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J
i
TRAITÉ
DE
TRIGONOMÉTRIE
M^i<^
OUVRAGES DE M. J.-A. SERRET.
!, h Tusage deft CandidatA aux Écoles spé-
ciales et au Baccalauréat es Sciences ; 6* édition, revue et mise en harmonie
avec les derniers programmes officiels par J.-Â. Serret et par Gh. de Gom-
beronSSd) Professeur de Cinématique à l'École Centrale et de Mathématiques
spéciales au Collège Chaptal. In-8®; 1875. {L'introduction de cet Ouvrage
dans les Écoles publiques est autorisée par décision du Ministre de l'Instruc"
tion publique et des Cultes en date du n août iSSq.) 4 ^i** ^^ c.
TRAXril BE TllZGOBrOMiSTRXE y 5^ édition. In-S^, avec figures dans
le texte; 1S75. (L'introduction de cet Ouvrage dans les Écoles publiques est
autorisée par décision du Ministre de l'Instruction publique et des Cultes en
date du 5 août i86q ) 4 ^^'
COURS BE CAIiCUX. BZFFÉREIITZEI. ET IMTÉGRAIi. a forts
volumes in-8^, avec figures dans le texte ; 1868 ua fr.
COURS B'AIX^ÈBRE SUPÉRIEURE, 4« édition, a volumes in-80;
1875 {Sous presse. )
L^Auteur et l'Éditeur de cet Ouvrage se réservent le droit de le traduire ou
de le faire traduire en toutes langues. Ils poursuivront, en vertu des Lois,
Décrets et Traites internationaux, toute contrefaçon, soit du texte, soit des gra-
vures, ou toutes traductions faites au mépris de leurs droits.
Le dépôt légal de cet Ouvrage a été fait à Paris dans le courant de 1875, et toutes
les formalités prescrites par les Traités sont remplies dans les divers États
avec lesquels la France a conclu des conventions littéraires.
Tout exemplaire du présent Ouvrage qui ne porterait pas, comme ci-dessous,
la signature du Libraire^Ëditeur, sera réputé contrefait. Les mesures néc^essaircs
seront prises pour atteindre, conformément à la loi, les fabricants et les débi-
tants de ces exemplaires.
1444 PARIS. — IMPRIMERIE DE GACTHIER-VILLARS, QUAI DiS AUCUSTISS, 55.
o
TRAITÉ
DE
TRIGONOMÉTRIE,
PAR
J-A. SERRET,
».
MEMBRE DE L INSTITUT,
i
PROFESSEVn AU COLLEGE DE FBAMCE ET A LA FACULTÉ DES SCIENCES DE PARIS.
CINQUIEME ÉDITION.
PARIS,
GAUTHIER-VILLARS, IMPRIMEUR-LIBRAIRE
DE L*ÉGOLE POLYTECHNIQUE, DU BUREAU DES LONGITUDES,
SUCCESSEUR DE MALLET-BACHELIER,
I Quai des Augustins, 55.
1875
(Tous droite riMiris.)
rAoJt^ 8-0 1 8-.7r'
y
tô 1922
«
<*^-
VttiHMItf tuno
AVERTISSEMENT.
Le premier Chapitre renferme les premiers éléments de la
théorie des fonctions circulaires; le deuxième est relatif à la
construction et à Tusage des Tables trigonométriques; les
deux Chapitres suivants contiennent la Trigonométrie propre-
ment dite, c'est-à-dire l'ensemble des principes sur lesquels
repose là résolution des triangles reciilignes ou sphériques.
Ces quatre Chapitres constituent la partie élémentaire de notre
Ouvrage, et les matières qui y sont développées comprennent
tout ce qui est exigé des Candidats aux Écoles spéciales du
Gouvernement. Dans le Chapitre cinquième, nous donnons
un complément assez étendu de la Théorie des fonctions cir-
culaires, si utile dans les parties élevées des Mathématiques.
Enfin le sixième Chapitre, qui termine l'Ouvrage, est surtout
consacré au développement des solutions trigonométriques
fondées sur l'emploi des séries; ces solutions se rapportent à
différents cas qui se présentent fréquemment dans l'Astro-
nomie et dans la Géodésie, et pour lesquels les méthodes
générales deviennent insuffisantes.
TABLE DES MATIÈRES.
Ptfftt
Avertissbmeut
CHAPITRE L
ÉLÉMENTS DB LÀ THÉORIE DES FONCTIONS CIRCULAIRES.
Définition du mot fonction i
Sur la mesure des longueurs i
Des arcs de cercle 'j
Définition des lignes trigonométriquea 4
Variation des lignes trigonométriques 6
Des arcs qui correspondent à une ligne trigonométrique donnée lo
Relations entre les lignes trigonomélriques d*un môme arc i3
Formules relatires à l'addition des arcs 17
Formules importantes déduites de celles relatives à l'addition des arcs. . • a'i
Multiplication des arcs '26
Division des arcs ag
Détermination des lignes trigonométriques de certains arcs 39
Remarque sur les relations entre diverses lignes trigonométriques 4^
Questions proposées 62
CHAPITRE IL
DES TABLES TRIGONOMÉTRIQUES.
Propositions préliminaires 54
Division de la circonférence 58
Construction d'une Table de sinus et de cosinus 69
Tables des logarithmes des fonctions circulaires 66
Disposition des Tables de Gallet 67
Usage des Tables , 68
Procédés pour rendre une formule calculable par Iqgarithmes 78
VIII TABLE DES MATIÈRES.
Pafes
Résolution de Téquation du deuxième degré par le moyen des Tables
trigonométriques 8o
Résolution de l'équation du troisième degré par le moyen des Tables tri-
gonométriques 84
Questions proposées go
CHAPITRE III.
TRIGONOMÉTRIE REGTILIGNE.
Objet de la Trigonométrie rectiligne , 92
Mesure des angles 9a
Relations entre les angles et les côtés d'un triangle rectangle 94
Relations entre les angles et les côtés d'un triangle obliquangle 95
Autres formules relatives aux triangles obliquangles 100
Expressions de l'aire du triangle et des rayons des cercles inscrit et cir-
conscrit io3
Résolution des triangles rectangles 106
Résolution d'un triangle rectiligne dans lequel on connaît un côté et deux
angles 108
Résolution d'un triangle rectiligne dans lequel on connaît deux côtés
avec l'angle opposé à l'un d'eux 109
Résolution d'un triangle rectiligne dans lequel on connaît deux côtés
avec l'angle compris 1 la
Résolution d'un triangle rectiligne dans lequel on connaît les trois côtés. 1 15
Cas divers où les données ne sont pas toutes des côtés ou des aqgles. .. 117
Du quadrilatère inscriptible 122
Opérations sur le terrain iq4
Problèmes de Trigonométrie pratique 127
Questions proposées i36
CHAPITRE IV.
TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUE.
Objet de la Trigonométrie sphérique i38
Relations entre les angles et les côtés d'un triangle sphérique i38
Du triangle supplémentaire i44
Formules relatives aux triangles rectangles i45
Formules relatives aux triangles rectilatères i5o
Usage des angles auxiliaires dans la Trigonométrie sphérique i5o
Formules générales calculables par logarithmes i5i
Expressions diverses de l'excès sphérique. Formules nouvelles 167
Expressions du rayon du cercle circonscrit et des rayons des cercles
inscrit et exinscrits 161
TÀBLI DES MÀTiftRBS. U
Résolution des triangles sphériques rectangles 164
Résolution des triangles sphériques rectilatères 169
Remarque sur la résolution des triangles sphériques quelconques 1^1
Résolution d'un triangle sphérique dans lequel on connaît les trois côtés
ou les trois angles 1 .^^
Résolution d'an triangle sphérique dans lequel on connaît deux côtés
avec l'angle compris, ou deux angles avec le côté compris 176
Résolution d'un triangle sphérique dans lequel on connaît deux côtés et
l'angle opposé à l'un d'eux, ou deux angles et le côté opposé à l'un
d'eux ,80
Discussion des cas qui peuvent admettre deox solutions 191
Problèmes de Trigonométrie sphérique ig3
Questions proposées lo^
CHAPITRE V-
GOMPLÉMBNT DE LÀ Tfi£ORIB DBS FONCTIONS GIRGDLAIBES.
Des expressions imaginaires 100
Opérations sur les expressions imaginaires. Formule de Moivre pour un
exposant entier et positif aoi
Multiplication des arcs 2o3
Division des arcs ao6
Résolution de l'équation binôme z* = i àog
•Des polygones réguliers 21 3
Résolution des équations binômes générales aig
Resolution des équations trinômes ^22
Formule de Moivre pour an exposant quelconque a23
Théorèmes de Moivre et de Cotes aa^
Expressions des puissances du sinus et du cosinus d'un arc en fonction
linéaire des sinus ou des cosinus des multiples de cet arc aa6
Expressions de siifma et de cos ma en fonction de sina ou de cosa 339
Développements des fonctions sin:r et eosx en séries ordonnées suivant
les puissances croissantes de or 387
Décomposition des fonctions cosxet sinx en un nombre arbitraire, mais
limité, de facteurs 2^2
Décomposition des fonctions cosoret sinx en un nombre infini de fac-
teurs a44
Décomposition des fonctions tangx et cotx en un nombre arbitraire,
mais limité, de fractions .^ a47
Décomposition des fonctions tangx et cotx en un nombre infini de frac-
tions simples 35 1
Décomposition des fonctions cosécx et sécx en un nombre infini de frac-
tions simples a54
Développements des fonctions tangx et cotx en séries ordonnées suivant
les puissances croissantes de x a55
X TABLB DBS HATlftRBS.
Pages
DéTeloppements des fonctions cosécâ? etsécj? en séries ordonnées suiyant
les puissances croissantes de x. ti65
Des fonctions circulaires de variables imaginaires 268
Du cosinus et du sinus hyperboliques 379
DéTeloppements des fonctions log(i+z) etarctangz en séries ordonnées
suivant les puissances croissantes de z 281
Calcul du rapport de la circonférence au diamètre 289
Formules relatives au calcul des logarithmes. Module des logarithmes
vulgaires 290
Développements des fonctions cos m or et sinm:r en séries ordonnées sui-
vant les puissances croissantes de sin j:. . 293
Développements de la fonction arcsinz en série ordonnée suivant les
puissances entières de z 296
Développements des fonctions logsinx et logcosj; en séries ordonnées
suivant les puissances ascendantes de x 297
Développements en séries ou en produits infinis des fonctions circulaires
de variables imaginaires 3o2
CHAPITRE VI-
DE LA RÉSOLUTION DES TRIANGLES PAR LA YOIE DES SÉRIES
ET DES FORMULES TRIGONOMÉTRIQUES DIFFÉRENTIELLES.
Sur la manière d'exprimer les angles dans le calcul 3 1 3
Tableau des formules qui expriment les développements des fonctions
circulaires en séries 3 1 4
Des triangles rectilignes dans lesquels deux angles sont très-petits 3 16
Résolution d'un triangle rectiligne dans lequel on connaît deux côtés et
l'angle compris '. 3 19
Cas d'un triangle sphérique rectangle dans lequel l'un des angles obli-
ques est très-petit. . . 32o
Cas d'un triangle sphérique dans lequel deux côtés diffèrent peu d'un qua-
drant 320
Résolution d'un triangle sphérique dans lequel on connaît deux côtés et
l'angle compris 332
Résolution d'un triangle sphérique dont les côtés sont très-petits 326
Formules trigonométriques différentielles 332
FIN DE LA TABLE DES MATIÈRES.
IRAITÉ
DE
TRIGONOMÉTRIE.
CHAPITRE PREMIER.
ÉLÉMENTS DE LA THÉORIE DES FONCTIONS CffiCULAIRES.
Définition du mot fonction,
1. Lorsque deux grandeurs variables sont telles, qu'à
chaque valeur de Tune correspond une valeur déterminée
de Tautre, on dit que ces grandeurs sont Jonctions l'une de
Tautre. Par exemple, dans un cercle, la circonférence et la
surface sont fonctions du rayon ^ et, réciproquement, le rayon
est fonction de la circonférence ou de la surface,
La Trigonométrie est fondée sur \q, théorie de certaines
fonctions qui naissent de la considération du cercle, et que
Ton nomme, nour cette raison, fonctions circulaires. Nous
commencerons par exposa les élénaents de cette théorie.
Sur la mesure des longueui^s,
2. Soit O {fg. i) un point fixe d'une ligne a/x droite ou
courbe, et supposons qu'à partir de ce point O on prenne
Fig. I.
sur a/ a: diverses longueurs OA, OA', OA'', ... ; ces longueurs,
étant rapportées à une même, unité, seront représentées par
des nombres, et nous donnerons à ces nombres le signe -h ou
le signe — , suivant que Us longueurs dont ils expriment la
Trig, S. I
2 TRÀITjfi Dfi TRIGOÎfOttËTRIE.
mesure seront portées dans un sens ou dans l'autre. En d'au-
tres termes, les longueurs portées dans un sens (celui qu'on
voudra) seront des quantités positwes, les autres seront des
quantités r^gtitii^eê.
Si, piir exemple, ôa convient 4jue te sens des longueurs
positives soit celui de Oj: indiqué par la flèche, et que les
points A, A', A^ soient respectivement situés à 7, 9, 6 mètres
du point O, si en outre on prend le mètre pour unité linéaire,
les longueurs OA, OA', OA" seront respectivement repré-
sentées par -f- 7, +9, — 6. Supposons que a soit la quantité
positive ou négative qui représente ainsi une longnear <iomptée
sur a/jo à partir du point O \ le nombre d'unités renfermées
dans cette longueur sera -\-a ou — a, suivant que a sera
positive ou négative.
D'après cela, si l'on imagine un point mobile partant de O,
et se mouvant tantôt dans Un sens, tantôt dans l'autre, les di-
verses parties àe a/x décrites par le point mobile seront re-
gardées comme positives ou comme négatives, suivant qu'elll»
auront été décrites par mi mouvement dans le sens Oj?, ou
daïis le sens opposé Ox'-^ et si l'on désigne par a, b^c^d, ...
les quantités positives ou négatives qui mesurent les longueuiçs
décrites successivemeftit par le mobile, par x la quantité qui
représente la distance du point O au point où le mobile s'est
arrêté, on aura, dans tous les cas.
Des 'arcs de cercle,
3. Dans l'étude que nous entreprenons des fonctions qui
naissent de la considération du cercle, le rayon sera toujours
pris pour unité.
Soit O [fig- 2) un cercle dont nous représenterons la circon-
férence f>ar â TT, et le quadrant (quart de4;irG0nférenoe} par —
Soient A un pdint fixe de la circonférence, M un point mobile
partant de A et se mouvant dans le sens de AB (indiqué
par la flèche) que nous adopterons pour les arcs positifs ;
CHAPITRE PBBHIER.
Tare AM est nul à rorigine du mouvement ^ il augmente en-
suite, et sa valeur est 2 ir quand le point mobile est revenu au
point de départ. Mais on peut imaginer que le mouvement se
Fîff. 2.
continue indéfiniment, en sorte que le point mobile peut dé-
crire un arc composé d'une ou de plusieurs circonférences.
Si le mouvement du point M a lieu dans le sens contraire à
celui que nous avons supposé, Tare décrit est négatif, mais sa
valeur absolue prend tous les états de grandeur à partir de
zéro. Ainsi Tare de cercle est une quantité susceptible de
prendre toutes les valeurs entre — 00 et -h 00 .
L'extrémité fixe A de Tare variable AM sera dite l'origine
de l'arc.
Si a désigne l'un des arcs qui ont une même extrémité M,
tous les arcs x qui ont cette extrémité seront donnés par la
formule
où A représente un entier indéterminé positif, nul ou négatif;
car deux arcs qui ont même origine et même extrémité ne
peuvent évidemment différer que par un multiple de la cir-
conférence.
4. Arcs complémentaires et arcs supplémentaires. —
Deux arcs positifs tous deux, ou l'un positif et l'autre négatif,
sont dits complémentaires ou compléments l'un de l'autre,
lorsque leur somme est égRle à un quadrant, c'est-à-dire
e£rale a —
Deux arcs sont dits supplémentaires ou suppléments l'un
de l'autre, lorsque leur somme est égale à une demi-circonfé-
rence, c'est-à-dire égale à ïf.
I .
TRAITÉ DS TRIGONOMÉTRIE.
Définition des lignes trigonométriques,
5. Menons {fig^ 3) par le centre du cercle O deux droites
rectangulaires Ox et Oj^, qui coupent la circonférence, la pre-
mière au point A et la seconde au point B -, menons ensuite,
par les points A et B, les droites Az et Ba, respectivement
Fig. 3.
parallèles à Oy et Ox, et dirigées dans le même sens qufe
celles-ci : on sait, par un théorème connu de Géométrie, que
les droites Kz et Ba seront tangentes à la circonférence. Pro-
longeons enfin les droites O^r, Oj^ Kz et Bw suivant Oj/,
Oj', Az'etBw'.
Nous prendrons le point A pour origine des arcs, et le sens
des arcs positifs sera celui de la direction d'un mobile se mou-
vant de A vers B. En outre, conformément au principe du
n*^ 2, les longueurs prises à partir du point O sur jd x ovl sur
y' y seront positives si elles sont portées dans le sens de O j:
ou de Oj \ elles seront, au contraire, négatives si elles sont
portées dans le sens àeOod on de Oj' . Pareillement, les lon-
gueurs prises sur 2^ z k partir du point A, ou sur z/a à partir
du point B, seront positives si elles sont comptées dans le sens
de A -S ou de Bm: elles seront, au contraire, négatives si elles
spnt comptées dans le sens de Kz! ou de Bu'.
Cela posé, désignons par x la quantité positive ou négative
qui représente Tare variable dont l'extrémité M peut prendre
sur la circonférence toutes les positions possibles \ abaissons
CHAPITRE PREMIER, O
MP perpendiculaire sur x'x, et MQ perpendiculaire snrj'jy\
prolongeons le rayon OM qui coupe u^uenSetz^z en T 5 me-
nons enfin par le point M la tangente HK qui coupe j^'j^ en H
et a/x en K : la longueur OQ ou son égale MP, prise avec le
signe qui lui convient, est le sinus de Tare x; les longueurs
AT et OK, prises également avec les signes qui leur convien-
nent, sont la tangente et la sécante de Tare x.
On peut ainsi poser les définitions suivantes :
Le sinus d'un arc est la quantité positi\fe ou négatii^e qui
mesure la perpendiculaire abaissée de l'extrémité de l'arc
sur le diamètre qui passe par l'origine,
La tangente d'un arc est la quantité positive ou né gâtisme
qui mesure la portion de tangente menée par l'origine' de
l'arc et terminée au diamètre qui passe par l'extrémité.
La sécante d'un arc est la quantité positii^e ou négativ^e qui
mesure la portion du diamètre mené par l'origine, comprise
entre le centre et la tangente à l' extrémité de l'arc .
On nomme cosinus, cotangente et cosécante d'un arc le
sinus, la tangente et la sécante de l'arc complémentaire.
Désignons toujours par x Tare variable dont l'extrémité
est M \ je dis que si Ton considère le point B comme une nou-
velle origine d'arcs, et que le sens des nouveaux arcs positifs
soit dirigé de B vers A, l'arc x aura de même que x le
point M pour extrémité. En effet, puisque B est l'origine de
l'arc X, on peut, pour décrire cet arc, aller d'abord de B
en A, et, à partir du point A, il restera à décrire l'arc — x^ le
sens des arcs positifs étant dirigé de B vers A, ou à décrire
l'arc x^ en supposant que le sens des arcs positifs soit dirigé
de A vers B. Or de cette manière on revient évidemment au
point M.
n résulte de là que le cosinus de l'arc or est la longueur MQ
ou son égale OP, prise avec le signe qui lui convient, et que la
cotangente et la cosécante du même arc sont respectivement
égales aux longueurs BS et OH prises chacune avec le signe
qui lui convient.
6 TRAITfi DE TRIGONOMÉTRIE.
Le sinus, la tangente, la sécante, le cosinus, la cotangente
et la cosécante d'un arc œ se représentent par les notations
sinx, tangar, sécx, coisar, cotx, cosécr,
et on les désigne par la dénomination commune de lignes tri"
gonométriques ou A.e fonctions circulaires,
p^ariation des lignes trigonométriques ,
6. !Nous allons examiner de quelle manière varient les six
lignes trigonométriques d*un arc x^ lorsque cet arc varie de o
à~hoo etdeoà — oo.
Si X croît de o à H — ? les six lignes trigonométriques
restent positives ; sin x croît de o à + 1 9 en passant par toutes
les valeurs intermédiaires^ tango: croît de o à H- 00 , et sécx
croît de I à + 00 .
Les trois autres lignes vont au contraire en décroissant :
cosx décroît de i à o; cota? décroît de -h 00 à o, et cosécj?
décroît de -4- oo à + i . Ainsi, en désignant par e un ait; po-
sitif qui décroît de manière à avoir zéro pour limite, on a
sine = 0, COSOr::: -1- I,
tango zzz o, cet lim g r^z 4- oo ,
séco — - H- I , coséc lim e - : -f- 00 ,
et
sm- r— -H I,
2
lim(^-e):=
coà
TT
2
0,
cet
2
0,
coséc
2
•
I
tang lim I e ) :-- -f- 00 ,
séc lim ( e ] -_:: -f- 00 ,
Si X croît de H — à 4- îTj sino: et coséc a: restent positifs,
mais les quatre autres lignes trigonométriques sont négatives,
smx décroît de -I- 1 à o^ tango? croît de — oo à o; séccr
croît de — 00 à — i ; cosx décroît de o à — i -, cotor décroît
.CBAPiTRB TREHIER. 7
de o à — 00 et cosécjr croît de -f- i à H- oo . Ainsi Vtxa a
■ »
taBg lim I - 4- 1 1 = — 00, sëç Bm (-••+■ t ) 3= -— OD »
et
sin ir =:= o, cos ir = — i ,
tangirrrrzO^ COt lllD (tt — e) =: — 00,
Si X croît de 4- TT à H , tangx et çotJ: redevienjaeat
positives, mais les quatre autres lignes sont négatives ; sino:
décroît de o à — 1\ tangx croît de o à •+■ oo 5 sécx décroît de
— I à — 00 j çosjc croît de — 1 à o ; cotx décroît de H- 00 à o,
et coséc X croît de — 00 à — i . Ainsi Ton a
«
cot Uni (tp 4- •) ===; -i- 00 ^ çosçc lim (tt 4- ?) -- — QO ^
et
• sin — ' =^ — I, cos — -=xo,
2 2
,. /Stt \ ^ 3ir
tang lim I fjr:r-f-oc>, cot — =0,
, ,. /3ir \ , 3ir
sec lim 1 e ) z=z — 00 , cosec — = — 1 .
Si X croît de — à 2 tt, cos x et séc x deviennent positives ^
mais les quatre autres lignea sont négatives ; sin x croît de — 1
à o; tango: croît de — 00 à o;, séc a:' décroît de H- 00 à 4- i ;
cosor croît de o à -h i ; cotoc:' décroît de o à ™ 00 , et coseQ jp
décroît de — 1 à — 00 . Ainsi Ton a
tang lim ( h « J z= — 00 , séc lim f 1- g J r:^. 4- 00 ,
et
sin 2n ^ o, cos 2n = -h i,
tang2 7r=::0, COt lim (2 7r — ejrnr — 00,
^ séc2ir = H-i, coséclim (277 — «) -— — oo .
Si Von fait croître x de a w à 4 ^^ ou de 4 ^ à 6 w, ou * • . ,
8 TBAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.
les six lignes trîgonométrîques reprennent périodiquement les
mêmes valeurs et dans le même ordre.
Si X décroît de o à — oo , cos x et séc x prennent les- mêmes
valeurs que quand x croit de o à 4^ co • les quatre autres lignes
trigonométriques prennent aussi les mêmes valeurs absolues
que quand x croît de o à -h oo , mais les signes sont changés.
On vérifie immédiatement ce fait en remarquant que les extré-
mités de deux arcs a: et — x égaux et de signes contraires sont
situées du même côté àeyy et à des distances égales de xx\
Ainsi l'on a, quel que soit a:,
sin ( — a;) = — ûnXy cos ( — x) r= coso:,
tang ( — x)-- — tang:c, cot ( — ^) = — cotj:,
séc ( — X ) = sécx, coséc ( — x)—-- — coséc a:;
et, puisque les lignes trigonométriques redeviennent les
mêmes quand on ajoute à Tare un nombre quelconque de cir-
conférences, on aura, quel que soit a:, et en désignant par h
un entier positif ou négatif quelconque,
sin ( 2 /• TT -f- x ) zrr sln X cos ( 2 X- îT H- ^) r=r COS J:,
tang ( 2 /-TT -f- x) m tang a:, cot ( a Xt: -}- or ) rrz cotx,
séc (a/TT H- jc) =rr sécx, coséc (2/-7r -h x) z=z. cosécx.
7. Soit X un arc quelconque positif ou négatif. Les deux
arcs a: et X -t- TT sont évidemment terminés aux extrémités
d'un même diamètre 5 par conséquent leurs sinus, leurs cosi-
nus, leurs sécantes et leurs cosécantes sont égaux et de signes
contraires, tandis que leurs tangentes et leurs cotangentes sont
^ales et de même signe. On a donc
sin (ir -4- a:) = — sin^r, cos (tt -f- j:) =r: — cosar,
tang (tt -i- .r) =r tango:, cot (w -4- x) 1— cot jt,
séc ( TT -h j^) 1:= — sécjî, coséc ( tt h- x) =r — cosécx.
Les fonctions tang x et cot x ne changeant pas quand x aug-
mente de TT, on dit que ces fonctions sont périodiques ; tt est
V amplitude de la période ou simplement la période. Les
quatre autres lignes trigonométriques sont également des fonc-
tions périodiques de x^ mais leur période est aTr-, on a vu.ef-
GHAFITBB PBEMIER. 9
fectivement que les lignes trigonométrîques ne changent pas
quand x augmente d'un multiple de la circonférence. Les
équations précédentes montrent que sina:, coso:, sécjc et
coséc X ne font que changer de signe, quand x augmente de la
demi-période tt.
Si, dai]^§ les équations précédentes, on change j: en — x, il
vient, en ayant égard aux formules du numéro précédent,
sin (:r — a?) rrr sinjc, ces (tt -«- :c) — - — ces a-,
taog {jz — x) -zi — tang a:, cet ( n — .r) -^ — cota:,
sec (tt — Jc) z— — séc^, coséc (tt — .r) r-: cosécx;
d'où il suit que, si deux arcs sont supplémentaires, leurs sinus
et leurs cosécantes sont égaux et de même signe, tandis que
leurs cosinus, leurs tangentes, leurs cotangentes et leurs sé-
cantes sont égaux et de signes contraires.
Des deux groupes précédents d'équations on déduit immé-
diatement, en désignant par k un entier positif ou négatif,
sin [(2 X- -h \)itàzx^rzzz:psmx^ cos[(2/ -1- i)îcrt:.r]= — cosar,
lang [Icnzhx) ::=zbtangd:, cet (X-7rr'i.r)=:dzcotx,
séc[(2/- -f- i)Tf±..r'^=^ — sécr, .coséc [(a/- -f- 1 )7rz!:iJî] 1= i]:: coséc x,
8. De la discussion du n® 6 il résulte que le sinus et le co-
sinus restent compris entre les limites — i et H- i ^ la sécante
et la cosécante prennent toutes les valeurs entre -r i et -1- Qo ,
et entre — i et — oo ; enfin la tangente et la cotangente pren-
nent toutes les valeurs comprises entre — oo et -f- oo .
Il est très-important de remarquer que chacune des lignes
trigonométrîques d'un arc x prend toutes les valeurs qu'elle
est susceptible d'acquérir dans la variation indéfinie de a:,
lorsqu'on ne fait varier x que dans un intervalle de deux qua-
drants. Ainsi, quand x varie de à -f — ? le sinus, la tan-
gente, la cotangente et la cosécante prennent toutes les valeurs
dont ces lignes tri gonomé triques sont susceptibles^ et si x
varie de o à :r, le cosinus, la tangente, la cotangente et la sé-
cante prennent aussi toutes les yaleiu»s dont elles sont suscep-
tibles. Enfin, si l'on n'a égard qu'aux valeurs absolues, les six
lO TRAITÉ VE TRIGONOMÉTRIE.
lignes trigonométriques prennent toutes leurs valeurs quand
l'arc varie de o à -> ou de - à tt, ou . • .
On a souvent besoin^ étant donné un arc a?, de trouver l'arc
compris entre o et - 9 qui, abstraction faite des signes, a les
mêmes lignes trigonométriques que a:. H suffit pour cela de
retrancher de x le plus grand multiple positif ou négatif de la
demi-circonférence qu'il peut contenir, de manière que le
reste positif ou négatif dz a soit en valeur absolue moindre
que -*, l'arc a aura, en faisant abstraction des signes, les mêmes
lignes trigonométriques que x.
Des arcs qui correspondent à une ligne trigonométrique
donnée*
9. Il résulte des développements qui précèdent qu'à chaque
valeur de Tare entre — oo et H- oo correspond une valeur
unique bien déterminée pour chacune de ses lignes trigo-
nométriques, tandis qu'à une même valeur donnée de l'une des.
lignes trigonométriques correspondent une infinité de valeurs
de Tare, Il est très-important de savoir déterminer tous les
arcs qui répondent à une ligne trîgonométrique donnée,
lorsque l'on connaît l'un de ces arcs \ nous allons donner la
solution de cette question. Soient , comme précédemment^
A l'origine des arcs \yy la ligne sur laquelle se portent les
sinus et les cosécantes \ xfx celle sur laquelle se portent les
cosinus et les sécantes^ z! z et ulu les lignes sur lesquelles se
portent respectivement les tangentes et les co tangentes.
Sinus ET COSÉCANTES. — Soit -{- OQ ou — OQ' un sinus
donné {fig> 4)? menons par le point Q ou Q'une parallèle
à OA-, cette parallèle coupera la circonférence en deux points M
et M' ou M'^ et M"', et il est évident que tout arc qui répond au
siBus donné aura l'un de ces deux points pour extrémité \ dési-
gnons par a l'un quelconque de ces arcs ; je dis que les arcs a
et ir — a auront respectivement pour extrémités M et M'
GHAPITRI PmBHIBS.
Il
OU ]VF et M'^; en effet, supposons, par exemple, que a ait
son extrémité en M : pour décrire Tare tt — oc, on ira d'abord
de A en A^, en suivant le chemin ABA'; il restera à décrire
l'arc — a, ce qui ramènera en M', puisqu'en décrivant + a à
partir de A on s'arrête eu M. Cela posé, tout arc x qui répond
au sinus donné a la même extrémité que Tun des arcs a
et n — a ^ on a donc (n® 3), en désignant par k un entier po-
sitif, nul ou négatif.
Soit, 'en second lieu, -f- OH ou — OH' une cosécante don-
née ; si par le point H ou H' on mène deux tangentes à la cir-
conférence, les points de contact M et M' ou M'' et M'" seront
les extrémités des arcs qui répondent à la cosécante donnée.
Si donc on désigne par x et a deux quelconques de ces arcs,
on aura comoie précédemment
a: 1-2: 2 X- TT -4- a ou a:zn (aX* -f- iJtt — a.
Go$IK13S ET SÉCAlfTBS. — Soît -f- OP OU OP' UU COsiuUS
donné ^ menons parle point Pou P' une perpendiculaire à OA^
cette perpendiculaire coupera la circonférence en deux points
M et M''' ou M' et M'^, et il est évident que tout arc qui répond
au cosinus donné aura l'un de ces deux points pour extré-
mité*, désignons par ol Vun quelconque de ces arcs. Les arcsa
et — a auront leurs extrémités en M et M'" ou en M' et M'^'^
donc tout arc x qui répond au cosinus donné a la même ex-
12 TRAITA DE TRIGONOMÉTRIE.
trémité que l'un des arcs a et — a ^ on a, par suite,
X
#
a,
k étant un entier positif, nul ou négatif.
Soit, en second lieu, -f- OK ou — OR' une sécante donnée -,
si, par le point K ou K', on mène deux tangentes à la circon-
férence, les points de contact M et M"^ ou M' et M'' seront les
extrémités des arcs qui répondent à la sécante donnée. Si donc
on désigne par a: et a deux quelconques de ces arcs, on aura,
comme précédemment.
.r
zz=.lk
TT
a.
Tangentes et cotawgentes. — Soit une tangente donnée
-+- AT ou — AT' ou une cotangente donnée -H BS ou — BS' \
menons une droite par le centre du cercle et par l'extrémité
de la tangente ou de la cotangente donnée \ cette droite cou-
pera la circonférence en deux points M et M'' ou M' et M"^, et
il est évident que tout arc qui répond à la tangente donnée ou
à la cotangente donnée aura l'un de ces deux points pour ex-
trémité 5 désignons par a l'un quelconque de ces arcs. Les
arcs a et TT n'- a auront évidemment leurs extrémités en M et M''
ou en M' et M'^ \ donc tout arc x qui répond à la tangente
donnée ou à la cotangente donnée a la même extrémité que
l'un des arcs a et tt -:- a, et l'on a, par conséquent,
a: :=: 2 /- TT H- a, ou .r ~r 2 /jr -4- tt -h a = (2 /• -i- I ) tt -î- a,
OU simplement
X znz A'Tv -\- a,
k désignant un entier positif, nul ou négatif.
Ce qui précède conduit aux conséquences suivantes :
Pour que deux arcs aient le même sinus ou la m,ême cosé-
cante, il faut et il suffit, ou que leur somme soit égale à un
nombre impair de demi- circonférences, ou que leur différence
soit égale à un nombre pair de demi-circonjérences ,
Pour que deux arcs aient le même cosinus ou la même sé-
cante, il faut et il suffit que leur somme ou leur différence
soit égale à un nombre entier de circonférences .
Pour que deux arcs aient la même tangente ou la même
... ' \r
1 i-' t' i
y
V
>: .
(
t . I.
CBtPlTRE PREMIER. l3
cotangente, il faut et il suffit que la. différence de ces arcs
soit égale à un nombre entier de demi-circonférences.
iO. Quand on pose
on a coutume d'écr
■ï ^= arc sinj", ou j x = arc sécj", ou • • • «
c'est-à-dire x =r l'a ist y., x = l'arc dont la
tangente est y^ . . . : qui préecde, on voit que
ces expressions arc it pas entièrement diiter-
miuées, car elles admettent une inSnité de valeurs pour chaque
valeiu-de^. Les quatre expressions arc sînj', arc tang;;^, arc
COljf, arccosécjr deviendront complètement déterminées si
l'on spécifie que leurs valeurs restent constamment comprises
entre et H — ; pareillement les expressions arccosj-
ei arc sécj^' seront déterminées si l'on spécifie que leurs va-
leurs restent constamment comprises entre o et ir. Avec cette
restriction, les six expressions
arcsiu/, arc tan g j, arcsécj', arccosj, arccotj-, arccosccj'
peuvent être considérées comme des fonctions de_j'; elles sont
employées à ce i)oint de vue dans les parties élevées des
Mathématiques , et on leur a donné le nom de fonctions cir-
culaires inverses. Par opposition, les lignes trigoBomé triques
sont souvent désignées sous le nom de fonctions circulaires
directes.
Relations entre les lignes trigonométrie ues
d'un même arc.
\i. Il existe entre les six lignes trigonométriques d'un
même arc cinq relations distinctes que nous allons établir.
Soit X [fig- 5) un arc positif ou négatif dont l'cîitrémité M
est située dans le premier quadrant AB, on a
OM = i,
sina; — MP, tangx =: AT, séca: = OK,
cos^-OP, cot* = BS, cosécar = OH.
l4 TBAITÉ DB TRIflOHtMItTRtB.
CeU posé, le triangle OMP donne
les triangles rectan e
enfin les triangles semblables TOA et MOP, BOS et MOQ
donnent
TA _ MP M _ i»Q
OA ~ OP ' OB ~ 5q '
Ces cinq égalités peuvent s'écrire de la manière suivante :
(i) sin'j-l- cos'je = 1,
(2) séci.COS:e=; 1,
(3) coséc^.sinj;:^!,
, ,, sin B
(4) '^'=SS'
(5) COtJ: = ^^'
Telles sont les relations que nous voulions obtenir; on peut
en déduire plusieurs autres qu'il importe de remarquer. Ainsi
on tire des équations (4) et (5), par la division,
(6)
COta:= :
tangx'
les ëquations
{')
et
(3)
donnent aussi
(7)
sécx=: 1
(8)
cosécar=: -, — >
sm*
G&APITRS PREMIER. l5
ce qui montre que cotx, sëcx et cosécx sont respectivement
les inverses de tangor, cosaretsinjc.
Des équations (4) et (5) on déduit
I H- tangua?
I -h cot';ir
14-
IH-
sîn*:c
—
t
COS*JP
COS*JP
COS*JC '
T
sin'j?
■iri'x*
ou, à cause des relations (7) et (8),
(g) séc'jT r=r | H- tailg'^r,
(lo) cosëc'x = I -t- cot*ar.
Ces deux dernières peuvent être démontrées directement, car
les triangles rectangles OTA et OSB donnent
OT = OK =:r OA -+- AT , OS == OH :== OB -h BS,
relations qui ne sont autres que les équations (9) et (10).
12. Pour établir les formules (i), (2), (3), (4) et (5), nous
avons supposé l'extrémité de l'arc x située dans le premier
quadrant ] mais il est aisé de voir que ces formules sont géné-
rales. En effet, quelle que soit la position de l'extrémité M
sur la circonférence, il existe (n^ 8) un arc compris entre o et
—9 et qui, abstraction faite des signes, a les mêmes lignes tri-
gonométriques que a:\ d'où il suit que, si l'on n'a égard qu'aux
valeurs abscdues des lignes trigonométriques, les relattans (1),
(2), (3), (4) et (5) auront toujours lieu. La relation (i), qui
ne contient que les carrés de sina: et de cosx^ sera donc vraie
dans tous les cas, et il suffit de constater que les deux membres
de chacune des relations (2), (3), (4) ^t (5) ont toujours le
même signe. Or on a vu :
I® Que cosa: et séco: sont tous deux positifs si l'extrémité
de l'arc x est située dans le premier ou dans le quatrième qua-
drant, et qu'ils sont négatifs dans les deux autres cas ;
2** Que sino: et coséc x sont positifs si l'extrémité de l'arc x
est située dans le premier ou dans le deuxième quadrant, et
qu'ils sont négatifs dans les deux autres cas ^
l6 TRAITE D£ TRIGONOMÉTRIE.
3** Que la tangente et la ootangente de x sont positives si
rextrémité de cet arc est dans le premier ou dans le troisième
quadrant, auquel cas sin x et cosar sont tous deux positifs ou
tous deux négatifs ^ tandis que les mêmes lignes Irigonomé-
triques sont négatives si l'extrémité de Tare x est dans le
second ou dans le quatrième cpiadrant, auquel cas sinx et
cos X ont des signes contraires.
On conclut de là, et de la règle de la multiplication des
quantités positives et négatives, que les deux membres de cha-
cune des relations (a), (3), (4^ (5) sont toujours de même
signe. Par conséquent ces formules subsistent pour toutes les
valeurs de x.
13. Des relations (i), (a), (3), (4), (5) on peut tirer les
valeurs de cinq quelconques des six lignes trigonométriques
en fonction de la sixîènie j on ^ par exemple,
cosx ^ I — sm^Xy
tang.r
sin.r
i — — *
H" V * — SMï^je
-- v'i — sin-.ir
sm.r
sëcar
=
i
:. ^i — sin^x
cosécj:
I
«
smx
Remarquons toutefois que, lorsque Ton connaît une ligne
trigonométrique d*un arc x, les autres lignes n? sont pas toutes
déterminées complètement^ ainsi, quand on donne sinx, la
valeur de cosécx est déterminée, mais on ne connaît que les
valeurs absolues des quatre autres lignes. La raison en est que,
parmi les arcs dont le sinus est donné, il y en a dont les co-
sinus, tangente, cotangente et sécante sont positifs, et d'autres
pour lesquels les mêmes lignes sont négatives.
On a souvent besoin de connaître sinx et cosx quand on
donne tangx^ supposons que la valeur donnée de tangx ait la
forme fractionnaire — ; on aura
sïn'jr -4- cos' Jr — I ,
cosjr
m
CBAPiTES PKBMIBK.
'7
d'où Ton tire
m n
^rrû -f- n^
^w} -h n*
dans ces deux formules, le radical ^m* 4- /z* doit être pris avec
le même signe-, mais ce signe est indéterminé.
L'arc y étant égal à son complément, cos y est égal à sin j *,
on a donc
tang 7 = » î
on trouve ensuite, par ce qui précède,
. T 1t 4/2
sin -7 = cos «7 = -i— •
4 42
Formules relatwes à l'addition des arcs,
14. Sinus et cosinus. — Nous nous proposons igi de déter-
miner le sinus et le cosinus de la sonune de deux arcs, con-
naissant les sinus et les cosinus de ces arcs.
Désignons par aelh deux arcs positifs dont la somme ne
surpasse pas-» Soit [fig* 6) A Torigine des arcs 5 prenons
Fig. 6.
B N
AM = a et MN = i^ on peut considérer Tare b comme ayant
M pour origine et N pour extrémité, et Ton a
a-\- fe = AN;
menons NQ perpendiculaire sur le rayon OM; NR, QI, MP
Trig, S. a
l8 TRAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.
perpendiculaires sur OA, et QH parallèle à OA^ on aura
sina = MP, cosa = OP,
sin b = NQ, cos b = OQ,
sîn {a H- &) =r NR = QI -f. NH,
cos {a'hb) = OKz=iOl — QH.
Cela posé, les triangles semblables MPQ et QIO donnent
QI^_ OI_OQ
mp""op"^om'
d'où Ton tire
^, MP.OQ . ^r.T OP.OQ
QI = ■ ^.^ = sma cos b, 01 = ^,, :=-■ cosû cos b.
^ OM OM
Les triangles MPO et NQH sont aussi semblables, car ils ont
les côtés perpendiculaires chacun à chacun ; on a donc
NH QH NQ
OP ■"mp'^om'
d'où Ton tire
„„ OP.NQ . . ^„ MP.NQ . .
NH = ^,, = cosa sm6, QH = ^^, ■ = sma sm b,
OM OM
On a, d'après cela,
(i) sin (a -r- ft) = sin a cos ô -h cosa sin 6,
(2) cos(a -h ft) =:cosacosô — sina sîn 6.
15. Ces formules (i) et (2) n'ont été démontrées que dans
rhypothèâe où a et i sont deux arcs positifs dont la somme
n'est pas supérieure à -5 mais nous allons prouver qu'elles
s'appliquent à deux awîs quelconques a et b.
1^ Les formules (1) ei (2) subsistent pour toutes les valeurs
de a et de b comprises entre o et —
Cela ayant été établi pour le cas de a -h i <^ - ou = -> sup-
posons a -h b'^'-] soient a' et b' les compléments de a et
châpitrb PRnisR. 19
de &, on aura al "\-V <^-\ par conséquent,
sin ( fl' H- ô') = sin a' cos b* 4- cosa' sin b\
cos ( a' H- h') = cosa' cos b' — sin a! sin 6'.
Conune les sinus de deux arcs supplémentaires sont égaux^
tandis que les cosinus sont égaux et de signes contraires, si l'on
remplace a!^ V et a! -h V par leurs valeurs a, b et
ir — (a-hS),on obtiendra précisément les formules (i) et (2).
tP Si les formules ( i ) eJ ( 2 ) s'appliquent à deux arcs aetby
elles subsistent encore, quand on ajoute - à l'un des arcs.
Les arcs a et b satisfaisant, par hypothèse, aux formules (i)
et (2), posons a! = a-i — j et remplaçons a par a' > il
A 2
viendra
sin ( «' H- ft ) = sin 1 «' J cos b-^ cos la' j sin b^
cos la' -h b j =cos ( fl' — - j cos b — sin la' ] sin 6 ;
or on a, quel que soit x,
smix 1 = — sm( ^1 = — cos x,
cos Ix j == cos ( ;r I = sm ar ;
donc les formules précédentes peuvent s'écrire comme il suit :
cos [a' -h è) = cos«' cos^ — sin a' sin^,
sin {a' -{- b)=z sina' cos 6 H- cosa' siab^
et l'on voit que ce sont les formules (i) et (2) où l'on^ a mis i/
ou a 4- - à la place de a.
2 ^
Z^ Les formules (i) et [2) subsistent pour toutes les valeurs
positis^es de a et de b.
Supposons, en effet, que les arcs positifs aet b contiennent
9.
20 TRAITÉ DB TRIGONOMÉTRIE.
respectivement, le premier m, le deuxième n quadrants, et
posons
a:=.m — ha, h -sizn ho,
2 2
cl et i' étant chacun moindres qu'un quadrant; on aura
sin (û' -h 6') = sin a' ces 6' -h ces a' sinft',
ces (a' -h b') = ces /^' cosa' — sin a' sin 6'.
Or, d'après ce qui précède, ces formules subsisteront si Ton
ajoute successivement m fois - à a' et « fois -ai'; donc les
2 2
formules (i) et (2) s'appliquent à deux arcs positifs quel-
conques a et b,
4° Les formules (i) ef (2) subsistent pour des valeurs quel-
conques de a et de b.
Cette proposition étant démontrée dans le cas où a et £ sont
tous deux positifs, supposons que l'un au moins de ces arcs
soit négatif, et désignons par h un entier assez grand pour que
les sommes 2Âr7r-ha = a', ^ki: -|-i=: V soient positives ; on
aura
sin(fl' -r-b')=z ûna! cash' -hcosa' sine',
cos ( a' -h ô' ) = ces a! cos b' — sin a' sin 6' ;
remplaçant a' par 2 /:7r -f- «, V par 2 A^tt -+- i, et se rappelant
que l'on a, quel que soit x^
sin(2X-7r -h x) irrsinj:, cos(2^ir -h Jî)i=:cosa:,
on retrouve les formules (i) et (2).
La généralité des formules (i) et (2) est donc complètement
établie ; il convient de remarquer que chacune de ces formules
peut se déduire de l'autre en remplaçant dans celle-ci a par
a H — » ou 6 par 6 H — •
2^2
Si dans les formules (i) et (2). on change t en — t, il vient
(3) sin (a — 6) = sin ^z cos 6 — cosasinô,
(4) cos(a — b)z=zcosaéo^b -hûnaûxib.
16. On peut facilement trouver, par ce qui précède, le sinus
CHAPITRE PREMIER. 2t
et le cosinus de la somme d'un nombre quelconque d'arcs,
quand on connaît les sinus et les cosinus de ces arcs. Soient,
par exemple, a^ b^ c trois arcs quelconques^ on a
sin (û -4- A H- c) = sin (a -h b) cosc -4- ces (a -h b) sine,
cos(û ■+■ b -hc) = cos(a-h ft)cosc — sin (« -h 6) sine;
puis, en développant sin (a -h i) et cos (a H- i), il vient
sin {a -h b -^ c) =z sînacosécosc -f- sin^cosacosc
-f- sin c cos a cos b — sin a sin b sin c,
cos(a -4-^-4- c) =:cos<icosècosc — cos «z sin 6 sin c
— cos b sin a sin c — cosc sin a sin 6.
Connaissant ainsi les formules qui donnent le sinus et le cosi-
nus d'une somme de trois arcs, on pourra obtenir celles qui
donnent le sinus et le cosinus d'une somme de quatre arcs, et
ainsi de suite.
17. Tangentes et cotangentes. — Pyoposons-nous main-
tenant de trouver la tangente ou la cotangente de la somme de
deux arcs, connaissant les tangentes ou les cotangentes de ces
arcs.
Soient a et b deux arcs quelconques, positifs ou négatifs \
on a
, , , sin (a -f- ^) sin û cos b H- cos a sin b
tBns(a-hb)z= ) j-=z r -. r-7 5
^ cos [a -h b) cos £{ cos 6 — sin asm 6
et, en divisant les deux termes de cette valeur de tang(a -ht)
parcosacos&, •
ifx / ,N tanga -4- tango
(5) tang(a + 6)= ^ ^.
•'' ^^ ^ i — tangûtang^
Si l'on change i en — b dans cette formule, il vient
(6) tang(«-i) = i?55^-îî2ii..
^ ' o\ y I H- tangfltangô
Pour avoir cot(a + t) en fonction de cota et coti, il suffit
de se rappeler que la cotangente d'un arc est l'inverse de la
tangente de cet arc. Au moyen de cette remarque, on peut
aa TRAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE*
écrire les équations (5 ) et (6) comme il suit :
, _. cotacot^ — ^i , ,. i-hcot«cotô
cot(«-hè)= — j COtfa — 0]=: ; •
^ ' cota + coto ^ ' cot«» — cota
On peut aisément, parce qui précède, exprimer la tangente
de la somme d'un nombre quelconque d'arcs en fonction des
tangentes de ces arcs. Soient, par exemple, a^ b^ c trois arcs
quelconques^ on a
^ ' 1 — tang(a -h bjtangc
, / 7 \ 1 tane a •+- tanc b
et, en remplaçant tang(a 4- o) par sa valeur ^--j
il vient
, , , » tans a -i- tanc;^ -f- tanec — tans a tansb tansc
iaais(a + ^ -h c) = ^ ^ Ë 5 ^ Ë» .
^ ' I — tanga tango — tanga tangc — taugo tangc
Connaissant ainsi la formule qui donnç la tangente d'une
*
somme de trois arc3, on pourra obtenir celle qui donne la
tangente de la somme de quatre arcs, et ainsi de suite.
Formules importantes déduites des formules relatii^es
à t addition des arcs,
18. Des formules
sin(a -}- b) = sînacosè -\- cosasinft,
cos(a -i- b) =rcosacos^ — sinasin^,
sin(« — b) =:sinacos^ — cosasinè,
cos(« — b) =cosacosfe -i- sînasiD.6,
on déduit
sin(a -f- ^) -4- sin(a — b) = 2sinacos6,
sin(a 4- é) — sin(tt — b) = 2C0S« sine,
cos[a -h b) -h cos{û 7— b)=z 2cosacos6,
cos(a — b) — cos(a -h b) = 2sina sine.
Soient maintenant
a -h b =:p, a — è = çj
on aura
(0
CHAPITRE PRUm.
et les formules précédeutes deviendront
23
sinp
(2)
•sm^
sinq
ces 9
smp
cosp
cosq — cosp =z
2sin-(/?4-i7)cos~(/> — ç),
2 sin - f/7 — q) cos -{p -h q),
2 COS - (;> -f- gr) COS - (/? — 5^),
2 sin - f/? ^- gr) sin - (/? — q).
Ces dernières formules sont fréquemment employées; elles
servent à exprimer la somme ou la différence de deux sinus
ou de deux cosinus par un produit de sinus ou de cosinus.
On peut de même exprimer par un produit la somme ou la
différence d'un sinus et d'un cosinus-, en effet, on a
cos/7 zii sin^ = sia ( - — /? j =h sin^,
et, en faisant usage des formules (2),
. /tt p — q\ /w p-^qX
p-\rq\
(3)
C0S7? -H smç
2sm
f cos/? — sm^ =: 2 sin ( j —
COS ( -7 —
2 / \4
2
)
En divisant deux à deux les formules (2), on obtient les
suivantes, qu'il importe de se rappeler ;
/ smp H- sin 7 siny(/? -f- q)cos^(p — q) tang~(/7 -\- q)
sinp — sin<7 sin|(/? — î)cos{(/? -¥q) tang|(/7 — q)
sin/? 4- sin ^ si^^ i (/^ + ^)
cos/? -\- cosq cos|(/? -t- q)
sinp -I- sin q cos\{p — q )
(4)
cos^ — cos/? sm
tan6i(/?-^-<7)»
[p-q)
cot|(/? — <?),
sm» — sm<7 smlfp — q) ,, v
cos/? -f- cos^ cos j(/? — q) ^
smz? — 8m<7 cos-~(p -\- q) , , .
— = . ;/ ^x=cot|(/?H-^),
cos^ — cos/? smy(/? -h q) *
cosp -f- cos<y _, cosjff? -f- g) cos|(/? — q)
cosç— cos/? sinY(/? -I- <7)sin3(/? — q)
=z coti(p + ^) cot|(/? — ^).
24 TRAITfi BB TBIGONOMfiniE.
19. On peut aussi transformer la somme ou la différence
de deux tangentes en un produit de lignes trigonométriques.
On a, en effet,
, - sin a , sin b sin a ces h + cosa sin b
tanga±tang6=: ± — ;- =: >
cos« ces 6 cosacos6
ou
(5) tanga ±: tango 1= — ^ -^:
cosacose»
on aurait de même
(6) COta±C0th^= —r^ :— 7^5
siDâ^sm^
(7) cot«±tangè = — T-^ — zh—L.
siiî « CCS b
Voici encore une formule qu'il convient de remarquer.
Multiplions entre elles les deux égalités
sin(û -h ^) = sin<i cosè -4- cosrt sinft,
sin(a — b) = sinacosè — cosasin^;
il vient
sin (û -I- b)ûïi[a — b)=. ûn^a cos^ b — cos'a sin' b
= (i — sin'è) sin'a — (i — &vûi^a) sïxx^b
= (i — cos'a)cos'6 — (i — cos*è)cos'a,
ou
( sin(a + ^)sin(û — fe) =sin'û — sin*ô
(8) J
( • =cos*o — cos*a.
20. Somme des cosinus or des sisïus d'uwe suite d'arcs eit
PROGKESSIOIf ARITHMÉTIQUE. Soicut IcS 71 arCS
«, a -h ^, a-h2^, ..., a -4- (/i — i)h.
Désignons par i un nombre entier quelconque 5 on a (n^ 18)
. h
2 sin -ces
2
/ ^.x • / 2/-|-I.\ . / 2Z — I,\
(« -h iA) = sm I a H h \ — sm ( a -1 h J
En donnant successivement à i les valeurs o,i,2,...,n — i,
CHAPITBE PKUIIBR. aS
il Tient
.h . / ^\ . / h\
2sm- cosa =: sm( a H — I — sm I a u
, h , ^, . / 3^\ . / ^\
2sm-cos(a 4- ^) = sm I «H J — sinl a H — )>
• ^ / ., . / 5h\ . / . 3i%\
asm- cos(^z -4- 2 A) = sin ( a H j — sm la H U
. h . . ._. . / 2/1 — I A . / . 2/1 — 3-\
28m-cos[a + (/i — i)^] = sm(ii H ^ j — sml «H h y
Ajoutant ces égalités membre à membre et faisant les réduc-
tions, il vient
2sin-l cosa + cos(« + ^) -1- cos(« -h 2 A) -4- . . , + cos[a-+- (« — 1)^] j
. / 2/1 — 1-\ . / ^\
= sm I a H h I — sm I « N
d'où
cos« 4- cos(fl -f- ^) -+-... -f- cos[« -h (rt — 1)^]
sin|«-h-^ h\ — sin(a — •- J
. h
2sm-
2
î
enfin, en transformant le numérateur du second membre en
produit de sinus et cosinus, par les formules du n^ 18, on a
cosfl-f- cos{a -4-^) •4-cos(«-f- 2^)4- . . . -f cos[a -f-(« — i)A]
. nh
sm — ces
2
{' - "-^*)
. h
sm-
2
Si dans cette formule on change a en a, et A en — A,
il vient
8ina-f-8in(a-hA)-4-sîn(a-f- 2A) -h . . . -hsin[a-h(/i — \)h'\
, nh , ( « — ï r\
sm — sml a H h )
— ^ y ^ /
"~ .h
sm-
a
a6 TRAITfi DE TRiGONOMfiTRIB.
Les deux formules précédentes donnent des expressions très-
simples pour la somme des cosinus de n arcs en progres-
sion arithmétique, ainsi que pour la somme des sinus de ces
arcs.
Multiplication des arcs.
21. Expressions de sin 2 a et de cos 2 a en fonction de
sina ou de cos a. — Si, dans les formules
j sin ( a -+- ft ) = sin a cos b -t- cos a sin b^
( cos( a H- ^ ) = cosacos b — sin a sin è,
on fait b = ay il vient
, . ( sin2a = 2sinacosa,
(2) {
( cos 2 a =: co&'a — sin^a.
Ces formules (2) font connaître les valeurs de sin2aetde
cos 2 a en fonction de sina et de cos a. Si Ton veut les expri-
mer en fonction de sin a ou de cos a seulement, on devra rem-
placer cos a par ^i — sin* a, ou sin a par y/i — cos*a 5 on obtient
ainsi
,^^ ( sin 2a = ±2 sin <i y/ 1 — sin^a = =h2Cosa^i — cos^'a,
' cos2«i= 1 — 2sin*a = 2C0s'a — i.
Il importe de remarquer que cos 2 a s'exprime rationnelle-
ment en fonction de cos a ou de sin a, tandis que sin 2 a est
une fonction irrationnelle de sin a ou de cos a. Il résulte de là
que, si Ton connaît la valeur de sin a ou de cos a, cos 2 a est
entièrement déterminé, tandis que la valeur absolue de sin 2 a
est seule déterminée. Nous allons donner la raison de ce fait.
Supposons d'abord que la valeur de sin a soit connue, et
posons
sin a = b'y
«
l'arc a est indéterminé, et ses valeurs, en nombre infini, sont
données (n** 9) par les formules
û = 2A-7r-t-a, ai=(2^-4-l)7r — a,
■
on a désigne un arc déterminé ayant b pour sinus. D'après
CHAPITEB PRBMIBR* 37
cela, les valeurs de sinsa sont données par les formules
sin^a := sin(4^'7r + 2a) = sinaa,
sin2â =: sin(4^^ H- aw — 2a)= — sin2a;
et celles de cos2a sont
COSaa = COS(4A-fr -4- 2a) = COS2a,
cos2a = cos(4 ^ïT -4- 2ir — 2a) = cos2a«
On voit par là que sin2a est susceptible de la double valeur
rb sinaa^ tandis que cos aa n'a que la seule valeur cos 2a.
La même chose a lieu si c'est la valeur de cos a qui est
connue. Soit
cosa=: bf
et désignons par a un arc déterminé ayant b pour cosinus ^ les
valeurs de a sont données par la formule
a = ^An dtz a;
par suite, celles de sin2a et de cos 2 a le sont par les sui-
vantes :
sin2rt=:sin(4/*wii::2a) =disin2a,
cos2a =:cos(4^'^=t2a) = cos2a;
sinaa a donc deux valeurs égales et de signes contraires, tan-
dis que cos 2a n'en a qu'une seule.
22. Expressions de sin3a et de cos 3 a en fonction de
sina ou de cos a. — Si, dans les formules (i), on fait è = 2a,
on trouve
sin3a = sinâcos2a -h cosasin2âr,
cos 3 a == cos a cos 2 a — sinasin2a;
en remplaçant sin2a et cos 2 a par leurs valeurs tirées des
équations (2), on trouve
. ( sin3a =:3sjnacos'a — sin*^,
(4) { ^ , a • 2
( cos3â = cos'a — ôsmracosay
formules qui font connaître sîn3a et cos 3 a en fonction de
sina et de cosa. En remplaçant, dans la première, cos'apar
28 TRAITfi DE TRIGONOMfiTRIB.
I — sin'a, et dans la seconde sm*a par i — cos*a, il vient
( sin3«=3sina — â-sin^a^
( cosoaz= ^cos^a — ôcosa.
On voit que sin3a et cosSa sont exprimables rationnelle-
ment, le premier en fonction de sina, le second en fonction
de cosa^ au contraire, sin3a est une fonction irrationnelle de
cosa., et cos3a une fonction irrationnelle de sina. Il résulte
de là que, quand on donne sina, sin3a est entièrement déter-
miné, tandis que la valeur absolue de cos3a est seule déter-
minée ^ au contraire, si Ton donne cosa, cos3a est déterminé,
mais sin3ane Test pas. On peut montrer qu'il doit en être
ainsi, par des considérations analogues à celles dont nous
avons fait usage au n° 21 , et qu'il serait superflu de repro-
duire ici .
23. Si l'on connaît les valeurs de sin(m — i)« et de
cos[m — i)aen fonction de sina et de cosa, on aura celles
de sin wa et de cos/Tîa, en posante =^ [m-^i)a dans les équa-
tions (i), qui deviennent alors
sin/wa= sini2C0s(/w — i)<H- cosasia(/w — i)a,
cosma = cosacos(m — i)a — sinûsin(/n — i)a,
et en remplaçant sin (m — i)a et cos (m — i)a par leurs va-
leurs connues. On comprend comment on pourra calculer de
proche en proche, par cette méthode, les valeurs de sin4a et
de cos4a, de sin 5 a et de cos5a, . . ., en fonction de sin a et
de cosa. Mais nous ne pousserons pas plus loin les calculs;
nous donnerons d'ailleurs, dans la suite, une méthode générale
pour former directement les valeurs de sinma et de cosma,
quel que soit l'entier m.
24. Expressions DEtangaa et de tang3a en fonction de
tanga. — Si, dans la formule
(6) tang(a + &)= ^"g"-^^°g' .
^ ' ov / 1 — tanga tang6
CQAPITaS PBBllIBIl. 29
on fait & = a, il vient
7) tangaa = ^ i
^" " 1 — tangua
formule qui fait connaître tangua en fonction de tanga.
Si, dans la formule (6), on fait 6 = aa, il vient
^ tanfi^iz + taDS 2 a
tang3û=r ^-—L. 2 ,
I — tanga tanga a
et, en remplaçant tanga a par sa valeur tirée de la formule (7),
^r.»^^^ 3tangfl — rangea
tango âr= ■= ;- •
^ I — 3 tangua
Généralement, si la valeur de tang(7n — i)a en fonction de
tanga est connue, on aura tangma par la formule
tangiz -+- tang(m — 1)12
tangma = ■ ; -— •
^ I — tangatang(/7t — ija
On pourra donc calculer successivement les valeurs de
taDg4a, tangSa, . • . , qui seront toutes exprimées en fonction
rationnelle de tanga. Nous donnerons dans la suite l'expres-
sion générale de tang ma en fonction de tanga.
L'expression de cot ma en fonction de cot a se déduit im-
médiatement de l'expression de tangma en fonction de tanga ^
par exemple, en remplaçant dans la formule (7) tanga et
I I ., .
tang a a par — et > il vient
" * cota cot 2 a
cot' a — 1
cot 2 û =:
a cota
Division des arcs.
2o. Expressions de sin-a et de cos-a en fonction de cosa.
2 2
-Ona(n°21)
cos* — a — sm* - a = cosa,
2 2
cos' - a ■+- sm' - a = I ,
2 2
3o TRAITÉ DB TRIGONOVtTUB*
et on tire de là
,1 I -I- cosa . . I I — cosa
cos' a = 9 sin' - a=z >
2 2 2 2
d'où
) cos-a = ±Y/ ^^ , sin-.z==±:y/-
— cos«
On voit que les valeurs absolues de cos- a et de sîn-asont
* 2 2
déterminées, mais que leurs signes ne le sont pas. On peut
expliquer ce résultat par les considérations que nous avons
déjà employées au n° 21. Soient h la valeur doimée de cosa,
et OL un arc déterminé ayant h pour cosinus-, les valeurs de a
pour lesquelles on a cosa = h sont données par la formule
« = 2^irdza;
par suite, les valeurs de cos-a et de sin-a le sont par les
2 2
suivantes :
cos
-a = coslX-iriii-a I j sin - a=: sin ( ^tt dz - a |
2 \2; 2 \ % )
Or, si l'on prend pour X: un nombre pair, ces formules de-
viennent
I I .1 . . I
cos — a-=z cos - a, sm - a = 2îz sm — a;
2 2 2 2
et si Ton prend pour X: un nombre impair, elles deviennent
I I . I _, . I
cos — a = — cos — a, sin — flf = zt sin — a ;
2 2 2 2
ce qui montre que cos- a est susceptible de la double valeur
± cos-a, et sin-a de la double valeur ±: sin-a.
2^2 2
Si Tare a est donné, les signes de sin - a et de cos ~ a sont
connus, et Ton peut calculer ceis quantités au moyen des for-
mules (i). Veut-on, par exemple, avoir le sinus et le cosinus
CHAPITRE PREMIER. 3l
1"
de l'arc g» sachant que le cosinus de j est — (n** 13) •, les for-
mules (i) donneront
ces 3 == ^ j sm 3 = ^ •
O 2 Q 2
26. Expressions de sin-a et de cos- a en fonction de sina.
2 2
— Si, dans les formules ( i ) , on remplace cos a par dz ^ i — sin*a^
il vient
2 V
sin*a
cos
. I ,4 /l=Pv/"
an - û = ± \/ ^
2 V
sm*a
sin
î
mais on peut arriver à des résultats plus simples. En effet, des
deux formules
2 sin — a cos — ât = sina, cos" - a -f- sin* -azzzi^
2 2 2 2
on déduit, par addition et soustraction,
I cos — ât-f-Sin — a) rr=I-h SlRiZ,
V 2 2 ;
/ I . I \^
( cos - a — sin - a 1 = i — sm flf,
\ 2 2 y
d'où
I .1 _. I ;
COS — ût -H- sm — û = ir: i/ 1 -f- sin fl.
2 2
COS
I . ' ^ / ::
-a — sm~a = =iiyi — sin«,
2
et, par conséquent,
cos— a = zh — iJi -4-sin<2zt: Ji — sina),
sin - a = ± - (y^i -H sina qi ^i — sinâ) .
2 2
Dans ces deux formides,'les signes supérieurs ou inférieurs.
32 TRAITS BB TEIOONOMÉTRIB
hors des parenthèses ou dans les parenthèses, se correspon-
dent ', mais dans chacune d'elles le signe hors des parenthèses
est indépendant de celui qui se trouve dans la parenthèse.
On trouve ainsi quatre valeurs pour cos-a et quatre pour
sin-a; et il est remarquable que les valeurs de cos- a soient
précisément les mêmes que celles de sin-a. Pour expliquer
ce résultat, soient b la valeur donnée de sina, et a un arc dé-
terminé ayant b pour sinus ^ les valeurs de a étant données par
les formules
les valeurs de cos~a et de sin-a sont
2 2
cos — a = cos I ^ir 4- - a ] ï ces — a = cos ( kir H a] y
— a=z cos ( A-ir H — a m cos - a= cos ( i
2 V 2 y 2 V
.1 . /- I \ .1 . /, . 'f I \
sin - a = sm 1 /îT H — a ) 9 sm - a = sm a-tt H a | •
2 \2/ 2 \22/
Si Ton prend pour k un nombre pair, ces formules deviennent
1 I T /«• f \ . I
cos —a= cos - a, cos - az= cos al = sin — a,
2 2 2 \2 2 / 2
.1 .1 .1 . /w I \ I
sm - a = sm - a, sm - a = sm I a 1 = cos - a :
2 2 2 \2 2 / 2
et, si Ton prend pour k un nombre impair, elles deviennent
I I T / «• ï \ . t
cos - « = — cos - a, cos — ât = — cos 1 a I = — sin - a,
2 2 2 \2 2 y 2
sm
.1 .1 . î . /^ ï \ I
m - a = — sm - a, sm - a = — sm ( « I = — cos - a ;
2 2 2 \2 2 / 2
d'où il suit que cos - a et sin - a ont chacun les quatre va-
leurs zb cos - «, zb sin - a.
2 ' 2
Si l-arc a est doimé, on sait quels sont les signes de sin - a
GHAPITU PUaiBR. S3
et de cos-a^ on sait aussi quelle est celle des deux quan-
tités qui a la plus grande valeur absolue. Cette considération
permet de déterminer dans chaque cas les signes qu'il faut
prendre dans la formule (2) pour avoir les valeurs de cos- a
et de sin-a.
27. Expression de tang~a en fonction de tanga. — Si,
dans la formule
2 tanffa
tang2a=: /^ ,
I — tang'a
on remplace a par - a, il vient
2tancr4-^
tin/*/!» — ^ '
^'^''"-i- tangua'
d'où, en faisant
'
taiDga — bj tang -a — a:,
2
(3)
x*-h Y^ — I — 0;
on tire de là
(4)
*=-T±\/^ + '-
Pour savoir ce que représentent ces deux racines de Téqua-
tion (3), soit a un arc déterminé ayant b pour tangente; les
valeurs de a seront données par la formule
a =z kjf -4- a,
et celles de x par la suivante :
Si Ton prend pour X: un nombre pair 2/2, cette formule donne
X
Trig. s.
