Untersuchung der beobachtungsfehler und genauigkeit des bayerischen präcisions-nivellement ..

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6

UNTERSUCHUNG

DER

Beobachtungsfehler und Genauigkeit

DKS

BAYERISCHEN PRÄCISIONS-NIVELLEMENT.

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EINGEREICHT

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PHILOSOPHISCHEN FACULTÄT ZU JENA

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Untersuchung der Beobachtungsfehler und Genauigkeit

des bayr. Praecisions-Nivellement.

Das bayrische Praecisions-Nivellement bildet, soweit es bis
jetzt hergestellt ist, 7 geschlossene Polygone, an welche sich zur
Verbindung mit den Nachbarländern mehr oder minder lange
Nivellementstreckeu anschliessen. Die Resultate desselben sind
vollständig in den Abhandlungen der math.-physikalischen Classe
d. k. bayr. Academie der Wiss. aus den Jahren 1870 — 1879 von
Herrn Director Dr. C. M. v. Bauernfeind mitgetheilt, worauf
ich hauptsächlich Bezug nehme. Von diesen 7 für sich geschlos-
senen Polygonen liegen 3 im Vorlande des bayrischen Hoch-
gebirgs , und reihen sich die andern , der geographischen Aus-
dehnung Bayerns entsprechend, im Allgemeinen von Süd nach Nord
an jene an; das am weitesten nördlich gelegene umscliliesst das
Fichtelgebirge in fast gleicher Höhe wie die südlichen Polygone
die Berge des Vorlands. Mit Ausnahme zweier Strecken (Simbach —
Passau und Tölz— Kaufbeuren) folgen sänuntliche Seiten der Poly-
gone den Linien des bayrischen Eisenbahnnetzes, und wurde nur
bei diesen beiden Strecken auf Strassen nivellirt, von welchen
namentlich die letztere (Tölz-Kauf beuren) bedeutende Steigungen
und GeföUe besitzt.

Durch das nun im Laufe der beiden letzten Jahre erfolgte
Nivellement der Strecke Holzkirchen — Tölz — Schongau — Kaufljeui-en
wurde das VI. Polygon des bayr. Praec.-Nivellement München—
Holzkirchen — Tölz — Kaufbeuren — Augsburg — München geschlossen ,
und zeigte sich hiebei ebenso wie bei der Fichtelgebirgsschleife ein
verhältnissmässig grosser Schlussfehler. Diess sowohl aLs der Um-
stand, dass nach der Ausgleichung nach der Methode der kl. Qu.*)

*) Bayr. Praec.-Niv. 5 Mittheilung 1879.

die übrig bleibenden Fehler dennoch einseitig vorherrschten,
trotzdem das Pichtelgebirgspolygon mit dem grössten vor-
kommenden Schlussfehler von 0,108 m auf 242700 m Umfang
nicht mit in die Ausgleichung aufgenommen wurde, veranlasste
mich näher auf die Genauigkeit des bayr. Praec.-Siv. einzugehen
und zu untersuchen, welchen Beitrag die nivellirte Länge und
welchen die gemessene Höhe einer Strecke zu dem Betrage des
mittleren Gesammtfehlers liefert.

Wenn es auch feststeht, dass sich nur die auf ein und der-
selben Niveaufläche hinziehende Nivellementschleife vollständig
schliesst und auch locale Lothablenkungen das Nivellement beein-
trächtigen, den Einfluss dieser Ursachen aber im einzelnen zu be-
stimmen, bis jetzt noch schwierig ist, und es auch fraglich
erscheint, ob nicht die Beobachtungsfehler, Lattenänderungen und
Theilungsfehler der Latten jenen Einfluss überwiegen, so dürfte
es gerechtfertigt sein, eine solche Trennung des mittleren Fehlers
summarisch vorzimehmen; der eine Theil würde dann hauptsäch-
lich von dem reinen Nivellirungsfehler, der andere von Theilungs-
iehlem, Lattenänderungen und Unsymmetrie des Visurstrahls beim
Rück- und VorbHck abhängen.

Das bayr. Praec.-Niv. ist durchgängig mit doppelten Wechsel-
punkten ausgeführt imd gestattet, den reinen Nivellirungsfehler
pro Kilometer aus den DiflFerenzen des Doppelnivellement auf
zweifache Weise zu ermitteln. Dieser Nivellirungsfehler, welcher
sich hauptsächlich aus dem Ziel- und Libellenschätzungsfehler zu-
sammensetzt, ausserdem aber noch durch Refractionsänderungen
während der Dauer einer Stationsbeobachtüng , ferner durch
Schwenken der Latte und Theilungsfehler der Libelle und Latte
beeinflusst wird, gibt ein Mass für die Genauigkeit der Sorgfalt
bei der Ausfahrung des Nivellement, und lässt dessen Werth
einen kleineren mittleren Fehler des ganzen Nivellement erwarten,
als er sich aus den übrig bleibenden Fehlem nach der Ausgleichung
ergibt.

Berechnet man auch unter der Annahme, dass die Schluss-
fehler geschlossener Nivellementzüge sich nur aus zufälligen
Fehlem zusammensetzen, aus den 7 Polygonen den mittleren
Nivellirungsfehler pro Kilometer, so bestätigt ein Vergleich des-

selben mit dem aus den Differenzen des Doppelnivellement ermittelten
Nivellirungsfehler auch bei dem bayr. Praec.-Nivell. die Erfahrung,
dass sich in den Differenzen des Doppelnivellement nicht alle
Fehlerquellen aussprechen. Es werden in demselben hauptsächlich
Fehler herrührend von ungleicher Krümmung des Visurstrahls
beim Rück- und Vorblick und solche durch Lattenänderungen
verborgen bleiben. Ersterer Fehler wächst zwar mit dem Quadrate
der Zielweite, derselbe kann aber auch bei kurzen Distanzen und
grossen Höhenunterschiede wegen der grösseren Verschiedenheit
in den Dichtigkeiten der Luftschichten zwischen Rück- und Vor-
blick beträchtlich werden. Fehler aber, welche von der Veränder-
lichkeit der Latten herrühren, werden um so mehr sich fühlbar
machen, je grösser die Höhenunterschiede auf den nivellirten
Strecken sind und je grössere Lattenstücke zur Messung dieser
Höhenunterschiede zur Verwendung kommen, d. h. je mehr das
Terrain geneigt ist.

Da nun in dem bayr. Praec.-Nivell. einige der ausgeführten
Polygone bedeutendere Terrainneigungen gegenüber derjenigen in
den anderen enthalten, so lässt sich erwarten, dass aus den nur
7 Polygonen doch wenigstens das gegenseitige Verhältniss der
Einwirkung der nivellirten Länge und gemessenen Höhe auf den
mittleren Fehler im Nivellement näherungsweise zum Ausdruck
kommt; dieses Verhältniss ist aber genügend, um damit Gewichte
der einzelnen Strecken zu berechnen, die bewirken, dass die Fehler
derselben nach der Ausgleichung nach d. M. d. kl. Qu. den Ge-
setzen des Auftretens zufälliger Fehler besser folgen, als es bei
jenen der Fall ist, welche unter der bisherigen Annahme der Ge-
wichte mngekehrt proportional der nivellirten Länge aus der
Ausgleichung n. d. M. d. kl. Qu. hervorgegangen sind. Es sollen
femer mit beiden Gewichtsannahmen die mittleren Unsicherheiten
der ausgeglichenen Höhenunterschiede für solche Strecken bestimmt
werden, welche zur Verbindung des bayr. Praec.-Nivell. mit dem-
jenigen seiner Nachbarländer dienen und in das Bereich der
7 Polygone fallen, theils zum gegenseitigen Vergleich der Resul-
tate bei beiden Gewichtsannahmen und zur Ermittlung des mitt-
leren Fehlers, welcher durch das bayr. Nivell. übertragen wird,
andemtheils um eine Grundlage der Gewichtsbestinmiung bei Aus-

1*

gleichmig gionerer Polygone za erhaUen, toh denoi ein jedes
wieder eine Gruppe Uem^'er mit Reichem Instnunent nnd nach
einheüliclier Methode ansgeffihrter nnd für sich bereiis aoage-
glichener Polygone bildet.

I.

Wie erwähnt ermöglicht das gleichzeitig ausgefohrte Doppel-
NiTellement anf zweifache Weise ein Mass för die Genauigkeit der
Arbeit abzuleiten: einmal aus den Beobachtungsdifferenzen der
einzelnen Stationen, und zweitens aus den Differenzen der Höhen-
unterschiede auf einander folgender Fixpunkte.

L BiMmmang ud Unimtmehmag ies aittlereB Fehlers vn SUti^as-

BeobaehtoBgea.

Aus den Beobachtungsdifferenzen der einzehien Stande, bei
welchen der Fehler in der Bestimmung der Dicke der Unterlags-
platten g^enüber dem Zielfehler yemachlassigt wurde*), lasst sich
zunächst der mittlere Stationsfehler ftr die verschiedenen yor-
kommenden Zielweiten und mit diesem der mitÜere Nivellirungs-
fehler fElr die betreffende Zielweite bezogen auf den Kilometer
ermittehi.

