Ueber die vierfach periodischen Functionen zweier Variabeln, auf die sich die Theorie der Abel'schen Transcendenten stützt. Hrsg. von H. Weber. Aus dem Lateinischen übers. von A. Witting

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Z ISTWALD'S KLASSIKER
? EXAKTEN WISSENSCHAFTEN.

Nr. 64.

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ÜBER DIE

YIERf \CH PERIODISCHEN FÜNCTIONEH

ZWEIER VASIÄBELN.

VON

C. G. J. JACOBL

(1834.)

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2^S WILHELM ENGELMANN IN LEIPZIG

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Ankündigung.

Der grossartige Aufschwung, -welchen die Naturwissenschaften
in unserer Zeit erfahren haben , ist, wie allgemein anerkannt wird,
nicht zum kleinsten Masse durch die Ausbildung und Vci'breitung
der Unterrichtsmittel, der Experimentalvorlesungen, Labora-
torien u. s. w., bedingt. Während aber durch die vorhandenen
Einrichtungen zwar die Kenntniss des gegenwärtigen Inhaltes der
Wissenschaft auf das erfolgreichste vermittelt wird, haben hoch-
stehende und weitblickende Männer wiederholt auf einen Mangel
hi^^weisen müssen, welcher der gegenwärtigen wissenschaftlichen
isbildung jüngerer Kräfte nur zu oft anhaftet. Es ist dies das
.'ehlen des historischen Sinnes und der Mangel an
Kenntniss jener grossen Arbeiten, auf welchen das
Gebäude der Wissenschaft ruht.

Diesem Mangel soll durch die Herausgabe der Klassiker
der exakten Wissenschaften abgeholfen werden. In handlicher
Form und zu billigem Preise sollen die grundlegenden Abhandlun-
gen der gesammten exakten Wissenschaften den Kreisen der Lehren-
den und Lernenden zugänglich gemacht werden. Es soll dadurch
ein Unterrichtsmittel beschafft werden, welches das Eindringen
in die Wissenschaft gleichzeitig belebt und vertieft. Dasselbe ist
aber auch ein Forschungsmittel von grosser Bedeutung. Denn
in jenen grundlegenden Schriften ruhten nicht nur die Keime, welche
inzwischen sich entwickelt und Früchte getragen haben , sondern
es ruhen in ihnen noch zahllose andere Keime , die noch der Ent-
wicklung harren, und dem in der Wissenschaft Arbeitenden und
Forschenden bilden jene Schriften eine unerschöpfliche Fundgrube
von Anregungen und fördernden Gedanken.

Die Klassiker der exakten AVissenschafte n sollen
ihrem Namen gemäss die rationellen Naturwissenschaften, von der
Mathematik bis zur Physiologie umfassen und werden Abhandlungen
aus den Gebieten der Mathematik, Astronomie, Physik,
Chemie (einschliesslich Krystallkunde) und Physiologie ent-
halten.

Die allgemeine Redaktion führt von jetzt ab Professor
Dr. Arthur von Oettingen (Leipzig); die einzelnen Ausgaben
werden durch hervorragende Vertreter der betreffenden Wissen-
schaften besorgt werden. Die Leitung der einzelnen Abtheilungen

Fortsetzung auf der dritten Seite des Umschlages.

Ueber die

VIERFACH PERIODISCHEN FUNCTIONEN

zweier Variabein,

auf die sich die
Theorie der Aberschen Traiisceiidenten

stützt.

Von

C. G. J. JACOBI,

ordentl. Prof. dpr Miith. zu Königsberg.

(Crelle's Journal für reine und angewandte Mathematik Bd. 13, 1834.)

Herausgegeben

von DEPARTMENT OF MATHEMATICS

H. Weber. UNIVERSITY OF TORONTO

Aus dem Lateinischen übersetzt

von

A. Witting.

LEIPZIG

VERLAG VON WILHELM ENGELMANN
1895.

UNIVERSITY OF TORONTO
LIBRARY

WILLIAM H. DONNER
COLLECTION

l)iiichasccl jrom
a gift bij

THE DONNER CANADIAN
FOUNDATION

Che.
halten.

Dit
Dr. ArtI
werden o

scliaften b

[55]

lieber die vierfach periodischen Functionen
zweier Variabein,

auf die sich die Theorie der Abel'schenTranscendenten stützt.

Von

C. G. J. Jacobi,

oid. Prof. (1. Math, zu Königsberg.

1.

in den »Fiindamenta Nova Functionum EUipticarum«
habe ich darauf hingewiesen (pg. 85), dass eine doppelte
Periode die allgemeinste Periodicität umfasse, die in der Ana-
lysis gebildet werden könne. Dies soll im Folgenden genauer
untersucht werden.

Periodisch nenne ich eine Function X [u] , wenn es eine
Constante i giebt, sodass für ein beliebiges u

L [u -\- i] = ?. [ü] .

Die Constante i nenne ich den Index der Function. Es ist
aber offenbar, dass aus einem Index unzählige andere hervor-
gehen, da jedes beliebige positive oder negative Vielfache
selbst ein Index ist. Von allen diesen nenne ich den, von
dem kein aliquoter Theil Index der Function ist, den eigent-
lichen Index. In den Elementen werden die periodischen
Functionen sin u^ e" behandelt, deren eigentliche Indices resp.
2 TT, '27i\ — 1 sind.

Nun nehmen wir an, wofür ein erstes Beispiel bei den
elliptischen Functionen nachgewiesen ist, dass die Function ). [u]

4 C. G. J. Jacobi.

zwei Perioden habe, die sich nicht auf eine zurückführen lassen.
Ihre ludices seien /, i' ^ sodass die Gleichungen statt haben:

A(« + 2*) = ^ [u) /. (m + i'] =^ ^[u] 1

aus denen, wenn w, m' irgend welche ganze positive oder
negative Zahlen bezeichnen, die allgemeinere Gleichung

X[u + '>ni + ni i') = A(m)

folgt; d. h. auch mi -\- m'i' wird ein Index sein. Zuerst nun
ist klar, dass man die Indices als unter einander incommen-
surabel annehmen muss. Denn wäre J ihr grösstes gemein-
sames Maass, so könnte man

i = mJ i' = m J

setzen, wo w, tn' ganze relative Primzahlen bezeichnen. Dalier
können wir zwei andere Zahlen w, n so bestimmen, dass

[56] 7n7i + m' n' = 1.

Nun aber folgt der Index

n i -\- n i' ^=^ J ^

und da aus diesem einen die ludices /, i' als seine Viel-
fachen hervorgehen, so sehen wir: loenn die Indices zweier
Perioden einer Function unter sich commensurabel sind, so
gehen die heiden Perioden auf eine einzige zurück^ deren
Index das grösste gemeinsame Maass jener ist.

Da in dem Vorhergehenden gezeigt ist, dass der Quotient
ziveier Indices^ die nicht aus einem hervorgehen, nicht als
rationale Grösse angenommen werden kann, so ist auch weiter
leicht einzusehen, dass man ihn nicht als reelle Grösse an-
nehmen darf. Sei nämlich

^ = £^ , i' ^= e J ,

wo £,«' reelle, unter sich incommensurable Grössen bedeuten,
so lassen sich zwei solche ganze positive oder negative Zahlen
w, 7n' finden, dass

m £ -\~ m' e = e"

kleiner als irgend eine gegebene Grösse wird. Dann wird

l{u -\- mi + m'i') = l{u + £"z/) = l{u] ,

es würde also die Function X [u) einen Index haben, der kleiner

Ueber die vierfach periodischen Functionen eti- ."»

als irgend eine gegebene Grösse ist und doch nicht ver-
schwindet. Das aber kann nicht sein.

Aus dem Vorstehenden folgt, dass, so oft von Perioden,
die nicht auf eine zurückgehen, die Indices imaginäre Grössen
sind:

i = a-\- h > — T i' = a -\- h' \^^\. ,
wo a, ^, a', h' reelle Grössen bezeichnen, niemals

ab' — a b = 0
sein kann. Dann nämlich würde der Quotient der Indices

a + ^'V— 1 _ f^_ ^
a + by^^\ ~ a~ b
eine reelle Grösse sein.

2.

Untersuchen wir nun, ob eine Function drei Perioden
haben kann, die sich nicht aus zweien zusammensetzen lassen.
Seien die Indices dreier solcher Perioden

i = a^b y -1 , i = ci 4- V V— 1 , i" = a + ^»"> -^,

wo «, b^ a', b\ a", b" reelle Grossen bedeuten. Wir setzen
nach dem Vorhergehenden voraus, dass von den Grössen

ab" — a" U ^ ab — ab'\ ab' — ab

keine verschwindet. Denn sonst würden sich entweder zwei
Perioden auf eine reduciren, was gegen die Voraussetzung ist,
oder die Function würde einen Index haben , der kleiner ist,
als irgend eine gegebene Grösse, ohne doch zu verschwinden,
[57j was absurd ist. Zunächst nun bemerke ich, dass sich
jene drei Grössen nicht wie ganze Zahlen verhalten, oder
nicht durch dieselbe Grösse gemessen werden können.
Nehmen wir nämlich an, es verhielte sich

ab" — a"b' : ab — ab" : ab' — a' b ■:^ m : ni : w",

wo m, m\ m"*) ganze Zahlen bedeuten, die wir als von ge-
meinsamen Factoren befreit annehmen. Dann ist

*) Hier und weiterhin nehmen wir die ganzen Zahlen sowohl
als positiv, wie auch als negativ an.

6 C. G. J. Jacobi.

ma -\- m' d + m' a = 0 ,
mh Ar ni b' + 7n' b" = 0 ,
und ebenso auch.

mi -\- ni % + ^'^"i" = 0 .