=: tang f /ITT H — a j = tang - «,
34 TRAITÉ BB TRIOONOVtTRIB.
et, si l'on prend pour X: un nombre impair 2 72 + 1 , elle donne
. X ri: tang f«irH ! aj = tang ( 1 aj = — cet -a;
d'où il suit que x a les deux valeurs tang- a et — cot-a,
2 2
dont le produit est égal à — i .
Si Tare a est donné, il est aisé de déterminer quelle est
celle des deux racines de l'équation (3) qui est égale à tang - a,
car on sait d'avance quel est le signe de cette tangente. Sup-
posons, par exemple, qu'on veuille trouver tang ^9 sachant
te
que tang-?^ = 1 5 on fera i = i dans la formule (4), qui don-
nera, parce qoe tang h est positive,
. ^ tangg= -.1-4- v^.
28.. On peut exprimer tang - a en fonction de sina et de
cosa par une formule qui est d'un usage fréquent. On a
1 sin-l-^ 2 sin-J-û cosvât 2sin*4-«
tang - « =: f— = ,t ' ■ = — :— i — ^—7-9
2 cos-ja 2C0s^y« 2sm~^acos^a
et, en se servant des formules établies précédemment, on
trouve
I sina I — cosa
tanff - a = = :
"2 1 -H cosa sma
En remplaçant sina par yi — cos*â, on a encore
cos«
tang
2 y 1 -H COSa
29. Equation dont dépend cos ^ quand cosa est donné.
Si, dans la formule
cos3a=:4cos'a — 3 cosa,
CHAPiTaB Fftmin. 35
on remplace a par -^y il vient
ou, en posant
COSflf ==: 4 COS* X — 3 COS -»
cosa = è, COS - = X,
X* -tX y = 0.
4 4
Cette équation est du troisième degré, et l'Algèbre apprend
qu'elle a trois racines réelles. On peut démontrer ce fait
comme il suit : a étant un arc déterminé dont le cosinus est i,
les valeurs de a sont données par la formule
et les valeurs de x le sont par la suivante :
ces
où l'on doit donner à k toutes les valeurs entières positives,
nulles ou négatives. Or, quel que soit A, on peut écrire
/• = 3 /2 4- /,
i étant l'un des nombres o, i ou a ; on a donc
mais les arcs
ont des cosinus qui sont égaux respectivement (n° 9) à ceux
des arcs
a 9.77 a ^r: a
3' T"^3' T"^3'
donc X a les trois valeurs distinctes
et ne peut en avoir un plus grand nombre.
oc
COS-> COS
o
3.
36 TRJLITA BK TRieONOXlTRIB.
30. Équation dont défend sin^ quand sina est donné. — -
Si, dans la formule
sin 3 a = 3 sina — 4 sin^a,
on met ^ au lieu de a, il vient
sma == 3 sm - — 4 s*>^ 0»
et, en posant
sina = ô, sin -5 = jr,
on obtient Téquation
4 4
qui se déduit de celle du n** 29 en changeant 4 en — A.
Pour savoir ce que représentent les trois racines de cette
équation, soit a un arc déterminé ayant b pour sinus ^ les va-
leurs de a seront données par les formules
ât=: aXîT -f- a, a=:[2A ^ l)n — a,
et celles de x par les suivantes :
x
Soit A: = 3/H- I, i étant Tun des nombres 0,1,2; ces for-
mules deviennent
(2/4-1 a\ . /2/4-I ol\
2«„ ^. ___ ^ _ _ j = sin (^-^- « _ - j .
Mais les arcs
Sîr a TT a Stt a
3 3* 3 3' 3 3
ont respectivement (n** 9) les mêmes sinus que les arcs
a 27r a 4^ ^
_- \ — t -^ — i — ;
3 3 3 3 3'
GHÂTins PEirni. 37
donc X a les trois valeurs distinctes
. «
sin?» 8in
. /air a\ . /iir a\
et ne pent en avoir un plus grand nombre.
3i. Équatiou dont dépend tang^ quand tang^ est donnée.
— Si, dans la formule
^ 3 tanga — tang'a
tang'
on remplace a par ^t on obtient
3 tang ~ — tang* ^
tanga == j
i-^3tang»x
et, en faisant
a
tang<2 =3 ô, tang = ^»
il vient
*=r=:3^'
ou
a:* — 3^x' — 3jr -f- i =r o.
On voit que le problème dépend d'une équation du troisième
d^pré. Pour savoir ce que représentent les racines de cette
équation, soit a un arc déterminé ayant b pour tangente \ les
valeurs de a seront données par la formule
et celles de x par la formule
Posons XrssSn + i, i étant Tun des nombres o, i ou 2; la
formule précédente devient
(/ir a\ /iir a\
38 TRAITA DB TUGONOXfinilB.
d'où il suit que x a les trois valeurs
a ^ /ir a\ /air a\
tang-, tang(^- + -j, tang(^_ + _j,
et n'en a pas davantage.
Si la valeur donnée de b est infinie, Fécpiation en x se ré-
duit à l'équation du second degré
3j:*— I = o,
qui n'a que deux racines, savoir H — = et — — ^« D'un autre
côté, comme a = -9 les expressions des racines de l'équation
en X sont
tr ir 5îr
tangg» tang-, tang-^;
d'où il suit que, pour i = 00 , l'une des racines de cette équa-
tion devient infinie, et que les deux autres se réduisent à
tang ^ et tang -^ • On a donc
ir I Stc I
32. En général, si l'on veut obtenir sin— ? cos — ou tang — ?
m m m
connaissant sina, cosa, tanga, on commencera par former
l'équation qui donne sin/na, cos ma ou tsingma en fonction
de sina, de cosa ou de tanga; puis, en mettant — au lieu de
a, on aura l'équation dont dépend l'inconnue que l'on cherche.
Cette équation sera, suivant les cas, du degré m ou du degré
a m. Nous donnerons dans le Chapitre V tous les développe-
ments que comporte cette importante question ^ mais il con-
vient de remarquer, dès à présent, que la détermination de
sîn — 5 de cos — ou de tang — ne dépend que des équations du
cbàpites FBnnm* 39
second degré, si m est une puissance de 2; car, après avoir
trouvé sin-a, cos-a et tang-a en fonction de sina, de
dosa ou de tanga, on pourra, de la même manière, trouver
sinjj cosj et tang ^9 *^°^ft* cosjr et tang^y • •• •
Détermination des lignes trigonométnques
de certains (u*cs.
33. On peut calculer les lignes trigonométriques d'une infi-
nité d'arcs compris entre o et -9 par de simples extractions
de racines carrées.
Des arcs compris dans la formule — ^ • — Si l'on part de
lare - 9 on aura, par la méthode des n*^' 25 et 26, les sinus et
les cosinus des arcs
4' 8' 16
et l'on pourra en conclure ensuite les sinus et les cosinus de
leurs multiples.
On obtient de cette manière
ces -7 = •=— ? ffln -7 = — »
42 4 ^
ces 5 = ^ 3L_, sm ^ =: —y—
02 02
rc \2, -f- V2^ v^ . rc V 2 — V2 -f • \/2
ces -7:=-^ 1 Sm-7T=:-^ j
10 2 10 2
formule dont la loi est évidente. Ainsi, quels que soient les
entiers m et tz, on pourra calculer par de simples extractions
de racines carrées le sinus et le cosinus de l'arc -^ et, par
suite, aussi les autres lignes trigonométriques de cet arc.
4^ TftAITi DB TXI<M>lfOPtVlIB.
34. Des arcs compris dans la formule r — '* — Les arcs tt
et -^ ont le même sinus, puisqu'ils sont supplémentaires^ on
a donc
et, par suite,
on tire de là
sm — =: sm2 ^ = 2 sm- cos ^»
3 o o d
TT
I z= 2 cos ^ ;
tr 1 . îr t/3
cosx = -> 8m^ = J^>
3 2 3 2
ou, comme ^ est le complément de rr»
«1/3 . ÎT I
cos TT = -ï^ï sm ^ = -
02 62
En partant de l'arc ^9 on obtiendra, par la méthode des
n^' 25 et 26, le sinus et le cosinus des arcs
12 24
on trouvera, par exemple, par les formules du n^ 25,
ir \/2-hi/3 . TT >/2 — v/3
cos — = î^9 sm — = '■ — 3— j
12 2 12 2
et, par les formules du n^ 26,
cos — = -7 {s/6 -h 4/2), sîn — = -T (i/6 — i/2).
12 4 '^ 4
On Toit que l'on pourra calculer par des extractions de racines
carrées les lignes trigonomé triques de l'arc -= — -% quels que
d • 2
soient les entiers m et n.
OBAFITIB Ftranft* 4<
35. Des arcs compris dahs la foemxtle 7 — • ^- On a
5.2"
a sin ^ cos - = su— 9
. 2ir 2ir . Av . ir
asm -7- cos-^ = **^ r" ^'^'^Â'
et, en multipliant ces deux formules, il vient
- ir 2fr
4006^ COS-^ =I;
mais le premier membre de cette équation est égal au double
de cos -r -h cos-^ ou de cos ^ — cos -^^ on a donc
tr 2ir I
jsos^ — cos-^ = -;
5 5 2
en élevant cette équation au carré et l'ajoutant ensuite avec
la précédente, il vient
/ K 27r\» 5
d'où
sr 2fr 4/5
cos ^ -f- cos -p- = •^^•
5 5 2
Connaissant ainsi la somme et la différence des cosinus des
arcs 7 et -^9 on a immédiatement les valeurs de ces cosinus,
savoir :
ir . 3ir l + i/5
cos -r = sin — = TT—y
5 10 4
29r . ir — f -4- i/5
cos-îT- = sin — = 7 — î— •
5 10 4
ir , 2ir
Des valeurs de cos ? et de cos -^ on passe tout de suite à celles
4tK TRAiTik US m«oifO«frmi.
de sin^ et de sin -=-; on obtient ainsi
sin 7: = ces — = -vio — 2i/5,
5 10 4 V
sm-y- = CCS — = -T V 10 -H a i/o .
5 10 4
En parlant de Tare — y on obtiendra par les méthodes des
n^* 25 et 26 les sinus et les cosinus des arcs
20 4^
en sorte qu'on peut obtenir par des racines carrées les lignes
5T2"
trigonométriques de Tare •= — ;;;• quels que soient les entiers
m et 71.
36. Des arcs compris dans la formule ^-= — • — On a
3.5.2**
« TT ir
i5 """ 6 10
par suite
Sin — r = smTT cos cos 7; sm — ?
lÔ D 10 O 10
COS— r =COS7; COS h Sin 77 SUl 9
i5 O 10 o 10
et, en remplaçant les sinus et les cosinus des arcs 77 et — par
leurs valeurs trouvées plus baut, il vient
cos
cos
75= g V'io-f-2v/5-^(-n-v/5},
^^Î^V^io + 2v/5-|-g (-,4-v/5X
d'où il suit encore qu'on pourra calculer les lignes trigonomé-
triques de l'arc ^-^ — - par de simples extractions de racines
carrées, et cela quels que soient les entiers m et tz.
CBAPiTtB PBinn. 43
37. Nous compléterons ce qui précède en construisant ici
la Table des sinus et des cosinus des multiples de l'arc — •
* 20
Nous partirons des formules
. air 8ir — 1-4- ^5
m — = cos — = , j
sin
20 20
oir 2ir I / ;=
sin — =: cos — = yyio + ay5,
20 " 20 4
— 2__ irx cos — — ,
20 20 4
Dît I / J^
Sin -=— =1 cos rzr-^YlO — 2 ^5,
. 6ir 4w 1-4-^5
sin — = cos -ï— = 7-^—»
2u 20 4
données au numéro précédent. On aura sin — et cos — 9
* 20 20
. Stt 3ir g, , • air 6ir
sm — et cos — en faisant successivement a = — et a = —
20 20 20 20
dans les formules
. I
sm
2
I I / : I / :
— flf r= — ^ I -4- sm« V I — sina,
I I y : I / ;
COS— «zr: - VI -^sma H — V* — sma;
22 2
on trouve
in ^ =: cos â:!^ = 7 \/3+V5 - i V 5 -- V 5 »
sm
20 20
in ^ =: C08 — = 7 V3 -f- v^ -+- 7 ^5 — v^5,
et
sm
20 2Q
sin — =: cos 2^ = 7 V'S -4- i/5 -- 7 V^3 — i/5,
20 20 4 4
sin^ = cos — = y \/3 -4- ^ 4- Ws — ^5;
20 20 4 4
enfin on a
. 5fr Stt 1/2
SIQ = cos z=L^—»
20 20 2
44 TRAITÉ DB THIGOIfOVtntlB.
Donc on a, en résumé,
sin — = ces 2^ = 4 \/3 -4- ^ — 4 V^5 — i/5",
20 20 4 4
sin — = cos — = -t( — 1-4- 1/5),
20 20 4
3
sini^ = cos2^ = i V5T75 - 1 V^33^,
20 20 4 4
. 4*f 6ir I / ;=
Sin -ï— = cos rz: - V 10 — 2 i/5,
20 20 4
. 5ir 5tr I ,—
sin — = cos =: - 4/2 ,
20 20 2 ^
sin
20
sin^ = cos — = 4 ^5-4-4/5 4- 4 V^3 — i/5,
20 20 4 4
. 8îr 2ir I / ~
sm — = cos — = -7ViO"4-2i/5,
20 20 4
— = cos-ï~ = 7(i-f-v5),
20 20 4
sm =^ = cos — = -T V 3 -f- ^5 -f- y V5 — ^5 .
9î! ^ _
20 """ 20 4 ^ "' * " 4
A Taîde de ces formules, on peut calculer les sinus et les
cosinus des multiples de l'arc — avec une approximation aussi
grande que l'on veut.
38. n est tout aussi aisé de former la Table des sinus et des
cosinus des multiples de l'arc tt-- Neuf de ces arcs senties
multiples de — et, par suite, leurs sinus et leurs cosinus con-
stituent la Table que nous venons d'écrire^ on trouve encore
parmi les multiples de ^ les arcs 7? et — ainsi que leurs com-
pléments*, nous avons obtenu au n^ 34 les sinus et les cosinus
de ces arcs. Les seize autres multiples de ^ comprennent
huit multiples de ^9 savoir:
ir 2ir 4^ 7*
3o 3o 3o 3o
CHAPiTU pimiu. 43
et leurs complëmenU, puis enfin les arcs
w 7ir llir l3lt
60' 60 éô 60
et leurs o immédiatement les
sinus et li . moy«i de la Table
construite e procédé que nous
avons déjà , il suffit effective-
ment pour identiques
3o 20 3' ëo '
4'
Q trouve ainsi
60 "
iSn
TBAITfi DB TUeOHOVtTIlB.
'É =«»l^=g(v^ + ')v'î^^-g(v^-.)VJTVS,
,lî =c..^=^(v/3+,)Vï^^-i(^-.)VF+-v^.
'^=»'^= -i(,/î-.)v/?r;s.
^ = co,3i =i((/3+,)v'F:^+5{,/3-,)N/5r^,
If = ■» fe =i(^...)v'iwiH-i(^-.)Vî^»/-5.
39. D'après la déûnition du a." 5, le sinus d'un arc compris
entre o et n est égal à la moitié de la corde qui sous-tend un
arc double. En particulier, le sinus de l'arc - est la moitié du
côté du polygone régulier de n côtés inscrit dans le cercle dont
le rayon est l'unité. Il s'ensuit (n"' 33 et suîv.) que les côtés
du carré, de l'hexagone régulier, du triangle équilatéral, du
décagone régulier et du pentagone régulier inscrits, ont res-
pectivement pour valeurs
yf'.
■fi.
pareillement les côtés des polygones réguliers inscrits de 1 5 et
de 3d côtés ont pour valeurs
l'J^^^^^s-l^i-
-M
^^\f^-^^-^{,+^).
On retrouve ainsi les propositions connues de la Géométrie
relatives au carré et à l'hexagone régulier. Si le rayon du
cercle est représenté par R et que Ton désigne par D et P
les côtés du décagone et du pentagone réguliers inscrits, les
formules
D__— .i-f-y/5 P __ \/io — 2V^5
R"" 2 ' R"~ 2
donneront
La premi^e de ces formules exprime que le carré du
côté du pentagone régulier inscrit dans un cercle est égal
au carré du côté du décagone régulier inscrit augmenté du
carré du rayon,
La seconde formule montre que, pour obtenir le côté du
décagone régulier inscrit dans un cercle, il suffit de construire
un triangle rectangle dans lequel les côtés de l'angle droit
soient égaux, l'un au rayon du cercle, l'autre à la moitié de
ce rayon, et de prendre ensuite l'excès de l'hypoténuse de ce
triangle rectangle sur le plus petit côté. La même formule
peut s'écrire
R_ D
D"~ rT-^^'
et elle exprime alors que D est la moyenne proportionnelle
entre R et R — D, c'est-à-dîre que le côté du décagone régu-
lier inscrit dans un cercle est égal à la plus grande partie du
rayon disnsé en moyenne et extrême raison.
Les formules établies aux n^' 33 et suivants conduisent ainsi
naturellement aux constructions que Ton emploie en Géomé-
trie pour inscrire dans un cercle un hexagone régulier et un
décagone régulier; l'inscription du triangle équilatéral et du
pentagone régulier s'ensuit évidemment. Quant à celle des
polygones réguliers de 1 5 et de 3o côtés, elle peut s'en déduire
aussi très-aisément; l'arc sous- tendu par le côté du polygone
régulier inscrit de i5 côtés est eifectivement égal à la diffé-
48 TIAITÉ DB TRIG0II01IÉTRI&
rence des arcs sous-tendus par les côtes dé Thexagoue régulier
et du décagone régulier, ainsi que nous en avons déjà fait la
remarque.
Remarque sur les relations entre diverses lignes
trigonométriques .
40. Les formules relatives à l'addition des arcs et toutes
celles que nous en avons déduites ont lieu quels que soient
les arcs que Ton considère : ce sont, en conséquence, de véri-
tables identités. En outre, ces formules permettent de faire
subir diverses transformations aux expressions qui dépendent
de plusieurs lignes trigonométriques, et de là résulte la pos-
sibilité de former autant de relations identiques que Ton
voudra.
Par exemple, nous avons trouvé au n° 35
TT 27r I
CCS ■= — ces —=- := — î
5 2
OU
. TT . StT
I -h 2 sm — 1= 2 sm — 5
lO lO
et, en multipliant par cosa, il vient
cosa -h 2 sm — cosa = 2 sm — cosa.
lO lO
formule identique qu'on peut écrire comme il suit :
sin f a\ -h sin { a] -h sin ( — -h « )
f. , \=?' / \>o / vio ;
= sin ( a] -h sm V- a\ ,
Vio ) \io /
Considérons en deuxième lieu l'expression
. , . .abc
sma H- sinb -f- smc — 4 cos - ces- cos->
222
dans laquelle a, &, c désignent des arcs quelconques. Le dernier
GBAPITIB PIBMIER. 49
terme est égal à
a ( b — c b ^c\
— 2 cos - ( cos h cos I ï
2 \ 2 2 /
ou à
«-+-6 — c a — b -\~ c
— cos cos
2
— cos cos :
2 2
l'expression proposée peut s'écrire, en conséquence, de la ma-
• \
niere suivante :
( sina -f- sm j -+- ( smo -4- sm J
(. a-^b — c — 7r\ . a -^ b -^ c — tt
sin c -f- sin 1 -f sm ;
2 ; 2 '
transformant ensuite en produits les sommes contenues
dans chaque parenthèse, et remplaçant le dernier terme par
. a '\- b \- c — TT a -^ b -^ c — tt -. ,
2sm ; cos > — ■ » on obtient cette for-
mule
4 a b c
cos - cos - cos -
2 2 2
, . f . U-t-U~^C TT / OU U rj-r-TT
\1){ = 2 Sin 2 t ^OS 7 î- COS
. a~\-b-k-c — TT / 3« — b — c-j-TT Zb — c — ûH-tt
4
3c — a — 6-4-7r a-\-b'^c — :
-l-cos > h cos -, 1 >
')
qui a lieu identiquement, quels que soient les arcs a, i, c. On
voit que si ces arcs satisfont à la relation
dans laquelle n désigne un nombre entier positif, nul ou né-
gatif, on a
, a b c
(3) sina -4- sm^ H- smc — 4^^ - cos - cos - = o.
41. Pour reconnaître si une équation algébrique donnée
Trig. S. 4
5o TRAITA DE TRIGONOMÉTRIE.
entre diverses lignes trîgonomé triques est identique, le moyen
le plus général consiste à préparer cette relation de manière
que Tun des arcs indéterminés qu'elle renferme n*y figure que
dans les puissances d'une même ligne trîgonométrique. Si Ton
ordonne ensuite par rapport à la ligne trigonométrique dont il
s'agit, les coefficients des diverses puissances de cette ligne
devront être nuls, et, en les égalant à zéro, on obtiendra plu-
sieurs relations qui seront identiques et qui contiendront une
indéterminée de moins que la proposée. On pourra opérer de
la même manière sur ces dernières relations, et, en continuant
ainsi, on obtiendra des relations dont l'identité sera évidente
si la proposée est elle-même identique ; mais dans la plupart
des cas on arrive facilement à mettre en évidence l'identité des
formules qu'on a occasion de considérer, en faisant convena-
blement usage des formules fondamentales que nous avons
établies. Ainsi l'on vérifie immédiatement l'identité de la for-
mule (2) en transformant en sommes les produits contenus
dans chacun des deux membres. Quant à la formule (i), on la
vérifie tout de suite en développant chacun des sinus qu'elle
renferme.
42. Si une équation entre diverses lignes trigonométriques
n'est pas identique, mais qu'elle soit satisfaite en établissant un
certain nombre de relations entre les arcs qui y figurent, on
pourra éliminer un même nombre d'arcs, et l'on obtiendra une
équation résultante qui devra être identique. Par exemple, la
relation (3) n'est pas identique, mais elle est satisfaite si les
arcs a^ b^ c sont assujettis à la relation
(4) a-+-^-hC = {4«-f- IJTT,
où n désigné un nombre entier. Pour vérifier ce fait, il suffira
de remplacer c par (4wH-i)îr — a — b et de constater l'iden-
tité de la relation résultante
. , ./ ,x , o. b , a -\- b
sma -h sin 6 -f- sin ia-h- b ) — Acos ~ cos - sm =z o ;
^'^22 2
l'identité devient manifeste en écrivant cette relation comme
GHAPIVRB PRUIBl* 5l
il suit :
, a ■\- h I a — h a-\-h a h\
2 Sin ( COS h COS 2C0S - cos - I = o.
2 \ 2 . 2 2 2/
On voit que la relation (3) est une conséquence de la rela-
tion (4), mais elle est beaucoup plus générale que celle-ci ^ car,
d'après la formule (2), elle est vérifiée, non-seulement par les
valeurs de a, i, c cpii satisfont à l'équation (4)^ mais encore
par celles qui satisfont à la relation
3a — b — c -\- it 3b — c — a-hn
COS ■ j h cos
. 4 4
3c — a — é-f-ir n -h b -^ c — n
4- cos 7 h cos 7 = o.
4 4
Ce n'est que dans des cas fort rares qu'une équation algé-
brique entre des lignes trigonométriques de plusieurs arcs
peut être remplacée par une ou plusieurs relations algébriques
entre les arcs eux-mêmes* En terminant ce Chapitre, nous
donnerons un exemple dans lequel cette circonstance se pré-
sente.
Considérons la relation
• M . ^ . b , c
cosa -h coso 4- cosc = 1 -h 4 sm - sm - sm - :
222
si Ton remplace cosa -f- cosi par 2 cos cos ou
2 cos- - cos' 2 sin' - sin' -9 et cosc par i — 2 sm' -) la re-
22 2 2 ""^ 2
lation proposée devient
b
cos* - = o,
ou
ou enfin
f , c a . by a
( sm — (- sin - sm - 1 — cos* -
\ 2 22/ 2
/ . c «— b\ I c a->rb\
1 sm — h cos I ( sm cos -. ) = o,
\2 2;v2 2/'
. a -T- ^ -h c — ir . — a -\- b '\- c -»n v
sm -, sm
, a — b '^r c — TT . a-^b — c -f- ir
X sm sin = o,
4
•
52 TRAITS DE TRI60N0VÉTRIE.
et, pour que cette relation ait lieu, il faut et il suffit que Fun
quelconque des quatre arcs
a-\-b -\-c — TT
— a -^ b -^ c — TT
4
a — è -+- c -4- îT
4
a -^ h — c 4- TT
soit égal à un multiple titt de la demi-circonférence. La rela-
tion proposée équivaut donc au système des quatre relations
a — b -\-c = {^n — i)7r, a -i- b — c^z[^n — iJtt.
QUESTIONS PROPOSÉES.
I: Si l'on représente par S^ la somme des tangentes de m arcs a, b^
c,,,.j A, par Sj la somme des produits deux à deux de ces mêmes tan-
genteSf par S3 la somme de leurs produits trois à trois, etc., enfin par S,„
le produit de toutes les tangentes, on a la formule générale
tang(« + ^ H-cH-, ..-h A) = -î — ^^ — ^ — '-^]
I — Oj -}- D^ — " ...
on demande d'établir cette formule et d'en conclure l'expression de tangma
en fonction de tan g a.
n. Les mêmes choses étant posées que dans la question précédente,
on a
sin (a-hb-\-c-^..,-hA) = (S, — S^h-Ss — . ..)co8fl.cosè...cos/-,
cos (a '+-b'+-c -h.., -T- A) = (i -— Sj-hS^ — ...)co8û.cos^...cosA-;
on propose d'établir ces formules et d'en conclure les expressions de
smma et de cosma en fonction de sina et de cosa.
III. Former l'équation dont dépend ces ^ quand cosa est donné et celle
a •
dont dépend sin - quand sina est donné. Résoudre ces deux équations
dans les cas où « a l'une des valeurs o, tt, -, -, -, — , et trouver
' 'a 3 \ 6 12
dans chacun de ces cas la signification des racines.
IV. La circonférence d'un cercle étant partagée en n parties égales, si
des points de division on abaisse des perpendiculaires sur un diamètre
GRAPITIE PREMIER. 53
quelconque, la somme des perpendiculafires situées d'un côté du diamètre
sera égale à la somme des perpendiculaires situées de l'autre côté.
y. Calculer les côtés des polygones réguliers de 3, 6, 5, lo, i5, 20,
3o côtés circonscrits au cercle dont le rayon est égal à Tunité.
YI. Trouver la relation algébrique entre les arcs a, 6, c susceptibles
de satisfaire à Tune des deux relations
tanga + tangd + tangc = tanga tangd tangc,
cos'a -H cos'^ -H cos'c -H acosa C086 cosc = i .
54 TRAITÉ DB TAIGONOHÉTRIB.
CHAPITRE IL
DES TABLES TRIGONOMÉTRIQUES.
Propositions préliminaires,
>
43. Pour faire usage des fonctions circulaires, il faut qu*on
puisse calculer les valeurs des lignes trigonométriques d'un
arc quelconque donné, -et réciproquement trouver la valeur
d'un arc quand on connaît Tune dé ses lignes trigonométri-
ques. Pour arriver à ce but, il est indispensable d'avoir une
Table qui fasse connaître les valeurs des lignes trigonométri-
ques correspondant à des valeurs successives de Tare com-
prises entre o et - ? et dont l'intervalle soit suffisamment
petit. Nous allons indiquer par quels procédés on peut con-
struire une pareille Table; on verra ensuite comment, par le
moyen de cette Table, on peut trouver les lignes trigonomé-
triques d'un arc quelconque donné, et réciproquement trouver
le plus petit arc positif correspondant à une ligne trigonomé-
trique donnée. Mais nous devons d'abord établir quelques
propositions préliminaires indispensables pour l'objet que
nous avons en vue.
44. Théorème I. — Tout arc compris entre o et- est plus
grand que son sinus et moindre que sa tangente.
Fig. 7.
Soient [Jig- 7) AM = o: un arc compris entre o et -5 MP le
CHAFITMS DBDIIÈMB. 55
sinus et AT la tangente de cet arc. Prolongeons MP jusqu'à
sa rencontre en N avec la circonférence , et menons la tan-
^ . gente TI ; on aura
arcMAN>MN et arcAMI< AT -j- TI.
Or Tare x est la moitié de MAN ou de AMI, sinx est la moitié
de MN, et tangx est égale à chacune des lignes AT et TI; on
a donc
^>sinx et x<^tangx.
mm SI ri 7*
Corollaire. — Si Varc x décroît de-- ào^ le rapport
s'approche indéfiniment de l'unité.
En effet, à cause de tans^or = » on peut écrire
^ COSJ!: '■
. ^ ^ sin X
cosj:
OU, en divisant par sinx,
X I
sm:r cosx
11 suit de là que le rapport -r— est compris entre Tunité et
la fraction dont la limite est Tunité pour x =.o\ on a
cosor ^ '
donc
,. X ,. sinx
. lim -; — = I ou liin =: I .
Sm a: X
45. Théorème II. — L'excès d'un arc compris entre o et
- sur son sinus est moindre que le quart et même que le
sixième du cube de Varc.
Pour démontrer que la différence dont il s'agit est infé-
rieure au quart du cube de Tare, il suflSt de considérer l'iné-
galité
X X
tang - > -
2 2
56 TRAITÉ DE TRIGOHOIIÉTRIE.
/établie au n° 44 -, en la multipliant par 2 cos* - = 2(1 — sin' - j
on obtient
sinar">a: — J? sin^ - ou x — sinar <'xsin* -;
2 2
mais sin - est inférieur à - et, par conséquent, sîn* - est infé-
rieur à y , on a donc, à plus forte raison,
X — sin.r <I -r*
4
46. Pour démontrer que la différence x — sinj: est infé-
y x^
rieure à 7.- » on peut employer divers procédés \ le plus simple
consiste à prendre pour point de départ la formule
sin 3. r = 3 sin or — 4 8in*«r,
X
établie au n*^ 22-, en y remplaçant x successivement par « ,
X X
■r-5 • • • 5 ir^t on obtient ,
3x , . , X
sm -^ — sm ar = 4 sin' ^ »
3X ^ X . ^ X
sin — — sin - = 4sm» — ,
3% X , X r • K
sm r sm - — = 4 sm^ w \
3" 3»-' ^ 3"
%
en ajoutant ces égalités, après les avoir multipliées respecti-
vement par 1 , 3, 3% ... , 3"~% il vient »
3*sin ^ — sinar = 4 (sini| 4- 3 sin» ^ + • • • "^ 3"-' ^ j
ou
.r
sm —
3" l X X x\
X. —. — ^ sin J? =: 4 sin» ^ H- 3 sin» «-• -^ • • • -^ 3"~' sin» 5- ) •
lx\ ^ \ 3 3* 3"/
GHAFITU DBUXlteK. S*]
Si le nombre entier n augmente indéfiniment, Tare ~ tend
• «P
vers zéro et le rapport r- tend vers l'unité; le premier
(?•)
membre de l'égalité précédente a donc pour limite la diffé-
rence X — sinx, et par conséquent le deuxième membre tend
lui-même vers cette limite. Mais, comme le sinus est inférieur
à Tare, la limite du deuxième membre de notre égalité est in-
férieure à celle vers laquelle converge la progression géomé-
trique
* VS' ^" 3* "^ F "*" • • • "^ 3^^/ '
cette dernière limite est égale à -779 et Ton a, en conséquence,
.r — sin;r <C •■-•
b
47. Les théorèmes qui précèdent fournissent ainsi deux li-
mites, savoir x el x — -r- > entre lesquelles est compris sîn a:.
On peut en déduire facilement deux limites entre lesquelles
se trouve compris cosx^ on a, en effet,
cosa? = 1 — 2 sin* - >
2
et, comme sin - est compris entre- et ^5 on a d'abord
X»
cosx>i . >
2
jr' X* / x^^ ^
COSar<;i — 2( j7z\ ou <ï — T "^ r7 ~~^ l TU 1 '
et, à plus forte raison ,
x' X*
coso: <C I 1 7
2 24
x^ x^ .r*
Ainsi ces a: est compris entre i— — eti ^4- ,
^ 2 2 24
58 TRAITÉ DE TRIOOKOMÉTRIE.
Division de la circonférence,
48. Jusqu'ici nous avons exprimé les arcs par leurs rap-
ports au rayon; mais, dans les applications de la théorie des
fonctions circulaires, il est beaucoup plus commode de les
rapporter à la circonférence. A cet effet, on est convenu de
partager la circonférence entière du cercle en 36o parties
égales, auxquelles on a donné le nom de degrés, en sorte que la
demi-circonférence renferme 180 degrés, et le quadrant 90 de-
grés. Chaque degré se subdivise en 60 minutes^ et chaque mi-
nute en 60 secondes. Les degrés, minutes et secondes se re-
présentent par **, ', ^\ les arcs moindres que i"' s'évaluent en
fraction décimale de la seconde. Ainsi un arc contenant 23 de-
grés 27 minutes 3 1 secondes et 8 dixièmes de seconde sera
représenté par
23°27'3i",8.
Si Ton désigne par x la longueur d'un arc, par N le nombre
des degrés contenus dans cet arc, on a l'égalité
f — JL
TT 180
qui fera connaître l'un des nombres x ou N quand l'autre sera
connu. La seconde étant prise pour unité, si l'on demande le
nombre xf des secondes contenues dans l'arc x^ on se servira
de la formule
n 648000
Veut-on, par exemple, avoir le nombre des secondes conte-
nues dans l'arc égal à i , on aura
648000
la valeur de tt est
TT = 3,14159255358979323846. . . ,
et, en poussant le calcul jusqu'aux millièmes de seconde, on
trouve
a:' =r 2o6264'\8o6 = 57» i7'44'',8o6.
CHAPITRE DBUXIÈMB. Sg
Construction d'une Table de sinus et de cosinus,
49. Pour avoîr les lignes trigonométriques d'un arc quel-
conque, il suffit de connaître celles des arcs compris entre o et
90 degrés. On peut même se borner aux arcs compris entre o
et 45 degrés, car deux arcs complémentaires, tels que 45** -h x
et 45° — Xy ont les mêmes lignes trigonométriques. En outre,
si les sinus et les cosinus sont connus pour tous les arcs com-
pris entre o et 45 degrés, les quatre autres lignes trigonomé-
triques pourront être déterminées au moyen de relations que
nous avons établies au n** H .
Cela posé, nous allons montrer comment on peut construire
une Table des sinus et des cosinus de tous les arcs de 10 en
10 secondes, depuis o jusqu'à 45 degrés.
Sinus et cosinus de l'arc de 10 secondes. — Désignons
par e la longueur de l'arc de 10 secondes; on aura (n** 48)
lOir it
646000 64800
et Ton trouve, en effectuant la division,
I = 0,00004 8481 3 681 10. . . .
On a ensuite (n** 4S)
£3
sint < f et sine > e — rr i
d'ailleurs
c'
.T <C o ) 00000 00000 0002 1 ;
o
on a donc
sin 10" <^OyOooo4848i368iio,
sin I o" > o , 00004 848 1 3 68089 .
Ces deux limites de sin i o''^ ont les douze premières décimales
communes, et l'on voit qu'on a, à moins d'une demi-unité du
treizième ordre décimal,
sin 10" == o yOOOo4 84813 681 .
6o TRAITÉ DB TRIGOlfOHÉTRIS.
Calculons maintenant cos lo^^ on a (47)
e» . «» f*
cos« >> I et coss <ri \ — 7 ;
2 2 24
comme e est <'o,oooo5 ou <' :» on a
^ ' ^2. 10*
t^ _ j . 1
■24'^384.io'«'^3.io"*'
d'où il suit que i est une valeur de coss approchée à moins
d'une demi-unité du dix-huitième ordre décimal. Eu se bor-
nant aux treize premières décimales, on trouve
cos lo'^ == 0,99999 99988 248.
50. Sinus ET COSINUS DES ARCS DE lO EN lO SECONDES, DE-
PUIS o jusqu'à 45 DEGRÉS. — Si, dans les formules
sm{a ~h b)-h sin(a — b)z=z 2cos6sina,
cos (a -4- b)-\-cos{a — b] z=z 2COs6cosâ,
on pose a = [m — i)b^îl vient
( sin/nb -— 2 cosb sin (m — i) b — sin(m — 2)^,
( cosm6 = 2cos6sin(m — i) b — cos(/w — 2)^.
En prenant b = io" et en faisant m = 2, ces formules
donneront les valeurs de sin 20'' et de cos2o'^ Et générale-
ment, quand on connaîtra les sinus et les cosinus de deux
multiples consécutifs de l'arc b = 10'', les formules (i) feront
connaître le sinus et le cosinus du multiple suivant. Mais on
peut abréger les calculs en opérant comme il suit : le multi-
plicateur constant 2cosio''^ diffère peu de deux unités^ en
posant
2cosio"z=: 2 — A-,
on a
X = 0,00000 00023 5o4i
CHAPITRE DBUXllWB. 6l
ei les formules (i) deviennent
( [sin m^— 8in(m— i)^] = [siii(iii— i)^ — sin (m — 3)^1— Asi
f [cosm^ — co8(ffi — i)b] = [cos{m— i)b — cos(m — 2)*] — ^a
— 'i)6]—ksin{m — [)*,
C08(in — i)b.
Ces formules (2) serviront à calculer les différences
l mimb — sin(m — i)b,
j ces mb — cos( m — 1)6,
<
au moyen des différences précédentes,
I sin(m — i)b — sin(/7i — 2)^,
I cos(m— i)^ — cos(/n — ^)b,
qu'on a préalablement calculées, ainsi que sin(/M — i) b et
cos(m — i)b. Ajoutant ensuite respectivement aux diffé-
rences (3) les valeurs connues de sin (m — i ) i et de cos [m — i ) i,
on aura sinmb et cosmb.
Les différences (3) se déduisent facilement des différences
calculées (4), il suffit, en effet, pour cela, de retrancher res-
pectivement de celles-ci les produits Ar sin (m — i) b et
kcos{m — ï)b dont l'un des facteurs est constant, et ces
produits se calculeront assez rapidement, si Ton a eu soin de
former une Table des produits de k par les neuf premiers
nombres.
51 . Quelque pénibles que soient les calculs dont nous ve-
nons d'indiquer la marche, on conçoit maintenant la possibi-
lité de former la Table des sinus et des cosinus de tous les arcs
de 10 en 10 secondes depuis o jusqu'à 45 degrés. Il y a lieu,
toutefois, de rechercher quelle sera sur les divers sinus et co-
sinus calculés l'influence des erreurs qui ne peuvent manquer
de s'accumuler dans le courant des opérations. Nous sommes
partis des valeurs de sin i o'' et de cos i o'' calculées à une demi-
unité près du treizième ordre décimal ; nous supposerons que
dans tous les calculs subséquents on conserve un nombre [i
de décimales ^ on verra quelle valeur il faut donner à [â pour
obtenir l'approximation que l'on désire. Nous désignerons
6a TRAITfi DE TRIOOlfOHiTRIB.
généralement par a^ la valeur approchée de sinm.io^'^ou de
cosm.io'' calculée comme on va l'expliquer avec jut décimales,
et par a^ -4- c« la valeur exacte 5 au moyen de cette notation, on
peut écrire comme il suit Tune quelconque des équations (i),
a« -h- fa, =: (2 ■— ^) (a„_t -4- Sb,_i) — (a«_a 4- ««-î)-
Les valeurs a„_i et a„_j ayant été calculées avec fx décimales,
on calculera le produit (2 — /r) a,„_i aussi avec }x décimales et
Ton retranchera a,„_i de ce produit approché^ la différence
sera a„. On a donc
en désignant par Ç„ Terreur positive ou négative que Ton com-
met en substituant à (2 — A)am«i la valeur approchée de ce
produit \ — près. Des deux équations précédentes on déduit
f;„ = (2 — h) e;„«., — f«_3 -f- Ç«;
mais la quantité Are^.j est très-petite par rapport à 2e^_i «i
Ton peut la fondre dans ^„ sans que la limite supérieure de
cette dernière quantité soit altérée d'une manière sensible^
ainsi nous pouvons écrire simplement
OU
Faisant successivement m = 2, 3, . . . , m, et remarquant que
So est nul, puisque aucune erreur n'est commise sur sino et
sur coso, il vient
(«3 — sO = («» — s,)-+.Ï5,
Ajoutant toutes ces égalités, il vient
Cm — «m— I = f I -f Ça 4- Çs -f- . . . 4- (m ;
CHAPITEB DIUXIÈSB. 63
chacune des quantités fj^ Ça,. • • ^st moindre en valeur abso-
lue que — - > et il en est de même de leur moyenne arithmé-
tique 5 en désignant par 0^ cette moyenne arithmétique, Téqua-
tion précédente devient
si Ton donne à m les valeurs successives 2, 3, . . . , m, il vient
83— 8,r=f, -+-2O3,
64 — 65= «1-1-304,
I
8« — e«_, =g, -f- (m— i)Ô«,
et, en ajoutant,
£„ = m8, -f-0, H-2e3-f-3Ô4-f-. . .-f-(/n — i)Ô;„.
Or la valeur absolue de e* est <* 5 et la valeur absolue de
chacune des quantités 6„ 0s,. • . est moindre que — *, d'ail-
leurs la somme i -j- 2 -f- 3 + . . . -F- {m — i) est égale à — ;
donc on a, en faisant abstraction du signe de e,„,
^ m m(m — i)
e«< r»-^— — r^-
2.10" 2.IO>*
Cherchons, d'après cela, quelle peut être Terreur commise
sur le sinus et le cosinus de Tare de 45 degrés dont le calcul
termine la série des opérations. L'arc de 4^ degrés contenant
16*200 fois l'arc de 10 secondes, faisons m = 16200 : l'inégalité
précédente devient
16200 16200 X 16199
et l'on aura, à plus forte raison,
^ I ^ 1,5
«teïoo <>. — à """
! 10" 10
» »/\»--»
r
64 TRAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.
Si l'on prend /x -= 17, la seconde fraction devient égale à -^
et Ton a
I o* 4 ' ^»
ainsi Terreur commise sur sîn45® ou sur cos 45° sera ihoindre
que le quart d'une unité du huitième ordre décimal.
U résulte de ces développements qu'en partant des valeurs
de sinio'^ et de cos lo'^ obtenues à une demi-unité près du
treizième ordre décimal, et en calculant avec 17 décimales les
sinus et les cosinus des arcs suivants, on pourra certainement
compter sur 8 décimales exactes jusqu'à l'entière terminaison
de la Table.
52. Mais quand il s'agit d'exécuter tant de calculs, il est in-
dispensable de soumettre les résultats obtenus à des vérifica-
tions fréquentes. Aussi, avant de commencer les opérations,
doit-on calculer directement les sinus et les cosinus d'un cer-
tain nombre d'arcs, afin d'avoir plus tard des termes de com-
paraison en nombre suffisant; par exemple, nous avons donné
(n®* 37 et 38) les expressions des sinus et des cosinus des
multiples de 77- ? c'est-à-dire des arcs de 3 en 3 degrés 5 il sera
convenable de calculer ces sinus et ces cosinus avec un nombre
suffisant de décimales ; si l'intervalle de 3 degrés parait trop
considérable, on pourra le réduire à la moitié ou au quart, en
se servant des formules
. I /i — COS« I /l
;in - « =r 4 / ? cos - a= i/ -
ju Vf Jt Ji yl
et de celles qui sont relatives à l'addition et à la multiplication
des arcs •, on pourra ainsi très-aisément construire une Table
préliminaire très-exacte contenant les sinus et les cosinus des
multiples de 45 minutes ou 2700 secondes. Cette première
Table n'aura pas seulement l'avantage de fournir des moyens
de vérification, mais elle permettra aussi d'obtenir une plus
grande exactitude dans les calculs relatifs à la Table défini-
CHAPITRE DBUXllHB. 65
tive, parce que de 2700 en 2700 secondes les sinus et les cosinus
pourront être connus avec toute la précision que l'on voudra.
Enfin, lorsque la Table entière est construite, on peut en-
core la vérifier d'autant de manières que Ton voudra au n^oyen
de la formule identique
siii(90*» — or) -4- sin(i8*» — x) -h sin(i8° -H jc)
= sin(54° — x) -+- sin(54* h- j:),
établie au n^ 40, et au moyen d'autres formules du même
genre.
Bien qu'on puisse construire la Table entière par le procédé
du n® 50, on doit s'arrêter dès que l'on est arrivé à Tare de
3o degrés. Efiectivement, lorsqu'on aura calculé les sinus et
les cosinus des arcs de 10 en 10 secondes, depuis zéro jusqu'à
3o degrés, on pourra obtenir les sinus et les cosinus des arcs
compris entre 3o et 4^ degrés, par la simple soustraction.
En eflfet, en sç rappelant que sin3o° = -» on a (n** 18)
sin(3o'* -I- x) •+- sin(3o** — x) = cosx,
cos(3o" — .r) -- cos(3o" -t- .r) =z siiix,
d'où l'on tire
sin(3o*» -+- x)=z cosx — sin(3o° — x),
cos(3o° -i- Jc) r= cos(3o" — x) — sinx;
ces formules permettent d'obtenir, par un calcul facile, les si-
nus et les cosinus des arcs au-dessus de 3o dégrés, lorsque l'on
comiaît les sinus et les cosinus des arcs au-dessous de 3o de-
grés, et leur emploi diminue notablement le travail de la con-
struction de la Table.
Le procédé que nous avons exposé est celui qu'ont employé
les savants à qui l'on doit la première construction des Tables
de sinus et de cosinus. L'analyse a fourni depuis des métbodes
beaucoup plus expédîtives pour^ remplir cet objet \ ces mé-
thodes consistent dans l'emploi des différences, et elles re-
Trig. s. 5
I
»
66 TRAITfi BB TMGONOHtTBIB.
posent sur les formules qui expriment le sinus et le cosinus en
fonction de l'arc. Nous établirons ces formules dans le Cha-
pitre V.
Tables des logarithmes des fonctions circulaires.
53. Dans les applications numériques, on opère toujours
par logarithmes : aussi a-t-on bien plutôt besoin de connaître
les logarithmes des sinus, des cosinus, etc., que ces lignes tri-
gonométriques elles-mêmes. Or les sinus et les cosinus des arcs
de lo en lo secondes ayant été calculés, on pouiTa former la
Table de leurs logarithmes. Cette Table une fois construite,
on formera celle des logarithmes des tangentes et des cotan-
gentes au moyen des formules
log ta^g^ 1= log ûïix — log cos JT,
log cot.r = log cos^ — log sinx.
Quant aux sécantes et aux cosécantes, elles ne sont point
employées^ d'ailleurs leurs logarithmes sont égaux et de signes
contraires aux logarithmes des cosinus et des sinus (*).
Les Tables de logarithmes des sinus, cosinus, etc. les plus
usitées sont celles de Callet ^ nous allons en indiquer la dis-
position et l'usage, mais nous avons auparavant une remarque
importante à faire.
Les sinus et les cosinus des arcs de zéro à 90 degrés, les tan-
gentes des arcs de zéro à 45 degrés, et les cotangentes des arcs
de 45 à 90 degrés sont inférieurs à i , en sorte que leurs lo-
garithmes sont négatifs. On a voulu éviter, dans les Tables de
Callet, l'emploi des caractéristiques négatives, qui est pour-
tant préférable, et l'on a ajouté 10 à tous les logarithmes né-
gatifs 5 il faut donc toujours avoir soin de supprimer ces
10 unités.
(*) On trouvera dans le Chapitre V les formules au moyen desquelles on peut
calculer directement, et avec l'approximation qu'on désire, les logarithmes des
sinus, des cosinus, des tangentes et des cotangentes de tous les arcs.
CHAPITRE BBUKIÈHB. 67
Disposition des Tables de Callet.
54. La première de ces Tables contient les logarithmes des
sinus et des tangentes de seconde en seconde pour les cinq
premiers degrés avec sept décimales 5 mais le sinus ou la tan-
gente d'un arc étant le cosinus ou la cotangente de son com-
plément, cette Table donne aussi les logarithmes des cosinus
et des cotangentes des arcs au-dessus de 85 degrés.
Les degrés sont marqués hors du cadre en haut et en bas de
chaque page ^ les minutes occupent la première et la dernière
ligne, les secondes la première et la dernière colonne. Chaque
page à gauche ne contient que des sinus et des cosinus, et
chaque page à droite que des tangentes et des cotangentes, ainsi
qu'on le voit par les titres de ces pages. *
Les Tables suivantes contiennent les logarithmes des sinus,
cosinus, tangentes et cotangentes de lo en lo secondes pour
tous les degrés du quart de cercle. On y remarque les degrés
écrits hors du cadre en haut et en bas de chaque page. Les
minutes et secondes qu'on y voit à la première et à la seconde
colonne se rapportent aux degrés qui sont écrits en haut 5 les
minutes et secondes qu'on y trouve à la dernière et à Tavant-
dernière colonne se rapportent aux degrés qui sont marqués
au bas delà page.
La troisième colonne contient les logarithmes des sinus des
arcs dont les degrés sont indiqués au haut de la page, et dont
les minutes et les secondes sont marquées dans la première
et dans la seconde colonne. La troisième colonne est intitulée
sinus, mais il faut lire logarithmes des sinus. Il en est de même
des autres. La quatrième colonne contient les différences des
logarithmes des sinus, ainsi que son titre l'annonce^ chaque
nombre de cette colonne n'est pas dans T alignement de ceux
de la colonne précédente : ils se trouvent tous descendus
d'une demi-ligne, et chacun d'eux exprime la différence qu'on
aurait «i l'on soustrayait l'un de l'autre les deux logarithmes
entre lesquels il se trouve. Les colonnes cinquième et sixième
contiennent les logarithmes des cosinus des mêmes arcs et
5.
68 TRAITÉ DB TRIGONOMÉTRIE.
leurs dîflférences^ les colonnes septième et huitième contien-
nent les logarithmes des tangentes et leurs différences ^ enfin
la neuvième colonne contient les logarithmes des cotangentes
des mêmes arcs \ leurs différences sont les mêmes que celles
des logarithmes des tangentes (*) : c'est pour cela qu'on a in-
titulé la colonne qui contient ces dernières différences com-
munes.
Si Ton ne considère que les degrés qui sont à la tête de
chaque page, on croira que les Tables ne s'étendent que jus-
qu'à 45 degrés^ mais si l'on observe que chaque colonne a
deux titres 5 que la colonne marquée par en haut sinus est
marquée par en bas cosinus; que celle qui est intitulée par en
haut cosinus est intitulée par en bas sinus; qu'il en est de
même des tangentes et des cotangentes, on verra qu'en con-
sultant les degrés, ainsi que les titres des colonnes qui sont en
bas de chaque page, et les deux dernières colonnes vers la
droite des mêmes pages, on aura les logarithmes des sinus,
cosinus, tâiâgentes et cotangentes des degrés, minutes et se-
condes depuis 45 degrés jusqu'à 90 degrés.
Usage des Tables.
55. Problème I. — Connaissant le nombre des degrés,
minutes et secondes d'un arc moindre que go degrés, trouver
le logarithme du sinus, du cosinus, de la tangente ou de la
cotangente de cet arc.
Premier cas. — Si le nombre donné est composé de degrés,
de minutes et de dizaines de secondes, on cherchera d'abord le
nombre des degrés parmi ceux qui sont écrits en haut ou en
bas des pages ^ en haut s'il est moindre que 45 degrés, au bas
(*) Car on a
tanfj(jîH-A') _ cota:
tangx ~ cot(j:-f- /i)
et, en prenant les logarithmes,
logtang(:i:H-A] — logtang.r = \oç<ioix — logcot(x-+-A).
GBAPITRB DEUXIÈME* 6g
s'il est plus grand. On suivra la première colonne qui va en
croissant de haut en bas, si le nombre des degrés se trouve
en haut de la page, ou la dernière qui va on croissant de bas
en haut, si le nombre des degrés se trouve en bas ; on suivra,
dis-je, Tune ou F autre de ces colonnes dans le sens suivant le-
quel elle croit, jusqu'à ce qu'on rencontre le nombre des mi-
nutes données ^ on passera dans la colonne des secondes sans
quitter la ligne des minutes trouvées ^ on suivra dans le même
sens cette colonne, on y trouvera les dizaines de secondes, et
sur la même ligne le logarithme du sinus, du cosinus, de la
tangente' et de la cotangente que l'on cherche.
Veut-on, par exemple, le logarithme de la tangente de
jQ^^i' ^o"'^ 79 degrés se trouvant au bas de la page, on mon-
tera le long de la dernière colonne qui va en croissant de bas
en haut : on trouve 5 1 minutes dans cette colonne ; on passe
à la colonne précédente, qui est celle des dizaines de secondes^
on monte le lonç de cette colonne, et l'on rencontre 4o se-
condes \ sur la même ligne et dans la colonne marquée par en
bas tangente, on trouve 0,7475667. C'est le logarithme cher-
ché. On a ainsi
logtang(79*»5i'4o'') = 0,747^657.
Veut-on, pour second exemple, le logarithme du sinus de
2®24'5o''^ 2 degrés se trouvant en haut de la page, on descend
le long de la première colonne qui va en croissant de haut en
bas : on trouve 24 minutes dans cette colonne; on passe à la
colonne suivante, qui est celle des dizaines de secondes ; on des-
cend le long de cette colonne et l'on trouve 5o secondes; sur
la même ligne et dans la colonne intitulée par en haut sinus,
on trouve 8,6244662. C'est le logarithme cherché, augmenté
de 10 unités. On a ainsi
log sÎQ ( 2* 24' So" ) = 2 , 6244662 .
Deuxième cas. — Si le nombre donné contient en outre des
unités de secondes et des fractions de seconde, on commencera
par réduire les fractions de seconde en fraction décimale ; on
cherchera ensuite, comme nous venons de' l'expliquer, le lo-
70 TRAITÉ DB TRIGONOMÉTRIE.
garithme du sinus ou de la tangente de Tare donné, en faisant
abstraction des unités et des fractions décimales de seconde,
dont nous désignerons l'ensemble par h. On prendra ensuite
la différence A qui existe entre le logarithme trouvé et celui
qui vient immédiatement après lui, en allant de haut en bas
ou de bas en haut, selon la marche que Ton suit \ enfin on
ajoutera au logarithme trpuvé le nombre A', déterminé par
Téquation
— z=. —^ d ou A r= — î
lO À 10
et Ton aura le logarithme cherché. 'A' et A expriment ici des
unités du septième ordre décimal : on prendra donc pour A' la
partie entière du produit — X A^ mais il conviendra d'aug-
menter cette partie entière d'une unité, si la fraction que Ton
néglige est supérieure à o,5.
Si l'on veut le logarithme du cosinus ou de la cotangente de
l'arc donné, on augmentera d'une dizaine le nombre des se-
condes de l'arc, et, après avoir supprimé les unités et les frac-
tions de seconde, on obtiendra un arc qui surpassera l'arc
donné d'une certaine fraction décimale 7i de seconde, on cher-
chera le logarithme de son cosinus ou de sa cotangente, et
l'on ajoutera — au résultat, A étant ici la différence qui existe
entre le logarithme trouvé et celui qui le précède immédiate-
ment en allant de haut en bas ou de bas en haut, suivant la
marche que l'on suit.
La règle que nous venons d*exposer repose sur le principe
suivant : '
Si Von donne successwement à un arc quelconque deux
petits accroissements, les accroissements correspondants du
log sin ou du log cos, etc., sont sensiblement proportionnels
aux accroissements de V arc.
Ce principe n'est pas rigoureusement exact, mais en l'ap-
pliquant on obtient une approximation suffisante, excepté dans
le cas que nous examinons plus bas. On peut le vérifier au
GBAPITRS DBUXlftBB. 71
moyen des Tables elles-mêmes; on reconnaît effectivement
que dans une étendue assez grande, sauf au commencement
des Tables, les différences des log sin, ou des log cos, ou, etc.,
sont sensiblement constantes ; il s'ensuit que, pour des accrois-
sements égaux donnés à un arc, le logarithme du sinus ou du
cosinus, etc. de cet arc prend des accroissements sensible*
ment égaux.
Nous indiquerons par des exemples le type du calcul.
I ° TrouK^er le logarithme de sin ( 49° 5 3' 2 4''? 3 ) .
Log sin(49«53'2o'') =7,8835459 A = 177
Pour 4", 3 76 i7,7x4»3=:76,ii
Log sin (49053' 24^ 3 ) = T , 8835535
2® Trouver le logarithme de cos (36** 3 5' 36", 3).
Log cos(36«35'4o") = 7,9046481 A = i56
Pour 3", 7 58 15,6x3,7=157,72
Log cos ( 36o 35' 36" , 3 ) = 7 , 9046539
3° Trousser le logarithme de tang(79°5i'47''î2)-
Logtang(7po5i'4o")^= ^'747^657 ù =: i2i5
Pour 7", 2 875 121,5x7,2 = 874,80
Log tang(79*>5i'47" , 2 ) = o, 7476532
4° Trou\fer le logarithme de cot ( 23° 1 7' 22", 3 ) .
Lôgcot(23«i7'3o") = o,366o3i3 ù=:58o
Pour 7", 7 447 58x7,7=446,60
Log cot ( 23" 1 7' 22", 3) = o , 3660760
Troisième cas. — Si les différences qu'on trouve dans la
Table varient trop, ce qui arrive lorsque Tare donné est très-
petit, la méthode précédente ne comporte plus une précision
suffisante; voici comment il faut alors opérer. L'arc donné
étant exprimé en secondes et en fraction décimale de la 'se-
conde, soient a la partie entière et h la fraction décimale \ pour
avoir log sin [a-^h) et log tang(a -f- A) , on peut admettre
que le rapport des arcs très-petits a et a -h A est égal au rap-
72 TRAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.
port des sinus ou des tangentes de. ces arcs ] posons donc
sin{a -h h) a -h h tang(a-f-/i) « 4- A
— ? — —~ = y
sma a tanga a
on aura
log sin (a -f- A ) r= log sin a -h log(fl -\-h) — log«,
logtang(a -i- A) = logtanga -f- log(a -h A) — logdr.
On prendra logsina ou.logtanga dans la première partie de
la Table, log (a -h h) et loga dans la Table des logarithmes des
nombres, et Ton aura ensuite log sin (a + A) et log tang (a + A)
par les formules précédentes.
Veut-on, par exemple, le logarithme du sinus de o®3'27'',355;
cet arc réduit en secondes est égal à 207^,3555 on a donc
«=207, /i= 0,35 5. Le logarithme de sin (3'27'') est3,ooi543i9
le logarithme de 2ô7,355 est 2,3 167145', celui de 207 pris
avec le signe — est 3,6840297*, en ajoutant ces trois loga-
rithmes, il vient
log sin ( o" 3' 2 7 *, 355 ) = 3 , 0022893 .
Si Ton demande le logarithme de la cQtangente d'un très-petit
arc, il faudra chercher le logarithme de la tangente, ainsi qu'il
vient d'être indiqué, puis on changera le signe de ce loga-
rithme.
S'il s'agit du log cos d'un très-petit arc a -j- A, on a
log cos(« -f- A) = log sin(a -f- h) — log tang(a H- h\
formule par laquelle on aura logcos(a-h A) après avoir dé-
terminé comme ci-dessus le log sin et le log tang de a -h- A.
Mais cette formule devient, en vertu des équations écrites
plus haut,
log cos (a -f- 11) =z log sin^z — log tang^i = log cos«;
d'où il suit que les arcs a -h h et a ont leurs log cos sensible-
ment égaux : c'est, du reste, ce que montrent les Tables. Sup-
posons qu'on demande le log cos de o*'3'27'',355 5 cet arc
J
CHAPITRB BEUXiftMB* 78
tombe entre 3' 20'' et Z'Zo"^ arcs dont les cosinus ont le même
logarithme 1,9999998: on a donc
log 008(0» 3' 27", 355) —1,9999998.
56. Problème H. — Le logarithme d'un sinus, d'un
cosinus, d'une tangente et d'une cotangente étant donné,
tromper le nombre de degrés^ minutes et secondes de l'arc
auquel il appartient.
»
Premier cas. — On cherchera le logarithme donné dans
l'une quelconque des deux colonnes qui ont pour titre la ligne
trigonométrique à l'expression numérique de laquelle le loga-
rithme donné appartient. Si on le trouve parmi ceux qu'elle
contient, on observera à quelle extrémité de la colonne est
le titre qu'on a consulté : si ce titre est en haut, on jettera les
yeux sur la seconde colonne à gauche, et dans l'alignement
du logarithme on trouvera un nombre de dizaines qui expri-
mera les secondes de l'arc cherché. On passera à la première
colonne^ si l'on y voit un nombre dans le même alignement,
il sera celui des minutes cherchées, sinon on montera le long
de cette colonne, et le premier nombre qu'on rencontrera sera
celui des minutes ; enfin en haut de la page on trouvera hors
du cadre le nombre de degrés demandé. Mais si le titre en
question est au bas, il faut recourir à l'avant-dernière colonne
vers la droite, qui donnera de même les secondes 5 passer en-
suite à la dernière colonne, sur laquelle on trouvera les mi-
nutes cherchées, soit dans la même ligne, soit en descendant
le long de cette colonne. Enfin on trouvera au bas de la page,
et hors du cadre, le nombre de degrés demandé.
Veut-on, par exemple, le nombre de degrés, minutes et se-
condes de l'arc dont le logsin est i,354i8o3; on cherchera ce
logarithme dans l'une des deux colonnes qui sont intitulées
sinus^ sans s'embarrasser de savoir si ce titre est en haut ou
en bas de la colonne*, Tayaut trouvé, on observe que le titre
sinus est en haut de la colonne : on consulte la seconde co-
lonne à gauche, et l'on trouve 5o dans l'alignement de
9)354i8o3^ on passe à la première colonne, on n'y voit rien
74 TBâITÉ BB TRIGONOMfiTRIB.
dans le même alignement*, mais en montant on rencontre 3
dans cette colonne : enfin, en haut de la page et hors du cadre,
on trouve i3 degrés. Le nombre demandé est donc i3°3'5o".
Deuxième cas. — Si le logarithme donné ne se trouve pas
dans les Tables, ce qui est le cas le plus ordinaire, on cher-
chera les deux logarithmes entre lesquels il est compris \ on
prendra celui de ces deux logarithmes qui est du côté du titre
de la colonne dont on a besoin \ on le retranchera du loga-
rithme donné, ou Ton en retranchera celui-ci, selon que Tun
sera plus grand ou plus petit que l'autre ; on aura ainsi une
différence A', et, en appelant A la différence tabulaire des
deux logarithmes entre lesquels est compris le logarithme
donné, on déterminera le nombre h par Téquation
A' h ,, . , loA'
— zn ï d OU flT- •
À 10 A
Le nombre h moindre que i o exprimera les unités de secondes
et fractions de seconde de Tare cherché. Quant aux degrés,
minutes et dizaines de secondes, on les obtiendra en substituant
au logarithme donné celui de la Table qui en diffère de A', et
en suivant la marche indiquée dans le cas précédent.
Nous indiquerons par des exemples le type du calcul.
1® Trouver l'arc dont le logsin est i, 8835535.
Log sina: = 1 , 8835535
Pour 1,8835459 49° 53' 3.0'' A = ï77
A'xio 760 4">29
;î: =r 49«53' 24", 29
2^ Trouver l'arc dont le logcos est 1,9046539.
Log cos^ = 1 , 904653g
Pour 7,9046637 36*>35'3o" A — i56
A'xio 980 6% 3
a:=36*>35'36",3
CHAPITRE BBOXIÈint. ^5
3*^ Trouver l'arc dont le log tang est o,747653a.
Logtang^ = 0,7476^32
Pour 0,7475657 79**5i'4o" A = i2i5
A' X 10 8750 7'',2
» ■ PII I ' '
j: = 79051 '47", 2
4° Trouver l'arc dont le log cot est 0,3660760.
Logcotar = 0,3660760
Pour 0,3660892 23"i7'20*' A = 58o
A'xio i320 2^,28
Xi= 23^1 7' 22'', 28
«
Troisième cas. — Sî les dîfFérences des Tables varient trop,
la marche qu'on vient d'indiquer cesse d'être applicable. Le
cas dont il s'agit se présente lorsqu'on a à déterminer un très-
petit arc par son log sin ou par son log tang ; voici comment il
faut alors opérer. On cherchera dans la première partie de la
Table 'le logarithme qui s'approche le plus du logarithme,
donné, et l'on réduira en secondes les degrés et les minutes de
l'arc correspondant 5 désignons par a le nombre de secondes
ainsi obtenu et par a -f- A le nombre exact de secondes con-
tenues dans l'arc inconnu^ on déterminera a + A par l'une
des deux équations
log(a -T- A) r= log sin {a -{- h) — log sin a + loga,
log(a -{-k)=z logtang(a -^ h) — logtanga H- loga,
que nous avons déjà mentionnées en traitant du problème in-
verse de celui qui nous occupe.
Veut-on, par exemple, le nombre des degrés, minutes, etc.,
de l'arc dont le logarithme du sinus est 3,0022893 \ on trouve
que le logarithme tabulaire qui approche le plus de ce loga-
rithme est 3,ooi545iou — 2,9984549? et ce logarithme ré-
pond à l'arc de 0° 3' 37'' ou de 207 secondes ; le logarithme de 207
est 2,3 1 59703 \ ajoutant ensemble les trois nombres 3,0022893^
299984449) 2,3i597o3, on a pour somme 2,3167145. Ce
76 TRAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.
logarithme répond au nombre 207, 3 55^ Tare cherché est donc
207^355, ou o<>3' 27^^,355.
On opère de la même manière pour déterminer un très-
petit arc quand on connaît le logarithme de sa cotangente,
puisque ce logarithme est égal et de signe contraire à celui" de
la tangente.
Mais, lorsqu'il s'agît de déterminer un très-petit arc par le
moyen du logarithme de son cosinus, il est impossible de le
faire avec précision. Veut-on, par exemple, connaître l'arc
dont le cosinus a pour logarithme i , 999999 1 5 la Table montre
que ce logarithme répond à tout arc compris entre 6' 45'' et
7' 25''; l'arc demandé ne peut donc être obtenu qu'avec une
incertitude de 4o secondes.
57. La solution des deux problèmes dont nous venons de
nous occuper repose sur l'égalité approximative
(0
h A'
10 A '
posons
M
^'-
hA iOA'
— -+-^, h -1-6,
10 A '
e et e mesureront les erreurs commises en appliquant la for-
mule (i) dans le calcul de A' (premier problème) et dans le
calcul de h (deuxième problème). Or on démontre, par des
considérations qui ne peuvent trouver place ici, que e est tou-
jours moindre qu'une unité du septième ordre décimal si l'arc
dont on calcule le log sîn ou le log tang surpasse une certaine
limite inférieure à 5 degrés, et que la même chose a lieu, par
suite, si l'arc dont on calcule le log cos ou le log cot est supé-
rieur à 85 degrés. L'emploi de la formule (i) est donc légi-
time, entre ces limites, dans la solution du deuxième cas du
premier problème. On démontre aussi que Terreur e relative
au deuxième problème est plus petite qu'un centième de se-
conde, si l'arc que l'on calcule diffère de zéro ou de 90 degrés
d'une quantité plus grande qu'une certaine limite inférieure
à I l degré, et que cette erreur e devient absolument insen-
CHàPITRB DBUXltaflC. 77
sîble si l'arc que l'on calcule s'écarte de quelques degrés des
limites zéro et 90 degrés \ d'où il suit que l'emploi de la for-
mule
loA^
est légitime dans la solution du deuxième cas du deuxième
problème entre les limites que nous venons d'indiquer (*).