Die Differenz (d) der in einer Station beobachteten Höhen-
unterschiede (h| und hg) ist ein wahrer Beobachtungsfehler einer
Function des wahren Höhenunterschiedes (h), nämlich der

Function h — h =
Der wahre Fehler ist d = hj — h^
Bei gleicher Zielweite und n unabhängigen Beobachtungen erhält
man daher den mittleren Fehler (m) obiger Function aus

m* = - — -
n

Hieraus folgt der mittlere Fehler einer Höhenbestimmung

j __ m« _ [dd]
°^* " 2 "■ 2n
und schliesslich der mittlere Fehler des arithmetischen Mittels der
beiden beobachteten Höhenunterschiede im Doppelnivellement

, 1 , [dd]

♦) Bayr. Praec-Niv. 2. Mittheilung S. 7.

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Demgemäss wurden aus dem ganzen bayr. Praec.-Nivell. mit
Ausnahme des Nivellement im Jahre 1869, in welchem die Beob-
aehtungsmethode noch nicht wie in den späteren Jahrgängen
durchgeführt war, einzelne Strecken zur Bestimmung des mittleren
Stationsfehler herausgegriffen und deren Stände in Gruppen von
gleichen Zielweiten geordnet. Eine jede solche Gruppe zerfällt
wieder aus später zu erörternden Gründen in Abtheilungen, welche
nach der vorhandenen Terrainneigung zusammen genommen sind.
Es wurden femer solche Strecken ausgewählt, welche in mehreren
auf einander folgenden Stationen die gleichen Zielweiten — und
zwar die am meisten und auch in verschiedenen Jahren vorkom-
menden — besassen. Hiedurch war die Auswahl der Strecken
schon beschränkt; zwischen zwei auf einander folgenden Fixpunk-
ten wurden dann sämmtliche Stände, soweit es die verschiedenen
Zielweiten zuliessen, in die Rechnung mit aufgenommen. Die
unten angegebenen Zielweiten sind aber nicht als streng richtig
aufzufassen, sondern nur Mittelwerthe, von welchen Abweichungen
bis zu ^ 0,75 m zugelassen wurden; hauptsächlich ist darauf ge-
achtet worden , dass der Rück- und Vorblick auf gleich grosse
Entfernung geschah. Um auch gleiche Gewichte ftir alle Stati-
onen unter sich zu erhalten , sind die wiederholten Siande , in
denen wegen irgend welcher Vorkomm n isse die Aufiiahme mehr-
mals gemacht wm-de, unberücksichtigt geblieben, indem in diesem
Falle das Gewicht nicht proportional der Anzahl der Wiederhol-
ungen, sondern umgekehrt proportional dem mittleren Fehler-
quadrat des arithmetischen Mittels aller Wiederholungen ist. Eine
solche Berücksichtigung hätte aber die Arbeit verhaltnissmäcKig
erschwert gegenüber dem Gewinn von einigen Beobachtongen.

Daä bis jetzt ausgeführte bayr. Praec.-Nivell. enthält drca
18100 Instrumentenstände, und gibt die folgende Tabelle zm»
1353 Stationen der verschiedenen Jahrgänge und bei den ver-
schiedensten Witterungsverhältnissen und Terrainneignngeo naeh
Zielweiten geordnet die Smnmen [dd] in Q] mm nnd die Anzahl *
der Stationen, aus welchen sich die einzelnen [dd] zfwarijny?!i*i»!tt«L.

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Aus der letzten Golumne dieser Tabelle erhält man den mitt-
leren Stationsfehler (m^) in Millimeter fär die verschiedenen Ziel-
weiten (z) und durch Multiplication mit 1 / • den mittleren

Nivellirungsfehler pro Kilometer M wie folgt:

z» = 9,0 10,4 11,7 13,5 37,4 42,0

m2'= 0,0358 0,0461 0,0292 0,0329 0,0363 0,0344

m2»">= 0,189 0,215 0,171 0,181 0,190 0,186

M~~=m,l/-^= 1,41 1,49 1,12 1,10 0,69 0,64

z- = 43,5 48,0 49,1 50,0 54,0 60,0

m2*= 0,0396 0,0733 0,0650 0,0644 0,0729 0,0695

ms»» = 0,199 0,271 0,255 0,254 0,270 0,264

M"""=m,|/ J^= 0,67 0,87 0,82 0,80 0,82 0,76

■=m.l/

2z

z« = 63,6 66,0 68,4 72,0 73,6 75,0

m2«= 0,0766 0,0982 0,0782 0,0792 0,0774 0,1058

mg»» = 0,276 0,313 0,280 0,281 0,278 0,325

M ==rm, l/-?|52.== 0,78 0,86 0,76 0,74 0,72 0,84

z« = 78,0 81,0 82,0 84,0 86,5

m2'= 0,07a3 0,0301 0,0994 0,1167 0,1643

m2»» = 0,271 0,174 0,315 0,342 0,405

M

=zm^ l/-^^= 0,69 0,43 0,78 0,84 0,98

Hieraus geht hervor, dass man den mittleren Nivellirungsfehler
pro Bdlometer för Zielweiten von 37,4 m bis 86,5 m als constant
annehmen darf, wie es auch, bei einem richtigen Gang der Arbeit
sein soll, bei welchem der Fehler pro Kilometer durch eine grössere
Anzahl Stande nicht vergrossert werden darf; ist aber M ftir die ver-
schiedenen Zielweiten constant, so ist m, proportional der Quadrat-
wurzel aus der Zielweite. Die Grenzen innerhalb welcher M nach obiger
Zusammenstellung schwankt, rühren von der zu geringen Anzahl
von Beobachtungen für die einzelne Zielweite und von dem Einfluss
der äusseren Witterungsverhältnisse bei der betreffenden Strecke her.
Für die kurzen Zielweiten von 9,0 — 13,5 m ist aber der
mittlere Nivellirungsfehler prd Kilom. betrachtlich grosser aU
derjenige für alle übrigen Zielweiten, und lasst es sich vermuthen.
dass für kurze Zielweiten, welche durch TemunverhaltnLsse Verdingt
waren, diese letzteren ebenfalls den mittleren Fehler beeinfli^r^riu
während bei grösseren Stationen dieser Einfluss mehr Ter!chwii.<kt

• 8

Es dürfen daher die Werthe von M, die aus den kurzen Ziel-
weiten hervorgehen, nicht mit jenen der längeren verglichen
werden, da die Beobachtungen für beide wegen des verschieden
geneigten Terrains unter verschiedenen Bedingungen gemacht
wurden. Dess wegen und weil die kurzen Stationen von 9,0 m bis
13,5m sehr selten sind, wie schon aus der geringen Stationsanzahl
der obigen Tabelle ersichtlich ist; wurden dieselben für den Mittel-
werth von M nicht berücksichtigt; dieser berechnet sich aus den
Werthen für die Zielweiten von 37,4 m bis 86,5 m und mit Ge-
wichten proportional der zugehörigen Beobachtungsanzahl zu

M„ = ± 0,780mm

Für die mittleren Zielweiten von 48 m bis 66 m, welche am
häufigsten vorkommen und wegen ihrer grossen in Rechnung ge-
zogenen Anzahl von unter den verschiedensten Verhältnissen ange-
stellten Beobachtungen das grösste Gewicht besitzen, ergibt siel
der mittlere Nivellirungsfehler pro Kilom. zu 0,808 mm , wenij
verschieden von obigem Gesammtmittel.

Da nun mm, wie eben gesagt, der mittlere Fehler M und dahe
auch mg für die kurzen Zielweiten beträchtlich grösser gefundei
wurde als die aus den übrigen längeren Stationen berechnetei
und da femer von den Fehlerquellen, aus welchen der StatioiM
fehler hervorgeht, diejenigen Beträge, welche von dem Sckwenkf
der Latten und allenfalls auch von Refractionsänderungen i
Rück- und Vorblick während der Dauer einer Station herrühre
mit der Terrainneigung zunehmen können, wurde in folgend
Tabelle die Stationsbeobachtungen auch nach Höhenunterschied
von je 0,5 m geordnet, und die mittleren Fehlerquadrate (m^) a
sämmtlichen 1353 Instrumentenständer nach Zielweiten \x
Terrainneigung zusammengestellt.

Zur nähern Erläuterung möge noch folgendes dienen. 1
zeichnet man bei dem gleichzeitig ausgeführten Doppelnivellenn
den in einer Station aus dem ersten Nivellement ermittelten Höh
unterschied mit I , denjenigen aus dem zweiten mit IT , so wu
d immer als Differenz I — II gerechnet und ergibt sich bald pos
bald negativ. Um einigermassen Aufschluss über das Auftr^
der Fehler zu erhalten, wurde in die Tabelle noch die Sun
und Anzahl der +d und — d und der dzizO aufgenommen,
welchen sich jede einzelne Summe [dd] zusammensetzt.

