Untersuchungen über verschiedene Anwendungen der Infinitesimalanalysis auf die Zahlentheorie, 1839-1840. Deutsch hrsg. von R. Haussner

LeJeune Dirichlet, Peter Gustav
Untersuchungen über verschie-
dene Anwendungen der InTinite-
s imalanaly s i s

Sau:

Untersiicliiinaeii

über verschiedene

Anwendungen der Infinitesimalanalysis

auf die

ZAHLENTHEORIE

vou

"eTe^v g'\ejeune dirichlet.

(1839—1840.)

Deutscli heran sg'eg-ebeu

R. Haussiier.

LEIPZIG
VERLAG VON WILHELM ENGELMANN

1897. ^

Untersuchungen über verschiedene Anwendungen
der Infinitesimalanalysis auf die Zahlentheorie

von

G. Lejeune Dirichlet.

Aus dem » Jonrnal für die reine und angewandte Mathematik«.

herausgegeben von A. L. Grelle. Bd. 19, 183i», S. 324— :}69: Erster

Theil § 1—0); Bd. 21, 1840, S. 1—12 und ö. 134— 155: Zweiter

Theil (§ 7—11).

Erster Theil.

[Crelles Journal, Bd. 19, S. 324—369.;

[324] Als ich mich vor zwei Jahren*) damit beschäftigte
zu beweisen, dass jede unendliche arithmetische Progression,
deren Glieder nicht sämmtlich einen gemeinschaftlichen Theilcr
haben, unendlich viele Primzahlen enthält — was bis dahin
noch nicht auf strenge Weise geschehen war — , wurde ich
dazu geführt, eine grosse Anzahl zahlentheoretischer Fragen
von einem ganz neuen Gesichtspunkte aus zu betrachten.
Dieser bringt sie sowohl mit den Principien der Infinitesimal-
analysis in Verbindung, als auch mit den merkwürdigen Eigen-
schaften einer Classe von unendlichen Reihen und Producten,
welche grosse Aehnlichkeit mit den Ausdrücken haben, die
Euler in dem »/^e seriehus ex evolutioue factorum oriis'^
überschriebenen Capitel seiner > Iniroductio in analysin in-
finitorum«- untersucht hat. In einer in Crelleh Journal**)

*, Die Abhandlung, welche ich in der Berliner Akademie über
diese Frage gelesen habe, ist soeben in den Abhandlungen der
Akademie vom Jahre 1837 (S. 45 — 81) abgedruckt worden. [Siehe
auch G. Lejeune J)irichlet\ Werke, Bd. 1, S. 313—342. II.l

**; Bd. 18 (1838', S. 259 — 274: SurVusa<je des sericx üijinies /laus
hl theorie des nombres. [Werke, Bd. 1, S. 357 — 374. II.]

4 G. Lejeune Dirichlet.

veröffeutlichten Mittheiluug Labe icli melirere Probleme, auf
welche diese analytische Methode angewendet werden kann,
bezeichnet. Jetzt nehme ich mir v(tr, meine Untersuchungen
über diesen Gegenstand mit allen uöthigen Entwickelungen in
einer Reihenfolge von Abhandlungen darzulegen. Die erste
derselben, welche ich jetzt dem ritheile der Mathematiker
unterbreite, ist insbesondere der — bis jetzt noch nicht ge-
gebenen — Lösung der Aufgabe gewidmet, welche die Anzahl
der verschiedenen quadratischen Formen, deren Determinante 1)
eine beliebige positive oder negative ganze Zahl ist oder, was
dasselbe ist, die Anzahl der quadratischen Theiler, welche zu
dem Ausdrucke ;r- — Z>y- gehören, zu bestimmen verlangt.
Die Analysis, welche uns zur vollständigen Lösung dieser
wichtigen Frage führt, liefert uns [325] gleichzeitig — und
sozusagen nebenbei — neue und sehr einfache Beweise für
mehrere schöne von Herrn Gauss aufgestellte Sätze, welche
dieser berühmte Mathematiker nur mit Hülfe sehr verwickelter
Betrachtungen in dem zweiten Theile des fünften Abschnittes
seiner ^JJisqitisih'ones aritlnneticac aufgestellt hatte.

Dieser Abschnitt des G«?/i'6'schen Werkes, welcher der
Theorie der Formen zweiten Grades gewidmet ist, setzt sich
aus zwei deutlich unterschiedenen Theilen zusammen. Der
erste Theil, welcher bis zu dem Artikel 223 reicht, kann als
eine Auseinandersetzung der elementaren Theile dieser Theorie
betrachtet werden und enthält alle von Eulcr, Lagrange und
Ijcgendrc vorher gegebenen Resultate vollständig, in vieler
Hinsicht erweitert und überdies aus neuen Priucipien abge-
leitet. Der zweite Theil, welcher eigentlich mit dem Artikel
234 beginnt (da die Artikel 223 — 233 Detiuitionen und llülfs-
sätze, welche zur Einführung in den zweiten Theil diene«,
enthalten), setzt sich beinahe ausschliesslich aus eignen Unter-
suchungen des berühmten Verfassers zusammen. Diese ebenso
durch die Tiefe der Methoden, w-ie durch die Zahl und Mannig-
faltigkeit der Resultate bemerkenswerthen Untersuchungen bil-
den unstreitig den Theil des ganzen Werkes, welcher dem
»Studium die meisten Schwierigkeiten darbietet. Selbst den
Mathematikern sind sie sehr wenig bekannt, und es mag da-
rüber besonders das angeführt werden, was Lcgcmlrc in der
Vorrede ziir zweiten Ausgabe seiner Tlifutic (hs Notnbrcs
sagt. Naclidem er dort die d'a ans' scheu Entdeckungen, welolie
er in sein Werk aufgenommen hat, aufgezählt hat, fügt er
hinzu:

Vcrscliiedenc Anwendungen der Infinitesimalanalysis etc. 5

»Oll aurait desiro enrichir cet Essai d'un plus grand nombre
des excellents matöriaux qui composent l'ouvrage de Mr. Gauss:
mais les möthodes de cet auteur Ini sont tellement particulieres
qu'on n'aurait pu, sans des circuits tres-dtendus, et sans
s'assujetir au simple role de traducteur, profiter de ses autres
decouvertes. « *)

Ich wage mithin zu hoffen, dass meine Arbeit — abge-
sehen von den neuen Resultaten, welche sie bringt — auch
dadurch zum Fortschritte der Wissenschaft beitragen wird,
dass sie schöne und wichtige Theorien, die bis jetzt nur der
kleinen Zahl von Mathematikern, welche die nöthige geistige
Spannkraft besitzen, um den Faden der Gedanken in einer
langen Reihe von Rechnungen und sehr verwickelten Schluss-
folgerungen nicht zu verlieren, verständlich geworden waren,
auf neuen Grundlagen aufbaut und auf die Elemente zurück-
führt.

[326] § 1.

Wir betrachten die Summe der unendlichen Reihe:

in welcher k und q zwei positive Grössen bezeichnen, deren
erste constant und deren zweite variabel ist. Da diese Summe
jeden endlichen Grenzwerth überschreitet, wenn die Veränder-
liche Q unendlich klein wird, so fragen wir nach der einfach-
sten Function von q, welche als Maass für diese Zunahme
dienen kann oder, mit anderen Worten, deren Verhältniss zu
dem vorstehenden Ausdrucke sich dem Grenzwerthe Eins
nähert, wenn q der Null zustrebt. Zu dem Zwecke nehmen
wir die bekannte Formel zu Hülfe:

/..>-l«gC'(±)

dx =

^(l+C)

*) Der Verfasser würde dieses Werk gern mit einer grösseren
Anzahl der ausgezeichneten Untersuchungen, welche das O'auss'äche
Werk bilden, bereichert haben; aber die Methoden dieses Autors sind
ihm so eigenthümlich , dass der Verfasser ohne die grüssten Um-
wege und ohne die Rolle eines blossen Uebersetzers zu übernehmen
seine andern Entdeckungen nicht hätte wiedergeben können, 11.

Q G. Lejeune Dirichlet.

Ersetzen wir in derselben /c nach einander durch X-, /t -\- 1,
/»• 4- - ) ■ • • i'"^ bilden wir dann die Summe alier dieser
Gleichungen, so ergiebt sich für die Reihe (1) der folgende
Ausdruck:

1 /' .r'-'

X

r{^-\-Q

yi^j-(T)-

Addirt man zu diesem Ausdrucke und subtrahirt man

1 . ^

dann wieder den — gleichen Werth:

Q
so erhält man für den obigen Ausdruck:

u

■0

Da für />■ ^ (* der zweite Theil mit unendlich abnehmendem q
gegen die endliche Grenze:

convergirt, so folgt, dass das Verhältniss der Summe (1 zu
dem Bruche — die Einheit zur Grenze hat, wenn die positive

Veränderliche q unbegrenzt abnimmt. ')

Mit Hülfe dieses Satzes ist es leicht, den folgenden Salz,
von dem wir in unseren Untersuchungen häulig Gebrauch
machen werden, zu beweisen.

> l'j s seien

(2) /,, /,, A,, ...,/„,...

positive, von Null verschiedene, einander ungleiche
oder theilweiso einander gleiclio Constanten, deren
Anzalil unendlich gross sei; es sei f{f) diejenige un-
stetige Function der positiven Veränderlichen /,

Verschiedene Anwenduugen der Infinitesimalanalysis etc. 7 '

welche augiebt, 327] wie viele der in der Ueihe (2)
enthaltenen Zahleuwerthe den Werth von t nicht
übertreffen. Wenn dann die Function f[t) auf die
Form:

(3) f[t) = ct + tyip[t]

gebracht werden kann, wo e und y positive Con-
stanten bezeichnen, deren zweite kleiner als Eins
ist, und wo die neue Function </'(^), abgesehen von
ihrem Vorzeichen, für beliebig grosse Werthe der
Veränderlichen t immer kleiner als die positive Con-
stante C bleibt, so behaupte ich: Die Summe:

(4) (p[Q) = — ^, + + — ^ -I ,

*1 '» *3

in welcher q eine positive Veränderliche bezeichnet,
hat für unendlich kleine Werthe von q den Grenz-
werth:

(5) ^[q) = j.

d. h. das Verhältniss der Summe (p[q) zu dem Bruche

— nähert sich mit unendlich abnehmendem q dem
Q

Grenzwerthe Eins. «2)

Da die Anzahl der in der Reihe (2) enthaltenen Werthe,
welche die Einheit nicht überschreiten , eine endliche ist
[denn ihre Anzahl ist gleich c + «AlO] ^^°*^ ^^ unter den-
selben sich keiner befindet, welcher gleich Null ist, so ist es
durch die Natur des zu beweisenden Satzes klar, dass wir
den Theil des Ausdruckes (p ((>), welcher diesen Gliedern ent-
spricht, weglassen können. Wii* bezeichnen die nach dieser
Verkleinerung übrig bleibende Summe noch mit (p [q) und

wählen eine Constante ö', welche grösser als ist; dann

zerlegen wir die Summe (p{q) in unendlich viele Theilsummen,
sodass die wi*® dieser Theilsummen alle Zahlwerthe umfasst,
welche der doppelten Bedingung:

m'^ < /„ S [m + 1]''

und mithin auch der Bedingung:

8 (i- Lcjcunc Dirichlet.

w'H' + lO ^ /^i+v — [m + ijX'+v)
genügcu. Die Anzahl dieser Glieder ist offenbar:

f{[m -\- Ij-') -f{m') .