Mais l'erreur commise dans le calcul de h ne provient pas
seulement de la quantité e que l'on néglige 5 les logarithmes
dont A et A' expriment les différences sont affectés d'une cer-
taine erreur; et si cette erreur reste au-dessous d'une demi-
unité du septième ordre décimal pour les logarithmes de la
Table, elle peut être beaucoup plus considérable pour le lo-
garithme donné, qui le plus souvent est le résultat d'opéra-
tions exécutées sur des nombres qui ne sont connus qu'ap-
proximativement. Admettant, par exemple, que l'erreur de ù!
soit d'une unité de l'ordre du dernier chiffre, l'erreur de A,
C^) Si Ton désigne par M le modale des logarithmes vulgaires, et par 6 un
nombre compris eotre zéro et i, on a, d'après une formule connue (celle de
Taylor), en prenant la seconde pour unité,
loffsinCxH-A)— logsinj:=: MAsim -; M r-: — •
Désignons par A la valeur du premier membre pour A = 10, et par A' la valeur
de ce premier membre pour A <io; appelons aussi d* la valeur que prend d
poar h = 10 et faisons
10 A
00 déduit de la formule précédente
dze= — _^(io^A — 5A'), ±«=^^ ZT-^— î
2sin*a: ^ ' sinax — ^Asini'^
h étant inférieur à 10, la valeur absolue de 10 ^ — dh est aussi inférieure à lo;
OD a donc
ôoMsin'i" loosini"
e •< . , > s <C -. ; — =•
sin'j; sin3J: — losini'^
ê
Au moyen de ces résultats on peut vérifier la légitimité de nos assertions, pour
ce qui concerne les log sin etleslogcos; on déduit ensuite immédiatement delà
que ces assertions sont vraies aussi à l'égard des log tang.
78 TRàlTÉ DE TftlGOlfOMÉTaiE.
en négligeant celle de A, sera - 10"^ d'où il suit que la préci-
sion obtenue dans le calcul d'un arc sera d'autant plus grande
que les différences tabulaires seront elles-mêmes plus grandes.
Or la différence de deux log tang est la somme des différences
des log sîn et des log cos correspondants (*) •, donc un arc est
toujours mieux déterminé par sa tangente que par son sinus
ou^son cosinus. A 45 degrés, point du premier quadrant où
la tangente donne la plus faible précision, la différence tabu-
laire de ses logarithmes est de 4^1 unités du septième ordre
décimal pour une variation de 10 secondes dans l'arc; d'où
l'on conclut qu'une erreur d'une unité du septième ordre dans
le logarithme de la tangente correspond alors à une erreur
de 0^,024 dans l'arc. Une même erreur dans le logarithme
du sinus ou du cosinus correspondrait à une erreur double,
c'est-à-dire à o'^,o48. Pour des arcs petits, les différences
des log cos sont très-petites, et, par suite, les différences des
logsin sont à peu près égales aux différences des log tang; il
s'ensuit qu'un petit arc ne saurait être donné avec précision
par son cosinus, ainsi que cela a déjà été dit plus haut; au con-
traire, il est également bien déterminé par son sinus ou par
sa tangente. Concluons de là que dans les solutions trigono-
métriques on devra rechercher autant que possible l'emploi
des tangentes et rejeter avec soin l'emploi des cosinus, pour la
détermination des petits arcs.
Procédés pour rendre une formule calculable par
logarithmes.
58. Pour que l'on puisse appliquer immédiatement le cal-
cul des logarithmes à la détermination de la valeur d'une ex-
(*) La différence
log tang (:r -H A)— logtangx
est évidemment la somme des deux différences
log sin (a: -f. A ) — log sinor,
log cosar — log cos (a: -t- h ).
GHAPlTftS PKIÏlitgK. 79
pression numérique, il est nécessaire que cette expression ne
contienne que des facteurs monômes ; autrement on dit qu'elle
n'est pas calculable par logarithmes. Si une expression ne
contient d'autres facteurs polynômes que des sommes ou des
différences de deux sinus, ou de deux cosinus, ou de deux tan-
gentes d'arc donnés, on la rendra calculable par logarithmes
en faisant usage des formules^ du n° 18 : aussi ces formules
sont-elles d'une extrême importance. Mais il existe des pro-
cédés généraux que nous allons indiquer ici, pour rendre cal-
culable par logarithmes une expression qui ne l'est pas.
Considérons d'abord une expression binôme
et supposons qu'on veuille avoir log:c; a et & sont des nom-
bres positifs, dont les logarithmes seuls sont donnés. On peut
écrire
( -^*
\ «
Cela posé, déterminons un arc auxiliaire f , tel que l'on ait
b
tanfir® rr= -:
cet arc <p, compris entre zéro et 90 degrés, se calculera par la
formule
log tangy = l^g^ — logû.
La valeur de x devient alors
, , . ces o rh sin *
.ri= « ( I dt tanff © ) =: a — ;
^ ^^^ cos^
mais on a
cosç di8in<p=:icosy=hcos(go® — ç),
= 2 ces 4 5® ces (^zp 45*):= v'2COs(yqi45'*);
donc
û ^2C0s((pZp45**)
X = •
COSf
8o TRAITÉ DB TRIGONOUÉTRIB.
Cette formule est calculable par logarithmes ] on en tire
logx = loga H — log2 -h log ces (^ qz 45°) — log cog^ ( *).
La même méthode s'applique à une expression polynôme quel-
conque a±b±c±d±.,,\en effet, on pourra, par l'emploi
d'un arc auxiliaire, réduire d'une unité le nombre des termes
de l'expression polynôme : avec un second arc auxiliaire, on
diminuera encore ce nombre d'une unité, et l'on pourra con-
tinuer ainsi jusqu'à ce qu'on ait transformé l'expression en un
monôme.
La transformation précédente n'est pas la seule qu'on puisse
employer^ nous indiquerons encore la suivante.
On rendra calculable par logarithmes la formule a -h b^ où. a
et b sont des nombres positifs, en posant - = tang*ç 5 car on a
a-'r =:a[i -4-tang'yJ =
cos*^
Si Ton a a^by on rendra la formule a — b calculable par
logarithmes, en posant b =^a sin*^^ car on a
a — b z=.a{\ — sin*y)=r: «cos*^.
Résolution de l'équation du deuxième degré par le moyen
des Tables trigonométriques,
59. Les deux racines de l'équation du second degré
(i) .r--j-/?^ -4-<7 =0
(*) On doit préparer les logarithmes qui sont affectés du signe — dans une
formule de manière que leur partie décimale soit négative; par exemple, si
le logarithme 3,3554307 est destiné à être retranché d'une somme d'autres lo-
garithmes, il faat l'écrire — 2,^44^79^1 ^^ sorte qu'on sera ramené à ajouter
3,6445793; cette manière d'opérer revient à prendre le complément à 10 dTu
logarithme et à retrancher 10 de la caractéristique.
CHAPITRE DBUXIÈlfB. 8t
sont données par la formuk
(2) X
f^v^f--
nous supposerons que les coefficients p et q soient des quan-
tités réelles données directement ou par leurs logarithmes.
I® Soif^ ^ ^ o, ce qui est le cas où les racines sont
réelles et inégales. Si Ton a en même temps ^ ^ o, on posera
2 sin ^ '
l'arc auxiliaire cp, compris entre — 90 et -h 90 degrés, se cal-
culera par la formule
log ( — sing») = log2 -4- - log^ — log/?
si p est positif, et par la formule
log sing> = log2 H — logy — log( — p)
sip est négatif. La formule (2.) devient alors
r- /i d=:cos«p\
^' \ Slllf /
de sorte qu'en appelant jCi et x% les deux racines on aura
or, = ^q tang - ç, «2 = ^q cot - «j»,
expressions calculables par logarithmes.
Si Ton a 9 <] o, on posera
P _ y/f- g .
2 tang ^ '
l'arc auxiliaire cp, compris entre — 90 et H- 90 degrés, se cal-
culera par la formule
log( — tang(p) i=log2 -H - Iog(— y) -^ log/?
2
Trig. S. 6
8a TRAITÉ >1 TRIGOirOHfiTftIE.
si p est positif, et par la formule
log tang<p= log2 -+- - log(— y) — log(— />)
si p est négatif. La formule (a) devient alors
/ /cosçdi i\
de sorte qu'en appelant x^ et Xt les deux racines on aura
jc, = — ^ — q tang - f , X, =: -f- ^— q cot - 9.
7? Soit y- — y < o, on pourra poser
qz=l -r 5
^ 4 cos'f
et Tare auxiliaire f se déterminera par la formule
logcosf =:log(±:/>) k>gy -— loga;
la formule (a) devient alors
x= — - ±: - tangf ^— i;
la partie réelle des deux racines imaginaires est — -^t et le loga-
rithme du coefficient de ♦/ — i est égal à
\o^{±p) 4- logtang^p — log2.
60. On peut ramener à la résolution d'une équation du
deuxième degré le problème qui consiste à trouver tous les
arcs X qui satisfont à une équation de la forme
a ces j? -f- ^ sin j? r=. c,
où a, &, c désignent des nombres donnés poâitifs ou négatifs.
Il suffit, en effet) pour cela d'exprimer sino: et cos x en fonction
d'une même ligne trigonométrique ^ mais la question dont il
OBAPITRE DBUXlftlfE. 83
s'agit peut être résolue beaucoup plus simplement de la ma-
nière suirante. Déterminons un arc auxiliaire <f compris entre
— 90 et -t- 90 degrés, et tel que Ton ait
b
tangy=:-:
en remplaçant b par a tangO), Téquation proposée devient
« (cos4r -4- tang(p sinar) =:= c,
ou
^cos©
cos(j: — ?)--
Pour que le problème proposé soit possible, il iaut que
soit compris entre — i et -f- i , c est-a-dire que 1 on ait
a
c*cos'f
<! ou c'<;a*-+-6».
Si cette condition est remplie, les Tables feront connaître un
arc a compris entre zéro et i8o degrés, et ayant pour cosinus
\ les racines de l'équation proposée seront données en-
suite par la formule
x=^ A-, 36o° -f- y dz a,
où k désigne un entier arbitraire positif, nul ou négatif.
On peut exprimer toutes les racines x en fonction de l'une
quelconque d'entre elles ; désignons en effet par Xo Tune de
ces racines *, on aura
a = ±: (/•'. 36o« + y — .ro) ,
h! étant un entier, et l'expression générale des racines x sera
xz= ^.36o**-h <pdt(® — Jr«);
cette formule équivaut aux deux suivantes :
x^=z k. 36o® 4- .r^,
84 TRAITE DE TRIGONOMÉTRIE.
Résolution de V équation du troisième degré par le mojen
des l^ables trigonométriques ,
61 . L'équation générale du troisième degré
(i) X»-+-PX2-f-QXn R = o
se ramène à la forme
(2) x^-T-px-\-q^=^Oy
p
en posant X ==^ — -=-\-x\oii peut donc se borner à considérer
Téquation (2), dont les coefficients seront supposés réels.
Nous avons vu (n° 29) que Téquation
a pour racines
cos-|j cosf i20*»-i- I U ces I 240* 4- I M
si donc on parvient à ramener Téquation proposée (2) à la
forme (3), le problème que nous nous proposons sera résolu.
Posons X =^ iz, Téquation (2) devient
(4) ^' -:- f, = H- J == «'
et cette équation (4) coïncidera avec (3) si l'on détermine la
quantité A et Tare (f de manière que Ton ait
p 3 q cos<p
x^"~*~4' y>~ 4~'
équations d'où l'on tire
2
9 COStfTzz
=V-f
W^ï
ces valeurs de X et de coscp ne sont réelles que si p est négatif:
GHAPITBE DBUXiÈM£. 85
mais, pour qu'elles soient admissibles, il faut encore que la
valeur de cos'ç soit inférieure à i, ce qui exige que Ton ait
-7-4-^^— <o ou 4p'-^27^^<ro.
4 '27 / ' ^
Cette condition entraîne p <Co\ si elle est satisfaite, l'identi-
fication des équations (3) et (4) devient possible; alors, Tare y
ayant été calculé par la formule
(v/-
ces <ï» =r ^ --- --V-3 '
P
3
les racines Xj, Xj, x^ deTéquation proposée (2) seront
^3 — 2 i/' ^^ cos (240» -f- ^
Le cas que nous venons d'examiner est celui où les racines
de l'équation (i) sont réelles et inégales; toutefois deux de ces
racines deviennent égales si l'on a
4yo® H- 27 ^^ == o ;
la solution précédente subsiste dans ce cas»
62. Considérons maintenant le cas où l'on a
4/?'-f- 27g^>o,
et où, par conséquent, l'équation (2) ne peut plus se ramener à
la forme (3) par la transformation dont nous avons fait usage.
Soient d'abord p =^0 et c/ = — i, Téquation (2) devient
X^ — I m o ;
les valeurs de x sont alors les racines cubiques de l'unité -,
pour les trouver, remarquons que x^ — i est le produit des
facteurs x — i et x* -j- x -f- 1 5 en sorte que l'unité a trois ra-
cines cubiques dont l'une est égale à i , et dont les deux autres
86 TRAITÉ DB TRIGOMOMÉTftlE.
a et o sont les racines de Téquation du second degré
on trouve
en outre, comme on a
on conclut que
a =ir 6* et 6 := a^ ;
en sorte que chacune des deux racines cubiques imaginaires
de Tunité est le carré de l'autre.
Revenons maintenant au cas général, et distinguons les deux
hypothèses p <^ o et p > o.
I ° Soit p <[ o ; posons
X z=:\[a tang(f> -f- ècoty),
en désignant par a et & deux quantités respectivement égales
aux racines cubiques imaginaires a et 6 de Funîté ou égales
toutes deux à Funité: en élevant au cube, il vient
x* = V[tang^f -f-cot^ep -h 3(ûtang^ -f- ècotcp)],
et Ton déduit des deux équations précédentes
(5) a^ — ZVx — ^^(tang^f -+-cot*f ) = o.
D'après la manière dont cette équation ( 5 ) est formée, il est
évident que ses trois racines sont
(6) >(tangy 4- coty), X(atang(p-4- Scoty), X(6tangç -4- acoty),
et par conséquent l'équation (a) se trouvera résolue si Ton
parvient à l'identifier avec l'équation (5). Tl suffit pour cela,
de déterminer X et (j> de manière que' l'on ait
— 3V=:/?, — X*(tang®y -f- COfy) i=r y;
la première de ces équations donne
v^
CBAPITRB HBUUÈai. 87
et il Tient ensuite
tang*f -H oot*f = -
(^^y
Pour trouver f , nous emploierons un deuxième arc auxiliaire
4», tel que
il vient alors
2 — q
tang\L -h cot\L =r -^^ = , — , —, 9
" ^ sin 2 >p
V?)"
d'où
on pourra tirer de cette équation une valeur de ^ comprise
entre — 45 et H- 45 degrés ^ car 4/?' + ^^^^ étant > o, par
Lypothèse, la valeur précédente de sinavj^ est comprise enlre
— I et + I ^ on trouvera ensuite une valeur de ç également
comprise entre — 45 et -4- 45 degrés, au moyen de la formule
tangf = ^tangtj;.
Les arcs f et (|/ ayant été ainsi calculés, on aura, pour les ra-
cines de l'équation ( 2 ), les expressions (6), qui deviennent, en
remplaçant a et 6 par leurs valeurs écrites plus haut.
\/
— ^^(tangf -+-cot<p),
i/— ^{tangy H- coty)±:- y'— /?(tangy — cottp) V'— i,
ou
V? .. V
—p
3
et — . ± si — p cot2 » ^— I .
sms^ sm2f ' ^
On pourra calculer par les Tables, au moyen de ces formules,
la racine réelle, ainsi que le coefficient de yj — i dans les ra-
cines imaginaires .
88 TlAITfi DB TmiGOirOllfiTRIE.
2® Soit p^o'^ posons
a et b désignant, comme précédemment, deux quantités
égales respectivement aux racines cubiques imaginaires a et S
de l'unité, ou égales toutes deux à Funité-, en élevant au cube,
il vient
jc* =2 X*[tang*f — cot'ç — 3 (a tangy — ècot^)],
d'où
(7) .T^ -h 3V^ — V(tang»ç — cot» = o,
équations dont les racines sont
(8) ^(tang<p — cot^), ^(atang(p — 6cot<p), X (étangs — acot<p).
Pour que Téquation (2) puisse être identifiée avec Téqua-
tion (7), il faut et il suffit que Ton ait
3>^=/?, — V(tang^<p — cot*(p)=ç;
la première de ces équations donne
=v1-
et il vient ensuite
tang'ç — cot*<p =
m
Pour trouver y, nous emploierons un deuxième arc auxiliaire
i|/, tel que Ton ait
tangTp = tang'y;
il vient alors
tang\|* — cotip = — 2cot2ij^ = — , — ;-v-,?
d'où
m
C0t2ij<
./•/""'
(v^
CHAPITRE DBUXIËlfB.
l'angle \p étant connu^ on calculera y par la formule
89
tangq>=: v^tang4»;
les racines de Téquation (2) seront alors
ou
i/|(tangf — coty),
-.^ y ^{tangf — cotç)=t ^(tangy -f-cot(p) \/—~i,
— 2i/^COt2© et i/^C0t2ep ±- -— V^— I.
V 3 * V 3 ^ sm2^
On voit que, dans le cas de 4p^ ~^ ^7^* > ^5 1 équation pro-
posée (2) a toujours deux racine,s imaginaires.
63. Exemple I. — Soit proposé de résoudre Téquation
X* — 7Jr-f-7 = o.
On aicip= — y^ q -.z=z y^ Téquatîon proposée a deux ra-
cines positives Xi et x, et une racine négative a:^ , On a
cos
(240» +1),
et
COSf
-V 28
28 / « ?
_.eos(c2oo+-
O ^27
TYPE DU CALCUL.
Calcul de <p.
log(- tang(p) ï,2i843i8i
i8o° — 9» lo'^SS'Se^a
|- 56°22'7",9
240° -+- 1 :.^ 36o*» - ( 63° 37' 52', I )
i2o«-r-|:=_- 180° - ( 3°37'52'',3)
Calcul de x, .
log
o,485oi84
logcosl 1,7433876
6
logXj 0,2284060
o:, = 1 ,69202
90
TRAITS DB TRIGONOMÉTmil
Calcul de x^,
o,4S5oi84
log cos ( 240" -^ I ) T, 6475280
logjT, o, 1325464
jTj = 1 , 35689
Calcul de Xy
o,485oi84
log — cosf i20»H-|j l. î, 9991270
log( — ^s) 0,4841454
0:3 = — 3,04892
64. Exemple II. — Soit proposé de résoudre Tëquation
X* — 6x -*-6 = o.
On a ici p = — 6, ^ = 6^ réquation proposée a une racine
réelle négative x^ et deux racines imaginaires ^ ±: m yj — i.
On a
^ u=z y/6cot2y,
sin2^
V8
tangf = V^tang^l» , sina^p = -«- ? tang2>p = ^
TYPE DU CALCUL.
Calcul de ^j/.
)ogtang2^p o,45i545o
2^I/r3 7o'»3i'43",6
j= 35°I5'5I^8
Calcul de x^.
|log8 o,45i545o
— log8in2f ,. 0,0028916
log( — X,) 0,4544366
X, = — 2 , 84732
Les racines sont
Calcul de «p.
logtangç 7,9498283
(p = 4i"4i'52%o
2(p = 83°23'44%o
Calcul de u,
|log6 0,3390756
Iog(— cot2ç) ï,b63643i
log« 1,4527187
u = o,2836o8.
— 2,84732 et 1 ,42866 ± 0,283608 si — I .
QUESTIONS PROPOSÉES.
f
I. On partage Tare 20: en /i parties égales, et l'on demande : i^ de
déterminer la distance du centre des moyennes distances des points de
division à un diamètre quelconque ; 2° de prouver qu'à la limite, pour
CBAPITEK DKCXIÈME. 91
/? = 00 , la distance du centre du cercle au centre des moyennes distances
est égale a •
n. Démontrer que la différence x — sinj? est d'autant plus petite que
X est plus petit.
in. Démontrer que, si x est compris entre zéro et - , le rapport
fw* fw^ JT 3C
est la limite vers laquelle converge le produit cos - cos-r cos- • • • cos— j
lorsque l'entier n augmente indéfiniment. Déduire de cette propriété les
JT* X^ X^
inégalités sinx > x — —et cosx < i 1 — - •
6 a a4
IV. Démontrer que, si x est compris entre zéro et -» ona
tangx>x-4-— 5 et x<~ tangx-+-- smx.
V. Démontrer que les rapports et — -5 décroissent quand
l'arc X croît de zéro à - • Après avoir établi l'inégalité > — ^ r— ^
2 ^ ^ X X -^ h
te
dans rhypDthèse où x et A sont positifs et où x + A est inférieur à - ? on
X siii «I? X I A ^— sm f X \ h \
pourra démontrer l'inégalité -5 — > -. hi en faisant
X \ "" /
X*
usage de la formule d'où l'on a conclu l'mégalité x — sinx < ~ ? au n° 46.
YI. Démontrer l'inégalité
3
6,79- ••
X — sinx^ /tt \ /aX*
X
ou X ~ smx > ,
pour toutes les valeurs de x comprises entre zéro et
92 TRAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.
CHAPITRE IIL
TRIGONOMÉTRIE RECTILIGNE.
Objet de la Trigonométrie rectiligne,
65. Il y a dans un triangle six éléments à considérer, trois
angles et trois côtés. Résoudre un triangle, c'est calculer les
valeurs numériques de ses éléments lorsqu'on a des données
suffisantes.
La Trigonométrie rectiligne a pour objet la résolution des
triangles rectilignes.
Les valeurs numériques des longueurs s'obtiennent en rap-
portant ces longueurs à une même unité : il nous reste à par-
ler de la mesure des angles.
Mesure des angles.
66. Soit un angle AOB [fig- 8)^ décrivons de son sommet
comme centre, avec un rayon quelconque, une circonférence.
Fig. 8.
Wy
/
X
\
\
\
1
)
A
A'
et désignons par R et S les nombres d'unités contenues dans le
rayon OA et dans l'arc AB intercepté par les côtés de l'angle.
S
Le rapport — est indépendant de la grandeur du rayon OA, car
si l'on décrit, du point O comme centre, une autre circonfé-
rence A'B', et qu'on désigne par R' et S' les nombres qui me-
surent le rayon OA' et l'arc intercepté A'B', on aura, par un
CHAPITBE TROISIÈME. gS
théorème connu,
R "^ R' '
Il résulte de là que, sî Ton pose
S
le rapport co ne dépendra que de la grandeur de l'angle AOB ^
comme, d'ailleurs, l'angle AOB varie proportionnellement au
nombre o), on peut prendre tù pour sa mesure. Pour S = R
û) se réduit à i -, par conséquent w représente le rapport de
l'angle AOB à un certain angle qu'on peut choisir pour unité,
et qui est tel que, si l'on décrit une circonférence de son som-
met comme centre, avec un rayon quelconque, l'arc intercepté
entre ses côtés est égal au rayon de la circonférence.
La formule S = Rco est très-fréquemment employée dans
les applications géométriques; elle permet de comparer des
arcs qui appartiennent à des circonférences différentes
Si l'on prend le rayon OA pour unité linéaire, on aura
R = I et W =:: S ;
ainsi un angle est mesuré par le m,ême nombre que V arc in-
tercepté entre ses côtés sur la circonférence décrite de son
sommet comme centre as^ec l* unité pour rayon. Par exemple,
le même nombre - représentera indifféremment l'angle droit
et le quadrant. C'est pour cette raison que les mots angle et
arc sont souvent employés comme synonymes.
Et comme nous sommes convenus, dans les applications de
la théorie des fonctions circulaires, de représenter les arcs par
les nombres de degrés, minutes, secondes, etc., qu'ils ren-
ferment, ces mêmes nombres de degrés représenteront égale-
ment les angles correspondants.
Nous appellerons sinus, cosinus, tangente, cotangente, sé-
cante et cosécante d'un angle, le sinus, le cosijiLUS, la tan<-
gente, la cotangente, la sécante et la cosécante de l'arc inter-
cepté par les côtés de l'angle sur la circonférence décrite de
son sommet comme centre, avec l'unité pour rayon.
94 TRAlTfi DE TRIGONOHÉTRIB.
Nous représenterons toujours par A, B, C les trois angles
d'un triangle, et par a, i, c les côtés respectivement opposés;
les angles aigus ou obtus sont nommés angles obliques^ et les
triangles dans lesquels aucun angle n'est droit sont dits obli-
quangles.
Relations entre les angles et les côtés d'un triangle
rectangle,
67. Théorème. — Dans tout triangle rectangle, chaque côté
de l'angle droit est égal à f hypoténuse multipliée par le si-
nus de l'angle opposé^ ou par le cosinus de l'angle adjacent.
Soit ABC {fig» 9) un triangle rectangle en A ^ du point G
Fig. 9.
B
p;n
comme centre, avec Tunité pour rayon, décrivons Tarcdç
cercle MN, et abaissons MP perpendiculaire sur AC : les
triangles semblables ABC et PMC donnent
r MP * CP
> —
a CM a CM
On a d'ailleurs
CM — I, MP — sinC, CPr=:cosC;
donc
czrrûsinC, ^ = /icosC.
Corollaire. — Dans tout triangle rectangle, chaque côté
de l'angle droit est égal à l'autre côté multiplié par la tan-
gente de l'angle opposé ou par la cotangente de l'angle
adjacent. *
En effet, soit A l'angle droit ; on a, par le théorème précé-
dent
c = rtsinC, è = acosC,
GHAPITEE TBOISIÈHB.
d'où, en divisant membre à membre,
r = tangC et c = b tangC,
95
on
c z=zb cotB.
Remarque. — Il ne saurait exister entre les angles et les
côtés d'un triangle rectangle une relation distincte des trois
suivantes :
B H- C =:= 90*»,
c=:asinC, è = d5C08C;
car s'il y en avait une, en y remplaçant c, i et B par leurs va-
leurs a sinC, a cosC et 90^ — C, on aurait une équation non
identique entre a et G, ce qui est absurde.
En ajoutant les deux dernières des relations précédentes,
après les avoir élevées au carré, on obtient la relation con-
nue
Relations entre les angles et les côtés d'un triangle
obliquangle.
68. Théorème I. — Dans tout triangle rectiligne, les côtés
sont proportionnels aux sinus des angles opposés.
Soit ABC [fig- 10 ) un triangle dans lequel les angles B et C
sont aigus ; abaissons du sommet A la perpendiculaire AD sur
la base BC : le point D tombera entre les points B et C, et les
triangles rectangles ABD et ACD donneront (n** 67)
AD=rcsiiiB, AD=:^sinG,
96 TRAITE DE TRIGONOMÉTRIE.
d'où
c sinB :^ b sinC ou -
sinB siaC
Si Tun des angles B ou C est obtus {Jîg. 1 1), C par exemple,
le pîed de la perpendiculaîre AD tombe sur le prolongement
Fîg. II.
de BC, et comme deux angles supplémentaires ont le même
sinus, les triangles rectangles ABC et ACD donnent encore
AD = c sinB = b sinC,
d*où Ton conclut que la formule précédente est générale.
69. On a, d'après ce qui précède, les trois relations sui-
vantes entre les angles et les côtés d'un triangle :
(1) 1 ^ _ ^ _ ^ .
( sinA sinB sinC'
et je dis qu'il ne saurait exister une autre relation distincte de
celles-ci. En eflet, on tire des équations (i)
o ^ ^ , «sinB asinC
sin(B-t-C) sin(B-+-C)'
cela posé, s'il existait entre les angles et les côtés une rela-
tion distincte des relations (i), en y mettant, au lieu de A,
i, c, les valeurs que nous venons d'écrire, on aurait une équa-
tion non identique entre le côté a et les deux angles adjacents
B et C, ce qui est absurde.
Mais on peut déduire des équations (i) d'autres relations
importantes qui constituent autant de théorèmes ; nous com-
mencerons par démontrer directement ces théorèmes, et nous
cHAPiTU nondsn. 97
ferons yoir ensuite comment les diverses relations que nous
aurons trouvées peuvent se déduire les unes des autres.
70. Théorèmb n. — Dans tout triangle rectiligne, le carré
d'un côté est égal à la somme des carrés des deux autres
côtés, moins le double produit de ces deux autres côtés mul-
tiplié par le cosinus de l'angle qu'ils comprennent.
Soit ABC {Jig- I lî) un triangle dans lequel l'angle C est aigu ;
abaissons du sommet A la perpendiculaire AD 5ur BC j on aura
mais le triangle rectangle ACD donne (n° 67)
CD =z h cosC;
on a donc
c» = à^ 4- ^» — aaé cosC.
Si Tangle C du triangle est obtus {fig. i3), on a
c» = a» -f- ^' H- aa X CD;
Fig. x3.
le triangle rectangle ACD donne
CD= icosABC=:ftcos(i86* — C) = — 6cosC;
donc on a
c» = tf» H- 6* — ^ab cosC,
Trig. S. J
98 TRAITÉ DE TEIGONOlKTRIB.
comme dans le premier cas. Enfin cette formule a lieu encore
quand C est un angle droit ^ car^ dans ce cas, cosC est nul, et
elle se réduit à c* = a* 4- A*.
Le théorème que nous venons d'établir donne les trois rela-
tions suivantes :
ia^ •=: h^ -\' c^ — 2 6c cos A,
6» =r a» -f- c* — aoc cosB,
c* = a^ -H. 6' — ^ah cosG,
qui contiennent chacune trois côtés et un angle.
71 . Théorème III. — Dans tout triangle rectiligne, un côté
est égal à la somme des deux autres, mutipliés chacun par
le cosinus de l'angle qu il forme avec le premier côté.
Soit un triangle ABC [fig* i^)\ abaissons du sommet A la
Kg. 14.
Fig. i5.
perpendiculaire AD sur BG : on a, si les deux angles B et C
sont aigus,
a = BD -f- DC,
et si Tun des angles B et C, C par exemple, est obtus [fig- 15),
û = BD — DC.
Mais, dans le premier cas, DC = b cosC, et dans le second
DC = i cos(i8o** — C) = — icosC^ dans les deux cas,
BD = c cosB : donc on a
a = 6 oosC -H c cosB.
Ce théorème fournit les trois relations
Ia-= b cosC •+ c cosB,
bz=.c cos A -h a cosÇ,
c:=z:a cosB -4- b cosA,
CHAPITmi TmOISltMB. . 99 <
72. Pour déduire les équations (3) des équations (a), ajou- j
tons les deux premières équations ( 2 ) ; il vient, après les ré- - |
ductions, \
c = acosB -^ bcosA. ^
sin'A =
cosA =
2 oc
— a* — b* — c* -f- 2 a* ô* -f- 2 «*c' -+- 2 6*c'
^b^c*
par suite,
8in*A — •«* ^ è« -- c:« -h 2«*6* -+- 2/i'c' -{- 26'c»
C'est lune des équations (3) ^ on obtiendrait les deux autres
de la même manière. |
Réciproquement, pour déduire les équations ( 2 ) des équa- j
lions (3), ajoutons les équations (3), après les avoir multi-
pliées respectivement par a, J, — 05 il vient
c2 = fl'-h b^ — 2a&cosC.
C'est Tune des équations ( 2) ^ on obtiendrait de même les deux
autres.
Il résulte de là que les systèmes ( 2 ) et ( 3 ) sont équivalents ;
nous allons indiquer comment on peut déduire Tun de ces
systèmes, (3) par exemple, des équations fondamentales (i).
La première équation (1) donne
C=il8o*— (A-+-B),
d'où
sinC = siQ(A + B) = siQAcO0B +sinBcosA;
si l'on remplace sinÂ, sinB» tinC par l#s quantités propor-
tionnelles a, i, c, il vient
€ =z a cosB + 6 cos A.
C'est Tune des équations (3) ; «m obtiendrait de même les deux
autres.
Jadis enfin que les équations (i) peuvent se déduire des
équations (2) ou (3), si Ton fait#la restriction que la somme
A + B-h C n'excède pas 180 degrés. En eflFet, on tire de la
première des équations ( 2 )
b^-^c' — a*
a} ^a^b^c^
lOO TRAlTfi DS TRlGONOHtriUB.
On trouverait évidemment la même valeur pour et pour
sin*C ,, . , sin'A , ,
• ^ •, car 1 expression obtenue pour — — ne change pas quand
C Or
on change les côtes a^b, c les uns dans les autres \ si donc on
sait que A, B, G sont moindres que 180 degrés, leurs sinus
étant positifs, on peut écrire
sinA sinB sinC
abc
En second lieu, on peut éliminer a, i, c des équations (2) ou
(3), car ces équations sont homogènes-, si Ton élimine deux
des trois côtés, le troisième disparait aussi, et il vient
cos'A -h cos'B -h cos'C + 2 cosA cosB cosC — 1 =
ou
(cos A-4- cosB cosC)*=i — cos'B — cos'C -f-cos*B cos*C = sin*B sin*C,
ou, en extrayant les racines carrées,
cosA = — cosB cosC ± sinB sînC = — cos(B dz C);
d'où
AihB±:C = i8o»X(2^H-i),
k étant un entier. El si la somme A-hB+ C n'excède pas
180 degrés, on a nécessairement
A-f-B-4-C = i8o*.
autres formules relatwes aux triangles obliquangles.
73. En transformant les relations précédentes, on obtient
de nouvelles formules qu'i e«t utile de connaître et que nous
allons établir.
Des relations fondamentale
sin A sin B sin C
on déduit
^4-^ _ sinA-f-sinB _ asinj-(A 4- B) cosj (A — B)
c ^ sinC """ 2sin-^Ccos7G *
g — ^ _ sinA— sinB __ 2cos|(A-f-B) sifi|(A— B)
c "" sinC "~ 2sin|Ccos-^C '
CHAFITiB TiOISlfin. 101
ou, à cause de - ( A -f- B) =: 90** C,
et, en divisant ces équations (i) Tune par l'autre, il vient
(2) tang - (A -— B) = ^ cot - C.
Les formules (i) renferment les six éléments, mais la for-
mule (a) ne contient que deux côtés et les angles.
74. La relation
a* ^a-f. c^— 2ÔtfCDsA
1
donne
cosA -, ;
abc
mais on a
/L
ces - A i/
/n-cosA . 1 .
' , sm - A 4
— ces A
et, en substituant à cos A sa valeur, il vient
ces
1 _ /2bc-{- b^-hc^—a^ __ /{b-{-cY—a^
2 V p^ "" V Pë
V
(a -h ^ -f- c) ( — a + è -4- c)
^bc
•sm-A==:y/ p^^ -y/ p^
=v'
(« -f- ft — ^) {^ — b -h' c)
pï
Par de simples permutations de lettres, on obtiendra des for-
mules semblables pour exprimer les cosinus et les sinus des
angles - B et - C. Si donc on fait, pour abréger,
2 2
a -\- b -hcz= 2p^
I02 TRAIT fi DB TmiGONOHfiTlIS.
d'où
a — b -^ c^=z2.{p — ô),
a-\- b — c=:7,[p — c),
OD aura ces deux systèmes de formules :
CCS
^=v^^'-
(3)
:» = V''
ces " '
ac
'Z y ab
(4) L»iB=t/SH3]ZEI),
j 2 V OC
a V ab ^
enfin, en divisant chaque formule du groupe (4) par la cor-
respondante du groupe (3), on obtient ce nouveau système de
formules :
a V P{p-a)
(5) jtanglB^i/^ ;H^^7^\
•^^^v^'-^^
(/> -»)
<').
Dans toutes ces formules, il faut prendre le radical avec le
signe H- ^ car les demi-angles d'un triangle sont inférieurs à
90 degrés, et, par suite, leurs lignes trigonométriques sont
positives.
CHAPITRB TaOISlftHB.
io3
Expressions de l'aire du triangle et des rayons des cercles
inscrit et circonscrit,
75. Aire dtj tkiaiîgle. — Soit un triangle ABC (fig- 1 6 et 1 7) 5
Fig. 17.
abaissons du sommet A la hauteur AD : on a, en désignant par s
Taire du triangle,
5 zr: - a X AD*
2
Mais le triangle rectangle ADC donne AD = JsinC^ on a
donc
(0
s = — ûèsinC.
2
Ainsi l'aire d'un triangle est égale à la moitié du produit de
deux côtés multiplié par le sinus de l'angle compris entre ces
côtés.
En appliquant cette proposition aux quatre triangle^ dans
lesquels un quadrilatère peut être décomposé par le moyen de
ses diagonales, on obtient le résultat suivant :
L'aire d'un quadrilatère quelconque est égale à la moitié
du produit des diagonales multiplié par le sinus de V angle
qiî elles forment entre elles.
Si dans la formule (i) on remplace b par sa valeur tirée de
Téquation
b sinB sinB
a sinA sin(B-i-Cj
il vient
(^)
I a^sinBsinC
"~ 2 sin(B -+- C)
Io4 TRAIT< Dl TEiaOïraStlttlI.
Enfin, des équations
nn-C= i/i^- ^-~ -i cos-C=:= i/-
1 y ab 2 V
sin - u = i / "^ '-i^ -i cos - u =:= i /^^^. — '
établies au numéro précédent, on déduit
sinC = 2 sin - C cos - C =: 2 ^-^-^^ ^^ ^^-^^- -y
2 2 ao
et, si Ton remplace sinC par cette valeur, dans la formule (i ),
il viendra
(3) sz=s /P(P — ^)(P'- ^) (P — ^),
formule où p désigne le demi-périmètre •
De cette formule et de celles qu'on a établies au n^ 74, on
déduit les résultats suivants, qui méritent d'être remarqués :
2 2 2 abc ^ paoc
coslAco8iBcosic=^P^^E35EïZIZEf) = ^,
2 2 2 abc abc
tang - A tang - B tang -€ = —;•
2 ° 2 ^2 /?'
76. Rayon du cercle circonscrit. — Ayant circonscrit un
cercle au triangle ABC (fig- i8), menons, par le sommet C, le
diamètre CD = 2R, et joignons BD 5 Tangle en D du triangle
rectangle BCD est égal à A ou au supplément de A : on a donc
a
a = 2RsinA ou R = — .— -*
2smA
CBAPiVU TR0I8IÈIIB, Io5
Multipliant haut et bas par &c, il vient
abc abc abc
R
2ÔcsmA 45 ^^pf^p^a){p — bj{p-^c)
77. Rayons des cercles inscrit et exiwscrits. — Soit r le
rayon du cercle inscrit; en joignant le centre de ce cercle aux
trois sommets, on décompose le triangle en trois autres ayant
pour hauteur commune r, et pour bases les trois côtés a^ b^c
, a -h b -\-c
respectivement ; on a donc s = r > ou
s=pr, et r=- = i/'J- '-^ ^-^ -^
p y p
Si l'on désigne par a, 6, y les rayons des cercles exinscrits
au triangle, c'est-à-dire des cercles qui touchent respective-
ment les côtés a, &, c et les prolongements des deux autres, il
est aisé de voir que l'on a
s = [p — a)fi,—[p-^b)l = {p — c)'^,
d'où l'on tire
6
p — a y p — a
lp[p^a)[p^c)
hi-sJ'-
p — b y p — b
p — c y p — c
On peut aussi écrire (n° 74)
a=/?tang-A, 6=r/?tang-B, 7i=/?tang-C.
De ces formules on peut en déduire plusieurs autres, parmi
lesquelles on doit remarquer les suivantes :
I I I I
— = — f~ p H — »
r a 6 7
s =z ^roL^y,
4R =:a-4-6-f-7 — r.
Io6 TRAITÉ DB TRIGOlfOllfiTllB.
Résolution des triangles rectangles,
78. Premier cas. — Étant donnés l'hypoténuse a et un
angle aigu B, calculer l'angle C et les deux côtés b et c.
Les éléments inconnus se détermineront par les formules
€ = 90° — B, b^=:aÛTkh^ c:=z aco&h,
La première fait connaître immédiatement C, et les deux
autres donnent pour le calcul logarithmique
log b =: loga -f- log sin B, loge =r log a -f- log cos B.
79. Deuxième cas. — Etant donnés l'hjpoténuse a et un
coté b de l'angle droit, calculer le troisième côté c et les
deux angles B ef C.
On a, pour déterminer les éléments inconnus,
sinB==cosC = -» c^=za} — ^'=i(a -h b)[a — b).
La détermination directe de l'angle C s'obtient, comme on
voit, par un cosinus, et ainsi elle ne sera point susceptible
d'exactitude, si l'hypoténuse du triangle diflere peu de son
côté, comme cela arrive fréquemment. Dans ce cas, on peut
commencer par calculer c, et Ton obtiendra ensuite C par la
formule
tongCrzrf;
on aura ainsi, pour le calcul logarithmique,
logc=r - [log(« -f- ô) H- log(« —b)],
logtangC = loge — logé.
On peut aussi calculer C directement comme il suit. En rem-
plaçant cosC par sa valeur - dans les formules
. I ^ ^ /i — cosC I ^ l\ — œsC
CBÀFinS TlOIBlftlIK. 107
il vient
. I _, la — h I ^ la
an-C=: 4/ , tang-C= i/-
2 y 2a 2 V a
^ - h
sin
h'
l'une quelconque de ces formules donnera l'angle C avec pré-
cision, mais la seconde est préférable, parce que son emploi
n exige que les logarithmes qui servent pour le calcul de c.
80. Troisième cas. — Etant donnés Vun des côtés b de
l angle droit et l'un des angles aigus, calculer le second
angle et les deux autres cotés,
Le^ éléments inconnus se détermineront par les formules
b
B -+- C = 00®, a = -T-— ; 9 c^= b cotB;
^ sinB
les deux dernières donnent pour le calcul logarithmique
loga = log6 — log sinB,
loge = log 6 -f- log cotB.
81. Quatrième cas. — Etant donnés les deux côtés h et c
de V angle droit, calculer t hypoténuse a et les deux angles
aigus B et C,
On a, pour déterminer les éléments inconnus,
b
cote = tanfirB =1 -» a* = 6» _^ c>.
c
Cette dernière formule n'est pas calculable par logarithmes ;
on la rendrait telle en faisant usage d'un angle auxiliaire^
mais cette manière d'opérer revient à calculer d'abord B par
la formule
lo^tangB =r log 6 — log c,
et à déterminer ensuite a par la formule
a = -T— :g ou loga=--log6 — logsînB.
82. Exemple. — On donne
a = 5892", 5 1 , b = 5439™, 24,
(^t l'on demande de calculer c, BetC
io8
TRAlTt BB TUMSOatnU.
TTPB DO CALCCL.
£i-HÔ = ii33i,75, a— ^=453,27.
Calcul du côté c.
c=zy/(a^b){a — b)
\og(a-t-b) 4,054^970
log(a — A) 2,6563570
6,7106540
loge 3,3553^70
c = aa66", 35
Calcul de l'angle C.
-b
— 10g(tfH-6) 5,9457030
\og(a — b) a, 6563570
2,6020600
log tangue ï,3oio3oo
iC= ii-i8'35',76
C = 22*37' II', 52
On a ensuite
B = 90» — C = 67» 22'48''48.
Résolution d'un triangle rectiligne dans lequel on cannait
un côté et deux angles,
83. L'angle inconnu s'obtiendra inunédiatement par la for-
mule
A -I- B H- C = i8o*.
Si a est le côté donné, on calculera ensuite les côtés 6 et c par
les formules
asioB
b = —. — — , c
asinC
sinA
sinA
84. Exemple. — On donne
A = 8i»47'i2^5, B=:38•I2'47^5, C = 6o«, «111:7012^24,
et l'on demande de calculer les côtés b et c, ainsi que la sur-
face s du triangle.
TYPE DU CALCUL.
Calcul du côté b,
. _ asioB
~~ sinA
logfl 3,8458568
— log sinA 0,0044774
log sinB 1,7914024
log^ 3,6417366
*= 4382", 65
Calcul du côté r.
asinC
c =
sinA
logfl 3,8458568
— logsinA 0,0044774
logsinC 7,9375306
loge 3,7878648
c = 6i35",7i
CHJkPITlB TlOWlfeMB. fog
Caicul de la surface s»
1 a'sinBsinC
s = .-— - — ,
2 sinA
aloga 7,6917136
logsinB 1,7914024
log sinC 7,9375306
— logsinA 0,0044774
, — loga. 1,6989700
logs 7, 1240940
s = i33o74ao"«».
Résolution d*un triangle rectiligne dans lequel on connaît
deux côtés avec l'angle opposé à l'un d'eux.
85. Si a, & et A sont les éléments donnes, on déterminera
successivement les éléments inconnus par les formules
. ^ 6sinA . ^ ^ o asinC
smBi= > A-^-B-4-C=l8o^ c— . ^ »
a smA
Lorsque B difiere peu de go degrés, cet angle ne peut être
déterminé avec exactitude par le moyen de son sinus ^ dans
ce cas on calcule d'abord le produit b sin A et Ton obtient
ensuite l'angle B par la formule
_ ^sinA
tangB — =h — ^
y(a + b sinA) (a — ^sinA)
on peut aussi faire usage de la formule
' sinA
(fif ï «\ , ^ /a -^ bsi
45- + -B)=±y/^— ^
smA
que l'on obtient en remplaçant sînB par sa valeur dans l'équa-
Cependant ces dernières formules ne peuvent faire connaître
B avec précision, lorsque cet angle diffère très-peu de 90 de-
grés et que les données, comme il arrive le plus souvent, ne sont
pas rigoureusement exactes. Dans ce cas, en effet, une légère
IIO TRAITA DS TlieOHOnftTlIB.
erreur dans les éléments donnés peut occasionner une erreiur
considérable dans Tangle B. (f^oir. Chapitre VI, les Formulas
trigonométriques différentielles,)
Remarque I. — Si Ton a a >> 6 sin A, et seulement dans ce
cas, les Tables feront connaître pour B une valeur M <^ 90*^,
mais on pourra prendre aussi B = 180** — M 5 on aura deux
valeurs correspondantes de C,
C=:i8o»~A — M, C = M— A,
et, par suite, aussi deux valeurs correspondantes de c.
Pour que l'angle M réponde à la question, il faut et il suffit
que A -h M soit <] 1 80 degrés ; pareillement, pour que 1 80** — M
y réponde, il faut et il suffit que M soit ^ A. Examinons dans
quel cas ces conditions peuvent être remplies.
I® Si l'on a A = ou > 90 degrés, la valeur 180° — M de B
ne peut convenir, et la condition pour que la valeur M donne
une solution du problème est
M<i8o«— A,
ou, comme les deux membres sont moindres que 90 degrés,
smM<sin(i8o'* — A) ou <<sinA,
c'est-à-dire
b sinA ^ . . , ^
a
On voit que le problème ne peut avoir qu'une solution, et la
condition pour qu'il en admette une est que le côté opposé à
l'angle donné soit le plus grand des deux côtés donnés.
1^ Si l'on a A <^ 90®, la valeur M de B convient toujours ;
mais, pour que l'on puisse prendre aussi B = 180** — M, il
faut que l'on ait
M>A,
ou, comme les deux membres sont inférieurs à 90 degrés,
sinM>sinA,
c'est-à-dire
tsinA . A A ^
> smA, ou »<;«. ,
^ j >
I
_ a
; ^ y , y.
"h^^^ Â - loq fof'^ =: ^ l^q (>'- Lci Ci
A^'fukc mc/ftoolt:
^^^j
GHAPITRK TROIBllUlK. III
On yoit que, dans ce cas, la condition de possibilité est
a'^b sin A; si cette condition est remplie, le problème aflmet
une ou deux solutions, suivant que le côté opposé à Tangle
donné est plus grand ou plus petit que l'autre côté donné.
Les résultats qui précèdent sont conformes à ceux qu'on
déduit de considérations géométriques que nous croyons inutile
de rappeler ici.
Remarque II. — Dans la solution précédente^ on ne calcule
le côté c qu'après avoir obtenu les angles B et C ; or il se peut
que, n'ayant pas besoin des angles B et C, on veuille calculer
directement le côté c. Pour cela, on peut se servir de la for-
mule
a^ zznb^-k- c^ — 2 èc cos A,
d'où l'on tire
c = b cos A dtz ^a} — b^ sin* A ;
mais, pour rendre cette formule calculable par logarithmes, il
faut employer un angle auxiliaire, conformément à la méthode
du n® 58, et alors les calculs qu'on doit exécuter sont tout aussi
longs que ceux auxquels conduit l'application de la première
méthode. Il y a même plus : le moyen qui s'offre le plus natu-
rellement pour rendre l'expression de c calculable par loga-
rithmes consiste à poser (n® 58)
&sinA
= sm f , d où b=: -T—~ *,
a ^ sinA
car la valeur de c devient alors
asinocosA , aûn(9±K)
c =z rS =^ ^ cos« = f— »
smA smA
et Ton voit que l'angle auxiliaire y, dont on s'est servi, est pré-
cisément l'angle B du triangle. Il n'y a donc pas lieu de modi-
fier la solution que nous avons donnée.
86. Exemple. — On donne
A=:27®47'44^77» « = 2i99",i2, 6 = 25i3™,28,
et Von demande de calculer B, C et c.
I 12
TIAITÉ DB TIIGONOMÉTIIB.
TYPE DU CALCUL.
Calcul de V angle B.
log^ 3,4002409
-- loga î, 657751 1
log sinA ï, 6686853
log sinB 1,7266773
11 y a deux solutions
B=:32«I2'I5^23 et B — 147•47'44^77
PBBMIÈaB SOLUTION.
B = 32M2'25*,a3
Calcul de l'angle C.
C=i8o* — A — B
A=27'47'44',77
B = 320i2'i5",23
C= 120^0' o*
Calcul du câté c,
asinC
c= . ■
smA
logfl 3,3422489
— log sinA o,33i3i47
log sinC 1,9375306
loge 3,6110942
c = 4o84'",o8
DEUXIÈME SOLUTION.
B=i47M/44',77
Calcul de l'angle C.
= 180*» — A — B
A= 27°47'44",77
B= 147^4/44', 77
C= 4'a4'3o*,46
Calcul du côié c,
asinC
c = . .
smA
logfl 3,3422489
— log sinA o,33i3i47
logsinC 2,8857358
loge 2,5592994
c = 362", 493
Résolution d'un triangle rectiligne dans lequel on connaît
deux côtés a^ec l'angle compris.
87. Premièke méthode. — Soient a, &, C les élëments
donnés. Pour trouver les angles A et B, on peut employer la
formule (2) du n** 73, savoir :
tang-(A — B)= tcot-C;
'^ 2^ ' «4-6 2
CHAPITIE TROISIÈME. Il3
■
cette formule fait connaître la demi-différence
i(A — B)=rM.
On a, d'autre part,
i(A-f-B) = 90'-^C,
et Ton déduit de là, par addition et soustraction,
A z= 90*» — - C H- M,
8=90»— -C — M.
Les angles A et B étant ainsi connus, on peut calculer c par la
formule
asînC
smA
mais il vaut mieux employer l'une des formules (i) du u^ 73,
savoir :
(«H-^)sin-^C _ (a — b)cos{C
"" ~ côsf ( Al=~By ' """" "sTnKA — B) '
qui exigent seulement la recherche de deux nouveaux loga-
rithmes.
Si les côtés a et b sont donnés par leurs logarithmes, on
peut abréger le calcul de la fraction 7 qui figure dans la
valeur de tang-(A — B). Il suffit de déterminer un angle
2
auxiliaire cf tel que
^^ëf = h
car il vient alors
a — h , , .
r = tang(y-45o),
a
et par suite
tang - (A — B) =: tang(y — 45"*) cot - C.
Trig. S, 8
«
Il4 TRAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.
On achèvera, comnie ci-dessus, le calcul des angles A etB;
mais, pour déterminer c, il faudra employer la formule
asmC
smA
Deuxième méthode. — On peut résoudre le même problème
au moyen des formules
c sin A =^ a sin C,
c cos A z^ b — a cosC,
et l'on obtient ainsi la solution la plus simple, surtout si ^ comme
cela se présente fréquemment dans rAstronomie, a est connu
par son logarithme, tandis que b est donné directement. Des
deux équations précédentes on tire pour le calcul logarith-
mique
logfitangA) =:loga -hlogsinC — log[^ (^ — acosCj],
loge :=z logû -i- log sîn C — log sin A.
Pour avoir log [ ± ( i — a cosC ) ] , on calculera le logarithme
de la valeur absolue de acosC, on en déduira acosC, et Ion
aura ensuite, par addition ou soustraction, b — a cosC-
L'angle A étant connu, on obtiendra B par la relation
A^-B-HC==I8o^
88. Exemple. — On donne
logû = 0,4287591, logé ziz 0,0008764, C -- 78^*28' 7'',62,
et ton demande de calculer les angles A et B, le côté c et la
surface s,
TYPE DU CALCUL (PREMIÈRE HÉTHODE).
Calcul (le «j> ( tangv ~ r ) •
logfl. 0,4287591
log^ 0,0008764
log tang<p 0,4278827
<P = 69^31 '36% 59
<P — 45°=24'*3i'36'',59
CHAPITRE TROISIÈME.
Il5
Calcul des angles A et B.
tan^i(A — B) = tang((p — 45")cotiCL
log tang(<p — 45') T,65924!k8
logcot|C 0,0880012
log tang^( A - B) 1,7472440
i{A-B) 29«ii'44%75
HA-4-B) 5o'»45'56%i9
Calcul du côté c,
asinC
c =
sinA
loga 0,4287591
logsinC 1,9911445
— log sin A 0,0067003
loge 0,4266089
c = 2,67057
A=79•57'4o^94
Bj=2i»34'ii*,44
Calcul de la surface s»
s = - ah sinC
2
loga 0,4287691
logA 0,0008764
logsinC 1,9911445
— log2. 7,6989700
log* 0,1197600
s= 1 ,3175
TYPE DU CALCUL (DEUXIÈME METHODE).
On commence par calculer b dont le logarithme seul est
donne ^ on trouve b = 1 ,002020.
Calcul de A.
. /7SinC
tangA = T ?;•
" b — flcosC
logfl 0,4287691
'ogcosC 7,3008167
logacosC 7,7296768
a cosC o , 5366076
b-^acosC a, 4666 126
loga. 0,4287691
log sinC ^i99i i446
— log(6 — ûcosC). . . 0,3320687
log tangA 0,7619723
A=79"57'4o",95
Pour calculer c, on opère comme dans la première méthode;
seulement ici on n'a besoin quie d'un nouveau logarithme,
celui de sin A.
Résolution d'un triangle rectiligne dans lequel on donne
»
les trois côtés.
89. Les formules du n^ 70, qui déterminent les angles
A, B, C par les côtés, ne sont pas calculables par logarithmes \
8.
ii6
TEAITfi DE TRIGOMOMfiTRIB.
mais celles du n° 74 que nous en avons déduites le sont et
peuvent être employées pour le calcul des angles. On doit pré-
férer les formules du troisième système, savoir :
tang-A
=v^
{ p-f>){p-c)
tang
1 V p(p — c)
{P — ^)[P — ^)
p{p-b)
III
qui déterminent les angle^ - A, - B, - C par leurs tangentes.
Remarque. ^ — Pour que le problème soit possible, il faut et
y il suffit que chaque côté soit moindre que la somme des deux
autres; si cette condition n'est pas remplie, Tune des diffé-
rences p — Uy p — ft, p — c est négative, tandis que les deux
autres sont positives : les valeurs de tang - A, . . . sont donc
alors imaginaires.
-90. Exemple. — On donne
a = 701 ",224» * — 438°*, 265, <:=:6l3"*,57I,
et l'on demande de calculer les angles A, B, G et la surface s.
TTPS DU CàiJCCh. >
p
p
p
p
^(a-hb-hc) 876,530
a 175,306
b 438, a65
f îi6a,959
Calcul de V angle A .
{p-b){p-c)
/
tang{A= ^,
p[P'-a)
\og[p — b) 2,6417368
log(;? — ^) 2,4198881
— log(/?~«) 3,7562032
— log/? 3,0572332
1,8750613
log tangjA î, 9375306
{A = 4o''5S'36",22
A--=8i°47'iîi%44
\0%p 2,9427668
\o%[p—a) 2,2437968
log(;;-^») 2,6417368
\og[p — c) 2,4198881
Calcul de Vangle B.
\p-^a){p-c)
*»-v/'
îog(p--«) 2,2437968
log(A— c). 2,4198881
— \o^(p — b) .... 5,3582632
— log/? 3 ,0572332
ï, 0791813
log tang jB 1 ,5395906
= 19' 6'23'',77
B = 38»I2'47V54
CHAPITRE TROISlftME. 1 1 7
Calcul de l'angle C.
\Qg(p — a) 2,^437968
log(;7 — b) 2,6417368
— log(/? — c) 3,5801119
— \0%p 5,0572332
1,5228787
logtanglC 1,76.14393
|C = 30*»
C = 6o«
Calcul de la surface s.
s = }/p(p-a){p-b)(p — c) .
logp 2,9427668
log(/? — a) 2,2437968
\og(p — ù) 2,6417368
log(/?-r) 2,4198881
10,2481885
log^ 5,1240942
s = 133074"*', 23
Vérification ; A -{- B -h C == i8o^ — o'',o2-
Cas div^ers ou les données ne sont pas toutes dés côtés
ou des angles.
91 . Le nombre des .problèmes qu'on peut se proposer sur
la résolution des triangles est indéfini. Nous présenterons ici
quelques exemples.
Problème I. — Résoudre un triangle, connaissant un
angle C, le côté opposé c et la somme ou la différence des
deux côtés a et b.
L'une des formules (i) du n° 73, savoir :
.a -f- ô _ cos|(A — B) a— i_sin|(A — B)
, —Z 9
C sinjC c C0S3C
fait connaître immédiatement la demi-différence - (A — B)^
la demi-somme - ( A + B) étant connue, on connaîtra aussi A
et*B; on achèvera ensuite la solution au moyen de celle des
deux formules précédentes qui n'a pas été employée et qui fera
connaître a — b si a-\-b est donné, ou a + i si c'est a — b
qui est donné.
92. Problème H. — Résoudre un triangle, connaissant
l'angle B, le côté adjacent a et la somme ou la différence
des deux autres côtés.
Il8 TRAITt DB TRIGOHOMtTRIB.
En désigaant par tàp le périmètre a -h i -f- c, on a (74)
B , l{ p^a][p^c ) C J[p-a-){ p-b)
2 V P{P—^) 2 V P[P^c)
d'où
C B /? — « C B p — b
tanff - tanc — = et tang — cot - =r=
2 2 p 2 ^ P — ^
Si la somme i H- c est donnée, on connaît p et p — a ; si c'est
la différence b — c qui est donnée, on connaît p — b elp — c :
donc on pourra, dans l'un et l'autre cas, calculer l'angle C au
moyen des formules précédentes. On achèvera ensuite la solu-
tion par la méthode du n° 83, ou plutôt par l'une quelconque
des formules qu'on déduit des précédentes en permutant les
lettres A et B, a et è.
93. Problème III. — Résoudre un triangle, connaissant la
surface s et les angles.
On a (75)
I sinBsinG ,. . / 25sinA
5= - a'
»inG ,, , / 25sin
- — , dou a=\/ . ^ •
A. V smB su
2 sinA V sinBsinC
On calculera les côtés b et c par des formules analogues.
94. Problème IV. — Résoudre un triangle, connaissant le
périmètre et les angles.
Des formules (3) et (4) du n^ 74 on déduit
ces
d'où
2 2 a y bc a ^
cos|BcosÏg'
formule qui servira pour calculer a.
95. Problème V. — Résoudre un triangle, connaissant le
rayon r du cercle inscrit et les angles.
CHAPITRE TROISIÈME. 119
On déduit facilement des formules précédemment données
p — az=: r cet - A, p — b z=z r cot — B, p — cz=zr cet — C :
2 2 2
on calculera p — a^p — i, /? — c par ces formules, et Ton en
déduira ensuite les côtés a, &, c.
96. Problème VI. — Résoudre un triangle connaissant
l'angle C et les sommes c 4- a, c -f- è obtenues en ajoutant
le côté opposé c à chacun des deux autres côtés,
«
Nous supposerons c-ha^c-f-i. Les formules (i) du
n*^ 73 donnent
(c -f- û) -^ (r -h h) _ co>4(A — B) -h 2 sinyC
c sin^C
' (r-4-«)— (c-+-^») _ sinl(A— ^)
COSyC
d'où
,. sin -i(A — B) (c-f-^) — fg-f-6) ^^^ l ^
^ ' cos|(A — B) + 2 sin jC "" \c -+- a) + (c -h 6) ^^ 2
Cette formule (2) ne renferme que la seule inconnue
-(A — B), et Ton pourra la déterminer par le procédé du
n° 60, en calculant un angle auxiliaire y compris entre zéro
et 90 degrés, au moyen de la formule
/n\ (c -^ a) — (c -{- b) I ^
Or, si l'on considère le triangle formé par les côtés c -\- a^
c -f- è et l'angle compris C, que l'on désigne par A' l'angle op-
posé au côté c -f- a, dans ce triangle, et par B' l'angle qui est
oppesé au côté c -f- i, la demi- différence - (A' — B') sera pré-
Gisement égale à l'angle auxiliaire <p, d'après la formule (2) du
n** 73 ^ on aura donc
A' — B' A' -+- B' . I ^
I20 TRAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.
d'où
(4) A'=90»-^C-+-,, B'=^90»-ic)-r.
Cela posé, Téquation (2) peut s'écrire comme il suit :
sinl(A~B) ___ sin i( A' — B' ) ,
cos-^(A — . B) -4- 2 sin^C "" ces J (A'— B') '
si Ton chasse les dénominateurs, on trouvera simplement
( 5 ) sin ar = 2 sin - C sin - f A' — B'),
^ ' 22^'
en
posant, pour
abréger,
A B
2
-A/
-B'
a
__.r;
on
a d'ailleurs
A-f-B
2
A'
-+-B'
2
0,
et l'on conclut des deux équations précédentes
(6) Ar=A'-f-.r, B=i:B'--Jr.
On calculera Tangle x par la formule (5), après quoi les for-
mules (6) donneront A et B, puisque A' et B' sont connus.
Pour calculer c, on fera usage de la deuxième équation (i),
qui donne
f . [fc + a) — fc-f- ^)]cos^C
et Ton aura enfin a et i par les formules
(8) a =r (c -4- û) — c, b z=i f^c -^ b) — c.
Le triangle auxiliaire dont nous avons fait usage est tou-
jours possible, quelles que soient les données c -f- a, c + i, C5
il en résulte que l'équation (5) donnera toujours des valeurs
réelles de x \ car on peut lamettre sous la forme
sinar =z sin A' — sinB',
et l'on voit que son second membre est compris entre zéro et i .
Cette équation a une racine x comprise entre zéro et 90 degrés 5
GHAPITBB TROISlijiB. 121
c'est la seule racine qui puisse convenir à noire problème, car
B' étant un angle aigu, à cause de A'^^B', la valeur de B
fournie par la deuxième équation (6) ne peut être positive
que si x est inférieur à 90 degrés. Mais on voit de plus que le
problème proposé n*est possible que si la valeur de x com-
prise entre zéro et 90 degrés est inférieure à B', condition que
nous pouvons exprimer par l'inégalité sinx<^sinB', ou, à
cause de Téquation (8), par
sinA' < 2 sinB',
et cette dernière inégalité équivaut elle-même à la suivante :
Telle est la condition nécessaire pour que le problème soit
* possible*, je dis d'ailleurs qu'elle est suffisante. En effet, si elle
est satisfaite, les valeurs de A et de B seront positives^ de plus,
leur somme sera inférieure à 1 80 degrés \ la valeur de c tirée
de Téquation (7) sera elle-même positive, et il est évident
que ces valeurs rendront les équations (i) identiques. Cela
posé, supposons que Ton demande de résoudre un triangle
avec les éléments A, B, c que nous venons de calculer; ce
problème est toujours possible, et, pour le résoudre, on peut
évidemment faire usage des équations (i), desquelles on tirera
nécessairement les valeurs données c -f- a, c -h i.
Remarque. — Si Ton a c-|-a = c4-iîles angles cp et x se
réduisent à zéro*, on a A = B = A'= B'. Dans ce cas, la for-
mule (7) ne peut plus servir pour le calcul de c; il faut alors
recourir à la première des équations (i), qui donne
, , sin^C
^ ^|-hsin|C
d'où
c — a _ sinlC —\__ tangf|C — i5° )
c -h a ~~ sin^C -^ 7 "~ tang(-' C -hi5®)'
On aura donc
, • tang(|C — i5°)
c^azzzic-^ a) ^^-p U
^ Mang(:;-C-f-i5«)'
c — a sera donné par cette formule \ on en déduira ensuite a et c.
122 TRAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.
Du quadrilatère iiiscriptible .
97. Nous croyons devoir encore indiquer ici comment on
peut calculer les angles, Taire et les diagonales d'un quadrila-
tère inscriptible, quand on connait les quatre côtés.
Soit ABCD [fig. 19) un quadrilatère inscrit, dont nous re-
Fig. 19.
présenterons les côtés AB, BC, CD, DA par a, £, c, rf, les diago-
nales AC et BD par x gIj^ Taire par ^, le rayon du cercle cir-
conscrit par R, et les angles par les lettres qui marquent leurs
sommets.
Les angles B et D étant supplémentaires, leurs cosinus
sont égaux et de signes contraires^ on a, par les triangles ABC
et ACD,
Ijr^ — a^-i^b' — lah cosB,
(0 \
^ ( X^ r= r2 -+. r/^ -f- 2 Cd COSB,
et Ton tire de ces équations, en éliminant x^
(2) COSB^:: ,--—
^ ' 2[ab-hcdj
Cette formule n'est pas calculable par logarithmes, mais on
peut en déduire une qui le soit. On a
. 1 ^ I — cosB I ^ I -h cosB
sm' - B = '■ — » cos' - B z= :
1 ,2 22
en remplaçant cosB par sa valeur, il vient
.^, ij^__ fg"f-<i)^ — f^?— /^)' _(-~a-hb-h c-hd){a'-b-hc -hd)
2 ~" ^ab-hcd) ~ ~^{ab-^cd) '
cos'-B = (î±-*-)-— (^- ^y ^ (a-hb^c-i-d){a-^b-^c^d) ^
2 ^[ab-hcd) ^ab-hcd)
CH4P1TRB TR0I6IÈME. 123
Désignons par 2p le périmètre a + b -h c -h dj on aura
a-hh -i-c — d =i[p — ^) , . . . et, par suite,
(3) sm - B = i / 7 —.— î ces - B = i / ^—; — •
^ ' 2 V ab -\-cd 2 V ab -hcd
En divisant ces formules (3) l'une par Tautre, on obtient la
suivante :
I /( jy — rt ) ( p — b)
4 tang-B=:i/y^^^ ;Y^ ;t^i
I
qui est calculable par logarithmes. On aura de même, pour
calculer l'angle A,
(5) tangiA:^y/|^
b){p^c)
Les angles du quadrilatère étant connus, on aura les diago-
nales par Tune des méthodes du n*' 87 . Quant à la surface 5,
elle est la somme des surfaces des triangles ABC et ADC', on
a donc (n® 75)
s=: - (ab -i- cd)sinB;
2
on a d'ailleurs, en multipliant les équations (3) Tuné par
l'autre,
ab -h- cd ^
donc
(6 ) 8= sl(p - a) [p -b)[p^ c) [p - d).
Si l'on suppose que le côté d se réduit à zéro, cette formule
donne celle qui exprime Taire du triangle en fonction des
trois côtés.
Si l'on veut calculer directement les diagonales x etj^, on
portera dans Tune des équations (i) la valeur de cosB tirée de
l'équation (2)^ il vient alors
œ'
^ ___ cd{a^-hb^ ) -h a b (c^ -4- d^)
ab -4- cd
(ÎU
(ac ^ bd)(ad-Jfbc)
(7)
X'
ab -^ cd '
1^4 TRAITÉ DE TRIGONOMÉTRIB.
on aurait de même
(ac-h bd]{ab -+- cd)
(8) r'
ad -H bc
mais ces formules (7) et (8) ne sont pas calculables par loga
ritKmes.
En multipliant et en divisant les équations (7) et (8) l'une
par l'autre, on a
/ X ' y uj '^ ad-\-bc
(9) .y^ac^Jé^ - = ^t^u'
formules qui expriment deux théorèmes connus de Géométrie.
On peut enfin exprimer le rayon R du cercle circonscrit en
fonction des quatre côtés. On a, en effet (n® 76),
I • .r
R=::
2. siiifi
d où
, Sj[ac -r- bd)[ab -\- cd)(ad'\- bc)
Opérations sur le terrain.
98. Triangulation. — Lorsqu'on veut exécuter avec quel-
que précision le plan d'un terrain, d'une ville, etc., il est in-
dispensable d'appuyer le lei^é sur une triangulation calculée.