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CO

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o

00

00

o

00

CO
00

N3

11

Die Tabelle zeigt, dass für kurze Zielweiten und horizontales
Terrain die Beobachtungen vollständig fehlen, wie es auch nicht
anders erwartet werden durfte, femer aber dass bei derselben Ziel-
i^eite die mittleren Fehler m^ für die verschiedenen Terrain-
neigungen ziemlich regellos sind. Sobald man jedoch die Ver-
schiedenheit der Witterungsverhältnisse berücksichtigt, erklärt sich,
wie nnten gezeigt wird, diese anscheinende Regellosigkeit.

XJm die fehlenden Werthe der mittleren Fehler für die kurzen
Zielweiten bei nahezu horizontalem Terrain zu interpoliren, soll
zunächst aus den einzelnen m| der ersten Colunme obiger Tabelle
ein Gesetz zwischen diesen und der Zielweite z ermittelt werden.
Dieser Function wurde die Form

mj == Az + Bz^
zu Grunde gelegt und, indem man die mittleren Fehler der Ziel-
w^eiten von 81,0m und 84,0 m wegen ihres augenscheinlich grossen
fehlerhaften Betrages und ihrer geringen einseitigen Beobachtungs-
anzahl aus der Rechnung ausschloss, nach der Methode d. kl. Qu.
aus 16 Fehlergleichungen mit Gewichten proportional der Beob-
achtungsanzahl erhalten für

A = + 0,001838 ± 0,0004145
B = — 0,00 0008625 ± 0,00 0006272.
Die Abhängigkeit des Quadrats des mittleren Stationsfehlers
in □ mm und der Zielweite z in meter bei nahezu horizontalem
Terrain ist dann ausgedrückt durch

mj = + 0,001838 z — 0,000008625 z»
Die hiemit berechneten mj geben mit den beobachteten die
Fehlerquadrat&umme 0,134340 (Controle 0,134354).

Wegen der Kleinheit und grossen Unsicherheit von B gegen-
über A kann man das zweite Glied in der angenommenen Form
der Function zwischen m^ und z vernachlässigen und erhält dann
aus denselben 16 Fehlergleichen und derselben Gewichtsannahme für

A = + 0,001276 ± 0,00006
und daher

ml = + (0,001276 ± 0,00006) z

Die mit dieser letzten Form berechnete Fehlerquadratsumme
gibt 0,152423 (Controle 0,152352). Durch Ausziehen der Wurzel
wird mj = ± (0,0357 ± 0,0008) \/z

12

Man hat daher auch hier wieder für längere Zielweiten und gleiche
Terrainverhältnisse den mittleren Stationsfehler nig proportional
der Quadratwurzel aus der Zielweite.

Berechnet man mit diesen beiden Punctionsformen für die
kurzen Zielweiten die mittleren Stationsfehler m^ , so ist aus der
folgenden Zusammenstellung ersichtlich, dass diese für horizontales
Terrain kleiner sind als die beobachteten für Höhenunterschiede
von über 2,0 m.

Zielweite

berechnet für Höhenunterschiede
von 0,0 -0,5 m

beobachtet für
Höhenunterschiede

lueter

m* — Az + Bz*

mj = Az

von über 2,0 m

mj

m2

mj mg ; m*

mg

9,0
10,4
11,7
13,5

n nim

0,0158
0,0182
0,0208
0,0282

mm

0,126
0,185
0,143
0,152

nmm

0,0115
0,0138
0,0149
0,0172

1

mm 1

0,107 i
0,115
0,122
0,131

n mm

! 0,0858
0,0461
0,0292
0,0329

mm

0,189
0,215
0,171
0,181

Sucht man diese Verschiedenheit von m^ bei horizontalem und bei
geneigtem Terrain auch in den einzelnen Nivellementstrecken
mit längeren Stationen nachzuweisen, so tritt hierin der Mangel
an Beobachtungen, die unter gleichen Witterungsverhältnissen, wo
möglich an einem und demselben Tage, bei verschieden geneigtem
Terrain hätten angestellt werden müssen, hindernd entgegen.
Versuchsweise wurden aus den 1353 Ständen die in dieser Be-
ziehung in Betracht kommenden Strecken herausgenommen und
nach möglichst gleichen Witterungsverhältnissen, Terrainneigimg
und Zielweite zusammengestellt.

In Bezug auf die Witterungsverhältnisse konnte man die
einzelnen Nivellementstrecken in zwei Gruppen scheiden, und zwar in
eine solche mit Strecken, die bei klarem Himmel und Sonnen-
schein, und in eine zweite mit Strecken, die bei bedecktem Himmel
nivellirt wurden. Die in nachfolgender tabellarischer üebersicht
den mittleren Fehlerquadraten beigefügten Columnen enthalten die

>Q

in i

o

1 o

o

5(>,1879

ij

541874

60

0,0—0,5

0,0—0,5

Strecke nni Alit)ieilnii£

1874'0,0— 0,2

1875

0,0—0,5

1875 0,0—0,5

1875

1873

1873

73,6 1872

1873

B

S

0,0—0,5

0,0—0,3

0,0-0,4

0,0—0,5

0,0—0,5

S .1—1,7

0-1,3

,0-1,5

Simbach — Poking 6

Prüfenningen — Ettershausen 3

Ettershausen — Eichhofen 1

Assling — Ostermünchen 2

Ostennünchen — Karolinenfeld 1

Beratzhausen — Parsberg 2

Prüfe ningen — Ettershausen 3

Datum

lU

n mm

CS

18.Sept. 0,0394 4

13.Sept.

15. Sept.

0,0396 12

29. Aug.

30. Aug.

23.Sept.

13.Sept.

0,0650i 5

I

0,036314

m Himmel''.

Zielweite

B

mj

•

•

i
1

m

D mm

<

1

5. Sept.

0,0590

5

1

1

69. Oct.

0,0843

lo!

1

1

^^'J.Sept.

0,0815

5

1

66,. Sept.

0,1463

1

19

. Oct.

1
1

1

^.Sept.

0,0300i 4

•

68,).Sept.

0,0855 5

1

}.Sept.

i
0,1388 8

75,!).Sept.

0,1525 10

1
1

81,d.Sept.

1

i

0,8388

11

♦
t

f

•

13

Anzahl Stationen, welche zni* Bestimmung des betreffenden mittleren
Fehlers dienten.

Vergleicht man bei gleicher Ziel weite und denselben Witterungs-
verhältnissen die mittleren Fehlerquadrate der verschiedenen Terrain-
neigungen, so geht aus vorstehender Zusammenstellung hervor,
dass die mittleren Fehler bei der ersten Gruppe mit der Terrain-
neigung abnehmen, bei der zweiten Gruppe dagegen zunehmen.
Bei denjenigen Nivellementstrecken, für welche die Beobachtungs-
hefte Wind oder schwankende Bilder angaben, war der mittlere
Fehler vollkommen regellos und mit der Terrainneigung bald
wachsend, bald abnehmend. Wenn nun auch aus den obigen
nur wenigen Beobachtungen ein Maass für die Abhängigkeit des
mittleren Stationsfehlers von der Terrainneigung nicht ermittelt
werden kann, und dieses auch von der grossen Verschiedenheit
der Witterungsverhältnisse abhängt, so darf doch aus den bis-
herigen Untersuchungen gefolgert werden, dass der Nivellirfehler
von der Neigung des Terrains beeinflusst wird, namentlich bei
steilem Terrain. Die Einwirkung der Witterungsverhältnisse je-
doch dürfte wohl kaum gesetzmässig ermittelt werden.

2. Bestimmnngr des mittleren NiToUirfehlers ans den Nivellement-
Dilferenzen auf einander folgender Fixpnnkte.

Zur Berechnung des mittleren Nivellirfehlers pro Kilometer
aus den beobachteten Differenzen der Höhenunterschiede zweier
auf einander folgender Fixpunkte, ist ähnlich wie oben jede solche
Differenz (d) als ein wahrer Beobachtungsfehler der Höhe Null
zu betrachten. Um daraus das mittlere Fehlerquadrat m J zu bilden,
hat man jedes einzelne dd noch mit dem zugehörigen Gewicht (g)
zu multipliciren und deren Sunune mit der Anzahl (n) derselben
zu dividiren:

n

Hieraus erhält man den mittleren Fehler einer Bestimmung des
Höhenunterschiedes zweier Fixpunkte

2 nid

u

uud den mittleren Fehler m, des arithmetischen Mittels aus den
beiden Hohenbestimmungen des Doppelnivellement:

mj =

m:

4n

Da nun innerhalb zweier Fixpunkte die Zielweiten ziemlich
die gleichen sind, und femer der Stationsfehler nach dem Vor-
hergehenden proportional der Quadratwurzel aus der Zielweite ist,
so hat man hier die Gewichte umgekehrt proportional der Ent-
fernung (s) der beiden Fixpunkte zu nehmen. Legt man als
Gewichtseinheit die Entfernung von 1 Kilometer zu Grunde , so
ei^bt sich der mittlere Nivellirfehler pro Kilometer Doppelnivel-
lement aus

M

=±l/iV[^]

In nachfolgender Tabelle ist die Anzahl (n) und die Summen
1 flir alle Fixpunkte der Seiten der 7 Polygone zusammen-
gestellt, und ist für jede derselben der mittlere Nivellirfehler pro
Kilom. in der letzten Columne berechnet.

