Traité élémentaire de la théorie des fonctions et du calcul infinitésimal

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HARVARD SCIENCE CENTER LIBRARY

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BEQUEATHED EY

PETER PAUL FRANCIS DEGRAND

(1787-1 S55)

OF BOSTON

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A>)D DM CHEMISTKY, ASTRONOMY AND OTHER. SCIENCES

APPLIED TO THE ARTS AND TO NAVIGATION

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TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

DE LA THÉORIE

DES FONCTIONS

DU CilCDl INFINITÉSIIAI

IMPRIMERIE DE FiRHIM DIDOT FRÈRES, RUE JACOB, 11° 50-

TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

DE LA THËO&IE

DES FONCTIONS

BT

DD CALCUL INFINITÉSIMAL

PAR M. A. A. COURNOT

INSPECTEUR GÉNÉRAL DES ÉTUDES

germana Mathesis

AmthLvcmwi., lib tr, ▼. lOM

TOME PREMIER

PARIS

CHEZ L. HACHETTE

ITBHAIKB SI I.'0irrTBB8IT< ■ O T ▲ I. B B ■ V B A V C B

RUE PIERRE-SARRAZIN, 12

1841

lYloct^ -5(oOÔ.H-|

{-

A LA MEMOIRE

DE M. POISSON,

PAIR DE FRANCE,

MEMBRE DE L'ACâDÉBUE DES SCIENCES ET DU CONSEIL ROYAL
DE L'INSTRUCTION PUBLIQUE :

TEMOIGNAGE DE RECONNAISSANCE

ET DE PIEUX ATTACHEMENT.

PREFACE.

Il y a déjà plusieurs années qu'ayant été chargé
de remplir la chaire d'Analyse à la Faculté des
sciences de Lyon , je me suis trouvé conduit à je-
ter sur le papier l'esquisse de mon cours. Quelques
personnes favorablement prévenues m'ont engagé à
compléter ce travail^ que je me décidé àfaire paraître ,
malgré la publication récente d'ouvrages fort estinoa-
blessurle même sujet. J'ai pu croire que je tirerais,
dansFaccomplissement de ma tâche modeste^ quel*
ques avantages de ma position personnelle , qui ne
m'assujettit point à un programme officiel, ni ne me
snggère de prédilection trop exclusive pour la manière
d'aucun maître. J'ai pu croire aussi que, porté de-
puis longtemps par goût vers l'étude de la philoso-
phie des sciences (à laquelle tous sacrifient un peu,
même en en médisant), j'étais assez bien préparé à
traiter un sujet où des considérations de ce genre
^Qt inévitables, et où chacun fait, bon gré mal
?ré, sa métaphysique. Voici, en résumé, la marche

a.

Vllï PREFACE.

que j'ai suivie dans rexposition des principes de la

matière.
J'ai cherché à faire comprendre comment, par les

progrès de l'abstraction mathématique, on est amené

à concevoir l'existence d'une théorie qui a pour objet
les propriétés générales des fonctions continues :
que ces fonctions s'expriment ou non par les signes
de l'algèbre ou par d'autres symboles , d'une valeur
mathématiquement définie. Il y a plus d'un avan-
tage à distinguer ainsi la théorie des fonctions, de
l'application qui s'eti fait aUx fotiCtiotils de l'à^èbre ,
et de la trigonométrie; et c'est en ce Sens que j'ai
donné au présent ouvrage le titre de Traité élémen-
taire de la Théorie des Fonctions,

Dans l'état actuel de l'analyse, la Théorie des Fonc-
tions cotisiste presque entièrement dans la théorie
des rapports qui s'établissent entre les fonctions que
Lagtànge a nommées primitii^es et dérivées; et l'ex-
pression analytique de ces rapports engendre ce qu'on
a appelé depuis Leibnitz le Calcul différentiel et in-
tégral^ otl bien le Calcul infinitésimal ^ k cause delà
notion 'ê^infiniment petit que Leibnitz y a joihte.
Polir peu que Ton ait une teinture de l'histoite des
sciences, on n'ignore pas que Newton a inventé et
fait connaître, sbus le nom de Méthode des fluxions^
un calcul qui a le même objet que celui deLeibwitz;
et l'on sait que le résultat d'tln débat animé entre
les partisans de ces grands hommes, a été d'assurer

PHiFACE. IX

àchacuD d'eux un droit égal à cette mémorable dé-r
couverte.

Le développement parallèle dés idées de Newton
et de celles de Leibnitz n'est pas Sieulement un fait
historique; il tient au fond du sujet, et ne peut être
négligé dans une exposition didactique sans que
Teiposition pèche en quelque point : les deux thëo-
Kes se complètent l'une l'autre , sans qu^on en
puisse assigner une troisième qui ne rentre au fond
dans Cune ou dans l'autre. J'ai cherché à faire sentir
les raisons de cettQ double solution , autant que
eela m'était permis dans un ouvrage destiné à des
étades élémentaires, et jusqu'à un certain point
pratiques.

la méthode de Lagrange, avec les modifications
qu'elle a reçues depuis qu'on a reconnu l'impossi-
bilité de fonder, comme l'entendait ce grand géomè-
Ire, tout le calcul différentiel sur de simples identités
algébriques, n'est au fond qu'un retour à la méthode
de Newton. Sa notation, qu'il est utile dans une foule
de cas d'employer concurremment avec celle de
Ijeibnitz, ne diffère par rien d'essentiel de la notation
newtonienne ; et ksépithètes vagues Aeprimitwes et
de dérivées ne valent pas les dénominations de
fluenteset àftfluxi&ns auxquelles Newton avait donné
un sens si précis. Mais je n'ai pas oublié que, dans
QD livre à l'usage des jeiines étudiants, il faut parler .
le langage actuellement reçu dans les écoles. En

X PRJÉFACE.

conséquence j'ai exposé d'abord, dans un chapitre
spécial, la théorie des fonctions dérivées, sous la
forme qu'on lui donne maintenant; puis, je me suis
attaché à faire comprendre la théorie des infiniment
petits, et l'identité des résultats obtenus par la mé-
thode infinitésimale avec ceux que donne la consi-
dération des limites et des fonctions dérivées. Une
fois cette identité bien saisie par le lecteur, il peut
sans scrupule accepter les démonstrations par l'infi-
niment petit, et profiter des simplifications que ce
tour de démonstration a la propriété d'opérer.

De cette manière, le lecteur n'arrive qu'avec len-
teur, quoique sans circuits, à la différentiation des
fonctions élémentaires, par laquelle les auteurs dé-
butent ordinairement. Je souhaite que cette lenteur
ne soit pas trop blâmée; et je m'imagine que, si j'ai
réussi à me rendre clair, au moins à une seconde lec-
ture, les commençants trouveront quelque avan-
tage, pour la suite de leurs études, à avoir insisté un
peu longuement sur ces généralités.

Pour représenter des fonctions qui peuvent . être
quelconques, et même n'avoir pas d'expression ma-
thématique, j'ai fait un continuel usage des courbes.
Ce signe , si naturel et si commode, rend presque
évidents une foule de résultats dont la preuve
exige, pour être suivie, un certain effort d'esprit ,
quand on ne s'aide pas des considérations graphi-
ques; et il ne faut pas confondre l'emploi de ces

PRÉtkCE, XI

considérations , pour la facile intelligence de la théo-
rie des fonctions, avec l'application du calcul diffé-
rentiel à la géométrie, qui fait, dans ce premier
volume, l'objet d'un livre particulier. Les applica-
tions géométriques du calcul intégral ont beaucoup
moins d'étendue, et on les trouvera dans le second
volame, exposées après les théories de pure analyse
auxquelles elles se rapportent le plus immédiatement.
Il était permis à une autre époque de regarder
les applications géométriques comme le but principal
de l'analyse : il n'en est plus de même depuis les
rapides progrès de la physique mathématique. La
discussion des questions particulières de physique,
auxquelles les géomètres ont appliqué l'analyse,
n'appartient pas sans doute à un traité de mathé-
matiques pures; mais les propriétés générales des
fonctions, en tant qu'elles représentent des grandeurs
physiques, variables dans l'espace et dans le temps,
sont un sujet de spéculations générales et abstraites
qui n'emprunte rien à l'expérience, et qui appartient
aux mathématiques pures, aussi bien que l'exposi-
tien des propriétés de l'étendue. Nous avons appelé
l'attention du lecteur sur ces propriétés générales
des fonctions physiques et des fonctions du temps,
chaque fois que l'occasion s'en est présentée; et
sous ce rapport le présent ouvrage pourrait être
considéré comme une introduction générale à la
physique mathématique.

En adoptant la forme deTraité, j'ai dû m'attachera
rendre Tordre et la distribution des matières aussi
naturels que possible; sans ignorer qu'on ne peut at-
teindre ce but de manière à éviter toute association
arbitraire et toute séparation regrettable. Le premier
volume renferme ce qu'on a coutume de comprendre
sous la rubrique de Calcul différentiel; le second
est consacré au Calcul intégral et à celui des dfffé-^
rences Jinies : mais je donne dès le commencement
du premier volume, au livre intitulé des Principes y
les premières notions du calcul intégral et du cal-
cul des différences finies, qui m'ont semblé néces-
saires pour rendre plus claires ou plus complètes, ou
pour fixera leur juste place«des théories qui se ratta-
chent au calcul différentiel.

Je me suis écarté de l'usage en plaçant le Calcul
des variations dans le cinquième livre , qui a pour
objet les quadratures, avant la théorie de l'intégra-
tion des équations différentielles. Cette innovation
me paraît motivée sur l'ordre des difficultés, non
moins que sur l'enchaînement des matières. En
écartant le calcul des variations de la théorie des
quadratures, à laquelle il se rattache naturellement,
pour le rejeter après l'intégration des équations aux
différences partielles, on induit les commençants
en erreur sur la vraie nature de cette belle méthode
de Lagrange, comme si elle constituait (selon l'expres-
sion proposée par un auteur de mérite) un nouveau cal-

PAliFAGB. XIII

çjàfypertranscendant; tancHs que ce n'est qu'une élé-
gante application des principes du calcul différentiel
aux fonctions renfermées sous un signe de quadrature.
Le progrés actuel des sciences mathématiques
n'exige pas, comme celui de quelques branches de
la physique, une refonte continuelle des éléments :
cependant, à mesure que certaines théories se sim-
plifient, ou reçoivent des applications plus impor-
tantes, elles acquièrent des droits à passer dans ren-
seignement élémentaire, et à y prendre la place
d'antres spéculations auxquelles on n'a pas reconnu
la même fécondité. 11 m'a semblé que les principes
de la théorie des fonctions elliptiques et euiérien-
Des devaient se trouver dans les éléments du calcul
intégral; que les exemples de détermination d'inté-
grales définies devaient y être multipliés; qu'il fallait
insister sur les nouveaux procédés d'intégration des
équations linéaires aux différences partielles , assez
pour préparer convenablement le lecteur à l'intelli-
gence des travaux spéciaux de physique mathéma-
tique. D'un autre côté, comme j'ai eu surtout en vue
Imtérêt des jeimes gens qui se préparent à nos grades
et à nos concours universitaires, j'ai indiqué par un
astérisque, dans le texte et dans la table des chapi-
tres, les matières qui, d'après l'usage , ne sont point
réputées exigées pour la licence es sciences mathéma-
tiques, ni pour le concours d'agrégation dont \e
grade de licencié est une condition préliminaire.

, XVI PRÉFACE.

de continuité d'une fonction. Ainsi, je dis qu'une
l fonction éprouve une solution de continuité du pre-
: mier ordre, lorsqu'elle prend une valeur infinie ou
I qu'elle passe brusquement d'une valeur finie à une
autre; si une pareille solution de continuité est su*
. bîc par la fonction dérivée du premier ordre , je dis
que la fonction primitive éprouve une solution de
' continuité du second ordre , et ainsi de suite. Cette
définition a pour but, non-*seulement d'abréger le dis-
cours, mais aussi de donner plus de précision à cer-r
taines notions fondamentales, et je m'étonne qu'on
ne l'ait pas déjà introduite dans les livres didactiques»
Je n'ai pas craint d'employer, dans quelques pas-
sages fort courts du premier volume, des termes
dont l'acception philosophique est bien connue,
mais qui ne semblent pas appartenir à la langue ma-
thématique. Ceux des lecteurs que ces termes cho-
queraient, peuvent passer outre sans inconvénient.
J'ai conservé ces passages, en les resserrant, pour des
personnes d'une autre tournure d'esprit; et peut-
être trouverai -je une occasion de développer utile-
ment les idées qui n'y sont qu'indiquées. Ce que je
dis dans le chapitre IV du quatrième livre, sur les
connexions de la géométrie et de l'algèbre, compor-
terait aussi des développements dans lesquels je ne
suis pas entré , pour ne pas trop m'écarter du but
principal que j'avais en vue.

TABLE DES MATIÈRES

DU PBEMIER VOLUME.

Pages.

Pb^FACE VII

LIVRE PREMIER.

0 PRINCIPES.

Chapitre I*'. Des fonctions en général , et de U théorie des
foDctions 1

Chap. II. De l£L classification des fonctions , et de leur déve*-
loppement en séries ; . ; * . . 23

Chap. III. Théorie des fonctions dérivées et des solutions de
continuité des divers ordres. -^ Notions sur la théorie
des fluxions, i * % < 47

Chap. ïV. Notions sur les différences et sur les approxima*
tiûôs des divers ordres. -^ Théorie des infiniment petits
et principes du calcul infinitésimal 7 3

LIVRE IL

différeKtiàtIon des fonctions explicites d'une

SEULE variable.

Chap. I*'. Différentiation des fonctions algébriques et trans-
cendantes loa

Chap. II. Comparaison des transcendantes logarithmiques ,
exponentielles et circulaires. — Formule de Moivre^et
notions sur la théorie des sections angulaires 121

XVII ï TABLE DES MATIÈRE^.

Pages.

Chap. III. Résolution des cas d'indétermination pour les
fonctions explicites d'une seule variable. — Recherche de
leurs valeurs maxima et rhinima 149

Chap. IV. Formules de Taylor et de Maclaurin 167

LIVRE m.

UIFFJÊREI^TIATIO]^ DES FOITGTIOirS EXPLICITES DE
PLUSIEURS VARIABLES ET DES FONCTIOWS IMPLICITES.

Chap. P'. Des fonctions explicites de plusieurs variables in-
dépendantes et de leur différentiation. — Notions sur les
solutions de continuité des fonctions de deux et de trois
variables 199

Chap. II. Différentiation des fonctions implicites d'une ou
de plusieurs variables indépendantes. — Changement de
variables j# . . . . 229

Chap. lil. Résolution des. cas d'indétermination pour les
fonctions explicites de plusieurs variables indépendantes,
et pour les fonctions implicites. — Théorie des maxima et
minima de ces fonctions .' 24^

Chap. IV. Extension des formules de Taylor et de Maclaurin
aux fondions explicites de plusieurs variables indépen-
dantes. — Formule de Lagrange pour le développement
des fonctions implicites 270

Chap. V. Notions sur la formation des équations différen-
tielles, à une ou plusieurs variables indépendantes. . . . 282

LIVRE IV.

APPLICATIONS DU CALCUL DIFFJ5rENT1EL A LA THEORIE
DES COURBES ET DES SURFACES. ■

Chap. I*^ . Des tangentes, des normales et des asymptotes
des courbes planes. — Emploi des coordonnées polaires. 3o3

Chap. II. Théorie des enveloppes des lignes planes 824

Chap. III. Théorie des enveloppées et des rayons de cour-
bure des courbes planes, — * Notions sur les caustiques. -r *

TABLE DES MATIÈRES. 'XIX

Pages.
Théorie des contacts des divers ordres entre les lignes

plaoes 336

Ch4p. IV. Des points singuliers des courbes planes et de la

rnrrpspftyiHaïif^ft tf^ntrp la géométrie et l'algèbre 36o ^

Cbap. y. Principes de la théorie des lignes à double cour-
bure 384

Chap. YI. Des plans tangents aux surfaces courbes 409

Chap. Yn. Caractères analytiques des principales familles

de surfaces 417

Chap. YIII. Des surfaces enveloppes 4^9

Chap. IX. Des développées en général 461

Chap. X. De la courbure des surfaces 4^7

N. B. On a marqué d'un astérisque (*) les n®» ou les §
qui portent sur des matières réputées non exigées pour la li-
cence es sciences mathématiques.

Les chiffres entre crochets [ ] indiquent les u?* du texte
auxquels on renvoie^

TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE .. ;/v,v. {a i<

DB LÀ THBOHIB jC* » 5"> 6 , '/ . ' '

DES FONCTIONS

ET BU

CALCUL INFINITÉSIMAL.

LIVRE PREMIER.

PRINCIPES.

CHAPITRE PREMIER.

DES FOffCTIONS SN GlÎNÉRAL ET DE LA THEORIE
1)E$ FONCTIONS.

1. Dans le langage emblématique des anciens algé-
bristes, les produits de facteurs égaux s'appelaient indif-
féremment puissances y dignités ou fonctions : nous
attachons encore aujourd'hui au mot de puissance la
même acception , et celui de dignité (dignitas) est resté
en usage dans le latin technique ; mais le terme de Jonc-
tion a dépouillé depuis longtemps cette acception par-
ticulière pour en prendre une autre beaucoup plus gé-
nérale, et dont la généralité dénote l'un des progrès les
plus remarquables de l'abstraction mathématique.

Jean BernouUi paraît être le premier qui ait entendu

T. I. I

2 LIVRE !• CHAPITRE ï.

par fonction d'une quantité x^ non-seulement les puis-
sances de cette quantité , telles que j?" , mais toutes les
quantités y dont on peut exprimer par des signes d'al-
gèbre la relation avec la quantité x : relation en vertu
de laquelle la valeur de x détermine celle de/, et réci-
proquement. Ainsi :

ji^ — mx+n i

jr=a+{b—xf,jr=- ^— ===— ,^===^lôg.(i +x)fi{c.

sont en ce sens des fonctions de x aussi bien que x".
On fait tomber vers Tannée 1690 la date de cette inno-
vation (') y qui n'aurait eu d'ailleurs qu'une faible im-
portance, si elle ne s'était rattachée aux idées émises par
Descartes, un demi-siècle auparavant.

Il résulte en effet des conceptions de Descartes, qu'une
équation algébrique n'est pas seulement propre à indi-
quer les opérations de calcul par lesquelles on peut ob-
tenir la valeur numérique d'une quantité déterminée,
mais qu'elle exprime encore la loi suivant laquelle
varient simultanément deux grandeurs dont l'une dé-
pend de l'autre, et qui toutes deux passent d'une valeur à
une autre sans discontinuité, ou en prenant successive-
ment toutes les valeurs intermédiaires. Il fallait expri-
mer d'une manière générale cette dépendance entre deux
grandeurs variables; ce qu'on fait commodément en
disant, d'après BernouUi, que l'une des variables est
fonction de l'autre.

(') Voyez deux notes de Leibnitz, iiisérëes dans les Acta erudito-
rum et dans le Journal des Savants pour Tannée 1694 [OEuvres de
LeibnitZy t. III, p. 3oo et 3o2). Le mot àe fonction y est pris dans
une acception qui n'est pas encore précisément celle qu'il a conser>
vée, mai» qui s'en rapproche beaucoup pour le sens et pour la géné-
ralité.

DES FOUGTIOirS. ' 3

La pensée de Descartes était, comme chacun le sait,
d'appliquer l'algèbre à la géométrie, et pour cela de dé-
fmir algébriquement les courbes au moyen d'une équa*
tion entre les coordonnées de chaque point. Récipro-
quement, cette idée mettait sur la voie d'appliquer la
géométrie à l'algèbre, en considérant les deux variables
de toute équation indéterminée comme les coordonnées
d'une ligne dont on peut, au moyen de l'équation même,
déterminer avec exactitude autant de points qu'on le
juge convenable. La courbe n'est plus alors que le signe
graphique et conventionnel de la loi algébrique qui lie
les variables entre elles; mais ce signe conventionnel
est merveilleusement adapté à la nature de la chose
signifiée ; et il ramène à des faits de pure intuition des
rapports que l'esprit ne saisirait pas sans effort dans leur
nature abstraite, en s'astreignant à n'employer que des
signes d'une autre espèce. I^a continuité de la ligne est
l'imase sensible de la continuité de la fonction : et les
inflexions d'une courbe, son allure, font souvent voir
d'un coup d'œil ce qu'on ne mettrait que péniblement
en évidence par la discussion algébrique de l'équation
que la courbe représente.

2. Le caractère propre d'une fonction continue con-
siste en ce que Ton peut toujours assigner à l'une des
variables des valeurs assez voisines pour que la différence
entre les valeurs correspondantes de la fonction qui eu
dépend, tombe au-dessous de toute grandeur donnée.
Autrement, cette fonction ne pourrait pas être exprimée
par l'ordonnée d'une ligne dont l'autre variable est
l'abscisse ; et , réciproquement, il est manifeste que cette
propriété subsiste pour toute fonction exprimée par
l'ordonnée courante d'une certaine ligne. Quand une

I.

4 LIVRE I. GHAPITAE 1.

fonction définie par une formule algébrique devient
infinie pour une certaine valeur de l'autre variable^ on
dit que la fonction éprouve, pour cette valeur, une solu"
V tion de continuité. C'est ce qui arrive, par exemple, à
la fonction très-simple

I

pour la valeur x:=za. Si l'on donne à x deux valeurs ^
très-voisines, mais l'une un peu plus petite, l'autre un
peu plus grande que a, les valeurs correspondantes de^
différent excessivement, l'une étant un très-*grand nom-
bre négatif et l'autre un très-grand nombre positif; et
même, dans ce cas, plus la différence des valeurs de x
deviendra petite, plus la différence (algébrique) des va-
leurs correspondantes de la fonction / ira en croissant.
Aussi, l'hyperbole dont la fonction y est l'ordonnée, a
deux branches séparées par l'ordonnée asymptotique
qui correspond à l'abscisse a.

Eu général, les fonctions qui s'expriment avec les
signes usités en algèbre et en trigonométrie, ont, comme
la précédente, la propriété de rester continues dans
l'ensemble de leur cours, sauf des solutions de conti-
nuité qui peuvent correspondre à certaines valeurs
singulières de la variable dont elles dépendent. Il y a
cependant quelques exceptions à ce principe, auxquelles
on est conduit par une suite nécessaire des règles d'après
lesquelles se combinent les signes algébriques. Si, par
exemple, on posait /= ( — a)% a désignant un nom-
bre positif, toutes les fois que x serait égal à une frac-
tion de numérateur impair et de dénominateur pair,
^deviendrait imaginaire; et comme on peut toujours
intercaler entre deux valeurs de x^ si voisines qu'on les

DES FONCTIONS. 5

conçoive, une infinité de fractions à numérateurs im-
pairs et à dénominateurs pairs, il s'ensuit qu'on ne peut
joindre par un trait continu deux points correspondant
à deux systèmes de valeurs réelles pour les coordonnées
JT et 7^, quelque voisins qu'on les suppose. Mais des
fonctions anomales, comme celle que Ton vient d'in-
diquer, ne sont pas susceptibles de s'appliquer à la me-
sure des phénomènes naturels, et ne jouent même jus-
qu'ici qu'un rôle très-borné en analyse pure. 11 n'en
sera reparlé que beaucoup plus tard, dans la suite de
ce Traite.

3. D'un autre côté (et cette considération est, sans
comparaison, plus importante), nous concevons qu'une
grandeur peut dépendre d'une autre, sans que cette
dépendance soit de nature à pouvoir être exprimée par
une combinaison des signes de l'algèbre. £n étudiant la
trigonométrie, le lecteur a vu qu'on introduit des abré-
viations ou des signes spéciaux pour indiquer le sinus,
le cosinus, la tangente d'un arc, grandeurs géométrique-
ment déterminées, par cela seul qu'on assigne la valeur
de l'arc, mais qui ne peuvent cependant pas s'exprimer
en fonction de l'arc au moyen des signes de l'algèbre
pure. Imaginons un pendule Sm {Jîg* i) qu'on écarte de
la verticale d'un angle /wSV, et qu'on abandonne ensuite
dans le vide à l'action de la pesanteur : on conçoit une
relation nécessaire entre le temps écoulé depuis l'origine
du mouvement, et l'angle que la tige du pendule fait en
chaque instant avec la verticale; mais cette relation ne
peut point s'exprimer exactement avec les seuls signes
algébriques et trigonométriques, qui sont censés connus
du lecteur. Nous énoncerons toutefois la dépendance de
ces deux grandeurs, en disant que l'angle d'écart est une

6 LIVRE I. CHAPITRE I.

fonction du temps ; mais alors nous généraliserons l'ac-
ception du mot àe fonction beaucoup plus qu'on ne
l'avait fait d'abord.

Ceux qui ont étudié la dynamique savent qu'on peut
effectivement calculer, avec tel degré voulu d'approxi-
mation, la valeur numérique de l'angle d'écart pour cha-
que instant, et pour chaque valeur de la longueur du
pendule et de l'angle initial d'écart, en n'empruntant à
l'expérience qu'une seule donnée, la mesure de l'espace
que décrit un corps qui tombe librement dans le vide pen-
dant la première seconde de sa chute. Mais l'étude des au-
tres phénomènes naturels, et surtout celle des phénomènes
de la vie sociale, nous montrent une foule de cas ou deux
grandeurs variables dépendent manifestement l'une de
l'autre, sans qu'on puisse calculer Vnne à priori zxl moyen
de l'autre : soit parce qu'en effet la liaison qui les unit n'est
pas susceptible d'une définition mathématique; soit parce
que cette définition, quoique possible, nous est inconnue.

Ainsi, la force élastique maximum de la vapeur d'eau
est une fonction de la température de cette vapeur; la
température moyenne des diverses tranches d'une co-
lonne atmosphérique est une fonction de la hauteur de
cette tranche au-dessus du niveau des mers; la quantité
demandée d^une denrée est une fonction du prix cou-
rant; au sein d'une grande population, le rapport du
nombre des individus de chaque âge à la population
totale est une fonction de cet âge. £n donnant au mot
Ae fonction, comme on doit le faire maintenant, cette
acception tout à fait extensive , nous le tirons en quel-
que sorte de la langue mathématique, pour lui donner
place dans un vocabulaire moins spécial, à l'usage de
tous ceux qui cultivent les sciences où l'on compare de»
grandeurs mesurables.

DES FONGTIOICS. 7

Les fonctions dont il s'agit ici ne peuvent être données
(|ue par 1 observation, et elles sont réputées connues lors-
qu'on a construit une table où se trouvent^ d'une part, des
valeurs très-voisines et très-multipliées de l'une des quan-
tités variables, d'autre part, les valeurs correspondantes
de la fonction qui en dépend, telles que les donnent des
observations très-précises, ou assez nombreuses pour que
les erreura qu'elles comportent, disparaissent sensible-
méat des résultats moyens. On doit nommer les fonc-
UoQs ainsi détei*minéQs, fonctions empiriques y par oppo-
sition aux fonctions qui se définissent mathématiquement,
et qu'on peut calculer exactement, ou avec une approxi-
mation illimitée, en ne s'appuyant que sur leur définition

I^e système de représentation graphique imaginé par
Descartes s'applique aux fonctions empiriques comme à
celles qui peuvent s'exprimer par une formule algébrique ;
puisque, même pour celles-ci, il feut en général convertir
d'abord la formule en table , afin de déterminer des points
isolés que l'on joint ensuite par un trait continu, de ma-
nière à tracer la courbe avec une exactitude d'autant plus
^nde que les points déterminés exactement sont plus
voisins et en plus grand nombre.

Parmi les personnes qui s'occupent des sciences phy-
siques et sociales, il n'eu est aucune qui ne connaisse
les avantages attachés à l'emploi du tracé graphique pour
représenter les formes des fonctions empiriques; pour ré-
soudre pratiquement les problèmes qui s'y rapportent;
enfin pour apercevoir des résultats que la simple ins-
pection des tables ne mettrait pas suffisamment en évi-
dence, et qui dépassent même les limites des tables : le
sentiment de la continuité des formes tenant lieu ici de

8 LIVRE I. — CHAPITRE I.

ce procédé d'iaduction auquel l'esprit humain est rede-
vable de la plupart de ses découvertes.
*^ 4* Une grandeur physique et mesurable doit toujours
rester finie, et ne peut par conséquent, comme certaines
fonctions algébriques, éprouver des solutions de continuité
provenant du passage de la fonction par une valeur in-
finie. Chaque fois que Ton trouve une grandeur physique
exprimée par une fonction mathématique sujette à de
telles solutions de continuité, il faut en conclure que la
fonction mathématique cesse de donner la véritable me-
sure de la grandeur physique, dans le voisinage des va-
leurs pouy l^^(tq,^l^^]a solution de continuité a lieu.

Par exemple, on sait que la force de gravitation entre
deux molécules pondérables, est exprimée par la fonction

a désignant une constante^ et a: la distance des deux mo-
lécules considérées comme des points mathématiques.
Cette fonction devient infinie quand x s'évanouit; mais
on ne peut physiquement admettre, ni que les molé-
cules se réduisent à des points mathématiques , ni que
ces points coïncident. Lorsque les molécules seront très-
voisines l'une de l'autre, l'équation (i) qui était sensi-
blement exacte, tant que les dimensions des molécules
restaient très-petites comparativement à leur distance ,
devra être remplacée par une autre qui dépendra. de la
figure des molécules.

Lorsqu'une grandeur physique varie avec le temps ,
ou en raison seulement de la variation des distances
entre des molécules ou des systèmes matériels, ou par l'ef-
fet de l'écoulement du temps combiné avec la variation
des distances, il répugne qu'elle passe d'une valeur finie

DES FOjrcTioirs. 9

à une autre, saas prendre dans l'intervalle toutes les
valeurs intermédiaires. C'est ce qu'exprime l'adage cé-
lèbre des anciennes écoles : Natura non Jaçit saltus.
Mais dans l'état d'imperfection* âe nos connaissances sur
la constitution des milieux matériels, on est autorisé à
admettre pour certaines grandeurs physiques , telles que
oous les pouvons définir et mesurer, des solutions de
continuité résultant du passage brusque d'une valeur
finie à une autre. Ainsi , quand deux liquides hétérogè-
nés, tels que l'eau et le mercure, sont superposés, nous
regardons la densité comme une grandeur qui varie
brusquement à la surface de contact des deux liquides:
bien que toutes les probabilités nous portent à croire ,
et qu'il soit philosophique d'admettre que la solution de
continuité disparaîtrait, si nous nous rendions complè-
tement compte de la structure des liquides , et de tous
les phénomènes qui se passent dans le voisinage de la
surface du contact.

5. Or, par cela seul que des fonctions mathématiques
ou empiriques satisfont à la loi de continuité, elles jouis-
sent de certaines propriétés générales qui sont d'une
grande importance , non-seulement pour la théorie abs-
traite du calcul, mais bien plus encore pour l'interpré-
tation des phénomènes naturels. Nous nous bornerons
à en citer deux, que la représentation graphique des
fonctions par les courbes rend manifestes , et qui ne tar-
deront pas à devenir l'objçt de très-amples développe-
ments, mais qu'il suffira d'énoncer pour le but que
nous avons actuellement en vue.

La première propriété consisté en ce que les varia-
tions de valeur que subit une fonction, à partir d'une
valeur déterminée, sont sensiblement proportionnelles

10 LIVRE I. CHAPITRE I,

aux variations correspondantes de 1 autre grandeur,
quand ces variations sont très*petites. Déjà le lecteur a
vu une application très-importante de ce principe, dans
la manière de faire usage des différences proportion-
nelles, annexées aux tables de logarithmes. Afin de fixer
les idées par un autre exemple, prenons la fonction al-
gébrique :

jr — 1 J (a)

représentée (Jig. a) par les deux branches de courbe
i l ntriy s u Vf que sépare une ordonnée asymptotique,
correspondant à l'abscisse rr == lo. Nous trouverons :

,-pour^ = i,oo, r= «'00°«ODiffér. H- o,oo555

x=i,oi, r=+o,oo555 _,.o,oo554

or= i,oa , /=+ o,oi 109

a:==i,o3, y"='-^ 0,01662

o,oo553

a® pou vx=z 6,00 , y = 0,00000
.r=6,oi , j= — 0,0 1^256

— o,oia56
a £r Q — 0,01267

/; Q oû —0,01278

La loi de proportionnalité se vérifie avec une grande
approximation dans les deux cas , quoique les valeurs
de jr varient plus rapidement dans le second cas que
dans le premier, pour des accroissements égaux de ,r.
Cependant nous avons fait varier la valeur de x par de-
grés égaux à un centième, ce qui n'est pas une frac-
tion très-petite. Si nous avions pris une série de valeurs
de X équidistantes d'un millième, la proportionnalité

DES FONCTIONS. 11

des variations correspondantes de^se serait soutenue .
d'une manière beaucoup plus approchée.

Au surplus, tout ceci revient à dire qu'un arc de courbe
approche d'autant plus de se confondre avec la tangente
menée par une des extrémités de Farc^ que cet arc est
plus petit : car, pour une droite, les différences des or-
doDoées sont rigoureusement proportionnelles aux diffé-
rences des abscisse , et le rapport constant de ces dif-
férences est égal à la tangente trigonométrique de
l'angie que la droite fait avec Taxe des abscisses.

La fécondité de ce principe si simple, la portée de
ses applications sont faciles à pressentir. Ainsi, chaque
fois que certaines variables oscillent autour de valeurs
moyennes dont elles s'écartent très-peu; lorsqu'on a,
par exemple , j; = Xo -h 4^', a/ étant au nombre varia-
ble, toujours très-petit par rapport au nombre cons-
tant x^y toutes les fonctions de x, connues ou incon-
nues, mathématiques ou empiriques, deviennent des
foDctioDs de x' qu\)n peut sans erreur sensible ramener
à la forme a Hh baf, a et b désignant des nombres
constants, c'est-à-dire à une fonction algébrique, la plus
simple de toutes. Tel est en effet le grand moyen d'ap-
proximation à l'usage des analystes : celui par lequel ils
soumettent au calcul des questions qui, dans leur gé-
néralité, se déroberaient à toute investigation mathé-
matique.

Plusieurs principes de physique, découverts par l'ex-
périence, et donnés comme des faits d'observation, ne
sont que des conséquences du principe mathématique
<iue l'on vient de rappeler.

6. L'autre propriété générale des fonctions continues,
lue nous voulons faire remarquer ici, consiste en ce

12 LIVRE I. CHAPITRE I.

que la valeur de la fonction reste senslblemeut station*
naire dans le voisinage des valeurs maxima ou /w/-
rdma. Ceci ressort encore de l'inspectiou des courbes :
çar^ quand l'ordonnée d'une courbe, après avoir été d^
croissante y devient croissante (ce qui est le cas du
rrmximwn), ou bien au contraire, quand, après avoir
été décroissante , elle vient à croître (auquel cas elle
passe par un mirUmtun)^ la tangente à la courbe de-
vient parallèle aux abscisses, comme en le voit sur la
Jig. 2, aux points m et u. L'ordonnée de cette tangente
devient constante, et l'ordonnée du petit arc de courbe
qui se confond sensiblement avec la tangente, selon la
remarque du n° précédent, a par cela même une va-
leur Sensiblement constante. Il peut , à la vérité, se pré-
senter des cas où cette règle tomberait en défaut,
comme cela arriverait pour la courbe ghk (^fig. 3)
qui subit au point h ce que les géomètres nomment un
rebroussemenU L'ordonnée du point A est un maxi'-
m2///2, quoique la tangente commune aux deux arcs^^^
hk, qui viennent se toucher en A, soit perpendiculaire
et non parallèle s^j. l'axe des abscisses. Mais cette excep-
tion tient à un accident singulier dans le tracé de la
courbe g h X", et à une position déterminée de l'axe des
abscisses par rapport à cette courbe ; au lieu que la
règle générale dont \^ fig^ a offre une application, ne
suppose aucune particularité dans le tracé de la courbe,
et subsisterait pour toute autre direction de l'axe des
abscisses, ou, ce qui revient au même, après un dé-
placement quelconque de la courbe par rapport à l'axe.
Seulement, si un semblable déplacement avait lieu, les
ordonnées maximum et minimum ne correspondraient
plus aux points m et u^ mais à d'autres points de la
courbe.

DES FOKCTIOfIS. 13

On trouve directement , par des méthodes qui se-
ront exposées|plus loin , que les valeui*s maximum et
minimum de la fonction (a) correspondent aux. valeurs
1 = 4, ar= i6, et le calcul numérique nous donnera :

>>arx= 3,99, jr= 0'999983ujff _^^^^„„

x=z 4,oo,r= KOOOOOO

; ^ ' Qo —0,000017

x= 4,01 ,7= 0,999983

i>urx = i5,99 , jr =25,000017 _ ^^^^

j: 1= 16,00 , r =a5,oooooo

' ' ^ ' + 0,000017

x = 10,01 , / =20,000017

CoDsequemment une variation d'un centième dans la
valeur de a:, quand ^ = 4 ou = 1 6, ne fait varier que
Je 17 millionièmes la valeur de y; tandis que la varia-
tion de jr correspondant à une égale variation de Xy
Ktîiô fois plus grande quand x=. i, et 739 fois plus
frande quand a; = 6, selon les calculs rapportés plus haut.

La propriété que nous venons de reconnaître dans
les valeurs m^axima et minimay trouve sans cesse son
application dans la pratique, et notamment dans la mé-
canique industrielle, où il s'agit surtout d'apprécier la
'ïJcur d'une certaine grandeur, qui correspond à un
^f^imum d'effet utile pour la même dépense d'argent
ou de force, ou à un minimum de dépense pour la
production du même effet utile. Cette propriété vient
•nerveilleusement à notre secours, vu l'imperfection de
iios connaissances et de nos instruments de mesure, en
élargissant les hmites entre lesquelles notre appréciation
peut tomber, sans qu'il en résulte de notables variations
^Ds la dépense ou dans l'effet produit.

14 LIVRE I. CHAPITRE I.

Cependant, quelque important et quelque facile à
apercevoir que soit ce principe, Montucla nous dit (')
qu'il n'a été énoncé en premier lieu que par Kepler,
dans son livre intitulé : Stereometria doUorum, publié
en i6i5.

7. Maintenant il est aisé de comprendre qu'outre ces
propriétés presque évidentes, communes à toutes les
fonctions continues, il peut y en avoir d'autres^ moins
aisées à découvrir, et qui appartiennent de même à
toutes les fonctions, ou à certaines classes de fonctions,
définies par des caractères généraux , tels que serait ce-
lui de croître sans cesse avec la variable dont elles dé-
pendent, ou de reprendre périodiquement les mêmes va-
leurs pour des valeurs équidistantes de cette variable.
Dès lors on peut imaginer une théorie qui aurait pour
objet la discussion des propriétés générales des fonc-
tions; et cette théorie constituera une branche spéciale
des mathématiques , subsistant par elle-même ; laquelle
à la rigueur aurait pu former un corps de doctrine,
quand même l'algèbre n'eût pas été préalablement in-
ventée; quand même on n'aurait pas pu se proposer
d'appliquer cette théorie à des fonctions algébriques :
quoique sans doute la principale utilité de la théorie
des fonctions consiste dans l'application ^ont il s'agit,
surtout si l'on a en vue la détermination numérique
des grandeurs.

Nous insistons sur cette manière de définir la théorie
des fonctions^ parce qu'elle repose sur unç idée qui re-
viendra dans tout le cours de ce Traité. Elle nous pa-
raît être la base philosophique de la partie de l'ensei-

(') Hist. des Malb., part. IV, liv. i, n*' A.

DES FONCTIOirS. 15

^emeut dont nous nous occupons ^ et la seule qui
réponde bien à Tétat actuel de l'analyse mathématique.
Oq y est surtout conduit par les applications de plus en
plus étendues de l'analyse aux sciences physiques; mais,
iDdépeadamment de toute application, on trouve dans
la théorie ainsi comprise la solution immédiate de la
plupart des controverses agitées à diverses époques
eatre les géomètres, au. su jet des principes mêmes de
l'analyse (").

8. En général on exprime que la grandeur^ est une
foDction de Xy connue ou inconnue', mathématique ou
empirique, par le moyen de notations, telles que :

J=/(^)i J=F(^)^r = ?(^). etc.
les lettres^ F, ç,.... désignant, non pas des quantités,
mais des caractéristiques de fonctions , analogues aux
abréviations log ou sin. Souvent , lorsque les paren-
thèses ne doivent contenir qu'une lettre , on les sup-
prime, et quelquefois, dans ce cas, on n^et un point
après la caractéristique. Le lecteur a pu déjà se fami-
liariser avec ces notations dans les traités de pure al-
gèbre où on les a introduites; mais en algèbre les ca-
ractéristiques désignent essentiellement des fonctions
i^ébriques, et désormais elles pourront s'appliquer à
des fonctions quelconques.

Dans la détermination d'une fonctiou y = /* (x\
peuvent entrer et entrent ordinairement les valeurs de

(') Ainsi Lagrange n'aurait pas fait un livre exprès « pour réduire
'<^ calcul difTéreaiiel à l'analyse algébrique, » s*il avait distingué dans
^c calcul diflfërentiel un corps de doctrine qui fait partie de la théo-
rises fonctions continues, qu'elles s'expriment ou non par les
lignes de l'algèbre , et qui subsiste indépendamment des applications
qn'on en peut faire aux fonctions et au calcul algébriques.

16 LIVRE I. CHAPITRE I.

certaines grandeurs que l'on doit considérer comme
constantes 9 tandis que x et par suite^ varient. Si y et
X désignent les coordonnées courantes d'un cercle, le
rayon du cercle est une de ces constantes. L'angle ini-
tial d'écart d'un pendule [3] (*) et l'espace décrit par
un corps qui tombe durant la première seconde de sa
chute, sont aussi des constantes de la valeur desquelles
dépend la fonction qui exprime la valeur de l'angle
d'écart , pour chaque valeur du temps écoulé depuis l'o-
rigine du mouvement. On donne quelquefois à ces cons--
tantes le nom de paramètres^ emprunté à la théorie
des sections coniques : dans les applications aux sciences
physiques, on appelle bm^si coefficienls des constantes
dont les valeurs numériques doivent être déterminées
par l'expérience*

Il est souvent utile d'exprimer qu'une fonction dé-
pend, non-seulement de la variable x, mais en outre
des valeurs constantes attribuées à certains paramètres
/^, bfC ; te qu'on fait en écrivant

r=fK^^ «r*. c, .. ). (3)

Si l'on était amené à concevoir que ces paramètres
a, b^ c , au lieu d'avoir des valeurs constantes et dé-
terminées pour chaque cas particulier, varient sans dis-
continuité à la manière de x^ ils perdraient le nom de
paramètres : la grandeur y se rangerait parmi les fonc-
tions de plusieurs variables, dont nous ne nous occupe-
rons qu'après avoir exposé les fondements de la théorie
des fonctions d'une seule variable.

9. Les lettres «, è, c,.... x^ y, peuvent désigner

(') Les chiffres entre crochets indiquent les n°^ du texte auxquels
on renvoie.

DES FONCTiOirS. 17

des graudeurs concrètes, telles que des longueurs, des
aires, des volumes, des poids, etc. (dont l'expression
numérique présuppose le choix d'une unité arbitraire),
ou des nombres abstraits. Dans tous les cas , la forme
de la fonction J doit être telle, que l'équation (3) sub*-
siste indépendamment du choix des unités de mesure ;
ou, ce qui revient au même, il faut qu'on ne puisse pas
tirer de l'équation (3) une condition d'égalité entre des
grandeurs hétérogènes* Cette règle, connue sous le nom
de principe de l'homogénéité des fonctions, et qui ne
saurait offrir de difficultés sérieuses dans les applica-
tions, mène souvent de prime abord à des conséquences
importantes concernant la forme des fonctions. On y a
eu recours pour démontrer très-simplement, et à notre
avis de la manière la plus directe, certaines proposi-
tions fondamentales de géométrie et de mécanique (').
Afin de montrer une application du principe de l'ho-
mogénéité des fonctions , revenons sur la question indi-
quée au n^ 3 : appelons 8 l'angle d'écart d'un pendule
avec la verticale après un temps t compté depuis l'ori-
gine du mouvement; désignons par 6^ l'angle initial d'é-
cart, par / la longueur du pendule , et par y g^ selon
Tusage reçu, la longueur que décrit dans la première
unité de temps un corps qui tombe librement en vertu
de la force de gravité qui fait mouvoir le pendule : on
aura

e=/(f,6o,5^,/).

( est la fonction , t la variable dont elle dépend ; 8^, g, l
sont des constantes ou des paramètres , et il n'y en a
pas d'autres, puisque toutes les conditions du phéno-

(') Voir la note 2 de la Géométrie de Legendre, et le n*' 26 de la
Mécanique de M. Poisson , 2® édition.

T. I. i

18 LIVRE I. CHAPITRE ï.

mène sont déterminées, une fois qu'on a fixé les valeurs
de ces constantes. Or, ^ ^t / sont les seules grandeurs
dont la valeur numérique dépende du choix de Funité
linéaire , et la valeur de 0 en fonction de t ne peut pas
changer avec cette unité arbitraire. Donc la fonction /'
ne dépend que du rapport des lignes g, l, et Ton peut
écrire

Supposons que Ton sache en outre, par les premières
expériences sur la chute des graves, que la racine carrée
du paramètre g varie proportionnellement à l'unité de
temps, ou en raison inverse de la valeur numérique
de t^ pour un même temps écoulé : comme ta valeur
de 0 en un instant donné ne saurait dépendre du choix
arbitraire de l'unité de temps, on en conclura que tne
peut entrer dans la fonction/ qu'autant qu'il y est mul-
tiplié par [/^g, et qu'ainsi l'on a

Arrivés à ce point , nous ne pourrions particulariser
davantage la forme de la fonction sans entrer dans le
détail des principes de dynamique, spécialement appli-
cables à la question, détail qui n'est point de notre
sujet.

10. Si l'on a en même temps

de sorte que la valeur de^ dépende immédiatement de
celle de x^ et que la valeur de x dépende immédiate-
ment de celle de t, la valeur de^ se trouvera dépendre
médiatement de la valeur de t: ce sera, comme on
dit, une Jonction de fonctionnons pour parler un lan-

DES FONCTIONS. 19

gage plus simple, une fonction médiate de la variable t.
Les exemples de cette dépendance médiate et indirecte
sont trop fréquents en mathématiques pures comme en
physique pour que nous ayons besoin d'y insister.
Elle s'exprimerait par la notation

^=/l?(0].^<>"^^=/(?0-

Il se pourrait aussi que l'on eût

r=/(*. ^), ^= ? (0» 2 ='l' W. (5)

d'où

Alors, quoique^ se trouvât dépendre en apparence de
deux variables x, z, elle ne dépendrait réellement que
d'une seule variable t dont il suffirait d'assigner la va-
leur pour déterminer x, z, et par suite ^.
Réciproquement, étant donnée une équation

il peut être avantageux de la remplacer par le système
équivalent des trois équations (5), en introduisant deux
variables intermédiaires x, z, qui prennent alors com-
munément le nom de variables auxiliaires.

11. Le terme de fonction implique l'îdée d'une va-
riable dépendante d'une autre. Dans les exemples ci-
dessus ,jr^ Xj zsont donc des variables dépendantes, et
par opposition t peut être qualifié de variable indépen-
doute. Au point de vue abstrait, il serait tout aussi
permis de regarder j^* comme la variable indépendante,
et Xy Zy t comme des fonctions qui en dépendent mé-
diatement ou immédiatement, puisque, si l'on assigne
d'abord arbitrairement une valeur à y^ celles de ;r, 2, t
seront déterminées en vertu des équations (4) ou (5).
C'est ainsi qu'étant donnée une équation en x^ y, il est
aussi permis de la concevoir résolue par rapport à x

2U

20 LIVRE I. — CHA.P1TRE I.

que par rapport à ^. On peut donc dire en ce sens que
le choix de la variable indépendante est arbitraire ;
mais ceci cesse le plus souvent d'être vrai lorsque l'on
envisage un problème d'après ses données concrètes.
La nature des grandeurs qui varient simultanément éta*
blit entre elles des relations telles que les variations des
unes doivent être considérées comme subordonnées aux
variations des autres; et celles-là seulement dont les va*
riations ne sont subordonnées à celles d'aucune autre^
doivent être essentiellement qualifiées de variables in-
dépendantes.

Ainsi j dans là question de mécanique déjà plusieurs
fois indiquée, il convient de considérer l'angle d'écart
d'un pendule comme une fonction du temps t écoulé
depuis l'origine du mouvement, et ^ comme la variable
indépendante; et il répugnerait au contraire d'envisager
/comme une fonction de l'angle 6 pris pour variable
indépendante; parce qu'il est évident que le temps s'é-
coule ou que i varie indépendamment du mouvement
du pendule, et au contraire que les variations de 0 dé-*
pendent du temps écoulé, ou sont subordonnées aux va-
riations de t.

En général, pour toutes les grandeurs qui varient
avec le temps, et à cause du temps écouljé depuis un
instant pris pour origine, le temps remplit^' par la na*
ture même des choses^ le rôle d'une variable essentiel-
lement indépendante, en ce sens que ses variations ne
sont subordonnées à celles d'aucune autre grandeur.
Nous aurons lieu, par la suite, de revenir sur les consé-
quences de ce principe , et d'insister sur les propriétés
générales des grandeurs, en tant que fonctions du temps :
propriétés dont la discussion nous semble appartenir

I>RS FONCTIONS. 21

auimathéiaaticioes pures, au même litre que les spé-
culations qui ont: pour objet les propriétés de l'étendue
et les formes géométriques.

La reuiarcjixe que Ton vient de faire a lieu pour la va-
riable ty coinptée d'une origine arbitraire, et servant à
déterminer l*époque d'un phénomène, ou, plus préci-
sément, Viiistaut où une certaine grandeur atteint une
valeur déterminée. Si, au contraire, la variable t mesu-
rait la durée absolue d'un phénomène, elle pourrait
jouer \e rôle de variable dépendante. Ainsi, la durée de
VosciUation d'un pendule est une fonction de l'angle
initial d'écart , désigné ci-dessus par 6^. C'est la gran-
deur de cet angle qui détermine la durée de l'oscillation;
ou, en d'autres termes, nous concevons la variation de
la durée comme une conséquence de la variation de
l'angle inîtial, et non la variation de l'angle comme
subordonnée à la variation de la durée.

Des considérations analogues s'appliquent aux coor-
données variables par le moyen desquelles on détermine
la position d'un point sur une ligne donnée , sur une
surface donnée , ou dans l'espace. La grandeur que l'on
envisage comme variable, non plus d'un instant à l'au-
tre, mais d'un lieu à l'autre, est une fonction des coor-
données variables du point où elle est censée mesurée ;
et les coordonnées indépendantes sont évidemment au
nombre de trois , si le point peut se déplacer d'une ma-
nière quelconque dans l'espace ; au nombre de deux , si
le point est assujetti à rester sur une surface donnée ;
entîu, il n'y en a plus qu'une seule, si le point est assu-
jetti à rester sur une ligne donnée. Toutefois, il faut re-
marquer que le choix d'un système de coordonnées est
arbitraire : de sorte que rien n'empêcherait de considc*

22 LIVRE I. CHAPITRE I.

rer les coordonnées Xy y^ z qui déterminent la position
d'un point dans l'espace, comme fonctions d'auti^es coor-
données w, (^,(v, prises dans un autre système. L'indépen-
dance des variables x^ y y z ne tient donc pas à leur na-
ture , mais au choix arbitraire qu'on en a fait pour
servir de coordonnées , tandis que l'indépendance de la
variable t^ qui représente le temps écoulé depuis un ins-
tant pris pour origine , tient à l'essence de cette gran-
deur. Ces analogies et ces différences sont des consé-
quences immédiates des analogies €t des différences que
présentent les concepts fondamentaux du temps et de
l'espace.

Nous ne voulons pas dire, par ce qui précède, que ,
dans certaines questions de physique, telles coordon-
nées ne soient pas indiquées de préférence à toutes au-
tres , par la nature spéciale de la question : l'attention
des analystes doit s'appliquer à saisir de semblables in-
dications; car, en général, la solution d'un problème a
atteint sa perfection quand on a lié par l'analyse les
variables entre elles, conformément à l'ordre de leur
dépendance naturelle. De même, en géométrie pure , le
mode de génération d'une ligne ou d'une surface indique
les coordonnées qu'il est convenable et naturel de prendre
pour variables indépendantes , et dont le choix facilite
la discussion des propriétés de la ligne ou de la sur-
face.

CHAPITRE II.

DR LA CLASSIFICATION DES FONCTIONS ET DE LEUR
DlèVELOPPEMEKT EN SERIES.

12. Les fonctions mathématiques se distinguent en
fonctions explicites et en fonctions implicites. On ap-
pelle fonctions implicites celles qui sont déterminées par
une équation non résolue entre la fonction et la variable
indépendante. Ainsi la fonction^ donnée par l'une des
équations

y* — bxy==-a^by + c^rnlog a:, tang^==^sinx,etc.,
est une fonction implicite de x. Si ces équations étaient
résolues par rapporta/ et mises sous la forme j- z=.fxj
j deviendrait une fonction explicite de la même va-
riable.

On peut comprendre les fonctions explicites et im-
plicites sous la même notation , en exprimant par une
équation de la forme

F(:t;,/)=o, (i)
la liaison qui subsiste entre la variable x et la fonc-
tion y.

Les fonctions mathématiques, qu'elles soient expli-
cites ou implicites, se distinguent encore en fonctions
algébriques et en fonctions transcendantes. Si l'équa-
tion (i) est algébrique, en sorte qu'après l'évanouisse-
ment toujours possible des dénominateurs et des radi-
caux, le premier membre soit un polynôme entier de
degré déterminé par rapport à a? et par rapport à jr, la

24 LIVRE I. CHAPITRE II.

fonclion y est réputée algébrique. Si les variables J?, y y
ou seulement Tune d'entre elles, entraient dans la forma-
tion d'un exposant, ou si elles se trouvaient affectées ,
soit d'un exposant irrationnel, soit du signe logy soit de
l'un des signes usités en trigonométrie, la fonction se-
rait qualifiée de transcendante. Plus généralement, toute
fonction mathématique qui ne se trouve pas comprise
dans la définition des fonctions algébriques est réputée
transcendante. Les seules fonctions transcendantes que
le lecteur soit censé connaître, savoir, les fonctions ex-
ponentielles, logarithmiques et trigonométriques , ont
été successivement définies dans le cours de mathéma-
tiques élémentaires. Ces fonctions sont-elles en effet
les plus simples de toutes après les fonctions algébriques
élémentaires? Sont-elles réductibles ou irréductibles en-
tre elles? Y a-t-il entre elles quelque lien, malgré leur
diversité apparente d'origine? Toutes ces questions sont
du ressort de la théorie qui doit nous occuper ; et en
même temps que fious étudierons sous un point de vue
nouveau les fonctions transcendantes déjà définies dans
les éléments, nous serons amenés à en considérer d'au-
tres en nombre illimité, à les définir, à les classer, et
à désigner celles de ces fonctions qui ont acquis le plus
d'importance, par des notations ou par des caractéris-
tiques particulières.

13. Puisque les équations algébriques, de degré supé-
rieur au quatrième, sont en général irrésolubles algé-
briquement, et qu'ainsi la valeur de y en x^ quand
l'équation (j) est, par rapport à /, d'un degré supérieur
j au quatrième, ne peut pas, en général, s'exprimer avec
I les radicaux et les autres signes élémentaires de l'algè-
i J)re, il semble qjj'on pourrait regarder la racine d'une

I>£ LA CLASSIFICATION DES FONCTIONS. 25

telle équation comme une fonction transcendante, aussi (
bien que les exponentielles et les logarithmes. Mais Leib-|
nitz^ à qui Ton doit la distinction des fonctions algé-/
briques et des fonctions transcendantes, n^ajtûinLiiûXn-'
miscettemëprise. En effet, la circonstance qu'une équation '
algébrique entre^ et x soit ou ne soit pas résoluble al-
gébriquement par rapport à y, n'influe nullement sur .
le nombre y sur les conditions de réalité ou d'imagina-i
rite des racines, ni, par suite, sur 'la forme qu'affecte la,
courbe dont .r et^ sont les coordonnées <» sur le nombre
de ses branches et sur les autres particularités de son
cours. Tout ceci se rattache à la théorie de la compo*
sitioo des équations algébriques, laquelle n'est point
sabordonnée à leur résolution algébrique , et en vertu de j
laquelle les fonctions algébriques, tant explicites qu'im-!
plicites, jouissent de propriétés communes qu'elles nei
partagent pas avec celles auxquelles on a réservé avec
juste raison la qualification de transcendantes. t

14. I^s fonctions algébriques explicites se distinguent
en fonctions entières et fractionnaires ^ rationnelles et
irrationnelles : le sens de ces expressions est donné dans
tous les traités d'algèbre. A l'égard des fonctions algé-
briques implicites, comme on peut toujours préparer
les équations dont elles sont les racines de manière à
&ire disparaître les dénominateurs et les radicaux, cette
, division serait sans objet.

Les plus simples des fonctions rationnelles entières
sont celles qui ne contiennent que la première puissance
i?la variable, et qu'on peut représenter généralement
sar

y= ax + é,

"et b désignant des nombres constants. L'usage leur a

26 LIVRE I. CHAPITRE II.

conservé la dénomination de fonctions linéaires^ tirée
de ce que Téquation précédente est celle d*une ligne
droite, pour un système de coordonnées parallèles à deux
axes fixes.

Les fonctions rationnelles entières ne peuvent deve-
nir infinies pour aucune valeur finie de la variable
dont elles dépendent. De plus, il est évident qu'à toutes
les valeurs de la variable correspond pour ces fonctions
une valeur réelle et unique , positive ou négative. Il
suit de là que si Ton représente une fonction ration-
nelle et entière par l'ordonnée d^une courbe dont Tautre
variable est l'abscisse , cette courbe à une seule branche
s'étend indéfiniment, tant dans le sens des abscisses né-
gatives que dans le sens des abscisses positives, sans
éprouver nulle part de solution de continuité.

15. Les fonctions fractionnaires, où la variable entre
dans la composition d'un ou de plusieurs dénominateurs,
peuvent devenir infinies, et par conséquent éprouver
une^ohU^Qn. de continuité pour les valeurs finies de la
variable qui font évanouir un dénominateur.

Les fonctions irrationnelles , même entières , subissent
des solutions de continuité, et la courbe qui les repré-
sente s'interrompt brusquement quand la valeur de la
variable, affectée d'un signe radical, rend le radical ima-
ginaire. Ainsi la fonction

^=:.r+ \/\ — X
cessera d'avoir des valeurs réelles pour les valeurs de
X > I, et sera représentée graphiquement dans un sys-
tème de coordonnées orthogonales par l'ordonnée de l'arc
parabolique ML {^fig* 4)? q^î s'étend indéfiniment dans
le sens des abscisses négatives , et qui s'interrompt brus-
quement au point L, dont l'abscisse 0P= f.

DE LA GLASSIFICATIOir DES FONCTIONS. 27

De même la fonction

sera représentée par l'ordonnée de la branche d'hyper-
bole LMN (j^^. 5), si l'on a OA = a < i,et, dans ce
cas, elle n'éprouvera aucune solution de continuité. La
même fonction correspondra à l'ordonnée des arcs hy-
perboliques PQ, RS, si l'on a a > i; auquel cas il y aura
solution de continuité aux points Q , R. Enfin , il faudra
prendre, pour représenter la même fonction , l'ordonnée
delà ligne brisée BAC , si l'on a a= i : car/ devant res-
ter positif y la fonction proposée deviendra dans ce cas

pour les valeurs de :i: < i , et

y=ix — I
pour les valeurs à& x > i . Ce changement dans l'ex-
pression algébrique de la fonction correspond à une so-
lution de continuité dont nous définirons plus loin, d'une
manière générale, les caractères analytique et géométri-
que, et qui est d'un autre ordre que les solutions de
continuité éprouvées par l'ordonnée des arcs hyperboli-
ques PQ , RS j aux points Q et R.

16. A la vérité y si l'on considère à la fois les deux
valeurs réelles dont un radical pair est susceptible, on
aara deux branches ou deux arcs de courbe qui vien-
dront se raccorder aux points dont l'abscisse correspond
au passage du réel à l'imaginaire ; et ainsi il n'y aura
plus géométriquement de solution de continuité : car on
•le doit entendre par solutions de continuité » dans le sens
géométrique, que celles qui sont indépendantes de la
-irection arbitraire des axes auxquels on rapporte la
ourbe.
On conclut de là que, pour avoir l'expression com-

28 LIVRE I, CHAPITRE II,

plète d'une courbe par une équation algébrique entre ses
coordonnées , il faut débarrasser cette équation des ra-
dicaux , ou conserver tous les doubles signes inhérents
à chaque radical pair. C'est là le fondement de la corres-
pondance entre l'algèbre et la géométrie , dont nous re-
parlerons lorsqu'il sera question plus spécialement des
applications de l'analyse à la théorie des courbes.

Au contraire, les courbes transcendantes, ou celles
dont l'ordonnée est une fonction transcendante de l'abs-
cisse , peuvent être interrompues brusquement dans leur
cours sans que leurs branches se rejoignent; en sorte
que le point qui décrirait par son mouvement une des
branches de la courbe , s'arrêterait tout à coup. Ainsi
la courbe qui a pour équation

^ 4- I =a * '
a désignant un nombre positif plus grand que i, est
formée de deux branches BL, MN (^. 6), dont la pre-
mière a pour asymptote, dans le sens des abscisses posi-
tives , l'axe même des x, et s'arrête brusquement au point
B , dont les coordonnées sont x = o , ^ = — i ; tandis
que la seconde branche a pour asymptotes l'axe des jr
dans le sens des ^positifs, et l'axe des x dans le sens des
jc négatifs. En effet, tant que x est positif, la fonctioa

-1 I

a ^ = —

a'
va en décroissant indéfiniment pour des valeurs de x de
plus en plus petites, et finalement s'évanouit avec .r,
tandis qu'elle tend à devenir égale à l'unité pour des va-
leurs de X de plus en plus grandes. Au contraire, lors-
que X passe par des valeurs négatives, la même fonction
croît au delà de toutes limites pour des valeurs numéri-*

DE LA CLASSIFICATION DES FONCTIONS. 29

([Qes de j: de plus en plus petites, au lieu qu'elle tend
encore à devenir égale à l'unité pour des valeurs numé-
I riques de oc de plus en plus grandes.

On appelle points darrét ceux où une branche de
coarbe, transcendante ou empirique, s'arrête ainsi brus-
ijaement. Si deux branches disjointes , NM , M'N' {fig.
]), avaient une commune ordonnée PMN% en sorte que
la fonction représentée par l'ordonnée de la courbe pas-
I sât brusquement de la valeur PM à la valeur PM', les
points M , M' seraient des points de rupture. Les fonc-
tions algébriques , ne pouvant avoir de points d'arrêt ,
ne peuvent avoir de points de rupture, ni par conséquent
éprouver d'autres^sojutions de contijiuité que celles qui :
proviennent du passage par Tinfini ; au lieu que les fonc- \
lions transcendantes peuvent être sujettes aux solutions ;
de contiguité^gui proviennent du j)assage brusque d'une.,
valeur finie à une autre.

17. SI la théorie des fonctions a plus de généralité
«\ue l'algèbre, en ce sens qu'on y traite de propriétés
communes aux fonctions algébriques et transcendantes ,
et même à celles qui ne comportent aucune définition
mathématique , d'un autre côté cette théorie reçoit une
extension qui, primitivement, n'a de sens qu'en algèbre :
pore, et pour les fonctions susceptibles d'une expression ';
algébrique. Cette^xtension consiste à tenir compte des ! ^
valeurs imaginaires que prend une fonction exprimée
' algébriquement, quand la variable dont elle dépend
passe par des valeurs réelles situées en deçà ou au delà
de certaines limites, comme, par exemple, quand la va<^
' fiable x devient > i dans la fonction
^ 7 = a; + l/^i—iT

Elle consiste en outre à admettre que la variable indé-

X

; /^

/

30 LIVRE f. CHAPITRE II.

pendante peut elle-même passer par une succession de
valeurs imaginaires. A la vérité, pour se faire l'idée d'un
semblable passage , il faut considérer cette seconde va-
riable, dont la première est fonction, comme dépendant
à son tour d'une troisième variable qui passe par une^
suite de valeurs réelles. Soient t cette dernière variable,
X celle qui en dépend immédiatement, ^ une fonction
de X : désignons aussi par t^, ^o> ^o? ^^ ^i» Xn deux
systèmes de valeurs correspondantes pour ces trois va-
riables; t^j tj étant des quantités réelles, tandis que a;^^
Xo9 ^ij Xr peuvent être des quantités réelles ou imagi-
naires. Il est clair que , pendant que t passe de la va-
leur t^ à la valeur t^ , en prenant toutes les valeurs réel-
I les intermédiaires, x peut passer de la valeur x^ à la
! valeur x^ par une suite^de valeurs imaginaires, suite
< déteiminée en vertu de la liaison algébrique entre t et
a:, et à laquelle correspondra une suite également dé-
i terminée de valeurs réelles ou imaginaires pour y. Au
j contraire, comme il n'y a pas d'ordre naturel et déter-
I miné de grandeur entre les quantités imaginaires , rien
ne fixerait la série de valeurs imaginaires par lesquel-
les X peut passer, en allant de la valeur x^ à la valeur x^ ,
si l'on n'établissait une dépendance déterminée, directe
ou indirecte, entre x et une autre variable qui passe
d'une valeur réelle à une autre, par la série des valeurs
réelles intermédiaires.

Nous verrons plus tard que, non*seulement les fonc-
tions algébriques, mais encore les fonctions exponen-
tielles, logarithmiques et trigonométriques acquièrent
une signification et une valeur réelle ou imaginaire dé-
terminées, lorsqu'on fait passer par des valeurs imagi-
naires les variables qui entrent dans la composition de

DE Là^ CLASSIFICATION DES FONCTIONS. 31

cesfoDCtioDs : par conséquent, les remarques qui font
l'objet de ce numéro s'appliquent à toutes les fonctions
iljébriques ou transcendantes que nous connaissons
Jfjà.

18. On vient de dire comment les analystes classent
les fonctions, d'après le mode de leur expression mathé-
matique : mais les fonctions sont également susceptibles
ifetre classées d'après les formes mêmes qu elles affec-
lent ou qu'affectent les courbes qui les représentent;
et cette classification peut comprendre aussi bien les
foQctioDs empiriques que les fonctions algébriques ou
transcendantes. Au reste, il ne s'agit pas ici d'établir une
classification méthodique et complète, comme celles qui
sappliqueot (en histoire naturelle, par exemple) à des
objets dont le nombre est limité, mais seulement de
»;naler certaines classes de fonctions, distinguées par
As caractères généraux.

h premier lieu, nous consî^^?rerons les fonctions paî' j
r^ietles fonctions impaires. Oi. appelle fonctions paires |
celles qui prennent les mêmes valeurs quand on attribue |
lia variable indépendante des valeurs égales et de signes j
contraires, ou celles qui sont représentées, dans un sys-
^e de coordonnées orthogonales , par des courbes
«ymétriques relativement à l'axe des ordonnées. Telles
»flt, parmi les fonctions algébriques, celles qui ne ren-
ferment que des puissances paires de la variable, comme .
i^jl/j -_ j4 - et de là leur vient le nom de fonctions .
P^, qu'on peut appliquer à toutes les fonctions qui .
présentent la même analogie de forme, bien qu'elles ne >
<^mporteat pas d'expression algébrique. La fonction }
^fonométrique cos x est paire, puisqu'on est conduit j
^trigonométrie à regarder le cosinus d'un arc négatif ■

32 LIVRE I. CHAPITRE JI.

comme ayant la même valeur numérique et le même
signe que le cosinus du même arc pris positivement.

Par opposition, on appelle fonctions impaires celles

qui ont des valeurs numériquement égales et opposées

; de signes^ pour des valeurs de la variable indépendante

égales et de signes contraires. Telles sont, parmi les

fonctions algébriques, — , xl/T~+~^. D'après cette

définition , sin x et tang x sont aussi des fonctions im-
paires. Une fonction impaire doit être nulle quand x=o,
à moins qu'elle n'éprouve une solution de continuité
correspondante à cette valeur de x. Tel est le cas des
fonctions impaires

^^"^^ cotx.

Une foactiou quelconque peut être considérée comme
la somme de deux fonctions, l'une paire, l'autre impaire.
Soit effectivement / la caractéristique d'une fonction
quelconque : on pourra poser

/(^) +/(— ^) = a ? (a;) ,

et alors <p (x) sera évidemment une fonction paire ,
^ (x) une fonction impaire de x, quelle que soit d'ail-
leurs la forme de f{x). Or, on tire de ces deux
équations

f(x) = <f(x)+^^{x),
ce qui démontre la proposition énoncée.

19. On appelle fonctions périodiques celles qui
reprennent périodiquement les mêmes valeurs, pour
des valeurs de la variable indépendante séparées par
des intervalles égaux. La grandeur de ces intervalles
mesure l'étendue de la période. Ainsi, l'on est conduit^

DK LA CLASSIFICATION DES FONCTIONS. 33

en trigODomëtrie, à considérer les arcs comme des gran-
deurs qui peuvent surpasser la circonférence et croître
iDdéfîniment, tant dans le sens positif que dans le sens
négatif; tandis que les sinus, les cosinus^ et en général [
les fonctions trigonométriques de ces arcs reprennent j
périodiquement les mêmes valeurs, chaque fois qu'on |
ajoute à l'arc primitif, ou qu'on en retranche une cir-
conférence complète. En conséquence, sin aXy cos eut,
tang ax sont des fonctions périodiques dont la période a

aie
pour valeur — . La fonction^ = sin oo: , par exem-*

pie, est l'ordonnée d'une courbe sinueuse P'N'M'O
MNP.... {fig. 8), qui s'étend indéfiniment tant dans le
sens des abscisses négatives que dans celui des abs-
cisses positives : courbe facile d'ailleurs à construire
p points, à l'aide des tables de sinus naturels, ou de
leurs logarithmes que l'on trouve dans les tables trigo-
nométriques ordinaires. Les intervalles égaux P'O, OP,...
mesurent l'étendue de la période.

La nature nous offre une multitude de phénomènes •
soumis à la loi de périodicité; et, conséquemment, Jaj
classe des fonctions périodiques , dont le type le plus !
sin)ple nous est fourni par la géométrie du cercle, mérite \
une attention particulière.

20. Parmi les fonctions non périodiques, il n^y a lieu
de signaler ici que celles qui jouissent de la propriété
<le croître ou de décroître continuellement, lorsque la
variable indépendante vient à croître. Les fonctions
<pi, sans être périodiques , passent par diverses alter-
natives d'accroissement et de décroissement , n'offrent
pas d'autres caractères importants qui méritent qu'on
informe des groupes particuliers.

T. I. 3

34 LIVRE I. CHAPITRE II.

Il convient de remarquer surtout les fonctions qui
s'approchent indéfiniment de zéro ou de toute autre va-
leur fixe, pour des valeurs croissantes ou décroissantes de
la variable indépendante. Telles sont les fonctions
I "

Uy niy n désignant des nombres positifs, et a étant
supposé en outre plus grand que l'unité.

Les fonctions de cette catégorie doivent se reproduire
fréquemment dans l'expression des phénomènes physi-
ques : car il arrive souvent qu'une grandeur part d'un
certain état pour décroître ensuite continuellement, de
sorte que sa valeur finit par devenir sensiblement nulle,
ou par ne plus différer sensiblement d'une certaine va-
leur fixe vers laquelle elle fend sans cesse. On doit re-
marquer en particulier la fonction ^= «—«* (Jig. 9),
qui est le type le plus simple que l'algèbre puisse
fournir des fonctions qui décroissent symétriquement,
avec une grande rapidité, de part et d'autre de l'origine
de la variable indépendante : tellement que , pour peu
que le nombre constant a surpasse l'unité^ la valeur
numérique de la fonction est déjà excessivement pe-
tite, pour des valeurs numériques de la variable in-
dépendante tant soit peu considérables. Dans l'état
actuel de la physique moléculaire, on admet l'existence
de forces dont la loi de décroissement est exprimée par
des fonctions de cette espèce, et dans les applications de
la théorie mathématique des chances aux grands nom-
bres que la statistique recueille, la nature du sujet repro-
duit constamment des fonctions de la même forme.

21. Supposons maintenant que nous ayons une fonc-
tion empirique /ir qu'il s'agisse de soumettre à des calculs

DE L^ TRANSFORMATION DES FONCTIOICS. 35

arithmétiques ou algébriques, comme si Ton avait , par
eiemple, à trouver la valeur de x qui satisfait à Té-

(|uatioD

ridée qui se présentera naturellement, sera de trouver ,
s'il est possible, une fonction algébrique f.r qui s'écarte
peude/r^ au moins dans les limites entre lesquelles on
sait que doit tomber la racine cherchée, et de substituer
dans réquatiou proposée t^x 9l fx. En général, le but
Inné semblable substitution est de rendre praticables,
ou des transformations algébriques qui doivent con-
doire à des formules générales , ou des opérations de
calcul arithmétique, si l'on se propose de déterminer des
valeurs particulières.
Si Ion tient à ce que la fonction substituée se rap-
proche de l'autre , dans toute la portion de son cours
que Ton considère, il faut évidemment qu'il n'y ait pas
incompatibilité entre les formes essentielles de la fonc-
tion substituée et celles de la fonction qu'on remplace.
Par exemple, si la fonction à remplacer est périodique ,
on admettra, au moins jusqu'à plus ample examen, la
possibilité de la remplacer par une fonction telle que

/ = A sin {mx+ n),
À de sa nature, est périodique; mais il serait manifes-
taient impossible que la fonction proposée se rappro-
ckât, dans toute l'étendue de son cours, d'une autre qui
'orait lune des deux formes

<^(]ui serait constamment croissante ou décroissante,
s^lon le signe de m.

On appelle interpolation l'opération par laquelle on

3.

36 ' LIVRE ï. — CHAPITRE II.

détermine une courbe ^==<pa:, assujettie à avoir un
certain nombre de points communs avec la courbe
y z=ifx , et qui doit s'en écarter d'autant moins entre
les points extrêmes , que le nombre des points communs
intermédiaires est plus considérable. Nous entrerons, par
la suite, dans quelques détails sur les procédés d'inter-
polation : pour le monlent, il suffit de concevoir qu'on
assujettira la courbe dont (fx est l'ordonnée à passer
par un point donné (oTo, ^o)> en posant l'équation

c'est-4i-dire, en liant par une équation de condition les
paramètres ou coefficients indéterminés que doit com-
prendre l'expression mathématique de la fonction <p ; et
plus on aura introduit dans cette expression de para-
mètres arbitraires, pourvu qu'on ait un nombre égal de
points donnés sur la courbe y"=zfxj plus les courbes
dont les ordonnées sont <p.r et fx approcheront de la
coïncidence, dans la portion de leur cours que l'on con-
sidère.

De là, pour le dire en passant , la difficulté que l'on
éprouve souvent à fixer, par le contrôle de l'observation,
la valeur de certaines formules de physique mathémati-
que : car si l'on donne, pour représenter la loi d'un
phénomène, l'équation ^ = f a: , dans laquelle la
fonction f renferme beaucoup de paramètres arbi-
traires, et qu'on détermine ces paramètres par la con-
dition de satisfaire à des observations qui donnent
autant de systèmes de valeurs correspondantes pour ac
et y qu'il y a de paramètres , il devient probable par
cela seul que des systèmes de valeurs intermédiaires
satisferont à très-peu près à la même équation, bien que
la véritable loi des phénomènes soit exprimée par une

D£ LA TRAKSFORBIATION DES FONCTIONS. 37

fonction /jr^ différente de (fx. Si donc, à l'expression
analytique dont on a fait choix pour la fonction f , se
rattachait rétablissement d'une théorie physique, cette
théorie ne serait pas suffisamment justifiée par l'accord
(|oe Ton trouverait entre l'observation et le calcul, pour
les valeurs intermédiaires des variables x, jr.

S'il y avait incompatibilité entre les formes des fonc-
tions/* etfff l'une, par exemple, étant périodique et
l'autre constamment croissante ou décroissante, le calcul
ea avertirait eu assignant aux paramètres des valeurs
ioEnies, ou imaginaires, ou en laissant ces valeurs indé-
terminées.

22. Ou conçoit qu'il peut être utile de remplacer de
la sorte, non-seulement des fonctions empiriques qu'il
serait impossible de soumettre autrement au calcul,
mais des fonctions transcendantes ou même algébriques,
l'une expression compliquée, par d'autres fonctions
d'une forme plus simple, ou dont la forme s'adapte
mieux à la nature des combinaisons analytiques dans
lesquelles elles doivent entrer. C'est ainsi, pour prendre
la comparaison la plus élémentaire, qu'on remplace une
fraction ordinaire telle que y, par une fraction déci-
male 0,6666.... dont l'équivalence n'est qu'approchée, à
quelque décimale que l'on s'arrête , mais dont l'expres-
^•on, quoique plus compliquée au fond, se trouve mieux
appropriée à la nature des opérations de notre* arithmé-
^^ décimale.

Dans ce cas encore il est aisé de comprendre que ,
lorsque la fonction substituée n'aura pas une forme in-
'^mpaiible avec celle de la fonction proposée, plus il
^trera de paramètres arbitraires dans son expression
analytique , plus on pourra rapprocher les deux fonc-

38 LIVRE I. CHAPITRE II.

lions Tune de l'autre, en fixant convenablement les
valeurs de ces paramètres arbitraires.

Mais, d'un autre coté, on ne peut multiplier les pa-
ramètres sans compliquer la fonction substituée, et
perdre de plus en plus les avantages attachés à la subs-
titution. Voici l'artifice imaginé par les analystes pour
éluder autant que possible cette difficulté.

Il consiste à substituer à la fonction proposée une
somme de fonctions analytiques de même forme, et qui
diffèrent les unes des autres par les valeurs de certains
paramètres. Ainsi, au lieu de poser, par exemple,

jzzzAx*", ouj^=Asinwx,
pour représenter la fonction /=y!r , on posera

^ = Ao + A, X -+- A, X* + A3 x^ + etc. ,
ou bien

j^ = A, sin a; + A , sin %x 4- A3 sin Zx + etc. ;
et ces suites de termes, que l'on appelle séries^ pour-
ront être considérées comme équivalentes à la fonction
proposée fx , si , en prenant un nombre suffisant de
termes de la série , à compter du premier, on obtient
des valeurs qui diffèrent d'aussi peu qu'on veut de la
valeur y^. Pour cela il faut concevoir nécessairement
la série prolongée à l'infini; car si l'on obtenait la va-
leur exacte de fx au moyen d'un nombre fini de ter-
mes, on «n'aurait fait que développer l'expression ana-
lytique de fx; on ne l'aurait pas transformée en série,
dans le sens qui s'attache à cette locution. Ainsi , les
équations identiques

5 5 I

( sin .x-y = ô sin ^ 7, sin 3a: 4- -77 sin 5j

^ o 10 ib

>x,

DE LA TRANSFORMATION DES FONCTIONS. 39

u'iodiquent pas des transformations en séries, mais de
simples développements.

23. Les séries les plus simples sont celles qui procè-
dent suivant les puissances entières et ascendantes de
la variable. Mercator et Newton ont été conduits à des
séries de cette forme; le premier en appliquant la règle
de la division à la fonction fractionnaire

et en ordonnant les termes successifs du quotient sui-
vant les puissances de x; le second en appliquant la
rède de l'extraction des racines à la fonction irrationnelle

</■

a + b X ,

et en ordonnant de même les termes obtenus successi-
vement à la racine. Bientôt Newton et Leibnitz trou-
vèrent des développements de même nature pour les
fonctions transcendantes alors connues ; et depuis cette
époque la transformation des fonctions en séries a été •
l'un des points capitaux de l'analyse.

Cette transformation s'opère dans deux buts qui cor-
respondent aux deux faces sous lesquelles on peut en-
visager tout le système des sciences mathématiques.
Tantôt on n'a en vue que de démontrer certaines lois,
certaines relations indépendantes des valeurs numériques
des quantités , et pour cela on met les fonctions sous
forme de séries appropriées à la démonstration qu'il
s'agit de donner : alors peu importe le nombre de termes
qu'il faut prendre dans la série pour obtenir une valeur
suffisamment approchée de la fonction que la série rem-
place; il suffit qu'on puisse concevoir, dans tous les
cas, la série assez prolongée pour que la somme des ter-

40 LIVRE I. — CHAPITRE If.

mes négligés tombeau-dessous de toute grandeur donnée.

Dans d'autres cas, au contraire, on veut effective-
ment calculer des valeur numériques au moyen des sé-
ries , et alors il est nécessaire que 1 on puisse obtenir une
approximation suffisante sans avoir besoin de calculer
un trop grand nombre de termes de la série, ce qui con-
duirait à un travail pénible et quelquefois impraticable.

24. On appelle séries convergentes celles qui satis-
font à la condition que la somme de leurs termes con-
verge de plus en plus vers une valeur limite, à mesure
que l'on prend un plus grand nombre de termes : cette
limite se nomme aussi la somme de la série. Pour que
la transformation d'une fonction en série soit légitime,
il faut que la série soit convergente , et qu'elle ait pour
somme précisément la fonction transformée. Récipro-
quement, pour qu'iine série d'un nombre infini de ter-
mes dont la loi est donnée, et dans lesquels entre ia va-
riable X, soit censée déterminer une fonction At Xy il
faut évidemment que cette série converge vers une va-
leur limite , ou qu'elle ait une somme : soit que cette
somme puisse s'exprimer en fonction de x, à l'aide des
signes algébriques ou transcendants usités (auquel cas
on dit que la série a été exprimée \fowj' forme finie) y
soit que, dans le cas contraire, on ne puisse en calcu-
ler numériquement la valeur, pour chaque valeur nu-
mérique de .r, que d'une manière approchée, à l'aide
de la série même; et, dans ce cas, la fonction exprimée
en série constitue une transcendante nouvelle, non ré-
ductible aux transcendantes connues.

Une série peut n'être pas convergente dès ses pre-
miers termes ; il suffit quelle finisse par converger
(quelque éloigné que soit dans la série le terme oîi la

DE LA TRANSFORMATIOir DBS FONCTIONS. 41

convergence commence) pour qu'on doive la considérer l
comme représentant une fonction déterminée qui en
est la somme , et pour qu'on puisse substituer la série
à la fonction dont elle dérive, ou, réciproquement, la
fonction sommatoire à la série , dans toutes les combi- i
naisons du calcul qui n'ont point pour objet la déter- 1
mination numérique des valeurs. Mais s'il s'agit de ;
calculs numériques, on n'emploie guère que des séries ;
qui convergent avec rapidité dès leurs premiers termes, :
du moins pour les valeurs numériques que l'on veut as-
signer aux quantités variables qui entrent dans les sé-
ries. Une convergence qui ne commencerait qu'après
un grand nombre de termes, ou qui ne procéderait
(ju'avec une grande lenteur, serait , pour un tel but ,
évidemment illusoire.

A proprement parler, on ne devrait appeler diifer^
gentes que les séries pour lesquelles les sommes que
ion obtient, en prenant successivement un nombre de
termes de plus en plus grand, vont en divergeant, en
ce sens que la différence d'une somme à la suivante, au
lieu de tendre de plus en plus vers zéro, prend une va-
leur numérique de plus en plus grande. Telle est la série

I -h .r + .r* -h o:^ -4- etc. ,
pour les valeurs de x numériquement plus grandes que
ruuité. Mais on est dans l'usage d appeler divergente ,
pour plus de simplicité , toute série qui n'est pas con-
vergente et qui n'a pas de somme. Ainsi, l'on dira en-
core que la série ci-dessus est divergente quand on
assigne à x la valeur — i , auquel cas les sommes con-
sécutives prennent alternativement les valeurs i et o.

25. Une fonction /a: étant développée en série, ap-
pelons (p, .r la valeur numérique de la différence ou du

42 LIVRE I. CHAPITRE II.

reste qu'on obtient, quand on retranche de f x la somme
des n premiers termes de ia série. Si la série est con-
vergente et qu'elle ait pour somme ^j::, (p. o: convergera
indéfiniment vers zéro pour des valeurs croissantes de
l'indice riy et cette quantité pourra être rendue aussi
petite que Ton voudra, moyennant qu'on prendra pour
n un nombre suffisamment grand. Au contraire , si la
série est divergente, ç„^ ira en croissant avec /ï, ou du
moins ne décroîtra pas indéfiniment pour des valeurs
croissantes de n. Mais il peut arriver encore, et il arrive
fréquemment que f^^x aille d'abord en décroissant, au
point de ne conserver qu'une valeur très-petite et né-
gligeable pour une valeur convenable de l'indice n;
puis, que pour des valeurs plus grandes de l'indice, f^^pc
commence à croître, et continue ensuite à prendre des
valeurs de plus en plus grandes. C'est le cas où la sé-
rie, après avoir offert d'abord les caractères d'une série
convergente, finit par devenir divergente; et quelques
auteurs qualifient de semi-convergentes les séries qui
tombent dans cette catégorie. Il est clair que la substi-
tution d'une telle série à la fonction dont elle dérive
sera permise, comme moyen d'approximation, toutes les
fois que l'on pourra prouver que le reste ^^x devient
négligeable pour des valeurs convenablement choisies
de /ï, et que l'erreur commise, en négligeant ce reste,
n'entraîne, dans les résultats des calculs subséquents,
que des erreurs pareillement négligeables à cause de
leur petitesse.

Dans les diverses branches des mathématiques appli-
quées, il s'en faut bien que l'on procède toujours avec
cette rigueur qui restreindrait singulièrement les res-
sources tirées de l'emploi des séries. Lors même que

I>£ LA TRANSFORMATION DES FONCTIONS. 43

Ton n'opère que sur des séries dont la convergence
est démon trce, il n'est pas toujours possible d'assi-
gner des limites à l'erreur que l'on commet en arrêtant
la série à un terme de rang quelconque. Ce sont là des
imperfections dans la solution des problèmes, que les
efforts réitérés des géomètres ont pour but , et quelque-
fois pour résultat de faire disparaître, autant que la
complication de ces 'problèmes le comporte.

26. Une série dont tous les termes ont le même si-
gne, reste convergente ou divergente dans quelque ordre
que ses termes se succèdent; et si elle est convergente,
la somme ou la valeur limite vers laquelle la somme
de ses termes converge , reste aussi toujburs la même.
Au contraire, une série dont les termes successifs se
détruisent en partie par l'opposition de leurs signes,
peut être convergente ou divergeute, selon l'ordre de
succession des termes ; et quand elle reste convergente,
la somme peut varier avec l'ordre des termes.
Lorsqu'une série

r = Jo H- jr. -+- ^. + etc. ,
est entremêlée de ternies positifs et négatifs, et qu'en
les prenant tous de même signe on forme une nouvelle
série convergente, il faut que la série ^ soit elle-même
convergente. En effet , désignons par (f/ la somme des
termes positifs contenus dans la série ^, à partir de/^,
et par <p' ,, , la somme arithmétique des termes négatifs ,
de sorte qu'on ait

?» =/» + 7»i+. + etc. = ç^ — (p„" .
Dans la sérieforméedesmêmes termes, mais tous pris avec
le même signe, par exemple avec le signe positif, on aurait

?» = ?n' + ?n" ;

et puisque cette dernière série est convergente, il faut

44 LIVRE I. — CHAPITRE II.

que la somme ç,' -\- ç^" tombe au-dessous de toute gran-
deur donnée^ pour une valeur convenable de Tindice n :
donCj à fortiori f la différence (fj — 9/' tombeau-dessous
de toute grandeur donnée, ce qui établit la convergence
de la série ^.

Une série est convergente lorsque ses termes, à par-
tir d'un certain rang, ont des signes alternatifs , et que
leur valeur numérique va en convergeant indéfiniment
vers zéro. Soit en effet

on pourra écrire

% =Jn — fjn+i — rn+O— (j^n+3 " .rn+4)— etC. ,

de manière à ce que tous les binômes compris entre
parenthèses soient positifs. On aura donc 9, <J^n\ et
puisque j", peut être pris aussi petit qu'on veut, il en
sera de même de 9,,.

Si tous les termes de la série jr, à partir d'un certain
rang, sont de même signe, cette série sera conver-
gente ou divergente, selon que le rapport -^^ conver-

Xn

géra vers une limite < ou > que 1 , pour des valeurs
croissantes de n .

En effet , désignons par a un nombre compris entre
l'unité et la limite du rapport dont il s'agit : on aura
pour a < I , et pour une valeur convenable de Tindice/i,

jr«+x < ajr„ , /„+. < a j„+, , jrn+3 < a j„+. ,*

et, à fortiori y

/n+a <aV»iJn+3 <a5^„,

Donc

?» <J'n ( I +a + a* 4- a^ -h ),

ou

DE LA TRANSFORMATION DES FONCTIONS. 45

donc (fn converge indéfiniment vers zéro , en même
temps que jr» .
Dans le cas de a > i , on aurait

?« > rn ( ï + « + a' + a' + ) ;

et puisque le second membre de Tinégalité peut évi-
demment surpasser toute grandeur donnée, il en est de
même de (p„ .

On démontrerait de la même manière que la série^ ^
dont tous les termes, à partir d'un certain rang, sont
supposés de même signe, est convergente ou diver-
gente, selon que la racine

</'

converge vers une limite < ou > que i , pour des va-
leurs croissantes de n^ j-^ désignant la valeur arithmé-
tique du terme du rang n (').

27. La théorie des séries forme une branche de
Tarithmétique universelle ou de l'algèbre, non moins
importante que la théorie des équations , et qu'il faut
étudier dans les mémoires ou traités spéciaux. Nous ne
l'envisageons ici que dans ses points de contact avec la
théorie des fonctions , et nous terminerons par les ob-
servations suivantes.

De toiême que, dans le cours d'un calcul algébrique,
on opère souvent sur des quantités imaginaires pour
arriver plus brièvement à des relations entre des quan-
tités réelles, après que les signes d'imaginarité se sont
détruits les uns les autres , de même les analystes n*out
fait pendant longtemps aucune difficulté d'opérer sur
des séries divergentes , de manière à arriver finalement

(') Voyez, pour plus de dëveloppement, le Cours d'analyse al-
Çébnqae de M. Cauchy, l" partie, chap. vi.

46 LIVRE J. CHAPITRE II.

à des séries convergentes ou à des relations entre des
quantités exprimées sous forme finie. Mais on a été
amené ensuite à reconnaître que ce mode de procéder,
fondé seulement sur l'analogie et sur un sentiment vague
de la généralité de l'algèbre , peut induire en erreur ,
et on ne le regarde plus comme rigoureux.

Soit néanmoins F (.r, a) une fonction de la variable
X et d'un paramètre arbitraire a, qui se trouve expri-
mée au moyen d'une série dont le terme général est
^„(^, a), et que nous désignerons par 2. v„(j;,a), le
signe indiquant une somme de termes en nombre
infini. Supposons que cette série ne cesse d'être con-
vergente que pour certaines valeurs particulières du
paramètre a, par exemple poura = o : en posant oc = o
dans l'équation

¥{x, a) = 2 .1ir„(^,a),
on lui donnera la forme

équation inexacte, ou plutôt qui n'offre aucun sens pré-
cis, puisque, par hypothèse, S . ^„(j;) est une série
divergente. Il peut se faire toutefois que si l'on rem-
place, dans le cours de certaines opérations de calcul,
la fonction F (:i:, a) par son développement en série
S.^nC-^i «)> on arrive à des résultats indépendants de la
valeur du paramètre oc, et à des séries convergentes d'où
oc a disparu. Il est clair que l'emploi immédiat et transi-
toire de la série divergente 2 . ^j;„ (a;) à la place de
/(.r), dans le cours des mêmes opérations, conduira à
des résultats exacts.

CHAPITRE III.

THEORIE DES FONCTIONS DÉRIVÉES ET DES SOLUTIONS
DE CONTINUITÉ DES DIVERS ORDRES. — NOTIONS SUR
Ll THÉORIE DES FLUXIONS.

*

28. Étant données deux fonctions

OQ peul considérer une troisième fonction u qui dé-
pende d'une manière quelconque des fonctions /, Y [ i o],
Je manière qu'on ait

u= (p(jr, Y)=<p(/r, Fx).
Examinons en particulier le cas où l'on poserait

OU bien

r,r

Pour faire tout de suite l'hypothèse la plus générale,
OQpeut admettre que les fonctions^ F, mathématiques
ou empiriques, représentent les ordonnées de deux
courbes actuellement tracées , et par le moyen desquelles
il faut tracer la courbe qui a pour ordonnée u. Sur la
j^. 10, MN, PQ, RS sont censées être les courbes qui
Oflt respectivement pour ordonnées /, Y et w.

Lopération ne saurait offrir de difficultés tant que
les ordonnées /, Y, correspondantes à la même abscisse
h ont des valeurs finies, positives ou négatives, diffé-
•^tes de zéro. Si l'ordonnée^ devenait nulle, tandis

48 LIVRE r. CHAPITRE III.

que Y conserverait une valeur finie, Fordonnéee/ serait
nulle aussi. Ainsi, sur la figure, les courbes MN, RS
coupent Taxe des abscisses eii un même point A.

Si l'ordonnée Y s'évanouissait, sans que jr devînt
nulle, la fonction u éprouverait une solution de con-
tinuité en passant par l'infini. Menons par le point B
où la courbe PQ coupe l'axe des abscisses, une droite
GK parallèle aux ordonnées : cette droite sera une
asymptote commune aux deux branches RS , R'S' de la
courbe qui a pour ordonnée u.

