Über die methode des arithmetischen mittels

/BERKELEY

1 LIBRARY

\rALiPCR^''^

ÜBER DIE METHODE

DES

ARITHMETISCHEN MITTELS,

ERSTE ABHANDLUNG. ,

VON

C. NEU MANN,

OBD. MITGLIED DER KÖXIGL. SACHS. GESELLSCHAFT DER WISSESSCHAFTEX.

Des XUI. Bandes der Abhandlungen der mathematisch-physischen Classe der Könic
Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften

N» IX.
MIT ELF HOLZSCHNITTEN.

LEIPZIG

BEI S. HIKZEL.
1887.

Cj^ c^\^ CA, tJcM<

jMATH-SrAr.

Vom Verfasser übergeben den 22. Februar 1887.
Der Abdruck vollendet den 20. Mai 1887.

QA2BS

M4-

MATM..

STAT.

UBRARY

ÜBER DIE METHODE

DES

APJTH3fETISCHEN MITTELS,

ERSTE ABHANDLUNG.

VON

C. XEUMAXN,

ORD. MITGLIED DER KGL. SACHS. GESELLSCH. DER WISSENSCHAFTEN.

Abhaiidl. d. K. Gesellseh. d. Wissensch. XXII. ^g

Mr?9740

JJie Methode des arilhmetischen Mittels dürfte beachlenswerth sein
für mancherlei physikalische Aufgaben. Insbesondere aber ist sie
von Wichtigkeit für gewisse in der Functionentheorie auftretende und
schwer zu absolvirende Existenzfragen, indem sie einen Ersatz ge-
währt für das so schöne und dereinst so viel benutzte, jetzt aber
wohl für immer dahingesunkene Dirichlet'sche Princip.

In Folge dieser ihrer Wichtigkeit dürfte die Methode des arith-
metischen Mittels seit der Zeit ihrer Publication vielfach studirt,
durchforscht und zu erweitern gesucht sein, — ohne da>s dabei
indessen, abgesehen von einer Ausdehnung auf n Dimensionen'),
nennenswerthe Resultate zu verzeichnen gewesen wären. Wenn man
aber glauben wollte, dass die Methode ihren Höhepunkt, ihren
höchsten Grad von Allgemeinheit bereits erreicht habe, nämlich
glauben wollte, dass sie schlechtweg mir auf solche Curven und
Flächen anwendbar sei, die iiherall convex sind; — so dürfte das
doch wohl eine irrige Ansicht sein. Tauchen doch über diese Grenze
hinaus mancherlei vereinzelte Fälle empor, in denen die Methode
ihre Herrschaft behauptet. Ja noch mehr ! Unter allen Fällen , die über
diese Grenze hinaus bis jetzt untersucht worden sind, befindet sich
(so weit mir bekannt) kein einziger, der gegen die Methode spräche.

So z. B. ist die Convergenz und Correctheit der Methode von
mir constatirt worden für diejenige convexconcave^^) Curve, welche

*) Riquier : Extension ä Iliyperespace de la melhode de M. Carl Neuraann pour
la resolution de problenies relatives aux fonctions de variables reelles qui verifient
l'equation differentielle AF = 0. — »886.

**) Es mag mir gestattet sein, eine geschlossene Curve, welche theils convex,
theils concav ist, kurzweg als convexconcav zu bezeichnen.

<8*

708 C. Neumann, [4

aus der Ellipse durch die dem Gesetz der reciproken Radien ent-
sprechende Transformation sich ergiebt. Desgleichen habe ich die
Correctheit der Methode nachgewiesen für ein System von zwei con-
cenirischen Kreisen, ebenso für das System zweier confocaler Ellipsen,
und ebenso auch für ein System zweier excentrischer Kt^eise; —
wobei allerdings einer gewissen Restriction zu gedenken ist.

Es liegt nämlich im unmittelbaren Charakter der Methode, dass
sie auf ein System von Curven oder Flächen immer erst dann an-
wendbar sein kann, wenn die auf diesen Curven oder Flächen vor-
geschriebenen Functionen zuvor vermehrt worden sind um gewisse
Constanten. Sind, um näher hierauf einzugehen, im Ganzen (n -j- 1 )
geschlossene Curven oder Flächen g, g, , a^, ... a„ gegeben, und auf
denselben resp. die Functionen f, f^, f^^ ... f« von Hause aus vor-
geschrieben, so wird die Methode des arithmetischen Mittels (wie
solches aus ihrer eigentlichen Natur von selber folgt) auf dieses Curven-
oder Flächensystem immer erst dann anwendbar sein können, wenn
die genannten Functionen zuvor ersetzt worden sind resp. durch
/' fi + ^h^ U + ^^2' ••• fn + K^ wo k^, \, ... Ä-,, passend zu
wählende Constanten vorstellen. Ohne auf die allgemeine Regel,
nach welcher diese Constanten jedesmal zu bestimmen sind, hier
näher einzugehen, will ich nur bemerken, dass jene Regel sich
ausserordentlich einfach gestaltet für den speciellen Fall, dass die
vorgeschriebenen Functionen /', /;, /;, ... /;^ ebenfalls Constanten sind.
Alsdann nämlich sind die Constanten k^, k^, ... /t„ so zu wählen,
dass f = f\ -}- k, = f^^ -{- k^ = ... =: /; -I- k,, wird.

Ich beabsichtige, die Resultate meiner Untersuchungen allmählich
zu publiciren. In der hier vorliegenden ersten Abhandlung werde
ich die Methode des arithmetischen Mittels für eine nJjerall convexe
Curve oder Fläche darlegen. Dabei wird es namentlich meine Aufgabe
sein. Dasjenige, was bereits früher — einigermassen verzettelt und
vermischt mit allerhand physikalischen Betrachtungen — über diesen
Gegenstand von mir publicirt worden ist, gegenwärtig in rein mathe-
matischer Form, befreit von allen fremdartigen Beimischungen, als
ein ühersichllichcs und streng gegliedertes System hinzustellen. Ins-
besondere wird dabei näher einzugehen sein auf die Constantc A, d. i.
auf diejenige der gegebenen Curve oder Fläche eigenthümüche Con-
stante, welche den eigentliclien Angelpunkt der Methode des arith-

5] Über die Methode des arithmetischen Mittels. 709

metischen Mittels bildet, und welche von mir die Configuralionsconslanle
dieser Curve oder Fläche genannt worden ist.

Das eigentliche Fundament der Methode des arithmetischen Mittels
besteht nämlich darin, dass diese {ihrer Natur nach positive) Con-
figuralionsconstante ). stets <C 1 {nicht etwa ^ \) ist.

In dieser Beziehung habe ich bereits früher*) dargelegt, dass

für den Kreis

3

und dass für die Ellipse

K,

.<.-!

(v)'

ist ; dabei bezeichnen a und b die grosse und kleine Axe der Ellipse.
Ferner habe ich damals dargethan, dass die Configuralionsconstant«
X einer überall convexen und von (jeradliniijen Strecken freien ge-
schlossenen CuiDe der Formel entspricht:

Z

A<t

4,fA

dabei bezeichnet I den Umfang der Curve, und A den Durchmesser
des grössten Kreises, welcher irgend drei (benachbarte oder nicht
benachbarte) Punkte mit der Curve gemein hat. Desgleichen habe ich
damals gezeigt, dass die Configurationsconstanle /. einer überall convexen
und von ebenen Theilen freien geschlossenen Fläche der Formel entspricht:

V

;. < I —

8.tA-

hier bezeichnet I das .4;-^«/ (Complanationsresultat) der gegebenen
Fläche, und A den Durchmesser der grössten Kugelfläche, welche
mit der gegebenen Fläche irgend vier (benachbarte oder nicht be-
nachbarte) Punkte gemein hat.

Diese Resultate meiner damaligen Untersuchung sind als absolut
strenge zu bezeichnen. Und mit gleicher Strenge werde ich gegenwärtig
(in § 6) nachweisen, dass jene Configurationsconstante /. um einen
angebbaren Betrag kleiner als 1 ist für jede beliebige geschlossene
Curve oder Fläche, falls nur dieselbe überall convex und keine zwci-

*) Untersuchungen über das Logarithmische und Newton' sehe Potential. Leipzig,
bei Teubner, 1877. — Daselbst auf Seite 173 — «79.

710 C. Neumann, [6

sternujc ist. Allerdings ist solches auch schon damals von mir zu
beweisen versucht worden. Genauer betrachtet, stützt sich aber
mein damaliger Beweis auf das Weicrsirass'sche Theorem, dass jed-
wede in einem gegebenen Spielraum stetige Function irgendwo in Er-
streckung dieses Spielraums einen Maxirnalwerlh besitzen muss; —
und dabei erscheint es (dies ist der eigentliche Stein des Anstosses)
einigermassen fraglich, ob jenes Weierstrass'sche Theorem auf die
hier bei meiner Untersuchung vorliegenden sehr eigenthümlichen Ver-
haltnisse ivirklich anwendbar ist.

Es sei mir gestattet, hier noch auf einen andern Punkt meiner
Untersuchungen aufmerksam zu machen. Man denke sich eine ge-
schlossene Curve oder Flache o gegeben, und auf derselben irgend
eine stetige Function f vorgeschrieben. Diese Function /' mag in
eine convergente Reihe entwickelt, und die Summe der p ersten
Glieder dieser Reihe mit p bezeichnet sein. Ferner mögen Y und
Y^' zwei über das Innere von g ausgebreitete Functionen vorstellen.
Und zwar sei Y diejenige Function, welche auf a identisch mit f ist, und
welche überdies innerhalb g der Laplace'schen Gleichung AY = 0
und den bekannten Stetigkeitsanforderungen entspricht. Endlich sei
Y^' diejenige Function, welche zu /'^' in derselben Beziehung steht,
wie V zu /'.

Denken wir uns nun die Existenz der Function V^', nicht etwa
durch das Dirichlet'sche Princip, sondern auf einem wirklich strengen
Wege erwiesen, so entsteht die Frage, ob aus dieser Existenz von
Y^' unmittelbar auf die von M^ geschlossen werden darf. Und ins-
besondere entsteht die Frage, ob, ebenso wie p, für p =z oo,
gegen /' convergirt, ebenso vielleicht auch W gegen Y conveigiren
werde.

Diese Fragen, auf welche Weierstrass (vor ungefähr achtzehn
Jahren, in einem Gespräch über die damals schon von mir gefundene
Methode des arithmetischen Mittels) meine Aufmerksamkeit hinlenkte,
sind bejahend zu beantworten, allerdings nur unter der Voraussetzung,
dass 1^' auf g überall gleichmässifj gegen /' convergirt; — wie ich
solches in § 12 der gegenwärtigen Abhandlung zeigen werde.

Bevor ich die Abhandlung selber beginne, erlaube ich mir noch
eine kurze Uebersicht über den Inhalt der einzelnen Paragraphen
voranzuschicken.

7] Über die Methode des arithmetischen Mittels. 1\\

§ 1 und § 2. — Es sei eine geschlossene Curve a in der Ebene, oder
eine geschlossene Fläche o im Räume gegeben. Von den beiden Ge-
bieten, in welche die Ebene resp. der Raum durch g zerlegt wird,
mag das innere mit % das äussere mit 91 bezeichnet sein. Dabei soll
die geschlossene Curve oder Fläche o ganz beliebig gedacht werden,
also z. B. mit Ecken, resp. mit Ecken und Kanten behaftet sein dürfen.

Solches vorangeschickt, sind zuvörderst (gewissermassen als die
eigentlichen Bausteine meiner Untersuchung) die den Gebieten 3
und 9t entsprechenden Fundamental ftin dienen einzuführen. Ich setze
Folgendes fest:

Unter einer Fundamentalfunction des inneren Gebietes 5 ist jede
Function L zu verstehen, welche 1) m Ersireckung von 3 (d. i. in 3, inclu-
sive g) stetig ist, und w eiche 2) innerhalb 3 (d. i. in ^, exclusive o) derLa-
place'schen Differentialgleichung A r= 0 und gewissen Stetigkeitsanfor-
derungen entspricht. Diese Stetigkeitsanfordenmgen betreffen die ersten
und zweiten Ableitungen von U nach den rechtwinkligen Coordinaten.

Andererseits soll unter einer Fundamentalfunction des äusseren
Gebietes 91 eine Function U verstanden werden, die im Ganzen vier
Bedingungen Genüge leistet. Es soll nämlich I) die Function U in
Ersireckung von 91 stetig sein. Sodann soll 2) die Function U inner-
halb 91 der Gleichung AU = 0 und gewissen Stetigkeitsanforderungeu
entsprechen. Diese letzteren beziehen sich wieder auf die ei^sten
und zweiten Ableitungen von U nach den rechtwinkligen Coordinaten.
Die 3) Bedingung bezieht sich auf irgend eine die Curve oder
Fläche G umschliessende Kreislinie oder Kugelfläche s^ vom Radius r^,
und besteht darin, dass das über alle Elemente ds^ derselben aus-
gedehnte Integral

/

du ,

verschwinden soll. Endlich verlangt die 4) Bedingung, dass die Func-
tion U für alle unendlich fernen Punkte ein und denselben Werth,
und zwar einen bestimmten endlichen Werth besitzt*).

*) Beispiele für solche Fundamentalfunctionen sind leicht angebbar. Denkt man
sich nämlich auf der Curve oder Fläche ff eine Massenbelegung gegeben, deren Dichtig-
keit auf ff stetig ist, und bezeichnet man das (Logarithmische resp. Newton sehe)
Potential dieser Massenbelegung auf j«ncrc Punkte mit T,-, auf ätissere Punkte mit 1'^, so
isl V^ eine Fundamentalfunction des Gebietes <);. Hingegen wird >a eine Fundamental-
function des Gebietes % nur dann sein, wenn die Gesammtmasse jener Belegung = 0 ist.

712 C. Neumann, [8

Ich betrachte mm zuvörderst die FundameiUaUimctiünen des
inneren Gebiets 3- tu'" diese eigiebt sich der Satz, dass der (jrössle
Werth, den eine solche Function in Erstreckung von 3 besitzt, unter
allen Umständen auf der Grenze von 3, ^- i- auf g anzutrefTen ist.
Gleiches ergiebt sich für den kleinslen Werth. Hieraus ergiebt sich
alsdann vs^eiter, dass eine Fundamentalfunction des Gebietes 3 voll-
ständig bestimmt ist durch blosse Angabe ihrer auf der Grenze von
3 (d. i. auf g) vorhandenen Werthe.

Demgemäss entsteht die Aufgabe, eine Fundamentalfunction U
des Gebietes 3 wirklich zu construiren, falls ihre Grenzwerllie (d. i.
ihre Werthe auf o) vorgeschrieben sind. Ich werde diese Aufgabe
das innere Problem^ und die gesuchte Function U die jenen vor-
geschriebenen Grenzwerthen enls'preclwnde Fundamentalfunction des
Gebietes 3 nennen.

Dabei handelt es sich namentlich um die vorläufig noch offen
bleibende Frage, ob dieses innere Problem stets eine Lösung besitzt,
mit andern Worten um die Frage, ob eine solche* den vorgeschriebenen
Grenzwerthen entsprechende Fundamentalfunction des Gebietes 3
stets existirt, — also um diejenige Frage, welche man in früherer
Zeit, auf Grund des Dirichlef sehen Priticips, ohne Weiteres zu bejahen
pflegte.

Es folgen nun analoge Betrachtungen über das äussere Gebiet %.
Dieselben fuhren zu dem sogenannten äusseren Problem, welches
darin besteht, die irgend welchen vorgeschriebenen Grenzwerthen
entsprechende Fundamentalfunction des Gebietes % zu construiren.
Dabei ist zu beachten, dass das Gebiet % nach Aussen ins Unendliche
reicht, mithin nach Aussen unbegrenzt ist, dass also unter der Grenze
von 51 lediglich die Curve oder Fläche g zu verstehen ist.

§ 3. — Man denke sich auf der geschlossenen Curve oder Fläche g
irgend eine daselbst stetige Function /"vorgeschrieben, zerlege g in un-
endlich kleine Elemente üg, und markire überdies irgendwo in der Ebene
resp. im Räume (einerlei, ob ausserhalb g, auf o, oder imierhalb g)
einen Punkt x. Sodann bezeichne man die scheinbare Grösse des
Elementes dG für einen in x befindhchen Beobachter mit ± (^/g)^,
und zwar mit -{- (dG)^. oder — (dG)^, je nachdem jener in x be-
findliche Beobachter die innere oder äussere Seite des Elementes vor
Augen hat. Das so definirte {dG% multiplicire man mit dem in t/a

9] Über die Methode des arithmetischen Mittels. 713

vorhandenem Werlhe /*, und bilde das über die ganze Curve oder
Fläche G sich ausdehnende Inteeral:

0.) W^ = -^ffXda\

so wie auch das (aus diesem für ( = I sich ergebende) speciellere

Integral :

1

(2.) w^ = j^fido)^ .

Dabei soll // eine Zahl sein, welche in der Ebene stets = I, im
Räume stets = 2 ist; so dass also z. B. 2ä.t den Umfang einer
Kreislinie vom Radius Eins, resp. das Areal einer Kugelfläche vom
Radius Eins vorstellt.

Der Werth des Integrals ir^ ist sofort angebbar. Bezeichnet
man nämlich den variablen Punkt x, je nachdem er ausserhalb g,
auf G, oder innerhalb g liegt, resp. mit a, *• oder /, so ergeben sich
die Formeln:

(3.) ,,.^ = Ja = , _ ^^ ,

tci = 2 ,
wo Tg den Innenwinkel der Curve g ini Punkte s, resp. den räum-
lichen Innenwinkel der Fläche o im Punkte s vorstellt. Dabei empfiehlt
es sich (wie in der mittleren Formel schon angedeutet ist), an Stelle
von Tg eine etwas andere Grösse i>g einzuführen mittelst der Substi-
tution :

(3 a.) r, = Ä7r(t — !>,) .

Aus dieser Definition von ^^ folgt sofort, dass die Grösse ^^ für
alle Punkte s der gegebenen Curve oder Fläche o -Süll ist, mit al-
leiniger Ausnahme derjenigen Punkt«, die in den Ecken der Curve g,
resp. in den Ecken und Kanten der Fläche g liegen. Auch ergiebt
sich, dass diese Grösse ^^ unter allen Umständen ein positiver oder
negativer ächter Bruch ist, und dass sie insbesondere stets ein posi-
tiver ächter Bruch sein wird, sobald die gegebene Curve oder Fläche g
überall convex ist.

§ 4. — Nachdem soeben w^ untersucht ist, handelt es sich jetzt um
die Untersuchung von W^ (1 .). Man markire auf g irgend einen Punkt s,
und bezeichne den Werth der Function W], in diesem Punkte s mit
Wg. Alsdann wird dieses ^V, wesentlich verschieden sein von den-

714 C. Neumann, [10

jenigen Werthen W,, und W,, welche jene Function in den mit s
benaclibarten Punkten a und i besitzt. Um diese zwischen W^ und
und den Nachbarwerthen W„ und W^ vorhandene Discontinuität
näher angeben zu können, beschreibe man um den anfangs markirten
festen Punkt s (als Gentrum) eine kleine Kreislinie oder Kugelfläche o^.
Alsdann werden alle innerhalb Og vorhandenen Werthe W^^, falls man
0^ ins Unendliche verkleinert, gegen einen bestimmten festen Werth
convergiren, der von W^ versehieden ist, und zur Unterscheidung
mit W,^g bezeichnet werden mag. Desgleichen werden bei jener
Verkleinerung von o^ alle innerhalb o^ befindlichen Werthe W, eben-
falls gegen einen bestimmten festen, von W,. verschiedenen Werth con-
vergiren, der W,^,, heissen mag. Diese dem gegebenen Punkte s zu-
gehörigen, aus den Gebieten 51 und 3 Irerstammenden Convergenzwerthe
W^^^ und W^,. stehen zu dem direct in s selber vorhandenem Werthe W^
in folgenden Beziehungen:

Wis=w, + ^j; + f, ,

wo ^^ die in (3a.) angegebene Bedeutung hat, und f, den Werth
der auf o vorgeschriebenen Function /' im Punkte .s bezeichnet.
Man kann diese Beziehungen einfacher so schreiben:

w = f" /■ ♦

■ ^'^ W,s=fs'+fs-

Hier hat alsdann /!,.' die Bedeutung:

woraus mit Kucksicht auf (1.) sich ergiebt:

1

.(5.) fs' = ^sfs + f^^ffiäol

Denkt man sich nun die VV,^ für alle Punkte a (ausserhalb a),
und die W^^^ für alle Punkte s (auf a) gebildet, so zeigt sich, dass
all' diese Werthe W,^ und VV«^, zusammengenommen eine in ganzer
Erstreckung des Gebietes 51 stelige Function repräsentiren. Des-
gleichen zeigt sich, dass alle W^ und W^^ zusammengenommen eine
in ganzer Erstreckting von 3 stetige Fimction ausmachen. Diese
Resultate lassen sich noch weiter vervollständigen, und führen als-
dann zu dem Satze, dass die Gesamtntheit der W„, W),,. eine B'unda-
mentalfunction des Gebietes 51, und dass ebenso die Gesammlheit

(7.)

**] Über die AfETiiODE des arithmetischen Mittels. 715

der Wi, VV,3 eine Fundameuialftinction des Gebietes 3 reprä-
sciiiirl: — immer vorausgesetzt, dass die von Hause aus auf n vor-
geschriebenen Werthe /' daselbst sletici sind.

§ 5. — Die Function f ist, wie die Formel (5.) zeigt, unmittelbar
ableitbar aus der vorgeschriebenen Function f. Denkt man sich nun
unendlich viele Functionen

(6) f, r,r, r, •■•/^"\ ■•. ,

von denen jede aus der vorhergehenden in genau derselben Weise
abgeleitet sein soll, wie f aus f, so finden die Formeln statt:

fs =^sfs + ^Jf{da), ,

fs" = ^sfs'+-^fndo\ ,

etc. etc. etc.

Auch ergiebt sich, dass f, /"', /"'", ..., ebenso wie /selber, 'auf
CT slciuj sind. Die grösslen und kleinsten Werthe, welche diese
Functionen (6.) auf a besitzen, mögen bezeichnet sein mit

G, G', G", G'", ... G("),

K,K',K",K"', ... Ä'(«), ,

so dass z. B. G und K den grössten und kleinsten Werth der Function
/" vorstellen.

Um auf diese Constanten G^ G\ ... und Ä, K\ ... näher ein-
gehen zu können, wollen wir jetzt voraussetzen, die Curve oder
Fläche G sei überall convex und keine zueisternige. Dabei verstehen
wir unter einer zweisternigen Curve eine solche, die (wie z. B. die
Peripherie eines Vierecks) aus zwei Winkeln zusammengesetzt ist,
andererseits unter einer zweisternigen Flüche eine solche, die (wie
z. B. die Oberfläche desjenigen Körpers, der durch Rotation eines
Dreiecks um eine Seite entsteht) aus zwei Kegelflächen zusammen-
gesetzt ist ; indem wir dabei die Scheitelpunkte jener beiden Winkel
resp. Kegelflächen als die beiden Sterne bezeichnen. Allgemeiner
würde man sich so auszudrücken haben : Sind auf einer geschlossenen
Curve G zwei feste Punkte p und q angebbar von solcher Art, dass
jedwede Tangente der Curve entweder durch p oder durch q geht,
so soll die Curve zweisternig genannt werden; gleichzeitig sollen

716 C. Neumann, [12

alsdann /), q ihre beiden Slcrnc heissen. Und genau dasselbe ist
in Bezug auf die zweisternigen Flächen zu sagen; nur mit dem
Unterschiede, dass hier statt der Tangenten die Tangentialebenen
in Betracht kommen.

Eine ziveisternige Ciirve ist daher nicht nur das Viereck, sondern
auch das Dreieck. Bei letzterem liegt der eine Stern in einer Ecke,
der andere in einem beliebigen Punkte der gegenüberliegenden Seite.
Andererseits wird zu den zweistcrnifjen Flüchen nicht nur das
Dihcxaeder, das lihomboeder, das Parallelepipedum, sondern z. B. auch
das Tetraeder gehören. Bei letzterem kann man den einen Stern
in einer Ecke, den anderen in einem beliebigen Punkte der gegen-
überliegenden Seitenfläche sich gelegen denken. Oder man kann
auch den einen Stern in irgend einen Punkt der einen Kante, den
andern in einen beliebigen Punkt der gegenüberliegenden Kante
versetzen.

Setzt man nun voraus, dass die gegebene geschlossene Curve
oder Fläche o nberall convex und keine ziveisternige ist, so ergeben
sich für die Constanten G, G\ ... und /i, K\ ... die Relationen:

G^G' ^ G" ^ G'" ^

^^■^ K-^K' -^ K" ^ K'" S

und überdies auch noch die Formel :

(9.) (;(«) — 7i<'*) ^{G — K) A" .

Hier bezeichnet l die Conßgurationsconstante der gegebenen Curve
oder Fläche a, d. h. eine gewisse dieser Curve oder Fläche eigen-
thümliche positive Constante, von welcher sich nachweisen lässt, dass
sie stets <C I ist:

(9a.) l<\ .

Denkt man sich die Constanten G, G', ... und K, K\ . . .
graphisch dargestellt als die Ordinalen zweier Curven, der Art, dass
den Ordinalen G, K die Abscisse 0, den Ordinaten G', K die
Abscisse 1 u. s. w., allgemein den Ordinaten G^"\ K^''^ die Abscisse n
angewiesen ist, so wird, nach (8.), die Curve G G G" ... monoton
sinken, und die Curve K K' K" . . . monoton steigen. Ueberdies ist
die Ditferenz der beiderlei Ordinaten:

durch Vergrösserung von n unter jeden beliebigen Kleinheitsgrad

^3] Über die Methode des abithmetischen' Mittels. 717

hinabdrückbar: wie solches aus (9.) sofort sich ergiebt, falls man
nur beachtet, dass die Constante /. ein positiver achter Bruch ist.

Demgemäss \\ erden also jene beiden Curven G G' G" ... und
K K' K" ... im Unendlichen zusammenfliessen. d. h. sie werden im
Unendlichen ein und dieselbe Ordinate haben. Bezeichnet man diese
letztere mit C, so hat man die Formeln:

lim„^^ G(^^=C ,
l'm„ = , Ät«) = C .

Da nun für « = oo die beiden extremen Werthe G^"\ K^"^ der
Function f**^ unter einander identisch sind, beide = C, so gilt
Gleiches auch für alle übrigen Werthe dieser Function. D. h. die
Function f^"^ verwandelt sich für n = oo in eine Constante, und
zwar in die Constante C; was angedeutet werden kann durch die
Formel :

00.) lim„^^/t«) = C .

Beiläufig ergiebt sich aus der hier angestellten Betrachtung, dass
die Constante C zwischen G und K liegt, ebenso zwischen G' und
IT, u. s. w.

§ 6. — Die cardinale Eigenschaft der Configurationsconstanten X
besteht in der Formel (9 a.):

Diese Eigenschaft suche ich hier in § 6 von Neuem in wirklich
strenger und zugleich möglichst allgemeiner Weise zu demonstriren,
indem ich dabei als Ausgangspunkt für die Betrachtungen in der
Ebene ein geradliniges Fünfeck, anderei-seits als Ausgangspunkt der
räumlichen Betrachtungen ein von sieben ebenen Flächen begrenztes
Polyeder nehme, und indem ich dabei einen Weg einschlage, der
von dem vorhin (pag. 6) erwähnten Weierstrass'schen Theorem völlig
unabhängig ist.

§ 6fl. — In Betreff dieses nur wenige Seiten einnehmenden Para-
graphs sei bemerkt, dass derselbe zu keinem nennenswerthen Resultat
führt, sondern nur Betrachtungen enthält, die ich für späteren
Gebrauch mir aufliewahren wollte.

718 C. Neumann, [14

§ 7 und § 8. — Holt man fest an der Voraussetzung, dass die
gegeljene Curve oder Flache o überall convcx uud keine zweisternige
sein soll, so sind jetzt, auf Grund der in (6.), (7.) construirten Func-
tionen /", /", /"' ... , die Lösungen des äusseren und inneren Prob-
lemes sofort angebbar. Bildet man nämlich, von den Functionen
l\ / 5 f'\ f'\ ••• ausgehend, die Integrale:

(11.)

etc. otc.

'^-"-=Ä7Jn"<'L,

und setzt man überdies :

% = c + (Tf/, - w/) + {wr - wn + . . . ,

wo C dieselbe Constantc sein soll, wie in (10.), so sind diese beiden
Reihen stets convergcnL Und gleichzeitig werden alsdann die
Löswigcn dos äusseren und inneren Problemes dargestellt sein durch
die Functionen 0„ und ¥j . Oder genauer ausgedrückt: Die den
auf G vorgeschriehenen Werthen f enispreehenden Fnndamenlalfunctionen
der Gebiete 91 und 3 leerden alsdann dargesielli sein resjjeetive durch
die Gesammlheil der ^,n ^«s w«t/ durch die Gesammtheit der T,, M^,, .

Hiermit aber ist alsdann die in § I und § 21 noch offen ge-
bliebene Frage, wenigstens für eine gewisse Cdasse von Curven und
Flüchen, beantvs^ortet, nämlich folgendes Theorem bewiesen:

Denkt man sich eine geschlossene Curve oder Fläche a gegeben,
ivelche überall convex und keine zweisternige ist, übrigens aber
mit Ecken resp. mit Ecken und Kanten behaftet sein darf, und denkt
man sich auf dieser Curve oder Fläche o irgend welche daselbst stetigen
Werthe vorgeschrieben, so wird jederzeit eine, und immer nur eine
diesen Werthen f entsprechende Fimdamentalfunction des Gebietes %
existiren. Und ebenso wird alsdann jederzeit eine, und immer nur
eine den Werthen f entsprechende Fundamentalfunction des Gebietes 3
existiren.

45] Über die Methode des arithmetischen Mittels. 719

§ 9. — Man denke sich die auf g vorgeschriebene Function f in
eine auf a (jleichmiissig convergente Reihe entwickelt, und l)ezeichne die
Summe der jj ersten GUeder dieser Reihe mit f^ . Oder allgemeiner:
Man verstehe unter p eine mit einem variablen Parameter p be-
haftete Function, welche für jedwedes p auf g stetig ist, und welche
überdies, für p = oo, auf a gle'uhmäss'uj gegen f convergirt.
Ferner mögen <1> und ^ die den Werthen f entsprechenden Funda-
mentalfunctionen der Gebiete % und 3 sein; und analoge Be-
deutungen mögen 0^ und Y^ haben mit Bezug auf die Werthe f^.
Alsdann gelangt man, wie ich zeigen werde, zu dem Theorem^ dass,
für p =1 oo, 0'' in ganzer Erstreckung von ^l gleichmässig gegen 0,
und ebenso M'^' in ganzer Erstreckung von 3 gleichmässig gegen Y
convergirt; — immei- vorausgesetzt, dass die Curve oder Fläche a
aberall convex und keine zweisternigc ist.

§ 10 und § 11. — Um das Theorem von dieser Restriction zu
befreien , w erden in § 1 0 und § I I zunächst zwei ganz specielle
die Kreislinie und die Kugelfläche betreffende Untersuchungen an-
gestellt.

§ 12. — Solches absolvirt, ergiebt sich alsdann folgende Ver-
allgemeinerung des in Rede stehenden Theorems:

Ist die geschlossene Curve oder Fläche n eine ganz beliebige,
haben ferner f und f die schon genannten Bedeutungen, und gelingt
es (durch irgend welche xMethode oder vielleicht auch durch Zufall)
die der Function p entsprechenden Fundamentalfunctionen O'' und Y''
der Gebiete % und 3 wirklich zu construiren, so wird hierdurch
die Existenz derjenigen Fundamentalfunctionen <t> und V, welche der
eigentlich vorgeschriebenen Function f entsprechen, bereits be-
wiesen sein.

Und zwar wird alsdann, für /) = oo, die Function <I>p in ganzer
Erstreckung von % gleichmässig gegen 0, und die Function V in
ganzer Erstreckung von 3 gleichmässig gegen Y convergiren.

Durch dieses Theorem finden die schon früher (pag. 6) er-
wähnten Weierstrass'schen Fragen ihie Beantwortung.

720 C. Neumann, I1^>

§1-

Die Fundamentalfunctionen des von einer geschlossenen Ourve
oder Fläche a begrenzten inneren G-ebietes 3.

Die nachfolgenden Untersuchungen betreffen ziemlich gleich-
müssig die Ebene und den Raum. Dabei soll unter g, sobald von
der Ebene die Rede ist, eine gegebene geschlossene Cnrve, und sobald
vom Räume die Rede ist, eine gegebene geschlossene Fläche verstanden
werden. Von den beiden Theilen, in welche die unendliche Ebene
durch die Curve o, oder der unendliche Raum durch die Fläche a
zerfallt, mag der innere Theil mit 3? der äussere mit % bezeichnet
sein.

Definition, ■ — Wir wollen unter einer Fund a mental function
des Gebietes 3 jedivede Function U = U{x, y), resp. 11.= U{x, ?/, z)
verstehen, die folgenden Bedingungen entspricht:

(1.) . ■ • • In Erstreckung des Gebietes 3 ^oll U eindeutig und
stetig sein.

(2.) . . . . Innerhalb 3 sollen die ersten und zweiten Ableitungen
von U nach x, y, resp. x, y, z stetig sein, und überdies
soll innerhalb 3 die Gleichung erfüllt sein:

bx^ oy^ ox' oy- öz^

Dabei ist der Unterschied zwischen r)in Erstreckung von 3« 'f'^^d
))inn erhalb 3« wohl zu beachten. Während nämlich die erste Ausdrucks-
weise das ganze Gebiet 3 inclusive seiner Grenze., d.i. inclusive a, betrifft,
ist bei der zweiten Ausdrucksweise das Gebiet 3 exclusive a zu verstehen.

Auf eine Fundamentalfunction U sind, der soeben gegebenen
Definition zufolge, die Green'schen Sätze anwendbar, allerdings nicht
mit Bezug auf 3 selber, wohl aber mit Bezug auf jedes kleinere Gebiet,
das mit all' seinen Punkten innerhalb 3 liegt. Markirt man z. B.
innerhalb 3 irgend einen Punkt p, und beschreibt man um p (als
Gentrum) mit dem Radius r eine Kreislinie resp. Kugel/läche s, und
zvvai- der Art, dass s vollsliindig innerhalb 3 hegt, so werden jene

<7] Über die Methode des arithmetischen Mittels. 721

Green'schen Sätze anwendbar sein auf das von s umgrenzte Gebiet
(d. i. auf die von s begrenzte Kreisfläche resp. auf den von s be-
grenzten Kugelraum). Man erliiilt in solcher Weise z. B. die Formeln :

(3.) /f"» = »'

die Integrationen ausgedehnt gedacht über alle Elemente ds der
Kreislinie oder Kugelfläche s. Dabei bezeichnet Lp den Werth von
U im Cenirum />, ferner r den Radius von s. Ueberdies ist*)
// = I, resp. = 2, und T = log -, resp. — -• Aus dieser Be-

deutung von T ergiebt sich sofort, dass T und -j— auf der Kreis-

dT
dr
linie oder Kugelfläche s constant sind; so dass man also die Formel

(4.) auch so schreiben kann :

„ T rdU . 1 dT r^.

Hieraus folgt mit Rücksicht auf (3.):

also, weil Ä = 1, resp. = 2, und -^ = ; , resp. = ~ ist:

dr ~ r

r

Diese beiden Formeln (5.) sagen aus, dass der Werth von U im
Punkte p gleich gross ist mit dem arithmetischen Mittel aller auf s
vorhandenen Werthe von U, und führen also, falls man dieses
arithmetische Mittel durch die Charakteristik Ü)i andeutet, zu fol-
gendem Resultate:

*) Auch in Zukunft soll das h in der Ebene slets = 1 , im Haume stets = 2 sein.

Und ebenso soll das T in der Ebene stets ^= log— , im Räume stets = — sein.

r r

Abhandl. d. K. Gesellsch. d. Wissensch. XXII. 49

722 C. Nelmann, [18

Ist U eine Fiindametüalfnnciion des Gebietes 3? ^'"^ eonstnrirt
man eine völlig innerhalb 3 Hegende Iireisli7iie oder Kugelfläche s, mit
dem Centriim p, so wird

(6.) Up = m{u,)

sein. D. h. es wird der in p vorhandene Werth U gleichgross sein
mit dem arithmetischen Mittel aller auf s vorhandenen Werthe U.

Schon früher (im 3. Bd. der Math. Annal., pag. 341 u. 431), und
ebenso in meinen Vorlesungen über die AbeFsclien Integrale*), habe icli
gezeigt, dass eine Fundamentalfunction des Gebietes 3 ihren grössten
und kleinsten Werth stets an der Grenze von ^, d. i. auf n hat. Da
aber dieser Satz an ersterer Stelle nicht mit der wünschenswerthen
Uebersichtlichkeit, und an letzterer Stelle nicht mit der erforderlichen
Strenge geführt worden ist, so erlaube ich mir, auf den Beweis des
Satzes hier von Neuem einzugehen.

Versteht man unter U irgend eine Fundamentalfunction des Ge-
bietes 3? so sind offenbar nur zwei Fälle möglich :

I. Fall: U ist in Erstreckung des Gebietes 3 constant. Dieser
Fall bedarf keiner weiteren Untersuchung. Höchstens wird man
bemerken können, dass in diesem Falle jener in Erstreckung von 3
vorhandene constante Werth zugleich auch der grösste sei , der in
Erstreckung von 3 sich vorfindet, und ebenso auch der kleinste.

IL Fall: V ist in Erstreckung von 3 inconstant. In diesem
Falle markire man irgendwo innerhalb 3 einen Punkt p^ und beschreibe
um p (als Centrum) eine Kreislinie oder Kugelfläche s^ , der Art,
dass s^ völlig innerhalb ^ liegt. Alsdann muss U innerhalb s^ in-
constant sein. [Denn wäre es innerhalb s, constant, so würde diese
Constanz, nach bekanntem Satze**), auf sämmtliche Punkte des Gebietes
3 sich ausdehnen ; was dem Charakter des hier betrachteten II. Falles
widerspricht]. Da nun also die Function U innerhalb s^ inconstant ist,
so wird sie daselbst z. B. nicht überall = U^ sein können. Dem-

*) Vorlesungen über die lliemann'sche Theorie der Abel'schen Integrale. II. Aufl.
1884, pag 395.

**) Nämlich nach einem schon von Gauss aufgestellten Satze. Der von Gauss
selber für diesen Satz gegebene wenig zuverlässige Beweis [Gauss' Werke, Bd. 5,
Seite 223] kann leicht durch einen absolut strenge?iBewe\s ersetzt werden ; wie solches
von mir angedeutet worden ist in den Math. Annalen, Bd. 3, Seite 339 und 430.

<9]

Über die Methode des abitiimetisciien Mittels.

723

gemäss muss innerhalb «, irgend ein Punkt q angebbar sein, in
welchem die Function V von L], verschieden ist:

(«.)

Un + U.

Legt man nun*) durch diesen Punkt q
eine neue Kreislinie oder Kugel fläche s,
concentrisch zu 5, , so muss [nach
Satz (6.)] der im Centrum von s vor-
handene Werth Ip das arithmetische
Mittel all' derjenigen Werthe sein,
welche U auf s besitzt:

iß)

U„

mus)

Hieraus folgt, dass entweder die auf s vorhandenen T's sdmnillich
= Up sind, oder aber, dass unter jenen auf s vorhandenen U's solche
sich vorfinden, die < U^, und gleichzeitig auch solche, die > U^
sind. Die erste Möglichkeit ist abgeschnitten durch die Formel («.)
[derzufolge der auf s liegende Punkt q mit einem Werthe l], behalkM
ist, der nicht = t; ist]. Es bleibt also nur die zweite Möglichkeit
übrig; und wir gelangen daher zu der Gewissheit, dass unter den
aufs vorhandenen U's solche vorhanden sind, die < {/„, und sleich-
zeitig auch solche, die > U^ sind. Jener im Punkte p vorhandene
Werth Lp kann also nicht der grössie von all' denjenigen Werthen
sein, die U in Erstreckung des Gebietes 3 besitzt. Dieser Satz aber
kann, weil der Punkt p innerhalb 3 beliebig gewählt war, von Neuem
wiederholt werden für jedweden anderen Punkt p, falls nur derselbe
wiederum innerhalb 3 liegt; sodass man also sagen kann:

Der grösste Werth, den U in Erslreckung des Gebietes
(/.) 3 besitzt, ist in einem Punkte innerhalb 3 niemals
anzutreffen.

Folglich wird derselbe nur an der Grenze von 3, d. i. nur auf o anzu-
treffen sein. Analoges ergiebt sich offenbar für den kleinsten Werth.
Hieitnit ist die Disciission des II. Falles beendet.

*) In der vorstehenden Figur ist Aiq Grenze des betrachteten Gebietes 3, d. i. die
Curve oder Fläche a, schraffirt.

49*

724 G. Neumann, [20

Wir können schliesslich die Resultate bei Betrachtung des I. und
II. Falles zusammenfassen, indem wir uns folgendermassen ausdrücken:

Erster Satz, — Ist U eine Fiindamentalfunction des Gebietes 3,
so wird der gros sie Werth, den U in Erstreckung von 3 besitzt,
unter allen Umständen — einerlei ob U in Erstreckung von 3 consta^H
oder inconstant ist — auf der Grenze von 3 {d. i. auf o) anzutreffen
sein. Und ist insbesondere U in Erstreckung von 3 inconstant, so
wird jener grösste Werth nur auf der Grenze von 3 {d- i- nur auf g)
anzutreffen sein.

Genau dasselbe gilt vom kleinsten Werthe.

Betrachtet man also die Werihe, welche eine solche Function
U auf der Grenze von ^, d. i. auf g besitzt, und bezeichnet man
den kleinsten und grössten dieser auf a vorhandenen Werihe resp.
mit K und G, so werden die Werthe , welche U innerhalb 3 be-
sitzt, ebenfalls sämmtlich zwischen K und G liegen, also z. B, con-
stant sein, falls K ^= G ist. Somit ergiebt sich folgender

Zweiter Satz. — Ist U eine Fund amental function des Gebietes 3^
und setzt man voraus, dass U auf der Grenze von 3 (d. i- auf n)
constant ist, so wird U in Erstrecku?ig von 3 allenthalben con-
stant sein.

Hieraus folgt sofort, dass eine Fundamentalfunction des Gebietes
3 durch blosse Angabe ihrer auf der Grenze von 2 (d- i- auf o) vor-
handenen Werthe vollständig bestimmt ist. Denn existirten zwei
solche Functionen U und U', beide mit denselben Werthen auf o, so
würde oifenbar die Differenz U — U' eine Fundamentalfunction des
Gebietes 3 sein, die auf a überall =:: 0 ist. Zufolge des vorher-
gehenden Satzes würde daher diese Differenz U — U' den Werth
0 haben in ganzer Erstreckung von 3. — Q. e. d.

Es ergiebt sich somit folgender

Dritter Satz. — Eine Fundamentalfunction des Gebietes 3 ist
vollständig bestimmt durch blosse Angabc ihrer auf der Grenze von
3 {d. i. auf g) vorhandenen Werthe.

Nach Constatirung dieses Satzes entsteht von selber die Auf-
gabe, eine Fundamentalfunction U des Gebietes 3 wirklich zu con-
struiren, falls ihre Werthe an der Grenze von 3 (d. i. auf g) in be-
liebiger jedoch steliger Weise vorgeschrieben sind. Ich werde diese
Aufgabe das innere Problem nennen, und jene gesuchte Function U

24] Über die Methode des arithmetischen ]Mittels. 725

kurzweg als die den vorgeschriebenen Grenzwerlhen entsprechend e
Fiindamentalftinction des Gebietes 3 bezeichnen. — Dabei handelt es
sich namentlich um die Frage, ob eine derartige Function stets existirl,
— eine Frage, die man früher, auf Grund des Dirichlel' sehen Princips^
ohne Weiteres zu bejahen gewöhnt war.

§2.

Die Fundamentalfunctionen des von einer geschlossenen Ourve oder
Fläche G begrenzten äusseren Gebietes "ii.

Das in der Ebene oder im Räume gegebene Gebiet 91 [vgl.
den Anfang des vorhergehenden §.] ist innerlich von der geschlossenen
Curve oder Fläche a begrenzt, und erstreckt sich nach Aussen rings-
um ins Unendliche. Dieses Gebiet 51 ist also nach Aussen unbegrenzt^
und besitzt mithin überhaupt nur eine Grenze, welche dargestellt
ist durch jene Curve oder Fläche o.

Definition. — Wir wollen unter einer Fun dam en l a l ftin c li o n
des Gebietes 51 jede Function U= U{x, y) resp. U = U{x, ij. z)
verstehen, welche folgenden vier Bedingungen entspricht.

(i .) .... In Erstreckung von 51 soll U eindeutig und stetig sein.

(2.) . . . . Innerhalb 5t sollen die ersten und zweiten Ableitungen
von U nach x, ij, resp. nach x, y, z stetig sein, und
überdies soll innerhalb 51 die Gleichung erfüllt sein:

(3.) . . . . Es ist gegeben irgend eine Kreislinie oder Kugelfläche s^,
welche die Curve oder Flüche a umseht i esst, und
vollständig innerhalb 51 liegt. Und es wird verlangt,
die Function U solle von solcher Beschaffenheit sein, dass
das über alte Elemente ds^ dieser Kreislinie oder Kugel-
fläche s^ ausgedehnte Integral

/:

= 0 sei. Dabei bezeichnet r^ den Badius von s^, mit-
hin -7-7 den Differentialquotienten nach der Bichtung des

a 1 g

Badius.

726

C. Neumann,

[22

(4.) • • • • Die Function U soll in allen unendlich fernen Punkten
ein und denselben Werth, und zwar einen bestimmten
endlichen Werth haben.

Oder genauer ausgedrückt : Denkt man sich um einen
festen Punkt mit sehr grossem Radius R eine Kreislinie
oder Kugel/lache S beschrieben, so sollen die Diß'erenzen
sämmilicher Werthe, welche U ausserhalb S besitzt,
durch Vergrösserung von R unter jeden beliebigen Klein-
heilsgrad hinab drückbar sein.

Auf eine so definirte Fundamentalfunction U des Gebietes %
sind die Green' sehen Sätze [wie aus (1 .), (2.) folgt] anwendbar; allerdings
nicht mit Bezug auf 91 selber, wohl aber mit Bezug auf jedes endliche
Gebiet, welches mit all' seinen
Punkten innerhalb 51 liegt.
Denkt man sich z. B. irgend
eine Kreislinie oder Kugel-
tläche s construirt, welche
[ebenso wie s^; vgl. (3.)] die

Curve oder Fläche a um- i / ^''^^^^MßF" y^o y \s

schliesst, und vollständig inner-
halb 51 liegt, und denkt man
sich überdies eine Kreislinie
oder Kugelfläche S construirt,
welche sowohl s wie auch
s^ umschliesst*), so werden
zufolge jener Green'schen Sätze die Formeln stattfinden :

(5.)
(6)

dS

fdU_ __ rdu
J dr,'' -J Tr

rdU . PdU .^

wo ?;, r, R die Radien von s^, s, S vorstellen. Nach (3.) ist aber
die linke Seite von (5 ) = 0 , folglich auch die rechte. Hieraus

*) In der beistehenden Figur ist die Grenze a des nach Aussen sich ringsum ins
Unendliche erstreckenden Gebietes % schraffirt angegeben.

23] Über die Methode des arithmetischen Mittels. 727

folgt ^veile^, dass die Unke Seite von (6.) ebenfalls = 0 ist. Also
der Satz :

Ist U eine Fiindamentalfundion des Gebietes % und versteht man
unter s irgend eine die Curve oder Fläche o umschliessende, und
völlig innerhalb % liegende Kreislinie oder Kugelfläche, so wird das

über s ausgedehnte Integral

rdu ,
(^•) J rr '^'

stets = 0 sein. Hier bezeichnet r den Radius von s*).

Construirt man jetzt eine zu s concentrische [in der Figur nicht
gezeichnete] Kreislinie oder Kugelfläche s^, welche, ebenso wie s,
die Curve oder Fläche g umschliesst, und vollständig innerhalb % liegt,
so ergiebt sich, auf Grund der Green'schen Sätze, die Formel:

\

wo r und r, die Radien von s und s^ vorstellen, während T == log - ,

\ ^ i . 1

resp. = . und T, = log —, resp. =— sein soll. Demgemäss sind

IT (IT

T und Vt auf « constant, ebenso T^ und -^ auf *,. Die Formel (8.)
kann daher auch so geschrieben werden:

oder, weil die hier in T und T, multiplicirten Integrale [zufolge des
Satzes (7.)] = 0 sind, auch so:

1 1

und diese Formel endlich kann, weil T = log -, resp. = y , mithin

'— = — —, resp. == — -^ ist, und Analoges von -t— ^ gilt, auch
dr r ^ r- ^ ar^

SO geschrieben werden:

,o , fUds _fUds, fUdi _ fUds^

*) Man übersieht sofort, dass dieser Satz auch dann noch gelten wird, wenn
man unter s eine ganz beliebige geschlossene Curve oder Fläche versteht , falls nur
dieselbe die Curve oder Fläche a umschliesst und völlig innerhalb % liegt. Statt

— ist alsdann — zu substituiren , wo n die Normale von s vorstellt. — Eine solche

dr dn

Ausdehnung des Satzes ist aber einstweilen für unsere Zwecke nicht erforderlich.

728 G. Neumann, [24

Demgemäss gelangt man, unter Anwendung des schon vorhin ein-
geführten Zeichens SJi, zu folgendern Satze:

Ist U eine Fundamental function des Gebietes ^, und sind ferner
s und s irgend zwei concenlrisehe Kreislinien oder Kreis/lachen, welche
die Ciirve oder Fläche o iimschliessen, und vollständig innerhalb
51 liegen, so wird stets

(10.) ^{u,) = m{Us,)

sein. D. h. es wird alsdann das arithmetische Mittel der auf s vor-
handenen Werthe U stets eben so gross sein, wie das arithmetische Mittel
der auf s, liegenden Werthe 11.

Nach (4.) hat V für alle unendlich fernen Punkte ein und den-
selben Werth. Bezeichnet man denselben mit V , und lässt man jetzt
in der Formel (10.) den Radius der Kreislinie oder Kugelfläche s^
ins Fnendliche wachsen, so nimmt jene Formel die Gestalt an:
W.{U,) = V. Also der Satz:

Bezeichnet U eine Fundamental function des Gebietes %, ferner f
ihren Werth im Unendlichen [vgl. (4.)] , und denkt man sich irgend
eine Kreislinie oder Kugel/lache s construirt, welche die Curve oder
Fläche G umschliesst, und vollständig innerhalb % liegt, so wird

(11.) mus) = v

sein. D. h. das arithmetische Mittel der auf s befindlichen Werthe U
wird stets = f sein.

Es sei nun U irgend eine Fundamentalfunction des Gebietes 51.
Wir stellen uns die Aufgabe, diese Function näher zu untersuchen,
und namentlich diejenigen Punkte des Gebietes 51 zu entdecken, in
denen sie am Grössten und Kleiiislen ist. Offenbar sind nur zwei
Fälle möglich :

/. Fa II: f/ ist in Erstreckung von 51 constant. Alsdann wird
der grösste Werth, den U in Erstreckung von 51 besitzt, in jedwedem
Punkte dieses Gebietes anzutreffen sein ; ebenso der kleinste.

II. Fall: U ist in Erstreckung von 5t inconstant. In diesem
Falle kann man, was den grössten Werth von U in Erstreckung des
Gebietes 51 betrifft, genau ebenso verfahren, wie im vorhergehenden §
[bei der Discussion des damaligen II. Falles; pag. 18], und gelangt
auf diese Weise zu dem Resultat, dass jener grösste Werth in keinem

25] Über die Methode des arithmetischen Mittels. 729

Punkte innerhalb % anzutreffen ist, oder, genauer ausgedrückt, zu
dem Resultat,

dass jener grösste Wcrtli in keinem endlichen Punkte
innerhalb ^^i anzutreffen ist.

Denn es könnte vielleicht der in einem innem Punkte p vorhandene
Werth Lp gegen jenen grössten Werth convergiren, sobald man den
Punkt p auf irgend welchem Wege ins Unendliche gehen lässt. —
Um auf diese Frage näher einzugehen, construire man eine sehr
grosse Kreislinie oder Kugelfläche s^ , der Art, dass sie die gegebene
Curve oder Fläche o umschliesst, und vollständis: innerhalb % licet.
Alsdann muss C ausserhalb s^ inconsiant sein. [Denn wäre es ausser-
halb s, constanl, so würde diese Constanz, nach einem bekannten
Salze"), sich ausdehnen über .«?^y«/w///V//t? Punkte des Gebietes 51; was
dem Charakter des hier betrachlen II. Falles widerspricht]. Da nun also
die Function U ausserhalb s^ inconsiant ist, so wird sie daselbst z. B.
nicht überall =: r sein können, wo f den Werth der Function
U im Unendlichen vorstellen soll
[vgl. (4.)]. Demgemäss muss ausser-
halb s^ irgend ein Punkt q angebbar
sein, in welchem die Function U
von r verschieden ist:

Legt man nun durch diesen Punkt q
eine neue Kreislinie oder Kugel-
fläche s, concentrisch zu Sj, so
muss [nach Satz (M.)] das arith-
metische Mittel der aufs vorhandenen Werthe von T identisch mit f sein:

(70 r = mus) .

Hieraus folgt, dass entweder die auf s vorhandenen U's sämmtlich
=z r sind, oder aber, dass unter jenen auf s vorhandenen U's solche
sich vorfinden, die < r, und gleichzeitig auch solche, die > T sind.
Die erste Alöglichkeit ist aber abgeschnitten durch die Formel (^1),
[derzufolge der auf s liegende Punkt q mit einem Werthe U be-

*) Es ist hier wieder der schon auf pag. 18 benutzte Gauss'sche Satz gemeint.

730 C. Neumann, [26

haftet ist, der nic/U == f ist]. Es bleibt also nur die zweite Mög-
lichkeit übrig; und wir gelangen somit zu der Gewissheit, dass
unter den auf s vorhandenen t/'s solche vorhanden sind, die < r,
und gleichzeitig auch solche, die >> f sind. Jener im Unendlichen
vorhandene Werlh f kann also nicht der grösste von all' denjenigen
Werthen sein, die U in Erstreckung des Gebietes 91 besitzt. Hier-
durch aber gewinnt der in {«.) ausgesprochene Satz folgende Fassung:

id.)

Der grösste Werth, den U in Erstreckung von 91
besitzt, ist in einem Punkte innerhalb 9t, mag nun
derselbe im Endlichen oder im Unendlichen gedacht
werden, niemals anzutreffen.

Folglich wird jener grösste Werth nur an der Grenze von 91, also
nur auf a anzutreffen sein. Analoges ergiebt sich offenbar für den
kleinsten Werth. Hiermit ist die Disciission des II. Falles beendet.

Schliesslich können wir die Resultate bei Betrachtung des 1.
und II. Falles [das Resultat des II. Falles ist in (().) ausgesprochen],
zusammenfassen, und gelangen so zu folgendem Salz:

Erster Satz. — Ist U irgend eine Fundamentalfimction des Ge-
bietes 91, so wird der grösste Werth, den U in Erstrevkung von 91 be-
sitzt, unter allen Umständen — einerlei ob U im Gebiete 91 constant
oder inconstant ist — an der Grenze von 91 (d. i. auf g) anzutreffen
sein. Und ist insbesondere U in Erstreckung von 91 inconstant, so
wird jener grösste Werth nur auf der genannten Grenze (d. i. nur
auf o) anzutreffen sein.

Genau dasselbe gilt vom kleinsten Werthe.

Auf Grund dieses Satzes ergeben sich nun [genau ebenso wie früher
beim Gebiete 3 ; vergl. pag. 20] zwei weitere Sätze. Dieselben lauten:

Zweiter Satz. — Ist U eine Fundamentalfunction des Gebietes 91,
und setzt man voraus, dass U auf der Grenze von 91 {d. i. auf a)
constant ist, so wird U in Erstreckung von 91 allenthalben con-
stant sein.

Dritter Satz, — Ei7ie Fundamentalfunction des Gebietes 91 ist
vollständig bestimmt durch blosse Angabe ihrer auf der Grenze von
91 [d. i. auf o) vorhandenen Werthe.

Es entsteht dabei die Aufgabe, eine Fundamentalfunction U des
Gebietes 91 wirklich zu construiren, falls ihre Werthe an der Grenze

27] Über die ^Methode des arithuetischen Mittels. 73 1

von % (d. i. auf o) in beliebiger, jedoch stetiger Weise vorgeschrieben
sind. Ich werde diese Aufgabe das äussere Problem nennen, und
jene gesuchte Function kurzweg als die den vorgesehri ebenen Grenz-
werthen entsprechende Fundamentalftinction des Gebietes % be-
zeichnen. — Es handelt sich dabei namentlich um die Frage, ob
eine derartige Function stets existirt.

§ 3.

Definition der Potentiale W, w. Berechnung von w.

Auf der gegebenen geschlossenen Curve oder Fläche o seien
irgend welche Werthe f in bestimmter Weise vorgeschrieben.
Denkt man sich nun irgendwo in der Ebene resp. im Räume einen
Punkt X markirt, und die Abstände dieses Punktes von den einzelnen
Elementen da jener Curve oder Fläche g mit E bezeichnet, so re-
präsentirt der Ausdruck

'.r =J ('os -^ 1 fda , resp. - \\ = f -^
(in der Ebene) (im Räume)

dasjenige Potential, welches auf x ausgeübt wird von einer auf a
ausgebreiteten materiellen Belegung von der Dichtigkeit f. Dabei
pflegt insbesondere der Ausdruck links als Logarithmisches, der
rechts als Newtonsches Potential bezeichnet zu werden. Diese beiden

Potentiale, welche, unter Anwendung der schon mehrfach gebrauchten

1 I

Bezeichnungsweise T = log ^ , resp. = ^, in die gemeinschaftliche

Form:

F.

=fTfdo

versetzbar, und vielfach untei-sucht sind, sollen hier nicht weiter be-
sprochen werden.

Von besonderer Wichtigkeit hingegen für unsere Zwecke ist
derjenige Ausdruck, welcher aus V^ sich ergiebt, sobald man da-
selbst das T durch -j- ersetzt, wo v die innere Normale der Curve
oder Fläche g vorstellen soll. Der so entstehende Ausdruck:

'dT

-■^-r/.f-

732 G. Neumann, [28

pflegt ebenfalls als ein auf den Punkt x ausgeübtes Poienlial be-
zeichnet zu werden, und zwar als das Potential einer auf o ausge-
breiteten materiellen Doppelt elegimg vom Momente f.

Bei der genauem Untersuchung dieses Potentials W^ wird es
zweckmässig sein, das /' durch y— zu ersetzen, wo h wiederum die
schon früher eingeführte Zahl sein soll, die in der Ebene = ], im
Räume = 2 ist. [Vgl. die Note pag. 17.] Der so entstehende
Ausdruck :

kann übrigens, wie man leicht erkennt, auch in folgende Form ver-
setzt werden: d'^ <-

1 /'cos 6 „ . ci\ ^-' .'^

1 /'cos o „ ,

wo f) den Winkel vorstellt, unter welchem die Entfernung E
{da ^—> x) gegen die auf do errichtete innere Normale v geneigt ist.
Bezeichnet man die scheinbare Grösse des Elementes da für einen
in X befindlichen Beobachter mit ±(t/G)^, und zwar mit -^(da)^^
oder — (dö)^, je nachdem der Beobachter die innere oder äussere
Seite des Elementes da vor Augen hat*), so kann das Potential W^
schliesslich auch so dargestellt werden:

(Ib.) ^^^ = ^/A^^^^) •

Denn es ist:

ro ^ '^^ ^ / COS ^

(2.) — da = — ^- da = (da)^ ;

wie sich solches durch einfache Betrachtungen leicht ergiebt.

Für den speciellen Fall : /' = 1 mag das Potential W^ mit »'^
bezeichnet werden. Alsdann hat man die mit (1.), (1a.), (Ib.)
analogen Formeln:

\ rdT

^ ' ^ hjr J dp '

,„ . i f cos d -

(3a.) ^--"=^J^-^^'

(3 b.) w, = ±-J[da),.

*) Die innere Normale des Elementes da ist die in das Gebiet ^ hineinlaufende.
Und ebenso ist die innere Seite von da diejenige, die dem Gebiet ^zugewendet ist.

29]

Über die MEiHOßE des arithmetischen Mittels.

733

Es handelt sich nun darum, die allgemeinen Eigenschaften der
Potentiale ^V_,, fr^., ihre Stetigkeit resp. Vnstetigheit, ihr Verhalten in
den unendlich fernen Punkten, u. s. «*., näher zu untersuchen.

Wir stellen uns zuvörderst die Aufgabe, das in (3 b.) enthaltene

Integral

/

(da).

wirklich zu berechnen in der Ebene für irgend eine geschlossene
Curve G, z. B. für diejenige Curve o, welche weiter unten gezeichnet
ist. Dabei sind drei Fälle zu unterscheiden, je nachdem der
Punkt X ausserhalb a, oder innerhalb a, oder endlich auf a gelegen ist.
Befindet sich x ausserhalb a. so ergiebt sich sofort, falls man nur die
geometrische Bedeutung des (da)^ im Auge behält, die Formel:

(A.)

ßda)^ =

0

{x ausserhalb c;)

Liegt femer x innerhalb o, so ergiebt sich mit gleicher Leichtig-
keit, ebenfalls auf Grund der geometrischen Bedeutung von (da)^, die
Formel :

(Ä.)

f{da)^ =

2 TT , {x innerhalb a)

Liegt endlich x auf der Curve
a, z. B. in der Ecke s, so thut man
gut, das in Rede stehende Inte-
gral /(do)^ oder vielmehr /(do)^
nicht sofort über die ganze Curve g,
sondern zuerst nur über den mit
aßy bezeichneten Theil derselben
auszudehnen. Man erhält alsdann,

wiederum auf Grund der geometrischen Bedeutung von (daX, die
Formel :

J{da\ = T ,

apy

WO T den Winkel asy repräsentirt, während der Index aßy andeuten
soll, dass die Integration nur über den Curventheil u^jy ausgedehnt
zu denken ist. Lässt man aber jetzt in dieser Formel den Curven-
theil « ßy nach beiden Seiten hin mehr und mehr wachsen, nämlich «

734 C. Nel-mann, [30

nach s, und y ebenfalls nach j<? rücken, so gewinnt die Formel fol-
gende Gestalt:

WO die Integration jetzt über die ganze Curve n sich ausdehnt, und
r, den Innenwinkel der Curve im Punkte s bezeichnet. Dieser
Innenwinkel r^ hat zu Schenkeln die beiden Tangenten der Curve
im Punkte s. — In ganz analoger Weise kann man den Fall be-
handeln, dass der Punkt x auf der Curve an irgend welcher andern
Stelle, z. B. in s^ liegt [vgl. die Figur]. Man eihalt alsdann

(C,.) ßdo)s

Ts, = 7t

WO Ts^ den Innenwinkel der Curve im Punkte s^ vorstellt. Dieser
Innenwinkel Ts^ ist aber offenbar = tt, weil der Punkt s^ kein Eck-
punkt der Curve ist, vielmehr an einer Stelle liegt, wo die Curve
einer steligen Biegung sich erfreut, [vergl. die Figur].

Wir wollen nun weiterhin jeden Punkt der Ebene, je nachdem
derselbe ausserhalb, auf, oder innerhalb a liegt, mit a, s oder i be-
zeichnen. Und überdies wollen wir den Innenwinkel der Curve a
in irgend einem Punkte .9 mit 77(1 — /l,) bezeichnen, also setzen:

(ö.)

Alsdann gelangt man, auf Grund der Formeln (A.), (D.), {€.), (C^.),
zu folgendem Satz:

Ist in der Ebene eine geschlossene Curve g von beliebiger Gestalt
gegeben [die also z. B. auch mit Ecken behaftet sein kann], ttnd be-
zeichnet man jedtveden Punkt x der Ebene mit a, s oder i, jenachdem
derselbe a u ss er halb n, a u f n, oder innerhalb o liegt , so gelten
die Formeln:

'^s

= 7C{\

" ^. ) ,

rs.

= 7r(1 -
etc.

- »s,) ,

ß

(4.) J{da), = 7t{\-^,),

J{da\ = 27r ,
ivo 3t(1 — ('>,) den lunenivinkel der Curve a im Punkte s bezeichnet.

3<] Über die Methode des arithmetischen Mittels. 735

Hieraus ergeben sich für die Function w^ (36.), falls man nur
beachtet, dass die Zahl // in der Ebene ^ 1 sein soll, folgende
Werthbestinimungen :

(5.) tCg = ^^Ji.fi(j)s = ' — ^s »

u, = l/(./a), = 2.

Erste Bemerkung. — Der Innemvinkel Tg der Curve o im Punkte s
ist stets = >T , ausser wenn « in einer Ecke der Curve liegt. Zufolge
der in (fl.) für d-^ gegebenen Definition :

(«.) T, = .T(t— ^,)

wird daher S-g stets = 0 sein, ausser wemi s in einer Ecke der Curve liegt.

Zweite Bemerkung. — Der Innenwinkel Tg liegt seiner Natur nach
unter allen UnKständen zwischen 0 und ä/r:

0 ^ Tj ^ 2/r.
Und diese Formel ist , sobald man voraussetzt , dass die Curve keine
Spitzen haben soll, noch weiter verschärfbar, nämlich ersetzbar durch

0 < r^ < i;c .
Demgemäss ergiebl sich mit Rücksicht auf («.) :

0 < I — ^^ < 2 ,
oder^ was dasselbe ist :
(ß.) _ 1 < ^^ < + 4 .

Die Grösse S-g ist somit ein jwsitiver oder negativer ächter Bruch.

Dritte Bemerkung. — Wir wollen jetzt insbesondere annehmen, die
Curve ff sei überall convex, indem wir dabei unter einer überall convexen
Curve auch eine solche verstehen, die (wie z. B. die Peripherie eines
Kreissectors) zumTheil aus geraden Linien besteht, oder auch eine solche,
die (wie z. B. die Peripherie eines Quadrates) aus lauter geraden Linien
besteht. Für eine solche überall convexe Curve a wird ollenbar der
irgend einem Punkte s entsprechende Innenwinkel Tg stets zwischen 0 und
5T liegen :

0 % Tg^ 7t .

Diese Formel ist, sobald man wiederum voraussetzt, dass die Curve
keine Spitzen besitzt, weiter verschärfbar, nämlich ersetzbar durch :

0<Tg^rr .
Substituirt man hier für Tg den Werth («.), so folgt :

oder, was dasselbe ist :
(/.) 0^^g<\ .

Für eine überall convexe Curve ist somit ^g ein positiver ächter
Bruch .

736 G. Neümann, [32^

Analoge Resultate ergeben sich offenbar im Räume für eine
geschlossene Fläche a . In der That wird man alsdann, an Stelle der
Formeln (4.), folgende Formeln erhalten:

(6-) ßda\=27r{\ --!>,) ,

und an Stelle der Formeln (S.) folgende :

(7.) w, = ^^f{da), = \ -^, ,

f{do)i = %.

^»•^äl,

Dabei ist der räumliche (vulgo: körperliche) Innenivinkcl r, der
gegebenen Flache g im Punkte s durch 27r(1 — -O-^) bezeichnet.
Dieser räumliche Innenwinkel hat zu seiner Begrenzung die Gesammt-
heit der im Punkte s an die Flüche a gelegten TangenHalehenen. Ueber
die in dieser Weise definirte Grösse -ßs sind nun folgende Be-
merkungen zu machen, analog mit denen auf p. 31.

Erste Bemerkung. — Es ist, wie soeben festgesetzt wurde :
(«.) r, = 27^(1 -^,) .

Und hieraus ergiebt sich, dass die Grösse S-^ stets =^ 0 ist, ausser tcenn
der Punkt s in einer Ecke oder Kante der Fläche O liegt.

Zweite Bemerkung. — Die Grösse d-g entspricht der Formel :

Dritte Bemerkung. — Ist insbesondere die gegebene Fläche a eine
überall convcxe [wobei unter diesem Namen auch solche Flächen mit ein-
begrilFen sein sollen , die ZAim Theil ebenflüchig sind], so entspricht 19-5
der Formel :

(r) 0 s ^. < 1 •

Man kann schliesslich die Formelsysteme (5.) und (7.) zu-
sammenfassen, indem man sich folgendermassen ausdrückt:

Ist in der Ebene oder im Baume irgetul eine geschlossene Curve
oder Fläche a gegeben [die z. B. mit Ecken resp. mit Ecken und
Kanten behaftet sein kann], und bezeichnet man jedweden Punkt, je

33] Über die Methode des arithmetischen Mittels. 737

nachdem derselbe ausserhalb a, auf a, oder innerhalb o H^gly
mit a. s oder i, so gellen die Formeln:

^^a-j^fida),^o,
(8). u, = j^f{da\=\ ^^,,

wo h = 1 resp. = 2 is/, und wo h:i{\ — i>g) den ebenen
Innenwinkel der Curve g im Punkte s, resp. den räumlichen
Innenwinkel der Fläche g im Punkte s vorstellt. Man kann etwa
diese Grösse //t(I — O^J kurzweg das innere Winkelmaass der
Curve oder Flüche a im Punkte s nennen.

Dabei ist zu beachten , dass die Grösse 0^ stets
(9.) = 0

istj ausser wenn der Punkt s in einer Ecke der Curve g, resp. in
einer Ecke oder Kante der Fläche g liegt; — und ferner zu be-
achten, dass &g stets der Formel entspricht:

(iO.) -i ^^,^-f 4 .

Ist insbesondere die Curve oder Fläche g eine überall convexe^
so tritt an Stelle des Spielraumes (10.) der engere Spielraum:

Dabei sind unter überall convexen Curven oder Flüchen auch
solche verstanden, die zum Theil geradlinig resp. ebenflächig sind.

Die Formeln (1 0.), (1 I .) ergeben sich unmittelbar aus den Be-
merkungen pag. 31 und 32. Setzt man voraus, dass die gegebene
Curve oder Fläche a frei von Spitzen, resp. frei von Spitzen und
Schneiden ist, so sind diese Formeln, wie aus jenen Bemerkungen
folgt, noch weiter vei*schärfbar, nämlich ersetzbar durch:

(10a.) _ I <;^^<4-< ,

respective durch:

(44 a.) 0 ^,^, < t .

Uebrigens wird im ganzen Verlauf der arearenwärtisen Abhand-
lung nur von den Formeln (10.), (11.) Gebrauch gemacht werden.
Eine Ausnahme macht allein der § 6 a. In diesem nämlich sind die
acuten Formeln (10a.), (IIa.) erforderlich.

Abhandl. d. K. Ges^llsch. d. Wissensch. XXII. 50

738 C. Neumann, [34

Zu den soeben ausgesprochenen aus der (jeometrisclicn Än-
schauiiufj herstammenden Sätzen (8.), (9.), (10.), (11.) resp. (10 a.),
(1 1 a.), mögen noch zwei weitere Sätze hinzugefügt werden, von denen
später Gebrauch zu machen ist, und die aus derselben Quelle her-
stammen. Dieselben lauten :

Ist in der Ebene oder im Räume eine geschlossene Curve oder
Fläche G gegeben^ und setzt man:

(12.) fda = T ,

so ist I eine positive endliche Constante. In der That wird dieses
I nichts Anderes sein, als der Umfang der gegebenen Curve, resp.
das Areal (Complanationsresultat) der gegebenen Flüche.

Bezeichnet man ferner den absoluten Werth von {do)^ mit abs(rfo)^,
und setzt man das über die gegebene Curve oder Fläche a ausge-
dehnte Integral

(13.) Jahs(rf (7)^ = 0^,

und bezeichnet man den grössten Werth, den die so definirte [stets
positive) Function <t>^ für beliebige Lagen des Punktes x anzunehmen
im Stande ist, mit M, so wird dieses M eine der gegebenen Curve oder
Fläche ö zugehörige positive Constante sein, deren Werth stets ein
e n d l i eher ist.