&0

I

es

HS

1869

T
V
T

r

r

V

1870

Strecke

Dmm

Lichtenfels — Neuenmarkt
Neuenmarkt — Oberkotzau
Oberkotzau— Franzensbad
Franzensbad— Weiden .
Weiden —Neuenmarkt .
Lichtenfels — Bamberg
Bamberg— Nürnberg . .
Nürnberg— Nördlingen .
Nördlingen— Augsburg .
Augsburg— Kaufbeuren .
Kauf beuren — Kempten .
München — Augsburg . .
Augsburg— Neuulm . .

n

0,30335

36

0,95507

45

0,14692

29

0,21156

54

0,08953

51

0,14794

31

1 0,23913

39

0,28578

54

' 0,07509

32

1 0,11155

28

0,05929

22

0,08057

36

1 0,11708

42

M

mm

0,046
0,073
0,036
0,030
0,021
0,035
0,039
0,036
0,024
0,032
0,026
0,024
0,026

15

03

1870
1871

1872

1873
1874

1875

1878
1878 u. 79

Strecke

Bosenheim — Holzkirchen
München Holzkirchen .
Kempten — Neuulm . .
München - Geiselhöring ,
Geiselhöring— Regensburg
München —Rosenheim
Nürnberg - Regensburg .
Regensburg — ^Weiden
München — Simbach . .
Geiselhöring— Passau
Passau— Simbach . . .
Holzkirchen — Penzberg .
Penzberg — Kaufbeuren .

0,06743
0,05229
0,14731
0,12404
0,03940
0,13820
0,24284
0,18284
0,16353
0,13136
0,10415
0,03105
0,15974

n

20
13
42
59
16
36
70
56
43
41
26
18
45

Summe 4,40704 984

M

mm

0,029
0,032
0,030
0,023
0,025
0,031
0,029
0,028
0,031
0,028
0,032
0,021
0,030

Aus sämmtlichen 984 DiflFerenzen erhält man einen mittleren
Nivellirfehler pro Kilometer:

M

=1/^

40704
4984

= K0,00112 = ± 0,033 mm

Wenn nun auch dieser Werth seiner geringen Grösse wegen sehr
unwahrscheinlich ist, so ist doch ein Vergleich dieser mittleren
Fehler der einzelnen Strecken unter sich statthaft imd kann aus
der Tabelle entnommen werden, dass in allen Jahrgängen von den
verschiedenen Beobachtern das Nivellement mit der gleichen Sorg-
falt ausgeführt wurde. Die Abweichungen der einzelnen mittleren
Fehler mit dem aus allen Differenzen zu 0,033 mm gerechneten
sind nicht bedeutend und rühren von den gerade herrschenden
Witterungsverhältnissen her. Eine einzige Ausnahme hievon macht
die Strecke Neuenmarkt — Oberkotzau, für welche der mittlere
Fehler mehr als das Doppelte von 0,033 mm beträgt. Diess ist
um so mehr bemerkenswerth, da diese Strecke eine Seite des mit
dem verhältnissmässig grossen Fehler von 0,108 m abschliessenden
Fichtelgebirgspolygon bildet.

16

3. Bestimmnagr des mittleren Fehlers ans den Polygon-Abschlüssen.

Berechnet man endlich aus den Schlussfehler (A) und den
Umfangen (ü) der 7 Polygone einen mittleren Fehler pro Kilom.
Doppelnivellement, so ist für denselben:

Nach einer unten folgenden Tabelle ist hierin 1 ~*g~ 1 = 68,700
für Millimeter und Kilometer, wonut man erhält:

M =±|/^^ =±1/9:8143-

M = ±3,13 mm

Stellt man die 3 Werthe von M, welche die bisherigen
Untersuchungen ergeben haben, zusammen so hat man:

M = 0,780 mm berechnet aus Stationsbeoachtungen

= 0,033 „ » » Differenzen der Höhenunter-

schiede aufeinanderfolgender Fixpunkte

= 8,18 „ berechnet aus den Schlussfehlern der 7 Po-
lygone (mit Einschluss der Fichtelgebirgs-
schleife).

Die grosse Verschiedenheit dieser 3 Werthe von M, nament-
lich der beiden ersten gegenüber dem letzten, zeigt deutlich, dass
in den Differenzen des Doppelnivellement nicht alle Fehlerquellen
enthalten sind. Da die einzelnen Seiten der Polygone innerhalb
grösserer Zeitintervalle nivellirt sind, so werden diejenigen Fehler-
beträge, welche ihre Ursache in Aenderungen der Latte haben, erst
im Polygonschlussfehler sich aussprechen. Auch werden diejenigen
Fehler, welche von Refractionsdifferenzen des Visurstrahls beim
Rück- und Vorblick herrühren, in den Differenzen des Doppel-
nivellement nicht zum Ausdruck gelangen , in welchen sich
höchstens eine Refractionsänderung , aber keineswegs eine Unsym-
metrie der Lichtkurve nachweissn lässt.

17

Da nun erstere Fehler vollkommen unabhängig von der
nivellirten Länge sind , und auch oben gezeigt wurde , dass der
Nivellirungsfehler von der Neigung des Terrains also von der ge-
messenen Höhe beeinflusst wird, so dürfte bei der Ausgleichung
geschlossener Polygone die bis jetzt allgemeine Annahme der Ge-
wichte umgekehrt proportional der nivellirten Länge nicht überall
und namentlich nicht bei Praec.-Nivell. zulässig sein, wenn letz-
teres grössere absolute Höhen zurücklegt. Doch sollen im Fol-
genden mit Ausschluss des Fichtelgebirgspolygon die 6 übrigen
Polygone unter dieser eben erwähnten Gewichtsannahme nach d.
M. d. kl. Qu. ausgeglichen, und als Ergänzung der Ausgleichung,
welche ich im Auftrag des Herrn Dir. v. Bauernfeind für die
r». Mittheilung des bayr. Praec.-Nivell. machte, die mittleren Fehler
durchgehender Linien berechnet werden. Dieser ersten Ausgleichung
von G Polygonen folgt dann eine zweite, welche sich auf alle
7 Polygone erstreckt, und deren Gewichte die gemessenen Höhen
in den einzelnen Strecken berücksichtigt.

II.

Ansgleiehang uaeh der Methode d. kl. Qd.

1. Sämmtliche unten folgende Höhenunterschiede und Längen
der einzelnen Nivellementstrecken sind auf die Höhenmarken der
Bahnhofsgebäude in den betreffenden Städten bezogen, und wurde
hievon nur in München und Augsburg eine Ausnahme gemacht,
indem in ersterer Stadt die Höhenmarke an der Salzstrassenbrücke,
in Augsburg die Höhenmarke an der Gögginger Wegbrücke den
Anschlusspunkt bezeichnet. Nebenstehende Figur veranschaulicht die
Gruppirung der 7 Polygone.

Als Unbekannte sind die 1(5 Höhenunterschiede zwischen
München und den übrigen Städten eingeführt, und kommen diesen
folgende Nährungswerthe mit den Verbesserungen x zu, welche
letztere den absoluten Werthen beigefügt wurden und durch die
Ausgleichung zu bestimmen sind. Das positive oder negative
Vorzeichen deutet auf ein Gefälle oder Steigung der betreffenden
Nivellementstrecke.

18

I

Bieter

1.

München — Tächtenfels

- + (258,4376 + x,)

2.

— Neueniiiarkt

= + (173,1115 + X,)

3.

— Weiden

- + (123,9251 + xj)

4.

— R^ensbuig

= -t- (181,5430 + xj

5.

— Göiselhöring

:= + (161,9366 + Xj)

19

meter

6. München— Passau = + (218,7193 + xj

7. — Simbach = + (172,3407 + x,)

8. —Rosenheim = + ( 74,4257 + x«)

9. —Holzkirchen = — (162,7622 + x^)

10. — Penzberg = — ( 82,6482 + x^^)

11. —Kempten = — (174,7995 + x^,)

12. — Neuuhn = + ( 51,2089 + ^n)

13. —Augsburg = -f ( 31,9722 + x^g)

14. — Nördlingen == + ( 92,0405 + x, J

15. —Nürnberg = + (211,1107 + x^^)

16. —Bamberg - + (281,0086 + x^^)

Beobachtet wurden folgende 22 Höhenunterschiede mit den
zAigehörigen Streckenlängen L in Kilometer:

meter L-Kilom.