On nomme ainsi l'opération par laquelle on détermine les
valeurs de tous les éléments d'une suite ou d'un réseau de
triangles juxtaposés et rattachant les uns aux autres des points
choisis à volonté sur le terrain. Toutefois, lorsque le terrain
n'est pas parfaitement horizontal, ce qui est le cas le plus or-
dinaire, il faut imaginer que le réseau soit projeté sur un plan
horizontal situé au-dessous 5 ce sont les éléments de cette pro-
jection, ou, comme l'on dit, du réseau réduit à l'horizon,
qu'il est important de connaître et que l'on détermine.
Tous les angles des triangles sont mesurés par le moyen
d'un instrument, le graphamètre, ou mieux le théodolite,
qui donne les angles tout réduits à l'horizon. Mais ^ne seule
ligne est mesurée directement à Taide de -la chaîne d'arpen-
GHAPITRB TEOISitEMB. 125
leur ou d'un appareil de règles; on la nomme la béise. Les
autres côtés des triangles sont déterminés par le calcul.
Il est très-important de choisir avec discernement les points
qui doivent former le réseau trigonométrique, afin de n'avoir
que des triangles ai^antageux, c'est-à-dire des triangles dont
aucun angle ne soit trop aigu. U est aisé de voir, en effet,
qu'un point est mal déterminé quand il est donné par l'inter-
section de deux droites faisant entre elles un très-petit angle,
en ce sens que la plus légère erreur sur la valeur de l'angle
peut produire une erreur considérable relativement à la situa-
tion du point. Voici la marche généralement adoptée pour
trianguler.
Après avoir étudié le terrain qu'on se propose de lever, on
choisit un point central O [fig* 20) qui puisse être aperçu de
loin, comme la pointe d'un clocher, ou un signal placé sur un
bâtiment élevé, ou même un simple jalon muni d'un signal, si
le terrain est découvert. On choisit ensuite, en deçà des limites
du levé, cinq ou six points ou plus, Â, B,C, D, E, F, desquels
on puisse voir le point O, et tels, que les triangles ÂBO,
BCO, • . . soient avantageux. Il importe aussi que l'un des
côtés du polygone ABCDEF, AB par exemple, puisse être me-
suré directement et pris pour la base.
Le coté AB du polygone étant connu et les sommets ayant
été remarqués à l'aide d'une perche ou d'un signal quelconque,
on stationne successivement en chacun de ces sommets. Au
point A on mesure les angles OAF et OAB, au point 6 les
angles OBA et OBC, . . . , enfin au dernier sommet F les angles
OFE et OFA. De ces mesures on conclut facilement, chacun
des angles en O, qu'il est alors inutile de mesurer directement,
pourvu que les angles observés aient été déterminés avec une
126 TBAITÉ DE TRIGONOMETRIE.
exactitude suffisante. On s'assurera de cette exactitude en ad-
ditionnant tous les angles observés et en comparant la somme
avec celle des angles du polygone qui est connue d'avance.
(Si lé polygone a six côtés, comme celui de la figure, la somme
des angles est i8o'*x4ou72o degrés.) La différence entre
les deux sommes, divisée par le double du nombre des côtés
du polygone, sera Terreur moyenne des observations. Lorsque
cette erreur moyenne surpasse celle qu'on doit atteïidre de
l'instrument employé, il faut recommencer l'opération ; dans
le cas contraire, on peut considérer les observations comme
exactes et se dispenser de la mesure directe des angles en -,
mais alors on corrige les angles observés en augmentant ou
en diminuant chacun d'eux de l'erreur moyenne dont nous
venons de parler.
Les mesures une fois prises et corrigées comme il vient
d'être dit, il reste à faire le calcid des triangles. Le premier
triangle ABO, dans lequel on connaît le côté AB et les angles,
fera connaître les côtés AO et BO (premier cas des triangles
obliquangles); le deuxième triangle BCO, où Ton connaît
maintenant le côté OB et les angles, fera connaître BC et CO;
le troisième CD et DO,. . . , enfin le dernier FA et AO. Ici
on a un moyen de vérification des opérations 5 car la valeur du
côté AO, fournie par le dernier triangle, doit être la même
que celle qui est donnée par le premier.
Ce premier réseau de triangles constitue ce que l'on nomme
le caney^as principal. Tous ses côtés peuvent servir à leur tour
de bases pour relever d'autres points, et, comme ils rayonnent
dans des directions diverses, on pourra toujours s'arranger de
manière à n'avoir que des triangles avantageux. Ainài on re-
lèvera les points G et H en les rattachant au côté AB, et en
mesurant simplement les angles en A et en B des triangles ABG
et ABH', on calculera ensuite les côtés de ces triangles. Pareil*
lement, on relèvera les points I et J en les rattachant au côté
CD du polygone principal, et le point K en le rattachant au
côté ED. Enfin les côtés de ces triangles secondaires étant con-
nus, on peut les prendre eux-mêmes pour bases; par exemple,
on peut relever le point L en le rattachant au côté EK.
CHAPITBE TROISIÈME. 127
Si la nature du terrain ne permettait pas de prendre pour
base l'un des côtés du polygone principal, on mesurerait
quelque part une base qui pût être rattachée à Tun de ces
côtés, AB par exemple, par un ou deux triangles au plus. Le
calcul de ces triangles ferait connaîtra AB, et Ton continue-
rait l'opération comme si le côté AB avait été mesuré direc-
tement.
Souvent on prend pour polygone principal un simple trian-
gle, et, pour la base, Tun des côtés de ce triangle. Dans ce
cas, on mesure les trois angles directement ^ si la somme des
angles observés difiere de i8o degrés, on prend le tiers de la
différence entre cette somme et 180 degrés : c'est l'erreur
moyenne des trois observations. Si cette erreur moyenne est
admissible, on corrige les angles observés comme il a été dit
plus haut, puis on résout le triangle. Les trois côtés une fois
connus, on relève tous les points que l'on veut connaître en
les rattachant à l'un des côtés de ce triangle.
Nous allons traiter, en terminant, quelques questions qui
se présentent fréquemment dans l'arpentage et dans le levé des
plans. Dans toutes ces questions, les données sont une base
qu'on peut mesurer avec la chaîne, et des angles pour la mesure
desquels on peut employer un simple graphomètre.
Problèmes de Trigonométrie pratique.
99. Problème I. — Trouver la hauteur d'une tour dont le
pied est accessible et dont la base est sur un terrain à peu
près horizontal.
Soient {fig- 21) S le sommet de la tour et SA sa hauteur. On
emploiera un graphomcU*e que l'on disposera en un lieu dont
la distance à la tour ne soit ni trop grande ni trop petite par
rapport à sa hauteur. On placera le limbe verticalement, de
manière que son plan passe par le sommet de la tour et que
son diamètre soit horizontal. On fera tourner Validade jus-
qu à ce qu'on aperçoive, sur le milieu du (il de ses pinnules ou
de sa lunette, le sommet S de la tour, et l'on évaluera l'arc ab
du limbe compris entre le diamètre horizontal et l'alidade^ ce
ia8 TRAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.
sera T angle C du triangle rectangle SCD. On prendra ensuite
sur le terrain, à Taide d*un fil à plomb, la projection B du
Fig. 21.
centre de l'instrument; à partir de ce point 6 on tracera un
alignement dans la direction du diamètre Ca, et Ton mesu-
rera avec la cKaine la distance horizontale 6A comptée dans
cette direction, depuis le point B jusqu'à la tour. Comme
CD = BA, on connaîtra, dans le triangle rectangle SCD, le
côté CD et l'angle aigu SCD ; on pourra donc calculer SD, et
en ajoutant AD ou BC, qui est la hauteur du graphomètre, on
aura la hauteur cherchée.
100. Problème IL — Tr ouvrer la hauteur d'une tour dont
le pied est inaccessible, mais dont la base est sur un terrain
à peu près horizontal.
Soit (Jig, 22) AS la hauteur de la tour du pied de laquelle onne
Fig. 22.
peut approcher. On placera le graphomètre en un certain lieuB
CHAPITRE TROISIÈME. I 29
et, comme dans le problème précédent, on disposera le limbe
verticalement, de manière que son diamètre soit horizontal et
que son plan passe par le sommet S. On dirigera Talidade de
Tinstrument vers le sommet S, et Ton évaluera l'angle SCD.
On tracera ensuite un alignement 6B^ dans la direction du
diamètre horizontal C a et l'on transportera le graphomètre
parallèlement à lui-même, de manière que son centre se trouve
projeté en B'^ alors on dirigera de nouveau l'alidade de l'in-
strument vers le point S, et l'on évaluera l'angle SCD. Enfin
on mesurera avec la chaîne la ligne BB'= CC
Ces mesures prises, le triangle SCC donne
se sinSC'D ^. , ^^ BB'sinSC'D
dou se
BB'""sin(SC'D — SCD) 8in(SC'D — SCD)'
le triangle rectangle SCD donne aussi
SD = SCsinSCD;
donc
_ BB^ sinSCD sinSC^D
sin(SC'D — SCD) '
On calculera SD par la formule
logSD = logBB'4- log sinSCD -4- logSC'D — log sin(SC'D — SCD),
et, en ajoutant ensuite au résultat la hauteur du graphomètre,
on aura la hauteur demandée.
101 . Problème III. — Tr ouvrer la hauteur d'une mon-
tagne.
Soit SH [fig- 23) la hauteur qu'il faut mesurer. On prendra
deux stations A et B, dont l'une A soit à peu près dans le plan
horizontal du pied de la hauteur SH, et telles qu'on puisse me-
surer aisément avec la chaîne la distance effective des points
A et B. On placera le graphomètre à la première station, de
manière que le centre du limbe soit en un point C de la ver-
ticale du point A, et l'on plantera en B un jalon muni d'un
signal D *, on amènera le plan du limbe à passer par le point S
et par le signal D^ on mesurera alors l'angle SCD en dirigeant
Trigi. s, 9
l30 TKÀlTt DB TRIflOKOMBTKIB.
successivement l'alidade vers le point S et vers le signal D;
puis, sans déplacer le pied de l'instrument, on placera le limbe
Fig. a3.
verticalement, de manière que son diamètre soit horizontal
et que son plan passe toujours par le point S^ on dirige»
l'alidade vers le point S, et l'on évaluera l'angle SCK qu'elle
forme avec le diamètre du limbe. Enfin on transportera l'in-
strument à la seconde station, de manière que son centre
occupe le po\nt D projeté en B, et l'on plantera au point Aie
jalon qui était en 6, puis, en opérant comme précëdemmenU
on mesurera l'angle SDC.
La base AB ^ CD ayant été mesurée avec la chaîne, comme
il a été dit plus haut, on connaîtra le côté CD et les angles du
triangle SCD : ce triangle donne
ABsinSDC
^^- sinCSD '
puis le triangle rectangle CSK. donne
SK = SC8inSCK,;
donc
ABsinSDCanSCK
1<^SR = logAB + log sinSDC + logsinSCK — logsinCSD.
On calculera SK par cette formule, et, en ajoutant ensuite au
résultat obtenu la hauteur AC = KH du graphomètre, ou aura
la hauteur cherchée.
CHAPITRE TROISIÈME. l3l
102. Problème IV. — Trouver la distance d'un point à
un point inaccessible.
Soient C (fig- 24) le point où Tobservateur peut stationner,
A le point inaccessible et AC la distance demandée.
Fig. 24.
--^T)
On mesurera, avec la chaîne, une base CD quelconque, à
partir du point C \ on mesurera ensuite avec le graphomètre
les angles ACD et ADC, desquels on déduira la valeur de
l'angle CAD 5 enfin on calculera le côté AC par la formule
XC=z
CD sin ADC
sinCAD
103. Problème V. — Trouv^er la distance de deux points
inaccessibles.
Soient A et B {fig- ^4) les deux points inaccessibles dont
on veut déterminer la distance.
On mesurera, avec la chaîne, une base CD sur la portion du
terrain où Ton peut stationner 5 on mesurera ensuite avec le
graphomètre les cinq angles BDC, ADC, ACD, BCD et ACB.
Alors, dans les triangles ACD et BCD, où Ton connaîtra le
côté CD et les angles, on pourra calculer les côtés AC et BC.
Cela fait, on connaîtra, dans le triangle ACB, l'angle C et les
deux côtés qui le comprennent ; on pourra donc calculer le
côté AB, et la question sera résolue.
l32 TRAITfi DE TRIGONOMÉTRIE.
Voici le moyen le plus simple de diriger le calcul. Nous
désignerons, comme à Tordinaîre, par A, B, C les angles du
triangle ABC, et par a, i, c les côtés respectivement opposés;
nous ferons de plus CD = d. Les triangles BCD et ACD don-
nent respectivement
_ d sin BDC ^ rf sin ADC
^'^ sinCBD ' "" sin CAD *
d'où
loga = log^ -h log sin BDC — log sinCBD,
logé = logû? -4- log sin ADC — log sin CAD.
Si maintenant (f désigne un angle auxiliaire, tel que
a
tangy = -,
le triangle ABC donnera (87)
tang - ( A — B) = lang((p — 45**) cot - C.
L'angle (f se calculera d'abord par la formide
log tang^ = logfl — logé,
ou
(log tangy = log sin BDC H- log sinjCAD
^ ^ ^ ( — log sin CBD — log sin ADC,
puis on aura ensuite l'angle - (A — B) par la formule
[i) log tang - (A — B) = log tang(f — 45**) H- log cot - C.
^2 2
Connaissant A — B et A -H B, on pourra calculer l'angle A,
et l'on aura enfin la distance cherchée au moyen de la for-
mule
^zsinC
sinA
d*où l'on déduit
j logc = loge/ -h log sin BDC — log sin CBD
■ log sinC — log sinA.
CHAPITRE TROISIÈME. l33
Remarque. — Il est nécessaire, comme nous l'avons dit, de
mesurer directement Tangle ACB \ car cet angle n'est égal à la
diflFérence des angles ACD et BCD que dans le cas très-parti-
culier où les quatre points A, B, C, D sont dans un même
plan.
104. Problème VI. — Par un point accessible sur un ter-
rain uni, tracer une droite parallèle à une droite inaccessible.
Soient (Jig' 25) C le point accessible et AB la droite inac-
cessible^ on opérera comme dans le problème précédent, pour
Fig. 25.
calculer l'angle CAB. Cet angle étant connu, on disposera un
graphomètre en C, de manière que le diamètre du limbe soit
dirigé vers CA, et l'on fera mouvoir l'alidade jusqu'à ce que
Parc du limbe, compté à partir du diamètre, soit égal au sup-
plément de l'angle CAB^ enûn on tracera un alignement, avec
des jalons, dans la direction de l'alidade, et l'on aura la ligne
demandée CE.
405. Problème VII. — Prolonger une ligne sur le terrain
au delà d'un obstacle qui empêche de voir la direction de
cette ligne.
Soit (fig- 26) AB la droite dont il s'agit de tracer le prolon-
gement au delà de l'obstacle O. On mesurera, avec la chaîne,
la longueur AB^ on prendra ensuite une station E, qu'on puisse
apercevoir des points A et B, et de laquelle on puisse voir le
terrain où doit se trouver le prolongement de AB. Des points
A et B on mesurera les angles A et B du triangle ABE, et l'on
calculera le côté AE \ à partir du point E, on tracera un ali-
gnement EF dirigé vers la partie du terrain qui est au delà de
l34 TKAITÉ BB TRIGONOMETRIE.
robstacle O. On mesurera Tangle AEF, et, si C désigne le
point de rencontre de Talignement EF avec AB prolongée, on
Fîg. a6.
B
connaîtra, dans le triangle ACE, le côté AE et les angles : on
pourra donc calculer EC et Ton aura ensuite, avec la chaîne,
le point C sur le terrain ^ puis, traçant un alignement CD qui
fasse avec EC un angle égal au supplément de ACE, on aura
le prolongement clierché.
Si la droite AB était inaccessible, on se servirait d'une base
auxiliaire menée par le point E, pour mesurer les éléments du
triangle ABE, comme dans le problème V.
106. PROBLÈME VIII. — Trois points AyB^ C {fig- 27) étant
siinês sw* un terrain uni et rapportés sur une carte, déter-
nêiner sUtr cette carte le point M, d'oà les distances AB et BC
ont été vues sous des angles a et S que Von a mesurés,
Fîg. 37.
Le pcdm M est à rinlerseetion des se«:meiits caqpaUes des
ailles « el c> construits sur AB et BC respecUTcmcnt; mais il
s^a^il iei de rsitlacher ee pcàul par des éléments calcules aux
points donnes A^ B> C.
GHàPITRB TROlSifiHB. l35
Soient AB = a, BC = ^, et prenons pour inconnues les
angles MAB = a: et MCB=j; Les triangles AMB et CMB
donnent
^„ asinx ^,^ ôsinr
sma sinS
d'où
^zsinor ^sinr sînj; ^sina
3^ £ et = *— •
sina sin6 sin^ asinS
Soit cp un angle auxiliaire, tel que
6 sina
on aura
sin.r
". — rotang y,
sm^
d'où
sin^r
— sinr tang<p — i
sinx + sinjr tangf + i
ou (18)
^^"gti""'^! = ^"g^-^^g^^; = tang(^ - 45-).
tàng\(jc-hx) H-langytaiig45*' ^^^ ^
On a d'ailleurs, en désignant par a> l'angle ABC,
I, . o« a-4-6-f-6)
-{^+r) = i8o'> -,
donc
tang -{x — j) = tang (y — 4^") tang I ioo° j •
Au moyen de cette formule, on calculera l'angle- (a: — j) et,
comme - (.r 4-jr) ^st connu, on connaîtra aussi les angles x
et j^ qui déterminent la position du point M.
Remarque. — Si l'un des facteurs de l'expression de
tang - (x — y^ est nul sans que l'autre soit infini, les angles x
et y sont égaux entre eux. Mais si le second facteur est infini.
l36 TRAITÉ DB TRIGONOMÉTRIE.
le premier est nul et la valeur de tang- {x — j) se présente
SOUS la forme -• On peut vérifier que, dansée cas, le problème
est effectivement indéterminé. En effet, pour que le facteur
i8o*» I
soit infini, il faut que Ton ait
a -f-€-f-« = i8o°,
ce qui est la condition pour que le quadrilatère ABCM soit
inscriptible ^ par conséquent, dans le cas que nous considé-
rons, les deux segments capables des angles a et 6, dont Tin-
tersection détermine le point M, coïncident. Alors le facteur
b CL
tang (cp — 45°) est nul^ en effet, on a tang ç = -r-r : -, — ;
mais -r-s et -: — sont les diamètres des cercles circonscrits
sin6 sma
aux triangles ABM et BCM (76), et, puisque ces deux
cercles coïncident, on a tangç = i; par suite ^=45*^ et
tang((j> — 45°) = o.
QUESTIONS PROPOSÉES.
I, Quel doit être le rayon d'un cercle, pour que la diflférence entre un
arc de 10 mètres et sa corde soit plus petite que i millimètre?
n. Résoudre un tiiangle , connaissant la base , la hauteur et la diffé-
rence des angles à la base.
m. Résoudre un triangle, connaissant les trois hauteurs.
IV. Résoudre un triangle, connaissant les rayons des cercles exinscrits.
V. Calculer Paire d'un trapèze dont on connaît les quatre côtés.
YI. Construire un triangle équilatéral dont les sommets reposent sur
trois circonférences concentriques, ou sur trois droites parallèles situées
ou non dans un même plan.
Vn. Par un point 0, pris sur le prolongement du diamètre AB d'un
cercle ayant C pour centre, on mène une sécante OMM', et l'on demande
de démontrer que le produit tang- MCO.tang-M'CO est constant, quelle
que soit la sécante menée par 0.
CHAPITKE TROISIÈME. 187
Vni. Quatre droites OP, OA, OQ, OB, issues d'un même point, sont
PA OA
coupées par une sécante PAQB ; démontrer que le rapport pn ^ ^ ^ une
valeur constante.
IX. Quatre plax^ OP, OA, OQ, OB, menés par une même droite 0, sont
PA OA
rencontrés par une sécante PAQB ; démontrer que le rapport 50 • ttô si u^®
rJj {JD
valeur constante.
X. Trouver les surfaces des polygones réguliers de n côtés, inscrit et
circonscrit au cercle de rayon r en fonction de n et r. Déduire de là les
relations connues entre les surfaces des polygones réguliers inscrit et
circonscrit de n et de 2/1 côtés.
XI. Si le triangle ABC est rectangle en A (voir la figure du n° 68), et
que Ton abaisse la perpendiculaire AD su^ le côté BG, on a, comme on
sait, • — j = pK* ^^ demande si cette relation peut subsister quand
AC ^"
. l'angle A n'est pas droit .
Xn. Démontrer que, si les bissectrices ae deux angles d'un triangle son(
égales entre elles, ces deux angles sont eux-mêmes égaux.
l38 TRAITÉ DE TRI60N0HÉTKIB.
CHAPITRE lY.
TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUE.
Objet de la Trigonométrie sphérique,
107. La Trigonométrie sphérique a pour objet la résolution
des triangles sphériques.
Les côtés des triangles sphériques sont généralement éva-
lués, de même que les angles, en degrés, minutes et secondes;
mais, quand on connaît le nombre des degrés contenus dans
l'un des côtés, on trouve facilement, si Ton en a besoin (48), le
rapport de ce côté au rayon de la sphère.
Nous ne considérerons que les triangles sphériques dont les
côtés sont moindres que i8o degrés, en sorte que, si ÂBC est
un triangle sphérique tracé sur une sphère dont le centre estO,
en joignant ce point O aux trois sommets, on formera un
angle trièdre dont les angles plans et les angles dièdres seront
respectivement égaux aux côtés et aux angles du triangle sphé-
rique.
Nous désignerons toujours par A, B, C les angles d'un
triangle, et par a, i, c les côtés respectivement opposés.
Relations entre les angles et les côtés d'un triangle
sphérique,
108. Relations entre les trois côtés et un angle. — Soit
Fig. a8.
ABC (Jig. a8) un triangle sphérique tracé sur une sphère
CHAPITRE QUÀTRlftMB. 130
quelconque dont le centre est en O, et dont nous prendrons le
rayon pour unité ; nous supposerons que les côtés J et c soient
moindres chacun que go degrés. Joignons le centre O aux
trois sommets, et menons aux arcs AB, AC les tangentes AD,
AE, qui rencontrent en D et E respectivement les rayons OB
et OC prolongés. On a
AD=:tangc, OD = sécc, AE=rtangft, OE=rsécè,
et
DAE = A, DOE = a.
Cela posé, les triangles rectilignes DAE et DOE donnent
DE =Ad'-vAE — aAD.AEcosDAE,
DË*=ÔdVÔË'— aOD.OEcosDOE;
en égalant entre elles ces deux valeurs de DE , il vient
2.0D.OEcosDOE= (Ôd'— Âd') -V (ÔË'— IË')
2 AD. AE ces DAE,
ou
sécè sécc cosa = i -h tang^ tangc cosA,
ou enfin, en multipliant de part et d'autre par cosi cosc,
ces a = ces h cosc -h sin h sine ces A.
Telle est la relation qui existe entre F angle A et les trois côtés.
109. Nous avons supposé les côtés ô et c inférieurs à 90 de-
grés, mais la formule que nous avons obtenue est générale.
En effet, supposons d'abord c }> 90°, mais h <^ 90^, et pro-
Fig. 39.
longeons les arcs de grand cercle AB et BC {fig- 29) jusqu'à leur
l4o TRAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.
rencontre en B'-, si Ton fait AB'= c', C&= a', le triangle A B'C
donnera
cos^' = CCS b cosc' -+- sin b sine' cosB' A C,
car les côtés c' et b sont moindres que 90 degrés. Remplaçant
a', (/ et B' A C par leurs valeurs 1 80® — a, 1 80° — c, 1 80® — A,
et changeant les signes des deux membres, on a
cosa = cosb cosc -h sin^ sine cosA,
ce qui est la formule obtenue au n? 108.
Supposons maintenant b'^go^^ c!>9o^î ^^ prolongeons
Fig. 3o.
c'- B
\
\
\ /'
/
V'
k'
les côtés AB et AC {fig* 3o) jusqu'à leur rencontre en A' 5 si
Ton fait A'C = b\ A'B = c', le triangle A'BG donnera
cosa = ces ô' cosc' -+- sinè'sinc'cosA',
et, en remplaçant b\ d et A' par leurs valeurs 180® — i,
iSo*' — c, on retrouve la formule
cos« = cos b cosc -f- sin b sine cos A.
Enfin, comme celle-ci a lieu, quelque petits que soient les
compléments de b et de c, à 90 degrés, on peut en conclure
qu'elle subsiste encore à la limite, lorsque Tun des côtés b et c,
ou tous deux, deviennent égaux à 90 degrés.
De la formule qu'on vient d'établir on déduit deux autres
formules semblables par de simples changements de lettres.
On a ainsi les trois équations
cos« = cos 6 cosc -h sine sine cos A,
(i) { cos = cos a cosc -f- sin «sine cos B,
■
cosc = cosa cos^ + sina sin 6 cos G,
CHAPITRE QUATRlfeUB. l4l
qu'on doit regarder comme les formules fondamentales de la
Trigonométrie sphérique. H ne saurait exister, en effet, entre
les éléments d'un triangle une relation distincte des précé-
dentes^ car, autrement, en éliminant les angles A, 6, C à
l'aide des formules (i), on obtiendrait une relation non iden-
tique entre les trois côtés, ce qui est absurde. Mais on peut
des relations (i) déduire plusieurs autres formules qu'il est
indispensable de connaître, et que nous alloûs établir.
110. Relations entre deux côtés et les angles opposés.
— Pour avoir une relation entre les côtés a, b et les angles
A, B, il suffit d'éliminer c entre les deux premières des équa-
tions (i); cette élimination se fait d'une manière très-simple,
en introduisant dans les équations (i) les sinus des angl/es A,
B, C à la place des cosinus.
La première des équations (i) donne
COSfl — cosè cosc
cosA = T—r-' >
smosinc
d'où
5
... . . sin*ô sin'c — (cosrt — cosôcosc)'
sm*A = 1 — cos*A = . , .
sm'osm'c
(i — cos*ô)(i — cos'c) — (cosa — cosôcosc)*
sin*ôsin*c
I — cos'« — cos' b — cos'c -f- 1 cosa cos h cosc
sin'^siD^c
et, par conséquent,
sin'A I — cos' a — cos*// — cos'r -4- ?. cos<2 cos/> cosc
sinisa sin'asin'^sia'c
Cette valeur de . ^ - ne change pas quand on permute les
lettres a, &, c^ il en résulte que les équations (i) donneront
, . , sin'B sin*C . i»,
la même valeur pour . ,, et pour . , : par conséquent 1 e-
^ sin'o * sm'c ^ ^
limination que nous avons en vue se fait d'elle-même. Enfin,
comme les angles et les côtés d'un triangle sont moindres
14^ TRUTi DE TRIGONOMÉTRIE.
que i8o degrés, leurs sinus sont positifs, et l'on a
, , sinA sinB sinC
(2) = -^-y=Z , — J
sina sine» smc
formule qui exprime que, dans tout triangle sphérique, les
sinus des angles sont .proportionnels aux sinus des côtés
opposés.
m. Relations entre cinq éléments. — On obtient des
relations très-utiles entre cinq éléments en prenant la valeur
du cosinus par rapport auquel est résolue Tune quelconque
des équations (i), et en substituant cette valeur dans les deui
autres équations. Par exemple, si Ton porte, dans la première
des formules (i), la valeur de cosc tirée de la troisième, il
vient
cosa =: cosa cos^b -h sina sin b cos^ cosC -+- sin b sine cosA;
faisant passer dans le premier membre le premier et le
deuxième terme du second membre, remplaçant i — cos'i
par sîn*i et divisant ensuite par sini, il vient
cosa sin b — sin a cosb cosC = sine cosA,
et Ton obtient cinq autres formules semblables par des permu-
tations de lettres, de sorte qu'on a le système suivant :
cosa sinb — sina cosè cosC = sine ces A,
ces bsîna — sin ^ cosa cosC == sin e cosB,
cos^ sine — sine cose ces A := sin« cosB,
ces c sin 6 — sin e ces b ces A = sina cosC,
ces e sin a — sin c cosa cos B = sin 6 cosC,
cosû sin e — sina cose cosB = sin b cos A.
(3)
Ces six relations sont homogènes par rapport à sina, sinb,
sin c ; on peut donc remplacer ces sinus par les sinus propor-
tionnels sin A, sinB, sinC, et l'on obtient ainsi les six nou-
CHAPITU QUlTRlftKE. l43
velles formules suivantes :
cosn sinB — cos6 cosG sin A = cosA siaC
cos^ sin A — cosacosCsînB = cosB sin G,
cosb sinC — cosc cosA sinB = cosB sinA,
cosc sinB — cos^ cosA sin€ = cosC sin A,
cosc sin A — cosa cosB sinC = cosC sinB,
cosa sinC — cosc cosB sin A = cosA sinB.
(4)
il2. Relations entre deux côtés, l'angle compris par
CES côtés et l'angle opposé a l'un d'eux. — On obtiendra
l'une des relations dont il s'agit en prenant deux des équa-
tions (i) et en éliminant entre elles le côté opposé à l'un des
angles qui y figurent^ mais, comme ces deux équations renfer-
ment à la fois le cosinus et le sinus du côté en question, on
simplifie le calcul, en faisant usage des formules (2) qui per-
mettent d'éliminer successivement le cosinus et le sinus.
La première partie de cette élimination ^été effectuée au
n*^ m , et, pour obtenir les relations cherchées, il ne reste plus
qu'à éliminer le sinus qui figure dans le second membre de
chacune des équations (3) au moyen de celle des formules (2)
qui ne contient que les mêmes éléments. Par exemple, si l'on
divise la première équation (3) par
• sine sin A
smC
il vient
cota sin 6 — cos^co8G = cotAsinC;
c'est l'une des équations cherchées, et l'on peut en déduire les
cinq autres par des permutations de lettres. On a ainsi le sys-
tème
cota sine — cet A sinC = cosô cosC,
cot^sina — cotBsinC == cos^cosC,
cotb sine — colB sin A = cosc cosA,
(5) { .
^ cot c sin b — cot C sin A = cos b cos A,
cote sina — cote sinB = cosa cos B,
cota sine — cot A sinB := cose cosB.
l44 traité db tr160n01iétrib.
113. Relations entre un côté et les trois angles. —
On obtiendrait uoe relation entre a, A, 6, C en éliminant
b et c entre les formules fondamentales (i); mais on arrive
beaucoup plus facilement au même résultat en faisant usage
des formules (4)* Ainsi, en éliminant cosb entre les deux pre-
mières équations (4)) on trouve la formule
ces A = — cosB cosC -f- sinB sinC cosa;
on en déduit deux autres formules semblables par la permu-
tation des lettres, et l'on a ce dernier système
I cosA = — cosB cosC -+- sinB sinC cosa,
(6) s cosB = — cosAcosC -hsinAsinCcosô,
( cosC = — ces A cosB 4- sinA sinB cosc.
m
Remarque. — Les équations (i), (a), (5), (6) ne renfer-
ment chacune que quatre éléments ; elles sont au nombre de
quinze, nombre qui est celui des combinaisons de six lettres
quatre à quatre. '^
Du triangle supplémentaire,
114. On sait qu'à chaque triangle sphérique correspond un
second triangle qu'on nomme triangle polaire ou supplémen-
taire. Les sommets de Tun des deux triangles sont respective-
ment les pôles des côtés du second, et les angles de chacun
d'eux sont les suppléments des côtés de l'autre.
La considération du triangle supplémentaire est souvent
utile dans la Trigonométrie sphérique. Par exemple, les for-
mules fondamentales (i) du n** 109 ayant été obtenues, si on
les applique au triangle supplémentaire du triangle proposé,
on obtiendra immédiatement les formules (6) du n^ 113. Il
suffira effectivement pour cela de remplacer, dans les pre-
mières formules, a, i, c. A, B, C respectivement par
i8o«— A, i8o«— B, i8o^— C, iSo^— a, i8o«— J, i8o°— c.
Pareillement, on obtient les formules (4) du n^ 111 en ap-
pliquant les fornhiles (3) au triangle supplémentaire. Quant
CHAPITRE QUATRIÈME. 1^5
aux autres systèmes que nous avons obtenus, ils ne conduisent
à aucune formule nouvelle.
Nous présenterons encore ici un exemple des avantages
qu'on peut tirer de la considération du triangle supplémen-
taire.
Désignons par A le rapport constant qui existe entre le sinus
d'un angle d'un triangle sphérique et le sinus du côté opposé.
On a trouvé (110)
î — cos'a — cos*ô — cos'c -h 2cosa ces b cosc
sin* a sÎQ^ b sin* c
relation que l'on peut écrire comme il suit :
2 cosa cosb cosc = {P — i) sin^a sin' b sïn^c
-i-cos*a(i — sin'ôsin'c) -i-cos'ôcos'c;
tous les termes du second membre de cette formule sont posi-
tifs si l'on a
et il en résulte cette proposition :
Théorème I. — Si, dans un triangle sphérique, la valeur
j ^ sinA sitiB sinC , .
commune des rapports —. — ? -r— r» — — est supérieure ou
' ' sma siub smc '
égale à l'unité, les trois côtés sont inférieurs à go degrés, ou
un seul côté est inférieur à go degrés.
Appliquant ce théorème au triangle supplémentaire, on
obtient le suivant :
Théorème II. — Si, dans un triangle sphérique, la valeur
j sin A sinB sinC . ^, .
commune des rapports - — » -r—ry -• — est inférieure ou
^' sma sinb sine "^
égale à i^ les trois angles sont supérieurs à go degrés, ou un
seul angle est supérieur à 90 degrés,
Formules relatis^es aux triangles rectangles,
115. Lorsqu'un triangle sphérique n'a qu'un seul angle
droit, le côté opposé s'appelle hypoténuse,
Trig. S, 10
l46 TBAITÊ DE TEIGONOHÉTRIB»
En faisant l'hypothèse A = 90 degrés dans celles des for-
mules des n*** 109, HO, H2 et 113 qui contiennent l'angle A,
on obtient les suivantes, qui sont particulières aux triangles
rectangles :
(1) cosa=:cos^cosc;
^ . ( sin6=: sinasinB,
(2) {
( sine = sinasinC;
tang b := tanga cos C,
. I tangc = tanga cosB,
l / \
tang^ = sin c tangB,
tangc = sin b tang C ;
coséi = cotB cote,
(4) \ cosB =:cos^sinC,
cos G = cosc sinB.
Ces dix formules ne contiennent chacune que trois élé-
ments ^ leur nombre est précisément celui des combinaisons
de cinq lettres trois à trois.
L'équation (i) exprime que :
Dans un triangle sphérique rectangle, le cosinus de V hypo-
ténuse est égal au produit des cosinus des deux autres côtés.
Il en résulte que les cosinus des trois cotés sont positifs, ou
que deux d'entre eux sont négatifs ^ par conséquent,
Dans tout triangle sphérique rectangle, les trois côtés
sont moindres que 90 degrés, ou bien un seul de ces côtés est
moindre que 90 degrés.
Les équations (a) expriment que :
Dans tout triangle sphérique, le sinus de l'un des côtés de
l'angle droit est égal au sinus de l'hypoténuse multiplié par
le sinus de l'angle opposé.
Les deux premières équations (3) expriment que :
Dans tout triangle sphérique rectangle, la tangente de
l'un des côtés de l'angle droit est égale à la tangente de
l'hypoténuse multipliée par le cosinus de l'angle adjacent»
GHAPITBB QUATRIÈME. l47
Les deux dernières équations (3) expriment que :
Dans tout triangle sphérique rectangle, la tangente de
Vun des côtés de V angle droit est égale au sinus de Vautre
côté multiplié par la tangente de l'angle opposé au premier
côté.
Il en résulte que la tangente d'un angle oblique est de
même signe que la tangente du côté opposé \ par conséquent,
ce côté et cet angle sont tous deux plus grands ou tous deux
plus petits que 90 degrés.
La première des équations (4) exprime que :
Dans tout triangle sphérique rectangle, le cosinus de V hy-
poténuse est égal au produit des cotangentes des deux angles
obliques.
Enfin les deux dernières équations (4) expriment que :
Dans tout triangle sphérique rectangle, le cosinus d'un
angle oblique est égal au cosinus du côté opposé multiplié
par le sinus du second angle oblique.
116. Les formules précédentes peuvent être transformées
en d'autres formules qui sont utiles pour le calcul, et que nous
allons établir.
La formule (i) donne cosc = -——r : on a d'ailleurs
^ ' ces o '
9. y I
cosc
tang - ^ _ r^ . , — ,
donc
ï
tang ~ c =: H-
\/ 7 .=r4-i/tang- ^i — A)tang-(/ï-4-è);
on peut donc à la formule (i) substituer l'une des deux sui-
vantes :
l tang-c = 4-i /tang- (û — ^)tang-(rt 4- ^),
(5) "" ^ ^ ""
\ tang - 6 =. H- 4 / tang - (a — c) tang - (a H- c).
10.
■ 48 TRAITfi DB TRIGONOMÉTBIB.
La première des formules (a) donne sina=V-T:; on a
'^ ^ ' smB
d'ailleurs
45o+-«)=:±y/--j_.,
donc
Ung (45-+ - «) =± V/ sinB-sin^ = ± V i^TÊ^) '
on peut donc aux formules (a) substituer la double formule
l> ^\^ ^2; Vtang|(B~6j -Vtangi(C-c)
Et, comme les formules (a) restent les mêmes, Tune quand
on permute les lettres a et B, l'autre quand on permute les
lettres a et C, on a aussi
La première des formules ( 3 ) donne cos C = — — ; on a
d'ailleurs
- ^ , - — cosC
tang
- C = -h i /^ ,
2 V I 4- cosC
donc
I ^ /tains a — tansb /sin ifi — h)
tang-C = -hi/ — 5 ^ = -»-\/^-? TTi
^1 V tang£i + tang6 y sm[a-+-by
on peut ainsi, aux deux premières formules (3), substituer les
deux suivantes : •
I ^ /sin {a — h)
tang
a y sut (a
-c)
'^)
tan*' h
La troisième des formules (3) donne sine = ^ *, on a
CHAPITBB QUATMIÈMB. l49
d'ailleurs
donc
(,^ I \ , , I \ -h sine
^V 2 y VtangB — tang6 Vsin(B— 6)'
on peut donc, aux deux dernières des formules (3), substituer
les deux suivantes :
/,^ I \ . ^ /sin(B-f-^»)
(9) ' / T \ ;
(,-. I ,\ . . /sin(G-t-
La première formule (4) se transforme dans la suivante :
I II — cosa ^ /sinBsi
tang - â5 = -h i/ = -h i/ . ^ .
^^2 y ï "^ <^s<z V sinB si
sinC — cosB cosC
sinC + cosBcosC
ou
-.>
, . I /cos(i8o« — B — C)
(lo) tang-<Z=-h 1/ ^ -r; TTT ^•
^ ' ^2 V cos(B — C)
Enfin les deux dernières formules (4) donnent
_ cosB cosC
ces h ■=z — ; ) COSC ■=. — -— 9
cos(90** — Cj 003(90*» — B)
d'où
l tang-6=-hi/tang( — 45»H--^t_j tangUS»^- -^^ j,
(")i
tang^c=^-y^teng^— 45»+--^j tang^45''---^^y
Et, comme les deux dernières formules (4) i^^ changent pas
quand on remplace chacun des éléments i et G ou c et B par
le complément de l'autre, on a aussi
tang(45»4--C) =±1/ coti(B-h6) coti(B — ft),
(12) {
tang(45"-^--B| =zhi/cos- (C + c) cot^ (C — c).
lOO TRAITÉ DB TRIGONOMÉTBIE.
Formules relatwes aux triangles rectilatères,
117. Un triangle sphérique est dit recula tère lorsque Tun
de ses côtés est égal à 90 degrés. Le triangle supplémentaire
d'un pareil triangle est évidemment rectangle, et par consé-
quent les formules relatives aux triangles rectilatères peuvent
se déduire de celles qui se rapportent aux triangles rectangles ;
mais ces formules s'obtiennent non moins facilement en fai-
sant a == 90 degrés dans celles des formules générales qui con-
tiennent le côté a. On trouve, en suivant Tune ou l'autre
marche, les dix formules :
(2)
(3)
(i) cosA= — cosBcosC;
sinB = sinAsin^,
sinC = sinAsînc;
tangB = — tangA cosc,
tangC = — tangA ces è,
tang B = sin C tang 6,
tang C = sîn B tangc ;
ces A = — cet b cote, •
(4) l cosô = cosBsinc,
cosc = cosCsin^.
On peut faire subir à ces formules des transformations analo-
gues à celles que nous avons exécutées au n^ 116, à l'occasion
des triangles rectangles; nous reviendrons sur ces transfor-
mations en traitant de la résolution des triangles rectilatères.
Usage des angles auxiliaires dans la Trigonométrie
sphérique.
118. Les formules générales des n^* 110, 112 et 113 ne
sont pas calculables par logarithmes-, mais on peut les rendre
telles en faisant usage d'un angle auxiliaire. Elâ'ectivement
CHAPITRE QUATEIÈME. 1 I
chacune de ces formules est de la forme
(i) P = Mcosa-|- Nsina,
a étant un des six éléments, et M, M, P désignant des fonc-
tions monômes des lignes trigonométriques de trois éléments
autres que a. Si Ton désigne par cp un angle auxiliaire tel que
(2) tangy=r~,
et si l'on remplace N par M tangf dans la formule (i), celle-ci
deviendra
(3) Pcosf = Mqps(a — •).
U résulte de là qu'en introduisant le nouvel élément f la for-
mule (i) peut être remplacée par le système des formules (2)
et (3), qui sont l'une et l'autre calculables par logarithmes.
On verra plus loin que l'introduction de cet angle auxi-
liaire (f équivaut à la décomposition du triangle proposé en
deux triangles rectangles ou en deux triangles rectilatères, par
le moyen d'un arc de grand cercle mené d'un sommet au côté
opposé.
Formules générales calculables par logarithmes.
H9. En transformant et en combinant entre elles les for-
mules générales des n°' 109 et suivants, on obtient des for-
mules nouvelles calculables par logarithmes, et qui sont d'un
grand usage dans la solution des problèmes de la Trigonomé-
trie sphérique. Nous allons nous occuper ici de cette trans-
formation.
La formule fondamentale
cosa = cosè cosc 4- sin 6 sine cosA
donne
cosa — cosb cosc
cosA = . , . :
sin6smc
l52 ' TSAlTfi DE TRIGOIfOMtTRIB.
en portant cette valeur de cos A dans les formules
• ' » * /i — cos A I /i
cos A
sin " '
il vient
. I , , /sin 6 sine -4- cos b cosc — cos « /cos(b — c) — cosa
Sin-A=l/ r-7-T = 1/ r-£-.
2 V 2 sine» sine y 2 sin o sine
. a — b -h c . a -+- b
sm sm
2 2
sin 6 sine
cos
1 /cosa — cosô cose -4- sinô sine /cos a — cos (b 4- ej
2 V 2 sin 6 siiijC y 2 sin ^ sine
=v
/ . a-f- b -h c . — a -h ^ -h e
/ sm sin
2 2
sin 6 sin e
Par de simple.s changements de lettres, on obtiendra des
expressions analogues pour les sinus et pour les cosinus des
angles - B et -C. En sorte que, si, pour abréger, on désigne
par 2p le périmètre « -f- A -4- c, on aura
sin *-. ^sm(p^b}sin{p-c)
(.) siniB=y/
sin 6 sine
;« 1 u — 4 / sinf/? — a)sin(;? — e)
sin a sine
2 Y smasino
et
^=v^
cos sin;7sinf;7-a)
sin 6 sine
f \ ] i« - /smosinfo — b)
2) <cos-B=i/ — —. ^V ^!
J 2 y sina sine
Lq-^ . / sin/?sin(^
2 y sinasi]
cos- i; = i / :=-: -^-7 ^
sm6
Enfin, en divisant respectivement les formules (i) par les for-
'
CHAPITRE QUATRIÈIIB. l53
mules (a), il vient
2 V ai
I»n8-A = i/ ^^-'^r^-/K
mïpsiu{p — a)
/ox 1 1 ^ /sinfo — a)sïn(p — c)
(3) ;tang-B = i/— ^^^ . \ ^^, , S
I 2 V sin/7sm(/? — b)
tang - t. = \/ : :—. : •
" 2 V smp sm(p — C)
Dans toutes ces formules, le radical doit être pris positive-
ment, parce que les lignes trigonométriques des angles aigus
-A, - B, - C sont positives.
lâO. Désignons par e Vexcès sphérique du triangle ABC,
c'est-à-dire l'angle A -f- B -h C — 1 8o° -, les angles du triangle
supplémentaire de ABC seront 1 8o® — a, 1 8o® — A, 1 8o® — c,
tandis que les côtés du même triangle seront i8o® — A,
i8o° — B, i8o® — C^ la demi-somme de ces trois côtés sera
i8o® e. Il résulte de là que, si Ton veut appliquer les for-
mules (i), (2), (3) au triangle supplémentaire de ABC, il
suffira de remplacer A, B, C, a, i, c et p par les suppléments
de a, i, c. A, B, C et - e. On obtient ainsi les neuf formules
suivantes :
. I /sinJp6sin(A — -^i)
sm - a = 1/ — . p . ^
2 y smBsmC
(4) sini»=t/ ^'°''.^'°/°-''
1 2 V smAsinC
. I , /sin-îisin(C — -le)
2 V smAsmB
sin(B — |e)sin(C — {0
smBsmC
1 /sii
(5) jcosi*=t/^
sin(A — ■Ji)sin(C--j^)
sinAsinC
smAsmB
l54 TRAlTt DE TEIGONOHfiTRIB.
et
I / sîn^isLnfA — js)
^^^â"*"" Vsm(B — if)sm(C — i£)'
/a\ 1 * , / sin|«sm(B — ~e)
I / sin^ssin(C — -ye)
taog-c— y sin{A — ^ejsm(B--le)'
121. Formules de Delàmbre. — Des formules (i) et (2)
_ •
on tire
.1. I sm(p — b) /sinpsm(p — c) sin(p — b) i^
sm-A co8-B= — ^- ^ i / — -. ^4-7 — ^ = — ^^ cos-C,
2 2 sine Y sinasin^ sine 2
1 , . I ^ sin(/? — a) /sinp sinf b — c) sîalp — a) 1 ^
cos-Asin-B= — ^ ^i/ — —. — ^4—; — ' = — ^-^ ^ cos-C,
2 2 sine y smasmd sine 2
I- i_ sin» ^ /^^Mp — «)sin(o — ft) sin/? . 1
COS-AcOS-B=r-:— ^1/ — : — ^ . / ^ = -r-^ Sin - C,
2 2 smc y smasm^ smc 2
. I . I sinfp— -c)^ /sin(p—a] sïn(p — b) sin(p—c)i
sm-Asin-B= — ^f- ^4/ — ^^-^ — —^ -= — -^ ^sin-C;
2 2 smc y sinasmo sine 2
on déduit de là
smlAcos-jBdzcos-i-AsmlB sin(/7 — b)±sin{p — a)
coSyC sine
cos-j-A coslB qi sin|A sin jB sin^ qp sm{p — e) ^
sin-jC sine '
on a d'ailleurs, en se rappelant que 2/? = a-|-i-hc,
sin(jo — b) -h sin(/? — a) = 2 sin - ecos - (« — b),
sin(/7 T-b) — sin(/? — a)^=:% ces - e sin - (a — ^),
sin/? H- sin(/7 — e) = 2 ces - e sin - (« -h è),
sin/? — sin(/7 — e) = 2 sin - c ces - (a -t- ô),
2 2
. I I
sine = 2 sin - e ces - c,
2 2
CHAPITRE QUATRlftHE.
el,
par
conséquent,
/ sini(A-l-B)___
cos~(a —
b)
cos|C
COSjC
sia;(A B)
sin-jfa —
b)
(7)
cos^C
1 cos-^(A-f-B)
1 sinjC
sio je
cos|fû -+-
COS-jC
b)
[ cosi(A~-B)
sin 1 (a ■+-
b)
i55
sin-jC sin^c
Ces formules renferment les six éléments du triangle : elles
ont été découvertes par Delambre, qui les a fait connaître en
1807, dans la Connaissance des Temps pour 1809 (p. 443).
Gauss, à qui elles sont quelquefois attribuées, ne les a don-
nées que deux ans plus tard, dans l'ouvrage intitulé : Theoria
motus corporum cœlestium in sectionibus conicis Soient am-
bientium.
122. Formules de Néper. — Si Ton divise la première des
équations (7) par la troisième, la deuxième par la quatrième,
puis la quatrième par la troisième et la deuxième par la pre-
mière, on obtient les quatre suivantes :
tang - ( A H- B) = cet - C \A r '
^2^ ' 2 cos-^(a-i- ^>j
I /. «N I ^ sin-^f« — è)
tang - (A — B) — cet - C -v-f^ r^»
^2^ ' 2. sinj(a-+-ôj
I , ,. ï cos|(A-—B)
tang - ( rt -H 6) = tang - c -)- —-; 1
^2^ ' ^2 cosl(A-i-B)
I , ,x I sinlfA — B)
tang - ( rt -- ô) = tang - c - — -y-r --; •
^2' ' ^2 smf(A4-Bj
Ces équations (8) sont connues sous le nom A.e formules de
Néper; chacune d'elles exprime une relation entre cinq élé-
ments d'un triangle sphérique.
(8)
l56 TEAITfi DE TMIGOHOlrtTRIB.
123. Des formules (7) on tire
cosyc — cosyC cos|(a — b) — siny(A-l-B)
cos|c-f-cos|C cos|(a — b) -hsiny(A 4-B)
sinjG — sin|c cos|(A — B) — sîny(a 4- b)
sùiyC -4- sinyc cos4(A — B) -h sinK^ 4- b)
COS7C — sin-jc siiiyfA — B) — sm|(« — b)
C0S7C -H sin|c sinj(A — B) -4- sin~(a — b)
— sinyC-hcosyC — cos~(A-+- B) -l-cosKa-f- b)
sin|C-4- coSyC cosKA -h B) -h cosK^ -h ^j
Si Ton fait, pour abréger,
A-^-B=rrS-+-I8o^ A — B = D,
a -^ bz=is 4- 180®, a — b== d^
et qu'on transforme les formules précëdentes par le procédé
du n® 18, il viendra
(9)
et
(10)
C — c C-^c S-^d S — d
tang —7— tang —y— = tang — — tang —j--,
C — c C-hc 5-hD j — D
tang— j- cet -^ = tang -^ tang —^,
D— rf D4-rf
tang ( 45*» -h -y— I cot (45*»-h-^) = tang— r-cot
//r« C— c\ /,„ C-f-c\ S— 5 S4-^
tang ( 45»+ -7— j tang (45^ H — y- j = — cot -7- tang -j- ;
de ces formules (9) et (10) on tire
(")
tang — 2~ =— \/^^8~7 — ^^^ "'/. — tang- ^ tang
C—c , / S-hd S—d s-hB J— D
^ tang -^ tang -^tang-^
C+c ^ / S4-</
tang -y- = "*" y ^"ê; "T " ^^S
S—d s-hD ^— D
; — cot 7 — cot — 7—1
4 4 4
et
tangU5°-+- — - \ =-h W — tang-y- cet— — cot -7— tang—
tang ( 45*-+- "Y" ) = ± 4/ — cot —7— tang — r— cot —7— tang
4
GHA.PITRB QUÀTRllOiK. iS*}
Dans la seconde formule (ii) et dans la première (12) le
radical doit être pris avec le signe 4-, parce que les arcs — ^ —
et 45** H j — sont compris entre o et 90 degrés, et qu'ainsi
leurs tangentes sont positives. Dans les deux autres for-
mules le signe du radical se détermine facilement; en effet,
tang — -z — a le même signe que les seconds membres des for-
4
mules (9)5 pareillement, tang (45® -i y — | a le même signe
que les seconds membres des formules (10).
Expressions dwerses de l'excès sphérique.
Formules nouvf elles,
124. L'excès sphérique qui mesure, comme on sait, la sur-
face du triangle, est un élément d'une grande importance dans
les applications de la Trigonométrie à la Géodésie. Nous allons
faire connaître ici diverses formules nouvelles où figure cet
élément, et qui pourront servir à le calculer dans les diffé-
rents cas que Ton peut avoir à considérer.
Si l'on multiplie entre elles les deux premières équations
du système (4) du n*^ 120, ainsi que les deux premières du
système (5 ), puis que l'on divise les équations résultantes par
la troisième équation (5), il viendra
(•)
sm-jâ sin
1*
sin^s
smC
sin(C —
sin G
1
2_
COS-fC
cosy« ces
i*
0.
COSyC
5
ajoutant ces deux équations après les avoir multipliées res-
pectivement d'abord par cosG et i, puis par i et cosC, il
vient
cos-i-ûcosl^ -hsîni^<2sinT^cosC i
— l = -^ i z= ces - i,
1 cos '
(2)
COSyC 2
— ? 2 i-? =cos (C £j
COS^C \ 2 /
|58 TRAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.
et, si l'on divise respectivement la première et la deuxième for-
mule (i) parla première et la deuxième formule (2), on aura
I tangja tangl^sinC
tang — • =
I -h tang^atangl^ cosC
(3) (
tanff (C «1 =
^\ 2/ I + cot^acot-j^cosC
La première des formules (3)*donne l'excès sphérique en fonc-
tion de deux côtés et de l'angle compris ^ la première formule
de l'un des systèmes (i) et (2) fournit aussi une expression de
l'excès sphérique^ mais cette expression dépend de quatre élé-
ments. Il faut remarquer que les deux formules (3) ne sont
autre chose que des transformées de la première des formules
de Néper, savoir
ï / . «s ï ^ cos|(a— b)
tang -(A -h B =cot - C — ^, ;
"2^ ' 2 C0Sj(a-+-^)
si, en eflfet, on remplace - ( A -+- B) par 90° (C — e), il
2 2
vient
(4) tang-(C-0 = tang-C ^^?;^_^ .j,
formule de laquelle on déduit sans difficulté les deux for-
mules (3).
On peut éliminer l'angle G des formules (i) et (2) au moyen
des équations
.1^ i^ 2 Jsmp sin (/? — « ) sm (;? — ^ ) sin (/> — c)
SinC = 2Sm-CC0S-Cr=: — ï ^ ^ r^ r-r
2 2 smasin6
^ cosc — cosacos^
COSC = ; .—7 •,
smasmo
on obtient ainsi
. I i/sinpsinf/? — a)sin(p — b)sm(p — c)
Sm — s -rz: 1- ;
2 2C0St«C0S-5-^C0SvC
(5)
I. ^ ^sïnp sin (p — a) sm(p — b) sin(p — c)
:in(c-i.) =
2 SLUyasinY^ COSjC
CHAPITRE QOÀTRIÈMB. iSq
et
I cos*\a -h cos'-j b -h cos*yC — i
COS-f = ; j-7 i J
, 2 2 COS-ja COS^ O COS7C
cos
( I \ sin^Y a -h sin^-i- 6 + cds'{c — i
2 / asinjasm^-^cosyc
Les formules (5) et (6) donnent des expressions de -s et de
C s en fonction des trois côtes, mais on peut en obtenir
d'autres beaucoup plus simples.
Au moyen des formules (6) et des relations
. I /i — cos* I /ih-cosj:
sm - .r =r 4 / , cos - j: = i / ,
2 y 2 2 V 2
on peut calculer les sinus et les cosinus des angles j ^ ci
- C — y S] on obtient ainsi, pour l'angle js^
±b — ( cos-c — cos-! a ces-; b )'
sm ' ■
. T ^ /sin*^ a sin* Y A — (cos-c
»m y e = \/ 2 i r
b cosjc
'in^« = Vr
^ (cos-ic-h cosyacosy ^j^ — sin*yasin*y6
4 cos y a cos j b cosy c
Les numérateurs des fractions qui figurent sous les radicaux
sont immédiatement décomposables en facteurs, et Ton obtient
les valeurs suivantes :
(7)
.V
. p . p — a . p — b , p — c
sm — sin sm sm
22 2 2
Smy6=V = j p-7 ; )
4 T COSy«COSy ÔCOSyC
» » — a p — b p — c
cos — ces cos^^ cos^
I % / 2 2 2 2
cos -/ s =
4 T COSy«COSyè COSyC
On retrouvera la première formule (5) en multipliant les
équations (7) l'une par l'autre; en divisant, au contraire, la
l6o TRAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.
première par la seconde, il vient
(8) tang
r=v/
p p — a p — b p — c
tang — tang tang ^ tang ,
2 2 2 2
formule remarquable, qui est due à Simon l'Huilier, de Genève.
La deuxième formule (6) se déduit de la première en rem-
plaçant dans celle-ci aelb par leurs suppléments 1 8o^ — a^
1 Bo** — i, et 6 par 2C — e -, on peut donc faire ces mêmes chan-
gements dans les équations ( 7) 6t (8 ), qui feront connaître alors
le sinus, le cosinus et la tangente de l'angle - C — 7 e. Or, par
le changement de a et i en 180° — a et i8o° — i, les quan-
tités ^- et ^ se changent Tune dans l'autre, tandis
2
que chacune des quantités - et
P — c
se change dans le corn-
2 2
plément de l'autre^ on peut donc écrire immédiatement les
valeurs des lignes trigonométriques de l'angle - C — -76, et
2 4
par une simple permutation de lettres on aura également les
lignes trigonométriques des angles -A — ^e, -B — je. On
trouve, par exemple, en faisant subir à la formule (8) les chan-
gements que nous venons dlndiquer,
tang
a-r)
p — h p
tang^- tang —
(9)
tang
:^'-r)=v
tang
a-r)=
p p — n
tang- tang^^
P — C p — a
tang — ^ tang i——
p p ^ b
tang- tang ^— —
2 2
p — a p — b
tang i r- tang
p p — c
tang— tang^-
On peut résoudre les quatre équations (8) et (9) par rapport
GHàPIT&B QUATRlftHB. l6l
., p p — a p — b p — c
aux quantités tang-j Ung'- 9 tang^^- j tang ^ , et
Ton obtient ainsi
/
^2 V tang(iA-i.jtang(iB-i6;tang(i-|6/
^^ p-ra _ / taiig;«tang(iB-lijtang(iC-^^c) ^
(.0)' - ^ tang(iA-i.)
t,^ />-^ ^./ tangi«tang(jC-i.jtang(iA-~}0
"^ 9. V tang(iB~J.)
^ 2 V tang(-;C~is)
Expressions du rayon du cercle circonscrit et des rayons
des cercles inscrit et exinscrits,
125. Si l'on joint les trois sommets d'un triangle sphérique
au pôle du cercle circonscrit, on déterminera trois triangles
isoscèles qui auront respectivement pour bases les côtés a^b^c.
Désignons par x chacun des angles égaux dans celui de ces
triangles qui a a pour base, par ^ et z chacun des angles
égaux dans les triangles isoscèles qui ont respectivement pour
bases b et c. Si le pôle tombe à l'intérieur du triangle, on
aura
d'où
^ 4-r + 3 = - ( A -+- B H- C) = 90* -I- - «,
et, par conséquent,
= 90--(c-i.).
U est aisé de s'assurer que les mêmes formules conviennent
Trig, S, II
l62 TRAITÉ DE TRIGOlfOMÉTRIE.
au cas où le pôle n'est pas situé dans l'intérieur du triangle,
pourvu qu'alors on considère comme négative celle des quan-
tités x^j^ z qui se rapporte au triangle isoscèle situé tout en-
tier au dehors du triangle donné.
Cela posé, désignons par R le rayon sphérique du cercle
circonscrit au triangle, joignons le pôle de ce cercle au som-
met A, et abaissons du même pôle un arc de grand cercle
perpendiculaire sur le côté c\ on formera ainsi un triangle
rectangle dans lequel on aura
tangR cosz = tang - c,
2
r
d'où, en remplaçant z par sa valeur 90** — (C e),
(i) • taDgR=: . ,^^^, , 9
^ ^ ^ sin(C— i«)
formule qui donne R en fonction d'un côté, de l'angle opposé
et de l'excès sphérique.
Si l'on remplace sin i C e ) par sa valeur tirée de la
deuxième des formules (5) du n° 124, il viendra
(2} tangR r= 2 2 > —
^smp sm(p — a)sin[p — b) sin(/? — c)
Enfin, si l'on substitue à tang-c, dans la formule (i), la va-
leur tirée des équations (6) du n° 120, on obtiendra la formule
(3) tangR = v 2
V^sin( A — » sin(B -^|i) sin(C — |c) '
qui donne l'expression de R en fonction des angles.
La formule (i) contient la démonstration du théorème sui-
vant, dû à Lexell :
Le lieu géométrique des sommets de tous les triangles sphé-
riques de même base et de même surface est une circonjé*
chàpiteb QUÀnikMB. i63
rence qui passe par les deux points diamétralement opposés
aux extrémités de la base.
Car soient A'B'la base donnée et A^B'C l'un des triangles
pour lesquels l'excès sphérique a une valeur donnée e'. Soient
A et B les points diamétralement opposés à A' et B', et e l'excès
sphérique du triangle ABC. Par un théorème connu en Géomé-
trie, la somme des surfaces des deux triangles ABC et A'B'C
est égale à la surface du fuseau dont l'angle est C ; on a donc
.._^ ï - ~ I
c-hs' = 2C, d'où -c'=C «.
2 2
Maintenant, si R désigne le rayon du cercle circonscrit au
triangle ABC, on a, par la formule (i),
_ tangue
tangR = -^-^,
sm-jÊ
et, comme c et s' sont constants, R est lui-même constant, ce
qui démontre le théorème énoncé.
126. Désignons par r le rayon du cercle inscrit dans un
triangle sphérique. Si Ton joint le pôle de ce cercle au
sommet A, et que l'on abaisse une perpendiculaire sur le
côté £, on formera un triangle sphérique rectangle, dans lequel
l'un des côtés de l'angle droit sera r\ l'autre sera —
on p — a, et l'angle adjacent sera - A ; on aura donc
2
tang /' = sin (/? — a) tang - A,
ou, en remplaçant tang - A par sa valeur en fonction des côtés,
(4) tangr= J ^'^'^P - ^) ^^^P - *) "'°(^ ~ "^
Si l'on désigne par a 6, y les rayons d€S cercles exinscrits qui
II.
l64 TRAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.
touchent respectivement les côtés a, b^ c et les prolongements
des deux autres, on trouvera de la même manière
/sii
^ ^^^ sin(;> — a)
/ir\ / « /sinpsinf/? — «)sinfp — c)
(5) / tangS = y/ -^^ (^^,;^
tangy — » /sin;>sin(/> — a)sin(p— 6)
=^^
m[p — c)
sm
Résolution des triangles sphériques rectangles.
127. Un triangle splxérîque peut être birectangle ou même
trirectangle. Dans le premier cas, deux côtés sont égaux à
90 degrés, et le troisième côté est égal à l'angle opposé. Dans
le second cas, les trois côtés sont égaux à 90 degrés. Les trian-
gles de cette espèce ne peuvent donc donner lieu à aucun pro-
blème.
La résolution des triangles qui ont un seul angle droit pré-
sente six cas distincts que nous allons traiter, mais nous de-
vons rappeler d'abord tme remarque que nous avons faite dans
le Chapitre précédent à l'occasion des triangles rectilignes .
Lorsqu'un côté ou un angle d'un triangle sphérique est
donné par son cosinus, par sa tangente ou par sa co tangente,
sa valeur est déterminée, car ce côté ou cet angle est compris
entre zéro et 180 degrés; mais, s'il est donné par son sinus, il
n'est pas entièrement déterminé; car à un sinus donné corres-
pondent deux arcs ou deux angles supplémentaires.
Rappelons encore que, si l'angle ou le côté qu'on veut cal-
culer est donné par son cosinus ou par sa tangente, et que la
valeur de ce cosinus ou de cette tangente soit négative, il faut
calculer à sa place l'angle supplémentaire qui a, au signe près,
même cosinus et même tangente.
128. Premier cas. — Etant donnés l'hypoténuse a et un
côté h de V angle droit, calculer le troisième côtéc et les deux
angles obliques B et C.
CHAPITRE QUATRIÈME. l65
On peut calculer les éléments inconnus par les formules
suivantes du n** 115 :
cosa . ^ sinô ^ tansb
cosc r= : smB = -: — t ces C = — -^— •
coso sma tanga
Mais il vaut mieux faire usage des formules du n^ 116, savoir :
tang - c m H- i / tang - (a — b) tang ~ (a -f- h).
ï ^ /sin(a — b)
tang-C==:-f- l/^ j-{>
^2 V sin(« 4- b)
Ces dernières formules exigent seulement, comme les pré-
cédentes, la recherche de quatre logarithmes pour la détermi-
nation des trois éléments inconnus ^ mais elles ont sur celles-ci
l'avantage de donner les inconnues par des tangentes.
Remarque. — Pour que le problème soit possible, il faut et
il suffit que Ton ait sine <^ sina; car, si cela a lieu, la valeur
de sinB sera inférieure à i, et les valeurs de cosc et de cosC
seront comprises entre — i et -f- 1 . L'inégalité dont il s'agit
exige que l'on ait b <^a ou è^iSo** — a si a est <C!90**^
et è ^ a ou è <^ i8o° — a si a est > 90°; si a = 90**, l'inéga-
lité sine <;[sinût a lieu nécessairement. Lorsque la condition
de possibilité est satisfaite, le problème admet une solution
unique, bien que l'angle 6 soit donné par son sinus ; car cet
angle doit être inférieur ou supérieur à 90 degrés, suivant que
le côté donné b est lui-même inférieur ou supérieur à 90 de-
grés. La même considération permet de fixer le signe avec
lequel il faut prendre le radical qui exprime la valeur de
tang(45° + ^B).
129. Deuxième cas. — Etant donnés les deux côtés b et c
de l'angle droit, calculer l'hypoténuse et les deux angles
obliques B ef C.
l66 TKAITt DE TRlGOHOMtTEU.
On emploiera les fommles
taLoeb tangc
cosaz=cosbcosc^ tangB := ." y taiigC= -7— 7--
^ smc ^ smo
Si le côté a est mal détenniné par son cosinus, il faudra
commencer par calculer B ou C, et l'on obtiendra ensuite a
par Tune des formules
tangc tains b
tBnea=z — ^> taLuea= — ^*
^ cosB ^ cosC
Remarque. — Le problème admet toujours une solution
unique.
130. Troisième cas. — Etant donnes l'hypoténuse a et
l'angle oblique B, calculer le deuxième angle C et les deux
côtés b et c de l'angle droit.
On emploiera les formules
cotB
sîn b:=zsma sinB, tangc = tanga cosB, tang C =
ces a
Si le côté b est mal déterminé par son sinus, il faudra
commencer par calculer c ou C, et Ton aura ensuite b pa^
Tune des formules
tang ^ = sin c tangB, tang b = tang^i cos C.
Remarque. — Le problème est toujours possible et il n'ad-
met qu'une solution, car l'inconnue b et Tangle donné 6 sont
en même temps inférieurs ou supérieurs à 90 degrés.
131 . Quatrième cas. — Etant donnés un côté b de l'angle
droit et l'angle opposé B, calculer les côtés a et c, ainsi que
l'angle C.
On peut employer les formules du n° 115
sinô . tang 6 . ^ cosB
smaz=z-r~-^ smc = — ^, sinC= r'
smB tangB coso
GHÂPITBE QUATRIÈME. 167
Mais il vaut mieux se servir des formules suivantes du n° 116 :
•^(4»-i«)=±v/Si
K B + b)
B — A)
rr >
/,^ I \ ^, /siii(B-4-
^
b)
tang / 45« + - C J = dz i/cot - (B -h é) cot - (B — ft),
qui donnent les trois inconnues par leurs tangentes.
Remarque . — Chacun des deux précédents systèmes de for-
mules peut donner pour chaque inconnue deux valeurs sup-
plémentaires. Il importe donc de savoir déterminer quelles
sont les valeurs qu'il faut prendre ensemble.
D'abord, si i = B, on a
siiifl = smc = sinC = I, û = c=:C=:90®,
et le triangle est birectangle. Supposons donc b difiérent
deB.