Bemerkung. — AU' diese Sätze (8.), (9.) ... (13.) beruhen, wie
schon mehrfach betont ist, wesentlich auf der geometrischen Anschauung,
und sind daher hinsichthch ihrer allgemeinen Gültigkeit anfechtbar.
Ohne auf solche Bedenken mich hier weiter einzulassen, will ich nur be-
merken, dass die genannten Sätze das wesentliche Fundament der nach-
folgenden Untersuchungen ausmachen, und dass also die Gültigkeit dieser
Untersuchungen auf solche Curven oder Flächen sich beschränkt , für
ivelche die genannten Sätze correct sind.

§ 4-

Allgemeine Eigenschaften des Potentials W.

Nachdem wir im vorhergehenden § das specielle Potential 7/"^: unter-
sucht haben, wollen wir gegenwärtig das allgemeine Potential

[vgl. (1a., b., c.) pag. 28] einer genaueren Betrachtung unterwerfen.

35] Über die Methode des arithmetischen Mittels. 739

Wir werden dabei schliesslich zu dem einfachen Resultate i'elan2;en,
dass dieses Potential )V^, \vas seine Werthe innerhalb der gegebenen
Curve oder Fläche o betrilTt, eine Fundamentalfundion des Gebietes 3
ist, dass dasselbe also den in (1.), (2.) pag. 16 angegebenen Be-
dingungen entspricht. Und gleichzeitig werden wir zu dem Resultate
geführt werden, dass dieses Potential \S\.^ was seine Werthe ausserhalb
G betrifft, eine Fundamentalfunetion des Gebietes 9t ist, dass nämlich
dasselbe den in (L), (2.), (3.), (i.) pag. 21 genannten Bedingungen
sich subordinirt.

Dabei wird allerdings stets vorausgesetzt werden, dass die
Werthe /*, auf Grund deren das Potential W^ gebildet ist, auf der
Curve oder Fläche g überall stetig sind. — Zuvörderst ergeben sich
folgende Sätze:

Erster Satz. — Sind auf der geschlossenen Curve oder Fläche a
[die mit Ecken, resp. mit Ecken und Kanten behaftet sein darf]
irgend welche IVcr/Äc f oder f^ vorgeschrieben, die auf g stetig sind,
und setzt man :

"^"■- = Ä!r/^*''''»-

SO werden die nach den Coordinaten x, y, resp. x, y, z des Punktes x
gebildeten Differentialquotienten beliebiger Ordnung:

resp.

und ebenso auch W selber durchweg stetig sein, so lange der Punkt x
von der gegebenen Curve oder Fläche g durch irgend welche Zwischen-
räume getrennt bleibt. Und gleichzeitig wird, so lange dieser Anforderung
Genüge geschieht, die Gleichung erfüllt sein :

Zweiter Satz, — Die Function W^ verschwindet im Unend-
lichen, d. h. sie wird = 0, falls man den Punkt x nach irgend
welcher Richtung sich ins Unendliche entfernen lässt.

Oder genauer ausgedrückt: Beschreibt man um irgend einen festen
Punkt mit sehr grossem Radius R eine Kreislinie oder Kugelfläche S,
so sind die ausserhalb S befindlichen Werthe W durch Ver-
grössentng von R unter jedweden Kleinheitsgrad hinabdrückbar.

50*

740

C. Neumann,

[36

Dritter Satz, — Construirt man irgend eine Kreislinie oder Kugel-
fläche s. ivelche die gegebene Curve oder Fläche o ums chliesst, und
vollständig innerhalb 51 liegt, so wird das über diese Kreislinie oder
Kugelßäehe s ausgedehnte Integral

■-dW

f

dn

ds stets = 0

sein. Dabei bezeichnet n die Nortnale von s.

Der Beweis des ersten Satzes ergiebt sich leicht auf Grund des
in (1 .) für W^ angegebenen Ausdruckes

\ rdT

''' = '''^- i^JVj"" '

falls man nur beachtet, dass T = log — , resp. = -- ist, und dass
E die Entfernung des Punktes x vom Elemente da vorstellt. Will
man den Satz mit voller Strenge und zugleich mit einiger Kürze
beweisen, so kann man sich dazu derjenigen Hülfssätze bedienen,
welche von mir angegeben sind in meinem Werke über das Log.
und Newton'sche Potential (bei Teubner, 1877; daselbst pag. 141,
1 42).

Beweis des zweiten Satzes. — Nach (1.) ist:

1 /'cos ö

(2.)

W.

1 Pcos 0 . ,

Wir beschreiben um irgend einen festen Punkt mit beliebigen Radien
r, B [r ■< R) zwei Kreislinien oder Kugeiflächen s, iS, jedoch der Art,
dass .s (mithin auch S) die ge-
gebene Curve oder Fläche a
umschliesst. Betrachten wir
nun irgend einen ausserhalb S
gelegenen Punkt x, so sind
die ihm zugehörigen ^'s [d. i.
seine Abstände von den ein-
zelnen Elementen da der ge-
gebenen Curve oder Fläche o]
durchweg > (ß — r) ; so dass
also für jedes solches E die Formel stattfindet:

37] Über die Methode des arithmetischen Mittels. 741

Bezeichnet man also den absolut grösslen Werth von f auf a mit 3/,
so folgt aus (2.):

also mit Rücksicht auf (12.) pag. 34.:

Diese Formel (3.), in welcher 3/, Z, h gegebene endliche Con-
stanten voi-stelien (A = 1, resp. = 2), gilt für sämmtliche Punkte j:,
die ausserhalb S liegen. Demgemäss folgt aus dieser Formel, dass
sämmtliche W^, die ausserhalb S liegen, durch Vergrösserung von S,
d. i. durch Vergrösserung des Radius R, unter einen beliebigen
Kleinheitsgrad hinabdrückbar sind. — Q. e. d.

Beweis des dritten Satzes. — Wir wollen den Satz bew- eisen
für die schon construirte Kreislinie oder Kugelfläche s (r), indem wir
dabei der Linie oder Fläche jS (ß) als eines Uülfskreises oder einer
llülfskmjel fläche uns bedienen, [vgl. die vorhergehende Figur]. Auf
Grund des ersten Satzes pag. 35, und unter Anwendung der be-
kunnten Green'schen Formeln, ergiebt sich zuvörderst die Gleichung:

oder was dasselbe ist:

wo n und N die inneren Normalen von s und <S vorstellen sollen.
Hieraus folgt sofort:

. PdW . . rdw.^

abs 1 — — ds ^ abs / -p^ dS ,
J an J dN

mithin :

dW . ^ri . dW

^^ri^^sfhm"^

Das hier auf der rechten Seite befindliche -j-^ ist, nach (I.),

dN ^

in folgender Weise darstellbar:

dW \ r d-T

wo T 3= log — - , resp. = -pr ist, und E den gegenseitigen Absland

742 C. Neumann, [38

zweier Elemente da, dS vorstellt, während v, N die inneren Nor-
malen dieser Elemente bezeichnen. Demgcmäss ergiebt sich, mittelst
elementarer Rechnung :

d^T __ cos« — (h -\- \) cos d cos A
dVäN"' eI^' ~ '

wo 6 der Neigungswinkel von v gegen N ist, während () und A die
Winkel vorstellen, unter denen v und N gegen die Linie E{dG :^ > dS)
geneigt sind. Beachtet man, dass h =: \ resp. = 21 ist, so ergiebt
sich aus der letzten Formel sofort:

''^^ dv dN= A/^-^i '
also, weil E ^ R — r ist, a forliori:

^ d'r ^ /i + 2

dr dN^ {R — rf-^'
Mit Rücksicht hierauf folgt aus (u.) sofort:

oder falls man den absolut grossten Werth von /' auf o mit M be-
zeichnet, und überdies beachtet, dass /'t/a = I ist [vgl. (12.) pag. 34J:

y dW ^ {h+%)MT
^^■^ '*'' -Jn < h^iR^^^^r-^'' '

Dies in (4.) substituirt, erhält man jetzt:

(5.) abs / -y— c/s < , .p rr:^!- / c/^

J dn h7t{R — rf^^ J

also, weil yV/*S =: ^Rtt, resp. = ^IVti, mithin allgemein
= 2/i /f TT ist:

f/TF , ^2(/? + 2)3/1 . M

(6.) absy -^ ^. < — (^j^TTpr

Der hier auf der rechten Seite stehende Ausdruck ist aber, weil
M, I, r, h gegebene Gonstanten vorstellen (Ä = 1 , resp. = 2), durch
Vergrösserung von R unter jedweden Kleinheitsgrad hinabdrückbar.
Somit ergiebt sich, dass das der gegebenen Kreislinie oder Kugel-
fläche s entsprechende Integral

'dW

f

, ds
dn

nothwendig = 0 ist. — Q. e. d.

39] Über die Methode des arithmetischen ISIittels. 743

Weitere Untersuchungen. — Nach dem ersten Satz (pag. 35) ist
Wj. stel'uj , so lange der Punkt x von der gegebenen Curve oder
Fläche G durch irgend welche (wenn auch noch so kleine) Zw ischen-
räume getrennt bleibt. Es fragt sich, ob diese Stetigkeit fortdauert
bis hart an a heran. Um auf diese Frage, deren Beantwortung
nicht ganz leicht ist, näher einzugehen, wollen wir neben der
Function

gleichzeitig auch die speciellere Function

in Betracht ziehen, und den Ausdruck bilden:

(9.) Q^=W^ — kw^,

wo k eine noch disponible Constanle sein soll. Durch Substitution
der Werthe (7.), (8.) ergiebt sich:

(iO.) Q^=/^(./a)^ .

Wir markiren nun auf g irgend einen Punkt x, beschreiben
um X (als Centrum) eine Kreislinie oder Kugelfläche 0^ von noch
unbestimmter Kleinheit, und nehmen zur Constanten k denjenigen
Werth, welchen die auf g vorgeschriebene Function /' im Punkte x
besitzt :

Durch die kleine Kreislinie oder Kugelfläche 0^ zerfällt die ge-
gebene Curve oder Fläche g in zwei Theile, von denen der innerhalb
Oy liegende mit o', der ausserhalb 0^ befindliche mit g" benannt
werden mag. Diese kleine Kreislinie oder Kugelfläche 0^ bildet
alsdann die Grenze zwischen a' und a", und soll auch st^ts diese
Grenze bleiben; so dass also z. B. bei einer \erkleinerung von 0^ der
Theil g' sich ebenfalls verkleinern, der Theil g" hingegen sich ver-
grösser n wird.

Den beiden Theilen g' und a" entsprechend, zerfällt das Inte-
gral (10.) ebenfalls in zwei Theile, die mit Qj^' und Q/ bezeichnet

744 C. Neumann, [40

werden mögen; wie solches angedeutet sein mag durch die Formel:

Q ' Q«."

X

Alsdann ist also:

und falls man für x irgend einen anderen Punkt ij nimmt:
mithin :

%, =^ Qy' + Q,/' ,

ü^ - Qy = Q^' + (- 1) üy + (ß^" - ^y") ,
folglich :

(13.) abs (Q^ — Qy) S «hs Q^,' + abs Q,/ + abs (Q^" — Q^/') ,

tvobei über die Lage der Punkte x, y nicht die mindeste Voraussetzung
gemacht ist.

Für Qx ergiebt sich sofort die Formel [vgl. (1^.)]-

'absQ,'^f^^-^[^hhs{do%,

oder, falls man den absolut grössten Werth von (/' — k) auf a' mit
M' bezeichnet:

M' C

abs QJ ^j^J abs(dff% ,

also a fortiori :

abs QJ ^ -~ (/abs {da% -\~fahsida'%^ ,

oder was dasselbe ist:

M' r

abs Q^' ^j^J Abs (da)-, ,

also mit Rücksicht auf den Salz (13.) pag. 34:

i/'M

(A.) abs Q'

= h7t '

wo M eine der gegebenen Curve oder Fläche o zugehörige positive
endliche Constante vorstellt.

Ist 0^, mithin auch o' sehr klein, so werden die anf a' vor-
handenen Werthe f (weil /' nach unserer Voraussetzung stetig ist)

4<] Über die Methode des arithmetischen Mittels. 745

sehr wenig von einander abweichen, also z. B. auch sehr wenig

abweichen von demjenigen Werthe k, den die Function f auf a' im

Centrum von 0^ d. i. in x besitzt. Demgemäss wird die Dififercnz

f — k für alle auf a' liegenden Punkte sehr klein sein, mithin der

absolut grösste Werth 3/', den diese Differenz auf a' besitzt, ebenfalls

sehr klein sein. Kurz, man erkennt (auf Grund der Stetujkeit von /"),

dass jenes M' durch Verkleinerung der Kreislinie oder Kugelfläche 0^

und durch die damit Hand in Hand gehende Verkleinerung von o'

beliebig klein, z. B. so klein gemacht werden kann, dass der

Quotient

M'fA e
hTt ^ d

wird, wo 6 einen willkürlich gegebenen Kleinheitsgrad vorstellen
soll. Solches aber ausgeführt gedacht, ergiebt sich aus (A.) die
Formel :

(B) abs Q^' < I ,

ohne, dass bei Ableitung dieser Fortnel über die Lage des Punktes x
auch nur die mindeste Voraussetzung gemacht wäre. Giebt man
also dem Punkte x in der Ebene resp. im Räume irgend welche
andere Lage t/, so wird wiederum

(C.) abs Qy < I

sein.

Die Formeln (B.), (C.) sind entstanden durch eine gewisse dem
vorgeschriebenen 6 entsprechende A^rkleinerung von 0^ und die da-
mit Hand in Hand gehende Abänderung der Theile a' und o". Nach-
dem solches ausgeführt ist, wollen wir jetzt diese geometrischen Ge-
bilde 0^, a', g" erstarren lassen, d. h. weiterhin constant erhalten.
Hingegen wollen wir die bis jetzt in der Ebene resp. im Räume
völlig frei beweglichen Punkte x, y fortan in das Innere einer um x
(als Centrum) beschriebenen Kreislinie oder Kugelfläche o^ hinein-
bannen, und dabei den Radius von o^ gleich von Anfang uns noch
kleiner denken als den von 0,. Durch eine weitere Yei'Ueinerung
von 0^ werden wir offenbar dafür sorgen können, dass

(Z).) abs (Q^"—Q/) stets <|

746 C. Nelmann, [42

bleibt, welche Bewegung man den Punkten x, y innerhalb o^ auch
zuertheilen mag.

Denn das Integral QJ' und ebenso Qy" erstreckt sich nur über
den ausserhalb Oy^ gelegenen Thell a" , und ist daher stetig für alle inner-
halb Ojj befindlichen Punkte. Innerhalb 0^ befindet sich aber jene die
Punkte cc und y umschliessende kleine Kreislinie oder Kugeliläche o^.

Jetzt endlich folgt aus (13.), mittelst der Formeln (D.), (C),
{D.\ dass

(1 4.) abs (Q^ — Qy) stets <; e

bleibt, welche Bewegung man den Punkten x und y innerhalb o^
auch zuertheilen mag; so dass man also zu folgendem Satz gelangt:
Markirl man auf o irgend einen Punkt a, und bezeichnet man den
in y. vorhandenen Werlh von f mit k, so werden die Werlhdl/ferenzen,
ivelche die Function

(15.) Q^ = Wx — kw^

innerhalb einer um x {als Cenlrum) beschriebenen Kreislinie oder Kugel-
fläche besitzt, durch Verkleinerung des Radius derselben unter jeden
beliebigen Kleinheitsgrad hinabdrückbar sein.

Oder kürzer ausgedrückt: Die Function Q^ ist im Punkte }i stetig,
mithin daselbst z. B. auch endlich.

Bemerkung. - — Es wird nach (15.), falls man x nach x rücken liissl :

(«•) ^x =" ^^x — ^' ^x >

oder mit Rücksicht auf (H .):

iß.) ^x-W^-fx^^-

liier ist Qjj, wie soeben erläutert wurde, endlich. Gleiches aber gilt
[in Folge der Stetigkeit von f\ auch von f^, und [auf Grund des Satzes
(8) pag. 33j auch von w^ . Gleiches gilt daher, zufolge der Formel (/i.),
auch von W^. Nun war aber der Punkt x auf a ganz beliebig markirt.
Demgemüss erkennen wir, dass die Function TF„ auf o überall end-
lich ist.

Nehmen wir ferner für x irgend einen Punkt mncr/ta/ö o oder ausser-
halb a, so wird in diesem die Function IF^ (erster Satz pag. 3b) stetig,
mithin auch endlich sein. Und diese Endlichkeit wird (vergl. den zweiten
Satz pag. 35) auch dann noch fortbestehen, wenn wir den Pankt x in
unendliche Ferne rücken lassen.

Demgemäss gelangen wir also zu dem Satz , dass die Function W^
(ebenso wie iv^^ in der ganzen Ebene resp. im ganzen Räume allent-
halben endlich ist, loobei die unendlich fernen Punkte der Ebene resp. des
Raumes mit einbegriffen sind.

i3^ Über die Methode des arithmetischen Mittels, 747

Man kaon den Satz (15.), indem man für u\ seine Werthe
[(8.) pag. 33] substituirt, wobei alsdann, was die Punkte x betriflt,
zwischen den a, s und t zu unterscheiden ist, auch so aussprechen:

Markirt man auf a irgend einen Punkt /., und bezeichnet man den
in » vorhandenen Werth von f mit k, so wird die durch die Formeln

{^6.) Q,= ir, - (1 - ^,)Ä- ,

[Q. = W. — 2k
definirte Function Qj. innerhalb einer um /. beschriebenen Kreislinie
oder Kufjelfläche Werthe besitzen, deren Differenzen, durch Verkleinerung
dieser Kreislinie oder Kugelfläche, unter jeden beliebigen Kleinheitsgrad
hinabdrikkbar sind.

Genau derselbe Satz gilt aber auch von denjenigen Functionen
Hj. und Zj., die durch die Formeln definirt sind:
(Ha = 0, (Z, = 2A-.

(H.) {H, = -(1 -^,)(/-,-A), {z, = 2Ä+(i + ^,)(/.-A),
lH, = 0, (Z, = 2Ä;

wie man solches sofort erkennt, falls man nur beachtet, dass die
Function f oder f^ (nach unserer Voraussetzung) auf a stelig ist, und
dass k den Werth dieser Function im Punkte z repräsentirt.

Genau dei^elbe Satz gilt daher z. B. auch von der aus Qj- und
Hj- durch Addition entstehenden Function:

O^. = Q^ + H^ ,
ebenso von der Function:

Y, = Q., + Z, :
wobei zu bemerken ist, dass für diese neuen Functionen O^. und
Vj. aus (16.) und (17.) folgende Ausdrücke resultiren:

(48.) <t>, = \r, + i>sfs-fs , r»^. = "^, + ^sfs+fs ,

Genau derselbe Satz wird daher auch gelten für einen Theil
dieser Functionswerthe, z. B. für die Oo, <t>, (unter Fortlassung der <!>,),
ebenso für die Y,, V, (unter Fortlassung der Yq). Demgemäss wird
also die durch die Formeln

(19) /*..= "«>

für alle Punkte a, s, d. i. für das Gebiet ''}{ (inclusive o) definirte
Function Oj. innerhalb einer um x beschriebenen Kreislinie oder

748 G. Neümann, L'^4

Kugeltlüche Wcrthe besitzen, deren Differenzen, durch Verkleinerung
des Radius dieser Kreislinie oder Kugelfläche, unter jeden beliebigen
Kleinheitsgrad hinabdrückbar sind. Und es wird daher diese Fimclion
0^ im Punkte x stetig zu nennen sein.

Dabei repräsentirt a einen auf g beliebig zu wählenden Punkt.
Nimmt man an Stelle eines solchen Punktes yt einen anderen (ebenfalls
auf G liegenden) Punkt x, so bleiben die Ausdrücke (19.) genau die-
selben [was, beiläufig bemerkt, bei den früheren Ausdrücken (16.),
(17.), (18.) nicht der Fall ist; denn jene sind mit '/ resp. k behaftet];
so dass man also sagen kann: Die durch die Ausdrücke (19.) für
alle a, s, d. i. für das Gebiet % {inclusive g) definirte Function O^ ist
stetig für jedweden auf g gelegenen Punkt a . Oder, falls man den
Buchstaben x mit s vertauscht: Sie ist stetig für jedweden auf g
liegenden Punkt s.

Sie ist anderer^seits aber auch stetig für jedweden innerhalb 91
liegenden Punkt a. Denn innerhalb 91 ist sie [nach (1 9.)] identisch
mit W; und dass W innerhalb % überall stetig ist, unterliegt [vgl.
den ersten Satz pag. 35] keinem Zweifel. Demgemäss gelangen wir
also zu folgendem eleganten Satz :

Die durch die Formeln

^a =- Wa ,

definirte Function O ist stetig in ganzer Erstreckung des Gebietes %.
Und hieraus folgt [unter Hinzunahme des zweiten Satzes pag. 35],
dass sie in Erstreckung von 91 auch überall endlich ist, miteingerechnet
die unendlich fernen Punkte von 91.

Zu einem ganz analogen Resultat gelangt man, wie jetzt leicht
zu übersehen ist, mit Bezug auf die in (1 8.) angegebenen Werthe
Yj, N^s, nämlich zu folgendem Satz:

Die durch die Formeln

Y. = W
(21.) * ' '

^ ^ 'Vs-W, + ^J,\-f,

definirte Function V ist stetig in ganzer Erstreckung des Gebietes 3,
mithin daselbst auch überall endlich.

Sie ist also z. B. auch stetig auf der Grenze von 3- D- h. V^
ist stetig auf g. Gleiches aber gilt auf g (nach unserer Voraus-

4Ö] Über die Methode des arithmetischen Mittels. 749

Setzung) auch von /",, folglich auch von der Differenz

's IS '

d. i. [nach (^1.)] von der Function:

Ws 4- »sfs ■

Und demgemäss ergiebt sich also der Satz:
Die Function

(22.) r; = w, + ^sfs

ist auf der gegebenen Curve oder Fläche o überall stetig, mithin da-
selbst auch überall endlich.

Es handelt .sich bei diesen Sätzen (20.), (21.) und (22.) eigent-
lich nur um die Function f und das von ihr abhängende Potential
W. Wir müssen daher, nachdem die Richtigkeit jener drei Sätze
einmal erkannt ist, auf Mittel und Wege bedacht sein, um die übei-
flüssigen Buchstaben 0, ^ wieder los zu werden. Zu diesem Zwecke
können wir jene Sätze selber uns dienstbar machen.

Da nämlich *, zufolge des Satzes (20.), in Erstrechung von %
stetig ist, so wird solches z. B. auch stattfinden innerhalb einer kleinen
Kreislinie oder Kugelfläche o^, die um irgend welchen auf a mar-
kirten Punkt s (als Centrum) beschrieben ist. Die Abweichungen,
welche die innerhalb o^ befindlichen Werthe <t>„ gegenüber dem Cen-
tralwerth (t>^ zeigen, sind also durch Verkleinerung des Radius von o,
unter jedweden Kleinheitsgrad hinabdrückbar. Jene inneihalb o^ vor-
handenen Werthe <t>„ convergiren also, falls man o, ins Unendliche
verkleinert, gegen jenen Centralwerth O, . Oder noch kürzer ausge-
drückt: Der Centralwerth O, ist der Convergen zwerth der be-
nachbarten <t)„.

Dieser Satz aber wird, falls man für 4>, und <\>„ ihre eigentlichen
Ausdrücke (20.) substituirt, dahin auszusprechen sein, dass der in s
vorhandene Werth

Ws + ^sfs-fs

den Convergenzwerth der benachbarten W„ repräsentiri. Um diese
Beziehung anzudeuten, kann man schreiben:

lim«^, Wa= W, + &,f,-f, ,
oder einfacher:

^yas = Ws + »srs-rs <

wo alsdann das Symbol W„, denjenigen Werth bezeichnet, gegen welchen
die innerhalb o^ befindlichen W„ convergiren, sobald man den Radius

750 C. Neumann, [46

von 0, ins Unendliche verkleinert. Uebrigens kann man diese Formel
für W^g, mit Rücksicht auf (22.), offenbar auch so schreiben:

^^as '^^^ Is IS '

Analoges ist zu bemerken beim Satze (21.). Und in solcher
Weise gelangt man, auf Grund der Satze (20.), (21.), (22.), zu fol-
gendem Resultat:

Vierter Satz. — Sind auf der geschlossenen Curve oder Fläche a,
[die mit Ecken resp. mit Ecken und Kanten behaftet sein darf]
irgend welche Werthe f oder /!, vorgeschrieben, die auf n stetig sind,
und setzt man :

und setzt man überdies:

(24.) fs' = W, + ^. A ,

wo {)g die schon früher [vgl. (8.) pag. 33] angegebene Bedeutung haben
soll, so sind die in solcher Weise definirten f oder fj auf a überall
stetig*).

Das hier in (24.) auftretende W^ repräsentirt den directen Werth
des Integrales (23.) in einein auf a gelegenen Pimkte s, nämlich den-
jenigen Werth, welcher entsteht, wenn man in (23.) statt x den Punkt s
eintreten lässt, und sodann die Integration ausführt.

Ausser diesem directen Werthe W, treten nun im Punkte s noch
zwei andere Werthe von W, in mehr indir ecter Weise, zu Tage.
Denkt man sich nämlich um den Punkt s (als Centrum) eine kleine
Kreislinie oder Kugclfläche o, construirt, so werden die innerhalb o, vor-
handenen Werthe W,, , falls man o, ins Unendliche verkleinert, gegen
einen bestimmten endlichen Werth convergiren, der mit W^^ be-
zeichnet werden mag. Und ebenso iverden bei dieser Procedur die
iimerhalb o^ vorhandenen Werthe W^ ebenfalls gegen einen bestimmten
endlichen Werth convergiren, der W^, heissen mag. Diese dem be-
trachteten Punkte s zugehörigen, resp. aus den Gebieten % und 3 ^'^*'-
stammenden Convergenzwerthe W^^ und W^^ stehen zu den Func-
tionen f und f in einfacher Beziehung. Es gelten nämlich für jedweden
Punkt s die Gleichungen:

(25 ) ^^«' "" ^' " ^' '

Wis-fs'+fs-

*) Dies ist der Salz (22).

*7] Über die Methode des arithmetischen Mittels. 751 ^

Ferner bilden, was von hervorragender Wiehligkeit ist. die ^yerthe
W„ und }\],g zusammengenommen ein ]yerlhsystem , welches stelig
ist in ganzer Erstreckung von %*). Und ebenso repräsentiren
die W, und W.g zusammengenommen ein zweites Werthstjstem, welches
stetig ist in ganzer Erstreckung des Gebietes 5**)-

Insbesondere sei noch hervorgehoben, dass sämmtliche Werlhe

(26.) W, , Wa , W„, . ]r, , Wi,

endlich sind, mitinbe griffen die in unendlicher Ferne vorhandenen
Wal ttie solches aus (20.), (21.), (22.) sich sofort ergiebt.

Auf diese Weise dürfte das Resultat unserer letzten Unter-
suchungen einigermassen übersichtlich hingestellt sein. Schärfer ist
jedenfalls das Resultat in seiner ursprünglichen Fassung, nilmlich in
(20.), (21.), (22.), ausgesprochen.

Wir können jetzt endlich den soeben ausgesprochenen vierten
Satz mit den drei früheren Sätzen, die zu Anfang dieses § auf pag. 33
hingestellt Nvurden, zu einem einzigen Theorem zusammenziehen. Aus
den genannten vier Sätzen ergiebt sich nämlich sofort, dass die
Werthe W„ und W„g eine Fundamentalfunction des Gebietes % und
dass andererseits die Werthe IV, und l^',^ eine Fundamentalfunction
des Gebietes 3 repräsentiren. Man erkennt solches, falls man nur
zurückblickt auf die für derartige Functionen gegebenen Definitionen
pag. 1 6 und pag. 2 1 . Wir haben somit folgendes Theorem :

Theorem. — Denkt man sich auf einer geschlossenen Curve oder
Fläche a, [die auch mit Ecken resp. mit Ecken und Kanten behaftet
sein darf] irgend eine Function f vorgeschrieben, die daselbst stetig
ist, und setzt man:

oder allgemeiner:

so repräsentiren die Werthe W„, W„g eine Fundamentalfunction
des Gebietes %, und die Werthe TV,, V^'^, eine Fundamental-
function des Gebietes %

*) Dies ist der Satz (20 ).
**) Dies ist der Salz (21.).

7'52 C. Neumann, [48

§5.

üeber die mit dem Poteütial W zusammenhängenden unendlicli vielen
Functionen f, f, f'\ f"\ etc.

Rliminirt man aus den beiden Formeln (23.), (24.) pag. 46 :

(2.) fs' = ^sfs+W,

das W, so ergiebt sich zwischen den beiden Functionen f und f
folgende directe Beziehung:

1

(3.) fs' =^sfs + j^:^f(\do\

Nach unserer Voraussetzung ist die auf o von Hause aus vorge-
schriebene Function f auf a tiberall stetig. Und Gleiches gilt, in
Folge dessen, auch von der neuen Function /", [Satz (24.) pag. 46].
Denkt man sich also zu /' und /" noch unendlich viele andere
Functionen / ', /"", etc. hinzugefügt, und zwar der Art, dass in der
Reihe :

(4.) f, f, r, r\ ■ ■ ■ f^''K . . .

jede Function aus der vorhergehenden in genau derselben Weise ent-
standen sein soll, wie /" aus f, so werden all' diese Functionen auf a
stetig sein. Bezeichnet man also z. B. die kleinsten und grössten
Werthe, welche diese Functionen auf o besitzen, resp. mit

(5.) K, K', K", K'", . .. At«), ... ,

und mit:

(6.) G, G', G", G'", ... Gi""), ... ,

so werden all' diese Grössen (5.), (6.) bestimmte endliche Gonstanten
sein. — Will man, was kaum nöthig sein dürfte, die Entstehungs-
weise der f, f'\ /"", ... noch deutlicher vor Augen haben, so hat
man nur die mit (3.) analogen Formeln hinzuschreiben:

1

0.) fs" =^sfs' +j^fndo)s ,

49] Über die Methode des abithmetischen Mittels. 753

Wir wollen nun diese Functionen und die ihnen zu2:ehöria;en
Conslanten (5.), (6.) einer genaueren Untersuchung unterwerfen, unter
der Voraussetzung, dass die gegebene Curve oder Fläche a überall
convex ist, wobei unter diesem Namen auch solche Curven und Flächen
miteinbegriffen sein sollen, die zum Theil geradlinig resp. eben-
flächig sind. Zufolge dieser Voraussetzung sind alsdann die Grössen

(8x.) {do\ , {da)g , &g durchweg positiv,

und überdies die x^g der Formel unterworfen:

(8y.) O^^.^l;

wie solches theils aus der geometrischen Bedeutung der (rfo)^ folgt
[vgl. pag. 28], theils aus schon früher gemachten Bemerkungen sich
ergiebt [vgl. (11.) pag. 33]. Dabei sei noch folgende Relation notirt
[(8.) pag. 33]:

(8z.) f{da\ = h7v{\ -&g) ,

von der mehrfach Gebrauch zu machen sein wird.

Die rechte Seite der Formel (3.) wird offenbar, weil die &, und
(do), durchweg positiv sind [vgl. (8x.)], vergrösserl werden, sobald
man alle daselbst vorkonmienden fs durch ihren grössten Werlh, d. i.
durch G [vgl. (6.)] ersetzt. Somit ergiebt sich die Relation

und in analoger Weise auch folgende Relation:

/■;SÄ[*,+ i^/(rfa),].

Diese beiden Relationen gewinnen aber mit Rücksicht auf (8z.) die
einfache Gestalt:

/■; s G ,

fs ^ A' .
Diese Relationen werden, weil bei ihrer Ableitung über die Lage
des Punktes s auf der gegebenen Curve oder Fläche a keinerlei
Voraussetzung gemacht ist, in Kraft bleiben für einen auf a in be-
liebiger Bewegung begriffenen Punkt s. und demgemäss werden
also sämmiliche Werthe, welche die Function f auf g überhaupt be-
sitzt, der Formel entsprechen:

(9.) K^f'^G .

Abhandl. d. K. Gesellsch. d. Wissensch. SXII. 51

754 C. Neumann, [50

Es wird daher diese Formel z. B. auch gelten für den grössten
Werth von /', d. i. für 6", desgleichen für ihren kleinsten Werth,
d. i. für K'; sodass man erhalt:

(10.) K^K' ^ G' ^G .

Die Beziehung zwischen f und f ist aber dieselbe, wie zwischen
/" und f". Ebenso also wie für die Functionen f und /' oder viel-
mehr für die diesen Functionen zugehörigen Gonstanten K, G und K\ G'
die Formel (10.) sich ergeben hat, — ebenso wird für die den
Functionen /" und f" entsprechenden Constanten K, G' und K'\ G"
die analoge Formel sich herausstellen:

(10a.) Ä" ^ K" S G" ^ G' .

U. s. w. U. s. w.

Durch Combination all' dieser Formeln (10.), (10 a.), etc. ergiebt
sich jetzt sofort:

K ^ K' ^ K" ^ K"' ^ ...
^^^•^ G ^ G' ^ G" ^ G"' ^ ...

Demgemtiss ist also [um einen schon früher benutzten Ausdruck
zu brauchen, vgl. pag. 12] die Curve K K' K" ... eine monoton
steigende, und die Curve G G' G" ... eine monoton sinkende.

Gelingt es uns also nachzuweisen, dass die Differenz G*"* — Ä^"'
durch Vcrgrösserung der Zahl n unter jeden beliebigen Kleinheits-
grad hinabdrückbar ist, so wird hierdurch [vgl. pag. 13] zugleich
nachgewiesen sein, dass die Function f^"^ für n = oo in eine be-
stimmte endliche Constante sich verwandelt. Und dies ist das eigent-
liche Ziel des gegenwärtigen Paragraphs:

Wir haben den kleinsten und grössten Werth der Function /'
mit A und G bezeichnet. Wir wollen jetzt die gegebene Curve
oder Fläche o in zwei Theile a und ß zerlegen, deren jeder aus

beliebig vielen einzelnen Stücken bestehen darf, und zwar in solcher

C A- K
Weise, dass alle auf a vorhandenen f's zwischen K und — x — ,

C -4— Ä
andererseits alle auf /6' befindhchen f's zwischen — '^ — und G liegen;

was angedeutet sein mag durch die Formeln:

A^ ^ /■ ^ -^ , (auf a) ,
(12.) ^ . ^

-5^ ^f-^G, (auf^) .

51 J Über die Methode des arithmetischen mittels. 755

Denkt man sich die Theile « und ß in lauter unendlich kleine
Elemente zerlegt, und diese Elemente resp. mit da und dfi be-
zeichnet, so ist oflfenbar

03.) J da + Jdß^ fda = Z ,

falls man nämlich das Integral fda über alle Elemente da des
Theiles «, ebenso fd^S über alle Elemente dij des Theiles {i sich
ausgedehnt denkt, und falls man überdies unter I (ebenso wie früher)
den Umfang der gegebenen Curve g. resp. das Areal der gegebenen
Fläche G versteht. Analog mit (13.) wird z. B. auch folgende
Formel gelten:

iH.)f{da), +f{dß\ ^fidG\ -= Ä.T(t - &,) , [vgl. (8z.)] ,

wo unter s ein beliebiger Punkt auf der gegebenen Curve oder
Fläche o zu verstehen ist. Da die trfo)^, mithin auch die {daX und
(dß)g^ durchweg positiv sind [vgl. (8x.)], so folgt aus (14.) sofort:

f{d a), ^f{da\ = h.^{\-&,),
(«5.)

f{d[i\ ^f(da), = Ä TT (t - ^,) .

Solches constatirl, kehren wir zurück zur Formel (3.):

fs=»sfs + f^ffido)s ,

und geben derselben folgende Gestalt:

fs =^.fs + ]r^ff(dc')s + ^^ff^^ß^s ■

Die hier auftretenden beiden Integrale werden offenbar [weil die {dcc%
und {dß\ sämmtlich positiv sind; vergl. (8x.)] vergrösserl werden,
sobald man alle in ihnen enthaltenen fs vergrösserl. Solches aber
geschieht nach (12.), sobald man die mit den Elementen {dcc\
multiplicirten f durch — ^— , und die mit den {dßX multiplicirten /'
durch G ersetzt. Man erhält also:

(.1.) /•; ^»,f, + ^*7(rf«), + ^/c^). .

und in analoger Weise:

51*

756 C. Neumann, 52

Benutzt man jetzt die Relation (14.):

um aus der Formel (A.) das f{dß)s und aus (B.) das f{du\ zu eli-
miniren, so ergiebt sich:

fs' S ^. A + ^(1 - ^«) + ^^fida)s ,
oder was dasselbe ist:

m /•/sA-+(G-A-){Äk + |£i4:*,},

Markirt man jetzt auf a zwei ganz beliebige Punkte ;) und q, und
subtrahirt man sodann die beiden Formeln (C), (/).) von einander,
nachdem man zuvor den Punkt s in (C) durch p, in (D.) aber durch
q ersetzt hat, so erhiilt man:

f f{da\,+ f{dß\, G—L fn — K 1

(16.) f■-r^'S(G~K)\^-J' \+f ^'^_-_/^^_/i-^^j,

z
wo 2; als Abbreviatur dienen soll für den in der geschweiften
Klammer enthaltenen Ausdruck.

Die Grössen (G — /i), {G — Q und (/", — A') sind, nach der
Definition von G und K, stets positiv. Und Gleiches gilt [nach (8x.)]
auch von den Grössen ^^^ und i)^. Somit folgt aus (16.) a fortiori:

07, /--,.s, ;-.){. -/^""V+f'^'v}

WO t als Abbreviatur dienen soll für den in der geschweiften
Klammer enthaltenen Ausdruck*).

*) Man übersieht sofort, dass man in den Formein (A.) und (ß.) das auf der
rechten Seite stehende f^ olme Weiteres durch G, resp. K ersetzen, und so auf be-
deutend kürzerem Wege zur P^ormel (17.) gelangen liönnte. Der eingeschlagene Um-
weg hat aber den Vortheil, dass man dabei gleichzeitig auch zur Formel (16.) gelangt,
von der späterhin [in § 6a.] Gebrauch zu machen ist.

53] Über die Methode des arithmetischen Mittels. 757

Ich werde nachweisen, dass dieser Ausdruck ^ stets ^ 0, und
dass derselbe, abgesehen von gewissen singulären Fällen, st«ts
< I ist.

Ersteres ergiebt sich mit grösster Leichtigkeit. Zufolge (13.)
ist nämlich

Und mit Rücksicht hierauf ergiebt sich für jenen Ausdruck

. _ , Ada)p-\-Adß\

die Formel :

- > i _ hrt{\-^p)-^h7c{\-^^) ^ ^ ^ ^ ^p + ^^

ihTt ' == 2

Nach (8x.) sind aber &p und 0-^ stets positiv. Somit folgt:

(18.) L ^ -'^ — ^ ^0 . — Q. e. d.

z

Weniger einfach ist der Beweis für die Behauptung: C <C '•
Nach (17.) ist:

(19.) :=|_^, (Ä = 1 resp. = 2) ,

wo alsdann ^ die Bedeutung Jiat:

(20.) ^ =f{da)p -\-J{dß\ .

Dieses | ist offenbar [weil die (</«)p, (<//?), durchweg positiv
sind, vergl. (8x.)] eine Summe von lauter positiven Grössen, also

stets der Formel entsprechend:

(21.) ^^0 .

Von besonderer Wichtigkeit ist nun für uns die Frage, ob der Aus-
druck ^ seine unlere Grenze, die 0, wirklich erreichen kann.

Der Ausdruck | ist [wie schon betont] eine Summe von lauter
positiven Gliedern, zu seinem Nullwerden also erforderlich, dass
sämmtliche Glieder einzeln = 0 sind. Nun kann aber ein Glied von
der Form {da)^ [zufolge seiner geometrischen Bedeutung, vgl. pag. 28]
offenbar nur dann = 0 werden, wenn die in da an die gegebene
Curve oder Fläche g gelegte Tangente resp. Tangentialebene durch
p geht. Analoges gilt für die Glieder (dß\. Soll also jener Aus-
druck ^ verschwinden, so müssen sämmtliche Tangenten resp.

758 C. Neümann, [54

Tangentialebenen des Theiles a durch p^ und gleichzeilig sämmtliche
Tangenten resji. Tangenlialebenen des Theiles ß durch q gehen; wobei
zu beachten ist, dass die Punkte p und q auf a liegen.

Es muss also, fylls etwa die beiden Punkte p und q mit einander
coincidiren, die gegebene Curve oder Fläche g die Gestalt eines von
diesem Coincidenzpunkte {p, q) ausgehenden Winkels, resp. die Ge-
stalt einer von (p, q) ausgehenden Kegelfläche haben; — was nicht
möglich ist, weil g nach unserer Voraussetzung geschlossen sein soll.

Oder es muss, falls die Punkte p und q nicht mit einander
coincidiren, die Curve oder Fläche a aus zwei von p und q aus-
gehenden Winkeln, resp. aus zwei von p und q ausgehenden Kegel-
flächcn zusammengesetzt sein.

Soll also der Ausdruck ^ verschwinden , so muss [um einen
schon früher (pag. 11) eingeführten Terminus technicus zu brauchen]
die gegebene Curve oder Fläche o eine zweisternige sein, und über-
dies der Punkt p im einen, der Punkt q im andern Stern gelegen sein;
wie solches angedeutet ist in folgenden beiden Figuren:

(22.)

Die erste derselben repräsentirt ein geradliniges Viereck mit den
Sternen p, q, die zweite ein Dreieck mit den Sternen p, q [vergl.
pag. 12]. Man kann aber diese beiden Figuren andererseits auch
räumlich auffassen. Alsdann werden in der ersteren unter den beiden
von p und q ausgehenden Winkeln zwei von p und q auslaufende
Kegelflächen zu verstehen sein. Ferner ist alsdann in der zweiten
Figur unter dem von p ausgehenden Winkel wiederum eine von p
auslaufende Kegelßäche, hingegen unter der durch q gehenden Linie
eine durch q gehende Ebene zu verstehen*).

*) Das hier im Raum über die zweite Figur Gesagte ist noch nicht erschöpfend.
Denn es kann durch diese zweite Figur z. B. auch ein Tetraeder angedeutet sein, und
zwar in der [schon auf pag. 1 2 erwähnten] Auffassung, dass der eine Stern in irgend
einem Punkte einer Telracderkanle, und der andere Stern in einem beliebigen Punkte
der gegenüberliegenden Kante gedacht wird.

55] Über die Methode des arithmetischen Mittels. 759

Um die Hauptsache zu wiederholen: Soll die Grösse ^ ver-
schwinden, so muss die gegebene Curve oder Fläche a eine zivei-
sternige sein. Schliesst man also diesen Fall der Zweisternigkeit
von der Betrachtung ganz aus, so wird die Grösse ^ ihre untere
Grenze, die 0, niemals erreichen können, die Formel (21.) also um-
zuwandeln sein in:

(23.) i > 0 .

Hieraus folgt alsdann, mittelst (19.):

(24.) :<< .

Vereinigen wir schliesshch dieses Resultat mit dem in (18.) er-
haltenen, so gelangen wir zu folgendem Satz:

Zerlegt man eine geschlossene Curve oder Fläche a in zwei Theile
u und ß, von denen jeder aus beliebig vielen einzelnen Stücken be-
stehen kann, und versteht man unter p und q zwei auf o frei beweg-
liche Punkte, so wird die Grösse

,25.) ^^ _ ^ _fida)^±fm,

ihn:

variiren mit der Art und V^'me jener Zerlegung, sowie auch mit der
Lage der Punkte p, q.

Setzt man aber voraus, die Curve oder Fläche a sei überall
convex und keine zweisternige, so wird ^ dem Spielraum unter-
worfen sein:

(26.) 0 ^ r < 1 .

Da nun ^ bei stetiger Abänderung der vorhin genannten Zerlegung
und bei stetiger Bewegung der Punkte p, q in stetiger Weise uariirt,
so muss [nach den ^yeierstrass'Bchen^) Principien] unter allen }yerlhen,
die ^ überhaupt anzunehmen im Stande ist, ein bestimmter Maximal-
werth existiren. Dieser Maximalwerth aber wird sich, ebenso wie jeder
andere Specialwerth von ^, der Formel (21.) subordiniren. Bezeichnet
man also diesen Maximalwerth der Grösse C »ti^ ^- •> «^ eihält man:
(27.) 0 ^ r ^ /. < 1 .

*) Es könnte wohl sein, dass hier [beim üebergange von (26.) zu (27.)] die Trag-
weite der Weierstrass' sehen Principien überschritten ist. Ich betrachte daher den hier
für den Satz (27.) gegebenen Beweis nur als einen provisorischen, und werde den-
selben im folgenden § durch einen anderen und zwar absolut «trennen Beweis ersetzen.

760 C. Neumann, [56

Das so defmirtc k repräsentirt eine der (jcgebenen Curve oder
Fläche G eUjenthümliche Constante, welche die Configuralions-
cons laute derselben heissen mag.

Wir kehren jetzt zurück zur Formel (17.):

(28.) fp' - fg s (r^ - Ä-) C ,

und bemerken, dass wir derselben, auf Grund des soeben bewiesenen
Satzes (27.), auch folgende Gestalt geben können :

(29.) f^'-f^'^^G-K)l .

Diese Formel wird, weil bei ihrer Ableitung über die Lage der
Punkte p, q auf a keinerlei Voraussetzung gemacht ist, Gültigkeit
haben für zwei auf a in beliebiger Bewegung begriffene Punkte p, q,
und also z. 13. in Kraft bleiben, wenn man die Punkte p und q an
diejenigen Stellen von g rücken lässt, in denen die Function /" ihre
extremen Werthe G' und IC besitzt. Somit folgt:

(30.) G' — K' ^ {G — K) l .

Da nun die Beziehung zwischen /', /" genau dieselbe ist wie
zwischen /", f'\ u. s. f., so ergeben sich, parallel der Formel (30.),
folgende weitere Formeln:

(30 a.) G" — K" ^{G' ~ K') l ,

(30 b.) G"' — K"'^{G" — K")l ,

etc. etc. etc.

Aus diesen Relationen (30.), (30 a.), (30 b.), etc. entspringt sofort
folgendes Formelsystem :

G' — K' S {G — K) l ,
G" — K" S (G — Ä) X^ ,
G"' — K"'^{G - K)P ,

(31.)

G(«)_A'(«)^(G_Ä')A

Nehmen wir zu diesen Formeln (31.) noch die früheren Formeln
(1 1 .) hinzu:

K S A- S K" S A- S . . . ,
G^G' ^G" ^ G'" ^ ... ,

so haben wir jetzt die Mittel in Händen zur Erreichung unseres
eigentlichen Zieles.

57] Über die Methode des arithmetischen Mittels. 76 i

Ist nämlich y(w) eine monoton wachsende, ferner <t>(n) eine monoton
abnehmende Function, und ist überdies bekannt, dass die Differenz

einen stets positiven und für ;j = oo gegen JN'w// convergircnden
Werth hat; so folgt hieraus, dass beide Functionen y(«) und <t>[n)
f ür » = oo gegen ein und dieselbe endliche Constante convergiren.

Die hier den Functionen (p{n) und <!>(«) auferlegten Bedingungen
sind aber erfüllt, wenn man für dieselben respective K^"^ und G^"^
nimmt. Denn nach (32.) ist K^"^ monoton wachsend, ebenso G^"^ mono-
ton abnehmend. Ferner ist die Differenz

G(n) _ £(«) ^

ihrer Natur nach, stets positiv. Und ausserdem convergirt diese
Differenz für n =z oo gegen Null; wie sich solches sofort aus (31.)
ergiebt, falls man nur beachtet, dass die Configuralionsconstante ).
[vergl. den Satz (27.)] positiv und < I ist. Man erhält also:

(33.) lim,,^, Ä-"0 = lini,,^, G^'O = C ,

wo C eine bestimmte endliche Constante vorstellt. Hieraus endlich
folgt [vergl. pag. 3], dass die Function p"^ für « = oo in eine
Constante, und zwar in die Constante C sich verwandelt; was an-
gedeutet werden kann durch die Formel:

(34.) \im„^^fW = C.

Hiermit haben wir das eigentliche Ziel des gegenwärtigen §
erreicht. Es bleibt noch übrig, einige Bemerkungen hinzuzufügen,
die weiterhin von Nutzen sein werden.

Erste Bemerkung. — Nach der Definition der K^"^, G^*^ ist stets:

a(P' ^/(p) ^ g(p)
(35 ) — — '

wo p und q irgend zwei positive ganze Zahlen vorstellen sollen
Solches aber vorausgesetzt, ist nach (32.)

A(P) ^ K(P-^9) und G(P+9) ^ G(p) ;

so dass man also aus (35.) erhält:

K(P) ^ f(P)^ G^P)
' K(P) ^ f(P-^9) ^ G^P^

762 G. Neumann, [58

Demgemäss liegen also die Werthe f^^'^ und f^P + '^^ beide zwischen
denselben Grenzen Ä^^'\ G^**; und es ist daher:

abs ifiP-^l) — f(P)) ^ G(P) — K(p) ,
also mit Rücksicht auf (31.):

(37.) abs {f(P-^'i) — f(P)) % {G — A') XP .

Lässt man in dieser letzten Formel die Zahl q ins Unendliche wachsen,
so folgt mit Rücksicht auf (34.):

(38.) abs (C — f(P^) ^{G — K)XP .

In gleicher Weise, nämlich ebenfalls durch ein Anwachsen von q
ins Unendliche, ergiebt sich aus der zweiten Formel (36.):

(39.) K^P) ^ C ^ G^P) .

Bei air diesen Formeln (35.), (36.), (37.), (H8.), (39.) ist festzuhalten,
dass p und q beliebige Zahlen aus der Reihe 0, 1, 2, 3, 4, ...
vorstellen.

Zweite Bemerkung, — Setzt man nur voraus, dass die gegebene
geschlossene Curve oder Fläche o überall convex ist, ohne dabei
z. J3. den Fall der Zweisternigkeit auszuschUessen, so sind die in
der Formel (3.):

fs' = ». f, + J^ ffCiol

enthaltenen Grössen 0-^ und {da\ durchweg positiv, und überdies
,>, ^ 1. Somit folgt:

(40.) abs r; ^ (abs f,) ^s + j^ /(abs f) {d o\ .

Bezeichnet man also den absolut grössten Werth von /' [derselbe
würde unter Anwendung der in (5.), (6.) eingeführten Grössen ent-
weder = — /{ oder =. -\- G sein] mit 3/, so ergiebt sich zu-
vörderst für jedweden auf a liegenden Punkt s die Relation :

(41.) abs/; ^ M ,

und alsdann aus (40.) die Formel:

ahsf;^M^s-h^J\do\ .

Das Integral /{da), ist aber, nach (8z.), = Ä7r(1 — i%); man erhält
also:

(42.) abs/'/ ^ M .

59] Über die Methode des arithmetischen Mittels. 763

Nun gelten, was das Potential (I.):
(43.) W^ = ^ff{da)^

anbetrifft, die bekannten Relationen:

w, = f; — &j, ,

(44.) Wa, = /•; - f, , [vergl. {U), (25.) pag. 46] .

Hieraus folgt mit Rücksicht auf (41.), (42.), und falls man von Neuem
beachtet, dass ^, positiv und << I ist:

abs TV, S 21/ ,

(45.) abs Was^ 2J/ ,

abs Wis S2i/ ,

Analoges gilt aber auch für die W^ und W,. Es repräsentiren
nämlich die TV^, und TV^s zusammengenommen eine Fundamenlal-
fundion des Gebietes 91 [Satz pag. 47]. Und nach (43.) gilt für
sämmtliche VV^, die Formel

— 21/^ U,,S + 2J/ .

Zufolge eines bekannten allgemeinen Satzes über die Fundamental-
functionen [Erster Satz pag. 26] wird daher für die W^ ebendieselbe
Formel gelten:

2J/S tl'a^ + 2J/

woraus folgt

(46.) abs n'a^2J/ .

In ähnlicher Weise wird man offenbar erhalten:
(47.) abs TV'i^SJ/ .

Diese Formeln (4ö.), (46.), (47.) führen zu folgendem Satz:

Denkt man sich auf einer überall convexen geschlossenen Ctirve
oder Fläche a [die übrigens mit Ecken resp. mit Ecken und Kanten
behaftet sein darf], irgend eine daselbst stetige Function f vorge-
schrieben, deren absolut grösster Werth M heissen mag, und
setzt man:

(48.) " W^ = j^ff{da)^ ,

so werden die W^, VV„, W„^. TV.. TV„, ihrem absoluten Betrage nach,
durchweg ^ 23/ sei«.

764 G. Neümann, [60

§6.

Genauere Untersuchung der im vorhergehenden Paragraph eingeführten

variablen Grösse f.

In einem beliebigen geradlinigen Viereck ilßfZ) wird die Hal-
birungslinie des bei A gelegenen Innenwinkels nothwendiger Weise
durch das Centrum des dem Viereck cinheschrichencn Kreises gehen.
Gleiches gilt von den Winkeln /?, C, D. Somit gelangt man zu dem
Satz, dass bei jedem Viereck die Halbirungslinien der vier Innen-
winkel sich in ein und demselben Punkte schneiden.

Dieser Satz ist offenbar falsch. Und der von uns gemachte
Fehler besteht darin, dass wir mit einem in Wirklichkeit nicht exi-
stirenden Begriff (nämlich mit dem Begriff des dem Viereck einbe-
schriebenen Kreises) operirt haben. Es erwächst hieraus die Regel,
dass man bei mathematischen Untersuchungen, falls Fehler vermieden
werden sollen, keinen Begriff früher gebrauchen darf, als bis seine
Existenz nachgewiesen ist, — selbst dann nicht, wenn der betreffende
Begriff nur eine auxiliare Rolle spielt, und das schliesslich sich er-
gebende Resultat von demselben frei ist.

So wird man z. B. den Maximalwerth einer gegebenen Function
in die Reihe der aufeinander folgenden Conclusionen niemals auf-
nehmen dürfen, falls nicht zuvor seine Existenz constatirt ist.

Nun ist im vorhergehenden § bei Aufstellung des Satzes (27.)
pag. 55 von dem Maximalwcrthe der Variablen ^ Gebrauch gemacht
worden. Wäre f eine gewöhnliche Function von n Argumenten, so
würde (weil die Stetigkeit von f keinem Zweifel unterliegt) die Exi-
stenz eines solchen Maximal werthes ohne Weiteres folgen aus einem
bekannten Weierstrass' sehen Theorem. Bei dem ganz absonderlichen
Charakter der Variablen f erscheint aber die Anwendbarkeit des
Weierstrass'schen Theorems auf diese Variable ^ einigermassen 6c-
denkiich, mithin die Existenz eines Maximalwerthes von ^ einiger-
massen unsicher, und hierdurch das Fundament des in Rede stehen-
den Satzes (27.) pag. 55 einigermassen erschüttert.

Demgemäss werde ich diesen Satz (27.) im gegenwärtigen §
auf einem andern Wege ableiten, und zwar auf emem Wege, der
von subtilen Maximums- oder Minimums-Untersuchungen völlig frei,
und überhaupt von ganz elementarer Natur ist. Dabei beschränke

6<J Über die Methode des arithmetischen Mittels. 765

ich mich von vornherein auf solche Curven oder Flüchen o, die
überall convex und keine zweistermgen sind.
Es handelt sich um die Variable

(1.) r = < Yh7c ' (vgl. pag. 52);

und es mag wie früher gesetzt werden:

wo alsdann ^ die Bedeutung hat:

(3.) ^=f{da)j,+f{d§\ .

Ich beginne in der Ebene, und zwar mit dem Falle, dass die
Curve G ein geradliniges Fünfeck ist. Alsdann wird also, weil a
überall convex und nicht zweisternig sein soll, vorauszusetzen sein,
dass die Innenwinkel dieses Fünfecks durchweg < ISO'*, und dass
seine Seiten durchweg >> 0 sind. Diese Seiten des Fünfecks seien
bezeichnet mit a, b, c, f/, e; femer sei k die kleinste derselben,
und Q irgend eine positive Constante, die < ^ ist. Ueberdies sei
der zu a complementare Theil der Peripherie des Fünfecks, d. i.
die gebrochene Linie bcde^ mit A bezeichnet. Ebenso sei der
zu b complementare Theil jener Peripherie mit B benannt ; u. s. w.

Denkt man sich um die beiden Endpunkte von a Kreise be-
schrieben vom Radius ^, und die innerhalb dieser Kreise befindlichen
Theile von a und A ausgelöscht, so mögen die alsdann noch übrig
bleibenden Theile von a und A respective mit a^ und A^ bezeichnet
sein. Alsdann sind offenbar a^ und A^ zwei von einander völlig ge-
trennte Gebilde, a^ geradlinig, und A^ eine gebrochene Linie mit drei
Ecken'). In analoger Weise mögen 6^ und B^, ferner c_ und C^^
ferner d^ und D^, endlich e^ und E^ definirt sein.

Ich werde nun nachweisen, dass der in (3.) angegebene Aus-
druck :

^=f{da)p+f{dß\ ,

wie man die beiden Theile « und ß der Peripherie o des gegebenen
Fünfecks auch immer wählen mag, stets > 0 bleibt, so lange die
Punkte p, q in ihrer Bewegung auf A^ beschränkt sind. Solches aus-

') Vergl. die Figur pag. 6i.

766 C. Neumann, [62

geführt gedacht, wird alsdann oüenbar Gleiches aucli gelten, wenn
die Bewegung der beiden Punkte p, q auf B^ besclirankt ist, ebenso,
wenn sie auf C^, oder auf 7)^, oder auf E^ beschränkt ist. Hiermit
wird alsdann aber zufßcich dargeihan sein, dass ^ auch dann stets
>> 0 bleibt, wenn jene Punkte p, q auf der Peripherie o des Fünf-
ecks in völlig freier Bewegung begriffen sind. Denn welche Lage
man den Punkten p, q auf dieser Peripherie auch zuertheilen mag,
stets werden sie entweder beide auf A^, oder beide auf B^, oder
beide auf C^, oder beide auf />^, oder endlich beide auf E^ liegen;
— wie sich solches leicht beweisen lässt in folgender Art.

Man denke sich die Punkte p, q auf der Peripherie des Fünf-
ecks beliebig markirt, und bezeichne diejenige der fünf Seiten a, 6, c, d, e,
auf welcher p liegt, oder (falls p in einer Ecke des Fünfecks gelegen
sein sollte) eine von denjenigen beiden Seiten, auf denen p hegt,
mit u. Desgleichen bezeichne man diejenige Seite, auf welcher q
liegt, resp. eine von denjenigen beiden Seiten, auf denen q liegt,
mit V. Möglicherweise können p und q beide auf derselben Seite
sich befinden ; alsdann würden u und v untereinander identisch sein,
— was auf den Gang unserer Betrachtungen keinen Einfluss hat.

Man bezeichne nun die beiden Endpunkte der Seife u mit
P, P', und zwar der Art, dass p P ^ p P' ist. Alsdann wird offenbar,
P p P'

weil (nach der Definition von q) PP' > 2^ ist, die Formel gelten:

(a.) pP' > Q ■

Ebenso bezeichne man die beiden Endpunkte von v mit 0, Q\ der Art,
dass qQ ^ qQl ist; so dass also wiederum die Formel stattfindet:

iß-) qQ'>Q •

Die beiden Punkte P, Q repräsentiren zwei Ecken des gegebenen
Fünfecks. Diese beiden Ecken P, Q können zusammengenommen
höchstens vier Seiten des Fünfecks angehören. Es wird also stets
mindestens eine Seite existiren, die von P, Q frei ist. Diese von P, Q
freie Seite mag w heissen. Und sollten mehrere solche von P, Q
freie Seiten vorhanden sein, so mag unter iv irgend eine derselben

63] Über die Methode des arithmetischen Mittels. 767

(gleichviel welche) verstanden werden. Gleichzeitig mögen die Be-
zeichnungen u'^ , >V, TV^ eingeführt werden , genau in derselben
Weise, wie z. B. mit Bezug auf a die Bezeichnungen a^, A, A ge-
braucht sind ; so dass z. B. W eine gebrochene Linie, nämlich einen Com-
plex von vier Seilen vorstellt. Alsdann gehören die beiden Seiten

(y.) H=P})P' und v=QqQ'

nothwendiger Weise zum Seitencomplex W. Denn gehörte z. B.
die Seite u = Pp P' nicht zu IV, so müsste sie identisch sein mit «•,
und es müsste also w den Punkt P enthalten, während doch w
(seiner Definition zufolge) von P frei sein soll.

Die beiden Endpunkte des Coiuplexes TV sind otTenbar identisch
mit den beiden Endpunkten der Seite «•. Und dabei ist zu be-
merken, dass keiner der beiden Punkte

{ö.) P und Q

ein Endpunkt von W, oder (was dasselbe) ein Endpunkt von w sein
kann. Denn sonst würde «• mit P behaftet sein, respective mit Q,
während doch w (seiner Definition zufolge) von P und Q frei sein
soll. Schliesslich sei noch bemerkt, dass die vier den Complex W
constituirenden Seiten in innere und äussere eintheilbar sind; wobei
alsdann unter den äusseren diejenigen beiden zu verstehen sein
werden, welche je einem Endpunkte von IV sich anschliessen.

Wir kommen endlich zum eigentlichen Kern der Sache. Der
Punkt p liegt auf m, also, nach (/.), auch auf W. Nun lässt sich
aber nachweisen, dass p nicht nur auf W, sondern auch auf W liegt.
Dies bedarf offenbar für den Fall, dass u = PpP' eine innere Seite
des Complexes W ist, keiner weiteren Erläuterung. Ist andererseits
u = Pp P' eine äussere Seite des Complexes W, so muss entweder
P oder P' ein Endpunkt von W sein; und es muss daher, weil die
erstere Möglichkeit durch (rV.) abgeschnitten wird, nothwendiger Weise
der Punkt P' ein Endpunkt von W sein. Der Abstand des Punktes p von
diesem Endpunkte F ist aber, nach («.), > p. Folglich liegt p auf W .

Der Punkt p befindet sich also unter allen Umständen auf W .
Und Gleiches wird, mittelst iß.), (/.), {ö.) für q nachweisbar sein.
Es liegen also die Punkte p, q beide auf W^, d. h. entweder beide
auf A^, oder beide auf B^, oder beide auf C^, oder beide auf D^,
oder endlich beide auf E^. — Q. e. d.

768 C. Neümann, [64

In der nachstehenden Figur sei a die untere Seite; so dass also
a^ den ausserhalb der beiden Kreise ((>) befindlichen stark markirten
Theil der Linie a, und A^ die ausserhalb jener beiden Kreise be-

findliche stark markirte gebrochene Linie bezeichnet*), Ist nun da
irgend ein Element der Linie a^, und p irgend ein Punkt auf A^,
so wird [vgl. (2.) pag. 28]:

U^-) ido)p = ~ ,

wo E den Abstand des Punktes p von da, und d den Winkel von
E gegen die auf da errichtete Normale vorstellt. Construirt man
eine die Linie a^ in da berührende und durch p gehende Kreisperi-
pherie, so ergiebt sich für den Radius R dieser Peripherie die
Gleichung: 2ß cos () = E; wodurch die Formel (4.) übergeht in:

(5.) (da), ^ 1^ .

Welche Lage man nun dem Elemente da auf «^ und dem
Punkte p auf A^ zuertheilen mag, niemals kann dabei der Kreisradius R
unendlich gross werden; denn der Punkt p kann bei einer Durch-
laufung der gebrochenen Linie A^ niemals auf die Linie f/^ oder auf
die Verlängerung derselben fallen**).

k
*) In dieser Figur ist in der That Q <C - , entsprechend der auf pag. 61 ge-
machten Festsetzung.

**) Es ist hierbei die anfangs (pag. 61) gemachte Voraussetzung im Auge zu be-
halten, dass das gegebene Fünfeck überall convex und kein ziveisterniges sein soll, dass
also seine Innenwinkel durchweg <; 180°, und seine Seiten durchweg >. 0 sind.

65] Über die Methode des abithmetischen Mittels. 769

Ja noch mehr: Man erkennt, dass der grösste Werth, den jener
Radius R für alle auf a^ befindhchen Elemente da und für alle auf
A^ befindlichen Punkte p annehmen kann, ein bestimmter end-
licher ist, der, falls die Seiten und ^ViwA^/ des Fünfecks in be-
stimmter Weise gegeben sind, sofort und ohne Mühe berechnet werden
könnte. Bezeichnet man nun diesen bestimmten endlichen Werth
mit i?j, so ist B stets ^ R^; so dass sich also aus (5.) ergiebt:

(6p.) {da)p^YD' > (vorausgesetzt d<7 auf a„, und jo auf y4j) .

Nimmt man statt p irgend einen anderen, ebenfalls auf A^ gelegenen
Punkt q, so wiederholt sich dieselbe Formel:

(6q.) {da\ ^ ^-^ , {da auf a^ , und q auf /!„) .

Wir zerlegen jetzt die ganz£ Peripherie des Fünfecks [genau
wie früher, Satz pag. 55] in beliebiger Weise in zwei Theile a und /?,
deren jeder aus beliebig vielen einzelnen Stücken bestehen kann,
und bezeichnen die auf a^ fallenden Theile von « und ,i respective
mit «g und ß^ ; so dass also a^ durch die Gesammtheit von a^ und ß^
dargestellt ist:

(7.) «0 = «0 + /!?o •

Alsdann wird offenbar, weil «^ einen Theil von «, möglicherweise
auch das ganze « repräsentirt [und weil überdies die (rfa), durch-
weg positiv sind; vergl. (8x.) pag. 49], die Relation stattfinden:

fidcc)p^f{da,)p .
Ebenso ergiebt sich:

fidß\^f{dß,\ .

Demgemäss folgt aus (3.) pag. 61 sofort:

(8.) i ^/(dao)p +fidß,\ .

Nach (6p.) ist aber jedwedes {da^ ^ ^, und nach (6q.) jed-

Z /l j

wedes {dßX ^41^- Somit folgt aus (8.):

(9.)

^/A^^+fdß, a^-\-ßo

d. i. mit Rücksicht auf (7.):

(40a.) i ^ —^ , (vorausgesetzt p und q beide auf A^) .

Ablnndl. d. K. Gesellsch. d. Wissenseli. XXII.

52

770 G. Neumann, [66

Bei analoger Bezeichnungsweise wird sich nun ferner ergeben:

(1 0 1).) ^ ^ -^ , (falls j) uud q beide auf B,) ;

hier steht alsdann R^ zu h^, B^ in derselben Beziehung wie i?^
zu a^, A^. U. s. w. U. s. w.

Im Ganzen erhält man fünf solche Formeln (10 a.), (lOb.), etc.,
in denen fünf Grössen jR, nämlich 7?^, Rß, Rc, Rn, Re enthalten
sind, die durchweg ebenso wie Ra , völlig bestimmte endliche Werthe
haben. Bezeichnet man nun den kleinsten der fünf Quotienten;

(\ \ \ ^0 ^0 ^0 ^0 ^0

^ ^^ 2/{a ' 2i?ij ' 2/ic' 2/?7, ' 2i?^

mit ii\ so folgt aus jenen fünf Formeln sofort:

^ ^ x^ , (falls p, q beide auf A^) ,

^ ^ x^ , (falls p, q beide auf 5,,) ,

(12.) ^ ^ >t% (falls p, q beide auf CJ ,

(^ ^ x^ , (falls p, q beide auf Z)^) ,

^ ^ x^ , (falls p, q beide auf E^^) .

Folglich gilt die Formel ^ ^ x^ ganz allgemein für zwei auf der
Peripherie des Fünfecks in beliebiger Rewegung begriffene Punkte /), q.
Denn welche Lage dieselben auf dieser Peripherie auch annehmen
mögen, stets wird, wie vorhin bewiesen ist, unter den gebrochenen
Linien A^^ R^, C^, 7)^, E^ eine vorhanden sein, welche gleichzeitig
beide Punkte enthält. Aus dieser ganz allgemein geltenden Formel

(13.) ^^/^

folgt sodann aber mittelst (2.) pag. Gl , dass in gleicher Allgemein-
heit auch

ist^). Die Gonstante x^ repräsentirt den kleinsten der in (11.) auf-
geführten Quotienten, und besitzt also einen jeder Zeit berechen-
baren positiven und vo7i Null verschiedenen Werth. Und demgemäss
ist die Differenz

nothwendig <; 1.

^ tTt

*) Es ist zu beachten, dass die in (2.) enthaltene Zahl h hier im Fall der Ebene
\ ist.

67]

Über die Methode des arithmetischen Mittels.

771

Hiermit können wir in Verbindung bringen ein früher [in (18.)
pag. 33] auf völlig unanfechtbarem Wege erhaltenes Resultat, dem-
zufolge die Variable ^ *tets positiv bleibt. Da nun nach (14.) dieses
stets positive ^^ M — ~\ ist, so folgt hieraus, dass die Constante

ebenfalls positiv ist. Bezeichnet man daher diese Constante mit A,
so gelangt man, auf Grund der Formel (14.), zu folgendem Resultat:

Denkt man sich irgend ein geradliniges Fünfeck gegeben,
und setzt man voraus, dass die Peripherie desselben überall convex
und keine zweis lern ige ist, so wird die dieser Peripherie ent-
sprechende Variable ^, unter allen Umständen, immer nur solche Werthe
anzunehmen im Stande sein, die der Formel Genüge leisten:

(15.) 0 S ?S>-< « •

Dabei bezeichnet l eine positive Constante, die wirklich <i \ ist, d. h.
eine positive Constante, die um einen angebbaren Betrag <C I ist.
Und zwar würde man diesen Betrag, falh die Seiten und Winkel des
Fünfecks in bestimmter Weise gegeben sind, sofort und ohne Mühe zu
berechnen im Stande sein.

In genau derselben Weise wie das Fünfeck wird man nun
z. B. auch den Halbkreis behandeln können. Man hat zu diesem
Zweck die Peripherie des Halbkreises in fünf Theile a, b, c. d, e

zu zerlegen, von denen a den Durchmesser repräsentirt, mithin = 2
ist, falls man den Radius des gegebenen Halbkreises der Einfachheit
willen = 1 nimmt. FUr die vier anderen Theile b, c, d, e kann

5«*

772 C. Neumann, [68

man je ein Viertel der halben Kreislinie nehmen; so dass also

jeder der Theile ^, c, f/, c die Lange -j- besitzt. Ueberdies kann

man den Radius q der anzuwendenden kleinen Kreise (die um die
gegenseitigen Grenzpunkte von a, 6, c, d, e zu beschreiben sind),
beliebig wählen, jedoch der Art, dass ausserhalb dieser Kreise noch
gewisse Stücke jener Theile b, c, d, e übrig bleiben. — Solches
festgesetzt, ist alsdann die anzuwendende Methode Schritt für Schritt
dieselbe wie vorhin beim Fünfeck, auch genau von demselben
Resultat (1 5.) begleitet, und genau von derselben Evidenz.

Solches erkannt, übersieht man jetzt sofort, dass jener Satz (1 5.)
in ganz analoger Weise constatirbar ist für jede beliebige überall
convexe und nicht zweisternige geschlossene Curve o. Man wird zu
diesem Zweck die Curve g in irgend welche fünf Theile a, b, c, d, e
zu zerlegen, und dabei nur darauf zu achten haben, dass, falls die
Curve geradlinige Strecken besitzen sollte, keine dieser geradlinigen
Strecken bei jener Zerlegung zerschnitten wird.

