possible de faire un traité de Géométrie 
descriptive sans texte, il faut chercher aii^noins 4 en dimi- 
nuer l'étendue en faisant concourir tous les moyens à la clarté 
des épures. 

On atteindra en partie le but que je propose, par l'emploi 
d'une bonne notation, et je crois qu*il ne sera pas sans utilité 
d'entrer à cet égard dans quelques détails. 

25. Intersection des plans de projection. Une épure 
n'est autre chose que le développement de l'angle dièdre 
formé parles plans de projection. 

On suppose toujours que l'on a fait tourner un de ces deux 
plans autour de la droite suivant laquelle ils se coupent jus- 
qu'à ce que les deux plans coïncident et ne forment plu» 
qu'une seule surface sur laquelle on dessine. 

Le rabattement dont nous venons de parler se fait donc au- 
tour de la droite, intersection des. deux plans de projection j' 
et Monge, dans son Traité des principes, n'a jamais nommé 
cette ligne autrement ; mais, pour éviter Id répétition de cette 
longue phrase, il a constamment désigné la droite dont il 
s'agit par les deux lettres L et M, et depuis la première page 



10 * NOTATIONS. PL. %, 

jusqu'à la dernière^ il n'a jamais parlé de cette ligne aur- 
trement qu'en la nommant la droite LM. 

Hachette,"dans tous ses ouvrages sur la Géométrie descrip- 
tive, a toujours dit la droite kB, tandis que Lacroix n*a ja- 
mais désigné cette même ligne autrement que par les deux 
lettres XY.^ 

Malgré l*es autorités que je viens de nommer, quelques 
personnes ont cru devoir donner lé nom de ligne de terre 
à la droite suivant laquelle se coupent les deux plans de pro- 
jection. 

11 est assez probable que cela provient de l'usage dans 
lequel sont les architectes de considérer la ligne horizon- . 
taie au dessus de laquelle ils dessinent ce qu'ils flomment 
une élévation^ comme indiquant la surface du sol ; mais il ^ 
est évident que ce cas., est beaucoup trop particulier pour, 
motiver Texpression de ligue de terre comme désignation 
générale. 

Ce qui est vrai pour un dessin représentant l'ensemble d'un 
monument cesse complètement d'être exact dans les épures de . 
détail ; et sans sortir des applications à Tarchitecture, je ferai 
remarquer que dans les épures de coupe de pierres, le plan 
horizontal deprojection se trouve presque iouioovsà la hauteur, 
des naissances des voût-es^ tandis que dans les épures de char- 
pente, cette même ligne se trouve à la hdLnieuràes sablières y 
c'est-à-dire immédijatement au dessous du comble, et par con- 
séquent dans la partie la plus élevée du monument. 

Dans la perspective, le plan horizontal de projection est 
souvent pris au dessus des monuments que l'on dessine. 

L'expression dont il s'agit ne peut donc se rapporter avec^ 
exactitude qu'à un très-petit nombre d'applications particu- 
lières, et manque essentiellement du caractère de généralité 
que l'on doit toujours chercher à introduire dans la démons- 
tration des principes. 

Au surplus, j'attacherais fort peu d'importance à cette déno- 
mination si une longue expérience ne m'avait pas fait recoa- 
naitre qu'elle donne des idées fausses aux commençants. 
Confondant souvent dans leur esprit le plan horizontal avec la^ 
surface de la terre, ils ont de la peine à considérer les plans de 
projection d'une manière abstraite et conime des conceptions 



PL. 2. NOTA'HPNS. 11 

géométriques, qui doivent reste? entièrement au clioix de celui 
qui opère ; de sorte que, préoccupés àe cette pensée, que l'un 
des plans coordonnés doit nécessairement coïncider avec la 
surface du sol, ils comprennent difficilement que le plan 
horizontal de projection peut être pris à toutes les hauteurs. 

L'expression que je critique offre d'ailleurs dans les appli- 
cations d'autres inconvénients faciles à comprendre. 

En effet, dans les grandes épures, il n'y a souvent qu'un seul 
plan horizontal, mais il y a presque toujours un assez grand 
nombre de plans verticaux de projection. Or, si dans une ques- 
tion composée il y avait, ce qui arrive fréquemment, cinq, 
six et quelquefois vingt plans de projection, il faudrait donc 
dire la premièrey la seconde, la vingtième ligne de terre ^ etc., 
ce qui jetterait une grande confusion dans le langage, tandis 
qu'il sera toujours facile de distinguer ces lignes par les 
expressions AZ, A'Z', A'T^ etc. 

Enfin, dans quelques problèmes où aucun des plans de 
projection n'est horizontal, il est évident qiie l'expression de 
ligne de terre ne signifierait plus rien. 

Au surplus, les réflexions qui précèdent ne sont dictées par 
aucun désir d'innovation ; ije ne pense pas qu'il soit utile de 
changer les expressions adoptées par l'usage ou de créer des 
expressions nouvelles, et pourvu que les définitions soient 
exactes, j'attache fort peu d'importance jà une exactitude de 
mots que l'on n'obtiendra jamais. ^ 

Il y aurait d'ailleurs trop à faire si l'on voulait? que les mots 
fussent toujours l'expression parfaitement exacte des idées, 
et dans ce cas il faudrait commencer par changer le nom 
même de la Géométrie, qui bien certainement n'a pas pour 
but principal de mesurer la terre, comme sembleraient l'in- 
diquer les deux mots grecs qui composent ce nom. 

Le mot de multiplication, appliqué au calcul des fractions, 
n'est pas plus exact que les mots carré et cube, employés 
en arithmétique pour exprimer la seconde ou la troisième 
puissance d'un nombre ; mais il s'agit ici d'expressions con- 
sacrées par l'usage universel, tandis que le nom de ligne, de 
terre n'a jamais été employé que par un petit nombre 
d'auteurs. 

.D'ailleurs, en blâmant l'emploi de cette expression, je ne 



12 NOTATIONS. PL. 2» 

prétends pas me mettre hors de cause, et je prendrai à moa 
compte une partie des critiques précédentes. 

En effet, dans la première édition du Traité actuel, j'avais 
adopté ce même nom de ligne dé terre sans y attacher d'abord 
une grande importance ; mais lorsque j'ai vu la cotifusion que 
cela produisait dans l'esprit des commençants et dans Texpli- 
cation des épures composées, je me suis empressé d'aban- 
donner une expression qui n'a jamais été employée par 
MoNGE, LAcROix ni Hachette, et suivant leur exemple, j'ai 
constamment désigné par deux lettres la droite suivant la- 
quelle se cdiïpent les deux plans de projection. 

11 serait sans doute à désirer que tout le monde s'accord&t 
pour désigner cette droite par les mômes lettres ; mais puis- 
qu'elle a successivement été nommée LM par Monge, XY par 
Lacroix, AB par Hachette et LT par OUivier, il ne peut y avoir 
aucun inconvénient à la nommer AZ ; et si l'on demandait à 
un élève ce qu'il, entend par cette expression, il pourrait dire, 
comme Monge, que c'est VintersecHon des deux plans de 
'projection^ tandis que le nom de ligne de terre sera toujours 
plus difficile à expliquer d'une manière satisfaisante. 

Le choix des lettres A et Z est d'ailleurs motivé par la nota- 
tion adoptée dans les applications de l'algèbre à la géométrie. 

En effet, en exprimant par ZX le plan horizontal de pro- 
jection et par ZY le plan vertical, il sera facile de transporter 
sur répure les résultats obtenus par le calcul algébrique, et 
réciproquement. 

De plus, tout plan auxiliaire de projection, perpendiculaire 
à la ligne AZ, pourra être désigné par XY, et si l'on place la 
lettre A au point d'intersection des trois plans coordonnés, on 
aura établi une analogie complète entre les notations de la 
Géométrie descriptive et celle de TAlgèbre appliquée. 

26. A toutes les raisons qui précèdent, je crois Revoir ep 
ajouter une qui me paraît décisive : c'est que la droite, que 

certaines personnes désignent par le nom de ligne de terre^ 
n'indique jamais dans les épures la surface du terrain, mai» 
la trace du plan vertical de projection. 
, En effet, les ingénieurs et les architectes, toutes les per- 
sonnes enfin qui sont familiarisées avec les applications de la 



PI. 2. NOTATIONS. 13 

Géométrie descriptive, savent très-bien que dans les études 
d'un projet il peut y avoir un grand nombre de profils, coupes 
ou élévations et par conséquent autant de plans verticaux de 
projections ; mais il n'y aura jamais qu'un seul plan hori- 
zontal dt projection^ quelle que soit la hauteur du sol par 
rapport au projet, ou du projet par rapport au sol. Toutes les 
coupes horizontales d'un monument ou d'une maison pour- 
ront différer entre elles suivant l'étage dont elles expriment 
là distribution intérieure, mais elles ne dépendront pas de * 
la hauteur du plan horizontal sur lequel on les aura pro- 
jetées. » 

Il est bien certain que dans les études d'un canal, d'une 
route ou d'un chemin de fer, dans le profil d'une galerie sou- 
terraine, la ligne AZ ne représente pas la surface de la terre, 
qui n'est presque jamais de niveau, ni dans le projet ni dans 
le terrain naturel. Je conçois que dans les écoles prépara- 
toires, où Ton fait très-peu d'épurés, les jeunes gens s'habi- 
tuent ^à regarder le tableau devant lequel ils sont toute la 
journée conjme \e plan principal de projection ; et, dans 
ce cas, il est naturel qu'ils cherchent à exprimer sur ce pre- 
mier plan qu'elle est la hauteur du second : mais s'ils con- 
naissaient le but de la Géométrie descriptive, ils compren- 
draient que dans une question composée de construction ou 
d'architecture, tout se rapporte à la projection horizontale ou 
plan d'ensemble, et que les nombreux profils, coupes ou 
détails nécessaires pour l'exécution du projet ne sont que 
des projections secondaires, rabattues en tournant autour de 
lignes qui sont souvent situées à toutes les hauteurs, et qui, 
par conséquent, n'ont rien de commun avec la terre. 

27. Le mot de ligne de terre conviendrait tout au plus 
pour désigner la hauteur du sol sur un dessin isolé, qui ne 
contiendrait que la projection verticale ou élévation d'un 
monument ou d'une machine ; mais dès que l'on réunit sur 
une même feuille les deux projections d'un objet, c'est le 
plan horizontal qui est la projection essentielle, et la ligne AZ 
est par conséquent la trace horizontale du plan vertical de 
projection. • 



14 NOTATIONS. PL. 2 

28. Je pense même qu'il serait convenable, dans les grandes 
épures, de désigner cette droite par k'V. En effet, le plan- 
horizontal étant, comme nous l'avons dit plus haut, le plan 
principal de projection, on nommerait AT la trace du plan 

X vertical sur lequel les projections sont désignées par des 
primes' ; k"l" serait la trace du plan vertical sur lequel les 
projections sont accentuées pardes secondes!' \ k!"l'" seyait la 

^ trace du plan vertical sur lequel les points sont accentués par 
des tierces "\ et ainsi de suite. Cette notation, dont je fais 
souvent usage, me paraît extrêmement commode. 

29. Notation des points et des lignes. La plus grande 
difficulté que l'on rencontre dans la notation des grandes 
épures de Géométrie descriptive provient de ce que les points 
que l'on veut désigner sont souvent si nombreux, si rap- 
prochés les uns des autres et entourés par un si grand 

. nombre de lignes d'opérations, qu'il ne reste plus assez de 
place pour écrire les lettres qui doivent faire reconnaître ces 
points. 

Cette difficulté n'est presque jamais sensible dans les études 
élémentaires, parce que lés épures destinées à la démonstra- 
tion des principes généraux sont ordinairement peu chargées 
de lignes et de points ; mais lorsqu'on arrive aux applica- 
tions, il n'en est plus de même, et c'est alors que les incon- 
vénients dont nous venons de parler, se faisant vivement 
sentir, on regrette de ne pas avoir adopté dès l'origine une 
notation plus convenable. 

Mais quand on parviendrait à trouver une notation parfaite, 
il serait sans doute très-difficile de la faire adopter; car il 
faudrait pour cela que l'on abandonnât toutes celles qui sont 
en usage, ce que je ne proposerai môme pas. 

Je me contenterai d'indiquer quelques modifications qui, 
je crois, suffiront pour faire disparaître une grande partie des 
inconvénients que j'ai signalés plus haut. 

Je ferai remarquer d'abord qu'il n'est nullement nécessaire 
que chacune des projections d'une même droite soit désignée 
par deux lettres. 

Une seule, placée à l'endroit où la ligne prolongée ren- 
contre le cadre de. Tépure, suffira pour faire retrouver la 



PL. 2. NOTATIONS. 45 

droite dont on parle, beaucoup plus facilement qu'on ne peut 
le faire avec deux lettres, qu'il faut souvent chercher long- 
temps au milieu du réseau formé par le nombre considérable 
de lignes qui concourent à la solution de certains problèmes 
composés. (Voir les planches 15, 17 et 18.) 

Cette méthode, que j'ai souvent employée, a Tavantage de 
diminuer le nombre de lettres nécessaires, et cet avan- 
tage est d'autant plus grand que l'on éprouve quelquefois 
beaucoup de diflSiiulté pour trouver autant de lettres que Ton 
a de lignes qu de points à désigner, et que Ton est souvent 
obligé d'employer les chiffres pour indiquer un grand nombre 
de ces points. 

Ce qui précède étant admis, voyons s'il n'y aurait pas 
moyen d'introduire quelque régularité dans le choix des 
lettres. 

Monge, et par suite Hachette, dans leurs Traités, ont à peu 
près constamment désigné par une lettre capitale la projec- 
tion horizontale de chaque point, et par la petite lettre cor- 
respondante la projection verticale du même point. 

Cette notation assez simple aurait toujours le défaut d'em- 
barrasser par des grandes lettres la projection horizon- 
tale de l'épure, et cet inconvénient est d'autant plus grave 
dans les applications, que plusieurs projections verticales 
se rapportant souvent à une seule projection fiorizontale, 
cette partie de Tépure est presque toujours la plus chargée 
de lignes. 

C'est ce que Hachette paraît avoir reconnu, puisque dans 
quelques-unes de ses épures, et principalement dans celles 
«qui se rapportent aux applications, il a repris l'usage des 
petites lettres pour les deux projections. 

D'ailleurs il est souvent nécessaire, pour démontrer un 
principe ou pour faire comprendre la décomposition d'une 
question principale, dé faire une ligure de géométrie ordi- 
naire ; et l'usage adopté généralement dans ce cas, étant 
d'employer les lettres capitales, on ne pourrait plus, dans le 
texte, désigner suffisamment les points A ou B de l'espace, 
si leurs projections horizontales étaient indiquées de la même 
manière sur l'ép ure. 

Ces considérations paraissent avoir déterminé la notation 



16 NOTATIONS. (^. 2. 

adoptée par Lacroix, qui, réservant les lettres A, B, C, etc., 
pour désigner les points (Je l'espace, exprime leur projection 
, horizontale par A', B', C, et les projections verticales corres- 
pondantes par k", W, C^. i 

Cette notation serait peut-être préférable à celle de Monge, 
et de Hachette ; mais outre l'inconvénient de placer des ac- 
cents sur la projection horizontale qui est souvent embarras- 
sée par un si grand nombre de lignes, il est évident qu'il sera 
toujours plus facile de trouver la place pour une petite lettre 
que pour une lettre capitale. 

Je crois donc qu'une partie des dîflBcultés que je viens de 
signaler serait évitée par la notation suivante adoptée par 
beaucoup de professeurs : 

Points ou lignes de l'espace A, B, C, D, 

Projections horizontales des mêmes points, a, 6, c, d, 
Projections verticales a^V^d^ôT. 

Souvent^ aussi dans le texte, on pourra désigner les points 
ou lignes de l'espace par aa', bb% co\ etc. 

La confusion entre les lignes etJes points ne sera jamais 
possible si, comme' je le propose ici, la lettre indiquant la 
projection d'un point est placée sur Tépure, tout auprès de 
cette •projection, tandis que la lettre employée pour dési- 
gner une ligne serait placée au bord de l'épure^ au point 
où la projection de cette ligne prolongée vient couper le 
cadre. 

Souvent dans la pratique, lorsqu'il n'est pas nécessaire de 
conserver la notation et qu'elle n'est utile que pour éviter la 
confusion pendant l'exécution du travail graphique, on peut 
se contenter d'écrire au crayon la lettre en dehors du cadre 
et de là faire disparaître avec la gomme aussitôt que l'épure 
est terminée. 

En jetant un coup d'œil rapide au bord du cadre, on retrouve 
de suite la li^ne^dont «on a besoin, et il est facile alors de 
suivre cette ligne dans toutes les parties de l'épure, quelle 
que soit la confusion qui pourrait provenir du grand nombre 
de points ou de lignes projetées. 

On peut encore simplifier la notation en employant le moyen 



PL. 2. NOTATIONS. 17 

que je vais indiquer, et qui m'a été fort utile dans quelques 
•épures très-composées. 

On écrira l'alphabet sur un morceau de papier en disposant 
les lettres de la manière suivante : 

aceimnorstuvxz 
hdfghjklpqy. 

Les lettres de la première ligne élant moins embarrassantes 
pourront être employées de préférence pour désigner les 
points situés dans les parties de Tépure qui seront très- 
chargées tandis que les autres lettres seront plus particuliè- 
rement affectées à la notation des lignes prolongées jusqu'au 
bord du cadre. 

30. Projections auxiliaires. Nous n'avons parlé au 
commencement de ce chapitre que des deux plans de projec- 
tion, vertical et horizontal, quoiqu'il arrive quelquefois que 
tous les deux sont verticaux ou inclinés dans l'espace. 

Ces deux plans .suffisent presque toujours pour résoudre 
les questions élémentaires ou pour la démonstration des 
principes ; mais, dans Jes questions composées, il sera souvent 
nécessaire d'introduire un assez grand nombre de plans auxi- 
liaires de projection*. 

Or, de quelque manière que soient placés ces plans, on 
pourra toujours, en exprimant, comme nous en sommes con- 
venus, chaque point de l'espace par une lettre capitale, dési- 
gner ses diver;Ses projections par la petite lettre correspon- 
dante, accentuée de manière à indiquer l'ordre des nouveaux 
plans de projection successivement introduits. 

Ainsi, on aurait 

Points ou lignes de l'espace. ... A, B, . C, D, E 

Projection horizontale a, 6, c, rf, e 

Projection verticale o\ b\ o\ d\ e' 

Première projection auxiliaire. . . a", b", c", d!\ d' 

Deuxième projection auxiliaire. . a'",fe'",c'",d'",e''' 

et ainsi de suite, quel que soit le nombre des plans sur lesquels 
un point ou une ligne auront été projetés. 

2 



18 NOTATIONS. PL, 2, 

Ce mode de notation permettra, surtout dans les opérations 
de rabattement, de suivre par la pensée les lignes et le& 
points dans toutes les positions qu'il faut leur faire occuper 
dans l'espace pour arriver à la solution complète du problème. 

Les notations que nous venons d'indiquer ne seront em- 
ployées que pour désigner les points et les lignes droites : 
pour les courbes dont la construction exige un grand nombre 
de points, il sera plus commode d'employer des chiffres 
. accentués également, de manière à indiquer autant que pos- 
sible Tordre des opérations successives. ^ 

On pourra encore employer les chiffres dans les questions 
où il faudra désigner un grand nombre de points, comme, 
par exemple, dans les projections de polyèdres qui auraient 
beaucoup de sommets, dans les épures de coupe des pierres 
et d'assemblages de charpente, où les polygones formés par 
les pénétrations mutuelles des pièces de bois ont souvent un 
si grand nombre de côtés; enfin on peut également désigner 
par des chiffres les génératrices de surface ou les divers sys- 
tèmes de lignes que Ton est souvent obligé de tracer pour 
arriver à la solution des problèmes, telles, par exemple, que 
les rayons de lumière dans là théorie des ombres, ou les 
rayons visuels dans la perspective, etc.» 

Lorsque l'on aura épuisé l'alphabet ordinaire, il faudra bien 
trouver quelque autre notation pour indiquer les parties 
essentielles de l'épure. 

Ainsi, on peut employer l'alphabet grec, mais la forme de 
ces caractères, avec lesquels beaucoup de personnes et surtout 
les ouvriers sont peu familiarisés, m'engag-era tolijours à en 
restreindre l'usage. ' 

Je préfère les lettres capitjiles, et quoique nous ayons 
réservé ces lettres pour désigner les points ou les lignes de 
l'espace, je crois que l'on se priverait volontairement d'une . 
ressource précieuse si Ton considérait cette convention comme 
absolue, et Ton pourra, sans inconvénient, introduire les 
lettres capitales dans certaines épures composées. 

Ainsi, par exemple, nous avons adopté les deux lettres 
A et Z.pour l'intersection des plans coordonnés principaux ; 
nous consacrerons également les lettres YX et YZ pour les 
plans auxiliaires de. projection. 



PL. 2. NOTAWONS. 19. 

Enfin, les lettres E, F, D, G, H, etc., pourront être employ(^es 
avec avantage pour désigner quelques-unes des parties 
principales de l'épure, comme, par exemple, la base * ou la 
. section droite d'un prisme, la projection tout entière de ce 
prisme, celle d'un cylindre, d'un cône ou d'une sphère, le 
développement» d'une surface ou la courbe tout entière pro- 
venant de la section d'une surface par un plan ou de la péné- 
tration de deux surfaces, etc. 

31. Quelques personnes peu familiarisées avec les applica- 
tions de la Géométrie descriptive croient simplifier l'étude 
de oelte science en cherchant à ramener tout à un seul prin- 
cipe. Il y a des professeurs qui hésitent à employer des plans 
auxiliaires et voudraient, s'il était possible, n'employer qu'un 
seul plan de projection. 

On parviendrait peut-être, en suivant cette voie, à créer 
une Géométrie descriptive de fantaisie qui pourrait donner lieu 
à des questions amusantes d'école ou d'examen; mais on 
aurait alors une science qui ne servirait à rien. 

C'est en modifiant les méthodes dans chaque cas, suivant 
les circonstances particulières, que l'on devient habile prati- 
cien ;, lorsqu'on veut ramener toutes les opérations à une 
méthode générale et unique, on'agit comme un ouvrier qui 
voudrait exécuter tout avec un seul outil. Peut-être, avec 
beaucoup de temps et de patience , parviendrait-il à faire un 
travail remarquable, mais il emploierait dix fois plus de 
temps et ne ferait pas mieux. 

Celui qui veut remplacer les deux plans de projection de la ' 
Géométrie descriplive par un seul ressemble à un menuisier 
qui, ayant une scie et un rabot, trouverait que deux outils 
sont trop embarrassants, et jetterait la scie prétendant 
qu'avec son rabot il pourra très-bien réduire sa planche à la 
largeur ou à la longueur quil lui conviendra. 

Non-seulement les deu« plans de projection sont plus utiles 
et infiniment plus commodes qu'un seul, mais celui qui 
voudrait se borner aux deux projections principales d'un 
corps un peu composé ne pourrait presque rien faire en appli- 
cations. 

La construction d'un grand monument exige les plans 



20 ^ NOTATIONS. PL. 2. 

d'ensemble, les plans de lous les étages, des élévations, des 
profils, des coupes dans lous les senë; les plans de projection 
particulièrement utiles aux tailleurs de pierres, aux charpen- 
tiers, aux serruriers ; les développements et rabattements de 
toute espèce qui sont autant de plans de projection différents; 
et tout cela est infiniment plus simple que deux et surtout 
qu'une seule projection. 

La question la plus composée se réduit presque à rien lors- 
qu'on sait la décomposer^et c'est ce que l'on fait en Géométrie 
descriptive en employant des projections particulières pour 
chaque partie de la question principale, de même que dans 
les applications de l'Algèbre on emploiera une formule par- 
ticulière pour chaque cas particulier. 

Enfin, lorsque Ton est embarrassé pour comprendre une 
épure sur laquelle il y a deux plans de prpjection, il faut en 
introduire de nouveaux pour dégager les parties du dessin 
• où les lignes sont trop nombreuses ou trop rapprochées; et 
si Ton trouve que deux projections s^nt plus difficiles à com- 
prendre qu'une seule, il faut renoncer à la Géométrie descrip- 
tive ou du moins à ses applications. 

32. Notation des plans. Nous n'avons rien dit encore 
des plans, pour lesquels nous adopterons une notation excep- 
tionnelle. 

En effet, le plan, dans la Géométrie descriptive, possède 
un caractère qui lui est essentiellement particulier. On 
détermine la position d'un plan, mais on ne le projette 
pas. 

Les traces ne sont pas rlrs projection^. 

Les traces lont partie du plan auquel elles appartiennent et 
dans lequel elles sont situées, tandis que les projections des 
lignes et des points ne font partie ni de ces points ni de ces 

lignes. 

Le plan est l'élément essentiel de la Géométrie descriptive, 
comme l'équation est l'élément essentiel de l'Algèbre ; c'est 
par les intersections des plans que l'on détermine les points 
et les lignes dans la Géométrie descriptive, comme dans l'Al- 
'gèbre c'est en combinant des équations que Ton parvient à 
trouver les quantités inconnues. 



n. 2. NOTATIONS. i 21 

Enfin les plans, dans la Géométrie descriptive, comme les 
équations dans TAlgëbre, ne «ont que des instruments ou, si 
Ton. veut, des formules qui, par leur combinaison, servent à 
trouver la solution des problèmes. C'est pourquoi je n'ai donc 
pas cru devoir étendre au plan la notation que j'ai indiquée 
plus haut pour les points et les lignes. 

Dans les éditions précédentes, j'ai désigné tous les plans par 
la lettre p, en les distinguant seulement par des accents qui in- 
diquent l'ordre suivant lequel chacun d'eux est tracé sur 
l'épuré. . ' 

Je continuerai à suivre la même méthode; mais pour établir 
une différence encore plus sensible entre la notation des plan^ 
et celle des points ou des lignes, je remplacerai sur les plan- 
ches ajoutées à l'édition actuelle la lettre/? par P et les accents 
par des chiffres placés à droite et au bas de la lettre P. 

Chacun' de ces chiffres indiquera l'ordre suivant lequel le 
plan correspondant sera venu participer à la solution du pro- 
blème, s 

Ainsi les plans successivement employés seront désignés par 
P^PA etc. (Voir la fig. 6, pi. 17.) , 

Cette convention, en permettant d'exprimer tous les plans 
par une seule lettre, augmentera le nombre de celles qui res- 
teront disponibles pour désigner les autres parties de l'épure. 

Les chiffres placés au bas et à droite de la 'lettre P seront 
moins embarrassants que les accents ', '^ "', etc. Ainsi P z% est 
évidemment beaucoup plus simple que P^x»^". 

Les traces verticale et horizontale d'un plan sont toujours 
faciles à distinguer par la partie de l'épure sur laquelle elles 
sont situées, et les ponctuations adoptées feront suffisamment 
reconnaître celles de ces traces qui sont prolongées au delà 
du plan de projection au quel elles se rapportent. 

33. Aux considérations qui précèdent, j'ajouterai quelques 
détails qui sont souvent très commodes dans l'exécution d'une 
grande épure. 

Ainsi, en écrivant a-c au crayon sur le bord du cadre, on 
pourra désigner la droite qui est déterminée par les deux 
points a et c. On pourra nommer P^Pj la droite qui résulte de 
l'intersection des plans P^ et Pa. 



A 



22 NOTATIONS. PL; 2. 

On pourrait aussi exprimer par d-h le point résultant de 
l'intersection des droites deih ; par 6-P, le point suivant le- 
quel la droite b perce le plan P ; par P-6A, V-bd, V-hd, les plans 
déterminés par les droites beih, b eid^held; 

Par P-ac?i, P-cmn, les plans déterminés par les trois points 
a, c, u ou c, m, n; par P-aè, le plan qui contient le point a 
et la droite 6, etc. ^ 

Mais toutes ces notations composées de plusieurs lettres ne 
doivent être placées qu'au bord du cadre et pendant l'exécu- 
tion du travail graphique, après quoi on les fait disparaître 
pour les remplacer par une seule lettre, si toutefois, après 
l'épure terminée, il est nécessaire de conserver la notation ; 
car il ne faut pas oublier que le principal inconvénient des no- 
tations proposées jusqu'ici consiste surtout dans là difSculté 
. de placer un grand noinbre de lettres au milieu des épures, 
et que, par conséquent, au lieu de cherchera multiplier ces 
lettres, on doit faire tout ce qui est possible pour en dimi^ 
nuer le nombre, 

34. Des différentes espèces de tracé. On peut encore 
tirer un parti fort utile des (lîflTérentes manières de tracer les 
lignes sur les épures. 

Ainsi, indépendamment des lignes en points ronds ou en 
points allongés, on pourra, comme cela est admis par l'usage, 
employer des ponc tua tiens mixtes , telles que celles qui suivent : 



' « V 



■ • • • 9 ^^n^ • m • é^* 

I 



De sorte que le nombre de points ronds placés entre deux 
points allongés consécutifs désignerait certaines lignes ou cer. 
tains systèmes de lignes satisfaisant à des conditions parti- 
lières; et cela suffirait, dans un grand nombre de cas, peut 
indiquer l'ordre des opérations successives nécessaires pour 
résoudre la question proposée. 

Au surplus, j'espère que l'application des conventions qui 



PL. 2. NOTATIONS. 23 

précèdent ne laissera dans l'esprit du lecteur aucun doute sur , 
Tavantage qui peut en résulter. 

35. Exécution des épures. Il faut admettre d'abord qu'il 
y a trois sortes d'épurés, savoir : 



1* Les épures de principe; 

2* Les épures d'étude; 

3® Les épures d'application. 



Les épures de principe ne doivent contenir qu'un très-petit 
nombre de lignes ; ainsi, par exemple, s'il s'agît de la cons- 
truction d'une courbe, on ne conservera que les opérations 
nécessaires pour expliquer la méthode générale par laquelle 
-on peut obtenir un point quelconque de cette courbe, ou les 
abréviations résultant de la position exceptionnelle de quel- 
ques-uns des points cherchés. ' 

36. Les épures d'application doivent être encore plus sim- 
ples que les épures de principe, car elles ne doivent contenir 
•que les données et les résultats, sans qu'il soit nécessaire d'y 
•conserver les lignes d'opération. 

37. Si les épures de principe et les épures d'application 
'doivent contenir très-peu de lignes, il n'en doit pas être de 
4nême des épures d'étude. En effet, indépendamment des don- 
nées et des résultats, elles doivent conserver toutes les lignes 
nécessaires pour rappeler les principes, souvent nombreux, 
par lesquels on a déterminé les diverses parties des lignes 
'Obtenues. ' 

Il est bien entendu qu'il ne s'agit pas ici de la répétition 
fastidieuse d'une même opération exécutée autant de fois 
«qu'il y a de points à obtenir ; mais, dans la construction d'une 
grande courbe, il arrivera souvent que sur vingt points, cha- 
cun aura un caractère individuel qui permettra de déterminer 
sa position par une méthode particulière, plus simple que la 
méthode générale, et toutes ces abréviations doivent être in- 
4liquées sur une épure d'étude. 



24 NOTATIONS. PL. 2. 

38. Indépendamment des lignes nécessaires pour rattacher 
les données aux résultats obtenus, et pour indiquer les mé- 
thodes diverses qui ont été appliquées dans chaque cas, il 
faut encore qu'une épure d'étude contienne quelques-unes des 
vérifications les plus importantes. 

Ainsi, un point obtenu doit être vérifié de toutes les ma- 
nières possibles, et si une seule vérification est suffisante dans^ 
la pratique, il n'en esc pas de même lorsqu'on étudie. En efiet, 
chaque méthode employée pour vérifier Ja position d'un point 
est évidemment une manière différente de l'obtenir; et par 
ce travail, on se rend habile à voir de suite, au moment de 
l'application, quel est le moyen le plus«Bimple pour déter- 
miner la position du point cherché. On peut se contenter 
de conserver sur Tépure les vérifications les plus* impor- 
tantes, mais on ne saurait en faire un trop grand nombre au 
crayon. 

11 ne faut pas croire, au surplus, que toutes ces lignes 
produisent autant de confusion que le pensent ordinaire- 
ment les personnes qui espèrent étudier la Géométrie des- 
criptive sans faire d'épurés, ce qui est absolument comme si 
elles voulaient_apprendre l'Algèbre sans résoudre une seule^ 
équation. 

Mais lorsqu'au lieu de se contenter de notions abstraites, et 
par conséquent un peu confuses, on aborde franchement, 
l'exécution du travail graphique, on parvient très-prompte- 
ment à regarder sans aucune fatigue toutes les lignes tracées^ 
sur répure la plus chargée ; et quel que soit le nombre de 
ces lignes, on ne voit alors que le petit nombre de celles qui 
se rattachent à Ja partie de la question que l'on considère 
momentanément. 

Enfin, pour celui, qui sait la Géométrie descriptive, une 
épure dont toutes les parties sont liées entre elles est beau- 
coup plus facile à comprendre que celle dont on aurait sup- 
primé les lignes d'opération. 

39. Ce n'est pas d'ailleurs le grand nombre de lignes qui 
rend une épuie confuse, mais la disposition souvent mala- 
droite des rabattements ou des plans auxiliaires de projection» 
Si Ton rabat une projection auxiliaire sur une partie de l'épure; 



PL. 2. NOTATIONS. 25 

OÙ il existe déjà une projection ou un rabattement précédent, 
on rendra certainement l'épure très-confuse. 

Cela cependant se fait souvent dans la pratique ; ain^i, dans 
les grandes épures de charpente ou de coupe de pierres .qui 
doivent être tracées à l'échelle d'exécution, on n'a pas tou- 
jours l'espace suffisant pour isoler toutes les figures dévelop- 
pées ou rabattues, mais, dans ce cas, il n*y a pas le même 
inconvénient que dans les épures d'étudel 

!•* Parce que celui qui exécute le travail n étudie pa^ la 
question^ qu'il connaît parfaitement par les études prélimi- 
naires qu'il a dû faire chez lui, à une petite échelle, avant de 
les répéter en grand sur le charnier ; 

2*» Parce que dans les épures d'application on ne conserve 
que ce qui est absolument indispensable pour tracer sur les 
matériaux les lignes qui doivent diriger le travail des ou- 
vriers ; 

3° Parce qu'enfin, on peut tracer avec des couleurs diffé- 
rentes les parties de l'épure qui ne doivent pas être confon- 
dues, quoique superposées. Mais lorsqu'on étudie, et surtout 
lorsqu'on exécute le dessin à une échelle réduite, il faut éviter 
avec soin cette superposition, qui ne permettrait pas de con- 
server les lignes ^nécessaires pour rattacher les résultats aux 
données, et rappeler les principes que l'on a dû appliquer 
pour exécuter les diverses parties de l'épure. 

40. Quant au temps nécessaire pour Texéculion du travail 
graphique, il n'est pas aussi considérable qu'on pourrait le 
croire au premier abord. 

Ce serait sans doute un travail fort long de dessiner en imi- 
tant la gravure une grande épure de Géométrie descriptive ; 
cela tient à l'obligation de distinguer les diverses sortes de 
lignes par des points de différentes sortes. Mais cette perte 
énorme de tçmps peut être facilement épargnée eh indiquant 
toutes les lignes d'opérations par des encres de couleur. Or, 
une épure en encre de couleur n'exige pas beaucoup plus de 
temps que si elle était entièrement dessinée au crayon, et ce- 
lui qui comprend bien la question à résoudre n'emploiera 
certainement pas plus de deux ou trois heures pour tracer 



5td GÉNÉRATION DU PLAN. PL. 2 

répure la plus composée. On peut d'ailleurs dégager l'épure, 
en supprimaat une partie des lignes d'opération, dont on 
ne conserve que les attaches ou amorces, ce qui suffit pour 
indiquer les points dopt la recherche peut ofi^ir quelque 
intérêt. 

Les considérations précédentes étant admises, nous allons 
revenir à l'étude des principes. 

41. Génération dn plan. Le plan étant l'élément géomé- 
trique dont nous ferons le plan d*usage, il est de la plus grande 
importance d'en bien étudier toutes les propriétés. 

i 

42. On peut toujours supposer qu'une surface est engen- 
drée par le mouvement d'une ligne dont la définition est 
donnée, et qui se meut suivant certaines conditions. 

On dit qu'une ligne engendre une surface lorsque, par suite 
de son mouvement, elle occupe successivement tous les points 
de cette surface. 

43. D'après cela, si Ton conçoit deux lignes droites qui se 
coupent et si l'on suppose que Tune d'elles, restant immobile, 
la seconde se meut parallèlement à elle-même, de manière à 
couper toujours la première, la droite mobile, par son mou- 
vement, engeudre un plan. 

On dit qu'une droite se meut parallèlement à elle-même 
lorsque toutes ses positions sont parallèles entre elles. 

La droite mobile sera nommée génératrice du plan ; la 
droite sur laquelle elle s'appuie se nomme la directrice, et le 
point où les deux lignes se coupent se nomme le pied de la 
génératrice. 

44. On peut prendre pour génératrice et directrice d'un 
plan deux lignes quelconques de ce plan ; mais il est presque 
toujours plus simple de prendre l'une des traces pour géné- 
ratrice et l'autre pour directrice. Cela étant Admis : 

45. On propose de construire pour toutes ses positions les 
projections de la génératrice d'un plan. 



PL. 2. GÉNÉRATION DU PJUN. 27 

Soit, fkg. 15, le plan PdG dont on veut représenter la géné- 
ration. Supposons que la trace horizontale Gûf, prise pour géné- 
ratrice, prenne successivement toutes les positions marquées 
Gd ; comme elle restera parallèle à elle-même, et par consé- 
quent au plan horizontal, sa projection verticale g^d/ sera tou- 
jours parallèle à la ligne AZ. La trace verticale servant de 
directrice, le poiut d', pied de la génératrice, fait partie du 
plan vertical de projection, et sa projection horizontale sera 
sur AZ. Enfin, toutes les positions de la ligne G^d devant être 
parallèles entre elles, leurs plans projetants verticaux seront 
parallèles et, par conséquent, toutes les projections horizon- 
tales gd seront parallèles entre elles et à la trace horizontale 
Gd du plan donné. 

46. Quand la génératrice descend au-dessous du plan hori- 
zontal, sa projection verticale g"d" doit être au-dessous de la 
ligne AZ. 

47. Le plan étant infini (12), toutes ses génératrices seront 
infinies, de sorte qu'en traçant les prolongements de ces lignes, 
on représentera sur l'épure les parties du plan donné qui se 
trouvent au delà du plan de projection. Cependant,, pour ne 
pas embarrasser les épures, on ne construit ces prolongements 
qu'au moment où ils deviennent nécessaires pour la solution 
de la question dont on s'occupe. 

La figure 16 représente la construction, sur l'épure, de 
toutes les positions de la génératrice horizontale d'un plan 
PdG. Ainsi, en général, 

Si Von veut construire une des positions de la génératrice 
horizontale d'un plan^ on construira parallèlement a la 
trace horizontale une ligne gd, qui sera la projection hori- 
zontale de la génératrice. On mènera la ligne dd' perpendi- 
culaire à la ligne k% et fe point d', où cette ligne rencon- 
trera la trace verticale^ sera te pied de la génératrice. Enfin 
ta ligne d'g', menée par le point d' parallèlement à la ligne 
AZ, Sera la projection verticale de la génératrice demandée. 

On pourrait commencer par construire la projection verti- 
cale g^d'. 



28 GÉNÉRATION DU PLAN. PL. 2» 

48. Les figures 17 et 18 représentent la' génération d'un 
plan pour lequel on a employé, comme génératrice, une 
droite parallèle à la trace verticale. On voit que, dans ce cas^ 
toutes les projections horizontales de la génératrice sont pa- 
rallèles à la ligne AZ, et toutes les projections verticales sont 
parallèles à la trace verticale. On en conclut que. 

Si Von'veut corfsPruire une des positions de la génératrice 
parallèle à la trace verticale, on construira^ îLg. 18, une 
ligne g'd' parallèle à cette trace ; on mènera d'd perpendi^ 
culaire à la ligne AZ, ce qui donnera en d le pied de la 
génératrice. Enfin dg, menée parallèlement à la ligne AZ, 
sera-la projection horizontale de cette génératrice. 

Je recommande au lecteur les deux épures précédentes 
comme très-essentielles. II. faut, après les avoir bien com- 
prises, en faire l'application à toutes sortes de plans, variés 
de toutes les manières quant à la position. Les figures 
19, 20, 21 représentent quelques générations de plans. 
Dans la figure 20, on a pris pour directrice la trace sur le 
pl?in auxiliaire de projection Y'Z'. Dans la figure 21, on a 
pris pour génératrice une ligne oblique aux plans de pro- 
jection. 

49. J'engage les commençants, pour fixer leurs idées et se 
familiariser avec les diverses dispositions des points, des plans 
et des lignes dans Tespace, à tailler, deux cartes et aies placer 
à angle droit, de manière qu'elles puissent figurer les deux 
plans de projection ; puis, après avoir tracé sur ces cartes des 
projections de points ou des traces de plans, ils feront le déve- 
loppement de l'épure, afin de s'habituer à juger de la posi- 
tion d'un point oii d'une ligne par ses projections, et réci- 
proquement. Mais je leur conseille en même temps de faire 
tous leurs efibrts pour se mettre le plus promptement pos- 
sible en état de se passer de ces moyens, qui ne doivent être 
employés que pour les premières leçons, et qui même, si Ton 
en faisait usage trop longtemps, deviendraient un obstacle - 
au développement de l'esprit d'analyse et de généralité né- 
cessaire pour bien concevoir les principes de la Géométrie 
descriptive. 



n.. 3. DD POINT, DE LA UGNK DROITE ET DU FLAH. 29 



CHAPITRE II. 



I>u point» de la llg^ne droite et du plan. 



/ 



, PROBLÈMES. 

50 Faire passer une ligne droite par un point dont on 
a les projections. 

Lorsque l'on projette une droite MN, figr. 22, pi. 3, le plan 
projetant MNmn, contenant toutes les perpendiculaires abais- 
sées des différents points de cette droite sur le plan de projec- 
tion, sa trace mn^ ou autrement la projection de la droite, 
doit contenir la projection de chacun des points de cette droite. 
Ainsi, fig. 23, pour exprimer qu'une droite située dans l'es- 
pace contient un certain point A, il suffit de faire passer les 
projections de la droite par celles du point. On conçoit que 
cette question est indéterminée, c'est-à-dire que Ton peut 
construire une infinité de droites qui passent par un point 
donné. Ainsi, flg. 24, Tune quelconque des lignes qui 
passent par la projection horizontale a d'un point, avec Tune 
de celles qui passent par sa projection verticale a\ peuvent 
toiijours être considérées comme les deux projections d'une 
droite passant sur ce point. 

Réciproquement, et par la même raison, si ron voulait 
exprimer qu'un point est sur une droite, il faudrait placer les 
projections du point sur celles de la droite, et sur une* môme 
perpendiculaire à la ligne AZ (9). Il résulte encore de ce que 



30 DU POINT, DE LA LIGNE DROITE PL. 3. 

nous venons de dire, que le point a,a\ flg. 25, ne fait pas 
partie de la droite mn, mV. 

51. Si Ton voulait faire passer une droite par deux points y 
il est évident, d'après ce qui vient d'être dit, qu'il faudrait 
faire passer les projections de la droite par les projections 
des deux points. 

52. Trouver la distance de deux points, Apreis avoir joint 
ces deux points par une droite, il ne restera plus qu'à obtenir 
la grandeur de cette droite. Or, si nous représentons la droite 
donnée par MN, flg. 26, et le plan de projection par PQ, il est 
facile de voir qu'en général la droite MN sera plus longue 
que sa projection mn; mais si par le point N^ on mène la droite 
No, parallèle au plan de projection, et par conséquent égale 
à la projection de la ligne donnée, on pourra reconnaître qu'en 
général une ligne droite située comme on voudra dans l'es- 
pace, est rhypoténuse d'un triangle rectangle MoN, dans 
lequel un des côtés No de l'angle droit est égal à la projection 
de la droite, et l'autre côté Mo est égal à la différence qui 
existe entre les distances Mm, Nn des extrémités de cette 
droite au plan sur lequel elle a été projetée. Il résulte de là, 
que pour avoir la longueur d'uùe droite, il suffira de cons- 
truire, dans ses véritables dimensions, le triangle rectangle 
dont elle est l'hypoténuse. Pour cela, , 

Soit, flg. 27, mn m'n\ les projections de la droite dont 
on veut avoir la longueur. On fera, flg. 28, l'angle droit 
BAC, on portera sur AC, de A en N, la projection horizontale 
wn, on portera pareillement sur AB, de A en M, la ligne m'o, 
égale à la ditférence entre les perpendiculaires m'/?, n'ç, qui 
représentent les distances des points m' et n' à la ligne AZ 
ou au plan horizontal, et l'hypoténuse MN sera la grandeur 
de la droite donnée. 

On peut faire la construction avec plus de simplicité, en 
opérant de la manière suivante. On mènera par le point nf la 
ligne n'o parallèle à la ligne AZ, et par cette construction, on 
aura déterminé l'angle en o, et la différence m'o des hauteurs 
des extrémités de la droite, de sorte que, . pour achever le 



PL. 3. ET DU PLAN. M 

triangle, il n'y aura plus qu'à prendre aveo le compas la gran- 
deur de la projection horizontale mn\ puis après l'avoir portée 
deoenN, Thypoténuse m^N sera la longueur de la droite 
donnée. 

53. On peut encore expliquer, d'une autre manière, la 
construction précédente. 

Soit mn, mW, fLg. 29, les projections de la droite dont 
on cherche la longueur. 

Supposons que cette droite tourne autour de la verticale^ 
projetante du point M, en conservant toujours la môme incli- 
naison,par rapport à cette ligne. Le point nW décrira un arc 
de cercle horizontal. Cet arc étant parallèle au plan^horizontal, 
aura pour sa projection sur ce plan Tare nn^\ et sa projection 
verticale n^N sera parallèle à la ligne AZ. Or si nous arrêtons 
le mouvement de la droite au moment où sa projection 
borizqptale aura pris la position mn'\ la projection ver- 
ticale correspondante wi'N sera la longueur cherchée, car la 
droite étai\j; alors parallèle au plan vertical, il est facile 
de concevoir qu'elle sera projetée sur ce plan suivant sa 
grandeur. 

On aurait pu faire tourner la droite autour de Thorizontale 
projetante du point m, m\ jusqu'à ce que sa projection ver- 
ticale fût devenue m'n^^^ \ alors elle aurait été parallèle au 
plan horizontal, et sa nouvelle projection horizontale mW 
aurait été la longueur cherchée. 

On peut aussi concevoir que le trapèze MNmn, fig. ffS, 
tourne autour du côté horizontal mn, jusqu'à ce qu'il soit 
rabattu dans la position mnWW, ûg. 29. Alors, M"N'< sera 
la ligne elle-même couchée sur le plan horizontal. 

54. Ces derniers moyens, auxquels on donne le nom de ra-- 
battements^ seront fréquemment employés par la suite, nous 
en ferons surtout usage pour avoir la grandeur d'une figure 
plarie. On conçoit, en effet, que pour cela il faut construire 
celte figure dans ses véritables dimensions ; ce qui peut se 
faire, soit en cherchant les grandeurs de toutes les parties qui* 
la composent, soit en la faisant tourner tout entière jusqu'à 



32 DU POINT, DE LA LIGNE DBOITE PL. 4. 

ce qu'elle soit parallèle à Tun des plans de projection; car il 
est évident que si on là projette de nouveau dans cette posi- 
tion, elle sera égale à sa projection. On donne ordinairement 
le nom de charnière ou axe à la ligne autour de laquelle se 
fait le rabattement ; nous reviendrons plus tard sur ce sujet, 
ainsi que sur le choix le plus convenable des lignes que Ton 
doit prendre pour charnières. 

On voit, dans la même figure, des arcs de cercles qui ont 
pour but de lier les constructions, et d'indiquer, autant 
^que possible, quelles sont les lignes qui sont égales entre 
elles. 

Dans l'épure 30, l'une des extrémités n,n'de la droite dont 
on cherche la longueur est située derrière le plan vertical 
de projection. • 

La droite, fig. 31, est perpendiculaire à la ligne AZ, et 
celle de la figure 32, coupe la ligne AZ. 

•55. Pour exprimer qu'wn^ droite dans l'espace est pa/rta- 
gée en parties profortionnelles à des lignes ou à des nombres 
donnés, il suflit de partager ses projections dans le même 
rapport,fig. 33.En effet, les trois lignes Mm,* 5^, N/i, fig. 26, 
étant perpendiculaires à un même plan, sont parallèles; donc 
elles coupent la droite MN et sa projectioa mn en parties 
proportionnelles. 

56. Pour partager une ligne en parties égales^ on parta- 
gera ses projections en parties égales. 

57. Exprimer qu'un point est situé dans un plan. 

Soit a, fig. 34, pi. 4, la projection horizontale d'un point 
situé dans un plan P ; on demande la projection verticale de 
ce point. 

Nous avons vu (45) que lorsqu'une droite engendre un plan, 
elle en occupe successivement tous les points ; d'où il résulte 
que, par chaque point d'un plan, on peut toujours concevoir 
une position de sa génératrice. D'après cela, fig. 34 et 35, 
menons par a une génératrice horizontale, sa projection ver- 
ticale contiendra celle du point, de sorte qu'il n'y aura plus 



9U 4. ET DU PLAN. 33 

qu'à construire la perpendiculaire aa', pour obtenir le point 
-a'. On vérifiera l'exactitude de la construction, en traçant la 
génératrice parallèle à la trace verticale du plan. 

J'engage le lecteur à changer les données de ce problème 
4e toutes les manières, non-seulement pour la position du 
point, ipais encore pour celle du plan. Dans les figures 36, 
457, on a appliqué la construction précédente à des points 
situés derrière le plan vertical et au-dessous du plan hori- 
zontal. 

On peut encore, comme dans la figure 37, employer une 
ligne oblique au plan de projection, et située dans le plan 
donné. Cela deviendra surtout nécessaire lorsque les pieds 
des génératrices parallèles aux traces ne se trouveront pas 
4ans les limites de l'épure. 

♦ 

58. Par un point donné, faire passer une parallèle à 
vue ligne donnée. 

Le plan projetant d'une ligne droite doitconténir cette ligne, 
€t toutes les perpendiculaires abaissées des difierents points 
sur le plan de projection. On peut donc dire qu'une de ces 
perpendiculaires, avec la ligne donnée, suflît pour déterminer 
la position du plan projetant. Donc, si deux lignes sont pa- 
rallèles dans l'espace, leurs plans projetants seront parallèles, 
et les traces de ces plans, ou autrement les projections des * 
clignes données seront parallèles. D'après cela, fig. 38, pour 
construire par un point aa' une parallèle à une ligne don- 
née W, il faut faire passer par Les projections du point 
des parallèles c et d aux projections de la ligne donnée. 

B9, Exprimer que deux lignes droites se coupent dans l'es- 
pace. 

On conçoit facilement qu'il suffit pour cela de les faire pas- 
ser par un même point (50); ainsi, les deux droites bb' et ce' 
projetées fig. 39, se coupent, et celles de la figure 40 ne se 
coupent pa§. 

60. Trouver les traces d'une droite. 
On donne le nom de traces aux points suivant lesquels la 
ligne donnée perce les plans de projection. 



34 DU POINt, DE LA' LIGNE DROITE f L. ^5v 

Soit donc la droite ab a^V, fig.41, 42, pi. 5. Il est évident 
que 16 point vy appartient k la droite, puisque ses projec- 
tions appartiennent à celles de la droite (17) ; de plus il ap- 
partient au. plan vertical de projection, puisque sa projection 
horizontale V est sur la ligne AZ (16). Donc, il est 1 i ri ter sec- 
tion de la ligne donnée, avec le plan vertical : de même, le 
point h,h' étant en même temps dans le plan horizontal et sur 
la ligne donnée, représente l'intersection de cette ligne avec 
le plan horizontal. 

Il résulte de ce que nous venons de dire, que pour obtenir 
les traces d'une droite, il faut prolonger ses projections; puis 
au point où, la projection horizontale rencontre la ligne ÂZ^ 
on élèvera sur cette dernière ligne une perpendiculaire qui^ 
par son intersection avec la projection verticale de la droite 
proposée^ donnera la trace verticalede cette droite. De même ^ 
par le point où la projection verticale rencontrera la ligne 
AZ, on mènera à cette ligne une perpendiculaire dont Vin- 

• tersection avec la, projection horizontale de la ligne donnée 
sera la trace horizontale de cette ligne, 

61. Pour rendre les épures plus faciles à comprendre, on 
est convenu de tracer en lignes pleines les portions de lignes 

• droites situées au-dessus du plan horizontal, et en deçà du 
plan vertical de projection, et de tracer en points les portions 
de ces lignes qui passent derrière ou dessous les mêmes 
plans. 

On trace aussi quelquefois en lignes pleines les données et 
les résultats delà question, et en points, les lignes néces- 
saires à la construction de l'épure, en ayant' soin de ponctuer 
toujours de la même manière les deux projections d'une 
même droite. 

62. Étant données les traces d'un plan et l'une des pro^ 
jections d'une droite de ce plan, trouver Cautre\ projection 
de cette même droite. 

Soient donnés, fig. 43, 44, le plan p et la projection verti- 
cale a'b' d'une droite située dans ce plan. La droite donnée 
étapt prolongée, s'il est nécessaire, coupera la trace verticale 



^* ^* ET DU PLAN. 3i{ 

du plan donné en un point v' qui fera partie du plan vertical 
de projection, et aura, pour celte raison (16), sa projection 
ionzontale v sur la ligne AZ. Ensuite, le point de la droS a" 
dont la projection verticale se trouve en h' sur la liene A7 
est par cette raison, nécessairement situé dans le plan hori- 
zontal ; et commcde plus, il fait partie du plan donnA Zl 
qu'il est situe sur une droite ab, a'b' de ce plan, il se^a Tr 
..1 intersection du plan horizontal avec le plan donné c'est à 
dire sur la trace horizontale de ce plan. Donc ' 

Etant données la projection verticale a'b' d'une liene droite 
et les traces du plan P qui la contient, on. m'^r'^S 
jmnts V et h deux perpendiculaire, à la ligne AZ Lt 
jotgnan le point v, où la perpendiculaire menée plrîe 
point y rencontre la ligne AZ, avec le point h Z la 
seconde perpendiculaire rencontre la trace horiZal 

^ On ferait une construction. analogue, si l'on donnait la nro 
jection horizontale de la ligne, et que Ion voulût détmfnTr 
sa projection verticale. » ueiermmer 

• On pourrait vérilier l'opération en construisant (48) bar un 
point de la droite, une des génératrices du plan. ^ 

63. 11 résulte de ce qui précède, et il est très-essemiPi a. 
remarquer que, pour exprimer qu'une dr^ ^'!v , 
d^unplan. il faut faire en sorteZeTes traZ t T '' 
soient situées sûr les traces du plan ' ^ '^'''' 

On peut dire plus généralement encore que pour eœr^i 
mer qu'une droite fait partie ,Vun plan uZTrJ^' 
constructions nécessaires pour que ^^l^^^l^ 
de la droite soient situés dans le plan (57). '^"'^'^^'^^"es 

64. Étant donnés un plan P et unvoint aa/ ^. 
cmstruire l^ projections d'une drZ l7LTse var Z ^ "''; 
et qui soit située dans le plan. ^ ^ ""^ ^^'"* 

On rnèneraparl'une des projections du pointdonné fi« 45 
et arbitrairement, l'une de^ projections de ik droUe to' 
dée ; puis l'on déterminera la seconde projection 31 ' 

que nous venons d'indiquer (62,. Le pSme'Xet'une în- . 



36 DU POINT, DE LA LIGNE DROITE PL. 6. 

finité de solutions. Dans la figure 46, le plan donné est pa- 
rallèle à la ligne AZ, e^ sa trace verticale est au dessous de 
cette ligne. Le point s^^ est Tintersection de la droite deman- 
df'e avec le plan auxiliaire de projection Y'Z'. 

' 65. Étant données les projections d'un point g, g', con- 
struire les traces d'un plan qui contienne ce point. 

On construira, flg.47,pl. 6, une trace pq à volonté; cette' 
trace déterminera la direction de la génératrice g'd'^ dont la 
projection horizontale gd doit être (45) parallèle à la ligne AZ ; 
puis abaissant c?'rf, on aura en d le pied delà génératrice, 
qui, étant joint avec le point q, déterminera la trace hori- 
zontale. 

Cette construction donnera tous les plans qui, passant par 
le point Qjjg^ auraient leurs traces verticales parallèles à pq. 
En recommençant dans une autre direction, on aura une 
autre série de plans. On pourrait aussi commencer par con- 
struire la trace horizontale. 

66. Étant données, fig. 48 les deiiœ projections d'une 
droite aa', faire passer un plan par cette droite. 

Il suffira (63) de faire passer les^ traces du plan par les 
traces {v', h) de la droite. 

Le problème admet une infinité de solutions ; les'plus im- 
portantes sont celles représentées figure 49. Le plan P con- 
tient la droite, et est parallèle à là ligne AZ ; le plan P^ est 
perpendiculaire au plan horizontal, et le plan Pa est perpen- 
diculaire au plan vertical. On voit qu'en général, pour me- 
ner par une droite un pinv perpendiculaire à l'un des 
plans de projection, il suffit de prendre pour trace, sur ce 
plan, la projection môme de la droite, et pour l'autre trace 
une perpendiculaire à la ligne kl, 11 est évident, d'après ce 
que nous avons dit (17), que le plan construit de cette ma- 
nière sera le plan projetant de la droite donnée. 

67. Supposons, ûg. 50, qu'ayant les deux traces {v\ h) 
d'une droite aa\ et la trace verticale d'un plan qui contient 
cette , droite, on n'ait pas sur l'épure le point où cette trace 



/ 



PL. 6. ET DU PLAN. 37 

rencontre la ligne AZ ; on prendra sur la droite un point 
quelconque (m, m^, et menant par ce point une généra- 
trice parallèle à la trace connue du plan P, le pied de cette 
génératrice déterminera un second point n de la trace 
cherchée. 

68. Je n'ai pas besoin de rappeler ici que les épures doivent 
être dessinées avec beaucoup de soin. Ainsi, un point devant 
être déterminé par l'intersection de deux lignes, on doit, par 
un choix convenable de ces lignes, tâcher que leur intersec- 
tion se fasse suivant un angle approchant le plus possible de 
Tangle droit. Pareillement, dans la dénomination d'une ligne 

. droite, il faudra toujours choisir les moyens de solution 
qui donneraient deux points très-éloignés l'un de l'autre. 

^ Ainsi, dans la figure 50, on doit choisir la position du point 
m, m', de manière que le point n soit le plus loin possible du 
point h. 

69. Faire passer un plan par deux droites qui se coupent. 
On cherchera, flgr. 51, lesHraces de ces droites ; et Taisant 

passer deux droites par ces traces, ces lignes représenteront 
les traces du plan demandé (63). Si Ton a bien opéré, ces deux 
droites doivent se couper en un point de la ligne AZ ; dans le 
cas, flg. 52, où ce point serait hors de l'épure, on pourra 
construire une droite quelconque située dans le plan ob- 
tenu (62) ; et si cette ligne coupe les deux lignes données, 
l'exactitude des constructions sera vérifiée. 

70. Faire passer un plan par trois points donnés mm', 
nn', uu'. 

On joindra, ûg. 51, ces points deux à deux par des droites, 
et la construction se fera comme dans le cas précédent. 

71. Faire passer unplanpardeux'lignes parallèles aa',bb'. 
On cherchera encore, ûg. 52, les traces des deux lignes 

données, et les droites passant par ces traces seront les traces 
du plan cherché. On vérifiera les constructions comme nous 
l'avons dit (69). . 



/ I 

38 INTEHSEGTIONS. PL. 7/ 



INTERSECTION DES LIGNES ET DES PLANS. 

72.« Trouver l'intersection de deux droites. 

Nous avons vu (59) comment on reconnaît que deux lignes 
droites se coupent, et dans ce cas leur intersection est toute 
trouvée : elle a pour projections les points suivant lesquels 
se coupent les projections des deux droites. 

73. Deuœ plans P et P| étant donnés par leurs traces^ 
construire leur intersection. 

L'intersection de deux plans étant une ligne droite, il suffit 
de trouver deux points de celte ligne pour qu'elle soit détermi- 
née ; or, fLg. 53, 54, pi. 7, le point v^ intersection des traces 
vienicales, est un point commun aux deux plans, donc il ap- 
partient à leur intersection ; mais, comme faisant partie des 
traces verticales, il est nécessairement situé dans le plan verti- 
cal de projection, et par conséquent sa projection horizontale v 
sera sur la ligae AZ. Par la même raison, le point A, intersec- 
tion des traces horizontales, faisant partie du plan horizontal 
de projection, sa projection verticale A' sera sur la ligne AZ. 

Il ne reste plus maintenant qu'à tracer (51) la droite qui 
passerait par les deux points (v, v') et (/i, f/). 

74. On peut s'assurer, par le moyen indiqué (57), qu'un 
point quelconque mm^ de la droite (vh) [v'-h') est situé en 
même temps dans les deux plans. On conclura de ce que 
nous venons dire, qu'en général, 

75. Pour obtenir l'intersection de deux plans dont on a 
les traces^ il faut^ par le point d'intersection des traces 
verticales, abaisser une perpendiculaire à la ligne AZ, et joi- 
gnant le pied de cette perpendiculaire avec le point de ren- 
contre des traces horizontales, on aura la projection hori- 
zontale de la ligne demandée ; puis, du point où les traces 
horizontales se rencontrent^ on abaissera une perpendicu- 
laire sur la ligne AZ'; et joignant le pied de cette perpendi- 



n, 8. INTERSECTIONS. 3^ 

culaire avec le voint de rencontre des traces verticales, on 
^ura la projection verticale de cette même ligne. Cette ques- 
tion est une de celles qu'il faut s'exercera résoudre dans tous 
les cas. J'engage le lecteur à changer de toutes les manières 
possibles la position des plans donnés. Dans la figure 54, par 
exemple, les deux traces horizontales se rencontrent derrière 
Je plan vertical de projection. 

Dans la figure 55, la projection horizontale de la ligne 
<îherchée se confond avec la trace du plan donné P< qui est 
perpendiculaire au plan horizontal, et qui, par cette raison, 
devient le plan projetant de l'intersection. Nous ferons sou- 
vent usage de cette combinaison de plans. 

Dans la figure 56, l'un des plans donnés P, est horizontal ; 
d'où il résulte que la ligne cherchée et Ja trace de Tautre 
plan doivent être parallèles, puisqu'elles sont les intersec- 
tions de deux plans parallèles par un troisième {Gcom:). Dans. 
<ce cas, le point hh^ est situé à l'infini. 

Les figures 57 et 58 sont encore des cas particuliers du 
même problème. Dans la dernière, les deux plans proposés 
«ont parallèles à la ligne AZ, et leur intersection 5, 5', aussi 
parallèle à AZ, se projette sur le plan auxiliaire de projection 
Y'Z' par un point s^\ ' - 

76. Voici encote quelques cas particuliers, qui méritent 
toute notre attention. 

Si les deux plans proposés, que je nommerai p et p', étaient 
disposés comme dans la figure 59, planche 8, il est évident 
que les quatre points (u, v', h, h'\^ qui d'après le principe (75) 
nous ont servi à déterminer les projections de l'iiUersection 
des deux plans, se trouvant confondus en un seul point m, 
ils ne suflSraient plus pour faire connaître ladirectipn de cette 
ligne ; mais comme, dans ce cas, le point m de la ligne AZ 
€st un point commun aux deux plans, les deux projections 
4e la ligne cherchée doivent y aboutir. Il n'y aura donc plus 
qu'à déterminer sa direction ; pour cela, on construira le 
plus loin possible du plan p^ un plan p^' qui lui sera paral- 
lèle, puis cherchant (75) Tintersection des plans p et p^\ on 
aura uneiigae (/, t^} parallèle à la ligne cherchée. comme în- 
iersection de deux plans parallèles par un troisième plan 



40 INTERSECTIONS. PL. B. 

{Qéom.). Il n'y aura donc plus qu'à mener par le point, m^ 
deux lignes ms, ms^, parallèles aux lignes t et f. Ces droites- 
seront les projections demandées. 

On pourrait encore recourir à ce moyen, si, fig. 60, lea 
quatre points (v, v\ h, h') étaient tellement rapprochés, que 
la direction de la ligne cherchée ne pût pas être déterminée^ 
avec exactitude. 

77. Enfin, il peut arriver que l'un des points d Intersection 
des traces ou tous les deux, soient situés hors de l'épure. 

Soient, fllgr. 61,les deux plans p et p' dont on demandé Tin-^ 
lersection ; on a déjà le point (A, W) qui appartient à cette ligne ; 
ilneresteplusquà trouver un second point commun aux deux 
plans ; pour cela, on construira un plan auxiliaire p'\ que Toa 
prendra horizontal pour plus de simplicité. Ce plan p" coupera, 
le plan p suivant une ligne a parallèle à la trace horizon- 
tale (75), et le plan p' suivant une ligne b ; de plus, ces deux 
lignes a et 6 étant toutes deux dans un même plan p^\ se 
couperont en un point m qui appartiendra aux deux plans- 
donnés, puisqu'il sera situé sur des lignes faisant partie de ces^ 
plans. Le point m appartenant au plan horizontal p", sa. 
projection verticale sera en m\' de sorte que les deux 
lignes Am, /Vm', seront les deux projections de la ligne de-^ 
mandée. 

78. Si les points vv\ hh' étaient tous deux hors de l'épure, il 
faudrait faire deux fois la construction précédente; seulement», 
pour avois le plus grand éloignement possible entre les deux 
poiùts wm^ nn', qui déterminent la ligne cherchée, fig. 62, 
il faudra prendre i'un des plans auxiliaires p horizontal, et 
l'autre p parallèle au plan vertical de projection, tous deux 
le plus loin que Ton pourra de la ligne ÂZ. On pourrait em- 
ployer le même moyen dans le cas des figures 59 et 60. 

79. Déterminer le point d'intersection de trois plans don- 
nés p, p' et p'', ûg. 63 etSé.' 

Nommons m le point cherché. Ce point devant appartenir 
aux deux premiers plans, sera sur leur intersection, que je 



PL. S. JNTEBSECTIONS. 41 

nommerai 5, et que Ton obtiendra par la construction (73) • 
Par la même raison, le point m devant appartenir aux plans* 
p et p'', sera sur leur intersection, que je nommerai k. Donc 
le point cherché devant être en même temps sur les lignes $ 
et ft, sera où ces deux lignes se coupent. 

On conçoit que sfron cherche l'intersection des plans p et 
p'\ cette ligne, que nous nommerons u, doit passer par le 
point m\ ce qui donne un moyen de vérifier l'exactitude des 
opérations précédentes. 

Les trois plans formeront, par leur intersection, un angle 
trièdre, qui aurait pour sommet le point cherché, et dont les 
trois droites ^, /c et u seraient les arêtes. 

80. On voit encore que si les trois droites données par la 
construction de f épure étaient parallèles, cela indiquerait 
que les trois plans sont disposés comme les faces d'un prisme 
triangulaire, et que le point m est situé à l'infini. Enfin, 

Si deux des plans donnés étaient parallèles, deux des trois 
intersections seraient parallèles, et la troisième n'existerait 
pas. 

J'engagerai les commençants à s'habituer à juger, par l'in- 
spection de répure, de la position des éléments géométriques 
qui y sont' représentés ; mais c'est ce qu'ils ne doivent faire 
que lorsque la question est complètement résolue dans la 
pensée, et tout au plus avant de commencer Tépure, afin de 
trouver les moyens les plus simples d'exécution. 

81. En général, fes 4ifficultés que l'on éprouve lorsque 
l'on commence àétudier la Géométrie descriptive proviennent 
en grande partie de ce que l'on se préoccupe trop de la 
position des données. 

On doit d'abord chercher à découvrir quelles sont les rela- 
tions géométriques desquelles dépend la solution du problème, 
et ce n'est qu'après avoir trouvé ces relations qu'on les 
traduit par une épure. 

U faut que l'on ait bien reconnu quelles sont toutes les 
opérations à faire, et que la question soit complètement 
résolite, avant que la première ligne ne soit tracée sur l'épure 



4â V i INTSaSEGTIONS. Pt. 8. 

C'est alors seulement que l'on doit examiner les données, 
afin de reconnaître si, dans leur disposition particulière, il y 
a quelques moyens de simplifier Tapplication du priicipe. 

82. Les questions à résoudre sont ordinairement de deux 
espèces. Les unes, que je nommerai questions simples, se 
déduisent direclement d'un théorème démontré. Les autres, 
que je nomme composées, résultent delà combinaison de' 
plusieurs questions précédemment résolues. 

Pour résoudre une question simple, il suffit de découvrir 
le théorème exprimant les relations géométriques qui existent 
entre les quantités que Ton connaît et celles que Ton cherche; 
et, dans ce cas, l'épure n'est plus qu'une traduction graphique 
de ces mêmes relations. 

Mais lorsqu'une question est composée, il faut, avant de 
commencer l'épure, découvrir toutes les questionsr simples 
dont se compose la question principale, et déterminer bien 
exactement l'ordre suivant lequel doivent être faites les 
opérations successives. 

11 n'est pas nécessaire pour cela de se figurer la position, 
dans l'espace, des lignes et des surfaces sur lesquelles on 
opère ; cette manière d'agir serait inutile et contraire à l'esprit 
d'analyse. On conçoit en eflet que, si l'on veut construire^ 
l'inlerseclion de deux plans, on doit opérer en conséquence 
des relations générales qui ont lieu lorsque deux plans se 
coupent, et non d'après la position particulière de deux plans 
plutôt que de deux autres. 

Dans le problème du n** 79, il ne faut pas chercher à voir 
dans son imagination tel plan pli^tôt ^ue tel autre. 11 n'est 
pas nécessaire de savoir si le plan p est plus incliné que le 
plan pV; il suffit d'appliquer (feux fois de suite le principe de 
l'intersection de deux plans. 

Ainsi, daas une opération de calcul, on doit s'occuper plus 
de la manière d'opérer que d« la valeur des chiffres que l'on 
a sous les yeux. 

Il en est de même dans la Géométrie descriptive ; la con- 
naissance parfaitement exacte de la position des quantités 
données ne faciliterait en rien la solution du problème, et si 
l'on veut connaître le résultat, il faut attendre que Tépure 






PL. 8. INTERSECTIONS. 43 

soit terminée. Une erreur assez généralement répandue, c'est 
que, pour faire de la Géométrie descriptive, il faut savoir lire 
dans •l'espace, tandis qu'au contraire pour apprendre à voir 
dans Tespace, il faut commencer par faire de la Géométrie 
descriptive. ^ 

83. Si toutefois on a besoin d'aider son imagination, on 
pourra le faire en représentant les lignes et les plans de 
l'espace par des fils de métal ou des feuilles de carton mince, 
ou plutôt, ce qui sera bien préférable, en dessinant une 
figure en perspective, comme on le faii dans les cours élé- 
mentaires pour démontrer les principes de la Géométrie à 
trois dimensions ; mais il n*est pas nécessaire que les points, 
les lignes ou les plans ainsi figurés soient placés comme les 
plans ou les lignes données par la question. 

Cela ne servirait à rien et ne ferait que détourner l'atten- 
tion du but principal qui est la recherche ' des relations 
géométriques qui existent entre les données et les incon- 
nues. 

J'insiste donc principalement sur la nécessité de ne pas 
confondre la solution du problème avec l'exécution de 
Vépure. 

Cette seconde opération n'étant que la traduction de la pre- 
mière et ne devant être commencée que lorsque la première 
est finie. 

84. Dans les écoles, on détermine presque toujours l'in- 
tersection des plans donnés par les points suivant lesquels se 
rencontrent leurs traces, et l'on est trop souvent disposé à 
pi;^senter cette opération comme une méthode générale; 
tandis* que Ton regarde comme exceptions les cas où les 
traces ne se rencontrent pas sur l'épure. 

Or, c'est précisément le contraire qu'il faudrait admettre, 
et Ton doit considérer comme très-rare dans la pratique le 
cas-où l'on peut fjaiire usage de l'intersection des traces. 

Dans les épures d'étude ou d'examen, le professeur dispose 
les plans donnés comme cela lui jlaît, et cherche ordinai- 
rement des combinaisons qui permettent d'obtenir le résultat 



44 INTERSECTIONS. PL. 9. 

sur le tableau ou sur la planche à dessin ; mais, lorsqu'on 
arrive aux applications de la Géométrie descriptive, il Jaut 
laisser les droites et les plans à la place qui est déterminée 
par la question. 

Ainsi, les pierres ^d'une voûte, les nombreuses pièces de 
bois qui entrent dans la composition d*un comble étant placées 
à toutes les hauteurs, et inclinées de toutes les manières dans 
l'espace, il faudrait souvent aller jusqu'à plusieurs centaines 
de mètres de l'épure pour rencontrer les traces^es plans qui 
.contiennent les faces dont on veut déterminer les arêtes. 

. 85. // ne faut donc pas regarder Viisage des traces comme 
une méthode générale, mais seulement comme un moyen ^e 
fixet les idées des commençants, et Ton doit peu à peu les 
habituer à éviter l'emploi de lignes que l'on ne rencontre 
pres(}ue jamais dans la pratique, excepté lorsque les faces 
dont il s'agit sont perpendiculaires aux plans de projection. 

86. Ainsi, on détermine souvent la position des plans dans 
l'espace en projetant trois de leurs points, ou bien une droite 
et un point, deux droites qui se coupent, ou deux droites 
parallèles : et Von doit s'exercer à construire dans tous les 
cas l'intersection des plans ainsi déterminés : ce qui sera 
toujours possible lorsque les projections de la partie de 
ligne que Ton cherche seront contenues dans les limites de 
répure. Les exemples nombreux que nous rencontrerons 
dans la suite familiariseront le lecteur avec ce genre dé diffi- 
cultés. 

87. Trouver tintersection d'une ligne droite avec un 
plan. \ 

Soit aa' la droite dont on demande l'intersection avec le 
plan p, flgr- 65, pi. 9 ; on fera passer par la droite un plan 
quelconque p', que, pour plus de simplicité, on prendra per- 
pendiculaire à l'un des plans de projection. Le plan p' con- 
tenant la droite donnée, contiendra le point cherché; de plûs^- 
ce point, d'après la question, doit faire partie du plan donné 
p ; donc il sera sur l'inlersection du plan p avec le plan p' ; 
on construira cette intersection (73) , et le point cherché devant 



PI.. 9. PARAIliLISHE. ' 45 

être en même temps sur les deux droites aa' et t^ sera au 
point mm\ où ces deux lignes se coupent. 

On s'assurera de Teiactitude des constructions, en faisant 
usage du plan p" perpendiculaire au plan vertical, ou bien 
en construisant par le point m une génératrice horizontale 
du plan p. 

Il faut changer de toutes les manières la' position des 
données de cette question. Dans la figure 66, la trace verti- 
cale du plan donné p, et celle du plan p\ se rencontrent au- 
dessous du plan horizontal. 

Dans la figure 67, le plan donné est parallèle à la ligne AZ. 

88. Dans la figure 68, la ligne (aè, à'V) est perpendiculaire 
à la ligne AZ, de sorte que ses deux projections sont le pro- 
longement Tune de l'autre, et le plan p' est perpendiculaire 
aux deux plans de projection. Dans ce cas, on fera tourner ce 
plan autour de sa trace verticale, pour le rabattre sur l'épure; 
la ligne' donnée sera représentée, dans ce rabattement, par 
a"h" ^ et vV^ sera Tinlersection des plans jo et p'. Le point m" ^ 
où ces deux lignes se coupent, étant ramené à sa place, aura 
pour ses projections les deux points m, m'. On pourra véri- 
fier le résultat en construisant, par le point que l'on aura 
trouvé, une génératrice du plan p (45). 

89. Dans la figure 69, les traces verticales du plan donné 
p et du plan auxiliaire p', ne se rencontrant pas sur l'épure, 
on trouvera Tintersection de ces deux plans par la construc- 
tion indiquée (77). ^ 

90. Dans la figure 70, on a employé, comme surface 
auxiliaire, un plan y parallèle à la ligné AZ, et contenant la 
ligne donnée "(66). On peut vérifier les opérations en construi- 
sant la projection m" du point demandé sur le plan auxiliaire 
de projection X'V, 

m 

PARALLÉLISME DES UGNES ET. DBS PLANS. 

91. Nous avons vu (58) que lorsque deux lignes sont 
parallèles, leurs projections sont parallèles. 



•46 PARALLÉLISME. VU 10. 

92. Nous admettrons pareillement que lœ^sque deux plans 
sont parallèles, leurs traces sont parallèles, puisqu'elles 
sont les intersections de deux plans parallèles par le plan de 
projection (Géom.). D'après cela, 

93. ^Étant donnés un plan et un point, construire par le 
point un second plan parallèle au premier. 

Soient donnés, fig. .71, pi. 10, le plan p et le point aa'. 
On construira par le point a' une parallèle à la trace verticale 
du plan p, et par conséquent à celle du plan cherché p'. Cette 
droite, considérée comme génératrice du plan cherché, aura 
pour projection horizontale ad, et son pied d sera un point de 
la trace horizontale demandée. On construira cette trace 
parallèle à celle du plan donné, et lé point où cette trace 
rencontrera la ligne AZ appartiendra à la trace verticale 
cherchée, que l'on mènera parallèlement à celle du plan p. 

94. On aurait pu, par une construction analogue, chercher 
d'abord un point de la trace verticale. 

95. Dans la figure 72, on a projeté le point aa^ sur le plan 
auxiliaire YT, puis, par la projection a^^ de ce point, on a 
mené parallèlement à la trace du plan.p la ligne su, que l'on 
a prise pour trace du plan cherché ; ce qui ?l donné en s et 
en u' un point pour chacune des deux autres traces de ce 
plan. 

96. Étant donnés lin plan et un point quelconque de 
Vespace, construire par ce point une parallèle au plan 
donné. 

Étant donnés, fig. 73, le plan p et le point aa^ on tracera 
une ligne quelconque bc, Vc\ située dans le plan p (64), puis 
on construira parallèlement à cette ligne, et par le point 
donné une ligne [ad, a'd') qui sera parallèle au plan p, puis- 
qu'elle sera parallèle à une droite (6c, yd) située dans ce 
plan [Géom.). 

On voit que le problème est indéterminé, et qu'en recom- 
mençant la construction dans toutes les directions, on aura 



'PL. iO. PARALLÉLISME 47 

autant de droites que Fon voudra passant par le point donné, 
et parallèles au plan donné. 

il est encore facile de reconnaître que toutes ces droites 
seront dans un même plan ; d'où résulte un moyen plus 
simple de résoudre la même question. 

97. On construira d'abord par le point {aa'), fig. 74, et 
par le moyen indiqué (93), un plan p' parallèle au plan /?, 
et il n'y aura plus qu'à mener (64). par le point' donné, des 
droites qui soient situées dans le plan p'. 

■ » 

98. Il résulte de ce qui précède, que lorsque deux lignes 
sont parallèles entre elles, ou que deux plaps sont parallèles, 
on le voit à l'inspection de l'épure, puisque les projections 
des lignes dans le premier cas, et les traces des plans dans le 
second, sont parallèles ; mais il n'en est pas de même du 
ps^rallélisme d'une ligne avec un plan. Lorsqu'une ligne est 
parallèle à un plan, lés projections de la ligne ne sont pas 
pour cela parallèles aux traces du pian ; de 3Qrte que si Ton 
avait sur une épure les traces d'un plan et les projections 
d'une droite, et que Ton voulût savoir si la droite est paral- 
lèle au plan, il faudrait voir (62) si Ton peut construire dans 
le plan une parallèle à la droite, ou bien (66) si Ton peut 
construire par la droite un plan parallèle au plan donné. . 

99. Étant donnés une droite et un point, faire passer par 
le point un plan parallèle à la droite. 

Soient, fig. 75, aa' le point donné, W la droite dopnée ; 
on mènera (58) par le point, et parallèlement à la droite 66', 
la ligne (ac, a'c') ; et tout plan construit suivant cette der- 
nière ligne sera nécessairement parallèle à-la première (Geom.) . 
La question admet une inQnité de solutions. 

100. Deicœ droites étant données, faire passer par l'une 
d'elles un plan parallèle à Vautre. 

Par un point quelconque mm' de la ligne bb\ flg. 76, on 
fera passer une ligne ce' parallèle à la droite aa' ; puis, con- 
struisant (69) le plan qui contiendra les deux droites (66') 



48 PERFENDICULARITÉ. PL. 11. 

cd), on aura satisfait à la question. En effet, les lignes aV, 
cd étant parallèles, tout plan contenant l'une d'elles sera 
parallèle à Tautre {Gèom\ 



PERPENDIGDLARITÉ DES LIGNES ET DES PLANS. 

101. Lorsqu'une ligne droite est perpendiculaire à un 
"plan, les projections de cette ligne sont perpendiculaires swr 
les traces du plan. 

Soit, flg. 77, pi. 11, la droite AB perpendiculaire sur le 
plan P ; représentons le plan de projection par P' et par F' le 
plan projetant la droite ; alors ac sera la projection de cette 
droite, et hc sera la trace du plan P. Or le plan P'-', comme 
plan projetant, est nécessairement perpendiculaire sur le plan 
de projection P' ; de plus, il est perpendiculaire sur le plan P, 
puisqu'il contient la droite AB, qui, d'après la question, est 
perpendiculaire à ce plan. 11 résulte donc de là que le plan 
P étant perpendiculaire en même temps sur le plan P et sur 
le plan de projection P', sera perpendiculaire à leur intersec- 
tion 60, qui n'est autre. chose que la trace du plan P; et 
réciproquement, cette ligne bc sera perpendiculaire au pl^ 
P'^, et par conséquent à toute ligne telle que ac qui passerait 
par son pied dans ce plan : ce qu'il fallait démontrer. 

102. Réciproquement, flg. 78, si par les projections a, a' 
d*un point, çn mène deux droites perpendiculaires aux 
traces Sun plan p, on powTa regarder ces lignes comme 
étant les projections d'une droite située dans l'espace, 
perpendiculairement au plan p; car les deux plans projetant 
p' et p^^ étant perpendiculaires sur les traces du. plan p, seront 
tous deux perpendiculaires à ce plan (Géom.)^ et par consé- 
quent la ligne ab, a^b\ qui est leur intersection, sera aussi 
perpendiculaire au plan p. 

103. Donc, pour exprimer qu'une ligne est perpendicu- 
laire à un plan, ou réciproquement, il faut faire en sorte 
que les projections de la ligne soient perpendiculaires sur 
les traces du plan, fig. 78. 



PL. il. PERPENPI€ULAIliTÉ; 49 

104. Ce théorème conduit à la solution de toutes les ques- 
4iou$ de i erpeadicularité ; mais, avant de passer à l'applica- 
tion, je rappellerai ce que j'ai déjà dit au numéro 82. 

Pour résoudre une question simple, il suffit de découvrir le 
théorème que l'on doit appliquer immédiatement. Ainsi, dès 
•que nous avons démontré qu'un plan perpendiculaire sur une 
droite doit avoir ses traces perpendiculaires sur les projec- 
tions de cette droite, il est évident qu'il suffit d'établir cette 
perpendicularité sur l'épure pour construire un plan perpen- 
diculaire à une ligne donnée. 

Mais lorsqu'une question est composée, il faut, avant de 
commencer répure, déterminer bien exactement l'ordre sui- 
vant lequel doivent être faites toutes les opérations. 

105. Qu'il, s'agisse, par' exemple, de déterminer la dis- 
tance d'un point à un plan^ oti dira presque toujours qu'il 
faut abaisser du point une- perpendiculaire sur le plan ; 
après quoi on devra chercher la longueur de cette perpen- 
diculaire. 

Cette réponse, qui paraît exacte au premier-abord, est ce- 
pendant loin d'être complète ; et Terreur provient surtout de 
ce qu'on oublie que les droites et les plans employés ici 
comme moyens de solution. doivent toujours être considérés 
comme infinis (12) ; de sorte qu'il n'est point exact de dire 
que Ton mesurera la longueur de la perpendiculaire abaissée 
du point sur le plan, puisque cette ligne est infinie. 

Voici de quelle manière ta question devait être résolue. 

Étant donnés, flg. 80, le plan P et le point A, 

l'« opération. On tracera par le point A une droite mn 
perpendiculaire au plan donné P. , 

2« opération. On déterminera le point B suivant lequel la 
perpendiculaire mn perce le plan P. 

3* opération. On cherchera la longueur de la portion AB 
de perpendiculaire comprise entre le point donné et le plan. 

La questioti étant ainsi décomposée, on commencera Té- 
pure, en exécutant successivement chacune des trois opéra- 
tions précédentes, dans Tordre suivant lequel' nous venons 
de les indiquer. Ainsi, ûg. 79 : 



30 PERPBNDIGULÂRITÉ. PL. il. 

« 

Ire opération. On tracera, par les points a et a\ les deux . 
droites ab^ aV respectivement perpendiculaires Sur les Iracea 
du plan p. Ces deux lignes seront les projections de la droite 
AB perpendiculaire sur le plan P, fig. 80. 

2* opération. On déterminera (87) le point 6, V suivant le- 
quel la droite ab, dfV perce le plan p ; de sorte que ab, ofV 
seront les deux projections de la portion de perpendiculaire 
comprise entre le point et le plan donné. 

3e opération. On fera tourner la droite a&, aV autour de la 
verlioale projetante du point aa' ; ce qui donnera a^B pour 
/ la distance du point aa' au plan p. ' . 

Dans la figure 81, le plan donné est parallèle à la ligne 
AZ, et la ligne ab, a'b'y qui mesure la distance du point 
a au plan, se trouve rabattue eu a''6^' suivant sa véritable 
grandeur. 

106. Supposons actuellement quei'on \Çim\\^ déterminer 
la distance, de deux plans parallèles p et p^ fig. 83. 

Représentons d'abord les deux plans donnés par P et P', 
flg. 82, et cherchons quel doit être l'ordre des opérations. 

1^ On construira (103) une droite quelconque wm perpen- 
diculaire en même temps aux deux plans P et P'. 

La distance de ces pians étant partout la même, il est évi- 
dent que la droite mn pourra être tracée où l'on voudra. 

2° On déterminera (87) le point. A, suivant lequel la droite 
mn perce le plan P. 

30 On déterminera de la mêpie manière le point B, suivant 
^ lequel la droite mn perce le plan P'. 

Alors AB sera la portion de perpendiculaire comprise entre 
les deux plans P et P', et représentera par conséquent leur 
distance. 

40 On cherchera la grandeur de AB en opérant comme nous 
l'avons dit au n° 52. 

Quoique j'ai indiqué par des renvois aux articles pré- 
cédents Tordre des constructions graphiques qui doivent être 
successivement exécutées, je répète qu'il ne faut pas com- 
mencer l'épure avant d'avoir reconnu complètement quelles 



PL. 12. PERPENDICULAHITÉ. SI 

sont toutes les opérations simples dont se compose la ques- 
tion principale.- 

107. On pourrait encore, pour obtenir la distance deman- 
dée, prendre un point quelconque situé dans l'un des deux 
plans (57), puis mesurer la distance de ce point à l'autre 
plan, en opérant comme la question du^n^ 105. 

108. Dans la figure 84, les plans donnés sont parallèles à 
la ligne AZ, et leur distance se trouve projetée en a^^b^\ sui-. 
vant sa véritable longueur. 

109. Étant donnés un plan et un, points construire par 
le point un plan^perpendiculaire au premier. 

Soient, flg. 85, pi. 12, le plan p et le point aa^ : i"" on fera 
passer par le point une droite av, a'v' perpendiculaire au 
plan p (103) ; 2° on construira (66) autant de plans que Ton 
voudra contenant cette droite ; tous ces plans sont perpendi- * 
culaires au plan donné. En effet, on sait [Géom.) que si une 
droite rnn^ flg. 86, est perpendiculaire à un plan P, tout plan 
contenant cette droite mn sera aussi perpendiculaire au 
plan P. 

110. Nous reconnaissons, par le résultat, qu'on ne peut pas, 
à la vue d'une épure, savoir si deux plans perpendiculaires 
l'un à l'autre, et que l'angle suivant lequel se coupent les 
deux traces n'apprend rien à cet égard. Mais si Ton voulait 
mettre en évidence la perpendicularité de deux plans, on pren- 
drait un point de leur intersection (73); puis, après avoir mené 
par ce point une perpendiculaire à 1 un des plans donnés (103), 
on ferait les constructions nécessaires pour reconnaître si^elle 
est contenue dans l'autre plan (63). Ou bien, on chercherait * 
l'angle des plans en opérant comme nous le dirons bientôt. 

111. Étant donnés un plan et une droite, construire par 
cette droite un second plan perpendiculaire au premier. 

Soient, fLg, 87, le plan p et la droite aa^; on prendra sur la 
droite un point quelconque mm^; puis après avoir mené par ce 
point une droite 66' perpendiculaire au plan donné, il n'y aura 



9â PERPENDICULA^ITÉ. PL. 12. 

plusqu'àconslruire (69) un plan qui contienne cesdeux droites, 
€ar il est ^ vident qu'il sera perpendiculaire au plan donné, 
puisqu'il contiendra une droite bb' perpendiculaire à ce plan. 

112. Nous avons vu (103) que r^ur exprimer qu'un plan 
est perpendiculaire sur une droite, il faut mener tes traces 
du plnri perpendiculhires sur Us projections de la droite. 
D'après cela, 

113. Par un, point donné, faire passer un plan perpen- 
diculaire à une droite donnée. 

Soient, flg. 88, aa' la droite donnée, et bb' le point donné ; 
on mènera Vd' perpendiculaire à la projection verticale de la 
droite donnée. Cette ligne, considérée comme génératrice du 
plan demandé, aura pour projection horizontale &c^, et son pied 
d appartiendra à la trace horizontale du plan cherché ; alors 
on pourra construire cette trace perpendiculaire à la projection 
horizontale de la ligne doqnée, et par suite la trace verticale. 

On aurait pu commencer par chercher un point de la trace 
verticale. 

•s. 

114. Par un point pris sur une droite, mener des per- 
pendiculaires à cette droite. 

Étant donnée, flg. 90, la droite ab, a'b' on veut par le point 
bV mener des perpendiculaires à cette droite ; on construira 
par le point bb' un plan p perpendiculaire à la droite donnée 
(113),' puis on fera passer .par le point bb' des droites situées 
dans le plan p (6i) ; toutes ces droites perpendiculaires sur 
la droite donnée, flg. 89. 

115. On voit, par la solution de ce problème, que lorsque 
aeux droites sont perpendiculaires entreelles, leurs projections 
ne sont pas pour cela perpendiculaires ; de sorte que si l'on 
avait, les pojections de devx droites, et que l'on voulût savoir 
si elles sont perpendiculaires l'une à l'autre, il faudrait 
conslruire V angle qu'elles font entre elles, ou clié-eher si 
parmi tous les plans que l'on peut faire passer par C une 
d'elles tm), il peut y en avoir un dont les traces seraient 
peroendicùlaires sur les projections de l'autre ligne. 



PL. i% 



PERPENDICULARITÉ . 



58 



116. Trouver la distance d'un point à une droite. 

Il est évident qu'il faut d'abord obtenir la perpendiculaire 
abaissée du point sur la droite donnée ; pour cela, représen- 
tons, flg. 91, par A le point donné, et par B la droite donnée i 
t<» on mènera par le point A un plan perpendiculaire sur la 
droite ; 2<» on déterminera (87) l'intersection de la droite avec 
ce plan, ce qui donnera en C le pied de la perpendiculaire ; 
3<» joignant ce point avec le point donné, on aura la perpen- 
diculaire AC abaissée du point A sur la droite donnée ; 4» il 
n'y aura plus qu'à chercher la grandeur de la perpendiculaire 
AC par le moyen indiqué (52). 

Les constructions précédentes ont été exécutées figuî-e 92. 

I 

117. Trouver la distance de deuœ droites parallèles. 
Soient A, B, fig. 94, les deux droites données : 1« on con-* 

struira le plan P perpendiculaire sur ces droites ; 2* on déter* 
minera (87) le point C suivant lequel ce plan coupe la droite 
A; 3o on obtiendra de la même manière le point D, intersec-^ 
tion'du même plan avec la droite B ; 4** traçant CD, on aura 
une ' perpendiculaire aux dçux parallèles données ; car ces 
deux lignes étant toutes deux perpendiculaires au plan P, 
sont perpendiculaires à la droite , qui joint leurs 'pieds dans 
ce plan^ 5* il n'y a plus à chercher (52) la grandeur de la 
perpendiculaire commune CD. ^ 

La figure 93 contient les opérations. 



118. Parmi les problèmes que nous venons de résoudre, 
les plus remarquables sont ceux qui résultent de la combi- 
naison de deux plans, de deux lignes, ou d'une ligne avec uq 
plan. 

119. Je rappellerai que Tinspection de l'épure suffit pour 
faire connaître le parallélisme de deux plans ou de deux 
lignes; tandis que Ton ne peut s'assurer que par une con- 
struction du parallélisme d'une Ijgne avec un plan. 

Le contraire a lieu pour la perpendicularilé ; car, lors- 
qu'une ligne est perpendiculaire à un plan, réciproquement 
les projections de la ligne sont perpendiculaires sur les traces' 
du plan, au lieu que la perpendicularité de deux plans ou 



54 PERPEIfOIGULARITÉ. PL. 13. 

de deux ligues ne peut être reconnue que par une construc- 
tiop, puisque celte perpendicularité est indépendante de 
Tangle que font les traces des deux plans ou les projections 
des deux lignes que Ton compare. 

120. Problème. Trouver la distance de deux droites 
quelconques. 

Solution. On sait que la distance de deux points est le 
plus court chemin pour aller d'un de ces points à l'autre ; 
c'est pourquoi cette distance a ordinairement pour mesure la 
portion de la ligne droite qui passe par les points donnés. 

On sait de même que la distance d'un point à une droite 
ou à un plan est la perpendiculaire abaissée du point sur la 
droite ou sur lé plan donné ; que la distance de deux droites 
ou de deux plans parallèles est la partie de perpendicttlaire 
comprise entre les plans ou les droites données. 

Voyons donc comment on pourra trouver le plus court 
chemin entre deux droites quelconques, ce qui revient évi- 
demment à déterminer sur ces lignes les deux points les plus 
rapprochés. ^ 

Soient, fl^. 96, pi. 13, les droites données A et B. 

l'* opération. On prendra sur B un point quelconque M. 
2» On fera passer par le point M une droite G parallèle à la 

droite A. 

3* Les droites B et G détermineront le plan P parallèle à la 
droite A. 

4' On prendra sur la droite A un point quelconque N. 

5* On fera passer par le point N une droite H, perpendicu- 
laire sur le plan P. ^ 

6* On déterminera le point D suivant lequel la droite H 
perce le plan P. 

7» On fera glisser la droite H parallèlement à elle-même en 
l'appuyant sur la droite A, jusqu'à ce que le point D soit 
arrivé en S sur la droite B. 

8' La droite KS, parallèle à ND et par conséquent perpen- 
diculaire au plan P, sera la plus courte distance entre les 
deux droites données A et B. 

En effet, la droite KS perpendiculaire sur le plan P sera 



9h. 13. PBBP£NDIGULARIXB. 55 

perpendiculaire sur la droite B qui passe par son pied dans 
le plan P. 

Par la même raison, elle sera perpendiculaire sur SD et par 
conséquent sur la droite A parallèle à*Sb. 

U est d'ailleurs évident que, la droite KS est plus courte que 
toute autre droite qui joindrait un point quelconque V de la 
droite A avec un autre point quelconque U de la droite B. 

En effet, si par le point V on conçoit la droite VO perpendi- 
culaire sur la plan P et si l'on trace la droite OU, le triangle 
VOU sera rectangle en 0, ce qui donnera : 

<1) . VU>VO; 

mais les deux droites VO et KS étant toutes les deux perpen- 
diculaires sur le plan P comprises entre les parallèles KN et 
-SD, on a 

(2) VO = KS. 

Ajoutant les équations (1) et (2), et réduisant, on obtient 

VD > KS ; 

donc la droite KS est la plus courte distance des deux droites 
AetB. 

lËpure. Si l'on a bien compris tout ce qui précède, il sera 
facile d'en suivre Texpression sur la figure 95. 11 suffira de 
se rappeler que suivant les conventions admises au numéro 
29, la droite B est représentée sur Tépure par ses projections 
àl/ ; la droite A par ses projections aa' ; le point M par 
mïn\ etc. * 

Ainsi, pour exécuter l'épure, on construira successive- 
ment: 

1" Le point mm' pris à volonté sur bb' ; 
2** La droite ce', parallèle à aa' ; 
3** Le plan p déterminé par les droites bb\ ce' ; 
4** Le point nn' pris à volonté sur aa' ; 
5* La droite hh' perpendiculaire sur p ; 
6" Le point dd' intersection de la droite hh' avec le plan p ; 
7* La droite ds, dV parallèle à ce' aa' ; 
8* La droite ks, k's' parallèle à nd^ n'd'^ et par conséquent 
perpendiculaire au plan p. 
Les deux projections de la droite sk^ s'k'^ étant obtenues 



86 PERPENDIGULARITÉ. PL. i3^ 

sur répure, on fera tourner cette droite autour de la verti- 
cale projetante du point 6**^, ce qui donnera ^'K pour la dis- 
tance des deux droites aa' et ô6^ 

Je ferai remarquer ici ce que j'ai déjà dit plus haut, c'est 
que la solution du problème dépend uniquement de la Géo- 
métrie ordinaire. ' 

C'efst dans la décomposition de la question principale^ 
dans la recherche des opérations successives, et de Tordre 
dans lequel ces opérations doivent être faites, que consiste la 
solution. 

La construction de Tépure a uniquement pour- but de tra-< 
duire chacune de ces opérations dans le langage de la Géo- 
métrie descriptive, et, je le répète, on ne doit pas tracer une 
seule ligne sur l'épuré avant que la question ne soit complè- 
tement résolue. 

121. Trouver le centre et le rayon d'une sphère dont la 
surface passerait par quatre points donnés. 

Le centre de la sphère étant à égale distance de tous les- 
points de sa surface, il est évident (Géom.) que si Ton joint 
par une ligne droite deux points de cette surface, et que par 
le milieu de cette droite on mène un plan qui lui soit per- 
pendiculaire, ce plan passera par le centre. D'après cela,, 
étant donnés, flg. Ô7, quatre points aa, bV, ce', dd\ oa 
joindra le point a avec le point h \ puis par le poîht w', milieu 
de la corde aè, on mènera (113) un plan p perpendiculaire à. 
cette corde : ce plan contiendra le centre de la sphère de- 
mandée. De même par le point zz', milieu de la corde fcc, on 
mènera un plan p' perpendiculaire à cette corde : ce plan 
passera encore par le centre, enfin par le point uu\ milieu 
decd, on mènera un troisième plan perpendiculaire à cette 
corde, et qui, par conséquent, contiendra aussi le centre de 
la sphère. 

On aura par ce moyen trois plans contenant le centre de la 
sphère demandée. Cherchant (79) le point commun à ces trqis- 
plans, on aura le centre de cette sphère. 

Après avoir obtenu le poinir mm' qui représente le centre 
de la sphère, on joyidria ce point avec un quelconque des- 
points donnés qui, d'après la question, appartiennent à la 



PL. 13. PERPBNDIGULARITÉ. 57 

surface, et la droite am, a'm* sera le rayon de la sphère» * 
Cherchant enfin (52) la longueur de ce rayon, on obtiendça la 
ligne km\ avec laquelle, des points m et m' comme centres, 
on décrira deux cercles qui seront les projections verticale et 
horizontale de la sphère. 

Il sera bon,' avant de décrire les deux cercles dont je viens 
de parler, de s'assurer de l'exactitude des constructions. Pour 
cela, on joindra le point m avec chacun des quatre points 
donnés, ce qui donnera quatre rayons dont on cherchera la 
longueur : et si ces longueurs sont égales, ce sera une preuve 
suffisante que le point obtenu est à égale distance des quatre 
points donnés, et que, par conséquent, il est le centre de la 
sphère dont la surface passerait par ces quatre points. 

122. Pour déterminer le point tn, nous avons fait usage 
des plans perpendiculaires sur les milieux des trois cordes ' 
ai, *c, cd ; mais si ces plans n'étaient pas commodément 
placés pour l'exécution de l'épurQ, il serait facile d'en trou- 
ver d'autres. En effet, si l'on joint par des droites et de toutes 
les manières possibles les quatre points donnés, on aura 
six cordes a6, ac^ ad^ bc, M, cd. Or, si par le milieu de cha- 
cune de ces six cordes on mène un plan qui lui soit perpen- 
diculaire, on obtiendra six plans passant par le centre de la 
sphère cherchée ; comme trois de ces plans suffisent pour 
déterminer le centre, on choisira ceux qui donneront les 
constructions les plus simples. 

Si les quatre points étaient dans un même plan, les cordes 
qui joindraient ces points seraient aussi contenues dans ce 
plan. Les plans menés perpendiculairement à ces cordes 
seraient, ainsi que leurs intersections, perpendiculaires au 
plan qui contiendrait les points donnes. Le centre de la sphère 
serait infiniment loin, et cette sphère ayant un rayon infini- 
ment grand, sa surface se confondrait avec le plan passant 
par les points donnés. 

Enfin, si ces quatre points, étant dans un même plan, se 
trouvaient situés sur la circonférence d'un cercle, on le re- 
connaîtrait, parce que les plans perpendiculaires sur les 
milieux des cordes passeraient tous par une même droite 
perpendiculaire au plan de ce cercle, et qui en contiendrait 



1^8 PËRPSNDIGULARIXÉ. PL. 13. 

• le centre, de sorte que le problème' serait indéterminé, et 
que l'on pourrait prendre lel point de cette droite que Ton 
voudrait pour centre de la sphère demandée, et pour rayon 
la distance de ce point à Tun des points donnés. 

On voit que dans ce cas le rayon pourrait être aussi grand 
que l'on voudrait, mais qu'il ne pourrait pas être plus petit 
que celui du cercle qui passerait par les points donnés. 

m 
« 

. 123. Nous avons résolu la question précé'dente d'une ma- 
nière générale, mais assez souvent sans rien changer aux 
données d'une question ; on peut, par quelques considéra- 
tions particulières, en rendre la solution plus simple. 

Pourvu que Ton ne change rien aux données d'une ques- 
tion, il n'y aura rien non plus de changé dans le résultat, et 
l'on doit rester le maître de choisir le système de plan de 
projection que l'on jugera le plus favorable à Texécution de 
l'épure ; on peut même dire que si le but de la théorie est de 
généraliser les idées, en dégageant les questions principales 
de toutes les circonstances particulières, Tart du praticien, 
au contraire, consiste à profiter de ces mêmes circonstances 
pour résoudre le cas particulier dont il s'occupe, de la ma- 
nière la plus simple. 

124. Ainsi, dans le problème précédent, on conçoit que, 
sans rien changer à la position relative des quatre points 
donnés, on peut prendre, flg. 98, pour l'un des plans de pro- 
jection, celui qui contiendrait trois de ces points, a, b, c, 
par exemple, et pour second plan de projection, un plan 
perpendiculaire au premier et parallèle à la droite cd^ qui 
joindrait l'un des trois premiers points avec le quatrième. 
Par ce moyen, les deux plans p et p' se couperont suivant 
une droite s perpendiculaire au plan abc, et le troisième 
plan p^' étant perpendiculaire au second plan de projection, 
sera percé par la droite s en un point mm' qui sera le centre 
de la sphère. Quant au rayon {am, ahn'), on en cherchera la 
lopgueur par le moyen connu (52). 



PL. 13. RABATTEHEHTS. 59 



CHAPITRE III 



Rabattement». 



125. Nous avons dit au n^ 52 que, pour avoir la grandeur 
de la portion de ligne droite qui joint deux points, il fallait 
faire tourner celte ligne jusqu'à ce qu'elle soit parallèle à l'un 
des plans de projection. 

L'opération que je viens d'énoncer, et que l'on nomme 
rabattement^ a servi dans la solution de plusieurs questions 
précédentes. 

L'importance que les rabattements doivent acquérir par la 
suite dans les applications de la Géométrie descriptive doit 
nous engager dès à présent à présenter quelques considérations 
générales sur ce genre d'opération. 

126. Je ferai d'abord remarquer qu'une épure, quelle 
qu'elle soit, n est elle-même autre chose que le résultat d'un 
rabattement. 

En effet, les deux plans de projection devant toujours faire 
un angle dans l'espace, ce n'est qu'au moyen d'un rabattement 
que l'un de ces plans a pu devenir le prolongement de l'autre. 

Nous avons supposé (8) que le plan horizontal avait tourné 
autour de la droite ÂZ, jusqu'à ce qu'il soit rabattu sur le pro- 
longement du plan vertical ; on peut tout aussi bien admettre 
que c'est le plan vertical que l'on a rabattu siir le prolonge- 
ment du plan horizontal. Cette dernière supposition sera 
même plus naturelle, toutes les fois que l'épure sera placée 
sur une table, comme cela est nécessaire pour l'exécution du 
travail graphique. 



60 RABATTEMENTS. PL. 13. 

lies plans de projection n'étant autre chose que des con- 
ceptions géométriques destinées à faciliter la solution des 
problèmes, fls sont toujours à la disposition de celui qui 
opère, et par conséquent on devra tâcher de choisir ces plans, 
de manière que les opérations qui eu dépendent soient les 
plus simples possible. 

Or, il est évident que, dans les exemples des rv^ 52 et sui- . 
vants, on aurait évité le rabattement de la droite MN, si au 
lieu du plan vertical qui contient la ligne AZ, on avait pu 
prendre un plan vertical de projection parallèle à MN; parce 
qu'alors la droite donnée mn,m'n', aurait été projette sur ce 
plan dans sa véritable grandeur; mais on ne pourra pas tou- 
jours prendre dès l'origine le plan de projection le plus simple; 
c'est-à-dire que le plan qui serait le plus commode pour 
résoudre une certaine partie delaquestion ne sera pas toujours 
celui qui conviendrait le mieux pour une autre opération dé; 
pendant du même problème. Dans ce cas, on sera quelquefois 
conduit à prendre autant de plans de projections différents 
qu'il y aura d'opérations particulières dans la question prin- 
cipale, et toutes ces projections auxilaires devront être 
rabattues sur l'épure, chacune selon sa position. 

127. 11 existe d'ailleurs une classe particulière de questions 
qui peut presque toujours être'résolue avec avantage par le 
moyen des rabattements. 

On sait que les questions de Géométrie sont de deux 
espèces : les unes appartiennent à la Géométrie plane, et les 
autres dépendent de la Géométrie à trois dimensions. 

On dit qu'une question appartient à la Géométrie plane, 
lorsqi^e les données, les résultats, et toutes les lignes d'opé- 
ration sont dans un même plan. 

Or, toutes les fois que, parmi les questions particulières qui, 
par leur combinaison, devront concourir à la solution d'une 
question principale, il y aura quelques constructions qui 
devront être exécutées dans un plan oblique, on rabattra ce 
* plan sur l'épure; puis, après avoir exécuté les opérations 
nécessaires, on ramènera le tout à la place qu'il doit occuper 
dans Tespace. 



PL. 14. RABATTEMENTS. 61 

La première chose à faire, lorsqu'on veut exécuter un 
rabattement, c'est de choisir la droite autour de laquelle on 
veut faire tourner le plan que Ton rabat. 

Nous donnerons à celte droite le nom d'axe ou de char- 
nière de rabattement, et nous la supposerons toujours im- 
mobile. 

128. Les rabattements ayant principalement pour but 
d'obtenir certaines ligures planes dans leur véritable grandeur, 
il faut que la droite prise pour axe soit parallèle à Vun des 
plans de fjrojection; car si on faisait tourner une flgure plane 
autour ù une droite qui ne satisferait pas à la condition que 
nous venons, d'énoncer, la flgure que Ton ferait tourner, ne 
pouvant jamais être parallèle au plan de projection, ne se 
projetterait jamais sur ce plan dans sa grandeur véritable. 

Lorsque l'on fait un rabattement, chaque point décrit dans 
l'espace un cercle qui a son centre sur l'axe de rotation, et 
qui a pour rayon la distance de cet axe au point que l'on rabat. 

Les notions précédentes étant admises, nous allons com- 
pléter cette théorie par quelques exemples. 

129. Supposons, flg. 99, pi. 14, que Ton veuille rabattre 
le point m, m' sur le plan horiaontal qui contient la droite ab, 
a'b'el quel'on aitchoisi cette droite pour l'axe de rabattement. 

Dans ce mouvement, le point -mm' ne quittera pas le plan 
vertical, qui a pour trace la droite mm^" perpendiculaire sur 
ab; et pour connaître la place que le point M de l'espace doit 
venir occuper sur le plan horizontal qui contient la droite au, 
il snfDt de chercher la grandeur de la droite tno, mV, qui 
n'est autre chose que le rayon de l'arc de cercle parcouru par 
le point mm\ dans son mouvement autourde la droite ab, a'b\ 

Pour obtenir la grandeur de la droite mo, m'o^, il faudra 
opérer, comme nous l'avons dit aux no» 52, 53, etc.; c'«st-à- 
dire que l'on fera tourner cette ligne autour de rhorizontâle 
projetante du point o. 

Le point mm* décrit alors un arc de cercle m'm^' parallèle 
au plan vertical de projection, et qui, par cette raison, 
doit avoir sa projection horizontale mm'" parallèle à la 
ligne AZ. 



62. raba-^teIients. pl. 44. 

Par suite de cette opération, on aura m'^^o pour la grandeur 
de la droite mb, m'o\ et par conséquent pour la distance du 
point mm^ à la droite ab, a'b^\ de sorte qu'en ramenant m'"o 
dans la position m'^'o, le point m'"' sera la place occupée par 
le point mm' rabattu en tournant autour de aà, sur le plan 
horizontal qui contient cette droite. 

130. Il est très-essentiel de remarquer que, dans l'opéra- 
tion précédente, il y a deux rabattements. L'un, qui se fait 
autour de ab, i pour but de rabattre le point wm' sur le plan 
horizontal a'b'. 

Le second, qui a lieu autour de Thorizontale projetante du 
point 0, sert à déterminer la dislance du point mm' à la 
droite a6, que l'on a prise pour axe du rabattement. 

131. L'opération serait bien plus simple, si la droite que 
l'on prend pour axe du rabattement était perpendiculaire à 
l'un des plans de projection. 

En effet, dans ce cas, figr. 100, l'arc de cercle parcouru par 
le point mm' autour de la droite aa' sera parallèle au plan 
vertical de projection , et la placedu point mm', rabattu en m"' 
sur le plan horizontal a'm', sera déterminée directement, 
puisque l'on connaît la distancea'm'de ce point àladroiteaa^ 

Nous conclurons de ce qui précède, 

1* Que les conditions essentielles pour qu'une droite puisse 
servir d'axe de rabattement, c'est qu'elle soit parallèle à l'un 
des plans de projection et située dans le pian que Con veut 
rabattre. ' , 

2** Que les constructions seront encore plus simples lorsque 
Taxe du rabattement sera perpendiculaire à l'un des plans 
de projection. 

Or,^ans un plan incliné quelconque, on pourra toujoiirs 
choisir un axe parallèle à tel plan de projection que Ton 
voudra ; mais on ne pourra obtenir une perpendiculaire au 
plan de projection que dans un plan qui satisferait lui-même 
à cette condition* 

131. Cependant ce résultat pourra toujours être obtenu en 



PL. 14« RABATTEMENTS. 63 

prenant un plan auxiliaire de projection perpendiculaire au 
plan que Ton veut rabattre. 

En effet, reprenons la question que nous avons déjà résolue 
au n** 129, et proposons-nous, comme alors, de rabattre le 
point mm' sur le plan horizontal a'6',' en le faisant au tour 
de la droite ab, a'b'. 

Si nous remplaçons le plan vertical de projection par le 
plan auxiliaire /?om'^ et que nous concevions ce dernier plan 
rabattu sur l'épure en tournant autour de sa trace horizontale 
cm^^, le point mm' aura pour nouvelle projection verticale le 
point m'', que Ton obtiendra en faisantmm''=î;m', elladroite 
liorizontale ah, a'V étant perpendiculaire au nouveau plan 
vertical de projection jocm"", elle se projettera sur ce plan par 
un seul point o'',de sorte que le chemin parcouru par le point 
mm' sera représenté sur le nouveau plan de projection par 
l'arc de cercle m"m"\ ce qui donnera m^" pour la place 
que vient occuper le point mm' rabattu sur le plan hori- 
zontal a'b'. 

s 

133. Cette disposition d'épuré contribue beaucoup à faire 
comprendre Tenchaînement des idées, parce qu'elle permet 
de projeter les arcs parcourus par chacun des points que Ton 
fait tourner. 

On devra aussi éviter, autant que possible, de faire un 
rabattement sur une partie de l'épure qui serait déjà occupée 
p.ar un autre rabattement ou par une projection. 

Les principes que nous venons d'exposer, et qui seront 
fréquemment employés par la suite, correspondent au pro- 
blème connu dans l'analyse algébrique sous le nom de trans^ 
formation de cooi' données. Là, comme ici, le choix des axes 
ou des plans coordonnés est une des parties les plus impor- 
tantes de la solution des problèmes. 

Nous allons reprendre, comme exercices,, quelques-unes 
des questions qui ont été résolues dans le chapitre précédent. 

134. Déterminer la distance d'un point à un plan. 
Supposons qu'il s'agisse de déterminer la distance du 

poifit^a/ au plan p, fîgr. 102. 



64 RABATTEMENTS. PL. 14. 

l'* opération. On construira d'abord le plan vertical p' 
perpendiculaire sur la trace horizontale du plan p, et par con- 
séquent perpendiculaire à ce plan. 

Le plan p^ contiendra la perpendiculaire abaissée du point 
aa' sur le plan p. ' 

2« opération. On fera tourner le plan p' autour de sa trace 
verticale, jusqu'à ce qu'il soit rabattu sur le plan vertical de 
projection. 

Dans ce mouvement, le point aa' viendra se placer en a^\ 
et le point s en s^\ après avoir décrit deux arcs horizontaux 
dont les centres o et o' ont tous deux le point o pour projection 
horizontale. 

3* opération. On tracera la ligne vs^\ qui sera Tintersection 
du plan donné p par le plan auxiliaire p'; et la droite a'^fe^', 
perpendiculaire sur vs\ sera la distance du point aa^^ au 
plan p. 

En effet, les deux plans p et p' étant perpendiculaires entre 
eux, la droite a'^b^\ située dans le plan p' et perpendiculaire à 
l'intersection vs^\ est aussi perpendiculaire au plan p, et me- 
sure par conséquent la distance de ce plan au plan donné aa\ 

Si on voulait avoir la projection verticale de la perpendi- 
culaire a'(è'^ on ramènerait cette ligne dans le plan p, ce qui 
adonnerait ab'. 

Il est évident qu'au lieu du plan vertical p, où aurait pu 
employer un plan perpendiculaire à la trace verticale du plan 
donné. Dans ce cas on rabattrait ce plan sur le plan hori- 
zontal. 

135. Mesurer la distance de deux plans parallèleSy 
Hg.* 103. 

i""» opération. On construira le plan p" perpendiculaire sur 
les traces horizontales des deux plans donnés p, p , et par 
' conséquent perpendiculaire à ces deux plans. 

2* opération. On rabattra le plan p" en le faisant tourner 

autour de sa trace verticale, ce qui donnera les deux droites 

W, v's' provenant de l'intersection det deux plans p. et p' par 

le plan auxiliaire p''. 

On remarquera que les deux droites 4?5, vV doivent être 



^I*. 14. RABATTHMEaîTS. . 65 

parallèles entre elles, puisqu'elles sont les intersections de 

deux plans parallèles par un troisième plan. 

3* opération. La droite -mn, perpendiculaire aux deux 

droites v$^ vV, sera la distance des deux plans p et p'. 

« 
f36. Déterminer la distance d'un point à une droite^ 

Hg. 104. 

!*• opération. Concevons par le point «donné aa' un plan 
horizontal p. . 

. L'intersection de ce plan par la droite donnée bl/ sera un 
point n' que l'on projettera en n sur le plan horizontal. 

2* opération. La ligne droite an, a'n' sera- une horizontal^ 
située dans le plan qui contient le point et la droite donnée. 

.3' op^raton. Nous ferons tourner la droite bm^b'm' autour 
de rhorizontale an, a V, jusqu'à ce qu'elle soit ramenée dans 
le plan horizontal p. 

Dans ce mouvement, le point nn' ne changera pas de place, 
■ puisqu'il appartientà la droite an, aV;quenous prenons pour 
axe derabattement. Mais si nousprenons, sur la droite donnée, 
un point quelconque mm\ il est évident que ce point, en tour- 
nant autour de an, ne quittera pas le plan vertical qui aurait 
pour trace la droite mm"^ perpendiculairesur an. Desortequ'en 
cherchant, comme nous- l'avons fait au n» 129, la distance 
oniy' du, point mnV à la droite an, a'n\ nous obtiendrons m*^ 
pour la place occupée par le point mm* rabattu sur le plan p. 

11 ne restera donc plus qu'à tracer la droite nirf' et la per- 
pendiculaire au, qui sera la (distance demandée. 

137. Mesurer la distance de deux droites parallèles^ 
flg. 105. 

!• On coupera, comme précédemment, les deux droites 
données par un plan horizontal ; ce qui donnera deux droites 
^ et r\ 

2* On joindra ces deux points par la droite sr, qui sera une 
horizontale située dans le plan des deux droites données, et 
qui, pour cette raison,, remplira les conditions nécessaires 
pour former un axe de rabattement (128). 

S** On cherchera,.comme précédemment, la distance om'" 
d'un point quelconque mm' à la droite sr, de sorte que rm^ 



66 RABATTEMENTS. PL. 15. 

sera Tune des parallèles données rabattue sur le plan horizontal. 

La deuxième parallèle sa" sera déterminée, puisque 1 oa 
connaît un de ses points s et sa direction parallèle à rm}^. 

4** Il ne restera plus qu'à construire la perpendiculaire nu^ 
qui sera la distance cherchée. ^ ^ 

138. Mesurer la (jOstance de deux droites quelconques. 

Cette question, que nous avons déjà étudiée au n^ 120, peut 
être -résolue par un double rabattement. En effet, les droites 
données étant exprimées par B et par D, si Tune d'elles dd^ 
ûf. 1, pi. 15, était perpendiculaire au plan horizontal de 
projection, il est évident que la droite mn, m'n' perpendicu- 
laire sur les droites bV et dû! serait projetée ^ur le. plan ho- 
rizontal dans sa véritable grandeur mn. 

Or il est facile d'obtenir ce résultat en faisant tourner les 
deux droites données jusqu'à ce que l'ijine d'elles soit per- 
pendiculaire à l'un des deux plans de projection. Pour y par- 
venir, on pourra opérer de la manière suivante : 

1'® o'pèraiioKx, flg. 3. On fera tourner la droite D de l'es- 
pace autour de la verticale projetante Ua' de l'un quelconque 
de ses poinXs. 

Dans ce mouvement, le point V^ décrira un arc de cercle 
horizontal vv'\ v'v'", et lorsque la droite D sera parallèle au 
plan vertical de projection, sa nouvelle projection horizon- 
tale d" sera parallèle à la ligne AZ, et les points v'' et v'" se- 
ront les nouvelles projections du point V. 

2* opération, flg. 4. On fera tourner ensuite la droite D 
^utour de Thorizontale projetante ss' de l'un de ses points, et 
Ton arrêtera le mouvement lorsque cette droite D sera per- 
pendiculaire au plan horizontal de projection. 

Dans ce mouvement le point décrira l'arc o'o"\ oo". 

La nouvelle projection horizontale de la droite D sera ré- 
duite au point d"", et sa nouvelle projection verticale d^ sera 
perpendiculaire à la ligne AZ. 

Ainsi, flg. 5, par deux mouvements de rotation, Tun autour 
d'une verticale aa' et l'autre autour d'une horizontale proje- 
tante «/, on pourra toujours, amener une droite quelconque D 
dans une position perpendiculaire au plan horizontal de pro- 
jection. 



PL. 45. RABATTEMENTS. 67 

Par des .opérations analogues, oh pourra, si on le préfère, 
faire tourner la droite donnée jusqu'à ce qu^elle soit perpen- 
diculaire au plan vertical de projection. 

139. Épure. Si l'on a bien compris ce qui précède, il sera 
facile d'exécuter Tépure qui est tracée sur la figure 2 ; ainsi 
les droites données étant bh' et dd' : 

1" opération. Par le point suivant lequel se rencontrent 
les projections horizontales b el d des deux droites données 
B et D, on tracera la verticale aa\ Cette droite coupera les 
deux lignes données suivant des points qui seront projetés 
sur le plan vertical par e'- et & ; or si l'on fait tourner la 
droite D autour de la verticale aa', le point V viendra se pro- 
jeter en vV après avoir décrit l'arc horizontal vv^\ v'v''\ 

2* opération. On joindra le point v'" avec c' et v" avec c, 
de sorte que les deux droites ^i''^ el iZ"' seront les nouvelles 
projections de la droite D, ramenée dans un plan parallèle au 
plan vertical de projection. 

Mais, si nous admettons que la droite B ait été entraînée dans 
le raouArement précédent, de manière toutefois que ,les deux 
droites données aient toujours conservé entre elles la même 
position relative, tous les points de ces droites auront décrit 
des arcs semblables, et ceux de ces points qui seront à égale 
distance de l'axe aa' auront décrit des arcs égaux. 

Par conséquent, si l'on prend sur la droite B un point U dont 
la projection horizontale u serait située sur le cercle vv" \ l'arc 
Mw'^, u'u'" décrit par le point U sera égal à l'arc de cercle 
vv" , v'v'" décrit par le point V, de sorte qu au moment où ce 
dernier point sera venuse projeter env'v'", lepoint Use projet- 
tera par les points u'\u!'\ et joignant le point u"u'" avec ee\ 
lesdroites h" et V seront les nouvelles projections de la 
droite B. 

i^ Par le point s' suivant lequel se rencontrent les nouvelles 
projections verticales h"' et d'" des deux droites données, on 
tracera l'horizontale projetante s' s. 

Cette droite coupera la droite D en un point dont la pro- 
jection horizontale sera d^, et la droite B en un point qui n'a 
pas pu être placé sur l'épure. 



68 ' RABATTEMENTS. PL. i5. 

• Or, si Ton fait tourner la droite D autour de l'horizontale 
projetante ss\ le point oo' viendra se projeter en o^^^ après 
avoir décrit l'arc de cercle o'o^^', oo'\ parallèle au plan verti- 
cal de projection. La droite D, devenue verticale, se projette 
alors sur le plan horizontal par un seul point d*^, et sanouvelle 
projection verticale d" sera perpendiculaire à la ligne AZ. 

Mais, pendant que le point de l'espace a décrit l'arc 
oo^\ o'i>"\ le point E, situé sur le même cercle, a dû décrire 
l'arc eV ('gai à oV", et lorsque le point E est venu se pro- 
jeter sur le plan vertical en e!'\ sa nouvelle projection hori- 
zontale est devenue e". 

Pour remplacer la projection horizontale du point suivant 
lequel la droile B rencontre l'horizontale projetante ssf ^ on 
choisira sur la droite B un point quelconque u"u"\ et Ton 
remarquera qu'au moment où la droite B se projette sur le 
plan vertical par la droite 6^, le point U dojt se projeter eu 
t/^w'^, après avoir décrit l'arc vertical u'"\C^ u"\r. , 

4* Par suite du mouvement que nous venons d'indiquer, la 
droite B est projetée par les droites b'^b", et la droite D, per- 
pendiculaire au plan horizontal de projection, est projetée sur 
ce dernier plan par le point cZ"'; de sorte que \^ droite d'^n*"" 
perpendiculaire sur b"^ sera la projection horizontale de la 
perpendiculaire commune aux deux droites données B et D. 

Si l'on n'a pas d'autre but que de connaître la distance de 
ces deux droites, on peut considérer l'opération comme ter- 
minée : mais si l'on veut obtenir les deux projections de la 
perpendiculaire comniune, on y parviendra facilement en 
construisant : 

1** Li projection vertirale m^n'' de la droile obtenue w'V; 

2*» Les projections m"n", w/"n"'^ qui appartiendraient à la 
même droite si l'on faisait revenir les ligues B et D dans leurs 
positions b%'" et d V ; 

3" Enfin, les projections mn et mV de la droite qui repré- 
senterait la perpendiculaire commune, si les deux droites 
données B et D étaient ramenées à leurs positions primitives. 

140. Au lieu de faire tourner les droites données dans l'es- 

■ 

pace jusqu'à ce que l'une d'elles soit perpendiculaire à l'un des 



PL. 15. RABATTEMENTS. . 69 

plans de projection, on préfère ordinairement, comme nous 
l'avons dit au m 132, introduire un nouveau plan de projec- 
tion perpendiculaire à Tune des droites données. Ainsi : 

l^ opération, fig. 6. On construira où Ton voudra un plan P 
perpendiculaire à la droite dd'. 

2' On prendra un pian auxiliaire de projection YA'Z' verti- 
cal et parallèle à la même droite dd^. 

3* On prendra sur la droite dW deux points quelconques 
aa\ nn' que Ton projettera sur le plan YAT. 

On obtiendra par ce moyen la droite d^^ pour la proj< ction 
de la droite D sur le plan YAT et la troisième trace du plan P 
sera perpendiculaire sur d^\ 

4** On rabattra le plan P sur Tépure en le faisant tourner 
autour de sa trace horizontale, et Ton obtiendra le point c^'" 
pour la projection de la droite D sur le plan P. 

5' On choisira sur la droite B deux points quelconques t/w', ' 
vv\ et Ion construira les projections. w'^ et v^^ de ces deux 
points sur le plan YAT. 

6* On construira les projections u'" et v"' des mêmes points ^ 
sur le plan P rabattu. 

7* La droite n'"m'", perpendicîulaire sur 6'^', sera la véri- 
table longueur de la perpendiculaire commune aux deux 
droites données B et D. 

8* Si Ton veut retrouver lès projections de la perpendicu- 
laire obtenue, on ramènera le point m'" en m^^ et Ton con- 
struira la droite rn^^n^^ parallèle à la troisième trace du plan P 
et par conséquent parallèle à ce plan. 

9* La projection horizontale mn se déduira facilement des 
deux projections auxiliaires m'^i'^, m"^n"\ 

10" Enfln, la projection verticale mV s'obtiendra en- éle- 
vant des perpendiculaires par les points m et n de la projec- 
tion horizontale, et Ton fera bien de s'assurer que les hau- 
teurs sont tes mêmes sur les deux plans verticaux de projection 
YA'Z et YA'Z'. 