I® Si b est < 90**, il faut, pour la possibilité du problème,
que B soit aussi <^ 90°, et que l'on ait en outre è <^B. Sup-
posons cette condition remplie; cosi étant positif, Téquation
cosa ^ cosi cosc montre que a et c sont en même temps infé-
rieurs ou supérieurs à 90 degrés \ la même chose a lieu d'ail-
leurs à regard de c et de C. Si donc on désigne par a', c' et C
les valeurs inférieures à 90 degrés que les Tables font connaître
pour a, c et C, on aura les deux solutions
az=a\ €=ic'y C = C',
a = 180*»— a', c=i:ï8o»— c', C = i8o«— C
2^ Si b est > 90®, les conditions de possibilité du problème
sont B>9o° et i^B. Supposons qu'elles soient remplies;
cosi étant négatif, l'équation cosa = cosi cosc montre que
a et c sont l'un supérieur et l'autre inférieur à 90 degrés \ et,
comme c et C sont tous deux supérieurs à 90 degrés, si l'on
désigne toujours par a', c' et Q! les valem^s de a, c et C que les
f
l68 TRAITÉ DE TRIGONOKÉTRIB.
Tables font connaître, on aura ces deux solutions :
Il est facile de voir, a priori, qu'en exceptant le cas de è = B
le problème admet deux solutions lorsqu'il est possible. Suppo-
sons, en eâet, que le triangle ÂBG, rectangle en A, satisfasse à
la question (voir la figure du n® 109, p. 1 89 ) , et prolongeons les
côtés AB et BC jusqu'à leur rencontre en B'^ on formera un se-
cond triangle rectangle AB'C qui répondra aussi à la question.
132. Cinquième cas. — Etant donnés le côté b et l'angle
adjacent C, calculer l'angle B et les deiix côtés a et c.
On emploiera les formules
tanfîr b
ces B = cos b sin C, tang a •=. — ^ , tang c = sin è tang C.
cosC
Si l'angle B est mal déterminé par son cosinus, il faudra
commencer par calculer a ou c, et l'on aura ensuite B par l'une
des formules
cotB = cosa tang G, cotB = sine cote.
Remarque. — Le problème est toujours possible et il n'ad-
met qu'une seule solution.
133. Sixième cas. — Étant donnés les deux angles obli-
ques B et C, calculer les trois côtés a, i, c.
On emploiera les formules
^ ^ , cosB cosC
C0S<2=: cotB cote, COSO=-: — -j C0SC=:-: — —
sm G sm B
du n^ 115, ou plutôt les suivantes du n** 116 :
I , /cos(i8o°— B — G)
tang ^ * = -f- y tang ( — ^t ^Soj tang f h 45«]
tang ~ ^ = -+- \/tang ( -^t 450 \ ^ang i " -f- 45« j
qui donnent les inconnues par leurs tangentes.
J
CHAPITRE QUATRIÈME. 169
Remarque. — Pour que le problème soit possible, il faut et
il suffit : I ° que la somme B + C soit comprise entre 90 et
270 degrés; 2** que la difierence B — C soit comprise entre
— 90® et 4-90**. Lorsque ces conditions sont remplies, les
seconds membres des formules précédentes sont réels et le
problème admet une solution unique.
Résolution des triangles sphériques rectilatères.
\ 34. Bien que la résolution d'un triangle rectilatère puisse
se ramener à celle d'un triangle rectangle, par la considération
du triangle supplémentaire, il n'est pas inutile de présenter
le tableau des formules qui conviennent à chacun des six cas
qu'on peut rencontrer. Nous nous bornerons au surplus à cette
simple indication, les remarques et les discussions auxquelles
donnent lieu les formules étant exactement les mêmes que
celles qui ont été développées à l'occasion des triangles rec-
tangles. L'angle opposé au côté égal à 90 degrés sera toujours
désigné par A.
135. Premier cas. — Etant donnés les angles A et B, cal-
culer l'angle C et les côtés b et c.
Les formules à employer sont (H7)
^ ces A . , sinB taneB
cosC = -^ s\iLb=z- — -î cosc = 2.— ;
ces fi sinA tangA
mais on peut leur donner la forme suivante, qui est préférable :
tang i C = -+- i/cot - (A — B) cet - (A -i- B),
tang-c = +y/^-^^-^;
le signe ambigu dz de la deuxième formule se déterminera par
cette considération que i et B sont en même temps inférieurs
ou supérieurs à 90 degrés.
170 TIÀITÉ Dl TEIGONOHÊTmiS.
136. Deuxième cas. — Etant donnés l^s deux angles B
et C, calculer r angle A et les côtés betc»
Les formules à employer sont
tanffB tangC
cosA = — cosBcosC, tang^ = • V» > tangc^: . *
sin C sin S
Si l'angle A est mal déterminé par son cosinus, il faudra d'a-
bord calculer & ou c^ on pourra ensuite obtenir A par Tune
des formules
tangC ^ tangB
tangA=: ^î tanfi:A== «
coso ^ cosc
137. Troisième cas. — Etant donnés l'angle A et le côtéb^
calculer le côlé c et les deux angles B e£ C.
Les formules à employer sont
sinB = sin A sin è, tangC = — tangA cosè, tangc = •
Si Ton veut déterminer B par sa tangente, il faudra commen-
cer par calculer c ou C, et l'on aura ensuite pour calculer B
l'une des formules
tangB = sinC tang^, tangB = — taiigA cosc.
138. Quatrième cas. — Etant donnés le côté b et l'angle
opposé B, calculer le côté c et les angles KetC
Les formules à employer sont
. . sinB . ^ tanfi[B cosb
sinA=-;— 7-> sinC= — ^> sine = — --;
sm& tango cosB
on peut les transformer dans les suivantes :
tang (45» + i c j =dz i/cot ^ (è + B) cet i (6 — B) ;
CHAPITRE QUàTUÈMS. I7I
les deux solutions se déterminent par les considérations dont
nous avons fait usage au n® 131 .
1 39. Cinquième cas. — Etant donnés l'angle Bet le côté c,
calculer le côté b et les deux angles A et C.
Les formules à employer sont
cos h = cosB sine, tang A = -^— > tangC =: sinB tangc.
Si Ton veut déterminer b par sa tangente, il faudra commencer
par calculer A ou C, et Ton aura ensuite b par Tune des for-
mules
çotbz= — cosAtangc, cot6 = sinGcotB.
140. Sixième cas. — Etant donnés les deux côtés b et c,
calculer les trois angles A, B, C.
Les formules relatives à ce cas sont
cos h cos c
cos A = — cotb cote, cosB = -; — ? cos C = - — 7 ;
sine smb
mais il convient de les transformer dans les suivantes :
j
tang
2
V 008(180°
*
-)'
-Lbz
2
=+• y tang (-
■ 45°+
b-hc\ / ,^ b —
. ) tang (45»+ ^
')
tang ~ C = -f- i/tang (^ 45»+ ^^] tang ^S» ^\
Remarque sur la résolution des triangles sphériques
quelconques,
141 . Les triangles rectilatères ne sont pas les seuls dont la
résolution se ramène à celle des triangles rectangles \ la même
chose a lieu encore dans les deux cas suivants :
1° Si parmi les éléments donnés se trouvent deux côtés
172 TRAITfi DE TRlGONOHÉTaiE.
égaux a et b^ ou deux angles égaux A et 6, la perpendiculaire
abaissée du sommet C sur le côté Â6 partagera le triangle ABC
en deux triangles rectangles égaux dans toutes leurs parties.
On résoudra l'un de ces triangles rectangles où Ton connaît
deux éléments outre l'angle droit, et l'on aura immédiatement
les éléments inconnus du triangle proposé.
2® Si parmi les éléments donnés se trouvent deux côtés a
et b ou deux angles A et B, dont la somme soit égale à 1 80 de-
grés, en prolongeant les côtés a et c jusqu'à leur rencontre
en B' 5 on formera un triangle AB'C dans lequel deux côtés ou
deux angles seront égaux. La résolution du triangle AB'C se
ramène, comme on l'a vu, à celle d'un triangle rectangle 5 elle
entraine d'ailleurs celle du proposé.
La résolution des triangles sphériques en général présente
six cas \ mais trois de ces cas peuvent se ramener aux trois
autres par la considération du triangle supplémentaire, et les
solutions de deux cas correspondants s'obtiennent par des for-
mules analogues. Il n'y a donc en réalité que trois problèmes
distincts.
Résolution d'un triangle sphérique dans lequel on connaît
les trois côtés ou les trois angles,
142. Première méthode. — Si les tjrois côtés sont donnés,
on peut calculer les angles par les formules (i), (2) ou (3) du
n° 119; on doit préférer les formules (3), savoir :
2 V SI
t^ng ._., ip-b)sm{p-c)
sin/? sin(/? — a)
2 V sm/?sin(/> — 0)
\ ^ , /^i^lp — a)sm(p — b)
tang - C = 1/ — ^-4 .\ ^^ . S
2 y sm/7 sin[p — c)
où il faut se rappeler que p désigne le demi -périmètre
a -{- b -h c
CHAPITRE QUàTBIÈHB. 178
Si ce sont les angles qui sont donnés, on pourra calculer les
côtés par les formules (4), (5) ou (6) du n** 120; on doit pré-
férer remploi des formules (6), savoir :
• ^ I __ 4 / sin7gsin(A— - je)
tang - « - y sin(B~ie)sin{C — i,
r
"^^ 2 ^ - V ^RÂ"- I7)7iir(c i-"ïô'
I / sin|gsin(C — -^e)
tang - ^ — y sin(A-i£)sin(B-i£)'
où £ désigne Fexcès sphérique A -4- B -f- C — i8o**.
' Remauque. — Pour qu'un triangle soit possible avec trois
côtés donnés, il faut et il suffit: i^ que la somme de ces trois
côtés soit inférieure à 36o degrés \ t? que chacun des côtés soit
inférieur à la somme des deux autres. De même, pour qu'un
triangle soit possible avec trois angles donnés, il faut et il suf-
fit : i** que l'excès sphérique qui résulte des angles donnés soit
compris entre zéro et 36o degrés ; 2° que chacun des angles
donnés soit supérieur à la moitié de l'excès sphérique. Ces
résultats de Géométrie sphérique se déduisent immédiatement
de nos formules.
Lorsque les conditions dont il vient d'être question ne sont
pas toutes remplies, les expressions des tangentes des demi-
angles inconnus ou des demi-côtés inconnus deviennent ima-
ginaires.
143. Deuxième méthode. — Lorsqu'on a besoin de calculer
les trois éléments inconnus, on peut substituer aux formules
précédentes les formules (8), (9) et (10) du n** 124.
L'emploi de ces nouvelles formules n'exige, comme dans la
solution précédente, que la recherché de quatre logarithmes^
et l'on y trouve cet avantage qu'ayant calculé séparément les
quatre quantités A e, B e, C e et - e, onp^ p — a,
p — b^ p — c, on a un moyen de vérifier l'exactitude des ré-
sultats obtenus.
174 TRAITÉ DB TlIGONOMfiTRH.
144. Exemple. — On donne les trois côtés
û = n3<»2'56",64,
* = 82-39' 28", 4o,
c = 74«54'3ï",o6,
et l'on demande de calculer les angles A, B, C,
PEEMIÈEE MIÉTHODK.
TYPE DU CALCUL.
P
P
P
— a.
b.
c.
i35"i8'28*,o5
22*'l5'3l",4l
52°38'59',65
6o'>a3'56'',99
logsin/? 7,8471394
logsin (/? — «) 1,5783980
log8in(/? — 6) ï, 9003361
logsin (p — c) T ,9392635
Calcul de r angle A.
tang
^^^ / sm(/?— ^)sin(/?-c|
sin/7 sin (/?—«)
logsin [p — b] ï , 9003361
logsin (/? — tf ) — ï , 9392635
— logsin (/>—fl) — 0,4216020
— Iogsin/7 o ,1528606
0,4140622
log tang7 A o ,207081 1
\k 58«io'r,io
A Il6°20'2',20
Calcul de l'angle B.
^' Y sin/? sin (/? — /»)
logsin [p — à] T , 5783980
logsin (p — c) î ,9392635
— logsin(/7 — ^) . . . . 0,0996639
— logsin/? o, 1528606
1,7701860
logtanglB T,885o93o
iB 37'»3o'25',8o
B 75« o'ôi'jôo
Calcul de P angle C.
^ * Y sin/7 sin (/?— c)
logsin (/? — fl ) ï, 5783980
logsin (/? — ^) T,90o336i
--logsin(/? — c) 0,0607365
— logsin/7 o, i5a86o6
1,6923312
logtanglC ï,846i656
iiC 35o3'29",58
C 7o-6'59',i6
CHAPim QUàTUÈMI.
178
DEUXIÈME MéTHOBE.
[Emploi des fonnules (8) et (9) du n"" 124.]
TrPB DU CALCUL.
ip 67«39'ir,oa5
i(p-«) II" 7'45*,7o5
Hp— ^) a6'»i9'a9",8a5
Hp—c) 30» II '58", 495
Calcul de V excès sphérique c.
logtang* p o, 3860840
logtangK/?— fl) 1,2938583
logtangi(/>— ^) T, 6944058
log taDg-2 {/? — c) . . . . T , 7649261
1,1392742
logtang|e 1,5696371
\t 20»2l'58%25
6 8i»27'53*,oo
Calcul de l'angle B.
logtang|(/7— fl) .... 1,2938583
logtangi(/7 — c). . . , ï, 7649261
logcotK/?— 6) o, 3055942
logcoli/? 1,6139160
2,9782946
logtang(iB-|0--- 1,4891473
îB^ie I7« 8'27',55
ïB 37°3o'25%8o
B 75° o'5i'',6o
logtangip o, 3860840
logtanglï/? — «)... . 1,2938583
log tang|(/7 — 6) ... . ï , 6944058
logtangil/? — c) 1,7649261
Calcul de P angle A.
logtangK;? — ^).... T,6944o58
logtanglî/?— c) 1,7649261
logcot|(p— fl) 0,7061417
logcotl/? 1,6139160
1,7793896
logtang(iA- j-g) . . . 1,8896948
|A-i£ 37*>48'2',87
iA 58'»io'i",ia
A 116*20' 2*,24
Calcul de V angle G.
logtang^(;7— a) 1,2938583
loglang{-(/? — ^) T,6944o58
logcot|(/?— f) 0,2350739
logcot^/7 T,6i39i6o
2,8872540
logtang(|C— js).... 1,4186270
|C-|e i4°4i'3i'',34
iC 35° 3'29^59
C 70* 6' 59", 18
Vérification :
erreur sur l'ensemble : o*,©! .
176 TRÀlTfi DE TRIGOlfOHfiTRR.
Résolution d'un triangle sphérique dans lequel on connaît
deux côtés ai^ec l'angle compris, ou deux angles auec le
côté compris.
145. Premièke méthode. — Lorsqu'on a besoin de calculer
les trois éléments inconnus, on obtient la solution la plus
simple du problème au moyen des formules de Néper, savoir :
(ï) tang-(A-f-B)=cot -C f) ^r»
^ ' ® 2 * ' 2 cos|(a-hô)
(2 tang-(A — B)=cot -C-r-f) =:^,
,^, I , -. I cos4-(A — B)
(3) tang-(« + 6) = Ung-c_|L__j,
/ rv ï / t\ I sin^fA — B)
(4) lang- (a— ^>)=:tang-c -r— '77 =r^-
^^' ^2^ ^ ^2 sm-^(AH-B)
Si les éléments donnés sont a, & et C, on calculera d'abord A
et B au moyen des formules (i) et (2) ; on calculera ensuite c
au moyen de l'une quelconque des formules (3) et (4).
Si, au contraire, les éléments donnés sont A, B et c, on cal-
culera a et i par les formules (3) et (4), et ensuite C par l'une
quelconque des formules (i) et (2).
Remarque I. — Le calcul des éléments inconnus A et B ou
a et b exige la recherche de cinq logarithmes \ il faut ensuite
deux nouveaux logarithmes pour obtenir l'inconnue c ou C.
Remauque n. — Les données étant supposées comprises
entre zéro et 180 degrés, le problème admet toujours une so-
tion unique.
146. Deuxième méthode. — On peut encore résoudre le
problème proposé en faisant usage des formules établies aux
n°* 109 et suivants, et qui permettent de calculer directement
chaque inconnue indépendamment des deux autres.
Si les éléments donnés sont a, i, C, les formules qui déter-
CHAPITRE QUÀTaiËME. " l)']
minent les inconnues sont ,
cot<z sinb — cet A sinC = cos^ cosC,
(i) { cot^sina — cotBsînC = cosacosC,
cosc = cos« cosô -+- sïna sinb cosC*
On calculera, comme il a été dit au n^ 118, deux angles
auxiliaires (f et- ^compris entre zéro et i8o degrés, et tels que
(2) tangç = tangacosC, tang>|^ =: tango cosC;
les deux premières formules (i) deviendront alors
(3) tangA = *'7.'^g-^, tang B = ?!^fi^ .
sin(^ — <p) ° sm(a — ij;)
L'un quelconque des angles auxiliaires tp et ^ peut servir pour
le calcul de c-, car la troisième équation (i) donne, en se ser-
vant des formules (a),
, ., cos<2COs(è — o) cosbcos(a — ^)
(4) cosc = ^ -j cosc = ^- ^'
' • COStf C0S\p
Il peut arriver que le côté c soit mal déterminé par son cosi-
nus j dans ce cas, on calculera d'abord A ou B et Ton pourra
obtenir ensuite c au moyen de sa tangente^ ejQTectivement,
si Ton divise respectivement par les équations (4) les deux
formules
sînasinC sinèsinC
smc = — : — i — et sine = :-— — j
smA sinB
il viendra, en ayant égard aux formules (2) et (3),
,^\ tang(^ — 9) tangfa — J*)
(^) ^°g'^= cosA ' *^g'^= cosB •
Si les éléments donnés sont A, B, c, les formules qui déter-
. minent les inconnues sont
Icota sine — cot A sinB = cosc cosB,
cot^ sine — cotB sinA = cosc cosA,
cmC =r — cosA cosB -!- sinA sinB cosC;
Triff, S. 12
178 TRAITÉ DE TRiGONOHfiTRIB.
on calculera deux angles auxiliaires cp et 4* compris entre zéro
et 180 degrés et tels que
(2 bis) tangf = — tangA cosc, tang^ = — tangB cosc,
et les deux premières équations (1 bis) donneront
.^ * , sinotangc , siQ^ltans'c
(3 bis) tanga = r-^^-^ — 2_ , tang6 = r-ri — ^— •
^ ^ ^ sin(B — y) ^ sm(A — Tjij
La troisième équation (i bis) donne aussi
,,-.v ^ cosAcosfB — ») ^ cosBcosfA— ^)
(4 bis) cosC = ^^ 9 cosC = ^ —9
^ cosy COSiJ^
et en combinant ces équations avec le!^ formules
. ^ sincsinA . ^ . sinirsinB
smC= — -. > 8mC = :—: — »
sma smo
il vient enfin
(5W.) tangC = -^^i5j:^''l, tangC=- *?5ii^^.
^ ' ° cos« coso
Il faut remarquer que les formules (i J15), (2 bis)^ (3 iw),
(4 bis)^ (5 bis) se déduisent des formules (i), (2), (3), (4)?
(5), en remplaçant dans celles-ci A, B, C, a, J, c par les sup-
pléments de a, J, c, A, B, C et y, «// par leurs suppléments.
Les deux triangles que nous venons de considérer sont effecti-
vement supplémentaires.
Remarque. — Quand les éléments donnés sont a, i, C. le
calcul du seul angle A ou B exige la recherche de cinq loga-
rithmes, comme l'emploi de la première méthode. Le calcul
du côté c par l'une des formules (4) exige également cinq loga-
rithmes*, mais, lorsqu'on n'a besoin que de ce seul côté, la
deuxième méthode doit être préférée à la première. Il en est
de même quand les éléments donnés sont A, B, c ^ Temploi de
la méthode précédente n'offre d'avantages qu'à l'égard de
l'angle C, dans le cas où l'on ne doit calculer que ce seul
élément.
147. Troisième méthode. — La méthode dont nous allons
parler se rapporte exclusivement au cas où l'oji ne veut cal-
CHAPITKE QUÀTRiftHB. 179
culer que la seule inconnue c ou C. Dans la solution précé-
dente, on a recours, pour cet objet, à Tune des formules (4)
ou (4 iiV), qui déterminent l'élément inconnu par son cosi-
nus, n peut arriver que cet élément ne puisse être obtenu de
cette manière avec précision, et alors il convient d'opérer
comme il suit :
Si Tineonnue est c, Téquation qui la détermine peut s'écrire
ainsi :
cosc =z cos(a — è) — 2 sin« sin6 sin- - C,
ou
sin* - c = sin' - (a — b) -h sina sinb sin' - C ;
a 2 ^ ' 2
si donc on calcule un angle auxiliaire o) tel que
sin|C /-; r-T
tangfri = -: — -7-^ pr Usina sinb,
° sin^a — b) '
on obtiendra ensuite c par la formule
. I siR'^ia — b)
sm - c = — ^-^ .
2. cos«>
Si l'inconnue est C, on a
cosC = — cos ( A -f- B) — 2 sin A sinB sin' - c
2
ou
sin^ - C = ces' - f A -h B) -I- sin A sinB sin' - c;
2 2 ^ ' 2
on calculera donc Tangle auxiliaire tô par la formule
et Ton aura ensuite C par la formule
. I cosl(A-l-B)
sm - C = — — ' •
2 COSb>
Remakque. — Cette troisième méthode n'exige, comme la
précédente, que cinq logarithmes pour le calcul de c ou de C.
f9.
l8o TRA1T£ BB TRIGONOMÉTRU!.
148. Exemple. — On donne les côtés a, b et l'angle com-
pris C, sas^oir :
a = I i3o2'56",64, b = 82» 39' 28", 4o, C = i38«5o' i3",69,
et Von demande de calculer les angles A^^ et le côté c.
TYPE DU CALCUL.
b) i5*ii'44",ia
b) 97*5i'i'2*,52
'69*a5' 6",845
Calcul fie i (A -h B).
C06î(fl
tangi(AH-B) = cotiC
-b)
COS^(û-+-^)
logcot^C T, 5746163
logcosj(û — ^) 1,9845439
—\og — co8\{a-hb). 0,8644213
log — tangj(A-f-B).. o,42358i5
i(A-f.B) II 0^*39' 35*, 29
Calcul des angles X et B.
{(A-f-B) II 0*^39' 35", 29
i(A-B) 5'»4o'26'',9i
A 116*20' 2'',20
B 104*59' 8",38
log— cosI(A-hB).
logcosKA — B).. .
1,547551 3
1,9978668
Iogsinj(fl — ^)
logcosy(a — ^)
logsinKfl-*-^)
log— 'COS^(«H-^) . . .
logcotjC
1,4184917
1,9845439
1^,9959074
I ,1355787
ï, 5746163
Calcul de ^(X — B).
sin \ (a
langi(A— B)=cotiC
-b)
logcot^C
log8in|(a — ^)
— log8in|(fl-+-ft)...
logtangj(A — B) ...
i{A-B)
sin y (a H- ^)
T, 5746163
1,4184917
0,0040926
2,9972006
5* 40' 26", 91
Calcul du côté c.
cos}(A-+-B)
tangjc = iang\(a-hb)
cosy(A— B)
log sin|(fl ■+-b) 1,9959074
— log — cosKû-hô). 0,864421 3
log — CCS j(A-f-B) .. T,54755i3
— logcos|(A — B) .. o,oo2i332
logtang-^c o,4iooi32
ic 68°44'32",3o
c 137*29' 4'',6o
Résolution d'un triangle sphérique dans lequel on connaît
deux côtés et l'angle opposé à l'un d'eux, ou deux angles
et le côté opposé à l'un d'eux.
149. P&EMiÈEE MÉTHODE. — Soiciit a, & ct A OU A, B, a les
éléments donnés. On calculera d'abord Tînconnue B ou i par
CHAPITRE QUATRIÈME* l8l
la formule
sin B sin b
siRÀ sin a
»
et Ton pourra obtenir ensuite la valeur correspondante de C
ou de c par le moyen des formules de Néper, savoir :
I cot| (A -f- B) cosl {a—b) __ cot^ (A >- B) sia} (a -- h)
°2 "" cos-^(a-f-ô) ~~ sinY(a-4-6)
I _ tangl(a-f-fe)coslfAH-B) _ tang-^f/ï-^£>)sin|(A-f-B)
°^2^"~ cosj(A — B) "~ sinf(A — B)
Pour que le problème soit possible, il faut d'abord que le
sinus de l'élément inconnu B ou & soit compris entre zéro et i \
lorsque cette condition est remplie, il existe pour B ou & deux
valeurs supplémentaires Tune de l'autre^ mais, pour que l'une
de ces valeurs convienne au problème, il est nécessaire que;
les valeurs correspondantes de tang - C et de tang - c soient
positives, ce qui exige que les différences A — B et a — b soient
de même signe. Si cette condition n'est satisfaite par aucune
des deux valeurs de B ou de i, le problème n'admet aucune
solution ^ mais, si elle est satisfaite pour l'une de ces valeurs,
il y a nécessairement une solution correspoudante. En effet,
A — B et a — b étant de même signe, on obtiendra pour C et
pour c des valeurs comprises entre zéro et i8o degrés, par le
moyen de deux des formules de Néper ; ces valeurs de C et de c
seront les mêmes que celles qui seraient données par les deux
autres formules de Néper, car celles-ci se déduisent immédia-
tement des deux premières en faisant usage de la relation
sinB _ sin b tangf ( A -f- B ) tangj [a-¥-b)
sin A sin a tangj (A — B) "~ tang-j [a — b)
Il suit de là que les valeurs trouvées pour B ou i, pour C et
pour c, satisfont aux quatre formules de Néper. Si donc on se
propose de résoudre un triangle avec les données a, i, C, pro-
blème qui est toujours possible, on retrouvera nécessairement
pour les éléments cherchés les valeurs A, B, c.
Les deux cas dont il s'agit ici sont nommés cas douteux des
l82 TRAITÉ DE TRIGONOMÉTKIB.
triangles sphériques, parce qu'il peut y avoir incertitude à
regard de celle des valeurs de 6 ou de i qui convient au
triangle que Ton doit considérer. Mais, dans les applications,
cette incertitude disparait toujours par un eitamen attentif des
circonstances du problème à résoudre.
ISO. Deuxième méthode. — La méthode précédente ne doit
être employée que dans le cas où il s'agit de déterminer l'élé-
ment B ou & avec l'un des deux éléments C et c seulement.
Trois logarithmes sont nécessaires pour le calcul de B ou &,
et Tespèce de cet élément étant supposée connue, il faut trois
nouveaux logarithmes pour obtenir C ou c.
Lorsqu'on a besoin de calculer les trois inconnues, on déter-
minera l'élément B ou J comme précédemment, et si l'espèce
de cet élément est connue, on pourra obtenir C et c par les
formules (ii) et (12) du n° 123, qui exigent seulement la re-
cherche de quatre logarithmes.
Faisant donc
A-+-B = S+l8o^ A — B = D,
aH- ^ = 5 -f- 180**, a~b=Ld,
puis
S-f-rf S — rf ^, jH-D j — D
M =: tang — 7 — tang — 7 — > N = tang — . — tang — y — t
4 4 4 4
on aura, par les formules (i i) du n** 123,
C — c , i^iT^ C-f-c /M
4- = ±v/MN, ung-<^=.H-^^,
tang
le radical devant être pris, dans la première formule, avec le
sïgne des quantités M et N.
On peut employer les formules (12) du n° 123 au lieu des
formules (ii)*, il n'y a aucune raison de préférer les unes
aux autres. Lorsque le problème proposé admet deux solu-
tions, si l'on a employé les formules (11), comme nous venons
de le faire, pour le calcul de Tun des triangles, les formules (12)
permettront de calculer les éléments du deuxième triangle,
sans qu'il y ait besoin, pour cette opération, d'aucun loga-
rithme nouveau.
CHAPITRE QOÀTRiiHE. l83
Effectivement, désignons par C' et c' les valeurs de C et c
qui se rapportent au deuxième triangle 5 il faudra remplacer,
dans les formules (12) du n*' 123, Bpar 180^ — B, ou b par
180® — J, ce qui revient à permuter entre elles les lettres S
et D, ou 5 et rf, suivant que les données du problème sont a,
i. A, ou A, B, a. Alors si Ton fait, pour abréger,
M' = tang — 7 — cot — 7 — 5 N' = cet — 7 — tang — -. — >
4 4 4 4
on aura
tang(?'-=^d=45'')=±V^MPW, x^i^L+^+^^=±^}^,.
Lorsque les données sont a, &, A, il faut prendre les signes
supérieurs dans Fun et l'autre membre de la première formule,
et le signe du radical de la deuxième formule est celui des
quantités M' et N^ Si, au contraire, les données sont A, B, a,
il faut prendre les signes inférieurs dans les deux membf^es
de la première formule, et le radical de la seconde formule doit
être pris avec un signe contraire à celui des quantités M' et N'.
Bjemarque. — On voit que la solution complète du pro-
blème, même dans le cas où elle conduit à deux triangles qu'on
veut calculer l'un et l'autre, exige seulement l'emploi de sept
logarithmes.
151. Troisième méthode. — La solution la plus simple du
problème qui nous occupe s'obtient par le moyen des trois
formules dans chacune desquelles figurent les données avec
l'une des inconnues. Cette méthode, qui exige le calcul de
deux angles auxiliaires, est celle qu'il convient d'employer
dans la plupart des cas.
Supposons que les données soient a, i. A-, les formules qui
déterminent les inconnues sont
. ^ sin5»sinA
smB = : >
sma
^ cosa =: cosô cosc -f- smo smccosA,
cola sin b — cot A sinC = cosb cosC.
l84 TRAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.
Chacune d'elles permet de calculer directement Tune des
inconnues, et elle fournit en même temps un critérium pour
reconnaître si un triangle est possible avec les données. En
effet, ainsi qu'on Ta vu au n® 149, si Ton peut tirer de la pre-
mière formule une valeur de B telle, que A — B soit de même
signe que a — ô, il y aura une solution du problème corres-
pondant à cette valeur de B. Pareillement, si la deuxième for-
mule fournit une valeur de c comprise entre zéro et i8o degrés,
il est évident qu'il y aura une solution du problème corres-
pondant à cette valeur, car le triangle formé avec les côtés b, c
et l'angle A satisfera aux conditions de l'énoncé. De même,
enfin, si l'on peut tirer de la troisième formule une valeur de C
comprise entre zéro et i8o degrés, il y aura nécessairement
une solution du problème correspondant à cette valeur, car
on pourra toujours construire un triangle avec les éléments a,
i, C.
La première formule du système (i) est calculable par loga-
rithmes ^ pour obtenir cet C, on déterminera deux angles auxi-
liaires cp et ^ compris entre zéro et 1 80 degrés, et tels que l'on ait
(1) tangf = tang^cosÀ, taiig>}* = -'^
les deux dernières formules (i) donneront alors
*^x t \ COSUCOS© fry ,\ ^ > .
(3} cos(c — y)= 3^—=-» cos(C — •j») = cottf tangftcos^.
Pour que le problème proposé soit possible, il faut que la
valeur de sinB soit inférieure à i, et que les valeurs de
cos(c — ç), cos(C — ^) soient comprises entre — i et -hi; il
est facile de s'assurer que ces conditions sont exprimées par la
seule inégalité
sîn^sînA ^
^ <ï-
sma
Si cette inégalité est satisfaite, on pourra calculer, par la pre-
mière formule (i), une valeur M de B comprise entre zéro et
90 degrés, et, par les foonaules (3), des valeurs N et P de c — 9
et C — ^, comprises entre zéro et 180 degrés. Mais on satis£a^
CHAPITEE QUATRIÈME. l85
aussi aux équations en prenant B = 1 80® — M, c — y =r — N,
C — ^=: — P; il est aisé de déterminer, dans chaque cas, les
valeurs de B, C, c qu'il faut associer pour obtenir un triangle
répondant à la question. Effectivement, si Ton introduit les
angles auxiliaires cp et ({/ dans les formules
cot^sinc — cotBsinA = cosccosA,
cosB = — cosA cosC -+- sinA sinC cos^,
celles-ci deviennent
(4) sin(c — Œ) = sin© — ^> sinfC-*- >!*) = sin+ -j
^^^ ^ ^^ ^tangB ^ ^^ ^cosA
ce qui montre que les différences c — y et C — ^ sont de
même signe. On voit aussi, par les formules (4)) que, si ces
différences sont positives, les angles A et B sont tous deux infé-
rieurs ou tous deux supérieurs à 90 degrés, tandis que, sic — <p
et C — ^ sont négatives, les angles A et B sont, Tun inférieur,
l'autre supérieur à 90 degrés. D'après cela, les valeurs de
B, C, c qui doivent être associées seront
siA^QO*»,
Bz=i8o«-M, c=:(pH-N, C = ^I; + P, ) .,^
5 SlA>>QO°,
B = M, c = ^ — N, C = r|/ — P, ) ^^
et chacune de ces deux combinaisons répondra certainement à
un triangle, à moins que la valeur de c ou de C qui y figure
ne soit pas comprise entre zéro et 180 degrés.
Si Ton divise la première et la deuxième équation (4) res-
pectivement par la première et la deuxième équation (3), on
trouvera, en ayant égard aux équations {2) et à la première
équation (i),
(5) tang(c — y) = tangacosB, tang(C — +) = ?
d'où
(6) tang(<? — ç) = sinôsinAtang(C — ^).
Lorsqu'on a besoin de calculer les trois éléments inconnus.
l86 TRAITfi DE TRIGONOMfiTRIB.
et que l'on a obtenu B par la première formule (i), on peut
employer avec avantage les formules (5) et (6) pour achever
la résolution du triangle; celles-ci exigent effectivement un
logarithme de moins que les formules (3), et elles déterminent
les différences c — cp, C — ^ par leurs tangentes. Pour le cal-
cul, il est permis de regarder ces diflférences comme positives,
c'est-à-dire comme égales à -|-N et à -j-P respectivement;
mais alors, si Ton prend pour B la valeur M, il faut avoir soin
de changer les signes des seconds membres des formules (5),
quand l'angle A est si^érieur à 90 degrés.
152. On procédera exactement de la même manière, si les
données sont A, B, a. Les formules qui déterminent les incon-
nues sont ici
. . sinBsina
sinb = — : — - — 9
smA
' ' cosA = — cosBcosC 4- sinBsinCcosa,
cota sine — cotA sinB == cosc cosB.
La première formule est calculable par logarithmes; pour
trouver C et c, on calculera deux angles auxiliaires \p^ cp com-
pris entre zéro et 180 degrés, et tels que l'on ait
(2j tang^p = — tangBcosa, tangy=: -•,
les deux dernières formules (i) deviendront alors '
/o\ /^ tx cosAcos>I/ , . A «
(3) cos(C — y) = R-^ ' cos(c — if)= — cotAtangBcosç.
Si la condition
sinBsina _
— =~1 — <'
smA
est satisfaite, la valeur précédente de sinA sera inférieure à i ;
pareillement, les valeurs de cos (C — ^) et de cos (c — y) se-
ront comprises entre '• — i et -f- 1 5 les Tables feront donc con-
naître une valeur M de J comprise entre zéro et 90 degrés, ainsi
que des valeurs N et P de c — 9 et C — ip, comprises entre zéro
CHAPITRS QUATRIÈME* 187
et 180 degrés; mais on satisfera aussi aux équations en pre-
nant * = iSo** — M, C — ^Ji = — P, c — <j) == — M. L'intro*
duction des angles (fi et f dans les formules
cotb sin« — cotB sinC = cosa cosG,
cos^ = cosa cosc -h sina sine ces B
donne
ff^'fn f \ • » tang« . . cosô
(4) sm(C — v)= — sinJ» — 2^, smfc — ?] = — sm© ;
^^' ^ ^' ^ tang^ ^ ^ cosa
il s'ensuit que les différences C — ^ et c — 9 sont de même
signe ^ on voit aussi que, si ces différences sont négatives, les
côtés aetb sont l'un et l'autre inférieurs à 90 degrés ou supé-
rieurs à 90 degrés; tandis que, sic — yetC — ^ sont positives,
les côtés a et b sont l'un inférieur, l'autre supérieur à 90 de-
grés. D'après cela, les valeurs de i, C, c qui doivent être asso*
ciées seront
> SI û>.qo%
et
^» = i8ô«— M, C=r^p-+-P, c = a>-f-N, 1 .
[ SI û<rQo**.
Chacune de ces deux solutions cesse d'exister, si la valeur
de C ou de c qui lui correspond n'est pas comprise entre zéro
et 180 degrés.
Des formules (3) et (4) on tire
(5) tang(C — ^p)i=: — tangAcos^ tang(c — ç) izz — — ^
et
(6) tang(C — ip) = sinasinB tang(c — <f),
formules qui faciliteront la résolution du triangle quand le
côté b aura été déterminé.
Toutes ces formules sont semblables à celles que nous avons
bbtenues au numéro précédent. On passe des unes aux autres
en remplaçant a, 6, c, A, B, C, 9, ^ par les suppléments de
l88 TRAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.
À, B, C, a, i, c, <p, f ^ et, en effet, nous n'avons fait autre
chose ici que résoudre le triangle supplémentaire de celui
dont nous nous sommes occupé au n^ 151 .
153. Quatrième méthode. — L'introduction des angles
auxiliaires (f et i)/, dont nous avons fait usage dans la méthode
précédente, équivaut à la décomposition du triangle ABC en
deux triangles rectangles ou en deux triangles rectilatères
par le moyen d*un arc de grand cercle CD {Jig- 3i), mené du
sommet C au côté opposé AB. En effet, si Tare CD fait un angle
droit avec le côté AB, le triangle rectangle ACD donne
tang AD =: tang b ces A, cet ACD = cos b tang A ;
si, au contraire, Tare CD est mené dé manière que sa longueur
soit égale à un quadrant, le triangle BCD sera rectiligne, et
il donnera
_^ cota ^^^ ^
tangBD = ? tang BCD = — tangB cosa,
d'où il suit que les angles désignés par y et ^J^ au n? 151 sont
respectivement égaux à AD et ACD, tandis que les angles dé-
signés par les mêmes lettres 9 et t{f au n° 152 sont respective-
ment BD et BCD.
La méthode fondée sur la décomposition du triangle pro-
posé en deux triangles rectangles ou rectilatères, et dont nous
voulons nous occuper ici, ne diflSre donc pas au fond de celle
que nous venons de développer^ mais il convient de remarquer
qu'on peut éviter l'emploi des sinus et des cosinus dans le
calcul des éléments inconnus.
Supposons, en effet, le cas où les éléments donnés sont a,
CHAPITRE QUATRIÈMB. 189
b^ A. Désignons par la perpendiculaire CD abaissée de C
sur AB, on résoudra le triangle rectangle ACD par le moyen
des formules
i tangf = tang^ cosA, 0014* = cosô tangA,
( tangO = sinf tangA == cos^^ tang^,
après quoi le triangle rectangle BCD, dans lequel on connaît
l'hypoténuse a et le côté 6, fera connaître les trois éléments
CBD = B ou i8o« — B, BD = dt(c — y), BCa)=r±(C — +);
on peut appliquer à la résolution du triangle BCD le deuxième
système de formules qui conviennent au premier cas des
triangles rectangles, et Ton aura ainsi, à cause de Pindétermi-
nation du signe des différences c — f , C — ^.
tang(45»-l-lBU±v/ r^^!^^;!
^y 2 y V tangi(a — e)
(2) { tangi(c — tp)=:±:i/tang^(a — 0)tangi{aH-e),
12 Y 2 2
^ t^^ t \ _j_ - /sin(« — 0)
tang-(C — +) = lt \/-r-) ;r^-
^2 ^ ^' V sm(a-i-O)
Pour avoir les formules analogues qui conviennent au cas
où les données sont A, B, a, il suffit de remplacer, dans les
formules (i) et (2), A, B, C, a, i, c, 9, ij/, Q par les supplé-
ments de a, 6, c, A, B, C, i{/, cp, 6 respectivement.
La solution fournie par cette dernière méthode est évidem-
ment moins simple que la précédente.
1S4. ExBHPLE. — On donne les côtés a, b et l'angle A,
opposé au premier côté, sav^oir :
û = ii3« 2'56^64,
b= 82*» 39' 28", 4o,
A =116** 20' 2^,20,
et l'on demande de calculer les angles B, C et le côté c.
190
TKAITfi BB TMGONOHtTUB
TYPE DU CALCUL.
Calcul de Vangle B.
sinB =
sinésinA
sina
B
iog sin^ î,9ô64a45
— logsina o,o36i32o
logsinA ï,9524i64
JogsinB 1,98497^9
i 75* o'5i',6o = M
OdcHi de rangle C.
I cotA ^ ootM
Cûsa
C = 4i=irP.
log ~ col A 1,6945773
— lOgOQsA 0,8934910
Calcul du côté c.
taQSf=tang^oosA?=si]i&8iiiAtaDg4,
UngN = siii^sin A tangP,
ïogsiii* î,9964îM5
logsÎBA 1,9524164
logr-lwig} o,588o683 JoS— tongt^ o,588o683
* io4*a8'3e»,44 log-tangy 0,5369092
ki^-eolM 1,4^76177 y io 6Mi'47'.85
— lo^r— co&4i. 0407^68 , . ,
z— ^ .logsui^ 1,9964245
K>^lwi§:P «,«^«4>IIo§aiiA 1,9524164
F îrit'37».i5'^^*»«§ï* Ï,fâ4««5
*^^ .i^P S 7^* 6'V 19
^^ \ ii^5iViS\t>9i
loc
î,7«57o54
N Îi*i/i6',79
_ ^x * 7r54'3i',o6
Première Si>imtiom :
t=75^o5r>eo. C=7op6 39\i9. c= 74*54' 3l^o6.
1=1^4*5^1' S\40^ C=i39»Mir.(^ c=i35*a^ 4^^,64.
CHAPITRE QUATRIÈVB. I9I
Discussion des cas qui peui^ent admettre deux solutions.
155. Les deux derniers cas des triangles sphériques sont les
seuls qui puissent admettre deux solutions, et encore ils ne les
admettent pas toujours. Les formules qui se rapportent à ces
deux cas font connaître le nombre des solutions et elles dé-
terminent sans ambiguïté les éléments de chacune d'elles \ il
n'est pas cependant sans intérêt d'étudier les diverses cir-
constances de ces deux problèmes ; mais, parce qu'ils se ra-
mènent immédiatement l'un à l'autre, ainsi que nous l'avonâ
déjà dit, nous nous bornerons à présenter ici la discussion
du cas où l'on donne deux côtés a, 6, et l'angle opposé à
l'un d'eux.
Si a = i , on a aussi A = B , et les formules de Néper
donnent
cot-Ci= tangAcosa, tang- c=r tangacosA.
Pour que le problème soit possible, il faut et il suffit que
tangA et cosa, cosA et tanga aient le même signe, c'est-à-
dire que A et a soient tous deux inférieurs ou tous deux supé-
rieurs à 90 degrés. 11 n'y a qu'une seule solution.
Passons au cas général. Il faut, pour que le problème soit
.,1 sin^sinA . . •, . ^ •.. .
possible, que — : soit moindre que i \ si cette condition
est remplie, il y a deux valeurs de B qui satisfont à l'équa-
. T» sin^.sinA 1, «* i . ^ ,
tion sinB == — : : 1 une M est plus petite que 90 degrés,
l'autre M' est égale à 180 — M.
Pour que l'une de ces valeurs de B réponde à la question,
il faut et il suffit (n° 149) que A — B et a — b aient le même
signe. Ainsi la condition pour que M réponde à la question est
que A — M soit de même signe que a — b\ de même, la con-
dition pour que M' y réponde est que A — M' soit de même
signe que a — b,
I ^ Supposons A <[ 90^ et i <[ 90°.
ig2 TRAITfi DB TRIGONOMÉTRIB.
Si a est <^ A, la formule sinB = — -. donne M ^ A,
' sina ^
et, à plus forte raison, M' ^ A^ il y a donc deux solutions.
Si a est > i, on peut avoir
û-4-^»<i8o«, a-|-ft = I8o^ a-f-^>i8o'».
Dans le premier cas, on a i <^ i8o** — a^ sini <^ sina; alors
M est <^ A ; mais. M' étant >• A, il n'y a qu'une seule solution.
Dans le cas de a -+- i = 1 80**, on a i = 1 80^ — a, sin A := sina-,
alors M = A et M' > A; il n'y a donc aucune solution. Dans
le cas de a-i-J]>i8o°, on a i>i8o° — a, sini^-sina*,
alors M est ]>A, et, à plus forte raison, M'^A^ il n'y a
donc aucune solution.
2** Supposons A <^ 90° et i = 90®.
La formule B = — r-^^ donne encore M *> A, et, par
sma ^ ^ ' *
suite, M' ^ A, à moins que l'on n'ait a = 90®, auquel cas on
a M = A. 11 y a donc deux solutions si a est <^ 90**, et il n'y
en a aucune si a = ou ^ 90°.
3** Supposons A <] 90** et A >• 90°.
Si a est <^ J, on peut avoir
a-+-B<i8o^^ a H- 6 = 180°, <z-i- ^»>i8o«.
Dans le premier cas, on a A <^ 180^ — a, sinA > sina : alors
M est > A, et, à plus forte raison. M' est > A 5 il y a donc
deux solutions. Dans le cas de a -4- A = 1 80°, on a A == 1 80 — «,
sinA = sina: alors M = A, M'>A; il n'y a donc qu'une
solution. Dans le cas de a-j- A>i8o**, on a A>i8o° — a,
sinA<^sina : alors M est <^ A 5 mais comme M' est > A, il y
a encore une solution.
Si a est ]> A, on a sin <^ sinA, puisque a et A sont obtus :
alors on a M]> A, et, à plus forte raison, ]V1'> A5 il n'y a
donc aucune solution.
Les hypothèses A = 90^ et A >• 90** se discutent de la même
manière ; on peut comprendre tous les résultats dans le tableau
suivant :
CHAPITRE QUATRIÈME. IqS
£i<^b deux solutions,
,a^:b une solution,
a<^b ei a-\- b<i loo® une solution,
a^b et a -^ b zz^oxx'^' 180". aucune solution;
A <rQO' / , ( a <" ^ deux solutions.
^ 6 = 90^ I
( a = ou > 6 aucune solution ;
ia<C^b et tf-4-^< i8o** deux solutions,
b > 90* <a<^b et aH-^=rou> iBo' . une solution,
fl = ou > 6 aucune solution ;
/ taz=^bo\x<^b aucune solution,
6 <90** \a^b eta-h6< 180" une solution,
a'^b eta-f-6r=ou> 180". aucune solution;
az=zb une infinité de
A = 90° {b=: 90® \ solutions,
a<Cb oxx'^b aucune solution ;
a<Cb et a -^b =zo\x -< i8o*. aucune solution,
^ > 90* {a<^^ eta-4-6>i 80" une solution,
a=i ou."^ b aucune solution ;
/ I a = ou < ^ aucune solution,
6 <90** la^b et «4-6 = ou <^ 180®. une solution,
[a>6eta-i-6>.i 80® deux solutions ;
! az=z OM <^b aucune solution,
a> b deux solutions;
a<^b et tf-l-è = ou< 180". aucune solution,
a<ib eta4-^>> i8o* une solution,
' fl =r 6 une solution,
'^ a^ 6. . . ^ deux solutions.
Problèmes de Trigonométrie sphérique,
156. Problème I. — Calculer le volume d'un parallélépi-
pède obliqua, connaissant les longueurs des arêtes et les
angles que ces arêtes font entre elles.
Soient a, 6, y les trois arêtes qui aboutissent à l'un des
Tng. s. i3
194 TRAITÉ DB TRIGONOHÉTBIB*
sommets du parallélépipède. De ce sommet comme centre, avec
un rayon égal à Tunité, décrivons une spbère, qui coupera les
faces déterminées par les arêtes 6 et y, y et a, a et 6 suivant un
triangle sphérique. Les côtés a, J, c de ce triangle seront pré-
cisément les angles plans donnés de l'angle trièdre, qui a pour
sommet le centre de la sphère, et les angles A, B, C seront
égaux aux angles dièdres du même angle trièdre.
La base du parallélépipède a pour mesure a6 sinc^ si donc
H désigne sa hauteur, le volume demandé V sera
VrrraSsincX H.
Mais si, par le sommet d'où la hauteur H est abaissée, on mène
une perpendiculaire H' sur Tarête a et que l'on joigne le pied
de H' à celui de H, celte dernière droite fera avec H' un angle
égal à A, et l'on aura, par des triangles rectangles,
H'r^ysin^, H = H'sinA =7 sinèsinA;
par conséquent,
V ^ aêy ûïib sine sin A.
Or, si l'on fait a-\'b-^c=^ 2/?, on a ( H9)
. I /sinf^
' p — 6)sin(0 — c)
Sin - A rrr \ / 1- . / . '^ 'j
smosmc
!à y su
sin f p — a)
cos ' — ■ ' ' '
sin 6 sine
et, par conséquent,
sinA = -:^ — -r—' — vsinp sin » — a) %mip — b) sm(p — c);
sin6sinc » « -■ > .-* / \^
donc
V = ax€7^&in/»sin /? — a) ûn:p — à)sm[p — e);
on peut écrire aussi (HO)
V =r «fiy ^ 1 — COS'ii — COS^^ — COS*C -h a COSil GO&b cosc.
RsMABQrc. — Si Vojk prend le sixième de cette expression
on aura le volume d'un tétraèdre en fonction de trois arêtes
contigues «, S, 7 et des angles a, hj c, que ces arêtes fcnl entre
7
CHAPITRE QUATEIËHB. IqS
elles. De là on peut déduire très-aisément l'expression du vo-
lume d'un tétraèdre en fonction de ses six arêtes.
157. Problème IL — Réduire un angle à l'horizon.
Supposons qu'un observateur placé au point O (fig» Sa) ait
mesuré les angles formés avec la verticale 00' par les rayons
Fîg. 3a.
visuels OPet OQ dirigés vers deux points fixes P et Q, et qu'il
ait mesuré aussi l'angle POQ formé par ces rayons visuels -,
on demande de trouver l'angle P'O'Q' qui est la projection de
POQ sur le plan horizontal.
Si l'on imagine une sphère décrite du point O comme centre,
avec Tunité pour rayon, elle sera coupée par les trois faces de
l'angle trièdre en O, suivant un triangle sphérique ABC, dont
les côtés seront précisément les angles observés ; tandis que
l'angle P'O'Q' qu'il faut trouver est égal à l'angle C de ce
triangle sphérique. On est ainsi ramené à l'un des cas des trian-
gles sphériques dont nous avons donné la solution au n** 142.
158. Problème III. — Etant données les latitudes et les
longitudes de deux points de la surface de la Terre, troui^er
la distance de ces deux points*
Soient (Jig. 33) P le pôle boréal, P' le pôle austral, EGE'
Téquateur et G le point de ce cercle à partir duquel se comptent
les longitudes. Supposons que GE soit le sens des longitudes
orientales, et GE' celui des longitudes occidentales. Soient
PACP' et PBDP' les méridiens qui passent par les deux
points donnés, dont on connaît les latitudes AC, BD, et les
longitudes GC, GDj soit enfin AB l'arc de grand cercle qui
i3.
ig6 TBÀlTÉ DE TAIGONOHÊTUB*
joint les points A et B. Dans le triangle sphéricpie PAB, on
connaît Tangle P et les deux côtés qui comprennent cet angle.
En effet, Tangle P est égal à la différence des longitudes don-
nées, lorsque celles-ci sont toutes deux orientales ou occiden-
tales^ et le même angle P est égal à la somme des longitudes
données ou au complément de cette somme à 36o degrés, lors-
que Tune des longitudes est orientale et que l'autre est occi-
dentale. En outre, le côté PA est égal à 90° — ou + la latitude
du point A, suivant que cette dernière est boréale ou australe 5
et, de même, le côté PB est égal à 90° — ou -i- la latitude du
point B.
Convenons que les longitudes soient positives ou négatives
suivant qu'elles seront orientales ou occidentales, et pareille-
ment que les latitudes soient positives ou négatives suivant
qu'elles seront boréales ou australes. Si l'on désigne par L et
L' les longitudes des points A et B, par X et A' les latitudes des
mêmes points, on pourra (146 et 147) calculer le côté AB = x
par l'une ou l'autre des deux formules
sin^sinfV-h ®) . i , sin-^f^ — V)
cosa:= ^ —9 sin-x=zdz — ' •
COS(P 2 C0S6>
Quand on fait usage de la première formule, il faut calculer
préalablement l'angle auxiliaire (f par la formule
tangf = cotX cos( L' — L) ;
si l'on veut au contraire employer l'angle «, on le calculera
par la formule
_, sini(L — L') y -y
CHAPITRB QUAT<lIB. I97
Supposons l'angle x évalué en degrés, la demi-circonférence
d'un méridien terrestre étant égale à ao ooo kilomètres \ on
aura, pour la longueur de A6 en kilomètres,
AB=: - X 1000.
9
159. Exemple. — On demande la distance de Saint-Pé-
tersbourg a Valparaiso, sachant que Von a :
Pour Saint-Pétersbourg (Observatoire)^
lat. sept. =r X = Sg* 56' So", long, orient. = L = 27*58' 1 3^ ;
Pour Kalparaiso [F. S. Ant.)^
lat. aust. = V=rr — 33*»i'55', long. occid. = L'=:— 73*>57'22".
Calcul de l'angle auxiliaire f .
tang<p== cotXco8(L'— L).
logcotX T, 7624^99
log — cos(L'— L)... ï,3i5a455
log — tangy 1,0777054
i8o° — <p 6"49'ii*
Calcul de la distance x.
sinXsm(V-+-®)
cosj:= —'
COS<p
logsinX 1,937^751
log8in(X'-+-ç) 1,8067240
— log — cos<p o,oo3o837
iog — cosx 1,7470828
^ ^ 123» 5/27"
13773 kilom.
QUESTIONS PROPOSÉES.
«
I. Démontrer que, si Ton joint les sommets d'un triangle sphériquc avec
les milieux des côtés opposés par des arcs de grand cercle, ces arcs se
couperont en un même point 0. Si a désigne Tare qui joint le sommet A
au milieu du coté a et que a' et a." soient les parties de a comprises, la
première entre le sommet A et le point 0, la deuxième entre le point
et le côté a, on a
cosUb -h c) cosiib — c) sina
COSa = ^ -^ — ?-i ' î
cost«
sma
„ = 2C0Sy«.
n. Démontrer que les grands cercles menés par les sommets d'un
triangle sphérique perpendiculairement aux côtés opposés se coupent aux
deux mêmes points. Trouver les longueurs des arcs compris entre un de
198 TRAITÉ DB TRlGONOMfiTMB.
leurs points d'intersection et les sommets, ou entre les soimnets et es
côtés opposés.
UI. Résoudre un triangle sphérique rectangle, connaissant l'hypoténuse
et le rayon du cercle inscrit.
IV. Résoudre un triangle sphérique, connaissant un angle, le celé op-
posé et la somme ou la différence des deux autres côtés.
y. Résoudre un triangle sphérique, connaissant un angle, Tun des côtés
qui comprennent cet angle et la somme ou la différence des deux autres
côtés.
YI. Si, dans un triangle sphérique, on a
sinA sinR sinC
siua sinô sine
= I
deux des trois côtés sont respectivement égaux aux angles opposés , tan-
dis que le troisième côté est le supplément de l'angle opposé; en ou tre,
la tangente de Tun des arcs 45* -+- ^a, 45* -+- i^, 45* -+- 7<? est égale au
produit des tangentes des deux autres arcs. On propose de démontrer ces
résultats et de résoudre le triangle lorsqu'on connaît deux côtés, ou un
côté et la somme des deux autres , ou enfin un côté et la différence des
deux autres côtés.
yn. Résoudre un triangle sphérique, connaissant les sommes obtenues
en ajoutant chaque angle avec le côté qui lui est opposé. Si Ton fait, pour
abréger,
A -+-«= 180* -4- aa, B-h^= 180'' h- 26, C -h c = 180° -f- 27
et
a-Hê-h7 = 2«r,
puis que l'on détermine un angle auxiliaire ^ compris entre zéro et
1 80 degrés par la formule
■4- 2 l/cOS w COS ( w — a ) COS ( or — 6 ) COS { w — 7 )
tang<p = i~r '-r-zA ^ y
^^ sinasmbsm^
on pourra calculer ensuite les différences A — a, B — ^, C — c par les
formules
tang|(A — flf) == cotacos^,
tang{(B ~ b) = cotêcosy,
tang|(C — c) = cot7 cosy.
CHAPITRE GINQUlfeMS. 199
CHAPITRE Y.
COMPLÉMENT DE LA THÉORIE DES FONCTIONS CffiCULAIRES.
Des expressions imaginaires^
160. Conformément à Tusage adopté, nous représenterons
par i l'imaginaire ^ — i , et nous appellerons expression ima-
ginaire toute expression de la forme
A-î-Bi,
ou A et B sont des quantités réelles, positives, nulles ou né-
gatives.
Quand nous saurons d'avance que deux quantités réelles
A' et B' sont respectivement égales à deux autres A et B, nous
dirons que les expressions A -f- Bi et A'-f- B'i sont égales.
H est évident que si Ton a plusieurs égalités de la forme
Ah-B/ — A'-hB'i,
et qu'on les multiplie membre à membre, en opérant comme
si i était une quantité réelle, on obtiendra une égalité dans la-
quelle les coefficients des mêmes puissances de i seront égaux ;
Végalîté subsistera donc quand on rabaissera les exposants
de i au-dessous de 2, en faisant usage de Téquation i* = — i .
Quelle que soit l'expression imaginaire A-l-Bi, on peut
toujours trouver une quantité positii^e p et un arc a tels, que
l'on ait
A==pcosfl, B^r. psina.
En effet, il suflSt de prendre
p = -4- \/A^ -h B',
puis
A B
cosa z= ) sm « =
-h v/A' -t- B* -+■ v/A» -f- B-'
200 TRAITÉ BB TRlGONOHiTRlB.
par conséquent, on peut écrire
A -*- B/ = p cosa -h ip sma
ou, si Ton veut,
A -h B/=rp(cosa -h isma).
Quand une expression imaginaire est ainsi ramenée à la
forme p (cosa + z sina), la quantité positive p est dite son
module; Tare a est son argument.
Le module d*une expression imaginaire donnée est déter-
miné, mais Targument ne Test pas entièrement -, car une ex-
pression imaginaire ne change pas quand on ajoute à son ar-
gument ou qu'on en retranche un nombre quelconque de
circonférences .
Les quantités positives et négatives peuvent être considé-
rées comme des expressions imaginaires dont le module est
égal à leur valeur absolue et dont l'argument est un nombre
pair ou impair de demi-circonférences ; car, soit A un nombre
positif, on a, quel que soit l'entier A*,
-I- A = A (cos2 Âv -4- / sin2 /tt),
— A = A[cos(aA* -+- i)tc ■+- /sin(2/' -+- i)ir].
Pour que deux expressions imaginaires soient égales, il faut
et il suffit que leurs modules soient égaux, et que leurs ar-
guments diilerent d'un multiple de la circonférence. Sup-
posons, en effet, que les expressions p(cosa -h isina) et
p'(cosa'-h isina'j soient égales^ on a
p cosa =1 p' cosa', p sina = p' sina',
et, si l'on ajoute ces équations après les avoir élevées au carré,
il viendra
p'=p'^, d'où p = p';
les modules étant égaux, les arcs a et a' ont même sinus et
même cosinus : donc ils ne peuvent différer, s'ils sont inégaux,
que par un multiple de la circonférence.
Les arguments de deux expressions imaginaires conjuguées,
telles que A -f- Bi et A — Bi, ont même cosinus, tandis que
CHAFITRB CIKQUMR* 20I
leurs sinus sont égaux et de signe contraire^ la somme de
ces arguments est donc égale à un multiple de la circonfé-
rence.
Opérations sur les expressions imaginaires. — Formule
de Moi^re pour un exposant entier et positif.
161 . Théorème. — Le produit de deux expressions imagi-
naires est une expression imaginaire dont le module et l'ar-
gument sont respectivfement le produit des modules et la
somme des arguments des facteurs.
Considérons d'abord deux expressions imaginaires
cosa + / sina et ces 6 + / sin^
ayant l'unité pour module. Si l'on effectue leur produit, il
viendra
[cosa -f- /sina) (cosô -4- iaïnb)
^=. cosa cosb H- i (sina cos^ 4- cosû sine) -h /' sina sine,
ou, à cause de i * = — i ,
(cosa H- / aina) (cos b -h i sin b)
= (cosa cosb — sinasin^) H- i (sina cos^ -h cosa sinft).
Or nous savons que l'on a
cosa cos 6 — siaa sin6 .-= cos(a -f- ^),
sinacosé -+- cosasin^ = sin(a -H 6);
on peut donc écrire
(cosa H- isina) (cosô -h /sin 6) = cos(a -h b) -h /sin(a -f- b).
Soient maintenant p (cos a -{- i sin a), p' (cos J + i sini) deux
expressions imaginaires ayant respectivement pour modules p
et p'-^ on a
p (cosa -*- i sina) X p' (cos 6 -h / sine)
= pp' X (cosa -h / sina) [cosb -f- / sin^),
a02 TRAITÉ J>B TRIGONOHAT&IB.
el, par conséquent,
p [cosa -4- / sina) X p' {cosb -+- i sinô)
= pp' [cos(fl 4- ô) -h /sîn(a -I- b)].
Corollaire I. — Le quotient de deux expressions imagi-
naires est une expression imaginaire dont le module et l'ar-
gument sont respectivement le quotient des modules et la
dijfférence des arguments du dividende et du dii^iseur.
Car, soient les deux expressions
p(cosfl -h /sina) et p'(cos^ 4- /sin6);
on a
^ [cos(a — ^) -f- / sin (a — b)] X p' (cos^ H- / sin b) = p (cos/i -f- /sin a) ,
d'où
p(cosfl-f-/sLna) p . ,\ , . - / .m
p'{cosb'^ isinb) p
Corollaire IL — Le module et l'argument du produit de
tant d'expressions imaginaires que l'on voudra sont égaux
respectiv^ement au produit des modules et à la somme des ar-
guments des facteurs .
En effet, pour multiplier les deux premiers facteurs, on
multiplie leurs modules et Ton ajoute leurs arguments. Pour
multiplier ce produit par le troisième facteur, il faut multi-
plier son module par celui du troisième facteur, et ajouter à
son argument celui de ce troisième facteur, et ainsi de suite.
Corollaire III. — Pour élev^er une expression imaginaire
à une puissance entière et positi^^e de degré m, il faut élever
le module à la puissance m, et multiplier V argument par m.
Cela résulte immédiatement du corollaire II, en supposant
égales entre elles toutes les expressions imaginaires que l'on y
considère.
Soit, en particulier, cosa+isina une expression imagi-
CHÀFlTftl CIKQUftaB. 2o3
naire de modale i ^ on a
(ces a •+- i sïna)^ = cos ma -4- i sinma.
C'est dans cette égalité que consiste la formule de Moivre.
162. Théorème. — Le module de la somme de deux e.r-
pressions imaginaires est compris entre la somme et la dij^é-
rence des modules des parties.
En effet, soient les deux expressions imaginaires
p(cos<i H- /sin/i), p'(cosa' H- /sina'),
et posons
♦R(cosA-|- /sinA)=:p(cosix 4- /sina)-4- p'(cosû'-f- /sina');
on aura
RcosA = pcosa H-p'cosa',
R sia A = p sina -+- p' sina'.
Si l'on ajoute ces égalités après les avoir élevées au carré , et
que l'on extraye la racine carrée des deux membres de l'égalité
résultante, il viendra
R=r \/p*-f- 2pp'c0s(«— - a' ) -Hp''-';
on a donc
R<\/(T^+yf ou <p-f-p',
On déduit de là cette proposition plus générale :
Corollaire. — Le module de la somme d'un nombre quel-
conque d'expressions imaginaires ne peut surpasser la somme
des modules de ces expressions.
Multiplication des arcs.
163. La formule de Moivre donne immédiatement les va-
leurs de cos ma et de sinma, en fonction de cos a et de sina.
Si, en effet, on développe le second membre de l'égalité
cosma 4- iàsïma = (cosiz -f- / sina)",
lo4 TAÂlTt DE TRIGOHOIÉTIIB.
en ayant soin de rabaisser les exposants de i au-dessous de 2,
au moyen de l'équation i * = — i , il viendra
oosma -4- / sinma
rmfm — i) ...
cos^a î cos*~*û sin'fl
■
1.2
H ■ ^— -—/^ cosr-*a sm*a — ... 1
1.2.3.4 J
[r
m
-+- n — <îOs"~'«sma ^
I .2.3
in, . . (m — ■ 4)
^ ^' ces"
(m — i)(in — 2) .
^ *-^ cos*~*a sin*a
'-*û sin-a — . . I ;
1.2.3.4.5
on a donc
m(m — 1) , . ,
cosma = cos^a cosr-~*a suara
1 .2
m{m — i)(m — 2) fm — 3) . . ,
I .2.3.4
m(m — i)(in — 2-) , . _
smma = m coS*~"*a sina ^^ —^ ~ coer~^a svara
1.2.3
mm — i)....'m — /i)
H _ , ^ oosr^*a sin*a — ....
I .2.5.4.5
Ces formules donnent les valeurs de cosirui et de sinma en
fonction de cosa et de sina. En remplaçant successivement
sina par ^1 — cos^a et cosa par ^1 — sin'a, on obtiendrait
les expressions de cosma et sinma en fonction de cosa ou de
sina seulement ; nous ferons connaître plus loin ces expres-
sions, et nous nous bornerons ici à une remarque essentielle.
Les termes des seconds membres des équations (i) sont tous
du degré m par rapport à sina et cosa; la première de ces
équations ne contient que des puissances paires de sina et que
des puissances paires ou impaires de cosa, suivant que m est
pair ou inipair. La seconde équation, au contraire, ne contient
que des puissances impaires de sina, et que des puissances
impaires ou paires de cosa, suivant que m est pair ou impair.
On peut conclure de là :
1^ Que cosir<a et — = sont e3nparimables^ en fonction de
^ sui«i '^
GHAPRRB CIlfQDlftMB. 2o5
cosa, par des polynômes entiers et rationnels, le premier du
degré m, le second du degré m — i , et dont tous les termes
ont des degrés de même parité ;
^ ^-^ sin/na . . . cos/na
2° Oue cosma et > si m est pair, ou sm/Tui et »
^ cosû ^ cosa
si m est impair, sont exprimables, en fonctioo de sina, par
des polynômes entiers et rationnels, le premier du degré m,
le second du degré m — i , et dont tous les termes ont des de-
grés de même parité.
Si, dans la formule
cosma -f- isvama z= (cosa H- «sina)",
on change a en — a, il vient
cosma — isinma = {cosa — isina)"';
et l'on tire des deux éq[uations précédentes
S (cosa -1- isina)" -»- (cosa — /sîna^"
cosma = ?
^ ' 1 . (cosa -{- rsina)"* — (cosa — isinaY
f smma=i^ —*^
\ 21
il est souvent utile de prendre sous cette forme les valeurs de
cosma et de sinma.
En divisant la seconde des équations (i) par la première, il
vient
. /»(/«— l)f/7î— -2) „ . . , ,
/«cos^^'asma ^ ^—r cos^^'sm^a -+-...
8111 ma T . 2 . 3
cosma m(m — i) . . .
cos'"a cos'"""*a sxira -f- . . .
1.2
sin a m (m — i)(/w — 2)sîn'a
m i\- ■' — — + . . .
cosa 1.2.3 cos*a
m (m — i)8in'a
1 . ; h . . •
1.2 cos'a
ou
. //l(/W — l)(/W — 2) . .
mtanga ^ '-^ -' tang'a+ . . .
^' ^ /w(w— i), , w(w— i)(/w— a) w— 3) ^ ,
I -'tang'aH — '^ ^ ; tangua—...
i.a ^ i.a.3.4
206 TRAITÉ DB TRIGOlfOllfiTRlE.
formule qui fait connaître tangma en fonction rationnelle de
tanga.