Da der numerische Werth von f^'il'{t) für i = m'' und
f = [ni + 1]'' kleiner als C\jn + 1]>'' ist, so bestehen die
folgenden zwei Ungleichheiten:

f{[m + 1]'') — /K) < c{[m + ly — m'') + 2C[w + l]>'^
y([,« + 1].') — /(w'') > c{[m + 1]'' — m^) —2C[m+ l]r'\

Verbindet man diese beiden Ungleichheiten mit den unmittel-
bar vorangehenden, so folgt, dass die betrachtete 7?;'® Theil-
summe bez. kleiner und grösser ist, [328] als die Grössen:

[m + lY — m^ _^ ^^Jm + l]^''^

m

d(i+t') wJ(' ■*■'')

[m + 1]'' — ^'^ _ 2(;, [w^-M]v^

Folglich ist:

wo die Summenzeichen — sich über alle ganzcu Zahlen von
m = 1 bis m = oo erstrecken.
Da nach einem bekannten Satze:

Im -1- !]<'- w' = dm''-,' + ^-i^-^ [m -f f,J''-'-

ist, wo £„j einen positiven echten ]'>ruch bezeichnet, so kann
man die vorslohcnde Ungleichheit auch auf die Form bringen:

1 iv-'

['+i'j' jm-:.]

Verschiedene Anwendunf;en der Infinitcsiuialaualysis etc. 0

Die beiden letzten Summen bleiben ;iber endlich, wenn q un-
endlich klein wird, denn sie sind beständig kleiner als die
Summen:

vfi , ATI vF, , jLf __L_.

diese selbst sind aber endlich, wie mit Hülfe von bekannten
Sätzen leicht zu erkennen ist, wenn man sich an die über
die Constante d gemachte Voraussetzung, dass d[\ — y)'^ 1
ist, erinnert. Was die erste Summe in der obigen Ungleich-

1
heit betrifft, so wird sie offenbar gleich -^r-, wenn p unend-

OQ

lieh klein wird, da sie eine dem oben betrachteten Aus-
drucke (1) analoge Form hat. Man sieht also, dass die obere

c
Grenze von q){Q) die Form — annimmt, wenn die positive

Grösse q unendlich klein wird; da dieselbe Schlussfolge sich
auf die untere Grenze anwenden lässt und zu dem gleichen
Resultate führt, so ist der aufgestellte Satz bewiesen.

Man kann dem soeben bewiesenen Satze zwar eine viel
grössere Ausdehnung geben ; da derselbe aber in der ge-
gebenen Fassung für die vorläufig beabsichtigten Anwendungen
ausreicht, so mag diese Verallgemeinerung, welche überdies
keine Schwierigkeiten darbietet, übergangen werden.

Wir bedürfen noch zweier anderer Hülfssätze, welche
ebenso wie der vorige der Infinitesimalanalysis angehören.
Der erste dieser neuen Sätze ist so einfach, dass wir uns
damit begnügen, ihn auszusprechen, ohne seinen leicht zu er-
gänzenden Beweis zu geben.

[329] Alle Punkte einer unendlichen Ebene seien auf zwei
zu einander senkrechte Axen X und Y bezogen. In dieser
Ebene sei eine geschlossene Curve construirt, welche in allen
ihren Theilen entweder ein und demselben analytischen Ge-
setze oder mehreren solchen Gesetzen unterworfen ist; die
Curve soll sich fort und fort ausdehnen und schliesslich jede
Grenze überschreiten, aber in der Weise, dass die veränder-
liche Curve immer sich selbst ähnlich bleibt. Schliesslich
bezeichne man mit o den ebenfalls veränderlichen Inhalt des
Flächenstückes, welches die Curve begrenzt.

Es seien dann a, b, a, ß vier Constanten, von denen die

10 0 Lojeune Dirichlet.

beiden ersten positive Wertlio haben, und man ((insliuire alle
Piinivte, deren Cuordinaten x und y die Furni haben:

(6) ar = rt r + « , y = Inc + ^ ,

wo V und xc alle ganzen Zahlen von — oo bis +00 be-
zeiclinen. Bezeichnet ferner F{o] die Anzahl dieser Punkte,
welche innerhalb der Curve gelegen sind, so ist augenscheinlich
für unendlich grosse Werthe voii f/:

ab

d. h. das Verhältniss der beiden Seiten dieser Gleichung wird
gegen die Einheit convergiren, wenn 0 über jeden positiven
Grenzwerth hinauswächst. Gleichfalls leicht zu erkennen ist,

dass die Differenz jP(ff) 7 weniger schnell zunimmt als die

Potenz (/■', in welcher der Exponent / ^ .V vorausgesetzt ist.
Wir können also setzen:

(7) i^(a) = ^(j + a'>(a),

wobei ö <Ü /' <^ 1 ist und die Function \p [o] , vom Vorzeichen
abgesehen, sicherlich immer kleiner als eine gewisse endliche
Constante C bleibt. ^')

Der letzte der Hülfssätze, welche wir der Infinitesimal-
analysis entlehnen , bezieht sich auf die Reihentheorie. Be-
kanntlich giebt es zwei sehr verschiedene Arten von conver-
genten Keilien; die Reihen der ersten Art sind convergent
unabhängig von den Vorzeichen, mit denen ihre Glieder be-
haftet sind, während die der zweiten Art die Eigenschaft der
Convergenz nur besitzen, weil ihre Glieder sich durch ihre
entgegengesetzten Vorzeichen zum Theil zerstören.

Eine Reihe der ersten Art bleibt convergent, und ihre
8uiiime behält immer denselben Werth, in welcher Reihenfolge
auch ihre Glieder genommen werden mögen. Die Reihen der
zweiten Art verhallen .sich [330' in ganz verschiedener Weise.
Eine Reihe dieser Art, welche für eine gewisse Anordnung
ihrer Glieder convergent ist, kann diese Eigenschaft verlieren,
wenn die Reihenfolge der Glieder geändert wird. Es kann
auch vorkommen, dass die Reihe nach dieser Aendcrung zwar
noch convergent i.it, dass aber ihre Summe gleichzeitig mit

Verschiedene Anwencliingen der Infinitcsinialaualysis etc. 1 \

der Reihenfolge der Glieder ihren Werth geändert hat. Diese
— wie man weiterhin sehen wird — eng mit nnserem Gegen-
stand verbundenen Bemerkungen sind auch für andere Unter-
suchungen nicht unwichtig. Aus ihnen folgt z. B. die Be-
merkung: Hat man eine Reihe der zweiten Art zu summiren
und erhält man für ihre Summe einen ganz bestimmten Werth,
ohne dass die Reihenfolge, in welcher die Glieder auf einander
folgen sollen, als wesentliches Element in der benutzten Ana-
lyse auftritt, so muss das Summationsverfahren irgend einen
versteckten Fehler enthalten oder wenigstens durch irgend eine
Betrachtung vervollständigt werden, welche deutlich die der
erhalteneu Summe entsprechende Anordnung der Glieder
anzeigt.

Es sei, um nun auf unseren Gegenstand zurückzukommen,
s eine positive Veränderliche und man betrachte die Reihe,
deren allgemeines Glied

1

ist, wobei die ganze Zahl n alle Werthe von w = 1 bis
n = oo annehmen kann. Wenn man voraussetzt, dass c„,
abgesehen von seinem Vorzeichen, für beliebige Werthe des
Index n immer kleiner als die Constante C ist, so gehört die
vorstehende Reihe zur ersten Art, so lange 5 > 1 ist. Setzt
man also s ^= l -\- q, wo q eine beliebig kleine positive Ver-
änderliche ist, so hat die Summe :

einen einzigen und von der Anordnung ihrer Glieder völlig
unabhängigen Werth. Denken wir uns nun, dass es sich
um die Ermittelung des Grenzwerthes handelt, welchem sich
die, so lange die Veränderliche q positiv bleibt, ollenbar
stetige Function ipi^ + q] nähert, wenn o kleiner als jede
noch 30 kleine positive Grösse wird, unter der Annahme,
dass ein solcher Grenzwerth der Function existirt, was nicht
der Fall sein kann. Nach den obigen Bemerkungen würde
man nicht berechtigt sein zu sagen, dass dieser Grenzwerth
durch :

"^ ^ n >
n

12 f^- I-iejeune Dirichlet.

wobei die lieihenfolge der Glieder willkürlich ist, dargestellt
werde; denu oflenbar gehurt diese Reihe zur zweiten Art
uud hat mithin keine bestimmte Summe.

[331] Indem man die oben ausgesprochenen Voraussetzungen
aufrecht erliält, bezeichne man mit /■ eine positive ganze Zahl
und setze fest, dass f,, der Gleichung:

(8) fn+k = ^n

genüge oder, mit anderen Worten, dass die Reihe:

^1 , ^i, ■ • • , o.-; o,+i ) o.-+i7 • • • > ^i/.-; ^2/.-+i , • • •

periodisch sei, wobei die Anzahl der Glieder, welche eine
Periode bilden, gleich k ist. Weiter setze man noch voraus,
dass die Summe dieser Glieder gleich Null sei, d. h. dass die
Gleichung bestehe:

(9) c^-}-c,-\ h o, = U .

Dann behaupte ich, dass sich die Summe:

welche nicht von der Reihenfolge der Glieder abhängt, einem
endliclien Grenzwerthe nähert, welcher durch den Ausdruck:

1

n

gegeben ist, in welchem die Glieder in der natürlichen Ord-
nung, d. h. so, dass die Werthc von // beständig von // = 1
bis w = oo wachsen, auf einander folgen sollen. Um diese
Behauptung zu beweisen, genügt es offenbar zu zeigen, dass
die Reihe:

deren Glieder in der angegebenen Weise geordnet sind, für
,v = oo bis 5=1 einschliesslich convergent bleibt und
eine stetige Function von s darstellt. Nun liisst sich aber
leicht beweisen, dass diese dojtpelte Kigenscliaft nicht nur
zwischen den soeben angegebenen Grenzen, sondern vielmehr
80 lange ä grösser als Null ist, bestehen bleibt. In der Tliat,
man stelle, wenn // irgend eine positive ganze Zahl bezeichnet,
die Summe der /ik ersten Glieder der vorstehenden Reihe
durch ein bestimmtes Integral dar. Mit Hülfe der Formel:

Verschiedene Anwendungen der Infinitesimalanalysis etc 13

fx''-' log*-' ( ^ j dx =

71^

ü

und mit Rücksicht auf die Gleichung (S) findet man für diese
Summe :

r{s)J i_a;fc ^ \xl

wobei die Summeuzeichen über alle ganzen Zahlen von n= \
bis n = k zu erstrecken sind. Da in Folge der Gleichung (9)
das Polynom ^c„rc"-' durch 1 — x theilbar ist, so bleibt der
algebraische Bruch unter dem Integrationszeichen endlich. Ist
K der grösste numerische Werth dieses Bruches zwischen
a; = 0 und [332] .r := 1 , so ist das zweite Integral kleiner als:

und verschwindet für h = oo. Folglich ist die in das Un-
endliche fortgesetzte Reihe convergent, und man erkennt mit
der gleichen Leichtigkeit, dass die durch das erste Integral
dargestellte Summe eine Function von s ist, welche sich, so
lauge s ^ 0 bleibt, stetig mit dieser Variabein ändert.