141. La disposition d'épuré quç nous venons d'employer 
étant celle qui convient le mieux pour les grandes applica- 
tions pratiques, j'indiquerai encore quelques exemples de 
cette méthode. 



70 * RABATTEMENTS. PL. 16. 

142. Une droite a'c', flg. 109., pi. 16, étant donnée dans 
vn plan oblique p, construire un carré qui aurait pour 
côté la droite donnée et qui serait situé dans le plan p. 

Cette question est évideniment du genre de celles dont 
nous avons parlé au n« 127. Ainsi : 

1" opération,.On rabattra le plan donné en le faisant -tour- 
ner autour de sa trace horizontale. 

Par suite de ce mouvement, la droite donnée deviendra a V- 

2* On construira un carré qui ait pour côté cette droite. 

3** On ramènera le plan p à sa place, ce qui donnera acœz 
pour la. projection horizontale du carré demandé. 

4* On déduira la projection verticale en employant le prin- 
cipe du n° 57. 

Les constructions seront simplifiées en prenant comme ci-^ 
- dessus un plan auxiliaire de projection YA'Z' perpendiculaire 
à la trace horizontale du plan donné, parce qu'alors les arcs 
de cerclés parcourus par les différents points du plan p, 
lorsque l'on rabat ce plan ou qu'on le ramène à sa place, se 
^ projetteront par des arcs de cercles sur le plan auxiliaire 
YA'Z'(13:2). • ^ 

On fera bien aussi, comme étude, de vérifier les points où 
^ les côtés prolongés du carré rencontreront le plan horizon- 
tal, le plan vertical, ou le plan auxiliaire de projection. 

143. Dans la figure 107 on s'est proposé de construire 
les deux projections d'un cercle situé dans un plan parallèle 
à la droite AZ. 

Pour y parvenir, on a d'abord rabattu le plan donné, on a 
décrit le cercle, et l'on a ensuite ramené le tout à sa place. 

Les arcs de cercles parcourus dans ces différentes opérations 
sont projetés par des arcs de cercles sur le plan auxiliaire p'. 

La tangente a été construite dans le rabattement, d'où on 
l'a ensuite ramenée à sa place. 

144. Dans la pratique, les rabattements des plans .ne se 
font pas autour de leurs traces, qui ne sont presque jamais 
situées dans les limites des épures. Pour avoir une figure 
plane en vraie grandeur, il suffit de la faire tourner jusqu'à 



^L. 16. RABATTEMENTS. 71 

-ce qu'elle soit parallèle à l'un des plans de projection, et 
dans ce cas, on pourra toujours prendre pour axe de rabat- 
tement une droite quelconque, située dans le plan que Von 
veut rabattre, et parallèle au plan de projection sur lequel 
on veut projeter la figure rabattue. 

145. Supposons, par exemple, que Ton veut construire les 
deux projections d'un cercle passant par trois points donnés 
-ao;', c&, oq\ fig. 106, on tracera les droites {ac, a'c') [ao.a'o') 
(co, &o') que Ton coupera par un plan horizontal quelconque 
K'H'. La droite um que l'on obtiendra sera horizontale et si- 
tuée dans le plan qui contient les trois points donnés. 

On projettera ces points en o", a" et c" sur le plan verli^ 
•cal KH perpendiculaire à la droite um. 

On fera tourner ensuite le plan des trois points donnés au- 
tour de Thorizontale um^ u^m\ ce qui donnera a^^\ o"' et c"' 
par lesquels on fera passer une circonférence de cercle dont 
on ramènera tous les points en les projetant successivement 
sur les droites DK et DS, d'où il sera facile de déduire leurs 
projections horizontales et verticales. 

La hauteur de chacun des points de la projection verticale 
au dessus de K'H' sera égale à la hauteur du point correspon- 
dant de DS au dessus de la droite KH. On peut vérifier les 
projections de chaque point en ramenant le rayon c )rrespon - 
^ant comme cel^ est indiqué pour les points oo'xoc', 

146. Avant de tracer les projections du cercle on fera bien 
-Ae construire un certain nombre de tangentes. Ainsi, par 
exemple, pour obtenir la tangente au point aa\ on la con- 
struira d'abord au point a'" sur la figure rabattue, ce qui dé- 
terminera le point e sur la charnière de rabattement, puis on 
tracera la tangente ea et sa projection verticale e'a'. 

Si l'on n'a pas sur l'épure le point suivant lequel la tan- 
gente rencontre 1 axe de rabattement, on ramènera tout autre 
point ; ainsi, pour la (angente au point xx^^ on a ramené le 
point v"' suivant lequel elle coupe le prolongement du dia- 
mètre horizontal du cercle. 

On pourra aussi ramener le point r"' suivant lequel la tan- 
gente du point a."' est occupée par celle du point x^[\ etc. 



• 



72 RABATTEMENTS. PL. 17. 

En exécutant cette épure sur une grande échelle, on 
pourra, comme exercices, construire un grand nombre de^ 
vérifications qui n'ont pas été conservées. 

147. Si les points donnés étaient situés dans un plan ver- 
tical P, fig. 110, l'opération serait encore plus simple et le 
rabattement se ferait autour d'une verticale quelconque si- 
tuée dans le piai}. qui contient les points donnés. 

146. Sur la figure 108 le plan du cercle est perpendicu- 
laire à la ligne AZ. 

149. Pour ne rien laisser à désirer sur la question impor- 
tante des rabattements, j'indiquerai une dernière méthode 
qui est en grande faveur daDS les écoles et dans les examens^ 
quoiqu'elfe soit peu commode, et par conséquent très-rare- 
ment employée dans la pratique ; lorsqu'il s'agit surtout de 
rabattre un grand nombre de points. 

Soit, fig. 1, pi! 17, le point aa' que l'on veut faire tourner 
autour de la droite horizontale oo'^ jusqu'à ce que le plan 
qui contient le point et la droite soit venu prendre une pro- 
jection horizontale P. 

On tracera la droite ao, a'& parallèle au plan vertical de 
projection, ce qui déterminera le . triangje awo , rectangie 
efi Xi. Or, dans ce triangle, on connaît le coté horizontal ou 
qui appartient à la charnière de rabattement cc'^ et l'hypo^ 
ténuse aV, qui est projetée en vraie grandeur sur le plan 
vertical de projection, puisqu'elle est parallèle à ce plan. Il 
sera donc facile de construire le triangle rabattu oua"^ ea 
décrivant l'arc de cercle mn avec une ouverture de com- 
pas oa" = o'a'. 

150. La figure 2 contient le rabattement du point aa^^ 
que Ton a fait tourner autour de la droite ee', parallèle au 
plan vertical de projection. 

151. Sur la figure 3 on s'est proposé de construire un 
cercle ayant pour centre un point donné cd et qui soit tangent 



• 



VL. 17. 



RABATTEMENTS. 



73 



à une horizontale donnée bb'. Le centre étant rabattu en </\ 
en opérant comme ci-dessus, on décrira le cercle, dont il sera 
facile d'obtenir les projections en ramenant les rayons, ou 
d'autres lignes passant par les points que Ton veut ramener ; 
les opérations n'ont été conservées que pour le point œ^'xx^ 
et pour la tangente qui lui correspond. 

162. Sur la figure 4 le plan P est rabattu en tournant au- 
tour de sa trace horizontale. Il suffit, dans'ce cas, de rabattre 
un point quelconque ua' de la trace verticale. 

Enfin, sur la figure 5, le plan P est rabattu sur le plan ver- 
tical de projection. 

Voici encore quelques exercices sur les rabattements. 

153. Plan oblique de projection. Fig. 6. Un point 
étant donné par ses deux projections a et a', on se propose 
de construire la projection a''' de ce point sur un plan P, 
puis de rabattre ce dernier plan sur l'épure. 

Première méthode (140). On introduira un plan auxiliaire 
de projection Y'A'Z' perpendiculaire à la trace horizontale du 
plan P, et par conséquent perpendiculaire à ce plan. 

On rabattra le plan Y' AT, en le faisant tourner autour de 
sa trace horizontale A'Z'. Par ce mouvement, la verticale A'Y' 
viendra se placer en A'Y'', et si Ton fait AW égale à A'n/, la 
droite ^''n" sera la troisième trace du plan P : car il ne faut 
pas oublier qu'un plan doit avoir autant de traces qu'il y a de 
plans de projection. 

L'épure étant disposée comme nous venons de le dire, on 
construira la troisième projection a'' du point donné aa\ 

Cette projection sera déterminée en abaissant du point a 
une perpendiculaire sur A'Z' et portant sur cette perpendi- 
culaire une quantité c'V égale c'a', qui exprime la distance 
du point donné au plan horizontal de projection-. 

La perpendiculaire abaissée du point aa^^ sur le plan P per 
cera ce plan en un point projeté par t" sur le plan auxiliaire 
Y"A'Z", et lorsque Ton rabat le plan P en le faisant tourner 
autour de sa trace horizontale w". Le pied de la perpendicu- 
laire abaissée du point aa" décrit un arc de cercle qui a le 
point z pour centre. 



/ , 



• 



74 RABATTEMENTS .' PL. 17. 

Cet arc, parallèle au plan auxiliaire de projection Y'A'Z', se 
projette sur ce plan par i*'i"^' et la drbite i'"a"\ perpendicu- 
laire sur A'Z', détermine sur le prolongement de az le point a''' 
qui est la projection du point aa' sur le plan P rabattu. 
. En opérant de la même manière, 6n 'pourra projeter sur le 
plan P tout autre point ou ligne de l'espace. ' 

Ainsi, les points ^w^ uu' étant projetés d'abord ea v" et u" 
sur le plan auxiliaire Y'^AT, on en déduira facilement les 
projections v^'' et u'" des mêmes points sur le plan P ; de sorte 
que la droite v^'u'" sera la projection de la droite vu, t^u' 
sur le plan P rabattu. 

On pourra également, comme exercice ou comme vérifi- 
cation, obtenir sur le. plan P la projection e'" du point e, 
suivant lequel la droite vu, v'u' percerait le plan horizontal 
' de projection ou le point r''\ projection du point r^', suivant 
lequel la même droite est coupée par le plan P. 

Les arcs de cercle décrits du point A' comme centre ont 
pour but de rappeler que les projections d'un même point 
doivent être à la même hauteur sur les deux plans verticaux 
Y'A'Z', Y^'A'Z' ; mais il faut bien remarquer que ces arcs ne 
. représentent pas le chemin parcouru dans l'espace par cTiacun 
des points de la droite AT lorsque l'on rabat cette ligne 
en A'Y'^ : car il est évident, par exemple, que le point n' ne 
peut venir se placer en n" qu'en décrivant deux arcs de cercle 
dont le premier, perpendiculaire à la ligne A'Z, et projeté 
par AV sur le plan vertical Y' A'Z, apour but de ramener le 
point n à la place qu'il occuperait dans- l'espace si le plan 
Y'AZ était revenu à sa position perpendiculaire au plan hori- 
zontal de projection, tandis que si Ton rabat le plan Y' A'Z', 
le point n/i' décrit un second arc perpendiculaire sur A'Z' et 
projeté sur l'épure par A'/i". 

154.. Deuxième méthode. On peut rabattre le plan P en 
opérant comme nous l'avons dit au n*» 152. 

Cela étant fait, supposons que nous voulons obtenir la pro- 
jection a'" du point aa\ nous remarquons que la perpendi- 
culaire abaissée de ce point sur le plan P est l'intersection des 
deux plans projetants P^ et Pa- 

Or, le premier de ces plans étant perpendiculaire à la trace 



PL. 18. RABATTEMENTS. 75 

horizontale ss^\ coupe le plan P suivant une ligne a^ qui, 
dans le rabattement, se confond avec la trace -horizontale du 
planP^. 

Ensuite le plan Pa perpendiculaire sur la trace verticale ^n' 
du plan P, coupe ce plan suivant la droite aV qui devient 
x'"a''' perpendiculaire sur la trace sx'^' du plan P rabattu. 
On fera donc sx^^' égal à sœf; de sorte que les deux droites aa'^' 
perpendiculaire sur ss^^ et x'"a'" perpendiculaire sur sx^'* se 
couperont suivant le point a'^' qui sera la projection du point 
aa' sur le plan P rabattu. 

En opérant de la même manière, on déterminera les points 
\jJ^\ v"\ et par conséquent la droite b'" qui est la projection 
de la ligne bV sur le plan P rabattu. 

155. Comme application du principe précédent nous re- 
prendrons le problème que nous avons déjà résolu de plu- 
sieurs manières aux numéros 120, 138 et 140. 

Les droites dont on veut obtenir le distance étant èô' et dd\ 

figr. 1, pi. 18, 

1** On construira le plan P perpendiculaire à Tune des 
droites données dd' par exemple ; 

2» On rabattra le plan P en opérant comme nous l'avons dit 
aun® 152; 

3° On ramènera le point u' en u" par un arc de cercle dé- 
critdu point .ç comme centre,. ou, ce qui revient au même, 
on fera su^ égal ksu' \ \ ' 

4° On tracera u"d" perpendiculaire sur la trace so" du plan P 
rabattu, et l'intersection de la droite u"n" avec la droite d 
donnera lé point d'^ pour la projection de la droite D sur le 
plan P rabattu (154) ; 

5° On choisira sur la droite bV deux points quelconques 
aa' et ce", puis, en opérant comme nousT^ivons dit au n° 152, 
on obtiendra les projections a" et c" de ces deux points sur le 
plan P rabattu ; cette opération déterminera b" projection de 
la droite B sur le plan P ; 

6° La droite d'W, perpendiculaire sur b"^ sera la pro- 
jection de la perpendiculaire commune aux droites données 
BetD; 

T La droite MN de l'espace, étant perpendiculaire sur la 



76 RABATTEMENTS. PL. 18. 

droite D sera parallèle au plan P, d où il résulte que sa projec- 
tion d"m" ou n"m" sera la distance des deux droites donne^es; 

8*^ Si Ion vçut obtenir les projections verticale et horizon- 
tale de la droite MN, on ramènera d*abord le point 9n/^en m 
par la droite m"m^ perpendiculaire à la trace horizontale 
du plan P ; 

9** On ne pourra pas employer le ijiême moyen pour obtenir 
le point n sur la projection horizontale de la droite d. 

Mais, si dans le plan P rabattu on construit la droite vV 
parallèle à u"s, qui dans le rabattement représente la trace 
verticale du point P, il est évident qu'en ramenant ce plan 
à la place qu'il doit occuper dans l'espace, la droite v"r 
i3aralièle à la trace verticale u"s du plan P aura pour 
projection horizontale la droite ru, parallèle à la ligne AZ ; 
de sorte que la droite ve sera l'intersection du plan P 
par le plan qui contient la droite D, et la perpendiculaire 
commune MN. 

Or cette dernière ligne, parallèle au plan P, sera par con- 
séquent parallèle à la droite ve ; de sorte qu'en traçant mn 
parallèle à ev, on déterminera le point n sur la projection 
horizontale de la droite D. . 

10« La projection verticale m^n' se déduira, facilement de 
da projeclion horizontale mn. 

156. J'ai recommencé la construction précédente sur la 
figure 2, avec- cette seule différence, qu'au lieu de projeter 
les droites données sur un plan perpendiculaire à celle que 
nous avions nommée B dans l'exemple précédent, je les ai 
projetées toutes deux sur un plan perpendiculaire à la se- 
conde droite. 

Mais, pour ne pas répéter l'analyse du problème et pour 
que l'explication précédente puisse convenir à la figure 2, 
j'ai désigné par bb' la droite qui avait été nommée D, et par 
c/d' celle que nous avions nommée B. 

Par ce moyen, la figure 2 peut être considérée comme une 
traduction mo^ à mot de la figure 1, dont elle ne diffère que 
par la disposition des lignes d'opérations, et si Ton exécute 
sur la figure 2 tout ce que nous avons dit de la figure 1, on 
pourra reconnaître que, malgré la différence apparente .des 



PL. 19. LES ANGLES. 77, 

deux épures, les opérations nécessaires pour arriver au ré- 
sultat sont exactement les mêmes et doivent être exécutées 
dans le même .ordre. 

1 Dans cette seconde épure on a changé la position de la 
ligne AZ, ce qui revient à faire mouvoir les plans de projec- 
tion parallèlement à eux-mêmes ; or, tant que Ton conserve 
la position relative des données, il ne doit y avoir rien de 
changé dans le résultat (26). 



CHAPITRE IV. 



lL.ef» fftnsles. 



ANGLES DES LIGNEES. 

157. Étant donné, fig. 111, pi. 19, les projections de 
deux droites (aa' bb'), on demande de construire r angle que 
ces deux droites font entre elles. 

On cherchera d'abord les points (ce', dd') où les droites 
données vont percer le plan horizontal ; puis, prenant la 
droite cd pour axe, on fera tourner le plan des deux droites 
données autour de cette ligne, jusqu'à ce qu'il soit rabattu 
sur le plan horizontal de 'projection. Dans ce mouvement, le 
sommet de l'angle que les droites font entre elles décrira un 
cercle dont le centre sera placé en uu' sur Taxe de rabatte- 
ment. Le plan de ce cercle étant vertical, il aura pour projec- 
tion horizontale la droite uss'^\ et pour rayon la véritable 
grandeur de la droite su^ s'u'. On cherchera (52) cette lon- 
gueur représentée sur l'épure par la ligne us'\ et on la por- 
tera de u en s"^ ; ce qui donnera la position que le sommet 
de l'angle viendra prendre sur le plan horizontal. Enfln, si 
l'on joint le, points''' avec cetd, on aura l'angle demandé 
cs'"d rabattu sur le pian horizontal. 



TO ^ . LES ANGLES PL. 19. 

La construction précédente nous a donné l'angle aigu que 
les deux droites font entre elles ; si l'on Voulait avoir l'angle 
obtus, il suffirait de prolonger un des côtés de J.'angle obtenu. 

Si les points c, d, étaient hors des limites de Tépure, on 
pourrait faire le rabattement autour de toute autre ligne 
horizontale, telle que eo, eV, située dans le plan de deux 
lignes données. 

On pourrait encore, si cela était plus commode, prendre 
pour axe du rabattement .une ligne parallèle au plan ver- 
tical ; dans ce cas, on ferait tourner le plan de l'angle jusqu'à 
ce quil soit parallèle au plan vertical de projection. 

m 

158. Dans la figura 112, on a cherché l'angle formé par 
les lignes aa' et bh' ; mais comme la première de ces lignes 
était parallèle au plan horizontal, il était naturel de la 
prendre pour axe du rabattement. On a pris sur la droite bV 
un point quelconque mn' ; puis, après avoir cherché laC véri- 
table distance tim" de ce point à la droite sa^ on a porté 
cette distance de w en m"\ ce qui a donné la position du 
point m rabattu sur le plan horizontal qui contient la ligne 
O'O'' ; joignant enfin m^" avec 5, on a obtenu m"'su pour la 
grandeur de Tangle cherché. 

159. Dans la figure 113, Tun des côtés de Tangle cherché 
est vertical. Prenant ce côté aa^ pour axe, on a fait tourner 
le plan des deux droites jusqu'à ce qu'il soit arrivé dans sa 
position au. Alors l'angle est projeté en a'^V selon sa véri- 
table grandeur. 

160. Dans les exemples précédents, nous avons supposé 
que les droites données se coupaient ; mais dans la Géométrie 
descriptive comme dans l'analyse a|gébrique, on considère 
rinclinaison de deux droites indépendamment de leur in- 
tersection. D'après cela, si l'on demandait de construire' 
l'angle que font entre elles deux droites qui ne se coupent 
pas, on prendrait un point quelconque sur, Tune d'elles ; 
puis, après avoir mené par ce point une parallèle à l'autre 
ligne, l'angle que l'on formerait par ce moyen représente- 
rait rinclinaison des deux lignes données ; on chercherait sa 
grandeur par la construction précédente. 



PL. i9. LES ANGLES. 79 

161. Partager en deux parties égales l'angle que deux 
droites font entre elles. 

Soit, fîg. Ii4, les deux droites (aa', bV) ; on prendra la 
droite {cd^ c'd') pour axe, et l'on fera tourner Tangle jusqu'à 
ce qu'il soit rabattu dans le plan horizontal en cs"d. Dans 
cette position qui donne la véritable grandeur, on le parla- 
géra en deux parties égales [Gèom.) par la droite s"v ; mais 
cette ligne, qui doit être dans le plan de l'angle, est encore 
rabattue sur le plan horizontal, il peste donc à la ramener à 
sa place. Or, le point v où cette droite coupe Taxe du rabat- 
tement ne devant pas bouger, il suffira de concevoir le point s'^ 
revenu à sa position Si ce qui donnera sv pour la projection 
horizontale de la droite demandée. Le point v appartenant à 
la droite cd fait partie du plan horizontal, et, par conséquent, 
se projettera en v' sur la ligne AZ ; menant s'Vy on aura la 
projection verticale de la même ligne. 

Nous avons partagé en deux parties égales Tangle aigu 
formé par les deux droites données. On trouverait de la même 
manière les projections {su, s^u') de la droite qui partagerait 
l'angle obtus. 

On conçoit qu'il faudrait opérer de la même manière si, 
au lieu de partager l'angle donné en parties égales, on vou- 
lait le partager dans un autre rapport ;.ou bien encore si Ton ^ 
voulait, dans un plan donné, construire une droite faisant un 
angle donné avec une autre ligne de ce plan. 

ANGLES DES LIGNES ET DES PLANS. 

162. Construire l'angle qu'une droite fait avec un plan. 
On sait {Géom,) que l'angle d'une droite avec un plan se 

mesure par l'angle que cette droite fait avec sa projection 
sur ce plan. 

Ainsi l'angle que la droite SC, fig. 115, fait avec le plan P 
aurait pour mesure SCB ou son égal CSD ; mais pour .éviter la 
construction de la ligne CB, on remarquera que l'angle de- 
mandé CSD est le complément de l'angle que la ligne donnée 
ferait avec la ligne SB perpendiculaire au plan P, d'où ré- 
sulte la construction qui suit : l°on prendra, fig. 115, 116, 
sur la droite donnée un point quelconque S ; on abaissera 



80 LES ANGLES. PL. 19. 

de ce point la ligne SB perpendiculaire au plan donné ; 3*» on 
rabattra Tangle BSG que ces droites font entre elles ; 4« on en 
prendra le complément. 

163. Construire les angles qu'une droite fait avec les 
plans de projection. 

Soit la droite donnée {nb, a*V), fig. 117 ; Tangleque cette 
droite fait avec le plan horizontal est situé dans le plan ver- 
tical qui contient cette droite et sa projection. Prenant pour 
axe la verticale aV, on fera tourner ce plan jusqu'à ce que 
le sommet {hV) de l'angle cherché ^soit projeté au point h". 
Alors cet angle étant parallèle au plan vertical, sera projeté 
en a'b"u\ selon sa véritable grandeur. 

Le plan de l'angle formé par la droite avec le plan vertical, 
contenant celte droite et sa projection verticale a'b'^ on le 
fera tourner autour de l'horizontale bv, jusqu'à ce que le 
sommet {aa^) soit venu se projeter en a" ; ce qui donnera 
ba"v pour la véritable grandeur de l'angle que la droite donnée 
fait avec le plan vertical. 

164. Si la droite donnée (aô, a'6')» ^S- ^^S, était perpen- 
diculaire à la ligne AZ, un même plan contiendrait les deux 
angles que cette droite ferait avec les plans de projection, et 
le rabattement de ce plan sur le plan vertical donnerait en 
même temps ces deux angles, dont l'un aurait le sommet en a' 
et l'autre en ¥,. 

On pourrait aussi les rabattre sur le plan horizontal. 

m 

±6S. Construire une dmite qui fasse des angles donnés 
avec les plans de projection. 

Représentons, fîgr. 119, part; l'angle que la droite deman- 
dée doit faire avec le plan vertical, et par h l'angle de cette 
même droite av^c le plan horizontal. On construira en a 
l'angle h au-dessus de la ligne AZ, et l'angle v au-dessous, 
puis on prendra deux distances égales ac', ad. 

Supposons que ac' soit la ligne demandf'e rabattue sur le 
plan vertical ; si nous ramenons cette droite à la place qu'elle 
doit occuper dans l'espace, en la faisant tourner autour de 
la verticale du point a, de manière qu'elle fasse toujours le 



9L. 19. LES ANGLES. 81 

môme angle avec le plan horizontal, le point co' décrira un 
•cercle horizontal (c6, c'6'). Si, de plus, nous regardons ad 
comme le rabattement de la même droite sur le plan hori- 
zontal, en ramenant cette ligne à sa place, le point dd/ d(^- 
-crira un cercle {db, d^b') parallèle au plan vertical. Or, les 
points ce' et dd\ qui appartiennent tous deux à la droite de- 
mandée, étant à égale distance du point a, ne doivent faire 
<]\i'un seul et même point, et comme ce point doit se trou- 
ver en même temps sur les deux cercles dont nous venons 
4iej)arler, il sera au point bV où ces deux cercles se coupent, 
de sorte que [ab, a'V) sont les deux projections de la droite 
cherchée. 

On est assuré que les cercles se coupent, parce que les 
points 2^ et V sont sur une même perpendiculaire à la ligne ÂZ. 

Si la somme des deux angles donnés était égale à un angle 
droit, les deux cercles se toucheraient au lieu de se couper, 
et la droite demandée serait perpendiculaire à la ligne AZ. 

Enfin, si la somme de ces angles était plus grande qu'un 
angle droit, les d^ux cercles n'auraient pas de point commun, 
et le problème ser^iit impossible. En effet, si Ton place une 
droite quelconque dans le plan vertical, et si, en partant de 
cette position, on la fait tourner de manière qu'elle fasse tou- 
jours le même angle avec le plan horizontal, on conçoit que 
l'angle avec le plan vertical, qui d'abord était nul, augmentera 
jusqu'à ce que la droite soit venue se placer dans un plan per- 
pendiculaire à la ligne AZ. Alors la somme des deux angles 
vaudra un angle droit et aura atteint son maximum; car il est 
évident que si l'on continue à faire tourner la droite, l'angle 
avec le plan vertical diminuera de nouveau, jusqu'à ce qu'il 
devienne nul comme il Tétait avant que l'on eût commencé à 
faire mouvoir la droite. 

Si l'on prolongeait les projections verticales et horizontales 
des deux cercles, on aurait un second point d'intersection, et 
par suite une seconde position de la droite demandée. Nom- 
mons (ac, a'd] les projections de .celte seconde droite, et sup- 
posons, pour mieux fiier les idées, que l'on ait transporté le 
point a hors de la ligne AZ, comme on le voit, flg. 120 ; il 
sera facile de s'assurer que les quatre droites (ac, aV), {acr^ 
aV), {ab.a'b'), (a6'% aV), satisfont toutes les quatre aux con- 

% 6 



8â LES ANGLES. PL. 20, 

ditions demandées. Ces droites sont les arêtes d'une pyramide 
quËdrangulaire qui aurait pour base le rectangle co"V'h^ et 
pour sommet le point ad . 

Si l'on demandait que la droite passât par un point donné, 
on ferait à ce point toutes les opérations qui ont été faites au 
point a de la ligne ÂZ. 



ANGLES DES PLANS. 

^ 

166. Construire l'angle que^ deux plans font entre eux. 

On sait (Géom,) que pour avoir l'angle de deux plans il faut 
mesurer l'angle que font entre elles deux droites, menées 
dans chacun de ses plans perpendiculairement à un môme 
point de leur intersection. 

Soient, ûg. 121, pi. 20, les deux plans p et p' ; on con- 
struira (73) la projection horizontale vh de l'intersection de ces 
^eux pians, puis on mènera p rpendiculairementà cette ligne 
la droite p^^ qui représentera la trace horizontale du plan dans 
lequel'se trouve l'angle que l'on cherche. Si l'on fait tourner 
ce plan autour de sa trace p^^ pour le rabattre sur le plan hori- 
zontal, le sommet deVangle faisant partie de l'intersection des 
deux plans se meut dans le plan vertical v'vh, et ne peut, par 
conséquent, serabattrequesur laligne vhAlne reste donc plus 
qu'à connaître sa distance à la ligne p^^ que Ton prend ici pour 
axe du rabattement : pour cela, faisons tourner le plan v'vh 
autour de sa trace verticale vv\ L'intersection des deux plans 
donnés viendra prendre, dans le plan vertical, la position vW ; 
le point!*, qui représente le pieA delà perpendiculaire abaissée 
du sommet de l'angle demandée sur la lignep'^ se rabattra en - 
u', et abaissant du point u^ une perpendiculaire sur v'/i', cette 
' perpendiculaire u^s^ représentera le plan de l'angle cherché et 
donnera en même temps la distance du sommet de cet angle à 
la lignep^'';de sorte qu'en portant cette longueur s^u de u en ^, 
on aura asb pour l'angle demandé rabattu sur le plan hori- 
zontal. • 

Par cette construction, nous avons évité de construire la 
projection de Tangle cherché dont on ne demandait que la 
véritable grandeur. 



PL. 20. LES ANGLES. 83 

167. On pourrait rabattre le plan vertical v'vh sur le 
plan horizontal. Dans ce cas, Tintersection des deux plans 
serait représentée par v"h, et le sommet de l'angle cherché 
par s'\ 

On pourrait encore, si cela était plus commode, faire sur 
le plan vertical toutes les constructions que nous avons faites 
sur le plan horizontal. 

168. Dans la figure 122, les traces horizontales des plans 
donnés se coupent derrière le plan vertical ; cela ne change 
rien à Tordre des constructions, qui sont seulement disposées 
dans un autre sens. L'intersection des deux plans est rabattue 
sur le plan horizontal en v^^h. 

169. Dans la figure 123, l'un des plans est parallèle à la 
ligne AZ. 

170. Dans la figure 124, les deux plans donnés, et par 
conséquent leur intersection, sont parallèles à la ligne AZ ; 
l'angle demandé est compris dans un plan p'' perpendiculaire 
aux deux plans de projection, et se trouve rabattu en s^^ Sui- 
vant sa véritable grandeur. 

171. Dans la figure 125, l'intersection des plans donnée 
est parallèle au plan horizontal, mais cela ne change rien à 
la manière d'opérer. 

172. On peut encore trouver l'angle de deux plans d'une 
autre manière. 

Il est démontré en Géométrie que deux plans étant donnés, 
si, d'un point pris oii Von voudra dans l'espace^ on abaisse 
des perpendiculaires sur ces plans, l'angle que ces perpendi- 
culaires feront entre elles sera le même que l'angle des deux 
plans. D'après cela, étant donnés les deux plans p et p\ flg. 
1?6, on prendra un point quelconque s^\ puis après avoir 
mené (103) par ce point des perpendiculaires {aa'^ bV) aux 
deux plans donnés, on cherchera (157) l'angle que ces deux 
droites feront entre elles. 



84 LES ANGLES. PL. ii. 

173. Le point ss' peut être pri^ partout où l'on voudra; ce 
qui permet de rejeter cette opération dans un coin et même 
en dehors du cadre, si la place manquait dans les limites de 
répure. " 

174. Construire l'angle qu'un plan donné fait avec les 
plans de projection, 

L*angle que le plan p, flg. 127, pi. 21, fait avec le plan 
horizontal, étant situé dans le plan vertical p', on fera tour- 
ner ce plan autour de sa trace verticale jusqu'à ce que le 
point s, sommet de l'angle cherché, soit venu se placer en / 
sur la ligne AZ ; ce qui donnera Tangle .A pour l'inclinaison 
avec le plan horizontal. 

De même, Tangle que le plan donné fait avec le plan ver- 
tical étant situé dans le plan p'\ son sommet u se rabattra en 
u\ et l'angle v représentera Tinclinaison avec le plan vertical. 

175. Construire un plan faisant des angles donnés avec 
les plans de projection. 

. On sait [Géom.) que si une droite et un plan sont perpen- 
diculaires l'un à l'autre, les angles que cette droite et ce plan . 
feront avec un autre plan sont compléments l'un de l'autre ; 
d'apyès cela, si Ton voulait construire un plan faisant avec 
les plana de projection des angles représentés, fig. 129, par 
h et par v, on construirait d'abord (165) la droite (aa') faisant 
avec les plans de projection des angles h' et v\ compléments 
des angles donnés, puis on mènerait, flg. 130, un plan p 
perpendiculaire sur celle droite. 

Si le r lan devait être assujetti à passer par un point donné 
(m, m'), on emploierait la construction (113). 

Nous avons vu (165) que par un point donné on pouvait 
faire passer quatre droites faisant, avec les plans de projec- 
tion, des angles donnés ; il en résulte que Ton pourra pareil- 
lement faire passer par un point quatre plans faisant, avec les 
plans de projection, des angles donnés (A, v). Ces plans sont 
représentés, flg. 130, par p, p', p'^.p"' ; ils forment les 
quatre faces d'une pyramide quadrangulaire jlont la section 
horizontale serait le losange abcd. 



PL. âl. LES AKGLES. 8S 

176. Nous avons VU encore (165) que là somme des angles 
qu'une droite fait aivec les plans de projection ne peut jamais 
être plus grande qu'un angle droit. Ainsi, dans l'exemple pré- 
sent, v' + h' ne pouvant pas valoir plus d'un angle droit, 
la somme de leurs compléments v -{- h ne peut pas être plus 
petite qu'un angle droit. Donc, pour que le problème que 
nous venons de résoudre soit possible, il faut que la somme 
des angles donnés soit plus grande, ou au moins égale à un 
angle droit : dans ce dernier cas, le plan cherché serait paral- 
lèle à la ligne AZ. 

177. Construire un plan passant par VintersecHon de 
deux plans donnés^ et qui partage V angle qu'ils font entra 
eux en^parties égales. 

Le plan demandé devant contenir la 'ligne (vA, v'h')f 
flg. 131, 134, qui représente l'intersection de deux plans 
donnés, sa ^race horizontale doit passer par A, et sa trace ver- 
ticale par v' (66) . 11 ne reste donc qu'à trouver un second point 
de J'une de ces traces : pour cela, on rabattra sur le plan ho- 
rizonts^l l'angle asb que les deux plans donnés font entre eux^- 
et l'on construira la droite su qui partage cet angle en deux 
parties égales. Le point u où cette droite perce le plan hori- 
zontal appartiendra à la trace horizontale du plan cherché. 
Après avoir construit cette trace /iw, on fera passer la 
trace verticale par le point r/, et Ton aura satisfait à la 
question. 

En effet, les trois droites sa^ su^ sb, étant situées dans le 
plan p'' perpendiculaire à l'intersection commune des trois 
plans p, p\ p''', les angles que ces lignes font entre elles 
mesurent les inclinaisons de, ces trois plans (166) ; et puisque 
su partage l'angle asb en deux parties égales, le plan /?'", qui 
contient suy partagera l'angle des deux autres plans aussi en 
parties égales. 

U est bon de remarquer que l'on n'a pas ramené la ligne 
su èiSdi place, parce qu'il suffisait (66) d'avoir le point où cette 
ligne perce le plan horizontal. 

Nous avons partagé en deux parties égales l'angle obtus 
formé par les deux plans donnés ; on opérerait de la même 



. \ 



86 LES ANGLES. PL* 21* 

manière pour obtenir le plan p'^, qui partage l'angle aigu en 
deux parties égales. 

178. Les mêmes moyens seraient employés si Ton voulait 
partager l'angle de deux plans suivant tout autre rapport. 

179. Étant donnés un plan et une droite située dans ce 
planj on veut faire passer par cette droite un second plan 
faisant avec le premier un angle donné. 

Soit, flg. 132, le plan donné p, la droite donnée (vA, v'K) 
et l'angle donné A. 

Le plan demandé devant contenir la droite. (vA, v'h'), sa 
trace verticale passera par le point v' et sa trace horizontale 
par h. Pour avoir un autre point de cette dernière trace, on 
construira le plan p" perpendiculaire sur la ligne donnée, 
qui doit être l'intersection du plan donné avec celui que Fon 
cherche, et après avoir rabattu sur le plan horizontal la ligne 
^a provenant de l'intersection du plan donné par le plan p'', 
on construira l'angle asu ôgal à Tangle donné A, et le point u 
sera un point de la trace horizontale du plan cherché. En effet, 
si Ton compare cette construction avec celle indiquée (166), 
il est facile de reconnaître que Tangle asu est égal à l'angle A, 
qui mesure l'inclinaison des plans p et p'. - 

En construisant l'angle aso, on obtiendrait en o un point 
de la trace horizotitale d'un plan qui satisferait pareillement 
aux conditions demandées.' 

180. Dans la figure 133, le plan p' partage en deux parjties 
égales l'angle que le planp fait avec le plan horizontal. 

181. Trouver le centre et le rayon d'une sphère dont la 
sv/rface serait tangente à quatre plans donnés. 

Il est évident que cela revient à trouver un point également 
éloigné de ces quatre plans. Or, si par l'intersection de deux 
plans on en mène un troisième qui partage l'angle des deux 
premiers en parties égales, il -est certain [Géom.) que tous les 
points de ce plan seront à égale distance des deux premiers, 
d'où résulte la construction suivante. 



9L. 22. LES ANGLES 87 

Soitp, p\ p^\p.^'\ flg. 136, pi. 22, les quatre plans donirés. 
On construira un plan p'"" qui partage en deux parties égales 
Tangle des plans p et p' (177). Ce plan contiendra le centre 
de la sphère cherchée ; on construira de la même manière 
le plan p" qui partage en deux parties égales Tangle des plans 
p' et p^^. Enfin le plan p^\ qui partage en deux parties égales 
l'angle.des plans p'' etp''', contiendra encore le point cherché 
<iue Ton obtiendra en cherchant l'intersection des trois plans 
p*^, p"", ;jp'' (79) ; quand on aura obtenu en {mm') le centre de 
la sphère, on abaissera de ce point une perpendiculaire sur 
l'un des plans donnés, et après avoir obtenu le pied de cet le 
perpendiculaire, on en mesurera la longueur (105, 134) ; ce 
qui donnera le rayon avec lequel, des points (m, m') comme 
centres, on décrira deux cercles qui seront les projections 
verticale et horizontale de la sphère demandée. 

En combinant les quatre plans donnés deux à deux de toutes 
les manières possibles, on obtient six combinaisons pp', pp'\ 
pp"\ p'p"^ p'p"\ p"p". Si l'on partage en parties égales les 
angles formés par chacunç de ces combinaisons, on aura six 
plans qui contiendront le plan cherché, et l'on choisira parmi 
<îes six plans les trois qui donneront les constructions les plus 
simples. 

182. Les qqatre plans donnés forment, dans l'espace, une 
pyramide triangulaire ou tétraèdre. Or si l'on veut reconnaître 
parmi le^ plans qui partagent en parties égales les angles 
des plans donnés, quels sont ceux qui sont dirigés dans 
l'iniérieur de la pyramide, on pourra opérer de la manière 
suivante. ~ ' 

On déterminera (79) flg. 137 : 

l<» Le point A provenant de l'intersection des trois plans p, 

2? Le point B, intersection des trois plans p, p', p"' ; 

3» Le point C, intersection des trois plans p, p", p'^' ; 

4* Enfin, le'point D, intersection des trois plans p', p^', p'^. 

Or, il est évident que le plan qui partage en deux parties 
égales l'angle des faces ABD, ABC, sera dirigé dans l'intérieur 



88 LES ANGLES. PL. 23.. 

du tétraèdre, s'il coupe l'arête CD entre les deux points C et D^ 
Dans le cas contraire, il passera en dehors. 

183. La question que nous venons de résoudre étant pro- 
posée ici comme sujet d'exercice, j'ai cru devoir supposer les* 
plans donnés dans une position quelconque ; mais on pourrait, 
par un choix convenable de plans coordonnés, en rendre la 
solution plus simple. 

En effet, plaçons horizontalement, flg. 138, pi. 23, Tua 
des quatre plans donnés, le plan p, par exemple, et prenons 
pour plan vertical de projection un plan perpendiculaire au 
plan p'\ les lignes y'^ et jo'" étant les traces horizontales des- 
deux autres plans donnés, et le point s^s' étant le sommet de 
la pyramide formée par les quatre plans, p^ sera le plan qui 
partage en deux parties égales l'angle deç plans p et p', et sa 
trace verticale contiendra la projection verticale du centre 
de la sphère demandée. L'angle des plans p etp^, situé "dans- 
le plan vertical sv, se rabattra en v'\ et la ligne v^'o'y qui 
partage cet angle en deux parties égales, rencontrera en o'' 
la ligne verticale qui contient le point s, s'. L'angle des plans 
p et p"\ projeté suivant su, se rabattra en u^^ et sera partagé- 
en deux parties égales par u''h\ qui rencontrera en h' la 
même verticale s, s\ Concevons maintenant (77) un plan auxi- 
liaire q, parallèle au plan vertical de projection: ce plan con- 
tiendra en a' et o' deux points du plan p^, qui partage en deux, 
parties égales l'angle des deux plans p et p'^ ; de sorte qu'il 
coupera ce plan suivant la droite a'o\ Par la même raison il 
coupera suivant b'h' le plan p""* qui partage l'angle des plans^ 
pp'^' en parties égales ; de sorte qu'en joignant le point n, ou- 
ïes deux lignes aV et fc'A' se coupent, avec le point c\ inter- 
section des traces horizontales des plans p'" et p''',!qui sont les- 
mêmes que celles des plans p"" et p^\ on aura Tinterseclion 
de ces deux derniers plans ; et le point (m, m'), où. cette- 
intersection percera le plan p'^, sera le centre de la sphère 
cherchée. Quant au rayon, il sera projeté en m'd suivant sa 
véritable grandeur. 

184. En partageant les angles dont l'ouverture est dirigée 
dans l'intérieur de la pyramide, nous avons obtenu la sphèra- 



PL. 23. . Les angles. 89 

inscrite ; mais si nous aviens partagé les angles extérieurs 
en parties égales par des plaus, les intersections de ces plans 
auraient encore donné quatre points que l'on pourrait 
prendre pour les centres d'autant de sphères tangentes aux 
plans donnés, chacune de ces sphères toucherait en dehors 
l'une des faces de la pyramide, et les prolongements des 
trois antres faces. Les figures 139 et 142 contiennent les 
projections des cinq sphères tangentes intérieurement et 
extérieurement aux quatre faces d'un tétraèdre réguliei:. 

185. Enfin il existe encore dans l'espace trois sphères qui 
satisfont à la question proposée. En efifet, supposons, fig. 143» 
que ABCD soit le tétraèdre formé par les plans donnés. Si 
nous prolongeons les quatre faces au delà de l'arête AB, et 
si, pour pi us de clarté, nous faisons abstraction des prolonge- 
ments au delà de EF6H, nous aurons formé une espèce de 
coin ou auge' dont le fond sera remplacé par Tarête AB, et 
qui aura pour faces : 

1® Le quadrilatère ABFE prolongement du triangle» ABD ; 

2» Le triangle 6BF prolongement de BCD ; 

3° Le quadrilatère GBAp prolongement de BCA ; 

4** Le triangle HAE prolongement de ACD. 

Les plans bissecteurs BFO, BGO se couperont suivant une 
ligne BO, qui contiendra les, centres de toutes les sphères 
tangentes aux trois plans ABFE, FB6, GBAH. 

Les plans bissecteurs AEV, AflV se couperont suivant la 
droite AV qui contient les centres de toutes les sphères tan- 
gentes aux trois plans ABFE, EAH, HABG. 

Les deux lignes BO et AV se rencontreront puisqu'elles sont 
situées dans le plan bissecteur de l'angle dièdre formé par 
les faces ABFE, ABGH ; et le point d'intersection de ces deux 
droites sera évidemment à égale distance des quatre faces du 
coin ABFEHG. 

Or ce que nous avons dit pour l'arête AB pouvant s'appli- 
quer à chacune des six arêtes du tétraèdre, cela semblerait 
indiquer qu'il existe encore six nouvelles sphères tangentes 
aux quatre plans donnés : mais ces six sphères se réduisent 
^ à troiSy parce quejes plans bissecteurs des six angles dièdres 



\ 



90 LES ANGLES. PL. 23. 

formés par les faces de Vauga ou coin correspondant à l'arête 
AB, sont les mêmes que les plans bissecteurs des angles du 
coin correspondant à l'arête opposée DC ; et ces six plans 
passant tous par un même point, il en résulte que s'il y a 
une sphère tangente dans le premier coin, il n'y en aura pas 
dans le second et réciproquement. Ainsi, en résumant, la 
question admet huit /solutions ; savoir : 

1 sphère inscrite dans le tétraèdre ; 

4 sphères inscrites dans les pyramides tronquées, formées 
par les prolongements des plans au delà des faces ; 

3 sphères inscrites dans les coins formés par les prolonge- 
ments des plans au delà des arêtes. Si le tétraèdre était ^ 
régulier ces dernières sphères auraient leurs centres à l'infini. 

Les relations précédentes étant plus curieuses que vérita- 
blement utiles, je me contenterai de les indiquer comme 
étude. 

186. Par une droite donnée faire passer douze plans fai- 
sant entre eux des angles égaux. 

Représentons la ligne donnée par (a, a'), ûg. 14J, 141. 
On sait déjà (63) que les traces des douze plans demandés 
doivent passer par les traces de la droite donn(^e ; il ne reste 
donc plus qu'à déterminer un point de chacun de ces plans. 
Pour y parvenir, on construira un plan p'' perpendiculaire 
sur la ligne donne e (a, a') qui doit être l'intersection com- 
mune de tous ces plans ; puis, au moyen de la construction 
indiquée (167), on rabattra sur le plan horizontal le point o, 
provenant de l'intersection de la ligne donnée par le plan 
p^^. On mènera par le point o, ainsi rabattu sur le plan hori- 
zontal, douze lignes faisant entre elles des angles égaux, et 
le point où chacune de ces lignes ira couper la trace horizon- 
tale du plan p'^ appartiendra à la trace horizontale de l'un 
des plans que l'on cherche ; car il est évident, flg. 141, que 
ces douzes lignes passant -par le point o dans le plan p^\ 
sont perpendiculaires à la ligne donnée ; de sorte que les 
angles que ces lignes font entre elles mesurent les inclinai- 
sons des douze plans qui les contiennent. On n'a pas cherché 
quelles seraient les projections de ces douze-droites si on les 
ramenait à leur véritable position dans l'espace, parce qu'il 



PL. 24. ÀKGLE TRIÉDRE. 91 

suflBsait (63) d'avoir les points où chacune de ces droites va 
percer le plan horizontal. 

On n'a dû partager en douze parties égales que la moitié 
de la circonférence, parce que les prolongements des rayons 
auraient déterminé les mêmes plans. 

ANGLE TR1ÉDRE. 

187. On donne en général le nom d'angle trièdre à l'espace 
compris entre trois plans. 

Lorsque trois plans P P^ P„ ûg. 10, pL 24, se coupent dans 
l'espace, ils forment huit angles trièdres^ qui ont tous le point 
S pour sommet. 

Quatre de ces angles sont situés au-dessus du plan P, et les 
quatre autres sont situés au-dessous. 

Pour simplifier la question, nous ne considérerons qu'un 
seul de ces huit angles trièdres. 

Ainsi, par exemple, les droites SM, SN et SO qui abou- 
tissent au point S, étant les intersections des trois plans P P^ 
et Pî, nous pourrons négliger les sept angles trièdres formés 
par les prolongements de ces plans, et transporter, fig. 7, 
l'angle trièdre que nous nous proposons d'étudier. 

Lorsque l'on considère ainsi un angle trièdre, indépendam- 
ment de ceux qui seraient formés par les prolongements des 
trois plans P P< et Pt, on donne le nom d'arêtes aux droites 
SM, SN, SO, suivant lesquelles ces plans se coupent. 

On peut également, pour simplifier le langage, donner le 
nom de faces aux trois angles plans MSN, NSO, MSO, formés 
par les arêtes SM, SN, SO, le point S sera le sommet de l'angle 
trièdre. 

La combinaison des faces avec les arêtes de l'angle trièdre 
donne lieu à neuf angles de trois espèces différentes, savoir : 

1» Les trois faces ou angles plans MSN, iNSO, MSO, formés 
par les arêtes, et qui ont le point S pour sommet commun ; 

2* Les trois angles dièdres que les faces font entre elles ; 

3® Les trois angles que chacune des arêtes fait avec la 
face qui lui est opposée. 



92 ANGLE TRIÈDRE* PL. 24» 

Il existe entre les six premiers de ces neuf angles des rela- 
tions telles, que toutes les fois que Ton connaît trois quel* 
conques d'entre eux, on peut toujours trouver les trois autres. 
C'est la solution de cette question qui va nous occuper. 

La recherche du problème proposé, par le calcul, forme ce 
que Ton appelle la trigonométrie sphérique. 

En effet, on sait (Géom.) que l'angle dièdre formé par deux 
plans P et P<, flg. l, a pour mesure l'angle plan BAC formé 
par deux droites AB, AC tracées par un même point A dans 
chacun des plans donnés, et perpendiculaires à leur intersec- 
tion SM. 

Or, si l'on conçoit sur une sphère D, flg. 3, deux arcs de 
grands cercles AK, AH, on sait {Géom.) que Tangle formé par 
ces arcs est égal à l'angle formé par leurs tangentes AB, AC, 
Or, ces deux dernières lignes étant perpendiculaires à l'ex- 
trémité du rayon qui aboutit au point A, il s'ensuit que 
l'angle BAC sera la mesure de l'angle dièdre formé par les 
plans P et P< qui contiennent les deux arcs AK et AH, d'où il 
suit que l'angle formé par deuw arcs de grands cercles tra^ 
ces sur une sphère est toujours égal à l'angle dièdre formé 
par les plans qui contiennent cestarcs et réciproquement. 

Mais, si nous supposons, flg. 4, que du point S comme 
centre et d'un rayoïl quelconque SA, on ait décrit les trois 
arcs AB, AC et BC, situés dans les faces de l'angle trièdre S, 

Il est évident que ces trois arcs, ayant tous leurs points à 
égale distance du point S^ seront situés sur la surface de la 
sphère qui aurait le point S pour centre, et la droite SA pour 
rayon . 

De plus, les plans des trois arcs AB, AC et BC contenant le 
point S, il s'ensuit que ces arcs appartiennent à des grands 
cercles de la sphère {Géom.) et que le triangle ABC est ce 
que Ton appelle un triangle sphérique. 

Or, en exprimant les angles de ce triangle 'A, B, C, on sait 
que les côtés opposés doivent être désignés par les petites 
lettres correspondantes, de sorte que l'arc BC opposé à 
l'angle A sera nommé a, l'arc AC sera b et l'arc AB sera c. 

Mais il est évident que les arcs AB, AC et BC sont les 
mesures des angles plansou faces, formés au centre de la 
sphère, par les trois arêtes de l'angle trièdre ; d'où il résulte 



FL. 24. ANGLE TRIÈDRE. • 93 

que les côtés a, h, c seront les mesures des trois angles BSG, 
ASC, ASB. 

Siyde plus, on se rappelle ce que nous avons dit plus haut, 
que l'angle sphérique BAC ou A a la même mesure que Tangle 
dièdre formé par les plans ou faces ASB, ASC, que l'angle 
sphérique ABC ou B a la même mesure que l'angle dièdre 
formé "par les faces ASB et BSG, et qu'enfin il en est de même 
de l'angle C, on comprendra pourquoi la notation adoptée 
pour désigner les six parties du triangle sphérique convient 
également pour désigner les parties correspondantes de 
l'angle trièdre. 

Ainsi les trois lettres a, b, c exprimeront indifféremment 
les trois angles plans ou faces BSC, ASC, ASB, ou les trois 
côtés BC, AG et AB du triangle sphérique ABC. f 

Et les trois lettres A, B, C désigneront les trois angles 
dièdres formés par les faces a, 6, c ou les trois angles cor- 
respondants du triangle sphérique. 

Les considérations précédentes étant admises, nous rap- 
pellerons qu'il s*agit de résoudre graphiquement ce problème 
général. 

Étant données trois quelconques des six quantités A, B, C, 
a, b, c, d'un angle trièdre^ trouver les trois autres. 

Cette question principale peut se décomposer en six ques- 
tions particulières, suivant que les quantités données seront: 

!• Les trois faces ou angles plans ; 

2* Deux faces et V angle dièdre compris ; 

3» Deux faces et l'angle dièdre opposé à Vûne délies ; 

4® Deux angles dièdres et la face qui leur est commune ; 

5» Deux angles dièdres et la face opposée à l'un d'eux ; 

6o Les trois angles dièdres. 

188. Premier problème sur l'angle dièdre. Étant 
données les trois faces a, b, c, trouver les angles- dièdres A, 
BetC. 

Solntion, Og. 2, pi. 24 : 

1° On placera les angles donnés ou faces m'SN, NSO, OSm'' 
à côté les unes des autres, comme on le voit sur la figure 2, 
et Ton prendra une distance quelconque Sm' = Sw' que Ton 



94 ' ANGLE TRIÈDRE. PL. 24. 

portera à droite et à gauche du point S, sur les deux côtés 
extérieurs des angles plans ou faces a et c. 

2* On fera tourner Tangle plan ou face a autour de l'arête 
SN, pour ramener cette face à la position qu'elle doit occuper 
dans l'espace. Le point m' décrira un arc de cercle dont le 
plan sera perpendiculaire à Tarête SN, et dont la projection 
sur le plan de la^ face b sera m'm . 

3o On fera tourner également Tangle plan ou face c autour 
de l'arête SO et le point m" décrira un arc de cercle qui 
aura pour projection la droite m'm. 

4*» Quand les deux faces a et c seront revenues à la place 
qu'elles doivent occuper dans l'espace, les deux points m' et 
m' qui sont à égale distance du point S seront réunis en un 
seul et même point que nous nommerons M, et ce point devant 
être situé en même temps dans les deux plans m'm et 
m"m fera partie de leur intersection, qui, étant perpendicu- 
laire au plan de la face 6, se projettera sur ce plan par le 
point m. 

5« L'angle Irièdre étantreformé, l'angle dièdreC qui exprime 
rincjinaison des faces a et & aura son sommet au point u sur 
l'arête SN et sera projeté sur le plan de la face ou angle plan 
b par la droite um qui sera l'un de ses côtés. 

60 Si Ton fait tourner le pian de cet angle G autour du côté 
wm, la perpendiculaire abaissée du point M de l'espace sur le 
plan de la face b se rabattra suivant mm'",et le pointM viendra 
occuper la position m"', que l'on déterminera en écrivant du 
point u comme centre, l'arc de (jercle m'm'" dont le rayon 
um'=um"' sera le second côté de l'angle cherché C. 

7'> Une construction analogue déterminera l'angle A rabattu 
sur le même plan dans la position mvm^. 

S^'iPour obtenir l'angle B, on concevra, par le point M de l'es- 
pace, un plan perpendiculaire à l'arête SM. Ce plan, qui con- 
tiendra l'angle B, fîg. 4, coupera la face a suivant une 
droite perpendiculaire à l'arête SM'et représentée sur la 
figure 2 par w'N perpendiculaire à S'. Ce même plan qui 
contient l'angle B coupera la face c suivant la droite m''0 per- 
pendiculaire sur l'arête Sm", et la face b suivant NO; de sorte 
que les trois droites ^n'N, NO et Om" seront les trois côtés du 
triangle au sommet duquel se trouve l'angle B, que l'on con- 



PL. 24. « ANGLE TRIÈDRE. 95 

naîtra en construisant le triangle UOm'', dans lequel on a 
^m'^z^m' et Om''=0?n". 

189. Remarques. Si l'une des trois faces, la face b, par 
exemple, était égale à la somme des deux autres, lé point m 
serait situé sur Tare de cercle m'rm'\ les angles A et jC se- 
raient nuls, l'angle B vaudrait deux angles droits, et les deux 
faces a et c coïncidant avec le plan 6, l'angle trièdre serait 
réduit à un plan. 

Si c'était la face a qui fût égale à la somme des deux autres, 
le point m viendrait coïncider avec m", les angles C et B se- 
raient nuls. L'angle A vaudrait deux angles droits, et l'angle 
trièdre serait réduit encore à un plan. 

Enfin, s'il y avait dans les données quelque condition 
d'impossibilité, elle se manifesterait toujours par la cons- 
truction de répure. 

Ainsi, par exemple, si la face b était plus grande que la 
somme des deux autres faces a et c, le point m tomberait en 
dehors de la circonférence m'mt" et le triangle mum"^ de- 
viendrait impossible, puisque le côté mu de l'angle droit 
serait plus grand que l'hypoténuse um"' = um'. 

Il en serait de même du triangle mvmys puisque l'on au- 
rait mv plus grand que vm^f. 

L'impossibilité du triangle m NO serait encore mise en évi- 
dence, parce que le côté NO serait plus grand que la somme 
des deux droites Nm' et Qm". 

J'indique aux élèves cette discussion comme sujet d'exer- 
cices, et je les engage à changer la grandeur des données, 
afin de reconnaître ce qui doit arriver dans toutes les hypo- 
thèses. 

190. Vérification. La figure 2 contenant les trois faces 
et les angles dièdres peut être considérée comme l'expres- 
sion complète de toutes les relations qui existent entre ces 
six quantités. 

On peut donc comparer cette figure à une formule géné- 
rale au moyen de laquelle, lorsqu'on connaîtra trois quel- 
conques des six éléments de l'angle trièdre, on pourra tou- 
jours retrouver les trois autres. 



96 ANGLE TRIËDRE. PL. 24. 

* 

Mais avant de passer à la solution de cinq problèmes qui 
nous restent à résoudre, je ferai quelques remarques impor- 
tantes. 

En examinant avec attention la figure 2, on reconnaîtra 
cinq vérifications principales : 

!• Les angles St/m, Svm étant droits, les sommets ueiv 
doivent être situés sur la circonférence du cercle qui a pour 
diamètre Sm, de sorte que le quadrilatère Sumv sera toujours 
inscriptible dans un cercle (Géom.); 

2* Les droites m'^^ et mm^"^ doivent être égales entre elles, 
puisqu'elles représentent toutes les deux la perpendiculaire 
abaissée du point M de l'espace sur le plan de la face ft, d'où 
il résulte que les deux points m'^' et m^^ doivent être situés 
sur un même arc de cercle m"'my^ décrit du point m comme 
centre ; 

3° Les droites SN et mm'" perpendiculaires toutes deux 
sur m'm sont parallèles entre elles, et les droites m?n^v, SO 
sont également parallèles, puisqu'elles sont toutes deux per- 
pendiculaires sur mm'^. 

Il résulte de là que l'angle m'"m^ sera égal à l'angle 6, 
puisque les côtés de ces deux angles sont parallèles chacun 
â chacun; 

4« Si Ton considère la facô h comme un plan de projection, 
la droite NO sera la trace du plan qui contient l'angle B, et 
ce plan étant perpendiculaire sur l'arête SM de l'espace, la 
trace NO sera perpendiculaire sur Sm, qui est la projection 
de la droite SIM sur la face h ; 

5'*Si le triangle m^NO, qui est construit dans sa véritable 
grandeur, était ramené à la place qu'il doit occuper dans 
l'espace, la droite NO ne changerait pas de place, et le point 
/m^, ramené en M sur l'intersection des faces a et c, serait 
projeté en m sur le plan de la face h\ l'arc de cercle décrit 
par le point M serait perpendiculaire sur la droite NO, et la 
projection mm^ de cet arc devrait alors se confondre avec 
la projection Sm de SM sur le plan de la face h, d'où il ré- 
sulte que le point m^, qui représente le point M rabattu, doit 

toujours être situé sur la droite Sw. 
I 

191. Deuxième problème sur l'angle trlèdre. Étant 



JPL. 24. AN«LE TRIÉDaE. 97 

donnés deux angles plans ou faceSy et V angle dièdre compris^ 
-trouver la troisième, face et les deux angles dièdres. 

Solution. Pour obtenir un moyen de Vérification, nous 
allons résoudre les six problèmes de l'angle dièdre avec les 
mêmes données, de sorte qu'en considérant comme quantités 
connues trois quelconques des six angles A, B, C, a, 6, c de 
la figure 2, on doit toujours retrouver les trois autres pour 
la valeur des inconnues. 

Par conséquent, si nous prenons pour données dans le pro- 
blème actuel les faces a et b\ et l'angle dièdre C de la fi- 
gure 2, nous devons retrouver les angles désignés sur la 
même figure par c, A et B. 

!• Pour y parvenir, on placera d'abord les deux faces ou 
angles plans donnés aeibh côté Tun de l'autre, comme on 
le voit sur la flgA-e 2, puis on prendra le point m' à volonté, 
sur le côté extérieur de la face a ; 

2'* La perpendiculaire abaissée da point m' sur l'arête SN, 
donnera en u le sommet de l'angle C, et puisque la valeur de 
cet angle est donnée par la question, que de plus on sait 
que um'!' doi l être égal à um\ on décrira Tare de cercle m' m'", 
el l'on construira le triangle rectangle m'"um, ce qui déter- 
minera le point m \ 

3* On abaissera de ce point la droite mv perpendiculaire 
sur l'arête SO, et l'arc de cercle ir/rm^^ déterminera le point 
m^\ sur le prolongement de la droite mv, de sorte qu'en joi 
ignant m'' avec le point S, la face c sera connue. 

4*» Les angles A et B s'obtiendront comme dans le problème 
précédent qui ne dllfère du problème actuel que par l'ordre 
des opérations. 

192. Troisième problème sur Pangle trlèdre. Étant 
donnés deux faces et l'angle (^ièdre opposé à l'une d'elleSy 
trouver la troisième face, et les deux autres angles 
dièdres. 

Solution, flg. 1, pi. 25. Les données étant a, c et C, on 
construira : 

I* La face ou angle plan a, sur l'un des côtés duquel on 
prendra le poinL W à volonté ; 



98 ANGLE TRIÈDRE. PL. 25. 

2*^ La perpendiculaire m't^, abaissée du point m' sur le se- 
cond côté SN de la face v, déterminera le point Uy sonimet de 
Tangle donné G ; 

à* On construira l'angle mum"' égal à l'angle donné G, et 
l'on fera le côté nm'" égal à um' ; 

4® La droite m'"m^ perpendiculaire sur le prolongement dé 
m'Uy déterminera le point m, projection du point M sur le 
plan de la face 6 ; 

5* On tracera la droite Sm, et prenant cette droite comnie 
diamètre, on décrira la circonférence qui doit contenir le 
point V, sommet de l'angle A ; 

6° Pour déterminer le point v, on construira le trîahgle 
rectangle m'SV, dont on connaît l'hypoténuse Sm' et Faille 
aigu m'SV égal à l'angle plan c, qui est doliné par te ques- 
tion ; 

T Du point S comme centre et du rayon SV; ondécriia un 
arc de cercle qui déterminera le point v, sommet dé Tàng^le A 
sur la circonférence qui a pour dianiètre Sm ; 

8» On joindra le point v avec S, et l'angle vSw sera égal à 
la face b cherchée ; 

9° On prolongera la droite* mt;, et du point S comme centre, 
on décrira Tare de cercle m'rm\ ce qui déterminera le 
point -m'' ; 

10* On joindra m" avec le point S, et si Ton a bien opéré» 
Tangle m"^v doit être égal à Tangle donné c ; 

11*» Les trois faces ou angles plans, a» 6, c, étant alors connus 
et disposés comme dans les épures précédentes, le reste n'of- 
frira plus aucune difficulté. 

il est évident que l'angle v^m" est égal à l'angle VSm', par 
conséquent à la face o, que Ton avait portée à gauche de la 
face a, en attendant que la face b soit déterminée. 

On pourt-ait môme, si l'on avait peu de place, construire 
partout ailleurs le triangle YSm', qui n'a pas d'autre but que 
de faire connaître SV, c'est-à-dire la distance du point S au 
point V de la circonférence Sumt\ 

• 
193. Remarque. La circonférence qui a pour diamètre la 



JfU 28. AKGLB TKlàlIBB. 99 

droite Stn est coupée en deux points t; et â? par Tare de 
cerde Yvx. 

Il résulte de là que Tod pourrait prendre le point x pour 
sommet de l'angle dièdre cherché A, que nous désignerons 
ici par A^^et qui serait alors obtus au lieu d'être aigu, comme 
cela aurait lieu si Ton prenait sqn sommet au point v. 

Ainsi, les données admises, a, o et G conviennent à deux 
angles trièdres différents ; et le problème actuel correspond 
au cas de géométrie plane où l'on donne deux côtés (a, c) 
d'un triangle, et l'angle C opposé à l'un d'eux, fl^. 2. 

Pour distinguer les parties des depx angles trièdres qui sa* 
tisfont à la question, je me^rai deux accents à la droile de 
celles des parties du second angle qui diffèrent par leur gran- 
deur, ou par leur position, des parties correspondantes du 
premier. Ainsi, eii réservant la lettre A pour l'angle qui a son 
sommet en v, nous désignerons par A^ celui qui a son som*» 
met en x, et nous remarquerons que ces deux angles dif- 
fèrent par leur position et par leur grandeur, puisque l'un 
d'eux est aigu et l'autre obtus. 

Le premier, rabattu sur l'épure, devient mvm'", tandis que 
le second est rabattu en ni'^œl. 

Dans l'angle trièdre pour lequel le point v serait le sommet 
de l'angle dièdre A, la face ou angle plan b sera wSv, et la 
ikce c projetée sur le plan de la face b par le triangle vSm 
sera rabattue en vSm". 

Tandis que si l'on choisit le point x pour sommet de l'angle 
dièdre A", la face c remplacée par c'' sera projetée sur le 
plan' de la face b par le triangle x%m et rabattue en rrSm", les 
deux faces c" et c sont égales et ne diffèrent que par leur 
position. 

Dans ce dernier cas, l'angle plan ou face b du premier angle 
trièdre sera remplacé par l'angle NSO' que je nommerai 6'' et 
l'angle dièdre B, ou, ce qui est la même chose, Nm'^O devien- 
dra Nm^O', qui est désigné sur l'épure par B'^. 

Le plan qui contient ce dernier angle, ainsi que l'angle B, 
coupera les trois faces du second angle trièdre, suivant 
les droites m'N, NO' et Q'rrC^, qui sont les trois côtés du 
triangle NO'm'', au sommet rri' duquel se trouve l'angle B'' 
cherché. 



\ 



100 ANGLE TRIÈDRB. PL. 24. 

Ainsi, les six pariies du premier angle trièd^ seront 
a, &, c, A, B, C, tandis que les parties du second seront 

G, b'\ c^ A^ B^ c. 

La face a et l'angle dièdre C sont les sçulôs parties com- 
munes aux deux angles trièdres. 

La face c^^ du second est égale à la face o du premier, et ces 
quantités ne diffèrent entre elles que par leur position. 

L'angle dièdre A du premier est le supplément de l'angle A'-^ 
du second. 

Les angles b^^ et B^^ du second angle trièdre sont situés dans 
les mêmes plans que les face? 6 et B du premier, et ces quan- 
tités ne diffèrent entre elles que par leurs grandeurs. 

194. Angle trièdre supplémentaire. Avant de passer à 
la solution des trois problèmes qui nous restent à résoudre. 
Je rappellerai quelques théorèmes de géométrie élémentaire 
qui se rapportent aux propriétés de l'angle trièdre. 

I«, fîg. 5, pi. 24. Si par un point A pris à volonté dans 
l'espace, on conçoit les droites AB, AG perpendiculaires sur 
les plans P et P^ l'angle BAC que les deux droites font entre 
elles sera supplément de Vangle dièdre GOB formé par les 
deux plans, et réciproquement, Vangle dièdre formé par 
les plans P et Vi^ sera le supplément de Cangle plan formé 
par les deux dioUes AB, AC. 

2®, flg. 8. Si par un point S' pris à volonté dans Tespace, 
on abaisse une perpendiculaire sur chacune des trois faces 
SMN, SMO, SON d'un angle trièdre S, on pourra considélrer ces 
trois droites SO', S^', .s .\r comme les ar'* o<5 d'un second 
angle trièdre S' dont les faces S'M'iY,,S'0'N^ S'N'O' seront per- 
pendiculaires aux trois arêtes SN, SM, SO du premier ; d'où 
il résulte par le théorème cité précédemment, que les angles 
plans ou faces deTun de ces angles trièdres seront les sup- 
pléments des angles dièdres coiTespondants du second^ et 
que les faces ou angles, plans du second serorit les supplé- 
ments des angles dièdres du premier. Ainsi, en exprimant 
par A, B, C, a, 6, c, les six éléments de l'angle trièdre qui a 
son sommet en S et par A', B', C', a^h'^c' les six éléments 
du second angle trièdre, on aura toujours les équations 



PL. 24* ANGLE TRIÂDRB. 101 

4 



A-f-a'=180* 
B+6'=180* 
C + c' = 180O 



a + A'=180- 
6 -j. B' = 180° 
c + C = 180* 



Pour rappeler cette propriété, on dit en géométrie que les 
deux angles Irièdres S et S' sont supplémentaires l'un de 
l'autre. 

195. Si les trois sommets A, B, C d'un triangle sphérique, 
flg. 6, sont les pôles de trois côtés d*un second triangle tracé 
sur la nième sphère, on sait {Géom.) que les. sommets du 
second triangle seront les pôles des côtés qui leur sont oppo- 
sés dans le premier, et qu'en outre les côtés de l'un quel- 
conque de ces deux triangles seront les suppléments des 
angles qui leur sont opposés dans le second^ de sorte que 
les six équations ci-dessus auront encore lieu entre les sir 
parties A, B,X, a, b, c du premier triangle et les six parties 
A^B^ C, a',ft', c^dusecond. 

La coïncidence qui existe, entre les deux théorèmes que 
nous venons de citer, provient de ce que, si le triangle ABC 
de la figure 6 était la base d'une pyramide triangulaire qui 
aurait son sommet au centre de la sphère, le triangle A'B'C 
serait la base d'une seconde pyramide qui aurait lé même 
sommet que la première, mais dont les arêtes seraient perpen- 
diculaires sur les plans des grands cercles qui forment les 
côtés du triangle ABC : de sorte que le troisième théorème 
ne différerait pas du second, si Ton faisait coïncider le point 
SMe la figure 8 avec le point S, et si l'on remplaçait les trois 
arêtes S'O', S'M', S'N' par leurs prolongements com(ne on le 
voitsur la figure 11. 

Les deux triangles sphériques de la figure 6 résulteraient 
alors des intersections de la surface d'une sphère qui aurait 
pour centre le sommet commun aux deux angles trièdres, 
par les six plans qui en forment les faces. 

La figure 9 de la planche 24 est le développement de 
l'angle trièdre supplémentaire de celui qui avait été choisi 
pour sujet de la figure 2, de sorte que tous les^angles de la 
figure 9 sont remplaças sur la figure 9 par leurs supplé- 
inents. 



102 . ASGi.e THièQiii:. pl- 2Li. 

Il résulte de là que les six parties de l'angle trièdrî, flg. 2, 
étant aiguës, leurs suppléments, ftg. 9, sont obtus ; mais 
cela ne change rien à la manière de résoudre le' problème ; 
les opérations sont absolument les mômes et doivent être 
exécutées dans le même ordre, la position des points ou des 
lignes obtenues fait toute la différence des deux épures. 
J'engagerai donc le lecteur a exécuter sur la figure 9 toutes 
les opérations qui ont été indiquées au n» 188 pour la fi- 
gure 2. 

Pour rendre ce travaiil plujs facile, j'ai désigné par tes 
mêmes lettres tous les points et lignes correspondant» des 
deux figures. . 

On remarquera cependant que les six parties de ce nouvel 
angle trièdre sont désignées par des lettres accentuées. De 
sorte que, pour reconnaître sur la figure 9, toutes les opéra- 
tions qui ont été indiquées plus haut pour la figure 2, il suffira 
de remplacer les quantités a, b, c, A, B, C, par u\ h\ c'. A'» 
B', C. • 

Toutes les vérifications qui ont été indiquées au n' 190, 
pour la figure jlS, auront également lieu sur la figure actuelle. 

Ainsi la circonférence qui a Sm pour diamètre contiendra 
' les points ?/ et v. 

Les points m^'' et ^n'^ seront situés sur un.même arc de 
cercle décrit du point m comme centre. 

L'angle m"'mm^^ sera égal à l'angle plan ou face 6'. 

La droite iNO sera perpendiculaire à Sm. Et cette dernière 
droite contiendra le point rrC qui est le sommet de l'angle 
dièdre B'. . > 

196. Quatrième problème ramené au second par 
les suppléments. Les principes rappelés au n* 194 per- 
mettront de ramener la solution des trois derniers problèmes 
à celle des trois premiers ; en effet, supposons pour le qua- 
trième problème que les données soient les deux angles 
dièdres A, B et la face c, qui leur est commune, on construfra, 
fig. 15, 16 et 14 : 



1" 


180» — A = a'; 


2" 


180« — B — 6'; 


3* 


180' — c = C. 



9h. 24. ANGLE TRIÈDRE. 103 

Il est évident, alors, que la question est ramenée au 
deuxième problème, pour lequel on connaissait les deux feces 
a, bel l'angle dièdre compris C, de sorte qu'il ne reste plus 
-qu'à exécuter mot à mot, avec les nouvelles données, toutes 
les constructions indiquées au numéro t&i pour les données 
<z, 6 et G. 

Puis, lorsqu'on aura obtenu c' A' et B', on aura 

1" . 180» — c' = G ; 

2» 180» — A' = a; 

3" 180' — B' = 6, 

Ainsi, étant données A, B et c, on aura trouvé C, a et b. 

Je ferai seulement remarquer que si les angles donnés A, 
B, c sont aigus, leur supplément a% f, et G' seront obtus, ce 
•qui donnera la figure 9 au lieu de la figura 2 que Ton avait 
obtenue pour la solution du deuxième problème ; mais cela 
ne changera rien à Tordre des opérations. 

197. Deuxième solution du quatrième problème 
^ePangrletrièdre. Étant donnés deux angles dièdres et la 
/ace qui leur est commune, trouver les deux autres faces et 
le troisième angle dièdre. 

Lesdorinées étant i, A et C, tïg. 2, on construira : 

!•» L'angle w^'^^mm^v ég^l à l'angle plan donné b (190); 

2** Le triangle rectangle mm"'u pour lequel on connaît un 
^té mm*" dont la grandeur peut être prise à volonté, et 
J'angle donné G ; 

3° Le tnaqgle FBetj^agle mnk^v dQpt on connaît le cOté 
mm^^ égal à mm et l'angle donné A ; 

4* Les deux droites Sw et Sv parallèles aux côtés mm^^' et 
.mm^ de l'angle m"'mm^ détermineront le point S et Taqgle 
ifSt; égal à 6. 

Gela étant fait, il ne restera plus aucune difficulté ; aû|si : 

5* Le triangle rectangle Si^m', dont on connaît le côté Su 
•et le côté tim' = um/", déterminera Tangle plan ou face a ; 

6« Le triangle rectangle svm*" dont on connaît Su, et le 
côté vm" = vmiv déterminera l'angle plan o. 



d04 ANftLE TRIÊDRE. PL. 25^ 

70 Enfin l'angle B se construira comme dans les premier et 
deuxième problèmes. 

198. Cinquième problème ramené au troisième par 
les suppléments. 

Les données étant A, Ç et c, on construira, flg. 15, IT 
et 14 : 

l^ 180^ — A = a'; 

2» 180« — C=c'; 

3^ 180^ _ c = C ; 

et la question sera évidemment ramenée au troisième pro* 
Wème, pour lequel les données étaient les faces â, c, et. 
l'angle dièdre C opposé à l'une d'elles. 

11 ne restera donc plus qu'à exécuter avec les nouvelles, 
données a', d et C toutes les opérations indiquées au n© i92„ 
pour les données a, c et C ; puis, lorsqu'on aura obtenu y k^ 
et B^ on aura 

1*» 180° — 6' = B; 

2^ 180° — A'==a; 

3° 180° — B' = 6. 

Ainsi, connaissant A, C et c, on aura trouvé B, a et ft. 

Je n'ai pas tracé, sur la figure 9, les constructions indi^ 
quées au numéro 192, parce que la solution que nous allons, 
donner est beaucoup plus simple. 

199. Deuxième solution du cinquième problème de 
l^angrle trièdre. Étant donnés deux angles dièdres et la- 
face opposée à lun d*eux, trouver les deux autres faces et 
le troisième angle dièdre. 

Les quantités données étant A, C et a, on construira, 
pi. 26, fig. 3 : 

!• L'angle donné a sur l'un des côtés duquel on prendra, 
un point quelconque m' ; 

2? La perpendiculaire abaissée de ce point m\ sur le se- 
cond côté SN de l'angle a, déterminera le point m, sommet 
de l'angle donné C ; ^ v 



PL. 26. ANGLE TRIÈDRE. 105 

3** On construira le triangle rectangle mum''^, dont on con- 
naît l'angle C, et Thypoténuse um^'^ égale à um' ; 

40 On tracera la droite mS, et sur cette droite, comme dia- 
mètre, on décrira la circonférence qui doit contenir le point 
V, sommet de Tangle A donné ; 

5° Pour déterminer la place du point v sur la circonférence 
qui a &m pour diamètre, on construira le triangle rectangle 
m\m''\ dont on connaît le côté mm'" de Tangle droit, et 
l'angle mym/'' égal à l'angle donné A* ; 

6° Du point m comme centre, avec une ouverture de com- 
pas égale à mV, on décrira l'arc de cercle Vv, ce qui déter- 
minera la position du point v sur la circonférence qui a Sm 
pour diamètre ; 

?• On joindra le point v avec S, et Tangle wSu sera la face' 
ou angle plan b ; 

8** Dès que la face b sera connue, on déterminera Tépure en 
opérant comme pour le deuxième problème. 

200. Sixième problème ramené au premier par les 
suppléments. 

Étant donnés les trois angles dièdres A, B et C, trouver les 
trois angles plans ou faces a, b, c. 
Solution. On* construira, flg. 15, 16 et 17, pi. 24 : 

io 180*» — A=a^• 

2* 180^ — 8 = 6'; 

3o • 180° — C=c'. 

La question se trouve alors ramenée au premier problème, 
pour lequel on connaissait les trois faces a, b, c. 

Ainsi, en exécutant sur la figure 9 avec les nouvelles don- 
nées a\ b\ c', toutes les opérations indiquées au nunjéro 188, 
pour les données a, 6, c, on obtiendra les trois triangle» 
dièdres A', B', C, dont les suppléments a, 6, c seront les quan- 
tités demandées. 

201. Deuxième solution du sixième problème. 
Concevons, fig. 8, pi. 26, un cône circulaire dont la gêné- 



if)^ ANGLE TRlÈpRE. PL. 26. 

ralrjce OA îeml, avec le plan P, un angle V ; il est évident 
[Géom.) que tout plan, tel que P^, qui serait tangent au cône, 
ferait .également un angle V avec le plan P. D'après cela, étant 
donnés les trois angles dièdres A^ B et C : 

l* Concevons, flg. 1, un plan de projection perpendiculaire 
à la droite, suivant laquelle se coupent les plans P et P^ qui 
contiennent les deux faces a et c que Ton veut obtenir. L'angle 
donné B sera projeté sur ce plan dans sa grandeur réelle ; 

2** Si par un point 0, pris à volonté dans Tintérieur de l'angle 
msn, on conçoit la droite Ou, faisant avec le plan P Tangle G 
donné, cette droite Ou, tournant autour de Oq perpendiculaire 
au plan P, engendrera un cône circulaire Otz^ et tout plan 
tangent à ce cône fera avec le plan P, par conséquent avec la 
face a, un angle dièdre égal à l'angle C donné ; 

3** Si par le point on conçoit une seconde droite Oy, fai- 
sant avec le plan P^ Tangle A donné par la question, cette 
droite Ov tournant autour de Og, perpendiculaire au plan P^ 
engendrera un second cône circulaire Oie, et tout plan tangent 
â ce dernier cône fera avec le plan P^, et par conséquent avec 
la face a, un angle di^èdre égal à l'angle A donné ; 

4** Il est donc évident que tout plan qui sera tangent aux 
deux cônes 0^2 et Oie contiendra la face &, puisqu'il coupera 
le plan P ou la face a, suivant l'angle et le plan P, ou la 
face c, suivant l'angle A. 

5^ Pourconstruire un plan tangentaux deux cônes 0^2 et Oie, 
il faudra se rappeler un théorème connu dont voici l'énoncé: 

Si l'on Conçoit, fig. 9, qu'une sphère soit pénétrée par un 
cône, de manière que l'une des courbes de pénétration TZ 
soit un cercle, la seconde courbe lE sera pareillement circu- 
laire [2m). 

Réciproqqement, si deux cercles TZ, lE sont situés sur la 
même sphère, on pourra toujours concevoir une surface co-- 
nique qui les contiendra tous deux (207) ; 

&> Ce qui précède étant admis, si l'on trace sur la figure 
première les deux droites (i et ze, le point x, suivant lequel 
ces deux droites se rencontreront, sera le sommet d'un cône 
qui contiendra les deux cercles tz et ie, de sorte que si l'on 
joint le point x avec le point 0, sommet commun des deux 



premiers cônes, la droite ^0 sera l'iatersection de deux plans 
qoi toucheront en même temps les teois cônes, et qui pour- 
ront être pris, l'un ou Tautre, pour la face b demandée, puis- 
qu'ils couperont le plan P ou la face a suivant Tangle donné C 
.et le plan P, ou la face c suivant l'angle donné A ; 

7o De ce que, par la droite Qx, on peut mener deux plans 
tangents aux trois cônes, il semblerait qu'il peut exister deux 
angles dièdres satisfaisant aux conditions données : mais ces 
deux angles étant placés symétriquement par rapport au plan 
de projection que Ton a choisi, et les parties symétriquement 
placées étant égales chacune à chacune, nous ne considérerons 
pas ces deux angles trièdres comme deux solutions différentes, 
et nous ne prendrons que les parties de l'angle trièdre situé 
au-dessus du plan de projection qui contient le point ; 

8** Pour obtenir les faces a, b, c, nous supposerons que les 
plans Pet P^ qui contiennent ces faces se renversent l'un à 
g;auche et l'autre à droite de l'épure, tandis que le plan tan- 
gent aux trois cônes se rabsit autour de la droite mn^ qui 
contient les sommets x eib \ 

9*» Dans ce mouvement, les points w et n ne changeront pas 
de place; la circonférence décrite du point q, comme centre,^ 
sera l'intersection du côneOte, par le plan P et la tangente ms', 
sera l'intersection du plan P, qui contient la face a\ par le plan 
q^ui est tangent aux trois cônes, et qui contient la face b ; 

10* La circonférence décrite du point g comme centre est 
l'intersection du cône Oie par le plan P^ et la tangente ns" 
est la droite suivant laquelle le plan P^ qui contient la face c, 
est coupé par le plan de la face b ; 

1 1° Les droites 5/ et w" perpendiculaires, la première sur ms 
et la seconde sur n$, doivent être égales entre elles^ puisque 
chacune d'elles représente la perpendiculaire abaissée du 
point S de l'espace sur le plan de la projection B. 

Cette perpendiculaire est l'intersection des deux plans 
P et P| ; 

1-2» Enfin, les droites /m, mnetm''' sont les trois côtés 
du triangle, au sommet duquel se trouve l'angle m^'"n 
égal à la face demandée 6, que l'on suppose ici rabattue sur 
l'épure en tournant autour de la droite mn\ 






10^ AKGLÊ TRIÈDRE. PL. 26. 

13** Dans ce mouvement, le points de l'espace décrit un 
arc de cercle projeté sur le plan de l'épure, par la droite ss^^\ 
qui par conséquent doit être perpendiculaire sur mn. 

Remarque. Si le point x était trop éloigné, ou si les deux 
droites tielze se coupaient trop obliquement, on tracerait : 

1** La droite t'z' parallèle klz ; 
2« La droitei t'o' parallèle à iO ; 
3** Là droite z'o' parallèle à zO. 

On déterminerait ainsi le point o' homologue du point 0,^ 
et la droite Oo' passerait par le point x qui est le centre de 
similitude des deux triangles tzO, H'o' (Géom.). 

202. Troisième solution du sixième problème. 

On peut éviter .remploi du cône qui a son sommet en a?, 
en opérant fle la manière suivante : 

1** Les données étant les mêmes que pour le problème qui 
précède, on disposera Tépure comme sur la figure 1, c'est-à- 
dire que Ton prendra, flgr. 3, un plan de projection perpen- 
diculaire aux plans P et P, qui contiennent les faces deman- 
dées a et c. L'angle msn sera par conséquent égal à l'angle B 
donné ; 

•2<* On choisira un point quelconque, situé où Von voudra 
dans rintérieur de l'angle msn, et de ce point comme centre, 
on décrira un cercle que Ton pourra considérer comme la pro- 
jection d'une sphère dont Je rayon Or peut être pris à volonté; 

3° On construira la tangente ici/, qui fait avec le plan P 
l'angle donné C ; puis, faisant tourner cette tangente autour 
de la droite qx perpendiculaire au plan P, on engendrera un 
cône circonscrit à la sphère du rayon Or, et toupies plans tan- 
gents à ce cône feront évidemment l'angle G av^c le plan P 
et par conséquent avec la face a qui coïncide avec Ce plan ; 

4° On construira ensuite la tangente zv, qui fait avec le plan P^ 
un angle svz égal à l'angle donné A; puis, -faisant tourner cette 
tangente au tour de la droite sp, perpendiculaire au plan P^, on 
engendrera un second cône circonscrit à la sphère, et tous les 
plans tangents à ce deuxième cône feront l'angle A avec le 
plan P^ et par conséquent avec la face c qui est située dans ce 
plan ; 



FI«. 2& ASaLfi TRIÂDBE. 409 

5^ Il est donc évident qu'il ne restç plus pour obtenir la 
face b qu'à construire un plan tangent aux deux cônes. 
. Pour y parvenir on tracera successivement : 

6* La droite zœ qui contient les sommets des deux cônes, 
et qui perce les planés P et P^ aux points m et n ; 

?• La circonférence décrite du point g, 'comme centre avec 
le rayon uq, sera la section du premier cône par le plan P 
qui contient la face a ; , \ . * 

8<» La tangente m/ sera l'intersection du plan P de la face ^, 
par le plan qui est tangent aux deux cônes, et qui doit con- 
tenir la face 6 ; 

9« La droite ss', perpendiculaire sur ms, sera l'intersection 
des plans P et P^ ou, ce qui est la même chose, des faces a 
et c ; 

10» L'angle ms'* sera par conséquent égal à la face de- 
mandée a ; 

11* La circonférence décrite du points comme centre avec 
le rayon gv, sera la section du second cône par le plan P< de 
la face c ; 

12^ La tangente n^' sera l'intersection du plan P^ de la 
fece c, par le plan de la face 6, qui est tangent aux deux 
cônes ; 

13« La droite ss'' perpendiculaire sur ns doit être égale 
à ss\ puisque ces deux lignes, ramenées à leur place, n'en 
feraient qu'une seule proje'téejpar le point s, et provenant de 
l'intersection des faces aetc\ 

14" L'angle n'ss sera égal à la face demandée c ; 

15° Enfin, les trois droites s'm, mn ei ns" seront les trois 
côtés du triangle au sommet duquel est situé Tangle ms'"n 
égal à la face b cherchée ; 

16** L'angle ms'^^n représentant la face b rabattue sur le 
plan de l'épure, la droite ^^'', projeciioa de Parc de cercle 
parcouru par le point S de Tespape, doit par conséquent être 
perpendiculaire sur la droite mn autour de laquelle se fait 
ie rabattement. 

203. Théorème. Concevons, flgr. 4, deux plans P et 9^ 
situés d'une manière quelconque dans l'espace ; 



CoDcevoDs de plus une droite AB perpendiculaire à } ua des 
deux plans donnés, jau plan P| par exemple ; 

Si par la droite AB nous cohcevons le plan ABC, perpendi* 
culaîre sur la droite CS intersection des deux plans P et ?<, le 
plan ABC coupera les deux plans P et P4 suivant les droites BC 
et CA ; l'angle BCA sera Tangle dièdre formé par les deux plans 
P et P4 et Tangle ABC mesurera Tinclinaison de la droite AB 
sur le plan P ; . • 

Or, la droite BA étant perpendiculaire sur le plan P^ le 
triangle BAC est rectangle en A, et les deux angles B et C sont 
compléments Tun de l'autre. 

Par conséquent, si Ton veut construire un plan P4 faisant 
avec le plan P un angle donné ACB, on pourra opérer de la 
manière suivante : 

i^" On tracera une droite quelconque AB faisant avec le 
plan P un angle ABC, complément de l'angle donné ACB ; 

2o On construira un plan P| perpendiculaire à la droite AB. 

204. Quatrième solution idti sixième problème. 

Les principes qui précèdent donnent une solution extrê- 
mement simple pour le sixième problème de l'angle trièdre. 
En effet, supposons, ûg. 7, 

10 Que la face demandée b coïncide avec le plan horizontal 
de projection que je désignerai par P ; 

2» Construisons le plan P^ perpendiculaire au plan vertical 
de projection, et faisant avec le plan P l'angle mVz égal à 
Tangle dièdre donné A. Le plan P| contiendra la face c qui est 
une des quantités cherchées. 

11 ne restera plus qu'à construire un troisième plan faisant 
l'angle C avec le plan P et l'angle B avec le plan V^ ; 

3*^ Pour obtenir ce résultat, on construira d'abord, 
Figure 5, l'angle c^\ complément de l'angle C donné, et 
Figure 6, l'angle M, complément de l'angle B qui est éga- 
lement connu ; 

4** On, tracera ensuite sur la figure 7 les droites 5V et *'o"', 
de manière que l'angle 0V2 soit égal à l'angle c'^ de la figure 
5, et que l'angle o'^'s'm' soit égal à l'angle b^ de la figure 6 ; 

S"" Les deux droites s'a" et ^c/'^ étant situées dans le plan 



PL. 26. AUGIE TftlèDKE. tli 

vertical de projection, âui'ottt la lîgae AZ pmt projection 
horizontale commutie ; 

6*^ Si Ton fait actuellement tourner 5V autour de la dWite 
s'v, qui est perpendiculaire au plan P de la fece 6, on engen- 
drera un cOne circulaire dont la génératrice s^o^ fera toujours 
l'angle c^^ avec le plan P de la face b ; 

V Si Ton fait ensuite tourner s'o^'^ autour de la droite s'x, 
qui est perpendiculaire au plan P^ de la face c, on engendrera 
un second cône circulaire dont la génératrice s'o'" fera tou*- 
jours Tangle 6^' avec le plaù P, de la face b ; 

80 Or, les deux cônes engendrés par les droites 5'o" et 5V'' 
ayant le point s' ppur sommet commun, se couperont suivant 
une génératrice commune, qui fera l'angle c" avec le plan P 
de la face &, et l'angle b"" avec le plan P^ de la face c ; 

9* Pour obtenir un second point de cette génératrice, qui 
contient le point y, on décrira de ce point, comme centre, 
un arc de cercle quelconque hy ; 

10° Cet arc peut être considéré comme appartenant, à la 
projection verticale d'une slphère qui coupera le cône en* 
gendre par 5V, suivant un cercle projeté sur le plan vertical 
par V ; 

11® La même sphère coupera le cône engendré par ^V, 
suivait un cercle parallèle au plan ?^ et projeté sur le plan 
vertical par la droite o^'f(y ; 

12* Les deux cercles oV et o"V étant situés sur la même 
sphère se rencontreront en un point, dont }a projection verti- 
cale âera 0', et dont la projection horizontale sera située 
sur la projection horizontale de Tare, de cercle décrit par le 
point (/' ; 

13* Joignant le point s" avec les deux points et 0', on ob- 
tiendra les droites ^o, s^o^ pour les deux projections de la 
génératrice commune aux deux cônes ; 

14* Si Ton construit actuellement un plan P^ perpendicu- 
laire à la droite s'o, ^0' que l'on vient d'obtenir, il résulte 
évidemment de ce que nons avons dit (203), que ce plan P^ 
coupera le plan P de la face b suivant un angle C, complément 
de c'\ qui exprime l'inclinaison de la droite ^o, *V sur le 
plan P, et que par la même raison* l'angle formé par les 



112 ANGLE TRIÈDBE. PL. 26. 

plan3 P| et P^ sera égal à langle B, complément de l'anglp V' 
que la droite s'o^ s'o' fait avec le plan P, ; 

15° Le plan P2 contiendra donc la face demandée a, et les 
trois plans P, P^ et Pj formeront lés trois faces de l'angle 
trièdre dont le sommet sera situé au point S sur le plan ho-^ 
rizontal de projection. 

16° Il ne restera plus, pour obtenir les trois faces deman- 
dées a, 6, c, qu'à développer l'angle trièdre-en faisant tourner 
les plans P^ et P« autour de leurs traces horizontales. 

Dans ce mouvement, le point m' tournant avec la face c, 
viendra se placer en m'^' sur la ligne AZ, et le même point 
tournant avec la face a, se rabattra en m'' que Ton obtiendra 
€n construisant le triangle rectangle zrmf' dont on connaît le 
côté de l'angle droit zr et l'hypoténuse 2m" égale à zm' (152). 

205. Problème, flg. 10. Étant données les trois faces 
a, b, c d'un angle trièdre^ on demande les angles que cha- 
cune des arêtes fait avec la face qui lui est opposée. 
. Solution. Pour faciliter Texplication de l'épure, j'expri- 
merai par X l'angle que l'arête Sv fait avec la face a qui lui 
est opposée ; par Y, l'angle que l'arête Siù fait avec la face 
opposée c, et par Z, l'angle que l'arête SM de l'espace fait avec 
la face opposée b, qui coïncide ici avec le plan de la figure. 

Nous rappelons d'abord {Géom.) que l'angle qui mesure 
l'inclinaison d'une droite sur un plan est égal à l'angle que 
cette droite fait avec sa projection sur le i-lan dont il s'agit. 
Ainsi, fig. 4, si l'on voulait avoir l'angle que la droite BC fait 
avec le plan P^ il faudrait :. 

1^* Construire BA perpendiculaire sur P^ ; 

2* Déterminer les points A et C ; 

3** Tracer la droite AC ; 

4** Mesurer l'angle ACB. 

D;après cela, si par le point k de la droie Su, flg. 10, on 
conçoit une perpendiculaire sur le plan V^ de la face c, cette 
perpendiculaire, rabattueautourde ftu,* deviendra Ao ; de sorte 
que, si l'on ramène la droite AS en A*'" au moyen de l'arc S^'", 
décrit du point k comme centre, la droite os^^' sera là pro- 
jection de ks''' sur le plan de la face c, et l'angle ks'"o = X 



PL. 26. ANGLE TRIÈDRE. 113 

exprimera l'inclinaison de Tarêle SA; sur le plan de la face c 
•qui lui est opposée ; une opération analogue déterminera 
l'angle Y que Tarête §y fait avec la face opposée a. En effet, 
si par le point h de l'arête Sv on conçoit une perpendiculaire 
sur le plan P2 de la face a, cette perpendiculaire rabattue ' 
autour de hu deviendra he \ de sorte que, si l'on ramène la 
droite h& en hs'' en décrivant l'arc de cercle 55'^du point h^ 
€orame centre, la droite /î5" sera la projection deTarèteAv 
sur le plan de la face a, et l'angle hse = Y exprimera Tin- 
-ciinaison de l'arête SA sur le plan de la face a qui lui est 
opposée. 

La construction, pour avoir l'angle Z, sera encore plus 
simple. En eftet, si l'on se rappelle, que dans toutes les figures 
précédentes, la droite Sm est la projection de la droite SM de 
l'espace sur le plan de la face b qui lui est opposée, il est 
«évident qu'en ramenant wS dans la position ms! perpendicu- 
laire à mm'^', la droite s'm^'^ représentera la droite SM de 
l'espace ; ms' sera égale à la projection de SM sur le plan de 
la face 6, et l'angle m'^'s'm = Z exprimera l'inclinaison de 
Varète SM de Tespace sur le plan de la face b qui lui est 
opposée. * 

Si au lieu des trois faces on connaissait quelques-unes des 
autres parties de l'angle trièdre, on commencerait par cher- 
cher les faces, et Ton agirait ensuite comme nous venons de 
ie dire. 

206. Le problème qui précède complète évidemment la 
■solution de tous les problèmes dont le but serait de déterminer 
les relations qui résultent de l'intersection de trois plans, et 
quoique nous n'ayons étudié qu'un seul des huit angles 
trièdres qui sont représentés sur la figure 10 de la planche 24, 
il n'en est pas moins vrai que Tune quelconque des épures 
précédentes suffira toujours pour faire connaître toutes les 
parties des huit angles qui ont le point S pour sommet com- 
mun, puisque celles de ces parties qui ne sont pas égales aux 
éléments de l'angle trièdre que nous avons étudié en sont 
nécessairement les suppléments. 

Ainsi, en exprimant comme nous l'avons fait au numéro 187, 
l'angle MSN par a, l'angle NSO par b et l'angle OSM par c ; 

8 



114 ANGLE TRIÈDRE. PL. 26, 

appelant en outre les suppléments de ces trois angles A', B', C. 
Les faces des angles trièdres en commençant parles quatre 
qui sont situées en deçà du plan P| et tournant de N en M, la 
flg. 10, seront : 



1" 


a, è, c, 


V 


A', B', c, 


3* . 


B', C, a, 


4* 


A', C, h ; 



et pour les quatre angles situés derrière le plan "9^ on aura 
en tournant dans le même sens : 



5». . 


B', C, a, 


6* . . 


A', C, 6, 


7* 


a, 6, c, 


8« ....... i 


A', B', c. 



On remarquera que les angles opposés par le sommet sont 
composés des mêmes faces ou angles plans disposés dans un 
ordre symétrîqurs. 

207. Problème. Étant donnés les angles que deux 
droites font avec la verticale, et l'angle que ces mêmes 
droites font entre elles, on demande de construire l'angle 
formé par leurs projections horizontales. 

Solution. On pourra considérer les deux droites dont il 
* s'agit, et la verticale, comme les trjpis arêtes d'un angle 
. trièdre dont on construira le développement; lig. 2, pi. 26- 

La face a sera Tangle que Tune des deux droites s'm^^ fait 
avec la verticale s's. 

La face b sera Tangle que cette verticale fait avec la seconde 

droite 5'U. 

Enfin la face c sera l'angle que les droites obliques ^'M, ^U 
font entre elles. 

Les' droites s^m^^ *et s^m'^' sont égales puisqu'elles repré- 
sentent toutes deux la droite SM de l'espace. 

L'angle trièdre étant développé, flg. 2, il ne reste plus 



PL. 26. ANGLE TRIÈDRE. 115 

qu'à ramener les faces a et c à la place que chacune d'elles 
doit occuper dans l'espace. On obtiendra par ce moyen 
l'angle C pour la projection horizontale de l'angle c que les 
droites SM et SD font entre elles. 

On dit alors que l'angle que les deux droites données font 
entre elles est ramené à l'horizon. 

208. Théorème. Pour résoudre, au numéro 201, le 
sixième problème de l'angle trièdre, nous avons appliqué un 
théorème dont on trouve la démonstration dans les traités 
d'analyse, mais on peut démontrer facilement ce théorème 
par la géométrie élémentaire. 

En effet, flg. 9, un cercle qui a pour diamètre TZ étant 
situé sur une sphère quelconque, si l'on prend à volonté le 
point X pour sommet d'un cône qui aurait pour directrice la 
circonférence du cercle TZ, il s'agit de prouver que la courbe 
lE, suivant laquelle le cône perce la surface de la sphère, 
est également un cercle. 

Pour y parvenir, nous prendrons comme plan de projection: 
le plan du grand cercle qui contient le point X, le centre 
de la sphère, et le centre C du cercle TZ. 

Ce plan de projection contenant la ligne droite CO sera 
perpendiculaire au plan du cercle donné TZ, dont la projec- 
tion se réduira par conséquent à son diamètre TZ. 

Les génératrices TX et ZX du cône seront situées dans le 
plan de projection, et la droite lE sera une corde du grand 
cercle TZEI. 

Le rône sera du second degré, puisque la courbe direc- 
trice TZ est un cercle. 

Or, si nous concevons par la droite lE un plan perpendicu- 
laire au grand cercle TZEf, la section du cône par ce plan 
sera une courbe que nous pourrons admettre provisoirement 
comme une ellipse, en admettant que nous ayons prouvé 
qu'elle est circulaire. 

Le plan du grand cercle TZEI est un plan de symétrie par 
rapport au cône, puisqu'il contient le sommet X, et qu'il est 
perpendiculaire au plan du cercle directeur TZ, dont il con- 
tient le centre. 



y 



116 ANGLE TRIÉDRE PL. 26. 

De plus, le plan P étaùl perprndiculaire au plan de projec- 
tion TZX, il s'ensuit que la courbe lE sera coupée par ce plan 
en deux parties symétri^es, et que la droite lE sera l'un 
des axes principaux de l'ellipse. 

Cela étant admis, concevons par un point quelconque de la 
courbe lE un plan P, parallèle au plan du cercle TZ, la section 
du cône par le plan P^ sera un cercle, puisque les deux sec- 
tions parallèles TZ et HK doivent être semblables {Géom.). 

Mais, le quadrilatère TZËl étant inscrit dans un cercle, 
l'angle TZU sera égal à l'angle HIm comme ayant le même 
supplément CZE. 

L'apgle CZU est égal à l'angle mKE comme correspondants, 
d'où il suit que les angles HIm et mKE sont égaux entre eux, 
puisqu'ils sont tous les deux égaux à l'angle CZU. 

De plus, les angles ImH, K^nE sont égaux comme opposés 
par le sommet ; par conséquent, les triangles ImH et mKE 
sont semblables, et Ton a la proportion : 

Hm : mE ^ Im : rnK, d'où 

(i) UmxmK = mExlm; 

or, la courbe HK, semblable à TZ, est une circonférence de 
cercle, et si nous exprimons par y la perpendiculaire abaissée 
sur le plan de projection par le point de rencontre des deux 
courbes HK et lE, nous aurons [Géom.) : 

(2) . 2/* =L Hm X mK. 

Multipliant Téquation (1) par (2) et réduisant, on aura : 

y« = mExIm; 

donc, puisque l'ordonnée du point m est moyenne propor- 
tionnelle entre les deux segments Im et mE, il s'ensuit que 
la section du cône par le plan P est un cercle qui a pour 
diamètre la droite lE. 

Mais ce même cercle sera . évidemment la section de la 
sphère par le plan P. Donc le cercle lE, situé en même temps 
sur le cône et sur la sphère, sera l'intersection de ces deux 
surfaces. 



PL. 26. " ANGLE TRIÈDRE. ^ lit 

209. Réciproque du théorème prédédent. Deux 
cercles TZ et lE étant situés sur une sphère, on peut toujours 
concevoir une surface conique qui les contiendrait tous les 
deux. 

Pour le démontrer, concevons comme ci-dessus la sphère 
projetée sur le plan du grand cercle TZIE qui contient les 
centres des deux cercles TZ et lE. 

Les projections de ces deux cercles se réduiront alors à 
leurs diamètres, et si Ton prolonge les droites TI et ZE, on 
obtiendra un point X situé dans le plan du grand cercle qui 
contient les quatre points TZEI. 

Supposons actuellement que le point X soit pris pour som* 
met du cône dont les génératrices s'appuieraient ^ur le 
cercle TZ, je dis que le cercle lE sera situé sur la surface de 
ce cône. 

En effet, concevons une génératrice quelconque XM, et dé- 
signons par m le point suivant lequel la projection de cette 
génératrice rencontre la projection du cercle lE. 

Si par le point m on conçoit un plan P^ parallèle à celui 
qui contient le cercle TZ, ce plan coupera le cône suivant un 
cercle KH, puisque les sections d,u cône par les deux plans 
parallèles TZ et tiK doivent être semblables. 

Or, si par le point m, nous concevons une droite perpen- 
diculaire au plan de projection, cette ligne rencontrera les 
deux cercles lE et HK en deux points que nous supposerons 
différents jusqu'à ce qu'il soit démontré que ces deux points 
coïncident, et si nous exprimons par y l'ordonnée du cercle 
lE, nous aurons {Géom.) : 

m 

(1) 2/* = lwXmE; 

mais si nous exprimons par Y l'ordonnée du cercle HK, nous 
aurons également : 

{2} HmXmK = Y«. 

De plus, la similitude des triangles ImH, mKE donnera» 
comme ci-dessus : 

(3) im X mE = Hm X mK. 

Or, si l'on ajoute' ou si l'on multiplie entre elles les (équa- 
tions {!), (2) et (3), on aura après toutes réductions : 



118 Xngle TRIÈDRE. ^ PL. 26. 

I • 

d'où Ton peut évidemment» conclure que les cercles lE d^la 
sphère, et HK du cône, se coupent en un point qui est pro- 
jeté en m sur le plan du grand cercle TZEl. . 

11 résulte de là que la génératrice XM du cône s'appuie sur 
les deux cercles TZ et lE. 

On démontrerait de la même manière que toutes les géné- 
ratrices du cône, qui a poui* directrice la circonférence du 
cercle TZ, rencontrent celle du cercle lE ; d'où Ton peut con- 
clure que les circonférences TZ, lE sont, situées sur la sur- 
face du cône qui a le point X pour sommet. 

210. Tout ce que nous venons de dire peut être appliqué 
facilement au cas où le sommet du cône serait pris entre les 
plans des deux cercles TZ et lE. 

211. Enfin, il est évident que le théorème s'applique éga- 
lement au cas où les deux cercles TZ et lE seraient égaux, ce 
qui éloignerait le point X jusqu'à Tinfini, et .changerait par 
conséquent le cône en un cylindre. 

Ainsi, lorsque Vune des courbes de pénétration d'une 
sphère par un cylindre est un cercle, la seconde courbe de 
pénétration est également circulaire. 

212. Problème. Trois points 'étant donnéSy on veut 
déterminer un quatrième point dont on connaît les distances 
aux trois premiers. 

Exprimons les points donnés par M, N, V, pi. 27, et le 
point cherché par U. Supposons de plus que Ton doit avoir 
MU = 1 mètre-y ; VU = 8 mètres et NU = 9 mètres; il est 
évident que la question revient à construire le quatrième 
sommet d'un tétraèdre qui aurait pour base le triangle MNY 
et dont les arêtes adjacentes aii point U seraient égaies aux 
trois distances données. Pour y parvenir, on pourra opérer 
de la manière suivante : ^ * 

lo On déterminera les traces du plan P qui contient les 
trois points donnés ; 



« 



\ 



9h. 27. ANGLE TRIÈDRE. 119 

2* On projettera ces trois points ni'\ n", t;"sur un plan au- 
xiliaire A'^Z'^ perpendiculaire à la trace horizontale du plan P; 

3** On rabattra le plan P sur l'épure, et les trois points 
donnés seront m^^\ n"\ v'^^\ 

4* On construira les deux faces in/" v'" u^^ et m'" n'" m^ 
%VL faisant 'd" w^^ = 8 mètres; n'" u^v = n'" v^ = 9 mètres 
et m*" u^ = 7 mèires\ 

5** On ramènera les deux faces n'" v'" u^^ et n*" m'" u^ à 
leur place en les faisant tourner autour des arêtes n^" v'" et 
n'" m'" (188), ce qui donnera u'" pour la projection du point 
cherché sur le plan P rabattu; 

6** L'arc de cercle que décrit vy en tournant autour du 
point étant rabattu en w^ u^S la droite u'" ly^s perpendi- 
culaire sur u'" u^^ sera la hauteur du tétraèdre, et, par 
^x)nséquent, la distance du point cherché au planqui contient 
les trois points donnés; 

7** On projettera le point u'" sur la droite K'^1", d'où on le 
ramènera en t/^" sur M^Z^" par un arc de cercle décrit du 
point À''^ comme centre; 

8** On fera passer par ce point m^" une perpendiculaire à 
A'^'^Z'^^ et, par conséquent, au plan P, et l'on portera sur cette 
perpendiculaire les deux distances m^" u" égales à u^" w^'. 
Cette opération déterminera sur le plan ^'T^^les projections 
u", u" de deux points qui satisfont à la question proposée; 

9° Les projections horizontales w, u de ces mêmes points 
seront situées sur les perpendiculaires abaissées sur A^'Z'^ 
par les deux points u" u"^ et sur la droite menée par u*" 
perpendiculairement à la trace horizontale du plan ^k!"V"\ 

10° Enfin, les projections verticales u'u' des deux points 
demandés pourront être obtenues sur les perpendiculaires 
uu\ uu' en faisant les hauteurs des points u' au-dessus de 
A'Z' égales aux' hauteurs des points l^^^ au-dessus de A'^Z^^ 

Si l'on a bien opéré, la droite u'u^ doit être perpendiculaire 
A la trace verticale du plan P. 

213. Prol^lème. Construire une droite connaissant les 
angles suivant lesquels cette ligne coupe deux autres droites 
données. 

Solution. Si les droites données étaient situées dans un 



y' 



120 ANGLE TRIÉDH£. PL. 28. 

même plan, il est évident qu'elles se rencontreraient, et la 
droite demandée, n'étant pas située dans le plan de ces^ 
droites, ne pourrait les couper toutes les deux qu'autant 
qu'elle passerait par leur point d'intersection. 

Dans ce cas, les deux droites données et la droite cherchée 
seraient les trois arêtes d'un angle trièdre dont les faces ou 
angles plans seraient les deux angles donnés, et Tangle 
connu que les droites données font entre elles. 

Ces trois angles étant placés A côté les uns des autres, il ne 
restera plus qu'à reformer l'angle trièdre (188), et les projec- 
tions de la droite demandée dépendront de la position des^ 
droites données dans l'espace. 

Nous allons d'abord résoudre cette première question ^ 
nous verrons ensuite ce qu'il faudrait faire si les droites^ 
données n'étaient pas situées dans un même plan. 

f 

214. Premier cas, fig. 1, pi. 28. Les droites ^N, su 
étant situées dans le plan horizontal de projection, il s'agit 
de construire une droite qui rencontre la droite ^N suivant 
l'angle donné a et la droite sO suivant Vangle c. 

Solution. Par le point s suivant lequel se coupent Ie& 
deux droites données «N et ^0, on tracera les droites sm'' et 
sm'^^ de manière que l'angle m^'^N soit égal à Tangle donné 
a et que l'angle m'"sO soit égal à l'angle c, de sorte que si 
nous exprimons par b l'angle connu que les deux droites ^N 
et ^0 font entre elles, lés trois angles a, b, c seront les faces^ 
de l'angle trièdre qui aurait pour arêtes les droites données^ 
^N, 50,>et la droite demandée rabattue en smH avec la face a^ 
et exi^m'" avec la face c. 

Or, il est évident que si l'on reforme l'angle trièdre, en» 
faisant tourner la face ou angle plan a ay^our de ^N et la 
face c autour de ^0, jusqu'à ce que les deux droites sm" et 
sm'" soient réunies en une seule, cette dernière ligne sera 
la droite demandée dont la position dans l'espace sera déter- 
minée. I 

Les deux points m'' et m'" se réuniront en un seul point M 
dont la projection horizontale m sera déterminée par la ren- 
contre des droites m"u et m"v (188;. 
' Ces deux lignes perpendiculaires^ la première ^N et la 



PL. 28. 



ANGLE TRIÈDRE. 



121 



seconde sur ^0, sont les projections des arcs de cercle décrits 
par les points m" et m'" lorsqu'on ramène les faces a et c 
à la place que chacune d'elles doit occuper dans l'espace. 

La projection horizontale sm étant déterminée, on rabattra 
le cercle vm^^w!" que décrit le point m'" en revenant à sa 
place, et l'ordonnée wm'^ sera la hauteur du point Al au- 
dessus de la face h \ de sorte qu'en faisant dm' égal à mmP^ 
le point w! sera la projection verticale du point M et les 
droites sm^ s'm' seront par conséquent les deux projections 
de la ligne demandée. 

215.. Remarque. Lorsque l'on fait tourner la face a pour 
la ramener à la place qu'elle doit occuper dans l'espace, 
l'arête sm" engendre la surface du cône circulaire qui a pour 
axe la droite ^N, et pour base ou section droite le cercle par- 
couru par le point m" et projeté sur le plan horizontal par 
la droite m"u. 

Lorsque l'on ramène à sa place la face ou angle plan c, la 
droite sm'" engendre la surface du second cône circulaire 
qui a pour axe la droite ^0 et pour la base le cercle projeté 
par la droite vm'" et rabattu par vmy^m'". 

Or, les deux cercles m"ûy m'"v étant situés tous les deux 
sur la sphère qui a pour rayon sm"y il est évident qu'ils se 
coupent suivant deux points qui ont le point m pour projec- 
tion horizontale commune, et les deux cônes ayant le points 
pour sommet- commun, se coupent suivant deux droites qui 
ont toutes les deux sra pour projection horizontale. 

11 existe donc deux droites qui satisfont à la condition de- 
mandée, et pour distinguer ces deux lignes nous désignerons 
l'une d'elles par s A et la seconde par 5-2. 

En faisant d-2 égal à mm'^, on obtiendra la projection 
verticale ^'-2 de la seconde droite. 

Pour éviler la confusion, je n'ai tracé en ligne pleine, sur 
la projection verticale de chacune des deux lignes trouvées-, 
que la partie de cette ligne qui est au dessus du plan hori- 
zontal de projection. 

C'est pour la même raison que je n'ai pas mis d'accents 
pour les projections verticales des points qui sont désignés 
par des chiffres, les accents placés au dessus des lettres sdf- 



122 AKGLE TKIÈDRE PIr. 28. 

Usant pour faire distinguer les projections des lignes corres- 
pondantes. 

216. En examinant avec attention la figure 2, on recon- 
naîtra facilement que les deux cônes n'ont pas d'autres 
génératrices communes que les deux droites S-i et S-2. 

Mais si la somme des deux angles donnés, flg. 3, était plus 
grande que Tangle obtus OSiN que les deux droites SN et SO 
font entre elles, ou en d'autres termes, si la somme des trois 
faces (a + 6 + c) de l'angle trièdre était plus grande que 
deux angles droits, la base ou section droite -de l'un des 
deux cônes rencontrerait en quatre points les deux cercles 
du même diamètre situés sur le deuxième cône, d*où il 
résulte que les deux cônes ayant quatre génératrices com- 
munes, ily aurait alors quatre droites S-1, S-2, S-3, S-4, sa- 
tisfaisant aux conditiÔQS demandées. 

217. Si la somme des.' angles donnés était égale à Tangle 
obtus NSO que font, entre elles les deux droites données, les 
deux cônes, fig. 4, seraient tangents suivant une droite S-3 
qui serait située dans le plan qui coo tient les deux droites 
données ; cette droite S-3 remplacerait les deux droites S-3 
et S-4 de la figure 3, lesquelles droites seraient alors réunies 
en une seule par suite de la condition en vertu de laquelle 
les deux cônes seraient tangents l'un à l'autre. 

Mais iadépeodamment de la droite S-3 suivajit laquelle se 
touchent les deux cônes,flg. 4, ils se couperaient encore sui- 
vant deux droites S-i et S-2, de sorte que, dans le cas 
actuel, il y aurait trois droites qui satisfont à ta question 
proposée. 

218. Si la somme des angles donnés M^'SN, M'^'SO, flg. 9, 
était égale à Tangle aigu NSO que les deux droites données 
font entre elles, ou en d'aulres termes, si la somme des 
faces (a -\-c) était égale à la face *, les deux cônes ne se 
couperaient pas, mais ils se toucheraiept suivant la droite 
SM, située dans le plan de deux lignes données. Il n'y aurait 
alors qu'une seule droite satisfaisant aux conditions de- 
mandées. 



PL. 28. ANGLE TRIÈDRE. 123 

219. La même chose aurait lieu si Tangle a était égal à 
b 4- c, ou, ce qui revient au même, si l'angle b était égal à 
a — c ; mais alors l'un des cônes toucherait l'autre intérieu- 
rement, comme on le voit sur la flgure 8. 

220. Enfin, on doit se rappeler que le problème serait im- 
possible si l'un quelconque des trois angles a, ^ ou c était 
plus grand gue la somme des deux autres [Géom.)^ de sorte 
que si nous exprimons par b Tangle aigu que les deux droites 
données font entre elles, et si nous supposons que a soit le 
plus grand des deux angles, on doit toujours avoir b plus 
petit que a-\-c ei plus grand que a — c. 

Ce qui précède étant admis, nous allons choisir comme 
études quelques-uns des cas les plus intéressants de la ques- 
tion proposée. 

221. Deuxième cas. Les droites données ^N, ^0, fig. 5, 
sont situées, comme précédemment, dans le plan horizontal 
de projection^ mais la somme des angles donnés m'^^N, m^^^sO 
étant plus grande que l'angle obtus NsO, il existe quatre 
droites qui satisfont aux conditions du problème. 

Pour les obtenir on construira : 

r Les projections horizontales des cônes engendrés par les 
droites sm^\ sm'" ; 

2** Les projections horizontales ^-1, ^-2, 5-3, 5-4 des quatre 
droites suivant lesquelles les deux nappes du premier cône 
coupent les deux nappes du second ; 

3* On rabattra le cercle décrit par le point m", et les or- 
données wim"", rn^rn^" seront les distances des points 1 , 2, 3, 4, 
au plan horizontal qui contient les deux droites données ; 

4** On fera les droites m'-i, m'-3 égales à mm''' et les 
droites ^""-4, m"" -2 égales à m^'in^^ ; 

5" On joindra le point s^ avec les points 1, 2, 3, 4, ce qui 
donnera les projections verticales des quatre droites qui: sa- 
tisfont aux conditions données. 

222. Troisième cas. Les droites données, fig. 7, étant 
situées dans un plan P, perpendiculaire au plan vertical 
de projection, on opérera de la manière suivante.: 



124 ANGLE TÀIÈDRË. PL. 28. 

l"" On rabattra le plan P sur l'épure en le faisant tourner 
autour de sa trace horizontale ; 

2** On construira sur ce plan P' rabattu, les- projections des 
cônes engendrées par les droites s"m"^ s"m'" ; 

3* La somme des deux angles donnés mVN, m^'s^'Q étant 
plus grande que l'angle obtus WO formé'par les droites don- 
nées, on bbliendra pour réponse les quatre droites s^A^ $"-2^ 
^'^-3, s" A, projetées par s"m et s'^rn' ; 

4» En ramenant le plan P à sa, place, les points m et m" 
viendront se projeter en m' et m^' ; 

5** On rabattra le cercle m^'m^^rrC^v que décrit le point m"^ 
en tournant autour de la droite ^'0 ; 

6* Les ordonnées m wi'\ m^'m''" seront les distances des 
points 1, 2, 3, 4 au plan P ; 

7** On portera ces dislances sur les droites menées par les 
points m' et m'' perpendiculairement^au plan P ; 

8"* En joignant les quatre points obtenus parxetle dernière 
opération, avec le point /, on aura les projections verticales 
des quatre droites demandées ; 

9° Les projections horizontales des points 1, 2, 3, 4 seront 
déterminées par la rencontre des perpendiculaires abaissée^ 
de la projection verticale sur la ligne AZ, avec les droites 
menées parallèlement à la ligne AZ par les projections des 
mêmes points sur le plan P rabattu. 

223. Quatrième cas. Les droites données, ftg. 10, étant 
encore situées dans un plan P perpendiculaire au plan 
vertical de projection, la disposition de Tépure sera la même 
que pour le problème précédent. 

Mais la somme des angles donnés 7nVN, m"'s"0 étant 
égale ài*angle obtus N^^^O que les deux droites données font 
entre elles, on n'obtiendra pour réponse que les trois droites 
s''A,s^'i,s"'i. 

La dernière de ces trois lignes étant située dans le plan P» 
sa projeclion Verticale devra coïncider avec la trace verticale 
de c^plan. 

Tout le reste se fera comme pour le problème qui précède. 
Ainsi, le cercle décrit par le point m'"^ étant rabattu sur Të- 



PL. 28. ANGLE TRIÈDRE. 125 

pure, Tordonnée mmT déterminera sur la projection verti- 
cale les distances des points 1 et 2 au plan P. 

224. Si les drqiles données étaient situées dans un plan 
perpendiculaire au plan horizontal, il est évident qu'il 
suffirait de faire sur le plan vertical toutes les opérations 
que Ton vient de faire sur le plan horizontal et réciproque- 
ment. 

225. Cinquième cas. Les droites données, flg. 6, étant 
situées dans un plan incliné quelconque, on devra opérer 
de la manière suivante : on construira (132) 

'l° Le plan auxiliaire de projection YAZ', sur lequel on dé- 
terminera la troisième trace du plan P et la troisième projec- 
tion s" du point S suivant lequel se rencontrent les deux 
droites données SN et SO ; 

2* Les projections s'^n" et s"o" de ces deux droites sur le 
plan Y'AZ', se confondront avec la tr'oisième Iraoe du plan P ; 

3* On fera tourner ce plan P autour de sa trace horizon- 
tale jusqd'à ce qu'il soit rabattu sur le plan horizontal de 
projection ; 

* Dans ce' mouvement, le point S de l'espace se rabattra 
en s^'' et les droites données deviendront s"'n"'^ s'^'o"' ; 

4* On obtiendra la première de ces deux lignes en con- 
struisant les projections successives x, x^' et œ'" d'un quel- 
conque de ses points ; 

5* Pour la droite sf"o^' on joindra s^" avec le point z qui 
est situé sur la trace horizontale du plan P, et qui par consé- 
quent n'a pas changé de place ; 

6** Les droites données étant rabattues avec le plan P, sur 
le plan horizontal de projection, on exécutera successivement 
toutes les opérations nécessaires pour déterminer les projec- 
tions des cônes engendrées par les droites s"' m" et s"'m"'y 
tournant autour des deux lignes données, et la somme des 
angles donnés m"sf"n"^y m"'s^''&" étant plus grande que 
l'angle obtus n"'sl''o"\ on obtiendra quatre points comme 
dans les deuxième et troisième problèmes ; 

7* Les projections des points 1, 2, 3 et 4 étant déterminées 



126 ANGLE TRIÈDHE. PL. 28. 

sur le plan P rabattu, on ramènera ce plan à sa place, et les 
deux points m et m^ deviendront m' et m"^ ; 

8° On rabattra le cercle décrit par le point m'' et les or- 
données wm^v, m'^m^^^ seront les dislances des points cher- 
chés au plan P qui contient les deux droites données ; 

9® On fera les distances w'-i et m'-3 égales à l'ordonnée 
mm^^ et les distances m^'-2, mvi-3, égales à m^m''^\ ce qui 
déterminera les projections des points I, 2, 3 et 4 sur le plan 
auxiliaire Y'AZ' ; 

10** Les projections horizontales des mêmes points seront 
déterminées par les perpendiculaires à la droite AZ' abaissées 
de leurs projections sur le plan Y^AZ', jusqu'à la rencontre 
des droites menées perpendiculairement à la trace horizon- 
tale du plan P par les projections des mêmes points sur le 
plan P rabattu. 

Ces dernières lignes seront les projections des arcs de 
cercle décrits par les points demandés lorsqu'on les ramène 
à la place qu'ils doivent occuper dans l'espace ; 

11** Pour déterminer les projections verticales des quatre 
points, on tracera par la projection horizontale de chacun 
d'eux une perpendiculaire à la ligne AZ et la hauteur de la 
projection verticale de ce point au dessus de la ligne AZ sera 
égale à la hauteur du point correspondant sur le plan auxi- 
liaire de projections Y'ÂZ' ; 

12** Les points 1, 2, 3, 4 étant déterminés, il ne restera 
plus qu'à les joindre avec le point de rencontre des deux 
lignes données, et Ton obtiendra les quatre droites qui satis- 
font aux conditions du problème. 

226. Sixième cas. Nous avons supposé, dans les pro- 
blèmes qui précèdent,* que les droites données étaient situées 
dans un même plan. Lorsque cette condition n'aura pas lieu, 
le problème sera un peu plus composé. 

Pour le résoudre^ on décomposera la question de la ma- 
nière suivante : . , 

1** On déterminera d'abord/ quelle doit être la direction de 
la ligne demandée ; 

2** On cherchera quelle doit être la position de cette droite 
dans l'espace. 



fU 29. ANGLE TRIÈDRE. ' 127 

227. Première opération, Délerrainer la direction de la 
droite demandée. 

1* Étant données, flg. 3, pi. 29, les deux droites A et B, 
situées comme Ton voudra dans l'espace, on choisira un point 
^ quelcotique S sur Tune des deux lignes données sur la droite A, 
par exemple ; 

2** On fera, passer par le point S une droite parallèle à la 
droite B ; 

, 3"' Les droites A et C étant situées toutes les deux dans le 
plan P, il sera facile, en opérant comme dans les exemples 
qui précèdent, de construire une droite SM faisant avec A un 
angle donné a et avec la droite C un angle donné c. 

Or, la droite C étant parallèle à B, il s'ensuit que toute pa- 
rallèle à SM, qui couperait la droite B, ferait avec cette der- 
nière ligne un angle égal à l'angle donné c. 

Il est donc évident que la droite SM est parallèle à la ligne 
demandée et que par conséquent la direction de cette der- 
nière ligne est déterminée. 

228. Deuxième opération. Déterminer la position que la 
droite demandée doit occuper dans l'espace. 

Cette seconde partie du volume peut être résolue de plu- 
sieurs manières. 

229. Première méthode, flg. 3. 

!• Par les droites A et SM, on fera passer un plan P^ ; 

if® On déterminera le point Z suivant lequel le plan P^ 
coupe la droite B ; . ^ 

3** La droite ZR, parallèle à SM, sera la ligne demandée. 

En effet, cette ligne rencontrera évidemment les deux 
droites données A et B, et puisqu'elle est parallèle à SM, elle 
sera inclinée par rapport aux droites A et*B comme la droite 
SM par rapport aux droites A et C. On agira deJa même ma- 
nière pour chacune des droites qui satisferont aux conditions 
du problème. 

230. Deuxième méthode. 

1*» La droitq MS, flg. 7, étant déterminée par les opéra- 



i28 ANGLE TRIÈD&E. PL. 29. 

tions indiquées précédemment;, on fera passer par la droite B 
un plan P^ parallèle à P ; 

2*» On détefrminera le point U suivant lequel ce plan P|- 
coupe la droite SM ; 

3^ On tracera par le point une droite CZ parallèle à la 
ligne donnée A. Cette opération déterminera le point Z ; 

A^ On fera passer par le point Z la droite ZR parallèle à SM 
et la question sera résolue ; 

50 11 est bien entendu qu'il faudra recommencer cette opé- 
ration pour chacune des droites qui satisferont aux condi- 
tions du problème. 

231. Épure. Les principes précédents ont été appliqués 
sur les figures 2, 4, 5 et 6. 

Voici quelles sont les opérations successives que l'on doit 
faire pour obtenir les lignes demandées : 

1* Les droites données A et B étant déterminées par leurs 
projections aa' et 66', fîg. 2 et 5, on prendra (227) sur A un 
point quelconque ss' ; 

2° pn fera passer par ce point une droite C, parallèle à la 
droite donnée B. 