Supposons maintenant qu'il arrive que les deux fonc-
ûoTïsfXy ¥x s'évanouissent à la fois, ou que les deux
courbes MN, PQ {Jig. ii), coupent en un même point
A l'axe des abscisses : l'expression de u se présentera
sous la forme 5, qui est en algèbre le symbole de l'in-
détermination, et l'on ne pourra pas calculer directe-
ment l'ordonnée AK de la courbe RS , correspondante
à l'abscisse OA. Cependant la courbe RS rencontre né-
cessairement la droite AKL, menée par le point A pa-
rallèlement aux ordonnées, à moins que, par un cas
singulier que nous pouvons d'abord écarter, elle n'ait
cette même droite pour asymptote. L'ordonnée AKL
a donc une valeur déterminée; et si l'on prend sur l'axe
des abscisses des points a\ d\ de plus en plus voisins
de A , on pourra déterminer sur la courbe RS des points
k ^ k" de plus en plus rapprochés de K, et des ordonnées
a' k\ a!' k" ^ de moins en moins différentes de AR. Ainsi
l'on conçoit , non-seulement qu'il existe une valeur dé-
terminée de AK , mais qu'on peut l'évaluer avec une
approximation indéfinie.

En pratique, cette approximation serait limitée par
l'imperfection inhérente aux procédés graphiques , si les

THÉORIE DES FONCTIONS OERIviKS. 49

fonctions f^ F n'étaient données que par le tracé des
courbes MN, PQ, et à plus forte raison si elles n'é-
taient données que par des tables où il n'entre qu'un
nombre limité de valeurs de la variable indépendante
et de ses fonctions; mais lorsqu'il s'agit de fonctions
mathématiques, on comprend la possibilité de détermi-
ner i^r/m la limite vers laquelle converge le rapport

p-, lorsque les deux termes du rapport convergent in-
définiment vers zéro. Nous donnerons, par la suite, des
méthodes générales pour déterminer cette limite, dont
il suffit, quant à présent , de concevoir l'existence, non-
seulement pour des fonctions mathématiques, mais pour
des fonctions continues quelconques.

Cette limite pourrait avoir pour valeur zéro, aussi
bien que toute autre valeur numérique, positive ou né-
gative; en d'autres termes, il n'est pas impossible que
la courbe RS coupe précisément l'axe des abscisses au
point A qui est le point commun d'intersection de cet
axe et des deux courbes MN , PQ. Nous avons déjà ré-
torqué que, par un cas également exceptionnel, la
droite AKL pourrait être une asymptote de la courbe
BS; ce qui revient à dire que la limite en question au-
rait pour valeur l'infini positif ou négatif. Il n'en doit
résulter aucune restriction dans nos énoncés, car on
^t habitué, en mathématiques, à regarder zéro et l'in-
hi comme des valeurs particulières qui peuvent, aussi
tien que toute autre , être attribuées à des quantités
variables, et par conséquent aux limites vers lesquelles
ces quantités convergent.

29. Maintenant, envisageons plus spécialement le cas
oîi Fon ferait f^

X
T. I. A

50 LIVRE I. CHAPÏTÉE III.

et supposons que la courbe j-^^ passe par l'origine
des coordonnées, de manière qu'on ait à la fois j:=:o,
fjc=. o. Soit MN cette courbe ( fig. 12), et menons par
le point O la tangente Ot : la tangente trigonométrique
de l'angle que la droite OT forme avec le demi-axe OX
sera précisément la limite dont nous venons de recon-
tiaitre Texistence, et vers laquelle converge le rapport

•— ^quand x eijx prennent des valeurs numériques de

.X

plus en plus petites. En effet, la tangente à une courbe
quelconque est la droite dont la courbe s'écarte , dans
le voisinage immédiat du point de contact, moins que
de toute autre droite menée par le même point : ce qui
équivaut à dire que la tangente est la droite dont s'ap-
proche indéfiniment, dans son mouvement de rotation ,
une sécante menée par le point de contact, quand le
second point d'intersection de la sécante et de la courbe
se rapproche indéfiniment du premier; puisque, si rap-
proché que le point m soit de O, on pourra assigner un
point \L compris entre m et O, et dont la distance à la
sécante Ont sera plus grande que fa distance aux sé-
cantes qui passent par le point O et par des points de
la courbe compris entre f?2 et (t. Donc, la propriété
énoncée dans la première définition ne peut appartenir
à aucune des sécantes, et appartient à la droite dont les
sécantes se rapprochent indéfiniment, par le rapproche-
ment indéfini des points m etO.

Or, dans un système de coordonnées rectangulaires,

^ fx mp

X X O/?
est la tangente trigonométrique de l'angle que fait avec
l'axe des abscisses la sécante Oa^, menée parle point

THioUlE D2S FONCTfONS DÉRIVÉES. 51

fx

dont Tabsclsse Op= x: donc la limite du rapport ^^^ —

est la tangente trîgonométrique de l'angle TOX^ formé
par la tangente et par Taxe.

Imaginons à présent que la courbe MN (^^. i3),
dont 1 équation est toujours^ =:/i:, se trouve située
d'une manière quelconque dans le plan des coordon-
nées : soient m, w,, deux points de cette courbe qui
ont respectivement pour abscisses Op = x , 0>p, = x^ :

la limite vers laquelle convergera le rapport

fx,—fx

'~Z T" ^

x^ — X

quand les deux termes du rapport convergeront simulta-
nément vers zéro, sera^ d'après ce qui précède, la va-
leur de la tangente trigonométrique de langle/nTX,
que la droite m T, tangente à la courbe en m , forme
avec l'axe des abscisses, du coté des x positifs. Cette
limite variera, en général, d'un point à l'autre de la
courbe MN : ce sera une fonction de x qui dérive de
la fonction fx , en ce sens que celle-ci détermine im-
plicitement l'autre, de même que le tracé d'une courbe
détermine la direction de la tangente en chaque point. .
Comme ce mode de dérivation a sans comparaison plus
d'importance que tout autre, Lagrange a proposé d'ap-
peler simplement la fonction dont il s'agit, la dérivée
de fxy et de la désigner par l'une des notations

qui rappellent la liaison de y' avec ^ ou de^ avec f.

Concevons que l'on ait tracé la courbe M'N' {fig- i4)
dont l'équation en j' -ranf x ; la tangente trigonomé-
trique de l'angle que la tangente menée par un point
de cette courbe forme avec l'axe des x^ sera une autre
fonction de Xy qui dérive de f[, de la même manière

4.

52 LIVRE f. — CHAPITRE UI.

que y dérive Aef. On l'appelle, en conséquence, la dé-
riifée du second ordre ou la seconde dérivée àefx; et,
suivant Fanalogie, on la désigne par Tun des symboles

On formerait de même des dérivées du troisième , du
quatrième,. ... du /i® ordre, dont les relations avec la
foïictiovi primitwe j =zfx y et avec toutes les dérivées
intermédiaires, seraient très-simplement exprimées au
moyen des notations

y " . r ^ /"^

r'x, f-x,.. ...... j»x.

30. Quand la fonction dérivée /'.r est positive, ou
quand la tangente à la courbe y ^=^fa forme un angle
aigu avec l'axe des abscisses Xy du coté des x positifs ,
la fonction primitive^ est évidemment, croissante avec
X : au contraire, la fonction j- est décroissante pour
des valeurs croissantes de x, quand les valeurs de x
rendent y .r négative. Nous pouvons donner une forme
plus simple au même énoncé , en disant que les varia-
tions de jr sont de même signe que les variations de jr
ou de signe contraire, selon que la dérivée est positive
ou négative; et alors nous considérerons l'accroissement
comme une variation positive, le décroissement comme
une variation négative. Plus ordinairement, les analystes
emploient les mots ^accroissement ou ^incrément
comme synonymes exacts de celui de variation; et
alors il est sous-entendu que les accroissements ou incré-
ments peuvent avoir des valeurs positives ou négatives.

Lorsque /'a; s'évanouit,, en passant du positif au né-
gatif,^ passe par une valeur maximum [6]; et au con-
traire, la fonction primitive, passe par un minimum,
quand la fonction dérivée devient nulle en passant du

th^ohiï: i>bs fonctions i>:éRiv^Es. 53

négatif au positif. On voit déjà ,' d'après cet énoncé,
comment la détermination des valeurs de la variable in-
dépendante qui font passer une fonction par un m/ixU
mumon par un minimum^ se ramène à la détermination
des valeurs qui font évanouir sa fonction dérivée : ques-
tion importante, à laquelle on donnera plus tard les
développements convenables. Lai fonction dérivée pour-
rait changer de signe en passant , non plus par zéro ;
mais par l'infini ; et alors on aurait ces maxima ou
ïïàmrui singuliers, dont il à aussi été question dans le
numéro cité.

Non-seulement le signe de la dérivée /'a: iait con-
naître si la fonction /ir éprouve un accroissement ou un
décroissement pour des valeurs croissantes de ^r, mais
encore la valeur absolue de f x mesure la rapidité de
l'accrdissement ou du décroissement Aefx. Bien que le
terme de rapidité ne s'applique, dans le sens propre,
qu'au phénomène du mouvement, chacun comprend
l'acception extensive que nous lui donnons ici ; et si l'on
disait, par exemple, que la température de l'atmosphère
wie plus rapidement près de la surface de la terre que
dans les hautes régions, le sens de cette phrase serait clair
pour tout le monde, quoique ni l'idée de mouvement, ni
celle de temps n'entrent daqs la notion qu'il s'agit d'ex-
primer. Au reste, \\ est facile de définir mathématiquement
'idée que l'on se fait de la rapidité avec laquelle une fonc-
tion varie. D'abord, si /'.r était une quantité constante^ ce
qui suppose manifestement que fx est une fonction li-
néaire de la forme ojc + b,fx varierait uniformément
avec Xy en ce sens qu'à des variations égales de x cor-
respondraient des variations égales de fx, de même signe
îue celles de x ou de signe contraire,, selon que saurait
'«signe positif ou négatif. Dans ce cas, la dérivée /'.r n'é-

54 LIVRE I. -^ CHAPITRE III.

taot autre chose que la constante a^ ou que la tangente
trigonométrique de l'angle que la droite y 1=. ax +6
forme avec les x positifs , et les variations de fx qui
correspondent à des variations égales de x se trouvant
proportionnelles au nombre a, ce nombre mesure évi-
demment la rapidité avec laquelle /r varie, toujours
par coniparaison avec la variable x qui est censée va-
rier d'une manière uniforme. Ijorsque^=:/ir cesse de
désigner une fonction linéaire ou l'ordonnée d'une ligne
droite, à des variations égales de x cessent de correspond
dre des variations égales de y. Cela posé, concevons que
l'on prenne sur la courbe MN {fig' i5) dont l'équation

estjK=/x', des points w, m,, /w^, m^, très- voisins

les uns des autres, et que l'on substitue pour un mo*
ment à la courbe MN le polygone mm^ m, m^ : For-
donnée variera avec des rapidités inégales d'un côté à
l'autre de ce polygone; et en un point tel que /w, on
devra, d'après ce qui précède, prendre pour mesure de
la rapidité de la variation , la tangente trigonométrique
de l'angle m^ mx que la sécante mni^ fait avec l'axe des
abscisses ou avec une parallèle à cet axe, du côté des
abscisses positives. Or, la courbe MN est la limite dont
s'approche indéfiniment la ligne polygonale , quand les
points ....m, m,, /72,, m,,.... sont pris de plus en plus
voisins : donc la dérivée f'x ou tang TmXy qui est la
limite dont s'approche indéfiniment tang mjnx, mesure
la rapidité de la variation de l'ordonnée fx correspon-
dant à l'abscisse Xy toujours, bien entendu, par compa-
raison avec.r, qui est censé varier partout uniformément.
Prenons, pour plus de simplicité, l'origine arbitraire
de la grandeur^, de manière que j reste positif dans
toute la portion de la courbe y"=^fx que l'on veut

THJÉORIE DKS ^OHCTIOITS DRIVÉES. 55

considérer. Cette courbe MN tournera sa convexité {fig,
i6) ou sa concavité (^^. l'y) vçrs l'axe des abscisses,
selon que la fonctionna: ira en croissant ou en décroissant,
ouseloii quey'x prendra une valeur positive ou négative.
Il y aura inversion dans le sens de la courbure ou ifi'-
flexion dans la courbe {Jig. i8), lorsque /"^ changera
désigne; et dans ce cas la première dérivéey^.r passera
en général par un maximum ou par un minimum.
Ainsi, sur la figure, l'angle que la tangente mï forme
avec l'axe des abscisses, du coté des x positifs, après
avoir été en croissant de M en m ^ point où la courbe
MN subit une inflexion, va en décroissant de m en N.
31. Lorsque l'on donne la fonction dérivée y' x^ on
ne détermine pas complètement par cela seul la fonction
primitive fx^ de la même manière qu'on détermine la
première dérivée , et par suite les dérivées de tous les
ordres, en donnant la fonction primitive. Effectivement,
si l'on conçoit que la courbe MN (/?^. 19), dont l'é-
([ualion est^rzz/jc, soit successivement transportée en
M,N,,M, N, , etc., de façon que toutes les ordonnées
de la première courbe se trouvent augmentées d'une
longueur constante, les tangentes m T, m^ T,, m^ T,,
<!(c., seront parallèles; et, par conséquent, la déri-
vée y==/\r sera commune à toutes les courbes qui ont
pour équation jK=:ya: + C , C désignant une constante
quelconque, que l'on appelle pour cette raison coas-
se arbitraire. Soit donc / une fonction inconnue
de x, qui doit avoir pour première dérivée une fonc-
tion connue y z^izj'x y et , soit/ .r une fonction qui a
pour dérivée f'x : on posera

J- —/^ + C ,
et il faudra déterminer 1^ constante arbitraire G par

56 LIVBE I. CHAPITRE III.

une autre condition; au moyen, par exemple, de la
condition que la courbe MN passe par un point donné
{^o9/o)j OU que la fonction prenne une valeur jKo pour
une valeur donnée de x désignée par jc^. Il résulte
en effet de cette condition

et par suite

équation d'où la constante arbitraire C se trouve élimi-
née, el où il n'entre que des quantités connues.

32. Une fonction périodique a pour ses dérivées de
tous les ordres des fonctions périodiques. Une fonction
paire a pour sa première dérivée et pour toutes ses déri-
vées d'ordre impair des fonctions impaires, tandis que
sa seconde dérivée et toutes ses dérivées d'ordre pair
sonbdes fonctions paires. L'inverse a lieu pour les fonc-
tions primitives impaires. La vérité de ces diverses pro-
positions ressort de la simple intuition des courbes , et
elles s'appliquent à dés fonctions quelconques , mathé-
matiques ou empiriques.

33. De même que nous avons défini géométrique-
ment le passage de la fonction primitive à sa dérivée ,
nous pouvons donner une signification géométrique à
l'opération par laquelle on remonte d'une équation dé-
rivée à sa fonction primitive. Soit en effet ]Vf N' {^fig^ 20)
la courbe qui a pour équation

et proposons^nous d'évaluer l'aire trapézoïdale comprise
entre l'axe des abscisses , la courbe M' N' et deux or-
données m^poiTnp ^ dont l'une correspond à l'abscisse
déterminée 0/?o= ^o, et l'autre à l'abscisse variable Op
=z X. Cette aire est une fonction de la variable x que

THJÉORIIS DES FONCTIOIYS DERIVEES. 57

Doas désignerons provisoirement par 9 x. Si x augmente
et prend la valeur 0/?,=a:,, Taire augmente du trapèze
curviligne mpp^ m^ , et Ion a

car, — f^x 2Î\remp p^ m^ ^

x^—x pp^

en sorte que la dérivée de la fonction f est la limite
vers laquelle converge le rapport du trapèze curviligne
m pp^m^h son côté/y?,, quand /y?, converge indéfiniment
vers zéro. Mais l'aire de ce trapèze est comprise entre
celle du rectangle mpp^ n^ et celle du rectangle /7/i /w,/>,;
et le rapport des aires de ces deux rectangles , qui est
mp
rn, p^ '
converge indéfiniment vers l'unité, quand pp^ converge
indéfiniment vers zéro. Donc aussi le rapport de l'aire
d'un de ces rectangles à celle du trapèze intermédiaire
converge indéfiniment vers l'unité , et Ton peut écrire

,. aire mpp^ m^ mp x ppr ^

hm. tJ. = — :£ £-i__-.;^p-- f j^^

PP] ^ , ^ PPr , ,
Donc la fonction désignée provisoirement par ç x sa-

tisfeit à la condition d'avoir f x pour dérivée : donc
c'est une des fonctions primitives de fx comprises dans
la formule /r+C , C désignant une constante arbitraire;
et comme elle doit s'évanouir quand on y fait x=.ro ,
puisque l'on mesiu'e les aires à partir de l'ordonnée fixe
/«o/'o, il s'ensuit que cette fonction est complètement
déterminée, et égale à fx — -fx^.

Pour cette raison on donne communément le nom
de quadrature à toute opération par laquelle on déter-
mine une fonction, en l'assujettissant à la double con-
dition d'avoir pour dérivée une fonction donnée, et de
prendre une valeur numérique déterminée, pour une
valeur particulière de la variable dont elle dépend.

58 LIVRE I. -^ cmA.piTa^ nu

Si l'on divi3e en n parties égales VinleryàU^poP {fig- ^0»
et qu'on mène les ordonnées équidistante^ ^,P,'» '^nPtP
etc., on a, en désignant par a>, «d^, les aires des rec-f
tangles/?o/?,/w,/'o, /?,/>,, //^"^,, et par e l'intervalle

PoP

constant /^o 27 =:^--i-,

m^p^ +rn^^p^^ -¥ etc. a> + <»«»/ -H etc. .

o'est-à-dire que la moyenne arithmétique des ordonnées
m^p^^ m^^p,^^ etc., égale la somme des aires w,, w, etc.,
.divisée par la \\^nepoP=x — Xo. Mais , quand le nombre
n devient de plus en plus grand, l'intervalle 8 décrois-
sant en raison inverse, afin que le produit /2 6 reste cons-
tant, la somme des aires o, c»^, etc., converge indéfini-
ment vers une limite qui est l'aire trapézoïdale mo/'o/'^Tii^
Donc le rapport de cette aire à l'intervalle /^o/' 9 ou bien
le rapport

Jx—fx,

X — — ■ .ZTq

exprime Id moyenne de toutes les valeurs , en nombre
infini, que prend la fonction dérivée /^j:, pour les valeurs,
aussi en nombre infini, de la variable indépendante, com<-
prises entre Xo et x.

Pour la généralité de cette règle, et de toutes celles
qui se rattachent à la théorie des quadratures , il faut
considiérer comme négatives les aii«s telles que qs^q\
limitées par des ordonnées négatives.

34. On conclut facilement de ce qui précède, qu« ù
une fonction / était- donnée par la condition d'avoir
pour dérivée du n^ ordre une fonction connue

THiOBIE DES FONCTIONS D^ftlviES. 59

il fiiudraii en outre, pour déterminer complëtement Xf
assigner explicitement ou implicitement les valeurs

(n-i)

>

que prennent les fonctions

pour une valeur déterminée de Xy telle que Xp. Soit en
effet M^"^N^"^ (/f^. aa) la courbe donnée par l'équa-
tion (^n)* '^ tracé de cette courbe détermine en fonc-
tion de Fabscisse variable 0/>=x l'aire trapézoïdale
m^p. pm , et détermine par conséquent la courbe dont
l'équation est

pourvu qu'on assigne /^'^'^oTo, ou la valeur de^"~'^
correspondant à or =: Xp. La courbe (a,^,) étant tracée
détermine par la même raison celle qui a pour ordonnée

pourvu qu'on assigne l'ordonnéey^""*^ Xp , et ainsi de
suite.

35. On a supposé tacitement dans ce qui précède^ que
l'ordonnée y.r ne devient point infinie entre les limites
de la quadrature. Il pourrait se faire néanmoins que les
raisonnements et les constructions fussent encore apptt-
cablesy même lorsque la fonction /'or prendrait entre les
limites de la quadrature une valeur infinie. Soit en effet

l'équation d'une courbe MBN (fig. u3) qui a un re-
broussement en R [6] , l'ordonnée PB étant tangente auB:
deux arcs MR , RN : la courbe M'N' , dont l'ordonnée
est la dérivée /'a:, aura pour asymptote la droite FR'
menée parallèlement à OY' par le point P' dont l'abscisse
OP=£)P. Dans ce cas, il résulte de la définition même
delà courbe M^N^, que l'aire comprise entre une ordon-
née fixe mlopo 7 l'asymptote P'R', l'axe des x et la courbe

60 LIVRE 1. CHAPITRE ÎH.

M', a une valeur finie , numériquement égale à la diffé-
rence des ordonnées PR,/?t/Wo' En d'autres termes, il i
arrive en pareil cas que Taire trapézoïdale m!^p\p'm \
converge vers la valeur finie PR — m^p^ , quand le point
p' se rapproche de plus en plus du point F'. Alors rien
ne s'oppose à ce que l'ordonnée de la courbe MRN soit
censée déterminée par une quadrature , au delà comme
en deçà de l'ordonnée PR. La même observation s'ap-
plique à la courbe MRN (Jig. a4), qui est touchée au
point R par l'ordonnée PR, et qui subit une inflexion
en ce point.

Au contraire, si l'aire limitée d'une part par lordon-
uée /7i'o/?'o {fig^ ^3), de l'autre par l'asymptote P'R', était
infinie, ou si l'aire trapézoïdale /n'o/^'o/^'^^' convergeait
vers l'infini, quand le point/?' se rapproche de plus en
plus du point P, l'ordonnée PR serait aussi une asymp-
tote de la courbe M qui éprouverait une solution de con-
tinuité; et l'on ne pourrait plus passer, par la continua-
tion de la même quadrature, de la branche M à la
branche N.

Nous conclurons de ces remarques que, quand une
fonction éprouve une solution de continuité en passant
par l'infini, sa première dérivée, et par suite ses déri-
vées ultérieures de tous les ordres , éprouvent la même
solution de continuité ; mais que l'inverse n'a pas géné-
ralement lieu, une fonction pouvant devenir infinie sans
que la fonction primitive dont elle dérive devienne infi-
nie , pour la même valeur de la variable indépendante.

36. Une fonction quelconque y=fx étant représen-
tée par l'ordonnée de là courbe MRN {fig- a5), cette
courbe peut être continue ( en ce sens que l'ordonnée
reste finie , sans passer brusquement d'une valeur finie
à une autre ), et offrir au point R ce que dans les arts

THÉORIE DES FONCTIONS DÉRIVÉES. 61

graphiques on appelle un yarre^; c'est-à-dire que la tan-
gente, après avoir varié d'inclinaison d'une manière
continue de M en R , passe brusquement de la direction
FRT à la direction SRS', pour varier ensuite d'incli-
naison , sans discontinuité , de K en N. Nous dirons
qu'en pareil cas la ligne MRN a un point saillant en R»
La courbe dont l'ordonnée est la fonction dérivée ^z=
/réprouve une rupture, et cette fonction dérivée elle-
même subit une solution de continuité résultant du pas**
sage brusque d'une valeur finie à une autre, pour la
valeur de ûc qui est l'abscisse du point saillant de la
courbe j^=/i:. Les dérivées de /r, des ordres supérieurs ,
éprouvent toutes en général, pour la même valeur de .r,
la solution de continuité qui consiste dans le passage
brusque d'une valeur finie à une autre.

Dans ce cas, aussi bien que dans celui o\\ f*x devient
infinie, fx restant finie, nous dirons que la fonction
fx^ et toutes les dérivées subséquentes, éprouvent une
solution de continuité du premier ordre ^ et que la fonc-
tion primitive /r éprouve une solution de continuité du
second ordre.

La fonction^^ pourrait elle-même n'éprouver qu'une
solution de continuité du second ordre; celle de la se-
conde dérivée /"x et des dérivées subséquentes étant du
premier ordre ; et alors nous dirions que la fonction
primitive fx subit une solution de continuité du troU
sième ordre. En général, on dira qu'une fonction éprouve
une solution de continuité du n"" ordre, lorsque sa dé-
rivée, du {n — i)® ordre, et, par suite, les dérivées
d'ordres plus élevés, éprouvent une solution de conti-
nuité du premier ordre, résultant, soit du passage de
ces fonctions par l'infini, soit de leur passage brusque
d'une valeur finie à une autre.

63 LiVaE I. — CHAPITRE III.

37. La distinctiou des solutions de continuité des di-
vers ordres, telle qu'on vient de l'établir, est d'une grande
importance dans la théorie des fonctions, soit qu'on
l'applique à l'algèbre, à la géométrie ou aux questions de
physique mathématique. Jusqu'à ces derniers temps,
les analystes entendaient , et l'on entend communément
encore par fonctions discontinues celles qui s'expriment,
dans diverses portions de leurxours^ par des formules
algébriques différentes. Effectivement, il sera prouvé
plus loin que toute fonction^ égale à la fonction algé-
brique/'.r^ pour les valeurs de ^ plus petites que x ,
et à la fonction également algébrique f^x, pour les
valeurs de x plus grandes que Xo^ éprouve, pour
l'abscisse .r=Xo, une solution de continuité d'un ordre
déterminé ; ou que ces .fonctions, à moins d'être identi-
ques, ne peuvent satisfaire à la série d'équations

/ro=/^o,/^o=/.^o,/'^o=.A^o, etc.
prolongée à l'infini ; en sorte que si la dernière des
équations de cette série à laquelle on peut satisfaire, est

la fonction^ éprouvera, pour l'abscisse x^^ une solution
de continuité de l'ordre /i + 2.

Cette proposition cesserait d'être exacte si les fonc-
tions yj fi n'étaient pas des fonctions algébriques, expli-
cites ou implicites. Nous verrons, en effet, sur des exem-
ples, qu'une fonction peut recevoir dans diverses portions
de son cours, des expressions transcendantes de formes
essentiellement différentes, sans qu'il y ait de solution
de continuité d'un ordre quelconque, correspondant au
passage d'une forme à l'autre.

Nous verrons aussi qu'une même expression transcen-
dante peut équivaloir à une certaine fonction algébrique
fx pour les valeurs de .r < ^o > et à une autre fonction

THéORIfi 0B8 FOirCTIOirâ tfÉklVÉES. 63

algébrique y^x, distinq^te de la première, pour lés va^
leurs de JT > a?^. Ainsi une série convergente, qui est une
expression transcendante, peut avoir successivement pour
somme les fonctions algébriques distinctes y.t: et f^x.

Dans toiis les cas , leâ caractères essentiels des solu*
tions de continuité sont ceux que nous avons donnés
dans le numéro précédent, sans égard à la circonstance
accessoire que la fonction puisse ou non s'exprimer ma*
thématiquement , sous forme algébrique ou transcen»
dante, dans la totalité ou dans une portion de son
cours.

38. Nous avons dit [4] que les fonctions qui repré-
sentent des grandeurs physiques et mesurables ne peu^
nent devenir infinies, mais qu'il y en a parmi elles qui
sont susceptibles d'éprouver J[es solutions de^.cpntinuité
coosrstaht dans œ^passage brusque d'une valeur finie à
une autre, au moins sous le point de vue où nous nous
trouvoDs placés pour observer les phénomènes matériels
et pour les soumettre au calcul. Ceci se rattache aux no*^
tiens sur les limites et sur les fonctions dérivées qui
font l'objet du présent chapitre. Admettons , pour fixer
les idéeS) que ^ désigne la densité d'un cylindre ABGD
[fig. 26), supposée la même dans toute l'étendue d'une
section perpendiculaire à l'axe OX , et variable d'une
section à l'autre. La distance Op de la base du cylindre
à la section mn^ pour laquelle la densité a la valeur^,
étant représentée par Xyj- deviendra une fonction dex;
mais comme la notion de densité n'est pas applicable
en soi à une surface mathématique, il faudra, pour dé-
finir rigoureusement la grandeur^, imaginer un plan
^t fil parallèle à mn, et qui peut s'en rapprocher indé-
finiment, tandis que mn reste fixe. La masse de la tranche
^n, rtin, divisée par son volume, donnera un quotient

.A y

64 LIVRE 1. GHA.PITRE III.

variable avec la distance ppx = x, — x. Ce quotient
convergera vers une certaine limite quand x^ — x
convergera indéfiniment vers zéro; et la limite du
quotient sera précisément la fonction de x que nous
pi'enons pour mesure de la densité du cylindre dans
rétendue de la section /n/i. On appliquerait ce que nous
venons de dire au sujet de la mesure de la densité , à la
mesure de la température et généralement de toutes les
grandeurs qui ne peuvent être conçues qu'à la faveur de
cette explication comme des fonctions des coordonnées
d'un point, d'une ligne ou d'une surface mathématiques.

En général^ la limite qui mesure la fonction y ne
changera pas, soit qu'on mène le plan rrixTix en avant
ou en arrière du plan mn ; mais, pour certaines valeurs
particulières de x^ la limite pourra être différente dans
les deux cas; et alors, la fonction j* éprouvera la solu-
tion de continuité de premier ordre qui consiste dans le
passage brusque d'une valeur finie à une autre. Elle
pourrait aussi éprouver une solution de continuité du
second, du troisième ordre, et ainsi à l'infini.

Si l'on détermine la fonction y en menant deux plans
parallèles mji^ , mV, l'un en avant, l'autre en arrière
du plan mriy et en cherchant la limite vers laquelle
converge le rapport de la masse mxrixm'ri à son volume
quand les deux plans mjixj niri se rapprochent indéfi-
niment de miiy en général la fonction y sera encore la
même ; mais, pour la valeur de x qui fait éprouver à la
fonction une solution de continuité du premier ordre ,
la valeur de la limite, calculée dans la seconde hypo-
thèse , sera la demi-somme des deux valeurs distinctes
correspondant à cette valeur de x^ dans la première
hypothèse.

THEORIE DES FONCTIONS oiRIYEES. 65

39. Supposons qu'on ait identiquement

fx = ç j: -f- \x -f- ^^30 4- etc. ,

OQ aura aussi , quelles que soient les abscisses x^^l x ^

fx.—fx ça:, — ffx ifX^ — i(X xix^ — xAx

— - *Hp ^ "i " "T* etc» \

et par conséquent , en faisant converger la différence
r, — :r vers zéro , et prenant les limites de tous les
rapports ,

f X tzzff X + if' X -{^ xi' X + etc.
Donc la dérivée d'une somme (algébrique) de fonctions
esl la somme (algébrique) de leurs fonctions dérivées*

La dérivée du produit de deux fonctions est la somme
des produits qu'on obtient en multipliant chacune des
fonctions par la dérivée de l'autre. Soit^ en effet,

fxt± <fx . fr;
ooaura identiquement

^^.ifx^ — (fX. i(X^=> (çXx — f^)i(X + {i/X^-^i(X)ffX
4- (?^. — çx) {ifx, — i(X) ,

QOÙ

fx.—fa^ (fx^—(jfx i/x^ — ifx

-^^— = ^— • ijx -f- "-^ : 9X

Si Ion fait maintenant converger x^ — x vers zéro et
(|u on passe aux limites , il viendra

f X'=- (^'x . i(X + i(X . (fX ; {b)
car, dans l'hypothèse où <fx et '^x n'éprouvent pas de!
solution de continuité du premier ou du second ordre ,
'e facteur ^x, — ^x converge vers zéro en même temps
l^e t, ^ a: , et le facteur

<fXt — <fX

.r, — X

T. I. 5

66 LIVRE ï. CHAPITRE III.

convergeant vers la limite finie (f'x , le terme

a pour limite zéro.

On peut mettre l'équation (b) sous la forme plus
symétrique

fx ç.r ^x '

et il est aisé d'en conclure que si l'on avait

fx:n<fx . ^x . xix ,

la dérivée/"' serait donnée par la formule

fx (DX ^'x xS!x

V- = ^ + T- + "7- + etc.

Jx (^x ^x tir

Inversement, si nous posons

^^ — ^'x ' ^^ ^"^ —^^ • ^^'
on tirera de la règle précédente

<f'x ^^x \'x
^x jx i(X '

et par suite, en remettant pour/r sa valeur,

•^^= {}[^- W

La constante a peut être regardée comme une fonc-
tion dont la dérivée est nulle : si donc on pose succes-
sivement

yz=ia 4- fifx,jr—a . i^x^jr — — ,
on aura , en vertu des règles précédemment démontrées,

Toutes les fonctions qui ne différent que par l'addi-
tion d'une constante arbitraire a ont donc la même

THEORIE DES EOBTCTfONS DÉRIVÉES. 67

dérivée, principe fondamental et déjà établi [3i].
40. Supposons que l'on ait à la fois

et que •

soit l'expression de ^ en fonction immédiate de t, telle
qu'on la tirerait de l'élimination de JC entre les deux
premières équations, si l'élimination était possible. Dési-
{[oons par^,, Xj, ti; y, Xy t deux systèmes de valeurs
correspondantes pour ces trois variables : on aura évi-
demment, en vertu de la correspondance admise,

t^ t X^ X t^ t '*

et, en passant aux limites,

\'t=.px . ^t.
Cette équation exprime le principe fondamental de la
dérivation des fonctions médiates , ou des fonctions de
fonctions. On le généralisera sans difficulté; et, par
exemple , si l'on pose

y=.fx^ X -=. f^Uy U'=^'tàty
de manière que

y = ^t
soit l'expression de^ en fonction immédiate de^, telle
i[u'oQ la déduirait de l'élimination des fonctions inter-
médiaires a; et a , on trouvera , en opérant comme ci-

41. Réciproquement, on peut considérer les variables
J^et j comme déterminées immédiatement en fonctions
d'une troisième variable t par les équations

de manière que

68 LIVRK I. — CHAPITRE III.

soit l'équatioa qui se déduit des précédentes par Téli-
mination de /. On a d'abord , d'après ce qui vient d'être
démontré ,

Désignons , comme à l'ordinaire, par^ la dérivée
f'x^ et soit, pour plus de commodité ,

on aura entre les variables x yy\ t^ les trois équations

d'où l'on tire^ en appliquant toujours la règle de la
dérivation des fonctions médiates ,

Mais, d'après la formule (c), on a

donc

•^^= (7F)5 — > w

et en continuant ainsi, on exprimerait les dérivées de
tous les ordres de la fonction/^ au moyen des dérivées
des fonctions 9 et i{/ .

Considérons plus particulièrement le cas oii l'on au-
rait tj;^=^, et par suite

l'élimination de t s'opérera immédiatement , et Ton aura
à la fois

c'est-à-dire que <p désignera la fonction ins^erse de /,
ou celle que l'on obtiendrait en résolvant par rapport
à j^^- l'équation j^ = /*.r. Pour exprimer les dérivées de

THEORIE DES FONCTIONS DIÉKIVÉES. 69

la fonction /*, au moyen des dérivées de la fonction in-
verse f , il suffira donc de remplacer dans les formules
précédentes t par^, puis de faire ^y^=^ i, ^'^=0, etc. ;
au moyen de quoi il viendra :

fx^A-, f'x = ^j4^r , etc. (e)

La première des formules (e) aurait pu se tirer directe-
ment d'une considération bien simple. En effet, puisque,
d'après Thypothèse, les deux équationsj-=^, xz^zfj-
sont identiques et représentent la même courbe, y^r et
9}* expriment respectivement, dans un système de coor-
données rectangulaires, les tangentes trigonométriques
des angles que la tangente à cette courbe au point (x^)
foraie avec les axes des x et des j-; et ces deux angles
étant complémentaires, on a/^.r. çV= '•

'Notions sur la théorie des fluxions.

42. On a vu [3o] que la fonction dérivée y '=^fx
mesure la rapidité avec laquelle varie, relativement à Xy
la fonction primitive^ ==^; et nous avons expliqué ce
qu'il faut entendre par cette rapidité relative. Mais si la
variable t désigne le temps compté d'une origine quel,
conque, et si les grandeurs Xj jr sont considérées comme
variant avec le temps , en vertu des équations

x=(ft, jr=i(t,
les dérivées çV, i('t mesureront la rapidité des variations
dex et àe y y non plus' dans un sens relatif, mais dans
un sens absolu : car le temps ainsi compté est la varia-
ble essentiellement indépendante qui , par sa nature ,
varie ou s'écoule toujours uniformément. En rapportant
ainsi la variation des grandeurs à l'écoulement du temps,
Newton donne le nom de ^Zw^w/é^j* aux grandeurs .r,^*,....

70 LIVM I. — CHAPITRE III.

qui sont censées varier avec le temps, et le nom de

fluxions aux. dérivées (p7, ^'f, qui varient elles-mêmes

en général avec le temps, et qui mesurent en chaque
instant les vitesses de variation des quantités fluentes.
Sa notation consiste à marquer d'un point la quantité
fluente pour indiquer la fluxion correspondante. Ainsi
x^ jr désignent les fluxions de x^ y ou les dérivées çV,

^i. De même .x-, y ; Xy y correspondent à <p'Y, ^'t;
<p"7, tj;"V; et désignent des fluxions de fluxions, ou des
fluxions du second, du troisième ordre, et ainsi de suite.

On peut, avec Newton, prendre pour type des quan-
tités fluentes la distance x d'un point fixe O [fig- 2-^)
à un point m en mouvement sur la droite indéfinie OX.
La fluxion x sera la vitesse même du point mobile ,
pour l'instant que l'on considère : le mot de vitesse
étant pris ici dans son acception primitive, qui est aussi
la plus usitée. Mais ou pourrait choisir tout autre exem-
ple sans nuire à la clarté des idées. Ainsi, quand un
corps échauffe se refroidit, on conçoit que la température
de sa surface est une grandeur qui varie avec le temps,
et qui, en général, ne doit pas varier uniformément, de
manière que des pertes égales de température aient lieu
dans des temps égaux. On se fait de la vitesse variable
du refroidissement une idée aussi directe et aussi claire
que de la vitesse variable d'un point mobile.

La conception de Newton s'étend d'ailleurs à des gran-
deurs quelconques, en ce sens que l'on peut toujours
définir ejt exprimer^ au moyen des fluxions, les fonctions
que nous avons qualifiées jusqu'ici de dérivées, et dont
les relations avec les fonctions primitives sont l'objet
essentiel de la théorie qui nous occupe. En effet, soit

NOTIONS SUR LA THEORIE DES FLUXIONS. 71

Y^-fx une fonction quelconque de x, on aura, d'après
les formules du numéro précédent, pourvu que Xj y dé-
signent des grandeurs variables avec le temps ^

J X zrz.T ^ J X = : 9 etc.

X x^

Maintenant, si Xy j ne sont pas des fonctions du
temps, il y aura une de ces grandeurs dont les variations
ne seront subordonnées à celles d'aucune autre , et que
Ton pourra traiter comme une variable indépendante ;
ou bien on les considérera toutes deux comme étant,
médiatement ou immédiatement, des fonctions çw, ^u
d'une autre variable u que l'on prendra pour variable
indépendante. Or, la variation de u étant réputée uni-
forme, comme l'est celle de t par l'essence de cette
grandeur, rien n'empêchera d'imaginer que u varie
avec t y et, en poursuivant cette fiction, de prendre u
pour mesure de t; c'est-à-dire, d'identifier les fonctions
c'a, ^*u avec çV, ij/V ou avec les fluxions .r, jr.

Si X est pris pour variable indépendante, on aura

., ,.

x=L\ ^ x=zo, x=x>, etc., et alors, les fluxions j-,^, 7V<.

deviendront identiques avec les dérivées fx, fx^fx,...

ou bien avec ^yj", j'^ La notation de Lagrange

ne différera plus de celle de Newton que par la substi-
tution insignifiante des accents aux points.

On a reproché à Newton de faire intervenir, sans né-
cessité, dans ce mode d'exposition, la notion du temps
et celle du mouvement. Le reproche peut être fondé ,
quant à la notion du mouvement, à laqi^elle rien n'oblige,
en effet, de recourir; mais on devait remarquer que la
notion du temps intervient ici par la nature des choses ,
en raison de ce que le temps est la seule variable essen-

72 LIVHE I. CHAPITRE IH.

liellement indépendante, et la seule dont la variatio»
soit essentiellement uniforme, pu la fluxion constante.

Dans tous les cas, la conception de Newton, appli-.
quée aux grandeurs qui varient effectivement avec le
temps , a Tavantage de fixer la signification réelle des
fonctions dérivées, et par là même de donner à l'avance
la raison du rôle qu'elles jouent dans les applications de
l'analyse à la discu3sion des phénomènes physiques.
Newton se proposait aussi de fonder la théorie des fonc-
tions sur upe idée que l'esprit pût saisir directement,
sans passer par la considération des limites et saps s'as-
sujettir à une marche jusqu'à un certain point détour-
née et indirecte. Il entendait exprimer directement la
continuité dans la variation des grandeurs , ap moyen
du phénomène le plus familier où cette continuité toipbe
souslessens. On a objecté, d'aprèç d'A lembert, que,pour<ié-
jftnîr une vitesse continuellement variable, il faut toujours
recourir à la considération des limites; mais, en faisant
cette objection, on a mal à propos subordonné la précision
des idées à leur définition logique. Un concept existe dans
l'entendement, indépendamment de la définition qu'on en
donne ; et souvent l'idée la plus simple dans l'entende-
ment ne comporte qu'une définition compliquée, quand
elle n'échappe pas à toute définition» Tout le monde a
une idée directe et exacte de la simiUtude de deux corps ,
quoique peu de gens puissent entendre les définitions
compliquées que les géomètres ont données de la simili-
tude. De plus amples développements à ce sujet rentre-
raient dans la théorie de la génération des idées et nous
écarteraient trop de notre but principal.

CHAPITRE IV.

70TI6NS SUR LES OIFFEEENGES CT SUR LES APPROXIMATIONS
DES DIVERS ORDRES. — THÉORIE DES INFUTIMEITT PETITS
ET PRINCIPES DU CALCUL HrFIlTITJSSIMAL.

43. Imaginous deux grandeurs variables x^y^y dont
Tune soit fonction de l'autre , et qui passent par deux
séries de valeurs correspondantes

X y X^ , X^ 9 Xi y Xi^ 9 «

r»ro7«^/3, r4»

Prenons la difFërence de chaque terme à celui qui le
sait dans la série où il se trouve, et désignons par A.r
la différence x^ — Xy la lettre A étant employée comme
caractéristique, et non comme signe de quantité: nous
fonnerons deuiL autres séries de valeurs

AX) A^Tx, A.r, , A 0:3,

Ajr, A^., A/,, A/3,

quise correspondront encore. Opérons sur celles-ci comme
sur les séries primitives, c'est-à-dire, prenons la différence
de chaque terme au terme consécutif; et d'après l'ana-
logie désignons par A.A^, ou par A*.r la différence
ir^ — Ao: : nous obtiendrons deux nouvelles séries
b?X , A*X, , A^X, ,

b?y, A>7., Ay.,

dans lesquelles les termes A^.r , A*^ , exprime-
ront des différences de différences , ou des différences
da second ordre , par rapport aux termes x , y qui leur
correspondent dans les séries primitives. On formerait
de même les séries des différences du troisième , du qua-
trième ordre, et ainsi de suite.

74 LIVRE 1. CHAPITRE IV.

En conséquence de ces notations on aura identique-
ment

•^a=^i+ A:tx=a; -h A^ -h ^{x + Ajc)=x+2 A^+ A*^,

•^3 = ^a + A.r, = r -h a A^ -h A*.r + A(:r 4- a Ao: + A*a:)

= .r + 3Aj; + 3A*x -|- A^x,

et par une induction évidente ( que l'on confirmerait

d'ailleurs sans difficulté, .en employant, comme pour

la formule du binôme, le tour de démonstration de

proche en proche )

n n(n — i) n(n — i)(n — a) ,
,x.=x+-\x + — ^^ ^ A^x + " ^-^^-5 ' A^o:

I 1.2 I . 2 . D

+ . + A°:c •

On aura de même

n , n(n — i) nln — })(n — a) »

+ + Ay .

Ces dernières formules peuvent s'écrire symboliquement

.r„=:(i +A)".r, jr.= (i+A)>,
pourvu qu'on se rappelle que de telles équations n'ont
de sens qu'après le développement des seconds mem-
bres, la lettre A étant un indice d'opération, et non un
signe de quantité. U analogie entre les puissances et les
dijférences qui ressort de ces équations symboliques, et
dont on verra beaucoup d'autres exemples , provient
évidemment de ce que la formule du binôme s'obtient
d'après des règles d'analyse combinatoire tout à fait in-
dépendantes de la nature des opérations de calcul que
chaque combinaison représente, ou de l'idée accessoire
de multiplication qui vient s'associer, dans les éléments
d'algèbre, à l'idée abstraite de combinaison.

NOTIOirS SUR LES DIFFERENCES DES DIVERS ORDRES. 75

44. Si la quantité x remplit naturellement ou par
convention le rôle de variable indépendante, on est porté
à s'occuper plus spécialement du cas où Ton ferait croî-
tre cette variable par différences constantes , de manière
à avoir

x^=.x + 1 Sx j

X3 = x + 'iSXj etc. ,

les différences des ordres supérieurs A*x, A^^, se

réduisant toutes à zéro. Nous allons envisager dans cette
hypothèse les séries qui comprennent les valeurs con-
sécutives de /y et leurs différences des divers ordres.

Il n'y aurait , pour notre but actuel , aucune re-
marque essentielle à faire , tant que la fonction j'=zfx
reste indéterminée , si d'ailleurs on ne s'assujettissait à
aucune condition dans le choix de la différence arbi-
traire Aor. Mais supposons que l'on prenne pour Sx une

très-petite fraction : les différences Sy^S^y^ A^jK,

deviendront, en général , très-petites aussi; de manière
toutefois (et ceci est très-remarquable) que les rapports
de S^jr à A/, de S^j à S?j^ etc., soient eux-mêmes expri-
més par des fractions très-petites^ Plus la différence Sx
sera petite, et plus cette subordination de grandeur
entre les différences des divers ordres de la fonction j
deviendra sensible.

En effet , si nous partons de l'équation identique

Sr
Sv ^L-^-i Sx ^
-^ Sx

nous pourrons remarquer que le rapport -^ converge

indéfininient vers la limite /'.r, quand Sx décroît indé-
finiment. On a donc avec une approximation indéfinie,

76 LIVRE I. CHAPITRE IV.

et d'autant plus grande que ^Jc est une fraction plus
petite,

On a aussi identiquement

-^ \tix Av J '
et l'on tire de cette équation avec une approximation
indéfinie, et d'autant plus grande que bjc reçoit une
plus petite valeur,

Ceci nous montre d'abord que la fonction dérivée du
second ordrey''^ est la limite vers laquelle converge le

rapport —l qu^i^d ^x décroît indéfiniment, de même

i{\xef'x exprime , dans la même circonstance, la limite

du rapport -^ . En second lieu, nous voyons que, pour

des très-petites valeurs de A^, on aura sensiblement

Maintenant , si les fonctions dérivées f'x^f'^ x restent
finies, c'est-à-dire, si la fonction fx n'éprouve point ,
dans l'intervalle de .r à ^ + A.r , de solution de conti-
nuité du second ou du troisième ordre, et si, dans cet in-
tervalle elle ne passe point par un maximum ou par un
minimum y ce qui ferait évanouir y.r, on pourra écrire

— — = a A j; ,

a désignant un nombre fini. Alors on pourra toujours
prendre A.r assez petit pour que le produit a A.r ou le

AV
rapport -—■ tombe au-dessous de toute grandeur donnée.

NOTIOUS SUR LES I>IFF£RElfGES DES DIVERS ORDRES. 77

De réquation identique

on tirerait de même, pour de très-petites valeurs de Aj;^
l'équation de plus en plus, approchée

et comme le même calcul peut être indéfiniment pour-
suivi, on voit que la dérivée y^"^:r: est la limite vers la-
quelle converge , dans l'hypothèse admise , le rapport

-^ : ce qui fournit un moyen de calculer approximati-
vement les valeurs de la fonction /^"^jc , quand la fonction
primitîvejT^ est donnée par une table, pour des valeurs
dexéquidifFérentes et très-rapprochées. En effet, avec cette
table on formera les valeurs de A^, A*^, tkjr;

A"r
et par suite on aura celle du rapport—^, laquelle se

confond sensiblement avec la valeur à&j^^^x.

On voit encore que , si toutes les dérivées de fx res-
tent finies, jusqu'à/^'*^^; inclusivement, on pourra tou-
jours prendre Ao: assez petit , non-seulement pour que
les différences des divers ordres

A/, Ay, A'^, t^y

forment une suite de fractions très-petites, mais pour
que cette série soit ordonnée y de manière que le rap-
port de chaque terme à celui -qui le précède dans la série
se réduise lui-même à une fraction très-petite.

45. La série des puissances d'une fraction très-petite
est le type arithmétique de la subordination des gran-
deurs. Si l'on élève , par exemple , à ses puissances suc-

78 LIVRE I. '--— CHAPITRE IV.

cessives la fraction tt7ôj oi^ aura une suite rapidement
décroissante

II I

looo ' I ooo 006 ^ I 000 000000 ' * ^
telle que, dans un calcul d'approximation, on pourrait
regarder comme négligeable vis-à-vis d'un terme de la
série, non-seulement le terme qui le suit, mais un mul-
tiple de celui-ci, tant que le multiplicateur ne serait pas
de l'ordre des dizaines ou des centaines. Généralement,
désignons par e une fraction très-petite , et par /c^ , A\ ,
^3 , kn des nombres qui ne soient pias très-
grands, ou des nombres tels que les fractions
t I ï I

Al A", n^ fCfi

ne soient pas comparables pour leur petitesse à e : la
suite

k,e , ^.e" , ^36^ , A'>

sera formée de termes dont chacun pourra être considéré
comme très-petit par rapport à celui qui le précède, ou
dont chacun serait e3q)rimé par une fraction très-petite ,
comparable dans sa petitesse à e, si l'on prenait pour
unité la valeur du terme qui le précède immédiatement.
Appelons quantités très-petites du premier ordre les
fractions 8 et kiè : on exprimera la subordination qui
vient d'être expliquée en disant que

^ae% V, knt""

sont des quantités très-petites du second , du troi-
sième , du /^® ordre.

Conséquemment à cet énoncé, nous dirons que, si Ax
est une quantité très-petite du premier ordre , et s'il n y
a aucune des fractions

ï I I _j

7^' fx' f^x' /Wr

IVOTIONS SUR LES DIFFERENCES DES DIVERS ORDRES. 79

comparable pour sa petitesse à \x , les différences

Ar, A'jr, A^, ^Jr

seront des quantités très-petites du premier , du second ,

du troisième , du n^ ordre , ou des quantités

respectivement du même ordre que

Ax , Ar* , A.r^ A.r" .

46. Il ne sera pas hors de propos d'ajouter ici quel-
ques éclaircissements au sujet de la distinction que font
les géomètres, de grandeurs de divers ordres, lorsqu'ils
se proposent, non plus de déterminer rigoureusement des
rapports mathématiques , mais d'évaluer approximative-
ment des grandeurs qui ont une existence réelle.

A envisager les choses dans leur généralité abs-
traite j cette distinction est sans doute artificielle : il
n'y a pas dans la nature de grandeur ni de petitesse ab-
solues ; la même grandeur s'exprime par des nombres
très-grands ou par des fractions très-petites, selon l'unité
employée ; et des grandeurs continues de même espèce
ne peuvent ^on plus être distribuées naturellement en
des ordres distincts, sous le rapport de leur grandeur,
par la raison même qu'elles sont continues , et qu'on
peut aller de l'une à l'autre par des transitions insensibles.

Mais au point de vue où l'homme se trouve placé pour .
observer les phénomènes et mesurer les grandeurs qui
en dépendent, il y a des unités de mesure indiquées par
la nature des choses, et d'une disproportion telle quand
on passe d'un ordre de phénomènes à un autre, que l'on
est effectivement conduit à établir entre des quantités de
même espèce une subordination de grandeur.

Ainsi, dans certaines recherches délicates de physi-
que, telles que celles qui se rapportent à la capillarité
et à l'optique, on a pu prendre le millimètre pour unité

80 LIVRE I. CHAPITAE IV.

de longueur : on compliquerait, sans raison, l'expression
numérique des grandeurs qu'il s'agit de comparer dans
ces recherches, si Ton s'avisait de choisir pour unité le
mètre ou le kilomètre; et il serait absurde de prendre
pour unité le millimètre, quand il s'agit de comparer
des hauteurs de montagnes dont la mesure comporte
toujours une erreur de quelques décimètres ou même
de quelques mètres. Que s'il s'agit de mesurer les dia-
mètres du soleil et des planètes, la nature de l'observa-
tion, l'analogie conduisent à prendre pour terme de
comparaison ou pour unité de longueur le rayon terres-
tre; car, non-seulement des différences de quelques cen-
taines de mètres sont insignifiantes , eu égard aux di-
mensions de ces corps énormes et aux phénomènes sur
lesquels ces dimensions ont de l'influence, mais encore
de telles différences sont insaisissables , par les moyens
d'observation et de mesure dont nous disposons. Enfin ,
dans la mesure des dimensions des orbites planétaires,
le rayon même du globe terrestre serait une unité dis-
proportionnée : le grand axe de l'ellipse que la terre décrit
est l'unité convenable, en comparaison de laquelle on
peut regarder comme très-petites , ou même dans beau-
coup de cas comme échappant à nos mesures, des varia-
tions de distance comparables aux dimensions de la terre.
Il serait facile de pousser cette progression plus loin,
en continuant de prendre nos exemples dans des phéno-
mènes astronomiques bien généralement connus; mais
les explications déjà données font suffisamment compren-
dre comment nous sommes conduits à concevoir des
grandeurs homogènes de divers ordres : de manière que ,
dans chaque classe de phénomènes , et pour la mesure
des grandeurs qui s'y rapportent, il convienne de pren-

THioRIR DES INFINIMENT PETITS. 81

dre Funité dans un certain ordre , et en conséquence
d'exprimer les unités de Tordre inférieur par de très-
petites fractions. C'est à cette subordination «des gran-
deurs, lorsqu'elle existe, que tient la simplicité des lois
des phénomènes, et que nous devons la puissance de les
soumettre au calcul, par les méthodes d'approximation
que l'analyse a fait découvrir.

Théorie des iufiniinent petits et principes du calcul
infinitésimal.

47. Étant donnée la série des différences des divers or-
dres

A7 , A»jr, A^ ,

qui deviennent, pour de très-petites valeurs de A.r , res-
pectivement comparables à

Aj:, Ar* , A^' , ,

l'erreur que l'on commettra en négligeant ^y , Ar* vis-
à-vis de ^jy, \jc; A^, Ar^ vis-à-vis de A^ , A,r' , et ainsi
de suite, sera d'autant moindre que l'on prendra pour
ir une quantité plus petite; et Ton pourra toujours pren-
dre ir assez petit pour que l'erreur commise tombe au-
dessous de toute grandeur donnée. C'est ce qu'on ex-
prime , d'après Leibnitz , d'une manière plus brève , en
disant que A^, Ao;' sont rigoureusement négligeables
vis-à-vis de Ay , Ar ; que A^ , Ar' le sont pareillement
vis-à-vis de A*;^ , Ar* , et ainsi de suite , lorsque la diffé-
rence Aj: est infiniment petite.

^ et par suite A;^ étant des quantités infiniment pe-
tites , Ar* , A^ sont des quantités infiniment petites du
^nd ordre ; ce qui signifie que les rapports
Ar* • A*j^
Âx ' A/^
T. I. 6

82 LIVRE I. CHAPITRE IV.

deviennent aussi des quantités infiniment petites. A.r^ ,
H^j sont des infiniment petits du troisième ordre; ce qui
revient à dire que les rapports

deviennent des quantités infiniment petites y ou que les
rapports

sont des infiniment petits du second ordre. Générale-
ment, pour des valeurs infiniment petites de Hx ^ les
quantités Ao:" , IS^^y deviennent , dans le sens qui vient
d'être expliqué, des quantités infiniment petites du
tt^ ordre.

Ce langage adopté , au lieu de dire que les dérivées

/,/',/",

sont les limites vers lesquelles convwgent indéfiniment
les rapports

Âx'Â^' Âï^'

quand la diiFérence Aj? converge indéfiniment vers zéro ,
nous énoncerons le même fait en disant que ces fonc-
tions dérivées sont les valeurs mêmes des rapports cor-
respondants j quand la différence Ar devient infiniment
petite^ et quand par suite les différences by^ A*jr, A^,
...... deviennent des quantités infiniment petites du

premier, du second, du troisième ordre, cha-
cune rigoureusement négligeable vis-à-vis des infini-
ment petits d'un ordre inférieur.

Afin d'exprimer la même chose avec la conctsion qui
est propre à l'écriture algébrique, Leibuitz emploie la
caractéristique d pour désigner des différences infini-

THÉOaiE DES INFINIMENT P£1ITS. 83

ment petites ; et d'après cette notation , nous poserons
r'-^ /'-^ /"-^ etc

ou bien

dy=fx . dx , d^yzzzf'x . dx^ , d[^f=,fx . dx^j etc.
48. Pour faire comprendre tout de suite , par un
exemple très-simple , la raison et le but de cet algo-
rithme , proposons-nous de trouver la dérivée de la fonc«
tion algébrique

jr=:zx^ + ax^ + bx + c :
Qous aurons y en formant d'abord la différence â^ pour

passer de là au rapport — ^ et ensuite à la limite ,

\j-=:(^x -f- A^)^-|- a(x + ^xy+6(x H- A^) H- c
— (x^ + ax*+bx '+•€)=: (^^^'^ ^ax-^ b)\x
-H (3x 4- a) ^x* H- ^x^ ;
d'où nous tirons

ûkfX

Or, si nous disons converger indéfiniment \x vers
zéro, les termes

(3a: -|- a) Ax , A^*
convergeront aussi indéfiniment vers zéro, et s' évanoui-
ront à la limite : donc on a
Av

Au lieu d'employer ce tour de raisonnement , traitons
les di£férences Ax, A;^ comme des quantités infiniment
petites, et désignons-les par dx^dj: nous aurons
(fy'z={Zx*-\-ikax-\'b)dx'\'{^x-\'d)dx^'\'da?\ (i)

mais les termes

(3^-|-a)dlr*, dx^
sont des infiniment petits du second et du troisième

6.

84 LfVRB I. CHAPITRE IV.

ordre, qui doivent être négligea vis-à-vis des quantités
infiniment petites du premier ordre,

donc on a simplement

dj- =1 (3a:* -|- ^ ax -\' V) dx; (a)
d'où l'on tire, comme ci-dessus ,
dy

Maintenant (et c'est en ceci que consiste essentielle-
ment l'avantage du procédé de Leibnitz) il est dair
qu'on aurait pu se dispenser d'écrire dans l'équation (i)
et de calculer préalablement les termes en dx^ et dx^,
sachant que ces termes ne peuvent être que des infini-
ment petits d'ordres supérieurs, destinés à disparaître
vis-à-vis des infiniment petits du premier ordre, de
même et par la même raison que ceux-ci disparaissent
vis-à-vis des quantités finies. Il y a plus : pour former
ÀLjr on a eu besoin de connaître la formule qui donne
les développements des puissances (^ -h A o:)^, (^ + Ax)^;
tandis que, pour former l'équation (a), il aurait suffi
de connaître les termes affectés de la première puissance
de ^x dans les mêmes développements.

Supposons encore que nous voulions trouver la dé-
rivée de la fonction qui mesure l'aire trapézoïdale com-
prise entre la courbe M' N' (^fig. ao), l'axe des abscisses
et deux ordonnées nto p^, mp^ dont la première est fixe,
tandis que l'autre se déplace. Cette question a été traitée
au n® 33 par la considération des limites. Pour y ap-
pliquer les principes de Leibnitz, nous concevrons que
l'abscisse Op = x augmente de la quantité infiniment
petite pp^ •=. dx. L'aire m^p^pm étant désignée par ^,
la valeur de dy sera le trapèze curviligne infiniment pe-

THÉORIE DES HiFlNIMECTT PETITS. 85

tit mpp^ rriy. Mais , si nous menons les droites mn^y mjiy
parallèles h pp^, la différence de (fy au rectangle inJBni-
ment petit mpp^Fij sera moindre que Taire du rectangle
mn/njiy qui est elle-même un infiniment petit du se-
cond ordre, puisque les doux dimensions ma,, A/2^,sout
chacune des infiniment petits du premier ordre. Donc,
en négligeant, comme on doit le faire, les infiniment
petits du second ordre vis-à-vis de ceux du premier
ordre, et en désignant p2s fx l'ordonnée courante de
la courbe IVTN^ on aura

djr =ifx . dx ,
d'où Ton tire

ce qui apprend que la dérivée de la fonction cherchée
est précisément la fonction donnée/*' or.

En général, on ne soumet à des raisonnements , à des
constructions et à des calculs, des infiniment petits de
divers ordres , que pour assigner les rapports finis qui
existent entre des infiniment petits du même ordre; et
à cet effet on néglige constamment les infiniment pe*^
tits d'ordre supérieur vis-à-vis des infiniment petits
d'ordre inférieur: ce qui opère, dans le cours même
des raisonnements, des constructions et des calculs, des
simplifications qui constituent essentiellement l'avantage
de la méthode.

49. Effectivement, si nous pouvions comparer dès le
début, non plus seulement dans leurs germes, mais dans
leurs applications aussi variées qu'étendues, la méthode
des limites et la méthode infinitésimale, nous verrions
que toutes deux tendent au même but, qui est d'expri-
mer la loi de continuité dans la variation des gran-

\

86 LIVRE I. CHAPITRE IV.

deurs^mais qu'elles y tendent par des procédés inverses.
Dans la première méthode, étant donnée à traiter une
question sur des grandeurs qui varient d'une manière
çontÎDjiie, on suppose d'abord qu'elles passent subite-
ment d'un état de grandeur à un autre; et l'on cherche
ensuite vers quelles limites convergent les valeut*s obte-
nues dans cette hypothèse, quand on resserre de plus
en plus l'intervalle qui sépare deux états consécutifs. Il
çst clair qu'on n'obtient ainsi qu'après coup, à la fin de
la solution, les simplifications qui résultent de lacon-^
tinuité, et que la méthode infinitésimale, par l'évanouis-
sement successif des infiniment petits d'ordres supé-
rieurs , donne directement et successivement , à mesure
qu'on avance dans le traitement de la question.

Aussi peut-on poser en fait que, quelque adresse que
Ton mette à employer la méthode des limites, et quel-
ques simplifications que les progrès des sciences appor-
tent dans ks théories mathématiques et physiques, on
arrive toujours à des questions pour lesquelles il faut
''renoncer à cette méthode, et y substituer, dans le lan-
gage et dans les calculs , l'emploi des infiniment petits
des divers ordres.

D'ailleurs la méthode infinitésimale ne constitue pas
seul^nent un artifice ingénieux : elle est l'expression
naturelle du mode de génération des grandeurs physi-
ques qui croissent par éléments plus petits que toute
grandeur finie. Ainsi , pour revenir sur un ex^nple cité
[4^], quand un corps, en se refroidissant, émet sans
cesse de la chaleur thermométrique, la perte de tempéra^-
ture qu'il éprouve dans un intervalle de temps quelcon-
que, si petit qu'on le suppose, est un effet composé,
ré^iultant, comme de sa cause, de la loi suivant laquelle

TH]k>KlK D&S INFINIMENT I^ETITS. 87

le corps émet sans cesse, en chaque instant infiniment

petit , une quantité infiniment petite de chaleur thermo*

métrique. Le rapport entre les variations élémentaires

de la chaleur et du temps est la raison du rapport qui

setablit entre les variations de ces mêmes grandeurs

quand elles ont acquis des valeurs finies ^ le terme de

raison étant pris ici dans son acception philosophique.

De même, pour employer un exemple déjà familier

à la plupart de nos lecteurs, les espaces décrits par un

corps qui tombe librement , en cédant à l'action de la

pesanteur, varient proportionnellement aux carrés des

temps écoulés depuis le commencement de la chute,

parce que l'accroissement infiniment petit de l'espace

parcouru est proportionnel à lavitesse acquise, qui elle»

même , par un résultat évident de l'action continuelle et

constante de la pesanteur, est proportionnelle au temps

écoulé depuis que le corps est en mouvement. De cette

relation si simple entre les éléments du temps écoulé

et de l'espace décrit, dérive, comme de sa cause, la

loi moins simple qui lie entre elles les variations finies

de ces deux grandeurs.

Sous ce point de vne , on a pu dire avec fondement ,
que les infiniment petits existent dans la nature ; et il
conviendrait certainement , dans le même ordre d'idées,
d'appeler y ^ la fonction génératrice ou primitive , et fx
la fonction dérivée , au lieu d'appliquer ces dénomina-
tions en seus inverse, comme l'a fait Ijagrange, guidé
en cela par des considérations de pure algèbre.

Du reste, ces remarques ne concernent pas exclusi-
vement les grandeurs douées d'une existence physique :
en géométrie pure, les grandeurs continues ont aussi
ou peuvent avoir leur mode naturel de génération, par

88 LIVRE I. CHA.PITRE.IV.

le mouvement de certains points, lignes ou surfaces; et,
en pareil cas , on trouve le même avantage à saisir di-
rectement la loi des variations infinitésimales, de la-
quelle résulte la loi des variations à l'état de grandeurs
finies.

En résumé , la méthode infinitésimale est mieux ap-
propriée à la nature des choses ; elle est la méthode di-
recte, au point de vue objectif; et c'est pour cela que
l'algorithme de Leibnitz, qui prête à cette méthode le
secours d'une notation régulière, est devenu un si puis-
sant instrument^ a changé la face des mathématiques
pures et appliquées, et constitué à lui seul une invention
capitale dont l'honneur revient sans partage à ce grand
philosophe. D'un autre coté, le concept de l'infiniment
petit ne peut se définir logiquement que d'une manière
indirecte, par l'intermédiaire des limites ; de sorte qu'au
point de vue logique et subjectif, la rigueur démons-
trative appartient directement à la méthode des limites,
et indirectement à la méthode infinitésimale, en tant
que celle-ci devient, à l'aide de certaines définitions de
mots, une pure traduction de la première. La consé-
quence de ce double fait, c'est qu'on ne peut se dispen-
ser de mettre en évidence, dans les cas les plus simples,
l'identité des résultats des deux méthodes; mais qu'une
fois cette traduction bien comprise, il convient de s'a-
bandonner à la niéthode infinitésimale,. qui seule peut
conduire à la solution des questions compliquées, par la
suppression de tout échafaudage inutile.

Quoique la méthode des limites ait certainement toute
la rigueur logique désirable, le concept sur lequel elle
repose ne semblait pas encore assez rigoureusement dé-
fini aux géomètres de l'antiquité, habitués aux subtili-

THEORIE DES INFISIM^ICT PETITS. 89

tes de la dialectique grecque, et qui cherchaient tou-
jours à réduire le nombre des concepts immédiats, en
tirant le plus grand parti possible du principe d'identité
ou de contradiction sur lequel repose la démonstration
logique. En conséquence ^ ils substituaient à la méthode
des limites le procédé si connu dans les éléments, de la
réduction à Tabsurde. ou de Xexhaustion :- procédé le
plus indirect et le plus compliqué de tous; celui, par
conséquent, qu'on est forcé d'abandonner le plus tôt,
quand on s'élève graduellement des questions les plus
simples aux questions plus complexes.

Il y aurait à tirer, du i-approchement de ces diverses
théories mathématiques, des inductions précieuses pour
letude générale des opérations et des lois de l'entende-
ment; mais ce serait faire, dans le champ de la philoso-
phie pure , une excursion incompatible avec le but es-
sentiel de cet ouvrage.

50. Les différences infiniment petites dx ^ dy ^ d^y^

(Py, se nomment plus brièvement des diffé-

rentielles. I^s rapports

dy d^y d^j

di' Ibc^' dx^'

dont nous avons fait voir l'identité avec les fonctions

dérivées y^j'^j'^ quand la différentielle dx est

constante, et avec les fluxions^, Jt J'i quand la

fluente x varie ou s'écoule uniformément avec le temps,
ont été nommés, par M. Lacroix, les coefficients dif-
férentiels de la fonction jy et Ton fait maintenant un
usage fréquent de cette expression. L'ordre d'un coeffi-
cient différentiel est celui de la différentielle et de la
fonction dérivée correspondantes.
Differentieryxne fonction,, c'est passer de cette fonc-

90 LIVRE I. CHAPITRE IV.

tioQ à sa différentielle : la branche de l'analyse qui a
pour objet la dîfférèntiation des fonctions se nomme
le Calcul différentiel.

On appelle équations différentielles celles qui ont
lieu entre la variable indépendante, la fonction qui en
dépend , et les dérivées ou les coefficients différentiels de
cette fonction. L'ordre d'une équation différentielle est
celui du coefficient différentiel de l'ordre le plus élevé
qui ^^entre dans cette équation. Ainsi

est une équation différentielle du premier ordre ;
/(•^,jr,y,y') = o, ou./(.r,jr,^, ^)=o,

est une équation différentielle du second ordre; et
ainsi de suite.

51. La différence finie x — x^ est la somme des in-
créments infiniment petits que la variable indépendante
a reçus successivement , en passant de la valeur x^ à la
valeur x : de même la différence finie y — y^ est la
somme des incréments infiniment petits ou des éléments
différentiels

dj=fx.dx,
par l'accession successive desquels la fonction a passé
de la valeur /o à la valeur^; ces éléments peuvent d'ail-
leurs être de même signe que dx ou de signe contraire
|3o], selon que/'x prend une valeur positive ou né-
gative.

On écrit en conséquence

r — ro=ff^^'dx, (3) '
pu

fx — /.ro = / fx . dx ,

i:

TH£ORI£ DES INFIiriMEHIT MTITS. 91

le signe /étant regardé comme l'abréviation du mot
somme ou summa; et l'on dit que

est V intégrale de la différentielle y>.r&, entre les li-
mites x^,, a: Q).
En d'autres termes , si l'on prend

Ax = ■■ ■ «
n '

la somme

+f[^o + {n'\-i )^x]. A.f

convergera vers la limite

fx—fx,
quand on prendra le nombre n de plus en plus grand ,
oa quand Aa: convergera vers zéro.

52. L'équation (3) montre qu'il ne suffit pas d'assi-
gner la fonction f'x pour déterminer complètement la
fonction jr àonifx est la dérivée, ou àanïfxdxasi la
différentielle : il faut en outre assigner explicitement ou
implicitement la valeur de la fonction.^ correspondant
à une valeur déterminée de la variable indépendante, ce.
qui rentre tout à fait dans le principe déjà connu
[3i et 39].

(') Leibnitz employait toujours fe terme de somme, dont le signe
/est rabrëviation ; celui èi intégrale a ëië proposé par les Bernoulli.
Voy. OEuQres de Leibnitz y t. III, p. 3a6.

Cest un usage peu ancien que celui d'écrire en indices, au haut
et au bas du signey*, les valeurs des limites supérieures et inférieui*es
de l'intégrale, c'est-à-dire, les valeurs de la variable indépendante
eolre lesquelles la sommation ou Tinlégration s*cflectue : cette nota-
tion très- commode a été proposée par Fourier, et on l'a aussitôt gé-
néralement adoptée. •

92 LIVRE I. — CHAPITRE IV.

Il suit de là : i® que, si l'on peut découvrir, par ui
moyen quelconque, une fonction /r qui jouisse de U
propriété d'avoir pour dérivée J^x, on aura, pour dei
valeurs quelconques des limites x^^ x, la valeur de l'in^
tégrale

/ f xdxzizfx — fx^\

2° que

C désignant une constante arbitraire, est l'expression
générale des fonctions qui ont pour dérivée f'x. En
conséquence, on qualifie ^intégration indéfinie l'opéra-
tion par laquelle on remonte de la dérivée /'.r à l'ex-
pression générale des fonctions dont elle est la dérivée ,
ou de la différentielle fxdx à l'expression générale des
fonctions dont elle est la différentielle, et l'on indique
cette opération par le signe y, sans désignation de li-
mites. Ainsi l'on écrira

ffxdx=fx^Q,
ou bien

p

^ f'xdx=.fx'\- const. ;

et l'on dira que l'expression

fx -|- const.
est X intégrale indéfinie de la différentielle /'^ dx.

Par opposition , on appelle intégrales définies celles
qui sont prises entre des limites indiquées, et que n'ac-
compagne plus la constante arbitraire inhérente à l'inté-
grale indéfinie.

53. Le Calcul intégral ^ que l'on peut considérei
comme l'inverse du calcul différentiel , a pour objet la
détermination des intégrales, indéfinies et définies. Ou
comprend à la fois, sous la dénomination de Calcul in-

THÉORIE DES INFINIMENT PETITS. 93

finiiésimalj le calcul différentiel et le calcul intégral.

Le calcul infinitésimal , en tant qu'il a pour objet de
démontrer, à l'aide d'un langage et d'un algorithme
particuliers, les relations générales qui subsistent entre
les fooctions et leurs dérivées des divers ordres , ren*
feriDe ce qu'il y a de plus important dans la théorie des
foDctioDS, et se confond en quelque sorte avec cette
tbéorie, dans l'état de la science; mais il faut pourtant
distinguer, au point de vue rationnel, le calcul qui
n'est qu'un instrument , d'avec la théorie à laquelle on
l'applique.

Il ne faut pas identifier non plus la méthode infinité-
simale (méthode que l'on avait déjà appliquée avant
Leibnitz et que l'on applique encore dans les parties
élémentaires de la géométrie et de la statique) avec
Talgorithme différentiel imaginé par Leibnitz, en vue
les applications de la méthode infinitésimale à la théorie
des fonctions.

L'usage apprendra que cet algorithme , malgré ses
avantages généraux , n'est pas exempt de quelques im-
perfections, inhérentes au mode d'écriture, et qui ne
tiennent pas au fond de la méthode infinitésimale. Dans
certains cas, l'algorithme de Lagrangeest plus commode,
et alors les analystes ne font aucune difficulté de i'em*
ployer, tout en se servant plus habituellement de la
Dotation leibnitzienne.

54. Nous avons supposé, dans tout ce qui précède ,
ifie la fonction n'éprouve point de solution de conti-
nuité, résultant de ce que cette fonction ou ses dérivées
^es divers ordres passent par l'infini , ou passent brus-
<|oement d'une valeur finie à une autre. En effet, dire
lue la fonction j* éprouve une solution de continuité du

94 . LIVRE I. CHÂPITAE IV.

pii^mier ordre, c'est dire que, pour une variation ihlB'
nimeat petite dx, la variation correspondante cfy' a une
valeur finie ou infinie: infinie si jr passe par l'infini .
finie, si^ passe brusquement d'une valeur finie à une
autre ; et dans l'un et l'autre cas il n'est plus permis de
traiter cty comme un infiniment petit du même ordre
que djc. Pareillement , si la fonction^ éprouve unesolu-

tion de continuité du second ordre, dy = -j-- est une

quantité finie ou infinie a, et la différentielle seconde
dy-^i^adx n'est plus un infiniment petit du second
ordre, négligeable vis-à-vis des infiniment petits du
premier ordi*e, et ainsi de suite. Donc toutes les for-
mules auxquelles on est parvenu en employant la diffé-
rentielle cfy- et en la traitant comme un infiniment petit
du premier ordre , cesseront en général d'être exactes ,
si la fonction j- éprouve une solution de continuité du
premier ordre ; toutes celles qui ont exigé l'emploi de
la différentielle seconde dy- , traitée comme un infini-
ment petit du second ordre , cesseront aussi en général
d'être exactes', non - seulement lorsque^ éprouvera,
dans les limites de l'application des formules , une solu-
tion de continuité du premier ordre , mais lors même
qu'elle ne subirait, entre les mêmes limites, qu'une
solution de continuité du second ordre ; et ainsi à l'infini.
Toutes les fois que des valeurs infinies de (fy- corres-
pondent à des valeurs infiniment petites àeda: jle coef-

d Y
ficient différentiel ^ devient infini ; mais la réciproque

n'est pas vraie généralement ; ce qui revient à cette re-
marque déjà faite , et rendue évidente par la considéra-
tion des courbes [35], que la dérivée^' peut passer pour

TUËORIE DES INFINIMENT PETITS. 95

finfiai saus que la fonction^ cesse d'être finie. En re-
^rdant d'ailleurs dy comme la limite de la valeur de
i) tirée de l'équation

on conçoit que la limite du produit de deux facteurs ,
dont l'un -^ converge vers l'infini , et l'autre Ax con-

verge vers zéro, peut être l'infini, ou une quantité finie,
ou même zéro. Dans les deux premiers cas

dy =f^^c dx
est une quantité infinie ou finie, et la fonction^ éprouve
une solution de continuité du premier ordre ; mais dans
leifoisième cas preste une quantité infiniment petite,
et/ n'éprouve qu'une solution de continuité du second

ordre. De ii)ême , si df = «-y^ passe par l'infini , le

d^y
eoefficient différentiel du second ordre ^j-rdevient à plus

Torte raison infini ; mais l'inverse n'est pas générale-
ment vrai , et ce coefficient différentiel ou la dérivée
correspondante y".2: peut passer par l'infini , sans que

d'y
t// = -y^ cesse d'être une quantité infiniment petite

fc premier ordre, et par conséquent sans que c^jr cesse
d'être une quantité infiniment petite du second ordre ;
auquel cas / ne subit qu'une solution de continuité du
troisième ordre* l

L'équation

dj=fxdx ,

et celle qui s'en déduit [5i]

r— jro= / fxdr,

96 LIVRE 1. CHA.P1TRE IV.

cessent d'offrir un sens quand la difTérentielle dj passe
par l'infini , pour des valeurs de x comprises entre les
limites de l'intégrale : ce qui suppose , d'après ce qu'on
vient d'expliquer, non-seulement que /'.r devient infinie,
mais encore que le produit f'x dx conserve une valeur
infinie. Cependant, si fx désigne une fonction doùt la
dérivée soit /'a:, de manière qu'on ait l'intégrale indéfinie

ffxdx=fx -^C,
on en conclura

J^— jro=A— /^o,
pour l'équation d'une courbe dont la courbe dérivée
aurait pour ordonnéej-'=/^.r ,, et qui serait en outre
assujettie à passer par le point (^To, jTo), mais dont l'or-
donnée y passerait par l'infini , pour des valeurs de
l'abscisse comprises entre x^ et x. L'expression y!r — fXo
représenterait encore la différence des ordonnées ^,^"0,
mais ne représenterait plus la somme des valeurs de la
différentielle dy ^=^fx dx , entre les valeurs x^ , x de la
variable indépendante. Nous reviendrons par la suite
sur des exemples de ce cas exceptionnel , déjà présenté
sous une autre forme [35] 9 et qu'il suffit de rappeler ici.

55. Par la même raison, nous nous contenterons
d'indiquer rapidement la forme que prennent les théo-
rèmes généraux sur les fonctions dérivées, démontrés
dans le chapitre précédent, lorsqu'on y adapte la méthode
et les notations du calcul infinitésimal.

i® Si l'on pose

y z=LU '\' V '\- w + etc. ,
u^ Vj Wj etc., désignant des fonctions d'une même va-
riable indépendante :r, on a évidemment, en passant
aux différentielles ,

dy=z du-\'dv'^dçv-^ etc.

THEORIE DES INFINIMENT PETITS. 97

Ainsi la diflTérentielle d'une somme de fonctions est la
somme de leurs différentielles, le mot de somme devant
être pris dans son acception algébrique. On en conclut

dy du dv dw

dx dx dx dx ' '

équation qui est l'expression du théorème sur les fonc-
tions dérivées , démontré directement au n^ 89.
On a inversement

/ fdx = I udx^ I vdx 4- / wdx -f- etc. ,

cequoo énonce en disant que l'intégrale définie d'une
somme de fonctions est la somme de leurs intégrales
deGnies , entre les mêmes limites.

Il est permis d'établir la même identité entre les in-
tégrales indéfinies , et d'écrire

jydx zmj udx -}- / vdx -f^y wdx -[- etc. (4)
Pour l'intelligence de cette dernière formule , admet-
tons qu'on ait trouvé séparément

jydx-=zYx'\'CjJudxz=:^fx'\'C yJvdx^zf^x-i^Ci ,

fwdx =/,.r -f- c, , etc. ,
C,c, c,, c^^'etc.j désignant des constantes arbitraires :
d'après la formule (4) il faudra qu'on puisse , par un
choix convenable de la constante C , établir l'identité

Fa:-(-C=:/a:H-c-f-/^ + c.+/:,r+c, + etc.,

quelles que soient les valeurs attribuées aux constantes
c, c,,c,,etc. ,. .

a*^ La différentielle du produit de deux fductions est
la somme des produits qu'on obtient en multipliant chja-
cune des fonctions par la différentielle de l'autre. En
effet l'on a

d^ uv =^ {u-^ du) (v-f- dv) — uv ,
d'où, en développant, et en négligeant l'infiniment petit
T. I. 7

98 LIVRE I. CHAPITRE IV.

du second ordre du dv vis-à-vis des infiniment petits du

premier ordre,

d .uv^vdu-^udv. (5)

Si Ton passe aux coefficients différentiels , il viendra

d.uv ^_L ^^

dx rfj: ' dx '

ce qui est l'expression d'un autre théorème sur les fonc-
tions dérivées , contenu dans Téquation {b) du n** cité.
On met l'équation (5) sous la forme

d.uv du dv

uv u V ^

et l'on en conclut facilement

d.uvw du dv dw

— = 1 h — + etc. (6)

uvw u V w ^ ^

Si u est un nombre constant a, du devient nul, et l'on

a simplement

d.av ^nadv.

Inversement on aurait

/ avdx = a I vdxj

J X^ J Xo

et

f avdx = a f vdx ,
cette dernière équation étant interprétée comme la for-
mule (4).
Soit

u = ç^, V == ^.r, ai;= ç^. ^x =^fx :

l'équation (5) prendra la forme

fxdx = ^x.ff'xdx + tfx. ^'xdx ,

d'où

<fx.^xdx=fxdx — ^x.tfxdxj (7)

et en intégrant

I (fx.^'xdx^fx—fx^—J^ ^x . (f'xdx ,

THÉORIE DIS IICFINIMENT PETITS. 99

OU bien

/ ffX.^'xdx=LifX.ifX — (fX^.ifXo — 1 ifx.t^^'xdx. (8)

De cette manière, l'intégration de la fonction (fx . if'xdx
a été ramenée à l'intégration de la fonction if'x d[r (ce
qui fait connaître la fonction ^ ) , et à celle de la fonc-
tion ^ac . tfx dx : Tune et l'autre intégration pouvant
dans beaucoup de cas s'opérer plus simplement que celle
de la fonction proposée. Ce procédé , dont nous verrons
que l'on fait le plus fréquent usage dans le calcul inté-
gral, est connu sous le nom ^intégration par parties.
Si l'on prend les intégrales des deux membres de l'é-
quation (7) , sans égard aux limites , il viendra

If^x . ^x dx =^fx — j^x . (fxdx^
ou

f^x. ^'xdx=L (fx . i(X — pfx . ^xdx . (9)
Il serait inutile d'ajouter une constante arbitraire à
rintégrale du terme /^o; dxy parce qu'elle se confond
avec la constante arbitraire qui accompagne nécessaire*

ment l'intégrale indéfiniey ij^j; . f^^'xdx. Par ce moyen ,
chaque membre de l'identité (9) est censé accompagné
d'une constante arbitraire , de façon que l'on puisse
toujours disposer de la valeur de l'une des constantes
pour établir l'identité , quelle ^ue soit la valeur numé-
rique assignée arbitrairement à l'autre constante , comme
nous l'avons expliqué au sujet de k formule (4) •
3^ Soit

r
uv =z r . ou V = — :

M

il viendra , par l'équation (5) ,

, d.uv — vdu , r udr — rdu , ^
œv =r , ou a . — = . (10)

100 LIVRE 1. CHAPITRE IV.

Dans le cas de r = i , on a

«. — = r-. (il)

56. Nous avons, dans tout ce qui précède, traité
j comme une fonction immédiate de la variable indé-
pendante X : SX X était elle-même une fonction de la
variable t^ et qu'on eût à la fois

jr=ifx, X^^f^t,

la différentielle dx cesserait d'être constante et serait
donnée par l'équation

dx-^^t . dtj
d'où l'on tirerait

dj^zfx. (^'t .dt^
ou bien , en passant aux coefficients différentiels ,
dy ., , df dx

équation qui est l'expression de la règle pour la dériva-
lion des fonctions médiates , déjà établie [ l\o ]. Il n'y
a aucune difficulté à la généraliser , en supposant un
nombre quelconque de variables intermédiaires entre
^ et ^.

57. Si l'on différentie les deux membres de l'équation

^ — dx'
en cessant de considérer la variable x comme indépen-
dante, et par suite sa variation comme uniforme, ou dx
comme une quantité constante , on aura , en vertu de
la formule (lo) oîi Ton fera r = dy^ u=: dx,

. , dy-dx — dj d^x

"^^ — 1^- '

et par suite

„ dy d^ydx — dy d^x , ^ _

THJÉORIE DES INFINIMENT PETITS. 101

Quand xeX. y seront donnés en fonction de la variable
indépendante^ par des équations de la forme

on en tirera

dx=^ ^'i dt, dj=: if't dt ,
d-'x = ç V dt"" , rfy =f' ^ dt^ .
Après qu'on aura substitué ces valeurs dans la for-
mule (12) 9 dts^en ira comme facteur commun aux deux
termes du rapport y et Ton retombera sur l'équation (d)
du n® 4i-

On trouverait, au moyen de calculs semblables, les
formules par lesquelles les dérivées supérieures j^*'",j^'^,
etc. , s'expriment en fonction des différentielles

dfy d^JKy cP^y d^j ; dx^ rf*.r, d^x^ d^x. . . . . ,

quand on cesse de regarder la différentielle dx comme
constante : mais, pour effectuer commodément ces cal-
culs , il convient de s'être familiarisé avec l'application
des règles du calcul différentiel aux fonctions algébri-
ques , application qui doit faire l'objet du chapitre sui-
vant.

Pour revenir au cas où la variable x est traitée comme
indépendante, on fera dans l'équation (la) d^x = o, et
Ton retombera sur la formule

^ — dx^'
comme cela doit être. Si l'on veut au contraire prendre
y pour variable indépendante , on posera rfy = o , et
il viendra

If

d^x fdy^

formule identique avec l'équation {é) du n** cité plus haut.

.>»*»^%1> »»V%»*^%*»^W%%* »*%» %»% %'W»»^»%%^%^

LIVRE DEUXIÈME.

DIFFÉRENTIATION

DES FONCTIONS EXPLICITES D'UNE SEULE VARIABLE.
CHAPITRE PREMIER.

DIFFÉRENTIATION DES FONCTIONS ALGEBRIQUES ET
TRAN SGEND ANTES.

58. Nous avons passé en revue, dans les deux cha*
pitres précédents, les principes généraux de la dériva-
tîpn ou de la difïerentiation : principes applicables à des
fonctions quelconques, et indépendants des procédés
particuliers par lesquels on parviendra, suivant les cas,
à découvrir les valeurs des dérivées ou des différentielles
d'une fonction proposée. Ces principes subsistent y soit
qu'on ne puisse assigner numériquement les valeurs des
dérivées ou des coefficients différentiels que par ap-
proximatioD [44]^^^ séparément pour chaque valeur delà
variable indépendante, comme c'est le cas à l'égard des
fonctions empiriques , qui ne sont données que par une
table; soit qu'on puisse comprendre dans une fonaule
mathématique les valeurs exactes des coeffidents diffé-
rentiels pour des valeurs quelconques de la variable in-
dépendante, comme nous allons voir que cela a lieu à
l'égard des fonctions algébriques et des transcendantes
qui nous sont connues.

En vertu des principes généraux que Ton vient de

DIFFéREirriA.T10ir DES FONCTIONS ALOiBRIQUES. 103

rappeler [55 et suii^.], le problème de la difFérentiation
des fonctions algébriques ^ logarithmiques, exponen-
tielles et trigonométriques, est ramené à la diffërentia-
don des trois fonctions élémentaires suivantes :

i^^ = af'y en supposant à l'exposant m une valeur
quelconque.

2** /- = log X, ce qui donnera la différentielle de la
fonction inverse x = a^ {a désignant la base des loga-
rithmes), ou, par une permutation de lettres, la difie-
rentielle de la fonction exponentielle ^ = 0*.

3** j- = sin X, d'où l'on déduit les différentielles des
autres fonctions trigonométriques, et des arcs qui en
sont les fonctions inverses.

Quand on saura différentier ces fonctions élémentai-
res, la règle pour la différentiation des fonctions mé-
diates donnera les différentielles des fonctions complexes
quelconques, susceptibles de s'exprimer explicitement
par les signes usités en algèbre et en trigonométrie.

59. Occupons-nous d'abord de la fonction or*. En
premier lieu, si l'exposant m est un nombre entier po-
sitif, l'équation (6^ du n® 55 donnera, après qu'on y

aura fait u= if -= w =zx,

d.a^ dx

ou d.x^ = 7na^'^ dx. («)

Si m est égal à une fraction positive^, p et q dési-
gnant des nombres entiers positifs , on posera xi = z,
d où jf = jz!^, et en différentiant d'après la formule (a),

paP"' dxz=zqafi-' dz.
On tire de là

fl& = rf.a:g=^-'^* dxy

104 LIVRE. II. CHAPITRE I.

en sorte que la formule (a) est démontrée pour toutes
les valeurs positives et commensurables de m. Suppo-
sons que m ait une valeur négative et égale à — n^ n
désignant un nombre positif commensurable : on aura ,
en faisant u =jf* dans l'équation (i i) du n^ 55,

I d,oiP'

d.x'^zzzd, --:= --r- = — «a:~"~' dx=imaf^~^ dx ,

au nloye» de quoi la formule (a) se trouvera démontrée
pour toutes les valeurs commensurables de l'exposant ;/2^
tant positives que négatives.

On e$]t:.fondé à çn conclure qu'elle subsiste aussi
pour les V4)^ur$ incommensurables de m. En effet , ad-
mettons qu'on ait, dans le cas de l'ineommensurabilité

de niy

d.sd^

et soit m un nombre commensurable qui pourra diffé-
rer de m d'aussi peu qu'on voudra. Désignons en outre
par a:,, Xo deux valeurs de x séparées par un intervalle
fini , et choisies de manière que la fonction 9 a; ne
change pas de signe dans l'intervalle, ce qui est tou-
jours possible : on aura

x\^ — x^^zm I maf^"^ ,dx + / ^x.dx

J Xo J Xo

xj^' — xj^'=l m'af^'"' dx ;
d*oii
X r^—xf—{x^—x:^')'z=L I mx"^- ' . dx— f mx^' ' Jx

J Xo /^o

J Xi

(^X

Xo

dx.

Mais la différence m — m' convergeant indéfiniment
vers zéro , les quantités

^ wi ^ m' ^^w, ' <*< m'

DIFFERENTIATlOir DES FONCTIONS ALGEBRIQUES. 105

r». rxt r^i

J X9 J X9 «y a?o '

convergeront aussi indëfiniment vers zéro : donc il faut

que l'intégrale définie

rx,
j (fx dx ,

qui ne dépend pas de m', s'évanouisse d'elle-même; et
comme les limites de l'intégrale ont été choisies de ma-
nière que <p a: ne change pas de signes entre ces limites^
il faut que la fonction 9 x soit nulle, pour chaque va-
leur de X.

On doit remarquer deux valeurs particulières de m
qui se présentent fréquemment dans les applications,
les valeurs x et — ^ : on a

^ dx I ^^

^ %Vx \/x aa?i

60. La formule {a) donnant pour jr = x*,

on en tirera par une seconde différentiation

et en général

—X=2m {m — i) (m — 2) (m — /+ i)j?'»— *.

Si l'exposant m est un nombre entier positif, le coef-
ficient différentiel de l'ordre m se réduira au nombre
constant

m {m — i) {fn — a) 3. 2.1;

par conséquent le coefficient différentiel de l'ordre
m -h i et ceux des ordres supérieurs seront nuls. Cette
propriété qui appartient au monôme ,2:'", quand m est
un nombre entier positif, appartient aussi à toute fonc-

106 LIVRE II. CHAPITRE I.

tion algébrique entière et rationnelle de Xj puisqu'on
peut toujours développer une fonction de cette nature
en une suite finie de monômes

Ax^ H- Bj?" + Ca^ + etc. ,
rrij iiy p, . . . . étant des nombres entiers positifs. Si m
désigne le plus haut exposant, il est clair, d'après ce
qui précède, que le coefficient différentiel de l'ordre m
de la fonction dont il s'agit se réduira au nombre cons-
tant

km (m-^i) (m — 2) 3.2, i ,

et que les coefficients différentiels des ordres supé-
rieurs s'évanouiront.

61. Pour trouver la différentielle de la fonction trans-
cendante

y = log.r,

nous emploierons directement la considération des li-
mites. On a

Ay _ log(a?+AJ?)— loga? ^^\ "F>f i ^\^ Ic'J

^x kx kx or' Afl5 '

X

Sx k

Le rapport — converge indéfiniment vers zéro en

même temps que Sx, tant que x n'est pas nul : de

. dr '
sorte que, pour avoir -^, il ne s'agit que d'assigner la

limite vers laquelle converge

log(i-|-6) , , •

^^ J^ ^=log.(i+6)e,

et par conséquent la limite vers laquelle converge le

nombre

t

(i+OS ^ (E) -

quand le nombre e converge indéfiniment vers zéro.