§ 2.
Ist p eine positive oder negative ungerade Primzahl und
k eine nicht durch p theilbare ganze Zahl, welche ebenfalls
positiv oder negativ sein kann, so bezeichnen wir nach Le-

(/endrea Vorgange mit ( ' | die positive oder negative Einheit,

je nachdem k quadratischer Rest oder Nichtrest von p ist.

berühmte Autor definirt das Symbol { — ] als den Rest,

welchen die Potenz /.■ ^ durch p getheilt lässt; für uusern
Zweck ist die erstere Definition, obgleich im Grunde ge-
nommen mit der letzteren identisch, deshalb vorzuziehen, weil

Der

14 '^•- Lejeune Dirichlet.

sie p nicht als positive Zahl voraussetzt. Wenn mit / eine
zweite, nicht durch /; theilbare ganze Zahl und mit q eine
ungerade Primzalil, deren numerischer Werth von dem der
Zalil p verschieden ist, bezeichnet wird, so bestehen mit Be-
nutzung des obigen Symbols die Gleichungen:

m-o (-/)=

(|) = '-"~(^) = (f)'-"^'^"-

Von diesen (ileichungen, welche die ganze Theorie der
quadratischen Reste in sich schliessen, setzt die zweite n(»ch
voraus, dass p positiv ist, und die vierte, dass p und y nicht
gleidizeitig negativ sind.

Haben die positiven oder negativen ganzen Zahlen /• und
1* keinen gemeinschaftlichen Theiler, und ist die zweite Zahl /',
welche wir als ungerade Zahl voraussetzen, in ihre, gleichen
oder ungleichen, Primzahlfactoren />, p\ p", . . . zerlegt, d. h.
ist P=pp'p"--, so haben wir oft zu unterscheiden, ob
diejenigen der Primzahlen p, p', p", . . . , von welchen /• (lua-
dratischer Niclitrest ist, in gerader oder ungerader Anzahl
vorkommen oder, was dasselbe ist, ob das Product:

00)^)

den Wert + 1 oder — 1 hat. Herr Jacohi hat den Vor-
schlag gemacht, ^333] die Lvgonlrcithc Bezeiclinung auf
derartige l*roducte auszudehnen und zu schreiben:

Da diese Verallgemeinerung der J.cpc/idrc'schcn Bezeich-
nung, von welclier der soeben genannte ausgezeichnete Mathe-
matiker scharfsinnige Anwendungen*) gemacht liat, sehr
geeignet ist, die Formeln zu vereinfachen und die Beweise
abzukürzen, so bedienen wir uns derselben in der Folge,
üemilss dieser Bezeichnung bestehen die Gleichungen:

*) Monutsborichtc dorlU-iiiner Akademie. October 18:17. [JacobCs
Werke, Bd. ti, S. 2J4. H.;

Verschiedene Anwendungen der lufiiiitesiuiiilanalysis etc. 15

i'— 1

1

wobei vorausgesetzt ist, dass die ganzen Zal.leu /• und / keinen
gemeinschaftlichen Theiler mit den ungeraden Zahlen P und
Q haben, dass ferner in der dritten dieser Gleichungen P
positiv ist, nnd dass schliesslich in der letzten diesei^ Glei-
chungen P und Q relative Primzahlen sind und nicht gleich-
zeitig das negative Vorzeichen haben. Alle diese Formeln
sind entweder evident oder lassen sich leicht aus den Formeln (l)
ableiten, und es wäre um so unnützer, hier bei ihrem Be-
weise zu verweilen, als sich die durch dieselben ausgedrückten
Sätze, von der Bezeichnung abgesehen, bereits in dem Guuss-
schen Werke art. 133 aufgestellt finden. Um unnütze Unter-
scheidungen zu vermeiden, empfiehlt es sich, den Fall, in

welchem P in dem Symbole i^\ den Werth ± 1 hat, nicht

auszuschliessen, sondern /^^J = 1 anzunehmen. Oft'enbar

ist diese neue Uebereinkunft mit den vorhergehenden Glei-
chungen verträglich; durch diese Annahme ist die dritte
dieser Gleichungen in der fünften mit enthalten und entspricht
dem Falle Q = —{.

Wir beschliessen diesen Paragraphen mit der Aufstellung
der folgenden evidenten Gleichungen, in welchen /.• und / un-
gerade Zahlen bezeichnen und d den Wert ±1 hat :

k^ l_~l kl—1 k-'-i r-—i (kl)^~\

fs:

ö ' Ö ^ =d '^ , ö ^ ö ^ =ö

§ 3.
Wir haben nun noch an einige bekannte Resultate zu
erinnern, welche sich auf die Theorie der quadratischen
Formen beziehen. Bezeichnet D eine positive oder negative
ganze Zahl (der Fall X> = 0 ist ausgeschlossen), so nennen
wir mit Herrn Gauss eine Form der Determinante J)
jeden Ausdruck:

ax^ -\- 2 bxi/ -{- C7j\

16 G. Lejeune Diricblet.

in welchem a, ö, c gegebene ganze Zahlen, die durch die
Bedingung i*—ac r= /; miteinander verbunden sind, 334
und .r, ,/ unbestimmte ganze Zahlen bezeichnen. Wenn die
Determinante J) eine negative ganze Zahl i<i, m. müssen die
äusseren Coefficienten gleiche Vorzeichen haben. In diesem
Falle betrachten wir nur die Formen, für welche dieses Zei-
chen + ist, d. h. die Formen, welche nur positive Zahlen
darstellen. Herr Gauns theilt die F<.rmen, welche zu der-
selben Determinante gehören, dadurch in verschiedene Ord-
nungen ein, dass er alle diejenigen Formen, für welche der
grösste gemeinschaftliche Tlieiler von </, ö, c denselben Werth
hat, in einer Ordnung vereinigt.^) Wir setzen immer vor-
aus, dass ein solcher Theiler nicht existirt, oder vielmehr, dass
er gleich der Einheit ist, da die anderen Fälle unmittelbar
auf diesen zurückgeführt werden können. Die Formen, um
' die es sich also noch handelt und deren Oesammtheit die so-
genannte primitive Ordnung bildet, können zwei Fälle
darbieten. Entweder sind nämlich a und r gleichzeitig gerade
Zahlen oder sie sind es nicht. Nach der Bezeichnungsweise
von Herrn Gauss bilden die Formen in dem letzteren Falle
die eigentlich primitive Ordnung, im ersteren Falle die
uneigentlich primitive Ordnung. Wenn wir fernerhin
von quadratischen Formen ohne nähere Bezeichnung sprechen,
.so verstehen wir darunter immer Formen, welche zur eigent-
lich i)rimitiven Ordnung gehören. Bekanntlich existirt" die
uneigentlich primitive Ordnung nur, wenn /> = 1 (mod. 4) ist.
Zwei Formen:

(/.r« + 2hxy-\-c y«, a' x- -|- 2 b' x y -\- r' y",

von denen die erste durch die Substitution:

•'■ = «^' + /^y', !/ = yr' -i- rV//',
wobei

i.st, in die zweite übergeht, hcissen ä(|uivaU'nt. und zwar
wird diese Ae(|uivalenz eigentlich oder uneigentlich ge-
nannt. Je naehdem in der letzten (ileiehung das (.here oder
untere Zeichen gültig ist. Diese Interscheidung. welche Herr
(iauss in die Theorie der quadratischen Formen eingeführt
hat und welche Analogie mit dem in der deoniefrie gemachten
liiterschiede zwischen der Gleichheit durch Superposition und

Verschiedene Anwcndimgeu der Infinitesimalanalysis etc. 17

der Gleicliheit durch Symmetrie* besitzt, ist desbalb von
grosser Wichtigkeit, weil sie der Theorie der Formen zweiten
Grades eine Einfachheit verleiht, welche dieselbe sonst bei
weitem nicht haben würde. Die uneigentliche Aequivalenz
brauchen wir nicht in Betracht zu ziehen; wenn wir also
kurz sagen, dass zwei Formen äquivalent sind, so verstehen
wir darunter immer, dass es sich um eigentliche Aequivalenz
handelt.

[335] Die (positiven und eigentlich primitiven) Formen,
deren Determinante eine gegebene Zahl 1) ist, und deren es
immer unendlich viele giebt, können in eine endliche Anzahl
von Classen vertheilt werden, indem man zwei Formen in
dieselbe Classe oder in verschiedene Classen einordnet, je
nachdem diese Formen äquivalent sind oder nicht. Wenn
man aus jeder Classe irgend eine der sie bildenden Formen
herausgreift, so erhält man ein System von Formen, welches
wir das vollständige System der verschiedeneu
Formen oder einfacher die verschiedenen Formen der
Determinante D nennen. Ist dieses System aufgestellt,
so hat offenbar jede Form der Determinante D immer eine
ihr äquivalente Form und nur eine solche in diesem System.
Wenn man sich für die Ordnung der uneigeutlich primitiven
Formen ein gleiches Sj^stem bildet, so ist ebenso leicht zu
sehen, dass dieses neue System die gleiche Eigenschaft in
Bezug auf jede Form der genannten Ordnung besitzt.

Die verschiedenen Formen, welche zu irgend einer Deter-
minante i> gehören, sind von Herrn Gauss in Geschlechter
eingetheilt, welche den Lege7idrehc\i.QU Gruppen von quadra-
ischen Theilern (groupes de diviseurs quadratiques) ähnlich
sind. Der Unterschied, welcher in dieser Hinsicht zwischen
den beiden berühmten Mathematikern besteht, kommt nur
davon her, dass Legendre die Determinanten, welche durch
Quadratzahlen theilbar sind, ausschliesst, was Herr Gauss
nicht thut und was wir ebenfalls nicht thun, da die Betrach-

*) Man möge über diese bemerkenswerthe Analogie einen Auf-
satz, welchen Herr Gams in den Göttinger gelehrten Anzeigen i
veröffentlicht hat, vergleichen. Nachdem dort der berühmte Autor
eine Arbeit von Herrn Seeher über quadratische Formen mit drei
Unbestimmten besprochen hat, gelit er auf sehr interessante Einzel-
heiten der Frage ein, in welcher Weise man geometrisch die Eigen-
schaften der Formen zweiten Grades mit zwei oder drei ganz-
zahligen Unbestimmten interpretiren kann.

t) [Werke, Bd. 2, S. ISS. H.]

Ostwald's Klassiker. 'Jl. 0

IJ) G. Lcjeune Dirichlet.

tun}; von Determinanten dieser Art bei verschiedenen Unter-
suchungen nnerlüsslich ist. Wir lassen hier noch die sehr
leicht aufzustellenden (Jrundsätze folgen, auf denen die Kin-
theihiug der Formen in Geschlechter beruht. J^'-'^'i- (oithm.
art. "229 und folgende.)^)

I. Wenn / eine ungerade Primzahl ist , welche 1) theilt,
so sind die niclit durch / theilbaren ganzen Zahlen ;;?, welche
durch dieselbe Form der Determinante D dargestellt werden

können, entweder alle von der Art, dass 1— j= 1 ist, oder

im \ . ^^

alle von der Art, dass ( ; 1 = — 1 ist.

II. Ist Z> ^ 3 (med. 4), so sind die ungeraden Zahlen w,
welche durch dieselbe Form dargestellt werden können, ent-

7/1—1

weder alle von der Art, dass [ — 1) 2 =i ist, oder alle

m—\
von der Art, dass ( — 1) ^ = — i ist.