Sei f das grösste gemeinsame Maass von m' , ni\ das zu w
prim sein muss, da die drei Zahlen w, m', m" nicht durch
dieselbe Zahl getheilt werden; dann wird auch

mi fm' ., m" .„"1

171 1

ein Index der Function. Da nun die Indices i und — ;- unter

sich commensurabel sind mit dem grössten gemeinsamen Maass

t t

^ , so wird auch — Index sein , wie in § 1 bewiesen ist.

Es mögen nun zwei Zahlen n\ n so ausgewählt werden, dass
m , ni' ,,

/'' +/"='•

dann , sage ich , setzen sich die drei Perioden aus zweien
zusammen, deren Indices

— und n i — n %

sind, da sich aus diesen der Index i und auch die übrigen
Indices i\ i" zusammensetzen. Man hat nämlich

, i , m" „ ., , ..,
■ — mn — -1 — -r- (w ^ — m ]

[m ., m" .„1 m" , ,, ., , .„, .,

II '^ ^ / II •! I •tt\

— mn -^ TT [n i — 7i i )

„Tm' ., , m" .„] m' , ., , .„
= n \-^ t +':7. i \ :^ in ^ ~m ) = i .

Also, wenn sich die drei Grössen

d b" — a" b' , ab — ab" , ab' — d b

Ueber die vierfach periodischen Functionen etc. 7

verhalten wie gauze Zahlen, oder, was dasselbe ist, weyin
m, in\ m" ganze Zahlen bezeichnen und zwischen den In-
dices t, i\ i" eine Gleichung

mi -\- m i' + ni i" = 0

besteht^ so lassen sich die [58] drei Perioden aus zweien zu-
sammensetzen^ oder die Function ist nur ziceif ach periodisch.
Ich bemerke an zweiter Stelle, dass, xcenn a, a\ a" ganze
Zahleti bedeuten^i auch keine Gleichung der Form

a [a'b" — ci'b') + et [ab — ab") + a" [ab' — a' b) = 0

bestehen kann. Denn nehmen wir sechs ganz beliebige andere
ganze Zahlen

an und setzen

u =1 y'a" — y"a') a -j- (/'« — ya")a' -\- [ya — y'cc)a\
u' = [u'ß" — a"ß')a + [a'ß — uß")a + [aß' — aß) a",
V = [y'a" — y"a'\ b + [y"a — ya") b' + [ya — y a) b" ^
v' = {a'ß" — a"ß') b + [aß — aß") b' + [aß' — aß] b" ,

so werden auch

u + V V -^1 , u + v' y^

Indices der vorgelegten Function sein.
Setzt man nun

E = a[ß'f-ß"y') + a'[ß"y-ßy"j + a"[ßy'-ß'y) ,

so findet man

uv' — u'v = e[a[a'b" — a"b') -\- a ab — ab") -\- a [ab' — ab\\.

Hieraus folgt, wenn der Klammerausdruck verschwindet,

UV — w'ü = 0 .

Dass aber diese Gleichung nur statt haben kann , wenn die
Indices

u + t;V— ^ , u + v'\^^\

commensurabel sind oder aus einem Index hervorgehen, haben
wir im § 1 gesehen. In diesem Falle kann man, wenn y, /'
ganze Zahlen bezeichnen, setzen

f[u + v\^^\) —f'{u + v'\—\) --= 0 .

8 C. G. J. Jacobi.

eine Gleichung, die unter Einsetzung der Werthe von u^ v, u', v'
die Form annimmt

?ni -\- m' i' -{- vi i" = 0 ,

anze Zahlen
gängig ist, haben wir gezeigt.

wo w, ?w', m ganze Zahlen bedeuten; dass dies nicht an-

3.

Nach diesen Vorbereitungen werde ich nun zeigen, class^
wenn die drei Perioden sich nicht auf eine zurückführen
lassen, man immer ganze Zahlen m, tri ^ m" bestimmen kann,
sodass jeder der beiden Ausdrücke

ma + m'a + m"a"
mh -\- m' V -\- m"h"

kleiner wird als irgend eine gegebene Grösse, oder dass
die vorgelegte Function [59] ei7ie7i Index hat, der kleiner
ist , als irgend eine gegebene Grösse , ohne jedoch zu ver-
schiohiden.

Ich setze der Kürze halber:

II b" — a' b' = A , a"b — a h" = ^' , ab' — a b = A" ,

sodass

aA + a'A' + ct'A' = 0 , bA + b'A'^+ b"A" = 0 .

Bezeichnen ferner «, a', a" ganze Zahlen, so setze ich

ccA' . ^ aA" „ .,

A ' A

sodass

aa -\- ci' a' -\- a" a' = — [ci z/ H- ci'zl ] ,
üb + a'b' + a"b" = — [b'J + b"J'] .

Nun kann man die Zahlen a, a' so bestimmen, dass J kleiner
als irgend eine gegebene Grösse wird. Ferner lässt sich nach
Bestimmung von «, a die dritte Zahl a" so annehmen, dass
ohne Rücksicht auf das Vorzeichen

wird. Bestimmt man so a, «', a", so werden die obigen Aus-
drücke der Reihe nach absolut genommen kleiner als \a"
und '^b". Sind also die Grössen «, a', a" und b, b' b" ge-

Ueber die vierfach periodischen Functionen etc. 9

gehen^ so lassen sich immer ganze Zahlen a, a', a" derart
bestimmen^ class, wenn

a!" = aa + a' a' + «"«", //" = ab + a' b' + «"''/'

gesetzt icircl^ zugleich

icird, ohne Rücksicht auf das Vorzeichen.

Es möge nun der Reihe nach gesetzt werden

ßa! + ß'a" + ifa'" = a^\ ßb' + ß' h" + ß" b'" = b^"" ,
y a!' -i- y a'" + r" «^^ = «^ 7 ^" + Y b'" + /' ^-^^^ = Ä^ ,
(5a'" + ^'«1^4. (5"aV = ^vi^ ^^"' _|_ ^' ^iv _^ ^j-'^v ^ jvi. ^

/-^

Nach dem Vorhergehenden lassen sich die Coefticienten dieser
Gleichungen /!?, / etc., ß\ y' etc., //', /' etc., so annehmen,
dass ohne Rücksicht auf das Vorzeichen gleichzeitig wird

«i^^ < \a"\ a^' < |a^v, a^ < |a^ etc.
iiv <; 1 1'"^ jv <- 4. ^iv ^ i^i < ^ ^v, etc.

Daraus folgt, dass die Glieder der beiden Reihen

" "' IV V VI

a , « , a^^ , «^ , a , ...

b", b'", b'''', b\ b'''', ...

bei genügender Fortsetzung kleiner werden, als irgend eine
gegebene Grösse.

[60j Seien die entsprechenden Glieder a^"\ 5(") der
beiden Reihen kleiner als eine gegebene Grösse. Betrachtet
man die Bildung der Gleichungen, durch die jene Grössen von
den vorhergehenden abhängen, so erhellt ohne Mühe, dass
man sie durch die Grössen a, «', a" und b, b', b" vermöge
der Gleichungen

a^") = j)ia -\- m a -\- m" d\
b(^) = mb -\- m' b' -p m"b",

ausdrücken kann, in denen die Coefficienten ?n, m', m" ganze
Zahlen sind. Man erkennt ferner, dass diese Coefficienten in
jeder der beiden Gleichungen dieselben sind, da die Grössen
rtC"), //CO bez. durch dieselben Gleichungen von den ihnen
vorhergehenden abhängen. Hierdurch ist bewiesen, was be-
hauptet war, dass man positive oder negative ganze Zahlen

10 C. G. J. Jacobi.

m, m\ m" so bestimmen kann, dass gleichzeitig jeder der
beiden Ausdrücke

ma -j- 771 a + 7n' a'

mh -\- m' b' + ni' b"

kleiner als eine gegebene Grösse wird.

Der bezeichnete Algorithmus, durch den die Glieder der
beiden Reihen nach einander gefunden werden, wird nicht
gestört, wenn ein Glied der einen Reihe verschwindet. Dann
freilich wird das nächste Glied nicht kleiner als die Hälfte
von diesem, da es nichts kleineres als ein verschwindendes
Glied giebt, wenn man von den Vorzeichen absieht. Aber
man erkennt leicht, dass, wenn ein Glied der einen Reihe ver-
schwindet, man das nächste kleiner als irgend eine gegebene
Grösse machen kann. Sei beispielsweise a =0, so tindet
sich das nächste Glied

a" = — a ^J ^

wo J kleiner als irgend eine gegebene Grösse gemacht werden
konnte. Unter Benutzung also dieses Gliedes und unter Vor-
gabe irgend einer kleineren Grösse wird man den Algorithmus
fortsetzen, bis auch die Glieder der anderen Reihe kleiner
werden als die gegebene Grösse. Es können aber nie zwei
entsprechende Glieder der beiden Reihen zugleich verschwinden.
Denn wäre gleichzeitig

a(") = 0 , i(") = 0 ,

so gäbe es Zahlen ni. m\ m'\ für die zugleich
«(") ^= ina -\- ni a -\- m" d' = 0 ,
ä(«) = m b + m' b' + m b" = 0 ,
und gleicherweise

mi -\- ni i' + m'i" = 0 .

Dass aber dies nur stattfinden kann, wenn sich nicht die
drei Perioden aus zwei zusammensetzen lassen, haben wir im
§ 2 gesehen.

Der bezeichnete Algorithmus setzt ferner voraus , dass
niemals

[61] was folgendermaassen klar wird. Sei nämlich

a(^+') =pa -\- p'd -\- p"a , bO'+O = 2^b -\- p b' -^ p" b" .

Ueber die vierfnch periodischen Functionen etc. 1 1

Dann wird

' 0 = a(")^.(«+0 _ a("+')i(") :=
\m'i)' — m p' ] [a'b" — ab'] -\- m' p — mp") [ab — aW)
+ [mp' — m p] [a b' — ab).