DIFFÉRENTIiLTIOIf DES FONCTIONS ALGlÉBRIQUES. 107

Or, OQ pourra toujours satisfaire à la condition de
faire converger indéfiniment vers zéro le nombre e, en

I

et eu prenant pour n un nombre entier positif de plus
en plus grand. La formule du binôme donnera

|,^- ^ . m ^ n{n—x) i ^ ;i(n~i)(/i— 2) i

1.2

n) V n 1.2/1* 1,2.3 ri

g(fl-i)(rt-2) (/^-v+I) I n(n-»i)(yt-»2) [At-(n-i)] ^

1.2.0 V »^ I.2.Û /l 'l

OU bien

\ «/ I i.2\ /ly i.a.3\ /iy\ /i/

H — ^ — ( '--V'-- ) — rï~')+ —

i.2.i....vV nj\ nj \ nj

-3..!(vn)..«0-9 (4>"(^-i^)'--0"^)- ^"^

Tous les termes de cette suite, à partir du second ,
vont évidemment en décroissant de valeur : nq^is disons
de plus qu'on peut toujours prendre /z et v assez grands
pour que, si Ton arrête la suite au terme

....3....v(4)0'D 0*^)' w

'a somme des termes négligés tombe au-dessous de

I toute grandeur donnée.

En effet , cette somme est plus petite que
^i I I

^ÀC:X^TÔ~^I.2.3....V^V+^ "^I.2.3...v(v-|-l)..../l'

^ a fortiori plus petite que

^ I i^

108 LIVRE II. CHAPITRE I.

donc , à plus forte raison encore , elle est moindre que
la somme de la série

prolongée à l'infini , laquelle est égale à

et tombe au-dessous de toute grandeur donnée, pour
une valeur convenable de v.

Après avoir arrêté la suite (n) au terme (v), si nous
prenons pour n un nombre de plus en plus grand, la
valeur de cette suite convergera indéfiniment vers celle

de la suite

III I

iH 1 1 7+ H ô

I i.a 1.2.0 1.2.0. . . .V

Donc la limite vers laquelle converge le nombre (E),
pour des valeurs de e de plus en plus petites , sera don-
née par cette dernière suite avec une approximation
d'autant plus grande que l'on aura pris pour v un
nombre plus grand et qu'elle comprendra plus de ter-
mes. Donc, si l'on désigne par e, selon l'usage généra-
lement reçu y la limite dont il s'agit, il viendra

III I / X

l 1.2 1.2. O I,2.0.4

le second membre de l'équation étant une série prolon-
gée à l'infini, et convergente en vertu delà règle du n® 26.
D'ailleurs la série

III
1.2 1.2.0 I.2.C5.4
a tous ses termes plus petits que ceux de même rang

dans la série

III

- + — + -3 + etc.,

DIFFERENT! ATIOK DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES. 109

(juiest cdovergente et a pour somme l'unité. Donc la va-
leur de e est comprise entre a et 3.

62. En prenant la somme des \[\ premiers termes de
la série {e) , on trouve

e=i 2,7i8a8 18284

Si l'on n'avait calculé que les neuf premiers chiffres de

la partie décimale de e , le retour accidentel de quatre

chiffres dans le même ordre aurait pu porter à croire

que le nombre e s'exprime par une fraction décimale

périodique , et conséquemment qu'il a une valeur com-

mensurable. Mais cette induction serait trompeuse; et,

en effet , supposons que e puisse être égal à la fraction

tu,
Gommensurable —, en sorte qu'on ait

\ \ \ I I

1.2 1.2.3 1.2.0... V I.2.0...v(vH-l}

liL, V désignant des nombres entiers , on en conclura,
en multipliant tous les termes par le produit continu
1.2. 3. ... V,

i.2.3....(v — i) p — [2*.3.4....v + 3.4....V 4- 4«5....v + + i]

_ I I I

" ïTî "^ (vH- 0 (v-*-2) "** (v-i-i) (v-h2)(v4-3)
La somme de la série qui forme le second membre
«le 1 équation précédente devrait donc être un membre
entier , positif ou négatif, tandis qu'elle est positive et

moindre que — qui est la somme de la série

Y, + 7 Ta + etc.

v+l (v-+-i)* (v+i)^

On démontre aussi, mais moins simplement, que
toutes les puissances du nombre e , à exposants ration-
nels , sont irrationnels , en sorte que e ne peut être la

110 LIVRE II. CHAPITRE I.

racine d'une équation algébrique binôme, ri coefficients
rationnels.

On entend par nombres transcendants ceux qui ne
peuvent être les racines d'une équation algébrique quel-
conque, à coefficients rationnels. Il y a tout lieu de croire
que le nombre e^ comme le nombre ir avec lequel nous
verrons qu'il a une étroite affinité , sont des nombres
transcendants, bien que ce caractère négatif n'ait en-
core été rigoureusement établi ni pour l'un ni pour
l'autre nombre.

63. L'équation

e ■=. lim. (i 4-e)s
n'a été démontrée que sous la condition d'assujettir le
nombre e à converger vers zéro, en passant par une
série de valeurs positives; car la formule du binôme,
sur laquelle nous nous sommes appuyé , quoique subsis-
tant pour des valeurs quelconques de l'exposant /i, comme
la suite le fera voir, n'est ordinairement démontrée dans
les éléments que pour des valeurs entières et positives
de n. Afin de s'affranchir de cette restriction , on peut

poser

I

I +ez= -,

de manière que t s'évanouisse en même temps que e,
et1c[u^à des valeurs négatives de e correspondent des
valeurs positives de e'. Il en résultera

et par conséquent

I f

en sorte que la limite sera la même , quel que soit le
signe de e.

DIFFiRENTIiiTIOir DES FONCTIONS ALGEBRIQUES. 111

64. Donc , quel que soit le signe de — , on a

dr i ^ j dx .

^=-log^, ouflfy = — .logd,

f désignant le logarithme de x dans une base quel-
conque, et le logarithme de e se rapportant à la même
base que celui de x.

Par conséquent, si l'on prenait précisément le nombre
transcendant e pour base des logarithmes , on aurait
simplement

j dx
rfy = — •

X

Les logarithmes dont la base est e sont ceux qu'on
a appelés pendant longtemps logarithmes naturels ou
hyperboliques ^ et que M. Lacroix a proposé de nom-
mer logarithmes népériens y du nom de Neper, inven-
teur des logarithmes , qui avait été effectivement conduit
à considérer le nombre e comme la base naturelle
des logarithmes , ainsi que nous l'expliquerons tout à
ITieure.

Mais immédiatement après la publication de la dé-
couverte de Neper, en i6i4, Henri Briggs, professeur de
niathématiques à Oxford , comprit l'avantage que l'on
trouverait dans les calculs numériques^ à prendre pour la
l)ase des logarithmes la base même de notre numération
décimale. Il en conféra avec Neper, à qui la même idée
étsdt aussi venue, et en i6a4 parurent les premières ta-
bles de logarithmes calculées par Briggs dans ce système ,
^que l'on nomme pour cette raison, tantôt logarithmes de
Briggs, tantôt logarithmes vulgaires ou tabulaires; mais
dans les branches supérieures des mathématiques le
signe bg. désigne toujours les logarithmes naturels ou

112 LIVRE II. CHAPITRE I.

népériens, à moins qu'on n'avertisse du contraire, et
nous nous conformerous à l'usage reçu.

Il est d'ailleurs évident que l'on peut passer, des lo-
garithmes calculés pour une certaine base, aux loga-
rithmes calculés pour une base différente, en multi-
pliant les premiers par un facteur constant. Désignons
généralement par log. les logarithmes calculés dans le
système dont la base est a^ et soient

y = log^ ar , Y = logb x :
on aura inversement

x=av y jc=z b^ j a^ = b^ ^
d'où l'on tire, en prenant maintenant les logarithmes
dans un système quelconque,

^loga = Ylogi,
ou

Si / désigne le logarithme népérien et Y le loga-
rithme vulgaire du nombre x, on aura

Y = ylog. e,
le logarithme de e étant pris dans le système vul-
gaire dont la base est i o. Ce nombre, par lequel il faut
multiplier les logarithmes népériens pour avoir les lo -
garithmes vulgaires correspondants, se nomme le mo^
dule. Nous verrons plus tard comment on peut en cal-
' culer commodément la valeur.
65. Puisque l'équation

» = loga^,

qui équivaut à
donne

réciproquement on aura

X ^a^ y

dx .

DIFFÉRENTIATION DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES. 113

OU

'^='^'^^•1^

d. cS^ = = • a^ dr ^

log. e -^ '

ou bien enfin, en remplaçant^ par x^ d'après rusàgé
oii l'on est de désigner par x la variable indépendante ,

d, a' z= 0^ dx ,

log,e

On a d'ailleurs

les logarithmes qui entrent dans le Second membre de
cette équation étant pris dans un système quelconque \
par exemple, dans le système vulgaire , ce qui donne

d . cû^ -=: , ^ -' a* dx ,
logij

et par suite

d • 6* = €^ dx y

ou bien encore

dx

Ainsi, le coefficient différentiel du premier ordre de
la fonction ^=^, et par suite ses coefficients différen--
tiels ou âes fonctions dérivées de tous les ordres, sont
identiques avec la fonction primitive. Cette propriété ca-
ractéristique et extrêmement remarquable nous donne à
lavance la raison du rôle important de la fonction expo-
nentielle ^ et du nombre e lui-même dans la théorie
des fonctions.

Posons, pour abréger^

loge'
il viendra

T. I. 8

114 LIVRE II. CHAPITRE I.

ou^ suivant la notation de Newton [4^] ^

et l'on sait de plus que, pour .r==o, la fluente^ est
égale à I.

§i donc on imagine deux points ^^ n (Jîg. 28), dont
le premier se meuve sur la droite OX avec une vitesse
ou une fluxion constante, et dont l'autre se meuve sur
la droite O'Y avec une vitesse proportionnelle à sa dis-
tance au point fixe O', de manière à se trouver en A ,
à l'unité de distance du point O', quand le point ^ est
en O ; si enfin Ton admet que la vitesse constante du
point ^ est prise pour unité , et que la vitesse variable
du point Y) est égale à Y quand il passe par le point A ,
les distances variables O Ç, O'yi représenteront fen chaque
instant les valeurs des variables x^j; ou, en d'autres
termes, la fluente OÇsera, dans le système de loga-
rithmes dont la base est a, le logarithme du nombre
représenté par la fluente O'y).

Quand on prend la vitesse Y égale à l'unité ou à
la vitesse constante du point ^, ce qui est la supposition
k plus naturelle ou la moins arbitraire que Ton puisse
faire, OÇ est le logarithme naturel ou népérien de 0'y\.

Cest précisément de cette manière que Neper a conçu
les logarithmes; et il doit passer pour le précurseur de
Newton dans l'invention de la théorie des fluxions , de
même que Kepler et Cavalleri peuvent être considérés
comme les précurseurs de Leibnitz dans la théorie des
quantités infinitésimales.

Il est très-digne de remarque que, contrairement à
la marche ordinaire des inventeurs, Neper ait défini im-
médiatement la fonction logarithmique par son carac-

DIFFIÊRENTIATIOW DES FONCTIONS ALGEBRIQUES. 115

tèœ essentiel et éminent , au lieu de partir de ces pro-
priétés secondaires par lesquelles on définit encore les
logarithmes dans les éléments, et qui sont la base de
leurs applications vulgaires.

66. La différentielle de la fonction logarithmique nous
adonné celle de la fonction exponentielle : il est bon de
remarquer qu'elle donnerait aussi, de la manière la plus
simple, celle de la fonction x^^ l'exposant m ayant une
valeur réelle quelconque ^ positive ou négative, cominen-
surable ou incommensurable. En effet, de

on tire

et en difierentiant

dy dx ,

y ^

donc

y

dfz^zm^dx ^=z mx^r^ dx . (a)

Mais alors la démonstration de cette dernière formule
suppose celle de la formule du binôme, au moins dans
le cas d'un exposant positif entier : celle que nous avons
donnée en premier lieu n'est pas soumise à la même'
condition, et peut servir au contraire à établir la for-
mule da binôme , comme la suite le montrera.

Réciproquement, la formule (a) étant démontrée, on
eu déduit la dérivée de la fonction logarithmique. Dési-
^ons en effet par 9^ la fonction log x et par (f'x sa
dérivée inconnue : on aura

9(0:"*) -=1 mf^X y

*^l en difïérentiant conformément à la règle de diffé*
rentiation des fonctions médiates,

8.

116 LIVRE II. CHAPITRE 1.

OU bien , en vertu de 1 équation (a),

Cette dernière équation ne peut subsister , pour de$
valeurs quelconques de ^ et de m, qu'autant que ^<p'.x:
se réduit à une constante dont on obtient la valeur en
faisant m=o dans le premier membre. Si donc on dé-
signe par k cette constante égale à ç' (i), il viendra

k , - kdx

©'a: = — , ou a. Xogxzn — - ,
X ^ X

ce qui peut servir à retrouver tous les résultats précé-
demment obtenus.

67. Passons maintenant aux fonctions trigonométrie

ques, et posons d'abord

y = sin ^ :
nous aurons^ en employant encore directement pour cette
fonction transcendante la considération des limites ,

At/ sinf^+A^) — sin ^ sin ^ Aj? , .
-^= — ^^ -^ = -r-^ cos(:c+|a^).

Le facteur cos ( x-^^tiX ) a pour limite cos x , lors-
que A ^ converge vers zéro; quant au facteur
sin I A^

il a pour limite l'unité. En effet , de l'identité

sin e

z= cos e ,

tanç e '

il suit que le rapport du sinus à la tangente a Tuaité
pour limite^ quand l'arc converge vers zéro : d'ail-
leurs, en vertu d'un principe de géométrie bien connu ,
la longueur d'un arc est toujours comprise entre celle du
sinus et celle de la tangente ; donc, à fortiori^ le rapport

sine

£

a l'unité pour limite.
Donc

dr

-j- = cos X ,
ax

DIFFÉRENTIATION DES FONCTIOWS ALGEBRIQUES. 117

OU

d . %m X =2 cos X . dx . {b)
On trouverait directement, par un calcul tout à fait
semblable y

d . cos x= — sinx .dx ] {c)
dailleurs , si Ton pose

cos X'=zsmz ^
d'où

Zz^^tZ — X ,

il viendra

d . cos x=zd . sin 2 = cos s dz ;
et comme

rfz = — fltr , cos z:=.%\n X ,
on retombe par cette voie sur Téquation (c).

Les différentielles du sinus et du cosinus nous don-
nent celles des autres fonctions trigonométriques. Ainsi
ToD aura

j , /sin a:\ cos^^. sin j;— • sinor. éi^. cosx

a.taDfi[.a: = rf. ( )='-^ ; '-"

° \cos^/ cos* a:

(cos* X + sin' x) dx dx

cos'^r cos* X *

et par des calculs analogues ,

dx

d. col XZ=Z r— r— 1

sm'a:

, , sin xclx

d . sec X :

rf. coséca:=-

cos'j; '
cos xdx

siii'x
\a fonction ^'tz=sin x ayant pour différentielle

dy=^co&xdxz=.\/^i — j". dx ,
Q aura inversement

dxi

dy

d, arc sin r= ^ ,

118 LIVRE II. CHAPITRE I.

OU bien, en changeant jr en .r, afin de désigner toujours
par X la variable indépendante ,

, . dx

a . arcsmo::

X/'i—x^

On trouverait de la même manière

dx

arc cos xz=. —

dx
arctangx =

d . arc cot a: =z= —

dx

i+x^

Pour l'interprétation de toutes ces formules, il faut
concevoir que, le rayon du cercle étant pris pour unité,
les sinus et cosinus sont des fractions positives ou néga-
tives dont la valeur numérique est comprise entre zéro
et I. Quant aux arcs, ce sont des nombres nécessaire-
ment rapportés à la même unité métrique que les sinus^
cosinus, tangentes^ etc., sans quoi il n'y aurait point
d'homogénéité dans les formules, et la relation d'où nous

sommes parti ,

,. sine

lim . = I ,

n'aurait aucun sens. Il faudra donc que les arcs soient
mesurés, non point par le nombre de degrés qu'ils con-
tiennent, lîiais par les rapports de leurs longueurs à
celle du rayon prise pour unité. Si un arc était exprimé
en degrés seKagésimaUK par le nombre X*, on aurait le
nombre x qui doit être substitué dans les formules, par

la proportion

180° : X" :: TT : ^,
où Tz désigne, comme à l'ordinaire, la longueur de la
demi-circonférence dont le rayon est l'unité.

Si Ton prend pour unité angulaire la seconde sexagé-

DIFFÉREUTTIATION DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES. 119

simale^ comme cela se pratique dans les calculs de pré-
cision, et si l'arc est exprimé en secondes par le nombre
X", le nombre x se déterminera par la proportion

648000" : X" :: w : a: ,

(l'où

X

x " ^-^— ^— — — ^^— •
206264,81. . .

Oa a souvent besoin de connaître la valeur en degrés.
de l'arc pour lequel x=i 1 , ou dont la longueur est égale à
celle du rayon du cercle. Cette valeur est 57*i7'44"8i
=2o6264",8i.

On tire des équations (i) et (c) :
rf\ sinx . rf* . cos j:

ainsi, les deux fonctions j^=zs\n x, ^-=€0$ x jouissent
(Tune propriété commune et fort remarquable, expri-
mée par l'équation

cby

De là on conclut immédiatement

i^» . sin x ' . rf'* . cos X _, \

—7-7 — c= ± sm a: , -, — : — . = ± cos x , j

rf^'+\sina: . rf*«+'cos:r . \ ^ ^

~-^r:îr — = ±cosd:, = — 7-r — =z q; sm a: , \

les signes supérieurs ou inférieurs devant être choisis
selon que le nombre entier / est pair ou impair.

68. Les exemples suivants suffiront pour indiquer la
marche à suivre dans la difTérentiation des fonctions
complexes.

Soit proposé de différentier :

On fera ax^ + b=:u ,

d'où

/= u^ ^ df= nu^~^ du , du = maxi^"" dx ,

120 LIVRE II. CHAPITRE I.

et enfin

dy = mna {ax^ 4- A)"*" x^"^ dx.

a° y = log. sinx.

On posera sin ^ = i/ ,

d'oïl

j= log u ^ dy=. — ^ da=z cos x dx ,

et finalement

, dx

tang:i:

3** /=log jj; + l/i+«'j-

On emploiera deux variables intermédiaires

ce qui: donnera

rf;^ = — , du-=idx + — y= ^ dv =z 2 X dx,

et après toutes réductions,

, dx

«7 =

J"'

I

J/r' — a,TT cos a: 4- r"
On posera

u-=f^ — a rr' cos :c 4- r'» ,
d'où

r == — rr ^ dY:=z r , du z=r ^tt' sin X i

et par suite

, rr' sin x dx

dy=z

(r* — 2 rr cos x + '''Oi^

CHAPITRE II.

COMPARAlSOir DES TRANSCENDANTES LOGARITHMIQUES,

EXPONENTIELLES ET CIRCULAIRES. FORMULE DE

MOIVRE ET NOTIONS SUR LA THÉORIE DES SECTIONS
ANGULAIRES.

J i". Comparaison des transcendantes logarithmiques , expo-
nentielles et circulaires.

69. Dans le chapitre qui précède , on a donné les
règles pour la difTérentiation des fonctions exponen-
tielles, logarithmiques et circulaires, qui sont les seules
fonctions transcendantes que Ton considère dans les par-
ties élémentaires des mathématiques; mais ce sujet de-
mande à être étudié plus à fond et sous des rapports
divers, parce qu'il sert de fondement aux calculs de l'a-
nalyse supérieure.

Nous avons vu que Neper était parti d'une relation
équivalente à l'équation différentielle

£=^' w

pour définir la fonction exponentielle

ou la fonction logarithmique qui en est l'inverse,
X = logj.
En effet, cette équation différentielle , jointe à la con-
Ation que x s'évanouisse pour^crzi, caractérise essen-
tiellement l'une et l'autre fonction transcendante, en
fixant la loi* très-simple d'après laquelle ces fonctions
varient sans discontinuité. Les définitions élémentaires
qu'on donne des logarithmes en arithmétique et en

122 LIVRK II. — CHAPITRE II.

alg^re, n'eu sont que des conséquences , et n'expriment j
par comparaison j que des propriétés secondaires de la
fonction logarithmique.

Il est facile de se rendre compte y d'après la foime de
l'équation (a), du rôle que doit jouer la fonction expo-
nentielle dans l'expression d'une foule de phénomènes
naturels, et notamment de ceux qui pourraient se clas-
ser sous la dénomination générique de phénomènes d'ab-
sorption ou d'extinction graduelle. Que l'on se repré-
sente un corps mû dans un milieu résistant qui lui
enlève sans cesse une partie de sa vitesse. La résistance
du miheu, ou l'absorption de vitesse dans un instant
infiniment petit , dépend évidemment de la vitesse du
corps : elle croît avec cette vitesse, s'évanouit quand la
vitesse est nulle, reste très-petite quand la vitesse est
très-petite, et, par conséquent [5], pour de très-petites
valeurs de la vitesse , est sensiblement proportionnelle à
la vite^e du corps en chaque instant. On a donc une
équation de la forme

y désignant la vitesse supposée très-petite, t le temps,
et k un certain coefficient constant. Or, cette équation
se change en

dx

y

quand on pose x= — fct; et si l'on prend pour unité la
valeur de jr au moment où l'on a i:=o, ou ax=o, il ré-
sultera de cette dernière équation

/ = d*= e-**, ou^z= — ^logj.

Un raisonnement semblable s'appliquerait à l'extinction
progressive de la lumière et de la chaleur dans des mi-

COMPARAISON DES TRANSCENDANTES. 123

lieux absorbants , aux déperditions de chaleur et d'élec-
tricité par le rayonnement des surfaces ou par le con-
tact d'un milieu ambiant, et à tous les phénomènes
analogues.

70. Suivant la. notation des intégrales définies que
nous avons fait connaître [5i], on peut écrire

ou

La fonction logarithmique n'est donc qu'une inté-
grale définie, et nous l'avons qualifiée de transcendante,
non-seulement parce qu'on n'a pas pu jusqu'ici l'expri-
mer algébriquement y mais parce qu'en effet, comme on
le démontrera plus tard, elle ne comporte pas d'expres-
sion algébrique , explicite ou implicite. Cette considéra-
tion doit nous mener dans la suite à regarder les inté-
grales définies comme constituant de nouvelles fonctions
tianscendantes , toutes les fois qu'elles ne peuvent pas
s'exprimer algébriquement, ou par d'autres transcen-
dantes déjà définies.

Le nombre transcendant e est la valeur qu'il faut as-
signer à la limite supérieure de l'intégrale , pour que la
valeur de cette intégrale soit égale à l'unité; ou, si l'on
veut, c'est une constante déterminée implicitement par
Téquation transcendante

71. Supposons que l'on cherche une fonction ç.r,.
tftilç qu'on ait , pour toutes les valeurs de x et de 2,

cp j: + <p^ =: <p {x£) . (A)
En faisant dans cette équation 2=0 , on en tirera

<p:r4-?(o)=?{o);

124 LIVRE II. CHAPITRE H.

en sorte que, si ç (o) avait une valeur finie quelconque ,
9 X serait nulle pour toutes les valeurs de x. Donc la
fonction cherchée épcouve une solution de continuité
pour x=X).

Faisons dans la même équation z=i, nous aurons
<par + <p (i) = <p {x) , ou (p (i) = o . (Ax)
On peut différentier l'équation {b) par rapport à o: et
par rapport à >z , en y considérant successivement x et z
comme variables, ce qui donnera, d'après les règles
déjà exposées,

tf' x=zzff* (xz) , <f' z = x<f* (xz) y
et par conséquent

X (^' X ZZZ Z (f^ z.

Donc la fonction ç est telle que le produit x fx ne dé-
pend pas de j: , et qu'on a

xtf' x=z k ^
k désignant une constante quelconque, ou

dfs^x k .

dx X
et puisque la fonction ç^ doit se réduire à zéro pour
.m j , on conclut de cette dernière équation

(fxzrzkj — = ^loga:.

Effectivement , l'équation (i) exprime la propriété qui
sert de base à l'usage vulgaire des logarithmes; et nous
aurions pu, comme on vient de le voir, partir de cette
équation , ou de la propriété qu'elle exprime , pour
trouver la difTérentielle de la fonction logarithmique.

72. Soit une autre fonction ^ caractérisée par Té-

quation

^x .^z=.^{x + z) , {c)

d'où l'on tire , en faisant z=o ,

COMPARAISON DES TRANSCENDANTES. 125

Si Ton dîfTérentie réquation (c) par rapport kxet par
rapport à z, il viendra

et par suite

Yx Y^

^x ^z
kins\\ l'on doit avoir

■f-^ =: a , ou —7— = « J; JT

^x dx ^

(f désignant une constante quelconque que nous suppo-
serons d'abord réelle. Or , nous savons par ce qui pré-
cède que la fonction de x qui satisfait à cette équation
difTérmtielle et à la condition ^ (o)=f , est

et, en effet, l'équation (c) n'est que là traduction de la
règle fondatnentale du calcul des exposants; en sorte
(juenous aurions pu partir de cette équation pour trouver
directement là différentielle de la fonction exponentielle.

Supposons maifitenant que la constante a soit imagi-
naire, ou de la formé a-i-PlX^Hii : la fonction ^x sera
elle>méme[i7] "^^ quantité imaginaire de la forme
fx -^ix v/ZTi .

En effet, l'équation

rf . 4^^ = (a 4- p \/^\) ^x dx {d)
peut être remplacée par

A • 4;^=(a+pl^— i) ^x^a: ,
avec une approximation d'autant plus grande que l'on
prend pour tiX une fraction plus petite. Ainsi , à cause
dei];(o)=i, si Ton prend, par exemple, Ar=o,ooi,
cette valeur de A x étant regardée comme une quantité
très-petite du premier ordre [44^^45], on aura, en né-
gligeant les quantités très-petites du second ordre,

126 LIVRE II. CHAPITRE II.

i^ (o,OOl) = I + 0,001 ( a -f- p l^ — I ) ,
^ (0,002) î= [i + 0,001 (a -4- p )/ — I )]* ,
^ (o,oo3) = [i 4- 0,001 ( a + P l^^)Y ,
etc. ,
et toutes ces valeurs de la fonction ^ sont réductibles à
la forme

fx+vl/ — I .
Comme l'erreur commise par la substitution d'une dif-
férence finie A.r à la différentielle dx peut être indéfiini-
ment atténuée , il s'ensuit , non-seulement qu'il existe
effectivement une fonction

ij; j7=/à? 4- fjrlx' — I ,
jouissant de la propriété de satisfaire aux: équations (c)
et (cj , et par suite à l'équation (d) , mais encore que
les fonctions réelles ^Tr, fr, qui entrent dans la compo-
sition de ^Xy peuvent être calculées numériquement,
pour une valeur quelconque assignée à .r, avec une ap-
proximation indéfinie.

A cause de l'équation (c©) , on a

/(o) = i, f(o) = o, (e)
et il vient, en vertu de l'équation (c),

(fv+fa:\/'^){/z+ fcv/'=l)=/(a;+z)+f(;c+2)|/^,
d'où l'on conclut

fx.fz — ix. £2=:/(^ + «),|

formules dont les conséquences seront développées tout
à l'heure.

Puisque l'équation (c) n'est que la traduction de la
règle algébrique pour le calcul des exposants, il s'en-
suit que nous pouvons désigner par ef^ , même lorsque
la constante a est imaginaire , la fonction ^ x qui jouit
de la propriété de satisfaire aux équations (c) et (cq) :

COMPARAISON DES TRAWSCBITDANTES. 127

car, bien que l'on ne puisse pas élever un nombre à une
puissance imaginaire, et qu'ainsi l'expression ef^ , quand
Qx est imaginaire , n'indique pas une opération arith-
métique possible, exactement ou par approximation,
cependant, lorsqu'on appliquera les règles du calcul
algébrique à une telle expression, on se conformera à
la nature de la fonction ^ qu'elle représente , et l'on
arrivera nécessairement à un résultat exact.
73. La fonction transcendante
y = sin â;
ayant la propriété de satisfaire à l'équation différentielle

«fy == cos xdx ^ {g)
ou

rfy = V/^I=7.d^r, {g)
00 peut faire abstraction de la signification géométri-
que attachée à la fonction /, et la caractériser par la
double condition d'être nulle en même temps que x et
décroître avec continuité suivant une loi exprimée par
l'équation (§•'). On peut aussi envisager la fonction in-
verse comme une intégrale définie , et écrire

arcsmy
ou en changeant de lettre

p dy

ttre

/ * dx

arc sm a: = # . ^ >

en sorte que le nombre transcendant tz sera déterminé
par l'équation

/^ dx

128 LIVRE ir. — CHAPITRE II.

Les équations (g) et (^) coïncident pour les valeurs
de y comprises entre — i et -f-i , ou pour les valeurs
de X comprises entre — -j tt et + ^ ir; mais quand x vient
à dépasser 7 tu, il faut, d'après ce que la trigonométrie
nous enseigne sur le changement de signe du cosinus,
remplacer l'équation (g') par

rfy =z= — l/i— y' . ttx . (g")

En effet, il est impossible que l'équation (g') subsiste
pour des valeurs réelles de/, après que la variable j:,
réputée indépendante et dont par conséquent rien ne
gêne l'accroissement continu , vient à dépasser la valeur
pour laquelle ^^'^=1 : car alors l'accroissement dx étant

positif, et le radical J/j ^^ étant pris positivement,

djr serait positif, d'où il résulterait que ^dépasse la va-
leur I , et qu'ainsi le radical ^| y» devient imagi-
naire ; ce qui ne peut arriver sans que d/- et par suite j
prennent des valeurs imaginaires.

74. Mais , pour démontrer directement que l'on doit
passer de l'équation (g^) à l'équation (^") , sans rien em-
prunter à la trigonométrie, ni dans cette démonstra-
tion, ni dans la définition de la fonction/, considérons
deux fonctions îx^fx^ déterminées simultanément par
le système des deux équations différentielles
d . ix ^=-fx dx , (f)
d ^fx=. — ix'dx , (/ )
jointes aux conditions

f(oj = o,/(o) = i. (4)

On tirera de ces équations

îxd .fx -i-fx d .fx == o ,
ou

irf.[(f:r)»H-(/r)»]=o-

et de là on conclut

(Cr )'+(>)• = €,

COMPARAISON DES TRANSCENDANTES. ! 29

C désignant un nombre quelconque, indépendant de x.
Mais les équations (J^) donnent

(fo)»+(/o)' = i;

donc

Cela posé, tant que fx passe, pour des valeurs crôîs-
saotes de x, de la valeur p à la valeur i , d.îx est po-
sitif ainsi que djc : àoncfx est positif en vertu de l'é-
quation (/), et l'on a ^

ft = l/i— (fa:)* .
Désignons par ^ tu la valeur de x pour laquelle an a
fx=:i, et par suite fx = o. En vertu de l'équation
(y), d, fx est négatif, et fx va en décroissant, pour des
valeurs croissantes de Xi^ tant que ix est positif; donc ,
prdes valeurs de x plus grandes que \ ir,/i:, aprèà
avoir passé par zéro deviendra négatif, et sera égal à

Donc Ix croîtra et décroîtra symétk*iquement en deçà

et au delà de sa valeur maximum f (4 ir) = i, de sorte
qu'on aura

f(47C+^) = f(^7C— ^).

Par conséquent

_f(«)=f(o)=o,/(«)=^i,
La variable. indépendante x venant à dépasser la va-^
leur X, et fx étant négatif, d. f x sera négatif et fx
continuera à décroître en prenant des valeurs négatives.
Or, comme fx ne change pas de valeur pour des va-
leurs de îx numériquement égales et de signes contrai-»
fes, il en résulte encore que l'on a

f (w+z) = — f(Tr — J3) ,
«tpar suite

f(l^)=_f(^^)=-i,/(l^)=o.
Lorsque x aura dépassé la valeur \Tz^fx redevien-

T. I. ç

130 LIVRE II. CHAPITRE 11.

dvsL positif y îx recommencera à croître algébriquement
en passant par des valeurs numériques de plus en plus
petites; et par la raison déjà indiquée il décroîtra et
croîtra symétriquement, en deçà et au delà de sa va-
leur minimum f (1^)=^ — i, de façon qu'il viendra

f(i«+^)==f(f^-*),

et enfin

f(2TC) = f(Tr)=:0,/(2'7c)=I .

En ce moment, les valeurs de fx et de fx redeve-
nant ce qu'elles étaient pour x=Oj f (x) repassera par
la même série de valeurs également espacées, et l'in-
tervalle de la période sera égal à 27r.

On discuterait de même la marche périodique de la
fonction f, et l'on étendrait cette discussion aux va-
leurs négatives de x.

Ainsi, la règle pour le changement révolutif des si-
gnes des sinus et cosinus, qui n'était établie en trigono-
métrie que par induction, et par la vérification des for-
mules lorsqu'on les étend, d'après cette règle, aux arcs
plus grands que le quadrant, ou même plus grands
qu'une circonférence entière, dérive en effet de la loi
de génération de ces fonctions, abstraction faite de
toute signification géométrique attribuée à la variable
X et aux fonctions qui en dépendent.

75. Considérons la fonction

^x = cos x H- sin :r . *^— -i :

la différentiation donnera ^

Yx =:= — sin a: + cos a: V^ — x =<|/:r . ^ — i ,
ou

^x . — i

D'ailleurs, la fonction '^x ^e réduit à l'unité pour

COMPARAISON 1>ES TRANSCENDANTES. 131

x=z4)i donc [7a] la fonctioa ^x peut se représenter
par e '^-'^ et ron a cette formule fondamentale

c*^^=^:=: ces X + sin ;r . V^ — 1 . (A)
Il est bien évident en effet que les fonctions cos x, sin x
jouissent des propriétés qui doivent appartenir aux
fonctionsyo:, f ^, en vertu des équations (e) et (/).

En changeant le signe du radical dans l'équation (Â)^
on aura

er-'^^^ =zcosx — sin:c .J/ — i ,
d'où Ton conclut

cos or = 7 1

sin X = . I

a V^ — I

Ces formules, sans cesse employées dans l'analyse, ont
été publiées pour la première fois par Euler, qui les
attribue à son maître Jean Bernoulli.

On exprimerait de même en exponentielles imaginai-
res toutes les autres fonctions trigonométriques ; par
exemple :

76. L'équation (A) donne encore

a:l/'II7==:log (cosx+sinar. VlTT)-
et si l'on fait j;z=2i(7r,N/'désignant un nombre entier
quelconque , positif ou négatif, on en tirera
log . I = aj^ s/"^ .
Ainsi, la signification des exposants imaginaires, et ;
par suite celle des logarithmes imaginaires étant fixée ,
il en résulte que Tunité a une infinité de logarithmes
imaginaires , en outre dii logarithme réel zéro corres-
pondant à i^o. Il faut aussi en conclure qu'un nombre

9-

132 LIVRE II. CHAPITRE II.

positif quelconque a une infinité de logarithmes imagi-
naires ; car, en vertu de l'équation identique

; a = a XI,

j on aura

loga=(loga) 4-logx = (loga) -f- 2/^ V^-i ,

(log à) désignant le logarithme réel de a.
On trouverait de là même manière

log(— a)=(loga) + log(— i)=(loga) + (iiï^i)7ci/'::::r>
et cette formule montre que tous les logarithmes des
nombres négatifs sont affectés dMmaginarité.
Enfin l'on aurait ^'U ^

log(v/-r)=^^^v/irr,

log (— v/37) = ^^^^^ v/=T ,

valeurs qui restent imaginaires , quel que soit L

Il n'y a pas, dans l'analyse mathématique, de fait

V plus remarquable que cette liaison inattendue qui s'éta-
blît, comme une conséquence de l'emploi du signe al-
gébrique V/^, d'une part, entre les fonctions expo-
nentielles et les fonctions trigonométriques , d'autre
part, entre les logarithmes et les arcs de cercle : c'est-à-
î dire entre des fonctions si diverses de nature et d'ori-

^ ! gine, tant qu'on ne remonte pas à la loi qui régit leurs
accroissements différentiels.

S a. Formule de Moivre et notions sur la théorie des sections
angulaires.

77. De l'équation (A) on déduit, en désignant par
/^ un nombre entier positif ,

^«rv'ZT -:=. cos nx + sin nx . 1/H7 ,

THiORIK DES SECTIONS ANGULAIRES. 133

et par conséquent

[cosx 4- sin X . v/— i)** = cos na:+ sin nx . V^~i . (C)
Cette équation se décompose en deux autres, comme
toutes celles qui renferment à la fois des termes réels et
des termes imaginaires. Ainsi , pour n = a^ on trouve
(cos'j:— sin' j74-a sin j;cos j; . v/— i =cos ax+sin 2X. V^~iy
ce qui équivaut aux deux équations bien connues :
sin 2 or = a sin a: cos x ,
eos aa:=cos»jr — sin'x .
Le même calcul donnerait, pour n=3j
sin 3 or = 3 cos' ^ — sin' x ,
cos3jr=cos^ j7 — 3 cosorsin'^r .
Afin de généraliser ces résultats , nous remarquerons
que l'équation (C) donne, par le changement de signe
du radical ,

(cosa: — sin a: . l/II7)*=cos/iar — sin/tx. l/HI ,
ce qui conduit aux expressions

(cos Jî H- sin a:. v/IH7)'* + (cos:r — sinar.l/Hï)*

cos/trzz:^ ^ ^ ,

2 *

rcos:rH-sinar. V'^'^^Y — (cos:r — sin x. \/~j)n

5in/u?=i — -è= _i_ .

a V/— 1

£d développant les puissances par la formuîe du bi-
nôme, on fait disparaître les imaginaires, et il vient:

/if/i— i) . ,

cos 710:== cos" X ^ cos'*~»a? sm' x

i.a

n(n — lY/i — a)/i — 3) * . , r^v

H- -^^- ^ ^ \ ^cos"-*a:sm*a:— etc. , (D)

dn — il(/î— a) , . , A^x

8iii;u:=:;icos*~'xsma: ^ ^^-« cos»-^a:sm^;r-hetc. (E)

I • a • o

Ces deux formules ne comprennent qu'un nombre fini

détenues, toutes les fois que n est un nombre entier

positif, comme nous le supposons ici.

78. Soit, pour la simplicité du calcul,

cos X + sin X \/ZZl = u , cos x — • sin ^ l/H7 "=. v y

/!

134 LIVRE lï. CHAPITRE II.

d'oîi

uv=z I , M-f-?; = a cos^, m— -2; = » sin x l/HT :
la formule du binôme donné , toujours dans le cas d'un
exposant n entier et positif,

n ^ . n(n — i) ^ .

( 2 cos^ Y=i(u~v-vY=iu^ + -tt" ~ ' t; H — ^^ ' 1*^

OU bien , à cause de w (/= i ,
(2 cos xY =zu^ + ^u!^^ H — i ^ M*»-^ +

I 1.2

n(n — i) ^ , n ^ .

1.2 I

Mais on a d'ailleurs
i£* = cos nx + siTLnx \/ZZl , 2/*=cos nx — sin nx l/HT :
donc

(2 cos Jî)**=cos wa?+wcos(« — 2)rH — ^ "^ ^cos {n — 4)^4-

-J — ^^ cos {n — 4) :f 4- /i cos {n — 2} x + cos nx

1.2

+ 4/— I sîn/2a:4-/isin(n— 2)a:-h-^ ^sin(/i— 4)^aH-....

^ -^sin(/i_-4)^"~'»sin(/i— 2)j?— sm/ia: . {m)

La partie réelle du second membre est formée de
termes tous égaux deux à deux, à l'exception du terme
moyen , dans le cas où n est pair : par la même raison ,
la partie imaginaire est formée de termes qui se dé-
truisent deux à deux, le terme moyen s'évanouissant
de lui-même si n est pair. Ainsi l'on a, pour les valeurs
paires de n,

(2çosa:)"=2 1 cos nx+n cps(/i — ^)x'\- ^ ^cos{n — JS^x

«(«-!)......? -| «(«-,) Q+l)

-) — -COS :ix + , (F.)

THl£ORl£ DES SECTIONS ANGULAIRES. 135

et pour les valeurs impaires de cet exposant,
(2C0sar)"=:a j cos nx-^ncos^n — 2)x-| — ^ -cosÇn — 4)^—

-(»-.) (!^)

H ^ ^coso: I . (F.)

j • (F.)

'•^•3 (^)

Od trouve de même, selon que n est pair ou impair,

' ^ ^ i.a
=cos;iar — ncos(n — a)ar+— ^ Uos(n — 4)^

+ i/— , Isii

,.=p/icos (n— a) j:±: cos na:
sm/ior — nsirï(n — a) j:H — ^-- sm(/i— 4)-^ — • • •

±nain(n — a)âcpsin/ti2r . {m')

Dans le cas où n est pair, la série qui multiplie (/^ — i,
dans le dernier membre de l'équation , s'évanouit comme
précédemment; les termes de la partie réelle s'accou-
plent, à l'exception du terme moyen, et Ton a

'-ijïf Minj: J =a|cos/iar— /icos(/i— a)j7-|- -^^ ^cos(/i— 4)*-

± ; ^cosa^ Iq; ,(tij

n
I.

a

1 «(«-o-.(^-

'r T^

I i.a.o....-

i.a.3....(~i^

formule dans laquelle il faut prendre les signes supé-
rieurs ou inférieurs selon que - est pair ou impair.

Dans le cas où n est impair, c'est la partie réelle du
dernier membre de l'équation {m'\ dont les termes se

136 LIVRE II. CHAPITRE II.

détruisent deux à deux, et la partie imaginaire dont les
termes s'accouplent. Après qu'on a divisé de part et
d'autre par l/^, il vient

f —I j » ( 2sirïxj =2 sin/ia?— /îsin(/i— 2)^+— ^^ sin{n — 4)^ —

«(«-0 l~) ,

± — — — -sinar . (G,)

-' (^)

79. La formule (C), due à Moivre, et qui porte le
. nom de ce géomètre , fournit inmiédiatement l'expres-
: sion des racines des équations de la forme
/ a:^ipi-=o,

auxquelles on sait que peuvent se ramener toutes les
équations binômes.

Prenons d'abord l'équation

^ — 1=0, {n)
et posons

jc =:cos<p 4- sin <p . W^IIIÏ :

cet angle <p devra être déterminé de manière à satis-
faire à l'équation

cos «9 + sin wcp . j/ZIi = i ,
qui se décompose en deux autres

cos /ijp = I , sin /icp = o ,
auxquelles on satisfait simultanément si l'on prend

(f = , et par conséquent

2JTC . 211: .V

a:=cos h sm • V—i , (p)

i désignant un nombre entier quelconque.

Il est clair que lorsqu'on attribue à i les n valeurs,

entières

o , I , 2 , 3 , ...... /i — I j

THEORIE DES SECTIONS ANGULAIRES. 137

OQ â autant de valeurs différentes pour .r; tandis que ,
si l'on attribue à / des valeurs entières , soit négatives ,
soit positives , mais numériquement plus grandes que
/2—I, on retombe sur des valeurs de x déjà obtenues.
Ceci résulte de la formule

cos
sin

2(^/i-hr)7c cos / , 2riç\ cos j un

n sin V n / sin ( »

7

OÙ r désigne un nombre entier, positif et plus petit
^^n, et k un nombre entier quelconque, positif bu
négatif.

Le nombre des racines distinctes données par la for-
mule (/?) est donc le même que celui qui exprime le
Jegré de Féquation (/ï), conformément à la théorie des
équations algébriques.

La valeur /::^o donne la racine réelle j;= i, et si /2
est pair, auquel cas — i est une autre racine réelle de

l'équation, cette racine correspond à la valeur /=-.

Toutes les autres valeurs de / donnent des racines ima-

Oq sait qu'une équation algébrique à coefficients
réels a toutes ses racines imaginaires conjujguées , de
manière que le produit dfe deux racines conjuguées

a H- p v/37 , a— p ï/ZT
est une quantité réelle positive a*+P^. La formule {p)
satisfait à cette condition ; car on a

2(n — rV 2m . 2(71 — r)w . aTic

cos-^ £- =cos — , sm— ^^ ^ = — sm >

n n n n

oe façon que la racine imaginaire donnée par la valeur

^ se conjugue avec celle qui correspond à i=n — r.

On peut donc exprimer toutes les racines de l'équation

Wî ou toutes les racines de Vimitéy par la formule

138 LIVRE II. — CHAPITRE II.

jjzzrcos it sin • l/— I ,

n n

\ dans laquelle on n^atlribuera à i que les valeurs entières

' de o à -inclusivement si n est pair , et de o à si n

est impair.
1 Les facteurs réels du second degré , qui sont le pro-
I duit de deux facteurs imaginaires conjugués , se trouvent
I compris dans la formule

2«W

œ^ — Q^x cos h I

Cette proposition , à laquelle on peut donner facilement
un énoncé géométrique, est connue sous le nom de
Théorème de Côtes.

L'équation

a:» H- I = o
, donne lieu à des formules analogues que l'on obtient en
; écrivant dans celles qui précèdent li+i au lieu de ii.
Réciproquement, toutes les fois que Ton saura ré-
soudre algébriquement une équation binôme

^zp I z= o ,
c'est-à-dire exprimer ses racines imaginaires par un sys-
tème de radicaux algébriques , on aura une expression
algébrique des lignes trigpnométriques
sin J a/ic sin l (2/4-1)^

cos \ n ' cos I n '

et en particulier des lignes

air aie

sm — , cos —
n n

Donc, si ces racines imaginaires s'expriment par un
système de radicaux du second degré, que l'on puisse
construire avec la règle et le compas ^ comme on l'en-
seigne dans les éléments de la géométrie analytique , on

THEORIE DES SECTIONS ANGULAIRES. .139

pourra coDstruîre avec la règle et le compas le sinus ou
le cosinus de Tare qui est la rl^ partie de la circon- ,
ërence, ety par conséquent, diviser géométriquement'
(daos le sens des anciens) la circonférence en n parties
égales. On voit par là comment ce problème, si célèbre •
chez les géomètres grecs, se rattache à la théorie de la \
resolution algébrique des équations, qui elle-même se \
lie étroitement à la théorie des combinaisons et à celle '
des nombres. Mais ce n'est pas ici le lieu d'insister
sur ces rapprochements très -curieux, qui intéressent
platôt la philosophie des mathématiques que leur appli- '
cation aux autres sciences positives. |

80. On résout, à l'aide des tables trigonométiûques,
Don-seulement , comme on vient de le voir, les équa-
tions binômes , mais encore les équations trinômes de
la forme

J3*~ — 2aj8'* + ft=o; (y)
car, si l'on en tire pour >z' une valeur réelle, elles se
ramèneront immédiatement à des équations binômes du
Jegré n; et dans le cas contraire, où l'on a a^<b^ on
pourra poser

:=v':

b.x^ — r==:±:cosX,

^désignant un arc plus petit que le quadrant : au moyen
Je quoi l'équation (^) prendra l'une des deux formes
a?^ — 2 3é^ cos X H- 1 = o , (y,)
«*** -h a a:* cos X + I = o . (y,)
Admettons que ce soit la première , et posons
X = cos <p + sin <p . l/'HT ;
« valeur de l'angle ç devra satisfaire aux conditions,

cos 2 7iCp 2 cos Wp . cos X -f- X = O ,

sîn 2 izf — a sin /Z(p . cos X = o ;
^^elle y satisfera effectivement si l'on prend

140 LIVRE 11. CHAPITRE II.

cos W(p = cos A , d ou (p = ,

/ désignant un nombrç entier quelconque. Ainsi les in
racines de la proposée sont données par la formule

x:=. cos hsm . l/— I ,

n n

dans laquelle on attribuera successivement à i toutes les

valeurs entières, de o à n — i inclusivement. Les facteurs

réels de l'équation {q^ sont représentés par la formule

x" — IX cos h I •

n

Il faudrait remplacer dans les formules précédentes
li par 2/+ 1, afin de les adapter à la résolution de l'é-
quation {q^,

81. Lorsque dans la formule de Moivre
(cos x-\- ûnx. y^'^y = cos nx + sin /lo; . 1/37 (C)
on attribue à n des valeurs entières, chaque membre
de l'équation ne comporte qu'une seule valeur, et l'appli-
cation de la formule n'exige aucune remarque nouvelle ;

mais si l'exposant n est une fraction rationnelle -, que

l'on doit toujours supposer réduite à sa plus simple
expression, le premier membre de l'équation comporte,
d'après la théorie des racines de l'unité , q valeurs dis-
tinctes que l'on obtiendra en multipliant successivement
le second membre par les racines de l'unité, du degré y _
Or, d'après ce qui précède, ces racines sont données
par la formule

cos h sm — . V/— I.

Donc , pour que dans ce cas la formule de Moivre ac-
quière la généralité qu'elle doit avoir, il faut écrire

(. \i f p ' p y — \( 2IW . 2j?ir
cos.r4-sma:. V/— 1 \i^=\ cos-ar-f-sm^^.K — i jl cos f-sm
J \ q q h q q

THÉORIE DES SECTIONS ANGULAIRES. 141

33:; cos^- H sm^- . V^--!.

9 î

£n outre, puisque p est un nombre entier, premier

avec Çy on peut remplacer i par pij ce qui donnera cette

formule plus élégante

dans laquelle on attribuera à / toutes les valeurs en-
tières, de o à g — i inclusivement.

*82. Les formules (D), (E), (F.), (F.), (G.), (G,), qui
servent à transformer les sinus et cosinus des multiples
d'un arc en puissances des sinus et cosinus de l'arc sim-
ple, ou réciproquement, doivent recevoir des modifica-
tions analogues lorsque les indices des puissances sont des
nombres fractionnaires; et ce point délicat de la théorie
des sections angulaires a été mis dans un grand jour par
l'intéressant mémoire que M. Poinsot a publié en iSaS,
sous le titre de Recherches sur V analyse des sections
angulaires. Voici quelques explications à ce sujet, que
l'on pouira laisser de côté à une première lecture, comme
étant moins essentielles que ce qui précède.

Soit
^xzrn cos n:t+n cos(/i— 2):c 4- ^-^ cos(/i-4)^ •+• etc. I

\^x=smnx + n sin(w-2)a:H- — — Um{n^4)x + etc. |

la formule (m) deviendra

(2 cos xy = 4>a? + iira:»/II7 ;
et cette formule pourra être censée établie , d'après les
calculs du n* 78, pour des valeurs quelconques de l'ex-
posant n , si l'on admet que la formule du binôme sub-
siste pour des valeurs quelconques de l'exposant : ainsi

142 LIVRE II, CHAPITRE JI.

que cela se prouve dans la plupart des traités d'algèbre,
iadépendamment de la démonstration par le calcul dif-
férentiel , qui doit être donnée plus loin.

Quand n est un nombre positif entier , la fonction W.r
est nulle; la fonction ^x est composée d'un nombre fini
de termes qui s'ajoutent deux à deux, selon qu'on l'a
expliqué : mais en général les seconds membres des
équations (H) sont des séries formées d'un nombre in-
fini de termes.

Donnons à /ï la valeur fractionnaire-^ (jo, q dési-
gnant des nombres entiers, positifs et premiers entre

eux ) : la quantité radicale

p
{^cosxy (r)

admettra q valeurs distinctes, comprises dans l'expression

l^x-^'WxV'l^^ Tcos-a/TC + sin -.a/wï/'IIT j,

qui équivaut, d'après ce qu'on a vu plus haut, à

i^x + awir) + ^{x + 2«iç) . y/"^} ,
/ devant recevoir toutes les valeurs entières ^ de o à q — i
inclusivement.

Supposons que cos x soit positif, et désignons par X
la valeur réelle et positive du radical (r) : on obtiendra
les autres valeurs du radical en multipliant X par les ra-
cines de l'unité , autres que i ; c'est-à-dire que les q va-
leurs du radical seront comprises dans l'expression

X(cos - . ai'w + «in - . aVic . V^I^) ,

sous la condition d'attribuer à i' toutes les valeurs en-
tières de o à q — i inclusivement.

Donc, il sera toujours possible d'assigner entre ces limi-
tes aux nombres entiers U i àes valeurs telles que l'on ait

TH^RIE DES SECTIONS ANGULAIRES. 143

rcos?.2i%+sin^.2i'7C. v/:=7)=*Cr+2nc)+W(jî+2/x(l/^), {s)
ou, ce qui est la même chose,

^ q î

i^-i-Wx. l/HÏ) (cos ^. 2iw + sin ^. 2Z7C. v/^) ; (0

et la question est ramenée à déterminer les valeurs cor-
respondantes des nombres i, i.
Faisons dans l'équation précédente x=x> : on a

P p

iïr(o)=o, ^(o) = (i + i)S Xo = 2î^;
Jonc iz=i\ et par conséquent la formule {s) devient

^^.a/TT + sin^. 2iX. v/^=0(^ + 2«i^) + W(^+ar7c). v/Hlï.

Comme on peut prendre maintenant i==o , il en faut
conclure que Ton a , pour toutes les valeurs de x com-
prises entre — | ir et ^ ir, qui font de cos x une fraction
positive,

Oa:=X, Wx = o, (a)

et plus généralement on a entre ces limites , à cause
derindépendimce des deux parties réelles et ûnagînaises,

#(a:-4-2Mr) = Xcos^.aJTC,j

P 1 ^^^

iir(a:-f.2rtc)=:X8in^.aiic. \

*83. Supposons maintenant que cos x soit négatif

(ortombam entre \ w et \ ir), et désignons par X la

p

valeur réelle et positive du radical ( — 2 cos x) « :

on aura
(2C08ttr)ï=X(--I)y=.X[cos^(2^"-M>c+sin^(2^'•+.I)1^.|/3i];

144 LIVRE II. CHAPITRE II.

et, en conséquence , les équations (s) et {t) seront rem-
placées par

X[cos^ (2«' + i)ic + siii ^ {ni' + i )w . l/ZT] =

0(a: + a/Tu) + W{a: + azTc) . l/3T, (s')
X[cos ^ (2«' + i)7C + sin ^ {ni' + i)x. V/~] =

{^x + Wx . l/^) (cos^ . 2^TC + sin ^ . 2«7C . l/HÏ). (^')

Les nombres i^ i continuent de comporter toutes les
valeurs entières, de o à q — i inclusivement; et parmi
ces valeurs il s'agit de savoir quelles sont celles qui se
correspondent.

Or , si l'on prend x — *ï\, , tous les cosinus et les sinus
qui entrent dans les seconds membres des équations (H),

devenant égaux à cos-tc, sin-ic, ou trouve

p

^(7ï:)=(i+i)y COS^Tt,

iïr(ic)==:(i+i>sin^ir,

et X^ a pour valeur a g; de sorte qu'on tire de l'équa-
tion (^), après la suppression du facteur commun 29 ,

cos ~ (i{+ i)TQ + sin - (2^' + iV . V/IT?

= (cos ^ TU + sin - 7C . V^^) (cos - 2/1C + sin ^ 2£X . [/^^i

= cos - (2/+ i)7r + sin^ (a* + i)w. \/~:
d'où il faut conclure i=ij et par suite
X[cos - (2^^- i)'7C+sin -(2«+ 1 )7r. v/IIÎ]=*(:c+2/7c)-f-W(x-h2r7r) . \y

THEORIE DES SECTIONS ANGULAIRES. 145

Cette dernière équation se décompose dans les deux
suivantes

^ ] W

V(a;+2r7r)=Xsin^(2/-+- 1 )ip ;
et quand on pose /= o , il vient
^^=^Xcos- ic ,

; } M

Wa:=Xsin^ip ,

* 84. Nous avons supposé , dans tout ce qui précède ,
que les fonctions ^,W ont une valeur déterminée , pour
toutes les valeurs de ^, en vertu des équations (H), ou
qu'on pourrait construire avec une approximation indé-
finie, au moyen de ces équations seulement , les courbes
ayant pour abscisse a: et pour ordonnées ^Xj Wa:. Si
cette condition essentielle n'était pas satisfaite , c'est-à-
(iire, si les seconds membres des équations (H) ne cons-
tituaient pas des séries convergentes , les . formules ob-
tenues deviendraient illusoires et n'offriraient réellement
aucun sens déterminé. Or, la condition exigée se véri-
fie, comme M. Cauchy l'a fait voir , tant qu'on n'attribue
à l'exposant n que des valeurs positives.

En effet l'on a , par la formule du binôme ,

(•-)*=x-- .e— ^^ .e>_A__A__J..3_etc,.(e)

le développement ne s'arrêtant que pour les valeurs en-
tières et positives de /^, et conduisant , pour les autres
valeurs de l'exposant , à une série infinie. Soit ji le terme
de cette série qui en a i avant lui : il viendra

n
j, + x i—n ^_\ i

Ti « -h I I

T. I. l 10*

(P)

146 LIVRE JI. CHAPITRE II.

donc, à mesure que l'on fait croître ij la valeur du rap-
port (p) converge vers une limite numériquement plus
petite ou plus grande que l'unité, selon que la valeur
numérique de e est elle-même inférieure ou supérieure
à I. Donc [26] la série (e) ^st convergente pour toutes
les valeurs de e numériquement plus petites que l'unité.
En outre , tous les termes de cette série , pour lesquels
l'indice /est supérieur à la valeur numérique de n-\-i,
se trouvent évidemment affectés du même signe, qui est
celui du terme

n (i— /i) (2— Tt) (y— ^)^ gv+,

1.2.3 (v+l) ' '

V désignant le nombre entier immédiatement inférieur à
n. Donc, à la limite 6= i , la sérte (e) est convergente
ou divergente, selon que la quantité ( i — e)" converge
vers une limite finie ou nulle, ou vers une limite infî*
nie , tandis que e converge vers l'unité. Or, quand l'ex-
posant n est positif, on a

lim. (i— £)»*=( i — i)'*=o,
et conséquemment il vient, pour les valeurs positives
de /i,

.0 = 1 ^ ^ ^^ ^■^; — etc. {h)

I 1.2 1.2.0

Mais, puisque la série (A), dont tous les termes, à
partir d'un certain rang, ont le même signe, se trouve
convergente, les séries (H) que l'on obtient en multi-
pliant chaque terme delà série (A) par un facteur,
tantôt positif, tantôt négatif, mais toujours numérique-
ment plus petit que l'unité, sont à plus forte raison con-
vergentes, tant que le paramètre n conserve une valeur
positive , et quelle que soit la valeur de x.

Les formules des deux numéros précédents ont pour

THÉORIE DES SECTIONS ANGULAIRES. 147

résultat utile de faire connaître les valeurs des fonc-
tion ^Xy ^x, sans qu'on ait besoin de recourir aux cal-
culs d'approximation fondés sur l'emploi des séries.
Ainsi, les fonctions ^Xj ^x étant données par les équa-
tions (tt) pour les valeurs de x comprises entre — jiç
et -^x, et par les équations (w') pour les valeurs de x com-
prises entre ^% et |nr , se trouveront déterminées , en vertu
des formules (y) et (^'), pour toutes les valeurs positives
de 2- <[2q — -î)^; et comme on a d'ailleurs, d'après la
forme des équations (H),

^x = ^(x ± akqic) ,

Wx = W[xztiiiqTç),
^désignant un nombre entier quelconque^ il s'ensuit
que les valeurs des fonctions ^x, ^x seront connues
pour toutes les valeurs de x; ou qu'on aura, pour
toutes les valeurs de .t:, les limites vers lesquelles con-
vergent les sommes des séries

-(--0

cos^a:-f-^e.cos(^-2 )ar+3-^2 ^6\cos(^-4 )a:+etc.,

-(--0

sin?ar-4--e.sin( ?-2 )ar+2-2 €\sin( ^-4 )j:+etc.,

q q \q J 1-2 \q y

quand le nombre s , en restant plus petit que i , con-
verge indéfiniment vers l'unité.

Soit, par exemple, n=.-:=\y on aura pour les va-
leurs de X comprises

j j 3 _

entre — ip et - ir , <&ar= y acosa:,
2 2 '

I 3 . 3y

J 6 3/ I 13/

entre -iret-T, Oj?=^\/ — 2cosj:.cos ^ 7?= — v acosx.
2 2 ;5 2 »

3.5 . .3/ 2

J 5 V 2 r V

entre -ic et -ic, 0^=v 2Cos:r . co« x7r= — v acosj:,

2 2 3 2

148 LIVRE II. CHAPITRE II.

entre -icet ^tt, 0:c= v — acosx.cos ir= v acoso:?
entre - ir et -ic, 0^= y 2cosj: . cos ô7t= — v acoso^-,

2 2 3 2

II 3/ 5 I 3y

entre - ic et — w, 0.r= v — 2Cos^.cos ?^ 7r= — v 2Cosa::

2 2 ' 0 2 '

après quoi les valeurs de ^x repasseront périodique-
ment'par les mêmes valeurs. En conséquence, la courbe
périodique dont ^x est Fordonnée a la forme indiquée
par la fig. 29.

CHAPITRE m.

RESOLUTlOir DES CAS D INDETERMINATION POUR LES

FONCTIONS EXPLICITES d'uNE SEULE VARIABLE.

RECHERCHE DE LEURS VALEURS MAXJMA ET MINIMA.

S 1*'. Résolution des cas d'indétermination pour les fonctions
explicites d'une seule variable.

85. Nous traiterons dans ce chapitre de deux appli-
cations importantes du calcul difFérentiel, et d'abord de
celle qui consiste à trouver la valeur d'une fonction
de Xy quand elle se présente, pour une valeur particu-
lière de a;, sous la forme indéterminée -•
' o

Le problème revient [28] à déterminer la limite vers
laquelle converge la fonction

lorsque x converge vers la valeur x^^^ et qu'en même
temps les fonctions fx, F.r convergent toutes deux
vers zéro.
Or, on a

et pour la valeur x^ qui fait évanouir /'.r et Fx,

f .AN ^-^^ A^

d'où, en passant à la limite,

150 LIVRE H. CHAPITRE III.

Un raisonnement absolument semblable fait voir que,
si les fonctions y '.r, F'^ étaient dans le cas des fonc-
tions J'Xy FXf c'est-à-dire, si elles s'évanouissaient si-
multanément pour x=x\n on aurait

ec ainsi de suite.

La valeur de (f-x^^ ainsi déterniinée, peut être nulle
ou infinie.

Si la valeur x rendait infinies les deux fonctions /a:,
¥x, elle ferait évanouir les fonctions
I I
Jx' Fi'
qui ont respectivement pour dérivées du premier ordre
fx F^^

{fx)^' (Fo:)»-
Il viendrait donc

I , I _ fx, , Tx,

fx.'Yx—jj^^' {Yx:r^

équation d'où l'on tire

Yx^ ¥'x^
Nous en conclurons avec M. Cauchy que la règle pour
trouver la valeur de <p.ro reste la même, quelle que

soit celle des deux formes indéterminées -, ± --, sous

o ^

laquelle se présente le rapport ——7'

86. On trouvera, en appliquant cette règle, et en la
combinant avec les règles de difTérentiation données
dans l'avant-dernier chapitre :

RÉSOLUTIOJV DES CAS d'iND^ERMINATIOIV. 151

i' pour j:=o,

^-=— =loga— logi = logQ) ,

— *^ ^ -^^ ^::: z=z2Sinx cos a:=:o .

cota: X

X — ûxix \ — cos 07 sin^c cos or i

x^ *xx^ 6x 6 6 '

sia^x 3sin»a:cosar 3sinj:(2cos'ar — sin^o;)

X — ^ins^ I — cos2^ asÎDS^
3cosj:(acos^j? — 7sin*j?) 3

4cosaâ? a

2 pour xz=i I,

:x I

X — I X

X-^l I I

x^ — I /w:"^" n '

>

» £ 3 ^— S. > 3

' I+(j: l)' %\/^X'\-^V^X'

X

V^x^—t

87. Supposons que la fonction F:r se réduise à Xy et
que l'autre fonction fx jouisse de la propriété de deve-
nir nulle ou infinie eu même temps que Xy on pourra
être curieux de connaître le rapport qui subsiste entre
cette fonction et la variable x^ quand Tune et l'autre
deviennent nulles ou infinies. Ce problème rentre dans
celui qui vient d'être traité : ainsi l'on trouvera, pour
•r=o,

I — • cos X

— V/ ,

X

et pour x=±cc ,

152 LIVBE II. CHAPITRE ill.

, log X I

X 00

On énonce ces résultats en disant que le sinus verse
d'un arc infiniment petit est infiniment petit par rapport
à cet arc; et que le logarithme d'un nombre infiniment
grand est infiniment petit par rapport à ce nombre.
Soit proposé de discuter la courbe qui a pour équation

les valeurs négatives de x rendent^ imaginaire, et l'or-
donnée^ est positive ou négative selon que les valeurs
positives de x sont > ou < i . Pour savoir ^quelle est
la valeur Aej correspondant à .r=o, on fera

I

et il viendra

log z

Or, d'après ce qui précède, ^=o pour z=» ou pour
x=:o; d'ailleurs on a

quantité qui devient infinie pour x^o^ en sorte que la
courbe touche l'axe des jr à l'origine des coordonnées
{Jig. 3o). On peut ajouter cet exemple à celui qui a
déjà été donné [i6],de courbes transcendantes qui sont
interrompues brusquement dans leur cours, sans qu'il y
ait raccordement etitre deux branches de la même
courbe, comme cela arrive toujours pour les courbes
à équations algébriques.

88. S'il arrivait que toutes les dérivées de fx et de
F/r devinssent nulles ou infinies en même temps que
les fonctions dont elles dérivent, la méthode serait en
défaut, et il faudrait déterminer la valeur de <p^„ à

RÉSOLUTION DES CAS D'iNDlÉTERMilCATlON. 153

l'aide de procédés particuliers. Si, par exemple, on

avait

quand on ferait j:=i, ces deux fonctions s'évanoui-
raient, et leurs dérivées de tous les ordres deviendraient
simultanément infinies. Mais si nous posons x — i ^z,
il viendra

£q multipliant les deux termes de la fraction par
ï/T+5 + I — i/â ,
et supprimant le facteur \/z qui devient commun aux
deux termes, on obtient

n

^^ W^â+T. I l/TTpi + i — V/i( '
expression qui donne

quand on y fait s^o, ou .r=i.

89. Nous savons qu'une fonction ne peut devenir in-
finie, pour une valeur particulière de la variable, sans
que toutes ses dérivées deviennent simultanément infi-
nies [35], et ainsi, le cas oii la méthode générale se
trouve en défaut, doit se présenter toutes les fois que la
valeur de x qui fait évanouir fx et Vx rend infinies
fx et F'.r. Au contraire, on ne peut regarder que
comme une exception singulière de la méthode (dufiwins
pour les fonctions susceptibles d*une expression mathé-
matique^, celle qui résulterait de l'évanouissement simul-
tané des dérivées de tous les ordres des fonctions / et F.
On a pourtant signalé des fonctions pour lesquelles cette
exception se rencontre. Prenons

154 LIVRE lî. CHAPITRE 111.

I

a et n désignant des nombres positifs dont le premier
est plus grand que l'unité : on aura
I

,7 n\oga.a ^^ ^„ , -Z^lnlosa n+i |

Quand on faitx=:o, la quantité

I

est infiniment petite ou nulle , ce qui met toutes les dé-
rivées/''.r,/"ji', . . . . sous la forme — Posons

I

A* '

il viendra

et la valeur j:=o correspondra à 2=00 . Or, il est fa-
cile de voir que toute expression de la forme

(dans laquelle a^ m ^\.n désignent des nombres positifs
et a un nombre plus grand que \\ est nulle pour
2=00 ; car si l'on applique à cet exemple la règle gé-
nérale concernant la détermination des fonctions qui se
présentent sous la forme indéterminée

00

on différentiera i fois de suite les deux termes de la.
fraction, / étant le nombre entier immédiatement su—
périeur à /w, et l'on aura pour z=oo ,

lUÉSOLOTlON I>£S CAS D'iNDÉTEBMlNATIOir. 155

^- —h.

ï étant un nombre constant , et <]/ z une fonction qui
reste infinie quand z est infini. Par conséquent toutes
les dérivées de la fonction y^ s'évanouiront, quand on
jfera a:==o.
Si donc Ton donnait

I I

i étant ainsi que a un nombre positif plus grand que
luDité, et rî uu nombre positif aussi bien que n , les dé-
rivées de tous les ordres des deux termes de la fraction

I
f^= — —
b *»•
s'évanouiraient simultanément pour x=Oy et l'on ne
pourrait plus appliquer la règle générale. Dans le cas de
n,^=zny il viendra

ep j?

(t)".

et la valeur x=.o rendra çj: nulle ou infinie, selon
qu OQ aura a > ou < é.

90. On trouve de la même manière que la valeur de
la fonction

X

-1?

X

converge vers zéro , et que celle de la fonction

X

e

X «
converge vers Tinfini quand on prend pour x une quan*

156 LIVRE II. -^ CHAPITRE III.

titë positive de plus en plus petite. Conséquemment la
valeur de la fonction

qui se présente sous la forme -j quand on y fait ^=0,

est zéro ou l'infini^ selon qu'on y considère zéro comme
la limite des x positifs ou comme celle des x négatifs.
Ceci tient à une solution de continuité de la fonction /^
du genre de celles qui ont été signalées dans des fonc-
tions analogues [16 e^ 87].

§ 2. Maxima et minima des fonctions explicites d'une seule
variable.

91. Représentons-nous la succession des valeurs que
prend la fonction y=.fx^ lorsqu'on donne à x toutes
les valeurs possibles, sans que^ cesse de conserver une
valeur réelle et finie. Si les valeurs dej^*, après avoir été
croissantes, deviennent décroissantes,^ aura passé dans
l'intervalle par une valeur plus grande que celles qui la
précèdent et que celles qui la suivent immédiatement :
cette valeur se' nomme un maximum. Au contraire,
si les valeurs de^, après avoir diminué progressive-
ment, viennent ensuite à augmenter progressivement,
la valeur intermédiaire, plus petite que celles qui la
précèdent et que celles qui la suivent immédiatement, se
nomme un minimum. On voit qu'il est possible qu'une
fonction n'ait ni maximum, ni minimuiriy ou qu'elle ait
plusieurs maxima et minima, de manière v^xxn mini-
mum tombe toujours entre deux maximu, et un mojcimum
entre deux minima consécutifs. La question consiste à
déterminer les valeurs de la véritable indépendante, s'il

MAXIMA ET MmiMA. 157

fo existe, auxquelles correspondent des maxima ou
hminima de la fonction.

Admettons d'abord, pour plus declartë, que ni la fonc-
tion fx ni ses dérivées n'éprouvent de solution de conti-
nuité en même temps que l'une de ces fonctions atteiiit
une valeur maximum ou minimum : il est évident, dans
cette hypothèse, que la différentielle

djr mzf'x . dx
change de signe, en devenant nulle, au moment du
maximum ou an minimum àefx; quelle passe du positif
lu négatif dans le cas du maximum^ et du négatif au
positif dans le cas du minimum. Donc , la condition
commune au maximum ei dM minimum àefx est expri-
mée par l'équation

/'i = o; (i)
et il faut en outre pour le maximum que^'i: passe du
positif au négatif, c'est-à-dire, soit une fonction décrois-
sante quand a: croît , et par conséquent que rt>n ait
f'x < o .

Par use raison semblable, il faut, dans le cas du mini-

mm, que la -valeur de x tirée de l'équation (i) vérifie

Imégalitë

f'x > o .

Mais si fx s'évanouit, pour la même valeur de x
^uifait évanouir y*'x, la valeur de f'x qui est zéro,
correspond à un maximum ou à un minimum de cette
dernière fonction. Dans le premier cas^f'xest négative
en deçà et au- delà de la valeur x, etfx est constam-
loent décroissante pour des valeurs croissantes de x ;
tlans le second cas, f'x est positive en deçà et au delà
^ la valeur x, et fx est constamment croissante avec
^.'donc l'équation ^/'.r=o n'entraîne ni maximum ni

158 LIVRE II. CHAPITRE lïl.

minimum de /.r, si elle est accompagnée de l'équation

Or, par la même raison, l'équation /",r=o n'en-
traînera ni maximum ni minimum Ae f Xy si l'on a
/'"^=o, et ûf'x passe elle-même par un maximum
ou un minimum. Quand /".r passe par un maximum,
f X est décroissante pour des valeurs croissantes de .r,
passe conséquemment du positif au négatif en s'annu-
lant, exfx passe par un maximum. On verrait de même
que le minimum Ae f" x entraîne dans ce cas le mini-
mum de /r.

Ponc, pour le cas où l'on a simultanément
fx = o, f'x = o ,

fx ne passe par un maximum ou un minimum qu'au-
tant quey*".r passe elle-même par un mcujcimum ou ud
minimum, c'est-à-dire, qu'autant que l'on a

/-:r = o,/-^<o,
ou bien

Dans ce cas, l'analogie conduit à dire que/'.r passe par
un maximum ou un minimum du second ordre.

En généralisant ce raisonnement, on en conclut qu'il
ne peut y avoir maximum ou minimum de la fonction
fx, pour une valeur donnée de x, qu'autant que le pre-
mier coefficient différentiel de la fonction , que cette
valeur n'annule pas, est d'ordre pair. Il y a maximum
ou minimum suivant que ce coefficient prend une va-
leur négative ou positive.

Tous ces résultats prennent une forme sensible lors-
qu'on représente graphiquement la fonction par l'or-
donnée d'une courbe. L'équation /'.r=o exprime que
la tangente est parallèle à l'axe des abscisses: les inéga-

MAXIMA ET MINIMA. 159

\[\kf"x<o^f"x>o expriment que la courbe tourne
sa concavité ou sa convexité vers Taxe des x, dans le
cas dune ordonnée positive; sa convexité ou sa conca-
vité vers le même axe , dans le cas d'une ordonnée né-
gative. Enfin , si Ton dL f' x=io^ sans quey"\r s'éva-
nouisse, la courbe subit une inflexion [3o], en sorte que
le parallélisme de la tangente à l'axe des x n^mpêche
pas Tordonnée de croître ou de décroître, de part et
d'autre du point de contact.

92. D'après ce qui précède, toutes les fois que la
fonction y^r. aura un coefficient différentiel/*'^, ex-
primé algébriquement, ou obtiendra les valeurs de x qui
correspondent à des valeurs maxima ou minima de
la fonction, en résolvant par rapport à x l'équation
fx=zo. On distinguera ensuite le maximum du mini"
Mm, en substituant pour x les racines de cette équa-
tion dans la fonction f'^x, puis dans Z*"'^, si f"x s'é-
panouit aussi , et ainsi de suite.

Mais il faut observer que souvent, par la nature de
la question, on sait à priori qu'une fonction ne com-
porte pas de maximum, ou qu'elle ne comporte pas de
minimum : alors on est dispensé d'une discussion de si-
pies, et il suffît de résoudre l'équation y'j; = o; en
supposant toutefois que l'on sache aussi que les racines
de cette équation n'annulent pas les dérivées subsé-
^entes.

Appliquons la règle générale à la fonction prise pour
exemple dans le n** 5,

fx= ^ :

^ X — lO

on aura

' — 20^-4-64

f

X-

(j;_,0)^

160 LIVRE II. CHAPITRE in.

L'équation à résoudre est

a:* — 2oar+64==o ,
dont les racines sont ^=i6 et j:=4- O» trouve en-
suite

valeur qui devient positive pour^=i6, négative pour

x=A : ainsi la racine i6 correspond à un minimum y

et la racine 4 à un maximum.

Si Ton se donne

ya;=e* + acos j:+e-* ,

on trouvera :

/' X =c*— a sin x —er^ ,

f^ X =Lé'—^cosx + er' ,

jr'"ar=: e*+ 2 sin x — e"^ ,

f^^x =^ + 2 cos ar + «"* = /^ .
La valeur ^=o, qui fait évanouir /' .r, /" a:, /'" .r,
donne dip^x la valeur positive 4 : la valeur correspon-
dante de /r, qui est aussi 4? constitue donc une valeur
minimum de cette fonction.

93. Maintenant il peut se faire que/'^ change de
signe en passant par l'infini, et que néanmoins /r n'é-
prouve qu'une solution de continuité du second ordre ,
en sorte que la différentielle

reste infiniment petite [35 et 54]. Dans ces circons-
tances Y passe par un maximum ou par un minimum y
selon que dy passe du positif au négatif ou du néga-
tif au positif; mais il faut s'en assurer directement par
la discussion de la fonction /r, attendu que toutes les
dérivées /"x, /'"a:, etc., prennent, en même temps
que/\r, des valeurs infinies.
' Si, par exemple, on avait

fx=z{x—i)iy

MAXIMA ET MINtMA. }Gt

d'où

la valeur :t:=i rendrait /'a: infinie et /*r nulle. Il est
dailleurs évident que/*' j? sera négative ou positive pour
des valeurs de ^ < ou > i, tandis que ^x restera cons-
tamment positive : ainsi la valeur ^== r correspond à
un minimum Aefx. C'est le cas où la courbe dont /.r
est rordonuée a un point de rebroussenient répondant
à l'ordonnée minimum (Jig» 3i).
Au contraire si l'on posait

d'où

ia valeur x= i rendrait encore f'x infinie et fx
nulle; mais/'x ne changerait plus de signe en passant
par l'infini, tandis que/x passerait du négatif au posi-
tif, et conséquemnient n'atteindrait ni maximum, ni mi^
nimujn. En pareilles circonstances , la courbe subit une
inflexion, et la tangente au point d'inflexion est perpen-
diculaire aux abscisses {Jig> 3a).

Dans le cas où la racine de/*' x-=-o rend infinie /".r,
ce qui correspond à une solution de continuité du se-
cond ordre pour la fonction fx, il faut encore exami-
ner directement si f x passe du positif au négatif^ ou
du négatif au positif, ou bien, enfin, si elle s'évanouit
sans changer de signe; car dans la première supposition
il y vimuximuiriy dans la seconde, minimum^ et dans la
troisième on n'a ni muximwn m minimum.

Ces trois suppositions se réalisent respectivement pour
les fonctions

fa:=-{x-if\fx^{x-i)\fx={x-i)K

T. I. Il

164 LIVRE II. CHAPITRE IH.

la seule qui nous intéresse, donne

et correspond au maximum cherché.

95. 2* problème. Trouver le point le moins échauffe
sur la droite qui joint deux foyers de chaleur, sachant
que l'intensité de la chaleur rayonnante varie en raison
inverse du carré de la distance au foyer calorifique.

Supposons que ies pouvoirs échauffants des foyers
A, B, à l'unité de distance, soient entre eqx comme les
nombres a^ et ^^; désignons par a la distance des foyers
A, B, et par x celle de la particule échauffée au foyer
A : l'intensité de la chaleur rayonnante reçue par cette
particule aura pour mesure

expression qu'il faudra rendre un minimum^ en posant

/^=— ^ + (^1:^ = 0.

D'abord les valeurs .r=: ±od satisfont à cette équa
tion en faisant évanouir fx; la solution que l'on cher
che s'obtient quand on fait

et comme la dérivée /"x a pour valeur

expression . qui lisste constamment positive, il en r
suite que la solution correspond bien à un minintLtm
Enfin, les valeurs x:=.o et .r =a, qui rendent /"'aj î
finie, faisant subir à fx la même solution de oon
uuilé, ne correspondent pas à des muxima^ dans
sens ordinaire du terme. D'ailleurs, ces valeurs \\

MAXIMA KT MIMMA. 165

finies à^fx sont inadmissibles physiquement, par des
raisons analogues à celles qui ont déjà été indiquées [4].

96. V problème. Quand on veut mesurer la hauteur
A dune ligne verticale AB {^fig- 34 )» ^^ mesure, à
partir du pied de la verticale, une distance horizontale
BC=i;on observe l'angle BCA=.r, et l'on a

A= A tang X . (a)

Cela posé, il s'agit de choisir la base arbitraire by de
manière à former le triangle le plus avantageux^ c'est-
à-dire, celui qui est tel qu'à une même erreur sur l'an-
gle x correspond Terreur minimum sur la hauteur cher-
chée h.

Si, au lieu d'observer exactement l'angle x^ ou ob-
serve un angle a:-[-Ax qui en diiïere peu, la valeur
qu'on en conclura pour la hauteur cherchée pourra s'ex-
primer par ^-[-AA, et l'on aura sensiblement

dx cos* X

Donc, pour que le rapport de l'erreur A A sur la valeur
calculée, à Terreur d'observation A.r, soit un minimum,
il faut que la vraie valeur de Tangle x et celle de la
Inse b qui en dépend rendent un minimum le facteur

cos*^ '
c'est-à-dire (substitution faite pour b de sa valeur don-
née par l'équation (a) en fonction de x et de la cons-
tante A), le facteur

tg X cos* X

Le problème revient par conséquent à rendre un maxi^
mm la fonction

yx = tango; cos*Jtr = sînj:cosa:r.
Or, on a

/'or = cos* a: — sin*a?,/"^=: — 4^^°*^^^^^ •-

166 LIVRE 11. — CHAPITRE III.

Done le maximum cherché correspond à

sin X = cos X = — zz ^ h-=.h ,
V^

C'est la règle pratique que l'on découvre , pour ainsi
dire, instinctivement , mais dont le calcul seul peut don-
ner une démonstration rigoureuse.

La solution

I

sm a; =

résoudrait aussi le problème analytiquement, mais ne
présenterait aucun sens , d'après les conditions géomé-
triques de la question.

97. Soient ^^z/a:, x=<p^: il viendra

„ '^^^'■''-

Par conséquent, l'équation

dy

dt
se décomposera d'elle-même en deux autres

f x = o, cp7=o ,
dont chacune pourra déterminer des maximn ou mi-
nimu de y^ considéré comme fonction médiate de t.
Mais si les valeurs numériques de x^ tirées de l'équa-
tion /'x=o, sont plus grandes que la valeur mxiximum
de (p/, ou plus petites que sa valeur minimum^ ces so-
lutions (Jevront être rejetées comme étrangères à la ques-
tion qui est de déterminer les maximu et minima de y
quand t est la variable indépendante. En conséquence ,
si l'on range par ordre de grandeur les valeurs de a:
correspondant aux valeurs de i tirées de l'équation
(p'^^o, il faudra que les racines de l'équation f x-=.k>
tombent entre les deux termes extrêmes de la série.

CHAPITRE IV.

FORMULES DE TATLOR ET DE MACLA^UUIN.

S 1*'. Formule de Taylor.

98. La génération des dérivées des divers ordres coii-
<luit au développement des fonctions en séries ordonnées
par rapport aux puissances entières et ascendantes de la
variable. Cette théorie importante, qu'il convient d'envi-
sager sous plusieurs aspects, sera l'objet de ce chapitre.

Représentons, comme au chapitre IV du premier
hvre , par

ji y \ ^ ^a ) Tî 1* • • yn%

les valeurs d'une fonction fx qui correspondent aux

valeurs

Xy .a?-f-Ar, ar-f-aAj:, a: -h 3 Ao: , . . . a: + /lAo:

de la variable indépendante : on aura [43]

>^/(^-|-/îA^)=jr+ Y Ar4— ^^ ' AV+ ^ ^ ^\^ — ^ A»r4-. • -t-A"/.

On peut mettre cette équation sous la forme

•^ I Ax 1.2 \ /*/ Ax*

i.a.o....7i\ /i/ \ /!/ \ nj \ n J

ce qui donne , quand on fait n^x=h ,

Ao:" '

168 LlVIUt II. CHAPSTIIE IV.

Concevons maintenant que l'on diminue indéfiniment
l'intervalle ^x^ en augmentant indéfiniment le nombre /i,
de manière que le produit n\.v reste égal à la quantité
constante h : le nombre de termes dont se compose le
second membre de Féquation précédente ira en croissant
indéfiniment, et les rapports
' A/ar A^^ Ay^

"aF ' Âr' ' Ar' '

convergeront vers les limites

dj*a: d^fx d^f x
dx dj^ da?
ou

fx.fx^r^.

De plus, les fractions

I

(■-0(-0'
(-0 04) (■-!) .

H)HX-1)- (-^0

[i étant un nombre positif quelconque <ny qui reste
constant tandis que n augmente) convergeront toutes vers
Tunité. Donc , quelque grand que soit le nombre /, et
quelle que soit la valeur assignée à l'accroissement h^
on pourra prendre n assez grand pour que la somme
des /-j-i premiers termes du second membre de l'é-
quation (ez), diffère d'aussi peu qu'on voudra de la
somme

f'^V'-^'y-'^-^r^'^ + zi-/"' •

FORMT1LK DE TAYLOR. 169

Noas admettons que toutes les foncûon^ fx^fx ^f"x^
.... .yrO X conservent des valeurs finies j sans quoi le
raisonnement qui précède tomberait en défaut.

Ceci ne nous autorise point encore à regarder la fonc-
tion/(j:-j-A) comme étant la somme de la série {b) pro-
longée à l'infini \^t\[» Car^ si Ton considère dans la
suite (a) d'où nous sommes partis , et qui est la valeur
exacte de /'(a:-[-A^, le terme de rang v-[- i, v étant un
nombre compris entre i et rij mais beaucoup plus grand
que / et comparable 2l n, ce terme ne se réduira plus
sensiblement à

à cause que le facteur

(-3(-3(-D;--(-^)

ne se réduira plus sensiblement à l'unité^ et au contraire
se réduira sensiblement à zéro^ pour des valeurs de v
très- voisines de n.
Mais du moins il sera toujours permis de poser

Rj étant une fonction inconnue de x et de A ; et si nous
fixons les conditions pour que la valeur de cette fonc-
tion tombe entre des limites susceptibles de se resserrer
indéfiniment, pour des valeurs indéfiniment croissantes
de Tindice i , nous aurons par cela même déterminé les
conditions sous lesquelles la fonction y (a:-[-A) peut être
considérée comme la somme de la série (A), prolongée
à Tinfini.

99. A cet effet, nous remarquerons d'abord que, si une
fonction f^h est nulle pour A=o, et si la dérivée ç'A con-

170 LIVHE II. — CHAPITRE IV.

serve le même signe entre les limites o, À, sans passer
par l'infini , la fonction <fh sera de même signe que (p'A ;
oar on peut la considérer comme la somme deléraents
infiniment petits, tous de même signe que (p7/. On sup*
pose que la variable // est indépendante et que la limite h
est positive : les résultats seraient inverses s'il s'agissait
d'une limite négative.

Cela posé, donnons, ce qui est permis, à la fonction
inconnue Bj la forme

if étant une autre fonction inconnue : on déterminera
évidemment des limites inférieure et supérieure dé R^,
si l'on assigne des nombres P, Q tels que Ton ait, pour
toutes les valeurs de h ,

i.2.3...r i.a.3...(t+i) |

f A A* A' / ^^^

+T:ixr/'^"+,...M/+i)Q!

<o.

Soient (fji , ç,A les premiers membres de ces inéga-
lités : les fonctions (p, , <f^ s'évanouissent quand on y fait
hzzzo; donc les inégalités seront satisfaites , d'après la
remarque précédente , si l'on a pour toutes les valeurs
de A,

ou

171

FORMULE DE TAYLOR

+ 5-7 î/'-'^^H ô— :P > o

+ _-4_ — /(i-Ox + — ^.Ql <o.

(^^O

I.2.0...2 — \'^ I.2.0...2 )

Mais ff\h , 9 ,A sont aussi des fonctions de h qui s'é-
vanouissent pour h=zo : donc les inégalités (c'), et par
suite les inégalités (c) , seront satisfaites si l'on a

ou

*"■ P|>o,|

-r ^ Ti * 4 '^ ' I

A*- r. I

En continuant ce raisonnement , on parviendra, après
i'\'i différentiations successives, aux inégalités

/(i+0(a:+A)-P>o. I ^,^.^.

y(i+i)(x + A)— Q<o, 1 / ^

Or, ces inégalités finales, et par suite les inégalités
primitives {c\ seront satisfaites, si l'on choisit pour P et
pour Q respectivement la plus petite et la plus grande
valeur que prenne la fonction dérivée

pour les valeurs de z comprises entre x et x-\-h.

172 LIVRE II. CHAPITRE IV.

Si cette fonction était constamment croissante ou dé-
croissante ydex k ar-j-A , on pourrait poser

P =/(*+0 (a:) , Q =/(»+') (:r 4- A) , '
ou inversement

P ===/(«+') (a; + A) , Q =/<»+0 (a:) .
Donc le reste B^- a pour expression

0 désignant un nombre inconnu , compris entre o et i^
de manière que .r-j-ôA tombe entre x et .r-j-A.
Nous écrirons d'après cela

Maintenant, s'il arrive que les valeurs numériques
des fonctions

ne dépassent jamais une certaine limite X, pour toutes
les valeurs de z comprises entre x et x-\'h , et pour
toutes les valeurs possibles de l'indice de différentia-
tion /, on aura numériquement

n» < — TC TT- : >

1.2.0. .. .(«4-1 )

et alors , quel que soit h , on pourra toujours prendre /
assez grand pour que R^ tombe au-dessous de toute
grandeur donnée. Par conséquent , dans ce cas , la fonc-
tion/'(.r-j-A) sera là somme de ia^-suite (^), prolongée
à l'infini; ce que nous indiquerons en écrivant :

/(:r4.A)=/^+ ^/'^+iL/'/^+ -A/"'^ + etc. (B)

Cette formule porte le nom du géomètre anglais
Tajrlor qui Ta découverte, et l'on en fait un perpétuel

FORMULE DE TAYLOR. 173

usage en analyse. On en a donné une foule de démons-
trations : celle qui précède , telle que nous Tavons pré-
sentée, nous semble parfaitement rigoureuse; et nous
l'avons préférée, aon-seulement pour nous rapprocher
(le la marche de Fitlventeur, mais parce qu'elle nous
paraît très-propre à bien fixer le sens et Téteudue de
cette formule fondamentale.

100. 11 sera bon, néanmoins, d'indiquer un autre tour
de démonstration. On peut toujours poser
/(x+A)=/:r+A(p( j;, A) ,
la fonction inconnue (p devant être telle que le terme
hif{x^ h) se réduit à zéro pour k=o. On tire de là

r L^ h^ + h)—fx
^{^,h)=^-^ J —'

expression qui se présente soùs la forme— , et se réduit,

comme on sait, ày'a:, quand on y fait /r=o. D'après
cela nous pouvons poser,

(p(a:, A)=/'a:-h A<px (^, A},
doii

/(^ + A)=/^+^/':rH-A>ç,(a:,A), .

<p, (a:, h)— ^; .

Cette expression de ç^ se réduit encore à - , pour A=:o.

Appliquons la règle générale [85] eu prenant les déri-
vées des deux termes de la fraction par rapport à A : il
viendra

^t en différentiant de nouveau, pour faire disparaître
l'indétermination qui subsiste eucore ,

176 LIVRE II. CHAPITRE IV.

pour la série des valeurs de z comprises entre o et A,

on aura

i:

ou

^'/(*+0 (X'\'h — z)dz > 5r— ,

car la dérivée de la fonction •: est z*dz r5ql. Il vient

par la même raison

f.

donc la valeur de B^ tombe entre

et

1.2.3. . .(/4-1) 1.2.3. ..(i-f- i)'

et de plus on a

valeur que l'on pourra calculer exactement , ou par ap-
proximatioYi , à l'aide des procédés qui seront exposés
plus tard, eu supposant donnée la fonction/, et par
suite la dérivée /(•"*"') .

102. Écrivons z au lieu de a: dans la formule (A) , et
ensuite remplaçons k par x — z : cette formule deviendra

en posant par abréviation

Pour ^=o , la formule donne

fj,=fz + {x-z)f[z+fi,{a:—z),
0, désignant un nombre compris comme ô entre p et i ,
mais en général différent de 0 ; et de là on tire, en rem-
plaçant/'par <p,

FORMULE J>B TATLOR. 177

Mais d'après Féquation (ç) on a évidemment y,T — -o ; et
si Ton différentie cette même équation (^ ) par rapport
kz^ea supprimant à mesure les termes qui se détrui-
sent, il restera

1.2.3. ..jr*^ '

d'où

En conséquence , on tire de l'équation (f ')

et Ton peut , dans la formule (A.) , remplacer Texpression
du reste R^

par cette expression équivalente, due à M. Cauchy,

103. De quelque manière que rou arrive au déve-
loppement de Taylor , ce développement n'a de sens
qu'autant que Ton conçoit la suite des termes obtenus
complétée par un reste, qui peut , dans certains cas ,
décroître au-dessous de toutes limites^ ce qui permet
déconsidérer la série prolongée à l'infini comme équi-
valente à la fonction proposée. Dans cette hypothèse, il
faut bien que la série soit convergente ; mais la réci-
proque n'est point vraie, et la série prolongée à l'infini
pourrait être convergente sans que le reste Bi,- qu'il
&ut toujours calculer directement, allât en décroissant
mdéfiBÎmeiit* Dans ce cas la série de Taylor serait en dé-

T. I. 11

178 LIVRB H. — CViriXaS IV.

fiiut , la somme de la série convergente ne eotncidant
pas avec la fonction donnée.