Les projections c et c' de la droite C seront parallèles aux 
projections 6 et b' de la droite B ; 

3<> Par les droites A et C qui se coupent au point S, on con- 
struira le plan P ; 

4* On construira, flg. 4, le plan auxiliaire de projection 
YAZ' perpendiculaire sur la trace horizontale du plan P, puis 
opérant comme dans le cinquième problème, on fera toutes 
les opérations nécessaires pour déterminer les droites S-î et 
S-2 qui satisfont à la question. 

La somme des angles donnés mVO, m'V^N, tig. 6, étant- 
plus petite que Tangle obtus T^'^'N, et plus grande que l'angle 
aigu N5'"0 que les deux lignes données ^"0 et ^'''N font entre 
elles, on ne ti:ouve que deux droites satisfaisant aux condi- 
tions du problème (2 16) ; 

5* On déterminera les projections de ces droites, d'abord 
sur le plan auxiliaire Y'AZ' rabattti,flg. 4, puis ensuite sur le 
plan horizontal, fig. 6, et sur le plan vertical de projection, 



6" Le point e, flg. 5, étant la trace boriz«ataIe de la droite 
B, on projettera ce point, d'abord en e^' sur la ligne AZ', puis 
•de là en e"' sur le plan P rabattu ; 

7» La droite 6''' menée par e'" parallèlement à ^"N sera la 
projection de la droite B sur le planP rabattu ; 

8» Par le point e^^ projection du point e sur le plan auxi- 
iiaire Y'AZ', flg. 4, on tracera la droite M parallèle à la troi- 
«ième trace du plan P ; 

9* La droite b^^ sera la troisième projection de la ligne B, et 
la trace du plan P^ mené parla droite B parallèlement jiu plan 

10* On déterminera sur la projection auxiliaire Y'AZ', flg. 4, 
les points u^^ et a/^ suivant lesquels leplan P^ est percé par les 
deux droites .ç^'-l, ^'-2 (230) ; 

11* On déterminera les projections des mêmes points sur 
4e plan horizontal et sur le plan vertical de projection ; 

12* On s'assurera que les hauteurs des projections verti- 
cales de ces points au dessus de la ligne AZ sont bien exac- 
tement égales aux hauteurs des points correspondants sur la 
projection auxiliaire Y'AZ' ; 

13® Par les projections u et u' du point U, on tracera la 
^droite uz parallèle à a, et la droite u'z' parallèle à a'. Cette 
opération déterminera les deux projections z et z' d'un point 
qui appartient à Tune des droites demandées (230) ; 

14* Les deux projections zr, z'r' de cette droite seront pa- 
rallèles aux projections de la droite S-l,eisi Ton a bien 
•opéré, les deux points r et r' seront situés sur une perpen- 
diculaire à la ligne AZ ; 

* 15« On agira de même pour obtenir les deux projections 
de la deuxième droite ; ainsi, 

16o Le point œ^^ étant déterminé sur la projection auxiliaire 
Ï'AZ', on construira : 

17» Les projections œ et x*^ de ce même point, tig. 5 et 2 ; 

18"* Les droites xv et a/v' parallèles aux projections a et a' 
de la droite A ; 

19* Cette opération déterminera le point vv' par les projec 
tiens duquel on tracera les projections vn, v'n' de la droite 
parallèle à S-2. ^ 



130 ANGLE TRIÈDRB» PL. â9«^ 

• 

Quand les projfections des droites demandées serpnt déter-' 
minées sur les figures 2 et 6, on pourra, comme exercice 
ou comme vérification, projeter les deux droites obtenues 
zr, z'r' et vn, v'n* sur la projection auxiliaire, flg. 4, et sur 
le plan P rabattu, flg. 6. 

232. Remarque. Il arrive souvent qu'en prenant le» 
données au hasard, les quantités cherchées sont situées en 
dehors de la feuille sur laquelle on dessine, et dans ce cas, il 
est .é^Hdent qu'aucune opération auxiliaire ne peut faire 
trouver le r(^sultat! 

233. Ainsi, par exemple, si, dans la question qui précède^ 
la somme de deux angles mVO et m'V'N, flg. 6, difiTérait 
très-peu de Tangle aigu N^^'O que les deux droites données 
font entre elles, il est évident que l'ordonnée mm^""', et, par 
conséquent, les droites tri' A et m^-2 de la figure 4 seraient 
très-petites. 

Les droites ^^'-1 et s"'1 feraient deux angles très-aigus- 
avec le plan P et par conséquent elles rencontreraient très- 
loin le plan P^, d'où il résulte que les points u" ^id^ ne 
seraient pas sur l'épure et ne pourraient par conséquent être 
obtenus par aucune construction. C'est pourquoi j'engagerai 
le lecteur, avant d'entreprendre l'étude d'une question com- 
posée, à prendre bien exactement les données telles qu'elles 
sont établies sur l'épure. 

Sans cette; précaution il s'exposerait souvent à faire un 
travail inutile. 

Cela ne l'empêchera pas de changer ensuite les donnée» 
pour s'exercer aux constructions particulières dans chaque 
cas, mais ces exercices ne doivent se faire que lorsque la 
question est complètement étudiée avec des donn(^es assez 
favorables pour qu'on ne soit pas distrait à chaque instant du 
principe général par la nécessité de recourir à des construc- 
tions auxiliaires. 

Au surplus, ce genre de difllculté n'existe pas daps les appli- 
cations, parce qu'alors les données ont preâlçue toujours une' 
certaine régularité de forme ou de position que Ton doit 



PL. 29. ANGLE TBIÈDRE. ' • 131 

au contwre éviter dans l'étude des principes généraux. ' 

234. Septième cas. Non-seulement il y a des cas oà les . 
quantités demandées sont situées très-loin de la place occu- 
pée par les données du problème, mais il peut encore 
arriver que les points ou les lignes cherchées soieht situées 
à rinflni. Ainsi, par exemple : 

Si' la somme des deux angles donnés m"9f'f0^m!^'9/"^^ 
llg. 6, était égale à l'angle aiffu W'Q formé par les droites 
données, les cônes engendrés par les droites s^'^m^'el s^nmif' 
se toucheraient suivant une génératrice commune située 
dans le plan P (218) ; cette droite satisferait aux conditions 
données à l'égard des droites s"*Q et ^"'N, mais il est évident 
qu'étant située dans le plan P, flg^ 4, elle ne pourrait pas 
rencontrer la droite B qui est située dans le plan P| d'où 
Ton pourra conclure qu'aucune ligne ne peut satisfaire à' la 
question. 

Quoiqu'il n'existe pas d€t moyen de satisfaire aux condi- 
tions demandées, on peut cependant approcher de la solu- 
tion. 

En effet, supposons que le plan P ait été transporté, 
flg. 1, et que l'on ait obtenu la ligne SM faisant l'angle a 
avec la droite A et l'angle c avec la droite C. La somme des 
angles a -[- c, étant égale à Tangle CSA, la droite SM sera 
située^ans le plan P (218). 

^ La droite demandée devant être parallèle à SM et couper 
la droite A, ne peut pas quitter le plan P, elle ne peut donc 
pas couper là droite B qui, étant parallèle au plan P, n'a 
aucun point de commun avec ce plan. 

Mais concevons par la droite SM un plan P^ perpendiculaire 
au plan P et supposons que l'on fasse mouvoir ce plan paral- 
lèlement à lui-même. Il coupera les droites A et B suivant 
des points désignés sur l'r^pure par les chiffres 1, 2, 3 qui 
correspondent aux diverses positions du plan mobile -P^. 

Si l'on joint les points correspondants par les droites 1-1, 
2-2, 3-3, etc., toutes ces lignes étant inclinées par rapport 
au plan P, les angles qu'elles font avec les deux lignes don- 
nées A et B ne sont pas égaux aux angles donnés a et r, 
situés dans le plan P. Mais ces angles se projettent par le 



132 .9 ANGLE TRIÊDRfi. PL. 138. 

T 

plan P par a* et cf qui sont égaux aux deux angles donnés 
a et c. 

Or, à mesure que la drpite mobile s'éloignera du plan P^, 
son inclinaison par le plan P diminuera, et lorsque cette 
droite mobile sera parvenue jusqu'à Tinfini, les angles suivant 
lesquels elle coupera les deux lignes donn(5es ne différeront 
plus de. leurs projections a' et c^ Ainsi : 

Lorsque la somme des deux angles di et c sera égale 
à r angle aigu que les deuaniroites données font entre elJleSy 
ia ligne demandée ne pourra être située qu'à V infini. 

Il en sera de même pour la droite suivant laquelle se 
louchent les deux cônes, lorsque la somme des angles don- 
nés a + c est égale à l'angle obtus que les droites données 
font entre elles (2 17), 

235. Huitième cas. Pour ne rien laisser à désirer sur 
la question qui nous occupe, j'ai donné, pi. 30, toutes les 
opérations nécessaires dans lé cas où la somme des deux 
angles que la droite cherchée fait avec les deux droites don- 
nées est plus grande que l'angle obtus que ces deux lignes 
font entre elles (216). 

Les opôrations^à effectuer sur l'épure étant les mêmes que 
pour le cas où l'on n'obtient que deux lignes droites, il est 
inutile d'en recommencer les détails. 

11 suffira donc de faire quatre fois sur la planche 30 cha- 
cune des opérations que Ton avait faite deux fois sur la 
planche 29. Les notations suffiront pour faire retrouver, sur 
l'épure, tous les points ou les lignes dont nous allons indi- 
quer la position dans l'espace (voir page 18). 

Ainsi, les droites données étant désignées par A et par B^ 

# 

on construira successivement : 

1« Le point S pris à volonté sur la droite A ; 
2^ La droite C parallèle à B ; 
3* Le plan P qui contient les droites A et C ; 
4* Le plan auxiliaire de projection Y'AZ' ; 
5* Le plan P rabattu, flg. 7 ; 

6** Les projections sur le plan P rabattu des droites S-l» 
S-2, S-3, S-4 ; 



\ 



P£. 30. ANGLE TRIÉDRË. 133 

7" Les projections des mêmes droites sur le pian auxiliaire . 
TU/ ; 

S"" Les projections horizontales des mêmes lignes, fig. 5; 

9» Lenrs projections verticales, flg. 2 ; 

ÎO* Les quatre points u",u",u",u" suivant lesquels leâ^ 
quatre droites obtenues, flg. 4, percent le plan P^ mené par 
la droite B parallèle à P (230) ; 

^ il® Les projections horizontales UyU,u,u des quatre points 
précédents ; 

12" Les droites uz menées par ces points, parallèlement à 
la droite A, détermineront sur la projection horizontale de la 
ligne B quatre points z, z^z,z\ 

13** Les droites zr menées par chaque point z, parallèle- 
ment à la droite qui jofnt le point s avec le point u corres- 
pondant, seront les projections horizontales des lignes de- 
mandées ; 

14* Les points r, r, r, r, suivant lesquels ces lignes coupent 
la projection horizonXale de la droite A, détermineront les 
projections horizontales des parties des lignes demandées qui 
sont comprises entre les deux droites données ; 

IB*' Les droites obtenues ZR sont évidemment les lignes» 
S-1, S-2, S-,3, S-4 que Ton a fait glisser sur la droite A et pa- 
ralièlemeat à elles-mêmes, jusqu'à ce qu'elles coupent la 
ligne B suivant les points Z ; 

Pour que l'on puisse plus facilement retrouver lesdroites ZR« 
j'ai reporté sur le prolongement de chacune de ces lignes le 
num^o qui la désignait lorsqu'elle passait par le point S ; 

16« Les quatre droites ZR étant projetées sur le plan hori- 
zontal par zr^ on déterminera leurs prcjeclions verticales par 
des perpendiculaires à la ligne AZ, et l'on s'assurera que 
chacune des projections verticales zV est parallèle à la pro- 
jection verticale de la ligne correspondante du point s' \ 

17^ Vérilicatloap. Les perpendiculaires à la droite AZ', 
menées par les projections horizontales des points z et r, dé - 
termineront sur la figure 4, les projections z"t^ qui devront 
être parallèles chacune à la projection de la ligne correspon- 
dante du point 5''; 

On devra encore s'assurer que les hauteurs des points zf'- 



134 ANGLE /TRIÈDRE. Pï.. 30. 

et t" au dessus de la droite AZ' doivent être égales aux hau- 
teurs des points z' et r' au dessus de AZ ; 

18* Le point o, suivant lequel la droite B perce le plan ho- 
rizontal de la projection, se projette en o" sur la ligne AZ' ; 

La perpendiculaire abaissée du point o'' sur le plan P dé- 
termine un point v" qui se rabat sur AZ' en v"*\ 

Enfin, la droite v"'o"', parallèle à la trace horizontale du 
plan P, détermine la projection o"' du point o sur le plan P 
rabattu ; de sorte que la droite 6'" parallèle à c'" sera la pro-' 
jection de la droite B sur le plan P rabattu ; 

Au lieu du point o on aurait pu projeter sur le plan P tout 
autre point de la droite B ; 

19* Les droites menées par les points z et r perpendicu- 
lairement à la trace horizontale du plan P, détermineront 
sur b"' et a'^' les projections des points z"' et r"\ et par suite 
les projections z"'r'" des quatre droites demandées, parallèles 
chacune à la droite correspondante du point s^'^ ; 

Les points z" et r^' de* la figure 4 étant projetés sur le 
plan P, les arcs de cercle décrits du point e comme centre 
détermineront huit points sur AZ', et les droites menées par 
ces huit points parallèlement à la trace horizontale du plan P 
devront passer par les points z'^'.el i-^" de la figure 7. 

236. Remarque sur le problème précédent. L'épure 
composée des figures 2, 4. 5 et 7 contient la solution com- 
plète du problème général énoncé au numéro 213, mais le 
grand nombre de lignes nécessaires pour résoudre ou vérifier 
le problème ne permettrait pas d'exécuter l'épure sur un 
tableau et Ton comprendra difiicilement qu'elle ait pu 
figurer pendant quelque temps dans le questionnaire de 
Saint-Cyr. 

En résumant, la solution générale du problème consiste à 
construire : 

1° lin point quelconque sur l'une des lignes données, sur A 
par exemple ; 

2** Par ce point une droite C parallèle à B ; 

3° Le plan P qui contient les deux droites A et C ; 

4° Kabattre le plan P, et construire le développement de 
l'angle trièdre : 



PL. 30. ANGLE TRIÈDRE. 135 

5* Reformer langle trièdre, ce qui détermine les droites 
demandées ; 

6*» Ramener ces lignes à la place qu'elles doivent occuper 
•dans l'espace ; 
7*» Faire toutes les vérifications possibles. 

237. Neuvième cas. Pour offrir aux élèves quelques 
-occasions d'exercices, j'ai ajouté plusieurs cas particuliers, 
^ssez simples pour qu'il soit possible d'en faire dés questions 
d'examen. Ainsi, par exemple : 

Sur la figure 6, les projections verticales a' et V des deux 
droites données étant parallèle?, le j)lan P sera perpendicu- 
laire au plan vertical de projection. ^ 

On rabattra* ce plan autour de sa trace horizontale et Ion 
-exécutera les constructions nécessaires pour déterminer 
:sur le plan P rabattu la projection si' m de la droite de- 
mandée. 

La somme des angles donnés m^^VN, mVO étant plus pe- 
tite que Tangle obtus que les droites données font entre elles, 
•on obtiendra deux droites projetées en une seule /"tn, sur le 
plan P rabattu. 

Mais pour ne pas surcharger cette épure, je n'ai conservé 
-que les opérations qui se rapportent à l'une des deux droites 
•qui se proiettent sur le plan P par /'wi. 

Ainsi, ramenant le point'm en m' et faisant m'v' égale à 
mv"\ on obtiendra /v'-pour la projection verticale delà 
droite cherchée, on déterminera ensuite comme dans toutes 
les épures précédentes : 

1** La projection horizontale sv de la même droite *, 

2° Le point u'u suivant lequel cette droite perce le plan P^ 
mené par la droite B parallèlement au plan P ; 

3« On fera glisser la droite sxi, ^u' parallèlement à elle- 
même en l'appuyant sur la ligne aa' ; 

Dans ce mouvement, le point uu' décrit la droite uz, u^zf 
parallèle z.aa* \ 

kf Enfin, lorsque le point uu' sera parvenu en %z' sur la 
droite W, on tracera zr, «V parallèle à la droite m, sfu'y ce 



136 ^ ANGLE TRIÈDRE. PI. 30.. 

qui déterminera les deux projections de la droite cherchée ; 

5° On pourra vérifier les opérations en construisant les pro- 
jections 6" et «V^ sur le plan P rabattu ; 

Il ne faut pas oublier dans ce cas que l'on doit avoir V 
parallèle à c'' et z''r'' parallèle à s^w.. 

238. Dixième cas. Sur la fig. 8 le^ projections horizon- 
tales a et h des deux droites données sont parallèles, d*où il 
resuite que le plan P sera vertical. 

Dans ce cas, les opérations seront absolument les mêmes 
que pour l'exemple qui précède. 

11 suffira d'exécuter sur le pten vertical toutes les construc- 
tions qui, sur la flg. 6/ étaient exécutées sur le plan hori- 
zontal, et réciproquement. v 

230. Onzième cas. Sur la fIg. 3, les deux droites don* 
nées a et 6 sont parallèles au plan de projection, qui coïncide 
alors avec le plan P, ce qui évite le rabattement de ce plan. 

Dans ce dernier exemple, la somme des deux angles don- 
nés étant plus grande que l'angle obtus que les droites don- 
nées font entre elles, la solution complète du problème don- 
nerait quatre droites (216), mais je n'ai conservé que les 
opérations qui se rapportent à Tune d'elles. 

V 

240. Douzième cas. Je terminerai l'étude de la question 
qui nous occupe par le cas où les angles donnés m's^'^^ 
7>iV0, flg. 1, seraient droits tous les deux. Dans cet 
exemple, les droites données étant inclinées d'une manière 
quelconque àans l'espace, on adoptera la disposition d'épuré 
des septième et huitième problèmes, et lorsque le plan P sera 
rabattu sur le plan horizontal de projection, ce qui donnera 
les trois faces a, 6, c de l'angle trièdre développé, il est évi- 
dent que le cône engendré par Tarôte extérieure ^"m' de la 
Hace a sera remplacé par le plan Pa perpendiculaire sur la 
droite ^''N. 

Le cône engendré par le côté extérieur ^^'m* de l'angle e 
sera également remplacé par le plan P, perpendicuJalre sur 
la droite ^'^O. L'Intersection de ces deuî^plaos sera perpendi^ 



PL. 30 ANCSilfi TBièOfiB. iS*!! 

culaire sur le plan P et se projettera sur ce plan par le point 
s'^' ; la ligne demandée parallèle à l'intersection des deux 
plans P, et Pj sera par conséquent la perpendiculaire com- 
mune aux deux droites données. 

^ La direction de cette ligne étant connue, sa position dans 
l'espace sera déterminée en opérant comme dans tous les 
exemples qui précèdent ; ainsi, on construira : 

1« La projection ^'V de la droite suivant laquelle se coupent 
les deux plans P, et P, ; 

2" La projection horizontale 5w et la projection verticale 
s'u' de la même droite ; ' 

3** Les projections u'', u et w' du point suivant lequel cette 
droite perce le plan P| mené par la droite B parallèlement au 
plan P ; 

4o Les projections W2, uV de la droite parcourue par le 
point uu'y lorsque l'on fait glisser la droite su.s'u' sur la 
ligne aa' jusqu'à ce qu'elle rencontre la droite bf \ 

5<» Les deux projections zr, z^r' de la ligne demandée ; 

6" On pourra, comme vérifications, ajouter les projections' 
z"i " et z"'r"' de la même droite ,sur le plan Y' KU et sur le 
plan P raoattu ; 

7<» La projection ^'r" sera la distance des deux lignes don-: 
nées, puisque la perpendiculaire quji exprime cette distance 
est parallèle au plan auxiliaire de projection Y' AZ'*; 

8" Enfin, on remarquera que Ton pdurrait sans inconvé- 
nienf supprimer tout ce que l'on a projeté sur le plan P ra-* 
battu, cette partie de l'épure ne servant dans le cas actuel 
qu'à rattacher la question particulière que nous venons de 
résoudre au problème général énoncé au numéro 213. 



138 PUNS COTÉS. PL. 31. 



CHAPITKE V. 



Plan» coté». 



241. Définitions. Jusqu'ici nous avons supposé que les 
plans de projection faisaient partie des données ; mais cela 
n'a jamais lieu dans la praticfue. 

Les éléments du problème à résoudre dépendent presque 
toujours des dispositions principales d'un objet plus ou moins 
composé dont les dimensions sont souvent exprimées par des 
nombres. Ainsi, par exemple, s'il s'agit d'un monument, on 
dessinera le plan ou projection horizontale nécessaire pour 
bien indiquer la distribution intérieure; puis on pourra pro- 
visoirement indiquer par des nombres les hauteurs des plan- 
chers, des'portes ou des fenêtres. 

Lorsqu'un ingénieur veut étudier un grand projet, tel, par 
exemple, qu'un chemin de fer, un canal, un système de for- 
tifications, il commence par lever bien exactement les plans 
ou projections horizontales du projet et du terrain primitif; 
puis, afin de pouvoir évaluer la quantité de matériaux qu'il 
faudra déplacer, il indiquera par des nombres la hauteur de 
^ chaque point au dessus d'un plan horizontal quelconque que 
ron nomme plan de comparaison. C'est là ce que l'on en- 
tend par un plan coté. 

242. Les nombres placés ainsi à côté de la projection ho- 
rizontale de chaque point, indiquant sa hauteur au dessus du 
plan de comparaison, il pourra sembler singulier que l'on 
ait eu ridée de nommer cela un plan coté. En effet, ce ne 



PL. 31. PLANS COTÉS. 139 

sopt pas les lignes du plan qui ^ont cotées, ce sont les hau- 
teurs. Pour que 1^ plan fût coté, il faudrait que les nombres 
indiquassent les dimensions horizontales, comme, par 
exemple, les longueurs et les épaisseurs des murs, les côtés 
des triangles qui ont servi à déterminer la projection hori- 
zontale de chaque point, ou les abscisses et ordonnées de 
ces points rapportés à des axes de convention. Ce serait alors 
le plan qui serait coté, tandis que dans le cas actuel les cotes 
n'expriment évidemment que les hauteurs. 

On aurait une représentation complète de l'objet en indi- 
quant par des cotes à l'encre noire les dimensions horizon- 
tales, et en cotes rouges les hauteurs des points essentiels au • 
dessus du plan de coipparaison. Mais, cela ne pourrait se 
faire que pour des objets très-simples et, dans le cas où la 
question est composée, on préfère ordinairement indiqueras 
cotes de hauteurs sur les ordonnées verticales de l'élévation. 

Quoi qu'il en soit, nous adopterons l'expression en usage, 
et nous donnerons le nom de plati coté à- la projection hori- 
zontale sur laquelle on a désigné par des nombres les hau- 
teurs des points essentiels. 

243. Plan de comparaison. Le plan de comparaison 
peut être pris où l'on voudra et peut être élevé ou abaissé 
suivant les ciriconstances particulières de la question que 
Ton étudie. 

11 suflSt alors de diminuer ou d'augmenter toutes les cotes 
d'une quantité égale à la dislance qui existe entre le premier 
et le second plan de comparaison. 

Mais lorsque plusieurs plans sont destinés à être réunis, il 
vaut mieux adopter un plan de comparaison commun. Dans 
les grands travaux, on prend le niveau, dé la mer pour plan 
de comparaison. 

244. Si les dimensions horizontales sont dessinées sur le 
plan avec une exactitude sufllsante, il est évident que les 
cotes de hauteur exprimées en nombres compléterqnt la 
description des parties essentielles du projet, mais la question 
ne sera pas résolue. 



/ 



i4Ù PLANS COTÉS. PL. 31. 

La projection unique que l'on aura ainsi obtenue ne cop- 
tiendra que les données du problème et ne dispensera pas dé 
construire les nombreuses projections auxiliaires sans les- 
quelles il serait souvéut impossible de résoudre toutes les 
parties de la question proposée. 

245. L'utilité (l'un plan coté ne provient donc pas, comme 
quelques personnes paraissent le croire, de co que toutes les 
dimensions sont exprimées sur une seule projection, mai^ 
de ce que rien ne déterminant, à priori^ le second plan de 
projection, on peut toujours le choisir de manière à obtenir 

. les opérations les plus simples. Nous allons compléter ce qui 
précède par quelques exemples. 

• 

246. Le numéro 14 de la figure 1, planche 31, indique un 
point situé à 14 t^iètre^ au dessus du plan de comparaison 
Le numéro 2,73 est un point situé à 2 mètres 73 centimètres. 
On a 273 centimètres de hauteur. S'il y a beaucoup de cotes 
exprimées en fractions du mètre, on prendra le centimètre 
ou le nnllimètre pour unité. 

247. Pour simplifier les questions que nous allons ré- 
soudre, nous supposerons, sur la planche actuelle, que toutes 

.les cotes de hauteur sont exprimées par un nombre exact de 
mètres, çt que le mètre est représenté graphiquement par la 
droite M, qui est égale à cinq millimètres ou -i- de mètre. 

, 248. Ce qui précède étant admis, les deux cotes 9 et 4» 
de la figure 1, détermineront complètement la droite qui 
joint les points correspondants de l'espace, et si Ton divise 
la projection horizontale de cette droite en cinq parties 
égales, on aura les cotes de hauteur pour les points intermé- 
diaires situés à 5, 6, 7 et 8 mètres au dessus du plan de com- 
paraison. 

/ En portant quatre fois la distance comprise entre deux^ de 
ces points, sur le prolongement de la droite 9-4, on obtiendra 
les cotes des points 3, 2, 1, et enfin 0, qui est la trace hw^i- 
zontale de la droite donnée. La ligné 9-0 est ce que l'on 
nomme l'échelle de pente de cette môme droile. 



PL. 3^1. . PLANS COTÉS. 441 

249. VouTohten\rl9.cote de hauteur à* \in point quelconque u 
de la ligne donnée 8-5, ûg. 8, on rabattra cette ligne sur le 
plan horizontal qui contient l'un quelconque de ses pointe, le 
point 5, par exemple ; on obtiendra ainsi les deux triangles 
semblables 5'-5"'^-8 et 5'-5"-w', puis on résoudra l'équation : 

5^-5"^ : 5'-5"' = 5'^'-8' : 5''-u' 
qui devient S'-ô"' : y-b"" = 3 : 5'"- a' 

3 (5'5'0 . 



d'où 5''-u'=: 



5'-5''' 



Remplaçant 5'-5'' et 5'-5"' par leur longueur en mètres ou 
fractions de mètres, on obtiendra 5''-m' qui, ajouté au 
nombre 5, donnera la cote de hauteur pour le point D de 
fespace. 

On peut écrire la proportion sans rabattre le triangle qui 
n'a Hé tracé dans le cas actuel que pour Texplication du 
principe. 

250. Faire passer un plan par trois points dont les cotes 
Je hauteur sont 8, 5 et 3, flg. 2. 

l'» On tracera les droites 8-5, 8-3 ; 
?• On déterminera les échelles de pente et leur trace (248), 
par lesquelles on fera passer la trace horizontale 0-0 du plan 

demandé P. 

Toutes les droites 5-5, 4-4 ou 2-2, passant par les points 
de cotes égales sur les lignes données, sont des horizontales 
du plan P. 

La droite 8-a perpendiculaire sur la trace 0-0 du plan P est 
l'échelle de pente de ce plan. 

251. Les droites 3-c, 5-e sont également les échelles de 
pente du même plan. En général, toute droite abaissée d'un 
point quelconque d'un plan, sur sa trace horizontale, sera 
son échelle de pente ; d'où il résulte qu'un plan aune infi- 
nité d'échelles de pente qui sont toutes parallèles entre elles 
(253). On peut encore cpnclure de ce qui précède que la po- 
sition d^un plan sera déterminée dans l'espace dès que l'on 
connaîtra une quelconque de ses échelles de pente. Ainsi les 



44â PLANS COTÉS. FL. 31. 

% 

points 5 et 2, llg. 4, étant situés surTéchelle de pente d'an 
plan P, on déterminera le point 0, et la trace horizontale 
du plan P sera perpendiculaire sur la ligne 5-0. 

252. Si Ton veut déterminer la cote de hauteur d'un point 
a situé dans le plan P, on tracera l'horizontale am perpen- 
diculaire à l'échelle de pente, et Ton calculera la cote du 
point m, en opérant comme nous Tavons dit au n« 249. 

253. Deux droites 11-5 et 9-3, flg. 3, sont parallèles lors- 
que leurs échelles de pente sont parallèles, égales et incli- 
nées dans le même sens, La trace 0-0 du plan P, qui contient 
ces deux droites, passera par leurs traces et sera parallèle à 
toutes les droites qui joindraient les points de cotes égalqs 
sur les deux droites données. 11 ne faut pas confondre les 
échelles de pente des deux parallèles données avec les 
échelles de pente du plan P qui contient ces deux lignes. 

254. Si deux plans sont parallèles, tLg. 13, leurs éciielles 
de pente 6-2, 7-3 seront parallèles et perpendiculaires aux 
traces horizontales des plans donnés P et P^. Réciproque- 
ment, si les échelles de pente de deux plans sont parallèles, 
ces deux plans seront parallèles. 

255. Déterminer Vintersection de deux droites, fig. 6. 
Pour que deux droites se coupent, il faut qu'elles soient 
dans un même plan, ce que l'on reconnaîtra lorsque les 
horizontales 1-1, 3-3 ou 5-5, etc., seront parallèles. 

Pour obtenir la cote de hauteur du point d'intersection U, 
on rabattra Tune des droites 0-5', et Ton calculera la cote 
de hauteur u\] en opérant comme nous l'avons dit au 
n° 249. 

256. Trouver, ûg. 7, rinterrection d'une droite 1 1-7 et 
d'un plan déterminé . par so?^; échelle de. pente 13-6. On 
rabattra le plan projetant vertical 'AZ de cette échelle, ce qui 
donnera 13^6' pour la trace verticale d'un plan donné, on 
projettera la droite donnée 11-7 sur le plan AZ rabattu, ce 
qui donnera 11 '-7', et le point m' sera la projection vepticale 



Pt** ^. PLANS GOTtS. 143 

du point demandé dont la projection horizontale u sera dé- 
t^minée. Pour obtenir la cote de hauteur du point uu' on 
calculera mu' en opérant comme nous l'avons dit au n* 249, 
et Ton ajoutera le .nombre 7 au résultat obtenu. 

267. Construire l'intersection KH de deux plans P et P| 
déterminés par leurs échelles de pente tO-3 et 7-2, flg. 8, 

1» L'horizontale 7 du plan P rencontrera l'horizon taie 7 du 
plan P| en un point qui sera le point 7 de la droite de- 
mandée KH ; 

2*» L'horizontale 3 du plan P et l'horizontale 3 du plan P| 
se couperont çuivant le point 3 de la droite KH qui par con- 
séquent sera déterminée. 

258. Sur la figure 9 l'intersection KH 'des plans P et P| est 
déterminée par les horizontales 8 et 3 de ces plans. 

259. Sur la figure 10 les projections 10-2 et 9-5 des 
échelles de pente des plans donnés étant parallèles, les ho- 
rizontales de même hauteur seraient également parallèles; 
dans ce cas Tinlersection KH des plans àorinés sera perpen- 
diculaire aux échelles de pente et pour obtenir la projection 
verticale H' de celte intersection on pourra opérer de la 
manière suivante : 

!• On rabattra le plan projetant vertical AZ de l'échelle de 
pente 9-5 du plan P^ et l'on projettera l'échelle 10-2 sur ce 
plan AZ rabattu. Les droites 9'-5' et 10'-2' seront les traces 
verticales de deux plans donnés, et ces plans étant perpen 
diculaires tous deux au plan vertical de projection AZ, leur 
intersection sera projetée sur ce plan par un seul point H' 
qui suffira pour construire la projection horizontale KH, et 
pour calculer sa cote de hauteur, en opérant comme nous 
l'avons dit au numéro 249. 

260. Sur la figure il les échelles de pente des plans don- 
^ nés sont inclmées dans le même sens, et leurs projections 

sont parallèles; mais les traces verticales S'-S' et 6'-4' se ren- 
contrent très-loin et très-obliquement. Dans ce cas, on aura 
recours au calcul, ainsi on écrira l'équation de la droite qui 
contient les points 8^ et 3' de la première trace ; on écrira 



444 



Hjyns amÉB. 



sIh atl. 



égalemeor. réqaatioB de la deuxième trace ; ob éliminera les 
a, et la valeur de y sera la cote de hauteur de la droite cher- 
ebée, qai sera comme ci-dessus perpendiculaire aux échelles 
de pente des plans donnés. 

261. Sur la figure 12, les projections 11-6 et 5-4 des 
échelles de penle étant presque parallèles, les horizontales 
de cotes égales se couperaient trop obliquement. Dans ce cas, 
on rabattra comme ci-dessus le plan projetant vertical AZ de 
réchelle de pente 5-4, et la droite 5'-4' sera la trace du plan 
Pj perpendiculaire au plan vertical AZ. 

On projettera sur ce dernier plan deux échelles de pente 
quelconques (251) ll'-6', ir^-G'' du plan P et les points 
m^rh et u^u suivant lesquels ces droites perceront le plan 
5'-4', détermineront la droite KK qui sera la projection hori- 
zontale de l'intersection demandée. 

262. Sur la figure 13, les échelles de pente 7-3 et 6-2 
étant parallèles (253), les plans donnés seront en même temps 
parallèles (254) et ne se couperont qu'à l'infini. 

283. Trouver le point d" intersection de trois plans P, P, 
et Pj déterminas' par leurs échelles de pente 7-3, 8-4 et 5-2, 
fLg. 14. 

1<> En opérant comme nous l'avons dit au numéro 257, on 
obtiendra l'intersection KH des plans P et P^ ; 

2* En opérant comme au numéro 256, on obtiendra le point 
n'u suivant lequel le pian Pj est percé par la droite K'H'. 

Le plan P^ perpendiculaire au plan vertical projetait de 
son échelle de pente 5-2 se projettera sur ce plan, par sa 
trace vertical^ 6'-2', et la projection K'H' sera déterminée par 
les points 7 et 3 de la projection horizontale Kff. 

264. Remarque. On voit, par ce qui précède, que le 
principal avantage des plans cotés provient surtout de ce 
que la projection verticale, étant remplacée par les cotes de 
hauteur, les donnôes peuvent être projetées dès Vorigine sur 
le plan qui convient le mieux à la question particulière que 
l'on veut résoudre, ce qui évitera souvent l'emploi des plans 
auxiliaires de la projection (î?45). 



PL. 31. VlkANS COTÉS. 145 

266. Par un point 8, déterminé par sa cote de hauteur, 
flg. 15, faire passer des droites parallèles à un plan qui 
a pour échelle de pente la droite 5-2. 

Le plan donné, perpendiculaire au plan projetant vertical 
AZ de son échelle de pente, se projettera sur ce plan par sa 
trace verticale 5'-2'. Le point donné se projettera par 8', et 
la droite 8'-6' parallèle à 5/-2' sera la trace verticale d'un 
plan passant par le point 8,8' et parallèle au plan 6'-2'. 

La droite 6'-6'' sera une horizontale du plan 8'-6', et 
toutes les droites 8-6" qui, passant par le point donné 8-8', 
s'appuieront sur l'horizontale 6'-6'', seront situées dans le 
plan 8'-6' et seront, par conséquent, parallèles au plan donné 
5'-2'. - . 

266. Par une droite 4-1, flg. 16, construire un plan 
parallèle à une seconde droite 10-7. 

i<» Par, un point quelconque 3 de la première droite on 
construira une droite 5-2 parallèle à la droite 10-7 (253) ; 

2* La droite 0-0 sera la trace horizontale du plan demandé 
qui contiendra la droite donnée 4-1, et qui, de plus, sera 
j^arallèle à la droite 10-7, puisqu'il contiendra la droite 5-2 
qui lui est parallèle. 

267. Par une droite donnée 11-5, flg 17, faire passer 
un plan perpendiculaire à un plan donné 6-1. 

Par un point quelconque 7 de la droite donnée 11 5, on 
construira la droite 7-2 perpendiculaire au plan donné. Cette 
perpendiculaire 7-2, rabattue autour de AZ, deviendra 7'-2' 
perpendiculaire sur la droite 6'-l' suivant laquelle ie plan 
donné 6 1 coupe le plan projetant? vertical '7-2. Enfln, la 
droite passant par le point des deux droites 7-2 et 11-5 sera 
la trace horizontale du plan demandé P^. 

268. Déterminer la distance d'un point 6, flg. 18, à un 
plan donné par son échelle de pente 7-3. 

1* On rabattra le plan projetant AZ de la droite 7-3 qui 
deviendra 7'-3' ; 

10 



146 #LANS COTÉS. PL. 31. 

2* Le plan donné 6 sera projeté par h' sur le plan vertical 
AZ; 

3* La droite 6'-i^', perpendiculaire sur 7'-3'' sera la dis- 
tance demandée dont la projection horizontale sera 6-u ; 

4*" On pourra calculer la cote de hauteur du point uu' en. 
opérant comme nous l'avons dit au numéro 249. 

269. Trouver la distance^de deux plans parallèles déter- 
minés par leurs échelles de pente 8-5 et 4-1, flg. 19. 

On construira leurs traces 8'-5' et 4'-!' sur le plan vertical 
projetant AZ et la perpendiculaire m'n' sera la distance de- 
mandée. \ 

« 

270. Déterminer la distance d'un point donné 6 à une 
droite donnée 5-1, flg. 20. 

1» On rabattra le plan projetant AZ de la droite donnée ; 

2*» Le point donné 6^ se projettera par 6' sur ce plan ra- 
battu ; 

3o La droite 6'-a' perpendiculaire sur 5'-!', sera la trace 
d'un plan perpendiculaire sur la droite donnée ; 

4° Ce plan coupera la droite donnée en un point un ; 

5o La droite 6-w sera la projection horizontale de la perpen- 
diculaire abaissée du point 6 sur la droite donnée; 

6** On calculera la cote du point u et la longueur de la 
droite 6-îi, Çt'-u' ; ou Ton fera tourner cette droite autour de 
l'horizontale projetante du point 6, ce qui donnera 6-u^' pour 
la distance demandée. 

271. Déterminer la distance de deux droites parallèles 
9-5ef 6-2, flg. 21. 

On projettera les deux droites sur le plan projetant AZ de 
l'une d'elles, ce qui donnera 9'-5' et 6'-2' pour leurs projec- 
tions rabattues. Le plan P, perpendiculaire sur ces droites, 
déterminera les deux points mm', nn' dont on cherchera la 
distance mn" par le calcul, ou par un rabattement. 

272. Déterminer la distance de deux droites quelconques 
ll-7é«8-3, flg. 22. 



PL. 31. PLANS COTÉS. 147 

1° Par un point 4, pris à volonté sur Tune des lignes don- 
nées 8-3, on construira la droite 6-2 parallèle à 11-7 ; 

2» Les deux droites 8-3 et 6-2 détermineront un plan paral- 
lèle à la droite 11-7; 

3** Le plan des deux droites 8-3 et 6-2 sera projeté par la 
tracé verticale 6'-2' sur un plan vertical AZ perpendiculaire 
à une horizontale 6-6 déterminée par deux points de cotes 
égales pris à volonté sur les droites 8-3 et 6-2 ; 

4« On choisira sur la droite 11-7 un point quelconques 
dont on construira la projection 8' sur le plan AZ rabattu ; 

5* La droite 8'-m', perpendiculaire sur le plan 6'- 2', sera 
la distance demandée ; 

6;* Si Ton veut obtenir la projection ïîorizontale de la 
droite perpendiculaire aux droites données, on déterminera 
la projection u du point uu^ ; 

7** On traitera S-u qui sera la projection 8'u' ; 

8* On fera mouvoir cette droite parallèlement à elle- 
même jusqu'à ce que le point u soit arrivé en n sur la droite 
8-3 ; 

9° On tracera nm parallèle à 8-w/ ou Ton fera S-m égal à 
wn, ce qui donnera la projection horizontale mn de la ligne 
demandée dont il sera facile d'obtenir la projection verticale 
m'n'. 

273. Nous terminerons ici Tétude des plans cotés. Ce qui 
précède suffit pour faire comprendre tout le parti que Ton 
peut tirer de cette méthode. On voit combien il est impor- 
tant, lorsque Ton veut résoudre un problème, de choisir 
dans chaque cas les. plans de projections les plus conve- 
nables ; ce que Ton comprendra bien mieux encore lorsque 
nous serons arrivé aux applications de la Géométrie descrip- 
tive. Ainsi nous ne reprendrons pas les questions que nous 
avons résolues sur les angles des lignes et des plans. Je 
rappellerai seulement que l'angle de deux droites s'obtien- 
dra par un rabattement autour d'une horizontale quelconque 
située dans le plan de ces lignes (157) ; que l'angle d'une 
droite avec un plan est le complément de l'angle que la 
droite fait avec une perpendiculaire au plan donné (162); 



148 



POLYÈDBES. 



PL. 32! 



enfin, que l'angle de deux plans peut toujours se ramener 
à Tangle de deux droites menées par un point de l'espace 
perpendiculairement à chacun des deux plans donnés (172). 



CHAPITRE Y 



Polyêdrea. 



/ 



274. Projection des polyèdres. On sait {Géom.) que 
les polyèdjes sont des corps terminés par des faces planes. 
II résulte de là que les dimensions d'un polyèdre seront 
parfaitement connues dès que Ton connaîtra la position rela- 
tive de ses sommets ; car la position des sommets déter- 
minera celle des arêtes, et les arêtes détermineront les faces. 

On voit donc que pour projeter un polyèdre il suffira de 
projeter tous ses sommets. Mais comme, en représentant sur 
une épure toutes les dimensions d'un corps que l'on se pro- 
pose d'exécuter, on doit prévqir le" moment où il faudra 
obtenir d'après le dessin les véritables grandeurs des di- 
verses parties de ce corps pour les transporter sur les maté- 
riaux dont il doit être composé, on doit, autant qu'on le 
peut, choisir le système du plan de projection le plus propre 
à atteindre ce but. Ainsi, par exemple, s*il s*agit d'un prisme, 
on placera, flg:. 146, pi. 32, une de ses bases abcde dans le 
plan horizontal et l'on prendra pour second plan de projec- 
tion un plan vertical parallèle aux arêtes ; puis, après avoir 
construit la projection horizontale de la base supérieure, on 
élèvera, par tous les sommets de cette projection, des per- 
pendiculaires jusqu à ce qu'elles rencontrent le plan horizon- 



PL. 32. POLYÈDRES. 449 

tal p, dont la position est déterminée par la hauteur que Ton 
veut donner au prisme que Ton projette. 

On voit qu'au moyen de la précautioa que l'on a prise de 
placer les bases du prisme horizontalement, et les arêtes pa- 
rallèles au plan vertical de projection, toutes les arêtes de ce 
corps sont projetées sur l'un ou l'autre plan de projection 
dans leur véritable grandeur. 

275. Les figures obtenues par la méthode des projections 
diffèrent essentiellement des formes apparentes sous lesquelles 
les corps se présentent ordinairement à nos yeux. Nous ver- 
rons la raison de cette différence lorsque nous nous occupe- 
rons de la perspective. Cependant, pour rendre plus faciles à 
concevoir les projections des corps solides, on est convenu 
que Ton regarderait certaines lignes comme vues, et d'autres 
comme étant cachées, et que pour les distinguer on tracerait 
en plein les lignes vues, et que l'on ponctuerait les lignes 
cachées. Pour cela on suppose, lorsqu'on regarde la projec- 
tion horizontale d'un corps, que l'œil est placé au dessus d^ 
ce corps à une distance infiniment grande, et lorsqu'on 
regarde la projection verticale, on est censé être placé de- 
vant le plan vertical, et infiniment loin de ce plan. Cette 
supposition d'une distance infinie est nécessaire ; car sans" 
cela, comme nous le verrons plus tard, la forme apparente 
d'un corps ne serait pas la môme que sa projection. 

Cette convention une fois adoptée, nous dirons qu'uneî 
ligne est vue, lorsqu'un point quelconque partant de cqtte 
ligne peut s'éloigner infiniment du plan de projection, et 
suivant une perpendiculaire à ce plan, sans rencontrer la 
masse tf aucun corps solide, et dans le cas contraire la ligne 
est cachée. 

Ainsi, par exemple, si les deux lignes {aa\ bb'), tlg. 147, 
étaient deux arêtes du même polyèdre, la première serait 
cachée sur la projection horizontale. En effet, si on trace la 
verticale du poink m, il est évident qu'elle coupera les deux 
droites données aux points m'm^'. Or, le dernier de ces deux 
points appartenant à la droite bb\ on en conclut que cette 
ligne passe au dessus de aa', et que, par conséquent, la 
projection horizontale de cette dernière droite doit être 



150 POLYÈDRES. PL. 32. 

tracée en points. Par un raisonnement analogue, on recon- 
naîtra que la projection verticale de la ligne bV doit être 
ponctuée. 



276. Si Ton voulait projeter une pyramide, flg. 148, on 
placerait la base dans le plan horizontal, puis on construi-^ 
rait en s la projection horizontale du sommet dont la projec- 
tion verticale s! serait déterminée par la hauteur que l'on 
veut donner à la pyramide. 

On conçoit qu'ici on ne peut placer qu'une ou quelquefois 
deux des arêtes obliques, parallèlement au plan vertical. 

277. Nous avons supposé jusqu'ici que l'on projetait un 
polyèdre dans l'intention de l'exécuter ensuite ; mais assez 
souvent le corps existe déjà lorsqu'on se propose d'en obte- 
nir les projections. 

Ainsi, par exemple, s'il s'agissait de dessiner les projections 
d'un monument ou d'une machine, on commencerait par 
mesurer toutes les dimensions des lignes horizontales et ver- 
ticales, que l'on reporterait ensuite sur l'épure, soit dans 
leur grandeur véritable, soit réduites d'après un rapport 
donné ; puis au moyen ^'un (il à plomb ou d'une équerre 
placée verticalement, on déterminerait les pieds des perpen- 
diculaires abaissées des points qu'il serait essentiel de proje- 
ter ; et, mesurant les hauteurs de ces points au dessus du- 
plan horizontal, il serait facile de construire la projection 
verticale du solide. 

Mais on conçoit que l'exactitude du résultat dépendra du 
plus ou moins de soin avec lequel on aura pris toutes les 
mesures, ou de la perfection des instruments que Ton aura 
employés. Aussi ne devrâ-t-on prendre sur le corps même 
que le moins démesures possible, et déduire, autant que 
l'on pourra, la grandeur de toutes les autres parties de ce 
corps, de sa définition géométrique. Ainsi, î)ar exemple, s'il 
s'agit d'un prisme droit à base carrée, on ne mesurera que le 
côté de la base et la hauteur du prisme ; lorsque plusieurs 
points seront dans un même plan horizontal, il suffira de 
connaître la hauteur de l'un d'eux. 



PL. 32, POLYÈDRES. i^i 

Nous allons faire Tapplication de ces principes à la pro- 
jeclion des cinq polyèdres réguliers. 

278. Projection du tétraèdre régulier. Oii construira d'a- 
bord, flfiT. 149, un triangle équilatéral ahc-; puis, joignant 
les trois sommets de ce triangle avec le centre d, on aura la 
projection horizontale du tétraèdre. Pour obtenir la projec- 
tion verticale, on projettera les sommets a, b, c sur la ligne 
AZ ; et si l'on a eu soin de placer Tune des arêtes ad, a'd* 
parallèle au plan vertical, elle doit se projeter sur ce plan 
dans sa véritable longueur ; de sorte qu'il suffira de décrire 
du point a', comme centre, avec un rayon égal à l'un des 
côtés de la base, un arc od* dont Tinlersection avec la verti- 
cale dd\ donnera en d' la projection verticale du sommet. 

279. Projection du cube ou hexaèdre régulier. On con- 
struira deux carrés égaux et disposés comme ^on le voit, 
ilg. 150, l'un sera la projection horizontale, et Vinire sera 
la projection verticale. 

280. Projection de l'octaèdre régulier. Deux carrés dispo- 
sés comme dans la flg. 151 représenteront les projections 
»de Toctaèdre régulier. Des douze arêtes de ce solide, il y en 
a quatre parallèles au plan horizontal, et.quatre parallèles au 
plan vertical. 

281 . 'Projection du -^iodécaèdre régulier. La projection 
horizontale de ce solide, flg. 152, se composera d'abord de 
deux pentagones réguliers égaux à l'une des faces, et inscrits 
dans le même cercle, de manière que les sommets de l'un 
soient au milieu des arcs sous-tendus par les côtés de l'autre, 
et d'un décagone régulier inscrit dans un cercle d'un plus 
grand rayon, et tel que l'on ait cd = ab. 

Pour construire la projection verticale, on remarquera que 
l'arête eh, e'h' étant parallèle au plan vertical, doit se pro- 
jeter sur ce plan suivant sa véritable grandeur, et que par la 
même raison x/u' doit être égal à la hauteur d'une face. 

282. Projection de l'icosaèdre régulier. Après avoir con- 



152 POLYÈDRES. PL. 33. 

siruit la projeclion horizontale, comme on le voit, flg. 153» 
on .fera a'V égale à une arête, et ddf égale à la hauteur de 
Tune des faces. 

283. Projection oblique des polyèdres. Il arrive quel- 
quefois dans l'architecture, et souvent dans les dessins des 
machines, que l'ofn a besoin de projeter un corps solide dans 
une position inclinée par rapport aux plans de projection. On 
pourrait placer d'abord le corps dans cette position, et cher- 
cher ensuite à construire la projection par les moyens que 
nous avons indiqués plus haut ; mais il est presque toujours 
plus fapile d'opérer comme il suit. 

On placera d'abord le corps dans la position la plus simple 
et la plus favorable à la construction de ses projections ; 
puis, par deux mouvements parallèles aux plans de pro- 
jection, on l'amènera dans telle position inclinée que l'on 
voudra. * 

Soit,ipar exemple, fig. 155, pi. 33, une droite {pb, a'f) 
perpendiculaire au plan horizontal de projection. 

Si Ton suppose que cette droite tourne autour de l'hori- 
zontale projetante du point {aa') en restant parallèle au plan 
vertical, on pourra l'incliner de manière qu'elle fasse tel 
angle que l'on voudra avec le plan horizontal ; dans ce pre- 
mier mouvement, le point [bb') décrira un arc de cercle 
(6c, b'c'). Faisant ensuite parcourir.au point [c&) l'arc hori- 
. zontal \cd, c'd'), l'angle avec le plan horizontal n'aura pas 
changé, et, par ce double mouvement, on pourra faire prendre 
à la droite telle position inclinée que Ton voudra. 

284. C'est par ces moyens que Ton a construit, fig. 154» 
les projections d'un parqllélipipède rectangle incliné par 
rapport aux plans de projection. 

Après avoir construit les projections verticale et horizon- 
tale, que je désignerai seulement par les lettres {ab, à'6'), 
placées aux extrémités de l'une des diagonales du solide, oa 
a supposé que ce corps tournait autour dé l'horizontale pro- 
jetante du point a et parallèlement au plan vertical, jusqu'à 
ce qu'il soit venu prendre la position inclinée dV. Par ce 



PL. 33. POLYÈDRES. 153 

premier mouvement, le point m' est venu se placer en n', et 
le corps étant resté parallèle au plan vertical, sa projection sur 
ce plan n'a fait que changer de position; de sorte que, pour 
avoir sa nouvelle projection verticale, il a suffi de construire 
sur a'n' un rectangle a'n'&q' = a^m/Vp'. Les cercles décrits 
par chacun des sommets étant parallèles au plan vertical, 
ie projettent horizontalement par des droites parallèles à 
la ligne AZ ; les intersections de ces droites avec les per- 
pendiculaires abaissées de la projection verticale a'Wc'q^ 
sont lès sommets de la nouvelle projection horizontale du 
soUde. , 

Supposons actuellement que nous faisons tourner le corps 
autour de la verticale du point {aa'), le point nn' décrira 
. Tare horizontal [no, n'o'). Ce second mouvement se faisant 
parallèlement au plan horizontal, la position du corps, relati- 
vement à ce plan, est toujours Ja même, de sorte que la pro- 
jection horizontale ne fait que changer de place, et pour 
l'obtenir il suffit de construire de nouveau cette projection, 
de manière seulement que la Jigne an soit dans la position 
ao. Quant à la projection verticale correspondante, on l'ob- 
tient en élevant de tous les points de la nouvelle projection 
horizontale des perpendiculaires jusqu'à la rencontre des 
arcs horizontaux parcourus par les sommets du solide dans 
le second mouvement, et représentés par les lignes horizon- 
tales passant par les sommets de la projection a'n^dq', 

285. On peut encore arriver au même but par un autre 
moyen. Nous avons, dans l'exemple précédent, changé la 
position du corps par rapport aux plans de projection : 
on préfère souvent, au contraire, changer la position du 
plan de projection par rapport à celle du corps. Soit a, a\ 
flg. 158, les deux projections d'un point donné. On veut 
avoir la projection de ce point sur le plan vertical p. On 
abaissera du point donné une perpendiculaire sur le plan 
p, et le pied de cette perpendiculaire sera la projection de- 
mandée^ Ce point se projettera horizontalement en h. Il est 
inutile de construire la projection verticale 6', qui ne servi- 
rait à rien ; mais pour mieux apprécier sa position sur le 
plan vertical p, on supposera que ce pian tourne autour de 



154 POLYÉDHES» PL. 33. 

sa irace verticale comme charpière, pour se rabattre sur l'é- 
pure. Dans ce mouvement, le point 6, V décrira un arc hori- 
zontal, et viendra prendre Isb position b" ; on pourrait aussi 
rabattre le plan p sur le plan horizontal, en le faisant tourner 
autour.de sa trace horizontale; alors le point bV viendrait se 
placer en b"\ que l'on obtiendrait en faisant bV'l égal à la 
hauteur du point donné au dessus du plan horizontal. 

V 

286. Dans les figures 156, 157, 15^, on s*est proposé de 
construire les deux projections d'une croix inclinée par rap- 
port aux plans de projection. 

Après avoir obtenu la projection inclinée abcd^ on a con- 
struit les traces du plan vertical sur lequel on s'est proposé 
d*ol?tenir la nouvelle projection ; puis, après avoir abaissé de 
tous les angles du solide des perpendiculaires à ce plan,' on 
Ta fait tourner autour de Tune de ses traces, pour le rabattre 
sur l'un ou sur l'autre des deux premiers plans de projection. 
La figure 157 représente la nouvelle projection rabattue sur 
le plan vertical, et dans la figure 159, elle est rabattue sur 
le plan horizontal. 

287. Il arrive assez souvent, surtout, comme je l'ai dit 
plus haut, dans les projections des machines, que l'on soit 
conduit à projeter quelques-unes de leurs pièces dans une 
position inclinée, afin de faire mieux concevoir comment ces 
pièces agissent les unes sur les autres, par suite du mouve- 
ment qui leur est communiqué ; mais il arrive encore plus 
souvent que les mêmes procédés soient employés pour ré- 
soudre le problème inverse, c'est-à-dire qu'étant données 
deux projections d'un corps incliné dans l'espace, on rem- 
place les plans coordonnés primitifs par d'autres sur lesquels 
les projections de ce même corps sont plus simples, et par 
conséquent plus commodes pour la solution des questions 
subséquentes. Ce cas se présentera souvent par, la suite; 
mais, les moyens qu'il faut employer ne difiérant pas de ceux 
que nous venons d'indiquer, nous ne nous y arrêterons pas 
pour le moment. 



PL. 34. POLYÈDRES. 455 

288. Développement. Développer la surface d'un po- 
lyèdre! On dit qu'une surface est développable^ lorsque toutes 
les parties de cette surface peuvent s'éteudre sur un plan 
sans déchirement. D'après cela, les surfaces de tous les po- 
lyèdres peuvent se développer. 

Soient, t\g, 160, pi. 34, les deux projections d'une py- 
ramide quadrangulaire ; on construira (52) la véritable lon- 
gueur de chacune des arète^, ce qui donnera le moyen de 
construire, fig. 161, les faces triangulaires bad, bde,becj 
bca ; quant à la surface quadrangulaire a^ed^ on la parta- 
gera en triangles par la diagonale ae, puis on construira les 
deux triangles ace, aed, qui composent cette face. On agirait 
de la môme manière quel que soit le nombre des côtés. 

289. Lorsqu'on disposera les données de cette épure, il ne 
faudra pas placer au hasard les quatre sommets du quadrila- 
tère aced, a'c'efd'^ parce qu'en agissant de la sorte il esÇ 
probable que ces sommets ne seraient pas dans, un même 
plan. Pour satisfaire à cette condition, il faudra construire 
les deux diagonales et s'assurer qu'elles se coupent (59). 

La même remarque doit s'appliquer aux projections d'un 
polygone quelconque. 

290. Lorsqu'il y a dans le polyèdre que l'on se propose de 
développer quelques relations de régularité ou de symétrie, 
on doit en profiter pour donner au développement plus 
d'exactitude et de simplicité. Les développements des po* 
lyèdres réguliers ofl'rent un exemple de ce que je viens de 
dire. La figure 163, qui représente le développement d'un 
tétraèdre régulier, n'est autre chose qu'un triangle équila- 
téraldont chaque côté est partagé en deux parties égales. Le 
développement de l'octaèdre régulier est inscrit, flg. 164, 
dans un parallélogramme composé de deux triangles équila- 

, téraux, et dont les côtés sont partagés en trois parties égales; 
et celui de licosaèdrCf fig. 165, est inscrit dans un parallé- 
logramme dont les côtés sont partagés en cinq parties égales. 
Le développement du cube ou hexaèdre régulier est inscrit 

«'dans un rectangle dont la base est à la hauteur comme 4 est 



j56 POLYÈDRES. PL. 35» 

à 3. Enfin, pour obtenir le développement du dodécaèdre ré- 
gulier, on construira deux grands pentagones réguliers égaux 
el disposés comme on le voit dans la figure 167; puis, en 
menant toutes les diagonales de ces pentagones, on obtien- 
dra, par leur intersection, deux autres petits pentagones 
placés au centre des premiers, et dont les diagonales prolon- 
gées détermineront toutes les faces du dodécaèdre. 

Chaque côté de l'un des deux grands pentagones doit être 
égal à deux fois Tarête du dodécaèdre que Ton veut déve- 
lopper, plus le .grand segment de cette arête partagée en 
moyenne et extrême. 

291. Étant données les deux projections d'un polyèdre y 
construire les traces des plans qui contiennent les faces de 
ce polyèdre. 

On choisit dans chaque face trois sommets ou deux arêtes, 
çt la question revient à chercher les traces d'un plan passant 
par trois points, ou par deux lignes droites qui se coupent 
(69, 70). C'est ainsi que Ton a obtenu, tig. 162, les traces 
des douze plans qui contiennent les faces d'un dodécaèdre 
régulier. 

^ > 

292. Section des polyèdres. Construire la section 
d'une pyramide par un plan. 

On pourrait, comme nous l'avons dit (291), construire sur 
les plans de projection les traces des plans qui contiendraient 
les faces du polyèdre ; alors la question reviendrait à cher- 
cher l'intersection de ces plans par le plan donné ; mais il est 
presque toujours plus simple de chercher les points où le 
plan donné coupe les arêtes du polyèdre. Par exemple, soit, 
flg. 168, pi. 35, une pyramide pentagonale dont on de- 
mande la section par le plan p ; on fera pour chacunç des 
cinq arêtes la construction indiquée (87) et l'on obtiendra les 
projections verticales et horizontales des cinq points suivant 
lesquels ces arêtes sont coupées par le plan donné. Joignant 
ces points par des droites, on aura les projections verticale et 
horizontale de la section demandée. 

Si l'on voulait obtenir cette section dans sa véritable 



PL. 35. POLYÎÈDRES. *57 

grandeur, on pourrait supposer que le plan qui la contient 
tourne autour de sa trace, pour venir se rabattre sur le plan 
horizontal. Dans ce mouvement, chaque point de la section 
décrirait un arc de cercle perpendiculaire à la trace horizon- 
tale du plan donné, et représenté en projectioa horizontale 
par une perpendiculaire à cette trace ; de sorte que pour 
savoir où chacun d'eux viendrait se placer dans le rabatte- 
ment, il suffirait de chercher sa distance à la ligne qui a été 
prise pour axe de rabattement. Ainsi, par exemple, pour le 
point dd', on chercherait la véritable longueur de la ligne 
od, o'd\ei celle longueur od'' donnerait la position du point 
dd' dans le rabattement de la section. 

Si l'on voulait construire cette section dan& le développe- 
ment de la pyramide, on construirait d'abord ce développe- 
ment commQ nous l'avons dit (28S) ; puis, cherchant la véri- 
table distance de chaque sommet de la section au sommet 
correspondant de la base ou au sommet de la pyramide, il 
serait facile de placer chacun de ses points sur la droite qui, 
dans le développement, représente Parête qui le contient. 
Dans la flgtire 168, l'arête {sm, sW) étant parallèle au plan 
vertical, se projette sur ce plan dans sa véritable longueur ; 
mais pour construire le développement, il a fallu chercher 
la véritable longueur de chacune des autres arêtes. 

Enfin, si le corps dont on a les projections était déjà 
exécuté, on pourrait se proposer de tracer sur ce corps le 
polygone résultant de sa sec.tion par lé plan p. Pour cela, on 
prendrait la distance de chacun des sommets de cette sec- 
tion au sommet de la pyramide ou aux angles de sa base, 
et il serait facile, en reportant ces longueurs sur les arêtes du 
polyèdre, d'y déterminer exactement la position des angles 
de la section. 

293. Section perpendiculaire au plan de projection, 
La disposition des données permet presque toujours de 
simplifier les opérations. Si, par exemple, il s'agissait d'ob- 
tenir la sefction d'un prisme par un plan perpendiculaire aux 
arêtes, on placerait ce prisme parallèlement au plan vertical 
de projection, auquel le plan coupant se trouverait alors 
perpendiculaire ; la section se projetterait verticalement par 



158 POLYÈDRES. V PL. 36, 

une ligne droite a'd', et pour en avoir la projection horizon- 
tale, il suffirait d'abaisser par les points a'Vh'c'efd' des 
perpendiculaires à la ligne AZ, jusqu'à la rencontre des pro- 
jections horizontales des arêtes. La figure {a"h"o"d"e"h") 
représente la section rabattue dans sa véritable grandeur 
sur le plan vertical qui contient l'arête Au, h'u' ; on suppose 
qu'avant de la rabattre, on Ta fait avancer parallèlement 
à elle-même jusqu'à ce qu'elle soit venue se projeter en 
(mn). 

La véritable grandeur de la section étant obtenue, on a 
porté tous ses côtés à la suite les uns des autres, et dans le 
prolongement de la trace verticale du plan p, ce qui a donné 
la ligne [a^"h'"d" ,,.) pour la section rectifiée^ puis, ayant 
meqé par tous ces points, et perpendiculairement à a"'m"\ 
des lignes parallèles et égales aux arêtes du prisme, on a 
obtenu le développement de ce solide. Nous emploierons 
souvent, par la suite, ce moyen de développer la surface 
convexe d'un prisme ; il est plus commode et plus exact 
que la décomposition des faces en triangles. 



284. La section perpendiculaire aux arêtes d'un prisme se 
nomme la section droite. 



285. Trouver les points oii une ligne droite perce la sur- 
face d^un polyèdre^ pi. 36. 

On fera passer par la droite un plan quelconque ; on cher- 
chera la section du polyèdre par ce plan, et les points où la 
droite donnée rencontrera cette section seront les points 
demandés 

En faisant usage d'un plan perpendiculaire à l'un de& 
plans de projection, il est évident que la construction de la 
section du polyèdre par ce plan sera plus facile à'Dbtenir. 

Dans la figure 170, pi. 26 (a, a'), est la droite donnée. Si 
Ton mène par cette droite un plan vertical/?, et que Ton 
construise la projection verticale de la section quiien résulte^ 
les points (m, m')^ (rt, n') où cette section est rencontrée par 
la ligne aa', seront les deux points demandés. En construi- 
sant le plan p' perpendiculaire au plan vertical, et la projec- 



PL. 36. POLYÈDRES. 159 

lion horizontale de la section qui en provient, on aurait 
obtenu le même résultat. 

296. Étant donnée la projection verticale a d'un point 
que Von sait appartenir à la surface d'un polyèdre^ trouver 
la projection horizontale de ce même point. 

Cela revient à trouver l'intersection du polyèdre par la 
droite cd, fig. 171, menée par le point a perpendiculaire- 
ment au plan vertical. Pour cela, menons par cette droite le 
plan, horizontal p, et construisons la section du polyèdre 
par ce plan, nous obtiendrons pour cette section un poly- 
gone horizontal coupé par la droite cd en deux points a', a'\ 
qui sont les projections horizontales des deux points appar- 
tenant à la surface du polyèdre, et ayant la même projection 
verticale a. 

Si Ton donnait la projection horizontale h\ et qu'il fallût 
trouver la projection verticale, on construirait un plan // 
perpendiculaire au plan horizontal de projection, et la section 
du polyèdre par ce plan serait rencontrée par la verticale eh 
en deux points V^ 6'^ qui seraient les projections des deux 
points de la surface du jTolyèdre qui se projettent horizon- 
talement en b, 

» 

297. Pénétration des polyèdres. Toutes les fois que 
l'on coupe un polyèdre par un plan, la section est une figure 
plane ; mais lorsque deux polyèdres se pénètrent, il en résulte 
une figure rectiligne dont les côtés peuvent être dirigés dans 
toutes sortes de directions. 

Pour obtenir les difl'érents côtés qui composent cette figure, 
on cherchera les intersections de chacune des faces du pre- 
mier polyèdre avec les différentes faces du second, et Ten- 
semble de ces intersections •formera la figure demandée. 
Pour obtenir l'intersection des plans qui les contiennent 
chercher les traces de l'intersection de ces faces deux à deux^ 
ou bien encore chercherles intersections des arêtes de Tune 
d'elles avec le plan qui contient l'autre ; mais il sera presque 
toujours plus simple d'opérer comme il suit : 

298. Supposons, flg. 172, que le triangle {abc, db'd) 



460 POLTÈDBES. PL. 36. 

appai tienne à Tun des deux polyèdres proposés, et que le 
quadrilatère {mnqs, m'n'q's') soit une des faces du second 
(289) ; en prolongeant les lignes [ab, a'V) [bc, ftV) jusqu'à 
leur rencontre avec le plan horizontal, on obtiendra la ligne 
vu qui représente la trace horizontale du plan qui contient 
le triangle. On cherchera de la même manière la trace si du 
plan qui contient le quadrilatère, et le point hh' où ces deux 
traces se rencontrent fera partie de l'intersection des deux 
faces proposées. Pour obtenir un second point de cette inter- 
section on pourrait avoir recours aux traces verticales des 
mêmes plans ; mais comme il arrive souvent que ces traces 
sont situées hors de Tépure, il faudra opérer comme nous 
l'avons dit (77). On construira un plan horizontal p, qui 
couperales plans du triangle et du quadrilatère suivant les 
deux droites œy, rz^ dont le point de rencontre /cfc' sera un 
second point de l'intersection cherchée, de sorte que les 
projections de cette ligne seront (ft/i, AW). Quand on aura 
obtenu cette infersection, on en retranchera tout ce qui 
serait en dehors des faces données, et tout ce qui appar- 
tiendrait à Tune d'elles sans faire^partie de 1 autre; de sorte 
que l'on ne conservera que la partie {eo, e'o') commune aux 
deux faces données ; on passeca ensuite à Tintersection de 
deux autres faces. 

299.* Il faudra opérer avec beaucoup d'ordre et de préci- 
sion. Soit, flg. 173, un angle trièdre composé du pentagone 
^, du triangle 6, et du quadrilatère c ; on veut avoir toutes 
les lignes provenant de sa pénétration dans un angle po- 
lyèdre composé des deux triangles 6' et (/, et des deux qua- 
drilatères a' et d'. On cherchera d'abord, par l'un des 
moyens indiqués plus haut, l'intersection des faces a et a\ 
et l'on ne conservera de cette intersection que la partie mn 
commune à ces deux faces ; et comme le point n fait encore 
partie de la face a', on cherchera l'intersection de cette face 
avec 6, ce qui donnera a'6, dont on ne conservera que la 
partie no. Arrivé là, il faut sortir de la face a ; mais comme 
le point est dans Tintérieur de la face 6, on cherchera 
l'intersection de cette face ft' adjacente à a' ; ce qui donnera 
bb'^ dont on ne conservera que la partie 09, commune aux 



I 
^^' 37. POLYÈDRES. I5J 

deux faces ^^et b'. On continuera à tourner de cette manière, 
jusqu'à ce que Ton soit revenu au point m, d'où l'on était 
parti ; ce qui formera le polygone provenant de la pénétra- 
lion des deux polyèdres. 

# 

300. On remarquera qu'à chaque opération, l'extrémité 
du dernier côté obtenu devant faire partie de celui qui doit 
suivre, il suffira d'obtenir un point pour déterminer ce côté. 
Il n'y a donc que pour le premier côté qu'il faudra obtenir 
deux points ; le dernier ♦sera déterminé par l'extrémité de 
celui qui précède, et par le point d'où Ton est parti ; de sorte 
que si Ton cherche un point du dernier côté, ce ne peut être 
que pour vérifier les constructions. 

301. L'épure de la planche 37 a été construite d'après 
ces principes : on s'est proposé d'obtenir toutes les lignes 
provenant' de Vintersection d'un tétraèdre avec un prisme 
"quadr angulaire. 

Je désignerai chacune des faces obliques par les deux 
lettres placées aux exlrémit(^s du côté suivant lequel cette 
face rencontre le plan horizohtal. Ainsi : 

Les trois faces obliques du tétraèdre seront ab, bc, ca. 

Les quatre faces du prisme seront de, em, mn, nd. . 

En opérant comme il a été dit (298), l'intersection des faces 

ab avec de, donne ou, 

ab ... em ut, 

bc . . . em, .... tx, 

ca . . '. em, , . . . œs, 

ca . , , dey . . . • so; 

d'où résulte le polygone {outTs). 

Ce polygone,' que nous venons d'obtenir, est celui par 
lequel le sommet du tétraèdre pénétrerait dans le prisme, 
quadrangulaire. En opérant de la même manière, on trou- 
vera un secopd polygone (lA/^r), par lequel le sommet du 
tétraèdre sort du^prisme. 

^ * Il 



■I 



-^62 POLYÈDRES. FL. 37. 

Voici Tordre (les opérations pour obtenir le second poly- 
gone ; rintersection de 

ab avec nd, donne t/c, 

bc . . , nd^' .... klf 

bc . . . mn, .... tg^ 

ca . . . mn, , . . , gr^ 

ca . . , nd, .... ri. 

302. Dans l'exemple que je viejjs de proposer, les deux 
polygones d'entrée et de sortie sont entièrement séparés l'un 
de l'autre, et dans ce cas on leur donne le nom de pénétra- 
tion ; mais il pourrait se faire, si le tétraèdre était un peu 
reculé dans un sens ou dans l'autre, qu'il ne fût pas entière- 
ment engagé dans le prisme ; alors les deux figures se mê- 
leraient et n'en feraient qu'une seule, à laquelle, dans ce cas, 
on donnerait le nom à' arrachement. 

303. Quand on a obtenu toutes les lignes provenant de la 
pénétration de deux corps, il reste à reporter ces lignes sur 
la surface même de ces corps ; ce qui peut se faire de deux 
manières. 

* 

304. Si les surfaces dés deux corps que Ton se propose 

de construire devaient être composées de feuilles minces en 
tôle, carton ou autre matière que l'on puisse facilement dé- 
velopper, on en construirait d'abord toutes les faces comme 
nous l'avons dit (288), et Ton tfacerait dans chacune de ces 
faces, et suivant leur véritable grandeur, toutes, les lignes 
provenant de la pénétration de deux polyèdres ; de sorte que 
lorsque ces corps seraient reformés, toutes ces lignes né- 
cessaires à leur assemblage se trouveraient tracées sur leur 
surface. 

305. Si les corps étaient massifs comme ceux que l'on 
construit en pierre ou en bois, et qu'ils fussent exécutés, on 
construirait encore le développement comme .nous venons 
de dire ; puis, prenant séparément èhaque face de ce déve- 



PL. 38. 



POLYÈDRES. 



163 



lopperaent, on découperait le contour de la pénétration, et 
en l'appliquant sur la face correspondante du solide, il serait 
facile de tracer cette figure dans sa véritable grandeur. 
Lorsqu'une' face du développement est ain^ appliquée sur le 
corps, on lui donne le nom de panneau ou patron. 

On pourrait encore, après avoir déduit de l'épure la dis- 
tance de chaque sommet de l'intersection aux sommets du 
polyèdre, construire directement cette figure sur la surface 
du solide, sans en faire le développement. 



306. On a rassemblé dans la planche 38 toutes les parties 
de ce problème. La figure 175 représente les données de la 
question, et la figure 176 en contient le résultat. On a, 
tïg. 111 j le développement du prisme, et la figure 178 est 
le développement du tétraèdre. 

Pour obtenir dans le développement du prisme un point q 
qui n'appartient pas à Tune des arêtes, on mène par ce point, 
flg. 176, une droite gm, ç'm', parallèle aux arêtes du 
prisme, et Ton construit cette droite dans le développement, 
suivant sa véritable grandeur. 

Pour le point W, on a construit une ligne (In, Vn') passant 
par le sommet du tétraèdre. 



464 LIGNES COURBES. PL. 38. 



. LIVRE II. 



CHAPITRE PREMIER. 



EAgnem courbes. 



■ < 



307. L'idée la plus simple que Ton puisse se former d'une 
ligne courbe, c'est de la considérer comme engendrée par le 
mouvement d'un point qui se détournerait infiniment peu à 
chaque pas. 

308. Pour définir une courbe, il faut énoncer les conditions 
de sa génération. Ainsi, par exemple, une circonférence de 
cercle est une courbe engendrée par un point assujetti à 
se mouvoir dans un plan, de manière à rester toujours à 
égale distance d'un autre point de ce plan que Ton nomme 
centre. 

309. Si toutes les positions du point générateur d*une 
courbe sont dans un même plan, on dit que cette coui'be est 

'plane : dans le cas contraire, on la nomme courbe à double 
courbure. Nous verrons bientôt d\où vient cette dénomi- 
nation. 

310. Le nombre des positions successivement occupées 
par le point générateur étant infini, il est impossible de les 
Construire toutes. Dans ce cas, on construit un certain 
liombre de ces points, très-rapprochés les uns des autres, et 
les joignant entre eux, on obtient une ligne qui diflêre peu 
de la courbe que l'on se proposait de construire. 



PL. 39. LIGNES COURBES. / 165 

Il est évident que cela revient à considérer la courbe 
comme un polygone d'une infinité de côtés ; chacun de ces 
côtés, ^ cause de sa pelttesse, peut être regardé comme élé- 
ment droit de la courbe. Si on le prolonge, on a une ligne 
droite qui, en deçà et au delà, s'écarte du cours de la courbe, 
et ne se confond avec elle que suivant ce même élément. 
Cette Jigne droite se nommé tangente, etTélément infiniment 
petit qui lui est commun avec la courbe se nomme point de 
tangence ou de contact. 

311. Il ne faut pas attacher à ce mot de tangente le même 
sens qu'en Géométrie : on voit, par ce qui précède, qu'une 
ligne telle que afe, fig. 179, pi. 39, qui toucherait une 
courbe au point a, pourrait la couper ailleurs. La ligne ac, 
menée par le point a perpendic^lairement à la tangente, se 
nomme une normale. 

312. Le point de tangence possède une propriété géomé- 
trique qui n'appartient pas rfu point de section. En effet, si 
on conçoit qu une sécante quelconque ao tourne autour du 
point a dans le sens indiqué par la flèche, il est évident que 
le point se rapprochera du point a, et lorsque ces deux 
points seront réunis, la droite que Ton aura fait tourner sera 
tangen te. . 

11 résulte de là que le point de tangence est un point 
double, puisqu'il provient du rapprochement de deux points 
de section. C'est pourquoi il détermine complètement la di- 
rection de la tangente, par suite de ce principe de Gçométrie, 
que par deux points on ne peut faire passer qu'une ligne 
droite, même lorsque ces deux points sont infiniment rap- 
prochés. 

Il n'en est pas de même du point de section 6, qui, étant 
un point simple, ne suffit pas pour déterminer la direction de 
la sécante bu. 

313. Cercle osculateur, rayon de courbure. Soit, 
flg. 180, une courbure man, la tangente ac, et la normale 
àb. Supposons qu'avec des rayons de différentes grandeurs on ' 
décrive plusieurs cercles passant parle point a et ayant leurs 



160 , LIGNES COURBES PL. 39 ^ 

ceruressur la normale. Tous ces cercles toucheront au point 
rrlacoarbe man et sa tangente àc, de. sorte que les uns 
seront en dedans de la courbe, les autres passeront entre la 
courbe et la tangente ; mçiis il est évident que, parmi tous 
les cercles possibles, il y en aura un qui s'approchera plus 
de la courbe qu'aucun des autres ; on le nomme cercle oscu- 
lateur. Sa courbure présente celle de la courbe au point a, et 
son rayon se nomme le rayon de courbure, 

314. Si tous les pbints de la courbe n'étaient pas dans un 
même plan, on pourrait toujours concevoir trois points de celte 
courbe infiniment près les uns des autres. Ces trois points 
■ détermineraient le centre et le rayon du cercle osculateur, 
et le plan de ce cercle se nommerait plan ,osculateur. II 
contiendrait l'arc extrêmement petit passant par les trois 
points qui déterminent sa position, et s'éftirterait de la 
courbe en deçà et au delà de cet arc. ' 

, 315. Quelquefois la courbure d'une courbe est constante 
comme dans la circonférence du cercle ; souvent elle est va- 
riable : tantôt le centre de courbure passe d'un côté à l'autre 
de la courbe ; alors de convexe qu'elle était, elle devient con- 
cave, comme on le voit en a, fig. 181 ; dans ce cas lé point 
a se nomme un point d'inflexion : ailleurs le point généra- 
teur, après avoir parcouru un arc «6, s'arrête brusquement 
pour se diriger suivant un autre arc tel que bc. Alors le 
point b se nomme tin point de rebroussement. On pourrait bien 
-regarder les deux arcs ab, bc, comme appartenant à deux 
courbes différentes qui aboutissent à un même point ; mais 
s'ils résultent tous deux des conditions qui déterminent le 
mouvement du point générateur, il vaut mieux les consi- 
dérer comme les deux branches d'une même courbe. 

Au reste, c'est dans les traités d'analyse qu'il faut étudier 
les propriétés des courbes. On y verra comment toutes les 
sinuosités et accidents de leurs cours sont représentés par les 
notions algébriques. Nous nous bornerons ici à l'exposé des 
-constructions graphiques dont nous devons faire Tapplicatioâ 
plus tard. 



«fL. 39. Ï.IGNES COURBES. 167 

316. Construction du rayon de courbure^ de la 
normale et de la tangente. Le calcul algébrique, en per- 
mettant d'admettre dans toute sa rigueur l'hypoltièse d*un 
nombre infini de côtés, fait connaître avec la plus grande 
exactitude la position des centres et des rayons de courbure, 
des normales et tangentes ; mais on peut, dans beaucoup de 
circonstances; se contenter des moyens que nous allons indi- 
quer. 

317. Soit flg. 182, la courbe abcde ; si Ton prend trois 
points by c, d, très-rapprochés les uns des autres, le centre et 
le rayon du cercle passant par ces trois points pourront être 
pris pour le centre et le rayon du cercle osculateur en c, et 
cette hypothèse sera d'autant plus exacte, que les arcs 6c, cd, 
seront plus petits. Il ne faudrait cependant pas, si Ton vou- 
lait obtenir ce centre par le moyen connu en Géométrie, 
prendre les points 6, o, d trop près l'un de' l'autre, car on 
perdrait, par la difficulté de la construction, l'exactitude 
<iue Ton aurait gagnée en se rapprochant de la vérité dn 
principe. ^ 

318. Il résulte de ce que nous venons de dire que si, en 
un point c d'une courbe quelconque, on veut construire une 
langente à cette courbe, dn prendra deux points 6, rf, très- 
près et à égale distance du point c ; puis ayant joint b avec d 
par une ligne droite, Usera facile de construire la normale 
€0, perpendiculaire sur bd, et la tangente cm perpendicu- 
laire à l'extrémité de co. 

319. Développantes et développées. Si par chacun 
des points a, 6, c, d, e-^ ûg. 183, pris sur une courbe quel- 
conque, on conçoit une normale à cette courbe, chaque 
normale sera coupée par celle qui suit en un point; la 
ligne qui passera par les points d'intersection de toutes ces 
normales contiendra tous les centres de courbure d^ la 
courbe donnée. En effet, on pourra considérer ab comme un 
petit arc de cercle dont m serait le centre, bc comme un 
second arc de cercle qui aurait son centre enn ; de sorte 



168 LIGNES COURBES. PL. 39w 

que l'ensemble de ces petits arcs de cercle formera ane 
courbe continue et sans cassure; car il est évidéni que si à 
l'extrémité de l'une des normales on mène une tangente à la 
courbe, cette tangente sera touchée en même temps par 
Tare qui suit : d'où il résulte que ces deux arcs se louche- 
roQt et se raccorderont parfaitement. 

On dit que deilx arcs se raccordent, lorsqu'ils paraissent 
être le prolongement l'un de l'autre et ne former qu'une 
même courbe. 

Celte manière d'envisager une courbe n'est rigoureuse- 
ment exacte qu'autant que l'on suppose les arcs a6, bc, cd 
infiniment petits ; car sans cela, ce serait plutôt une suite de 
petits arcs de cercle qui ne satisferait qu'approximativement 
à la définition géométrique de la courbe. 

320. Si l'on imagine un fil attaché en s, et courbé suivant 
le contour de la ligne zonm ; en faisant mouvoir le point a 
suivant la courbe abcde, il est facile de voir que le fil se dé- 
veloppera, que le point m décrira la courbe msu^ et que le 
rayon de courbure s'accroîtra, à chaque instant, de la difié- 
rence des deux normales passant par les extrémités de l'arc 
parcouru par le point a ; de sorte que la partie uz du dernier 
rayon pourra être regardée comme le développement de la 
courbe zonm. C'est cette propriété qui a fait donner à la 
courbe ahcde le nom de développante^ par rapport à la courbe 
zonm qui contient les centres de courbure, et que l'oa 
nomme sa développée, 

321. En regardant une courbe comme une suite de petits 
arcs de cercle, hypothèse sufiisamment exacte pour un grand 
nombre d'applications, nous allons voir quel parti on peut 

*,tirer des principes précédents pour la construction de& 
courbes. 

322. Étant donnée une ligne courbe^ construire sa déve-^ 
loppante. 

On placera sur la courbe donnée un certain nombre de 
points très-^rapprochés les uns des autres ; puis, après avoir 
mené une tangente par chacun d'eux^ on prendra ce point 



./ 



PL. 39. UGMES COURBES. 169 

pour centre, et la tangente pour rayon de courbure de l'arc 
correspondant de la développante. 

Ainsi, par^xemple, étant donnée la courbe mnozag. 183, 
on construira les tangentes ma, hb ; puis du point m comme 
centre, avec le rayon ma, on décrira Tare ab ; le point n 
sera le centre de Tare bc, et ainsi de suite. Les coi^rbes abc^ 
a^Vo\ flff. 184, sont les développantes du cercle. On aurait 
pu en construire une pour chaque point du cercle, et Ton 
peut voir'qu'en général une courbe a une infinité de déve- 
loppantes. La ligne a"b"d\ est la développante de a'Vd , . 

323. La courbe aè, obtenue par le moyen que nous ve- 
nons d'indiquer, n'est pas rigoureusement égale à la déve- / 
lôppante du cercle, puisque la définition de celte ligne sup- 
,pose la construction d'un nombre. in/îni de tangentes. 

Pour obtenir plus de précision dans le tracé de la courbe, 
on mesurera le rayon en le portant avec le compas sur une 
échelle divisée avec le plus grand soin. Puis on calculera la 
circonférence au naoyen de la formule 27rR, ce qui donnera 
la longeur de la 16^ tangente. On partagera cette longueur 
en 16 parties égales, et l'on portera 15 de ces parties sur la . 
15e tangente, 14 sur la 14® tangente, 13 sur la 13% et ainsi de 
suite. Après quoi on tracera la courbe à la main, ou en cher- 
chant les centres comme nous le dirons bientôt. 

324. Etant donnée une ligne courbe^ construire sa déve- 
loppée. 

Il faudra mener, flff. 183, à la ligne proposée un certain 
nombre de normales très -près les unes des autres, puis on 
fera passer une courbe par 'les points d'intersection de ces 
normales consécutives. 

La développée du cercle se réduit à un point; 

11 ne semble pas que ces principes puissent être d'une 
grande utilité dans les applications, puisque la développante 
ne peut se construire qu'à l'aide de la développée, et que, 
réciproquement, on ne peut obtenir la développée que lors- 
qu'on a déjà la développante. Mais nous allons voir que l'on 
peut souvent éluder cette difficulté. 



170 UGRES COURBES. PL, 39. 

• ■ 

825. Lorsqu'une courbe provient, comme abcde^ fig. 183, 
<le la construclion d'arcs de cercle successifs, on lui donne, 
^dans les applications, le nom de courbe à plusieurs centres. 
On voit que ces sortes dq courbes ne sont pas soumises dans 
toute l'étendue de leur cours à la même loi de continuité, 
c'est-à-dire que les conditions qui déterminent le mouve- 
ment du point générateur ne sont pas identiquement les 
mêmes depuis le commencement de la courbe jusqu'à son 
extrémitô. Mais la facilité avec laquelle on peut construire, à 
^ l'aide d'un compas, ces imitations de courbe, les fait souvent 
préférer, dans les àpplicatioiis, aux courbes continues que 
l'on ne peut tracer qu'à la main. 

326. Des courbes à plusieurs centres. La construc- 
tion des courbes à plusieurs centres dépend de ce principe 
de géométrie, que si deux cercles ont une tangente com- 
mune en un point de leur circonférence, ils se toucheront 
en ce point. ^ 

327. Soit, par exemple, fig. 185, un arc de .cercle ab 
ayant pour centre le point c ; il est évident que tout autre 
arc de cercle passant par le point b et qui aura son centre sur 
le rayon c6 ou sur son prolongement, sera touché en b par 
ie premier arc et se raccordera parfaitement avec lui. 

On peut proposer deux questions principales sur les 
courbes à plusieurs centres. 

32tf. l'* Question. Faire passer une hgne courbe par 
plusieurs /joints donnés. 

Soient trois points a, b, c, tig. 187, on, mènera les cordes 
ab, bc, et les ligfles dm, /m," perpendiculaires sur les mi- 
lieux de ces cordes; puis du point m, pris où l'on .voudra, 
sur dm, on décrira un premier arc ab. Quant au second arc 
bc, il doit avoir son centre sur la ligne /m perpendiculaire 
au milieu de bc ; mais pour qu'il se raccorde avea le premier 
arc, il faut qu'ils aient la même tçingente au point b. Il faut 
donc que le centre du second arc soit sur le rayon bm. 11 
sera donc au point n, où les deux lignes bm, hn se ren- 
contrent. 



PL. 39. UaNES COURBES. 171 

On voit que la question proposée est indéterminée, et que 
par trois points donnés on peut faire passer une infinité, de . 
courbes à deux centres, dont la forme dépend du centre que 
Ton choisit pour décrire le premier arc. Si l'on prenait le 
point pour centre, les deux arcs n'en feraient qu'un ; si 
l'on décrivait le premier arc du point p sur la ligne bp per- 
pendiculaire à te, le rayon de courbure du second arc serait 
infini, et cet art se confondrait avec la corde bo, qui devien- 
drait tangente au premier arc. 

329. On peut appliquer ces principes à la coustruction 
d'une courbe passant par tant de points.que Ton voudra, et 
Ton reconnaîtra encore que la forme de la courbe dépend du 
centre du premier arc. Ainsi, flg. 186, en prenant ce centre 
en t, on a la courbe abcde, tandis que si l'on prend le point 
pour premier centre, on obtient la courbe ab'o'd/e, 

330. Pour obvier à l'inconvénient qui résulterait de cette 
indétermination, on tracera d'abord, flg. 188, au crayon et 
avec beaucoup de soin la courbe que l'on se proposera de 
construire ; puis après l'avoir partagée en parties égales par 
les points a, 6, c, d^ e, on fera passer par b une perpendi- 
culaire sur ac, parc une perpendiculaire sur M, et ainsi de 
suite. Toutes ces lignes pourront être considérées comme 
des normales à la courbe, et leurs intersections successives 
donneront les centres de courbure. 

331. 2* Question. Construire une courbe à pfUsieurs 
centres tangente à des droites données. 

Soient, flg. 189, les deux droites aè, ac ; on veut décrire 
une courbe qui les touche en b et en c. Pour cela, on cons- 
truira d'aborij bo, ci^ perpendiculaires aux deux tangentes 
données, puis onjlécrira un premier arc 6d, en prenant pour 
centre un point o situé où l'on voudra sur la droite bo, de 
manière, toutefois, que l'arc bd ne touche pas la tangente ac. 
Portant le rayon bo de c en /i, on joindra le point o avec le 
point h par la droite o/i, sur le milieu de laquelle on élè- 
vera la perpendiculaire si^ dont la rencontre avec la ligne ci 
donnera en i le centre du second arc. En effet, on aura ih=^i0y 



\ 



172 LIGNES. COUBBES. PL. 39. 

« 

et par conséquent ih -\- Jw = io -{' od, puisque od = lo =hc. 
Donc le second arc tangent en c passera par le point d ; de 
plus, il se raccordera avec le premier arc, puisque si au 
point ^d on menait une perpendiculaire. à od, elle le serait 
aussi au rayon id du second arc, d'où il suit que les deux 
arcs aiiraient une tangente commune en d, et se toucheraient 
en ce point. ; , 

Si le centre du premier arc était situé sur la ligne qui par- 
tagerait l'angle bac en deux parties égales, cet arc touche- 
rait aussi la ligne ac au point u, éloigné du point a d'une 
quantité au = ab, et la partie droite eu remplacerait le ' 
second arc dont le rayon serait alors infini. 

332. Si les deux tangentes étaient parallèles,- on opérerait 
de la même manière. Enfin, si la courbe devait être assu- 
jettie à passer par un point donné, le problème serait déter- 
miné. 

Soient, par exemple, flg. 190, les deux droites aô, cd. 
On veut décrira une courbe qui touchoices deux lignes en b 
et en c, et qui passe par le point h. On construira 60, ci, 
perpendicula^ires sur les deux tangentes ; on mènera de plus 
la corde 6/1, sur laquelle on élèvera la perpendiculaire vo. 
Le centre du premier arc sera déterminé par l'intersection de 
bo avec la perpendiculaire sur le milieu de bh; on fera ensuite 
eu = bo, et le centre du second arc sera donné par Tinter- 
section de ci avec la perpendiculaire sur le milieu de ou. Le 
point de raccordement m sera sur le prolongement de io. 

333^. Si l'on veut construire une courbe .tangente aux 
divers côtés d'un polygone quelconque, fig. 191, on com- 
mencera par l'indiquer au crayon avec le plus de régularité 
possible ; puis après avoir bien arrêté les points où Ton veut 
que la courbe touche le polygone, on joindra ces points 
deux à deux par des courbes à deux centres, du genre de 
celle que nous avons construite (331). 

334« Lieux géométriques. Nous avons précédemment 
regardé une courbe comme représentant le chemin parcouru 
par un point qui se meut suivant une certaine loi; mais 



PL. 40. LIGNES COURBES. 173 

• 

souvent on considère nne ligne courbe "comme étant le lieu 
où se trouvent réunis un nombre infini de points qui satis- 
font tous à certaines conditions données. Dans ce cas, la 
courbe prend le nom de lieu géométrique ; ainsi, la circon- 
férence d'un cercle est le lieu de tous les points qui, dans 
un même plan, sont à égale dislance d'un point donné que 
Ton nomme centre. 

La droite qui partage un angle en d'eux parties égales est 
le lieu de tous les points également éloignés des côtés de cet 
angle. 

Nous allons donnerune idée de la construction de quelques 
lieux géométriques et de leur usage. 

335*. Étant donnés un cercle et une droite, construire le 
lieu de tous les points à égale distance de la droite et de la 
circonférence du cercle. 

Soit fîg. 129, pi. 40, la droite ap et le cercle qui a son 
<^ntre en c. On abaissera de ce point une perpendiculaire sur 
la droite ap; et l'on prendra le milieu de la partie de cette 
. perpendiculaire comprise entre la droite et la circonféi:ence 
du cercle, ce qui donnera en o un point de la courbe cher- 
chée. Pour en construire d'autres, faisons od = o/?; menons 
au point 7i une ligne hu parallèle A ap, et décrivons du point 
<?, comme centre, l'arc du. L'intersection de cet arc et de la 
droite hu donnera en u un second point de la courbe. Eu 
effet, on a 2u = ph = di = us. Donc, 

zu=us. ^ 

On construira de cette manière autant de points que 1 on 
voudra. 

Tout cercle qui, ayant son centre sur cette courbe, touche- 
rait la droite donnée, serait aussi tangent au cercle donné. 

336. Si Ton voulait construire le lieu, de tous les' pointsr 
à égale distance des deux cercles o, e, on joindrait les 
centres par la droite ce, et le point x, milieu de nm, appar- 
tiendrait au lieu cherché. Prenant ensuite 5?î; = frj;, et dé- 
' crivant vy,* yk, des points c, e, comme centres, on aura en 
y un second point de la courbe cherchée. En répétant cette 



174 LIGNES COURBES. PL. 40. 

côtistrucfcion, on aura autant de points que Ton voudra, ce 
qui déterminera la courbe iœ. 

Tout cercle ayant son centre sur cette courbe, et qui tou- 
cherait le cercle c, serait aussi tangent au cercle e. 

C'est par une construction analogue que l'on a obtenu la 
courbe pq, qui contient les centres de tous les cercles qui 
sont touchés intérieurement par le cercle c, et extérieu- 
rement par le cercle e. 

337. Étant donnés trois cercles, que je désignerai par 
a, b, c, flg. 193, construire un cercle qui les touche tous 
les trois. 

On construira d'abord le lieu mn, qui contient les centres 
des cercles tangents aux cercles a et b. On construira, de 
même le lieu contenant les centres des cercles 'tangents aux 
cercles a et c, et Tintersection des courbes mn, pq donnera 
en œ le centre d'un cercle qui touchera les trois cercles 
donnés. 

En construisant le lieu des centres des cercle^qui touchent 
b et c, on obtiendrait une troisième courbe rs qui passerait^ 
encore par le point x, ce qui vérifierait les constructions. 

On obtiendrait de la même manière les centres des cerclés 
qui toucheraient extérieurement quelques-uns des cercles 
donnés, ou tous les trois. Dans le cas général, il y a huit 
cercles tangents à trois cercles donnés. 

Je n'ai donné cette construction que comme un exemple 
d'application des lieux géométriques que nous emploierons 
par la shite dans plusieurs occasions ; mais on trouvera, dans 
les Traités de Géométrie ordinaire, d'autres moyens de ré- 
soudre les problèmes relatifs au contact des cercles. 

33Ô. Étant donnés, flg. 194, un cercle dont le centre 
est en a, et un ^oint b hors de ce cercle, construire le lieu 
contenant les pieds de toutes les perpendiculaires abaissées 
du point b sur les tangentes au cercle. 

On construira les tangentes cd, eh, vo, etc., et du point b 
on abaissera les perpendiculaires bd, bh, bo, ce qui donnera 
la courbe mdhbosubkm. * * 

Voici encore quelques applications des lieux géométriques. 



PL. 40. LIGNES COURBES. 175 

339. Courbes d'essai. Soient donnés la courbe bxc et 
le point a, fig. 195 ; on demande de faire passer par ce 
point une tangente à là courbe. 

On construira un certain nombre de normales (318), puis 
abaissant du point donné une perpendiculaire sur chacune de 
ces normales, on aura le lieu dœh, qui contiendra les pieds de 
ces perpendiculaires, et le pointa?, provenant de l'intersection 
de cette ligne avec la courbe proposée, sera le point de lan- 
gence ; car il est évident que si, par ce point, on construit 
une normale œo, la droite ax sera perpendiculaire ti cette 
normale, et par conséquent tangente à la courbe. 

Pour ne pas faire de travail inutile, on commence par 
reconnaître quelle doit être à peu près la position du point de 
tangence, et Ton construit deux ou trois normales en deçà, et 
autant au delà de ce point. 

340. Cette manière d'employer les lieux géométriques leur 
fait quelquefois donner le nom de courbes d'essai: 

341. Tous les géomètres ont attaché une grande impor-' 
lance à la détermination rigoureuse des tangentes et des 
points de tangence : or, dans les applications, quelle que soit 
Texactitude du principe dont on fait usage, on conçoit qu'il 
y aura toujours quelque erreur, que Ton pourra, dans le 
calcul, rendre aussi petite que l'on voudra, mais qui, dans 
les constructions graphiques, sera toujours dépendante de la 
perfection des instruments, ou de Thabileté de celui qui les 
emploie. Ainsi, par exemple, lorsqu'on veut faire passer une 
droite par un point, il est certain que Terreur que l'on com- 
met dépend' du plus ou moins de finesse dans la pointe du 
crayon avec lequel on aura tracé cette droite. 

Nous conclurons de là que, pour construire, par un pointa, 
fig. 196, une tangente à la courbe bxd, on peut se contenter 
d'approcher une règle de manière que la ligne 4racée par le 
point donné paraisse passer sur la courbe, sans augmenter la 
largeur du trait. Il est évident que la tangente sera, par ce 
moyen, aussi bien déterminée que si l'on avait obtenu 
d'abord le point 'de tangence; puisque,, dans l'un comme 
dans l'autre cas, la plus grande erreur ne pourra excéder la 



176 IJGNES GOUHBES. PL. 40. 

largeur de la ligne tracée ; raais^on^ conçoit que ce dernier 
moyen de construire une tangente laisse de l'incertitude sur 
la véritable place du point de tangènce, et si Ton voulait 
déterminer ce point, on construirait plusieurs cordes paral- 
lèles à la tangente, et la courbe yx, contenant les milieux de 
toutes ces cordes, viendrait aboutir au point de tangènce, et 
le déterminerait avec une exactitude suffisante pour la plu- 
part des applications. 

. / 
342. Ce moyen de construire une tangente ne peut être 

employé avec succès que lorsque la direction de la tangente 
est déterminée par un point extérieur ou par quelque autre 
condition. Si le point donné, par exemple, était sur la courbe, 
il est évident que la plus petite erreur, à droite ou à gauche 
de ce point, pourrait influer beaucoup sur la direction de la 
tangente, et par conséquent sur la position de tous les points 
qui dépendraient de la direction de cette ligne. 

Dans ce cas, il serait indispensable de commencer par dé- 
terminer la normale, soi l par la construction indiquée (318), 
soit par tout autre moyen résultant de la définition de la 
courbe. 

343.' Construire une tangente à une cownbe cyd, parallè^ 
lement à une ligne donnée ab. 

On construira, fig. 197, quelques normales, et d'un point a 
pris où l'on voudra sur la droite donnée, on abaissera une per- 
pendiculaire sur chacune de ces normales. La courbe aœz^ qui 
passera par les pieds de toutes ces perpendiculaires, coupera 
ia droite ab en un point x. Or si, par ce point, on construit 
la normale xo, elle sera évidemment perpendiculaire à ia 
ligne ab, et son intersection avec la courbe donnée détermi- 
nera le point de tangènce y et la tangente pq, qui sera paral- 
lèle à ab, comme on le demandait. 

Pour mener par le point œ la normale xo, on prolongera les 
normales que l'on avait, construites pour obtenir le lieii axz. 
Les intersections successives de ces normales donneront un 
arc 60 appartenant à la développée de cyd, et menant par le 
point X une tangente à la courbe eo, on 'obtiendra la nor- 
male ox. 



« 



îPL. 40. LIGNES COURBES. 177 



-. On pourrait, flg. 198, pour construire la tangente 
demandée, se contenter d'approcher la' règle parallèlement à 
la ligne donnée ab^ et l'on tracerait la ligne pq de manière 
qu'elle passât sur la courbe sans augmenter la largeur du 
trait; puis on construirait quelques cordes parallèles à la ligne 
donnée, et la courbe zx^ passant par les milieux de ces cordes, 
viendrait aboutir au point de tangence et le déterminerait 
avec une exactitude suffisante. 



>. Construire une tangente à deux courbes données. 
On approchera, flg. 199, une rtgle de ces deux courbes, 
-ce qui déterminera la tangente pq avec une exactitude suffi- 
sante. (Juant aux points de tangence, on mènera deux ou 
trois cordes parallèles à pq, et prenant les milieux des cordes 
tracées dans la courbe czd, on construira le lieu uz^ qui 
déterminera lô point z; on obtiendra de la même manière le 
point X. 

346. Partager un cercle en autant de parties égales que 
Von voudra, v 

Soit, par exemple, flg. 200, un cercle que Ton veut par- 
tager en sept parties égales. 

On construira un rayon va et une ligne 6c, perpendiculaire 
en un point quelconque pris sur le prolongement de ce 
rayon; puis ouvrant le compas d'une quantité que Ton ju- 
gera peu différente de la septième partie du cercle, on por- 
tera cette ouverture à partir du point a, en ayant soin de 
marquer sur la circonférence le sixième et le huitième point 
de division ; faisant ensuite bd = dc, on joindra le point b 
avec le point 8, et le point c avec le point 6, par deux 
droites qui se couperont en o. Or, si le point o était sur la 
ligne dv, il est évident que les points 6 et 8 seraient symé- 
triquement placés par rapport à cette droite, et que le sep- 
tième point de division coïnciderait avec le point a; tandis 
que si le point o est au-dessus ou au-dessous de la ligne d", 
on peut en conclure que Ton a pris une ouverture de compas 
trop grande ou trop petite. 

Après trois ou quatre essais de ce genre, en diminuant ou 
augmentant un peu l'ouverture du compas, on obtiendra une 

12 



178 LIGNES COURBES. PL. 40. 

courbe qui coupera la ligne dv en un point œ, et joignant ce 
point avec fe, on déterminera Textrémité de la septième partie 
de la circonférence. 

Les points b, c, pouvant être pris à volonté, il faut le» 
choisir de manière que la position du point o soit bien déter- 
minée. Si Ton prenait ces points trop près du point d, les 
lignes 60, co se couperaient trop loin et suivant un angle ' 
trop aigu ; la courbe d'essai pourrait même se trouver à 
droite du point rf, ce qui serait moins commode que dans • 
l'exemple proposé. 

347. La construction précédente a été employée, flg. 202, 
pour déterminer le tiers de Tare ab. 

Ce problème est connu sous le nom de trisection de l'angle 
ou de l'arc. J'en ai donné une solution plus simple au n® 431 
du Traité de Géométrie, 

348. De la manière de représenter les courbes 
planes. Soient deux droites AX, AY, que l'on supposera, 
pour plus de simplicité, rectangulaires entre elles ; I» pre- 
mière se ïïommeXaœe des abscisses^ la seconde est Yaxe des 
ordonn^e^; lorsqu'on parle de ces deux droites, on les nomme 
axes coordonnés ; le point A se nomme l'origine. 

Si l'on conçoit un point m dans le plan YAX, et que, par ce 
point, on construise mp parallèle à la ligne AY, et mq paral- 
lèle à la ligne AX; mp se nommerai V or donnée, et misera 
l'abscisse du point m ; de sorte que la position du point m, 
par rapport aux axes AY, AX, sera déterminée lorsque l'on 
donnera son abscisse et son ordonnée. 

Presque toujours on prend pour Vabscisse la partie kp de 
la droite AX comprise entre le point A et le pied de l'or- 
donnée. 

Une coi4rbe étant connue, lorsque l'on connaît la position 
de tous ses points, on peut faire pour cbapun d'eux les cons- 
tructions que nous venons d'indiquer. Ainsi, pour construire 
la courbe abcdef^ flg. 203, il suffira de construire l'abscisse 
et Vordonnée correspondant à chacun de ses points. 

349. Si l'on voulait copier une courbe ou la réduire^ il 



PL. 41. LIGNES COUBBES. . 179 

faudrait copier ou réduire, d'après un rapport donné, les . 
abscisses et ordonnées de chacun de ses points. Ainsi la courbe 
a'b'dd'e'f représente la courbe àbcde réduite à une dimen- 
sion moitié. 

Pour rectifier la courbe ahcdef, c'est-à-dire pour avoir sa 
longueur absolue, on portera les arcs ab, hc\ cd à la suite les 
uns des autres, ce qui donnera a"¥o"d"e"f' ; il est bien en- 
tendu que les points a, h, c..., etc., doivent être assez rap- 
prochés les uns des autres pour que Ton puisse, sans erreur 
sensible, prendre la distance de deux {Joints consécutifs pour 
la grandeur de Tare qui les joint. 

Quelquefois, 'pour définir une courbCy on énonce les rela- 
tions qui doivent exister entre les abscisses et les ordonnées 
de ses points. 

Ainsi, par exemple, si Ton demandait une courbe telle que 
pour chaque unité d'augmentation de l'abscisse, l'ordonnée 
dût augmenter de la moitié de l'ordonnée précédente, on 
construirait les points mnkpq à égale distance les uns des 
autres ; et en supposant que le point a soit donné sur la 
ligne AY, on construira ma, qui, par son prolongement, don- 
nera le point b;nb donnerait le point c\kc donnerait le 
point d, et ainsi de suite, en sorte que abcd .». o serait la 
courbe demandée. En effet, on aura : 

y cqidr^ kq:kr=^2:3\ 
donc, 

2dr = 3cq et par conséquent dr=si-^=:cq-^ -^ • 

On voit que dans cette courbe les abscisses étant en progres- 
sion par différence, les ordonnées correspondantes forment 
une progression par quotient. Cette propriété a fait donner 
à ces sortes de courbes le nom de logarithmiques. 

350. Cycloïdes. Si l'on fait rouler la circonférence A, 
flg. 217, pi. 41, sur la droite 1-1^ chacun des points de 
cette circonférence décrira une cycloïde. 

Pour tracer la courbe parcourue par le point 1, on parta- 
gera la circonférence du cercle mobile en parties égales, que 



^80 CYCLOÏDES. PL. 41. 

Ton portera sur la droite directrice 1-1^, qui, par consé- 
quent, sera égale au* développement de la circonférence du 
cercle A. 

Cela étant fait, si nous supposons que le point 5 de la cir- 
conférence mobile soit arrivé au point 5', le point 1, généra- 
, leur de la courbe, se sera élevé jusqu'à la hauteur à laquelle 
se trouvait le point 5,[avant le commencement du mouvement. 
De sorte que le point V sera déterminé par l'intersection de 
l'horizontale 5-1' avec la circonférence qui touche la direc- 
trice au point' 5\ 

Par la même raison, le point 1'^ sera délermin'é par Tinter- 
section de l'horizontale du point 6 avec la circonférence qui 
touche la directrice au point 5', etc. 

Les points t et 1^ sont deux points de rebroussement à 
droite et à. gauche desquels le point 1 engendrera d'autres 
branches de cycloïdes égales à la première. 

La courbe mm^'m^ est une cycloïde rallongée. Elle repré- 
sente le chemin parcouru par l,e point m situé sur le prolon- 
gement du rayon o-l qui passe par le point générateur de la 
cycloïde principale. 

La courbe nn^'n^ est une cycloïde raccourcie engendrée 
par le mouvement du point n. 

Les trois courbes i-r^'-i^, mm"'rrc^, nn"'n^ peuvent se 
construire en môme tqmps. Ainsi, lorsque le centre du cercle 
mobile sera parvenu au point o'', on tracera le rayon o^'-l^' 
sur lequel on portera V'-m" égal à 1-m, et V'-n/' égal à 1-n. 
Le point m" apparlient^à la cycloïde rallongée et le point n" 
à la cycloïde raccourcie. 

351. Tangentes à la cycloïde. Lorsque le cercle mo- 
bile devient tangent au point 12', le point générateur 1'^ so 
meut pendant un instant infiniment petit, comme s'il tour- 
nai.t autour du point 12', d'où il résulte que la droite ac per- 
pendiculaire au rayon 12'-!'^ sera tangente à la cycloïde. 

Les mêmes relisons permettront de construire les deux 
droites aV, aV tangentes aux cycloïdes rallongées -et rac- 
courcies, parce que le point 12' peut être considéré comme 
le centre de trois arcs de cercle infiniment petits, tangents 
aux trois courbes 1-1'"-!^, wm^'m^, nn'^'ny. 



J 



PL. 4l. CYCLOÏDES. 181 

Il ne faufrpas conclure de ce qui précède que la droite I2'-P^ 
soit le rayon de courbure de la cycloïde au point 1^^. Le cercle 
ij-liv-u est tangent à la courbe, mais il ne faut pas le con- 
fondre avec le cercle osculateur, qui doit avoir un rayon 
double de 12'-liv. En effet, décrivons la circonférence A^' égale 
au cercle A générateur de la cycloïde, prolongeons li^-12' 
jusqu'au point 17, et traçons la corde 18-17, l'angle 12'-17-18 
sera droit. 

Or, si nous supposons que Ton fasse rouler le cercle A'' sur 
la droite 18-19 parallèle à r-16', le point 17 engendrera une 
cycloïde égale à celle qui était engendrée par le point 1 du 
cercle A. Il y aura seulement cette différence que le point de 
rebroussement de la cycloïde 19-1^ sefa sur la perpendicu- 
laire élevée au milieu de l'-l^. 

L'angle 12'-17-i8 ^lant droit, puisqu'il est inscrit dans une 
demi-circonrérence, la droite 1*^-17, normale à la cycloïde 
Ijïv.iv, sera tangente à la cycloïde 19-17-n, et par consé- 
' quent la seconde de ces deux courbes sera la développée de 
la première (322), la droite 1^^.17^ double de li^-12', sera le 
rayon de courbure au point P^, et le point 17 sera le centre 
du cercle osculateur. 

On peut encore conclure de ce qui précède que là droite 
19-1'''' est égale au développement de l'arc 19-1^ de sorle 
qu'en doublant cette droite 19-1^^', on aurait la longueur, to- 
tale de Tare l-l^'^-l^, qui, par conséquent, est exactement 
égal à quatre fois le diamètre du cercle mobile A. 
' Pour mener une tangente à la cycloïde par un point exté- 
rieur ou parallèlement à une droite donnée, on peut em- 
ployer les moyens indiqués aux n*»' 339, 343 ; ce qui sera 
d'autant plus exact, que la construction ci-dessus détermine 
les normales auxiliaires avec la plus grande précision. 

On peut aussi opérer de là manière suivante. 

On remarquera d'abord que l'angle 12'-l»^-20 étant droit, 
ses deux côté^i doivent passer par les extréiiiités du diamètre 
' 12'-20. D'après cela, 

Sur le diamètre 6^-24 perpendiculaire à l'-l^,' on construira 
le triangle rejctangle 6'-24-22, dont un côté 24-22 passerait 
par lé* point donné j). 

On recommencerait cette construction pour trois positions 



s 



iH2 ÉPICYCLOÏDES. PL. 41. 

du cercle mol)ile*A, et la courbe zx, qui contient les som- 
mets de tous ces triangles rectangles, rencontrera la cy- 
'clûï(}e en un point l^^, qui sera le point de tangehce de- 
mandé. . . 

Pour construire une tangente parallèle à une droite don- 
née kh, on construira la corde 21-23 parallèle à la droite hk, 
et l'on fera glisser le cercle A' parallèlement à lui-même, jus- 
qu'à ce que le point 2:^ soit arrivé sur la cycloïde. La droite 
horizontale 23-1'^ remplace la courbe zx employée dans le 
problème précédent. 

352. Épicydoïdes. Si, au lieu de faire rouler le cercle 
mobile A sur une ligwe droite, on le faisait rouler sur la cir- 
conférence d'un autre cercle B, .flg. 218, la courbe engen- 
drée i'i'-V^-V se nommerait une épicycloïde. 

Cette courbe se tracerait par des moyens analogues à ceux 
que nous avons employés pour la cycloïde. Il suffirait de re- 
marquer que les lignes qui, dans l'exemple précédent; étaient 
droites et parallèles à la ligne i-1^, sont ici remplacées par 
des cercles concentl'iques, 

Ainsi, quand on aura fait l'arc 1-2' du cercle directeur B 
égala l'arc 1-2 du cercle mobile A, le point V de l'épicycloïde 
demandée sera déterminé par Tintersection do l'arc de cercle 
2-1' et de la circonférence 2'-l' qui touche au point 2' le 
cercle directeur. 

y La courbe m'm'-m"-m"' est une épicycloïde rallongée en- 
gendrée par le point m situé sur le prolongement du rayon 
0-1, et la courbe n-n'-n'^-n^'^' est une épicycloïde raccourcie 
engendrée par le point n. 

Les tangentes à lépicycloïde se construiront comme celles 
de la cycloïde. Ainsi, par exemple, lorsque le centre du cercle 
mobile sera parvenu au proint o'\ les points générateurs des 
trois courbes auront pris les positions n"\ \."^ m"\ en joi- 
gnant ces points avec 2'^ on aura les trois normales %"-m"y 
<i"-i", 2"'n"^ et par suite les trois tangentes a V, ac, dd, 

La courbe 1-1'- 1'^, flg. 219, est uÀe épicycloïde intérieure. 
Elle est engendrée par le mouvement du point 1, lorsque le 
petit cercle A roule dans l'intérieur dn cercle B. Le rapport 
des deux cercles étant ici comme l : 3, il en résulte que, 



fL. 41. ÉPICYCLOÏDES. 183 

si on conlinue le mouvement, les points, de rebrousseraent 
seront toujours situés à la même place, ce qui n'aurait pas 
lieu dans l'exemple précédent/ 

Les deux courbes mm'm^y nn^n" sont engendrées par les 
points m et n. 

La courbe M^-'p serait engendrée par le point 1'', si on fai- 
sait rouler le plus grand cercle B sur le petit cercle A'. 

Enfin, on peut encore regarder comme un cas particulier 
<les épicycloïdes la courbe vu engendrée par l'extrémité de 
la droite z\) qui roulerait sur la circonférence B. Nous avons 
va (322) que cette courbe était la développante du cercle. 

Lorsque le rayon du cercle ifiobile est exactement la moitié 
du rayon du cercle directeur, l'épicycioïde intérieure devient 
un diamètre de ce dernier cercle. 

En effet, nommons R le rayon du cercle directeur B, 
tig. 221, r le rayon du cercle mobile Â, et supposons que 
ce dernier cercle soit parvenu en A', on aura ^ 



Mais 



de plus, 



arc aC : 27rR = angle a : 4 angles droits, 
arc ac : 2nr = angle af : 4 angles droits. 

«' = 2a; 



Par conséquent, 



On aura donc 



fiei là on tire 



R = 2r. 

2jrR = 4irr. 

aC : 47rr = « : 4, 
ac : 2itr = 2a : 4. 

4aC = 47rra, 
4ac = 47rr«. 



Donc 



arc aC = arc ac, 

m 

Ainsi, quand le cercle mobile touchera le cercle directeur 



184 SPIRALES. PL. 41 ► 

au point a, le point C sera parvenu en c, et par conséquent 
il n'aura pas quitté le diamètre CD. 

La droite 1 -i^', ps. 220, est engendrée par le mouvement 
du point 1, lorsque l'on fait rouler le petit cercle A dans le 
cercle double B. 

La courbe -mm' m'^ est engendrée par le point m, et la 
courbe nn^n^f par lé point n. 

m 

353. Spirales. Si un point tourne autour d'un autre en 
s'éloignant ou se rapprochant de ce dernier point, la courbe- 
engendrée est une spirale. La quantité dont le point généra- 
teur s'éloigne oïl s'approche du centre pendant une révolu- 
tion, la régularité ou l'accélération die ce mouvement suivant 
certaines lois déterminées peuvent donner lieu à une infinité 
de spirales différentes. Nous ne parlerons ici que de la courbe 
engendrée par un point qui se rapprocherait à chaque instant 
d'une quantité proportionnelle aux espaces angulaires par- 
courus ; ou autrement nous supposerons que le point géné- 
rateur se meut uniformément sur une droite ac, pendant 
que cette ligne parcourt les espaces angulaires égaux, en 
tournant autour de l'une de ses extrémités ; ainsi, par 
exemple, on veut construire, flg. 223, la courbe parcourue; 
par le point a, qui tournerait autour du point c, dont il se 
rapprocherait, à chaque révolution, d'une quantité hk, 
fig. 222. Cette courbe est connue sous le nom de spirale 
d'Archimède. 

Construiotion de la spirale. On fera, flg. 223, ao égal à hk^ 
puis, après avoir partagé ao en parties égales, en 8 paf 
exemple, on tracera les 8 rayons c-l,'c-2, c-3, etc., faisant 
entre eux des angles égaux. 

Ensuite, du point c, comme centre, on décrira un arc de 
cercle par chacun de^ points de division de la droite ao. 

Les intersections de ces arcs de cercle avec les rayons c-1,. 
c-2, c-3, détermineront tous les points de la première révo-^ 
lution de la courbe demandée. 

On opérera de la même manière pour la seconde et pour 
la troisième révolution. 

La tangente mu, pouvant toujours être considérée comme 



PL. 41. , SPIRALES. 185 

le prolongement d'un élément infiniment petit de la courbe, 
sera Thypoténuse d'un triangle rectangle mni/, dont la base 
mn doit être à la hauteur nu coname le développement' du 
cercle, qui contient le point de tangence m, est à la quantité 
hk ; ou comme telle partie que Ton voudra du cercle mm' 
est à une partie correspondante dé la droite hk. 

Ainsi, par exemple, si on. fait mn égale à 4 de la circon- 
férence mm\ il faudra faire nu égal à -f de hk. 

Si on fait le triangle- rectangle, mcœ semblable au triangle 
mnu, la droite xm sera normale au point m., 

Enfin, en construisant plusieurs normales et opérant, 
comme nous l'avons dit aux n°* 339, 343, on pourra toujours 
construire des tangentes par un point extérieur ou parallèle- 
ment à telle ligne donnée que l'on voudra. 

354. Courbes du deuxième degré. On nomme courbe 
du second degré celle dont toutes les propriétés peuvent 
être exprimées par une équation du second, degré. 

Les conslruclions que nous allons indiquer sont les consé- 
quences de ces propriétés, qu'il faut étudier dans les traites 
d'Algèbre appliquée. 

Les courbes du second degré sont au nombre de trois, sa- 
Yofr : l'ellipse, la parabole, Thyperbole. 

355. Ellipse. L'ellipse est une courbe telle que la somme 
d^s distances de chacun de ses points à deux points fixes 
pris dans son plan^ el que l'on nomm^ foyers, est une 
quantité constante. 

On exprime ordinairement cette quantité par 2a. 

356. Construction de l'ellipse. De la propriété que nous 
venons d'énoncer, et que l'on peut regarder comme la défi- 
nition de l'ellipse, il résulte deux moyens de construire cette, 
courbe. 

Soient, flg. 205, pi. 42, F el F' leâ deux foyers, on pren- 
dra le point F pour centre, et avec un rayon quelconque Fo, 
on décrira un premier arc de cercle ; puis du point F' comme 
centre avec un rayon F'o = 2a — Fo, on décrira un second 



kJ 



186 COURBES DU DEUXIÈME DEGRÉ. PL. 42/ 

arc. Le point où ces deux arcs se couperont doit appartenir 
à Tellipse, car il est évident que la somme de ses distances 
aux deux foyers sera égale à ?a. En décrivant les arcs au des- 
sus et au dessous de la ligne qui joint les deux foyers, on 
peut obtenir en même temps quatre points de la courbe. 

357. Le point A, milieu de FF', se nomme le centre de 
Veliipse ; toute ligne droite passant par ce point est un dia- 
mètre, et se trouve partagée par le centre en deux parties 
égales. 

Le plus grand de tous les diamètres est celui qui contient 
les foyers ; on lui donne lé nom de grand axe. Le plus petit, 
que Ton nomme petit axe, est toujours perpendiculaire au 
grand. • 

Il est facile devoir que le grand axe est égal à 2a^ car pour 
le point X, extrémité de ce grand axe, on doit avoir, comme 
pour tout autre, point de la courbe, XF + IF' = 2a, mais 
comme XF = X'F', il en résulte X'F' + F'X = 2a, ou enfin 
XX^= 2a. 

Les dislances Fw, F't/, d'un point de la courbe aux foyers, 
se nomment rayons vecteurs, et la distance ku se nomme 
simplement rayon. On voit que dans l'ellipse tous les rayons 
nesond. pas égaux. Le plus grand est AX, moitié du grand 
axe, et le plus petit rayon AY est la moitié du petit axe. 

358. Le cercle est une ellipse dont les deux axes sont 
égaux et dans laquelle le centre et les foyers se confondent 
en un seul point. 

359. Le second moyen de construire l'ellipse consiste à 
placer deux épingles aux foyers F jet F' ; puis, après avoir 
noué par les deux bouts un fil dont la longueur totale soit 
égale à 2a plus FF', on tendra ce fil de manière qu'il prenne 
la forme du triangle FF'u, dans lequel les sommets F et F' 
seront occupés par les deux épingles, et le point u par un 
crayon que Ton fera glisser en tendant toujours le fil. Il est 
évident que le contour du triangle étant représenté par la Ion- 



PL. 42. COURBES DU DEUXIÈME DEGRÉ. iSl 

gueur du fil, que nous avons faite égale à 2a plus FF' ; et la 
base FF' de ce triangle ne changeant pas, il restera toujours 
2a pour la somme des deux côtés variables, quelle que soit, 
du reste, la place où l'on conduira le crayoa qui occupe le 
sommet u de ce triangle. 

360. Une ellipse étant construite, on peut se proposer de 
retrouver son centre, ses axes et ses foyers. Pour cela, on 
mènera deux cordes parallèles vs, pq, et la droite passant par 
les milieux de ces cordes sera un diamètre. Le milieu A de ce 
diamètre sera le centre de la courbe. Du point A, comme 
centre, on décrira un cercle de manière à couper la courbe 
en quatre points qui seront toujours symétriquement placés; 
puis, abaissant du centre des perpendiculaires sur les cordes 
qui joignent ces points deux à deux, on aura lès axes de 
Tellipse. Enfin, du point Y, comme centre, avec un rayon égal 
à la moitié du grand axe, on décrira un arc de cercle F/cF', 
qui par son intersection avec lé grand axe déterminera les 
deux foyers. 

381. En combinant les propriétés du cercle avec celles de 
l'ellipse, on en déduit (Algèbre appL) que si un cercle et une 
ellipse' flg. 206, ont un axe commun X'X, et que Ton prenne 
sur cet axe une abscisse kp (348), on aura toujours : l'or- 
donnée du cercle est à l'ordonnée correspondante de l'ellîpse 
comme le grand axe est au petit axe. 

De là résultent plusieurs moyens de construire l'ellipse 
lorsque l'on connaît les deux axes. 

362. Du centre de l'ellipse avec des rayons égaux chacun à 
la moitié d'un axe, on décrira deux cercles concentriques ; on 
construira par le centre un rayon quelconque Am, qui cou- 
pera le plus petit cercle au point n ; puis construisant mo 
parallèle au petit axe, et no parallèle au grand, Tintersection 
dé ces deux lignes donnera en o un point de la courbe. En 
effet, on aura 

mp : op = Am : kn = a : ù ; 
ce qui est conforme au principe que nous venons de citer. 



188 COURBÉS DU DEUXIÈME t)EGRÊ. PL. 42. 

363. Mais de tous les moyens de construire les ellipses, le 
plus commode est celui que nous allons indiquer. 

Après avoir Iracé les deux axes AX = a, AY = 6, flg. 207, 
on prend un morceau de carte que Ton taille bien droit en 
forme de petite règle; puis, après avoir marqué sur cette 
carte et à partir de l'extrémité o, deux grandeurs om = a, 
071 = b, on la fait mouvoir de pianière que le ,point m ne 
quitte pas Taxe AY, et que le point n ne.quitte pas l'axe AX. 
Dans ce mouvement, le point o décrira l'ellipse, de sorte qu'il 
suffira de marquer avec un crayon un certain nombre des 
points successivement occupés par le point o. 

Cette manière de décrire l'ellipse résulte encore du prin- 
cipe énoncé (361) ; carsidu point m, comme centre, avec un 
rayon mo, on décrivait un cercle, en prenant pour abscisse 
mp = AS, on pourrait considérer op comme l'ordonnée 
du* cercle, et oS comme celle de l'ellipse, d'où l'on aurait 
encore : 

op : oS =^ om : on = a : b. 

364. Enfin, au lieu de prendre mn égale à la dilTérence des 
demi-axes, on pourrai* le faire égal à leur somme, et le 
point placé entre les points m et n décrirait encore 
l'ellipse. ^ ' 

365. Étant donnés un des axes et un seul point, on peut 
construire l'ellipse. 

Soit donné, par exemple, AX égal à la moitié du grand axe, 
et le point o appartenant à la courbe, on construira AY per- 
pendiculaire sur AX. On prendra une ouverture de compas 
égale à AX, et du point p, commp centre, on décrira l'arc es, 
dont l'intersection avec AY donnera le point m; en joi- 
gnant om, le point n sera déterminé, et la construction se 
fera comnoe précédemment'. 

366. Diamètres copjugniés. Lorsque deux diamètres, 
XX' YY', flg. 208, §ont tels que les tangentes aux extrémités 
de Tun d'eux sont parallèles à l'autre, on les nomme dia- 
mètres conjugués ; et si on les prend pour axes des abscisses 



PL. 42. COURBES DU DEUXIÈME DEGRÉ. 189 

et ordonnées, on dit* que l'ellipse est rapportée à ses dia- 
• mètres conjugués. * 

367. Construire une ellipse connaissant ses diamètres 
conjugués. 

Sur l'un d'eux, comme diamètre, on décrira la circonfé- 
rence XmX', et l'on construira le triangle AmY dont les élé- 
ments sont donnés ; puis, sur une ordonnée quelconque du 
cercle, on fera un triangle npq semblable et parallèle à mAY: 
le point <7 appartiendra à l'ellipse. En recommençant, on ob- 
tiendra autant de points de la courbe que l'on voudra. Cette 
construction provient de ce que la propriété énoncf^e au nu- 
méro 361 convient aussi^ à l'ellipse construite sur ses dia- 
mètres conjugués. 

Pour obtenir le grand axe, on joindra le centre avec le mi- 
lieu de TarccX. 