Dwision des arcs,
164. Supposons d'abord que l'on demande de trouver
cos — = x, connaissant cosa = A,
m
Si dans la première des équations (i) du n° 163 on change a
en —> et que Ion remplace ensuite cos — j sm — » et cos a
m * ' mm
par X, y/i — a* et A, on obtiendra une équation de la forme
(l) /(a:)-A = o,
ovif^x) désigne un polynôme du degré m dont tous les termes
ont des degrés de même parité. Le problème dépend donc
d'une équation de degré m \ c'est ce qu'on peut étdîlir a priori»
Soit a l'un quelconque des arcs qui ont A pour cosinus ; les
valeurs de a seront comprises dans la formule aArTC d= or, et l'on
satisfera à l'équation (i) en prenant pour x le cosinus de l'un
quelconque des arcs
— 9 9
m m m m
OÙ h désigne toujours un entier indéterminé. Si l'on donne à
/t, dans l'une de ces formules, deux valeurs qui diffèrent d'un
multiple de /w, on obtient deux arcs qui diffèrent d'un mul-
tiple de la circonférence et qui ont par conséquent le même
cosinus 5 il suffit donc de donner k k^ m valeurs consécutives
quelconques o, i, a,..-, m — i par exemple. Il est même
inutile de considérer les deux formules, car si Ton donne à k
une certaine valeur A' dans la première formule, et la valeur
m — k' dans la seconde, on obtient deux arcs dont la somme
est égale à 27r, et qui ont, par suite, le même cosinus. D'après
cela, l'inconnue x n'est susceptible que de m valeurs qui sont
généralement distinctes; ces, valeurs sont celles des cosinus
des m arcs
« 29r a
-> 1--»
m m m
4^ , a
2(/w — l)n a.
-=— H »•
• •>
m m
m m
CIÂPITRB CIHQUlftlIB. 207
II oonTient de remarquer que, si mest un nombre composé np^
la résolution de l'équation (i), qui est du degré m, se ramène
immédiatement à la résolution de deux équations, l'une du
degré n et l'autre du degré p. Si, en effet, on pose cos - = j^,
on aura, pour déterminer x^ ufte équation de degré p telle
que
Y étant donné pour une équation de degré n,
0(7) — A = 0.
L'équation (i) résulterait d'ailleurs de l'élimination àe j
entre ces deux dernières. De même, si n était un nombre com-
posé ^r, la résolution de l'équatîon xs (j) — - A = o se ramè-
nerait à celle de deux équations des degrés ^ et r ; et ainsi de
suite.
165. Supposons, en deuxième lieu, que l'on demande de
trouver sm - = j:, connaissant sma = A.
m '
Si dans la deuxième des équations ( i ) du n^ 1 63 on change a en
— > et que l'on remplace ensuite sin -» cos - et sina par x,
\j i — x^ et A, on obtiendra, si m est impair, une équation de
la forme
/(4:)-A = o,
f[x) désignant un polynôme entier et rationnel du degré m
dont tous les termes sont de degrés impairs^ on voit que le
problème dépend d'une équation de degré m. Mais si m est
pair.) on obtient une équation de la forme
o\xf[x) désigne un polynôme de degré m — i dont tous les
termes sont de degrés impairs. En élevant au carré les deux
membres, il vient
(l— x»)/(;r)-'~A'==0;
108 TIAITÉ DB TftIGOROMÉTIIB.
on voit que le problème dépend d'une équation de degré 2 m.
A la vérité, cette équation peut être abaissée au degré m en
posant x^ => \^ parce qu'elle ne contient que des puissances
paires de x.
On arrive aux mêmes conséquences par les considérations
dont nous avons déjà fait usage. Si l'on désigne par cl le plus
petit arc positif ayant A pour sinus, et par h un entier indé-
terminé, les valeurs des x seront les sinus des arcs
ik'K a {ih -\'\)'K ex,
H » •
mm m m
Il suflSt de donner à A, m valeurs consécutives, o, i, 2,. . .,
tn — I par exemple ^ car à deux valeurs de k qui diffèrent d'un
multiple de m répondent, dans chaque formule, deux arcs qui
ont même sinus. Deux arcs d'une même formule ne peuvent
avoir même sinus tant que a reste indéterminé, car la différence
de ces arcs est inférieure à air, et leur somme, qui dépend de a,
I ne peut se réduire en général à un nombre impair de demi-
circonférences. Voyons si deux arcs, tels que
1_ -, î ,
mm m m
peuvent avoir le même sinus. La différence de ces arcs dépend
de ot) et elle ne sera pas en général un multiple de la circon-
férence^ leur somme est égale à
— »,
1 "
m
■
et elle ne peut être un multiple de la demi-circonférence si m
est pair : donc, dans ce cas^ x est susceptible de 2 m valeurs
distinctes. Mais^ si m est impair, on peut toujours, queljque soit
le nombre it compris entre tero et m^ trcaver un entier k' com-
pris entre les mêmes limites, et tel qu'on ait
c'est-à-dire
^' : ^. k ou = ir:
a 2
GHAPiTRB CINQUIEME* 209
donc, si m est impair, x n'est susceptible que de m valeurs.
On reconnaît aisément que les m arcs de chaque formule ont,
dans le cas de m pair, leurs sinus égaux deux à deux et de
signes contraires.
Le problème dont nous venons de nous occuper donne Heu
aux mêmes remarques que le précédent; il suffit de les avoir
faites une fois.
166. On verrait de même que, si Ton donne cosa, la déter
mination de sin — dépend d'une équation du degré 2 m, et que,
si Ton donne sin a, celle de cos — dépend d'une équation du
degré m ou du degré 2 m 9 suivant que m est impair ou pair.
Enfin, quand on donne tanga, la détermination de tang —
dépend dans tous les cas d'une équation de degré m.
Résolution de l'équation binôme z'" = i .
167. Proposons-nous de trouver les racines de l'équation
binôme
(i) ■ 2r = i. ^
Si l'équation proposée admet une racine imaginaire, cette ra-
cine aura pour module l'unité (161, Corollaire III) ^ et elle
sera en conséquence de la forme cos y 4- i sincp. Pour que cette
expression soit effectivement racine, il faut et il suffit que
l'on ait
cos/n^ 4- /sin/n« = i,
c'est-à-dire
cosm^m, sîn/nf = o,
ou
m^z^^k'K et y= 9
tn
k désignant un entier arbitraire. L'équation (i) est denc satis-
Trig, 3. 14
aïO TRÀlTft BI TBIGONOVtTRIB.
faite par toutes les valeurs de z comprises dans la formule
(2} z=cos h ' sm •
m m
Pour que deux valeurs V et h" de h correspondent à deux
valeurs égales de z^ il faut et il suffit (160) que la différence
2X'ir 'i^h" 'K
des arguments » soit un multiple de aîr, ou, en
d'autres termes, que Jt' — h" soit un multiple de to. La for-
mule (2) donne donc m valeurs distinctes de i:, et elle n'en
donne pas plus de m^ on obtiendra ces valeurs en donnant à
Al, m valeurs consécutives quelconques entre — oo et -f- 00 ,
o, 1, 2,..., m — I,
par exemple.
L'équation (i) a une ou deux racines réelles, suivant que m
est impair ou pair-, les racines imaginaires sont conjuguées
deux à deux. Dans tous les cas, on obtient deux racines con-
juguées en donnant à h deux valeurs complémentaires à m
dans la formule (2) ^ car, en changeant k eum — A", cette for-
roule devient
aXir . 2/*tr
z z=z cos i sm •
m m
Il résulte de là que les m racines de Téquation (i) sont aussi
comprises dans la formule
2/tr , . . 2/-7r
z =r cos — i sm »
m m
où il suffit de donner à k les valeurs o, 1 , 2, . . . , — si m est
pair, et les valeurs o, i, 2,..., si m est impair. Dans le
premier cas, les deux racines réelles correspondent à Ar =
et /r = — • dans le second cas , la racine réelle correspond
à Â:= o.
168. Supposons que m soit un nombre impair 2/1+^1
l'équation z"* — 1 = peut être abaissée au degré n. En effet,
CHAPITIB CINQUltalK. 211
si l'on divise cette équation par z"(^ — i), il viendra
et si Ton pose
« 4- - = d? et z" + ~ = V„
Z 3"
on trouvera aisément
Vu — - ^ V||-^ — V|}^3»
«
Comme on a Vo = 2 et Vj = x^ on pourra, en faisant usage de
la formule précédente, exprimer successivement V,, Vj, . . .
en fonction de x\ on trouvera ainsi
Vs = j:» — 3a:,
V4 = x« — 4^'-^ 2»
et l'équation proposée se transformera en une équation
ç(.r) = 0,
du degré n. L'expression des racines de la proposée est
d'où Ton tire
z = cos h / sm 9
m m
- = cos •= 1 sm :
z m m
les racines de Téquation en x sont donc représentées par la
formule
2/-7r
xz=: 2C0S »
m
dans laquelle on doit donner à k toutes les valeurs i, 2, . . .,
m — î
2
169. Propriétés des ragiices de l'équation z"*=i. — i® Si
l'on fait'
2ir . 2ir
a = cos h f sm — 9
m m
H'
2ia TRAITÉ DS TRIOONOHfiTRIK.
on a, par la formule de Moivre,
•
a* = cos ^^^— ^ -+- 1 sin
m m
par conséquent, les m racines de l'équation z"' = i pe aident
être représentées par
cest^à'dire par les puissances de l'une d'entre elles.
2? Si Ton a Tn=^np^ net p étant deux nombres premiers
entre eux, on obtiendra toutes les racines de z"* = i , en mul-
tipliant les n racines de r" = i par les p racines de z^ = i.
«r» iv • a/ï? .sinaX'ir . ,
En effet, soit a = cos H i une racme de z"f = i ;
np np
neip étant premiers entre eux, on peut trouver deux entiers l
et r^y tels que
, aÇir aiîir aXir
»Ç + /tïîi=A- OU 1 = 9
n p np
et alors on a
cos h i sin I I cos r ' sm ) ;
« » J\ P PI
d*où l'on conclut que toute racine de z"'' = i est le produit
d'une racine de z" = i par une racine de jc'' = i : par consé-
quent les np racines de V équation z^p= i sont les produits
que Von obtient en nuihipliant les n racines de z" = i par
les p racines de s^=:i.
3^ La résolution algébrique de l'équation z^=ijoiimest
un nombre composé, se ramène à la résolution des équations
de même forme ajrant pour degrés les nombres premiers ou
puissances de nombres premiers qui divisent m.
En effet, soit m = npq^, . • n, |7, 9,. . . étant des nombres
|»^miers ou des puissances de nombres premiers in^anx; on
aura les racines de l'équation zf^=i ea multipliant celles de
2" = 1 par celles de z^ = i. Pareillement, on aura les racines
dez*'^ = i en multipliant ceUes de .s*>^=i parceUesde ^=i)
et ainsi de suite. D où l'on peut conclure que les dÎTerses ra-
GBAPITKB CINQUIÈME. 2l3
cines de z"* = i s'obtiendront toutes en multipliant une racine
de ^" = I par une racine de 2^ = 1, puis par une racine de
Des polygones réguliers,
170. Concevons une circonférence partagée en m parties
égales, et joignons les points de division consécutifs^ on for-
mera le polygone régulier inscrit de m côtés. Si n est un nom-
bre inférieur et premier à /w, et que Ton joigne les points de
division de n en 71, ou, ce qui est la même chose, de w — ti en
m — Tï, on ne reviendra au point de départ qu'après avoir
passé par lous les sommets, et la figure que l'on aura formée
est ce que Ton nomme un polygone régulier étoile. Mais si tu
et n ont un diviseur commun d, on ne passera que par un
nombre -r- de sommets, et la figure obtenue sera un polygone
régulier de -— côtés seulement. On voit, d'après cela, qu'il y a
autant de polygones réguliers de m côtés que de nombres pre-
miers à m et inférieurs à la moitié de m.
Le problème de la division de la circonférence en m parties
égales se ramène à la résolution algébrique de l'équation bi-
nôme
car on a vu que les racines de cette équation sont données par
la formule
î>. /• TT . ikrc
z = CCS h i sm - - •
m m
D'ailleurs est l'arc sous-tendu par le côté du polygone
obtenu en joignant les points de division de k en Ar, et l'on
pourra connaître en conséquence les lignes trigonométriques
de cet arc si l'on sait résoudre l'équation z"* = i .
Enfin on a vu que, si 'm est un nombre composé, la résolu-
tion de l'équation z"" = i se ramène à celle d'équations de
même forme dont les degrés sont les nombres premiers ou
puissances de nombres premiers qui divisent m-^ donc le pro-
ai4 TRAITÉ DE TRIGOROBAniB.
blême de la division de la circonférence en m parties égaies est
susceptible de la même simplification*
Nous allons examiner les cas de la division en trois, en cinq,
on quinze et en dix-sept parties égales,
171 . Division de la circonférence en trois parties égales.
— Elle dépend de Téquation
s» — i:=o;
diant la racine i , il vient
»' -+- 3 -I- I = O,
et^ en faisant z-i — = x,
z
X -4- I = 0.
La racine — i de cette équation est 2cos-^(168),ou — 2cosx9
ou — a sin ;ç; on a donc
o
asin^ =: I.
o
CVst la valeur du côté de l*hexagone régulier inscrit 9 on en
déiluil facilement le côté du triante éqoilatéral.
I7S« Division de la circonférbhcs en cinq parties égales.
— Elle dépend de réqualiou
^* — î = 0,
Alanl la rtdne 1 el faisant ^ -r- - = x« il vient
or* — X — 1 = 0»
qui « piMT racines (16$^
i«> la
CHAPITRE CIKQUlfcaB. 21 5
_ I Ht à/5
On trouve d'ailleurs, en résolvant Téquation, x = 5
donc
. n — l-hV/5 . 3ir I4-V^
2 sm — = 1 2 sin — = •
10 2 10 2
Ce sont les valeurs des côtes des décagones réguliers ordinaire
et étoile \ on en déduirait facilement les côtés des pentagones
réguliers ordinaire et étoile.
173. Division de la girconféhence en quinze pauxies
ÉGALES. — Elle dépend de l'équation
(i) s»— 1 = 0,
de laquelle il faut ôter les racines de -z' — i = o et celles de
s j- • j ' • (^^— 0(^*—0
z* — 1 = 05 divisant donc cette équation par -^ — ,
il vient
(2) 2» — 2» H- 3* — 3< -h 2» — a 4- 1 = o.
Enfin, si l'on divise le premier membre par z* et que l'on pose
z-\ — = X, il viendra
z '
(3) A-* — JT* — 4*^^ ■+" 4-^ "^ > = ^î
cette équation a pour racines (168)
27r 4^^ Stt l4t'
2 ces — =- 5 2 COS •—- 5 2 COS —=r » 2 COS --7:- î
l5 i5 l5 ID
ou
. I ITT .777 . JT , iStt
2 sm -r — j 2 sm -4— > — 2 sm ■=— > — 2 sm -^r — •
3o 3o 3o 3o
Ce sont, en valeur absolue, les côtés des polygones réguliers
ordinaire et étoile de trente côtés.
Les quinze racines de l'équation ( i ) s'obtiennent en multi-
pliant les racines z^ — 1 = par celles de z^ — i =: o (169) ^
on en conclut facilement que les huit racine^ de l'équation (2)
s'obtiennent en multipliant les deux racines de z* -h j? + 1 == o
par les quatre racines de z* -+- z'' -f- z* 4- 2? -i- i = o, qu'on
ai6 TRAIT< DB TRIGONOKÊTRIB.
peut facilement trouver : on connaîtra donc ainsi les huit ra-
cines de Téquation (a), et, par suite, celles de l'équation (3).
Des considérations fort simples permettent d'ailleurs de re-
connaître que l'équation (3) résulte de l'élimination dej^ entre
les deux équations
jt» ^yx -4- (j^ — 2) == o, y^—y — 1 = 0,
en sorte que sa résolution est ramenée à celle de deux équa-
tions du second degré.
174. Division de là girconférei^ce en dix-sept parties
ÉGALES. — Elle dépend de l'équation
z" — I = o.
Si Ton divise le premier membre par z — i , et que l'on fasse
ensuite r -H - = x, il viendra
(1) jr*-i- Jt» — 7^"* — 6x*-l- l5x* -l-lO:r* — IOX'--4^-^ï=^i
nous ferons, pour abréger,
air
»7
les racines de Téquation (i) seront alors
scixsft^ 2CQs3a, 2cos8a, 2cos7a,
2ct)s4*^ stcosSa, acossta, 2 0os6a.
Posons
^V, r^aa^H +2 0Qs84i -Ha00s4A -t-2O0S2a,
iï-~ ^icos3«t-hacosr« -f-acos5«-f-2cos6a:
jo di$ ^^^^^^ I ^""(^^ « s<»^^ I^ racines d*ime équation du second
de^ ji ct>offîcieiils €nùers« En eâfet» on voit d'abord par
rÀ)U4itkn\ {\) que Ton ai
<«uuilt^% <»i multipli^ml 1 1 P^^^V transforauoÉt les produits de
iX^nus <^ $i>tuuie$ par les 6«muks connœs. et mjmMAiguà à
Te^ualMM identique «<>$^i7 — «t «i:=co&JMUQAti0ave
-i^ s <\>$34v -- a ci»t« ^ scQsStf 4- moos6«)
CHAPITIB CIHQUIËMB. 217
et, à cause de l'équalion (i),
jir» = — 4;
Ti et j^j sont donc les racines de Féquation
(a) 7»-4-j — 4=:o.
Posons maintenant
w, = 2 coga 4- 2 0054^9
1/3 = 2 cos3a + 2 cosSa,
«3 = 2 C0s8<I H- 2 COS2Û,
1/4 = 2coS7a H- 2COs6a;
on aura d'abord
«1-4- W3=ri»
puis, eïi multipliant Ui par U3, i/, par 1/4 et en transformant
les produits de cosinus en sommes, on trouvera
«1W3 =z «2 «4 = 2COSa -+-2C0s8a -f- 2COs4<2 -4- 2C0S2a
-4- 2cos3a H- 2COS7Û + 2cos5a -f- 2cos6a,
et, par conséquent,
«JI14 = — I.
Il résulte de là que les quantités u^ et Us, Uf et Uu sont respec-
tivement les racines des équations
«»— j,« — 1 = 0,
a' — jr^u — 1 = 0.
(3)
Posons enfin
^i=2C0Sû, X5=2COs4«,
X, =: 2C0S3<2, XiZZzQ^COsSa,
J:'3 = 2COs8û, 3:7 = 2 ces 2 a,
Xji=z2, ces 7 <2, jjg = 2 cos6 â: ;
on aura d'abord
<37| ~T- X^ — Ul y
X2 -f" ^e — - «a f
ar, -f- a:, = tf 3 ,
a-^ -h JTg = «4 ,
ai8 TRUTt DB TftIGOROBtTBIB.
«t si Ton transforme les produite Xi^s, x^x^y x^Xt^ x^^x^ en
sommes de cosinus, on trouvera
Xi j?5 zir: If] ,
Xj JTfl =r «3 ,
JC^x^ zzz u^ ,
x^x^ = Ui ;
par conséquent, les quantités x^ et Xs, OTt et x^^ x^ et X7, x«
ot .i^A seront respectivement les racines des équations
I' Jc" — if,x-4«iij = o,
X»— tf,x-4- tfs = 0,
x' tf,X -f- u^ =. o,
» X^ — X4X -t- tf, = o.
Doux quelconques des quantités Ui, u,, u», u^ peuvent s'ex-
|>rimor rationnellement Tune par Tautre^ en effet, nous avons
trouvé les deux relations
ot si Ton forme les produits u^u^^ Uiu^^ puis que Ton trans-
f^U'mo ou sommes les produits de cosinus, on trouvera
do co$ R^rmules combinées avec les pirâédentes on tire
*r, \ *; t «' — I », — I
*, -^ I *j-^l ^S^-I «4-ï-l
\Y ^ui portuoi d écrirt' lo$ équalions ^4^ de U muicre suivante :
I
or — »^jr :^ o*
» — I
or — *^— =<H
Ji'" — x^jr —
CHAPITAK GINQUltalB. 219
Les ëqaations (3) se déduisent l'une de l'autre par la trans-
position des quantités^! etj-t'^ pareillement, les équations (5)
ne difi%rent entre elles que par celle des racines u qui y figure^
il s'ensuit que la résolution de l'équation (i) est ramenée à
celle des trois équations du deuxième degré
(6) y—yu-i = o,
a — I
ar — ux -] =0;
et l'on reproduit effectivement l'é^atîon (i) en éliminant
y et u entre les équations (6), ainsi qu'il est facile de s'en
apurer. Le problème de la division de la circonférence en dix-
sept parties égales ne dépendant que des équations du deuxième
degré, cette division peut être effectuée avec la règle et le
compas. Nous ne pouvons indiquer ici les principes qui nous
ont guidé dans l'analyse précédente, et nous nous bornerons
à ajouter que ces principes conduisent à cette conséquence re-
marquable : que la circonférence peut être dwisée en n par-
ties égales, auec la règle et le compas, toutes les fois que n
est un nombre premier et que n — i est une puissance de a.
Les plus petits nombres qui satisfont à cette double condition
sont 3, 5, 17, 257, 65537. {f^oy^^ D'ion Cours d'jilgèbre
supérieure, 3" édition, t. II.)
Résolution des équations binômes générales,
175. Proposons-nous maintenant de résoudre l'équation
binôme générale
où A et 6 sont des quantités données positives, nulles ou né-
gatives. En désignant par p et a le module et l'argument de
A -j- Bi, l'équation proposée devient
(1) 2'"=p(cosa4- «sinfl).
Posons
(a) « = r(cos^-+-/sin9),
220 TRAITÉ DB TRIGONOMÉTRIE.
on aura
z^=: /-"(cos/îîç -+- isinmff);
et, pour que la valeur (a) de z satisfasse à l'équation (i), il
faut et il suffit (160) que l'on ait
d'où
m/- 2 X* ir -f- «
r
= V^p, ? =
/n
Les racines de l'équation proposée sont donc données par la
formule
/o\ mr f tkAic-ha . . aXîT-f-aX
(3) z=up\cos h'sm |>
^ ' ' \ m m ]
où Â: désigne un entier indéterminé.
Pour que deux valeurs de k correspondent à deux valeurs
égales de z, il faut et il suffit que leur différence soit un mul-
tiple de ni\ l'équation (3) comprend donc, comme cela doit
être, m racines distinctes que l'on obtient en donnant à i
m valeurs consécutives quelconques entre — oo et -f- oo ,
o, j, 2». . . , m — I,
par exemple.
La formule (3) peut s'écrire ainsi :
w/-/ a . . «\ / 2Xir . . 2/îr\
zz=z dù\ cos h < sm — I ( cos h I sm ) •
\ m m] \ m ^ I
'y/p (cos ht sin — j est l'une des racines de l'équation (i)î
cos h i sin est l'expression des racines to**"**' de l'u-
m m ^
nité^ d'où il suit qu'on obtient les m racines de l'équation [i]i
en multipliant l'une d'elles par les m racines m**"" de l'unité.
D'après ce qu'on a vu au n*' 167, on peut encore représenter
les racines de l'équation (i) par la formule
//\ ^r ( '^ . . • ^\ l 2^tr_. . . 2Xir\
(4) s = Jp l cos h f sin — 1 1 cos ± i sm 1
^^' \ m m] \ m m J
y
CHAPITRE ClNQUlftME. 221
OÙ il suffit de donner à k les valeurs o, i, 2, . . . , — 9 si m est
pair, et les valeurs o, i, 2, . . . , » si m est impair.
Dans le cas particulier où B est nul, on a p = A ou jg = — A,
suivant que A est positif ou négatif^ on peut prendre a = o
dans le premier cas et a = ir dans le deuxième cas. D'après
cela, les racines de l'équation
z"r=-f- A
seront données, soit par la formule
(5) z=jAIcos h'sm u
\ m m j
dans laquelle il faut attribuer à Xr les /n valeurs o, i, 2, . . . ,
m — I , soit par la formule
tn. m,— ( 2A'tr . . 2/-1t\
Vb) z =z J A I ces ± t sm J 9
y m m J
où il suffit de donner à k les valeurs o, i, 2, ...,—» si m est
pair, et les valeurs o, i, 2, . . . , > si m est impair.
Les racines de l'équation
z'" = — A
seront données par la formule
(7) z = 7a cos^ hfsm^ ^—U
L m m J
dans laquelle il £aut attribuer à k les valeurs o, i, 2,. . .,
m — I , ou par la formule
= jA I ces ^ — ± t sm '— I
L I» /M J
î
dans laquelle il suffit de donner à k les valeurs o, i, 2,. . . ,
' I, si m est pair, et les valeurs o, i, 2,. . . , » si m
2 2
est impair.
222 TRAITE DB TRIGONOHtTRlE.
Résolution des équations trinômes,
176. Soit Téquation trinôme
(l) 3^-4-/>3*-f-^=:0,
OÙ p et ^ désignent les quantités données^ on en tire
(2) ^
=-l*v^f-
et Ton est ramené à résoudre deux équations binômes.
Considérons en particulier le cas où, p et ^ étant des nombres
réels, on a
^-^<o,
et soit
— - -{- Kf -j ^ — |»(co8a-4- /sina);
réquatioa (i) prendra la forme
z^— 2pz'"cosa -+-p' = o,
et Téquation (2) deviendra.
z"» = p (cosâ ± i sina).
Les racines de l'équation z'" = p (cosa + i sina) sont com-
prises dans la formule
d'ailleurs ces racines sont les conjuguées de celles de l'équa-
tion z'" = p (cosa — i sina) : donc les 2 m racines de Téqualion
proposée sont toutes comprises dans la formule
z=z d ù\ cos rb / sm u
OÙ il suffit de prendre, pour Â:, m nombres entiers consécutifs-
CHAPiTfts cnfQmin» 323
formule de Mowre pour un exposant quelconque,
177. L'égalité
... / a ay
cosa -h t una = 1 cos — h ^ sm - )
\ n nj
montre que cos - 4- 1 sîn - est une racine n'*'"' de cos a -r- i sin«:
*■ n n '
... ma . . ma . ...
pareiiJenient , cos h i sm — est une racine /i'*'"' de
cos ma -f- i sinma ou de (cos a -+- i sina)'" ; on peut donc écrire
yJ\cosa -\- t sma)*' = cos — a h- ; sin — a.
m . ni
— a H- / sin —
n n
ou
m
t • \"ïr ^ , m
(cosa -4- i sina]" =: cos — « -f- / sm — a.
n n
C'est la formule de Moivre étendue au cas d'un exposant frac-
tionnaire ~ \ mais il faut remarquer que le second membre ne
représente qu'une seule des n valeurs dont le premier est sus-
ceptible. On obtiendra d'ailleurs toutes ces valeurs (175)
en multipliant le second membre de la formule précédente
par cos h i sin •
La formule de Moivre a lieu encore pour un exposant né-
gatif quelconque — m ; en effet, l'équation
(cosa -f- i sin a)* = cos ma -f- / sin ma
donne
1 1 . .
(cos a -H / sina)* cos ma -♦- i ûama
ou
cos ma — / sm ma.
(cosa -h i sina)-" = cos ( — ma) -+- i sin( — ma),
La formule de Moivre montre qu'on peut résoudre algébri-
quement les équations auxquelles conduit le problème de la
division des arcs. En effet, on a
a -H îî/'Tr . . a -♦- 2/-
tr
cos • -f- i sin = Joo&a -h i sina ;
m m ^ '
2^4 TRAITÉ DB TRlQOHOHfiTRIB.
cette formule exprime que les m valeurs du second membre
sont respectivement égales aux m valeurs que prend le pre-
mier, quand on donne à k les valeurs o, i, 2,. . ., (ni—^i).
En changeant i en — i, on aura
cos i sm =: \/cosa •+■ i sma
m m
et, par conséquent,
« -4- î/tt y/cosa -f- i sma H- Jcosa — isma
cos = 9
m 2
7«y : — : m,
. a -f- 2/ ir Jcosa H- ^ sina — Jcosa — / sma
sin = -^ •
m 2/
Ces formules donnent l'expression algébrique des racines des
équations dont dépendent cos — et sin — » lorsque cos a ou
sina est donné.
TTiéorèmes de Moivre et de Cotes,
178. Les théorèmes de Moivre et de Cotes ont pour objet
une représentation géométrique des diviseurs réels du trinôme
z*'" zn HZ"* cos a -H i, où a désigne un angle donné, et du bi-
nôme 2'" ±: I .
Les deux facteurs linéaires, qui correspondent à deux ra-
cines conjuguées de l'équation
zv» — 22"* cosa -f- 1 = o,
sont représentés par
z
et
(2/*7r-î-fl . . 2Xtr-+-«\
cos h i sm I
m m J
HÂ'v -^ a . . HÂit -i- a
z — I cos t sm
m m ^
)■'
le produit yl de ces facteurs est
3 . 2X*7r-f-a
xi se z» — 2z cos h I ,
m
GHAPITU GINQUlftlB. 225
et Ton a identiquement
(i) «*" — az^cosa H- 1 = {jr^XtXi' "Xm-^tY'
Changeons a en ir + ^9 et faisons
ri» = 2' — HZ CCS ^ h I ,
on aura
(2) z*"-4- 23"co8a -+- 1 = {y.x\ . . .yi„_,y.
Cela posé, considérons une circonférence de rayon i ^ parta*
geons-la en 2 m parties égaies aux points Aq) A^ As)*...
Asm^i^ joignons le centre O à tous ces points, et menons une
ligne OP faisant un angle égal à ~ avec le premier rayon OAo ;
enfin prenons sur cette ligne une longueur quelconque OP=^,
et joignons le point P à tous les points de division. Les trian-
gles OPA,^.ti et OPA,„«,z«i donnent
— » , 2XirH-a
^J^vn-2k ^=-Z^—'7.Z CCS h I ,
m
^^%m-^^x = a* — 2Z COS ^^ ~ h I ,
m
et, par conséquent,
PAai^al = yk^ PAj«_,4_, = y*^.
Il résulte de là que le trinôme z^"^ — 2z'" cosa -H i est égal
au carré du produit des distances du point P aux points Aq, Af,
A4,. . ., et que le trinôme z'*" -H 2z'"co8a -f-i est égal au carré
du produit des distances du même point P aux points Aj, As,
Ag , . . • ^ c'est dans ces égalités que consiste le théorème de
Moivre.
Si l'angle a est nul, le point P est situé sur le rayon OAo,
et les équations (i) et (2) donnent, en extrayant les racines
carrées des deux membres,
rri> s, i5
226 TRAITÉ DB TRIGONOKÉTRIB.
C'est dans ces égalités que consiste le théorème de Cotes ; on
doit prendre le signe + ou le signe — dans le second membre
de la première formule, suivant que le point P est extérieur
ou intérieur au cercle.
Expressions des puissances du sinus et du cosinus d'un arc
en fonction linéaire des sinus ou des cosinus des multiples
de cet arc,
179. Soient
cosa + / sin a = u , cosa — i sina =
on a
2COsa = tt -+- p, 2/ sina = il — v,
et, par suite,
2"cos"a = (w -t- vYy (2/)"8in"fl = (« — f')",
ou, en développant,
/ X " . n(n — i)
( 1 ) 2" cos^a = tt" ^ — w»~* (' H ^ ' a"— 'p* -t- . . . ,
^ ' I 1.2
(2) (21 )" sm"rt = a* «"—*(' H ^ i «"-'t^* —
I 1*2
• « • •
Considérons d'abord l'équation (i). Si n est pair, le second
membre renferme un nombre impair de termes, et, en grou-
pant ensemble les termes également éloignés des extrêmes,
on obtient
2" cos"fl = (il" H- i^) H — £«^(11"-' -h i»""') -h . . .
,.2...(J-«)
«(« — l)...f^-f-lj „ ,
/t
I • 2 . • • ""
2
Si 71 est impair, le second membre de l'équation (i) a on
CHAPITRE CINQUIBME ^27
nombre pair de termes, et, si l'on groupe comme précédem-
ment les termes également distants des extrêmes, il viendra
2" cos"a = («« -h v") H — «!'(««-* -t- f^~=)
^i^ ^ £f'i'»(«— ^ 4- t^M -f- . . .
1.2 ^ ' -
n(n — i;-.-l — I ri^x n-i
D'ailleurs «1^=1 et m™ -H i/* = 2cos77ia^ on a donc, si n est
pair,
2"~* cos"« = cos/itf H — cos( /i — 2) a 4- . .
I ^ '
/l(/l-l)...^^-+-2j
(3) I 1.2... (^-i)
• "j
n 2
t • jS • • • ^"
2
COS2«
et, si n est impair,
2"~' c«s"â := cosna H — cos(/i — 2) a
î ^ '
H i COs(/i — 4) <35 -h . .
(4)
«(^-O--- (^)
r ^ r COSû.
/ n — i\
1.2
■■•(^)
Occupons-nous maintenant de l'équation (2). Si n est pair,
le second membre renferme un nombre impair de termes ; les
termes également distants des extrêmes ont le même si^ne, et,
•5.
2a8 TRÀlTfi DE TRIGONOMfiTRIB.
en les groupant ensemble, on obtient
n
2"(— i)* sin"ât
1.2... (^-,)
«(/l — l)... \^ -4-Ij „ „
in i£* i'*,
2
OU
n
2"~'( — i)* sin"û5
« / ' \ '^ '^ — / / \
= cosna cos(/2 — 2j a H cos(/î — ^ja — ...
1 1 . JS
•"•••(i—)
CCS 2 a _• ^- • — •
I • 2 • • • "~
2
Si /i est impair, le second membre de Téquation (2) ren-
ferme un nombre pair de termes, et les termes également dis-
tants des extrêmes sont de signes contraires; en les groupant
ensemble, on a
«— I
2'*( — i) * isin^a
— («" — ^^) — - //p (««-' — r«-2) 4- ^l!Zlli «^^.î»(^^«-< — v^*) — . . .
eiAPITlB CIKQUiftHE. I29
on a d'ailleurs if~ — (/*= aisinma, donc
' a»-^(— 1) * sin'a
n . f . , n[n — i) , ,.
= smna sm(/i — nja H ^ an ( /i — 4 ) a — ...
(6) ■
/n — i\ — "
On voit que cos"a s'exprime, dans tous les cas, par une
fonction linéaire des cosinus des multiples de a, et que sin"a
s'exprime pareillement en fonction des cosinus, ou en fonc-
tion des sinus des multiples de l'arc a, suivant que n est pair
ou impair.
Expressions de sinviia et de cas ma en fonction de sina
ou de cosa.
180. Mous nous proposons ici de transformer sin ma et
cosjTia en un polynôme ordonné suivant les puissances en-
tières de sina ou de cosa, ou du moins en un produit formé
par la multiplication d'un semblable polynôme et de cosa ou
sina.
La méthode très-simple dont nous ferons usage est due à
Caucby ; elle repose sur l'égalité
j (jr -4- j) (^-*- J — l) , , , [x -h jr — /i -t- l)
I.2.3. . •/!
a:(x — i)...(x — w-hi) x(x — i).,.{x — /2-f-2) j-
. ^ , 1.2.3. ../I 1.2.3. ..(/Z — l)
(0 <
.r(j: — i). ..(jF-~/i-f-3) x(jr — l)
1.2.3. . .(« — 2) 1.2
— • ■ —^ . .
I 1.2. ..(/i — i) 1.2. ../i
qui a lieu identiquement quels que soient les quantités xety
et le nombre entier positifs. Pour établir cette égalité, dans
23o TRAITfi DE TUQMOHÉTmiS.
le cas où j: et j^ sont des entiers positifs^ égaux ou supérieurs
à 7z, on peut partir de l'identité
(i -h z)'-^r z=. (i -h z)'(i -h z)r,
ou
Si, après avoir effectué le produit indiqué dans le second
membre, on écrit que les coefficients de z* sont égaux de part
et d'autre, on obtiendra l'égalité qu'il s'agit de démontrer.
Cette égalité étant établie pour toutes les valeurs entières de a:
et de jr supérieures à w, elle subsiste nécessairement, quelles
que soient x et j. En eflel, désignons, pour abréger, par
? (^î jr) ^^ ^ i^'ij) '®* deux membres de l'égalité en question,
et par X(^ une valeur entière de x supérieure à /i; les poly-
nômes cp (xo, j^) et ^ {xQ^j)n qui ne contiennent plus que la va(-
riablej^, sont égaux entre eux pour toutes les valeurs entières
de j^"^ supérieures à n. Donc on a nécessairement
quel que soitj^^ en d'autres termes, les polynômes cj>(x,j^)
^{x^j) sont égaux, quel que soit j^, pour toutes les valeurs
entières de x supérieures à /i, et l'on conclut évidemment de
là que l'égalité
a lieu identiquement pour toutes les valeurs de a: et de j^.
En remplaçant, dans la formule (i), ^ par - et j^ par - ? on
obtient
(x -^ x) (^ -*- j — 2). . .(.^ -+-.r — 2/2^-2)
2.4*6. . . (2/2)
- . x{x — 2).,.(jî — 2/2+2) ar(j: — 2).,.(a: — 2/2-4-4) J
^ ^ ^ 2.4.6. . .(2/2) 2. 4-6. ..(2/2 — 2) 2
'g j(r— 2),..(j-~2/2-f-4) r(r--a)...(j--2/2-i-2)
2 2.4>6...(2/2 — 2) 2.4*6. . .(2/2)
181. Si, dans les équations (i) du n® 163, on remplace les
GHAPITftB GINQUiftMB. 23 1
puissances paires de cosa par des puissances entières de
I — sin'a, il viendra, pour des valeurs paires de m,
i --x"" fftKm — I), .. . .
cos/w« = (1 — %xD}aY ' (I — sm'a) * sin'a
* 1.2 '
1.2.3.4
sin ma
[ m— a
— (i — sin'a) * âna
m{m — 1) (m — 2)
1.2.3
(1 — sin'a) =* 8in"a -+-... J,
et, pour des valeurs impaires de m,
co&ma
[I • . \ /n(m — ï) , . . — ' , ,
(i — sm'fl) * —. -(i — sm^a) * sin'a
1.2
H i — 5— ~ (i--sin*a) =* sin^a—... L
1.2.3.4 J
m
ûnma •=. — (i — sin'a) * sm«
1 '
m[m — t)('w — 2)
1.2.3
m — 3
(i— sin=a) * sin'û + . . . .
Si l'on développe par rapport aux puissances croissantes de
sina les seconds membres de ces formules, abstraction faite
du facteur cosa, on trouvera, pour des valeurs paires de m,
ces ma
%\VLma
m(m — I i\ . ,
= 1 ( 1 — I sin'ûf
1 \ 2 2/
m[m — 2)r(m — \){m — 3) m — i 3 3.i~] . ^
1.3 L ^'4 22 2.4J
(m . mim — 2)//» — i 3\ . ,
= cosa < — sm^r ^^ — = — - ( • 1 — 1 sm'a
(I 1.3 \ 2 2/
, m(m— 2)(m-~4) r (m--i)(/w~3) ^ m— i 5 ^ 5.31 ^^^ j
1.3.5 L ^«4 ^ ^ ^J ' )
232 TRAITÉ DE TRIGOKOHÉTRIB.
et, pour des valeurs impaires de m^
cosmazrzcosa
im — I [m i\ . ,
1.3 L ^-4 2 2 2.4J )
m . mim — i)//« — 2 3\ .
smma n: — sma — ' ' . i -.
(m — 1 3\ . ,
\ 2 2/
I 1.3
m(m — i) (m — 3) r(/n — 2) (m — 4)
1.3.5 L ^'4
m — 2 5 5.31 . .
H • — I 7 Ism^â^ — ....
2 2 2.4J
Faisant maintenant usage de la formule (2) du numéro pré-
cédent, on obtient, pour des valeurs paires de m,
m. m , , f/w-4- 2)m.m(m — 2) . ,
cosma= I sm*a 4- -^^ -—7 siira
1.2 i;2.3.4
(m-h-i)(m-\-ii)m.m(m: — 2)(m — 4) . -
— -^ ^^^ \ ,\ r. — ^- ^ sin«a -4- ...,
1. 2.0.4*0.0
[m . fm-+-2)m(m — 2) . .
— sma — ^ sm*a
I 1.2.3
(m'^^)(m-^2.)m^m — 2) (m — 4) •
sin*
\ 1.2.3.4*5 j'
et, pour des valeurs impaires de m,
= coseï I I —
(m-f-i)(m — i) .
cosma == coseï I I — ^ ^— sm^a
1.2
1.2.3.4 J
(2) \
m . (mH-i)m(/w — i) . .
smma =: — sma — ' ^ — ^ sm'<z
I 1.2.3
(tw H- 3)(m + i)mfm — i)(m — 3) . ,
-h ^ — \ / f — -^ ' sin*^i — . . • .
i.2.i.4«o
Si, dans les formules (i) et (2), on change a en a, on
GHAPITKB CINQUltOlB. 233
trouvera, pour des valeurs paires de m,
( — i)» cosma
m. m . (m-h ^)m,m(m — 2)
= 1— , cosl^a 4- ^ :r-7 cos*a
2 1.2.0.4
(3)
(/»-*- 4) ('»"*- 2) m. m {m — 2)(m — 4)
^ ^^^ ' , ' -^ cos*a
I •2.i«4*â*(>
• • »
Ht
( — i)* sinma
[m
rm (m-+-2)m(m — 2)
— cosa— ^ — \ co8*a
1.2.3
(m + 4)(m + 2)m(m— 2)(m~-4) 1
.4.5 J
et, pour des valeurs impaires de m,
/ m— 1
I ( — 1) * sinma
= sin a I I —
(m4-i)(/« — 1)
-^ cos'a
I .2
(4)
(TO-4-3)(m-f-i)(m— i)(m — 3) , 1
1.2.3.4 J
m— I
( — i) » cosma
m (m -h i)/w f/w — i)
== — cosa — — \: ' cos'tf
I 1.2.3
(m -h 3')f/îH- i) m (m — i)(m — 3)
H- ^ ^-^ o f tf — cos*a — . . .
I •2.0.4*^
Ainsi Ton aura, en particulier,
co8 2a = 1 — 2 sin'a,
cosj^a = 1 — 8 sin'a -t- 8 sin^â^,
cos6a = 1 — 18 sin'a -h 48 sia*a — 32 sin^a,
9
sin3a=: 3 8ina — 4^^'^»
sinSa = 5 sina — 20 sin*a ■+- 16 sin^a,
a34 TRAITÉ DE TRIGONOIÉTRIE.
— cos2a = 1 — 2 cos^a,
— cos3a = 3cosa — ^cos^a^
cos^a = 1 — 8 cos^a -4- 8 cos* a,
cos5a = 5cosa — 20 009*0 -4- iScos^a,
— cosôa = 1 — i8 cos'a -h 48 ces* a — 82 cos®^.
182. Les formules précédentes sont ordonnées par rapport
aux puissances ascendantes de cosa ou de sina^ on peut les
ordonner par rapport aux puissances descendantes des mêmes
quantités, et elles prennent alors une forme nouvelle qui con
vient à la fois au cas de m pair et à celui de m impair.
Posons, pour abréger,
co$ ma
Ssinma ^ . .
W„C0S'^*"«, — : = > J'„C0fi'^*"-'â^,
sma ^J
le signe \ indiquant la somme des valeurs que prend l'ex- ,
pression qu'il affecte, quand on donne à n toutes les valeurs
entières depuis zéro jusqu'à la plus grande de celles qui rendent
positif ou nul l'exposant de cosa^ les équations (3) et (4) s'ac- |
cordent à donner
j
, X f« — ^ — OC'w — n— 2). . .(n -hi) , .
Un = — i)"m ^ ~ -, r-^-r-^ 2'«-"»-', :
^ ' 1 .2.0. . .(m — un)
, . (m — n — Of/n — n — 2)...(«-f-i)
^ ' 1.2.0. ..(m — 27^ — ij
Mais ces formules supposent n <^ ■ — ^ poiu* n = — > dans le
m
cas de m pair, la valeur de u„ doit être réduite à ( — i) ' d'après
la première des équations (3)^ dans le cas de m impair, les
valeurs de u„ et de ^^ se réduisent respectivement, d'après les
GHàPITAB CIKQDlftaB. 235
m— î m— I
m — I
é(juations (4), à { — i) * m et ( — i) ' pour n =
Si Ton multiplie et que Ton divise par le produit i • 2 . . . tz
les expressions précédentes de u„ et f^», il viendra
, , m. 2"^*""' 1.2... (m — n — i)
1.2. . .71 I.2...(/» — 2/ï)
j^m-sn-i 1.2... (m — n—i)
1.2. . .71 1.2. ..(/W — 2/1 — ij
OU
' I .2. . ./l
' I .2. . .n
pourvu que, dans le cas de n = i , on réduise à l'unité le pro-
duit (m — n — i)(/n — n — 2). . .(m — 2/1 -hi) dans la valeur de
«„. En adoptant cette nouvelle forme, la restriction n <^
n'est plus nécessaire ; les seconds memlires des formules pré-
m— T
cédentes se réduisent en eflfet respectivement à ( — i) ' m et
m — t
m — I
( — * pour n = 9 dans le cas de m impair^ pareille-
m
ment la valeur de u„ se réduit à ( — i)* pour ti = —5 dans le
cas de m pair. Les seconds membres de nos formules de-
viennent illusoires pour tz = o ; mais, d'après les premières
expressions de u„ et ^„, ils doivent être alors réduits l'un et
l'autre à 2"*"^ On aura, d'après cela.
=S(-)'
^ , ^^mim—n — i)(m — /i— a)... (m— 2/1-4- 1) _ ,_ , _.--
1.2.0. . •/<
ûnma _ V/ .\« (/w — /i — i) (/w—/i — 2). ..(/»-> 2/1) ^„,^,^^^.a,.t^
=y<-..
%\Txa Zu' I.2.3.../1
236 TRAITÉ DB TftIGONOatTftIB.
OU
cosma = 2"*~* cosf"û 2*~' cos"^^a
I
mfm — 3)
1.2
m(m — i) (m — 5)
I .2.3
m(m — 5)(m — 6)(m — n)
I .2.3.4
(5) (.
sinma m — 2 .
- .- - = 2""* cos"~* a 2"*^' cos"~*fl
sma I
(m — 3) (m — 4) . .
-h ^ ^-^ ^ 2"— *cos"-*a
1 .2
{m — 4)(m — 5)(m-6)
I .2.3
f/n-5)(m-6)(/ii-7)(/n-8) ^ ^ _,
1.2.3.4
et ces nouvelles formules ont lieu, nous le répétons, quel que
soit l'entier m, pair ou impair.
Si Ton change a en a, dans les formules (5), il viendra,
2
pour des valeurs paires de m.
(6)
(— ij^cofi/na
= a*"~* 8iii'"a a"*"* sin"*"*^ h a*""* sin^'^a
I 1.2
i.a.3
, ,?-isinOTfl
(—1)»
__ 2»w-« sin"*"'*fl a sm ^^-H ^ -^ ^ a sm a
1.2
_ (/w-4)(m-5)(m-6) ^^, ^.^,^,
i.a.3
2"^' sm*"" «-♦-...,
€1IAPITBB aiVQUIÈMB. sS?
et, pour des valeurs impaires de /n,
■ — I
( — i) » einma
= a"^' sin'a a""* sin""'/! h ^ a"^* sin"^*û
1 i.a
i.a.3
(7) 1
(-1) >
COSâ
_ j . _ , m — a _, 1 . -, s (w — 3) (/If — 4) M & •
= a*~* sm*~*a a^'^sm*"'/!-»- ^ ^-^ ^ a""* su
I i.a
(/w — 4)(/if — 5)(ot — 6) - , . - ,
i.a.3
La première des formules (5) donne immédiatement l'ex-
pression de la quantité que nous avons désignée par V» au
n^ 168; si, en effet, on pose z = cosa + i sina, on aura
I I
z z* '
et, en remplaçant acosa par x dans la première des for-
mules (5), on trouvera
I m . m(m — 3)
:^-\ =zar x^-^-^ i^ :*"-<
z* I 1.2
m{m — 4) {^ — 5)
1.2*3
• . . 9
formule qui se réduira à une identité si l'on y remplace x par
I
Z
Développement des fonctions sinx et cosjr en séries
ordonnées suivant les puissances croissantes de x.
183. Les formules (i) du n® 163 peuvent s'écrire de lama-
• \
niere suivante :
oosma mim — i). , . wf.. .(m— -aw-Hi)^ ^ _.
;;;;^ST = ' L_^tang*fl-h...± f-r—:- — ^tang^flipR,,,
, , , C08-fl i.a " i.a...aiz
(0^ .
sinma m. w...(/ii— a). . ^ OT...(/if— a/f) , ^^,
238 TRAITÉ DB TRIGONOMÉTRIB.
en posant
^ m.., (m — p — i) ^. m.. .(m — p — 3)
R„ = , ^ tangi'+» a ^ ,^ tam^P-^* a
les quantités Rj„ et Rjn+i mesurent les erreurs que Ton com-
met quand on néglige les puissances de tanga supérieures
à la (an H- iV**"' dans les valeurs de — - — et de ; nous
^ ' cos*"û ces" a
allons chercher à assigner des limitq^ de ces erreurs, en suppo-
sant l'arc a compris entre — j et -h ^ ? et, par suite, tang* a<^\.
La somme R^ se compose d'un nombre limité de termes qui
sont alternativement positifs et négatifs, quel que soit le signe
de a, et il est clair que les valeurs absolues de ces termes se-
ront constamment décroissantes, si Ton a
[m — p — 2)(/w — p — 3) , ^
(/! + 3) (/^ -*- 4) ^ ^
par conséquent, la valeur de R^ sera comprise entre zéro et la
valeur du premier des termes qui entrent dans son expression,
en sorte que l'on aura
„ ^mim — i)...fm — p — i)
Rp = Ç — ^ ' — 7^ ^ tang/'+'û,
en désignant par (^ une quantité comprise entre zéro et
l'unité. Nous pouvons donc remplacer, dans les équations (i),
Ra„ et RîjHj-i par les valeurs que prend l'expression précédente
de Rp, quand on y fait p =z2n etp = 2/i-+-iî poiu-vu ce-
pendant que l'inégalité de condition écrite plus haut soit véri-
fiée pour pzszan^ auquel cas elle sera nécessairement satis-
faite pour /7 = 2/z -H 1 . D'après cela, si l'on pose
nui := 4r,
que Ton remplace a par — dans les premiers membres des
formules (i), et m par - dans les seconds membres, que l'on
désigne enfin par 6 et X les quantités comprises entre zéro et i
caAPiTRB cncQciluis» 289
auxquelles se réduit ( pour p=zaneip = an-hï,on aura
I
O0S:r jr(jT — a) / tanga
X.
cos* —
Ht
1 .2
^ta^y_^
*(* — a). . .(x — 27ia -f- a) /tanga\
}n
I .2. . .2/2
^ «î^l^ — «)• - -(^ — 2/IÛ —
(^)
a) /tangflX
îlM-2
sin.r
cos
m
.«
.r / tanga \
I .2. . .(2/1 -h 2)
ar(ar — a) [x — 2a) /tangtfX*
1.2.3
m
in+t
x(x — a), . .(j: — 2/i«) /tangaV
1 .2. . .(2/1 H- i) \ « /
jr(jî — a). . .(x— 2ifa — 2a) /taiiga\*»+»
■^ 1.2. . .(2/1 + 3) \ ^ / '
et l'inégalitë de condition deviendra
(
JC
— 2/ïa — 2a) (« — 2/wi — 3a) /tanga\'
{2/l-t-3)(27H-4) \""^/ '^''
Supposons maintenant que, n étant un nombre aussi grand
que Ton voudra, mais invariable, on fasse augmenter indéfi-
niment l'entier m, de manière que le produit ma = x reste
constant; on aura à la limite non-seulement a = o, — — = i ,
mais encore cos*" — =5 1 . En effet, on a i — cos — <^
et.
m
m nm'
à pltts forte raison,
.r je ^ X*
cos cos* — <C • • • •
m "
cos?»-' cos!" — <
m 2/»' m m 2/w*'
en ajoutant toutes ces inégalités, il vient
I — cofiP — <rm — ; ou <; —
»*• 2/n' 2m
m
n résulte de là que cos*" — est compris entre i et i 9 et,
par conséquent, eette quantité se réduit à Tunité quand m est
a4o TRAITÉ BB TRIGONOMÉTRIE.
infini. D'après cela, les équations (a) deriennent à la limite
X^ X^ « J^^^
COSa;= I h...dz zcÔ ; r,
. 1.2 i.2...a« i.a. . .(a/î-ha)
.. X x* . ;r'«+' ^ a:*H^
SIIIJ: = =- H- . . . ±: ; r q= A -— -, — r ,
I i.a.3 i.a...(a/n-i) i.a...(awH-3)
et l'inégalité de condition se réduit à
Les équations (3), où 9 et X désignent toujours des fractions
comprises entre zéro et i , ont lieu pour toutes les valeurs de n
qui satisfont à la condition (4). On voit, en particulier, que, si
X est compris entre zéro et -9 on a
8in.r>.x — -^y cosar<l -4-^*
O 2 24
Supposons maintenant que l'entier n augmente indéfini-
ment ; les fractions
.r-""*"^ XXX X
• •.» • —
1.2, . .(2/< H- 2j I 2 3 2/2 +
• • •
I .2. . . (2/2 + 3) I 2 2«H-3
auront pour limite zéro, car ce sont des produits dont les fac-
teurs plus grands que i sont en nombre limité, tandis que le
nombre de ceux qui sont inférieurs à i , et même à telle /rac-
tion que Ton voudra, peut devenir plus grand que tout nombre
donné : on peut donc écrire
•' x^ x^ x^
ces «7 — • I ~~" ~~~~~ ~T~ li 1 "~~ n 2; ^* • • • »
.^. , 1.2 1.2.0. 4- 1.2.0. ..D
\^) {
X X^ X^ X*
sm a: = H ^ > ^ 5 h . . . .
I 1.2.0 1.2.0.4*5 1.2.0. ..7
Les seconds membres de ces formules (5) sont des séries
illimitées qui restent convergentes, comme on le voit, pour
toutes les valeurs de x comprises entre -*- 00 et -f-00 ^ les
CHAPITRE CINQUIÈME. * ^4^
formules (3) font connaitre les restes de ces séries, c'est-à-dire
les erreurs que l'on commet quand on s'arrête à un terme
quelconque.
184. Les formules (5) fournissent le moyen le plus simple
de calculer le sinus et le cosinus d'un arc donné. Si Ton fait
j: = et qu'on calcule les coefficients avec vingt-deux dé-
cimales, on obtiendra les formules suivantes :
C09
( " • ^) -
1,0000000000000000000000
m'
— 1,2337005501361698273543 -j-
/r
m'
0,25366950790104801 36366 -7
/î'
W
— 0,0208634807633529608731 -;
n
0,0009192602748394265802 ~
m'
là
m
0,0000252020 423730606055 -jj-
12
0,0000004710874778818172-^
m
14
— 0,0000000063 866o3 08379 ^9 "ir
/î"
m
16
0,0000000000650596311498 —^
/I"
//}
II
0,0000000000005294400201 —rr
n
0,0000000000000034377392
m
M
m
»
— 0,0000000000000000183599 — 5y
n
»
0,0000000000000000000821 — =r
m
a«
— 0,00000 00000 0000000000 o3 —57
n
su
Trig, S.
sin (^ . 90^) =
1,57079632679489661923 13
m
n
nr
— 0,64596 40975 06246 25365 58 -j-
fV
ne
0,0796926262461670451205 -j
n'
m*
— 0,0046817541353186881007 -Y
-Ho,oooi6o44i 184787 35982 19
1?
m
II
— 0,00000 35988 43235 2 1 208 53 -jr
9m
m
1.1
0,00000 00569 2 1 729 2 1 967 93 — ij
rv
m
is
— 0,00000 00006 688o3 51098 1 1 —^
m
17
0,00000000000606693573 II -7?
fV
m
19
0,0000000000000437706547 -ï^
JV
m
31
-+- 0,00000 00000 00000 257 1 4 23 — jy
n'
—0,0000000000000000012539
+ o ,00000 00000 00000 00000 52
m
3S
n
33
m
3&
n
3&
16
•.'
24^ TRAITÉ BB TRIGONOMÉTRIE.
Les sinus et les cosinus des arcs depuis zéro jusqu'à 45 de-
grés comprennent les sinus et les cosinus des arcs depuis 4^
jusqu'à 90 degrés 5 on peut donc toujours supposer — <C - dans
les formules qui précèdent, en sorte que les séries seront telle-
ment convergentes, qu'il n'en faudra jamais calculer qu'uji
très-petit nombre de termes, surtout si l'on n'a pas besoin
d'un grand nombre de décimales.
c- i> r •-. • * "* 12345
31 Ion fait successivement — = — ? — » — j -ï-j — ? on
71 10 10 10 10 10
obtiendra les résultats suivants :
sin 9° = ces 8 1 ® = o , 1 5643446^0402 3 1 ,
sin 1 8*» = cos 72° = o , Sogo 16994374947 »
sin 27*» = cos63*» = 0,4^3990499739547,
sui36° = cos54° = 0,587785252292473,
sin 45° = COS45® = o , 707 10678 1 186548,
sin 54** = cos 36" = o , 8090 1 699437494? 1
- sin 63" = cos 2 7° = o , 89 1 oo6524 1 88368,
sin72" = cos 18° = o,95io565i6295i549
sin 8 1 ** = cos 9*» = o , 987688340595 1 38,
lesquels s'accordent avec les formules du n° 37.
Décomposition des fonctions cos x et sinx en un nombre
arbitraire, mais limité, de facteurs,
185. Des formules du n** 163 ou de celles du n® 181 il résulte
sin ma « ^
que, si m est pair, cos ma et — -. sont des fonctions en-
^ * ' msinacosa
tières de sin a, qui se réduisent l'une et l'autre à l'unité pour
sina =: o. En outre, la première de ces fonctions, qui est du
degré m par rapport à sin a, s'annule, ainsi que ces ma, pour
les valeurs de a comprises dans la suite
— (m — T):r 3r TT 7: ^n [m — iItt
2m 2/« 2/71 2m 2m 2m
elle est donc divisible par chacun des facteurs binômes
sin^a sin' a sin*«
I • > I 5 — î • • • » • I y r— 9
sm' — sm^ — sm' ^ ^—
2m 2m 2m
CHAPITRE CINQUIÈSB. ^43
et, parce qu'elle se réduit à i pour sina = o, elle est précisé-
ment égale au produit de lous ces binômes.
La seconde fonction est du degré m — 2 par rapport à sin a,
et elle s'annule pour les valeurs de a comprises dans la suite
{m — 2)ir ^ic '2ic 2ir 4" . (^ — ^)'^.
,..., , j -I , -^ 9***9 -t- «
9.m 2/71 2//1 2m 2/w 2m
en conséquence, elle est divisible par chacun des facteurs
I —
sin' a
sin' a
I
>
. - 2ir
sm' —
sm^-î—
sia-rt
sm'i '—
2m 2m 2m
et elle est même égale au produit de tous ces facteurs.
En mettant — au lieu de a, on aura donc, pour les valeurs
m
paires de m,
(0
i-mi
co8j:= I I 9 — Il I 5 — r'*l > —
sin' —
X
m
,i„,C"'-0^j'
2 ni
sm' — \ / sin" —
sina:= m sin — cos — | i l'"l ' —
m m \ .-37rf \ ., (m — 2)a
* sin' / \ sin' > ^—
2 m / \ 2 m
Par un raisonnement semblable, on obtiendra, pour des va-
leurs impaires de m.
sin* —
X I "i \ / '» \ / '«
cosa:= cos — I i Il I 5— ]"'{ I : x
2 m
sin* —
tn
sinj::=/n sin — I 1 Il i -. — l«''l i —
(»)
(sin* — \ / sin'
m \ /
. («1—1 )îr
sin'^ i-
2 m
•^
^44 TBAITÉ DE TRIGONOHfiTRIE.
Si Ton transforme les formules (i) et (2) en faisant usage
de la relation identique
r-T- = cos*w I — 1
sm^v \ tang^r/
on aura, pour les valeurs paires dé /ti,
(3)
C08X = C08«-( I Il I -— |...| I _ p
sina.- = co8'" — •mtang — I i |"*| » —
^ tang'— / \ tang'i — • — '—
et, pour les valeurs impaires de m,
(4)'
,(«-3)5 I'
2W* /
fl \ / . . a:
tang* — \ / tang* —
8in^=cos'- --. wtang — I i ^ \ l m
-\ Ung.-; \ tang.^"-')»
am/ \ " 2m
Décomposition des fonctions cosx ef sina: en un nombre
infini de Jacteurs,
186. Lemme. — Si l'arc x croît de zéro à -y le rapport
diminue et le rapport -^^ augmente; en d'autres
smx
termes, on a
sin(jr^A) sin.Tr tang(j--h ^)^ tang.r
si X eth sont positifs et quex-hh soit inférieur à - •
CHAPITRE CINQUIÈME. 24^
Eu effet, si Ton multiplie la première inégalité pai* 7 >
que l'on développe sin(x -h h) et que Ton fasse passer tous
les termes dans le second membre, elle devient
I — cosA /tanffx sinA\ ^
«ang- —x— + [-f ^J >o,
et sous cette forme on en reconnaît immédiatement Texacti-
I , . .^ tang^r sinA ,, ^ , ,
lude, car i — cosA est positif et — r— A est egale-
tan£r.r . ,. sinA ^
ment, puisque — '— est > 1 , tandis que —j— est <^ i .
SID X
II faut remarquer que le rapport continue à décroître
quand x croît de - à n-, car, dans ce cas, le numérateur dimi-
nue, tandis que le dénominateur augmente.
Quant à la deuxième des deux inégalités proposées, si Ton
y remplace les tangentes par leurs valeurs en sinus et cosinus,
on lui donne aisément cette forme
sinVi -I- 7. a:) sînA
// -f- 2X h
ce qui a lieu, d'après ce qui précède.
Corollaihe. — Si x et x + h sont compris entre zéro et - ?
on a
sin(x -f- h) JT -h h tang(.r -+- h)
sinx x tang:K
Il résulte de là que, si l'on désigne par u et v deux arcs quel-
conques compris entre et H — > on aura
±(-ïï)<^(-?)<±(-si-:>
le signe ambigu it: indiquant ici qu'il faut prendre la valeur
absolue de la quantité qu'il affecte.
246 TRAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.
187. Le corollaire qui précède va nous donner le moyen de
trouver ce que deviennent les expressions de cosx et de sinar
obtenues au n° 485, lorsque l'entier m devient infini; nous
considérerons, par exemple, les formules (i) et (3), où m dé-
signe un nombre pair, et nous multiplierons chacune d'elles
par le facteur ii= i , en convenant d^employer le signe qui rend
les membres positifs. Le nombre m étant supposé assez grand
pour que la valeur absolue de — soit inférieure à -> si Ton fait
usage des inégalités
."7' ÎT X «î?
zh sin — <" zh — <r lit tanj; — > cos ~ <' i ,
m m m m
<
et de celles qui sont fournies par le corollaire du numéro pré-
cédent, les formules (i) et (3) du n® 185 donneront
=bcos.r>=iicos* — . ( i— ^ ) ( i— ^ ) ... (1 — 7 — ~ U
et
sin.r
(-£)('-é)-('-o;^^0
ztsmr>>it:cos'"— ..r i ) 1—7—, 1 ••• '—- 7 ^ — ;
Or nous avons vu (183) que l'on a
ces'" — = 1 — 0«,
m
6,n étant une cj^antité qui s'annule pour m = 00 • par consé-
quent, si Ton désigne par e,„ et r;,„ des quantités inférieures
à 0,„, on aura
ico»=(-*^)(-:-5)-(-ô;ré?p.)..-..
I sina: = a-| I -Il i — -7—. [■••I i — ; ^I— ;l(i — 1«J'
CHAPITRE CINQUIÈME. ^47
Si muintenant on fait tendre l'entier m vers l'infini, les quan-
tités e„ et 7;,„ tendent vers zéro, et Ton aura à la limite
Ces formules donnent les valeurs de cos ar et de sin x décompo-
sées en un nombre infini de facteurs linéaires -, la périodicité
de ces fonctions y est en évidence.
488. Formule de Wallis. — La première des formules pré-
cédentes peut s'écrire ainsi
f4^=(.^-Vl(-^-5)(-&)-
X
2
Faisant ;cr= -? il vient
1
ï=^('-5)(-i)('-é)
ou
ïT^^a 2446688
2 i33557'79
formule remarquable due au géomètre Wallis, et qui donne
la valeur de - comme limite du produit d'un nombre infini
de fractions, alternativement plus grandes el plus petites que
l'unité.
Décomposition des fonctiojis tango: et cotx en un nombre
arbitraire, mais limité, de fractions,
189. Si f\z) désigne la dérivée d'un polynôme f{z) de
degré m, et que «i, a^, . , ,^a^ soient les m racines de l'équa-
2{8 TRAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.
tîony(j:) = G, on sait que Ton a
"^--^^ — H h . . . -h
f[z) z-^a, z — a^ *** z — a„,^
en outre, si a^ el a, sont des quantités imaginaires conjuguées,
et que l'on fasse a^ = /• (cosa -h i sina), a, = /• (cosa — i sina),
la somme des deux fractions » sera
z '—- (i{ z '— a^
iz — 2rcosa
.2
•
' z^ — 2 /-z cosa -f- /
Appliquons ce résultat aux deux polynômes z'"-|- /'" et
^m — j.m^ q^j Qjj^ j»^jj^ ç^ l'autre pour dérivée mz"^"^ \ on
aura (175), pour des valeurs paires de m,
TT [m — i)7r
2Z — 2rCOS — 22 — 2/COS^ —
mz'*~'^ m m
rit ! ..m
h. . .H 7 :
2' — 2 /Z CCS h n z^ — 2 rz cos ^ h r
2"
2' — 2/2 COS
27r
22 — 2/'COS
mz"*-^ 1 I m
H h
301 — , « 3 -I- r 2 — /• 2 TT
2* — 2 /•2 cos h r^
m
(m — 2)7r
22 — 2 /-cos —
m
4-
z»
(m— 2)7r
— 27 2 cos i h / *
m
lit, pour des valeurs impaires de m,
772
22 — 2rcos —
= h
2'" -f- / "• 2 + /- , m
2^ — 2 r2 cos h / *
ir
(m — 1)1:
22 — 2 7 cos ^—
z* — 2 r2 cos
[m — slîT
V L. -j- ,2
m
CHAriTas ciNQUiftMS. M9
2ir
2 Z — 2 r COS
z' — 2/3 COS h r'
m
(m — i)n
iz — 2r COS ^
m
[m — IJTT
m
Multiplions ces quatre équations par r, et retranchons de
chacune des équations résultantes celle qu'on en déduit en
permutant les lettres z et r; il viendra, pour des valeurs
paires de /n ,
• 2" — r" z' — r'
! m = 2
z"* -f- r"* , ^ . î
z* — arzcGS h A
m
-f-2
(m— -iJTr
z* — 2 rz COS ^ 1- '
m
m
z^ ^_ ,.« z' H- / * z' — '•*
2« — , « z^ — /•* 2 îï" ,
z^ — 2 rz cos h /•'
m
z»— • /'
('«— ^O'f _^.a'
z* — 2 A z cos ^ !- / ^
m
et, pour des valeurs impaires de m,
' z«« — / « 3 — r z* — / ^
7»
•4- 2 — 4-. . .
2« _|_ ,./« z -h r , ^ . 7
a' — 2/zcos h /
m
[ni — ?.)7r
' — irz cos \- >
m
(->) /
m = h 2
g/n /^w 2 i
z» —
7»
1
z» —
2rz cos
27r
-*-/^
1 • •
z^
— /
2
{m — \]r. _ 2
z^ — 2 rz cos h /
m
^50 TRAITÉ DB TMGONOMÉTIIIE.
Posons
z=:cos hisin ~, rzn ces— — /sin— :
^ m m m
U viendra, pour des valeurs paires de m,
; tangar = — cot -^
m m
sm» — sin* ~
JC
sin» :;^ - an' i sin» I^ZLLII _ sfa,.
COl.r ziz - - cot col —
m m m m
sm' — sin'—
• sia' ^ - an' :! sin» ^-^^:ll - sin' -
eu pour des valeurs impaires de w.