Diese Gleichung ivaiin aber, wie im § 2 gezeigt ist, nicht
statt haben.

Setzen wir

so ist klar, dass ?"", ^^^, i^ etc. Indices der vorgelegten Func-
tion werden. Wir haben mithin einen ganz bestimmten Algo-
rithmus angegeben, durch den aus drei gegebenen imaginären
Indices eine unendliche Reihe von Indices gebildet wird, deren
reeller und imaginärer Tlieil zugleich kleiner als irgend eine
gegebene Grösse wird , ohne doch gleichzeitig verschwinden
zu können. Daher ist allenthalben unumstösslich bewiesen :
loenn eine corgelegte Functioti drei Perioden hat^ so lassen
sich diese enttceder aus zweien zusanunensetzen, oder die
Functio7i hat einen Index^ der kleiner ist als Jede gegebene
Grösse. Da dies absurd ist, so giebt es keine dreifach perio-
dische Function.

Man sieht also, dass wir mit gutem Rechte gesagt haben,
dass eine zweifache Periode die gesammte Periodicität erschöpft.
Aber das gilt nur von Functionen einer Variabein. Betrachtet
man Functionen mehrerer Veränderlichen, so braucht man bei
weitem nicht bei einer zweifachen Periode stehen zu bleiben.

Beispiele von Functionen mehrerer Variabein, die mehr
als zwei Perioden haben, bieten diejenigen Functionen dar,
die ich zuerst in den »Commentatiuncula de transcendentibus
Abelianis^ (Cr. J. Band IX. pag. 394) betrachtet habe. Aber
dieser wichtige Gegenstand muss nochmals gründlicher er-
örtert werden.

Sei

lA

u = C-\ fr + A, sin2rr -4- Ai siu4rr -f- A> sin6r/ -]-•••

n ' ' '

eine für alle reellen Werthe von (p convergente Reihe. Setzen
wir fest, dass x eine völlig bestimmte Function von sin^rjp
ist, z. B. eine rationale Function. Aendert mau rp in (p-\-Jt,

1 2 C. G. J. Jacobi.

so wird X nicht geändert, wohl aber wird u in u -\- 2 A über-
geführt. Wenn also

X = l [u] ,
so folgt

l{u -\- -lA) = l[u).

Es wird daher l[u] eine periodische Function sein und ihr
Index 2A.

Betrachten wir nun folgendes Integral

r^ {a-[-ßx]diX r'-{a-\-ßx)^x

J 0 y\x[i—x) ( {—Y.-^x) [Y—):^{\—(.i'^x)] ~J 0 yx '

[62] wobei x^, P, /<2 reelle positive Grössen, kleiner als die
Einheit, bezeichnen. Wir untersuchen nun die Werthe, die
dieses Integral bei wachsendem x für reelle Werthe zwischen
— oo bis + oo annimmt. Sei x- > A- > fi'^ so unterscheiden
wir 6 Intervalle, innerhalb derer x sich bewegen kann:

1. — oo . . • 0, 2. 0 ... 1 , 3. 1 V,

X-

11.11 1

4- ^■■'12^ 5. ^...-, 6. -^...oo.

Im ersten, dritten und fünften Intervalle wird der Werth von
X negativ, im zweiten, vierten und sechsten positiv sein.
Fragen wir nun, wie sich x in den einzelnen Intervallen so
durch sin- rp ausdrückt, dass sich das vorgelegte Integral ti in
eine unendliche convergente Reihe der bezeichneten Form

2A

u = C -\ (p -\- u4] sin 1(p -{- A-i sin \(p + ^3 sin 6f/) + ■ • •

entwickeln lässt. Wenn dies geschehen ist, setze man x = l[v)
und hat dadurch in L[u) eine periodische Function mit dem
Index 2 A^ nämlich

71

CA , Au
2A

r^du ,
Jq ax ^

1°. Wenn der Variabein x ein negativer Werth zukommt,
so setze man

fi'^s'm'^fp

Ueber die vierfach periodischen Functionen etc. 13

wächst X von — oo bis 0 , so nimmt ([ von 0 bis - zu.

Führt man die Substitution aus und setzt der Kürze halber

x'2 = 1 — /.2 , A'2 = 1 — Ä2 , a'-i = 1 — «2 ^

so findet man

*^(a -\- ßx)A.x

J 0

0 y— X

2 r*^ [(/i + a|ii2; sin2(;) — p^j d(/)

]/|^(t_,/2sin2,^)|l_'''iLj^'sin2^

Setzt man

/'O (a + /:?a:)da?

2^1 = / =^

J_. >/_x

2 p t(«|t^^ + /3)sin2y-^]dy ^

'''0 |/r(l— u'2sin2f;,)|l— ''-^-^sin2f/)j| 1— ^i^\in2(^jl

so wird nun
[63]

2]/=Tp

xl J 1

+ --'7

0

y— 1

1/ 1(1— tt 2sin2(y^jj 1— — ^sin-r/^ljl ry-sm-r/i||

Ich bemerke nun, dass ein Integral der Form
[m -\- n sin2 (p) d (p

Jo V\n

V[{i — jo2 sin2fjf)) (1 — j2 sin^(p) (1 — r2 sin2f^)]

sofern p-, q~, 7-- reell und kleiner als die Einheit sind, sich
immer in eine convergente Reihe der Form

2A

cp + A^ sin 2 tp -{- A2 sin icp -\- A^ sin 6 r/) ... ,

entwickeln lässt, wo

^•2 (^ _i_ n sin2(jp) d cp

./o yr(i —

[(1 — jo2 sin2(jp) (1 — ^2 3in2f^j (1 — ^-2 sin2(^

14 C. G. J. Jacobi.

fs'tlrd^'"'' ""''" " '" ^'' ^«^•'^°^*«^ Weise entwickeln; und

Setzt man also :. = 2(^.), sowirf ;j^,) eine periodische Func-
tion mit dem Index 2m, y_i sein, oder

/.(e/4-2«, V— I) =/,(,,).

2°. Liegt X zwischen 0 und 1, so setze ich

'i-. X = sin^ff) ;
es wird '^

' 0 >'(T^=^^^^"^i^^^)Tr'-i:7^^i^^ •

Setzt man also

'V«+/?a;)d^

= 2 f —^ [^^+^/^^in2£2^^^^

" l'n^^=^^^^~sin^^^j(r:=^^sln^r^)^^

clmcLtef ^^ " '^^ '^^^^^^"^^^ ^^-^ -^--kem, deren

sind. Es wird deshalb 2u, der andere Index der Function
X = A{u) sein, oder man hat auch i^unciion

A (m + 2 «2) = ;. [u] .
3°. Liege nun x zwischen 1 und - , so setze ich

3. x= L______^ L

coshp + x2 sin2f/) 1 — x'2sin2^ ■

Da nun das Integral u von 0 bis x genommen wird so zer
lege ich das Intervall in 2 Theile, den einen von 'o bis
den andern von 1 bis r rio«« üJa • "="/"" " "it» i,

der Substitution ^"^ ^°^'" ^"' °^^^ Ausführung

Ueber die vierfacli peiiudischen Functionen etc. 1 5

U = U2

-'u [/ (l_x'2 3in2f^) /l__sm2f/)j 1 — pi
[64] Setzt man

'^'^ {a -\- ßx]dix

^ rf [c^ 4

' '"«^0 y ( 1 — x'2 sin^f/)) ( 1 — '^ sin2 r/- j ( l — ^77^ sin2 (p\

y-x

[a + /i — ax'2 giii2 (^j (] (^j

so lässt sich 2^ in eine Reihe der vorgelegten Form entwickeln,
deren erste Coefficienten

C = 2^2 ; A = u-i V — 1 .

sein werden.

Daher hat die Function x^^K u) auch den Index 1u-^\ — l,
oder es ist auch

l[u + 22^3]/.^) = l[u] .

4°. Gehen wir nun zum vierten Intervall zwischen —

/.2

und -V— über; hier setze ich

^ _ yl'2cos2y + y.'2siu2y _ 1'2 — l;/2_;;2) sin2^

x2>l'2 cos2(p -\~ A2-/^ sm-(p x2A'i — :x2 — ;;2j sin2fp '

; sodass, wenn x von -— - bis .— wächst, w von ü bis — zu-

nimmt. Nach Ausführung der Substitution geht das vorgelegte
Integral über in folgendes:

r'=(a-^ßx)Ax 2

'^ ^[A'2(a-/.2 + ,J: — (/2_A2)(c, + /j)sin2y]dy

/

16 G.G. J. Jacobi.

Da sich dieses wiederum in die angegebene Form entwickeln
lässt, so hat man unter der Bezeichnung

r^_ [l'^laz'^ + ß] — (x2 — A2) sinV/9]dy

als erste Coefficienten der Entwickelung

C = ?/2 + ^fj 1 1 j -^ = ^^4 7

sodass also die Function .r = ^..(ef) den Index 2u^ hat, d. b.

/, [u -]- 2Ui) = X [u] .