368. Tangentes à l'ellipse. Pour construire une tan- 
gente à l'ellipse, on pourrait opérer comme nous l'avons in- 
diqué (318) ; mais la définition de la courbe et les propriétés 
qui en sont la conséquence fournissent des moyens plus rigou- 
reux de résoudre ce problème. 

369. Construire une tangente à V ellipse par un point 
donné sur la courbe. 

Le point m étant donné sur la courbe, fig. 209, on décrira 
du point A, comme centre, avec un rayon AX' égal à la moitié 
du grand axe, l'arc de cercle X'n, qui coupera en n l'ordonnée 
passant par le point m; on construira ((7^om.) la droite pn 
tangente à cet arc en n ; et le point p, où cette tangente ira 
rencontrer le prolongement du diamètre XX', appartiendra à 
la droite pm, qui est la tangente demandée. Cette construc- 
tion vient de ce que si plusieurs ellipses ont un axe commun, 
et que par*tous les points situés sur la même ordonnée on 
construise des tangentes, toutes ces lignes doivent concourir 
en un même point sur le prolongement de Taxe commun. 
Or, le cercle pouvant être considéré comme une ellipse, la 



190 COUBBES DU DEUXIÈME DEGRÉ. PL. 42. 

laDgente au cercle délermine le poiirt où doit aboutir celle 
de Tellipse. 



870. Une autre propriété de Teilipse nous fournit un se- 
-cond moyen de construire la tangente. 

Si par un point c de la courbe on mène des droites cX, cX^ 
aux extrémités d'un diamètre, ces droites se nomment cordes 
supplémentaires, parce qu'à elles deux elles sous-lendent la 
demi-conférence de l'ellipse. Or, on sait que si par le point A 
on construit un rayon km' parallèle à la corde cX', la tan- 
gente au point m' sera parallèle à la corde cX ; de là résulte 
cette construction. 

Le point m' étant donné, on le joindra avec le centre par 
le rayon Am'; on construira la corde cX' parallèle au rayon 
Am'. Enfln, la oorde supplémentaire cX donnera la direction 
de la tangente cherchée ; et comme on a déjà un point m' de 
cette tangente, il sera facile de la construire. 

371. Enfln, un troisième moyen de solution résulte de cette 
propriété, que si en un point m'^ de la courbe on mène une 
tangente et les deux rayons vecteurs (357), la tangente fera 
des angles égaux avec les rayons vecteurs, d'où résulte cette 
construction. 

Après avoir déterminé les foyers F, F', on construira les 
deux rayons vecteurs Fm^', F'm'' ; on partagera l'angle F'm''F 
en deux parties égales, ce qui donnera la normale km^\ Enfin, 
la ligne qm^\ perpendiculaire à la normale, sera la tangente 
demandée. 

372. Construire une tangente à V ellipse parallèlement à 
une droite donnée. 

Soit os la droite donnée. On mènera d'abord la corde cX 
parallèle à la droite os, puis le rayon km/ passant le milieu 
de la corde cX déterminera le point* de tangence, et par con- 
séquent la tangente, qu'il sera facile de construire, puisque 
sa direction est donnée. .. 

En prolongeant le rayon km' on obtiendra sur la courbe 
un second point de tangence. 



PL. 42. COURBES DU DEUXIÈME DEGRÉ. ^ 191 

373. Construire une tangente à l'ellipse par un point 
donné en dehors de cette courbe. ' 

Soit le point donné, flg. 210. De ce point, comme centre, 
et prenant pour rayon sa dislance à l'un des foyers, on dé- 
crira un premier arcèF'c ; de l'autre foyer F, comme centre, 
avec un rayon égal au grand axe de l'ellipse, on di^crîra un 
second arc qui coupera le premier en deux points s, u. On 
joindra cçs points avec le centre du second arc par d-eux 
droites dont les intersections avec la courbe seront les points 
de tangence. 

En effet, le rayon- du second arc étant égal au grand axe, 
on aura 

sm^ + m'F = 2a ; 
mais par la propriété de l'ellipse '(355), on a 

Fin' + ?7i'F = 2a ; 
donc, 

sm^z=im'W, 

Ainsi, le triangle im'F' est isocèle ; mais le point o, centre 
du premier arc, est à égale distance des points s, F'. Donc la 
droite om' est perpendiculaire à ^F', et partage l'angle snJY, 
en deux parties égales. Donc enfin l'angle om'F' = pm'Y' 
et la droite op faisant dès angles égaux avec les rayons 
vecteurs est une tangente (371). Il en est de même de la 
droite oq. 

374. Parabole. La 'parabole est une courbe telle que 
pour chacun de ses points la distance à une droite nommée 
directrice est égale à la distance à un point que Von appelle 
foyer. 

Construction de la parabole. Soit, flg. 211, co la direc- 
trice, et le foyer F. Pour construire la parabole, on abaissera 
la perpendiculaire FD, et le point A, milieu de cette perpen- 
diculaire, sera un point de la courbe. Pour en obtenir 
d'autres, on construira en un point p quelconque une perpen- 
diculaire pm, et du point F, comme centre, avec un rayon 



492 COURBES DU DEUXIÈME DEGRÉ. PL. 42. 

égsl à pD, on décrira un arc de cercle qui coupera la perpen- 
diculaire mp en deux points tn, m', appartenant à la para- 
bole. On recommencera jusqu'à ce que l'on ait un assez grand 
nombre de points pour construire la courbe. 

375. On pourrait aussi construire la parabole par un mou- 
vement continu. 

Pour cela, on- placerait une règle coïncidant avec la direc- 
trice co, et prenant une équerre cab, on attacherait au point b 
et au foyer F de la parabole un fil dont la longueur totale 

.. serait égale au côté ab. Or, il est évident que si Ton pousse 
réquerre avec un crayon dont la pointe serait placée au 
sommet de Tangle u, afin de maintenir contre Téquerre l'une 
des parties èwdufil, l'autre partie t/F de ce ûl, qui représente 
la distance au foyer, sera toujours égale à la distance ua du 

' point lA à la directrice ; ce qui est conforme à la définition de 
la parabole (374). 

La droite AX, qui passe par le foyer et qui est perpendicu- 
laire à la directrice, se. nomme le grand axe. 

Une parabole peut être considérée comme une ellipse dont 
la distance des foyers serait infinie, la distance AE étant finie. 
Il est évident, d'après cela, que le centre est aussi à l'infini, 
ainsi que le second foyer. 

376. Une parabole étant donnée, on peut se proposer de 
retrouver son grand axe. 

On construira deux cordes parallèles, et la droite qs passant 
par les milieux de ces cordes sera un diamètre ; construisant 
w,m' perpendiculaire sur qs, on en prendra le milieu p, ce 
qui donnera un point du grand axe que Ton mènera paral- 
lèlement à qs. 

Cela vient de ce que dans la parabole tous les diamètres 
sont parallèles. 

377. Tangente à la parabole. Si le point de tangence 
>est donné sur la courbe, on construira, fîg. 212, l'ordonnance 
mj) passant par ce point ; puis, portant Âp de A en ç, ce 
dernier point appartiendra à la tangente. 



PL.^ 42. COURBES DU DEUXIÈME DEGRÉ. ' 193 

Celle conslruclion résulte de ce que, dans toute parabole, 
la distance qp, que l'on nomme la sous-tangeyite^ est tou- 
jours double de V abscisse du point de tangence, 

378. Si par le point v^ milieu de qm^ on mène une perpen- 
diculaire à la tangente, le point F, où cette perpendiculaire 
rencontrera l'axe AX, sera le foyer de la parabole. Enfln, 
portant AF de A en D, et construisant la perpendiculaire cO, 
on aura retrouvé la directrice. 

379. On peut encore, pour construire la tangente, opérer 
comme il suit : 

On joindra le foyer F avec le point de tangence, par la . 
droite Fm, et après avoir mené mF' parallèle au grand axe 
AX. on partagera l'angle FwF' en deux parties égales par la 
droite ms qui sera sa normale ; il ne restera plus qu'à mener 
au point m une perpendiculaire sur sm>. 

Dans cette construction, mW remplace le rayon vecteur 
allant aboutir au second foyer, situé à l'infini, comme nous 
l'avons dit plus haut. 

380. Si Ton voulait mener une tangente parallèle à une 
ligne donnée bc, on construirait la corde kd parallèle à cette 
ligne, et la droite um', menée par le milieu de M paral- 
lèlement à Taxe AX, déterminerait en 77i' le point de tan- 
gence; ce qui suffit, puisque la direction de la tangente est 
donnée. 



Z%1. Construire une tangente à la parabole, par un point 
situé en dehors de la courbe. 

Soit 0, fig. 23, le point donne. On décrira de ce point, 
comme centre, et passant par le foyer, un arc de cercle uFs 
qui coupera la directrice aux deux points u, s ; on mènera 
par ces deux points et parallèlement à l'axe AX les droites 
5m', um^\ dont les intersections avec la courbe seront les 
points de tangence. 

Cette construction est analogue à celle que nous avons 

•13 



194 COURBES DU DEUXIÈME 0EGIIÉ. PL. 42c 

donnée (373); la directrice rempls^ce le cercle décrit du second 
foyer comme centre. 

382. Hyperbole. L'hyperbole ne diffère de relli|)se qu'en 
ce qu'au lieu de la somme, c'est la différence des rayons 
vecteurs qui est égale à une quantité constante que Ton 
nomme 2a. 

383. Construction de l'hyperbole. 

Les foyers F, F' d'une hyporbole étant donnés, ainsi que la 
quantité 2a qui est la différence des rayons vecteurs ; du 
point F', comme centre, avec un rayon quelconque F'o, on 
décrira un arc de cercle ; ensuite du point F, comme centre, 
avec un rayon FO égal à F'O 4- 2a, on décrira un second 
arc, et le point où ces deux arcs se couperont appartiendra 
à la courbe demandée. 

384. On peut aussi décrire l'hyperbole par un mouvement 
continu. Pour cela, on attachera une règle par son extrémité, 
de manière qu'elle puisse tourner au milieu du foyer F', puis 
au foyer F, et à l'autre extrémité de la règle, on attachera 
un .fil dont la longueur totale me + cF doit être égaje à la 
longueur de la règle moins 2a \ il est évident que si l'on 
pousse la règle avec un crayon placé au point c ; quelle 
que soit la place où l'on conduira ce crayon, la partie cF du 
fil sera toujours égale à c¥' moins 2a ; ce qui est conforme à 
la définition de Thyperbole. 

385. Ici, comme dans l'ellipse, toute ligne telle que un, 
qui passe par le milieu de deux cordes parallèles, se nomme 
un diamètre, et le point A, milieu de laportion de ce diamètre 
comprise entje les points où il coupe la courbe, se nomme le 
centre. Le diamètre XX^ qui passe par les foyers, se nomme 
Y axe transverse, et YY','qui lui est perpendiculaire, se nomme 
Taxe non transvei^se. La portion BB' de Taxe transverse est 
égale à 2a. 

386. Asymptotes. Il existe dans le plan de toute hyper- 



I 
/ 



PL. 42. COURBES DU DEUXIÈME DEGRÉ. • 195 

bole deux droites qui jouissent de propriétés remarquables. 
Ces droites, AD, AE, passent par le centre de la courbe et s'en 
rapprochent sans jamais la toucher, ou, en d'autres termes, 
elles ne touchent la courbe qu'à l'infini. On leur donne le nom 
d'asymptotes. 



. 387. Les asymptotes fournissent un moyen très-sjimple de 
construire une hyperbole lorsqu'on en connaît un point. En 
effet, 

Soit donné le point s et les deux asymptotes DD', EE'. On 
construira dans une direction quelconque, en passant par le 
point s, la sécante pw, et prenant p^, on le portera de u en v; 
ce qui donnera le point v. De même, construisant une autre 
sécante si, on portera st de e en i. En continuant ainsi dans 
toutes les directions, on aura autant de points que Ton vou- 
dra sur les deux branches de la courbe. 

388. La courbe étant construite, le centre et les axes 
pourront être retrouvés comme dans leWipse. Pour obtenir 
les foyers, on décrira un arc du point A, comme centre, de 
manière à passer par le points, où l'asymptote est rencontrée 
par l'ordonnée BA ; les intersections de ce cercle avec l'arc 
transverse seront les foyers. 

On ferait l'opération inverse si l'on voulait construire les 
asymptotes, connaissant les foyers. 

389. Tangentes À l'hyperbole. Les tangentes à l'hyper- 
bole s'obtiennent par les mêmes moyens que les tangentes à 

■ l'ellipse. 

Ainsi, par exemple, m étant le point donné, flg. 215, on 
construira le rayon Am, puis la corde Wc parallèle à ce 
rayon, enfin la corde supplémentaire cB, qui sera parallèle 
à la tangente et qui en déterminera la direction. 

390. On peut encore, pour obtenir la tangente en un 
point donné de l'hyperbole, construire pm parallèle à Ta- 
symptote, puis faisant Ao = 2A;?, le point a appartiendra à 



^96 COURBJES DU DEUXIÈME DEGRÉ. PL. 42. 

la tangenle. Celta construction provient de. ce que, dans 
toute hyperbole, si l'on construit une tangente, le point de 
tangence doit toujours occuper le milieu de la portion de la 
tangente comprise entre les asymptotes. 

391. Enfin, on peut encore construire la tangente en un 
point donné m\ en Qonstruisant les deux rayons vecteurs 
Pm', Fm' et partageant l'angle que ces rayons font entre 
eux, en deux parties égales. 



\ 



392. Pour construire une tangente parallèle à une ligne 
d(âinée ts^ on mènera d'abord la corde Bc parallèle à cette 
ligne, puis le rayon Xnt passant par le milieu de la corde 
Bc déterminera en m le point de tangence, et comme l'ont 
connaît la direction de la tangente, il sera facile de la con- 
struire. 

393 Construire une tangente à r hyperbole par un point- 
pris en dehors de cette courbe. 

^oit le point donné. De ce point, comme centre, on 
décrira un premier cercle passant par l'un des foyers F. De 
Taut^re foyer F' comme centre, avec un rayon égal à B'B= 2m, 
on décrira un second arc de cercle, et Ton joindra par deux 
droites les points d'intersection de ces deux cercles, avec le 
foyer F' qui a servi de centre au second ; les points m', m'\ 
où ces droites rencontreront la courbe, sont les points de 
tangence. 

394. La similitude entre les constructions précédentes et 
celles que nous avions indiquées plus haut pour l'ellipse est 
une conséquence de l'analogie qui existe entre les propriétés 
des deux courbes. 

395. Problèmes. Diamètres conjugués de Vellipse. 
Nous avons dit au d° 367 comment on peut construire une 

ellipse, lorsque l'on connaît deux . quelconques de ses rfia- 
mètrcs conjvgués. ♦ 



PL. 43. COURBES DU DEUXIÈME DEGRÉ. 197 

Cette question devant se présenter souvent par la suite, 
nous allons la reprendre avec quelques détails. 

Étant donnés les deux diamètres AA' et BB', flg. 1, pi. 43, 
on décrira. la circonférence qui a pour diamètre AA' et Ton 
construira le triangle ÔMB. Cela étant fait, tout triangle omfe, 
o'm'b'^ etc., semblable et» parallèle au triangle OMB, déter- 
minera un point ft, b', ¥ de l'ellipse demandée. Mais on sait 
que dans la construction des courbes, il vaut mieux commen- 
cer par tracer un certain nombre de tangentes, parce que 
la courbe se confondant avec sa tangente dans le voisinage 
du point de tangence, cela permet de tracer la courbe avec 
une plus grande précision 

On commencera donc par construire le parallélogramme 
EFGH, dont les côtés parallèles à l'un des diamètres donnés 
AA' ou BB' seront tangents aux extrémités de l'autre dia- 
mètre. 

Ensuite, la tangente au point m' du cercle de rayon OA dé- 
terminera le point & de la tangente au poitit b' de la courbe ; 
ce qui provient de ce que les deux tangentes c'm' et c'6' 
doivent avoir la même sous-tangente cV. 
On obtiendra ainsi autant de tangentes que Ton voudra. 
La tangente au point ¥ ne rencontrant pas sur l'épure le 
prolongement du diamètre AA', on construira d'abord la tan- 
gente m"m"\ puis le triangle o"'m'"b^" semblable et paral- 
lèle au triangle OMB. Ce qui déterminera le point V et par 
suite la tangente b"b"*. 

Le rayon OB de Tellipse étant prolongé jusqu'au point my^ 
du cercle, la droite m 1^6^^, perpendiculaire au tayon 0^'% 
sera tangente en même temps au cercle et à Tellipse. On 
déterminera le point 6^^, en construisant le triangle rnivoi^èiv, 
semblable et parallèle à OMB. 

On déterminera de même le point 6^ et la tangente h^ mv; 
enûn, les deux points &»v et h^ devront former les extrémités 
d'un diamètre ô»^6^. 

Si l'on trace MN et le rayon om^i perpendiculaire sur MN, 
on obtiendra un point m^^ sûr la circonférence du cercle ; la 
tangente m^'-n, parallèle à MN déterminera le point n sur le 
prolongement de AA' et la droite n^^', perpendiculaire sur 
AA', touchera l'ellipse en un point b^\ que l'on obtiendra en 



498 COURBES DU DEUXIÈME DEGRÉ. PL. 43. 

construisant le triangle mvio^'ô^i semblable et parallèle au 
triangle 0MB. 

On obtiendra de môme le point 6^" et les deux points b^^ et 
ftv" seront les extrémités d'un diamètre è^'ô^". 

396. Trouver les axes d'une ellipse lorsque Von connaît 
deux quelconques de ses diamètres conjugué^. 

On sait qu'entre les axes et les diamètres conjugués d'une 
ellipse, on a toujours les relations suivantes : 

(1) â^ + b^=a'^V\ 

(2) aè = a'6' sin (a' — a) 

la seconde équation multipliée par 2 deviendra 

(3) 2ab = 2a'b' sin {«' — «) ; 

ajoutant les équations (1) et (3), on obtient 

(4) a« + 6« + 2ab = a'» + è'» + 2a'b' sin W — «) ; 

retranchant l'équation (3) de (1), on a 

(5) a* + 6» — 2ab = a'« + V^ — 2a' V sin [J. — a) ; 

en faisant pour simplifier 

(6) a'* + ft'« + 2a'V sin {af — «) = m^ 

(7) a'« + i'« + ia'V sin («' — «) = n« ; 

les équations (4) et (5) deviendront 

a« + 6« + 2ab = m», 
a^ + ** — 2a6 = n* ; 



extrayant 


la 


racine 


, on 


obtient 
a — 6 : 


= m, 
= n 




d'où 






a = 


2 


Tn 
~ 2^ 


n 
""2' 








6 = 


m — n 


_m 
~'2'^ 


n 




2 


'2* 



PL. 43. COURBES DU DEUXIÈME DEGRÉ. 199 

Il ne reste donc plus qu'à obtenir les valeurs de m et de n. 
Or, si Ton exprime par u le complément de Tangle 
<«' — a) que font entre eux les deux dianjètres conjugués, 
on aura sin {a! — a) = cos u, et les équations (6) et (7) de- 
viendront 



(8) 


m* — a'* + 6" + 2a' b' cos «, 


19) 


n* o'* + f* — '2a'b' cos u ; 



mais (Trigonométrie) Téquation (^i exprime évidemment les 
Telations qui existent entre les trois côtés n, a' et 1/ d'un 
triangle dans lequel le côté n serait opposé à l'angle u, com- 
plément de a' — a, et l'équation (8) exprime les relations 
entre les trois côtés d'un second triangle, dans lequel l'angle 
compris entre a' et b' serait égal au supplément de u. D'où 
résulte la construction suivante : 

397. Soient, flg. 3, les deux rayons conjugués OA' = a', 
Od' = fc^ U s'agit de trouver le dem*î grand axe OA* = a et le 
demi petit axe OB = 6. 

1*» On mènera OA' en OA'' par un (juart de cercle A'A" dé- 
crit du point comme centre ; l'angle A"OB' sera égal ku, 
complément de B'OA' = a' — a. 

2° On construira le parallélogramme A"OB'D, et Ton tra- 
cera ses deux diagonales OD, A"B'. 

La plus grande OD sera la valeur de m, et la plus petite 

771 Tl 

A"B' sera égale à n, ce qui donnera OC = -^ et A"C = - . 

3* Du point C, comme centre, on décrira la demi-circonfé- 
rence HA"K, et Ion aura par conséquent 

0H = 0C + CH = 0C+.CA" = ^4-^ = a, 

OK = OC - CK = OC ^ CA" = ^ - 5= b. 

2 2 

Les constructions précédentes donnent les valeurs des axes 
principaux 2a et 26 ; mais pour construire Tellipse, il faut 
encore connaître les directions de ces axes. 



200 COURBES DU DEUXIÈMIi] DEGRÉ. PL. 43. 

Pour y parvenir, on décrira du point la circonférence qui 
a pour rayon OH = a, cette circonférence coupera les côté& 
du parallélograuQme conjugué en deux points M et N, par 
lesquels on tracera MF perpendiculaire sur IL, et NF perpen- 
diculaire sur LG ; le point d'intersection F de ces deux lignes 
sera Ihin des foyers de l'ellipse demaildée. . * 

Cela résulte de ce théorème connu, que la circonférence du 
cercle de rayon OA, fig. 9, doit contenir les pieds m des 
perpendiculaires abaissées des foyers F et F' sur toutes les 
tangentes à l'ellipse, et paî conséquent sur les deux droites 
ILetLG delà fig. 3. 

Le foyer F et le centre déterminent la direction du-grand 
axe AÂ, et par suite celle du petit axe dont on connaît la 
grandeur BB, égale à 2 OK. 

Pour plus d'exactitude, on fera bien de déterminer le 
foyer F' en opérant comme le foyer F. 

Si Ton prolonge les f côtés du parallélogramme conjugué 
ILGP jusqu'à ce qu'ils rencontrent la circonférence de rayon 
OH, on aura les huit sommets de deux rectangles MM'M"M'", 
NxN'N'^N"', dont les côtés se couperont aux foyers F et F' de 
l'ellipse demandée. 

Enfin, si ces droites se coupaient suivant des angles trop 
aigus, on tracerait la droite XY, et la perpendiculaire PZ 
abaissée du point P sur cette droite devrait contenir le 
foyer F^ 

Cela provient de ce que les perpendiculaires abaissées par 
les trois sommets sur les côtés du triangle PXY doivent pas- 
ser par un même point [Géométrie). 

398. La figure 2, 'dégagée des lignes de vérification pré- 
cédentes, ne contient que ce'qui est absolument nécessaire 
pour déterminer les axes. Ainsi, on tracera : 

I*^ Le quart de circonférence A'A'' et le rayon OA" ; ce qui 
donnera l'angle A"OB' = u, complément de {a! — a) ; 

2? On tracera la droite A''B', dont on, déterminera le mi- 
lieu C ; 

3^ On décrira du point C la demi-circonférence HA'^K, et 
Ton aura OH = a et OK = ^ ; puis on agira pour le reste 
comme nous l'avons dit plus haut. 



PL. 43. COURBES DU DEUXIÈME DEGRÉ. 201 

399. Courbure des lignes du second degré. Nous 
avons dit, au numéro 316, que le centre et^e rayon de cour- 
bure en un point d'une courbe doniiée dépendent des pro- 
priétés géométriques de cette courbe, et, lorsque ces pro • 
priétés sont connues, on peut obtenir par le calcul le centre 
et le rayon du cercle osculateur. La nature de l'ouvrage ac- 
tuel et le but auquel il est destiné ne permettent pas que 
nous donnions à cette question tous les développements dont 
elle est susceptible. 

11 suffit presque toujours, en effet, dans la plupart des ap- 
plications gi'aphiques, de considérer corpme cercle osculateur 
celui qui passe par trois points peu éloignés, et si Ton croyait 
utile d'obtenir une plus grande exactitude, on trouverait 
dans les traités d'Algèbre appliquée Texpression des rayonî^ 
de courbure des lignes définies géométriquement. 

Mais les courbes du second degré offrent dans les applica- 
tions un intérêt tellement exceptionnel, que je crois être 
utile à quelques lecteurs en rappelant ici les formules qui 
permettent de construire, dans tous les cas, le centre et le 
rayoîi de courbure pour un point pris à volonté sur une de 
ces lignes: 

400. Paramètre. Dans toute courbe du second degré, le 
paramètre est la corde qui passe par le foyer et qui est per- 
pendiculaire a l'axe principal 2a. 

Ainsi, la droite désignée par GH, sur la figure 4, est le pa- 
ramètre de Tellipse. 
L'expression algébrique de cette corde est 

2a a 

Ainsi, en exprimant le paramètre par p, on aura 

2b^ 
GH = p=— • 
a 

401. On démontre par l'Algèbre, que dans une courbe du 
second degré, ellipse, parabole ou hyperbole, le rayon de 
courbure AI au sommet A est toujours égal au demi-para- 



502 ^ COURTES DU DEUXIÈME DEGRÉ. PL. 43. 

mètre; donc, en exprimant ce rayon de courbure par r, on 

aura r=GF=^=— , d'où résulle la proportion a:b=b:r. 

L'expression qui précède convient évidemment pour l'el- 
lipse et pour r hyperbole, mais dans la parabole les valeurs 

b^ 
de a et de ft étant infinies, l'expression — , quoiqu'elle soit 

exacte, ne donnerait plus une idée suffisamment nette de la 
valeur du rayon de courbure au sommet. 

Or, on sait que dans toute parabole, flg . 7, le paramètre 
vaut quatre fois la distance AF du sommet au foyer; donc le 
double de cette distance sera le demi-paramètre ou le rayon 
de courbure au sommet A de la parabole. 

Ainsi on aura: r= A1 = 2AF = 6F— | • 

402. Normale. La normale, considérée comme exprimant 
«ne direction, est une droite infinie, menée par le point de 
langence, et perpendiculairement à la tangente ; mais, lorsque 
la normale exprime une longueur, elle n'est plus infi«ie et 
se compte depuis le point de tangence jusqu'à sa rencontre 
avec le diamètre 2a, lorsqu'il s'agit d'une courbe du second 
degré. 

Par conséquent, sur les figures 4, 7 et 8, la normale cor- 
respondante au point M sera MK. 



403. Rayon de courbure. On démontre, en Algèbre, 
que le rayon de courbure en un point quelconque d'une 
ligne du second degré est égal au cube de la normale di- 
visé par le carré du demi-paramètre. 

Ainsi, en exprimant la normale par n, le demi-paramètre 

par \^ et le rayon de courbure par MC, on aura : 

Nous avons dit plus haut (401) que le demi-paramètre est 
le rayon de courbure au sommet, et puisque nous avons ex- 
primé ce rayon par r, on aura : 



PL. 43. COURBES DU DEUXIÉICE DEGRÉ. 203 

m • 

pour l'expression générale du rayon de courbute, en un point 
<|Uelconque M d'une ligne du second degré. 

La valeur de r étant une quantité constante, il s'ensuit que 
dans une ligne du second ' degré le rayon de courbure est 
toujours proportionnel au cube de la normale, et l'on recon- 
naîtra facilement que, dans la parabole et dans l'hyperbole, 
ce rayon augmentera depuis r jusqu'à l'infini, à mesure 
que le point d'osculation s'éloignera du. sommet A de la 
courbe. è 

Mais il n'en sera pas de même dans Tellipse, flg. 6, où le 
rayon de courbure atteindra sa valeur maximum, lorsque 
le point, d'osculation sera parvenu à l'extrémité B du petit 
axe 26. ^ ' . 

Dans ce cas, la normale BO sera égale à 6, et le rayon de 
courbure que nous nommerons R deviendra 

Mais nous avons vu (401) que 



r 



""2~a ' 



On aura donc 



d'où 



a* 



j\ i^^ ~~"~ ""^ — ri^^ ^~~^ i^z ' ■ • 
r* r* 6* b 



. 404. Ainsi, on aura pour l'ellipse, fig. 4 

a ir b 

r = lA étant le plus petit rayon de courbure, MC le rayon de 
courbure en un point quelconque M, et R = BS étant le plus 
grand rayon de courbure. 
Ainsi, dans Tellipse, le rayon de courbure à l'extrémité de a 



204 COURBES DU DEUXIÈME DEGRÉ. PL. 43. 

est égal à —, et le rayon à l'extrémité de 6 est égal à -r- • 
Pour la parabole et pour l'hyperbole on aura : 

r=-=^; MG=— ; R=oo. 



405. Construction du rayon de courbure en un 
point quelconque .d'une courbé du second degré. 

L'expressioa algébrique de ce rayon en un peint quelconque 

elant — , on aura 
Or, si nous exprimons pour un moment — par a?, nous au- 



rons 



11/1 ^ ^^ 

r r 

ce qui revienl^à la construction des deux formules suivantes : 

n* nx 

a? = — : MC = — • 
r r 

D*après cela, on construira la tangente au iJoint M en opé- 
rant par l'un des moyens connus, puis on fera, fîg. 4 : 

1^ MD égal au demi-paramètre GF ; 

2" MN égal à la normale MK ; 

3*» On tracera DN ; 

4o On construira NT perpendiculaire sur DN ; 

4^ La droite TG, perpendiculaire sur NT, coupera la nor- 
male NC en un point G qui sera le centre du cercle oscula- 
teur au point M. 

En effet, les deux triangles DMN, NMT, étant semblables, on 
aura la proportion 

DM:MN = MN:MT, 

d'où 

r :n=^n: MT, 



^ 



Vh. 43. COURBES DU DEUXIÈME DEGHiâ. ^ 205 

et, par conséquent, 

r 

Mais la similitude des triangles DMN, TMC donnera 

DM:MN = MT:MC, 
d'où 

r : n = a? : MC, 
et^ par suite, - ' ' 

MG = — = -x — = --. (403) 

Ainsi, le centre G et le rayon de courbure MC seront déter- 
minés. 

La construction qui précède convient, sans aucune modi- 
fication, à toutes les courbes du second degré; c'est pour- 
quoi les' mêmes lettres ont été employées sur les figures 4, 
7 et 8. • 

406. On peut obtenir le plus grand rayon de courbure BS, 
fig. 4, en traçant : 

io La droite BF qui joint le point B avec le foyer ; 

2° La droite FS perpendiculaire sur BF. 

Ce qui donnera le centre S et le rayon R = BS du cercle 
osculateur au point B. 

En efiet, le triangle BFS étant rectangle en F, on aura la 
proportion 

BO:BF=BF:BS, 
ou • . 

è:a=a:BS; 
d'où' 

BS=$=R. (404) 



407. Dans les opérations qui précèdent, nous avons pris, 
pour demi-par amèWe, la moitié GF de la corde perpendicu- 
laire à Taxe 2a et passant par le foyer. 

Cela fait dépendre le demi-paramètre de l'exactitude avec 
laquelle la courbe aurait été tracée, mais on peut obtenir fa- 
cilement le demi-paramètre sans tracer la courbe;* en effet, 



206 COURBES DU DEUXIÈME DEGRÉ. PL. 43. 

» . ■ "" 

si nous construisons la droite OD perpendiculaire sur BF, lé 
triangle BOF étant rectangle en 0, on aura la proportion 

BF : BO = BO : BU, 
d'où 

- a : 6 = 6 : BU ; 
et, par- conséquent, 

BU=:^=r = §. (404) 

408. Pour la parabole, on sait que le demi-paramètre est 
égal à deux fois AF (401). 

409. Dans l'hyperbole, tlg. 8, 6n tracera BI perpendicu - 
laire à l'asymptote OH, ce qui donnera la proportion 

OA:AB=iAB: AL 



' d'où 




* 


a:b=b: M, 


et, par conséquent, 




* 


Aï ^' r P 

Al = r-^rr 



a 



2 • (404) 



410. On peut, par une opération extrêmement simple, ob- 
tenir en même temps le plus petit et le plus grand rayon de 
courbure d'une ellipse ; pour cela (fig. 6) on tracera : 

lo Les droites AE et BE perpendiculaires aux extrémités 
des axes principaux ; ' . 

2*» La corde AB ; * 

3*» La droite ES, perpendiculaire sur AB, coupera les deux 
axes de l'ellipse aux points 1 et S qui seront les centres du 
plus petit et du plus grand cercle osculateur. 

En effet, les triangles BEA, EAI seront semblables et don- 
neront la proportion 

BE:EA = EA:AI, 
d'où 

a : &=6: AI, 

et, par conséquent, 

AI=-=r = g. (404) 

a 2 



PL. 43. COURBES DU DEUXIÈME DEGRÉ. 207 

Mais les deux triangles semblables BEA, EBS donneront 

EA:EB = EB:BS, 
d'où 

6 : a = a : BS, 
et, par conséquent, 

BS=~ = R. (404) 

411. Développée de l'ellipse. L'opération du n"" 115 
étant répétée pour un grand nombre de points pris à volonté 
sur le quart de l'ellipse BMA, flg. 5, on obtiendra les centres 
et les rayons de courbure correspondants, ce qui détermi- 
nera la courbe ICS pour la développée de AMB, et si Ton 
opère de la même manière pour les trois autres quarts de 
Tellipse, on obtiendra la courbe SIS'I' qui forme la dévelop- 
pée complète de Tellipse. 

Pour mieux faire sentir la forme de cette courbe, j'ai indi- 
qué par une teinte tout l'espace dont elle détermine le con- 
tour. 

On remarquera que cette courbe contient quatre points de 
rebroussement, qui sont les centres de courbure principaux 
de Tellipse. 

Tout point pris à volonté sur l'une des quatre courbes SI, 
IS', ST, VS sera le centre de courbure correspondant à un 
point de l'ellipse, de sorte qu'en prenant pour centres un 
certain nombre de ces points, on pourra tracer avec le com- 
pas une courbe qui différera aussi peu que Ton voudra de 
l'ellipse demandée. 

I 

412. La courbe SIS'I' peut encore servir pour construire 
des normales à l'ellipse, par un point pris à volonté dans son 
plan. 

Ainsi, par le point V, situé dans l'intérieur de l'espace li- 
mité par la courbe SIS'l', on pourra construire quatre nor- 
lûales, savoir : 

M'iV tangente à la courbe S'I, 

M''N'' — — SI', 

M'^'N'^' — — S^', 

Uif^w. _ _ S'F. 



208 RECTIFICATION PL. 44- ' 

Deux de ces normales sont tangentes à Tare S'I', situé 
comme le point V dans l'angle droit BOA', formé parles deux 
diamètres principaux de Tellipse, tandis qu'aucune des 
quatre normales n'est tangente à Tare IS, situé dans l'angle 
droit opposé A OB'. 

Si le point V coïncidait avec le centre de l'ellipse, les 
quatre normales se confondraient avec les axes AA' et B'B ; et 
si le point V était situé sur l'un de ces axes, deux seulement 
des normales se confondraient avec cet axe, et les deux autres 
normales seraient placées symétriquement par rapport aux 
premières. 

Si le point V appartençiit à l'un dés arcs de la développée 
STS'F, les deux normales tangentes à cet arc se réduiraient à 
une se/ile, et Ton n'obtiendrait, dans ce cas, que trois nor- 
males à l'ellipse. 

Enfin, par Tun des quatre points de febroussement, ou par 
tout autre point pris' où l'on voudra en dehors de la courbe 
SIST, on ne pourra construire que deux normales. 

Oq obtiendra de la même manière les développées et les 
normales de l'hyperbole, fig. 8, et de la parabole, flg. 7. - 

413. Rectification des lig^nes courbes. On ne connaît, 
jusqu'à présent, que deux méthodes pour obtenir la longueur 
d'une courbe, savoir : le calcul intégral ou la rectification 
graphique du polygone inscrit. Mais les diflicultés souvent 
insurmontables des intégrations, et la longueur des calculs 
nécessaires pour obtenir le résultat par cette méthode, rendent 
à peu près inutiles les formules indiquées par la théorie. 

414. Les praticiens se bornent à rectifier graphiquement 
le polygone inscrit, et considèrent le résultat ainsi obtenu 
comme suffisamment exact : ce qui est vrai dans le plus 
grand nombre de cas. ^ 

En eflfet, fîg. 8, pi. 44, dans une épure de coupe de 
pierres, pour la construction d'une voûte ou d'un arc de pont,' 
dont le cintre KH aurait un très-grand rayM de courbure, 
il est évident que, si l'on remplace cette courbe par le poly- 
gone ABG...D, l'erreur sera tout à fait insensible, par suite du 



PL. 44. DES COURBES. 209 

différence qui existe entre chacune des cordes et la partie de 
courbe qu'elle sous-tend. 

On peut même ajouter que, pour la solidité de la cons- 
truction, Terreur sera absolument nulle, pourvu, flg. 7, 
<iue les surfaces de joint CD rencontrent les cordes DD suivant 
des angles parfaitement identiques avec ceux qui sont in- 
diqués par répure. Il en résultera seulement qu'après J'exé- 
cution on' aura construit un berceau prismatique au lieu d'un 
berceau cylindrique qui était projeté. Mais il est évident qu'en 
taillant la surface cylindrique après la pose, ou après le 
tracé des joints sur les faces de tète, on rétablira la courbure 
demandée, quel que soit le rayon de la voûte. 

Il est donc certain que, dans un grand npmbre de cas, on 
pourra remplacer la ligne donnée par le polygone qui lui 
^t inscrit. 

Cependant il peut exister des circonstances où Ton aurait 
besoin de connaître la longueur d'une courbe avec une 
grande exactitude. Il est vrai qu'en choisissant un plus grand 
nombre de points sur la ligne que l'on veut rectifier, on di- 
minue la ditt'érence qui existe entré chacune des cordes et 
l'arc souS;lendu ; mais, d'un autre côté, on multiplie le 
lionabre des erreurs, et, par conséquent, on perd d'un côté 
ce que Ton avait gagné de l'autre. 

415. Il est évident que Ton sera beaucoup plus près de 
la vérité, si l'on remplace chacun des côtés du polygone in- 
scrit par un arc de cercle, dont la différence avec la partie 
correspondante de la courbe donnée pourra toujours être 
aussi petite que l'on voudra. De sorte que la question sera 
réduite à rectifier là courbe formée par les arcs de cercle par 
lesquels on "aura remplacé les côtés du polygone inscrit. 

• 

416. Pour atteindre ce but, exprimons, flg. l,rarc de 
cercle MKN par, a, Tanglè MON par a, la corde MN par c et le 
rayon OM par R. On aura {Géométrie) : 

(1) ^"^M' ^^^^ 

14 



A 



210 RECTIFICATION PL. 44. 

(2) c = 2MI = 2R sin }■ «, d'où 

(3) °- ■'"' 

^' c 368 sin 4 «■ 

Ainsi, le rapport d'un arc à sa corde ne dépend que du 
nombre de degrés de cet arc, quel que soit le rayon du cercle 
auquel cet arc appartient. 

417. Cela étapt admis, supposons qu'il s'agit de rectifier 
une courbe quelconque. 

On choisira sur* cette ligne des points assez rapprochés 
poiir que la courbure des arcs compris entre deux points 
consécutifs soit sensiblement uniforme, puis on tracera les 
cordes qui forment les côtés du polygone inscrit. 

Or, en exprimant ces cordes par c, c^ c'' et c'", les arcs de 
cercle sous-tendus par a, a', a", a"', et les angles formés 
par les normales consécutives par a, a', af\ on aura (416) : 

«■a 



360 sin T a 






360 sin 4 «' 



a''=C"X7T;^ 



an'' 



360 sin i a'' 
etc 



Puis, en exprimant la courbe rectifiée par L, on a 



^ "^260 sin 4- a ^ 360 sin 4- «' "*" 360 sin 4- « 
Or si l'on fait a = a' = af\ on aura : 

L = -^^K—' — ï— (^ *+ C' + c" 4- ... etc.) 
360 sin T « 

Le tout sera donc réduit : 

r A remplacer la courbe donnée par une suite d'arcs de 
cercle semblables entre eux ; 

2° A rectifier le polygone formé par les cordes qui sous- 
endent ces arcs de cercle ; 



FL. 44. DES COURBES. 2ii 



• TTa 

3* A multiplier le résultat obtenu par -—- — : — ; — 
^ ^ 360 sin T a 



wa ' I 

r 

2 



418. Ainsi, par exemple, pour rectifier la partie de courbe 
comprise, fîg. 2, entre les normales AH et FK, dont nous 
supposons la direction bien exactement déterminée : 

1^ On tracera par un point 0, prii^à volonté, flg. 1, les 
deux droites OA', OF' parallèles aux normales extrêmes HA 
et KF de la courbe que Ton veut rectifier; 

2** On partagera l'angle A'OF' en autant de parties égales que 
l'on supposera d'arcs de cercle dans la ligne par laquelle on 
veut remplacer la courbe donnée, et l'on tracera un rayon 
par chacun des points ainsi obtenus sur AT; 

3** On construira une normale à la courbe donnée, flg: 2, 
parallèlement à chacun des rayons de Varc AT. 

Ces normales partageront la ligne donnée en une suite 
d'arcs semblables entre euxy et semblables en même temps à 
chacune des parties égales de l'arc de cercle A'F'. 

419. On remarquera que les arcs semblables suivant les- 
quels on aura ainsi décomposé la courbe donnée seront pro- 
portionnels à leurs rayons, et deviendront, par conséquent, 
plus petits dans la partie de cette courbe où la courbure sera 
plus grande, ce qui augmentera beaucoup l'exactitude du 
résultat, quand même on négligerait la multiplication par le 

coeflBcient 



360 sin 



T « 



420. Lorsque Ton aura déterminé les points qui partagent 
la courbe donnée, figr. 2, en autant d'arcs semblables qu'il y 
a de parties égales dans Tare de cercle AT, flg. 1, il ne 
restera plus qu'à exécuter les opérations suivantes : 

!• Oa tracera les cordes AB, BC, CD, etc., de chacun des 
arcs suivant lesquels on a décomposé la courbe donnée AF ; 

2* On fera la somme de toutes ces cordes, ou, ce qui est la 
même chose, on rectifiera le polygone inscrit ; 

3» On multipliera le résultat obtenu AF"»par ^ — 



360 sin 



T a 



* 



I 



• é 



212^ RECTIFICATION PL. 44. 

> 

421. SiTaîîgle A'OF', flg. 1, que font entre elles les deux 
normales extrêmes AH el FK de la figure 2, n'est pas donné 
en nombre, on pourra obtenir cet angle avec un bon rappor- 
teur, et même avec un rapporteur médiocre. Pour cela, on 
mesurera l'angle plusieurs fois, en partant successivement des 
points 0, 10, 20 de l'instrument , puis on prendra une 
moyenite ; ce qui n'est autre chose que le principe de la ré- 
pétition appliqué à un instrument commun. 

Supposons que, dans l'exemple actuel, l'angle A W soit 

145 
égal à 145 degrés; on aura a = -— = 29, et le facteur 

5 

^* dé-viendra ^^n oir. JIa. oaa = i .» » 1 • 



360 sin -l- « 360 sin (14--300 

Ainsi la droite AF'' mesurée avec soin, et multipliée par 
1,011, sera la longueur delà courbe rectifiée. 

422. Pour mesurer la droite AF'^ on emploiera un mètre 
bien divisé ; et si l'ota compte la longueur successivement à 
partir des points 0, 10, 20, 30 millimètres, etc., on pourra, 
en prenant la moyenne, obtenir beaucoup d exactitude (421). 

423. Si Ton a bien compris tout ce qui précède, il est évi- 
dent quele problème de la rectification des courbes se trouve 
réduit à remplacer la ligne donnée par une suite d'arcs de 
cercle semblables entre eux, et dont les extrémités seront 
déterminées par les normales parallèles aux rayons qui 
partagent en parties égales Vangle des normales extrêmes; 
d'où il résulte que la question peut être considérée comme 
complètement résolue pour toutes les courbes auxquelles 
on sait mener une normale parallèlement à une droite 
donnée. * 

Lorsque la courbe à rectifier, tig. 2, ne sera pas définie 
géométriquement, on pourra se contenter de construire avec 
soin la développée KH, en opérant comme je l'ai dit au com- 
mencement du second livre de Géométrie descriptive, puis 
on construira une tangente à La développée, parallèlement à 
chacun des rayons de l'arc A'F', fig. 1. Ces tangentes seront 
normales à la courbe donnée AF, et partageront cette ligne 



ïl. 44. DES COURBES. 213 

en arcs que Ton pourra considérer CQmme semblables.; mais 
lorsqu'il s'agira d'une courbe déQnie, on pourra toujours 
construire les normales avec une grande exactitude. 

Ainsi, par exemple, si la courbe donnée est du second 
degré, on pourra opérer de la manière suivante. 



424. Normales de l'ellipse. Première, méthode^ 
flfir. 4:. 

1« On tracera la corde VU perpendiculaire à la direction GO 
de la normale que Ton veut obtenir; 

2* On joindra le centre de l'ellipse avec le milieu 1 de la 
corde VU, par le diamètre G-6, dont les extrémités détermi- 
neront les points G et 6 sur la circonférence de l'ellipse ; 

3* Les deux normales CS, 6-X perpendiculaires sur VU se- 
ront par conséquent parallèles à GO. 

Remarque. Si la corde VU est trop près du centre, la di- 
rection du diamètre G-6 sera mal déterminée, tandis que 
si la corde est trop loin, elle coupera la courbe trop oblique- 
ment, et le point I ne sera plus déterminé avec une exacti- 
tude suffisante. 

Il sera donc utile, dans ce cas, de vérifier la position de la 
normale demandée. 

425. Deuxième méthode ; • ^ 

1* On décrira la circonférence MKN, qui a pour diamètre le 
grand axe MN de l'ellipse donnée ; 

2^ On tracera par l'un des foyers F, la droite FK parallèle à 
la ligne donnée GO. . 

Le point K, suivant lequel FK rencontrera la circonférence 
MKN, doit appartenir à la tangente GK ; 

3" On portera FK de K en H, sur le prolongement de PK, 
et Ton joindra le point H avec le second foyer F' par une 
droite HF', dont Tintersèction avec la courbe déterminera le 
point G, et par suite la normale GS parallèle à FK, et, par 
conséquent, à GO. 

Au lieu de FK, on peut tracer F'K', dont l'intersection avec 
la circonférence MKiN donnera le point K'. 



214 RECTIFICATION PL. 44. 

On fera K'H' égal à K^F', et la droite fl'F déterminera le 
point C sur la tangente K'K et sur la circonférence de 
l'ellipse. 

426. Vérifications. La normale CS doit partager l'angle 
PCF' en deux parties égaies, et le point H doit être situé sur 
Tare LP décrit du point F^ comme centre, avec un rayon égal 
k2a. 

Enfin, le point H' doit être situé sur l'arc QY décrit avec le 
môme rayon du point F comme centre. 

427. Normales de la parabole. Première méthode 
fig. 9 : 

lo On tracera une corde VC perpendiculaire à la direction 
donnée 60 de la normale que l'on veut obtenir ; 

2o La droite CF', parallèle à l'axe principal de la parabole, 
-et passant par le milieu I de la corde VU, déterminera le 
point C sur la courbe ; 

3o La droite GS perpendiculaire sur VU, et par conséquent 
parallèle à 60, sera la normale demandée. 

428. Deuxième méthode. 
t"' Le point K, suivant lequel la droite F K parallèle à 60 

coupe l'ordonnée tangente au sommet M de la courbe, appar- 
tient à la tangente GK ; car la droite MK est pour la parabole 
le lieu qui contient les pieds des perpendiculaires abaissées 
du foyer F sur les tangentes à la' courbe ; 

2^ On tracera la tangente GK perpendiculaire sur FK ; 

3*» L'abscisse MP' étant reportée de M en P, on connaîtra 
l'ordonnée qui contient le point G, et l'on pourra construire 
la normale GS parallèle à 60. 

429. Troisième méthode. 

La droite FK,prolongée jusqu'à la directrice RH de la para- 
bole, déterminera le point H, par lequel on tracera HF' 
parallèle à l'axe principal de la parabole, ce qui déterminera 
également le point G sur la courbe. 
I On sait que la directrice RH est pour la parabole ce qu'é- 



9L. 44. ' DE$ COURBES. 215 

« 

tait, par rapport à l'ellipse, le cercle décrit du second foyer F' 
wùime centre, avec un rayon égal à 2a (381). 

430. Vôriflcations. On s'assurera : 

1® Que CF = CH, quelle que soit la position du point C sur 
la courbe ; 

2*> Que la droite KP perpendiculaire sur OK contient le pied 
de l'ordonnée du point C ; 

3o Que le triangle PCK est isocèle ; 

4* Que la normale CS partage en parties égales l'angle FCF' 
formé par les deux wiyons vecteurs CF, GF' ; 

5* Que la sous-normale PS est toujours égale au demi-pa- 
ramètre FO, etc. 

431. Normales de lliyperbole. Première méthode^ 
fïg. 10. On tracera une corde perpendiculaire sur la droite 
CO parallèle à la normale demandée ; le diamètre passant par 
le milieu de cette corde déterminera le point D, el la nor- 
male DS perpendiculaire sur la corde sera parallèle à la 
droite GO. 

Mais, lorsque le point D est un peu éloigné du sommet de 
la courbe, la méthode précédente n'est pas praticable, par la 
trop grande obliquité de la corde ei du diamètre qui la coupe 
en deux parties égales. G'est pourquoi cette opération n'a pas 
été conservée sur l'épure. 

Voyons donc si les propriétés connues de l'hyperbole 
nous fourniront quelque moyen plus exact de résoudre la 
question. 

432. Deuxième méthode. On décrira la circonférence qui a 
pour diamètre MN = 2a, et le point K, suivant lequel cette 
circonférence coupe une droite FD' menée par le îoyev pa- 
rallèlement à la normale demandée, sera le pied de la per- 
pendiculaire abaissée du foyer F sur la tangente qui corres- 
pond à celte normale. 

Il est alors facile de construire cette tangente KD, puisque 
l'on connaît un point de cette ligne. 
' Hais comme c*est principalement le point de tangence que 
l'on veut déterminer, on fera la construction connue, ainsi : 



216 RECTIFICATION PL. 44.. 

1» Du point K, comme ceatre, on décrira la circonférence 
qui passé par le foyer F ; 

2** On décrira une seconde circonférence LQ en prenant 
pour centre le second foyer F', et pour rayon la droite F'L 
égale à MN = 2a ; 

3» On joindra le foyer F^ avec le point H suivant lequel les^ 
deux cercles se rencontrent, et la droite F'fl déterminera le 
point D sur l'hyperbole ; 

4° La droite DS parallèle à D'F sera la normale demandée. 

433. Vérifications. 

I ° On tracera la droite DF et l'on s'assurera que le triangle 
DFH est isocèle ; 

2° La droite KD perpendiculaire sur le milieu de FH doit 
contenir le point D et être tangente à l'hyperbole en ce 
point ; 

3** La partie de cette tangente, comprise entre les 
asymptotes, doit être partagée au point D en deux parties- 
égales ; 

' 4^ La normale DS perpendiculaire sur DK, et parallèle à 
D'F, doit partager en deux parties égales l'angle RDF, formé- 
par l'un des rayons vecteurs DF et le prolongement DR de 
Tautre; 

5* Enfin, pour dernière vérification, on peut chercher l'abs- 
cisse du point D par le calcul. 



t. Pour y parvenir, on sait que la tangente à l'hyperbole 
a pour équation ahjy' — 6'ipa/— — a*6^, que l'on peut écrire 
sous la forme 

Mais la normale devant être perpendiculaire sur la tangente,, 
on aura, en exprimant par u l'angle connu que la normale 
doit faire avec l'axe des x 

(1) tangu = — ^,. 

Le pointa/ 2/' étant situé sur l'hyperbole, on aura 



PL. 44. DES COURBES. 217 

Or, en éliminant 1/' entre les équations (l)et(2), on ob- 
tient 

(3) x'= "'" 



Va* — 6'tang*!/ 

qui fera connaître Tabscisse du point D. 
Pour obtenir par le compas la valeur de a/, on remplacera 

' J'tang^M par z*, et l'on aura x' = — ^^^i^::^ ; mais l'équation 

auxiliaire 6*tang*u = 3*, donne z = fetangi^. 

Or, si Ton construit la droite mn perpendiculaire sur FH^ 
on aura l'angle nmM = KFM = DSP = w, et wM étant égal'à 
6, la droite Mn vaudra 

6tang« = 2. 

L'arc de cercle décrit du point M comme centre avec le 
rayon Mn = z_ déterminera le point E sur la demi-circonfé- 
rence qui a pour diamètre AM = a, et le triangle rectangle 
• AEM donnera 

1Ê'=AM'— "MÊ", 

ou, ce qui est la même chose, 

et par conséquent 

AE = Va* — z\ 

On prolongera AE jusqu'à ce que Ton ait AX = à\ et la 
droite XP perpendiculaire sur AX donnera le point P pour le 
pied de l'ordonnée DP. En effet, les deux triangles AEM, AXP 
étant semblables, on aura 



ou 



ce qui donne 



AE : AX = AM:AP, 
Va*— z* :a = a: AP ; 



AP=— =^-==a/. 



V a* — a?* 
. Toutes ces opérations peuvent être vérifiées en ramenant 



^18 RECTIFICATION Pi. 44. 

AE sur AM. La droite TG perpendiculaire sur AM doit alors 
contenir le point X. • 

435. L'équation de la normale étant 

y — y' = tangu (a? — a?'), 
n Ton fait y = 0, on aura 

œ = — r^ ^ ; mais tangw = —t*^ : 

tangt^ ° 6V 

substituant, il viendra 

et remplaçant a?' par la valeur obtenue précédemment, 
o) = — — 11= = — == ; pout l'abscisse MS du point suivant . 

lequel la normale rencontre Taxe des œ. 

Or, on sait que AF = c ; par conséquent si Ton décrit l'arc 
FC du point A comme centre, on obtiendra le point G sur TX, 
et la droite GS perpendiculaire sur AC déterminera le point S. 

En efiFet, les deux triangles rectangles TAG, ACS étant sem- 
blables, on aura la proportion 

AT:AG = AC: AS, 

ou . ^a^—z^ : c = c : AS, 

d'où AS = /" =^. 

Ainsi les extrémités, les directions et les grandeurs de 
toutes les normales de l'hyperbole pourront être déterminées 
et vérifiées avec la plus grande exactitude. i 

Ge qui précède étant admis, il sera facile, en opérant 
comme nous Tavons dit au n*» 417, de rectifier les cotrbes 
du second degré. 



\ 



PL. 44. DES GOUBBES. 219 

436. Rectification de l'ellipse. Supposons que . Fou 
veut rectifier le quart NO de Tellipse qui est tracée figure 4 : 

!• On fera l'angle droit TOE, dont les côtés OE, OT sont pa- 
rallèles aux normales extrêmes de l'arc NÔ ; 

2* On partagera Tare TE en autant de partiçs égales que 
l'on voudra, suivant le plus ou moins d'exactitude exigée par 
la question. 

Dans le cas actuel, on a partagé Tare TE en cinq parties 
égales ; 

30 On construira les normales parallèles aux quatre 
rayons qui partagent l'arc TE en parties égales, ce qui re- 
vient à remplacer la courbe NO par cinq arcs de cercle de 18 
degrés chacun ; 

4* On tracera les cordes 0-1, 1-2, 2-3, etc., enjoignant 
deux à deux les points déterminés sur la courbç par la 
construction des normales. 

Les normales des points 1, 2, 3 et 4 pourront être obtenues 
en opérant comme nous l'avons dit au n*" 424. 

La développée ZR, tracée avec soin (411), pourra contribuer 
à vérifier la direction des normales ; 

5*» On multipliera la somme ON'' des cordes par le facteur 

--- ^ , , qui, dans le cas actuel, devient 
odO sm 1 a 



1,004, 



360 sin » 20 sin 9« 
et l'on aura par conséquent 

L = 1 ,004 X ON''. 



' 437. Pour rectifier un arc d'ellipse BD : 

l' On tracera les droites OB', OD' parallèles aux normales 
extrêmes de l'arc donné CD ; 

2* On partagera l'angle B'OD' en parties égales, suivant le 
nombre des arcs de cercle par lesquels on veut remplacer la 
courbe BD. 

Dans le cas actuel, trois arcs de cercle donneront certai- 
nement une très-grande exactitude ; 



220 RECTIFICATION , PL. 44. 

3o Cela étant fait, oa construira les rayons 0-5', 0-6' qui 
partagent l'arc B'D' en trois parties égales, et les normales 
parallèles à ces rayons détermineront les points 5 et 6 de 
l'arc BD ; 

40 On fera la somme des . trois cordes, et 4'on multipliera 

cette somme B''D'' par le coefficient ^^^ . — r— . 

360 sin T « 

Or, admettons que l'angle B'OD' mesuré avec un bon rap- 
porteur soit égal à 44*», on aura 

44® wa 

« = -r- , et le coeflBcient 



3 ' 360 sin f a 

devient 5 — o^^n • r^ oaa =^^00273, 

3 X 360 sm (70-20') ' 

'de sorte que Toq aura la longueur de Tare BD en multipliant 
la somme B"D" des trois cordes par 1,00273. 



438. Rectification de la parabole : 

1** Les droites FB' et FD', fîg. 9, étant parallèles aux nor- 
males extrêmes de l'arc BD que Ton veut rectifier, on par- 
tagera l'angle B'FD' en trois parties égales ; 

2^ Les normales parallèles aux rayons F- 7' et F-8' de Tare 
B'D' détermineront les deux points 7 et 8 qui partagent l'arc 
BD en trois arcs semblables. x 

On multipliera la somme des trois cordes par le coefficient 

360 sin T a * 

Or, si nous supposons que, dans le cas actuel, l'angle B'FD'' 
soit égal à 19-6', on aura 

a = 6«-22' ; 
d'où 

TT (60-22) _ irX?S2 _ 
360 sin i «""360'> sin (S*» 11') 21600 sin (3'> 11') *'""^^'^ 

439. Rectification de Phyperbole. 
Pour rectifier l'arc BD, flg. 10 : 

!• On construira, comme ci-des^s, les droites FB', Fiy pa- 



VL. 44. DES COURBES. 221 

rallèles aux normales des points B et D, et Ton mesurera 
l'angle B'FD' avec un bon rapporteur ; 

2" L'arc que l'on veut rectifier étant très-aplati, il suflSra de 
le remplacer par deux arcs de cercle ; • 

3** La normale parallèle au rayon F-9', qui contient le milieu 
de l'arc B'D', déterminera le point 9 sur Tare d'hyperbole BD, 
«t, par suite, les deux arcs B-9, 9-D, que l'on peut considérer 
-comme semblables à chacune des parties égales de B'O'; 

4° On tracera les cordes B-9, 9-D, et Ton fera leur somme , 

5^ Cela étant fait, supposons que dans le cas actuel l'angle 
fi'FD' soit égal à 9<'44', on aura > 

a= — - — =4°52 

^t le coefficient 

^60sin. i « ~ 360 sin. (2»-26' 2 1 600 sin. (2'>-26') ~ '"""*'"' • 
440. Remarque. Le peu de différence qui existe dans les 



TTa 



•exemples précédents, entre l'unité et le coefficient — ^ . , 
^ ^ , 360sm. T a . 

fera comprendre pourquoi, dans la pratique, on pourra 
presque toujours négliger la multiplication par ce facteur et 
se contenter, comme je l'ai dit au n*» 414, de rectifier le po- 
lygone inscrit. 

Admettons cependant le cas où l'on aurait besoin d'une 
grande exactitude, et cherchons quelles espèces d'erreurs 
pourront aflecter le résultat obtenu par la méthode qui vient 
à'être exposée. 

TTOt 

Le coefficient numérique r-r-^ — ;— pouvant être calculé 

par les logarithmes avec une grande précision, il ne peut 
exister d'erreur que dans la valeur de a ou dans le contour 
Au polygone inscrit. . 

Or l'angle formé par les normales extrêmes sera souvent 
4onné par la question, et, dans le cas dontraire, nous avons 
va comment cet angle peut être mesuré très-exaclemeat, 
même avec un rapporteur médiocre. 






222 RECTÏPCCATION ' PL. 44. 

Il ne reste donc plus qu'à rechercher quel peut être l'effet 
d'une erreur dans la position de l'un des points qui partagent 
la courbe donnée en arcs semblables. 

Pour cela, supposons, flg. 6, que MO et ON soient deux arcs 
consécutifs de la courbe cherchée ; si Ton prend le point 0' 
au lieu de prendre le point 0, la corde MO' sera, il est vrai, 
un peu trop longue, mais la corde O'N sera trop courte, et 
l'une des erreurs détruira l'autre. 

, Pour^ reconnaître jusqu'à quel point il y aura compensation 
entre ces deux erreurs, concevons Tellipse VD qui passerait 
par le point et qui aurait pour foyer les points M et N. 

La somme des rayons vecteurs de cette ellipse sera tou- 
jours égale à MO + ON, quel que soit le point de cette courbe 
que l'on aura choisi. 

Or la normale du point de l'ellipse VU partage l'angle 
MON formé par les rayons vecteurs en deux parties égales. 
Mais les deux arcs de cercle MIO, OKN, qui, dans le voisinage 
du 'point 0, coïncident avec la courbe donnée, étant sem- 
blables, les triangles isocèles MHO, 06N le sont également; 
les angles MOH'et HON sont égaux, et la droite OH normale 
de la courbe à deux centres MON coïncide avec la normale 
au point de Tellipse VO ; de sorte que Tellipse VD et 
la courbe MON se touchent au point 0, puisqu'elles ont à 
ce point la même normale OG, et par conséquent la même 
tangente. 

Or, si par un faux mouvement du compas ou de l'équerre 
il y a une petite erreur dans la position du point déterminé 
sur la courbe donnée, il est certain, et cela est certain pour 
toute personne familiarisée avec les opérations graphiques, 
que l'erreur 00' ne s'étendra jamais jusqu'à Tendroit où les 
deux cburbes tangentes se séparent sensiblement Tune de 
l'autre; et le point 0' de la. courbe MON pouvant toujours 
être considéré comme appartenant à l'ellipse VU, on aura la 
somme des deux cordes MO' + O'N = MO + ON ; de sorte 
que le contour du polygone ou de la portion de polygone 
inscrit dans la courbe donnée différera extrêmement peu de 
ce que l'on obtiendrait si le point .0 était parfaitement déter- 
miné sur cette courbe. 



PL. 44. DBS i::(>VfftfrËS. « 223 

441. Le raisonnement qui précède suppose que les rayons 
de courbure des deux arcs MO et ON sont de même signe; car' 
s'il en était autrement, fig. 5, et s'il existait un point d'in- 
flexion au point 0, la petite partie de courbe qui est voisine 
de ce point ne se confondrait plus avec un arc de Tellipse qui 
aurait les points M et N pour foyer. 

Pour apprécier approximativement l'erreur qui aurait lieu 
dans ce cas, concevons (fig. 12) la courbe MON composée des 
deux arcs semblables MO, ON, et supposons que pour me- 
surer les cordes, on ait placé la pointe du compas en O' au 
lieu de la placer en ; laissons faire à Tare ON une demi- 
révolution autour de la sécante OO'K ; le point N viendra se 
placer en N'. Mais on pourra toujours concevoir une ellipse 
VOO'O, qui aurait pour foyer les points M et N'4 et qui coïn- 
ciderait avec Tare extrêmement petit 00' ; de sorte que Ton 
aurait : 

(1) MO + ON' = MO' + O'N'. 

Or les triangles OKN, OKN' étant égaux, ofl aura 
(2). - ON=:ON'; 

les triangles égaux O'KN, O'KN' donneront 
(3) OW = 0'N. • 

Ajoutant les équations (1), (2) et (3), et réduisant, on aura 

MO + ON = MO'-fO'N; 

d'où il résulte que la petite erreur 00' ne changera pas la 
somme des deux cordes. 

442. Quadratures. La décomposition d'une courbe en arcs 
de cercle semblables entre eux pourra servir également 
pour résoudre le problème des quadratures. 

En effet, supposons, flg. 4, que l'on veut calculer la sur- 
face comprise entre la courbe BD, l'ordonnée Bb du point B, 
l'ordonnée M du point D, et la droite bd. 11 est éviclent qu'il 
suffira de calculer le polygone ftB-5-6-D6, et d'y ajouter la 
somme des segments compris entre les côtés de ce polygone 
et les arcs de cercle par lesquels on aura remplacé la courbe 
donnée BD. 



^24 RECTIFICATION PL. 44. 

Or la surface du polygone pourra facilement être obtenue 
par la décomposition en triangles ou en trapèzes, et_p^r 
conséquent il ne restera plus qu'à obtenir la surface des 
segments. 

Les arcs de cercle B-5, 5-6, 6-D par lesquels on remplace 
les parties de la courbe donnée étant toujours d'un petit 
nombre de degrés, on pourra, comme cela se fait à chaque 
instant dans là pratique, considérer chacun des segments 
compris entre la corde et la portion de courbe correspon- 
dante comme un segment de parabole^ dont la surface est 
égale aux deux tiers du rectangle circonscrit. 

Or, si nous exprimons, flg. 1 , la corde MN par c, et la 
flèche Kl par w, la surface s du segment MKNI sera 

(1) ' 5=?MNxKI = |cw. 

Mais si l'on trace la corde MK, le triangle MIK rectangle en I 
donnera Kl = 1h1 x tang KMI, ou 

2) ii = ^tang-; 

KN a 

car l'angle KMI a pour mesure -Tr-= 7 . 

2 4 

Ainsi, en portant la valeur de u dans l'équation (1), on 
aura / 

2c 2c c ^ *a c* . a 

.= _Xu = .3X2tang- = 3tang-. 

Cela étant admis, revenons à la figure 4, désignons les 
cordes B-5, 5-6 et 6-D parc, c\&' et les surfaces des segments* 
correspondants par s, 5' et 5'^, nous aurons : 

c* a 

*=-tang;5 

C"* a 

.// = ytang-. 

Et, si nous exprimons par S la sopime des segments, nous 
jurons : 



PL. 44. DBS COURBES. 225 

Le facteur polynôme c' + c'* + ^'^^ P^ut facilement être 
réduit à un monôme par une opération graphique. En effet, 
on tracera : 

;io La droite 6^'-5''' égale à la corde 6-5 et perpendiculaire 

2o L'hypoténuse D''-5'/' du triangle rectangle D''-6''-5'"; 
3* La droite 5'"-B'" égale à la corde 5-B et perpendiculaire 
sur r.5'''. 
Le carré du nombre qui exprimera la longueur de B'^'-D'^ 

sera égal à c* + c'^ + c'^*. ^ 
En effet, le triangle rectangle D''-6^'-5'" donne 

(D'^-5"0' = (D^'.6"0' + (^'-yy ' ' ou ^ 

mais le triangle D^'-5"^-B'" étant rectangle en 5'", on aura 

(D'^'-B'")* = (D'^.5'")^ + (5'"-B''0* ou 

{2) (iy'-B''7 = (D''-5"0' +(f; 

Ajoutant les équations (1) et (2), on.pbtient 

(O^g///), ^ ç„. j^ ^f, _|_ ^. 

Ainsi la formule précédente devient • 

g^tan|^^^P„g,„^, 

Et si Ton ajoute cette quantité avec la surface du polygone 
AB-5-6-D6, on aura obtenu avec une grande exactitude la 
surface comprise entre l'arc BD, les ordonnées B6, M et la 
droite bd. 

443. S'il s^agissait d'une ellipse entière, il serait plus 

simple et plus exact d'employer la formule connue S = Trai 

qui, pour la grande ellw)se de la figure 4, deviendrait 

S = 7rMNxOX. 

15 



226 QUADRATURE DES COURBES. PL. 44- 

444. Il est évident que ce qui précède convient à toutes 
les courbes que Ton pourra décomposer en arcs semblables, 
ou , ce qui revient au même , pour lesquelles on saura 
calculer ou construire une normale parallèle à une ligne 
donnée. 

Ainsi, la longueur d'une courbe quelconque sera exprimée 
par la formule 



T^K 



'^ = 2mn^.^''rC + c" + ...), 



et si Ton exprime la surface par S, on aura 

S = Px^-^^(c.» + c'^ + c-+...). 

P étant le polygone inscrit, limité par la somme des cordes 
et par telles autres lignes que Ton voudra. 

11 est évident que ces deux formules ne seront pas plus dif- 
ficiles à employer que celles qui expriment la circonférence 
ou la surface du cercle ; car, pour calculer 2aR ou ttR^ il faut 
bien mesurer le rayon. Eh bien ! dans le cas actuel, oa me- 
surera la somme des cordes^ ou Ton calculera la somme des 
carrés des cordes, ce qui ne sera pas plus difficile que de 
mesurer R ou de calculer K. 



445. Si la courbe donnée A, fig. 4, est très-petite, on con- 
struira une courbe semblable beaucoup plus grande", dix fois 
par exemple ; puis on divisera la longueur obtenue par 10, 
ou la surface par 100. 



A. 44 SURFACES CYLIHDRIQUES. 2S7 



CHAPITRE IL 



Surface* cylindriques* 



446. Nous avons, dans les livres précédents, résolu les 
questions principales qui dépendent du plan. Nous allons 
étudier actuellement les propriétés des surfaces courbes. 

Si Ton jette un coup d'œil sur les différents produits de, 
rindustrie, les formes des corps terminés par des surfaces 
courbes paraissent variées d'un si grand nombre de manières, 
qu'il semble au premier abord difficile de reconnaître les 
propriétés particulières à chaque espèce. 

Mais, en procédant avec méthode, on peut facilement dé- 
duire toutes ces propriétés d'un. petit nombre de principes 
généraux. 

447. La première et la plus essentielle des surfaces courbes 
que nous allons étudier est celle à laquelle on donne le nom 
de cylindre. 

Il ne faut pas attacher à ce mot le même sens que dans la 
géométrie élémentaire ; en effet, dans cette partie des ma- 
thématiques, un cylindre, tLg. 226, pi. 45, est un corps so- 
lide, engendré par un rectangle acvu, que Ton ferait tourner 
autour de ses côtés ac, tandis que, dans la géométrie des- 
criptive, on donne le nom de cylindre, fig. 224, à la surface 
engendrée par une droite ac qui se meut parallèlement à' 
elle-même, quelles que soient, du reste, les conditions qui 
déterminent le mouvement de cette droite, que l'on nomme 
la génératrice du cylindre. 



V3S8 SURFACES PL. 45. 

448. On peut toujours supposer que la génératrice est as- 
sujettie à s'appuyer constamment sur une courbe quelconque 
du, que l'on nomme la directrice du cylindre. 

449. Ainsi la nature du cylindre dépendra principalement 
de la forme de sa directrice, et Ton conçoit que si cette 
courbe élait remplacée par une ligne droite, le cylindre de- 
viendrait un plan ; ce qui autorise à considérer le plan 
comme un cas particulier parmi les surfaces cylindriques. 

Cette analogie entre le plan et le cylindre est une des re- 
lations qui nous seront le plus utiles. C'est pourquoi je vais 
lâcher de mettre en évidence les propriétés communes à ces 
deux surfaces. 

Si nous supposons que Ton conserve comme constante la 
génératrice ac d'un cylindre, flg. 225, mais que l'on aug- 
mente graduellement le rayon de courbure de la directrice 
du, cette courbe deviendra successivement d'u\ d''u'' ; et 
lorsque le rayon de courbure sera infini, la directrice prinii-* 
tive se transformera en une droite d'"v!'\ et la surface cylin- 
. drique en un plan pu'" . 

Si l'on change le sens de courbure de la directrice, on ob- 
tiendra le cylindre d^^'xf . 

Tous ces différents cylindres se touchent et sont touchés 
par le plan p^t''^ suivant la génératrice commune ao. 

C'est pourquoi nous donnerons dès à présent au plan pu'" 
le nom de flari, tangent. 

450. Il semblerait résulter de ce que nous venons-de dire 
qu'un plan tangent.à m* rylindre ne doit avoir qu'une droite 
commune avec cette surface. 

Cette définition du plan langent ne serait pas exacte pour 
plusieurs raisons. 

D'abord, Ija directrice d'un cylindre pouvant avoir un grand 
nombre de sinuosités, un plan qui toucherait ce cylindre 
suivant une génératrice âc, fig. 227, pourrait encore le 
couper suivant d'antres droites a'c\ ' ., 

Ensuite^ la condition de n'avoir qu'une droite commune 
avec un cylindre pourrait tout aussi bien convenir à un plan 
coupant fq, fig. 229. 



PL. 45; CYLINDRIQUES. 22^ 

Il faut donc tâcher de trouver, p^our le plan tangent au 
cylindre, une définition plus complèteT 

Supposons, flg. 228, que le cylindre A soit coupé par un 
plan pq paralfèle à sa direction, la section se composera des 
deux génératrices ac^ a'&. 

Or, si nous faisons tourner le plan pq autour de a'c', la 
droite ac se rapprochera de a^c' sans cesser de lui être pa- 
rallèle ; et lorsque les deux génératrices ac, a'd seront réu- 
nies en une seule, le plan pg^ sera devenu pVi et, dans cette 
nouvelle position, il sera langent au cylindre. 

Nous serons donc conduits à dire qu'un'plan tangent à un 
cylindre est celui qui contient deux génératrices réunies en 
une seule^ ou, ce qui est la même chose, deux génératrices 
dont la distance est nulle. 

451. Au lieu de faire tourner le plan pq autour de la gé- 
nératrice aV, on aurait pu le faire mouvoir parallèlement à 
lui-même- ou de toute autre manière, mais on serait toujours 
arrivé à cette conséquence que le plan deviendra tangent 
aussitôt que les deux lignes de section ac, a'd seront réunies 
en une seule. 

452. Il semblerait, au premier abord, qu'au moment où 
ces deux génératrices' sont rSunies, on doit les considérer 
comme n'en faisant qu'une. Il est vrai que les deux droites 
qui se sont ainsi rapprochées n'occupent pas plus de place 
qu'une seule ; mais cependant il est très-essentiel de distin- 
guer une génératrice simple ou une génératrice de section, 
telle que ac, flg.,229, d'une génératrice delangence que 
Ton pourra nommer génératrice rfoui»/e. puisque l'on peut 
toujours supposer qu'elle résulte 4lu rapprochement de deux 
génératrices de section, et l'on devra se rappeler qu'il existe 
entre ces deux lignes cette diflférence très -grande, que la 
génératrice de section ne suflSt pas pour déterminer la direc- 
tion du plan coupant, qui, tournant autour de cette droite, 
peut prendre une infinité de positions différentes, figr, 229, 
tandis que la position du plan langent p'q', flg. 228, sera 
déterminée par la génératrice de langence aV, puisqu'il ne 



230 SURFACES PL. 45. 

pourrait pas tourner autour de cette ligne sans devenir un 
plan coupant, ce qui d^oubleraitaussitôt la génératrice de - 
tangence et la décomposerait en deux génératrices de section 
a'c\ a"d\ qui s'écarteraient l'une de l'autre à mesure que le 
plan se rapprocherait de la position pj. 

463. On peut encore être conduit aux conséquences pré- 
cédentes en supposant que le cylindre soit coupé par un plan . 
quelconque pq, fig. 230, que Ton ferait ensuite tourner 
autour d'une droite mn tangente à la courbe de section ac, 
cette courte deviendrait alors successivement ac\ c"a(^, 
en s'allongeant toujours à mesure que le plan se rapproche- 
rait de Ja direction du cylindre, et lorsqu'il aurait atteint cette 
direction, les deux branches de la courbe seraient réunies 
en une seule et formeraient alors la- génératrice d§ tangence 

Enfin, on peut encore supposer que le cylindre est un 
prisme dont le nombre des faces serait infini. 

Dans cette dernière hypothèse, fig. 231, le plan tangent 
sera le prolongement de Tune des faces du prisme, et la lar- 
geur de cette face devant être considérée comme nulle, les 
deux arêtes ce, dd infiniment rapprochées formeront la gé- 
nératrice de tangence. 



454. Concevons, fig. 232, une courbe quelconque aa'm 
située sur le cylindre A, et joignons par une sécante les deux 
points a et a', suivant lesquels cette courbe serait coupée par 
un plan quelconque pq parallèle au cylindre. Si nous faisions 
tourner le plan f'q pour le ramener dans la position pV> 1^ 
point a se rapprochera du point a', et ^lorsque le plan 
p'q\ sera tangent, les dejnx points a et a* seront réunis ; la 
droite aa' aura pris la position mn et sera située dans le plan 

tangent pV* 
Ainsi j le plan tangent ip'q' contiendra la droite mn 

tangente au point a' à une courbe quelconque i\\,\Mk^ sur la 

surface du cylindre ; de sorte que la construction du plan 

langent se réduit à faire passer un plan par les deux droites 

La courbe aa'm pouvant être prise arbitrairement, il en 



r 



CL. 46. CYLINDRIQUES. 231 

résulte que le plan tangent au cylindre contient toutes les 
droites qui toucheraient la surface en un point quelconque 
de la ligne de/. ^ 

455. Gytindre projetant. Courbes à do^le cour- 
bnre. La première application que nous ferons des surfaces 
cylindriques aura pour but de déterminer les projections des 
lignes courbes. 

Soit ABCD, fig. 233, pi. 46, une courbe quelconque située 
dans l'espace. Si de chaque point de cette ligne on abaisse 
une perpendiculaire sur le plan de projection P, la courbe ahod, 
qui contient les pieds de toutes ces perpendiculaires, sera la 
projection de la courbe. 

La surface qui contient toutes les perpendiculaires, Aa, B6, 
•Ce, etc., se nomme cylindre projetant. La ligne abcd^ trace 
du cylindre projetant, est la projection de la courbe ABCD. 

Dne seule projection ne suffit pas. pour déterminer une 
courbey dans Tespace, car il est évident que la ligne abcd 
serait fa projection commune à toutes les lignes courbes tra- 
cées sur la même surface projetante. 

456. Il résulte de ce que nous venons de dire, que pour 
déterminer la grandeur et la position d'une ligne courbe dans 
l'espace, il f^ut la projeter sur deux plans, car alors chacun 
de ses points étant déterminé de position, la courbe elle-même 
sera déterminée. 

» 

457. La projection verticale d'une courbe est la ligne 
qui passe par les pieds de toutes les perpendiculaires abais- 
sées des différents points de cette courbe sur le plan vertical, 
et la projection horizontale est la ligne qui contient les 
pieds de toutes les perpendiculaires abaissées sur le plan 
horizontal. 

458. Soit, fig. 324, a'b'&d'effg'WVK la projection verti- 
cale d'une courbe quelconque, et abcdefghik sa projection 
horizontale, il est évident que la courbe sera déterminée 
-dans l'espace, car devant être eu même temps sur les deux 



232 ' SURFACES PL. 46. 

cylindres projetants dont les lignes données sont les traces^ 
elle sera l'intersection de ces deux surfaces et participera de 
la courbure de chacune d'elles. " 

C'est pour cette dernière raison que Ton donne à ces courbes 
en général le nom de courbes à double courbure. 



459. Si Ton partage la projection verticale a'Vc'd/ en 

un assez grand^nombre de parties pour que Ton puisse sans 
erreur sensible considérer chacune d'elles comme une ligne 
droite ; si on porte tous ces petits arcs à la suite les uns des 

autres, comme on le voit, flgr. 235, la ligne a'Vd &V, 

que Ton obtiendra, sera la rectification de la projection ver- 
ticale de la courbe. 

Supposons actuellement que par chacun des points a\ 6', d^ 
on élève sur la droite que l'on vient d'obtenir une perpendi- 
culaire égale à là distance du point correspondant de la 
courbe donnée au plan vertical de projection, et qu,e par les 

extrémités A, B, C, K, A, de ces perpendiculaires on fasse 

passer une courbe, on aura le développement.de la surface 
projetante perpendiculaire au plan vertical. 

La courbe ABCD KA représente ce que devient la courbe 

donnée dans le développement du cylindre projetant perpen- 
diculaire au plan vertical. 

On aurait pu de la même manière développer le cylindre 
perpendiculaire au plan horizontal. 

460. Prenant les arcs AK, Kl, IH, etc., et portant leur 
longueur en ligne droite et à la suite les uns des autres, 
fig. 236, on obtiendra la courbe donnée dans sa véritable 
longueur. C'est ce qu'on appelle rectifier une courbé à double 
courbure, 

461. Si l'on voulait obtenir les projections des pointa qui, 
à partir du point A, partageraient la courbe donnée en trois 
parties égales, on partagerait la ligne droite AA ; ce qui don- 
nerait deux points N, N, que l'on reporterait d'abord dan& 
le développement, fig. 235, d'où Ton déduirait facilement 
les points m', n\ qui, reportés eux-mêmes sur la projection^ 



FL. 46. CYLINDRIQUES. 23) 

verticale de la courbe, donneraieQt les projections horizon- 
tales rriyn. 

On emploierait le môme moyen pour partager une.courbe 
quelconque en tout autre nombre de parties égales ou ayant 
entre elles des rapports donnés. 

462. On nomme trace d'une courbe les points où cette 
courbe perce les plans de projection. 

• Soit (a, a'), flg. 237, une courbé donnée. Le point {h, h'} 
ayant sa projection verticale sur la ligné AZ, appartient au 
plan horizontal, et représente la trace horizontale de la 
courbe. Le point (v, vO> dortt la projection horizontale est 
sur la ligne AZ, sera la trace verticale. 

Il est facile de reconnaître que {c, &) est le point où la 
courbe perce le plan horizontal p, et [d, d') celui où elle 
perce le plan vertical p'. 

463. Trouver Vintersection d'une courbe (a, a') Mec un 
plan quelconque. 

Concevons par celte courbe le cylindre projetant perpendi- < 
culaire au plan horizontal, et cherchons la ligne (6, b) qui 
provient de Tintersection de cette surface par le plan donné p'^. 
Le point (m, m'), où les lignes a' et b' se rencontrent, est le 
point demandé. 

Pour obtenir là ligne b\ il suJQSt de construire les points où 
le plan p" est percé par chacune des verticales q, q\ q", 
génératrices du cylindre vertical qui a pour directrice la 
courbe a. 

On aurait pu tout aussi bien faire usage du cylindre pro- 
jetant perpendiculaire au plan vertical. 

La seule différence qu'il y ait entre ce problème et celui de 
Tintersection d'une droite avec un plan que nous avons ré- 
solu (87), c'est qu'alors la surface projetante de la ligne donnée 
était un plan perpendiculaire au plan de projection. 

464. Construire une tangente à une courbe quelconque. 
Nous avons dit (310) qu'une tangente à uûe courbe quel- 
conque devait être considérée comme le prolongement d'un 



234 suRrACES PL. 46. 

arc inflniraent petit de ceLle courbe; on conçoit, en effet, 
qu'une ligne droite qui n'aurait qu'un point de commun 
avec une courbe ne serait pas pour cela une tangente à cette 
courbe. Ainsi, une ligne droite oblique ou perpendiculaire au 
plan d'un cercle et qui passerait par un point de sa circonfé- 
rence n'aurait qu'un point de commun ^vec ce cercle, et 
cependant ce ne serait pas une^ tangente, parce qu'elle ne 
serait pas dans le plan de la courbe. 

Une ligne qui n'aurait qu'urj point de commun avec une 
courbe à double courbure quelconque ne serait pas non plus 
une tangente à cette courbe ; il faut encore, pour que Ton 
puisse la considérer comme tellç, qu'elle soit située dans le 
planosculateur(314) qui contient l'arc infiniment petit dont 
elle est en quelque sorte le prolongement. 

Nous avons dit (454) que le plan tangent à un cylindre con- 
tient les tangentes à toutes les courbes qui passent par le 
point de tangence sur la surffice du cylindre. 

De là Résulte le moyen de construire une tangente à une 
courbe à double courbure. 

Soient (a, a'), flg. 238, les deux projections de cette 
courbe, le point de tangence (m, w') étant donné. 

Concevons par le point nV une tangente à la projection ver- 
ticale de la courbe, on pourra considérer cette tangente 
comme la trace d'un plan p perpendiculaire au plan vertical 
et tangent au cylindre projetant horizontal. Or, d'après ce 
que nous venons de diro, cç plan doit contenir la tangente 
à la courbe ; de plus, cette tangente doit être située dans 
le plan p\ «tangent à la surface projetante perpendiculaire 
au plan horizontal. Donc la tangente cherchée devant faire 
partie des deux plans p eip\ sera leur intersection, d'où l'on 
voit que 

465. Pour construire une tamjente en un point donné 
d'une courbe quelconque^ il suffit de construire par les pro- 
jections du point donnée deux tangentes aux projections de 

la courbe. Ces lignes seront les projections de la tangente à 
la courbe, 

466. Construction de la normale. Je dirai de la normale 



# 



PL. 46. CYLINDRIQUES. .235 

ce que je viens ie dire de la tangente. Toute ligne droite 
passant par le point de tangence et perpendiculaire à la tan- 
gente n'est pas nécessairement une normale. Il faut encore 
pour cela qu'elle soit dans le plan de la courbe, si cette courbe 
est plane, ou dans le plan osculateur, s'il s'agit d'une courbe, 
à double courbure. Donc, si l'on veut obtenir la normale au 
point (m y m') de la courbe à double courbure (a, a'), flg. 238, 
on choisira deux autres points (n, n') (w, u^) sur la courbe et 
à peu de distance du point donné (m, m') ; puis après avoir 
construit les trois tangentes [vu.v'u^), (sm^ s'm'), [ouy o'n'), 
on déterminera les points v, s, o, où ces tangentes percent le 
plan horizontal, et Ton fera passer une courbe par ces points. 
Or, il est évident que si les trois points [uu'), {mm'), {nn'), 
étaient infiniment près l'un de Tautre, les trois tangentes 
pourraient être considérées comme dans un même plan qui 
serait le plan osculateur, et la ligne vso serait droite et se 
confondrait avec sa tangente sz. Donc, en construisant cette 
tangente, on pourra la regarder comme la trace du plan oscu- " v 
laleur en (mm'). 

Faisant tourner ce plan autour de sa tracé sz pour le ra 
battre sur le^plan horizontal de projection, le point de tan- - 
gence [mm') viendra se placer en m". La tangente sera re- 
présentée dans le rabattement par sm". On lui mènera la 
perpendiculaire m"z qui sera la normale rabattue sur le plan 
horizontal. En faisant revenir le plan osculateur à sa place, le 
point '{zz') ne bougera pas, et les deux projections de la nor- 
male seront (zm, z'm') . 

467. Courbes planes inclinées par rapport aux plans de 
projection. Dans tout ce que nous venons ,de dire sur la prp- 
jection des courbes, nous avons supposé, pour plus de géné- 
ralité, qu'il s'agissait d'une courbe à double courbure ; mais 
si la courbe était plauQ, et qu'on le sût d'avance, on pourrait 
souvent rendre les constructions plus simples en prenant, 
flg. 239, l'un des plans de projection perpendiculaire au 
plan de la courbe. Au moyen de cette précaution, Tune dès 
projections de la courbe se confond avec la trace du plan qui 
la contient, et qui, daïis ce cas, devient l'une des surfaces pro- 
jetantes. Ainsi, le plan de la courbe {abCy a'b'c') étant perpen- 



236 SURFACES PL. 47. 

diculaire au plan horizontal, sa projectien* sur ce plan ?era 
la droite ac. 

Si Ton voulait avoir la courbe dans sa véritable grandeur, 
on ferait tourner le plan qui la contient autour de sa trace 
verticale, et Ton obtiendrait a"h"c". Les droites (d&, dV) sont 
la projection verticale et le rabattement d'une tangente 
dont la projection horizontale se confondrait avec celle de la 
courbe. 

468. Les deux projections d'une courbe étant donnéeSy 
reconnaître si cette courbe est plané. 

il est évident que toute courbe qui se projette en ligne 
droite est nécessairement une courbe plane. 

Prenant sur la courbe, flg. 240, deux points {aa\ oo') 
situés, pour plus de simplicité, sur une même droite horizon- 
tale, et construisant le plan vertical p perpendiculaire sur 
cette horizontale, on cherchera la projection de la courbe 
sur ce plan ; si cette projection est une ligne droite, on 
pourra en conclure que la courbe est plane ; car il est évi- 
dent que toute courbe qui se projette par une ligne droite 
est nécessairement située dans le plan projetant dont cette 
ligne est la trace. 

11 est bien entendu que cette manière de reconnaître si 
une courbe est plane n'esit pas rigoureusement exacte, et 
qu'elle ne doit être employée que dans le cas où l'on serait 
privé de moyens plus rigoureux résultant de la définition 
géométrique de la courbe donnée. 

Je terminerai ce sujet par l'étude des propriétés de Tune 
des courbes les plus utiles que Ton puisse tracer sur un 
cylindre. 

489. Hélices. Lorsqu'une courbe coupe toutes les géné- 
ratrices d*un cylindre suivant le même angle, on lui donne le 
nom d! hélice. 

On peut dire encore que l'hélice est engendrée par un point 
qui s'éloigne à chaque instant d'un plan perpendiculaire au 
cylindre d'une quantité proportionnelle à Tare parcouru par 
sa projection sur ce plan. 

Ainsi, par exemple, si nous supposons ()ue le cylindre A, 



PL. 47. CYLINDRIQUES. 237 

flg. 241, pi. 47, soit perpendiculaire au plan horizontal, 
rhélice a'um serait engendrée par le point aa' qui s'élèverait 
4 chaque instant d'ftne quantité proportionnelle à Tare de 
cercle parcouru par la projection horizontale a. 

470. La distance aV entre deux intersections successives 
de la courbe avec la même génératrice se nomme le pa-'i de 
Chélice, et la portion de courbe correspondante à une révolu- 
tion entière se nomme une spire. 

471. La section droite du cylindre est une hélice dont le 
pas est égal à zéro. 

472. Les hélices se distinguent par la nature de la sec- 
tion droite du cylindre sur lequel elles sont tracées. Lorsque 
cette section est un cercle, on dit que l'hélice est à base cir- 
culaire. 

473. Construction de Vhélice. Supposons que la circonfé- 
rence a-4-14 soit la base ou projection horizontale d'une hé- 
lice dont le pas serait a* a" ; on partagera cette droite et la 
circonférence a-4-t4 en un même nombre de parties égales, 
en 16 par exemple ; on tracera ensuite une horizontale par 
chacun des points de division de la verticale a'a". , 

Si l'on suppose actuellement que le point générateur, par- 
tant de aa\ tourne dans le sens de Tare i-2-3, etc., il est 
évident que lorsqu'il sera parvenu sur la verticale du point 1^ 
il sera élevé, au-dessus du plan horizontal, d'une quantité 
égale à la seizième partie du pas, et sa projection verticale 
devra, par conséquent, se trouver sur la première horizontale 
au-dessus de la ligne AZ: 

Lorsque le point générateur sera parvenu sur la verticale 
du point 2, sa [«rojection verticale sera élevée de 2 seizièmes 
du pas, et sera sur la deuxième horizonftile, etc. 

De sorte que tous les points de la projection verticale de la 
courbe seront déterminés par les intersections des verticales 
élevées par les 16 points de division de la circonférence a-4-14 
avec les horizontales passant par les 16 points de division de 
la verticale a V^ - • ' 



*t 



238 SURFACES PL. 47. 

• 474. Il résulte de la définition que nous avons donnée au 
n^ 469 que, dans le développement du cylindre qui contient 
l'hélice, cette courbe se transforme toujours en une ligne 
droite. 

La figure 242 est le développement de la moitié du cy- 
lindre A. 

475. On peut se servir avec avantage de ce développe- 
ment pour construire la projection de la courbe. En effet, si 
le pas de l'hélice était peu considérable, il serait difficile de 
partager avec beaucoup d'exactitude la verticale a'a'^ Dans 
ce cas, on commencerait par construire l'oblique a'V que 
l'on partagerait en 8 parties égales, et les points de division 
de l'hélice seraient alors déterminés par les intersections des 
verticales élevées par les points de division de la circonfé- 
rence a-4-14 avec les horizontales passant par les points de 
l'oblique a'V. 

^76. Lorsqu'on prend ainsi une oblique pour échelle de 
hauteur, il n'est pas nécessaire que la droite a*V soit égale au 
développement de la circonférence a-4-14. Il suffit que la ver- 
ticale aV ,soit égale à la hauteur de la partie de l'hélice que 
l'on veijt projeter. De sorte que si nous avions fait a^à"^ égal 
à aV^ les seize parties égales de l'oblique a^'a"'^ auraient dé- 
terminé les hauteurs des seize points correspondants de la 
première spire. 

477. Lorsqu'une hélice se' compose d'un très-grand nombre 
de spires, on peut construire avec beaucoup de soin, flgr. 246, 
la projection de Tune de ces courbes sur une carte que l'on 
découpera, et qui, étant reportée à toutes les hauteurs, ser- 
vira pour iguider 1^ crayon . 

On pourra, se contenter de la, moitié d'une spire, parce que 
le même profil étant retourné servira pour construire les par- 
ties vues et celles qui sont cachées. 

Enfin, lorsque l'on Veut tracer un arc d'hélice sur un cy- 
lindre, il suffit de déterminer, flg. 247, deux points m et n 
de la courbe demandée ; après quoi il sera facile de la tracef 



PL. 47 CYLINDRIQUES. 239' 

avec une règle flexible à laquelle on fera prendre la courbure 
du cylindre. 

Quoique deux points suffisent, dans ce cas, pour détermi- 
ner la courbe, on fera bien cependant de tracer sur le cylindre 
un ou deux points fntermédiaires pour servir comme vérifi- 
catiion. 

478. 11 arrivera souvent par la suite que Ton ait à tracer 
sur un même cylindre, flg. 241, plusieurs hélices de même 
pas, mais situées à des hauteurs différentes. Dans ce cas, il ne 
sera pas nécessaire d'établir sur la projection du cylindre 
de nouvelles horizontales, ce qui ferait confusion. 11 sera pré- 
férable de porter avec le compas, sur la vertiôale projetante, 
de chaque point, la différence de hauteur entre la première 
hélice et celle que Ton veut H)btenir. 

479. Si Ton veut construire pliisieucs hélices de même 
pas et à la même hauteur sur des cylindres concentriques» 
flg. 243, on relèvera les points sur les horizontales corres- 
pondantes. 

480. Tangentes à l'hélice. On sait que, dans le voisi- 
nage du point de tangence, une courbe se confond toujours 
avec sa tangente. De plus, l'hélice devant se développer en 
ligne droite, elle devra, dans le développement du cylindre, 
continuer à se confondre afec sa tangente. 

D'où il résulte que la tangente coïncidant avec la courbe 
développée doit être l'hypoténuse d'un triangle rectangle 
dont la hauteur est à la base comme le pas de l'hélice est au 
développement de la circonférence du cercle qui en forme la 
projection, ou, ce qui est la même chose, comme un certain 
nombre de parties égales du pas est à un pareil nombre de 
parties égales de la circonférence de la base. 

481. Supposons donc que l'on veuille constrifire une tan- 
gente au point 14' de Thélice a'a"', flg. 241, on construira ' 
d'abord la tangente 14-m. 

Celte droite sera Ja trace horizontale du plan tangent au 
cylindre qui contient l'hélice, de sorte que si on fait 14-m 



^0 ' SUBFAGES PL. 47. 

égal à iV de la circonférence, et que 14'-u soit égal à -n- du 
pas, de l'hélice, la verticale mm' déterminera le point m', et 
l'hypoténuse W-mf sera la projection verticale de la tan- 
gente au point 14'. 

sur la flgure 246, a'm' est la tangente au point aa' \ a'u 
est égal à 4 du pas, et l'horizontale um vaut -r de la circon- 
férence de la base. 

482. IJ résulte de ce qui précède qu'il n'est pas nécessaire 
que la courbe soit tracée, pour que Ton puisse construire sa 
tangente. 

483. Si Ton prévoit le cas où il serait nécessaire de con- 
struire un grand nombre de tangontes à une même hélice, on 
pourra construire, flg. 244, la courbe a-9-12', qui est la 
développante de la circonférence du cercle aAO'&^ (323). 
Cette courbe contiendra les traces horizontales de toutes les 
tangentes à Thélice. 

De sorte que, pour construire Tune quelconque de Ces 
tangentes, celle, par exemple, qui toucherait l'hélice au 
point iO"^ 

On tracera : 

lo La droite 10-10', perpendiculaire au rayon c-10, et qui 
sera par conséquent la projection horizontale de la tangente 
demandée ; 

2° La verticale 10'- 10'', i^ui déterminera le point 10" sur la 
ligne AZ ; 

3o La droite 10"-10"', qui touchera l'hélice au point IQ'". 

484. La même courbe pourra servir à construire les tan- 
gentes à toute autre hélice du même pas, et qui serait située 
sur un cylindre d'un rayon plus petit ou plus grand. 

Ainsi, par exemple, pour construire la tangente au point 
13'", 
On tracera : 

l^ ^a tangente 13-13' parallèle à 10-10' ; 
2° La droite c-10' qui déterminera le point 13' ; 
3*» La verticale 13-13"; 
4*» Enfin, la tangente demandée 13"-13"'. 



9L. 48. CYLINDRIOUES. 241 

En effet, les deux tangentes 10-10', 13-13' sont entre elles 
comme les rayons c-10, c-13. Or, la droite 10-10' étant le 
développement de l'arc ac^'-lO, il s'ensuit que 13-13' sera le 
développement de l'arc a'c'- 13 : ce qui s'accorde avec ce que 
nous avons dit au n« 480. 

On remarquera encore que Ton peut avoir 

•0'M3''': 0'M0"'=c.l3 : c-10=o-l3': c- 10'= a''- 13": a"-10''. 

Or, si oii ne prend que les rapports extrêmes, on aura 

0"'-13'" : 0'"-10'" =^ 0''-lS'' : 0"-10". 

Donc les horizontales 0''-10'\ 0'"-10"' étant coupées en par- 
ties proportionnelles par les deux tangentes lO'^-IO'", 
13"-13'". Ces lignes doivent-se rencontrer sur le prolonge- 
ment de l'axe commun aux deux cylindres. 

485. Prodection du cylindre oblique. Dans les articles 
précédents, nous avons considéré les cylindres comme sur- 
faces projetantes, nous allons actuellement étudier ces sortes 
de surfaces sous un point de vue plus général. 

Une surface cylindrique est déterminée lorsque l'on con- 
naît les projections de la directrice et celles d'une génératrice 
ou d'une droite quelconque qui lui serait parallèle. 
. Supposons, par exemple, que les deux courbes 1-3-5-7, 
fkg. 248, pi. 48, soient les deux projections de la directrice 
d'une surface cylindrique. On prendra sur cette ligne un 
certain nombre de points, et les droites menées par ces 
points, parallèlement à la direction donnée ac, a'c\ seront 
les génératrices de la surface proposée. 

Dans les questions composées, il est souvent nécessaire de 
construire un grand nombre de génératrices, et, dans ce 
cas, pour plus d'ordre dans le travail, on les distingue par 
des numéros. 

Il ne faut pas cependant^construire de suite et sans néces- 
sité un trop grand nombre de génératrices. Il n'est pas néces- 
saire, par exemple, que ces lignes soient aussi plus rappro- 
chées les unes des autres dans les parties où la surface a peu 
de courbure; mais on fera bien de tracer au moins au crayon 
<îelles qui correspondent aux çoints les plus essentiels de la 
surface. 

16 



•1 



342 SURFACES PU 48. 

Ainsi, dans Texemple qui nous occupe, on devra s'attacher 
surtout à déterminer avec. exactitude : 

1^ Les génératrices qui passent par les points 1 et 7, et 
qui forment les limites de la surface cylindrique ; 

2*» La génératrice du point 5 suivant laquelle la surface 
du cylindre est touchée par un plan vertical. Cette généra- 
trice forme la limite de la projection horizontale du cylindre ; 

3« La génératrice du point 2, suivant laquelle la surface 
serait touchée par un plan perpendiculaire au plan verti- 
cal de projection. Cette génératrice forme la limite de la pro- 
jection verticale du cylindre ; 

4° On devra chercher aussi à donner toute l'exactitude 
possible aux projections du point 3, suivant lequel la direc- 
trice du cylindre est touchée par un plan perpendiculaire à 
la ligne AZ. 

486. On pourra simplifier le travail en , choisissanl de 
préférence les génératrices qui auraient une projection 
commune. 

Ainsi, par exemple, la projection verticale de la génératrice 
qui contient le point 1 servira en même temps pour celle 
qui contient le point 4, etc. 

487. Parties vues et cachées sur les surflaces 
cylindriques. La nature particulière des surfaces cylin- 
driques que l'on emploie dans l'industrie permettra presque 
toujours de reconnaître au premier coup dœil quelles sont 
les parties de ces surfaces qui doivent être vues et celles qui 
soni cachées ; mais, lorsqu'il y aura incertitude, on pourra 
opérer de la manière suivante : 

Supposons que la surface donnée soit coupée par un plan 
j)q parallèle au cylindre, et perpendiculaire au plan vertical 
de projection. On obtiendra pour sections les deux généra- 
trices des points 1 et 4, et la deuxième de ces droites étant 
plus près du plan vertical que la première, elle sera der- 
rière la partie de la surface qui contient la génératrice du 
point 1. 

Il suflTira souvent d'une ou deux opérations de cette espèce, 
pour reconnaître toutes les parties vues et cachées. 



PL. 48. CYUNDRIQUES. » 243 

Nous avons supposé ici que Ton a supprimé toute la partie' 
de la surface qui est au-dessus de la directrice, et que l'on 
n*a conservé que ce qui est compris entre cette courbe et fe 
plan horizontal de projection. 

Il résultera de laque toutes les génératrices qui s'appuient 
sur l'arc 7-5 seront vues sur la projection horizontale depuis 
cet arc jusqu'à Tare 5-1, à partir duquel elles passent au-, 
dessous de la surface. - 

Les génératrices qui s'appuient sur l'arc 5-1 seront vues 
entièrement sur la projection horizontale. 

Des considérations du même genre feront reconnaître les 
parties vues et cachées de la projection verticale. 

Ainsi, sur cette projection, les génératrices qui s'appuient 
surrarcl-2 seront vues entièrement, tandis que celles- qui 
s'appuient sur la courbe 2-4 seront cachées. Enfin, les généra- 
trices qui s'appuient sur l'arc 4-7 seront vueô. 

On reconnaît pourquoi il est essentiel, comme nous l'avons 
dit plus haut, de déterminer avec le plus de précision pos- 
sible les génératrices des points 2, 5, 7 et l, puisque ces 
Ugnes forment les hmites des parties vues et cachées sur la 
projection du cylindre. 

La construction exacte de ces points dépend des principes 
qui ont été exposés aux n^* 343, 344. 

488. Quoique nous ^yons supposé la surface terminée 
dans sa partie supérieure par la courbe 1-5-7, qui lui sert 
de directrice, il vaudra mieux, en général, admettre que les 
génératrices d'un cylindre sont infinies, de sorte que toute 
surface cylindrique sera elle-même infinie, et les parties de 
ces surfaces termine.es par des lignes, ou composant la limite 
des corps, ne seront considérées que comme des portions de 
cylindre. 

Si la drectrice est une courbe infinie, le cylindre sera 
infini suivant ses deux dimensions ; mais si la directrice 
était une courbe fermée ou terminée par deux points, le 
cylindre ne serait infini que dans la direction de ses généra- 
trices. 

489. Traces du cylindre. Toute surface cylindrique 



244 SURFACES PL. 48. 

étant infinie doit, en général, se prolonger au delà des plans 
de projection. 

Qr, si après avoir construit un assez grand nombre de 
génératrices, on détermine les traces de chacune de ces 
lignes, les courbes passant par tous ces points seront les 
traces du cylindre. Ainsi : 

• La courbe l'-5'-7^ est la trace horizontale et la courbe 
l''-5"-7" est la trace verticale du cylindre donné. , 
« 

490. Nous avons supposé (485), pour plus de généralité,, 
que la directrice du cylindre était une courbe quelconque ; 
[liais, dans les applications, on prend presque toujours pour 
directrice une courbe parallèle à Tun des plans de projection. 

Ces sortes de courbes sofit égales et parallèles aux traces, 
et se construiseiit de la même manière. Ainsi, par exemple, 
pour obtenir la courbe V^^W"-!'^'^ il suffira de projeter tous 
les points suivant lesquels le plan horizontal mn coupe les 
génératrices du cylindre. 

491. En prenant pour directrice la trace du cylindre ou 
une courbe parallèle à celte trace, on n'ôte rien de la généra 
lité des principes que nous allons exposer. 

Il est facile de concevoir, en effet, que la surface du 
cylindre sera toujours la même tant que la courbe employée 
comme directrice sera située tout entière dans cette surface 
et qu'elle sera coupée par toutes les génératrices. Or, les' 
traces jouissent essentiellement de celte propriété. 

Ainsi, quelle que soit la nature d'un cylindre donné, on 
pourra toujours construire Tune de ses traces ou une section 
parallèle à cette trace et remplacer la directrice primitive 
par la section obtenue. 

492. Le plan qui toucherait le cylindre suivant la généra- 
trice du point 6, aurait pour trace horizontale la droite p'-6' 
tangente à la trace horizontale du cylindre, et la. trace verti- 
cale p'-6" de ce même plan devra être la tangente à la 
courbe l"-6"-7'^ qui est la trace verticale du cylindre. 

Les droites v^-2", t;'-2^ sont les traces d'un secopd plan qui 
toucherait le cylindre suivant la génératrice du point 2^ 



PL. 48. • CYLINDRIQURS. . 245 

et qui serait perpendiculaire au plan vertical de projection. 

{]es deux plans tangents se coupent suivant une lignes, 
vV, qui doit être parallèle au cylindre dçnné. 

Enfin, les deux droites v^"-6"', 1;'"-2"^ tangentes à la 
courbe l"^-5"^-7"^ proviennent de l'intersection des deux- 
plans tangents par le plan horizontal mn. 

493. La figure 250 contient les deux projections d' un- 
cylindre dont la directrice est une courbe fermée située dans 
le plan horizontal. • 

494. 11 sera surtout essentiel de déterminer avec beaucoup 
de soin les points 1, 2^ 3, 4. 

Les points 2 et 4 appartiennent aux deux génératrices qui 
forment les limites de la projection horizontale du cylindre, 
et les points 1 et 3 sont les pieds des génératrices qui forment 
les limites de la projection verticale. 

Si la directrice est une ellipse, ce qui arrive souvent dans 
les applications, les points 1, 2, 3, 4 seront déterminés par 
le principe du n«» 372. 

On doit encore remarquer que, sur la projection horizon- 
tale, la partie de surface cylindrique qui a pour directrice 
Tare 2-3-4 sera vue, tandis que celle qui a pour directrice 
Tare 4-1-2 doit êlre cachée. 

Sur la projection verticale^ la partie vue est celle qui a 
pour directrice la -courbe 1-2-3, et par conséquent la partie 
qui a pour directrice l'arc 3-4-1 est cachée. 

495. Plusieurs simplifications remarquables peuvent ré- 
sulter de la [ osition du cylindre par rapport aux plans de 
projection. 

Ainsi, flg. 251, lorsque Tun de ces plans sera parallèle au 
• cylindre, il en résultera cet avantage, que les génératrices 
seront projetées sur ce plan suivant leurs véritables gran- . 
deurs. 

496. Si l'un des plans de projection élait perpendiculaire 
au cylindre, flg. 252, chaque génératrice se projetterait 
sur ce plan 'par un seul point, et la projection du cylindre 



246 SURFACES PL. 49. 

se réduirait à sa trace, qui serait en même temps la direc- 
trice. 

Pour exprimer qu'un point est situé sur la surface du 
cylindre, on construira la génératrice passant par ce point. 
Il peut y avoir plusieurs solutions. Ainsi, par exemple, le 
point m, flg. 250, 251, sera la projection horizontale com-- 
raune à deux points qui auront m' et m" pour leurs projec- 
tions verticales. ' . 

Dans la figure 249, les points mm\ mm", mm'", mm^"^ 
appartiennent tous tes quatre à la surface d'un cylindre qui 
aurait pour directrice la courbe ac. 

497. Section droite et développement du cylindre. 

Si Ton coupe un cylindre par un plan parallèle à ses gêné-' 
ratrices, on obtient pour section une ligne droite. C'est la 
manière la plus simple de couper un cylindre. Toute autre 
section par un plan sera une courbe plane dont la forme dé- 
pendra de la nature de la courbe qui aura servi de directrice 
au cylindre, et de l'inclinaison suivant laquelle il a été 
coupe ; mais, parmi les sections par un plan, il faut distin- 
guer surtout celle que Ton obtient en coupant le cylindre 
perpendiculairement aux génératrices. Cette courbe, que nous 
nommerons la section droite du cylindre, nous servira dans 
un grand nombre d'applications. 

498. Supposons, par exemple, que l'on veuille développer 
la surface d'un cylindre, flg. 253, pi. 49. 

On projettera le cylindre proposé sur un plan parallèle à 
ses génératrices, afin d'avoir toutes ces lignes projetées dans 
leur véritable longueur ; menant ensuite par un point quelr 
xonque a un plan perpendiculaire à ces génératrices, la ligne 
ac sera la projection verticale de la section droite (497). Il 
serait facile de construire la projection horizontale de cette " 
courbe en abaissant des perpendiculaires de tous les points 
où le plan ac est rencontré par lès génératrices du cylindre ; 
mais cette seconde projection serait inutile pour le but que 
nous nous proposons ici. Ce qui est essentiel, c'est d'obtenir la 
section ac dans sa véritable grandeur ; pour y parvenir, on 
la fera tourner jusqu'à ce qu'elle soit rabattue sttr le plan de 



PL. 49. CYLINDRÎOtJES. 247 

projection; ce qui donnera la courbe M pour la véritable 
grandeur de la section droite du cylindre. 
. Pour construire cette courbe, il faut déterminer un certain 
nombre de points assez rapprochés, pour que Ton puisse, 
sans erreur sensible, considérer comme une ligne droite 
chacun des arcs compris entre deux points consécutifs, et 
plaçant tous ces petits arcs, à la suite les uns des aij^tres, sur 
la ligne droite &a'c'^ on élèvera par chacun des points de 
division de cette ligne, une perpendiculaire égale à la géné- 
ratrice correspondante de la surface cylindrique que Ton se 
proposera de développer; puis faisant passer des courbes par 
les extrémités de ces perpendiculaires, on aura construit le 
développement de la surface du cylindre. 

499. Pour plus d'ordre, on fera bien de numéroter les 
génératrices sur les deux projections, ainsi que dans le dé- 
veloppement de la surface et sur la courbe M qui représjente 
la section rabattue. 

500. Pour obtenir sur le développement là position d'un 
point déterminé mm', on construira la génératrice corres- 
pondante sur les deux projections, d'où il sera facile de dé- 
terminer ?a position sur le développement du cylindre. 

501. Si Ton voulait savoir ce que devient dans le dévelop- 
pement une courbe quelconque tracée sur la surface du cy- 
lindre, on construirait cette courbe sur les deux projections, 
d'où, par des parallèles à la droite c'a'c', il serait facile de 
ramener chacun de ses points sur la génératrice correspon- 
dante du développement. 

502. Le lecteur a sans doute compris que si Ton a primi- 
tivement projeté le cylindre donné sur un plan parallèle à sa 
direction, c'est afin d'éviter la construction nécessaire pour 
obtenir la véritable longueur de chaque génératrice. 

11 peut cependant exister quelques cas, très-rares, il est 
^rai, où l'on serait forcé de placer un cylindre dans une po- 
sition inclinée, fig. 255, 256. Si l'on voulait alors construire 
le développement, il faudrait opérer de la manière suivante : 



248 SURFACES PL. 49» 

On projetterait, fig. 257, le cylindre donné sur un plan- 
auxiliaire A'Z' parallèle à sa direction (285), et cette nouvelle^ 
projection remplaçant la projection verticale primitive, on 
agirait exactement pour le reste comme nous l'avons dit dans- 
rexetnple précédent. 

503. Si un point était donné par sa projection verticale m 
et qu'on voulût déterminer la position de ce point dans le^ 
développement du cylindre, on commencerait par construire 
la projection horizontale m' de ce point, d'bù on déduirait 
la projection m^' sur le plan auxiliaire ; puis après s'être as- 
suré que les deux projections m et m^^ sont à la hauteur, on 
ramènerait ce point sur la génératrice correspondante du dé- 
veloppement par une parallèle à la droite c'a'c'. 

• 

504. Les constructions que nous venons dlndiquer con- 
sistent à regarder le cylindre comme un prisme dont la sur- 
face se composerait d'un très-grand nombre de faces, hypo- 
thèse qui n'est pas tout à fait exacte, mais qui suflSt pour la 
plus grande partie des applications à l'industrie (413). 

D'ailleurs, lorsque la courbure d'un arc sera très-sensible, 
on pourra prendre sur cet arc des points plus rapprochés, et, 
par cette précaution, on parviendra toujours à développer la 
section droite, de manière à rendre les erreurs tout à fait in-, 
sensibles. ^ 

505. Si la section droite était un cercle, on pourrait me^ 
surer le rayon avec beaucoup de soin, et prendre une lon-^ 
gueur égale à 27rR pour le développement de la circonfé- 
rence ; après quoi on établirait sur cette ligne développée 
les points où elle doit être coupée par les génératrices du 

. cylindre. 

506. Si la nature. des applications dont on s'occupe exi- 
geait que Ton développât un grand nombre de cylindres cir- 
culaires, on pourrait conserver dans son portefeuille ou sur 
une planche à dessin un triangle ca6, ' dans lequel les deux, 
côtés ac, ab seraient en^re eux comme 1 : 3,14 ou plus exac- 
tement encore comme 1 : 3,1416. 



PL. 50. CYLINDRIQUES. 249 

• Pour développer un cylindre qui aurait potrr base la cir- 
conférence N, flg. 258, on fera, sur la figure 254, ad égal 
à a"c"\ puis on tracera dV parallèle à c6, ce qui donnera aV 
pour la longueur de la circonférence N. 

Si ensuite on fait as égal à la hauteur du cylindre donné, le 
rectangle saVh sera le développement, sur lequel on pourra 
ensuite tracer les génératrices à des distances égales ou iné- 
gales, suivant la nature de la question. 

507. Plan parallèle au cylindre. La combinaison la 
plus simple du cylindre et du plan a lieu lorsque ces deux 
surfaces sont parallèles. Pour satisfaire à cette condition, il 
suffit de faire passer le plan par une droite quelconque pa- 
rallèle au cylindre. 

Supposons, par exemple, que, par un point donné mm\ 
fig. 259, pi. 50, on veuille construire un plan parallèle à 
un cylindre dont on connaît la direction, on construira la 
droite mn^ m^n' passant par le point donné ; puis, tous les 
plans passant par cette droite seront parallèles au cylindre. 

On peut donc distinguer quatre cas : 

1» Lorsque la trace n/:> du plan ne rencontrera pas la trace 
du cylindre, le plan lui-même ne rencontrera pas le cylindre ; 

2° Si la trace nf du plan est tangente en a à la trace du 
cylindre, le plan touchera le cylindre dans toute l'étendue de 
la génératrice ac\ 

3** Si la trace np" du plan coupait le cylindre en plusieurs 
points a', a'\ a"'^ le plan couperait le cylindre suivant les 
génératrices a'c', a"d\ a"'d" \ 

4** Enfin, si la trace np'^^ du plan touchait la trace du cy- 
lindre en a»^ et la coupait au point a^, le plan toucherait le 
cylindre suivant la génératrice a^w^ et le couperait sui- 
vant ay^f. 

m 

Il résulte évidemment de là que si la trace d'une surface 
cylindrique avait beaucoup de sinuosités, un même plan 
pourrait toucher et couper ce cylindre suivant un grand 
nombre de génératrices àifférentes. 



508. Plan tangent au cylindre. Construire un plan 



250 SURFACES PL. 50. 

ta figent à un'cylindre par ttn point mm' appartenant à la 
surface de ce cylindre, flg. 260. 

Le plan tangent devant contenir toutes les droites qui tou- 
cheraient la surface du cylindre au point donné, deux quel- 
conques de ces lignes suffiront toujours pour déterminer sa 
position ; de sorte qu'il ne reste plus qu'à choisir, parmi 
toutes les tangentes au point mm\ celle dont la construction 
est la plus simple. 

Or la génératrice qui contient le point donné devant être 
située dans le plan tangent, il ne restera plus qu'à obtenir 
une seconde ligne qui toucherait le cylindre au même point. 
On pourrait donc construire par ce point une section quel- 
conque du cylindre (454), et le plan demandé serait déter- 
miné par la tangente à cette courbe et par la génératrice 
mft, m'b' \ mais puisque nous savons que la plan tangent 
au cylindre doit le toucher dans toute retendue de la géné- 
ratrice de tangence, on pourra remplacer la tangente au point 
mm' par toute autre droite qui toucherait le cylindre en un 
point quelconque de la génératrice mb, m'V. Ainsi, dans 
l'exemple qui nous occupe, le plan tangent pourra être dé- 
terminé par la , génératrice mh, m'b' et par la droite qui 
touche au point b la trace horizontale du cylindre, et qui, par 
conséquent, sera la trace horizontale du plan tangent cher- 
ché. Quant à la trace verticale, on l'obtiendra facilement en 
assujel lissant ce plan à contenir le point mm' ou tout autre 
point de la génératrice mb. 

509. Normale, On donne le nom de normale à toute droite 
perpendiculaire à une surface courbe. D'après cela, si Ton 
veut construire une normale en un point donné d'un cy- 
lindre, on construira d'abord le plan tangent par ce point, et 
la droite mn, m'n\ perpendiculaire au plan tangent (103), 
sera normale à la surface du cylindre. 

Tout plan qui contiendrait la normale mn, serait un plan 
normal 3.U point m. 

510. Construire un plan tangent à un cylindre par un 
point pris en dehors de^sa surface. 

Soient, flg. 261, le cylindre A, A' et le point m, m'. On 



PL. 50. CYLINDRIQUES. 251 

construira parallèlement aux génératrices du cylindre la 
droite {mb, m'V), et par le point (6) où cette^ ligne^encon- 
trera le plan horizontal, on fera passer deux tangentes à la 
trace horizontale du cylindre ; ces deux lignes seront les 
traces horizontales de deux plans qui satisferont à la ques- 
tion. En effet, ces plans devant contenir la ligne {mb, m'V) 
parallèle au cylindre, contiendront aussi les génératrices 
passant par les points de tangence c et d, et toucheront le 
cylindre suivant la longueur de ces génératrices. 

511. Construire un plan tangent à un cylindre parallè- 
lement à une ligne donnée. 

Soient, flg. 262, 263, A, A' le cylindre, et a,, a', la droite 
donnée. En un point quelconque (m, m') de cette droite, on 
construira une seconde ligne bV parallèle aux génératrices 
du cylindre. Ces deux lignes détermineront un plan p. En 
supposant que ce plan se meut parallèlement à lui-même, il 
viendra prendre la position des plans p' ou p". Dans l'une 
ou dans l'autre position, il ^era tangent au cylindre, car le 
plan p contenant la ligne (6, V) parallèle au cylindre, les 
plans p' et p" parallèles au plan p contiendront tout entières 
les génératrices passant par les points de tangence c, d, et 
loucheront le cylindre suivant ces génératrices. 

612. Trouver Vintersection d'une ligne droite avec la 
surface d'un cylindre. 

Soit (a, a'), flg. 264, la droite donnée. On fera passer par 
cette-droite un plan p parallèle au cylindre ; ce plan coupera 
la surface suivant deux génératrices (6, b) dont les intersec- 
tions avec la ligne donnée a, a', seront les points cherchés 
(m, m') : l'un est celui par lequel la droite entre dans le cy- 
Mndre, et l'autre celui par lequel elle en sort. 

La portion mm, nVm/ de la ligne donnée est dans Tinté- 
rieur du cylindre. 

Si la trace horizontale ps du plan auxiliaire ne rencontrait 
pas la trace du cylindre, on en conclurait que la ligne donnée 
ne rencontre pas le cylindre ; et si la trace ps touchait la 



252 SURFACES PL. 51 • 

trace du cylindre, cela indiquerait que, la ligne donnée est 
tangente au cylindre: 

Le point de tangence serait déterminé par Tintersection de 
la ligne donnée aa' avec la génératrice, suivant laquelle le 
plan toucherait le cylindre. 

513. Section du cylindre par un plan oblique. Pre- 
mière méthode. Nous avons eu Toccasion de construire (498) 
la section du cylindre par un plan perpendiculaire aux géné- 
ratrices et au plan de projection. Nous avions précédemment 
(489, 490) construit la section par les plans de projection ou - 
par des plans qui leur étaient parallèles. 

Voyons actuellement ce qu'il faudrait faire pour construire 
la section d'un cylindre quelconque par un plan oblique. 

514. Nous pouvons admettre dès à présent, comme prin- 
cipe général, que, pour obtenir la courbe suivant laquelle 
une surface quelconque est coupée par un plan, il suffit de 
construire les points suivant lesquels ce plan coupe un sys- 
tème de lignes tracées sur la surface, 'et qu'il ne restera plus, 
dans chaque cas particulier, qu'à choisir le système de lignes 
le plus simple. Ainsi, lorsqu'il s'est agi de construire Tinter- 
section d'un polyèdre par un plan, nous avons dû chercher 
les points suivant lesquels ce plan coupait les arêtes du po-> 
lyèdre. Nous construirons ici les points suivant lesquels le 
plan donné coupe les génératrices du cylindre ; de sorte que 
la question sera réduite à recommencer plusieurs fois les 
opérations nécessaires pour déterminer l'intersection d'une 
ligne droiie par un plan (87). 

Ainsi, flg. 266, pi. 51, pour construire le point où le 
plan oblique p'pv est percé par la génératrice 1-1 du cylindre 
donné, on emploiera comme surface auxiliaire le plan h'iq 
qui contient la génératrice dont il s'agit. Ce plan coupera le 
plan donné, suivant une droite ft?, dont l'intersection avec la 
génératrice 1-1 déterminera le point cherché 1'. 

En recommençant cette opération, il sera facile d'obtenir 
autant de points que l'on voudra. 

516. Pour éviter la confusion, il ne faut pas, dès Je com- 



PL. 51. CYLINDRIQUES. 253 

mencement, chercher des points trop près les uns des autres ; 
il vaut mieux dé lerminer des points intermédiaires quand. on 
aura reconnu quelles sont les parties où la courbure de la 
ligne cherchée devient plus sensible. 

% 

516. On devra remarquer aussi que, dans la construction 
des courbes, les points sont toujours mieux déterminés par 
des tangentes que par des sécantes. En effet, si un point est 
obtenu par l'intersection de deux lignes ab, ed, fîg. 270, 
tout le soin que l'on aura pu apporter à la construction de' ces 
lignes ajoutera certainement à l'exactitude avec laquelle la 
position de ce point sera déterminée ; mais cela ne donnera 
aucune idée de la direction de la courbe en deçà et au delà 
du point dont il s'agit ; tandis que si l'on connaît une tan- 
gente, et que le point où cette ligne touche la courbe cher- 
chée soit déterminé avec exactitude, on en pourra conclure 
la direction de cette courbe dans le voisinage du^point de 
tangence. Enfin, il est évident que, par la construction d'un 
certain nombre de tangences, flg. 271, on pourra détermi- 
ner d'avance, avec une exactitude presque absolue, les chan- 
gements et variations de courbure de la Jigne cherchée. 

517. On devra donc, dans Texemple qui nous occupe, 
Hg. 266, commencer par déterminer les points qui appar- 
tiennent aux génératrices 2-2, 4-4, 1-1,3-3, les deux pre- 
miers étant ceux suivant lesquels la projection horizontale 
de la courbe touche les limites de la projection horizontale 
du cylindre, et les derniers appartenant aux limites de la pro- 
jection verticale. 

518. L'exactitude que l'on obtiendra dans la position de 
ces différents points dépendra en grande partie du soin avec 
lequel on aura déterminé les pieds des génératrices qui les 
contiennent. 

C'est pourquoi il sera très-essentiel de vérifier d'abord les 
points de tangence 1, 2, 3, 4. 

519. Tangente À la courbe de section. On se rappel- 
lera que la tangente en un point quelconque de la courbe 



2S4 SURFACES . PL 51* 

r-2'-3'-4' doit être sitiiée dans le plan tangent au cylindre 
(454) ; elle sera donc l'intersection du plan tangent et du 
plan coupant, d'où résulte la construction suivante. 

On tracera : 1** la* droite a-5 qui est la trace horizontale du 
plan tangent au point 5' (508) ; 

2" La droite a-5', intersection du plan tangent a-5 avec le 
pla-a coupant fpv^ ce qui donne la projection de la tangence 
au point 5'. 

11 est évident qu'un certain nombre de tangentes construites 
de cette manière avant la courbe permettront de la tracer 
avec une très-grande précision. 

520. Pour obtenir daûs sa véritable grandeur la courbe 
suivant laquelle le cylindre pénètre dans le plan donné, on 
rabattra ce plan en le faisant tourner autour de sa trace ho- 
rizontale ou de toute autre droite parallèle au plan de pro- 
jection. 

Dans ce mouvement, chaque point devra parcourir un arc 
de cercle perpendiculaire à la charnière du rabattement ; il 
ne restera donc plus qu'à déterminer la distance de chacun 
des points de la courbe à cette droite (129). Les lignes d'o- 
pération n'ont été conservées que pour le point 4' qui de- 
vient ^" dans le rabattement. 

521. Section plane du cylindre. Deuxième méthode. 
11 est utile, comme étude et comme exercice, de construire 
directement comme nous venons de le faire, la courbe de 
section d'un cylindre quelconque par un plan oblique; mais, 
dans les applications, on préfère toujours avoir recours à des 
projections auxiliaires qui, en simplifiant le travail graphique, 
augmentent Texactitude des résultats. 

Ainsi, par exemple, les données étant les mêmes, on pren- 
dra un plan auxiliaire de projection k!V vertical et perpendi- 
culaire à la trace horizontale du plan donné et par conséquent 
perpendiculaire à ce plan. 

Le pied d'une génératrice quelconque 6-6 se projettera par 
le point 6' sur la ligne AT. 

On choisira sur cette génératrice un point quelconque mm\ 



PL. 51. «GtliNDMOUES. 255 

dont la projection m" s'obtiendra en faisant m"o^ égal à m'o. 
Enfln, la droite &m" sera la projection de la génératrice 6-6 
sur le plan auxiliaire de projection A'Z'. 

Cette première droite étant obtenue, le parallélisme des 
génératrices permettra de tracer autant de ces lignes que l'on 
voudra sur la projection auxiliaire. 

11 sera utile surtout de construire les limites déterminées 
par les deux plans tangents perpendiculaires au plan de pro- 
jection k!V. 

La troisième trace in" du plan p^pv s'obtiendra en prenant 
sur la première trace verticale un point quelconque n^ que 
Ton projettera en w, et de là en n'\ en faisant uV^ fig. 269^ 
égal à un\ flg. 266. 