III. Ist D^il mod. S), so sind die ungeraden Zahlen ///.
welche durch dieselbe Form dargestellt werden können, eut-

7H-— 1

weder alle von der Art, dass ( — 1) 8 = i ist, oder alle

von der Art, dass ( — 1) 8 = — i ist.

336] IV. Ist />^G (mod. 8), so sind die ungeraden
Zahlen w, welche durch dieselbe Form dargestellt werden können,

m—\ . HJ*— 1

entweder alle von der Art, dass ( — l) 2 8=1 ist,

m-\ m^-1
oder alle von der Art, dass ( — 1) 2 8 = — 1 ist.

V. Ist 1) ^ A (mod. 8), so sind die ungeraden Zahlen
w?, welche durch dieselbe Form dargestellt werden können,

w-1

entweder alle von der Art, dass ( — 1) 2 e= i ist, oder alle

von der Art, dass ( — 1)2 = — l ist.

VI. Ist /> EB 0 (mod. 8), so sind die ungeraden Zahlen
///, welche durch dieselbe Form dargestellt werden können,
alle ausschliesslich in einer einzigen der vier Formen 8// -|- 1,
H, '), 7 enthalten oder, was auf dasselbe hinauskommt, s(» ist

m - 1 m'— 1

zugleich (— 1)2 =±i, (_1)"8 =i;l^ wo für

Verschiedeuc Anwcnduugen der Infinitesiinalanalysis etc. 19

dieselbe Form in jeder dieser GleieLungen ein bestimmtes der
doppelten Zeichen unveriinderlich gültig bleibt.

Jede derartige Eigenschaft, wie die in den vorstehenden
batzen ausgesprochenen, nennen wir mit Herrn Gauss einen
liinzelcharakter der Form, welcher diese Eigenschaft zu-
kommt. Die Einzelcharaktere der Form bx- ~[- \xy -\~ \4f/-
z. B., deren Determinante _ 66 = — 2 ■ 3 • 1 1 ist, sind in
den folgenden Gleichungen enthalten:

lni\ lm\ !^ + '«'-J

Die Gesammtheit der Einzelcharaktere einer Form bildet
ihren Ge s am mt Charakter. Die Eintheilung der Formen in
Geschlechter besteht nun darin, dass die Formen, welche den-
selben Gesammtcharakter besitzen, demselben Geschlechte und
diejenigen, deren Gesammtcharaktere verschieden sind ver-
schiedenen Geschlechtern zugetheilt werden. Die Anzahl der
verschiedenen Geschlechter oder, was dasselbe ist, die Anzahl
der verschiedenen Gesammtcharaktere ist im Allgemeinen kleiner
als die Zahl der Combinationen, welche man aus den verschie-
denen Einzelcharakteren bilden kann, da, einen singulären
Fall ausgenommen, immer eine Beziehung zwischen den Einzel-
charakteren, die derselben quadratischen Form zugehören
besteht; diese Beziehung leitet sich aus den Sätzen (2) des
vorhergehenden Paragraphen ab. Um zu sehen, worin diese
Beziehung besteht, sei mit *S- die grösste Quadratzahl, welche
in I) als Factor enthalten ist, und mit P oder 2 P der Quo-

^^^^^ S^ ' ^^ nachdem derselbe ungerade oder gerade ist, be-
zeichnet. Diesen beiden Fällen entsprechend ist also:
i> = PS-, oder D = 2 PS' ,

[337] wobei die Primzahlfactoren j), p\ p'\ . . . , in welche P
zerlegbar ist:

sämmtiich von einander verschieden sind. Wenn man nun
irgend eine Form betrachtet, welche zu der eigentlich primi-
tiven Ordnung der Determinante D gehört, so kann man den
Unbestimmten x und y stets solche relativ primen Zahl-
werthe beilegen, dass der ihnen entsprechende Werth m der
Form positiv, ungerade und relativ prim zu U ist. Dann ist

2*

20

G. Lejeune Dirichlet.

I) t|ii:idrjitischcr Kest der Zahl in und folglich auch aller
rrimzahllactoreu von m. {IHsq. arif/im., art. 154.) Es ist

also I 1 = 1 und folglich, den beiden soeben unterschiedenen

Füllen entsprecliend :

Andererseits folgt, wenn w positiv ist, aus den Gleichungen

(2) §2;

CH^

P-1

WJ— 1

2

Beachtet man uoch, dass die Potenz

,n-\

P-Jl
•2

m- 1
2

1 oder gleich (-

1) -* ^ gleich

1) - ist, je nachdem 1^ ^^ 1 oder
P ^ 3 (med. 1) ist, und schreibt man ( -) ( ~) • • 'i" Stelle

von |'|,j und (— 1
folgende Resultate:

'^ an Stelle von

so erhält man

IJ = PS'

JJ=2PSV

r= 1 (mod. '1),
P=3(mod.4),

P=l (mod. 4),
P--:i(raod.4), (— 1)

»j-1

CK;)—-

»i-i

•'n';)(7)-=''

m'—l

•'~^~C)(f)- = '-

C) (;■)■—■

r-l

8

Für die Kinzelcharaktere, welche in diesen Relationen
nicht vorkommen, besteht keine Hedin^ungsgleichung oder —
um sicli genauer auszudrtlokcn und nicht mehr zu sagrii, als
bewiesen worden ist — ergiebt sich aus den soeben benutzten
Sätzen (2) i; 2 keine Hcdingung. Mittelst dieser Resultate
uud der oben ausgesprochenen Sätze lässt sich leicht die fol-
gende Tabelle aufstellen, welche dazu dienen kann, in jedem
Falle die verschiedenen (ieschlechter, '338] in welche die For-
men der Determinante JJ sich vertheiieu, vollständig aufzu-

Verschiedene Anwendungen der Infinitesimalanalysis etc. 21

zählen. In dieser Tabelle bezeichnen r, r\ r", ... die von
einander verschiedenen ungeraden Primzahlen, welche in />,
aber nicht in P aufgehen.

Erster Fall. D = PS\ P= 1 (mod. 4).

AS'=l(mod.2

*S'= 2 (mod. 4)

*S'=0(mod. 4)

am'-
um-

Wl— 1

1

(7).(:^).

»n— 1

m-— 1

Zweiter Fall. T) = PS% P = 3 (mod. 4).
w— 1

*S'=l(mod.2)
*S'=2(mod.4)

*.S'=0(mod.4

r

(jn\ hn\

PI \p

m— 1
m—\

i:

lm\ lm\

m-—\

S= 1 (mod. 2

PI \P
Dritter Fall. D = 2PS'\ P= 1 (mod. 4).

(-1)

».9=0 (mod. 2)

'\pV\pT

H»-— 1

~rr\rr

m-\

■' ^ .(7).(")

Vierter Fall. 7> = 2P*S-, P= 3 (mod. 4)

>S'=l(mod.2) (— 1
.S'^0(mod.2) (— 1)

m— 1 m^— 1

m— 1
~2^

(m\ /w\ /w\ lm\

(m\ /w\ I lm\ lm\

22 G. Lejeune Dirichlet.

Um die verschiedenen Gesammtcharuktere oder, was das-
selbe ist, die verschiedenen Geschlechter, welche für eine
gegebene Determinante vorhanden sein können, aufzuzählen,
muss man nacheinander alle Ausdrücke hinschreiben, welche
die der gegebenen Determinante entsprechende Zeile in der
obigen Tabelle bilden, nachdem jeder dieser Ausdrücke gleich
liz 1 gesetzt ist; darauf sind die doppelten Zeichen auf alle
möglichen Arten unter der Bedingung zu variiren, dass die
rechten' Seiten derjenigen Gleichungen, [339] welche dem ersten
Theile der Zeile entsprechen, als Product 1 liefern müssen,
da diese Bedingung mit der oben aufgestellten notliwendigen
Bedingung coincidirt. Es sei z. B. /> = 2 . 3 . 5-. Da diese
Determinante in die erste Unterabtheilung des vierten Falles
gehört, so erhält man die folgenden vier Gesammtcharaktere:

Ml— 1 ?n-— 1

Wl— 1 MJ-— 1
1 ^

(- 1) = 1

OT— 1 MJ^-l

,2 s lm\ lfti\

m—l ,»»''—'

;-'>^^=-'. 0 — ■ 0— •

In der Gauss'schen Bezeichnung würden diese Geschlechter
folgendermaassen charakterlsirt sein:

1 und 3, S ; 7^3 ; 725 ;

l und 3, s ; 7i!3; iS"5 ;

5 und 7, b ; iV3 ; ^5 ;

5 und 7, 8 ; iV3 ; Nh ;

Es ist sehr wichtig zu bemerken, dass die vorstehenden
Bctra<'hlungen keineswegs beweisen, dass die mit der ange-
gebenen Bedingung verträglichen (ieschlechler auch wirklieh
i'xisliren; man kann daraus nur schlicssen, dass es nicht noch
andere Geschlechter geben kann. Die Frage, 1) ob es für
jede Determinante wirkliche Formen aller aufgezählten Ge-

Verschiedene Anwendungen der Infinitesimalanalysis etc. 23

schlechter giebt, und 2) in welcher Weise sich die verschie-
denen Formen in die wirlilich vorhandenen Geschlechter
vertheilen, ist eine sehr schwierige, welche einen der haupt-
sächlichsten Gegenstände in dem zweiten Theile des fünften
Abschnittes des Gcmss^schen Werkes bildet; wir werden weiter
unten die Lösung dieser Frage ebenfalls mittelst unserer
Principien geben.

Ehe wir weitergehen, machen wir noch darauf aufmerksam,
dass die Anzahl der auf die angegebene Art aufgezählten
Geschlechter gleich 2''"'' ist, wenn mit l die Anzahl der Aus-
drücke, welche in einer Zeile der vorstehend gegebeneu Tabelle
enthalten sind, bezeichnet wird. Die einzige Ausnahme, welche
von dieser allgemeinen Regel stattfindet, tritt ein, wenn der
erste Theil der Zeile — dieser ist ja einer Bedingung unter-
worfen, welche die Reduction der Anzahl aller Combinationen
auf die Hälfte bewirkt — überhaupt nicht vorhanden ist.
Wirft man einen Blick auf die Tabelle, so sieht man sofort,
dass dies nur dann möglich sein kann, wenn die Determinante
dem ersten Falle angehört und gleichzeitig P keinen Prim-
zahlfactor p, p', . . . enthält. Da dann einerseits P ^ 1
(mod. 4) und andrerseits P=± 1 , folglich P= 1 ist, so
erkennt man, dass dieser Fall nur eintreten kann, wenn die
Determinante eine positive Quadratzahl ist; in diesem Falle ist
die Anzahl der Geschlechter gleich 2''-,

[340] Alles bisher Erörterte bezieht sich auf eigentlich
primitive Formen. Es erübrigt uns noch den Fall der zur
uneigentlich primitiven Ordnung gehörenden Formen zu be-
trachten, durch welche ofi"enbar nur gerade Zahlen darstellbar
sind. Dieser Fall kann nur eintreten, wenn Z) ^ 1 (mod. 4)
und folglich P^ 1 (mod. 4), <S'^ 1 (mod. 2) ist. Bezeichnet
man mit w? eine positive, ungerade und zu D relativ prime
Zahl, deren Doppeltes durch eine solche Form dargestellt
werden kann, so erhält man ohne Mühe die folgende Tabelle,
welche in der gleichen Weise wie die früher gegebene zu
benutzen ist:

D = PaS'*, P=l(mod. 4), ^"=l(mod. 2],

24 ^ Lojeune Dirichlet.