Pour se convaincre de la vérité de cette proposition ,
il suffît de considérer que , dans tous les raisonnements
qui précèdent, la fonction^ est supposée quelconque :
elle peut être mathématique ou empirique; il suffit , pour
l'application des formules , que cette fonction et ses dé-
rivées de tous les ordres n'éprouvent aucune solution de
continuité correspondante aux diverses valeurs de la va-
riable ^ de a: à x+A inclusivement. Cela posé, le tracé
de la courbe 7=/i étant arbitraire entre les valeurs z=zx.
et z=^+h , et ne dépendant point de la forme de la
courbe dans le voisinage du point initial, il serait absurde
que lesquâintitésy

qui toutes se rapportent au point initial^ déterminassent
implicitement le tracé de la courbe dans tout l'intervalle
que l'oti considère. Piu-.conséqùent,jr(^'^-A) ne peut pas
en général être déterminée par la série des quantités^ ^

/.r, , même prolongée à Tinfim. Mais du moment

que l'on a égard au re$te Rt, pour Tév^luatjon duqqel il
faut tenir compte de toutes les valeurs de la fonction ^
dans l'intervalle de or à X'\'hj la 4iffîçulté disparaît, et
rien ne saurait infirmer la l^itimité du développement*
À la vérité ^ on pourrait supposer que, si deux fpac-
tiops fz ^fijz p pon identiques daiis l'ioleiTaJle de zs^=x à
jt==X'^^ , étaient telles néan^ioins que l'on eût

ju9qpà ri^fini» l'une au mo«îiis de ees fooctâons devrait
subir, pour ^==::r, une soUitî<>o de oonûttuité d'un
ordi^.qudiCOAque, ce «pi suffirait pour qu'on ne pûfi
pfis prolonger à ritifi«li la série de Taylor , et ce qui rM-

FOaMULS DJI TATLOR. * 179

trenit 4iuas MUfs esc^ioo d^jà signalée. EfTectivftmeiit
nous avons a4n^is déjà [37] ^ ppu^ dépiontreroQs plii$
loin que^ si les fonctionsy^^^z sont déterminées^ expli-
citement ou implicitemeat, par des équations algébri-
ques , la série des équations (/*} entraînera l'identité des
deux fonctions ; en sorte que , si les deux fonctions
avaient dans une partie de leur cours la même expres-
sion algébrique, et dans une autre portion de leur cours
des expressions algébriques non identiques, elles éprou-
veraient nécessairement, au passage d'une expression à
l'autre, une solution de continuité d'un ordre quelcon-
que. Mais rien n'autorise à généraliser cette remarque
en rétendant aux fonctions empiriques^ ni même aux
fonctions transcendantes, comme M. Cauchy l'a montré
sur un exemple bien simple.
Prenons eh effet

fz restant quelconque. Nous avons vu [89] que^ pour

z=o j les dérivées de tous les ordres 4e la transcen-

i_

dante e s'évanouissent avec la transcendante dont elles
dérivent : par conséquent, pour j:=o, on aura

jusqu'à l'infini, bien que les fonctions/ et y*j restent
(Ustinctes pour toute autre valeur de j$.

D'après eela, le dévdoppenmit de y] A par la ^kmi dç
Taylor, prolongée à l'infini, ne diffîrera point du déve-
loppement de fh ; et si la série de Taylor ainsi pro^
longée est cîoaivergente >et a pour somme y*^^ le même
développement, quelque convergent, sera fautif quand
on rappliqndra à la fonction /.

m.

180 LIVRE If. CHAPITRE lY.

Désignons en général par fz une fonction de z telle
que , pour une valeur particulière z^=zXy on ait

O t±:çj?t=ç ^7=^"^:=

jusqu^à l'infini; et soient R(*),R/*) les restes de la série
de Tàylôr pour les fonctions

f(^ + à),J,{x+h)z=zf(a; + h)+^{a: + h),
il faudra évidemment qu'on ait, quel que soit Tindice i ,

R^(i)_R(4)=^p(^+A),

ce qu'il serait d'ailleurs facile de retrouver àposieriori^
au moyen de l'expression du reste eu intégrale définie.

104. Le nombre de termes dont se coQipose la série
de Taylor n'est limité que dans un cas, savoir : quand
fx est une fonction algébrique entière; car alors, m dé--
signant le plus haut exposant de x dans cette fonction ,
la dérivée du m^ ordre est une quantité constante,
et les dérivées des ordres supérieurs s'évanouissent [6o].

Si l'on pose /i:=^, la série de Taylor donne,
pour un exposant quelconque m, le développement de
{x+hy^y et coïncide avec la formule de Newton, qui
se trouve ainsi démontrée pour un exposant quel-
conque , comme nous l'avions annoncé [66 et 8a]. On
a en même temps

Ri = — ^ ^-5 \ <• I -3»(:f+ A— js) •»-•-' dz .

i.tk.ô..,.a Jo

105. La série de Taylor, par sa généralité, avait déjà
fixé depuis longtemps l'attention des analystes, lorsque
Lagirange imagina de la prendre pour base de la théorie
des fonctions, et par ce moyen d'éluder, k ce qu'il croyait,
dans le passage de la discontinuité à la continuité, Tem*
ploi de toute notion auxiliaire de limite , de fluxion ou
d'infiniment petit. A cet effet , Lagrange admet qu'aune

FORMULE DE TATLOK. 181

fonction quelconque, ou du moins qu'une fonction ma-
thématique quelconque y(a:-(-A) peut se développer en
une série telle que

fx + cp^jT • A> 4- f , x • AP + f , 07 . Ay + etc.

11 montre y en s'appuyant sur la nature algébrique
de la fonction , que ces puissances ne peuvent être ni né-
gatives , ni fractionnaires , tant que x et h restent indé-
terminés. Car d'abord, si la série contenait des puis-
sances négatives de A, en y faisant A=o, les termes
affectés des puissances négatives deviendraient infinis,
et, par conséquent ,^0: aurait une valeur infinie , ce qui
ne peut arriver que pour des valeurs particulières de x.
En second lieu , si la série contenait un terme affecté
(le la puissance fractionnaire |, d'après les propriétés
des radicaux, ce terme aurait autant de valeurs distinctes
qu'il y a d'unités dans le dénominateur q; en sorte que,
pour un même système de valeurs de x et àefx^fi^x-^h)
aurait plusieurs valeurs distinctes; ce qui ne peut arri-
ver que pour certaines valeurs particulières de x et de
/r, par la même raison qu'il est impossible que tous les
points d'une courbe soient des points de rencontre de
plusieurs branches de la coqrbe.

On peut donc ^d(nettrç que le développement de
/(.r-j-A) est donné d'une manière générale par la for-
mule

/(^+À)=/r + A;^,:F-+.A«(p,x-HA'<p,Jî + etc. ; (A)

et, ceci posé, Lagrange appelle la fonction (f^x la dé»
nvéeàà fx^ en la désignant pai; la notation /'.r, pour
mieux rappeler la liaison qui existe entre /à: et f |.r. Le
mode de dérivation ainsi défini, il ne lui est pas diffi-
cile de trouver la loi suivant laquelle les fonctions (p..r ,

182 LIVRE II. CHAPITRE IV.

f3^,. .... dérivent Aef'x^ et d'écrire dans sa nota-
tion la formuie de Tajlor

f{z + A) =/x+ ^^ + ^/'* + _^' "x+etc.

Il suffit maintenant de substituer successivement 2ijjc
les fonctions élémentaires af^, log x^ sin Xy et de trou-
ver, par les méthodes algébriques connues, les premiers
termes des développements des fonctions {x-^hy^ ^
log {x-\-h)j sin {x-^h)^ suivant les puissances de A,
pour en conclure les premières dérivées de ces fonctions
élémentaires, et par suite leurs dérivées des ordres su-
périeurs ^ comme aussi les dérivées des fonctions quel-
conques, composées de ces fonctions élémentaires.

C'est ainsi , selon Lagrange , que la théorie des fonc-
tions se trouve ramenée à une simple application des
règles du calcul algébrique ordinaire. On peut consulter,
pour le développement de cette idée fondamentale, les
deux traités spéciaux que ce grand géomètre y a consa-
crés, la Théorie des fonctions analytiques et les Leçons
sur le calcul des fonctions.

Mais si ces deui: ouvrages, à cause du nom imposant
de leur auteur, ont été d'abord accueillis, par toute une
génération déjeunes géomètres, comme fixant les bases
de l'enseignement, un examen attentif a dû montrer
qu'il s'y trouve un de ces paralogismes métaphysiques
dans lesquels les plus grands maîtres peuvent tomber ,
lorsque la nature de leur sujet les force à( sortir de Ta*
nalyse et de la synthèse scientifiques , pour entrer dans
la critique des idées qui sont les matériaux mêmes de
la science.

En effet, le développement en série n'a de sens que
lorsqu'il mène à une série convergente, ou mieux en*

W0KTàlil.K l>fi TATLOR. 183

core lorsqu'il est démontm que le reste de la série tend
sans cesse vers la fioaite 2éro quand le nombre des termes
croît indéfinimeat. Toute induction tirée d'un dévelop*
pement en série non convergente manque de solidité,
et peut conduire, comme des exemples le font voir, à
des résultats fautifs, La méthode de Lagrange n'a donc
point l'avatttage d'élimider la notion des limites ou
toute autre équivalente. La nature des choses et las
lois de l'entendement exigent ici l'emploi de l'une de
ces notions auxiliaires, dont le simple développement
par lalgèbre du principe d'identité ne peut tenir la
place.

D'ailleurs, les raisonnements indiqués ci-dessus, et
qui servent à justifier la forme attribuée à la série (A),
outre ({u'ils reposent sur un principe Subtil et sujet à con-
troverse, suivant que l'on regarderait l'ambiguïté des si-
gnes des radicaux comme le résultat d'une convention
ou comme un fait nécessaire, ne peuvent en tous cas
s'appliquer qu'aux fonctions algébriques : tandis que ta
théorie des fonctions, comme nous nous sommes atta-
ché à le faire voir , doit essentiellement comprendre les
fonctions continues quelconques ^ et former un corps de
doctrine qui subsiste indépendamment des applications
à lalgèbre. Le développement en série n'est qu'un ar-
tifice de calcul , et ne peut convenablement servir à éta-
blir des lois et des rapports dont l'existence est indépen-
dante de nos procédés artificiels.

106. On dit que la formule de Taylor tombe en de--
jiuUf lorsque la valeur particulière de or que l'on con-
sidère, rend infinie la fonction^ ou ses dérivées à par-
tir d'un ordre quelconque. Alors, en effet, si la fonction
fcst algébrique, la fonction /(^-|-A) est susceptible de

184 LiVRS II. CHAPITRli IV.

se développer en une série qui contient des puissances^
négatives ou fractionnaires de A , mais qui n'a de sens
qu'autant que l'on peut faire converge indéfiniment
vers zéro le reste de la série. Soit, par exemple ,

m désignant un nombre positif, et (fx une fonction qui
prend, ainsi que toutes ses dérivées, une valeur finie
quand on y fait x=:i. La fonction /"(i-j-A) pourra se
développer en série contenant des puissances négatives
de A, car on aura '

y^.^^)=îi£+*)=^-^.H-t=r;•(.)+.erî,'(.)+ e.o.

Si la fonction algébrique f ne devient pas infinie ,
mais que ses dérivées le deviennent à partir d'un ordre
quelconque, il est clair que son développement ne peut
contenir uniquement des puissance^ entières et positives
de h :. car alors ses dérivées pourraient se développer
aussi suivant les puissances entières, et positives de A,
et, par conséquent, ne deviendraient pas infinies pour
A=:o; tandis que, si le développement de la fonction
proposée contient des puissances fractionnaires et posi-

tives de A, telles que hq^ et si m désigne le plus grand
nombre entier contenu dans •^, la difFérentiatron amè-
nera, dans le développement des fonctions dérivées de
l'ordre m-|-i et des ordres supérieurs , des puissances
négatives de h.

Ce cas se présente toutes les fois que fx contient eix

-
numérateur un radical de la forme {x — a) q , et qu'oa

y donne à x la valeur particulière a. Soit, par exemple ,

FORAEULE 0£ TATLOR. 185

f et<|; désignant des fonctions algébriques entières, qui
oe s'évanouissent pas pour jr=j : toutes les dérivées de
fx,i partir de la première, deviendront infinies pour
la même valeur de ^^ et la formule de Taylor tombera
en défaut. Mais si Ton substitue directement i-^A h Xj
il viendra
/(H-A)=:ç(i + A)+^(H.A). l/Â.l/â+Â,;

et ainsi, en développant par la série de Taylor, suivant
les puissances entières de A, les fonction»

ç(l+A), +(! + *), ï/Tî^,

on obtiendra /"(i-|-A) , exprimée par une série qui req-
ferme des puissances fractionnaires de h.

Quand la première dérivée de fx qui devient infinie
pour la valeur particulière x=a, est la dérivée de
l'ordre i-[-a , on peut employer la série de Taylor en
l'arrêtant au terme affecté de /^* , et en évaluant le reste
^ par la formule (e) qui subsiste toujours , puisque
f^^^^ n'éprouve point encore de solution de continuité
Ju premier ordre; ou en s -assurant, par la considéra-
tioQ des limites de ce reste, qu'il est d'un ordre de
grandeur tel qu'on puisse le négliger.

107.Lagrange emploie un raisonnement semblable à
celui qui a été indiqué ci-dessus [io5] pour montrer à
priori que la fonction /(x-^-h) doit renfermer dans son
développement des puissances fractionnaires de h , quand
Jes valeurs particulières de x font évanouir les radi-

£

eaux qui entrent dans/r. En effet , le radical {x-^ay
"Oûçe à la fonction autant de valeurs distinctes, réelles
ou imaginaires , qu'il y a d'unités dans le nombre en-

186 LIVRS II. CHAPlTAS JV.

lier q. Comme ce même radical se reproduit dans les
coefficients dîfFérentiels de/ir, tant que x reste indé-
terminé, ces coefficients prennent eux-mêmes, comme
cela doit être, un nombre q de valeurs différentes.
Ainsi il y a, à proprement parler, autant de fonctions
y(:r-j-A) et de développements distincts, que le radical
dont il s'agit comporte de valeurs. Mais si Ton donne
à X la valeur particulière a , le radical disparaît de tous
les coefficients de la série de Taylor
fayfa^fa^ etc.;

tandis qu'il subsiste dans la fonction/(a-(-A), oii il est

p
devenu fi^. Donc la série, dans sa forme ordinaire^ ne

peut plus alors représenter la foiictioù , puisque celle-ci

a plusieurs valeurs, tandis que la série n'en aurait qu'une :

donc il faut que le développement dey*(a-|-A) contienne

des termes affectés du radical A*.

Remarquons d'ailleurs qu'un radical contenu dans^/r
peut disparaître de deux manières distinctes pour des
valeurs particulières de^: i^ parce que la quantité sous
le signe radical devient nulle ; 2^ parce qu'un facteur
affectant le radical s'évanouit. Ce dernier cas ne doit
point, d'après les mêmes principes, faire exception à la
formule de Taylor. Soit en effet

un terme qui introduit dans fx le radical {x — a)* :
ce terme disparaissant pour la valeur ^•=a, , laquelle
fait évanouir le facteur (.r — a,)"*. Comme l'exposairt
du binôme x — a,, supposé entier et positif, diminue
d'une unité à chaque différentiation , il y aura, dans
les dérivée3 de fx de Tordre ni et des ordres supé-

FORMULE DS TAYLOB. 187

liem, des termes où ce binône cessera d'affecter

comme facteur le radical {x-^af : d'où il suit que le
développement par la série de Taylor de la fonc-
\mf{ar\^h)j prolongé au moins jusqu'au terme de
rang m — i înclusiTement , coQserve autant de va-

leors distinctes que le radical {x — a) * en attribue à

Il oe Ëiut pas conclure de ce qui précède , avec quel-
ques auteurs , qu'ien pareil cas la sérié de Taylor doit
aa ffloias être prolongée jusqu'au terme inclusivement

E

OU reparaît le radical {x — a) ^ : car ce radical subsiste
toujours, avec la multiplicité de ses valeurs, dans l'in-
tégrale définie qui exprime la valeur du reste Ri, quelle
que soit la valeur de l'indice / ; et il faut toujours tenir
compte du reste de la série pour donner de la rigueur
aux raisonnements.

On voit^ par exemple, que, si le facteur qui affecte 1^
radical était une fonction transcendante de la nature
de celles indiquées ci-dessus [ioa],qui deviennent nulles,
ainsi que toutes leurs dérivées, pour certaines valeurs
de x^ le raisonnement de Lagrange ne serait plus applica-
ble; et l'identité entre le développement et la fonction
développée ne pourrait subsister qu'autant qu'on arrête-
rait la série à un terme quelconque , en tenant compte
dû reste.

108. Lorsque la fonction yi ou ses dérivées, à partir
d'un ordre quelconque^ éprouvent une solution de con-
tinuité du premier ordre, non plus pour la valeur ini-
tiale z=:x, mais pour une valeur z=^ comprise entre
2=.r et z=zX'^h , la formule de Taylor , dès l'instant

188 LIVRE II. CHAPITRE lY.

qu'on y fiiit A=ou > a — x , doit être inapplicable , aussi
bien que si la solution de continuité se rapportait à la
valeur initiale : cependant la métaphysique de La-
grange ne s'applique pas à ce cas, et l'on n'est pas dans
l'usage de le considérer comme un cas de défaut de la
formule de Taylor. Mais du moment que Ton tient
compte du reste R| , comme cela doit toujours se faire ,
le défaut se manifeste par l'impossibilité d'assigner des
limites au reste, ou de l'évaluer çn intégrale définie,
quand la fonction sous le signe/ passe par l'infini,. que
ce soit à la limite ou dans le cours de l'intégration.

S a. Formule de Maclaurin et ses applications.

109. Si l'on fait dans la formule (B) x=Oj ce qui
donne

/x=/(o) + ^./'(o)+il./"(o)+^./"'(o)+etc.,

et qu'on écrive ensuite X' au lieu de A , il viendra .

/^=yio)+f./(o)4-:^./"(oH-^-^./"(o)+etc.; (C)

en sorte qu'on aura résolu de la'manière la plus générale
le problème qui consiste à transformer une fonction
quelconque en série ordonnée suivant les puissances en<^
tières et ascendantes de la variable. On pourrait trou-
ver très-simplement la loi de cette série par la méthode
connue des coefficients iudéterminés , sans passer par
la formule de Taylor. Admettons, en effet , que la fonc-
tion fx soit susceptible de se développçr ep série con-
vergente procédant suivant les puissances entières et
ascendantes de x , et posons

/ir= A -H Ba: + (ir' + Dx^ + etc. :

FORMULE DE MACLAURIIf BT SIS APPLICATIONS. 189

onaura, en différentiaiit ,

f'x =:i= B + aCLr + 3Dx' -4- etc. ,
f''xi=z, aG + a*3Dar4^etc.,
/"jr = 3.3.0+ etc.,
etc.
Faisons dans toutes ces équations xs=so : il viendra

A=/(o),B=/'(o),C=i/*(o),D±=^"(o), etc.

C'est par ce procédé ( dont on ferait pareillement
usage pour établir la loi de la série de Taylor) que Mac-
laniin ist obtenu là formule (C) , qui porte encore son
Donl, quoiqu'on ait revendiqué dans ces dernières an-
nées la priorité de la découverte en faveur du géomètre
Slirling. D'ailleurs , on ne doit pas regarder cette for-
mule comme essentiellement distincte de celle de l'aylor :
seolement la formule de Taylor à plus de généralité , en
ce qu'elle subsiste tant que or et A conservent leur indé-
termination y et ne tombe en défaut, d'une manière ou
d'une autre , que pour des valeurs particulières attri-
buées à ces lettres ; tandis que la formule de Maclaurin
ti'est applicable qu'autant que là fonction fx n'éprouve
pas de solutions de bontikiuité, pour X—Xi.

La série de Maclaurin doit, comme celle de Tajlor,
et par la même raison, être Complétée par un reste. Soit
/".le reste de la série de Maclaurin, arrêtée au terme de
rang «^i , en sorte qu'on ait

/x=yro) +î/(o) + + 7;^/''> (o)+r, ,

l'expression de r, en intégrale définie sera évidemment,
<]'après ce qui précède , donnée par l'équation

190 hVf%E H. CHAPITRB IT*

la valeur de r, tombera entr^

. >^ et ? 9

i.a.3...(H-i) i.a*3.*.(^^i)

Pj g désignant la plus petite et la plus grande valeur de

y(«-H) (x — z)j entre les limites z=o , 2=ar , ou celles de

f(''^*)z entre les mêmes limites.

Si Ton désigne par 0 , Oi des nombres compris entre

o et I y on aura encore pour r, ces deux expressions

i.2*3...(i+i) ^ \ J7 * i.a.3...i "^ ^ ^
Ces explications pouvant suffire^ nous allons passer
à l'application remarquable que l'on fait de la formule
de Maclaurin au développement des fonctions logarith-
mique , exponentielle et circulaires.

1 10. Si nous voulions développer la fonction log jc
suivant les puissances positives et ascendantes de .r ^ nous
trouverions que cette fonction et ses dérivées de9 divers
ordres deviennent infinies pour x=:o^ en sorte que la
série de Maclaurin tombe en dé&ut. Mais en prenant

/a: = lp^(i + ar),
et en supposant toujours, pour plus de simplicité, qu'il
s'agit d'un logarithme népérien , nous trouverons

suivant que 2 est pair ou impair; d'où

log(i4-a:)=^ ~+-^ —- ^ + T ~ ^*^' ' ^'^
série convergente, tant que x est compris entre — i
et -|-i. A la limite supérieure jr^=i , la série est encore
convergente ; car on a

1 I I I I . .*

FORKULE DR MàCLAVMJS BT SBS APPUCATIOKS. 191

it Ton sait ^e toute iiérte dont les termes , altematÎTe-

ment positifs et négatifs, vont en diminuant, est néees^
sairemeQt convergente [a6].
Si Ton fait x=: — i , H vient

Dosait que zéro a pour logarithme Tinfini négatif : donc

la série

I I I I

estdivergente,cequi se démontre d'ailleurs directement.

Ona

\ x^ x^ x"^ i

= a U + -3- + -5 +-r+«^<î-|- (*)

SU OD fait ensuite

\*\'X - « ,

= iH-- , aou a?=:-

I — X n a/r-t-v

I viendra:

Cette dernière série est toujours très-rapidement couver-^
j jentepoardes valeurs entières des nombres /^ et v , et elle
I iiit connaître le logarithme du nombre /z^-|-v quand ce-
loi de n est connu. On ne calculera , bien entendu , par
le moyen de cette série que les logarithmes des nom-
bres premiers : les autres s'obtiendront par de simples
éditions; et pour cela on aura soin de calculer les loga-
^lunes des nombres premiers avec un plus grand
nombre de décimales qu'on n'en veut tonserver dans
Stable.

Î92 LIVRE II. GHAPITRB IV.

Supposons 7?=i , v=f : comme le logarithme de Tu-
nité est zero^ on aura

log. = aQ+^^+^,+ etc.) ,

série bien plus rapidement convergente que la série (y ) »
et dont il sufEt de calculer un petit nombre de termes
pouf trouver

log a = O969314718

Par conséquent

log 4 = 1)386^9436

En faisant dans la série (/) /2=4y v=i 9 î" vient

log5=log4+. (^4-3^+5^. + ^ -4. elc.) ,

d'où

log 5 =1,60943791 . .....

Le troisième terme de la série n'influé déjà plus que
sur le chiffre de Tordre des millionièmes , et le cinquième
serait tout à fait insensible dans, le calcul des tables or-
dinaires.

La somme des logarithmes de a et de 5 donne le lo-
garithme népérien de fo, égal à a^SoaSSSog

En divisant par ce nombre l'unité qui est le loga-
vîthme vulgaire de 10, on a [64] le logarithme vulgaire
de ^, ou le module des logarithmes de Briggs, égal à
o,434a9448i9

Avçe ce module on- forme les logarithmes vulgaires
de tous les nombres premiers dont on a préalablement
calculé les logarithmes népériens.

L'analyse fournit des méthodes encore plus expédi-
tâyes pour calculer les logarithmes; mais toutes ces mé-
thodes, y compris celle dont nous venons de donner
une idée, n'ont été imaginées que lorsqu'on possédait

FORMUr^E ]>E MACLàURÎN ET SES APPLICATIONS. 193

depuis longtemps des tables calculées par des procédés
bien plus laborieux.

111. Toutes les dérivées de la fonction ^ étant iden-
tiques avec la fonction primitive, se réduisent comme
elle à Tunité pour ;r=o. En conséquence la formule de
Maclaurin donne

I 1.2 I.Sâ.O 1.2.3.4 .I.a.3.4.5 ^ ^

série qui finit toujours par converger, quelle que soit
la valeur donnée à .r. En effet [26], si l'on désigne par
Xi le terme de cette série qui en a / avant lui, il viendra

r«+» _ ^

rapport qui converge indéfiniment vers la limite zéro,
quel que soit x , quand i prend des valeurs de plus en
plus grandes.

'En faisant x=ij nous retrouverons l'expression du
nombre e en série, telle qu'on Ta déduite de la formule
du binôme [61].

D'après les formules (r/) du n^ 67 on trouve aussi

a: J^ x^ jc' ■

sin^ = — Ta"* ^ o / X 1 i t' £i h etc., (m,)

I i.a.o i.2.3.4*d i.a.3.4.5.0.7 ' V «/

cos^= ' —7^+7:^3:4- 1:^X4X6 -^ *'*^- ('"*)

Ces séries très-remarquables, données par Newton,
jouissent, comme la série (m), de la propriété d'être tou-
jours finalement convergentes , quel que soit x, en sorte
qu^elles s'étendent aux arcs qui surpassent la circonfé-
rence ou un nombre quelconque de circonférences. On
pourrait s'en servir pour calculer des tables de sinus et
de cosinus naturels^ dont on calculerait ensuite les lo-
garithmes au moyen de la série (e); mais c'est par des
méthodes plus élémentaires qu'ont été effectivement

T. I. i3

!94 LIVRE II. CHAPITRE IV.

coDstniites les tables trigonomëtriques pour les besoînfs
de l'astrononiie , bien avant le siècle de Newton;

Les séries (m ), (/y2,), (/wj étant convergentes pour
toutes lé& valeurs de x^ rien n'empêcherait de partir
de ces séries et de poser à priori

X x"* x^ , \

^ X x^ x^ \

1 1.2.0 I.a.0.4*^ i

X* X^ I

/r= I h 5-7 -h etc ;

•^ i.a 1.2.3.4 '

puis, de déterminer les propriétés des fonctions <|/,f, />

d après les propriétés des séries Convergentes dont elles

sont les sommes. On trouverait ainsi

+ (o) = i,f(o)=o,/(o) = ij j

^Yxzzz^x^ ixz=zfx ^f^X'=i — ix \ \ ^ ^

et de ce système d'équation on pourrait , comme on Ta

indiqué au chapitre II du présent livre, déduire toutes

les propriétés des fonctions ^^^f,/- Les équations {n)

donneraient même directement ces propriétés, sansqu^on

eût besoin de passer par l'intermédiaire des équations

(o). Ainsi l'on trouverait, par la forme même des séries^

^ {x\/~)=fx-\-fx. v/HT,

^{ — x\/"~)=zfx — fx . v/^ ,

{fxy-^(fxy=z2i,

i{x'\-jr)z=ztx .fy-^ïj .fxy etc.
Mais, quoique cette marche soit logiquement rigoureuse^
elle ne nous semble pas convenable dans une exposition
didactique où l'on doit surtout rechercher Tenchaîne-
ment rationnel des théories. En général, les fonctions
sont caractérisées, dans l'ensemble de leur cours, parla
loi de leurs accroissements différentiels ; et ce n'est que
sous de certaines conditions qu'elles peuvent être expri-

FORMULE DE MACLAURIIf ET SES APPLICATIONS. 195

mées (aussi dans toute l'étendue de leur cours), par des
séries convergentes pour toutes ïes valeurs de la varia-
ble (').

112. Dans les applications qui font l'objet des deux
numéros précédents , nous n'avons fait que constater la
convergence de la série de Maclaurin. A la rigueur, on
est tenu de prouver directement que ces développements
convergents ont pour sommes les fonctions développées,
ou que le reste r, tombe au-dessous de toute grandeur
donnée, pour des valeurs convenables de i. Or, le reste
/'/,dans les développements (/), (/w), (/w«), (/w»), est ex-
primé par

-+- (/-|-i)(n-ô^)i+i> 1.2.3. ..(/+i)* ^^'

I • 2 « 3 . . • (/*4-ï) ' I cos^
Les deux dernières expressions donnent pour la valeur

nomérique du rapport -^^, une fraction qui peut tom-

ber au-dessous de toute grandeur donnée, quel que soit
X, pourvu qu'on prenne pour 2 un nombre suffisamment
^nd. La même condition est satisfaite^ à 1 égard de la
première expression de r,, dès qu'on prend pour x un
nombre positif.
113. On tire de la formule (/) du n® 76

2V/_i ** \i—V/—i. tango:/

('} M. Cauchy a donné dans ces derniers temps une règle tiès-re-
marqaable , pour fixer les conditions de la convergence du dévelop-
pement d*one fonction suivant les puissances entières et positives de
ia variable indépendante. Désignons par
t^-L.\/ZIl .sinOo), pi(cosôx + t^^.»in^i), p.fcosOa-h l^^. sin6,), etc,

ï3.

196 LIVRE H. CHAPITRE IV.

et en développnnt le logarithme par la formule (Je),
a: = tang j; — I tang^j; 44 tang*j; — ^ tangj'x -4- etc. • (p)
Cette dernière série a ëtë donnée parLeibnitz. La con-
vergence ne subsiste et par conséquent la série n'est
applicable que par les valeurs de tang x comprises entre

— i et -|-i, ou pour les valeurs de x comprises entre

— ^ TC et -|- { TC, quoique la fonction tang x reste conti-
nue entre les limites x= — ^w et J?= l^ir.

A la limite 0:=^^, la série (p) est encore conver-
gente, et il vient

it I t I

mais la convergence est trop lente pour que cette série
puisse servir à calculer commodément la valeur du
nombre transcendant ir. Si l'on prend pour x l'arc de 3o**

des valeurs réelles ou imaginaires^ qui, mises à la place de x, ren-
dent infinie la fonction fx ou sa première dérivée y*' ^, on bien
qui satisfont à Tune des équations

ces valeurs seront rëelles et positives ou négatives, si les nombres po-
sitifs ou négatifs O09 6j, 0^, etc., deviennent des multiples pairs ou
impairs de ir; quant aux nombres poy p^ pa» etc., auxquels M. Cau-
chy est dans l'usage de donner le nom de modules, on peut les re~
garder comme essentiellement positifs. Cela posé, le développement
Atfx en série procédant suivant les puissances entières et positives
de X, sera convergent pour toute valeur de or, réelle ou imaginaire ^

p ( cos 6 -I- V/' I^ . sin 6 ) ,

dont le module p tombera au-dessous du plus petit des modules p^,
Pi> P>) ®^^* ^^ conclut immédiatement de cette proposition, que toute
fonction périodique, telle que sin x, cos x, qui ne devient infinie,
non plus que sa première dérivée, pour aucune valeur réelle ou imai
ginaire de x, se développe suivant les puissances entières et positîvei
de X en série convergente , quel que soit x.

FORMULE D£ MACLàURm ET SES APPLICATIONS. 197

dont la tangente est -y=.^ la formule donnera
I w I / I I I \

C'est par cette dernière série que Lagny a calculé le
Qombre 17 avec 127 décimales. On connaît d'ailleurs
d'autres développements propres à donner beaucoup
plus rapidement encore la valeur de tc.
On tire de la formule (/):

^*=log(^^) = log(i+x) — log(n-i)

A la vérité , cette nouvelle série , est divergente pour
toutes les valeurs réelles de x ; mais, si nous donnons à

x\à valeur imaginaire e*^"*' , on aura

»5ï=:zt/-_x jc»—- _.:=:^ — e =21/ ^i . sin rnz :

or*

et par suite la formule précédente deviendra , après qu'on
aura divisé par al/ZT,

-2=8inj8 sin a;8+xsin3z — -sin42-h etc.,

a a 3 4

Cette nouvelle série est évidemment convergente, quel

)ue soit z; mais elle n'a pour somme \z que quand la

valeur de z est comprise entre les limites — \t:^ H" I"»^-

Le lieu géométrique de l'équation

/=sinx sin aa:+ ^sin3ar — - sin4a: + etc. . (y)

3 o i^

serait un système de portions de droites parallèles

mX, MN, M'N', M'TV", (y^. 35)

ayant respectivement pour équations en termes finis [37] :

198 LIVRE II. CHAPITRE IV.

Les points N,M', ont pour abscisse commune 0P== tu;
mais Tëquation (<jr), quand on y fait x=: tt , ne donne pour
la valeur de y y ni l'ordonnée PN, ni l'ordonnée PM',
égale et de signe contraire. On tire de cette équation
^=0, c'est-à-dire une valeur de y égale à la demi-
somme des ordonnées PN, PM'. La même chose arrive
quand on prend pour x un multiple positif ou négatif
de TT [38]. Nous reviendrons dans la suite sur cette par-
ticularité essentielle du développement des fonctions dis-
continues; et nous retrouverons l'équation (^) comme
un cas particulier de formules beaucoup plus générales.
114. Le développement d'une fonction en série pro-
cédant suivant les puissances de la variable, conduit au
développement des fonctions en séries d'exponentielles :
car, soity^ la fonction proposée : si l'on fait

X = log ^ , ou z = e* ,
elle deviendra /"(log z)=Fz, et pourra, en général ,
se développer suivant les puissances de z. Soit kz"" un
terme du développement; quand on y mettra pour z sa
valeur, ce terme prendra la forme A e*"'; et ainsi la fonc-
tion/se trouvera développée en série d'exponentielles.

LIVRE TROISIÈME.

t

DIFFÉRENTIATION

DES FONCTIONS EXPLICITES DE PLUSIEURS VARIABLES
ET DES FONCTIONS IMPLICITES.

CHAPITRE PREMIER.

P£$ FONCTIONS EXPLICITES DE PLUSIEURS VARIABLES

INUEPENDANTES, ET* DE LEUR DIFFÉRENT lAïlON.

NOTIONS SUR LES SOLUTIONS DE CONTINUITÉ DES
FONCTIONS DE DEUX ET DE TROIS VARIABLES.

115. Nous n'avons considéré jusquici qu^ des fbno-
kions d'une seule variable, cW-*à*dire , des grandeurs
dont la valeur est déterminée par cela seul qu'on assi-
gne la valeur d'une autre grandeur variable dont elles
dépendent; mais plus généralement la valeur d'une quan*
tité dépend des vateui^ que prennent plusieurs autres
quantités susceptibles de varier, cliacune séparément et
indépendamment des autres : ce qu'on expriipe en di-
sant que la première quantité eU une fonction de plu-'
sieurs variables indépendantes.

Ainsi l'intensité de la pesanteur terrestre varie avec
la hauteur du corps pesant au-dessus du niveau des
mers, et elle varie aussi avec la latitude. Ces variables
sont indépendantes ; car on peut concevoir que la hau-
teur change sans que la latitude varie , et réciproque-
ment. Si la figure de la terre s'écartait sensiblement de

200 LIVRE III. CHAPITRE I.

celle d'un sphéroïde de révolution , l'intensité de la pe-
santeur varierait encore avec la longitude, et devien-
drait une fonction de trois variables indépendantes.

Quand un corps solide^ primitivement échauffé d'une
manière uniforme, se refroidit, la température en cha-
que point de la masse varie avec le temps : elle varie
aussi, au même instant, d'un pointa un autre; car les
molécules voisines de la surface par où la chaleur se
dissipe, doivent arriver à une température rapprochée
de celle du milieu ambiant, plus tôt que les molécules
placées dans la partie centrale du corps. La température
en chaque point de la masse est donc une fonction de
quatre variables indépendantes, savoir, du temps écoulé
depuis l'origine du refroidissement, et des trois coordon-
nées qui fixent la position du point dans l'intérieur du
corps.

On pourrait multiplier indéfiniment ces exemples , et
il est facile de reconnaître que , dans la plupart des phé-
nomènes naturels, chaque quantité mesurable dépend de
beaucoup d*autres quantités susceptibles de varier sé-
parément. Mais, afin de simplifier les questions et de les
rendre accessibles au calcul, on considère les cas où
ces quantités reçoivent des valeurs fixes, ou sensible-
ment fixes, à l'exception d'une, de deux, de trois d'entre
* elles; et alors les quantités dépendantes deviennent
fonctions d'une, de deux, de trois variables.

Pour exprimer qu'une quantité u est fonction de plu-
sieurs variables Xjjr^ z^ on emploie la notation

et si l'on voulait indiquer qu'il entre en outre des cons-
tantes ou des paramètres a, é, c, dans la dé-
termination de la fonction 9 on écrirait

DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES. 201

«=/(^,7ï^, a^b^c^ ).

Par rapport à chacune des variables dont elle dépend,
une fonction peut être mathématique ou empirique , al-
gébrique ou transcendante, rationnelle ou irrationnelle,
entière ou fractionnaire, linéaire ou non linéaire, etc.:
il n'y a rien à ajouter aux explications que nous avons
données sur ces diverses classes de fonctions, en trai-
tant des fonctions d'une seule variable.

Quand la fonction u est définie mathématiquement
par une équation

r(«>^*^>^, — ) = o,

non résolue par rapport à Uj la fonction est implicite :
elle devient explicite après qu'on a résolu Téquation par
rapport à u.

116. Une fonction de plusieurs variables , qui n'a pas,
ou à laquelle on ne connaît pas d'expression mathéma-
tique, est censée connue, pour les valeurs des variables
indépendantes comprises entre des limites assignées, au
moyen de tables qui donnent les valeurs de la fonction,
correspondant à autant de systèmes de valeurs h-ès-rap-
prochées, assignées aux variables indépendantes. Mais
la construction de ces tables n'est réellement praticable
que pour les fonctions de deux variables seulement.
Soient

Jx^ T'xy y^^ • • • J^n-iî Jn \

deux séries de valeurs de x et de /, suffisamment rap-
prochées , et désignons par {/a,a I^ valeur de la fonction
a qui correspond au système (^a,/a) : les valeurs de w,
correspondant à toutes les combinaisons qu'on peut for-
mer entre les valeurs de x et celles de y^ comprises
dans les deux séries ci-dessus, pourront, pour la com-

202 LIVRE III. CHAPITRE I.

modité des recherches , être disposées eu tableau comme
il suit :

■ï^.

^.

^i

^m-.

^_

**'»»

r,

«1,1

^^,r

"S,i

«»-.,.

«»..

r.

«.,,

«x.a

«3,a

«»-..,

«m..

73

«..3

««3

''3.3

«»-..3

«»M

:

Ja

^3,n-i

f<3.,

«m-,

■1^

«m.r

n.fi

(le manière que la valeur u^^ se trouve dans la bande
verticale, en tête pu à Ventrée de laquelle figure .r^, et
dans la bande horizontale , à gauche ou à Ventrée de
laquelle figure yi^ Une table ainsi construite se nomme
une taWe à double entrée. La table de Pylhagore est
l'exemple le plus connu d'une table à double entrée. Une
table de logarithmes est de sa nature à simple entrée ,
comme toutes celles qui comprennent la série des va-
leurs des fonctions d'une seule variable; mais par la ma-
nière dont on a disposé les tables ordinaires, pour en
diminuer le vojume , on les a artificiellement converties
en tables à double eptrée.

Une fonction de trois variables indépendantes x^y^ z
pourrait être donnée au moyen d'une table à triple en-^
trée, dont on se fera une idée en imaginant l'espace
partagé en cases cubiques par trois systèmes de plans
parallèles dont chacun coupe à angles droits ceux des

DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES. 203

deux autres systèmes; et en supposant qu'on inscrive
dans chaque case une valeur de la fonction Uy de ma-
nière que la valeur Uh, i, / se trouve au-dessus de la case
^Kk du précédent tableau, supposé horizontal , et dans
Vassise horizontale pour laquelle la variable z a la va-
leur js/. S'il y avait plus de trois variables indépendantes,
on ne pourrait plus imaginer de disposition géométrique
analogucy propre à coordonner dans l'espace toutes les
valeurs particulières de la fonction qui en dépend.

117. La fonction/ {x^y^Zj \ mathématique ou

empirique, doit en général être continue, po.ur les rai-*
sons que nous avons indiquées en parlant des fonctions
d'une seule variable; et de cet attribut de continuité
dérivent des conséquences importantes, indépendantes
de la propriété que les fonctions peuvent avoir, de s'ex-
primer par des formules mathématiques.

La continuité dont jouit la fonction n'empêche pas
qu'elle ne puisse éprouver des solutions de continuité ,
ou pour des systèmes de valeurs particulières

^=5,/ = Yi, 5 = Ç, etc.;
ou pour des systèmes de valeurs qui , sans être indivi-
duellement déterminées , satisfont à certaines conditions^
particulières

9(:r,7,z, ) = o,^(^,7,2....)==o,etc.;

mais, avant de s'occuper de ces solutions de continuité ^
il convient d'étendre aux fonctions de plusieurs yariar
blés la théorie des dérivées ou des variations infiniment
petites.

118. Considérons, en premier lieu, une fonction de
deux variables

-=/(-^'> j)^
et supposons que x eX y prennent les accroissements

204 LIVRE m. — CHAPITRE I.

A .r, A/ : la variation correspondante de z sera

Az=/(^+ Aa;,7-hAr)— /(J7,r),
et nous pourrons la mettre sous la forme

de manière que la quantité isolée par des crochets soit
la valeur qu aurait prise la variation A,z, si x seul avait
varié.

Nous pourrons mettre encore l'expression de A z sous
la forme

^^^/(^-<-Ax,7)-/(x,r) ^ ^^

Me

. y(x-h A3;, /-f- AT ) ~f{x + Ax, /)

-f- ' . A/ •

Admettons maintenant que les différences A a:, Aj* s'ap-
prochent indéfiniment de zéro : le rapport

Sx
aura pour limite/' {x,y)\ cette notation désignant la
dérivée dey*(^,j^) par rapport à la variable x. Et si
nous désignons par / {Xyj-) la dérivée de f (x,jr) que
l'on obtient en traitant/ comme la variable, le rapport
/(^ + A^>r-hAj)— /(j?+A^,7)
Aj
convergera vers la limite /^(x-[-Ax, /) quand A/ de-
viendra de plus en plus petit.

Enfin cette dernière limite , dont la valeur varie avec
\x^ convergera à son tour vers la limite j^ i^fj^) quand
A^ convergera vers zéro.

Donc^ en désignant par dx^ dj, dz des valeurs in-
finiment petites de A^, A;^, Az, on aura

dz=f{x,y)dx+f,{x,y)dr.
Mais, d'un autre côté, si nous désignons par d^z la dif-
férentielle de z dans l'hypothèse où x varierait seul , et

DES FONGTIOlf S DE PLUSIEURS VAR1A.BLES. 205

par dyZ la différentielle de z dans l'hypothèse opposée
où/ serait seul variable , on aura, selon les principes
delà notation différentielle ^

et, par conséquent ,

dz = '^^dx+^dx . (i)

dx dy ^ ^

dz désigne alors une différentielle totale; dg,z^ dyZ sont
des différentielles partielles;

dgZ dyZ
dx dy
soDt des coefficients différentiels partiels , ou des déri-
vées partielles.

Lusage a fait prévaloir la dénomination de dîjfjfe'
rences partielles sur celle de différentielles partielles ,
qui est plus régulière, mais moins euphonique. Cet
usage provient de ce que les géomètres du siècle der-
nier substituaient communément à l'expression de diffé^
rentielle celle de différence , en sous-entendant la qua-
lification dl infiniment petite.

La formule (i), telle que nous venons de l'écrire,
n'offrirait aucune ambiguïté : mais en pratique l'emploi
des indices au bas des caractéristiques de différentia-
tion occasionnerait des embarras et souvent des fautes
decriture ou d'impression. On préfère écrire simplement

et Ton ne craint point de confondre le dz (différentielle
totale) qui est au premier membre de l'équation , avec
les dz (différentielles partielles) qui figurent aux nu-
mérateurs des coefficients différentiels dans le second
membre.

206 LIVRE Itl. CHAPITRE I.

Rappelons-*nous en effet que les difFérentielles ne sont
que de.^ symboles auxiliaires ^ employés dans le cours
des combinaisons analytiques pour parvenir à des coef-
ficients différentiels qui sont des fonctions numérique-
ment déterminées, dès l'instant que l'on assigne des
valeurs numériques aux variables dont elles dépendent.
Or, tant que les variables x^y sont indépendantes, et
que les variations dx , dy ne se trouvent liées par au-
cun rapport^ les rapports de la différentielle totale dz à
dx o\k2idy ^ savoir :

d^z d„z dy dxZ dx d„z
dx dy dx' dx dy dy ^
sont indéterminés. Les expressions

dz dz
dx ' dy
n'auraient donc aucune valeur déterminée si , par le dz
qui figure aux numérateurs, on devait entendre une
différentielle totale; et le calcul^ appliqué à des ques-
tions susceptibles d'une solution déterminée, ne doit
pas les amener.

Néanmoins, pour plus de clarté, quelques analystes
écrivent, à l'exemple d'Euler et de Laplace, les coeffi-
cients différentiels partiels entre parenthèses , de la ma-
nière suivante

mais d'ordinaire on regarde ces parenthèses comme
superflues.

119. La formule (2) s'étend, sans aucune difficulté,
aux fonctions d'un nombre quelconque de variables in-
dépendantes. Ainsi l'on a, pour u==.f{x ,/, s> ^ ,....) ,

, du ^ du , du , du , .^.

du=^d^+-dx+^Jz + ^dt+ etc. . ^3)

DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES. 207

Il en résulte que, si ^UJ \x ^ Sj-^ ^z j A^^ etc. , dési*

goent des variations très-petites du premier ordre, on

a, aux quantités près du second ordre et des ordres

supérieurs ,

du du ^ du ^ du ^ , ,,

A«=^lx + -^A;^4-5^A^+^A* + etc. , (4)

du moins tant c|ue les dérivées partielles

du du du du
dx dy dz dt^

ne prennent pas de très-grandes valeurs qui rendraient
les fractions

I I 1 1

'd^' "d^ ' lûT^ ^ ' ^^''•
dx dy dz dt

comparables pour leur petitesse à Aa; , Ar, Az , A^, etcj

[45].

Donc , si une fonction dépend de quantités qui éprou-
vent des variations très-petites , positives ou négatives ^
la variation totale de la fonction est sensiblement égale
à la somme algébrique des variations que cette fonction
aurait subies dans sa valeur^ si chacune des quantités
dont elle dépend eût varié seule.

Le principe de la superposition des mouvements très-
petits , qui joue un rôle si important dans l'explication
des phénomènes physiques, et sur lequel reposent les théo-
ries modernes du son et de la lumière, n'est lui-même
qu'une conséquence du principe que l'on vient d'énon-
cer , et que l'on pourrait appeler le principe de la su-
perposition des petites variations. Si Ton rapproche ce
principe de celui de la proportionnalité des petites va-
riations [5], on comprendra comment un nombre borné
d'expériences fournit les moyens de calculer les variations

208 LIVRK III. — CHAPITRE I.

d'une quantité qui . dépend de plusieurs autres suivant
une loi empirique et inconnue, pourvu que les varia-
tions de ces dernières quantités soient renfermées dans
des limites étroites. Car il suffira , à la rigueur , d'ob-
server les valeurs de /S.u pour autant de systèmes de va-
leurs de A^r, A;^, A3, A^, etc., qu'il y a de dérivées par-
tielles à déterminer numériquement dans l'équation (4);
et ensuite cette équation donnera /iu en fonction linéaire
de A^r, Hj-j etc., pour des valeurs très-petites , mais d'ail-
leurs quelconques, de ces variations. L'art des obser-
vations consiste à observer dans des circonstances qui
permettent de déterminer ces coefficients inconnus avec
la plus grande précision ; et la théorie des chances four-
nit à ce sujet des indications que nous n'avons pas à
rappeler ici.

120. La démonstration de la formule (a) ou de la
formule (3), qui est une généralisation de la première ,
n'exige point que les variables o:,^, z, etc., soient in-
dépendantes. Mous l'avons supposé pour plus de généra-
lité; mais rien n'empêche de considérer toutes les varia-
bles Xy y ^ etc., ou q[uelques-unes d'entre elles, comme
des fonctions d'une nouvelle variable indépendante v; ou
bien encore de supposer que plusieurs de ces variables
(^y et z par exemple) sont fonctions de x. Alors u sera
fonction de x sous un double rapport : immédiatement ,
en tant que x entre dans l'expression de u; médiate-
ment , en ce que u est une fonction des grandeurs jy
et z, qui sont elles-mêmes des fonctions immédiates de .r.
Il faudra remplacer dans la formule (3) les termes

du j du ,

par

('

M

DES FOirCTIOlfS D£ PLUSIEURS VARIABLES. 209

<du dy du dz\ ,

sjrf/ dx dz dx) '
et ainsi pour tous les cas semblables.

On profite de cette observation pour faciliter la dif-
férentialion des fonctions mathématiques d'une seule
variable, quand l'expression en est compliquée. Si , par
exemple , on avait à différentier la fonction

\'\- X

on pourrait poser

d'où

dx , dx

dr'= y , dz:=L -T,=^

•^ 2 \/i-¥x 2 l/x-a

On aurait d'un autre côté

ce qui donne

du 'f—^yz du /»

ày ~ {y—zf ' dz — {y—zy •
Si l'on substitue ces valeurs dans la formule
. du , du j fdu dy du dz\ ,

on trouvera

et après qu'on aura remplacé les variables auxiliaires^, z
par leurs valeurs en .r,

du=-^. .dx.

121. Dans les applications du calcul aux phénomènes
naturels, lorsqu'une fonction u dépend d'une certaine
grandeur t^ à la fois immédiatement et médiatement, il
est quelquefois , non-seulement commode , mais indis-

T. I. ^ i4

210 LIVRE III. GHAPITI^E I.

pensable, de considérer séparément dans la varia tioo
de u la part qui provient immédiatement de la variation
de t^ et celle qui provient de la variation d'une quantité
V qui elle-même est fonction de t. Pour fixer les idée»
par un exemple sur cette double dépendance , imaginons
une particule matérielle mue dansi'espace par Tactioft
qu'elle éprouve de la part d'un corps électrisé* L'inten-
sité de la force motrice est une fonction immédiate du
temps tj à cause que la charge du corps électrisé éprouve
une déperdition continuelle, et une fonction médiate de
la même variable, en ce qu'elle dépend des coordonnées
du point en mouvement, qui changent d'un instant à
l'autre. Les questions les plus délicates de la théorie des
mouvements des corps célestes tiennent à des distinc-
tions de ce genre entre les diverses parties de la varia-
tion d'une fonction, que l'on doit considérer comme
autant d'effets séparés de la variation d'une même va-
riable. En pareil cas, le coefficient différentiel -^ peut

avoir des valeurs différentes et toutes définies , soit que
l'on considère du comme une différentielle totale ou
comme une différentielle partielle. Il faut convenir alors
de certaines notations propres à lever toute ambiguïté ;
mais il n'y a pas de règles générales à cet égard.

122. La formule (3) sert à démontrer une relation
connue sous le nom de théorème des fonctions hjomo^
gènes. En un sens purement algébrique , on dit qu'une
fonction f{x ,/, <3, ....), est homogène si Ton a , quel
que soit 6 ,

/(ô^,6r, es, ..,.)=6»/(a:,7,^, ).

En prenant les différentielles des deux membres par rap-
port à 6 , on aura cette autre identité

DES FOirCTIONS DE PLUSIEURS VARIiiBLES. 211

'^' ?•' "'> • -'Kd^+i'^^^^ "•^^ **'' • ' • Vrf6

dx dy

Divisons par cR et faisons ensuite 0=::i : il viendra

Cette dernière formule est l'expression analytique du
théorème des fonctions homogènes.
123. Reprenons la fonction à deux variables indé^»

pendantes

z=f{xyx).
Si nous désignons par A^z, AyZ les variations partielles
que subit cette fonction quand on augmente a: de ^x
sans toucher hj-^ ouj- de A/ sans toucher à x, nous
aurons

Les variations que les deux membres de cette équation
subissent, quand on y remplace^ par^-^A;^, doivent
être exprimées par

AyAaJZ =y(^ + 1^, 7+ ^y)—f{x + Ar, y)
— /(^> /+ V) +/(-^) /) •
La symétrie du second membre de cette équation, par
rapport aux variables Xj y^ exige que Ton ait
Ay A^ J2 = A^ Aj, i; ,
que soient les accroissements A^r , A;^ : donc , à la

dy dgg z = djg dy z , (5)

et

dyd^z d^dyZ

dydx dxdy
I^s une formule telle que celle-ci, on admet que la
nature et Tordre des différentiations partielles sont indi-*

i4.

212 LIVRE m. -^ CHAPITRE f.

quës suffisamment par la présence et par l'ordre de
succession des facteurs dx^ dy qui figurent aux dénomi-
nateurs. En conséquence, on écrit

ddz ddz

dydx dxdy
ou plus simplement encore

dydx dxdy
Le principe qui vient d'être établi s'applique à toute
espèce de fonctions continues, et doit toujours se véri-
fier, numériquement ou algébriquement. Prenons , par
exemple y

X

zzzi arc tang— :

on a

dz jr dz X

dx x'+f^ dy'^~ x^ +f^

d^z d^z x^ — 7*

dydx ~ 'dxdy~ {x" -^ff *
Soit encore

z^^f^ .

il vient

dz aoj dz x^{i — y*)

d^z flPz ikx{i—y^)

dydx dxdy (1+7*)*
L'identité des deux membres de l'équation (5) une
fois établie, il en résulte que, dans une expression de la

forme

dggd^d^ Uj

on peut intervertir l'ordre de deux indices consécutifs
quelconques, et, à l'aide d'une ou de plusieurs inter-
versions semblables , faire dans l'ordre des indices ou des

DES FONCTIOirS DE .PLUSIEURS VABIABLES. 213

diiférentiations successives toutes les permutations pos-
sibles sans rien changer au résultat final. Le raisonne*
ment est le même que celui qu'on emploie dans les élé-
ments d'arithmétique pour prouver que Ton peut, sans
changer la valeur d'un produit de plusieurs facteurs,
intervertir de toutes les manières possibles Tordre des
mnltiplications successives ; après qu'on a prouvé préa«
lablement que le produit de deux facteurs ne change
pas, quel que soit celui des deux facteurs que l'on con-
sidère comme multiplicande ou comme nïultiplicateur.
124. Au moyen du théorème qui fait l'objet du nu-
méro précédent, on trouve sans difficulté l'expression
des différentielles totales des divers ordres , pour les
fonctions de plusieurs variables indépendantes. En dififé-
rentiant par rapport aux deux variables j:,^ les deux
membres de l'équation

X dz dz ,
ou j, ^ désignent des fonctions de ^ , /, et o\idx^dy

peuvent être traités comme des facteurs constants, puis-
<|uex,j représentent des variables indépendantes, on a

h^

dz , dz

dx , dx

dx-i

Le â^z du premier membre indique une différentielle
totale du second ordre : les expressions
d^'z d^z d^z
dx* ^ dxdy » 1^

214 LIVRE III. CHAPITRE I.

désignent les trois coefficients différentiels partiels , ou
les trois dérivées partielles du second ordre , qui sont en
général des fonctions déterminées des deux variables in-
dépendantes Xjj-; mais qui peuvent accidentellement
ne contenir qu'une de ces variables, ou se réduire à des
constantes , ou même, pour certaines valeurs des varia-
bles Xy y y rester indéterminées , comme nous le verrons
en son lieu.

En poursuivant ce calcul , on trouverait pour la diffé-
rentielle totale de l'ordre n^ d'une fonction de deux va-
riables indépendantes x yjr^

expression évidemment analogue à la formule du bi-
nôme , qui se démontrerait par induction de la même
manière, et qu'on peut écrire sous la forme symbolique

On indiquerait de même la loi du développement de la
différentielle totale de l'ordre /i, d'une fonction u des
variables indépendantes x^ y y z, t y par l'équa-
tion symbolique

df^uz=.{-j-.dX'\-'j'.dy-\'—.dz + ^c. J rf*M.

Nous avons déjà indiqué [43] la raison de ces analogies
entre le développement des puissances, et celui des dif-
férences finies ou infiniment petites.

On appelle équations aux différentielles partielles ,
ou plus ordinairement [i 1 8] équations aux différences
partielles , celles qui ont lieu entre des variables indé-
pendantes , les fonctions qui en dépendent , et tes déri-

DES FONCTIOirS DE PLUSIEURS VARIABLES. 215

vées partielles, ou les coefficients difïérentiels partiels de
ces mêmes fonctions. Par opposition y on nomme équa-^
tions différentielles ordinaires, ou simplement équa-
dons différentielles celles dans lesquelles n'entrent que
des coefficients différentiels, comme ceux dont il a été
question dans la théorie des fonctions d'une seule va-
riable. L'ordre d'une équation aux différences partielles
est celui du coefficient différentiel de l'ordre le plus
élevé , parmi ceux qui entrent dans la composition de
réquation. La forme la plus générale d'une équation
aux différences partielles du premier ordre y entre les
<leux variables indépendantes Xyj- et la fonction z y est
./ dz dz\

celle d une équation aux différences partielles du second
ordre entre les mêmes variables :

dz dz d* z d*z d^z\

d^'^^'dP'd^'df) ~^'
et ainsi de suite.

On entend par Calcul des différences partielles la
branche de la théorie des fonctions, où l'on traite des rap-
ports entre les fonctions de plusieurs variables indépen-
dantes et leurs coefficients différentiels ou dérivées par-
tielles, et généralement des équations aux différences
partielles des divers ordres.

Quand on se borne à considérer (comme cela a pres-
que toujours lieu dans les applications à la géométrie )
deux variables indépendantes ^,^ et une fonction z de
<%s deux variables y on trouve commode de désigner
par une seule lettre chaque dérivée partielle des trois pre-
miers ordres^ dont l'emploi revient souvent; et dans ce but
uous adopterons y d'après Monge, la notation suivante:

f[a:yX,h

216 LIVRE III. CHAPITRE I.

dz dz •

^_d*z d*z d*z.

''~d^' ^~d^' ^~1^*'

_d^z d^z d^z d^z .

"— S5 ' "^ —'dbFdy''^~'d^-] ^~df'
ou

dz = pdx +qdy y

d^z-=i rda^ + isdxdy'\'tdj* ^

d}zz=,ud3(^ -\- 3itf doc'dy-\-Zwdxdy^-\-vdy^.

Suivant cette notation , les équations aux différences
partielles du premier et du second ordre , entre les trois
variables x^y^ z, seraient désignées d'une manière géné-
rale par

/(^> r> ^> /^) y) = o 1 /(^> r? ^^ p^ î> r, 5, ^) = o .

125. D'après la conception ^e Descartes [i], dont
l'extension à la géométrie dans l'espace est censée con-
nue de nos lecteurs, la fonction z=f{x^jr)^ réputée
continue, peut toujours représenter l'ordonnée d'une
surface courbe, rapportée à trois axes que, pour plus
de simplicité, il convient de prendre rectangulaires. Les
valeurs des dérivées/?, q^ r^ s^t ont , avec la direc-
tion du plan tangent, et avec certains caractères géo-
métriques de la surface, des rapports dont la discussion
viendra lorsque nous traiterons spécialement de l'appli-
cation de l'anal^rse différentielle à la géométrie aux trois
dimensions. Quant à présent, nous cherchons au con-
traire de quelle utilité peuvent être les conceptions géo-
métriques pour l'intelligence de la théorie des fonctions.

Or, soqs ce point de vue, il faut reconnaître que la
représentation des fonctions de deux variables par des
ordonnées de surfaces, est de peu d'utilité pratique :
car, s'il est facile de tracer sur un plan une courbe dont

DES FONCTIOirS DE PLUSIEURS VARIABLES. 217

on conoait un nombre fini de points , suffisamment rap-
prochés, on manque de procédés commodes pour figu-
rer dans l'espace une surface dont on ne connaît qu'un
nombre fini de points, ou même une surface dont on
connaît la loi de génération ; et cette difficulté a fait
naître la branche de la géométrie à laquelle on donne le
nom ïe géométrie descriptive y dont l'objet est de ra-
mener les constructions qui devraient se faire dans l'es-
pace, à des opérations graphiques sur un plan.

126. De tous les procédés de la géométrie descrip-
tive pour la détermination des surfaces à l'aide de
constructions planes, le plus général, et le seul dont
nous ayons à nous occuper ici, à cause de sa liaison
très-directe avec la théorie analytique des fonctions,
consiste à couper la surface par une série de plans ho-
rizontaux, et à projeter sur le plan horizontal xy les
courbes d'intersection que l'on appelle des lignes de
é^eau , les courbes projetées et leurs projections de-
vant être parfaitement superposables, à cause du pa-
rallélisme des plans.

Pour chaque ligne de niveau on aura z = c, c dé-
signant une constante quelconque : par conséquent

iz:=zO^ OU

équation différentielle commune à toutes les projections
des lignes de niveau, et d'où l'on tire

/=-f, (6)

ce qui fait connaître, pour chaque point (.r, ^, la di-
rection de la tangente à la projection d'une ligne de
niveau, passant par ce point. •
Ijorsqu'on va, du point de la surface dont les coor-

218 LIVRE ni. — CHAPITRE I.

données sont Xj jTj z, au point infiniment voisin qui a
pour coordonnées x-hdx, /-f-rf^, z-hdzj on s'élève
verticalement de la hauteur dz, et Ton décrit, parallè-
lement au plan horizontal y la ligne infiniment petite
[y^dx^+d/^. La pente de la ligne décrite sur la sur-
face, ou la tangente de l'angle qu'elle fait avec le plan
horizontal , a donc pour mesure

dz _ p+qf

\/^dx^+dr i/i+j" ^^^

La grandeur de cette pente varie, en un même point
de la surface, ou pour les mêmes valeurs de x, y^ p^ q^
avec le rapport arbitraire^'. Si l'on veut déterminer la
direction de la ligne de plus grande pente^ on égalera
à zéro la dérivée de l'expression précédente, considérée
comme fonction de^; ce qui donnera

OU

qdx — pdy = o ,
pour l'équation différentielle commune à toutes les
projections en xy des lignes de plus grande pente.
D'après un théorème connu, la comparaison des équa-
tions (6) et (8) fait voir que le système des projections
des lignes de niveau est coupé à angles droits par le
système des projections des lignes de plus grande
pente. Par conséquent, si l'on donne un certain nom-
bre de courbes de l'un des systèmes, suffisamment rap-
prochées les unes des autres, on pourra tracer avec
une approximation suffisante les courbes de l'autre
système.

La substitution dans le second membre de l'équa-
tion (7), de la valeur de y tirée de l'équation (8),

DES FONCTIONS DE PLUSIEUIIS VARIABLES. 219

donne pour Ja valeur de la pente maximunij

La mëlhode adoptée maintenant en France , dans les
grands travaux topographiques, pour exprimer sur un
plan supposé horizontal le relief d'un terrain, consiste
en effet à tracer sur le plan la série des projections des
lignes de niveau que l'on obtient en coupant la surface
du terrain par des plans horizontaux équidistants, et
surabondamment la série des projections des lignes de
plus grande pente, qui viennent couper les courbes du
premier système à angles droits.

127. Lorsque chaque ordonnée verticale ne rencontre
la surface qu'en un point, et conserve toujours une va-
leur finie, les projections des lignes de niveau forment
une série de lignes dont aucune ne coupe les autres^ et
qui ne reviennent pas non plus sur elles-mêmes , après
({ue z a dépassé certaines valeurs. Ce cas mérite une
attention particulière, parce que c'est celui qui se pré-
sente dans toutes les questions où la variable z désigne
une grandeur physique, fonction de deux coordonnées
d un point matériel. Soit^ pour fixer les idées, une plaque
cii'culaire dont le centre est l'origine des coordonnées
x,/, et qui a été primitivement échauffée d'une manière
quelconque : on suppose l'épaisseur assez petite pour
que la température de toutes les molécules situées sur
une normale aux deux faces de la plaque soit sensible-
ment la même; alors^ z désignant en un instant quel-
conque la température des molécules ou des points
matériels situés sur une même normale, deviendra une
fonction des cordonnées x,^, du pied de la normale.
Cette fonction pourra être positive ou négative, selon
la place assignée au zéro des températures, mais elle

220 LIVRE III. CHAPITRE 1.

conservera toujours une valeur finie, et n'aura en gé-
néral qu'une seule valeur pour chacjue système de va-
leurs des coordonnées Xy y. La loi de cette fonction
sera rendue sensible si l'on trace sur le plan o^ une
suite de lignes a, p, y, [Jig. 36) qui satisfont à l'é-
quation différentielle

pdx^ qdy=LOy
ou le long desquelles la température conserve la même
valeur, et si l'on affecte chaque ligne d'une cote qui in-
dique la valeur de la température pour les points situés
sur cette ligne. On appelle lignes isothermes ces lignes
d'égales températures dont le système est. propre à dé-
finir et à représenter graphiquement la loi de la fonc-
tion z,

La variable z pourrait désigner, non plus la tempéra-
ture d'une particule matérielle, mais sa densité, sa dila-
tation ou sa contraction, la pression qu'elle éprouve,
l'intensité de la lumière qui l'éclairé, celle des forces élec-
triques ou magnétiques qui en émanent, etc. Les carac-
tères généraux de la fonction, les seuls dont nous ayons
à nous occuper dans cet ordre de recherches, reste-
raient les mêmes.

Par extension, et afin de ne pas innover dans les
termes sans une nécessité absolue f'), nous continuerons
d'appeler lignes de nii^eau celles le long desquelles la
fonction z^=zf(^Xy y) conserve une valeur constante,

(') Autrement, il paraîtrait assez coDfenable de nommer lignes iso-
mériques celles qui lient ensemble des particules matérielles qui se
trouvent dans le même état physique, ou pour lesquelles la grandeur
physique que Ton considère, z =y(a?,/), a la même valeur. Cette
dénomination est analogue à celle de lignes isothermes, qui a déjà
passé dans Tusage.

DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES. 221

bien que la fooction z soit censée représenter une
grandeur physique, et non plus l'ordonnée verticale
d'une surface dont le point (j;, /, z) aurait pour pro-
jection horizontale le point (.r, /). La variation de la
fonction z est nulle quand on passe d'un point au point
contîgu sur la ligne de niveau : elle est la plus grande
possible (pour un même déplacement infiniment petit)^
quand le déplacement s'opère perpendiculairement à la
ligne de niveau [1^6]. On peut donc qualifier de lignes
de variation maximum^ celles qui coupent à angles
droits les lignes de niveau, et qui correspondent aux
projections des lignes de plus grande pente dans la
théorie des surfaces.

* 128. Les fonctions z dont il s'agit dans le numéro
précédent , et qui peuvent comporter ou ne pas comporter
d'expression mathématique, ne sauraient devenir infi-
nies ; mais elles sont susceptibles d'éprouver des solu-
tions de continuité du premier ordre, consistant dans le
piàssage brusque d'une valeur finie à une autre. Ceci
résulte, comme nous l'avons expliqué dans un cas ana-
logue [38], de la règle même en vertu de laquelle nous
pouvons concevoir qu'une grandeur physique z devient
fonction des coordonnées d'un point mathématique
[x^f)' Admettons, pour fixer les idées, que z désigne
la densité de la plaque M {fig. 36) le long de la nor-
male qui a pour pied le point {pc^jr). Afin d'attacher
un sens physique à cette définition, il faut imaginer
une courbe fermée, tracée arbiti*airement à la. surface
de la plaque, ^t qui comprend le point {x^ y) dans l'aire
(o limitée par son périmètre <r. L'aire (t> pourra être prise
pour la base d'un cylindre droit dont la hauteur serait
l'épaisseur de la plaque; et le rapport de la masse de

222 LIVRE lir. — CHAPITRE I.

ce cylindre à son volume sera un certain nombre D
mesurant la densité moyenne du cylindre. Si mainte-
nant on conçoit que l'aire co décroisse indéfiniment,
sans cesser de contenir le point (^ , /) , la limite z vers
laquelle convergera le rapport variable D, limite sus*
ceptible de varier avec les coordonnées Xj j^ sera la
fonction de x^y^ que l'on prend pour mesure de la
densité de la plaque sur la normale élevée au point
{xy y). On appliquerait à la mesure de la température
ou de toute autre grandeur physique ce que nous ve-
nons de dire au sujet de la mesure de la densité.

En général , la limite z ne changera pas, quelles que
soient la forme des courbes <t et la position du point
{Xy jr) dans l'étendue de Taire co limitée par ces courbes*
Elle ne chahgerait pas non plus^ en général, si l'on
plaçait le point {x^ y) sur le périmètre même de l'aire
cd : car on pourrait substituer à ce point un point infi-
niment voisin {x+dxyjr+dj), compris dans l'intérieur^
et pour lequel la valeur de la fonction z ne différerait
de celle de la même fonction au point {xj j) que d'une
quantité infiniment petite et partant négligeable. Mais
néanmoins on conçoit que, pour certaines valeurs parti-
culières de Xyjy la limite z peut changer, selon que l'aire
infiniment petite ct> comprend tous les points qui avoi-
sinent ( ^> /) , dans toutes les directions , ou ne com-
prend que les points renfermés entre certaines lignes
menées par le point {x, y). Dans ce cas, la différence
des valeurs de z^ pour deux points infiniment voisins,
n'est plus infiniment petite; ou, en d'autres termes, la
fonction z éprouve une solution de continuité du pre-
mier ordre, consistant dans le passage brusque d'une
valeur finie à une autre.

DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES. 223

On aura un exemple des solutions de continuité de
cette nature, si l'on imagine la plaque M {Jig. 87),
formée de deux métaux dijfférents, soudés suivant la
ligne np. La densité de la plaque sera une fonction qui
variera brusquement en passant par la ligne de soudure,
et si l'on prend pour {pc^f) un point pi situé sur cette
ligne, la fonction z aura deux valeurs distinctes, selon
que Ion considérera ce point comme appartenant à la
portion  ou à la portion B de la plaque. Soient z,, 2,
ces deux valeurs de la fonction z : la limite dont il était
question tout à l'heure sera égale à

J5, + J3.

le point pt. tombera dans l'intérieur de l'aire cd;
elle aura pour valeur z„ lorsque le périmètre a passera
par le point (x et sera situé à gauche de la tangente st;
enfin elle aura pour valeur z^ lorsque le périmèti*e pas-^
sera encore par le point (x, mais sera situé à droite de
la même tangente.

Nous appellerons lignes de rupture les lignes telles
que np^ le long desquelles la fonction passe brusque-
ment d'une valeur finie à une autre.

Plusieurs lignes de rupture np^ n'p\ n"p'\ etc*
[fig. 38) peuvent avoir une intersection commune en
|i. Par le point pi menons à ces lignes les tangentes st^
jV,/V, etc., et désignons par a,, a,, a,, etc., les arcs
qui mesurent les angles

s\».s\ ^'j^y j-^'jx^, etc.
sur la circonférence du cercle dont le rayon est l'unité r
la fonction z aura au point pi des valeurs distinctes 2,,
hihj etc., selon que l'on considérera le point pi comme
appartenant à l'un ou à l'autre des espaces angulaires
«|A/i', /î'jjt/î", ^"[i^Pj ctc- («)

224 LIVRE m. CHAPITRE I.

La limite z, avec laquelle cette fonction coïncide en gé-
néral , aura pour valeur

a, ^, -f- a. z, -+■ a, i. H- etc.

* ,

lorsque le point [jl tombera dans l'intérieur de Taire ta;
et elle prendra les valeurs 2,, z,, 23, etc., lorsque le pé-
rimètre <r, étant assujetti à passer par le point (l, sera
de plus entièrement compris dans l'un des espaces an-
gulaires (a).

Les lignes de rupture, quand elles existent, empê-
chent les lignes de niveau d'être des courbes fermées.
Ainsi, np {fig. 89) étant une ligne de rupture, une
ligne de niveau partie du point (l, à gauche de la ligne
de rupture, viendra en général aboutir à droite de la
même ligne^ à un point v^ distinct de [jl.

Réciproquement, on peut considérer la ligne de rup-
ture comme une ligne qui joint les points de rupture des
lignes de niveau consécutives, lorsque ces lignes, et par
suite la fonction 2, éprouvent des solutions de continuité
du premier ordre.

Les solutions de continuité du second ordre, éprou-
vées par la fonction 2, sont caractérisées par l'exis-
tence de points saillants dans les lignes de niveau : si
l'on joint les points saillants qui se correspondent 'dans
les lignes de niveau consécutives, on tracera une autre
ligne que l'on peut nommer ligne de rupture du second
ordre ; et ainsi de suite.

129. Passons à ce qui concerne les fonctions de trois
variables indépendantes .

quand on suppose que u désigne la valeur, au point
(ct:,^, z) d'une certaine grandeur physique, telle qu'une

BES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIA.BLES. 225

force attractive ou répulsive, une densité, une pression,
une température , etc.
Si Ton pose

^/lf^_Y ^/(^xr^^)_v £i/W2i)_7

OQ aura

du = JLdx -h Xdy-^Zdz ,

expression dans laquelle chacune des lettres X, Y^ Z,
désigne en général une fonction des trois variables in-
dépendantes :r, /, z. Comme on a d'ailleurs [ia3]

d^u d*u d'à rf»w d'à d^u

dxdy dydx^ dxdz dzdx^ dydz dzdy^
les fonctions X, Y, Z, devront vérifier les trois équations
de condition

dX._dY dX._^ f(X_^. (Q)
dy rfx' dz fltr' dz dy ^ ^

En assignant à u une suite de valeurs constantes , on
aura nue suite de surfaces qui toutes satisferont à l'é-
quation différentielle

ILdx-^Xdy + Zdz = o ,
et qui ne devront point se couper; sans quoi la fonction
serait susceptible de prendre, pour le même point maté-
riel, plusieurs valeurs distinctes. Quand la fonction u
désigne une température, elles prennent le nom de
surfaces isothermes; en hydrostatique, où la fonction
w désigne une pression, ou les appelle surfaces de ni"
^'eau; et par la raison déjà indiquée [127], nous retien-
drons cette dernière expression, quelle que soit la signi-
fication physique de la fonction w (').
Les coordonnées j:, /, z, étant rectangulaires, la

(') On pourrait nommer aussi les surfaces dont il s'agit, surfaces
^^mériques. Voir la noie de la page 220.

T. I. l5

.226 LIVKE III. CHAPITRE I.

distance du point {pCj y^ z) au point infiniment voisin
{x'\rdXyX'\'djry ij+rfz)a pour mesure J/^'J^rf^a 4.^.
et dans le passage d'un point à l'autre, la fonction u prend
l'accroissement du; de sorte que le rapport de raccrois-
sèment à la distance des points a pour valeur
X flga: + Y rfr + Z flfe

ou

en posant, pour abréger,

dy dz_ ,

dx—^' lùi—^ •
La grandeur de ce rapport varie, en un même point de
l'espace, ou pour les mêmes valeurs des quantités X^
Y, Z, avec les rapports arbitraires /', 2', qui détermi-
nent la direction suivant laquelle le déplacement a
lieu. Quand on applique à la quantité (w), considérée
comme fonction de / , z', la méthode qui sera indiquée
plus loin, pour la détermination des maxima et nd-
nima des fonctions de plusieurs variables, on trouve
que la valeur maximum du rapport {rri) est

l/X^4-Y^4-Z»,
et que les lignes de variation maximum rencontrent à
angles droits les surfaces de niveau.

* 1 30. La théorie des solutions de continuité, pour les
fonctions d'une ou de deux variables qui représentent
des grandeurs physiques [38 et 128], s'étend sans diffi-
culté aux fonctions de trois variables. Admettons, afin
de fixer les idées, que u désigne la densité du corps M
au point (^, y y z). Pour préciser le sens de cette dé
finition, il faut imaginer une surface fermée w, mena

DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIA.BLES. 227

arbitrairement dans Tintërieur du corps, de manière
seulement à entourer le point (jr, ^, z). Le rapport de
la masse du volume v, enveloppé par la surface, à ce
volume même , est un certain nombre D qui mesure
la densité moyenne de v. Si maintenant on conçoit
que, par la variation continuelle de la surface co, les
dimensions du volume v décroissent indéfiniment, sans
que le point (x^ jr, z) cesse de s'y trouver compris, la
limite vers laquelle converge le rapport variable D est
cette fonction u de x^ y^ 2, que Ton prend pour me-
sure de la densité du corps au point {x^ /, z). On ap-
pliquerait cette définition, mutatis mutandis, à la me-
sure de la température ou de toute autre grandeur
physique.

D'après cela, il est aisé de concevoir comment la
fonction m, continue en général, peut passer brusque-
ment d'une valeur finie à une autre, pour les points
situés sur de certaines surfaces, que nous appellerons
pour cette raison surfaces de rupture. Soient }l un point
situé sur une telle surface ; A et B les deux portions de
M séparées par la surface; w„ w„ les valeurs de la li-
mite u pour deux points infiniment voisins de [jl, l'un
en A, l'autre en B : la valeur de la limite au point p.

sera

«I 4- u^ ^

Si le point pi est l'intersection commune de plusieurs
surfaces de rupture, on mènera les tangentes aux lignes
d'intersection de ces surfaces au point (l; on imaginera
une sphère décrite du point (jl comme centre avec le
rayon i ; on joindra deux à deux par des arcs de grands
cercles les points où les tangentes pénètrent la surface

i5.

228 LIVRE m. CHAPITRE I.

sphérique^ et Ton divisera ainsi cette surface en com-
partiments dont les aires t., t,, T3, etc., correspondront
aux régions du corps M, pour lesquelles la limite u
prend, dans le voisinage immédiat du point (x^ les va-
leurs u^, u^i Ui', etc. Cela posé, la valeur de cette fonc-
tion au point (a sera la moyenne

MiT, 4-«>T>4-»3T,+etC. u, T, + M.T> +K, T, + CtC.

T,+T. + T, +etc. 4^

On peut considérer la surface de rupture comme le
lieu des lignes de rupture des surfaces de niveau, lors-
que ces surfaces, et par suite la fonction Uj éprouvent
des solutions de continuité du premier ordre.

Les solutions de continuité du second ordre^ éprou-
vées par la fonction u , correspondent à des arêtes ou à
des lignes saillantes sur les surfaces de niveau : le lieu
des arêtes qui se correspondent sur les surfaces de niveau
consécutives, est une autre surface que Ton peut qualifier
de surface de rupture du second ordre, et ainsi de suite.

CHAPITRE II.

DIFF]£REirTlA.T10ir DES FONCTIONS IMPLICITES d'uNE OU
DE PLUSIEURS VARIABLES INDJ^PENDANTES. CHAN-
GEMENT DE VARIABLES.

$ i^'. Différentiation des fonctions implicites.

13h Lorsque la variable^ est déterminée implicite-
ment en fonction de x par Téquation non résolue

/(^j7) = o, [a)

le premier membre de l'équation peut être regardé
comme une fonction u des variables x^ y^ assujettie à res-
ter constamment nulle, en sorte que les incréments dx^
t^ sont liés par l'équation

. du j du , dy du . du

dx dy dx dx dy

Au lieu d'employer le signe auxiliaire u , on peut écrire

dx dy

ou plus simplement encore

Quand on emploie jr' pour désigner le coefficient dif-

dy
férentiel -4- , cette équation prend la forme

a ou

•^ dx dy

En général , le second membre de cette équation est
une fonction explicite des deux variables j;,jr; lorsqu'on

230 LIVRE III. CHAPITRE II.

y substitue la valeur de ^ en x ^ tirée de l'équation (a) ,
y se trouve exprimé en fonction de la seule variable x.
Si l'équation {a) est algébrique, on peut encore éliminer
j entre {a) , {d) par les méthodes ordinaires ; et l'équa-
tion résultante , qui , en général , n'est pas résoluble al-
gébriquement par rapport à y\ détermine implicitement
y en fonction de x.

A cause des liaisons qui subsistent entre la variable
indépendante x et chacune des fonctions^, y, le pre-
mier membre de (a') est une fonction de^ qui doit rester
nulle , quelque valeur que prenne x. Donc la dérivée de
ce premier membre, prise en traitant^, /' comme des
fonctions de j:, est nulle, et l'on a entre x^j^y^y\
l'équation

^-^/-^/•-^-■=«> M

de sorte qu'on peut éliminer deux quelconques de ces
quatre variables entre (a) , (a') , (a''). Si l'on chasse par
exemple y, on aura entre X'^ y^f l'équation

dx' \dy) dxdj dx dydy \dxj ^ \dxJ^ ""

De même, pour déterminer y, on prendrait la dé-
rivée par rapport à x du premier membre de (a") , en
appliquant toujours la règle de la différent iation des
fonctions médiates , ce qui donnerait

11 n'y a aucune difficulté à continuer ce calcul de
proche en proche, ni à construire immédiatement la
formule qui donnerait la valeur de^''^

DIFF^RENTIATION DES FONCTIONS IMPLICITES. 231

132. Quand on a un nombre n d'équations entre /i-|-i
variables , ce système ne laisse qu'une seule variable in-
dépendante dont toutes les autres sont des fonctions qui
s'exprimeraient explicitement, si l'élimination entre les
proposées et la résolution des équations résultantes pou-
vaient s'opérer.

Désignons, pour abréger , par

/« = o,y; = o,/3 = o, fn = o, (A)

les équations qui lient entre elles les variables /, ^yJK^
2, , en nombre n^i : on aura aussi les équa-
tions dérivées

Maintenant, si la variable indépendante est tj on divi-
sera toutes les équations {b') par dtj et l'on aura n
équations linéaires entre les n coefficients difFérentiels
dx dy dz

dt' dt' dt' ***'•'

aa moyen desquelles ces coefficients seront individuelle-
ment déterminés en fonction de t^x^jr^ z, etc.
De même les équations

que l'on obtiendra par la difFérentiation des équations
(i), en considérant j;,/, 2, etc., comme des fonctions
«fe ty détermineront les dérivées du second ordre
d*x rfy d'z

232 LIVBE III. CHAPITRE II.

et ainsi de suite. Nous avons surmonté d'un trait les
quantités t/*^, d^f%^ etc., pour montrer qu'elles indi-
quent des difFérentielles totales, et non des différen-
tielles partielles [it8].

Afin de mieux fixer les idées, supposons qu'on ait
entre les trois variables ^ , /, z , les deux équations

et que Ton prenne x pour variable indépendante : une
première différentiation donne

dx dy dz

De là on tire

-^ \dx dz dz dx) \dy dz dz dy ) '

\dy dx dx dyj\dy'dz dz dy J
Une seconde différentiation conduit aux équations
du second ordre

^« 4. o J^ r' -I- a -^z' + a -^ r' z'
da? + * rfr*//^ ^ "* </:rrfz* +* rfj^/z-^ *

et celles-ci donneront les valeurs à&y\z" en x,j; z^
après qu'on y aura substitué celles de y, z' , tirées des
équations précédentes. On pourra ensuite opérer l'éli-
mination de j', z, au moyen des deux proposées , de ma-

DIFF£RENTIi.TIOir DES FOITCTIONS IMPLICITES. 233

nière a obtenir deux équations finales, l'une en Xjjr'^
l'autre en x, z' .

On déterminerait de la même manière les coefficients
/", /', et ainsi à l'infini.

133. Passons au cas où le nombre d'équations entre

les variables laisse plusieurs de celles-ci indépendantes;

et pour prendre l'hypothèse la plus simple, admettons

que Ton ait entre trois variables .r,^, z, l'équation

unique

/(ar,7, z)=o : (c)

on en déduit toujours

équation qui lie entre elles les différentielles totales des
variables x,^, z. Mais en général ce qu'on se propose
de calculer , ce sont les dérivées partielles de la variable
que Ton considère comme fonction , prises par rapport
à chacune des variables indépendantes [i i8]. On les ti-
rera de l'équation précédente, après qu'on aura fixé celles
des variables qui doivent être traitées comme indépen-
dantes. Admettons que ces variables soient .r et^, et

posons [ia4]

dz = pdx -h qdy -

féquation (<?') deviendra

et comme elle doit subsister , quel que soit le rapport ar-
bitraire des variations dx , ûfr, elle se décompose dans
les deux suivantes

d'où Ton tirera les valeurs de/?, q^ exprimées généra-

234 LIVRE III. CHAPITRE II.

lement en fonction de jf,^, z. On pourra ensuite chas-
ser z au moyen de l'équation (c).

Si l'on dijfférentie Téquation (c'), en traitant ^ et/*
comme des variables indépendantes, et par conséquent
dvj dj comme des facteurs constants , il viendra

On a, pour la différentielle totale d^z , l'expression con-
venue [124]

d^z = rdx^ + isdxdy + tdy^ :

substituons cette expression et celle de la différentielle
totale dz dans l'équation {c"^j nous aurons

fdf d'f ttf d'f d'/\ . ^

Comme cette équation doit être satisfaite indépendam-
ment des facteurs arbitraires dx ^dy^ elle se décompose
en trois autres qui deviennent , après la substitution des
valeurs de ^ , q^ tirées des équations {d) y

\dzj dxdzdx dz dz"" \dxj dx" \dz) '

\dzj dz Xjfydz' dx dxdz dy)

dxdy \dzj dz"" dx dy

\dz) dydz dr dz^ dz^ \dy) + dy' \dz) " ° '

On arrivera plus directement au même résultat , si Ton

+ 2

DlFFÉRENTIATIOir DES FONCTIONS IMPLICITES. 235

considère que les équations {d) ayant lieu , quels que
soient j; et^, on peut égaler à zéro les dérivées des pre-
miers^ membres^ prises successivement par rapport à x
et par rapport kjr; en ne perdant pas de vue, d'une
part , que les dérivées partielles

£ df df

contiennent en général les trois variables jc^j-^z; d'autre
part, que z^p^q sont des fonctions implicites de^,^,
telles que l'on a

dz& dz dp dp dq dq

dx~^' Ty—^' li—'^' Ty—'di—^''jfy—^'

Ou obtiendra ainsi quatre équations dont deux seront
identiques : en effet, les équations {d) peuvent s'écrire

'W If

^ = o, ^ = o,

les traits supérieurs indiquant que l'on a difFérentié la
fonction/ par rapport à x ou à^, en ayant égard , non-
seulement aux variables x^j qui entrent explicitement
dans la composition de/, mais à la. variable z qui dé-
pend implicitement de x et Ae y en vertu de l'équation
(c). Cela posé, la dérivée de la première équation {d)
par rapport à ^, et celle de la seconde équation {d) par
rapport à x^ doivent être identiques, l'une et l'autre pou-
vant s'indiquer, suivant la même notation, par

dxdy
On déterminerait de même les dérivées partielles des
ordres supérieurs pour des fonctions d'un nombre quel-
conque de variables indépendantes, liées par un nom-
bre quelconque d'équations , sans d'autre embarras que
celui qui naîtrait de lu prolixité des calculs.

236 LIVRE m. — CHAPITRE

'^ 134. Nous. avons plusieurs fois invoqué le principe,
qu'une fonction algébrique, explicite ou implicite, qui
s'évanouit ainsi que toutes ses dérivées successives pour
une valeur particulière de la variable indépendante , est
identiquement nulle. Ce principe, qu'on a coutume d'ad-
mettre tacitement, pour toute espèce de fonctions, exige
d'être démontré, d'autant plus qu'il cesse d'être vrai gé-
néralement, pour des fonctions non algébriques. Or,
on le démontre très-aisément, dès qu'on a établi la règle
de différeutiation des fonctions implicites.

Soit en effet j^ une fonction de x^ déterminée par Té-
quation algébrique

/(a:^)=Y^»+Y„.,a:'-' + . . . . +Y,^»-f- Y.a?+Yo=o, (g^)

les coefficients Y„, etc., désignant des polynômes entiers
en j. On peut , sans restreindre la généralité de la dé-
monstration, supposer que zéro est la valeur de x qui
fait évanouir^, jk',/", etc. Or, pour que jr s'évanouisse
en même temps que x , il faut que Yo soit de la forme
Tojr, Yo désignant un autre polynôme enj^. Substituons
cette valeur de Yo dans l'équation {g) et différentions :
il viendra

/2Y„^~--f.(/i— i)Y„^,a:«-'+. . . .+2YaJ?+Y.
+/(Y>'*+Y'^^.â^-4-. . . .+Y',^'+Y'.a:+Y,+r',/)=:o.

Pour x=o , on a par hypothèse j=io , et cette équa-
tion se réduit à

Y. + /Y,= o.
Mais, par hypothèse aussi, on doit tirer de l'équation
précédente ^^=0 : donc Yi est divisible par^ et de la
forme Ti^.

En passant à la seconde dérivée de l'équation (^), on a

l>IFFiRENTIA.TION DES FONCTIONS JMrl>LIGlTES. 237

«(«— i)Y„a:~-2+(/i_i)(/i— 2)Y,_.a:«-5-|-. . . .+aY,

+îy-'[/iY>'-«+(«— i)Y'^.ic— + +aY>4-Y.+irj-]

+y'[Y'>'»4.Y''^,a^'+ +Y'>''+Y'.a:+2r',+Y",7]

+r''[Y'n^+YV.^^'+ +Y>*+Y',ar-hY,4-Y'or]=o.

Quand on fait à la fois x=o , j^-=o , ^=o, cette
équation se réduit à

2Y.+/'Yo = o;
donc, si^^' doit s'évanouir en même temps, il faut que
Y,* soit de la forme Y^jr. En procédant toujours de la
même manière, on prouverait que^ est facteur commun
de tous les termes de l'équation (g), de laquelle on tire
par conséquent^/tzno, quel que soit a:, ce qui démontre
la proposition énoncée.

Il suit de là, comme on l'a annoncé [87 et io3],
qu'une fonction exprimée dans une portion de son cours
par la fonction algébrique ^ir, et dans une autre por-
tion par la fonction algébrique^^o:, non identique avec
la première , éprouve nécessairement une solution de
continuité, d'un ordre plus ou moins élevé, pour la va-
leur de a: qui correspond au raccordement des fonctions
/,/, : car autrement la fonction algébrique
yzzzfx—f^x

s'évanouirait, ainsi que toutes ses dérivées, jusqu'à l'in-
fini , sans être identiquement nulle , contrairement à ce
que l'on vient de démontrer.

^ 135. Nous avons admis aussi [70], et l'on admet
communément , mais sans démonstration formelle , que
la fonction

constitue une transcendante irréductible, qui ne pour-
rait s'exprimer par une fonction algébrique , explicite ou

238 LIVRE m. CHAPITRE II.

implicite. Voici le calcul très-simple par lequel M. Liou-
ville établit cette proposition importante (»).

En premier lieu, si log x pouvait être exprimé par

.X

une fonction algébrique explicite --, dans laquelle X, X,

désignent des polynômes entiers en x^ qu'il est permis
de supposer premiers entre eux, la difFérentiation don-
nerait

-_ ^^ , ou — -X'X.-XX,,

d'où il suit que X, est divisible par Xy et que X ne Test
pas ; sans quoi il ne serait pas premier avec X,. On peut
donc poser

lL.=.od^ a , doù X', = n x'^"' S -H a;» S' ,
S désignant un polynôme non divisible par x^ et nnn
exposant positif entier : en conséquence , il vient

^an-i B»=: ;c»aX' — «^»*-'= SX— ^•'•S' X ,
OU

/iSX=a:(EX' — S'X)— ^'^S- ,

équation absurde , puisque le second membre est divi-
sible par X , tandis que le premier ne l'est pas.

Supposons maintenant que la fonction^milog x puisse
être déterminée implicitement par l'équation algébrique

/(x^)^x^r+Xn-,r-^ + -^x;7+x,=o, {h)

les coefficients X„, etc., désignant des polynômes en-
tiers en X : on aurait

et en remettant pour^' sa valeur donnée par la défini»
tion de la fonction logarithmique,

(') Journal de Mathématiques, t. II , p. 6&,

■y = o >

BIFFÉRENTIATION DES FONCTIONS IMPLICITES. 239

Or, si Tune des racines de l'équation («*), supposée irré-
ductible, c'est-à-dire non décomposable dans des fac-
teurs rationnels en ^, a la propriété de satisfaire identi-
quement à l'équation (A), celle-ci, dont le premier
membre est une fonction rationnelle de .r, sera aussi
vérifiée identiquement par toutes les autres racines de
Téquation (/). Donc, en désignant par /i,^,,. . . .j^j
ces racines qui sont en général autant de fonctions dif-
férentes de Xy on aura

dx , dx r dx ,

et par suite

^=->(r.+r.+ H-^.)=-i.(^),

ce qui vient d'être démontré impossible.

La transcendante e^ ne peut pas davantage s'exprimer
algébriquement : car l'équation /(a:, e*^)i=:o^ /étant une
fonction algébrique, équivaut à /"(logjr, ^)=o, dont
on vient de prouver l'impossibilité.

Au contraire , les sinus et cosinus et les arcs de cercle
. ne constituent pas des transcendantes irréductibles al-
gébriquement, puisque ces transcendantes se conver-
tissent en exponentielles et en logarithmes, et que la
complication des radicaux imaginaires ne change rien à
la nature de la fonction , au point de vue de l'algèbre.

Les puissances à exposants irrationnels ne constituent
pas non plus des transcendantes irréductibles , puisque
l'expression ^7^=.r« équivaut à^/=c*^*^8* j et qu'ainsi l'o-
pération sur X j indiquée par ^«, ot désignant un nombre
irrationnel , peut se résoudre dans l'opération sur x in-

240 LIVRE m. CHAPITRE II.

diquée par la caractéristique logx, et dans l'opération
sur u indiquée par la caractéristique é^.

Il resterait à montrer que les fonctions é' , log x sont
aussi irréductibles entre elles ; mais , pour cette démons -
tration plus compliquée que les précédentes, nous ren-
verrons au mémoire cité de M. Liouville.

En général , la preuve de l'irréductibilité des diverses
fonctions transcendantes est un sujet de recherches qui
font suite à celles dont l'objet est la divisibilité des nom-
bres et la décomposition algébrique des équations. Elles
ont pour caractère commun de tendre au perfectionne-
ment de la théorie plutôt qu'au progrès des méthodes
sur lesquelles reposent les applications du calcul. Comme
on procède presque toujours dans ces recherches par la
réduction à l'absurde, on doit s'attendre à y rencontrer
les difficultés et les complications d'un mode de dé-
monstration qui atteint la rigueur logique, mais qui
n'éclaire point l'esprit sur l'enchaînement rationnel et
sur la génération des vérités démontrées.