In analoger Weise lässt sich nun auch die Untersuchung im
Räume beiverkstelligeti. Wir betrachten zunächst ein von sieben
ebenen Seitenflächen begrenztes Polyeder, welches überall convex und
nicht zweisiernig sein soll (wie z. B. ein mit zwei ebenen Endflächen
versehenes fünfseitiges Prisma), und bezeichnen die sieben Seiten-
flächen in irgend welcher Reihenfolge mit a, b, c, d, e, /", g. Der
zu a complementare Theil der Polyederoberfläche, d. i. der Complex
bcdefg mag mit A, ebenso der zu b complementare Theil jener
Oberfläche mit D bezeichnet sein, u. s. f. Beschreibt man um
sämmtliche Punkte der Peripherie der Fläche a kleine Kugelflächen,
alle vom Radius ^ , so liefern all' diese Kugelflächen zusammen-
genommen eine bestimmte Enveloppe (die die Gestalt eines in sich
zurücklaufenden Kanales besitzt). Denkt man sich nun die innerhalb
dieser Enveloppe liegenden Theile der Polyederoberfläche ausgelöscht.^
so mögen die alsdann noch übrig bleibenden Theile von a und A
resp. mit a^ und A^ bezeichnet sein ; so dass also a^ und ^4^ zwei
von einander völlig getrennte Gebilde repräsentiren. In analoger
Weise mögen b^, ß^ definirt sein, ferner c^, C^, u. s. f.; wobei der
für die kleinen Kugeln resp. Enveloppen anzunehmende Radius q
stets eiti und derselbe sein soll.

69] Über die Methode des arithmetischen Mittels. 773

Diese Constante p brauclit übrigens nicht gerade eine Super-
lative Kleinheit zu haben, sondern nur so klein zu sein, dass das
Polygon a^ ebenso viele Seiten hat wie a selber, dass ferner das
Polygon b^ ebenso viele Seiten hat wie 6, u. s. f.

Nachdem q, dieser Restriclion entsprechend, in bestimmter Weise
festgesetzt, mithin a^, A^, b^, B^, etc. ebenfalls völlig 6t'Ä'//«j/«/ ßxirt
sind, wollen wir jetzt in der Ebene der beiden Polygone a, a^, eine
Kreislinie vom Radius g construiren. Diese Kreislinie wird, falls
man ihr Centrum längs der Peripherie des Polyyons a^ fortwandern
lässt, fortdauernd mit der Peripherie von a in Berührinuj bleiben;
und zwar der Art, dass in jedem Augenblick entweder einer oder
zwei Berührungspunkte vorhanden sind. Ferner wird diese Kreis-
linie, wenn man ihr Centrum innerhalb a^ sich bewegen lässt, die
Peripherie von a nirgends treffen. Endlich wird diese Kreislinie,
falls man ihr Centrum zwisehen den beiden Peripherien von a und a
sich fortbewegen lässt, die Peripherie von a schneiden, jedoch der Art,
dass sie in jedem Augenblick von allen Seiten oder Kanten") des
Polygons a immer nur eine oder aber zwei aufeinanderfolgende schneidet.

Diese Bemerkungen vorausgeschickt, werde ich nun nachweisen,
dass die dem gegebenen Polyeder entsprechende Variable

Stets > 0 bleibt, so lange die Punkte p, q auf A^ beschränkt sind.
Gleiches gilt alsdann für eine Beschränkung derselben auf B^, oder
auf C^, u. s. f. Und Gleiches gilt daher alsdann auch für den Fall,
dass die Punkte p, q auf der gegebenen Polyederobertläche in völlig
freier Bewegung begritfen sind. Denn welche Lage man den
Punkten p, q auf dieser Oberfläche auch zuerlheilen mag, stets
werden sie entweder beide auf A^, oder beide auf ß„, u. s. f. sich
befinden, wie sich solches in folgender Art beweisen lässt.

Die Punkte p, q seien auf der Polyederoberfläche beliebig
markirt; und es sei u diejenige der sieben Polyederflächen
a, 6, c, rf, e, /; ^, auf welcher p, und v diejenige, auf welcher
q liegt. ^*3Q bezeichne nun eine Ecke des Polygons m mit P, die

*) Ich bezeichne die Seiten des Polygons a als Kanten, weil sie Kanten des ge-
gegebenen Polyeders sind.

774 G. Neumann, • [70

beiden von P ausgehenden Seiten (oder Kanten) des Polygons mit
PP' und PP", und alle übrigen Seiten (oder Kanten) des Polygons
zusammengenommen mit P' P" . Und zwar richte man diese Be-
zeichnungen der Art ein, dass der auf u markirte Punkt p von jed-
weder Seite des Complexes P P' einen senkrechten Abstand hat, der

ist, — was zufolge der Ueberlegungen auf pag. 69 stets möglich
sein wird*).

In analoger Weise mögen auf v der Punkt Q und die Symbole
QQ'i QQ ■> QQ definirt sein; also der Art, dass der auf i; gegebene
Punkt q von jedweder Seite des Complexes QQ einen senkrechten
Absland hat, der

iß-) > Q

ist.

Die Polyederecken /* und Q liegen zusammengenommen (weil

die Polyederoberfläche aus sieben ebenen Flächen besteht, und keine

zweisternige sein soll) höchstens auf sechs Polyederllächen. Unter

allen Umständen wird also eine von P und Q freie Polyederlläche

angebbar sein. Sie mag iv heissen. Und dementsprechend mögen

die Bezeichnungen w^, VV, W^ angewandt werden. Alsdann gehören

die beiden Polyederflächen

(j/.) u = {pPP'P") und V = [qQQ'Q")

jedenfalls zu W. Denn gehörte z. B. u uichl zu W, so müsste u
identisch sein mit w; es müsste also tv den Punkt P enthalten,
während doch w (seiner Definition zufolge) von P frei sein sofl.

*) Denkt man sich nämlich in der Ebene der Polyederfläche u um den ge-
gebenen Punkt p (als Centruni) eine Kreislinie vom Radius Q beschrieben, so sind,
welche Lage auch p auf u haben mag, stets nur drei Falle möglich. Entweder die
Kreislinie schneidet (resp. berührt) gar keine Seite des Polygons u; oder sie schneidet
(resp. berührt) nur eine Seite des Polygons; oder endlich sie schneidet (resp. berührt)
zwei aufeinanderfolgende Seiten des Polygons. Stets wird man also die Bezeichnungen
PP', PP", P'P" der Art einrichten können, dass der Coraplex P' P" nur solche Selten
enthält, die von jener Kreislinie weder geschnitten noch auch berührt werden.
Alsdann aber wird p voll jedweder Seite dieses Complexes P'P" einen senkrechten
Abstand haben, der ^ q ist. — Q. e. d.

Ti] Über die Methode des aritumetischen Mittels. 775

Die Peripherie des Complexes W ist offenbar identisch mit der
Peripherie von w. Hieraus folgt, dass keiner der beiden Punkte

(ö.) P und Q

auf der Peripherie von W, oder (was dasselbe) auf der Peripherie
von w Hegen kann. Denn sonst würde w mit P behaftet sein,
respective mit Q, während doch w (seiner Definition nach) von P
und Q frei sein soll. Dabei sei bemerkt, dass die sechs den Complex
W constituirenden Flächen in imiere und äussere eintheilbar sind,
wobei alsdann unter den äusseren diejenigen zu versieben sein werden,
welche der Peripherie von W sich anscli Hessen.

Der Punkt p liegt auf «, also nach (y.) auch auf W. Nun
lässl sich abei' zeigen, dass der Punkt p nicht nur auf W, sondern
auch auf W, liegt. Dies bedarf für den Fall, dass u eine innere
Fläche des Complexes W ist, keiner Erläuterung. Ist andererseits
u eine äussere Fläche des Complexes W\ so werden unter den mit
PP\ PP\ P'P" bezeichneten Seiten des Polygons u eine oder
mehrere vorhanden sein, die auf der Peripherie von W liegen.
Hierher aber können die Seiten PF und PP" unmöglich gehören,
weil sonst P auf dieser Peripherie liegen würde, w as nach (d.) nicht
der Fall ist. Auf der Peripherie von W können daher nur solche
Seiten des Polygons u gelegen sein, welche dem Complex P' P" zu-
gehören. Von jeder solchen zu FP" gehörigen Seite hat aber der
Punkt p, nach («.), einen senkrechten Abstand, der > q ist. Folg-
lich wird der Punkt p auch in diesem Falle, dass u eine äussere
Fläche des Complexes W repräsentirt , nothwendig auf W^ liegen.

Gleiches lässt sich , mittelst {ß.), (/.), (().), für q nachweisen.
Folglich liegen die Punkte p und q beide auf W„, d. i. entweder
beide auf A , oder beide auf ß„, u. s. f. — Q. e. d.

Ist nun dö irgend ein Element der Fläche o„, und p irgend

ein Punkt auf A„, so wird [vergl. (2.) pag. 28]

, , , da . cos 6
(16.) (da)p = -^ ,

wo E den Abstand des Punktes p vom Element da vorstellt, und
d den Winkel von E gegen die auf do errichtete Normale bezeichnet.
Construirt man eine die Fläche a m da berührende und durch p

776 C. Nel'mann, [72

gehende Kiigelttäche, und ist li der Radius dieser Kugelfliichc, so
wird [vergl. etwa die Figur auf pag. 04] die Relation stattfinden:
27i cos () == 1^. Somit folgt aus (16.):

(17.) ^^"^^P^fWß '

also, weil E ^ ^ZR ist:

(18.) (^^)p^^^ -

Von hier aus kann man nun in genau derselben Weise weiter
schliessen, wie früher beim Fünfeck [beim Uebergange von (5.) zu
(11.), (12.)j, und gelangt so zu dem Resultate, dass

(19.) ^' Slots ^ z;^

ist, wo a'^ eine bestinunt angebbare poailive und von Null versc/i'tcclcnc
Constante vorstellt.

U. s. w. — Man findet also sc/tliesdich, dass der für ^ beim
Fünfeck avffjeslellle Salz (15.) in genau derselben Weise auch bei
dem hier betrachteten siebenflächigen Polyeder gilt.

Sodann aber übersieht man sofort, dass man diesen Satz auf
demselben Wege überhaupt für jede beliebige überall convexe und
nicht ziveisternige geschlossene Flüche beweisen kann. Man wird zu
diesem Zweck die gegebene Flache in sieben beliebige Stücke
a, b, c, d, 6', /*, g zu zerlegen, und dabei nur darauf zu achten
haben, dass, falls die F'läche etwa ebene Theile besitzen sollte, keiner
dieser ebenen Theile bei jener Zerlegung zerschnitten wird.

Alles zusammengefasst, gelangen wir also zu folgendem Resultate:

Detrachtet man die früher [(25.) pag. 55] definirte Variable ^ für
irgend eine geschlossene Curve oder Fläche a, und setzt man dabei
voraus, dass diese Curve oder Fläche a überall convex und keine
zweisternig e ist, so wird jene Variable ^ stets der Formel ent-
sprechen :

(20.) 0 ^ C^ A< 1 ,

wo A eitle positive Constante vorstellt, die wirklich <C 1 ist. Diese
Constante X mag die Configurationsconsiante der gegebenen Curve
oder Fläche g genannt werden.

^3] Über die Methode des arithmetischen Mittels. 777

§6a.

An Stelle von C wird eine etwas andere Variable : eingeführt, und
letztere näher untersucht.

Wir wollen hier eine überall convexe geschlossene Curve oder
Fläche G betrachten, und dabei die zugehörige Formel (1! a.) pag. 33:

(I .) 0 ^ ^, < 1

in ihrer vollen Strenge verwenden, was die Voraussetzung involvirt,
dass jene Curve oder Fläche g frei ist von Spitzen resp. von Spitzen
und Schneiden*).

Ein Blick auf die früheren Formeln

fp — fq ^{G — K)z , [{\ 6.) pag. 52] ,
und

fp' — fq ^ {G - KU , f(i 7.) pag. 52J ,

zeigt, dass man, statt der Discussion von ^, ebenso gut die von z

hätte können eintreten lassen, und dass letzteres wohl sogar vor-

Ihellhafter gewesen wäre. Denn ; ist entstanden durch eine gewisse

Vergrösseriing von :, mithin ^ z; und in Folge dieser Beziehung

dürfte für die Beweisbarkeit der Formel : < I mehr Aussicht vor-
handen sein, als für die Beweisbarkeit der Formel ^ < I.
Allerdings liegt bei der Variablen z

(2 . ) . = i _ /(^^^-v +/(^^i^). _ « - /p . f,-^\

^ ^ 2A.r TTITk -^p ~ JTirj ^'i

[vgl. ( 1 6.) pag. 52] der Uebelstand vor, dass sie nicht, wie dies bei
s der Fidl war, nur von geometrischen Verhältnissen abhängt, sondern
vielmehr überdies auch noch von den jedesmal vorgeschriebenen
Funclionsweithen f dependirt. Von diesem Uebelstande aber kann
man sich leicht dadurch befreien, dass man vier Fälle unterscheidet:
/. Fall: die Punkte;?, q liegen beide auf«,
(3) J ^^- ^"^^•' P' 9 liegen beide auf/:?,

///. Fall: p liegt auf a, und q auf ,i,
IV. Fall: p liegt auf p?, und ^ auf a ;

*) Es ist dieser § 6a. der einzige, m welchem wir die Formel (I.) in voller
Strenge anwenden. Denn in allen früheren ^^, und auch in allen iceiter folgenden §§
wird immer nur die laxe Formel

0 ^ ^s S I
in Anwendung gebracht. Vgl. pag. 33.

778 C. Neumann, {74

und jeden Fall einzehi betrachtet. Alsdann nämlich gewähren die
für a und ß von Anfang an festgesetzten Bestimmungen:

(4a.) K^f^^^-^ , (auf«) ,

(iß.) ^-itl^f^G , (auf/?) ,

[vgl. (12.) pag. 50] die Mittel und Wege, um die Variable z in jedem
solchen einzelnen Fall von den /"'s zu befreien.

So ergeben sich z. B. im /. Fall, wo p und q beide auf a liegen
sollen, aus der Formel (4 «.) die Relationen

^"~^^ ^ — und ''i ~ -. ^ 0 , (/) und (/ beide auf a) ;
G — K z Cr — K

und hieraus ergeben sich, weil xh^ und ^^J [vgl. (1 .)] stets positiv sind,
die weiteren Relationen:

^^ ^p ^ ^ und ^^-^ ^^ ^ 0 , (p und q beide auf «) .

Betrachtet man also den /. Fall für sich allein, so folgt aus (2.),
und mit Rücksicht auf die beiden letzten Relationen, sofort:

Wir wollen das in dieser Formel enthaltene z, weil es speciell
dem I. Fall entspricht, mit z^ benennen, und in ähnlicher Weise die
dem IL, III. und IV. Fall entsprechenden Werthe von z resp. mit Zj, z-^
und Z4 bezeichnen. Alsdann ergeben sich aus (2.) mit Rücksicht
auf die in (3.) gegebene Charakteristik jener vier Fälle , und mit
Rücksicht auf (4«,/?.) im Ganzen folgende vier Formeln:

Ada)p-^f{dß\ ^p _

Z^^ \ —

(5.)

nda\-\-f{dß\

%h7t
Ada\+f{dß\

Ada\+f{dß\

2

"1 >

2

=

Z. ,

^v

2

=

z. .

=

z. .

wo Zi , Z2 , Z3 , Z4 als Abbreviaturen dienen sollen für die Ausdrücke
rechts.

Wir ivollen jetzt z^, Z2, Z3, z^ oder vielmehr Z^, Zj, Z3, Z4 mer
genaueren Discussion unterwerfen, indem ivir dabei die gegebene Curve

75] Über die Methode des arithmetischen Mittels. 779

oder Fläche a der in (i.) genannten Beschränkung unterwerfen^ sonst
aber fibei' dieselbe keine weitere Voraussetzung machen.

Der Ausdruck Z^ (5.) gewinnt, falls man aus ihm das Integral
f{du\^ mittelst der Relation

f{dct\ +f{dß)p = h7i (I - ^p) , [vgl. (U.) pag. 51] ,

eliminirt, die Gestalt:

(6.) Z. =. -^- , wo ip = L / .

Nun sind zwei Möglichkeiten vorhanden, indem ß entweder einen
Theil von o, oder das ganze a repräsentirt.
Repräsentirt ß das ganze a, so ist:

fidß)p =f{da)p = h.ri\- ^^ ,

fidß)g =fido)g = h7ti\ - &^) , [vgl. (U.) pag.51] ,

also nach (6.)

Hieraus aber folgt, mittelst der aus (1.) entspringenden Relationen

sofort :

(G.) _ 1 < ^ < + i .

Repräsentirt andererseits ß einen Theil von g, so ergiebt sich:

fidß)p < f{do)p = Arr (1 - ^p) ^ hit ,

also, weil die {dß)j,, (dß\ stets positiv sind:

O^J\dß)p<h 7t ,
^^fidß\<h7t .

Somit erhält man für den in (6.) angegebenen Ausdruck ip die
Formel

d. i. dieselbe Formel, wie vorher in (G.).

780 C. Neümann, [TG

Stets ist also i/; < I, und daher nach (6.) auch
(7.) Zj stets < 1 .

In genau derselben Weise wird sich otlenbar ergeben, dass auch
(8.) Z^ Siels < 1

ist. Ferner ist nach (5.): Z3 == Zg — -^, also, weil Z-i < 1 und
d-^ positiv ist, auch:

(9.) Z3 stets < \ .

Ks erübrigt also nur noch die Untersuchung des Ausdruckes

(4 0.) Z, = '1 - ^1^, , wo ^ =f{da)^ + j[dß\ .

Beschränkt man sich zunächst auf die Ebene, d. i. auf eine in der
Ebene gegebene überall convexe geschlossene Curve o, so ist zum
Verschwinden des Ausdruckes 'S, [wie schon früher constatirt wuixle;
vgl. pag. 53, 54] erforderhch, dass alle Tangenten des Theiles « durch
p, und alle Tangenten des Theiles ß durch q gehen. Es ist also
zum Verschwinden von ^' erforderlich, dass die Curve a ein rjerad-
linüjes Viereck oder Dreieck ist, und gleichzeitig erforderlich, dass
dabei die Situation der Curventheile «, /:>' und die Lage der Punkte
p, q einer der drei folgenden Figuren entspricht:

(11.)

Betrachtet man aber diese Figuren (in denen der Theil « slark, der
Theil ß schwach angegeben ist) ein wenig genauer, so bemerkt man, dass
der Punkt p in der ersten Figur nicht auf ß liegt, ebensowenig in der
zweiten und dritten Figur, dass mithin all' diese drei Figuren in Wider-
spruch sind mit dem Charakter des hier betrachteten IV. Falles [vgl. (3.)].

Die Grösse ^ kann also in dem hier betrachteten IV. Fall 7iie-
mals verschwinden*). Sie wird daher (weil sie ihrer Natur nach

*) Sie kann aber , oline mit dem Charakter des IV. Falles in Widerspruch zu
gerathen, unendlich klein werden; wie solches z. B. der l^all sein wird, wenn man
z. B. in der ersten Figur (11.) auf der Peripherie des Vierecks zu beiden Seiten von p,
und unendlich nahe an p zwei Punkte p' und p" markirt , und die so entstehende un-
endlich kleine gebrochene Linie p' p p" nicht zu a, sondern zu ß geliören lässt. Alsdann
nämlich ist der Charakter des IV. Falles gewahrt, und gleichzeitig ^ unendlich klein.

77] Über die Methode des arithmetischen Mittels. 781

positiv ist) in dem hier betrachteten IV. Fall stets > 0 sein. Solches
aber erkannt, folgt aus (1 0.), dass das diesem IV. Fall entsprechende
Z4 stets << I ist.

Analoges wird sich offenbar in analoger Weise im Räume bei
einer geschlossene?! Fläche herausstellen. Und man gelangt also zu
dem Resultate, dass im Räume wie in der Ebene

(42.) Z^ stets < 4

ist.

Die Resultate (7.), (8.), (9.) und (12.) übertragen sich, mittelst
der Relationen (5.), sofort auf Cj, Z2, Zg, z^. Man erhält in solcher
Weise die Formeln:

(13.) z,<:\ . ,., <i . z,<:\ , z^<i ,

und gelangt also zu der Erkenntniss, dass für irgend welche der
Voraussetzung (1.) entsprechende geschlossene Curve oder Fläche o die
Yariahle z stets <C 1 bleibt, dass sie also z. B. auch dann stets <; I
bleibt, wenn jene Curve oder Fläche a eine zweisternige ist.

Gegen die Richtigkeit dieses Satzes au und für sich ist nichts
einzuwenden. Sehr störend aber für die Anwendung des Satzes ist
der Umstand, dass die Variable z, im Fall einer zweisternigen Curve
oder Fläche, dem Werthe 1 sich asymptotisch zu nähern im Stande
ist; wie solches aus einer näheren Betrachtung der in (II.) ange-
deuteten Verhältnisse leicht hervorgeht [vgl. die Note pag. 76].

Das äussere und innere Problem. Lösung derselben nach der
Methode des arithmetischen Mittels.

Ich habe die hier zu behandelnden Aufgaben — das äussere
und innere Problem — bereits früher angegeben [pag. 20 und 27].
Dieselben lauten:

Das äussere Problem. — Es soll diejenige Fundamentalfunction 0
des Gebietes 91 construirt werden, welche an der Grenze von ^ (d. i.
auf g) vorgeschriebene Werthe f besitzt. Oder kürzer ausgedrückt:
Es soll die den vorgeschriebenen Grenzwerthen f entsprechende
Fundamentalfunction 0 des Gebietes '^l construirt werden.

782 G. Neumann, [78

Das innere Problem. — Es soll die den vorgeschriebenen Grenz-
werlhen f entsprechende Fundanientallhnction V des Gebietes 3 coti-
struirt werden.

Bei der Behandlung dieser beiden Probleme setze ich voraus,
jene auf a vorgeschriebenen Werthe f seien daselbst überall stetig.
Die gegebene geschlossene Curve oder Fläche g soll mit Ecken
resp. mit Ecken und Kanten behaftet sein dürfen. Jedoch setze ich
voraus , dass dieselbe ftberall convex und keine zweisternige ist.
Demgemäss wird derselben eine bestimmte Configurationsconslante A
zugehören, d. i. eine Constante, die positiv und <C. 1 ist [vgl. den
Satz pag. 55 u. 72].

Ich werde im gegenwärtigen § nur die Lösungen der beiden
Probleme angeben, und den Beweis für die Richtigkeit derselben
erst im nächstfolgenden § mittheilen.

Die LösuDgen der beiden Probleme. — Auf Grund der auf a
vorgeschriebenen stetigen Werthe f bilde man zuvörderst die Func-
tionen W und f mittelst der Formeln:

{A.) \V^ ^ äT^/a^^).- ' f^' = ^^^ + ^^f^ '

hierauf bilde man, auf Grund der Function /', die neuen Functionen
W und f" mittelst der Formeln:

iA\) w^' = j^ffido)^ , f," = w; + ^s fs ;

sodann bilde man, auf Grund von /"', die Functionen W" und ('" :
{A".) W^' = -^ffid 0), , fr = W," + ^, f," ;

u. s. w., u. s. w.

Alsdann sind [vgl. pag. 48] die Functionen //, f"^ fj", etc.,

ebenso wie f^ selber, auf a stelig. Auch finden alsdann [nach Satz
pag. 46] die Relationen statt:

(ß.) Was = fs'-fs , Wi,=f;+f, ,

{B\) wj^fs"-fs' , w,; = f;'+f: ,

{B".) Was"=fs"'-fs" , Wi;' = rs"'-^fs" ,
U. S. W., U. S. W.

79] Über die Methode des arithmetischen iMittels. 783

Auch ist bekannt [Satz (34.) pag. 57], dass alsdann die
Function p"\ für 7^3=00, in eine bestimmte endliche Conslante C
sich verwandelt:

(P.) Hm„^^ /•,(") = C .

Setzt man nun, unter Benutzung dieser Constante C:
|,= (C-/;) 4- (C - /•/) + (C — A") + • •• in inf.,
';. = ifs-fs) + ifs-rn + ifs^'^-fs^'^) 4- • . • in inf.,
SO sind diese Reihen auf a überall cojivergent, und die durch sie
definirten Functionen ^j, r^^ auf a überall stetig.

Gleichzeitig sind jetzt die Lösungen O und ^ der beiden
Probleme ohne Weiteres angebbar. Einerseits nämlich werden dieselben
auf G identisch sein mit den daselbst vorgeschriebenen f's. Und
andererseits werden dieselben für alle ausserhalb a liegenden Punkte a,
resp. für alle innerhalb g befindlichen Punkte i darstellbar sein
durch die Formeln:

(fi)

^•- = ^ + Ä^/-'«""-- ■

wo C, ^, Tj die in {P.\ (Q.) angegebene Bedeutung haben.

Es werden also die Lösungen jener beiden Probleme dargestellt
sein durch die beiden Werthsysteme :

(«'•) i<^a,fs) und {V,,A) .

Oder was auf dasselbe hinauskommt: Sie werden dargestellt sein
durch die beiden Werthsysteme:

(«"•) (*a, ^as) und (Y... Y,.,) ;

denn die <t)„s sind identisch mit den f^, und die V.s ebenfalls
identisch mit den f^.

Diese in (Q.), (/i.), (/?'.), {R".) gemachten Behauptungen sollen im
folgenden § bewiesen werden. Zuvor aber mag hier noch auf gewisse
Transformationen der Ausdrücke (R.) aufmerksam gemacht werden.

Andere Form der Lösungen. — Aus (R.) ergiebt sich durch
Substitution der Werthe (Q.):

(«•)

^a=C + ^/[(C-/-) + (C-n + iC-f") + ...]ido)a ,
^'i=C-{-±f^{f-f') + if"-f"')^ifi^)-fi-^))^...yda)i .

784 C. Neumann, [80

Hier sind die Integrationen sofort ausführbar. Einerseits ist nämlich
nach (A.), (A'.), {A".), etc.:

iß.)

und andererseits ist nach bekanntem Satz [vgl. (8.) pag. 33]:

iy.) ' ßda)„ = 0 .

Man erhalt somit:

.g. <^a=C-Wa- Wa' - W^" - W,'" - ... in Inf.,
Y,. = C + {W.i — W/) + {Wf — Wi") + ... in Inf.

Dies dürfte die einfachste Gestalt sein, in welcher die Losungen der
beiden Probleme im Allgemeinen angebbar sind.

Dritte (aber hypothetische) Form der Lösungen. — iMan kann
otfenhar die Formeln (a.) mit Rücksicht auf (y.) auch so schreiben:

j^^ *« = c + ,7^ /[- / - r - r' ^ r" - . . .] a «)„ .

Nun ist aber nach (ß.), (/i'.) etc.:

f-Vr = ^ T^-. , f" + r = + ^K;' , f^'^ + f^"^ = + W,, f^) , etc. etc.,

/" - r = - ^^«. , r - r" = - ^^a." , /-(^^ - f^^^ = - Tr„,(^) , etc. etc.,

und überdies ist [vgl. (2.) pag. 28]:

d T^

^^^^^' --dV''"" ■

Somit folgt aus {().):

liier repiiisentirt v die auf da errichtete innere Normale. Ferner
ist T" = log -^, resp. = ^,^, falls man niimlich unter E" den Ab-
stand des Punktes a vom Elemente do versteht. Und analoge Be-
deutung hat T' mit Bezug auf den Punkt i.

81] Über die Methode des arithmetischen Mittels. 78ö

Construirt man jetzt zwei auxiliare geschlossene Curven oder
Flächen : a' und a ", beide sehr wenig von a verschieden, und der Art
gelegen, dass o' von a, und o von g" umschlossen wird, so ist
offenbar das innerhalb a' liegende Gebiet 3 ein Theil von 3, und
ebenso das ausserhalb n" befindliche Gebiet 91 " ein Theil von %.
Durch Anwendung der bekannten Green'schen Sütze auf diese Ge-
biete 5' und 91" ergeben sich alsdann die Formeln:

(?)

«/ \ UV av J

dp"!

wo v' und v" die inneren Normalen von n' und a" vorstellen. Es
sind nämlich {bei festgehaltenem a) W^. und T^ Fundamentalfunctionen
des Gebietes % Demgemäss sind auf diese Functionen die Green-
schen Sätze anwendbar, wenn auch nicht mit Bezug auf 3 selber,
so doch mit Bezug auf jedes kleinere Gebiet, welches, wie z. B. 3»
mit all' seinen Punkten innerhalb 3 liegt. Bringt man nun aber
jene Sätze auf W^., T^ und das Gebiet 3' in Anwendung, so erhält
man die erste der beiden Formeln (^.). Und in analoger Weise er-
giebt sich die zweite dieser Formeln durch Anwendung der genannten
Sätze auf W^, Tj und das Gebiet %".

Nun lässt sich zeigen, dass diese Formeln {^.) im Allgemeinen
[d. li. unter gewissen Voraussetzungen, auf die ich hier nicht näher
eingehen will; vgl. meinen Aufsatz in den Math. Annalen, Bd. 16,
pag. 409 — 438] auch dann noch in Kraft bleiben, wenn man a' mit
o, und ebenso auch a" mit o identiQcirt; so dass man also erhält:

irj.)

Diese Formeln (fj.) können hingeschrieben werden, nicht nur für W,
sondern ebenso auch für W\ W", W", etc. Und mit Rücksicht
auf all' diese Formeln gewinnen alsdann die Ausdrücke (*.) folgende
Gestalt :

{&.)

Abhandl. d. K. Uosellsch. d. Wissensch. XXII. 53

786 C. Neumann, [82

Nun lüssl sich zeigen, dass im Allgemeinen [d. h. unter gewissen
Voraussetzungen, auf die ich hier nicht näher eingehen mag; vgl.
in den Math. Annal. Bd. 16 die Formeln (D.) pag. 414 und die
Formeln (/).) pag. 436] die Gleichung stattfindet

dv dv '

und dass also die in {d-.) in den geschweiften Klammern enthaltenen
Ausdrücke beide ein und denselben Werth haben. Demgemäss ge-
winnen also jene Formeln (//.) folgende Gestalt:

^^•^ ^ r .

"Vi = C— -f— qT* da ,

wo Q die Bedeutung hat:

_ d{Wi,+ Wj+Wi,^^)+...) _ d{Wa,+ WJ' + WaJ<^) + ...)
^ dv dv '

Durch diese Formeln (T.) werden die Lösungen O« und Yj der beiden
Probleme, abgesehen von der Gonstante C, dargestellt als Polenliale
ein und derselben Curven- oder Fläch enbelegung. Die Dichtigkeit dieser

Belei^un^ ist =: — ■^.

^ ^ hTt

Bemerkung. — Es sei innerhalb 3 irgend ein Punkt i markirt,
und um i (als Gentrum) eine Kreislinie oder Kugelfläche x vom
Radius 1 beschrieben. Denkt man sich nun die auf der gegebenen
geschlossenen Gurve oder Fläche a vorgeschriebenen Werthe /", längs
der von i ausgehenden Strahlen, und ohne Aenderung ihrer Grössen,
von a nach x versetzt, so wird das arithmetische Mittel aller dieser
jetzt auf X vorhandenen Werthe f dargestellt sein durch:

Versteht man aber unter da das mit dx correspondirende Element
der gegebenen Gurve oder Fläche o, so ist offenbar dx nichts An-
deres als das (rfa),. Jenes arithmetische Mittel ist daher auch so
darstellbar:

also identisch mit J W,., [vgl. (A.)].

S3j Über die Methode des abithmetischen Mittels. 787

Demgemäss kann man dieses 4^ TV, das arithmetische Mittel aller
auf G ausgebreiteten Werthe f in Bezug auf den Punkt i nennen. Und mit
Rücksicht hierauf habe ich die hier exponirte Methode, in welcher die
aufeinanderfolgenden arithmetischen Mittel ^W,, J W/, J W, ", etc. eine
wichtige Rolle spielen, die Methode des arithmetischen Mittels genannt.

§8.

Beweis für die Richtigkeit der angegebenen Lösungen.
Das schliesslich sich ergebende Existenztheorem.

Zu beweisen ist zuvörderst die Convergenz der Reihen (O-)'

^ '^ >i= (/•- n + (r - D + (/"f^> - /•(^>) -f . ■ • in inf.
Setzt man

indem man dabei den Restgliedem (>'•**, e^"' die Bedeutungen zu-
ertheilt :

?^"^ = (C - /■(")) + (C - /•(» ■*• 0) + . . . in Inf.,
^ -^ e(«) = (/•(2») _ /-(^n+O) _^ (/•(•2« + -2) _ ^(2n+3)) _|_ . , . in inf.,

so folgt aus (37.), (38.) pag. 58 sofort:

(ff.) abs ^(«) ^ (G - Ä) (/" + /." + > + ;." + * + . . ■ in inf.) ,
0?.) abs gC") ^ (G — A') {?:'" + Ä-"-^^' + /.^"-^* + ... in inf.) ,

also, weil A ein positivei' ächter Bruch ist, a fortiori:

iy.) abs e(«) ^ (G — Ä') (A« +/." + • + /» + -2 -f- ... in inf.) .

Und nunmehr folgt aus («.) und (;'.):

abs ^(«) S (G - Ä-) ^-^ ,

abs e(«) S (G — Ä) ^-^ ,

wo der Ausdruck rechts in beiden Fonneln derselbe ist. Denkt man
sich nun diesen Ausdruck (was offenbar stets möglich ist) durch
Vergrösserung von n unter einen beliebigen Kleinheitsgrad * hinab-

53*

788 C. Neümann, [84

gedrückt, so sind die Restglieder q^"\ g^"\ ihrem absoluten Betrage
nach, in sämmUichcn Punkten der Curve oder Fläche a kleiner als
jenes 6. Hieraus aber folgt, dass die Reihen nicht nur convergeni
sind, sondern auch, dass die durch sie dargestellten Functionen |, 7;
auf a stetig sind.

Erläuterung. — Hat man nämlich n so weil vergrössert, dass abs ^(")
für sämmtliche Punkte der Curve oder Fläche ff kleiner als e ist, so hnden
für je zwei solche Punkte s und s^ die Formeln statt :

(a ) abs Q,W < e ,

(b.) abs ^,/") < fi .

Andererseits kann kein Zweifel darüber bestehen, dass der geschlossene
Ausdruck

t(n) ^ (c — /■) 4- (C — /") + . . . -f- (C — /■("-!))

eine F^mction repräsentirt , welche [ebenso wie f, f', f", ... ; vgl.
pag. 78] auf ff überall stetig ist; und man kann daher durch gegenseitige
Annäherung der (bis jetzt beliebig gelassenen) Punkte s und s^ dafür
sorgen, dass
(c.) abs (^/") — ^5/")) ebenfalls < e

wird.

Solches aber ausgeführt gedacht, folgt jetzt aus (a.), (6.), (c.) sofort:

abs [(^/«) + ^/")) - (,^,/«) + e,/«))] < 3 £ ,

oder, was dasselbe ist [vgl. (2.)] :

abs {^s — ^sj <C 3« •

D. h. ^ ist im Punkte s stetig ; s war aber ein beliebiger Punkt der Curve
oder Flüche ff. U. s. w.

In analoger Weise ergiebt sich der Beweis mit Bezug auf die
Function r].

Da nun die Functionen §, tj auf a überall stetig sind, so sub-
ordiniren sich die in (R.) pag. 79 angegebenen Ausdrücke

ohne Weiteres dem allgemeinen Theorem pag. 47. Demzufolge ist
jedes der beiden Werthsysteme

(et)«, cD„,) und (V„. V„,)

85] Ober dib Methode des arithmetischen Mittels. 789

eine Fundametilalfunclion des Gebietes %, und andererseits jedes der
beiden Systeme

(0,, <J>,-,) und (Y... Yi,)

eine Ftmdamenlalfunction des Gebietes 3-

Soll also nachgewiesen werden, dass die Systeme (O^, 4>„s) und
(^u ^.s) wirklich die Lösungen unserer beiden Probleme sind, so
wird nur noch zu zeigen sein, dass die <Pas identisch mit den f^, und
die Y,, ebenfalls identisch mit den f^ sind.

Zu diesem Zwecke substituiren wir in (5.) für ^ die Zerlegung
(2.), und erhalten so, indem wir gleichzeitig für x einen Punkt a
eintreten lassen, die Formel:

d. i. die Formel:

(6.) (t>, = 0«(») + P„(«) ,

wo alsdann <t>o(") und Po^"^ die Bedeutungen haben:
(7.) <D„(") = C + ^/^"> ida)a ,

(8.) P.C) = ^/e(») (da), .

Dabei mag die Zahl n vorläufig ganz ad libitum gewählt sein.

Aus (7.) ergiebl sich durch Substitution des Werthes von l^"^
[vgl. (1.), (2.), (3.)]:

0^(») = C + ^/[cC-n + (C-n-+(C-/-("->)](rfa)„ ;

hier aber ist die Integration sofort ausführbar mittelst gewisser schon
im vorhergehenden § [auf pag. 80] notirter Formeln:

1

ÄTTt

ßda)a=-0 .

Man erhält in solcher Weise:

(9.) <D^(") = C — [W^ -h ir„' 4- TV«" ... + Tr„("-0]

790 C. Neumann, [80

Nach den Formeln (7?.), (/?.'), (/?.") elc. pag. 78 ist aber

'^^a s ^^^ IS IS '

"^as IS IS '

w " — f"'_f"
'' as IS IS)

Was^''"^=fs^''^-fs^''-'^ ;

woraus durch Addition folgt:

1^«. + Was' + ^a/' • . • + Wj^-') = /•,(«) ~ /, .

Demgemäss ergiebt sich aus der Formel (9.) für <!>«/") folgender Werth :
(10.) 0^/») = C - /,W + /-^ .

Was nun ferner den Ausdruck (8.) betrifft:

1

'"'"' = ätJ^^"' <"<""

so subordinirt sich derselbe, weil ^ selber, mithin auch das [dem §
zugehörige Restglied] f'^ auf a slet'uj ist, ohne Weiteres dem Satze
pag. 59. Diesem Satze zufolge sind z. B. die absoluten Werthe der
Pa(") und P«/") durchweg ^ 2M, falls man nämlich unter M den
absolut grössteu Werth von ^^"^ auf a versteht. Man erhält also :

abs Pa/"^^ 2if .
Dieses M, der absolut grösste Werth von ^^"^ auf a, ist aber nach
(4.) nothwendig

rn

Demgemäss ergiebt sich:

absP«/^)S2(G-Äl ^'^
ist:

(H.) p^^(n)_20((;_A')

1 — yl '

oder, was dasselbe ist:

- A '

wo 0 einen unbekannten positiven oder negativen ächlen liruch
vorstellt.

Substituirt man jetzt die Werthe (10.), (II.) in die aus (6.)
sich ergebende Formel:

^as — ^as n^ ~as >

so erhält man

(12.) <i>^^=C + r,-f^i^) + 2e{G-K)-^-^j •

87] Über die Methode des arithmetischen Mittels. 791

Diese Formel ist gültig für jedwedes n , weil n zu Anfang ad libitum
gewählt war. Lässt man aber n ins Unendliche wachsen, und be-
achtet man, dass die Configurationsconstante A positiv und <C I ist,
so ergiebt sich

(<3.) <t>a. = C + A -»!"« = ./■/"> ,

also mit Rücksicht auf (P.) pag. 79:

In analoger Weise lässt sich zeigen, dass auch

(15.) "Vis^fs

ist; was weiter auszuführen überflüssig sein würde. Nachdem aber
die beiden Relationen (14.)» (I^) constatirt sind, ist hiermit zugleich
die Richtigkeit aller im vorhergehenden § gemachten Behauptungen
darget/ian.

Bemerkung. — Man wird vielleicht der Ansicht sein, dass die Relation
(14.) auf kürzerem Wege ableitbar sei, dass nämlich dieselbe direct aus
der Formel (10.) sich ergebe, sobald man daselbst n = oo macht.

Um genauer hierauf einzugehen, sei zunächst bemerkt, dass die
Function 0 ausführlicher zu bezeichnen sein würde mit O*"^'. unsere
Aufgabe bestand in der Ermittelung derjenigen Werthe, welche diese
Function O oder 0"' für die Punkte as annimmt; und hierüber haben
wir durch die Relation (14.) Auskunft erhalten ; denn dieselbe lautet :

(«.) (<t>'""%, = fs •

Aus der Formel ( J 0 .) hingegen würde sich für n = ex» ein ganz anderes
Resultat ergeben haben, nämlich folgendes :

0*-) (^«/"^)» = ^ = fs ■

In solcher Weise geschrieben , dürfte der Unterschied klar zu Tage
liegen. — Wir können uns so ausdrücken: Die linken Seiten der For-
meln (a.), (ß.) beziehen sich beide auf den Ausdruck ^a , jedoch mit
dem Unterschiede^ dass die linke Seite von (a.) denjenigen Werth be-
zeichnet, welchen dieser Ausdruck annimmt, sobald man darin zuerst
n = oo macht, und sodann a nach s rücken lässt; während die linke
Seite von (ß.) denjenigen Werth bezeichnet, welchen der Ausdruck an-
nimmt , sobald man die genannten beiden Operationen in umgekehrter
Reihenfolge vornimmt.

Nachdem wir nun die Richtigkeit der im vorhergehenden § ge-
gebenen Lösungen der beiden Probleme bewiesen haben, ist damit
zugleich auch constatirt, dass diese Probleme stets lösbar sind, d. h.,
dass die durch die beiden Probleme geforderten Functionen 0, Y
stets existiren; so dass wir also zu folgendem Theorem gelangen.

792 C. Neumann, [88

Existenztheorem. — Es sei in der Ebene oder im llaume eine
(jeschlossenc Curve oder Fläche a (je(jeben, ivelehe mit Ecken, resp. mit
Ecken und Kanten behaftet sein kann, welche aber überall convex
und nicht ziveistemiy sein soll. Und von den beiden Gebieten, in
welche die Ebene oder der Raum durch diese Curve oder Fläche o
zerlaß wird, mag das äussere mit Ql, das innere mit 3 bezeichnet sein.

Denkt man sich nun auf g irgend welche daselbst stetige Werthe f
vorgeschrieben, so wird immer eine Fund amental function O des Gebietes
51 existiren, welche auf g jene vorgeschriebenen Werthe f besitzt; des-
gleichen wird alsdann stets eine Fundamentalfunction Y des Gebietes 3 ^'^*-
stiren, welche ebenfalls auf g jene vorgeschriebenen Werthe f besitzt.

Auch sind diese Fundamentalfunctionen O und V durch die An-
forderung, auf G mit jenen vorgeschriebenen Werlhen f identisch zu
sein, vollständig und eindeutig bestimmt [zufolge der Sätze pag. 20
und 26].

§9.
Sich anschliessende Betrachtungen.

Wir hallen fest an den Vorstellungen, Voraussetzungen und Be-
zeichnungen der beiden vorhergehenden §§ ; so dass also z. B. 0 und Y
die den vorgeschriebenen f entsprechenden Fundamentalfunctionen
der Gebiete % und 3, und diese /' auf g überall stetig sein sollen.

Ausser f selber mögen auf der gegebenen Curve oder Flache g
noch unendlich viele andere Functionen*)

(1-) r, r, P, ... P, ... ininf.

ausgebreitet sein, die (ebenso wie /') auf g überall stetig sind. Dabei
wollen wii- annehmen, dass p, bei ins Unendliche wachsendem p,
gegen jene eigentlich vorgeschriebene Function /' convergirt. Alsdann
wird, sobald auf g irgend ein Punkt *■ markirt ist, die diesem Punkte *■
zugehörige Quantität

abs (/•/-/;)

*) Diese Functionen sollen vollständig andere sein, als die in den vorhergehenden
§ § besprochenen Functionen

r, r, f", . . . fw, . . .

Zur bessern Unterscheidung habe ich daher die einen durch obere Indices, die andern
durch Accente bezeichnet. So ist ja z. ß. auch das eingcklannnerte (/<) ebenfalls nur
eine Andeutung für n aufeinanderfolgende Accente.

89] Über die Methode des arithmetischen Mittels. 793

durch Vergrösserung des Parameters j) unter jeden beliebigen Klein-
heitsgrad hinabdrückbar sein. Oder genauer ausgedrückt: Es wird
alsdann, falls irgend ein Kleinheitsgrad *„ ad libilum gegeben ist,
stets eine positive ganze Zahl p^ von solcher Grösse angebbar sein,
dass jene Quantität

abs (/•/ - r,)

<C #0 ist, nicht nur für p = 7^, sondern auch für alle ganzen
Zahlen p, die >> p^ sind.

Wir wollen jetzt aber die über die Convergenz von f^ gemachte
Voraussetzung noch weiter verschärfen^ nämlich annehmen, dass f^,
bei ins Unendliche wachsendem p, für alle auf g befindlichen Punkte n
gleichmässiij gegen f convergirt. Alsdann wird, nachdem irgend ein
Kleinheitsgrad t^ ad libitum gewählt ist, stets eine Zahl p^ angebbar
sein von solcher Grösse, dass die Formel

(2.) abs {fgf — fg) <C «0 • 0^ beliebig, aber ^ p^ gedacht) ,

simultan stattfindet für sämmtliche Punkte s der Curve oder Fläche o.
Dies vorangeschickt, betrachten wir jetzt die den Functionen

fuudr, r, r, ••• r, •••

entsprechenden Fundamentalfunctionen

O und 0'. 0-. 0'. ... 0P, ...

des Gebietes ^*); und legen uns die Frage vor, ob ebenso wie
/* gegen /" convergirt, ebenso vielleicht auch <K gegen O conver-
giren wird.

Nach der Definition von <t> und 0^' ist: O^^ = /". und ebenso:
^af = /s^5 oder wenn man hier (wo kein Missverständniss möglich
ist) s für as schreibt:

0,=/; und 0/=/-/ .

Demgemäss ist jene simultan für alle Punkte s geltende Formel (2.)
auch so schreibbar:

(3.) abs (0/ — et),) < 5^^ [p beliebig, aber ^ p^ gedacht) .

*) Diese Fundamentalfunctionea des Gebietes % würden, falls es beliebt,
sofort construirt werden können mittelst der Methode des aritbmelischen Mittels
(pag. 79). An ihrer Existenz ist also kein Zweifel.

794 C. Neumann, [90

Da nun 4>^ — 0 (ebenso wie 0 und <t>^ selber) eine Fundamenlal-
function des Gebietes 91 ist, so können wir auf diese Function O^' — O
ohne Weiteres den ersten Satz pag. 26 in Anwendung bringen. Als-
dann aber gelangen wir auf Grund der Relation (3.) sofort zu der
allgemeineren Formel:

(4.) abs {<^^P — <t>^) < £„ , ip beliebig, aber ^ p,) ,

nämlich zu dem Resultat, dass diese letztere Formel simultan statt-
findet für sämmtliche Punkte x in ganzer Erstreckung des Gebietes ^.

Erläuterung. — Ist nämlich U irgend eine Fundamentalfunction des
Gebietes 31, und findet für alle auf der Grenze von 51, d. i. auf a gelegenen
Punkte s die Formel statt :

— «0 < ^s < + «0 '

so wird, zufolge des ersten Satzes pag. 26, für alle Punkte x in ganzer
Erstreckung von 31 die analoge Formel gelten :

— «0 < ^x < + «0 •

Oder mit anderen Worten: Findet für die Punkte s an der Grenze
von 31 die Formel statt :

(a.) abs f/5 < ßo >

so toird für alle Punkte x in ganzer Erstreckung von 31 die analoge
Formel gelten:
iß.) abs f/^ < £„ .

Mittelst dieses Satzes (a.), {f:i.) gelangt man aber sofort von der
Formel (3.) zur Formel (4.). — Q. e. d.

Erinnern wir uns an die Art und Weise, wie [bei (2.)] s^ und ^„
eingeführt worden sind, so werden wir dieses Resultat folgender-
massen klar zu stellen haben: Bezeichnet t^ einen ad libitum ge-
gebenen Kleinheitsgrad, so exislirt stets eine 'positive ganze Zahl p^ von
solcher Grösse, dass die Formel

abs {<\>^P — (i>J < «0 , iP beliebig, aber ^ p,) ,

simultan erfüllt ist für alle Punkte x in ganzer Erstreckung
von 91. — Hierfür aber können wir kürzer sagen: Die Function ^^
convergirt, bei ins Unendliche wachsendem p, in ganzer Erstreckung des
Gebietes % gleichmässig gegen die Function 0.

Dass man Analoges in Betreff des Gebietes 3 und der Function ^
zu beweisen vermag, bedarf keiner weiteren Erläuterung. Man
gelangt daher zu folgendem Satz.

91] Über die Methode des arithmetischen Mittels. 795

Theorem, — In der Ebene oder im Räume sei eine geschlossene
Curve oder Fläche o gegeben, welche mit Ecken, resp. mit Ecken und
Kanten behaftet sein darf, welche aber überall convex, und keine
zw eis lern ige ist. Ferner sei auf g irgend welche daselbst stetige
Function f vorgeschrieben.

üeberdies sei [durch irgend welche Methode, oder vielleicht auch
durch Zufall] eine mit einem variablen Parameter p {=z I, 2, 3, i, ...)
behaftete Function f^ entdeckt, welche ebenfalls, und zwar für jedwedes
p, auf a stelig ist, und welche, bei ins Unendliche wachsendem p, für
sämmtliche Punkte der Curve oder Flüche a gleichmässig gegen f
convergirt.

Bezeichnet man alsdann die den Functionen f, f^ entsprechenden
Fundamental functionen der Gebiete % und 3 ""' ^5 <t>'^ und mit W, M^^',
so wird 0' in ganzer Erstreckung von '^i gleichmässig gegen O, und
V^ in ganzer Erstreckung von 3 gleichmässig gegen V convergiren.

Wir haben hier dieses Theorem unter der (besonders betonten)
Voraussetzung bewiesen, dass o überall convex und nicht zwcisternig
ist. Doch lässt sich das Theorem von diesen Restrictionen befreien.
um die hierzu erforderlichen Mittel zu gewinnen, werden wir in den
beiden folgenden § § zunächst einige speciellere Untersuchungen
anzustellen haben.

§ 10.

Anwendung der Methode des arithmetischen Mittels auf die Kreislinie.

Bringt man die Methode des arithmetischen Mittels auf eine
Kreislinie o in Anwendung, so tritt insofern eine Vereinfachung ein,
als die &, durchweg = 0 werden. [Vgl. (9.) pag. 33.]

Die auf der Kreislinie a vorgeschriebenen Werthe /' oder /^ seien
daselbst stetig, mithin darstellbar durch eine Fourier'sche Reihe:

oo
A +^(J('») cos Uli) + B(") sin nw) ,

wo CO das Azimuth vorstellt, und die A, A^'*\ B^"^ Constanten sind.
Dabei aber wollen wir zuvörderst auf den Fall uns beschränken.

796 C. Neumann, [92

dass diese Reihe endlich ist, dass mithin für jene /' oder /j eine
Formel vorliegt von der Gestalt:

y
11=1

(1 .) f=.f^ = A -f^^ (ylC»*) cos n w + 5(") sin n w ) ,

wo p irgend eine endliche Zahl vorstellen soll.

Es sei Q der Radius der Kreislinie o; dcmgemäss seien {(j, (o)
die Polarcuordinaten irgend eines auf a liegenden Punktes s. Be-
zeichnet man nun den Abstand dieses Punktes *■ (^, m) von irgend
einem Punkte «((>„? f'«) mit A', so ergeben sich die Formeln:

ii2 = ^4 _^ ^^2 _ 2^^^ cos (w — wj ,

1 1 °° '1 / ^ \*'

r = log - = log - +27 - (r) ^^^ n{oj — iOa) , {Q < Qa) •

Nun ist nach (2.) pag. 28:

(rf ff) = — — da = 7— gdüj ,

^ dv dq^ '

WO i' die innere Normale von a bezeichnet. Somit folgt .
(2.)a [do)a = — ^7 (^) cos w(w — wj Nw .

In analoger Weise erhält man ferner für den Abstand E des
Punktes s (^, w) von irgend einem Punkte i(^j, o),) die Formeln:

E^ = Q^ -\- q^ — '^QQi COS (w — coi) ,
T = log - = log - -\-J^ ~ \^\ COS n{(x)—to^) , (^i < q) .

Bezeichnet man nun wiederum die innere Normale von o mit v^ so
ist nach (2.) pag. 28 :

{do)i = -r- da = — gdw .

* dv dq ^

Somit folgt:

(2.)i {do\ = H- 1 +^ /-^»rcos n(w — Wj) (/w .

L n = 1 ' ^ ' J

Dies vorausgeschickt, haben wir nun zu verfahren nach den
allgemeinen Vorschrißen (pag. 78) der Methode des arithmetischen

93] Über die Methode des arithmetischen Mittels. 797

Mittels, und in solcher Weise die Functionen TV, f, W', f, etc.,
sodann die Functionen |, 7p endlich die Functionen <1>, V zu con-
struiren. Die letzteren werden alsdann die Lösungen der beiden
Probleme, d. i. die den vorgeschriebenen Werlhen f entsprechenden
Fundamenlalfunclionen der Gebiete 91 und 3 repnisentiren.

Nach jenen allgemeinen Vorschriften [vgl. (A.\ {B.) pag. 78] ist:

(3). Wa = ~fndo)a , und /•; = W\, + /; .

Hieraus folgt durch Substitution der Werthe (1.), {%X und durch
Ausfuhrung der Integration:

Wa = — y (iV\.l(") cos n 10 a + ßC*) sin n wj .

Lässt man jetzt in dieser Formel den Punkt «((>„, wj unendlich nahe
an den Kreislinienpunkt s((), oi) heranrücken, mithin q„ in q und (o^
in w übergehen, so erhält man keineswegs das TT,, sondern viel-
mehr das W^s [vgl. den allgemeinen Satz pag. 46]; so dass man also
zu folgender Formel gelangt:

p
Was ^ — 2J (^^"^ cös n w + B<") sin nio) .

M=l

Substitiiirt man diesen Werth in der zweiten Formel (3.), und
substituirt man daselbst gleichzeitig für f^ den Werth (1.), so folgt:

(4.) fs=A, d. i = Const.

Da nun von den Functionen l\, fj, f^'\ /*,'", etc. jede aus der
vorhergehenden in genau derselben Weise entsteht, ^vie /"/ aus f^,
so gelangt man ohne Weiteres, auf Grund der bereits vorliegenden
Formeln (I.), (4.), zu dem Resultate, dass /"/' = A, dass ferner /",'"
ebenfalls = A ist, u. s. w. Man erhält also :

(5.) f;=f;' = f;"= ... =a ,

mithin z. B. :

Iim„^^ /"/") ebenfalls = A .

Die in unseren aligemeinen Vorschriften auftretende Constante C
[vgl. (P.) pag. 79] wird daher im gegenwärtigen Falle identisch mit
A sein:

(6.) C = A .

798 C. Neumann, [94

Ferner sind nach jenen allgemeinen Vorschriften [vgl. {Q.) pag. 79]
unter ^, tj folgende Functionen zu verstehen :

^ = ic-f)-\-{c-n +(c -/•") + ..
v = if -n-i- (/" - n + if''^ - f^'^) + . ■ .

Hieraus folgt durch Substitution der Werthe (5.), (6.) :

rj=f—A .

Und demgemüss ergeben sich, auf Grund unserer allgemeinen Vor-
schriften [vgl. (/?.) pag. 79], für die Lösungen O und Y der beiden
Probleme die Formeln:

(8.)

H', =A + ^f{f-A){do\ .

Diese Formeln (8.) sind, mit Rücksicht auf die bekannten Re-
lationen :

f{do)a = 0 und f{da)i = 27r , [vgl. (8.) pag. 33] ,
auch so darstellbar:

^.=-A + -Jf{da\ .
Beachtet man ferner, dass nach (1 .)

27t

Ifda ^= I fQdoj = %7tQA , mithin ^ = ä Ifdo

0 "

ist, so kann man die Formeln (9.) auch so schreiben:

Wir haben bisher nur den Fall betrachtet, dass die vorgeschrie-
benen Werthe / durch eine endliche ^eihe (1.) dargestellt sind. Be-
vor wir zum Fall einer unendlichen Reihe übergehen, erscheint es
gut, zunUchst die Ausdrucksweise ein wenig zu ändern, nämlich die

95] Lber die Methode des arithmetischen Mittels. 799

bisher mit /*, 0, Y benannten Functionen fortan mit f , <l>^, V^ zu
bezeichnen. Alsdann gelangen wir, auf Grund der Fonneln (I.) und
(10.), zu folgendem Satz:

Sind auf der Kreislinie g die Werthe vorgeschrieben:

(H ) fP= f^P = A +^ (/K") cos noi + /?(") sin not) ,

WO p irgend eine endliche Zahl vorstellt, so sind die diesen Werthen p
entsprechenden Fundamental fttnctiofien <!>'' und M^^ der Gebiete ^\ und 3
leicht angebbar.

Einerseits nämlich werden dieselben auf g mit jenen p identisch
sein. Und andei'erseits iferden dieselben für alle ausserhalb g liegen-
den Punkte fl, re^p. für alle innerhalb g befindlichen Punkte i dar-
stellbar sein durch die Formeln:

(12.) -'

wo Q den Radius der Kreislinie g vorstellt.

Wir gehen jetzt zu dem Falle über, dass auf g irgend eine
Function f in ganz beliebiger Weise vorgeschrieben ist, nur mit der
Restriction, dass sie längs g stetig sein soll. Diese Function f ist
alsdann darstellbar durch eine Fourier'sche Reihe:

oo
(<3.) f=A +^ (/!(») cos n w + 5^") sin n tu) ,

»» = 1
also darstellbar durch die Formel:

(HO /"=linip = „P,

wo p dieselbe Bedeutung hat, wie in (II.).

Da nun, nach unserer Voraussetzung, die vorgeschriebene Function
f auf G stetig ist, so wird die in (14.) angegebene Convergenz, nach
einem bekannten Satz*) über die Fourier'sche Reihe, gleichmässig sein
für alle auf a befindlichen Punkte. Demgemäss sind die dieser vor-
geschriebenen Function f entsprechenden Fundamental functionen <t> und ^
der Gebiete ^H und 3 sofort angebbar auf Grund des Theorems pag. 91,
nämhch darstellbar durch die Formeln:

HS) <l>a = Hmp^.0,P ,
r =Hnip = . V ,

'^) Heine: Handbucli der Kugelfunotionen. 1878. Bd. «. pag. 58.

SOG ^^- Neumann, [96

wo O/, M^,^ die in (12.) angegebenen Bedeutungen liaben. Sub-
slituirl man aber diese Werlhe der d»/, Y/ in (15.), so erhalt man:

(16.)

Die hier auftretende Operation hni^^^ ist in Anbetracht der Formel
(1 4.), und namenthch in Anbetracht des Umslandes, dass jene durch
(14.) ausgedrückte Convergenz für alle Punkte der Kreislinie n gleich-
massig ist, ohne Weiteres ausführbar; — man erhalt:

'*'' = + f^/^"<'-^/^<'''"«'

'*'-■ = - 57^ /^'' " + -^ . M'' "'■ ■

und gelangt daher zu folgendem Satz:

Satz über die Kreislinie. — Sind auf einer gegebenen Kreis-
linie G irgend welche daselbst stetige Werthe f vorgeschrieben, so
sind die diesen Werlhen entsjwechenden Fundamenlalfunclionen O iind Y
der Gebiete ''}\ und 3 ^'^' einfacher Weise angebbar.

Einerseits nämlich werden dieselben auf g mit jenen f identisch
sein. Und andererseits werden dieselben für alle ausserhalb o liegen-
den Pmikte a, resp. für alle innerhalb o befindlichen Punkte i dar-
stellbar sein durch die Formeln:

(18.)

iDo Q den Radius von g vorstellt.

Man kann übrigens diese Formeln [vgl. (2.) pag. 28] auch so
schreiben:

. 1 /"/ 1 cos (5\ , ,

i PI 1 , cos d\ „ ,

^ i PI 1 . cos ö

hier bezeichnet E den Abstand des Punktes a oder i vom Elemente dG,
und d den Winkel von E gegen die auf dG errichtete innere Normale.

97] Über die Methode des arithmetischen Mittels. 801

Substituirt man in (18.) für da, (rfo)„, {äo), ihre analyJisehen
Ausdrücke [vgl. (2.)„ (2.),]:

da = Qdio ,
{da)a = — l2J \^) ^^^ w(w — Wa)| dto ,

{da\ = + H +27 (-)"cos n((ü — lüM dio ,

und gloichzeilig für f die Entwickelung (13.):

oo , .

(20.) f= A -\-2; L{(») cos nw + ß(»> sin nio\ ,

und führt man sodann die in jenen Formeln (18.) angedeuteten Inte-
grationen wirklich aus, so gewinnen die Werthe der 0„ , H*. folgende
Gestalt:

^a = -1 4-J7 — ) (^^**> COS nwa + ßC») sin noi«) ,

^ /o X"
"*". = -4 -{-V l^\ (y|(»)cos «w, + ßC) sin nwi) .

(21.)

oo

Diese neuen Formeln (21.) besitzen gegenüber den ursprünglichen
Formeln (18.) einen wesentlichen unterschied. Aus jenen ursprüng-
lichen Formeln (18.) kann man niimlich die Werthe der Fundamental-
functionen in einem auf a liegenden Punkte ä nur dadurch erhalten,
dass man die Punkte a und i diesem Punkte s sich ins Unendliche
nähern lässt (nämlich nur dadurch, dass man die betreffenden Con-
vergenzwerthe O^^ und V,^ bildet); — hingegen kann man aus den
neuen Formeln (21.) die Werthe der Fundamentalfunctionen in s einfach
dadurch erhalten, dass man a und / mit s zur Coincidenz bringt:
wie sich solches durch Vergleich der Formeln (21.) mit (20.) sofort
ergiebt.

Beiläufige Bemerkungen. — Man kann übrigens zur Lösung der
beiden Probleme auf viel kürzerem Wege gelangen ohne die Methode
des arithmetischen Mittels. Der Einfachheit willen beschranke ich
mich bei den hierauf bezüglichen Auseinandersetzungen auf das innere
Problem.

Äbhandl. d. K. Gesellsch. d. Wissensch. XXII. 54

802 C. Nkumann, [^«

Setzt man ebenso wie früher :

und

(2.) r=r.m^^.p,

und bezeichnet man die den vorgeschriebenen Functionen p und /'
entsprechenden Fundamentalfunclionen des Gebietes 3 "^i^ ^^' ""<' ^5
so ergiebt sich :

(3.) y./' = ^ +2J ( -)''(^'l^"^ cos Mw^ 4- /?("^ sin n w^) ,

WO ((),, o;,) die Polarcoordinaten des Punktes i sind, während (j den
Radius der gegebenen Kreish'nie a vorstellt. In der That übersieht
man leicht, dass dieser in (3.) angegebene Ausdruck den Bedingungen
(1 .), (2.) pag. i 6 entspricht, und dass derselbe also eine Fundamental-
function des Gebietes 3 ist; und überdies erkennt man sofort, dass
diese durch (3.) dargestellte Fundamentalfunction am Rande von 2?
d. i. auf (7, identisch wird mit den in (1.) vorgeschriebenen Werthen p'.
Setzt man nun voraus, dass /' auf o stetig ist, so wird die in
(2.) angegebene Convergenz auf o (ileichmüssif/ sein, nach einem
bekannten Satze über die Fourier'schen Reihen. Und demgemäss wird
die der Function f entsprechende Fundamentalfunction Y des Ge-
bietes 3 ohne Weiteres angebbar sein auf Grund des Theorems
pag. 91, niimlich dargestellt sein durch die Formel:

(4.) '^e = linip = ./*'i^ •

Auch wird diese Convergenz (4.), zufolge jenes Theorems, gleichmässiij
sein in ganzer Erstreckung von 3; so dass man also zu folgendem
Satze gelangt:

Ist auf der Kreislinie o eine daselbst stetige Function f vorge-
schrieben, so ivird dieselbe in eine auf g gleichmässig convergirende
Fourier'sche Reihe e7itivickelbar sein :

oo
(5.) f=Ä +2J (^^"^ cos w w + £(«) sin nco) .

n = \

lind gleichzeitig ivird alsdann die dieser Function f entsprechende
Fundamentalfunction V des Gebietes 3 darstellbar sein durch folgende

99] Über die Methode des arithmetischen Mittels. 803

in ganzer Erslreckumj von 3 glciclimässiff convergirende Enlwickelung :

(6.) Y = .1 +j; -) (-1^") cos ;jw + ä(") sin nw) .

//iVr repräsciUiren ((>,, fo,) (/i> Polarcoordinaten des Punktes i, während
Q den Radius der Kreislinie o vorstellt*).

Bringt man jetzt auf die hier vorliegenden Verljiilhiisse den
ersten Satz pag. 20 in Anwendung, so erkennt man sofort, dass für
jedweden Punkt i die Formel stattfindet:
(7.) Ä-^H^.SG,

wo K und G den kleinsten und grössten Werth von f auf der Kreis-
linie G bezeichnen sollen.

Diese Bemerkungen (5.), (G.) und (7.) führen schliesslich, falls
man zur Abkürzung den positiven ächten Bruch — mit q bezeichnet,
zu folgendem Resultat :

Satz über die Fourier'schen Reihen. — Ist die mit irgend welchen
Constanten A, A^"\ ß^"^ behaftete Reihe

oo
(a.) f{io) = Ä -i-JJ (.4(") cos n w 4- ä(") sin n w)
11=1

für alle Werthe von (o gleichmässig convergent**)^ so gilt Gleiches

auch von der Reilie:

oo
iß.) Y(w) = A +^ q" (.K«) cos n lo + ß<'*> sin n lo) ,
»1 = 1
vorausgesetzt, dass die Consta nte q der Redin gung entspricht: 0 ^ ^ ^ 1.
Und gleichzeitig wird alsdann für jedweden Werth von w die
Foimel stattfinden:

(/.) K^^icü)^ Cr .

wo K und G den kleinsten und grössten Werth der Function f{oi)
vorstellen sollen.

In ähnlicher Art werde ich späterhin zu einem verwandten
Satze gelangen. Und diese Sätze sind nicht blos beiläufiger Natur,
sondern für den weiteren Fortgang meiner Untersuchungen von
Wichtigkeit.

*) Wir sind hier zu demselben Resultate gelangt, wie vorhin pag. 97 in der
ztceiten Formel (31.).

**) Aus dieser Voraussetzung folgt alsdann offenbar bereits von selber, dass /"(w)
eine stetige Function von w ist.

54*

804 C. Neumann, [100

§ 11.
Anwendung der Methode des arithmetischen Mittels auf die Kugelfläche.

Auf einer gegebenen Kugelßäcltp n seien irgend welche Werihe
vorgeschrie])en. die daselbst stelig sind, mithin darstellbar sind durch
eine Laplace'scJic Bcihe:

oo

11=1

wo A eine Constante bezeichnet. Dabei wollen wir aber zu Anfang
auf den Fall uns beschranken, dass diese Reihe endlich ist, dass also
jene vorgeschriebenen Werthe /' oder [^ der Formel entsprechen:

»1=1

wo j) irgend eine endliche Zahl vorstellt.

Es sei q der Radius der KugelflUche o; demgemäss seien
(^, />, fo) oder {q, fi, (o) die Polarcoordinalen eines auf a liegenden
Punktes s. Dabei soll w die geographische Länge^ und i)^ das Complement
der geographischen Breite sein ; überdies soll // = cos /> sein. Be-
zeichnet nun E den Abstand des Punktes s (^, //, w) von irgend
einem Punkte a{Q„, fi„, wj, und y den Winkel, unter welchem ^
und Q,, gegen einander geneigt sind, so gelten die Formeln :

cos

y = /'."rt + Vi — ^l^ Vi — /<„' cos {(O — W«) ;

(A.) T=^=^-\-2' rro P^^Ucos y), {Q< Qa) ■

Bezeichnet man nun die innere Normale der Kugelflache g mit v^
so ist nach (2.) pag. 28

i.do)a =d^^^== ~ ^^ ^^^' ^^ '

also, falls man für T den obigen Werth einsetzt:

(2.)„ {da)„ = -11' ^ (fy ^^"^ (cos 7)1 d^t dco .

iOi] Über die Methode des aritumetischex Mittels. 805

Bezeichnet man andererseits den Abstand des Punktes s{q, /tt, «)
von irgend einem Punkte /((>,, //,, «,) mit E und den Neigungs-
wiukel von q gegen p, mit y, so wird :

E- = Q- -{- O,- — iQQiCOSy,

cos y = ii^i + V I — u- ^ I — ."j* cos (w — w^) ,

oo

'• rt=i "
Bringt man also die allgemeine Formel (2.) pag. 28:

(da): z^ -— da =^ — -T- Q^ du dio
• dv dQ

in Anwendung, in welcher v die innere Normale bezeichnet, so
ergiebt sich:

(2.), (rf a),=\\ 4- J7 ('» + ') (- r P^"^ (cos y) rf.u d

lO

Dies vorangeschickt , haben wir nun zu verfahren nach den
iilltjemeinen Yurschrijien der Methode des arithmetischen Mittels.
Nach (A.), (B.) pag. 78 ist:

Hieraus folgt durch Substitution der Werthe (1.), (2.)« und durch
Ausfuhrung der Integration:

,, = 1 2" 4- I \Qaf

Lässt man in dieser Formel den Punkt a{Q^, /tia-, wj unendlich
nahe an den Kugelflächenpunkt s{^, «, co) heranrücken, mithin q^
in ^, //^ in //, und oj^ in oj übergehen, so erhält man keineswegs
das W,, sondern das W„^, [vgl. den allgemeinen Satz pag. 46]; so
dass man also zu folgender Formel gelangt :

Was =-- —i — "— l'C) C", w) .
»=1 '

Substituirt man diesen Werlh in der zweiten Formel (3.), und substituirt
man daselbst gleichzeitig für l\ den Werth (!.), so folgt:

(4.) /■; = .1 +jj __L_ }•(") (//, cu) .

806 C. Neumann, l^O'i

Da nun von den Functionen /',, /',', /l", /!'", etc. jede aus der
vorhergehenden in genau derselben Weise? entsteht, wie /'/ aus /^,
so gelangt man, auf Grund der beieits vorliegenden Formeln (1 .)
und (4.), ohne Weiteres zu folgendem Formelsystem:

n=:\

fs =^i+i^ ^_^r, »'<"^(/'."').

(5.)

H=l

etc. etc. etc.
Hieraus folgt sofort:

Die in unserm allgemeinen Schema [vgl. (P.) pag. 79] mit C be-
zeichnete Constante ist daher im gegenwärtigen Fall identisch mit A:

(6.) C = A .

Substituirt man jetzt die Werthe (5.), (G.) in die allgemeinen
Formeln [{Q.) pag. 79]:

^ = (C'^/')-t-(C -/•') + (C -/•")+■••,

V = (/' -/") + (r - n + (A^> - /•(^)) + . . • ,

so ergiebt sich ohne grosse Mühe :

(7-)

Und demgemäss ergeben sich, auf Grund unserer allgemeinen Vor-
schriften [vgl. {II.) pag. 79] für die Lösungen 0 und ^ der beiden
Probleme die Formeln:

<^"=-^-.y(i; '-^ *•<"""• ^<""'" •

(8.)

103] Über die Methode des arithmetischen Mittels. 807

Subslituirt man hier für ((io)„ und (da), ihre Werthe (2.)« und (2.).,
so sind die [über u = — \ ... -\- I und oj = 0 ... tn sich er-
slreekendenl Integrationen sofort ausführbar; so dass man erhall:

Wir haben bisher nur den Fall betrachtet, dass die vorge-
schriebenen /■ (I.) durch eine endliche Reihe dargestellt sind. Doch
sind die für diesen beschränkten Fall erhaltenen Resultate (8.), mittelst
des Theorems pag. 91 auf den allgemeinern Fall einer unendlichen
Reihe ohne Weiteres übertragbar, falls man nur beachtet, dass die
vorgeschriebenen Werthe f auf o stetig sein sollen, dass also die
diese Werthe ausdrückende ins Unendliche fortlaufende Laplace'sche
Reihe, nach einem bekannten Salze ""), auf a gleichmässig convergirt.
Wir gelangen somit zu folgendem Resultat:

Auf einer Kugelfläche o seien irgend welche Werthe f vor-
geschrieben, die dcLseWsl stetig sind, und die daher darstellbar sind
durch eine auf o gleichmässig convergirende Laplacesche Reihe:

oo
(9.) /•=-l+^ l'(">(//,w) ,

»i = i

wo A eine Constante vorstellt.

Alsdann werden die diesen Werthen entsprechenden Fundamentid-
functionen 4) m«(/ V der Gebiete "ä und 3 dargestellt sein durch die
ReUien :

CO /ß \n+i
<l>« = -l4-2^ f IC) (.«„, a>„) .

.-1

oo /o.\«+l

V, =A+2;M ic)(.".. <Oi) .