Wir haben nun zu ermitteln, unter welchen Bedingungen
und auf wieviele verschiedene Arten eine Zalil »?, welche wir
positiv, ungerade und relativ prim zu J) annelimen, oder das
Dojjpelte dieser Zald durcli die Formen der Determinante J)
dargestellt werden kann, wobei wir annehmen, dass die
positiven oder negativen Werthe, welche hierzu den unbe-
stimmten Zahlen .r und // beigelegt werden, relativ prim zu
einander sind. Wenn eine solche Darstellung möglich sein
soll, so muss J) quadratischer Rest zu w oder 2w sein
[Disq. arithm.^ art. 154), welche beiden Bedingungen nicht
von einander verschieden sind. Damit aber I) quadratischer
Rest zu m sei, ist nothwendig und hinreichend, dass für jeden
Primzaliltheiler y von 7n (art. 105):

(f) =

ist. Setzt man / als positive Primzahl voraus und unter-
scheidet mau, wie in dem vorigen Paragraphen, die folgenden
vier Fälle, welche die Determinante darbieten kann:

D= PS^, P= 1 oder 3 (mod. 4);

D = 2P S- , P = 1 oder 3 (mod. 4) ,

so kann die Bedingung (1) auf Grund der .Sätze (2) § 2,
diesen vier Fällen entsprechend, durch eine der folgenden
Bedingungen ersetzt worden:

Es sei nun:

(3) az* 4- 2 hxi/ -\- cif , a'a-' + 2 h'xy -f c' >/ , • • •

das vollständige System der verschiedenen (eigentlich primi-
tiven) Formen, deren Determinante die negative Zahl D ist;
wir wollen uniersuchen, wie oft die Zahl ;//, deren l'rimzahl-
theiler /" der Üediugung (1 genügen, [341] auf die angegebene

Verschiedene Anwendungen der Tnfinitesimalanalysis etc. 05

Weise durch die Gesammtheit dieser Formen darstellbar ist.
Bezeichnen wir mit u die Anzahl der von einander verschie-
denen Primzahlfactoren von m, so hat die Congruenz:

z^ ^ D (mod. m)

ebenso viele verschiedene Wurzeln, als die Potenz 2." Ein-
heiten enthält (art. 105). Diese Wurzeln seien:

wir suchen nach den Vorschriften des Artikels 180 die Dar-
stellungen auf, welche zu jeder dieser Wurzeln gehören. Um
diejenigen Darstellungen, welche z = l entsprechen, zu er-
halten, muss man nachsehen, ob es unter den Formen (3) eine
der Form:

l'i j)

m X' -{- 2 l xy -\ «*

771 ^

äquivalente giebt. Nun ist aber diese letztere Form eine eigent-
lich primitive, da m ungerade und relativ prim zu I) ist, und
mithin findet sich immer in dem Systeme (3) eine zu ihr
äquivalente, durch welche m auf zwei Arten dargestellt werden
kann. Da sich derselbe »Schluss auf alle anderen Wurzeln
r, l" , ••• anwenden lässt, so sieht man, dass die Zahl ?n auf
2"'^' verschiedene Weisen durch die Gesammtheit der For-
men (3) darstellbar ist; hierbei sind zwei Darstellungen als
von einander verschieden gezählt, wenn sie durch verschiedene
Formen geschehen oder wenn, indem sie durch dieselbe Form
stattfinden und mit x, y und x', y' die gleichzeitigen Werthe
der Unbestimmten bezeichnet werden, nicht gleichzeitig x = x'
und y = y' ist.

Man gelangt zu dem gleichen Ergebniss, wenn das voll-
ständige System (3) das der uneigentlich primitiven Ordnung
und zugleich die Zahl, welche durch diese Formen dargestellt
werden soll, 2 m ist. Es genügt zu bemerken, dass die Anzahl
von Wurzeln der Congruenz z- ^ D (mod. 2 m) gleich 2 ." ist,
und dass die Form:

p- £)

•^ ^ 2m -^ '

wo / eine beliebige dieser Wurzeln bezeichnet, eine uneigent-
lich primitive ist. Dies folgt daraus, dass die Zahl m ungerade
und relativ prim zu D und der Coefficient von y- gerade ist,

20 f» Lejcune Diriclilet.

da r- und J) von der Form l r -\- \ sind. Wir erhalten also
folgenden Lehrsatz, welcher in seinem Wortlaute beide Fälle
vereinigt:

Lehrsatz I.

»Es seien:

ax- -\- 2hxrj -f- cif- , «'.r- + 2h' xy -f- c' y- ....

die verschiedenen eigentlich (uucigentlich) primitiven Formen,
deren Determinante gleich der negativen ganzen Zahl D ist:
[342; es sei ferner m eine positive, ungerade und zu 1) re-
lativ prime Zahl, deren sämmtliche Primzahltheilery' derjenigen
der Bedingungen (2) genügen, welche sich auf die gegebene
Zahl 1) bezieht, und es werde mit // die Anzahl der ungleichen
Primzahlfactoren von m bezeichnet. Wenn dann noch die
Unbestimmten x und y der Bedingung, keinen gemeinschaft-
lichen Theiler zu besitzen, unterworfen werden, so wird
die ganze Zahl m (2 ;«) immer durch die Gesammtheit dieser
Formen auf ebenso viele verschiedene Arten, als die Potenz
2'"^' Einheiten hat, dargestellt.«

Anmerkung. Dieser Satz erleidet zwei Ausnahmen, deren
erste für 1) = — l und deren zweite für die Formen der
nneigentlich primitiven Ordnung, welche zur Determinante
]) = — 3 gehören, eintritt. Aus dem schon genannten Artikel
des 6V/M66'schen Werkes ergiebt sich, dass die Anzahl der Dar-
stellungen in diesen beiden Fällen bez. 2""*"- oder 3-2'''*"' ist.

Um den analogen Lehrsatz für den Fall, in welchem D)
eine positive Zahl [aber keine Quadratzahll*) ist, aufzu-
stellen, hat man an den vorhergehenden Betrachtungen nichts
zu ändern; nur muss man sich, .statt auf den Artikel ISO der
])isq. arif/im., jetzt auf den Artikel 20.") dieses Werkes
stützen. Um den Fall der eigentlich primitiven und den der
uneigentlich primitiven Formen in einen Satz zusammenfassen
zu können, benutzen wir den Buchstaben (o. unter welchem,
den beiden Fällen entsprechend, die Zahl 1 oder 2 zu ver-
stehen ist.

*) Die Formen, deren Dotoniiinantc eine positive Quadratzalil
ist, zerfallen iiiiuier in zwei lineare Faetoren und sind daher niolit
wirkliche (|iia(lratiHclie Formen. l)esli;illi scliliesBen wir diesollten
in der l'olfje .stet« auB.

Verschiedene Anwendungen der Infinitesimalanalysis etc. 27

Lehrsatz II.

»Es seien

ax"' -\- Ihxxj -\- elf ^ a'x^ -\- Ih'xij -f- c'y-, ....

die verschiedenen eigentlich (imeigentlich) primitiven Formen,
deren Determinante die positive ganze Zahl D ist; es sei m
eine positive ungerade und zu D relativ prime Zahl, deren
sämmtliche Primzahlfactoren derjenigen der Bedingungen (2)
genügen, welche sich auf die gegebene Zahl D bezieht, und
es werde mit a die Anzahl der ungleichen Primzahlfactoren
von m bezeichnet. Wenn dann noch die Unbestimmten x und
y der Bedingung, keinen gemeinschaftlichen Theiler zu besitzen,
unterworfen werden, so können die Darstellungen von vnn
durch die Gesammtheit dieser Formen stets in 2'' verschiedene
Gruppen in der Weise eingetheilt werden, dass in dieselbe
Gruppe zwei Darstellungen:

ax"- + '^hxy -\- cy"^ = com , ax'- -\- Ibx'y' + cy'- = com

[343] aufgenommen werden, welche durch dieselbe quadratische
Form geschehen und in welchen die Werthe .r,'y und x', y'
der Unbestimmten durch die Gleichungen:

1 - 1 . , ,

X = — \x't — [bx -\- cy') m] , y = — [y't -\- [ax -{- by') m]

mit einander verbunden sind; hierbei sind t und u beliebige
positive oder negative ganze Zahlen, welche die Gleichung

(4) 2!* — Du"' = CO-'

befriedigen. «

[Wie man bemerkt, bleibt dieser Satz richtig, wenn in
demselben die Bedingung, dass D positiv sein soll, unter-
drückt wird, und enthält dann auch den Lehrsatz I nebst seinen
beiden Ausnahmen in sich. Wenn D als negative Zahl an-
genommen wird, so hat in der That die Gleichung (4) im
Allgemeinen nur die beiden Lösungen t = ± co, u = 0; dies
giebt zwei Darstellungen für jede Gruppe, und es wird die
Gesammtzahl aller Darstellungen, welche in diesem Falle end-
lich ist, gleich 2"'^', wie in dem Lehrsatze I angegeben ist.
Eine Ausnahme findet nur statt, wenn entweder I) = — 1,
w = 1 oder D = — 3, w = 2 ist, in welchen Fällen die
Anzahl von Lösungen der Gleichung (4) bez. 4 oder 6 ist;
diese Fälle stimmen aber mit den oben angegebenen Aus-
nahmen überein. Trotzdem wir diese Gemeinsamkeit der Fälle

2S ^- Lc'jcuue Dirichlet.

eines positiven und eines negativen Werthes von 1) bemerkten,
glaubten wir doch, da in anderer Hinsicht diese beiden Fälle
sehr verschieden von einander sind und getrennt behandelt
werden ' müssen, zwei getrennte Sätze aufstellen zu s(»Ilen. um
die vorstehenden Kesultate, welche wir oft zu benutzen haben,
leichter anwenden zu können.]

Es ist leicht zu selten, dass sämmtlicbe Darstellungen oder,
was dasselbe ist, sännntlicho Lösungen der Gleichung:

(.')) ax- + 2bj-y -\- ci/ = cjm ,

welche zu derselben Gruppe gehören, immer auf irgend eine
von ihnen, .r = «, y = y^ mittelst der Formeln:

(<») ^ = ^,/«^ — (^« + f'/)«], y = -[7/ + (''« + ^;')"]

zurückgeführt werden können ; hierbei sind den Grössen / und
u wieder alle ganzzahligeu Werthepaare, welche der Gleichung
(4) genügen, beizulegen.

Wir wollen nun zeigen, dass bestimmte, sehr einfache
Grenzen existiren, zwischen denen immer eine dieser unendlich
vielen Lösungen und nicht mehr als eine enthalten ist. Um
für unsern Zweck unnütze Unterscheidungen zu vermeiden,
setzen wir in jeder der gegebenen Formen:

ax" -\-2hxy-\-cif, ax' -f 2h'.ri/ + <•'//% ....