I .r •» jr
i ïauç:x=: ~un^- -, col--
m ^ m m tu
sxiv — sue} —
X, '^
« % «
jr
§m- sin'-~ siQ' ^^ an- —
Mti m 0/7J m
^ â« lîi m
^vr ~ sm-
-^î? . r . ^C*» — l^sr
:jAa* sut- — sm'
->»t '^ ant
Si l\>a iuljxviuil des l4UQ^nle$ i la place des siniis qui figurent
d*u$ le$ |VArvtitbè:$)«s;. i>n aura cncoi^. pcwr des Taknrs paires
CHAPITRE CINQUIÈME. 25l
de 171,
tang:r — tang -. -h - I cot -- -h tang ~ )
j m m \ m m]
tang^ '— tane* —
m ^ m
XI h...-h —
(5)
tang' tang' — tang* ^ ~ tang* — -
(•?. 25? x\ '>. I T. x\
— cot tang — I ( cot h tang — )
m m m j m\ m ^ m ]
cotjr
.■77 nr
tang' — tang- —
m ^ m
X
tang* tang' — tang' tang* —
et, pour des valeurs împaîres de m,
i tang.r = tang — -r- — ( cot ~ -h tang — 1
I ^ ^m m\ m ^ m)
tang- — tang* '
m m
X"
^77 ^x '* ^{m — 2)7r .T
tang* tang* — tang* ^ tang* —
(6)
\ [ ,T X \ X *y [ X
cot X = — ( cot -^ — H tang — ) — tang— — ~ | cot —
m\ m m I m m\ m
X X
tang* '— tang* —
^ m m
X
tang
. ?.7r .r (m — l)Tr ^ x
tang* tang* — ■ tang* ^^ tang* -
7. m m 2/n /?/
Décomposition des fonctions tango: et colx en un nombre
infini de fractions simples.
490. Il est facile de trouver ce que deviennent les for-
mules (3) et (4) ou (5) et (6) du numéro précédent, lors-
qu'on y suppose infini l'entier m qu'elles contiennent. Pom*
plus de simplicité, nous supposerons d'abord que x est com-
pris entre o et -? et alors toutes les fractions qui figurent
25:i
TRAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.
dans les parenthèses des formules (3), (4)^ (5), (6) seroni
positives. Nous considérerons seulement les formules (3)
et (5), dans lesquelles m est un nombre pair, et nous ferons
usage du lemme démontré au n*' 186, on a, d'après le corol-
laire de ce lemme,
sin'tt — sin*p u} — »>'
tangV
tang^i^ — tang'p
si u est supérieur à f^ et que u et v soient compris entre o et - •
Au moyen de ces inégalités on déduit des formules (3)
et (5) du n^ 189
lang —
m ^ 2 .r
tangj?>
or.
m
(j—
X
(i) / sin —
m .ri
cos — I tang:r
m
.-tang£)
<
7,X
[ÏÏ-
2-.r
i^^^]-'
-f ■ . . . 4-
2x-
[m — i) n y
2
p:/
et
sin —
(2)
m
cos
X
m
— cota: -4- ( I -+- V- I tang ~
ml \ mj °/wJ
>^
o j:
X TT* .C'
X
tang— ,
ml I X
cot-c H tang —
.î: \ mm
m
1 ix
X TT' X^
IX
■ [
(m — 2)
^T-
2.r
(m — 2) 'K~y
2
■-
GHAPITBS CINQUliXE. 253
Si maintenant on fait tendre Tenlier pair m vers Tinfini, les
premiers membres des inégalités (i) tendent l'un et l'autre
vers la limite tangx; la somme qui constitue les seconds
membres se réduit donc à une série convergente qui a aussi
pour limite tango:. Pareillement les premiers membres des
inégalités (a) ont l'un et l'autre pour limite cotx, d'où il suit
encore que la somme contenue dans les seconds membres de-
vient une série convergente qui a la même limite cotx. On a
donc
(3)
2X 2.x T^X
I IX IX 2X
cot^-- — ^-j— ^,- (2„^»-,:c»-""(3ir)^-x^ 4-...,
formules qui peuvent aussi être écrites de la manière suivante :
tangx
VIZ "K \ \ OTT 3ff
X --|-.r/ \ X \-x
2 2 / \ 2 2
COtJr
X \iz — X 7r-4-x/ \2T — X 7.is-^.rj
Poiir établir les formules (3) et (4) nous avons supposé x
compris entre zéro et - ; mais comme les seconds membres ne
font que cbangcr de signe, ainsi que les premiers membres,
quand on cbange x en — x, on voit que les formules ont
lieu pour les valeurs de x comprises entre et + - j enfin
on reconnaît immédiatement que les seconds membres des for-
mules (4) ne cbangent pas quand on cbange a: en j: -f- tt^ ce
sont, en d'autres termes, des fonctions périodiques de x qui
ont la même période que les premiers membres. Il s'ensuit
que les formules (3) et (4) subsistent pour toutes les valeurs
de x comprises entre — oo et -H oo ; on voit que les fonctions
tango: et cot o: sont décomposables en une infinité de firac-
tions simples dont les numérateurs sont égaux à l'unité, et dont
254 TRAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.
les dénominateurs sont les binômes du premier degré qui,
égalés k zéro, fournissent les racines des équations
. tangx = 00 , cot.r = oo .
Remarquons en terminant que chacune des deux formules (3)
ou (4) peut se déduire de l'autre en changeant, dans celle-ci.
o: en x.
2
Si, après avoir divisé par x la première des équations (3),
on fait X = o, on obtient la formule
7t' I " I 1 I
— _!. _4_ _ >_ _4«
8 ~" I» ^ 3» ^ 5' ^ 7' '
pareillement, si Ton retranche - des deux membres de la
deuxième équation (3), que l'on divise ensuite par x et que
l'on fasse x == o, on obtiendra, en faisant usage des for-
mules (5). du nO 183,
tt' I I I 1 I I
,1
et, en divisant par 4?
TT^ I I I I
la convergence de ces séries résulte évidemment de l'analyse
même qui nous y a conduit.
Décomposition des Jonctiojis coséc x et sécx en un nombre
infini de fractions simples.
191. On a
1 I I I I
cosécj:= -; = -tang -.r H — cot-x;
Sm.r 2 2 2 2
si donc on remplace x par -x dans les équations (4) du nu-
méro précédent, et qu'on fasse ensuite la demi -somme des
CHAPITRB CIHQCiftMB. 255
résultats, on aura
cosec x = — h I I — I )
\37r — X 3ir -}- j?/
d'où Ton tire, en changeant a: en x^
^K\j •^ ■ ■ ■
w. . - .
5ir SîT
j: \- .r
2 2
Ces formules peuvent encore être écrites de la manière sui-
vante :
I 2.r 2.r 2J?
cosec ^ = - -f- — -— -. r- H- .^ ^ — . . . ,
(3.) < , ïT 3w 5ir
(i)'- (^)'- (ï)'-
en faisant j:= o dans la deuxième équation (3), il vient
TT III
4 J 5 7
Dé\feloppement des fonctions tangjc et cota: en séries
ordonnées suix^ant les puissances croissantes de x,
192. Si l'on pose
' 2.r 2.r
tang.r — R„ = -7— r- f- . . . -{-
(0
©■-«• [^Î^^J-
_, I 2.r 2ar
COtx — R_ r=
les quantités R„ et R'„ tendront vers zéro (n° 190) quand n
256 TRAITÉ DB TRIGONOMÉTRIE.
tendra vers Tinfini. Or on a, par la division,
T I Z 3*
a — z a a^ a}
et la série contenue dans le second membre de cette formule
reste convergente pour toutes les valeurs de z comprises entre
— a et + a ; donc les fractions eu nombre limité dont se
compose la valeur de tangj? — R„ seront développables en
séries ordonnées suivant les puissances croissantes de x pour
toutes les valeurs de x comprises entre et H — ; pareille-
ment, les fractions qui figurent dans la valeur de cot j- — R'„
seront, à partir de la deuxième, développables en séries or-
données suivant les puissances croissantes de x, pour toutes
les valeurs de x comprises entre — tt et H-tt; on aura, en for-
mant ces développements^
„ 2* r I I il
■*• I • * • f
(2)
2* r I I I "1
7r*Li* i* (2// — i)*J
" 2 r l I 'Ta
— T I "77 H - -f- . . . -f- '. 7- I .r — ....
ff'Li* 2* \n — i/J
Nous avons établi au n^ 190 que les séries
III III
sont convergentes pour fz = i ; donc elles sont, à plus forte
raison, convergentes pour |!^ > i . Si donc on désigne par ^^
et S',jt les limites de ces deux séries et que Ton fasse
I T
l^ "*" 3^i^ {2/î— l/i*
^11 t
S'.. = 4r + ^+...
f
ail - • - ' - . «-
i^i* a^j* •••^(«— ,^2i. ^'
CHAPITRE CINQUIÈUB. 25^
a^ et <x^ s'annuleront pour 71 = 00. Cela posé, on peut
écrire comme il suit les équations (2) :
/
(3)
tangx — R« =
cotj:
/a» S, 2*84 2'Sfi \
îT r 2.r ( '>.x\^ "1
a S',
«'-(-:-
2 S'
JT —
'x'
2 S'
ix^ —
TT'
TT^
■)
■^n"'^^"'©''^""]'
Or, si Ton désigne par a la plus grande des quantités «3, ^4, . . . ,
a j , a^ , . . . , les valeurs absolues des deux sommes
(4)
2a: /2.rv^ , .r , /•'^X'
a' i- «4 I )-+-..., a, h a. ( -- ) -f- . . .
TT \ ^ / ^ X'f /
seront respectivement moindres que les produits de a. par les
valeurs absolues des deux nouvelles sommes
(5)
2.r /2.r\^ .2? /.r\*
— -+-— H-..., -+--f.
TT \ TT / ir \7r/
Les quantités (5) sont des progressions géométriques qui sont
convergentes, la première pour les valeurs de x comprises
entre et -î- - ? la seconde pour les valeurs de x comprises
entre — tt et -h tt : d'ailleurs a devient nul, ainsi que R„ et R'„
pour n:=^co\ donc on a à la limite
tango: =
2 O2 2*04
X -1 -^^
a'S,
x^
X'
(6)
TT'
TC*
cet X =
I
X
2 S'
71'
— - X^
2 S'
' X'
• 1
la première de ces équations subsiste pour toutes les valeurs
de X comprises entre et -f- - 5 la deuxième pour les va-
leurs de x comprises entre — it et -+- tt.
Triff. s. 17
a58 TRAITÉ DE TRlGOItOKÉTRIE.
On a identiquement
,r
Sj.j. — Sj.j. —
et si Ton fait
i5j-i — J^j.t ■"" — ~ *^4ti 4
(7)
B„ I / I I I \
-^ 1- z=z ( 1 -4 I ! i- 1
I.2...2/X 2'i^>7r2:^\ 2='«* 3'1^ 4'»* " /
on aura
I (2'i^— i)7r^î*B^ ^, 2*»*-'7r'i*BJ*
(8) Sa» = 5 ^2)L =
^11 .2. . .2|;/t ^ 1.2. . .2/x
Remplaçant, dans les équations (6), S^j^ et S'^j^ par ces va-
leurs, il vient
tango: =22 (2'— i)B,-^— -f-...4-22"i22"— i)B„ :-...,
1.2 ' 1.2.. .2/2
19) ^
I cotJ:=- — 2*B, -^— ...— 2»'»B„
an— I
X 1.2 1.2. ..272
La seconde équation (9) prend une forme plus élégante
."17
quand on met - au lieu de x \ on obtient ainsi
(10) I — -COt-=:B, -^ hB, ^;-7-f-...-+-B« ^ h- ••»
2 2 1.2 1.2.0.4 1.2. ..271
formule qui subsiste pour toutes les valeurs de x comprises
entre — 27: et 4- 27r.
193. Les coefficients Bi, 6s, Bg,. • ., qui figurent dans les
formules (9) et (10), se rencontrent dans un grand nombre de
questions d'Analyse \ ils sont connus sous le nom de nombres
de Bernoulli. L'équation (7) donne l'expression générale de
ces nombres \ mais cette expression contient la transcen-
dante TT et en outre la somme d'une série indéfinie. D est
aisé, comme on va le voir, de déterminer successivement les
nombres Bi, Bs, Bg, . . . , qui sont tous rationnels.
On sait que, si deux séries ordonnées par rapport aux puis-
sances croissantes d'une variable x restent convergentes quand
on réduit tous leurs termes à leurs valeurs absolues, et qu'on
CHA.PiTaB ciNQUiÈMB. aSg
ordonne par rapport à a: le produit de ces deux séries, le ré-
sultat obtenu est lui-même une série convergente ^ en outre,
la somme de cette nouvelle série est le produit des sommes
des deux premières. Cela posé, on peut déterminer les nom-
bres B„ au moyen de la formule (lo) en multipliant celle-ci
par I — cosx ou par sinx; on a identiquement
I cet - ) ( I — cosjr ) = 1 — coso; smx,
22/' 2
/ x x\ , X
Il cet — I sm j: = sinar ( i -h cos^r ),
\ 2 2/ 2 ^ '
et si Ton remplace dans ces é2alités i cot -> sinx et cosx
^ *^ 2 2
par leurs développements en séries, on trouvera
(aî* .T* \ / x^ .T*
B| h Bj V— 7 -f- . . , ) ( 5— T -f- . .
1.2 1.2.3.4 / \''2 1.2.3.4
(X^ X* \ :r / X x^ \
1.2 1.2.3.4 '/ 2\I 1.2.3"^''/
/ X» x* \ /.r .r^ \
B, hB, ^^-7-f-... r 4-...
\ 1.2 1.2.3.4 / \I 1.2.3 /
_^/x x^ \ ^^ ( ^ ''^ •^* \
\i 1.2.3 '/ 2\ 1.2 1.2.3.4 '''y"
Effectuant les produits indiqués dans les premiers membres,
égalant ensuite de part et d'autre les coefficients de a:*"+* dans
la première formule, et ceux de x*""*"* dans la deuxième, on
obtient
=
1 .2. . .(2/1 -f- 2) 2 1 .2. . .(2/1 -f- 1)
I B. I B2
1.2. . .2/2 1.2 1.2. ..(2/2 — 2) 1.2.3.4
("X p
-+-(-1)"-' 7—^ ; ^ +
1.2. ..(an — 2f* -1- 2) 1.2. . .2(1
+ (_,)r.-. J h ,
I .2 1.2. . .272
«7
a6o TRAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.
et
o =
1 .2. , .(2« H- l) 2 1.2. , .2/1
I B. f B,
1.2. ..(2/1 — 1) 1.2 1.2. ..(2/1 — 3) 1.2.3.4
(12) {
/ V . ï Bm
-^ (— I «*-' z r 1- . • .
^ ' 1.2. ..(2/Z — 2/X-l-l) 1.2. ..2fA
-:-(-.;- 1 — ?^i
I 1 . 2 ... 2 71
Tune quelconque de ces formules (11) et (12) déterminera B„
si Ton connaît Bi, B^, . . . , B«_j -, par exemple, la formule (12)
donnera, en faisant n=::i,2, 3^...,
3 2
» ï 4 « ^
^ H---B| — Bâ==o,
5 2 2
I I 6 6.5.4 l> . T>
;- — B| 5 — 7 B, -r- B5 — o,
72a 2.3.4
i I 8„ 8.7.6^ 8.7.6.5.4_, _ _
v^ B| ,—7 B, H o f er il B3 — B4 — O,
922 2.3.4 2.3.4*5.0
équations desquelles on tire successivement
B. g.
9
^' 3o^
^' 4i' ^' 3o'
B.r.gg>
2730
B7 H-^ 2f > • • • •
La suite des nombres de Bernouili est d'abord décroissante,
mais à partir de B^ elle devient indéfiniment croissante. Les
relations (n"^ et (ta) que nous avons obtenues ne sont pas les
seules qui lient enti^e eux les n premiers de ces nombres, quel
que soit n ; par exemple, on obtient deux autres relations qu'il
cou> îenl de remarquer au moyen des équations ^9) • On a effec-
tif eaieut
cotx. siaor z=r ci^)SJr»
tun^or^cvxjjp =: sta or»
WâPITRE CINQUifiHE. 26 1
et, en remplaçant les lignes trîgonométriques par leurs déve-
loppements en séries, il vient
1 - — 2»B, -^ -+-...) (^ '—— -i-...) = i— -^-4-
\^ 1.2 / \ I .2.3 / 1.2
Si Ton eflfectue les produits et qu'on égale de part et d'autre
les coefficients de x*" dans la première formule et ceux
de x*"""* dans la deuxième, on trouvera
I I I B,
=
1.2... 2/1 1 .2. . .(271H-1) I.2.,.(2« — l) 1.2
I . B,
j_
(.3)
1.2. ..(2/1 — 3) 1 .2.3.4
1 B.
If
2V
1.2. ..(272 — 2fAH- l) 1.2. ..2fi
+ (_I>l2'« ^
I I .2. . .2/1
=
2^(2^—1) B,
('4)
1.2. ..(2/1 — l) 1.2. ..(2« — 2) 1.2
, , 2^J^(2^«^— l) Bl*
+ . . .
1.2. ..(2/1 — 2fA) 1.2. ..2fA
I ; . 2 . . . 2 7Î
-+-. . .
Si l'on porte les valeurs de Bi, Bj, B3, . . . , trouvées précé-
demment, dans les formules (8), on obtient les résultats sui-
vants :
1 -+-
I
2}
4-
I
-f-
I
4'
6'
I -+-
I
2^
■
I
3^
-f-
T
4*
1
7r<
90
I -f-
I
2«
-4-
T
3-
+
T
"4^
-h. .
7r«
' 945'
1 +
T
2»
-{•
I
3»
4-
I
4'
-f-. .
.9450'
I -f-
...
T
2"
-h
• • «
I
3'«
• •
. . .
I
4"
...
-h. .
. • . .
ir«*
93655'
!
262 TRAITft 1>B TRIQOROHftTMK.
et
l ï T
'-^3' + 5' + 7^-^--
• 8'
'+3*-^5«-^7. ^-^
9^
I I I
'+3. + 5. + ,. +••
960
'+3«-*-5'-^ 7'-^--
I7ir»
' 161280'
I T I
2908040
et Ton voit que généralement les sommes des séries
ne contiennent dans leur expression, si m est entier, que la
seule transcendante tt.
Enfin, en portant ces mêmes valeurs des coefficients B dans
les formules (9), on a
a^ 2 X* I T a:'
i 1 X x^ 2.r'
[ j? 3 45 94^
194. Les formules (6) peuvent êtl*e employées pour la con-
struction des Tables de tangentes ou de cotangentes. Si l'on y
fait x= j elles deviennent
il 2
tan^'
-900 =: ^- S, ~ -4- S4 — + S. — -h. . . ,
[m \ *>. n \ l ^, m i „, m^ i ^. m> \
cot - 90») = Sa - ^- n; S4 — 4- -: s; — -h. . . |.
Ces formules ne sont applicables que si — est une petite frac-
tion, parce que les sommes Sj, S4, . . . , S',, S'^ , . • • décroissent
chàpitrb cinquième. 263
peu rapidement. On aurait obtenu des séries beaucoup plus
commodes pour le calcul, si Ton avait conservé dans les for-
mules (i) du n^ 192, sans les développer en séries, les fractions
et -y qui pour x = se réduisent res-
2j:
(i)-
JT*
, 4 ^^ — I à.mn T "1^1
pectivement a — et ^-^ -" Les développements
de ces fonctions sont
4 tnn ^ { ni m^ m^ \
I ^mn 1 f m m? m> \
et, si l'on retranche respectivement ces deux équations des
deux précédentes, on aura
//n \ 2/1 I 4'W'2
COt -90*>|=: 7-î
\n ^ J ir m ir ^'ï — »*
--[(s',-.)- + ^(s',-.)-+...J,
séries dont les termes décroissent très-rapidement. En faisant
le calcul des coeflScîents avec vingt décimales, on trouve
lang f — QoA = ^^^ , X o,6366i 977^3 67681 34307 55
\n J n. — m
0,39755 67820 59733 9330&
m
n
m""
0,01868865027732982117 -j-
0,00184 24752 o35io 03578 —7
m'
0,00019758007152047731 — ^
n-
nf
0,00002 16977 37324 86026 —g-
9W
li
0,0000024011 36991 41062 —^
264
TRAITÉ 0B TRIGONOMÉTRIE.
m
\%
0,00000 02664 i33o3 4^100 -^
/î*
m
ts
-h 0,00000 00295 86467 68288 -JT-
17
0,00000 00032 86788 37940 — JY
m
\%
0,00000 oooo3 65i74 90274 -75-
m
21
0,00000 00000 40754 08828 —57
0,00000 00000 o45o8 28887
m
is
n
29
m
n
-4 o ,00000 00000 oo5oo 9083 1 — jT-
37
o ,00000 00000 ooo55 65642 —57-
/w^
0,00000 00000 00006 18404 -5-
»'
m
SI
0,00000000000000068712 -jj-
«'
IW
33
,00000 00000 00000 07634 —^
m
S5
,00000 00000 00000 00848 — r
0,00000000000000000094 —yT
o ,00000 00000 00000 OOOIO -13-
m''
0,00000000000000000001 -TT
COt(~ 90M = ~ • o,6366i 97723 67581 34307 55358 53490 05744 80126
4/w/i
4/1^ — m
5 X 0,318309886183790671538
m
o,2o528 88894 14508 20154 —
n
m'
o,oo655 10747 88218 499^^ T
nr
— o, 00034 50292 55396 77702 —ç
n'
m'
0,0000202791 o6o5i 558o6 —
m'
— 0,00000128665271772267 -5-
n'
m
11
0,0000000764 95881 61606 "Tj-
m
is
— 0,00000 00047 59788 01257 —f
«■
m
i&
— 0,00000 00002 96905 16679 -j^
n'
m
17
0,00000 00000 18540 68275 -jY
m
19
,00000 00000 on 58 35398 -jj
n'
m
»
— o ,00000 00000 00072 88498 -jj-
n'
m
»
0,000000000000004 52872 -jj
n
m'
0,00000 00000 00000 28272 -^
m^'
0,000000000000000 01767 -"ÏT
— 0,0000000000 00000 OOIIO — 3-
n'
31
• m
— o ,00000 00000 00000 00007 "îT
CHAPITRE CIIVQDIÈMB. 205
Déx^eloppements des fonctions cosécx et sécx en séries
ordonnées suix^ant les puissances croissantes de x,
195. Si, dans l'ëquation
I I T I
coseco: = - tanff - .r H — cot - x.
7. H 2 2
on remplace tang - a: et cot ~ x par leurs développements en
séries, il vient
fi) cosécar=- -+-(2^—2)8, [-...-t-fa**— 2)B„
^ ' .r ^ ' 1.2 ^ ' I .2. ..2/2
formule qui subsiste pour toutes les valeurs de x comprises
entre — tt et + tt.
La fonction sécj: est aussi développable en série conver-
gente ordonnée suivant les puissances croissantes de x, mais
seulement pour les valeurs de x comprises entre et -1 — •
En eflet, les deux fonctions tangj: et cosécx étant dévelop-
pables en séries ordonnées suivant les puissances croissantes
de x^ pour toutes les valeurs de x comprises entre — - et
+ -» il en est de même du produit tang j: coséc j: ou sécx,
d'après un théorème connu dont nous avons déjà fait usage
(193). Comme la fonction sécx ne change pas par le chan-
gement de .r en ; — x-^ et que cette fonction se réduit à i pour
j: = o, son développement sera nécessairement de la forme
.r* ^ X* _ x^^
(2) sécx — I _i- C, — 4- C, 5-7 -i- . . . 4- C„ '- h
1.2 1.2.3.4 1.2. ..2/2
Pour déterminer les coefficients Ci, C,, €3,. . ., multiplions
la formule précédente par
x' .r< , , x^"
cosx = 1 1 5—7 — . . . -f- (— 1 1" h- ... ;
1 .2 ] .2.3.4 J*^* * «^'^
a66 TKAITt DI tbigohokAibu.
le produit des premiers membres étant égal à i, les diverses
puissances de x devront dispardtre dans le produit des seconds
membres. Égalant donc à zéro le coefficient de x*", il viendra
a/i(2/i — i)
O =" I — Cl H- . . .
I .a
. 2/1(2»— l)... (2/1 — 2tt-*-l)^ , .^
I .2. . .2/X ^ ^ '
formule qui déterminera G„ quand on connaîtra Ci, C«,. • .,
C«,.i* Faisant successivement 72 = i,2,3,...,il vient
I — Q = o,
1 — ~— C, 4- C, = o,
i.a
6,5 _ 6. 5. 4*3 _ _
1 Cl H ^ C ~ C3 = o,
1.2 1.2.3.4
d\ni
V» I — I « \*J ■— 0, l>J O I ) . . •\
oa voit par les formules précédentes que les coefficients C
sout tous des nombres entiers.
Remplaçant les coefficients B et C par leurs valeurs, les for-
mules (1) et (si) deviennent
ai 34 720
7-^
363
-h
3lJr»
iSiao
+ .-.,
1
6ij*
l « « » •
C\\^l ici f ixxa^fictt de &ire remarquer qu'on peut <d>teiur au
moveu de U t\>rtuule 1 1^ de$ relations linéaires noavdlcs entre
le$ c^M^lKeieuU B. P^ exemple^ oo a
M loiu ire«iq^>K^ le$ li$ue$ trî^^«K>ittelrtqu«s par kwrs vakors
CHAPITRE GINQUIÈMB. 267
en séries, qu'on eiSectue la multiplication indiquée dans le
premier membre et qu'on égale ensuite de part et d'autre les
coefficients de a:*""*, on trouvera
2* —
1.2. ..2/1 1.2. ..(2/1 — i) 1.2. ..(2/1 — 2) 1.2
-(-I)'
,2:* riL
1.2. ..(2/2 — 2p) 1.2. ..2ft
— (— l)»-» — 2»~»
B
n— 1
= (— l)«2(2"'— l)
1.2 I .2. . .(2/1 — 2)
B„
1.2. . •2/Z
Nous avons établi (19i ) qu'on a, quel que soit x,
I 2J? 2.x IX
COSeca:= i :: -; r h
secj7= — — : — \'
{t}--" m'-" m--
Si, par la division, on développe en séries ordonnées suivant
les puissances croissantes de x les fractions contenues dans les
seconds membres de ce^ formules, et qu'on identifie les résul-
tats avec les formules (i) et (2), on obtiendra
I I I 2 — ï « , îï:'
I 1 -^ Tt — 7-. -^ " '^ B, ir' nr —,
I I I 2' 't»4 7"^*
'"" 5^ "^ 5^ "" 4^ "^ 77^:34 ''^ "" ^'
(3) ( r 1 r ^^i 3,^6
I : + ^ — -7- -H. . .= t:B3 1c« —
2« 3^ 4« •• I...6 ' 30240
I I I 2**»-» — I ^ .
\ 2'" 3'» 4'"
1.2. . .2/1
268 TRAITfi DE TRIGONOMETRIE
et
(4)
I —
1 —
I —
I
3 ■
T
r
3i"'
I
5
T
T
5*
I
7
I
T
4-.
-t- .
— 4'
C, ir* ir'
1.22* 32 '
5^'
l . 2 . 3 . 4 3t*
i536'
I —
T
+
I
f
' , c.
. .... 9
3i«+.
52/1+1
1'"+' ' ■ ■ ■ 1.1...
2/î 2^'"*-=
Il faut remarquer que les formules ( 3 ) peuvent se déduire
de celles du n® 193, et que la première des formules (4) s'est
déjà présentée à nous ( 191 ) .
Des fonctions circulaires de ^variables imaginaires.
196. Les développements que nous avons présentés dans
les paragraphes précédents permettent de considérer les fonc-
tions circulaires sous un point de vue beaucoup plus général
que celui sous lequel nous les avons envisagées jusqu'ici. On
voit, effectivement, que, si l'on définit les fonctions sinz et
cos z par le moyen des équations
z z' z'
I 1.2.3*1 .2.3.4*5
(0
z^ z*
cos z r= I !-
1.2' I .2.3.4
on pourra attribuer à la variable z des valeurs imaginaires^
car les séries contenues dans les formules précédentes ne
cessent pas d'être convergentes, lorsque -^ désigne une expres-
sion imaginaire. Effectivement, une série dont les termes sonr
imaginaires est dite con^^ergente lorsque les parties réelles de
ses termes forment une série convergente, ainsi que les coeffi-
cients de i. En posant
z = p (cosw -t- i sinw),
CHAPITRE GINQUIÈUB. 269
les formules (i) deviennent
smz ==
pcosû» p*cos3w Y , Jp sinvi p*sin3w \
I 1.2.3 ~^ ' " I y i 1.2.3 '"j*
COSZ
-+-Î
or les séries
/ p'cos2« p'cos4w \
\ j .2 I .2.3.4 /
(p'sîn^b) p*siQ4w \
1.2 r .2.3.4 • * *y '
p p* p' 0*
I
1.2.3 ' 1.2 2.2.3.4
sont convergentes, quelle que soit la quantité positive p 5 donc
il en est de même, à plus forte raison, par un théorème connu,
des séries qui figurent dans les expressions précédentes de sinz
et de cos^.
Les fonctions tangz, cot^, sécz, cosécz ne sont dévelop-
pables en séries convergentes ordonnées suivant les puis-
sances croissantes de z que dans une étendue très-limitée,
lorsque z est réelle : aussi ces séries ne sauraient- elles être
employées pour exprimer la définition générale des fonctions
auxquelles elles se rapportent^ mais il est naturel de définir
celles-ci par le moyen des équations
sinz COSZ
tangz =z > cotz z= — — ,
cosz smz
secz = 5 cosecz = -: — •
COSZ smz
On voit immédiatement que les rapports. — - et — ^ ten-
z 2
dent vers l'unité lorsque la variable imaginaire z tend vers
zéro .
197. A ce nouveau point de vue, les fonctions circulaires
directes ont une liaison remarquable avec les fonctions que
l'on nomme exponentielles; c*est ce que nous allons déve-
lopper.
270 TRAITÉ DB TRIGOlfOMÉTRIE.
Désignons par z une variable réelle ou imaginaire^ et po-
sons
z z^ z* z*
ff{z) = i-{ ! 1 -+-
I 1.2 I .2.3 I .2.3.4
• ï
la série du second membre sera évidemment convergente,
quelle que soit la valeur réelle ou imaginaire de z 5 en chan-
geant z en Zi^ on aura de même
z' -='
z.) =: IH 1 H '-^ -\ Vt "^
^ I I .2 I .2.3 I .2.3.4
Les séries exprimées par f{z) et (p (zj) restant convergentes
quand on réduit z et Zi à leurs modules, si on les multiplie
Tune par l'autre et que Ton réunisse en un seul tous les termes
de même degré en z et z^, on obtiendra, d'après un théorème
connu, une nouvelle série convergente dont la somme sera
égale k(f{z)(^[zi). Or, en faisant le produit dont il s'agit, on
trouve que le terme du degré n en z et z^ est
I r n n(n — i) , 1
z» 4- - z«-< Zy H î^ L z'^-^z] -h ... 4- z" ,
1.2. . ./I L ï ï «2 J
ou
1.2.3. . ,n
on a donc
et, par suite,
quelles que soient les jx quantités z, Zi,. . . . Si ces quantités
sont égales entre elles, la formule précédente se réduit à
donc, si |ui et y sont deux entiers positifs, on a
[»(±j)j=[f(±")i',
\
CHAPITRE GINQOlftU. 27 I
et, à cause de ç(i) cp( — i) = ç(o) = i,
[?(±7)J=[?(0]*^
On désigne habituellement par e la valeur de op(i), en sorte
que Ton a
I I I
é?= IH 1 ! 7z -f-. . .;
I 1.2 I .2.3
la série par laquelle le nombre e est ainsi défini est très-con-
vergente, et si l'on pose
^=H 1 h. . .H hR„,
I 1.2 1.2. .. /z
R„ sera Terreur que Ton commettra en s'arrêtant au terme
• On a évidemment
1.2. . ,n
R
^ ■:^z I -f- -f- , . . I
1.2. . ./I !_« + I {/H- l) (« -h 2) ' J*
et, par suite,
^''<i.2.../iU + i "^ [n^iy "^ (/14-1)» "^ -J'
ou
R«< X-^
( .2. . .72 7t
donc si, pour calculer e, on néglige tous les termes qui suivent
le (w + i)*^"", Terreur comniise sera moindre que la tz**"*' par-
tie de ce terme \ on trouve ainsi
«:;= 2,71828 1828459045. . . .
D'après ce ^ui précède, on peut écrire
[,{±s)J=^.l
cp ( - J est évidemment positive , ç ( — - | Test également 4
272 TRAITÉ DB TRIGOICOHÉTEIE.
cause de
'{7) '(-.-)=''")=■'
donc, si z est réelle, la quantité y (^) est égale à celle des va-
leurs de l'expression e*, qui est réelle et positive.
Ce résultat nous conduit naturellement à désigner par
e*^ quel que soit z^ la limite de la série convergente
, _j j h . . ^ en sorte que faire la somme de cette
I I • 2
série, c'est élever le nombre e à la puissance z\ et, d'après
la proposition que nous venons d'établir, la propriété fonda-
mentale de la fonction e* est exprimée par la formule
»84-*,
(2) €*.^yz=ie
qui a lieu, quelles que soient les quantités z et Zj .
Si l'on désigne toujours par i l'imaginaire sj — i , et que
dans l'équation •
z z^ z^
(3) <?*:= I -f 1 h 2 . .. .
^ ^ I I .2 I .2.3
on remplace z successivement par -|- iz et par — iz, il viendra
e"
e-'^
/ 3» z< \ Iz z^ z'^ \
\ 1.2 1.2.3.4 / \^ 1.2.3 1...5 •••y'
/ ?» Z< \ (^ ^' L. ^' \
\ Ï.2 1.2.3.4 / \i 1.2.3 I...5 '**y'
c'est-à-dire, à cause des équations (i),
, .. (<?'"' = cosz -\- i sinz,
I tf'-" z=z cosz — f smz;
on tire de là
(5) cosz= > sinz= •
^ ' 2 2/
Si, dans la formule fondamentale (2), on remplace z et Cj,
d'abord par iz et i^i, puis par — iz et — i ^Tj, on aura
CHAPITRE GINQUIÈHB. 27 3
OU, à cause des formules (4)9
(co3z -+- isinz) (cosz, 4- isinzi) =:cos(z -4- z,) H- /sin(z -f-^i),
(cosz — isiaz) (cosz, — /sinz,) = cos(z H-^i) — «sin(z 4-2,);
en ajoutant ces deux équations et en les retranchant ensuite
Tune de l'autre, on trouve, après avoir effectué les produits
indiqués,
( ces (z -h z,) =: cosz cosz, — sinz sinz,,
(6) { ,
( sin (z + Z|) =^ sinz coszi + cosz sinz,,
formules qui ont lieu, quelles que soient les quantités réelles
ou imaginaires représentées par z et z^. Il résulte de là que
toutes les formules de la Trigonométrie générale que nous
avons déduites de celles qui se rappoi:tent à l'addition des arcs
subsistent sans aucune modification, lorsqu'on substitue aux
arcs des expressions imaginaires.
Si, dans les formules (2) et (6), on remplace z par x el Zi
par ijr^ il viendra
cos(ar -4- fj) zr: coso: cos/j — sinx sin/jK,
sin(ar -h ijr) z= sinarcos/^" -h cosar sin/j;
mais les formules (4) et (5) donnent
(<;) c'y = cosy-{- i sin jr, cosiy=: 9 sin/^ = / ;
on a donc
«*■**'> z=r tf* cos^ -+- le* sinjr,
(8) { ^ -^^ 2 2
^ -^ ' 2 2
Ces formules (8) ont lieu, quelles que soient les quantités x
ex y réelles ou imaginaires -, mais elles sont surtout utiles, pour
ramener à la forme ordinaire des expressions imaginaires les
fonctions e*, cosz et sinz, dans lesquelles z désigne une ex-
pression imaginaire x + ly.
Trig. s. 18
272 TRAITÉ DE TRIGONOHÉTEIE.
cause de
,(ï) ,(_£)=,(„) = .
donc, si z est réelle, la quantité ^(z) est égale à celle des va-
leurs de Texpression e*, qui est réelle et positive.
Ce résultat nous conduit naturellement à désigner par
e*^ quel que soit ^, la limite de la série convergente
, _j j h . . 5 en sorte que faire la somme de cette
série, c'est élever le nombre e à la puissance z\ et, d'après
la proposition que nous venons d'établir, la propriété fonda-
mentale de la fonction e* est exprimée par la formule
»*-*-*.
(2) ^.e*i=:tf'
qui a lieu, quelles que soient les quantités z et Zi .
Si l'on désigne toujours par i l'imaginaire ^j — i , et que
dans l'équation -
z z^ z^
(3) ^r=zH 1 1 5--{-...
^ ^ I I .2 I .2.3
on remplace z successivement par -l- iz et par — iz, il viendra
I Z^ z' \ (z Z^ 2^ \
\ 1.2 1.2.3.4 / \^ 1.2.3 I...5 /
/ T» z* \ fz z» 2* \
\ Ï.2 1.2.3.4 / \I 1.2.3 I...5 /
c'est-à-dire, à cause des équations (i),
, . l e''=: cosz -h i sînzj
I e^'* z= cosz — [ smz;
on tire de là
fo) cosz= > smz=: :
^ ' 2 2/
I
Si, dans la formule fondamentale (2), on remplace z et ^i,
d'abord par iz et iz^^ puis par — iz et — isr,, on aura
CHAPITRE GINQUIÈHE. 278
OU, à cause des formules (4)9
(co5z -+- i sinz) [cosZi 4- «sinzi) =cos(z -h z,) H-/sin(z --f-Zi),
(cosz — isiaz) (coszi — /sinzi) = cos(z H-«i) — isin[z 4- z,);
en ajoutant ces deux équations et en les retranchant ensuite
Tune de l'autre, on trouve, après avoir effectué les produits
indiqués,
( COS(z -hZi) :=:COSZCOSZi — sîn2 sînzi,
( sin(z -4- J5,) = smz coszi -i-coszsinZ|,
formules qui ont lieu, quelles que soient les quantités réelles
ou imaginaires représentées par z et z^. Il résulte de là que
toutes les formules de la Trigonométrie générale que nous
avons déduites de celles qui se rappoi:tent à l'addition des arcs
subsistent sans aucune modification, lorsqu'on substitue aux
arcs des expressions imaginaires.
Si, dans les formules (2) et (6), on remplace z par x et z^
par y^, il viendra
cos(ar H- iy) = cosa: cosiy — sin j: sin/jK,
sin(a: -h //) = sina: cosiy -f cosx sin/j;
mais les formules (4) et (5) donnent
on a donc
gx-hix :^ gT cos^ _|. ic* sin j,
, . , e^ -f- <?-^ ,ex — e-r .
(8) { ^ -^^ 2 2
^ -^ ' 2 2
Ces formules (8) ont lieu, quelles que soient les quantités x
etj- réelles ou imaginaires ^ mais elles sont surtout utiles, pour
ramener à la forme ordinaire des expressions imaginaires les
fonctions e*, cosz et sinz, dans lesquelles z désigne une ex-
pression imaginaire x-\-iy.
Trig. s, 18
274 TRAITÉ DE TRIGONOHÉTRIE.
On a encore, quels que soient x et j^,
tang( X -r- /» = ^^" (^ ^ ^» ^ 2sîn(x-f-z»cos(:r-^/y)
' COs(ar -h iy) 2 ces (x -4- iy) cos(.r — /y)
sm2x H- sina^^
COS2Jr + COS2l^
et, à cause des formules (7),
, . , . > 2sin2a:-i- /(^ — r-'^)
(9) ^°8("-^'J-)= ^cos.x4-(W + ^^) -
Dans le cas de a: = o, cette dernière formule se réduit à
(10) tang/7=/
er -h e-r
198. La fonction exponentielle e' possède une propriété re>
marquable, qui pourrait être prise pour sa définition, et qui
est exprimée par le théorème suivant :
Théorème. — Si V on désigne par z une quantité donnée,
réelle ou imaginaire, et par m un nombre entier positif, on
aura
<?* = lira 1 1 -i j
m
> pour 771 izr 00
Pour démontrer ce théorème, développons par la formule
du binôme, relative à l'exposant entier et positif, rexpressîon
^ on aura, en désignant par n un nombre entier in-
férieur à m, mais qu'on peut supposer d'ailleurs aussi grand
qu'on le voudra,
(
2 \ m
m
(1+-- )— H---f-( I— .— )-^ + . . .
\ mj I \ mj 1.2
+ ( I— — ) (i-~— V..(i— ^^-^j— ^ hR«;
\ ^/ \ f^J \ ^ / 1.2.../1
Un désigne la somme des termes, en nombre limité, qui sui-
CHAPITRE CIMQUIÈMB. 2']5
vent le [n -f- i )'*"•', et Ton a
\ m/ \ m J \ ,1, . .n
l_n-^ I [n -t-i) (rt -t- 2)
Nous savons que le module d'un produit est égal au produit
des modules des facteurs, et que le module d'une somme ne
peut surpasser la somme des modules des parties (162) \ donc
le module de R„ ne peut être supérieur à la valeur que prend
le second membre de la formule précédente, lorsqu'on y rem-
place z par son module p. Mais cette valeur, qui est une somme
d'un nombre limité de termes, est évidemment inférieure au
module du produit deli l"'(i 1 par la
^ \ mj \ m / i ,7., , ,n^
somme de la progression géométrique illimitéa
n-r-i Xn-hiJ
somme qui est égale à — ; , si l'on suppose n -I- i > p.
Le module de R„ étant inférieur au module de l'expression
\ m/ \ m j ï ,2. . .n \n -^ i — p/
si l'on désigne par une certaine expression imaginaire dont
le module est inférieur à l'unité, on aura
\ ^/ \ /n / 1 .2. . ./2 \« -h I — pj
Supposons maintenant que, le nombre n étant invariable, on
fasse croître indéfiniment l'entier m-^ les formules (i) et (a)
donneront, en y faisant m =i oo ,
(z X"* z z' z"
mJ I 1.2 1.2. . ./i ^
(4) Rn=-^ r^
' I .2. . ./l /l -t- I — p
i8^ *
276 TRAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.
L'équation (3) a Heu, quelque grand que soit tz^ si l'on fait
tendre ce nombre vers l'infini, on voit parla formule (4) que R„
tendra vers zéro, et la formule (3) donnera
,. / zX" z z^ z'
lim ( I H = IH 1 1 r 4- . . . ,
\ m/ I 1.2 1.2.0
c'est-à-dire
«
lim
im ( I H ) =€'.
JRemarquc. — Le théorème que nous venons d'établir est
susceptible d'un énoncé plus général, que l'on peut présenter
comme il suit :
Si m désigne un nombre entier positif, et que z soit une va-
riahle imaginaire fonction de /w, qui tende vers la limite z^
quand m tend vers l'infini, on aura
lim ( H 1 = e»s pour m = co .
En effet, les équations (i) et (a) ne cesseront pas d'avoir
lieu si z dépend de m. Si Ton y fait m == 00 , et que l'on dé-
signe par po le module de z©, c'est-à-dire la limite de p, on
aura
lim ( I -h -i V = 1 + - + -^ + . . . + —^ -h R„,
\ mj I 1.2 1 .2. . ./i
rtt
R. = _iI__J!Pî_,
I . 2 . . . /I W H- i -r- p.
6 désignant toujours une expression réelle ou imaginaire dont
le modide est inférieur à i j et, en faisant tendre n vers l'infini,
on obtiendra
z X*
— ) =€">.
m]
lim i-h
199. L'analogie qui existe entre les fonctions circulaires
directes et les exponentielles subsiste naturellement entre les
fonctions circulaires inverses et les logarithmes.
On nomme logarithme népérien d'une expression imaginaire
z = û(cosû) -I- i sinw) l'exposant de la puissance à laquelle il
CHAPITRE CINQUIÈMB. 277
faut élever le noin|>re e pour reproduire p (cos w -f- 1 sîn co) . Pour
trouver un tel logarithme, il faut chercher les valeurs réelles
de a: et de j^ susceptibles de satisfaire à l'équation
é'-^'y z=z p (cosft) -H / sinw),
ou
e'(cosj -i- / sinj) •=z p (cosw ■+■ /sinb>}.
Cette équation tient lieu des deux suivantes :
€* cos^ = p cosw, e* sinjr = p sinw,
d'où Ton tire
e* = p, cos^ r= cos w, sinj^ =: sinw,
et, par suite,
k étant un entier indéterminé. Ainsi l'expression
p (cosw -f- /sinw)
a une infinité de logarithmes népériens qui sont tous donnés
par la formule
l[p(cos« -T- isin»)] = Ip -+- (ft) -f- aX'Tr)/;
en particulier pour w = o et pour w = tt, on a
1 (p)z= Ip + 2X-7r/, 1( — p) =z]p H- (aX- -f- i)ni;
le signe 1 (p) est ici employé pour désigner l'ensemble de tous
les logarithmes de p, tandis que \p désigne seulement celui de
ces logarithmes qui est réel. "
Lorsque z désigne une expression imaginaire, les notations
arc sinz, arc cosz, arc tangz, arc cotz, . . .
représentent toute expression imaginaire dont le sinus, ou
le cosinus, ou la tangente, etc., est égal à z; ces expres-
sions sont susceptibles d'une infinité de valeurs dans le cas
de z imaginaire, comme dans celui de z réel : aussi, pour
pouvoir les admettre comme des fonctions de z, est-il néces-
saire d'ajouter quelque chose à leur définition. Nous ne pour-
rions entrer dans les détails que comporte cette question sans
sortir des limites que nous nous sommes fixées, et nous ren-
278 TRAITÉ DB TRIGONOMÉTRIE.
verrons pour les développements aux ouvrages dans lesquels
Cauchy a traité cette matière. Nous nous bornerons ici à
indiquer comment on peut déterminer les valeurs des expres-
sions arc sin^, arccosz,..., lorsque z a une valeur imaginaire
a -4- 1 6. Considérons, par exemple, l'expression arc cos («+ 1 o) ;
si Ton pose
X -\- iy=. arc cos(a -h /6),
il viendra
a -h /6 = cos(ar -4- ly] = COSX — i sma:;
on a donc
(i) cosx = a, suix^= — 65
d'où
{2) e:
et, en multipliant,
ou
sin*x — (i — a' — 6*)sin'ar — 6'=o. -
On tire de là, en observant que sin'jc doit être positif,
sin*ar
et
6
a 6
— . 9
/»~f ... ! i
c ' ■ ■■1" . >
cos or
smo:
cosj: smx
It,
a»
-T-7- — I,
cos* a:
=i^^'V(^^^T-^'
puis
cos«x = ^ ^^ j -
h
v/{^^^)'-
extrayant les racines carrées des deux membres, et remarquant
que cos a: doit avoir le signe de a, il vient
(3) COSa::
[^^l^-v/l'^^")"-]
CHAPITRE CINQUIÈHR. 279
Si Ton fait, pour abréger,
j-o =1 arc cos
[^^^■-v/(^ïî^T-]'
Jo=l : )
les équations (2) et (3) donneront
les signes supérieurs ou inférieurs devant être pris ensemble,
«t k désignant un entier indéterminé ; il suit de là que Ton a
arc cos ( a -h ^6) = 2 Xr zh (.r. H- Ô'o)'
Dans le cas particulier de 6 = o, les équations (1) donnent
immédiatement sinx = ou j^ = o. En prenant 7^ = o, on a
coa;r = a, et cette solution ne convient qu'au cas où a est com-
pris entre — 1 et -hi . En prenant sinx = o, on a cos a: =di i ,
le signe du second membre étant celui de a •, la première équa-
tion (i) donne alors
e^ -h e-^ = db 2a,
d'où
e^ = zba-f- v'a-— I, et jr = l(±a-f- ^sl^— i).
On a donc, si a est compris entre — 00 et — i ,
arcCOSar= (2/- -f- l)7r -f- /l( — a -+■ ^Cf? -^r I ),
«t si OL est compris entre -h i et -f- 00 ?
arc cosa r= s^tt -f- i\ (a 4- y*^ — i ),
k désignant toujours un nombre entier positif, nul ou négatif.
Du cosinus et du sinus hyperboliques.
200. Les Tables trigonométriques offrent le moyen de cal-
culer cosjc et sinx, quel que soit Tare réel a: ; et si Ton avait
d'autres Tables donnant les valeurs de cosix et de sini jr pour
smijr
280 TEAlTfi DB TRIGONOMÉTRIE.
toutes les valeurs réelles de x^ on obtiendrait aisément, par
les formules relatives à l'addition des arcs, le cosinus et le
sinus d'une expression imaginaire quelconque x-^-iy. Des
Tables du genre de celles dont nous venons de parler ont été
construites effectivement 5 mais, voulant éviter l'emploi des
imaginaires, leurs auteurs ont cru devoir introduire une nota-
tion nouvelle dont nous allons parler.
Lorsque la variable a: est réelle, les fonctions cosio: et — 7
sont aussi réelles ; la première est dite le cosinus hyperbolique,
la seconde le sinus hyperbolique de x. On peut représenter
les cosinus hyperboliques et les sinus hyperboliques par les
caractéristiques coshyp, sinhyp, placées devant la variable;
alors on aura
, . • i sin/.r
CCS nyp.r = cos i ^, sin nyp x = - — : — y
ou
COS hypa; z=z , sia hypa: = •
Le cosinus hyperbolique et le sinus hyperbolique d'une va-
riable X sont liés entre eux par la relation
coshyp-x — sinhyp* a: = i .
sinhyp.r coshyp.r ... ,
Les quotients -^ii— et -. — ^^-^ — sont dits la tans^ente hyper-
^ cos nyp .r sin hypor ^ *^ '^
holique et la cotangente hyperbolique de x, et Ton a
tang hyp j: = ^ — 5 cot hyp^c
e'A-er-' "* e* — e
— X
Enfin, quand on pose coshyp j:=j^ ou sinliyp:r =j^, ou, etc.,
on écrit aussi a? = arccoshypj^, ou j: = arcsinliypj^, ou, etc.*,
on a d'après cela
.arccoshyp.r z=l(a:iii sjx^ — i),
arc sin hypx z=:\\x± ^.x^ -+- 1 ),
_ I , l-f-ar
arc tang nypo? = -\
CHANTRE CHIiHldlVB. 281
Il est indispensable d'avoir recours au Calcul différentiel (*)
pour justifier les dénominations dont nous venons de faire
usage.
Les premières Tables de cosinus et de sinus hyperboliques
sont dues à Lambert 5 elles ont paru à Berlin en 1 770 j dans
ces dernières années, Gudermann en a publié d'autres plus
étendues et de beaucoup préférables à celles de Lambert.
Dé\^eloppeTnent des fonctions log(i4-z) et arc tang.? en
séries ordonnées, suiv^ant les puissances croissantes de z.
201. La métbode que nous allons employer pour obtenir
les développements en série des fonctions log(i4-2) et
arctangx? suppose la formule du binôme pour un exposant
fractionnaire. Afin de ne rien laisser à désirer à l'égard de la
(*) Si Ton rapporte an cercle dont le rayon est pris pour unité à deux axes
rectangulaires coordonnés, dont Tun, celui des abscisses, passe par l'origine des
arcs, l'abscisse et l'ordonnée d'un point M de la circonférence seront le cosinus
et le sinus de l'arc compris entre l'axe des abscisses et le point M, ou, si l'on veut,
le cosinus et le sinus du double de l'aire du secteur correspondant à l'arc dont
il Tient d'être question. Et, de même, si l'on rapporte à ses axes une hyperbole
équilatère dont le demi-axe est pris pour unité, l'abscisse et l'ordonnée d'an
point M de cette courbe seront le cosinus hyperbolique et le sinus hyperbolique
du double de l'aire du secteur compris entre l'axe des abscisses et le rayon qui
joint le point M au centre de la courbe.
En effet, le demi-axe de l'hyperbole équilatère étant pris pour unité, l'abscisse
(, supposée positive, et l'ordonnée >} satisfont à l'équation X* — 17' = i ; en sorte
que I et >j sont nécessairement le cosinus hyperbolique et le sinus hyperbolique
d'une certaine variable x. On peut donc poser
c* ' e — * ^■' — tf"~ '
|^ = co8hypar = ^ 9 ly = sin hyp j: = ;
on déduit de là, par les règles du Calcul différentiel,
</Ç = ridx, dri = ^dx^
d'où
Xdy,-^yidi = (V-n*)dx,
ou .
dx S=i ^dïi TQ dÇ,
On voit par là que x est effectivement le double de l'aire du secteur compris
entre l'axe des abscisses positives et le rayon qui joint le centre de la courbe au
point dont les coordonnées sont ^ et 17.
a82 TRAITÉ DB TRIGONOMfiTRIE.
tliéorie que nous présentons dans ce Chapitre, nous commen-
cerons par établir ici cette formule.
Formule du bijnôme. — Désignons par tz une quantité réelle
quelconque et par z une quantité réelle ou imaginaire dont le
module soit inférieur à i j la série
n n(n — i) n(n — i){n — 2) .
l -h -Z-\ ■ iz»_|--i L\ iz*-4-. . .
1 1.2 1 .2.0
«
se réduira à une somme d'un nombre fini de termes si n est un
entier positif; dans tout autre cas, elle contiendra un nombre
illimité de termes, mais elle sera toujours convergente ; car le
module de z étant plus petit que i , par hypothèse, le module
fi ^— IL 1 T
du rapport z du (fx -i- 1)'^*'"' terme de la série au /x'*"'
restera inférieur à une fraction moindre que i pour toutes les
valeurs de pt supérieures à une certaine limite.
Cela poséf z étant considéré comme constante, et n comme
variable, désignons par ^{n) la somme de la série j on aura
a(n] = 1 H — z -\ — -^ ' «'-+-. . .,
^ ' I 1.2
et, en changeant n enui^
f \ , 'ïi , nx{n, — i)
^ ' I 1.2
Si Ton multiplie 9(^1) par 9(/îi), et que l'on ordonne le pro-
duit par rapport à ^, on trouvera, en faisant usage de la for-
mule (i) du n** 180, que le coeflScient de z^ est
(« -4-/z,)(/z-f- /?i — O" • .(« -f- Wi — f* -^ i).
I .2. . .fx
d'où il suit que l'on a
<p(/l)(p(n,)=::ç(«-h«i),
et, par suite.
CHAPITRE CINQUIÈME. 283
7z, TZi, TZt, . . ., /ipi_, étant des nombres quelconques. En sup-
posant ces nombres égaux entre eux, on obtient
U résulte de là que, si /ix et v sont deux entiers positifs, on a
[T^rh^^J^EçCzfci)]";
car chaque membre de cette formule est égal, d'après ce qui
précède, à ç (=h (x). Or on a
»{ — i) = 1 — 2 4- z' — z'-f-. . .= = (i H- z)~';
^^ ' I -HZ ^ '
donc
['(-v)j=('-*-'^*''
par conséquent cp ( =h - 1 est Tune des valeurs de l'expression
( 1 H- z) ", et c'est dans ce sens que l'on peut écrire
202. Développememt de la fonction log(i "h z). — Dési-
gnons par z une variable réelle ou imaginaire dont le module
soit inférieur à i ; d'après ce qui précède, si m représente un
entier positif, la série
m m \m / i . 2 m \m j \m / i »i,i
■ • • •
est convergente, et sa puissance /»*'"•* est égale à i -|- z. Si
donc on désigne par i H la somme de cette série, on aura
w (-jr=
I -H z
a84 TRAITÉ DB T&IGONOIltTfilB.
et
z I 1 \ z»
u-=z (i 1 h...
1 \ /»/ 2
R„ est le reste de la série, et Ton a
' \ mj \ nmj tî -+- 1
[/i-f-i l/i-hi I (/H-2 I
71 + ?. («-{- 2)(/H- 3)
Les coefficients numériques de la somme entre parentlièses sont
tous inférieurs à i \ par conséquent, si Ton représente par p le
module de z, le module de la somme dont nous parlons sera
inférieur à i-f-p4-p*-l- — , c'est-à-dire inférieur à ;
' * I — p
la somme elle-même pourra donc être représentée par »
en désignant par une expression imaginaire dont le module
est inférieur à i . D'après cela, l'expression de u sera
/
9
z ( I \ z»
« = ( I h...
I \ mj 1
W] +(-')"-'(i-^)('-i)-(-(;;^)7
^ ' \ rn]\ imj \ nmJ n-hi i — p
Faisons tendre maintenant l'entier m vers l'infini et dési-
gnons par Mo la limite de m. L'équation (i) donnera d'abord,
d'après le théorème démontré au n** 198,
(3) ^0 — 14-3,
et l'on aura ensuite, par l'équation (a),
ff\ z Z^ Z^ / N z" , , 3"-^' Ô
(4) «.=-_____..._(_,)"- + (_r)-— -^— ,
GHÂPITEB ClNQUlftaB* 205
désignant toujours une expression imaginaire dont le module
est inférieur à i . Enfin, comme tend vers zéro, quand n
tend vers Pinfini, on aura à la limite, pour n = oo ,
z z' z* z*
' 12 3 4
D'après la formule (3), la quantité u^ exprime Tuii des lo-
garithmes népériens de i + ^, et c'est dans ce sens que Ton
peut écrire
z z' z'
(6) l(i4-2) = ---^4-y-....
Une quantité positive n'a qu'un seul logarithme réel ; si donc z
se réduit à une quantité réelle =h x comprise entre — i et + 1 ,
on aura pour les logarithmes réels de i -^ j: et de i — x,
i(' + ') = 7--+3— ••.
(7) : , ,
T X X
l(l — a:) = — * ---—....
^ 12 3
â03. Revenons à la formule (6) et posons
i z =pe'*'=:p(cosw-+-/sino*),
( I -f- z z= TV** = r(cos9 -h i sin 9).
On tire de ces deux équations
r cosO = I -+- p cosw, r sin 9 = p sin«>^
puis
(g) r=H- ^i -h 2pcos» + p%
et
. ^ i-4-pcos» . ^ psinct» ^ psin»
{lOj cos9= » sin6 = * > tangôzz:— ^^ •
^ ' r r ° i-f- p cosw
Les quantités p et co étant données, l'équation (9) détermi-
nera sans ambiguïté le module r; quant à l'angle 0, il sera
aussi complètement déterminé par les équations (10), si on
286 TRAITfi DE TBIGOMOM^RIB.
l'assujettit à rester compris entre les limites — tt et 4- ir. Mais,
parce que le module p de z est inférieur à i^ on voit par
les équations (lo) que cosô est toujours positif, et en consé-
quence l'angle demeurera compris entre les limites ^ et
-] cet angle sera donc déterminé sans ambiguïté par la
troisième équation (lo) qui fait connaître sa tangente.
Cela posé, l'expression générale des logarithmes népériens
de 1 -+- 5 est
1 (l -h z) ==: l(/^"«) = l7 -h /(9 -f- hX-Tt),
k étant un nombre entier ^ par conséquent, la formule (6) don-
nera, pour une valeur convenable de Âr,
Ir-h ;(Ô-f-2X-7r)r=: i- r j. L.^
' I 2 3
Le second membre de cette équation s'annule pour p = o ; il
en est de même des quantités 1 /' et d ; celles-ci sont d'ailleurs
des fonctions continues de p : donc le nombre entier k est né-
cessairement nul, et l'on a
fll) lr-+-/Ô=: i- ^ h~
^ 12 3
«
Si l'on égale séparément les parties réelles et les coefficients
de i, que l'on remplace en même temps r et 6 par leurs valeurs
tirées des équations (9) et (10), on aura
(12) 1 Vl-h2pC0S«-frp'i=: î- ^ 1- *-
cosS
(ù
, ov p sinw psin&> p^sin2û> p'sin3&>
(i3 arctang—i^ = '^ ^- ^ —vt •••»
I -4-pCOSû) 12 3
et il faut se rappeler que le premier membre de l'équation ( 1 3 )
doit être pris entre les limites et -1- - •
22
Si, dans les formules (12) et (i3), on change co en ?r — «^
GHAPITRB CINQUIÈME. 287
il viendra
(14) IVl— 2pCOS«+p»=:— i^^ ^ i— ...,
{i5) arctang — ^ = ^- h- h*- — ;: h
' * ~ P ^o*" ï 2 3
Ces formules (12), (i3), (i4) et (i5) sont fréquemment em-
ployées en Astronomie et en Géodésie.
Remarque. — Il est très-important de remarquer que la
formule (4) donne l'expression du reste de la série dans la-
quelle se développe 1 (i -1- z). Par exemple, si Ton fait n = o
dans cette formule, il vient
l(l-f-z)=: ,
ou, ce qui revient au même.
(16) \(i-hz)z=Q
— aP
I — n
désignant toujours une expression imaginaire dont le mo-
dule est inférieur à i .
204. Développemeiït de l'arc en série ordonnée suivant
LES PUISSANCES DE LA TANGENTE. — Les sérîes contcnucs dans
les formules (i3) et(i5) sont convergentes, quel que soit oi>,
pour toutes les valeurs de p inférieures à i ^ si l'on fait, dans
la formule (i3),
il viendra
&> = III —9 p sm w izr z,
2 ^
z z^ z^ z'
(17) arctangz = ---^4-^ — y H-...,
formule qui a lieu pour toutes les valeurs réelles de z com-
prises entre — i et -1- 1 . Le premier membre doit être pris,
comme on l'a vu, entre les limites et H — 5 et alors il
' 2 2
sera nécessairement compris entre — y et -hj: Si l'on pose
z = tangx,
288 T&AlTfi DE TRIGONOMftTEIE.
la formule (17) se transforme dans la suivante
tangjr tang»:r tang*j
(«») ' = -;^ 3— + -5 • • -
<]ui subsiste pour toutes les valeurs de x comprises entre
On a identiquement
arc tang z -h arc tang - = it - >
en prenant les arcs entre les limites et 4- - et en donnant
au second membre le signe de z] d'après cela, si Ton change z
en - dans la formule (17), on aura
z
(19) „cv^,=±l-L + J--J-^....
Cette nouvelle formule subsiste pour toutes les valeurs de z
comprises entre — oo et — i ou entre -f- i et -f- oo ^-le premier
membre doit toujours être pris entre les limites et
En faisant z = tango:, on obtient
, » . ir cot'j: cot'x
(20 ) x =:ZjZ COtx H ;; p r- . . . 1
2 -35
formule qui subsiste pour les valeurs de x comprises entre
et — -/» ou entre -h - et H
24 4 ^
Remarque, — L'analyse qui nous a conduit à la formule ( 1 7)
suppose essentiellement que la valeur absolue de z soit infé-
rieure à I ^ mais, comme la série du second membre reste con-
vergente pour les valeurs limites ziz i , la formule subsiste pour
ces valeurs. En effet, supposons que ziz z tende vers l'unité par
une série de valeurs successives inférieures à i, les deux
membres de la formule (17) seront égaux pour toutes ces va-
leurs ; d'ailleurs chacun d'eux tend vers une limite détermi-
née : donc ces limites sont nécessairement égales.
- et -f--
2 2
CHAPITRE CINQUIÈME. 289
Calcul du rapport de la circonférence au diamètre.
2O0. En faisant x=^ j dans la formule (i 8) du numéro pré-
cédent, on obtient
TT I I T ^
4 357
cette série, que nous avons déjà rencontrée, converge très-
lentement , et elle ne peut servir au calcul de tt -, on peut ob-
tenir, pour cet objet, des séries extrêmement convergentes.
Posons, par exemple, avec Euler,
et
yzma-hb
4
I
tanga= -»
on aura
TT
tangy — tango
tango rr: '^ ^ =::-•
I -r- tangy tanga
4
et si l'on remplace a elb par leurs valeurs en séries tirées de
la formule ( 1 7) du n® 204, il viendra
4""V2 3.2^^5.2' ')^\Z 3.3' ^5.3' ■■■;•
On obtient des séries plus convergentes en partant de l'arc a,
dont la tangente est ^5 et en opérant comme il suit. Soit
î
tanguer g,
on aura
tanfi[2£z= = — 9
° I — tangua 12
, 2tang2a 120
tang4^ ^^^ = •
^'^ I — taiig'2£z 119
Trig. S. 19
290 TRAITS BB TRIGONOMfiTRIB.
On voit que 4^ diffère peu de j\ si Ton pos<
il viendra
tang 4 « — I I
tang^
I -h tang4â 289'
on a donc, en remplaçant a et b par leurs valeurs en séries.
Au moyen de cette formule on trouve sans difficulté cette va-
leur de TT avec vingt-cinq décimales exactes :
TT r= 3 , i4i59 26535 89793 23846 26433 8 . . . .
Euler a donné dans les Mémoires de l'académie des
Sciences de Saint-Pétersbourg un grand nombre de séries
du même genre que la précédente j mais ce que nous avons
dit est suffisant, et nous renverrons les lecteurs curieux de
connaître ces développements aux ouvrages que nous venons
de citer.
Formules relativ^es au calcul des logarithmes.
Module des logarithmes "vulgaù^es.
206. Les formules (7) du n« 202, savoir
(1-^) = ----. — --—...,
120
subsistent pour toutes les valeurs positives de x inférieures
à I , et en les retrancbant Tune de Tautre on obtient
I — « \i ' 3 5 /
CHÀPITRK CINQUlfeME. 2gi
h
Si Ton remplace x par -- dans la première formule, et par
~ 7- dans la troisième, il viendra
et, en faisant A = i ,
(,(N+,)=IN-h(^-^.-H3^-...),
Ces formules sont employées pour le calcul des logarithmes
népériens; les séries qu elles renferment sont très-convergentes
lorsque les rapports — > ~ sont de petites fractions.
Si Ton multiplie les formules (i) par le module M des loga-
rithmes vulgaires, on aura
log(N + A) = logN + M(A-^ + 3^ -...),
(3)jlog(N + A)=logN + .M[^^4- 3^^/;^^^3
^1 ^ 1
5{2N
Pour que Ton puisse faire usage de ces formules (3), il est
nécessaire de connaître le module M dont l'expression est
1 10
et Ton déterminera facilement sa valeur par le moyen des for-
mules (i) ou (2).
Eâectivement la deuxième des formules (a) donne, en fai-
sant N = I ,
(4) *^ = =*(5-^Ô-«-^Ô"^-')'
19.
292 TRAITÉ DE TRIGONOMfiTRlE.
la deuxième des formules (i) donne ensuite, en faisant
N = 8 = 2' et A=2,
(5) l.o-31a + .(l-H^. + 5i^ + ...),
et Ton aura, en conséquence,
Les séries qui figurent dans cette formule sont sufEsamment
convergentes \ mais on peut en obtenir une infinité d'autres
plus rapidement décroissantes. Par exemple, si Ton fait, dans
la deuxième formule (1), N=4o96=2", /i:=45N-f-A=4ï<^o?
et, dans la deuxième formule (2), N-:=4o=^ 2*Xio, il viendra
14* -H 2ll0= I2I2 -f- 2( 7 f- iz 7-r 4- . . . ) ,
\2049 3.20493 J
141=110 + 212+2(^ + ^3 + ^+...);
en éliminant 1 2 et 1 4 1 entre ces deux équations et Téqua-
tion (5), on trouve
— : iz: 20 I - + -= — - +
M \9 3.9» 5.9»
(7) j -^^{iï-^s^^-^sh^--)
V2049 3.2049» "7'
Si Ton calcule chaque terme de la formule (6) ou de la for-
mule (7) avec vingt-huit décimales, de manière à pouvoir en
conserver vingt-cinq dans les valeurs de ~ et de M, on trouvera
(8) liî^ 2,3o258 50929 94045 68401 79914. . ;.
M = 0,4342944319^3^^1 82965 11289
Le module étant déterminé, les formules (3) pourront être
CHAPITRE CINQUIÈME 298
employées pour le calcul des logarithmes vulgaires \ mais nous
renverrons pour les détails à l'instruction placée en tête des
Tables de logarithmes de Callet.
Dév^eloppements des fondions cosmx et sinmx en séries
ordonnées suivant les puissances croissantes de sinj:.