(«0.) ■ '

oo /^ \»J+i

...1 ^

von denen die erstere gleichmässig convergirt in ganzer Erstreckung
von 31, während die letztere gleichmässig convergirt in ganzer Er-
streckung von %

Dabei bezeichnet q den Radius der gegebenen Kugelßäclie g.
Ferner sind {q^, //„, toj und ((),, ^,, w.) die Polarcoordinaten der
Punkte a und i.

*) Heine: Handbuch der Kugelfunctionen. 1878, Bd. I. pag. 440.

808 G. Nelmann, |104

Um die in (10.) auftretenden unendlichen Reihen zu summiren,
sei aufmerksam {gemacht auf die aus (A.) und (2l.)„ resultirende
Formel :

da {da)a

+

[^|.«..o(fJ-.«.„..]^^«,

i 7t qE 2 7)

sowie auf die aus (/.) und (2.), sich ergebende Formel :

1 _|-2^^(2,^+ 1) l^Vp(.n) (cos y)j

ItTtQ E 2 TT I -*^. \q1 I 4 7«: '

'' L w = 1 *> J

wobei unter E in der ersleren Formel der Abstand des Elementes
(/()((;, //,w) vom Punkte a, in der letzlercn hingegen der Absland
jenes Elementes vom Punkte l zu verstehen ist. Mit Rücksicht auf diese
Formeln kann man den Ausdrücken (10.) folgende Gestalt verleihen:

^« = T^ (It^ + - — ~]fda— ~ ffidu)^ .

" IlTtpJ \E O Q„r %7tJ '^ ^" '

(II)

nämlich zeigen, dass diese letzteren Ausdrücke (1 1 .), bei wirklicher
Ausführung der Integration, in jene früheren Ausdrücke (1 0.) über-
gehen. Man gelangt daher zu folgendem Resultat:

Satz über die Kugelfiäche, — Sind auf einer gegehcnen Kiujel-
f lache G irgend welche daselbst stetige?i Werlhe f vorgeschrieben,
so sind die diesen Werlhen entsprechenden FundamenkUfunclionen <t>
tmd V der Gebiete Ol und 3 *^<^ ziemlich einfacher Weise angebbar.

Einerseits werden nämlich dieselben auf a mit jenen f identisch
sein. Und andererseits werden dieselben für alle ausserhalb o
liegenden Punkte a, resp. für alle innerhalb n befindlichen Punkte i
darstellbar sein durch die Formeln:

(12.)

* iTtoJ E' '•ZjvJ ' '

Uebrigens kann man diese Formeln [vgl. (2.) pag. 28] auch so

schreiben :
(13.)

^^3] Über die Methode des arithmetischen Mittels. 8ü9

Dabei bezeichnet (j den Radius der Kmjel fläche a, und (>„ den
Cenlralabsland des Punktes a. Ueberdies bezeichnet E den Abstand
des Punktes a oder i vom Elemente d a , und d denjeniyen Winkel^ unter
welchem E gegen die auf da errichtete innere Normale geneigt ist.

Man bemerkt, dass dieser Satz über die Kugel/läche, seiner
ganzen Form nach, parallel steht zu dem früher (pag. 96) über die
Kreislinie aufgestelltem Satz,

§ '2.

Aufstellung eines sehr allgemeinen Theorems.

Es handelt sich hier um die weitere Verallgemeinerung des
schon auf pag. 91 aufgestellten Theorems, oder vielmehr um die
Befreiung dieses Theorems von der damaligen Restriction, dass die
gegebene Curve oder Fläche n überall convex und keine zweisternige
sein solle.

Wir werden zunächst nur den Fall der Ebene, d. h. den Fall
einer Curve in Betracht ziehen, und hierbei Gebrauch machen von
dem über die Kreislinie erhaltenen Specialsatz pag. 96. Jenem Special-
satz schliessen sich gewisse Zusätze an, von denen hier gleichfalls
Gebrauch zu machen ist.

Jener Specialsatz lautete folgendermassen [vgl. (19.) pag. 96]:
Sind auf einer Kreislinie a, irgend welche daselbst stetige Werthe /",
vorgeschrieben"), und bezeichnet man die beiden Gebiete, in welche
die Ebene durch a, zerlegt wird, mit %^ und 3,? «o wird die jenen
Werthen /", entsprechende Fundamentalfunction O des Gebietes 51, für
alle innerhalb 51, liegende Punkte x darstellbar sein durch die Formel :

Hier ist (>, der Radius von o, . Ferner bezeichnet E den Abstand
des Punktes x vom Elemente rfa,, und d den Winkel von E gegen
die auf do, errichtete innere Normale.

*) Wir ersetzen hier absichtlich die früheren Bezeichnungen o, Q, 'ä, ^, f
durch a^, Q^, ^T,, ^,. /", , und zugleich die Bezeichnung o, i durch x.

810 C. Neümann, [106

Gleichzeitii; wird alsdann die jenen Werlhen l\ entsprechende
Fundamental iunction V des Gebietes 3, für alle innerhalb 3, liegenden
Punkte X dargestellt sein durch folgende Formel :

(2

■) "^x = :;^ y(~ 2o + '^f^' ^^' ' ^'^ hinerhalb ^J ,

wo {\ , /i", () dieselben Bedeutungen haben wie in (1 .).

Hieraus aber ergeben sich, falls man die Di>/in'Uion der Funda-
mentalfunctionen (pag. IG und pag. 21) berücksichtigt, sofort folgende
weitere ScHze :

Erster Zusatz. — Versteht man unter [^ eine längs der Kreis-
linie a, stetige Function, ferner unter ^^2 irgend ein votlsländ'uj inner-
halb 91, liegendes Gebiet, so wird der in (1.) angegebene, mit E, d
behaftete, also von der Lage des variablen Punktes x abhängende
Ausdruck

<^-) ./U-^-f-l /."<'.

eine Enmlamentalfimction des Gebietes 'i^fj sein.

Zweiter Zusatz. — Ist eine liings a^ stetige Function /', gegeben,
und versteht man unter ^2 i'gend ein vollständicj innerhalb 3, liegen-
des Gebiet, so wird der in (2 ) angegebene, mit E, () behaftete,
also von der Lage des variablen Punktes x abhängende Ausdruck:

eine Fundamcntaljunction des Gebietes ^2 sein.

Solches vorangeschickt, gehen wir über zu unserm eigentlichen
Thema. In der Ebene sei eine ganz beliebige geschlossene Curve o
gegeben, und auf derselben sei irgend welche daselbst stetige Function /'
vorgeschrieben. Ferner existire eine mit der veränderlichen Zahl
p (= i, 2, 3, ...) behaftete Function p\ welche ebenfalls [und zwar
für jeden Werth der Zahl p] auf a stetig ist, und w^elche, bei ins
Unendliche wachsendem p, für alle auf o befindlichen Punkte *' gleieh-
mässig gegen f convergirt. Ueberdies sei es [mittelst irgend welcher
Methoden] geglückt, die dem p' entsprechenden Fundamental functionen
O^' und W der Gebiete 91 und 3 wirklich zu construiren. —

Wir ivollen die Consequenzen entwickebi., die aus diesen Voraus-
setzungen sieh ergeben, und dabei natnentlieh untersuche?!, ob ebenso

<07] Lber die Methode des arithmetischen Mittels. 811

irte p if^O^i^ f converyirL ebenso vielleichi auch <t>'' und ¥'' gegen be-
sfitninle LimitalfwicUonen convergiren, und ob ferner (falls solches der
Fall sein sollte) diese Limitalfunctionen die den f entsprechenden Fun-
damenlalfunctionen der Gebiete ^l und 3 sind.

Bezeichnet f„ einen ad libitum gewählten Kleinheitsgrad, so wird
[in Folge der gleichmässigen Convergenz, welche die Function f nach
unserer Voraussetzung besitzen soll! stets eine positive ganze Zahl p^
exisliren von solcher Grösse, dass die Formel

(5.) abs (/■/ — fs) <Z «0 » iP heliebig, aber ^ p^ gedacht) ,

simultan erfüllt ist für alle auf g befindlichen Punkte s. Man kann
also diese Formel z. B. successive auf zwei Zahlen p und q an-
wenden, falls nur jede derselben ^ p^ ist. Durch Combination der
so entstehenden beiden Formeln ergiebt sich alsdann sofort :

(5a.) abs {fg^ — fg^') <; 2£„ , (/> und q beliebig, aber beide ^ p^) ,

oder, was dasselbe ist:

(56.) abs {<t>gP — 4)59) <^ 2 £^ . (j) und q beliebig, aber beide ^ />„) ;

denn es ist 0/ identisch mit ff, zufolge der für ^ gegebenen De-
finition; und ebenso O/ identisch mit /"/.

Beachtet man nun, dass die Formel (56.) [ebenso wie (5.) und
(5 a.)], simultan stattfindet für alle Punkte s der gegebenen Curve o,
und beachtet man ferner, dass auf die Fundamentalfunction <t>P — W^i
der erste Satz pag. 26 ohne Weiteres anwendbar ist : so gelangt man
sofort zu der allgemeinen Formel*):

(5 c.) abs {<t>j,P — <t>Ji) <i'h • iP und q beliebig, aber beide ^ p^) ,

nämlich zu dem Resultate, dass die letztere Formel simultan statt-
findet für sämmtliche Punkte x in ganzer Erslreckung des Gebietes ^.
Also der Satz:

Bezeichnet t^ einen beliebigen Kleinheitsgrad, so existirl stets eine
positive ganze Zahl p^ von solcher Grösse, dass die Formel

(6.) abs (0j.^ — 0J.9) < 2 £^ , (j) und q beliebig^ aber beide ^ p^ gedacht) ,

simultan erfüllt ist für sämmtliche Punkte x in ganzer Erstreckung
des Gebietes %.

*) Vgl. die Erläuterung auf pag. 90.

8-12 C. Neumann, [108

Markirt man also in Erstreckung von 91 irgend einen bestimmten
jeden Punkt x (a oder 6'), und llisst man also in dem Ausdruck Oj'
nur noch das j) variabel, so sind die Schwankimtjen dieses Ausdruckes
jenseits p^ (d. i. für p ^ p„), durch Vergrösserung von p^, unter jed-
weden Kleinheitsgrad 2f„ hinahdrückbar. Man wird also z. B. für
p eine endliche Zahl von solcher Grösse angeben können, dass alle
jenseits p^ liegenden Werthe dieses Ausdruckes vom Werthe 0j'« um
weniger als t-t^ abweichen. U. s. w.

Kurz, man gelangt auf Grund des Satzes (0.) zu dem Resultate,
dass das jenem festen Punkte x entsprechende (t)j', für p =z oo, gegen
eine feste endliche Grenze convergirt. Bezeichnet man diese Grenze
mit (1>J oder kürzer mit O^, so wird in solcher Weise, weil x in
Erstreckung von % jede beliebige Lage haben darf, eine neue
Function O^ de/inirt sein für alle Punkte x des Gebietes Ql, und
zwar eine Function, die in ganzer Erstreckung von 91 endlich ist.

LSsst man nun in (6.) die Zahl q ins Unendliche wachsen, so
verwandelt sich daselbst das Oj' in Oj d. i. in O^. Man gelangt
in solcher Weise also zu der Formel :

(7.) abs (Oj.^ — 0,J <C 2£„ , (p beliebig, aber ^ /)„ gedacht) ;

und zwar zu dem Resultate, dass diese Formel [ebenso wie (6.)
selber] simuUan stattfindet für alle Punkte x in ganzer Erstreckung
von 91. Mit anderen Worten: Man gelangt zu dem Resultat, dass
die Function Oj', bei ins Unendliche wachsendem p, für alle Punkte
des Gebietes 91 (jleichmässiy gegen O^ convergirt.

Wir haben somit nachgewiesen, dass eine in Er-
streckung von 91 überall endliche Function <I>^ existirl,
(A.)" von solcher Beschaffenheit, dass die gegebene Function
Oj', bei ins Unendliche wachsendem p, in ganzer Er-
streckung von 91 (jleichmässig gegen O^. convergirt.
Da ^j', seiner Definition zufolge (nämlich als Fundamcntalfunction
des Gebietes 91), in Erstreckung von 91 stetif/ ist, so liegt es nahe
zu vermuthen, dass Gleiches auch gelten wird von der neuen
Function 0^. Auch liegt es nahe zu vermuthen, dass 0^, ebenso
wie <^i, an der Grenze von 91, d. i. auf a identisch sein wird mit /'.
Um näher hierauf einzugehen, markiren wir in Erstreckung von
91 irgend einen Punkt x {a oder *), und beschreiben um diesen festen

109] Über die Methode des arithmetischen Mittels. 813

Punkt X (als Centnini) eine Kreisperipherie vom Radius (>. Diesen
Radius q wird man offenbar') so klein machen können, dass für
zwei auf 91 beschränkte, sonst aber innerhalb der genannton Peripherie
frei bewegliche Punkte j*, und x^ fortdauernd die Relation stattfindet:

(8.) abs (Ox/ — <t>x/) < t„ .

Dabei mag p beliebig fixirt, aber ^ /?„ gedacht, und unter s^ derselbe
Kleinheitsgrad wie in (7.) verst<inden werden. In dieser Formel (8.)
kann man alsdann, zufolge (7.), <!>'' mit <l> vertauschen, ohne dabei einen
Fehler von mehr als i 6„ hineinzubringen. Somit ergiebt sich die Formel :

(9.) abs(0a-, — 0.r,)<5«„ ,

und zwar wiederum als gültig für zwei auf % beschränkte, sonst
aber innerhalb jener [mit dem Radius q um x beschriebenen] Kreis-
peripherie frei bew^egliche Punkte. Demgemäss ist O im Centrum
X dieser Peripherie siet'uj zu nennen, also, weil x in Erstreckung
von 5( beliebig gewählt w^ar, auch stetig zu nennen in ganzer Er-
streckung von %.

Was ferner die Werthe von <t> an der Grenze von 91, d. i. auf
o betrifft, so gilt für jedweden auf o gelegenen Punkt s die Formel:

<^s^ = n

p

zufolge der Definition von <t>''. Lässt man aber hier die Zahl p ins
Unendliche wachsen, so folgt:

(9a.) <^s=fs'

Somit sehen wir unsere Vermuthungen bestiitigt, und gelangen
also zu folgendem Satz:

Die in (A.) definirte Function <t>j. oder <t> ist in ganzer
(B.) Erstreckung von % stetig, und an der Grenze von % d. i.
auf o identisch mit f.
Wir haben jetzt, um unser eigentliches Ziel zu eireichen, noch die
Differentialquotient cn von 0 zu untersuchen.

Man markire innerhalb 91 irgend einen Punkt a (vgl. die folgende
Figur), beschreibe um a (als Centrum) zwei vollständig inneihalb %

*) Weil nämlich <t>j.P eine Fundamentairunction des Gebietes §(. mittiin in ganzer
Erstreckung von 'S. stetig ist.

8U

C. Neumann,

[WO

liegende Kreislinien a, und a^ mit den Radien (j^ und ^^, (^^ ;> ^J,
und bezeichne das von a, umschlossene Gebiet mit 3p das von a
umschlossene mit 3^. Alsdann ist z. B. ^^ ein T//ei/ von 91. Folglich
wird die Fundamentalfunction O^^ des Gebietes 51 zugleich auch eine
Fundamentalfunction von 3, sein, mithin für alle innerhalb ^^ liegen-
den Punkte X darstellbar sein durch die F'ormel (2.):

(10.)

O^P = -J{- ,^J^ + -Ij--) ^.^' d<h , (^ innerhalb ^J ,

wo O/' den Werth von 0'' im Elemente ^a, vorstellt.

Fraglich ist, ob diese Formel (10.) noch Gültigkeit behalt, wenn
man in ihr <t>'' durch O ersetzt. Bezeichnet man vorläufig den durch
diese Substitution hineintretenden Fehler mit A, setzt man also:

so folgt aus (10.), (11.) durch Subtraction:

X innerhall) ^J ,

(12.) A,: + {(p^~ct>P)-.

\f{'

2?.

+

cos ö

^ I (<t>i - ^/) dG^,ix innerhalb 3J .

Dabei ist zu beachten, dass das hier eingeführte A^ [seiner Definition
(11.) zufolge] von p unabhänfjig ist, also für einen r/e^e^^«ßw Punkt a;
jedesmal einen völlig bestimmten, festen Werth besitzt.

Beschränkt man jetzt den Punkt x auf das Gebiet 3^ (welches
ein Theil von 3i ist), so wird die Entfernung E des Punktes x vom
Elemente d<i^ stets ^ {()^ — qJ, also

-zr Stets ^

4 41] Über die Methode des arithmetischen Mittels. 815

sein. Bezeichnet man also den absolut grössten Werth von (O — <!>'')
in ganzer Erstreckung des Gebietes ?l mit NV, so ergiebt sich aus
(12.) für alle Punkte x des Gebietes 5, die Formel:

;ihs Aj. ^ M^ H / (^ 1 ) M^ (la^ , {x in Erstreckung von gj) ,

also, weil fdo^ = 2.t(>, ist:

(t3.) abs Aj. ^ 2 M^ (l H ^ — ) . {x in Erslreckung von Sj) .

Beachtet man nun, dass A^, für einen bestimmten Punkt x des Ge-
bietes 3i einen (von p unabhängigen) vöUig bestimmten festen Werth
hat, dass aber andererseits die reefite Seile der Formel (13.), wie
aus der Delinition von M*" folgt, durch Vergrösserung der Zahl p
unter jedweden Kleinheitsgrad hinabdrückbar ist, so ergiebt sich aus
dieser Formel (13.) sofort :

(14.) Aj, = 0 , (ac in Erstreckung von Sj) •

Demgemäss gewinnt die Formel (H.) für alle Punkte x des hier
betrachteten Gebietes 3j die einfachere Gestall:

(15.) 0j, = — 11 — ^ H — I 0, do^ , {x in Erstreckung von 3j) •

Hieraus aber folgt, mit Rücksicht auf den Satz (4.), sofort, dass
0 eine Fundamentalfunction des Gebietes 3^ '«'• Beachtet man daher
die bekannten Eigenschaften einer solchen Fundamentalfunction [vgl.
pag. 16], und beachtet man femer, dass der Mittelpunkt a des Ge-
bietes 5j innerhalb 91 beliebig gewählt war, so gelangt man zu fol-
gendem Resultate :

In jedem Punkte a, der innerhalb % liegt, sind die
ersten und zweiten Ableitungen von O nach x, y stetig.
Auch findet in jedem solchen Punkte a die Gleichung statt :

(f.) ^ . ^_n

^x- "^ hy-

Dabei sind unter x, y die rechtwinkligen Cooi'dinaten des
Punktes a zu verstehen.
Man construire jetzt drei concentrische Kreislinien a,, a^, S,
welche die gegebene Curve g umschliessen, und vollständig innerhalb

81G

C. Neumann,

[112

Ql liegen, und bezeichne die Radien dieser Kreise mit ^, , ^^^, /?,
(?i ^ ^i <^ ^0- Ferner bezeichne man das ausserhalb n^ liegende
und von o^ begrenzte Gebiet der Ebene mit ^^ ebenso das ausserhalb
a^ liegende und von a^ begrenzte Gebiet mit \ ; so dass also ''^ ein
Theil von 51^ ist, und 51^ ein Theil von QL — In der hier folgenden
Figur sind die drei Kreislinien (der Raumersparniss willen) nicht
völlig ausgezogen, sondern nur angedeutet.

O^' ist eine Fundamentalfunction des Gebietes 51, also auch eine
Fundamentalfunction von ^, , also für alle innerhalb 91^ liegenden
Punkte X darstellbar durch die Formel (1.):

(16.) 0/ = —f(^ ^^ir) ^1^' ^^^1 ' ^^ innerhalb §tj ,

wo O/' den Werth von 0'' im Elemente da, vorstellt.

Fraglich ist, ob diese Formel (IG.) gültig bleibt bei einer Ver-
tauschung von 0^' mit O. Bezeichnet man den durch eine solche
Vertauschung entstehenden Fehler mit A^, setzt man also:

(17.) A, + 0, = ^f(^ - "^j ^. <l<^. , (^ innerhalb Sä^) ,

so folgt aus (16.), (17.) durch Subtraction:

(18.) A,,-f-(0,,-0,^)=l/(^_.^)(0, -0,?')^^, , (.T innerhalb Sg.

Um nun das (von /} unabhüngige) A^ zu ermitteln, beschranken
wir den Punkt x auf das (einen Theil von 91^ bildende) Gebiet ^l^.
Alsdann ist der Abstand E des Punktes x von do^ stets ^ i^i— ^iK
mithin

Ji

stets

Q~2 — Qi

1 1 3] Über die Methode des arithmetischen Miitels. 8 1 7

Bezeichnen wir also den absolut grösslen Werth von (0 — <^') in
^'anzer Erstreckunü des Gebietes % [ebenso wie früher] mit M'', so
ergebt sich aus (18.) für alle Punkte x des Gebietes % die Formel:

abs A^. ^ MP + — n,— -h -) MP da, ,

also, weil /f/ö, = 2.t(), ist:

(<9.) abs Aj. ^ 2 M^' ( I i ^ — 1 , i-^ in Erstreckung von 31,) .

Hieraus aber folgt, durch dieselben Ueberlegungen wie früher

bei (13.):

(90.) A,. = 0 , (x in Erstreckung von 31,) .

Demgemäss gewinnt die Formel (17.) für die Punkte x dieses Gebietes
51 die einfachere Gestalt :

(24 .) ^i'= / ( ~^l ^» ^' ^^ ' ^^ ^^ Erstreckung von §(,) .

Hieraus aber folgt, mit Rücksicht auf den Satz (3.), dass <t> eine
Fundamenlaljundion des Gebietes %^ ist.

Demgemäss ergiebt sich, aus den bekannten Eigenschaften der
Fundamentalfunctionen [vgl. den Satz pag. 23], z. B. folgendes Resultat:
Für den in der letzten Figur angedeuteten Kreis S
findet die Formel statt :

(A.) Jrn "'=<>'

wo R den Radius des Kreises vorstellt.
Und gleichzeitig ergiebt sich aus dem Umstände, dass 0 eine
Pundamentalfunction des Gebietes % ist, auch noch folgender Satz

[vgl. (4.) pag. 22]:

Die Werthdifferenzen, welche <J> ausserhalb des in

der letzten Fisur eezeichneteu Kreises S besitzt, sind,
(E ) o ö

durch Vergrösserung des Radius R dieses Kreises, unter

jedweden Kleinheitsgrad hinabdrückbar.
Blicken wir nun zurück auf die soeben constatirten Eigen-
schaften (A.), (B.), (f.), (A.), (E.) unserer Function O, so erkennen
wir [vgl. pag. 21] nicht nur, dass <t> eine Fundamentalfiinction des
Gebietes % ist; sondern zugleich auch, mit Rücksicht auf (B.), dass
diese Fundamentalfunction O an der Grenze des Gebietes 31, d. i.
auf o identisch ist mit den daselbst vorgeschriebenen Werthen f.

Abhandl. d K. GeseUsch. d. Wissensch. XXII. 53

818 C. Nelmann, [114

Wir haben hiermit unser vorläufiges Ziel erieiclit. Denn wir
übersehen leicht, dass unsere Betrachtungen über O^' in analoger
Weise bei Y^' vviederholbar sind.

Desgleichen übersehen wir leicht, dass fast genau dieselben
Betrachtungen, wie hier in der Ebene, auch im Jkmme anstellbar
sind. Der einzige Unterschied wird nur darin bestehen, dass, statt
des die Kreislinie betretfenden Specialsatzes (19.) pag. 96, alsdann der
die Kmjelßäche betreffende Specialsalz (13.) pag. 104 anzuwenden ist.
— Demgemäss gelangen wir zu folgendem

Theorem. — In der Ebene oder im Räume sei eine ganz beliebige
gesehlossene Curve oder Fläche a gegeben, die z. B. auch mit Ecken,
resp. mit Ecken und Kanten behaftet sein darf. Ferner sei auf a irgend
welche daselbst stetige Function f jvor geschrieben.

Ueberdies sei [durch irgend welche Methode oder durch Zufall]
eine mit einem variablen Parameter p behaftete Function fv gefunden,
welche ebenfalls, und zwar für jedivedes p, auf o stetig ist, und welche,
bei ins Unendliche wachsendem p, für alle auf a liegenden Punkte
gleich massig gegen f convergirt.

Gelingt es alsdann, die dieser Function fp entsprechenden Funda-
mentalfun clionen 0P und Y^' der Gebietet und 3 zu conslruiren*), so
tvird hierdurch zugleich auch die Existenz derjenigen Fundamenlal-
functionen <t> und V der Gebiete % und 3 bewiesen sein, welche den
eigentlich vorgeschriebenen Werthen f entsprechen.

Und zwar wird O'', bei ins Unendliche wachsendem p, in ganzer
Erstreckung von % gleichmässig gegen O convergiren. Und ebenso
tvird ^P, für p = oo, in ganzer Erstreckung von 3 gleichmässig
gegen Y convergiren.

*) Ist die gegebene Curve oder Flüche o überall convex und. keine ziveisternirjc,
so sind 0^ und "^P construirbar durch die Methode des arithmetischen Mittels.

DEPARTMENT OF MATHEMATICS

UNIVERSITY OF CALIFORNIA

BERKELEY 4, CALIFORNIA

*'^J Über DIE Methode DES ARITHMETISCHEN Mittels. 819

Nachträgliche Bemerkungen.

Erste Bemerkung. — Im Anschluss an eine Stelle der Einleitung
(pag. 3, 4) mag hier noch folgender Satz milgelheilt werden, durch
welchen das dort Gesagte bedeutend verallgemeinert wird:

Ist die Methode des arithmetischen Mittels für irgend eine geschlossene
Ciirve convergent und correct, so wird sie diese Eigenschaften auch
haben für jedwede andere CAirve, welche aus Jener durch die dem Gesetz
der reciproken Radien entsprechende Transformation entsteht.

Ich behalte mir vor, den Beweis dieses Satzes bei späterer Ge-
legenheit mitzulheilen. Ob aber ein analoger Satz auch im Räume
für geschlossene Flächen existirt, muss vorläufig noch dahingestellt
bleiben. Jedenfalls ist hier im Räume die betreffende Untersuchung eine
wesentlich andere, und bei weitem schwieriger als im Fall der Ebene.

Zweite Bemerkung. — In Betreff der Formeln (Q.) pag. 79:

io) s^ = (C— n + cc— n + (C-r) + - • . •

'/ = (/'- /■') + if" - n + (/<^) - f^'^) + . . . .

sei bemerkt, dass man dieselben auch so schreiben kann:

(0') ^" = + (^-/) + (^-rj + (c-r) + (c -/•") + + ....
'/ = -(c-/-)-h(c-n-(c-r)H-(c-r")- + . . • ;

woraus z. B. folgt:

((?"•)

!?

-^ = (C-/-) 4- (C - n + (C'-/-W) + . .

Dabei ist im Auge zu behalten, dass alle diese Formeln nach
den angegebenen Rinomen fortschreiten, und ihre Convergenz und
Gültigkeit verlieren würden, falls man diese Binome zerreissen wollte.
So z. B. würde die Formel

'i = f-r+ f" - /"' + / (^> - /^■-•) + - . . .

schon deswegen sinnlos sein, weil f^"^ bei wachsendem n nicht gegen 0,
sondern gegen die Constante C convereirt, letztere aber im Allire-
meinen von 0 verschieden ist.

Was den Beweis der Formeln {Q.\ ((>'.), {(/'.) betriff't, so ist
die erste der beiden Formeln [Q' .) bereits constatirt worden durch
die Betrachtungen pag. 83 — 87. Und genau in derselben Art und
Weise ist auch die zweite dieser beiden Formeln beweisbar. Sobald
aber die beiden Formeln {Q'.) bewiesen sind, ergiebt sich hieraus
ohne Weiteres auch die Richtigkeit der Formeln {Q.) und (Q".).

Dritte Bemerkung. — Bei dem Beweise, den ich für den
Hülfssatz pag. 96 gegeben habe, ist von mir stillschweigend voraus-

55

820 C. Neumann, Üüeu die Methode des AiiiTiiMETisciiEN Mittels. [116

gesetzt worden, class die Function /' längs der gegebenen Kreislinie
nicht nur •■slel'uj, sondern auch ublheUuugswcise monolon sei. Doch
betriil't das nur den Beweis des Satzes, nicht aber seinen LthaU.
In der That ist hervorzuheben, dass der Satz selber, in der ihm auf
pag. 9G zuertheilten Fassung, vollständig correel ist. [Vgl. meine
Vorlesungen über die lliemann'sche Theorie, II. Aull., 1884, pag. 410].
Aehnliches ist zu bemerken hinsichtlich des die KugeKlache be-
treuenden Hülfssatzes pag. 104. Ich behalte mir vor, auf diesen
Gegenstand später von Neuem zurückzukommen.

Inhalt.

■ Seite

Einleitung 3

Kurze UebersicIU über den Inhalt der einzelnen Paragraphe 7

§ I. Die Fundanientalfuncüonen des von einer geschlossenen Cuive oder Fläche a

begrenzten inneren Gebietes 3 16

§ 2. Die Fundamentalfunctionen des von a begrenzten äusseren Gebietes 31 ... . 21

§ 3. Definition der Potentiale W , tv. Berechnung von iv 27

§ 4. Allgemeine Eigenschaften des Potentiales W 34

§ 3. Uebcr die mit dem Potential \V zusammenhängenden unendlich vielen Func-
tionen f, /■', /•", /•'", elc 48

§ 6. Genauere Untersuchung der im vorhergehenden Paragraph eingeführten vari-
ablen Grösse C 60

§ 6 a. An Stelle von f wird eine etwas andere Variable z eingeführt, und letztere

näher untersucht 73

§ 7. Das äussere und innere Problem. Lösung derselben nach der Methode des arith-
metischen Mittels 77

§ 8. Beweis für die Richtigkeit der angegebenen Lösungen. Das schliesslich sich

ergebende Existenztheorem 83

§ 9. Sich anschliessende Betrachtungen 88

§10. Anwendung der Methode des arithmetischen Mittels auf die Kreislinie . . . 91

§11. Anwendung derselben auf die Kugelfläche 100

§ 12. Aufstellung eines sehr allgemeinen Theorems 105

Nachträgliche Bemerkungen 115

Verbesserung.

Auf Seite 55 ist in der siebenten Zeile v. u. zu lesen »der Formel (26.)« statt »der
Formel (21 .).«

Druck von Breitkopf k llärtcl in Leipzig.

ÜBER DIE METHODE

DES

ARITHMETISCHEN MITTELS,

ZWEITE ABHANDLUNG.

VON

C. NEUMANN,

OBD. HITGLIED DER KÖSIGL. SACHS. GESELLSCHAPT DER WISSENSCHAFTEN.

Des XIV. Bandes der Abhandlungen der mathematisch-physischen Classe der Königl.
Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften

NO XIII.

MIT NEUNZEHN HOLZSCHNITTEN.

LEIPZIG

BEI S. HIRZEL

1888.

Das Manuscript übergeben am 6. August 1888.
Der Abdruck vollendet den 10. November 1888

ÜBER DIE METHODE

DES

ARITHMETISCHEN MITTELS.

ZWEITE ABHANDLUNG.

VON

C. NEUMANN,

OBD. MITGLIED DER KÜL. SACHS. GESELLSCH. DER WISSENSCHAFTEN.

Abhandl. d. K. S. Gesellsch. d.Wissensch. XXlV. ^^

Die Methode des arithmetischen Mittels giebt niclit nur den
Existenzbeweis der betreffenden Functionen, sondern Hefert aucli für
diese Functionen bestimmte analytische Ausdrücke, und ermöglicht hier-
durch eine tiefer gehende Untersuchung dieser Functionen. Derartige
Untersuchungen sollen nun in der vorliegenden Abhandlung wirklich
angestellt werden.

Die unendliche Ebene sei durch eine geschlossene Curve in
einen mnern Theil 3» und einen äussern Theil 51 zerlegt. Und zwar
mag jene Curve, unter Zugrundelegung eines posiliven Axensyslems
X, y, gegeben sein durch die simultanen Gleichungen:

(A.) l = f(0 und Ji = ä(/).

Sodann aber mag nachtraglich, statt der independenten Variable /,
die Bogenlänge a eingeführt, und die so entstehende Gestalt der
beiden Gleichungen mit:

(ß.) I=5(ff) und »; = ®(ff)

bezeichnet sein. Dabei mag die Bogenlänge o, von irgend einem
festen Punkte aus, gerechnet sein in der Richtung der positiven
Tangente t, d. i. in derjenigen Richtung, welche zur innern Normale v
ebenso liegt, wie die x-kyie zur y-Axe.

Bezeichnet man also für irgend einen Curvenpunkl {$, /;) die
Richtungscosinus der positiven Tangente r mit «, /?, ferner die
Richtungscosinus der innern Normale v mit A B. und vei-steht man
überdies unter 6 das Azimuth von t gegen die j'-Axe, so werden die
Formeln stattfinden:

(C.)

f/5
a = cos ö = — ^ = *-
da

ß = sin <y = '^' = r'

da '

A = — sin Ö = -

B = cos Ö = r :

44*

5G0
worau

s z. B. folgt:

C. Neumann,

(/).)

r + v"- = ^

[4

Bezeichnet man ferner den Krümmmuffiradius der Ciirve im
Punkte (^, ij) mit /?, so ist:

iE.) ^ = ^~-^ö' = .(rv'-^'r),

wo die Accente, ebenso wie in (C), (D.), Differentiationen nach der
Bogenlänge a andeuten. Das in {K.) enthaltene s ist = -j- 1 oder
= — 1, je nachdem der betreffende Krümmungskreis ein innerer
oder äusserer ist, d. i. je nachdem derselbe die gegebene Curve von
Innen odei- von Aussen Ijeriihit.

Determinationen.

Um für unsere Unlersiichungen ein brauchbares festes Fundament
zu f/ewinnen , wollen ivir für die vorliegende Abhandlung, ein für alle
Mal, Folgendes festsetzen:

I. — Die gegebene geschlossene Curve soll keine Doppelpunkle
haben; so dass also durch sie die unendliche Ebene immer nur in
zwei Theile 3 und % zerlegt wird.

II. — Die Coordinaten ^, ?/ sollen stetige Functionen der Bogen-
länge G sein. Ueberdies soll 0 entiveder ebenfalls eine stetige, oder
doch wenigstens eine abtheilungsweise stetige Function von a sein.

TU. — Der Umfang Z der Curve soll einen bestimmten end-
lichen Werth besitzen.

IV. — Die Curve soll von solcher Beschaffenheit sein, dass die
Anzahl der durch die Curve auf irgend einer geraden Linie markirten
Punkte stets < N 'ist, wo N eine bestimmte endliche Zahl vor-
stellt. Diese Zahl N kann alsdann etwa als der Bang der Curve be-
zeichnet iverden.

V. — Im Allgemeinen soll jede längs der Curve vorgeschriebene
Function f als eine eindeutige und periodische Function der
Bogenlänge a angesehen werden; so dass also die Formel gilt:

f = fio)=f{a + mY.),
wo m jede beliebige positive oder negative ganze Zahl bezeichnet,
während I den Umfang der Curve vorstellt. Wird also von einer

ö Leber die Methode des arithmetischen Mittels. Abh, II. ä67

solchen Function z. B. gesagt, sie sei überall stetig, so ist dadurch
schon mitausgedrückl, dass sie für 0 = 0 und für g = Z ein und
denselben Werth hat.

Ausser solchen pei'iodischen Functionen, zu denen z. B. $, 1^, «,
,i, A. B. R (jchören [vgl. die Formeln (ß.), (C), (Z>.), [E.)], werden
aber auch nichtperiodische Functionen in Betracht kommen, tcie
■z. B. 0.

Erste Bemerkung (zu II.). — Ich nenne eine Function F{x) in einem
gegebenen Intervall a . . .h abtheilungsweise stetig, sobald dieses Intervall
in eine endliche Anzahl von Strecken zerlegbar ist, der Art, dass die Func-
tion F{x) längs jeder einzelnen Strecke stetig bleibt.

Ist also, was den hier vorliegenden Fall betrifft, 6 eine abtheilungs-
weise stetige Function der Bogenlänge ff, so wird die gegebene Curve eine
endliche Anzahl von Ecken besitzen. Mit anderen Worten: Es wird als-
dann die Curve ein Polygon sein; und 0 wird unstetig sein in den Ecken
dieses Polygons, hingegen stetig sein längs jeder einzelnen Seite des
Polygons.

Zweite Bemerknng (zu IV.). — Für einen Kreis oder für eine Ellipse
ist die Zahl A' = i. Für die Peripherie eines Quadrates ist sie aber
ebenfalls = 2. Denn giebt man z. B. der geraden Linie (welche selbst-
verständlich nach beiden Seiten ins Unendliche laufen soll) eine solche
Lage, dass zwei aufeinanderfolgende Ecken p, q des Quadrates in die
Linie hineinfallen, so werden offenbar auf dieser Linie durch die Peri-
pherie des Quadrates im Ganzen nur zwei bestimmte Punkte raarkirt,
nämlich nur die Punkte p und q selber. Und giebt man jener Linie irgend
welche andere Lage, so wird die .\nzahl der auf ihr durch die Peripherie
des Quadrates markirten Punkte je nach Umständen bald = 0, bald = \ ,
bald = 2, niemals aber ^ 2 sein.

Plan der Untersuchung.

Das eigentliche Ziel, dem die vorliegenden Lnteisucluingeu zu-
slfeben — von einer wirklichen Erreichung desselben kann selbstver-
ständlich nicht die Rede sein — besteht in der genaueren Untersuchung
gewisser Ableitungen oder Diflerentialquotienten, nämlich in der Ab-
solvirung zweier Aufgaben, von denen die eine folgendermassen lautet:

Es sei Y = Y (X, y) eine Function , w eiche in Erstreckung des
Gebietes 3 eindeutig und stetig, welche ferner innerhalb 3? sammt
ihren ersten und zweiten Ableitungen, stetig und der Gleichung
A Y = 0 entsprechend ist , und welche endlich am Rande von 3

ÖG8 C. Neumann, [6

vorgeschriebene Werthe /' besitzt. Es soll das Verhalten der Ab-
leituneen ^- und ^^ in unmiltclbarcr Nähe des Randes genauer

untersucht werden.

Die zweite der in Rede stehenden Aufgaben bezieht sich in
analoger Weise auf das Gebiet 51. Und bei beiden Aufgaben mögen
die vorgeschriebenen Randvverthe dargestellt gedacht sein durch ein
und dieselbe Function der Bogenlänge: f =. f [g).

Bedienen wir uns des Wortes: Fundamentalfunction in dem
früher (Abh. I, pag. 16 und 21) festgesetzten Sinne*), so können
wir diese beiden einander parallel stehenden Aufgaben folgender-
massen zusammenfassen:

f eine Fundamenialfnncüon des Gebietes \cx\,

welche am Rande**) dieses Gebietes vorfjeschriebene Werthe f =/'((t)
besitzt. Es soll die Reseha/fenkeit der Ableitungen

(1.)

^ — und -. —

r — und T—
O'X dy }

in nnmittelbarer Nähe des Randes einer (jenaiieren Uidersuchunfj unler-
worj'en werden. Namentlich sollen, tvas den Charakter der gegebenen
Randeurve, und den Charakter der vorgeschriebenen Randwerthe
f =1 I' [g) betri/ft, möglichst allgemeine Fälle angegeben werden, in
denen jene Ableitungen (1 .) bei einer Annäherung an den Rand gegen
bestimmte endliche Werthe convergiren.

Bei der Inangriffnahme dieser Aufgaben werde ich als Basis
meiner Untersuchung diejenigen analytischen Ausdrücke benutzen,
welche für die Functionen O und H' — wenigstens unter gewissen
Voraussetzungen — durch die Methode des arithmetischen Mittels
sich ergeben. Diese analytischen Ausdrücke besitzen [vergl. Abh. I,
l)ag. 79 (7?.) und pag. 28 (2.)] die Gestalt:

*) C. Neumann, Ueber die Methode des arithmetischen Mittels, erste Abhand-
king, 1887; im X[II. Bande der Abhandlungen der math.-phys. Classe derKgl. Sachs
Ges. d. Wiss.

**) Der Rand von % ist identisch mit dem von 3f ; vgl. pag. 3 und 4.

>J Ueber die Methode des abithmetiscuen Mittels. Abu. II. 569

<t) = <t)(x , y) = (Const.) + ^f~ ida ,

W = ^ix, y) = (Const.) + ^ /^ ,; (/a ,

oder, was dasselbe ist, folgende Gestalt:

<t> = <t>{x, y) = (Const.) + - / Bida)^^, „ ,
(2ji.)

V = Y(j: , y) = (Const.) + J; A(rfa),,, ^, ,

7t t/

die Integrationen hinerstreckt gedacht über alle Eleraente da der
gegebenen Randcurve. Dabei soll r die innere Normale des Ele-
ments d G , und r = log p sein, wo E den Abstand des Elements

da vom Punkte (a;, y) vorstellt. Ferner bezeichnen | und ij (nicht
zu verwechseln mit den Coordinaten) gewisse längs des Randes sich
hinerstreckende Functionen der Bogenlänge a, und zwar Functionen,
deren Beschaffenheit in bestimmter Weise von den jedesmal vorge-
schriebenen Randwerthen f abhängt*). Was endlich die Formeln
(2a.) betrifft, so bezeichnet ((/a)^^ ,,, die mit dem Factor -j- I
multiplicirte scheinbare Grösse des Elementes da für einen in [x, tj)
befindlichen Beobachter; und zwar ist jener Factor = -|- I oder
r= — I, je nachdem dieser Beobachter die innere oder die äussere
Seite des Elementes do vor Augen hat.

Die Beschaffenheit der Functionen <t>. . , ^— , v~i •> etc. hängt,

ö.r hy ox^ ^

zufolge (2.), in erster Linie von | ab, während | seinerseits, wie
soeben betont wurde, von f abhängt. Analoges ist über die Func-

tionen V, v- , ^- , etc. zu bemerken. Dieselben hängen in erster

ox oy ^

Linie von ;/ ab, während ?; seinerseits von f abhängt. Und dem-
gemäss werden wir also diese Abhängigkeitskellen

^ "^ l und Y ,; f

genauer zu untersuchen haben.

*) Die Buchstaben ^, »j werden in der ganzen Abhandlung in zweierlei Bedeu-
tungen benutzt werden. Bald nämlich werden sie dienen zur Bezeichnung der so-
ebeü genannten von f abhängenden Functionen, bald aber auch (wie z. B. auf pag. 3)
zur Bezeichnung der Coordinaten der einzelnen Curvenpuokte.

570 C. Neijmann, [8

Dabei wollen wir, um die Schwierigkeilen einzeln zu über-
winden, zuvörderst (im ersten Capitel) nur die vorderen Glieder
dieser Kelten, d. i. die Beziehung zwischen et) und |, respective
zwischen H^ und i^ in Betracht ziehen, um sodann erst später (im
zweiten Capitel) die ganzen Ketten ins Auge zu fassen.

Erstes Capitel (§§ 1 — 10). — Benutzen wir 2^, W, A als Col-
lectivbezeichnungen für 51, O — (Gonst.), ^ und 3? ^ — (Gonst.), ?/, so
wird unsere Aufgabe in diesem ersten Gapitel, zufolge der soeben ge-
trotlenen Disposition, in der genaueren Untersuchung derjenigen Be-
ziehung bestehen, welche durch die Formel

(4.) W= W{x, y) = ~ f~ Ido

^ ' 7t J dv

zwischen W und A hervorgebracht wird. Hierbei erscheint es zweck-
mässig, neben dieser Formel (4.) zugleich auch folgende einfachere
Formel in Betracht zu ziehen*):

(5.) V= V{x,y)=. - frida .

Otfenbar reprüsentirt dieses V das Potential einer materiellen Belegung

X
der Randcurve von der Diclitigkeit - , ebenso wie W zu be-
zeichnen ist als das Potential einer materiellen /Jo/)/)6'/-Belegung vom
Moment - .

7t

Auf Grund der Formeln (4.), (5.) wird sich nun ergeben, dass
jedwede Ableitung von Y oder W — mag sie nun erster oder

höherer Ordnung sein — im Allgemeinen immer darstellbar ist als die
Summe zweier neuer Potentiale, von denen eines zur Gattung der
y, das andere zur Gattung der W gehört. Mittelst dieses allge-
meinen Satzes aber, durch welchen die Untersuchung der Ableitungen
der Potentiale Y und W auf die Untersuchung dieser Potentiale
selber sich reducirt, werden wir zu dem Resultate gelangen, dass die
Ableitungen

*] In der Abhandlung selber findet man f statt l gesetzt. Hier in der Einlei-
tung aber habe ich eine derartige Anwendung des Buchstabens /"absichtlich vermieden,
um einer Verwechselung mit den von Hause aus vorgeschriebenen llandwerthen f vor-
zubeugen.

9] ÜEBER DIE Methode des arithmetischen IMittels. Abh. II. 371

bW , hW

-— und -—
ox öy

bei eioer Annäherung an den Rand gegen beslimmte endliche Werlhe
convergiren, und dass diese beiden Ableitungen, die soeben ge-
nannten Convergenzwerthe miteingerechnet, zwei Fundamcnlalfunc-

tionen des Gebietes % repräsentiren, — vorausgesetzt dass /. , ~ und

(/« ;

-j-^ , sowie auch die Beschatrenheit der Randcurve, eewissen

Voraussetzungen entsprechen, auf welche hier näher eingehen zu
wollen zu weit führen würde.

Es werden also, falls man das soeben über J, W, / Gesagte
auf 51, 4>, ^ und 3? ^i '/ überträgt, die vier Ableitungen

(6.) -— , -— und -— , -—

hx by bx by

am Rande gegen bestimmte endliche Werthe convergiren und, diese
Convergenzwerthe miteingerechnet gedacht, vier theils zu Ol theils
zu 3 gehörige Fundamentalfunctionen repräsentiren, — vorausgesetzt

dass ^, :7^ , -^-1 und v. -r- , -r-4, sowie auch die Beschaffenheit der
^ da ' da^ '^ da^ do-

Randcurve, gewissen noch näher anzugebenden Voraussetzungen ent-
sprechen.

Zweites Capitel. (§§ 11 — 15.) — Was nun ferner die hintern
Glieder der Ketten (3.), d. i. die Beziehung zwischen | und /',
respective zwischen tj und f betrifft, so sind | und tj durch unend-
liche Reihen darstellbar, deren einzelne Glieder von f abhängen.
■ Vgl. Abh. I, pag. 79 [Q.) und pag. 113 (O'.f. Mehr geeignet aber
als diese Reihen selber erscheinen zur Untersuchuns: der eenannten
Beziehungen gewisse auf Grund dieser Reihen für | und // sich erge-
bende Function aUjleichungen. Diese letztern lauten, falls man unter s
jeden beliebigen Puncl der Randcurve versteht, folgendermassen :

^5 + /; = + (CoDst.) + 1 A((/ff), ,

TCtJ

(7.)

^is — fs = — (Const.) — -jr^{da\ ,

wo Is , j~fg , fg die Werthe von > , ?j, f im Punkte s vorstellen,
während [d a\ denjenigen Werth bezeichnet, welchen {dö)^^^y) an-

572 C. Neumann, [<0

nimmt, sobald man statt des Punktes (x, y) den Punkt *• eintreten
lässt. Auf Grund dieser Functionalgleichungen (7.) wird sich nun
ergeben, dass die Beschaffenheit der Functionen

(8.) ^ , T^ , -r-T uud »7 , -r-^ , —4

wesentHch abhängt von der Beschaffenheit der Functionen /', —■ ,

V4 , sowie auch von der Beschatrenheit der Randcurve.

do^

Schiiesshch werden wir sodann durch Zusammenfassung der in
(6.) und (8.) angedeuteten Sätze zu folgendem Theorem gelangen
[man findet dasselbe am Schluss des § 1 3 dieser Abb.] :

Theorem, — Wird in Beireff der geyebenen Curve und in Betreff

dO d^O
der vorgeschriebenen Fnnclion f vorausgesetzt dass 0 ^ y , -j-i ^'^^

/' , —-stetige Funclionen von a sind, dass ferner j\ c^'*^' ^^ ^ ^ '' ^ * ^ '^ ngs-

IV eise stetiqe Function von n ist, und dass überdies -y— überall
^ da

> 0 ist% so werden die Ableitungen : - und -r-- bei einer Annäherung

an den Band gegen bestimmte endliche Werthe convergiren, und, diese
Convergenziverthe mit eingerechnet gedacht, zwei Fiindamentalfunc-
tionen des Gebietes 51 repräsentiren.

Oder ein wenig anders ausgedrückt: Es werden alsdann drei
Fundamentalfunctionen O, O^, O^ ^(^^ Gebietes % existiren von solcher
Beschaffenheit, dass O die vorgeschriebenen Bandiverthe f besitzt, und
dass überdies für jedweden Punkt innerhalb %, wie nahe derselbe

dem Bande auch liegen mag, die Belationen stattfinden — - = <t>, und

^^

— = (p

Desgleichen ivcrden alsdann drei Fundamentalfunctionen V, Y,, Y^
des Gebietes 3 existiren von solcher Beschaffenheit, dass M^ die vorge-
schriebenen Bandwerthe f besitzt, und dass überdies für jedweden Punkt
innerhalb 3? ^^^ nahe derselbe dem Bande auch liegen mag, die

Belationen stattfinden: -— ; = M^^ und — =: V.^ .

Aus diesem Theorem, welches übrigens, wenn auch weniger

0 soll die auf pag. 3 angegebene Bedeutung besitzen.

t1 Leber die Methode des arithmetischem Mittels. Abh. II. 573

scharf, schon vor langer Zeit*) von mir ausgesprochen worden ist,
ergiebt sich z. ß., dass der nach der innern Normale v genommene

DilTerentialquotienl -j- bei einer Annäherung an den Rand, und

ebenso auch bei einer Bewegung längs des Randes sielig bleibt,
immer vorausgesetzt, dass die im Theorem genannten Bedingungen

erfüllt sind. Analoges ergiebt sich für -j^ , wo N die äussere Nor-
male vorstellen soll.

Das dritte Capitel (§§ 16 — 22) bezieht sich speciell auf die

Greensche Function und auf die Theorie der conformen Abbildung.

Sind

. ^ . ^ dO d^d , . „ . , r. ,

(10.) ö , -p , -r— 5 stetige Functionen der Bogenlänge a ,

da ' da'

ist ferner

j n

(II.) -r- überall > 0 .

da —

und ist überdies irgendwo innerhalb 3 ein fester Punkt (a, b) ge-
geben, so werden zufolge des soeben ausgesprochenen Theorems
drei Fundamentalfunctionen t\ f/i, U-j des Gebietes 3 existiren, von

solcher Beschatfenheit, dass erstens für jeden Randpunkt U = log -

ist, wo r den Abstand dieses Punktes vom festen Punkte (a, b) vor-
stellt, und dass zweitens für jedweden Punkt innerhalb 3 (^vie nahe
derselbe dem Rande auch liegen mag) die Relationen stattfinden

^^ TT A ^^ TT

-- = U^ und ^- = f/, .

Die Function U heisst alsdann die dem Punkte (a, b) entsprechende
Green'sche Funclion, und der Punkt (a, b) der Cenlralpunkl dieser
Function.

Setzt man jelzt:

(12.) Q = /log-j — L' = — (L' + log r) .

wo U den Werth der Function U in einem beliebigen Punkte {x, y),
andererseits r den Abstand dieses Punktes (.t, y) vom festen Punkte

*) In den Ber. der Kgl. Sachs. Ges. d. Wiss. von 1878, pag. 50 und 52. Vgl.
auch die Math. Annal. Bd. 16, pag. 428.

574 C. Neumann, [12

{a, l)) vorstellen soll, so wird Q eine Function von {x, y) sein, welche
am Rande von 3 durchweg verschwindet, welche ferner innerhalb
3 überall ^ 0, und speciell im Punkte [a, b) positiv unendlich ist.
Hieraus ergiebt sich, dass der nach der innern Normale i> ge-
nommene Ditferentialquotient -j— längs des Randes durchweg posUiv

ist. Auch liisst sich ohne grosse Mühe nachweisen, dass derselbe
niemals in sämmtlichcn Punkten eines Randelementes verschwinden
kann, wie klein das Element auch sein möge. Ob aber dieser

Ditferentialquotient -j- nicht vielleicht in einzelnen Punkten des Randes

verschwinden könne, — diese Frage scheint bisher noch niemals
in Angriff genommen, und überhaupt mit grossen Schwierigkeiten
verbunden zu sein. Das Resultat, zu dem ich in dieser Beziehung
— allerdings auf sehr verwickeltem und mühsamem Wege — ge-
langen werde, lautet folgendermassen :

Sind die Voraussetzungen (10), (11.) erfülll, so wird der üi/f'e-

rentialquotient -j- am Rande überall exi stiren , längs des Randes

überall stetig sein, und zugleich auch längs des Randes überall

03.) >/.

sein, ivo k eine positive und von 0 verschiedene Constante vorstellt.

Um diese Constante k wirklich angeben zu können, bezeichne
man den kleinsten Krümmungsradius der gegebenen Randcurve mit
/?o, ferner den kleinsten Abstand des gegebenen Punktes (a, b) vom
Rande mit '^ I\, und verstehe sodann unter A irgend eine Con-
stante die ^ 0 , die überdies <^ /i*o und zugleich auch <^ P„ ist.
Sodann lasse man auf der innern Seite der Randcurve einen Kreis
vom Radius A fortrollen, und denke sich diesen Kreis in jedem
Augenblicke der genannten Bewegung in zwei Halbkreise zerlegt
mittelst eines Durchmessers, welcher senkrecht steht zu dem nach dem
augenblicklichen Berührungspunkte hinlaufendem Radius. Der dem
Berührungspunkte abgewendele Halbkreis wird alsdann während jener
rollenden Bewegung eine gewisse ringförmige Fläche überstreichen,
die vom Rande des Gebietes 3 überall durch einen gewissen
Zwischenraum getrennt ist. Bezeichnet nun Q,, den kleinsten Werth
von Q in Erstreckung dieser ringförmigen Fläche, so hat jene Con-
stante k den Werth:

'^] Ueber die Methode des arithmetischen Mittels. Abh. II. 575

Solches absolvirt, gehen wir über zur Aufgabe der conformen
Abbildung des Gebietes 3 «w/ einer Kreisfläche. E.s sei (Tq , y,,) irgend
ein fester Punkt innerhalb 3, «"^fl

(^5) V=fiU,dy-U,dx),

wo f/, und f72 f^'G schon vorhin genannten Fundanientalfunctionen
sein sollen, und die Integrationscurve auf das Gebiet 3 beschriinkl
sein soll. Ferner sei:

(16.) z = x-^iy, c = (i + ib. ir = T + / T ,

(/ = V- 1).
Endlich mag unter F{z) folgende Function versanden sein:
(17.) F(:3) = (3-c)e'^.

liildel man nun das in der z-Ebene gelegene Gebiet 3 mittelst der
Formel
(18.) wr=F{z)

auf der w -Ebene ab, so wird das Resultat dieser Abbildung eine
Kreisfläche ^ sein, deren Radius =: \ ist, und deren Mittelpunkt
w = 0 in Correspondenz steht zu dem gegebenen Punkte z ^=. c.

Das sind bekannte und einfache Sachen. Will man nun aber
beweisen, dass diese Abbildung wirklich conform ist in ganzer Er-
streckung von 3 5 dass sie also in jedwedem Punkte z des Gebietes
3, mag nun derselbe innerhalb 3 oder am Rande von 3 liegen,
eine in den kleinsten Theilen ähnliche ist, so wird man, was z. B.

den üifferentialquotienten _ betrifft, zu zeigen haben, dass dieser

Differentialquotient überall exislirt, sowohl in jedem Punkte innerhalb
3 wie auch in jedem Randpunkte von 3^ ferner zu zeigen haben,
dass die Entstehungsw^eise dieses Differentialquotienten in jedem
solchen Punkte eine von allen Seiten her äquiconvergente ist, und
endlich zu zeigen haben, dass der Werth dieses Differentialquotienten
in ganzer Erstreckung des Gebietes 3 (also z. B. auch am Rande)
verschieden von 0 ist.

Ich werde nun diese Nachweise für den Fall, dass die Voraus-

576 C. Neumann, [H

Setzungen (10.), (11.) erfülU sind, wirklich führen, wobei mir der in
(1 3.) angegebene Satz ivesentlich zur Stütze dient.

Vorläufige Mittheilungen über die Resultate der gegenwärtigen Ab-
handlung sind von mir bereits erfolgt in den Sitzungsberichten der Kgl.
Sachs. Ges. d. Wiss. im Juni 1878 und im Mai 1888, ferner im Jahre
1880 im 16. Bande derMathem. Annalen ; wobei erwähnt sein mag, dass
' am letztern Orte nicht nur Sätze über das Logarithmische Potential, son-

dern auch die analogen Sätze über das Newton'sche Potential im Räume
angegeben sind.

Zur besonderen Genugthunng gereicht mir das Interesse, welches
Herr Beltuami für diese letzcrn Sätze dadurch an den Tag gelegt hat, dass
er kurze Zeit nacii ihrer Publication nicht nur einen Bciveis, sondern
gleichzeitig auch eine Verallgemeinerung derselben mittheilte. In der
That hat Beltrami im .Jahre 188 0 im 10. Bande der Annali di Matemalica
in seinem Aufsatz : Intorno ad alcuni nuovi Tcoremi del Sig. Neumann
sulle Funzioni potenziali jene von mir für geschlossene Flächen aufge-
stellten Sätze nicht nur bewiesen, sondern auch auf den Fall tinge-
schlossener Flächen ausgedehnt.

Methoden und Resultate.

Wie wohl in allen Gebieten der Mathematik, so dürften auch
hier die Methoden bei Weitem wichtiger sein als die augenblick-
lichen Besidtate. Die Methoden aber pflegen einfacher und klarer
hervorzutreten durch Beschriinkung auf mehr oder weniger specielle
Fülle. Demgemass ist mein Bestreben in der vorliegenden Abhand-
lung vor Allem dahin gerichtet gewesen, die Methoden der Unter-
suchung in helles Licht zu stellen, — selbst auf Kosten der Allge-
meinheit der zu erlangenden Resultate.

Aus dieser Tendenz erklart sich die sehr mangelhafte Aus-
nutzung der von mir dargelegten Methoden. So z. B. werden wir
fast stets nur Curven betrachten, die frei von Ecken sind, trotzdem,
dass die exponirten Methoden die Durchführung der Untersuchungen
meisten theils auch dann noch gestatten würden, wenn Ecken vor-
handen sind. Ueberhaupt würde es mittelst der exponirten Methoden
möglich gewesen sein, fast alle Resultate der vorliegenden Abhand-
lung in sehr viel grösserer Allgemeinheit zu erhalten; wie denn
z. B. auch die im Jahre 1880, ohne Beweis, von mir publicirten
Satze (Math. Annal., Bd. 16) über die hier mitzutheilenden Sätze
vielfach hinausgreifen.

<5] Ueber die Methode des arithmetischen Mittels. Abh. II. 577

Ebenso erklärt sich aus jener Tendenz der Umstand, dass in
der vorliegenden Abhandlung nirgends der Versuch gemacht ist, die
Voraussetzungen auf ihr geringstes Maass zu reduciren. So z. B.
ist häufig der Begriff der abtheilungm'eisen Stetigkeil angewendet, wo
schon der blosse Begriff der Integrirbarkeil ausreichend gewesen
wäre. Auch ist zuweilen kurzweg die Stetigkeit der zweiten Ab-
leitungen vorausgesetzt, wo schon die Stetigkeit der beiden Ab-

leitungen t~^ und — j ein ausreichendes Fundament geliefert hätte.

Um eine wirklich genaue, und dabei nicht allzuschleppende
Ausdrucksweise zu ermöglichen, habe ich mich genöthigt gesehen,
einerseits den Begriff der Fundamenialfunct'wnen einzuführen (Abh. I,
pag. 16 und 21), und andererseits auch dem Worte Convergenzwerlh
eine gewisse eigenthümliche Bedeutung beizulegen (vgl. in der vor-
liegenden Abhandlung die zu Anfang des § 2 gegebenen Definitionen
pag. 22, 23).

Die wirkliche Ausnutzung der dargelegten Methoden und die
Aufstellung eines abgerundeten und vollständigen Systems von Sätzen
dürfte allerdings eine sich von selber aufdrängende Aufgabe sein.
Aber man kann eben nicht Alles auf einmal erreichen. Vorläufig
sollen hier nur die von mir entdeckten Methoden dargelegt werden.
Später dürften wohl alsdann zu diesen Methoden noch andere nicht
minder wichtige Methoden sich gesellen. Auch dürfte im Laufe der
Zeit die Ausdrucksweise sich etwas mehr abschleifen, und dem be-
handelten Gegenstande sich besser accommodiren. Und dann erst
dürfte es vielleicht angemessen sein, an die Construction eines
nach allen Seiten hin möglichst vollständigen Systems zu denken.

Erstes Capitol.

üeber die Potentiale V und W, namentlich über die
Differentialquotienten derselben.

Die Hauptpunkte dieses Gapitels bestehen in zwei Theoremen
Va. und Wa., welche die Potentiale selber betreffen, ferner in
zwei Theoremen Vß. und Wß., welche die ersten Differentialquotienten
derselben betreffen, endlich in zwei Theoremen Vy. und Wy.,
welche auf die ziveiten Differentialquotieiiten der Potentiale Bezug
haben. Eine übersichtliche Zusammenstellung all' dieser und noch
höherer Theoreme findet man in § 9.

Uebrigens sind für die weiter folgenden Capitel dieser Ab-
handlung nur die vier ersten Theoreme (§§ 1 — 6) erforderlich. Die
Aufstellung dieser vier Theoreme lässt aber eine gewisse Gesetz-
müssigkeit zu Tage treten, die von selber zu den Theoremen
Vy. und Wy. (§ 7 und § 8), sowie auch zu noch höheren Theoremen
(§9) hindrangt. Schliesslich ist (in § iO) eine ganz beiläufige Be-
trachtung hinzugefügt über monogene Functionen von der Form
V -^iW.

§ ^-
üeber das Potential V. Theorem Va.
Längs der gegebenen geschlossenen Gurve sei irgend eine
Function der Bogenlänge f = ({g) vorgeschrieben. Denkt man sich
nun irgendwo in der Ebene einen Punkt {x, y) markirt, und die
Abstände dieses Punktes von den einzelnen Elementen da der Gurve
mit E bezeichnet, so repräsentirt der Ausdruck "*)

*) Gelegentlich dieser Formel (1 .) sei noch bemerkt, dass die unter dem Inte-
gralzeichen befindlichen Bogenelemente da unter allen Umständen als positive Grössen
angesehen werden sollen.

<7] Leber die Methode des arithmetischen Mittels. Abh. II. 579

(1.) V= V{x, y) = :^/(log i) fda = ^jTfda ,

in welchen T Abbreviatur ist für log ^, dasjenige Potential, welches
auf den Punkt {x, y) ausgeübt wird von einer auf der Curve aus-
gebreiteten materiellen Belegung von der Dichtigkeit - • Für dieses
Potential gilt folgender Satz :

Erster Satz. — Sind
(2-) Ö und f ahth eilung sweis stetige Functionen von 0,

so wird das Potential
(3.) V=V{x,y)=:.lfTfda

eine Function von {x, y) sein, die in der ganzen unendlichen Fbene
überall stetig ist.

Beweis. — Dass V für alle von der Curve getrennten Punkte
stetig ist, übersieht man sofort. Und es wird also der Beweis der
Stetigkeit von V nur noch für solche Punkte {x, y) zu führen sein,
die auf der Curve liegen. Zu diesem Zwecke aber wird es aus-
reichend sein, dem Punkte {x, y) auf der Curve eine beliebige Lage
zu geben, und sodann zu zeigen, dass die diesem Punkte zunächst
befindlichen Curventheile zu jenem Potential V immer nur einen
verschwindend kleinen Beitrag liefern. Oder genauer ausgedrückt:

Denkt man sich den Punkt {x, y) irgendwo auf der Curve ge-
legen, beschreibt man sodann um {x, y), als Cenlrum, einen kleinen
Kreis vom Radius /?, und bezeichnet man das innerhalb dieses
Kreises befindliche Stück der gegebenen Curve mit y, so wird es
für den genannten Zweck ausreichend sein, zu zeigen, dass der
von y herrührende Theil V^^^ des Potentials V durch Verkleinerung
von R unter jedweden Kleinheitsgrad hinabdrückbar ist.

Zufolge unserer Voraussetzung (2.) ist das Azimuth 0 eine ab-
theilungsweise stetige Function der Bogenlänge, die gegebene Curve
also als ein Polygon mit einer endlichen Anzahl von Ecken anzu-
sehen [vgl. die erste Bemerkung pag. 51. Liegt nun, um die
Vorstellung zu fixiren, der Punkt (o?, y) in einer Ecke des Polygons,
und sind a und b die beiden in dieser Ecke zusammenstossenden
Seiten des Polygons, so wird 6 stetig sein längs a, und ebenso auch

Abhandl. d. K. S. Gesellsch. d. Wiüsensch. XXIV. 4 j

580 C. Neumann, [18

längs b. Demgemäss wird man, von jener Ecke {x, y) aus, auf
a und h zwei Strecken a und ß abschneiden ktjnnen, die so klein
sind, dass 0 längs a beliebig wenig, z. B. um weniger als 60" variirt,
dass mithin alle Elemente da dieser Strecke a gegen die in (x, y)
an u gelegte Tangente A Winkel bilden, die <^ 60 " sind, und dass
andererseits Analoges auch stattfindet für die Elemente dß der
Strecke ß mit Bezug auf die in {x, y) an ß gelegte Tangente B.
Solches festgesetzt, ist also der Winkel (da, A) stets <^ 60°, mithin

cos {da, A) ^ cos (60") = ^, folglich:

i 4

(o.) -; TT < 2 , und ebenso ^rr^ — -. < 2 ,

^^' cos [da, A) ^ ' cos {(iß, B) ^

vorausgesetzt, dass man unter den hier genannten Winkeln stets die
spitzen Winkel versteht.

Diese beiden Strecken a und ß wollen wir jetzt noch weiter
sich verkleinern lassen. Zu diesem Zwecke beschreiben wir um
{x, y), als Gentrum, einen Kreis mit einem Radius

ih.) n<^ ,

der so klein sein soll, dass der Kreis die beiden Strecken u und ß
schneidet, und lassen sodann a und ß auf diejenigen Stücke sich
zusammenziehen, welche innerhalb dieses Kreises liegen.
Für den von a herrührenden Theil des Potentials V:

FC«) = l/(logl)/rfa

ergiebt sich alsdann die Formel:

ahs F(«) ^ ^/('^S^) ^^^^ r) da ;

denn es ist zu beachten, dass die da alle positiv zu denken sind
[vgl. die Note pag. 16], und ferner zu beachten, dass die da alle
innerhalb des Kreises {R) liegen, dass mithin die zugehörigen E
durchweg < /?, also, nach (ä.), durchweg <^ 1, und dass daher die

\
hier in Betracht kommenden log -^ durchweg positiv sind.

Die Function f ist, nach der Voraussetzung (2.), längs der gege-
benen Gurve abtheilungsweise stetig, mithin durchweg endlich. Be-
zeichnet man nun ihren absolut grössten Werth mit M, so folgt aus
der letzten Formel sofort:

19]

0'.)

Ueber ime Methode des arithmetischen Mittels. Abu. II.

abs F(«)^^y*/|og-^K/a

Projicirt man jetzt [vgl. die Figur] die Linien E und du senk-
reclit auf die in (x, y) an « gelegte Tangente A, und bezeichnet

man diese Projectionen mit r und dr, so ist einerseits

/ (/>•

COS {da , A)

mithin nach (g.):

da < 2f/r ,

und andererseits E~>r, mithin:

1 1

log — ^ log - ;

SO dass die Formel {}.) übergeht in:

(Ä-) absr(«)<?J^/'(logl)cir .

Hier bezieht sich q auf den Endpunhl j) der Curvenstrecke «. Denkt
man sich niimlich von j) aus ein Perpendikel pq herabgelassen auf
die Tangente A, so bezeichnet (> den Abstand des so erhaltenen
Fusspunktes q vom Punkte (x, y).

Offenbar \vird die rechte Seite der Formel (k.) noch weiter
vergrössert werden, falls man daselbst die Integration nicht bis
r = () , sondein bis r = R ausdehnt ; so dass man also a fortiori
erhält :

* 42»

582 C. Neümann, [20

(7.) abs I'(") < ^^j ^ (log i) dr ,

oder was dasselbe ist:

(m.) abs F(«) < --^^- (l h log ^ j .

Hieraus aber folgt sofort, dass das abs Vi") durch Verkleinerung von
R unter jedweden Kleinheitsgrad hinabdrückbar ist. Analoges gilt
offenbar auch von Viß) , und , wenn man beide Strecken a und ß
zusammengenommen mit y bezeichnet, auch von

(n.) . F(/) = F(«) + F(/^) . Q. e. ä.

Dass man endlich zu genau demselben Resultate auch dann ge-
langt, wenn der Punkt {x, y) nicht in einer Ecke, sondern irgendwo
anders auf der gegebenen Curve liegt, bedarf keiner weiteren Er-
liiuterung.

Wenn wir nun aber auch den vorstehenden Satz wirklich bewiesen
haben, also eingesehen haben, dass Y in der Ebene aUcnlhalhcn
stelig ist, so bleibt doch noch fraglich, ob dieses V nicht vielleiclit
beim Fortgang zu unendlich fernen Punkten ins Unendliche anwachsen
kann. Diese Frage findet ihre Beantwortung durch folgenden Satz:

Zweiter Satz, — Füfjt man zu den sehon gemachten Voraus-
setzungen (2.) noch die hinzu, dass das über die gegebene Cmrve n
erstreckte Integral
(4.) ffdo -- 0

sein soll, so wird V in den unendlich fernen Punkten der Ebene nicht
nur endlich, sondern sogar =0 sein.

Oder genauer ausgedrückt: Denkt man sich irgend eine die Curve
G umschliessende Kreisperipherie s vom liadius r construirt, so werden,
falls die Voraussetzungen (2!.) mui (4.) erfüllt sind, alle Werthe, ivelche
V ausserhalb dieser Peripherie s besitzt, ihrem absoluten Beirage nach,
durch Vergrösserung von r unter jedweden Kleinheitsgrad hinabdrück-
bar sein.

Und gleichzeitig iverden alsdann für jeden solchen die Curve a
umschliessenden Kreis s, mag nun sein liadius r gross oder klein sein,
die Formeln stattfinden:

(5.) / Vds = 0 und f— ds --=0 ,

^ ./ d r

21] U£B£R DIE Methode des arithmetischen iMittels. Abu. 11. 583

die hileijralionen ausgcilchni gedacht über alle Elemente ds der Peri-
pherie s.

Beweis. — Es sei C das Cenlrum der Peripherie s. Markirt
man nun auf der Peripherie s irgend einen Punkt (j-, y), und auf
der gegebenen Curve a irgend einen Punkt (|, /^), und bezeichnet
die dem Cenlrum C entsprechenden Polarcoordinaten dieser Punkte
respective mit (r, o) und ((>, w), so dass also r den Radius von s
vorstellt, — so erhalt man für den gegenseitigen Absland E dieser
beiden Punkte die Entwicklung:

log ^ = lo. -+^^--(-) cos n(a>-o).
Bildet man jetzt, unter Anwendung dieser Entwicklung, das Potential

für jenen auf s markirten Punkt {x, y) oder (r, o), so ergiebt sich:

also mit Rücksicht auf (i.):

(CO K=.J|(,lW"??^+B<»)?i^"),

wo alsdann unter den A^"\ /?*"^ folgende Condanten [d. i. von (iC, y)
oder (r, 0) unabhängige Grössen] zu verstehen sind:

{H.)

J(«) ^ J_ l\n (cos nio) [da ,
M») = — - /^» (sin mo) fda .

/J j'C V

Auf Grund der Formel (G.) erkennt man aber nun sofort die Rich-
tigkeit der in unserm Satze ausgesprochenen Behauptungen.