[344] die Coefficienten von x- und xij positiv und den von
//■ negativ voraus. Man überzeugt sich leicht von der Zu-
lässigkeit dieser Annahme; es mag die Bemerkung genügen,
dass unter den Formen, welche eine Classe bilden und aus
welchen wir, um das sogenannte vollständige System der ver-
schiedenen Formen aufzustellen, eine ganz beliebige Form
willkürlich auswählen können, es immer wenigstens eine giebt,
welche den angegebenen Bedingungen genügt. In der That
enthält die Periode der reducirten Formen, welche zu einer
gegebenen Classe mit positiver Determinante gehören, immer
wenigstens zwei Formen [Disq. arithm.^ art. 1^7), und es ist
klar, dass sich unter irgend zwei benachbarten Formen dieser
Periode eine solche befindet, dass

(7) « > 0 , i > 0 , r < ü

ist.") Man erkennt weiter, dass, wenn diese Bedingungen statt-
linden, es unter den Lösungen der Gleichung (.">) keine geben
kann, für welche x = (I ist; denn aus dieser Annahme würde

Verschiedene Anwendungen der Infinitesimalanalysis etc. 29

elf- = otm folgen, was unmöglich ist, weil c und m entgegen-
gesetzte Vorzeichen haben. Der besondere Wcrth u ist mithin
auch von Null verschieden, und wir bemerken, dass dieser
Werth stets als positiv vorausgesetzt werden kann. Dies folgt
daraus, dass die Lösung x = a, y = y ^ welche als Ausgangs-
punkt dient, um alle zu ein und derselben Gruppe gehörenden
Lösungen zu erhalten, immer willkürlich in dieser Gruppe ausge-
wählt werden kann, und dass iu der Gruppe, welche die Lösung
X = a, y = y enthält, offenbar auch die Lösung x = — «,
y = — ;' enthalten ist, da diese letztere in Bezug auf die
erstere dem Werthepaare t = — w , ?< = 0 entspricht.

Die unendlich vielen Lösungen, welche eine derartige
Gruppe bilden und welche sich aus den Gleichungen ((>) er-
geben, können in zwei Untergruppen eingetheilt werden; die
erste umfasst alle Lösungen, für welche rr ^ 0 ist, während die
zweite alle der Bedingung x <^ 0 genügenden Lösungen enthält.

Wir zeigen jetzt ferner, dass in der ersten dieser Unter-
gruppen für y alle ganzen Zahlen von — oo bis -f- oo gesetzt
werden können, ohne dass diese Unbestimmte denselben Werth
in zwei verschiedenen Lösungen annehmen kann, und dass
diejenige dieser Lösungen, für welche y den kleinsten, von
Null verschiedenen, positiven Werth hat, sehr einfachen Un-
gleichheitsbedingungen genügt, mit deren Hülfe es leicht ist,
alle anderen Lösungen abzusondern und jede Gruppe auf eine
einzige Darstellung zurückzuführen; durch diesen letzteren
Umstand wird der Lehrsatz II dem Lehrsatze I, welcher sich
auf negative Determinanten bezieht, ganz ähnlich. Um zu
diesem Ziele zu gelangen, beachten wir, dass aus der Gleichung:

acr -\- 1h uy -|- cy- = wm ,

nachdem sie [345] auf die Form:

(Ja -f- cyY' — Dar = cocm

gebracht ist, und daraus, dass wem negativ ist, vom Vor-
zeichen abgesehen folgt:

«yZ>> öa -\- cy\

da auf Grund der Gleichung 1 4) :

CO CO

ist; so folgt, immer vom Vorzeichen abgesehen, weiter, dass

30 G- Lejeune Diiichlct.

dt > [ha 4- ^J'l«

ist. In Verbindung mit der gemachten Annabme, dass cf ^ 0
ist, folgt hieraus, dass man nur diejenigen Lösungen der C!lei-
chung (4), bei denen t das positive Zeichen hat, benutzen
muss, wenn man alle durch die Gleichungen (G) gege))enen Dar-
stellungen, für welche r einen positiven Werth hat, erhalten
will. Aus einem bekannten Lehrsatze folgt nun aber, dass alle
Losungen, welche dieser Bedingung genügen, durch die Formeln
gegeben sind:

in denen T und U die kleinsten positiven (von vj und d ver-
schiedenen) Zahlen, welche der Gleichung (4) Genüge leisten, be-
zeichnen und n allmählich alle ganzzahligen Werthc von — oo
bis + oo beizulegen sind. Für die Untergruppe, in welcher
X positive Werthe hat, erhält man mithin:

^n = - [« f» — (« ^ + /^) ««^ , yn = 7. [/' ^1 + (« « + ;' ^') "n] »
lü l'J

wo die verschiedenen Lösungen dieser Gruppe durch den be-
reits in den vorigen Gleichungen benutzten Index 71 von ein-
ander unterschieden sind. Setzt man noch die Ausdrücke für
/„ und «„ ein, so wird die zweite dieser Gleichungen:

yVV-[-((a-\-yb

y» . 2V7^

K^S«)'

\ 21 /> /W "^

Von den Grössen: *

yVJ) + aa -{- yh , y\l) — «« — /*

ist, wie man leicht sieht, die erste positiv, die zweite negativ.
Um sich davon zu überzeugen, braucht man nur nachzuweisen,
dass «rt -\- yh numerisch grösser als ;- 1 l) und zugleich positiv
ist. Die Richtigkeit der ersten Behauptung ergicbt sich, wenn
man die (Ileicluing:

ad} -\- 'Ihay -\- cj'* = lom

Verschiedene Anwendungen der Intinitesimalaualysis etc. 31
auf die Form:

bringt und beachtet, dass die rechte Seite positiv ist. Um
die zweite Behauptung zu beweisen, ist zu beachten, dass der
numerische Werth von aa-\-yb, [346] da er den von y} J)
übertrifiFt, um so mehr grösser als der von yb sein muss, da
b <C} I) ist; daraus folgt aber, da aa positiv ist, dass
aa -\- yb ebenfalls positiv ist.

Da auf Grund des Vorstehenden von den beiden Coeffi-
cienten, welche in dem Ausdruck für y„ auftreten, der erste
positiv, der zweite negativ ist, und da ferner von den posi-
tiven Grössen

VJ 10 CO iO

deren Product gleich 1 ist, die erste offenbar grösser, die
zweite kleiner als 1 ist, so sieht man sofort, dass jedes der
beiden Glieder, aus denen der Ausdruck für y„ zusammen-
gesetzt ist, mit dem Index ti wächst. Es ist also für beliebige
Werthe dieses Index:

yn > yn-, ;

diese Ungleichheit beweist aber die obige Behauptung, dass
die Unbestimmte y in der Untergruppe, in welcher x positiv
ist, nicht zweimal denselben Werth erhalten kann. Da nun
offenbar j/^-j, = — oo , y,^= oo ist, so muss y von nega-
tiven Werthen zu positiven fortschreiten. Für die Lösung,
welche wir im Auge haben, hat y„ den kleinsten positiven,
von Null verschiedenen Werth, und wir müssen daher, um
diese zu erhalten, die beiden Bedingungen stellen:

Beachtet man, dass vermöge der oben für a:,„ ?/„, i'„, u^ ge-
gebenen Ausdrücke die Beziehung:

i/n-i = - [i/uT— {a.r„ + b!/„] U]

besteht, so nimmt die zweite dieser Bedingungen die Gestalt an:
{T-bU)y,^aUx,,

Da T:>UVD, J<yl>"imd folglich T— if'>0 ist, so
ist diese Ungleichheit mit der folgenden identisch:

32 <• lA'ieuue Diriclilet.

_. a U

Aus dem Vorstehenden folgt :il.so, dass unter den unendlich
vielen I)arstellunj;en, welche eine Gruppe bilden und welehe
sämuitlieh durch die Gleichungen {(>) gegeben sind, sich immer
eine befindet, welche den drei Bedingungen:

(S) a; > 0, 2/ > 0, y ^ f—JÜ ^

genügt.

Diese Ungleichheiten sind aus der Definition der speciellen
Losung, welche wir von den anderen Lösungen der gleichen
Gruppe abtrennen wollten, hergeleitet worden. Nach dieser
Definition sollte die Lösung, um welche es sich liandelt, zur
ersten" der beiden Untergruppen gehören und [347: in dieser dem
kleinsten positiven Werthe von i/ entsprechen. Umgekehrt lässt
sich beweisen, dass jede Lösung, für welche die vorstehenden
Ungleichheiten erfüllt sind, nothwendig sich unter allen den
Lösungen befinden muss, die mit ihr dieselbe Gesammtgruppc
bilden, und zwar ist es die Lösung, auf welche sich die obige
Definition bezieht; es sind für diesen Nachweis die soeben
entwickelten Schlüsse nur in umgekehrtem Sinne zu wieder-
holen. Mithin kann der Lehrsatz II durch den folgenden Satz
ersetzt werden :

Lehrsatz III.

»Wenn man zu den Voraussetzungen des Lehrsatzes II,
welche gültig bleiben sollen , noch die weiteren hinzufügt,
dass die Coefficienten und die Unbestimmten der Form
(U^ + 2 bxi/ -\- cy- den Bedingungen (7) und (S) genUgen,
und dass alle anderen Formen analogen Bedingungen unter-
worfen werden , so ist die Anzahl der ver.scliiedenen Dar-
stellungen der ganzen Zahl (jt?!, welche durch die gegebenen
Formen möglich sind, immer gleidi der Potenz '!■".<

Um die Anwendungen , welche wir von diesem Satze zu
machen haben, zu erleichtern, empfiehlt es sich, das Kesultat,
auf welches sich dieser Satz stützt, in ein geometrisches Ge-
wand einzukleiden. Zu diesem Zwecke seien (>X und (fY
zwei rechtwinkelige Axcn der .r und y, in dena Sinne der

Verschiedene Anwendungen der Infinitesimalanalysis etc. 33

positiven Coordinaton die erste liorizonful, die zweite vertical
von unten nach oben gerichtet. Betrachtet man in der Glei-
chung :

ax'- -f- 2 bx(/ + et/- = 0) m

die Veränderlichen x und y als stetig, so stellt diese Glei-
chung eine Hyperbel dar, deren beide Aeste durch die y-Axe
von einander getrennt werden, wie aus den Bedingungen
« ^ 0, Z» ^ 0, c <1 0 sich leicht folgern lässt. Wenn wir
nun denjenigen der beiden Aeste, für welchen die Abscisse
tiberall positiv ist, als ersten bezeichnen, so entspricht die
erste der früher unterschiedenen Untergruppen diesem ersten
Aste. Die geometrische Interpretation des obigen Resultates
besagt, dass sich unter den unendlich vielen Lösungen,
welche dieselbe Gesammtgruppe bilden und welche sämmtlich
in den Gleichungen (6) enthalten sind, immer eine und nur
eine befindet, welche durch einen Punkt auf dem einerseits
von der Axe OX und andererseits von der Geraden mit der
Gleichung :

_ aU

y- T—bu''

begrenzten Bogen des ersten Astes dargestellt wird; hierzu
muss bemerkt werden, dass immer die Lösung, welche dem
unteren Endpunkte dieses Bogens entspricht, auszuschliessen ist.

[348] § 5.