S a. Changement de variables.

136. C'est ici le lieu de traiter généralement du chan-
gement des variables indépendantes , sujet que nous n'a-
vons fait qu'indiquer en exposant les principes de la
théorie des dérivées et des différentielles [89 et 56].

Supposons que, dans l'hypothèse oîijr est considéré
comme fonction de la variable indépendante x^ cette
fonction et ses dérivées des divers ordres entrent dans
la composition d'une formule

K"r,%<%>% ) = «: («

CHANGEMENT DE VARIABLES. 241

il s'agit de savoir comment les dérivées

^, tL, tl
dx da^ dx^ '

doivent s'exprimer en fonction d'une troisième variable

t^ prise pour variable indépendante, et liée à j?, ^ au

moyen de l'équation donnée

En différentiant ((p) par rapport à la variable indé-
pendante ^,on obtient une suite d'équations dérivées

d^ dx dfù dy d^ , ,^

d<^ d?x dif d'y d'tf dx* d'f dy
dx"dF ~^Jr"df''^'d^'' df "^^'"df

, ^r *^f '^^ ''J . «^? dx d'<f &\d*9^^.^
^""Kdxdy'dt 'It'^dxdi' dt "^ ^' dtj'^d?-^'^'^ ^
db d^x d»f <Py

etc
Mais on a d'autre part

, dy dy dx

^~éc^7t''di'
d'où Ton tire

dy // «f-^ f^^ d^y dy d^x\ f^x^

It^^ 'dt~\dt'7F~'di''dF)'' \dtj '

et par conséquent

. ,, éT'j fdx d^y dy d'xX /dx\^

^ ~dx^~V3k''d?~'dt'7Fj' \^J '
Le même calcul donne

tiJf^y ^y_jél — Ùl^'él. f^^\ ^^ ^y ^^1 /'^^\^
t- LV dt) ' de dt dt^ ' de^^ dt \ dt' ) ""^ dt '1?\ ' yin) '

et ainsi de suite.

Au moyen des équations (ç), (ç'), (ç''), etc., on pourra
chasser des formules précédentes la variable x et ses
T. I. i6

242 LIVRE III. CHAPITRE II.

dérivées

dx dhx {Px

'dt' "3?' W '

de manière qu'après qu'on aura reporté dans (/) tes

valeurs de

dy dy d}y

^' ^' S?' d^' '

cette formule ne renfermera plus que

dy ^ d^y

^'^' 1i' dt-' It^'

on la ramènerait de même à ne contenir que

dx d*x d^x

^' ^'It' IF' le'

137. Le changement de variable indépendante n'est
qu'un cas particulier du changement de variables. Si Ton
veut substituer aux variables x , j qui entrent dans la
composition de l'équation {f) , deux nouvelles variables
2; et ^ , liées aux premières par deux équations

oii t désigne la variable indépendante , on prendra les
dérivées successives de ces dernières équations j en y
considérant Xy jTyV comme des fonctions implicites de
t; et l'on aura une suite d'équations que nous désigne-
rons, pour simplifier, par

(?'),(f),(?"),('l'"),(9"'),(r),etc

Elles seront en nombre un , si -j^ est le plus haut coef-
ficient différentiel qui entre dans (/). Au moyen de ces
in équations , jointes aux deux équations dont elles dé-
rivent , on exprimera

dx d^x d^x dy dy d^y . .

""'li'W l?'^'lt'1f\ If^^^^

en fonction de

GH\NGBMeiCT DE VARIàBLES. 243

^''"' It'W "S?' r ^""^

OQ substituera les expressions obtenues dans les valeurs de

dx' dx^' daf"

CD fonction des quantités (i)^ et l'on aura enfin la for-
mule (/*) exprimée au moyen des quantités (a).

138. Il suffit d'indiquer Textension que comporte
cette analyse, dans le cas de deux variables indépen-
dantes. Soit
„/ dz dz d*z d^z d^z \ ,_.

une formule où l'on veut remplacer les variables x^y^z
par trois autres u^ Vj t : les deux dernières étant traitées
oofflme indépendantes, et toutes trois étant liées à a:,/, z
par les équations

ix^yZ^Uy7)^t)=0^ ^Xjr,Z^U^V^t)=Oy Vi{x^fyUyVjt)z=lO . (0)

On aura :

dz dz dx dz dy dz dz dx dz dy

îv Ix'dv'^'d^'dv^ 1i dx''di'^'dy''dt^

^_d^ fdx\^ d^z dx dy ^ /dy^

dv'—dx'\d^J '^ ^ dxdy' dv' dv'^ df\ddj

dz d^x dz (Pf

'^d^'d^^'^d^^dv^'

d^z {Pz dx dx d*z (dx dy dx dy\

dvdt dP''3v''dt'^dxdr\dv'di'^'Tt'd7jJ

d^z dz dy dz d^x dz d*y

'^dj^'dv'lû'^dx' dvdt '^dp'dvdt^

^_£z fdxV d^z dx_dy^ d^z fdyV

dz d*x dz d*y
■^rf^" dP'^Jy'dP'
etc.

De ces formules on tirera les dérivées partielles

i6.

(4)

244 LIVRE III. CHAPITRR IK

dz dz d*z cPz d^z

exprimées en fonction de

dx dy dz dx dy dz
Idh' dZ' TU' H' Tt'Yt'
d'x dy ^l d^x d'y i£z

dp' dp' d^'' "dF' W de''

ê^x d^Y d^z
dvdt' dvdt' dvdt'
Mais, d'un autre côté, si l'on différentie les équa-
tions (^) , successivement par rapport à v et par rap-
port à ^, en allant jusqu'aux difFérentielles de même
ordre que les plus hautes dérivées qui entrent dans la
formule (F) , on aura autant d'équations qu'il en faut
pour exprimer les quantités (4) > et par suite les quan*
tités (3) , en fonction de

du du d'à (Pu cTu
dZ'It'dP'd^t' le' ^''''

<IWl>»»*l^%»%%VW»»»»»«^»*»*»»t^—it^«^*«i>%«>*»%»»>»«l»W>»fc»»«<«i%%»^M»V»,»%V»V»»^

CHAPITRE III.

RÉSOLUTIOW DES CAS d'iWDÉTKRMIWATION POUR LES
FONCTIONS EXPLICITES DE PLUSIEURS VARIABLES IN-
DEPENDANTES ET POUR LES FONCTIONS IMPLICITES.

THÉORIE DES MJXIMA m MINtMA DE CES FONCTIONS.

S i^'^. Résolution des cas d'indétermination pour les fonctions
explicites de plusieurs variables indépendantes.

139. Lorsque des fonctions d'une seule variable indé-
pendante se présentent, pour des valeurs particulières
de la variable , sous les formes indéterminées

O 00

on lève Findétermination en suivant les procédés indi-
qués au chapitre III du livre 'précédent; mais si c'est
une fonction z de deux variables indépendantes x^jr^
qui se présente sous l'une de ces formes indéterminées
pour une couple de valeurs des' variables x et ^, on ne
peut trouver, par la méthode citée, la valeur numérique
delà fonction, qu'après avoir établi arbitrairement une
liaison entre les deux variables indépendantes; et la va-
leur numérique qu'on obtient pour z varie en géné-
ral avec la liaison établie entre y et x\ On ne peut donc
pas lever absolument l'indétermination de la fonction z^
tant que a; et j* restent indépendantes , mais seulement,
en général , assigner des limites entre lesquelles la va*
leur de z doit rester comprise.
Soit

246 LIVRE III. CHAPITRE III.

etx^f/^ les valeurs de Xjjr qui annulent simultanément

les fonctions y et F. Désignons par/?^, q^, r^, etc., les

valeurs que prennent les dérivées partielles /?, q^ r, etc.,

de la fonctiony[ia4]j quand on y fait x-=.x^^y:=iy^ ;

appelons P«> Q^, Bo» ^^9 l^s quantités analogues pour

la fonction F ; désignons enfin par j^'^ la valeur que prend

(pour le même système de valeurs de x et de y) le rap-

dy ,
port^'='^, résultant de la liaison que Ton conçoit

établie arbitrairement enti^e^ et x : la valeur de z sera

et sous cette forme générale elle restera indéterminée ,
à cause de l'indétermination qui affecte le coefficient /*o-
Mais si l'on avait simultanément

/io = o,Po=o, (p)

. ou bien

yo=o, Qo==o, (q)

le coefficient jr'^y et par suite l'indétermination de z^ dis-
paraîtraient.

Enfin, si les deux systèmes d'équations (/?), (q) sub-
sistaient simultanément, il faudrait prendre les dérivées
du second ordre des fonctions fy F, qui sont, en général,
r+asy+t/^ + q/' y.
R+aS/+T/*+Q/',
et qui se réduiraient pour .r=j;^,^==/., en. vertu des
équations ($^), à

d'où

valeur qui est généralement indéterminée, par suite de
l'indétermination du coefficient ^'o.

RiSOLUTION DES CAS p'iNDlh'XRMIIfATION. 247

Si l'on avait encore
ro==o,*o=o,ro=o; Ro=o, S«=o,To=o ,
il faudrait passer aux dérivées du troisième ordre, et
ainsi de suite. Rien n'est plus simple que de généraliser
cette analyse pour un nombre quelconque de variables
indépendantes.
I*' exemple.

loff 0? + loffy
^- ar+a/— 3 '*•-*» •^•-'-
il vient

^.= 1, ?. = «> Po=>. Q. = a.
d'où

-^o — — : — j — >

z. est susceptible de prendre toutes les valeurs entre

— 00 et -|-oo .

a* exemple.

i. *

z=>^^ h — ' ;^o=i-)7o=x:

on a

/'•=o, ?«=|, Po=o, Qo = — I ,
ce qui donne à z^ la valeur déterminée — f .
3* exemple.

les ëquatioDS Q^) et (^) sont satisfaites; on est obligé
de passer aux dérivées du second ordre, et il vient
r.=i=a, *.=a, *.=:a; R,=:a , S.=o, T„ = a,
d'où

La valeur de z^^ quoique indéterminée, est renfermée

248 LIVRE m. CHAPITRE III.

entre les limites o et -|- a, comme on le trouverait en
appliquant à cette fonction cle^'^ '^ règle ordinaire des
maxima et minima.

140. La méthode que l'on vient d'exposer peut tom-
ber en défaut, quand les fonctions ^^^ gr^, P^, Qo, etc.,
sont infinies , ou se présentent elles-mêmes sous des for-
mes indéterminées ; et alors il faut recourir à des arti-
fices particuliers de calcul. Considérons, par exemple, la

fonction

z =7 \/lFT7* ,

dont les dérivées partielles du premier et du second or-
dre sont

y a? a/^ + Sj^r'

'''^{x'+xy.' '~{x^+fyi' ^~{x*+f)^ '

Le système de valeurs 0:0=0,^0=0 annulle la fonc-
tion z et donne à ses dérivées partielles la forme 3- : de
plus, il est facile de s'assurer que la méthode précé-
dente ne serait pas propre à déterminer les véritables
valeurs des quantités/?, gr, r, Sy t; mais, si l'on considère
un système de valeurs très-voisines, pour lequel

j=7o + Aro=Aro>

et si l'on pose ^jr^=ia\a:^j il viendra

a i + aa'

v/r+^^T' î^---^- 1/7+^'

»3

''^-(i +«*)!' '^-(i +«*)!' ^°-(i +«»)!•
On peut faire maintenant converger A j;^ vers la li-
mite zéro, et à cette limite a se changeant en /'„, ou
aura

RÉSOLUTION DES CAS D'lirDÉTERHIiri.TIOir. 249
Po = 0, î. = 0,

Les valeurs de r^, j^, ^ restent indéterminées; mais
elles demeurent pourtant comprises entre de certaines
limites qui sont, pour :

r„, ^let-f I, répondant à yo=— w >7'o?=+^ >

Jo, o et+i , /cF=Hioo ,/'o= o ;

^0, — a et+2, 7'o=— 00 j7-'„=+oo .

$ 2. Résolution des cas d'indétermination pour les fonctions
implicites.

141. Soit

une équation qui détermine implicitement y en fonc-
tion de Xy et posons

si le premier membre de l'équation (c) s'évanouit pour
x:=zx^^ quel que soit^, on ne pourra pas tirer immé-
diatement de cette équation la valeur correspondante
/«qui sera en apparence indéterminée. Dans ce cas, la
fonction

/(•^o,r+Ar)— /(ar,,j)

s évanouira, quelles que soient les valeurs àejr et de Aj^^
et par conséquent la fonction f^ {^ojX) s'évanouira aussi
indépendamment de j. Donc l'équation dérivée de (c),.
qui est en général

se réduira, pour .r=a;^, à

et de cette dernière équation on tirera la valeur de j^;.
Si elle était encore satisfaite identiquement, on recour-

250 LIVRE III. CHAPITRE Ilf.

rait à l'équation

et ainsi de suite.
Soit, par exemple^

réquation dérivée sera

et se réduira , pour x=iO^ à

— i+7« = o, ou/o=i .
Prenons encore

/(j7,7)=:(^— i)^— ^[log(i + «)]' = o, x. = o:
il viendra pour première équation dérivée

{arx'-[log(i+*)r|/+axCr-i)-a/î^^5^=o .

Supprimons le terme en jr' qui doit s'évanouir pour
a;=o, et il restera l'équation

^(i + ar)(;^— i)— 7log(i+>r)=o ,
laquelle est encore satisfaite, indépendamment de /, par
la valeur ^=0; mais si l'on en prend la dérivée

[2jra;(i+x) — ^log(i+^)]/+(y*— i)(i— aar) ^=0 ,

et que l'on fasse dans cette seconde dérivée x=o, les
valeurs correspondantes dejr seront les deux racines de
l'équation

143. Considérons une équation différentielle

f(x,r,/)=o, (co

et supposons-la d'abord mise sous la forme

désignons par x^jj'o '^s valeurs de .r, jr qui annulent à
la fois les fonctions f, F, et par ^'^ la valeur correspon-

RÉSOLUTION DES CA.S d'jiCDÉTERM1NA.TIOIC. 251

dante de ^' : en vertu de la formule (a), la valeur de
Y\ sera donaée par Téquation du second degré

^'•=ê^^' ou Q.r."+(P.-î.)/.-/'. = o .

Si les équations (/?) et (^) se trouvaient en outre satis-
faites, la valeur de y\^ d'après la formule [b\ serait
racine de Téquation du troisième degré

ou

Tq/.^ — (aSo — ?o)y%4-(Ro— a5o)/o — ro=o ;
et ainsi de suite.

Il peut se faire néanmoins que la valeur de ^'^ soit
efFectivement indéterminée : comme cela arriverait, par
exemple , si l'équation

Qy»4-(P— y)/— /^=o
était satisfaite pour toutes les valeurs de y\ indépen-
damment des valeurs attribuées à a: et à ^. Alors l'é-
quation

T/3-|-(2S — r)/*4-(R-25)/— r=o,
et toutes celles qu'on pourrait obtenir par des difFérçn-
tiations subséquentes, jusqu'à l'infini, seraient aussi sa-
tis£aiites identiquement. On reconnaît ainsi que la valeur
de y' donnée par l'équation

est réellement indéterminée pour le système de valeurs

En général , lorsque les valeurs particulières x^ , j^
satisferont à l'équation (c'), indépendamment de ^', la
dérivée de cette équation

di d{ , di j,

252 LIVRE III. CHAPITRE III.

se réduira pour les mêmes valeurs à

l'expression { -j-7 ) , qui représente la valeur de —,

pour /— o, devant s'évanouir d'après le raisonnement
qu'on a' fait plus haut [i4<]- Les fonctions

doivent généralement renfermer les trois quantités x^ ,
J'o^J^'oi ce qui empêchera que l'équation (c"^) ne soit
linéaire par rapport à l'inconnue^^.

Admettons que l'équation (c') soit algébrique par rap-
port à^', ou qu'elle ait la forme

fo(^, 7)4-f.(^jr) • /4-fa(^i r) ./"+ etc. = 0 :
l'équation (c'\) deviendra

et conséquemment elle sera, en général, par rapport à
j-'^, d'un degré supérieur d'une unité au degré de l'é-
quation (c') par rapport à jr'.

S 3. Maxima et minima des fonctions explicites de plusieurs
variables.

143. Étant donnée la fonction de deux variables

si l'on établit une liaision arbitraire entre les variables
jet Xy z deviendra fonction de la seule variable indé-
pendante X, et l'on aura

MA.XIHA ET MINIMA. 253

etc.

Nous surmontons d'une barre les différentielles dz,
d^z, etc., pour indiquer des difTérentielles totales; les
lettres p, g, r, etc., ont la signification convenue [124J;
et/^'^jr", y'\ etc., désignent, selon l'usage, les coeffi-
cients différentiels de^, considéré comme fonction de
Xy en vertu de la liaison arbitraire que l'on conçoit éta-
blie entre ces variables. Cela posé, on aura pour condi«-
tion commune au maximum et au minimum [91]

p + qy=o; (rf)

et en outre l'inégalité

r + 2sf + ty + qf < o {d,)

devra être vérifiée dans le cas du maximum, de même
que l'inégalité contraire

r+^y + ty^ + qf > o , (<4)

dans le cas du minimum. Si maintenant on établit que
ces conditions sont satisfaites, indépendamment de la
liaison arbitraire conçue entre jr et Xy on aura déter-
miné par là même les conditions du muximum ou dû
minim,um de la fonction z, dans l'hypothèse de l'indé-
pendance des variables x^j.

Pour que l'équation {d) soit satisfaite, indépendam-
ment de toute liaison entre^ et x, il faut qu'on ait sé-
parément

/? = o, y=:o; {e)

ce qui réduit les inégalités {d^tt {d^ k

.254 LIVRE m. CHAPITRE III.

r+a5/-|-^/* <o,
r-ha^y 4-/7'» > o .

Pour que le premier membre commun à ces deux
dernières inégalités conserve le même signe , quelle que
soit la valeur assignée ky, il faut que Téquation

résolue par rapport kj'\ ait ses racines imaginaires, ce
qui entraîne la condition

s^^rt< o, (jsr)

et ce qui exige par conséquent que les fonctions r, i
soient de même signe, après qu'on y a substitue les
valeurs de x, y tirées des équations {e). Quand l'inéga-
lité (^) sera satisfaite par ces valeurs, il y aiira maxi-
mum ou minimum^ selon que les fonctions r, t devien-
dront toutes deux négatives ou toutes deux positives.

* 144. La théorie des maximu et minima des fonctions
de deux variables se lie très-simplement à la considéra-
tion des lignes de niveau [127], dont l'équation (rf) est
précisément l'équation différentielle. Il est évident qu'au
point {xyy) pour lequel la fonction z est un maximum
ou un minimum^ la ligne de niveau doit s'évanouir, ou
plutôt se réduire à un point isolé. Il faut donc (ainsi que
nous l'expliquerons plus en détail à propos des points
singuliers des courbes planes) qu'on ne puisse pas tirer
.de l'équation

une valeur réelle de y j bien que les valeurs Aep^q ne
soient ni imaginaires; ni infinies, sans quoi la fonc-
tion z cesserait d'être réelle, ou éprouverait une solution
de continuité du second ordre au moins. Par conséquent

MAXJMA £T BIINIMA. 255

il faut que la valeur précédente de y' se présente sous
la forme indéterminée |, et qu'ainsi Ton ait, pour le
maximum comme pour le minimum y p=zOj y = o.
Dès lors y d'après ce qu'on a vu plus haut [i4^], la vé-
ritable valeur de^' sera donnée par l'équation

^ s + tf'

qui ne diffère pas de l'équation (/*); et afin qu'on ne
puisse pas tirer de cette équation des valeurs réelles
pour /', il faut que l'inégalité {g) soit satisfaite.
Si Ton a au contraire l'inégalité
5* — rt > o ,
on tirera de l'équation {J') deux valeurs réelles de^' :
le point ipCy y^ sera le point d'intersection de deux
branches d'une ligne de niveau nmn, nf mn (fig. 4o),
qui divisera le plan x)c autour du point m en qua-
tre régions , dans deux desquelles la valeur de z ira en
croissant à partir du point m^ tandis qu'elle ira en dé-
croissant dans les deux autres , à partir du même point.

145. Les conditions {e\ (g) sont celles du maximum
ou du minimum absolu : si l'on établit entre ^ et x la
liaison exprimée par ^=fx^ et qu'on détermine daus
cette hypothèse la valeur de x qui rend la fonction z
un maximum ou un minimum relatif, cette valeur sera
1 abscisse du point où la ligne ^=f:r est touchée par
une ligne de niveau.

En général , on entend par maxima et minima rela-
tifs ceux qui n'ont lieu qu'après qu'on a établi entre les
variables indépendantes des liaisons arbitraires qui en
réduisent le nombre.

146. Régulièrement les coefficients r, j, t de l'équa-
tion (/) ne dépendront que des variables x^j et non

256 LIVRE MI. CHAPITRE III.

de /'; mais s'il arrive que ces coefficieiits se présentent
accidentellement sous la forme ^, il pourra se faire que
leurs vraies valeurs, trouvées par les procédés qu'on a
indiqués au commencement de ce chapitre ^ varient
avec^'; et alors l'équation (/) ne se trouvant plus du
second degré par rapport à^', les raisonnements qui
précèdent tomberont en défaut. Soit , par exemple ,

d'après le n® i4o, les équations (e) seront satisfaites
pour le système de valeurs x=Ojj'=Oy et l'équation
Çf) deviendra

/* + 2/3 4-/ = o.

Comme cette équation a la racine réelle ^'=o, le sys-
tème des valeurs citées ne correspond pas à un maxi-
mum ou à un minimum de la fonction z. Dans tous les
cas semblables , on n'a plus à considérer l'inégalité {g).
147. Lorsque les valeurs de x^y qui satisfont aux
équations (^), vérifient aussi les équations

r = o, ^=0,^ = 0, (tf.)

réquation [f) n'est plus propre à donner la valeur de^',
qui se tire alors de la formule

, ^ H- a my' -f- wY^

?// H- 2 wf + vf*
ou

w + 3tt// + 3fv/"4-vy' = o. (/;)

Comme cette équation est d'un degré impair par rap-
port àjr', tant que les dérivées partielles du troisième
ordre w, <^,?//, w ne dépendent point de^', elle a né-
cessairement une racine réelle, et par conséquent les va-
leurs x^y qui sont racines des équations {e) et (éfi), ne

MAXIMA ET MINIMA. 257

peuvent rendre la fonction z un maximum ou un mini-
rmmiy à moins qu'on n'ait séparément

a=o, ui=o, w=o, i; = o , (c,)

c'est-à-dire à moins que tous les termes de la différen-
tielle totale du troisième ordre

ne s'évanouissent séparément, comme ceux des diffé-
rentielles totales du premier et du second ordre. Il faut
en outre que le polynôme du qiiatrième degré en /'

'Wz

ne donne pour y\ quand on l'égale à zéro, que des ra-
cines imaginaires; et cette nouvelle condition étant sa-
tisfaite, il y a muxùnum ou minimum^ selon que le po-
lynôme reste constamment négatif ou constamment posi-
tif pour toutes les valeurs de^'.

En poursuivant cette analyse^ on arriverait à la règle
générale qu'il faut, pour l'existence du maximum ou
du minimum: \^ que la première dérivée totale dont
tous les termes ne s'évanouissent pas séparément soit
d'ordre pair; 2° que cette dérivée totale conserve le
même signe (négatif dans le cas du maximum^ positif
dans le cas du minimum)^ quel que soit le rapport ar-
bitraire établi entre les accroissements infiniment pe-
tits des variables indépendantes.

Telle est, en effet, la règle que les auteurs ont cou-
tume de donner sans restriction, mais qui en comporte
une très-importante. En effet, si, par exemple, quelques-
unes des dérivées partielles u^ vi^ (v, ^, se présentaient
sous les formes indéterminées ^, S, et que leurs vraies
valeurs fussent susceptibles de varier avec/*', l'équation
T. I. 17

258 LIVRE m. CHAPITRE III.

(/i) pourrait, ou cesser d'être algébrique, ou n'être
plus d'un degré impair par rapport à^', et n'avoir que
des racines imaginaires; en sorte qu'il pourrait y avoir
maximum ou minimum, sans que les équations {e^ ) fus-
sent vérifiées.

148. Quand la fonction z éprouve une solution de
continuité du second ordre, et que les dérivées^, q^
deviennent toutes deux infinies, la valeur de/' est en-
core donnée par l'équation {d ) sous une forme indéter-
minée; et il convient de recourir à une discussion spé-
ciale pour chaque cas, afin de reconnaître si cette
circonstance correspond ou non à un maximum ou à
un minimum de z.

Soit, par exemple,

d'où

*ix iy

le système de valeurs a:=o, jr=o annule z et rend p
et q infinis; car, si l'on pose^^ax, il vient

P 3* 3/"^ »' ^ 3' »/"■" »'

Vx. ( 1 4- a' )» Vx.{l + ^y

valeurs infinies pour x:=io. Mais à cette limite le rap-
port a se change en^', et l'équation (d) donne

/=— ^= — -,, doù/=±:\/i:i.

q r

L'imaginarité de ces Valeurs de^' montre qu'il n'y a
pas de ligne de niveau passant par l'origine des coor-
données, et qu'ainsi ce point correspond à un maximum
ou à un minimum de z. D'ailleurs, la forme de la fonc-
tion fait voir qu'elle ne peut admettre qu'un minimum^

MAXIMA ET MIHIMA. 259

149. Considérons maintenant la fonction de trois
variables u=f {x^ )r^ z)^ et, pour plus de commodité,
faisons usage de la notation

du du du

di—P^'d^=P''d^—P'''

d'à d'u rf'«

'dP~''^'~d^^ —''''57—''''

d'u d'u d^u

d^y — ^^'^' dxdz—'^'^'dPd^—'"'^'
Si Ton conçoit des liaisons arbitraires établies entre x
et chacune des deux autres variables j- et 2, u devien-
dra fonction de la seule variable x^ et l'on aura, pour
réquation commune au maximum et au minimum^
du

En conséquence^ pour qu'il y ait maximum owminimiun
absolu [ 1 45], ou pour que l'équation précédente soit sa-
tisfaite indépendamment des rapports arbitraires y, z\
il faudra qu'on ait séparément

/? =0 , /?, = o,/?8 = oj^ (E)

ce qui réduit l'expression générale de —!i au polynôme

Il faudra en outre que ce polynôme conserve le même
signe, sans s'évanouir, quelques valeurs réelles qu'on
attribue à y, z ; et pour cela que l'équation en j', z
qu'on formerait en égalant ce polynôme à zéro, ne donne
jamais à Tune de ces variables une valeur réelle, quelle
que soit la valeur réelle de l'autre variable.

En résolvant cette équation par rapport à /, nous
trouverons quey reste constamment imaginaire, si Ton
a, quel que soit z',

'7-

260

LIVRE III. — CHAPITRE III.

OU

Cette dernière condition se vérifie à son tour, si Ton a

d'abord

^i.,' — '•i ^ < o , s^/—r^ Ta < o , (G)

et ensuite

( ^i.a ^3 — ^ ^.,3 )' — ( ^i..* '•i '•i ) ( S,/ — r, Ta ) < G . (G,)

Les inégalités (G) exigent que les trois dérivées par-
tielles r,, r„ Ta soient de même signe; et l'une de ces
inégalités étant posée, l'autre est une conséquence de
l'inégalité (G,) : de sorte que cette dernière inégalité,
jointe à l'une des inégalités (G) et aux équations (E) ,
compose le système des conditions requises pour l'exis-
tence du maximum ou du minimum. La symétrie indi-
que que dans ce système on doit avoir aussi

^./ — '•.'•3<o .
Il y aura maximum si les trois dérivées r„ a*,, r^ sont
négatives^ et minimum si elles sont toutes trois posi-
tives.

Si les valeurs de a:, j, z qui satisfont aux équations
(Ë), vérifiaient les suivantes

r,=o,r,= o, r3 = o;^,,= o, 5,3=0 , s,,3=o, (E.)
il faudrait, pour l'existence du maximum ou du mini^
mujUy que les mêmes valeurs annulassent toutes les
dérivées partielles du troisième ordre, et que la dérivée
totale du quatrième ordre conservât constamment le
même signe (négatif dans le cas du muximum, positif
dans le cas du minimum)^ indépendamment des rap-
ports arbitraires jr :i; et ainsi de suite.

Néanmoins, la règle tomberait en défaut, si les déri-
vées partielles qui ne s'évanouissent pas se présentaient
sous une forme indéterminée, et devenaient fonctions

MAXIMA ET MINIMA. 261

des rapports ^^ z* y comme on en a vu des exemples, à
propos des fonctions des deux variables.

£lle tomberait encore en défaut, et il faudrait recou-
rir à une discussion spéciale pour chaque cas, si les
dérivées partielles du premier ordre ou des ordres su-
périeurs devenaient infinies.

150. Comme application de cette théorie, proposons-
nous de déterminer, parmi les triangles isopérimètres,
celui dont l'aire est un maximum.

En appelant ic le périmètre, x et y deux des côtés,
i Taire du triangle , on a la formule connue

^=1/ c{c — J7)(c — y^^-^-y — c) •
Les équations du mcucimum sont :

c(c — r)('2C— -20: — y)

/?=2 — ) .-^^^ ., -^^ =zro,
2 |/^c(c-j:)(c?— 7)(^-+-j— c)

q = ^^ ^ J — = o ,.

2 |/'c?(c— <3c)(c — yX^+y-T^c)

ou plus simplement, en écartant les solutions .r == d. oo,

/= ± 00,

(c— j) (2Ç — 2JF — •/) = O , (c — x) (2C 2J — O:) = O .

Ces dernières équations se décomposent dans les quatre

systèmes.

a; = c, y = c 5

7=c, 2c— 27 — a? = o ; 1 |j=c,x=o;

x-sziCyHC — 2a: — y=:o; \ ou|a:=c,7=o;
2c— .27 — x=zo , 2c — 2^ — 7=0 ; I |a;=7 = f c .

liC dernier système est le seul qui satisfasse à l'énoncé
géométrique de la question : les autres répondent à des
cas 011 le triangle est impossible.
On a

r=— i»/ç

[(c— :r)(a:+7 — c)f

262 LIVRE III. CHAPITRE III.

5 = — Il/C.

' [{c-y){a:+y-c)f'
£n conséquence la condition exprimée par rinégalité
(g) devient après réduction

{x +y — cy >o,
et se trouve satisfaite pour toutes les valeurs réelles de
Xy j. D'ailleurs, il est visible que r et ^ sont négatifs :
ainsi le système x = ^ = ^ c correspond bien à un
maximum de la fonction z. On en conclut que le trian-
gle qui satisfait à la question est équilatéral, ce qui se
démontre au surplus en géométrie élémentaire.

151. Cherchons encore le système des valeurs de x^y
qui rend un maximum la fonction

a 4- i^ H- cj

nous aurons les équations

h — ax+yi^hy — ex)

c — ay + xicx — ij)

ou plus simplement

h — ax+y(J>y — ra:)==o, c — ay-\-x{cx — i/)=o . (A)

On y satisfait en posant

h — aa:=o, c — fljnzo, doù by — cxz=lo \ \t)

ce qui donne pour la valeur maximum cherchée

Le système (i) comprend d'ailleurs toutes les solutions
réelles du système (k ) ; car si l'on opère entre les équa-
tions (A) l'élimination de^ à la manière ordinaire^ ou
aura pour l'équation résultante en x

MAXIMA. ET MIiriMA. 263

{b — aj?)[(i* + c*)j;' + aa*a: + a* + c*] = o ;
et après qu'on a tenu compte du facteur b — ax^ l'autre
facteur ne donne pour x que les valeurs imaginaires

On a

(o-l-c/) (i+jr'+7')4-3x [b — ax+jr{by—cx)]

( iby — C3c){^ I -f- •^*+'J*) — 3/[i — aX'\-y{by — cx'\
'^ (i+^»-f./)^ '

Pour les valeurs de ^ , ^ qui satisfont aux équations (z),
œs expressions se réduisent à

a\a^+c') a'bc a\a'+b') .

'^="~(^?+p+?)l' ^=(a»+i*+c*)4' ^"^(a'-+.i'4-c*)f '
et l'inégalité {g) devenant

est nécessairement vérifiée. De plus, il ne peut y avoir
lieu à un minimum , puisque les valeurs de r, t sont es-
sentiellement négatives.

Nous conclurons de ce calcul que les valeurs des
quantités variables ^', z\ qui rendent un maximum la
fonction

donnent à tt la valeur l^X*+ Y* -hZ* , ainsi qu'on l'a an-
noncé [129], et sont déterminées par les équations
Y— X/=o, Z^Xz'=o.
Il resterait à faire voir, pour justifier ce qui a été dit
dans le n^ cité , que les équations

y_X^_o,Z^X^_o

264 LIVRE III. CHAPITRE III.

appartiennent à des lignes qui rencontrent normalement
les surfaces caractérisées par Téquation différentielle

XflCr -+- Yrfj 4- Zrfz = o ;
mais ceci résultera de la théorie des surfaces courbes,
qui doit être exposée dans le livre suivant.

S 4* Maxima et minima des fonctions implicites.

152. Pour déteriâiner les maxima et mirdmu de la
variable ^^ donnée implicitement en fonction de x par
l'équation

on posera

et l'on tirera des équations (A) et [h!) les systèmes de
valeurs de x et de jr qui peuvent rendre la fonction^
un maximum, ou un minimum. On substituera ces va-
leurs dans l'équation

qui se réduit , à cause de /'zzz o , à

afin de s'assurer que les mêmes valeurs ne font pas éva-
nouir y, et en même temps pour distinguer, s'il en est
besoin , le muximum du minimum^ au moyen du signe
que prend /'.

Soit , par exemple , l'équation

x^ — 'iaxy -h j^ === o , (a)

qui représente une courbe (Jig. 44 )? connue sous le
nom de Folium de Descaries : on en tirera

, ay — x^ . , ,.

MA.XIMA ET HINIMA. 265

et, en conséquence , l'équation commune au maximum
et au minimum sera

ajr — x^ = o. (p)

Par l'élimination de^ entre les équations (a) et (p),

il vient

jfi — 2û^ j:''=o,

équations dont les racines , les seules que nous voulions

considérer , sont _

jf = o, ar = av 2 >

auxquelles correspondent pour^ les valeurs réelles

Uéquation (A") devient

(/• — ax)/' 4- 20: = o ;

s 3

et quand on y substitue les valeurs x=al/^ /= ^^^
elle donne^'= : par conséquent ce système corres-
pond bien à un maximum si a est positif, ou à un mi-
nimum si le même coefficient est négatif.

Pour le système a: = o,^^o, la valeur de^' se pré-
sente , en vertu de l'équation (a ) , sous la forme indé-
terminée 3 ; mais la dérivée de cette équation , ou la se-
conde dérivée de la proposée, est

(/* — ax)y^ + ajj'* — 2^7' 4- 2X == o ,
tandis que l'on a pour la troisième dérivée

(j' — ûj;)/" + (67/ — 3a)y'+a/'-ha = o.

Quand on fait dans ces deux équations ^=0,^=0,

2
elles se réduisent à j^' = o,^" = ô~" • P^** conséquent

ce système de valeurs correspond à un minimum Atj.

Si maintenant nous remarquons que la proposée est

symétrique par rapport aux. variables x'^jj nous con-

266 LIVRE III. — CHAPITRE lll.

cluroQS de ce que le système x=o ,^=o read nulle une
des valeurs de -y-, tirées de cette équation, qu'il doit .

aussi rendre nulle une des valeurs de nr , et , par con-

dy
séquent^ rendre infinie une valeur de nr ou de /.

Ainsi ^ les deux axes des a: et desjr touchent à rorigiae
la courbe représentée par l'équation proposée.

153. S'il s'agit de déterminer les valeurs de x,/
qui rendent un maximum ou un minimum une fonc-
tion z de ces deux variables donnée implicitement par
l'équation

on posera p=o^ Ç=^^> ou

da: • dz—'''^'^ — ''' ^^^

au moyen de quoi les équations desquelles doivent se
tirer les valeurs des dérivées partielles r, s^ ^[i33], se
réduiront à

df d'f df d^f df d^f

dz dx^ ' dz dxdy ' dz dy*

Il faudra s'assurer que les valeurs de Xy jy z, tirées
des équations (/) et (m), et substituées dans les expres-
sions de r, J, ty satisfont à l'inégalité {g). Nous n'entre-
rons pas dans d'autres détails sur les cas exceptionnels
qui peuvent se présenter , et que l'on résoudra sans dif-
ficulté d'après les principes déjà établis.

154. Soit

u—f{x,y,z, )

une fonction de n variables liées entre elles par m équa-
tions de condition

/«(•^»7» 2. ••.•)=o,/,(a:,7,^, ....)=o, ..../w(^,7, ^, ..* .>==o ; («)

MAXIMA ET MIiriMA. 267

de sorte qu'il i^este n — m variables indépendantes. Si
l'on veut rendre la fonction u un mcLxitnum ou un mi-
nimum y il faudra poser l'équation du=:o , ou

^^+^^:r+ï^-*- =o. in')

Les équations {n) entraînent les suivantes :

t^+f^r-^^-*-H.

Après qu'on aura éliminé m différentielles dxj dy^

dz^ entre les équations {n!) et («") , on égalera

séparément à zéro les multiplicateurs des/i — m diffé-
rentielles restées arbitraires, et ces n — m équations,
combinées avec les équations (/i), détermineront les sys^

tèmes de valeurs de a: , ^, z , , propres à rendre la

fonction uun maximum ou un minimum. Il faudra en-
suite s'assurer que la fonction d^u devient , par la subs-
titution de ces valeurs , négative dans un cas , positive
dans l'autre, quels que soient les rapports des différen-
tielles restées arbitraires : ce qui pourra exiger des calculs
compliqués.

Quant à l'élimination entre les équations {p!) et (/ï"),
elle s'opère élégamment par la méthode des facteurs in-
déterminée , dont on fait un fréquent usage eu analyse.
Concevons qu'on ait multiplié respectivement les pre-
miers membres des équations {n") par des facteurs
Xx , X, , . . . . X« , et qu'on les ajoute au premier membre
de l'équation {n!) ; qu'ensuite on égale à zéro les multi-

268 LIVRE m. CHAPITRE III.

plicateurs de chaque différentielle dans l'équation résul-
tant de l'addition indiquée; on aura n équations

i+^7p+^'-r;+ +X„^=o,etc.,

entre lesquelles on pourra éliminer les m facteurs
^yX,,. . «Xiiiy de manière à obtenir les équations finales,
en nombre n — m.

155. Admettons^ pour prendre un exemple, que Ton
cherche le minimwn de la fonction

u = x^+y^ + z^+ ,

les variables XjjjZ^ étant liées par l'équation

de condition

ax + by+ cz .,..,. = A ,

dans laquelle a^ bj c, k désignent des nombres

constants. On aura , en opérant d'après la manière qui
vient d'être indiquée,

ar + ûX, = o , 74-^X1 = 0, z4-c\=o,etc. ,
ce qui équivaut à

^ r z , .

abc
On en conclut, d'après les propriétés connues des pro-
portions ,
x' r' z^ a:*+r'+^*+ etc. u

a'~y ~ tf> — ^'^- a'^y+c'+ etc. ~ a'+b'-^c'+ etc.
X* r* z* a7*+r*+j3*-h etc. u

ax by cz ' ax-^bjr+cz+ etc. k

et par suite
u ^ V/Z k'

* l/a'-f.i*+c*+ etc. ' a*+**H-c'+etc.

Pour s'assurer que cette valeur de u €st bien un mini-

HAXIMA £T MmiMA. 269

mwn , il suffit de poser Tëquation identique

(û*+*' +c*-hetc.) (a7'+7*+z*-hetç.)=(a;r+*7+c^4-etc.)>
+ {bx — ayf +{cx--azf + etc. ,

qui devient dans ce cas

k^-^{bx—ayf -f- {cx—azf + etc. .

** a*-4-**+c*+etc» '

par où l'on voit qu'en effet l'inégalité

a* + ** + c*+etc.

est vérifiée pour toutes les valeurs des variables qui ne

satisfont pas aux équations (o).

Si les variables x ^ y^ z^ se réduisent à trois et

désignent des coordonnées rectangulaires , la valeur

minimum de v/^mesure la distance de l'origine au

plan

ax+ by + cz'=^k .

>««%«%»«*%% «««M «%»>% »•%%«%««%%«%«%«««%«/% VW««%%«%WV%% «)««%«««•.<

CHAPITRE IV.

m—mÊm

EXTENSION DES FORMULES DE TATLOR ET DE MAGLAURIN
AUX FONCTIONS EXPLICITES DE PLUSIEURS VARIABLES

INDÉPENDANTES. FORMULE DE LAGRANGE POUR LE

DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS IMPLICITES.

5 i^'. Extension des formules de Taylor et de Maclaurin aux
fonctions explicites de plusieurs variables indépendantes.

1 56. Il suffira de considérer la fonction de deux va-
riables

attendu qu'il n'y a aucune difficulté à généraliser les
formules, pour un nombre quelconque de variables.
Afin d'opérer le développement de la fonction

suivant les puissances ascendantes des accroissements h
et /:, l'on pose

d'où

/(^-4-A,7 + A) = /(:r+aA', jH-a^ = fa .
On développe la fonction fa par la série de Maclaurin,
comme une fonction d'une seule variable , et il vient

fa=f(o)+^.r(o)4-^- f'(o)+^.f"(o)+etc. (f)

Mais on a, par la règle de différentiation des fonc-
tions médiates ,.

dx dy ^

ou , pour employer une notation plus concise ,

EXTENSION DE LA FORMULE DE TATLOR. 271

^-—f^'+f*',

dx dy

et de même

etc. ;
on a d'autre part

et Ton conclut des équations précédentes :
r{o)=ph'-\'qk ,

r (o) = ttA'^ + 3 mU^k + 3 wKk'' + vk^ ,
etc.
Substituons ces valeurs dans la formule (fj, et remet-
toas-y pour A', k leurs valeurs en h^ k : l'auxiliaire a
disparaîtra, et il viendra

A' A A /t'

i.a I I 1.2

A3 A* * A ;t' *3

1.2.0 1.2 I I 1.2 1.2.0

+ etc. (F)

On peut remplacer dans cette expression les lettres
/?, y, r, etc., par les coefScieiits différentiels qu'elles re-
présentent; et si Ton emploie en outre, pour plus de
brièveté , la notation symbolique dont nous nous sommes
déjà servi [43 et 124]) on obtiendra la formule

fx /A k \dz /A k \^d^z

/A k \^ d^z , ,.

2i^2 LIVRE in. CHAPITRE IV.

qui met bien en évidence la loi du développement, pour
uii nombre quelconque de variables.

La série de Taylor , ainsi étendue , tombe en défaut
lorsque 9 pour des valeurs particulières des variables x,
y ^ la fonction z et ses dérivées partielles/?, q^r^ etc.,
ou quelques-unes d'entre elles, prennent des valeurs in-
finies, ainsi qu'on l'a expliqué à propos du développe-
ment des fonctions d'une seule variable [io6]. De plus ,
elle tombe en défaut lorsque la fonction z ou ses déri-
vées partielles prenant des valeurs indéterminées, on
ne peut lever l'indétermination que par l'établissement
d'une liaison arbitraire entre les variables ^,^, et par
suite entre les accroissements A et /:, conformément à
ce qui a été expliqué dans le précédent chapitre.

157. Soit Vi la valeur du reste qui doit compléter la
série (f), quand on l'arrête au terme affecté de la puis-
sance a*: on a [109]

• I.2.3...(«+l) ^ ^ I.2.3....i ^ ^

6, 9, désignant des nombres inconnus, compris entre
o et I . Donc , lorsqu'on arrête la série (^) au terme

/A ^\* d>z

\dx dy) i.2.3....i

le reste R^ qui doit compléter cette série , a pour expres-
sion symbolique

* \dx dy) 1.2.3 {i+i)

ou bien encore

^ ^ \dx dy J I.2.3.....Ï

Les nombres 6, 6^^ qui entrent dans ces formules 9
sont inconnus; et elles ne peuvent point servir à calculer

EXTENSION J>K LA FORMULE DE TATLOR. 273

l€s valeurs de R^, mais seulement à assigner des limites
entre lesquelles ces valeurs doivent tomber.
La valeur de r, en intégrale définie étant

on en tirera ces autres expressions symboliques de la va-
leur de R{ :

Pour donner une application de ces dernières for-
mules et en indiquer en même temps la démonstration ,
prenons /= i , de sorte qu'on ait

fa=:f(o) + - -f (o) + r. , r.== /V(a~B). prfp •

Soit

%2i=r.(^„).f^=/,-(.„),i&il=/„(.„),

d'où

ri>-P)=ÂV"[^+(«-P)A',7+(«-P)*':

+ îAT/' [^-+-(«— B)À' , y + {^-m + *'!/:[-=^ +(«-P)A', r + («-P) k']

-f-A^/X^ + A— A'p, j+ ^-^P) :
on aura

Ii, = h"f'f"{x — h -À'p, j-H^-A'p). prfp

+2h'k'f"f;{x+h—h'p,x+k-k'p) . p^?

On peut remplacer dans le premier terme de la va-

I T. I. i8

274 LIVRE m. CHAPITRE IV.

a

leur de R, la variable Ppar -rr, en prenant pour limite

supérieure de l'intégrale cth'=hj au lieu de a; et alors
ce premier terme devient

en sorte que dans son expression n'entrent plus les auxi-
liaires a , A' , A\ On donnerait au même terme , en rem-

plaçant la variable p par p, la forme

et si l'on soumet aux mêmes transformations les deux
autres termes de la valeur de R, , on trouvera pour R,
ces deux expressions

On établirait par un calcul semblable les valeurs gé-
nérales de Ri dont on a donné plus haut l'expression
symbolique.

158. Désignons par z^, p^^ q^, r,, etc., les valeurs
que prennent les fonctions z, /?, </, r, etc., quand on
fait .r=o, /=o : l'équation (F) donnera
X y

^^ o 1.2 II 1.2

EXTENSION DB LA. FORMULE DE TAYLOR. 275

^ X^ Y «^ T* Y^

" 1.2.3 ° 1.2 I I 1.2 1.2.3 '

et, de cette manière, la formule de Maclaurin se trou-
vera étendue au développement des fonctions de deux
variables. On peut encore écrire

f X / "\ d?'z^

\^, àyj 1.2.3
Au lieu de développer par la formule de Maclaurin
les fonctions de plusieurs variables, suivant les puis-
sances de chaque variable indépendante, ce qui conduit
à des formes de développement très-prolixes , on ne dé-
veloppe plus ordinairement ces fonctions que suivant les
puissances de l'une des variables ; mais alors les coeffi-
cients des termes de la série, au lieu d'être des cons-
tantes, sont des fonctions de toutes les variables indé-
pendantes^ autres que celle suivant les puissances de
laquelle le développement est ordonné. Ainsi l'on posera

/(^,r, 5î, ....)=/(o, 7,2, ....) 4-/'(o,7,5;, ....}.

X

I

X'

f 1 f^'y f"y etc., désignant les dérivées de /'par rap-
port à la variable x. L'emploi de cette formule exigera
que les valeurs de 7, z, , ne rendent point in-
finies les fonctions

/(o,r^ z, ....) , /'(o, /, z, .,..) , /"(o,7, z, ....), etc.,
et, de plus, qu'on puisse assigner des limites conve-
nables à l'erreur que l'on commet en arrêtant la série à
un certain terme. Il suit de ces restrictions qu'une for-
mule telle que

.=/(o,j)+/'(o,r),î+/"(o,/).^+/"'(o,r).:£3+etc.

i8*. "

276 LIVRE III. CHAPITRE IV.

pourra ne représenter une surface que dans une portion
limitée de son étendue, savoir dans la portion où les va-
leurs de jr ne rendent point infinies les fonctionsy(o,^),
no,y),f\o,j),eic.

§ 2. Formule de Lag^aiige pour le développement des fonctions
implicites.

159. Étant donnée une équation de la forme

z-=ix-^yfz ^ (a)

on se propose de développer z en série ordonnée sui-
vant les puissances ascendantes de /. Si j' désigne une
quantité très-petite , x sera la valeur approchée de z
pour j^=o : une seconde approximation donnera

z = a:+xfa;, (a.)

valeur que l'on pourrait substituer pour z sous le signe
/, de manière à avoir une troisième valeur de 2, plus ap-
prochée , que l'on substituerait à son tour sous le signe^
et ainsi indéfiniment. Le développement cherché a pour
utilité pratique de dispenser de ces substitutions suc-
cessives.

Quel que soit l'ordre de grandeur du coefficient^,
il est évident que le second membre de l'équation (a^)
se compose des deux premiers termes du développement
que l'on cherche. On trouverait, d'après le théorème
de Maclaurin , les coefficients des puissances supérieures
dejr en prenant les différentielles successives de l'équa-
tion (a) par rapport aux variables z, /, et en faisant
ensuite ^=o, z = x dans les valeurs des dérivées
d^z d?z d^z

-r— ' —7—' -f-Tï etc. ,

dy^ dy dy^^ '

tirées des équations différentielles. Il est entendu que la
série ainsi obtenue doit être convergente , sans quoi le

SÉRIE DE LAGRANGE. 277

résultat du calcul serait illusoire. Les conditions de la
coDvergence ont été données par M. Cauchy dans des
mémoires auxquels nous renvoyons le lecteur curieux
de ces discussions délicates.

Le procédé général que Ton vient d'indiquer, pour
déterminer les coefficients des termes successifs du déve-
loppement cherché , ne donnerait pas , ou donnerait dif-
ficilement la loi de formation de ces coefficients; tandis
qu'on la met aisément en évidence en considérant j sui-
vant le procédé dû à Laplace , z comme une fonction des
deux variables :r,^, en vertu de l'équation (a).

Oq a , en différentiant sous ce point de vue ,
€& .., dz dz ^ ^, dz

et par suite

dz . dz d^z ' d^z , ^, f dz^^

Cela posé , soit ^^ une fonction de z : on aura

dy ' dxdy ^ ' dx djr

dz d^z
et en chassant -5—, , , au moyen des équations (6),

'(*-S_

dy

ou

+-/-È+»-/'»+/-f')(s)'

Prenons iJ/2=/z, et la première équation (A), combi-
née avec la précédente , donnera

278 LIVRE in. CHAPITRE IV.

dy'' dy dx

Si l'on fait ensuite ij;z = (/z)*, on trouvera, par la
comparaison de l'équation (c) avec celle que l'on vient
d'écrire ,

dy^ dxdy dx^

et comme on peut continuer ainsi de proche en proche ,,
il est évident qu'on a , pour un indice n quelconque ,

dy da^-^

dz
Quand on fait^=:o, d'où z=:x^ -7-1=: i , cette ex-
pression se réduit à

Kdf'Jo dx^-' '

et le théorème de Maclaurin donne en conséquence

160. Soit maintenant 92 une nouvelle fonction de z
qu'il s'agit de développer suivant les puissances de 7 r
on aura , en vertu de la première équation (è),

et si l'on pose <p'2.yz = «j^-z, la formule (c) donnera

dy* dy dx

Comme on peut tout aussi bien prendre successivement
pour i^z les fonctions

(-

SÉRIE DE LAGRA.IVGE. 279

^'z.{fzy y ^'z.{fzy, etc.,
il est clair qu'on aura généralement

et pour les valeurs particulières jr=o , 2= x ,

df Jo dx^-"^

donc

I ^ "^ 1.2 dx

Les formules {d) et [e) sont évidemment susceptibles
de s'étendre à des fonctions implicites de deux ou d'un
plus grand nombre de variables indépendantes.

161. La formule [d) s'applique à la résolution des

équations, tant algébriques que transcendantes^ sous la

condition qu'elle conduise à une série convergente. Soit,

par exemple,

z'=Lx-\' kz^

une équation d'où l'on veut tirer la valeur de js en :i; ,

ordonnée suivant les puissances de k : la formule {d)

donnera

k k^ P

x+ - .x^-^ . 2/»a?»*»~« H 7: . 'im('im — i W»»^' + etc. ;

I 1.2 1.2.3 ^ ^

et si l'on posait (fz=zz^, on tirerait de la formule (e)

k k*

I 1.2 ^ ^

4- ô .nÇim-^n — i)(3/w4-« — 2):c^*"+»-^-+ etc.

Pour de plus amples détails sur les applications de

280 LIVRE m. CHAPITRE IV.

ces formules à la résolution des équations algébriques ,
on doit consulter le traité de Lagrange.
Considérons l'équation transcendante
z=a: + esinz
qui est celle d'un problème célèbre en astronomie sous
le nom de Problème de Kepler : la variable x dé-
signe le temps ou une quantité qui croît proportionnel^-
lement au temps; le coefficient e mesure rexcentricité
de l'orbite elliptique d'une planète , et la variable z est
l'angle que l'on nomme Y anomalie excentrique de la
planète. Il vient

e , e^ d.sin^x ^ d^.sin^x

zz=:X'\ — .smjrH • — -^ 1 =• — -y-^ h etc. ;

I 1.2 dx i.a.i dx

zzzx+esinx-^ — sin2^+-5- ( 3 sin 3a:— sinx)H- etc.
a o

et comme l'excentricité e est une fraction très-petite , au
moins pour les planètes principales , la série est très-ra-
pidement convergente.

Dans les applications à l'astronomie et à la physique
mathématique , on a souvent occasion de considérer le
développement de la fonction

I

suivant les puissances ascendantes de /. On donne à ce
développement une forme très-élégante en se servant
du théorème de Lagrange. Posons en effet

d'où

dz I

dx V/x— 2aj-4-y» '

zz=zx-^\jr{z'—i) .
Pour faire rentrer cette dernière équation dans la for-

SERIE DE LAGRANGE. 281

mule (a), il suffit de prendre

d'un autre côté, la série (d) donne par la difïérentiation
dz ^ r dfx j* cfJfxY . 7' d?-{fxy
dx I olr 1.2 dx^ i.2.i dar

Donc il vient

l/i 2^y.+r* ^'^ ^ 1.2.2* dx^

1.2.0.2'' dx^ 1.2.0.../1.2'* ai:'*

CHAPITRE V.

NOTIONS SUR LA FORMATION DES JÉQUATIONS DIFFÉREN-
TIELLES A UNE OU PLUSIEURS VARIABLES INDÉPEN-
DANTES.

% i^^. Des équations différentielles entre deux variables
seulement.

162. Lorsqu'on difFérentie réquatioii

a désignant une constante , Tëquation différentielle du
premier ordre

d'où la constante a a disparu , exprime une relation
entre x^ j^f , qui subsiste, quelle que soit la valeur
particulière attribuée à cette constante dans l'équation
(a). Si Ton considère celle-ci comme appartenant à une
série de courbes qui ne différent les unes des autres que
par la variation du paramètre a , l'équation (a') expri-
mera une propriété commune à toutes ces courbes : pro-
priété en vertu de laquelle la direction de la tangente
est déterminée, lorsqu'on assigne les coordonnées x ^jr
du point de contact.

C'est ainsi qu'eu différentiant l'équation

OQ a

Tant que le paramètre a reste indéterminé, la première

FORMATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 283

équation appartient à un cercle de rayon quelconque ^
ayant pour centre l'origine des coordonnées ; et la se*
conde équation exprime une propriété commune à tous
ces cercles concentriques, celle d'avoir leur tangente
perpendiculaire à la droite menée de l'origine au point
de contact.

Quand le paramètre a est combiné d'une manière
quelconque avec les variables x j j dans l'équation

F(a;,7,a)=o, (A)

eu général y ce paramètre entre encore dans la compo-
sition de l'équation différentielle

mais si Ton opère l'élimination de a entre les équations
(b) et (b^ , on pourra appliquer à l'équation résultante

c€i que nous disions tout à l'heure de l'équation (a!) : elle
exprimera une propriété dont jouissent en tous leurs
points toutes lés courbes que l'équation (è) représente
successivement, quand on attribue à a une suite de va-
leurs différentes.

Si 1 on se donne arbitrairement la valeur de / qui ré-
pond à une valeur quelconque de or, la valeur de la
constante a se trouve implicitement déterminée : car,
soient x^^y^ ces deux valeurs correspondantes de x et
de^, on a entre x^, , jToj ^ l'équation
^(•2^05 Jo, a) = o.
La valeur de a qui s'en déduit étant substituée dans l'é-
quation {U) , celle-ci représente une courbe déterminée et
assujettie à passer par le point (.î^o? JTo)'

Après qu'on a déterminé la valeur de a , on peut tirer
de l'équation {h) les valeurs de la fonction y qui corres-

284 LIVRE Iir. CHAPITRE V.

pondent à deux valeurs distinctes de la variable indé-
pendante X. La différence de ces valeurs est la somme
des accroissements infiniment petits que la fonction a
reçus dans l'intervalle ; à moins qu'elle n'ait §ubi , dans
ce même intervalle, des solutions de continuité [5i]. On
dit en conséquence que l'équation {U) est V intégrale de
l'équation (c) : celle-ci déterminant la valeur de l'accrois-
sement dy qui correspond à un accroissement dx , pour
chaque système de valeurs de x et de^; et l'autre dé-
terminant la valeur de l'intégrale ou de la somme de ces
accroissements élémentaires dans un intervalle donné.
Puisque les équations {b) et (c) sont équivalentes, en
ce sens qu'elles appartiennent à la même série de courbes,
on peut déjà conclure de ce qui précède : i^ que si l'on
se donne arbitrairement l'ordonnée j^ correspondant à
une abscisse x^^ la fonction y et la courbe dont cette
fonction est l'ordonnée se trouveront complètement dé-
terminées en vertu de l'équation (c); 2® que si cette
équation différentielle est donnée directement, et qu'il
s'agisse de V intégrer ^ ou de trouver une équation en x ,
j^ qui y satisfasse, l'équation intégrale, pour avoir la
même généralité que l'équation différentielle proposée ,
doit nécessairement renfermer une constante arbitraire-
Nous reviendrons sur ces propositions importantes lors-
que nous traiterons de la théorie de l'intégration : notre
but en ce moment étant seulement de donner des no-
tions générales sur la nature des équations différen-
tielles.

163. Soit

¥{x,y,a, b)=o (d)

une équation entre les variables x , /, renfermant deux
paramètres a, ^. Si l'on différentie deux fois de suite

FORMATION DBS ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 285

cette équation, on a les deux équations différentielles
du premier et du second ordre ,
«'F ''F '

t^F rf'F , d'F „ dF „

^■*-^^^^-+-^^ +^^=°' C'')

qui renferment aussi , en général , les paramètres a , b.
On peut éliminer a , b entre les trois équations {d)^ {d)^
(r/"), et l'équation différentielle résultante

f(^, 7, /,/') = o, W

qui est du second ordre, exprime une propriété com-
mune à toutes les courber auxquelles l'équation (d) peut
appartenir, moyennant une détermination convenable
des paramètres a, b.

Pour particulariser les constantes a^ &, on pourrait
se donner: i^ un point de la courbe, ou l'ordonnée /-o
correspondant à une abscisse Xo ; 2° la direction de la
tangente en ce point , ou la valeur j'^ de la fonction y
pour la même abscisse. En effet , ces données entraîne-
ront les deux équations

F(xo,7o,a,A)=o, (g)^ + (^)/. = o,

jrdF\ /«Fn ^,. /. d¥ dY

f -7- j ( 77" ) désignant ce que deviennent nr; , rr

lorsqu'on y fait x=a:o,^=/o; et de ces deux équations
on pourra tirer les valeurs de a , ô pour les substituer
dans l'équation {d).

Au lieu d'éliminer immédiatement les constantes a, b
entre les trois équations («?), (û?'), (û?"), on peut éli-
miner successivement i et a entre les deux premières ,
ce qui donnera deux équations différentielles du premier
ordre

286 LIVRE III. CHAPITRE V.

/.(x,/,/,0=o, (/O

dont Tune appartient seulement aux courbes pour les-
quelles a possède une valeur déterminée, b restant ar-
bitraire; tandis que l'autre, par la même raison, ap-
partient aux courbes pour lesquelles b possède une va-
leur déterminée, a restant arbitraire à son tour.

Tant que aetb conservent leur indétermination , cha-
cune des équations (^) et (^) a la même généralité que
l'équation (</) ou que Téquation (e). Ainsi l'on tirera de
l'équation (/j) en la différentiant , une valeur de^' en
.r, ^%y, a, qui satisfera à l'équation (e), quelle que
soit la valeur de a. Donc , si l'on élimine a entre l'é-
quation (y^ et sa différentielle immédiate

on retrouvera l'équation (e); et on la retrouverait éga-
lement par l'élimination de b entre l'équation (/j) et sa
différentielle immédiate.

dx^ djr^^d/^ —

Enfin , si l'on élimine jk' entre les équations (/^) et (/^),
on retombera sur l'équation (d).
Soit , par exemple , l'équation

a:* — aa: — ij = o , (i)

on aura par deux differentiations immédiates

ao: — a — ^j'zzro, (2)

^-*/' = o, (3)

et ensuite , par l'élimination des constantes « , ^ , l'é-
quation du second ordre

.r* j" — 2^j' + 2J = o . (4)

Si l'on élimine alternativement les constantes é, n

FORMATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 287

entre les équations (i) et (2), on obtiendra les deux
équations différentielles du premier ordre

^'/ — 2^7 — «(^/ — r)=o , (5)

^ + *7 — *^/ = o î (6)

qui auront pour différentielles immédiates

aar/ + ^y'— 2j— a^r/'— a(j'+^/'--/) = o , (7)
^(2 — A/0 = o; ^ (8)

et l'on retombera sur Téquation (4) , soit qu'on élimine
a entre les équations (5) et (7), soit qu'on élimine b
entre les équations (6) et (8). Enfin, l'élimination dej^'
entre les équations (5) et (6) reproduira l'équation (i).
Il faut conclure de cette analyse : i® qu'à une équa-
tion différentielle du second ordre en x^j^j\y' cor-
respondent deux équations de formes différentes en x^
7, y qui y satisfont, ou deux intégrales premières de
1 équation du second ordre; a® que ces intégrales, pour
avoir la même généralité que l'équation du second ordre
à laquelle elles satisfont, doivent renfermer chacune
une constante arbitraire; 3® que l'équation en ^,^qui
satisfait à l'une quelconque de ces équations différen-
tielles avec toute la généralité requise, et qui satisfait
par conséquent avec la même généralité à l'équation du
second ordre, dont elle est \ intégrale seconde, ren-
ferme deux constantes arbitraires, savoir : les deux cons-
tantes qui entrent dans la composition de chacune des
intégrales premières; 4® que ces deux constantes arbi-
traires sont implicitement déterminées quand on assigne
les valeurs initiales j^^ jr\ correspondant à l'abscisse
initiale x^ , ou quand on donne un point par lequel doit
passer la courbe dont x,j sont les coordonnées rec-
tangulaires , et la direction de la tangente en ce point.
164. Il est aisé de poursuivre cette discussion en l'ap-

288 LIVRE III. CHAPITRE V.

pliquant à des équations différentielles d'un ordre quel-
conque ; et , généralement , de ce qu'on peut toujours
faire disparaître n constantes dans le passage d'une équa-
tion à deux variables à sa différentielle du rf ordre, on
conclut que l'intégrale /^® d'une équation de cet ordre ,
ou l'équation ea Xj y qui y satisfait avec toute la géné-
ralité requise j doit renfermer n constantes arbitraires.
L'équation différentielle du n^ ordre a pour intégrales
premières n équations de l'ordre n — i, renfermant cha-
cune une constante arbitraire; pour intégrales secondes

— -^^ ^ équations de l'ordre n — 2, renfermant cha-
cune une combinaison binaire de ces n constantes; pour

intégrales troisièmes — ^-^'— 0 — équations de

Tordre n — 3, renfermant chacune une combinaison
ternaire des mêmes constantes; et ainsi de suite. Si l'on
élimine y, y, y*\. . • ,y»-«) entre les n intégrales
premières, on aura l'intégrale /i* de la proposée, ou l'é-
quation en a:,jr qui y satisfait, avec les n constantes ar-
bitraires qu'elle comporte.

Ces n constantes seront déterminées implicitement ,
si l'on assigne les valeurs

7o,/o,/;o,/"o, /o^**-'^

pour l'abscisse a:^ [34].

On dit qu'une intégrale est générale ou complète ,
lorsqu'elle renferme des constantes arbitraires en nombre
suffisant pour qu'elle conserve le même degré de géné-
ralité que l'équation différentielle à laquelle elle satisfait.
Cette intégrale générale donne les intégrales particu-
lières^ quand on attribue des valeurs déterminées aux
constantes arbitraires.

FOBMATION DES ^QUATIOICS DIFFÉREKTIBLLES. 289

Ainsi réquation

(r + *)^-i-«(7 — /war')=:o,

dans laquelle a, b désignent des constantes arbitraires ,

est l'intégrale générale de l'équation du second ordre

{jr+mx')xf'+^f{X—xy)z=io. (i)

Si l'on pose successivement â=o, a =00 ,on a deux

équations

74-*=o,7 — i?wr* = o,

qui toutes deux satisfont à l'équation (9), mais qui n'en
sont que des intégrales particulières : la première ne
renfermant que la constante arbitraire b, et la seconde
ne comprenant plus de constante arbitraire.

Les n constantes arbitraires comprises dans une in-
tégrale if doivent être distinctes pour que l'intégrale
soit complète. Il est clair qu'au lieu d'une constante ar-
bitraire C on pourrait écrire Ci + C» ; mais ce binôme ,
quoique offrant en apparence deux constantes arbitraires
Ci et C>,se comporterait dans toutes les opérations aux-
quelles on pourrait le soumettre, comme la quantité
monôme C dont il tient la place : les deux constantes
ne seraient pas réellement distinctes et se confondraient
en une seule. De même l'expression

ne renferme qu'en apparence deux constantes arbitraires
distinctes 9 Ci, Ca; car on peut lui donner la forme
(Cie*' + Cae*») €^; et tant que les constantes C^, Ci
restent arbitraires, le facteur de^'^- Cae"» peut être
remplacé par une seule constante arbitraire C, sans que
l'expression perde de sa généralité.

Quand nous disons que l'intégrale complète a la même
généralité que l'équation différentielle qui en dérive ou
à laquelle elle correspond, la proposition doit être enten-
T. I. 19

290 LIVEE m. CHAPITRE V.

due en ce sens qu'elles représentent Tune et l'autre la
même série ou les mêmes séries de courbes : mais il peut
y avoir en outre des équations qui satisfassent à Téqua-
tion différentielle sans être comprises dans l'intégrale
complète ou sans faire partie de la série des intégrales
particulières, et qui portent pour cette raison le nom
intégrales ou de solutions singulières. Nous verrons
bientôt ce que signifient géométriquement les intégrales
singulières des équations différentielles du premier or-
dre ^ et nous reviendrons sur ce point essentiel dans la
théorie de l'intégration des équations différentielles.

S a. Équations différentielles simultanées.

165. 11 est toujours possible de déduire d'un système
d'équations différentielles en même nombre que les fonc-
tions .r,\7, Zy de la variable indépendante t^

iHie équation différentielle finale entre deux variables
seulement, telles que /et x. Du moins la formation de
cette équation finale n'est sujette à d'autres difficultés
que celles que peut présenter l'élimination entre des
équations ordinaires, dans lesquelles n'entreraient pas
de coefficients différentiels.

En effet, supposons d'abord que l'on ait deux fonc-
tions x^ y dépendant de t, et deux équations différen-
tielles que nous pourrons représenter par

/(/; a:, x',x\ .... a:W ; 7,/,/', . . . .^'*)) = o ,
./.{t'.x.x'y x'\ a;^»»»)/; ,/,/', ..../'»0)=o,

x^^y ^'^ désignant, suivant la notation de Lagrange, les

ctx ClY

coefficients différentiels -y-:, ^-On différentiera nx fois
la première équation et n fois la seconde; ce qui don-

FORMATlOir DES EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 291

nera, outre les deux proposées, /i + ^iz équations où le
plus haut coefficient difierentiel de^ sera ^ ^'*+'*'\ On
éliminera entre ces /i -f- /^I -ha équations les quantités

7,/,/^ y'*+'*'^

dont le nombre ne peut pas surpasser /z + /2i + i : l'é-
quation résultante ne contiendra que t^ Xy x\ af\ etc. ;
et Tordre de cette équation résultante ne saurait évi-
demment surpasser le plus grand des nombres //2+/2z

Admettons maintenant qu'on ait v équations entre la

variable indépendante t^ les v fonctions x, y^ z,

et leurs dérivées des divers ordres par rapport à ^ : un
pareil système est ce qu'on nomme un système d'équa-
tions différentielles simultanées. Il pourrait se faire que
toutes les dérivées qui entrent dans le système d'équa-
tions simultanées , ne fussent pas prises par rapport à la
même variable indépendante /; mais au moyen des for-
mules pour le changement de la variable indépendante,
on ramènerait toujours le système proposé à ne conte-
nir que des dérivées prises par rapport à la même va-
riable indépendante.

Soient

:fW, /«) , ^),

les plus hautes dérivées des fonctions x, /y Zy

qui entrent dans le système proposé; et en admettant

qu'on veuille éliminer les variables^, z, et leurs

dérivées , pour arriver à une équation finale en
/, Xy x\ x'\ etc. , posons

sz=z n + p +elc.

Si Ton difTérentie s fois chacune des équations du sys-
tème, on aura, y compris les proposées, un nombre to-
tal d'équations exprimé par v(j* -|- i); d'un autre coté,

292 LIVRE m. CHAPITRE V.

les quantités à éliminer,

: ï.f,y\ 7^*+'>;

Zy si , z'' , ;g(P+«> ; etc.

sont en nombre

(/i+j+i)+(/?4-^+ i)+ete. z=zs+{s+iXy—i)=:*{s+i)---i ;
et par conséquent Télimination donnera l'équation finale
cherchée, dont Tordre ne peut pas dépasser le nombre

m'\-s==.m-\-n +p -f- etc.
Mais rien ne s'oppose à ce que l'ordre de l'équation fi-
nale soit moins élevé : ce qui arriverait, par exemple,
d'après ce qu'on vient de voir, si l'on n'avait que deux
équations entre les variables t, x^yeX. leurs dérivées, et
si les plus hautes dérivées de jr et de ^ se trouvaient
dans la même équation.

Considérons particulièrement le cas oii les équations
proposées étant toutes du premier ordre, pourraient
d'ailleurs être mises sous la forme
x'—J\t^^,z,....)y=fXt,x^,z,....^^^^ etc. :

au lieu de différentier à la fois toutes ces équations , il
sera plus simple de différentier toujours la même, ia
première par exemple , en substituant après chaque dif-
férentiation , aux dérivées .r',^', z', etc. , que cette opé-
ration introduit dans le second membre, leurs valeurs
données immédiatement par les équations proposées.
Après V — 1 différentiations successives, on aura (en y
comprenant la première des équations proposées) v équa-
tions entre les dérivées x\ x'\ . . . . , jrW, et les variables
ty X, y y Zy etc. Il ne s'agira plus que d'éliminer entre
cesv équations les v — i variables j^, Zy etc. , pour avoir
l'équation finale cherchée.

FORMATIOir DES :éQU AXIONS DIFFERENTIELLES. 293
S 3. Des équations aux différences partielles.
166. Soient données deux équations de la forme

F(^>r)«>T«)==o, {g)

dont la seconde deviendrait une fonction des seules va-
riables ^Cjj-, z, si Ton y substituait pour a sa valeur tirée
de la première : on pourra regarder z comme une fonc-
tion des deux variables indépendantes x, y; et si l'on
différentie successivement l'équation {g) par rapport à
ces deux variables, on aura, en conservant aux lettres
fy q leur signification ordinaire ,

dF dF dF /df df \ , ^^

On peut éliminer entre les équations (g) et (g) les fonc-
tions fa, 9' a; et comme 1 équation aux différences par-
tielles du premier ordre [ia4]

qui résulte de cette élimination , est indépendante de la
forme de la fonction (p, elle exprime une propriété corn*
mune à toutes les valeurs de z en fonction de x, jr, que
Ton peut tirer de la formule (g\ en changeant la forme
de la fonction ^ , sans changer les fonctions F etf. G>n-
séquemment elle exprime aussi une propriété commune
à toutes les surfaces dont l'équation en x, y^ z rentre
dans l'équation (^), moyennant une détermination con-
venable de la fonction ^ .
Soit, par exemple,

a=aar-f-ij, z — <pa=o,

294 LIVBE III. CHAPITRE V.

OU

zz=:zff{aa;-hbf): (A)

les équations dérivées prendront cette forme très-simple

p — a<p'a = o , y — i<p'a = o ,
d'où

bp — aqzrzo . (/)

167. Si Ion a deux équations, l'une aux différences
partielles , l'autre ne renfermant que les variables pri-
mitives, sans leurs dérivées, mais toutes deux convenant
aux mêmes fonctions et ayant le même degré de géné-
ralité, la seconde équation est dite Yintégrale générale
de la première. Ainsi l'équation {h) est l'intégrale géné-
rale de l'équation (/), parce qu'elle renferme, moyen-
nant l'indétermination du signe (p, toutes les équations
d'où l'on peut tirer une valeur de z en fonction de ^,^,
propre à vérifier Féquation (/).

La raison de cette dénomination ^intégrale est la
même que pour les équations qui satisfont à une équa-
tion différentielle ordinaire entre deux variables [iftaj.
Concevons en effet qu'après avoir particularisé la fonc-
tion f , on donne aux variables or, y deux systèmes de
valeurs (-t?o'J^o)7C^,j^,)) et soient z^^z^ les valeurs cor-
respondantes de z : on tirera de l'équation [Ji) la valeur
de la différence finie Zx — Zo\ mais cette différence finie
est la somme ou l'intégrale des accroissements infiniment
petits que reçoit la fonction z quand x passe d'une ma-
nière quelconque de la valeur x,, à la valeur Xx , et qu'ea
même temps y passe y aussi d'une manière quelconque ,
de la valeur ^o à la valeur j^^; sauf toujours le cas excep-
tionnel où la fonction z éprouverait des solutions de
* continuité du premier ordre pendant qu'on fait ainsi va-
rier les quantités x, /.

FORMATION DES EQUATIONS DlFFlifiEirTIELLES. 295

Les équations que l'on tire de l'équation {h) en par-
ticularisant la fonction arbitraire <p, sont des intégrales
particulières de l'équation {i)\ dans tous les cas, il Êiut
entendre par intégrales particulières celles qui se tirent
de l'intégrale générale, quand on particularise une ou
plusieurs des fonctions arbitraires que celle-ci doit ren-
fermer, afin d'avoir la même généralité que Téquation
aux dififérences partielles à laquelle elle correspond , ou
quand on établit entre ces fonctions arbitraires des re-
lations qui en restreignent la généralité.

Par exemple, si l'on a l'équation

zz=:tf[x + ax) + ^{x—ax) , [k)

où 9, ^ désignent des fonctions arbitraires, et si l'on
calcule au moyen de cette équation les dérivées par-
tielles du preipier et du second ordre ^, y, /•, s y ty il
vient :

q=:a^\x + ax)—a^'{x---ax)y

i = a<p" {oc-^-ay) — aY {^ — ^7 »
r=a*<p"( jr + ay) -{' a^^' {x — ay) .

On en conclut cette équation aux différences par-
tielles du second ordre

aV = f, (/)

qui ne contient plus les fonctions 9, v|;, et qui possède,
comme la suite le fera \oir, autant de généralité que l'é-
quation (A-) d'où elle est dérivée. Réciproquement l'équa-
tion (^), qui satisfait à l'équation (/) avec toute la
généralité possible, en est l'intégrale générale.

Mais si l'on établissait entre les fonctions 9, i/ une
certaine dépendance : si l'on posait notamment v|; t= — 9 1,
on ift'=z(fty les équations

296 LIVR£ III. — CHAPITRE V.

dans lesquelles il reste encore une fonction arbitraire ^,
ne seraient plus que des intégrales particulières de Fé*
quation (/).

Les équations aux différences partielles peuvent avoir
auissi, comme les équations différentielles ordinaires, des
intégrales ou des solutions singulières; c'est-à-dire que
l'on peut y satisfaire, dans certains cas, par des équa*
lions entre les variables primitives, qu'il serait impos-
sible de tirer de l'intégrale générale, en particularisant
les fonctions arbitraires que celle-ci renferme. Nous ne
tarderons pas à voir des exemples de ces intégrales sin-
gulières dans les applications du calcul différentiel à la
théorie des surfaces ; et ce sujet sera repris dans la par-
tie du présent Traité où il s'agira de l'intégration des
équations aux différences partielles.

168. Une équation aux différences partielles de Tor-
dre n est susceptible d'avoir des intégrales premières de
l'ordre n — i, des intégrales secondes de l'ordre n — a,
et ainsi de suite. Par exemple, de l'équation du premier
ordre

P = Uf, (m)

dans laquelle II désigne une fonction arbitraire, on ti-
rera, en différentiant successivement par rapport à x et
par rapport à j-,

r = sU'qy s=tn'q^
et ensuite , en éliminant Jïq,

rt — ^s=o. (/i)

La caractéristique n a disparu de cette équation du se-
cond ordre, à laquelle l'équation (m) est parfaitement
équivalente, tant que la fonction n conserve son indé-
termination. Par conséquent l'équation (/») est une in-

FORMATlOfT DES l^QUATIONS DIFFÉRENTIfiLLBS. 297

tégrale première de Téquation (n); et si l'on pouvait as-
signer une équation en.r,^, z, satisfaisant de la manière
la plus générale à l'équation [m)^ on aurait l'intégrale
seconde de l'ëquation (n).

Or, on satisfera à l'équation (m), non pas à la vérité
par une seule équation en or, j^*, z, mais par le système
de deux équations entre Xy jy z et une autre variable
auxiliaire a, savoir

I +^9'a+7'^'a;=0, {o')

la seconde étant la dérivée de la première par rapport
à l'auxiliaire a. En effet, si l'on différentie l'équation {p)
successivement par rapport à x et par rapport à /*, il
viendra

;? = (pa 4- ^ (1+ ^ (p'a -+• r ^^'a) ,

ou simplement, en vertu de l'équation (r/),

et tant que les fonctions f,^ sont arbitraires aussi bien
que n, le système de ces dernières équations équivaut
à l'équation (m).

Le système des équations (o), (o'), renfermant les fonc-
tions arbitraires ç, ^ et une variable auxiliaire a dont
on ne peut faire l'élimination tant que les fonctions ç, ^
restent indéterminées, représente donc l'intégrale se-
conde et complète de l'équation du second ordre {n).
Cette forme des intégrales des équations aux différences
partielles, lorsqu'il s'agit, comme dans notre exemple,
d'équations à deux variables indépendantes , se rattache
à des spéculations géométriques très-curieuses , que nous
ferons bientôt connaître.

298 LIVRB III. CHAPITRE V.

169. On a vu [i66] que 1 élimination d'une fonction
arbitraire, dans une équation à trois variables, conduit
à une équation aux différences partielles du premier
ordre : nous en conclurons qu'inversement Tintégrale
générale d'une équation aux différences partielles du
premier ordre, à trois variables, doit renfermer une
fonction arbitraire d'une certaine quantité a, détermi-
née elle-même en fonction des trois variables. Quand le
nombre des fonctions arbitraires à éliminer est plus con-
sidérable, l'élimination conduit en général à une équa-
tion aux différences partielles d'un ordre plus élevé;
mais il n'existe plus alors de rapport déterminé entre le
nombre des fonctions arbitraires éliminées, et l'ordre de
l'équation aux différences partielles résultant de l'élimi-
nation. Réciproquement, on ne peut pas conclure im-
médiatement, de l'ordre d'une équation aux différences
partielles, le nombre de fonctions arbitraires que son
intégrale doit renfermer pour être générale ou complète:
de la même manière que Ton conclut, de l'ordre d'une
équation différentielle à deux variables, le nombre de
constantes arbitraires que doit contenir son intégrale
générale.
Soient

deux fonctions, dont la composition en .r, y, z est don-
née, et qui entrent sous les signes de fonctions arbi-
traires (p, ^ dans l'équation

si l'on forme les équations

-=o,^ = o, (y)

rf»F ^F rfT , .

FORMATION DES JÎQUATIONS DlFFÉABJilTlKLLflS. 290

on introduit les fonctions indéterminées fa, ^'p, ^"^j
vj/^'P; et en les joignant à (p a, ^ ^ on a six quantités à
éliminer entre les six équations (/?), (g^), (r); ce qui ne
peut conduire en général à une équation aux. différences
partielles, indépendante de la forme des fonctions 9,<|;.
£n passant aux dérivées du 'i^ ordre, on aura quatre
nouvelles équations #

iP¥ iPF iPF dP¥

:0 .

dœ"— ' dx^dy ' dxdy^ ' df~ '

et l'on n'introduira que deux nouvelles indéterminées
ç"'a, 4^'"P : on pourra donc former, et en général de
plusieurs manières, une équation aux différences par-
tielles du 3^ ordre, indépendante de la forme des fonc-
tions ç, ^1^, et dont l'équation (/?) sera l'intégrale géné-
rale. Mais il pourra arriver aussi que l'élimination des
fonctions (p , ^ se fasse sans qu*on ait besoin de passer
aux dérivées du 3* ordre, et qu'ainsi I équation (/?)soit
l'intégrale complète d'une équation aux différences par-
tielles, du second ordre seulement. On en a vu plus haut
uo exemple sur l'équation (Je),

En général , soit v le nombre des fonctions arbitraires
contenues dans une équation à trois variables Xjj-, z ; la
composition de chaque quantité qui entre sous le signe
de fonction arbitraire étant donnée en .r, jr, z : si l'on
joint à cette équation ses dérivées partielles jusqu'à celles
de l'ordre n inclusivement, on a un nombre total d'é-
quations exprimé par

I + 2+3+ -i-w-h i=— J1-Z1-Z_' ,

a

tandis que le nombre des fonctions arbitraires et de leurs

dérivées, entrant dans ce système d'équations, est v(v*-|-i).

L'élimination ne sera possible dans tous les cas qu'au*

300 LivaE m. — chapithe v.

tant qu'on aura

v(v-4-i) < ■/ — ^— ^, ou n >2 V — a ;

c'est-à-dire qu'il faudra en général pousser les différen-
tiat ions jusqu'à l'ordre av — ^^i, et que l'équation aux
différences partielles, résultant de l'élimination, sera en
généHil de Tordre 2v — i ; mais elle pourra être aussi
d'un ordre moins élevé.

170, Considérons maintenant une équation à quatre
variables.

F[",^,,7, ^, <p(a,p)] = o, {s)

dans laquelle (p désigne une fonction arbitraire des deux
quantités a, p dont la composition en u, x^y^ z est connue
et donnée par les équations auxiliaires

a=/(w,x,7, z), p=/(«,:r,7,z).

En différentiant l'équation {s) par rapport à chacune

des trois variables indépendantes x^ 7, 2, on a trois

équations

dP dY dY

dans lesquelles figurent, outre la fonction indéterminée

<p (a, p), ses deux dérivées partielles -j-^ -^ : or, rien ne

s'oppose à ce qu'on élimine ces trois indéterminées
entre les quatre équations {s) et {t) ; et Ton obtiendra
ainsi une équation aux différences partielles du prer
mier ordre , indépendante de la forme assignée à la
fonction arbitraire <p. Nous en conclurons que récipro-
quement l'intégrale complète d'une équation aux dif-
férences partielles du premier ordre , à trois variables
indépendantes, doit renfermer une fonction arbitraire
de deux quantités^ ayant chacune une composition
déterminée.

FORMATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 3Q.1

Et par une généralisatiou qui s'offre d'eUe-même ,
nous dirons que Tintégrale complète d'une équation aux
difFérences partielles du premier ordre, à n variables
indépendantes , doit renfermer une fonction arbitraire de
n — I quantités , composées chacune d'une manière dé-
terminée avec les /ï-[- î variables dont il y en a /i d'in-
dépendantes

Si l'on avait Téquation

F[a,ar,7,z,cp(a, p) , + (y, S)] = o ,
il faudrait s'élever au 4* ordre pour opérer dans tous
les cas l'élimination des fonctions arbitraires ç, ^ et de
leurs dérivées; a, P, y, ^ désignant toujours des quan-
tités dont la composition est donnée en u^ x^ /, z.

171. Le cas le plus simple est celui oîi les quantités
a, ^,. ... ne contiennent qu'une variable indépendante,
par exemple la variable x. Dans ce cas, au lieu de

^, ^P, on peut écrire simplement f^Xy f^x^ ;

9,<(/, désignant toujours des fonctions arbitraires.

Soit donc

F(^»7,^j?^>+^, ) = o

une équation à deux variables indépendantes, dans la-
quelle les fonctions arbitraires (p.r, t{;.r, sont en

nombre n. Si l'on différentie n fois par rapport à la va-
riable^, ces difierentiations successives n'introduiront
pas les dérivées des fonctions ç , ^^ , et l'on obtien-
dra ainsi /z-j-i équations , entre lesquelles on pourra

toujours éliminer les n indéterminées (p^, ^x^

De même si l'on avait l'équation

F[«,a;,7,2,(p(a:,7),^/(a:,7), ] = o,

où les fonctions arbitraires ç(^,^), ^'G^? J^)?

sont encore en nombre /z, il suffirait de difierentier n

304 LIVRB IV. CHAPITRE 1.

exposé dans le chapitre III du premier livre la généra-
tion des fonctions dérivées ou des coefficients différen-
tiels. C'est même par suite des efforts qui étaient tentés
pour résoudre d'une manière générale le problème des
tangentes, que le calcul différentiel a été trouvé; et on
le désignait dans l'origine sous le nom de Métlwde des
tangentes.

Le procédé le^plus élégant pour résoudre le problème
de mener une tangente à une courbe au point {x, y)
consiste à donner Téquation de cette tangente. Désignons
donc par Ç,y) les coordonnées courantes de la droite tan-
gente , rapportées respectivement aux mêmes axes et à la
même origine que les coordonnées x^y de la courbe. L'é-
quation cherchée sera

pour satisfaire à la double condition que la droite passe
par le point {x^f) et qu'elle fasse avec l'axe des x un

angle qui ait pour tangente trigonométrique -j-.

L'équation de la normale à la courbe, ou de la droite
perpendiculaire à la tangente au point (or, ^), est, en
vertu d'un principe connu de géométrie,

et on peut lui donner la forme plus symétrique
(r\ — 7)^7+ (5 — x)dxz=zo .
En faisant y)=o dans l'équation de la tangente, on a

dx y
^ ^ dy f
la distance ib {x — Ç) du pied de l'ordonnée au point où
la tangente rencontre l'axe des abscisses , se nomme la
sous'tangente. Le double signe a pour objet d'indiquer

TANGBlfTES ET iTORMALfeS DES COURBES PLANES. 305

t{ue l'on ne considère dans cette distance que sa gran-
deur absolue, sans égard au signe que l'équation précé-
dente donnerait au binôme x — ^.

En faisant de même y)c=:o, dans l'équation de la nor-
male, on trouve

la distance ±($— ^x) du point où la normale rencontre
l'axe des abscisses, au pied de l'ordonnée correspon-
dante, se nomme la sous-normale.

L'ordonnée / est moyenne proportionnelle entre la
sous-tangente et la sousHiormale,

Quelquefois on entend pai* tangente et par normale
les portions de la tangente et de la normale comprises
entre la courbe et l'axe des abscisses. Dans ce sens (qui
commence à vieillir), la tangente et la normale ont res-
pectivement pour valeurs

dx

z=±jr\/i+y* .

Pour chaque courbe donnée, il faudra substituer dans les

formules précédentes les valeurs éh x dej' et de^'= -j- ,

tirées de l'équation de la courbe.

Si cette équation est donnée sous la forme

/(j;,/)— o, {a)

on à

et par suite l'équation de la tangente devient

T. I. 20

306 LIVRE IV. CHAPITRE I.

c'est-à-dire qu'on la déduit de l'équation différentielle de
la courbe, en y remplaçant les différentielles dx^dy
par les différences Ç — x, t\ — y; ce qui doit être, puis-
qu'il est permis de considérer la tangente comme le pro-
longement d'une corde menée par deux points infini-
ment voisins.

L'équation de la normale est

Si l'on regarde dans les équations (A), (c), les coor-
données Ç,Yi comme des quantités constantes, et x^y
comme des coordonnées courantes, ces équations appar-
tiennent à deux lignes qui passent par le point (Ç,y)), et
dont les points d'intersection avec la courbe {a) déter-
minent les tangentes ou les normales à cette courbe, me*
nées par le point (Ç , yi).

Les équations (è)et((?) ne changeraient pas si l'équa-
tion (ci) était remplacée ^diX f[Xyy)^=.Cy c désignant un
paramètre constant que la différentiation fait dispa-
raître. Donc on peut encore considérer les lignes (è) et
(c) comme les lieux géométriques des points où des
droites qui concourent au point (Ç, yi) viennent toucher
ou couper à angles droits les courbes qu'on obtient en
attribuant au paramètre c une suite de valeurs particu-
lières.

173. Appelons a,p les angles que la tangente forme
avec des parallèles aux axes des x et desjr, menées par
le point (.r^), dans le sens des coordonnées positives :
nous aurons

CoS«=±-=L=;; COSp=±— ^=, {d)

En appelant X,(jl les angles homologues pour la nor-

TANGKfTTES ET HOHMALES DES COURBES PLANES. 307

maie y on obtiendra

/ I

cosX=-4 j costi.=±:. ^ (S)

Les signes adoptés pour ces quatre cosinus doivent être
combinés de manière à satisfaire à Téquation

cos a cos X -f- cos p cos fX = o ,
laquelle exprime, comme on sait, que la tangente et la
normale sont perpendiculaires l'une à l'autre.

Lorsque l'équation de la courbe est donnée sous la
forme (a), on a

cos a cosp I

^ d^ ^(:£)'^{£)

174. On entend par la longueur d'un arc de courbe
entre deux points donnés , la limite dont s'approche in-
définiment le périmètre d'une ligne polygonale inscrite
ou circonscrite à l'arc , et terminée aux mâmes points ,
quand le nombre des côtés du polygone augmente indé-
finiment. Si donc on appelle s la longueur de l'arc d'une
courbe, depuis le point {x^^j^ pris pour origine jus-
qu'au point (.r,/), s sera une fonction de x^ qui , par la
définition même , satisfera à l'équation différentielle

ds=:± i/dx^^df* = ±V/7+7^.dic : (s)

le signe 4- ou le signe — devant être choisi , suivant que
l'arc croît ou décroît pour des valeurs croissantes de x.
Au moyen de l'équation (j), les formules (rf), (J) de-
viennent

dx dy dy dx

cosff— ± -r- , cosB=±: -y- : cosX=c±: ~- , cos!xz=±:-7- •
ds ^ ds^ ds^ ' ds

On dit encore que la longueur d'un arc de courbe est

celle de la portion de ligne droite sur laquelle l'arc

pourrait s'appliquer exactement, s'il était formé par

• 20.

308 LÏVHE IV. CHAPITRE î*

un fil flexible et inextensible. Mais cette définition (outre
qu'elle implique au fond un cercle vicieux) est plutôt phy-
sique que mathématique ;et il en faudrait dire autant de
toute définition de la grandeur s^ où l'on prétendrait
éluder l'emploi des limites ou de l'infiuiment petit.

Il n'en est pas de même pour Taire d'une courbe : car,
ayant défini l'aire A d'un polygone , on conçoit direc-
tement que, si l'on trace dans l'intérieur du polygone
une ligne fermée, courbe ou polygonale, on retranche
de A une portion B de cette grandeur; en sorte que la
notion de limite ou d'infiniment petit n'est requise que
pour la mesure de la grandeur B, si le contour est courbe ,
et non pour la définition même de cette grandeur.

Au surplus, voici comment on a coutume de démontrer
l'équation (s), lorsqu'on ne la prend pas pour la défini-
tion même de la grandeur j, dont l'idée est alors censée
donnée à priori.

Soit mmxifig, [\\) un arc assez petit pour que, dans
l'étendue de cet arc, la courbe tourne sa convexité du
même côté, ou pour qu'elle ne coupe pas sa tangente
entre m et t. On prend pour axiome, d'après Archi-
mède, que la longueur de l'arc mmx est comprise entre
celle de la corde mmx et celle de la ligne brisée enve-
loppante mtmx. Désignons par Ao; l'intervalle /?/?x:=w A-

on a

/wf=l/i-hr'*.Ar, mJL:=^rt — rm^=.y ^ — A/,

corde /W7W-== V/ i-4-"r^* ^ •
Donc le rapport de la ligne enveloppante à la corde est

v/

TANGENTES ET NORMALES DES COURBES PLANES. 309

et il a évidemment l'unité pour limite : donc aussi le
rapport

^v/.-.^

a l'unité pour limite, ce qui établit l'équation (s).

175. Donnons quelques applications des formules
qui précèdent. L'équation de l'ellipse , rapportée à son
centre et à ses axes, étant de la forme

^ y* , .

l'équation (A) deviendra

ou bien

ou enfin

-- I 7T — " :

(A.)

-. + #='• (*.)

L'équation (bi) est celle d'une autre ellipse qui passe
par le point (Ç,y)), et dont les points d'intersection avec
l'ellipse (e) sont les points de contact de cette ellipse et
des droites venant du point ($,to)'

Si l'on remplace les demi-axes a^ b par ca^cbyet qu*on
fasse varier la constante c, on obtient une suite d'ellip-
ses concentriques et semblables ; et les points où cha-
cune de ces ellipses est coupée par l'ellipse (Ai), sont
ceux où elle serait touchée par des droites parties du
point (S, Yi).