Zusammenfassung der erhaltenen Eesultate. — Bezeichnet man
die gegebene Gurve schlechtweg mit o, und jedweden Punkt (x, y\
jenachdem er innerhalb 3? oder auf 0, oder innerhalb Ql liegt, respec-
tive mit j oder s oder a, und erinnert man sich endlich an die
Art und Weise, in welcher früher (Abh. I, pag. 16 und 21) die
Fundamental functionen der Gebiete 3 und % definirt worden sind.

584 C. Neumann, [22

so gelangt man auf Grund der soeben bewiesenen beiden Satze so-
fort zu folgendem Theorem :

Theorem V« , — Ist längs dar gegebenen geschlossenen Ciirve o
eine heslimmle Funclion der Bogenlänge: /' -- /'(a) vorgeschrieben, und
setzt man voraus, dass

0 und f ab Iheilunasiveis steliqe Functionen der
(6.) .

Bogenlänge sind,

so wird das auf den Punkt {x, y) ausgeübte Potential

n.) F = ~ frfda

eine Function von {x, y) sein, ivclche in der ganzen unendlichen Ebene
allenthalben stetig ist. Gleichzeitig iverden alsdann die Werlhe
Vj und Vg zusammengenommen eine Fundament alfunciion des Ge-
bietes 3 repräsentiren.

Fügt man ferner zu den Voraussetzungen (6.) noch die hinzu,
dass
(8.) ffdo = 0

sein soll, so wird Aehnliches auch von den Werthen V^, V^ zu sagen
sein. Denn es iverdcn alsdann aW diese Werthe Y^ und V^ zusammen-
genommen eine Fundamentalfunction des Gebietes % repräsentiren.

§ 2.

Ueber das Potential VV, Theorem Wa ,

Ist eine Function F = F{x, y) in der gegebenen Curve unstetig,
so sind im Allgemeinen drei Werthsysteme zu unterscheiden: das
System der F^, das der F^, und das der Fj. Dabei sind sämmt-
liche Punkte der gegebenen Curve mit s, andererseits aber alle von der
Curve getrennten Punkte mit a oder j, und zwar die zu % gehörigen
mit a, die zu 3 gehörigen mit j bezeichnet zu denken. Im Anschluss an
diese Vorstellungen und Bezeichnungen wollen wir nun, um an Kürze
des Ausdruckes zu gewinnen, folgende Definitionen festsetzen:

Definitionen. — Es sei s ein bestimmter Punkt der gegebenen
Curve, und o ein um s {als Centrum) beschriebener kleiner Kreis.

23] Ueber die Methode des arithmetischen Mittels. Abh. II. 585

Läs.st sich ahdann zeigen, dass dem Punkte s eine bestimmte end-
liche Grösse 1^ zugchOrt von solcher Beschaffenheit, dass alle Ab-
weichungen, welche die innerhalb o befindlichen }\erthe F^ gegenüber
P^ zeigen, durch Verkleinerung von o unter jedweden Kleinheitsgrad
hinabdrückbar sind, so soll jene Grösse P^ der Convergenzwerth
der Werthe F^ für den Punkt s genannt, und kurzweg mit F^^
bezeichnet werden.

Lässt sich ferner nachweisen, dass jenem Punkte s noch eine
zweite bestimmte eitdliche Grösse Q^ adjungirt ist, von solcher Be-
schaffenheit, dass alle Abweichungen, welche die innerhalb o befindlichen
Werthe Fj gegenüber Q^ zeigen, durch Verkleinerung von o unter jed-
weden Kleinheitsgrad hinabdrückbar sind, so soll Q^ der Convergenz-
werth der Werthe Fj für den Punkt s genannt, und mit Fj^
bezeichnet werden.

Lassen sich die in Bede stehenden Nachweise bewerkstelligen für
jedweden Punkt s der gegebenen Curve, so hat man längs dieser Curve
im Allgemeinen dreierlei Functionen, die erste bestehend aus den
direct auf der Curve selber gegebenen Werthen F^, die zweite bestehend
aus den äussern Convergenzwerthen -Pj = F^, und die dritte endlich
bestehend aus den inner n Convergenzwerthen 0« = fjs-

Bemerkung. — Maa wird diese Definitionen z. B. auch anwenden
können auf den besonders einfachen Fall, dass die gegebene Function
F = F{x, y) in der ganzen unendlichen Ebene allenthalben stetig ist.
Alsdann wird offenbar

sein. So z. B. wird für das auf pag. 22 besprochene Potential V, falls
die dortigen Voraussetzungen (6.) erfüllt sind, die Formel stattfinden

'^ s ' as ' js'
Dies vorangeschickt , mag es mir gestattet sein, an die Unter-
suchungen meiner ersten Abhandkmg kurz zu erinnern. Jene Unter-
suchungen beruhen, wie dort besonders betont worden ist [Abh. I,
pag. 34] auf gewissen aus der geometrischen Anschauung herstam-
menden Elementarsätzen, welche folgendermassen lauten:

Erster Elementarsatz. — Zerlegt man die gegebene geschlossene
Curve in lauter unendlich kleine Elemente, und bezeichnet man die
scheinbare Grösse eines solchen Elementes da für einen im Punkte {x, y)
befindlichen Beobachter mit -j- (rfo),^, y), und zwar mit -\- (da)(j yj oder

Ö86 C. Neumann, [24

— (t/o)(^, jy), jenachdem jener Beohachler die innere oder äussere
Seile des Elenienles vor Amjen hal, so wird das über die yanze Curve

ersireekle InUujral j {dG\^ ^^ versehiedene Werlhe haben, jenachdem der

Punkt (x, y) zu den Punkten a, s oder j (jehört. Und zwar gelten die
Formeln :

ßdo), =. 0 ,
(1.) ßda),-^^yc{\ -;/,),

j{dö)j

=- 27f

wo n{\ — 0\) den Innenwinkel der gegebenen Curve im Punkte s vor-
stellt.

Dabei isl in Belreff des in (1 .) enthallenen Ausdruckes

(2.) j\do\

und zugleich aucli in Betreif des allgemeineren Ausdruckes

(3.) ff{do%

stets zu beachten, dass unter diesen Symbolen (2.) und (3.) nicht
Integrale, sondern die Grenzen gewisser Integrale*) zu verstehen sind.
Will man nämlich die eigentlichen Werthe dieser Symbole haben,
so hat man zuvorderst die Integrationen auszuführen mit Ausschluss
eines kleinen den Punkt s enthaltenden Curvenstuckes, sodann aber
dieses Curvenstück ins Unendliche sich veikleinern zu lassen. Ent-
spricht nun, was wir stets voraussetzen, die gegebene Curve den
festgesetzten Determinationen pag. 4, so wird _das Symbol (2.) den
in (1.) angegebenen Werth haben. Und ist überdies /" längs der
Curve stetig, oder wenigstens abtheilungsweise stetig, so wird das
Symbol (3.) ebenfalls einen bestimmten endlichen Werth haben; wie
solches mittelst des Satzes Abh. I, pag. 42 sich leicht ergiebt.

Zweiter- Elementarsatz. — Setzt man:
(4.) fda^Z,

*) Hierauf aufmerksam zu machen ist um so wicliliger, weil solches in Abh. I.
nicht genügend hervorgehoben ist.

25' LIeber dh: Methode des akith.>ietische.> Mittels. Auh. II. 587

so besitzt das so ilefinirtt: I einen bestimmten endlichen Werth.
Dieser Wcrtit lieisst der iinfany der fjeyebenen Curve.

Dritter Elementarsatz, — Setzt man:

(5) fnhs{da\,^y) = <t)(j,y) .

und denkt man sich dabei dieses Integral für den Fall, dass der Punkt
{x, y) auf der Curve liegt, ebenso ivie vorhin das Integral 1 {daX , (2.),

berechnet, so wird die in solcher Weise definirte Funciiun 4>(jr, y) in
der ganzen unendlichen Ebene überall endlich sein, der Art, dass ihr
absoluter Werlh stets <^ M bleibt, wo M eine endliche Conslanle
vorstellt.

Ob diese aus der geometrischen Anschauung herstammenden
Elemenlarsatze auch noch gültig sind für ganz nebelhaft vor-
schwebende Curven, z. B. für Curven mit unendlich vielen Ecken,
— das dürfte eine müssige Frage sein. Ist man doch bei solch'
nebelhaften Curven nicht einmal von der Länge des Curvenelements
zu sprechen berechtigt, also nicht einmal befugt zur Anwendung
des Zeichens da und der damit verbundenen Vorstellungen!

Dass hingegen diese Elementarsatze für die vorhin (pag. 4)
determinirten Curven denselben Grad von Strenge besitzen wie etwa
der Pythagoraische Lehrsatz, bedarf keiner weitem Erläuterung.
Gleiches gilt daher auch von sämmlUchen IxesuUalen meiner ersten Ab-
handlung. Denn all' diese Resultate sind aus jenen Elementarsätzen
mit absoluter Strenge abgeleitet.

Und wir werden daher hier, wo wir uns durchweg auf jene
determinirten Curven beschränken, von sämmtlichen Resultaten der
ersten Abhandlung Gebrauch machen dürfen, ohne dass dabei irgend
welche Restriction erforderlich wäre. Demgemäss werden wir z. B.
die dort ^Abli. I, pag. 4G, 47'; über den Ausdruck

(6.) W=W{x,y)^^-j''^^fdo

aufgestellten Sätze benutzen dürfen. Dieser Ausdruck, in welchem
T, f, da dieselben Bedeutungen haben, wie in (I.) pag. 17, und
in welchem v die auf da errichtete innere Normale bezeichnet, re-
prä.sentirt bekanntlich dasjenige Potential, welches auf den Punkt

588 C. Necmann, [26

{x, y) ausgeübt wird von einer auf der Curve ausgebreiteten

materiellen Doppelbclcyimg vom Momente - • Bringen wir nun jene

damals (Abb. 1, pag. 4G, 47) I'ür dieses Potential W erhaltenen Sütze
auf den besonderen Fall in Anwendung, dass die gegebene Curve
keine Ecken bat, dass mithin 0 überall stetig ist, so gelangen wir zu
folgendem Theorem:

Theorem Wa , — Denkt man sich längs der gegebenen geschlossenen
Curve eine Function der Bogeiüänge : f = f{o) vorgeschrieben, und setzt
man voraus, dass

f und 0 stetige Functionen der Bogenlänge a sind,
dass also die Curve z. D. frei von Ecken ist,

so wird das auf den Punkt (x, y) ausgeübte Potential*)

(8.) W = W{x,y) = i /^ fdo = ^Jf{do\., y)

eine Function von {x, y) sein, welche in der ganzen unendlichen Ebene,
mit alleiniger Ausnahme der gegebenen Curve, überall stetig ist.

Die in der Curve vorhandene Unstetigkeit hat zur Folge, dass im
Ganzen dreierlei Werthsysteme zu unterscheiden sind: das System
der Wa, das der Wg, und das der Wj.

Für jeden Punkt s besitzen die W^ und Wj bestimmte endliche
Convergenziverthe W^^ und Wj^ [vgl. die Definitionen pag. 22, 23],
ivelche zu dem direct in s selber vorhandenem Werthe**) Wg in der
Beziehung stehen :

Ws^+f,;

"^Vjs -

- Ws

woraus z. B. folgt:

(10.)

"^Vas -

- Wn

*) In dieser Formel (8.) bezeichnet v die auf dem Curvenelement da errichtete
innere Normale. Ueber die Bedeutung von {da)r^ y\ ist Näheres angegeben auf
pag. 23, unten.

**) Will man diesen directen Werth Wg mittelst der aus (8.) entspringenden
Formel

w. '

7t'

fs

wirklich berechnen, so ist dabei die bei (3.) gegebene Vorschrift im Auge zu behalten.

I

27] Ueber die Methode des Arithmetischen Mittels. Abh. II. 589

Vor Allem ist dabei aber hervorzuheben , Jass die Werlhe W„ und
Was zusammengenommen eine Fundamcntulfunction des Gebietes
% bilden, dass ferner die VV, und Wj^ zusammengenommen eine Fun-
damental function des Gebietes 3 bilden, und dass endlich die
\\\ längs der gcifebencn Curve stetig sind.

Bemerkung. — Die Voraussetzungen (7.) haben keinerlei Bezug auf

de df

die Ableitungen -^— und -r- • Demgemäss wird also nicht nur die Be-
da da

schaflfenheit dieser Ableitungen, sondern selbst auch die Existenz der-
selben für die Gültigkeit des vorstehenden Theorems vollkommen gleich-
gültig sein.

Aehnliches hätte bei dem Theorem Va. pag. 22 bemerkt werden
können. Doch werden wir derartige Bemerkungen, die eigentlich doch
nur besagen, dass das betrefifende Theorem in correcter Weise von uns
ausgesprochen ist, in Zukunft meistentheils ganz unterdrücken.

Mit Rücksicht auf eine allgemeinere Durchführung der Unter-
suchung (von welcher auf pag. 14 die Rede war) sei bemerkt,
dass man das Theorem TV«, leicht auf den Fall ausdehnen kann,
dass f und 6 nicht stetige, sondern nur abtheilungsweise stetige Func-
tionen der Bogenlänge o sind. Alsdann wird die gegebene Curve
in einzelne Strecken zerlegbar sein, der Art, dass f und 6 längs
jeder einzelnen Strecke stetig bleiben. Auch übersieht man sofort,
dass das Theorem Wa. in diesem allgemeinern Falle Wort für Wort
in Gültigkeit bleibt, abgesehen von denjenigen Gurvenpunklen g,
durch welche jene Zerlegung der Curve markirt ist ; so dass also das
Verhalten der Function IV =: TV(a7, y) nur noch in der Nähe dieser
Äusnahinspunkte g einer weiteren Untersuchung bedarf. Ohne auf
eine solche Untersuchung hier näher einzugehen, will ich nur mit-
theilen, dass das Resultat derselben folgendes ist:

Drei aufeinander folgende Punkte g seien mit g^, g, g^ be-
zeichnet. Ferner seien die Punkte der Curvenstrecke g^g mit g\
die der Strecke gg^ mit g", und die zugehörigen Werthe von /'
respective mit /' und f" bezeichnet:

(14.) ^

r r

Andererseits aber mögen unter a und j (nach wie vor) alle von der

Curve gelrennten, theils zu %, theils zu 3 gehörigen Punkte ver-
standen sein.

590 C. Neumann, [28

Alsdann wird, falls t einen beliebig gegebenen Kleinheitsgrad
vorstellt, um ij (als Centruni) stets ein Kreis o von solcher Kleinheit
construirbar sein, dass für alle innerhalb o befindlichen Punkte a, j, f/', (j
die Formeln gellen: ,

Wa^W,- 1- '^—^ -./," ^^-=^- + 0.x s

IC

(12.)

^Vg„^W, + f,' ^^ + 0,£,

wo 0j , 04, 03, 04 unbekannte üchte Brüche sind.

Hier repriisentirt Wg den direcl in (j selber voihandenen Werth*).
Ferner bezeichnet ;' den Innenwinkel der Curve im Punkte (j. Ferner
bezeichnen A/ und A/ die Winkel, unter denen die gerade Linie
(jj im Punkte (j gegen die innern Seiten der Curvenslrecken <j<j^
und <j (j2 geneigt ist; so dass also z. B. die Relation stattfindet:
A/ + A/' = y . Endlich, bezeichnen A„' und A/ die Winkel, unter
denen die gerade Linie (ja im Punkte g gegen die äussern Seiten
der Curvenstrecken giji und </^2 geneigt ist; so dass also die Relation
stattfindet A^/ 4- A/ ==: 2jr- — y .

Bereits in der tTA^e?* Abhandlung (in der dritten Bemerkung pag. I 15)
ist von mir hervorgehoben, dass die in jener Abhandlung über den Kreis
und die Kugel aulgeslellten Sätze mamjclhafl bewiesen, trotzdem aber
correct sind. Solches soll hier dargelegt werden.

Beweis des Satzes über den Kreis (Abh. I, pag. 96). — .Längs einer
Kreislinie vom Radius**) Ä sei eine 6<di</e Function /"vorgeschrieben,
l'erner sei gesetzt: .

(«•) M =-= I fda ,

und . ;

die Integration hinerstreckl gedacht über alle Elemente do der Kreislinie.

*) Es ist also dieser Werth Wg ebenso gebildet zu denken, wie vorhin der Werth
Wg, vgl. die zweite Note pag. 26, und namentlich die bei (3.) pag. 24 gegebene
Vorschrift.

**) Dieser Radius A ist in Abb I, pag. 96 nicht mit J, sondern mit Q bezeichnet
worden.

29]

Ceber die Methode des arithmetischen Mittels. Abu. II. 59i

Zufolge des Theorems W'a. (pag. 26) repräsentiren alsilann die Hg,
\Vf^g und die Wj , H}"s zwei respeclive zu ^ und zu 3 gehörige Funda-
mental functionen. Setzt man also

(/-)

^« <i7lÄ

% = Wi -

w.

M

i.rA '

so gilt Analoges auch von den <t>a , <t>gg und Hj , ^js . Um den in Rede
stehenden Satz (Abh. I, pag. 96) zu beweisen, wird also nur noch zu
zeigen sein, dass die <I>a, sowohl, wie auch die ^js identisch sind mit
den vorgeschriebenen /, .
Nun ist nach (/-):

3/

0 =

^fj, = Wjs -

W.

M

(ä.)

tTlA '

also mit Rücksicht auf (9.):

"'•-[""-'-T^^+r'

Was die Berechnung des aus (/?.) entspringenden Ausdruckes

W\ = — I f{(la)g , [vergl. das bei (3.) Gesagte],

anbelangt, so ist:

y ,' 1 . , \ da

wo c das Centrum, und A den Radius des Kreises vorstellen. Somit folgt:

Demgemäss gewinnen die~ Formeln (d.) die einfache Gestalt :

^/^ = A • - (?. ^. rf.
Beweis des Satzes über die Kugel (Abh, I, pag. 104). — Auf einer
Kugelfläche vom Radius A sei eine daselbst stetige Function f vorge-
schrieben. Ferner sei gesetzt :

{A.) AI = ffda ,

und:

(B.)

W -^ Wix, y, ^) = ^fnda\^^ ^^ ,) ,

592 C. Neumann, [30

die Integrationen ausgedehnt gedacht über alle Elemente do der ge-
gebenen KugelflUche. Dabei soll E den Abstand des variablen Punktes
{x, y , z) vom Element r/ ff vorstellen; so dass also z. B. das in (C.) ent-
haltene Glied*)

M rda M , M

(^•) 7 7^ I T^ = 1^ oder = -

ist, je nachdem der Punkt {x , y, z) ausserhalb oder innerhalb der Kugel-
tläche liegt, vorausgesetzt dass man unter R den Cenlralabstand dieses
Punktes versteht.

Der Ausdruck W (li.) subordinirt sich dem Theorem Abh. I, pag. 47.
Nach diesem Theorem repräsentiren die TF^, VF^^ und die Wj , Wjs zwei
respective zu 51 und 3 gehörige Fundamentalfunclionen. Gleiches gilt,
wie man leicht erkennt, auch von den Q^, Q^g und den Qj , Qjs ■ Setzt
man also

<!>«-««- W, ,

so gilt Gleiches auch von den O^, O^^. und den M^y , Wjs . Um den in
Rede stehenden Satz (Abh. I, pag. 10 4) zu beweisen, ist dalier nur noch
zu zeigen nöthig, dass die Werthe ^^s sowohl, wie auch dieYjs identisch
sind mit den vorgeschriebenen Werthen fg .
Nun folgt aus (E.)

Wjs = Wjs - Qjs .
Diese Gleichungen (F.) aber sind mit Rücksicht auf die aus Abh. I,
pag. 46 (2 4.) und (25.) entspringenden Relationen

, „ - ^^as ^^^ ''^s IS '

Wjs = Wg + fs ,

und mit Rücksicht auf die aus (C), (D.) entspringende Formel :

\

iTtA'

HD Q, = Qas =- ^Js - r-rj '-jf

auch so darstellbar:

'^as = ^s-iWs-fs),

Das hier auftretende Wg hat nach (B.) den Werth :

(«.) W, = ^^ff{dG), ,

") Für yl und R sind in der Abh. I, pag. 104 respective die Buchstaben Q und
gebraucht worden.

3<] ÜEBER DIE Methode des arithmetischen Mittels. Abh. II. 593

wobei das früher bei (3.) Gesagte zu beachten ist. Nun ist:

, , ^ cos d . da da
iß) i'lo% = j^, = ^lE '

wo E den Abstand des Punktes s vom Elemente da, also eine gewisse
Sehne der Kugelfläche vorstellt, während d den Winkel dieser Sehne E
gegen die in rfa errichtete innere Normale bezeichnet. Denkt man sich
nämlich über der Sehne E, als Gnmdlinie , ein gleichschenkliges Dreieck
construirt, dessen Spitze im Kugelcentrum liegt, so repräsentirt ö den ge-
raeinschaftiichen Werth derjenigen beiden Innenwinkel dieses Dreiecks,
welche der Grundlinie E anliegen; so dass also z. B. die Relation statt-
findet : 2 A cos d = E. Durch diese Relation aber geht der zweite
Theil der Formel (/?.) in den dritten über.
Aus (a.) und (/?.) folgt sofort :

also mit Rückblick auf {H.) :
id.) W, = Q,;

so dass also die Formeln (/.) folgende Gestalt gewinnen :

'Vjs=fs . - Q.e.d.

§ 3.
Die ersten Ableitungen des Potentials V. Theorem V/t?.

In der Formel
(1.) V=V{x,y)=^fTfda

hat T die Bedeutung:

(2.) r= log 1 = - A log [(X _ s^'+ (y- »;)*] ,

wo I, ri die Coordinaten des Elementes da vorstellen. Bei der
gegenwärtigen Untersuchung des Potentials Ymag nun vorausgesetzt
werden, dass

Ö, f stetige., und d\ f ahtlieilungsweis stetige Functionen

,„ - der Boeenlänse a sind. Alsdann sind offenbar*)

(3.) . . ,

^', ij' stetige, und ^'\ if abiheilungsiveis stetige Func-
tionen von o.

*) Man erkennt nämlich solches mittelst der Formeln (C.) pag. 3 : ^' = cos d ,
1] = sin d ; aus denen sofort folgt |" ^= — 6' sin ß , rj" ^= 6' cos 0 .

Ö94 C. Nelmann, [32

Für einen von der Curve getrennten Punkt {x, ?/) ergeben sich
aus (1.) und mit Rücksicht auf (2.) sofort die Formeln:

7CJ hu ' TCJ dr

hJV

wo die Ausrufungszeichen andeuten sollen, dass diese Formeln nur
so lange gültig sind, als der Punkt {x, y) von der Curve getrennt

bleibt. Auch erkennt man sofort , dass die Ableitungen — und yy

stetige Functionen von {x, y) sind, — immer vorausgesetzt, dass der
Punkt (^, y) von der Curve getrennt bleibt. Fraglich hingegen er-

scheint das Vei halten der Functionen r— und ^- für den Fall, dass

ox oy

der Punkt {x, y) der gegebenen Curve sich ins Unendliche niiherl.
Um hierauf genauer einzugehen, wollen wir zuvörderst die Formeln
(4.) einer gewissen Transformation unterwerfen.

Diflerenzirt man den Ausdruck T (2.) nach der Bogenllinge o
des Punktes {^, rj), und nach der in diesem Punkte errichteten innern
Normale v, so erhalt man:

(IT _ hT d^ hJ^dt]
du d| da öi/ da '
(5-)

dr __ ö_r ^§ öt; dri -

dv h^ dv öi; dv '
Formeln, welche mit Rücksicht auf die Relationen, (LV) pag. 3:

(6)

— ^ = A = — sin 8 = — n ,

dv

dv

auch so darstellbar sind:

(7.)

dT hT ., , b-T ^,

dv ÖS ^V

+ f^'do

[yj'aIg

Hieraus aber folgt durch Multiplication mit den beigesetzten
Factoren nnd Addition und mit Rücksicht auf die aus (6.) ent-
springende Relation p- -^ V—— ^•> sofort:

33 Ueber die Methode des arithmetischen Mittels. Ahh. If. 595

T f. , (IT f^^ p '\ ,

it ' \da ' dv' ' f '

oder, was dasselbe ist:

,8.) ^A/ . = {'^ -T'Mi}-'-! ,A/))</. .

^ ^ ö^' \ da da dv ^' ' ']

Nun ist, nach (3.), Tf^' eine stetige und ~f-~ eine abtheihingsweis

stetige Function der Bogenlänge. Integrirt man daher die Formel
(8.) über alle Elemente da der gegebenen Curve, so wird hierbei

das Glied — j^-do verschwinden; mithin die erste der folgenden

da ' ^

beiden Gleichungen entstehen:

Die zweite dieser beiden Gleichungen ergiebt sich in analoger Weise,
nämlich ebenfalls durch Combination der beiden Formeln (7.), unter
Anwendung der Factoren fr/da und fi'da .

Air diese Gleichungen (7.), (8.), (9.) sind unanfechtbar, falls
man nur annimmt, dass der Punkt (o;, y) von der Curve getrennt
ist. Substituirt man nun die unter dieser Annahme erhaltenen Werthe
(9.) in den unter derselben Annahme erhaltenen Formeln (4.), so
ergiebt sich:

(10.)

g

da?

WO z. B. {f^')' die Ableitung von (f^) nach der Bogenlänge g vor-
stellt, und wo ^ und 23 als Abbreviaturen dienen sollen für die
beiden Integrale erster Zeile.

Nach Ausführung dieser Transformationen wollen wir jetzt das

Verhalten der beiden Ableitungen r— und j- für den Fall untersuchen^

dass der Punkt (o?, y) von Innen oder von Aussen her der gegebenen
Curve sich ins Unendliche nähert.

Abhandl. d. K. S. Sesellsch. d. Wisseusch. XXIV. 43

596

C. Neumann,

[34

Zufolge der Voraussetzungen (3.) sind die Producte (ft') und
(ffj') stetige, und die Ableitungen (f^')' und (fif)' abtheilungstveis stetige
Functionen der Bogenlänge; so dass man also mit Bezug auf die in
(10.) vorhandenen Integrale ^ und 2Ö folgende Notizen machen
kann:

mit Bezug auf 3].

mit Bezug auf 2ö.

{f^')' ist eine abtheilungsiveis
stetige Function der Bogen-
länge, und f{f§')'ilG ist == 0.

if?/) ist eine stelige Function
der Bogenlänge.

Demgemäss subordinirt sich das Integral !i^ ohne Weiteres dem
Theorem Vu. pag. 22 , und das Integral 2Ö dem Theorem Wa.
pag. 26.

Aus dem Theorem Wa. folgt, dass die Werthe 2Ö^ und 2Öy für
jedweden auf der Curve gelegenen Punkt s bestimmte endliche Con-
vergenzwerlhe besitzen [vgl. die Definitionen pag. 22, 23], und dass
zwischen diesen Convergenzwerthen — sie mögen 3[Ö„s ""^^ '^js
heissen — die Relation stattfindet:

(11.)

^as - %-s = - '^fsVs

Sodann ergiebt sich weiter aus jenem Theorem Wa., dass alle
Werthe 30^ und 20«^ zusammengenommen eine Fund amental function
des Gebietes % und andrerseits alle 2Öy und ©y^ zusammengenommen
eine Pnndamentalfunction des Gebietes 3 bilden.

Andererseits folgt aus dem Theorem Va. , dass 33 eine Func-
tion von (x, y) ist, welche in der ganzen unendlichen Ebene allent-
halben stetig bleibt, dass mithin für diese Function 33 [vgl. die Be-
merkung pag. 23] die Gleichungen stattfinden: 33«^ = !öjs = ^^i
so dass man also schreiben kann:

(12.) 33«, -% = 0 .

Sodann ergiebt sich weiter aus jenem Theorem Ya. , dass alle
Werthe 23a und ^^s zusammengenommen eine Fundamentalfunction
des Gebietes %, und andererseits alle 23y und 2^^^ zusammengenommen
eine Fundamentalfunction des Gebietes 3 bilden.

35] Ueber die Methode des aritjimetisciien Mittels. Abu. II. 597

Diese Eigenschaften der Functionen 33 und 3S übertragen sich
nun, mittelst der Formel (10.):

03.) ^._25_|_3ö,^(!)

sofort auf die Function r— . Diese Formel säst z. B. aus*), dass die

ö V
beiden Functionen — und (93 + 23) für jedweden Punkt a, wie nahe

derselbe der gegebenen Curve auch liegen mag, unter einander
identisch sind , und dass folglich diese beiden dem Gebiet % ent-
sprechenden Functionen für jeden Curvenpunkt s ein und denselben
Convergenzwerth besitzen. Demgemäss erhalten wir die Formeln

bl = ^^« + ^« ' ^'-^

(U.)

/^) =33 +21^

und ebenso auch folgende Formeln:

(sll- = ^> + ®> ■ «

((5.)

woraus mit Hinblick auf (H.), (12.) sich ergiebt:

Da nun die Werthe (513^ -|- SÖJ und (93as + ^as) zusammenge-
nommen eine Fundameutalfunction des Gebietes % bilden, so gilt, zu-
folge (14.), Gleiches auch von den Werthen (t— 1 und (r— ) . Ebenso

ergiebt sich aus (13.), dass die Werthe (t— ). und j— j zusammen-
genommen eine Fuudamentalfunction des Gebietes ^ repräsentiren.

Zu analogen Resultaten wird man oflfenbar, auf Grund der

ö V
zweiten der beiden Gleichungen (10.), für — gelangen; so dass man

also. Alles zusammengefasst, folgendes Theorem erhalt:

*) Man beachte dabei das der Formel beigefügte Ausrufungszeichen, welches
hier und ebenso in allen späteren Formeln beständig andeuten soll, dass die betreffende
Formel Gültigkeit besitzt für jedweden (durch einen wenn auch noch so kleinen
Zwischenraum) von der Curve getrennten Punkt.

43*

598 C. Neumann, [36

Theorem Yß, — Denkt man sich längs der gegebenen geschlos-
senen Ciirve eine Function der Bogenlänge f == /"(o) vorgeschrieben, und
setzt man voraus, dass

0, f stetige, und 6', f abtheilungsweis stetige
Functionen der Bogenlänge sind,

so sind die ersten Ableitungen des Potentials

(18.) V=Vix,y)= - [rfda

in jedem Punkte (x, y), der von der Curve getrennt ist, darstellbar
durch die Formeln

==^jTifado-^lf^imda, (!)

ö X
(19.)

öl/

wo die Äusrufungszeichen andeuten sollen, dass diese Formeln nur für

solche Punkte {x, y) Gültigkeit haben, die von der Curve getrennt sind.

Aus diesen Formeln ergiebt sich*), dass die vier Functionen

ßV\ {hV\ , ßV\ lbV\

für jedweden Punkt s bestimmte endliche C onv er g enzwerthe**)
besitzen, und dass zwischen diesen Convergenzwerthen — sie mögen

y^xJas \^ylas X^xjjs' \byljs

genannt werden — folgeiide Beziehungen stattfinden:

(22.)

ihv\ Ihr

fei-a--^«-

Als besonders wichtig ist hervorzuheben, dass die vier Functionen
(20.), inclusive ihrer Convergenzwerthe {9,\ .), vier Fundamentalfunc-
tionen repräsentiren , die theils dem Gebiete %, theils dem Gebiete 3

*) Wie nämlich solches im Vorhergehenden dargelhan ist.
**) Vgl. die Definitionen pag. 22, 23.

37] Ueber die Methode des arithmetischen Mittels. Abh. II, 599

r— 1 , inclmive der

(r— ) , eine Fundamental function des Gebietes %. U. s. f.

Bemerkung. — Denkt man sich in irgend einem Curvenpunkte s die
positive Tangente r und die innere Normale v construirt , und legt man
sodann der Betrachtung dasjenige Coordinatensyslem zu Grunde , dessen
x-Axe mit T, und dessen y-Axe mit v zusammenrällt, so werden die all-
gemeinen Relationen (C.) pag. 3 :

^' = cos 6 und rj' = sin 0

für jenen speciellen Punkt s die Gestalt annehmen :

1/ = 1 und »;/ = 0 ;

denn das Azimuth d ist für jenen Punkt s offenbar = 0 .

Demgemäss gewinnen die Relationen (22.) speciell für den Punkt s
folgende Gestalt :

(ö^L - (dy. = ' ' ^- •■• {Iris - (^l = ' '

Die letzte dieser beiden Formeln repräsentirt den bekannten Z,a/)/ace-
schen Satz, oder vielmehr das Analogon dieses Satzes für die Theorie des
Logarithniischen Potentials.

Die ersten Ableitungen des Potentials W. Theorem }\\i ,
Der in der Formel
(I.) W=Wix,y) = ^f/jüa = lfQfäc

enthaltene Ausdruck Q hat die Bedeutung:
(2.) Q=_-=A+— -B,

woraus mit Rücksicht auf (C.) pag. 3 sich ergiebt:

(3.) Q=lI=_AI,' + iI,..

^ dv b§ ' ^ bri ^

Dabei ist:

(4.) 7- = log I = - 1 log [{X _ D» + (y _ ^y] ,

600 C. Neumann, [38

wo I, 7] die Coordinaten des Elementes da vorstellen. Aus (3.) und
(4.) folgt z. B.:

ör bT bQ bQ

^ ^ bx b§ ' bx b§

Bei der gegenwärtigen Untersuchung über das Potential W mag
nun vorausgesetzt sein, dass

Ö, /", /" stetige, und 0' , f" abtheilungsweis stetige Func-
tionen der Bogenlänge n sind. Alsdann sind offenbar*)
^', 7/ stetige, und §", tj" abtheilungsweis stetige Func-
tionen von G.

Für einen von der Gurve getrennten Punkt {x, y) ergiebt sich
aus (1 .), und mit Rücksicht auf (5.), sofort die Formel :

/^^ öTF \ fbQ .j 1 fbQ „. ^.^

bx 7tJbx 7cJb§

bW .
Auch erkennt man sofort, dass y— eine stetige Function von {x, y)

ist, — immer vorausgesetzt, dass der Punkt {x, y) von der Gurve
getrennt bleibt. Um nun das Verhalten dieser Function für den Fall,
dass der Punkt {x, y) der Gurve sich ins Unendliche nähert, zu
untersuchen, wollen wir zunächst die Formel (7.) einer gewissen
Transformation unterwerfen.

Differenzirt man den von x, y, ^', ?], ^', r/ abhängenden Aus-
druck Q (3.) nach der Bogenlänge 0 des Punktes {B, ij), so folgt:

dQ bQ .^, , bQ bQ ^„ bQ „

äa=H^ +"ö^'^ +öT'^ -^W"' '

1 M u /o A öO br . bQ bT . ,

oder, weil, nach (3.), — ^, = -— - und ^7 = — -.1^ ist:
^ö^ bin bi] bg

dQ _^_Q_ .',^_Q ' , 11 1" _ i^ "

da H ö»; '^ ^V^ ^^ ^ '

Diese Formel aber gewinnt mit Hinblick auf die aus den Gleichungen
(C.) pag. 3:

l jy == sin 0
entspringenden Helationen

*") Man vgl. die Note pag. 31.

39] ÜEBER DIE Methode des akithmetischen IMittels. Abu. II. 601

f§"=- d' smO , . U"= - 0' rf ,

^'^ l;;" = + Ö'cosö, ^''' lr/' = + ö'r,

folgende Gestalt:

dQ _ /ÖQ ,, IQ \ _ /ÖT ÖT A ,

rfa -We " + H W U/; ^ ^ ö|^r '

oder, einfacher geschrieben, folgende Gestalt:

^^•^ d^-Ui-= + ö,; '^/ rfa^ •

Andererseits ergiebt sich aus der Formel :

da" h^^ "^ ö»; '^
durch nochmalige Ditferentiation nach g:

wofür man. auf Grund der bekannten Gleichung ^r^ + t— » = 0,
und mit Rücksicht auf die Relationen {ß.). auch schreiben kann:

d'^T

Und diese. Formel endlich ist, mit Rücksicht auf die aus (3.) ent-
springenden Gleichungen:

ö 0 _ _ ö^ ' . ^' ^ ^'
H> _ _ ^ ' . ^ t'
offenbar auch so darstellbar:

Multiplicirt man jetzt die beiden Formeln (8), (9.) einmal mit
den Factoren $', //, das andere Mal mit den Factoren ?/, — ^', und
addirl jedesmal, so erhält man, mit Rücksicht auf die ans («.) ent-
springende Relation ^'^ -J- )■- = 1 :

G02 C. Neumann, [40

(dQ , (/r,„\ , (d-T ^ ,.,\ .,
[cla+da'V^ -{do^-^'V '

oder, falls man die Differentiationen nach der Bogenlänge 0 durch-
weg durch Accente andeutet, und zugleich die Relationen (ß.) beachtet:

oder, was dasselbe ist:

Hieraus foliit sofort:

oder, falls man, was die letzten Terme betrifft, die identischen
Gleichungen :

benutzt:
(10.)

A^ = U\Q^' + T'ri') - Tf'ri']' + T{f' r^')' - Qf^'

f^ = mri' - rn + rf'^']' - nrn' - orv

Zufolge der Voraussetzungen (6.) sind die hier in den eckigen
Klammern [ ] enthaltenen Grössen stetige Functionen der Bogen-
länge, und die Ableitungen derselben nach o, d. i. die Grössen
[ ]', ahtheilungsweis stetige Functionen der Bogenlänge. Substituirt

man daher die Werthe (10.) in der in (7.) für ^^|^ aufgestellten

Formel und in der analogen für -— geltenden Formel, so erhält
man sofort:

411

ÜEBER DIE Methode des arithmetischen Mittels. Abh. II. 603

9? 5B

(H.)

= - In- r>i')'do + -i fQ{f'^')do , (!)

wo 33 und © als Abbreviaturen dienen sollen für die beiden Inte-
grale erster Zeile.

Nun sind, zufolge der Voraussetzungen (6.), (/l) und (f ff)
stetige, und andererseits {f ^')' und (/'//) (iblheilitngsweis stelige Func-
tionen der Bogenlänge; so dass also in Betreff der Integrale 93,
SS folgende Notizen zu machen sind :

mit Bezug auf 93.

mit Bezug auf ©.

( — /"?/)' ist eine ahtheUumjs-
weis stetige Function der
Bogenlänge, und / ( — f r/jclo
ist = 0.

(/' ^') ist eine stetige Function
der Bogenlänge.

Demgemäss subordiniren sich die Integrale ^ und ifö ohne
Weiteres den Theoremen Va. und Wa. (pag. 22 und 26). Man kann
daher die im vorhergehenden Paragraph angestellten Ueberlegungen
hier Schritt für Schritt von Neuem wiederholen , und gelangt so z. B.

zu der Einsicht, dass die Werthe l-r — 1 und i-r — j für jedweden

Punkt s bestimmte endliche Converqenziverthe \- — ) und [^ — | be-
sitzen, zwischen denen die Relation stattfindet:

Analoges ergiebt sich sodann, was die zweite der Formeln (II.)
anbelangt, für — ; so dass man, Alles zusammengefasst, zu fol-
gendem Theorem gelangt:

Theorem W^i. — Denkt man sich längs der gegebenen geschlossenen
Curve irgend eine Function der Bogenlänge f = /"(a) vorgeschrieben,
und setzt man voraus, dass

604 C. Neumann, [*2

Ö, /*, f stetige, und 0' , /"' abtheilungsiveis stetige
Functionen der Bogenlänge sind,

so sind die ersten Ableitungen des Potentials

(13.) W= W{x,y)= y^f'l^fäo

in jedwedem von der Curve getrennten Punkte {x, y) folgendermassen
darstellbar:

hx
(U.)

-=Lh-rnyäo + lf'ilmäa, (.)

Auf Grund dieser Formeln ergiebt sich *), dass die vier Functionen

für jedweden Punkt s bestimmte endliche Conver genzw erthe**)
besitzen :

\^xlas \^y/as \^X fjs \^y Ijs

und dass zivischen diesen Convergenzwerthen die Relationen statt/inden:

Sodann aber ist als ganz besonders tvichlig hervorzuheben, dass
jene vier Functionen (15.), inclusive ihrer Convergenzwerthe (16,), vier
Fundamental functionen repräsentiren , die theils dem Gebiete %,
theils dem Gebiete 3 angehören.

Bemerkung. — LUsst man, ebenso wie früher [vgl. die Bemerkung
pag. 37] die os-Axe mit t, die y-Axe mit v zusammenfallen, und be-
zeichnet man den Ausgangspunkt der beiden Linien r und v mit s, so
werden, ebenso wie damals, die Formeln stattfinden :

^; = 1 und r^; = 0 ;

wodurch die Relationen (17.) die Gestalt gewinnen :

*) Wie nämlich solches im Vorhergehenden erläutert worden isi.
**) Vgl. die Definitionen pag. 22, 23.

*3j Ueber die Methode des akithmetischen Mittels. Abu. II, 605

W l'-^] -C^ =0.

\ ^y las ^ öf/ fjs

Die Formel (^.) steht io vollem Einklang milder Formel (10.) pag. 26.
Andererseits enthält die Formel (ß.) den wichtigen Satz, da-is der Diffe-
rentialquotient des Potentiales IT nach der Xormale bei einem Durchgange
durch die gegebene Curve in stetiger Weise sich ändert.

Zweite Bemerkung. — Es sei s ein bestimmter Punkt der gegebenen
Curve, und ebenso wie bisher:

W=W(^,y)='-J'^fda.

Alsdann wird offenbar die Stetigkeit resp. Unstetigkeit von W , - — ,

— — in unmittelbarer Nähe des Punktes s nur von derjenigen Beschaffen-

heil abhängen, welche die vorgeschriebene Function /, sowie auch die
gegebene Curve selber, in unmittelbarer Xähe von s besitzen. Dem-
gemäss ergiebt sich auf Grund der Thoreme Wa. pag. 26 und \Vß.
pag. 4 1 folgender Satz :

Erster Satz. — Es seien 0 und f stetige Functionen der Bogen-
länge G; so dass also das Integral

(a.) W = Wix, y) = ~f~fda = ~Jnda\^., y)

unter allen Umständen einen bestimmten endlichen Werth besitzt.

Denkt man sich nun auf der gegebenen Curve irgend einen bestimmten
Punkt s markirt, so werden W, utid namentlich auch

bei einer Annäherung an diesen Punkt s gegen bestimmte endliche IVerthe
convergiren, falls nur innerhalb eines den Punkt s einschliessenden beliebig
kleinen Curvenintervalls f' stetig, und 6' und f" abtheilungsweise
stetig sind.

Dieser Satz ist ohne Weiteres anwendbar auf die Fundamentalfunc-
tionen einer Kreisfläche [Abb. I., pag. 96], und führt alsdann zu folgendem
Resultate :

Zweiter Satz. — Am Rande einer gegebenen Kreisfläche seien
irgend welche daselbst stetige Werthe f = f{a) vorgeschrieben; so dass
also die diesen Werthen f entsprechende Fundamentalfunction V der Kreis-
fläche in jedwedem Punkte {x , y) innerhalb dieser Fläche darstellbar ist
durch die Formel Abh. I., pag. 96 (18.)] :

iy.) Y = M^(x,^) = Consl. + |//X(/a)(^, j,).

606 C. Neumann, [44

Markirt mati alsdann irgend einen liandjmnkt s, so werden Y und
namentlich auch

id.) - — und z —

bei einer Annäherung an diesen Punkt s gegen bestimmte endliche Werthe
convergiren, falls nur innerhalb eines den Punkt s einschliessenden beliebig
kleinen Randintervalls f' stetig , und f" abtheilung sweise stetig ist.

Diese die Kreisfläche belredenden Dinge sind übrigens von P. du Bois-
Hkymond in einem kürzlich erschienenen Aufsatz (Crelle's J., Bd. 103,
pag. 221) einer etwas ii'e/'er gehenden Untersuchung unterworfen worden,
— wenigstens insoweit, als es sich um die Ableitung von Y nach der
Normale v des Randes handelt. Das Resultat, zu welchem der genannte
Autor gelangt, ist folgendes :

Man bezeichne die Bogenlänge des gegebenen Punktes s mit er, und
verstehe unter A(f) eine monoton mit t verschwindende Function von
solcher Beschaffenheit, dass der Quotient

Ro + 0 + [{o - 0 - ^Ro)
l{t)

bei abnehmendem t unter einer endlichen Schranke bleibt, und einmal
aufhört Null zu werden, Oder genauer ausgedrückt: Man beschränke sich
auf solche Fälle, in denen eine Function l{t) von der soeben genannten
Beschaffenheit wirklich existirt. Alsdann wird die nach der Normale
V des Punktes s gebildete Ableitung

dv '

bei einer Annäherung an den Punkt s, convergiren oder divergiren, je
nachdem das Integral

'<'l{t)dt

I

0

convergent oder divergent ist. Dabei bezeichnet a eine positive Con-
stante von beliebiger Kleinheit.

§ s.

Allgemeine Betrachtungen über die höheren Ableitungen der
Potentiale F und W .

Benutzt man P als Collectivbezeichnung für die beiden PoteQ-
tiale Y und W, so ist nach den Theoremen Yß. (pag. 36) und Wß,
(pag. 41):

(1.) ^ = 3$ + 2ß, (!)

wo 23 das Potential einer gewissen einfachen Belegung, andererseits

^^, = (35' + 95") + (S' + 5Ö5") , (!)

*5] Ueber die Methode des arithmetischen Mittels. Abh. II. 607

2? das Potential einer gewissen Doppelbelegung vorstellt. Hieraus
folgt sofort:

dx* bjc'^ hx ' ^''

Nun ergiebt sich al^er, falls man jene Theoreme Tß. und Wß. aber-
mals, und zwar diesmal auf 35 und SS in Anwendung bringt:

Ö95

^ = 1V + S', (!)

^=^'H-Sß", (!)

wo wiederum 35', 35° die Potentiale gewisser einfacher Belegungen,
und 2Ö', 25" die Potentiale gewisser Doppelbelegungen vorstellen. So-
mit folgt:

oder kürzer geschrieben:

(ä.) »^=>' + «'' (')

wo alsdann t» = 35' -\- 35" das Potential einer gewissen einfachen
Belegung, und w = ©' -f 30" das Potential einer gewissen- />o/)pe/-
belegung vorstellt.

Ebenso wie wir hier, mittelst der Theoreme Vß., Wß., von
(1.) zu (2.) gelangt sind, ebenso werden wir offenbar, mittelst der-
selben beiden Theoreme, von (2.) aus zu folgender Formel gelangen
können:

(s.) ^ = ,■ + „., C)

und sodann von hier aus zu folgender:

(4.) ^^ = t>" + m" . (!)

u. s. w. — Wir übersehen somit bereits, dass wir in dieser und
ähnlicher Weise schliesslich zu folgendem Resultate gelangen :

Allgemeiner Satz. — Benutzt man P als Collectivbezeichnung für
die beiden Potentiale V und W, so ist im Allgemeinen jedwede
Ableitung von P folgendermassen darstellbar:

5im + n p

(5.) - - ^ 25 1 555

G08 C. Neumann, [^C

wo 33 das Potential einer gewissen einfachen Belegung, und 3B
das Potential einer gewissen Dop p elbeleg im g vorstellt.

Will man indessen die Dinge nicht im Allgemeinen, sondern- niit
wirklicher Genauigkeit haben, so muss man mühsam von Stufe zu
Stufe emporsteigen, und also von den in den beiden vorhergehen-
den Paragraphen besprochenen ersten Ableitungen zunächst empor-
steigen zu den zweiten Ableitungen. Und zu diesem Zwecke mögen
zuvörderst die Ergebnisse jener beiden vorhergehenden Paragraphe
in eine etwas einfachere und mehr symmetrische Form versetzt
werden.

§ c.

Recapitulation und Vereinfachung der Theoreme V«.^ Wu,
und V>\, \V(J.

Aus den Formeln (C.) pag. 3:

l B' = a = eos 0 , f A = — sin <9 ,

\rf = ß = s\n 0 , IB = cos ö

folgt durch Differentiation nach dei' BogenlUnge o sofort:
\rj" ==:ß' = Bö' , \B' = - ßO' ,

und hieraus durch nochmalige Differentiation:

^"' = a" = K&" - aO'O' , JA" = - aO" - kO' 0' ,

rj'" = ß" =B6" — ßO'O' , \b" = - ßO" —BO'O' .

Und mit Rücksicht auf diese Relationen (A.), (/?.), (6'.) kann den
Theoremen Vß. und Wß. eine etwas einfachere und mehr sym-
metrische Gestalt verliehen werden. Aber auch die Theoreme Va.
und W«. sind einer etwas bequemeren Darstellung fähig. So z. B.
kann das Theorem Va., oder wenigstens der für uns ivichtigste
Theil dieses Theorems folgendermassen ausgesprochen werden [vgl.
pag. 22]:

Theorem Va. — Ist längs der gegebenen geschlossenen Curve eine
Function der Bogenlänge f = /' (a) vorgeschrieben , und setzt man
voraus, dass

47] Uebek die Methode des arithmetischen Mittels. Abh. II. 609

6 und f ablheilungsweis stetige Functionen von o
sind, und dass überdies 1 fda = 0 i,v/,

so wird das Potential

(«.) y= \\x,y)=^fTfda

in der ganzen vnendliclicu Ebene allenlhalbcu stetig sein; so dass
z. B. die Formeln stallfinden :

(3.) Vag = l'j = Vjs , i^vgl. die Bemerkung pyg. 23 .

Auch werden alsdann die Wert/ie Va, inclusive der Vas-, eine
Fund amental function des Gebietes ^l, und ebenso die T}, iw-
clusive der Vy,, eine Fundamentalfunction des Gebietes 3
bilden.

Andererseits kann man das Theorem Wa. (pag. 26), seinem
Hauptinhalt nach, folgendermassen ausdrücken:

Theorem W a, — Ist längs der gegebenen Curve eine Function
f = /(ö) vorgeschrieben, und setzt man voraus, dass

(*•) 0 und f stelige Functionen von g sind,

so wird das Potential

(5.) 11- = n'(x, ,) = '/^ /■</«■ = IffCio),,. „

in der Ebene überall stetig sein, mit alleiniger Ausnahme der ge-
gebenen Curve.

Insbesondere werden alsdann die Weithe Wa, inclusive ihrer Con-
vergenzwerthe Was, eine Fundamentalfunction des Gebietes %
und die Wj, inclusive ihrer Convergenzwerthe Wjs, eine Funda-
mentalfunction des Gebietes 3 bilden. Veberdies werden jene
Convergenzwerthe durch die Relation

(6) " a. - "> = - 2/;

mit einander verbunden sein.

Bemerkung. — Sagt man von einer Function F{x), sie sei sammt
ihrem DifTerentialquotienten stetig, so ist dadurch schon mitausgesagt die
Existenz dieses Ditferentialqiiotieuten.

Aehnlich liegen die Dinge hier. Wenn z. B. gesagt wird, die Werthe
Iffl bildeten, inclusive ihrer Convergenzwerthe H^,, eine Fundamental-

G10 C. Neumann, [48

function des Gebietes 2t, so ist damit schon mitausgesagt die Existenz iancr
Convergenzwerlhe, und ebenso auch das Endlich- imd Stetigsein der-
selben. Denn eine Fundamentalfunction des Gebietes 3t ist (ihrer Defini-
tion zufolge) endlich und stetig in ganzer Erslreckung von 2t, also z. B.
auch am Rande von 2t.

Die in dem vorstehenden Theorem benutzte Ausdrucksweise dürfte
also in Bezug auf Kürze und Schärfe nichts zu wünschen übrig lassen,
und soll demgemäss auch weiterhin Zur Anwendung kommen.

Mit Rücksicht auf die zu Anfang dieses Paragraphs notirten
Relationen (A.), (Fi.), (C.) gewinnt das Theorem Vß. (pag. 3G) fol-
gende Gestalt:

Theorem Vß, — Ist längs der gegebenen Curve eine Function
f =: I\g) vorgeschrieben^ und setzt man voraus, dass

6, f stetige, und 0', f abtheilungsweis stetige
Functionen von g sind,

so sind die ersten Ableitungen des Potentials

(8.) V= Vix,y)= ^^ fr/da

in jedem von der Curve getrennten PunJäe {x, y) darstellbar durch
die Formeln:

^ = i fnfayda -f - f^i- fA)dG , (!)
hx jtJ 71 J dv

(9.)

V = - fnfßhlo 4- - /v^t- fSyda . (!)
hy 7cJ TtJdv

Auch werden alsdann die vier Functionen:

inclusive ihrer Convergenzwerlhe, vier iheils zu Qt, theils zu 3 gehörige
Fundament alfunctionen sein. Ueberdies werden jene Convergenz-
werihe durch die Relationen

mit einander verbunden sein.

*9] LiEBER DIE Methode des ARiTHMETisrHEX Mittels. Abh. II. 6 H

Endlich wird man das Theorem W(i. (pag. 41), mit Rücksicht
auf die zu Anfang dieses Paragraphs gegebenen Relationen (A.),
(ß.), (C), in folgende Fassung versetzen können:

Theorem VV^y. — hl längs der gegebenen Ciirve eine Function
f = /"(ö) vorgeschrieben, und setzt man vor am, dass

..a^ ^1 l\ f stetige, und 0' , f" abtiieilungsweis stetige

Functionen von a sind,

so sind die ersten Ableitungen rfes Potentials

(43.) ,r = W(a=, y) = 'J'^Jäo = i/A</«)(., „

in jedwedem von der Curt^e getrenntem Punkte (x, y) darstellbar
durch die Formeln:

(U.)

Ji = rJ^V-BUlo + yJ'~ifß)do . (!)

Auch werden alsdann die vier Functionen

inclusive ihrer Convcrgenzweithe, vier theils zu % theils zu 5 gehörige
Fundamentalfunctionen sein. Ueberdies werden jene Convergenz-
werlhe durch die Relationen

(16.)

mit einander verbunden sein.

§ 7-
Die zweiten Ableitungen des Potentials V. Theorem Vy.

Im Anschluss an die auf der Curve vorgeschriebene Function
f = /(<>) mögen die Ablireviaturen eingefühi t sein :
(<•) g = {fa)' und h = - fA .

Ueberdies mag vorau.sgesetzt sein, dass

Abhandl. d. K. S. Gesellseh. d. Wissenscli. XXIV. ^^

612 C. Neumann, [50

Ö, 0', /", f stelige, und O", /'" ahlheilurigswcis stelige

Functionen von a sind. Alsdann werden oß'enbar*)
(2.)

g, h, 1i stetige, und g\ h" ahiheilungstveis stetige Func-
tionen von ö sein.

Dies vorangeschickt, ergiebt sich nun für das Potential
(3.) V=V(x,y)= l'jTßo

mittelst des Theorems Yß. (pag. 48) die Formel:

eine Formel, die man mit Hinblick auf (1.) auch so schreiben kann:

(4.) l^==- frgclG -\- ^ f'-i^hda. (!)

^ ^ bx 7cJ ^ 7r'f dv

Hieraus folgt, falls man die Integrale rechts mit %, 2B bezeichnet:

bx^ ~ ÖCR "^ Ö.X ' ^''

(5.)

h^V _ 033 Ö3a>

öa? ö?/ öy ö// ' '

wo die Ausrufungszeichen nach wie vor andeuten, dass die be-
treffenden Formeln nur so lange gültig sind, als der Punkt {x, y)
von der Gurve getrennt bleibt.
Das Potential 33 (4.):

iP) ^ = ^fTgda

subordinirt sich , in Hinblick auf die Angaben (2.), ohne Weiteres
dem Theorem Vß. (pag. 48). Hieraus folgt einerseits, dass die
Formeln stattfinden :

Jnyayda-r^f'-^i-gA)do, (!)
jTigßydo+lf'^i-9B)do, (!)

m

\

hx

TT

Ö93
hy

TT

andererseits aber, dass die vier Functionen

*) Vgl. die für u, A gegebenen Formeln {A.), (li.), {€.), pag. 46.

5<] Leber die Methode des arithmetischen Mittels. Abh. II. 613

^•^ fei- ya;"M4' y.'

inclusive ihrer Convergenzwerlhe , vier Fumlamentalfunclionen sind,
und dass zwischen diesen Convergenzwerthen die Relationen statt-
finden :

Aehnliches ist zu bemerken über das Potential © (4.):

ig.) m=- f~hda.

.cJ dv

Aus (2.) ergiebt sich nämHch, dass dieses Potential dem Theorem
SVß. (pag. 49) sich subordinirt. Und hieraus folgt einerseits, dass
die Formeln gelten :

^^^ \ r \ PdT

^-=-Jnh'Ayda-^J^^ih'a)da, (!)

(?'.)

Ö9vn 4 /* I PilT

andererseits aber, dass die vier Functionen

(m'(fi-(m-(fi'

inclusive ihrer Convergenzwerlhe, vier Fundament alfunctionen sind,
und dass zwischen diesen Convergenzwerthen die Relationen statt-
finden:

(f)

Da nun, nach {p'.\ (q".\ die i^\ und die /-— 1 , inclusive

ihrer Convergenzwerlhe, zwei Fundamentalfunclionen des Gebietes
91 sind, so gilt Gleiches auch von der Summe dieser beiden Func-
tionen: 1^^ + ^j , d. i. nach (3.) von l^^] . In solcher Art

gelangt man, auf Grund jener Sülze (p".), {q".\ und mit Rücksicht
auf (3.), zu der Einsicht, dass die vier Functionen

kk'

614

G. Neumann,

[52

inclusive ilirci- (]onvergenz\vei1lie , Fundamentaljundioiicn sind, und
dass mithin, wie unmittelbar aus der Symmetrie folgt, Gleiches auch
gelten muss von den beiden Functionen

(6a.)

^W)a ""' ^Wl ■

Gleichzeitig ergeben sich für die Conveigenzvverthe der Functionen
(6.) aus (5.), (/)'".), iq'".) die Relationen:

(7.)

Die Werthe der Fundamentalfunctionen (6.), (6«.) sind leicht
naher angebbar. Substituirt man nUmlich die Werthe {/)'.), (q.) in
(5.), so folgt:

(8.)

IfTirjß + /''B)V/a + y ^' (- &B + //'A>/o- • (!)

ö^ 1'

Substituirt man aber hiei' (üi- q, h ihre eigenllichcn Bedeutungen
(1.), so erhält man, nach einigen elementaren Reductionen [bei denen
die Relationen (/?.) pag. IG von Nutzen sind], die erde und letzte
Formel folgenden Systems:

(0-)

= - frif'ia' - A-) + A^'(2«A)]^/o-
+ If^ [- /"('2«A) + fO'ia' - m da , (!)
VT = ! A'l/"(/^' - B') +A^>'(2A^B)lVo-

+ ~ fl^ i- /"(2/^B) + /V/(P'^^ - B"^)]./o- , (!)

jC'' (IV

J-lll = A fririaß - AB) + /-^/(«B + /M)lV/ff

+

1 /W/r

(I V

U

/"(«B + /M) + ^^'(«/^ - AB)]</(7 , (!)

33: Uebeb die Methode des arithmetischen Mittels. Abu. II. 615

wahrend die miUlere Formel ohne Weiteres hinzugefügt ist nach
Analogie der ersten.

Desgleichen gelangt man von den Formeln (7.) aus. durch Sub-
stitution der in (I.) angegebenen Bedeutungen von g, h, zur ersten
und letzten Formel folirenden Svsteras:

UO.)

wo wiederum die mittlere Formel hinzugefügt ist auf Grund ihrer
Analogie mit der ersten. Dabei sei bemerkt, dass das in (9.), (10.)
auftretende d' den Werth hat:

wo R den Krümmungsradius der gegebenen Curve bezeichnet, und
wo 6 = -f- ' ^^^^' = — ' islj je nachdem der betreifende Krüm-
mungskreis ein innerer oder äusserer ist. Wir können schliesslich
die Resultate dieses Paragraphs folgendermassen zusammenfassen:

Theorem Vy. — Ist längs der gegebenen Curve eine Fnnetion
f z=z I\g) vorgeschrieben, und setzt man voraus, dass

ö, 6\ /', f stetige, und ö ", /'" abtheilungsiveis
stetige Functionen von o sind,

so sind die zweiten Ableitungen des Potentials

(13.) V=V{x,y)= ^frfda

für jeden von der Curve getrennten Punkt {x, y) durch die Formeln
(9.) darstellbar.

Ferner werden alsdann die sechs Functionen

^'*> (si?L' (§-)„• i^i'""' (s3^l- (wl' (Äl '

inclusive ihrer Convergenzwerthe , sechs theils zu ^^\, theils zu 3 ge-
hörige Fundamentalfunctionen sein. Und überdies werden jene
Convergenzwerthe durch die Relationen (10.) mit einander verbunden sein.

616 C. Neijmann, [54

Bemerkung. — Niiiiint mau ebenso wie früher [vgl. die Bemerkung
pg. 37j zur a;-Axc eine positive Tangente der Curve, und zur y-A\G die im
Berührungspunkte s errichtete innere Normale, so wird für diesen Punkt
s das AzinuUh 0 = 0, mithin [nach (Ä) pag. 46] :

a := ] , ß = 0 , A = () , B = ^ ,

sodass also die Formeln (I 0.), mit Rücksicht auf (I 1 .), für diesen speciellen
Punkt s die Gestalt erhalten :

Die Richtigkeit dieser Foiniehi lässt sich z. B. leicht conlroliren
für eine gleichmässig nüt Masse belegte Kreisperipherie. Für eine
solche Belegung ist nämlich das Potential auf innere Punkte constant,

andererseits aber das Potential auf äussere Punkte = M log — , wo M die

r

Gesammtmasse der Belegung, und r die Ceniraldistanz des sollicitirten

Punktes vorstellt. U. s. w.

§ 8.
Die zweiten Ableitungen des Potentials VV. Theorem Wy,
Zur Abkürzung sei gesetzt:
(I.) g = (/'A)' und h =f'a.

Zugleich mag angenommen werden, dass

0, 0', /", /', ["stelige, und 0'\ ["' ahlheilungswcis stetige

Functionen von g sind. Alsdann werden ollenbar*)
(2.) , . , „ . . .

g, //, h sielige, und g , h abtheilimgsweis sielige Func-
tionen von a sein.

Dies vorangeschickt, ergiebt sich nun für das Potential
mittelst des Theorems \\ß. (pag. 49) die Formel:

^) Vgl. die l^orraeln {A.), {B.\.{C.) pag. 46.

55] Lieber die Methode des arithmetischen Mittels. Abh. II. 61 7

d. i. mit Rücksicht auf (1.):

woraus folgt:
(5.)

95 33

bX' ~ bx ~^ hx ' ^'

b- w _m b^

hxhy~~ by ^ hy ' ^''

Das Potential 5B (4.):

(P.) Xs=yfTgda

subordjnirt sich [vgl. (2.)] dem Theorem Vß. (pag. 48). Hieraus folgt
einerseits, dass die Formeln stattfinden:

(P'.)

b'& \ P \ PdT

4 = 'J^^tO-do + -J^ (- sB,<ia , (!)

andrerseits aber — u. s. w. Kurz es ergeben sich genau dieselben
Formeln und Bemerkungen, wie sie im vorigen Paragraph in (/).), (/>'•),
(]/'.), {p" .) und (^.), (g'.), {q.'% {(]'"') notirt worden sind, nur mit
dem Unterschiede, dass g und h hier andere Bedeutungen haben
als damals.

üemgemäss sind auch die weitern Ergebnisse analog mit denen
des vorigen Paragraphs. Man gelangt nämlich zu dem Resultate,
dass die sechs Functionen

inclusive ihrer Convergenzwerthe. Fundamentalfuncüouen sind, ferner
zu dem Resultate, dass zwischen den soeben genannten Convergenz-
werthen die Relationen staltfinden:

(7.)

Gl 8

C. Neuriann,

(56

und endlich aucli zu dem Resultate, dass für jene Functionen (6.)
die Foi'uieln yt^lten:

^ = '', fnga + h'^)'do + l pl^i- r/A + }ia)do , (!)

?)^ W \ f , 1 i'd T

= ^T{gß + hB)'da+-^l~--{-,jB + liß)dö. (!)

(8.)

hxhy

Substituirt man hier in (8.) für g und h ihre eigenthclien Be-
deutungen (1.), so erhalt man, nach einfachen Reduclionen [hei denen
die Relationen (B.) pag. 4G von Nutzen sind], die erslc und leizle
Formel folgenden Systems:

+ ir^ [/■"(«'— A^') H- /■' 0'{'ia/\)] da , (!)

+ lf~j^ [fiß' - B'^) + /V/(2/^B)lr/r7 , (!)
ÖMF

(9.)

, , = ' A'i/>B + /^A) ~ /'ÖH«/^ - AB)]^/a

0 X 0 jj ji '^

+ ■! PTiT, r^"(«/^ - A^) + /"^'('^^ t^ /^A)]ric7 , (!)

in welchem die miUlerc Formel hinzugefügt ist nach Analogie der
ersten.

Desgleichen gelangt man von den Formeln (7.) aus, durch Sub-
stitution jener Werthe (1.), zu folgendem Formelsystem:

(10.)

I h"^ W \ / ö^ VV \

hier ist wiederum:
(H.)

s
Ti '

wo H den Krümmungsradius der gegebenen (^urve vorstellt, und
6= -j- 1 oder =: — 1 ist, je nachdem der betreffende Krümmungskreis
ein innerer oder äusserer ist. — Somit ergiebt sich folgendes Theorem :

57] Uebek die Methode des arithmetischen Mittels. Abh. II. GI9

Theorem Wy, — hl längs der gegebenen Curve eine FuncUon
f = l\a) vorgeschrieben, und setzt man voraus, dass

^A ff'i fi f 1 1" stetige und 0'\ f" ablliei l ungs weis
stetige Functionen von g sind,

so sind die zweiten Ableitungen des Potentials

(!:{.) W = W{.r, y) = ^^p-Ifdo = ~ff\do\,^ „)

/)//• jeden von der Curve getrennten Punkt {x, y) darstellbar durch
die Formeln (9.)

Ferner werden alsdann die sechs Functionen

^'^■) IT^H' l^/H- \^a ""' M/ \^'/l \^/

inclusive ihrer Convergenzwerthe , sechs theils zu 91, theils zu 3 ge-
hörige Fundamental j'unctionen sein. Und endlich werden jene
Convergenzwerthe durch die Relationen (10.) mit einander verbunden

sein.

Bemerkung. — Nimmt man zur x-X\c eine positive Tangente der
Curve, und zur y-A\e die im Berührungspunkte s errichtete innere Nor-
male, so wird für diesen Punkt * das Azinnilh ö = 0 , mithin [nach (-1.)
pag. i6] :

a = \ , ii = 0 , A = 0, B=l;

sodass also die Formeln (1 0.), mit Rücksicht auf (M.), für diesen spe-
ciellen Punkt s die Gestall gewinnen :

wo R den Krümmungsradius vorstellt, und 6 = d= I ist.

§9.

Tabellarische Uebersicht.

Blickt man zurück auf die Theoreme F«., Wa., Vß., Wß.,
^y-> ^^ ; • P'^S- 46 — 57, so sieht man, dass die Voraussetzungen,
unter denen diese Theoreme aufgestellt sind, durch folgende Tabelle
angedeutet werden können :

620

(.-. Neumann,

158

Va.

{0. /■)•

Wa.

0, f.

Vß.

Vy.

0, /; {0', n-

Wii.

ö, /; /•', {(r, /■").

0, 0', /; r,\o'\ /■").

Wy.

0, 0', /; /■', r, (ö", n-

In dieser Tabelle sind ulimlich diejenigen Functionen, welche sleiig
sein sollen, geradezu hingeschrieben , diejenigen Functionen aber,
welche nur abtheiliingsweise sleiig zu sein brauchen , in Klammern
beigefugt.

Aus dieser Tabelle erkennt man bereits mit ziemlicher Sicherheit,
wie die weiteren Theoreme Vd., W()., Ve., VVt. , etc. lauten werden.

§ 10.

Ueber eine aus zwei Potentialen V und W zusammengesetzte
monogene Function.

Markirt man irgendwo innerhalb 3 einen Punkt j{x, y) und be-
zeichnet man den von diesem Punkte nach irgend einem Gurven-
punkte (I, ?/) gezogenen Radiusvector mit E, und das Azimuth des-
selben gegen die a;-Axe mit y, so ist otlenbar

(1-)

lang y = -_-^ ;

woraus durch partielle Ditl'erentiation nach x und y die Formeln
sich ergeben :

'hy

(2.)

E^ ^ hy '

X - §

- , wo r = loe — .

Ist nun längs der gegebenen Curve eine Function der Bogen-
länge /' = /'((j) voigeschrieben, und setzt man voraus, dass

Ö, /' slelige Functionen, und dass überdies /" eine
abtheihingsweis stelige Function ist,

so subordiniren sich die Potentiale

(3.)

(4.) V= Vix,y) = LJTf'do und IF = W{x, ?/) = - /'-j^ fda

591

ÜEBER DIE MeTBODE DES ARITHMETISCHEN MlTTELS. AbH. II. 621

resp. den Theoremen V«. pag. i6 und Wa. |>ag. 47; so dass also

z. B. die beiden Functionen

(5.) Vj und \Vj ,

inclusive ihrer Convergenzwerthe, zwei Fundamentnlfwicl'wnen des
Gebietes 5 ^<^'ö werden.

Dies vorangeschickt, wollen wir jetzt die Funclion H} einer
gewissen Transformation unterwerfen. Sind y und y -j- dy die-
jenigen Werlhe des vorhin deliuirten Azimuths, welche respective
den Bogenlängen o und g -\- do entsprechen (vergl. die beistehende
Figur), so wird:

(6.)

W,^'-f'-lfäa='-JRda),= '-fräy.

7t *f dv TT«' '^ '^

In der That erkennt man leicht, dass
{d(3)j und dy unter allen umständen
einander gleich sind, einerlei ob der
in j befindliche Beobachter die innere
oder die äussere Seite des Elementes
da vor Augen hat.

Aus (6.) folgt sofort:

(7.) ^>=;^/K/')-^''/) '

(8.)

d- i. H}= ^[yn-^fyf'da ,

wo \yf\ die Differenz derjenigen Werthe vorstellt, welche das Pro-
duct ;'/ zu Ende und zu Anfang des Integralionsinlervalles besitzt.
Denkt man sich also das Azimuth von# einem festen Curvenpunkte s«
aus gerechnet, dessen Azimuth / = y^ ist, so wird yp =
(Yü ~r ^^)U — /'o/o = -"^/o sein, wo {^ den Werth von f in s^ vor-
stellt; so dass man also erhält:

(9.)

^yj = iro-~fyrdo

Dies erscheint befremdlich.

Denn hätte man statt Sq irgend
einen andern festen Punkt s, gewählt, so würde sich ergeben haben:

00.) ": = 2/\- :^///V/(7 ,

wo /'i den Werth von f in Sy vorstellt. Und man würde also in

G22

C. Neümann,

[60

solcher Art für ein und dasselbe Wj zwei von einander verschiedene
Werthe (9.) und (10.) erhalten. Doch llisst sich leicht zeit>en [vergl.
die folgende Erläuterung], dass die beiden in (9.) und (10.) ent-
haltenen Integrale, obwohl der Form nach identisch, verschiedene
Werthe haben, und dass mit Rücksicht hierauf die rechten Seiten
jener Formeln (9.) und (10.) sich als (jleich gross ergeben.

Erläuterung. — Wir bezeichnen die Integrale (9..) und (10.) mit U^
und U^, geben jenen beiden Formeln also folgende Gestalt:

1

(.1.)

(ß.)

Wj = 2/;

Wi

V\

1

£/.

U,

Üjjis Aziniulh y ist derjenige Winkel, unter \vel(;lieui der von y nacli einem
Curvenpunkte hin gelegte lladiusvcctor gegen die ac-Axe geneigt ist, und
wird daher um 2 7t anwachsen, sobald man den Curvenpunkt liings der

Cvirve einmal herumlaulen liisst. Bezeichnet man also die Bogenlänge
dieses Curvenpunktes mit a, so ist y eine nichtperiodische Function von a.
Sind nun y^^ und y^ + ö die Azimuthe der beiden festen Punkte .s„ und s^
[vgl. die Figur]^ so ist das Integral //„ hinzuerstrecken von /^ bis
(/ü + 2 yc), hingegen das Integral ?/, hinzuerstrecken von (j^j, + d) bis
(/o "+" ^ + 2 tt) ; sodass man also schreiben kann ;

U.=

rfdG-i-J

y» yo-

\=J rräo+J

yo + 'l/t

yf'da

yo4-(J

Yo+2ii+d

U.==J yf'da -i-J yf'do.