Ehe wir zu dem eigentlichen Gegenstande dieser Abhand-
lung übergehen, haben wir noch eine letzte Vorfrage zu er-
ledigen. Diese besteht in der Aufgabe, alle Werthepaare der
Unbestimmten x und tj zu bestimmen, welche, in die gegebene
Form der Determinante D eingesetzt, diese gleich einer un-
geraden Zahl oder gleich dem Doppelten einer solchen, je
nachdem die Form eiue eigentlich oder uneigentlich primitive
ist, und relativ prim zu 1) ergeben. Wir bezeichnen den
numerischeu Wert von D mit l)^ und beginnen diese Unter-
suchung mit der Prüfung des Falles, in welchem die gegebene
Form zur eigentlich primitiven Ordnung gehört. Dieser Fall
theilt sich von selbst wieder in zwei Unterfälle, je nachdem
D gerade oder ungerade ist. Zuerst sei D eine ungerade
Zahl. Bringt man die Unbestimmten a-, y auf die Form :

Ostwald's Klassiker. !M. 13

34 f»- Lejeunc Dirichlet.

wo /", ?/• beliebige, i)()sitiv(' oder negative, gauze Zalileu be-
zeichnen und «, y Zahlen aus der Reihe:

0, 1,2,..., 11), -\

sind, so ist ollenbar:

ax- 4- 2 i.r y + cy^ ^ a a* -\- Ihay -\- cy* (med. 2 7), ).

Die vorgelegte Frage läuft also auf die andere hinaus:
für welche Combinationen «, ;- oder vielmehr, für wieviele
dieser Combinationen — denn allein ihre Anzahl ist es. deren
Bestimmung für uns von Wichtigkeit ist — wird die rechte
Seite dieser Congrueuz relativ prim zu 2 7>>,? Ohne die All-
gemeinheit der Frage zu beeinträchtigen, kann man, wie zu-
nächst bemerkt sein mag, einen der äusseren Coefficienten.
z. B. den ersten a ohne gemeinschaftlichen Theiler mit 2 />,
voraussetzen. In der That kann die gegebene Form, wenn
sie diese Bedingung nicht erfüllt, in eine andere, für welche
diese Bedingung erfüllt ist, transformirt werden. Es sei
a'.r'* -1- 2Z»';c'y' + c'y'* die neue, der ersten äquivalente
Form, und es seien:

x=px' -f- </y', y = )\t' + .v//', pti — qr=[

die Gleichungen, welche dieser Transformation entsprechen.
Wenn man nun in den Congruenzen:

u ^E /; u -f- q /, y ^ r «' + *• ;'' (mod. 2 />, )

die Zahlen «', /', welche beide aus der Keilie:

ü, 1,2,..., 2/;, -1

genommen sind, auf alle möglichen Arten mit einander com-
binirt und «, / so bestimmt , dass sie derselben Zahlcnroibo
angehören, so entspricht jeder Combination «', y' eine Com-
bination (f, ;' und umgekehrt, [349] wie man sieht, wenn man
die obigen Congruenzen auf die Form:

u'^sa — <//, /'' ^ — ra-\-py (mod. 2/>,)

bringt. Beachtet man noch, dass offenbar :

r/«* -\-2buy -\- ry^ ~ a' a'- -{- 2b'ti'y' + r'/* (mod. 2 />,)

ist, 80 folgt nunmehr, dass die Anzahl der Combinationen
«, /, für welche </«* -f- 2 Äa ;' + r;-* relativ prim zu 2 />,
ist, gleich der Anzahl der Combinationen «', ;'' ist, für
welche die rechte Seite der letzten Congruenz die gleiche

Verschiedene Anwendungen der Infinitesimalanalysis etc. ^5

Eigenschaft besitzt. Da dieser Schluss die obige BeLauptung
rechtfertigt, so Icönnen wir a als relativ prim zu ^2D^ an-
uehnien. Damit dann aber das Trinom :

a er -{- '2l)uy -\- c •/'

keinen gemeinschaftlichen Teiler mit '2D^ hat, ist es noth-
wendig und hinreichend, dass das Product:

a [a «- -{- 2bay -\- cy-) = (« a -|- hy)'^ — Dy-

dieselbe Eigenschaft besitzt, und folglich dass aa-\-hy für
geradzahlige Werthe von ;' relativ prim zu 2D^ ist oder dass
aa -{- by für ungeradzahlige Werte von y gerade und relativ
prim zu J)^ ist. Nun stimmen aber die Werthe des Aus-
druckes aa-{-by, wenn y einen bestimmten Werth hat und
a nacheinander die Werthe:

0, 1,2,..., 22), -1

annimmt, abgesehen von Vielfachen von 2 D, , mit den
Zahlen derselben Reihe überein. Es kommt also alles darauf
an, in dem Falle eines geraden / die Anzahl der zu 2 7),
relativ primen Zahlen in der obigen Zahlenreihe, und in dem
Falle eines ungeraden / die Anzahl der geraden und zu I)^
relativ primen Zahlen in derselben Zahlenreihe zu ermitteln.
Bezeichnet man mit z/ die Anzahl der positiven, D^ nicht
übersteigenden*) ganzen Zahlen, welche mit D keinen ge-
meinschaftlichen Theiler haben, so ist in beiden Fällen die
Anzahl der betreftenden Zahlwerthe gleich z/.") Da / aber
21), verschiedene Werthe annehmen kann, so folgt, dass
2D^^ Combinationen a, y, welche der Form:

aa^ + 2bay -f- cy-

einen zu 2 7), relativ primen Werth geben, vorhanden sind.
In dem Falle eines geraden /) zeigt eine ganz gleiche Unter-
suchung, dass die Anzahl der Combinationen dann gleich
4 7), J ist.

Betrachten wir schliesslich den Fall, dass die gegebene
Form :

a.r- -\- 2b XU -\- cif-

*) Ich sage absichtlich »iiiclit übersteigende-", damit der Fall
2)i = 1 keine Ausnahme bildet.

3*

30 <J- Lejcime Dirklilet.

zu der mioigentlich primifivon Ordnung: g'f'liiirf. Wonu wir
setzen:

\ a =. a ' j J (• =c '
und, wie vorhin:

.r = 2 /;,<• + a . tj = 2I)^ v -\- y .

so erhalten wir:

a'x^ + hxy + c'y'- = a' a* + bay + r' y'- (mod. 2/),) .

350 uud wir haben dann zu ermitteln, für wieviele ("dinlü-
uationen ff, ;' die rechte Seite ungerade und relativ priui
zu J)^ ist. Um dieses Ziel auf die einfachste Weise zu erreichen,
setzen wir voraus, dass a keinen gemeiuschaftliclieu Theiler
mit 2 ])^ hat, was otlenbar erlaubt ist. Dann muss man die
beiden Fälle:

I) = 1 und Z> = 5 (med. b)

unterscheiden. Da b ungerade ist, so ergiebt sich aus der
Gleichung:

D = h^ — ac = h^ — \a'r ,

dass in dem ersten dieser beiden Fälle c' gerade und in dem
zweiten c' ungerade ist. Die Form:

a er -\- hccy -j- c' y"-

kann mithin nur dann gleich einer ungeraden Zahl sein, wenn
in dem ersten Falle von den beiden Zahlen (f, / die erste
eine ungerade, die zweite eine gerade Zahl ist, und wenn in
dem zweiten Falle entweder von deu beiden Zahlen die eine
gerade, die andere ungerade ist oder alle beide Zahlen un-
gerade sind. Um noch der anderen Bedingung, weklie ver-
laugt, dass

a'«* + hay -\- r';'-

relativ prim zu 2 7>, ist, zu genügen, ist es notliwendig
und hinreichend, dass das Product:

4a'(«'«* 4- i«;/ 4- c'y^) = {aa-\- byf — Dy^

dieselbe ICigenschaft besil/t. Ist dies der Fall und ninniit mau
zunächst J) : 1 (mod. S an, so nmss man, nadidt^m für ;•
eine bestimmte gerade Zahl gesetzt ist, « Jedem Werthe der
lieihe:

!,:<.:.,.... 11), - \

Verschiedene Anwendungen der Infiniteaimalanalysis etc. 37

gleichsetzen und bestimmen, wie oft au -f- hy oder, was das-
sel)3e ist, der Rest dieses Ausdruckes in Bezug auf den
Modulus D^ relativ prim zu Z>, ist. Nun überzeugt man
sich aber leicht, dass die Reste von «« + by ^ wenn auch in
anderer Reihenfolge, mit den Zahlen:

0, 1, 2, ..., D,-\

übereinstimmen; hieraus folgt, dass die Anzahl der jedem
Werthe von / entsprechenden ungeraden Werthe von a, für
welche

a' a^ -\- huy -f- <:'/-

ungerade und relativ prim zu D ist, gleich J ist. Da nun
die Zahl y selbst I)^ verschiedene Werthe annehmen kann, so
ergiebt sich, dass die Anzahl der Combinationen, welche dem
Ausdrucke :

\{aa' -\- 2b ay + ry-)

einen ungeraden und zu D relativ primen Werth geben, gleich
i>, J ist. Betrachtet man zweitens den Fall: Z) ^ 5 (mod. S),
so findet man, wie in dem ersten Falle, dass für jeden ge-
raden Werth von y die Anzahl der zulässigen Werthe von «
gleich J ist, da für ein gerades y die Zahl a ungerade sein
muss; anders verhält es sich aber, wenn der / zuertheilte
bestimmte Werth ungerade ist, da dann « gerade oder ungerade
sein kann. Bei dieser letzteren Annahme muss man in dem
Ausdrucke au -\- by für u jede der Zahlen:

0, 1, 2, ..., 2 7), - 1

setzen. Die diesen Zahlen entsprechenden Werthe von a('.-\~by^
vermindert um die in ihnen enthaltenen Vielfachen von 7), ,
stimmen aber oflfenbar mit der Reihe der Zahlen:

0, 1, 2, ..., 7). - l

überein, in welcher jede Zahl doppelt geschrieben zu denken
ist. Folglich ist die Anzahl der zulässigen Werthe [35 IJ
von «, welche einem gegebenen ungeraden Werthe von y
entsprechen , immer gleich 2 J. Beachtet man noch , dass
unter den Werthen:

0, l, 2, ..., 27), - 1,

welche / annehmen kann, D^ gerade und ebenso viele unge-
rade Zahlen sind, so sieht man, dass in dem Falle: D^b
(mod. 8) die Anzahl der Combinationen u, y, welche dasTriuom:

38 G. Lcjeiine Dirichlet.

ung^eiiidc und relativ prim zu I) machen, gleich 'i I)^ J ist.
Wir fassen die liesultate, welche wir in diesem Para-
graphen erhalten haben, kurz zusammen. -Bezeichnet h^ den
numerischen Werth der Determinante J) und J die Anzahl
derjenigen Zahlen in der lleilie:

1.2,..., T),.

welclie mit />, keinen gemeinschaftlichen Theiler haben, so
können die Werthcpaare .'•, y, für welche irgend eine Form
dieser Determinante oder die Hälfte dieser Form, wenn sie
zur uneigentlich primitiven Ordnung gehört, ungerade und
relativ prim zu J) ist, immer in Systeme von der Form:

X = 1 1)^ V -\~ C(, y = 2 ]J^ w -\- y

vertheilt werden, wobei /• und w unbestimmte, positive oder
negative, ganze Zahlen und «, ;' Zahlen aus der Reihe:

0. 1, 2, ..., 11), - 1

bezeichnen; die Anzahl derartiger Systeme ist für eine eigent-
lich primitive Form gleich 2 />, J oder gleich l />, J . Je
nachdem /> ungerade oder gerade ist, und für eine uneigent-
lich primitive Form gleich 1)^ J oder gleich '^ />, J , je
nachdem 1) ^ 1 oder /> ez 5 (mod. S) ist.«

Diese Voruntersuchungen beschliessen wir nun mit dem
Beweise des folgenden llülfssatzes.