L'équation (b») est celle de la droite tangente à Tel-
lipse (é) au point (x, /), quand on y regarde Ç, y) comme
les coordonnées courantes; et lorsqu'on y considère au

310 LIVRE IV. CHAPITRE I.

contraire x^j comme les coordonnées courantes et Ç,yi
comme des constantes, cette équation devient celle d'une
droite qui coupe l'ellipse en deux points où elle est tou-
chée par des droites venant du point (Ç, yj).

Si Ton fait dans Téquation {b^ yi = o, on a Ç= — ;

oc

ainsi la sous-tangente est indépendante de l'axe 2 by
et la même pour l'ellipse proposée que pour le cercle
décrit sur l'axe ia comme diamètre. De là on déduit
une construction très-simple de la tangente à l'ellipse ,
indiquée dans tous les traités des sections coniques.
L'équation de la normale à l'ellipse proposée est

et Ton en tire, en faisant yj=o,

ce qui exprime que la sous-normale est numériquement
proportionnelle à l'abscisse.

L'équation de la parabole ordinaire , rapportée à son
axe et à son sommet , étant

celles de la tangente et de la normale sont respective-
ment

La sous-taugente est égale au double de l'abscisse , et la
sous-normale est égale au paramètre p, ou au double
de la distance du sommet au foyer de la parabole.
La tangente et la normale à la courbe logarithmique

7 = log 07

ont respectivement pour équations

TANGENTES ET NORMALES DES COURBES PLANES. 31 1

Par la permutation des axes la première équation de-
viendra

et en faisant maintenant yi=o, on trouvera x — 5= i,
c est-à-dire une valeur constante pour la sous-tangente.
Ce caractère fournit la véritable définition géométrique
de la courbe, dont on ne donne qu'une définition arith*
métique tant qu'on se borne à dire que les abscisses sont
les logarithmes des ordonnées correspondantes.

176. Parmi les courbes qu'on a appelées transcen*
danteSy à cause que leurs équations en coordonnées rec-
tilignes renferment des fonctions exponentielles, loga-
rithmiques ou circulaires , la plus célèbre dans l'histoire
des mathématiques, et la plus remarquable à cause de
la foule de propriétés curieuses dont elle jouit, est la
cycloïde. On appelle ainsi la courbe décrite par un point
quelconque M {^fig* 4^) de la circonférence d'un cercle
NMN' qui roule sans glisser sur la droite indéfinie
X'X, base de la cycloïde, c'est-à-dire, de manière que la
longueur d'un arc quelconque MN soit égale à celle de
la portion de droite ON sur laquelle tous les points de
l'arc M N viennent successivement s'appliquer. Menons
le rayon C M=R , et soit <p l'angle variable M CN, x=0 P
l'abscisse du point M,jr=PM son ordonnée rectangu-
laire, l'origine O étant le point où le point M touche la
base X'X : on a par la définition
ON=;R<p,PN=MI=Rsin(p, PM=IN=Rfi— cos?) ,
d'où

^z=R(f — sin<p), {f)

7 = R(i — cos<p) . {g)

Chacune des équations {f) et {g) peut être prise pour

312 LIVRE l\i CHAPITRE I.

l'équation de la cycloïde, l'une étant entre les coordon-
nées ar et <p , l'autre entre les coordonnées j et (p. D'a-
près le mode de description de la courbe, rien ne limite
le nombre des révolutions du cercle sur la droite X'X>
en arrière et en avant du point O : la continuité géo-
métrique exige donc que l'on conçoive la cycloïde comme
formée d'une infinité X arceaux^ tels que OMQR, par-
faitement superposables. La distance OR des pieds d'un
arceau est égafe à la longueur de la circonférence du
cercle générateur; l'ordonnée S Q menée par le milieu de
OR est égale au diamètre du cercle et divise l'îarceau
OQR en deux parties symétriques.

Pour représenter ce mouvement indéfini du cercle
générateur, il faut admettre que k variable <p peut être
prise tant positivement que négativement, et que sa
grandeur absolue peut atteindre et dépasser un nombre
quelconque de circonférences. Or, ceci admis , chacune
des équations ( /) et [g) représente en effet la cycloïde
dans toute l'étendue de son cours, à cause de la pério-
dicité des fonctions sin <p, cos (p, établie en trigonomé-
trie, et résultant d'ailleurs, ^insi qu'on Ta vu [74]^ d^ '*
fonne des équations différentieHes qui peuvent servir à
définir analytiquement ces fonctions. Il y a corrélation
exacte entre la génération géométrique de la courbe et
la discussion analytique de son équation; ce qui tient au
choix de la variable indépendante <p donnée par le mode
même de description de la courbe, conformément à la
remarque du n° 11.

Supposons maintenant qu'on veuille avoir l'équation
de la cycloïde entre les coordonnées rectangulaires x^y:
on tirera de l'équation {g)

cos 9= — 5~^, dou sm(p = ±: ~ — ^ ,

TANGENTES ET NORMALES DES COURBES PLANES. 313

le radical devant être pris positivement ou négativement,
suivant que la valeur de l'arc <p donne à sin f , d'après
les règles de la U'igonométrie, une valeur positive ou
négative. L'équation entre x eiy sera

j: = R arc cos (-^^ ) ± V^aRj— J* ; (A)

mais à chaque valeur de x ne correspondra que Tune
des valeurs, en nombre infini , dont l'expression

R arc cos ( — ^— j

est susceptible, et en outre les deux, signes du radical
ne devront pas être employés simultanément. II faudra
prendre le signe supérieur quand le point (.r,jr)appar-
tiettdra à l'arc OQ, et le signe inférieur quand le point
appartiendra à l'arc QR, en opérant la même permuta-
tion de signes, chaque fois que l'on passera par le som-
met ou par le pied d'un arceau. Si l'on employait si-
multanément les deux signes , l'équation {h) représente-
rait le système de deux cycloïdes inversement disposées
[h- 43 )j que leur génération géométrique ne lie point
'une à l'autre; et la corrélation habituelle entre la géo-
métrie et l'analyse (telle qu'on l'observe, par exemple,
pour les sections coniques) se trouverait en défaut. Nous
reviendrons plus loin sur le principe et sur les restric-
tions de cette correspondance entre les formules analy-
tiques et les lois géométriques de la description des
lignes.

177. Pour déterminer la tangente à la cycloïde,on
pourrait difFérentier l'équation (A); mais il sera plus
sinaple de retenir la variable cp et d'opérer sur les équa-
tions (/) et {g\ ce qui donnera

dlr = R(i — cos<p)€/(p, rfj = Rsin<

314 LIVR£ IV. — CHAPITRE I.

et par suite

dx I — cos<p y y

Cette valeur devient nulle quand^=2R, ce qui arrive
aux sommets des arceaux, et infinie quand j* s'évanouit.
Les pieds des arceaux sont donc des points de rebrous-
sement, où la tangente devient perpendiculaire à la
base de la cycloïde. On a pour la valeur de la sous-
normale

J/'aRj— j* = R sin <p .

Ainsi la normale MN à la cycloïde coupe la base X'X
au point N où cette droite est touchée par le cercle gé-
nérateur, et la tangente TM va passer à l'autre extré-
mité N' du diamètre perpendiculaire à la droite X'X.
On a en conséquence , pour la longueur de la normale
MN, cette valeur très-simple dont nous nous servirons
plus loin,

On peut remarquer que la longueur MN décroît de plus
en plus dans le voisinage du point O, quoique la nor-
male s'incline de plus en plus sur l'axe des x.

§ %. Des asymptotes des courbes planes.

178. On appelle asymptote d'une courbe plane une
droite dont un point mobile sur la courbe s'approcherait
indéfiniment, sans jamais l'atteindre : de manière que la
perpendiculaire ^ abaissée de ce point sur la droite tom-
bât au-dessous de toute grandeur finie, sans jamais s'é-
vanouir ; et pour cela il faut que la branche de courbe
sur laquelle on conçoit le point en mouvement, s'éloigne
à l'infini.

ASYMPTOTES DES COURBES PLAIDES. 315

La différence des ordonnées de la courbe et de son
asymptote , pour la même abscisse y étant égale au quo-
tient de 8 par le cosinus de Tangle de l'asymptote avec
laxe des a:, converge vers zéro quand x converge vers
uoe valeur infinie. En même temps, l'angle de la tan-
gente à la courbe avec l'axe des x converge vers une li-
mite, qui est la valeur de l'angle formé par l'asymptote
avec le même axe.

L'équation (^) deviendra celle d'une asymptote, si
la supposition de ^ ou de / infini y fait évanouir tous
les termes qui renferment ces variables, de manière que
Téquation ne contienne plus que les coordonnées cou-
rantes Ç,y| et des paramètres constants. En conséquence
OD substituera dans cette équation la valeur de^ en x
tirée de l'équation de la courbe; puis on fera a: =±00 ,
ce qui donnera toutes les asymptotes non parallèles à
Taxe des jr. On trouvera ces dernières en substituant la
valeur de x en /, et en faisant ensuite j-zz: db oo .

Si nous prenons l'équation de l'hyperbole rapportée à
son centre et à ses axes^ savoir

nous aurons pour l'équation de la tangente,

Ç^ r\x

Par la substitution de la valeur de jy en x cette équa-
tion devient

X

et quand on y fait x=±:oo , elle se réduit à

a
équation double , qui donne celles des deux asymptotes

316 LIVRE IV. CHAPITRE ï.

de l'hyperbole 9 comme on l'a vu en étudiant les sections
coniques.

L'équation de la tangente à la lagarithmique^=logj:
étant

la supposition x=±qo ne donne point d'asymptotes,
après qu'on y a substitué pour jr sa valeur en x; mais si
l'on y substitue au contraire la valeur de x en ^, cette
équation devient

et quand on y fait jr== — oo , elle se réduit à $=o:
par conséquent l'axe des j est une asymptote de la
courbe.

La méthode précédente demande à être modifiée
dans le cas oii l'équation de la courbe n'est pas réso-
luble par rapport à^ et à x. Soit
y =z ma: -+- n
l'équation d'une asymptote non parallèle à l'axe des y;

on en tirera

r n .

X X

de sorte que, quand x convergera vers l'infini, la va-

leur du rapport — convergera vers la constante m. Donc,

si l'on fait dans l'équation de la courbe^=a jî, et qu'on
cherche la limite de la nouvelle variable a pour .2:=: ±x ,
celte limite, quand elle existera, sera une valeur de la
constante m. Si l'on fait ensuite, dans l'équation de la
courbe,

et qu'on cherche pareillement la limite vers laquelle con-
verge la variable p, quand x converge vers les valeurs

EMPLOI ÛHS GOORDONNliES POLAIRES. 317

± oo , cette limite sera une valeur de la constante n.

On trouverait de la même manière les asymptotes
non parallèles à Taxe des x, et par conséquent les asymp-
totes parallèles à Taxe des /.

Prenons pour exemple \efoliian de Descartes (y^. 44)?
dont l'équation, déjà discutée sous un autre point de

vue [i5a], est

x^ — 'iaxy + j' =: o :
l'équation en a,.r devient

d'où l'on conclut y pour la limite de a,/w=± — i. Fai-
sant ensuite jr-f-^=P , on a, pour l'équation en p,a;,

ce qui donne, pour la limite de p, /^= — a. En consé-
quence, la droitiB^-|-.r-|-a=:o est une asymptote de
la courbie proposée.

§ 3. Emploi dés coordonnées polaires.

179. On passe de l'équation d'une courbe en coôr*-
données rectangulaires , à son équation en Coordonnées
polaires, en posant

xz=. ;*cos(p , / = rsin9 :
r désigne alors le rayon vectieur mené de l'origine des
coordonnées (qui prend le nom de pôle) au point {x^\
et <p l'angle formé par ce rayon vecteur avec le demi-
axe des X positifs. On tire de ces équations

dx=drcosff — rsin<prf(p, rf/=:£/rsin<p-t-rcosç^(p , (/)
et par suite

^^|tang^r ^ ^^^ »+£tangy
' dx dr d9 ' dy

318 LIVRE IV. CHAPITRE I.

Mais^ si l'on appelle 0 l'angle de la tangente au point
{xyf) avec l'axe des or, dans le sens des x positifs , on a

dr , dr i+tangô. tang<p . . ..

-f-=tangÔ,-T- = ^ ^ = cot(Ô— (p) . (/)

dx ^ ^rd^ tango — tan g 9 ^ ^^ ^^

L'angle 6 — <p est celui que la tangente à la courbe
forme avec le rayon vecteur du point de contact : on
peut donc calculer cet angle par la formule (y ) et cons-
truire la tangente, quand l'équation de la courbe est
donnée en coordonnées polaires. Si l'on mène par le
pôle une perpendiculaire au rayon vecteur, elle coupera
la tangente en un point dont la distance au pôle est

/?=rtang(6— ç)=r»^- {k)

Par analogie on donne quelquefois à la ligne /? le nom
de sous 'tangente.

La formule (y ) se démontre directement par une
construction très-simple. Soient m^nti {Jig. 45) deux
points d'une courbe infiniment voisins , de manière que
la droite m t, tangente à la courbe en m, puisse être prise
pour le prolongement de Tare infiniment petit mmi.
O est le pôle, et OX la droite à partir de laquelle les
angles ^ sont mesurés. Si l'on décrit du rayon Ont
l'arc de cercle infiniment petit m\Lj on aura m\L^=rd^
^uni=dr: on pourra regarder m (^//Zi comme un triangle
rectiligne et rectangle en (^ , ce qui donnera

tangfx^;n.=-^ .

Mais on peut aussi regarder le secteur infiniment petit
Om\L comme un triangle rectangle en m, d'où
tangfx/w/7ij==cot(ô — cp).
180. La longueur s d'un arc de courbe, mesurée à
partir d'un point fixe pris sur la courbe, étant une

EMPLOI DES COORDONN£ES POLAIRES. 319

grandeur dont la définition ne dépend pas du système de
coordonnées qu'on emploie, il suffit, pour obtenir Tex-
pression de ds en coordonnées polaires, de substituer
à dx et à dj^ dans la formule

di* = rfa^ + rfr*,
leurs valeurs tirées des équations (e), ce qui donne

fi;i> = rfr» + r»rf(p* . (/)

La construction précédente donne aussi ce résultat très-
directement, puisqu'elle conduit à considérer mrrix
comme Thypoténuse du triangle m [xmi, rectangle en (x.
On entend par Taire d'une courbe, rapportée à des
coordonnées polaires, l'espace compris entre cette courbe,
un rayon vecteur fixe, et le rayon vecteur mobile Om.
Ainsi , quand le rayon vecteur mobile passe de la posi-
tion Om à la position infiniment voisine Orrix , l'aire que
nous appellerons u^ augmente de la surface du triangle
infinitésimal Ommij dont on peut considérer Om^
comme la base et m |x comme la hauteur. On a donc

rfa==:i (r-f-rfr)rrfçp ,
et en négligeant Tinfiniment petit du second ordre,

La différentielle de l'aire, mesurée de la même manière,
mais exprimée en coordonnées rectangulaires, est

ce qui résulte de ce qu'on a

r^=a-+jr% d^^d (arc tg;^^ =^ j^~^f^ > {n)

A cause de l'importance des formules (w), {ri) en méca-
nique et en astronomie, on peut désirer d'en avoir
une démonstration par les limites. En conséquence re-
marquons que lorsque le rayon vecteur se transporte de
Om en Oz/z, , les variables r et <p augmentant de Ar, A<p,

320 LIVRE. IV. CHAPITRE I.

Taire reçoit raccroissement A u égal à la surface du sec-
teur Ommx. Or , l'aire de ce secteur est comprise entre
celles de deux secteurs circulaires de même angle , ayant
pour rayons , l'un r, l'autre r-|-Ar; c'est-à-dire que l'on a ,
Ar étant supposé positif ,

Aa >|r* A<p, Ai«< l(rH-Ar)*A<p.

Mais le rapport

i(r+Ar)'Ay

a l'unité pour limite, quand A <p , A r convergent vers zéro :
donc le rapport

a aussi l'unité pour limite; ce qui établit l'équatioti {m),
181. Lorsque l'équation d'une courbe en coordonnées
polaires est de la forme r=z=/<p,y<p étant une fonction
qui reste réelle pour toutes les valeurs réelles de <p , et
qui croît ou décroît indéfiniment avec (p, la courbe prend
le nom de spirale : elle coupe en une infinité de points
chaque droite menée par le pôle; et l'arc compris entre
deux intersections consécutives de la courbe par le
même rayon vecteur prend le nom de spire. D'ailleurs
les propriétés géométriques de ces courbes ne sont guère
qu'un objet de pure curiosité.

La spirale d Archimède est celle .dont l'équation

a la forme la plus simple. On peut concevoir qu'elle
est décrite par un point m {fig. Ifi) qui se meut avec
une vitesse constante sur une droite mobile M N pas-
sant par le pôle O, tandis que la droite M N tourne elle-
même autour de O avec une vitesse angulaire cons-
tante, c'est-à-dire, en décrivant des arcs égaux en temps

EMPLOI DES GOOklDOimÉES POL\IRES. 321

égaux. Il faut admettre aussi que, quand le point m
passe par le pôle, la droite mobile MN coïncide avec
la droite fixe O X, à partir de laquelle les angles 9 sont
mesurés.

On peut toujours supposer positif le paramètre a qui
mesure la longueur que le point m parcourt sur la
droite MN, tandis que cette droite décrit un angle qui
est à la demi-circonférence dans le rapport de i àir. La
constante a étant positive, r deviendra négatif avec ç;
et il est évident, d'après la loi du mouvement, que les
valeurs négatives du rayon vecteur devront être mesu-
rées en sens inverse des valeurs positives. Ainsi, lors-
que OM fait avec OX l'angle positif MOX, le rayon
vecteur sera mesuré de O en m; mais auparavant OM
avait fait avec OX Tangle négatif M'OX, et alors le
point mobile m se trouvait en m\ de sorte que le rayon
{^nî doit être mesuré en sens contraire de OM'.

La spirale d'Archimède comprend donc deux systèmes
de spires inversement disposés, et qui se raccordent à
l'origine : si l'on supprimait un de ces systèmes en ar-
rêtant brusquement la courbe à l'origine, on n'aurait
point égard à la loi de continuité dans le mouvement
composé d'où résulte la description de la courbe.

L'équation de cette spirale donne

r

tang(e— (p)=- = 9,

en sorte que la courbe touche à l'origine la droite OX.
On a aussi, d'après la formule (X:),

Soit R=aa7r, de manière qu'à chaque révolution du
point décrivant, le rayon vecteur augmente de R : il
T. I. ai

322 UVRK IV. CHAPITRE I.

viendra

ce qui donne la valeur très-simple, trouvée par Archi-
mède^ /?= 2 itR, lorsque (p=:2ir.

On nomme spirale hyperbolique {fig. 47) celle qui a
pour équation

d'oïl

tang(e_<p)=: — <p'.

Cette courbe décrit une infinité de révolutions autour
du pôle dont elle s'approche indéfiniment sans jamais
l'atteindre, puisqu'il faudrait donner à 9 une valeur in-
finie pour que r s'évanouît. Elle a pour asymptote la
droite dont l'équation en coordonnées rectangulaires se-
rait /*=a^ le demi-axe des x positifs étant la droite à
partir de laquelle on mesure les angles 9. En effet , l'é-
quation (/?) devient dans ce système de coordonnées

sin 9

rz=,a ^>

?
ce qui donne x^^^9 pour 9=0.

Si Ton a égard aux valeurs négatives de f et que Ton
construise les valeurs négatives de r qui leur correspon-
dent, ainsi que nous l'avons indiqué pour la spirale
d'Archimède, la spirale logarithmique aura deux bran-
ches symétriques. Mais comme il existe toujours une so-
lution de continuité entre les deux branches ainsi cons-
truites , cette extension donnée à la construction de
l'équation (/?) reste purement conventionnelle et ne de-
rive pas (de même que pour la spirale d'Archimède) de
la nécessité de maintenir la continuité du mouvement
en vertu duquel la courbe est décrite.

BMPXiOI DES GOORDONiriES POLAIRES. 323

La spirale logarithmique est celle qui a pour équation

f =— log r , ou r = e^'\
m

elle fait, comme la spirale hyperbolique^ une infinité de

révolutions autour du pôle, sans jamais Tatteindre, mais

elle n'a pas d'asymptote. La formule (y) donne pour

cette courbe

cot (6 — <p) = m ;

ce qui exprime que le rayon vecteur forme avec la tan-
gente un angle constant, propriété remarquable et qu'il
convient de prendre pour la définition géométrique de *
la courbe [i75].

ai.

.»,*/% l^%v'%.'%v'*'*'«/»'**'%^'V«^ %.^.^'».m^v'v* V»^>«^«*%v^*^%*.*%<»^m/k-*'^^ fc^-*. w^i^V***

CHAPITRE II.

THEORIE DES ENVELOPPES DES LIGNES PLANES.

182. Soit

F(^,/, a)=o, {a)

réquatioQ d'une série de courbes, en nombre infini, qui
me diffèrent que par la valeur du paramètre a [162],, et

/(^)r»/)=o> (*)

l'équation différentielle qui convient à la même série de
courbes, laquelle s'obtient par l'élimination de la cons-
tante a entre l'équation (a) et sa dérivée immédiate : il
peut se faire que les courbes de la série ne se ren-
contrent point, quelque voisines que soient les valeurs
données consécutivement au paramètre a. Ce cas se
présente toutes les fois qu'on ne peut tirer de l'é-
quation (h) qu'une seule valeur réelle pour^', quelles
que soient les valeurs réelles attribuées à j; et à /: puis-
que, si plusieurs des courbes de la série (a) se coupaient
en un point (.2:0,70)9 les valeurs Xo,/o devraient don-
ner à jr 'autant de valeurs différentes qu'il y a de courbes
qui se coupent en ce point, ayant chacune leurs tan-
gentes au point d'intersection diversement inclinées sur
l'axe des abscisses.

Si, par exemple, on pose a:* -f-^* — 'a =0, les courbes
de la série sont des cercles concentriques qui ne peuvent
avoir de points communs, quelque valeur qu'on assi|[hè
à la différence des rayons. L'équation (é) devient
a:-\'jry=o^ et elle ne donne à /, comme cela doit

DES ENVELOPPES DES LIGNES PLANES. 325

être, qu'une seule valeur réelle, pour toutes les valeurs
réelles de a: et de /.

A la vérité, pour a:=o,/=o, la valeur de j*' se
présente sous la forme indéterminée ~; mais en ap-
pliquant la méthode du n^ i4a à la recherche de la
vraie valeur de /% on tombe sur l'équation /'*= — i,
dont les racines sont imaginaires.

Il peut arriver aussi que les lignes comprises dans
la série {a) se coupent toutes en un même point; et ceci
doit avoir lieu lorsque les valeurs des coordonnées de ce
point donnent à /'^ en vertu de l'équation (é), une va-
leur réellement indéterminée. Ainsi l'équation jr — aoc=o
appartient à une série de droites qui se coupent toutes
à l'origine des coordonnées ; et Téquation (A) devenant
dans ce cas^'o: — j=:o^ on trouve que l'indétermina-
tion de j\ pour les valeurs a:=o,jr=o, ne peut être
levée^ -^.^^^^^^

183. Au contraire, si l'équation (é) est telle, qu'elle
donne à y plusieurs valeurs réelles , pour une infinité
de systèmes de valeurs réelles de x et de j^ les courbes
de la série (a) se coupent en un ou plusieurs points.
Pour plus de simplicité nous admettrons que deux
courbes prises dans la série n'ont qu'un seul point d'in-
tersection : cette supposition ne changera rien à l'ana-
lyse et facilitera les raisonnements.

Désignons par a et par a-[^Aa deux valeurs dis-
tinctes du paramètre : les courbes qui correspondent à
ces valeurs particulières ont pour équations

F(^,/, a)=o, (a)

F(a?,/,a-f-Aa) = o; {a,)

les coordonnées du point d'intersection sont les va-
leurs de Xyfy tirées du système de ces deux équations.

326 LIVRE IV. CHAPITRE II.

Ces coordonnées varieront, et le point se déplacera sur
la première courbe quand on prendra A a de plus en
plus petit. Passons à la limite en supposant À a infini-
ment petit : l'équation {ax) deviendra

F(^, j,û)4-^rf« = o;

en sorte que le système des équations (a), («i) sera rem-
placé par

F(ar,jr, a) =o , (a)

^ = ^^ (^)

et les valeurs de Xyjr^ tirées de ce nouveau système , se-
ront les limites dont s'approchent indéfiniment les va-
leurs des mêmes coordonnées, tirées du système (a), («ij,
quand on fait décroître indéfiniment A a.

En d'autres termes, le point {x^y) ainsi déterminé
eist le point d'intersection des deux courbes infiniment
voisines qui ont respectivement pour équations
F(^,7,a) = o,
F (^,7, a + da) = o .
Ce point se déplace quand on change la valeur du pa-
ramètre; il décrit sur le plan une ligne continue quand
on fait varier ce paramètre sans discontinuité; et d'a-
près les premières notions de la géométrie analytique ,
l'isquation de cette ligne

?(^ir) = o, (a)

s'obtient par l'élimination de a entre les équations (a), {a').
La ligne (a) jouit d'une propriété remarquable , celle
de toucher toutes les lignes de la série (a). Effective-
ment l'équation (a) n'est autre chose que l'équation (a)
' oîi l'on a mis pour a sa valeur en fonction de x^y, ti-
rée de l'équation (a'). On peut donc, au lieu de diffé^

DES ENVSIiOPPES DES LIGNES PLAINES. 327

rentier immédiatement l'équation (a) pour déterminer
la tangente à la courbe que cette équation représente ,
différentier Téquation (a) en y regardant la quantité a,
non plus comme un paramètre constant, mais comme
une fonction des variables x, y^ ce qui donne ( à cause
que la variable^ est elle-même une fonction de oc)

ou plus simplement

dF ,dF

puisque l'expression en x^y^ qu'il faut substituer pour
Uy est précisément celle qui satisfait à l'équation {à).

Donc, pour le point commun aux deux courbes (a), (ce),
la dérivée /' a la même valeur, quelle que soit celle des
deux courbes que l'on considère, ce qui revient à dire
que les deux courbes ont en ce point une tangente
commune, ou se touchent mutuellement.

On donne aux courbes de la série (a) le nom d'e/^^e*
loppéeSf el à la courbe (a) le nom àierweloppey parce
qu'elle touche ou enveloppe toutes les courbes (a).

On donne aussi à la courbe enveloppe le nom de ligne
de contacty parce qu'elle est le lieu des points de con-
tact de deux enveloppées infiniment voisines; ou (ce
qui signifie la même chose) parce que le point d'inter-
section de deux enveloppées de plus en plus voisines,
se rapproche indéfiniment de la ligne enveloppe , en
même temps que les tangentes des deux enveloppées au
point d'intersection tendent indéfiniment vers la coïnci-
dence.

184. Pour fixer les idées par un exemple, prenons
l'équation

328 LIVBE IV. CHAPITRE II.

y^ax ~^ ^ W

qui est celle de la parabole que décrirait dans le vide
un point matériel pesant, lancé de l'origine des coor-
données sous l'angle de projection dont la tangente est
Uy les ordonnées y étant mesurées verticalement du bas
en haut ('). Si l'on fait varier sans discontinuité l'angle
de projection et par suite le paramètre à, on obtient
une infinité de paraboles dont l'enveloppe a pour équa-
tion, d'après les formules ci-dessus,

^ = v(f — r) ,ou/?»~2/?7— ^ = o^ (y)

de sorte que cette enveloppe est une autre parabole,
ayant son foyer à l'origine {fi^. 48).

Il peut arriver que l'enveloppe (a) touche les courbes
. comprises dans une portion de la série {a) et ne touche
pas celles des courbes (a) qui appartiennent à une autre
portion de la série. Imaginons que le centre d'un cercle
de rayon variable se meuve sur l'axe des abscisses
(/?^. 49)1 de manière que l'abscisse OP du centre de ce
cercle et son rayon P M soient l'abscisse et l'ordonnée
de l'ellipse AB A'B' qui a pour équation

l'équation commune à la série des cercles dont il s'agit,
est

(j;_a)«H-j«_£.(m'-a*) = o,

a désignant l'abscisse du centre ; et de là on déduit

x" f

(') Traité de Mécanique , par M. Poisson, 1. 1, p. 897.

DE^ ENVBLOPPES DES LIGNES PLANES. 329

pour Téquation de la courbe enveloppe , qui est une
autre ellipse aBa'B'^ concentrique avec la première,
ayant le même axe BB' et l'axe aa'>AA'. Or, pour

toutes les valeurs de a comprises entre . .■ et m ,

les cercles infiniment voisins ne se touchent plus et ne
touchent plus Tel lipse enveloppe; puisque le système des
équations (a), (a) donne

t

m' ' nr

Son résulte pour jr une valeur imaginaire dès que a

m

185. Quand une ligne est donnée par une équation
F(^,7,a,*)=:o,
dans laquelle entrent deux paramètres Uy b, on peut se
proposer d'établir entre a, b une liaison telle, que les
enveloppées engendrées par la variation continue du
paramètre Uy aient pour enveloppe une ligne donnée

Dans ce cas, les dérivées de F et de ^ devant donner
pour y la même valeur, on a, en éliminant^' entre

ces dérivées,

dF do rfF d<^
dx dy djr dx '

après quoi, l'élimination de x^y entre les trois équa-
tions que l'on vient d'écrire , conduit à l'équation cher-
chée entre les paramètres Uy b.
Soit, par «xemple,

/*-|-aaa;-+-i = o
l'équation d'une parabole dont le grand axe coïncide
avec celui des Xy et

330 LIVRB IV. CHAPITRE II.

l'équation d'un cercle qui doit devenir la ligne de con-
tact de toutes les paraboles représentées par la première
équation , quand on y fera varier Uy après avoir établi
une liaison convenable entre a et 6 : on a , en diffé-
rentiant ces deux équations ,

7/ + a = o, ;r+/7'=p,

d'où .r=: a. Cette valeur de Xy substituée dans l'équa-
tion de la parabole et danâ celle du cercle, donne
y* + 2^z* H-i=o, /*-|-a* — r*=:o ;

et par suite

* = -(«> + /-) 5

en sorte que l'équation des enveloppées, où le paramètre
a reste arbitraire, prend la forme

/* -f- a<ur— ( a" + r* ) = o •

186. Il peut se faire que l'enveloppe soit une des en-
veloppées, ou que l'équation de l'enveloppe se tire de
l'équation générale des enveloppées, par l'attribution
d'une valeur déterminée au paramètre variable. C'est ce
qui arrive lorsque la valeur de a en fonction de x^jj
tirée de l'équation {a\ se réduit, en vertu de l'équation
(a) propre à l'enveloppe, à une valeur constante, qui
pourrait être zéro ou l'infini. Prenons, par exemple,
pour l'équation des enveloppées

(a?* 4-/* — ^) (^ — iax)-\-{f' — r»)a» = o :
nous tirerons de l'équation (a')

et cette valeur de a, substituée dans la proposée, donne
pour l'équation de l'enveloppe

DES ENVELOPPES DES UGICES PLANES. 331

Or celle-ci rend nulle la valeur de a four^iie par l'équa-
tion précédente; et en effet, il est clair <i[ue l'équation
de l'enveloppe se tire, dans ce cas particulier, de l'équa-
tion générale des enveloppées, par l'attribution au pa-
ramètre a de la valeur particulière zéro. Mais, en gé-
néral, les variables Xyy ne disparaissent point de la
valeur de ^ï tirée de l'équation {d\ et par suite l'enve-
loppe n'appartient pas à la série des enveloppées.

Ceci rend raison, au moins en ce qui concerne les
équations différentielles du premier ordre, de l'exis-
tence de ces intégrales ou solutions singulières', dont il
a été question au n^ 164. Il est clair que l'équation {ci)
est l'intégrale générale de l'équation {b)\ que la série
des enveloppées correspond à la série des intégrales
particulières; et que l'intégrale singulière de l'équation
(À) est l'équation (a) de Tenveloppe, qui, en général, ne
coïncide pas avec l'une des enveloppées, bien que son
équation satisfasse aussi à l'équation (é), puisqu'on en
tire pour y une valeur en Xyj, identique à celle qui se
tire de l'équation (a), après qu'on a chassé de celle-ci le
paramètre a.

187. Les deux enveloppées qu'on obtient en attri-
buant au paramètre a les valeurs distinctes a, a-^-S.a,
ont en général un point d'intersection [i83]; et pour
les valeurs de x, y qui appartiennent à un point d'in-
tersection , la valeur de a en fonction de Xj^j tirée de
l'équation (a), est au moins double, puisqii'il doit y
avoir une valeur de a correspondant à chacune des en-
veloppées qui se coupent en ce point. Mais sur la Ugne
même de contact il n'y a plus d'intersection; d'oii il
faut conclure que plusieurs des valeurs de a en fonc-
tion de x^y, tirées de l'équation (a), deviennent égales

332 LIVRE IV. CHAPITRE II.

pour les valeurs de x^j qui satisfont à Téquation de la
ligne de contact. Ainsi l'équation (c) donne

^^P^^yp' — '^PÏ — ^ ^

X

et les deux valeurs dea deviennent égales pour les points
situés sur la ligne enveloppe (y). Or, on sait, par la
théorie des équations algébriques, que l'équation {a)
exprime précisément la condition pour que Téquation
(a), censée algébrique et rationnelle par rapport à l'in-
connue a^ acquière des racines égales.

Si l'équation {a) a été résolue par rapport à a^ et
mise sous la forme

«~f(^»r) = o» (a)

il faut concevoir que l'équation (a) est multiple, à cause
des radicaux qui entrent dans sa composition et des
doubles signes qu'ils entraînent avec eux, de façon qu'elle
équivaut à plusieurs équations distinctes

a — f.(^,7)=:o, a— f,(a;,7) = o, etc. (a,)
Ainsi l'équation (c) donne par la résolution ces deux
équations distinctes

.pM/p'—'^Pï—^,

w

X

L'équation (ca) subsiste pour tous les points de la para-
bole enveloppée situés sur la portion m O de la courbe
{Jig. 48); et l'équation (ci) subsiste à son tour pour
tous les points situés sur la portion mn. En effet, le
binôme ax — /?, dont le premier terme représente For-
donnée variable de la tangente O/, et dont le second
terme est une constante égale au paramètre de la para-
bole enveloppe, est évidemment négatif quand x s'éva-

DES ENVELOPPES D^ LIGNES PLANES. 333

nouit; il diminue numériquement de valeur pour des
valeurs croissantes de x^ jusqu'à ce qu'il s'annule quand
X devient l'abscisse du point de contact de l'enveloppe
et de l'enveloppée; après quoi, la valeur de x continuant
à croître, il prend nécessairement une valeur négative.
188. Lorsque l'équation (a) a été mise sous la forme
(a), l'équation (a) se réduit à i=o; résultat absurde,
qui ne peut donner l'équation de la ligne enveloppe.
Ceci provient de ce qu'en effet, comme on vient de le
voir, les portions de courbes représentées par l'une des
équations (a^) n'ont plus de points d'intersection. Mais il
faut remarquer que, si l'on substitue pour a sa valeur
f(x^) dans l'équation (a), celle-ci deviendra identique,
ainsi que ses dérivées par rapport à x et à /, en sorte
qu'on aura identiquement ^

tùc da dx ^ dy da* djr '

d'où

rff __^ rfF df__dF^dF
dx dx ' da^ dy dy ' da

Or, la relation entre Xyj^ qui est l'équation de la ligne

enveloppe, fait évanouir -7-, quand l'équation {a) a été

délivrée de radicaux : donc elle doit rendre infinis

d( df . ^ . , „,

-7- , -j- / ce qui fournit un moyen de trouver 1 équa-
tion de l'enveloppe, même lorsque l'équation des enve-
loppées se trouve résolue par rapport à a. Ainsi , quand
on prend pour f la valeur tirée deJ'équation (c),il vient

dî Zfzp*±2pjr—p{/^p*—!Àpjr — x*

^ x^y/'p'—ikpy'^a^ ^

di^ P

dj '~x|/^j^^2/?7— ^ '

334 LIVRE IV. — (Chapitre ii.

et l'on retrouve l'équation de l'enveloppe (y) ps^r la

condition que ces valeurs deviennent infinies.

Le raisonnement qui conduit à cette conséquence
peut encore être présenté sous la forme suivante.

Lorsque l'on différentie successivement l'équation (a)
en y considérant la quantité a, d'abord comme une
constante, puis comme une fonction des variables Xyj-y
on a [i83]

dF ,dF

d'où

dF dF dF (da da\ _

Si"*" ^ rf^ ■*■ 3^ V5ï"*"^^; — ""'

_^ dF
^~ dx' dy'
dF dF dF rda ,da\ dF .

^~ H*' dy da\dv'^^ drJ

et ces deux valeurs de / coïncideront, si l'on détermine
a en fonction de x^y, de manière à vérifier Tune ou
l'autre des deux équations

dF dF

Ta^'':Ty = '^ •

Quand la fonction F est une fonction algébrique, dé-
livrée de radicaux et de dénominations, la seconde de
ces équations ne peut pas avoir de solutions ; mais en
général, les diverses transformations auxquelles on sou-
met l'équation (a), en faisant apparaître ou disparaître
des dénominateurs ou des radicaux, ont pour effet d'in-
troduire dans l'une de ces deux dernières équations les
solutions qui disparaissent de l'autre. D'ailleurs, lorsque

. , dF
la dérivée ^- devient infinie , il faut qu'en général la

DES ElTYELOPPES DES LIGNES PLANES. 335

dérivée ^ devienne aussi infinie, sans quoi la dérivée^'

serait constamment nulle.

189. Rien ne s'oppose à ce que les enveloppées soient
des lignes droites, ou à ce que Téquation (a) ait une
forme linéaire par rapport aux variables x^ : dans ce
cas, le système des enveloppées se confond manifeste-
ment avec le système des tangentes de la courbe enve-
loppe.

L'équation {a) étant linéaire en x^jr, aura la forme

mais on peut changer de constante arbitraire et poser

^a=:c, ce qui donne à l'équation précédente la forme

plus simple

yzzz.cx + ^c \

1 équation (è) devient dans ce cas

On peut prendre pour système d'enveloppées le sys-
tème des droites normales à une courbe donnée : mais
alors les relations de la courbe enveloppe avec la courbe
primitive donnent naissance à une théorie fort impor^
tante, qui mérite une étude spéciale, et dont Texposi-
tioQ est l'objet du chapitre suivant.

4

<% %<»li>»»^»» y» »*v» «>«»«»»*»»* ^«»% v»««*«i««««'

CHAPITRE m.

THEORIE DES DÉVELOPPÉES ET DES RATOÏTS DE COUR-
BURE DES COURBES PLANES. — * NOTIONS SUR LES

CAUSTIQUES. THEORIE DES CONTACTS DES DIVERS

ORDRES ENTRE LES LIGNES PLANES.

§ I*'. Théorie des développées et des rayons de courbure des \
courbes planes.

190. Désignons, comme dans l'avant-dernier chapi-
tre, par Ç,7i les coordonnées courantes de la normale à
la courbe

/(x,r) = o (/)

au point (^,/), les coordonnées Ç,yj étant toujours pa-
rallèles aux coordonnées Xyy et comptées de la même
origine : l'équation de la normale est

\—x + {r\—y)fz=:iO. (l)

Si l'on y substituait les valeurs de^,y en fonction de
x, tirées de l'équation ( /), elle prendrait la forme

F(Ç,,,,^)=o, . (a)

en restant linéaire par rapport aux variables Ç , » ; et
l'on pourrait y considérer x comme le paramètre va-
riable dont la valeur détermine chacune des droites
normales, dont nous voulons trouver Tenveloppe : l'é-
quation de cette enveloppe

<p(S,ti)=o (<p)

résulterait de l'élimination de x entre l'équation (a) et
sa dérivée par rapport à x, ;

^-o
dx *^

DES DiVJBLOPP£ES ET DES RA.TONS BE COURBUKE. 337

Mais, pour opérer cette substitution, il faudrait parti-
culariser la fonction /; et comme pour le moment il
s'agit au contraire d'exprimer des résultats indépen-
dants de la forme de cette fonction , nous opérerons
immédiatement sur lequation (i), et nous la différen-
lierons par rapport au paramètre Xj en y considérant
/,/' comme des fonctions implicites de Xj en vertu de
1 équation {f).
Ce calcul donne

-(i+/»)-h(.i-r)j" = o, (3)

d'où Ton tire

J — / „ ,Ç — X — iy

J y"

Dans ces^ formules, $,„ désignent les coordonnées
du point d'intersection de la normale au point {x,y)
avec une norpiale infiniment voisine [i83] , ou celles du
point où l/normale au point {x,f) touche la courbe
enveloppe (9). Si donc ou appelle p la distance du point
{x,y) au point fÇ, ») ainsi défini, p sera une fonction de
la variable indépendante x, donnée par la formule

p — y>.

ou

^=^'-7r^-^{£) ■■y"' (P)

Le double signe ± affecte la valeur de p comme celles
de toutes les longueurs qui ne sont pas mesurées paral-
lèlement aux axes des coordonnées. Si l'on convient de
prendre positivement le radical

~ dx

T. I.

22

338 LIVRB IV, — CHAPITRE III.

OU de faire croître l'arc s avec l'abscisse x^ p sera de
même signe que y\ et en tous cas changera de signe
avec y".

191. Puisque la normale à la courbe (/) au point
(.r,jr) touche son enveloppe (ç) au point (Ç,tq), on a, en
désignant par ^ l'angle que fait cette normale avec Taxe
des X, du côté des abscisses positives ,

D'autre part l'équation

donne, quand on la différentie par rapport à la variable
indépendante or,

OU plus simplement, à cause de l'équation (i),

Si Ton remplace Ç — x^in — jr par leurs valeurs p cos X,
psin^, il viendra

ax ax ax ^ ^

Élevons au carré les deux membres des équations (4) et
(5), et faisons la somme : nous aurons enfin

dx" dx"

Si Ton désigne par g la longueur de l'arc de la courbe
(<p), compris entre un point fixe pris sur la courbe et le
point mobile (Ç, y)), on a [174]

dx dx

et par suite

DES D^VELOPPJ&ES ET DES RAYONS DE COURBURE. 339

dx dx

Donc, si Ton considère deux systèmes de valeurs .cor-
respondantes

et si Ton suppose que dans l'intervalle x^ — x^ les dé-

fl?p dis
rivées -j- , t- conservent lé même signe, sans devenir

infinies , les valeurs numériques des différences
p^ — 'Po»^ï — ^o sont égales entre elles : d'ailleurs ces
différences sont de mêmes signes ou de signes con-
traires, selon que les grandeurs p, <y sont simultané-
ment croissantes ou décroissantes, ou l'une croissante
et l'autre décroissante.

192. Soit mirix m^m^ i^fig. 5o) la courbe don-
née à laquelle la droite mobile sur le plan xy doit res-
ter contamment normale, et p. p.x p.» p.3 le lieu des

points d'intersection de deux normales infiniment voi-
sines, ou la courbe qui est constamment touchée par la
droite mobile : il résulte de ce qui vient d'être démon-
tré que la première courbe pourrait être décrite d'un
mouvement continu par l'extrémité d'un fil tendu qui
aurait été enroulé sur la seconde courbe et que l'on
déroulerait ensuite; car de cette manière la différence
des longueurs /ti p. , Wi p.i serait constamment égale à
l'arc p. (X.Ï ; et la portion rectiligne du fil dont une extré-
mité décrirait la courbe /TiWiWa. . . ., toucherait cons-
tamment par l'autre extrémité la courbe [x.p.ip.2. . . .

C'est pour cela que Huygens , l'auteur de cette
théorie, a nommé la courbe (ç) la dés^eloppée de la
courbe (/*), et celle-ci la développante de la courbe
(<p). Une courbe plane a toujours une développée

11.

340 LIVRB IV. — CHAPITRE llh

comprise dans son plan , et n'en peut avoir qu'une ;
mais elle a une infinité de développantes , puisque,
dans le déroulement du fil enroulé sur la dévelop-
pée, chaque point de la portion rectiligne du fil, que
Ion peut concevoir prolongée indéfiniment, décrit une
courbe particulière.

La description des courbes planes par leurs dévelop-
pées a une grande analogie avec la description du cer-
cle. Dans le cercle dont Téquation est

on trouve

de sorte que la développée se réduit à un point qui est
le centre du cercle. Réciproquement, dans la descrip-
tion d'une courbe quelconque, à l'aide de sa développée,
chaque point de la développée fait successivement l'of-
fice de centre; et le rayon , au lieu d'être constant,
change d'un point à l'autre de la courbe décrite. Cette
considération va nous conduire à envisager sous un
autre point de vue les liaisons des courbes avec leurs
développées.

193. Pour' nous former une notion précise de la cour-
bure d'une ligne plane en chacun de ses points, imagi-
nons qu'à partir du point m [fig. 5i) on ait mesuré un
arc mmx-=>b.s^ puis mené les tangentes mt^ rrixt et les
normales mriymxn aux points m^mx. Soit A t l'angle
compris entre ces normales, ou l'angle extérieur formé
par les deux tangentes correspondantes : suivant que la
ligne sera plus ou moins courbe ou s'écartera plus ou
moins de la tangente m t dans le voisinage du point /w,i

le rapport

At ., l

DIS DJÂVELOPPÉES ET DES RAYONS DE COURBUKE. 341

prendra des valeurs plus ou moins grandes; en suppo-
sant toutefois que Tare n'éprouve pas de serpentements,
mais tourne sa convexité dans le même sens dans toute
sa longueur, ce qu'on peut obtenir, pour toute courbe
continue, en prenant l'arc A^ sufBsamment petit. Si la
ligne était une circonférence de cercle, dont la cour-
bure est évidemment la même en tous les points, le
rapport (g) serait indépendant, tant de la longueur de
lare A s que de la position du point m sur la courbe, et

il aurait pour valeur -, r désignant le rayon du cercle.

En conséquence, on peut prendre le rappport - pour

la mesure de la courbure du cercle du rayon r.

Pour la courbe quelconque mmi , le rapport (g) varie,
non-seulement avec la position du point m, mais encore
avec la longueur de l'arc Aj*. Si cependant les quantités
Aj,At deviennent l'une et l'autre de plus en plus peti-
tes, le rapport (g) convergera, sauf les cas de solution
de continuité, vers une limite déterminée et unique

et par analogie [3o,38] on devra considérer cette limite
comme mesurant la courbure de la ligne au point m^
courbure qui deviendra ainsi une grandeur mathémati-
quement définie, pour chaque courbe et pour chaque
point de cette courbe.

Or, quand l'arc mm^ devient infiniment petit, le
point n est le point (^,7)) déterminé plus haut, et à
cause que les normales mn, min ne diffèrent plus que
d'une quantité infiniment petite, on a/aux infiniment
petits près du second ordre, é/j==:prfT, ou, d'après la

342 LIVRE IV. CHAPITRE III.

formule (p),

rfT_I f

L'angle infiniment petit ^t se nomme Vangle de con-
tingence.

D'ailleurs, sans qu'il soit besoin de recourir à la for-
mule (p), ni aux calculs qui ont servi à l'établir, on a
directement

y

rfr==:±:flf . arc tangy =±, / dx

rfjr = ±:V/i-f./\ dx ^
d'où

h . y

-r = ±:

ds (14-/')!-

Le rapport - est donc la mesure de la courbure d'une

ligne au point (^,/); p est le rayon de courbure ; le
point (Ç, 7)) est le centre de courbure ou le centre du
cercle décrit du rayon p, qui aurait au point (x^y) la
même courbure que la ligne donnée : la développée est
le lieu géométrique de tous les centres de courbure de
la développante.

194. La valeur de la courbure, toujours, réciproque
à celle du rayon de courbure, varie en chaque point de
la courbe , de part et d'autre du point {x^y). Générale-
ment elle va en augmentant dans un sens et en dimi-
nuant dans l'autre. Donc le cercle décrit du point (Ç, tq)
comme centre, avec le rayon p, doit être intérieur à la
courbe du côté oii la courbure va en diminuant , et ex-
térieur à la courbe du côté oîi la courbure va en aug-
mentant. Donc ce cercle coupe la courbe au point (jt,^^
en même temps qu'il la touche, en ce sens que la tan-

DES DiVELOPP^ES ET DES RATONS DE COURBURE. 343

gente à la courbe est aussi taugente au cercle dont le
centre (Ç, yi) se trouve sur la normale.

Au contraire , et par la même raison , tout cercle tan-
gent à la courbe au même point j mais décrit d'un rayon
plus grand ou plus petit que p, est extérieur à la courbe
des deux côtés , ou intérieur des deux côtés. Il est évi-
dent d'ailleurs, par la construction qui nous a conduit à
la définition géométrique de la courbure, que le cercle
dont la courbure est la même que celle de la courbe au
point (Xfjr), s'écarte moins de la courbe , dans le voisi-
nage immédiat de ce point , que tout autre cercle tan-
gent décrit d'un rayon plus grand ou plus petit. En
conséquence, Huygens a donné au cercle tangent qui a
pour centre le centre de courbure correspondant au
point de contact, le nom de cercle oscutateur : il se
trouve à la limite commune des cercles qui touchent la
courbe intérieurement des deux côtés, et de ceux qui
la touchent extérieurement des deux côtés.

Il y a pourtant des cas où le cercle osculateur cesse
de couper la courbe : c'est lorsque le rayon de cour»
bure passe au point (^,jr) par une valeur maximum ou
minimum. Alors, toujours en vertu du même raisonne-
ment, le cercle osculateur doit toucber la courbe exté-
rieurement des deux côtés, si c'est le cas du maximum,
et intérieurement des deux côtés, pour le cas du mini-
mum. Dans une ellipse, par exemple, la symétrie de la
figure suffît pour montrer que le rayon de courbure est
un minimum aux extrémités du grand axe et un maxi--
mum aux extrémités . du petit axe. En général, dans
une courbe fermée, sans points de rebroussement ou
d'inflexion, le rayon de courbure a au moins un maxi^

344 LIVRE IV. CHAPITRE III.

rnum et un minimum, et il a nécessairement autant de
valeurs maxima que de valeurs minimu.

195. Tous les résultats énoncés dans ce dernier nu-
méro ont été déduits de considérations purement
géométriques : on les confirmerait au besoin par l'ana-
lyse. Pour la plus grande simplicité des calculs , dési-
gnons par u la fonction

(Ç-^)"H-(.,-7)%
ou le carré de la distance du point (Ç,Yi)au point (x,/)
pris sur la courbe : le premier point restant fixe, u sera
une fonction de la seule variable indépendante x. Si
donc nous voulons que la distance du point (^ , t\) au
point {Xyy) soit un maximum ou un minimum entre
toutes les droites que l'on peut mener du premier point
aux points voisins du second sur la courbe , il faut poser

— ^=Ç — ^+(^— 7)y-4-o; (i)

c'est-à-dire que le point ($,n) doit se trouver sur la
normale à la courbe au point {pc^y).

U y a maximum ou minimum^ suivant que

3^=1 + 7 —(^—7)7 < ou >o .

La première inégalité ne saurait être satisfaite lorsque
les facteurs yi — j^y" sont de signes contraires , ou
(comme il est facile de s'en assurer) lorsque la courbe et
le cercle tangent tournent leur convexité en sens con-
traires. Admettons que ces facteurs soient de même
signe, ou que la courbe et le cercle tangent tournent
leur convexité du même côté de la tangente : suivant
que la première ou la seconde inégalité est satisfaite, le
cercle tangent est, au voisinage du point [pc^jr)^ exté-
rieur ou intérieur à la courbe des deux côtés. Mais il

DES DlSVELOPPiES ET DES RATOIfS DE COURBURE. 345

n'existe plus ni maximurh ni minimum si l'on a, outre
l'équation (i),

-ê=-(i +/-)+(i-r)/'=o, (3)

c'est-à-dire (d'après l'identité des équations (i) et (3)
avec celles que nous avons désignées plus haut par les
mêmes réclames), si le point (Ç,yi) est le centre du cercle
osculateur. Ce cercle coupe donc la courbe en même
temps qu'il la touche. Il est extérieur ou intérieur à la
courbe du côté où les x vont en croissant, suivant qu'on a

55 = 3//' — (ti— /)/" < ou > o .

Enfiu, le cercle osculateur redevient extérieur ou inté-
rieur des deux côtés , si l'on a

g=3xr"-(i-r)/"=o,

ou, en substituant la valeur de ti — y^ tirée de l'équa-
tion (3>

3//"— (i+7")/"=o. (6)

Mais, en différentiant l'équation (p), on trouve

J=±:^:pi'(w-(.H-y)r"0;

et par conséquent l'équation (6) exprime la condition
pour que le rayon de courbure passe par une valeur
maximum ou minimum.

196. Lorsqu'on veut s'affranchir de la condition de
regarder x comme la variable indépendante , l'expres-
sion du rayon de courbure prend la forme symétrique

P dxdy—dyd'x dxdy—dyd^x ^^'^

Or, l'équation ds^^zdx" -^-dj donne par la différentia-
tion

346 LIVRK IV. CHAPITBE llf.

^,^^d:cd':v+djrdy^ (7)

d'où
, (dxd'x+drdyy_(d'j!'+d'y){d^+df) — jdxd'x — dyd'x]

^..^^^^l^Éfl, (8)

et par suite

as

o—± ^ fpO

L'équation (8) peut encore être mise sous la forme
{dxâ^y — dyd'xy={d^ocH-dy*)ds^ — (da^+dx^)d^s^ ,
qui devient y en vertu de Téquation (7),

[dxd^y — dyd^xy={dsc^x — dxd^sf'\'{dsd^y — dyd^s)*

H (^- S)- -("•£)■!.

et d'où l'oo tire

ds

P=^

N/c-'-sy-c-ST

(P3)

D'ailleurs on a [igS], ds=ifdr,dr désignant l'angle
de deux tangentes infiniment voisines, ou l'angle de
contingence : donc

* = :.V/(..^)V(..0

«

Les formules (pa), (pj), (r) trouvent leur application dans
la mécanique.

On a aussi, dans le système des coordonnées polaires
[179], en prenant l'angle f pour variable indépendante:

DES DEVELOPPEES ET DES RAYONS DE COURBURE. 347

dx^=' drcostf — rsiiKfdf ,

rfjzzirfrsinç — rcosf ^<p ,

d'x= d^r CCS ç — 2 sîn <p rfrcftp — ^ rcos cpcftp» ,

d^y-zzz d^r sin f + a cosf c?rrf<p — r sin frfç* .
Si l'on substitue ces valeurs dans l'expression du rayon
dç courbure, il vient

197. Exemples. i"Soit donnée l'équation de l'ellipse
on trouve

E-^ eZ± ,-r3 *'-^' (A*^4-ay)l

et pour l'équation de la développée en Ç , yi ,

■ C-éi)^-(^)'=-;

Délivrée de radicaux, cette équation devient

[ ' {ce—bj (a»— i^J """^ (« — *7*
Cette développée {Jig, Sa) a quatre points de rebrous-

sement qui correspondent aux extrémités des axes de

l'ellipse développante [194]*

Le même calcul donne ta développée de l'hyperbole ,

par le changement ordinaire de h en b\/ZIî.
a*^Pour la parabole 'yz=LipXj on a

et l'équation de la développée devient
1)'== — • .i i-i- •

37 /»

348 LJVlftE IV. CHAPITRE III.

Cette développée {fig, 53) est une courbe parabo-
lique , c'est-à-dire , une courbe du genre dé celles dont
l'équation peut être ramenée au type

m ^\.n étant des nombres entiers positifs. On l'appelle
la parabole de Neil^ du nom du géomètre qui l'a étu-
diée le premier, ou l'un des premiers, en signalant la
propriété, alors très-remarquable, dont jouit cette courbe,
d'être rectifiable, en ce sens que l'arc s peut être ex-
primé par une fonction algébrique de l'abscisse x. C'est
un point sur lequel nous reviendrons en traitant de^ la
rectification des courbes, ou de la détermination de s en
fonction de x.

198. 3° Reprenons l'équation de la cycloïde [176]

j; = R arc cos — ^-^ dt ly^nKjr—^* ,

nous avons trouvé [177] :

d'où

Il résulte du rapprochement de cette formule avec l'é-
quation (A') du n^ cité, que le rayon de courbure de
la cycloïde est double de la normale.

Ceci nous conduit à démontrer une propriété bien
remarquable de la cycloïde : celle d'avoir pour déve-
loppée une autre cycloïde de mêmes dimensions, placée
au-dessous de la cycloïde développante , ainsi que l'in-
dique Isijig, 54.

Menons en effet une droite indéfinie ÇÇ' parallèle à
XX', et à une distance de celle-ci égale au diamètre du

]>BS DEVELOPPliES ET DES RAYOJ!(S DE COURBURE. 349

cercle générateur de la cycloïde développante Omq,
Ce cercle étant représenté dans la position nmn!^ cons-
truisons le cercle symétrique /zp : le point d'inter-f
section (x. de ce cercle avec la droite mn prolongée est,
d'après ce qu'on vient de démontrer, le centre de cour-
bure de la cycloïde développante. La distance On est
égale à l'arc mn^ et la distance O^ est égale à la demi*
circonférence du cercle générateur. Donc l'arc w/i', ou
l'arc p qui lui est égal, a la même longueur que la droite
sn^ ou que la parallèle m. Donc, si le cercle /ip roule
sur la droite IX^ le point de la circonférence qui viendra
toucher cette droite fixe au point o décrira la déve-
loppée de la cycloïde engendrée par le roulement du
cercle nmn! sur la droite X'X.

Cette construction montre que le rayon de courbure
de la cycloïde développante est nul au point de rebrous<p
sèment O^ et qu'au sommet il est égal à oq^ ou au double
du diamètre du cercle générateur. Mais oq est aussi égal
au demi-arceau de la cycloïde développée, laquelle est
superposable à sa développante : donc la longueur d'un
arceau de cycloïde vaut quatre fois le diamètre du
cercle générateur.

Les propriétés de la cycloïde, qui font l'objet de ce
n®, ont été découvertes par Huygens, à propos de ses
recherches sur l'application du pendule aux horloges :
elles ont conduit cet esprit éminent, d'une part, à la
théorie géométrique des développées et des rayons de
courbure; de l'autre, à des théorèmes d'une haute
importance en mécanique rationnelle; et l'histoire des
sciences n'offre pas d'exemple de connexions plus cu-
rieuses.

199. 4^ Prenons, pour faire une dernière application^

350 LIVRE IV. CHAPITRE III.

l'équation de la spirale logarithmique [i8i],r = e*? : la
formule (p^) donnera , pour la valeur numérique du rayon
de courbure , p = r l/i+m». Mais nous savons que dans
cette courbe la normale forme avec le rayon vecteur
un angle constant a ^ qui a pour tangente — m : donc
r == p cos a ; en sorte que le centre de courbure est
l'intersection de la normale avec la perpendiculaire
élevée de l'origine sur le rayon vecteur.

Donc la tangente de la développée, qui n'est autre
que la normale à la développante , fait un angle cons-
tant avec le rayon vecteur de cette même développée, et
un angle égal à celui qui est formé par la tangente et
par le rayon vecteur de la spirale développante. Donc
la développée est la même courbe que la développante,
rapportée au même pôle; de telle sorte que la seconde^
en décrivant autour du pôle commun un arc de rotation
d'une amplitude convenable, viendrait se superposer à la
première.

* %i. Notions sur les caustiques.

200. La théorie des courbes enveloppes, restreinte au
cas oïl les enveloppées sont des lignes droites, offre
encore une application curieuse, et qui se lie trop natu-
rellement à la théorie des développées pour que nous
la passions tout à fait sous silence. On peut supposer
effectivement que les droites enveloppées , au lieu de
rester normales à une courbe donnée MN (fig, 55),
sont assujetties à la condition de faire avec les normales
mn un angle rmn tel que l'on ait

sin rmn = k sin Ymn ,
k étant une constante donnée, et F un point donné
de position dans le plan de la courbe. Les principes

iroTioirs stJA lss caustiques. 351

de l'optique nous apprennent que, si MN est la trace
d'une surface cylindrique qui sépare deux milieux iné-
galement réfringents 9 et dont les génératrices soient
perpendiculaires au plan de la courbe, les rayons éma-
nés du foyer lumineux F et dirigés suivant Fm, se ré-
fracteront suivant mr, A* désignant l'indice de réfraction
qui se rapporte au passage d'un milieu dans l'autre.
L enveloppe de toutes les droites mr, lorsqu'elle se
trouvera sur le trajet de la lumière, pourra se dessiner
sur le plan de la courbe comme une trace lumineuse, à
cause que les points situés près de l'enveloppe, où con-
vergent des rayons sensiblement parallèles, recevront
plus de lumière que les autres points du plan. On donne
à cette enveloppe le nom de caustique par réfraction.
Si la constante k devenait nulle, la caustique coïncide-
rait avec la développée; si l'on prenait kz=z — i, la ré-
fraction se changerait en réflexion , et la courbe enve-
loppe prendrait le nom de caustique par réflexion. Les
caustiques changent, pour la même courbe MN et pour
la même valeur de la constante ^, avec la position du
point F; quand ce point s'éloigne à l'infini, ou que les
rayons incidents deviennent parallèles, on obtient des
courbes auxquelles on peut donner le nom de caustiques
principales.

Soient a, p les coordonnées du point F parallèlement
aux axes des x et des^; Ç,yi celles d'un point quelcon-
que du rayon réfracté en m; x^y celles du point d'in-
cidence m pris sur la courbe réfringente

/(x,r) = o; ^ (/)

^)X', les angles que le rayon incident et le rayon réfracté
font avec les x positifs : les cosinus des angles que ces
niêmes rayons font avec la tangente à la courbe auront

352 LIVRE JV. CHAPITRE ÏII.

pour valeurs

cos A --. 4- sin X -r- , cos X -j- -f- siiiX' -y- 5
as as as as

et ils seront aussi respectivemeut égaux à db siu Fmn\

± sin rmriy en sorte qu'on aura

cos y/dx -I- sin X'flfr =k( cos Xfltr + sin Idy) . (9)

Posons, pour abréger,

p=l/(^_«)'+Cr_p)' , p'-=V/(5-x)*-»-(7i-7)* :

il viendra

- jc-^tt . . r — 6 - Ç — X . ., 71 — -r.

cosX=^ , sin A=i=:'^^ — !-; cosX == — 7-, sinX'=-î-7^ ♦

P P P p

d'où

p • p ^ '

Telle est en Ç, yi l'équation du rayon réfracté, ou de la
droite enveloppée qui correspond au point (XjT*) sur la
courbe réfringente (^f). Si l'on différentie cette équation
par rapport à a:, en y considérant /,^' comme des fonc-
tions implicites de x, et si l'on élimine Xyjr^y\y^ entre
l'équation (10) et sa dérivée, l'équation {J^ et ses déri-
vées des deux premiers ordres, on aura en Ç,yi l'équa-
tion de l'enveloppe ou de la caustique.

201. Quand on considère dans l'équation (10) les
coordonnées ^,y) comme des constantes données, elle
prend la forme

dx ~'''
et elle exprime que la fonction p'-["^P acquiert une va-
leur maximum ou minimum; de sorte que, si l'on mène
à un point quelconque de la courbe, autre que m, les
droites Y m^^rm^y on aura constamment

rm, -f- k . Fw, > ou < r/n-h ^ . F/w ;

NOTIONS SUR LES CAUSTIQUES. 353

mais évidemment le premier membre de cette inégalité
ne comporte pas de maximum, et par conséquent l'é-
quation (lo) établit l'existence d'un minimum [ga].

Lorsque l'on considère au contraire ^^y) comme les
coordonnées courantes de l'enveloppe à laquelle chaque
droite enveloppée est tangente, on a, par la définition
de l'angle \\

, dri d\ . ., rf?) -, , .

ung X =;jr, ou y- sm a — -j-i cos X =o. (ii)

Déplus, si l'on difFérentie les équations

par rapport à la variable indépendante .r, et qu'on subs-
titue dans le résultat pour x — a, 7 — p, Ç — ar, yi—;;^ leurs
valeurs pcosX, psinX., p'cosV, p'sinX.', il vient

^ =z:.cos X -\-y' sin X ,

doii, en vertu de l'équation (9),

do' j dû di yf , dfi ' ^, / X

-/--h* -r = -7-cosA'^- ysmX' . (m)

dx dx dx dx ^ '

Élevons au carré les deux membres des équations (11),
(ra), pour eu prendre ensuite la somme, et désignons
par^ la différentielle de l'arc de la caustique, nous au-
rons la formule

dx^ \d.x dx) dx \dx dx) '

analogue à celle qui a été trouvée [191] pour les déve-
loppées, et de laquelle nous tirerons

<^.-<T.=dz[pV— p'„+*(p. — Pc)] :
do, p^, p'^; <r,, pi? p'x désignant deux systèmes de valeurs
des grandeurs <r, p, p', pour des points qui se corres-
T. I. a3

354 LIVRE IV. CHAPITRE III.

pondent sur la courbe réfringente et sur sa caustique.

202. Afin de donner une application de ces formules,
admettons que la ligne réfringente soit une droite que
nous prendrons pour axe des x : le point rayonnant
sera placé sur l'axe des j\ et par ce moyen , l'équation
(lo) deviendra

d'où

— -• >/p'+(i— *>'=±*vï . (i3)

L'équation en Ç,» doit résulter de l'élimination de x

entre cette dernière équation et sa dérivée par rapport

à x^ qui est

Çp' + (i-*')^=o> (i4)

et d'où l'on tire

(ï-^)p» = _ar[p'+(i_*')^-]. (i5)

La comparaison des équations (i3) et (i5) donne

[p'+(i-*')x']î=:pip'»,,
ou

P'+{i-k')a:'=ikp\)i; (i6)

et si maintenant on élimine x entre les équations (i4) 9
(16), il vient

pl+(ï/7=F.Ç)î=(^)î,
équation de la développée d'une section conique qui a
son centre à l'origine et son foyer au point rayonnant.

§ 3. Théorie des contacts des divers ordres entre les lignes
planes.

203. Soient

les équations de deux courbes ayant un point commun
(xj^) par suite de l'équation de condition

fx=i^x , (m)

DES COmTkdts DES DIVERS ORDRES. 355

qui subsiste pour la valeur particulière x. On a [99]
/(ar+A;F)— cp(^-^Aa?)===[/'(^^-^Aa:)— cpt'(^+eAa?)].A^ , (5)
ty 0 désignant des nombres compris entre zéro et Tunité;
et si les fonctions y', 9 n'éprouvent pas de solutiotis de
continuité dans l'intervalle âe a: k .r-j-A.r , si de plus ^.^'
désigne une quantité très-petite du premier ordre [45] ,
le premier membre de l'équation précédente, ou la dif-
férence mi\L^ (fig. 56) des ordonnées p^^r,ptm^j est
aussi en général une quantité très -petite du premier
ordre.

Mais dans le cas où les deux courbes (/), (ç) se tou-
cheraient en nij c'est-à-dire, auraient en m une tan-
gente commune par suite de l'équation de condition

fxr=^x^ {rn!)

il viendrait

f{x+^x}—<^X'\-^)=[f"{a:-^tr^x)-^"{x■^^,^^)]. ±- : (5')

les nombres f, ,6, (qui di(ïerent en général de t et de 6)
devant toujours tomber entre o et 1. Alors, la distance
m^ |*x se trouverait être une quantité très-petite de l'or-
dre de A.r* ou du second ordre.

Il est facile de voir que la distance du point m^ à la
ligne (ç), ou la normale m^n^ abaissée du point w^,
très-voisin de /w, sur la ligne (<p) passant par m, est en
général du même ordre de grandeur que la distance
m^n^ : donc cette distance m,n^ est une quantité très-
petite du premier ordre quand la courbe (.<p) ne satisfait
qu'à la condition de passer par le point m; et elle de-
vient une quantité très-petite du second ordre, lorsque
la courbe (ç) est prise parmi celles qui touchent la rx)ur-
be {/) au point m.

Donc à fortiori on peut toujours prendre le point m^

îi3.

356 LIVRE IV. CHAPITRE 111.

assez voisin de m y pour que sa distance à la ligne (<p)
soit moindre que sa distance à toute autre courbe pas-
sant au&si par le point m^ mais qui ne toucherait pas
en ce point la courbe (/). On dit alors qu'il y a entre
les courbes (/*), (9) un contact du premier ordre.

On peut toujours prendre S.x assez petit pour que les
signes des différences

soient respectivement les mêmes que ceux des diffé-
rences

donc, en vertu de l'équation (^), la différence

/(^+Aa:) — <p(^+Aj;) (A)

changera de signe avec A a:, pour des valeurs suffisam-
ment petites de A^, et la courbe (<p) coupera la courbe
(y), lorsqu'elle aura simplement avec (/') le point com-
mun m; au contraire, la valeur de la même différence
donnée par l'équation (^') conservera le même signe
pour des valeurs de Ax suffisamment petites et de signes
contraires, en sorte que la courbe (cp), ayant avec {f)
au point m un contact du premier ordre, cessera de
couper en m la courbe (/*).

Au lieu du système des équations (//i), (/w') on peut
écrire

y^s=(par , /{^-^rdx) =:cp(^H-rfjF) ;

ce qui revient à dire, dans le langage propre à la mé-
thode infinitésimale, que deux courbes [f)^ (f) entre
lesquelles existe au point (j:^)un contact dû premier
ordre, ont deux points communs infiniment voisins

204. Admettons maintenant que Ton ait, outre les

DES CONTACTS DES DIVERS ORDRES. 357

équations (m), (/w*),

la différence (A) sera donnée par l'équation

et elle deviendra une quantité très-petite du troisième
ordre, A a: désignant toujours une quantité très-petite
du premier ordre. Dans ce cas, les deux courbes (y),
(?) ont non-seulement la même tangente, mais le même
cercle osculateur; et par analogie, on dit que ces deux,
courbes sont osculatrices l'une de l'autre.

La distance m^n^ devient, comme la différence (a),
une quantité très-petite du troisième ordre lorsque les
deux courbes s'osculent en m y tandis qu'elle n'était
qu'une quantité très-petite du second ordre, lorsqu'on
n'assujettissait les deux courbes qu'à la condition de se
toucher au même point.

Donc à fortiori on peut prendre le point m, assez
voisin de m pour que sa distance à la ligne (<p) oscula-
trice en m soit moindre que sa distance à toute autre
courbe qui toucherait mais n'osculerait pas la c*ourbe
(/) au point m. On dit, en conséquepce, que les cour-
bes osculatrices (/*), (<p) ont en m un contact du second
ordre.

La différence (A), donnée par l'équation (y), change
de signe avec Ax, pour des valeurs absolues de Aj: suf-
fisamment petites : donc la courbe ,osculatrice (<p) coupe
en général la courbe (/*) au point m, en même temps
qu'elle la touche.

.Au lieu du système des équations (/w), (/»'), (/^'O» ^"
peut écrire
/a?— <p«=o , rf(/a?— <p^) = o", rf*(/^— ç:r)=z=o ,

358 L1VR5 IV. — CHAPITRE Jlï.

OU

fx=a^x^ /(jp-h«tr)=cp(a:+«tr) , f{x+^dx)==i^X'\'^dx) ;
ce qui revient à dire, que deux courbes (y), (9), entre
lesquelles existe au point {x^y) un contact du second
ordre, ont trois points communs infiniment voisins

205. En généralisant cette analyse on établira, com-
me conditions d'un contact du rf ordre au point {Xy y)
entre les courbes (/.), (<p), les n-[- 1 équations

fx=f]^ , f'x=^x , f"-=s^"x , fi'^)x=f^^'^^X .

Pour des valeurs très-petites du premier ordre attri-
buées à A a:, la différence {à) devient une quantité très-
petite de l'ordre n-f- '? lorsque le contact au point {po^y)
entre les courbes (/), (?) est de l'ordre n : d'où l'on
conclut à yor/ib/ï' que le point (jet-}- A.r,^-}-A^) peut
être pris assez voisin de {pCyf) sur la courbe (/*), pour
que sa distance à la courbe (f) soit moindre que sa dis-
tance à toute autre courbe passant aussi par {x^y) , et
qui n'aurait en ce point avec la courbe (/) qu'un con-
tact d'un ordre inférieur.

Les lignes {f) , (<p) se coupent ou ne se coupent pas
au point (^,/) , selon qu'elles ont en ce point un contact
d'ordre pair ou d'ordre impair.

Dans le langage propre à la méthode infinitésimale ,
on peut dire que deux courbes dont le contact au point
{x^y) est de l'ordre n^ ont n points communs, infiniment
voisins.

Etant données une courbe (/) entièrement détermi-
née, et une courbe (?) dans l'équation de laquelle en-
trent n paramètres arbitraires, on pourra disposer de
ces paramètres de manière à établir entre les deux

D£5 GOITTACTS DES DIVERS ORDRES. 359

courbes , en un point donné (jJCjy) , un contact de l'or-
dre n — I.

C'est ainsi qu'on dispose des deux paramètres a, b
qui entrent dans l'équation générale d'une droite

y=:ax + b y
de manière que la droite devienne la tangente d'une
courbe donnée, en un point donné : le contact de la
courbe et de la droite étant alors du premier ordre.

C'est encore ainsi qu'on dispose des trois constantes
a^byC qui entrent dans l'équation générale d'un cercle

de manière à le rendre osculateur d'une courbe donnée
en un point donné, ou de manière à établir entre la
courbe et le cercle un contact du second ordre.

^v««>»%«%»«««^v»«««»%««««%t

CHAPITRE IV.

DES POINTS SINGULIERS DES LIGNES PLANES, ET DE LA
CORRESPONDANCE ENTRE LA G£OM]h*RIE ET l'aL-
G^RRE.

206. On doit entendre par points singuliers d'une
courbe, dans le sens géométrique, tous ceux où le tracé
de la courbe , abstraction faite du système arbitraire de
coordonnées auquel on la rapporte, offre quelque acci-
dent qui les particularise; par opposition^ aux autres
points, en nombre infini, que nul caractère géométrique
ne distingue de ceux qui les précèdent ou qui les sui-
vent immédiatement. Ainsi, le point où la courbe subit
une inflexion est un point singulier dont l'existence ne
dépend ni de la direction arbitraire des axes des coor-
données, ni même de la nature des coordonnées qu'on
emploie pour définir la courbe anal) tiquement. Au con-
traire, le point où l'ordonnée passe par une valeur
maximum ou minimum n'est pas pour cela seul un
point singulier; car, si l'on changeait la direction des
axes, ce qui ne changerait rien à la courbe, la propriété
de répondre à une valeur maximum ou minimum de
l'ordonnée, passerait à un autre point; et celui qui en
jouissait en premier lieu , pourrait ne plus offrir aucun
caractère qui le singularisât.

207. Parmi les courbes susceptibles d'être définies au
moyen d'une équation entre leurs coordonnées, il faut
distinguer les courbes qu'on appelle algébriques , pour
lesquelles, dans un système de coordonnées parallèles à

. DES POIIITS SINGULIERS. 361

des axes fixes, l'ordonnée est une fonction algébrique
de l'abscisse, et les courbes transcendantes dont l'or-
donnée, dans un pareil système, ne s'exprime en fonc-
tion de l'abscisse qu'à l'aide des signes transcendants de
l'analyse. Les sections coniques sont des courbes algé-
briques : la cycloîde et les spirales sont des courbes
transcendantes.

L'équation d'une courbe algébrique peut toujours,
par l'évanouissement des dénominateurs et des radicaux,
se ramener à la forme

F(^,7)=o, (a)

F désignant une fonction entière et rationnelle, tant par
rapport à jr que par rapport à x. Le degré de cette
équation est donné par la somme des exposants de x et
de^ dans le terme pour lequel cette somme a la plus
grande valeur. Si l'on passe d'un système de coordon-
nées parallèles à un autre, le dçgré de l'équation ne
change pas, à cause que les coordonnées prises dans un
système sont des fonctions linéaires des coordonnées
prises dans l'autre système. Le degré des équations des
courbes algébriques est donc un caractère essentiel de
ces courbes, d'après lequel on peut les classer sans que
la classification soit arbitraire, bien que la forme des
équations change avec l'origine des coordonnées et la
direction arbitraire de chacun des axes, qui peuvent
&ire entre eux un angle quelconque.

Une droite ne peut avoir avec une courbe algébrique
un nombre de points d'intersection plus grand que l'ex-
posant du degré de son équation. Le nombre des points
d'intersection de deux courbes, l'une du degré m, l'au-
tre du degré m\ ne peut pas surpasser mm\ Ce sont
encore là des caractères géométriques très-remarquables.

362 LIVRE IV. CHAPITRE IV.

qui dérivent immédiatement des principes fondamen-
taux de la théorie des équations algébriques.

208. Une courbe algébrique ne s'interrompt pas
brusquement dans*8on cours, ou ne peut pas avoir de
points singuliers de Tespèce de ceux qu'on a appelés
points S arrêt ou de rupture^ et que présentent cer-
taines courbes transcendantes, par exemple [i6] celle
qui aurait pour équation

X

7+1 = 0 « . (i)

Gela résulte de ce qu'une équation algébrique à une
seule inconnue et à coefficients réels, ayant toujours un
nombre pair de racines imaginaires, ne peut perdre à
la fois qu'un nombre pair de racines réelles, lorsqu'on
fait passer par une suite de valeurs réelles l'une des
quantités qui entrent dans la composition de ses coeffi-
cients. U suit de là, et de la forme connue des racines
imaginaires, que quand l'ordonnée^ d'une courbe al-
gébrique passe du réel à l'imaginaire, pour une certaine
valeur de jt, des valeurs réelles de^ en nombre pair
deviennent égales. Si ces valeurs sont au nombre de
deux, comme il arrive ordinairement, deux portions de
la courbe viennent se rejoindre en un point qui peut
ne présenter d'ailleurs aucune particularité, lorsqu'on
change la direction des axes , et qui par conséquent n'est
pas, en général, un point singulier.

On conclut de là que, pour avoir l'expression com-
plète d'une courbe algébrique, par une équation entre
ses coordonnées rectilignes, il faut débarrasser l'équa-
tion des radicaux , ou conserver tous les doubles signes
inhérents à chaque radical pair. Autrement on intro-
duirait arbitrairement des solutions de continuité, te-

D£S POINTS SINGULIERS. 363

naot à la direction des lignes auxiliaires que Ton aurait
prises pour axes des coordonnées , et que ne peut point
comporter la description de la courbe, considérée en
soi. Tel est le fondement de la ccftrespondance entre
l'algèbre et la géométrie : l'algèbre n'associant par le
double signe inhérent aux radicaux pairs qu'elle em- j
ploie, que des branches ou portions de ligne qui ap- :
partiennent effectivement au même lieu géométrique, i

D'ailleurs cette correspondance que l'on admet sou-
vent dans un sens trop absolu , parce qu'elle apparaît
surtout dans la discussion des courbes algébriques les
plus simples, objet d'un enseignement classique, n'a
plus lieu généralement quand il s'agit de courbes à équa-
tions transcendantes. Ainsi le radical du second degré
qui entre dans l'équation de la cycloïde [176] doit
être pris alternativement avec le signe -j- et avec le
signe — ; et si l'on employait à la fois les deux signes,
on construirait deux cycloîdes distinctes qui ne peuvent
point être réputées former le même lieu géométrique ou
deux branches de la même courbe.

De même on peut [181] rejeter ou admettre indiffé-
remment les valeurs négatives de r et de ç dans la cons-
truction de la spirale hyperbolique r=- : car en les

admettant on ne fait qu'appliquer une convention per-
mise ; et en les rejetant on ne rompt aucune analogie
géométrique, ni on n'introduit aucune solution de con-
tinuité incompatible avec les conditions géométriques
de la description de la courbe.

Inversement, lorsque l'ordonnée d'une Ugne algé-
brique reçoit une expression de forme transcendante;
lorsqu'elle est exprimée, par exemple , au moyeu d'une

364 LIVAE IV. CHAPITRE IV.

série, l'expression transcendante comporte ordinaire-
ment des solutions de' continuité étrangères au tracé
géométrique. C'est ce qui arrive pour l'équation {q) du
n® II 3, dont le second membre représente l'ordonnée
d'une ligne droite , mais entre certaines limites seule-
ment; et nous verrons que les exemples du même fait
analytique peuvent être multipliés à l'infini.

209. Lors donc qu'il est question de la correspon-
dance de la géométrie et de l'algèbre , il faut prendre le
mot d'algèbre dans le sens étroit, et entendre qu'il s'a-
git seulement des lignes exprimées par une équation
algébrique entre des coordonnées rectilignes, menées
parallèlement à des axes fixes. Cette correspondance
résulte des propriétés des équations algébriques, rappe-
lées ci-dessus, et de ce fait primitif que, dans un pareil
système de coordonnées, toute équation du premier de-
gré à deux variables représente une droite indéfini-
ment prolongée.

Le sentiment de ce rapport avait induit Descartes à
donner la dénomination de courbes géométriques à
toutes celles que représentent des équations algébriques
à deux variables, dans un système de coordonnées pa-
rallèles à des axes fixes. Il appelait par opposition
courbes mécaniques les courbes exprimées dans un pa-
reil système de coordonnées par des équations trans-
cendantes, telles que les spirales ou la cycloîde : mais
ces dénominations vicieuses ont cessé d'être en usage.
Il n'y a aucune difficulté à appeler courbes algébriques
celles que Descartes qualifiait exclusivement de géomé-
triques ; tandis qu'il est impossible de fixer par une dé-
finition précise le caractère des courbes géométriques ,
bien que l'on conçoive que cette dernière dénomination

DES POINTS SINGULIERS. 365

est philosophiquement applicable à certaines courbes et
non à d'autres. Ainsi la cycloîde comme l'ellipse sont
évidemment des courbes dont la génération peut être
conçue et dont les propriétés nombreuses peuvent être ''
étudiées d'après des considérations de pure géométrie , ,
indépendamment de l'emploi de l'algèbre et de toute '•
convention sur un système de coordonnées arbitraires :
ce sont donc à ce titre des courbes géométriques. Au
contraire, si l'on écrivait au hasard une équation algé-
brique à deux variables^ de degré quelconque, ou une
équation transcendante de forme bizarre, il n'arriverait
que très-accidentellement que le lieu d'une pareille équar
tion jouit de propriétés géométriques d'après lesquelles
on pourrait concevoir et définir la génération de la
courbe, indépendamment des axes arbitraires auxquels
on les rapporte, et de la relation entre les valeurs nu-
mériques de ses coordonnées, qui résulte de l'équation
écrite. Une telle courbe serait encore algébrique ou
transcendante, comme l'ellipse ou la cycloîde, mais ne
devrait pas être réputée géométrique.

210. Les courbes algébriques ne peuvent pas plus
avoir de points saillants que de points de rupture : car,
si l'on élimine ^ entre l'équation d'une courbe algé-
brique

F(:r,7) = o, (a)

délivrée^de radicaux et de dénominateurs , et sa dérivée
immédiate

on obtiendra pour résultante une équation algébrique
en x,y, délivrée aussi de radicaux et de dénominateurs ;
en sorte que la courbe dérivée, dont x est l'abscisse et

366 LIVRE IV. CHAPITRE IV.

/ l'ordonnée, ne pourra avoir de points de rupture; ce
qui arriverait nécessairement s'il y avait des points sail-
lants sur la courbe primitive.

Il ne peut non plus y avoir sur une courbe algébrique
de points singuliers où le rayon de courbure passe
brusquement d'une valeur finie à une autre : car le rayon
de courbure est une fonction algébrique des dérivées
y\y'\ et la dérivée^" est, aussi bien que y, une fonc-
tion algébrique de x. Il en faut dire autant de la dérivée
/(♦*), n étant quelconque.

Donc les solutions de continuité d'un ordre quelcon-
que, que peut éprouver une fonction algébrique, résul-
tent toujours du passage par l'infini de Tune de ses
fonctions dérivées et des dérivées subséquentes , et ja-
mais de ce que tes fonctions dérivées, à partir d'un
certain ordre, passent brusquement d'une valeur finie à
une autre.

21 1. Lies points de rupture et les poiats saillants des
courbes à équations transcendantes ne peuvent être dé-
terminés que par une discussion spéciale, appropriée
à la nature des fonctions transcendantes qui entrent dans
l'équation de la courbe. C'est ainsi que l'on reconnaît,

z

par la nature de la fonction e ^, qui devient nulle ou
infinie poura;=o, selon que a: converge vers zéro en
passant par des valeurs positives ou négatives , que la
branche de la courbe (r) dont les abscisses sont positi-
ves , s'arrête brusquement au point a:=o,jr= i . Considé-
rons la courbe qui aurait pour équation

r= 7--

I 4-^a:

la fonction jy s'évanouit pour x=:o^ soit qu^on fasse

DES POINTS SINGULIERS. 367

passer j; par une série de valeurs positives ou par une
série de valeurs oégatiyes; car l'expression de^ devient

dans les deux cas — =0,-= o. Donc la courbe passe

QO I

par l'origine et s'étend du côté des abscisses négatives
comme du coté des abscisses positives. En passant aux
fonctions dérivées on a

Si maintenant on pose 3c=Oy on trouve^=;=o ou^'=i,
selon qu'on fait passer x par des valeurs positives ou
négatives pour arriver à la limite zéro. L'origine des
coordonnées est donc un point saillant de la courbe :
la branche dont les abscisses sont positives venant tou-
cher l'axe des x en ce point, tandis que la tangente à
l'autre branche au même point est inclinée de 45*^ sur
cet axe. On trouverait de même que l'origine est un
point saillant de la courbe donnée par l'équation

j=ararc tang- 7 (2)

< X

qui a pour dérivée

/ \ X .

/ = arc tang : — à >

car, selon que x converge vers zéro en passant par des
valeurs positives ou négatives, il vient à la limite j^'=^ir,
y — — Lit. Au resté, par les raisons que nous avons in-
diquées, la discussion de ces sortes de courbes intéresse
peu la géométrie , et ne doit pas nous arrêter longtemps.
212. La courbe dontjr est l'ordonnée subit une in-
flexion, lorsque sa dérivée f passe par une valeur
maximum ou minimum^ soit qu'il s'agisse d'un maxi-
mwn ou minimum ordinaire, auquel le principe de
Kepler est applicable, soit qu'il s'agisse d'un maximum^

368 LIVRE IV. CHAPITRE IV.

OU mùùmiun singulier, correspondant à une solution
de continuité de la fonction y. Les règles pour la dé-
termination des maxima et minima des fonctions ex-
plicites ou implicites d'une seule variable s'appliquent
donc directement à la détermination des points d'in-
flexion des courbes, sans qu'il soit besoin de chercher
pour cela des procédés particuliers. Le point d'inflexion
est caractérisé ordinairement par l'équation ^"=o, et
accidentellement par l'équation /"= ± oo ; mais il
peut se faire que l'une ou l'autre de ces équations soit
satisfaite, sans que la courbe subisse d'inflexion au point
correspondant.

Lorsque la courbe sera donnée par une équation al-
gébrique {a)^ délivrée de radicaux et de dénominateurs,
on éliminera y entre cette équation et sa dérivée im-
médiate {ci) : l'équation résultante, déterminant impli-
citement y en fonction de Xj servira à déterminer les
valeurs de x qui répcmdent à des maxima ou à des mi-
nima de la fonction y^ et par suite à des points d'in-
flexion de la courbe proposée.

Considérons la courbe représentée par l'équation

fzzzax' + bx^, (3)

qui^ suivant que le coefficient a est supposé positif, nul ou
négatif {b étant toujours positif), prend l'une des trois
formes indiquées par \ef&fig. Sy , 58 et Sg. On tire de
réquation (3)

(aa+3&^ .,^_b\a+\bxr ^,/>__9*!fl_
•^ — /i{a+bx) ' ^ ~ [a+bxf ' ^ ~ 6/i.{a+bxY

Les valeurs de x qui rendent^' un maximum ou un
minimum sont données par l'équation a + j bx = o.
Si a est positif, la valeur de x qu'on en tire rend

DES POINTS SINGULIERS. 369

y et j" imaginaires. Cette valeur ne peut donc corres-
pondre à un point d'inflexion de la courbe.

Si a = o,y passe par Tinfini au lieu de s'évanouir,
pour X :=o, et la courbe proposée, qui devient la pa-
rabole de Neil [197], ne peut encore avoir de points
d'inflexion , puisque les valeurs négatives de x rendent
y etj- imaginaires.

Mais, si le coefficient a est négatif, la courbe subit
deux inflexions aux points dont la commune abscisse

_ 4^

esc X " Q / •

L'équation (i) donné

— i. —1

et la courbe transcendante que cette équation repré-
sente a par conséquent un point d'inflexion correspon-
dant à Tabscisse .r= 7.

La recherche des points de courbure maximum ou
minimum se ramène, ainsi qu'on l'a vu [194] 7 à 1^ ^é**
termination des valeurs de x^j^ qui rendent un maxi-
mum ou un minimum le rayon de courbure p , en même
temps qu'elles satisfont à Téquation de la courbe pro-
posée. Si cette équation est algébrique, on pourra tou-
jours arriver par l'élimination aune autre équation algé-
brique en X, p; et l'on n'aura plus qu'à appliquer les
règles ordinaires à la détermination des valeurs de x qui
rendent la fonction implicite p un mxiximum ou un
minimum..

213. On appelle points multiples ceux où plusieurs
branches de la même courbe viennent se rencontrer, soit
qu'elles ne fassent que se couper, soit qu^elles se tou-
chent : auquel cas il y a intersection en même temps
T. I. * 24

370 UVRE IV. CHAPITRE IV.

que contact^ seloa qae le contact se trouve d'ordre pair
ou d'ordre impair [ao5]. Une seule branche, en se re-
pliant sur elle-même , peut offrir également des points
multiples. Le point multiple est double, triple, quadru-
ple, selon que la rencontre a lieu entre deux, trois,

quatre, branches ou portions de la même courbe;

et alors , dans le voisinage immédiat du point multiple,

l'ordonnée a deux, trois, quatre valeurs réelles

correspondant à la même abscisse.

Il est essentiel de séparer, dans la discussion des
points singuliers, les points m\A\\^\es par simple inter-
section des points multiples par contact : vu qu'on
détermine sans ambiguïté par une méthode générale,
au moins pour toutes les courbes algébriques, les points
multiples de la première catégorie; tandis qu'on ne dis-
tingue que par tâtonnements les points multiples par
contact, des points conjugués et des points de rebrous-
sement, ainsi que nous l'expliquerons.

Soit toujours

F(^,/) = o (a)

l'équation de la courbe que nous supposerons algébrique,
cette équation étant délivrée de radicaux et de dénomi-
nateurs : sa dérivée du premier ordre
dF . dF ,

donnera à y une valeur réelle et unique , toutes les fois

dF dF y, . ^ . 1 / T>

que-T-, -T- ne s évanouiront pas simultanément. Donc,

pour que la courbe puisse offrir un point multiple par
simple intersection, il faut d'abord qu'on ait
^F dF

DES POINTS SINGULIERS. 371

et par suite la dérivée du second ordre
fiPF «PF , «PF ,, . rfF „

^ + ^^^ + ^^-»-rfJ^ =° («)

se réduira à

iTF d'F <f F „

pour les valeurs de x^j-, qui satisfont simultanément
aux équations (a) et (b). Lorsqu'on en tirera pour y
deux valeurs réelles et inégales, la courbe aura un
point double par simple intersection.
Soit proposée, par exemple, l'équation

/ = $(«'-^"). (4)

qui représente une courbe {jftg- 60) connue sous le nom
de lemniscate : les équations {b) et (c) deviendront

a* — 3a;'

j? ( a» — or* ) — x^ = o , ;^= o , y* = — •

On en conclut que l'origine des coordonnées est un point
double oïl deux arcs de la courbe se coupent à angles
droits, les deux tangentes étant inclinées de 45® sur l'axe
des abscisses. D'ailleurs les deux arcs qui se coupent s'in-
fléchissent au point d'intersection, et par conséquent l'o-
rigine est un point de la courbe, doublement singulier;
car les équations en y\ x et/''', x sont

et elles donnent /'=© pour x=:o, tandis que/'" con-
serve une valeur finie.

On trouverait de même que l'origine est un point dou-
ble de la courbe (3) : les deux tangentes faisant avec
l'axe des abscisses des angles qui ont pour tangentes tri-
gonométriques l/^â et — J/â. Le paramètre a est sup-
posé positif (^^. 57).

24.

372 LIVRE lY. CHAPITRE IV.

214. Cette règle peut quelquefois s'appliquer aux
courbes ti'anscendantes , et servir à déterminer des points
saillants multiples. Par exemple, soit proposée la courbe

f/ — xarctang-j — j7'cosj:=o: (5)

on trouve que les valeurs or =o,^=o satisfont aux

équations (a) et (è) , et l'on a

rf'F rf'F _ / I X \

df ^^ dxdy ^^*rc g^ i+^^y '

rf"F / I ^ \* 4(j — :rarctangî)

+ (:f' — 2)cos:FH-4^sinx.
L'équation (c) devient, pour les valeurs .r=o, /==o,

/•qp7r/+^ — i.=o,

et elle donne à y' les quatre valeurs distinctes

-+I, J, hl, I.

2 a -2 2

On reconnaît ainsi que, pour la courbe (5), l'origine
des coordonnées est un point saillant oîi quatre arcs
viennent se rencontrer sous des angles finis. Le point
saillant de la courbe (2) ne pourrait pas être trouvé de

la même manière; car, bien que^' prenne à l'origine

df
deux valeurs distinctes, --7- se réduit à la constante i , et

ne peut s'évanouir pour les valeurs a:==o,^=:o.