1. Lichtenfels— Neuenmarkt*) = — 85,3261 42,672

2. Neuenmarkt— Weiden = — 49,1864 79,990

3. Weiden— Regensburg = + 57,6179 86,969

4. Regensburg — Geiselhöring = — 19,6064 33,666

5. Geiselhöring— Piissau = 4- 56,7827 91,737

6. Passau— Simbach -- — 46,3786 56,287

7. Simbach -München = — 172,2958 122,738

8. München— Rosenheim = + 74,4257 64,322

9. Rosenheim— Holzkirchen = — 237,1879 38,129

10. Holzkirchen— Penzberg = + 80,1140 40,052

11. Penzberg— Kempten = — 92,1513 133,180

12. Kempten— Neuulm -= + 225,9297 85,951

13. Neuulm— Augsburg - — 19,2367 84,022

14. Augsburg— Nördlingen ^^ + 60,0683 72,647

15. Nördlingen— Nürnberg =■ + 119,0702 101,181

16. Nürnberg— Bamberg = + 69,8979 60,009

17. Bamberg— Lichtenfels = — 22,5710 32,198

18. Nürnberg— Regensburg -- — 29,5538 100,923

*) Bei der wiederholten Durchsicht der Rechnenlisten wurde in dieser
Strecke ein Rechnungsfehler von 1 cm entdeckt , wodurch der Schlussfehler
des 2. Polygons um ebensoviel verbessert wird.

2*

20

meter

L - Kilom.

+ 161,9119

113,600

162,7603

36,104

+ 31,9722

60,r)()7

206,7028

102,6(57

19. München — Geiselhöring

20. München — Holzkirchen

21. München — Augsburg

22. Augsburg — Kempten

Bezeichnet man die den Beobachtungen zukommenden Fehler
mit k und die aus den eingeführten Nährungswerthen und deu
Beobachtungen sich ergebenden Differenzen mit 1 in Centimeter,
so erhält man zur Bestimmung der 16 Unbekannten folgende

22 Fehlergleichungen mit den zugehörigen Gewichten g = -

1000
L •

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

18.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

h

cm

=+4,49

Xl

+1

*10
*14

+7,87

X2

— 1

+1

«3

X4

+ 1
+1

— 1

=-1-1,89
=+2,47
=+0,l9

=+6,89

'0

+1

+1

X7

— 1

+1

XS

+1
+1

X9

Xio

+1

+1
+1

Xu

Xi2

Xl3

+1
+ 1

+ 1

+1
+ 1

Xu

Xl5

Xl6^-

+1

+ 1
+ 1

+ 1
— 1

1.-

+ 1
— 1

+1

.' .IV

15

11
11

l:i

+1
+1|

21

Aus diesen folgen die Normalgleichungen, welchen zur Be-
stimmung der Gewichte der ausgeglichenen Höhenunterschiede
oder von Functionen derselben die bezüglichen Gewichtscolumnen
beigefügt wurden; diese letzteren sind für die betreffenden Unbe-
kannten mit dem zugehörigen (x) in einer Klammer bezeichnet.
Die Summennormalgleichung wurde doppelt gebildet und in der
ganzen Rechnung auch für die Gewichtscolumnen zur Controle
mitgefuhrt (siehe nebenstehendes Tableau 1).

Die Auflösung dieser Gleichungen nach dem Gauss'schen
Agorithmus liefert die reducirten Normalgleichungen mit den
angehängten Gewichtscoliminen für jedes einzelne (x) (siehe
Tableau 2).

Hieraus ergeben sich die an den eingeführten Näherungs-
wertlien anzubringenden Verbesserungen wie folgt:

centiiu.

^1

2,66891

»2

=

2,59370

^8

— -

2,45267

^4

2,29932

^5

2,52641

^«

3,19120

»7

3,59946

^

'

+

0,43492

^

■

0,69275

^10

1,52124

^11

4,27532

^1»

2,61643

»1»

=

1.66034

^14

^

2,14974

«15

2,83178

X.6

2,72565

Durch Einsetzen der Werthe für die b^t n-ff V?nd«;n x ;:. o.'r
kimmennormalgleiehung wird die«e befriedigt (-jHhM^fl ^='5*';.r''7»,
ind dadurch die Richtigkeit der x l^-^ftatigt. Mit (l\*">f:r, l*^zr.r-rrr.
T^^ebeii sich dann die au^jrej^b'cherien Höhernj|jt.er-/:f;>r*ie z-äIvI-',

22

München und den übrigen Städten, wie dieselben unten mit den
Resultaten einer zweiten Ausgleichung zusammengestellt sind.

Aus den Fehlergleichungen erhält man die einzelnen A, mit
welchen sich die Fehlerquadrate IXg und hieraus die auf gleiches

Gewicht reducirten Fehler X l/g direct berechnen :

;i,cm

XXf;

^Vg

1)

0,07521

0,13254343

0,3641

2)

0,14103

0,24861826

0,4986

3)

+ 0,15334

0,27041540

+

0,5200

4)

-f 0,22708

1,53154419

+

1,2376

5)

0,66479

4,81720861

2,1949

ö)

+ 0,40827

2,96192370

+

1,7210

7)

+ 0,89054

6,46343677

+

2,5423

8)

+ 0,43492

2,94129883

+

1,7150

9)

0,25783

1,74372773

1,3205

10)

-t- 0,82849

17,13925848

4,1400

11)

2,75408

56,96310764

7,5474

12)

+ 0,97825

11,12959721

3,3361

13)

0,95609

10,87779293

3,2981

14)

0,48940

3,29808520

1,8161

15)

0,68204

4,59592406

2,1438

10)

+ 0,10614

0,18766886

+

0,4332

17)

0,05674

0,09998836

0,3162

18)

+ 0,85754

7,28756444

2,6995

19)

0,05641

0,02799741

0,1673

20)

0,50275

7,00135648

2,()460

21)

1,66034

45,51381296

6,7464

22)

+ 0,95434

8,87077548

+

2,9783

194,10364643

Die Berechnung der Summe [^^g] aus der Summe [Hg] una
den reducirten Normalgleichungen gibt in Uebereinstimmung mit
der direct gerechneten 194,123705, wodurch die Richtigkeit dei
Ausgleichung bestätigt wird.

Der mittlere Fehler für die Gewichtseinheit (^u) ist bei e
Beobachtungen und m Unbekannten

23

~ V n — m - V2(n — m)
Es ist daher

^ = + 5,6878 cm
und der mittlere Fehler pro Kilometer doppelt nivellirter Länge:

M = + 0,1799 cm + 0,052 cm oder
M = ± 1,80 mm + 0,52 mm

Zur Berechnung der reciproken Gewichte für die ausge-
glichenen Höhenunterschiede zweier Punkte, hat man den Höhen-
unterschied derselben als eine Funktion der Unbekannten x zu
betrachten. Bezeichnet man die DiflFerentialquotienten dieser Func-
tion nach den Xj , Xg . . . mit F^ , Fg . . . so erhält man nach
Helmert's Ausgleichungsrechnung § 19 das reciproke Gewicht einer
Function der Beobachtungen nach der Ausgleichung unter Beibe-
haltung der dort eingeführten Bezeichnungsweise :

gp (aa) "^ (bb.l) ^ (cc.2) "^ (dd.3) '^""

In den einzelnen reducirten Normalgleichungen gibt die erste
Zeile der angehängten Gewichtscolumnen die Zähler Fj ; F^ . 1 ;
Fg . 2 . . . . der auf derselben Zeile stehende quadratische Coeffi-
eient der Unbekannten (aa); (bb.l); (cc.2) den zugehörigen
Nenner obiger Quotienten. Der mittlere Fehler der Function ist
dann

,. - ,,. ilil 4. (^2>1)^ . (Fa. 2)« (F,.3)^ \

^* -^ i(aa) ^ (bb.l) ^ (cc.2) ^ (dd.3) ^""]

worin fi den mittleren Fehler der Gewichtseinheit bedeutet.