"^ 11 résulte de cette nouvelle disposition d'épuré, que le plan 
donné étant perpendiculaire au nouveau plan vertical A'Z^ la 
projection de la courbe de section sur ce plan se réduit à une 
'ligne droite zx^ et qu'il ne restera plus pour déterminer la pro-^ 
jection horizontale de cette courbe, qu'à tracer des perpendi- 
culaires à la droite A'Z', par les points où la trace vn" coupe, 
les projections des génératrices du cylindre sur le plan de la 
figure 269. 

Le point a?, le plus haut, et le point z, le plus bas de la 
courbe, seront déterminés sur les projections primitives par 
les droites œx\ x'œ'\ zz\ %'%". 

On pourra vérifier la position de ces points : 

l'* En exprimant que chacun d'eux est situé dans le 
plan f^pv. 

2° En s'assurant qu'ils sont à la même hauteur sur les 
deux projections verticales, flg. 266 et 269. 

622. Un autre avantage résulte encore de la disposition 
d'épuré que nous venons d'adopter : c'est que, pour construire 
la courbe de section G dans sa véritable grandeur, il n'y aura 
plus à chercher la distance des difiërents points de cette 
courbe à la trace du plan donné, puisque les droites qui dé- 
terminent ces distances seront parallèles au plan de la nou- 
velle projection A^Z', et par conséquent projetées sur ce plan 
dans leur véritable grandeur. On pourra aussi projeter sur 



^56 SURFACES * PL. 51. 

ce plan les arcs de cercle parcourus par chacun des points de 
la section, lorsque l'on fait tourner cette courbe autour de 
la trace pv, pour la rabattre sur le plan horizontal de pro- 
jection. 

B23. Nous avons obtenu la courbe de section C dans sa vé- 
ritable grandeur, ce qui nous permettra de la tracer sur le 
plan donné ; et nous pourrions, par conséquent, la découper, 
s'il s'agissait de faire pénétrer le cylindre à travers une feuille 
mince de métal ; mais cela ne suffit pas. 11 serait utile encore, 
pour donner plus de précision à l'assemblage des deux sor- 
feces, de tracer la courbe de pénétration sur la surface du 
cylindre. Le" moyen le plus simple pour obtenir ce résultat 
sera de développer le cylindre, en opérant comme nous 
l'avons fait au n* 498. 

Ainsi, la droite k^T' est la trace d'un plan auxiliaire de pro- 
jection verticale et parallèle au cylindre ; sd est le plan de la 
section droite qui est rabattue en D dans sa véritable gran- 
deur. Enfin, la figure 268 est le développement de la portion 
dOv cylindre comprise entre la section droite et le plan hori- 
zontal de projection. 

524. Si l'on voulait obtenir la tangente a"'5»* dans le dé- 
veloppement du cylindre, flg. 268, on remarquerait que 
cette ligne appartient à un triangle a'"5"'5ïv, dont les trois 
côtés sont connus. 

En effet, a-5, trace horizontale du plan langent, est déter- 
minée dans sa véritable grandeur ; la g^nr^ralrice de tangence 
étant parallèle au plan de la figure 272, est égale à sa pro- 
jection 5^'-5^" sur ce plan. Enfin, la tangente est rabattue 
en a-5'", suivant sa longueur réelle ; de sorte que si Ton 
fait, sur la figure 268, a'"-5"'' égal à la trace horizontale a-5 
du plan tangent, fîg. 266, 5"'-5iv égale à la génératrice de 
tangence 5v'-5^", flg. 272, enfin a'"-^5^v égal à a-5'", le 
triangle a'"5'"5iv sera égal à celui dont on a les deux projec- 
tions, flg. 266. 

Il est évident que, si Ton a bien opéré, la droite a'"-5'" doit 
. être tangente à la courbe 4'"5'"4'", qui représente le déve- 
loppement de la trace horizontale du cylindre, et la droite 



PL. 51. CYLINDRIQUES. 257 

^/''»5iv doit être tangente à la courbe 4^ 5ï^4^ y développement 
de la section du cylindre par le plan oblique p'pv. 

525. La flgure 273 représente les constructions néces- 
saires pour obtenir la courbe d'intersection d'un cylindre piair 
un plan parallèle à la ligne AZ. Les opérations seront simpli- 
fiées par l'emploi d'un plan auxiliaire de projection pq, 
sur lequel la courbe cherchée se projettera par une ligne 
droite zx, 

626. Sur la flgure 267, le plan coupant étant perpendicu- 
laire au plan vertical de projection, la droite zx est la pro- 
jection verticale de la courbe de section dont on obtiendra la 
projection horizontale en abaissant des perpendiculair.es à lai 
ligne AZ par tous les points où la droite zœ coupe les projec- 
tions verticales des génératrices du cylindre. 

527. Ehfm, si le cylindre proposé était perpendiculaire à 
l'un des plans de projection, tig, 265, il serait alors Tune 
des deux surfaces projetantes de la courbe cherchée; sa trace 
serait Tune des deux projections de cette courbe, et la seconde 
projection se construirait en opérant comme nous l'avons dit 
au n° 57. 

528. Il peut être utile quelquefois d'obtenir lar section 
droite d'un cylindre sans construire le développement de cette 
surface, on peut alors se dispenser d'employer une^projection 
auxiliaire parallèle aux génératrices (502). 

En effet, faisons tourner le plan de section droite msq, 
fïg. 274, autour de sa trace horizontale sq. La trace verticale 
ms viendra se placer en ^m". 

On pourra déterminer le point m'' en cherchant sa distance ' 
au point o. Mais il sera plus simple (149) de remarquer que le 
triangle projeté sur le plan horizontal par som^ est rectangle 
au point o, et puisque l'on connaît dans leur véritable gran- 
deur : 

1* Le côté os de l'angle droit ; ' . 

2° L'hypoténuse sm faisant partie de la trace verticale du 
plan donné, 

17 



258 SURFACES PL. 52, 

On fera tourner cette hypoténuse autour du point 5 jusqu'à 
ce que le point m soit venu se placer en m^^ sur la trace m^m^^ 
du plan vertical dans lequel se mentale i-Oint m lorsque Ton 
fait tourner le plan de la section droite autour de sa trace 
horizontale sq. 

Le-^plan rnsq cHant rabattu en qsm"y supposons que noua 
voulons construire le point où. ce plan est percé par la géné- 
ratrice 1-1 : nous remarquerons d'abord (153) que cette droite 
est l'intersection des deux plans projetants p'-l-^^ p'^A-q" \ 
or, le premier de ces plans étant perpendiculaire à la trace 
horizontale sq, co,upe le plan de section droite suivant une 
ligne vA" qui dans le rabattement se confond avec vq\ En- 
suile, le plan ^''-X-q" perpendiculaire à la trace mA* du plan 
donné coupe ce plan suivant une droite qui, dans le rabatte- 
ment, devient w'-l". 

De sorte que le point \" suivant lequel se coupent les deux 
droites v 1'^ uA", doit. être l'intersection du plan qsyii par la 
génératrice 1-1. La même opération étant recommenct^e pour 
Ion tes les génératrices du cylindre, on aura la section droite 
rabattue dans sa véritable grandeur. 

529. Limites des courbes de section. Nous avons 
dit (516) que dans la construction des courbes, il faut chercher 
surtout à obtenir des tangentes, parce que ces lignes ont 
l'avantage de rendre sensible la direction de la courbe dans 
le voisinage du point de tangence. 

Par conséquent, lorsque Ton cherchera la courbe de section 
d'une surface par un plan, on devra construire une tangente 
partout où il y aura quelque incertitude sur la direction de la 
courbe, et l'on a vu au numéro 519, que pour obtenir cette 
tangente il faut : 

\o Faire passer par le point dont il s* agit un plan tangent 
à la surface donnée ; 

2° Construire Cintersectinn du- plan tangent avec le plan 
coupant. 

Alors, on construit la tangente pour mieux déterminer la 
direction de la courbe ; mais il arrive souvent, au contraire, 
que l'on connaît la direction: de la courbe et celle de la tan- 



PL. 52. CYLINDRIQUES. 259 

gente, de sorte que, dans ce dernier cas, c'est le point de 
tangence qu'il faut déterminer. 

Ainsi par exemple, fig. 1, pi. 52, supposons que l'on veut 
obtenir le point le plus élevé de la courbe qui provient de 
la section du cylindre A par le plan P. On remarquera que 
pour ce point 1, la tangente T^ doit évidemment être hori- 
zontale. Or, cette tangente étant l'intersection du plan 'tan- 
gent et du plan coupant, il faut que les traces horizontales de 
ces deux plans soient parallèles ; d'où résulte la construction 
suivante : 

1<> La droite a tangente à la trace horizontale du cylindre et 
parallèle à la trace horizontale du plan coupant P sera la trace 
horizontale du plan tangent P^ qui contient le point le plus 
élevé 1 de la courbe demandée ; 

2° La droite horizontale T^ suivant laquelle le plan tan- 
gent Pj rencontre le plan coupant P sera la tangente au point 
cherché 1 j 

3" Ce point sera déterminé par Tinterseclion de la tangente 
T^ avec la génératrice- G^ suivant laquelle le cylindre est tou- 
ché par le plan P^. Le point 2, qui est le plus bas de la courbe 
demandée, sera déterminé de la même manière par le plan 
tangent P2 dont la trace horizontale est parallèle à la trace 
horizontale du plan P. 

,530. Si Ton avait sur l'épure la trace verticale du cylindre, 
on pourrait, en opérant comme nous venons de le faire, dé- 
terminer 1q point le plus près ou le plus éloigné du plan ver- 
tical de projection ; mais on peut également réussir en em- 
ployant la trace horizontale du cylindre donné. 

En effet, on remarquera que la question que nous venons 
de résoudre n'est qu'un cas particulier de celte autre question 
beaucoup plus générale, par laquelle on demanderait de dé- 
lernjiner sur une courbe de section le point le plus près ou le 
plus éloigné d'un plan quelconque. 

Or il est évident, flg. 2, que pour le point 7, qui est le 
plus près, ou pour le point 8 qui est le plus éloigné d'un plan 
quelconque Pg la tangente T7 bu Tg sera toujours-parallèle à 
ce plan. 

Par conséquent, la tangente au point cherché devant être 



à60 SURFACES PL. 52» 

située dans le plan P de la courbe de section et parallèle au 
plan donné P9 sera parallèle à l'intersection du plan P avec le 
plan Pg ou avec tout autre plan parallèle au plan P9 d'où ré- 
sulte la méthode suivante : 

!• On construira, fig. 4 et 5, un plan quelconque P4o paral- 
lèle au plan donné P^ lîg. 7 ; 

2** 'On cherchera l'iritersection du plan P et du plan P^^; 

3' La droite uu^ que Ton obtiendra sera parallèle à la tan- 
gente demandée, de sorte que la question est réduite à cons 
êruire un plan tangent au cylindre, parallèlement à une 
droite connue. 

Or ce problème,* résolu au n** 51 L, ne présente plus aucune 
difficulté. 

En effet, 

1° Par un point quelconque 00' de la droite uu^^ fîg. 5, on 
fera passer une droite ce, parallèle au cylindre ; 

2** On déterminera les traces horizontales m et n des deux 
droites ww' et ce' ; 

3** La droite mn sera la trace horizontale d'un plan paral- 
lèle aux plans tangents cherchés P7 et Pg. 

Les droites T? et Tg suivant lesquelles le plan P rencontre les 
deux plans P7 et Pg seront les tangentes aux deux points 7 et 
8 de la courbe de section, et ces points seront déterminés par 
la rencontre de ces tangentes T7 et Tg avec les génératrices 
G7 et Gg suivant lesquelles le cylindre est touché par les deux 
plans P7 et Pg. 

531. La figure 3 contient les opérations nécessaires pour 
déterminer le point le p'>/-y f rcs el !e point le plus r/oigné du 
plan vertical de projection, dont l'intersection avec le plan P 
sera la trace verticale de ce dernier plan ; cette ligne, prjojetée 
par les droites u et u\ sera parallèle aux tangentes deman- 
dées, et la question revient par conséquent à construire deux 
plans tangents au cylindre, parallèlement à la trace verticale 
uu' du plan P. 

Pour y parvenir (530) : 

1* Par le point 00^ pris à volonté sur la trace verticale du 
plan P; on construira la droite c&' parallèle au cylindre ; 

2° La droite mn^ qui contient les traces horizontales des 



PL. 52. CYLINDBIQUES. 261 

droites uu' et cc'^ sera parallèle aux traces horizontales des 
deux plans tangents demandés ; 

30 On construira les traces P3 et P4 de ces plans tangents ; 

4° Les tangentes Ts et T* aux points cherchés ; 

5* Les génératrices G» et G* du cylindre détermineront ces 
deux points. 

532. La figure 6 contien); les opérations nécessaires pour 
déterminer le point qui est situé le plus à droite, et celui qui 
est situé le plus à gauche, sur la courbe demandée, ce qui re- 
vient à construire le point le plus près et le ^Xxx^éloigné d'un 
plan Pu perpendiculaire à la ligne AZ. Ainsi : ' 

1° La droite i/u', intersection du plan P par le plan P^a pa- 
rallèle au plan P^i sera parallèle à la tangente cherchée ; 

2° La ligne uu'; et la droite ce' parallèle au cylindre déter- 
minent la trace horizontale mn d'un plan parallèle aux plans 
tangents P« et P^ qui doivent contenir les points demandé» 
5 et 6; 

3** On construira les traces horizontales P» et Pg de ces plan» 
tangents ; 

4° Les tangentes Tb et T^ parallèles au plan P^^; 

5« Les génératrices de* tangence Gi et G^ et les points de- 
mandés 5 et 6 seront alors connus. 

533. Toutes ces opérations sont réunies sur la planche 53, 
où l'on s'est proposé de déterminer la courbe de section d'un 
cylindre AA' par le plan P. 

La concordance des lettres nous dispensera de répéter tout 
ce que nous avons dit pour expliquer les figures 1, 3, 5 et 6 
de la planche précédente. Ainsi : 

1» Les points 1 et 2 de la planche 53 ont été obtenus en 
opérant comme nous l'avons dit au n^ 529 ; 

2° Les points 3 et 4 par la méthode infliquée au n* 531 ; 

3** Les points 5 et 6 par celle du n^ 532 ; 
. 4® Enfin, les points 7 et 8 sont le plus près et le plus éloigné 
du plan Pg (530). 

Le plan P^o parallèle au plan P^ coupe le plan P donné sui- 
vant la droite uu'^ qui détermine la direction des tangentes 
aux points cherchés. 



262 SURFACES PL. 54. 

La droite uu' et la ligne ce* parallèle au cylindre déter- 
minent la trace horizontale mn d'un plan P^i parallèle aux 
plans tangents cherchés P7 et Pg. 

Les tangentes T7 et Tg parallèles à la droite uu' et les géné- 
ratrices G, et Gg du cylindre se coupent suivant les points 
cherchés 7 et 8. 

Les opérations précédentes déterminent huit points et huit 
tangentes, et si l'on ajoute les quatre points situés sur les 
génératrices qui forment les limites des projections du cy- 
lindre donné, on aura certainement obtenu la courbe de sec- 
tion avec une grande exactitude. 

534. Section du cylindre^ 3' méthode. Nous avons vu : 

I** Que la recherche de la ligne d'intersection d^un cylindre 
par un plan serait simplifiée par l'emploi d'un plan auxiliaire 
de projection perpendiculaire au plan coupant, et sur lequel, 
par conséquent, la courbe cherchée se projetterait par une 
ligne droite ; 

2° Que cette disposition d'épuré facilite le rabattement de la 
courbe de section, puisqu'elle donne directement les distances 
de chacun de ses points à la charnière, et que, de plus, elle 
permet de projeter les cercles parcourus par ces points, ce 
qui contribue beaucoup à rendre Tépure plus exacte et plus 
facile à comprendre ; 

3» Enfin, nous avions eu précédemment Toccasion de re- 
connaître que, pour faire le développement d'un cylindre, 
il était utile de le projeter sur un plan parallèle à sa direc- 
tion (502). 

One grande partie des opérations de l'épure précédente se- 
raient évitées si l'on prenait, dès l'origine, fig. 275, pi. 54, 
un des deux plans de projection perpendiculaire au cylindre 
A, et le second plan de projection perpendiculaire au plan 
coupant j)&p. 

Par suite de cette disposition, le plan donné et le cylindre 
deviendront les deux surfaces projetantes de la courbe de- 
mandée, qui aura pour Tune de ses projections la droite aa, 
et pour deuxième projection la courbe A'. 

En faisant tourner le planp autour de sa trace horizontale. 



PL. 54. CYLINDRIQUES. 263 

on obtiendra la courbe A'^ pour la véritable grandeur de ia 
action. 

Enfin, la courbe A' éttnt la section droite du cylindre, et les 
génératrices étant projetées sur le plan vertical dans leur 
véritable grandeur, il sera facile de construire le développe- 
ment A", dans lequel la courbe a' m V représente le dévelop- 
pement de la section oblique aa, 

535. La tangente c"rpy est l'hypoténuse d'un triangle rec- 
tangle dont les côtés de l'angle droit sont : m^'^my é^^Xkm'ni" 

-génératrice de tangence ; et c^m^'^ égal à cm, trace du plan , 
tangent et projection horizontale de la tangente. • 

La figure A'" étant enveloppée sur le cylindre A, fig. 280, 
il sera facile le tracer la courbe de section. 

536. On aurait tort de considérer la méthode précédente 
^comme moins générale que celle du n** 513. En effet, les 
plans de projection ne sont autre chose que des conceptions 
géométriques adoptées par convention, pour faciliter la solu- 
tion des problèmes. Le choix de ces moyens doit donc rester 
entièrement à la disposition de celui qui opère, et pourvu 
qu'il ne change rien aux données ni à leur position relative, 
la généralité de la question n'en sera-pas moins complète. 

J'insiste particulièrement sur cette remarque, parce que 
c'est surtout dans le choix des moyens d'opération que con- 
siste toute rhabileté du praticien. 

11 faut donc s'appliquer à reconnaître, dans chaque ques- 
tion générale, quelle doit être la disposition d'épuré la plus 
coàiraode, et, dans chaque cas particulier, quelles sont les 
relations qui, résultant de la nature des données, peuvent 
•contribuer à simplifier le travail ou augmenter l'exactitude 
du résultat. Ainsi, par exemple, si le cylindre proposé dans 
l'exemple précédent avait pour directrice une ellipse, on 
pourrait construire un parallélogramme circonscrit à cette 
courbe; les côtés de ce parallélogramme seraient les traces de 
quatre plans tangents parallèles deux à deux, et les inter- 
sections de ces plans par le plan pc'jo donneraient, le parallélo- 
grammecirconscritàla courbe de section rabattue. Les droites 
^ui joignent les milieux descôtésopposésdu parallélogramme 



264 SURFACES PL. 54. 

sont, dans ce cas, les diamètres conjugués de la courbe de 
section. 

11 peut cependant arriver quelquefois que Ton soit obligé 
d'opérer sur un cylindre incliné dans l'espace ; alors on em- 
ploiera des plans auxiliaires de projection, comme nous l'a- 
vons fait aux n'"* 521, 522. 

537, Transjor mations diverses de la courbe de section. Si 
l'on suppose qu'un cylindre AA', tlg, 279 et 276, soit coupé 
par un plan pq^ et que l'on fasse tourner ce plan autour 
d'une ligne vw, fig. 276, la courbe de section augmentera 
de longueur à mesure que le plan se rapprochera de la di- 
rection du cylindre, et finira par s.e rapprocher en deux 
droites parallèles m'n\ * 

Parmi, les différentes formes affectées par cette courbe, il 
faut distinguer surtout : 

La section droite, 

La section oblique, 

La section parallèle» 

On remarquera que, par suite de ces variations de courbure,, 
la ligne de. section se rapproche toujours de la tangente mV, 
avec laquelle elle finit par coïncider lorsque le plan devient 
parallèle au cylindre. 

11 résulte de là que toute génératrice d'un cylindre peut 
être, à volonté, considérée comme Ime section dont le rayon, 
de courbure serait infini, ou comme une tangente à cettfr 
même section. 

Ainsi, les deux droites m'n' seront deux tangentes à la 
section du cylindre par le plan nin, flg. 279. Nous rappel- 
lerons que si Ton faisait tourner ce même plan autour de 
Tune des deux droites m'n', il viendrait un moment où ces^ 
deux tangentes ou génératrices de section se réuniraient en 
une seule pour former une génératrice de tangence (450). 

538. Si nous supposons que la section droite du cylindre 
proposé soit une ellipse ayant pour ses axes les deux droites 
aa, flg. 276, et ce flg. 279, et que l'on fasse tourner le 
plan coupant autour de la ligne vu, on obtiendra comme 
variétés principales de la courbe de section : 



PL. 54. CYLINDRIQUES. 265 

1° La section droite aa^ ce; ' 

2° La section ac'flgr^ 279, qui est un cerclé, lorsque le 
rayon horizontal ac^ est égal au rayon vertical aé, flg. 276 ; 

3° La section elliptique ac^^ qui se projectera par un cercle, 
lorsque cc^^ projection verticale de a&^ sera égal au rayon 
vertical ac; 

4** La section oblique ac^^^ dont la longueur dépendra de 
l'obliquité plus ou moins grande du plan coupant ; 

5** Les deux droites parallèles mV, m'n', provenant de la 
section par le plan parallèle au cylindre ; 

6* Enfin, la liigiie de tangence, qui résulterait de la réunion 
des génératrices de section, si l'on faisait tourner Je plan 
autour de Tune des deux génératrices m'n'. ^ 

La comparaison de ces diverses espèces de lignes donne 
lieu à des simplifications remarquables, suivant les différente 
problèmes à la solution desquels elles doivent concourir. 

539. Supposons, par exemple, que, pour résoudre une 
question proposée, il soit nécessaire de construire, fîg. 278, 
un grand .nombre de sections d'un même cylindre par des 
plans horizon laux ; on se rappellera que toutes ces courbes 
doivent être égales et parallèles à la trace du cylindre. Or, 
dans le cas où cette trace serait une ellipse, on construiriBk 
successivement : 

1<* La trace ccV, qui doit contenir les centre? de toutes les 
sections demandées ; 

2<* Tous les axes de ces courbes qui doivent être parallèles 
à ceux de la trace ; 

3** Les droites aa^^, passant par les extrémités des grands 
axes, détermineront ces points; 

4° Les droites bb^^ détermineront les extrémités des petits 
axes ; 

5** Enfin, les deux droites mm^\ nn" détermineront les 
points où les courbes cherchées sont touchées par les deux 
génératrices qui forment tes limites de la projection horizon- 
tale du cylindre. 

640. On pourrait encore dessiner l'une des courbes avec 



266 SURFACES ' PL. 54. 

beaucoup de soin sûr une carte que Ton découperait, et qui, 
reportée à toutes les places, servirait à guider la pointe du 
«rayon. 

11 est évident que cette manière d'opérer serait surtout 
commode dans le cas où Ton aurait à tracer un grand nombre 
de fois une courbe très-compliquée, surtout lorsque Ton ne 
peut déduire de la définition de cette courbe aucun moyen 
4'abréger le travail ou de vérifier le résultat. 

541. Aux abréviations provenant de la nature des courbes 
qui concourent à la solution des problèmes, il faut ajouter 
celles plus importantes encore qui résultent du choix des 
plans de projection. 

Supposons, par exemple, que la question proposée donne 
lieu à la construction d'un grand nombre d'ellipses égales ou 
semblables entre elles, il est évident que le travail serait con- 
sidérablement diminué, si l'on pouvait trouver un plan de 
projection sur lequel chacune de ces ellipses se projetterait 
par un cercle. 

Or, la détermination de ce plan sera toujours facile. En 
cflet, 

Supposons que l'on ait obtenu, fig. 277, Tune de ce& 
ellipses avcu^ ou simplement les deux axes ac, vu, on cons- 
truira d'abord une projection auxiliaire aV sur un plan pa- 
rallèle au grand axe et perpendiculaire au petit axe vu ; puis, 
après avoir décrit une demi-circonférence s.ur le diamètre 
«V^ on fera le triangle rectangle a'c^^c^ de manière que le 
côté a'c^^ soit égal au petit axe vu de Tellipse proposée. Cela 
étant fait, il est évident que sur tout plan, tel que pmp'y 
qnq\ perpendiculaire à la corde cV^ et par conséquent pa- 
rallèle à aV^ leliipse se projettera par un cercle, puisque 
la droite aV^ égale au petit axe de l'ellipse, sera la pro- 
jection du grand axe aV. 

Si on rabat le nouveau plan de projection pmp\ en le fai- 
sant tourner autour de sa trace p'm, la projection de Tel- 

lipse deviendra a'"v^"c"'u'" , et si on rabat autour de qn, on 
auraraïvyivc^^tyiv. 

Les q narrés circonscrits à ces deux cercles sont les projec- 
tions du rectangle circonscrit à Tellipse donnée. 



PL. 55. CYLINDRIQUES. 267 

Oa obtiendrait le même résultat en projetant rellipse sur 
un plan quelconque perpendiculaire à la corde a'c^. 

542. La direction du nouveau plan de projection fxnp' 
déterminée, supposons que Ton veuille projeter une seconde 
ellipse égale et parallèle à la première, et qui aurait pour 
centre le point x. 

On consiruira successivement les points a/, a?'', a?'", ou a?'v, 
suivant que l'on aura choisi le plan 'pmp' ou qnq[. 

On consiruira ensuite la circonférence formant la projec- 
tion de l'ellipse donnée. 



Pour construire une ellipse semblable et parallèle 
aux précédentes, on projetterait le centre et l'extrémité de 
l'un des axes pour chacune de ces courbes, ce qui suffirait 
pour déterminer le centre et le rayon de la circonférence de- 
mandée. 



:. Cylindre circulaire. Danslesarticles qui précèdent, 
nous avons principalement cherché à mettre en évidence les 
propriétés communes à toutes les surfaces cylindriques. Cela 
pourrait suffire, s'il ne s'agissait que d'exposer la théorie 
générale de ce genre de surfaces; mais je m'éloignerais du 
but que je me suis proposé dans cet ouvrage, si je négli- 
geais d'appeler l'attention du lecteur sur les* cas particuliers 
que Ton rencontre le plus souvent dans les applications. 

Ainsi, par exemple, s'il s'agissait de construire les projec- 
tions d'un cylindre circulaire terhiiné, comme le sont presque 
tous les cylindres employés dans l'industrie, par deux bases 
perpendiculaires à sa direction, les propriétés, du cercle 
donneraient lieu à des simplifications qu'il serait utile de ne 
pas négliger. 



Nous reconnaîtrons d'abord que lorsqu'un cercle 
amc, fig. 284, pi. 55, est incliné d'une manière quelconque 
par rapport à un plan p, la projection sur ce plan est tou- 
jours une ellipse. 
En effet, on sait que lorsqu'un cercle et une ellipse ont un 



268 SURFACES PL. 55» 

diamètre commun ac, les ordonnées de l'elhpse sont aux or- 
données correspondantes du cercle comme le deuxième axe 
de l'ellipse est au rayon du cercle. Et réciproquement, 
lorsque la relation que nojus venons de citer a Ifeuy la 
courbe est une ellipse. Or, c'est précisément ce qui arrive 
lorsqu'un cercle est projeté obliquement ; car les triangles 
rectangles mvn, m'v'n' étant semblables, on doit avoir la 
proportion mv : vn=zm'v' : v'n\ ce qu'il fallait démontrer. 
Ainsi la courbe anc est une ellipse. 

546. On doit encore remarquer que si Ton projetait tous 
les diamètres du cercle, les droites que l'on obtiendrait pour 
ces projections seraient d'autant plus courtes que les dia- 
mètres projetés s'approcheraient davantage de la perpendi- 
culaire au plan ; de sorte que si le point v est le centre du 
cercle amc, la droite vn, projection de vm, serait le rayon 
le plus court de Tellipse anc\ tandis qu'au contraire, le dia- 
mètre ac^ parallèle au plan de projection ou situé dans ce 
plan, se projetterait dans sa véritable grandeur, et serait par 
conséquent le grand axe de l'ellipse dont vn serait le petit 
axe. 

547. Supposons actuellement que Ton veuille projeter^ 
flg. 285, un cylindre circulaire incliné par rapport aux deux 
'plans de projeotion ; que les droites ac, a'& soient les deux 
projections de l'axe de ce cylindre, et que le rayon de sa 
base soit connu. 

Le moyen le plus simple sera de construire, flg. 286, une 
projection auxiliaire sur un plan vertical k'V parallèle à l'axe 
et par conséquent à la direction du cylindre demandé. 

On fera s'a" égal à sa' et zV égal à zc', de sorte que la 
droite a"c" sera la projection de Taxe ac, a'd sur le nouveau 
plan de projection A'Z'; le rayon m"c" étant . donné par la 
question, les deux droites m"x" ^ m'^V, perpendiculaires 
sur aV seront les projections des deux bases, le rectangle 
m"x"x"'m'" sera la projection du cylindre sur le plan ver- 
tical AT. 

548. Quant à la projection horizontale, elle sera limitée 



PL. 55. CYLINDRIQUES. 269 

par les deux droites hk, h'k\ parallèle à la ligne A'Z', et dont 
î'écartement hN sera déterminé par le diamèlre du cylindre. 
Enfin, les deuk bases m"x", m"^x"' auront pour projection 
les deux ellipses hh\ kV dont les grands axes sont égaux au 
diamètre du cylindre, et qui ont pour petits axes les deux 
droites mœ^ m?^œ^"f^ projections horizontales des dfamètres 
mV, m'"x'".. 

549. La courbe mn, trace horizontale du cylindre, est une 
ellipse ; car si on prend les droites hh\ bb' pour axes des 
abscisses des deux courbes mx, mn, il sera facile de démon- 
trer que les ordonnées correspondantes à une abscisse com- 
mune seront toujours entre elles comme les droites ex y vn, 
qui alors forment les seconds axes de ces courbes. 

Il est utile de reconnaître ainsi la nature des courbes que 
Ton doit tracer, parce qu'alors on peut déduire de leur défi- 
nition géométrique des moyens pliîs simples de les cons- 
iruire. 

560. On pourrait prendre pour directrice, les bases ou la 
trace du cylindre dont il s'agit, mais il vaudra mieux employer 
pour cet usage le cercle mv, que l'on peut considérer comme 
représentant la base m"x" que l'on aurait fait tourner autour 
de l'horizontale 'rnm'' jusqu'à ce qu'elle soit rabattue dans sa 
véritable grandeur sur le plan horizontal de projection. 

551. Il arrivera souvent ainsi, par la suite, lorsqu'un 
cercle fera partie des lignes nécessaires à la solution d'un 
problème, que l'on préférera le rabattre, afin d'éviter la 
construction de l'ellipse qui résulterait de sa projection. 

552. Enfin, si par la point v on mène la droite vv'^ per- 
pendiculaire à AT, on déterminera sur le cylindre uiie sec* 

ion oblique m"v''* qui aurait pour projection horizontale la . 
circonférence mv. Il est évident que cette courbe sera la 
directrice la plus simple, puisqu'elle dispensera de faire le 
rabattement de la base ou la construction de la trace. 

Ainsi on pourra, selon le scirconstances, prendre pour di- 
rectrice du cylindre, la baso mT, la trace mn, la circonfé- 
rence mv, qui est la base rabattue sur le plan horizontal dé 



270 SURFACES PL. 55. 

projection, ou enfin la section oblique m"v"^ qui a pour pro- 
jectiofl horizontale la circonférence mv. 

C'est principalement lorsque le cylindre sera parallèle à 
i;un des plans de projection que l'usage de cette dernière 
directrice sera très-commode. 

553. Pour construire la projection verticale du cylindre, 
flg. 282, on tracera la droite aV perpendiculaire sur a'c\ 
on fera a'a'^^ égal ksa\ ce qui donnera la ligne da'", qui re- 
présente Taxe du cylindre rabattu sur le plan vertical de pro- 
jection, on fera ri égal au diamètre du cylindre et perpen- 
diculaire sur da"^. 

Cette construction auxiliaire pourra être effacée dès qu'elle 
aura servi à déterminer les axes de Tellipse r'V, qui est la 
projection verticale de l'une des bases du cylindre. 

Les mêmes axes serviront pour construire la projection 
verticale r"i" de la base inférieure. 

Il est essentiel de remarquer que les ellipses r't', r"V\ 
flg. 282, ne sont pas semblables aux deux ellipses mx^ 
m^^rciv de ]a figure 285. 

554. On opérera pour le petit cylindre comme pour le 
grand. Les bases de ces deux cylindres étant parallèles, leurs 
projections sur un même plan doivent être semblables. Ainsi 
lorsque l'épaisseur du petit cylindre sera déterminé, il suf- 
fira de construire la corde ie parallèle à te^^, ce qui donnera 
le petit axe de l'ellipse ig* 

Cette remarque pourra servir dans les dessins de machines 
où Ton a souvent à construire les projections obliques d'un 
grand nombre de cylindres circulaires et parallèles entre eux. 
Cela dispensera de faire une projection auxiliaire pour 
chaque cylindre. 

555. Pour exprimer qu'un point pp' appartient à la sur- 
face du cylindre, on construira les projections de la géné- 
ratrice qui passe sur ce point. 

5561 La droite ga est la trace horizontale d'un plan qui 



PL. 56. CYLINDRIQUES. 271 

loucherait le cylindre dans toute la longueur de la généra- 
trice oti'a!" . 

q<t" est une tangente à la base. 

Enfin, la droite qJ peut être indifféremment considérée 
comme une tangente à la base m"x!' rabattue en mv oucomme 
une tangente à la section oblique m"v", 

557. La Dgure 283 contient les deux projections d'un 
cylindre circulaire parallèle au plan horizontal ; on prendra 
pour directrice la section par le plan vertical pg, dont on dé- 
terminera la direction en abaissant les deux perpendiculaires 
aa\ ce". 

On pourrait prendre également pour (iirectrice la section 
par le plan vertical -p'q' ; mais la rencontre de ce plan par 
les génératrices du cylindre se ferait suivant des angles trop 
aigus. 

558. Enfin, il est évident que lorsqu'on sera le maître 
de choisir les plans de projection , le plus simple sera 
de placer le cylindre • perpendiculairement à l'un d'eux^ 
fig. 281. 

559. Intersection des cylindres. Trouver la courbe 
de l'intersection de deux cylindres. 

11 est évident que Ton résoudrait la question proposée, en 
déterminant les points où la surface de l'un des cylindres 
donnés serait rencontrée par chacune des génératrices de 
l'autre cylindre ; de sorte que tout sç rouirait à recommen- 
cer plusieurs fois de suite les opérations de l'épure du n^ 512. 
Mais il sera, en général, plus simple d'opérer de la manière 
suivante : 

560. ire méthode. Soient, fig. 239, pi. 56,'AA' et BB' 

les deux cylindres dont on demande l'intersection. Par un 
point quelconque (m, ??/), on construira deux droites paral- 
lèles aux génératrices des cylindres donnés ; ces deux droites 
détermineront (507) un plan p qui coupera le cylindre AA' 
suivant deux de ses génératrices désignées sur l'épure par 
(a, a). Le même plan coupera le cylindre BB' suivant deux 
génératrices [b^ b). Or, ces quatre lignes étant dans un même 



272 SURFACES PL. 56. 

a 

. plan, donneront par leurs intersections quatre points (w, w, 
Uy u) appartenant à la courbe cherchée. 

On obtiendra les projections verticales de ces points, en 
\projelant les génératrices qui'Jes contiennent. 

Un second plan parallèle au plan p, et par conséquent pa- 
rallèle aux deux cylindres, déterminera quatre nouveaux 
points. 

Un troisième plan en donnera quatre autres, et ainsi de 
suite. 

On continuera ces opérations jusqu'à ce que l'on ait obtenu 
un nombre de points suffisants pour que Ton puisse tracer la 
courbe avec beaucoup d'exactUude. 

r 

561. 11 ne. faut pas établir dei suite sur l'épure un trop 
grand nombre de plans coupants. On fera bien, au contraire, 
de commencer par la recherche de quelques points essentiels, 
de ceux surtout qui, par leur position, pourraient donner 
une première idée de la forme de la courbe. On chercherait 
ensuite des points intermédiaires dans les parties où la cour- 
bure deviendrait plus sensible. On devra surtout ne pas né- 
gliger les points où la courbe cherchée doit occuper les gé- 
nératrices principales. ' 

Pour avoir les points qui appartiennent aux limites des 
projections verticales et horizontales des deux cylindres, on 
emploiera les plans coupants dont les traces passent par les 
pieds des génératrices qui forment ces limites. 

Les plans tangents p', p'', parallèles aux deux cylindres, 
délermineront aussi ties points très-importants. 

Ainsi, par exemple, le plan p', qui touche en b' la trace 
horizontale du cylindre B, déterminera les points u\ u' sui- 
vant lesquels la courbe cherchée est touchée par les généra- 
trices a', a' du cylindre B. " 

De même Je plan p^\ qui touche en a^^ la trace horizontale 
du cylindre A, déterminera les points w^^ u'^suivant lesquels 
la courbe demandée est touchée par les génératrices M, V 
du cylindre B. 

562. 11 n'est pas nécessaire de construire de plan coupant 
hors de Tespace compris entre les plans p' et p" dont les 



PL. 55. CYLINDRIQUES. 273 

traces touchent celles des cylindres donnés, car il est évi- 
dent que tout plan hors de cet espace couperait l'un des cy- 
lindres sans toucher ni couper l'autre, et par conséquent ne 
contiendrait pas de points communs. Lorsque la courbe sera 
entièrement obtenue, on regardera comme vu, tout point 
provenant de l'intersection de deux génératrices vues (487). 
Tous les autres points sont cachés, et l'on tracera en ligne 
pleine toute la partie de la courbe qui contient les points vus, 
^t le reste en ligne ponctuée. 

663;' Tangentes à la courbe d' intersection. Lorsqu'il y 
aura incertitude sur la direction de quelque partie de la 
courbe, on Ja fera cesser en construisant une tangente. Pour 
y parvenir, on remarquera que cette ligne devant être tan- 
gente aux deux cylindres, il faut, par conséquent, qu'elle soit 
située en même temps dans les plans tangents à ces deux 
surfaces, d'où il résulte qu'elle doit être Tintersection de ces 
plans ; ainsi, par exemple, la droite a'"v est la trace hori- 
zontale du plan qui touche le cylindre A dans toute l'étendue 
de la génératrice a'^'u. 

Ensuite, vb^" est la trace du plan vertical qui touche le 
cylindre B suivant la génératrice b'"u. 

Le point v, intersection de ces deux traces, fera donc par- 
tie de la tangente dont la projection verticale sera v'w. 

L'un des plans tangents étant vertical, la projection hori- 
zontale de la tangente doit se confondre avec la trace V'^v de 
ce plan. 

11 est évident.que si les deux points tangents étaient obli- 
^u^s, cela ne changerait rien à la manière d'opérer. 

664. Développements. Si on veut obtenir la courbe d'inter- 
section sur les surfaces des deux cylindres, il faudra projeter 
chacun d'eux sur un plan parallèle à ses génératrices, fig. 296 
€t 296, puis on construira la section droite et les dévelop- 
pements A*'' et B*^, en opérant comme nous l'avons fait au 
no 502. 

Il sera très-essentiel de s'assurer que tous les points cor- 
respondants des deux cylindres et de la coHrbe d'intersection 

18 



274> SURFACES PL. 56, 

sont à la même hauteur sur les trois projections verticale» 
A'B, A//etB^ . • 

Pour construire la tangente vu, vV, sur le développe- 
ment du cylindre A, on construira le triangle qui a pour 
côté: 

1° a'^'v trace horizontale de l'un des deux plans tangents; 

2° a"'u génératrice de tangence projetée, ûg. 296» dans 
sa véritable longueur; 

3° La tangente vu, dont la longueur v''u est donnée sur la 
projection B'^ 

On raisonnera de la même manière pour construire la tan« 
gente sur le développement du cylindre B. 

Si la tangente n'était pas parallèle à l'un des plans de pro- 
jection, on chercherait sa longueur par le moyen ordinaire. 

565. Quelquefois l'un des cylindres pénètre dans Tautre, 
et s'y trouve entièrement engagé; alors l'intersection se com- 
pose de deux courbes séparées, l'une d'entrée et l'autre de 
sortie, comme on le voit, flg. 290 ; dans ce cas, on dit qu'il 
y a pénétration (302). Mais si Fun des deux cylindres n'était 
pas tout à fait engagé dans l'autre, l'intersection se nomme- 
rait arrachement^ fig^.288. 

Dans la question que nous venons de résoudre, il y avait 
arrachement. 

566. Il est facile de prévoir, avant la construction de 
répurè, quand il doit y avoir arrachement ou pf^nétration. 

Ainsi, dans le cas représenté, flgr. 291, il y aura pénétra- 
tion. En effet, le cylindre B étant compris entièrement entre 
les deux plans p' et p^\ il est évident que toutes les générs^ 
triées de ce cylindre rencontreront la surface du cylindre A. 

Tandis que sur la figure 287, on voit par la disposition 
des deux plans p' et p// que les génératrices du cylindre A, 
qui ont leurs pieds sur l'arc aa', ne rencontreront pas 
le cylindre B, tandis que les génératrices du cylindre B, 
qui ont leurs pieds sur l'arc bb\ ne rencontreront pas le 
cylindre A. 

Enfin on peut dire, en général, que si les deux plans cou- 
pants extrêmes p' et p'', tig. 291, sont tangents à la trace 



PL. 67. CYLINDRIQUES. 275 

du même cylindre, il y aura pénétration ; et dans le cas con- 
traire, il doit y avoir arrachement. 

667. Pour tracer les courbes de pénétration sur les cy- 
lindres donnés, fîg. 292 et 293, on enveloppera sur ces 
corps les figures A"" et B'^. 

568. Limites des courbes d'intersection. Lorsque 
l'on construit la courbe d'intersection de deux surfaces, on 
peut se proposer d'obtenir le point le plus près ou le plu» 
éloigné d'un plan donné. 

Ainsi, par , exemple,' flg. 2 et 4, pi. 57, les cylindres B 
et G étant donnés par leurs traces et par leurs directions, on 
construira le plan P parallèle à ces deux cylindres, et les 
plans coupants Pj P, P3 etc., parallèles au plan P, détermine- 
ront autant de points que l'on voudra sur la courbe d'inter- 
section. 

Or, si l'on veut déterminer le point le plus élevé de cette 
courbe, on pourra opérer de la manière suivante. 

569. Première méthode .: 

1<» On cherchera quelle peut être approximativement la 
position du point le plus élevé, et Ton déterminera trois ou 
quatre points dans le voisinage de celui que l'on cherche. 

On fera en sorte qu'il y en ait au moins un au delà. Sup- 
posons, par exemple, que l'on ait déterminé les points 
1,2 et 3; 

2** On construira les traces horizontales des plans V^ V; et V, 
des plans qui touchent le cylindre B aux points 1, 2 et 3; 

3» On construira également les traces horizontales ¥< Y, Y, 
des plans qui touchent le cylindre C suivant les mêmes points; 

4« On choisira, fig. 3, un point quelconque M, que l'on 
peut supposer situé où l'on voudra dans-l'espace; 

5*» On tracera par le point M de la figure 3 les droites 
V, V, t?5 parallèles aux traces horizontales V^ V, V, des trois 
plans tangents aux points 1, 2 et 3 du cylindre BB'; 

6<» On tracera également par le point M de la figure 3 les 
droites y^ y, 2/3 parallèles aux traces horizontales Y^ Y, Y. des 
trois plans tangents aux points 1,2 et 3 du cylindre CC'; 



^ft. SURFACES PL, 67i 

V On ouvrira le compas d'une quantité quelconque Mw, et 
. l'on j:)ortera cette distance une foissnr éhacune des droites v^ 
et ^/^ deuœ fois sur chacune des droites v, 2/2 ^t '^^'^ A^^^ sur 
chacune des droites v, et 2/3. 

8" On tracera les deux courbes uv^ u'v' qui se couperont 
en un point que l'on joindra avec le point M. 

9*' La droite MO sera parallèle aux traces des deux plans 
tangents V4 et ï^ qui contiennent le point 4 qui est le plus 
ékvé de la courbe de pénétration. 

En effet, de la loi suivant laquelle ces courbes uv et u'v' 
de la figure 3 ont été tracées, il résulte évidemment que, si 
l'on prend sur ces courbes deux points ^ ^\.z[ à égale dis- 
tance du point M, les droites M^ et M^' seront parallèles aux 
traces horizontales des deux plans qui toucheront les cylin- 
dres donnés en un même point de la courbe d'intersection, 
ce qui sera encore vrai pour les deux plans tangents, dont 
les traces horizontales seront parallèles à la droite MO ^ mais 
alors ces deux Iraces seront parallèles, et leur intersection, 
tangente au point correspondant de la courbe cherchée, étant 
horizoplale, ce point sera évidemment le plus élevé de la 
courbe d'intersection des deux cylindres (529). 

On. déterminera de la même manière le point le plus bas 
aip^i flue le point le plus élevé sur toutes les courbes 
de pénétrations ou sur les diverses parties des courbes d'ar- 
rachements. 

570. Les deux courbes uv, u'v^ peuvent être tracées d'une 
infinité de manières, pourvu que les distances sur les droites 
désiîi^iiées par le même cbiflte soient égales entre elles, ce qui 
p^rn?et,lra toujours d'obtenir le point par une bonne inter- 
section. 

571. Deuxième méthode. Le moyen que nous venons d'in- 
diquer n'est pas général et ne peut servir que pour déter- 
mioer le point le plus élevé et le plus bas de la courbe de 
pénétration, car il est évident que, si l'on voulait employer 
la mê?ne méthode pour obtenir le point le plus près ou le 
plus éloigné du plan vertical de projection, il faudrait con- 
naître les traces verticales des cylindres ; et pour le point le 



PL. 57. CYLÎNDBtOtJES. 27^ 

plus près ou le plus éloigné d'un plan quelconque, il faudrait 
construire les interseciions des deux cylindres par ce plan, 
ce qui serait fort long. ^ 

Or la question qui nous occupe peut être résolue d'une ma- 
nière générale par la méthode suivante : 

1» Lorsque Ton aura déterminé un certain nombre de points 
de la courbe cherchée, on construira une tangente par cha- 
cun de ces points; 

2*» On transportera toutes ces tangentes en iwi point quel- 
conque SS' de l'espace, figr. 5'et l; 

3* On obtiendra ainsi une surface conique dont chaque gé- 
nératrice sera parallèle à Tune des tangerites de la courbe de 
pénétration des deux cylindres donnés; 

4** On coupera cette surface conique, figr. 5, par un plan 
Pg que l'on pourra choisir à volonté, et par conséquent per- 
pendiculaire à l'un des plans de projection; 

5° La courbe plane ii'v\ fîg. 1, qui résulte de la section 
par le plan ?« de la figure 5, pourra être prise pour directrice 
de la surface conique qui a pour sommet le point SS', flg. 5 
et 1; 

6° Ce qui précède étant admis, si l'on veut avoir le point 
le plus près ou le plus éloigne d'un plan quelconque P^, flg. 
6, on coupera la surface conique qui est projetée sur les fi- 
gures 6 et 1, par un plan parallèle au plan P^ et passant par 
le sommet SS'. Toutes les génératrices de section que l'on 
obtiendra seront parallèles aux tangentes qui contiennent les 
points de la courbe cherchée qui sont les plus près ou les 
plus éloignés du plan donné P7, flg. 6; 

7« Il ne restera donc plus qu'à construire les plans tangents 
aux deux cylindres, parallèlement à chacune des génératrices 
provenant de la section du cône SS' par le plan parallèle à P7. 
Pour ne pas surcharger l'épure on n'a pas exécuté cette 
partie de l'opération qui d'ailleurs ne présente aucune diffi- 
culté si l'on efface Ipslignes de construction à mesure que lés 
résultats sont obtenus. 

572. On n'a conservé ici que les constructions nécessaires 
pour déterminer par cette seconde méthode le point le plus 
élevé de la courbe de pénétration ; ainsi : 



278 SURFACKS PL. 58. 

1** La tangente au point cherché devant être horizontale, 
on a coupé le cône auxiliaire par le plan horizontal Pg q^ii 
contient le sommet SS' de ce cône; 

2« La génératrice S-4 que l'on obtient, flg. 5, est parallèle 
à la tangente T4 qui contient le point le plus élevée et par 
conséquent' aux traces horizontales V4 et Y4 des deux plans 
tangents qui se coupent suivant cette tangente. 

Les g(^nératrices désignées sur les deux cylindres par le 
no 4 se coupgit suivant le point cherché. 

573, 11 est évident que si l'on veut se contenter du point 
le plus élevé de la courbe de pénétration, il suffira de con- 
struire trois ou quatre tangentes dans le voisinage du point 
demandé. • 

Pour obtenir ces tangentes on pourra- construire lés traces 
verticales des plans tangents correspondants ; mais pour ne 
pas embarrasser Tépure on a effacé ces traces, excepté à l'en- 
droit où elles coupent le cadre. 

On a cependant conservé entièrement les traces verticales 
des deux plans tangents V« et Y4 qui contiennent le point 
demandé. 

574. Courbes dressais. Pour résoudre la question précé- 
dente, nous avons fait -usage, flg. 3, de courbes telles que 
uVj t/'t;',que l'on nomme quelquefois courbes d'erreurs, mais 
qui seraient plus oonvenablement désignées par le nom de 
courbes d'essais ; car il n'y a aucune erreur dans la con- 
struction de ces courbes, qui satisfont toujours très-exacte- 
ment à la loi de leur définition. 

C'est donc le nom de courbes d'essais que nous emploie- 
rons toutes les fois que nous jugerons utile de construire ces 
sortes de lignes. 

L*usage des courbes d'essais est extrêmement fécond et 
donne la solution d'un grand nombre de problèmes qui sans 
cela ne pourraient être résolus que par des calculs algébriques 
très-pénibles, et qui, quoique vrais en théorie, seraient sou- 
vent inapplicables dans la pratique. 

675. Intersection des cylindres. Deuxième méthode. 



VL. 59. CYUNDRIQUËS. . 279 

Il est presque toujours possible d'éviter la plus grande partie , 
4es opérations précédentes en faisant usage de plans de pro- 
jection plus favorablement disposés par rapport aux deux 
cylindres dont on veut construire la pénétration. 

Dans ce but, on placera, flgf. 299, pi. 58, l'un des cy- 
lindres perpendiculairement à l'un des plans de projection 
^ue nous supposerons ici être le plan horizontal, et l'on 
prendra le second plan, de projection parallèle en même 
temps aux deux cylindres. ^ 

Par suite de cette disposition d'épuré, le système de plans 

> 

coupants auxiliaires sera parallèle au plan vertical. 

Chacun de ces plans coupera le cylindre A suivant deux 
droites verticales, et lé cylindre B suivant deux génératrices. 

Les. intersections de ces lignes détermineront comme pré- 
•<îédemment, tous les points cherchés. 

La figure B' est le développement du cylindre B, et A' est 
le développement de la partie du cylindre A qui a pour di- 
rectrice la courbe aco, 

576. Quand les deux cylindres proposés seront circulaires, 
la trace du cylindre A sera une circonférence de cercle, et 
<;etle courbe servira en même temps de section droite au cy- 
lindre A ; quant au cylindre B, il aura pour trace l'ellipse vu, 
mais on pourra, comme nous l'avons dit au n° 552, éviter la 
•construction de cette courbe en employant, comme directrice, 
la circonférence vu' qui sera, si Ton veut, la base vu'' ^ ra- 
battue sur le plan horizontal de projection, ou plus simple- 
ment encore, la section par le plan oblique vu" (552). 

577. Quoique dans l'exemple qui précède nous ayons 
<îhoisi des cylindres circulaires afin de familiariser le lecteur 
avec les combinaisons que l'on rencontre le plus souvent dans 
la pratique, il est facile de reconnaître que la même disposi- 
tion d'épuré pourra être adoptée dans tous les cas, et qu'il 
suflSra pour rendre à la question toute sa généralité de sup- 
poser que la directrice est une courbç quelconque au lieu 
4'être une circonférence de cercle. 

578. Dans la figure 300, les deux cylindres proposés étant 



280 SURFAOES IBh. 3S. 

perpendiculaires aux plans de projection, sont les deux sur- 
faces projetantes de la courbe de pénétration. Il n'y aura donc 
aucune opération à faire pour obtenir cette ligne dont les 
projections se confondront avec les traces des cylindres. 

579. Les lignes provenant de Tintersection de deux cy- 
lindres participeot de là courbe de ces surfaces, c'est pourquoi 
elles sont en général des courbes dédouble courbure (458). 

# 

580. Dans quelques cas particuliers cependant, les courbes 
peuvent être planes. * 

Si par exemple il s'agissait de l'intersection de deux cy- 
lindres A et B, flg. 298, qui auraient pour directrices les 
ellipses aca, a'o*a^\ si, de plus, les axes oc, oV étaient égaux, 
la courbe de pénétration se composerait de deux ellipses a"d'. 
Mais lorsque les axes oc, o"'d'^ ne sont pas égaux, la courbe^ 
de pénétration ay^c^'^a'^^ est à double courbure. 

581. Si les deux cylindres proposés étaient parallèles, ils 
se couperaient suivant des génératrices dont les positions se- 
raient déterminées par les points de rencontre des traces. 
C'est évidemment la combinaison la plus simple qui puisse 
résulter de l'intersection de deux cylindres. 

Cette remarque peut être appliquée avec avantage dans le 
cas où il s'agirait de trouver r intersection d'une ligne courbe 
quelconque avec la surface d'un cylindre. 

Soit, par exemple, fig. 304, la courbe donnée bb, on 
prendra sur cette ligne plusieurs points 1, 2, 3, par lesquels 
on fera passer des parallèles au cylindre ; on aura, par cette 
construction, une nouvelle surface cylindrique, parallèle à la 
première, et qui la coupera suivant les deux génératrices 
communes cm, c^m', passant par les points c, c suivant les- 
quels les traces des deux cylindres se rencontrent ; les inter- 
sections de la courbe donnée avec les droites cm, c'm' sont 
les points demandés. 

En général, le nombre des points d'intersection est le mboï^ 
que celui des points communs aux traces des deux cylindres. 

Si la trace VV du cylindre auxiliaire touchait la trace du 



FL. 39. CYLINDRIQUES. 28t 

cylindre donnée, on en conclurait que cette dernière surface 
est tangente à la première, que par conséquent la ligne b est 
tangente au cylindre. 

682. On aurait pu employer pour surface auxiliaire l'un 
des deux cylindres projetants de la courbe donnée ; dans ce 
cas, les droites cm, c'ml seraient remplacées par la courbe 
à double courbure provenant de. l'intersection des deux cy- 
lindres. 

583. Raccordement de deux cylindres. 

On dit, en général, que deux surfaces se raccordenl lorsque 
Tune d*elles devient le prolongement de l'autre, et qu'elles 
paraissent ne former ensemble qu'une seule et même surface. 

Or cette condition sera évidemment remplie, si les deux 
surfaces ont les mêmes plans tangents dans toute l'étendue 
de la ligne de raccordement. 

Ainsi, par exemple, si deux surfaces cylindriques parai- 
lèles, flg. 303, avaient pour directrices les arcs aco, ovu 
qui se touchent au point o, il est évident que ces deux cy- 
lindres se raccorderaient, puisqu'ils seraient touchés tous les 
deux par un même plan qui contiendrait la génératrice oSy 
et qui aurait pour trace horizontale la droite pp tangente aux 
traces des deux cylindres. La droite os serait la génératrice 
de raccordement. 

584. On rencontre dans l'architecture de fréquents exemples 
de ces raccordements de cylindres. 

La- surface de la moulure projetée, flgr. 301 et 302, se 
compose de deux portions de cylindres circulaires ayant pour 
directrices les arcs de cercle ao, oc ; ces deux cylindres se 
touchent et sont touchés suivant toute l'étendue de la géné- 
ratrice commune oo' par un même plan pq perpendiculaire- 
au plan vertical de projection. 

Une deuxième moulure, égale à la première, la rencontre 
à angle droit, suivant une courbe plane et verticale qui a 
pour projection horizontale la droite t'a', fig. 680. 

585. Problème. Question proposée en 1853 pour le con- 
cours d admission à V École des beaux^arts. Étant donnés^ 



282 SURFACES PL. 59. 

pl. 59, ûg. 4, le plan P et la droite OK, située dans ce plan, 
on demande: !<> de construire les projections de trois cy- 
lindres circulaires de même rayon, ayant pour axes, la droite 
donnée OK, une seconde droite OL, perpendiculaire sur OK 
et située dans le plan P ; enfln, une troisième droite OU per- 
pendiculaire sur les deux premières et passant par leur point 
d'intersection. 

On sait (580) que si deux cylindres circulaires ont des 
.rayons égaux, et que leurs axes se rencontrent, les courbes 
de pénétration seront deux ellipses. 

Or, flg. 2, une sphère qui aurait le même rayon que les 
cylindres demandés, et dont le centre coïnciderait avec le 
point commun aux trois axes, serait évidemment inscrite 
dans les trois cylindres; et si Ton circonscrit à cette sphère 
111} cube dont les arêtes soient parallèles aux cylindres, les 
«ections du cube par les six plans diagonaux seront les rec- 
tangles circonscrits aux six ellipses provenant des intersec- 
tions des trois cylindres combinée deux à deux ; de sorte que 
tout se r(''duit 'à la projection oblique d'un cube dont les 
arêtes opposées déterminent les six parallélogrammes cou- 
jugués des ellipses demandées. 

La figure 1 indique la disposition de l'épure ; ainsi le plan P 
^tant déterminé par sa trace horizontale et par Tangle Z'K'P, 
qui exprime son inclinaison, on projettera le point de la 
droite OK sur un plan vertical de projection AT, perpendi- 
culaire à la trace horizontale ZK du plan P. 

Ce dernier plan étant rabattu en tournant autour de sa 
trace horizontale ZK, le point viendra se placer çn 0'', et 
la droite donnée OK, O'K' se rabattra en 0^'K. 

La droite O'^L, perpendiculaire sur 0^'K, sera l'axe du se- 
cond cylindre, et Taxe du troisième cylindre se projettera 
par le point 0'^ sur le plan P rabattu. 

Le cercle décrit du point 0'^ comme centre, avec le rayon 
donné pour chacun des trois cylindres, sera la projection de 
l'un d'eux sur le plan P; et le carré X^WG^^lf sera la projec- 
tion du cube circonscrit à la sphère qui est enveloppée par 
les trois cylindres. 

Cela étant fait, on projettera le cube sur le plan auxiliaire 
A'Z', d'où on déduira sa projection horizontale. 



PL. 59. CYLINDBIQUES. 283 

Lorsque la projection horizontale do cube sera complète, 
il sera facile de construire toutes les ellipses de pénétration, 
puisque Ton connaît les diamètres conjugués de chacune 

d'elles. 

Supposons, par exemple, flg. 4, que Ton veut construire 
Vellipse* inscrite dans le parallélogramme, qui a pour côtés 
opposés les deux arêtes AB'et HG du cube ; on tracera: l*les 
deux droites' AH et B6, ce qui complétera le périmètre du pa- 
rallélogramme conjugué de l'ellipse demandc^e A-œ-^-y ; 2* on 
déterminera le milieu de chacun des côtés de ce parallélo- 
gramme, et les droites 4-6 et xy seront les deux diamètres 
conjugués de l'ellipse, que l'on tracera par le moyen donné 
au m 395 ou bien en construisant les axes, comme nous l'a- 
vons dit au n* 396. 

Pour diminuer la confusion sur les figures 4 et 7, on a 

distingué par une teinte de points les deux ellipses prove- 

- nant de la rencontre des cylindres M et N. Ces ellipses sont 

projetées sur la figure 3 par les diagonales du carré k^^W'CW. 

Les quatre autres ellipses sont indiquées par un simple 
trait sur les figures 4 et 6. Les parties vues de ces ellipses 
sont en lignes pleines ; les parties réelles cachées en points 
mixtes, et le^ parties supprimées par le passage des cylindres 
en points ronds. 

On peut obtenir une très-grande exactitude dans le résul- 
tat, en déterminant d'avance sur les trois projections, fLg. 3, 
7 et 4, les quatorze points de vérification que nous allons in- 
diquer. 

D'abord, les points 1 et 2, projetés en un seul sur la 
figure 3, sont situés à la rencontre des deux ellipses dési- 
gnées par des teintes ponctuées sur les figures 4 et 7. Ces 
points seront déterminés sur la figure 7 en faisant les dis 
tances O'-l et 0'-2, égales chacune au rayon de la sphère 
inscrite dans les trois cylindres. 

Les points 3 et 5 proviennent de la rencontre des deux 
ellipses suivant lesquelles se pénètrent les cylindres M et V. 
Ces deux points, situés dans le plan P, seront projetés, ûg. 7, 
sur la trace du plan P, d'où il sera facile d'obtenir leurs pro- 
jections horizontales, fig. 4. 

11 en sera de même des points 3 et 6, suivant lesquels se 



284 SURFACES PL. 59. 

coupent les deux ellipses provenant de la pénétration des cy- 
lindres N et V. 

Indépendamment des six points dont nous venons de parler, 
et par chacun desquels passent deux des six ellipses cher- 
chées, il existe encore huit points suivant lesquels les mêmes 
ellipses se rencontrent 3 à 3. 

Ces huit points sont déterminés sur la figure 3 par la ren- 
contre des diagonales du carré A'^D'^C'^B'" avec la circonférence 
du cercle, dont la surface teintée en hachure est la section 
droite du cylindre V. 

La perpendiculaire abaissée sur la droite k'V par la projec- 
tion commune des points 7 et 8 de la figure 3 déterminera 
le point m que l'on ramènera en m' par un arc de cercle dé^ 
crit du point K' comme centre ; et la perpendiculaire élevée 
•par ce point m' sur la trace K'H' du plan P, flg. 7, contîen- / 
dra les projecttons correspondantes des points 7 et 8, que l'ott 
obtiendra en faisant m'-l et m'- 8, égales chacune à la per- 
pendiculaire abaissée du point 7, 8surrun des rayons 0^-3 
ou 0''-6 de la figure 3. 

En opérant de la même manière, on déterminera sur la 
figure 7 les projections des points 9, 10, 11, 12, 1 3 et 14. 

On remarquera que sur la figure 7 les huit points 7, 9, 13, 
11 et 8, 10, 14, 12 appartiennent â deux plans parallèles au 
plan P et distants de ce ptan d'une quantité m'-7 = tn'-B, 
égale au demi-côté du carré inscrit dans le cercle teinté de la 
figure 3. 

On remarquera encore, sur la figure 7, que les points B',7, 
0',12,H' sont en ligne droite, ce qui provient de ce qu'ils sont 
situés sur Tune des diagonales du cube. 

Pour la même raison, les points 8 et II appartiennent à la 
diagonale D'F'. 

Les points 10 et 13 sont situés sur la diagonale CE', et les 
points 9 et 14 sur la diagonale A^G'. 

Toutes ces lignes n'ont pas été conservées, mais en les tra- 
çant au crayon, ou simplement en appliquant la règle, on 
pourra s'assurer que les opérations ont été bien faites. 

Enfin, les points 1, 2, 3, 4, 5 et 6 sont situés chacun au 
centre de Tune des faces du cube, et pourraient par consé- 
quent être déterminés ou vérifiés en construisant les diago- 



PI.. 59» ' CYLINDRIQUES. 295 

nales de cette face sur les Dgures 4 et 7. Ainsi le point 3 de 
la figure 4 sera Tintersectionr des deux diagonales du paral- 
lélogramme ABFE, et le point 2 sera déterminé par les diago- 
nales du parallélogramme HGFE, de ^orte que les huit points 
7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 et 14, par chacun desquels passent trois 
ellipses, appartiennent aux diagonales du cube, et les six 
points 1,2, 3, 4, 5, 6, par lesquels ne passent que deux el- 
lipse s, sont situés sur les .diagonales des faces. 

Toutes ces lignes, qui n'ont pas été conservées, sont tan- 
gentes aux ellipses correspondantes, et peuvent contribuer 
par conséquent à l'exactitude de leur construction. 

586. Ainsi, indépendamment de tous les points que Ion 
pourra obtenir par la méthode des diamètres conjugués, on 
aura pour chaque ellipse six points de v^Tification et huit 
tangentes, savoir : les quatre côtés du parallélogramme con- 
jugué formfe par les arêtes opposées du cube, et par les 
droites qui joignent deux à deux le& extrémités de ces arê'tes ; 
puis les quatre génératrices qui limitent les projections des 
deux cylindres dojat l'ellipse cherchée est l'intersection. 

687. La figure 6 est la perspective du volume compris 
entre les cylindres M et N, et la figure 5 représente le vo- 
lume compris entre les trois cylifl*esw 

Les parties désignées sur ces deux figures par la lettre m 
appartiennent à la surface du cylindre M ; les parties dési- 
gnées par n appartiennent au cylindre N ; enfin, les lettres v 
indiquent les parties qui appartiennent au cylindre V. 



286 SURFACES W" 60, 



CHAPITRE III. 



IkarCace» conique*. 



588. Définitions. On nomme, en général, surface co- 
nique, pi. 60, celle qui est engendrée par une ligne droite, 
assujettie dans son mouvement à passer toujours par un point 
que Ton nomme le sommet du cône. 

La droite mobile se nomme la génératrice dil cône ; on 
suppose ordinairement qu'elle doit s'appuyer sur une courbe 
que Ton nomme directrice. 

Le cône diffère donc du cylindre, en cela que le parallé- 
lisme des génératrices est remplacé par cette condition que 
toutes cps droites doivent passer par un même point. 

589. Si le sommet du cône s'éloignait jusqu'à l'infini, les 
génératrices deviendraient parallèles, et la surface du cône 
se changerait en un cylindre. 

Si on augmentait le rayon de courbure de la directrice, la 
surface du cône s'aplanirait, et lorsque la directrice devien- 
drait une ligne droite, le cône serait un plan. 

Ces propriétés permettent de regarder le cylindre comme 
un cône dont le sommet serait à l'infini, et le plan comme 
un cône dont la directrice serait droite. 

590. Si la directrice était une courbe infinie, le côge serait 
lui-même infini dans ses deux dimensions. Mais si la direc- 
trice est une courbe fermée, le cône ne sera infini que dans 
le sens de ses génératrices. 

591. Quoique ces lignes doivent passer par le sommet, il 



PL. 60. , CONIQUES. 287 

ne faut cependant pas les considérer comme terminées à ce 
point. Ainsi, pendant que la génératrice engendrera la sur- 
face d'un cône, le prolongement de cette droite engendrera 
une seconde surface de cône opposé au premier par le som- 
met. Cependant, l'usagan'est pas de regarder ces deux sur- 
faces comme appartenant à deux cônes différents ; et parce 
qu'elles sont engendrées par la même droite, on les considère 
comme composant la surface d'un seul cône, dont elles 
forment ce que l'où appelle les deux nappes. 

592. Les considérations qui précèdent s'appliquent à tous 
les cônes, maisil existe dans certains cas particuliers que 
Ton rencontre souvent dans la pratique des relations sur 
lesquelles j'appellerai Tattention du lecteur. Ainsi, par 
exemple, lorsqu'un cône aura pour directrice une courbe du 
second degré, le cône sera lui-même du second degré. 

Si la directrice est une ellipse, le cône sera elliptique. 

Si la directrice est ua cercle, et que le sommet soit sur la 
droite passant par le centre et perpendiculaire au plan du 
cerclH, le cône sera circulaire. La droite qui joint le centre 
du cercle avec le sommet se nomme, dans ce cas, axe du 
cône. 

On peut dire encore que le cône circulaire est engendré 
par une droite qui tourne autour d'une seconde droite immo- 
bile avec laquelle elle fait toujours le même angle. Si cet 
angle augmente, le cône devient plus obtus, et si la généra- 
trice faisait un angle droit avec Taxe, le cône se changerait 
en un plan. 

593. Projection du cône. Soit, fig. 308, un cône ayant 
pour sommet le point ss' et pour directrice la courbe 5-6, on 
prendra sur cette ligne autant de points que l'on voudra, 
puis on fera passer une génératrice par chacun de ces points 
et par le sommet du cône. 

694. Pour construire les traces du cône, on prolongera 
les génératrices jusqu'aux plans de projection. Ainsi, la 
courbe l'-5' sera la trace horizontale, et la courbe l''-6'' 
sera la trace verticale du cône ; le point 5 suivant lequel 



288 SUAVACES PL. 60. 

la courbe directrice perce le plan horizontal doit se trouver 
sur la trace horizontale du cône. 

595. Pour exprimer qu'un point mm' appartient à la sur- 
face du cône, il suffira de placer ce point sur l'une des géné- 
ratrices. « 

En opérant de même pour tous les points d'une courbe, 
on exprimera que cette ligne appartient à la surface du cône. 

596. On peut prendre pour directrice d'un cône une ligne • 
quelconque qui serait coupée par toutes les génératrices. 
Mais pour simplifier le travail graphique, on prend souvent 
pour directrice une courbe plane parallèle à Tûn des plans de 
projection ou située dans ce plan. 

Si nous concevons plusieurs cônes ayant le même sommet, 
et pour directrices les lignes v-S'-w, l'-3'-5', z-y-x qui se 
touchent au point 3', tous ces cônes se toucheront suivant la 
génératrice commune ^-3'. 

La droite pY 9"^ touche au point 3' les trois courbes vu, 
l'-5', zarsera la trace horizontale d'un plan tangent aux trois 
cônes, suivant la génératrice s-S!. 

597. On peut supposer ici, comme pour le cylindre (450), 
que l'on a fait tourner le plan coupant spq autour de la 
droite ^-3' jusqu'à ce que deux génératrices de section 
soient réunies en une seule qui devient alors la génératrice 
de tangence. 

598. Si la directrice du cône est une courbe fermée, les 
projections de ce cône seront contenues entre certaines limites 
que nous allons déterminer. 

Supposons, par exemple, fig. 309, un cône qui aurait 
pour directrice la courbe 1 -2-6-3-4-5 située dans le plan 
horizontal, les deux tangentes ^-1, s-3 seront les traces de 
deux plans tangents verticaux entre lesquels toutes les 
génératrices seront nécessairement comprises, car il est évi- 
dent que la directrice ne pourrait pas être rencontrée par une 
droite dont la projection serait au dehors de l'angle 1-^-3 ; on 
prendra donc les deux tang^teB^s-l , ^-3 pour limites de la 
projection horizontale du cône. Par la même raison, les deux 



71^ 60* eoNiQQBS. 289 

âFoites y-'2^ ^'-4' tangentes à la trace verticale du cône se- 
ront prises pour limites de la projection verticale. 

599. Il est essentiel de construire avec une grande préci- 
sion, les quatre pojhts de tangence i , 2, 3, 4. 

Ces points déterminent les parties vues et cachées sur les 
deux projections du cône. 

Ainsi, toute génératrice qui aurait son pied sur l'arc 1-2' 
«cra évidemment vue sur la projection horizontale, tandis 
que sur la projection verticale elle sera cachée. • 

Toute génératrice qui aurait son pied sur l'arc 3-4 serait, 
au contraire, cachée sur la projection hoirizontale, tandis que 
sur la projection verticale elle serait vue. 

Les génératrices qui auraient leurs pieds sur l'arc 2-6 
seront vues sur les deux projections. Enfin, celles qui au- 
raient leurs pieds sur Tare 1-4 seront cachées sur les deux 
projections. 

600. Les droites &rx, h-œ sont les traces horizontales de 
deux plans tangents qui ?e coupent suivant la ligne s-x qui 
contient le sommet du cône. 

Les droites z-h", 2-6^' sont les traces verticales des mêmes 
plans tangents ; oh remarquera que ces dernières lignes sont 
tangentes à la trace verticale du cône. 

Le plan [z-W\ œ-h) touche le cône suivant la génératrice 
^-5, ^-5', et le plan (z-6'^ x^) le touche suivant la généra- 
trice 5-6, 5'-6'. 

601. Développement de la sur[ace du cône. Dans les 
applications on développe ordinairement la surface du cône 
en opérant comme pour une pyramide oblique qui aurait 
un grand nombre de faces (288). Ainsi, en prenant sur la 
trace du cône des points assez rapprochés, on pourra, sans 
erreur sensible, remplacer par un triangle plan la petite 
portion de surface conique comprise entre deux points con- 
sécutifs de la trace et les génératrices correspondantes. Tous 
<XiS triangles, construits dans leur véritable grandeur et pla- 
cés à côté les uns des autres, ont formé le développement du 
cône projeté, fig. 306. 

19 



S90 SUBFACBS PL, 60. 

Pour obtenir les génératrices dans leur véritable grandeur; 
on les a fait tourner autour de la verticale projetante du 
sommet jusqu'à ce qu'elles soient parallèles au plan vertical 
de projection. 

602. Si aucune condition ne détermine ^a position des 
génératrices, on pourra simplifier le travail en choisissant àù 
préférence celles qui ont une projection verticale commune, 
ou qui, deux à deux, ont leurs pieds à égale distance de la. 
verticale du sommet. ^ 

11 est facile de satisfaire en même temps à ces deux con- 
ditions ; ainsi, par exemple : 

Les génératrices 1 et 15 ayant une projection verticale com^ 
mune, on prendra le point 16 déterminé par la tangente per- 
pendiculaire à la ligne AZ, et l'arc de cercle 16-2 détermi- 
nera le point 2 par lequel on élèvera une perpendiculaire 
qui donnera le point 14. * 

L'arc de cercle 15-3 déterminera le point 3 d'bù on di^duira 
le point 13 sur la perpendiculaire 3-13, etc. 

603. Pour construire dans le développement un point mm 
appartenant à la surface du cône, on le rabattra en m^^ 
sur la génératrice correspondante, et de là en m''' dans le 
développement de la surface. 

En recommençant cette opération pour tous les points 
d'une courbe quelconque qui serait située sur la surface du 
cône, on obtiendrait tous les points de cette courbe dans le 
développement. . . 

604. Pour construire le dévelop"pement d'un cône circu- 
laire, flg. 305, on décrira le secteur s-a^-a'^^ flg. 307, en 
prenant ^-a'' égal au côté s! -a' du cône, et faisant Tare a" a'^'^ 
égal à la circonférence de la base s-a. . 

605. On peut obtenir beaucoup d'exactitude en opérant 
de la manière suivante. Soit x l'angle a" sa"' du secteur, et 
désignons par y l'arc a"-a"' qui sert de mesure à l'angle x, 
par R le côté s'-a^ du cône, et par r le rayon sa de la base : 
on doit avoir, en prenant l'angle droit pour unité : 

a? : 4 = î/ : 2wR. 



FL. 61. GORlQUiBS. Mi 

Mais y = 2vr. 

Substituant, on a rr 4 : = ^nr : 2nR. 
Ou, enfin, a? : 4 = r : R. 

Donc a? = — , 

ce qui donne l'angle du secteur. Supposons, par exemple, 

R==12 et r = 5. 
Nous aurons : . 

Ainsi, en décrivant un secteur de 150 degrés avec un 
rayon de 12 mètres, on aurait le développement d'un cône 
dont le rayon de la base serait 5, et le côté 12. 

Quand le secteur sera construit, on pourra placer sur 
Tare a'^a'^' les pieds des génératrices qui seraient utiles pour 
résoudre la question proposée. 

606. Plan passant par le sommet du cône. Cette rela- 
tion est'la plus simple qui puisse résulter de la combinaison 
d*un plan avec un cône. 

Un plan contiendra le sommet du cône toutes les fois qu'il 
contiendra une droite quelconque passant par ce point. 

607. Pour construire, fig. 310, pi. 61, par un point 

donné mm\ des plans passant par le sommet du cône sab^ 
on tracera la droite sn, s'n^ et tous les plans qui contien- 
dront cette droite satisferont à la condition demandée. 

On devra distinguer 1** les plans tels que ^np qui passent 
par le sommet du cône sans rencontrer la surface ; 

2'' Le plan snp^ qui touche la surface du cône suivant la 
génératrice sa\ 

3* Enfin, le plan snp^^ qui touche le cône suivant la géné- 
ratrice sa^ et le coupe suivant sa". 

608. En généra], le nombre des lignes de section ou de 



\ 



1 



^Si SURFACES Pt. 61 « 

tangence dépendra du nooibre de. points suivant lesquels 
la trace du cône sera touchée ou coupée par la trace du 
pian. 

609 Plans tangents au cône. Construire un plan tan- 
gent à un cône par un point pris sur la surface de ce 
cône. 

Soient, flg. 311, le cône AA' et le point mm' situé sur la 
surface, on construira d'abord la génératrice sm, s'm'; puis 
par le point ft, où celle généralrice rencontre le plan hori- 
zontal, on mènera une tangente à la trace horizontale du 
odoe. Cette ligne sera la trace horizontale du plan tangent, 
donl la trace verlicale se déterminera facilement, puisque ce 
plan doit contenir la ligne mb, m'V (66). 

(Jid. Normale. Les droites mn, mV, perpendiculaires sur 
les traces du plan /), seront les deux projections de la nor- 
male. Tout plan qui contiendrait la droite mn, tn'n! serait 
un plan normal au point m^ m'. 

611. Construire un plan tangent à un cône par un point 
pris en dehors de la surface. 

Soient, flg. 312, le cône A A' et le point mm', on fera passet 

f)ar ce point et le sommet du cône la droite sm^ ^m', et par 
te point h, où cette droite perce le plan horizontal, on con- 
struira deux tangentes à la trace horizontale du tbtte ; C68 
deux lignes seront les traces horizontales de deux plans tan- 
g^ntife. Les traces veriicdles de ces plans devront passer par 
fa trace verticale de la droite sm^ s'm\ 

Si l'on n'avait pas ce point sur l'épure, on y suppléerait 
facilement m assujettissant les plans cherchés à contenir le 
Sbmtnet du cône ou tout autre point de la ligne sm, s'm\ 

On devrait aussi se rappeler que chaque plan tangent doit 
tJomenir l'une des deux droites {se, s'&) [sd, s'd') qui sont 
les génératrices de tangence. 

612. Consttuire un plan tangent à un cône, parallèle" 
ment à une droite donnée. 

Soient, flg. 313, le cône A, A' et la droite donnée \aa oa 



J 



n. 6®. CONIQUES. 2J3 

cQûStruira par le sommet du côae la droite sb, s'a' parallèla 
à la ligne donnée aa\ Il ne restera plus qu'à i'aire passer par 
la droite sb, sfV deux plans tangents au cône ; ce qui se fera 
comme dans l'exemple précédent. Oa conçoit, en effet, que lea 
deux lignes aa\ bV, étant parallèles, tout plao contenaiji^ 
la seconde de ces deux droites sera parallèle à la premièrer 
Les droites {sd, s'^) (so, s'd) sont les génératrices de tan- 
gence. 

613. Intersection de la surface du cône par une ligne 
droite. Soit aa\ fig. 314, la droite donnée ; on prendra sur 
cette ligne un point quelconque mm\ on joindra ce point 
avec le sommet du cône par la droite sm^ s'm\ et Ton fera 
passer un plan par les deux droites {am, a' m'] {sm, s^m^j. 

Ce plan passant par le sommet du cône coupera la surfa,ce 
suivant les deux génératrices {sb, ^'ft'), €}t les intersections 
de ces deux lignes par la droite donnée (am, a^m') seront 
les points demandés, 

La portion [vu, v^u') de la ligne donnée est dans l'intérieur 
du cône. 

614. Si la trace horizontale pq du plan auxiliaire ne renr 
contrait pas la trace du cône, on en conclurait que la ligne 
donpée ne rencontre pas le cône ; et si là trace pq touchait la 
trace du eône, cela indiquerait que la ligne donnée touche 
le cône. 

Le point de tangence serait déterminé par l'intersection 
de la ligne donnée avec la génératrice suivant laquelle le 
plan auxiliaire toucherait le cône. 

615. Sections planes du cône. Supposons, pi. 62, 
qu'une surface conique soit déterminée par sa projection 
horizontale, flg. 7, et par sa projection sur le plan vertical 
k!Z\ fig. 9 ; 'on veut obtenir la section de ce cône -par le 
plan P, dont on connatt les traces. 

On sait que la courbe de section d'un cône par un plan 
contient tous les points suivant lesquels ce plan coupe les 
génératrices du cône. H suffira donc, pour obtenir chacun ée 
ces points, de faire la construction qtie nous avons donnée au 



294 SURFACES PL. 63. 

I 

n* 87, et qui a» pour but d'obtenir le point de section d'une 
ligne droite par un plan. 

Ainsi, par exemple, le plan P^ qui contient la génératrice 
Sa coupe le plan donné P suivant la droite vu, dont la 
rencontre avec la droite Sa détermine le point m, qui appar- 
tient à la projection horizontale de la courbe demandée. 

Le plan P| étant langent au cône, la droite vu doit être 
tangente à la courbe de section M. 

616. On pourrait, en opérant comme nous venons de le 
faire, déterminer les points de section de toutes les généra- 
trices du cône par le plan P. Mais ici, comme dans toutes les 
questions de même nature (521), on simplifiera les opérations 
et Ton augmentera Texactit^de, en faisant usage, fig. 5, d'un 
plan auxiliaire de projection A''Z", vertical et perpendiculaire 
au plan coupant P. 

Par suite de cette disposition d'épuré, la courbe de section 
M" se projettera par une ligne droite zœ ; de sorte que pour 
obtenir la projection horizontale de cette ligne, il suffira 
d'abaisser des perpendiculaires à A^^Z^^ par les points suivant 
lesquels la droite zx est rencontrée par les projections des 
génératrices du cône. 

La projection M' de la courbe sur le premier pian vertical 
de projection se d(^duira de la projection horizontale M, en 
élevant, par chaque point de cette* projection, une perpendi- 
culaire à AT. 

On pourra vérifier le résultat, en-exprimant : 

t*" Que chacun des points obtenus est situé dans le plan P ; 

2'' Que ces points sont bien exactement à la même hauteur 
sur les deux projections verticales AT, tig. 9, et A'^Z'', 
flg.5. 

617. La figure 8 est la courbe de section M^, rabattue sur 
le plan horizontal P3 en tournant autour de Thorizontale pro- 
jetante du point B ; on suppose, qu'avant d'efiectuer ce 
rabattement, on a fait avancer le plan P parallèlement à lui* 
même jusqu'à ce qu'il soit venu prendre la position P,. 

Les opérations pourront facilement être liées en prenant 



:?!.. 62. CONIQUES. 298 • 

Jà charnière de rabattement sur la bissectrice CB de l'angle 
A'CA'' que font entre elles les traces AT et h!{TJ' des deux 
plans verticaux de projections. 

618. La figure 2 est le développement du cône que Ton 
<X)nstruira en opérant comme nous l'avonsdit aun**601, la 
courbe de section est représentée sur ce développement par 
ia ligne KM'^H. 

619. Tangentes. Nous avons déjà dit bien des fois combien 
la construction des tangentes augmente l'exactitude des 
<<^urbes en déterminant leur direction dans le voisinage des 
points de tangence. C'est pourquoi on devra commencer par 
•construire les points situés sur les génératrices limites des 
projections horizontale et verticale du cône. 

On fera bien également de construire quelques autres tan- 
gentes au crayon, que Ton pourra effacer lorsque la courbe 
:sera tra(*.ée avec toute l'exactitude nécessaire. On ne doit pas 
^oublier que ces tangentes, ayant pour but de faciliter le tracé 
<le la courbe, doivent être construites avant cette ligne ; et 
pour cela on devra se rappeler ce que nous avons dit au 

Ainsi, pour obtenir la tangenceen un point n de la courbe 
•de section, flg. 7, on trafeera d'abord la génératrice Se, qui 
<X)ntient. le point donné ; la tangente au pied c de cette géné- 
ratrice sera la trace horizontale du plai^ tangent P4 et la 
droite DT, intersection du plan tangent P* et du plan cou- 
pant P, sera la tangente au point n de la courbe. La projec- 
tion de celte tangente, sur le plan vertical AT, sera D'T', et 
]a projection W^" de la même droite sur le plan vertical k!*V' 
«coïncide avec la trace P du plan coupant. 

Le point D, projeté en W" et rabattu en IK', détermine la 
tangente D"T" au point n'" de la figure 8, et pour obtenir 
cette même tangente D"'T"', sur le développement, flg. 2, il 
:sufflra de construire le triangle nVD'^, dont on connaît les 
trois côtés ; savoir, nV déterminé en yraie grandeur sur le 
«développement du cône, flg. 2, d^ïT égal à la trace cD du 
.plan tangent, fig. 7, et n'^'lT égal à la tangente n'"D'" ra- 
Jbattue, flg.S. 



296 SUKPAGBS PL. 6ai 

620. Dans les appli€ation3, on évite presque toujours ia. 
projection sur le plan verticaf AT. 

En oget, si l'on connaît la trace horizontale direAriee du 
cône, la hauteur du sommet au dessus du plan qui contient 
cette courbe, la trace horizontale du plan coupant et la hau- 
teur d'an point quelconque de ce plan ; cela suffira pour éta- 
blir l'épure, que l'on disposera comme on le voit, fig. 10> 
où Ton n'a conservé les notations que pour le point n, par 
lequel on a construit une tangente à la courbe. 

621. Si le plan coupant est horizontal, la courbe de sec* 
lion sera semblable à la trace horizontale du cône ; et, dans 
ce cas, il suffira de déterminer un point de la courbe de- 
mandée. En effet, lorsque l'on connaîtra, fîg. 1, le point jn 
homologue du point M, on tracera le côté mu parallèle à MD, 
ce qui déterminera le point jw sur la génératrice SU du cône : 
puis, il ne restera plus qu'à construire les triangles mum^ 
semblables chacun à chacun aux triangles MUN. Ce qui 
déterminera autant de points que Ton voudra de la courbe 
demandée. 

Toutes les droites Nn doivent concourir au point S. 

Cette remarque est fort utile, parce qu'il est souvent né- 
cessaire de couper un cône par une suite de plans horizon- 
taux, comme on le voit, flg. 3. Dans ce cas, une seule géné- 
ratrice, S'M', percera les plans P^ PjPs etc., suivant des pomts 
tn', m/, m' qui, étant projetés sur le pian horizontal, dé-^ 
termineront sur chaque courbe un point m suffisant pour la 
construire. 

62à. Si le système de plans parallèles, par lesquels on veut 
couper le cône, était incliné' par rapport au plan horizontal, 
on disposerait l'épure comme cela est indiqué sur la figure 4 ;. 
puis, après avoir ilét^miiié la courbe HN, M^^ en opérant 
comme nous l'avons dit aux numéros 616, 620, il ne resterait 
plus qu'à construire toutes les courbes semblables, mn^ pour 
chacune desquelles on obtiendrait le point m, en constro^* 
sant la génératrice S'G^ . 

623. Si Tune des sections MN, fig. 12, est une ellipse,, 



I 

I 



toutes les sections pardllètes seront des ellipses semblables à 
HN, et, dans ce cas^ on projettera les trois droites S'0^ S^M% 
S'N'. La première S'O' de ces trois droites déterminera les 
centres o de toutes les ellipses ; la droite S^M^ déterminera les 
extrémités m de tous les grands axes, et la droite S'N' donnera 
les extrémités n des petits axes. 

Enfin, on déterminera aussi facilement les points u et v» 
suivant lesquels ces ellipses sont touchées par les deux gêné* 
ratrices SU et SV, qui forment les limites de la projection 
horizontale du cône. 

624. Il arrive souvent, flg. Il, que le sommet du cône ne 
peut pas être projeté sur l'épure. Dans ce cas, on peut pres- 
que toujours le remplacer par une section mn, semblable et 
parallèle à la directrice MN. Les droites passant par les points 
homologues de ces deux figures seront les projections hori- 
zontales des génératrices du cône. On construira les projec- 
tions de ces lignes sur un plan vertical A'Z', perpendiculaire 
au plan coupant P. Puis, en opérant comme nous l'avons dit 
aux n"" 616 et 617, il sera facile de projeter et de rabattre la 
courbe de section K, K', et K". ^ 

625. Tout ce que nous avons dit au numéro 529 pour la 
courbe de section d'un cylindre par un plan s'appliquerait 
également à la section plane de toute autre surface. 

Ainsi la figure 2, planche 63, contient les op^^ioes né* 
cessaires pour déterminer le point le plus élevé et le point 
le plus bas de la courbe de section d'un cône par le plan P. 

Le tout se réduit évidemment à construire les deux [ïlans 
tangents P^ et Pt dont les traces horizontales «ont parallèles à 
la trace horizontale du plan P. 

626. Sur la figure 1, on a déterminé le point le plus prà^ 
et le plus éloigné d'un plan donné Pt flg. 4. 

Pour cela on a construit, flg. 1 : 

lo Le plan Pg parallèle au plan donné P? flg. 4 ; 

2? La droite uu\ intersection des plans P et Pg ; 

3*" Les deux plans tangents P, et P4 jûtrallèles à la droite 



99B SUftFiLGBS PL. 64. 

é"* Les deux tangentes Ts et T4 suivant^ lesquelles le plan P 
est coupé par les plans tangents Ps et P4; 

5* Enfin les deux génératrices suivant lesquelles le cône est 
touché par les mêmes plans. 

627. Sur la figure 3, on a déterminé le point le plus à 
droite'et celui qui est le plus à gauche, ou, ce qui revient au 
même, Je point le plus près et le plus éloigné d'un plan quel- 
conque Pg perpendiculaire à la ligne AZ. 

Ainsi on a construit : 

!• Le plan P,^ parallèle au plan P9 donné ; 

2' Les deux plans P et Pio se coupent suivant la droite uu 
rabattue en u^^ sur le plan vertical de projéctio» ; 

3** La droite s'o^^ parallèle à it" est l'intersection des deux 
plans tangents demandés ; 

4* La droite s'v^^ ramenée dans le plan f^ détermine le 
point '(;, et par suite les traces horizontales Pa^et Pg des deux 
plans tangents ; 

5° Les deux tangentes T« et Tg doivent être perpendiculaires 
à la ligne AZ ; 

6* Enfin ces deux tangentes détermineront les deux points 
cherchés 5 et 6 sur les génératrices suivant lesquelles le cône 
est touché par les plans Pb et Pg. 

628. Cône elliptique. Le cône elliptique est celui qui a 
pour directrice une ellipse. Or, lorsqu'un plan est dirigé 
de manière à œuper toutes les génératrices de la même 
nappe d*un cône elliptique^ la courbe de section tst une 
ellipse. . . 

En efiet, on sait, flg. 4, pi. 64, que dans toute ellipse AU, 
rapportée à deux diamètres conjugués quelconques, on a 
toujours : 



AN X ND : AN' x N'U = MN : M'iV . 

C'est-à-dire que les rectangles formés par les deux segments 
d'un diamètre sont entre eux comme les quarrés des ordon- 
nées correspondantes. 

La relation que nous venons d'énoncer est également vraiQ 



H.. 64. ^ GOHIOUBS. 

pour deax ellipses semblabiâ, et quels que soient les pieds 
des ordonnées ; car si les deux ellipses AU et au, tlg.A et 6, 
sont semblables on aura 

AN : an = MN :'mn, 
NU : nu = MN : mn; 

multipliant, on obtient 

AN X NU : anxnu^^ MÎT :mn . 

Nous admettrons la réciproque qui est démontrée dans tous 
les traités d'Algèbre appliquée ; c'est-à-dire que, si les reo 
tcmgles formés par les deux segments d'un diamètre sont 
entre eux comme les quarrés des ordonnées correspondantes , 
la courbe sera une ellipse. 

D'après cela, supposons, flg. 6, un cône droit ou incliné, 
qui aurait pour directrice Tellipse RKFH. 

Concevons les 4eux sections IBMC, rB'M'C, parallèles et, 
par conséquent, semblables à la directrice RKHF. Quelle que 
soit la direction du plan coupant P, les droites IH, FM' seront 
parallèles entre elles. 

Concevons RF parallèle aux droites IH, VW, et menons le 
plan SKH, de manière que le diamètre KH soit le conjugué de 
RF. 11 en résultera que les cordes IM et FM' seront conjuguées 
avec les diamètres BC e^ B'C, et que la droite AH sera Tinter- 
section du plan SKH par le plan P qui contient la courbe de 
section AMM'UFI. ' . 

Or les triangles semblables ABN, AB'N' donneront 

AN:AN' = BN:BW; (1) 

les triangles semblables UCN, UC'N' donneront 

NU:N'U = NC:N'G'; (2) 

multipliant l'équation (1) par (2), on aura 

AN X NU : AN' X N'U = BN-X NC : BW X N'C. (3) 

Mais les deux courbes IBMC et FB'M'C étant semblables à la 
directrice RKFH, sont des ellipses; et, par le principe énoncé 
au ri* 628, on a 

BN X NG : B'N' X N'C = MN* : SPN'* ; (4) 



MO SCRPAOES , PL. 64. 

multipliant (3) par (4) el réduisant, on obtient 

AN X NU : AN' X N'U =*MN* : FF*; . (5) 

donc, puisque les rectangles formés par deux segments quel- 
conques du diamètre AU sont entré eux comme les quarrés 
des ordonnées correspondantes MN et M'N^ la courbe AMM'UFI 
est une ellipse (628). 

629. Tout ce que nous venons de dire est applicable au 
cylindre elliptique, flg. 7 ; la coïncidence des lettres sur le& 
deux figures 6 et 7 nous dispensera de répéter ia démons- 
tration. 

t 

630. Les cordes Ml, M'I', flg. 6, étant conjuguées avec le 
diamètre AU, la tangente AT sera parallèle à ces cordes ; 
mais si l'on -fait tourner le plan coupant P autour de la tan- 
gente AT, de manière que le point U s'éloigne du sommet S 
du cône^ il y aura un moment où le point U sera situé à l'in- 
fini ; alors le plan P ne rencontrera plus la génératrice SH 
qui, dans ce cas, sera parallèle au diamètre AU, et la courbe 
ne sera plus fermée. Or, dans ce cas, ilg. 12, on aura 
NC = N'C'. 

L'équation (4) deviendra 

WilW^r^ztBNiBW; (6) 

mais les triangles semblables, ANB, AN^'B', donnent la pro- 
portion 

BN : WW = AN : AN^ (7) 

multipliant (6) par (7) et réduisant, on obtient 

MNMiPN'* = AN:AN'; (8) 

d'où Ton doit conclure que la courbe de section est une pa- 
rabole, puisque Ton sait que dans toute parabole rapportée & 
des axes conjugués, flg. 13, les quarrés de deux ordonnées 
quelconques, MN, M'N', sont entre e\i\ comme les absdssea 
correspondantes, AN, AN' (Algèb. appL). 

631. Si l'on continuait à faire tourner le plan coupant au- 
tour de la tangente AT, flg. 12 et 6, le point U se porterait 



jt 64. coK/wms. 8M 

sur SV prolongement de Sfl, le plan P couperait alors les 
deux nappes du cône et la courbe de section serait une hyper- 
bole ; ce que Ton pourrait démontrer en raisonnant comme 
nous Tavons fait pour l'ellipse figure 8. 

632. Pour résumer, supposons que le triangle SHK, ftir. 6, 
soit la projection d'un cône elliptique quelconque, dont la 
seconde nappe serait SH'K'. Si Ton coupe ce cône par des 
plans P Pf ou Pt on obtiendra une ellipse lorsque l'angle KÂU 
sera plus grand que ÂSD ; on aura une parabole quand 
l'angle KAU' sera égal à ÂSU. Enfin, la courbe de section sera 
une hyperbole lorsque l'angle KAU'' sera plus petit que ASU ; 
parce que, dans ce cas, le plan coupera les deux nappes du 
cône. 

Les projections et les rabattements des trois courbes pour- 
ront être obtenus en opérant comme nous Tavons dit au 
n<» 131. Ainsi, les figures 1^ 2 et^3 contiennent les opérations 
et la disposition d'épuré la .plus convenable pour obtenir une . 
section elliptique du cône ; les figures 9, 10 et 11 con- 
tiennent les projections et le rabattement de la section para- 
bolique, et sur les figures 14, 15 et 16, on s'est proposé de 
construire les projections et le rabattement d'une section 
hyperbolique. 

Pour déterminer le point m sur la projection horizontale 
de la parabole, fig. 10, on rabattra la génératrice S'a en 
S'a'', le point m' de la figure 9 viendra se projeter en w"» 
d'où on déduira tn'", qui, ramené à sa place, donne m pour 
le point demandé. 

On agira de même pour obtenir le point n, et les points si- 
tués sur les génératrices dont les projections seraient coupées 
trop obliquement par les perpendiculaires à la ligne AZ. 

633. Il peut être utile, dans certains cas, de construire les 
asymptotes de l'hyperbole. On devra se rappeler alors que 
ces droites sont les limites des tangentes à la courbe, c'est- 
à-dire qu'une tangente qui tournerait autour de l'hyperbole, 
eu prenant toutes les directions possibles, se confondrait aveo 
l'une des asymptotes au moment ou le point de tangence 
serait arrivé à l'infini (386). 



30S BVftFAGBS N*. 64. 

La question sera donc réduite à faire passer par le centre 
de rhyperbole deux tangentes à cette courbe. 

Voici l'ordre des opérations : 

1" Les droites a' a, a' a perpendiculaires à la ligue AZ, dé- 
termineront sur les généralrices SK et SH les deux points a, a^ 
extrémités du diamètre aa. 

2'' Le point cd, milieu du diamètre aa, sera le centre de 
l'hyperbole. 

3' La droite Scu, S'c'w' sera Tintersection de deux plans 
tangents au cône et passant par le point cd (611). 

4* Les droites umP, tangentes à la trace du cône, seront les 
traces des deux plans tangents P^P^ 

5" Enfin les droites en, en, intersections de ces deux plans 
tangents avec le plan coupant P seront les asymptotes deman- 
dées. Car elles sont tangentes à Thyperbole, puisqu'elles sont 
les intersections du plan coupant avec les plans tangents qui 
contiennent le point cd ; et puisqu'elles passent par le centre 
de rhyperbole, elles coïncideront avec les asymptotes de cette 
courbe. 

634. Il faut ajouter, comme cas pai^ticulier des courbes 
, précédentes, les sections du cône par un plan -qui contiendrait 
le sommet. 

Si nous supposons, par exemple, que le plan P, figr- 8, 
tourne autour de l'horizontale projetante du point SS', il faudra 
distinguer trois cas : 

1** Si l'angle KSP, est plus grand que KSH, la section sera 
un 'poini que l'on pourra considérer comme une ellipse dont 
les axes seraient égaux à zéro. 

' 2^ Si l'angle KSP4 était égal à KSH, le plan toucherait le cône 
suivant la génératrice SH, qui remplacerait alors la courbe de 
section, que l'on pourrait considérer comme une parabole 
dont les deux branches se seraient rapprochées. 

\ 3** Enfin, si l'angle KSP5 était plus petit que KSH, le plan 
couperait le cône suivant deux génératrices que Ton pourrait 
'considérer comme une hyperbole coïncidant avec ses asymp- 
totes, parce que la distance du centre au sommet de la courbe 
serait égale à zéro. 



635. Cette dernière considération donne un deuxième 
moyen de construire Jes asymptotes de l'hyperbole. - 

En efiety admettons, ce qui est démontré dans tous les trai- 
tés de Géométrie, que ^î on coupe un cône par un des plans 
pa/rallèleSy toutes les courbes de section seront semblables. . 

II en résulte que si, par le sommet du cône projeté, flg. IS 
et 16, nous faisons passer un plan P^ parallèle au pl,an P, 
les deux génératrices Sm pourront être considérées comme 
forpiant une hyperbole semblable à celle qui résulte de la 
section du cône par le plan P, ces deux courbes ne différant^ 
comme nous Tavons dit, que par la distance du centre au 
sommet. 

Or, la section par le plan Pg donne l'angle que les asymp- 
totes font entre elles, et puisque l'on connaît le centre ce' 
de l'hyperbole qui résulte de la section par le plan P, il sera 
facile de construire les asymptotes en de cette dernière 
courbe. 

636. Section elliptique du cône. Parmi les trois courbes 
que l'on obtient en coupant un cône du deuxième degré par 
un plan, la plus importante est l'ellipse, que l'on retrouve à 
chaque pas dans les applications de la géométrie descriptive. 
Mais, de toutes les manières de construire une ellipse, la plus 
simple et la plus exacte est la construction par les axes (396) 
ou au moins par les diamètres conjugués (39f5). 

Or les deux tangentes m''m"' et n'' n"', flg. 3, étant pa- 
rallèles, la droite ww^ qui joint les points dé langence, est 
un diamètre, et le point o, milieu- de ce diamètre, sera le 
centre de Teliipse. Par conséquent, si du point o comme 
centre on décrit l'arc de cercle vu, le milieu c de cet arc sera 
situé sur le grand axe, que Ton obtiendra en traçant la droite 
oK perpendiculaire sur la corde de l'arc vu, 
' Le moyen que nous venons d'indiquer ne réussit pas 
toujours parce que l'arc de cercle coupe souvent la courbe 
suivant des angles trop aigus, et que d'ailleurs l'exactitude 
du résultat dépend de la courbe elle-même, qui n'est pas 
toujours déterminée avec une précision suffisante. II serait 
donc très-utile que l'on pût obtenir les axes ou au moins les 
diamètres conjugués avant la construction de l'ellipse. 



637. Supposons, pi. 65, qu'un cône elliptique soit donné; 
par ses projections horizontale et verticale, flg. 7 et 2, on 
veut obtenir la section de ce cône par le plan P* On détermi- 
nera d'abord le point le plus élevé m etle point le plus basn, 
en construisant les deux plans tangents dont les traces bori- 
«ontales P| et P^ sont parallèles à la trace horizontale du 
plan P. Les tangentes 2^ et vu seront parallèles à la traœ ho- 
rizontale dû plan P et formeront deux côtés du parallélo- 
gramme conjugué vuzx. La droite mn^ qui joint les deux 
points de tangence r/i etn, sera un diamètre de l'ellipse, et 
le conjugué ac de ce diamètre sera parallèle aux tai^entes 
isx et vu. Il ne reste donc plus qu'à déterminer les deux 
points a et c. 

Pour y parvenir, on tracera la droite SO, îi'0^ dont on cons- 
truira la trace horizontale 0, qu'il ne faut pas confondre avec 
le centre D de l'ellipse qui forme la trace horizontale du cône. 
La corde AC, parallèle à ac, donnera les deux points A^ Cv et 
par suite, les génératrices SA et SC, dont les intersections 
javec la droite horizontale ea dét^rmioeront les estirômités a 
et c du diamètre ac, conjugué de mn. 

J'ai indiqué sur l'épure quelques-unes des vériflealiions les 
plus remarquables. Ainsi : 

1** Le parallélogramme conjugué vuzr est la section par le 
plan P de la pyramide quadrangulaire circonscrite au cône et 
qui aurait pour base le quadrilatère ZXUV formé par les tan- 
gentes aux points, A, M, C, N delà base du cône. 

2° Les droites rrw, mn, zv et XC, MN, ZV se rencontrent deux 
à deux sur la trace horizontale du plan P. 

3** Enfin, les ,droites XU, MN et ZV concourent en dehors 
du cadre, vers le point suivant lequel le plan horizontal de 
projection est percé par l'a droite SK, S'K' menée par le som- 
met du cône parallèlement à la droite mn, et par conséquent^ 
aux côtés XU et zv du parallélogramme conjugué. 

Si Ton débarrasse l'épure de toutes les lignes de vérification 
qui ne, sont conservées ici que comme études, le travail gra- 
phique devient excessivement simple. 

Lorsqu'on aura obtenu les diamètres conjugués ao, mn, 
on pourra construire l'ellipse, en opérant comme nous Tavons 



PL. 65. CONIQUES. 305 

<lit au m 395, ou, si Ton préfère, on déterminera les axes 
par le moyen indiqué au n° 396. 

Ce que nous venons de dire est également applicable à 
la section plane du cylindre elliptique projeté sur les fi- 
gures 12 et 4. 

638. Cône circulaire. Les figures 1 et 13 contiennent les 
applications du principe précédent aux sections planes du 
cylindre et du cône circulaires, qui ne sont que des cas par- 
ticuliers parmi les cônes et cylindres elliptiques. .Mais il ne 
faut pas oublier que, dans la pratique, le cône et le cylindre 
circulaires sont employés bien plus souvent que les cylindres 
ou les cônes qui ont pour directrices d'autres courbes. C'est 
pourquoi je crois utile d'ajouter encore quelques développe- 
ments aux éludes précédentes. 

Soit, fîg. 6, la perspective d'un cône circulaire coupé obli- 
quement par un plan P. La courbe ÂMU étant la ligne de 
section, concevons deux sphères inscrites dans le cône et 
tangentes au plan P, l'une au point F et l'autre au point F'. 
La première sphère sera touchée par le cône, suivant le cercle 
KIH, et la seconde suivant le cercle BOC. Ces deux cercles 
seront parallèles ei leurs plans P, et P, seront perpendiculaires 
à l'axe SK du cône. 

Cela étant admis, concevons la génératrice SO, qui ren- 
contre la courbe de section en un point M. Traçons MF, MF', 
^t rappelons-nous que si, par un point extérieur, on mène 
deux tangentes à une sphère,' les parties de ces tangentes 
comprises entre les points de tangence et le point de con- 
cours des deux tangentes seront égales. On aura donc 

MF = MI, 
MF' = MO ; 

d'où, en ajoutant et transformant, 

MF + MF' = Ml + MO = 10, 

quantité constante, quelle que soit la position occupée par 
le point M sur la courbe de section. Cette courbe AMU est 
donc une ellipse, puisqu'il existe dans son nlan deux points 

20 



306 SURFACES PL. 65. 

F et F', tels que la somme des distances de ces points à un 
point quelconque M de la courbe est une quantité constante; 
propriété qui n'appartient qu'à l'ellipse et que l'on prend sou- 
vent pour sa définition. Le résultat que nous venons d'obte- 
nir pouvait être prévu, puisque le cône circulaire n'est qu'un 
cas particulier parmi les cônes elliptiques ; mais ce qu'il y a 
surtout de remarquable dans le cas actuel, c'est que les foyers 
de l'ellipse sont les points suivant lesquels les deux sphères 
sont touchées par le plan coupant P. 

Si actuellement nous reprenons la quantité constante 10, 
nous aurons 

10^KB = HC- ^"+"^ = ^'^+^° + °" + "^ 

• 

• _AF + AFH-DF + OF'_AD + A[J_ 
2 " 2 *^' 

d'où il résulte que 

JIF + MF' +AU, 

ainsi la somme des jdistances MF + MF' est égale au diamètre 
qui contient les deux foyers : ce qui complète la définition 
de l'ellipse (357). 

< 

639. Si le plan coupaDt est dirigé de manière à rencontrer 
les deux nappes du cône, tlg. 3, et si l'on conçoit les deux 
sphères inscrites qui touchent ce plan P aux points F et F', 
on aura encore 

MF =MI, 
MF' = MO ; 

d'où, retranchant et transformant 

MF — MF' = MI — MO = 10 = KB = HC = î^J? = 

2 

AB — AK + UH— UC AF' — AF + UF - DF' 



'2 

AU4- AD 



= AU, 



d'où MF' =^ MF' = AD, 



PL. 65. 



CONIQUES. 



307 



par conséquent, la courbe de section est une hyperbole dont 
l'axe transverse est égal à AU. 

640. Enfin, supposons que le plan coupant, t\g. 5, soit 
parallèle à l'une des génératrices SC du cône ; concevons la 
sphère inscrite qui louche le plan P aiï plan F, et traçons les 
deux cercles parallèles KH et BC, on aura : 



MF = MI = KB = KA + AB ; 



(1) 



mais la droite DU étant parallèle à SC, les triangles AKD, SHK 
seront semblables,- et le second étant isocèle le premi.et le 
sera également, ce qui donnera : 

KA = AD ; 

le triangle ABU sera isocèle et donnera : 

AB = AU : 



d'où, en ajoutant 

KÂ + AB = AD+AU; 
mais nous avons trouvé (1) 

MF=KA + AB; 
ajoutant et réduisant, on obtient : 

MF = AD+AU=UD = MR. 



{^) 



(3 



Donc la courbe est une parabole puisque, pour l'un quel- 
conque M de ses points, la distance MF au foyer F est égale à 
la distance MR du même point à une droite DR, que Ton 
nomme -directrice (374); cette droite, provient de Tinter- 
section du plan coupant P avec le plan P^ qui contient le 
cercle suivant lequel la surface -du cône touche la sphère 
inscrite. 

L'ellipse et l'hyperbole ont chacune deux directrices DR, 
ifig. 6 et 3. Ces droites, comme pour, la parabole, sont les 
n tersections du plan coupant P et des plans P^ et P, des 
cercles de contact du cône et des sphères inscrites. 

Dans la parabole, Tune des directrices est située à l'infini 
et le triangle ADK, fig. 5, étant isocèle, on a : 

AF = AK = AD. 



308 SURFACES PL. 65. 

Ce que nous avions déjà dit au m 374. 

< 
641. Si le cône circulaire, flg. 9 et 10, est coupé par un 

plan P perpendiculaire au plan vertical de projection A'Z', la 
courbe de section se projettera sur ce plan par une ligne 
droite, et sur le plan horizontal par une ellipse dont il sera 
facile de déterminer les axes sans chercher d'abord les dia- 
mètres conjugués, comme nous l'avons fait au n» 637. 

En effet, les deux points a et c seront les extrémités du 
grand axe dont le milieu o'o sera le centre de Tellipse. On 
déterminera les extrémités du petit axe en décrivant la cir- 
conférence de la section circulaire que Ton obtient en coupant 
le cône par un plan horizontal P^ mené par le centre oo' de 
l'ellipse de section. 

La figure 8 est la courbe elle-même rabattue en tournant 
autour de la trace horizontale du plan P. 

La droite a' m, bissectrice de Tangle S'aV, rencontrera 
l'axe du cône en un point w, qui sera le centre de la sphère 
inscrite, et la droite mF, perpendiculaire sur le plan P, dé- 
terminera en F l'un des foyers de la courbe de section. On 
pourra obtenir le second foyer en obérant de la même ma- 
nière ou en faisant c'F' = a'F'. Ces foyers sont rebattus, 
flg. 8, avec Tellipse a V. 

Il est très-essentiel de remarquer que les foyers de la pro- 
jection horizontale de Tellipse de section ne sont pas sur les 
pei*pendicuiaires abaissées par les foyers F et F' de la courbe 
aV, flg. 9. 

842. Frojection circulaire de l'ellipse. Si Ton décrit 
la demi-circonférence quia pour diamètre la droite aV égale 
au grand axe de Tellipse de section, si ensuite on fait la 
corde c'K, flg. 9, égale au petit axe vu de la même ellipse, 
le triangle c'Ka' sera rectangle, en K ; la corde c'K sera la 
projection de Thypoténuse af& ; d'où il résulte que Fellipse 
se projettera par un cercle sur tout plan P, qui serait perpen- 
diculafre à la corde a% puisque, sur ce plan, la projection 
&k du grand axe aV de l'ellipse sera égale au petit axe vu 
de là même courbe, flg. 10. 

Cette opération nous sera souvent utile par la suite, car 



:çL, 66. CONIQUES. 309 

toutes les fois que Ton devra couper un cône circulaire par 
une suite de plans parallèles, les ellipses que Ton obtiendra 
seront semblables entre elles et les projections elliptiques de 
toutes ces courbes seront remplacées par des cercles sur un 
plan quelconque de projection déterminé par les opéra- 
tions précédentes. D'où il résulte que , pour la solution 
de certains problèn^s, il sera quelquefois utile de remplacer 
le cercle par une ellipse, car il est évident qu'une ellipse 
projetée par un cercle sera plus simple, et par conséquent 
plus commode, qu'un cercle incliné dont la projection serait 
une ellipse. 

643. Lorsqu'un cône circulaire, terminé par une base per- 
pendiculaire à son axe, est projeté sur un plan parallèle à 
cet axe, la projection, fig. 327, pi. 66, est un triangle iso- 
cèle sec. La circonférence tangente aux droites se, se, est la 
projection d'une sphère inscrite et tangente à la surface du 
cône, suivant une circonférence de cercle qui a pour projec- 
tion la droite uu. 

Enfin, les deux droites parallèles vv, vv sont les limites de 
la projection d'un cylindre circulaire qui touche la sphère 
suivant la circonférence du grand cercle qui a pour projec- 
tion la droite zz, • \ ^ 

Les deux cercles uu, zz, situés tous deux sur la surface de 
la sphère, se coupent en un pomt œ qui appartient à la sur- 
face du cône, puisque le cercle uu, suivant lequel la spBère 
est touchée par le cône, appartient tout entier à cette der- 
nière surface. 

Si nous concevons actuellement que le cylindre et le cône 
soient coupés par un même plan pq, les deux courbes de sec- 
tion seront deux ellipses qui, ayant un axe commun aa et 
un point commun œ, coïncideront et ne feront, par consé- 
quent, qu'une seule et même courbe. 

Il en sera de même de la section du cylindre et du cône par 
un plan p'q' ; d'bù nous pouv^s conclure que les diagonales 
du quadrilatère aa^aa^ sont les projections de deux ellipses 
situées en même temps sur les surfaces du cylindre et du 
cône, et que nous pouvons, par conséquent, considérer comme 
étant les intersections de ces deux surfaces. • 



310 / SURFACES PL. 66. 

Il résulte évidemment des relations que nous venons de 
mettre en évidence, que si on prenait un plan de projection 
perpendiculaire au cylindre vwv^ les deux ellipses aa, a'a' 
se projetteraient sur ce plan par une seule circonférence qui 
serait en même temps la projection du grand cercle zz, sui- 
vant lequel la sphère inscrite dans le cône est touchée par le 
cylindre. • 

644. Projection obliqua du cône circulaire^ Si le cône dont 
il s'agit doit être placé obliquement, il faudra opérer de la 
manière suivante : 

On choisira d'abord Tun des plans de projection parallèle à 
l'axe du cône, dont la projection sur ce plan sera le triangle 
isocèle ^cV, flg. 326i Pour compléter la projection sur 
l'autre plan, il faudrait obtenir la trace du cône ou la projec- 
tion de sa base. Mais on pourrasouvenl éviter la construction 
de ces courbes, en employant pour directrice de la surface du 
cône la section par un plan pq incliné de manière que 
la projection de cette courbe soit une circonférence de 
cercle. 

Cette manière de procéder sera d'autant plus commode 
dans les applications, que souvent, au lieu d'un cône oblique 
exigé par la nature de la question, on préfère employer un 
cône circulaire coupé obliquement. , ^ 

645. Pour déterminer l'inclinaison de la section a'a\ de 
matiière que la projection horizontale de cette courbe soit 
une circonférence de cercle, on prendra sur l'axe du cône un 
point quelconque ayant pour projections les' deux points oo\ 
De ces points, comme centres, on décrira deux circonférences 
égales, et d'un rayon tel que la circonférence décrite du point 
o' soit tangente aux deux droites ^V, 5'c', qui forment les 
limites de la projection verticale du cône. 

Les deux circonférences dont nous venons* de parler sont 
évidemment les deux projections d'une sphère qui serait in-, 
scrite dans le cône proposé. On élèvera les deux perpendi- 
culaires aa''a'^ aa^à"\ qui couperont les lignes ^d aux quatre 
pointsa', a'^ aVû^'^ 



PL. 66. CONIQUES. 31 i 

Enfin, les droites a'a', a"a"y diagonales du quadrilatère 
a' a" a* a" seront les projections verticales de deux ellipses 
dont les projections horizontales se confondront avec la cir- 
conférence décrite du point o comme centre. 

646. On choisira de préférence Tellipse [a/ a') pour direc- 
trice du cône, parce que ses intersections par les génératrices 
donnent lieu à des angles moins aigus. 

Si on doutait que les deux ellipses (aV) (a'V^ dussent 
iie projeter par la circonférence décrite du point o, il suffira 
de remarquer d'abord que le diamètre aa est la projection 
commune des deux axes a'a', a"a" ; que, de plus, les deux 
ellipses ont un point commun xx' qui se projette sur la cir- 
conférence du ^rand cercle horizontal de la sphère, et que, 
d'ailleurs, ces deux ellipses ont pour surface projetante com- 
mune le cylindre circulaire et vertical qui touche la sphère 
suivant le grand cercle horizontal zzy lequel cylindre a par 
conséquent pour trace la circonférence décrite du point o 
comme centre. 

Les deux tangentes sx^ sx seront les limites de la projec- 
tion horizontale du cône. 

Les points de tangence x, x seront déterminés par le moyen 
géométrique? connu, ou par la perpendiculaire x'^ abaissée du 
pointu?'. 

647. Pour construire un point appartenant à la surface du 
cône et qui serai| donné par sa projection verticale m', on 
tracera la génératrice 5'm'. Le point n', suivant lequel cette 
génératrice rencontre la directrice û/a', se projettera sur le 
plan horizontal par T un des deux points n, n, ce qui don- 
nera les projections horizontales des deux génératrices m, m, 
qui ont s'n' pour projection verticale commune. 

Enfin la perpendiculaire m'm déterminera les deux points 
w, m qui se projettent tous deux par le point m'. 

648. Base du cône. La base c'c' du cône étant un cercle 
incliné, sa projection horizontale sera une ellipse que nous 
construirons comme nous Tavons dit au n"* 548. 



312 ' SURFACES PL. 66. 

Le centre u étant déterminé, on fera eu égal à wV, 
ce qui donnera le grand axe ee de i'ellipse demandée. Les 
extrémités c, c du petit axe seront déterminées \par les per- 
pendiculaires c'c, de. 

649. Traces du cône. Si l'on prend pour directrice la base 
rabattue du cône circulaire, ou la section par un plan pq, 
incliné de manière que la projection soit un cercle, il sera 
presque toujours inutile de construire les traces du cône. 
Nousallonscependant, comme exercices, indiquer les moyens 
d'obtenir ces courbes. 

> 

650. Ellipse. Soient données, flg. 324, les deux projec- 
tions d'un cône circulaire ayant pour sommet le point s, s', 
et pour directrice une section aa, aV, que l'on obtiendra 
comme nous l'avons dit au n° 494, on veut construire la trace 
du cône. 

Nous remarquerons d'abord que cette trace doit être une 
ellipse, puisque le plan horizontal AZ coupe toutes lesgéné- 
ratrices d'une même nappe (645), et que, d'ailleurs, l'angle 
œ'da' est plus grand que aVc' (632). 

Les génératrices ^V, s'd percent le plan horizontal en deux 
points c, c, qui sont les extrémités du grand axe de l'ellipse 
cherchée. Le point uu\ milieu de la droite ce, sera le centre 
de cette courbe, et le petit axe d^d\ projeté sur la ligne AZ 
par un seul point u', doit être égal au double de la ligne u'e. 

En effet, l'axe ^ V, perpendiculaire au plan vertical de pro- 
jection, est une corde commune à l'ellipse cherchée cd^cd^ et 
au cercle provenant de la section du cône par le plan q'y per- 
pendiculaire à son axe. Si donc on rabat cette dernière sec- 
tion sur le plan vertical qui contient Taxe du cône. Tune 
des extrémités de la corde e'^e'^ viendra se placer en e sur la 
circonférence décrite du point y comme centre avec le rayon 
yty ce qui déterminera la longueur de u'e moitié de e'V^ 
second axe de l'ellipse ce"ce" . 

m 

651. Si du pointai, comme centre, on décrit l'arc de cercle 
cœ^\ et que Ton construise [Géom.) le point x" suivant lequel 



PL. 66. CONIQUES. 313 

cet arc serait touché par la tangente sx", Tordomiée a/'a? dé- 
terminera les points œx^ et par conséquent les deux tangentes 
SX, SX, quixomplètent la projection horizontale du cône. * 
• Nous avons vu que ces points pouvaient encore être dé- 
terminés en construisant par le point s deux tangentes à la 
circonférence axax. 

Enfin on remarquera, pour troisième vérification, que les 
points x^\ /r, a?, a?^ doivent être tous sur une même droite 
perpendiculaire à la ligne AZ (646). 

. 652. Foyers. On peut obtenir ces points en opérant comme 
nous Vavons dit au n° 250, ou bien en faisant usage de la pro- 
priété que nous avons démontrée aux n" 638, 639 et 640. 
Ainsi, par exemple, si nous partageons l'angle ^cV, flg. 324, 
en deux parties égales par la droite cV, le point r' sera le 
centre d'une sphère qui toucherait en même temps le cône 
et le plan horizontal AZ, de sorte que le point de tangence 
FF' sera l'un des foyers de Fellipse. 

Le second foyer sera déterminé par la droite qui partage 
en- deux parties égales l'angle u'ds'" . 

653. Parabole La trace du cône projeté, fig. 328, sera 
une parabole, puisque Tangle oc'c^a' est égal à a's^c' (632)- 

La courbe aa, a'a' directrice du cône, étant obtenue par 
la construction indiquée au n» 645, on tracera les deux tan- 
gentes SX, SX, qui forment les limites de la projection hori- 
zontale du cône. 

On partagera Tangle s'c'x' en deux parties égales par la 
droite c'r'. 

Le point r, suivant lequel cette droite rencontre Taxe s'o\ 
sera le centre de la sphère inscrite dans le cône et tangente 
au plan horizontal AZ ; de sorte que le point de tangence 
FF' sera le foyer de la parabole. 

11 sera utile de se rappeler, comme vérification, que le 
point F doit être situé sur la droite vF, menée perpendicu- 
lairement, par le point v, milieu delà tangente sx. 

Si l'on fait ck égal fà cF, la droite dd, perpendiculaire à sa, 
sera la directrice qui, avec le foyçr Fi suffira pour construire 
la parabole (374). 



314 SURFACES PL. 67. 

654. Hyperbole. La trace du cône projeté, fîg. 329, sera 
une hyperbole, puisque le plan coupant AZ rencontre les 
deux nappes du cône. 

La courbe aa, a'a' directrice du cône étant obtenue comme 
précédemment, on construira les deux tangentes sxj sx^ 
qui forment les limites de la projection horizontale du cône. 

On partagera les angles 5'c'A, 5c"Z, chacun en deux parties 
égales par les droites co\ cn\ 

Les points o', n' seront les centres de deux sphères ins- 
crites dans le cône et tangentes au plan horizontal AZ ; de 
sorte que les points FF' seront les deux foyers de l'hyperbole. 

Les points cc% oc" seront les sommets, et le point t/, milieu 
de ce, sera le centre. 

De ce point, comme centre, avec un rayon égal à wF, on 
décrira une circonférence, et les quatre points zzzz^ suivant 
lesquels cette ligne rencontrera les ordonnées cz, passant par 
les sommets de la courbe, appartiendront aux deux asymp- 
totes. On pourrait encore obtenir ces droites par l'un des 
deux moyens indiqués aux n*** 633 et 635. 

Les asymptotes et le sommet étant obtenus, il sera facile de 
construire les deux branches de la courbe (387). 

655. Intersections des cônes et des cylindres. Trou- 
ver la courbe provenant de rintersection d'un cylindre et 
d'un cône. 

On coupera ces deux surfaces par un système de plans 
parallèles au cylindre et passant par le sommet; du cône. 
Par ce moyen, les sections dans le cône et le cylindre seront 
des lignes droites. 

Soient, par exemple, flg. 335, pi. 67, le cylindre (A, A') 
et le cône (B, B') dont il faut trouver l'intersection. Construi- 
sons, par lé sommet $s du cône, la droite sc^ se' parallèle au 
cylindre, et faisons passer par cette droite un plan p ; ce plan 
sera lui-môme parallèle au cylindre et le coupera suivant les 
deux lignes (àa) {aa')\ de plus, il coupera le cône suivant. les 
deux génératrices (bb) {bb').Ov ces quatre lignes étant dans un 
même plan donneront, par leurs intersections, quatre points 
{u^u ) appartenant à la courbe demandée. Trois de ces 



PL. 67. CONIQUES. 315 

points sont au dessus du plan horizontal, le quatrième est 
au dessous. 

Dn second plan, cojitenanl la droite [se, s'&)^ donnera 
quatre nouveaux points de la courbe. 

Un troisième plan en donnera quatre autres et ainsi de 
suite. 

On continuera ces constructions jusqu'à ce que l'on ait ob- 
tenu un nombre de points assez rapprochés pour que l'on 
puisse tracer la courbe. 

656. On devra ici, comme dans la question du n** 561, 
chercher de préférence les points qui sont situés sur les gé- 
nératrices qui forment les limites des projections du cylindre 
et du cône. 

Tout plan dont la trace serait hors de Tangle formé par les 
traces des plans p' et p'' ne couperait pas le cône, et par con- 
séquent ne contiendrait pas de points communs aux deux 
surfaces. 

Dans rexemple qui nous occupe, les courbes d'intersection 
sont séparées et forment par conséquent pénétration. 

657. Tangente à la courbe d*intersection. Si Ton veut ob- 
tenir uae tangente au point mm\ on construira : 1<» la droite 
vz, trace horizontale d'un, plan qui toucherait le cylindre dans 
toute l'étendue de la génératrice mz, m'z'. 

2^ La droite vx, trace horizontale d'un second plan qui 
toucherait le cône dans toute retendue de la génératrice 
mx.m'af. 

3*» La droite vw, projection horizontale de l'intersection 
des deux plans tangents, et par conséquent de la tangente 
au point mm/, 

4*» La droite v'm', projection verticale de la tangente de- 
mandée. 

On fera bien de construire ainsi quelques tangentes par- 
tout où il y aura incertitude sur la direction de la courbe. 

Si l'on veut construire les courbes de pénétration dans leâ 
surfaces développées du cylindre et du cône, il faudra opérer 
comme nous l'avons dit aux n^' 502 et 60i. 



316 SURFACES PL. 67. 

658. On peut simplifier les opérations en plaçant, ûg. 332^ 
le cylindre perpendiculairement à l'un des pians de projec- 
tion ; la trace du cylindre sur ce plan, devient alors la projec- 
tion de la courbe, et il ne reste plus qu'à élever des perpen- 
diculaires par les points où cette proj^tion est rencontrée 
par les projections des génératrices du cône. 

659. Trouver la courbe provenant de Finterseclion de 
de\ix cônes. 

On construira^ fig. 336, la droite [so, s^o') qui joint les ^ 
sommets des deux cônes, puis par cette droite on fera passer 
des plans. Chacun de ces plans contenant les deux sommet» 
coupera les cônes suivant des lignes droites qui, par leur in- 
tersection, donneront les points de la courbe demandée- 
Ainsi, par exemple, le plan p coupe le cône (A, k!) suivant 
deux génératrices (a, a') [a, a'), et le cône (B, B') suivant 
les deux lignes (è, V) (6, V). Ces quatre lignes donnent, par 
leurs intersections, les quatre points (jy, w'...). Deux de ces 
points appartiennent à la courbe de pénétration par laquelle 
le sommet du cône B sort du cône A ; le troisième fait partie 
de r intersection formée par le prolongement des nappes in- 
férieures des deux cônes ; et le quatrième, projeté horizon- 
talement en u\ derrière le plan vertical, appartient à la 
ligne u'y provenant de l'intersection des deux nappes supé- 
rieures. 