1 1

5°. An fünfter Stelle liege x zwischen ^-- und -., und

in diesem Falle setzen wir:

(/2 ^«2) coS^f^ -f- (x2 ^2) gin2(^

11 (/.2 — ^i2j cos^f/) -t" ;w2 |3{2__j^ sin'2(jp

-/.2 «2 — ^^2 ^,2j gin2 fp

"" A2 ,jj,2 _ ^,21 _ ./i a^—JJ) sinV/) '

11
sodass, wenn x von -^r— bis — r^ wächst, (p wieder von 0 bis

-7- zunimmt. [65] Führt man die Substitution aus, so er-
hält man:

r"^ [(x2— /<2)fca2 + /i)- (A2_^/2)(c,x24-^)sin2f/^]df/)

^«>^(^-ii^i^^"'^^)(^--;^|r2^^^^^^^^

Auch von diesem Ausdruck ist klar, dass er sich in die
bezeichnete Form entwickeln lässt und

Ueber die vierfach periodischen Functionen etc. 17

-/*

X

-X IV T/(-/.2— «2)3

(/■•i— iit2)(ca2 + /^) — (Ä2— ,u2') (a/.2 + A')sin^</>] <!''/'

/ 2 ^(^2__^,2)(^^2

1p)('-3q?^-'-'/-)(l-;..^^,-pf>»V)

gesetzt wirtl, so sind die Coefficienten der Entwickelung

c = ?/2 + "^h y — 1 — ^1 ) ^ = — U:^ y — 1 .

Daher hat die Function x = ?, [u] auch den Index 2u;-,V — 1

oder es wird

). u + 2ur,y~[) = /,(m).

6°. Wenn sich endlich x im 6*"" Intervalle zwischen
. und oo bewegt, so setze ich:

6. X = —, — '-— tan" - rn ,

^i^ ^ /2«i ' / '

und es kommt

2

t( = u, 4- tf V — l— «4 — «5 V — 1 + - , ,f X

/''' [/2 (g »2 _p ^y) _ ,,2 ^a 12 4, ß) sin2 y] d y

J. i/r. ^'- • , \/, ^^vTTTT, (x2-/2),«2 . ~ '

Wenn man, was erlaubt ist, diesen Ausdruck in die bezeich-
nete Form entwickelt und setzt

w« =J -^ = ^ __~ ^ — X

diX

vx A3^t'2|/(x2^-::^)

,f

^ [A2 (a,u2 4_ ^) _ „2 (c, A2 + ß] sin2 r/^] d y

\/T. i"2 . , \/, Ä'2u2 . \ / (x2 — ;.2)«2 X

so werden die ersten Coefficienten der Entwickelung
C = M2 + M3 V — 1 — u^ — W5 > — 1 , A =

Ostwald's Klassiker. 64.

18 C. G. J. Jacobi.

und die Function x = X[u) wird auch den Index 2m,; haben
oder es wird

l [u + 2 'Mß) = l (w) .

Wir haben also unsere Aufgabe bereits gelöst und gezeigt,
wie sich für alle reellen Werthe von x das vorgelegte Integral

('■' {a -\- ßx)dx

u

-l

0 yx

[66] in eine convergente Reihe der Form

2A

u = 6' -| • fp ^ A sin 2 (p -\~ A sin 4 r/) -|- ^ 'sin 6 (/) -)

entwickeln lässt. Und die sechs untereinander verschiedenen
Entwickelungen, die wir für die sechs Intervalle, in denen
sich x bewegen kann, aufgestellt haben, lieferten ebensoviel
Indices der periodischen Function x = X [u] .

5.

Im Vorhergehenden haben wir für die einzelnen Intervalle
solche Substitutionen angewendet, durch die das vorgelegte
Integral immer in dieselbe Form

im -\- n sin2(/)) d(f

" ^[(^ — p' sin"-^/)j (1 — (/' sin2 rp) [i — r^ sin^r/^)]

übergeht, wo p'^, (f^, /•'- kleiner als die Einheit sind; zugleich

wächst cp von 0 bis — , während x von der unteren Grenze

des Intervalles bis zur oberen wächst. Dasselbe kann für die
einzelnen Intervalle auch durch eine andere Substitution von
der Form

d -\- e sin^^

""/+ ^ sin^r/)
erreicht werden, sodass, wenn die Variable x von der unteren

TT

bis zur oberen Grenze zunimmt, zugleich cp von — bis 0 ab-
nimmt. Allgemeiner hat Eichelot in einer Abhandlung, die
bald das Licht erblicken wird, gezeigt, dass, wenn X irgend
eine ganze rationale Function G*^®" Grades darstellt, die in reelle
lineare Factoren zerlegt werden kann, das Integral

Ueber die vierfach periodischen J^inctionen etc. 19

[a + ßxjdx

"-f

vx

durch 1 2 reelle Substitutionen von der Form

d -4- e am-cp
X — —

Z + ysiD-r
auf die Form

k

[m -\- n &W^ip) d(p

V(l — /)- sin-ff) (l — q'^ sin^f^j 1 1 — r- sin'^y)

gebracht werden kann, wo p'^, </'-, r'^ reell, positiv und kleiner
als die Einheit sind. Derselbe hat das auch auf den allge-
uioinen Fall augewendet, wo X von irgend beliebiger ■2?i**'
Ordnung ist. Auf denselben Fall Hessen sich daher auch die
vorstehenden Betrachtungen ausdehnen. Uebrigens konnte man
durch unzählige andere Substitutionen zu einer Integralform
gelangen, die eine Entwickelung in eine convergente Reihe
nach den Cosinus oder Sinus von Vielfachen desselben Winkels
gestattet, eine Entwickelung, die allein hier nöthig ist. Doch
[67] kann man nicht durch andere Substitutionen zu anderen
Indiccs gelangen, es seien denn solche, die sich aus den von
uns angegebenen zusammensetzen Hessen.

Aber jene Indices, die wir bezeichnet haben, von denen
drei reell, drei imaginär sind, stehen in solchen Beziehungen,
dass ein reeller aus den beiden anderen reellen, ein imaginärer
aus den beiden anderen imaginären sich zusammensetzen lässt.
Im Folgenden wollen wir dies beweisen.

Das vor^eleo-te Integral

iix) d.r

yx

ist nur bestimmt, wenn für die einzelnen Intervalle über das
Vorzeichen der Wurzel eine Festsetzung getroffen ist. Da
nun für jedes nächste Intervall ein neuer Factor des Radi-
canden das V^orzeichen ändert, so haben wir festgesetzt, dass
dadurch immer eine Multiplication mit derselben Grösse V — 1

entsteht, sodass dem Ausdrucke— = in den bezeichneten Inter-

VX
Valien die bez. Vorzeichen

20 C. G. J. Jacobi.

zukommen, wenn man auch das vorgesetzte zbV — 1 zu den
Vorzeichen zählen darf. Nach diesen Bestimmungen gelangen
wir unter Anwendung jener oben angeführten Werthe ^^l, u-^ etc.
zu der Gleichung

' + * [a + ßx] ([x

f

vx

:=: y 1 e^i -\- ?/2 -|- t/.^ y 1 Ux 11^ V 1 H- ?/(5 .

Da nun für — an Stelle von x die beiden Grenzen zusamraen-

X

fallen, so erschliesst sich uns die Beziehung

0 = — y — 1 wi + 1^2 + ^h ^^ — 1 — '^'4 — ^^5 V — 1 4- 2^6 ;

oder

oder was dasselbe ist:

_L i

f'O {a-\r ßx)äx /*?' [a + /:?^) drr p' [a + ßx]äx

/'O (a 4- /?a;) d ä; Z*^' {a-\- ßx]dx _ P"' [c

, _i_

/* Ma 4- ß^ dx r^ {a 4- ßx) äx _ r^^ ja -\- ßx) Ax

' 0 Vx^ Ji Vx ~A y^ '

wobei y — X und V X immer positiv genommen werden. Da
jedoch wegen der Zweideutigkeit des Radicales VX ein an-
derer Beweis der vorstehenden bemerkenswerthen Formeln
erwünscht ist, so wollen wir sie aus einem speciellen Falle
des AbeV&chQu Theorems herleiten. Dies möchten wir hier ge-
nauer auseinandersetzen.

[68] 6.

Betrachten wir folgende kubische Gleichung

f{x) =x[V — yi'^x) (1 — ^i'^x) — h[V—x)[\.— r-x) = 0 ,

deren drei Wurzeln wir als Functionen von h auffassen. Sei
wieder

1 > x'-i > P > ^^2 ;

wenn h positiv ist, so erhält für

Ueber die vierfucli periodischen Functionen etc. 21

1 1 1

x= - oo, 0 , 1 , -^, .— , -^ , 4- oo

die Function j\x\ die Zeichen

Daher sind die 3 Wurzeln der kubischen Gleichung reell, eine
zwischen ü und 1, die zweite zwischen -—■ und -r— , die dritte

1

zwischen — ., und + oo- Wenn // negativ ist, so wird die
Function f[x) für dieselben Werthe von ./- mit den Zeichen

-, +, +, -, -, +, +

der Reihe nach behaftet. Auch in diesem Falle sind also die

3 Wurzeln der kubischen Gleichung reell, die erste negativ,

die übrigen positiv, und zwar die zweite zwischen \ und

1 1 1

— , , die dritte zwischen -^^ und ~~ gelegen.
X- /- a-

Differentiirt man die vorgegebene Gleichung, so kommt

leicht

d// 1 1 — z^ }:- — u-

hAx X ' [\—x][\—-/C-x) ' {\~}:^x)[\^ii'-x)

_ 1 X2— /2 «2

~~ x[\—x] [\—v:-x)[\—)r-x] \~^a^ '

Diese Formel lehrt,

1. wenn h positiv ist und x entweder zwischen 0 und 1,

oder zwischen — - und v- , oder zwischen — - und

00 liegt,

2. wenn h negativ und x entweder negativ, oder zwischen

1 und — — , oder zwischen ^- und - liegt,

d^
so wird der Ausdruck ~-r immer positiv. In beiden Fällen
d/<

mithin, mag li positiv oder negativ sein, werden alle 3 Wurzeln

der kubischen Gleichung gemeinsam mit li beständig wachsen

oder abnehmen. Nun aber:

22 C. G. J. Jacobi.

für // =^ — oo , werden die Wurzeln — oo , 1 , y^,

1 1

- A = 0 , - - - 0 , -^7, — ,

1

- Ä= + 00, - - - 1, -^— , +00.