Yo+d yo+'2n

Subtrahirt man diese beiden Formeln von einander, so hebt sich das
Integral oben rechts gegen das Integral unten links fort ; sodass man
erhält :

u.

u.

yf'do— J yf'da

Yo+iu

6<] ÜEBER DIE Methode des arithmetischen Mittels. Abh. II. 623

Die in dieser letzten Formel eDthalteneii Integrale tlurcblaufcn beide den-
selben Bogen s^s^■, sodass also in beiden dieselben Bogeneleniente da
und auch dieselben Werthe von /"' in Betracht kommen. Hingegen be-
merkt man, dass das erste mit dem Anfangsvs erthe (/o + - ^): das zweite
aber mit dem Anfangswerthe /„ ausgebt, und dass überhaupt in jedem
Punkte des Bogens «o«, bei dem einen und anderen Integral zwei Werthe
von y in Betracht kommen , die um t/t von einander abweichen. Somit
geht die letzte Formel über in :

f'da, d.i.: = i:rj df,

r»

(C.) d.i.: U, - U, = ^7T{f,-r,),

wo /o und /",, ebenso wie früher, die Werthe von f in .\ und s^ vor-
stellen. Diese Formel (C.) aber lässt sofort erkennen, dass die beiden in
{A.) und (ß.) für »}• aufgestellten Werthe einander ^/eicÄ sind . — Q. e. d.

Offenbar gilt die Formel (9.) für jeden beliebigen Punkt j{x, y),
falls nur derselbe von der Curve gelrennt ist. Denigomäss ergeben
sich durch Differentiation der Formel (9.) nach x und y die Glei-

chungen :

»: = _ir^^v/., (-)

hy TrJhy' ' ^^

wo zur Abkürzung W für H} gesetzt ist. Diese Gleichungen sind
mit Rücksicht auf (2.) auch so darstellbar:

hx ;cJ by ' ' ^'

(J2.)

bW

^1^ + Lp^r'io. 0)

y TT'J o,r

Vergleicht man nun diese Formeln (12.) mit den aus (4.) für
das Potential V sich ergebenden Formeln:

((3.)

bx

so gelangt man sofort zu den Relationen :

624 C. Neumann,

mitlun zii clor Einsicht, dass der Ausdruck

(15.)

[62

innerhalb 3 eine monogene Function von x -{- iy ist.

Analoges ergieht sich in analoger Weise für jeden Punkt inner-
halb ^(; so dass man also zu folgendem Satze gelangt:

Satz. — Ist längs der gegebenen Curve eine Funclion der Bogen-
länge f = /"(a) vorgeschrieben, und setzt man voraus, dass

(Iß.) 0, f stetig und f abtheiliingsweis stetig sind,

so wird das ans den beiden Potentialen

(17.) V = V{x, y) = -flfda und W = W{x, y) =. - f^-^ fda

zusammengesetzte lünoni

(18.) V+iW, (i =^V-^\) ,

für jedweden von der Curve getr ennten Punkt eine monogene
Function von x -\- iy sein.

Gleichzeitig tverden die beiden Functionen

(19.) Va-hnV^ und \^j -^ iWj ,

inclusive ihrer Convergenzwerlhe, zwei respective zu % und 3 gehörige
Fundamental functionen sein. — Diese letztere Behauptung er-
giebt sich für das Binom V} -|- i Wj ohne Weiteres aus dem bei
(5.) Bfjmerkten, und für das Binom V„ -\- i }\], in analoger Weise.

Zweites Capitel.

tJeber Fundamentalfunctionen mit vorgeschriebenen Rand-

werthen. namentlich über die Differentialquotienten dieser

Fundamentalfunctionen.

Erst nach Absolvirung einiger vorbereitender Betrachtungen
(§ 1 1 lind § 1 2), werden wir zu unserm eigentlichen Thema ge-
langen, und (in § 13) dasjenige Theorem aufstellen, welches den
eigentlichen Höhepunkt dieses Capitels repräsenlirt, und von welchem
in der Einleitung (pag. I 0) bereits die Rede war. Dieses Theorem
wird uns sodann Veranlassung geben zu gewissen weiteren Unter-
suchungen (§ 14 und § 15), namentlich auch zur Untersuchung
monogener Fundamentalfunctionen.

§ 11

Vorläufige Betrachtungen über die Azimuthe 6 und y.

Auf der
Bogenlängen a und s, deren Coordinaten
Werlhe haben [vgl. pag. 31 :

gegebenen Curve seien zwei Punkte markirt mit den

71 und .r, y also die

0)

(5 = t5(ff) , f-T = S(s) •
1 ,; = @(a) , \tj= (3is) .

Ferner sei E der gegensei-
tige Abstand der beiden Punkte,
und ;' dasjenige Azimuth , unter
welchem diese Linie E (forllau-
fend gedacht von s nach o) gegen
die j--Axe geneigt ist.

Alsdann sind offenbar E und

626 C. Neumann, [6i

y Fnnrlioncn der beiden liofjenlünoen a nnd s. Für du^so FuiKMioiuMi
gellen, uuler Anwendung der Abkürzungen:

(2.) Z = i' — (v und H = ry — y

die Formeln :

(3.) r- =

E^^ + H^^ ,

(•(>.'■

E H

Hieraus folgt z. ]J. :

-h

Er/-Hi-'
y,2

(i.)

by

E// - H.r/

ö7 ^

/,2

und weiter:

0 0

Ev"-H^-"

—

^(E,/-H^-')(H^" + H//)

Ey" — Hx"
1^

—

7i*

+

^(Ev'-H^-')(E.x'' + H.v')

wo selbstverständlich ^', ?/, ^", if die Ableitungen von ^, ij nacii
der IJogenliinge o, und ebenso .r', ?/, j-", ?/" die Ableitungen \on
a;, y nach der Bogenlänge s vorstellen,

Liisst man die beiden Bogenlängen a und .v einander gleich
werden, oder allgemeiner, liisst man die Diflerenz der beiden Bogen-
längen gleich einem ganzen Vicifaclien von T werden, wo I den
Umfang der Curve vorstellt, so erfolgt ein Nullwerden von ]j, mit-
hin ein IJnendliehwerden der Ausdrücke (4.), (;').). Dieses Unendlich-
werden ist aber, wie man leicht übersieht, in der Regel nur ein
schemhares.

Um näher auf (he Saclie einzugehen, denken wir uns je zwei
Cnrvenpunhle r, und s geometriscli dargestellt durch einen einzigen
idealen Punld {a, s). Dieser letztere soll in irgend einer Ifülfsebene
liegen, und in Bezug auf ein in dieser llülfsebene festgesetztes
senkrechtes Axensystem zwei Coordinaten a und s besitzen , die
ebenso gross sind, wie die Bogenlängen jener beiden Cuivenpunkle.
bi dieser (ts- Ebene wird alsdann eine Function F{a, s) in irgend
einem Punkte (o, s) stelifj zu nennen sein, sobaUl sie der bekannten
Bedingung genügt, dass all' ihre Werthdilferenzen innerhalb eines

65] Ueber die Methode des arithmetischen Mittels. Abu. II. 627

um den Punkt (g, s) beschriebenen Kreises durch Verkleinerung des
Kreisradius unter jedweden Kleinheitsgrad hinabdrückbar sind. Solches
festgesetzt, gelten für die Ausdrücke (4.), (5.) folgende Sätze:

Erster Satz. — Ist die gegebene Curve von solcher Beschaffen-
heit^ dass

(6.) 6 lind h' stetige Functionen von a sind,

so werden

(6 a). -^ und -^

ha ÖS

Functionen von (g, s) sein ^ welche in der os-Ebene allenthalben
stetig sind.

Zweiter Satz. — Ist die gegebene Curve der Art beschaffen^ dass

(7.) ö, 6' und 0" stetige Functionen von o sind,

so u'erden

hy hy b-y h'y b-y

ba' ös' ÖG*' ÖS* bobs

Functionen von (g, s) sein, welche in der os-Ebene allenthalben
stetig sind.

Allgemeiner Satz. — Nimmt man an, es seien

(8.) Ö, ö', 6", (i"\ . . . 6^"^ stetige Functionen von g,

so werden sümmtliche Ausdrücke

Functionen von (g, s) sein, die in der os-Ebene allenthalben stetig
sind.

Beweis des ersten Satzes. — Die Grössen y, t^, r^ sind Func-

' ÖG ÖS

tionen von g und s. Während aber / eine nicht periodische Func-
tion repräsentirt, sind r-^ , r-^ periodisch sowohl nach g, wMe auch

nach s. Und zwar ist die Periodenlänge für jedes dieser beiden
Argumente =i I; wie sich solches z. B. aus den Formeln (4.) sofort
ergiebt, falls man nur beachtet, dass >, ;^, ^', ?/ periodische Func-
tionen von G sind [vergl. V., pag. 4, 5], und dass ebenso x, y , x,
y periodische Functionen von s sind. Denkt man sich also die

Abhandl. d. K. S. Gesellsch. d. Wissensch. XXIY. 45

628

C. Neumann,

[66

(js -Ebene parallel ihren beiden Axen in lauter Quadrate, jedes von

ö y
der Seitenlange T zerlegt, so werden die Werthe, welche r-^ oder

-- in einem dieser Quadrate besitzt, in jedem andern Quadrate
von Neuem und in derselben Anordnung sich wiederholen.

Die Formel a — s = Gonst. repräsentirt in der as- Ebene ein
System paralleler Linien, die gegen die o-Axe, und ebenso auch
gegen die s-Axe unter 45° geneigt sind. Bezeichnet nun M eine
beliebige positive oder negative ganze Zahl, so mögen diejenigen
unter jenen Parallellinien, welche durch die Formel

(7 — 5 = Ml.

dargestellt sind, kurzweg die Hauptlinien heissen. Diese Haupt-
linien sind äquidislant. Eine derselben — sie mag L heissen —

geht durch den Anfangspunkt; und die übrigen schneiden die o-Axe
in Punkten, die in der Entfernung I auf einander folgen.

Dass die Functionen ^ , ^ in jedwedem Punkte (g, s\ der

öa öS

nicht auf einer Hauptlinie liegt, stetig sind, unterliegt keinem Zweifel.
Denn durch jeden solchen Punkt ((j, s) werden zwei von einander
verschiedene Curvenpunkte angedeutet sein, also zwei Punkte, deren
E^O ist; so dass sich also in diesem Falle die Stetigkeit jener
Functionen auf Grund der Formeln (4.) leicht ergiebt.

Zu untersuchen bleibt also nur noch das Verhalten der Func-
tionen r-^ , 7-^ in denjenigen Punkten (o, ,s), die einer Hauptlinie an-
gehören. Und hierbei können wir uns auf eine dieser Hau|)tlinien
z. B. auf L beschranken. Denn die Functionen werden, in Folge

67] ÜEBER DIE Methode des akithmetischen Mittels. Abb. II. 629

ihrer Periodicität, auf jeder andern Hauptlinie genau dasselbe Ver-
halten zeigen, wie auf L.

Für die von (a, ») abhängende Function ^ gilt nach (4.) und
(3.) die Formel:

^ ' ha =* + H*

Nun sind, zufolge der Voraussetzungen (6.), die sechs Grössen
^ = dio) , f = g'(a) , r = %"io) ,

stetige*) Functionen von o. Setzt man also s — a = A, so erhält
man für die Coordinaten

x= ms) = \^{o -f A) ,
y = ®(s) = @(a -f A)

nach bekanntem Satze folgende Darstellungen:

^ = Uo) + 7 i^'(^) + ^ W'ia + ^, A) ,

y = ®(ff) + ^ ®'(a) + ^ ©"(a + ^, A) ,

wo t^i, &2 unbekannte positive echte Brüche vorstellen. Aus (,1), (d.)
folgt durch Subtraction:

(e.)

- = I - X = - A (i5'(<i) + y r(<y + ^t A))

H = >; - y = - A (®'(a) + ~ &"{a + ^, A)) ,

und hieraus, unter Zuziehung der Formeln (/?.):

(C.) £.?' - H,^' = ^ (g'(<y)®''(<y + ^, A) - ®'(a)g> + ^, A)) .

Substiluirt man aber diese Werthe (*.), (f.) in («.), und beachtet
man dabei die bekannte Relation:

I'* + >r = « , d. i. (g'(a))« + (®'(<y))' = 1 , Ivgl. (Z)). pag. 4] ,

SO hebt sich A- fort; und man erhält, indem man das zurück-
bleibende A durch seinen eigentlichen Werth s — g ersetzt, die
Formel :

'^) Man vergl. z. B. die Note pag. 31.

*5*

630

C, Neumann,
^(s'(a)®"K)-®'(a)rK))

[68

^ +-^(gx^)r(^j+(^'('^)®''(^,))+(^)'((r(aj)^+(®>,))') '

{&.)

in welcher aj und 02 Aljl)rcviatiiren sind für a -j- //, A und
(i -|- i'>2^- Demgemass ist:

o^=. o + &^{s — g) ,

ff, = 0- + ^,(s — ff) ;

SO dass also r^ und (J2 Grössen vorstellen, deren Werthe zwischen
ff und s liegen. Mittelst der Formel (?/.) wollen wir jetzt das Ver-

ö y
halten der Function r-^ in irgend einem Punkte v der durch den

Öff * ^

Anfangspunkt gehenden Hauptlinie 1j [vgl. die vorhergehende und
auch die folgende Figur] näher untersuchen.

Für diesen Punkt j) sind die beiden rechtwinkligen Coordinaten
Gp und Sp einander gleich :

(f.) ff^ = 5p .

Beschreibt man nun um ja, als Centrum,
einen kleinen Kreis vom Radius ü, so gelten
für jedweden Punkt (a, s) innerhalb dieses
Kreises die Formeln:

(x.) abs (ff — ffp) ^ /? , abs {s — s^) "^ R .

Ferner ergiebt sich mit Rücksicht auf (/.): s — o = (.9 — s^) — {a — o,,),
also mit Hülfe von (x.):

(;i.) abs (s -- ff) :^ 2 fi .

Ferner ist nach (^^.): {a^ — a^) = (a — a^) -|- />i(s — 0) , also mit
Rücksicht auf (x.), (/.):

(/^)

I abs (ff, — ffp)
l abs (ff. — ff^)

— ö'p) = 3 i? ; und ebenso ergiebt sich
(ff, - ffp) ^ 3 fi .

A/r diese Formeln (x.), (/.), (//.) ^c/fe7i /?7r jedweden Punkt (a, s)
innerhalb jenes um p mit dem Radius li beschriebenen Kreises,
welch^ letzterer mit {p, R) bezeichnet sein mag.

Da nun die Functionen ^', 5", ©', (^", wie bei (ß.) betont
wurde, durchweg stetig, mithin auch durchweg endlich sind, so wird
man, in Anbetracht der Relation (A.):

69] L'EBER DIE Methode des arithmetische.s: Mittels. Abh. II. 631

abs(5 — ff)^2/i ,

durch Verkleinerung tles Radius R dafür sorgen können, dass der
Nenner des Ausdruckes (t^.) für alle innerhalb des Kreises (p, jR)
vorhandenen Punkte, (a, s) beliebig wenig von I abweicht.

Sodann wird man ferner, in Anbetracht der Stetigkeit von
8? 85 ®'' ® ""^^ '" Anbetracht der Relationen (x.), («.):

abs {a — ffp) ^ ß ,

abs {a^ — (Tp) ^ 3 ß ,

abs (ff, — (Tp) ^ 3 ß ,

durch weitere Verkleinerung von R dafür sorgen können, dass der
Zähler des Ausdruckes (?/.) für alle innerhalb des Kreises (/>, R) vor-
handenen Punkte ((7, s) Schwankungen darbietet, die unterhalb eines
beliebig gegebenen Kleinheitsgrades bleiben.

Beides zusammengefasst, ergiebt sich, dass jener Ausdruck (tj.)
innerhalb des Kreises (p, R) Schwankungen besitzt, die durch Ver-
kleinerung von R beliebig klein gemacht werden können. Folglich

ist die Function ^ im Punkte p stetig.

ha r :/

Solches gilt für jedweden Punkt p der Hauptlinie L, und
also, in Folge der vorhandenen Periodicität, auch für die Punkte

aller übrigen Hauptlinien. Dass andererseits die Function ^ auch

stetig ist in all' denjenigen Punkten (g, s), die nicht auf einer Haupt-
linie liegen, — darauf ist schon vorhin aufmerksam gemacht worden.

Folglich ist die Function r-^ auf der a^-Ebene allenthalben stetig.

Gleiches gilt selbstverstUndlich von y- • — Q. e. d.

Beweis des zweiten und des allgemeinen Satzes. — Der Beweis
des zweiten Satzes ist dem des ersten analog. Es mögen daher
hier nur einige Andeutungen ihre Stelle finden.

Aus den Voraussetzungen (7.) des zweiten Salzes ergiebt sich
sofort, dass die acht Functionen

§= g((7) , I' = g' (a) , r = r (<y) , r = r'io) ,

stetige Functionen sind. Setzt man also s — a = A , so ergeben
sich z. B. für die Grössen

632 C. Neumann, [70

X = 5- (6) = e (ff + A) ,

x' = g' (6) = g' (a + A)
die Darstellungen :

X =^{o)-\-j g'((7) + ^-- g"(a) + ^ g"'(a + ^, A) ,

00' = SV) + j mo) + -g- i5"'(ff + 0, A) ,

wo «9i, Oj positive echte Brüche vorstellen. Deingemäss wird:

(/.) = = ^-a' = -A (S'(a) + I r(ff) + ^ r(ff + ^. A)j .

Substituirt man jetzt die Werthe (r«.), (/?.), (;'.), sowie auch die mit
{ß-)-> (/•) analogen Werthe der Grössen y, ij\ H, in den Formeln (5.),
und beachtet man dabei die Relation

^''' + 1;'^ = 1 , d. i. {^'{a)r + nby{o)y = \ ,

(£.)

so

erhält

man

z. ß

iö.)

1 + ly, A + W^A^ h 11^8 A» '

ÖV _ K+ r^A + F^A^ ••• H- ^4A*

öffös 1 + H^, A + TF,A* h VFgA« '

wo die (/, y, W Grössen vorstellen, die durchweg endlich bleiben;
so dass also die absoluten Werthe dieser U, V, W durchweg <^ M
sind, wo M eine bestimmte endliche Constante vorstellt. Ueberdies
erhellt man z. B., was die Formel {().) betrid't, für das erste Glied
des Zählers den Werth :

(C.) ^ = - 2 (^"'^^^^''^^^ - ®'(^)3-"(ff)) (s'(ff)r(tf) + ®'(c;)cr(a)j

+ l ^^'{oWia + ^,A) - ®'(a)r (ff + ^^A)) ,

wo 0\ und (^2 unbekannte positive echte Brüche vorstellen, von denen
der erstere identisch ist mit dem in (ß.).

Markirt man nun, ebenso wie vorhin, in der o6- Ebene auf der
Hauptlinie L einen Punkt p, und beschreibt man um p einen kleinen
Kreis vom Radius R, so kann man durch Verkleinerung von R dafür
sorgen, dass die Differenz A = s — g für alle innerhalb dieses
Kreises befindlichen Punkte beliebig klein wird , dass mithin der
Ausdruck (ö.) für all' diese Punkte beliebig wenig von U abweicht.

7^] Ueber die Methode des arithmetischen Mittels, Abu. H. 633

Sodann aber kann man durch weitere Verkleinerung von R dafür
sorgen, dass die Schwankungen dieses U (^.) für alle Punkte inner-
halb jenes Kreises beliebig klein werden. Folglich ist die durch

(d.) dargestellte Function ^ eine Function von (a, s), welche im

Punkte p stetig ist. ü. s. f.

In solcher Art gelangt man zur Constatirung des zweiten Satzes,
und in ähnlicher Art auch zur Constatirung des in (8.), (8a.) ange-
gebenen allgemeinen Satzes.

Beiläufige Betrachtungen. — Die von « nach o gehende Secante
(Fig. pag. 63) verwandelt sich, sobald man s nach a rücken liisst,
in die in a an die Curve gelegte Tangente. Mit andern Weiten :
der Winkel y verwandelt sich für E :=z 0 in das Azimuth 6 der ge-
nannten Tangente. Demgemäss steht zu vermuthen, dass auch die

Ableituneen ^ , ~ , ~ , ^ { , ^ , elc. für E ^^ 0 in einfache

ha ' ÖS ' da* ' habs ' ds'

da' da'-

Beziehungen treten weiden zu den Ableitungen 0' = -)— , 0"= , , ,

etc. Um hierauf näher einzugehen, -notiren wir zuvörderst die aus
(3.) und (2.) pag. 64 entspringenden Formeln :

E cos >' = ^ — X ,
Esm y = }] — y .

Hieraus folgt durch Differentiation nach g:

ö£- ^. . by

r — COS y — h sin y -'= ^ = cos u .

öff ' ' da '

— sin y + E cos y ^ = »/ = sin d , [vgl. (C.) pag. 3],

oder, falls man diese Gleichungen nach -^^ und ^ auflöst

hE , öy
^— und ^
öff öa

(ß.) Ep^ = sin (ö — y) und ^ = cos (ö — y) .

In analoger Weise ergeben sich aus (A.), falls man nicht nach
a, sondern nach 8 differenzirt, die analogen Formeln:

(C.) i^^ = - sin [t - y) und ^ = _ cos (f - y) ,

wo / das Azimuth der im Punkte 6' an die Curve 2:ele£;len Tane;ente
vorstellt.

634

C. Nelmann,

[72

Differenzirt man jetzt die erste der beiden Formeln (/?.) noch-
mals nach G, so ergicbt sich mit Rücksicht auf die zweite:

0 (j ' ha-

^^ " ha

cos [0 — y) ,

oder, was dasselbe ist:

h{d — 2y)

(^•)

öff

cos [0 — y) = E

' ha^

Hieraus folgt, falls man abermals, und zwar einmal nach a, das
andere Mal nach s dillerenzirt, und dabei die Gleichungen (/i.), (C.)
rechter Hand berücksichtigt,

{E.)

hHO-^Zy) ,„ , h{0-2y) h{0 - y) .

-^" cos {0 — y) r '- — '— sin {ß — y) =

ha^ ' ha ha . '

K'y

+ j^ cos {d-y)i- E

, Ö'V

ha

3 '

('••)

*'(- 2y) ,„, ^0-,)- M«^ ^1-zJl ,i„ (« ^ ,)

Ö(7 0 6"

ötf

Ö6-

= — v4 «OS ^ - 7 + A^ -^
öff^ ' ha'hs

wobei, was die Ableitung der letzten Formel betrlff't, zu beachten
ist, dass 6 nur von a abhängt, nicht aber von s.

Lässt man jetzt die beiden Punkte s und a miteinander coin-
cidiren, also y =: 0 =z t und £" r= 0 werden, so gewinnen die
Formeln (Z).), (E.), (F.) die einfachere Gestalt:

h{0-2y) ^

ha -^ '

(G.)

h\d — 'iy) h^y
ho^ ~ öa^ '

h^-2y) h'y
hahs ha^ ''

. für E=() ;

und hieraus folgt

sofort:

hy \ de \
ha '~ % da ^ 2

(IL)

h'y 1 dW 1 ,
ha^ "" 3 dff^ ~ 3 '

h^y \ d^O 1 ,
hahs ~ 6 da* ~ 6 '

. für ^^ = 0 .

73J ÜEBER DIE Methode des arithmetischen Mittels. Abh. II. 635

In wie weit diese beiläufigen Betrachtungen , und namentlich
die Formeln (//.) zuverlässig sind, wird man mittelst der vorhin auf-
gestellten Sätze (pag. 65) leicht zu beurtheilen im Stande sein.

§ 12.

Einige Hülfssätze.
Es sei A eine gegebene positive Constante. Ferner sei:

a,) J{s) = / w{a) F{a, s)da und ^ 1^' ^^ = G{a, s) ;

•' OS

0

und zwar mögen die Functionen (p (o), F {a, s), G (o, s) periodisch^)
sein, der Art, dass jede derselben nngeändert bleibt, sobald man o oder
s um die Constante I anwachsen lässt. Ueberdies sei vorausgesetzt,
dass y(o) längs der a-Axe, und F{g,s), G{g,s) in der gs -Ebene
überall stetig sind. Alsdann gelten folgende Sätze:

Erster Satz. — Die durch ( I .) definirte Function J{s) besitzt für
jedwedes s einen bestimmten Differentialquotienten. Und dieser Di/fe-
rentialquotient ist darstellbar durch die Formel:

(2.) ^ =f ifia)G{G, s)da .

0

Zweiter Satz. — Der soeben genannte Differentialquotient ist eine
durchweg stetige Function von s.

Beweis des ersten Satzes. — Nach (I.) gilt für zwei beliebige
Argumente s und s^ die Formel:

,,^^, ^y.^^,„,

J{s,) - J{s) _ r^^^ F{a, s,) - F{a, s)

da .

Beachten wir nun, dass F{g,s) und G (g, s) nach unserer Voraus-
setzung stetige Functionen von s sind, und in der in ( I .) angegebenen
Beziehung zu einander stehen, so ergiebt sich nach bekanntem Satze:
F{o, s,) — f(ff, s)

G{a. s*) ,

S^ — S

wo s* einen unbekannten Mittelwerth zwischen s und s^ vorstellt,
der Art, dass entweder « ^ «* ^ «i oder .y > s* > s, ist. Dem-
gemäss kann man die Formel (A.) auch so schreiben:

t) Absichtlich beschränken wir uns nämlich bei Aufstellung dieser Hülfssätze
auf solche Fälle, die weiterhin wirklich gebraucht werden.

636 C. Neumann, [11

' ' 0

oder, was dasselbe ist, auch so:

(B.)

J{s,)-Jis)

'-j-:ZJ^-ffpi^)('i^, ,)^a ^J',^^a)[r.{o, 6*) - G{o, s)]da .

^ i\ A

Hieraus folgt sofort:

(C.) ul)s /-Mrp^_|(y^((j)f;((7, 6)t/(;j -Si m/ i.hs [(;((/, Ä*)— {;((;, s)j(/ ff ,

wo M den absolut grössten Werlh der Function (p (o) vorstellt.

Verstellt man nun unter « einen beliebig gegebenen Kleinheils-
grad, und unterwirft man, bei festgehaltenem s, das Argument s^ der
Bedingung
(D.) al.s {s^ — s) % K ,

wo K eine positive Constanle sein soll, so wird man durch gehörige
Verkleinerung dieser Constante Ä dafür sorgen können, dass die
rechte Seite der Formel (C.) für siimmtliche der Bedingung {D.)
entsprechenden Werthe von *"i kleiner als t bleibt. Denkt man sich
diese (bis jetzt noch unbewiesene) Behauptung als richtig constatirt,
so ergiebt sich alsdann aus der Formel (C.) sofort, dass die Function
J{s) im Punkte s einen Differentialquotienten besitzt, und dass der
Werth dieses Differentialquotienten durch das in (C.) auf der linken
Seite stehende Integral dargestellt ist. Kurz, es ergiebt sich alsdann
aus jener Formel (C.) die Richtigkeit des hier zu beweisenden ersten
Satzes.

Um nun jene Behauptung als richtig zu constatiren, bemerken
wir zuvörderst, dass die periodische Function G (o, s\ zufolge unserer
Voraussetzungen, in der (js- Ebene allcnllialben stetig ist. Nach
dem HEiNE-LüROTii'schen Satze muss daher eine positive Constante R
von solcher Kleinheit existiren, dass die VVcrthdiCferenz der Function
G (a, s) für jedwedes /J-Punktpaarf)

^ MÄ

f) Unter einem li-Punktpaar versiehe ich irgend zwei Punkte (ff', s') und
(ff", s"), deren gegenseitiger Abstand ^ R ist. Man erhält also eine anschauliche
Vorstellung eines solchen 7?-Punktpaares , wenn man sich zwei Punkte denkt, die

75] Leber die Methode des arithmetischen Mittels. Abh. II. 637

ist. Nehmen wir jetzt die so definirte Constante R an Stelle von A' in
der Bedingung (D.), und beachten wir, dass s* stets zwischen s und
s, liegt, so haben wir es alsdann nur noch mit solchen Argumenten
s, Sj und s* zu thun, die den Formeln entsprechen:

abs {s^ — 5) ^ /? ,

abs (s* — s) ^ R .

Aus der letzten Formel folgt sofort, dass die beiden Punkte (a, s)
und (a, s*), welchen Werth man dabei dem 0 auch zuerlheilen
mag, stets ein /i-Punktpaar bilden, dass mithin die Werthdifferenz
der Function G{a, s) für diese beiden Punkte (0, s) und (a, s^) stets

<^ M~4 ^^^' ^™ *^'^ Hauptsache hervorzuheben : Nimmt man für K
die vorhin detinirle Constante /{, so wird stets die Relation stattfinden:

abs [G(«7, s*) - G{ü, ^r <^^.

und es wird daher alsdann die rechte Seite der Formel (C) stets
<^ t sein. — Q. e. d.

Beweis des zweiten Satzes. — Es ist nachzuweisen, dass die
Function

(^•) U{ü) =f ff {a) (J (ff, s) d a

0

eine stetige Function von s ist.

Nun ergiebt sich aus (L.) ohne Weiteres:

(J/.) U{s^) - f/(6) =fff (ff) [G{a, sj - Gia, s)da ,

0
mithin :

(A.) abs [f/(s,) — U{s)] ^ My* abs [G{a, s,) — G(a, s)] da ,

0

wo wiederum M den absolut grössten Werth der Function tf (n) vor-
stellt.

durch einen biegsamen Faden von der Länge R an einander gefesselt , /m Uebrigen
aber von willkürlicher Lage sind. — Unter der U'erlhdifferenz der Function G (ff, s)
für ein solches Ä-Punktpaar ist, was wohl kaum noch der Erwähnung bedarf, die
Differenz derjenigen beiden Werthe zu verstehen, welche die Function G {a , s) in
dem einen und dem andern Punkte dieses Paares besitzt.

638 G. Neumann, [76

Ist nun 6 ein beliebig gegebener Kleinlieitsgrad, und unterwirft
man, bei festgehaltenem s, das Argument 6', der Bedingung:

abs {s^ — 6) ^ K ,
SO kann man, Uhnlich wie vorhin, diese Constante K so klein machen,
dass die Ditferenz G{a, s^) -— G{(>, s), welchen Werth man dabei
dem G auch zuertheilen mag, ihrem absoluten Betrage nach stets
<^ rv-j bleibt, und dass also die rechte Seite der Formel (N.) stets
■< 6 bleibt. — Q. c. d.

Dritter Satz. — Es seien zwei Fwictionen [{x) und (f'{x) ge-
geben, die auf der x-Äxe in Erslreekung eines gegebenen Intervalls
ab sielig sind. Ausserdem sei bekannt, dass die Function (p{x) in
jedem Punkte innerhalb ab den Differenlialquotienten von [{x) re-
präsenlirt. — Alsdann wird solches auch der Fall sein in den beiden
Endpunkten des Intervalls, d. i. in a und in b.

Beweis. — xMarkirt man irgendwo innerhalb ab einen Punkt
tti, und sodann irgendwo innerhalb a a^ einen Punkt x, so muss, zu-
folge der gemachten Voraussetzungen,

innerhalb ax ein Punkt | existiren, welcher der Formel entspricht:

wie sich solches aus bekannten Sätzen*) leicht ergiebt.

Es sei nun 6 ein beliebig gegebener Kleinheitsgrad, und man
denke sich, was zufolge der gemachten Voraussetzungen stets mög-
lich ist, den Punkt a, so nahe an a gelegen, dass die Schwankung
der Function (p{x) in Erstreckung des Intervalls aa^ kleiner als t
ist. Alsdann geht die Formel {p.) über in:

wo 0 einen unbekannten echten Bruch vorstellt. Diese für jeden
Punkt X innerhalb aa^ gültige Formel [q.) zeigt aber sofort, dass ip{a)
der Ditferentialquotient von f{x) im Punkte a ist. — Q. e. d.

*) Man vgl. z. B. das Werk von Tannery : Introduction a la Theorie des Fonc-
tions, Paris 1886, pag. 232.

77] ÜEBER DIE Methode des arithmetischen Mittels. Abh. II. 639

§ 13.

Ein wichtiges Theorem, das durch die Methode des arithmetischen
Mittels für die Ableitungen der Fundamen talfunctionen sich ergiebt.

Wir beginnen mit einem bereits früher bewiesenen Satze [vgl.
Abh. I, pag. 77 — 79, sowie auch die dortige zweite Bemerkung
auf pag. 115. Beschränken wir uns dabei, was nur der Einfach-
heit willen geschieht, auf den Fall, dass die Curve keine Ecken hat,
so lautet jener Satz folgendermassen :

Hauptsatz, — Isl längs der gegebenen Curve eine Function der
Bogenlänge f = /*(o) vorgeschrieben, und setzt man voraus, dass

ß und /' stetiqe Functionen von a sind, und dass 6'
überall > 0 ist,

so existiren stets zwei den Werthen f entsprechende Fundamental-
functionen O und V der Gebiete % und 3' '/■ ''• 2;«?« Fundamental-
functionen O und M^ dieser Gebiete, deren Randwerthe mit jenen Wer-
then f identisch sind. Diese Functionen sind wirklich construirbar.
Und zwar ist hinsichtlich ihrer Construction Dreierlei zu bemerken :

I. — Denkt man sich von f aus der Reihe nach die Functionen
gebildet :

(2-) fs^'^ = -^ff^'Hdo), ,

etc. etc.,
so werden diese fj"^ für n := oo gegen eine bestimmte endliche Can-
stante C convergiren.

II. — Setzt man sodann:

I = + (C - n + (C - /•(')) + (C - /(*)) + + ,

^ '^ »? = - (c - n + (c - A(')) - (C - fi')) + ,

so werden diese Reihen stets convergent, und die durch sie definirten
Functionen |, 1^ stetige Functionen der Bogenlänge sein*).

*) In Betreff der Formeln (2.), (3.) sei Folgendes bemerkt : Sind auf der ge-

640

C. Nehmann,

[78

III. — Mittelst der Constante C und der Functionen ^, t] sind
nun endlich jene Fundamentalfunctionen <t> und Y für jeden Punkt a
innerhalb ^I, und für jeden Punkt j innerhalb 3 folgendermassen
darstellbar :

(4.)

Es werden also z. B. für jediveden Ciirvenpiinkt s die Convergenzwerthe
^as und ^jg mit dem in s vorgeschriebenem Werthe fg identisch sein.

Bemerkung. — Dass dieser Satz bei unsern gegenwärtigen Betrach-
tungen d. h. für die von uns determinirten Curven (pag. 4) ein absolut
strenger ist, geht hervor aus unseren früheren Erörterungen (pag. 22 — 25).

Aus den Formeln pag. 24 ergiebt sich mit Rücksicht auf die
gegenwärtigen Voraussetzungen (1.) sofort:

(5.)

J{da\ = 7t ,

sodass man also die Formeln (2.) auch so schreiben kann :

1. II.

+ 1

(6.)

C-f,^^)^-~J[C-n{da\,

etc. etc.

+ 1

+ 1

etc.

— 1

— \

etc.

gebenen Curve irgend zwei Punkte mit den Bogenlängen a und s markirt, so be-
zeichnen wir die Werllie, welche die Function f in diesen beiden Punkten besitzt, mit
f{ö) und /(s), oder auch mit /"^ und f^. Und häufig werden wir dabei statt ff^ auch
das nackte f schreiben. Ebenso verfahren wir bei allen andern Functionen der Bogen-
länge, bei /■(*), f^'^\ etc., bei §, rj, etc. Es ist also z. B.

Demgemäss sind in (2.) unter /", f^^\ f^^K etc. die Werthe dieser Functionen im
Punkte ff, d. i. an der Stelle des Curvenelementes da zu verstehen; während die da-
selbst linker Hand befindlichen fg, fg^^K fs^^\ etc. dem Punkte s zugehören.

79] Ueber die Methode des abitbhetischen Mittels. Abh. II. 64i

wo C dieselbe Constante sein soll, wie in (3.) und (4.). Multiplicirt
man diese Gleichungen einmal mit den Factoren 1., das andere Mal
mit den Factoren IL, und addirt jedesmal, so erhält man, mit Rück-
sicht auf (3.), die erste und zweite der folgenden beiden Formeln:

r]s-\-{C- f,) = - -frMo\ .

Zieht man nun von s aus zwei Strahlen nach den Punkten a und
ü -{- da, und bezeichnet man die Azimuthe dieser beiden Strahlen
gegen die a;-Axe mit y und / + dy, so ist offenbar: (daX = dy^
oder genauer ausgedrückt:

(äa), = ^ </. ,
sodass man also die Formeln (7.) auch so schreiben kann:

(8.)

^, + (C-A) = --/.;^,/a.

Lassen wir jetzt zu den Voraussetzungen (I.) noch die hin-
zutreten, dass B' und ö", ebenso wie 6 selber, stetige Functionen
der Bogenlänge o sein sollen, so werden (zweiler Satz pag. 65) die
Grössen

öy öy ÖV ö^ ^V

Functionen von (a, s) sein, die in der as -Ebene allenthalben stetig
sind. Beachten wir aber dies, und beachten wir ausserdem Tvel.
(3.)], dass ^ und 7/ stetige Functionen von g sind, so ergiebt sich,
auf Grund der Sätze pag. 73, aus den Formeln (8.) Dreierlei,
nämlich erstens, dass die Functionen

nach der Bogenlänge s ditlerenzirbar sind, ferner zweitens, dass
diese Differenlialquolienten die Werthe haben:

ds aJ da ÖS

00.)

as TvJ ' da öS

642 C. Neumann, [80

und endlich drittens, dass diese Differentialquotienten stetige Func-
tionen von s sind. Also folgender

Erster Zusatz. — Hält man fest an den Vorstellungen und Be-
zeichnungen des Hauptsatzes (pag. 77), indem man zu den dortigen
Voraussetzungen noch die hinzufügt, dass

ß' und 0". ebenso wie 0 selber, stetige Ftmctionen der
(11.) ' . ' y

Bogenlänge a sein sollen,

so wird, als Folge hiervon, zu der schon früher vorhandenen Stetigkeit
von ^, 7^ noch die Existenz und Stetigkeit der Differential-
quotienten *) :

(.2.) ^^^ unä '"\-^>

(IG da

hinzutreten. Dabei aber bleibt die Existenz und Stetigkeit von -p

und -j-[ ebenso fraglich, wie die Existenz und Stetigkeit von .' •

Fügt man jetzt zu den schon gemachten Voraussetzungen noch

7 p

die hinzu, dass der Differentialquolient f z=z —f- existirt, und dass
derselbe eine stetige Function von a ist, so ergiebt sich auf Grund

des Satzes (12.) sofort, dass -r^ und ~ ebenfalls existiren, und

^ ^ da da

ebenfalls stetige Functionen von o sind; sodass man also alsdann den
Formeln (10.) die Gestalt geben darf:

m^ = + l-f^ m de - 1/-^ ^ äa ,
ds 7tJha \ ÖS/ TtJ da hs

rffa - A) ^ _ 1 e IM] a„ + Lfh ^ rf„ .

ds 7tJoa\'dsl 7cJ da ös

Diese Formeln aber reduciren sich, weil die Grössen

d^ dt]
ebenso wie |, ij, -j^, -~ und die Ausdrücke (9.), periodische und

stetige Functionen von o sind, auf folgende:

by hy

Vs ' "^ ö 5 '

") Vgl. die Note pag. 77, 78.

84] Ueber die Methode des ABiTiiMETisciiEN Mittels. Alu. II. 643

äs n J da hs '

(13.)

ds 7tJ da ÖS

An (lieso Formeln (13.) schliessen sich analoge Folgerungen wie
vorhin au die Formeln (8.). In der That ergiebt sieh aus den For-
meln (13.), und zwar wiedemm auf Grund der Siitze pag. 73,
Dreierlei, nämlich erstens, dass die Ausdrücke

da ds

nach der Bogenlänge s differenzirbar sind ; ferner zweitens , dass
diese Ditlerentialquotienlen die Werthe haben:

(U.)

ds* 7t J da ÖS* '

ds' TiJ da ds" '

der Different'ialquotienl f z=. -L existirt, und dass der-

und endlich drittens, dass diese Ditferentialquolienlen atetige Functionen
von s sind. Also folgender

Zweiter Zusatz. — Fügt man zu den im Hauptsätze und im ersten
Zusätze gemachten Voraussetzungen noch die hinzu, dass

.' _ df

uci Ayi/i ci ciiitunfiiuiiciii I

(lö.)

selbe eine stetige Function von o ist,
so tritt, als Folge hiervon, zur Existenz und Stetigkeit von ^, ?j auch
noch die Existenz und Stetigkeit von

„6.) ^,<^/lii + n „„„ äHs_-n

da da ^ da' da-

hinzu. Dabei aber bleibt die Existenz von -rAi und -p-r ebenso i'raqlicK

da' da* i j f

d*f
wie die von -r-k-
da*

Fügt man schliesslich zu den bis jetzt gemachten Voraus-
setzungen (1.), (11.), (15.) noch die hinzu, dass der Ditlcrential-

quotient f = y-^ existiren, und eine abtheilungsweis stetige Function
von G sein soll, so hat man alsdann in Betreff der Functionen 6 und
f im Ganzen folgende Voraussetzungen :

'AT

ö" stelig, und Ö' überall >0,
stelig, und f" abtheilungweise stetig;

(P-)

Abhandl. d. K. S. Gesellsch. d. Wissensch. XXIY. I, ß

Gi4 C. Neumann, [82

und in Betreff der Functionen ^, i] folgende Resultate:

(/<•) ^, 7/, I', 7j stetig, und |" if abtheilungsweis stetig*).

Aus diesen Resultaten (/?.) folgt nun aber sofort, dass die in (4.)
genannten Fundamentalfunctionen

dem Theorem Wß. , (pag. 40) sich subordiniren, so dass man also zu
folgendem wichtigen Satze gelangt:

Theorem **^^). — Ist längs der geyehcnen geschlossenen Curve eine
Function f = /"(a) vorgeschrieben, und setzt man voraus, dass

0, 6', 0" und /', /" stetige Functionen von o sind, dass
(17.) ferner f" eine abtheilungsweis stetige Function

von G ist, und dass endlich 0' überall > 0 ist,

so iverden die jenen Werthen f enlspj'echenden Fundamentalfunctionen
(t> und Y der Gebiete % und 3 liicht allein existiren, sondern zugleich
auch von solcher Beschaffenheit sein, dass die vier Ausdrücke

inclusive ihrer Convergenziverlhe, wiederum vier theils zu % theils zu 3
geh örige F und amental f und i oncn repräsen tiren.

Uebrigens kann man diesem Theorem, welches die Grundlage
der weiteren Untersuchungen bildet, wie man leicht übersieht, auch
folgende, vielleicht noch etwas durchsichtigere Fassung geben :

Andere Form des Theorems. — Sind die Voraussetzungen (17.)
erfüllt, so existiren d r e i Fu n dame n talfunctio n e n <t>, <^^ , <t>, des
Gebietes %, von denen die erste die vorgeschriebenen Randwerthe f

*) In der That ergeben sich diese Resultate ohne Weiteres aus dem letzten Zu-
sätze, falls man nur beachtet, dass die Differentiationen nach o augenblicklich durch
Accente angedeutet sind.

**) Dieses wichtige Theorem wurde bereits vor zehn Jahren vom Verf. ohne Be-
weis mitgetheilt in den Ber. d. Kgl. Sachs. G. d. W., 1878, pag. 50 u. 52. Man vgl.
auch die Math. Ann., Bd. 16; pag. 428.

83] Leber die Methode des arithmetischen Mittels. Arh. II. 6iä

besiizl. während gleichzeitig für jedweden von der Citrve gelrennten
Punkt fl(j7, y) die Relationen stattfinden:

(<9.) r^ = ^. «"rf ^ = ^' • ('■)

Desgleichen werden alsdann drei Fundamentalfunclionen
^. V, . Yj des Gebietes 3 existiren, die für jedweden von der Curve ge-
trennten Punkt j{x, y) den Relationen entsprechen

(20.) _ = M', unä ^ = V., 0)

und von denen die erste, nämlich Y. die vorgeschriebenen Randwerthe f
besitzt.

Die Formeln (19.), (20.) bezieben sich, wie dureb das Zeicben
(!) angedeutet ist, nur auf solche Punkte, die von der Curve durch
irgend welchen, wenn auch noch so kleinen, Zwischenraum getrennt
sind. Und es bleibt also bei dem vorstehenden Theorem die Existenz

und Beschaffenheit der Ableiluno;en r — . ,— , v- •> ^- für solche Punkte,

^ öa; hy i>x iiy '

die auf der Curve liegen, völlig dahingestellt.

Uebrigens lässt sich leicht zeigen, dass die genannten Ableitungen,
wenn auch die Voraussetzungen (17.) erfüllt sind, in einzelnen Punkten
der gegebenen Curve nicht existiren. Ist z. B. die Curve ein Kreis,
und denkt man sich an diesen Kreis eine Tangente L gelegt, parallel
der a;-Axe, so wird die Function ^ (die Fundamentalfunction des
innern Gebietes) längs der Linie L nur in einem einzigen Punkte,
nämlich nur im Berührungspunkte definirt sein. Folglich wird der

Dillerentialquotient y- in diesem Berührungspunkte nicht existiren;

so dass also dieses j— - , auf den Berührungspunkt angewendet, ein
leeres Zeichen sein würde, ohne irgend welchen Sinn. U. s. w.

§ u.

Weitere Sätze über die Ableitungen der Fundamentalfunctionen.

Die durch die letzten Worte des vorigen Paragraphs angeregten
Fragen finden, insoweit sie das innere Gebiet 3 betreffen, ihre Be-
antwortung durch folgende Sätze:

*6*

()4G C. Neumann, [84

Erster Satz, — Es mcuj vorausgesetzt sein, dass für das von der

fjcijebenen Curve umschlossene Gebiet 3

drei Fundamentalfimclionen U, Uy , U2 existiren, welche
in jedwedem Punkte [x, y) innerhalb ^ den Relationen

('•) entsprechen:

Alsdann wird für jeden Punkt p innerhalb 3 ^'^^^ /''^' j^'^^«^' ^<^'^ P
ausgehende Richtung r die Formel stattfinden:

(2.) -^^. = IJi cos y + U., sin y ,

wo y das Azimuth der liichtung r gegen die x-Axe vorstellt.

Und diese Formel (2.) wird auch dann noch gültig sein,
wenn p am Rande von '^ liegt, vorausgesetzt, dass man zur Richtung r
ein dem Gebiete 3 angehörendes Linienelcment pq wählt, welches mit
dem Rande von 3 wir allein den Punkt p gemein hat. Dabei bleibt es
übrigens gleichgültig, ob dieses Linienelement p q in p mit dem Rande
irgend welchen Winkel macht, oder ob es den Rand daselbst tangirt.

Zweiter Satz. — Fügt man zur Voraussetzimg (1 .) noch die hinzu,
dass
(3.) 0 und 0' stetige Functionen der Rogenlänge a sind,

so wird die Function U in jedwedem Randpunkte p einen Di/ferenlial-
quoticntcn nach der Rogenlänge besitzeti. Und zwar wird derselbe den
Werth haben :

(4.) ^ß- = U. cos 0 + U, sin 0 ,

da ^ '

wo ä das Azimuth der in p an die Curve gelegten Tangente gegen die
x-Axe vorstellt.

Beweis des ersten Satzes. — Für innere Punkte p bedarf die
Richtigkeit des Salzes keiner Erläuterung. Von hier aus aber gelangt
man alsdann zur Constatirung des Satzes für irgend einen Rand[mnki p
durch Anwendung des auf pag. 76 bewiesenen Hüifssalzes.

Beweis des zweiten Satzes. — Für die Randcurve von 3 gelten
die Gleichungen [{R.), {C) pag. 3] :

,^ = g(ff) , _ l^' = cosO ,

[,;=®(a) , [rj' = sinO

85] Ueber die Methode des arithmetischen Mittels, Abh. II. 647

so dass also ^, /; und 6 gegebene Functionen von g sind. Setzt
man aus diesen Functionen, unter Hinzunahme irgend einer positiven
Conslanle A, die beiden Ausdrücke zusammen:

fac = ^" — A s\vk 0 ,
\ y = r/-{- A cos 0 ,

SO sind die so definirten Grössen x, y gleichfalls gegebene Functionen
von G. Ebenso wie nun die beiden Formeln («.) die simultanen
Gleichungen der Randcurve vorstellen, ebenso werden die beiden
Formeln (/.) die simultanen Gleichungen einer gewissen Parallclcurve
sein, nämlich einer Curve, die, innerhalb 3 liegend, jene Randcurve
im Constanten Abstände A begleitet. Aus (;'.) und mit Rücksicht
auf (ß.) ergiebt sich :

\(lx={\ — AO') cos 6 da .

[dy = {\ —Ad) sin 0 da , inithia : dx : dy = cos 0 : sin 0 ;

wodurch bestätigt wird, dass die neue Curve der Randcurve
parallel ist.

Nach unserer Voraussetzung (3.) sind ö, 0' sielig, mithin auch
durchweg endlich. Demgemäss wird man die positive Constante A
so klein machen können, dass die Differenz (I — AO') durchweg
^ 0 ist. Alsdann aber erhält man aus {d.) für das dem Rand-
element da correspondirende Element ds der Parallclcurve die
Formel :
(«.) ds = (l — Ad') da .

Errichten wir nun (vgl. die folgende Figur) in irgend zwei Rand-
punkten p und p die jene Parallclcurve in den Punkten g und g' er-
reichenden Normalen pg und p' g', und bezeichnen wir sodann irgend
ein Element der gebrochenen Linie pgg'p' mit ds, so ist zufolge
des ersten Satzes:

"^^ TT ^TT ■

— = f/, cos y + U^ sin -/ ,

wo y das Azimuth des Elementes ds gegen die j'-Axe vorstellt.
Integrirt man diese Formel über sämmlliche Elemente ds jener ge-
brochenen Linie, so folgt*):

*) Es ist im Auge zu behalten, dass U, i\, L\ (als Fundamenlalfunclionen des
Gebietes 3) in ganzer Erslreckung von 3 stetig sind.

648

C. Neümann,

[86

U' — U= t (U^ cos y + U^ sin y) ds ,

vgy'v

WO \] und []' die Werthe in p und p' vorstellen. Die den Perpen-
dikeln (|)«;) = A und (^'p') = A entsprechenden Integraltheile sind,
einzeln genommen, <2!MA, falls man nämlich unter 1/ den absolut
grössten VVerth der Functionen t/, f/j, (^ in ganzer Erstreckung von
3 versteht. Somit folgt:

[/'

U=e . iMA -i- f [U, cosy -{- U^ sin j/) ds ,

wo 0 einen echten Bruch vorstellt, und wo die horizontalen Ueber-
streichungen hervorheben sollen, dass die betreffenden Werthe der
Parallelcurve angehören. Die letzte Formel ist mit Rücksicht auf (f.)
auch so darstellbar:

U' — U = Q . i M A + f [U^Gosy-i- Ü^ sin y) {] — A 0') da ,

gg'

also, mit Rücksicht auf die für M gegebene Definition, auch so:

U' — U=Q . !iMA-\-Q, ^mMA {pp') + f {Ü\ cos / + t^ sin y) da ,

WO m den absolut grössten Werth von 0\ und [p])') die Länge der
Randslrecke pja' bezeichnet, während 0^ wiederum einen echten Bruch
vorstellt.

Sublrahirt man von der letzten Formel das über die Randstrecke
fp' erstreckte Integral*):

(^.)

J =f (C7, cos 6» + f7, sin 0)do ,

^ pp'

'^) Das ä soll hier das AziinuUi des Randelementes da gegen die tc-Axe vorstellen.

87] ÖEBER DIE jMeTHODE DES ARITHMETISCHEN MiTTELS. AbH. II. 649

und beachtet man dabei, dass die dem Rande und der Paralleicurve
zugehörigen Azimulhe 0 und / in je zwei einander correspondirenden
Punkten gleich gross sind, so erhült man:

irj.) (r-r)-J=-iJ/.l|0+0/-?ii|^^)+/ ((r,-(/,)cosö+(Z7,-f7jsinö)^/(T,

wo Ui und L\ die Wertho der Function f/, in je zwei correspon-
direnden Punkten der Randcurve und der Paralleicurve vorstellen, und
Analoges gilt von U2 und i^-

Sind ;} und p' gegeben, so haben in {ij.) die auf der linken
Seite stehenden f/, U', J völlig bestimmte feste Werthe, wahrend
die rechte Seite der Formel alsdann noch eine Constante A enthiilt, die
wir nach Belieben verkleinern dürfen. Ist nun irgend ein Kleinheits-
grad f gegeben, so können wir durch Verkleinerung von A zunächst
dafür sorgen, dass der erste Theil der rechten Seite <^ — wird, so-
dann aber durch weitere Verkleinerung von A dafür sorgen, dass
der zweite Theil der rechten Seite (d. i. das Integral) ebenfalls <^ -^
wird'f). Somit ergiebt sich, dass die linke Seite der Formel (?/.)
nolhwendig = 0 ist. Wir erhalten daher V — U = J, oder mit
Rückblick auf i^.):

(^.) U' — U = f {U^ cos 0 + U. siD 0)dG .

Nachdem diese Formel constatirt ist für jede beliebige Rand-
strecke pp'^ wollen wir jetzt irgend einen Kleinheitsgrad 6 uns ge-
geben denken, und vom Randpunkte p aus (vgl. die folgende Figur)
eine Randstrecke pq auftragen von solcher Kleinheit, dass die
Schwankungen der Function

(/.) U^ cos 0 -\- U^ sin 6

längs pq weniger als 6 betragen. Bringen wir alsdann die Formel
(t^.) auf einen beliebigen Theil pp' dieser Strecke pq in Anwendung,
so erhalten wir sofort:

U' — U = {b\* cos 0* -h U^* sin 0*) f

da

pp
d. i.

(x.) ^, ~,^ = U* cos 0* H- U* sin G* ,

iPP)

i) Vgl. die Note pag. 85.

G50 C. Neümann, [88

wo die mit einem Stern versehenen Buchstaben die Werlhe der be-
treffenden Functionen in einem unbekannten Randpunkte p* zwisciien
p und p' vorsteilen, wahrend {pp') die Liinge der Strecke pp' be-
zeichnet. Zufolge der Festsetzung (/,) weicht der in (x.) auf der
rechten Seite vorhandene zu p* gehöiige Werlh von dem analogen zu p
gehörigen Werlhe U^ cos 0 -\- IJ^ sin 0 um weniger als « ab. Somit
folgt aus (x.) sofort :

{l.) ^ ~ /^ = (IJ, cos 0 -f- f/, sin 0) -1- 0£ ,

wo 0 einen echten Bruch bezeichnet. Ist also irgend ein Kleinheits-
grad s und überdies der Punkt ]) gegeben, so kann q so nahe an p
gelegt werden, dass für jedweden der RandsIrecke pq angehörigen
Punkt p' die Formel stattfindet:

(.«.) abs 1^ ~ ,^ — (C/, cos 0 -f t/, sin ö)) < e . — Q. e. d.

Zu den soeben bewiesenen SUtzen fügen wir noch folgenden
hinzu, der von hervorragender Wichtigkeit ist für unsere weiteren
Untersuchungen.

Dritter Satz, — Die gegebene geschlossene Cnrvc sei von solcher
Beschaff enheit, dass

(5.) Ö, 6' stelige Functionen der Bogenlänge a sind.

Ueberdies sei vorausgesetzt, dass für das von dieser Curve umschlossene
Gebiet 3 ^^'c* Fimdamentalfunctioncn U, L\, U^ exisUren, die in jed-
ivedem Punkte (a^, y) innerhalb 3 ^^cn Formeln entsprechen:

(6.) V^^U, und ~=U.. (!)

Markirl inan nun einen hcliebigen Punkt p des Gebietes 3 —
einerlei ob derselbe innerhalb 3 oder am Bande von 3 Hcfjl — ^""'

S9j Heber die Methode des arithmetischen Mittels. Abh. II. 651

versieht man unter t einen willkürlich gesehenen Kleinheitsgrad, so wird
man um p , als Centrum , stets einen Kreis von solcher Kleinheit be-
schreiben können, dass für alle zu 3 gehörigen und innerhalb dieses
Kreises befindlichen Punkte p' die Formel stattfindet:

(7.) abs I "~ (r, cos 7+1^, sin 7)) < « ,

wo ipp) die Länge der von p und p begrenzten geraden Linie, und
Y das Äzimulh dieser Linie gegen die x-Aire vorstellt. Dabei bezeichnet
U' den )Ve/7Ä in p', während V selber, some auch V^ und U^, die
Werthe der betreffenden Functionen in p vorstellen.

Beweis des Satzes für innere Punkte. — Liegt p innerhalb %
so kann der Kreis gleich von Anfang so klein gedacht werden, dass
er ebenfalls völlig innerhalb 3 liegt. Sodann aber können wir durch
weitere Verkleinerung des Kreisradius dafür sorgen, dass die
Schwankungen der Functionen

innerhalb des Kreises durchweg <^ - sind, wo s den gegebenen

Kleinheitsgrad vorstellt. Maikiren wir jetzt innerhalb des Kreises
einen beliebigen Punkt p', und bezeichnen wir die gerade Linie pp'
noit r, und irgend ein Element derselben mit dr, so ist nach dem
ersten Satze (pag. 84):

dU ,. , ,, .

-r-; = Ui COS y -\- t , sm y ,

WO y das Azimuth der Linie r = (pp') vorstellt. Hieraus folgt
durch Integration über alle Elemente dr dieser Linie:

U' — tJ = I {U^ COS y + L\ sio y) dr ,
pp'
d. i.

V — U= {U* cos y + U* sin y) f dr ,

d.

pp

= U* cos y -\-l i siD y ,

W)

wo U und L' die Werthe von U in p und p' vorstellen, während
die mit einem Stern versehenen Buchstaben die Werthe der be-
treffenden Functionen in einem unbekannten Punkte p^ zwischen p

G52 C. Neumann, [90

und 2^' repriisentiren. Zufolge der Festsetzung (a.) ist nun aber die
letzte Formel auch so darstellbar:

(b.) ^J^^^^' '"' ^ + ^^ ''" ^^ + ®' '

wo alsdann f/, und U^ die Wertlie in ji bezeichnen, und 0 ein echter
Bruch ist. — Q. c. d.

Beweis des Satzes für die Eandpunkte. — Liegt der zu be-
trachtende Punkt j} am Hemde von 3? so beschreibe man, nachdem
zuvor ein beliebiger Kleinheilsgrad

{A.) e, < i

gegeben ist, um />, als Centrum, einen Kreis von solcher Kleinheit,
dass die Schwankungen der Functionen U, U^, V^ innerhalb dieses
Kreises

sind, wo M (ebenso wie früher) den absolut grössten Werth von
f/, l/j , V^ in ganzer Erslreckung von 3 vorstellen soll. Sodann
sorge man durch noch weitere Verkleinerung des Kreisradius dafür,
dass der innerhalb des Kreises befindliche Theil des Randes*) aus
einem einzigen Stück besteht, und auch dafür, dass die Schwankungen

von 0 für diesen Theil des Randes <^ ^ sind; so dass also summt-

liehe Tangenten dieses Randtheiles in ihren Richtungen um weniger als

(c.) I

von einander abweichen.

Innerhalb des so definirten Kreises markire man nun einen be-
liebigen zu 3 gehörigen Punkt p'. bi Betreff der von p und p' be-
grenzten geraden Linie r = (pp) sind alsdann sehr verschiedene
Fälle denkbar. Entweder wird sie, ausser p selber, keinen weitern
Punkt mit dem Rande gemein haben. Oder sie wird den Rand
zwischen p und p' irgend welche Anzahl von Malen schneiden resp.
berühren. Dabei kann sie möglicherweise auch den Punkt p' mit
dem Rande gemein haben; denn es kann ja jener innerhalb des

*) Unter dem Rande \sl stets der Rand von Q, das ist die von Hanse aus gege-
bene geschlossene Curve, zu verstehen.

9<] Ueber die Methode des arithmetischen Mittels. Abh. II. 653

Kreises markirte, zu 3 gehörige Punkt p' möglicherweise ein Rand-
punkt von 3 sein. All' diese Fälle zusammenfassend, bezeichnen
wir mit q den letzten Punkt, den die Linie r = {pp'), von p aus
gerechnet, mit dem Rande gemein hat, und ferner mit s = {pp')
diejenige Ctnve^ welche von p bis q längs des Randes fortgeht, so-
dann aber von q aus geradlinig nach ;/ geht. Aus dieser Definition
der Curve s = [pp ) ergiebt sich mit Rücksicht auf {€.), dass die
einzelnen Elemente ds dieser Curve gegen die gerade Linie r r= {pp')
unter Winkeln geneigt sind, die durchweg <^ — sind. Bezeichnet
man also den Neigungswinkel eines solchen Elementes ds gegen die
Linie r mit 2 d, so ist stets :

(D.) ahs^<^«<-l: [vgl. (.4.)] .

Zur Erläuterung des soeben Gesagten dürfle es angemessen sein, im
Ganzen zwei Fälle zu unterscheiden.

Erster Fall: Die gerade Linie r = (pp') hat, ausser p selber, keinen
weiteren Punkt mit dem Rande gemein. Alsdann wird jener Punkt q
identisch sein mit p selber, folglich die Curve s identisch sein mit r; so
dass also in diesem Falle jene mit 2 (J bezeichneten Neigungswinkel durch-
weg = 0 sind :
(«.) ^ = 0 .

Zweiter Fall : Die gerade Linie r = {pp') hat, ausser p selber, noch
irgend welche Anzahl anderer Punkte mit dem Rande gemein. Alsdann
wird, von p aus gerechnet, der letzte dieser Punkte mit q zu bezeichnen
sein. Und die Curve s wird in diesem Falle also aus zwei Theilen s^ und
s, zusammengesetzt sein :

Si = {iJql s.. = {qp');

der Art, dass s, durch die Randstrecke (pq), s^ aber durch die gerade Linie
iqp') dargestellt ist. Die Linie r geht von p aus, und durch q hindurch,
während die Curve s^ ebenfalls von p nach q geht. Folglich wird die
Linie r parallel sein mit einer gewissen Tangente der Curve s^. Zufolge
(C) wird nun jedwedes Element ds^, seiner Richtung nach, von dieser

Tangente, d. i. von der Richtung der Linie r um weniger als ~ ab-

weichen. Andererseils aber wird jedwedes Element ds^ in die gerade
Linie r = ipqp') hineinfallen, also mit dieser Linie r den Winkel 0
machen. Somit sehen wir, dass sämmtliche Elemente ds (sowohl die
ds^, wie auch die ds^) gegen die Linier unter Winkeln geneigt sind,

die <^ — sind. Bezeichnen wir also diese Neigungswinkel mit %d, so

ergiebt sich :

Go4 C. Neiimann, [92

iß.) «bs()<^ .

Dem hier belrachteten zweiten Falle subsumirt sich offenbar auch
z. B. der Fall, dass p ein Randpunkt von 3 ist. In diesem letzteren Falle
gestalten sich die Dinge nur dadurch ein wenig specieller, dass q identisch
wird mit p , dass mitliin s^ verschwindet, und s^ identisch wird mit s.

Zusammenfassung. — Die erhaltenen Resultate (a.) und (/:?.) zeigen,
dass die oben angegebene Formel {D.) ganz aligemein gilt. — Q. c. d.

Für jedes Element ds der Curve s ■=- (pp) gilt, zufolge des
ersten und zweiten Satzes (pag. 84), die Formel:

falls man nämlich unter (y -j- ^()) das Azimuth des Elementes ds
gegen die x-Axe versteht. Dabei mag ;' selber das Azimuth der
geraden Linie r = {pp') gegen jene Axe vorstellen; so dass also
2!r), in Uebereinstimmung mit unsern bei (/).) gemachten Bezeich-
nungen, den Neigungswinkel des Elementes ds gegen die Linie r
repriisentirt. Integrirt man die Formel (E.) über alle Elemente ds
der Curve s = {pp')-> so folgt:

U' — U= f [f/, cos (7 + 2 (J) + t/, sin {y + 2 d)] ds ,

d. i.

(F.) U' —U= [U^* cos (y + 2 d*) + U^* sin (y + 2 6*)] s .

Hier bezeichnet s die Länge der Curve s= (pp)', während ü*, f/2*,
^d* die Werthe von U^, f/2, '^d in einem unbekannten Punkte p*
der Curve s vorstellen. Ueberdies reprüsentiren U und V die
Werthe der Function U in p und p'.
Nun ist identisch:

(G.) U*cos{y-{-2ö*)=U^cosy-\-U*\cos{y + 'i^*) — cosy]-{-{U*—U^)cosy,

d. i.

(//.) U*cos{y-\-'iö*)= U^cosy— 2 f/^*sin d*sin{y + d*)-i-{U,* — U^)cosy ,

wo f/i den Werth von t/, in p vorstellen soll. Beachtet man jetzt,
dass nach (D.)

abs ö- < ;« < I

mithin auch

93] ÜEBER DIE Methode des arithmetischen Mittels. Abh. II. 655

{X.) abs (sin d*)< ^ < ^

ist, beachtet man ferner, dass (nach der Definition von 3/)
(y.) abs U,*^M ,

und beachtet man endlich, dass nach (B.)

(=.) abs {U,* - U,) < ^

ist, so kann man die Formel (//.) auch so sclireiben:

U,* cos (/ + 2(J*) = r, cos ^^ + ^ ^ + y ^ ,

oder auch so:

(7,.) f/,* cos (y + 2(5*) = (7, cos / + 0, M€, ,

wo t>, !>', 0^ echte Brüche vorstellen. — Ebenso ergiebt sich

(/,.) U^* sin (/ + 2d*) = U^ sin / + 0, Me, .

Substituirt man aber diese Werlhe (Jy.)^ {J-y) 'o l^), so folgt mit
Rücksicht auf (A.):

(K.) ^ — ^ ^ ^jj^ p^g / + f/, sin 7) + 20 J/to = 4 H ,V ,

wo H und 0. ebenso wie 0i und 0., echte Brüche vorstellen.
Nun ist nach der Definition von 2^:

/ __^

^-"€08 2^ '

wo ilr die senkrechte Projection des Elementes ds auf die gerade
Linie r =: {pp') vorstellt. Hieraus folgt durch Integration über
alle Elemente ds der Curve s = {pp')'-

_ \
^ ~ cos 2(5* ^" '

wo s und r die Längen der Curve s und der Linie r vorstellen,
während 2^* den Werth von 2d in einem unbekannten Punkte p*
der Curve s bezeichnet. Somit fokt :

I _ 1 — cos 2 J*

d. i.

r cos 2(5* ' cos 2ö*

s _ 2 sin"- ö*

7 ~ "^ 1 — 2 sin* d* '

036 C. Neumann, [94

Nach (x.) ist abci-:

2 sin' d* < ^o- < 4- » f"'^l>'" : -l — 2 sin"^ d* > 1 — i- = ! ,

o o o o

mithin:

i — 2 sin^ d* ^ 8 7
Somit folü;t:

r 7

Multiplicirt man diese Formel mit der Formel (K.), und macht man
dabei, was die in jener Formel (/i.) auf der rechten Seite stehenden
beiden Ausdrücke anbelangt, sowohl von dem einen wie auch von
dem andern Gebrauch, so erhält man sofort:

(L.) ^ 7 ^ = (^1 ^"os / + ^»2 ^i'^ /) + '^ ö-^^ßü + 0 ' > 4 H i/ ,

wo 0, 0', und H echte Brüche sind.

Hieraus aber ergiebt sich schliesslich:

(M.) abs 1^ 7 ^ — (^1 cos / + C/, sin 7)j < 3i/e, .

Diese Formel gilt, ihrer Ableitung nach, für jedweden innerhalb
des Kreises liegenden und zu 3 gehörigen Punkt p'. üemgemäss
ist der verlangte Beweis geführt, falls man nur das hier gewühlte
fo so klein sich denkt, dass 3}h^^<^f■ ist.

üeber monogene Fundamentalfunctionen.

Der üebersichtlichkeit willen mögen die Salze, um die es sich
hier handelt, vorangestellt, und die Beweise derselben erst hinterher
gegeben werden.

Erster Satz. — Die gegebene geschlossene Curve sei von solcher
ßescha/l'enheil, dass

(1.) 0 und 0' stelige Functionen der Bogenlänge a sind.

Ferner sei vorausgesetzt, dass für das von dieser Curve umschlossene
Gebiet 3 drei Fundamentalfunctionen U, t/j , U^ existiren , die in jed-
wedem Punkte {x, y) innerhalb 3 den Formeln entsprechen:

95] Ueber die Methode des arithmetischen Mittei^. Abh. IL 637

Denkt man sich alsdann in Erslreckung des Gebietes 3 irgend
eine in sich zurücklaufende Curve s construirt^ so wird das über diese
Curve s erstreckte IntegrcU

(3.) f{U^dy — U^dx) stets = 0 sein*) .

Zweiter Satz. — Bildet man ferner, nachdem innerhalb 5 ^*»
fester Punkt {Xq, y^,) markirt ist, das Integral

.^y»

(*.) y=J {i^^dy- U^dx) ,

und denkt man sich dabei die Integrationscurve auf das Gebiet 3 be-
schränkt, so wird die so definirte Function V =^ V(j;, y) nicht nur in
ganzer Erstreckung von 3 eindeutig und stetig, sondern überdies auch
eine Fundamentalfunction des Gebietes 3 sein. Auch wird diese
Function V in jedwedem Punkte innerhalb 3 ^^^ Formeln entsprechen:

Formeln, die mit Rücksicht auf (2.) auch so darstellbar sind:

' ö.r by ' by hx ' ^'^

Dritter Satz. — Setzt man jetzt:

(7.) W = U-{- i y und z = x -\- iy , {i = V^^H) ,

so wird man, falls innerhalb 3 oder am Rande von 3 irgend ein
Punkt : markirt, und überdies irgend ein Kleinheitsgrad f gegeben ist,
um diesen Punkt z, als Centrum, stets eine Kreisperipherie von solcher
Kleinheit beschreiben können, dass für alle zu 3 gehörigen und inner-
halb dieser Peripherie befindlichen Punkte z die Formel stattfindet:

*) Setbstverständlich ist die in Rede stehende Curve der Art zu denken , dass
das Integral (3) einen bestimmten Sinn hat. Man kann daher, um den Salz völlig
strenge zu machen, und zugleich ohne Beeinträchtigung der weiterhin anzustellenden
Betrachtungen, festsetzen, dass jene Curve ein Polygon sein solle, dessen einzelne
Seiten entweder lauter gerade Linien und Kreisbogen sind, oder aber überdies auch
noch aus irgend weichen Strecken der gegebenen Randcurve bestehen. Analoges ist zu
bemerken mit Bezug auf das Integral (4.).

658 C. Neumann, [96

W — W

(8.)

Dabei bezeichnet W den Werth in z ; während W selber, sowie auch
Ui lind U2 , die Werlhe der betreffenden Functionen in z vorstellen.

Hieraus folgt sofort, dass das Jiinoin ((/j — iil^) in dem be-
trachteten Punkte z den I)i/ferentialquotienten von \V nach z vorstellt:

(9.) ^ == ^. - '"'- '

dW
und dass also -y-, ebenso wie W selber, eine Fundamental-

et %
function des Gebietes 3 ist^).

Vierter Satz. — Ueberdies eryiebt sich aus (8.), dass der Werth

dW . .
des Di/fcrcntiahpiotienten - — in jedwedem Punkte z, mag nun derselbe

innerhalb 3? ^'^^'^' f^^^ Rande von 3 Hegen, von der Wald des bei
seiner Bildung in Anwendung gebrachten Nachbar jnmktes z -\- dz un-
abhängig, und dass also die Function W nicht nur in jedem inneren
Punkte, sondern ebenso auch in jedem Randpunkte als monogen
zu bezeichnen ist.