215. L'équation (c) deviendra illusoire, si I^on a à la
fois

On prendra alors la dérivée de cette équation qui se ré-
duit à

DES POINTS SINGULIERS. 373

Quand celle-ci acquerra , pour les valeurs de j; , ^* qui
satisfont aux équations {a);{b)^ (d)y trois racines réelles
et inégales, la courbe proposée aura un point d'inter-
section triple ; tandis que le point n'appartiendra qu'à
une seule branche de la courbe, comme ceux qui le pré-
cèdent et qui le suivent immédiatement, si l'équation (^)
n'a qu'une seule racine réelle.

Ce dernier cas se présente pour la courbe dont l'é-
quation est

f—x{x^iy=o: (6)

on y satisfait en prenant x=i yjr=:o: valeurs qui vé-
rifient aussi les équations (é) et (d) ; mais l'équation (e)
se réduit pour les mêmes valeurs à

/'-i=o, (7)

et elle n'admet qu'une racine réelle. Il est d'ailleurs ma-
nifeste, par la forme de l'équation (6), quej^ ne peut
avoir qu'une seule valeur réelle pour toutes les valeurs
de :r^ et qu'ainsi la courbe ne saurait offrir de points
multiples.

Dans le cas où tous les coefficients de l'équation (e)
s'évanouiraient encore , on passerait de la même manière
à une équation du quatrième degré en^. Si celle-ci
avait quatre racines réelles et inégales, le point corres-
pondant aux valeurs de ^, / qui vérifient les équations
(a) et (é), serait un point d'intersection quadruple; si.
elle n'avait que deux racines réelles et inégales , le point
serait double ; si elle avait deux racines réelles inégales
et deux racines réelles égales, l'existence de deux racines
inégales accuserait encore l'existence de deux branches
qui se coupent au point correspondant (^,^) : nous
verrons tout à l'heure les conséquences que Ion peut
tirer de la présence des deux racines réelles égales.

374 LIVBK IV. CHAPITRE IV.

Il est clair que rien n'empêche de poursuivre cette
discussion indéfiniment , et qu'il en résuite u&«, méthode
directe pour déterminer sans ambiguïté , sur toutes les
courbes algébriques , les points multiples par simple in-
tersection ( ou par intersection non accompagnée de
contact), et leur degré de multiplicité ou le nombre des
branches qui se coupent en ces points singuliers.

216. Lorsque l'équation en y, à laquelle on arrive en
appliquant la méthode précédente, est de degré pair, et
qu'elle a toutes ses racines imaginaires , le point dont
les coordonnées satisfont par hypothèse aux équations
(a) et (é), est un point conjugué, c'est-à-dire un point
isolé et néanmoins associé à la courbe que l'équation (a)
représente , en ce sens que le lieu de l'équation est donné
par le système d'une ligne continue et d'un point isolé.
Une ligne peut avoir plusieurs points conjugués, ou
même en avoir une infinité, si sou équation est trans*
cendante. Une équation à deux variables peut aussi ne
représenter qu'un point ou un système de points isolés ;
mais ceci n'arrive que parce qu'elle équivaut à plusieurs
équations distinctes. Telles sont les équations de la forme

qui équivalent au système des deux équations
<p(.r,7-) = o, ^{x,y)=o .
L'origine des coordonnées est un point conjugué de la
courbe représentée par l'équation ( 3 ) , quand on attri-
bue au paramètre a une valeur négative. Les équations
(6) et (c) deviennent dans ce cas

2/=o, 2a^ + 36^*==o, y* — 'ibx — a=o;
les deux premières sont vérifiées par les valeurs .x*=o,
y=o; et quand on fait dans la troisième ^=o, a < o,
on n'en peut tirer pour y que des valeurs imaginaires.

DES POINTS SINGULIERS. 375

D'ailleurs, lorsqu'on met l'équation (3) sous la forme

on voit clairement: i"* qu'elle est vérifiée par^=o,^t=o;
12^ que si l'on suppose a négatif et b positif, Tordonnée
y reste imaginaire pour des valeurs de ,x positives ou
négatives, tant soit peu différentes de zéro , et ne devient

réelle que quand .x surpasse — -7.

On peut remarquer que le point conjugué O (^g. Sg)
conserve en quelque sorte la trace du nœud Omn(Jig. Sy)
qui a disparu par le changement de signe du paramè-
tres; et l'on se rend ainsi compte, autant que le sujet
le comporte, de la signification géométrique des points
conjugués.

Il est aisé de voir pourquoi l'on obtient les points
conjugués en même temps que les points multiples. En
effet , un point conjugué est celui où deux racines ima-
ginaires conjuguées de l'équation (a)

7= <p^ + fr \/^ , (a,)

deviennent égales entre elles , et en même temps réelles ,
par l'évanouissement de la fonction ^x. On peut donc
considérer le point conjugué comme le point d'intersec-
tion de deux branches imaginaires de la courbe (a). Pour
chacune de ces branches , l'équation (a') donnerait à y
une valeur imaginaire unique : il doit y avoir deux va-
leurs imaginaires de^ pour le système de valeurs dex^jy
commun aux deux branches imaginaires, ou pour les
coordonnées réelles dupoiiit conjugué; donc il faut que
l'équation («') ne puisse plus servir à déterminer une
valeur unique dejr', et partant que les équations (é)
soient satisfaites pour les valeurs de ^ , ^ qui corres-
pondent au point conjugué.

37G LIVRE IV. CHAPITRE IV.

Dans le sens algébrique, la courbe (6) a un point con-
jugué , correspondant aux coordonnées x=zi ,^==0,
et aux racines imaginaires de l'équation (7); mais ce
point conjugué se trouve accidentellement coïncider avec
un des points de la branche réelle de la courbe. Quel-
ques auteurs expriment cette circonstance en disant que
le point conjugué n'est plus visible y ce qui signifie qu'il
n'a plus d'existence géométrique.

217. On conçoit que la valeur de a: qui correspond
à un point conjugué de la courbe (a), peut aussi corres-
pondre accidentellement à un point conjugué de la courbe
dérivée qui a pour abscisse x et pour ordonnée courante
y^ ou même à un point conjugué de la courbe dérivée
du second ordre, dont l'ordonnée courante est/", et ainsi
de suite. Par exemple, l'origine est manifestement un
point conjugué de la courbe

j' = «:r* + ij:*, ouj=±:ar*i/î^+a ,
quand on suppose, comme ci-dessus, b>o,a<o : ce
sera aussi un point conjugué de la courbe dérivée
, xÇSbx + ba)

et en effet , l'équation (c) se réduisant dans ce cas à y*=:o,
n'a pas ses racines imaginaires , mais réelles et égales.

Généralement, lorsque les coordonnées .r ,jk d'un point
conjugué ne corre3pondent pas à des racines imaginaires
de l'équation finale en^', à laquelle conduit la méthode
exposée plus haut, elles correspondent à des racines
réelles de la même équation, doubles ou d'un degré pair
de multiplicité. Pour le démontrer, remarquons que
quand deu:^ branches de la courbe, au lieu de se couper,
se touchent au point [x^y) ,> les valeurs correspondantes
de j^', qui étaient inégales dans le cas d'intersection des

DES POIITTS SINGULIERS. 377

branches y doivent devenir égales , sans cesser d'être
réelles; et les deux branches acquérant une tangente
commune^ on peut dire aussi qu'elles ont deux points
communs infiniment voisins. Par la même raison, lors-
qu'il correspond une valeur réelle de la tangente aux
coordonnées du point conjugué, on peut dire que les
branches imaginaires (ai) , (a,) ont deux points réels com-
muns, infiniment voisins, ou que ces branches se tou-
chent; et par conséquent l'équation en^' doit acquérir
des racines égales. Cela se voit d'ailleurs par la forme
même des équations (a^)y(a^); puisque, si la valeur de
y tirée de (a,) est réelle pour l'abscisse x du point con*
jugué, c'est que la valeur a: annule, non-seulement la
fonction ^x , mais aussi sa dérivée ^x; et alors la valeur
de ^' tirée de (a,) est la même que celle qu'on tire de (a,).
La fonction j-' acquiert donc au point conjugué deux va-
leurs égales : elle pourrait en acquérir 4 9 ou 6 , ou un
nombre pair quelconque, selon le nombre des branches
imaginaires conjuguées deux à deux, qui auraient pour
point commun de contact le point conjugué.

218. Nous dirons qu'il y a entre deux branches de
courbe un contact de première espèce, lorsque les deux
branches sont situées de part et d'autre de la tangente
commune (j^. 6 1 ) , et un contact de seconde espèce ,
lorsque les deux branches sont situées d'un même côté de
la tangente (^/^. 6a ). Si les deux branches se raccordent
au point de contact, sans se prolonger au delà, le point
multiple par contact se change en un point de rebrous^
sèment y de première ou de seconde espèce {Jig, 63^^64),
selon que la tangente commune tombe entre les deux
branches qui se raccordent, ou les laisse toutes deux
d'un même coté. La cycloïde et les développées des sec-

378 LIVRE IV. — CHAPITRE IV.

tioDS coniques nous ont déjà offert des exemples de re-
broussements de première espèce. La courbe

(7 — ax^y = b*a:^ y ouf7=ax*±bx^ V^î ,
éprouve à l'origine un rebroussement de seconde espèce :
car l'équation de cette courbe donne

5 -. i5 _

et quand on fait ^=0, d'où jr=o, y=o, les deux
valeurs de y' deviennent égales à la constante aa : par
conséquent les valeurs de y" sont de même signe pour
les deux branches qui se raccordent, et ces deux bran-
ches tournent leur concavité dans le même sens {^fig. 65).

Imaginons qu'une droite se meuve dans le plan d'une
courbe plane, en s'appuyant sur cette courbe ou en la
touchant constamment : le point de contact peut être
considéré comme un point en mouvement sur la droite
mobile. Le sens de la vitesse de ce point change , ou
le point rebrousse sur la droite mobile , quand cette
droite touche la courbe en un point de rebroussement
de première ou de seconde espèce : en outre , le sens
de la rotation de la droite mobile sur le plan change ,
comme aux points d'inflexion , si le rebroussement est
de seconde espèce.

219. En résumé, lorsque l'équation en^' dont il a
été question jusqu'ici, a des racines réelles égales, ces
racines peuvent correspondre ou à des points multiples
par éontact , ou à des points de rebroussement , ou bien
enfin à des points conjugués. Le même caractère analy-
tique doit appartenir à ces trois sortes de points singu-
liers : en efîet l'on peut toujours représenter par(ai) , (a,)
deux branches de la courbe [à) , branches qui sont réelles
ou imaginaires, selon que la fonction ^xest imaginaire

DES POINTS SINGULIERS. 379

OU réelle. On désigne par <fx une fonction réelle, et dans
la cas actuel on admet que la valeur qui annule ^x
annule aussi ^x. Soit i cette valeur : si , pour des va-
leurs de X tant soit peu plus grandes ou plus petites
que ^y ^x reste imaginaire , il y a uu contact ordi-
naire , de première ou de seconde espèce , entre les deux
branches. Si ^x est imaginaire pour des valeurs de x
tant soit peu plus petites que Ç et réelle pour des valeurs
de X tant soit peu plus grandes , ou vice versd, le point
singulier est un point de rebroussement de première ou
de seconde espèce ; et enfin si la valeur de ^x reste réelle
pour les valeurs de x immédiatement supérieures et in-
férieures à ^9 les deux branches sont imaginaires et le
point singulier devient un point conjugué. Rien n'est
plus facile que de distinguer ces trois cas , lorsque la fonc-
tion ^x est donnée explicitement par la résolution algé-
brique de réquation proposée : autrement il faut recou-
rir à des essais^ ou construire la courbe par points dans
le voisinage du point singulier dont on veut recon-
naître la nature. L'analyse dont nous avons fait usage
réduit, autant que le sujet le comporte, les cas d'ambi-
guïté , et met en évidence la raison de cette ambiguïté ,
dans les circonstances où elle est inhérente à la question.
220. Les points de contact ou de rebroussement de
première espèce se distinguent encore de ceux de seconde
espèce par un caractère remarquable; car, soient ^, y)'
les valeurs de x et de y qui correspondent au point de
contact ou de rebroussement de première espèce : pour
les valeurs de x voisines de Ç,^' a deux valeurs, Tune
un peu plus grande, l'autre un peu plus petite que iq';
et de là il est aisé de cpnclure que la courbe dérivée dont
les coordonnées courantes sont x^ y' y a au point (^, y\)

380 LIVRE IV. CHAPITRE IV.

sa tangente perpendiculaire aux x, à moins que le point
( Ç , 7ï ' ) ne soit lui-même accidentellement un point de
contact ou de rebroussement de première espèce , et que
la tangente en ce point ( Ç , yi' ) ne se trouve parallèle aux
X. Donc la dérivée j-" est infinie ou nulle, et ordinaire-
ment infinie pour les valeurs de x qui correspondent à
des points de contact ou de rebroussement de première
espèce. Il y a sous ce rapport réciprocité entre les points
dont il s'agit et les points d'inflexion, pour lesquels la
dérivée /' est ordinairement nulle et peut être excep-
tionnellement infinie.

Le point qui correspond sur la courbe dérivée à un
point de rebroussement de seconde espèce, peut être lui-
même un point de rebroussement de première ou de se-
conde espèce ; et il n'y a plus moyen d'assigner d'une
manière générale un ordre n de dérivation tel que la
dérivée^"^ doive être nécessairement infinie ou nulle.

221. Nous terminerons ce chapitre en indiquant les
connexions qui existent entre les points singuliers d'une
courbe plane et ceux de sa développée. La formule

,_(-+y)t

montre que p devient infini, ou que la courbure est
nulle quand ^" s'évanouit, ce qui arrive en général aux.
points d'inflexion de la développante. Ainsi les normales
à la développante aux points d'inflexion sont en géné-
ral des asymptotes de la développée {Jig. 66). Au con-
traire , les points d'inflexion de la développée corres-
pondent à des points de rebroussement de seconde espèce
sur la développante {Jig. 67 ).

Les points singuliers de la développante où le rayon
de courbure passe par une valeur maximum ou mini'

DES POINTS SIN6ULI£BS. 381

mum j correspondent en général à des rebroussements
de première espèce sur la développée {Jig. 5a et 53). Il
pourra arriver exceptionnellement que ces points de la
développante soient des points pour lesquels ^^ s'éva-
nouit sans qu'il y ait inflexion; et alors les normales en
ces points seront des asymptotes de la développée.

Aux points oîi la développante éprouve des rebrous-
sements de première espèce , /' devient ordinairement
infini , p est nul , et la développée rencontre à angles
droits la développante (Jig. 54 et 69). Mais il peut
aussi arriver accidentellement que^'' s'évanouisse, que
p devienne infini , ou que la perpendiculaire à la tan -
gente commune au point de rebroussement de la déve-
loppante soit une asymptote de la développée.

Si la développante n'est pas une courbe algébrique,
à ses points d'arrêt ou de rupture correspondront des
points d'arrêt ou de rupture de la développée; les points
saillants de la première courbe entraîneront l'existence
de points de rupture pour la seconde. La développée
offrira encore une rupture, ou ses coordonnées cou-
rantes , considérées comme fonctions de l'abscisse x de
la développante, éprouveront une solution de continuité
du premier ordre [36], lorsque la fonction^", qui entre
dans l'expression des valeurs de ces coordonnées, éprou-
vera une solution de continuité du même ordre, ou lors-
que l'ordonnée^ de la développante subira une solution
de continuité du troisième ordre; de sorte qu'en défi-
nitive, il y aura autant de ruptures dans la développée
que de solutions de continuité du premier, du second
et du troisième ordre dans la fonction y qui représente
l'ordonnée de la développante. En conséquence, la solu-
tion de continuité du troisième ordre de la fonction quel-

382 LIVRE IV. CHAPITRE IV.

conque jK est représentée géométriquement par une so-
lution de continuité du premier ordre dans la fonction
qui mesure la courbure de la ligne dont^ est l'ordon-
née, ou par une rupture de la développée de cette ligne.
Gomme on peut tracer la développée de la développée,
et ainsi à l'infim , il s'ensuit que la solution de conti-
nuité d'un ordre quelconque peut être définie géomé-
triquement, ou qu'elle est susceptible de se manifester
par un caractère sensible et géométrique.

La développante de toute courbe fermée et non si-
nueuse , telle que le cercle ou l'ellipse , est une courbe
du genre des spirales, formée d'un double système de
spires {fig. 68 ). En effet, rien n'arrête, dans un sens ni
dans l'autre, le mouvement révolutif de la tangente à la
développée , en vertu duquel chaque point de la tan-
gente mobile vient à son tour s'appliquer sur la déve-
loppée. Soit m le point de la développée où vient s'ap-
pliquer, dans ce mouvement de rotation continu, le
point de la tangente mobile qui décrit la développante
que l'on considère : il est évident que les deux systèmes
de spires , inversement disposés , dont se compose la dé-
veloppante, viendront se raccorder en m en formant un
rebroussement de première espèce.

La développante d'une courbe à asymptote et sans
inflexion, telle que la logarithmique ou une branche
d'hyperbole, offrira un point de rebroussement de pre-
mière espèce et un point de rupture. Soit MN {Jig, 69)
la développée, AS son asymptote, m le point de la dé-
veloppée où vient s'appliquer le point de la tangente
mobile qui décrit la développante (jl/wv : évidemment,
cette dernière courbe subira en m un rebroussement de
première espèce. En outre, pendant que la tangente

DES POIITTS SINGULIERS. 383

mobile se déplace en roulant sur la développée dans le
sens /wM, elle tend indéfiniment vers la position SA,
sans jamais l'atteindre : donc il y a un point (i. situé sur
AS, dont le point décrivant s'approche d'un moûve»
ment de plus en plus ralenti, sans jamais l'atteindre, et
qui par suite est un véritable point d'arrêt de la déve-
loppante.

Ainsi, les points d'arrêt peuvent appartenir à des
courbes dont le tracé est déterminé d'après des condi-
tions géométriques : en sorte que l'existence de ces points
singuliers n'est pas seulement la conséquence des sin-
gularités que peut offrir la marche d'une fonction dont
l'origine serait purement analytique [209].

>«%«»«•/•>«»«%«*«•%•«.%«•«•%%•«%«%•«««% •!«%'« •««•*«%«%1

CHAPITRE V.

PRmCIPES DE LA THEORIE DES LIGNÉS A DOUBLÉ
COURBURE.

222. Une ligne est dëterminée dans Tçspace au moyen
de deux équations entre les coordonnées x^y^ z qui ex-
priment les distances d'un point pris sur la ligne à trois
plans fixes, perpendiculaires entre eux ; et réciproque-
ment, le système de deux semblables équations peut être
représenté par une ligne tracée dans l'espace, dont x,j-y z
désigneraient les coordonnées rectangulaires. La ligne
est encore représentée graphiquement par les deux cour-
bes planes qui sont ses projections sur deux des plans
coordonnés, tels que ceux des xj et des x z. Les équa-
tion3 des lignes de projection sont celles qu'on obtien-
drait en éliminant alternativement z et / entre les
équations

/(^,j,z) = o, f(ar,7,z)=ro. (i)

au moyen desquelles la ligne est déterminée dans l'es-
pace.

On peut considérer cette ligne comme l'intersection
de deux surfaces cylindriques qui auraient respective-
ment pour bases les lignes de projection sur les plans
des xy et des xz^ et dont les droites génératrices se-
raient respectivement parallèles aux axes des z et des^.

En général, les lignes ainsi déterminées dans l'espace
ne sont pas planes, c'est-à-dire que, non-seulement elles
n'ont pas tous leurs points compris dans le même plan ^

DES LIGNES A DOUBLE COURBURE. 385

mais qu'un arc de la courbe, si petit qu'on le suppose,
ne peut pas être applique sur un plan. On les nomme
alors lignes à double courbure : cette dénomination
sera expliquée et justifiée par ce qui doit suivre.

En vertu des deux équations de la courbe, une seule
des trois variables Xyj-^z peut être considérée comme
indépendante : les deux autres, ainsi que leurs dérivées
de tous les ordres, en sont des fonctions explicites ou
implicites. Mais, pour l'avantage de la symétrie des for-
mules, avantage d'autant plus précieux que les formules
sont plus compliquées, il sera bon de traiter .r,/,z com-
me trois fonctions d'une même variable indépendante t.
Afin de fixer les idées, on peut imaginer que t désigne
le temps, et que la courbe est tracée par un point mo-
bile dont le mouvement est défini par trois équations
entre j;,/, z, ^. Si l'on forme deux combinaisons de ces
équations prises deux à deux, et que l'on élimine t
entre les deux équations de chaque groupe, on aura les
deux équations de la courbe.

223. Concevons que l'on ait mené la corde qui joint
deux points (^,7,2), (x-\-\Xyj'-\-AjyZ-\-\z)^ l'un et
l'autre pris sur la courbe : en vertu de principes connus,
cette corde a pour longueur

et les équations de ses projections sur les plans des xj-
et des xz sont

^yiï,K désignant les coordonnées courantes. Enfin elle
forme avec des parallèles aux axes des .r, des jy et
des z, menées par le point {■v^'-yZ) dans le sens des
coordonnées positives, des angles qui ont respective-

T. I. 25

386 tlVHB IV. CHAPITRE V.

ment pour cosinus

zfcAr lizAj ±Az

l/Ar*4-A7*+A? ' l/Aa:VA/+Aj8' ' |/ Aa:*+A/+A^* '
Quand le second point se rapproche indéfiniment
du premier, la corde approche indéfiniment d'une po-
sition déterminée, qui est celle de la tangente à la courbe
dans l'espace : en même temps les projections du second
point sur chaque plan coordonné se rapprochent in-
définiment des projections du premier point, et la pro-
jection de la corde tend à prendre une position dé-
terminée, qui est celle de la tangente à la ligne de
projection. Donc les tangentes aux lignes de projection
sont les projections de la droite qui touche dans l'espace
la ligne projetée; et cette droite tangente est déterminée
par le système des deux équations

'^-^=£-(^-")' '^-^=£-(^-")'

lesquelles entraînent la suivante

Il est plus symétrique et par conséquent plus élégant
de comprendre ces trois équations dans la formule

dx dy d% .

laquelle se résoudra à volonté en deux équations dis-
tinctes, d'autant^de manières que l'on peut former de
combinaisons deux à deux ecitre trois lettres. Les for-
mules de cette espèce se présentent souvent dans les
applications de l'analyse à la géométrie aux trois di-
mensions.

Si l'on désigne par a, p, y les angles que la tangente à
la courbe forme avec les parallèles aux axes des Xyf^Zy

Des tiCNËS A DOUBLï: COURBURE. 387

dans le sens des coordonnées positives, on a aussi

■ ^ ^3 COSfli^ ^ =r, C0Sy=: — _ (Z\

ou bien, à cause de cos*a-[-cos*p-|-cos*y= i ,

On entend par la longueur de l'arc d'une ligne à
double courbure, la limite dont s'approche indéfiniment
la longueur d'une portion de polygone gauche , inscrite
à Tare et terminée à ses deux extrémités, quand le nom-
bre des côtés augmente sans cesse et que chaque côté
décroît indéfiniment, D'après cette définition, si s dé-
signe la longueur de l'arc d'une ligne à double cour-
bure, mesurée à partir d'un point pris arbitrairement sur
la ligne, on a

dsz=±: [y^dx^-i-df+dz^ , (a)

selon que Tare croît ou décroît, et que la différentielle
ds est positive ou négative. Ainsi l'on peut écrire

_, ctp ^ i^dr _,dz

cosa=z±:-r-, cosp=±-j-, cosy=:±— •
ds ds ' ds

Nous regardons l'équation (a) comme la définition
analytique de la grandeur Sn conformément à la remar-
que déjà faite [174]- O*^ y parviendrait aussi, en ima-
ginant que la portion de surface cylindrique qui contient
l'arc s et sa projection w sur le plan xj-, s'étale sur le
plan mené par la tangente à Tune des extrémités de
l'arc s et par la tangente à l'extrémité correspondante
de Tare u. Dans cette opération l'arc s devient , sans
changer de longueur, un arc de courbe plane; l'arc u .
devient, aussi sans changer de longueur, une portion
de ligne droite; et l'on a, d'après ce qui a été établi pour

25.

388 LIVRE IV. CHAPITRE V.

les courbes planes ,

du'zizdx'' 4- df , ds'=du'' + dz"" ,
d'où

ds'^dai''\^df+dz' .

224. On entend ^dx plan tangent à -une ligne dans
l'espace, tout plan qui contient la tangente à cette ligne :
ainsi, la ligne a en chaque point une infinité de plans
tangents.

Il y a aussi, en chaque point, une infinité de nor-
males à la courbe ou de droites perpendiculaires à la
tangente; le plan tjui les comprend toutes est le plan
normal à la courbe en ce même point. Si l'on désigne
par Ç,Y)9^ les coordonnées courantes du plan normal au
point (x,/, z) , son équation est, selon les principes de
la géométrie analytique, et en vertu des équations (2)^

{\—x)dx + \y\—Y)dy+{X.— z)dz = o. (b)

La différentiatioD des équations (i) donne

^/^ d/^ dfj df ^ di^ dl^

d'où l'on tire, au moyen des équations (a) et (3),

rff,, , rff, , rff,, , 1 (4)

2^(5— )+^('>-7)+j,(Ç-*)=o;

df df „ df

^cosa+^cosP+^cos,==o,

rff df „ df

(5)

Soit, pour abréger,

dy dz dz dy '

DES LIGNKS A DOUBLE COURBUHK. 389

dz (Ix dx dz '

dx dy dy dx
les équations (5) donaeront

cos a cos p cos Y I

L M N y/^u+w+w

Les équations de la tangente seront aussi , en vertu des
équations (4),

l — x 71—7 C— g

L "" M ~ N '.
et celle du plan normal deviendra

L($ — a:) + M(Ti— 7) + N(C— ^)=o,
225. Concevons qu'à partir du point (^, /, z), indi-
qué par la lettre m {^fig, 70), on prenne sur la courbe

une suite de points m,, m,, aw^, , très-rapprochés

les uns des autres, et qu'on les joigne par des cordes ,
de manière à former un polygone gauche, dont le péri-
mètre approche d'autant plus de se confondre avec la
courbe, que les sommets sont plus rapprochés. Deux
(ptés consécutifs mw„/w,m. déterminent un plan qui
se déplace un peu dans l'espace , en continuant de pas-
ser par le point m, quand les points m,, m, se rappro-
chent de plus en plus de w, et qui se déplace d'au-
tant moins (sauf les cas de solution de continuité) que
les points m y m,, m, sont déjà plus rapprochés. Ce
plan tend en général vers une position déterminée
que le calcul assignera, quand on établira l'équation du
plan en traitant les distances m/w,, m^m^ comme des
quantités infiniment petites. On dit alors, que le plan a
été assujetti à passer par trois points infiniment voisins;
et à moins que la courbe n'éprouve au point m une so-

390 LIVRE IV. CHAPITRE V.

lutioii de continuité du second ou du troisième ordre,
il est indifférent de prendre les points m^^ m^ tous deux
en deçà ou tous deux au delà , ou Pun en deçà et l'autre
au delà du point m.

Nous entendons par solutions de continuité de la
courbe les solutions de continuité des coordonnées
X, jy z y considérées comme fonctions d'une variable
indépendante t, quand d'ailleurs ces solutions de con-
tinuité ne dépendent point de la direction arbitraire
des axes coordonnés.

Le plan qui passe par deux points infiniment voisins
/72, n\^ passe par la tangente, ou se trouve compris parmi
les plans tangents à la courbe au point m. Le plan qui
passe par trois points infiniment voisins /w, w,, w,, s'ap-
pelle le plan oscillateur de la courbe au point m, par
analogie avec le cercle osculateur d'une courbe plane,
que l'on peut considérer comme déterminé par la con*
dition d'avoir avec la courbe trois points communs , in-
finiment voisins [204]'

Soit A un plan quelconque mené par le point niy et
m^ un point de la courbe , distant de m d'une quantité
très-petite du premier ordre [45] : la distance de /w, au
plan 4 6st en général une quantité de même ordre que
la corde w//î,, ou une quantité très-petite du premier
ordre. Soit B un plan tangent à la courbe mnij : la dis-
tance de m^ au plan B est une quantité très-petite du
second ordre. Enfin désignons par C le plan osculateur
en m : la distance de m^ au plan C devient une quan-
tité très-petite du troisième ordre. Donc à fortiori on
peut toujours prendre le point m, assez voisin de m pour
qu'il se trouve plus rapproché d'un plan tangent quel-
conque que d'un autre plan quelconque, et plus rap-

\

DES LIGKES A DOUBLE COURBURE. 391

proche du plan osculateur que de tout autre plan tan-
gent. Pour abréger^ nous omettons la démonstration
rigoureuse de ces diverses propositions , qui résulterait
de calculs analogues à ceux des u"^ ao3 et suivants,
et qui ne nous sera pas nécessaire dans ce qui doit suivre.

226. Si l'on désigne par ^^ -ri, ^ les coordonnées
courantes du plan osculateur au point (Xy y^ z) , son
équation sera de la forme

X"(E— x)4-Y(i^— j)4-Z(Ç— z) = o, (c)

Xy Y, Z désignant des coefBcients inconnus qu'il s'agit

de déterminer. Cette équation doit subsister quand on

y remplace x, jy z par ,r-[-//;r, y'\-dj^ z-^-dz, et

ainsi l'on a

Xdx + Yrfj + Zdz = o ; (£?')

enfin ces deux équations doivent encore subsister quand
on y remplace à la fois

or, jjjs; fltr, dfy, dz
par

x-i-dxy X+d/y %+dz ; dûC+(tx^ dy+â^y^ dZ'\-tPz ,
ce qui donne

Xif ^-4- YéTj-h Id^z = o . {c")

Lorsque l'on combine ces trois équations de manière à
éliminer deux des trois inconnues X, Y, Z, la troisième
s'en va en même temps ^ et il reste .pour l'équation du
plan osculateur

{dyd^z — dziTy) (5—^) + {dzd^x — dxttz) (*l— 7)
+ {dxd^y -^djrd^x) (Ç— js) = o ;

mais, afin d'abréger l'écriture, on peut conserver l'équa-
tion du plan osculateur sous la forme (c), en posant les
équations auxiliaires
X=rf^rf*z— rfjwjy, Y-nzdzd^x — dxdj'z^ Ts^Ddxd^y-^dyd^x.i^

227. Nous avons trouvé pour l'équation du plan nor-

392 LIVRE IV. CHAPITRE V.

mal au point {xy y, z).

i^—x) dx + (*1— j) dj + (C— z) rfz = o • ■ (*)

Si l'on veut, avoir l'équation du plan normal mené par
un point infiniment voisin , il faut ajouter au premier
membre de l'équation précédente sa différentielle par
rapport à toutes les variables. Pour les points situés sur
la droite d'intersection des deux plans normaux infini-
ment voisins, on a donc, outré l'équation précédente,
celle qui s'en déduit par la différentiation , savoir

ou

Cette ligne d'intersection des deux plans normaux pé-
nètre le plan osculateur en un point (Ç,»,Q, dont les
coordonnées doivent satisfaire aux trois équations (i),
(i'), (c). Ce point est le centre d'un cercle qui passe par
trois points de la courbe infiniment voisins, ou le centre
du cercle osculateur. En effet, puisque, dans la déter-
mination géométrique du cercle osculateur d'une courbe
plane n'entrent que deux éléments consécutifs et in-
finiment petits de la courbe, et que deux éléments
consécutifs d'une courbe quelconque sont compris dans
un même plan, ou plutôt déterminent ce plan, qui est
le plan osculateur, la construction du cercle osculateur
s'adapte aux courbes quelconques, comme aux courbes
planes. Si l'on pose

le rayon p du cercle osculateur fera avec les parallèles
aux axes des r,^, Zy des angles X, [x, v, donnés par les
équations
±pcosX = Ç — x^ ±:pcosfA=:>i — -j , -f.pcosv = Ç — % .

DES LIGNES A DOUBLE COURBURE. 393

La courbure de la ligne, dans son plan osculateur, a
pour mesure - ; et l'angle de contingence rfr [igS] est
lié à p par l'équation

228. Les équations (è), (A'), (c) donnent immédiate-
ment par l'élimination des binômes Ç — x, tq — ^^
^ ds\lLdx—Ydx)

lL{dxd'z~-dzdy)+Y{d2tPx—dj;d'z)+Z(dxePx—dxd'x)
_ds\\dx—Ydx) .
— X* + Y' + Z* '
et l'on en déduit par le simple échange des lettres,

_ _ds*{Zdx — Xdz)
1 r— x'H-Y'-f-Z* '
_ds'(Ydz—Zdy).
^ ^~ X'+Y' + Z* '
puis il vient

ds l^(X' + Y'+ Zys' — (yjdx + Ydy + Zd^f ,

^~— X' + Y'+Z'

ou bien , en vertu de Téquation (c'),

P^^^^. + Y' + Z' • . ^'^

Par un calcul analogue à celui du n" 196, on trouve
X* + Y' + Z*=rf**(rf'x' + rfy + ^"2*— «T*') ,

"x.+v-.z-=^ {(..g)V(4)V(4)-| ;

ce qui permet de donner à l'expression du rayon de cour-
bure les deux formes
. . ^_^ ds'

394

UTRE IV. CHAPITRE V.

On trouverait encore directement
Xrfj— Ydx=z d^z{dx^ + rf/') — dzidxi^x 4- dyJ^y)
= d^z {ds" -^dz') — dz(dsd*s — dzd'z)

dz

=d^zds^ — dzdsd^s -z^ds^ d. —,

ds

et par suite

. dx , dy .dz

^ ds ^ ds , «*

Donc

rf.^ rf.$: rf*

.05 a5 as

cosA = ±p ^, cosjA=::±:p ^, cosv==±p — ^ .

Enfin la formule (d) donne pour la valeur de l'angle
de contingence rfr,

.,=±v/(..-y.(..|)v (..$)■. ,.)

On obtient directement cette dernière formule, et
par suite la formule (pa) à l'aide d'un calcul fort simple.
Soient

cos a , cos p y ces Y ;
cos a + A cos a , cos p -h A cos ^ , cos y -f- A cos f ,
les cosinus des angles que forment respectivement avec
les axes des Xyj^ z, des droites menées par l'origine
parallèlement aux tangentes de la courbe aux points

(a:,7,*),(;r-hAa;,7-*-Ar, z + Hz) ^
et désignons par t l'angle fini compris entre ces deux
droites : on aura , par les formules connues de la géomé-
trie analytique^

DES LIGJfBS A DOUBLE COURBURE. 395

cosT==coSa(cosa+Acosa)+co»p(cosp-4-Acosp)-4-cosY(cosY-4-AcosY)^
I ==cos*a-hcos*P-f-cos*Y ,
I =(cosa-4-Acosa)*-|-(cosP+Acosp/-h(cosY+-Aco5Y)* ;

d'où Ton tire
2(1 — cosT)=cos*a — 2COS«(cosa-|-Acosa)-h(cosa-|-Acosa)*
-l-cos'p — acosP(cosp-hAcosP)-|-(cosp-hAcosp)*
-t-cos*Y — 2cosy(cosy4-Acosy)-I-(cosy+Acosy)* ,
ou bien

f^sin - j =(Acos«)* + (Acosp)* + (AcosY)*

. Maintenant , si l'angle t devient infiniment petit , ce
que nous exprimons en remplaçant t par dr^ il faudra
remplacer dans l'équation précédente A parrf; et comme
le sinus d'un arc infiniment petit se confond avec l'arc,
on retombera sur la formule (r).

229. Admettons, ce qui est toujours permis, que le
plan osculateur devienne parallèle à celui des xj- : on
aura dz=o , cf^z=Oj d'où X=: o, Y =o,

^ dxcTjr — dyd^x
mais ceci est l'expression du rayon de courbure de la
projection de la courbe sur le plan xj\ 196] ; et l'on trou-
verait aussi pour \ — x^i\ — y des valeurs qui s'ac-
cordent avec celles des coordonnées du centre de cour-
bure d'une courbe plane ; d'où il faut conclure que le
rayon de courbure d'une ligne quelconque tracée dans
l'espace, se confond en grandeur et en direction avec le
rayon de courbure de la projection de cette courbe sur
le plan osculateur.

230. Désignons par V, jx', v' les angles que fait la

396 LIVRE IV. — CHAPITRE V.

normale au plan osculateur avec des parallèles aux axes
des .r, des^ et des z : nous aurons

cos X'=±>--;=====r, cos (x'=± — =====. , cosv'=jr. . -.

Désignons aussi par db l'angle infiniment petit que for-
ment entre elles les normales aux deux plans osculateurs
infiniment voisins, dont l'un se rapporte au point (x,^, z) ■
et l'autre au point (x + dx^j- -hrfr, 2 -4- dz) : on aura^
. d'après ce qui vient d'être démontré ,

rfe*z=(rf. cosX7 + (rf. cosjxO*4-(^.cosvO'

=(d. ^ ^ )\U,- ^ Y-4^a„ ^ ï

_(X*4-Y'-FZ')(rfK'+rfY'4-^')— (X^fX+YrfY+Z^ffl)'
~ (X'+Y»4-Z7

_(X^— YrfX)»4-(Zt?X-XrfZ)'+(YJZ— Z^Y)'
~ (X'+Y"-hZ")»

On trouve d'ailleurs
dyii=dyd^z — dzd^x, dS^=dzd^x — dxd?z ^ dTj=dxd?y — dyd?x ^

xdx—xdyj _zdJi—yidz _YdL—zdY

dz dy dx

= dz{d^xd^y — d^yd>x) + dy{d^zd}x — d^xd^z) + dx{d^ydH — {^zd^y) ,
et par suite

cR dz{d^xd}y — d^y^x) 4- dy{d^zd?x — d^xdPz) + dx{d^yd^z — d^zd^f}

ds {dyd'z — dzd'yy.-^- {dzd^x — dxd^zf + {dxd^y — dyd^xf

Or, de même que l'expression

ds p
où ûfT désigne l'angle de contingence formé par deux
tangentes infiniment voisines, mesure la courbure de la
ligne dans son plan osculateur, ou sdi^première courbure^

DES LIGNES A DOUBLE COURBURE. 397

de même Texpression

dans laquelle rfô désigne l'angle à^ flexion formé .par
deux plans osculateurs consécutifs, mesurera [diseœnde
courbure de la ligne; ce qui justifie la dénomination de
lignes à double courbure^ donnée aux lignes qui ne
sont pas planes.

Pour concevoir la rectification d'une ligne à double
courbure, on peut imaginer que le premier plan oscula-
teur se rabat sur le second , que ces deux-ci se rabattent
sur le troisième, et ainsi de suite, de manière à trans-
former la ligne en courbe plane ; puis , que la première
tangente se rabat sur la seconde, ces deux-ci sur la troi-
sième, et ainsi de suite, de manière à transformer la
courbe plane en ligne droite ; sans que la longueur des
éléments de la courbe primitive ail été altérée dans cette
double opération.

Donc, par une opération en sens inverse ou par deux
flexions consécutives, on passerait de la ligne droite à une
courbe tracée dans l'espace d'une manière quelconque.

On voit que l'expression de la seconde courbure dé-
pend des différentielles du troisième ordre des coordon-
nées X yjy z; tandis que celle de la première courbure
dépend seulement des différentielles du premier et du
second ordre.

231. La seconde flexion s'évanouit et change de signe
en général , quand on a

dz{(fxcby — d^yd^x) -^dy[d^zd^x — d^xd'^z)

-f- dxijPyd^z — d^zdy) = o : (e)

on dit alors que la ligne éprouve une inflexion simple.
Si cette équation de condition se trouve satisfaite pour

398 LIVEE IV. — • CHA.PITaE V.

toutes les valeurs de x , jr, z, la courbe est plane.
. Quand on prend la coordonnée x pour variable in-
dépendante , réquation (e) se ramène à la forme très*
simple

D'après les équations (d) et (p.) , la première flexion
s'évanouit lorsqu'on a à la fois

X=o,Y=o,Z = o,oug=^=:g. (/)

Ces équations de condition se réduisent à^"=:o , 25"= o,
si l'on prend j: pour variable indépendante. Il est évident
d'après cela que, quand les équations {/) sont satisfaites,
l'équation {e) Test pareillement; mais il n'en faut pas
conclure avec quelques auteurs que l'inflexion dans la
première courbure , caractérisée par les équations Çf) ,
entraîne nécessairement l'existence d'une inflexion dou--

ble. Il en résulte seulement que l'expression de -7-, don-
née ci-dessus, se présentera sous la forme ^; et afin d'en
déterminer plus commodément la vraie valeur, prenons
X pour variable indépendante : nous aurons
rfe_ f:^" — :d'f"

Les deux termes de cette fraction s'évanouissent pour
^"=o,z' = o,et il en serait de même de leurs déri-
vées du premier ordre par rapport à la variable indépen-
dante x; mais si l'on passe aux dérivées du second or-
dre, il viendra

di~ (/z'" - zYJ + /"* 4- ^"" '
valeur qui ne pourrait devenir indéterminée que si l'on
avait à la fois^" = o, 2'"=o, et qui est en général dif-
férente de zéro.

DES* LIGNfi8 A l>OUBLE COURBURE. 399

La même chose se voit par une figure; car soient
,/w, /7î, w,, m, (^fig, 70) quatre sommets consécutifs du
polygone gauche, à côtés infiniment petits, que l'on subs-
titue à la ligne à double courbure : on peut regarder le
plan qui passe par les points ,aw, /tz, /w, , comme le plan
osculateur en m, et celui qui passe par les points m, m,,
m^^ comme le plan osculateur en m^^ [t^^S]. Ces deux
plans se coupent suivant une droite mO, Maintenant rien
n'empêche que , sans changer l'inclinaison des deux plans,
et en déplaçant seulement leur ligne d'intersection^ on
amène' le côté mm^ dans le prolongement du côté ^mm;
ce qui fait évanouir l'angle de contingence en m\ tout
en conservant à l'angle de seconde flexion sa valeur.

Mais quand les équations {f) sont satisfaites pour
toutes les valeurs de ^, /, z, la ligne est droite, et par
conséquent Tangle de seconde flexion s'évanouit aussi
bien que l'angle de contingence.

232. Une courbe tracée dans l'espace peut être con-
sidérée comme l'enveloppe de toutes ses tangentes [189],
ou de toutes les droites avec lesquelles sa tangente vient
successivement coïncider, en se déplaçant dans l'espace
d'après une loi donnée par la forme de la courbe. Mais
la réciproque n'est pas vraie ; et une droite qui se meut
arbitrairement dans l'espace peut ne pas avoir, et n'a
pas en général de ligne enveloppe qu'elle vienne succes-
sivement toucher en divers points , dans ses différentes
positions. Soient , pour plus de généralité ,

/(Î,i1,î, «)=o, f(Ç, ^,C,a) = o, (a)

les équations d'une ligne quelconque, équations dans
lesquelles Ç, », X, désignent les coordonnées courantes, et
a un paramètre arbitraire dont la variation coiltinue dé-
termine les changements continus que la .ligne peut

400 LIVRE IV. CHAPITRE V.

éprouver dans sa forme et dans sa position : les équa-
tions de la ligne enveloppe, si elle existe , sont données
en ^, Y), ^ par l'élimination de a entre les deux équations
précédentes et leurs dérivées par rapport à « , ^

^=o, ^=o. (a)

Mais on aurait ainsi plus d'équations qu'il n'en faut pour
déterminer les deux équations de l'enveloppe cherchée ;
à moins que la valeur de a en $, y) , ^, tirée des premiè-
res équations (a), (a), ne fût égale, pour toutes les va-
leurs des coordonnées, à celle qu'on obtiendrait *en éli-
minant a entre les deux dernières équations des mêmes
groupes.

Appliquons ceci aux droites d'intersection de deux
plans infiniment voisins , normaux à une courbe don-
née : ces droites sont évidemment perpendiculaires aux
plans osculateurs correspondants ; et l'angle qu'elles for-
ment entre elles , quand elles deviennent infiniment voi-
sines , est précisément celui que nous avons désigné ci-
dessus par (R. Nous avons trouvé [^^27] , pour les équa-
tions en $, Y), Ç, de celle de ces droites qui correspond
au point (.r,j,z),

{\—x)da: + {y^—y')dx+{X,—z)dz=o , {b)

La variable indépendante ^, dont on conçoit que Xy j-,
z sont fonctions [aaa], tient lieu du paramètre variable
que nous désignions tout à l'heure par a ; ou , ce qui re-
vient au même, on peut supposer que a varie avec t. Or,
nous remarquerons que l'équation {b') a déjà été déduite
de l'équation (é) par une différentiation relative à .r,j^, 2,
considérés comme fonctions de t. Donc , si Ton difïe-
rentie de nouveau par rapport à t les équations (é) et

DES LIGNES A DOUBLE COURBURE. 401

{l/)y on n'introduira qu'une équation nouvelle, savoir :

{l—x)éPx+{i\—y)dy + {l—z)d^z
— i{dxd^a:+ dyfy+dzd'z) = o ; {b")

et par conséquent nous tombons dans le cas exceptionnel
de l'existence d'une enveloppe. Donc il existe une courbe
qui a pour tangentes les normales aux plans osculateurs
de la première courbe , chacune de ces normales étant
l'intersection de deux pians normaux consécutifs. Selon
la remarque de Fourier, l'angle de contingence ou de
première flexion, sur la seconde courbe, est égal à l'an-
gle de seconde flexion, au point correspondant sur la
première courbe; et réciproquement l'angle de contin-
gence de la première courbe est égal à l'angle de se-
conde flexion au point correspondant de la seconde
courbe. Pour établir la réciproque , qui seule a besoin
de preuve, nous remarquerons que les tangentes de la
première courbe comprennent des angles égaux à ceux
que forment les plans normaux, et que le plan normal
de la première courbe est le plan osculateur de la se-
conde. En effet, l'équation {b) est celle du plan normal ;
et en vertu des équations (i') , (ô")> cette équation sub-
siste quand on y remplace XyjyZ par x-^dx^j-^-d/^
z-\- dz f puis par a:-f- ^dx-^-d'x, y -[- '^dy •\- dy,
zS^ %dz'\'d^z; de sorte qu'il comprend trois points in-
finiment voisins pris sur la courbe «dont les coordonnées
courantes sont Ç, n , î^.

233. Quand on désigne par $ , in , î les coordonnées du
centre de courbure, on a, pour déterminer ces trois
coordonnées [^27], les équations {b\ (b')^ et en outre l'é-
quation du plan osculateur

X(Ç— x) + Y(Yi— 7)-4-Z(C— ;3)==o. (c)

Si donc l'on conçoit que les coordonnées .r,^, z et leurs

T. I. Îi6

402 LIVRE IV. CHAPITRE V.

diffëreutielles des deux premiers ordres aient été expri-
mées en fonction d'une variable indépendante t^ il n'y aura
plus qu'à éliminer Centre ces trois équations pour avoir
deux équations en ^, t) , ^ seulement, qui seront celles de la
ligne sur laquelle se trouvent tous les centres de cour-
bure de la courbe proposée.

Puisque Ç, tj, ^ sont des fonctions de ^, nous pou-
vons diflférentier l'équation {h) en faisant tout varier, et
ainsi il viendra , à cause de l'équation {b'\

d^dx + éf\dx+dl^dz = o : (g)

d'où il suit que la tangente à la nouvelle courbe , menée
par le point (Ç, y), Q, est perpendiculaire à la tangente
menée à la courbe proposée, au point (j:,^,z), et com-
prise dans son plan normal.
De même l'équation

(Ç-x)*+(^-j)*+(î;-z)« = p%

quand on y fait tout varier, et qu'on a égard à l'équa-
tion (A), donne

{\ — x)di + {ri—X)Jyi'^{^ — z)dt—^9,
d'où l'on tire, en posant ^*-[-rfY)*-[-^r=<^ff%

^d<,— p d<T^ ^ dfT^ p d<T ^^'^

Le second membre de eette dernière équation exprime
le cosinus de l'angle que le rayon de courbure p forme
avec la tangente à la courbe qui est le lieu des centres
de courbure de la proposée. Quand la proposée est plane,
cet angle s'évanouit^ et l'on a df:=dt:da. De ce résul-
tat, comparé à l'équation (^), on conclut que le lieu des
centres de courbure est en même temps la développée de
la courbe proposée.

Pour montrer qu'il n'en est plus de même quand la
proposée cesse d'être plane, ou que la direction du rayon

DES LIGNES A DOUBLE COURBURE. 403

de courbure ne se confond plus avec celle de la tan-
gente à la ligne des centres de courbure, il suffit de
prouver que le système des rayons de courbure n'a pas
d'enveloppe, ou qu'on ne peut pas tracer dans l'espace
une ligne que tous ces rayons viennent toucher.

A cet effet, remarquons que la direction de la droite p
est donnée par l'intersection du plan normal et du plan
osculateur; qu'ainsi les deux équations de cette droite
en ^9 V] ) C sont

(Ç— a:)flfo-4-(4f— j)flÎK + (C— ^)€fe = o, {&)
X(5-^) + Y^— 7) + Z(ï— z)=::o. (e)

Pour avoir l'équation de l'enveloppe des droites p, si
elle existe, il faut joindre à ces équations leurs dérivées
par rapport à la variable indépendante t. On obtient
ainsi, en ayant égard à l'équation (c'),

Or, des quatre équations (è), (c), (ù") et (c\) on déduit,
par l'élimination des binômes Ç — œ, ^— 7*? K — z, une
équation de condition à laquelle doivent satisfaire les
coordonnées J?,^, z et leurs ^différentielles, pour que
les droites p puissent avoir une enveloppe. Par. exemple,
les équations (i), (c)^ (b') donnent les valeurs de
Ç — jc, ti—jy ^ — 2, déjà écrites au n° aa8, et ces va-
leurs, substituées dans l'équation (c',), la rendent iden-
tique avec l'équation (^), laquelle exprime, comme on
l'a vu, que la proposée est une courbe plane, quand
elle est vérifiée pour toutes les valeurs de Xyj^ z.

On arriverait au même résultat , mais moins simple-
ment , en exprimant que le second membre de {g^ dpit
se réduire à l'unité pour toutes les valeurs de x, j^ z.

De ce que la ligne des centres de courbure n'est plus

a6.

404 LIVRE IV. CHAPITRE V.

une développée quand la courbe proposée cesse d'être
plane, il ne faudrait pas conclure que les lignes à double
courbure ne peuvent avoir de développées : mais comme
la construction des développées, pour les lignes à double
courbure, se rattache à la théorie des sur&ces courbes,
nous n'en traiterons que plus loin.

234. Appliquons les formules données dans ce cha-
pitre à la ligne désignée sous le nom ShéUce, qui est
tracée sur la surface d'un cylindre droit à base circu-
laire , de manière que la tangefite à la courbe forme
un angle constant avec les génératrices du cylindre, ou
(ce qui revient au même) de manière que la courbe
se change en ligne droite par le développement de la
surface cylindrique sur un plan. Soient R le rayon du cy-
lindre dont nous supposerons que l'axe se confond avec
celui des z; f l'angle compris entre le plan ^s ^^ et
celui des plans menés par l'^xe dans lequel se trouve le
point {x^y^z) de la courbe; a la tangente trigonomé-
trique de l'angle constant formé par la tangente à la
courbe avec la génératrice du cylindre : la définition de
l'hélice donnera immédiatement

j7z=R cos <p , /= Rsin (p , z=: aR(p ; (A)

du moins en admettant qu'on a fait passer l'axe des x
par le point où l'hélice pénètre le plan xy.

On en conclut, pour les équations en coordonnées rec-
tangulaires des projections de la courbe sur les plans
desxz et des ^2,

x = Rcos^,jr=Rsin^; (A.)

quant à l'équation de la projection de la courbe sur le
plan xjr^ elle se confond évidemment avec celle de la
trace du cylindre

DES LIGNES A DOUBLE COURBURE. 405

^ + 7-=:R«. (À.)

On aurait encore Téquation

^ = tang^, (A,)

qui est celle de la surface engendrée par une droite qui
se mouvrait en restant parallèle au plan xy, de ma-
nière à s'appuyer constamment sur l'hélice et sur l'axe
du cylindre.

Il est bon de remarquer que le système des équations
{h^ ne représente qu'une seule hélice , savoir celle qui
est définie au moyen de l'angle ç par les équations (A);
tandis que le système des équations (A^), (Aj), ou celui
qui serait formé de la combinaison de l'équation (A3)
avec l'une des équations (A,), sont propres à représenter
en outre l'hélice qu'on obtiendrait en renplaçant , dans
les équations (A),ç par 'îî-j'?- Cette superfétation qui a
lieu pour certains systèmes de projections et non pour
d'autres, est analogue à celle que nous avons signalée à
propos de la cycloïde [ 1 76] .

On trouve pour les équations de la tangente

\ X 7)— J C — z

sin «p cos ^ a '

et pour celle du plan normal

(Ç — .ir)sincp-^(tl — j)cos<p — .a(C — z)z=zo .
On en conclut que le plan normal forme un angle cons-
tant avec celui des a;/, ce qui ressort d'ailleurs de la
définition de la courbe.

Les coordonnées Ç, yi du point où la tangente à l'hé-
lice au point (^,/, 2) pénètre le plan xjy sont données
par les équations

5 — ^a?=~sin <p = Rcp sin (p , ti-7j':=>— cos ç = — R(p cos <p ,

406 LIVRE IV. CHAPITRE V.

d'où Ton tire

(J-ar)' + (,,_jr)«=RV.
Soient A/wBA(y^. 71) Fintersection du cylindre et d(i
plan xjr; A le point où l'hélice pénètre ce plan; /W(i, la
projection de la tangente à l'hélice au point qui se pro-
jette en m sur le plan xy; \k le point où cette tangente
pénètre le plan : la droite m\f. touchera le cercle en m;
et il résulte de l'équation précédente que la portion de
droite /72(a a la même longueur que l'arc A//2. Donc, si
la tangente à l'hélice se meut en touchant constamnient
cette courbe, le point (i. où elle pénètre le plan xj dé-
crit sur ce plan une développante du cercle donné par
l'intersection du cylindre et du plan : et la développante
a son rebroussement [221] au point où le plan est pé-
nétré par l'hélice.

235. On a, en prenant l'angle 9 pour variable indé-
pendante, ce qui est conforme à la nature delà courbe,

dx=. — Rsin<p</9, <^=Rcosf</^, dzz=^a'RAf ;
é?ar= — Rcos^^*, ^z=z — Rsinfd^c^, d^zzzzo ;
£^ar = Rsincp^(p', </y= — Rcos^<p', d^z=io .

Désignons de plus par i l'angle constant dont la tan-
gente est a : il viendra

ds = :A, d*sz=.o ;

cos « ^ '

au moyen de quoi la formule (p>) donnera pour la me-
sure de la première courbure

I cos* i

et l'on aura aussi pour la mesure de la seconde courbure,
d'après les formules du n? ià3o,

d^ sinicosi

S~ R

I>ES LIGITES A DOUBLE COURBURE. 407

L'équatioa du plan osculatear derieiit

tangi [(( — x)sîn(p — (ij — /)cos^]+C — zz=:o^

ou plus simplement, en vertu des équations (A),

C — z=a(v)cosf — Çsin^) ;

et Ton reconnaît qu'il a une inclinaison constante sur
celui des xj".

On a pour les coordonnées Ç^ti,^ du centre de cour-
bure

Ç= — a'Rcos(p,Yi = — a*Rsin(p, i; = aRf, (ti)

valeurs tout à fait analogues à celles de jc, y^ z en fonc-
tion de f , et qui montrent que la ligne des centres de
courbure est une seconde hélice, tracée sur un cylindre
qui a aussi pour axe l'axe des z et dont le rayon est a'R*
D'ailleurs cette ligne se trouve , comme la première hé-
lice, sur la surface déBnie par l'équation (A3); et comme
les équations (A), (») donnent les mêmes valeurs pour
z et pour ^, il s'ensuit que les deux hélices ont le même
paSyOVL que les variables z, ^ reçoivent le même accrois-
sement quand l'arc f augmente d'une circonférence.

Il résulte encore de la comparaison des équations
(A), (yî) que le rayon de courbure p est dirigé suivant le
rayon du cylindre (Aa) ou suivant la droite mobile qui
décrit la surface (A3); et par conséquent qu'il coupe à
angle droit' l'axe de l'hélice. Comme on a de plus

ûra = ±Rsin* . cT^, p = conse. ,

on conclut en outre de la formule (g^) que le rayon p
coupe à angle droit la tangente à la ligne des centres de
courbure. Au surplus, ceci résulte sans calcul de ce que
p est dirigé suivant le rayon du cylindre sur lequel est
placée la seconde hélice, lieu des centres de courbure.

410 LITRE IV. CHAPITRE VI.

Appelons Ç , ti , ^ les coordonnées courantes de la
tangente a la courbe dont il s^agit, menée par le point
( a:, /^ z): les équations de cette tangente seront [^23]

Si donc on élimine entre elles ^', i'équation résultante
appartiendra à la surface sur lac^uelle se trouvent toutes
les tangentes que Ton peut mener, par le point (x, j^, 2),
aux courbes quelconques tracées sur la surface donnée.
L'élimination donne

Ç— z=/?(ï— J7)H-î(ij— 7), (2)

équation d'un plan qui aurait ^ 9 v) , ^ pour coordonnées
courantes, et auquel ou donne le nom de plan tan-
gent, parce qu'il est le lieu de toutes les tangentes des
courbes tracées §ur la surface, et passant par le point
de contact.

La proposition cesserait en général d'être exacte , si les
deux fonctions/)^ q, ou seulement l'une d'entre elles^ après
avoir été ramenées à ne contenir que a: et y, au moyen
de la valeur de ^ en ^^ ^, donnée par l'équation de la
sur&ce , se présentaient sous Tune des formes indéter-
minées ^, :; : car alors [1 89] les valeurs dejp, q dépendent
en général de la liaison entre jr eX. Xy ou sont fonctions
de y. On ne peut donc plus éliminer^ entre les équa-
tions ( I ) tant que la composition des fonctions p^ q en
/' n'est pas donnée; et lorsqu'elle l'est, l'élimination ne
conduit plus en général à une équation linéaire en ^, y),C
Le point (.r, y y z) est alors un point saillant de la sur-
face donnée , et le lieu des tangentes devient une sur-
face conique, c'est-à-dire, une surface du genre de celles
que décrit une droite en tournant d'une manière quel-
conque autour d'un point 6xe..Si, par exemple, on &it
tourner un arc de cercle , moindre qu'une demi - cir-

DES PLANS TANGENTS. 411

conférence, autour de sa corde , les deux points extrêmes
de Tare sont des points saillants de la surface engendrée
par ce mouvement de rotation , et le lieu des tangentes
aux courbes tracées sur la surface , à partir de chacun
de ces points y est la sur&ce d'un cône droit.

Le plan tangent peut n'avoir qu'un point de corn»
mun avec la surface, ce qui est une propriété des sur-
faces convexes en tous leurs points , comme celles de la
sphère et de l'ellipsoïde. Mais plus généralement ce plan
peut couper la surface, et même la couper suivant une
ligne passant par le point de contact , ce qui n'empêche
pas qu'il ne soit le lieu des tangentes à toutes les courbes
tracées en ce point sur la surface. .Cette ligne d'inter-
section sépare sur la surface les lignes qui s'élèvent au-
dessus du plan tangent de celles qui s'abaissent au-des-
sous du même plan.

Par exemple, si le cercle MNM'N' {Jig. 73 ) tourne
autour de la droite PP' comprise dans son plan , il en-
gendre une surface connue sous le nom (Fanneau ou
de surface annulaire : dans la portion de la surface en-
gendrée par la rotation du demi-cercle MNM' le plan
tangent n'a qu'un point de commun avec la surface ,
tandis que dans l'autre portion , engendrée par la rota-
tion du demi-cercle MN'M% la surface est coupée par
son plan tangent.

237. Soit F {Xfjr, z)=o l'équation de la surface, et
exprimons les dérivées p, g au moyen des dérivées par-
tielles de la fonction F : l'équation du plan tangent de-
viendra

c'est-à-dire qu'on la déduit de ^=0 , en remplaçant les

412 LIVRE IV. CHAPITRE VI.

différentielles dx , dy, dz parles différences Ç — ^x , » — j^

La droite menée par le point de contact, perpendi-
culairement au plan tangent , est la normale à la sur-
face, et les plans qui comprennent la normale se nom-
ment plans normaux. L'intersection de la surface et de
l'un quelconque de ses plans normaux est qualifiée de
section normale y et, par opposition, les autres sections
planes de la surface sont appelées sections obliques.

Les deux équations da la normale se tirent de la for-
mule

\—x ^ — y C — z

dF ~ dF ~ dF '
dx dy , dz

ou

^-^-^-^ = -(C-z)

Pi
Soient X, [jl, v les angles de la normale avec des paral-
lèles aux axes des x^j^ z, ces angles étant mesurés du
coté des coordonnées positives, et posons

nous aurons

I rfF I rfF

COSX = — 7==== , COS(X=-— = ^ , COS V = ,.""'"'

l^i-hp+y* V^W^ l/i+/?'+y"

Les lettres X, (jl, v désignent encore les angles du plan
tangent avec ceux des ^2 , des xz et des xy. Toutes ces
f(M*mules sont d'un usage très-fréquent.
238. Soit

û{Fi=X<ir + Yrf7+Zrfz = o (4)

DES PLANS TAICGENTS. 413

réquation différentielle commune à une série de surfaces

F{a:,r,z) = a, (5)

qui ne différent que par la valeur du paramètre a : les
équations de la normale pourront s'écrire sous la forme

Y($— a;) — X(rj-7)=o, Z{l^a:) — XÇ:—z)=o;
et ce seront les équations des droites qui touchent au
point (a:, ^, z) des lignes tracées dans l'espace, ayant la
propriété de satisfaire aux équations différentielles

Y-X^ = o,Z-X^"=o.
dx dx

Donc ces lignes ont aussi la propriété de rencontrer sous
l'incidence normale toutes les surfaces représentées par
l'équation (5) ou par l'équation (4) , conformément à ce
qui a été annoncé \i'k^et i5i].

239. Appliquons les formules précédentes à l'équa-
tion

qui appartient ( comme il est facile de le voir d'après sa
forme ) à la surface engendrée par la révolution d'une
hyperbole autour de son axe non transverse : surface que
l'on désigne sous le nom Shyperbohïde de révolaiion
à une nappe , pour la distinguer de Xhyperboloîde de
révolution à deux nappes y décrit par la rotation d'une
hyperbole autour de son axe transverse.
On trouve pour l'équation du plan tangent

Lorsqu'on y considère Ç , "ji ,î comme des constantes , et
Xj y^ z comme les coordonnées courantes , cette équation
appartient à un plan qui coupe l'hyperboloïde suivant
une courbe, lieu des points de contact de l'hyperboloïde

414 LIVRE IV. CHAPITRE VI.

avec tous les plans tangents assujettis à passer par le
point (Ç> Y) 9 0* U*^ calcul semblable, appliqué à Téqua-
tion générale des surfaces du second degré, montre éga-
lement que si, par un point donné, on mène des plans
tangents à Tune quelconque de ces surfaces, le lieu de
tous les points de contact est une courbe plane du second
degré. Il en résulte que la surface conique, circonscrite
à une surface du second degré, est un cône du second
degré.

Si le plan tangent (7) coupe l'h^perboloïde en même
temps qu'il le touche , les équations de la ligne d'inter-
section sont données en Ç, tj , 2^ par la combinaison de l'é-
quation (7) avec la suivante.

Or, la combinaison des équations (6), (7) , (8) donne

ou bien

et cette dernière équation se décompose en

a» "" A ' a^ ~ b

L'une ou l'autre de ces équations , associée à l'équa-
tion ( 7 ) , représente une droite. Donc le plan tangent
coupe la surface suivant deux droites menées par le point
de contact : chacune de ces droites se déplace avec le
point (^,^, 2), et conséquemment Fhyperboloïde peut
être décrit par chacune de ces droites mobiles.

Rien n'empêche de faire, dans les équations (6) et (7),
2=0 , ce qui revient à prendre pour le point de contact

i

BBS PLANS TAUGENTS. 415

im des points du cercle :r'-j-jK*=eï*, suivant lequel l'hy-
perboloïde est coupé par le plan a:j: L'équation (7)
se réduit alors à :rÇ-j-^=a*, et elle exprime évidem-
ment que les droites mobiles dont il était question tout
à l'heure ont pour projection sur le pjan jcj- des droites
tangentes au cercle engendré par la rotation de l'un ou
de l'autre des sommets de l'hyperbole. On donne à ce
cercle le nom de cercle de gorge ou de ligne de strie-
tion.

240. Mettons l'équation d'une surface sous la forme
z-=f{^x^y) : on aura [157]

dx^ dxdy ^

^ dr ^ j

-0 désignant un nombre compris entre zéro et l'unité.
Soit

l'équation d'un plan quelconque, assujetti à passer par
le point (^, /, z) : son ordonnée ^, correspondant aux
abscisses Ç=^-|"^^^ ^n ==/-{- A^, a pour valeur

d'où

/(a?+A^,7 + A/)— C = (/?— /w)Aar+(gr— /î)A/

*L da^ dxdy ^

^ d^fjx^^l^.y+^t^y^^A ^

IsjCy by étant des quantités très-petites du premier ordre
et d'ailleurs quelconques , la différence des ordonnées de
la surface et du plan

/(a: + Aa:,7-f.Aj)— C (A)

416 LIVRE IV. CHAPITRE Vf.

est une quantité très-petite du premier ordre , tant que

les termes

{p—m)Lrrir{q—n)^jr^

vis'à-vis desquels on peut négliger la seconde partie de
la valeur de (a), ne s'évanouissent pas; mais si l'on a
m==Pf n=:qy ou si le plan {%') se confond avec le plan
tangent (a), la différence (à) se réduit à une quantité
très-petite du second ordre. D'ailleurs on reconnaît aisé-
ment que la perpendiculaire abaissée du point (j;-|- Ax,
^-j- A^, z -j- Az ) sur le plan {%) est en général une quan-
tité de l'ordre de (A). Donc on peut considérer le plan
tangent comme un plan qui -se rapproche de la surface,
dans le voisinage du point de contact, plus que ne le
ferait tout autre plan passant par le même point [2o3].

CHAPITRE VII.

CARACTJ^RES ANALYTIQUES DES PRINCIPALES FAMILLES
DE SURFACES.

241. On sait que toute liaison mathématique ou em-
pirique entre les variables .r, /, z, désignée d'une ma-
nière générale par

F(a:,7, z)=:o, (ij

donne lieu à la construction d'une surface, quand ou
considère a:, /, z comme les trois coordonnées qui fixent
la position d'un point dans l'espace. Mais en général la
surface ainsi construite ne serait pas définie géométri-
quement; et maintenant qu'il s'agit, non plus de figurer
dans l'étendue les conceptions de l'analyse , mais d'ap*
pliquer l'analyse à la théorie de l'étendue, nous n'avons
réellement à considérer que les surfaces caractérisées par
des propriétés géométriques.

Il peut se faire que la définition géométrique d'une
surface se traduise immédiatement par une équation
entre ses coordonnées courantes ; ainsi l'équation

exprime immédiatement ce caractère géométrique par
lequel on peut définir la surface d'une sphère : savoir,
que tous ses points sont à une distance constante d'un
autre point pris ici pour origine des coordonnées. Mais,
plus ordinairement, la définition géométrique d'une
surface consiste à assigner la loi de la description de la
surface par une ligne : soit que la ligne se meuve sim-
T. I. a7

418 LIVRE IV. CHAPITRE VII.

plement dans Fespace sans changer de forme, soit qu'elle
change de forme en même temps qu'elle se déplace. Dans
ce cas, l'équation (i) est censée donnée par l'élimination
du paramètre a entre les équations

/(•^> J>/> «)=o, f(a:,/,^, a)=o, (2)
qui sont celles d'une ligne tracée dans l'espace : cette
ligne, à laquelle on donne le nom de génératrice y va-
riant continuellement, ou de position et de forme, ou
au moins de position , avec le paramètre a.

On dit encore que la surface (1) est le lieu géométri-
que de toutes les lignes que donne le système des équa-
tions (a), quand on y fait varier sans discontinuité le
paramètre a.

Ainsi , le cône droit que l'on considère dans les élé-
ments de géométrie est la surface décrite par une droite
qui se meut en passant constamment par un point fixe,
et en faisant avec une autre droite menée par le même
point un angle constant. On pourrait encore regarder
la surface du cône comme décrite par un cercle de
rayon variable, dont le centre se meut sur l'axe du cône
tandis que son plan reste perpendiculaire à cet axe, et
dont le rayon est proportionnel à la distance du sommet
du cône au centre du cercle mobile.

242. Ceci conduit à la distribution des surfaces en
familles, d'après les analogies géométriques de leurs
modes de description; et cette distribution, aussi cu-
rieuse en elle-même qu'utile pour l'intelligence des opé-
rations des arts, a de plus pour nous cet intérêt, qu'elle
se lie étroitement à la théorie des fonctions , telle que
nous l'avons conçue. Il ne faut point la confondre avec
la classification des lignes ou des surfaces algébriques
d'après le degré de leurs équations , quoique les con-

DES FAMILLES DE SURFACES. 419

nexions de la géométrie et de l'algèbre établissent souvent
des analogies entre les lignes ou entre les surfaces asso-
ciées par le degré de leurs équations algébriques [^07].

Par exemple, le cône droit dont il était question tout
à Theure appartient à la famille des surfaces coniques,
qui ont pour caractère générique d'être décrites par
une droite assujettie à passer constamment par un
point fixe. De même le cylindre droit dont on s'oc-
cupe dans les éléments appartient à la famille des sur-
faces cylindriques , engendrées par une droite qui se
meut en restant constamment parallèle à elle-même. Pour
diriger, dans l'un et dans l'autre cas, le mouvement
de la droite génératrice, rien n'empêche de substituer
au cercle qui donne le cylindre et le cône ordinaires,
une courbe quelconque, algébrique ou transcendante,
ou tracée dans l'espace d'une manière absolument arbi-
traire. En général, on appelle lignes directrices celles
sur lesquelles s'appuie la ligne génératrice pour décrire
une surface déterminée.

Lia distribution des surfeces en familles diffère d'une
classification proprement dite [18] en ce sens que la même
surface peut se ranger dans diverses familles, selon les
analogies diverses que son mode de description manifeste.
Ainsi, l'on peut encore considérer le cône et le cylindre
ordinaires comme appartenant à la famille des surfaces de
révolution^ qui ont pour caractère générique d'être dé-
crites par une ligne plane, que Ton nomme ligne méri-
dienne, tournant autour d'un axe fixe compris dans le
plan de la méridienne, ou dans le plan méridien. La
ligne méridienne se réduit à une droite, parallèle ou
oblique à l'axe do rotation , dans le cas du cylindre ou

27.

420 LIVRE IV. CHAPITRE VII.

du cône droits j mais elle peut être une courbe tracée
arbitrairement dans le plan méridien.

Ainsi, Ton conçoit que des surfaces dont les équations
ne sont pas algébriques et ne peuvent même s'écrire avec
des signes mathématiques, sont pourtant susceptibles de
jouir de propriétés communes et d'être géométriquement
étudiées, sous le rapport des caractères génériques qui
ont servi à les grouper.

Classe des surfaces réglées.

243. On appelle surfaces réglées toutes celles que
peut décrire une droite en se mouvant dans l'espace
d'une manière quelconque. On renversera cette défini-
tion en disant que, par un point quelconque pris sur
une surface réglée , on peut mener une droite qui s'ap-
plique en tous ses points sur la surface. Le plan tangent
à une surface réglée, comprenant toutes les tangentes
aux lignes menées sur la surface par le point de con-
tact, comprend la génératrice menée par ce point, puis-
qu'une ligne se confond avec sa tangente, quand elle
devient droite.

Les équations de la droite génératrice, étant mises
sous la forme

j=:aa:4-Y, 3 = pa: + a,

ne doivent contenir qu'un paramètre arbitraire, sans
quoi il n'existerait pas de surface , lieu de toutes les gé-
nératrices : ainsi l'on a

de sorte que le système des deux équations

j=:ou:4-^a, zz= Xff% + xioL ^ (3)

oïl (p, i(^ri entrent comme caractéristiques de fonctions

DES FAMILLES DE SURFACES. 421

arbitraives , est propre à représenter une surface réglée
quelconque.

En général^ les deux génératrices infiniment voisines,
pour lesquelles le paramètre variable prend les valeurs
a et a-j-rfa , ne se rencontrent pas : ce qui revient à dire
[aSti] qu'il n'existe pas dans l'espace de ligne qui soit
l'enveloppe de toutes les droites génératrices; car les
équations de l'enveloppe, si elle existait, résulteraient
de l'élimination de a entre les équations (3) et leurs déri*
vées prises par rapport à a,

a? 4- \|;'a = o , ^ y'a -+. tïJ « =z o.
Mais, pour que ces deux dernières équations puissent
exister ensemble, il faut qu'on ait

•d'à = (p'a. ^'a , (4)

équation de condition qui ne laisse arbitraires et indé-
pendantes que deux des fonctions (fj^jXS.

Quand elle n'est pas satisfaite, et que les droites gé-
nératrices n'ont pas d'enveloppe, la surface réglée est
qualifiée de surface gauche : au cas contraire, elle est
(|ualifiée (par une raison que nous expliquerons bientôt)
de surface déifeloppabte.

244. Si les fonctions ^ , ^, xj étaient données, l'équa*
tion de la surface réglée correspondante résulterait de
l'élimination de a entre les deux équations (3). On peut
donc considérer dans ces deux équations les variables
aetz comme fonctions des deux variables indépendante^
.r, j^. En prenant les dérivées de la première équation
par rapport à chacune des variables indépendantes, on a

£(a; + f «)=-«, ^(^ + ^'«)=,5 (5)
et en opérant de même sur la seconde

^(V« + ^'«)=;^ — ?«, ^(^?«+trf'a) = jr. (6)

422 LIVRE IV. CHAPITRE VII.

On en conclut

doi dd p — çpa , V

di'Tr=—r = '''' ^7)

de sorte qu'on peut aussi représenter une surface réglée
quelconque par le système des deux équations

OÙ entrent les dérivées du premier ordre p et q^ mais
oîi n'entrent plus que deux signes de fonctions arbitraires
9 et (|/. La seconde de ces équations donne, par deux
différentiations relatives à a: et à ^,

— (<p'a— y)==r + a^, ^ (ç a — y) = 5 + «^ ,

d'où , en vertu de l'équation (7),

— a = — : — - , ou aV + lias -j- r = o . (o)

Donc une surface réglée quelconque peut encore être
représentée par le système

OÙ entrent les dérivées partielles du second ordre r, s, tj
mais où n'entre plus que le signe de fonction arbitraire
^. Enfin 9 si nous différentions l'équation (8) par rap-
port à a: et à ^, il viendra

d^ r V , , V

dot

a y (5 -h«^)= — (*'*' 4- ^^^ ■*"*«)>

et par conséquent

— anz— ou a'^-i-3a'fv-i- 3aM/4-«=o. (9)

Si maintenant on élimine a entre les équations (8) et
(9), on aura une équation aux différences partielles du
troisième ordre , délivrée de tout signe de fonction ar-
bitraire, ayant la même généralité que le système des

DES FAMILLES DE SURFACES. 423

équations (3), et convenant comme celles-ci aux sur-
faces réglées quelconques.

Ou arrive trèsrdirectement au même résultat eu cou-
sidérant que, sur une surface réglée quelconque, trois
plans tangents infiniment voisins se coupent suivant une
même droite, qui est l'une des génératrices, lorsque les
trois points de contact infiniment voisins sont pris sur
cette génératrice même.

En effet, Téquation du plan tangent

a pour dérivées deâ deux premiers ordres

d'p{l—x) + d*q{n'-y)—{da:dp-^dxdg)z=o ;j ^'""^
et elles devront chacune, par leur combinaison avec
l'équation du plan tangent, déterminer la même ligne
droite; ce qui entraîne

dx dx dz

5 — ^ ^ — jr Ç — z ^
et ce qui réduit les équations ( i o) à

dpdx + dqdyzziLO ^ d^pdx-^- d*qdy:=io\
ou bien à

Il faudra en outre que l'on tire de ces deux équations
la même valeur de la tangentey de l'angle que la pro-
jection de la génératrice sur le plan xjr fait avec l'axe
des^; et en effet les deux équations précédentes ne dif-
fèrent respectivement des équations (8) et (9) que par
le changement de a en y.

Ordre des surfaces développables.
245. Quand les droites génératrices ont une envc-

424 LIVRE IV. CHAPITRE VII.

loppe^ et que l'équation (4) est satisfaite^ les équations
(6) deviennent, par la substitution de la valeur de trf'a,

d'oïl l'on tire, en vertu des équations (5),

Si la fonction ,(p était donnée, on éliminerait a entre ces
dernières équations , et l'on en tirerait

p=jiq . (n)

Tant que la fonction ç reste arbitraire, la fonction n
qui s'en déduit conserve la même indétermination ; et
réciproquement l'indétermination de n maintient l'in-
détermination de (f : les surfaces développables sont donc
caractérisées indifféremment, ou par le système des
équations (3) et (4) qui renferment les coordonnées
Xy y y z et trois fonctions arbitraires , dont deux indé-
pendantes; ou par l'équation (K) qui ne renferme que
les dérivées p etq sous un signe unig;4e de fonction ar-.
bitraire.

On fait disparaître te signe Eien passant aux. dérivées
du second ordre, et il vient, comme on l'a déjà trouvé
[.68],

rt — *»iz=o .

Le plan tangent à une surface développable touehe
la surface sur tout le prolongement de ia droite généra-
trice comprise dans ce plan tangent. En effet, la condi-
tion pour le plan tangent de passer par une génératrice
donnée établit, pour tous les points de contact situés
sur cette génératrice, la même équation de condition
entre les dérivées/?, q; et si l'on y joint l'équation (n),
les quantités /?, 5^ se trouvent individuellement détermi-

DES FAMILLES OE SURFACES. 425

nées, et ont mêmes valeurs pour tous ces points de
contact.

De cette proposition établie pour les surfaces dévelop-
pables il faut conclure inversement que , pour les sur-
faces gauches, le plan tangent qui comprend toujours
la génératrice menée par le point de contact , ne touche
pas la surface, et par conséquent la coupe en tout autre
point de la droite génératrice.

246. I^s surfaces développables sont ainsi appelées
parce qu'elles peuvent s'étaler ou se développer sur un
plan sans déchirure ni duplicature , ou sans qu'une ligne
quelconque, tracée sur la surface, ait été raccourcie ou
allongée dans aucun de ses éléments. Considérons en effet
une suite de génératrices infiniment voisines, m\L^ ^Jf*^^
m^]f,^ , . . . {fig- 72 ) i qui se coupent deux à deux, de ma-
nière à avoir pour ligne enveloppe le polygone gauche
infinitésimal (xjji,(jl, ..... L'élément plan m^un^ pourra
tourner autour de la droite //i^pipt.,, pour venir se rabattre
sur le plan de l'élément contigu m^iL^m^; ces deux.élé*
ments , ainsi ramenés dans un même plan, se rabattront
à leur tour sur le plan de l'élément m^}f.jmi^ et ainsi de
suite. Nous reviendrons dans le chapitre suivant, par
d autres considérations , sur cette propriété des surfaces
développables et sur les conséquences qu'on en peut
tirer.

La ligne (jl(i.i|jl,,. . . ou l'enveloppe des génératrices
iW(t, /w,(ji,, /72t(t,, etc., se nomme X arête de rebrousse-
ment de la surface développable qui est le lieu de toutes
ces génératrices. Chaque ligne à double courbure peut
donc être considérée comme l'arête de rebroussemeot
d'une surface développable , décrite par une droite qui
se meut en restant tangente à cette ligne. En con^é-

426 LIVRE IV. CHAPITRE VII.

quence^ pour compléter la théorie des lignes à double
courbure, il convient de la rattacher à celle des surfaces
développables , ainsi que nous le ferons plus loin.

L'arête de rebroussement peut se réduire à un point,
comme cela arrive pour les surfaces coniques qui sont
évidemment développabléà. Quand le point d'intersection
de toutes les génératrices s'éloigne à Tinfîni, la surface ,
sans cesser d'être développable , devient une surface cy-
lindrique. Nous allons traiter plus particulièrement de
ces deux familles de surfaces développables.

Famille des surfaces cylindriques.

247. Mettons les équations de la droite génératrice
sous la forme

a7 = £iz+a, x = bz'^P; (il)

on aura entre les paramètres variables a , ^ , une liai-
son

P — ?« j (?)

d'où

J— i^=^(a?-^flJ3) . (12)

Tant que les coefficients a^ é et la fonction ç conservent
leur indétermination , l'équation (12) convient à une sur-
face cylindrique quelconque. Si l'on assigne aux coeffi-
cients a , b des valeurs numériques , on assujettit les
génératrices à faire, avec les parallèles aux axes des coor-
données, des angles déterminés.

Après avoir pris les dérivées de l'équation ( i^) par
rapport à chacune des variables indépendantes x^ /^ on
éliminera à la manière ordinaire la fonction 9% et il

viendra

ap + bq=^i ^ (i3)

équation aux différences partielles, qui a précisément la

DES FAMILLES DE SURFACES. 427

même étendue que l'équation ( 1 2) dont elle dérive. D'a-
près la signification géométrique des dérivées /?, gr, Té-
quation (t3) exprime que le pian tangent est toujours
parallèle à la droite .x=zaz,jr=^èz;etVùn aurait pu
s'appuyer sur cette propriété du plan tangent (aux sur-
faces cylindriques, pour écrire directement Téquation
(.3).

248. On donne le nom de section droite à la courbe
d'intersection d'une surface cylindrique et d'un plan per-
pendiculaire à ses génératrices. Pour déterminer cette
section droite , ou, plus généralement , pour déterminer
la fonction arbitraire ç qui entre dans l'équation ( 12) ,
on peut assujettir la surface à passer par une courbe di-
rectrice donnée [2^':^]. Soient

/(j:,j, ^) = o, (/) ( ,...

• f(^,j,^) = o, (f) ) ^^^ ^

les équations de la directrice : on éliminera \r, /, z en*
tre les équations (11), \fi^)t et il viendra pour résul-
tante une équation de la forme

F(«,p)=o, ^ _ (F)

qui doit être identique avec (9)9 et qui détermine par
conséquent la fonction 9. D'ailleurs , si l'on remet dans
l'équation (F), pour a et p leurs valeurs eax^j, z, il

viendra

F(^— azy y — i^)=o , (i4)

et ce sera l'équation de la surfieice cylindrique demandée»
Dans le cas où la courbe directrice serait tracée dans
le plan xy et aurait pour équation.

/(^,7} = o ,
r^uation (F) se changerait en /(«, lî)=±:o;, et Ton au^
rait pour l'équation (j4)

f{x — az ^ y — iz) = o . (i 5}

428 LIVRE IV. CHAPITRE VII.

Cette dernière équation exprime que la section de la.
surface par un plan parallèle à celui des xy^ dont l'or*
donnée est z,se projette en^ suivant une ligne identique
avec la directrice , et qu'on obtiendrait en faisant glisser
la directrice sur le plan xy^ parallèlement à la droite dont

l'angle avec l'axe des x a pour tangente - , de manière

que tous les points de la directrice décrivissent des por-
tions de droites parallèles, égales en longueur à zl/^»-!-^».
Par conséquent, l'équation ( i5) a un sens géométrique
déterminé; et elle ramène à des constructions faciles tous
les problèmes que Ton peut se proposer concernant les
surfaces cylindriques , sans qu'il soit besoin de faire per-
dre à la fonction y* de sa généralité, en lui attribuant une
expression mathématique; au lieu que l'équation (i4) n'a
par elle-même aucun sens , quand l'élimination entre les
équations (i i), (,/"), (f) n'est pas praticable, ou lors-
que les fonctions /* et f cessent d'avoir une expression
mathématique. Toutefois, du moment que la courbe di-
rectrice est donnée par le tracé de ses projections sur
deux plans rectangulaires , la géométrie descriptive en-
seigne à construire par points la courbe d'intersection de
la surface cylindrique et d'un plan donné, tel que celui
de xy : de sorte que le système d'opérations graphiques
usitées dans cette branche de la géométrie se rattache
à la théorie des fonctions continues quelconques , comme
tenant lieu d'éliminations analytiquement impossibles.

Si la surface cylindrique doit être tangente à une sur-
face définie par une équation telle que (/*) , comme dans
le problème des ombres lorsque le point lumineux s'é-
loigne à l'infini, on tirera de ( /) les valeurs de/?, y en
.r,/, Zy et on les substituera dans l'équation (i3), ce qui

DES FAMILLES DE SURFACES. 429

donnera une seconde équation ( f ) appartenant à la ligne
de contact du cylindre et de la surface (^f). Rien n'em-
pêchera de prendre cette ligne de contact (/*, f) pour
directrice, et d'achever la solution du problème comme
précédemment.

Famille des surfaces coniques.

249. Les équations de la droite mobile qui décrit une
surface conique en passant constamment par le point
{^oiTo^ ^o)> peuvent être mises sous la forme

or— Xo = a (r— Jo) , ^ — 2, = p {x—x'o) . (i6)
On doit supposer les paramètres a, ^ liés par une équa-
tion telle que ((f) , et alors il vient

Tant que les constantes .x'c^o» ^o et le signe ç conser-
vent leur indétermination , cette équation est propre à
représenter une surface conique quelconque. On élimine
la caractéristique 9 par le procédé ordinaire , et l'on
tombe sur l'équation aux difTérences partielles

Z — z^=p{x—Xo)-\-q(jr—jro) -^ (18)

On y parvient encore directement en considérant que le
plan tangent à la surface conique doit toujours passer
par le point (^oi^o? -2^) 7 centre de la surface.

Lorsqu'on prend ce centre pour origine des coordon-
nées, l'équation (17) se réduit à

et, d'après sa forme , elle est homogène par rapport aux
variables .r,^,z. Dans la même circonstance, l'équation
(18) devient

430 LIVRE IV. GHÀPITR£ VII.

ce qui s accorde avec le théorème des foactions homo-
gèues [1S12].

Si la surface conique a pour courbe directrice la ligne
(/, f), ou élimijQera 02, jr, ^ entre les. équations (16),
{/)'> (f)>ceqi^* conduira à une équation finale (F), la-
quelle détermine implicitement la fonction (p. Remettant
pour a , p leurs valeurs en ^, ^, 2, on aura pour l'équa-
tion de la surface conique

Dans le cas où la fonction f ne serait pas donnée direc-
tement, mais devrait être déterminée par la condition
que la surface conique touchât la surface (./*), cas qui
se présente dans le problème des ombres lorsque le point
lumineux est à une distance finie du corps opaque placé
sur le trajet des rayons, on tirerait de l'équation (/')
les valeurs de/?, ^ en a:, /, z ; on les substituerait dans
l'équation ( 18), et l'on obtiendrait ainsi l'équation (f).

Ordre des surfaces gauchos^ ayant une direclrice r^ctiligae.

250. Si Ton prend pour directrice l'axe des z, les
équations de la génératrice, mises sous la forme

z == xça + a , z = j^a + a , (20)

satisferont à la définition des surfaces comprises dans cet
ordre. On en conclut

7 (pa \a;J

d'après quoi l'on peut remplacer le système des équa-
tions (ao) par l'une quelconque des deux suivantes

DES FAMILLES DE SURFACES. 431

les fonctions (p,, ij/, étant liées par Téquation de condi-

tion

'■©=£*.©

Différentions 1 équation (ai) par rapport à^ et à ^ : il
viendra

,=,.,©-.1^.(1).

d'où

et en différentiant de nouveau, pour éliminer 9.,

x^r + %xys -+. /"^ = o . (24)

Pour tirer l'équation (24) de considérations géométri-
ques directes , nous remarquerons que , si l'on mène par
le point {^Xyfyz) deux plans, l'un passant par l'axe des
z j l'autre tangent à la surface en ce point , ces deux
plans qui auront respectivement pour équations

y{^—x) — x{yi—y)^=.o , (aS)

Ç — ;3=/7(Ç— ^) + y(T,— /) , ^ (26)

se couperont suivant une génératrice. Si le point de con-
tact change, sans cependant sortir du plan (aS) , le nou-
veau plan tangent coupera encore le plan (aS) suivant
la même génératrice. Donc les équations (aS), (26) sub-
sistent en même temps que leurs dérivées, prises par
rapport aux variables Xy y-y z^ savoir :
Xdy — t{dx-=io ,
{rdx'\rsdy) (Ç — x) + {sdx -f- tdy) (ri— 7) = o . (26 )
En vertu de l'équation ( aS ) , ces deux équations devien-
nent

— — — (rdx+sdy) x-\-(sdx 4- tdy)yz=zo ;

432 LIVRK IV. — CHAPITRE VII.

et si l'on élimine entre celles-ci le rapport --7^, on re-
tombe sur réquation (a4)-

Ordre des surfaces gauches, ayant leurs génératrices parallèles
à un plan directeur.

251. Le plan xj- étant pris pour plan directeur, on a
pour les équations de la génératrice

d'où

et les fonctions <p 9 ^ restent arbitraires. Une première
différentiation donne , par l'élimination de la fonction i/ ,

^=2 — ffz; et l'on trouve, par suite d'une seconde dif-
férentiation,

^»r_ 'xpqs -HpV = o . (28)

On peut arriver plus directement à l'équation qui
caractérise les surfaces de cet ordre , sans particulariser
la position du plan directeur par rapport aux plans coor-
donnés. Soient

Al-H Btï -h ce = D
réquation du plan directeur , et

A(Ç-a:)+B(ri-j) + C(C-z) = 0 . (29)
celle du plan parallèle mené par le point {x^jr^ 2) : la
génératrice passant par ce point sera l'intersection du
plan (29) et du plan tangent (26). De plus , si l'on fait
varier le point de contact sur la même génératrice, le
nouveau plan tangent passera encore par cette généra-
trice, qui sera en conséquence la ligne d'intersection de
deux plans tangents infiniment voisins. Donc on aura,
outre l'équation (26') , la dérivée de (29)

fLdx'{-hdy-{'C{pdx + qdx)=zo . (29')

DES FAMILLES DE SURFACES. 433

Si l'on chasse des quatre équations (26), (a6'), (29), (29')
les rapports 1

l--^ -^—y dy

il reste l'équation de condition

(B + Cy)V— 2(B-+-Cî)(A-i.C/;)^ + (A + C/7)>^ = o,
que l'on identifie avec l'équation (28) en posant A=o
B = o, mais qui acquiert une forme encore plus simple
dans l'hypothèse 0=0, ou lorsqu'on prend le plan di-
recteur perpendiculaire à celui des xy : car elle devient
B»r— 2 ABs 4- A'f = o ; (3o)

et enfin elle se réduit à r=o, ou à^=:o, quand on
prend le plan directeur parallèle à celui des xz ou à ce-
lui des jrz , ce qui ne restreint pas l'étendue de la solu-
tion.

Famille des surfaces conoïdes.

252. Quand la génératrice d'une surface gauche est
assujettie à la double condition d'avoir une directrice
rectiligne et de rester parallèle à un plan directeur la
surface décrite est un conoïde. En d'autres termes la
famille des surfaces conoïdes appartient à la fois aux
deux ordres de surfaces gauches dont nous venons de
traiter. Les surfaces conoïdes (à l'exception du plan oui
s'y trouve compris ) sont nécessairement gauches • car
soient AB {fig. 74) la droite directrice, mn, mn'
mji^ , . . . . des génératrices infiniment voisines : pour
que deux génératrices consécutives se trouvassent dans
le même plan, il faudrait que les droites infiniment pe-
tites nn^^ nn^yi, . . . fussent parallèles à AB; ce qui ne
peut arriver qu'accidentellement, à moins que la ligne
T. I. 28

434 LIVRE IV. CHAPITRE VII.

polygonale nn^n^ .... ne se change en une droite pa-
rallèle à AB , et alors la surface décrite est un plan.

La surface, quoique gauche, est qualifiée assez im-
proprement deconoide droit , lorsque la droite directrice
se trouve perpendiculaire au plan directeur. On peut
citer comme exemple la surface décrite par une droite
qui se meut en coupant toujours perpendiculairement
Taxe d'un cylindre droit , et en s'appuyant par un de
ses points sur une hélice tracée à la surface du cy-
lindre [234]- On donne à ce conoïde le nom de surface
héUcoîde gauche.

253. Prenons pour plan directeur celui des xy, et pour
origine le point où la droite [directrice pénètre ce plan :
les équations de la directrice serout

x=:az^ y:=zbzy (3i)

et celles de la génératrice

^ = p, X — Ap = a(ar— û,8) .
On doit toujours concevoir l'existence de la liaison ( (p )
entre les paramètres a, ^ ; ce qui donne pour l'équation
générale des surfaces conoîdes

On en tire, en éliminant à la manière ordinaire la carac-
téristique <p,

p{x — az) -+-y (t" — hz) = o . (33)

Le sens de cette dernière équation est que , si l'on mène
dans le plan tangent au point (^r, /^ z) une droite pa-
rallèle au plan xy^ elle coupera la directrice (3 1); et en
effet la droite menée ainsi dans le plan tangent se
confond avec une génératrice.

Supposons que la droite mobile ait pour directrice ,
outre la droite (3i), une autre droite

x:=imz'\-ny yz=.m'z^n' \

DES FAMILLES DE SURFACES. 435

la fonction ? se trouvera particularisée à l'aide d'une éli-
mination semblable à celles que nous avons déjà opérées,
et il viendra

{mb~am')z- + {m' ~b) xz~{m — a) yz
'h(in — an)z+n'a: — ny^=:o^
équation de la surface du second degré à laquelle on
donne le nom de parabo/oide hyperbolique.