[69] Wenn wir daher in jedem Falle die Wurzeln ruit a, b, c

bezeichnen, und zwar als erste, zweite, dritte Wurzel der

Grösse nach geordnet, so sehen wir, dass gleichzeitig und

continuirlich wachsen :

1 1

7/ von 0 bis 4- oo , a von 0 bis 1 , b von — bis -rr,,

c von — - bis + oo ,

h von — oo bis 0 , a von — oo bis 0 , b von l bis — ,

e von ^— bis — - .
/^ /«-^

Daher wachsen auch gleichzeitig und stetig:

h von — ^oo bis -|- oo , a von — oo bis 1 , b von l bis t^,

r von ^r- bis + oo .

Nun setzen wir fest, dass, wenn k von /iq bis //, wächst,
zugleich a von a^ bis «, , b von Z>o bis ^i , c von Cy bis q
wachsen. Setzt mau

dx "J '^^ '
so folgt durch Differentiation der vorgelegten Gleichung

f[7:)dx — (1 —x)[\ — 'k'ix)dh = 0,
oder wenn man substituirt

(1— :^•)(l — 22.r)VÄ= __

l/[.r(l — .r) (l — -/2^';! (l — l'^x) (l — ii^x)\ = Vx
und mit a -\- ßx multiplicirt

(« + ßx) Ax _ {a + ßx)Vi

VX " yTifix]

Ueber die vieif:icli periodischen Functionen etc. 2'i

Setzt man in dieser Formel an Stelle von x seine drei
Werthe a^ b, <?, so entstehen die drei Formeln:

r'"{a-i-ßx)dix _ /•'"(« + ßa)d/i
''a„ Vf "''ho y/if ia) '

/''" (« + ßx] dx _ /•'" {a + ßb) &h
Jio VZ "A-o ~yJf~[b]~'

/'^>(a -{- ßx)äx _ r'^'ia -]- ßc)äh
«^co VX ~''i>o \Tif'[r)

Da unn aber nach einem sehr bekannten algebraischen Satze

ii + ßii , « + ,^^> , « + /^^- ^ ^

so geht, wenn man summirt und \h überall mit demselben
Vorzeichen nimmt, aus den drei obigen Formeln hervor:

^'"'[a -\- ßx)dix , ^ /'«"(« 4- /i^) da;

r"^{a-\-ßx)dx , /'

yx -^io yx

+ £.J ^ ^,U^ = 0

ro

Vx

die wegen der Zweideutigkeit des Radicals beizufügenden Fac-
toren t, «i , 60 bezeichnen entweder -|- l oder — 1.

Zur Bestimmung dieser Factoren £ , £1 , £2 bemerke ich,
dass in unsere Rechnung das Radical VX an Stelle des
Ausdruckes

VX = {].—x]{\ — V-x)Vh

[70] in unsere Rechnung eingeführt wurde, ein Ausdruck,
der mit demselben Vorzeichen behaftet ist, wenn x zwischen

— 00 und 1 und auch wenn es zwischen — und -|- 00 liegt,

mit entgegengesetztem Vorzeichen aber, wenn x zwischen 1

und -r^ liegt; oder für die erste und dritte Wurzel, a und r,

hat es das gleiche Vorzeichen, für die zweite Wurzel b da-
gegen das entgegengesetzte. Daher darf man setzen

24 C. G. J. Jacobi.

Dadurch wird unsere Gleicliung

'"' (« 4- ßx) d.r /'^i (« + ß.r) dx f^' (a + ßx] äx

T'" (a 4- /i:r) d.r /'^i (« + /i'.r) d:r _ /"^' (a

yx

In dieser Gleichung müssen die drei Radicale V X mit dem-
selben Vorzeichen genommen Averden.
Wir sehen auch, dass

1 1

und

(/(^ = 0 , bf^ = ~ , (y

1

«1 = 1, '•'i = X^ • ^1 = + CO

zusammengehörige Werthe sind, die den Werthen

7/^ = 0, //i ^ + '^'o

entsprechen. Dann aber entspringt der vorgelegten Formel

die Gleichung

I

r^ {a-{- ßx)dx r " [a + ßx)dx _ r^'{a + ßx]dx
Jo VX ''±_ V^ ~-'±_ Vx

Ferner wird gleichzeitig

1

«0 = — OO , r,) = 1 , ro = ^ ,

l

,2 '

entsprechend den Werthen von 7/

7^0 ^= — oo , 7/j = 0 .

Aus der aufgestellten Formel fliesst damit, wenn wir zugleich
durch 1' — 1 dividiren:

j^ _|_

f^^{a-\-ßx)dLx ri'''{a -{- ßx)dx r^ [a -\- ß x) d x

n [u H- ßx] dx r>''{a-{- ßxjdx _ f"'

V—X

Auch iu diesen Formeln müssen die Wurzeln } X und V — X
mit demselben Vorzeichen genommen werden. Dies sind die
Formeln, die zu beweisen wir uns vornahmen und die wir

lieber (He vierfach periodischen Functionen etc. 25

aus der obigen allgemeineren Formel über unbestimmte Inte-
grale hergeleitet haben.

Bei der vorliegenden Frage war vorausgesetzt, dass // die
Variable x nicht enthalte; das von Abel aufgestellte Theorem
stützt sich auf die viel allgemeinere Annahme, dass // das
Quadrat irgend einer rationalen Function von x sei.

[71] 7.

Im Vorhergehenden ist dargethan, dass sich die sechs
von uns aufgefundenen Indices

Wi > — 1, Ui^ Mjl — 1, u^ ^ U:,\ — 1, «6

mit Hülfe der Formeln

u^ + u-^ = ^^3 , it^ + ^z,; ^ u^,

auf vier zurückführen lassen.
Als solche setzen wir fest

?/2, W(i ; ?<il — 1 , «5^ — 1 •

Allgemein aber können weder u-i und ?Z(i noch u^y — 1 und
M5V — l auf denselben Index zurückgeführt werden, oder es
sind Ui und «g , sowie auch u^ und u--, unter sich incommen-
surabel. Daher wird die Function x = 'L'vu] vier Indices haben,
die nicht auf eine geringere Anzahl zurückgeführt ■werden
können, oder sie wird vierfach periodisch sein. Dass es schon
keine dreifach periodische Function giebt, ist oben ausführlich
dargelegt. Dass aber dieser Fall, wo zwei incommensurable
Indices reell, zwei incommensurable imaginär von der Form
u^y — l, u--y — 1 sind, absurd ist, steht schon aus § 1 fest.
Es gäbe nämlich zufolge der dort angestellten Erörterungen
für die Function x = 'L{u) Indices A und A'V — 1 , wo A
und A' reelle Grössen und kleiner sind als irgend eine ge-
gebene beliebig kleine Grösse. Daher würde die Function X[v)
ungeändert bleiben, während u alle reellen oder imaginären
Werthe annehmen könnte oder unter der Zahl der Werthe,
die u bei ungeänderter Function K[u] annehmen könnte, wür-
den immer etliche sein , die sich von irgend einer reellen
oder imaginären Grösse um weniger unterscheiden, als eine
beliebig kleine gegebene Grösse. Das aber ist absurd.

2G C. G. J. Jacobi.

Zu noch mehr Perioden kommen wir, wenn die Function
X, die unter der Wurzel steht, zu höherem als dem 5^**" oder
gtea Qvade ansteigt. Im Allgemeinen nämlich, wenn X von
der 2w*^" oder [2n — [)^^^ Ordnung ist und man setzt

^/

y{x] d X

yx

wo yi^) irgend eine gegebene ganze rationale Function ist,
erscheint x als Function von ti mit 2 w — 2 Indices, die ausser
in Specialfällen nicht auf eine geringere Zahl zurückgeführt
werden können; und zwar sind, wenn die Coefficienten von X
reelle Grössen sind, n — 1 reell, n — 1 imaginär.

Auf dieselbe Weise nämlich, wie oben, wird im all-
gemeinen Falle das Folgende dargelegt. Sei

X = .r( l — .r) (l — /;^.r) (1 — /t.r) (1 — ^n-i^] ,

wo

1 >■ X- >> /J . . . . > X5„__5 -> '^•In-i ,

die Gleichung n^"' Ordnung [72]

x{{—yrx){i— xlr)- • • • (1— x|„. ^x) =Ä( 1 —x){ \~'4x)- ■ • -{i—^u-tx)

hat ti reelle Wurzeln; bezeichnen wir diese der Grösse nach
mit a, , «2 7 ' ' ■ ■ <^n-, so wird, wenn h von — oo bis 0 und
dann von ü bis + oo wächst, a, von — oo bis 0 und darauf
von 0 bis 1 zunehmen;

«o von 1 bis -T und sodann von ^7 bis -^7,

^ X.] X5 x^

allgemein
a,„ von -:, bis — und sodann von — bis —^ ,

X-}„j — f) '■^im^i ''^im — i X2,„_3

und zuletzt
a„ von -ö bis -^ und sodann von —, bis + 00 .

Xön — S '^5)1 — 4 '^-in — i

Wenn nun, während h von A'"' bis Ji wächst, a„, von o|l** bis a',„
zunimmt, so wird aus

pßx^äx _ r4f{x]£x ^ _^ r<f{x\^x ^ ^

''af^ yx -'«f vx -'«1?' yx '

lieber die viorfacli periodischen Functionen etc. 27

wobei f{.r) eine beliebige ganze rationale P'unction {n — 2)^*"
Ordnnng bezeichnet. Aus dieser Formel gehen zwei specielle
hervor

y-l

"4u-if{x] dz

/?