Fünfter Satz, — Endlich ergiebt sich aus (8.), dass die Convergenz
des Differenzen -Quotienten der Function W gegen den im Punkte z vor-
handenen Differentialquotienten -j^ eine von allen Seiten her gleich-
massige ist; oder mit anderen Worten, dass die Entstehungsweise des

dW .
Di/ferentialquotienten -r^ in jedwedem Punkte z des Gebietes 3 ^''''^'

von allen Seiten her äquiconvergente ist; wobei es keinen Unter-
schied macht, ob der betrachtete Punkt z innerhalb 3? oder am Rande
von 3 liegt.

Bemerkung zum vierten und fünften Satze. — Ist der Punkt z ein
Randpunkt von ^, so hat man sich^ was die »Nachbarpunkte z -\- dz« und
das »von allen Seiten her« betriirt, selbstverständlich auf solche Nachbar-
punkte und auf solche Seiten zu beschränken, für welche die Function W
wirklich deßnirt ist, also sich zu beschränken auf das Innere und den Kand
des Gebietes 3f.

*) Es sind nämlich U, U^, U^ und V Fundamentalfunctionen des Gebietes Q.

d W

Gleiches gilt daher, auf Grund der Formeln (7.) und (9.) auch von IF und .

dz

d7] Ueber die Methode des arithmetischen Mittels. Abh. II. 639

Beweis des ersten Satzes. — Setzt man zuvörderst voraus, dass
die geschlossene Curve s vollständig intierlialb 3 l'^gt» so erhJilt man
nach einer bekannten GREEN'schen Formel:

/

—-ds = 0 ,
an

wo » die innere Normale des Elementes ds vorstellt. Nach dem

ersten Satze pag. 8i ist aber -r— = L\ cos / -j" ^2 sin /, wo y das

Azimuth der Normale u gegen die x-Axe bezeichnet. Somit ergiebt
sich:

{U^ cos y + U^ sin y) ds = 0 ,

/(

oder, was dasselbe ist:

[U^ sin (y — 90°) — U^ cos [y — 90°)] ds = 0 .

fi

Die Differenz (/ — 90") reprüsentirt aber das Azimuth des Elementes
ds gegen die J*-Axe. Bezeichnet man also die Componenten dieses
Elementes ds nach den Coordinatenaxen mit dx und dy, so ist
ds cos (/ — 90") = dx und ds sin (/ — 90") = rfy, wodurch die

vorstehende Formel die Gestalt gewinnt:

f{U^dy — U^dx) = 0 .

Dass nun schliesslich diese Formel auch dann noch gültig bleibt,
wenn einzelne Punkte oder auch irgend welche Strecken der Curve
s in den Rand von 3 hineinfallen, erkennt man leicht, falls man
nur beachtet, dass (7, und Hj (als Fundamentalfunctionen des Ge-
bietes 3) in ganzer Erstreckung von 3 stetig sind. — Q. e. d.

Beweis des zweiten Satzes. — Aus dem soeben bewiesenen
ersten Satze folgt sofort, dass die durch die Formel

(a.) V =J (U^dy - U^dx)

definirte Function V = \{x, y) in ganzer Erstreckung von 3 eindeutig
und stetig ist^ und dass sie überdies in jedem Punkte innerhalb 3
^eo Formeln entspricht:

W */ = - i'. . ^-^ = +V,. 0)

Abhaudl. d. K. S. Gesellsch. d. Wissensch. XXIV. 47

GGO C. Neümann, [98

Nach unserer Voraussetzung sind aber f/j, U2 Fundamentalfimctionen
des Gebietes 3. Folglich werden z. B. die Ableitungen

hU^ hU^ hU^ bU^

innerhalb 3 nicht nur überall existiren, sondern innerhalb 3 auch
überall stetig sein. Gleiches gilt daher nach (ß.) von den Ablei-

tungen

hV ö F h^V h^V h^V

auch ergiebt sich aus (ß.), unter Rücksichtnahme auf (2.), dass der

Ausdruck r — ^ H — r-5- innerhalb 3 überall = 0 ist. Folijlich ist V

eine Fundamenialfunction des Gebietes 3- Ueberdies sind die Glei-
chungen (/?.) mit Rücksicht auf (2.) auch so darstellbar:

(y.) - — = — -: — , T— = r — • (!) — Q. e. d.

^' ' bx dy ^ hy hx ^'

Beweis des dritten Satzes. — Nach unserer Voraussetzung
sind [/, /7i, IJ-i Fundamentalfunctionen des Gebietes 3? die den Re-
lationen entsprechen

Genau dasselbe gilt aber, auf Grund des soeben bewiesenen zweiten
Satzes, auch von den Functionen V, — fZj? f^i- I" f^^r That sind diese
Functionen F, — IJ-i, U^, zufolge jenes Satzes, Fundamentalfunctionen
des Gebietes 3 "nd den Formeln

|I = -£/,, '-f^U^ (,)
öo; . oy 1 ^'

entsprechend.

Demgemäss ist der Satz pag. 88 auf f/, f/^, t/2 und ebenso auch
auf y, — t/2, (7i ohne Weiteres anwendbar. Denkt man sich also
irgend einen Punkt j) des Gebietes 3 markirt, und versteht man
überdies unter e^ einen beliebig gegebenen Kleinheitsgrad, so wird
man um p (als Centrum) stets einen Kreis von solcher Kleinheit be-
schreiben können, dass für alle innerhalb dieses Kreises liegende
und zu 3 gehörigen Punkte p' die Formeln stattfinden:

99] Ueber die Methode des arithmetischen Mittels. Abh. II. 661

F' — V
(B.) -^^^^^ (- r, cos / + l\ sin ;') = e,£„ ,

WO y das Azimulh der geraden Linie ipp') gegen die a;-Axe vor-
stellt ; während 0, , 0, echte Brüche bezeichnen.

Setzt man jetzt:

W = r + n' , z = X -\- iy ,

W' = V + iV , z' = x' -\- iy' , (/ = /^TT),

und betrachtet man dabei (x, y) und {x\ y) als die Coordinaten der
beiden Punkte p und p\ so erhält man

x' — X = ipp') cos y ,

y —y = ipp') sin y ,
mithin :

Multiplieirt man jetzt die Formeln {A.)^{B.) mit 1, i und addirt, so

folgt:

W — W

(r, _ iL\)e^y = £,(0. + .0,) ,

iPPl

oder, falls man für {pp) den aus [C.) entspringenden Werlh sul)-
stituirt:

■> I f - (r. - /Xg = f, (0, + /0Je-'/' ,
also (weil y seiner Definition nach reell ist):
(p.) mod '

Demgemäss ist der verlangte Beweis geführt, falls man nur das hier
gewählte fo sich so eingerichtet denkt, dass 2fo <C * J^t.

Der Beweis des vierten und fünften Satzes dürfte schon mitge-
geben sein durch die blosse Aussprache dieser Sätze.

47*

Drittes Capitel.

lieber die Green'sche Function und über die Theorie der
conformen Abbildung.

Nach Absolvirung einiger Hülfssätze (§§ IG, 17), werden wir
(in den §§ 18 — 21) die Green' sehe Function, und sodann in (§ 22)
die Theorie der conformen Abbildung einer genaueren Untersuchung
unterwerfen.

Dabei werden uns ausser den Stetigkeitsfragen, die mit Hülfe
der beiden vorhergehenden Capitel leicht zu absolviren sind, auch
Fragen über das Nidlwerden resp. Nichtmdliverden gegebener Func-
tionen entgegentreten, deren Beantwortung wesentlich neue Hülfs-
mittel und Methoden erheischt. Und jene vorangeschickten Hülfs-
sätze (§§ 16, 17) sollen dazu dienen, um die Darlegung dieser
Methoden etwas einheitlicher und übersichtlicher zu machen.

§ 16.

Geometrische Sätze.

Die gegebene geschlossene Curve sei von solcher Beschaffenheit^
dass

ß, 0\ 0" stetige Functionen der Bogenlänge a sind,
und dass überdies 0' überall !> 0 ist*).

Ferner sei /?,, der kleinste Krümmungsradius der Curve. Alsdann gelten
folgende Sätze:

*) Hieraus folgt z. B., dass die Curve überall convex ist, jedoch der Art^ dass
sie auch geradlinige Strecken enthalten kann. Vgl. auch die ausführlichere Note auf
pag. 1 13.

<Olj Heber die Methode des arithmetischen Mittels. Abh. 11. 663

Erster Satz. — Denkt man sich zur gegebenen Citrve eine innere
Parallelciirve conslruirl^ deren constanter Abstand von jener <^ /f„ ist,
und die Bogenlängen zweier einander correspondirender Punkte dieser
beiden Curven mit a und s bezeichnet, so wird s eine eindeutige und
stetige Function von g, und ebenso auch umgekehrt a eine eindeutige
und stetige Function voti s sein.

Zweiter Satz. — Ilepräsentirl A irgend eine positive Consta nie,
die <^ Rq ist, und construirt man irgend einen die gegebene Curve auf
ihrer inneren Seite berührenden Kreis vom Badius A, so mrd dieser
Kreis, ausser seinem Berührungspunkte , keinen weiteren Punkt mit der
Curve gemein haben.

Dritter Satz. — Es sei q der Berührungspunkt und C der Millelpunkl
des soeben construirten Kreises vom Radius A. Denkt man sich als-
dann um C einen etwas grösseren Kreis vom Badius A -{- (t construirt,
so wird dieser letztere die gegebene Curve in zwei zu beiden Seiten von
q liegenden Punkten schneiden, sonst aber keinen weiteren Punkt mit
der Curve gemein haben , falls man nur den Badius A -\- a der Be-
dingung unterwirft:

(2.) A<:A + a<Q* ,

wo Q* eine passend zu wählende Constante vorstellt.

Auch wird man durch weitere Verkleinerung von (j* dafür sorgen
können, dass diese beiden Schnittpunkte dem festen Punkte q beliebig
nahe liegen.

Beweis des ersten Satzes. — Die gegebene Curve wird, zufolge
der Voraussetzungen {!.), von säramllichen Krümmungskreisen auf
ihrer innern Seite berührt. Demgemäss ist der in der Formel {E.)
pag. i enthaltene Factor 6 im gegenwärtigen Falle = -j- I ; sodass
also jene Formel die Gestalt annimmt:

(«.) fl' = I .

Hieraus folgt sofort O' ^^, mithin:

falls man nämlich unter Bq den kleinsten Krümmungsradius der ge-
gebenen Curve, und unter A irgend welche positive Constante versteht.

664 C. Neümann, [102

Conslrulit man jetzt zur gegebenen Gurve irgend eine innere
Parallelen rve im constanten Abstände il, und setzt man voraus, dass
dieser Abstand A <^ 11^ sei, so ergiebt sich aus {§.)

(j/.) 1 — ylf9'> 0 .

Und mit Rücksicht auf diese Relation {y.) ergiebt sich nun weiter
aus (f.) pag. 85, dass zwischen den Bogenlängen a und s zweier
auf den beiden Gnrven einander correspondirenden Punkte die Glei-
chung stattfindet:
((5.) ds=={\ — ÄO')da .

Hieraus aber folgt sofort, dass s eine cindculige und stetige Function
von G ist.

Ferner ergiebt sich aus (d.), unter Rücksichtnahme auf (;'.), dass
jedem Wachsen von a ein Wachsen von s, und umgekehrt jedem
Wachsen von s ein Wachsen von a entspricht. Denkt man sich
also die gegenseitige Beziehung zwischen a und s geometrisch durch
eine Gurve dargestellt, indem man die a zu Abscissen, die s zu
ürdinaten nimmt, so wird diese Gurve in unaufhörlichem Steigen
(niemals im Fallen oder in einem Parallelbleiben zur Abscissenaxe)
begriffen sein. Und hieraus folgt, dass, ebenso wie s eine eindeutige
und stetige Function von o ist, ebenso auch umgekehrt g eine ein-
deutige und stetige Function von s repräsentirt. — Q. e. d.

Den Beweis des zweiten Satzes muss ich einstweilen schuldig
bleiben*). Doch dürfte die unmittelbare geometrische Anschauung
so sehr für diesen Salz sprechen, dass man wohl, auch ohne Be-
weis, die Richtigkeit desselben kaum bezweifeln wird.

Beweis des dritten Satzes. — Nimmt man C zum Anfangspunkt
und Cq zur a;-Axe des Goordinatensystems, und bezeichnet man die
Goordinaten irgend eines Gurvenpunktes a mit ^, ?/, so gilt für den
von C nach dem Punkt a laufenden Radius-vector (> die Formel:

Beachtet man nun die Relationen [vgl. (C.) pag. 3] :

f^'=cosö, (r=— <9' sin <9 , fr'= — ö"'cos(9 — Ö"sin6',

l^'=sin(9, U/' = +ö'cosö, h/"= — ö'^sinö+6/"cosö,

*) Ich werde den inzwischen (nUmhch während des Druckes dieser Abhandhxng)
von niir gefundenen Beweis ini Anhange mittheilen.

103] Leber die Methode des arithmetischen Mittels. Abb. II.

665

so ergiebt sich aus den Voraussetzungen (1.) und mit Rücksicht auf
{A.) sofort, dass

?-'/ f-'ff

w nr

stetige Functionen von g sind. Setzt man also

(C.) Q = <t>{a)j mithin q' = (t>' (a) ,

und denkt man sich der Bequemlichkeit willen die Bogenlänge a von

q aus gerechnet, so erhält man nach bekanntem Satze:

(D.) q' = <J>' (0) + j cD"(0) + ^ (D"'(e o) ,

wo 0 einen unbekannten echten Bruch vorstellt.

Bringt man jetzt die theils aus (A.), (B.), (C), anderntheils aber
auch aus pag. 4, (E.) und pag. 101, (a.) entspringenden Formeln:

i' = cos 0 ,

r/ = sin ö ,

f 0(<j) = D = )'« + r,' ,

I

<D"(a) = o"=

speciell auf den Punkt q in Anwendung, und beachtet man dabei,
dass die diesem Punkte q zugehörigen a, |, ?/, ö die Werthe haben:

«y« = 0 , 1, = .1 ,

nq = o, ö, = 90° ,

0 erhält man:

[V = o,

[ ^(0) = e., = ^ ,

<

»^7' = < >

<1>'(0) = C9'=0,

---1"

o"(0)=,,"=4--£

so dass also die Formel (D.) übergeht in

666 C. Neumann, [^04

Diese Formel ist, falls man den absolut giössten Werth der
stetigen Function (/" = ^"(o) niit M bezeichnet, auch so darstellbar:

1 1 .

(F.) ^' = (7 (L + 0, oM) , wo L = -T ^ ist ,

während 0, wiederum einen echten Bruch vorstellt.
Nach unsern Voraussetzungen ist:

Folglich ist die in [F.] enthaltene Coustanle L unter allen Umstanden
^ 0. Folglich werden wir auf der gegebenen Curve zu beiden
Seiten des Punktes a = 0 (d. i. des Punktes q) zwei Punkte
a = — d und a = -f- ()' markiren, und dabei rT so klein machen
können, dass der in [F.) in den Klammern enthaltene Ausdruck längs
der von diesen beiden Punkten a = — d und g =: -\- d begrenzten
Curvenstrecke durchweg ^ 0 bleibt. Alsdann aber wird, falls man d
als positiv sich vorstellt, und die Punkte a = — (), o = 0, ö = -{- d
kurzweg mit A^, (/, A bezeichnet, der Werth von (j'

[längs der Curvenstrecke A^ q (excl. q) durchweg <^ 0,
lund längs der Strecke q A (excl. q) durchweg ^ 0

sein, wie solches aus (F.) ohne Weiteres sich ergiebt. Folglich wird
der Werth von ^ selber

fläne;s der Strecke A, r/ unatifhörlich abnehmen.
lund längs der Strecke ^A unaufhörlich wachsen.

Nun soll der um C mit dem Radius [Cq) = A beschiiebene und
die Curve in q berührende (in den betretfenden Figuren nicht
gezeichnete) Kreis den Voraussetzungen des hier zu beweisenden
dritten Satzes entsprechen. D. h. sein Radius A soll <^ /?„ sein,
wo i?o den kleinsten Krümmungsradius der Curve vorstellt. Zufolge
des zweiten Satzes (pag. 101) wird daher dieser Kreis, ausser seinem
Berührungspunkte q , keinen weiteren Punkt mit der Curve gemein
haben. Bezeichnet man also die zur Strecke A,^A complementare
Curvenstrecke mit AA*Ai (der Art, dass beide Strecken zusammen-
genommen die ganze gegebene Curve ausmachen), so werden die
dieser complementaren Curvenstrecke AA*A, zugehörigen Radii-

<05] Uebeb die Methode des abitiimetiscuen Mittels. Abb. II. 667

vectores g durchweg ^ A sein. Oder mit andern Worten: bezeichnet
man das Minimum der der Curvenstrecke AA*A, zugehörigen Radii-
vectores mit (>*, so ist g^ ^ .4, mithin :

(H.) A<:q* .

Denkt man sich jetzt eine neue Conslanle « der Art gewählt,
dass

(J.) A<:A + a<:Q*

ist, und um C, als Cenlrum, eine Kreisperipherie vom Radius A -J- «
beschrieben, so wird jene Curvenstrecke AA*A, völlig ausserhalb
dieser Peripherie liegen. Andererseits aber wird der Punkt q, dessen
Radiusveclor [Cq) = A, mithin, nach (/.), <^ .4 -j- « i»^ innerhalb
dieser Peripherie sich befinden. Hieraus folgt mit Rücksicht auf (G.),
dass die Curvenstrecke A, g die Peripherie einmal durchschneidet,
dass sie aber, abgesehen von diesem einen Schnittpunkte, keinen
weiteren Punkt mit der Peripherie gemein hat, und dass überdies
genau dasselbe auch von der Curvenstrecke ^A gilt.

Alles zusammengefasst, ergiebt sich also, dass die um C mit
dem Radius A -\- a beschriebene Peripherie die gegebene Curve in
zwei zu beiden Seiten von q gelegenen Punkten schneidet, und dass
sie, ausser diesen beiden Schnittpunkten, keinen weiteren Punkt mit
der Curve gemein hat.

Auch kann man durch weitere Verkleinerung des Radius A-\-a
jene beiden Schnittpunkte, welche in vorstehender Figur mit 0, 0,
bezeichnet sind, beliebig nahe an q heranbringen. Denn wenn man

068 C. Neumann, [106

(c gegen Null convergiren Uisst, so werden Q und 0, unendlich nahe
an q heranrücken; wie sich solches mit Rücksicht auf (6'.) leicht
ergiebt. U. s. w.

§ n-
Aufstellung einiger Hülfssätze.

Erster Hülfssatz. — Längs der gegebenen Curve sei eine Fmielion

der Bogenlänge 0 =: 4>(o) vorgeschrieben, und zwar sei vorausgesetzt

dass

0, 0' und <t> stetiqe Functionen von g sind, und dass
(1.) .

<t> durchweg > 0 ist.

Ferner sei q irgend ein Punkt der Curve, und (qp) irgend ein Stück
der in q errichteten inner n Normale. Endlieh sei qQ eine von q
aus auf der gegebenen Curve abgeschnittene Strecke, und

(2.) j^—- f (t>

COS w ,

— n— da
b

ein über alle Elemente da der Curvenstrecke qQ ausgedehntes Integral.
Dabei bezeichne O den Werth der Function <t> im Element do, ferner
E den Abstand dieses Elementes vom Punkte p, endlich co den Winkel
von E gegen pq. Vgl. die folgende Figur.

Versteht man alsdann unter s einen beliebig gegebenen Kleinheits-
grad, so wird man — und zwar ohne über die Länge von [qp] irgend
welche Kenntniss zu haben — durch ein näheres Her anschieben von Q
gegen den festen Punkt q stets dafür sorgen können, dass

(3.) absJ<-V^

4

ivird, wo <t>^ den Werth von 0 im Punkte q vorstellt.

Zweiter Hülfssatz. — Wort für Wort dasselbe gilt auch dann,
wenn man unter (qp) ein beliebiges Stück der in q errichteten äussern
Normale versteht.

Beweis des ersten Satzes. — Nimmt man q zum Anfangspunkte,
die positive Tangente in q zur x-Ax.e, und die innere Normale qp zur
//-Axe, und bezeichnet man die Coordinaten des Elementes da mit
I, //, so ist [vgl. die folgende Figur] :

*07] Ueber die Methode des arithmetischen Mittels. Abu. II. 669
(.4.) cos 10 = — - , und zugleich : da =

E ' ^ cos ö '

wo d^ die Projection des Elementes do auf die x-A\e vorstellt,
während 0 das Azimuth von da gegen diese Axe bezeichnet. Dabei
mag die Curvenstrecke qQ gleich von Anfang an so klein gedacht
werden, dass 0 längs dieser Strecke zwischen — 60" und -}- 60**,

mithin cos 0 zwischen 1 und -^ bleibt. Alsdann wird zufolge der

Voraussetzung (1.) die Function

^ läD£;s der Curvenstrecke g Q durchwes: > 0

cos ö ^ ^ "^ —

sein. — Substituirt man nun die Werthe (Ä.) in (2.), so folgt:

iilJgQ cos 0 E-

mithin:

oder, falls man den grössten Werth jener positiven Function

<l>

cos 0
längs der Strecke qQ mit G bezeichnet:

(5.) absy^-^Gr, wo r= r (abs^^4~-^)rf|

Nun ist identisch:

jpg) — >; ^ /5\' [m) _ ^

wo ß den Abstand des Elementes di von p vorstellen soll (vgl.
die folgende Figur). Dieser Abstand R ist aber die dritte Seite eines
Dreiecks, dessen beide andern Seiten E und // sind, also*):

R'^E -\- abs t] .

Somit folgt:

oder, weil £" > ^, mithin -^ < ^ ist:
— /i — §

(C.) abs (-Mzi-^ ^(\ -{- ^2]^y ^-^^ + ^^ •
E- ' ' ^ f R- f-

*) Es ist zu beachten, dass ^ für alle Elemente da der Curvenstrecke 9O positiv
ist, dass hingegen r^ für einige dieser Elemente positiv, für andere negativ sein kann.

670

C. Neümann,

[108

Zufolge der Voraussetzungen (1.) sind ^, t, ^" und rj, rj', y"
stetige Functionen der Bogenlänge a. Reclmet man daher diese
Bogenlänge von q aus, und bezeichnet man den absolut grössten
Werth jener sechs Functionen längs der ganzen gegebenen Gurve
mit M, so erhält man [vgl. etwa die analogen Betrachtungen auf
pag. 103] die Formeln:

Sg + a-§,; + a'e,M

wo 01, 02 echte Brüche sind
mithin :

Es ist aber f^

V,

e„ = 0,

= cos 0r,

l^g = 0 , i^g' = cos

\r^^= Q , \ t-i^' = sin

SO dass also jene Formeln die Gestalt gewinnen:

l^= 0-^0.,^ .

Somit folgt, falls man den absoluten Werth von 0^ mit 00 bezeichnet:

^09] Heber die Methode des arithmetischen Mittels. Abh. II. 671

, , absTj gQ-M , abs r Q- M

(«•) —r- = I . ^Q ,r ' und

Da wir die Bogenlänge g von q aus gerechnet haben, so sind
die Funkle q und Q respective mit g = 0 und g = () zu be-
zeichnen, wo alsdann d die Lrt«^e der betrachteten Curvenstrecke qQ
repräsentirt. Denken wir uns nun Q so nahe an q herangeschoben,

dass d <^ ^ ist, so gilt für die Bogenlänge g irgend eines zur

Curvenstrecke qQ gehörigen Punktes (|, ?j) stets die Formel :

G <. d <^ T-r, , d. i. die Formel:

wodurch die Relationen («.) übergehen in:

<ibs i; <5if absi; ^ J/ ,„

(y.) -^ < j = idil , und -^ < — = 43/

(-^r

Mit Rücksicht auf diese Relationen (y.) ergiebt sich aus {€.):

(fl.) „bs ^J^-pJs < (I + äd J/)-- <|f + i ,, ,

also mit Rücksicht auf iß.) a fortion*):

(£.) „„s iESLpJl < (I + 6 a-W) 'ä' + i .V .

Demgemäss erhält man für das in [B.) angegebene (stets positive)
Integral Y die Formel:

(F.) y<(l+6^3/)/ ^-^^-hiJU f d^ .

^ qQ ti tf gQ

Bezeichnet man nun den Neigungswinkel von R gegen pq mit (>,
so ist (vgl. die vorhergehende Figur):

^ = (pq) tang o , mithin : dt = (pq) — ^ — , und: R = .

' ^^ " ^ ' ^ ^^^^ cos* Q cos Q

mithin:

wodurch die Formel (F.) übergeht in:

*) Es ist nämlich nach (/?.): 2 d Jf < 4 , mithin : (2 ÖMf < 2 (5-W.

G72 C. Neümann, [MO

(G.) F<(1 + 6(J1/) r (Iq -i- UI f d^ .

''<iQ "^qQ

Von diesen beiden Integralen ist offenbar das erste gleich dem
Winkel {qi)f)-> und das ziveite gleich der Lange (qf), wo f den Fuss-
punkt des von Q aus auf die x-A\e herabgelassenen Perpendikels

vorstellt (vgl. die Figur). Folglich ist das erste < ^, und das

M

ztveite < d, wo d nach wie vor die Länge der Gurvenstrecke qQ
vorstellt. Demgemass ergiebt sich aus (G.):

r<(1 + 6(571/)^ + iÖM ,
(IL) d. i. F< ^ + (3 7r + 4) ^il/ .

Dies in (B.) substituirt, erhalt man:
(/.) abs J<(-i- + 5-^^ ^iJfJG,

oder, falls man G = cj)^ -[- (G — O^) schreibt, indem man dabei
unter 0^ den Werth von O im Punkte q versteht:

0. /3 TT + 4 , ^ \ / 1 3 yr + 4 ^ \

(Ä.) abs ^ < f + (^^ ^^^%j + (G - 0,) (y +

2 7r

Was die drei hier auf der rechten Seile stehenden Glieder be-
trifft y SO kann man, falls irgend ein Kieinheitsgrad 6 gegeben ist,
durch Verkleinerung der Länge d der Gurvenstrecke qQ zunächst

dafür sorgen, dass das vorletzte Glied <^ -^ wird. Sodann aber

kann man, weil G den erössten Werth der stetigen Function — - längs

. *=• ° cos 6 '^

jener Gurvenstrecke, 0^^ aber den Werth dieser Function in q vorstellt,
durch weitere Verkleinerung von d den Factor (G — 0^) des letzten
Gliedes beliebig klein machen, und in solcher Weise dafür sorgen, dass

der Werth dieses letzten Gliedes ebenfalls <^ — wird. Solches ausge-
führt, ist alsdann:

(I.) absJ<^* + |- + |- = 5£ + i._o.,.d.

Der Beweis des zweiten Hülfssatzes ergiebt sich in ganz analoger
Weise, und bedarf daher keiner weiteren Erläuterung.

^<^] Ueber die Methode des arithmetischen Mittels. Abh. II, 673

Dritter Hölfssatz. — Eine gegebene Function Q = Q(j, y) sei
stetig in ganzer Erstrechung einer in der xy- Ebene um den Punkt C
mit dem Radius R beschriebenen Kreisfläche ^. Ferner mag der kleinste
Werth, den ö längs einer um C mit dem Radius r < R beschriebenen
Kreisperipherie besitzt, mit Q^ir) bezeichnet sein.

Alsdann wird dieses Q^i^) ^'"^ Function von r sein, die in Er-
streckung des Intervalls (0, R) stetig ist.

Beweis. — Es sei € ein beliebig gegebener Kleinheitsgrad. Wir
denken uns das Intervall (0, R) aufgetragen auf irgend einer geraden
Linie, die etwa die r-Axe heissen mag. Sind nun ßo(0 u^t^
Qo(r -j- ()) die Werthe der Function Ö„ in irgend zwei dem Intervall
(0, R) zugehörigen Punkten r und r -\- q, und denken wir uns
dabei g der Bedingung unterworfen:

(a.) abs c ^ a ,

WO « eine positive Constante vorstellen soll, so haben wir nachzu-
weisen, dass der Ausdruck

iß') abs[Q„(r+^)-Q,(r)] ,

falls man die Constante « hinreichend klein sich vorstellt, stets <^ «
bleiben wird, welche Lage man jenen beiden der Bedingung («.)
unterworfenen Punkten r und r -f- (> in Ei-streckung des Intervalls
(0, JR) auch immer zuertheilen mag.

Wir werden zeigen, dass solches in der That der Fall ist>, und
dass a die erforderliche Kleinheit besitzt, sobald man « so einrichtet,
dass die Werthdifferenz der gegebenen auf ^ stetigen Function
Q 1= Q[x, y) für jedwedes zu ^ gehörige «-Punktpaar") <^ f ist.

Zu diesem Zwecke beschreiben wir
um das Gentrum C zwei Kreisperipherien
mit den Radien r und r -j- q. Auf der
erstem Peripherie werden sich alsdann ein
Punkt oder auch mehrere Punkte befinden,
in denen die Function Q den dieser Peri-
pherie zugehörigen kleinsten Werth QoCO
annimmt. Irgend einer von diesen
Punkten mag pi heissen. Desgleichen

*) Vgl. die Note pag. 74.

674 C. Neumann, [112

mag Pi irgend einer von denjenigen Punkten der zweiten mit dem
Radius (r -|- q) beschriebenen Peripherie vorstellen, in denen Q den
kleinsten dieser zweiten Peripherie zugehörigen Werth Q(,(r -{- q)
besitzt. Ueberdies markiren wir noch zwei weitere respective zur
ei'sten und zweiten Peripherie gehörige Punkte q^ und q^, und zwar
der Art, dass pi und ^2 ^luf demselben Radius, und andererseits p2
und q^ ebenfalls auf gleichem Radius liegen. Vgl. die vorstehende
Figur.

Nach («.) ist aber abs q < a. Folglich bilden die Punkte p^ und ql
ein «-Punktpaar, ebenso ^^ "nd ^1. Denken wir uns also die Con-
stante a so klein gewühlt, dass die Werthdifferenz der Function
Q z= Q(x, y) für jedwedes zu ^ gehörige «-Punktpaar <^ e ist,
und bezeichnen wir die Werthe dieser Function in den vier Punkten
Vi, P>. q\i q-i kurzweg mit Pj, P^, öi, Qi, so ist:
(rO Qi = P^-i- ^« und Q^ = P^-^Qe ,

wo i')- und 0 wirkliche echte Brüche'*) vorstellen. Ueberdies aber
finden, weil P^ und P2 die Minimalwerthe der P'unction Q für die
erste und zweite Peripherie vorstellen, die Relationen statt:

P, ^ Q, und P,^Q, .
Substituiren wir hier für Oi »nd Ö2 die Ausdrücke (;'.), so erhalten wir:

Pi^Pi + ^s und P, ^P, +0e.
Und hieraus folgt sofort:

P, -^s^P,^ P, + 06 ,
also, weil «>, 0 wirkliche echte Brüche sind:

P,-^<P,<P, + e:

mithin:

-£</%- P, < H- e ,

oder, was dasselbe ist:

(ö.) abs (P, - P^X fi .

Diese F'ormel (d.) aber ist, weil P^ und P2 respective mit Q^ (r) und
^o(** + 9) identisch sind, auch so darstellbar:

(£.) abs [Q, (/■ + Q)-Q, (/•)] <e. - Q.e. d.

*) Ich nenne ih einen wirklichen echten Bruch, sobald abs S- nicht ^ \ , sondern
geradezu <:^ \ ist.

H3] Ueber die Methode des arithmetischen Mittels. Abh. II. 675

Vierter Hiilfssatz. — Es sei ^ die Fläche eine^ Halbkreises
vom Ixadius 7i, und C ihr Cenlnim, d. i. der IJalbirungspunkt des die
Fläche auf der einen Seite begrenzenden Durchmessers. Ferner sei
Q = Q(jr, y) eine gefjcbcne Function, die in ganzer Erstreckung von ^
sielig ist. Denkt man sich ferner um C eine Kreisperipherie vom
Radius r ^ R beschrieben, so mag der kleinste Werlh, den Q längs
des zu ^ gehörigen Theiles dieser Peripherie besitzt, mit Q^{r) be-
zeichnet sein.

Alsdann wird dieses Q^i^) ^'"^ Function von r sein, die in Er-
streckung des Intervalls (0, R) stetig ist.

Der Beweis dieses letzten Satzes ist offenbar ganz analog mit
dem des vorhergehenden, eine weitere Erläuterung also unnölhig.

§ 18.

UntersQchuDg der Green'schen Function am Rande ihres Gebietes.
Die sich zunächst darbietende Methode.

Die gegebene Randcurve des Gebietes 3 naag von solcher Be-
schaffenheit sein, dass

6, 6\ 6" stetige Functionen der Bogenlänge g sind,
und dass überdies 0' überall > 0 ist*).
Ist nun innerhalb 3 ein fester Punkt c gegeben, so werden zufolge
des Theorems pag. 82 drei Fundamentalfunctionen U, Ti, Li des
Gebietes 3 existiren, von denen die erste am Rande von 5 gleich-
werthig ist mit log -, wo r den von c aus nach dem Rande hin-
laufenden Radiusvector vorstellt; während gleichzeitig für jeden Punkt
{x, y) innerhalb 3 die Relationen stattfinden:

*) Hieraus folgt z. B., dass die Curve überall convex ist, jedoch der Art, dass sie
auch geradlinige Strecken enthalten kann.

Demgemäss werden sämmtliche Krümmungskreise die Curve auf ihrer innem
Seile berühren; und es wird also z. B. der in der Formel {E.) pag. 4 enthaltene Factor
€ durchweg = + ' sein, jene Formel also die Gestah annehmen :

\

Hieraus aberfolgt, weil 0', zufolge der Voraussetzungen (I.), überall sfefi^, mithin
auch überall endlich ist, dass der Krümmungsradius R überall ^ 0 ist.

Abhsndl. d. K. S. GeseUsch. d. Wiss. XXIY. 48

676 C. Neumann, [^14

Diese Function U pflegt man alsdann die dem Punkte c entsprechende
Grecn'sche Fimclion, und jenen Punkt c den Ccnlraljmnkl dieser Func-
tion zu nennen. Mehr im Sinne Green's würde es allerdings sein,
als GREEN'sche Function nicht das U selber, sondern den Ausdruck

(3.) Q= |ioglj_ t7=:-((/+logr)

zu bezeichnen, wo f/den Werth der Function Um irgend einem Punkte
[x, v/), und r den Abstand dieses Punktes {x, y) von c vorstellen
soll. Wie dem auch sei, — wir werden beide Functionen unter-
suchen, sowohl U wie Q, und dabei vorzugsweise die Diüerential-
quotienten

(4.) F = -r- und 0 = -j—

^ dr dv

ins Auge fassen, wo v die innere Normale der Randcurve vor-
stellen soll.

Aus der für V gegebenen Delinition folgt sofort, dass Q eine
Function von {x^ y) ist, die am Rande dieses Gebietes 3 überall ver-
schwindet, die ferner in jedwedem Punkte innerhalb des Gebietes
^ 0 , und speciell im Punkte c positiv unendlich ist. Auch wird
Q für jedweden Theil des Gebietes 3? tler den Punkt c nicht ent-
hält, als eine Fundamenlalfuncliou zu bezeichnen sein.

Erläuterung. — Man denke sich um c, als Centrutn, eine völlig
innerhalb ^ liegende äusserst kleine Kreisflache construiii, und den nach
Absonderung dieser Kreisfläche noch übrig bleibenden Theil des Gebietes
Q mit 3Jgjj bezeichnet, indem man dabei unter a und x die beiden Rand-
curven dieses Theiles ^ßyf, nämlich unter a den ursprünglich gegebenen
Rand des Gebietes ^, andererseits aber unter x die soeben construirte
kleine Kreisperipherie versteht. Alsdann wird die in (3.) angegebene
Function Q olfenbar, ebenso wie U selber, eine Fundamentalfunction des
Gebietes 3gj( sein.

Zufolge des ersten Satzes Abh. I, pag. 20 sind daher der grösste
und der kleinste Werth^ die Q in Erstreckung des Gebietes 3^o-jj besitzt,
nothwendiger Weise auf den liandcurven dieses Gebietes, und nur allein auf
diesen Randcurven anzutrefTen. Hieraus aber ergiebt sich, weil Q auf ö
überall = 0, und auf y, überall ausserordentlich gross ist, Zweierlei,
nämlich erstens, dass der kleinste Werth von Q in ganzer Erstreckung
des Gebietes 3fg^ die 0 ist, und zweitens, dass Q in jedem Punkte inner-
halb dieses Gebietes ^ 0 ist. Diese Resultate aber übertragen sich, wie
man sofort übersieht, mit Leichtigkeit auf 3 selber. — Q. e. d.

<45] Heber die Methode des arithmetischen Mittels. Abh. II, 677

Denkt man sich auf der gegebenen Curve irgend eine innere
Normale v errichtet, die so kurz ist, dass sie den gegebenen Cen-
Iralpunkt c nicht erreichen kann , und bezeichnet man einen he-
liebigen Punkt dieser Normale mit jj, ferner den Fusspunkt derselben
mit (/, so werden die Functionen

längs der Normale i> (inclusive ihres Fusspunktes q) dcl'uj sein. Und
lässt man jetzt die Normale v (sammt ihres Fusspunktes q) längs
der gegebenen Curve fortvvandern , so werden hierbei die Functionen

(5/? ) F = ^-^ und O = ^2

Schritt für Schritt in slet'ujer Weise sich andern.

Diese Siitze ergeben sich, soweit sie auf F Bezug haben, leicht
mittelst der aus dem ersten Satze pag. 84 enlspringenden Formeln:

^9 = -^* = {^\)q COS / + {l^\ sin / ,

\X0 die zugefügten Indices /) und q die Werthe der betrelfenden
Functionen in den Punkten p und q andeuten, während / das Azi-
nuilh der Normale v gegen die a;-Axe vorstellt. Denn einerseits
sind li und f/j (^Js Fundamental functionen des Gebietes 3) 'w ganzer
Erstreckung von 3 stelig; und andererseits wird /, falls man die
Normale v längs der Curve forlwandern lässt, zufolge der V^oraus-
setzungen (I .) sich Schritt für Schritt in stetiger Weise ändern.

Sobald aber die in Rede stehenden Sätze für F bewiesen sind,
ergiebt sich sodann, auf Grund der Formel (3.), ihr Beweis auch
für die Function <t>, falls man nur beachtet, dass die Normale v so
kurz gedacht werden soll, dass sie den gegebenen Centralpunkt c nie-
mals erreicht.

Uebrigens sind die Sätze (5 a., ß.) einer etwas allgemeineren
Fassung fähig. Bezeichnet man nämlich das von der gegebenen
Curve ö und einer inneren Parallelcurve s begrenzte ringförmii/e
Gebiet mit ^a«? so ergiebt sich leicht*), dass die Functionen

(5y.) F = -r- und (J) = —-

av av

*) Etwa unter Anwendung des erslen Satzes pag. 101.

48»

678 C. Nelmann, [116

in ganzer Erstreckung des Gebietes 3us eindeutig und stelig sind, falls
man nur den gegenseitigen Abstand jener beiden Cuiven o und s
hinreichend klein macht.

Wir wenden uns jetzt zu Betrachtungen anderer Art. Da die
Function Q, wie schon bemerkt wurde (pag. 1 1 4), im Randpunkte q
verschwindet, in allen übrigen Punkten der Normale v aber ^ 0 ist,
so erkennen wii" sofort, dass der Ausdruck

(6.) 0^ = ^ stets ^ 0

'i dv —

sein miiss.

Schliessen zu wollen, dass er geradezu ^ 0 sei, würde offenbar
voreilig sein. Denn es könnten ja z. B. die Werthe von Q, als
Ordinalen auf die Ebene des Gebietes 3 senkrecht aufgesetzt ge-
dacht, über der Linie v eine Curve liefern, welche die Linie v im
Punkte q berührt, sonst aber durchweg oberhalb v bleibt. Und alsdann
würde der Ditferentialquoticnt (6.) nicht ^ 0, sondern = 0 sein.

Es handelt sich mm um die ebenso nichtige wie schwierige Erage,
ob in der für alle Randpunkle q geltenden Formel (6.) das zweifelhafte
Zeichen ^ wirklich zu belassen sei, oder ob man vielleicht berechtigt
ist, dasselbe durch das kategorische ^ zu ersetzen.

Da U eine Fundamental function des Gebietes 3 ist, so ergeben
sich, auf Grund bekannter GiiEEN'scher Sätze, für irgend einen Punkt J
innerhalb 3 folgende Formeln :

.r,x r^ TT rirr dP ^y dU\ ,

(7.) ^7tU,= [U-, P-r-\da, [vgl.(4 0£.)I.«. N.P. png. 19] ,

•^ J \ av dvj

(8.)

/^/ 7 T'? 7 ^C\

^JV UV — ^^^ W) ^^' ' [^8l-(42cf.)i.M- iV.P.pag. 21] *)

die Integration ausgedehnt über alle Elemente da der Randcurve.

Dabei dient T als Abbreviatur für log — , wo r den gegenseitigen

Abstand zweier Punkte vorstellt; insbesondere beziehen sich TJ und
T" auf die Abstünde {j »^ > da) und (c »- > da), wo c den gegebenen
Gentralpunkt vorstellen soll. Um die Gleichung (7.) mit voller Strenge

*) Diese klein gedruckten Citate bezielicn sich auf das Werk des Verfassers :
yyUnter suchungen über das Logarithmische uiid Newton' sehe PotentiaU(. Leipzig, bei
Teubner. 1877.

<<7] Ueber die Methode des arithmetischen Mittels. Abh. II. 679

abzuleiten, hat man zuvörderst statt der eigentlichen Randcurve o
eine innere ParaUcIcurve anzuwenden. Aus der so erhaltenen Formel
ergiebt sich alsdann die Gleichung (7.), sobald man den Abstand
dieser Parallelcurve von der Randcurve zu 0 herabsinken lasst, und
dabei Rücksicht nimmt auf den Satz (5/.). — Beachtet man, dass ü

am Rande = log -^, d. i. = T" ist, so erhält man aus (7.) und

(8.) durch Subtraction sofort:

(9.) i^r^f'l^I^^Väa.

Andererseits ergeben sich in analoger Weise für irgend einen
Punkt a ausserhalb 3 die Formein:

(40.) 2 /r V = -f[T^' ^ ~ ^'^ ^) '^'^ ' [vgl.(*2^.) L. «. iV. P. pag. a<] ,
(H .) 0 = —J iU. -^ — r' j-\ da , [vgl.(40 (f.) L.U. N. P. pag. 49] ♦) ,

wo T" und P respective den Abständen (aif-^da) und (c ^^ da)
zugehören, während T« auf den Abstand (c ^-> a) sich bezieht.
Aus (10.) und (11.) folgt durch Subtraction:

d{r — U)

Vda .

(.2.) 2-V=/ ^^

Nun ist T' ~ 1= (log |\ — T = Q [vgl. (3.)] ; so dass also
die beiden Formeln (9.) und (12.) die Gestalt gewinnen:

Demgemäss können IJj und Tl als Potentiale angesehen werden,
die respective auf j und a ausgeübt werden von ein und derselben
Curvenbelegung, deren Dichtigkeit 7^ den Werth hat:

' Z7t dv
Wir wollen jetzt annehmen, der DifTerenlialquolient ^, mithin

*) Auch diese Cilate beziehen sich auf das genannte Werk.

680

C. Neumann,

[118

auch 7] seien längs irgend eines Elementes pq der gegebenen Rand-
curve überall = 0 , und die aus einer solchen Annahme sich erge-
benden Consequenzen entwickeln.
Die beiden Potentiale (13.):

(15.)

Ui und Tn

werden alsdann von der Belegung der ungrschlosscnen Curve qhp
herrühren, mithin zusammengenommen eine Function bilden, die

durch die Üeffnung pq hindurch stelig ist. Hieran wird nichts ge-
ändert, sobald man von beiden Potentialen das von dem festen
Punkte c herrührende Potential T*" in Abzug bringt; so dass also die
beiden Ausdrücke
(16.) Uj- Tf und V- V

zusammengenommen wiederum eine Function reprUsentiren, die durch
jene Oeffnung pq hindurch stetig ist. Da nun aber von diesen bei-
den Ausdrücken (16.) der zweite identisch verschwindet, so er-
giebt sich hieraus nach bekanntem Satze, dass der evstere ebenfalls
verschwindet, und zv^ar für sämmtliche Punkte j ; was mit der Natur
dieses Ausdruckes in offenbarem Widerspruch steht. Wir sehen so-
mit, dass die gemachte Annahme wihaltbar ist, und gelangen daher
zu folgendem Salze :

(17.)

Der in (6.) genannte Differentialquotient:

CD ^^^
'J dv

kann niemals in sämmtlichen Punkten eines Randelementes ver-
schwinden^ wie klein man sich dieses Element auch denken möge*). ■ —
Ob aber dieser Differenlialquotient nicht vielleicht in einzelnen
Punkten des Randes verschwinden kann , — diese Frage scheint

*) Dieses Resultat ist schon früher vom Verf. abgeleitet worden. Vgl. das in
den l)oi«len vorliergelienden Noten genannte Werk, pag. 77.

<*9] Ueber die Methode des arithmetischen Mittels. Abh. II. 681

bisher noch niemals in Angriff genommen, und überhaupt mit grossen
Schwierigkeiten verbunden zu sein. Um so mehr dürfte es gerecht-
fertigt sein, wenn ich die beiden folgenden Paragraphe dazu ver-
wende, um die von mir in dieser Richtung angestellten Unter-
suchungen in sorgfältiger Weise darzulegen.

Beiläufig sei bemerkt, dass man durch die in diesem Paragraph dar-
gelegte Methode z. B. auch zu folgendem Satze gelangen kann:

Satz. *) — Ist längs der gegebenen geschlossenen Curve eine Function
f == /"(a) vorgeschrieben, und setzt man voraus, dass

ö, ö' , 0" und f, f' stetig sind, dass femer f" ah-
(a.) theilungsweise stetig ist, und dass endlich 0' über-

all ^ 0 ist,

so werden die den Werthen f entsprechenden Fundament alfunctionen <J> und
V der Gebiete ä und 3 nicht allein existiren, sondern auch mit den früher
{Theorem pag. 8 2) angegebenen Eigenschaften behaftet sein.

Gleichzeitig werden alsdann sämmtliche IVerthe , welche <t> und W in
Erstreckung von %, resp. in Erstreckung von 3 besitzen, abgesehen von
einer additiven Constante, darstellbar sein als die Potentiale ein und der-
selben Curvenbelegung auf äussere, resp. auf innere Punkte.

Es werden nämlich folgende Formeln gelten :

iß)

<t>j = r + / Tj. öda , {x in Erstreckung von ä) ,
^ j. = r -\- 1 Tj,öda , {x in Erstreckung von 3) ,

wo Tj. = log — - ist, und Ej. den Abstand des Elementes d a vom Punkte x

vorstellt, während f eine bestimmte endliche Constante, nämlich den fVerth
von <l> im Unendlichen repräsentirt, [vgl. Abh. I, pag. 22 (l-)].

Dabei bezeichnet, ivas besonders zu betonen ist, ö eine längs der
Curve stetige Function. Auch ist der Werth dieser Function darstellbar
durch die Formel :

^^•^ ^ = ^ äv '

wo V die innere Normale der Curve vorstellt.

*) Vgl. den von mir im Jahre 1878 in den Der. der Kgl. Sachs. Ges. d. Wiss.
publicirten Aufsatz, insbesondere den III. und IV. Fundamentalsalz, daselbst pag.
52 und 54.

G82 C. Neumann, [ISO

§ 1«.
Fortsetzung. Die Methode der berührenden Kreisfläche.

Für diesen und den folgenden Paragraph wird es, zur Verein-
fachung der Darstellung, gut sein, folgenden Hülfssatz voranzuschicken:

Hülfssatz. — Es seien [vgl. die folgende Figur] BCD und UCH^
zwei aufeinander senkrechte Durchmesser einer um C mit dem Radius
A beschriebenen Kreisperijjherie. Ferner sei p ein auf dem Radius CD
gelegener Punkt, dessen Centr aldistanz = r ist. Ueberdies mögen auf
der Peripherie zu beiden Seitoi von D zwei Punkte N und Ni in
solcher Weise markirt sein, dass N,p, U^ in gerader Linie, und
andererseits Ny , p, H ebenfalls in gerader Linie liegen. Endlich sei S
ein längs der Peripherie herumlaufender Punkt, und E der von Augen-
blick zu Augenblick sich ändernde Abstand dieses Punktes S vom fes-
ten Punkte p.

Alsdann wird die von E abhängende Function

in dem Augenblicke = 0 sein, in ivelchem S in N sich befindet, sodann
^ 0 sein, während S, von N aus, längs der Peripherie über B nach
N^ geht, ivieder = 0 werden, sobald B in Ni anlangt, und endlich
<^ 0 sein, während S, seine Wanderung längs der Peripherie fortsetzend,
von iVi über D nach N geht. Oder genauer ausgedrückt : Es wird diese
Function f längs der Strecke NBN^ positiv, längs der Strecke N^DN
negativ sein, und im Ganzen nur zwei Nullpunkte haben, die in N
und iVi liegen. Insbesondere wird ihr Werth längs des Halbkreises
IIB Hl durchweg

sein.

Dabei mag noch bemerkt sein, dass man die negative Strecke
N^DN durch Vergrösserung von r beliebig klein machen kann; wie
solches aus der für die Punkte N, N^ angegebenen Construction sofort
sich ergiebt.

Beweis. — Aus der Formel («.) folgt sofort, dass die Function
f z=. f[E) nur für einen einzigen Werth von E verschwindet. Dieser
Werth lautet:

131] Ueber die Methode des arithmetischen Mittels. Abh. II.

E = ^^ ~^* = (.4 -r){A-\-r)

v.i' + 7* y.4* + / * '

und ist daher [vgl. die Figur] auch so darstellbar:

ipD){pB)

683

£■

(p^A)

oder auch so

£' = (/>Al = (/,iVJ .

Folglich repräsentiren N und Ni die beiden einzigen Lagen des
peripherischen Punktes S, für welche f verschwindet. Folglich hat
f längs NBNi constantes Vorzeichen, und ebenso längs N^DN. Dass
aber ersteres -f-, und letzteres — ist, erkennt man sofort aus den
in B und D, d. i. für E =^ A -\- r und E z=i A — r sich ergebenden
Werthen :

1

Werth in B: f{ii + /•) = +
Werth in D: f{A — r) = —

7i{A-\- rf '

\

71 {A — rf '

Um schliesslich die Behauptung {ß.) zu beweisen, bemerken wir,
dass für alle Punkte S des Halbkreises HBH^ die Relation stattfindet:

{q.) A^E^^A ,

dass mithin die Function

(/l* + ;•«)£•* — {A^ — r*)»

f =

iTcAvE*
für die Punkte S des genannten Halbkreises der Formel entspricht:

684 G. Neumann, [122

^ (^' + r^) ^' — (/t' — ry- _ r^ß/l^ — ?»)
'= 271 Ar J'? " 27rylr/i'*

Diese Formel aber kann, mit abermaliger Rücksicht auf ((>.), auch
so geschrieben werden:

' = 2 7ryl?-(2^)« '
oder, weil r^ <. A^, mithin 3 A^ — r^ ^ 2A^ ist, auch so:

r^-2A' ^ r _

Dies vorangescMckt, gehen wir jetzt über zu unserm eigentlichen
Thema, indem wir dabei festhalten an den Bezeichnungen und Voraus-
setzungen des vorhergehenden Paragraphs. Aus jenen Voraussetz-
ungen folgt [vgl, die Note pag. 113], dass der kleinste Krümmungs-
radius Rq der gegebenen Curve stets ^ 0 ist. Bezeichnet man
ferner den kürzesten Abstand des gegebenen Gentralpunktes c von
der Curve mit SlJPo, so wird Po ebenfalls ^ 0 sein (weil c inner-
halb 3 liegen soll). Bezeichnet nun A eine den Formeln:

(1 .) 0 < J < i?o und 0 < .4 < Po

unterworfene, sonst aber beliebig gewählte Constante, und denkt man
sich einen Kreis ^ vom Radius A construirt, der die gegebene Curve
in irgend einem Punkte q von Innen berührt, so wird die Peripherie
dieses Kreises, ausser dem Punkte q, keinen weiteren Punkt mit der
gegebenen Curve gemein haben [Zweiter Satz pag. 101]. Dem-
gemäss wird die Fläche dieses Kreises ^ ein Theil des Gebietes 3 sein.

Ueberdies erkennt man leicht, dass der gegebene Centralpunkt
c ausserhalb des Kreises ^ liegt. Denn befände sich c innerhalb ^,
oder am Rande \on 51, so würde der Abstand (cq) <Z 21 A, also,
nach (1.), <^ 2^0 sein. Es würde also in diesem Falle der Punkt
c vom Curvenpunkte q einen Abstand haben, der <^ 2!jPo 'st; während
doch 2/^0 den kürzesten Abstand jenes Punktes c von der Curve
vorstellen soll.

Da nun die Fläche ^ ein Theil von 3 ist, und der Punkt c
ausserhalb ^ liegt, so ergicbt sich hieraus sofort, dass die Functionen
ü und Q Fundamentalfunctionen des Gebietes ^ sind. Markirt man
daher irgend einen Punkt /} innerhalb Ä, und zugleich auch irgend
einen Punkt])' ausserhalb H", so gelten die Formeln:

<23] Leber die Methode des arithmetischen Mittels. Abh. If.

685

(2.)

(3.)

(*.)

[vgK L. u. y.P. {kOd.) pag. i9],

[vgl. L. u. S.P. HOe.) pag. 49],

ds , [vgl. L. u. y.P. [kOd.) pag. 19]»),

WO die Inlegration hinläuft über alle Randelemente ds des Kreises
H", und wo n die innere Normale des Elementes ds repräsentirt.
Dabei bezeichnet Q^ den Werth von Q in ja; während T und T
respective den Entfernungen (p is-^ ds) und {p »— >► ds) angehören.
Air diese Formeln (2.), (3.), (4.) ergeben sich, ebenso wie die auf
pag. I 1 6 besprochenen, mit absoluter Strenge durch Anwendung der
auch damals benutzten Parallelcurven. (Vgl. pag. 117.)

Es mögen nun die beiden Punkte p und p' in Bezug auf den
Kreis Ä, dessen Cenlrum C heissen soll, zu einander conjiigirt sein;
sodass also z. B, zwischen ihren Centraldislanzen r und r die Kela-
tion stattfindet

(5.) rr' = .-i'- .

Ueberdies liege p auf dem Radius T^, mithin p' auf der Vcrlänge-

*') Diese Cilate beziehen sich auf das io der Note pag. \ I 6 genauDle Werk.

686

G. Neumann,

[124

rang dieses Radius. Bezeichnet man alsdann die Abstünde eines
Elementes ds von den drei Punkten C, p, p rospective mit A, E , E',
so sind, zufolge (5.), die beiden Dreiecke EAr und Er A einander
ähnlich; woraus folgt:

(6.)

EAr
Ir '^ 7 '~ A

Somit ergiebt sich:

log^-log-i=:

d. i.

(7.)

T' — r = log -

(8.)

Bezeichnet man ferner in jenen beiden Dreiecken den den Seiten
E und E' gegenüberliegenden Winkel mit (p, so ist:

E^ = yl* _j- r^ — 2 Ar cos cp ,

E'^ = A^ -\- r"^ — %Ar' cos cp .

Und mit Rücksicht hierauf ergeben sich , falls man die innere Nor-
male des Elementes ds mit n bezeichnet, folgende Formeln:

dT d log /i ö log ii" A — r cos (p

dn dn 'öA £"* '

([T _ _ (/ log E' _ ö log E' _ A — r' cos cp
dn dn ^A E'^ '

Formeln, die man mit Rücksicht auf (6.) auch so schreiben kann:

(9.)

dT A — r cos cp A^

In ~ W^ ^ '

dT' A — r' cos cp r*

dn ~~ E^ A^

Hieraus folgt durch Subtraction:

dT' dT Air^ — A^) — r{rr' -

■ A"^) cos cp

dn dn ~~ A^ E^

also mit Rücksicht auf (5.):

dT' dT_r^-A^^
^ ^ dn dn AE^

Subtrahirt man jetzt die beiden Formeln (3.), (4.) von einander
so erhalt man mit Rücksicht auf (7.) und (10.):

<25] Leber die Methode des arithmetischen Mittels. Abh. II. 687

also mit Rücksicht auf (2.):

eine Foraiel, die sich ohne Weiteres nach r differenziren ISssl.
Aus (8.) folgt sofort:

d^ //•' — ^«\ _ 2Ar — {A^ -{- r*)cos rp
dl' [iTrAE^J " TtT' '

oder, falls hier für cos (p der aus (8.) entspringende Werlh sub-
stiluirt wird:

^^^■^ dr U;rAE''j " irvAr \ E^ T* } ' ^- '' " ' '

wo /* die in («.) pag. 120 besprochene Function repräsenlirt. Dif-
ferenzirt man also die Formel (II.) nach r, so erhält man:

(.3.) - ^P- ^füfUs ,

wofür man auch schreiben kann:

(U.) -^=f Qfds + f Qds,

« t' ^ qHB J BU,q

WO alsdann das eine Integral über den Halbkreis qHB, das andere
über den Halbkreis B Il^q hinerstreckt zu denken ist [vgl. die vorher-
gehende Figur].

Diese Formel (1 3.) oder (1 4.) gilt offenbar (wie aus ihrer Ent-
stehungsweise hervorgeht) nicht nur für die Function Q, sondern
ganz allgemein für jedwede Fundamentalfunction der Kreisfläche Ä.
Sie wird also z. B. richtig bleiben, wenn man in ihr statt Q eine
Conslante, etwa die Zahl 1, nimmt. Somit folgt:

0 =r fds +f fds .

^ qHB 'J BHiq

Hieraus aber folgt, weil f lediglich von E abhängt, mithin diese
beiden Integrale einander gleich sind, dass jedes derselben einzeln
= 0 ist; sodass man also die Formeln erhält:

f fds = 0 und f fds = 0 .

688 C. Neumann, [126

(15.) -"^ ==/* (ß - h)fds +f (Q - k,)fds ,

(ir J nhli "J nihn

Und mit Uücksicht hierauf kann man die Formel (1 4.) auch so
schreiben :

qllU ^ Blhq

WO k und k^ ivillkürHch zu iväldende Constanten vorstellen.

Bezeichnet man jetzt [vgl. die vorhergehende Figur] die im
Punkte q auf der gegebenen Gurve errichtete innere Normale qCH
kurzweg mit v, und beachtet man, dass die zu untersuchende Func-
tion 0p [pag. 115] die Bedeutung hat:

dQp

dv dr

0«) % = 1^ = -7&.

so folgt aus (15.):

(17.) %=^f {Q-k)fds+f {Q~k,)fds.

•^ qHB ^ Blhq

Um von dieser Formel (1 7.) Nutzen zu ziehen, wollen wir (vgl.
die folgende Figur) die Niveaucurven

(18.) Q == Const.

ins Auge fassen. ülTcnbar werden wir diese das ganze Gebiet 3
erfüllenden Niveaucurven dadurch erhalten, dass wir die Gonst. von
0 zu -|- oo wachsen lassen. Und zwar wird die Gurve Q = Gonst.,
falls wir die Gonst. zuerst = 0 machen, sodann allmählich wachsen,
und schliesslich = -[- oo werden lassen, zuerst identisch sein mit
der Handcurve, sodann sich ein wenig verkleinern und mit dieser
Randcurve nahezu parallel werden, hierauf sich mehr und mehr
zusammenziehen, und schliesslich zu dem gegebenen Gentralpunkte
c zusammenschrumpfen.

Denken wir uns nun den Gentralabstand r des Punktes -p sehr
wenig kleiner als den Kreisradius A, mithin p sehr nahe an </, so
werden auch die [mittelst der punklirten Linien sich bestimmenden]
Punkte N und JVi sehr nahe an q liegen ; es werden daher in diesem
Falle die durch N und N^ gehenden Niveaucurven >« und Xj dem
Rande von ^ sehr nahe liegen, und mit diesem Rande nahezu pa-
rallel sein; sodass also z. B. der Halbkreis qllB von der Gurve x
nur in dem einen Punkte iV, und ebenso der Halbkreis BH^q von
der Gurve x, nur in dem einen Punkte N^ geschnitten wird. Bezeichnet
also k den constanlen Werth von ß längs der Niveaucurve x, so

427] Leber die Metuode des ARiTiiMETisniEN Mittels. x\bh. II. 689

wird {Q — /.) längs des Kreisbogens giV durchweg negativ^ und längs
des Kreisbogens NHB durchweg positiv sein. Genau dasselbe gilt
aber, zufolge unseres Hülfssatzes*) pag. 12d, auch von der Function /'.
FoUjlich ist das Producl (Q — k)f längs des ganzen Halbkreises qHli
überall jiosiliv. Analoges gilt offenbar von dem Producte (Q — A,)/' mit
Bezug auf den andern Halbkreis BU^q, falls nämlich k^ den cou-
stanlen Werlh der Function Q längs der Niveaucurve Xj vorstellt.

Denkt man sich also in der Formel (17.) den dortigen Constanten
k und Ä, die soeben definirten Werlhe zuertheilt, so wird jedes der
dortigen beiden Integrale eine Summe von lauter positiven Gliedern
sein, mithin verkleinert werden, sobald man irgend welchen Theil
dieser Glieder fortlässt, also z. B. verkleinert werden, sobald man
die dortigen Integrationen nicht über die Halbkreise

qUB und BlI^q ,
sondern nur über die Kreisquadranlen

HB und BH,
sich hinerstrecken lässt. Somit ergiebt sich aus (17.):

^ '^ HB J DIU

Bezeichnet man daher den kleinsten Werth von Q längs des Halbkreises
UBH^ mit Q(,? und beachtet man, dass /", zufolge des Hülfssatzes

*) Die Bezeichnungen in jenem Hülfssatze sind genau dieselben wie hier, nur mil
dem Unterschiede, dass der Punkt q dort mit D benannt ist.

690

C. Neümann,

M28

pag. 120, längs dieses Halbkreises II BH^ überall positiv ist, so er-
hüll man a fortiori:

(19.) %^(ßü-/0/' fds-^{Q,-k,)f fd

Nach (ß.) pag. 120 ist aber:

/ fds ^ — — jr / ds =

./ Hfl — \&7CA^J HU

ßUi

7t A

und

\^7tA^J UB^"" \^7tA^ 2

ebenfalls >

lÖTryl' 2

Somit folgt:

(20.)

^p ^ ((«0

/.) + (Q„ - k

.')

32^'

oder ein wenig anders geschrieben:
(21.) 0p_|2Q^_/,_A-,j

32 yl^

Diese Formel wird, ihrer Entstehung zufolge, gültig sein nicht
nur für das augenblicklich betrachtete r, sondern auch für jedes
grössere r, falls nur dasselbe <^ A bleibt. Sie wird also, falls man
dieses augenblickliche r mit a bezeichnet, gültig sein für jedwedes
der Bedingung a ^ r <^ A entsprechende Argument r. Bezeichnet
man daher die linke Seite dieser Formel (21.) mit F{r), so ist:

(22.) F{r) ^0 für a ^ r <C A .

Dabei ist F{r) eine in ganzer Erstreckung des Intervalls a ... A
stetige Function. Denn einerseits sind k, /«i und O^ F'unctionen von
r, die einer derartigen Stetigkeit sich erfreuen, wie solches Iheils
aus der Bedeutung von k, k^, theils aus dem Satze (5«.) pag. 115
hervorgeht. Und andererseits ist Qo (^^r Mininalwerlh von Q längs
des Halbkreises IIBII^), ebenso wie der Radius A, eine Constante.

Mit Rücksicht auf diese Stetigkeit der Function F(r) folgt nun
aus der Formel (22.) sofort, dass

(23.) F{A) ^ 0

ist. Denn wollte man annehmen, es sei F{Ä) <^ 0, so müssten, in
Anbetracht der soeben besprochenen Stetigkeit von F{r), in unmittel-
barer Nähe von A Argumente r <^ A existiren, für welche F{r) eben-
falls <^ 0 wäre; was mit (22.) in Widerspruch steht.

^29] Ueber die Methode des arithmetischen Mittels. Abh. II. 691

Die in solcher Weise constatirte Formel (23.) nimmt nun, falls
man für F(A) seine eigentliche Bedeutung eintreten lasst, die Gestalt an:

Denn für r = A geht O^ in <\>g über, während k und k^ hierbei zu
0 werden.

Nun war aber q ein beliebiger RandpunM. Und mr ersehen also
aus (24.), dass 0 in jedwedem Randpuukte ^ 0 ist; womit die auf
pag. I 1 6 aufgeworfene Frage beantwortet ist.

Indessen lässt die Methode, durch welche wir hier zu diesem
Resultate gelangt sind. Manches zu wünschen übrig, insofern als uns
vorläufig noch die Mittel fehlen dürften, um das Operiren mit Niveau-
curven mit wirklicher Strenge zu vereinen ; wie denn z. B. auch die
A^orhin (pag. 126) ausgesprochene Behauptung, dass der Halbkreis
qHB von der Niveaucurve x immer nur in einem einzigen Punkte ge-
schnitten wird, ohne wirklichen Beweis geblieben ist.

Immerhin dürfte die hier exponirte Methode eine passende Ein-
leitung sein für diejenige wirklich strenge, aber auch complicirlere
]Methode, von welcher der folgende Paragraph handeln soll.

§ 20.

Fortsetzung. Methode der übergreifenden Kreisfläche.

Wir halten fest an den Bezeichnungen und Voraussetzungen der
beiden vorhergehenden Paragraphe, und denken uns also z. B. die
gegebene Curve von solcher Beschatfenheit [vgl. (I.) pag. 113], dass

0,0' Q" stetige Functionen der Bogenlänge a sind, und
(i .)

dass ausserdem (jf überall > 0 ist.

Es sei nun ß^ der kleinste Krümmungsradius der Curve, ferner sei
2 Po cicr kürzeste Abstand des innerhalb 3 gegebenen Centralpunktes
c von dieser Curve, endlich sei .4 irgend eine den beiden Bedingungen

(2.) 0 < .1 < R^ und 0 < .1 < P,

entsprechende Constante. Denkt man sich alsdann einen Kreis Ä
vom Radius A conslruirt, der die gegebene Curve in irgend einem

Abhandl. d. K. S. (iesellsch. d. Wissensch. XXIV. 49

692 C. Neumann, [130

Punkte q von Innen beiühii, so wird der Centialpunkt c auascrhalh
der Kreisfläche 51 liegen, mithin

(3.) A < (Cc)

sein, wo C das Centrum der Fläche ^ vorslellt. Auch wird alsdann
diese Fläche ü' ein Theil von 3 sein. Und zwar wird die Peripherie
dei' Fläche 51, ausser dem Berührungspunkte (/, keinen weiteren Punkt
mit dem Rande von 3? d. i. mit der gegebenen Curve gemein haben.
Diese bereits früher (pag. 122) constatirten einfachen Sätze bilden
das Fundament der jetzt anzustellenden Betrachtungen, Denken wir
uns um das Centrum C des nnt dem Radius A beschriebenen Kreises
^ einen zweiten Kreis Ä* vom Radius A -\- u* beschrieben, und
dabei {A -j- « *) der Bedingung unterworfen :

(4.) /i<J + «*<(Cc) ,

so wird otfenbar der Centralpunkt c nicht nur ausserhalb 51, sondern
auch ausserhalb 5t* liegen.

Gleichzeitig aber wollen wir die neue Constante a^' so kleiri
uns denken, dass die Peripherie ^* die gegebene Curve in zwei zu
beiden Seiten von q gelegenen Punkten schneidet, sonst aber keine
weiteren Punkte mit der Curve gemein hat, und dass Gleiches auch
gilt von jedweder um C beschriebenen Peripherie, deren Radius
[A -\- a) der Relation entspricht

(5.) J < .4 + a ^ A + «* .

Dass eine derartige Bestimmungsweise der Constante [A -j- «*), bei
den von uns gemachten Voraussetzungen (1.), stets möglich ist, er-
giebt sich sofort aus dem dritten Satze pag. 101. Denn es wird zu
diesem Zwecke nur erforderlich sein, dieses (A -|- « *) <^ (> ' zu
machen, wo (j* die dort besprochene Constante voistellt.

Bezeichnet man den innerhalb der Peripherie {A -{- a) betind-
lichen Theil des Gebietes 3 Ji^Jt ^w. ^o wird 5i\, theils von jener
Peripherie selber, theils von einer gewissen Strecke QqQ^ der ge-
gebenen Curve begrenzt, und in Q und Q^ mit zwei Ecken versehen
sein. Dieses Gebiet ^„ ist in beistehender Figur duich Schrad'irung
hervorgehoben. Die aus (4.), (ö.) entspringende Formel

(6.) yl< J + « ^ vi + a*<(Cc)

zeigt, dass der Centralpunkt c stets ausserhalb 51« liegt. Demgemäss

<3-l] Leber die ^Iethode des arithmetischen Mittels. Abu. 11.

Ü93

sind also U und Q FuiuliwieHtalfundionen des Gebietes Ä„. Ist mit-
hin p irgend ein Punkt innerhalb Ä'„, und // ein beliebiger Punkt
ausserhalb Ä„ , so ergeben sich folgende mit (2.), (3.), (4.) pag. 123

analoge Formeln :

0)

(8.)

(9.)

0 =/:;!- +/f "-

die Integrationen ausgedehnt gedacht über alle Elemente ds der das
Gebiet Ä'„ begrenzenden Kreisbogenstrecke QBQ^ [vgl. die Figur]^
und über alle Elemente da der zur gegebenen Curve gehörigen Strecke
Qx'^lQ' Dabei bezeichnen n und v die auf ds und dn errichteten,
in das Innere von .^„ hineinlaufenden Normalen. Ferner haben T
und T' die Bedeutungen:

(10.)

T' = log ;g , T =\oa,-^ ,

wo E und E' die Abstände der beiden Punkte p und p' von ds,
respective von da vorstellen.

Subtrahirt man die beiden Formeln (8.) und (9.) von einander,
und beachtet man dabei, dass die Function Ö längs des Randes von
3, also z. B. auch längs der Curvenstrecke Q^qQ überall = 0 ist,
so folgt:

49*

694 C. Neumann, [132

LHsst man nun, ebenso wie im vorhergelienden Paragraph, den Punkt
p auf den Radius Cq fallen, und nimmt man für jj den zu p in Be-
zug auf die Peripherie (A -{- «) conjtigirien Punkt [vgl. die folgende
Figur], so werden die damals in (7.), (10.) pag. 124- gefundenen
Formeln Gültigkeit haben für alle Elemente ds des Kreisbogens QDQi,
nur mit dem Unterschiede, dass an Stelle des dortigen A gegen-
wärtig [A -\- a) zu stehen kommt; so dass man also erhalt:

r — T= log

A + a '
d r d T r^ — {A-\- af

dn dn {A + a) £* '

wo r den Centralabstand (Cp) des Punktes p vorstellt, wahrend E
den Abstand dieses Punktes vom Elemente ds bezeichnet. Demge-
mUss folgt aus (11.)-

oder , falls man das zweite dieser drei Integrale durch den aus (7).
entspringenden Werth ersetzt, und zugleich die Formeln (10.) beachtet,

(12.) — 2y7Qp =

Setzt man jetzt zur Abkürzung:

d H--iA-^afX
^ ' ' dr \2 7r(/l + a)iiV

= ^ /(^ + af + r' _ [{A^ar-r'']h

^7i{A + a)r \ E^ E* ) '

[vgl. die analoge Formel (12.) pag. 125], so ergiebt sich aus (12.)
durch Ditlerentiation nach r:

,,,, äQp r ^.. , I r /1 1 dE' \ dE\dQ ,

(i4.) — — -i^ = / Qfds -f- -r— / h T7, -/ iT w~ -7-^^ ?

rf?' ^§5^1 27r ^r^,j,2 \ ^' E dr E drjdv

wo der grösseren Deutlichkeit willen die Integrationswege durch

Indices markirt sind.