660. Si l'on n'avait pas sur l'épure les sommets des cône» 
proposés ni le point où la droite qui contient ces sommets 
rencontre le plan horizontal, on pourrait couper les deux 
cônes par des plans parallèles aux plans de projection. Les 
intersections des cônes par ces plans seraient semblables 
aux traces, et ces courbes, faciles à construire (621), se cou- 
peraient suivant des points appartenant à l'intersection de- 
mandée. 

Ce moyen s'emploie surtout avec avantage lorsque le» 
traces des cônes proposés sont des cercles. 

661. Tangentes. La droite vz est la trace horizontale d'un 



PL. 67. ' CONIQUES. 317 

plan qui touche l'un des cônes suivant la génératrice zu.z'u', 
La droite vx est la trace horizontale d'un plan qui touche 

le second cône suivant la génératrice xu, x'u', La ligne vu 

sera, .par conséquent, la projection horizontale de la tangente 

au point uu'. 
Le plai) tangent 0V2 étant perpendiculaire au f)lan vertical 

de projection, la droite v'u' sera la projection verticale de la 

tangente. 
Les développements des cônes se construiront comme nous 

Tavonsditau m601. 

662. Les courbes provenant de la pénétration de deux cy- 
lindres ou d'un cylindre avec un cône peuvent quelquefois 
être planes. 

Ainsi, par exemple, si le cylindre et le cône projeiés, 
flg. 330, avaient pour directrice commune une ellipse rw, 
l'intersection de ces deux surfaces donnerait lieu à une se- 
conde ellipse. 

En général, toutes les fois que deux cônes, deux cylindres^ 
ou enfin un cylindre et un cône sont du second degré (592J, 
et que ces deux surfaces se pénètrent, si la courbe d'entrée 
est une courbe du second degré^ la courbe de sortie sera 
pareillement du second degré (Algèbre appl.). 

663. Raccœ^dement des surfaces cylindriques et coniques. 

Pour que la surface d'un cylindre et celle d'un cône sofent 
tangentes l'une à l'autre, il faut qu'ils soient touchés par un 
même plan dans toute l'étendue d'une génératrice commune. 

Cela exige que le sommet du cône ?oit situé sur cette ligne. 

Ainsi, par exemple, si les deux courbes ac, co, fig. 331, 
se touchent et se raccordent au point c, la surface conique 
qui aurait son sommet en s et pour directrice la courbe co, 
devra se raccorder avec la surface du cylindre qui aurait pour 
génératrice se et pour directrice la courbe ac. 

664. Les deux surfaces coniques sac, s*co, flg. 333, se 
raccordent parce que leurs directrices se raccordent, et que 
les deux sommets s et s' sont situés sur une môme généra- 



318 SURFACES - Pt. 67. 

irice se qui contient le point de raccordement des directrices. 
Il est évident que les deux cônes se raccorderaient encore 
s'ils avaient pour directrices deux courbes quelconques ae, 
c'o' touchées par un même plan, pourvu que Ja droite qui 
joindrait leis points de tangence c, & contienne les sommets 
des deux cônes.. 

665. La combinaison la plus simple de deux cônes a lieu 
lorsqu'ils ont un sommet commun. Dans ce cas, il faut dis- 
tinguer trois cas, et pour mieux les mettre en évidence, sup- 
posons que l'on prenne pour directrices les sections de ces 
deux cônes par un même plan^ 

Si les directrices ne se rencontrent pas, il est évident que 
les deux cônes n'auront pas d'autre point commun que le 
sommet. 

Si les directrices se touchent, les deux cônes seront tan- 
gents l'un à l'autre, suivant la génératrice qui passe par le 
point de tangence des directrices. 

Enfin, si les deux directrices se coupent suivant un ou plu- 
sieurs points, les deux cônes se couperont suivant toutes les 
génératrices qui passent par les points d'intersection des di- 
rectrices. 

I ' 

666. Trouver l'intersection d'un cône par une ligne courbe. 
On'construira, flg. 334, une seconde surface conique ayant 

même sommet que le cône donné A, A^ et dont la directrice 
sera la courbe donnée (a, a'). Ces deux cônes se couperont 
suivant les deux génératrices communes (fe, V) [h, V), et les 
intersections de ces deux droites par la courbe proposée se- 
ront les points demandés (m, mO (m, m'). 

Quand la ligne donnée est droite, comme au n** 473, la 
surface conique auxiliaire devient un plan. 

Si l'on n'avait pas le sommçt du cône, il serait bon d'em- 
ployer comme surface auxiliaire l'un des cylindres projetant 
de la courbe proposée. 

L'intersection avec le cône ne présenterait aucune diffi- 
culté (658). 

667. Remarque. Dans les applications des mathémâ- 



PL. 67. CONIQUES. 319 

tiques, il ne faut paS confondre un principe général avec; unç 
méthode générale. En effet, il ne peut pas y avoir de mé- 
thode générale dans la pratique. 

Ainsi, lorsque Ton veut obtenir la courbe de pénétration 
de deux surfaces coniques, il faut les couper par des surfaces 
auxiliaires qui peuvent être quelconques,.ei c'est dans cette 
faculté d'employer les surfaces que l'on veut, que consiste la 
généralité du principe. Mais lorsque l'on dit qu'il faut couper 
les cônes donnés par des plans qui contiennent les deux som- 
mets, on indique une méthode qui parait générale en théorie, 
mais qui, dans les applications, n'est presque jamais prati- 
cable : d'abord, parce que Ton a rarement sur l'épure les 
traces ou les sommets des deux cônes donnés ; ensuite, parce 
que la droite qui joindrait ces sommets est quelquefois tout 
entière en dehors de l'épure, on rencontre les plans de pro- 
jections suivant un point trop éloigné pour qu'il soit possible 
d'en faire usage. On ne fait pas assez d'attention à ces circon- 
stances qui se reproduisent à chaque pas dans les applica- 
tions de la géométrie (JjBScriptive ; ainsi, les surfaces coniques 
qui forment l'intrados de certaines voûtes dans les monu- 
ments, ou dans les fortifications, les cônes ou les cylindres 
dont les intersections ont lieu si souvent dans les assemblages 
de la charpente, ou des machines, n'ont presque jamais leurs 
traces sur l'épure. 

11 est donc évident que lorsqu'on propose à un élève de 
trouver l'intersection de deux surfaces dont on a étudié d'a- 
vance la nature et la position de manière à obtenir le résultat 
sur le tableau, ou sur la planche à dessiner, on attire son at- 
tention sur des combinaisons qu'il ne rencontrera jamais dans 
la pratique, et l'on néglige, au contraire, celles qui se pré- 
sentent à chaque pas dans Texécution des travaux. 

Je ferai remarquer encore que, dans les questions où un 
cône se trouvera combiné avec une autre surface, on em- 
ploiera presque toujours le cOne circulaire ou de révolution^ 
et même, lorsque la théorie i;idique l'usage d'un cône oblique, 
on préfère souvent le remplacer par un cône circulaire coupé 
obliquement. 

C'est pourquoi je crois utile de consacrer quelques planches 
à l'étude des cônes circulaires. 



320 SURFACES PL. 68. 

. 668. Intersection de deux cônes circulaires [pL 68) . 

i" Le premier plan de projection étant perpendiculaire à 
Taxe du cône B, on prendra le second plan de projection A'Z', 
parallèle aux deux axes qui, dans le cas actuel, se rencontrent. 

i^ On construira les projections des deux cônes données 
sur le plan k%\ que nous pouvons supposer vertical pour 
mieux fixer les idées, et la circonférence du rayon SD sera 
par conséquent la projection horijontale du cône BB'. 

3" La sphère qui a pour centre le point 00' étant inscrite 
dans le cône CC, on tracera les deux tangentes wT, et la pro- 
jection horizontale de ce deuxième cône sera déterminée. 

4^ Les perpendiculaires abaissées sur A'Z', par les points 
o' et c% d détermineront le centre et les deux axés de Tel- 
lipse suivant laquelle se projette la base circulaire du cône CC. 

5° La droite u'sf percera au point t/v le plan A^'Y'" qui cour 
tient la base du cône CC^ 

6° Si par la droite us, u's^ on conçoit un plan P^ dont l'in- 
tersection avec le plan A^'Y'^ serait la droite vm, ce plan cou- 
pera le cône CC suivant les deux génératrices i/-l, m'-I dont 
les pieds 1,1, seront déterminés par la rencontre de la droite 
-wm, avec Tellipse suivant laquelle se projette la base du 
cône ce. 

7* La droite un parallèle à vm sera la projection horizon- 
tale de la droite suivant laquelle le plan P, coupe le plan A'^^Y'" 
parallèle au plan k!'V. 

8*> La droite mn coupera la circonférence qui forme la base 
du cône BB', suivant deux points 1, 1 que Ton joindra avec le 
sommet 5*', et les droites ;s-l, ^'-1 ainsi obtenues seront les 
intersections du cône BB' par le plan P^. 

9** Enfin, les génératrices *-1 , *'-l du cône BB' rencontre- 
î'ont les génératrices u-1, u'A du cône CC suivant 4 points, 
1,1,1,1, dont il sera facile d'obtenir les projections verti- 
cales. < 

10** Si Ton ne veut pas construire Tellipse suivant laquelle 
se projette la base du cône CC, ou si les intersections de cette 
courbe par la droite vm se font trop obliquement, on rabattra 
le plan A" Y" sur le plan horizontal de projection. 

Par suite de ce mouvement, la base du cône CC sera la cir- 
conférence qui a pour centre o" et pour rayon oV égal à 



9h. 68. CONIQUES. 331 

oV, le point w' se rabattra en v" et la droite v^m coupera 
la circonférence oV suivant les deux points 1, 1 qui, rame- 
nés sur la droite A^'Y'' et de là sur l'ellipse oc, détermineront 
les deux génératrices u-1, w'-i du cône CC. 

On peut aussi, comme vérification, rabattre le point uu' 
en u'' ; la droite u''n parallèle à t/^m déterminera le point n, 
et par suite, la trace horizontale mn du plan P^ . 

L'exemple actuel contient deux cdUrbes séparées qui 
forment par conséquent ce que l'on nomme pénétrations, et 
le pl^ qui contient les deux axes coupe les cônes en deux 
parties symétriques dont les projections^ verticales se con- 
fondent. 

Cette circonstance permettra de compléter rapidement les 
projections horizontales des courbes de pénétration, puis^ 
qu'il suffira de reporter symétriquement, au delà^du plan 
vertical vu^ les points que Ton aura obtenus en deçà. 

669. Pour obtenir les génératrices du cône CC qui sont 
tangentes aux4)oints 2, 2 des courbes de pénétration : 

«» On coupera le cône BB' et la droite sV par un plan ho- 
rizontal P. 

2^ On obtiendra de cette manière le cercle horizonta,! de 
rayon sa et le point z'z de la droite (su, s^u'). 

3*» On construira zx tangente au cercle sa, le rayon sx 
perpendiculaire à zx ; puis la droite bd perpendiculaire à sœ 
et parallèle, par conséquent, à zx sera la trace horizontale 
d'un plan P, tangent au cône BB', et contenant la droite 
su, s'u^ 

4** L^ droite \)"b suivant laquelle le plan A'T' est coupé par 
le plan P» rencontrera le cercle o"c" aux points 2, 2 qui, ra- 
menés dans le plan k"\", détermineront sur le cône CCVles 
deux çénératrices u-2, u'-2 tangentes aux points 2, 2 des 
courbes de pénétration. 

5*^ Enfin, on déterminera de la même manière, ou par la 
symétrie, les deux points sym^riques des mêmes courbes. 

670.' Tangentes, Si l'on veut obtenir une tangente en un 
point eef de la courbe de pénétration, on pourra opérer de la 
manière suivante : 

21 



32â SUBFAGES PL. 69. 

1** La droite HD perpendiculaire au rayon *D de la base du 
cône BB' sera la trace horizontale d'un plan P, tangent à ce 
cône suivant la génératrice SD. 

2** La droite wK, u'K', génératrice du cône CC, pourra être 
considérée comme une tangente au point ee' du cône CC. 

3* La droite LK'^ perpendiculaire au rayon o'^K'' de la base 
rabattue sera également tangente au cône CC. 

4° Les deux droites t*K, LK'' tangentes au point KK'' du 
cône ce, détermineront la trace horizontale MN du plan P4 
qui touche ce cône dans toute retendue de la génératrice 
U'k, u''k\ et par conséquent au point ee' de cette génératrice. 

50 Enfin la droite HX, H'X' suivant laquelle le plan P3 tan- 
gent au cône BB' coupe le plan P4 tangent au cône CC, sera 
Ja tangente au point ee' de la courbe d'intersection des deux 
cônes. . 

Il est évident qu'en opérant de la même manière, on ob- 
tiendra autant de tangentes que l'on voudra. 

671. Deuxième étude sur les intersections de cônes circu- 
laires, pi. 69. Dans l'exemple qui précède, on avait sur 
l'épure une partie de la droite passant par les deux sommels; 
dans la question actuelle, cette droite est tellement éloignée, 
qu'il est impossible d'employer aucun de ses points. 

Dans ce cas, on pourra opérer de la manière suivante. Le 
cercle indiqué par une teinte de points sur la figure 1, étant 
considéré comme la projection verticale d'une sphère, on 
pourra toujours concevoir deux cônes enveloppant B" et C', 
qui seraient semblables et parallèles aux. deux cônjes donnés 
par leurs projections verticales, flg. 2, et par leurs axes, 
flg. 3. 

Les diagonales du quadrilat^ère cvkr seront les projections 
verticales de deux ellipses ck, vr qui forment les courbes de 
pénétration des deux cônes projetés sur la figure 1, de sorte 
que tout plan parallèle à Tupe quelconque de ces deux el- 
lipses coupera les deux cônes de la figure 1 et par conséquent 
ceux de la figure 2 suivant des ellipses semblables, et si l'on 
choisit un plan de projection sur lequel ces ellipses se pro- 
jettent par des cerclesyles opérations à efffe;ctuer deviendront 
très-simples. 






PL. 69. CONIQUES. 323 

» 

672. Or, nous avons vu au numéro 642 comment on peut 
déterminer le plan de projection qui satisfait aux conditions 
que nous venons d'énoncer. Ainsi : 

. 1«> On coupera, flg. 1, l'un des deux cônes B'^ par exemple 
par le plan bd perpendiculaire à son axe, et passant par le 
centre m de l'ellipse ck ; 

2^ On rabalttra la section circulaire du cône par le plan bd, 
et l'ordonnée mz sera le demi -petit axe de l'ellipse ck ; 

3® Par un arc zz\ décrit du point m comme centre, on 
ramènera le point z sur la circonférence qui a pour diamètre 
mk, et la droite mz' déterminera la direction du plan AY 
sur lequel l'ellipse ck se projettera par un cercle, car le 
triangle mz'k étant rectangle en z', il est évident que le 
côté mz', qui «st égal au demi-petit axe de l'ellipse ck, est Ta 
projection du demi-grand axe mk de la même ellipse. 

673. Diaprés cela, 

!• Si l'on coupe les cônes projetés, flg. 2, par le plan P| 
parallèle au plan de l'ellipse ck, flg. 1, on obtiendra pour 
sections deux ellipses R'R' et Y'V semblables à l'ellipse ck de 
la figure 1'% 

2» Le point M', milieu de R'R', sera le centre de Tellipse 
qui a cette droite pour grand axe; 

3* Le point N' milieu de V'V sera le centre de la seconde 
ellipse ; 

4<> Ces courbes projetées sur le plan A'T^ parallèle au 
plan AY de la figure 1 , donneront les deux cercles qui ont 
pour centres les points M'' et N''', flg. 3 ; 

5° Ces cercles se couperont suivant deux points 1, 1 qui, 
ramenés successivement dans le plan horizontal Y^HT^', 
dans le plan de projection Y^^A'' et enfin dans le plan cou- 
pant P^ par les lignes projetantes perpendiculaires au plan 
Y^A'^ appartiendront à la courbe d'intersection des deux 
cônes ; 

6** La même opération répétée déterminera autant de^ 
points que l'on voudra. 

On pourra éviter la confusion en projetant une partie des 
lignes sur un second plan de projection A^^'Y^'' parallèle 
comme le plan A^'Y'' au plan A Y de la figure 1. Ainsi, les 



324 SUBFÀCES PL. 69. ' 

cercles décrits des points X'^ et U'' comme centres sont les 
projections sur le plan k"^"' des deux ellipses semblables 
suivant lesquelles les deux cônes donnés sont coupés par 
le plan P^ qui contient les points 2, 2 d& la courbe de- 
mandée. 

On fera bien de déterminer, , sur la figure 2, les droites* 
M'X' et U'N' qui contiennent les centres de toutes les ellipses-, 
semblables provenant de la seption des d^ux cônes par les 
plans parallèles au plan P de la figure 1 . * . 

674. Tangente. Pour obtenir une tangente en un point 
ee' de la courbe d'intersection, on remarquera que le plan 
tangent au point eef du cône BB' sera déterminé par la gé- 
nératrice S-e et par la droite ay-Ps tangente au cercle qui 
forme la base supérieure du cône. 

Pour obtenir le plan tangent au point eef du tronc de cône 
CC^ on pourra opérer de la manière suivante : 

r Par la projection verticale ef du point donné, on con- 
struira un plan perpendiculaire à Taxe du cône CC ; 

2° La section du cône par ce plan sera un cercle projeté 
sur le plan vertical par la droite zo ; 

S** La droite oa\ perpendiculaire à la génératrice EF du 
cône ce, déterminera le centre a' d'une sphère inscrite, 
qui touchera le cône suivant le cercle projeté sur le plan 
vertical par la droite zo ; 

4* On rabattra lé point eef en e^^ sur le méridien principal 
de la sphère, et l'on construira la tangente eH'^ perpendicu- 
laire à Textrémité du rayon rabattu aV ; 

5° La tangente e^^t" perr' r i la plan horizontal Y'^'Y^'en un 
point t" projeté en i"\ que l'on ramènera en t dans le plan 
vertical qui contient le centre aa' de la sphère et le point • 
donné ee!^ 

6° La droite P4 perpendiculaire sur ae, sera l'intersection 
du plan, horizontal Y"'Y'' par le plan P* tangent au point ee^ ' 

du cône CC ; 

7* Enfin, les deux droites P3 et P4 situées dans le plan 
horizontal W se couperont suivant le point xa/^ et les 
droites x-e, aZ-e* seront les deux projections de la tangente 
demandée. 



H,. 70. DE LA SPHÈRE. 325 



CHAPITRE IV. 



La •ptière* 



675. Définitions. On considère ordinairement la sphère 
comme engendrée par le mouvement d'un demi-cercle. qui 
tournerait autour de son diamètre. Cette manière de conce-' 
voir la génération de la sphère lui a fait donner le nom de 
surface de révolution. Le demi-cercle, dont le mouvement 
engendre la - surface sphérique, sera la génératrice \ et le 
diamètre autour duquel se fait le mouvement se nomme 
Y axe de la sphère. 

Pour plus de simplicité, nous prendrons toujours pour axe 
un diamètre perpendiculaire à Tun des plans de projection ; 
de sorte que toute section par un plan perpendiculaire à 
Taxe sera un cercle parallèle au plan de projection. 

676. Projection de la sphère. Si, par le centre de la 
sphère, flg. 337, pi. 70, on conçoit un plan p parallèle au 
plan horizontal, ce plan coupera la sphère suivant un grand 
cercle dont la projection .horizontale sera prise pour limite 
de la projection de là sphère ; de même on prendra pour 
limite de la projection verticale de la sphère celle du grand 
cercle provenanfde la section par le plan p' parallèle au plan 
vertical de projection. 

677. Parties vues et cachées. Toute la partie de la surface 
de la sphère qui est au dessus du plan p'sera vue en projec- 
tion horizontale, tandis que l'hémisphère au dessous du même 
plan sera caché. 



326 SURFACE PL. 70. 

Sur la projection verticale on devra considérer comme vue 
toute la surface de Thémisphère qui est en deçà du plan p', 
tandis que l'hémisphère au delà doit être caché. 

67^. Génération, Si nous supposons que le demi-cercle 
a'b'd' tourne autour de l'axe vertical a'd^ pour engendrer la 
surface de la sphère, chaque point décrira un cercle horizon- 
tal dont le rayon sera déterminé par la distance de ce point 
à Taxe. Ainsi, par exemple, pendant que le point bV par- 
courra l'arc 6/i, 6'/i', le point (mm') viendra se placer en nn'. 
Le demi-cercle générateur étant toujours perpendiculaire au 
plan horizontal, sa projection sur ce plan sera la ligne droite 
c/ï, de sorte que pour avoir la projection verticale d'un de 
ses points, du point n, par exemple, on construira d'abord les 
deux projections mn, m'n' du cercle que parcourt le point m 
et l'on aura une perpendiculaire jusqu'àla rencontre de la ligne 
fYi'y^. En recommençant cette construction, on obtiendra la 
courbe a-n'h!d! pour la projection verticale du cercle généra- 
teur amené dans la position oh. La courbe a^n*Wdf est une 
demi-ellipse. 

679. Méridiens. Toute section de la sphère par un plan qui 
contient le centre est un grand cercle qui partage la surface 
.en deux parties égales. C'est pourquoi on la nomme section 
méridienne. Cependant on réserve plus particulièrement cette 
expression pour les sections par des- plans qui contiennent 
le diamètre que l'on a choisi pour Taxe de la sphère, et qui, 
par conséquent, sont perpendiculaires à l'un des plans de 
projection. 

Ainsi la courbe a^h^d' sera une section méridienne si 
nous prenons pour axe de la sphère la verticale passant par le 
point c. 

Le grand cercle dVd^v'^ parallèle au plan'vertical de pro- 
jection, se nomme section méridienne principale ou simple- 
ment méridien principal. 

Si on avait pris pour axe l'horizontale projetante du point 
c\ le grand cercle visbx serait le méridien principal. ^ 

680. Parallèles de la sphère. Les sections méridiennes ne 



PL. 70. ' DE LA SPHÈRE. 327 

sont pas les lignes les plus simples que Ton puisse tracer sur 
la surface d'une sphère, et dans les diverses questions que 
nous pourrons avoir à résoudre par la suite il sera souvent 
commode de faire usage des sections de la sphère par des 
plans parallèles aux plans de projection. Ainsi, par exemple, 
si nous coupons la sphère par un plan f'\ parallèle au plan 
horizontal, nous obtiendrons pour section un cercle projeté 
sur le plan vertical par la droite €j[m\ et sur le plan horizon- 
tal par le cercle qvmu. 
La section par le plan y sera le cercle [st, su'), 

681. Exprimer quun point appartient à la surface 
d'une sphère. 

' Supposons que l'on connaisse la projection horizontale e, ^ 
et qu'il faille trouver la projection verticale, on construira 
par le point e un plan p^^ parallèle au plan vertical et cou- 
pant la sphère suivant un cercle dont la projection verticale 
e'g'ef contiendra celle du point cherché ; de sorte que, pour 
déterminer cette projection, il suffira d'élever par le point e 
une perpendiculaire à la ligne AZ jusqu'à la rencontre du 
cercle e'^V, ce qui donnera deux solutions e', e^' 

Pour exprimer qu'une courbe [oz^ o'z') est située sur la 
sphère, il suffira de faire, pour chacun de ses points, la con- 
struction précédente. 

682. Développement de la sphère. La surface de la 
sphère n'est pas développabltf d'une manière rigoureuse, 
c'est-à-dire qu'elle ne peut pas être étendue sur un plan 
sans déchirement ; mais dans les applications à l'industrie 
on développe la" sphère approximativement de deux ma- 
nières différentes. 

683. Développement par fuseaux. Partageons en parties 
égales, en 16 par exemple, chacun des deux grands cercles 
de la sphère A, A', flg, 339; puis, par les points de division, 
menons les sept plan^ horizontaux 0> 1, 2, 3, et les seize 
plans méridiens m, m... La surface de la sphère sera, par 
suite de cette construction, partagée en 96 trapèzes, plus 
32 petits triangles ayant pour sommet commun les points 4 



328 SURFACE Pïi. 70«. 

qui sont les pôles de la sphère. Tous ces triangles et trapèzes 
auront une même hauteur, égale à la seizième, partie d'un 
grand cercle de la sphère, et leurs bases projetées sur le 
plan horizontal dans leurs véritables grandeurs seront égales 
chacune à la seizième partie de l'un des cercles provenant 
de la section de la sphère par les plans horizontaux 0, 1, 2, 3. 
En disposant ces trapèzes comme on le voit, fig. A'^, on 
aura le développement, par fuseaux, de l'hémisphère supé- 
rieur. Les hautçursdes trapèzes sont égales aux arcs 0-1, 
1-:?, etc., et les bases sont données par les arcs horizontaux 
correspondants et compris entre deux méridiens consécutifs 
(m, m...). 

• 

684. Développement par zones. La figure A'^' représente le 
développement par zones de Thémisphère inférieur ; il ne 
diffère du développement par fuseaux que par la disposition 
des trapèzes qui sont placés à côté les uns des autres au lieu 
d'être l'un au dessus de l'autre. 

On facilitera la construction de ce développement en 
remarquant que la première zone, composée de seize tra- 
pèzes a, a, a..., peut être considérée comme la surface d'un 
îronc de cône dont le sommet serait situé en Sy où Taxe de 
la sphère est rencontré par le prolongement de la corde qui 
joint le point avec le point 1 ; de sorte que, pour construire 
ce développement, on décrira d'un point s^ comme centre, avec 
un rayon égal à so.nn arc de cercle sur l^uel on portera seize 
fois la seizième partie du grand cercle o. La seconde zone fait 
partie d'un cône qui a son sommet au point t. On en construira 
le développement de la même manière, et ainsi de suite. * 

Il est bien entendu que l'on doit partager les cercles en 
un assez grand nombre de parties égales pour que la cour- 
bure des arcs soit sensible. Si seize points de division ne 
suffisaient pas, on en prendrait davantage. 

686. Les globes et cartes de géographie sont des déve^ 
loppements approximatifs de la sphère. Les premiers sont 
imprimée par fuseaux et collés ensuite sur un globe dont 
ils sont le développement ; les cartes sont des développe* 
ments par zones. 



PL. 70. DE LA SPHÈRE. 329 

On .fait encore usage des développements de la sphère, 
dans la construction des ballons et* dans Tarchitecture, pour 
le tracé des voûtes sphériques et coupoles. 

686. Lorsque la zone que Ton doit développer a beaucoup 
de hauteur, et que Ton ne veut pas la partager en zones plus 
petites, on s'y prend de la manière suivante. Soit, flg. 340, 
ab l'arc générateur de la zone dont on veut construire le 
développement. On rectifiera cet arc et Uon en portera la 
longueur de b en i. L'on mènera ih , parallèle au rayon cby 
puis enfin kh parallèle à nb. Il résulte de là que hk sera égal 
en longueur à l'arc amb. Or, pendant que l'arc ab, tournant 
autour de es, engendrera la zone proposée, la ligne kh en- 
gendrera un tronc de cône dont la surface difl'érera peu de 
celle de cette zone, et l'on pourra prendre, sans erreur sen- 
sible, l'une de ces surfaces pour l'autre. 

Si on voulait construire dans le développement un point 
m quelconque appartenant à la surface de la zone, on join- 
drait ce point avec le centre de la sphère par un rayon cm^ 
dont l'intersection avec la surface du cône déterminerait un 
point n, qui serait placé dans cette surface à très-peu près 
comme le point m dans la surface de la zone. 

687. Sections perpendiculaires aux plans de projection. 
Après les^ sections garallèles aux plans de projection et les 
sections méridiennes, les lignes les plus simples que Ton 
puisse obtenir sur la sphère sont celles qui proviennent de 
sections par des plans perpendiculaires aux plans de projec- 
tion. / 

Supposons, par exemple, que Ton veuille obtenir la section 
de la sphère A, A', flg. 338, par le plan B. Construisons un 
plan p, parallèle au plan horizontal de projection. Ce plan 
coupera la sphère suivant un cercle a, a', et le plan donné 
suivant une droite bV. Cette droite coupera le cercle aa' en 
deux points (uu') qui feront partie de la courbe demandée. 
En recommençant cette construction on obtiendra autant de 
points que l'on voudra. 

Pour éviter les intersections qui auraient lieu suivant des 
angles trop aigus, on fera usage simultanément de plans 



^tôO SURFACE PL. 70. 

parallèles au plan horizontal et de plans parallèles au plan 
vertical. 

Le plan horizontal passant sur le centre de la sphère don- 
nera les points (xfx suivant lesquels la projection horizontale 
de la courbe touche le grand cercle qui représente la pro- 
jection de la sphère. * ' ^ ' 

688. On sait (Géom.) que la section d'unç sphère par un 
plan est toujours un cercle, et qu'en outre ce cercle, placé obli- 
quement dans l'espace, doit avoir pour projection une ellipse 
dont il sera facile de trouver les axes. Pour cela, on abaissera 
<Ju centre de la sphère la ligne (Ac, AV) perpendiculaire sur 
le plan coupant, et le point ce' où cette perpendiculaire perce 
ce plan sera le centre de la section. Or, lorsqu'un cercle est 
projeté obliquement, tous ces diamètres se raccourcissent, 
excepté celui qui est parallèle au plan de projection ; de sorte 
que le grand axe de l'ellipse devant être horizontal et situé 
dans le plan B sera parallèle à la trace horizontale de ce 
plan ; de plus, v^z^ est la projection verticale dans sa véri- 
table grandeur d'un diamètre de la section ; donc en portant 
c^z\ avec le compas de c enh et de c en k, on aura hk pour 
le grand axe de Tellipse qui forme la projection horizontale 
du cercle cherché. Le petit axe, perpendiculaire au grand, 
doit être situé dans le plan p', parallèle au plan vertical, d'où 
il résulte qne la projection v du point vv' sera l'extrémité du 
petit axe de l'ellipse que Ton construira pft* le moyen connu. 

689. On peut souvent éviter la projection' oblique du 
cercle provenant de la section en le faisant tourner pour le 
rabattre sur l'un ou sur l'autre des deux plans de projec- 
tion. Ainsi, par exemple, pour ^voir la section par le plan B' 
perpendiculaire au plan horizontal, on fera tourner ce plan 
autour de la droite dd', jusqu'à ce qu'il soit venu prendre 
la position B''. Dans ce mouvement, le point e, qui repré- 
sente le centre» de la section, décrira l'arc horizontal ee^' et 
viendra se projeter sur le plan vertical en ee"'. De ce point 
comme centre avec un rayon e'V égal à es^ on décrira un 
cercle qui sera la section rabattue dans sa véritable grandeur. 

11 sera facile en ramenant la section à sa place, d'obtenir 



PL. 70. DE LA SPHÈRE. 331 

sa projection verticale. Ainsi, par exemple, le point m> 
rabattu en m'' et projeté dans ce rabattement en m'", doit 
avoir sa projection verticale au point m' provenant de Tinter- 
section de l'horizontale m^^'/n' avec la perpendiculaire mm', 

690. Les positions principales qu'un plan peut prendre par 
rapport à une sphère sont au nombre de quatre : 

1* Si le plan dont il s'agit contient le centre, la section sera 
un grand cercle de la sphère ; 

2^ Si la distance au centre de la.sphère est moindre que le 
rayon, la surface sera un petit cercle ; 

3° Si le plan cpupant s'éloignait du centre de la sphère, le 
rayon de la section diminuerait, et lorsque la distance du 
centre au plan coupant sera égale au rayon de la sphère, ce 
plan deviendra tangent et la section réduite à un point sera 
le point de tangence ; 

4** Enfin, lorsque la distance d'un plan au centre de la 
sphère sera plus grande que le rayon de cette surface, il est 
évident que ce plan ne rencontrera pas la sphère. 

691. Sf Tun des plans de projection est perpendiculaire au 
plan donné, on pourra reconnaître, à Tinspection de l'épure, 
quelle est la position relative du plan et de la sphère. 

Ainsi, par exemple, si la distance Ac', flg. 338, est plus 
petite que le rayon de la sphère, la section sera un petit cercle. 
Si Ac' était égal à zéro, la section serait un grand cercle. 

Si Ac' était égal au rayon, le plan serait tangent. 

Enfin, si Ac' était plus grand que le rayon, le plan ne ren- 
contrerait pas la sphère. 

692. 11 résulte de ce qui précède que nous ne devons pas 
considérer le point de tangence comme un point simple, mais 
co.mme provenant du rapprochement de tous les points de la 
courbe de section. 

693. Le point de tangence détermine la position du plan 
tangent, parce que ce point devant toujours être considéré 
comme une petite circonférence dont le rayon serait égal à 
zéro, le plan de cette circonférence sera toujours perpendi- 
culaire à la droite qui joint son centre avec celui de la sphère 



332 simFACE PL. 71, 

et sera, par conséquent, tangent à cette «urface {Géom,). 

694. Plans tangents à. la sphère. Construire un plan 
tangent à une sphère par un point pris sur la surface de 
cette sphère. 

Soient, flg. 341, pi. 71, la sphère (A, A') et le point 
{m, m') situé sur la surface de cette sphère, on construira, 
le rayon (Am, A'm'), puis on fera passer (113) par le point 
[m, m') un plan perpendiculaire à ce rayon. Ce plau sera 
tangent à ïa sphère [Géom.) . 

Toute ligne située^ dans le plan tangent et passant par le 
point 77? , m' sera une tangente à la sphère. 

Le rayon am, étsgit perpendiculaire au plan tangent, sera 
hécessairement normal à la surface de la sphère, et par con- 
séquent tout plan passant par le centre sera un plan normal. 

695. Construire par une droite donnée^ un plan tangent 
à une sphère, 

1" méthode. Par le centre de la sphère A, fig. 345, on fera 
passer un plan p, perpendiculaire à la^droite don.née b. Ce 
plan coupera la droite ep un point 7n, et la sphère suivant 
un grand cercle c; construisantes deux tangentes ms, mt, 
les plans p' et p'' contenant ces tangentes et la droite donnée 
satisferont à la question. En effet, le plan p' contenant la 
droite b est perpendiculaire sur le plan p, d'où il suit que le 
rayon ku situé dans ce plan, et perpendiculaire à la ligne mr, 
intersection des deux plans p et p', sera aussi perpendicu- 
laire à ce dernier plan qui alors sera tangent à la sphère. Le 
même raisonnement conviendra pour le plan p''. 

Il ne reste donc plus qu'à exécuter cette construction. Pour 
cela : 

Supposons d'abord le cas où la droite donnée serait perpen- 
diculaire à Tun des plans de projection, au plan horizontal, 
par exemple. 

Cette droite &' se projettera, flg. 346, par un seul point b. 
Les lignes ftv, bu, menées par ce point et tangentes à la pro- 
jection horizontale de la sphère, seront les traces des deux 
plans tangents p' et p'^ qui auront leurs traces verticale» 
perpendiculaires à la ligne AZ. 



PL. 71; DE LA SPHÈRE. 333 

696. Si la droite donnée élait oblique par rapport aux 
plans de projection, l'opération serait plus difficile. 

Représentons la sphère donnée par (A, A'), fig. 343, et la 
droite donnée par [b^ 6')- 

On fera <ï'abord passer (113), par le centre de la sphère, le 
planp perpendiculaire à la droite (6, 6'), et I on déterminera 
le point (m, m') suivant lequel ce plan coupe la droite don- 
née. Quant au grand cercle suivant lequel la sphère sera cou- 
pée par le plan p, il aurait pour projection une ellipse; mais 
pour éviter la construction de cette courbe, ob fera tourner 
le plan p, soit autour de sa trace, soit, comme on l'a fait ici, 
autour de l'horizontale {h, h') qui passe par le centre de la 
sphère. Dans ce rabattement, la section par le plan p se con- 
fondra avec le grand cercle c, formant la projection horizon- 
tale de la sphère, et le point (m, m') viendra se placer en m". 
11 sefa facile alors de construire les deux tangentes [m"v"^ 
m"v"). Pour ramener ces deux lignes à la place qu'elles 
doivent occuper dans l'espace, on remarquera que les points 
/, s ne doivent pas changer de place, puisqu*ils appartiennent 
a la droite (/i, h')^ que Ton a prise pour charnière du rabat- 
tement ; de sorte qu'en joignant ces deux points avec m, on 
aura (mi, ms) pour les projections hcfrizon taies des deux tan- 
gentes.. Les points «, $ se projetteront verticalement suivant 
(f, s') et détermineront les' projections verticales (m't', m' s') 
des tangentes. On fera passer par chacune d'elles et par la 
droite donnée un plan qui sera tangent à la sphère : les 
lignes [u^'u) {v"v) perpendiculaires à la droite hf donneront 
les projections des points de tangence. 

La solution précédente revient àconcevoir la sphère enve- 
loppée par un cylindre circulaire parallèle à la droite donnée, 
et à construire par cette droite deux plans tangents au cy- 
lindre. 

697. Deuxième méthode. Au lieu d'un cylindre, on peut 
employer un cône. En effet, supposons, flg. 342, que la 
sphère donnée A soit enveloppée par un cône qui aurait pour 
sommet un point quelconque pris sur la droite donnée b. 

Il ne restera plus qu'à faire passer par cette droite un plan 
tangent au cône. 11 est évident que ce plan touchera la sphère. 



334 SURFACE PL 71. 

Le cône qui enveloppe la sphère étant circulaire, et le 
sommet pouvant être pris partout où on voudra sur la droite 
donnée, il sera possible d'appliquer les principes que nous 
ayons exposés au n<> 644, et les opérations seront alors ré- 
duites à une grande simplicité. 

Soit, flg. 344, la sphère donnée AA' et la droite 'don- 
née b'. 

L^ plan A^, parallèle au plan vertical de projection, déter- 
minera un point ss^ que nous prendrons pour sommet du 
cône auxiliaire. 

En opérant comme nous Tavons dit au n» 645, il sera fa- 
cile de déterminer la section aa, a'a' dont la projection ho- 
rizontale se confond avec le grand cercle qui forme la limite 
de la projection de la sphère. 

Le plan oblique pq, qui contient la section aa, aV, est 
percé par la droite donnée en un point m'm^ par lequel on 
construira les deux tangentes mo, me. Ces droites et la ligne 
donnée bb' déterminent les deux plans tangents qu'il sera 
facile de construire (69). 

Les points de tangence uu\ vv^ résultent de l'intersection 
du petit cercle zx^ suivant lequel la sphère est touchée par 
Je cône auxiliaire avec les deux droites s'c^ , «'o' , sui- 
vant lesquelles ce cône doit être touché par les deux plans 
demandés. 

698. Troisième méthode. On peut concevoir la sphère don- 
née A, fîg. 348, pi. 72, enveloppée par deux cônes circu- 
laires, ayant pour sommets deux points quelconques 5, t de 
la ligne donnée. 

Ces cônes toucheront la sphère suivant dejux petits cercles 
aa, cQ dont les intersections seront les points de tangence. 

La figure 349 contient les opérations. 

La sphère étant donnée par les deux grands cercles AA\ et 
là droite par les deux projections W, 

On prendra, pour plus de simplicité, le sommet ss' de Tun 
.des deux cônes auxiliaires dans le plan qui contient le centre 
de la sphère, et qui est parallèle au plan vertical de pro* 
jection. 



PL. 72 DE LA SPHÈRE. ' 335 

Ce premier cône touchera la sphère suivant un petit cercle 
projeté sur le plan vertical par la droite aa. La projection 
horizontale de ce cercle serait une ellipse dont nous évite- 
rons la construction en faisant un rabattement. 

Nous prendrons ensuite Je sommet i't du second cône auxi- 
liaire dans le plan horizontal qui contient le centre de la 
sphère. Le petit cercle, suivant lequel ce cône touche la 
sphère, aura pour projection horizontale la droite ce, et pour 
projection verticale une ellipse que nous ne construirons pas. 

Or, les points de tangence devant appartenir aux deux 
cercles projetés par les droites aa, ce, il ne reste plus qu'à 
trouver leur intersection. 

Si on avait construit la projection horizontale du cercle aa^ 
ou la projection verticale du cercle ce, les points d'intersection 
de ces deux cercles seraient déterminés par les intersections 
de leurs projections ; mais, pour éviter les projections ellip- 
tiques, nous rabattrons le cercle aa en le faisant tourner au- 
tour de rhorizontale projetante du point o, pris où Ton vou- 
dra dans le plan pzp. 

Dans ce mouvement, le centre v du cercle aa décrira un 
arc parallèle au plan vertical de projection et viendra se pro- 
jeter en t;'. • ' ' 

La circonférence décrite du point v' comme centre, avec un 
rayon v'a' égal à va, sera par conséquent le petit cercle aa . 
rabattu sur le plan horizontal. 

Or, les points de tangence cherchés devant tésul ter de l'in- 
tersection des deux cercles aa, ce appartiennent par consé- 
quent à la droite suivant laquelle se coupent les plans qui 
contiennent ces cercles. * 

Cette droite, dont les . projections sont o'a, oe, coupera 
l'horizontale projetante du point o'o en un point o, qui, dans 
le rabattement, ne doit pas changer de place. 

Un second point quelconque rr' de la di-oite ao', co étant 
rabattu en f', on construira cette ligne or" dans le rabatte- 
ment et les points in'\ n" où elle coupe le cercle v'a' seront 
les points de tangence demandés. 

H ne restera plus qu'à faire revenir ces points à leur 
place, ce qui donnera pour leurs projections les deux points 



N 



336 suRFAr4E PL. 72. 

Les points de tangence étant obtenus, on pourra construire 
les plans tangents en opérant comme nous l'avon& dit au 
a* 694. 

On peut aussi joindre les points mm' y nn\ avec les som- 
mets des deux cônes par des droites çui, avec la ligne donnée 
bb^y sont suffisantes pour déterminer les plans tangents de- 
mandés par la question. 

ê 

699. Quatrième mét/wde. On peut encore remplacer Tun 
des cônes auxiliaires, dont nous venons de parler, par un 
cylindre parallèle à la ligne donnée. Dans ce cas, l'un des 
deux petits cercles aa^ ce deviendrait un grand cercle dont le 
plan, passant par le centre de la sphère, serait perpendiculaire 
à la droite donnée. 

Le reste se ferait comme dans l'épure précédente, c'est-à- 
dire que Ton rabattrait le cercle suivant lequel la ;sphère se- 
rait touchée par le cône auxiliaire, que l'on pourrait toujours 
choisir comme ci-dessus, de manière que son axe soit paral- 
lèle à l'un des plans de proj;ection. 

On rabattrait également l'intersection du plan perpendi- 
culaire à la droite donnée, et passant par le centre de la 
sphère avec le ,plan du cercle, suivant lequel cette surface 
serait touchée par le cône auxiliaire. 

Les points de tangence obtenus dans le rabattement seraient 
ensuite ramenés à leur place. Je me contenterai d'indiquer 
cette dernière méthode comme exercice. 

• * 

700. Les relations qui précèdent donnent une deuxième 
solution d'un problème que nous- avions résolu au n» 175. 

Supposons qu'il s'agisse de construire un plan qui fasse 
avec les plans de projection des angles donnés. 

Soit V'i'angle que le point cherché doit faire avec le plan 
vertical, et H l'angle que ce môme plan doit faire avec le plan 
horizontal. 

1** On décrira une circonférence quelconque ayant pour 
centre un point o, pris à volonté sur la ligne AZ ; cette cir- 
conférence pourra représenter en même temps les deux pro- 
jections d'une sphère dont les méridiens principaux seraient 
alors situés dans les plans de projection. 



PL. 72. . DE LA SPHÈRE. 337 

2** On conslruira la tangente sn^ de manière que Tangle sao 
soit égal à l'angle H. Si on suppose que cette tangente tourne 
autour de la verticale ^o, elle engendrera un cône circulaire 
qui aurait son sommet en s et dont la base sera la circonfé- 
►rencea^ia. 

3** On conslruira la tangente uc telle que Tangle uco soit 
égal à Tangle V, puis on supposera que cette tangente tourne 
autour de rtiorizontale.i/o; ce qui donnera un second cône 
circulaire ayant son sommet en u et dont la base sera la cir- 
cooférence cnc. 

Or, il est évident que 'tout plan tangent au premier cône 
fera avec le plan horizontal un angle sao égal à II. 

De plus, tout plan tangent au second cône fera avec le plan 
vertical un angle uco égal à V. » 

Donc un plan qui serait en^même temps langent aux deux 
cônes satisferait aux conditions demandées. 

La construction que nous venons d'indiquer donne deux 
solutions, savoir : le plan p et le plan />'. 

Les traces de ces deux plans doivent contenir les sommets 
^ et u des deux cônes auxiliaires et de plus être tangentes 
aux traces ama, cnc de ces cônes. 

701. Si les plans demandés devaient contenir un poin 
donné dans l'espace, on pourrait d'abord opérer comme nous 
venons de le faire, après quoi il ne resterait plus qu'à faire 
passer par le point donné des plans parallèles à ceux que l'on 
aurait trouvés. 

Dans ce cas, aux deux solutions précédentes, il faudrait en 
ajouter deux autres, savoir : un troisième plan qui aurait sa 
trace verticale parallèle à pco et sa trace horizontale parallèle 
à la droite œr/\ qui touche derrière le plan vertical la trace 
de l'un des deux cônes auxiliaires. 

Enfin, un quatrième plan qui aurait sa trace Verticale pa- 
rallèle à p'r et sa trace horizontale parallèle à rp^'\ 

Si la somme des angles H + V était égale à un angle droit, 
les traces .des deux côpes auxiliaires passeraient par les 
points s et u ; de sorte que les quatre plans se réduiraient à 
deux qui seraient parallèles à la ligne AZ ; et si la somme 
des angles H + V était plus petite qu'un angle droit, les 

00 



338 SURFACE * PL. 72;. 

points s eiu seraient dans l'intérieur des cônes auxiliaires^ 
et, dans ce cas, le problème serait impossible* 

Ce résultat est conforme à ce que nous avons dit au 
no 176. 

702. Construire un plan tangent à tme sphère^ par un 
point situé hors de la surface de cette sphère. 

r° méthode. Par le point donné ss\ fig. 347, on fera 
passer une droite aa' par laquelle on construira deux plans- 
tangents à la sphère, une seconde droite bb^ déterminera 
deux autres plans tangents, une troisième droite en donnera 
encore deux, et ainsi de suite. Le nombre des plans q[tie 
l'on peut construire ainsi est infini. Tous ces plans seraient 
tangents au cône circulaire enveloppant la sphère et la tou- 
cheraient suivant un petit cercle zx que l'on nomme courbe 
de contact. 

Si. le point donné se rapprochait de la sphère, l'angle du 
C()ne s'ouvrirait, le cercle de contact diminuerait, et son plan 
s'éloignerarit du centre de la sphère ; enfin lorsque le point 
donné arriverait sur la surface de la sphère, tous les plans- 
tangents se réuniraient en un seuU qui remplacerait le cône 
enveloppant ; le cercle de contact, réduit à zéro, se confon- 
drait avec le point donné- 

Si, au contraire, le point donné s'éloignait à Tinfini, le 
cône se changerait en un cylindre circulaire, et le cercle de 
contact deviendrait un grand cercle de la sphère. 

703. 2« me^/î ode. On prendra un plan ^e projection pa- 
rallèle à la droite qui joint le point donné avec le centre de^ 
la sphère. 

On concevra la sphère enveloppée par le cône circulaire 
qui aurait le point donné pour sommet. 

On déterminer^ la direction du plan pq, de manière que la 
section a'a' du cône par ce plan se projette par une circon- 
férence aa (645) . . • 

Enfin, tous les plans tangents demandés seront déterminés 
par le point donné ss^ et par chacune des tangentes à la courbe 
aa, a'a'. 



FL. 72. DE LA SPHÈRE. 339 

On remarquera que toutes ces tangentes ont. une projection 
verticale commune pç, et que toutes leurs projections hori- 
zontales doivent être tangentes à la circonférence aa. 

Les points de tangence seront déterminés par la rencontre 
du petit cercle zx avec les génératrices suivant lesquelles 
chaque plan tangent touche le cône auxiliaire. 

70^. Courbe de contact. Dans les questions diverses que 
l'on peut proposer sur les plans tangents, il faut distinguer 
les cas où il est nécessaire de construire les traces de ces 
plans, de ceux où le but principal est d'obtenir les points de 
tangence. 

Ainsi, par exemple, si on veut construire la courbe suivant 
laquelle la sphère serait touchée par ious les plans qui con- 
tiennent le point donné, on pourra se dispenser de construire 
les traces de ces plans. 

En effet la courbe cherchée est la circonférence du petit 
cercle, suivant lequel la sphère serait touchée par la surface 
du cône circulaire qui aurait pour sommet le point donné. 

Pour construire les deux projections de cette circonférence, 
on choisira, flg. 350, un plan de projection parallèle à la 
droite qui joint le point donné ss^ avec le centre de la sphère. 

On tracera les deux tangentes ^V, s'x' et la corde zfa/ qui 
joint les deux points de tangence. 

Cette dernière ligne sera la projection verticale du cercle 
demandé. 

La projection horizontale sera une ellipse dontle grand 
axe ce doit être égal à z'x\ et le petit axe zx est la projection 
horizontale du diamètre 2V. 

705. Dans les deux questions précédentes, flg. .347 et 
350, nous avons placé le centre de la sphère et le point 
donné dans un plan parallèle au plan vertical de projection. 
Si le point donné était placé partout ailleurs, on ramènerait 
la question au cas précédent, en faisant usage d'un plan dé 
projection parallèle à l'axe du cône auxiliaire! 

706. La question que nous venons de résoudre serait, au 



840 SURFACE PL. 73 ► 

contraire, réduite à sa plus sim( le expression, si le point 
donné était situé sur Tune des perpendiculaires projetantes 
du centre de* la sphère. 

Dans ce cas, flg. 351, la ligne de contact serait le petit 
cercle zV, zcr, et les plans tangents passant par le point 
donné auraient pour traces horizontales les droites 6, 6', M 
tangentes à la trace du cône auxiliaire. 

Les traces verticales, s'il était nécessaire de les construire, 
seraient,^ facilement déterminées en opérant comme nous l'a- 
vons dit au n**. 65. 

707. Construire un plan tangent à la sphère^ parallèle- 
ment à une droite dfnnée. 

!'• méthode. Nommons 66' la ligne donnée, fîg. 352, 
pi. 73 ; une droite quelconque ce*, menée parallèlement à 
la ligne donnée, déterminera deux plans tangents qui satis- 
feront à la question ; une seconde droite oo' en donnera deux 
autres, et ainsi de suites Le nombre des plans qui satisfont 
â la question est infini, ils toucheront tous un cylindre circu 
laire enveloppant la sphère et parallèle à la droite donnée. 
La ligne de contact sera un grand cercle zx dont le plan sera 
perpendiculaire à la direction de cette ligne. 

708. 2* mrthode. Concevons la sphère projetée sur un 
plan parallèle à la ligne donnée 66'. 

Deux tangentes sv^ sv seront les limites de la projectioa 
verticale du cylindre circulaire qui enveloppe la sphère et 
qui est parallèle à la droite 66'. 

Un plan a'a', perpendiculaire au plan vortil^al de projection 
et passant par deux angles opposés du quadrilatère a'a"a'a'\ 
coupera le cylindre suivant une ellipse qui aura pour projec- 
tion horizontale la circonférence aa (552). 

Enfin, chaque plan langent sera déterminé par Tune des 
génératrices du cylindre auxiliaire et par la tangente à la 
section aa, a'a\ au point où cette courbe est rencontrée par 
la génératrice du cylindre. 

Toutes ces tangentes auront la droite a'a' pour projection 
verticale commune, et toutes leurs projections horizontales 
seront tangentes à la circonférence aa. 



PL. 73. DE LA SPHÈRE. 3 il 

Les intersections des génératrices de tangence avec le 
cercle zx, suivant lequel ce cylindre touche la sphère, don- 
neront les points de tangence. 

709. Courbe de contact. Si la question avaH uniquement 
pour but de déterminer la courbe de contact, on se contente- 
rait de construire, fig. 354, la projection horizontale zx du 
cercle aV, «uivant lequel la sphère donnée est touchée par 
le cylindre auxiliaire. 

Cette projection sera une ellipse dont le grand axe ce doit 
être égal à sV, et qui aurait pour petit axe la droite zx, pro- 
ection de zV. 

710. Si la droite donnée, au lieu d'être parallèle à l'un 
dés plans de projection, était inclinée d une manière quel- 
conque, on emploierait une projection auxiliaire parallèle à 
cette ligne, et la question serait ramenée au cas précédent, 

711. Étant donnés ,t/n points une droite et une sphère^ 
construire par le point un plan qui touche la sphère et qui 
soit parallèle à la droite donnée^ îig, 353. 

On prendra le point donné s pour sommet d'un cône qui 
envelopperait la sphère, puis on tracera, par le sommet du 
cône, une seconde droite b parallèle à la ligne donnée a ; la 
question sera réduite à construire par la droite 6, un plan 
tangent à la sphère. 

Il y aura deux solutions. 

En faisant usage d'un plan de projection parallèle à l'axe 
du cône auxiliaire, on pourra employer la construction du 
n^ 697. 

712. Construire un plan tangent à deux sphères. 
Concevons les deux sphères A, B, tig, 355, enveloppées 

par un cône circulaire ayant son sommet en s. Tout plan tou- 
chant ce cône sera tangent aux deux sphères données. Le 
nombre de ces plans est infini. Pour les construire, on pourra 
opérer comme nous l'avons dit (703) ; ou bien on fera passer 
par le sommet du cône une suite de droites par chacune des- 



342 SURFACE PL. 73. 

quelles on construira deux plans tangents à Tune des deux 
sphères ; chacun de ces plans touchera le cône dans toute 
retendue d'une génératrice, et contiendra par conséquent un 
point de la seconde sphère. 

En enveloppant les deux sphères par le cône dont le som- 
met est en u, et construisant des plans tangents à ce cône, 
on obtiendra encore une série infinie de plans tangents aux 
deux sphères. 

Si les deux sphères se touchaient, cette seconde série de 
plans se réduirait à un seul ; enfin, si elles se coupaient, 
il ne resterait plus que les plans tangents au cône dont le 
sommet est en Sy lesquels plans se réduiraient eux-mêmes 
en un seul, si les sphères données se touchaient intérieu- 
rement. 

713. Si l'on voulait construire un plan tangent aux deux 
sphères par un point m, situé hors de leurs surfaces ^ on 
joindrait ce point avec le point s, par la droite sm qui déter- 
minerait deux plans tangents, la droite um en d/^terminerait 
deux autres ; ainsi le problème admettrait quatre solutions. 
Si le point donné était placé en n ou en v sur la surface de 
l'un des deux cônes et hors du second, le nombre des solu- 
tions se réduirait à trois. 

Il n'y aurait que deux plans tangents si le point donné 
était en z ou en t, sur les cercles d'intersection des deux 
cônes. 

Si le point donné était en x ou en y, c'est-à-dire sur l'un 
des deux cônes et dans l'intérieur de l'autre, il n'y aurait 
qu'un plan tangent. 

Enfin le problème serait impossible, si le point donné était 
en même temps dans l'intérieur des deux cônes. 

714. Construire un plan tangent à trois sphères. 

Étant données les trois sphères A, B, C, flg. 3S6, on con- 
struira des cônes qui envelopperaient ces sphères deux à 
deux, tant extérieurement qu'intérieurement ; on obtiendra 
pour les sommets de ces cônes six points, s, ^ u, .t, y, z, qui 
étant pris trois à trois, donneront quatre lignes droites, stu, 
sxzy tyz. uyx. Tout plan passant par Tune de ces droites et 



TL. 73. 



DE LA SPHÈRE. 



343 



touchant l'une des trois sphères sera nécessairement tangent 
aux deux autres. Ainsi, par e^^emple, un pian qui contien- 
drait la droite stu et qui loucherait la sphère A, contiendrait 
dans toute son étendue Tune des génératrices du cône uX ; 
il aurait donc un point de commun avec la, sphère B. et 
comme il contient le point s^ il toucherait le cône ^B et par 
conséquent la sphère G. 

Par chacune des quatre droites passant par les sommets 
des cônes, on pourra mener deux pkns tangents, ce qui fera 
huit solutions pour le cas général. 

Voici la disposition de ces plans : 



er 



2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 



Ea deçà de 
A, B, C . . 



Au delà de 



A . . . 

B, C. • 

B . . . 

A, C. . 

G . . . 

A, B. . 



• t . 



A, B, C. 

B, C. 
A. 

A,C. 
B. 

A, B. 
C. 



Si quelques-unes de ces sphères se touchaient ou se cou- 
paient, le nombre de ces solutions diminuerait. Si les sphères 
étaient égales, les deux premiers plans seraient paral- 
lèles s enfin si les rayons des sphères se réduisaient à zéro, 
les huit plans tangents se confondraient en un seul, les 
cônes enveloppants deviendraient trois lignes droites, et la 
<]uestion se réduirait à faire passcfr un plan par trois points, 
iig. 358. 

715. Construire un plan tangent à une sphère et à un 
^lirùire. » 

Concevons, flg. 357, la sphère enveloppée par un cylindre 
parallèle sya cylindre donné ; il ne restera plus qu'à construire 
un plan tangent aux deux cylindres. Pour y parvenir, on cou- 
pera ces deux cylindres par un plan quelconque, ce qui don- 
nera deux courbes que l'oif sait construire ; les tangentes 
^communes à ces deux courbes appartiendront aux plans de- 



344 SURFACE PL. 73^ 

mandés ; enfin, on mènera par ces droites des plans paral- 
lèles aux deux cylindres. Si le cylindre donné B a pour di- 
reclrice une courbe convexe et fermée, comme on le voit 
dans. la figure, le problème admettra quatre solutions. En 
général, le nombre des solutions sera égal au nombre des 
tangentes que l'on pourra mener aux courbes provenant de 
rintersection des deux cylindres par un plan quelconque. 

716. Si le cylindre proposé B râlait circulaire, on pourrait 
encore opérer comme il suit : on inscrirait dans ce cylindre B 
une sphère C, puis l'on construirait le Cône ^C, qui envelop- 
perait cette sphère et la sphère donnée ; enfin, menant par le 
point s une droite a parallèle au cylindre donné, on ferait 
passer par celte droite deux plans tangents à Tune des deux 
sphères; ces plans satisferaient à la question. La droite b, 
menée parallèlement au cylindre par le sommet du cône qui 
enveloppe les sphères A et G intérieurement, déterminera 
deux autres plans tangents. 

Si le rayon de la sphère donnée devenait égal à zéro, la 
question se réduirait au problème du n** (510). 

Si les génératrices du cylindre se rapprochaient et se re- 
disaient à une^seule, on reviendrait à la question (695). 

717. Construire un plan tangent à vne sphère et à un 
cône, * 

Concevons, flg. 359. la sphère donnée A enveloppée par 
un second cône ayant le même sommet que le cône proposé; 
il ne s^agira plus que de construire un plan tangent à ces 
deux cônes. Pour cela on les coupera par un plan quelconque, 
ce qui donnera deux courbes auxquelles on mènera des tan- 
gentes. On fera passer un plan par chacune de ces tangentes 
et le sommet commun des deux cônes. Dans le cas indiqué 
sur la figure 359, il y aura (fuatre solutions. 

718. Si le cône proposé B est circulaire, on pourra inscrira 
dans ce cône une sphère C ; puis construisant le cône qui en- 
velopperait les deux sphères, on n'aura plus qu'à mener les 
plans tangents aux deux cônes. Joignant les sommets par la 



PL. 74. DE LA SPHÈRE. 345 

droite si\ on construira par cette droite deux plans tangents 
à Tune des sphères ; ces deux plans toucheront Tautre sphère 
et le cône donné. 

La droite qui joint le point s avec le point u déterminera 
deux autres plans tangents. 

Pour exécuter ces épures, on construira les projections des 
données, puis les tangentes aux projections des sphères se- 
ront les limites des cylindres ou cônes enveloppants. On opé- 
rera pour le reste comme dans les problèmes précédents. 

719. Construire l'intersection d'une ligne droite avec la 
surface d'une sphère. 

Soit (a, a'), flg. 360, pi. 74, la droite donnée ; construi- 
sons par cette droite un plan p, perpendiculaire au plan ho- 
rizontal; ce plan coupera la sphère (AA') suivant un cercle 
vertical dont la projection horizontale b doit se confondre 
avec celle de la droite donnée, et qui aura pour projection 
verticale l'ellipse b^ que l'on construira par l'un des moyens 
indiqués (687, 688). Ce cercle sera coupé par la droite (a, a% 
suivant deux points (m, m') (7n, m') qui appartiennent à la 
surface de la sphère . ' 

On peut éviter la construction de l'ellipse 6' en faisant 
tourner le plan p autour de la verticale d, d\ situé dans ce 
plan, jusqu'à ce qu'il soit arrivé dans la position /?'' parallèle 
au plan vertical. Dans ce rabattement, la droite donnée de- 
vient a'^ et la section dans la sphère est le cercle b^\ les 
points demandés sont {m"m'') ; les projetant en (m^'W), et 
ramenant le plan p" à sa position primitive, on aura les pro- 
jections, (m, m). Quant aux projections verticales [m\m'), 
elles seront déterminées par lesiutersections des horizontales 
passant par les points m", m'', avec les perpendiculaires à la 
ligne AZ, passant par les points (m, m). 

• 

720. Si le cercle V' était touché par la droite a"^ on en 
conclurait que la ligne aa' touche la surface de la sphère, et 
si a" ne rencontrait pas b" il n'y aurait pas de points com- 
muns entre la sphère et la droite donnée. 

721. Si l'une des projections de la ligne donnée, flg.363» 



340 SURFACE PL. 74* 

f 

passait par le centre de la projection correspondante de la 
sphère, on emploierait comme surface auxiliaire le plan pro- 
jetant de la ligne ; la section, dans |la sphère serait un grand 
cercle, dont on éviterait la construction en le rabattant «tu- 
tour de la ligne projetante du centre ; par suite de ce mou- 
vement la droite donjQée viendrait se placer en a", et les 
deux points m"^ m" , ramenés à leur place, deviendraient 
(m, m) [m\ m'). 

722. Enfin, si la ligne donnée était parallèle à l'un des plans 
de projection, le plam auxiliaire serait lui-même parallèle à ce 
plan, de sorte que la section dans la sphère se projetant par 
un cercle, il n'y aurait à construire ni ellipse ni rabattement. 

723. Construire la section de la sphère par un plan 
cblique aux plans de projection. 

Concevons, ng. 362, un plan horizontal p. Ce plan cou- 
pera la sphère A suivant un cercle (a, a'), et le plan donné B 
suivant une ligne (&, 6') parallèle à la trace horizontale de ce 
plan. Or le cercle {a, a') et la droite '(ô, b^), étant dans un 
même plan, se couperont en deux points (m, on') (m, m'), 
qui feront partie de la courbe cherchée. En recommençant 
cette construction, on obtiendra autant de points que Ton 
voudra. Mais pour vérifier les constructions et pour éviter les 
intersections trop aiguës, il sera bon (^ faire simultanément 
usage de plans parallèles au plan hoi' >ntal, et de plans pa- 
rallèles au plan vertical. Ainsi un plâii p', parallèle au plan 
vertical, vérifierait la position de l'un des points m, m' et 
déterminerait celle du point nn'. 

Cette méllîode a l'inconvénient de laisser de l'incertitude 
sur la position du point le pilus élevé, et sur celle du point le 
plus bas de la courbe. 

On pourra trouver ces points, et en même temps on don- 
nera plus d'exactitude aux constructions en projetant la sphère 
sur un plan auxiliaire p^\ vertical et perpendiculaire au plan 
•coupant B. La pi-ojection A'-' de la sphère sur ce plan s'obtien- 
dra en prenant sur la projection verticale primitive la hau- 
teur du centre au dessus du plan horizontal, et l'on aura la 
nouvelle trace du plan B en projetant un point quelconque 



PL. 74. DE LA SPBÈRE. 347 

de ce plan sur le plan auxiliaire p". Dans cette' nouvelle pro- 
jection verticale, la section, qui est une courbe plane, sera 
représentée par la ligne droite v,z. Le point v sera le point le 
plus bas de lacourbe et le point z sera le point le plus élevé. 
Pour construire par ce moyen la projection horizontale d'un 
point de la courbe, on concevra comme précédemment un 
plan horizontal p, qui coupera la sphère suivant le cercle^ a, 
et le plan B suivant la droite fr, et l'intersection de b avec a 
donnera les deux points m, m. 

724. Gomme l'on sait {Géom.) que l'intersection d'une 
sphère par un plan est toujours un cercle, il sera encore plus 
exact de rabattre ce cercle sur le plan horizontal en le faisant 
tourner autour de la Jrace horizontale du plan B. Les deux 
points qui, sur le plan auxiliaire p"y sont projetés en m" vien- 
dront, dans le rabattement sur le plan horizontal, se placer 
en m*^, m^, et leurs projections horizontales (m, m) seront 
déterminées par les intersections de la ligne m'^b avec les 
droites mm*"", mm^^ menées par les points m"', perpendicu- 
lairement à la trace horizontale du plan B. 

Au lieu de la projection auxiliaire sur le plan p'^ on aurait 
pu faire usage dé la section par un plan vertical p'" passant 
par le centre et perpendiculaire au plan B, et Ton aurait pu 
faire tourner ce plan autour de sa trace verticale pour le ra- 
battre dans la position A'". 

Au surplus, je n'ai indiqué tous ces rabattements que pour 
faire voir comment on peut vérifier les constructions ou leur 
donner plus d'exactitude ; mais il sera toujours préférable de 
prendre dès l'origine un plan de projection perpendiculaire 
au plan coupant. 

726. Au lieu de chercher les points suivant lesquels le plan 
donné coupe les parallèles de la sphère, on peut déterminer 
rintersection de ce plan avec les méridiens. 

Ainsi, par exemple, flg. 361, le plan méridien 0-4 coupera 
le plan donné suivant une droite et la sphère suivant un 
grand cercle. Ces lignes, étant toutes deux situées dans le 
plan 0-4, se couperont suivant deux points qui appartiennent 
à la courbe demandée. 



348 SURFACE PL. 74. 

Pour éviter la projection elliptique du grand cercle, pro- 
venant de la section de la sphère par le plan auxiliaire 0-4, 
on fera tourner ce plan autour de la verticale projetante du 
point ; dans ce mouvement, la section méridienne o-u 
viendra se placer dans le plan vertical 0-6', et se confondra 
par suite de ce rabattement avec le méridien principal de 
la sphère ; on «construira le point *, suivant lequel le plan 
donné B est percé par la verticale passant par le centre de 
^ la sphère. De plus, -le point 4 se rabattra en 4'^ et la droite 
S'A^^ sera Tintersection du plan donné B par le plan méri- 
dien 0-4. 

Les deux points u^\ u'^ projetés sur 0-6' et ramenés de là 
dans le plan méridien 0-4, feront partie de la courbe de- 
mandée. • 

Chaque rabattement fera connaître quatre points : en effet, 
par suite de la position symétrique des deux plans 0-4, 0-5, 
les opérations effectuées pour déterminer les points situés 
dans le plan 0-4 conviendront également pour les points situés 
dans le plan 0-5. 

Le plan méridien 0-1, perpendiculaire au plan B, donnera 
le point le plus bas et le point le plus élevé de la courbe. 

La droite 5-6^', tangente au méridien principal de la sphère, 
déterminera les deux plans 0-6, 0-7, tangents à la projection 
horizontale de la courbe cherchée. 

726. La section de la sphère par un plan étant toujours 
un cercle, et la projection d'un cercle étant toujours une 
ellipse, on peut encore opérer comme il suit : soient, fig.361^ 
la sphère A, A' et le plan B, on conste*uira par le centre de 
la sphère un plan méridien 0-1, perpendiculaire au plan B ; 
en faisant tourner ce plan autour de la verticale, qi>i passe 
par le centre de la sphère, le point s, suivant lequel le plan 
donné est percé par la verticale du centre, ne changera pas 
de place, le point 1 viendra se placer en 1' et se projettera 
en V, Le cercle cherché, perpendiciflaire au plan 0-1, sera 
représenté dans ce rabattement car la droite v"z" égale à la 
véritable grandeur du diamètre de la section ; le point &\ 
milieu de t/V, étant ramené en c et relevé en c'y donnera 
,Ies deiix projections du centre. Lé grand axe de la projection 



PL. 74. 0E LA SPHÈRE. 349 

horizontale sera horizontal, et par conséquent parallèle à la 
trace horizontale du plan B, et le grand axe de la projection 
Terticale sera parallèle à la trace verticale de ce même plan. 
De plus, les longueurs de ces grands axes sont égales à la 
ligne vV ; et comme on sait que les petits axes des ellipses 
sont perpendiculaires aux grands, il ne manque plus que de 
connaître ces petits axes ou un point quelconque de la courbe 
(365) : le point v'^ projeté horizontalement en v' et ramené 
en V sera l'extrémité du petit axe pour la projection horizon- 
tale de la courbe. 

En faisant par le centre de la sphère une section perpendi- 
^culaire à la trace verticale du plan B, et rabattant cette sec- 
tion comme nous venons de le faire pour le plan 0-i , on aura 
le petit axe pour la projection verticale. 

On peut encore remarquer que l'axe mn étant horizontal, 
doit avoir sa projection verticale parallèle à la ligne AZ, de 
sorte qu'en élevant la perpendiculaire wirn', on aura sur la 
projection verticale, un point m' qui, avec l'axe eV, suffit 
pour construire l'ellipse, et dispense de chercher le petit axe 
de la projection verticale du cercle. 

727. #n peut faire usage d'un plan oblique pour résoudre 
le problème énoncé (719). • 

Soit, flgr. 364, la sphère A, A', dont on demande l'inter- 
section par la droite donnée (a, a'). Concevons un plan par 
cette droite et 4e centre de la sphère ; Tintersection de la 
sphère par ce plan sera un grand cercle qui aurait pour pro- 
jection une ellipse ; mais on évitera la construction de cette 
courbe en faisant tourner le plan coupant autour de Thori- 
zontale c, c', passant par le centre de la sphère. Par suite de 
ce rabattement, la section dans la sphère viendra se con- 
fondre avec le grand cercle qui forme la limité de sa projec- 
tion horizontale; la ligne donnée se rabattra en a", et les 
points cherchés seront (m'^ m^'). Ces points reviendront 
à leur place, en décrivant deux arcs verticaux projetés en 
[mm"^ mm"), perpendiculairement à la ligne [ce') prise 
pour charnière du rabattement : les perpendiculaires {rib'm^ 
m' m) détermineront les projections verticales des points 
-demandés. 



350 SUBFÀGB PL. 75. 

728. Intersection des sphères, cylindres et cônes. 

Trouver la courbe provenant de l'intersection d'une sphère 
et d'un cylindre. 

Pour obtenir sur la sphère les lignes les plus simples, il 
faudrait couper les deux surfaces données par des plans pa- 
rallèles à l'un des plans de projection, mais alors les sections 
dans le cylindre seraient des courbes égales à sa trace, et que 
Ton ne pourrait construire que par points, excepté dans le 
cas où cette trace serait un cercle. On fera donc mieux d'em- 
ployer des plans parallèles aux génératrices du cylindre et 
perpendiculaires à Tun des plans de projeclion. 11 est vrai 
que les sections dans la sphère auront pour projections des 
ellipses, ipais d'abord on pourrait trouver facilement les axes 
de ces ellipses, qu'il ne serait pas même nécessaire de cons- 
truire entièrement. Ensuite on pourra éviter la construction 
de ces courbes en projetant les sections faites dans le cylindre 
et dans la sphère, sur un plan auxiliafre vertfcal, et parallèle 
aux génératrices du cylindre. Ainsi, par exemple, pour obte- 
nir l'intersection de la sphère (A, A'), fig. 365, pi. 75 et 
du cylindre (B, B'), oa construira un plan vertical p parallèle 
aux génératrices du cylindre ; ce .plan coupera le cylindre 
suivïtnl deux droites (6, 6') (6, b"), qui, projetées sur le 
plan p'' et rabattues sur le plan horizontal, deviendront 
{b'\ b"). La section dans la sphère sera représentée dans ce 
rabattement par le cercle a'', et les iaterseclions de ce 
cercle par les droites (6", b") donneront quatre points (m''). 
En relevant le plan p", il sera facile d'obtenir les projections 
horizontales (m, m) de ces quatre points, et par suite leurs 
projections verticales. En recommençant cette consiruction 
on obtiendra autant de poipts que Ton voudra. 

Dans l'exemple que nous avons choisi, il y a deux courbes^ 
ce qui forme une pénétration dans la sphère ; une portion de 
l'une des deux courbes est située derrière le plan vettical de 
projection.* 

La question que nous venons de résoudre revient évidem- 
ment à chercher l'intersection de chacuue des génératrices 
du cylindre avec la sphère ; il ne s'agit donc que de faire 
plusieurs fois la construction indiquée n** 719. 

Op évite ordinairement la projection auxiliaire sur le plan 



PL. 75. DE LA SPHÈRE. 351 

p'', en plaçant dès Torigine le cylindre parallèlement à l'un 
des plans de projection, comme on le voit, flg. 366. 

729. Construire la courbe provenant de l'intersection 
d'une sphère et d'un cône. 

Soient, flg. 367, la sphère A, A' et le cône donné B, B', on 
construira par le sommet du cône un plan vertical p, ce plan 
coupera le cône suivant deux lignes droites (6, !/) (6, 6'), 
que Ton rabattra en (6^ 6"), sur le plan horizontal, en les 
faisant tourner autour de la trace du plan p, la section de la 
sphère par ce même plan sera le cercle a^\ et les quatre 
points {m^\ m"...,) feront partie de la courbe cherchée ; en 
ramenant le plan p à sa place, les points (m",,...) viendront 
se projeter en (m...), d'où il sera facile de déduire leurs pro- 
jections verticales (m'...). 

730. Si la trace du cône était un cercle, on pourrait em- 
ployer comme surfaces auxiliaires des plans parallèles au plan 
de cette trace. Dans ce cas, flg. 368, les sections dans le 
cône et dans la sphère seraient des cercles parallèles au plan 
de projection. 

731. Construire la droite provenant de l'intersection de 
deux sphères. 

Un plan p, parallèle au plan horizontal, flg. 369, coupera 
les sphères, proposées suivant deux cercles, dont les projec- 
tions verticales a' et 6' se confondront avec la trace du plan p, 
et dont les projections htrizonlales a, b donneront pour leur 
intersection deux points (w, ^) appartenant à la projection 
horizontale de 1^ courbe cherchée. Les .projections verticales 
de ces mêmes points sercrtit déterminées par les perpendicu- 
laires rnm\ mm\ 

Le plan p', parallèle au plan vertical, vérifie la position 
de Tun des points précédents et détermine celle du point 
(n, nO. On obtiendra par ce moyen autant de points que Ton 
voudra. 

Le plan horizontal p^\ passant par le centre de la sphère 
B, B', donne les points w, v, suivant lesquels le grand cercle 
formant la projection horizontale de cette sphère est touché 



352 SURFACE PL. 75. 

par la projection horizontale de la courbe cherchée, et le plan 
verlical p"', passant par le centre de la même sphère, donne 
les points s, z, suivant lesquels la projection verticale est tou- 
chée par celle de la courbe. 

732. On sait [Géom,] que la courbe provenant de Tintersec- 
lion de deux sphères est un cercle, et que, par conséquent, 
ses projections doivent être des ellipses. 

Si l'on voulait en déterminer les axes, on opérerait de la 
manière suivante: Concevons, flg. 370, un plan vertical/?, 
contenaut les centres de deux sphères (A, A') (B, B'). Ce plan 
les coupera suivant deux grands cercles verticaux qui, ra- 
battus dans le plan Bp', en tournant autour de la verticale du 
centre, seront représentés par les cercles a et .6. Le cercle 
cherché, perpendiculaire à la ligne des centres, sera, par 
suite de ce rabattement, projeté par la droite i;z,mui sera la 
véritable grandeur du diamètre, et par conséquent celle des 
grands axes st, xu : le point v projeté en v' et ramené en v" 
donnera l'extrémité du petit' axe pour la projection horizon- 
tale. En coupant les deux sphères par le plan p", perpendi- 
culaire au plan vertical, et rabattant la section dans le plan 
horizontal p"', on obtiendra le point n" pour l'extrémité du 
petit axe de la projection verticale. Enfin les plans /?*y,pVi 
menés par les centres des sphères et parallèlement aux plans 
de projection, détermineront les points suivant lesquels les 
grands cercles formant les projections de ces sphères sont 
touchés par les projections de la courbe. 

733. On évitera une grande partie de ces constructions en 
prenant dès l'origine un plan de projection parallèle à la ligne 
des centres, comme on Ta fait poui; obtenir l'intersection des 
deux sphères (B, B') fC, C), flg. 369 : dans ce cas, la projec- 
tion verticale de la section est- la droite a'b\ et la projection 
horizontale a pour grand axe cd = a'b' et pour petit axe aô, 
projection horizontale de a'^'. » 

Je terminerai ce chapitre par quelques combinaisons remar- 
quables de.la sphère avec le cylindre et le cône. 

734. Problème. Trois points étant donnés^ on veut dè^ 



*1. 76. DE IiA SPHÈRE. 359 

terminer un quatrième point dont on connaît les kistances 
aux trois premiers^ pL 76. 

Exprimons les points donnés par M, N, Vetle point cherché 
par U. Supposons de plus que l'on doit avoir MU = 7 mètres; 
VU = 8 mètres et ND == 9 mètres; il est évident que la ques^ 
tioB revient à construire le quatrième sommet d'an tétraèdre 
qui aurait pour base le triangle MNV et dont les arêtes 
adjacentes au point U seraient égales aux trois distances 
données. 

Cette question, étudiée une première fois au numéra 212 
peut encore être résolue de la manière suivante : 

1* Due sphère B, qui aurait pour centre le point M, e 
pour rayon 7 mètres, contiendra évidemment les points de- 
mandés. 

2° Une deuxième sphère C, dont le centre serait le point N, 
et qui aurait pour rayon 9 mètres, contiendra également les 
points demandés. 

3** EnOn, ces points devant être situés sur une troisième 
sphère D, de 8 mètres de rayon et dont le centre serait au 
point V, il est évident qu'il ne restera plus qu*à obtenir les 
points communs aux trois sphères. 

4o Pour exécuter cette épure, pi. 76, on prendra un plan 
auxiliaire dç projection kV vertical et parallèle à la droite 
mn, qui joint les centres des sphères B et C. 

5^ Le plan de projection k'T' étant rabattu, les points 
mn', nn' seront projetés par m'^ et n'^ dont les hauteurs au 
dessus de k"l" seront égales à celles des projections verticales 
primitives m' et ji' au dessus de kT. 

6^ Les sphères B et C seront projetées sur le plan A'T' par 
leurs grands cercles décrits de m'' et w^ comme centres avec 
des rayons de 7 et de 9 mètres. 

7* La corde Mk\ qui joint le§ points d'intersection de ces 
deux circonférences, sera la projection sur le plan' vertical 
k^%\ du petit cercle suivant lequel §e coupent les deux 
sphères B et C. • 

Or, le cercle k"h\ lieu de tous les points communs aux 
deux sphères B et C devra évidemment contenir les deux 
points cherchés, et la question se trouve par conséquent ré- 
duite à la recherche des points suivant lesquels ia circonfé- 

23 



354 SURFACE PL. 76r 

rence du cercle ^h" pénètre dans la troisième sphère D, ce 
qui revient par conséquent à chercher l'intersection d'une 
ligne avec une surface. 

80 Pour résoudre cette dernière partie de la question, on 
projettera, sur le plan k"!"^ la sphère, qui a pour centre 
le point vv\ projeté en t/', et dont le rayon est égal k 
8 mètres. 

9* On coupera cette sphère par le plan projetant du cercle 
A'V, ce qui donnera un cercle projeté sur le plan k!T' par la 
droite rf^s^^ et dont le centre sera projeté au milieu C' de la 
droite rV. 

Or les points demandés devant appartenir aux deux cercles^ 
Vh" eir'^s", il ne reste plus qu'à trouver leurs intersections ; 
mais comme les projections de ces deux cercles sur le plan 
A"Z" se confondent avec la trace AV de leur plan projetant 
A'"Z'", il est nécessaire de rabattre ce plan. Pour cela, 

IQo On peut le faire tourner autour de l'horizontale proje- 
tante de A''', jusqu'à ce qu'il soit venu se rabattre sur le piani 
horizontal de projection. 

il* Par suite de ce mouvement, les centres 0'' et 0'' des 
deux cercles A;'' A'' et r"^" dont on cherche les intersections 
viendront se rabattre sur le plan horizontal en o'^' et c"'. 

12° La circonférence décrite de 0'" comme centre avec an 
rayon égal à o"A" représentera le cercle A'Vi" rabattu, et la 
circonférence décrite fle C'' comme centre avec le rayon &'r" 
sera le rabattement du cercle r'V. 

13** Les deux points u'" suivant lesquels ces deux circonfé- 
rences se rencontrent satisferont aux conditions du problème* 

140 Pour ramener ces points à leur place, on les projettera 
d'abord sur A'^Z", puis on les ramènera en u'\ u" sur A'"Z'", 
d'où l'on déduira leurs projections horizontales u, w, sur les 
droites u'"u, parallèles à A"Z". 

150 Enfin, les perpendiculaires à A'Z' menées par les pro- 
jections horizontales u, u contiendront les projections verti- 
cales u\ u' dont les hauteurs au dessus de k'V doivent être 
égal^^ à celles des points u''^ u" au dessus de A'T'. 

73S. Pour obtenir les points u^ u' communs aux trois 
sphères, on pourrait : ^ 



PL. 77. . DE LA SPHÈRE. 355 

1« Construire le cercle suivant lequel se coupent deux 
quelconques de ces trois Sphères ; 

2» On construirait ensuite le cercle provenant de la ren- 
contre de la troisième . sphère avec Tune quelconque des 
deux premières ; 

3» Les points communs aux deux cercles ainsi obtenu» 
seraient les points demandés. 

Mais les deux cercles n'étant pas dans un même plan, les 
points suivant lesquels ils se renconirent ne pourraient plus 
être déterminés par un rabattement, et l'épure serait beau- 
coup moins simple. 

736. Problème. Les droites bb', cc^ dd', pi. 77, sont les 
axes de trois cylindres circulaires égaux ^ et tels que chacun 
d*eux est tangent aux deux autres. 

Chacun de ces axes est incliné sur le plan horizontal de 
projection d*une quantité égale à l'angle V, et leurs projec- 
tions horizontales se coupent suivant les sommets m, v, n 
d'un triangle équilatéral dont un des côtés mv est paral- 
lèle à la ligne k^l\ d'où, il résulte que l'un des trois 
cylindres demandés est parallèle au plan vertical de pro- 
jection. . 

Enfiny les traces horizontales des droites données sont les 
points E, F, 6 situés sur les prolongements des côtés du 
triangle mvn de manière que l'on. a raE = vF = n6. 

On demande de construire : 

l"" Les projections horizontales et verticales des trois 
cylindres ; 

2* Les coiirbea crinic r«eclion de ces cylindres et d'une 
sphère d'un rayon donné dont le centre est situé dans le plan 
qui contient les trois points suivant lesquels se touchent les 
cylindrjBS et sur la verticale qui contient le centre du triangle 
mvn. 

Protection verticale des droites données. 

!• Le point E étant projeté en E' sur la ligne A^', on fera 
l'angle H'E'G' égal à l'angle donné V, et la droite Wl/ sera la 
projection verticale de l'axe du cylindre BB' ; 

2* La verticale du point v déterminera sur Wl/ un point v^ 
par lequel on tracera rhorizontale QR ; 



356 SURFACE PL. 77. 

r 

3* Les points n' et m' situas sur les axes F'c' et (Yd^ à la 
mêirie hauteur que le point vv% seront déterminés par les 
verticales nn', mm'. 

'Rayons des cylindres. Les trois cylindres devant être 
égaux et se toucher, il est évidentque le rayon de la section 
droite sera pour chacun d'eux égal à la moitié de la perpen- 
diculaire qui détermine la plus courte distance de deux quel- 
conques des trois lignes données. , 

Pour obtenir cette plus courte distance, on peut opérer de 
plusieurs manières : 

^ Première méthode (140). On projettera les deux droites 
dont on veut obtenir la distaùce sur un plan perpendiculaire 
à l'une d'elles. Ainsi : 

!• Si par le point EÊ', ou tout autre point de la droite E'b', 
on trace une ligne A"Z" perpendiculaire sur E'i/, on pourra 
considérer les deux droites A'T^ E'E comme les traces d'un 
plan perpendiculaire au plan vertical de projection et à Taxe 
K'è' du cylindre BB' ; 

2** Le plan kV étant considéré comme plan de projection, 
OQ le rabatlra sur l'épure en le faisant tourner autour de sa 
traee horizontale ; 

3« La droite Wb' se projettera sur ce plan A'T' par un seul 
point Ë, qtii ne changera pas de place puisqu'il appartient à 
la "charnière du rabattement ; 

4o Enfin, les points HH'. et KK^ pris arbitrairement sur la 
droite 6tw, G'm', étant projetés sur le plan A^'Z" et rabattus 
en H''^ et K'^ on aura K'^H^' pour la projection de la droite dd' 
sur lep^an W; 

5«^la droite .Ea'' perpendiculaire sur K''B'', sera la plus 
courte idistance des axes des deux cylindres BB'et DIK, et le 
pctot 'W, ïnîlieu de E<i'', sera le point de tangence de ces 
deilS t^Iindred, dont les rayons seront égaux à t/^E, moitié 
de Ea'' ; 

6* La droite a^^a, parallèle à AT, déterminera sur Gm la 
projèdlton^ horizontale du point a ; 

'♦7^''l;è point à" projeté sur \T et ramené dans le plan 
A'*Z'', deviendra le plan d'une perpendiculaire projetante qui 
déterminera sur Gm' la projection verticale du point a', et si 



PL. 77. DE LA SPHÈRE. 357 

Ton a bien opéré, les deux points seront sur une même per- 
pendiculaire à k'V ; 

8" La droite aV, parallèle à A''Z'^ sera la projection verti- 
cale de la perpendiculaire commune aux deux droites hV et 
dd\ et la verticale abaissée de r' déterminera sur E6 la 
projection horizontale r du point rr'^ et pat* suite la projec- 
lion horizontale ar de la droite perpendiculaire aux aj{:es W, 
dd! des deux cylindres BB' et W! ; 

9" Le point uu', milieu de la droite ar, aV, sera le point 
de tangence que Ton pourra encore obtenir et vérifier en 
ramenant le point u" successivement sur A'Z', sur k"V' et de 
là sur aV, par une ligne projetante perpendiculaire au plan 
k'^V. 

Deuxième méthode. La plus courte distance qui existe 
entre les axes des deux cylindres donnés Rçut être obtenue, 
dans le cas actuel, par des considérations dépendantes de la 
position particulière de ces axes. . 

En efiet, fig. 3, si par un point 11^ pris où Ton voudra 
dans l'espace, on conçoit les droites IV, IN, parallèles aux 
axes des deux cylindres CC et DD', le plan P, qui contiendra 
les droites (IV, FV) (IN, TN'), sera parallèle aux deux 
cylindres, et par conséquent au plan langent commun. qui 
contient le point suivant lequel les deux cylindres doivent se 
toucher. 

Or les axes cc^ et dd' des deux cylindres CC et DD' devant 
être également inclinés sur le plan horizontal de projection, 
il en sera de même des droites (IV, FV) (IN, l'N') de la figu- 
re 3, et le triangle IVN formé par les projections horizontales 
IV et IN de ces droites par la trace horizontale VN du plan P 
sera isocèle ; enfin les deux côtés IV, IN du triangle INV de la 
figure 3, étant parallèles aux côtés nv et mv du triangle 
équilatéral mnv, Ûg. 4, on doit en conclure que la ligne VN 
perpendiculaire à la bissectrice de l'angle VIN sera, par la 
même raison, perpendiculaire à la ligne A'Z^ 

Or les axes<î?c', dd^ des cylindres donnés CC, DD' étant 
parallèles au plan tangent P, il s'ensuit évidemment que les 
projections verticales & et d' de ces axes seront parallèle^s, 
et leurs plans projetants c'F'F et d^&G étant parallèles^ 
toute perpendiculaire G'a/^ abaissée d'un point quelconque 



358 SURFACE PL. 77., 

GG' de ces plans sur l'aulre, exprimera leur distance, et par 
siïite la plus courte distance des axes M et ce' des cy- 
lindres. 

Cette opération détermine bien la distance des deux axes, 
et par conséquent les rayons des deux cylindjes DD' et CC, 
mais elle ne donne pas la position du point suivant lequel 
les deux cylindres se touchent ; or il est essentiel de con- 
naître cette position, puisque c'est dans le plan des trois 
points de tangence que doit être situé le centre de la sphère 
pénétrée par les trois cylindres. 

W faut donc que la perpendiculaire qui exprime la distança 
des deux axes soit amenée à la position qu'elle doit occuper 
dans l'espace. 

Pour obtenir cette position, on pourra opérer delà manière 
suivante-: 

!• On déterminera la projection horizontale af" du point 
a/' suivant lequel la perpendiculaire abaissée du point GG' 
perce .le plan projetant c'PF qui contient Taxe c& du cylindre 
CC<; 

2** On fera mouvoir cette perpendiculaire Chod'" parallèle- 
ment à elle-même et de manière que le point GG' ne quitte 
pas l'axe dd' du cylindre DD' ; 

3* Par suite de ce mouvement, le point a?'"a?'" décrira dans 
l'espace une droite a?'"a? parallèle à dd', et lorsque le plan 
a;'" sera venu se placer en xoc' sur l'axe ce' du cylindre CC, 
la droite :2a; parallèle à la ligne A'Z'sera la projectioîi hori- 
zontale de la perpendiculaire commune aux axes des deux 
cylindres CC et DD' ; puis les verticales projetantes élevées 
par les points z eix détermineront les projections verticales 
z' et a?' des mêmes points sur les projections verticales des 
axes des deux cylindres. 

Vérification. Dne remarque importante et de laquelle doit 
résulter pour la suite de cette épure un grand nombre d'a- 
bréviations, c'est qu'il est évident que les trois cylindres 
sont groupés autour de la verticale qui contient le centre du 
triangle ^quilatéral mnv^ de manière que si l'on faisait faire 
à ces trois cylindfes un tiers de révolution dans le sens indi- 
qué par la flèche iy le cylindre BB' viendrait prendre exacte- 
ment la place du cylindre CC, tandis que celui-ci remplace- 



DE LA SPHÈRE. 359 

'Qdre DIX ; or la perpendioulaire or qui mesure la 
deux axes étant entraînée par le même mouve- 
^ ^ '^ se placer en st^ et le point de tangence u en 



r 



^ 



r^ ^ ti 'it encore tourner le tout de 120 degrés, 

''^' ' %^ '^ixzQi le point de tangence e se place- 



<i< 



A ^ '* ^ mesurent les plus courtes distances 

' ^ " ont pour projections horizon- 






< > i\ > ^le équilatérai ; et les milieux 

'.. ' ^ '""j». nrojections horizontales des 
'^ ^ ^ ■ > 

^ \. ]^ . N V *, % '"5 points suivant lesquels 

'<^'v^ 'î- * '- .3 des cylindres déter- 

Vf^. --^^ V oS aV, sW et z'j/ des mêmes 

'*; ^ -V , e^ et o' des trois points de tan- 

V. situés tous les trois dans le plan hori- 






I 



^iis des cylindres. Les axes et les rayons des 

afes étant connus, il sera facile d'obtenir leurs projec- 

liODS. L'un des moyens les plus simples sera de construire 

les deux projections d'une sphère inscrite dans chacun des 

•cylindres demandés. 

Le rayon de cette sphère étant égal à Ew'', on prendra pour 
centre un point quelconque sur l'axe du cylindre dont on 
voudra obtenir la projection. 

Traces des cylindres. La droite hk sera le grand axe, et la 
droite el sera le petit axe de chacune des ellipses qui forment 
les traces horizontales des trois cylindres. 

On n'a pas construit les traces verticales qui n'offrent pas 
4lDtérêt dans la question actuelle, 
i Projections de la sphère. Le rayon étant donné, on prendra 

! pour centre le point 00^ situé à égale distance des trois 

points de tangence, et dans le plan LU de ces points. 

Pénétrations dans la sphère. On construira d'abord les 
deux courbes suivant lesquelles la sphère est pénétrée par 
le cylindre BB'. Il suffira pour obtenir ces courbes de couper 
le cylindre et la sphère par des plans parallèles au plan ver- 
Xical de projection. Chacun de ces plans coupera le cylindre 



l 



'360 SURFACE PL. 77^ 

suivant deux génératrices, et la sphère suivant un cercle 
parallèle au plan vertical de projection. Les points suivant 
lesquels ce cercle ëera rencontré par les génératrices du 
cylindre appartiendront aux courbes de pénétration deman- 
dées (728). 

Cette opération est tellement élémentaire, que je n'ai pas 
cru devoir en conserver la trace sur Tépure principale, et je 
me suis contenté de la rappeler au lecteur par la ligure 1, 
qui contient les mêmes données sur une plus petite échelle.. 

Si par le point de cette figure on construit le plan V per- 
pendiculaire au cylindre BB', il est évident que ce plan coupera 
la sphère et le cylindre en deux parties symétriques, et Ton 
sait que lorsqu'un plan de syraétrieestperpendiculaireauplaa 
de projection les parties symétriquement placées dans l'es- 
pace ont des projections symétriques, ce qui explique pour- 
quoi les deux courbes de pénétration MM' et NN' ont des- 
projections M' et N' symétriques. 

Cette remarque permettra de vérifiei; les courbes de péné- 
tration en s'assurant que sur la projection verticale, les 
points symétriques sont bien exactement placés à égale dis- 
tance du plan P, sur les projections verticales des généra- 
trices du cylindre. 

De plus, si l'on fait tourner le cylindre BB' autour de 
Thorizontale projetante du point 00' jusqu'à ce qu'il soit 
venu prendre la position B'^ et de manière que les deux 
cylindres B' et B'' soient placés symétriquement par rapport 
au plan horizontal P^ il évident que les courbes N' et U' 
seront symétriques et qu'elles auront par conséquent la 
même projection horizontale K ; mais les deux courbes M et. 
N étant symétriques par rapport au plan vertical Pj leurs pro- 
jections horizontales sont symétriques ; donc la projeclioa 
horizontale de la courbe U' étant égale à celle de la courbe 
N, sera symétrique de la courbe M. ' 

Ainsi les courbes de pénétration de la sphère et du cylindre 
BB' auront des projections verticales M' et N' symétriquement.^ 
placées t>ar rapport au plan P, et les projections horizontales-- 
M et N des mêmes courbes seront également symétriques, 
par rapport au plan Pa ce qui permettra de vérifier l'exac- 
titude des projections horizontales^ comme la symétrie par 



PL. 77. DE LA SPHÈRE. 361 

rapport au plan P sert à vérifier les projections verticales. 

C'est principalement pour déterminer les courbes de péné- 
tration de la surface sphérique et des deux autres cylindres 
que la symétrie nous sera d'une grande utilité. 

En effet, si Ton voulait employer la méthode précédente, 
il faudrait construire une projection auxiliaire, sur un plan 
vertical parallèle à chacun des cylindres donnés ; mais nous 
avons déjà remarqué que les trois cylindres sont groupés 
autour de Taxe, de manière qu'en fdisant faire à ces trois 
cylindres un tiers de révolution, chacun d'eux viendrait 
occuper e^^actement la place du cylindre qui le précède, et 
serait à son tour remplacé par le cylindre qui le suit. 

Or ce que nous venons de dire des cylindres s'applique- 
rait également aux courbes de pénétration ; de sorte qu'en 
faisant tourner les trois cylindres de 12u degrés, chaque point 
des deux courbes précédemment obtenues, flg. 4, décrirait ' 
également m arc de 120 degrés, et le plan P, tournant en 
même temps, viendrait prendre la place du plan P^ ; ainsi, 
pour obtenir les courbes de pénétration de la sphère par le 
cylindre CC : 

1** On décrira du point comme centre, un arc de cercle 
passant par chacun des points des courbes de pénétration de 
la sphère et du cylindre BB' ; 

2® On prendra les longueurs des arcs compris entre ces 
points et le plan P» et Ton reportera ces mêmes arcs sur les 
circonférences correspondantes à partir dii plan P, ; 

3° Enfin, en portant les mêmes distances à partir du plan 
P4 on obtiendra les projections horizontales des deux courbes 
de pénétration de la sphère du cylindre Diy. 

Lorsque leà projections horizontales des quatre dernières 
courbes seront déterminées, on obtiendra leurs projections 
verticales en élevant, par chaque point, une perpendiculaire 
à AT, jusqu'à ce que ces perpendiculaires rencontrent les 
horizontales menées par les projections verticales des points 
correspondatnts que Ton aura pris la précaution de numéroter. 

737. Symétrie. Les nombreuses relations de symétrie qui 
existent dans l'épure précédente peuvent donner lieu à quel* 
ques remarques utiles. 



362 SURFACE PL. 77. 

On a dit que deux objets, deux corps symétriques devaient 
a/voir une base commune, et être consttmts semblablement^ 
run ^lu-^essus du plan de cette base^ l'autre au-dessous^ 
avec cette coi}dUion que les sommets des angles solides 
homologues seraient situés à égale distance du plan de la 
base sur une même droite perpendiculaire à ce plan. 

Cette définition n'est point exacte ; d'abord parce qu'il 
n'est pas nécessaire que les deux corps dont il s'agit aient 
une base commune. Il est évident qu'ils pourraient être 
placés à une certaine distance l'un de rautre, de manière 
' que les sommets homologues soient situés deux à deux sur 
une perpendiculaire à un même plan, et à égale distance de 
ce plan, qui devient alors un plan de symétrie. Mais encore 
il est bien évident que celte dernière condition n'est «pas 
nécessaire pour établir la symétrie des deux corps dont il 
s'agit ; et l'on conçoit parfaitement que deux corps composés 
de parties égales arrangées dans un ordre inverse seront 
symétriques dans leurs formes quoiqu'ils ne soient pas pla- 
cés symétriquement. 

11 faut donc distinguer la symétne de forme de la symétrie 
de position. 

Cette dernière espèce de symétrie est évidemment la seule 
qui convienne pour les figures planes ; en effet, si deux 
figures de cette espèce, deux triangles par exemple, sont 
placés comme on le voit sur la figure 7, on ne peut. pas dire 
que ces deux triangles soient symétriques; car si Ton joint 
par une droite deux quelconques de leurs sommets homo- 
logues, et si par le milieu de la droite ab on lui élève une 
perpendiculaire cd, cette dernière ligne sera un axe de symé- 
trie ; or, si l'on fait tourner le triangle A autour de la droite 
cd, on fera coïncider les deux triangles, et leur égalité de- 
viendra évidente. On ne doit donc pas dire que ces deux 
triangles sont des figures symétriques ; ce sont des figures 
égales placées symétriquement. 

Aux symétries de forme et de position on pourrait ajouter 
une troisième sorte de symétrie, que l'on nommerait symé- 
trie de projection . 

En effet, pour qu'un objet symétrique se projette symé- 
triquementi il faut que iej)lan de projection soit perpendicu- 



FU 78. DE LA SimÂRE. 363 

laire aa plan de symétrie ; et, dans ce cas, on a une vue de 
face comme celle que Ton obtient lorsque^ la surface d'un 
portrait est perpendiculaire au plan de symétrie du corps 
humain; tandis que si ce dernier plan était parallèle à 
celui du tableau, on aurait évidemment ce que l'on appelle 
un profil. 

Si les deux polyèdres A et B, flg. 6, sont placés symétri- 
quement par rapport au plan vertical, il est évident que 
leurs projections horizontales seront symétriques par rapport 
â la trace horizontale du plan P, qui alors est un axe de sy- 
métrie pour ces deux projections; et Ton conçoit que l'un des 
deux polyèdres pourrait s'élever jusqu'en A' sans que la sy- 
métrie cessât d'exister sur la projection horizontale. 

Enfin, cette symétrie de projections existerait encore si le 
polyèdre B était remplacé par un polyèdre C différant com- 
plètement du premier, mais dont les sommets seraient situés 
sur les mêmes perpendiculaires projetantes. 

738. Problème. Intersection dCune sphère et d'un 

cône. ^ 

Supposons qu'il s'agisse, flg. 375,- pi. 78, de trouver la 
c«)urbe d'intersection d'une sphère par un cône qui aurait 
pour sommet le centre de la sphère. 

On coupera, comme nous l'avons fait au n<> 576, les deux 
surfaces proposées par des plans verticaux passant par le som- 
met du cône. Tous ces plans, contenant le centre de la bphère, 
couperont cette silrface suivant des grands cercles dont on 
évitera la projection elliptique en les rabattant autour de la 
verticale projetante du centre de la sphère. 

Ainsi, par exemple, pour avoir le point où la génératrice 
^-1 perce la sphère, on concevra le plan vertical projetant de 
cette ligne ; la section dans la sphère sera un grand cercle 
qui, étant rabattu autour de la verticale du point w', viendra 
se confondre avec la projection du méridien principal. La 
génératrice ^-1 se rabattra en s-V^ et l'intersection de cette 
droite avec le grand cercle vu donnera le point m^\ qui, ra- 
mené à sa place, deviendra m, m^ 

La même opération étant recommencée pour toutes les gé- 
nératrices du cône, on obtiendra les deux courbes ac, a'c' 



364 SUBFACE PL. 78. 

pour les projections de la ligne de pénétration du cône dan^ 
la sphère. ' . . 

Si Ton veut construire cette courbe dans le développement 
de la surface du cône, on remarquera d'abord que, puisqu'elle 
appartient à la surface de la sphère, tous ses points sont à 
égale distance du point ss' sommet du cône. 

De plus, chaque élément infiniment petit de la courbe que 
nous venons d'obtenir peut être considéré comme situé dans 
un plan langent à la surface dé la sphère, et par conséquent 
la courbe d'intersection rencontre partout à angle droit les 
génératrices du cône, puisque ces lignes sont des rayons de 
la sphère. 

Si Ton éloignait le sommet jusqu'à l'infini, le cône se chan- 
gerait en un cylindre, la sphère en un plan, et par conséquent 
la courbe deviendrait plane et représenterait la section droite 
du cylindre. Ainsi, là courbe ac, aV est pour le cône ce que 
la section droite est pour le cylindre. 

Tous les points de la courbe que nous venons d'obtenir 
étant à égale distance du sommet du cône, si Ton conçoit cette 
courbe partagée en un grand nombre d'arcs très-petits, et que 
par les points de division on fasse passer des génératrices du 
cône, on pourra sans erreur sensible regarder la portion de 
surface conique comprime entre deux génératrices consécu- 
tives et le petit arc correspondant, comme un triangle isocèle, 
de sorte qu'en plaçant ces petits triangles à côté les uns des 
autres, leur ensemble formera un secte^ur de cercle. De là 
résulte la construction suivante : 

Du point s^ avec un rayon égal à s^a\ on décrira Tare de 
cercle m*^ omT sur lequel on portera la longueur véritable de 
la courbe à double courbure obtenue précédemment, et le 
secteur ^m*^ om^^ sera le développement de la portion de cône 
comprise entre le sommet et la courbe ac, aV. 

Pour avoir la longueur de Tare w}^m^^^ on développera le 
cylindre ^projetant de la courbe ac, aV (459), ce qui donnera 
la courbe m"'om^" ; on portera les arcs qui composent cette 
courbe à la suite les uns des autres sur le cercle m^m^^ ce 
qui déterminera le secteur formant le développement du 
cône. 

En portant ensuite sur chaque rayon prolongé la véritable 



PL. 78. DE LA SPHÈRE. 36{^ 

grandeur de la partie de la génératrice correspondante, on 
construira facilement la courbe l'^'-^-t'^' qui représente le 
développement de la trace horizontale du cône. 

739. Problème. On peut encore employer la même dis- 
position d'épuré pour obtenir V intersection d'une sphère avec 
un cône quelconque. 

On prendra l'un des plans de projection, flg. 37©, perpen- 
diculaire à la droite K qui contient le centre G de la sphère 
et le sommet S du cône. Le second plan de projection sera, 
parallèle à la même droite qui alors sera projetée par une 
perpendîtulaire à la ligne AZ . 

On construira les deux projections de la courbe directrice 
de la surface, conique et Ton opérera pour le reste comme 
dans l'exemple précédent. 

Ainsi un plan P^ contenant la droite GS^ coupera la sphère 
suivant un méridien, et le cône suivant deux génératrices SI, 
S-2, qui rabattues en S-K' et S -2'' sur le plan du méridien 
principal Pj donneront deux points^tn^' et n'\ On ramènera 
ces points eii mm' et nn\ et ainsi de suite, pour tous les 
autres points de la courbe demandée. , 

740. Toutes les fois que le cône sera circulaire et que son 
axe passera par le centre de la sphère, fig. 376, la ligne de 
pénétration sera un cercle. 

Si le sommet qst en dehors de la sphère, il y aura deux 
cercles dé pénétration, flig. 377, et si le sommet s'éloignait 
jusqu'à rinûni, le cône se changerait en un cylindre et les 
deux cercles deviendraient égaux. 

D'où il résulte que lorsque Taxe d'un cylindre circulaire 
passe par le centre de la sphère, les lignes de pénétration sont 
deux cercles égaux et parallèles. 

741. Il n'est pas toujours nécessaire que le cône et le cy- 
lindre soient circulaires et que leurs axes passent parle centre 
de la sphère pour que les lignes de pénétration soient des 
cercles. Ainsi, nous avons démontré au n° 208 que, dans 
tous les cas, lorsque l'une des courbes de pénétration est un 
cercle, la seconde courbe de pénétration est aussi un cercle. 



366 SURFACE PL. 78. 

742. Le principe que nous venons de rappeler donne quel- 
quefois lieu à des abréviations. Ainsi, par exemple, flg. 373, 
A et A' étant les deux projections d'un hémisphère creux, â 
l'on proposait de construire la pénétration de cet hémisphère 
par un cylindre oblique, ayant pour directrice le grand cercle 
ac et pour génératrice la droite vw, v'u\ on construirait la 
projection auxiliaire A^', sur laquelle la courbe de pénétra- 
tion m'n'm' se projetterait* par une ligne droite m^^n'^. Il 
serait ensuite facile de construire cette courbe sur les deux 
projections en ramenant chacun de ses points ou en cherchant 
les axes. 

743. Problème. Construire rintersection d'une ligne 
courbe avec la surface d'une sphère. 

On emploiera, flgr. 374, comme surface auxiliaire un cy- 
lindre C, perpendiculaire au plan horizontal et contenant, la 
courbe donnée aa'. Cette surface, qui n'est autre que le cy- 
lindre projetant (le la ligne donnée, coupera la sphère sui- 
vant une courbe à double courbure, dont la projection hori- 
zontale se confondra avec celle de la courbe a, et dont ki 
projection verticale V sera coupée par la projection verticale 
de la ligne donnée en deux points (m', m',) qui serout 
les projections verticales des points demandés ( m, ra' ) 
(m, m'). 

Pour construire Ha projection verticale de la ligne bb\ on 
élèvera des perpendiculaires par les points suivant lesquels la 
trace du cylindre C coupe les projections horizontales des pa- 
rallèles de la sphère. 

Si quelques-uns de ces cercles étaient rencontrés trop obli- 
quement par la projection de la courbe donnée, on pourrait 
employer des sections méridiennes de la sphère. 

Ainsi, par exemple, la verticale projetante du point m 
coupe la section méridienne op en deux points, qui, rabattus 
dans le plan du méridien principal, deviennent m" m". 

Ramenant ensuite ces points à leur place, on obtient 

744. On pourrait encore employer cqmme surface auxiliaire 
un cône qui aurait pour sommet lé centre de la sphère et 
pour directrice la courbe donnée. Dans ce cas, on obtiendrait 



j 



PL. 79. DE LÀ SPHÈRE. 367 

l'intersecUon du cône avec la sphère en opérant comme nous 
l'avons fait au numéro 738. 

745. Raccordement de la sphère avec le cylindre et le 
cône. 

Pour qu'une sphère se raccorde avec un cône ou un cylindre 
il fout : 

1* Que le cône ou cylindre soit circulaire ; 

2"" Que leur axe passe par le centre de la sphère ; 

S*" Que la génératrice du cône ou du cylindre soit tangente 
à la sphère. 

La ligne de raccordement d'un cylindre avec la. sphère, 
fig. 372, sera toujours un grand cercle zx ; et la ligne de 
raccordement de la sphère et du cône sera un petit cercle t;u, 
fig. 371. 

746. Épicydolde sphérique. Soient, flg. 380, pi. 79, 

deux cônes circulaires (A, A') (B, B') ayant pour sommet com- 
mun le point ss', et pour bases les deux circonférences 
(a-15) (a'-15) et (15-c') (15-c) tangentes au point 15. 

Si Ton fait rouler le cône BB' sur le cône immobile AA', 
chacun des points de la circonférence (c-15) (c'-t5) décrira 
une courbe à laquelle on donne le non d'épicycloïde sphé- 
rique. On demande de construire les projections de l'une de 
ces courbes. 

On prendra pour l'un des deux plans de projection celui 
qui contient la base du cône immobile. On fera tourner le 
cercle générateur autour de Thorizontale projetante du point 
cc^j et lorsque ce cercle sera rabattu sur le plan horizontal 
(/-15^ on le partagera en un nombre quelconque de parties 
égales, en 16 par exemple. On ramènera le cercle générateur 
-à sa place, et l'on déterminera bien exactement chaque point 
de division sur les deux projections i5-c, i5-c'. 

Enfin, on portera tous les arcs égaux du cercle générateur 
à la suite les uns des autres sur la circonférence du cercle 
immobile. 

Cela étant fait : proposons- nous de construire la courbe 
engendrée par le point 1 . Nous choisirons ce point de préfé- 
rence, afin que la projection de courbe cherchée ne se con- 
fonde pas avec les opérations précédentes. 



368 > sup'AGB vu 79, 

Si nous supposons que Ton fasse rouler le cône incliné 
dans le sens indiqué par la flèche^ les différents points de 
division du cercle 15-cr, 15-c', viendront successivement tou- 
cher les points correspondants de la base du cône immobile, 
et le centre oo' du premier cercle parcourra dans l'espace un 
arc projeté sur le plan hoMzontal par la circonférence oo^^ et 
sur le plan vertical par la droite oo'. 

Lorsque le point 2 viendra loucher la circonférence du 
cercle immobile, le point 1 sera placé, par rapport au point 2, 
comme le point 14 était placé par rapport au point 15, au 
moment où les axes des deux cônes étaient dans un même 
plan parallèle au plan vertical de projection. De sorte que 
pour obtenir le point l' on décrira du point s, comme centre, 
la circonférence 1 4-t;', puis avec le compas on fera l'arc de 
cercle v'-V égal, à u-44 . , 

Pour déterminer le point, V^ on décrira la,çirçojifétence 
IS-ti'j.el l'on fera l'arc u'-r égal à u-13. ^ 

En coniinuant à opérer de la même manière, on obtiendra 
tous les points de la courbe demandée, quelle que soit la po- 
sition du cercle mpbiL^. 

Le point générateur ne quitte pas la surface d'une sphère 
qui a pour rayon, la. droite ^-15, génératrice commune des 
deux cônes ; c'est pourquoi la courbe obtenue se nomme 
épicycUMe sphérique pour la distinguer de VépicjfcUnde 
plane que nous avons étudiée au n"" 352. ^ 

747.' Si le sommet commun aux deux cônes s'éloignait du 
plan horizontal a-t 5, la courbure de la sphère diminuerait, 
et lorsque le centre serait parvenu jusqu'à TinOni, la surface 
de la sphère serait plane, les deux cônes seraient remplacés 
par deux cylindres circulaires, et la courbe engendrée serait 
une épicycloïde plane. 

748. Pendant que chacun des points de la circonférence 
(i5-c)(15-c') décrit une épicycloïde sphérique, tous les autres 
points situés dans le même plan 'décrivent des épicycloïdes 
rallongées ou raccourcies, suivant qu'ils sont en dehors ou 
en dedans de la circonférence mobile. 



VL. 79. DE LA SPHÈRE. 369 

Proposons-nous, par exemple, de déterminer la position 
que doit occuper le point 17, lorsque le point I, générateur 
de l'épicycloïde, sera parvenu en 1'''. 

Nous remarquerons d'abord qu'à Tinstant dont il s'agit les 
deux cercles se touchent par le point 6 ; mais pour que ce 
point vienne remplacer le point 15'' dans le rabattement, il 
faut que le point 1 prenne la j)lace du point 10, et dans ce 
cas, le point 17, ramené en 17', aura pour projections les 
deux points 17", 17". De sorte que pour obtenir le point 
demandé on décrira la circonférence I7"-a? et l'on fera Tare 
de cercle a?'- 17'", égal à a?-17". En opérant de la même ma- 
nière on obtiendra tous les points de l'épicycloïde sphôrique 
rallongée. 

Par des constructions analogues on obtiendra le point 18'" 
qui appartient à répicycloïde raccourcie engendrée par le 
point 18. Si on a bien opéré, les quatre points o", 18'", 
1'", 17'", doivent être sur un même rayon o"-l'" du cercle 
mobile. 

749. Tangentes à répicycloïde sphérique, 

!'• méthode. Lorsque le cercle mobile devient tangent au 
point 6, le point générateur se meut pendant un* instant très- 
court comme s'il tournait autour du point de tangence des 
deux cercles. De sorte que l'on peut considérer l'arc infini- 
ment petit, qui est dans le voisinage du point 1'", comme s'il 
était situé sur la surface d'une sphère gui aurait son centre 
au point 6, et dont le rayon serait la droite 6-1'". De plus, ce 
môme arc appartient à la sphère qui a pour rayon le côté 5-1'" 
du cône mobile ; il ferU donc partie de Tintersection de ces 
-deux sphères, et la question sera réduite à construire une 
tangente à cette intersection. 

Voici Tordre des opérations ; on construira (694) : 1® la 
droite pg, trace horizontale du plan qui toucherait au point 
1'" la sphère qui a pour rayon 5-1'". 

2» La droite pg, trace horizontale du plan tangent à la 
sphère qui a pour rayon 6-1'". 

3** La droite p-1'", intersection des deux plans tangents et 
qui sera par conséquent tangente à l'épicycloïde. 

750. 2* méthode. La tangente à une courbe quelconque 

25 



370 SURFACE PL. 19^ 

tracée sur la surface d'une sphère, devant être perpendicu- 
laire à Textrémité du rayon qui passe par le point de tan- 
gence, la ligne demandée, intersection des plans tangents- 
aux deux sphères qui ont pour rayons les droites ^-i''^', 
6-1'", sera pependiculaire à chacune de ces deux lignes, et 
par conséquent au plan qui les contient. Ainsi, au lieu de 
chercher, comme nous venons de le faire, les l^races des deux 
plans tangents au point 1'", il sera plus simple d'opérer de- 
la manière suivante : 

1» On construira la droite 5 V suivant laquelle le plan des 
rayons ^-1'", 6-^1'" est coupé par le plan ib-s-a, parallèle au 
plan vertical de projection. ^ 

La ligne s'z' sera parallèle à la trace verticale du plair 
s'A'^'Z', et la droite p'm' perpendiculaire sur ^2' sera par 
conséquent la projection verticale de la tangente. 

2« On construira la droite 6-t/, trace horizontale du pla» 
5-1 '"-6, et la ligne pm, perpendiculaire sur 6-2/, sera la pro- 
jection horizontale de la tangente. 

Les tangentes aux épicycloïdes rallongées ou raccourcies 
s'obtiendront par des considérations de même nature! 

Ainsi, pour la tangente au point 17"' de Tépicycloïde rai- 
longée, on construirait la perpendiculaire au plan qui con^ 
tiendrait les deux rayons 5-17"', 6-17'", et pour la tangente 
au point 18'" de l'épicycloïde raccourcie, on construirait la 
perpendiculaire au plan des rayons 5-I8'", 6-18'''". 

751. La figure 384 contient les deux projections de l'épi- 
cycloïde sphérique que Ton obtient lorsque le cercle mobile 
est perpendiculaire au plan du cercle directeur, et dans les 
figures 282, 283, on a supposé que lun des deux cônes était 
remplacé par un plan. 



PL. 79. SURFACES COURBES. 374 



LIVRE m. 



GHAPITRI*] PREMIER. 



Considérations générales sur le» surracei 

courbes» 



752. Eq jetant un coup d'œil sur les questions diverses 
dont nous nous sommes occupés jusqu'à présent, il sera 
facile de rattacher nos idées à un petit nombre de principes 
généraux. 

Dans le premier livre nous avons étudié les surfaces planes^ 
et dans le second nous avons vu les surfaces cylindriques, 
coniques et sphériques. 

753. Chaque surface a été considérée comme engendrée 
par le mouvement d'tine ligne assujettie à se mouvoir sui- 
vant des conditions données, renoncé de ces conditions for- 
mant la définition de la surface. 

Ainsi le plan est engendré par le mouvement d'une droite 
qui se meut parallèlement à elle-même, en s'appuyant tou- 
jours sur une autre droite immobile dans l'espace. La droite 
mobile se nomme la génératrice, et la droite sur laquelle elle 
s'appuie a reçu le nom de directrice. Si nous remplaçons cette 
dernière ligne par une courbe, nous obtenons une surface 
cylindrique ; et si, au lieu du parallélisme des génératrices, 
nous les faisons concourir en un même point, nous avons 
une surface conique. 



373. S&Bf AGES PL. 79> 

754. Au reste, nous n'avons admis ces divers modes de 
génération que pour plus Je simplicité, mais Ton n'est pas 
nécessairement contraint de s'y assujettir. En général, toute 
ligne, droite ou courbe, que l'on ferait mouvoir d'après des 
conditions telles que dans toutes ses positions elle serait tou- 
jours située dans une certaine surface, pourrait être regardée 
comme la génét-atrice de cette surface. Ainsi, par exemple, 
on pourrait encore engendrer le plan par une ligne droite qui 
tournerait autour d*une autre droite immobile, avec laquelle 
elle ferait constamment un angle droit. La droite 'fixe se nom- 
merait l'axe du plan. Dans cette génération, qui. a de l'ana- 
logie avec celle du cône, la^droi te génératrice changeant à 
chaque instant de direction dans l'espace, cette dernière con- 
dition eût été moins facile à représenter sur les épures que le 
parallélisme des génératrices ; c'est pourquoi* ce dernier mode 
de génération a été préfér(^. On peut engendrer le cylindre en 
supposant qu'une courbe quelconque se meut parallèlement 
«"i elle-même, en s'appuyant' toujours sur une ligne droite qui 
devient la directrice. . • ' 

Pour le cône, on peut supp\)ser qu'une courbe glisse paral- 
lèlement à elle-même en suivant toujours une droite direc- 
trice, de manière que, sans changer de forme, la courbe génér 
ratrice varie de grandeur proportionnellement à sa distance 
au sommet. Enfin, au lieu de considérer la sphère comme 
provenant *du mouvement d'un grand cercle qui tourne au- 
tour de son diajpètre, on peut supposer qu'un cercle variable 
de grandeur se meut parallèlement à lui-même, de manière 
que son centre parcoure une ligne droite, et qu'en nommant 
R le rayon de lasph^o nve l'on veut engendrer, r le rayon 
du cercle générateur, et d la distance de son plan au centre 
de la sphère, on ait • 

755. il résulte de ce que nous venons de dire, qu'une 
surface peut être engendrée de plusieurs manières, et que 
Ton est libre de choisir celle de ces générations qui con- 
vient le mieux soit pour la représentation de la surface sur 
les épures, soit pour la solution des divers problèmes qui en 
dépendent. 



PL. 80. COURBES. 373 

4 

756. J'ai cru devoir commencer par appeler l'attention du 
lecteur sur les surfaces cylindriques, coniques et spliériques, 
parce qu'elles sont la base esseniielte de presque toutes les 
combinaisons de l'industrie. 

Nous allons actuellement considérer les surfaces courbes 
sous un point de vue plus général. 

757. Quoique la courbure des surfaces puisse être variée 
d'une inflnité de manières, on peut cependant renferiher tous 
les cas particuliers dans une même définition, en supposant 
que toute surface est engendrée par le mouvement d'une 
ligne quelconque, droite ou Gourbe^ plane ou à double cour^ 
bure^ constante ou variable de /orme^ et qui se meut suivant 
des conditions données. 

Si, par exemple, nous faisons tourner l'eHLpse a'o'u\ 
ûg, 385, pi. 80, autour de la droite verticale &o\ elle 
engendrera une surface que nous nommerons ellipsoïde de 
révolution, 

768. Si nous supposons que Taxe horizontal au varia de 
longueur pour chaque position nouvelle de l'ellipse mobile, 
nous obtiendrons une infinité de surfaces difiiérentes. 

759. Introduisons la condition que les deux points a, u ne 
quittéïit pas la. circonférence de l'ellipse horizontale avuœ, 
alors la surface engendrée prendra le nom d'ellipsoïde à trois 
accès pour la distinguer de l'ellipsoïde de révolution. • 

760. Nous obtiendrons encore la même surface en suppo- 
sant qu'une ellipse horizontale telle que avux, flg. 387^ 
s'élève parallèlement à elle-même en variant de grandeur à 
chaque position, pourvu que le rapport des axes ne change 
pas, et que le plus grand de ces deux axes soit toujours égal 
à l'une des cordes horizontales de TeUipsé a'o'u\ 

Ces différents modes de génération reviennent à considérer 
la surface comme le lieu géométrique qui contient un système 
de lignes données. 

761. La topographie nous fournira un exemple remar- 
quable de ce genre de définition. 



374 SURFACES PL. 80. 

Supposons que Ton veuille déterminer, flg. 386, lous les 
innombrables contours et sinuosités d'un pays de montagnes, 
on supposera le terrain coupé par une suite de plans horizon- 
taux, ej; l'on construira les projections horizontales des sec- 
tions obtenues. 

Il est évident que Ton pourra éviter la projection verticale 
en exprimant par des nombres la hauteur de chaque plan 
coupant (241). 

Ainsi'la courbe désignée par le chiffre 15 sera la section du 
terrain par un plan horizontal élevé à 15 mètres au-dessus 
du niveau de la mer ; la courbe désignée par le nombre 20 
sera la section à 20 mètres de hauteur, etc. 

Il serait facile d'augmenter l'exactitude en projetant des 
sections plus rapprochées. 

762. Le lecteur comprendra de suite tout le parti que l'on 
peut tirer d'une représentation aussi complète de la surface 
terrestre. 

Supposons qu'il s'agisse de tracer ^une route suivant la 
direction ba, on coupera la surface par le plan vertical, qui a 
pour trace cette ligne, et la section transportée, flg. 388, 
donnera les différences de niveau de tous les points de ia ligne 
que doit parcourir la route projetée. 

Si la projection horizontale de cette route était une courbe 
cd, on développerait, flg. 389, le cylindre projetant de cette 
ligne. 

Ces exemples suffisent pour faire comprendre la possibilité 
de représenter toutes les surfaces courbes, quelque nombreux 
que soient les accidents et sinuosités de leurs contours. Nous 
allons diriger plus particulièrement notre attention sur les 
surfaces employées dans les arts, et dont la génération résulte 
par conséquent du mouvement de certaines lignes définies* 

763. L'idée la plus simple a dû être de classer les sur- 
faces d'après la nature des opérations nécessaires pour les 
produire. 

Ainsi, par exemple, on a nommé surfaces de révolution 
celles qui s'exécutent sur le tour, et surfaces réglées celles 
dont Texécution est obtenue par la règle. 



«L . . 80. COURBES . 375 

Si à ces deux genres Se surfaces nous ajoutons les surfaces 
enveloppes, nous aurons toutes tes espèces différentes de sur- 
iaces courbes employées dans les travaux de l'industrie. 

Nous étudierons bientôt en pa/ticulier chacun des genres 
de surfaces que nous venons d'énoncer, mais auparavant nous 
allons présenter quelques idées générales sur l'ordre que nous 
devons suivre dans cette étude. 

7Ô4. Le mode de génération d'une surface étant adopté, il 
faut savoir, pour chaque cas particulier, répondre aux ques- 
tions suivantes : 

P Représenter sur V épure la surface dont la définition t'st 
d^yn/née ; 

2° Eùoprimer qu'un point ou une ligne fait partie delà 
-surface donnée ; 

3^ Développer (autant que possible) la surface donnée en 
tout ou en partie ; 

4<» Mener à la surface donnée des plans tangents^ des 
normales et des surfaces normales ; 

5** Trouver l'intersection de la surface donnée, par un 
plan ; 

6** Trouver la courbe d'intersection de la surface donnée 
^vec toute autre surface ; 

7° Trouver l'intersection de la surface donnée par une 
Mgne quelconques droite ou courbe. 

765. Pour représenter sur l'épure une surface dont la défi- 
nition est donnée, il suffit de savoir construire la génératrice 
de cette surfaœ dans une position quelconque. 

Quelquefois la surface est infinie dans ses deux dimensions, 
'<x)mme le plan en général et les cylindres et cônes qui ont 
pour directrices des courbes infinies ; d'autres fois elle n'est 
infinie que dans un sens, comme le cylindre et le cône, lorsque 
leur directrice est une courbe fermée ; enfin elle peut être 
finie en tous sens, comme la surface de la sphère. 

766. En construisant un certain nombre de génératrices, 
-et sur chacune d'elles les points où elle perce les plans de 
projection, on obtient les traces de la surface. 



376 SURFACES PL-^SO- 

767. Lorsque la surface est limitée, on doit construire la 
ligne qui limite sa projection ; on obtient cette courbe en 
cherchant la suite des points suivant lesquels la surface 
donnée est touchée par une autre surface perpendiculaire 
au plan.de projection. Ainsi, dans les cylindres, et cônes, 
les limites sont situées dans des plans tangents aux courbes 
directrices, et perpendiculaires aux plans de projection» 
La limite de la projection de la sphère est la trace d'un cy- 
lindre perpendiculaire au plan de projection et enveloppant 
la sphère. 

768. Pour mieux faire sentir la forme d'une surface, on a 
tracé en plein les lignes vues, et en ponctué les lignes cachées. 

•On a cru cependant devoir s'écarter de cette convention'à 
l'égard du plan, qui, n'ayant pas d'épaisseur, n'est plus 
qu'un'e conception géométrique, incapable par conséquent 
de cacher les objets qui sont placés derrière. D'ailleurs étant 
infini en tous sens, un seul plan oblique aux deux plans de 
projection eût caché entièrement toutes les autres parties de 
l'épure, ce qui aurait empêché de faire sentir la position des^ 
corps solides, en. ne permettant plus d'apphquer à leurs- 
arêtes, ou autres parties de leurs surfaces, la distinction des 
lignes vues et des lignes cachées ; et si dans les sections de 
ces mêmes surfaces on a tracé en points les parties situées 
au delà des plans coupants, c'est plutôt parce que l'on a con- 
sidéré ces parties comme supprimées, que comme cachées 
par ces plans. 