0

V—X

In diesen Formeln sind die w Wurzeln VX und j — X mit
demselben Vorzeichen zu nehmen. Es werden die 'In hin-
geschriebenen bestimmten Integrale, wenn man sie verdoppelt
und bei den ??, ersteren V X an Stelle von V — X schreibt,
die Indices der Function x == l [u) sein, ti davon reell und Ji
imaginär, die durch die zwei vorhergehenden Gleichungen auf
n — 1 reelle und n ■ — 1 imaginäre zurückkommen ; nur in
speciellen Fällen können sie auf eine geringere Zahl zurück-
geführt werden.

Aus dem Vorausgeschickten schliessen wir:
y> gerade so ivie die Kreisbogen für dcnselbeyi Sinus unzüh-
•»lige von einander gleich iveit abstellende Werthe annehmen .,
ygerade so tcie es zu demselben Nunierus unzählige Loga-
-»rühmen giebt^^ die von einander um dieselbe imaginäre
•»Grösse abstehen; gerade so icie die elliptischen Integrale
»für denselben Werth des Sinus der Amjjlitude doppelt un-
» endlich viele Werthe annehmen^ da Ja sotcohl ihre reellen,

28 C. G. J. Jacobi.

»U'ie iJire imaginären Bestandtheile zugleich unzählig viele
» TVerthe erreichen, die von einander gleich weit abstehen,
»[73] so fuhren die AbeV sehen oder hyperelliptischen Inte-
•»grale, d. h. Integrale, in denen unter dem Integralzeichen
yeine Quadrattcurzel aus einer Function von höherem als dem
y>4ic" Grade steht, eine so starke V^ielfachlieit von Werthen
■»mit sirJi, dass sie für willkürlich gegebene Grenzen alle
■»beliebigen reellen oder imaginär e7i Werthe annehmen, oder
»dass sich unter all den Werthen, die dasselbe Integral für
»dieselben willkürlich gegebenen Grenzen annehmen kann,
»immer solche befinden, die sich von einem beliebigen ge-
»gebenen reellen oder imaginären Werthe um weniger unter-
»scheiden als irgend eine gegebene, noch so kleine Grösse. <^
Es ist aus dem Vorhergehenden klar, dass, sowie X von
höherem als dem 4'*^" Grade ist, x nicht mehr als analy-
tische Function von ti angesehen werden kann ; auch sieht
man nicht, wie man die allgemeinen Methoden, auf deren
Grund ehedem die analytische Trigonometrie und jüngst die
Theorie der elliptischen Functionen aufgebaut ist, auf die
AbeV&chQM Transcendenten anwenden könnte. Doch aus dieser
gleichsam verzweifelten Lage giebt einen einzigen Ausweg eine
üeberlegiing, die wir von ganz anderen Betrachtungen aus-
gehend in einer früheren Abhandlung [Cr. J. Bd. 9 S. 394 fgg.)
auseinandergesetzt haben und die allein nach unserer Meinung
geeignet ist, die ^Äe/'schen Transcendenten in die Analysis
einzuführen, und hier die Schwierigkeiten, die aus der Viel-
fachheit der Integral werthe entstehen, hebt. Diese Sache will
ich mit einer leichten Aenderung kurz wiederholen.

Sei wiederum X eine rationale ganze Function 5*''*' oder
(jter Ordnung; wir wollen setzen

*■'• (a -f- ßx]Ax ni [a + ßx) Ax _

r- [ci-\-ßx)dix r

Ja vx -h yx

r--« [a -1- ß'x)dix i'y {a-irß'x)diX

''a yx '';- yx

= u

wo a, b, a, ß, a' . ß' Constante bezeichnen, x und y dürfen
als Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Ueber die vierfach periodischen Functionen etc. 29

Ux-i — U'x + t7" = 0

betrachtet werden, wo C", Ü7', U" Functionen von u^ u sind.
Wenn nun u als Summe mehrerer Integrale

/

(a -\- ß x\^x

und zugleich u' als Summe von ebensoviel Integralen

P

VX

gegeben wird, die bez. zwischen denselben Grenzen genom-
men werden: so erhält man aus dem AbePschen Theorem
U, U', ü" als rationale Functionen dieser Grenzen und der
Werthe, [74] die V X für dieselben annimmt. Und in diesem
Falle werden daher die beiden transcendenten Gleichungen
auf algebraische zurückgeführt. Dies ist die geeignete An-
wendungsweise des ^^eZ'sclien Theorems, wenn X den 5*®"
oder 6*«" Grad hat.

Ein sehr einfaches Beispiel dieses umfassenden Theorems
haben wir oben gegeben. Es folgt nämlich aus dem früher
Erkannten, wenn wir setzen

X = x'A—x)[l— yßx) (1 — /ßx) [i — i.i^x) ,
wo 1 ^ -/^ ^ /2 ■--> ,<2^ i^iii(j unter der Annahme der beiden
transcendenten Gleichungen

r* [a + ßx) dx rv [a + ßx) äx __ j' [a -f ßx:, d.r

^'ü Vx 'A Vx "'A yx '

r^ [a -\-ß'x)diX l'y {cc'^ß'x)dx _ r' [a' -{- ß'x]dx

'K yx J^ vT "-'l VT '

dass rr, y sich durch z ausdrücken lassen als Wurzeln der
quadratischen Gleichung :

'\~z){\-l'^z)x[\-yßx)[\-^i'^x]-z[i-yßz)[\-u'^z){{-x){\-l''-x) __

X — z
oder

Ux'^— U'x + C7" = 0,
wo

30 C. G. J. Jacobi.

Cr' = (l— X2^i(l — //2~^

Wir haben nämlich bewiesen, dass eine andere transcendente
Gleichung statt habe, wenn x^ y^ z Wurzeln der kubischen
Gleichung

^(l — x2^) 1 1 — fi^x) = h[\ — X- (l — A2.r)

sind ; aus ihr erhalten wir nach Elimination von li mit Hülfe
der Formel

(1 —z] (1 —X^z]

und nach Division durch x — c, die übrigen Wurzeln .r, \j
als Wurzeln der vorgelegten quadratischen Gleichung. Da
nun jene Gleichung in keiner Weise durch die Constanten a, /i
berührt wird, so genügen dieselben algebraischen Gleichungen
zwischen .r, y, z auch einer anderen transcendenten Gleichung,
in der sich statt a, /i andere Constanten a', ß' vorfinden.
Auch würde nichts Neues hinzugefügt werden, wenn wir eine
dritte transcendente Gleichung anreihten, in der wieder andere
Constanten a ", //' für a, /i' gesetzt sind. Denn wenn durch die
zwischen x, y, z bestehenden Beziehungen den beiden vor-
gelegten transcendenten Gleichungen genügt ist, so entspringt
eine neue Gleichung

{m -\-nx]^x py [m -\- nx) d :r /'^ [rn -\- ?^.r) d.r

r-^ {m + nx] Ax P'J {m -\- nx) d :r /*

Jü yx -'i yx ~M

_ yx

was auch die Constanten m, n sein mögen, ganz von selbst.

[75] 10.

Wir haben oben sechs Substitutionen der Form
d -\- e sin-rp

gegeben, mit deren Hülfe wir in den verschiedenen Intervallen,
zwischen denen x enthalten ist, das Integral

Ueber die vierfach periodischen Functionen etc. '.\\

r

./,

I A

in die Form brachten, die eine Entwickehing in folgende con-
vergente Reihe gestattet

I ' ' — z= C -4 w -\- A sin 2 q -\- A sin 4 rp

+ Ä" sin G r/- • • • •

Da nun jene Substitutionen keineswegs von den Constanten
<7, [i abhängen, so wird in jedem Falle durch dieselbe Sub-
stitution auch für andere Constanten «', ß' die convergente
Entwickelung

, — = C -\ ff-\-B sin 2 (/--{- jö sin 4 cp

+ B" sin G ry^ + • • • •

gefunden. Für einen gegebenen anderen Werth y erhält man
durch dieselbe Substitution oder durch eine andere

d' -\- e' sin2 ip
^ ^ f + 9 sin2 iij '

die für das Intervall, in dem sich y bewegt, anzuwenden ist,
die folgenden convergenten Entwickelungen:

/ ^ '^' — = 6*3 H ip + A[ sin 2 ih + A'{ sin 4 ip

''b \X ^

+ A'[' sin 6 t/; + ■ • • •

\ X ^

+ B'C sin 6 «/;+••• •

Setzt man

/•■'■ [ce + ßx)dix _. f'J [ci + ßx)Ax

Ja yx Jh yx ~~^'

r^ {a-{-ß'x)Ax r>> {a'-^ß'x)dx _ ,

Ja VX Jb VX ~~ '

so erkennt man jetzt, dass bei Aenderung von cf in cf-\-m^,
von j/' in ip-{-in'7r, wo m, m beliebige ganze positive oder
negative Zahlen vorstellen, gleichzeitig

./

32 ^- ^^- J- Jacobi.

H in u -\- '2 mA -\- 2 m' A\
II in li -\- 2 m B -\- "1 fn B^

übergeht, dass aber x und y beide ungeändert bleiben. Hier
sind A^ A^ zweien von den früher angegebenen sechs Grössen

— =^ , 1(2 , «sV— i , — W4 , — M5 y— 1 , wp ,

y — 1

gleich, nnd zwar beide derselben oder verschiedenen, und
B^ Bi sind die Grössen, in die A, A^ [76] übergehen, wenn
an Stelle von a, ß gesetzt wird «', (i' . Wenn dabei jene
sechs Grössen in die folgenden

, W] , W3V— 1, — ?/4, ~'',-,K — 1, Mfi

Übergehen, so folgt, dass bei gleichzeitiger Aenderung von

n in ?/ 4- ^^^^-=^ + 2m' ih + 2m"v.\' — 1 + 'Im'" 11^

und von

u' in •«'+ " ^L + 2m' iio + 2?n"u'^V — 1 + 2m"'?4

y— 1

sich :?•, y nicht ändern ; m, ntym"^ rn" bezeichnen beliebige
ganze Zahlen. Die Indices 2w3y — 1, 2^4 und die ent-
sprechenden 2w3y — 1, 2^4 haben wir weggelassen, da sie
auf die übrigen zurückgeführt werden. Gefunden ist daher
folgendes für die Perioden unserer Functionen grundlegende
Theorem :

F u n d a m e n t a 1 - T h e 0 r e m .