So hat man für den mittleren Fehler des ausgeglichenen
Höhenunterschiedes Kempten — Lichtenfels , diesen letzteren als

24

eine Function der eingeführten Unbekannten auszudrücken, und
erhält diese in der Differenz der beiden Höhenunterschiede :

München— Lichtenfels r=r. -f (258,437r) -f- xj
München— Kempten = — (174,7995 -f x, J

Kempten— Lichtenfels = + (433,2371 -fx^ + x^J
Die Differentialquotienten nach den x sind hier F^ = + ^ •

In den reducirten Normalgleichungen geben die betreffenden
Columnen von x, und x,j für die obigen Quotienten folgendt
Zahlenwerthe:

(aa)

=-■ + 1X0,018350

V^» • Vx' = + 0,42994 X 0,ülÜÜ3
(bb . 1)

(P, . 2)«

(cc . 2)

= 4- 0,20788 X 0,01158

~^^^ = + 0,13311 X 0,00304

2

(F5 • 4)
(ee.4)

(Fe • 5)"
(ff. 5)

= + 0,09038 X 0,00309

= + 0,033(59 X 0,00137

7 ^ • y = + 0,02433 X 0,00186
(gg . ^)

Pg . 7 = Pj . 8 = F,o . 9 =
(F,x • 10)*

(11 . 10)

+ 1 X 0,037922

/ '" ' V tt- = + 0,44103 X 0,02397
(mm . 11)

(F. 8 • 12 )*
(nn . 12)

= + 0,75755 X 0,02224

I^ttI" "^ + ^'^^^^^ ^ ^'^^^^^

= + 0,018350

= + 0,007150

^ + 0,002400

= + 0,000405

= + 0,000279

= + 0,00004)5

= -H 0,000045

= + 0,037922

= + 0,015707

=-- + 0,01684ti

= + 0,005185

25

(F.5 -1^)^ ^ (-0,16729 + 0.05775)^ -4-0 00044Q
(pp . 14) 26,752 ^ '

(F,e -15 )^ _ (- 0,11540 + 0,93095)^ _ ^^^^g^^,

(qq . 15) 7,319 "^ '

^ = + 0,195666

Der mittlere Fehler des Höhenunterscliiedes Kempten —
jichtenfels nach der Aosgleichong ist daher

^^ = 5,69cm \/0,195666 =^ 5,69 . 0,442
/ip = 2,51cm.

Auf diese Weise wurde der mittlere Fehler der ausgeglichenen
Höhenunterschiede für alle anderen Strecken berechnet, soweit die-
selben zur Verbindung des bayr. Praec.-Nivell . mit demjenigen
der Nachbarländer dienen und in den Bereich der 6 Polygone
fallen. Die Resultate sind am Schluss der 2. Ausgleichung zu-
sammengestellt.

Um zu untersuchen, wie die Fehler dieser ersten Ausgleich-
ung dem Gauss'schen Fehlergesetz folgen, sind die X als wahre
Fehler zu betrachten. Der mittlere Fehler ju und der Durch-
ichnittsfehler ^. ergeben sich dann:

cm

[val.ahs.Al/g] 50,3824^2^2^^^

n 22

^x 2,97

daher das Verhältniss -;: — = = 1,297

^x 2,29

Das GaiLSs'sche Fehlergesetz bestimmt dieses Verhältniss
zu 1,2533.

Femer ist die Summe des positiven Fehler — + 21,3230
die Summe der negativen Fehler = — 29.0594.

26

Werden die auf die Gewichtseinheit reducirfcen Fehler naet
ihrer absoluten Grösse geordnet, und untersucht man das Vor-
kommen derselben innerhalb einzebier Grenzen*) , so sieht uiai
aus folgender Zusammenstellung, dass die negativen Fehler durch-
^ngig vorherrschen, obgleich das erste Polygon mit dem grösst^i
vorkommenden Schlussfehler von 0,108 m in die Ausgleichmu^
nicht mit aufgenommen wurde. Wären sämmtliche 7 Polygom
unter dieser Gewichtsannahme ausgeglichen worden, so würden
die Abweichungen vom Gauss'schen Fehlei^esetz noch grosser ge-
worden sein, wie auch eine frühere provisorische Ausgleichuii;;
zeigte.

Es sollen U^en In Wirklichkeit liegen aber

zwischen d. Grenzen Fehlerdnzahl Fehleranzahl, davon sind -|- , -

+ 0,1 fi^

1,8

1

1

-H 0,2 ti^

3,5

6

2 4

+ 0,3 li^

5,2

(5

2 k

+ 0,4 ti^

6,8

6

2 4

+ 0,5 /i^

8,4

8

3 •.

+ 0,6 n^

9,9

10

5 'i

+ 0,7 11^

11,4

11

5 ti

+ 0,8 n^

12,7

13

5 ^

+ 0,9 ti^

13,9

15

6 ?

+ 1 ^.,

15,0

16

7 (•

+ 1,5 H^

19,1

20

10 10

+ 2,0 ^,

21,0

20

10 1(1

+ 2,5 li^

21,7

21

10 11

+ 3,0 jwj^

22,0

22

10 12

^) Siehe Helmert Ausgleicliungsrechnung § 80.

27

Dieses Vorherrschen der negativen Fehler deutet an , dass
lie Gewichte nicht vollkommen richtig bestimmt sind.

2. Es soll mm aus den Schlussfehlern, den Umfangen und
en einzelnen gemessenen Höhen der 7 Polygone eine Gewichts-
brmel entwickelt und diese einer zweiten Ausgleichung, welche
lieh auf alle 7 Polygone erstreckt, zu Grunde gelegt werben,
äiebei wurde derselbe Weg eingeschlagen, wie ihn Vogler in der
5eitschrift für Vermessungswesen 1877 nach Hansen angibt, und
5oll hier die Entwicklung der Formeln kurz wiedergegeben werden.

Die von den gemessenen Höhen abhängigen Fehlerbeträge
kann man sich auf die Maasseinheit bezogen denken, so dass,
wenn eine Höhe h mit dem Fehler + t behaftet ist , die Maass-

einheit dann um den Betrag + f- = i *? fehlerhaft wäre. Da

man nun annehmen darf, dass zwischen 2 Fixpunkten constante
Terrainneigung vorhanden ist und dass während der Ausführung
des Nivellement zwischen denselben die Witterungsverhältnisse
gleich geblieben sind, so kann man ij innerhalb zweier Fixpunkte
näherungsweise als constant betrachten. Der Höhenunterschied H
zwischen 2 Fixpunkten wird dann um + H . iy fehlerhaft sein.
In einem geschlossenen Polygon reihen sich die einzelnen H^,
Hg, . . an einander, und wird ein jedes bezüglich um + H^ . iy^,

+ Hg .1^2 fehlerhaft gemessen. Das von den gemessenen

Höhen abhängige mittlere Fehlerquadrat eines Polygons ist daher:

Ersetzt man jedes ly,, rj^ durch seinen mittleren Betrag iy,„
so wird

v' = [H*l . ..^

Nennt man ferner in einem Polygon den von der Weglänge
abhängigen Theil des mittleren Fehlers pro Kilometer §„ so wird
für diesen Theil das mittlere Fehlerquadrat eines geschlossenen
Polygons von dem Umfang U

Der Schlussfehler A eines geschlossenen Polygons von dem

28

Umfang U und den Höhenunterschieden [H] setzt sich dann zu-
sammen aus:

A* - A*« + v^ =: U L* 4- [H*j t].

2

Für u Polygone erhält man n solche Gleichungen :

Das mittlere Pehlerquadrat eines Polygonschlusses ist dann

und konmit der Wahrheit um so näher, je grösser die Anzahl n
der Polygone ist, aus denen die Mittelwerthe ^u und ^u bestimmt

werden. Um nun /n zu erhalten, denke man sich ^^ aus jeder

der obigen Gleichungen bestimmt, dann addirt und durch die
Anzahl n dividirt:

^

In n

oder indem man für r]„ jedesmal den mittleren Werth fi einfuhrt :

ebenso erhält man

um-Ei^i'-j}

oder in anderer Form:

Für das bayr. Praec.-Nivell. ist n = 7 und darf man den
ermittelten Werthen von ^u * und ^u * keine grosse Genauigkeit

zuschreiben, dagegen kann man doch erwarten, hieraus das gegen-

J

29

iitige Yerhältniss zwischen dem Einfluss der nivelHrteu Länge
nd dem der gemesseneu Höhen zu erhalten. Für obige Aus-
rücke geben die 7 Polygone folgende Zahlenwerthe, in welchen die
tiingen in Kilometer und die Höhen in Einheiten von 10 m, die
chlussfehler A aber in Millimeter angegeben sind.

1
1

r

U '^*'-

(10»)*

mm

U

A*

[H'l
U

U
[H-'l

^olygon

No. I.

242,700

164,0196

108,0

48,059

71,113

0,676

1,480

■n

« IL

402,761

135,6406

13,9

0,479

1,424

0,337

2,969

y*

. m.

482,584

139,0609

38,6

3,087

10,715

0,288

3,470

n

. IV.

884,362

63,8639

20,2

1,062

6,390

0,166

6,019

rt

« V.

272,640

152,3661

9,8

0,352

0,630

0,559

1,789

j*

. VI.

287,114

574,5365

67,0

15,635

7,813

2,001

0,500

j*

. VII.