Nun haben wir [vgl. (5«.) pag. 115] unter O^ den üitferential-

quotienten von Qp nach der durch p gehenden Normale v verslanden.

üemgemäss ist [vgl. etwa die niichstfolgende Figur] :

^33] Leber die Methode des arithmetischen Mittels. Abh. H. 695

et) = ^!^p = _ ^p .

^ dt' dr

Somit folgt aus (H.)-

wo im letzten Integral <J> den Werth dieser Function im Elemente
da vorstellt. Hieraus ergiebt sich leicht [vgl. die nachfolgende Er-
läuterung] :

,.^ . ^ r r^ , , ^/*/' (-1 + «)* cos w' cos 0J\ . ,

wo G) und w' diejenigen Winkel vorstellen, unter denen E und J5^'
gegen pp respective gegen p'p geneigt sind. Und diese letzte For-
mel (16.) ist offenbar auch so darstellbar:

^ir,x A. , i— ^) r ^cosw . , [A -\- af 1 r .cosw' ,

=:/ QfdS + ^^f 0dc7.

Erläuterung zu Formel (< 6.). — Ist F die vom Centrum C nach da
gelegte Linie, und <p der Winkel von F gegen Cftp\ so gelten für die Ab-
stände £", i^ des Elementes da von den Pnnklen p,j/ die Gleichungen :

£« = r* + F* — 2rF cos y ,
E'- = r'*- + F* — 2 r'F cos (f ,

wo r = (r^j) und r' = (ry/) ist. Vgl. die folgende Figur.
Hieraus folgt sofort :

(«.)

dE r — F cos q

— — = — - — '— = — cos 10 ,

dr E

dE' r' — Fcosff dr' dr

— - = ^ -p^ = -^ cos w

dr E dr dr

wo 10 und lo' diejenigen Winkel vorstellen , unter denen E und E' gegen
pp', respective gegen p p geneigt sind.

Nun findet aber, weil p und p' mit Bezug auf die Peripherie (.4 + a)
zu einander conjugirt sind, die Relation statt :

rr' = (.1 -1- «)* ,

woraus folgt :

dr_ _ _ (-1 + «)*
dr " r*

69G

C. Neijmann,

1134

Somit ergiebt sich aus(«.):

iß.)

jdE
dr

dJT
dr

cos w

(/1 + cif

cos (xJ

Q. e. d.

NB. Um die gegenseitige Beziehung zwischen p und p' deullicli vor
Augen zu haben, ist in vorstehender Figur in j) ein Perpendikel pg auf
der Linie Cp errichtet, und in dem so erhaltenen Punkte g eine Tangente
an die Peripherie {A -f- a) gehegt. Der Schnittpunkt dieser Tangente mit
der verlängerten Linie Cp ist alsdann der zu jj conjugirle Punkt p'.

Durch Verkleinerung der Constanle «* kann man offenbar den
der Bedingung (5.):

(18.) A<:A-{-a^A-\-a*

unterworfenen Kreisradius {A -\- u) beliebig nahe an A herandiüngen,
und in solcher Weise dafür sorgen, dass das Curvenstiick QiqQ be-
liebig klein wird. [Vgl. den letzten Theil des dritten Satzes pag. 101.]
Hiervon Gebrauch machend, wollen wir zuvörderst dmch Verkleine-
rung von a* dafür sorgen, dass die Winkel

(18a.) qCQ und qCQ, ,

beide <:^ 90" sind. Sodann aber wollen wir, nachdem zuvor irgenil

135] Leber die Methode des arithmetischen Mittels. Abh. II. 697

ein beliebiger Kleinheit^grad e gegeben ist^ durch weitere Verkleine-
rung von a* und durch die damit Hand in Hand gehende Verkleine-
rung des Curvenstückes Q^qQ auch dafür sorgen, dass die beiden
ersten Integrale der Formel (17.) folgenden Relationen sich subordiniren:

HU-'^'-)<'^

7
09.)

wo O^ den Werth von 0 im Punkte q voistellt. Dass solches mög-
lich ist, ergiebt sich aus den beiden Sätzen pag. 106, falls man nur
beachtet, dass die Function 0 [vgl. (5/?.) pag. 1 15 und (6.) pag. 116]
längs der gegebenen Curve stetig und ^ 0 ist. Aus dem letzlern
Umstände ergiebt sich zugleich die Formel:

(i9a.) f (i>(la^ 0 .

Mit Rücksicht auf diese Relationen (19.) und (19 a.) folgt aus (17.)
sofort :

Hier repräsentirt [ die in (13.) angegebene Function, also eine Func-
tion, die dem Hülfssatze pag. 120 sich subordinirt. Construirt man
also [vgl. die folgende Figur! im Hülfskreise (A -\- «) den zu Cp
senkrechten Durchmesser HCII^^ zieht man sodann die beiden Li-
nien //,j} und Hp, und bezeichnet man diejenigen beiden Punkte,
in denen die Verlängerungen dieser beiden Linien jenen Hülfskreis
schneiden, mit N und A',, so wird f

längs des Bogens NBNi überall positiv, und ins-
{^^\ besondere längs des Halbkreises UBH^ überall

= 16/r(.t -f- af

sein.

Mittelst der Formel (20.) wird es nun leicht sein, unser eigentliches
Ziel zu erreichen, nämlich Aufschluss zu gewinnen über den im Rand-
punkte q vorhandenen Werth O^. Zu diesem Zwecke müssen wir
den Punkt p näher und näher an den Punkt q heranschieben, also
die Centraldistanz r des Punktes p gegen A hin sich vergrössem lassen;

698

G. Neumann,

[136

wobei es uns frei steht, die auxiliare Constante « gegen 0 hin
sich verkleinern zu lassen. Um diese beiden Operationen, die Ver-
grösserung von r und die Verkleinerung von «, in eine einzige Ope-
ration zu verschmelzen, construiren wir in q die Tangente mqmi
der Randcurve, tragen auf dieser Tangente von q aus zwei Strecken
ab: (qx) und iqy), beide =-- (qo), d. i. = «, construiren hierauf die
durch X und y gehenden Linien H^xN und HyNi, und nehmen endüch
zum Punkte p denjenigen Punkt, in welchem diese beiden Linien ein-
ander schneiden. Hierdurch ist alsdann die augenblickliche Lage des
Punktes p in bestimmte Abhängigkeit versetzt zum augenblicklichen
Werthe der Constante a. Und diese Abhängigkeit ist der Art, dass
eine Abnahme von a gegen 0 hin, eo ipso eine Zunahme der Central-
distanz r des Punktes p gegen A hin hervorbringt. Auch kann man
diese Aneinanderkettung von r und a leicht durch eine Formel aus-
drücken. Zufolge der angegebenen Construction sind nämlich die
beiden rechtv^'inkligen Dreiecke pCH und pqx einander ähnlich.
Folglich ist:

<37] Leber die Methode des arithmetische»! Mittels. Abu. II. 699

ipC) ^{pq} . . '• ^ -4 - r

(CH) iqx) ' ' ' A + a a '

d.i. ar = (A + a){A - r) ,

oder, falls man nach r auflöst:

Durch diese Formel tritt nicht nur die stricte Abhängigkeit zwischen
r und «, sondern gleichzeitig auch der Umstand klar zu Tage, dass
r gegen A convergirt, sobald man « gegen 0 hin abnehmen lässt.

Bevor wir weitergehen, ist noch eine Bemerkung beizufügen in
Betreff der von uns construirten Punkte N und ?i\. Die gegebene
Randcurve des Gebietes 3 i^t zufolge der Voraussetzung 6' > Ol von
solcher Beschaffenheit, dass, wenn an die Gurve eine beliebige Tan-
gente gelegt wird, sämmlliche Punkte der Gurve auf derselben Seite
der Tangente liegen. [Vgl. die Note pag. 113.] Betrachtet man also
in der letzten Figur die Tangente nigm^ als horizontal, und den
Durchmesser ßo als vertical nach Oben gerichtet, so werden sämmt-
liche Punkte der gegebenen Randcurve, also z. B. auch Q und Qx
unterhalb der Tangente mqm^ liegen; während jene von uns con-
struirten Punkte A' und N^ stets oberhalb dieser Tangente sich be-
finden. Folglich wird der Kreisbogen QBQ^ stets ein Theil sein vom
Kreisbogen NBN^. Zufolge (21.) wird daher die Function f

längs des Kreisbogens QBQy überall positiv, und ins-
besondere längs des Halbkreises HBH^ durchweg

(23.) > 7^ : TT sein. Dass dieser Halbkreis HBH,

^ ^ lb7r(.4 -f- ay

Stets ein Theil jenes Bogens QBQ^ ist, unterliegt keinem

Zweifel, [vgl. (l8o.)].

Beachtet man dies, und beachtet man ausserdem, dass die
Function Q im Gebiete 3 durchweg positiv ist [vgl. das auf pag. 1 1 i
über Q Gesagte], so ergiebt sich sofort, dass das in (20.) auftretende
Integral

L

Qfds

QBQi

eine Summe von lauter positiven Gliedern ist, dass mithin dieses Inte-
gral, durch Fortlassung eines Theils seiner Glieder, stets eine Ver-
kleinerung erleiden wird, und dass daher z. B. die Formel stattfindet:

700 C. Neumann, [138

f Qfds^r Qfds

J QBQx J HDIh

Diese Formel aber gewinnt, mit Rücksicht auf das in (23.) über den
Halbkreis HBH^ Gesagte, folgende Gestalt:

(24.) f Qfds^ ... ',1 ,3 /*

'f nun, — \b7t{A -h ccYJ f

ds

WO Qo ^ß** Jdeinsicn Werl/i von Q längs des Halbkreises IinTI^ re-
piiisentirt.

Auf Grund dieser Relation (24.) können wir jetzt unsere For-
mel (20.) auch so schreiben:

(.o.j ^p-t-^i^- ^,, j 2 -^16(yl + «)^'

oder, indem wir für r seinen Werth (22.) substituiren, auch so:

In dieser Formel sind <^q, A und 6 Conslanten. Und zwar re-
prUsentirt « irgend welchen Kleinheitsgrad, der in unsere Untersuchung
bei (19.) hineintrat, der damals beliebig gegeben war, und den wir
einstweilen ungeändert beibehalten, d. h. als eine gegebene Conslanle
betrachten.

Andererseits sind in der vorstehenden Formel die Variablen «,
Qq und <t>p enthalten. Und zwar repriisentirt a eine independente
Variable, die wir gegen 0 hin beliebig abnehmen lassen dürfen;
wahrend Q^, und 0p sielige Fnncüonen von a sind, und zwar Func-
tionen, deren Stetigkeit bei abneinnendem a ausdauert bis inclusive
a = 0. Es repriisentirt niunlich Q^ den Minimalwerth von Q liings
des Halbkreises ///i//,. Und es wird dalier dieses Q^, weil Q (als
Fundamenlalfunction des Gebietes ^«) in ganzer Erstreckung von St„
stetig ist, nothwendiger Weise sielig sich andern, sobald man jenen
Halbkreis durch Verkleinerung seines Radius, d. i. durch Abnehmen
von a mehr und mehr zusammenschrumpfen lasst; wie solches aus
dem Satze pag. 113 sofort sich eigiebt. Was andererseits <t>p be-
trifft, so ist <t>p [vgl. (5«.) pag. 115] eine 67e//^ß Function von r, und
r [vgl. (22.)] eine sielige Function von a, folglich auch O^ geradezu
eine sielige Function von «.

Alles zusammengefasst, ergiebt sich also, dass die Formel (26.)
die (i estalt hat:

<39] Leber DIE Methode DES ARITHMETISCHEN Mittels. Ann. II. 701

ß.) F(a)>0,

wo F{a) eine Function von a vorstellt, die bei abnehmendem « ste-
tig bleibt bis inclusive a = 0. Da nun diese Formel {)..) gUltig ist,
wie klein man « auch nehmen mag, so folgt hieraus sofort, dass

Ca.) F(0) ^ 0

ist. Denn wollte man annehmen, F(0) sei <^ 0, so müssten, in An-
betracht der Stetigkeit von F{ct\ in unmittelbarer Nähe von « = 0
positive Werthe des Argumentes « angebbar sein, für welche F(«)
ebenfalls <^ 0 wäre; was mit dem Umstände in Widerspruch steht,
dass die Formel (A.) Gültigkeit besitzt für jedwedes auch noch so
kleine «.

Die in solcher Weise constatirte Formel ijt.) gewinnt nun, falls
man für F{u\ resp. F(Q) seine eigentliche aus (26.) ersichtliche Be-
deutung substituirt, folgende Gestalt:

denn für « = 0 wird r = A, mithin 0^ z= O^. Dabei ist zu be-
achten, dass das hier in (27.) stehende Q„ nicht mehr den Minimal-
werth für den Halbkreis HBH^^ sondern vielmehr den Minimalwerth
für denjenigen kleineren Halbkreis /»6Ä, vorstellt, in welchen jener
durch das Herabsinken von a zu 0 übergeht [vgl. die letzte Figurj.
Da nun diese für die Constanten A^ O^^ Q„ erhaltene Formel (27.):

(28.) 0^ _!_ 1 ^ ^

Gültigkeit besitzt, völlig unabhängig von dem zu Anfang gewählten
Kleinheitsgrade *, so folgt hieraus, dass auch

(29.) 0^ selber ^ ^^~

ist. Verwandeln wir hier die Zahl 32 in 33, so werden wir stall
^ schlechtweg ^ zu schreiben haben; sodass wir also die Formel
erhalten :

Durch diese für jedweden Handpunkt q geltende Formel ist
nun endlich die auf pag. 116 erhobene Frage beantwortet, tiämlich
dargethan, dass in der dortigen Formel (6.) in der That das Zeichen
> durch ^ ersetzt werden darf.

702

C. Neumann,

[UO

§ 21.

Zusammenstellung und Vervollständigung der über die G-reen'sche
Function erhaltenen Eesultate.

Die Resultate der drei letzten Paragraphe lassen sich zusammen-
fassen in folgenden drei Sätzen , denen ein leicht zu beweisender
vierter Satz noch hinzugefügt werden soll.

Erster Satz. — Die das Gebiet 3 begrenzende geschlossene Curve
sei von solcher Beschaffenheit, dass

0, 0', 0" stetige Functionen der Bogenlänge sind, und
dass überdies 0' überall > 0 ist.

(<)

Ferner sei innerhalb 3 6*^ fester Punkt c gegeben. Alsdann werden
stets drei Fundamentalfimctionen U, f/j, U^ des Gebietes 3 existiren von

solcher Beschaffenheit, dass erstens für jedweden Bandpunkt U = log -

ist, ivo r den Abstand des Bandpunktes vom festen Punkte c vor-
stellt, und dass zweitens für jedweden Punkt {x, y) innerhalb 3 ^^^'
Belationen stattfinden :

r^^ ^^ TT ^^ TT n^

(2.) —^ = u , -— = 1/ (!)

Die Functio7i U heisst die dem Punkte c entsprechende Green\sche
Function, und c der Centralpunkt dieser Function. [Vgl. pag. 113.]

Zweiter Satz. — Setzt man

(3.)

Q

H'-r)

u

{U + log r) ,

und versteht man dabei unter U den Werth von U in einem belie-
bigen Punkte {x, y), ferner unter r den Abstand dieses Punktes {x, y)
vom festen Punkte c, so wird Q eine Function von {x, y) sein, welche
am Bande von 3 überall verschwindet, welche ferner in jedwedem Punkte
innerhalb 3 grösser als 0, und speciell im Punkte c positiv unendlich
ist. [Vgl. pag. 1 1 4.J

Es sei nun ferner 9t das zivischen dem Bande und einer innern
Parallelcurve liegende ringförmige Gebiet. Alsdann wird der Diffe-
rentialquotient

a ) '!«

nij Ueber die Metbode des arithmetischen Mittels. Abh. II. 703

falls man Ot hinreichend schmal sich vorstellt, in fjanzer Erstreckung
von Ot stetig sein. [Vgl. (oy.) pag. 115.]

Dritter Satz. — Insbesondere ist hervorzuheben, dass in jed-
wedem Randpunkte des Gebietes 3 ^'^ Formel stattfindet:

(«•) Tr>''

wo k eine positive und von 0 verschiedene Constante vorstellt. Dabei
ist unter v die innere Normale des Randes zu verstehen.

Um die^e Constante k wirklich angeben zu können, bezeichne man
den kleinsten Krümmungsradius der gegebenen Randcurve mit Rq,
ferner den kürzesten Abstand des Punktes c von dieser Curve mit
2 Po, und verstehe sodann unter A irgend eine bestimmte positive und
von 0 verschiedene Constante, die <^ R^ , und zugleich auch <^ P„ ist.
Sodann lasse man auf der innern Seite der Randcurve einen Kreis
vom Radius A fortrollen, und denke sich diesen Kreis in jedem Augen-
blicke der genannten Rewegung in zwei Halbkreise zerlegt mittelst eines
Durchmessers, der senkrecht steht zu dem nach dem augenblicklichen
Rerührungspunkte hinlaufenden Radius. Der dem Rerührungspunkte ab-
ge wendete Halbkreis nird alsdann während jener rollenden Bewegung
eine gewisse ringförmige Fläche überstreichen, die vom Rande des
Gebietes 3 überall durch einen geivissen Zwischenraum getrennt ist.
[Vgl. den zweiten Salz pag. 1 0 1 .1 Rezeichnet nun Q„ den kleinsten
Werth der Function Q in Erstreckung dieser ringförmigen Fläche, so
hat jene Constante k den Werth:

(6.) ^ = WÄ '[Vgl. (30.) pag. 139.]

Vierter Satz. — Man markire innerhalb 3 einen festen Punkt
{X(f, y^), und de/inire V durch folgendes Integral:

iU,dy-i',dx) ,
xoy*

die Integrationscurve in ihrer Rewegung auf das Gebiet 3 beschränkt
gedacht. Sodann setze man:

(8.) z. = x-\-ig , c = a-\-ib , und W=l-^ i V . ( / = V^^) ,

wo a. b die rechtwinkligen Coordinaten des festen Centralpunkles c vor-
stellen sollen. Endlich setze man:

704 C. Neimann, [H'i

(9.) w = {z- - cOe" .

Alsdann irerden w und W Funciioncn von z sein, die folgende drei
Kujensehaflcn besitzen :

Alpha. — Die Differenüalquoiienlen -r-- und —r— existiren in

jedwedem Punkte des Gebietes '^, einerlei ob derselbe innerhalb ^ oder f

am Rande von 3 li(^<ß- Aueh ist die Entstehungsweise des Differential-

quotienten -r- , ebenso wie die von — :— , in jedwedem Punkte des Ge-

^ dz dz ''

bietes 3 ^^*^<^ ^on allen Seiten her äqiiiconv e r cj e n t e. lieber dies sind

w und -r- , ebenso wie W und —j— Fundamentall'unctionen des

dz dz '

Gebietes 3-

Beta. — Der Modul der Function w ist in jedem Jtandpunkte = I ,
hinijegen in jedem Punkte, der innerhalb 3 Hcyt, <^ 1.

Gamma. — Der Wcrth des Differentiatquotienten —— ist längs des

(IZ

Randes überall verschieden von 0.

d \V
Der Beweis für Alpha cigiebt sich, so weit W und -j-- in Be-

et Z

traclit kommen, unmiltelhar aus den früheren Sätzen pag. 94 — 96.
Sodann aber ergiebt sich der Beweis für w und -v^ sofort auf Grund
des durch (9.) zwischen w und W festgesetzten Zusammenhanges.

Beweis für Beta. — Setzt man
{A.) z — c = re''f,

so ist nach (9.) und (H.):
(B.) w = re''le^-^'^' ,

also mit Kücksicht auf (3.):
(C.) niod w = re^^' = e~^ .

Diese Formel aber ergiebt, unter Anwendung des zweiten Salzes,
sofort die Richtigkeit der Behauptung Reta.

Beweis für Gamma. — Aus (9.) folgt: log w = VV -|- log (2: — c),
mithin:

dz dz

'i3 Lebeu die .Methode des arithmetischen Mittels. Abh. II. 705

Und zwar wird diese Formel (D.\ zufolge des schon bewiesenen
Satzes Alpha, nicht nur auf jeden Punkt innerhalb % .sondern auch
auf jeden Randpuukl anwendbar sein. Denkt man sich aber in
irgend einem Randpunkte z die innere Normale v construirt, so ist:

d[W + lo- {z — cy d W + log {z. — c)\ dz

iP-)

dp dz dp

und -j^ = , 1- i-^ = cos d + i sin d = e . wo d das Azinmlh

dv UV ' dv '

der Normale v gegen die x-Axe vorstellt; sodass also die Formel (;j.)

die Gestalt erhalt:

) d[W+\o%{-^ -0 ^ <t W + \o'A {< - c)} ^_,.^

' dz dv

Substituirl man jetzt diesen Werth (</.) in (p.\ so ergiebt sich:

dw _ ^^.^_.,). d[W+Wi{z-c)
dz dv

oder, weil W = V -\- i V, und, nach {A.), log (:; — c) =i (log /) -|- iq
ist:

\ Tv + ' dv ) '

also mit Kiicksicht auf (3.):

(fi ) ^ = wc-^' (- 4?- + , ""'+'^') .

Diese Formel (G.) ist bezogen zu denken auf einen beliebigen Rand-
punkt z. Von den drei Facloreu, welche die rechte Seite der Formel
bilden, kann (\qv erste niemals verschwinden, wie sich solches direct
aus (9.) ergiebt, falls man nur beachtet, dass W, zufolge des schon
constalirten Satzes Alpha, eine Fundamentalfunction von 3? mithin
in ganzer Erstreckung von 3 endlich ist*). Der zweile Factor kann
ebenfalls nicht verschwinden, weil d (seiner Definition nach) reell ist.

Und der dntte Factor kann ebenfalls nicht verschwinden, weil ^— ,

dp

zufolge des dritten Satzes, stets ^ 0 ist. Somit ergiebt sich aus
(C), dass -1^ am Rande des Gebietes 3 nirgends =: 0 ist. — Q. e. d.

*) Ueberdies ist zu beachten, dass der Punkt c innerhalb 3 liegt, vom Rande
also durch irgend welchen Zwischenraum getrennt ist.

706 C. Neumann, [144

Zur Theorie der conformen Abbildung.

Sind die Punkte der w- Ebene und die der z-Ebene einander
zugeordnet mittelst der Gleichung

(a.) w = F{z) ,

so wird zwischen dem System der w-Punkle und dem System der
z-Punkte vollkommene Aehnlichkeii stattfinden, sobald für je zwei be-
liebige Punkte z und z die Bedingung erfüllt ist:

wo K eine von Null verschiedene^ reelle oder complexe Constante
vorstellen soll. " Diese Bedingung aber wird, wie man sofort erkennt,
nur dann erfüllt sein, wenn F{z) = Kz -\- Gonst. ist, also nur dann,
wenn F{z) eine lineare Function von z ist.

Der soeben ausgesprochene Satz («.), (/?.) scheint einer gewissen
Verallgemeinerung fcihig zu sein. Denn es wird oflenbar vollkonwiene
Aehnlichkeit auch dann noch stattfinden, wenn man in (ß.) die nicht
verschwindende Gonstante K durch irgend eine nicht verschwindende
Function 0{z) ersetzt, also verlangt, dass jedweder Punkt z in Ver-
bindung mit all' seinen Nachbarpunkten z der Formel entsprechen
soll:

z — z

Indessen wird diese Formel, weil, w^enn z Nachbarpunkt von z ist,
auch umgekehrt z einen Nachbarpunkt von z repräsentirt, die wei-
tere Formel nach sich ziehen:

z — z

Und aus beiden Formeln zusammengenommen folgt sofort: <t>{z) = (p{z'),
d. i.: (I>(z)= Gonst.; sodass man also auf diese Weise zur früheren
Bedingung (ß.) zurückgeführt wird.

Vollkommene Aehnlichkeit wird daher nur dadurch zu erreichen
sein, dass ivir an der Bedingung (ß.) festhalten, oder (was auf dasselbe
hinauskommt) nur dadurch zu erreichen sein, dass wir F{z) als eine
lineare Function von z uns denken.

145] Leber die Methode des arithmetischen Mitteln. Abb. II. 707

Hingegen werden wir über jene Bedingung (/?.) hinausgreifen,
nämlich statt derselben diejenige allgemeinere Bedingung nehmen
dürfen, in welcher die nichlverschwindende Conslante A' durch eine
nichtverschwindende Function <J>(2) ersetzt ist, — sobald wir mit
einer nur unvollkommenen oder approximativen Aehnlichkeit oder (wie
man zu sagen pflegt) mit einer Aehnlichkeit in den Ueinsten Theilen
uns begnügen wollen. In der That wird zu diesem Zweck nur er-
forderlich sein, dass der Quotient

F{z) - F{z)

für jeden Punkt z und all' seine Nachbarpunkte z einen von diesen
Nachbarpunkten z' nahezu unabhängigen Werth besitzt, und dass
ausserdem dieser Werth ein nichtverschwindender sei. ^\\i andern
Worten: Es wird zu dem genannten Zweck nur erforderlich sein,
dass dieser Quotient für jeden Punkt z und all' seine Nachbarpunkte
z nahezu = 0(3) sei, wo <l>(3) irgend eine beliebige, von z unab-
hängige und nichtverschwindende Function von z vorstellt.
Oder genauer ausgedrückt: Die durch die Formel

(/.) w = F{z)

bewirkte Abbildung wird eine in den kleinsten Theilen ähnliche zu
nennen sein, sobald — unter « ein beliebig gegebener Kleinheils-
grad verstanden — um jedweden Punkt z (als Cenlrura) ein Kreis
von solcher Kleinheit construirbar ist, dass für alle innerhalb dieses
Kreises befindlichen Punkte z die Formel stattfindet:

(,.) „od (^^;? - f -> - ci>(3))

<e ,

wo <l> (3) eine beliebig gegebene, von z unabhängige und nichtverschtcin-
dende Function von z vorstellen soll.

Nachträglich erkennen wir nun, dass diese neue Function <t>{z)
zur ursprünglichen Function F{z) in einfacher Beziehung steht. In
der That ergiebt sich aus der Bedingung (d.). dass <t>{z) der Di/fe-
rentialquotient von F{z) sein muss. Oder genauer ausgedrückt: Soll
jene der Function F{z) auferlegte Bedingung (d.) erfüllbar sein, so
ist dazu erstens erforderlich, dass die Function F{z) einen Differential-
quotienten besitzt, und zweitens erforderlich, dass die Entstehungs-
weise dieses Differentialquotienten für jedweden Punkt z eine von

Abhandl. d. K. S. GeseUsch. d. Wissensch. XXIV. 5q

708 C. Neumann, [146

allen Seiten her äqinconvergente ist. Zugleich wird alsdann jene neue
Function <t>{z) nichts Anderes sein, als der Werth dieses Differential-
quotienten. Demgemäss können wir die von uns angestellten Be-
trachtungen {y.\ (d.) schliesslich folgendermassen formuliren :

Definition. — Die durch die Forin el
{e.) IV — F{z)

bewirkte Abbildung wird eine in den kleinsten T heilen ähnliche
zu nennen sein, sobald die Function F{z) einen Differentialquotienten
besitzt, dessen Entstehungsweise für jedtveden Punkt z eine von allen
Seiten her äquiconvergente ist, und dessen Werth nirgends = 0 ist.

Dabei kann noch hinzugefügt werden, dass die durch jene Formel
(6.) bewirkte Abbildung eine eindeutige zu nennen ist, sobald die Func-
tion F{z) eindeutig ist, mithin jedem Punkte z immer nur ein Punkt
tu zugehört.

Ist in der z- Ebene irgend ein bestimmtes Gebiet gegeben, und
soll die Eindeutigkeit der Abbildung und ihre Aehnlichkeit in den
kleinsten Theilen nicht schlechtweg, sondern nur in Erstreckung dieses
Gebietes stattfinden, so werden selbstverständlich auch die soeben
ausgesprochenen Anforderungen nur insoweit zu erfüllen sein, als
sie dieses specielle Gebiet betreffen.

Ich werde nun zeigen, dass durch die im. vorhergehenden Paragraph
[in (9.) pag. 1 42] angegebene Function

(1.) w = {z — c)e^^ —F{z)

eine eindeutige und in den kleinsten Theilen ähnliche Abbildung
des in der z- Ebene gegebenen Gebietes 3 (^^i^f einer in der w- Ebene
um den Punkt w ■=^ 0 mit dem Radius 1 beschriebenen Kreisfläche ^
bewirkt wird. Um dieses nachzuweisen werde ich, in Anbetracht der
soeben gegebenen Definition, Zweierlei zu zeigen haben, nämlich

A., dass die Formel (1 .) für jedweden Punkt z des Gebietes 2
einen, und stets nur einen Punkt iv der Kreisfläche 51 liefert, und dass
dabei für jeden Punkt z innerhalb 3 (^in Punkt w innerhalb 51,
andererseits aber für jedweden Punkt z am Rande von 3 em Punkt w
am Rande von ^ sich ergiebt;

B., dass in jedwedem Punkte z des Gebietes 3? ^<*f/ **^*^ derselbe
innerhalb 3 oder am Rande von 3 gelegen sein, ein Differenlialquolient

^47] Ueber die Methode des arithmetischen Mittels. Abu. U. 709
—j— existirl^ dass ferner die Entstehungsweise dieses Differentialquotienten

US

für jeden solchen Punkt z eine von allen Seiten her äquiconvergente
ist. und dass endlich der Werth dieses Differentialquotienten in ganzer
Erstreckung des Gebietes 3 verschieden von 0 ist.

Beweis für A. — Die Formel (I.) liefert, weil w [Satz Alpha
pag. 1 42] eine Fundanientalfunction des Gebietes 3 . also in Er-
slreckung von 3 eindeutig ist, für jedweden Punkt z des Gebietes
3 einen, und nur einen Werth w. Und zwar wird dieser Werth
w [nach Beta, pag. 1 42], jenachdem z innerhalb 3 oder am Rande
von 3 l'^S'' ^^^ Formel mod w <^ I oder der Formel mod w = I
entsprechen, also einen Punkt w repräsentiren, der im ersteren Fall
innerhalb Ä, im letzteren am Rande von ^ liegt. — Q. e. d.

Beweis für B. — Dass der Dißferentialquotient -j^ in jedwedem
Punkte des Gebietes 3 existirt, und dass seine Ent^tehungsweise in
jedem solchen Punkte eine von allen Seiten her äquiconvergente ist,
ergiebt sich ohne Weiteres aus dem Satze Alpha pag. 1 42. Es bleibt
also nur noch nachzuweisen übrig, dass sein Werth in ganzer Er-
streckung des Gebietes 3 nirgends verschwindet.

Bezeichnet man den Ausdruck auf der rechten Seite der Formel
(1.) mit F{z), die Formel selber also mit w = F{z), so wird nach
Beta, pag. 1 42] mod F{z) = \ bleiben , sobald man z den Rand
von 3 durchlaufen liisst. Ist also % irgend ein vorläufig fester Punkt
innerhalb ^^ mithin mod u\ <^ I, so wird in dem über jenen Rand
von 3 erstrecktem Integral

^.L

F'{z)dz
0 F{z)— w\

der Nenner F{z) — u\ niemals verschwinden können. Hieraus folgt
sofort, dass der Werth dieses Integrals bei einer innerhalb ^ blei-
benden Bewegung des Punktes u\ nur in stetiger Weise sich ändern
kann, und dass derselbe also, weil er stetiger Aenderungen unfähig
ist, bei jener Bewegung constant bleiben muss. Dass nämlich der
Werth dieses Integrals stetiger Aenderungen unfähig ist, ergiebt sich
aus einem bekannten Cauchijschen Theorem^ dem zufolge der Werth
des Integrals die Anzahl der elementaren Nullpunkte der Function
F(z) — u\ innerhalb 3? otler (was auf dasselbe hinauskommt) die

50*

710 C. Neumann, [148

Anzahl der elementaren Nullpunkte dieser Function in ganzer Er-
streckung von 3 vorstellt*); so dass also der Wcrlh des Integrals
immer nur eine ganze Zahl sein kann.

Zugleich ergiebt sich aus diesem GAucHY'schen Theorem, dass
man den soeben über die Constanz des Integrales (2.) ausgesprochenen
Satz auch so ausdrücken kann:

So lange w^ innerhalb ^ bleibt, ist die Anzahl der in Erstieckung
von 3 vorhandenen elementaren Nullpunkte der Function F{z) — w,
stets ein und dieselbe, mithin z. B. ebenso gross wie für iv^ = 0,
und folglich = 1. Denn für tVi = 0 reducirt sich die genannte
Function auf F{z) selber, d. i. [vgl. (1.)] auf die Function {z — c)e^^;
und diese letztere besitzt in der That, weil W [als Fundamentalfunction
des Gebietes 3 ; vgl. Alpha pag. i 42] überall endlich ist , in ganzer
Erstreckung von 3 "^wi" einen einzigen elementaren Nullpunkt, nämlich
nur den Nullpunkt z = c.

Giebt man also dem Punkte w^ innerhalb ^ eine beliebige Be-
wegung, so wird hierbei die Anzahl der in Erstreckung von 3 befind-
lichen elementaren Ntdlpunkte der Function

(3.) Fiz)-w,

fortdauernd = 1 bleiben.

Wir markiren jetzt irgendwo innerhalb 3 einen Punkt Zi , und
beschreiben um Zi (als Centrum) eine völlig innerhalb 3 liegende Kreis-
fläche. Alsdann sind F(z) und F' (z) [als Fundamentalfunctionen des
Gebietes 3; vgl. Alpha pag. 142] in ganzer Erstreckung dieser Kreis-
fläche stetig. Folglich wird F{z) für alle Punkte z innerhalb dieser
Kreisfläche darstellbar sein durch die TAYLOR'sche Reihe :

(4.) Fiz) = F{z,) 4- ^^ F'{z,) + ^^^^ F"iz,) +•-■■,

eine Formel, die auch so geschrieben werden kann :

(5.) Fiz) -w, = '-^ F'iz,) -h ^^^=^ F"{z,) +.....

*) In der That kommt es auf ein und dasselbe hinaus , ob man so oder so sich
ausdrückt. Denn die Function F(z) — ^ü^ kann, wie schon betont wurde, so huige ^v^
innerhalb ^ gedacht wird, am Rande von 3f niemals verschwinden. Und es wird da-
her diese Function innerhalb ^ genau dieselben Nullpunkte besitzen, wie iti ganzer
Erstreckung von ^, — immer vorausgesetzt, dass w, innerhalb ^ sich befindet.

<*9] Leber DIE Methode DES ARITHMETISCHEN Mittels. Abh. II. 711

Hier ist u\ = F{Zi). Es bezeichnet also u\ den mit z^ correspon-
direnden Punkt; und es wird daher, weil z^ innerhalb 5 angenommen
war, auch u\ iiuierhaU) 51 liegen, [wie solches aus dem schon be-
wiesenen Satze A. pag. 1 46 hervorgeht].

Aus der Formel (5.) ergiebt sich nun sofort, dass F'(z,) ver-
schieden von 0 ist. Denn wäre F'(zi) = 0, so würde die Function
F(z) — tt'„ zufolge der Formel (5.), an der Stelle z^ einen Nullpunkt
zweiter Ordnung, d. i. zwei mit einander coincidirende elementare Null-
punkte besitzen; was dem Satze (3.) widerspricht.

Somit ist bewiesen, dass der Differentialquotient F'{z) oder -r—
in einem Punkte z^ innerhalb 3 niemals Null sein kann. Anderer-
seits aber ist, zufolge des Satzes Gamma, pag. 1 42, ein Nullwerden
desselben am Rande von 3 ebenfalls unmöglich. Demgemäss kann
dieser Differentialquotient -y^ in ganzer Erstreckung des Gebietes 3
niemals verschwinden. — Q. e. d.

Anhang zum letzten Capitel.

Wenn hier eine Begründung desjenigen geometrischen Satzes
gegeben werden soll, der früher ohne Beweis hingestellt worden ist
(vergl. die Note pag. 102), so werden andererseits die folgenden
Darlegungen zugleich auch ein Beispiel dafür bieten, wie schwer es
zuweilen ist, Sätze, die aus der geometrischen Anschauung fast von
selber sich ergeben, mit wirklicher Strenge zu constatiren.

Es sei irgend eine geschlossene Curve gegeben. Ueber die Be-
schaffenheit dieser Curve mögen, unter Anwendung der auf pag. 3
eingeführten Bezeichnungen: a, ö, Ö' = -p, folgende \oraussetzungen
gemacht sein:

(1-) 0 und d' sollen stetige Functionen von a sein,

(so dass also die Curve nicht nur von stetiger Biegung,
sondern auch von stetiger Krümmung ist).
(2.) 6' soll durchweg ^ 0 sein, (so dass also die Curve

überall convex sein wird, jedoch in dem Sinne, dass
auch geradlinige Strecken mit unterlaufen können).

712 G. Neumann, [150

(3.) Das Azimidh 0 der Ciirventangente soll, sobald

man ihren Bervhrnngspunkt die ganze Ciirve einmal
durchlaufen lässt, um 360° wachsen, (wodurch das Vor-
kommen von Doppelpunkten bei der Curve ausge-
schlossen sein wird).
Bezeichnet man alsdann den Krümmungsradius mit R:
1

(4.) R = yjT , [vgl, die Note pag. 113],

und den kleinsten Krümmungsradius der ganzen gegebenen Curve mit
Rq, so gelten folgende Sätze:

Erster Satz. — Sind p^ und m irgend zwei Curvenpunkte, deren
Azimuthuntcrschied*) ^ 0 und <Z 90° ist, und schneiden die diesen
'Punkten zugehörigen Normalen einander im Punkte q , so werden die
Richtungen der in p^ und p^ errichteten inneren Normalen von p^ nach
q , respeciive von p^ nach q laufen. Ueberdies wird alsdann jedes der
beiden Liniensegmente p^q und piq, seiner Länge nach, > Rq sein.

Zweiter Satz. — Denkt man sich auf der gegebenen Curve irgend
zwei innere Normalen errichtet, jede <^ Rq, so können diese beiden
Normalen keinen Punkt mit einander gemein haben.

Dritter Satz. — Ein irgendiuo an die Curve gelegter innerer Be-
rührung skr eis, dessen Radius <^ Rq ist, kann mit der Curve stets nur
einen einzigen Punkt, nämlich nur den Rerührungspunkt gemein haben.

Mit andern Worten: Denkt man sich einen solchen Kreis construirt,
so werden sämmiliche Punkte der Curve, mit alleiniger Ausnahme des
Rerührungspunktes, ausserhalb dieses Kreises liegen.

Vierter Satz. — Werden zur gegebenen Curve zwei innere Parallel-
curven construirt, so können diese beiden letzteren, falls ihre Abstände
von der gegebenen Curve beide <^ Rq sind, keinen Punkt mit einander
gemein haben.

Fünfter Satz. — Eine innere Parallelcurve , deren Abstand von
der gegebenen Curve <^ Rq ist, kann keinen Doppelpunkt haben.

*) Unter dem Azimuth irgend eines Curvenpunktes soll hier dasjenige Azimuth
verstanden sein , unter welchem die in diesem Punkte an die Curve gelegte Tangente
gegen die cc-Axe geneigt ist. Solches festgesetzt, ist nun unter dem Azimuthunler-
schied der beiden Punkte p^ und p, die Differenz derjenigen Azimulhe zu verstehen,
welche diese beiden Punkte besitzen.

<54] LJeber DIE Methode DES ARITHMETISCHEN Mittels. Abh. II. 713

Für unsere Zwecke handelt es sich eigentlich nur allein um den
dritten Satz^ (vgl. die Note pag. 102). Die beiden ersten Satze
bilden aber das Gerüst, auf welchem wir zu diesem dritten Satze
gelangen werden. Andererseits sind die beiden letzten Sätze nur
beiläufig hinzugefügt.

Beweis des ersten Satzes. — Lässt man einen Curvenpunkt

Pio, ö, ^, »?)
— d. h. einen Curvenpunkt p mit der Bogenlänge 0, dem Azimulh*)
0 und den rechtwinkligen Coordinaten ^, // — längs der gegebenen
Curve in positivei' Richtung fortschreiten , so wird a wachsen , und
daher 0 ^zufolge (2.)] ebenfalls waclisen, respective sich gleich bleiben.
Man bezeichne diesen in positiser Richtung fortschreitenden Punkt
in irgend einem bestimmten Augenblicke mit

PiK? <^4' ^11 Vi) y
und in irgend einem späteren Augenblicke mit

PiiOi^ ö,, I,, 1^,) ;

so dass also 01 <^ Go und Öj < (ii ist. Diese beiden Augenblicke
aber denke man sich der Art gewählt, dass

(5). Ö, < 6/5 (nicht ^ ö,) , und ö, — ^, ^ 90°

ist. Trägt man nun auf den in p^ und p^ errichteten inneren Nor-
malen Vi und »»2, respective von pi und p^ aus, irgend zwei Längen
auf: L, und L2, so ergeben sich zwischen den Anfangspunkten /)i(li, 7/1),
P2(^2^ '/a) dicscr Liuicu JLi, Lo und zwischen ihren Endpunkten (Z„ HJ,
(=,, H,) folgende Relationen:

= , = i, + I, cos {0^ + 90°) , =, = 5, + I, cos ((9, + 90°) ,

H, = r, + L^ sin {ß^ + 90°) , H, = r^^ + L^ sin (ö, + 90°) ;

denn Ö, -j- 90° und 62 -^ ^0^ sind die Azimuthe der beiden Normalen
Vi und V2 gegen die a'-Axe.

Sollen jene beiden Endpunkte (H,, HJ und (E,, H,) unter einander
identisch sein, also zusammenfallen mit dem Schnittpunkte der in pi
und p.2 errichteten Normalen, so müssen die Gleichungen stattfinden :
£, = =., und Hj = Hj, d. i. die Gleichungen :

*) Vgl. die vorhergehende Note.

714 C. Neumann, [152

L, cos (ö, + 90°) - L, cos (ö, + 90°) = ^% - ^, ,

^^■^ L, sin («9, + 90°) - L, sin (ö, + 90°) = ^, - ^, .

Die Richtigheit unseres ersten Satzes wird nun offenbar dargethan
sein, sobald es uns gelingt zu zeigen, dass die aus diesen Gleichungen (6.)
für Li und L^ sich ergebenden Werthe beide positiv, und beide > R^
sind.

Aus den bekannten Formeln -r- = cos 0 und -7^ = sin 0 \vs^.

da da '- ^

(C.) pag. 3] ergiebt sich zuvörderst:

COS 0 ■ da ,
PI

&in 0 ' da ,

pi

die Integrationen längs der gegebenen Gurve in positiver Richtung
von pi nach p2 hinerstreckt gedacht. DemgemUss gehen die Gleicli-
ungen (6.) über in:

/Pi
cos 0 ■ da ,

(7.)

sin 0 • da .

Multiplicirt man diese beiden Formeln einmal mit cos Oi, sin 6^2, das
andere Mal mit cos öj, sin Öj, und addirt man jedesmal, so erhält
man :

L, sin (6», — ÖJ = r'cos {0^ — 0) ■ da ,
PI

L^ sin (6*3, — 0^) =/' %os {0 — 0^) - da .

pi
(8.)

Pi

Hier repräsentirt das 0 (ohne Index) das Azimuth eines in posi-
tiver Richtung von p^ nach p^ laufenden Curvenpunktes. Demgemäss
wird die Differenz 0 — Ö^ , wie sich aus (2.) und (5.) sofort ergiebt,
stets > 0, und stets ^ 90** sein. Folglich wird cos {0 — 0^) stets
positiv sein. In solcher und ahnlicher Weise gelangt man zu der
Einsicht, dass die in (8.) auftretenden Grössen

(9.) cos (Ö, — 0) , cos {0 — 0^) und sin {0^ — ÖJ

<53] Ueber die Methode des arithmetischen Mittels. Abh. II. 715

durchweg positiv sind. DemgemUss ergiebt sich aus jenen Formeln

(8.) sofort, dass

(10.) L^ und I,

ebenfalls stets positiv sind.

Um nun ferner zu zeigen, dass L^ und L, stets ^ B^ sind, müssen
wir mehrere Fälle unterscheiden.

Erster Fall: 6' ist längs der betrachteten Curvenstrecke p, Pj durch-
weg ^ 0. Alsdann ist jedes Bogenelement da dieser Curvenstrecke
durch die Formel ausdrückbar:

(«•) da = -ß- = Rde, [vgl. (4.)];

sodass also die Gleichungen (8.) die Gestalt erhalten:

L^ sin (Ö, — e^) =f R cos (Ö, — 6) ■ dO ,

m

L, sin (ö, — Ö,) =y B cos (Ö — ÖJ . dd .

Ol

Diese Integrale aber, in denen die Cosinus [vgl. (9.)] durchweg positiv
sind, werden verkleinert werden, sobald man das in ihnen enthaltene R
durch seinen kleinsten Werth, d. i. durch 7?^ ersetzt. Somit ergiebt sich
z.B.:

cos {e^ — 6) • de ,

oder, falls man die Integration wirklich ausführt :

L, sin (Ö, - Ö,) ^ it„ sin (ö, - ö.) ,
also, weil sin (ö^ — (9^), zufolge (3.), stets ^ 0 ist :

Und in analoger Art wird sich auf Grund der zweiten Formel (ß.) ergeben :
id.) L, ^R^ . - Q.e. d.

Zweiter Fall: Die Curvenstrecke pjp, besieht aus zwei Theilen i\ g
und gp^, von solcher Beschaffenheit, dass 6' längs des ersten Theiles
durchweg = 0 , längs des zweiten Theiles aber, mit alleiniger Ausnahme
des Punktes g, überall ^ 0 ist. Alsdann kann man für die Strecke p^g
von der Formel («.) keinen Gebrauch machen, weil der in dieser Formel
enthaltene Xeimer 6 ' längs p^ g verschwindet. Wir sind somit jene im
ersten Fall benutzte Methode hier bei Behandlung des zweiten Falles zu
niodißciren gezwungen.

716 C. Neümann, [iö4

Wir markiren zuvörderst auf der Curveiistrecke c/p^ einen auxiliaren
Punkt h, beliebig nahe an g gelegen :

Pi 9 •• h p^

so dass also 6' längs hp^ ausnahmslos ^ 0 ist. Sodann schreiben wir
die erste der Gleichungen (8.) folgend ermassen:

COS {6^— 6) ■ do -\- j cos (Ö^ — 6) ■ da .

pi h

Die rechte Seite dieser Formel wird aber, weil die Cosinus [vgl. (9.)]
durchweg positiv sind, verkleinert werden, sobald man das erste Integral
ganz fortlässt. Somit folgt:

cos(^, — 6) • da .

h

Hier nun können wir, weil 6' längs hp^ ausnahmslos ^ 0 ist, von der
Substitution (a.) Gebrauch machen, und erhalten also:

{Yj.) L^ sin (Ö, — 6,) ^ / '/{ cos {6^ — 6) • dB .

h

Längs p^g ist nach unserer Annahme ö' = 0, mithin 6 constant,
= 6^. Demgemäss wird 6 im Punkte h nur wenig grösser sein als 6^ ,
etwa = 6^ -\- ß ^ wo alsdann ß eine positive Grösse vorstellt, deren
Werth durch ein näheres Heranschieben des Punktes h gegen g beliebig
klein gemacht werden kann. Da nun überdies 6 im Punkte p^ den Werth
6^ hat, so geht die Formel {i].) über in :

R cos(Ö2 — 6) • dd .

Bi+ß

Die rechte Seite dieser Formel wird aber, weil der dortige Cosinus
[vgl. (9.)] durchweg positiv ist, verkleinert werden, sobald wir R durch
/?o ersetzen. Thun wir dies, und führen wir sodann die Integralion wirk-
lich aus, so erhalten wir :

(<■) i. a B. — 'Ix^' . «0 A = ö, - e, ,

oder ein wenig anders geschrieben:

sin A — sin (A — ß)
(X.) L,^B,-y, wo y = /?o ^i^^^^^

ist, und wo also y (ebenso wie ß) eine positive Grösse repräsentirt, deren
Werth durch ein näheres Heranschieben von h gegen g beliebig klein ge-
macht werden kann.

Die Formel (x.) ist, ihrer Ableitung zufolge, stets gültig, wie nahe
wir uns den Punkt h an g auch denken mögen. Demgemäss wird also

15S] Ueber die Methode des abithmetischen Mittels. Abb. IL 717

diese zwischen den beiden festen Werthen L^ und /?, stattfindende Re-
lation (z.) stets in Kraft i)leiben, bis zu welcher Kleinheit wir die positive
Grösse / auch herunterdrücken mögen. Hieraus aber folgt nach be-
k!|nnter Schlussweise, dass

a.) i. ^ «.

sein muss. Und in analoger Art wird sich zeigen lassen, dass auch
I, ^ R^ ist. — Q. e. d.

Alle übrigen lalle werden, wenn auch etwas weitläufiger, so doch
in ähnlicher Art behandelbar sein. Ausgenommen bleibt dabei aber ein
Fall, der besondere Schwierigkeiten machen dürfte, nämlich drr, dass 6'
längs der gegebenen Curvenstrecke in unendlich vielen discreten Punkten
zu 0 ^ird. — All' diesen Weitläufigkeiten und Schwierigkeiten jedoch
können wir entgehen durch Anwendung folgender sehr einfachen, wenn
auch etwas künstlichen Methode :

Es ist identisch:

sin (Ö, — Öj) =Jcos (Öj — ö) dfl .
01

Demgemäss können w ir die erste der Formeln (8.) auch so schreiben :

/cos (6, — 6)- da

(<<■) ^. = ^7 '- ,

/ cos (ö, — e)de

oder auch so:

/ cos(ö, — ö)-d<y

fcos{e^ — 6)' 6' da

beide Integralionen hinersireckt gedacht über die gegebene Curven-
strecke PiPi- Die rechte Seite dieser Formel (12.) wird, weil die
daselbst auftretenden Cosinus vgl. (9.)] stets positiv sind, und 6'
[vgl. (2.)i ebenfalls stets positiv ist, verkleinert werden, sobald wir
daselbst dieses 6' durch seinen grössten Werth ersetzen. Somit er-
halten wir:

^ feos {8^ — 6) de

(13.) L, fe j,^^ ^^.^

fcos (Öj — 6) . de

d.

also, weil der Minimalwerth von R mit R^ bezeichnet worden ist

718 . C. Neümann, [156

(15.) A^«o-

Jn analoger Art wird sich oflenbar, auf Grund der zweiten Formel

(8.), darlhun lassen, dass auch L.2 ^ i?o ist. — Q. e. d.

Beweis des zweiten Satzes. — Wir betrachten irgend drei auf
der gegebenen Gurve in positiver Richtung aufeinander folgende Punkte
Pi^Po^P2 "fiit den inneren Normalen v^^ v^, v-i, und mit den Azimulhen*}
^y,, öo, 6*2, indem wir zugleich setzen:

{A.) e^ = 6^ — a und 6^ = d^-\- ß .

Alsdann sind a und ß positive Grössen, die aber auch 0 sein können.
So z. B. wird «=0 sein, falls die Gurvenstrecke jt^^Q geradlinig
ist. U. s. w.

Denken wir uns die Punkte |)i,j?o»P2 vorläufig sehr nahe an-
einander, mithin a und ß sehr klein, und bezeichnen wir die beiden
Punkte, in denen die Normale v^^ von i\ und v.^ geschnitten wird,
mit ^1 und ^2? so ist zufolge des schon bewiesenen ersten Satzes:

W (Pi^J^^o und (p,7.)^«o •

Dabei macht z. B. der Fall, dass die Gurvenstrecke p, q^ geradlinig
ist, keine Ausnahme. Allerdings würde alsdann « = 0, d. h. 0^ =. öo,
mithin der soeben citirte Satz nicht mehr anwendbar sein. Es
würden aber in diesem Falle die beiden Normalen v^ und Vq einander
parallel sein. Mithin darf man in diesem Falle (j^i^,) = -[-00 sich vor-
stellen; so dass also {piq^) ^ A'o ist. U. s. w.

Tragen wir nun auf den Normalen v^ und v-^^ respective von
jPi und JO2 aus, irgend zwei Längen A^ und A^ auf, deren jede <^ /?o
ist, so werden diese beiden Liniensegmenle A^ und A^ keinen Punkt
mit einander gemein haben. Denn zufolge (B.) liegt Ai anf der einen,
und A.2 auf der andern Seite von v^, und zwar der Art, dass sowohl
Ai wie auch A2 von der Normale Vq durch irgend welchen Zwischen-
raum getrennt sein wird.

Diese einfachen, auf den ersten Satz sich stützenden Betrach-
tungen bleiben Schritt für Schritt in Kraft, sobald wir die Grössen
a und ß, die bis jetzt sehr klein gedacht wurden, mehr und mehr
anwachsen lassen, falls wir nur dieselben dabei ^ 90" erhalten.
Also folgendes Resultat:

*) Vgl. die Note pag. 150.

157] Leber die Methode des arithmetischen Mittels. Abh. 11. 719

Eiiichtet man in irgend zwei CHrvenpunkten j)^ und y^-» deren
Äzimulh-lJnter schied O-, — ^i ^ '80" ist, die inneren Normalen, und
macht man dabei die Länge der einen, und ebenso auch die Länge der
andern Normale

so werden diese beiden Normalen keinen Punkt mit einander gemein
haben.

Hieraus ergiebt sich leicht die Richtigkeit des eigentlich zu be-
weisenden Satzes. Lüsst man nämlich einen Punkt die gegebene
Curve in positiver Richtung einmal durchwandern, so wird hierbei
sein Azimuth monoton wachsen, und im Ganzen um 360*^ zunehmen,
[vgl. (2.) und (3.) pag. 149]. Sind also irgend zwei feste Curven-
punkte g und h in ganz beliebiger Weise gegeben, und wachst das
Azimuth bei einer positiven Wanderung von g nach h um A, so wird
dasselbe bei einer Fortsetzung dieser Bewegung, nämlich bei der
positiven Wanderung von h nach ^, um E = 360" — A wachsen.

Ist nun A< 180^ so ist der Salz (C.) auf die beiden Punkte
</, h ohne Weiteres anwendbar, indem man g mit pi und Ä mit jy^
bezeichnet.

Und ist andererseits A ^ 1 80^, so ist jener Satz (C.) ebenfalls
anwendbar. Denn in diesem Falle ist E <^ 180''. Und die beiden
Punkte subordiniren sich also jenem Satze, sobald man h mit pi und
g mit p.2 bezeichnet.

Jener Satz [C.) ist mithin auf diese beiden ganz beliebig gege-
benen Curvenpunkte g, h unter allen Umständen anwendbar. — Q. e. d.

Beweis des dritten Satzes. — An die gegebene Curve sei irgend-
wo ein innerer Berührungskreis gelegt, dessen Radius A <^ /?„ sein
soll. Bezeichnet also C das Cenlrum , und p den Berührungspunkt
dieses Kreises, so ist:

m (Cp) = A < H, ,

mithin :

wo alsdann d eine positive und von Null verschiedene Grösse vorstellt.

Versteht man nun unter (j den von C aus nach irgend einem

Curvenpunkte ($, rj) gezogenen Radiusvector, und bezeichnet man die

720 C. Neumann, [158

Bogenlänge dieses Ciirvenpunktes mit o, so sind §, tj, ^', //', |", ?/',
mithin auch (j, (>', (>", und folglich auch

Q'

da ' da^

stetige Functionen von a; wie sich solches aus den Voraussetzungen
(1.) pag. 149 leicht ergiebt; [vgl. etwa die Note pag. 31]. Nach
bekanntem Satze gilt daher, falls man die Bogenlänge a des Punktes
(^, 7j) in positiver Richtung von p aus rechnet, folgende Formel:

wo m = (f„„ 7]„) einen unbekannten intermediären Curvenpunkt zwischen
p =z (^^, 7ip) und (I, ?/) bezeichnet. Nimmt man das Kreiscentrum C
zum Anfangspunkte des rechtwinkligen Goordinatensystems, so wird
z. B. (ji^ =. ^'^ -\- ij"^, ferner (>J = ^J -{- 7^J, u. s. f. Kurz, die Formel
{(i.) gewinnt alsdann folgendes Aussehen:

(®.) q' = Qp' + 2o{§^' + r,r^\ + aM^'^ + v" + ^^" + ^llm ■

Nach (^l.) ist aber ^^ = il. Ueberdies steht dieser von C nach dem
Berührungspunkte p laufende Radiusvector ^^ gegen die Curve senk-
recht; so dass also (^|' ~\- ?/?/)^ = 0 ist. Demgemäss reducirt sich
die Formel (3).) auf:

m q' = A' + oHr + v" + ^^" + V f)m '

Nun ist allgemein [vgl. (C) pag. 3]:

^' = cos ö , ^" = — ö' sin 6 ,
?^' =sin (9 , t]" = -\- d'cos d ,

mithin einerseits:

(«.) r^ + V' = ^

und andererseits:

§$" + VV" = Ö'(- ^ sin Ö + t; cos ß) ,
also mit Rücksicht auf (2.), (4.) pag. 149, 150:

abs {^§" + /ji?") ^ ß'VVTJ' = f ^ ^; '

und folglich :

<o9j L£BER DIE Methode des arithmetischen Mittels. Abu. 11. 721

wo 6 einen unbekannten echten Bruch bezeichnet. Subslituirt man
in (6.) die Werthe («.), ij.), so erhält man :

wo G die (von p aus gerechnete) Bogenlänge des Endpunktes von
g vorstellt, während (>,„ einen unbekannten intermediären Radiusveclor
zwischen ^ und g^ bezeichnet.

Denkt man sich nun irgend ein den Punkt p einschliessendes
Curvenintervall p[PP2 construirt, so ergiebt sich aus (g.) für alle
diesem Intervall PxPPi zugehörigen Radiiveclores q folgende Formel:

wobei unter Max {q) der grösste unter all' jenen dem Curvenintervall

PiPPi zugehörigen Radiiveclores q zu veretehen ist.

Dieses Intervall PiPPi wird man aber so klein machen können,

dass alle demselben angehörigen Radiivectores g von dem speciellen

Radiusveclor

ep = ^u(« -2(5), Ivgl. (».)],

um weniger als R,jd verschieden sind. Alsdann wird der grössle
jener Radiivectores <^ I{^^ (I — d) sein, wodurch die Formel (®.)
übergeht in:

Hieraus folgt sofort, dass sämmtliche zum Intervall p^ppi gehörige
Radiivectores (> >> A sind, mit alleiniger Ausnahme des Radiusvectors
()p . Für diesen letzteren ist nämlich a = 0, also nach (-p.) : (>p > A,
was in Einklang steht mit der Formel (51.), der zufolge q^ ^nz Ä ist.
Also der Satz: Es exislirt stets ein den gegebenen Punkt p ein-
schliessendes Curvenintervall
(3) PiPPi

von solcher Kleinheit, dass sämmtliche Punkte dieses Intervalls, mit al-
leiniger Ausnahme von p, ausserhalb des um C mit dem Radius A
beschriebenen Kreises liegen. Demgemäss ist z. R.:
(Ä.) i^Pi) !> -^ j i*'^d ebenso auch : (C/>,) ^ ,1 ;

wobei die schon in {%.) notirten Formeln:
(S.) iCp) = A und A</Jo

zuzufügen gut erscheint.

722 C. Neumann, [160

Die zu Pi2)Pi complementare Ciirvenstrecke mag niil p^TTp^^ be-
zeichnet sein, der Art, dass beide Strecken pipp2 und p^Tipi zu-
sammengenommen die ganze gegebene Gurve ausmachen. Dabei
mag unter n ein längs dieser complementaren Gurvenstrecke frei
beweghcher Punkt verstanden sein, dessen extreme Lagen also durch
die beiden Endpunkte dieser Strecke d. i. durch p^ und p^i darge-
stellt sein werden.

Wir wollen nun einstweilen annehmen, auf dieser Gurven-
strecke P'inp^ existire irgend ein Punkt n^, für welchen der Radius-
vector
(3W.) {C7t,) ^ A

ist, und die aus einer solchen Annahme sich ergebenden Gonse-
quenzen näher zu entwickeln suchen. Offenbar sind nur zwei Fälle
möglich.

Entweder nämlich wird der Radiusvector {Cn^ in n^ senkrecht
auf die Gurve fallen. Dann würden {Ctt^ ^ A und {Cp) = A zwei
in TTo und p auf der Gurve errichtete innere Normalen sein, die
[vgl. (S.)] beide <^ /?o sind, und die überdies den Punkt C mit ein-
ander gemein haben; — was dem schon bewiesenen zweiten Satze
widerspricht.

Oder aber: {Cn^ fällt in tt^ schief auf die Gurve. Alsdann
muss die Länge des Radiusvectors {Cn) noth wendig sich ändern, so-
bald man seinen Endpunkt tt, von n^^ aus, längs der Gurve ein
wenig verschiebt, und zwar wachsen oder abnehmen, jenachdem man
diese Verschiebung im einen oder andern Sinne ausführt. Diejenige
Bewegungsrichtung des Punktes n, mit welcher eine Abnahme der
Radiusvectorlänge verbunden ist, mag mit tt^Pj^ bezeichnet sein ; der
Art, dass p^ einen bestimmten der beiden Punkte p^, p-i lepräsentirt.
Lassen wir also den Punkt n die Gurvenstrecke tto/)/, von tt^ bis pf,
durchwandern, so wird der Radiusvector [Cn) zu Anfang den Werth
(Ctto) ^ A besitzen, und sodann in den nächs^tfolgenden Augenblicken
noch kleinere Werthe annehmen. Dieses Sichverkleinern oder Ab-
nehmen des Radiusvectors {Cn) kann aber nur eine Zeit lang, näm-
lich nur bis zum Eintreffen des Punktes tt in einem noch vor p,^
liegenden Punkte n^ fortdauern :

(^•) ^0 ^^ Ph\

<6<] Leber die Methode des arithmetischen Mittels. Abh. II. 723

denn zu Ende der in Rede stehenden Bewegung, d. i. beim Ein-
treffen des Punktes :t in p^ hat der Radiusvector die Länge (Cp^),
also eine Länge, die ^ A ist [vgl. {^S . Demgemäss \yird die Ver-
kleinerung des Radius vectors (Ct) ununterbrochen fortdauern von
To bis 7^1, um sodann von rr^ aus zunächst einem Wachsen oder
auch einem Sichgleichbleiben Platz zu machen. Folglich steht der
Radiusvector (Cjti) im Punkte jr^ zur Curve senkrecht. Ueberdies ist
seine Länge <^ (Ctto), mithin auch <^-'i; [vgl. {^l.f. Demgemäss
repräsentiren die beiden Linien (C.Ti) <^ A und (Cp) = A zwei in
-Ti und p auf der Curve errichtete innere Normalen, die [vgl. (2.)]
beide <[ R^ sind, und die überdies den Punkt C miteinander gemein
haben; — was dem schon bewiesenen zweiten Satze widerspricht.

Jene von uns gemachte Annahme (2)1.) führt also unter allen
Umständen zu absurden Folgerungen, und ist daher unhaltbar. Folg-
lich kann auf der Curvenstrecke p2 Tipi niemals ein Punkt n^, existiren,
für welchen (Cttq) -^ A ist. Oder mit anderen Worten: Sämmtliche
Punkte der Cwvenstrecke pi^Pi liegen ausserhalb des um C mit
dem Radius A beschriebenen Kreises.

Die Gombination dieses Resultates mit dem früheren Resultate
(3.) führt aber sofort zu der Einsicht, dass der von uns aufgestellte
dritte Satz wirklich correct ist. — Q. e. d.

Dass die im Vorhergehenden über die Existenz und Eigenschaften
des Punktes 7r^ angestellten Betrachtungen auf Grund unserer über die
Curve gemachten Voraussetzungen und unter Anwendung der schönen
BoLZANO-WEiERSTRASsschen Methoden als vollkommen strenge sich heraus-
stellen, — bedarf wohl keiner näheren Darlegung. Genauer genommen
ergiebt sich nämlich, dass innerhalb des Intervalls (iJi.) irgend welche
Punkte existiren müssen, in denen der nach der Bogenlänge genommene
Differentialquotient des Radiusvectors (Ctc) verschwindet. Und unter 7t ^
ist alsdann derjenige dieser Punkte zu verstehen, welcher auf tt^ zu-
nächst folgt.

Beweis des vierten Satzes. — Denkt man sich zur gegebenen
Curve zwei innere Parallelcurven s und s construirt, deren Abstände
A und A' von der gegebenen Curve der Formel entsprechen

{U.) Ä < A' < R, ,

so ist nachzuweisen, dass diese beiden Curven s und s' keinen Punkt
mit einander gemein haben können.

Abhandl. d. K. S. Gesellsch. d. Wissensch. IXIY. 5<

724 C. Nelmann, [162

Wir wollen annehmen^ es existirte ein solcher den Curven s und s
gemeinsamer Punkt ^, und die hieraus sich ergebenden Consequenzen
entwickeln.

Der Detinilion von q zufolge muss die gegebene Curve eine
durch q gehende innere Normale besitzen, deren Länge, bis q ge-
rechnet, = A ist, gleichzeitig aber auch eine innere, ebenfalls durch
q gehende Normale besitzen, deren Länge, bis q gerechnet, = A
ist. Bezeichnet man also die Fusspunkte dieser beiden Normalen
mit p und jo', so ist:

(F.) {pq) = A und (p'9) = ^' ,

also mit Rücksicht auf (f/.):

{W.) ivqXK und {p'qxn, .

Nun sind offenbar, was die Grösse des Winkels pq'p betrifl't, nur
zwei Fälle möglich.

Entweder nämlich wird dieser Winkel = 0 sein. Dann
würden die beiden Punkte jo und p unter einander identisch, also,
nach (F.), il = A' sein; — was mit {V.) in Widerspruch steht.

Oder aber: der Winkel 'pqp ist von 0 verschieden. Alsdann
sind {jiq) und {'p' q) zwei auf der gegebenen Curve errichtete innere
Normalen, die beide [vgl. (W.)] <^ /?,) sind, und die überdies den
Punkt q mit einander gemein haben; ■ — was in Widerspruch steht
mit dem schon bewiesenen zweiten Satze.

Jene von uns gemachte Annahme, dass s und s einen Punkt
gemein haben, führt also unter allen Umständen zu absurden Kesul-
taten, und ist daher unhaltbar. — Q. e. d.

Beweis des fünften Satzes. — Es sei auf der gegebenen Curve
eine innere Normale

{pq) = A<H,

errichtet; dabei bezeichne p den Fusspunkt und q den Endpunkt
derselben. Denken wir uns den Fusspunkt p dieser Normale längs
der gegebenen Curve fortwandernd, während ihre Länge A constant
bleibt, so wird ihr Endpunkt q eine innere Parallelcurve von con-
stantem Abstände A beschreiben.

Besässe nun diese Curve in q einen Doppelpunkt, so müsste
die Normale (pg), nachdem sie eine Zeit lang fortgewandert ist, in

<63^ Uebek die Methode des arithmetischen Mittels. Abh. 11. 725

eine Lage (pY) gelangen, bei welcher q mit q zusammenfällt. Dann
aber würden diese beiden Normalen {pq) und {p q), die beide <^ ß«
sind, den Punkt q gemein haben; — was dem schon bewiesenen
zweiten Satze widerspricht. Folglich ist die Annahme, dass jene
Paiallelcurve einen Doppelpunkt besitzt, unhaltbar. — Q. e. d.

Nachträgliche Bemerkung zum Theorem pag. 82.

Es sei ii^end ein Gebiet 2^ gegeben, einerlei ob die Randcurve dieses Gebietes
den auf pag. 4 angegebenen Delerminalionen entspricht oder nicht. Ferner sei
V = ^{x, y) irgend eine Fundamentalfunction des Gebietes X: und die Randwerthe
von V mögen mit /"bezeichnet sein. Betrachtet man nun diese Randwerthe f, ebenso
wie die Werthe 6 \g]. pag. 3], als Functionen der Bogenlänge a, und bezeichnet
man die Dilferentialquotienten dieser Functionen nach a durch Accente, so erhält man,
und zwar unmittelbar auf Grund des Theorems pag. 82, folgenden Satz :

Satz. — Ist s ein Randpunkt des Gebietes X, und setzt man voraus, dass inner-
halb eines beliebig kleinen den Punkt s einschliessenden Randintervalls 6, 0' , 6", f, f'
stetig, und f" abtheilungstceise stetig sind, und dass ausserdem 0' innerhalb
dieses Intervalls durchweg ^ 0 ist, so werden die Ableitungen

T— «nrf T—
öx öy

bei einer Annäherung an den Punkt s gegen bestimmte endliche M'erthe convergiren.
Ueberhaupt icerden alsdann diese Ableitungeti stetig sein in ganzer Ert^treckung des-
jenigen Gebietes, welches von% abgetrennt wird durch eine um s mit hinreichend kleinem
Radius beschriebene Kreisperipherie,

Dieser Satz, dessen Zusammengehörigkeit mit den Sätzen pag. 43. 44 von selber
ins Auge fällt, dürfte wohl noch einer gewissen Vereinfachung fähig sein. In, der
That dürfte eine genauere Untersuchung zu dem Ergebniss führen, dass die in diesem
Satz genannte Voraussetzung: Ö'^O überflüssig ist, und also ganz fortgelassen
werden kann.

726 C. Nelmann, Ueber die Methode des ap.ithm. Mittels. Abh. IL [164

Inhaltsübersicht.

Seite

lieber die Gebiete 21 and 3, und über die geschlossene Curve, durch welche

diese beiden Gebiete sich bestimmen 3

Determinationen 4

Plan der Untersuchung 5

Methoden und Resultate 14

» Erstes Oapitel: Ueber die Potentiale Fund W, namentlicli über die

Ableitungen derselben.

§ 1 . Ueber das Potential V. Theorem Va {ß

§ 2. Ueber das Potential W. Theorem \Va 22

(Nachträge zur ersten Abhandlung findet man auf pag. 28 — 3 I .)

§ 3. Die ersten Ableitungen des Potentials F. Theorem Vß 31

§ 4. Die ersten Ableitungen des Potentials W. Theorem Wß 37

§ 3. Allgemeine Betrachtungen über die höheren Ableitungen der Potentiale

F und IF 44

§ 6. Recapitulatioti und Vereinfachung der Theoreme Va. , TFa. und Vß., Wß. 46

§ 7. Die zweiten Ableitungen des Potentials F. Theorem Vy 49

§ 8. Die zweiten Ableitungen des Potentials W. Theorem Wy S4

§ 9. Tabellarische Uebersicht der sechs Theoreme Va., Vß., Vy. und Wa.,

Wß., Wy 57

§ 10. Ueber eine aus zwei Potentialen F und IF zusammengesetzte monogene

Function 58

Zweites Oapitel: Ueber Fundamentalfunctionen mit vorgeschriebenen
Randwerthen, namentlicli über die Ableitungen dieser Functionen.

§ n . Vorläufige Betrachtungen über die Azimuthe d und y 63

§ 12. Einige Hülfssätze 73

§ 13. Ein ivichtiges Theorem, welches durch die Methode des arithmetischen
Mittels für die Ableitung en der Fundamentalfunctionen sich

ergiebt. (Man findet dieses Theorem auf pag. 82.) 77

§ 14. Weitere Sätze über die Ableitungen der Fundamentalfunctionen ... 83

§ 15. Ueber monogene Fundamentalfunctionen 94

Drittes Oapitel: Ueber die G-reen'sche Punotion und die Theorie der
conformen Abbildung.

§ 16. Geometrische Sätze 100

§ 17. Aufstellung einiger Hülfssätze 106

§ 18. Untersuchung der Green sehen Function am Rande ihres Gebietes. Die

sich dabei zunächst darbietende Methode 113

§ 19. Fortsetzung. Methode der berührenden Kreisfläche 120

§ 20. Fortsetzung. Methode der übergreifenden Kreisfläche 129

>^ § 2 1 . Zusammenstellung und Vervollständigung der über die Green'sche Func-
tion erhaltenen Resultate 140

§ 22. Zur Theorie der conformen Abbildung 144

Anhang zum letzten Capitel (gehörig zu § 1 6) 149

Nachträgliche Bemerkung zum Theorem pag. 8 2 (in § 13) 163

Druck von Breitkopf & Härtel in Leipzig.

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