Sei

X = x{[—x) (l — x2.7:) (1 — A2.-r) (1 —!.i^x) ,

sei ferner

ßx)^x _ . ^ p^ {a -{- ßx)diX _

"2 )

1
J X y — X "* ' ^1

K— X «^0 yx
1

" y=x '' ' "A yx

Ä2 U«

?■)

«4

VJeher die vierfach periodischen Functionen etc. 33

r'i^{a' + ß'x)Ax _ r - {a' + ß'x)üx _ .

■i / ■ — «:i j - 1 := — ■ '4 5

/.- (i-

seie/i endlich x, y hetrachtet als Fiunctionen

X = ?.[((, u') , y = ^''{i(, u')

rnn Grössen n, u', die durch die Gleichungen
r^ [a + ßx)ix r'J [a -^ ßx)^x _

K yx Jb yz ~ '' '

/'■'■ {a' + ß'x)dix r-'J {a'-\-ß'x)dx _ ,
^'a vT 'Ib VT ^^ '' '
f/egchen sind, so wird, sein :
■ lu -\- fiiii V — l + Wi'?2 + m"/3y — 1 -\- m"'i^ ,\ . , ,

'• l/^mi[V—i-\- jfi'i;, -f m"i!,y^ 4- 7,i"'i', j "" ''■ ^"' " ' '

. ,lu + ?nii y — l + m'i) -\- m"i^y — 1 + m"'ii ,\ , , ,

^' U-^mi[y — l + m.'?i + m"?"a — T+ «/"/^ / ^ '^ ^"' "''

welches auch die Werthe der 'positiven oder negativen ganzen
'Zahlen w, m', w", m'" sein mögen.

[77] Die Art der Periodicität, die im soeben ausgesproclie-
neii Theorem erklärt ist, hat nichts, was den Gesetzen der
analytischen Functionen zuwider liefe. Freilich lassen sich
immer Zahlen m, m', ni\ m'" so bestimmen, dass einer der
beiden Ausdrücke

u -\- m' i=y -\- m"'i^ + i^^ii + m"ii)V — l ,
2i' -{- ni i'.> -\- m"'i[ -\- [mi[ -|- ni'i'i} \ — 1

von einer beliebigen gegebenen Grösse

p + (?y-T

um weniger als irgend eine noch so kleine gegebene Grösse
abweicht; doch kann dies im Allgemeinen nur dadurch er-
reicht werden, dass jene Zahlen über alle Grenzen wachsen;

Ostwald's Klassiker. (14. ;i

34 C. G. J. Jacobi.

wenn also der eine Ausdruck der gegebenen Grösse fast un-
endlich nahe kommt, so wird der andere zugleich unendlich
gross werden. Daher sehen wir, dass in unseren vierfach
periodischen Functionen zweier Veränderlicher

X = X[u, u') , y = ^ (w, w')

dann das eine Argument unbestimmt wird, wenn das andere
ins Unendliche geht. Das aber hat nichts Absurdes.

Wir sehen, dass man für dieselben Werthe von ar, y nicht
nur das eine Argument um eine bestimmte Grösse ändern darf,
während das andere ungeändert bleibt, sondern dass immer
jedes der beiden Argumente eine Aenderung erleidet, so dass
durch den Index des einen Arguments der des anderen durch-
aus bestimmt ist. Das ist die charakteristische Eigenschaft
dieser Art von Periodicität, ohne die sie nicht bestehen könnte.

11.
Nach dem ^Ä^/'schen Theorem steht fest, dass wenn
X —- L [u, v'] , 1/ -^ l' (w, n']

gesetzt wird, die Functionen

X), -^ Xnu, Uli] , y„ ■= ).' {nu , nii')

als Wurzeln der quadratischen Gleichung

Unx'- - ^,/;^r + u: -= o

gegeben sind, wobei ?/„, Z7,', Uli rationale Functionen von
a:, y, Y X, V F sind, wenn Y dieselbe Function von y wie
X von X ist. Daher ist auch offenbar, dass man umgekehrt
X, y aus x^,^ y,, durch die Auflösung algebraischer Gleichungen
erhalten kann. Auch kann man aus dem fundamentalen Theo-
rem bereits schliesseu, dass deren Ordnung n^ sein wird. Für
« = 2 kann man dies mit Hülfe des AbeVi,Q\iQ\\ Theorems
bestätigen; und dasselbe Theorem liefert uns sogar leicht die
Auflösung der Gleichung 16*«" Grades, die bei der Zwei-
theilung [78j auftritt, durch blosse Ausziehung von Quadrat-
wurzeln. Das wollen wir bei anderer Gelegenheit weiter
verfolgen.

Wenn aber Transformationen gegeben sind, so schliesst
man leicht aus demselben Theorem, dass man zur Multipli-

Uebcr die vieriacli periodischen Functionen etc. :;5

cation gelangt, iudem man vier Transformationen w'*' Ordnung
nach einander anwendet; daher wird die Gleichung vom Grade
n*, die bei der Zerlegung in ?i Theile erforderlich ist, auf
vier Gleichungen //*"" Grades zurückgeführt, wenn man die
Theilung der Indices als bekannt voraussetzt. Diese aber
hängt, wenn //■ Primzahl ist, wie man leicht schliesst, von einer
Gleichung der Ordnung l -{- n -\- n- + n^ ab. die im Allge-
meinen nicht lösbar ist, und von einer zweiten Gleichung

n — 1
der Ordnung — - — , die eine Lösung zulässt, sofern man die

Wurzeln Jener als bekannt voraussetzt. Auch wird, wenn n
Primzahl ist, l -\- ti -\- rfi -|- n^ die Zahl der Transformationen
derselben ^i*^" Ordnung sein und von diesen werden 1{n-\- 1)
reell sein.

Geschrieben 14. Febr. 1834.

3*

Auiiierkiiugeii.

Die berühmte Abhandlung von Jacohi^ die hier in deut-
scher Uebersetzuug den Mathematikern vorgelegt wird, ist
zuerst im 13. Bande des Cre/(?e'schen Journals im Druck
erschienen, und trägt das Datum 14. Febr. 1834, Ein Vor-
läufer ist die im 9. Bande desselben Journals gedruckte Ab-,
handluag vom 12. Juli 1S32 »Considerationes generales de
transcendentibus Abelianis«. Beide Abhandlungen sind wieder
abgedruckt im 2. Bande der Gesammtausgabe von Jacohi'i
Werken. In unserer Arbeit legt Jacohi die ersten festen
Grundlagen für die Theorie der mehrfach periodischen Func-
tionen, die als die Umkehrungs-Functionen der algebraischen
Integrale auftreten.

Unsere Abhandlung behandelt zwei verschiedene darauf
bezügliche Fragen.

Den ersten Theil bildet eine Untersuchung über die Mög-
lichkeit von Functionen ein«r Variablen mit mehr als zwei
nicht auf eine kleinere Anzahl zurückführbaren Perioden oder
mit zwei reellen incommensurabeln Perioden.

Jacohi leitet hier den Satz ab, dass eine Function einer
Veränderlichen mit drei Perioden, zwischen denen keine lineare
homogene Gleichung mit rationalen Coefficienten besteht, noth-
wendig eine Periode haben muss, deren absoluter Werth, ohne
gleich Null zu sein, unter einer beliebig kleinen Zahl liegt,
oder, wie man sich kurz ausdrückt, eine unendlich kleine
Periode. Dasselbe findet statt bei Functionen mit zwei Pe-
rioden, die in einem reellen, nicht rationalen Verhältniss zu
einander stehen. Diese Beweise sind vollkommen einwandsfrei.
Nun aber sagt Jacohi mit kurzen Worten, ohne weitere Be-
gründung, dass solche Functionen unmöglich seien, dass ihre
Annahme absurd sei (S. 4, 14), und dieser Punkt hat in der
Folge zu mannigfachen Bedenken und Erörterungen Anlass
gegeben. Der Erste, der dagegen einen Einwand erhob, war
wohl Göpel in seiner Abhandlung im 35. Band von Cr eile' %
Journal (Theoriae Transcendentium Abelianarum primi ordinis
adumbratio levis [1847]), die in einem der nächsten Bändchen

AumerkuTigen. 37

dieser Sammlung erscheinen soll. In einer Redactionsnote bat
jedoch Jarohi diesen Einwand kurz zurückgewiesen.

Vollständige Einsicht in diese Frage, wenigstens soweit
sie sich auf die ^6e/'schen Transcendenten bezieht, ist aber
schon in der grossen Iiiemcm7i^ sehen Abhandlung über Abel-
sche Functionen [Crelle\ Journal Bd. 54 1857) zu finden.
Alles wird unmittelbar anschaulich, wenn man die Riemann-
schen mehrblättrigen Flächen und die conforme xVbbildung zu
Käthe zieht. Dann ergiebt sich, wie Riemann in Art. 12
nachgewiesen hat, dass durch ein einzelnes Integral erster
Gattung vom Geschlechte p die einfach zusammenhängende
Biema mische Fläche, in der die Abel' sehen Integrale ein-
deutig dargestellt sind, auf ein endliches Flächenstück ab-
gebildet wird, welches von p Parallelogrammen begrenzt wird.