138,555

123,1820

1,9

0,026

0,029

0,889

1,125

68,700

98,114

4,916

17,352

Die beiden Gleichungen zur Bestimmung von ^u j* und fi *

werden daher:

68,700 = 7iu' + 4,910iu*

woraus

und

98,114 = 17,352iuJ'

s

fi^ = 0,039

(t ' = 13,92

1

7..M»

3. Mit diesen Werthen werden nun fttr jede Strecke von
der Länge L und den Höhen [HJ neue Gewichte von der Form

g =

lüOO

L/^/H-[H*J,«^

berechnet und damit eine zweite Ausgleichung durchgeführt, in
welche, wie erwähnt, auch das erste Polygon mit aufgenonmien ti.
Die Unbekannten vermehren sich in dieser wegen der
(iewichtsbereehnung der Verbindungsstrecken um 2 nämlich:

München — Oberkotzau und München — Franzensbad.
welche in die Reihenfolge zwischen jene der ersten Aos^leieh-mg
eingeschoben wurden , wodurch sich ^lie Aufeinanderfolge d*rr

I

30

ii :i

Unbekannten etwas ändert. Nachfolgend sind dieselben mit ihren
Näherungswerthen und' Verbesserungen , welche jetzt mit y be-
zeichnet werden sollen, wiederholt; im Uebrigen ist aber der Ganij
der Rechnung derselbe geblieben wie oben.

--.iLr. üJL.

-i

31

meter

1.

München — Lichtenfels

+

(258,4376 + y,)

2.

— Neuenmarkt

+

(173,1115 + y,)

3.

— Oberkotzau

+

( 38,5721 + y,)

4.

— Pranzensbad

- +

( 72,4247 + yj

5.

— Weiden

= +

(123,9251 + ys)

(5.

^Regensburg

- +

(181,5430 + y,)

7.

— Geiselhöring

- +

(161,9366 + y,)

8.

— Passau

+

(218,7193 + y«)

9.

— Simbach

- +

(172,3407 + y^)

10.

— Rosenheim

- +

( 74,4257 + y,o)

11.

— Holzkirchen

(162,7622 +y,,)

12.

— Penzberg

-t:

( 82,6482 + y,,)

13.

— Kempten

—

(174,7995 + y,3)

14.

— Neuulm

+

( 51,2089 + y,,)

15.

— Augsburg

- +

( 31,9722 + y,5)

16.

— Nördlingen

- +

( 92,0405 +y„)

17.

— Nürnberg

+

(211,1107 +y„)

18.

— Bamberg

rrr. --

(281,0086 + y^g)

Die Zahl der beobachteten Höhenunterschiede erhöht sich
auf 25, und sind letztere mit den zugehörigen L und [H*] wie
folgt zusammengestellt:

1. Lichtenfels — Neuenmarkt —

2. Neuenmarkt — Oberkotzau —

3. Oberkotzau — Franzensbad +

4. Franzensbad — Weiden +

5. Weiden — Regensburg +
(). Regensburg — Geiselhöring —

7. Geiselhöring — Passau +

8. Passau — Simbach —
y. Simbach — München

10. München — Rosenheim

11. Rosenheim — Holzkirchen — 237,1879

12. Holzkirchen— Penzberg -r B0,1140

meter

85,3261
134,5394
33,8526
51,6084
57,6179
19,6064
56,7827

— 46,3786

— 172,2958
H- 74,4257

L-Kilom.

42,672
47,273
47,941
67,496
86,969
33,666
91,737
56,287
122,738
64,322
38,129
40.052

[ff]

5,74
52,83
60,39
16,74
13,61
3,43
5,70
16,15
28,35
27,00
58.28

«

9:>,24

I

■! 32

meter

L- Kiloin.

m

13.

Penzberg — Kempten

92,1513

133,180

456,fi(t

14.

Kempten — Neuubn

+

225,9297

85,951

43,44

15.

Neuulm — Augsburg

19,2307

84,022

17,7!i

16.

Augsburg — Nördlingen

+

00,0683

72,647

1 1 ,00

17.

Nördlingen — Nürnberg

+

119,0702

101,181

26,5-2

18.

Nürnberg — Bamberg

+

69,8979

60,009

3,1;)

19.

Bamberg — Lichtenfels

22,5710

32,198

2,0

20.

Neuenmarkt — Weiden

49,1864

79,990

34,(i:,

21.

Nürnberg — Regensburg

29,5538

100,923

77,12

22.

München — GeLselhöring

+

161,9119

113,600

23,5:5

23.

München —Holzkirchen

162,7603

36,104

37,91

24.

München — Augsburg

+

31,9722

60,567

6,9!i

25.

Augsburg — Kempten

206,7028

102,667

91,1:)

Die Pehlergleichungen mit den ihnen zukommenden Gewiek-
ten sind auf Seite 33 zusanmiengestellt. .

Aus diesen erhält man wieder die Nonnalgleichungen m
den angehängten Gewichtscolumnen und Summennormalgleichunf
wie oben (siehe Tableau 3) ; die Auflösung derselben nach
Gauss'schen Algorithmus gibt die reducirten Normalgleichuiif
(siehe Tableau 4).

Daraus ergeben sich die Verbesserungen y zu:

centim.

centim.

7j =

2,060

y,o - + 0,325

7« "-

2,319

y,, --1,023

7s -

6,275

y., - - 4,267

74

10,797

7.5 - 5,910

y» -^

1,265

yj, - - 1,062

76 -

1,875

y,5 - - 0,692

77 -

2,096

7x6 - 1,415

78 -

2,376

y„ - - 1,823

79

3,143

y,8 _ - 1,968

Die Richtigkeit derselben wird durch die Befriedigung der
Summennormalgleichung ( — 90,9025 = — 90,9025) bestätigt, und
werden mit denselben die ausgeglichenen Höhenunterschiede er-l
halten^ welche zum besseren Vergleich mit den Resultaten der
ersten Ausgleichung nachfolgend einander gegenübergestellt sind:

m

■»

w

II

OD

+ +

r-

I I

+ +

+ +

CO

>>

• •

• • •

• • •

+ + ■

1-^

o«

^ •

■ • •

• •

t— •

>;

1 '

'^4 «

• • •

•+ +

+

o

• • •

+ + •

>>

OS

•T +

+ + •

•

^

,

oo •

>^

>>

1-H
• 1

7 ■

• • •

+ •

o .

+ +

*^

:S

.... 1 . .

»o

1 *

mm

>»

■ ■ ■ ■ 1 ■ ■ ■

•^ _

+ 1

jS

»^

T •

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<3K>

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30

OS t>- Oö

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1^ (M O

a

I +

II II li i; 11 II II II II

+ +++

II II II 11 II II II II II 11 II II II II

Oi
X

+
II

i-^oaco'^"5<ot*ooöso-«oJoO'^«OQOc*ooaao^^?ict'**.'r

8

!

34

I „

Strecke

(1

.1

München — Lichtenfels
— Neuenmarkt
— Oberkotzau
— Franzensbad
— Weiden .
— Regensburg
— Geiselhöring
— Passau
— Simbach .
— Bosenheim
— Holzkirchen ,
— Penzberg .
— Kempten .
— Neuuhn .
— Augsburg
~ Nördlingen
— Nürnberg
— Bamberg .

Höhenunterschied nach der

I. Ausgleichung
meter

+ 258,4109
4- 173,0856

+ 123.9006

+ 181,5200

+ 161,9113

4- 218,6874

4- 172,3047

+ 74,4300

— 162,7553

— 82,6330

— 174,7567
+ 51,1827
4- 31,9556
+ 92,0190
+ 211,0824
4- 280,9814

n. AusgleichuDs
meter

-h 258,4i;0
4- 173,088:;
-I- 38,509:J
-4- 72,316:
-i- 123,912;
+ 181,524:!
-+- 161,9156
4- 218,69.>-i
4- 172,309:1
4- 74,429ij

— 162,752(1

— 82,60.H

— 174,7404
-f 51,19K^.
4- 31,965:^.
4- 92,026:1
4- 211,09-2:.
4- 280,988'.^

Aus den Pehlergleichungen erhält
A i/g der zweiten Ausgleichung zu:

man die A, XXg d

Xcm

Wg

X j/g.m

1)

+ 0,25840

0,81861341

+ 0,9048

2)

+ 3,95640

21,28821731

+ 4,6139

:«)

4,52190

24,33260893

4,9328

4)

1,26811

6,81830283

2,6112

5)

0,60980

1,92990750

1,3892

.6)

4- 0,22117

0,99688449

+ 0,9984

7)

0,28038

0,94808563

— 0,9737

8)

4- 0,76654

2,59124355

+ 1,6097

9)

+ 1,34714

4,55511331

+ 2,1343

10)

+ 0,32519

0,27918302

+ 0,5284

11)

0,69798

0,59922312

— 0,7741

12)

+ 3,24419

7,89356683

+ 2,8095

13)

1,64312

3,99574871

- 1,9989

35

A°»

Wg

A Vg'^

14)

+ 0,89773

1,32171032

+

1,1497

15)

0,36988

0,54451454

0,7379

16)

— 0,72357

3,26173858

1,8060

17)

0,40717

1,83523958

1,3547

18)

0,14535

0,46012517

0,6783

19)

+ 0,09217

0,29200911

+

0,5404

20)

1,05360

2,33113552

.