Quand le conoïde est droit, on a az=o, bz=.o : les
équations (Sa) et (33) deviennent respectivement

La surface connue en stéréotomie sous la dénomina-
tion de voûte d! arête en tour ronde, est un conoïde droit
pour lequel la seconde directrice, qui prend le nom de
cintre^ est ordinairement une ellipse dont le plan est ver-
tical et Fun des axes aussi vertical. Mettons les équations
de cette ellipse sous la forme

r* z"^

on trouvera pour l'équation du conoïde

Famille des surfaces de révolution.

254. Parmi les surfaces auxquelles on n'assigne pas
pour caractère distinctif d'être décrites par le mouve-
ment d'une droite, nous ne considérerons ici que la fa-
mille des surfaces de révolution [24a]. Soient

, ^—'^.=a{z~z:) , r—Xo = à(z~zJ)
les équations de l'axe de révolution, mené par le point
(•^o»ro,^o):un plan perpendiculaire à cet axe a pour
équation

or -{- èj 4- 2 = a ,

28.

436 LIVRE IV. CHAPITRE VII.

et ce plan coupe la surface de révolution suivant un
cercle qu'il est permis de considérer comme l'intersec-
tion du plan et d'une sphère qui aurait son centre au
point {x^j 7*0, z^). L'équation de cette sphère est

et la liaison (<p) y qui dépend dans sa forme du tracé de
la courbe méridienne , donne

(a: — j:o)"4-(r— ro)*+(^— '2o)* = cp(û^ + *r + ^):(34)
équation propre à représenter une surface quelconque
de révolution, tant que les constantes x^^j^j ^o^^f ^> ®t
la caractéristique «p conservent leur indétermination.

En prenant les dérivées partielles par rapport à ^ et
à /, on a

a [x—x^ +p {z — j3o)] =(û+/?) . cp' {ax-\- ftj + z) ,
a [7— Jo +q (^^*o)] = (6+î) . (p'(a^4-ftr+ z) ;
d'où l'on conclut par l'élimination de <p%

Cette dernière équation exprime que la normale à la sur-
face rencontre l'axe de révolution. Désignons en effet
par ^, Y), ^ les coordonnées courantes de la normale au
point (.r, jy z) : les équations de cette normale seront

celles de Taxe de révolution , rapportées aux mêmes coor-
données courantes, deviendront

et si l'on chasse Ç , yj , ^ de ces quatre équations , on
tombera sur l'équation (35).

Lorsqu'on prend l'axe de révolution pour celui des z,
ce qui revient à faire ^o=o, ;^^=o, a = o, ù=Oy Té-
quation (35) se réduit à

DES FàMILLES DE SURFACES. 437

py_qxz=.0^ (36)

et réquation (34) devient

ou, ce qui est la même chose , à cause de i'indétermina-
tioD de la fonction ^ ,

a:*-f-7*=T2ï ou bien jî=t|;(a?*+7').
z est alors l'ordonnée de la courbe méridienne , dont
j/pIfTp désigne l'abscisse.

On assujettira la surface de révolution à passer par
une courbe ( /, f ) , au moyen du procédé d'élimination
déjà indiqué pour les surfaces cylindriques et coniques.

255. Appliquons ceci à la détermination de la surface
engendrée par la rotation autour de Taxe des z de la
droite

j: = mz+/i, yz=zm!z -^n! . (Sj)

On aura à combiner ces équations avec

d'où

(ma -H ny +{m'a + nj = p ,
et en remettant pour a ^ P leurs valeurs,

{mz -h nf -h {m!z + »')* =ia^ -h/' .
Si l'on suppose que l'on ait pris pour axe des x la plus
courte distance de l'axe de révolution à la droite (37),
celle-ci se trouvera parallèle au plan yz^ et il faudra
poser w=o, /ï'=o; au moyen de quoi l'équation de la
surface devenant

x^+y^ — m'^z^zzzn^ ,
se confondra avec l'équation (6) du n® aSg. La surface
engendrée est donc la surface réglée , connue sous le nom
d'hyperboloïde de révolution à une nappe.

256. Proposons-nous encore de déterminer la surface

438 LIYRK IV. CHAPITRE VIF.

de révolution autour de Taxe des z, dont la section par
le plan j'=-c serait l'ellipse

le calcul donnera^ pour l'ëquation de la surface cherchée.

L'intersection de cette surface et du plan xz est Tellipse
ûf z^ a* + c«

représentée {fig- 70 ) par ABA'B' , tandis que l'ellipse
(38) se projette en xz suivant l'ellipse concentrique et
semblable ahdh. Or, si l'on mène les droites hc ,
bc\ tangentes à l'ellipse (38) en è et en b\ il est visi-
ble que la portion cd de la section méridienne est la
seule qui se trouve géométriquement déterminée par
la condition que la surface de révolution pénètre le
plan /=c suivant l'eUipse ( 38). De c en B et de d en
B' le tracé de la section méridienne pourrait être quel-
conque; et conséquemment la fonction ç, lorsqu'on
donne à la signification de la caractéristique <p toute la
généralité qu'elle comporte , n'est que partiellement dé-
terminée par la condition que l'on puisse placer sur la
surface une courbe donnée. Mais quand on admet ex-
plicitement ou implicitement que 9 désigne une fonction
algébrique qui ne change pas d'expression dans toute
l'étendue de son cours, elle se trouve effectivement déter-
minée dans toute son étendue par la condition que l'on
puisse placer sur la surface une courbe algébrique donnée.

CHAPITRE VIII.

DES SURFACES EUrVELOPPtS.

257. La théorie des courbes enveloppes [i8a et suw.^
se généralise et s*étend aux surfaces , mais avec des mo-
difications essentielles qui tiennent au fond du sujet.

Soit

¥{x,y,z,.a) = o (F)

l'équation d'une surface courbe , dans laquelle entre le
paramètre a. En assignant une suite de valeurs à ce pa-
ramètre, on a une suite de surfaces de même espèce, qui
en général se pénètrent suivant certaines lignes. Consi-
dérons en particulier deux de ces surfaces

F(^, 7, 2, a)=ro, F(^,7, ^, a4-Aa) = o :
par le décroissement continuel et indéfini de la variation
Âa , la ligne d'iutersection se déplace sur la première
surface ; elle se rapproche de plus en plus d'une autre
ligne donnée par le système de l'équation (F) et de sa
dérivée

f =« • (^

Monge a donné à la ligne ainsi déterminée le nom de
caractéristique.

Les équations de la caractéristique contiennent le pa-
ramètre a , et varient pour chacune des surfaces , en
nombre infini, que l'équation (F) représente, tant que a
reste indéterminé. Si l'on élimine a entre les équations
(F), (F'), ou aura une troisième équation

440 LIVRE IV. CHAPITRE VIII.

et celle-ci appartiendra à une surface qui peut être con-
sidérée comme le lieu de toutes les caractéristiques.

Pour tous les points situés sur une même caractéris-
tique , la surface (d>) a le même plan tangent que celle
des surfaces (F) à laquelle cette caractéristique corres-
pond. £n effet, Téquation du plan qui touche cette der-
nière surface au point (a:, jr, 2), est

dP ,. . oF , » oF ,v \ f \

d'ailleurs, comme réquation(^) n'est autre chose que
l'équation (F) où l'on a mis pour a sa valeur en ^ , ^, z,
tirée de l'équation (F') , l'équation du plan tangent à la
surface (^) peut être mise sous là forme
/dF dF d%\f^ \ /dF dF da\ f \

/dF dF doL\/ \

et elle se réduit à l'équation (a) en vertu de (F').

La surface (^) jouit donc de la propriété de toucher
ou d'envelopper les surfaces en nombre infini , dont la
série est donnée par la variation continue du paramètre
a dans l'équation (F). On donne en conséquence à celles-
ci le nom d^em^eloppées et à la surface qui les touclie
le nom d^ençeloppe. Chaque caractéristique est la ligne
de contact de l'enveloppe avec une enveloppée.

11 peut arriver que les caractéristiques deviennent
imaginaires, quand le paramètre a a dépassé certaines
limites, quoique, pour les mêmes valeurs de a, l'équa-
tion (F) continue de représenter des surfaces réelles, qui
alors ne sont plus touchées par Tenveloppe, et auxquelles
la dénomination d'enveloppées ne s'applique plus que
par extension. Ce cas est analogue à celui que nous

DES SURFACES ENVELOPPES. 441

avons signalé en traitant de l'enveloppement des courbes
planes [j 84]-

Le système des éc[uations (F) , (F') , et

quand elles ne sont pas inconciliables, détermine le
point où une caractéristique est rencontrée par la
caractéristique infiniment voisine ; et l'élimination de
a entre ces trois équations donne les deux équations
de l'arête de rebroussemeut de la surface enveloppe
décrite par le mouvement de la caractéristique [246].
Enfin, si l'on joint à (F), (F), (F")
iPF

on p/sut chasser a et déterminer individuellement les
coordonnées x, /*, z d'un point situé sur l'arête de re-
broussemeut', et qui est en général un point singulier de
cette arête.

258. Considérons maintenant l'équation d'une sur-
face

F,(^,7,^, a,p) = o, [F]

dans laquelle entreraient deux paramètres arbitraires a,
^ : il n'y a pas lieu de supposer que ces deux paramètres
varient à la fois et indépendamment l'un de l'autre, car
cela ne conduirait à aucune conséquence géométrique ;
mais on peut naturellement admettre qu'il y a entre a,
P une relation p = ça , au moyen de quoi l'équation
précédente devient

F(^,7,^, a, (pa) = o .
On peut présentement faire varier le paramètre a, cç
qui engendrera une série d'enveloppées et une surface
enveloppe correspondante. Comme la fonction ç estarbi-

442 LIVUfi IV. CHAPITRE VIH.

traire , chaque forme qu'on lui assignera déterminera un
système de surfaces enveloppées , ayant son enveloppe
particulière.

D'ailleurs, comme l'équation [F] renferme deux va-
riables indépendante x, j;i\ est permis de la difieren-
tier par rapport à chacune de ces variables , ce qui
donne

dF ^ dF dF ^ dF ri^n

l'élimination de a, p entre les équations [F] et [F']
conduit à l'équation aux différences partielles du pre-
mier ordre

/(^,7i^i/',y) = o; (/)

et toutes les surfaces enveloppées données par l'équation
[F] , comme aussi toutes les s.urfaces enveloppes don-
nées par l'élimination de a entre les deux équations

F(x,:r,z,.,^,)=o,^ife^i^liîl)==o, ((F))

jouissent évidemment de la propriété de satisfaire à l'é-
quation (/).

C'est ici que se rompt le fil de l'analogie entre la
théorie de l'enveloppement des courbes planes et celle
de l'enveloppement des surfaces. Effectivement, nous
avons vu que les courbes enveloppées et la courbe enve-
loppe satisfont à la même équation différentielle à deux
variables, dans laquelle le paramètre variable n'entre pas ;
mais il y a une infinité d'enveloppées pour une enveloppe,
et par conséquent l'équation commune aux envelop-
pées satisfait d'une manière plus générale à l'équation
différentielle que ne le fait l'équation de l'enveloppe. Au
contraire , l'équation [ F ] satisfait à l'équation (/') aux
différences partielles, dans laquelle les paramètres a, p

DES SURFACES ENVELOPPES. 443

n'entrent pas, avec moins de généralité que ne le fait
le système des équations ((F)) ; puisque toutes les surfaces
données par l'équation [F] sont des surfaces de même
espèce , qui ne diffèrent que par les valeurs numériques
des paramètres a, ^; tandis que les surfaces qui sont
données par le système des équations ((F)) varienl d'es-
pèce selon la forme assignée arbitrairement à la fonc-
tion (p y et ne sont unies entre elles que par un caractère
de famille^ celui de satisfaire à une même équatiou
aux différences partielles*

Si l'on élimine a, p entre l'équation [F] et ses deux
dérivées par rapport à <t et à ^ ,

rfF rfF

^ = ^' rf^=^'
ou a une équation en x^ j^ z seulement

qui satisfait encore à l'équation (/") ; et la surface (^)
jouit de la propriété de toucher ou d'envelopper, non-
seulement les enveloppées [F], mais encore les envelop-
pes ((F)). Cette enveloppe générale et individuellement
déterminée correspond à la courbe enveloppe, détermi-
née individuellement, d'après la théorie de l'enveloppe-
ment des courbes : et l'équation (^) qui satisfait à l'équa-
tion (y) , sans pouvoir rentrer dans le système ((F)) par
une détermination convenable de la fonction arbitraire (p,
est une de ces intégrales singulières dont on a annoncé
l'existence [1^7], et sur lesquelles nous devons revenir
en traitant de l'intégration des équations aux différences
partielles.

259. Les remarques du n** précédent , au sujet de Tin-
détermination de la fonction <p qui entre dans les équa-
tions ((F)) , indiquent la liaison de la ihéorie de lenve-

444 LIVRB IV. CHAPITRE Vlir.

loppement des surfaces avec celle du groupement des
surfaces par familles qui a fait l'objet spécial du précé-
dent chapitre ; mais cette liaison sera rendue plus sen-
sible au moyen des considérations suivaïites.

Au lieu de concevoir qu'on élimine a entre les équa-
tions ((F)), pour obtenir l'équation de la surface en-
veloppe qui correspond à une forme particulière de la
fonction (p^ pi*enons ces équations simultanément, de ma-
nière qu'elles représentent la caractéristique qui corres-
pond à cette forme particulière de (p et à une valeur
particulière de a. Mettons de plus la seconde de ces
équations sous la forme

rfF dF ,
•J-+ rr~ .' © a = o :

comme les variables x^ y^ z ne sont pas comprises sous
les signes 9, f', on voit que les équations de la caracté-
ristique se trouvent composées de la même manière en
Xj jj z, quelle que soit la forme assignée à la fonction
(p. Par conséquent, cette caractéristique peut être consi-
dérée comme la génératrice qui décrit à volonté l'une
quelconque des surfaces enveloppes ((F)), en changeant
de position dans l'espace ou même de forme suivant une
loi déterminée pour chaque enveloppe par la forme de
la fonction ç; mais de manière toutefois que la compo-
sition en Xj y^z des équations de la génératrice ne
change pas. De là le nom de caractéristique donné par
Monge à la ligne dont il s'agit, parce qu'elle imprime
un caractère de famille à toutes les surfaces comprises
dans le système ((Fj), et qui jouissent de la propriété
de satisfaire à l'équation (/j.

Au point de vue analytique, la description d'une
surface par la génératrice dont les équations sont

DES SURFACES KNVELOPPES. . 445

FC-a^^/î-î a, <pa) = 0 , Fj(a7,/, z, a, «pa)=o , {b)
n'est qu'un cas particulier de la description par une
génératrice dont les équations prendraient la forme
F(ar,7,iJ, a,<pa,<p'a)=o, F,(j:,/, z-^ a, <pa, (p'a) =o. (*.)
Le second système n'a pas , dans sa signification j plus
d'étendue que l'autre, à cause que la fonction <p' est dé-
terminée par cela seul qu'on assigne la fonction f : seu-
lement, si les fonctions F, F, sont algébriques, on peut
tirer des équations (b)

et par suite

f(a:,7,z)=(p[/(^,7,^)],

fy f désignant des fonctions connues; tandis que l'élimi-
nation ne sera praticable entre les équations {b^ qu'a-
près qu'on aura*particularisé la fonction ç : ce qui em-
pêche d'exprimer par une seule équation toutes les
surfaces de même famille que le système (è,) repré-
sente , à la faveur de l'indétermination du signe 9.

Si maintenant on suppose que la fonction F ne con-
tient pas 9' a, et que Ton a

on retombe encore sur un cas particulier de description
qui est celui dont nous nous occupons dans ce chapitre :
la génératrice prenant le nom de caractéristique, et
étant donnée par l'intersection de deux enveloppées
infiniment voisines. •

260. La même enveloppe peut avoir des caractéristi-
ques différentes, ce qui revient à dire que la même ,
surface peut avoir diverses génératrices, et par suite ap-
partenir à la fois à diverses familles [a4ti].

Mais sans sortir de la même famille de surfaces, ca-

446 LIVRE JV. CHAPITRE VrU.

ractérisée piir la niême équation aux différences par-
tielles, on trouve que la même enveloppe peut corres-
pondre à une infinité de systèmes différents d'enveloppées;
ou que la caractéristique, dont le mouvement engendre
la surface enveloppe, et qui est donnée par l'intersection
de deux enveloppées consécutives , peut rester la même,
quoique les surfaces qui se coupent soient différentes.

Pour en donner un exemple bien simple, imaginons
un plan qui se meuve en touchant constamment l'enve-
loppe suivant une caractéristique : ce plan engendre
une surface développable, dans l'équation de laquelle
entrent a et <pa; de sorte que, si l'on y fait varier a, on
obtient une suite de surfaces développables tangentes
à l'enveloppe, et dont deux quelconques consécutives se
coupent suivant une des caractéristiques. Donc, si
l'on suppose que la surface développable change sans
cesse de forme et de situation dans l'espace en vertu de
la variation continue du paramètre oc, elle aura la même
enveloppe que le système des enveloppées primitives.
^on^eV ^LifiçûleY enveloppée déifeloppable. On pourrait
imaginer une infinité d'enveloppées différentes, ayant les
mêmes caractéristiques et la même enveloppe.

Ceci se voit aussi facilement par l'analyse. En eflfet,
puisque la fonction 9, dans le système des équations ((F) j,
peut être particularisée d'une manière quelconque, il
est permis de poser, par exemple,
(pa = a H- ia ,

a et b étant d'autres constantes quelconques, ou bien
encore

4; désignant une autre fonction quelconque. On pourra
alors éliminer a entre les équations ((F)), et Ton aura l'é-

DES SURFACES ENVELOPPES. 447

quation d'une enveloppe de la forme

* (-^,7, ^j«> +«) = <> •
Or, rien n'empêche d'attribuer à ^ une forme arbitraire
quelconque, puis de faire varier le paramètre a d'une
manière continue; on reproduit ainsi une série d'enve-
loppées, distincte delà série des enveloppées primitives,
et dont néanmoins les enveloppes jouissent de la pro-
priété de satisfaire à l'équation (f); ce qui suppose
qu'elles ont avec les nouvelles enveloppées les mêmes
lignes de contact qu'avec les enveloppées primitives.

261. Un exemple éclaircira tout ce qui précède. L'é-
quation

(x-^)«+(jr-p)*+z'=R*, (.)

quand on y considère a, p comme des paramètres sus-
ceptibles de varier sans discontinuité, appartient à une
infinité de sphères, qui toutes ont leur centre dans le
plan ,x/ et le même rayon R. Cette équation , différen-
tiée par rapport aux deux variables indépendantes^,^,

donne

x — oe + jE>z = o , y — p +qz = o ;

et l'on en déduit l'équation aux différences partielles

à laquelle satisfont toutes les surfaces sphériques repré-
sentées par l'équation (i).

Les paramètres a,p désignent ici les coordonnées du
centre de la sphère. Si l'on établit la liaison arbitraire
P=<fa^ ce sera faire la même chose que si l'on traçait arbi-
trairement dans le plan xj- la courbe que doit décrire
le centre de la sphère mobile. L'enveloppe de toutes les
sphères de même rayon, qui ont leur centre sur la
courbe ainsi tracée, est un canal^ à section circulaire

448 LIVRE IV. CHAPITRE VIII.

constante, qui a pour axe ou pour ligne médiane la
courbe tracée arbitrairement. Toutes les surfaces de la
famille des surfaces-canoua:, parmi lesquelles le cylin-
dre droit se trouve compris, sont donc représentées par
le système des deux équations

^r— a-*-(r— fa)9'a = o, ( ^ ^

et elles jouissent de la propriété de satisfaire à l'équa-
tion (a), aussi bien que les sphères qu'elles enveloppent.
En effet, la propriété géométrique exprimée par l'é-
quation (a) consiste en ce que le cosinus de l'angle de
la normale avec l'ordonnée z a pour valeur numérique

[a 37] ±5"? ou bien en ce que la normale vient couper

la ligne médiane du canal, ce qui est un caractère évi-
dent des surfaces de cette famille.

Le système des équations (3), quand on n'y considère
plus a comme un paramètre à éliminer, détermine la ca-
ractéristique correspondante à la valeur a du paramè-
tre : cette caractéristique, donnée par l'intersection
d'une sphère et d'un plan qui passe par le centre de
la sphère, est un grand cercle de la sphère.

Quand on joint aux équations (3) la dérivée du se-
cond ordre

Cr-^«)A-i-(T'«)'=o, (4)

et qu'on élimine a entre les trois*^ équations, après que
la fonction (p a été particularisée, on a en .r,^, z les
équations de l'arête de rebroussement de la surface en-
veloppe.

Si l'on éUmine a, p entre l'équation ( i ) et ses dérivées
par rapport à a et à ^,

X — a=Hf y — p=o,

DES SURFACES ENVELOPPES. 449

l'équation résultante z'=R', ou z = ±R satisfait en-
core à l'équation (a). La surface qur touche à la fois
toutes les enveloppées, et toutes les enveloppes com-
prises dans le système des équations (3), ou l'eut veloppe
générale de toutes les surfaces qui satisfont à l'équation
(a), se réduit donc au système de deux plans , parallèles
à celui des xfy comme cela était évident avant tout
calcul.

Si l'on pose, dans les équations (3), ça=aa-|-^, et
qu'après la substitution on élimine le paramètre a, il
viendra: pour équation résultante

équation d'un cylindre circulaire dont le rayon est R,
et dont l'axe, compris dans le plan xy^ a pour équation
y=zaX'\'h. Effectivement, nous avons déjà remarqué
qu'un tel cylindre est compris dans la famille des sur-
faces-canaux qui peuvent envelopper l'espace parcouru
par une sphère de même rayon , dont le centre mobile
décrit une ligne sur le plan xy. Et de même on peut
faire mouvoir Taxe du cylindre dans ce plan, de ma-
nière que l'enveloppe soit l'une quelconque des surfaces-
canaux représentées par le système des équations (3),
ou l'une quelconque des sphères données par l'équation
(i). Pour faire mouvoir le cylindre de manière que l'en-
veloppe soit une sphère, il suffit de donner à l'axe un
mouvement de rotation autour de l'un de ses points pris
pour centre fixe.

Le cylindre (5) est l'enveloppée développable dont il
a été question plus haut.

262. Pour exprimer que nous établissions une liaison
entre les paramètres a, P, nous avons écrit P=(pa,

T. I. 2y

450 LIVRE IV. — CHAPITRE VllI.

mais il aurait été plus général d'exprimer cette liaison
par réquation ^

trf(«,p) = o; (xi)

et alors le système des deux équations ((F)) se serait
trouvé remplacé par un système de quatre équations

F(x,/,Z,a,p) = o,^rfa+^rfp = o,

Cette notation plus compliquée est même la seule qui
soit aussi complète que la généralité de l'analyse le re-
quiert. Rien n'empêche, par exemple, de supposer que
l'équation (vi) prenne accidentellement la forme

(«— A)* + (p— *)» = o, (tiJ.)

h^/c désignant des constantes : auquel cas on en déduit
oLz=/iy P=A*, sans qu'il soit possible de tirer de l'équa-
tion (xj,) une relation de la forme p=:ça, à moins d'em-
ployer des symboles imaginaires. C'est ainsi que, dans le^
système des équations (3), on ne peut pas particulariser
la fonction f de manière que ce système représente l'une
des enveloppées sphériques, qui cependant sont com-
prises parmi les surfaces jouissant de la propriété de
satisfaire à l'équation (a). Sous ce rapport, on pourrait
dire que le système (3) n'a pas la même généralité que
l'équation {a), et qu'il faut y joindre, pour le compléter,
l'équation générale des sphères enveloppées ï mais ceci
ne tient qu'aux limitations introduites par un mode de
notation destiné seulement à rendre l'écriture plus
concise; et les limitations disparaissent lorsqu'on donne
aux notations la généralité qu'elles comportent.

Cette remarque est si simple, que nous laurions né-
gligée si elle ne faisait évanouir une difficulté à la-

DES SURFACES ENVELOPPES. 451

quelle Lagrange a semblé attacher de Tiinportance (').
* 263. Puisque l'équation (/*) subsiste pour des enve-
loppées quelconques y elle subsiste aussi pour la ligne
d'intersection de deux enveloppées, et peut être consi-
dérée comme une équation différentielle à laquelle doi-
vent satisfaire les coordonnées de cette ligne. Après
qu'on a posé p=f a, les équations des deux enveloppées
qui se coupent ne diffèrent plus que par la valeur du
paramètre a; et sur la ligne d'intersection les valeurs
de Xj y-y z sont les mêmes, mais celles de /?, q varient
en raison du paramètre a; ou, en d'autres termes, les
deux surfaces ont, en chaque point de la ligne d'inter-
section, des plans tangents inclinés l'un à l'autre. Mais
si la ligne d'intersection se change dans la caractéris-
tique, les deux enveloppées devenant infiniment voisi-
nes, l'inclinaison des deux plans tangents s'efface, et
l'on a

df i* ^f dp df dq .^,.

^=o,oubien -.^ + ^.5^ = 0; (/)

car les coordonnées x^y^ z, étant prises sur une ligne

commune aux deux surfaces, ne varient pas en raison

de a. D'un autre côté, si l'on différentie par rapport à

a l'équation

dz^pdx + qdy ^ {c)

on a, par la même raison ,

d(3L doL -^ ^ ^

L'élimination de ~7->~r entre les équations (/') et
(c) donne

[^) Leçons sur le calcul des fonctions ^ a* édit., p. 372 et ^^74.

a9-

452 LIVRE IV. CHAPITRE VIII.

équation différentielle à laquelle doivent satisfaire les
coordonnées de la caractéristique, en même temps
qu'elles satisfont à l'équation (/*).

Dans l'exemple qui nous occupe, on trouve

et par suite

pdjr — qdx = o ;

ce qui exprime que les caractéristiques des surfaces-ca»
naux sont en même temps les lignes de plus grande
pente de ces surfaces [126}.

Les équations (c) et (/* ") appartiennent à une carac-
téristique quelconque, placée sur une enveloppe quel*
conque; et les quantités/'^ q, qui entrent dans ces équa*
tions, spécifient pour chaque point (^, j^, z) la
caractéristique menée par ce point. Donc, si l'on élimine
/?, q entre les trois équations (/*), (c) et (y^'), l'équation
résultante appartient à la courbe qui est touchée par
toutes les caractéristiques, ou à l'arête de rebroussement
de la surface enveloppe.

On trouve ainsi que les coordonnées de l'arête de re-
broussement des surfaces-canaux doivent satisfaire à l'é-
quation différentielle

z
Cette arête de rebroussement peut d'ailleurs se ré-
duire à un point, ou même devenir imaginaire. Posons,
par exemple,

l'équation (4) se i*éduit à^=o; et de la seconde ëqua-

DES SURFACES ENVELOPPES. 453

tion (3) qui devient alors

X l/^R,* — a* — aj z=z o ,

on tire aussi x=o; enfin ces valeurs de x et de ^, subs-
tituées dans la première équation (3), donnent pour la
valeur correspondante de l'ordonnée z^
JB = ±1/R» — R.S
de sorte que Tarête de rebroussement se réduit à deux
points situés sur Taxe des z, dans le cas de R > R^ , à
un seul point (qui est l'origine des coordonnées) pour
R=R^,et finalement devient imaginaire si l'on a R < R^,
auquel cas la surface décrite est un anneau proprement
dit [236].

264. Montrons maintenant comment on peut déter-
miner la fonction arbitraire <p,de manière que la surface
assignée par le système des équations (CF)) passe par
une courbe donnée

f(jr,j,^)=o, (f)

f.(:r,7,^)=o. (f.) j ^^^^

Pour cela il faut que la tangente à cette courbe se trouve
constamment dans le plan tangent à l'enveloppée .et à
l'enveloppe au point {x, y^ z). Soient

X.—z=p i!^—x) -f- q (iri— j) .
l'équation du plan tangent, et

les équations de la tangente à la courbe (f , f ) : /?, q sont
des quantités données en fonction de ;r,j^*, z, a, tp a, au
moyen de la première équation ((F)); tandis que

-i-y -4- sont des fonctions de j; , / , z fournies par la

différentiation des équations (f), (f,). Cela posé, la con-
dition que l'on vient d'énoncer établit entre x-t /, z, a, <p«

454 LIVRE IV. CHAPITRE VIII.

une liaison exprimée par Tëquation
dx dr

Après qu'on en aura chassé x, /, z au moyen de l'é-
quation de l'enveloppée et de celles de la courbe , elle
deviendra de la forme

tJ(a, <pa)=: o , (tJ)

et déterminera par conséquent la fonction f .

Si cette fonction devait être assignée d'après la con-
dition que lenveloppe correspondante touchât la surface

(f), on tirerait de (f) les valeurs de ^ ^ t- en x^jj z,

et l'équation {d) se trouverait remplacée par
dz dz

les valeurs de p^q étant censées données, comme tout
à l'heure, en fonction de a:,/, z, a, ça, par la différen-
tiation de l'équation de l'enveloppée. On joindrait en-
suite l'équation de l'enveloppée aux équations (f)et {e\
et l'on éliminerait x^jr^ z entre ces quatre équations, ce
qui donnerait la relation cherchée (t*) entre a et <pa.

La fonction ç déterminée, on aura par la différen-
tiatioti la fonction 9', et l'on pourra substituer dans les
équations ((F)) les valeurs en a de ça, <pa, puis élimi-
ner a, afin d'avoir en x, /, z l'équation de l'enveloppe
cherchée; ou (ce qui revient au même) on peut joindre
à l'équation (trf) sa dérivée

rftrf rfcJ , ,_,^

doi -^■■^•^« = ^' . i^O

et procéder d'une manière quelconque à l'élimination de
a, <pa, <pa entre les quatre équations ((F)), (trf), (trf').
265. Proposons-nous comme application de détermi-

DES SURFACES ENVELOPPES. 455

ncr la fonction <f qui entre dans le système des équa-
tions (3), de manière que la section de la surface du ca-
nal par le plan xz soit l'ellipse

- $^i=-- («)

réquation (d) deviendra

X — a A*

et Ton aura pour l'équation (%i)

(?«)' «' _R'

On peut remettre ^ à la place de 99 : a,p désignant
alors les coordonnées courantes , parallèlement aux axes
des ^et des/, de l'axe curviligne ou de la ligne médiane
du canal dans le plan xy. Selon qu'on aura a < ou > ^,
l'équation de cette ligne*

appartiendra à une ellipse ou à une hyperbole. Nous
supposons ^ < R, afin d'éviter la difficulté qui naîtrait
de ce que la courbe (6) ne resterait pas comprise dans
toute son étendue entre les deux plans z=d=R qui \v
mitent les surfaces données par le système des équa-
tions (3).

Il est d'ailleurs évident que la courbe (6) ne doit dé-
terminer la courbe (7) que dans la portion de son cours
comprise entre les droites p=±R; ou, en d'autres ter-
mes , que l'intersection de la surface enveloppe par le
plan xz ne change pas , quel que soit le tracé de la ligne
décrite par le centre de la sphère enveloppée sur le plan
xj-f dès que le centre de la sphère est à une distance,
de l'axe des x plus grande que son rayon. Ainsi Téqua-

45G LIVRE IV. CHAPITRE VIII.

tion (6) ne peut donner la fonction arbitraire 9 dans
toute rétendue de son cours qu'autant qu'on admet que
cette fonction 9 est algébrique et conserve dans tout son'
cours la même expression algébrique^ remarque ana-
logue à celle que nous avons déjà faite à l'occasion des
surfaces de révolution [^56].

266. On peut admettre que l'équation d'une enve-
loppée contient trois paramètres arbitraires a, P,y, et
devient de la forme

F(:r,7, ^,a,<pa,^a) = o,
après qu'on a posé pz=:ça, Y=^j;a. Le système de cette
équation et cte sa dérivée

dF dF , dF ,,

appartient à un ordre de surfaces enveloppes , dont cha-
cune est déterminée individuellement après qu'on a as-
signé les fonctions <p , 4^. Il n'y a pas plus de difficulté à
supposer que l'équation de l'enveloppée renferme un nom-
bre quelconque de paramètres variables j liés entre eux
d'une manière arbitraire : mais nous nous bornerons à
considérer le cas où l'enveloppée est un plan en mouve-
ment dans l'espace suivant une loi quelconque.

Soient donc

z=:a-f-:r<pa+7{pa {g)

l'équation du plan mobile , et

I + ar (p'a +7^'a = o (g')

sa dérivée par rapport à a : le système des équations
{g\ {g') est propre à représenter une surface dévelop-
pable quelconque. On en déduit /?=(pa, y =^a, et par
suite

qz=z^{z—px—qy) , ^ (A) q=^{z—px—qy) , (A.)

ou

DES SURFACES ENVELOPPES. 457

ce qui mèue aux équations déjà trouvées [168 et %k^\
pz=Uq, (i) rt — ^ = o, (k)

* 267. La caractéristique donnée par le système (^),
{g^t pour chaque valeur de a, est une ligne droite. On
aura [t263] une équation différentielle de cette caracté-
ristique, si Ton différentie Téquation {i) en y regardant
p, q comme variables, ce qui donne dp'=iVÎq. dq^ et
si Ton chasse dp^dq zm moyen de Téquation

dpdx -f- dqdyz=,o , d'où pdj — Wq elx = o . (J)

d'y
L'équation ( /) exprime que le rapport -4^ est fonction

des seules quantités /?, q; ce qui résulte en effet de ce
que le même plan touche la surface développable en
tous les points de la caractéristique. Cette équation ren-
ferme un signe de fonction arbitraire; mais, en s'élevant
au second ordre , on aurait une autre équation différen-
tielle de la caractéristique, où le signe n nVntrerait pas.
En effet , puisque l'équation {Ji) appartient à toute sur-
face développable (quoique les fonctions Py s, t varient
d'une surface à l'autre) , lorsque deux surfaces dévelop-
pables se touchent suivant une caractéristique commune
aux deux surfaces , on doit avoir , pour les points situés
sur cette ligne ,

tdr — asds +rdt^=o . (*')

En vertu des équations (^), (g^'), le plan tangent ne
change pas avec les coordonnées x, jy, z, pour les points
situés sur la caractéristique , d'où

dp == rda: -f- sdy = o , dq =z sdx + tdy = o ,

et, par suite d'une nouvelle différentiation ,

drdx + dsdy = o , dsdx + dtdy = o .
Au moyen de ces deux dernières équations on chassera
de [k') les différentielles rfr, ds, dtj et il restera, pour

458 LIVRE IV. CHAPITRE VIII.

l'équation différentielle delà caractéristique,

rrf^c* + isdxdj + tdy^ == o , {ni)

ou plus simplement , en vertu de l'équation {K) ,
\/r . dx + Vl . rfj = o .
Pour obtenir les équations de l'arête de rebroussement

de la surface développable, il faut joindre aux équations

(^), [g^ la dérivée du second ordre

et éliminer ensuite a. On a une équation différentielle
à laquelle doivent satisfaire les coordonnées de la même
ligne, en éliminant/?, q entre les équations (/) , (/),
auxquelles on joint dz = pdx -j- qdj. Ceci conduit
à une équation 11^ {dx, dy^^ rfz) = o : la fonction H, ne
pouvant être déterminée qu'après qu'on a assigné la
fonction n dont elle dérive.

268. Proposons-nous maintenant de déterminer les
fonctions 9 et ^, de manière que la surface développable
passe par deux courbes données

f.(x,j,^)=o; (f.)i ^«'^'^ f.(x,r,z) = o . (fol ^^' '^^

Un calcul identique à celui du n^ 264 » répété pour cha-
cune des deux courbes directrices, donnera deux équa-
tions de la forme

lrf,(a, <pa , 'j/a) = o , (xi,) xS^^a , <pa , ^/a) = o ; (trf.)

et en les résolvant on aura le» fonctions ç et ^ qui pour-
raient être substituées dans les équations (g), (g^); de
manière qu'il ne restât plus qu'à éliminer a pour avoir
en Xf y^ z l'équation de la surface développable deman-
dée. Mais, pour éluder la résolution des équations (xiJ,) ,
(tiJa) , on peut y joindre leurs dérivées

DES SURFACES ENVELOPPES. 459

et procéder à rélimination des cinq variables a, 9a, 9'a,
4;a , fa entre les équations {g) , {g) , (trfj , (tïJ,) , (-cJ' J
et (xiJ'.).

Si les fonctions 9 , ^ devaient être déterminées d'a-
près la condition que la surface développable touchât
les deux surfaces (^), (J^) > on répéterait pour chacune
de ces surfaces le calcul indiqué dans le n^'cité; et l'on
arriverait à deux équations en :r,^, z qui pourraient
être prises pour les équations ( f ) , ( f, ) ; après quoi
le calcul s'achèverait comme dans le premier cas.

269. On sait que , lorsqu'un corps opaque est éclairé
par un corps lumineux de dimensions finies, les deux
nappes d'une surface développable, tangente aux surfa-
ces des deux corps opaques et lumineux, limitent dans
l'espace l'ombre et la pénombre. Comme cette applica-
tion donne plus d'intérêt au dernier problème dont nous
venons d'indiquer la solution, nous ne négligerons pas
quelques simplifications que l'on peut apporter à la mé-
thode dans ce cas particulier.

L'équs^tion du plan qui touche la surface (/j) au
point ( .r, , J^, , 2 J et la surface (/, ) au point \x^ , 7, , z,),
est indifféremment

ou

z—z^—p^{x — x^ + q^{j^y^ : (n.)

Pt 9 Çt étant donnés en fonction de a:, , ^, , z, par la
différentiation de l'équation

f^{^nh^^^)=0 , (/,)

462 LIVRE IV. — CHAPITRE IX.

trémité fixe Tun quelconque des points de la droite éle-
vée par le centre du cercle, perpendiculairement à son
plan. On énonce ce fait en disant que chaque point de
la droite estun pôle du cercle et de tous les cercles con-
centriques situés dans le même plan. La droite à laquelle
les points appartiennent prend le nom de ligne des pôles.
Passons de la considération du cercle à celle M'une
courbe plane quelconque. Traçons la développée de la
courbe dans son plan , et construisons la surface cylin-
drique dont cette développée serait la section droite
[248] : un point quelconque v de la génératrice (jlv , qui
passe par le point [jl de la développée , correspondant au
point m de la développa ute^ peut être considéré comme
le pôle du cercle osculateur en m , dont un arc infini-
ment petit se confond avec l'arc infiniment petit mrn^ de
la courbe développante. La droite awv touche le, cylindre
en V j car sa projection /TZfx sur le plan de la développée
touche la développée en [jl. Si l'on fait mouvoir le plan
tangent dans lequel elle est comprise, de manière qu'il
ne cesse pas de toucher la surface , le prolongement de
la droite /wv vient rencontrer les génératrices consécu-
tives en des points v,, v,, V3, correspondant aux

points [jLi, [JL, , [JL3,. . . . de la développée, et aux points
m, , /w, , /W3 , . . . . de la développante. On trace ainsi
sur la surface du cylindre une courbe vv,V2V3. . . . dont
les tangentes font un angle constant avec les géné-
ratrices, et qui se transformerait en ligne droite si
la surface cylindrique était étalée sur un plan. Or, les
points Vi,v», Va^' • • sont des pôles des cercles osculateurs
de la développante aux points m, , m, , ma ... ; et les
arcs infiniment petits, pris sur ces cercles, se confondent
avec les arcs infiniment petits de la courbe développante.

DES DJ^VELOPPl^ES HN GËiSl^RAL. 463

Donc les arcs mm^^mjn^y mjn^^. . . peuvent être suc-
cessivement décrits , d'abord du point v comme pôle avec
le rayon vm , puis dû point v^ comme pôle avec le rayon
v,/72, , puis du point v, comme pôle avec le rayon v,/??, ,
et ainsi de suite. Donc, si Ton développe un fil préalable-
ment enroulé sur la courbe vv,v,V3. . • (le prolongement
rectiligne de ce fil aboutissant à la développante en//2, et
se trouvant perpendiculaire à l'élément mni^^ l'extrémité
du fil décrira d'un mouvement continu la courbe plane
mm^m^m^ . . . . sans cesser d'être perpendiculaire à
l'élément actuellement décrit. Par conséquent la ligne à
double courbure vv,v,V3.... peut, aussi bien que la
courbe plane [jl[jl,[jl,[jl3 . . . ., être regardée comme une
développée de la courbe plane /w/Wi/Wj/zis . . .

On a pu mener la droite mv de manière à rencontrer
en un point quelconque et sous un angle quelconque la
génératrice qui passe par le point ^ : une courbe plane
a donc une infinité de développées à double courbure^
toutes situées sur la surface cylindrique qui est le lieu
des pôles de la développante, et qui a pour section droite
la développée plane. Toutes ces développées ont la pro-
priété caractéristique de couper les génératrices sous
un angle constant, et de se transformer en lignes droites
quand on étale la surface cylindrique sur un plan.

27 1 . Considérons enfin une ligne quelconque à double
courbure mmjnjrii. . . ainsi que la surface développa-
ble qui a pour génératrice la droite d'intersection de
deux plans normaux infiniment voisins. Le plan normal
en m touche cette surface suivant une génératrice p.v , le
point \L étant le centre de courbure de la ligne donnée^
qui correspond au point m. Par le point m menons ar-
bitrairement dans le plan normal à la courbe et tangent

464 LIVRE IV. CHAPITRE IX.

à la surface une droite qui touche la surface en un point
quelconque v de la génératrice p. Si l'on fait mouvoir
le plan dans lequel cette droite est comprise , sans qu'il
cesse de toucher la surface développable et d'être nor-
mal à la courbe [ftt)posée, le prolongement de la droite
rm viendra rencontrer les génératrices consécutives aux
points V,, V,, V3,. . . et s'appliquer sur la suiface suivant
une courbe vv,v,V3 .... qui jouira inversement de la pro-
priété de se transformer en ligne droite lorsqu'on étalera
la surface dével(^pable sur un plan. Les points Vi,v,,
V3 . . . • sont les pôles des cercles osculateurs de la courbe
proposée aux points correspondants /w,, /w,, /W3,. . . .
qui ont pour centres de courbure (*,,(*,, fx.^, — , et aux-
quels se rapportent les génératrices v.fjij , v,[jl, , V3[jL3... D'où
il faut conclure , comme dans le cas particulier envisagé
d'abord, que la courbe vv,v,V3. ... est une développée
de la proposée. On a pu choisir arbitrairement le point
initial v sur la génératrice p ; et ainsi la courbe propo-
sée a une infinité de développées , toutes situées sur la
surface développable, définie en commençant, et que, pour
cette raison, nous appellerons la surface des pôles. Le
caractère distinctif de toutes ces développées est de se
transformer en lignes droites lorsque la surface déve-^
loppable s'étale sur un plan.

On a vu [^33] que la ligne des centres de courbure,
quoique située sur la surface des pôles, n'est pas une
développée, à moins que la proposée ne soit plane.

273. Pour avoir en £,7), X^y l'équation de la surface
des pôles, il faut chasser x^y^ z et leurs différentielles
des deux premiers ordres , des équations

(Ç— :f) dx 4- (r— /) dy 4- (X^—z) dz^o ,

i^—x) d^x + (rj— 7) d^j + (C — z) d^z — ds^=:o ,

(a)

DES D£VELOPPjâ£S EN OJÈN^RAL. 465

au moyen des équations de la courbe proposée et de
leurs dérivées des deux premiers ordres [aSal. L'équa-
tion (g) du n"" suivant exprime que la tangente à la
développante au point (x, jr, z) coupe à angles droits
la tangente à la développée au point correspondant
(Ç, y), C) : ce qui résulte d'ailleurs, sans calcul, de ce que
le plan normal à la développante en {x, y, z) touche la
surface des pôles suivant la génératrice passant par le
point(£,y),Q.

Si les* variables Ç, », ?; désignent plus spécialement
les coordonnées courantes de l'une des développées, il
faudra qu'elles satisfassent aux équations {a) , et , de plus,
qu'elles soient liées par la condition que le rayon mené
du point (Ç, y) , C ) de la développée au point correspon-
dant {xyj, z) delà développante, touche la développée.
Cette condition s'exprime par la formule
^ dy\ dl^

\-X — y,^y — ^Zr^' (6)

Lorsqu'on a chassé x, jr, z et leurs différentielles des
équations (a) et {b) , au moyen des équations de la dé-
veloppante, il reste deux équations en £, ij , J^, e^, ^ ^ ^^
communes à toutes les développées. L'intégration de ces
équations amènerait deux constantes arbitraires dont les
valeurs particularisent chaque développée [i 63 et i65].
274. Prenonspourdéveloppante l'hélice définie par les
équations {h) du n" 234: les équations {a) deviendront

îsinç— T|cosip=a(Ç— aRy),Çcos<p+i,sinip=:_a»R,(c)
et elles donneront

dou

466 UTRE IV. CHAPITRE IX.

Cette valeur de <p , substituée dans l'équation (c), donne
pour l'équation de la surface des pôles,

• a-R+(cos^+nsinA-)cosv/^^^-i

= ±(^ eos^-Tlsin^) sin v/!j^^,.(rf)

On a vu [ a35 ] que l'arête de rebroussement de cette
surface développable, identique dans le cas actuel avec
la ligne des centres de courbure de la développante, est
une autre hélice de même pas , ayant le même axe , si-
tuée sur la même surface hélicoïde gauche [^53] , et dont
les équations en Ç, ti, ÎI sont

Çs=a — ir'Rcos(p 5 Yjx= — a'Rsinç , î=aR9 . (ti)
On donne à la surface développable qui a pour arête de
rebroussement une hélice, le nom Ae surface hélicoïde
développable.

Le radical qui entre dans l'équation {d) sous les signes
sin et cos , devient imaginaire quand on suppose

ou, d'après les équations ( yi) , quand on prend le point
( Ç , Yi , ^ ) dans l'intérieur du cylindre sur lequel s'enroule
l'arête de rebroussement de l'hélicoïde développable. Or^
le sinus d'un arc imaginaire est imaginaire , tandis que
le cosinus du même arc se change en exponentielles
réelles [75]. Donc la surface hélicoïde développable ne
pénètre pas dans rintérieur du cylindre sur lequel s'en-
roule son arête de rebroussement, et toutes les sections
planes de cette surface éprouvent un rebroussement,.
aux points où elles rencontrent Tarête.

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>* ♦»%•*% ««,%/« v»^««/«% ** » v»v» VI

CHAPITRE X.

DE LA. COURBURE DES SURFACES.

S 1*'. Théorèmes de Meusnier et d'Euler. — DétermiDation des
rayoùs de courbure principaux et des ombilics.

275. CoQcevons une infinité de lignes, planes ou à
double courbure , tracées sur une surface et concourant
en un même point : elles aui:ont au point commun des
rayons de courbure différents, en ùombre infini; mais
néanmoins les valeurs de ces rayons de courbure seront
liées les unes aux autres , et pourront être ramenées à
ne dépendre que d'un petit nombre d'éléments. Nous
allons procéder à cette réduction qui est un point capi-
tal dans la théorie des surfaces.

Soient

^=/(^»7) {z

l'équation de la surface; (^,^, z) le point où concou-
rent les lignes que Ton conçoit tracées sur cette surface :
désignons par s l'arc de l'une de ces lignes, plane ou à
double courbure ; par p' le rayon de première courbure
de cette ligne au point (a:,jr, ^) ; par p le rayon de cour-
bure delà Jec/^b/^/^o/•/7^a/^ [287] ayant la même tangente
et passant au même point ; par 0 l'angle des rayons p,p';
enfin par x',y, z , x'\f\ z" les premières et les se-
condes dérivées des coordonnées x ^y, z par rapport à
l'arc s pris pour variable indépendante : on aura, en diffé-
rentiant deux fois de suite l'équation (2),

z' =paf 4- qf , ' {z')

z'' = px" 4- 57'' 4- rx'^ + 2^^y -i- ty^ J {z")

3o.

468 LITRE IV. CHAPITRE X.

et les dérivées x\y\ z seront liées en outre par Téqua-
tion de condition

a;-+y-^z-=i . (i)

Le rayon p qui coïncide avec la normale à la surface ,
fait avec les x, j, z des angles X, |a, v qui ont respec-
tivement pour cosinus [287]

±p ±3 =P' ^ .

X/T+y^^' \^i+p'+q'' i^i-bp'+q' '
d'autre part , le rayon p' fait avec les mêmes coordon-
nées des angles dont les cosinus ont pour valeurs [aaS]

±pVS±py', ±pV':
d'où l'on conclut, abstraction faite du signe décos 8,
et en vertu de l'équation (z") ,

cos 6 == p . = — . (a)

Les dérivées a:', y, / expriment encore , aux signes près,
les cosinus des angles que forme avec les ^,^, z la
tangente à la ligne dont le rayon de courbure est p' :
donc le facteur de p' dans l'équation (2) ne change pas,
quelle que soit cette courbe, pourvu qu'elle passe par le
point de la surface que l'on considère , et que la direc-
tion de la tangente en ce point ne change pas. En d'au-
tres termes, on peut poser p'=:K cos 6, R étant une
constante pour toutes les courbes tracées sur la sur-
face, qui ont la même tangente au point de concours.
Mais,quand l'angle Ô s'évanouit , on a p' — :p : doncK=p,

p' = pcos6, {a) p=_1::1l±Z±5L. (6)

Ainsi le rayon de première courbure d'une ligne quel-
conque tracée sur la surface, est ramené à dépendre du
rayon de courbure de la section normale qui aurait la
même tangente que cette ligne, et de l'inclinaison 6.

DE LA COURBURE DES SURFACBS. 469

Lorsque la première courbe est^Iane, on l'appelle sec-
tion oblique [^^37], et p' devient la projection de p sur
le plan de la section oblique. Le théorème exprimé par
la formule (a) porte alors le nom de théorème de Meus-
nier. On rend la signification de la formule plus géné-
rale en l'étendant aux lignes à double courbure, ainsi
que cela vient d'être expliqué.

II résulte du théorème de Meusnier que, si l'on dé-
crit une sphère ayant pour centre et pour rayon le centre
et le rayon de courbure d'une section normale , toutes
les sections obliques ayant la même tangente que cette
section normale ont pour cercles osculateurs au point
commun les petits cercles qui sont les intersections de la
sphère et de leurs plans respectifs.

276. Pour simplifier la discussion des rayons de cour-
bure des sections normales , admettons d'abord que le
plan des xj soit mené parallèlement au plan tangent à
la surface, au point de concours des sections, ce qui
revient à poser/? =o , gr=o : la formule (b) deviendra
I

et si l'on pose, comme cela est permis en vertu de l'é-
quation (1),

x' =r cos <p , 7'= sin <p , tang 9 = « ,
on pourra écrire

I

rcos'<p+ a^sin(pcos<p + ^sin*^ *

r3)

ou

_ '+«* . fis

<p désignant alors l'angle de la section normale avec un
plan mené par la normale parallèlement à celui des xz.

470 LIVBE IV. CHAPITRE X.

On obtiendra les valeurs maxima et minimaàxL rayon
de courbure p , en cherchant les valeurs de a qui ren-
dent nulle ou infinie la dérivée

rfp a[j?tt*-f-(r — ^)« — *.] ,

En égalant le dénominateur à^ zéro, nous aurions

«= 1 ^ N^)

valeurs qui ne seraient réelles que sous la condition
s^ — r^ > o , et qui correspondraient à un rayon de cour-
bure infini , ou à une courbure nulle. Les maxima et
minima proprement dits seront donc exclusivement
donnés par Téquation

a*4-— —a — i=o, (a)

d'où Ton tire

fli— — ——————————————— •

Cette expression, toujours réelle, nous montre : i" que
sur toute surface, et pour tous les points non singu-
liers oïl les dérivées partielles p^ q, r, s , t peuvent se
déterminer en fonction des deux variables indépendantes,
sans solution de continuité, il existe parmi les sections
normales deux sections principales pour lesquelles le
rayon de courbure a une valeur maximum ou mini-
mum; ^^ que les plans de ces sections principales se cou-
pent à angles droits, puisque le produit des racines de
Féquation (a) est égal à — i.^

277. Nous pouvons donc mener parallèlement aux.
plans des sections principales les plans des xz et des
yz dont nous avions laissé la direction indéterminée ^
en sorte que, des deux racines de l'équation (a), l'une

DE hL COURBURE DKS SURFACES. 471

soit nulle et l'autre infinie; ce qui revient à choisir la
direction des plans coordonnés de manière qu'on ait
s=o. La valeur de p devient alors

P =

rcos*(f -f- 1 sin*ç

et l'on a, en désignant* par Hz, Rs les deux rayons de
courbure principaux ^ c^m correspondent respectivement
à sin 9=0, cos y=o,

Rr=;, Ra = 7,
\'^i cos*<p + i- sin*<p . (ft,)

Cette formule très-remarquable est due à Euler. Elle
donne les rayons de courbure de toutes les sections
normales , et par suite ceux de toutes les sections obli-
ques, en fonction des rayons de courbure principaux ,
et des angles <p, 0 qui fixent la position des plans de
section par rapport aux plans des sections principales.

En désignant par pi , p» les valeurs de p pour deux
sections normales rectangulaires, et d'ailleurs quelcon-
ques, on tire de l'équation {bt) la relation élégante

. p, p, H, H,

Lorsque les deux rayons principaux Rx,Ra sont égaux
et de même signe, c'est-à-dire, dirigés du même côté du
pian tangent, la valeur de p devient indépendante de
l'angle 9 et la même pour toutes les sections normales.
La surface de la sphère est la seule qui jouisse en tous
ses points de cette propriété : mais on retrouve sur
d'autres surfaces des points singuliers auxquels la même
propriété appartient, et que Monge a nommés ombilics.

278. Si les dérivées r^t sont de même signe, les

472 uvRB IV. — CHAPrraE x.

rayons principanx Ri,Ra sont aussi de même signe, et
le signe de p ne change pas : la surface tourne sa con-
vexité dans le même sens par rapport au plan tangent ,
tout autour du point de contact.

Admettons maintenant que > les rayons principaux
soient de signes contraires, par exemple R. positif et R»
négatif : il y aura des sections normales situées au-des-
sus du plan tangent et d'autres au-dessous. La formule
(^,) deviendra, après qu'on y aura changé Ra en — Ra,
pour n'avoir plus à considérer que des nombres positifs,

II , ï • .
-= — cos*<p— — sm»? .

On voit que, si l'on fait croître l'angle ç à partir de
zéro, le rayon variable p commencera par être positif,
et ira toujours en croissant, depuis R. jusqu'à l'infini.
Cette dernière valeur correspond à

^co8*9= ^sin*9, ou a=:±: V/g^=± V — ^ ,

ce qui est précisément la valeur de a donnée par l'équa-
tion (5), après qu'on y a fait ^=o, conformément à
l'hypothèse sur la direction des axes.

Si donc l'on désigne par (p^ cette valeur particulière
de f , et que, dans le plan tangent, on mène deux droi-
tes qui forment, avec une parallèle à l'axe des x^ des
angles égaux à ±909 toutes les sections normales dont
les tangentes tombent dans les espaces angulaires où ç
prend une valeur numériquement plus petite que <po,
ont leurs rayons de courbure positifs, et celles dont
les tangentes tombent dans ies espaces complémen-
taires ont leurs rayons de courbure négatifs. Rx est le
plus petit des rayons de courbure positifs; et, par la
même raison , Ra est la valeur numérique minimum

I)£ LA COURBURE DES SURFACES. 473

fies rayons de courbure négatifs, c'est-à-dire que — B,
est un maximum algébrique de p.

Lorsque t ou r prend une valeur nulle, s s'évanouis-
sant par suite de la disposition des axes, l'un des rayons
principaux est infini, l'autre a par conséquent une va-
leur numérique mirUmumy et son signe est celui de tous
les autres rayons de courbure.

279. Nous ferons remarquer qu'en vertu de l'équa-
tion (3), on peut représenter géométriquement la gran-
deur |/p par le rayon vecteur d'une section conique
rapportée à son centre, <p étant l'angle du rayon vecteur
avec l'axe des x. De cette construction on déduirait
sans autre calcul , en se reportant à la discussion bien
connue des sections coniques, tout ce qui vient d'être
établi sur les rayons de courbure des sections norma-
les. On sait que la section conique est une ellipse, si
l'ou a rt — J*>o; et, dans ce cas, tous les rayons vec-
teurs de la courbe auxiliaire étant finis et réels, tous
les rayons de courbure sont finis et doivent être pris
avec le même signe. Si l'on a au contraire rt — -s^ <Oj
l'ellipse doit être remplacée par deux hyperboles conju-
guées, l'une de ces hyperboles correspondant aux va-
leurs imaginaires du rayon vecteur ou aux valeurs né-
gatives du rayon de courbure. Les demi-axes de l'ellipse
ou des deux hyperboles conjuguées correspondent en
direction aux sections principales, et en grandeur aux
rayons de courbure principaux. Enfin, quand on a
rt — /=:o, la section conique se trouve remplacée par
le système de deux droite^ parallèles menées à égales
distances de l'origine : la perpendiculaire abaissée sur
ces droites correspondant en direction ^ l'une des sec-
tions principales, et en grandeur au rayon de courbure
minimum.

474 LIVRB IV. CHAPITRE X.

280. Le théorème d'Ëuler.sur les courbures des sec-
tions normales admet des exceptions qui n'ont été signa-
lées qu'assez récemment par M. Poisson ('), quoiqu'elles
soient tout à fait smalogues aux exceptions que souffre
la théorie des plans tangents [236]. Ces cas d'exception
se présentent lorsque les dérivées /-^ s, t prennent au
point de contact des formes indéterminées §, |, dont
on ne peut lever l'indétermination qu'en établissant ar-
bitrairement une liaison entre les variables indépen-
dantes X, jr. Alors r, s y t deviennent des fonctions du
rapport désigné plus haut par a; de sorte que les cal-
culs précédents y fondés sur le principe que r, Sy t ne
dépendent point de a, cessent d'être exacts. Pour avoir
un exemple des cas d'exception dont il s'agit, il suffit
de considérer la surface engendrée par une parabole
qui tournerait autour de son axe, tandis que son pa-
ramètre varierait suivant une loi exprimée par une fonc-
tion continue quelconque de l'angle de rotation. Un
semblable paraboloîde a une équation de la forme

^+:^ = 2^/(|)

quand on prend pour axe de rotation celui des Zy et
qu'on place l'origine au sommet. Les sections normales
comprises dans des plans menés par l'axe se confondent
avec les paraboles génératrices. Le rayon de courbure
varie d'une section à l'autre suivant une loi qui dépend
de la fonction arbitraire y! Le rayon de courbure peut
donc passer alternativement par des maxima et par
des tninima en nombre illimité : seulement il doit y
avoir autant de maxima que de winima^ afin que le

(*) Journal de l* École polytechnique ^ ai* cahier, p. ao5.

DE LA COURBURE DES SUBFACES. 475

rayon de courbure revienne à sa valeur initiale après
une révolution de la parabole génératrice.

M. Poisson a d'ailleurs remarqué que le théorème de
Meusnier subsiste, même dans le cas où celui d'Ëuler
tombe en défaut; et c'est aussi ce qui se voit très-sim-
plement par la démonstration que nous avons donnée
du théorème de Meusnier [276], laquelle n'exige pas que
les fonctions r, s^ t dépendent seulement de x,/, 2, et
permet de supposer que ces fonctions varient avec la
direction de la tangente à la courbe dont l'arc est dési-
gné par s.

281. Reprenons la formule (é) qui subsiste , quelle
que soit la direction de la normale par rapport aux
axes des x^ j^ z. Les dérivées x', y qui entrent dans
cette formule doivent satisfaire à l'équation (1), laquelle
devient, en vertu de (/),

(i+/?>) j/'+ 2pq cdy -4- (i+î*)/" = I , (6)

et d'où l'on tire, par la différentiation ,

\{l+p')3i'\^'pqy'^^dx' +[(i-f-y>)/-h/?yy]rfj'= o .

En différentiant l'équation {h) par rapport à p, ou a

{rx' + sy) dx' -*- ( sx' +ty) rfy = o ;
et en combinant ces deux dernières équations ,

rx' H- sy' sx' + 1^ . .

Si donc on désigne par R l'un des rayons de courbure
principaux, l'équation en R s'obtiendra par l'élimina-
tion de X ^ y entre les équations (6), (7) , et l'équation

Posons , pour abréger,

V = rx'^ + 2sxy 4- (r" = ^ l/n-p'+î' ; (V)

476 LIVRE IV. CHAPITRE X.

multiplions respectivement par x* et par jr les deux
termes des fractions à gauche et à droite du signe d'é-
galité dans l'équation (7), après quoi nous ferons les
sommes des numérateurs et des dénominateurs : la frac-
tion résultante, en vertu de l'équation (6), se réduira au
polynôme V. Il viendra donc

y^_ rxf + sy sx'+tf

ou bien

et par la multiplication membre à membre ,

[V(i+/,«)_r][V(i+9-)-r]=(._^yV)- .^
Remettant au lieu de Y sa valeur en R , tirée de l'équa-
tion (Y), et ordonnant, on aura enfin
R* (rf_^*)_R[(i4.y») r— a/iy^-f- (n-/?») i\\/i+f^q-
+ (i+/^-^î? = o. (R)

Soient R.^ R> les racines de cette équation, ou les va-
leurs des deux rayons de courbure principaux, il viendra

^j[ rt^s"

RA - {i+p'+q^y '
2_ I _ (i+?*)r— yyjH-(i-H/^)<

Ainsi y la condition pour que les rayons Rt,R> soient de
même signe, est exprimée par r/— j*>o, quelles que
soient les directions des axes coordonnés ; et la condi-
tion pour que l'un des rayons principaux devienne in-
fini, est aussi exprimée généralement par l'équation
rt — j'=o, qui caractérise tes surfaces développables.

Les rayons de courbure principaux sont, pour tous
les points d'une surface, égaux en grandeur absolue et
dirigés en sens contraires, si l'équation

DF LA COURBURE DES SURFACES. 477

est vérifiée pour tous les points de la surface. Nous ver-
rons dans la suite que les surfaces caractérisées par
cette équation aux différences partielles du premier et
du second ordre jouissent d'une autre propriété géomé-
trique également remarquable.

282. Les rayons principaux Ri, Ri, et par suite tous
les rayons de courbure des sections normales, sont égaux
et de même signe, si Ton a

Cette équation, pouvant se mettre sous la forme

+4(i+/.-+^)(^,-.y=o,

équivaut au système

s=o,{l+p^)t-{i^q^)r = o, (e)

pqr

(/)

ou

r _ s _ t

i4-/?' ~pq ~ i-t-y'
On aurait obtenu directement ces dernières équations,
en exprimant que les équations (9) donnent pour V, et
par suite pour p , des valeurs indépendantes de x\ y.

Les coordonnées des points auxquels on a donné le
nom Siombilics [277] sont donc déterminées par le sys-
tème des deux équations (^), combinées avec l'équation
de la surface. Ces points sent isolés, à moins que les
deux équations (^) ne deviennent accidentellement iden-
tiques : ce qui accuserait l'existence sur la surface d'une
ligne que l'analogie porte à nommer ligne ombilicale , et
que Monge a appelée ligne des courbures sphériques.

478 LIVRE IV. CHAPITRE X.

283. Appliquons ceci à Tellipsoïde

on a

a*

I :

/> = -

» ? =

5 = —

^= —

Posons, pour simplifier,

il nous est permis de faire en outre l'hypothèse

a > b > c ^
ce qui rendra positives les constantes A, B. On aura ,
pour déterminer les coordonnées x^y des ombilics de
l'ellipsoïde, les deux équations

xy = o, ^*— Aj'— B=o, {g)

dont les seules solutions réelles sont

-=o, x = ±:\/B = ±a Y^:

—A'

L'ellipsoïde a donc quatre ombilics symétriquement
situés à la surface, dans le plan de la section principale
qui comprend le plus grand et le plus petit axe. On dé--
montre d'ailleurs, dans la discussion analytique des
surfaces du second degré, que les plans tangents à l'el-
lipsoïde, aux quatre points dont on vient de détermi-
ner la position, sont parallèles à ceux qui jouissent de
la propriété de couper l'ellipsoïde suivant des cercles :
ce qui se rattache à une autre définition des ombilics
dont il sera question plus loin.

Si l'ellipsoïde a deux axes égaux ,^les ombilics, comme
il est aisé de le conclure des formules précédentes, se
confondent avec les sommets de Taxe de révolution.

DE LA COtJRBTTRE DES SURFACES. 479

S a. Lignes de courbure.

284. Imaginons que, sur une surface donnée (S), Ton
ait tracé une ligne quelconque (s) , et construit la sur-
face réglée (2) dont la génératrice est assujettie à passer
par cette ligne, en restant constamment normale. à la
surface (S) : en général la surface (2) est gauche , c'est-
à-dire que ses génératrices n'ont pas de ligne enveloppe
[243], ou que deux normales à la surface (S), menées par
des points infiniment voisins, pris sur la ligne (s), ne
se rencontrent pas. Au contraire, si l'on détermine con-
venablement la ligne (s), la surface (2) devenant déve-
loppable, a une arête de rebroussement (<r) touchée par
toutes les droites normales à la surface (S) et passant
par la ligne (s) : ce qu'on exprime, dans le langage pro-
pre à la méthode infinitésimale, en disant que deux
normales infiniment voisines se rencontrent en un point
situé sur la ligne (<y).

Les équations de la normale à la surface (S) au point
{x.jy z) étant [287]

Ç — Jf-j-/>(i:— z) = 0, r^—jr + qÇ:—z)=zo, (A)
les coordonnées du point correspondant (Ç, y), ^) sur
l'arête (a) seront données par le système des deux équa-
tions (h) et de leurs dérivées

— [i+p ip+qy') ] + (^— ^) i^+^y) = o . ( (u^

-[>'+9 0H-y/)iH-(C-^)(^+^/)=o,( ^ ^
prises en considérant z comme une fonction des va-
riables ^,^, eu vertu de l'équation de la surface (S),
et^ comme une fonction implicite de x^ donnée par le
tracé de la ligne (j), ou par le tracé de la projection de
cette ligne sur le plan xj. Or, les équations (A') qui
ne renferment plus que la coordonnée X, , ne peuvent

480 LIVRE IV. CHAPITRE X.

subsister ensemble qa'à la faveur de réquatîon de con-
dition

— (i+p') s -h pqr = o . (i)

Après qu'on y a substitué pour/?, q, r, s, t, leurs valeurs
eu a:,jj fournies par Féquation de la surface (S), l'équa-
tion (/) , où n'entrent plus que les quantités variables x^
y^fy est l'équation différentielle commune à toutes les
projections sur le plan xy des lignes {s) qui ont la pro-
priété de rendre développables les surfaces (2), ou sui-
vant lesquelles deux normales infiniment voisines, éle-
vées sur la surface (SJ, ont la propriété de se rencontrer.
Quand on suppose le plan xj parallèle au plan tan-
gent à la surface (S) au point (.>r,/, z) , et par consé-
quent/>= 0,5^=0, l'équation (/) devient

/' -^ — '7 — i=o;

en sorte qu'elle ne diffère de l'équation (a) que par le
changement de a en y ; d'où l'on doit conclure : i" que
par chaque point de la surface (S) on peut faire passer
deux lignes {s^ , (j,) qui se coupent à angles droits , et
qui jouissent de la propriété énoncée plus haut; a^ que
les plans normaux à (S), menés suivant les tangentes à
ces lignes , coïncident avec ceux des sections normales
principales. Pour cette raison, Monge a donné aux li-
gnes (j,), {s^ le nom de lignes de courbure. Sur toute
surface ou portion de surface, dont l'ordonnée n'éprouve
pas de solutions de continuité du troisième ordre ou
d'uYi ordre inférieur, on peut, d'après ce qui précède,
tracer à volonté deux séries [s^ , (j,) de ligues de cour-
bure qui partagent la surface en quadrilatères curvili-
gnes dont tous les angles sont droits.

DE LA COURBURE DES SURFACES. 481

L'élimination de y entre les équations (h') donne

+ i+/?' + ?' = o; (A'')

et l'on a, en désignant par R le rayon du cercle oscu-
lateUr de l'une des sections principales, dont le centre
est à l'intersection de deux normales infiniment voisines,

L'élimination de^ — z entre ces deux dernières équa-
tions reproduira l'équation (R), trouvée plus haut par
un calcul moins simple à quelques égards. .

285. Les lignes de courbure, aux points où elles se
coupent, sont tangentes aux deux sections principales;
mais ces sections, qui sont des courbes planes , et dont les
plans passent par la normale, ne coïncident pas en gé-
néral avec les lignes de courbure, qui, ordinairement ,
ne sont pas comprises dans un plan.

Par exemple , sur une surface de révolution , Tune
des lignes de courbure est le cercle d'intersection de la
surface et d'un plan mené perpendiculairement à l'axe
de révolution, par le point de la surface où doit passer
la ligne de courbure : car toutes les normales à la sur-
face , menées par les points pris sur la circonférence de
ce cercle, vont couper l'axe de révolution au même point ;
d'où il résulte aussi que la portion de la normale, com-
prise entre Taxe de révolution et la surface , est l'un des
deux rayons de courbure principaux. Mais cette ligne de
courbure , quoique plane dans le cas que nous considé-
rons , ne coïncide pas avec une section principale, puis-
que son plan ne comprend pas la normale , à moins que
la normale ne se trouve accidentellement perpendiculaire
à l'axe de révolution.

T. I. 3i

482 LIVHB IV. CHAPITRE X.

L'autre ligne de coarbore, sur lue surÊice de révo-
lution y est la courbe méridienne; puisque les normales
à la surface , menées par divers points de cette ligne ,
sont toutes comprises dans le plan méridien. En outre ,
la courbe méridienne est une section principale dé la
surfiice, puisque le plan de cette section comprend à la
fois la normale et la tangente à l'une des lignes de cour-
bure. Donc , pour une surface de révolution , Tune des
sections principales coïncide avec une des lignes de
courbure; et il en est de même toutes les fois qu'une
ligne de courbure se trouve plane, et que son plan com-
prend la normale à la surface. Ainsi, pour les surfaces
cylindriques, les sections principales, dont l'une est la
section droite, et l'autre la droite génératrice, se con-
fondent respectivement avec les lignes de courbure.

286. L'équation (i) devient identique, et l'on n'en
peut plus tirer immédiatement une valeur dey déter-
minée^ quand on a les trois équations

dont la troisième est une conséquence des deux autres,
et qui équivalent au système (/); en sorte que les points
de la surface pour lesquels cette circonstance a lieu,
ne sont autres que les ombilics.

L'équation («) étant identiquement satisfaite, la nor-
male au point (x, y^ z) est reucontrée par la normale
au point infiniment voisin , dans quelque direction que
l'on prenne ce second point.; mais de là il ne faut pas
tirer la conclusion [182] que l'ombilic est un point oîise
croisent des lignes de courbure en nombre infini , ou que
les droites menées par l'ombilic dans le plan tangent
sont toutes tangentes à des lignes de courbure. Mettons,

DE LA COURBURE DES SURFACES. 483

pour abréger, l'équation (/) sous la forme

?-/' + +-y + Trf=o,
(f^ ^yVi désignant des fonctions de j;, ^qui s'évanouis-
sent quand le point (a:, /•, z) est un ombilic : la difFé-
rentiation de l'équation (^) donne, pour déterminer r'
l'équation du troisième degré

Selon que cette équation a ou n'a pas toutes ses racines
réelles, il passe trois lignes de courbure par l'ombilic
ou il n'en passe qu'une seule. Si cette équation est en-
core rendue identique par les valeurs de x, /qui con-
viennent à l'ombilic, on la différentie à son tour, ce qui
donne une équation du quatrième degré en^ ; et selon
que cette nouvelle équation a quatre ou deux racines
réelles, ou n'a que des racines imaginaires, l'ombilic est
le point d'intersection de quatre ou de deux lignes de
courbure, ou bien il ne passe pas de ligne de courbure
par l'ombilic , et ainsi de suite. Enfin, quand les valeurs
de j;, ^" qui conviennent à l'ombilic, rendent identiques
l'équation («) et toutes ses dérivées successives, l'om-
bilic est un point où se croisent des lignes de courbure
dans toutes les directions. Ce cas se présente pour les
sommets des surfaces de révolution, qui jouissent mani-
festement de la propriété caractéristique des ombilics
(quand ils ne sont pas toutefois des points saillants), et
où viennent se couper toutes les méridiennes qui sont
des lignes de courbure de ces surfaces.

287 . Faisons l'application de ce qui précède à l'ellipsoïde
dont il a été question au n** ^83 : l'équation (/) devient
Aarry'+{a:^—Ar^—B)/ — ^r — o ; (lo)

et elle a pour dérivée

3i.

484 LIVRE IV. CHA.PITRE X.

équation qui se réduit à A^'^-j-^'=o, pour les valeurs
y=o, a: = ±|/lB, relatives aux ombilics. Cette der-
nière équation n'admet que la racine réelle /=:o, à
cause que A désigne un coefficient positif. Il ne passe
donc qu'une ligne de coui4)ure par les ombilics de l'el-
lipsoïde à trois axes inégaux, et cette ligne est la sec-
tion qui comprend le plus grand et le plus petit ^xe.
Si l'on pose a=by auquel cas l'ellipsoïde devient de
révolution autour de son petit axe , pris pour celui des
z, on a A==: I , B=o; et les coordonnées des ombilics
sont j: =0,^=0, parce qu'en effet ces ombilics se
confondent avec les pôles de l'ellipsoïde aplati. L'équa-
tion (10) peut alors être mise sous la forme

et elle se décompose en

Pour X = o , ^= o, la valeur de y donnée par la pre-
mière équation est imaginaire [i 8a], et celle que donne
la seconde équation reste affectée d'une indétermination
réelle : comme cela doit être , puisque tous les méridiens
qui se projettent en xy suivant des droites passant par
l'origine des coordonnées, sont autant de lignes de cour-
bure de l'ellipsoïde.

Quand on fait h=.c^ auquel cas l'ellipsoïde devient
de révolution autour de son grand axe pris pour celui
des a:, on a A=:o , B = a^, et l'équation (10) se résout
dans le système

y =00 , (x' — a')/ — arr = o.
Si l'on introduit dans la dérivée de l'équation précédente
les valeurs des coordonnées des pôlé^ ou des ombilics ,
savoir x =±a,j=o , on en tirera y = o : ainsi y

DE LA COURBURE DES SURFACES. 485

n'est susceptible en ces points que des deux valeurs o, oo .
En effet ^ les méridiens se projettent en xy suivant des
ellipses qui viennent toutes couper perpendiculairement
l'axe des Xy'k l'exception du méridien dont la projection
est l'axe même des x.

288. Lorsque la surface a des points singuliers pour
lesquels r, Sy t deviennent des fonctions de y\ comme on
l'a plusieurs fois expliqué , l'équation ( / ) cesse d'être
une équation algébrique du second degré par rapport
à l'inconnue y , pour les points singuliers dont il s'a-
git, et elle peut avoir un nombre quelconque de racines
réelles.

^289. Aux deux systèmes de lignes de courbure rec-
tangulaires {s^y (s^) correspondent [^284] deux systèmes
de surfaces développables (2,), (2,), et d'arêtes de re-
broussement (a,), (d,). Le lieu des arêtes de rebrousse-
roent du premier système est une certaine surface, et
celui des arêtes de rebroussement du second système est
une autre surface; ou plutôt les deux systèmes de sur-
faces développables ^ pris ensemble , ont pour lieu de
leurs arêtes de rebroussement une surface à deux nappes
(<^i 9 <^a) 9 chaque nappe se rapportant à chacun des sys-
tèmes rectangulaires.

Pour obtenir en Ç, n, ^ l'équation de cette surface à
deux nappes, qui est aussi le lieu des centres de courbure
des sections principales de la surface (S), il faudrait éli-
miner x,^,z entre les équations (h) y (A") et celle de
la surface (S).

Chaque rayon de courbure principale, touchant l'une
des arêtes de rebroussement , touche la surface qui est
le lieu de toutes ces arêtes : la surface des centres des
courbures principales est donc , par rapport à la surface

486 LIVRE IV. — CHAPITRE X.

primitive^ l'analogue de la développée d'une courbe plane
par rapport à la courlië développante.

Les deux <;entres des courbures principales , pour un
même point de la surface (S), se trouvant sur la même
normale, il en résulte que chaque normale à la surface
(S) touche chacune des deux nappes de la surface (a,, <y,).
Si l'on mène par cette normale deux plans tangents
respectivement aux deux nappes, ces deux plans sont
rectangulaires, en vertu delà propriété essentielle des
lignes de courbure. Donc les deux nappes de la sur-
face des centres de courbure ont entre elles de tels
rapports de forme, que, regardées d'un point quelcon-*
que O, leurs contours apparents se coupent à angles
droits. En effet , les contours apparents des deux nap-
pes de la surface (d., c») sont les lignes de contact de
ces nappes et des surfaces coniques circonscrites, ayant
leurs sommets en O. Or ces deux surfaces coniques ont
une génératrice commune; qui est la normale menée
par le point O à la surface (S) , et de plus leurs plans
tangents suivant cette génératrice sont rectangulaires.

S 3. Osculation des surfaces * Définition et mesure de la

courbure des surfaces.

290. Deux surfaces

2^= /(^ï y) > (*) ^ =/.(^, /) > W

qui ont un point commun {x,jr, z ) ont de plus en ce
point un contact du premier ordre [iio3], quand les
coordonnées Xyjr, z satisfont aux égalités

p=p,,q=q,, (il)

ou quand le plan tangent est le même pour les deux

surfaces , au point qui leur est commun. Si les égalités

r=r, , s:czs, , r=^, (12)

DE LA COURBURE DES SDRFiiCES. 467

sont en outre satisfaites, il y a entre les deux surfaces un
contact du second ordre ou une osculation. En général
le contact est dit du n^ ordre, quand toutes les dérivées
partielles p^ q^ r, etc., fournies parles équations des deux
surfaces, jusqu'à celles de Tordre n inclusivement , pren-
nent les mêmes valeurs pour un même système de va-
leurs des coordonnées x^ y ^ z^ quelle que soit celle des
deux surfaces que l'on considère.

Si les surfaces n'éprouvent pas de solutions de con-
tinuité de l'ordre /i -h i ou d'un ordre inférieur , et si
Â;r, by^ \z désignent des quantités très-petites du pre-
mier ordre, la distance du point (a;+A^,jr+A;^,s-h A^}
situé sur l'une des surfaces, à l'autre surface, est en
général une quantité très-petite de l'ordre /^-|- 1 , quand
le contact entre les deux surfaces est du n^ ordre. Nous
omettons la démonstration de ce théorème , que l'on sup-
pléera sans peine, en comparant le n"" ^^o aux n"^ ao3
et suivants.

Dans l'intérêt des applications géométriques, il nous
suffira de considérer les contacts des deux premiers or-
dres , ou le contact simple et Toscuiation (').

291. Ayant mené le pian tangent à la surface (2) au
point ( a;, ^, z)j coupons ta surface par un plan pa-
rallèle au premier. Pour plus de simplicité, on peut
placer l'origine au point de contact, et faire coïncider
le plan xy avec le plan tangent. Soient Az l'ordonnée du
plan sécant , et A^ , A/ les coordonnées en xy des points
où il rencontre la âuriace : on a, en traitant bx , A^ comme
des quantités très-petites du premier ordre, et en né-

(') Sur les contacts des ordres sapërieurs entre les surfaces, on
pourra consulter un mémoire de M. Olivier, insère dans le a5^ ca-
hier du Journal de V École polytechnique^ p. ia3.

488 LIVRE IV. CHAPITRE X.

gligeant les quantités très-petites du troisièn^e ordre,

l^=lrilr'4-JAarAj4-|Mjr . (i3)

Faisons A^=eÇ, A^zzzc», e désignant une quantité très-
petite du premier ordre : puisque Az est du second or-
dre, d'après l'équation (i3), il faut poser Az= e*/-, et
alors cette équation donne

Donc, quand Az décroît indéfiniment, la courbe d'in-
tersection approche indéfiniment d'être semblable à la
courbe dont Ç , n désigneraient les coordonnées cou-
rantes suivant les axes des .x et des /, et qui aurait
(X:) pour équation. Ou bien encore la courbe d'intersec-
tion approche indéfiniment d'être semblable à la section
conique auxiliaire dont il a été question aiu n"* 279, et
dont les rayons vecteurs sont proportionnels aux raci-
nes carrées des rayons de courbure , pour les sections
normales dont les plans coupent le plan tangent sui-
vant ces rayons vecteurs.

A cause de cette circonstance , M. Charles Dupin a
donné le nom d'indicatrice à la courbe que l'on conçoit
résulter de l'intersection de la surface par un plan mené
parallèlement au plan tangent, à une distance infini-
ment petite du point de contact. Cette indicatrice est une
ellipse quand la surface tourne sa courbure du même
côté tout autour du plan tangent; dans le cas contraire,
les deux hyperboles conjuguées qui remplacent l'ellipse,
résultent de l'intersection de la surface par deux plans
infiniment voisins, tous deux parallèles au plan tangent,
et entre lesquels celui-ci se trouverait compris.

L'ellipse indicatrice devient un cercle aux points om-
bilics : c'est pour cela que les plans tangents aux ombi-
lics de l'ellipsoïde sont parallèles à ceux qui ont la pro-

D£ LA COURBURE DES SURFACES: 489

priété de couper l'ellipsoïde suivant des cercles [a83].

292. Quand la surface (s.) a trois paramètres arbi-
traires, on en peut disposer pour satisfaire à la condi-
tion j\ X jjr )=fj ( .r , / ), et de plus aux équations ( 1 1 ),
ou pour établir entre les d^ux surfaces (2), (z,), au
point (x^j'j z), un simple contact. S'il entre dans l'équa-
tion [Zj) six paramètres arbitraires, on en peut disposer
pour satisfaire en outre aux équations (la), ou pour
rendre les deux surfaces osculatrices l'une de l'autre.

Donc on ne peut pas , en général , déterminer une
sphère qui soit osculatrice d'une surface donnée en un
point donné : car l'équation la plus générale de la sphère
ne renferme que quatre paramètres arbitraires, savoir:
le rayon et les trois coordonnées du centre.

Les conditions de l'osculation des deux sur&ces (z),
Çzjy) soiit exprimées analytiquement par le système des
équations'(i]) et (la) ; mais il est préférable de les
énoncer géométriquement en disant que les deux sur-
faces sont osculatrices Tune de l'autre lorsqu'elles ont
en un point commun , non-seulement le même plan tan-
gent, mais encore des sections principales comprises
dans les mêmes plans normaux , et les mêmes rayons de
courbure principaux , respectivement dirigés dans le
même sens par rapport au plan tangent. Il est visible,
d'après tout ce qui a été établi dans ce chapitre , que
l'existence de ces relations géométriques résulte des
équations (i 1) et (la). Lorsqu'elles subsistent, un plan
quelconque, passant par le point commun, coupe les
deux surfaces suivant deux lignes qui ont en ce point
le même rayon de courbure.

Si donc la surface (z) a ses deux rayons de courbure
principaux dirigés dans le même sens, on peut toujo^rs

490 LIVRB IV. CHAPITRE X.

construire un ellipsoïde de révolution qui oscule cette
surface au point (x, y^ z) : car on peut faire en sorte
que l'une .des sections méridiennes de lellipsoïde oscu*
lateur tombe dans le plan de 17une des sections princi-
pales de la surface osculé^ , l'un des axes de l'ellipse
méridienne coïncidant ayec la normale : après quoi il
n'y a plus qu'à assigner aux axes de l'ellipse méridienne
des longueurs telles, que les rayons de courbure prin-
cipaux soient les mêmes pour la surface osculée et pour
l'ellipsoïde. Cette construction est propre à donner deux
ellipsoïdes osculateurs, l'un allongé, l'autre aplati.

Quand la surface a ses deux rayons de courbure
principaux dirigés en sens inverses , on peut substituer
à l'ellipsoïde osculateur un hyperboloïde de révolution
à une nappe, dont le cercle de gorge [239] tombe dans
le plan de l'une des sections principales de la surface.

On peut décrire plus simplement encore une surface
de révolution, osculatrice d'une surface donnée, en Éli-
sant tourner le cercle osculateur de l'une des: sections
principales de la surface autour d'un axe tracé dans son
plan perpendiculairement à la normale , et passant par
le centre de courbure de l'autre section principale. La
surface osculatrice devient un cylindre droit, à base
circulaire, quand le rayon du cercle osculateur de la
première section principale devient inâni , comme il ar-
rive pour les surfaces développables [281].

*293. Ceci va nous conduire à définir et à mesurer,
d'après M, Gauss , la courbure dune surface, quantité
qui n'est point définie ni à plus forte raison mesurée,
tant qu'on se borne à établir , d'après les théorèmes de
Meusnier et d'Euler^ les relations qui subsistent entre
les courbures des lignes tracées sur la surface.

DE XA €OURBUA£ DES ^SURFACES. 491

Revenons pour un instant sur la mesure de la cour-
bure des lignes planes. Prenons sur la ligne dont on
veut mesurer la courbure en m, un arc \s qui passe
par le point m; menons les normales aux deux extré-
mités de cet arc ; et après avoir tracé dans le plan de la
courbe un cercle dont le rayon soit égal à l'unité^ me-
nons les rayons respectivement parallèles aux deux nor^
maies extrêmes et qui comprennent un arc de cercle

. , dr
^T : la limite -j- [iqS] vers laquelle converge le rap-

At
port —, quand l'arc Aj décroît indéfiniment sans ces-^

ser de comprendre le point m, est la mesure de la cour-
bure de la ligne au point m.

Une construction parfaitement analogue est appli-
cable aux surfaces. Imaginons [128] une courbe fermée,
tracée arbitrairement sur la surface dont on veut me-
surer la courbure en m, de manière que Taire tù cir-
conscrite par cette courbe sur la surface comprenne le
point m(j). D'un point quelconque de l'espace, comme
centre , décrivons une surface sphérique qui ait l'unité
pour rayon, et menons les rayons parallèles à toutes
les droites élevées normalement à la surface sur le con-
tour de l'aire (o : le lieu de ces rayons est une surface
conique qui intercepte à la surface de la sphère une

(') Il faut entendre par Vaire d'une portion de surface courbe
(comme nous l'expliquerons plus amplement dans le chapitre YI diT
cinquième livre) la limite dont s'approche indéfiniment Faire d'une
surface polyédrique, inscrite ou circonscrite à la portion de surface
courbe que l'on considère , quand le nombre des faces du polyèdre
augmente sans cesse et que les dimensions des faces décroissent in-
définiment. Cette définition de la grandeur a> est analogue à celle de
la grandeur * [174]. ^

492 LIVRE iV. — CHAPITRE X.

6
aire 6. La limite vers laquelle converge le rapport -

quand Taire a> décroît indéfiniment sans cesser de com-
prendre le point m, doit, suivant l'analogie, être prise
pour la mesure de la courbure de la surface au point
m. Nous admettons d'abord , afin d'éviter toute diffi-
culté, qu'il s'agit d'une surface dont les deux rayons de
courbure principaux sont dirigés dans le même sens, et
en outre que la surface n'éprouve pas au point m de
solutions de continuité.

De même que , pour la mesure de la courbure d'une
ligne plane , il est permis de substituer à la ligne don-
née son cercle osculateur ou toute autre courbe oscula-
trice; de même, pour la mesure de la courbure d'une
surface, il est permis de substituer à la surface propo-
sée une autre surface qui Toscule, au point oit il s'agit
de mesurer la courbure.

Prenons , pour la surface osculatrice , celle que dé-
crit le cercle du rayon R, , en tournant autour d'une
droite menée dans son plan perpendiculairement à la
normale, par le centre du cercle du rayon R,. Soit ds^
l'angle infiniment petit que le plan du cercle mobile ,
dans chacune de ses positions extrêmes , forme avec le
plan de la section normale sur lequel il était primitive-
ment couché, l'excursion du plan mobile ayant la même
amplitude de part et d'autre dû plan de la section nor-
male; soit é/j^a l'angle infiniment petit que forment avec
la normale et de part et d'autre de cette droite, dans le
plan du cercle osculateur de rayon R> , deux rayons de
ce cercle : Taire co, devenue infiniment petite, se con-
fond avec celle d'un rectangle infiniment petit dont les
côtés seraient 2R,rfj, , aR^^/j,, et qui aurait pour sur-

DE LA GOURBDRE DES SURFACES. 493

face ^Rfi-^dsjds^. D'autre part, l'aire correspondante 0
prend pour valeur (en négligeant toujours les infiniment
petits des ordres supérieurs) ^ds^ds^ : d'où

^■'"- v=ô:- w

La courbure d'une surface a donc pour mesure le pro-*
duit des courbures de ses deux sections principales.

L'aire 6 est remplacée par un point quand l'aire <ù , finie
ou infiniment petite, est prise sur une surface plane; elle
est remplacée par une portion de circonférence de grand
cercle quand l'aire cù, finie ou infiniment petite, appar-*
tient à une surface cylindrique. Cette remarque lève
la difficulté qui naîtrait de ce que , d'après la formule
(/), une surface développable pour laquelle [281 et ql^^]
un des rayons Ri , Ra est constamment infini , aurait
-en tous ses points une courbure nulle, propriété qui
semble ne pouvoir appartenir qu'au plan. Le plan , les
surfaces développables et les autres surfaces ne sont pas
plus comparables, quant à la courbure, qu'un points
une ligne et une aire , quant à la grandeur. On peut
dire que la courbure d'une surface développable est un
infiniment petit du premier ordre, et celle d'un plan
un infiniment petit du second ordre : ce qui signifie que
la courbure d'une surface est une quantité très-petite
du premier ou du second ordre, quand la surface se con-
fond sensiblement avec un cylindre ou avec un plan.

L'expression de la courbure d'une surface prend le
signe positif ou le signe négatif, selon que les deux
rayons de courbure principaux sont dirigés dans le
même sens ou «en sens contraires. Ce changement de
signe est arbitraire , et ne comporte pas une interpréta-
tion naturelle comme celui qui affecte la pourbure d'une

494 LIVRE IV. CHAPITRE X.

ligne quand le sens de la courbure change effective-
ment. Mais cette circonstance, loin de donner lieu à
une objection fondée, ne fait que confirmer l'analogie
qu'il s'agit d'établir. On sait, en effet, que les règles
' pour l'interprétation . des signes , applicables aux coor-
données mesurées à partir d*une origine fixe, et à leurs
différentielles, cessent de s'appliquer, ou ne s'appliquent
qu'en vertu de conventions arbitraires , aux aires mesu-
rées par les produits qui admettent pour facteurs ces
coordonnées ou leurs éléments différentiels.

Mademoiselle Sophie Germain , dans ses recherches
sur les surfaces élastiques, et surtout dans un mé-
moire (') qui est la dernière production de cette femme
remarquable, s'est efforcée d'établir que la courbure

d'une surface a pour mesure la fonction ^-{-^ • niais

ses raisonnements n'ont rien de convaincant, et la
mesure qu'elle propose n'est en effet qu'une définition
arbitraire; tandis que la proposition de M. Gauss, ame-
née* et justifiée par toutes les analogies géométriques ,
est un véritable théorème d'où peuvent sortir des consé-
quences importantes , et qui' mérite d'être admis dans
les éléments , à cause de son élégante simplicité.

(») Journal de Mathématiques y de M. Crelle, t. VII, p. i.

FIN DU TOME PREMIER.

ERRATA DU TOME PREMIER.

Pages.

LIGNES.

FAUTES.

CORRECTIONS.

6

a3

cette tranche

la tranche

II

i5

étant au

étant un

la

4

décroissante

croissante

ibid.

5

croissante

décroissante

^9

7

PMN'

' PMM'

Si

4 en fera.

enr;

est y

71

la en rem.

j: = o,^ = o

X = 0, XZ=. 0

114

a6

Gavai leri

Cavalieri

i33

II

3 cos'j:

3 cos* X sin x

i38

II

Côtes

Cotes

i5i

4

a or*

3^*

ibid.

5

X — 1 sin ^x

X — ^ sin 7.x

ibid.

10

^xV^x^i

"^xV x^—v

i55

i5

(1)^

(0^

i56

I en rem.

véritable

variable

161

aa et a3

second

troisième

18S

i5

fx =

/A =

>9i

14

•+«

V

196

5
5 en rem.

6 id.

par

4(i-l/i-x>)

d.^
dx

pour

ao9
ai3

4l/i— x.(,i— |/i— X*)

d.^
dx,

dydx
d^z
dx-

ibid.
ibid.

Sid.

1 id.

dy

dy dz
d^z
dz'

a59
a7a

a76

16
5 en rem.

3 id

dH

dr

f(x^^h,y^Qk)
dh

Suite de [Errata du Tome premier.

vkats.

LIGNES.

FAUTES.

CORRECTIONS.

338

10

+ (l-r)

+ {y\-yY

344

l6

+ 0

= o

355

8 en rem.

distance m,»,

différence m,fA,

dF d¥

dF dF

370

4»rf.

^' di

H' ^

43i

4irf.

(a6)

(^60

448

I id.

X — a=z

X — a = o,

Page i4i, ligne i en remontant , après pour des valeurs quelcon-
ques de l'exposant, ajoutez sous la condition de conduire à une série
convergente.

Page i5a , ligne a en remontant, après dérivent , ajoutez et si, par l'ap-
plication de la règle du n° 85 ^ on ne mettait pas en évidence le facteur
qui les rend simultanément nulles ou infinies.

PII.

Fùf.â.

FÙf.22

Fù/JÔ\

Y

Fi^.iy.

V.

N

"

o

X

FiçuS.

PL.fl,

PL. m.

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rM!

^

TMs book should be retiirnecl to
the lâbrary on or before th© last date
atamped below.

A fine of fLve eents a day ia inciUTôd
by retaiming it beyond the specifled
time.

Please rêtum promptly.

>>7

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^j<

y

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