769. Dans beaucoup de problèmes on a placé les données 
dans une position inclinée par rapport aux plans de projec-, 
tion, mais on ne Vi fait que pour exercer davantage aux 
constructions graphiques. Dans les applications, on devra 
toujours, avant tout, choisir le système de plans coordonnés 
ou de plans auxiliaires sur lesquels les projections seraient 
les plus simples, et pourvu que Ton ne change rien aux don- 
nées ni à leur position relative, la généralité de la question 
ne sera pas moins complète. Il ne faut pas oublier surtout, 
que le choix des plans de projection est i^ne des parties les: 
plus essentielles de la solution des problèmes. 



PL. 80. COURBES. 377 

770. Pour exprimer qu'un point fait partie d'une surface, 
on place ce point sur l'une des génératrices, ou sur toute 
autre ligne située dans cette surface, et dont on sait cons- 
truire les projections: en agissant de la même manière à 
l'égard dô tous leà points d'une courbe, on exprime que cette 
courbe est située dans la surface. 

771 . Pour exécuter un corps solide quelconque, il faut tra- 
cer sur la pierre, le bois ou le métal dont ce corps doit être 
composé, toutes les lignes qui doivent diriger le travail de 
l'ouvrier. 

Ces lignes se déduiront de leurs projections, par des rabat- 
tements si elles sont planes, et par des développements si 
elles font partie de surfaces courbes. 

Nous avons pu développer les surfaces des polyèdres, cy- 
lindres et cônes ; mais po^r la sphère, son développement n'a- 
été obtenu qu'approximativement. Nous verrons plus tard 
guel est le caractère auquel on reconnaît en général qu'une 
surface peut se développer. 

772. Dans les questions où il s'agissait de construire des 
plans tangents au cylindre et au cône, nous avons considéré 
Ja génératrice de tangence comme provenant du rapproche- 
ment des deux génératrices de section. 

Cette relation n'est qu'un cas particulier d'une autre propo- 
sition plus générale que nous allons démontrer. 

773. Supposons, tlg, 390, qu'une surface courbe quel- 
conque A soit coupée par un plan pq. Si nous faisons tourner 
ce plan autour de la droite mn, qui touche en a la courbe 
de section ac^ cette dernière ligne deviendra successivement 
ac\ aC'y et lorsque tous ses points seront réunis en un seul, 
le plan coupant pg deviendra pY et touchera la surface sui- 
vant le point a. 

774. On peut donC'Conclure de ce qui précède q\i'un point 
de tangence est un point multiple, puisqu'il résulte du rappro- 
chement ^une infinité de points de section. 



378 SURFACES PL. 80. 

775. Ces points, guoiqae inflniment rapprochés, détermi- 
nent la position du plan tangent p'ç^ mais ne suffisent pas 
pour le construire. 

Si l'on veut obtenir les traces, il sera nécessaire d'intro- 
duire quelque autre condition facile à, exprimer graphi- 
quement. 

776. Concevons par le point a, flg. 392, une courbe ao"o'o 
. quelconque située sur la surface, et supposons que cette 

courbe soit coupée par le plan 'pq suivant le point o, la droite 
<ji,s, qui joindra ce point avec le point a, sera une sécante par 
rapport à la courbe ao"o'o. 

Or, si nous faisons tourner le plan fq autour de mn qui 
touche la surface au point a, le point o deviendra successi- 
vement o', o", a. 

Enfin, lorsque les points de section o" et a seront réunis, 
le plan p'ç' sera tangent ai; point a, et la sécante as devien- 
dra as"' tangente à la courbe ao'^o'Oy sans avoir cessé un 
seul instant d'appartenir au plan pq dans les diverses posir 
tions par lesquelles ce plan a successivement passé pour 
devenir pY- • ' ' 

La courbe 'ao^'û'o pouvant être prise dans la direction que 
l'on voudra, il s'ensuit que le pian tangent en un point quel- 
conque d'une surface donnée doit contenir les tangentes à 
toutes les courbes que l'on peut faire passer par ce point sur 
la surface. 

à 

777. Nous pouvons encore arriver à la même conséquence 
en raisonnant de la manière suivante : 

Quand on considère une ligne courbe <comme composée 
d'une infinité de côtés, cela ne veut pas dire que l'on soit 
autorisé à regarder chacun d'eux comme un point unique ; 
on doit plutôt admettre que ce sont de petits côtés de poly- 
gones dont les extrémités se sont tellement rapprochées, 
que leurs longueurs se trouvent réduites à zéro; de sorte 
que la direction de chacun de ces côtés reste déterminée, 
^t c'est le prolongement de cette direction qui produit la 
tangente. 

778. Les mêmes raisonnements s'appliqueront aux surfaces 



PL. 80. COURBES. 379 

courbes. Eq considérant ces espèces de surface? comme com- 
posées d'une infinité de petites facettes, il ne faut pas regar- 
der chacune d'elles comme un point unique, mais comme k 
réunion de plusieurs points rapprochés, de manière à n'en 
faire qu'un seul, en conservant toutefois cette condition que 
tous ces points n'ont pas cessé d'être dans un même plan. De 
sorte que si l'on çSnçoit une droite passant par deux quel- 
conques de ces points infiniment rapprochés, la direction de 
cette ligne n'en sera pas moins déterminée, et assujettie à se 
confondre avec le prolongement delà facette infiniment pelite 
qui contient ces deux points. 

Or cette facette ainsi prolongée n'est autre chose que le 
plan tangent ; d'où il suit que si en un point d*une surface 
courbe on conçoit un flan tançfent, ce plan contiendra les 
tangentes à toutes les courbes qui dans la surface passeraient 
par le point de tangence. , / 

779. Les considérations qui précèdent étant admises, la 
construction des plans tangents en un point d'une surface 
courbe se réduit aux deux opérations suivantes, flg;. 395: 

1" Construire par le point donné deux tangentes à la sur- 
face ; 

2*^ Faire passer un plan par ces deux droites. 

Il n'y a plus pour chaque cas particulier qu'à choisir, parmi 
toutes les courbes qui passeraient par le point donné, celles 
auxquelles il est le plus facile de mener des tangentes. 

780. Lorsqu'une ligne droite est située tout entière dans 
une surface courbe^ elle peut être prise pour une tangente 
à cette surface. 

Car on peut la considérer indifi'éremment comme une courbe 
dont le rayon serait infini, ou comme la tangente â cette 
courbe. 

C'est ainsi que pour construire les plans tangents aux cy- 
lindres et cônes, nous avons regardé comme tangentes les 
droites génératrices de ces surfaces, de sorte qu'une seconde . 
tangente a sufii pour déterminer le plan tangent. 

Pour la sphère, le plan perpeudiculaire à l'extrémité du 
rayon qui aboutit au point de tangence, contient évidem- 



/ 



380 SURFACES PL. 80. 

ment les tangentes à tous les cercles qui passent par ce 
point. ^ ' . 

781. Pour obtenir une normale il suffit de construire par 
le point de tangence une perpendiculaire au plan tangent. 

' 782. Tout plan qui contient la normale se nomme plan 
normal ; la section de la surface par ce plan se nomme sec^ 
tion normale. 

783. Si Ton fait tourner le plan normal autour de la nor- 
male, on obtiendra une suite de sections dont la courbure est 
diflërente pour chacune des positions du plan coupant. 

On démontre dans les traités d'Algèbre appliquée, que la 
section qui a le plus grand rayon de courbure est toujours 
perpendiculaire^ celle qui a la plus petite courbure. 

Quelquefois la courbure des sections normales qui passent 
par un point donné est constante. 

C'est ce qui a lieu pour la sphère et pour quelques sections 
dont nous parlerons dans le chapitre suivant. 

784. Pour obtenir la section d'une surface courbe par un 
plan, il suffit de construire la suite des points suivant les- 
quels ce plan coupe un système de lignes tracées sur la sur- 
face. 

11 n'y a plus dans chaque cas particulier qu'à choisir le 
système de lignes le plus simple. 

La ligne provenant de la section par un plan est toujours 
une courbe plane, dont la forme dépend de celle de la sur- 
face coyp(^e.- 

Si Ton prend un plan de projection perpendiculaire au plan 
coupant, la courbe cherchée se projettera en ligne droite, ce 
qui abrégera beaucoup les opérations. 

La véritable grandeur de la courbe s'obtient par un rabat- 
tement. 

785. L'une des questions les plus importantes de la géo- 
métrie descriptive est celle qui a pour but de construire la 
courbe d'intersection de deux surfaces. 



n. 80. COURBES. 381 

11 est évident que cela revient à construire un point com- 
mun aux deux surfaces données ; car,* en recommençant les 
mêmes opérations, on pourra trouver autant de points que l'on 
voudra, communs aux deux surfaces ; puis, l'on fera passer 
par tous ces points une courbe, qui sera l'intersection de- 
mandée. 

Nommons en général A et B les deux surface?; données, 
flg. 393, on construira une surface auxiliaire quelconque, 
-que nous nommerons C. Cette surface coupera la surface A 
suivant une ligne a, et la surface B suivant une ligne b. Or, 
ces deux lignes a et & étant situées dans une même surface C, 
se couperont en un point m, qui appartiendra aux deux sur- 
faces proposées, puisqu'il sera en même temps sur deux lignes 
faisant partie de ces surfaces. 

Une deuxième surface auxiliaire couperai les surfaces pro- 
posées suivant deux lignes a\ b\ qui, par leur intersection, 
donneront un point m'. 

Une troisième surface donnera un point m^^. 

Une qualrièrae surface donnera un point m^^\ etc. 

La courbe qui passera par les points m, m\ m"^ sera la 
pénétration demandée. 

La solution générale étant trouvée, il ne reste plus dans 
chaque cas particulier qu'à choisir le système de surfaces 
auxiliaires, de manière que les lignes a, a', a'^.... 6, b\ 6/',... 
<jui résultent de leur intersection avec les surfaces données, 
soient les plus simples possible et les plus faciles à;construire. 

On prendra presque toujours des plans pour surfaces auxi- 
liaires ; quelquefois'cependant il pourra être utile d'employer 
des cylindres, des cônes ou des sphères : tout dépendra de 
la nature des surfaces données ou de leur position dans 
l'espace. 

Ainsi, pour avoir «l'intersection de deux cylindres, nous les 
avons coupés par un système de plans parallèles à leur direc- 
tion. 

Pour l'intersection d'un cylindre par un cône, nous avons 
employé des plans parallèles au cylindre et contenant le som- 
met du cône ; et pour obtenir la pénétration de deux cônes, 
nous les avons coupés par des plans passant par les deux 
sommets. 



382 SURFACES PL. 80. 

Cependant il peut y avoir telle disposition d'épuré où il vau- 
drait mieux employer des plans parallèles ou perpendicu- 
laires aux plans de projection ; c'est ce que l'habitude des 
applications mettra promptement en état de décider. 

786. Parmi les pénétrations de deux surfaces, nous de- 
vons surtout remarquer le cas où Tune d'elles serait perpen- 
diculaire au plan dé projection; elje devient alors la surface 
projetante de la courbe demandée, et sa trace en est la projec- 
tion. Pour obtenir la seconde projection, il suffit d'élever des 
perpendiculaires à la ligne AZ, par tous les points où cette 

- trace est rencontrée par les projections d'un système de lignes 
tracées dans l'autre surface. 

Cette combinaisoii peut toujours être obtenue par un choix 
convenable de plans de projection, toutes les fois que Tune 
des deux surfaces données est un plan, un prisme ou un cy- 
lindre. 

787. Nous avons vu dans le chapitre 1*' du livre II com- 
ment on peut construire d^es tangentes aux courbes planes \ 
mais lorsqu'il s'agit d'une courbe à double courbure, lé plus 
simple est de la considérer comme provenant de l'intersection 
de deux surfaces. Alors la question se réduit à construire 
par le point donné des plans tangents à ces deux surfaces,^ 
et Tintersection de ces plans est la tangente demandée. 

Quoique la courbe proposée puisse provenir de Tintersec- 
tion de deux surfaces courbes quelconques, on peut toujours, 
si cela est plus commode, se contenter de construire des 
plans tangents aux deux cylindres projetants, de sorte que 
les traces de ces plans tangents seront les deux projections 
de la tangente. 

788. Tout plan passant par le point fie tangence et per- 
pendiculaire à la tangente sera perpendiculaire à la courbe^ 
et prendra pour cette raison le nom de plan normal à la 
courbe. 

789. La tangente étant perpendiculaire au plan normal 
sera perpendiculaire à toutes les droites qui passeraient par 
son pied dans ce plan. 



PL. 80. COURBES. 383 

Il semblerait donc permis de considérer chacune de ces 
lignes comme une normale à la courbe. Cela ne serait pas 
exact : il faut se rappeler ce que nous avons dit au n° 466, que 
la normale en un point d'une courbe à double courbure doit 
être située dans le plan osculateur de cette courbe. D'où il 
résulte que la normale sera l'intersection du plan normal par 
le plan osculateur. 

790. Pour trouver Tin tersection d'une surface B,flg. 334, 
par une ligne quelconque a, on fera passer par cette ligne 
une surface auxiliaire que nous nommerons C. Cette surface 
contiendra le point cherché m, et comme ce point doit faire 
partie de la surface donnée B, il sera sur la ligne 6, prove- 
nant de l'intersection des surfaces B et C. ' 

Or, le point m devant être à la fois sur les lignes a et by 
sera où elles se coupent. 

La question étant ainsi résolue d'une manière générale, il 
n'y aura plus qu'à choisir, pour chaque cas particulier, la 
surface auxiliaire C, de manière que la ligne b provenant de 
son intersection avec la surface B, soit la plus simple possible 
et la plus facile à construire. 

Si la ligne donnée est courbe, on pourra faire usage de Tun 
des cylindres projetants de cette courbe. 

Si la ligne donnée est droite, fig. 391, on emploiera comme 
surface auxiliaire un plan perpendiculaire ou oblique au plan 
de projection suivant qu'on le jugera nécessaire. 

Il est évident aussi que la ligne donnée pourra percer la 
surface en plusieurs points ; dans ce cas, il sera utile de re- 
connaître ceux de ces points qui sont vus ou cachés sur les 
diverses projections de la surface. 



384 SURFACES PI« 81. 



CHAPITRE II. 



Surfieice» de révolution. 



791. Définition. On désigne en général par ce nom les 
surfaces .qui proviennent du mouvement d'une ligne quel- 
conque, assujettie à tourner autour d'une droite fixe, par rap- 
port à laquelle elle conserve toujours la même position. 

Supposons, par exemple, flg. 396, pi. 81, la droite aa'^ 
immobile et perpendiculaire au plan horizontal ; concevons, 
déplus, lacourjie à double courbure coz; si nous faisons 
tourner cette dernière ligue autour de aa'de manière qu'elle 
ne change pas de position par rapport à cette droite, la sur- 
face engendrée sera de révolution. 

Dans ce ftiouvement, chaque point de la génératrice décrira 
un cercle horizontal dont le centre sera sur la droite immo- 
bile aa\ que Ton nomme Xaxe de la surface. 

La position de la génératrice, relativement au plan ho- 
rizontal, ne changeant pas, sa projection sur ce plan conser- 
vera toujours la même forme et ne fera que se déplacer en 
tournant autour du point a, qui représente la projection ho- 
rizontale de Taxe. Si nous supposons, par exemple, que Ton 
fasse faire à la courbe co% 4de révolution, le point c viendra 
se placer en c\ le point o en o' et z en 2'. 

Pour construire chacun de ces points on fera tourner sa 
projection horizontale d'une quantité égale à l'arc correspon- 
dant compris entre les deux plans verticaux ap, aq. Ainsi, 
par exemple, en faisant zz' égal à un' on aura la nouvelle po- 
sition du point z. On peut aussi faire uV égal à u% ; on fera 
de môme x(xf égal à ce', ou dç^ égal à cx^ etc. 



yC. 81. DE KÉVOLOTION. 385 

En agissant de la même manière pour chacun des points 
<le la courbe, on aura sa nouvelle projection horizontale ; 
•quant à h projection verticale correspondante, elle s'obtiendra 
en élevant des perpendiculaires par chacun des points c\ o\ 

^, jusqu'à la rencontre des horizontales qui représentent 

les projections verticales des cercles parcourus par ces points. 

Quand on aura construit un certain nombre de généra- 
trices assez rapprochées les unes des autres, on tracera en 
lignes pleines les parties de ces génératrices qui sont vues, 
-et en points les parties cachées. 

Il serait facile de distinguer ces parties les unes des autres, 
en raisonnant comme nous Pavons fait au n*» 275 ; mais nous 
allons voir des moyens plus simples d'arriver au même ré- 
sultat. 

792. Sections perpendiculairels à l'axe. Un des caractères 
de toute surface de révolution, c'est que la section, par un 
plan quelconque us perpendiculaire à Taxe, est toujours une 
«circonférence de cercle. 

Le rayon de cette circonférence est égal à la distance.de 
Taxe au point où la génératrice est coupée par le plan hori- 
zontal dont il s'agit. 

11 suit de là que si'l'on coupe une surface de révolution 
par un certain nombre de plans perpendiculaires à son axe, 
on obtiendra un système de cercles parallèles entre eux, et 
-que l'on appelle, par cette raison, les parallèles de la surface. 

La portion de surface coraurise entre deux parallèles quel- 
conques sa nomme une zone. 

• 

. 793. Les projections des parallèles sur un plan perpendi- 
culaire à l'axe sont des cercles concentriques, et le point a, 
centre commun de tous ces cercles, appartient à l'axe de la 
surface. 

Dans les diverses questions où Ton fait usage de cescourbes, 
on peut presque toujours choisir de préférence celles qui onl 
une projection commune. 

Ainsi, par exemple, les deux parallèles des points i et 5 fse 
projetteront par un seul cercle, il en est de même des paral- 
èles qui contiennent les points 6 et 8. 

• 25 



386 SURFACES ^ PL. 61. 

794. Parmi tous les parallèles d'une surface de révolu- 
tion, on doit surtout distinguer ceux qui passent par les 
points les plus remarquables de la génératrice ; ainsi, par 
exemple : 

Le point m, étant le plus éloigné de l'axe, décrira le cercle 
qui a le plus grand rayon, et que Ton nomme pour cela le 
plus grand parallèle . 

Lorsque ce parallèle partage la surface en deux portions 
égales on lui donne le nom d'équateur. 

Le point n, étant le plus rapproché de Taxe, décrit le plus^ 
petit parallèle que Ton nomme cercle de gorge ou collier. 

Si l'axe rencontre la surface, flg-. 399, le point o qui ré- 
sulte de cette intersection prend le nom de pôle. On peut 
considérer ce point comme le plus petit parallèle, et dans ce 
cas le cercle de gorge n'existe pas. 

795. Le plus grand et le plus petit parallèle forment le& 
limites de la projection sur le plan perpendiculaire à Taxe, 
et déterminent par conséquent les parties vues et cachées de 
cette projection. 

Ainsi, par exemple, sur la flgr. 396, toute la zone comprise 
entre le cercle de gorge 3 et le parallèle 1 sera vue sur la 
projection horizontale ; celle qui e?t comprise entre les deux 
parallèles 3 et 5 sera cachée par la zone précédente. 

La surface sera vue entre les parallèles 5 et 7 et sera cachée 
depuis ce dernier cercle jusqu'au parallèle 8. 

796. Sections passant par Vaxe. Toute section d'une sur- 
face de révolution par un plan ap qui contient son axe se 
nomme une section méridienne, 

La projection de toute section méridienne sur le plan per- 
pendiculaire à Taxe sera une droite passant par le point a. 

On peut, après avoir construit un assez grand nombre de 
génératrices, déterminer les points où chacune de ces lignes 
serait coupée par le plan méridien dont il s'agit. 

Ainsi, 1» courbe kny est la projection verticale de la sec- 
tion par le plan méridien ap, et la courbe 1-5-8 est la section 
par le plan ag. 



PL. 81. DE RÉVOLUTION. * 387 

Cette dernière ligne doit être tangente aux projections ver- 
ticales de toutes les génératrices. 

Le point de tangence sur chacune de ces courbes peut être 
déterminé en élevant une perpendiculaire par le point sui- 
vant lequel sa projection horizontale coupe la trace du plan 
méridien ag. 

797. Il est facile d'obtenir la section méridienne sans cons- 
truire toutes les projections de la génératrice. En effet, cette 
ligne étant donnée par ses deux projections^^, cV, fltg. 398, 
on décrira le parallèle passant par chacun de ses points, et 
Ton déterminera ensuite la section de toutes ces circonfé- 
rences par le plan qui contient le méridien demandé. 

Ainsi, par exemple, la courbe k^y^ flg. 398, est la projec- 
tion verticale du méridien situé dans le plan ap, et la courbe 
1-3-5-8 est la projection verticale du méridien ap'. 

798. Tous les méridiens sont égaux. Car si l'on fait tourner 
la courbe au autour de l'axe, tous ses points viendront coïn- 
cider avec les points correspondants du méridien au'. 

Ce dernier méridien jouit particulièrement de cet avantage, 
qu'il est projeté sur le plan vertical dans sa véritable grandeur; 
c'est pourquoi on lui donne le nom de section méridienne 
principale^ ou simplement méridien principal. 

Tout méridien se compose de deux courbes égales placées 
symétriquement de chaque côté de Taxe. 

Cependant il est permis de considérer chacune de ces deux 
courbes comme un méridien différant. 

Si on fait tourner le méridien principal autour de l'axe, 
la courbure de la projection verticale deviendra moins sen- 
sible à mesure que l'on approchera de la position ap", et 
lorsque le plan ap sera parvenu en ap"y la section méri- 
dienne se projettera par une droite a'a'f perpendiculaire à la 
ligne AZ. 

La portion de surface comprise entre deux méridiens quel- 
conques se nomme un fuseau. 

799. Le méridien principal formera la limite de la projec- 



388 SURFACES V PL. 81. 

tion verticale, etdéterminera par conséquent les parties vues 
et cachées sur celte projection. 

Ainsi, par exemple, tout point situé en deçà du plan ver- 
tical qui a pour trace la droite p'q' sera vu sur la projection 
verticale, tandis qu'au contraire tout point situé au delà du 
même plan aura sa projection verticale cachée. 

800. C'est pour plus de généralité dans la déflnition que 
nous avons supposé la surface engendr<''e par la courbe à 
double courbur^cz,cV, flg. 396; mais la section méri- 
dienne étant une courbe plane, il sera en général plus simple 
de prendre cette courbe pour génératrice ; et si Ton a soin 
de placer Taxe perpendiculaire à l'un des plans de projec- 
tion, la représentation de la surface sur l'épure deviendra 
très-facile. 

Supposons, ûg. 398, que l'on ait* placé Taxe aa' perpen- 
diculaire au plan horizontal; on construira symétriquement à 
droite et à gauche, et dans sa véritable grandeur, la courbe 
1-3-5-8 donnée comme génératrice et Ton aura la projection 
verticale de la surface. Pour la projection horizontale, on dé- 
crira du point a, comme centre, deux cercles concentriques 
ayant pour rayons les distances de la méridienne aux points 
qui sont le plus près et le plus loin de T^xe ; le premier est 
le cercle de gorge, et le second forme la limite extérieure de 
la projection ; quand la méridienne coupe l'axe, nous avons 
dit que le cercle de gorge n'existe pas. ' 

801. Les cas particuliers de surface de révolution se dis- 
tinguent ordinairement par la nature de leur section méri- 
dienne. 

Ainsi, l'ellipsoïde de révolution, tlg. 399, est la surface 
engendrée par le mouvement d'une demi-ellipse que Ton 
ferait tourner autour de l'un de ses axes. La sphère est une 
ellipsoïde de révolution qui a pour section méridienne un 
cercle. 

La surface annulaire ou le tore, ûg, 397, est engendrée 
par le mouvement d'un cercle tournant autour d'une droite 
située dans son plan. La section méridienne se compose de 
deux cercles égaux au cercle générateur, et placés symélri- 



PL; 81. DE RÉVOLUTION. 3B9 

quement par rapport à Taxe. Le plan horizontal mené par le 
centre dû cercle générateur contient le plus grand parallèle 
de la surface, et le plus petit, qui est le cercle de gorge. 
Dans le cas où le cercle générateur toucherait Taxe, le cercle 
de gorge serait un point, et l'a section méridienne se compo- 
serait de deux cercles tangents. Si le centre du cercle géné- 
rateur se rapprochait de l'axe, la forme de la surface se. 
rapprocherait de celle de la sphère, et ne différerait pas de 
cette dernière surface si le centre du cercle générateur se 
trouvait situé sur Taxe de rt^volation ; ce qui permet de re- 
garder encore la sphère comme un cas particulier des surfaces 
annulaires. 

Si la génératrice est une parabole, fig. 400, la surface sera 
un paraboloïde et prendra des formes différentes, suivant 
que la révolution aura lieu autour de Taxe de la parabole oa 
autour d'une droite ac perpendiculaire à cet axe. 
• Enfin, on nomme hyper boloïde de révolution la surface qui 
est engendrée par une hyperbole tournant autour de l'un de 
ses axes. 

Dans l'exemple, fig/ 403, la révolution se fait autour de 
Taxe non transverse, et la surface est continue, c'est à-dire 
qu'elle pourrait être parcourue par un point dans toute son 
étendue. Pour exprimer celte propriété, on donne à cette 
surface le nom dhyperboloïde de révolution à une nappe* 
Il n'en serait pas dé même si le mouvement s'était faitautour 
de l'axe transverse, flgr. 402, il y aurait alors dans cette sur- 
face deux parties séparées l'une de l'autre, ce qui lui ferait 
donner le nom à" hyper boloïde de révolution à deux nappes. 

802. L'hyperboloïde de révolution à une nappe jouit d une 
propriété remarquable. Cette surface, fig. 401, peut être 
engendrée par le mouvement d'une droite inclinée, telle que 
aa, a'c-, qui tournerait autour de l'axe vertical o, o'. Dans 
ce mouvement, le point aa' parcourra le cercle horizontal 
a', v\ et le point cd ne quittera pas le plan horizontal de 
projection. Le point nn\ qui est le plus près de l'axe, décrira 
le cercle de gorge. 

Si la gén(:*ratrice se rapprochait de l'axe, ce cercle dimi- 
nuerait, et au moment où il deviendrait nul, la surface de 



390 SURFACES PL. 8i. 

rhyperboloïde serait remplacée par les deux nappes d'un 
cône circulaire qui aurait pour sommet le point où l'axe 
serait coupé par la génératrice. 

Si l'on faisait tourner la génératrice autour de l'horizontale 

projetante du point n, n', pour la ramener dans une position 

• verticale, la surface de Thyperboloïde s'allongerait dans le 

sens de l'axe, et se transformerait en un cylindre circulaire 

au moment où la génératrice serait parallèle à l'axe. 

Ainsi, le cône et le cylindre circulaires sont des cas par- 
ticuliers parmi les hyperboloïdes de révolution à une nappe. 

803. Double génération. L'hyperboloïde de révolution 
peut être engendrée par une ligne droite de deux manières 
différentes, c'est-à-dire que Ton obtiendra la même surface, 
flg. 403, en prenant pour génératrice la droite (ac, a'c') ou 
la droite (ou, o'u'), inclinées en sens contraire dans le même^ 
plan projetant' vertical. 

En effet, considérons pour, un instant comme différentes 
les surfaces engendrées par ces deux droites ; la génératrice 
(ac, aV) appartenant à la première surface, la droite o^'u"^ 
Qtnyfit ggi-a ung génératrice de la seconde. Or, les cordes ac, 
cf'u" étant égales, il s'ensuit évidemment que les droites 
ao"^ eu" seront parallèles, de plus les droites (âo", aV) 
et [pu'\ c'u"'), qui ont leurs projections horizontales a&', 
eu" parallèles, sont situées dans les plans horizontaux cV, 
a'o"', par conséquent elles sont parallèles dans l'espace 
et les quatre points a, o", c, vt"' sont dans un même plan. 
Donc les deux lignes (ac, aV) {o"u"^ o"'u"') se rencontrent 
au point mm'. 

Ce que nous venons de dire des deux droites (ac, a'&) 
{o"u", o"'u"') pouvant s'appliquer û toutes les autres, quelle 
que soit leur position, il en résulte que toutes les génératrices 
de la première surface rencontreront nécessairement toutes 
celles de la deuxième, et par conséquent ces deux surfaces 
coïncident dans tous leurs points. 

Les deux systèmes de génératrices partagent toute la sur- 
face de rhyperboloïde en un nombre infini de petits quadri- 
latères qui diminuent de grandeur dans le voisinage du cercle 
de gorge. 



ÏL. ,81. DE RÉVOLUTION. 391 

Quoique Ton n'ait construit sur la figare 401 qu'une seule 
des deux générations de l'hyperboloïde, on peut se faire une 
idée de la disposition de tous les quadrilatères dont nous 
venons de parler, parce que les lignes ponctuées qui repré- 
sentent les parties cachées de la première génération devien- 
draient les parties vues de la seconde et seraient, dans ce cas, 
tracées en lignes pleines. 

804. Section méridienne.^On pourrait projeter, flg. 401, 
un certain nombre de génératrices et construire le point où 
•chacune de ces lignes serait coupée par le plan pq, ou bien 
00 opérera de la manière suivante: 

La droite génératrice ac, a'c' de l'hyp'erboloïde étant don- 
née, fig. 403, on tracera les parallèles passant par chacun 
àe ses points, et la section de toutes ces, circonférences par 
le plan vertical posera le méridien principal. 

805. Nous rappellerons que les projections verticales des 
génératrices de la surface doivent être tangentes à la section 
méridienne principale (796). 

Cette remarque nous donnera un moyen de reconnaître la 
nature de cette courbe. 

En effet, la génératrice {ac, a'c*) étant donnée, faisons 
faire à cette droite une demi-révolution pour l'amener dans 
la position (a V,o'w').i Les deux projections verticales se 
couperont en un point x' situé sur la projection de l'axe de 
la surface. 

Si nous prenons actuellement pour génératrice la droite 
ou, oV et que nous amenions cette ligne dans une position 
quelconque (oV, o'"u"^), elle coupera les deux droites (ac, 
a'c') {a"c", o'a') aux points mm', nn', et le point v suivant 
lequel la génératrice &^u", o"'u"' perce le plan du méridien 
principal étant le milieu de mn, sa projection verticale i;' 
sera pareillement le milieu de mV. 

Or, il résulte évidemment de cette propriété que la section 
méridienne sera une hyperbole ayant pour asymptotes les 
xieux droites a V, &u'; car on sait {Algèbre appL) que le point . 
^ù rhyperbole est touchée par une droite quelconque se 



392 SURFACES PL. Si» 

trouve toujours au milieu de la partie de cette droite com- 
prise entre les asymptotes (390). 

Les deux génératrices {ac, a'c') (a"c"^ o'u') ne percent le 
plan méridien qu'à Tinfini, ce qui s'accorde avec la propriété 

connue des asymptotes. 

» ' 

806. Ce qui précède nous fournit le moyen le plus simple 
de construire la section méridienne d'une hyperboloïde de 
révolution dont on connaît la génératrice ac, afd. 

En effet, cette ligne étant successivement amenée'dans les 
deux positions (ac, o!d) {a"d\ o^u'], on construira- les projec- 
tions verticales correspondantes, ce qui donnera les asymp- 
totes de rhyperbole demandée. 

On connaît de plus les sommets appartenant au cercle de 
gorge dont le rayon est égal à la droite œr, abaissée du point ar 
perpendiculairement sur ac : cela suffit pour que Ton puisse 
construire la courbe. 

807. Si par le point xx' on conçoit une droite parallèle k 
la génératrice et que l'on fasse iourner cette ligne autour de 
Taxe, elle engendrera un cône droit à base circulaire que Ton 
nommevdi cône asymptote, parce qu'il ne touche la surface 
qu'à une distance infinie du centre. 

• L' hyperboloïde de révolution à une nappe enveloppe le 
cône asymptote, tandis que Thyperboloïde à deux nappes, 
flg. 402, est au contraire enveloppée par ce cône. 

808. La surface annulaire ou le tore est la plus importante 
des surfaces de révolution parce qu'elle renfferme.les éléments 
de tous les cas particuliers de ce genre de surface. 

En effet, quels que soient les contours ou sinuosités de la 
section méridienne donnée pour génératrice, on pourrait tou- 
jours considérer cette ligne comme composée d'un certain-, 
nombre d'arcs de cercle qui se raccordent. 

Ainsi, par exemple, la courbe acvu, fig, 404, étant com- 
posée des trois arcs ac, cv, vu, la zone acac sera une portion- 
de la surface annulaire engendrée par le cercle qui a so&. 
.centre au point 1. 

La zone cvcv appartient à une seconde surface annulaire 



PL. 81. DE RÉVOLUTION. 395 

engendrée par un cercle décrit du point 2 conime centre* 
Enfin, la zone vuvu fait partie d'une troisièrpe surface 

annulaire engendrée par le cercle qui a pour centre le 

point 3. 
La première zone se raccorde avec la deuxième, parce 

qu'elles sont touchées toutes deux par un même cylindre, 

suivant le cercle horizoatal ce, 
La seconde zone sfe raccorde avec la troisième, parce 

qu'elles sont touchées suivant le cercle vv par un cône circu- 
laire qui a son sommet au point s. 

809. Cette propriété d'être touchées suivant un parallèle^ 
par un cône ou par un cylindre circulaire, appartient à 
toutes les surfaces de révolution. 

En général, éi en un point v on conçoit une infinité de 
courbes qui soient touchées par une même droite sv, et que 
l'on fasse tourner toutes ces courbes autour de l'axe commun 
mn, toutes les surfaces de. révolution engendrées par ces 
courbes se toucheront et seront touchées par un même cône 
circulaire ayant pour génératrice la droite sv. ' 

De plus, tous les plans tangents à ce cône seront égale- 
ment tangents aux surfaces de révolution qui ont le cercle vu 
pour parallèle commun. On pourra donc considérer à volonté 
toute surface de révolution comme étant continue, ou com- 
posée de plusieurs autres surfaces de révolution qui se raccor- 
deraient suivant les parallèles passant par les points de rac- 
cordement des différentes courbes dont se compose la section 
méridienne. 

La surface que nous venons de prendre pour exemple se 
nomme une scotie. 

810. Axe commun. Si on fait tourner l'ellipse et Thyper- 
bble, fig. 399, autour de la droite ac, on obtiendra defux 
surfaces de révolution qui se couperont suivant les deux 
cercles vu^ zx. 

Les deux paraboloïdes, flg. 400, se couperont suivant le 
parallèle vu ; l'hyperboloïde à deux nappes et la sphère pro- 
jetées, fig. 402, se couperont suivant les deux parallèles- 

f)U^ zx» . 



394 SURFACES PL. 81. 

En général, toutes les fois que deux surfaces de révolution 
auront un axe commun, elles se couperont suivant autant de 
parallèles qu'il y aura de points communs à leurs sections 
méridiennes. 

811. Exprimer qu'un point appartient à une surface de 
révolution. Supposons que l'on connaisse la projection ver- 
ticale z'y flg. 397 et 403, on construira le parallèle corres- 
pondant ; puis on abaissera la perpendiculaire z'z, dont Tin- 
tersection avec le parallèle donnera deux points z\ z, qui 
tous deux satisfont^ aux conditions demandées. Si Ton avait 
donné la projection horizontale z, on aurait pu comipencer 
par construire le parallèle ; puis élevant la perpendiculaire 
jsz. ses intersections avec le parallèle auraient déterminé les 
projections verticales des points demandés. 

812. Développement. Les surfaces de révolution ne 
peuvent se développer qu'approximativement et par des 
moyens analogues à ceux que ùous avons employés (682) 
pour la sphère^. 

En construisant un certain nombre de plans méridiens et 
-de plans perpendiculaires à Taxe, toute la surface ^e trou- 
vera partagée en trapèzes. Si l'on place à côté les uns des 
autres, et dans leur véritable grandeur, tous les trapèzes 
compris entre deux parallèles consécutifs, on aura \<b déve- 
loppement par zones, tandis qu'en construisant l'un au- 
dessous de l'autre tous les trapèzes compris entre deux plans 
méridiens, on aura le développement par fuseaux. 

Ce dernier mode de développement est souvent préféré 
dans les arts, parce qu'en ayant le soin de construire les 
plans méridiens à égale distance les uns des autres, tous les 
fuseaux seront égaux entre eux, et le développement' de Tun 
d'eux servira pour tous les autres ; tandis que toutes les 
2ones différant entre elles, il faudrait Construire séparément 
le développement de chacune. 

Nous verrons plus tard pourquoi les cônes et les cylindres 
de révolution jouissent de la propriété d'être développables. 

813. Sections perpendiculaires au plan de projection. 



PL. 82. DE RÉVOLUTION. 395 

On établira sur la surface donnée un certain nombre de 
parallèles, puis Ton construira les points suivant lesquels ces 
cercles seront coupés par le plan donné. C'est ainsi que Ton 
a obtenu, îig. 406, pL 82, la CQurbe nxnx , qui est la pro- 
jection horizontale de la section d'une sgrface annulaire par 
le plan p, perpendiculaire au plan vertical. ^ 

On pourra employer comme auxiliaires des plans verticaux 
passant par l'axe de la surface donnée : ces plans couperont 
la surface suivant des sections méridiennes dont on évitera 
la projection en les rabattant autour de Taxe ; les points 
{mm^){nn^) ont été déterminés de cette manière. On plan 
vertical o-2 a coupé la surface donnée suivant une section 
méridienne qui, en tournant autour de l'axe, est venue se 
confondre avec le méridien principal de cette surface. La 
droite provenant de l'intersection du plan p et du plan 
auxiliaire 0-2 est venue se rabattre en o'-2', et l'intersec- 
tion de cette ligne avec la section méridienne principale a 
donné deux points m'\ n'^ qui, projetés horizontalement sur 
oA, et ramenés dans le plan o-2, ont déterminé les points 
mm', nn\ 

On fera bien de profiter de la symétrie. Ainsi, on pourra 
déterminer par une seule opération les points qui sont situés 
dans les deux plans méridiens 0-2, 0-2. 

La tangente 0'-3' déterminera le point u" qui, ramené dans 
les plans 0-3, donnera les deux points m, u. 

814. Dans quelques cas particuliers, la recherche de la 
courbe de section peut être simplifiée. Supposons, par 
exemple, qu'il s'agisse de construire la courbe résultant de 
la section d'une ellipsoïde de réyolution par un plan vertical 
np^ flg. 405. On admettra [Algèbre appL) que la courbe 
demandée doit être une. ellipse, après quoi on construira 
l'horizontale oc, o'c\ perpendiculaire sur np, ce qui donnera 
le point ce^ pour le centre de cette ellipse. 

On ramènera ensuite le point c en (f dans le plan op\ on 
yèvera la perpendiculaire c^'a. 

Les intersections de cette droite avec le méridien principal 
de la surface détermineront les deux parallèles qui con- 
tiennent le point le plus bas, et le point le plus élevé de la 



/ 



396 SURFACES PL. 82. 

m 

courbe demandée. La différence des hauteurs de ces deux 
points sera l'axe vertical de Tellipse cherchée. 

L'axe horizontal z'x^ s'obtiendra en élevant deux perpen- 
diculaires par les points z ei œ. . 

La verticale vv^ déterminera les points suivant lesquels la 
projection verticale dé la courbe touche celle du méridien 
principal de la surface. 

Les points mm' peuvent être considérés comme provenant 
de la rencontre du plan vertical np par les deux parallèles qui 
ont le cercle mm'' pour projection horizontale. 

« 

815. On peut encore supposer que la section de l'ellip- 
soïde par le plan op" a été rabattue sur le méridien prin*- 
cipal, et que la verticale 6/ représente dans ce rabattement 
l'intersection des deux plans np, op'^ de sorte que les point* 
d'intersection m"* m"' étant ramenés à leur place deviendront 
w', m'. 

En faisant tourner la courbe autour de la verticale du 
point n, on obtiendra en M sa véritable grandeur. 

816. Lorsqu'on sait que la section demandée est une 
ellipse, on peut éviter la projection et le rabattement en fai- 
sant usage d'un plan auxiliaire sur lequel cette courbe se 
projetterait par un cercle. 

Supposons que la droite np, flg. 407, soit la trace d'un 
plan perpendiculaire au plan vertical de projection. 

Le point c, milieu de zx, sera le centre de Tellipse cher- 
chée. Le petit axe de cette courbe sera la corde comnlune à 
l'ellipse zx et au parallèle av, dont la moitié est rabattue en 
auv, de sorte que eu est le demi petit axe de Tellipse qui a 
pour demi grand axe cz. 

Or, si on décrit la demi-circonférence cu'z et que Toft 
porte eu de cm u\ le triangle cu'z sera rectangle, et la sec- 
tion cherchée se projettera par un cercle sur tout plan tel 
que nf dont la direction serait perpendiculaire à la corde 
zu' (541). 

Si après avoir projeté la courbe zx sur le plan npf on le 
fait tourner autour de T horizontale projetante du point n, on 
obtiendra la circonférence M. 



PL, 82. DE RÉVOLUTION. . 397 

817. Transformations diverses de la courbe de section. 
Si nous faisons mouvoir le plan p, fllg. 406, parallèlement â 
Iui*même en allant de droite à gauche, tous les points de la 
courbe se rapprocheront et finiront par se réunir en un seul, 
lorsque le plan mobile sera parvenu dans la portion p'. 

Alors le plan sera tangent à la surface et le point de tan- 
-gence sera «, t\ Si au contraire nous faisons mouvoir le 
plan p de gauche à droite, les deux points œ, x se rappro- 
cheront et se réuniront en un seul point zz\ lorsque le plan 
mobile sera dans la position p". Ce dernier plan touchera 
la surface au point z%^ et la coupera suivant la courbe zvrzrv. 

Si on continuait à faire avancer le plan mobile de gauche 
à droite, la section se partagerait en deux courbes fermées 
indépendantes l'gne de l'autre, et placées symétriquement 
par rapport au plan méridien A-i. Ces dernières courbes 
j]*ont pas été tracées sur l'épure, mais il sera facile de les 
construire. , . 

Si on continue à faire mouvoir le plan coupant dans la 
même direction jusqu'à ce qu'il ait dépassé le point o^', on 
obtiendra toutes les coUrbes précédentes dans un ordre in- 
verse, et leurs projections horizontales seront placées symé- 
triquement par rapport au plan méridien perpendiculaire au 
plan vertical de projection. 

818. On retrouvera des relations du même genre, flg. 411, 
dans les différentes courbes provenant de la section de la 
scotie par des plans parallèles à son axe. Supposons, pour 
plus de simplicité, qu'on ait projeté toutes ces courbes sur 
un plan parallèle aux différentes positions* du plan coupant. 
Les sections que l'on obtiendra seront de trois espèces : 

fo Si la distance du plan coupant à l'axe est plus grande 
que le rayon du cercle de gorge, la section se composera de 
deux courbes indépendantes et placées l'une au-dessus, 
l'autre au-dessous du plan horizontal ac. Les points o,o 
appartiennent au méridien qui est perpendiculaire au plan 
coupant ; 

2^ Si la distance de l'axe au plan coupant est égale au 
rayon du cercle de gorge, les points o, o se réunissent en un 
seul o', suivant lequel le cercle de gorge et le méridien per- 



398 SURFACES fL. 82. 

pendiculaire au plan coupant sont touchés par ce plan. La 
î^ection se compose des deux courbes so^z qui se coupent au 
point o', situé sur le cercle de gorge. Le plan coupant est 
tangent au point o'; 

3** Enfin, lorsque la distance de Taxe au plan coupant sera 
moindre que le rayon du cercle de gorge, Ja section se 
composera dé deux courbes séparées, placées symétrique- 
ment Tune à droite et l'autre à gauche du plan méridien dm^ 
et les joints o^\ o" appartiendront au cercle de gorge de la 
surface. 

819. Avant de quitter ce sujet, j'appellerai l'attention du 
lecteur sur les différentes formes que peut prendre la section 
d'une surface du second degré par un plan. 

!•' exemple. Supposons que la surface coupée soit une 
ellipsoïde de révolution, flg. 407. La courbe de section 
pourra subir trois transformations différentes : 

1** Le plan coupant 1, perpendiculaire à l'axe, donnera pour 
section un cercle ; 

2o Le plan 2 coupera la* surface suivant une ellipse ; 

3° Le plan 3 sera tangent et la courbe de section sera rem- 
placée par le point de tangence. 

2» exemple. Si la surface coupée est une paraboloïde d^ré-^ 
volution, flg. 409, la section subira quatre transformations : 

1° Le plan 1, perpendiculaire k Taxe, coupera la surface 
■ suivant un cercle ; 

2° Le plan 2 donnera pour section une ellipse ; 

3* Le plan 3, parallèle à l'axe, donnera une parabole ; 

4* Enfin le plan 4 sera tangent. 

3" exemple. Si là surface coupée est une hyperholoïde de 
révolution à une nappe^ flg. 408, ia section peut subir cinq 
transformations : 

!• Le plan 1, perpendiculaire à l'axe, donnera pour section 
un cercle ; 

2'' Le plan 2 donnera une ellipse ; 

3° Le plan 3, parallèle à la génératrice vu du cône asymp- 
tote, donnera une parabole ; 

4** La section par le plan 4 sera une parabole ; 

5« Enfin le plan 5 sera tangent aii point m. 



PL. 82. DE RÉVOLUTION. 399» 

820. Si nous faisons mouvoir le plan 4 parallèlement à 
lui-même, nous obtiendrons les variétés suivantes : 

1» Le plan 4 donnera une hyperbole dont Taxe transverse 
sera parallèle au plan sur lequel nous supposons que la sur- 
face a été projetée ; 

2** Le plan 4' sera tangent et donnera pour section deux 
génératrices de la surface (803). 

Ces deux droites pourront être considérées comme deux 
tangentes (780) et se couperont au point n, qui par consé- 
quent sera le point de tangence ; 

3** La section par le plan hl^ sera une hyperbole dont l'axe 
transverse sera perpendiculaire au plan de projection, et se 
projettera sur ce plan par le point o. 

821. Les hyperboles provenant de la section par les plans 
4 et 4" ont les asymptotes parallèles aux deux génératrices 
provenant de la section par le plan 4'. Ces dernières lignes 
peuvent être considérées comme formant une hyperbole pour 
laquelle la distance du centre au sommet de la courbe serait 
réduite à zéro. 

822. Si on donne plusieurs hyperboles ayant pour asymp- 
totes communes les droites vw, zx^ et que l'on fasse tourner 
toutes ces courbes autour de Taxe commun toutes les hyper- 
boloïdes engendrées auront le même axe et seront touchées à 
l'infini par le cône asymptote, qui a pour génératrices les 
deux droites zx^ vu. Or les sections de toutes ces surfaces 
par un même plan seront des courbes du second degré sem- 
blables et concentriques. 

Il faudra remarquer cependant que le plan 4' coupera le 
cône suivant une hyperbole, ayant pour asymptotes les deux 
génératrices de Thyperboloïde, tandis que le plan 4"' coupe 
cette dernière surface suivant une hyperbole qui a pour 
asymptotes deux génératrices du cône. Et quoique les axes 
transverses de ces deux hyperboles soient dirigés dans l'es- 
pace suivant des directionsTectangulaires, elles ne possèdent , , 
pas moins le caractère des figures semblables, en cela que 
les axes trans verses et non transverses de ces courbes sont 



400 SUBFAGES PL. 82. 

réciproquement proportionnels et que leurs asymptotes sont 
parallèles. 

823. Si nous comparons les sections de l'hyperboloïde avec 
celles du cône asymptote, nous remarquerons que le plan 4 
coupe ces deux surfaces suivant deux hyperboles qui ont le 
même axe transverse. 

Le plan 4' coupe le cône suivant une hyperbole qui a pour 
asymptotes les deux génératrices provenant de la section de 
Thyperboloïde. 

Le plan k" coupe le cône et l'hyperboloïde suivant deux 
hyperboles qui ont les^ mêmes asymptotes, mais dont les axes 
transverses sont perpendiculaires l'un à Tautre. 

Enfin, le plan k"' coupe l'hyperboloïde suivant une hyper- 
bole qui a pour asymptotes les deux droites provenant de la 
section du cône par un plan qui contient son sommet. 

Toutes ces courbes ont lefurs centres^sur la droite en. 

Les démonstrations de ces propriétés ne peuvent être 
convenablement placées que dans les traités d! Algèbre appli- 
quée. 

824. Plans tangents. Coristruire un plan tangent à une 
surface de révolution par un point mm', situé sur la sur- 
face, fîg. 410. 

Nous avons reconnu que le plan tangerit en un point 
donné d'une surface quelconque* serait déterminé par deux 
tangentes passant par ce point ; de sorte qull ne reste plus 
qu'à chercher quelles sont les tangentes les plus faciles. à 
construire. 

Or, de toutes les courbes que l'on peut faire passer par un 
point d'une surface de révolution, la plus simple est la sec- 
tion par un plan perpendiculaire à son axe. 11 sera donc con- 
venable de choisir pour première tangente la droite horizon- 
tale aa\ qui touche le parallèle passant par le point donné. 
Pour obtenir la seconde tangente, on rabattra la section mé- 
ridienne sm, en la faisant tourner autour de l'axe. Le point 
donné m, m' viendra se placer en m'', et la tangente dans • 
ce rabattement sera s'm^' ; en ramenant cette tangente à la 
place qu'elle doit occuper, le point s' ne bougera pas, puis- 



ÏL. 82. DE RÉVOLUTION. 401 

qu'il fait partie de la charnière, et ron aura pour seconde 
tangente la droite sb, s'b\ qui, avec la ligne a, a', détermi- 
nera le plan tangent p. 

825. Ainsi le parallèle qui passe par un point donné sur 
une surface de révolution faisant toujours connaître une tan- 
gente à ce point, il ne restera plus dans chaque cas qu'à 
obtenir une tangente à la section méridienne qui contient le 
point donné : construction qui dépendra des propriétés géo- 
métriques de cette courbe. 

826. La solution précédente revient évidemment à cons- 
truire par le point donné mm^ un plan tangent au cône circu- 
laire engendré par la droite s'b^\ et qui par conséquent touche 
la surface suivant le parallèle passant parle point donné. 

En général, toutes les fois que deux surfaces se toucheront 
en un ou plusieurs points, tout plan qui en un de ces points 
toucherait Tune de ces surfaces serait aussi tangent kYdiuire. 
En effet, le point de tangence pourra être considéré comme 
une facette infiniment petite, commune aux deux surfaces, 
et cette facette prolongée en tous sens deviendra un plan 

tangent à toutes deux. * ^ 

* 

827. Cette conséquence nous sera utile dans le cas où nous 
n'aurions pas sur l'épure le sommet du cône tatigent. En effet, 
après avoir construit la tangente sb'' nous tracerons la droite 
m^^o perpendiculaire à sV. 

Le point o sera le centre d'une sphère qui touchera la sur- 
face donnée dans toute retendue du parallèle m'^m^\ de sorte 
que la question proposée sera réduite à construire un plan 
tangent par le point mm\ -situé sur la surface de la sphère 
qui tf pour centre le point o (694). 

Il n'est pas nécessaire de construire la sphère, dont nous 
ne parlons ici que pour mieux faiçe comprendre le principe ; 
il est évident qu'il suffit de construire par le point mm' un 
plan perpendiculaire à la droite sm, om'. 

828. Construire un plan tangent par un point situé sur 
la surface d'une hyperboloïde de révolution à une nappCy 
flg. 412. 

26 



402 SURFACES Pif. 8?^ 

L'^xe et la génératri€e zx, z'x' de la surface étant donnés, 
on construira le cercle de gorge, le parallèle qui contient 
le point donné, puis les deux projections m et m' de ce point. 

On fera tourner ensuite la génératrice [zx, z'xf) jusqu'à ce^^ 
qu'elle soit parvenue dans la position (sV, z"*xf*% et l'on 
prendra cette droite pour la première tangente (780). 

On construira la droite t?t*, tangente à la projection horizon- 
tale du cercleMe gorge, et Ton en déduira la projection verti- 
cale vV; de sorte que la ligne {vu, vV), deuxième géné- 
ratrice de la surface (803), sera la seconde tangente. Le- 
plan p sera déterminé par les deux droites (z'V, z'' V) 

(vu, vV). 

On remarquera que pour résoudre la question, on n'a pas 
fait usage de la section méridienne que Ton pourrait alors se 
dispenser de construire. 

829. -Tous les 'plans tangents à Thyperboloïde de révolu- 
tion coupent cette surface suivant deux génératrices, et 
l'intersection de ces deux droites détermine le point da 
tangence. 

83P. Si le point par lequel on propose de construire un 
plan tangent à une* surface de révolution est situé sur le 
méridien principal, Tune des tangentes sera l'horizontale 
projetante du point donné ; de sorte que le plan taqgentp' 
flg. 406, sera perpendiculaire au plan vertical de projection. 

831. Si le point donné appartient à l'un des parallèles for- 
mant les limites de la projection horizontale de la surface, le 
plan tangent sera perpendiculaire au plan horizontal de pro- 
jection. 

Ainsi, les plans verticaux qui auraient pour traces les deux 
droites 'p"' et p" sont tangents, le premier au point aa' et le 
deuxième au point cd. Le 'plan f^ est en même temps un 
plan coupant. 

832. Normale. La droite fk, flg. 406, est une normale, 
il en est de même de la droite mhy m^h' perpendiculaire au 
plan tangent p, flg. 410. 



PL. 83. DE RÉVOLUTION. 403 

Si ron veut donner à la normale mh, m'h' une longueur 
déterminée^ on rabattra cette droite dans \h plan du méridien 
principal, on fera m"h" égale à la longueur donnée, puis on 
ramènera la normale à sa place en la faisant tourner autour 
de Taxe. 

t 

833. On remarquera que pour construire la normale il 
n'est pas nécessaire d'avoir les traces du plan tangent. 

En eSèt, pour obtenir une normale au point z, on rabattra 
ce point en z\ puis on construira la normale que Ton fera 
revenir à sa place en remarquant que dans ce mouvement le 
point c doit rester immobile. 

834. Construction du plan tangent à une surface de ré-- 
volution par un point situé en dehors de cette surface. 

La question est indéterminée, car si par le point donné on 
construit un plan tangent^ il sera possible de faire tourner ce 
plan autour de la surface sans qu'il cesse d'être tangent et de 
contenir le point donné. 

Or, si pour chacune des positions de ce plan mobile, on 
pouvait déterminer le point de tangence, la construction de 
chaque plan tangent se réduirait aux opérations que nous 
avons indiquées au n^" 824. 

D'ailleurs, la construction du plan tangent n'a souvent 
d'autre but que de faire comprendre les opérations néces- 
saires pour déterminer les points de tangence, et lorsque ces 
points sont obtenus il devient presque toujours inutile de 
construire les traces des plans. 

836. Ligne de contact. Si par le point donné ss^^ fig. 414, 
pi. 83, on conçoit une droite s'a qui touche la surface en 
l'un quelconque de ses points, et que Ton fasse mouvoir cette 
droite de manière que sans cesser de contenir le point donné, 
elle s'appuie sur la surface, on engendrera un cône tangent 
qui aura pour sommet le point donné. 

Tous les plans tangents à ce cône satisferont à la question 
proposée, et toucheront la surface en Tun des points suivant 
lesquels cette surface est touchée par le cône enveloppant 
qui a son sommet en ssf. 



404 SUkFACES . PL. 83. 

La courbe qui contient tous ces points se nomme ligne de 
contact, et notre bût est de la construire. 

836. Méthode des plans coupants. On fera passer par le 
point ss^ un plan sp perpendiculaire à l'un des plans de pro- 
jection, ail plan horizontal par exemple. 

On construira la courbe provenant de la section de la sur- 
face par le plan sp. 

On déterminera tous les points suivant lesquels cette 
courbe peut être touchée par des droites qui contiendraient 
le point donné.' Chacun de ces points m; m' fera partie de la 
courbe cherchée. 

En effet, le plan tangent à Tun des points m\ devant con- 
tenir toutes les droites qui touchent la surface à ce point, il 
devra contenir la drotie sm, s^m', par conséquent il passera 
par le point aV. OuTecommencera cette construction en choi- 
sissant la direction des plans coupants de la manière la plus 
avantageuse. 

837. On peut choisir à volonté l'une des projections du 
point que l'on veut obtenir. 

Ainsi, par exemple, si Ton donnait le point m comme pro- 
jection horizontale de l'un des points de la courbe cherchée, 
on obtiendrait la projection verticale en opérant comme nous 
venons de le dire. 

Si au contraire on avait donné la projection verticale tn', il 
aurait fallu couper la surface par un plkn tel que s'zq perpen- 
diculaire au plan vertical de projection. ^ 

838. La méthode que nous venons d'expliquer est géné- 
rale et convient à toutes les surfaces; mais pour éviter la 
construction des courbes qui proviennent de la section par 
les différents plans coupants auxiliaires, on doit chercher si 
les propriétés particulières des surfaces de révolution ne per- 
mettent pas d'employer des moyens plus simples. 

839. Méthodes des cylindres projetants. Étant donnés, 
flg. 413, le point ss' et la surface annulaire engendrée 
par le cercle M, il y aura deux courbes de contact. L'une 



PL* 83. DE RÉVOLUTION. 405 

contient les points suivant lesquels la surface serait touchée 
extérieurement par un cône ayant pour sommet le point 
donné ss'. 

La seconde courbe appartient à un cône ayant le môme 
sommet et qui touche la portion de surface engendrée par la 
demi-circonférence qui est la plus rapprochée de l'axe. Ces 
deux courbes pourront être déterminées en même temps et 
delà manière suivante. 

La perpendiculaire ss^\ abaissée sur la trace du méridien G» 
percera ce plan en un point dont la projection horizontale s'^ 
ramenée en s"^ sur la trace du méridien principal, détermî^ 
nera s^ pour la projection du point donné ss' sur le plan du 
méridien G rabattu sur le plan B. 

Cela étant fait, on tracera par le point $'^ quatre tangentes 
aux deux cercles qui composent le méridien principal de la 
surface. Ces quatre droites seront les intersections du plan 
vertical G par quatre plans tangents à la surface et contenant 
le point donné ss^. 

Les points 1,1,1,1, projetés en T, 1', 1', T sur la trace du 
méridien principal B, seront ramenés de là en 1'^ V\ ^^ \^^ 
sur la trace du méridien G; leurs projections verticales V^\ 
i"\ V^\ \"' seront situées sur les parallèles qui contien- 
nent les quatre points 1, 1, 1, 1. En opérant delà même 
manière on obtiendra quatre points dans cbacjuè plan méri- 
dien. 

On fera bien de multiplier les opérations dans les parties 
des lignes de contact où les variations de courbure sont le 
plus sensibles. 

Quelques points pourront être obtenus plus facilement par 
suite de la position particulière des méridiens qui les con- 
tiennent. Ainsi, par exemple : 

Les quatre tangentes menées par le point s' déterminent, 
sur la section méridienne principale, les points 2, 2'... sui- 
vant lesquels la surface serait touchée par quatre plans con- 
tenant le point donné ss' et perpendiculaires au plan vertical 
de projection. Ces quatre points ont leurs projections hori- 
zontales sur la trace du méridien B. 

Si nous faisons tourner le méridien A jusqu'à ce qu il soit 
venu coïncider avec le méridien principal, le point s viendra 



406 SURFACES PL. 83. 

se placer en s^y d'où on déduira s^^ qui sera le point donné ss' 
rabattu dans le méridien B. 

Les quatre tangentes menées par ss"^^ détermineront alors 
les points 3, 3^.. suivant lesquels la surface serait touchée 
par quatre plans passant par le point ss' et perpendiculaires 
au plan du méridien s-k. 

Ce sont les points les plus élevés et les plus bas des deux 
courbes de contact. 

840. La solution que nous venons d'exposer revient â 
prendre successivement chaque méridien pour plan de 
projection ; de sorte que les tangentes menées par les points 
5V1, ^iv, 5^", s' sont les traces des plans tangentsaux cylindres 
projetants perpendiculaires aux plans de projection A, C, 
E, B, etc. '■ 

841 . Les tangentes menées par le point s sont les traces 
des plans tangents aux deux cylindres verticaux qui con- 
tiennent le cercle de gorge et le plus grand parallèle de la 
surface. 

. Elles déterminent les points 4, V suivant lesquels la sur- 
face iserait touchée par quatre plans verticaux contenant le 
point donné ss'. Ces quatre points appartenant au plus grand 
parallèle et au cercle de gorge, leurs projections verticales 
seront situées sur la droite horizontale ac. 

842. On peut abréger beaucoup le travail en ayant égard 
à la symétrie. 

Ainsi, les deux méridiens B et B' étant placés symétri- 
quement par rapport au méridien 5-A, les points obtenus 
dans le méridien B pourront être reportés à la même dis- 
tance de l'axe sur la trace horizontale du méridien B' d'où 
on déduira leurs projections verticales sur le parallèle corres- 
pondant. 

Les points situés dans le méridien C se déduiront de la 
même manière de ceux qui appartiennent au méridien C. 
Enfin les points du méridien E seront déterminés par ,1e point 
^^", projection du point ss' sur le méridien E rabattu dans le 
plan B. 



Pt. 83. DE RÉVOLUTION. 407 

Si on construit, la droite su, tangente à la projection hori- 
zontale de la courbe intérieure, et la droite s'u', tangente â 
la projection verticale de la même courbe, les deux points 
de tangence u et u' devront se trouver sur une même droite 
perpendiculaire à la ligne AZ. Cela provient de ce que, pour 
le point uu\ la tangente à la courbe de contact doit contenir 
le point donné. ( 

il existé trois autres points qui jouissent de la même pro- 
priété, et qui, deux à deux, sont placés symétriquement par 
rapport au méridien A*. 

Pour éviter la confusion des lignes, on n'a tracé sur Tépure 
que la tangente au point u; u\ mais on fera bien de cons- 
truire les trois autres tangentes, et de s'assurer que les points 
de tangence correspondants sur les deux projections sont 
situés deux à deux sur la même perpendiculaire à la ligne 
AZ. Il n'existe pas dé points analogues sur la courbe exté- 
rieure. 

Tous les plans qui touchent la surface en un des points de 
la courbe intérieure sont en même temps des plans coupants, 
tandis que tous les plans qui sont tangents en un point de la 
courbe extérieure ne coupent pas la surface. 

843. Méthode des cônes tangents, ûg. 415. La méthode 
précédente est utile surtout lorsqu'on veut obtenir les points 
de tangence qui appartiennent à un méridien donné; 
mais si l'on voulait construire ceux de ces points qui sont 
situés sur un parallèle de la surface, il faudrait opérer de la 
manière suivante. Au lieu de construire comme précédem- 
ment des plans tangents aux cylindres horizontaux qui tou- 
chent la surface suivant des méridiens donnés, on emploiera 
les plans tangents à des cônes circulaires qui auraient le 
même axe que la surface et qui la toucheraient suivant les 
diflférents parallèles sur lesquels on veut obtenir les points de 
tangence. 

Ainsi, par exemple, pour déterminer ceux d*e ces points 
qui seraient situés sur le parallèle ac, on tracera la droite 
</a qui Couche au point a le méridien principal de la sur- 
face. 

Le cône circulaire engendré par le mouvement de la droite 



408 SURFACES Vh. 83.. 

o^a autour de Taxe touchera la surface dans toute l'étendue 
du parallèle ac; de sorte que la question sera réduite à cons-^ 
truire par le point donné ss' deux plans tangents au cône en- 
gendré par la droite o'a (611). 

On joindra le point donné ss' avec le point oo^ qui est le 
sommet du cône auxiliaire, et la droite so, s'o' sera l'intersec- 
tion des deux plans qui sont tangents à ce cône et qui con- 
tiennent le point donné. La droite so, s'o' percera le plan 
horizontal qui contient le parallèle donné en un point uu' 
par lequel on construira les deux tangentes t^-l, w-1. Les 
points de tangence 1, 1, déterminés avec toute Texactitude 
possible, appartiendront à la courbe demandée. 

En effet, les plans tangents à ces points contiendront les 
deux tangentes n-1, uA ; et comme de plus ils seront tan- 
gents au cône auxiliaire, ils devront en contenir le sommet o'\ 
donc ils se couperont suivant la droite uos^ u'o's'y et passe^ 
ront par conséquent par le point donné ss*. Ces constructions.» 
répétées pour d'autres parallèles de la surface, feront con^ 
naître autant de points que Ton voudra. 

Pour le cercle de gorge, le cône auxiliaire devient un 
cylindre vertical, et les points de tangence 2, 2' doivent être 
déterminés par les tangentes 5-2, ^-2. ^ 

Si le parallèle sur lequel on veut obtenir un point de tàn^ ^ 
gence est au-dessous du cercle de gorge, le sommet du cône . 
auxiliaire sera au-dessus du plan de ce parallèle. Le contraire 
aurait lieu si le parallèle donné étaii au-dessus du cercle de 
gorge, et dans ce cas le cône auxiliaire serait renversé, ce 
qui ne changerait rien à la manière d*opérer. 

844. Si Ton faisait descendre le parallèle donné, le sommet 
du cône auxiliaire descendrait également, et l'angle au som- 
met de ce cône deviendrait plus ouvert. 

D*un autre côté, la droite sou^ s/o'v! se rapprocherait de la. 
.surface du cône, et lorsqu'elle serait arrivée dans cette jsur- 
face, les deux plans tangents au cône auxiliaire coïncide- 
raient, et les deux points de tangence, réunis en un seul, 
seraient situés danâ le plan méridien qui contient le point ' 
donné. Ce point serait le plus bas de la courbe cherchée. 
Pour l'obtenir, on fera tourner le méridien 05 jusqu'à ce qu'il 



PL. 83. DE RÉVOLUTION. ' 409 

soit rabattu sur le méridien principal ; et lorsque le point 
donné ss^ sera parvenu en s^\ on construira la tangente ^^-3» 
génératrice du dernier cône auxiliaire. Le point de tangence 3, 
projeté en 3' et ramené de là dans le méridien os, détermi- 
nera 3'^ et ¥' paur les projections du point le plus bas de la 
courbe. 

La tangente 5-4 donne le point 4' qui, ramené en 4''', sera 
le point le plus élevé. 

Pour les parallèles au-dessus de 4'-4''^' et pour ceux au- 
dessous de 3^-3''', la droite qui joindrait le point donné avec 
les sommets des cônes auxiliaires entrerait dans l'intérieur 
de ces cônes, et par conséquent elle ne pourrait déterminer 
aucun plan tangent. 

845. Il y a deux cas dans lesquels la méthode précédente 
ne pourrait être employée : 

lo Si le sommet du cône auxiliaire était dans le plan hori- 
zontal qui contient le point ss*, ou très-près de ce plan, la 
droite s^o serait horizontale ou très-près de cette position, et 
rencontrerait par conséquent très-loin le plan du parallèle 
sur lequel on veut obtenir des points de tangence ; on se- 
rait forcé, dans ce cas, de recourir à des constructions auxi- 
liaires ; 

2*^ Si le parallèle sur lequel on veut obtenir des points de 
tangence était très-près du cercle de gorge, le sommet du 
cône auxiliaire serait en dehors des limites dé Tépure. 

Dans chacun de ces deux cas on pourra opérer de la manière 
suivante : 

846. Méthode des sphèf^es tangentes. Supposons que Ton 
veuille obtenir les points de tangence qui sont situés sur le 
parallèle mn, on construira la droite nt qui touche la section 
méridienne au point n, puis on tracera nv perpendiculaire 
sur nt. ^ ' . 

Le point v, provenant de la rencontre de nv avec Taxe de la 
surface de révolution, sera le centre d'une sphère qui tou- 
chera cette surface suivant la circonférence du parallèle mn. 
De sorte que tout plan qui toucherait la sphère en un point 
de ce parallèle serait tangent à la surface donnée (809). Il ne 



410 SURFACES PL. 83. 

reste dont plus qu'à choisir parmi tous ces plans ceux qui 
^contiennent le point donné. 

Or si on conçoit un cône circulaire qui envelopperait la 
sphère et qui aurait pour sommet le point ^y, les plans de- 
mandés devront toucher ce cône, et par conséquent les points 
de langehce seront à la rencontre du parallèle mn avec le pe- 
tit cercle suivant lequel la sphère qui a nv pour rayon sera 
touchée par le cône auxiliaire qui a son sommet en ss'. 

Pour éviter la projection elliptique de ce petit cercle, on 
rabattra le plan méridien qui contient le point donné jusqu'à 
ce que ce point soit parvenu en ^' dans le plan du méridien 
principal. 

On construira les deux tangentes s^^z^ sf^x qui formeront 
les limites de la projection du cône auxiliaire sur le plan du 
méridien pq. 

On déterminera bien exactement les deux points de tan- 
gence z et x, et la corde zœ, qui joint ces deux points, sera 
la projection sur le plan rabattu os du petit cercle suivant 
lequel la sphère est touchée par le cône qui a son sommet 
en ss^. De sorte que le point 5, intersection des deux droites 
mn^ zxy sera la projection commune aux deux points de 
tangence demandés. Il ne reste plus qu'à retrouver la 
place que chacun de ces deux points doit occuper sur la sur- 
face. 

Pour y parvenir, . projetons le point 5 sur la trace du méri- 
dien 07, et faisons revenir ce méridien dans la position os^ le^ 
point 5' viendra se placer en 5''^ et la droite b"'-h"\ perpen-' 
diculaire sur 05, sera la Qorde horizontale qui joint les deux 
points de tangence demandés. Les projections horizontales 
de ces points seront déterminées par les intersections de h"'- 
y avec la circonférence qui représente la projection horizon- 
tale du parallèle mn. 

Les verticales 5^^'-5'^, 5'''-5'*' détermineront sur mn les pro- 
jections verticales des deux points de tangence. 

847. Dans l'application des principes que nous venons 
d'exposer, il ne faudra pas accorder de préférence absolue à 
l'une des méthodes sur l'autre, et Ton pourra employer suc- 
cessivement chacune d'elles §elon que Ton voudra obtenir un 



PL. 83. DE RÉVOLUTION. 411 

/ 

point sur un méridien (839), sur un parallèle (843,846), ou 
dans un plan (Jui serait perpendiculaire au plan de projec- 
tion el qui contiendrait le point donné (836). 

848. Toutes les solutions précédentes auraient été plus 
amples si Ton avait pris un plan de projection parallèle au 
méridien qui contient le plan donné, parce que les parties 
vues et.cachées de la courbe de contact se seraient confon- 
dues sur la projection verticale. 

849. Si la surface proposée était du second degré, la courbe 
de contact serait aussi du second degré {A Igèbre appl.)^ et 
dans ce cas elle se projetterait par une ligne droite sur tout 
plan qui serait parallèle au méridien dont le plan contient le 
point donné. 

Ainsi, par exemple, proposons de construire un plan tan- 
gent à une ellipsoïde de révolution par un point situé en de- 
hors de cette surface^ et supposons que le point donné soit 
situé en ^V^ flg. 416, la courbe de contact sera une ellipse 
projetée sur le plan vertical par la corde zx^ le point c, milieu 
de zx, sera la projection verticale du petit axe dont les ex- 
trémités V, u seront déterminées par les intersections de la 
perpendiculaire abaissée du point c, avec la projection hori- 
zontale du parallèle cc^^\ 

850. Si le point donné était situé en ss\ on ferait tourner 
le plan méridien qui contient ce point jusqu'à ce qu'il soit 
parvenu dans la position ^V; puis après avoir déduit de 
cette projection, le centre c, c', c^^ de l'ellipse zx; le diamètre 
v'w', égal à vu ; enfin, le diamètre jï'a?', égal à la projection 
horizontale de la corde zx ; on construira la projection hori- 
zontale de la courbe demandée. 

Sa projection verticale sera déterminée par la rencontre des 
verticales élevées par les difîferents points deTellipse, vfz'u^x^, 
avec les horizontales passant par les projections des mêmes 
points sur la corde zx. 

851 . Construire, un plan tangent à une surface de révo- 
lution parallèlement à une droite donnée. 



412 SUBFAGES PL. 84. 

Cette question peut être considérée comme un cas particu- 
lier du, problème précédent. II suffit pour cela de supposer 
que le point donné ^/, fig. 413, 414, 415 et 416, soit re- 
culé jusqu'à rinfini dans la direction de la droite donnée ; 
dans ce cas les cônes qui ont ce poipt pour sommet et qui 
enveloppent la surface seront transformés en autant de cy- 
lindres parallèles à la ligne donnée ; de sorte qu'il ne restera 
qu'à déterminer les courbes suivant lesquelles la surface se- 
rait touchée par ces cylindres. 

Nous allons indiquer plusieurs méthodes qui sont les con- 
séquences naturelles de l'hypothèse qui vient d'être admise. 

852. Méthode des plans coupants, fig. 418, pi. 84. On 

coupera la surface par un plan p, parallèle à la droite donnée 
so.s'o' ; pour plus de simplicité on prendra ce plan perpen- 
diculaire à l'un des plans de projection, et Ton construira 
la courbe de section aa par l'un des moyens indiqués au 
n° 813. 

On tracera, parallèlement à la droite donnée, toutes les tan- 
gentes qu'il sera possible de construire à la courbe obtenue, 
et l'on déterminera bien exactement les points de tangence 
l',l'.... Ces points satisferont aux conditions demandées. On 
conçoit, en effet, que le plan tangent à l'un des points 1,1^.. 
contiendrait la tangente correspondante, et serait par consé- 
quent parallèle à la droite donnée. En coupant de nouveau 
la surface par d'autres plans, on obtiendra autant de points 
que l'on voudra. 

Dans l'exemple proposé, la surface étant annulaire, on. ob- 
tiendra deux coutbes qui ont beaucoup d'analogie avec celles 
que nous avons trouvées au n^ 839. 

La première, mm, contient tous les points de tangence si- 
tués sur la portion de surface engendrée par le demi-cercle 
vuz. La deuxième, nn, appartient à la partie engendrée par 
le demi-cercle vxz. 

Le plan coupant p détermine quatre points de tangence, 
savoir : deux sur la courbe mm et deux sur la courbe nn. 

te plan p' , tangent au cercle de gorge, contiendra cinq 
points de tangence, savoir : 

Un sur le cercle de gorge, 



PL. 89. DE RÉVOLUTION 413 

Deux sur la courbe mm, 

Deux sur la courbe nn. 

Depuis le plan p' jusqu'au plan p^\ tangent à la courbe nn, 
chaque section contiefit six points qui se réduisent à quatre 
dans le plan p'^ 

Enfin, du plan p'^ au plan p^\ chaque section n'en contien- 
dra plus que deux. 

Le plan vertical p^^' ne déterminera qu'un point de tan- 
gence qui sera situé sur le plus grand parallèle de la sur- 
face. 

Les quatre points 2, 2, 2, 2 devront être vérifiés de toutes 
les manières possibles. Les droites, menées par ces points pa- 
rallèlement à la ligne donnée, seront tangentes à la courbe 
de contact, ce qui n'a lieu, pour aucun autre point de la même 
courbe. 

' 853. Nous n'avons ihdi^iué, sur la figure, que des plans 
coupants verticaux, mais il* est évident que l'on peut égale- 
ment faire usage des sections perpendiculaires au plan ver- 
tical de projection. : '■ 

On pourra recourir à ce moyen lorsqu'il restera quelque 
incertitude sur la position des points cherchés, ce qui aura 
lieu toutes les fois que dans le Voisinage de ces points la 
courbure de la section auxiliaire sera peu sensible. 

On sera dispensé de construire les sections de la surface 
par les plans coupants auxiliaires, en opérant de la manière 
suivante : 

864. Méthode des cylindres projetants. On prendra suc- 
cessivement chaque plan méridien pour plan auxiliaire de 
projection comme nous l'avons fait au n» 639 ; de sorte que 
la question sera réduite à construire, parallèlement à la droite 
donnée, des plans tangents aux cylindres horizontaux qui dé- 
terminent les diverses projections de la surface sur les plans 
des méridiens. Voici l'ordre des opérations: 

l^a droite donnée, flg. 417^ n'étant déterminée que par sa 
direction, il sera toujours permis de la placer dans le plai de 
l'un des méridiens de la surface, de sorte qu'elle couperait 
Taxe en un point oo\ pris à volonté sur cet axe. 



4U SUBFAGES PL. 84. 

On choisira un second point quelconque s$' par lequel on 
^baissera, la droite s-s^' perpendiculaire sur la trace du méri- 
jiien C Le point «" ramené en s^^^ déterminera 5"", de sorte 
que W sera la projection de la droite 50,5V sur le plan du 
méridien C rabattu en B. 

* Gela étant fait, on construira parallèlement à s'^o^ toutes 
les tangentes qu'il sera possible de mener à la section méri- 
dienne de la surface. Ces lignes seront . les intersections du 
plan C par autant de plans tangents au cylindre horizontal 
qui déterminerait le contour de Isi projection sur le plan du 
méridien C. 

Les six points de tangence 1, I, 1..., obtenus par lopéra- 
tion précédente, seront projetés en 1^ 1^.. sur la trace du 
méridien B ; on les ramènera de là en ^^ r^.. sur la trace du 
méridien C, d'oà on déduira leurs projections verticales 
V^\ j///^ 1//^... En opérant de la même manière on obtiendra 
six points sur chacun des méridiens de la surfacp. 

Ces points appartiennent à trois courbes mm, nriy uu que 
Ton reconnaîtra facilement à l'inspection de la projection 
verticale de la surface. L'exactitude du résultat dépendra 
du soin avec lequel les points de tangence auront été déter- 
minés. 

Les tangentes parallèles à la projection verticale ^V de la 
droite donnée détermineront les six points suivant lesquels 
la surface serait touchée par six plans perpendiculaires au 
plan vertical de projection et parallèles à la droite so\s^of. 
Ces points auront leurs projections horizontales sur la trace 
du méridien B. ' 

Si on fait tourner le méridien 5-A jusqu'à ce qu'il soit ra- 
battu sur le plan du méridien principal, le point s viendra se 
placer en s^^ d'où on déduira s''\ de sorte que s^'o^ sera la 
droite donnée, rabattue dans le plan du méridien B. 

Cela étant fait, les six tangentes parallèles à s^'c/ détermi- 
neront les points suivant lesquels la surface serait touchée 
par six plans parallèles à la droite so, s^o' et perpendiculaires 
au plan du méridien S'-k. Ces six points, projetés sur la trace 
du méridien B et ramenés de là dans le plan du méridien 5-A, 
seront les points les plus élevés et les plus bas des trois 
courbes de contact. 



PL, 84. . DE HéVOLUnON. 415 

Enfin, si on projette sur le plan horizontal le plus grand 
parallèle zx et les deux cercles de gorge ao, vr qui, dans 
l'exemple proposé, ont une projection horizontale commune, 
les intersections de ces trois cercles par le plan du méridien 
D détermineront six points suivant lesquels la surface serait 
touchée par six plans tangents aux trois cylindres verticaux 
qui touchent la surface suivant les parallèles ac^ zx, vr, qui 
par conséquent devront contenir les points.de tangence dé- 
terminés par cette dernière opération. 

On devra, comme au n^ 842, profiter de la disposition sy- 
métrique des plans méridiens. Ainsi les points obtenus dans 
le méridien B seront reportés à la même distance de Taxe 
sur la trace du méridien B', d'où on déduira leurs projections 
verticales sur les parallèles correspondants. Les points obte- 
nus dans le méridien G détermineront ceux qui sont placés à 
la même hauteur dans le plan du méridien C^ 

BBS.Méihode des cônes tangents. La solution que nous ve- 
nons d'expliquer permet d'obtenir les points qui appartien- 
nent à un méridien déterminé, mais si on voulait trouver un 
point de tangence sur un parallèle, il faudrait opérer de la 
manière suivante. Nous reprendrons encore une fois pour 
exemple la surface annulaire que nous né saurions trop étu- 
dier ,^puisqu'elle contient les éléments de toutes les autres 
surfaces de révolution (808). 

La droite donnée étant déterminée par ses deux projections 
5-0, s'-o'y fllg. 419, je suppose que Ton veut obtenir ceux des 
points de la ligne de contact qui sont situés sur le parallèle 
vii, vV. On tracera la droite v'z qui touche au point v' la 
section, méridienne de la surface. 

On fera tourner cette tangente autour de Taxe, et par ce 
mouvement on engendrera un cône circulaire qui touche la 
surface donnée dans toute l'étendue du parallèle vu, v'u\ de 
sorte que tout plan tangent au cône sera tangent à la surface 
en un point de ce parallèle. La question sera donc réduite à 
construire, parallèlement à la droite donnée, deux plans tan- 
gents au cône circulaire engendré par la droite v^z (612). 
Voici Tordre des opérations : 



416 SURFACES M.. 84. 

10 On tracera la droite zh' parallèle à s'o\ cette ligne sera 
la projection verticale de Tintersection des deux plans tan- 
gents demandés ; 

2® On déterminera le point h'h suivant lequel la droite zh'^ 
ish perce le plan du parallèle vu, v'W que nous prenons pour 
la base du cône auxiliaire ; 

3** On mènera par le point h deux tangentes à la projection 
horizontale dé ce parallèle. 

lîesdeux points de tangence 1, 1, déterminés avec toute 
l'exactitude possible, appartiendront à la courbe cherchée. Il 
ne restera plus qu à obteijir les projections verticales de ces 
points en élevant les deux perpendiculaires l-t' jusqu'à leur 

rencontre avec le parallèle vV. 

• 

856. Le plan horizontal i;V contient encore deux autres 
points situés sur le parallèle ac, aV. Pour les obtenir on con- 
struira la tangente &x que Ton prendra pour génératrice 
d*un second cône auxiliaire qui toucherait la surface suivant" 
le parallèle ac^ a'd. 

On tracera la droite xr^ parallèle à la ligne o'^'. Cette ligne 
^r', intersection des deux plans tangents au cône auxiliaire 
qui a son sommet en x, percera le plan horizontal qui con- 
tient la base de ce cône en un point rV, par lequel on con- 
struira les deux tangentes r-2, r-2. Cette opération détermi- 
nera les points 2, 2, dont on obtiendra les projections 
verticales en élevant les perpendiculaires 2-2' 2-?', jusqu'à 
la rencontre du parallèle a'd . 

11 ne restera plus qu'à répéter ces opérations pour obtenir 
autant de points que l'on votidra. 

857. Les points les plus élevés des deux courbes s'obtien- 
-dront en construisant des tangentes à la section méridienne, 
parallèlement à la droite s!'q! qui représente la ligne donnée 
soy s*o\ rabattue dans le plan du méridien principal. 

Ces tangentes sont les génératrices des derniers cônes auxi- 
liaires. . . ' 

858. Méthode des sphères tangentes. [Si nous prolongeons 



PL. 84. DE RÉVOI.OTION. 447 

les rayons e& du cercle générateur de la surfece jusqu'à sa 
rencontre avec Taxe, nous obtiendrons un point o', et la cir- 
conférence décrite de ce point comme centre avec le rayon 
oV sera la projection d'une sphère tangente à la surface 
suivant la circonférence du parallèle ac, aV; de sorte que 
tout plan qui toucherait la sphère en un point de ce parai * 
lèle serait tangent à la surface donnée. Il ne reste donc plus 
qu'à, choisir, parmi tous les plans qui satisfont à cette condi- 
tion, ceux qui seraient parallèles à la droite so^ s^o\ 

Or, si par le centre de la sphère nous construison* la droite 
os^ &sf parallèle à la ligne donnée, et que nous rabattions 
cette droite dans le plan du méridien principal, le diamètre 
nn perpendiculaire sur oV représentera dans ce rabattemen t 
la projection du grand cercle suivant lequel la sphère auxi- 
liaire est' touchée par tous les plans parallèles à la droite os, 
oV^ rabattue en oV'. 

Mais le cercle nn et le parallèle a'c\ appartenant tous 
deux à la sphère, se coupent en deux points qui, sur le* ra- 
battement, se projettent en un seul point 2^^ et qui sont les 
deux points demandés. 11 ne reste plus qu'à faire revenir 
ces points à la place qu'ils doivent occuper sur la surfajCe 
donnée. 

Pour atteindre ce but, nous remarquerons d'abord qu'ils 
doivent être situés tous les deux sur le parallèle ac, a'c\ 

De plus, le point 2^' étant projeté en 2^^' et ramené en 2''', 
sera le milieu de la corde 2-2 qui jomt les deux points pro- 
jetés e^ 2^' sur le rabattement. 

Enfin on tracera la corde 2-2 perpendiculaire sur os. 

Les deux intersections de cette corde avec le parallèle ac 
détermineront les projections horizontales 2, 2 des points 
cherchés ; leurs projections verticales s'obtiendront en éle- 
vant les deux perpendiculaires '2-2', 2-2'. 

Le rayon u^e, prolongé jusqu'à sa rencontre avec Taxe, 
détermine un point l que Ton pjendra pour centre d'une 
seconde sphère auxiliaire, tangente à la surface donnée sui- 
vant la circonférence du parallèle vu\ v'u'. La droite mw, 
perpendiculaire sur oV, est la projection sur le plan os, 
rabattu en ou, d'une partie du grand cercle, suivant lequel 
la sphère qui a pour rayon lu' serait touchée par tons les 

27 



416 svRFéieiSS PL. 84. 

plans parallèles à la droite donnée rabattue en oV^ La ctr^ 
conférence mm coupera le parallèle vV en deux points qui 
se projettent tous deux en l^ et qui satisfont aux conditiims 
demandées. 

La perpendiculaire 1"-!''' détermine T'^qui, ramené en l^, 
sera le milieu de la corde qui joint les deux points cherchés 1, 
1 ; on tracera cette corde perpendiculaire sur os, ce qui don* 
nera sur le parallèle vu les projections horizontales 1 , 1 de 
ces points. Enfin, les deux perpendiculaires 1-1', 1-1' donnent 
les projections verticales i\ V. 

869. L'emploi d'une sphère tangente comme surface auxi- 
liaire serait utile surtout dans le cas où Ton voudrait obtenir 
un point de tangence sur un parallèle qui serait très-près du 
cercle de goiçe ou du plus grand parallèle, parce que dans 
ce cas le sommet du cône tangent employé dans la troisième 
méthode se trouverait très-loin en denors de l'épure, et l'on 
ne pourrait plus construire la droite intersection des deux 
plans tangents demandés. , 

860. Il est évident flue les opérations précédentes pour- 
raient être simplifiées si on prenait un plan >de projection pa- 
rallèle à la ligne donnée. C'est uniquement pour exercer que 
Ton a choisi une disposition différente. 

861. Construire un plan tangent à l'hyperboloïde de rd- 
volution parallèlement â la droite so, s'o', flg. 420. 

Si on veut obtenir les points dç tangence sur un méridien 
ou sur un parallèle donné, on construira ces courbes et l'on, 
fera pour le reste comme nous l'avons dit aux n°' 854, 855 
et 858. Mais si on veut obteûir le point de tangence sur 
une génératrice ac, a'dy il faudra opérer de la manière sui- 
vante : 

Par un point quelconque wi^', pris sur la génératrice don- 
née, on construira la droite wv, vd'o' parallèle à la ligne don- 
née 50, s'o'. Le plan p, qui contient les deux droites (ait, a u') 
(uv, v!\)% sera le plan langent demandé. 

En effet, la droite ex, parallèle à la trace horizontale du 



PL. 8o« DE RÉVOLUTION. 4iÔ 

plaa f, coupera le parallèle aem en un point ^ par lequel on 
pourra toujours construire une droite azy x*z' qui appartient 
& la seconde génération de la surface (803). 

De plus, ces deux droites se coupant au point mm^ elles 
sont situées toutes deux dans Je plan p et peuvent être con- 
sidérées comme les deux tangentes qui déterminent ce plan 
(779). Les points m, m' sont 1er deux projections du point de 
tangence demandé. 

« 

869. L'hyperbololdede révolution étant une surface du 
second degré» il résulte du principe que nous avons énoncé 
au n* 849, que la courbe suivant laquelle cette surface 
serait touchée par un cylindre ou par un cône sera elle- 
même du second degré ; de sorte qu'elle se projettera tou* 
jours par une ligne droite sur uq plan perpendiculaire à celui 
qui la contient. Cette remarque peut donner lieu à des abré- 
viations. 

863. Par une droite donnée^ construire un plan tangent 
à une surface de révolution. 

l*^ méthode. Étant données la surface A et la droite a, 
flg. 425, pL 86, on prendra sur la droite un point quel- 
conque s et Ton construira (835) la courbe vu suivant la- 
quelle la surface serait touchée par le cône qui aurait son 
sommet en s ; il ne restera plus qu'à construire par la droite 
donnée des plans tangents au cône (6 11). 

Pour y parvenir on coupera^ ce cône , par un plan quel- 
conque, et Ton construira la courbe de section zx (615) ; on 
déterminera pareillement le point m suivant lequel ce plan 
coupe là droite a, et Ton tracera ^es deux droites mz, mx 
tangentes à la courbe de section. Chacune de ces tangentes 
et la droite donnée détermineront un plan qui satisfera aux 
conditions du problème. 

Dans Texemple représenté sur la figure 426, il n'y aurait 
que deux solutions ; mais il est évident que pour certaines 
surfaces de révolution dont la section méridienne aurait 
beaucoup de sinuosités, il pourrait y avoir un plus grand 
nombre de plans tangents. 



420 SOBFAGES ' PL. 85. 

864. 2* méthode. Au lien d'tfn cône on pourrait employer 
UD cylindre auxiliaire qui serait parallèle à la droite donnée ; 
cela reviendrait à supposer que le sommet du cône est reculé 
sur cette droite jusqu'à Tinfini. 

4 

1 

865. 3« méthode. On prendra sur la droite donnée a, 
fig. 424, un point quelconque s^ et considérant ce point 
comme le sommet d'un cône qui envelopperait la surface, 

. on construira la courbe de contact vu. On prendra ensuite 
sur la même droite un autre point quelconque t pour som- 
met d*un second cône qui envelopperait la surface, et Ton 
construira la courbe de contact zx. Les points communs à 
ces deux lignes de contact dcHermineront les plaâs tangents 
demandés. 

En effet, le pl^n qui toucherait la surface donnée au point 
m, par exemple, devrait contenir toutes les tangentes à ce 
point. 11 contiendrait donc la droite ms qui est une généra- 
trice du premier cône auxiliaire, et qui par conséquent est 
une tangente de la surface ; par conséquent il passerait par 
le lioint^. De plus, il contiendrait la droite mf, génératrice du 
second cône auxiliaire, et passerait par le point t, sommet de 
ce cône ; donc il contiendrait la droite st. 

866. 4"* méthode. On pourrait remplacer l'un des cônes 
auxiliaires par un cylindre parallèle à la droite donnée, ce 
qui reviendrait à supposer que Tun des deux points^ ou t 
est situé à l'infini. Les moyens de construire les lignes de 
contact ayant été exposés dans les articles 835, 836, etc., je 
me bornerai à faire l'application des principes précédents à 
quelques cas particuliers. ^ 

867. Supposons qu'il s*agisse, flg. 421, de construire par 
la droite bb' deux plans tangents à une ellipsoïde de révo^ 
lution A, A', et proposons-nous d'appliquer le principe du 
n* 863. 

1" méthode. Nous admettrons d'abord que le sommet ss^ 
du cône auxiliaire pouvant être pris à volonté, il sera permis 
de choisir ce point dans le plan du méridien principal ; de 



PL. 85. < DE RÉVOLUTION. 42i 

sorte que la courbe de contac4 se projettera sur le plan ver- 
tical par une droite zv (849). 11 faut maintenant couper e 
cône et la droite bb' par un plan quelconque, et construire, 
par le point où la droite bb' perce ce plan, des tangentes 
à la courbe suivant laquelle ce même plan coupe le cône. 
Nous allons chercher quelle doit être la direction du plan 
coupant pour que les opérations soient les plus simples 

possible. 

Pour résoudre cette partie de la question, concevons le 
cylindre vertical C, qui touche la surface donnée suivant son 
plus grand parallèle tr. Les génératrices qui forment les 
limites des projections du cylindre et du cône auxiliaire se 
couperont aux quatre points a\ a" y a\ a\ qui saront les som-. 
mets d'un quadrilatère circonscrit à la projection verticale de 

l'ellipsoïde. 

Nous admettrons que dans un quadrilatère circonscrit à 
une ellipse ou à un cercle, les cordes qui joignent les points 
* de tangence opposés passent par le point d'intersection des 
deitx diagonales. (Algèbre appl.) , 

D'après cela, supposons que les droites-2^, tr, a^a\ a^'a^^ 
soient les traces de quatre plans perpendiculaires au plan 
vertical de projecSon. 

La section dé l'ellipsoïde et du cône par le plan pq sera 
Tellipse zx. Le point ee!, suivant lequel cette ellipse coupe le 
parallèle ir, appartient au cylindre projetant G. 

11 résulte de là que les deux ellipses suivant lesquelles le 
cylindre et le cône sont coupés par.le plan pq doivent coïn- 
cider, puisqu'elles ont un axe commun aV, et un point com- 
mun en eef. De plus, cette ellipse, commune aux deux sur* 
faces, étant située sur le cylindre, aura pour projection 
horizontale la circonférence aa. 

La relation précédente serait encore vraie si le sommet 
du cône auxiliaire était situé dàùs Tintérieur du cylindre G ; 
mais alors les deux courbes tr, zx ne se couperaient pas, et 
l'on ne pourrait plus raisonner de la même manière. Dans 
ce cas, il serait utile de recourir à Talgèbre pour démon- 
trer que la courbe suivant laquelle le plan pq coupe le cône 
auxiliaire est en même temps située- sur le cylindre G, >» 
et se projette par conséquent par un cercle aa. Gela étant 



422 SURFACES ' PL. 85. 

admis, il est évident que la courbe aa, a' a' sera la directrice 
la plus simple que nous puissions prendre pour le cône 
auxiliaire. 

L'intersection 'du plan;?g par la droite donnée hV sera un 
point mm' par la p/ojection horizontale duquel on construira 
les deux tangentes wo, me. Les projections verticales de ces 
lignes se confondront avec la trace du plan pq. Enfin, cha- 
cune de ces tjaingentes avec la droite donnée déterminera, un 
des plans tangents demandés par la question. 

Les deux points o, c, projetés en o' et &, détermineront les 
deux droites [so, ^o') {se, s'&) suivant lesquelles les deux 
plans tangents touchent le cône auxiliaire ; et les points nnf, 
uu\ suivant lesquels ces droites coupent l'ellipse zx, sont 
les points de tangence sur Tellipsoïde. 

a68. 2« méthode. On pourra prendre pour directrice du 
cône auxiliaire la ligne de contact zx^; dans ce cas les plans 
tangents seraient déterminés par la ligne donnée bV et par 
chacune des deifx tangentes inenées par le point où cette 
droite perce le plan p'V- On pourra éviter, la projection 
elliptique de l'ellipse zx en employant un j)lan auxiliaire sur 
lequel cette projection serait un cercle (541). 

889. S"" méthode. Si Ton suppose la sur&ce enveloppée par 
deux cônes auxiliaires (865), on pourra disposer les opéra- 
tions de la manière suivante, fig . 423 : 

Jl sera toujours permis de prendre pour somniet de l'un 
des deux cônes le point ^^' suivant lequel la droite donnée 
bV perce le plan Jiorizontal qui contient le plus grand pa- 
rallèle de la surface. Sans ce cas la courbe de contact sera 
une ellipse qui se projettera sur le plan horisontal par la 
corde ce. 

On prendra ensuite pour sommet du second cône auxiliaire 
le point s$', suivant lequel la droite bV peirce le plan du mé- 
ridien principal, de sorte que la seconde courbe de contact 
aura pour projection verticale la corde aa. 

Les points de tangence devant appartenir aux deux ellipses 
aa, ce (865), doivent se trouver par conséquent sur TiBiersec- 



PL. te. DE RÉVOLUTION. 4â3 

tien des deux plans uvp, u'r/p'' gui contiennent ces courbes. 
Ces deux plans étant perpendiculaires aux plans de projec- 
tions, sont les plans projetants de leur intersection qui alors 
s^a projetée par les deux droites wv, uV. 

Il ne reste donc plus qu'à chercher les points suivant les- 
quels cette droite coupe Tune des deux courbes de con- 
tact ce, aa. Nous choisirons la dernière de ces deux 
lignes, et pour éviter la construction de Tellipse qui résul- 
terait de sa projection ou de son rabattement, nous cher- 
cherons la position du plan sur lequel sa projection serait un 
cercle (541). 

Âinsi^ après avoir déterminé le centre o' nous rabattrons 
le parallèle qui contient ce point, et Tordonnée o'z sera le 
deiÀi-petit axe de l'ellipse aa. Nous construirons le triangle 
rectangle o^a'a en faisant le côté (/a^ de Fangle droit égal à 
o'z. De sorte que oV étant la projection de o'a, la droite u^v^' 
sera la trace du plan sur lequel l'ellipse aa se projettera par 
un cercle. 

En faisant tourner ce plan autour de Thorizontale proje- 
tante du point v^\ la circonférence a'V sera la projection de 
IJellipse aa sur le plan v^'w'^ 

Les deux points vv\ uu\ pris à volonté sur la droite uv, 
u\v' se projetteront par v^ et tt'', et le dernier se rabattra 
en w"' de sorte que v^^^u^^' sera la projection de la droite wv, 
uV sur le plan auxiliaire w V. 

Les intersections m"\n"' de v'^'w"^', avec la circonférence 
aW, seront par conséquent les deux points de tangence 
demandés que l'on fera* revenir d'abord en m" et n" dans le 
plan u"'o"^ puis de là sur la courbe de contact aa par les 
deux perpendiculaires m"m', n"n\ 

Les projections horizontales m et n de ces points seront 
déterminées, sur la seconde courbe de contact ce, par les 
droites n"^n, m"' m parallèles à la ligne AZ, et qui repré- 
sentent les projections des arcs de ceircle parcourus par ces 
points ; enfin sur les droites m'm^ n'n perpendiculaires à la 
ligne AZ. 

870. Construire un plan tangent à une surface de révo 
lution et pa/rallèle à un plan donné. 



43i SURFACES PL. b5. 

Soient, Og. 422, le plan p donné et AÂ^ la surface donnée; 
construisons la droite ac, aV perpendiculaire au plan donné, 
il ne restera plus qu'à choisir, parmi tous les plans perpen- 
diculaires sur ac, a'&^ celui qui serait tangent à la surface 
donnée. 

Pour satisfaire à cette dernière condition, concevons la 
droite ac, a'c' rabattue en a^c'\ dans le plan du méridien 
principal, la tangente su, perpendiculaire sur aV, repré- 
sentera dans ce rabattement l'intersection du plan cherché 
par le plan méridien ac ; nous ferons revenir la droite 
su dans ce méridien, ce qui nous donnera le point w'' par 
lequel nous construirons la trace horizontale du plan de- 
mandé p'. 

Ce plan devant contenir le point s, sa trace verticale sera 
facile à déterminer. De plus, cette trace verticale devra être 
parallèle à celle du plan p, et par conséquent perpendiculaire 
sur aV. 

Le point de tangence m'\ étant ramené dans le plan du 
méridien ac, Reviendra mm\ La droite me, m'z^ perpendi- 
culaire sur le plan p', sera la normale et sera parallèle à 
la droite donnée ac, a'c'. Dans l'exemple que nous avons 
choisi il y aurait un second plan tangent au point nn'. 

Pour certaines surfaces de révolution il pourrait y en avoir 
davantage. Il est évident qu'il y aura autant de solutions que 
Ton pourra construire de tangentes à la section méridienne 
perpendiculairement à la droite a'c", 

871. Projection oblique des surfaces de révolution, hoit^ 
qu'on veut exécuter un solide de révolution, il faut le pro- 
jeter de la manière la plus simple, et dans ce cas on doit 
prendre un plan de projection perpendiculaire à son axe; 
mais lorsqu'il est nécessaire de projeter le corps dans une 
position inclinée, les opérations deviennent plus difficiles. Les 
dessinateurs se contentent ordinairement dans ce cas, de con- 
cevoir la surface coupée par un certain nombre de plans per- 
pendiculaires à son axe. Chaque section circulaire a pour 
projection une ellipse, et la courbe tangente à toutes ces 
ellipses forme le contour de la projection. 

Cette manière d'opérer convient évidemment pour les 



PL. 86. DE RÊTOLUTIOK* 495 

arêtes circulaires de la surfoce ; mais pour les autres, elle ne 
doime le contour de la projection que d'une manière approii- 
mative, et laisse de Tini^ertitude sur la position de certains 
points singuliers dont nous parlerons bientôt. 

872. Pour ne pas augmenter, sans nécessité, le nombre 
des planches, nous choisirons un exemple qui contienne à 
peu près toutes les variations de courbure, et flous propo- 
serons dans ce but de construire les deiîx projections du 
balustre dout la section méridienne est projetée, fig. 427, 
pi. 86. 

Les données sont : 

l"" La section méridienne dont nous venons de parler ; 
2'' Les deux projections ac, a'c' de l'axe de la surface. 
Voici quel doit être l'ordre des opérations. 

873. Projection auxiliaire^ flg. 427. On commencera par 
construire la section méridieane sur un plan vertical AZ', 
parallèle à la droite ac, a'&. 

Pour obtenir l'inclinaison de cette projection, il sufiSra de 
projeter deux points quelconques de la ligne ac, a'&. 

On projettera ensuite la surface sur un plan perpendi- 
culaire à son axe, et l'on rabattra cette nouvelle projection., 

flg. 430. 

Quand Tépure sera disposée comme nous venons de le dire, 
on commencera les opérations nécessaires pour déterminer 
les deux projections obliques. 

874. Projection horizontale^ flg. 428. Les limites de cette 
projection étant les traces des surfaces cylindriques perpen- 
diculaires au plan horizontal et tàngentesà la surface donnée, 
la question se réduit à l'application des principes exposés 
auxn«*85i,852, etc. 

i^ opération. Par un point quelconque &\ pris à volonté 
sur Taxe aV^ flg. 427, on construira la droite &^u\ perpen- 
diculaire au plan horizontal kV. La projection de cette droite 
sur la ligure 450 sera o'^'u. 



486 suHFAoes PL. 86. 

. 2^^ A^péraiion. On âéterminera sur les deux projeettoas 427 
et 430 toutes les courl)es suivant lesquelles les différentes 
pitiés de la surface donnée seront touchées p^u* autant 
de surfaces cylindriques parall^es à la droite &'v\ o^% et 
par conséquent perpendiculaires au plan borizontal de pro- 
jection. 

Ces courbes sont au nombre de trois, savoir : la première 
tnn, sur la portion de surface qui forme le col du balustre ; la 
seconde courbe zx est située sur la partie convexe de la sur- 
face, et la troisième vr appartient à la scotie. 

Ces trois courbes ont beaucoup d'analogie avec celles que 
nous avons obtenues sur la surface annulaire, et devront par 
conséquent être construites par les principes exposés aux 
n*»*851, 852, etc. 

Les trois courbes dpnt nous venons de parler étant cou- 
pées symétriquement par le plan méridien pu, les parties 
vues et cachées de ces courbes se confondront sur la projec- 
tion 427. 

876. Dans l'exemple qui nous occupe, nous avons supposé 
que la zone convexe du balustre était une portion d'ellipsoïde 
de révolution, d'où il résulte que la ligne de contact est une 
courbe plane, et par conséquent se projettera sur la figure 4S7 
par une ligne droite zx. 

876. Quand les trois courbes précédentes seront obtraues 
sur les deux projections 427 et 430, on fera tourner cette 
dernière figure pour la ramener dans la position de la 
ligure 431, et tous le^ points du contour de la projection 
borizQntale de la surface seront alors déterminés paries 
intersections de deux systèmes de lignes, les unes paral- 
lèles, les autres perpendiculaires à la ligne kV et me- 
nées par les points colrespondants des deux àgurês 427 
et 431. 

877. Points de rebroussement. Les projections horisspntales 
â^ courbes, situées sur le col du balustre et sur la scorie, 
contiennent chacune quatre points de r^ouaseaieat ; peur 



PL. 86. DE RÉl^LUnON. iSH 

mieux foire oomprendre la forme de ces courbes, on les a 
trftfisportées û^. 482. 

878. On pourra trouver singulier qu'il y ait sur la projec- 
tion horizontale des points de rehroussement qui n'existent 
pas sur la projection verticale correspondante, mais cela 
est très-facile à concevoir ; en effet, si la courbe elle-même 
contenait un ou plusieurs points de rebroussement^ on de- 
vrait ^'attendre à retrouver des points analogues sur toutes 
les projections de la même courbe ; mais ici, aucune des 
deux courbes dont il s'agit pe contient de points de cette 
espèce, et ceux qui existent sur leurs projections horizon- 
tales proviennent de ce que, pour ces points, la perpendicu- 
laire projetante parallèle à o^^u'^ o'"u se confond avec la tan- 
gente à la courbe. 

Supposons, par exemple, que Ton ait obtenu^ fig. 429, 
les deux projections d'une courbe à double courbure aoa, 
la droite hh étant la tangente au point o. Si Ton tire, les 
deux extrémités a, a en les écartant Tune de l'autre comme 
pour rectifier la courbe, on lui fera prendre la forme indi- 
quée par les deux projections a'a^^ et la tangente deviear 
dra VW. 

Or, par suite du mouvement de rotation de la tangente 
il peut y avoir un instant où cette ligne étant perpendicu- 
laire au plan vertical, sa projection sur ce plan se réduit à 
un point. 

Les deux projections de la courbe deviennent alors a V, 
et le point de rebroussement o" est la projection-verticale de 
la tangente. -, 

879. Ainsi, les points de rebroussement de la projection 
horizontale, fig. 428, sont les projections des points suivant 
lesquels les deux courbes mm, vr, sont touchées par des pa- 
rallèies à la droite o"u\ o"*u, flg. 427, 430. 

Il est essentiel de déterminer ces points avec toute Texac- 
tiCude possible sur les quatre projections 427, 430, 431 
et 428, et de s'assurer qu'ils sont bien liés entre eux par les 
lignes de projection correspondantes ; ^'il y avait quelque 
irrégularité à cet égard, cela indiquerait une erreur dans la 



r 

via8 SURFACES li:. 86. 

eonstractioû des courbes ; il faudrait alors en chercher fo 
cause et la faire disparaître. Ces vérificatioBS ont été conser- 
vées sur Tépuré pour les points 1 et 2 seulement. 

880. Les projections horizontales des arêtes circulaires se 
construiront comme nous Tavons dit au n» 545. 

881. Projection verticale^ flg. 426. Le contour de cette 
projection se compose des traces des divers cylindres tan- 
gents, perpendiculaires au plan vertical de projection ou pa- 
rallèles à une droite qui serait elle-même perpendiculaire à 
ce plan. Voici quel sera l'ordre du travail : 

1" opération. La droite os y perpendiculaire au plan vertioal 
de projection, se projettera sur ce plan par un seul point o', 
et sur le plan auxiliaire, fig. 427, par, la droite oV, paral- 
lèle à AZ'. 

Pour avoir la prQjectîoil de la même droite sur les deux 
ligures 430 et 431, on construira les deux triangles rec- 
tangles qui ont pour côtés s"'e = sf'e'.^ flg. 427, ^W^e = oA, 
flg. 428. 

L'hypoténuse o"'s"' sera la projection de la droite o^, o'V 
sur les plans des figures 427 et 431 ^ perpendiculaires à l'axe 

« 

du balustre. 

2e opération. On déterminera sur les figures 427 et 430 
les courbes suivant lesquelles les sqrfaces de révolution du 
balustre sont touchées par des plans parallèles à la droite 
oV,o'V (851- et 852). 

Ces ligues seront les directrices des cylindres projetants» 
perpendiculaires au plan vertical de projection. 

3* opération. On reportera les courbes précédentes de la 
figure .430 à la figura 4àl, et leurs projections horizon- 
tales seront déterminées, sur la figure 428, par les intersec- 
tions des lignes de projection parallèles et perpendiculaires à 
AZ', menées par les points correspondants des figur^BS 427 
et 431. 

4* opération. Quand on aura construit avec beaucoup 
d'exactitude, sur la figure 428, les projections horizontales 



PL.' 86. DE RâreLUTiON. 439 

des trois courbes de contact, il ne restera plus qu'à obtenir 
leurs projections verticales sur la fi^nre 4M. 

Pour y parvenir, on élèvera des perpendiculaires à la ligne 
AZ par tous lès pointa de la projection horizontale, figr. 426, 
et la hauteur de chacun de ces points sera donnée par sa pro- 
jection auxiliaire, flgr. 427. 

882. Les projections verticales des deux courbes, situées 
sur le col du balustre et sur la scoiie, ont chacune quatre 
points de rebroussèrent qui sont les projections des points 
suivant lesquels chacune de ces courbes est touchée par des 
droites parallèles à la ligne o^, oV, et par conséquent per- 
pendiculaires au plan vertical de la figure 426. 

Il sera donc essentiel de vérifier la position de chacun de 
ces points sur les cinq projections 427, 430, 431, 428 et 426. 

Les arêtes circulaires du ballustre se projettent sur la fi- 
gure 426 par des ellipses semblables. 

Les diamètres de ces ellipses se déduiront facilement de 
leurs projections horizontales. 

On remarquera que pour chaque ellipse, le grand axe est 
perpendiculaire à la droite aV. , . 

On peut, connaissant le grand axe et un point, construire 
avec beaucoup de précision l'une de ces ellipses ; puis, après 
avoif déterminé le second axe, on obtiendra les axes de toutes 
les autres ellipses en opérant comme au n*» 554. 

Les projections d*un même cercle sur les deux figures 426 
et 428 doivent être touchées par les mêmes droites perpen- 
diculaires à la ligne ÂZ. 

883. Si rbn a de la place, on peut employer une seconde 
projection auxiliaire perpendiculaire au plan vertical de pro- 
jection et parallèle à la droite a'c'. 

Gela dispensera de construire sur la projection horizontale 
les courbes suivant lesquelles la surface est touchée par les 
cylindres projetants parallèles à la droite o^, oV. 

884. Si au lieu de construire les plans tangents parallèle- 
ment à une droite donnée, on les avait fait passer par un 



430 .-siWRMek ȣ.'87. 

ptiat^ les OQupbds oMâones datis ce oafl aaiaiêiif délenlHi^ te» 
contour Aé la figure suivant laqiaelle On apercevrait la surfitce 
si l'œil col&eidait avec le potfltt demie. 

Gelte question^ qui se raltaobe à la perspective, tifonv^elrà 
plus tard son application. 

885. Caristruire rintersectian d'u/ns surface de révolu- 
tion par une droite^ fiff. 434, pi. 87. 

l'"* méthode. On coupera la surface par un plan p, conte- 
nant la droite donnée bb' et perpendiculaire au plan vertical 
de projection. 

La projection horizontale odue de la courbe de sectioir 
pourra être obtenue en opérant comme nous l'avons dit au 
n« 784. 

Les deux points n, n, suivant lesquels cette courbe est ren- 
contrée par la projection b de la droite donnée, seront les pro- 
jections horizontales des points cherchés. 

Les projections verticales n\ n' de ces points seront si- 
tuées sur la trace verticale du plan auxiliaire p. 

On fera bien, comme vérification, de construire les paral- 
lèles correspondants à ces points. 

886. 2e méthode. Si la projection horizontale de la droite 
donnée rencontrait celle de la courbe de section, suivant des 
angles trop aigus, on rabattrait le plan auxiliaire p autour de 
sa trace horizontale. 

Par suite de ce mouvement, la courbe deviendrait o"d"u"e!'^ 
et serait rencontrée par la droite b" en deux points n", n" 
qui, ramenés dans le point p, donneront n'rh, n'n pour les 
projections des points demandés. 

887. 3* méthode. Toutes les fois que la courbe de section 
de la surface donnée, par le plan auxiliaire, sera une ellipse, 
on pourra éviter la projection et le rabattement de cette 
courbe, en la projetant sur un plan p\ incliné de manière 
que la projection soit une circonférence de cercle. On obtien- 
dra la direction du plan p' en construisant le triangle rec- 



n 



PL. 87. DE ftttvabin?ioN. 43< 

taiigle etwa', daosg lequel le cdté u'<ê est égal au petit aie de 
l'ellipse oV (541). 

Le plan f^ étant rabattu autour de sa trace horizontal, la 
courbe de section se projette dans ce rabattement par la- cir- 
conférence tr^ et les intersections de cette ligne par* la dnaate 
V" déterminent les deux points Icberchés n"', n"' qui, rj^ 
mmés d'abord dans le i^an p' et de là dans le plan p, de- 
viennent n'n^ n'n. 

888. 4* méthode. On peut employer, comme surface auxi- 
liaire unehyperboloïde de révolution engendrée par la droite 
donnée,' et qai aurait le même axe que la surface donnée, 
flg. 433. 

En amenant successivement la droite donnée bV dans le$ 
deux plans verticaux ;?p et p'p'^ on aura les asymptotes cc\ 
dd' du méridien principal. Il sera facile (387) de construire 
une partie œs'u de ce méridien, puisque Ton connaît les 
asymptotes et le point ssf du cercle de gorge dont le rayon os 
est égal à la perpendiculaire os!' abaissée du point o sur la 
projection horizontale bb de la droite donnée. 

La surface donnée sera coupée par Thyperboloïde auxiliaire 
suivant les parallèles ar, vu (810), et les intersections m'm 
de ces deux cercles, par la droite bVy seront les points de- 
mandés par la question. 

889. Dans quelques cas particuliers les opérations peuvent 
être plus simples. Ainsi, par exemple, flg. 434, 

Si la projection horizontale de la droite donnée passait par 
le point i, on en conclurait que cette ligne rencontre Taxe, 
et, dans ce cas, on emploierait comme surface auxiliaire le 
plan méridien is. Ce plan couperait la surface donnée suivant 
une section méridienne dont l'intersection w'm, avec la 
droite w, i/sf^ serait le point demandé. 

11 est évident que Ton serait dispensé de construire la sec- 
tion méridienne en rabattant la droite donnée w, i's', en iV; 
cette opération donnera m", qui, ramené dans le plan is, 
deviendra m'm. 

890. Enfin, si la droite donnée était située dans un plan 



43i suaFAGES pl. 87. 

perptodiculwe à Taxe, on emploierait ce plan cotame sur* 
face auxiliaire, et dans ce cas la courbe de section serait un 
oercte. 



891 . Construire VintersectUm d'une surface de révolution 
j^ar une courbe quelconque,, 

i"^ méthode. On pourra employer, fig. 434, comme sur- 
&ce auxiliaire, Tun des cylindresprojetantsde la courbe don- 
née a, a'. L'intersection v'y, avec la surface donnée, se cons- 
truira en élevant des perpendiculaires par les points où la 
projection a de la courbe donnée rencontre les projections 
des parallèles de la surface. 

Les intersections de la courbe v'y avec (i' donneront les 
points cherchés z'z. 

* m 

892. 2* méthode. On peut employer, fig. 433, comme sur- 
face auxiliaire, une seconde surface de révolution ayant le 
même axe que la surface donnée'. 

En opérant comme nous l'avons dit au n** 797, on construira 
la partie du méridien l'-2'-3'. Les intersections de cette courbe 
avec le méridien principal de la surface donnée détermine- 
ront les deux parallèles communs a//i' et iM\ les points cher- 
chés n'n résulteront de la rencontre de ces parallèles avec la 
courbe donnée 6, b'. 

893. Section par un plan oblique. On emploiera comme 
surfaces auxiliaires des .plans perpendiculaires à l'axe de la 
surface de révolution. Soient (ûg. 435) la surface annulaire 
À, Â', et le plan B. Un» plan horizontal p coupera la surfiace 
suivant deux cercles (c, c^) (o, &)^ et le plan donné suivant 
la droite aa\ Cette droite coupera les deux cercles en quatre 

, points (m, mO m^m') qui satisferont à la question pro- 
posée. Un second plan horizontal donnera quatre nouveaux 
points, et ainsi de suite, jusqu'à ce que Ton ait obtenu un 
nombre de points suffisant pour construire correctement la 
courbe de section. 

894. Il ne faut pas oublier que nous raisonnons toujours ici 



A 



i^L. 87. DE RÉVOLUTIOM. 433 

d'une mapière générale ; mais dans rexécution àe 1-épure il 
se présente souvent des circonstances particulières qui en- 
gagent à modifier le principe et à recourir A des constructions 

. auxiliaires. Ainsi dans l'exemple proppsé,. lorsqu'on arrive- 
rait dans le voisinage des points uu' et vv\ les intersections 
se feraient suivant des angles trop aigus. Dans ce cas, on 
pourrait employer comme auxiliaires des plans verticaux 
passant par Taxe de la surface donnée : ces plans. couperont 
la surface suivant des sections méridiennes dont on évitera 
la projection en les rabattant autour de l'axe. C'est ainsi que 

- les points {uu') (vv') ont été déterminés. Le premier de ces 
points est le plus élevé et le second est le plus bas de la 
courbe d'intersection. Un plan v«^tical p^' a coupé la surface 
donnée suivant une section méridienne qui, en tournatit 
autour de l'axe, est venue se confondre avec la projection 
verticale </' du méridien principal. La droite provenant de 
l'intersection du plan B et du plan auxiliaire ?/' est venue se 
rabattre en a^^ et Tinterseotion de cette ligne a^^ avec la 
section méridienne c'^ a donné deux points ^, z' qui, pro- 
jetés horizontalement en 5, z, et ramenés dans le plan p'^ 
ont déterminé les points (uu') (vv^j. Les points xœ\ oo\ situés 
dans le plan méridien p''\ ont été déterminés de la même 
manière. 

Ainsi, on devra employer la première méthode quand on 
voudra obtenir un point sur un parallèle de la surface, et Ton 
emploiera la seconde quand il s'agira de trouver un point sur 
un méridien. . i 

895. On peut quelquefois trouver dans la définition ou 
dans les propriétés de certaines surfaces des moyens d'exé- 
cution particuliers. Ainsi, par exemple, s'il s'agissait de 
construire, flg. 436, là section de l'hyperboloïde par le plan 
B, on pourrait, comme précédemment, faire usage de plans 
perpendiculaires à l'axe ou de plans méridiens ; mais on 
pourrait encore employer des plaqg, coupant l'hyperboloïde 
suivant les génératrices de cette surface. Ainsi, pour obtenir 
le point {mm'}, on a construit un plan po'p coupant l'hyper- 
boloïde, suivant la génératrice vV, vo, et le plan B suivant 
la droite W; l'intersection de ceg deux lignes a donné le 

2« 



434 SUBFAJCSS PL. 87. 

poifft (m, mf) ; il est évident que cela la^vient à ch^fcber la 
suite dieB points suivant lesquels le plan B est percé par char 
cune des droites génératrices de Thyperbololde. 

Les points (n, n') (^ , sf) ont été déterminés par le plan ho- 
rizontal p^ 

Enfin, en faisant une section par un plan méridien perpen- 
diculaire au pian B^ et rabattant cette section çoinme nous 
l'avons fait dans Tépure précédente, on obtiendrait le point 
le plus élevé et le point le plus bas de la^courbe. 

896. CSonrbes de pénétration. — IrUèrsections d'une 
surface de révolution et d'un cylindre. On emploiera comme 
surfaces auxiliaires des cylindres parallèles au cylindre 
donné, ayant pour directrices les parallèles de la surface de 
révolution. Ainsi, par exemple, flg. 437, pi. 88, la circon* 
férence* du cercle dont la projection verticale est a'I/, étant 
prise pour directrice d*un cylindre parallèle au cylindre 
donné, la trace horizontale de ce nouveau cylindre sera uoe 
circonférence ayant son centre en d, et pour rayon du = &V; 
les points x, v, suivant lesquels se rencontrent les traces des 
deux cylindres, détermineront deux lignes droites communes 
aux surfaces de ces cylindres, et les intersections de ces 
droites avec le cercle ab, a'b\ feront connaître les deux 
points m^m de la courbe demandée. On obtiendra par ce 
moyen autant de points que Ton voudra. 

Les traces des cylindres auxiliaires auront tous leurs centres 
sur une même droite zc, parallèle à la projection horizontale 
du cylindre donné, et passant par le point où l'axe de la sur- 
face de révolution perce 4e plan horizontal. 

Si Ton prend, le milieu de chacun des arcs de cercle qui 
résultent des intersections de la trace du cylindre donné 
avec les traces des cylindres auxiliaires, on obtiendra une 
courbe on qui aboutira sur la trace du cylindre donné en 
un point o. La droite oz normale à ce point déterminera 
en z le centre de la trace horizontale du cylindre auxiliaire 
sur la surface duquel se trouve le point le plus élevé de la 
courbe. 

Le point le plus bas se déterminera en prolongeant la 
courbe on de l'autre côté, jusqu'au point n, par lequel 



PL. 88. DE BÉVOLUTION. 435 

on mtoera une normale n^, et le point s sera le centre de 
la tiaœ du cylindre auxiliaire qui déternâne le point le 
plus bas. 

097. Intersection d'une surface de révoliUion et £\m 
cône. On emploiera comme surfaces auxiliaires des cônes 
ayant le même sommet que le cône donné, et pour direc- 
Iric^ les parallèles de la surface de révolution. Ainsi, 
ûg. 438, le cercle dont la projection verticale est a^l/^ 
étant pris poar la directrice d'un cône dont le sommet serait 
(9, s') y la trace horizontale de ce cône sera une circonférence 
de cercle dont le centre d sera déterminé par l'intersection 
de la droite sc^ -sfc'^ avec le plan horizontal, et qui aura pour 
rayon d^a = d'u'. Cette circonférence coupera la trace "du 
GÔùe donné, suivant/ deux points v, x\ en joignant ces points 
avec le sommet commun des deux cônes, on obtiendra deux 
droites dont les intersections avec le cercle afr, a'V appartien- 
dront à la courbe demandée. 

Il n'y aura plus qu'à recommencer cette construction pour 
avoir de nouveaux points de la courbe : les traces des cônes 
auxiliaires auront tous leurs centres sur la ligne fc; les points 
extrêmes de la courbe se détermineront comme dans l'épure 
précédente. 

898. L'exécution de ces épures suppose que la surface de 
révolution est projetée sur un plan perpendiculaire à son axe; 
s'il en était autrement, et que cette surface fût donnée dans 
une position inclinée, on commencerait par la projeter sur 
un plan auxiliaire perpendiculaire à Taxe, ce qui ramènerait 
la question au cas précédent. 

899. Intersection d'uns surface de révolution et d'une 
sphère. On placera l'axe de la surface de révolution perpen- 
diculaire au plan horizontal, et Ton prendra le plan vertical 
de projection parallèle au plan qui coi^iiendra le centre de la 
sphère et l'axe de la surface donnée. 

L'épure étant ainsi disposée, on emploiera, comme surfaces 
auxiUaires, des sphères ayant leurs centres sur Taxe de la 
surface donnée. Chaque surface auxiliaire coupera la sphère 



436 / SURFAGlâS PL. 88. 

donnée et la surface de révolution suivant des cercles perpen- 
diculaires au plan vertical, et qui, par conséquent, se pro- 
jetteront sur ce plan par de^ lignes droites. Les intersections 
de ces droites feront connaître les points de la courbe cher- 
chée. Ainsi, par exemple, fkg. 439, la sphère dont le centre 
est en c', et qui a pour rayon c'a', coupera la surface de ré- 
volution suivant deux cercles f)rojetés sur le plan vertical 
par les droites a'd\ h'k', et la sphère donnée, suivant un 
cercle dont la projection verticale sera m'^h,' ; l'intersection 
de ce dernier cercle avec les deux cercles c'd\ h'k\ donnera 
quatre points qui seront projetés verticalement, deux au 
point o' et les deux autres en u'. Pour avoir les projections 
horizontales de ces mêmes points, on projettera horizontale- 
ment les deux cercles a'd\ h'k\ et l'on abaissera les deux 
perpendiculaires o'o, u'u. Une seconde sphère auxiliaire fera 
connaître quatre nouveaux points, et ainsi de suite. 

Pour plus de symétrie dans la construction de l'épuré, on a 

' pris les sphères auxiliaires concentriques, mais on pouvait 

s'en dispenser ; la seule condition essentielle ici, étant que les 

centres de ces sphères soient placés sur Taxe de la surface 

de révolution. ^ ' 

900. Les mômes moyens pourraient être employés pour 
Prouver la courbe de pénétration de deux surfaces de révo^ 
lution dont les axes se couperaient ; mais, dans ce cas, après 
avoir choisi un plan vertical de projection parallèle au plan 
qui contiendrait les deux axes, il faudrait nécessairement 
prendre le point d'intersection de ces axes pour centre des 
sphères auxiliaires; et si dans l'exemple précédent nous 
avons pu prendre pour centre tel point de l'axe que nous 
avons voulu, c'est parce que la sphère pouvant être consi- 
dérée comme surface de révolution dans tous les sens, le 
point que nous avions choisi pouvait toujours être regardé 
comme rintersection des deux axes. 

901. 11 résulte de ce qui précède que, pour avoir l'inter- 
section d'une surface de révolution avec un cylindre, on 
pourra employer des cylindres comme surfaces auxiliaires ; 
pour l'intersection avec un cône on emploiera des cônes. 



PL. 88. DE RÉVOLUllON. 437 

et pour rîntersection avec la sphère, on fera usage des 
sphères. 

902. Il est bien entendu, comme nous l'avons déjà dit, 
que si par suite de la disposition particulière des données, 
quelques points n'étaient pas déterminés avec assez de préci- 
sion, il faudrait avoir recours à d'autres moyens, comme, par 
exemple, des plans parallèles au plan horizontal ou au plan 
vertical. Si Ton emploie des plans perpendiculaires à l'axe de 
la surface de révolution, on aura l'avantage de couper cette 
surface suivant des cercles ; de sorte qu'il n'y aura plus qu'à 
construire les lignes suivant lesquelles ces mêmes plans cou- 
peront la seconde surface. 

903. Dans le cas de J'intersection avec une sphère, des 
plans perpendiculaires à l'axe de la surface de révolution 
couperont les deux surfaces suivant des cercles. Il en serait 
de même s'il s'agissait de deux surfaces de révolution dont 
les axes seraient parallèles. 

904. Chacun des trois moyens de solution que nous venons 
d'exposer peut être employé à la recherché de la courbe pro- 
venant de la section d'une surface de révolution par un plan. 
Il suffit de considérer successivement cette dernière surface 
comme un cylindre ou un cône dont les directrices seraient 
droites, ou comme la surface d'une sphère dont le rayon 
serait infini. 

905. Dan^ le premier cas, flgr. 440, on supposera que 
le plan donné est une surface cylindrique qui a pour direc- 
trice la.trace horizontale vx et pour génératrice la trace ver- 
ticale vz. 