1,5268

21)

+ 1,44212

1,93413845

+

1,3907

22)

+ 0,37406

0,42116636

+

0,6490

23)

— 0,83317

1,31199187

1,1454

24)

0,69191

4,80177052

2,1913

25)

+ 0,28761

0,27628893
95,83852759

+

0,5256

Die ganze Rechnung wird wieder durch die doppelt gerechnet«*
lunime [XXg] controlirt. (95,83852759 gegenüber 95,8013:53.)

Der mittlere Fehler der Gewichtseinheit wird

I =: l/_2M_ =: 1/ 95,83852759 _ 4. (3 yoO'" + 0,99^)
r n— m V 25 — 18

nd der mittlere Fehler bezogen auf den Kilometer und für einen
föhenunterschied Ton 10 meter

fi,=^+ l/ 0i09'^83853 ^ 4. (0,1170*^- + 0,031 "*)
~ r 25— 18 ~

der iu^ = + (l,!?*"- + 0,31"'-).

Die mittleren Fehler für die aiwgeglichenen Hoh^T -r.vrr-
ßhiede der Ansehlusspunkte in den Polygonen an dif; Zw*:Ijrr.:Tr.'
3ments des bayr. Praec.-Nivell. ^>^ler an diejenigen der X^* r/vt"-
uider wurden, wie ol>en angegelx^n. lien^^hru't und .••nd cJ* ;««o**i
er ersten Ausgleichung, wie folgt, zasammengest^Ut.

streck«

«n — Lichtenfels

- Neneumiirkt .

- Oberkotzau .
— Franzensbad .
— Weiden . .

Iieim — Lichtenfels.
— Nenenmarkt
— Oberkotaao
— Franzensbad
— Weiden . .
—Neuulm . .
— Nördlingen .

!rg * Pasnau . . ,
— Simbach . .

ingen - Passau . .
- Simbach

m — PasBau . . .

mittlerer Fehler ätt
autigeglichenen Bshei
Unterschiedes nach i
I, Ausgleich. I n. AuBglf
ceutim.

2,51S

t 2,487
t 2,401

t 2,378
h 2,157

h 2,316
h 2,282

± UV!

+ 2.5;

[an ersiebt hieraus, dass bei jeder der beiden Ausglei«:!
durch das bayr. Praec-Nivell. nahezu dieselben mittlei
übertreffen werden,

ur Untersuchung der Fehler K auf ihre Uebereinstiminiud
n Gauss'schen Fehlei^esetz ist zui^hst wieder:

|/^

1,83852759

= 1,958 cm

1,253).

1,958

— 1,225 (uBch dem GaussVh™

37

Ferner ist die Summe der positiven Fehler . — 17,8544
die Smmne der negativen Fehler = 22,1203.

In Bezug auf das Vorkommen der Fehler innerhalb einzelner
nzen hat man wieder wie oben folgende Üebersicht:

Es sollen liegen
chen den Grenzen Fehleranzahl

In Wirklichkeit liegen
Fehleranzahl, davon sind +,

-~.

0,1,1,

2,0

0,2,,,

4,0

0,3,,,

5,9

3

3

0,4 „,

7,8

7

4

3

0,5 „,

9,(3

9

5

4

0,6 „^

11,3

12

7

5

0,7 „,

12,9

13

7

(5

0,8 „,

14,4

1(3

8

8

0,9 „^

15,8

17

9

8

1,0 „,

17,1

18

9

9

1,5 (.^

21,7

23

11

12

2,0 „,

23,9

23

11

12

2,5 „,

24,7

24

12

12

3,0 „,

25,0

25

12

13

Es geht hieraus hervor, dass die Fehler, mit Ausnahme der
listen Betrage das Gesetz zufalliger Fehler in guter Ueber-
kimmung befolgen, und dass die positiven und negativen Fehler,
8dem sich die Ausgleichung auf alle 7 Polygone erstreckt, «eh
Zeitlicher vertheilen, als es bei der ersten Ausgleichung mit
Polygonen der Fall war. Es sind aus diesem (inmde d\*f
ichte nunmehr richtiger bestimmt als früher, und finden hierin
vorausgehenden Untersuchungen indirect ihre Be^tiriyiü^r.

f

38

Stellt man die verschieden berechneten mittleren Fehler

sammen :

M = 0,78 mm

M = 0,038 ,

M = 3,13 ,

M =r 1,80 ,

ii<i = 1,17 ,

so dürfte ans diesen Untersuchungen, welche sich nicht auf sptii

zur Genauigkeitsermittlung angestellter Beobachtungen stnti

l sondern für welche die letzteren unmittelbar der thatsächlie

Ausführung entnonunen sind, hinlänglich erwiesen sein, (^as^

Genauigkeit des bayr. Praec.-Nivell. vollständig die von der i

ferenz der europäischen Gradmessung vorgeschriebene Grenze «

! wahrscheinh'chen Fehlers von 3mm = eines mittleren Fehlest

I 4,45 mm pro Elometer einhält. Diese Grenze dürfte sogar eni

1 gezogen werden , ohne das in Wirklichkeit Erreichbare zu

schweren. Was den von der gemessenen Höhe abhängigen Feli
betrifft, so ist über denselben von der europäischen Gradmessimi
Commission nichts bestimmt worden.

Nimmt man nun den Werth von 1,17 mm als Gesanmitfii
für 1 Kilometer Doppelnivellement und 10 m gemessener Hob
und legt der Theilung desselben das aus der obigen Gewi i
bestimmung ermittelte Verhältniss von

fl_ 13,92 _,,,,
J] " 0,039 "" ^^^'^

zu Grunde, so erhält man als

mittleren Fehler für 10 m gemessener Höhe - Llom
und als „ » für 1 Kim. doppelt, nivell. Länge = 0,01) .

Betrachtet man dagegen den aus den Stationsbeobachtuiiji
berechnete Fehler von 0,78 mm als reinen Nivellirfehler pro Kilot
so würde sich der nämliche Gesammtfehler von 1,17 mm folgeni
massen theilen:

1,17^ = 0,78« + f^^

und erhielte man hieraus

den mittleren Fehler pro 10 m gemessener Höhe zu ^i = 0,81

m

^

i

39

50 unter dieser Annahme nahezu ebenso gross als der mittlere
jhler pro Kilometer.*) Aus diesem und dem obigen Werth dcH
ittleren Fehlers pro 10 m gemessener Höhe darf man schlieMMen,
SS derselbe nicht viel von 1 Tnm verschieden ist, ein Werth, den
ch das schweizerische Praec.-Nivell. von Plantamour gibt und
enfalls auch von Vogler aus einem Theil des vom geodätischen
stitut in Berlin ausgeführten Praec.-Nivell. gefunden wurde.**)
i dürfte daher dieser Betrag von 1mm pro 10 m gememener
öle als Grenze für die gegenwärtige Operationsweise und für die
s jetzt gebrauchlichen Latten anzunehmen sein. Um unter
eseni Betrag zu bleiben, dürfte durch Versuche zu ermitteln
in, ob es nicht vortheilhaft wäre, bei stark geneigtem Terrain
it geneigten Visirlinien zu nivelliren , und zwar nicht um die
ationslängen zu vergrossem sondern hauptHachlich, um rlen Kin-
ISS der Unsjmmetrie der Lichtcurve im Vor-- und Rückblick zu
sschränken. Femer sollte grosse Sorgfalt auf rlie HuniUtllmiff
ad Theilung der Latten verwendet, und letztere wiederh/dt be-
ruft, wie auch die Latten selbst nach gewi>jsen Zeiträumen mit
em Normalmaass abermaLs verglichen werden: auch auf di^ Auf-
^Währung der Latten während der Zeit ihre« Nicht^ebra»i/:b**
irfte ein besonderes Auc/enmerk zu richten «ein.

*) Eine wiedei^A'fT Xjiy^\fnf:hanf£ d«r 7 PoJygfrti^ ^aUfr Airtth.?-'»!^
tter Gewichte, welct*- «}i*:»^t TT*fannii^ Af^nt G«^ü«i/«tf<rhi*fi> *rir^yrj*:s:r^.
irde dann zeigen, ob »ir^ Li^r^i* tjfrr*/r'j^t'j.*ffhf\^, n/'M\t^*r f>£..*T »'*3»»*-ir.j*'i
Ä 1.17 mm abweicht.

**) Zeitschrift f^ VfTz::.>^uji^*-»r<«?w>o 1*77.

-•V-.

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•

1

1,19524

1,97501
),05857

+ 1

4- 0,06007

•

f,36491
),02438

+ 0,37426
+ 0,02500

+ 1

+ 0,06681

1,26988
1,01060

4- 0,27680
+ 0,01088

+ 0,73958
+ 0,02906

4- 1

+ 0,03929

1,23336
1,06043

4- 0,23935
+ 0,06198

4- 0,63952
+ 0,16559

+ 0,86472
+ 0,22391

4- 1

+ 0,25893

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