Das Flächenstück wird bei Veränderung des Argumentes
um Perioden mit sich selbst congruent wiederholt, und diese
Wiederholungen bedecken, wenn p grösser als l ist, die Ebene
unendlich oft. Es entsteht also eine unendlich vieldeutige
2/>fach periodische Function, die aber in der Umgebung eines
jeden einzelnen Werthes den Charakter einer analytischen
Function hat. Diese 2 /j fach periodischen Functionen sind
aber an sich keineswegs absurd, sondern sehr wohl definirt
und verständlich.

Es ist jetzt wohl schwer noch festzustellen, welche Vor-
stellung Jacobi über diesen Punkt hatte und wie seine kurzen
Aussprüche in der vorliegenden Abhandlung zu verstehen sind.
Dass er bereits eine der JRiemann' sehen ähnliche klare An-
schauung hatte, halten wir nicht für wahrscheinlich. Wahr-
scheinlich ist aber die von Het^mite ausgesprochene Ansicht
richtig, dass Jacobi dabei nur an eindeutige analytische Func-
tionen gedacht hat, die sich nach Art der elliptischen ver-
halten. Dass es solche Functionen mit unendlich kleiner
Periode nicht giebt, und dass also für diese Jacobis Aus-
spruch vollständig zutreflend ist, können wir kurz so zeigen.

Wenn f{z) eine einwerthige analytische Function des
complexen Argumentes z ist und Z(^ eine beliebige nicht singu-
lare Stelle, so lässt sich bekanntlich z in einer endlichen
Umgebung von Z(f in eine Reihe der Form

/(-) =f[H) + (^--o)/'ro) + *^f=|^/"N + • • •

entwickeln.

"oy )

38 Aunicrkimsren.

Wenn nun alle Diflferentialquotienten ./'(^o), f"{
verschwinden, so ist f{z) eine Constante und jeder beliebige
Werth kann als Periode betrachtet werden. Andernfalls sei
/■(')(cy) der erste nicht verschwindende Differentialquotient.
Dann ist

und nun kann man um den Punkt ;:;o eine Umgebung ab-
grenzen, in der die rechte Seite dieses Ausdrucks überall von
Null verschieden ist. Hat nun aber f[z) eine unendlich kleine
Periode, so giebt es in dieser Umgebung einen von z^ ver-
schiedenen Punkt z, für den f[z) =f[zQ) ist, und dies er-
giebt uns einen Widerspruch.

Bei Functionen eines reellen Argumentes genügt schon
die Annahme der Eindeutigkeit und Stetigkeit^ um die Un-
möglichkeit einer unendlich kleinen reellen Periode bei nicht
Constanten Functionen nachzuweisen.

Wenn nämlich eine Function reellen Argumentes, f[x)^
eine unendlich kleine Periode hat, so hat sie auch eine Periode,
die jedem gegebenen Werth a beliebig nahe kommt. Denn
ist p eine Periode, so lässt sich eine ganze Zahl m linden,
so dass

miy ^ « ^ (m + 1 ) y> ,

und mp ist eine Periode, die von a um weniger als p ab-
steht. Wenn nun f{x) nicht constant ist, so können wir a
für ein gegebenes x^ so wählen, dass f{x^) -\- a) von /{x^)
verschieden ist, also etwa

/(^o + «) = /(^'n) + a ,
worin a von Null verschieden ist. Nun giebt es aber in be-
liebiger Nähe von x^ + or Werthe von x^ für die f{x) =^ f{xo)
ist, und dies widerspricht der vorausgesetzten Stetigkeit.

Unter der Periode einer mehrdeutigen Function ist eine
constante Grösse zu verstehen, um die man das Argument
verändern kann, ohne dass die Gesammtheit der Functions-
iverthe^ die zu einem Argumentwerthe gehören, sich ver-
ändert. Nach dieser Festsetzung ist der /aco^t'sche Satz
nicht bloss für einwerthige, sondern auch für mehrwertbige
FunctionoB richtig, wenn nur die Anzahl der zu einem Ar-
gumcntwerth gehörigen Functionswerthe endlich ist. Man

Anmerkungen. 39

braucht, um dies einzusehen, die vorhergehenden Betrach-
tungen nur auf die symmetrischen Functionen anzuwenden,
die aus den verschiedenen Functionswerthen zu bilden sind,
speciell auf die Coefficienten der algebraischen Gleichung,
deren Wurzeln diese Functionswerthe sind. Ist aber die Func-
tion eine unendlich vieldeutige, dann versagen diese Schlüsse.

Hierauf hat, ohne auf liiemann Bezug zu nehmen, im
Jahre 1S63 Casorati hingewiesen und auf anderem Wege
gezeigt, dass unendlich vieldeutige Functionen von mehreren
Perioden sehr wohl gebildet werden können (Compteü rendus
der Pariser Akademie Bd. 57, 58. 1863, 1864). In einer
Note zu diesen Mittheilungen Casorati'^ spricht Hermite seine
oben erwähnte Ueberzeugung über JacoJ^'s Meinung aus: »Es
sei mir erlaubt, zu bemerken, dass nach meiner Ueberzeugung
Jacohi nie andere (als eindeutige Functionen im Auge ge-
habt hat«.

Caaorati ist mehrfach auf den Gegenstand zurückgekom-
men (man vgl. »Sopra il teorema di Jacobi riguardantc la
periodicitä etc.« Rendiconti del K. Istituto Lombardo Ser. II
vol. XV 1882; »Les fonctions d'une seule variable ä un nombrc
quelconque de periodes« Mailand IS 85, Acta Mathematica
Bd. VIII 1886).

Die entsprechenden Fragen für Functionen von mehreren
Variablen sind näher untersucht worden von Fäemann (»Be-
weis des Satzes, dass eine einwerthige, mehr als 2 «fach perio-
dische Function von w Veränderlichen unmöglich ist«, Auszug
aus einem Schreiben Hiernann^^ an Weierstrass vom 26. Octo-
ber 1859 \Crelle% Journal Bd. 71]) und von Weier&irass
(Neuer Beweis eines Hauptsatzes der Theorie der periodischen
Functionen von mehreren Veränderlichen, Monatsbericht der
Berliner Akademie 1S76 [abgedruckt mit einigen Noten in
der Sammlung »Abhandlungen aus der Functionentheorie«
Berlin IS86]).

Die Periodicität der Functionen mehrerer reellen Variablen
hat Kronecker untersucht (Sitzungsberichte der Berliner Aka-
demie, 20. Nov. 188 1:.

Im zweiten Theil der Abhandlung wird nun von Jacohi
nachgewiesen, dass man, wenn man bei einem hyperelliptischen
Integral erster Ordnung eine algebraische Function der Grenze
als Function des Integrals auffasst, sechs verschiedene Perioden
erhält, die sich zwar auf vier, aber nicht auf eine noch ge-
ringere Zahl zurückführen lassen, und da er im ersten Theil

40 Anmerkungen.

dargetlian hat, dass Functionen von vier Perioden, wie er sie
sucht, nicht existiren, so ist zu schliessen, dass hier eine Um-
kehrung, wie sie bei den elliptischen Integralen so elegante
Resultate ergeben hat, nicht auszuführen ist. Jacohi unter-
sucht nun ferner die Frage, in welchem Sinne gleichwohl eine
Verallgemeinerung seiner Theorie der elliptischen Functionen
möglich sei, und findet sie darin, dass er gleichzeitig zwei
Summen von je zwei dieser hyperelliptischen Integrale erster
Gattung als unabhängige Variablen einführt. Die so definirten
vierfach periodischen Functionen zweier unabhängiger Ver-
änderlichen haben nichts, was dem Functionsbegriff wider-
streitet. Dass auf diesem Wege aber wirklich eindeutige,
analytische, vierfach periodische Functionen zweier Argumente
gewonnen werden, ist in der Ja(:>oZ»^'schen Abhandlung noch
nicht nachgewiesen. Dies ist durch wirkliche Darstelluug
dieser Functionen von Rosenhain, unter directem Eiufluss von
Jacohi^ und davon unabhängig von Göpel geleistet.

Auf ganz anderen Grundlagen und in sehr viel allge-
meinerem Sinne ist danu die Theorie der .y4/>>e/'schen Tran-
scendenten, wie diese Umkehrungsfunctionen schon von Jacohi
genannt wurden, von Weiemtrass und liicmann ausgebaut
worden. {IVeierstrass, »Zur Theorie der Abcr&chen Func-
tionen«, Crelle's Journal Bd. ^7 [IS54], »Theorie der Abel-
scheu Functionen«, Ebenda Bd. 52 [1856]; üieman?/, »Theorie
der ^4Ä^/'sehen Functionen', Ebenda Bd. 54 [1857]).

DEPARTMENT OF MATHEMATICS
UNIVERSITY OF TO^ONT--

Dniclc von Breitl<oiil' & Hiiiiel in Leipzig.

übernahmen: für Astronomie Prof. Dr. Bruns (Leipzig), für Mathe-
matik Prof. Dr. Wangerin (Halle), für Krystallkundc Prof. Dr.
Groth München), für Pflanzenphysiologie Prof. Dr. W. Pteifer
(Leipzig), für Chemie Prof. Dr. W. Ostwald (Leipzig), für Physik
Prof. Dr. Arthur von Oettingen (Leipzig).

Um die Anschaffung der Klassiker der exakten Wissenschaften
Jedem zu ermöglichen und ihnen weiteste Verbreitung zu sichern,
ist der Preis für den Druckbogen ä 16 Seiten Ton jetzt an auf
Jl — .25 festgesetzt worden. Textliche Abbildungen und Tafeln je-
doch machen eine entsprechende Preiserhöhung erforderlich.

>^A Jacobl, ivarl Ciustav Jair:ob
3/5 Ueber die vierfach perioai.s-

J3j15 chen Fanctiunen zweier Varie-

co'o.^ Lein

m

P&A Sei.

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