Cette dernière ligne déterminera la direction des cylindres 
auxiliaires qui auront pour directrices les difiérents parallèles 
de la surface donnée. 

'Ainsi, le cylindre qui contiendrait le parallèle ac, a'& 
aurait pour trace horizontale la circonférence aV; les inter- 
sections de cette courbe avec la trace vx du plan donné 
détermineront les. deux droites m^'m, m"*m\ parallèles à 



438 «mrAOKS pl 89. 

la trace verticale vz, et les interseeUons de ces droites avec 
le parallèle ac, a'& feront connaître les deux points cbep- 
chés Tfiml, 

906. Si Ton considère le plan donné comme un cône dont 
la directrice serait une ligne droite, on pourra prendre pour 
sommet le point $^, suivant lequel ce plan est percé par l'axe 
de la surface donnée. 

Dans ce cas, les cônes auxiliaires ayant pour directrices les 
cUfférents parallèles de la surface donnée seront droits et i 
bases circulaires. 

On n'a construit sur T^ure que celui de ces cônes qui dé- 
terminerait le point le plus bas et le plus élevé de la courbe 
demandée. 

Sa trace horizontale uu" doit être .tangente à la trace vrr du 
plan donné. 

Au lieu de construire la projection verticale de la généra- 
trice su"^ on a préféré rabattre cette ligne dans le plan du 
méridien su. 

907. Enfin, si Ton voulait considérer le plan donné comme 
la surface d'une sphère dont le rayon serait infini, il faudrait 
employer un plan auxiliaire de projection vertical et perpen* 
diculaire au plan donné: pour le reste on agirait comme au 
numéro 899. 

908. Intersection de deux surfaces de révolution dont Us 
axes ne se reno ntrent pas. On prendra l'un des plans de 
projection perpendiculaire à Taxe de l'une des deux surfaces 
données» et le second plan de projection parallèle aux deux 
axes. 

Supposons, par exemple, flg. 441, pi. 89, que la sur- 
face AA' soit perpendiculaire au plan horizontal, la projection 
de cette surface sera limitée par celle de son plus grand pa- 
rallèle, et sa projection verticale sera une section méridienne. 

La surface inclinée BB' étant également parallèle au plan 
vertical, sa projection, sur ce plan, se composera d'une sec- 
tion méridienne, et pour construire la projection horizontale, 
il ftiudra opérer comme nous Tavons dit au n** 872. 



PL/ 89. DE RÉVOLUTION. 439 

Cda élut Ml) on coupera les deux surfiices par un plan 
amiliaire pp que nous supposons ici parallèle au plan ver- 
tical de projection. 

La section de la surface AA' par le plan auxiliaire pp sera 
une courbe osa; la section de la surfooe HW se composera 
des deux courbes zvs, et les intersections de ces dernières 
lignes par la courbe asa donneront les quatre points u,u*...., 
qui devront faire partie des courbes de pénétration deman- 
dées (785). 

La section des deux surfaces^par un second plan auxiliaire 
déterminera quatre autres points. 

Un troisième plan auxiliaire en donnera encore quatre, et 
ainsi de suite. 

909. Avant d'aller plus loin, il est nécessaire d'entrer dans 
quelques détails sur la construction des courbes asa^ zvz. 

La première de ces deux ligues ne présentera aucune diffi- 
culté, puisqu'il suffira d'élever des perpendiculaires à la ligne 
AZ, par les points où la trace pp du plan auxiliaire rencontre 
les projections horizontales des parallèles que Ton aura dû 
établir d'avance sur la surface AA^ 

Pour faciliter la construction des deux courbes zvz, il fau- 
dra également établir un certain nombre de parallèles sur la 
projection verticale de la surface BB'. 

Mais pour éviter la construction des ellipses qui représen- 
teraient les projections horizontales de toutes les circonfé- 
rences de cercle, on les projettera sur un plan auxiliaire qp' 
perpendiculaire à Taxe de la surface inclinée BB', puis on 
rabattra cette nouvelle projection B^' en la faisant tourner 
autour de Thorizon projetant du point 9, ou de tout autre 
point pris à volonté dans le plan qp'. 

Les parallèles de la surface BB' seront représentés sur la 
nouvelle projection B^^ par des cercles concentriques» et les 
intersections de ces circonférences par la trace pp du jplan 
auxiliaire feront partie de la courbe cherchée. Il ne restera 
donc plus qu'à faire revenir tous ces points à leur place* 

Pour y parvenir, on les projettera d'abord sur le plan hori 
zontal qp^' que l'on fera revenir dans la position qp^, d\)û 



4^) SUttFikCËS l*L/8tf« 

chacun des points cherchés devra être ramené par une per- 
pendiculaire au plan qf^ sur le parallèle auquel il doit appar- 
tenir. Ainsi le point tw, projeté en m'/ viçndra se placer en 
m"^ d'où on déduira sa projection verticale.m'^'. Pour plus 
d-ordre on fera bien de.numéroter .les parallèles sur les deux 
projections B' et 'B'^ et l'on diminuera le travail en choisis- 
sant de préférence ceux qui ont des rayons égaux, afin qu'ils 
aient une projection commune sur la figure B'^. 

On devra aussi choisir la position des plans coupants auxi- 
liaires, de manière à obtenir les points les plus essentiels des 
deux courbes de pénétration. Ainsi, par exemple, si on veut 
obtenir les points suivant lesquels ces courbes touchent le 
méridien principal de la surface AA'^ on coupera les deux 
surfaces par le plan vertical p'p' qui contient Taxe de cette 
surface. Le plan f^p" déterminera les points situés sur la sec- 
tion méridienne de la surface BB'. 



910. La ligne n'o^ii' étaût la projection verticale des deux 
courbes nen (874), les cylindres projetants de ces lignes pour- 
ront être employés comme surfaces auxiliaires. 

Les courbes provenant de l'intersection de ces cylindres 
avec les parallèles de la surface AA' couperont la ligne n'&n' - 
en quatre points dont les projections horizontales appartien- 
dront au contour de la projection horizontale B. 

91 1 . Surface du second degré. Dans tout ce qui précède, 
nous avons raisonné d'une manière générale, afin que les 
opérations indiquées puissent convenir à toutes les surfaces 
de révolution, quel[que soit le contour de leurs sections rnéri- 
diennes. 

Mais, dans quelques cas particuliers, il sera possible de 
simplifier les opérations. 

Supposons, par exemple, que les deux surfaces données 
soient une paraboloïde et une hyperboloïde de révolution, les 
sections 'de ces deux surfaces par les plans coupants auxi- 
liaires s^ont les courbes du second degré, qui pourront, par 
conséquent, être construites ou au moins vérifiées par leurs . 
propriétés géométriques. 



PL. 89. DE RÉVOLUTION. 441 

Déplus, si Ton emploie, comme cela est le plus simple, 
des plans parallèles entre eux, toutes les lignes suivant les- 
quelles ces plans couperont une même surface seront sem- 
blables entré elles. 

Toutes les sections dans Thyperboloïde auront pour 
asymptotes communes les deux droites cro'x qui sont les 
asymptotes de la section méridienne principale, et cette pro- 
priété sera d'autant plus pommode qu'il suffira de connaître 
un point de chaque section'pour ôtre en état de la construire 
promptement (387). 

912. Une autre propriété déjà citée deà courbes du second 
degré facilitera le tracé de la projection horizontale de la 
surface inclinée ; c'est que la courbe suivant laquelle cette 
surface est touchée par le cylindre projetant qui Tenvel^ppe 
doit être plane, et qu'elle se projettera par conséquent sur 
le plan vertical par une ligne droite. 

Cette courbe est une hyperbole, et si on pouvait en cons- 
truire les asymptotes, la projection horizontale ne présente- 
rait plus aucune difficulté. 

913. Pour obtenir ce résultat, nous rappellerons que si 
l'on faisait tourner autour de Taxe ch de la surface inclinée, 
l'une des asymptotes xo^x de la section méridienne, on en- 
gendrerait le cône circillaire asymptote de cette même sur- 
face (807). 

Les génératrices formant les limites de la projection hori- 
zontale de ce cône seraient les asymptotes de l'hyperbole 
qui limite la projection horizontale de la surface. i 

I)e là résulte la coustruction suivante : 

La droite rt^ perpendiculaire sur l'asymptoie, xo'x^ 
coupera l'axe ck en un point i qui sera le centre de la 
sphère inscrite dans le cône asymptote ; les deux circonfé- 
rences fe&, dd seront les projections de cette sphère. 

Enfin, les droites Aoft, tangentes à la circonférence dd, et 
limites de la projection horizontale du cône, seront les asymp- 
totes de rhyperbole formant le contour de la projection ho- 
rizontale de la surface BB^ 



442 SURFACES H- 99. 

On se rappellera (646) que les points de taigence t, i peu- 
vent être déterminés par la perpendiciilaire .abaissée du 
point i\ suivant lequel la sphère est toucliée par les dmi 
plans verticaux tangents au cône asymptote. 

914. Dans quelques occasions où Ton n'aurait pas d'autre 
but que d'ajuster deux surfaces de révolution, on pourrait se 
dispenser de construire la projection horizontale de la sur- 
face inclinée ; les projections B^ et B^ de cette surface suffi- 
santy avec celles de la surface Â, pour déterminer tous les 
points des deux courbes de pénétration. 

916. Intersection de deux ellipsoïdes de révolution A et 
B,' llff. 444. On concevra, fig. 448, la sphère G, enve- 
loppée par deux ellipsoïdes Â^ et B^ semblables et pa- 
rallèles aux surfaces données. Ces deux surfaces auront 
un axe commun projeté par le point d et qui sa-a égal au 
diamètre de la sphère inscrite. De plus elles se pénétreront 
suivant deux ellipses qui auront pour projection les droites 
aa^ ce. 

Or, les deux ellipsoïdes A' et B' étant parallèles et sem- 
blables aux ellipsoïdes données A et B, il en résulte que si 
on coupe ces dernières surfaces par des plans tels que p'q' 
parallèles à celui qui contient Tellipse aa, on obtiendra ponr 
sections des ellipses semblables et parallèles à cette dernière 
courbe, et Ton pourra toujours trouver un plan de projection 
sur lequel toutes ces ellipses se projetteraient par des 
cercles (541). 

916. On arriverait au 'même but en coupant les deux 
surfaces données par des plans parallèles à celui qui contient 
Tellipse ce. On choisira celui de ces deux systèmes de plans 
coupants qui donne les meilleures intersections. 

917. 11 n'est pas nécessaire que les centres de deux ellip- 
soïdes auxiliaires coïncident avec celui de la sphère inscrite; 
il suffit que ce dernier point soit à l'intersection des deux 
axes. Cela est une conséquence du théorème suivant, dont la 
démonstration ne peut être placée convenablement que dans 
un traité A' Algèbre appliquée. 



f^ 89. DE RÂYOIUTION. 443 

Toutes lés fois que deux courbes du second degré sont 
tangentes à une même circonférence^ de manière qu'elles 
forment par leurs %ntersectioni\[an quadrilatère circonsorUy 
les diagonales passant par les sommets opposés de cequor 
drilatère curviligne^ et les cordes qui joignent deux à 
deux les points de tangence opposés^ se coupent en un même 
point. 

Le théorème cité au n» 867 n'est qu'un cas particulier de 
celui que nous Tenons d'énoncer, parce que les côtés 
rectiligrnes du quadrilatère circonscrit peuvent, dans ce cas, 
être considérés comme des variétés de courbes du second 
degré. 

918. Il résulte de ce qui précède que si la parabole A'' et 
rbyperbole W, ûg. 445, sont les sections méridiennes de ^ 
deux surfaces de révolution circonscrites à une même sphère, 
Ips ellipses provenant de la section de ces deux surfaces par 
un plan pq se confondront, puisqu'elles auront le même axe 
aa, et un point commun c, situé sur les deux cercles zx^ vUy 
suivant lesquels la sphère inscrite est touchée par les deux 
surfaces dont il s*agit. 11 en serait de même de la section des 
mêmes surfaces par le plan p^q'. 

919. On pourra donc résoudre la question du n» 798 par 
une série d'opérations analogues à celles que nous avons in- 
diquées pour deux ellipsoïdes de révolution. 

1^ On décrira, ûg. 445, un cercle quelconque auquel on 
circonscrira une parabole et une hyperbole semblables aux 
sections méridiennes des deux surfaces données A et B, 

flg.441. 

2* On coupera ces dernières surfaces par un système de 
plans parallèles à celui qui con|;ient Tune des deux ellipses 
aa ou a^a'^ flg. 445. 

Les sections des deux surfaces données par ces plans se- 
ront des ellipses semblables. 

3« On preadra un plan de projection sur lequel toutes ces 
ellipses se projetteraient par des. cercles dont les intersec- 
tions suffiront pour déterminer tous les points des deux cour^ 
bes de pénétration. 



AU SURFACES PL. )M). 



CHAPITRE m. 



Surface» ré§;léem 



920. Définitions. On donne, en général, le nom de sur- ^ 
faces réglées à celles qui sont engendrées * par une ligne 
droite qui se meut suivant certaines conditions. Dans le cas 
le plus général, on peut supposer que la génératrice est as- 
sujettie à s'appuyer sur trois Courbes que Ton nomme les 
directrices de la surface. 

Cette condition suffit pour déterminer chaque position de 
la génératrice; car une droite qui passant par un point de 
la première courbe glisserait en s'appuyant sur la seconde 
serait déterminée de position, au moment où elle rencon- 
trerait la troisième. 

« 

921. Dans quelques surfaces, la génération est déterminée 
par d'autres conditions. Ainsi, par exemple,^ dans les sit/r- 
fdces cylindriques y que l'on peut regarder comme cas par- 
ticuliers des surfaces réglées, puisque la génératrice est une 
ligne droite, on donne ordinairement une directrice, et 
les deux autres sont remplacées par la condition que 
toutes les positions de la génératrice soient parallèles entre 
elles. 

Dans les cônes, deux des directrices sont remplacées par 
cette condition, que toutes les génératrices contiennent le 
sommet. Enfin, dans les surfaces normales, la condition que 
la génératrice soit constammei^t^ perpendieulaire à une sur- 
face donnée permet de n'employer qu'une directrice ; mais 
tous ces cas particuliers pourront facilement se ramener au 



PC 00. RÉaLÉfiS. 415 

cas général ; car on pourra toujours, dans chaque cas, pren- 
dre pour directrice trois courbes quelconques situées sur la 
surface, de manière qu'elles soient coupées par toutes les gé- 
nératrices. 

922. L'une des trois directrices peut encore être rem- 
placée par cette condition, que deux positions consécutives 
de la génératrice se trouvent toujours dans un même plan, 
et c'est en cela que consiste le caractère des surfaces dé- 
veloppables. Les surfaces réglées qui sont privées de la 

propriété d'être développables se nomment surfaces 
gauches. 

923. Enfin, on peut remplacer Tune des directrices par 
cette condition que la génératrice, dans son mouvement, 
reste toujours parallèle à un plan donné que l'on nomme 
plan directeur 

Ce dernier genre de surfaces réglées devant être fréquem- 
ment employé dans les applications, nous en' ferons line 
classe particulière ; ainsi nous distinguerons deux espèces 
principales de surfaces réglées : 

l*" Les surfaces réglées qui ont trois directrices ; 

2^ Les surfaces réglées qui ont deux directrices et un plan 
directeur. 

924. Sorflaces réglées qui ont trois directrices. 

Soient flfiT. 446, pi. 90, (AA'), (BB'), (CC) les trois direc- 
trices d'une surface réglée ; on veut construire la génératrice 
qui passe par le point ^^. 

Concevons un 'cône qui ait pour sommet lepoinf^^et ' 
pour directrice la courbe BB' ; le point suivant lequel la 
surface de ce cône sera percée par la courbe GC appartient 
à la génératrice cherchée. En eSet, la droite su, s!u\ située 
sur la surface du cône auxiliaire, coupera en un point w' la 
courbe BB^ que nous avons prise pour directrice de ce cône. 
Elle s'appuiera donc sur les trois directrices de la surface 
réglée suivant les points ss\vv'^uu'. 

Pour obtenir le point uu'^ on construira (790) la courbe 
Vy provenant de l'intersection du cône auxiliaire par le cylin 
dre vertical qui contient la courbe CC^ ; Tinterseclion des 



440 smtPACES FL. 90. 

deux courbes V et C^ fait cdraaltre la projectiont verticale da 
point iiu^ 

Bn recommençant cette construction, oir ura autant de 
positions de la génératrice que Ton voudra. 

Si la directrice BB' était une ligne droite, le cône auxiliaire 
serait remplacé par un plan, et la question serait alors ré- 
duite à déterminer le point où ce plan couperait la troisième 
directrice CC (463). 

n est bien entendu que l'on pourra, si on le juge plus 
commode, employer la courbe C comme directrice du cône 
auxiliaire, et chercher Tintersection de ce cône par la di- 
rectrice B. 

On fera bien aussi de s'assurer que les génératrices obte- 
nues coupent les trois directrices de la surface (59). 

926. Lorsque Tune des trois directrices est une ligne 
droite, la construction des génératrices deviei^t extrême- 
ment simple, si Ton projette la surface sur un plan perpen- 
diculaire à cette directrice droite. 

Prenons pour exemple, fig. 448, la surface réglée ayant 
pour Tune de ses directrices un arc de cercle ÂA^ paraùèie 
ad plan vertical de^projection, et dont le centre est au-des- 
sous du plan horizontal ; la seconde directrice est le demi- 
cercle CC', aussi parallèle au plan vertical et ayant son centre 
dans le plan horizontal ; enfin la troisième directrice est la 
droite BB', située dans le plan horizontal, et perpendiculaire 
au plan vertical de projection. 

Cette troisième directrice se projetant sur le point ver- 
tical en un seul pgint B^ toutes les projections verticales 
des génératrices doivent concourir à ce point : de sorte 
que pour construire, par exemple, celle qui passe par le 
point ss\ on tracera ^B', et la projection verticale u'^du 
point usera coniiue par l'intersection de cette ligne avec C. 
En abaissant la perpendiculaire du point u\ on aura u\ 
ainsi su sera la projection horizontale de la génératrice de- 
mandée. 

Dans cette construction, le plan ^B'B, perpendiculaine au 
plan vertical, tient lieu du cône auxiliaire que nous avons 
employé précédemment pour résoudre le cas général. 



PI. 90. RÉGLÉES. 417 

La ç/mrbe x/œ est la tiaee Terticade de la sarfaoe. 
Si la directrice BB', en passant toujaars par le centre de 
la ékeifÊik^Cù, cessait d'être située dans le plan horiaostal 
€i qu'elle s'inclinât en s'approctont du centre de la dinee* 
. trice AA^ la forme de la surface se rapprocherait de celle do 
otae oblique, et elle deviendrait une surface de cdne au dkk 
binent où la directrice BB^ contiendrait les centres des deux 
autres directrices. 

926. Je prendrai pour second exemple, flg. 449, la sur- 
face ayant pour directrices les deux cercles verticaux AA', 
ce, élevés sur les côtés du parallélogramme mnpqy et la 
droite BB' perpendiculaire au plan vertical de projection, et 
passant par le centre parallélogramme ; la construction 
se fera comme dans Fépure précédente. Les projections ver- 
ticales des génératrices concourent toutes au point B'; la 
courbe 2o'a?estla trace verticale de la surface. 

Si le parallélogramme mnpq était un rectangle, les deux 
cercles AA', CC, auraient la même projection verticale, et la 
surface serait un cylindre perpendiculaire au plan vertical 
de projection ; si au contraire les projections verticales des 
deux cercles s'écartaient jusqu'à ce que la diagonale pn fût 
perpendiculaire au plan vertical, la surface se composerait 
de deux moitiés de cône qui auraient leurs sommets i'un au 
point p, l'autre au point n. 

927. Surfaces régrlées qui ont un plan directeur* 

Lorsqu'on prend un plan directeur pour déterminer la 
génératrice d'une surface réglée, cela revient à supposer que 
la troisième directrice est une droite ou une courbe plane 
dont tous les points seraient situés à. une distance infinie ; 
car, dans ce cas, la génératrice ne pouvant rencontrer cette 
courbe qu'à rinfini, doit rester constamment parallèle au plan 
qui la contient. 

928. En prenant le plan directeur pour plan de projec- 
tion, la construction de ces sortes de surfaces devient ex- 
trêmement simple. 






448 SUBFAGBS PL. 9(k 

Soient, par exemple, flg. 447, les deux directrices AÂ^ 
GC^ le plan vertical étant le plan directeur. 

Toutes les génératrices devant être parallèles au pian ver- 
tical de projection, leurs projections horizontales seront pa* 
rallèles à la ligne AZ ; d'où il résulte qu'en élevant des per- 
pendiculaires par les points où ces projections rencontrent 
celles des directrices, on aura les projections verticales cor- 
respondantes. Ainsi, après avoir construit su parallèle à la 
ligne AZ, on élèvera les perpendiculaires ss^^ uu\ et la pro- 
jection verticale s'u' sera déterminée. * 

Le cône auxiliaire que nous avons employé dans le prin- 
cipe général se trouve ici remplacé par un plan parallèle au 
plan vertical de projection et ayant la droite su pour trace 
horizontale. 

Si le plan* directeur était incliné, le cône auxiliaire serait 
remplacé par un plan incliné parallèle au plan directeur. 
On pourra étudier ce cas comme exercice, mais dans la pra- 
tique il sera toujours plus simple de prendre un plan de pro- 
jection perpendiculaire au plan directeur. 

929. Parmi les cas particuliers, nous devons surtout re- 
. marquer les surfaces auxquelles on a donné le nom de co- 
noïdes. 

On nomme ainsi toute surface ayant un plan directeur ^ 
et une droite pour l'une de ses deux directrices. 

Soit, flgr. 450. La première directrice est le demi-cercle 
AA' ; la seconde directrice est la droite CC, perpendiculaire 
au plan horizontal, et le plan directeur étant horizontal, on 
pourra commencer par la projection verticale ou par la pro- 
jection horizontale de la génératrice. Dans le premier cas on 
construirait la projection verticale parallèle à la ligne AZ, et 
si Ton voulait commencer par la projection horizontale, on 
la ferait passer par C. La courbe zo'n est la trace verticale 
' de la surface. Si .tous les points suivant lesquels les généra- 
trices coupent la directrice verticale CG' étaient rappro- 
chés en un seul, la surface deviendrait un cône, et c'est 
par suite de cette analogie qu'on lui a donné le nom de 
conoïde. 



]>L. 91. ' ' RÉGLÉES. 449 

930. Second exemple. Soit prise/fig. 451, la coarbe 
AA^ pour première directrice ; pour seconde directrice, la 
verticale CC, le plan directeur élant horizontaU on pourra, 
pour construire une génératrice, commencer par la pro- 
jection verticale c'u', parallèle à la ligne AZ ; ou par la 
projection horizontale cG, que Ton fera passer par le point G. 

Cette surface se nomme conoïde hélicoïde: elle est du genre 
des conoïdes, puisque ayant un plan directeur, elle a de plus 
une droite pour directrice ; et le nom d' hélicoïde lui vient de 
€e que sa seconde directrice est une hélice, 

4 

931. Toutes les surfaces héliçoïdés ne sont pas en même 
temps conoïdes ; il faut pour cela, nous l'avons déjà dit, que 
Tune des directrices soit droite. 

Quelquefois la génératrice devra, dans son mouvement, 
rester parallèle à un plan directeur, et s appuyer sur deux 
hélices de même pas et à^ bases concentriques. 

D'autres fois le plan directeur est remplacé par la condition 
que la génératrice s'appuiera sur une troisième directrice, ou 
■qu'elle touchera un*cylindre donné, ou qu'enfin elle sera nor- 
male à une surface ou tangenh3 à une courbe. 

932. Surfaces développables. Nous avons dit (92?) 
qu'une surface réglée esi jiéveloppable, toutes les fois que 
deux positions consécutives et infiniment rapprochées de la 
génératrice se trouvent toujours dans un même plan. 

On peut supposer, en efl'et, flg. 453, pi. 91, que la 
portion de surface acx, comprise entre deux génératrices 
consécutives, tourne autour de Tune d'elles jusqu'à ce 
qu'elle soit venue se placer dans le prolongement de l'espace 
cez. 

On fera tourner ensuite l'espace a^ez pour le rabattre dans 
le prolongement.de evo, et ainsi de suite jusqu'à ce que la 
' surface tout entière soit étendue sur le plan a^^^su. 

933.,La courbe 0,-30 u, qui contient tous les points d'in- 
tersection des génératrices, se nonune une a^^éte de rebrous- 
^eme7it;lGS génératrices étant inûnies, il en résulte que l'a- 

29 



• I 



450 SURFACES VL. 91. 

rêle de rebroussement d'une surface . développable partage 
la totalité de cette surface en deux parties bien distinctes 
A et A', flg. 462, que Ton nomme les deux nappes de la 
surface. 

934. L'arête de rebrousseraent peut être considérée 
comme formée par le contour d'un polygone dont chaque 
côlé infiniment petit est la portion de génératrice comprise 
entre les deux points suivant lesquels celte ligne est ren- 
contrée par la génératrice qui suit et par celle qui précède. 

Chaque génératrice étant le prolongement de l'un des petits 
côtés de ce polygone, est par conséquent une tangente à 
l'arête de rebrous.-emenl, et celte propriété est souvent prise 
pour définition des surfaces dévcloppables que l'on considère 
comme engendrées par une droite qui se meut de manière à 
rester constamment tangente à une courbe., 

\ 

935. Si tqus les points de tangence se réunissaient en un 

seul, la surface deviendrait un cône, flg. 454, et larête de 
rebroussement, réduite en un seul point, formerait le sommet 
do cône. 

Ainsi, le cône est une surface développable dont V arête de 
rebroussement cst^un point. 

Le cylindre esf, une surface développable dont (arête de 
rebi'oussement est un point situé à une distance infinie. 

936. L'arête de rebroussement d'une surface -dévelop- 
pable est en général une courbe'à double courbure; mais si 
cette ligne devenait plane, la surface deviendrait un plan, 
puisqu'elle sefait le lieii géométrique des tangentes à une 
courbe plane. 

Nous allons étudier un exemple particulier de surface déve- 
loppable. 

937. Supposons que la courbe auc,a'a'c\ .flg. 456, soit 
une portion d'hélice, si nous construisons (481) un certain 
nombre de tangentes à cette courbe, la surface qui con- 
tiendra toutes ces tangentes sera. réglée, puisqu'elle aura une 
droite pour génératrice ; de plus, elle sera héliçoïde puisque 



PL. 91. RÉGLÉES. .451 

sa directrice sera une hélice (930, 931). Eaûn, elle sera 
tiéveloppable, puisque toutes ses génératrices seront tan- 
gentes à une même courbe, qui sera son arête de rebrousçe- 
ment(934). 

938. Développement. Les projections des génératrices 
ayant été obtenues en opérant comme nous l'aVons dit au 
n" 483,- proposons-nous de construire le développement de la 
surface. . 

On remarquera d'abord que les deux tangentes (a- i) {a'-V)y 
(C'9) (c'-9'), étant parallèles au plan vertical de projection, 
elles doivent être projetées sur ce plan dans leur véritable 
grandeur. 

On tracera, ng. 456, la droite c"-^" égal à la tangente c'-9' 
et a"-%" égal à là tangente a''\'\ de sorte que c"-a"^\ diffé- 
rence de ces deux tangentes, sera égal au développement de 
Tare d'hélice compris entre les deux points aa' et cc'\ 

La différence de hauteur des points ce' et aa', flg^. 455, 
étant égale à huit fois la seizième partie du pas de l'hélice, 
on partagera la disUnce c'-a'^ flg. 456, en huit parties 
égales, et l'on portera la moitié d'une de ces parties de o" en 
y et de a"' en s ; de sorte que la distance ys sera égale à sept 
fois la huitième partie de c"a"'. 

Cela étant fait, on construira une série de secteurs circu- 
laires ayant pour bases les arcs 9'^-8^^=9-8, 8^'-7^^=8-7, etc., 
et pour rayons successifs les droites c"'W'=^c''W,W-W =i 
8'^-9^ 7^''-7'^ = r-9^ etc. 

On se contentera, pour tracer cette figure, de faire les 
cordes 9''-8:' =^ 9-8, 8'^-7^^ = 8-7, etc. ; d'où il résulte que les 
arcs. sous-tendus ne seront pas rigoureusement égaux, puis- 
qu'ils appartiennent à des cercles dont les rayons seront diffé- 
rents ; mais cette manière d'opérer, suffisamment exacte pour 
les applications, est analogue à celle que nous avons in- 
diquée pour construire les développements du cylindre et du 
cône.' 

11 est d'ailleurs évident que l'on pourra augmenter l'exac- 
titude en traçant, fig. 455, un plus grand nombre de géné- 
ra trice^. 

939. La courbure de l'hélice duc.a'u'c' étant uniforme dans 



452 SURFACIS PL. 91. 

toute son étendue, il en résulte que dans le développement 
elle se transforme en une circonférence de cercle, tangente au 
polygone formé par-le prolongement des rayons de la courbe 
9'/.6'Oi". de sorte que cette dernière ligne sera la dévelop- 
pante du cercle c^'-b^'-a". 

On pourra, comme vérification, chercher le centre du 
cercle en élevant des perpendiculaires par le milieu de deux 
quelconques des côtés du polygogne c"-6'''-a'^ 

940. Quand t)n fait mouvoir la tangente a-1, a'- 1' pour 
engendrer la surface héliçoïde, chaque point de la géné- 
ratrice décrit une hélice qui a le même pas que Tarête de 
rebroussemenl ; toutes ces hélices se projettent sur le plan 
horizontal par des cercles' concentriques tels que \zx,hrv, 
et Ton pourra facilement en déduire les projections ver- 
ticales. 

941. Les portions de génératrices comprises entre chacune 
de ces hélices et celle qui forme Tarête de rebroussement de 
la surface étant égales, il en résulte que dans le développe- 
ment, fig. 456, toutes les hélices de la surface seront encore 
représentées^par des circonférences qui auraient leurs centres 
au point o. 

Ainsi, l'arc de cercle {"z"x" sera le développement de 
l'hélice \zx engendrée par le point 1, et l'arc de cercle 
5Vî;'' sera le développement de l'hélice Sru engendrée paç 
le point 5. 

De sorte que laflg. 5WV^ est le développement de la 
partie de surface comprise entre les deux hélices zxfirv et les 
deux génératrices j25,x?\ 

942. Si le centre et l'arête de rebroussement étaient .en 
lehors de Tépure, on déterminerait avec beaucoup de soin 
les véritables grandeurs des côtés z^^tfi^U et de la diagonale 
z^H, ce qui, avec les côtés ti^z^^b^^ qui sont égaux à x'v'y 
flg. 455, suffirait pour construire le quadrilatère z^^^^ui. ' 

Quatre quadrilatères égaux placés à côtelés uns des autres 
formeraient alors le développement de la portion de zone 



t 



PL. 91. RÉGLÉES. 453 

943. Plan tangent. Si Ton conçoit deux génératrices infi- 
niment rapprochées, l'espace angulaire compris entre cesdeux 
lignes pourra être considéré comme plan puisqu'il contient 
deux droites qui se coupent. 

Cet espace , prolongé devient un plan tangent à là surface 
développable, et les deux génératrices qui déterminent la 
direction de ce plan, étant infiniment rapprochées, peuvent 
lètre considérées comme une ligne double (452) qui est alors 
la génératrice de tangence. 

Il résulte de là que le plan tangent à une surface déve- 
loppabk touche cette surface suivant toute la longueur de 
la génératrice de tangence. 

Cette remarque est conforme à ce que nousavoi\s dit à 
Toccasion des plans tangents aux surfaces cylindriques et 
coniques. 

944. La génératrice de tangence ^tant considérée comme 
double et provenant de la position infiniment rapprochée de 
deux droites qui se coupent, détermine la position du plan 
tangent, mais ne suffit pas pour en construire les traces. 

Il faudra, dans ce cas, choisir une courbe quelconque, 
située sur la surface, et construire la droite qui loucherait 
cette courbeau point où elle coupe la génératrice de tangence. 
Ainsi, par exemple, pour obtenir le plan qui toucherait la 
surface AA', flg. 452, suivant la génératrice ze, on déter- 
minera la courbe aem située sur la surface et provenant si . 
Ton veut de son intersection par un plan ou par toute autre 
surface. 

On tracera la droite t/i, qui touche la courbe au point e, 
suivant lequel cette ligne est rencontrée par la génératrice de 
tangence. 

Enfin, on construira les traces du plan qui contiendrait les 
deux droites ze, th. 

11 ne restera plus dans chaque cas particulier qu'à choisir 
la courbe aern^ de manière que la construction de la seconde 
tangence th soit la plus exacte et la plus simple possible. 

Toutes ces questions ont été résolues dans le second livre 
pour les surfaces cylindriques et coniques ; nous allons en 
faire Tapplication à la surface proposée. 



454 SURFACES. PL. 92. 

945. La courbe 1-5-8, ûg. 455, étant la trace horizontale 
de la surface donnée, la droite //-8, perpendiculaire sur le 
rayon de courbure du point 8, sera la trace horizontale du 
plan tangent. 

Cette trace sera représentée dans le développement par la 
dFoite /i''-8'', perpendiculaire au rayon de courbure 8'^''-8". 

La droite hr, perpendiculaire au rayon qr, flg. 45*5, sera 
la trace horizontale d'un plan tangent au cylindre vertical 
projetant lie Thélix^e brv. 

Les droites hrJiW seront par conséquent les deux projec- 
tions de la tangente à Thélice Sru, 5Vv' (787). 

Cette tangente sera représentée dans le développement, 
flg. 456, par Ja droite AV, tangente à la circonférence 
5''rV. Enfin, on pourra s'assurer comme vérification que 
h"'W', flg. 456, est égal à /î-8, flg. 455, et que h"r" est la 
véritable grandeur de la tangente hr^ h'r', . 

% 

946.' Hyperboloîde à une nappe. Lorsqu'une surface 

réglée a pour directrices trois lignes droites^ elle prend le 
nom A' hyperboloîde aune nappe. 

Si l'une des directrices était remplacée par un plan direc- 
teur, la surface serait un parapoloïde hyperbolique. 

Les dénominations précédentes proviennent de la nature 
des sections que l'on obtient en coupant ces deux surfaces par 
des plans. 

947. Les-troisdroites AA', BB', CC, fig. 457, pi. 92, étant 
les directrices de la surface, supposons que l'on veuille 
obtenir une génératrice passant par le point m, m\ on cons- 
truira, le plan pp qui contient ce point et la directrice BB' ; 
puis on déterminera l'intersection nn' de ce plan avec la 
directrice CC La droite mn^ m^n' sera la génératrice de- 
mandée. 

Le plan pp remplace ici le cône auxiliaire dont nous 
avons parlé au n° 924. Ce plan sera déterminé par la direc- 
trice BB' et par une seconde droite mu.m'u' qui joindrait un 
point quelconque uu' d£ cette directrice avec le point donné 
mm'. 

La trace verticale du plan p doit passer par les deux points 



VL 92. RÉGLÉES. 45© 

o' pt 5', et la trace horizontale doit èlre parallèle à la pro- 
jection horizontale de la droite mu^ m'u', que, Ton a choisie 
dans ce but, parallèle au plan horizontal de projection, 
. mais qui cependant pourrait être prise dans toute autre di- 
rection. 

On s'assurera que la pfénératrice nni^ 97î'>î' rencontre la 
directrice BB' (59). 

948. Il n'est presque jamais commode de construire sur 
l'épure les traces du plan auxiliaire pp. Dans ce cas, on pourra 
-opérer de la manière suivante : 

• On prendra, flg. 458, sur la directrice BB' deux points 
quelconques uu\ vi^. 

On joindra ces points avec ?/n?i'par les deux droites {mu, 
m'u') [my, m'v') qui détermineront le plan auxiliaire. 

Les deux droites oo\ ss'^ perpendiculaires à la ligne AZ, 
feront connaître les points o' et 6^ Enfin, la droite oV qui 
joint ces^deux points sera l'intei'section du plan projetant de 
la directrice CC avec, le plan diS deux droites (/?iw, m'î^'} 
(mv, m'v'). 

Cette dernière opération terminera le point nn\ suivant 
lequel la génératrice [mn, m'i^) s'appuie sur la directrice 
€C'(924). 

949. Le plan auxiliaire qui contient le point mm' et la di- 
rectrice BB' serait déterminé complètement par cette direc- 
trice et par l'une des droites [mu, m'u') {mv, m'v'). Il 
semblerait donc que Tune de ces lignes est inutile; mais 
alors, pour construire la droite oY, il faudrait prolonger la 
directrice BB' jusqu'à sa rencontre avec le plan projetant delà 
troisième directrice CC, ce qui serait souvent impossible, al 
dans tous les cas moins commode que la construction précé- 
dente, lîuisque l'on peut toujours choisir les deux points uw 
et vv' de la manière qui convient le mieux à la disposition 
de l'épure. 

950. Paraboloïde hyperbolique. Soient données les. 
deux directrices A A', BB' et le plan directeur PP : pour obte-v 
nir la génératrice qui coupe la directrice AA' au point mm', 
on construira : 



456 ' SURFACES PL. 93. 

1** Les deux traces du plan P'P', qui contient le point donpé 
m, m\ et qui est parallèle au plan directeur PP (93) ; 

2'* LesMeux projections net n'de l'intersection du plan P'P'' 
avec la deuxième directrice BB' du paraboloïde ; 

3* Les deux projections mn, m'n' de la génératrice de- 
mandée. . 

951. Au lieu de construire les traces du plan directeur, on 
préfère presque toujours déterminer la. direction de ce plan 
par la condition qu'il soit parallèle à deux droites données. 

Supposons, par exemple, que les droites AA', BB', flg. 460, 
sont les deux directrices d'un paraboloïde hyperbolique, dont 
le plan directeur serait parallèle aux deux droites XX' et W ; 
on veut construire la génératrice qui contient le point m, m\ 
pris à volonté sur la directrice AA' ; on tracera par le point 
mm' : 

1 • La droite mx, m'x' parallèle à XX' ; 

2^ La droite mz, m*z' parallèle à ZZ'. 

Le plan des denx droites (//va;, m'rr') [mz^ ?î/5') sera paral- 
lèle au plan directeur, et contiendra par conséquent la géné- 
ratrice demandée. 

Pour obtenir le point suintant lequel cette génératrice 
s'appuie sur la seconde directrice B, B', on concevra le plan 
vertical projetant de cette dernière ligne. 

L'intersection de ce plan avec celui des lignes [mx^ m'x') 
{mz, m'z') sera la droite œ'z\ et le point nii', suivant lequel 
cette ligne rencontre la directrice BB', détermine la généra- 
trice mn, m'n'. 
I 

952. 11 ne faut pas négliger les abréviations qui peuN'ent 
résulter du choix des plans de projection. Ainsi, par exemple, 
s'il s'agit d'un hyperboloïde à une nappe, on devra,, toutes 
les fois que la disposition de l'épuré Iç permettra, projeter la 
surface sur un plan perpendiculaire à l'une de ses trois direc- 
trices (925). 

Supposons, flg. 461, pi. 93, que l'une des directrices soit 
la droite BB',. perpendiculaire au plan horizontal, et que les 
deux autres directrices soient les droites AA' CC ; les projec- 
tions horizontales des génératrices concourront toutes au 



PL. 93. RÉGLÉES. 45T 

points, et par conséquent leur construction ne présentera 
aucune difficulté. Ainsi, après avoir construit la projection 
horizontale ^B de Tune des génératrices, on élèvera les per- 
pendiculaires 55' ww', jusqu'à cequ^elles rencpntrent les 
projections verticales des directrices AA', CC, et l'on, aura la 
droite s'u'. pour projection verticale de la génératrice. 

La courbe zo'x' est la trace verticale de la surface ; vz et 
B7 en sont les traces horizont^iles ; ces courbes sont des arcs 
d'hyperbole. . 

953. S'il s'agit d'un paraboloïde, on devra, autant que 
possible, prendre un plan de projection perpendiculaire au 
plan directeur. Ainsi : 

Les droites AA^ CC, flg. 462, étant prises pour direc- 
trices d'un paraboloïde hyperbolique, on agira comme nous 
l'avons fait (928) pour le cas où les directrices étaient 
courbes. 

La trace verticale de la surface est la droite z^x', et les deux 
arcs d'hyperbole vx^, nk, en sont les traces horizontales. 

954. Dans le paraboloïde projeté, flg. 463, le plan direc- 
teur p étant perpendiculaire ^ plan vertical de projection, 
toutes les projections verticales des génératrices seront paral- 
lèles entre elles et à la trace verticale du plan directeur. Les 
courbes zxy vn sont les traces de la surface. 

955. Sur la figure 464, le plan directeur étant perpendi- 
culaire aux deux plans de projection, les projections des gé- 
nératrices seront perpendiculaires à la ligne AZ. 

Si l'on veut construire les traces de la surface, il faudra 
projeter d'abord les directrices et ensuite les génératrices sur 
le plan directeur qui e^t rabattu à droite de l'épure. 

956. Sur la figure 465, le plan directeur est parallèle à la 
ligne AZ. Dans ce cas, .on emploiera un plan auxiliaire de 
projection p' perpendiculaire au plan directeur. 

Les droites A'' et B'^ seront les projections des directrices 
sur le plan auxiliaire p\ la projection îi'u'' d'une génératrice 



458 SURFACES PL. 94. 

sera parallèle à la droite pq, qui est la trace du «plan di- 
recteur. 

957. La raême disposition d'épuré peut être appliquée au 
€as où le plan directeur p aurait une inclinaison quelconque. 
Ainsi, par exemple, flg. 466, on pourra toujours employer 
un plan auxiliaire de projection p' perpendiculaire à l'une 
des traces du plan directeur, et par conséquent perpendicu- 
laire à ce plan. 

Les droites A'^ et B'' seront les projections des directrices 
sur le plan auxiliaire p', et les projections des génératrices 
seront parallèles à la droite pq, qui est l'intersection du plan 
directeur p avec le plan auxiliaire de projection ;/. 

958. Les sections de Thyperboloïde à line nappe et du 
paraboloïde hyperbolique par des plans sont des courbes du 
second degré dont Tespèce dépend de la direction des plans, 
coupants. 

• 

959. Ces propositions n'ayant qu'un rapport indirect avec 
le but de c^t ouvrage, j'engagerai le lecteur à les étudier 
dans les traités ù" Algèbre appliquée, }\dX% parmi les proprit^tés 
des deux surfaces qui jious occupent, il en est une qui se 
rattache si intimement avec les, questions que nous aurons à 
résoudre par la suite, que je crois devoir en donner ici la 
démonstration.. 

960. Double génération. L'hyperboloïde à une nappe et 
le paraboloïde hyperbolique diffèrent des autres surfaces 
réglées par cette propriété remarquable, quelles peuvent 
être engendrées par une ligne droite de deux manières 
diffcréntes. 

961. Double génération de Vhypetboloïde à une nappe. 
Soient AB,CD,EF, flg. 467, pi. 94, les trois directrices d'un 
hyperboloïde à une nappe , AE, GH, BF étant trois positions 
de la génératrice de cette surface. Je dis que si l'on prend 
ces trois dernières lignes pour directrices d'un second hy- 
perboloïde, ces deux surfaces y coïncideront dans toute leur 
étendue et n'en feront par conséquent qu'une seule. 



PL. 94. RÉGLÉES. ^ 459 

Cela revient à prouver qu'une droite quelconque mnqui 
s'appuierait sur les trois premières directrices couperait tou- 
jours une droite quelconque pq qui s'appuierait sur les 
trois autres. Alors il sera démontré que toutes les- généra- 
trices de la première 'surface coupent toutes les génératrices 
de la seconde, et que, par conséquent, les deux surfaces se 
confondent. 

Ce principe est la conséquence de quelques théorèmes dont 
nous allons donner la démonstration. 

962. Si une transversale coupe les trois côtés d'un triangle 
ou leur prolongement, le produit des trois segments discon- 
tinus, cest'à-dire qui n* ont pas d'extrémité commune, est 
égal au produit des trois autres segments pareillement dis- 
continus, 

' Soient, flg. 468, le triangle ABC et la transversale PQS, 
formant par ses intersections avec les côtés les six segments 
PA, PB, aA, QC, SB, se. 
Menons CO parallèle à AB ; (jn aura 

PB : OC = SB : SC, 
OC : PA = QC : QA. 

Multipliant les deux proportions, et réduisant, il vient 

PB:PArr:SBxQG:SCxQA ; 
d'où 

PB X SC X QA = PA X SB ::^ QC ; 

ce qu'il fallait démontrer. 

963. Si sur les côtés d'un quadrilatère gauche^ on prend 
(Juatre points qui soient dans un même plan, le produit des 
quatre segments discontinus est égal au produit, des quatre 
autres segments .également discontinus, 

.Soit, flg. 469, le quadrilatère ABCD. Si les quatre points P, 
Q, R, S, sont dans un même plan, les trois lignes BD, PQ, RS 
concourront en un point M, intersection des trois plans A BD, 
BCD, PQRS. 

. D'après cela, la transversale PQM coupant les côtés du 
triangle ABD, on aura (962) 



\ 



460 SURFACES PL. 94 

BP X AQ >< DM = PA X QD X BM. 



La transversale RSM donnera 

BM X DS X CR = SCx RB X DM. 

Multipliant œs deux équations et réduisant, on aura 

BP X AQ X DS X CR = PAX QD X se X RB. 
Ce qu'il fallait dômontrer. 

964. Réciproquement, si quatre points soM situés sur les^ 
côtés d'un quadrilatère gauche, de manière que le produit 
des quatre segments discontinus soit égal au produit des^ 
quatre autres segments pareillement discontinus, je dis que 
CCS quatre points seront dans un même plan. 

Soit, flg. 470, le quadrilatère gauche ABÇD et les quatre 
points P, Q, R, S, tel que l'on ait 

AP X BQ X es X DR = PB X QC X SD X RA. 
La transversale PQM donne 

PB X QC X AM = AP X BQ X CM. 
La transversale RSK donne 

SDx RA X CK = es X DR X AK. 
Multipliant les trois équations précédentes et réduisant, on a 

AMxCK = CMxAK, 

quWevient 

, CK (AC + CM) = CM (AC + CK), 

d'où 

CK X AC + CK X CM = CM X AC + CK X CM. 

Réduisant, 

CK=CM. 

Donc, les deux points M et K n'en doivent faire qu'un ; donc, 
■les droites PQ, RS se coupent en un même point de la ligne 



PL. 94. RÉGLÉES. 461 

AC ; et les quatre points P, Q, R, S sont par conséqaent'dans 
un même plan. 
C'est ce qu'il fallait démontrer. 

965. Revenons à la figure 467, article (961). Il s'agit de 
prouver qu'une génératrice quelconque mji du premier 
hyperboloïde coupe nécessairement une génératrice q'uel- 
conque pq du. second. 

Or, la ligne 6H s'appuyant sur les trois directrices primi- 
tives AB, CD, EF, coupe la seconde au point u. Les quatre 
points C, G, D, H sont par conséquent dans un même plan, et 
par le principe du n° 963, on doit avoir 

EC X AG X BD X FH = CA X GB X DF X HE. 

La ligne mn, s'appuyant sur les mêmes directrices, coupe 
CD en z, et les quatre points C, m, D, n sont dans un qaême 
plan, ce qui donne 

CA X nB X DF X nE = EC X Arn X BD X Fn. 

Enfin, la ligne pq s'appuyant sur les trois droites AE, GH, 
BF, coupe GH en v, et les quatre points p,/G, q, H étant dans 
même plan, on a 

pA X GB X gF X HE = Ejo X AG X Bg X FH. 

Multipliant les trois équations qui précèdent et réduisant, 
on a 

pA X wB X çF X nE = Ep X km xBqX Fn. 

Donc, puisque les quatre points p, yn, q, n sont situés sur les 
côtés du quadrilatère gauche, de telle manière que le pro- 
duit de quatre segments discontinus est égal au produit de 
quatre autres, il en résulte (964) que ces quatre points sont 
dans un même plan et que les droites mny pq se coupent en 
un point y. 

Donc enfin, puisqu'une génératrice quelconque de la pre-- 
mière surface est toujours coupée par une génératrice quel- 
conque ^e la seconde, il en résulte, comme nous nous propo- 
sions de le démontrer, que toutes les génératrices du premier 



46^ SURFACES PL. 94. 

hyperboloïde rencontrent toutes les. génératrices du second^ 
et que, par conséquent, les deux surfaces coïncident et n*en 
font qu'une seule. 

966. Propriétés du paraboloïde hyperbolique. Oq 

démontre en géoraélrie que les parties de deux droites com- 
prises entre des plans parallèles sont proportionnelles entre 
elles. 

Soient, flg. 471, les deux lignes AB, CD, coupées par lé& 
plans P, P', P^ parallèles entre eux. On aura 

km : mB = Cn : nD. 

Or les positions diverses, de la génératrice d'un paraboloïde 
hyperbolique étant déterminées par des plans parallèles au 
plan directeur (950),. on peut dire en général que : 

Lès directrices d'un paraboloïde hyperbolique sont coupées 
par les génératrices en parties proportionnelles, 

967. Réciproquement, si deux droites sont coupées par 
trois autres en parties proportionnelles^ ces trois dernières 
lignes seront parallèles à un même plan. 

Supposons, 471, que l'on ait 

Am : mB = Cn : nD. 

Si les droites AC, mn^ BD n'étaient pas parallèles à un 
même plan, concevons une ligne mo, située dans un plan 
parallèle en même temps aux droites AB, BD ; on aurait 

Xm : mB = Co : oD-; 

mais à cause du rapport commun, il viendrait 

Cn : nD = Co : oD ; 

d'où 

Cn : Co = nD : oD ; 

résultat absurde, d'où il résulte que les trois droites BD, mn, 
AC sont parallèles à un même plan. 

968. On peut conclure de ce qui précède, que : Si una 



PL. 94. RÉGLÉES. 46^ 

droite s'appuie sur deux autres en la coupant toujours en 
parties proportionnelles^ la surface engendrée sera un para- 

boloïde hyperbolique, 

• 

969. Si Ion prend pour directrices d'une surface réglée 
trois droites parallèles à un même plan, cette surface sera . 
un par aboloïde hyperbolique. 

Soient prises pour directrices, fig. 472, les trois droites- 
AC, wn, BD, parallèles au plan P, et supposons que AB, zx, 
CD, soient trois positions de la gc^nératrice. 

Les droites BD, mn et AG étant parallèles à un même plan, 
couperont les deux lignes AB, CD, en parties proportion- 
nelles (966) ; de sorte que l'on aura 

km : w,B = Cn : n\S \ 
d'où Ton lire 

m&xÇin = km xn\). 

Déplus, la génératrice sr, s'appuyant sur les trois droites; 
BD, mn*, AC, coupera la seconde en o, ce qui donnera (852) 

AmxBTXD/7xC3=mBxTDxnCX3A . 
Multipliant cette équation par la précédente, il vient 

^TxÇ,z=x\)xzk, 

où 

Ba? : xb—kz : zC. 

Donc la génératrice zx coupera toujours les directrices BD, AC^ 
en parties proportionnelles, et par conséquent (968) la sur- 
face engendrée sera un parabolloïde hyperbolique, ayant un 
plan directeur P' parallèle aux droites AB, CD. 

On pourra donc supprimer l'une des trois directrices BD^ 
mn, AG, etla remplacer par le plan directeur P^. 



970. Double génération du paraboloïde hyperbolique. Soit 
un paraboloïde hyperbolique" ayant pour directrices les deux" 
droites AB, CD, m^n^ et pour plan directeur le plan P. 



464 SURFACES PL. 94. 

Les géûératrices BD, mn, AC, couperont les directrices AB, 
CD en parties proportionnelles, et Ton aura 

B)i : mk^Dn : nC, 
d'où 

BmxnC=mAxDn. - (1) 

Concevons. actuellement un second paraboloïde hyperbo- 
lique qui aurait pour directrices les deux droites AC, BD, et 
dont le plan directeur serait P', par'allèle aux droites AB, CD, 
qui par conséquent seront.deux positions de la génératrice. 

Si nous supposons que zœ soit une troisième génératrice 
de ce deuxième paraboloïde, on aura (966), ' 

As : zC=Cx : rrD, 
d'où 

• kzxœd==zCxBx . (2) 

Multipliant l'équation (1) par Téquation (2), il viendra 

Btn xXzxnCxxï) =mA X zC X Dn X B^ ; 

d'où on peut conclure (964) que la génératrice wn, du pre- 
mier paraboloïde, coupera la génératrice zx du second. 

Ce que nous venons de démontrer, étant indépendant des 
positions particulières des deux génératrices mn et za?, il en 
résulte que toutes les génératrices du premier paraboloïde 
rencontreront toutes les génératriees du second, et que par 
conséquent les deux surfaces coïncideront dans tous leurs 
points et nen feront qu'une seule, ce qu'il fallait démontrer. 

971. 11 est très-essentiel de remarquer que lorsqu'on 
prend pour directrices les droites AB, CD, Je plan directeur 
P est parallèle aux génératrices BD, AC ; tandis que si Ton 
prenait ces dernières lignes pour directrices, le plan direc- 
teur P' serait parallèle aux droites AB, CD, qui alors seraient 
deux génératrices de la deuxième surface. , 

En général, le plan directeur de la première génération 
est parallèle aux deux génératrices de la seconde, et réci- 
proquement, le plan directeur de la seconde génération est 
parallèle aux directrices de la première. 



fil* 95. 



BÉGLÉBS. 



485 



972. FliuMi tttnsents. Construire un plan tangent en 
un point donné sur la surfœe d'un hyperMoMe ^ une 
nappe. 

La surface de rhyperbololde pouvant être engendrée par 
une droite de deux manières différentes, si Ton fait passer 
par le point donné les génératrices appartenant à chacun de 
ces deux systèmes de génération^ on aura deux droites 
situées dans là surface, et qui détermineront le plan tan- 
gent (780). 

Soient, ûg. 473, pi. 95, AA', BB', CC, les trois directrices 
d'un hyperboloïde à une nappe, et le point mm' donné sur 
^'une des génératrices mX, m'X' : cette droite pouvant être 
considérée comme une première tangente, il ne reste plus 
qu'à en obtenir une seconde. Pour y parvenir, on construira 
(947) deux autres génératrices YY',ZZ', et prenant les trois 
droites XX', YY', ZZ', pour directrices de la seconde géné- 
ration, on construira la génératrice Tm, Tm\ qui, avec mX, 
m'X', déterminera le plan tangent, v 

973. Si Ton peut projeter la surface sur un plan per- 
pendiculaire à l'une de'ces directrices AA', ûg. 475, cela 
simplifiera la construction des. génératrices XX', YY', ZZ', et 
les opéjations indiquées au n» 947 ne deviendront nécessaires 
que pour obtenir la seconde tangente. Tm, T'm'. 



974. Construire un planib tangent en un point donné sur 
la surface d'un paraboloïde hyperbolique. 

Supposons que les droites AA' et Bfi', flg. 474, soient les 
deux directrices d*un paraboloïde hyperbolique dont le plan 
directeur serait parallèle aux deux droites VV' et UD'. 

La génératrice XX' étant la première tangente, il s'agit 
' d'obtenir la seconde tangente TT'. 

Pour y parvenir, on construira d'abord (951) une seconde 
gâiératrice YY', puis les droites XX', YY^ étant prises pour 
directrices de la seconde génération, on construira les droites 
{ma, m'a') (m6, m'6'), parallèles aux deux premières direc- 
trices AA', BB', et le plan déterminé par ces droites, étant 
l«i«llèle à la seconde génération (971), contiendra la g^énéra- 

30 



466 SURFACES PL. 9&. 

trice mT, mT que nous prendrons poui^ deuxième tang^te, 
et qui avec tnX, m'U dét^minera le pian tangent. 

976. Sur la figure 476, la première génération du para- 
bololde est parallèle au plan vertical de projection, ce qui 
facilite la construction des génératrices XX' et ÏY^ Pour 
obtenir la seconde tangente mT, mT' on opérera comme au 
no 974. 

Sur la figure 477, le plan directeur est perpendiculaire au 
plan vertical de projection, et sur la figure 478, il est paral- 
lèle à la ligne AZ. 

976. Construire un plan, tangent à une surface réglée 
quelconque, en un point pris sur cette surface. 

Soient/flg. 479, pi. 96, A, B, C les trois directrices d'une 
surface réglée ; on veut construire un plan tangent par un 
point m donné sur cette surface. 

La génératrice mX qui contient le point donné pouvant 
être prise pour une première tangente, il ne reste plus qu'à 
en construire une seconde. Pour cela, on pburrait couper la 
surface donnée dans une direction quelconque par un pian 
quî contiendrait le point m, puis mener par ce point une 
tangente à la courbe de section (779) ; mais ce moyen, suflB- 
sant dans un grand nombre de cas, n'est susceptible d'une 
exactitude rigoureuse que lorsque la courbe provenant de la 
section est telle que Ton puisse y mener géométriquement 
une tangente. Lorsque cela n'aura pas lieu, et que la ques-. 
tion proposée exigera une grande exactitude, on cherchera 
s'il existe dans la longueur de la génératrice, qui contient le 
point donné, trois points par lesquels on puisse, mener des 
tangentes à la surface, et après avoir construit ces tangentes 
D, E, F, on les prendra pour directrices d'un hyperboloïde à 
une nappe qui touchera la surface^ donnée dans toute la Ion-* 
gueur de la génératrice mX ; de sorte que les deux surfaces 
se touchant, tout plau' tangent à l'une d'elles sera aussi tan- 
gent à l'autre. La question ne consistera donc plus qu'à con- 
struire un plan tangent à l'hyperboloïde, ce que nous savons 
faire (972). 
Ainsi, par exemple, étant donnés, flg. 480, les trois diree? 



i '. 



PI.. 87. RÉGLÉES. 467 

triées Â, B, G, et le point de tangence m, sitaé sur la gêné* 
jratrice tnX qui sera la première tangente. 

Voici quel sera l'ordre des opérations : 

1* Par les points a, b, c, suivant lesquels la droite wX 
rencontre les courbes A, B, C, on construira les trois tan- 
gentes D, E, F qui seront les directrices de Thyperboloïde 
tangent ; . 

2o On construira (947) les deux lignes^ Y et Z, génératrices 
de cet hyperboloïde, et l'on prendra les trois droites X, Y,' Z 
pour directrices de la deuxième génération ; 

3* On construira la génératrice mT qui s'appuie sur les 
trois droites X, Y, Z\ de sorte que les deux droites mX et 
ml détermineront le plan, tangent. 

977. On remarquera toutefois que Texactitude rigoureuse 
du résultat est soumise à cette condition, que Ton pourra 
mener des tangentes à la surface en trois points diflTérents de 
la génératrice qui contient le point donné ; mais comme les 
directrices des surfaces réglées que Ton emploie dans les artli 
sont presque toujours des courbes définies, on pourra cons- 
truire les tangentes à ces courbes aux points où elles sont 
coupées par la génératrice. 

978. Supposons, flg. 481, que Ton soit parvenu à cons- 
truire les trois tangentes D, E, F ; chacune de ces tangentes, 
combinée avec la génératrice X, déterminera un plaq tan- 
gent. Dans chacun de ces plans p, p', p'^ on pourra mener 
une infinité de tangentes à la surface donnée, et prenant une 
tangente quelconque dans chacun de ces trois plans, on 
courra en faire les directrices d'un hyperboloïde tangent^ 
d'où il résulte qu'il y a une infinité d'hyperboloïdes tan-, 
gents à la surface donnée^ et que Ton pourra toujours 
choisir parmi tous ces hyperboloïdes celui qui, par la dispo- 
tion de ses directrices, serait le plus commode pour la cons- 
truction de l'épure. 

Si par lés points a, &, c, fig. 481, on mène trois plans 
parallèles à un plan quelconqne p"'^ ces trois plans seront 
parallèles entre eux, et couperont les trois plans tangents 



4W S0BFACBS jR.. 96. 

p, p^ p^ suivant trois droites tangentes à la surface, et qui 
de plus seront parallèles à un même plan p^^' ; de sorte 
qu'elles pourront (969) être prises pour directrices d'un para- 
bololde hyperbolique dont la construction est ordinairement 
plus simple que celle de Thyperbololde. Enfin, le plan direc- 
teur p^^^ pouvant être pris d'une manière quelconque,* en 
pourra construire une* infinité de paraboloïdes tangents^ et 
Ton choisira le plus favorablement disposé pour les cons- 
tructions. 

979. Tout plan contenant une génératrice quelconque 
d'u/ne surface réglée est un plan tangent^ quelle que soit du 
reste sa direction. 

En effet, flg. 483, indépendamment de la génératrice acy 
que Ton peut considérer comme une première tangente, le 
plan p contiendra encore la droite ^A, tangente à la courbe t>u, 
suivant laquelle il coupe les autres génératrices de la sur- 
face ; il sera dpnc tangent puisqu'il contiendra deux tan- 
gentes (779). Ainsi nous devons admettre cette conséquence 
que, pour construire un plan tangent à une surface r^lée, il 
suffit de le fairepasser par wne génératrice de, cette sv/rfaoe. 

980. Le point de tangence m sera déterminé par l'inter- 
section de cette génératrice avec la courbe vw, Suivant 
laquelle la surface est coupée par le plan tangent. 

Si l'on fait tourner le plan p autour de la génératrice ero, 
le point de tangence glissera le long de cette ligne, et chan- 
gera de place pour chaque position différente du plan tan- 
gent. Si la surface réglée avait un plan directeur et que le 
plan tangent lui fût parallèle, le point de tangence serait à 
l'infini. 

■ 

981. Il est très-essentiel de bien co^iprendre la différence 
qui existe entre les plans tangents aux surfaces réglées, selon 
que ces surfaces $ont développables ou non développables. 

Si la surface est gauche, le. plan qui contient une généra- 
trice ne le touche qu'en un point, qui est déterminé par la 
rencontre de cette génératrice avec la courbe suivant laquelle 



PL* 96, AÉGiÔBS* * 489 

c 

/ 

le plan dont il s'agit coupe toutes les antres génératrices de 
la surface (980). 

Si an contraire la aurbce est développable, le plan tangent 
est le prolongement de l'espace infiniment petit compris entre 
deux génératrices consécutives (943), et ces deux lignes infl- 
nhnent rapprochées n'en font qu'une seule qui devient la gé- 
nératrice de tangence, suivant toute la longueur de laquelle 
la surface est touchée par le plan tangent. 

982. Ainsi, quand une surface est développable et que Ton 
veut tenir compte de cette propriété, on ne peut faire passer 
par la génératrice qu'un seul.plan tangent, qui est en mên\e 
temps le plan osculateur de Tarête de rebroussement, au 
point où cette courbe est touchée par la génératrice de tan- 
gence, et si Ton faisait tourner le plan tangent autour de 
cette droite, elle cesserait aussitôt d'être une génératrice de 
tangenfle, pour devenir une génératrice de section ; mais le 
plan n'en serait pas moins tangent à la surface que Ton 
considérerait alors comme. un. cas particulier des surfaces 
gauches, et lé point de tangence serait à TintersecCion de la 
génératrice autour de laquelle on aurait fait tourner le plan 
dont il s'agit, avec la courbe suivant laquelle ce plan coupe- 
rait les autres génératrices de la surface. 

983. Enfin, le plan tangent à une surface gauche ne la 
touche qu'en un point, tandis que le plan tangent à une sur- 
face développable la touche dans toute l'étendue de la. géné- 
ratrice de tangence. 

Pour déterminer le premier, il ne suffira pas de connaître 
la génératrice par laquelle on veut le faire passer, il faudra 
encore donner le point de tangence ou quelque autre con- 
dition, tandis que le plan tangent à la surface développable 
sera déterminé lorsque Ton connaîtra la génératrice de tan-r 
gence(944). ' 



u II résulte des principes précédents que Ton pourra, 
dans certains cas, considârer comme tangent un. plan qui 
couperait un cône ou un cylindre suivant une ou plusieurs 
génératrices. 



470 • SOBFACES PL. 96. 

En effet, le plan qui contient une génératrice d'un cône 
coupe toutes les autres au sommet, et ce point peut alors 
être considéré comme le sommet d'une section hyperbolique 
dont l'axe transverse serait égal à zéro, d'où il résulte que le 
plan est tangent, puisqu'il contient une tangente au sommet, 
et la génératrice que Ton peut toujours considérer comme 
une seconde tangente. 

985. Cette conséquence paraît incompatible avec les prin- 
cipes énoncés au numéro 450, puisqu'alors nous avions 
admis comme condition de tangence que les deux généra- . 
trices de section seraient réunies en une seule ; mais la con- 
tradiction n'est qu'apparente et disparaît aussitôt que l'on se 
rappelle la différence que nous venons d'établir (983) entre 
les plans tangents aux surfaces développables et ceux qui 
sont tangents aux surfaces gauches. ^ 

Ainsi, quand on considère le cône comme surface dévelop- 
pable, le plan doit toucher la surface dans toute l'étendue de 
la génératrice de tangence, ' taildis que si l'on considère le 
cône comme cas particulier de surface réglée, et que Ton 
fesse abstraction de la -propriété qu'il possède d'être dévelop- 
pable, le plan qui contient une génératrice quelconque peut 
être considéré comme tangent quelle que soit sa direction, 
et, dans ce cas, le plan n'est tangent qu'au sommet, puisque 
c'est à ce point que se rencontrent les deux tangentes qui 
déterminent sa position (984). 

986. Gela devient encore évident pour le cône circulaire, 
en considérant cette surface comme un cas particulier d'hy- 
perbololde de révolution à une nappe. Dans ce cas, le plan 
conduit suivant une génératrice quelconque contient encore 
la tangente au sommet (802). 

Tout ce que nous venons de .dire du cône s'applique au 
cylindre. Ainsi, quand on considère cette surface comme un 
cas particulier des surfaces réglées, il est permis de regarder 
comme plan tangent celui qui-ccHitient une génératrice quel- 
conque du cylindre ; mais alors, le point de tangence est situé 
à la rencontre de la génératrice de section avec la courbe sui* 



PL. 96. RÉGLÉES. 471 

vant laquelle le plan tangent couperait à Vinfini les antres 
génératrices du cylindre. 

Si, au contraire, comme c'est Tusage, on considère le cy- 
lindre comme sur&ce développable, le plan tangent touche la 
surface suivant toute l'étendue de la génératrice de tangence, 
qui est alors considérée comme provenant da rapprochement 
des deux génératrices de section. 

987 Construire un plan tangent à une surface réglée^ 
par un point pris en dehors de cetie surface. 

On fera passer des plans par le point donné et chacune 
des génératrices de la surface, ce qui fera autant de plans 
tangents. , 

Ainsi, par exemple, flg. 482, la droite sn et la génératrice 
n-1 détermineront un premier plan tangent (979). 

On construira la courbe vu suivant laquelle ce plan coupe 
la surface, et llntersection de la courbe vu avec la généra- 
trice n-1 donnera le point de tangence (980). 

On obtiendra de la même manière tous les points de la 
courba mm'...m'\ suivant laquelle la surface réglée serait 
touchée par une surface conique qui aurait son sommet au 
point donné s, 

988. Construire un plan tangent à une surface réglée, 
par une droite donnée hors de cette surface. 

Soit la droite donnée ac, flg. 485, on construira (987) la 
ligne zx^ suivant laquelle la surface réglée serait touchée par 
une suriface conique ayant son sommet en un point quel- 
conque a sur la droite donnée- On construira pareillement 
la ligne sr^ provenant du contact par une seconde surface 
conique ayant son sommet en c, et le point m, intersection 
des deux courbes zx^ sr, sera le point de tangence. 11 ne res- 
tera plus qu'à faire passer un plan par les deux droites am, 
cm ; il est évident que ce plan contiendra la droite ac. 

989. Cette solution est analogue à celle que nous avons 
employée pour construire, par une droite donnée, des plans 
tangents à une surface de révolution. Toute la différence 



4M SURFACES PL. 96* 

consiste dans là mamère d'obtmir les courbes saiva&t les-* 
quelles la surface donnée est touchée par les deux cônes 
auxiliaires. 

Au lieu de cônes on peut employer deux surfoces réglées 
. qui auraient pour directrices la surface et la droite donnée. 
La troisième directrice étant à volonté, on profiterait de cette 
circonstance pour, introduire les simplifications qui résulte-* 
raient de la nature de la surface donnée. ^ 

Ainsi, par exemple, s'il s'agit de construire par une droite 
donnée des plans tangents à une surface de révolution, on 
coupera la surface par des plans perpendiculaires à son axe ; 
et par le point où chacun de ces plans rencontrera la droite 
. donnée, on mènera deux tangentes à la section correspon- 
dante ; le lieu qui contiendra toutes ces tangentes sera la 
première surface auxiliaire. 

On coupera ensuite la surface donnée par des plans méri - 
diens ; et par le point où chacun de ces plans coupera la 
droite donnée, on construir|i les tangentes au méridien cor* 
respondant ; le lieu géométrique de toutes ces tangentes sera 
la seconde surface auxiliaire. * 

Les deux surfaces réglées, déterminées de cette manière, 
toucheront la surface donnée suivant deux courbes que Vom 
construira, et les intersections de ces courbes seront les points 
de tangence demandés. 

990. Construire un plan tangent à une surface réglée^ 
paraltëlement à une droite donnée. 

On fera passer, flg. 486, par chacune des génératrices 
de la surface réglée un plan parallèle à la droite. donnée 
ac(lOO). 

Le point de tangence se déterminera comme nous l'avons 
dit précédemment (980) ; la courbe de contact mmf.....m'^ 
contient la suite des points suivant lesquels la surface pro- 
posée serait touchée par une surface cylindrique parallèle à 
la droite donnée. 

991. Si cette droite^ était perpendienfoire au plan de pro- 
jection, la projection de la courbe de contact serait la lînile 
de la projection de la surface donnée. 



PI. 97. BÉGUb». 473 

AîBsi, en coBStntisaitt, fly. 4M, une sotte de plans ttm- 
gents perpendiculaires au pian vertical de prqecticHi, les 
points de tangence seront situés sur une courbe t/mV qm 
formera la limite de la projection verticale de la surface. 

992. SurAstces normales. II est souvent utile de cons- 
truire une surface qui en coupe partout une autre suivant 
des angles droits. Or^.si par chaque point d'une courbe 
située sur la surface donnée, on construit une normale, le 
lieu qui contiendra toutes ces droites jouira de la propriété 
demandée. 

Toute surface engendrée de cette manière se nomme «tir* 
face normale. 

993. Étant donnée la ligne suivant laquelle on veut faire 
passer une surface normale, il est évideilt qu'il suffira de 
construire par chacun de ses points un plan tangent et une 
normale à la surface ; or, cette question ayant été résolue 
pour toutes les surfaces que nous avions étudiées jusqu'à 
présent, il ne reste plus qu'à rechercher quelles sont les sim- 
pliûcations qui peuvent résulter dans chaque cas de la nature 
particulière de la surface donnée, ou de la position de cette 
surface par rapport aux plans de projection. 

994. Construire la swface normale qui aurait pour di- 
rectrice tme courbe située sur la surface d'wn cylindre. 

La droite 2-3, flg. 488, pi. 97, tangente à la trace hori^ 
zontale du cylindre donné, sera la trace horizontale d'un plan 
tangent (508) ; de sorte que la droite 1-4, perpendiculaire sûr 
2-3, sera la projection horizontale de la normale. 

On opérera de la môme manière pour chacun des points 
delà courbe donnée 1-1, V-V.. 

995. On pourra se dispenser de construire les traces ret- 
ticales des plans tangents en coupant chacun d'eux par un 
plan parallèle au plan vertical de projection, et contenant le 
point de tangence. On obtiendra ainsi un système de lignes 
parallèles aux traces verticales des plans tangents, et par 



474 SURFACES PL. 97. 

con3équent perpendiculaires aux projections verticales des 
normales dont la construction ne présentera plus alors aucune 
difficulté. 

Ainsi, la projection verticale 1^-4' de la normale devra être 
perpendiculaire sur la droite l'-3', etc. 

Les droites 1-3, V^y peuvent être considérées comme les 
génératrices d'une surface réglée qui toucherait le cylindre 
suivant la courbe (1-1 y IMO, et qui aurait pour trace hori- 
zontale la courbe 3-3. 

996. On peut encore obtenir les projections des normales 
en opérant de la manière suivante : 

!• On construira, figr. 402, les deux projections l"-2", 
j///.2>'/' d'une droite, parallèle à la direction du cylindre 
donné ; 

2"* On déterminera les traces de cette ligne, et Ton cons- 
truira leS|droites 2'^-3'^ parafllèles aux traces horizontales 2-3 
des plans tangents au cylindre. Les droites l'^'-3'' seront par 
conséquent parallèles aux traces verticales des mêmes plans 
tangents. 

Il ne restera plus qu'à tracer, flg. 488, les normales ^-4^ 
perpendiculaires sur les droites l^^'-3^, fig. 492. 

997. Si Ton voulait donner à chacune des normales une 
longueur déterminée telle que 1-4'', fig. 488, on porterait 
cette grandeur sur la normale rabattue i-b^' que Ton ferait 
ensuite revenir à sa place. 

Cette partie de Topération n*a été conservée que pour une 
normale. 

998. La normale en un point quelconque d'une surface 
donnée est toujours perpendiculaire au plan tangent, et par 
consé(]fuent à toutes les droites qui sont situées dans ce plan 
et qui passent par le point de tangence, 

H en résulte que les normales d*un cylindre sont toljfiours 
perpaidic^laires aux génératrices, el par conséquent paral- 
lèles au pka de la section droite, qui devient alprs le pian 
directeur de la surface normale. 



FI. 98., BÉ6LÉES. 475 

Cette remarque fournit un moyen d'abréviation que nous 
allons indiquer. 

Toutes les fois que la disposition générale de l'épure ne s'y 
opposera pas, on devra projeter le cylindre sur un plan per- 
pendiculaire à sa direction. Par ce moyen chaque normale 
sera projetée dans sa véritable grandeur^ et Ton ne sera plus 
obligé d'en faire le rabattement. 

Ce moyen de solution a été employé sur la figure 487 
pour la construction de la surface qui aurait pour directrice 
la courbe ac, a'o'^ située sur la surface d'un cylindre ellip* 
tique. 

Les projections verticales des normales sont perpendicu- 
laires aux traces des plans tangents correspondants. Chacune 
de ces traces (1-2) a été obtenue par le principe que nous 
avons énoncé au n» 369. * 

La courbe vu^ i^V.est l'intersection de la surface normale 
avec un second cylindre elliptique semblable au premier. Si 
Tune des génératrices du cylindre devait servir de directrice 
à la surface normale, cette dernière surface serait un plan. 

999. Construire la surface normale qui aurait pour di- 
rectrice une courbe 1-1, i'-i', située sur la surface d'un 
cône^ fig. 490. 

La droite (2-3), tangente à la tracé horizontale du cône, 
sera la trace horizontale d'un plan tangent ; par conséquent 
{1-4), perpendiculaire sur (2-3), sera la projection horizontale 
jSlq la normale, et ainsi de suite pour tous les autres points. 

1000. On pourra obtenir les projections verticales des nor- 
males en opérant comme dans Texemple du n*" 995 ; mais, si 
l'on a de la place, il vaudra mieux construire par le sommet 
du cône un plan s-y parallèle au plan vertical de projection. 
Ce plan coupera tous les plans tangents, suivant un système 
de lignes ^-3'"^' parallèles à leurs traces verticales, et par con- 
séquent perpendiculaires aux projecticms verticales des n<H^ 
maies qu'il sera facile de construire. 

En rabattant la normale 1-5, 1^-5' autour de la verticide 
rprojetanteldu point 1, l^ on> pourra lui donner une longueur 
déterminée telle que l'-4''. 



476 S4JAFAGE8 Pli. 98L 

La surface n(»iiiale deviefnt un plan lorsqu*dle a pour direc- 
trice Tune des génératrices du cône, 

±001. Construire la surface normale qui aurait pour 
directrice une courbe telle que iA^sOvée sur une stirface de 
révolution^ fïig. 489. 

Il suffit de construire une normale par chacun des points 
de la courbe donnée (832). 

Je rappellerai (833) que pour construire la normale en uo 
point quelconque d'une surface de révolution^ il n*est pa» 
nécessaire d'avoir les tracés du plan^tangent. 

En effet, le point 1, par exemple, étmt rabattu en V dans 
le plan du méridien principal, on construira la tangente l'-2, 
puis ensuite la normale 1^-3' que Ton ramènera dans la posi- 
tion 1-3, en remarquant que le point o qui appartient à Taxe 
de rabattement ne doit pas changer de place. 

Dans l'exemple proposé, la surface normale est limitée par 
la courbe suivant laquelle elfe rencontre une seconde sur- 
face de révolution qui aurait pour section méridienne la 
ligne 3'-4'. 

1002. Si Tangle suivant lequel la normale rencontre Taxe 
différait peu d'un angle droit, il serait convenable de cons- 
truire la. projection sur le plan perpendiculaire à l'axe de la 
surface. Sans cette précaution, les longueurs des normales ne 
seraient pas déterminées avec asse^ d'exactitude. 

Il est évident que la solution précédente conviendrait éga- 
lement à la sphère, îLg. 491, ainsi qu'au cylindre ou au cdne 
circulaire, flg. 493, qui sont des cas particuliers de surfaces 
de révolution. . ^ 

1003. La surface normale d'une sur&ce de révolutioa est 
im cdne circulaire, toutes les fois que la directrice est un 
paralfèle de la surface ; et lorsque la directrioe est un méri«^ 
dien, la surface normale devient un planw 

Les surfaces normales de la sphère sont toujours des cAnes 
et deviennent des plans lorsque la directrice est nn grand 
cercle. 



9t. 98. tkÈmÉE». 477 

lOM. Construire la surface normale qui aurait pour 
âireotnce une ligne quelconque située sur une mrface 
réglée. 

SI la directrice de la surface Dormaie demandée est ime 
courbe, on construira par chacun de ses points un plan tan- 
gent et une normale (976), ce qui ne présentera pa^ d'autres 
diflflicultéç que la longueur du travail. 

i005. Quand la directrice est une ligne droite, ce qui 
irrire presque toujours dans les applications, on peut obte* 
air des abréviations remarquables en ayant égard aux pro- 
priétés de i'hyperbolollde à une nappe et du paraboioïde 
hyperbolique. 

Nous s^ons étudier qudques questions de ce genre. 

l<oa6. Pren4His pour exemple, flg. 494, pi. 98, la surface 
réglée que nous avions projetée au n"" 925, nous proposerons 
de construire la sur&ce normale qui aurait pour directrice 
la droite &X, B^X^ génératrice de la surface. 

Si nous construisons les deux tangentes ts^ Vs' et Z2, Vz'^ 
ces droites, avec la directrice Bfi^, qu- il est permis de consi- 
dérer comme une tangente, seront les directrices d'un hyper- 
boloïde à une nappe qui toucherait la surface donnée suivant 
toute la longueur de.la génératrice 2^X, fi'X^ 

Il ne restera donc plus qu'à construire, par chaque point 
de cette dernière ligne, un plan tangent et une normale i 
l'hyperboloïde qui aurait pour directrices les ,trois droites 
{pf tfsT^y (fe, l'z')y (B, W)\ ce travail, qui serait fort long, 
peut être simplifié en opérant de la manière suivante : 

Nous avons dit au n* 978 qu'il existait une infinité d'hy- 
perbololdes à une nappe et de paraboloïdes hyperboliques 
tangents à une surface réglée, suivant toute la longueur d'une 
même génératrice ;~et comme les plans tangents et les nor- 
males seront les mêmes pour toutes ces surfaces, nous pour- 
rons choisir celle qui donnera Heu aux ofpérations les plus 
simples. 

Or, la directrice BB' et la générati'ice 6X, B'X^ pojuvant être 
considérées toutes les deux comme tangentes à la surface, 
le plan v'W^ qui contient ces deux lignes sera lui-même un 



478 sumos PL. 98* 

plan tsmgent, et le point b sera la projection horizontale du 
'point de taogence ; toute ligne droite passant par le point 
bB' et située dans le plan t;'B'B sera par conséquent une tan- 
gente à la surface donnée. 

Donc, si nous faisons passer par b un plan p\ parallèle au 
plan vertical de projection, la droite {bv^ BV) résultant de 
l'intersection du plan t;^B^B par le plan j/ sera tangente à la 
surface, puisqu'elle sera située dans le plan tangent t;^B'B ; 
de plus, elle sera parallèle au plan vertical de projection, 
puisqu'elle sera située dans le plan ;>'. Nous pourrons alors 
remplacer l'hyperboloïde qui avait pour directrices les trois 
tangentes {ts, «V), (te, /V), (B, B') par un autre hyperboloïde 
dont les tangentes [ts^ i's') (te, Vz') (6v, Wv') seront les di- 
rectrices, et celte dernière surface sera un paraboloïde 
hyperbolique, puisque ces trois directrices sont parallèles 
au plan vertical de projection (969), qui devient par consé* 
quent le plan directeur de l'une des deux générations. 

Lajquestion proposée est donc ramenée, par suite des opé- 
rations précédentes, à construire par la droite (frX, B'X^) une 
surface normale au paraboloïde hyperbolique, qui a pour 
l'un de ses deux plans directeurs le plan vertical de projec- 
tion et pour directrices les trois droites (te, i's') (te, /V), (6u, 
BV), tangentes à la surface donnée. 

Voici quel sera l'ordre des opérations : 

Les trois droites (te, tV), (te, iV,) (6t;, BV) étant les pre- 
mières directrices, et la droite b\, B'X' étant une des géné- 
ratrices de la surface, il faudra construire une autre généra- 
trice afin d'avoir les directrices de la seconde génération. 
Pour arriver à ce résultat, on construira par le point ss', pris 
sur la directrice te, tV, et par la seconde directrice te, 7V, 
un plan dont la trace horizontale sera $o^ et qui coupera* 
le plan vertical contenant la troisième directrice ôv, BV sui- 
vant la droite o'ai parallèle à Vz'\ de sorte que le point wu' 
appartiendra à la génératrice su^ ^V, qui provient du pre- 
mier mode de génération. Ainsi donc, les deux droites (6X,, 
B'X') (5u, s'u') seront les directrices de la seconde génération 
qui, devant se faire parallèlement au plan vertical (971), ne 
présentera plus aucune difficulté. 



Ni. 98. RÉ6LÉES. 479 

On a tracé sur l'épure les génératrices du parabololde tan- 
gent ; chacune d'elles est tangente à la surface proposée en 
un point de la droite (^X, BT); de sorte qu'à ce point le plan 
tangent sera déterminé par la droite (&X, B'XO et par la géné- 
ratrice correspondante du paraboloïde. 

1007. Pour construire une normale en un point quel* 
conque mm\ on remarquera d'abord que la droite {m$^ 
m'sT)^ sera Tune des génératrices du paraboloïde tangent ; 
par conséquent, le plan tangent au point mm' sera déter- 
miné par les deux tangentes (mô, w'B'), (m^, mY). 11 aura 
donc bs pour trace horizontale, et la droite mn^ perpendi- 
culaire sur bsj sera la projection horizontale de la normale ; 
de plus, la tangente (m^, m'sf), parallèle au plan Vertical et 
située dans le plan tangent, sera parallèle à la trace verticale 
de ce plan ; de sorte que mV perpendiculaire sur m'sf sera 
la projection verticale de la normale. 

En construisant une normale par chacun des points de la 
droite ^bX, B'X'), on aura une surface normale suivant cette 
ligne. 

Au lieu de construire les traces horizontales des plans tan- 
gents, il peut être commode de couper ces plans par tout 
autre plan horizontal tel que j/'^ ce qui donnera les droites 
^n-1, m^2, m-3. Ces droites parallèles aux traces horizontales 
des plans tangents, seront par conséquent perpendiculaires 
aux projections horizontales des normales dont la construc- 
tion ne présentera plus de difficulté. 

Si Ton voulait donner aux normales une longueur déter* 
minée m-^nf'^ on rabattrait chacune d'elles comme nous 
l'avons fait aux no» 997 et 1000. 

• 

1008. Sur la figure 495, on a construit la surface normale 
à la surface réglée que nous avions projetée au n» 926. 

Tout ce que nous avons dit daus Farticle qui précède s'ap- 
plique à l'exemple dont il s'agit, qu'il n'y «a^de différence que 
dans la nature et dans la position des lignes données ; de 
sorte que les opérations seront suffisamment indiquées par la 
similitude des lettres. 



480 '■ suvAdtt PL. M. 

Les projections horizontales des normales devront 6tre 
perpendiculaires aux droites m-l, m-2, tn-S, m-4, tn-5, etc., 
suivant lesquels les plans tangents sont coupés par le ptaa ' 
horixoBtal f". 

. 1009. On peut souvent, en choisissant d'une manière con- 
venable le plan directeur du paraboloïde tangent, rendre les 
constructions aussi simples qu'élégantes. 

Soient, par exemple, flg. 496, Tare AÀ^ et la verticale 
BB' directrices d'une surface conoïde^ ayant le plan horizon» 
tal pour plan directeur (929). 

On veut construire une surfoce normale suivant la générar 

trice(X,X'). 
La droite tt'^ , tangente au point aa^ pourrait, avec la 

verticale BB^ être prise pour directrice d'un paraboloïde 
tangent, dont par conséquent la seconde génération % ferait 
parallèlement au plao vertical (971) ; mais il sera mieux d'o- 
pérer comme il suit : 

On construira par les deux droites XX' {W) un plan tangent 
dont la trace horizontale ps sera parallèle à X, puis on mènera 
perpendiculairement sur X la tangente (au, aV), que l'on 
prendra avec la verticale BB^ pour les deux directrices d'un 
paraboloïde hyperboUque dont la seconde génération sara 
perpendiculaire à la droite XX' ; de sorte qu'en projetant ce 
paraboloïde sûr son plan directeur p'\ que Ton a^rabattu sur 
répure, la directrice X, X' sera projetée par un seul point^'', 
par lesquels passeront toutes les projections des tangentes 
et des normales. Les projections des normales seront perpen- 
diculaûres à celles des tangentes, et leurs projections horizon* 
taies seront perpendiculaires . à la droite X. La courbe zx est 
la section de la surface normale par le plan p''^ parallèle au 
pian horizontal. 

Après avoir exécuté les constructions précédentes, il sera 
facile d'en rapporter les résultats sur la projection verticale 
primitive. 

ILOIO. La surface normale que nous venons de constmicB 
est un paraboloïde hyperbolique égal au parabcdolde tan- 



PL. 98. RÉGLÉES. 481 

gent ; car si Ton âusait foire à cette dernière surface un quart 
de révolution autour de la difectrice XX", il est évident que 
chacune des tangentes viendrait prendre la place de la nor- 
male correspondante, et les deux surfaces coïncideraient 
alors dans tous leurs points. 

Il en sera de même toutes les fois que Ton emploiera comme 
surface auxiliaire up paraboloïde hyperbolique dont le plan 
directeur sera perpendiculaire à la directrice de la surface 
normale demandée. 

1011. Dans la .figure 497, AA' est une hélice à base circu- 
laire ; cette courbe et ,1a verticale BB' ont servi de directrices 
à une surface héliçolde dont la génération est parallèle au 
plan horizontal. On veut construire une surface normale 
suivant la génératrice XX'. 

On construira la droite ao tangente au cercle A, et Ton 
portera de a en o une longueur égale au développement de 
Tare ac, ce qui donnera la projection horizontale de la tan- 
gente à l'hélice au point aa^ (481). 

La tangente [ao^ a'o') et la verticale BB' seront les direc- 
trices d'un paraboloïde langent, suivant XX', les horizontales 
XX' (ow, o'w'), génératrices de ce paraboloïde, seront les di- 
rectrices de la seconde génération, qui fera parallèlement au 
plan vertical p' perpendiculaire à la droite XX'. 

On opérera pour le reste comme dans l'épure précédente.. 

La courbe zx est la section de la surface normale par le 
plan horizontal p. 

1012. On voit, par les deux exemples précédents, qu'il 
est avantageux d'employer de préférence le paraboloïde dont 
le plan directeur est perpendiculaire à la droite qui doit ser- • 
vir de directrice à la surface normale, parce que les nor- 
males, étant parallèles au plan directeur, seront égales à 
leurs projections sur ce plan, et qu'ensuite les angles droits 
que les normales doivent faire avec les tangentes, se projet- 
teront dans leur véritable grandeur. 

On pourra parvenir au même résultat par des projections 
auxiliaires toutes les fois que la directrice de la surface 

31 



s 



482 SURFAOfiS PL. W% 

normale sera inclinée dans Tespace d'un'e manière qneK 
conque. 

1013. Supposons d'abord le cas pu la directrice XX', 
fiff. 498 et 500, pi. 99, serait parallèle au ^au vertical 
de projection. 

Les courbes AA', BB', CC étant les trois directrices de la 
surface 4onnée ; 

Par les points mm\ rm\ vv\ suivant lesquels ces courbes 
sont rencontrées parla droite XX', on construira les trois 
tangentes DD',EE' FF', qui seront les directrices de l'hyperbo- 
loïde tangent. 

n s'agit maintenant de remplacer cet hyperboloïde par 
un paraboloïde hyperbolique dont le plan directeur psp 
serait perpendiculaire à la droite XX', qui doit servir de direc- 
trice à la surface normale demandée. Voici quel sera Tordre 
des opérations : 

Les deux droites XXf DD' déterminent un plan qui touche 
la surface donnée au point mm\ et qui contient la droite 
{aCf a*d) parallèle à là directrice XX'. 

Le plan p', perpendiculaire sur la droite XX', coupera le 
plan des deux tangentes XX', Diy suivant une ligne GC qui 
sera tangente à la surface et parallèle au pian 'ps]p. 

Les deux droites XX', EE' détermineront un second plan 
qui touche la surface' au point nn' et qui contient ta droite 
oii, du\ parallèljB à la directrice XX'. La section de ce 
deuxième p|an tangent par un planp" perpendiculaire à la 
droite XX' donnera une seconde droite HH' tangente au point 
nn' et parallèle au plan p^j?. 

• Enfin, la droite zx^ z'x' parallèle à XX' sera située dans le 
plan tangent déterminé par les deux droites XX', ^F' et la 
section de ce plan tangent par le plan p"' perpendiculaire sur 
XX' donnera une troisième tangente KK' parallèle au plan 

Les trois- tangentes GG', HH', KK', étant parallèles au plan 
psp, la surface réglée qui aura ces trois . droites pour 
directrice sera un paraboloïde hyperbolique qui touchera la 
surface donnée dans toute l'étendue de la génératrice XX' ; 



• I 



PL. d9. RÉGLÉES. 483 

dé sorte qu'il ne . reste plus qu'à construire la surface nor- 
male qui iiarait cette ligne pour directrice. 

Par le point ce', pris à volonté sur la directrice GG', on 
tracera la droite cr, c'?''qui s'appuie sur un point quelconque 
rr' sur la directrice HH' 

Le plan déterminé par les deux droites HH' et (cr, cV) 
coupera lé plan p'" suivant la droite U^ VV parallèle à la 
directrice HH' ; on joindra le point iV avec cd par la droite 
YY', qui, avec XX' seront les deux directrices de la deuxième 
génération du paraboloïde tangent (947, 971). 

Les génératrices 1-2, l'-2'... de ce paraboloïde étant paral- 
lèles au plan directeur p^p, les projections verticales de ces 
lignes seront perpendiculaires à là droite X'. Les projections 
horizontales de ces mêmes lignes seront déterminées par la 
rencontre des droites 2'-2 perpendiculaires à la ligne AZ avec 
les projections horizontales X et Y des deux directrices du 
paraboloïde tangent. 

On peut vérifier la position de chacune dfe ces lignes en la 
projetant sur le plan directeur qui est rabattu, fl^. 501. 

.Oq remarquera que sur ce plan la directrice XX' se projette 
par un seul point X", vers lequel, par conséquent, doivent 
concourir toutes les projections X"-2" des génératrices du 
paraboloïde tangent. 

Quand ces dernières lignes seront projetées sur la figure 
601, on construira par le point X" une perpendiculaire sur 
chacune d'elles, ce qui donnera les projections X'f-3" des 
génératrices du paraboloïde normal. 

Chacune de ces normales étant parallèle au plan directeur 
p^, sa projection sur la figure 498 devra se confondre avec 
celle de la tangente correspondante. 

De plus, et par la môme raison, toutes ces lignes se projet- 
teront sur la figure 501, dans leur véritable grandeur : de 
sorte que, si Ton veut donner à chaque normale une lon- 
geur égale à X"-3", il suflira de décrire la circonférence 
0"-3'O, qui déterminera les extrémités de toutes les nor- 
males. 

Les points 3"... étant ramenés sur la figure 498, donneront 
la courbe 3'-3'..- qui sera par conséquent Tintersection de la 



484 SURFACES PL. 100« 

surface normale demandée avec un cylindre circulaire, qui 
serait perpendiculaire au plan psp^ qui aurait pour axe la 
directrice X, X', IL", et pT)ur section droite la circonférence 
y-Z". 

La projection borizontale 3-3 de la même courbe sera 
déterminée par la rencontre des perpendiculaires et des 
parallèles à la ligne ÂZ, menées par les points correspondants 
des deux figures 498, 501. 

* 

1014. Si la droite qui doit servir de directrice à la 
surface normale demandée était oblique par rapport aux 
deux plans de projection, on construirait, fig. 499, une 
projection auxiliaire sur un planp' parallèle à cette directrice. 

' 1016. 11 ne sera pas nécessaire de projeter sur le planp' 
leardirectrices courbes de la surface donnée ; on pourra se 
eontenter de construire les projections des trois tangentes 
directrices de Thyperboloïde auxiliaire, après quoi tout le 
reste du travail se ferait comme dans rexempfe précédent. 

1016. Nous appliquerons les principes qui précèdent à 
une question que Ton rencontre quelquefois dans la con- 
struction des escaliers. 

Supposons que la droite XX^ fig. 502, 504, pi. 100, soit 
assujettie à tourner en montant autour de la verticale oo^^ 
de manière que tous ses points décrivent des hélices de 
même pas. On pourra toujours considérer troisquelconques de 
ces hélices comme étant les directrices de la surface réglée 
engendrée par la droite XX^ Il s'agit de construire la surface 
normale qui aurait cette droite pour directrice. 

Voici quel sera l'ordre des opérations : 

p On prendra l'un dès deux plans de projection perpendi- 
culaire à la verticale oo' et le second plan parallèle à la droite 
XX% puis on projettera (473) sur ces plans les hélions ÂÂ^ 
BB', ce, décrite par les trois points (m, m'), (n, n'.), (u, v')» 
pris où l'on voudra sur la droite XX\ Ces hélices seront les 
directrices de la surface réglée primitive; 

2* En opérant comme nous l'avons dit au n"» 481, on con- 



PL. 100. RÉGLÉES. 485 

struîra lès trois droites DD', EE', FF' tangentes aux hélices 
AA', BB', ce Ces trois tangentes seront les directrices de 
rhype;'boloïde tangent et détermineront aux points (m, m'), 
(n, nO, {v,v') trois plans tangents qui ^ront pour traces 
horizontales les droites qa, qc, qe ; 

3<> Les plans tangents que nous venons d'obteair étant 
coilpés par trois plans p, p', f/\ perpendiculaires à la 
droite XX', on aura les trois tangentes 6G', HH', KK' qui, 
étant parallèles à un même plan seront les directrices du pa- 
raboloïde tangent dont le plan directeur p" 5p" sera perpen- 
diculaire sur la droite donnée XX' ; 

4*^ Le plan qui contient le point uu' et la directrice Hh', 
coupera le plan projetant vertical de la directrice KK', sui- 
vant {nzj n'z'), parallèle à la droite (wa?, u'a:'), que Ton a 
prise avec intention parallèle au plan vertical ^X. 

L'intersection de la droite (n'z'), avec la directrice K' sera 
un point z\z, qui, étant joint avec w,u', donnera la droite 
YY' pour la seconde directrice du paraboloïde tangent ; 

5°, Les deux directrices XX', YY' et le plan directeur du pa- 
raboïde étant déterminés, le reste des opérations se* fera 
comme an n© 1013. 

On remarquera que les projections verticales XX', YY' des 
deux directrices du paraboloïde sont parallèles entre elles et 
jaerpendiculaires au plan directeur p"4p", ce qui aura lieu 
dans toutes les questions du même genre, quels que soient 
les bases et le pas des hélices, pourvu que Ton ait adopté la 
mêm(B disposition d'épuré. 

En effet, le paraboloïde tangent est indépendant de la 
position des points par lesquels on a construit les trois tan- 
gentes DD", EE', FF'. Or, si nous supposons que le point 
mm' soit reculé jusqu'à l'infini sur la génératrice XX', le 
rayon om^ flg. 504, deviendra parallèle au plan vertical 
de {Projection, et l'angte que la tangente Diy fait avec le 
plan horizontal devant diminuer à mesure que le point de 
tangence m s'éloigne de Taxe, il en résulte qu'au moment 
où ce point sera reculé jusqu'à Tinfini, le plan tangent cor- 
respondant sera perpendiculaire au plan vertical de projec- 
tion, et la génératrice YY' du paraboloïde devra s'appuyer 



486 SURFACES Pic 101. 

sur une droite située à tinfini dans le plan projetant X'9'9, 
qui sera par conséquent le second plan directeur du parabo- 
loïde auxiliaire (927) . 

1017. Le lectefpr pourra s'exercer à résoudre la même 
question pour le cas où Tune des ttois hélices directrices de 
la surface primitive serait remplacée par la verticale G, G^ 

flg. 503 et 505. 

Si alors la droite donnée XX' était horizontale, on dispose- 
rait répure comme au n» 1 011 . 

1018. Tout ce que nous venons de dire sur l'emploi d'un 
hyperbololde ou d'un porabololde tangent ne s'applique, 
qu'aux surfaces gauches. 

En eflet, si la surface proposée était développable, le para- 
boloïde qui la toucherait suivant une de ses génératrices de- 
viendrait un tangent, et le paraboloïde normal serait un se- 
cond plan perpendiculaire* au premier. 

G'est ce qui a lieu pour les surfaces cylindriques ^ 
coniques dont les surfaces normales sont des plans toutes 
les fois qu'elles doivent contenir une génératrice. 

1019. Sections planes. Section par un plan perpen- 
diculaire au plan de projection. 

La surface étant donnée par ses directrices, on établira sur 
i'épure un certain nombre de génératrices, et l'on cherchera 
l'intersection de chacune d'elles par le plan donné. Ainsi, 
fiff. 507, pi.. 101, la courbe Vu^ est l'intersection de la sur- 
face réglée A, A^ par le plan p, perpendiculaire au plan ho- 
rizontal. 

On obtient de la même manière la courbe dx^ provenant 
de VvntersectUm par u/ne surface cylindrique perpendicu- 
laire au plan vertical. 

1020. Intersection par v/ne ligne. Si la ligne donnée aa' 
est droite, on emploiera comme surface auxiliaire (790) un 
de ses plans projetants et l'on obtiendra le point mm'. 

Si la ligne est courbe, comme cc\ on fera usage de la sur- 
face cylindrique projetante. 



9t. 01. lutactes. 487 

• 

i<K^l. Si Ton dofioait làiHrojeetion m d'un point de la sur- 
face AA^ etqn*il'M(it obtenir sa. projection verticale, on 
construirait dans le voisinage de ce point quelques gjânéra- 
trices ; puis coupant la surface par un plan p perpendicu- 
laire au plan horizontal et contenant le "point donné, on 
construirait la courbe 6V sur laquelle devrait se trouver la 
projection verticale du point demandé. 

Si ensuite par le point mm', ainsi déterminé, on . voulait 
construire une génératrice de la surface, on agirait comme 
aux n" 924, 927. 

1022. Section par un plan oblique. Il suffit de cberc^her 
l'intersection du plan donné /), tig. 508, par chacune des 
génératrices de la surface, ce qui ràaiène la construction à 
celle du n"" 87. On a fait usage de plans perpendiculaires au 
plan vertical. 

1023. Pénétrations. Intersection d'une surface réglée 
et d'un cylindre. 

On coupera les deux surfaces par des plans parallèles au 
cylindre et contenant les génératrices de la surface réglée. 
Ainsi, flg. 509, par un point nn^, pris ou Ton voudra sur 
la droite aa'^ génératrice de la surface réglée AA', on con* 
struira une ligne çc' parallèle au cylindre BB' ; les deux 
droites (Ta', ce', 'détermineront un plan p parallèle au cy- 
lindre, et qui le coupera suivant une de ses génératrices 
i6', et le point uu\ intersection de aa' et de W, appartien- 
dra aux deux surfaces, et fera partie de la courbe d'intersec- 
tion. On obtiendra par ce moyen autant de pointe qoe Ton 
voudra. 

Cela revient à construire (512) l'int^section du cylindre 
par chacune des génératrices de la surface r^ée. 

1024. hUeftêeùtion d'une mrface réglée avec un cône. 
Un plan p^ ûg. 6t4, pissant par le aonuiiet du cône et 

par la droits àa*, généi:atriee de la aurfiiee réglée, coupera 
le cône suivant une droite W^ et llntersection jde ^ avec 



488 SURFACES PL. 102. 

• 

6&' fera connaître le point wm'î commun aux deux surfaces. 
Chaque point de la courbe s'obtiendra par une construction 
semblable. 

1025. Intersection d'une surface réglée avec une surface 
de révolution. 

Un pian horizontal p, fig. 511, coupera la surface réglée 
suivant une courbe aa'' et la surface de révotution suivant 
le parallèle 66' ; et les deux lignes aa' et 66' se couperont en 
deux points mm', nn\ appartenant à la courbe d'intersection 
des deux surfaces. 

On agira ee la même manière pour trouver d'autres points 
de la courbe. 

On pourrait dans certaine cas employer avec succès, comme 
surfaces auxiliaires, des Ci/Kndr^5 circulaires droits j ayant 
le même axe que la surface de révolution. 

' 1026. Intersection de deux surfaces réglées! * 

Un plan vertical p, contenant la génératrice aa^, flg. 512^ 
coupera la seconde surface réglée, suivant une courbe 6c, 
i'c', facile à construire (1019), et l'intersection de cette 
courbe avec la droite aa' néterminera un point mm', commun 
aux deux surfaces. 

On recommencera cette construction qui se réduit à cher- 
cher l'intersection de la surface réglée BB' par chacune des 
génératrices de l'autre surface ( 1 020) . 

1027. Raccordements. La ligne d'intersection de deux 
surfaces réglées est en général une courbe à double cour- 
bure, flg. 513, pi. 102. Mais dans quelques cas particuliers 
elle peut être plane. 

Les deux surfaces représentées sur la figure 514 se coupent 
suivant la droite acj par une génératrice commune. 
. Enfin, les deux surfaces AA' et BB', flg. 516^ se touchent, 
et par^conséquent se raccordât suivant la génératrice com- 
mune ac. 



PL. 102. RÉGUfeBS. 489 

1028. Deux sarfaces réglées se raccorderont toutes les 
fois qu'elles seront touchées dans toute l'étendue d'une gé- 
nératrice commune, par un même hyperbololde, à une 
nappe, flg. 517, car il est évident qu'un plan tangent à l'hy- 
perboloïde en un point quelconque de la génératrice aCy 
toucherait également à ce point les deux surfaces  et B, de 
sorte que ces deux surfaces étant touchées par les mêmes 
plans, suivant toute l'étendue de la génératrice commune, 
elles seront tangentes Tune à l'autre, et se raccorderont sui- 
vant cette ligne. 

1029. En général, flg. 516, si par Prois^ points m, n, v, 
pris à volonté sur une droite quelconque X, on conçoit trois 
plans p, p', p'', dirigés comme on voudra dans Vespace ; 
si ensuite, par chactt^n des trois points m, n, v, on construit 

'autant de courbes quç'l'on voudra, tangentes aux plans 
p, p', p'^, od situées dans ces plans, toutes les surfaces, 
réglées qui auront pour directrices trois de ces courbes 
tangentes chacune à l'un des plans p, p', p'^, se toucheront 
suivant toute l'étendue de la génératrice commune X, car 
elles seront touchées dans toute retendue de cette même 
droite par les hyperboloïdes ou paraboloïdes qui auraient 
pour directrices trois droites quelconques, menées dans les 
plans p, p\ p'\ par les points m, n, v. 

Deux surfaces réglées qui se raccordent peuvent avoir une 
ou deux directrices communes et ne différer que par la troi- 
sième directrice. 

1030. Si les deux surfaces réglées dont il s'agit étaient 
développables, tous les hyperboloïdes et paraboloïdes tan- 
gents se réduiraient en un seul plan qui toucherait les deux 
surfoces, suivant toute la longueur de la génératrice de rac- 
cordement. 

Il résulte de là qu'une surface réglée gauche ne peut pas 
se raccorder avec une surface développable suivant une gé- 
nératrice. 

Enfin deux surfaces réglées ne peuvent se raccorder sui- 
vant uqe génératrice, qu'autant qu'elles sont toutes deux 
développables ou toutes deux gauches. 



490 SUftFACBS Vh. 102. 

1081. Lorsqu'une snirfaoe courbe quelconque servira de 
directrice à une surface réglée^ ces à,eux surfaces se raccor- 
deront toujours dans toute l'étendue de la ligne qui contient 
les points suivant lesquels les génératrices de la surface 
r^lée s'appuient sur la surface directrice. 

1032. En général, si par tous les points d'une courbe acu 
située sur une surface donnée A, ûg. 518, on construit des 
tangentes à cette surface, quelle que soit la direction que Ton 
aura adoptée pour ces tangentes, le lieu de l'espace qui les 
contiendra sera une surface réglée, se raccordant avec la sur- 
face donnée suivant la courbe qui contient tous les points par 
lesquels on a construit les tangentes à cette surface. 

Supposons, par exemple, que les tangentes 1,1, 1... aient 
été construites de manière à satisfaire à certaines conditions ;• 
que les tangentes 2, 2, 2... aieiït été obtenues par une autre 
loi ; qu'il en soit de même des tangentes 3, 3..., et ainsi de 
suite. Il résultera de cette construction autant de surfaces ré- 
glées qu'il y a de systèmes de tangentes. 

Toutes ces surfaces se raccorderont suivant la courbe acu 
qui partagera chacune d'elles en deux nappes. Enfin l'une 
quelconque des nappes de ces surfaces se raccordera tou- 
jours avec la nappe opposée 4e chiacune des autres surfaces. 

Supposons, par exemple, que la sphère ÂÀ^ fig. 619, 
9iit servi de directrice à la surface réglée BB', et que la 
courbe acu soit la ligne de contact de ces deux suifaces ; 
représentons par A et A' les deux parties de la sphère, et par 
B et B^ les deux nappes de la surface réglée ; la combinaison 
de ces diverses parties produira quatre surfaces difiërentes, 
savoir : 

1*» La surface A -|- A'. 

2» La surface A -f B'- 

â» La surface A' -f- B- 

4« La surface B + B'. 

1033. Pénétration rectangulaire. Au lieu de cheroher 
i raccorder deux surfaces, on pourra demander qu^elles se 



fiL. 103. ENTBL09PE8. ' 41M. 

^xmpent, toujours à angle droit en un point quelconque de la 
li^e d'intersection. 

Dans ce cas, étant données une première surface et la ttgne 
suivant laquelle elle doit être coupée par la seconde, on con- 
struirait la surface normale qui aurait cette ligne pour di- 
rectrice ; puis, il ne resterait plus qu*à construire une autre 
surface tangente à la surface normale. 

1034. En général, lorsque Von voudra que deux surfaces 
se rencontrent partout à angle droit y il faudra faire en sorte 
que Vu/ne déciles soit tangente à la surface normale de 
Vautre^ suivant toute Vétendue de la ligne d'intersection. 

Cette remarque nous sera très-utile dans quelques appli- 
>cations de la géométrie descriptive. 



CHAPITîlE IV. 



Su rTaces-en velop pes< 



1035. Définitions. Si l'on fait mouvoir une sphère A, 
Hg. 620, pi. 103, de manière que son centre parcoure la 
ligne abc, la surface qui enveloppera toutes les positions suc- 
-cessives de cette sphère, et qui les touchera toutes^ se nom- 
mera une sur face-enveloppe f ou simplement une enveloppe. 

Deux positions consécutives de la sphère mobile se coupe- 
ront suivant un cercle dh, dont le plan est perpendiculaire 
à la courbe parcourue par le centré. Ce cercle sera d'autant 
plus grand que les positions de la sphère seront plus rap- 
pto^ées les unes des antres, et dans l'hypothèse d'un mou- 
vement continu, la distance des centres étant infiniment 



492 .' SUBFACES PL. 103. 

petite, riatersection de deux sphères consécutives peut être 
considérée comme un grand cercle. On donne à ce cerde 
le nom de caractéristique de la surface. 

Ce n'est ici, au surplus, qu'une manière différente d'envi- 
sager la génération des surfaces, car nous pourrions donner 
au cercle dh le nom de génératrice^ et supposer que son 
centre se meut suivant la courbe abc^ tandis que son plan 
serait consta,mment perpendiculaire à la direction de cette 
courbe ; alors la surface engendrée serait Venveloppe des 
positions successivement occupées p^r le cercle générateur. 

• 

1036. Mais' la nature des procédés analytiques qui con- 
duisent aux résultats précédents a fait adopter la définition 
générale suivante : 

Une surface enveloppe est le lieu qui contient toutes les 
intersections qui résultent des positions successives d^une 
surface mobile, constante ou variable de forme. 

On donne le nom d'enveloppée à la surface mobile dans 
chacune de ses positions. 

Uintersection de deux enveloppées consécutives est la 
caroUbtéristique de Venveloppe. 

1037. Cette définition embarrasse ordinairement les com- 
mençants ; ils ont de la peine à reconnaître dans certains cas 
particuliers de surfaces-enveloppes les caractères par lesquels 
ils se rattachent au cas général. 

Soit, par exemple, flg. 621, la surface AÂ' & laquelle nops 
avons donné le nom d'ellipsoïde de révolution. 

Supposons que Ton fasse mouvoir le sommet d'un oOne 
circulaire suivant la droite aa\ et qu'en même temps l'angle 
au sommet de ce cône varie de ti^lle sorte, que sa génératrice 
soit toujours tangente à la section méridienne de la sur- 
£aice  ; il est certain que deux de ces cônes consécutif et 
infiniment rapprochés se couperont suivant un cercle per- 
pendiculaire à Taxe, et la surface de l'ellipsoïde sera le lieu 
de tous cas cercles. 

Or, d'après la définition précédente, les divers cônes mo- 
biles et variables se nommeront enveloppées, et la surfiu^e 



PL. 103. ENYEIOPPES. 493 

de Fellipsoïde sera l'enveloppe. Ainsi dans cet exemple la 
surface-enveloppe est limitée en tous sens, tandis que l'en* 
veloppée ne Test pas. L'enveloppe se trouve circonscrite par 
l'enveloppée. 

1038. Il résulte de là qu'il ne faut attacher aux dénomina- 
tions précédentes qu'un sens analytique et général, indépen- 
dant des applications particulières, et que dans tous les cas 
l'enveloppe est le lieu géométrique des intersections succès- 
nves de Venveloppée ; de sorte que Tenveloppe touche ou est 
touchée par toutes les positions successives de l'enveloppée, 
mais ne les enveloppe pas toujours, suivant je sens que Ton 
attache vulgairement à ce mot. 

Les mêmes réflexions se reproduiront en examinant la 
génération suivante de la môme surface A, A'. 

1039. Supposons une surface cylindrique horizontale 
ayant pour directrice Tellipse o^u'; faisons tourner ce cylindre 
autour Ile la verticale aa ; les positions consécutives du 
cylindre générateur étant infiniment rapprochées, les inter- 
sections successives ne différeront pas de Tellipse o^u^ qui 
sera la caractéristique de l'enveloppe : le cylindre mobile » 
qui. est ici l'enveloppée se trouve encore circonscrit à l'el- 
lipsoïde, qui, d'après la définition géiïérale, représente l'en- 
veloppe. 

1040. Surfaces développables. Parmi les cas particuliers 
4e surfaces-eaveloppes, nous distinguerons celui où l'enve- 
loppée est un plan, fig. 522 ; alors la caractéristique est une 
ligne droite, puisqu'elle pî-ovient de l'intersection de deux 
positions consécutives du plan mobile ; et l'enveloppe, lieu 
de toutes ces caractéristiques, est une surface réglée. 

1041. Cette surface jouit toujours de la propriété d'être 
développable, car deux caractéristique consécutives étant les 
intersections d'un même plan avec celui qui précède et avec 
celui qui suit, ces deux droites se couperont toujours, ce qui 
est le caractère des surfaces développables (922). 

La courbe mnou, qui passe par tous les points d'intersec. 



494 SURFACB9 PL. 103. 

tion des caractérisques successives, forme ïaréte de rebrous^ 
sèment, 

Le& droites a, b^ c, d^ sont tangentes à la courbe mnou (934). 

Nous allons étudier quelques exemples particaliars de 
surfeces-enveloppes. 

1042. Si l'on fait mouvoir une sphère d*un rayon donné, 
de manière que son centre parcoure une hélice à base circu- 
laire, on obtiendra une surface-enveloppe connue, dans les 
arts de construction, sous le nom de vis SainP-Gilles. 

Si l'on voulait projeter cette surface, il suffirait de cons- 
truire un certain nombre de positions du grand cercle, dont 
le plan est perpendiculaire à l'hélice". ^— • 

Souvent on préfère projeter les hélices parcourues par 
chacun des points de ce grand cercle. 

Soit, flg. 523, a' le centre de la sphère mobile, on cons- 
truira au point a' la tangente à l'hélice parcourue par le 
centre (481), et la droite a'o' perpendiculaire à cette tan- 
gente sera la projection du demi-grand cercle dont le plan 
est perpendiculaire à la direction de cette courbe ; Tindi- 
naison du cercle générateur étant connue, il sera facile de le 
construire, dans telle position que Ton voudra. Les trois 
ellipses (psq, p's'q') sont trois positions principales de ce 
cercle, et les hélices tracées sur la figure 523 sont cçUes 
parcourues par les trois points pp\ qq\ ss^. 

L'épure 524 représente une vis Saint-Gilles engendrée par 
un demi-cercle vertical. 

Si le pas de l'hélice diminuait, la surface se rapprocherait 
de celle du tore ou surface annulaire (801). ^ 

1043. Plans tangents. Supposons, fig. 526 qu'en un^ 
point aa' donné sur la surface^ on veuille construire un 
plan tangent ; on prendra pour première tangente celle qui 
touche en (a/i') le cercle vertical m!a'n\ générateur de la 
surface donnée. La tangente à l'hélice qui passe par le môme 
point complétera la détermination du plan tangent. En cons- 
truisant le triangle a'ôV, tel ^ue Ton ait a'V égal à trois 
huitièmes du pas de l'hélice, et Vcf égal à trois huitièmes de 
la circonférence ah^ l'hypoténuse a'd sera la tangente à Thé- 



PL. i03. ENVBLOPPfiS. 485' 

lice, rabatlae sar le plan p^ parallèle an plan vertical ; le 
point i>', où;cëMe tangente perce le plan horizontal, étant- 
projeté en t; et ramené en u, on aura au pour la projection' 
horizontale de cette tangente ; de sorte que la droite ou sera 
la trace horizontale du plan tangent. Quant à la trace verti- 
cale, elle sera parallèle à la droite a'c/. 

La droite (an, a'n') menée par le point aa\ perpendicn 
laire au plan tangent, sera une normale. 

1044. Surfaces normales. Si par chaque point de Thé- 
lice ash^ a's'h^ on construit une normale, la surface qui con- 
tiendra tontes ces lignes sera une surface normale. 

11 n'est pas pécessaire pour chaque normale de construire 
les traces du plan tangent. En effet, par suite de la forme 
régulière et constante de la surface, quelle que soit la hau- 
teur du point de tangence; les tangentes, le plan tangent et 
la normale conserveront toujours la même position relative ; 
de sorte que les projections horizontales de ces lignes ne 
changeront pas et ne feront que tourner autour du point A. 
De là résulte cette construction. • 

On abaissera du centre une droite As, perpendiculaire sur 
la' projection de la première normale, et décrivant la circon- 
férence zxy^ toute tangente à cette courbe sera la projection 
horizontale d'n'ne normale. On élèvera la perpendiculaire zz' 
jusqu'à la projection verticale de la normale aW, et Ton 
construira l'hélice [zx, ^V), sur laquelle on déterminera les 
points où elle est rencontrée par chacune des normales. 

La surface que Ton obtiendra sera réglée : la génératrice 
s'appuie sur les deux hélices {ash, a's'h') [zx^ zV) et touche 
constamment le cylindre qui contient la dernière. 

Si l'on voulait donner à toutes les normales la même lon- 
gueur, on les terminerait aux points où elles rencontreôt un 
cylindre droit ayant pour trace horizontale une circonférence 
tel que nd. 

1045. Développement. Dans l'industrie, beaucoup de corps 
sont terminés par les feuilles minces en tôle, cuivre, carton, 
etc.; souvent même, quoique la matière soit solide, on en 
détermine ie contour en appliquant sur les faces planes ou 



496 SUBFACES PL. 103. 

courbes des figures découpées auxquelles ou fait prendre la 
courbure de ces faces, et que l'on nomme panneaiuc ou pa- 
trons. C'est donc un problème important que celui qui a pour 
but d'obtenir le développement des surfaces. 

Nous avons déjà vu que les surfaces cylindriques et co- 
niques se développent exactement : ce qui provient de leur 
caractère de surfaces développablea (922) . 

Les surfaftes de révolution se développeront approxi- 
mativement en les partageant en zones ou en fuseaux 
(682,812). / 

Il ne nous reste donc plus qu'à trouver un moyen de déve- 
lopper approximativement certaines portions de surfaces 
réglées ou enveloppes. 

11 est évident que cela revient, étant donnée une certaine 
surface ou portion de surface, à trouver ime surface déve- 
loppable qui diffère le moins possible de la surface proposée. 

1046. Je prendrai pour exemple la surface normale que 
nous venons de construire dans Texemple précédant. 

Soient les mêmes donnéis, flg. 627, on opérera comme 
. ci-dessus pour obtenir les deux premières normales (an, aW) 
(cw, cV) ; ensuite on construira les deux cordes {acja'c^) 
{co, c^o')y etc. 

Cela posé, concevons un plan par la normale (an, a'n') et 
la corde (ac, a^c'), un second plan pour la seconde normale 
et la seconde corde, un troisième plan par la troisième nor- 
' maie et la troisième corde, etc. On pourra considérer tous 
ces plans comme les positions successives d'un plan mobile 
qui dans son mouvement engendrerait une surface déve- 
loppable (1041) différant peu de la surface donnée : en effet 
la surface normale se compose de petits quadrilatères 
gauches tels que {ancn) [a'n^c'n')^ et trois angles de chacun 
de ces quadrilatères étant situés dans le plan mobile Corres- 
pondant, il y aurait peu de diflérence entre les deux surfaces, 
surtout dans le voisinage de l'hélice [aoo^ a'&o')^ ce qui est 
essentiel. 

Si les arcs (ac, a'&) {co, &o') devenaient infiniment petits, 
le plan mobile serait dans chaque position, tangent à la sur- 
face normale, et Ton obtiendrait une surface développable tan- 



Vh. 403. ENVELOPPES. 497 

gente à la surface, normale dans toute l'étendue de Thélice 
{aco, ddo') (1035). 

Pour obtenir cette surface on construira un plan horizon- 
tal p.. Ce plan coupe le premier plan mobile suivant (n^, n'^')i 
et le second suivant (t^z, wV) ; et l'intersection xx' de ces 
deux droites appartient à la droite (ca?, c!x*) qui sera la carac- 
téristique de Tenveloppe cherchée. 

En construisant un certain nombre de projections horizon- 
tales de cette ligne, et opérant du reste comme nous l'avons 
fait pour la normale, on obtiendra facilement les projections, 
verticales correspondantes. 

1047. La surface que nous venons de construire est connue 
sous le nom à'héliçoïde développable (937) ; . chacune de ses 
génératrices est tangente à une hélice ayant pour base le 
cercle dh. 

La figure 528 représente le développement de la surface 
précédente ; pour l'obtenir on construira chaque quadrilatère 
dans sa véritable grandeur ; les courbes aV^ *''^'^ sont des 
arcs de cercle (941). 

1048. En général, pour développer approximativement 
y/ne surface quelconque^ on la partagera en zones de peu de 
largeur; puis^ après avoir construit des plans tangents par 
tous Les points de la courbe moyenne de chaque zone, on 
développera la surface enveloppe résultant de cette suite de 
plans tangents. 

1049. Sections et intersections. Nous n'entrerons pas 
ici dans le détail des constructions nécessaires pour obtenir 
les sections par des plans ou des lignes ; ce ne serait qu'une 
répétition de ce que nous avons dit sur l'application des 
principes 784 et 790. Nous nous bornerons à un seul exemple 
de pénétration. 

1050. Supposons, flg. 625, que le demi-cercle pVg' soit 
pris pour la génératrice d'une vis Saint-Gilles ; on "veut avoir 
la courbe de pénétration de cette surface par le conoïde 
dont les directrices sont la verticale uu\ la demi-ellipse 

32 



498 SURFACES-ENVELOPPES. PL. 103. 

{kdh, Wd'h')^ et dont la génération serait parallèle au plan 
horizontal, le rayon vertical o'd' de l'ellipse étant égal au 
rayon du cerde p'^cf. 

Parmi tous les moyens qui résultent du principe général 
.785, on peut employer le suivant. 

On cylindre vertical à base circulaire C coupera la surface 
de la vis suivant une hélice a', et la surface du conoïde sui- 
vant une courbe V. Les intersections de a' et V donneront les 
points m de la courbe ; puis on recommencera pour avoir 
d'autres points. 

La courbe b' se construit en élevant des perpendiculaires 
par les points suivant lesquels la trace du cylindre C coupe 
les projections horizontales des génératrices du conoïde. 

La question que nous venons de résoudre n'est placée ici 
que comme exercice, et parce qu'elle a été proposée dans 
quelques concours ; mais dans la pratique, la recherche delà 
ligne de pénétration est beaucoup plus simple, parce que 
Ton prend ordinairement pour directrice du conoïde une 
courbe à double courbure projetée sur le plan horizontal par 
Varc de cercle kvh^ et dont le développement est une ellipse.^ 
(Voir le Traité de la voupe des pierres ; voûte d'arête ram- 
pante et en tour ronde,) 



flV 



TABLE DES MATIÈRES 



UVRE PREMIER. 



CHAPITRE I". 

^ Pages. 

JNOTIONS PRÉLIMINAIRES l 

dotations ..<.... 8 



CHAPITRE IL 

Du point, de la ligae droite et du plan 29 

Jntersections des lignes et des plans 38 

Parallélisme de^ lignes et des plans 45 

Perpendicularitô des lignes et des plans 48 

CHAPITRE m. 

Rabattements 59 

CHAPITRE IV. 



Angles des lignes. ' 77 

Angles des lignes et des plans ; 79 

Angles des plans. 82 

Ai^gles triëdre 91 

CHAPITRE V. 

Plans cotés 138 



500 TABLE DES MATIÈRES. 



CHAPITRE VI. 

Projection des polyèdres 14S 

Projections obligues.. .....«.;. • • .4 ...» .-. . . 152 

Dévefoppements 155- 

Section des polyèdres 156 

Pénétration des polyèdres 159 



LIVRE DEUXIÈiME. « 

CHAPITRE I". 

i 

I 

Lignes courbes 164 

Courbure, normale, tangente 165 

Développantes, développées 167 

Courbes à plusieurs centres 170- 

Lieux géométriques 172 

Courbes d'essai 175 

Construction des tangentes û{. 

Abscisses et ordonnées .' 17& 

Cycloïdes < 179 

Épicycloïdes ^ ^ 182 

Spirales 184 

Courbes du 2® degré 185 

Ellipse « id . 

Parabole .• 191 

Hyperbole. 194 

Asymptotes , ;. 195 

Diamètres conjugués et axes de l'ellipse *: . . 196 • 

Courbure des lignes.du 2* degré * i 201 

Rectification des courbes. >..... * 208 

Quadrature des courbes .^ .. * .. t .• .^ «.:;..... . 229: 

CHAPITRE IL 

Surfaces cylindriques 227 

Cylindre projetant, courbes à double courbure ^31 



TABLE DES MATIÈRES. 501 

?age8. 

HéliceB 23^ 

Cylindre oblique 241 

Section droite, déyeloppement , . . . . 246 

Plan parallèle au cylindre 249 

Pian tangent au cylindre id, 

nterseclion du cylindre par une droite 251 

Section du cylindre par un plan oblique 252 

Limites des courbes de section 258 

Cylindre circulaire .' , 267 

Intersection des cylindres 27 1 

Raccordement .....' 281 



CHAPITRE III. 

i 

Surfaces coniques 286 

Développement 289 

Plan passant par lé sommet du cône 29t 

Plan tangent au cône. 292 

Intersection du cône par une droite 29^ 

Sections planes du cône. . .• id. 

Cône elliptique k . . 298 

Cône circulaire 305 

Intersection des cônes et cylindres .- '*14 



CHAPITRE IV. 

Surface de la sphère S25 

Méridiens et parallèles de la sphère '. 326 

Développemenls approximatifs de la sphère ! 327 

Sections perpendiculaires aux plans de projection 32<9 

Plans tangents à la sphère 331 

Intersection de la sphère par une droite 345 

Section de la sphère par. un plan oblique 346 

Intersection des sphères, Cylindres et cônes 350 

Épicycloïde sphérique 367 



V 



502 TABLE DES MATIÈRES. 



LIVRE TROISIÈME. 

CHAPITRE !•'. 

Pages. 

Considérations générales sur les surfaces courbes 371 

CHAPITRE IL • ' 

Surfaces de révolution 384 

Parallèles 385 

Méridiens \ 386 

Méridien principal 387 

Propriétés particulières 388 

Plans tangents aux surfaces de révolution , 400 

Projections obliques des surfaces de révolution 424 

Intersection par une droite 430 

Intersection par une courbe 432 

Section par un plan oblique td. 

Intersection des surfaces de révolution et dés cylindres, cônes et 

sphères » 434 

CHAPITRE ni. 

Surfaces réglées r 444 

Surfaces réglées qui ont trois directrices 445 

Surfaces réglées qui ont un plan directeur 447 

Surfaces développables 449 

Hyperboloide à une nappe et parabololde hyperbolique 454 

Double génération *de Thyperboloïde à une nappe et du parabololde 

hyperbolique .' 458 

Plans tangents aux surfaces réglées ^ 465 

Surfaces normales , :..... 473 

Sections et intersections des surfaces réglées J . . 486 

Raccordements 488 

CHAPITRE IV. 

Surfaces-enveloppes 491 



AblMvtlle. Imprimé par Bries, C. PaiUart et BeUnx.