207. Les formules (i) et (2) du n** 181, où m désigne un
nombre entier, donnent les valeurs de cos ma et de sin ma
exprimées par un polynôme ordonné suivant les puissances
entières et ascendantes de sin a, ou par le produit de la mul-
tiplication d*un tel polynôme et de cosa^ les formules (i) se
rapportent au cas de m pair et les formules (2) au cas de m,
impair. Les seconds membres des formulas (i) deviennent
des séries illimitées si m cesse de représenter un nombre pair ;
la même chose a lieu à Tégard des seconds membres des for-
mules (2), lorsque m n'y désigne plus un nombre impair,
mais il est facile de s'assurer que ces séries sont toujours
convergentes. En outre, les calculs que nous avons exécutés
pour établir les formules dont il s'agit, dans l'hypothèse de
TU pair ou dans celle de m impair, s'appliquent également à
l'hypothèse contraire, pourvu que cos a soit positif, condi-
tion qui sera remplie si l'arc a est compris entre les limites
^ et H — :1a seule différence consiste eflFectivement en ce
22
que, dans le cas où nous nous sommes placés au n° 181, nous
n'avions à développer que des puissances entières du binôme
I — sin* a, tandis qu'ici les exposants de ces puissances auront
le dénominateur 2. Mais chacune de ces puissances est, comme
on l'a vu, développable en une série convergente dont les
termes se succèdent suivant la même loi que ceux du déve-
loppement des puissances entières^ d'ailleurs le nombre des
séries de cette espèce qu'on doit ajouter est essentiellement
limité, et la formule de réduction du n° 180 est générale 5 on
arrivera donc nécessairement aux mêmes résultats en opérant
de la même manière dans le cas de m pair et dans celui de
m impair. Par conséquent les deux systèmes de formules (i)
294 TRAITi DE T&IGONOUÊTRIS.
et (a) du n® 181 peuvent être employés indifféremment, quel
que soit l'entier m, pourvu que l'arc a reste compris entre les
limites et H — • On a donc , en réunissant la première
formule (i) à la deuxième formule (a), et en écrivant x au
lieu de a,
m. m . (m-i-ii)m,m(m — 2) . ^
cosmx^^ 1 sm'or-f- -—7 sin^or — . . . ,
1.2 1.2.J.4
, . y . wi . fm-4- 1) m(m— i) . ,
(0 < smmx ■= — smx \t surx
^ ' 1 I I .2.6
f/w -!- 3) (/»•+• i) mfm — i)(m — 3) . ^
_ ——————————— ^—. §£l| ^ ^— , , , ,
I .2.3.4-^
pourvu, nous le répétons, que m soit un nombre entier et que
X soit compris entre — 1 et H- -•
Cela posé, je dis que les formules (i) subsistent pour toutes
les valeurs réelles de m, si l'arc x reste compris entre les
limites — - et 4- -•
2 2
En effet, désignons par (p(/n) la somme des seconds mem-
bres des formules (i) multipliés respectivement par i et ^ — 1
ou 15 représentons aussi par cp(/72i) et ç (/n + /Wi) les résultats
que l'on obtient en remplaçant, dans y ('w), m par m^ et par
m -h /Wi . Les quantités 9 (/w), (p (mi)^ <5> (m 4- m,) étant ordon-
nées par rapport aux puissances croissantes de sinjtr seront des
séries toujours convergentes, et cette convergence ne sera pas
altérée si l'on remplace chaque terme par son module^ il s'en-
suit que, si Ton multiplie entre elles les séries représentées
par 9 (m) et 9(/ni), et que l'on ordonne le produit suivant
les puissances croissantes de sino:, on obtiendra une nou-
velle série convergente dont la somme sera 9 (m) 9(mi). Mais,
lorsque m et rrix se réduisent à des nombres entiers, on a
(2) ç(w)<p(/»,)=:<p(/n-f-/71,},
car, dans ce cas, les équations (i) ont lieu, et l'on a
CHAPITRE CINQUIÈME. IQS
donc les coefficients des mêmes puissances de sin^ sont iden-
tiquement égaux de part et d'autre. Ces coefficients sont des
fonctions entières de m et de m^ , et de ce que leur égalité existe
pour toutes les valeurs entières de m et de m^^ on peut con-
clure que la même égalité subsiste, quels que soient /w et /tii ^
il suffit effectivement de répéter ici le raisonnement que nous
avons fait au n° 180 à Toccasion d'un cas semblable. L'éga-
lité ( 2 ) ayant lieu identiquement, on en conclut
quelles que soient les v quantités m, m| , . . . , /»v-o ^^5 dans
le cas où ces quantités sont égales entre elles, on a
[,p(/7/)]^==<p(/Wv).
Si Ton fait m= -> pt étant un nouvel entier, cette égalité
devient
[T(^)J = T(f') = «-;
donc
çfi-|— <? * — cos(~j:H I -f- / sm ( - a: H J ,
k désignant un certain nombre entier, qu'on peut supposer
inférieur à v. Or g> ( - j se réduit à i pour a: = o : donc alors
l'entier k est nul*, il s'ensuit que l'on a constamment A: = o,
car les seconds membres des formules (i) varient d'une ma-
nière continue quand x croit de ^ à -\- -• Ainsi l'on a
^ 2 2
^ [m) = co%mx + / sin/7zx,
lorsque m est égal à une fraction rationnelle ~> et il s'ensuit
évidemment que la même formule a lieu encore si m est un
nombre incommensurable.
On voit d'après cela que les formules (i) subsistent quel que
soit m, pour toutes les valeurs de x comprises entre et H — •
29^ TRAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.
Déx^eloppement de la fonction arcsinz en série ordonnée
suis^ant les puissances entières de z.
208. Les formules (i) du numéro précédent peuvent s'écrire
comme il suit :
I — cosmx
2
il m^\ sin*j: 2.4/ rrû\ I m-\ûn^.r
-4-.
2 . 4 . . • f2 /? — 2) / m^\ Y /??* "1 sin^" j:
3.5. . .(2w — i) \ 4
sin/wjr
|_ (2W — 2)'J «
mx
\, . sin*.r 1.3, ,/ /77A sin*.r
:^sinx-i--(i-m')---;-— (.-m')(^,---j— -H-...
1.3. . .f2/? — ï) , . r m^ lsin2"^'.r
H ;^ '-{i — m})..A I— ^ 1-
Les seconds membres de ces formules sont des séries con-
vergentes quel que soit m; en outre, dans chacun des termes
de ces séries, le produit des facteurs qui dépendent de m se
réduit à i pour m = o, lors même que le nombre de ces fac-
teurs devient infini, ainsi qu'on le reconnaît immédiatement
en se reportant aux formules (i) du n° 187. On a donc pour
m = o
j _ . j 2 sin^r 2.4- ••(^■'' — '^) sin'^.r
o 2 i.o. . .(2/î — ij n
' . I sin*.r i.3...(2/z — i) sin"'^'.r
•*; sm 3C -f— - — ;— ... ■ I " . ~~~ 1 ....
2 O 2.4- . «2/2 2« -i-I
Ces formules, qui subsistent pour toutes les valeurs de x com-
prises entre et H — , font connaître les développements
de Tare x et de son carré en séries ordonnées suivant les puis-
sances entières de sinj::.
On parvient encore aux résultats précédents par les consi-
dérations suivantes. Les premiers membres des formules (i) du
'
CHAPITRE GINQUifeME. 207
n° 207 peuvent être développés en séries ordonnées suivant les
puissances entières de m : donc les seconds membres peuvent
Tètre aussi de la même manière. Les formules dont il s'agit
étant ainsi préparées, si Ton égale de part et d'autre les coef-
ficients de m et ceux de /n*, on retrouvera les équations (i)
que nous venons d'obtenir.
Si Ton remplace x par x dans la deuxième formule (i),
il vient
, . ÏT I COS*X Ï.3...f2/Î — i) cos"*"'"'.r
(2) :rz= cosa: ^ ... 7-^ ~ h...;
1 2 3 2.4-..2/2 2«-f-I
cette formule (2), qui donne le développement d'un arc en
série ordonnée par rapport aux puissances de son cosinus,
exige que x soit compris entre zéro et r.
Enfin si l'on remplace x par arc sinz, dans la deuxième for-
mule (i), et par arccosz, dans la formule (2), il viendra
\ Z" 1.3. . .(2W — l) Z'"-^'
are smz = z H — -;r + • • • -' 7-^ }-...,
2 3 2.4. . .272 2/2 -h I
(3) {
^ ^ TT I Z3 I.3...(2W — l) Z'"-^'
arc cosz = z — — ... -^ h . . . .
2 2i 2.4'-.2/2 2/2 -;-I
On obtient des résultats numériques qui offrent quelque inté-
rêt en faisant x-::^ --i --^^ Ti'i ^^ 7: dans les formules ( i ) .
4 3 6 ^ '
Dév^eloppement des fonctions logsino: et logcosx en séries
ordonnées suiy^ant les puissances ascendantes de x.
209. D'après les formules (1) du n** 187, si l'on désigne les
logarithmes népériens par la caractéristique 1, comme nous
l'avons fait jusqu'ici, et que l'on pose
les quantités R„ et R'„ tendront vers zéro quand n tendra vers
agS TRAITÉ DE TEIGONOMfiTEIB.
rinfini. Or, pour toutes les valeurs de z comprises entre — i
et -f- 1 , on a
donc les logarithmes, en nombre limité, qui figurent dans la
première équation (i) seront développables en séries ordon-
nées suivant les puissances croissantes de x pour toutes les
Tf 77
valeurs de cette variable comprises entre et -h - j pareil-
lement les logarithmes qui figurent dans le second membre de
la deuxième formule seront développables de la même ma-
nière pour toutes les valeurs de x comprises entre — tt et -I- îî.
Si Ton forme ces développements et que Ton fasse tendre
ensuite n vers l'infini, on obtiendra les valeurs de log coso: et
de logsin^r en séries infinies. Or il est aisé de voir que le
calcul qu'il faudra exécuter est de tout point semblable à celui
que nous avons développé au n^ i92 pour obtenir les séries
qui représentent les valeurs des fonctions tang^r et cota:. Le
calcul relatif à — log cos x ou à log sinx — logx diffère seule-
ment de celui qui se rapporte à tangx ou à cot x en ce
que les exposants de x sont augmentés d'une unité, et que
les coefficients sont divisés par l'exposant de x, circonstance
dont le Calcul différentiel donne la raison. D'après cela, on
peut écrire inmiédiatement les deux formules
11.2 ^ n 1.2.. .2»
(2)
Il . 1 Di .T Bu X
1 Sm J:=r \x — 2 ... — 2*"~'
1 I .-2 n 1,1,.. in
Bi, Bi, . . . , Bn, . . . désignant ici, conune au n^ i9S, les nom-
bres de Bemoulli. En retranchant la première formule de la
deuxième, on obtient
B x^
\\JàXïSX-=\x -\- 2'(2 — i) — — ^ h. . .
(3) ;
-f- 2*"(2»"-'— l) — \
Il 1.2. . .211
CHAPITRE CINQUIÈME. 299
La première formule (2) et la formule (3) subsistent pour toutes
les valeurs de x comprises entre et H — » la deuxième for-
mule ( 2 ) peut s'étendre aux valeurs de x comprises entre — :r
et -f- TT. Le cas de x négatif n'introduit point d'imaginaires,
car nos formules ne renferment en réalité que les seuls loga-
rithmes Icosor, 1 — -^ 1 — —^ qui restent réels quand x est
négatif.
Si l'on remplace les nombres 61 , Bg , . . . par les valeurs
que nous avons obtenues au n^ 193, il viendra
ari^ .7^ .T^
1 COSo: =Z' . . . ,
2 12 4^
1 Slu^ "— l'^ ""^ "TT ^"~ 7T^ "~~ 00 f^ ~"~ • • • »
o loo 2035
_ - .r' 7.r* 62 .r*
210. Les formules (2) peuvent être employées pour la con-
struction des Tables des logarithmes des sinus et des cosinus.
Si l'on y fait x= — -^ qu'on les multiplie par le module M
des logarithmes vulgaires et qu'on y introduise, au lieu des
nombres de BemouUi, les sommes S ou S' liées à ces nom-
bres par les formules (8) du n® 192, il viendra
logcos^-9o''j = -M(^S,-4--S,--^3S.-4-...).
log sin 1 — 90° j =z: log - -F logm — log/i
\ 2' /î^ 2,2* n* 3 . 2® • w' /
la caractéristique log exprimant des logarithmes vulgaires. On
aurait obtenu des séries plus convergentes si l'on avait con-
servé dans les formules (i), sans les réduire en séries, les loga-
rithmes de i — -^- et de i -9 quantités qui se réduisent ici
300 TRAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.
m} m}
à I — — et I — — \ les développements de ces logarithmes
sont
et, si Ton retranche ces équations respectivement des deux
précédentes, il viendra
log cos r~ 90» j
■=z log(/î 4- /w) H- log(/? — m) — 2 log 72
-m|_(S,-,)- + -(S.-.)- + 3(S.-,)--i-....J,
logsin ( — 90**)
:r^ log - -f- log/n -h log(2« -'r- m) -f- log(2/i — m) — 3 log/2
-M[-,(S;-r)-.- — (SV-.)^4-3^(S;-,J-H-...j.
Ces deux formules sont très-commodes pour l'objet que nous
avons en vue \ en les retranchant Tune de l'autre, on aurait la
valeur de log tang ( — go° ) ? que nous nous dispensons d'écrire.
Si Ton calcule les coefficients numériques des formules
précédentes avec vingt décimales, on obtiendra les résultats
suivants :
log cos ( — 90°) ^l0g(/2 — w)-f- log (/?-+-/«) — 2lOg/2
m^
— 0,10149485934189280353 -7
fV
m*
— 0,00318729406545107231 — j-
— o ,00020 94858 0001 741 893 ~Y
/«*
— 0,00001 68483 48598 30473 —
n
10
m
— o ,00000 14801 93986 89554 -nr
IV
13
— 0,00000 01 365 02272 22565 — j7
CHAPITRE CINQUIÈME.
3oi
m
i«
0.00000001298171473773 — fj-
m
16
— 0,000000001261471 i53ii -7
TV
m
18
0,0000000001 24567 12069 —^
9w
m
}0
— 0,00000 00000 12455 90006 —^
n
m
23
,00000 00000 01258 14224 -r7
n
m
34
0,000000000000128 i43o4 -=r
TV
— 0,00000 00000 0001 3 14283
m
36
Tl
26
— 0,00000 00000 0000 1 35726
m
38
n
t»
m
ao
— O , 00000 00000 00000 I 4062 -rr-
Tl
m
33
— , 00000 00000 00000 01 465 — 7T
m
34
0,00000 00000 00000 001 53 -r;-
Tl
3»
,00000 00000 00000 00016
m
36
n
•ta
logsin ( — 90° j = log/w 4- log (2/2 — m) -h Iog(2/2 4- /w) — 31og«
-h T, 59405 98857 02190 26861
m'
— o , 07002 28266 0590 1 920 1 4 -y
m'
0,00111726644166184613 -7-
Tl
//r
o,oooo3 92291 46453 91834 —^
nr
o ,00000 17292 70798 36o59 -g-
m
10
o ,00000 00843 62986 29875 -j^
TU
13
, 00000 00043 487 1 5 5oi 80 -jy
TU
14
,00000 00002 3i93i 2i4îo -rr
m
16
,00000 00000 12659 07465 -f^
m
18
0,00000 00000 00702 67969 -fj-
m
38
— 0, 00000 00000 00039 51077 -5^
m
33
— o ,00000 00000 00002 24455 —57
n
m
24
— 0,00000 00000 00000 12858 -rr
— 0,00000 00000 00000 00738
m
36
Tl
,36
— o ,00000 00000 00000 00043.
m
38
n
28
30
m
— o ,00000 000000 0000 00002 -TT
J ^38
302 TRAITÉ D£ TRIGONOMÉTRIE.
Déi^eloppements en séries ou en produits infinis des
fondions circulaires de variables imaginaires,
21 1 . Les formules qui expriment les fonctions cos j: et sinx
par des produits infinis de facteurs linéaires ne sont pas bor-
nées au seul cas où Tare x est réel; ces formules subsistent,
au contraire, quel que soit x. II en est de même des formules
qui expriment les valeurs des fonctions tangx, cotx, sécx,
cosécx, décomposées en une infinité de fractions simples.
Enfin les séries ordonnées par rapport aux puissances entières
et ascendantes de x, qui représentent les fonctions tangx,
cotx, sécx, cosécx, dans le cas où x a une valeur réelle
comprise entre des limites convenables, ne cessent pas de
représenter les mêmes fonctions quand x devient imaginaire,
pourvu que le module de cette variable reste inférieur à la
limite qu'elle ne doit pas dépasser lorsqu'elle est réelle et
positive.
Nous plions' établir ici ces diverses formules par des dé-
monstrations nouvelles, qui s'appliquent indifféremment) au
cas où la variable est réelle et au cas où elle est imaginaire;
ces démonstrations reposent sur le lemme suivant :
Lemme. — Si l'on désigne par ol un arc réel compris entre
zéro et -9 et par z une variable réelle ou imaginaire dont le
2
tangz
module soit inférieur à a. le module du rapport — ^ sera
*^ ' ^^ tanga
inférieur au module de - •
•^ a
En effet, si l'on pose
on aura
tang*z tang(jr -i- iy) tang(jr — ijr)
mod
tangua tangua
*-^^ ^ tang*.r
2 '
tang' OL yeJ" -{- e~y j tang^ a ^
CBAFITRB GINQUIÈMB. 3o3
or, le module de z étant, par hypothèse, inférieur à a, on a
x^<l a', et, d'après le lemme du n° 186, — ^-7- <* — î on a
d'ailleurs
1-4- '^
donc
, tane^z ^ j:* -4- r' , tanerz ^ ,z
mod — ^-— < -^ :— ou mod — ^- <' mod - •
tangua a' tanga a
Corollaire . — Les mêmes choses étant posées, si le module
p de z est inférieur à —=.^ on pourra écrire
_ tang^z _ ** ë tang^z — 5 ^1
tangua ' tang^z — tangua et}
en représentant par e la base des logarithmes népériens,
par B et â des expressions imaginaires dont les modules sont
inférieurs à l'unité.
En effet, d'après la formule (16) du n° 203, on a
- tang^z
(mod - — - —
*""« "^ I - mod î^^
tangua
pourvu que le logarithme népérien qui figure dans le premier
membre soit pris de manière que la valeur absolue du coef-
fîcient de i soit au-dessous de -• Or, d'après notre lemme, le
second membre de l'inégalité précédente est inférieur à la
fraction ^^ d'ailleurs, comme nous supposons ^ < -»
i-£
a}
cette fraction est plus petite que i, et elle augmentera si
3o4 TRAITÉ DB TRIGONOMÉTRIB.
Ton ajoute ~ à chacun de ses termes; elle est donc inférieure
Le module du logarithme népérien de i ^—- étant
inférieur à •—- > ce logarithme est égal au produit de —— par
une expression imaginaire B dont le module est inférieur à i :
on a, en conséquence,
tang'z a6
tang'a
1 ^^z=ze "^
En second lieu, comme le module d'une somme de deux
parties est au moins égal à la différence des modules des par-
ties (162), on a
^ ^ I — mod — V
tang^a
et^ d'après notre lemme, le premier membre de cette inégalité
Pi
sera, à plus forte raison, moindre que et que -Ç*
Si donc on désigne par 5 une ei^ression imaginaire dont le
module est inférieur à i , on aura
taug^x — tangos «*
âlà. Les formules relatives à Faddition des arcs s^appliquant
«ux ares imasrinaires comme aux arcs réels, toutes les for-
mules qui se déduisent de celles-ci acquièrent la même gé-
néralitè.» ainsi que nous en avons déjà fait la remarque. Il
sVnsuît que les formules (i\ (a\ ^3), (4) du n* 185 sub-
sisteroul si Ton r remplace Tare réel x par une expression
im^iuaire ^ d'un module quelconque ô. Cela posé, ocmsidé-
Kv^us les formules (3\ où m désigne vu nombre pair^ dési-
GHAPITHS CINQUitHB. 3o5
gnous par n on nombre pair quelconque, assez grand cepen-
dant pour que — soit supérieur à p ^, et prenons m^n\ on
pourra écrire
(0
tanfir* —
z I ^ m
cosz = cos" — I I
tang^ —
m
I —
tang*
im/
tang'
nm
X I-
z
tang' —
m
J«--i)ir
(i — e«,«),
tang'
2/n
tang'
m
2 Z
sin« = cos'"--.mtanff~l i —
* ^ tang'
2m
X 1-
tang'-
tang^
[n — 2)ir
2.m
(i — >»«.»),
en posant
1 — ««,» = I I
I — *»•,!» =1
tang' —
° m
^ 2m
tang' —
^ m
tang' —
m
tang^
(m — i)îr
2m
tangî
/ITT
2m
tane' —
m
tang^
(m — 2)w
2m
D'après le corollaire du lemme établi plus haut, les loga-
rithmes népériens des expressions i — e„^„ et i — mmjn ont
pour valeurs
1 (l — ««,«) = -T 7 TTw "^ 7 rr^ H- . . . -+- ; >
, / \ 8 p' r 6, 0„^î 9,„__j "I
"^ ' Tf' L/i» (/i H- 2)» (m — 2)'J
Tri^. ^.
30
3o6 TRAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.
en désignant ^ par d„ , 0„^.] , . . . des expressions imaginaires
dont les modules sont inférieurs à i. Or les modules des
sommes entre crochets sont inférieurs aux sommes des mo-
dules de leurs parties^ ils seront donc respectivement infé-
rieurs aux sommes S„^i et S„ des séries infinies
I I I
dont la convergence a été établie précédemment. On amra,
par suite, en désignant par X„ et X„^.i des expressions imagi-
naires dont les modules sont inférieurs à i ,
. - ,1 •«.n — ^
I — *ïm,ii ^
Supposons maintenant que, l'entier n restant constant, on
z
z ^^^m
fasse tendre m vers l'infini 5 le produit m tang — ou ^
m
se réduira à z pour m = 00 ; pareillement les rapports de deux
tangentes qui figurent dans les formules (i) auront les mêmes
limites que les rapports des arcs correspondants \ enfin le fac-
/ 2sin* — \
leur cos"* — = \ i / se réduira à l'unité , comme
m \ m / ^
dans le cas de z réel, d'après la proposition démontrée au
n*' 198 (Remarque). Si donc on désigne par e„ et yî„ les limites
de e«,„ et de yi„,„, les formules (i) deviendront, pour m = 00 ,
^ "-(-^;?)(-ls)-[-f^]'--'.
CHAPITRB GUIQDIÈME. 807
et Ton aura ensuite, par les formules (2),
8f«
(4) : y.
~f ^H-l8iM-l
"zr ^Sp»
\+i 6t ^„ désignant toujours des expressions imaginaires dont
les modules sont inférieurs à i .
Mais les sommes S,, et S„^i ne sont autre chose que les restes
des séries convergentes
III III
ces restes tendent vers zéro quand n augmente indéfiniment ;
on a donc
f„ =0, ri^ = o, pour « =r 00 .
Par conséquent, si l'on fait tendre n vers l'infini, les for-
mules (3) deviendront à la limite
et, en remplaçant z par iz, dans ces formules (5), on aura
e* — e
-='('*?)("*4^)('-"^)-
Si Ton pose z = j: 4- ij"^ les premiers membres des for-
mules (6) se réduiront respectivement à
ces r + i sm j, ' — ces j 4- i sm y,
2 I a 2 '
d'où il suit que ces expressions sont décomposakles en un
30.
3o8 TRAITÉ DE TEIGONOHÉTRIE.
produit d'une infinité de facteurs linéaires, et la même chose
a lieu en conséquence à l'égard des carrés de leurs modules,
carrés qui ont respectivement pour valeurs
_ I 1_ cos 2jr ) , - I ces ly
Les formules (6) prennent une forme plus simple quand on
écrit — au lieu de z ; on trouve ainsi
2 '
«2 ««
e^
-i-e
z
2
«s
1CZ
e*
— e
a
213. Les formules (3), (4), (5) et (G) du n« 189 subsistent
quand on remplace l'arc réel x par une variable imaginaire z
d'un module p quelconque. Si donc on choisit, comme précé-
demment, un no/nbre pair n tel que — soit supérieur à p ^,
et que Ton prenne ensuite pour m un nombre pair supérieur
à 72, les formules (5) du numéro cité donneront
[ tangz = tang— -»- "^ ( col ^ -h tang-^ )
I m m \ m m j
tang*— tang* —
Xl h.. .H -. r ^-+-«1
tang'--tsng'- tang'^^^-tang'-
/a az 3\ 2/ z z\
cotz= ( — cet tang— i (cet — htang— )
\m m m J 'w \ m mj
z z
tang^— tang' —
2/w " /n ** 2/w m
CHAPITEE GmQDIÈMX. Sog
en posant
tang» — tanff' —
• ° m ^ m
^«1,11 ■ 7 : — ^ -f- • . . H-
,f/iH-i)-r ^z ^im — 1)7? .3
tang* i '- tang* — tang* ^^ tang* —
tang*^ tang»^
m m
^ TIT ^ z ^ (m — ^)lt , z
lang* tang* — tang* ^ tang* —
^ 2m ^ m ^2/71 ^ m
D'après le corollaire du n° 2H, on peut écrire
^nî ^#1+1 étant des expressions imaginaires dont les modules
sont inférieurs à i. En reproduisant ici sans modification le
raisonnement dont nous avons fait usage au n°212, on parvient
à mettre ces valeurs de e^^^ et de >?„,„ sous la forme suivante :
8p' ' __ 8p*
S„ et S„^i ayant la même signification qu'au numéro précé-
dent, et X„, X„^t désignant encore des expressions imaginaires
dont les modules sont inférieurs à i .
Le nombre n restant constant, si Ton fait tendre m vers
l'infini, les formules (i) donneront, en désignant par e„ et yî„
les limites de t„,^n et »}^,„,
*y z *y z *y
* I 23 7.Z 2
COtZ ; . , . ■=-. » — i^^ >3fl
z TT* — 2* \[n — 2)7r
V(n-^-V_^,
3lO TRàlTÉ DX TRIGONOHfiT&IB.
et l'on aura toujours par les formules (2)
Si maîntenant on fait tendre le nombre n vers l'infini, les
quantités e„ et yî„ tendront vers zéro, et l'on aura, à la limite,
(5)
/ IZ 7.Z
I 2Z 2Z
cotz =
_^ I • • • •
r2
Z 77^— z^ (27r)' — z'
De ces formules on peut déduire, comme nous l'avons fait au
n*' 191, dans le cas de z réelle, les deux autres formules
I 2Z 2Z 2Z
COSeCZ = - -h — — 7 -h r^— r — . . . ,
(6) < , TT StT StT
sec z = -, r^ — r— h
(=)'- (¥)'-^- m-
z»
qui ont lieu en conséquence, ainsi que les formides (5), pour
toutes les valeurs réelles ou imaginaires de z.
Si Ton remplace z par iz, les formules (5) et (6) prennent
la forme suivante :
/ e* — e~' 2Z 2Z
^ -f- e~* I 2Z 2Z
€* — €-' Z tt'-^z* (27r)'^-z» ■"'
(7){
'2 I 2Z 2Z 2Z
e' — e-' z 77' H- z' (277)^-1-2* (SttJ^H-z^
2 77 StT 577
• • ï
r"' ©■- (t)"- (?)'-
214. La méthode dont nous avons fait usage au n^ 192 pour
obtenir les développements des fonctions tangx et cotx en
séries ordonnées suivant les puissances entières et ascen-
CHAPITRE GINQUiftHB. 3ll
dantes de x consiste dans une simple transformation des for-
mules (5), celles-ci ayant lieu quelle que soit la variable x,
les raisonnements du n^ 192 s'appliquent sans modification
au cas d'une variable imaginaire. Ainsi l'on a les deux for-
mules
1 tangz = 2»(2»— i)B, h2*(2* — i)B,^ ^—, -h. . .
I ' I .2 ^ ' \ .2.3.4
(8) \ -+- a^'Ca*" — i) B„ -, ^ h . . . ,
^^i \ ^ ' 1.2. . .(2/1 — 1)2/2
I z Z^*"'
COtZ= 2'B, ... — 2*"B|, 7 X h...,
Z 1.2 1.2. ..(2/z — \)in
qui subsistent, la première pour les valeurs de z dont le mo-
dule est inférieur à - et la seconde pour les valeurs de z dont
le module est inférieur à tt. En changeant ^ en - dans la
deuxième formule, on obtient, comn^e au n^ 192,
z z _ z^ _ z^ _ z"
(9) ' cot-=:Bt hB, ^-7-f-...-t-B,
2 2 1.2 1.2.3.4 1.2. ..2/1
Dans ces formules (8) et (9), B^, Bj, . . . désignent, comme
précédemment, les nombres de BemouUi. Par le changement
de ^ en iz, les formules (8) deviennent
/ ^ — C"* , X z , . z*
■ = 2^(2^ — OB, 2^ 2^—1) B, 5-y
e'-^e-* ^ ^ '1.2 ^ ' 1.2.3.4
^în-l
-{-(— l)".2»"(2*" — l)B„ h
^ ' ^ ' 1.2... 2/Z
(10)
~ — — --f-2»B, 2*Ba _--f....,
e* — e ' z 1.2 1.2.3.4
+ (_,)n-i2î«B„ h...;
^ 1.2. . .2/2
la formule (9) devient, par le même changement,
s %
, . , z <ê-f-e ' ^ z» ^ z*
2 f _f 1.2 1.2.3.4
3l2 TRAITÉ DB TRIGONOMÉTRIE.
mais le premier membre de cette formule (ii) est égal à
! — ^ on peut donc écrire
^ €* — I Z 2 1.2 1.2.0.4 1.2. ..2/1
formule dont on fait un fréquent usage en Analyse et qui sub-
siste pour toutes les valeurs de z dont le module est inférieur
à 27r.
Enfin l'analyse développée au n** 195 s'applique aussi, sans
modification, au cas d'un arc imaginaire, et l'on a
I z z*"~*
COSécZr^ - -f-(2'— 2)B, \-,,,-\-[l^—l)'Rn H...,
Z ' 1.2 ^ 1.2. ..2/1
(i3)-
Z» Z* Z*"
sécz = I -f- Ci • h C, ^~7 -i» . . . H- Cn h
I .2 1.2.0.4 1.2. . .2/2
• • «1
Cl, Cl, . . . désignant ici les mêmes nombres qu'au n® 195.
La première des formules (i3) exige que le module de z soit
inférieur à ir, et la seconde que ce module soit inférieur à -•
En changeant z en iz^ ces formules deviennent
= (2*— 2)B, h...
l e* — e~* z ^ '1.2
^an-i
(i4)
-h ( — l)»(2»" — 2) B„ h . . . ,
^ ^ ' I .2. . .2/2
Z» ^ z'
= i — C, ^ h c
^ -f- C— * 1.2 1.2.0.4
+ (~i)"a H....
\ ^ 1 .2. . .2/2
CHAPITRE 8IXIÈMB. 3l3
CHAPITRE VI.
DE LA RÉSOLUTION DES TRIANGLES PAR LA VOIE DES SÉRIES
ET DES FORMULES TRIGONOMÉTRIQUES DIFFÉRENTIELLES.
Sur la manière d'expHmer les angles dans le calcul.
215. Les métliodes que nous avons exposées dans les Cha-
pitres ni et IV, pour la solution des divers problèmes de la Tri-
gonométrie rectiligne ou sphérique, ne laissent rien à désirer
sous le rapport de la rigueur ^ mais il est des cas où il peut
être plus simple et plus avantageux de substituer des pro-
cédés particuliers aux méthodes générales, soit pour abréger
les calculs, soit pour obtenir des résultats plus précis et plus
indépendants de l'erreur des Tables. Nous nous proposons,
dans ce Chapitre, d'examiner les cas les plus importants \ les
solutions que nous présenterons reposent toutes sur l'emploi
des séries.
216. Les angles sont exprimés dans le calcul, soit par les
degrés, minutes et secondes qu'ils contiennent, soit par les lon-
gueurs absolues des arcs qui les mesurent, ces arcs étant pris
dans le cercle dont le rayon est i . On a souvent besoin, dans
les applications de la Trigonométrie, de passer de Tune de
ces expressions à l'autre \ nous allons indiquer ici la manière
dont on eflfectue habituellement cette transformation.
Soient x la longueur d'un arc qui mesure un certain angle,
et x' le nombre entier ou fractionnaire de secondes contenues
dans cet angle 5 il est clair que x est égal à x' fois l'arc de i'^,
et Ton a
mais, comme l'arc de 1" diffère de son sinus d'une quantité
3l4 TRAITÉ DB TRIGONOMÉTRIE.
plus petite qu'une unité du quatorzième ordre décimal, il est
permis dans les applications de substituer ce sinus à l'are, et
l'on écrit
:c = 0/ sini*' ou a:' = -r
sm i''
Supposons, d'après cela, que dans une formule figure un
angle x évalué en parties du rayon 5 si l'on veut faire que cet
angle soit évalué en secondes, il faudra remplacer x par x'sin i^\
ou simplement par x sin i'' en supprimant l'accent. Au con-
traire, si l'angle x se trouve évalué en secondes et qu'on veuille
faire qu'il soit évalué en parties du rayon, il faudra rempla-
ce
cer X par
sini''
Tableau des formules (fui expriment les dé^eloppem^ents
des fonctions circulaires en séries.
217. Nous rassemblons ici celles des formules établies dans
le Chapitre précédent, dont l'usage est le plus fréquent dans
les solutions trigonométriques. On a en premier lieu les six
formules suivantes :
smx z=x -\ ...»
b 120
x^ .7^ X*
COS;r =r l ! 7 h • . . ,
2 24 720
jc' 2.r*
(0
tangx =z X + ~ H- — ;=■ -4-
cotx = —
I X x^ 2.r*
a: 3 4^ 94^
secx = I H 1 7- H h . . . ,
2 24 720
, I X n x^ Six*
i cosecx =1 --{--- + -4^- H- -~ h . . . ,
JC ODO 10 120
qui donnent les lignes trigonométriques de x en fonction de
CHAPITRE SIXIÈME. 3l5
cet arc, et en deuxième lieu les deux formules
sin*x 3 sin*ar
X =z sm.r H -pi 1 , h . . . ,
f \ ' 6 40
(2) <
(. = tang.-î?^f^-f.^^*"
3 ' 5
qui font connaître l'arc x en fonction de son sinus ou de sa
tangente.
Dans les formules (i) et (2), l'arc x est évalué en parties du
rayon 5 si l'on veut qu'il soit exprimé en secondes, il faut
écrire xsin i" au lieu de x.
218. Nous avons vu au n° 203 que, si les quantités 9 et r sont
définies par deux équations de la forme
[ô] tang0 = - — ' 9 rzzi i/i -{- 2.pcosto-f- p%
^ ' ^ i-f- p cosw V r r
on peut calculer l'angle 6 et le logarithme népérien de r par
les formules
p sin&) p^sin2&) p*sm3w
G
, pcosw p^cos2&> ^ p'cos3w
120
qui seront d'autant plus convergentes que p sera plus petit, et
qui subsistent tant que p est inférieur à i. Pour le calcul il
faut multiplier la seconde formule par le module M des loga-
rithmes vulgaires 5 il faut en outre remplacer 9 par sin i",
dans la première formule*, ce qui revient à diviser le second
membre par sin i" 5 alors, tant qu'on doit se borner à un petit
nombre de termes, il est permis d'écrire sin 2'', sin 3'', . . . , au
lieu de îi sin i'', 3 sin 1'', . . . , et l'on a ainsi
(4)
( psin» p*sin2« p*sin3w
sini'' 5102'' sin 3''
1 ,, / P COS W p^ ces 2 W p' COS 3 6)
logp =::M ' ' ^ ' ^
• • • I •
'
3l6 TRAITÉ DB TRIGOIfOHÉTRIE.
Si Ton change cd en i8o° — &>, les formules (3) deviennent
/*'\ ^ p sin» /
(5) tangO = — '^ , r=: VI— apcosw H- û^
' I — p cosw *^ ^ .
et, en faisant le même changement dans les formules (4)) on
aura, pour calculer les valeurs de 9 et de logr,
[ psinu p'sinao) p^sinSb)
1 sini'' sm2'' sin3'
(6) (. .
(, ,, /p cosw p*cos2 6> p'cosSw \
l„g._-=_ M ^4_ + P-^— 4- P-^— +. . .) .
Enfin on a très-firéquemment Toccasion de calculer un
angle x déterminé par une équation de la forme
( 7 ) tang.r ~ tanga,
I — m
OÙ la quantité donnée m est supposée comprise entre — i et
-h I . On a
, , tansx — tans a.
tang .r — a) = 5 Ë_,
I -h tangartanga
et, en remplaçant tango? par sa valeur tirée de Téquation pro-
posée, il vient
f .m sin 2 a
tanfi[(.r — a) = — »
^ ' I — mcosa,
m
équation semblable à la première équation ( 5) ; on aura donc,
en appliquant la première formule (6 ),
,o. sin2a sinia sin6a
(b) .r = a -f- w ~ — w -h m^ -. — ~ -f- m* -^—57^ -+-••••
^ smr sm2' sin 3
Cette dernière formule a été établie directement par Lagrange
dans les Mémoires de l'académie de Berlin pour 1776.
Des triangles rectilignes dans lesquels deux angles
sont très-petits.
219. Problèiib I. — Résoudre un triangle rectiligne, con-
naissant le côté c et les angles A e^ B supposés très-aigus.
CHAPITRE SlXlftHB. 817
Les angles A et B étant très-aigus, on peut prendre
sinA = A — ^ A% sinB = B — ^ B»,
o o
sinC = sin (A 4- B) =: A -f- B — i (A -h B}»;
1 ^ 1 csinA y csinB , , .
les iormules a = -.— tt > ^ = -^-^tt deviennent alors
sinC sinC
cA 1 — 7 A»
A-f-B I — |(A-+-B)»
cK
(ï"-gA')['-^g(A-hB)»+...],
bz=z
A-f-B ,
cB 1 — 4^ A'
«
A-f-B I— -^AH-BJ'
A-l- B
^,_^B»)[i+i(A + B)'-f....];
effectuant les calculs indiqués et négligeant partout les termes
du quatrième degré en A et B, il vient
cA
"=Â:rB^^^
(■
d'où
2ABH-B
6
')'
b —
cB
A-hB
(-
A»
-t- 2
6
AB^
}
?
a-^b
— c
I
2
c.AB;
ces valeurs sont exactes aux termes près du quatrième ordre
en A et B. Les angles A et B étant donnés en secondes, il faut
écrire pour le calcul
cA
ai
A-hB
/ , 2AB-hB' . , ^\
cB / A»-h2AB . , -\
chacune des parties de a et de 6 devra se calculer séparément
par logarithmes.
3l8 TRAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.
220. Problème H. — Résoudre un triangle rectiligne,
connaisséuit deux côtés a et b a^ec l'angle compris C sup-
posé très-obtus.
Posons C = i8o° — 9, l'angle 6 sera très-petit. On a
c^z= a* -h 6* -h 2.ab COS0;
mettant i au lieu de cosff, il vient
c'^la-hft)»— aftO» et c = (âf H- 6) i— ^— ^— r^ OM ;
développant par la formule du binôme et négligeant les termes
en d'ordres supérieurs au troisième, il vient
^ X • , i ab
II) c^za-^-b ô^
Calculons maintenant A ; on a
smA = - sinC = - sin9 ;
c c
remplaçant c par la valeur (i) et sînfl par — ^» îl vient
û /^ 0»\ r I ab 1-»
sin A = — -^ I ® — ^ ) M 7 TT, ® i
développant par la formule du binôme et négligeant les termes
du quatrième degré en fl, il vient
m
mais, l'angle C étant très-obtus, A est très-petit, et l'on peut
prendre
. . sin»A
A = sm A H ^— •
o
Substituant, dans cette formule, la valeur précédente de sin A,
il vient
a9 r b(a-^b) en
^ ^ û + ^L (a-h by bj
CHAPITRE SIXl&KE. . 3ig
valenr exacte aux termes près du quatrième ordre en 6 -, on
trouverait de même
(^^ ^ - ^ip* L {« + *)' ej
Pour le calcul, il faut, dans les formules (i), (2), (3), mettre
6 sin i^\ A sin i'', B sin i" au lieu de 0, A, 6 ^ il vient alors
c == a -f- ^ r Ô* sm» i^,
fi a -v- b
^ ^9 r 6(a — ^) 9'sin'i^ l
a-^bl^'^ [a^by 6 J'
_ ^Q r _ a[a—b ) e^sinV^l
^ — ^lirôL'"" [a-^by 6 J'
Résolution d'un triangle rectiligne dans lequel on connaît
deux côtés et l'angle compris.
221 . Soient a exb les côtes donnés, C Tangle compris, et
supposons a<^b. La solution qui va suivre se rapporte au
cas où -T est très-petit, cas qui se présente fréquemment dans
l'Astronomie.
Pour déterminer c et A, on a les deux formules
csinA = asinC, crcosA = 6 — acosC,
d'où Ton tire
a
T sinC
b" c . / o, ^ a}
tangA= , -=i/,_3-cosC+p;
I — -7 ces C
b
appliquant ici les formules (6) du n^ 218, on obtient
a sinC a^ sinsC a* sinSC
b sin y" b^ sin2''' b^ sin 3''
COS2C fl* cos3C
quant à l'angle B, on le calculera par la formule
B=:i8o*>— A^C.
loge z=z log^ — M ( - cosC -h t;
320 TRAITÉ DE TRlGOlfOKÉTRlB.
Cas d'un triangle sphérîque rectangle dans lequel Vun dés
angles obliques est très-petit.
3SSL, On donne l'hypoténuse a d'un triangle sphérîque
rectangle, av^ec l'angle oblique B supposé très-aigu, et Von
demande de calculer le côté c.
Ona
(i) tangc = cosB tanga,
d> ^
ou
I — tang* Î-B
tangc = V;— - Unga;
^ - • tang4B ^
appliquant la formule (8) du n° 218, on obtient
1 ^ sin2^z . I ^ ûn/ia
(a) c r= « — tang» - B -; — ^ H- lang* - B - . ^ - — . . . .
^ ^ ° a sini*^ ° 2 sin2"
L'équation (i) ne change pas quand on change a en 90^ — c
et c en 90** — a\ donc la formule (2) ne cessera pas d'être
exacte si l'on y fait le même changement \ elle devient alors
. I ^ sin2c , I ^ ûnLc
a = c-h tang' - B -. — ^ -4- tang* - B -r— ^ -h ... ;
^2 smi'' ° 2 sm2'
cette nouvelle formule donne l'hypoténuse a, quand on con-
naît le côté c et l'angle B.
Cas d^un triangle sphérique dans lequel deux côtés diffèrent
peu d'un quadrant.
223. Etant donnés les trois côtés d'un triangle sphérique,
calculer l'un des angles dans l'hypothèse oii les côtés qui
comprennent cet angle diffèrent peu d'un quadrant.
Soient i et c les côtés qui diffèrent peu du quadrant 5 l'angle
A qu'il s'agit de calculer diffère peu de a : si donc on pose
ft -l-cr=i 80*^-1- 2/?, b — 0=3 2^, A = a -h j:,
GHAPITBB SIXI&HE. 321
les quantités p^ q el x seront très-petites. La formule
cosa = cosb cosc -h siab sine ces A
donne
, . 2 ces a -h COS 2 77 COS2 7
cos [a -\- x] =
' COS2/? -f- COS2<7
et
ICOSû — cos (a -T- .r)
(l — COSa) (l — COS2/?) — (l -4- COSa) f I — COS2<7)
COS2/? -r- COS2q
On voit que, si Ton considère p et q comme des quantités
du premier ordre, x sera du second ordre 5 et, si l'on veut
négliger lés quantités du quatrième ordre, il faudra remplacer
cos 2p par I — 2 p', cos 2 q par i — 2 y' dans le numérateur
du second membre de la formule (i), et réduire ces cosinus à
l'unité dans le dénominateur du même second membre 5 en
outre, le premier membre sera xsina, au même degré d'ap-
proximation. La formule (i) devient, d'après cela,
2 ) X =zp^ tanff — a — 7* cot - a ;
' 22
mais il faut écrire, pour le calcul,
(3) xzzzp^tang- asini^' — q^ coi- asini'\
Cette formule (3) peut être employée avec avantage dans
les calculs géodésiques pour effectuer la réduction des angles
à l'horizon ; elle est plus expéditive et elle exige des Tables
moins étendues que la formule du premier cas des triangles
sphériques^ cependant, lorsque les angles p et q surpassent
I ou 2 degrés, il est plus sûr d'employer la méthode générale. Il
est facile d'estimer l'erreur que l'on commet en faisant usage
de la formule (3). Reprenons à cet eflfet la formule (i), qui est
rigoureuse, et poussons l'approximation jusqu'aux termes du
sixième ordre exclusivement 5 le premier membre devra être
réduit à orsina -f- — cosa^ à l'égard du secoud membre, on
2
Triff, S. 21
3a2 TMAITt Ikk mOONOBtTRIB.
remplacera cos^p et cosa^ par i — ip -\r -^ €it i — ay'-î — ^
dans le numérateur, mais on réduira ces cosinus à i — 2p' et
I — a^* dans le dénominateur. On aura donc
tang-flfy»» — 4- | — <^^""^(^'"" TI i
° o. \^ 3 / *>' \ 3 / X» cosa
I — (p^-^ q^) 2 sina
Remplaçant r— j— — j- par iH- ;>' -h y', ce qui est permis,
et X* par la valeur tirée de la formule (2), il viendra
2 2 \ '1 2 2 4» 2 /
— Q \ — ^^^ - « -i- y cet* - « j /^*^' I cot - a — tang - a j •
\I2'2 •! 2/ 2 \2 2/
L'erreur que l'on commet en employant la formule (3) est
donc égale à
(5 I *i I \
— tang: - « -+- T tang* -- a ]
12 "2 4 ^ /
— q* sin* i" ( — cot-a -h t cot* - a]
\i2 2 4 2 /
/?*^'sin'i" (cet- fl — tang- a I ,
et il est facile de Testimer par la considération du plus grand
des termes contenus dans l'expression précédente.
Résolution d'un triangle spliérique dans lequel on connaît
deux côtés et l'angle compris.
224. Première solution. — Soient a et J les côtés donnés,
C l'angle donné. On a, par les formules de Néper,
tang go« H ■ ) =:: ^ f- tang- C,
^'V^ 2 y I — tangua cot^ô ^2 '
/h A-f- B \ I — tangua taniç^^ i^
tang (90^^ ) =r . — HJ L» tang-C,
^Y 2 / I -f- tang j a tang 4^ 6 ^2
«ABITMI nfllXllWB, 333
et, en appliquant la formule (8) du n^ 218, il vient
' A — B ^ i_ lan^l^ sinC
2 ^2 tang-^6 smi'
{')
"^ tang^Y^ sina''
A-f-B « I ^ I I , sinC
- - =90»- -C + teng-«tong-i ^^„-
I i , sinsC
— tang' - a tang* - o —
2 2 sina
La première série est convergente si a est <[ i *, ïnais, pour que
la seconde le soit, il faut queJ'on ait tanjg - a tang - i <[ j ou
^H-i<i8o°.
Pour calculer c, on a cosc = £oaa oosi -f- sina sini cosC,
d'où Ton déduit aiséukejit
Mil' "C = siiP— a cos' — & -f- 'oet^—a sirf -o
2 2 2 2 2
— 2 sm - a cos - 6 X cos - « sin - 6 cosC,
2 2 2 2
cos' - c = cos' - a cos^ -ù -h sin^ - a sin" - b
2 2 2 2 2
I î , .1.1,
-t- 2COS - a cos -6Xttn-asm-© cosC»
2 2 2 2
On voit par ces équations que ^in - c est le troisième c6té d'un
triangle rectiligne dont les autres côtes seraient sin - a cos - i,
JL 2
COS - a sin- b et l'angle compris C. Pareillement, cos -c est le
2 2 2
troisième coté d'un triangle rectiligoe dont les autres côtés
seraient cos - a cos - i, sin - a sin - i et l'angle compris
^2 2 2
iSo** — C. Appliquant donc ici le résultat trouvé au n** 221 ,
ai.
324 TRAITfi DE TRIGONOMETRIE.
on aura
/
loc'sin -ci= \of^ { cos -asin-b]
(')
tanff- £icot-o cosCh — tang'- acoV--bcos2C-h...
2 2 2 2 2 '
log cos - c := log ( COS - a cos -b\
„/ I ï , ^ I ï ï , ^ \
-{-MI tang-rtlang-^cosC tang=-«tang'-6cos2C-f- .. j,
et, en retranchant ces formules Tune de l'autre, ou obtiendrait
la valeur de logtang - c.
225. Deuxième solution. — La solution très-élégante que
nous venons de présenter est due à Lagrange^ les formules
auxquelles elle conduit ne sont pas sous une forme qui per-
mette d'évaluer facilement les éléments inconnus, lorsque l'un
des côtés donnés est très-petit par rapport à l'autre. Il est né-
cessaire d'en obtenir d'autres qui procèdent suivant les puis-
sances de ce côté, et c'est à quoi l'on parvient très-aisément
de la manière suivante.
D'abord, si l'on ajoute les équations (i) et qu'on les re-
tranche ensuite l'une de l'autre, il viendra
2siaC T 2sin2Ccotô i
A = - ,—j—. — -, tang - a H :— -, — ;,- tang^ - a
smèsmi 2 sm^sini 2
2Rin3Cfi -4- 4cot'<^) I
3sm6smr ° 2
^ o ^ 2sinCcotè 1 sin2Cfi-!-2C0t*6) i
B = i8o° — C : — - — tang-a ^ — -, '- tang^-a
smi" ^ 2 smr 2
2sin3C cot^(3 H- icot^è) i
: „ tang»-/H-
3smi' ° 2
• • . •
Si l'on suppose que le côté a soit très -petit, et que l'on
puisse négliger les puissances de a supérieures à la troisième,
on aura
tang- a =2 -df sini"H jfl'sin*!";
22 24
CHAPITRE SIXIÈME. SlS
en portant cette valeur de tang - a dans les équations précé-
dentes, et en négligeant partout la quatrième puissance de a,
on trouve
/ sinC ,/ . o riCot*
A = a - -- à* sin i ' smC cosC -r— r
sin b smb
-\r û»sin» i" I ~ smC cos'C 7-7 iz smC ----7- ) »
\ 3 sm ^ o smo J
(^^ \ B:=i8o«~C — «sinCeotè— -a»sini''sinCcosC{i-r2cot«^)
— a* sinM" :^ sinC cos»C cot6(3 -^ 4col»6)
— - sinC col b(i -t- 2, cot' ^ ) .
Pour calculer c, nous emploierons l'une des formules de
Delambre, savoir :
. I , ^, .1 sini(C — R)
sin - ( c — b) ^=: sin - a — " — ^ ?
2 ^ 2 COStA
ou
. i8o° — B— C
sin - ( c — «> ) rr- sin ~ a sec - A I sin(J sm
jin - (c — 6) rr- sin ~ a sec ~ A ( sinC
2 2 2 \
— cosC ces
2
180° — B — C
)
On voit que, pour calculer le second membre au même degré
d'approximation que A et B, il suffira de conserver les termes
en a* dans les deux derniers facteurs. On a
8ITI- a =: -a sin i" — tt: "' sin* i",
22 4^
et les équations (3) donnent ensuite, en négligeant a%
sec- Ar:^ I -+■ 77 A*sinM"= i -h rr û'sinM
sin»C
2 8 — 8 sin^6
ï
= - û sinCcotft H- ^fl'sini sinCcosC(i-T-2cot'6),
22 4
3l6 TRAIT* DmiIOONOBitEIB.
. 180" — B^C I . ^ . ^ ..
-I- -7 a« sin» 1" sinC cosC(i -î- icoVb)^
4
cos :r= ï — -to^sui' 1" sin*C.cot*6.
2 o
Au moyen de ces formules^, là valeur précédente de
sîn - {c — b) devient
sin- (c — ^) = astni^cosG h- Ta'sin'r'sia'Ccot^
2 ^ ' 2 4
•4- -7Ta»sm»i'' cosCsin*C(i + 4cot»6)4- -cosC ;
enfin l'on a
- f c — ^) sin i" := sin - (c — ^) -H 7? sin* - (c — b\
2^ ' 2 '02^ '
et l'on trouve de cette manière, en négligeant toujours la qua-
trième puissance de a,
ic = h — acosCH — <i'sini"sin'Ccotô
(4) ' /. . N
[ -+■ a»sinM' cosC sîn'C ( T; -i* - cot»* | .
Les formules (3) et (4) sont surtout avantageuses dans le
cas où Ton peut négliger la troisième puissance de a.
Résolution d'un triangle sphérique dont les côtés
sont très-petits.
226. Legendre a fait connaître un beau théorème par lequel
on ramène à la résolution d'un triangle rectiligne celle d'un
triangle spliérique dont les côtés sont très-petits par rapport
au rayon de la sphère. Ce théorème, très-intéressant en lui-
même et fort utile dans les opérations géodésiques, peut être
énoncé de la manière suivante :
Etant donné un triangle sphérique dont les côtés sont
très -petits par rapport au rayon Kde la sphère, si l'on con-
struit un triangle rectiligne qui ait les mêmes côtés que ceux
du triangle sphérique, les surfaces des deux triangles seront
égales, aux termes près dudeujcième ordre par rapport à — >
et les angles du triangle sphérique seront égaux à ceux du
triangle rectiligne, augmentés du tiers de l'excès sphérique,
aux termes près du quatrième ordre.
Pour démontrer ce tliéorème , désignons par R le rayon de
la sphère, et par a, i, c les côtés du triangle spUérique rap-
portés à une unité de longueur arbitraire^ par A, B, C,
comme à Tordinaire, les angles opposés. Le triai^Te sphérique
semblable au proposé, et qui serait construit sur la sphère de
rayon i, a pour côtés ^' ît' ^» ^ ^'^ï* ^î P^^^* suite, en posant
a --f- a -f- c = ^p^
"" / sin^ s^ï^'^-B —
Slll - A = % / r^ 9 COS - A =:
2 \ / , h , c ^^^ 2,^ \. / . b , c '*
s.n-stn-
on a d'ailleurs
* R~R 6R' ••' R ~~R 6R> "^ "
f
p-^h_p—b {p~bY p — cp-c (p-c\Z
R R 6R^ * R R 6R*
. b b b^ , c c â
sm — ^= :^ — -^n — H . . . ♦ sm —- m --- —
y
R^R 6R» * R~R 6R=»
Si Ton porte ces valeurs dans les expressions de sîn - A et
de cos - A, que Ton néglige les termes du quatrième ordre par
rapport à — ? que Ton remarque enfin qu'à ce degré d*approxi-
328 TRAITÉ DB TEIGOROMÉTEIE.
mation on a
— n — ?
6R»
il viendra
b^-r-C^'^ 6R
I — -
sj^^^W^'s/
siDlA=.l/ (^-*).(^-" U/.+ PfciL),
2 V bc V 3R»
j- = \/^^\/^
(/?— b){p~-c)
COS-A= V/ ^— H \/ 1 ^^ ^^ 9
OU, en extrayant la racine carrée du deuxième facteur par la
formule di% binôme,
sin - A n
V bc L 6R» J'
/ p{p-a) V {p-b)(p-c) '\
Considérons maintenant le triangle rectiligne qui a pour
côtés a, i, c^ soient A', B', C les angles respectivement op-
posés à ces côtés et S' la surface du même triangle. On aura
/{p-h)(p-c)
et si Ton forme les produits
p(p — a)
COS-A'^ \/ ^-^ -y
\ 2, \ bc
• ^ A 'a/ ' a • * a/
sin - A ces - A , cos - A sm - A , •
2 2 2 2 ^
puis qu'on les retranche l'un de l'autre, il viendra, après ré-
ductions.
sm^(A A)- g^3 _g-,
( * ) La méthode que nous suivons ici permet de passer immédiatement des
formules de la Trigonométrie sphérique à celles de la Trigonométrie rectiligne.
Par exemple, les formules ( i), qui ne sont exactes qu'aux termes près du 4* ordre
en -- ) deviendront rigoureuses à la limite pour R = oo , et elles se réduiront
alors aux formules correspondantes de la Trigonométrie rectiligne.
GHAPITBB SIXlftMB. ^^9
enfin on a, au même degré d'approximation,
2
ou
'(A-A') = sinl(A-A'}=:.:|;,
On a, par conséquent, les trois formules
(3) '»==B'-*-^^'
i
OÙ les angles A, B, . . . sont exprimés par les longueurs des
arcs qui les mesurent dans la circonférence de rayon i . En
ajoutant ces équations et en remarquant que A'-i- B'-î- C'-== tt,
on obtient
S'
Or, si Ton désigne par S la surface du triangle sphérique, par
e l'excès sphérique évalué de la même manière que les an-
gles A, B, C, on a
AH-B-4-C — 7r = S=: — •
donc
(4) s = s',
aux termes près du deuxième ordre en - > et les équations (3 }
deviennent alors
. A — A' -ht:.
(5) ' rrzB'-h'
3'
6
ce qui achève la démonstration du théorème.
336 TRÀlTt Dg TBI«6IMNitlRIB.
227. On peut, en swTant la même marehe, pousser les ap-
proximations aussi loin que Ton veut; par exemple, si l'on
tient compte des termes du quatrième ordre par rapport à -- j
mais qu'on néglige les termes du sixième ordre, on obtiendra
sans difficulté
, , I / fi \' . ^ sm»B' 4- sin»C'-^ 'x sin»A'
6 \6j losmA'sinB sinC
^ «/ « / « \ * . /, sm»C + sin» A' — 2 sin^B'
3 \3/ losuiA smB' smC
^^-^'-^5-^(5)'"
^ sin»A' -f- sin'B'— 2 sin'C
I o sin A' sin B' sin C
en même temps on trouvera, aux termes près du quatrième
ordre,
^ ^, r S' sin» A' -h sin» B' -f- sin» C 1
L K» 1 2 sin A' sinB' sinC J
228. Voici maintenant comment on peut faire usage du
théorème de Legendre.
i^ On donne les trois côtés a, b^ c du triangle sphérique.
On calculera les angles A', B', C et la surface S^ du triangle
S'
rectiligne qui a pour côtés a, i, c ; on en conclura c =r — r^^
et les formules (5) donneront ensuite A y 6, C.
2^ On donne les deux côtés a^ b^ c et l'angle compris C.
On a S':= - ab sînC: mais, à cause de C'= C — TTr."* sinC
2 oR»
ne difiere de sinC que par des termes de l'ordre de -— ^ et, par
suite, on peut prendre
^, I _ . ^ \ ab sinC
S^= - «o sin C et f r= -: ;; •
2 2 K» smi"
On calculera e par cette formule, et alors la troisième équa-
tion (5) fera connaître G'-, on résoudra le triangle rectiligne
dans lequel on connaît les éléments a, & et C : on aura ainsi
c, A^ et B'; les équations (5) feront connaître ensuite A et B.
3** Qti donne', les^ dèuax angles hy R et Iff. côté comprise.
'^ sin{A'^- B')'
mais Qoa: peut prendre
c^ sinAsinB c» sûiA sinB.
rsia(AH-B)' ^^ ^"■"■"âR* sm(A4- BÏTin^'
e étant connu, on aura A' et Bf par les formide& (5-) ; 1» ques-
tion sera ramenée alors à résoudre un triangle rectiligne avec
les données^ A'^ B' elî c;
4** On donne les deux côtés a^b et V angle A.
On a -
îSf' = -î- «è »nj(A' -f. B') ;:
m<ais on peut preadre
o/ ^ . • / 4 «s j» ^ «* sinfA -4- By
S'— - ah sm(A -f- B), d où e ^ -—■ -— . — j;^— *,
2 2^-*^ sm:i>
r angle B n*est pas donné, mais, n'ayant eu vue que la déter-
mination de e, on peut te calculer par la fôrmule approcliée
sioiB=^ -sinA. £ étant connu, on awra A^ par la première
formule ( 5 ) , et la question sera ramenée a résoudre un triangle
rectiligne «vec les données a^ S et A'; les formules (5) donne-
ront ensuite B et C.
5^ On donne les deux angles A et B 6t le côté a.
On peut calculer e par la formule
a^ sinBsin(A-hB)
2R* sînAsînr* '
oB aura ensuite A' et B' par les formules (5), et la question
sera ramenée à résoudre: im triangle rectiligne avec les don-
nées A', B' et a.
229. Le théorème de Legendre peut encore être appliqué à
la résolution d'un triangle sphérique dans lequel deux côtés
33a TRAITÉ DB TEIGONOMÊTRIB.
•
diflerent peu de 1 80 degrés, car en prolongeant ces côtés jus-
qu'à leur nouvelle rencontre on forme un second triangle
sphérique dont les cotés sont très-petits. On résoudra ce second
triangle où Ton connaîtra toujours troîs éléments, et Ton ob-
tiendra ensuite aisément les éléments du premier triangle.
Enfin le même théorème peut aussi être employé pour la
résolution d'un triangle sphérique dans lequel deux angles sont
très-aigus ; car, dans ce cas, le triangle supplémentaire a deux
côtés qui diflerent peu de 180 degrés.
Formules trigonométriques différentielles.
230. La résolution d'un triangle rectiligne ou sphérique
ayant été effectuée, on a souvent besoin de connaître les va-
riations que subissent les éléments calculés, lorsque les don-
nées éprouvent elles-mêmes certaines variations. Nous sup-
poserons que ces variations des données soient assez petites
pour qu'on puisse les traiter comme des différentielles infini-
ment petites, c'est-à-dire pour qu'on puisse négliger dans le
calcul leurs produits et leurs puissances ; on peut alors, en fai-
sant usage des règles du Calcul difïérentiel, Calculer les varia
tions correspondantes des autres éléments par des formules
très-simples, et se dispenser ainsi de reprendre la résolution
du triangle avec les données nouvelles.
Triangles kectilignes. — Les formules fondamentales de
la Trigonométrie rectiligne sont
loga — log sinA = log b — log sinB = loge — log sinC,
A-hB-hC — iSo».
Supposons que trois des éléments, parmi lesquels se trouve
au moins un côté, reçoivent des accroissements très-petits, les
autres éléments prendront des accroissements correspondants \
nous désignerons tous ces accroissements par la caractéris-
tique J, et alors les équations précédentes donneront
Sa ' Sh 9c
— cet A ^A = cotB ^B — cet C ^C,
abc
^A-i-^B-l-^C = o.
GHAPITRB SIXiftME. 333
Au moyen de ces équations on pourra* calculer trois des va-
riations da, . . . , en supposant les trois autres connues, pourvu
cependant que parmi celles-ci se trouve la variation d'un
côté^ il ne faut pas oublier que, pour le calcul, il faut écrire
5A sin i'', JB sin i'', JC sin i'', au lieu de JA, JB, JC.
Si Ton donne ia et les variations des angles, on aura pour
calculer $b et Je,
l ^6 = - ^a -i- t sin i"(cotBiîB — cotAlA),
I ^c ~ î (îa H- r: sin i"(colC^C — cotA^A;.
Si Ton donne 5a, $b et 5A, on aiu'a
^g^_jaDgB^^^tangB^^ ^ta^B
a sin I b sm i tang A
(2) ^^C = — ^A — ^B,
^c ^ Sa ^- 9b — c tancB sin i"^A.
1 cosB cosB
V
Si l'on donne da, $b^ JG, on aura
' ^c ~: cosB $a -f- ces A ^6 H- « sin B sin i '' ^C,
/ov I t.* sinB -, sin A ^, acosB ^^
' j csmr csinr . c
( ^B'— — ^A — d^C.
Enfin, si Ton donne Ja, $b et 5c, on aura pour calculer $A
//x »» ï « cosC ^, cosB
^^' csmBsini csinBsini csmBsini
et l'on obtiendrait, par des changements de lettres, deux au-
tres formules semblables pour calculer 5B et ÎC.
231. Triangles sphériques. — Nous emploierons, comme
dans ce qui précède, la caractéristique ô pour désigner les
variations des éléments. La formule
CCS a = cosè cosc -f- sine sine cosA
334 TEA ITi !■ niOOlCOMftVEIB >
dcmiie
miaia =.(coscsia^ — isiax GO&bcûsX) $b
-f- mbmncàsxX'àJLj
ou, en faisant usage des iormùles (3) du n^ 111^
(5) Sa=: cosC 9b •+- cosB ^c + sine sin B ^A.
Au moyen de cette formule, on obtient, par la considération
du triangle supplémentaire,
(6) ^A = — COSC ^B — cos b.iC -^ sînc slnB iltf .
La formule
log sin A — log sina == log sinB — log sin b
donne ensuite
(7) cotA^A — cota^/i = cotBffi — cote ^6.
Enfin la formule
cota sin i^ — cotA sinC = cos 6 cosC
donne
^A — {cot A cosC — cos b sin€ ) ^C
sin' A
sin a
sin'^z
3a H- (cota oofié -h sînftjOB«C)^ô = o,
et, en multipliant par sin A,
,^, sinC ^. ^ ^^ sinB ^ . ^ .,
(8) ^-r ^^ -+- cosB^C ; — Sa ■+• cotcsmC^ô = o.
' smA «ma
Au moyen des formules (5), (6), (7), (8) et de celles qu'on
en déduit par les permutations des lettres, on pourra expri-
mer la variation de Tun quelconque des «ix éléments d'ttn
triangle sphérique en fonction des variations de trois quel-
conques des cinq autres .
Considérons, par exemple, le cas où l'on donne les deux
côtés a, b et Tangle C qu'ils comprennent, cas qui est celui
qui se présente le plus fréquemment dans l'Astronomie . On
€BA.F!1I»B SISIÈHS. 335
aura les valeurs suivantes des variations de, dA, SB des 'élé-
ments incoaiKus :
$c = cosB $a -4- cosA 9b -+- sinb sin A ^C,
JA = -: — Sa — tsotcsmAe'* r-- — tfC,
:smc sin€
««. - ^'i. «nA ^, cosA sinB .^
^ = — cote sinB ^a H — : — 9b r— 7; — aC.
sine smC
Il importe le plus souvent, dans le cas que nous considé-
rons, que les variations $c et ÎA soient exprimées en fonction
des éléments 5, c et A; on peut cependant laisser sîna en
facteur dans les coefficients de Sa*, il faut alors employer les
formules suivantes, qui se déduisent fac3ement de celles que
nous venons d'écrire :
$c = - — (ces b sine — sin 6 cosc ces A ) $a
sma ^ '
H- ces A ^6 4- sin 6 sinA^G,
I sin 6 sin A . . * .^ •»
^A = : 6a — sm A cotC o6
sma smc
— (ces b — sin 6 cote cosA) ^C.
232. Si Ton suppose que les variations des données soient
précisément les erreurs dont ces données sont affectées, les
formules précédentes feront connaître les erreurs correspon-
dantes des éléments calculés -, aussi ces formules peuvent-elles
être employées pour apprécier le degré de précision qu'il est
possible d'atteindre dans les résultats des calculs trigonomé-
triques exécutés d'après des données inexactes.
Les calculs d'une triangulation consistent, comme on a vu
(Chapitre III), dans la résolution d'une série de triangles où
Ton connaît un côté et les angles^ appliquons les formules (i)
à l'un de ces triangles supposés rectilignes. L'erreur relative
— du côté donné se porte tout entière sur chacun des côtés
calculés h et. c, et ceux-ci sont en outre affectés de l'erreur
des angles. On voit par les formules (i) qu'une erreur
336 TRAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.
donnée commise sur Tun des angles aura d'autant moins d'in-
fluence que cet angle différera de moins de 90 degrés et que
l'erreur dont il s'agit n'aura aucun eflet si Tangle correspondant
est précisément égal à 90 degrés. Mais, comme les angles d'un
triangle rectiligne ne peuvent être tous trois égaux à 90 degrés,
on voit que le cas le plus favorable sera celui où les trois angles
seront égaux à 60 degrés \ aussi, dans la pratique du levé des
plans, considère- l-on les triangles équilatéraux comme les plus
avantageux, et l'on n'admet jamais de triangles où Tun des
angles soit au-dessous de 3o degrés.
Les formules différentielles relatives aux triangles sphéri-
ques sont fréquemment employées en Astronomie. Elles sont
surtout utiles dans les questions qui se rapportent aux effets
de la précession, de la nutation et de l'aberration sur les po-
sitions apparentes des astres.
FIN.
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