)>E3 sei K = kJi' Ji" . . . das Product der positiven, unge-
raden und ungleichen Primzahlen /•. /'. /;" und es werde

mit L irgend eine ganze Zahl, welche A' theiit, bezeichnet.
Ferner sei 0 = dr 1 , t^ = ± l , wo unabhängig von einander
in jeder der beiden Gleichungen das obere oder untere Zeichen
genommen werden kann. Dann behaupte ich, dass der
Ausdruck:

n — 1 n- — 1

-"'''' (>')■

WO die .Summalion über alle zu 2 K relativ primen, zwischen
H = l und n = S K — I enthaltenen ganzen Zahlen ti zu
erstrecken ist, stets den Werth Null hat, mit alleiniger Aus-
nahme des Falles, dass gh-ichzeitig Ö = 1 , /^ = 1 , /y = 1 ist.«

Verschiedene Anwendungen der Infinitesiiualanalysia etc. 39

Es bezeichne a irgend eine der Zahlen 1 , 2. . . . , /c — I, «'
irgend eine der Zahlen 1 , 2 , . . . , // — 1 , und so fort, b sei
eine beliebige der Zahlen 1, 3, 5, 7. Dann ist leicht ein-
zusehen, dass man alle Werthe, welche w in der vorstehenden
Summe annehmen muss, erhält, wenn man für jede der Com-
binationen a, a , . . . ; b die Zahl )t bestimmt, welche kleiner
als 8 K ist und den simultanen Congruenzen:

[352] w^a(mod. Z;), w ^ a'(mod. A-'),

genügt. Aus diesen Congruenzen folgt:

Bildet"') man nun das Product der beiden letzten dieser
Gleichungen und derjenigen anderen, welche sich auf die in
L enthaltenen Primzahlen k^ k', . . . beziehen, und summirt man
dann von « = 1 , «' = 1 , . . . bis a = k — 1 , a = k' — 1 , . . .
und in Bezug auf 5= 1, 3, 5, 7, so nimmt die Summe des
Hülfssatzes die Gestalt eines Productes an, dessen Factoren
ausser

; n^ b (mod. b)

h—1

^0 - »; ^
diejenigen der Summen:

^(i)' ^(i:)-

welche sich auf die in L enthaltenen Primzahlen beziehen,
und diejenigen der Ausdrücke

/b 1 , rC l , . . . j

welche den übrigen Primzahlen k, k', . . . entsprechen, sind.
Daraus ergiebt sich, dass der Ausdruck:

:sQ 2

n — 1 /)■ — 1

(£)

immer verschwindet, ausser wenn gleichzeitig G=\, ', = I,
L = 1 ist, was zu beweisen war.

^0 G. Lejcuni' Dirichlet.

Wii' gclioii nunnu'lir zu dcu iu der Einleitung dieser Ab-
liandluiig angekündigten Fragen über, wobei wir die Beziicli-
uungen beibelialten, welche wir in den Paragraphen '^. 1 und
r» benutzt haben. Wir setzen also:

( 1 ) /; = ]'>S- oder I) = 2 P.S- ;

hierbei ist /S"' immer die grüsste Quadratzahl, durch welche
D theilbar ist, und

(2) P = PP'P" •■■.

wo p, p\ p", . . . ungerade, positive oder negative, Primzahlen,
welche sämmtlich von einander verschieden sind, bezeichnen.
Ferner setzen wir:

(3) n = rr'7-" ...,

wo r, r\ r'\ . . . wie früher die ungeraden und ungleichen
Primzahlfactoren bezeichnen, welche in aS', aber nicht auch iu
P enthalten sind. Wir bezeichnen mit (j eine beliebige positive,
ungerade Primzahl, welche weder iu P noch in 7^ enthalten
ist, und zerlegen jedes dieser Producte auf irgend eine Art
in zwei Factoren — ohne dabei den Fall, dass einer dieser
Factoren der Einheit gleich ist , auszuschliesseu — was wir
durch die beiden Gleichungen ausdrücken:

(4) P= P,P,, P=P,P,.

Schliesslich setzen wir:

(5) d=:±\, ^ = ±\, (■)=±\, >, = ±\,

(353] wo die Vorzeichen beliebig und unabhängig von einander
gewählt werden künnen. Bezeichnet dann * eine stetige Ver-
iinderliche, welche grösser als 1 bleiben soll, so erhalten wir
durch lieihcnentwickelung und mit Kiicksicht auf die Cllei-
chungen (2) und (!^) des ij 2:

1

q-l g^—l

VcrBchicdcne Auweudungon der Infinitesimaltiiialysis etc. 1 1

wo zur Abkürzung auf der rechten Seite nur das alfgemeine
Glied geschrieben ist, in welchem man für / nacheinander alle
ganzen Zahlen von / = 0 bis / = oo setzen muss.

Wir denken uns nun in der letzten Gleichung für </ alle
Werthe gesetzt, welche diese Zahl annehmen kann, d. h. alle
positiven ungeraden Primzahlen, welche nicht in D als Fac-
toren enthalten sind, und dann das Product aller so ent-
standenen Gleichungen gebildet. Das Product der rechten
Seiten liefert eine Reihe, deren Gesetz sehr leicht zu erkennen
ist, wenn man sich an den bekannten Satz erinnert, dass eine
zusammengesetzte Zahl nur auf eine einzige Weise durch
Multiplication von Primzahlfactoren entstehen kann, und wenn
man gleichzeitig wieder auf die oben genannten Lehrsätze
des § 2 Rücksicht nimmt. Auf die Weise erhält man die
Gleichung:

(6)/T-

1

Q 2

\P,Rjq

wo das Multiplicationszcichen IT sich auf alle eben definirten
Werthe von q bezieht und die Summation über alle ganzen
Zahlen von w = 1 bis ?i = oo, welche die doppelte Bedingung
erfüllen, ungerade und relativ prim zu I) oder, einfacher,
relativ prim zu '2D zu sein, zu erstrecken ist. Ehe wir
weitergehen, ist die Nothwendigkeit der oben gemachten An-
nahme, dass 5^1 sein soll, nachzuweisen. Man kann sich
darüber leicht Rechenschaft geben, wenn man beachtet, dass
die vorstehende Reihe nur dann eine von der Reihenfolge
ihrer Glieder unabhängige Summe hat, wenn die Bedingung
5^1 erfüllt ist, und dass ebenfalls der Werth des unend-
lichen Productes nur dann nicht von der Anordnung seiner
Factoren abhängt, wenn s ^ 1 ist. Es erscheint mir um so
mehr zwecklos, mich in ausgedehntere Erörterungen über
diesen Punkt einzulassen, als ich denselben bei dem Beweise
des oben angeführten Satzes über die arithmetische Reihe*) —
[354] dieser Beweis stützt sich auf eine Gleichung derselben
Art, welche aber allgemeiner als die vorstehende ist — bereits
ausführlich besprochen habe.

*; A. a. U. § 1. H.

■12 <■• lA^jeune Dirichlet.

Ersetzt man in der (Jleichun^' (i die Gnissen f'i, \ be-
züglirli (liircli ()0, 1 1^ und gleiclizeitig 7', durch 1\, so gebt
dieselbe iu die i'ulgeudc über:

//— 1 M*— 1

[i\n-

. n^-/ (7 \ 1

'-(^«)'^"(-/""'(7>V)?

Setzt man in der Gleichung (G):

0=1, ,^ = 1, P,= l, 7.', = 1
und 2« an Stelle von *•, so erhält man:

wo sich die Mulliplioations- und Sunimationszeichen stets auf
alle oben delinirtcn Werllic von q und // beziehen. Wenn
man das Product der Gleichungen (G) und (7) durch die
Gleichung (S) dividirt, so ist der allgemeine Factor des links
stehenden Ausdruckes:

K^H-^)

\)a der Zähler dieses Bruches olVenbar gleich

q—\ n- — 1 q — 1 7- — 1

ist, so kann man dem allgemeinen Factor die einfachere Form
geben :

7-1 ^-^-l

Verschiedene Anwendungen der Infinitesiniahmalysis etc. 43

Dieser Ausdruck bietet uiin zwei verscbiedeue Fälle dar, je
nuchdem

ist. In dem ersten Falle ist er gleich der Einheit und kann
daher in dem Producte fortgelassen werden; in dem zweiten
Falle kann man ihm die Gestalt geben:

Q ^ r> ^

\P,Iijq'

q-1 q^-1

' \P,RJq'

[355] Die doppelten Zeichen bei den Grössen (5 = ± 1,
^;= — 1, welche in der Gleichung (7) vorkommen, waren
bis jetzt völlig willkürlich. Künftighin setzen wir fest, dass
entsprechend den vier Fällen, welche die Determinante D dar-
bieten kann und welche wir schon in den Paragraphen 3 und 4
unterschieden haben, nämlich

B = PS^' , P~i oder 3 (med. 4) ;

I) = 2 PS- , P~l oder 3 (mod. 4) ,
diese Zeichen bez. sind:

(9) (5= !, 5= 1 ■ S = - [, e=l ■

(3 = 1, £ = - 1; ()' = - I, 6 =— 1.
Dann stimmt die Bedingung:

^•^ .- (|) = .

mit derjenigen der vier Bedingungen (2) des i? 1 übercin,
welche dem gleichen Falle entspricht. Bezeichnet man nun
mit./ die positiven, ungeraden Primzahlen q , welche nicht
Factoren von D sind und dieser letzten Bedingung genügen,
so hat dieser Buchstabe dieselbe Bedeutung wie in dem 5 4
d. h, es ist ' '

44 '•• l'fjt'iiiK' l'iriclilet.

10 (V ^ f " •■ = 1

die liuke Seite der Gleichung, deren Bildungsgesetz oben an-
gegeben wurde, ist also:

/ — 1 f' — i

wo sich das Zeichen // auf alle Werthe von f erstreckt. Mit
Hülfe der Gleichung:

] "^^= 1 -{-2r + 2c'- + 2r^H

1 — z

und mit Ivücksicht auf die Gleichungen (2) und (3) des sij 2
kuuii der allgemeine Factor des vorstehenden Products in eine
Keihe entwickelt werden, deren (/ -f- ^f"" Glied gleich

/•/_! /••-'_ 1

' \j',jtj{f'r

ist. Das erste (ilied, welches /= ü entspricht, macht eine
Ausnahme von diesem Gesetze und hat den Werth 1. Daraus
lässt sich, wenn man wieder die angeführten Gleichungen des
ij 2 zu Hülfe nimmt. leicht schliessen, dass das obige Product
selbst in eine Keihe entwickelt werden kann, deren allgemeines
Glied:

»i — 1 m^ — 1

(')

I in \ 2"

ist; liierbei bezeichnet m allgemein alle positiven, ungeraden
und zu 2 I) relativ primen ganzen Zahlen, die nur solche
Trimzahlfactoren f haben, für welche die Hcdingungsgleichung
10) erfüllt ist. 1356] und /< , wie in i? 4, die Anzahl der
ungleichen Priuizahlfaclorcn vom w, die Einlu-it nicht mit-
gc/.ilhlt. Das in = l entsprechende Glied macht hier keine
Ausnahme von dem allircmcincn (iesetzc. da siclj für diesen

Verschiedene Anwendungen der Infinitesiiualanalysis etc. 45

Wcrth von m der vorstehende Ausdruck auf 1 reducirt. Wir
erhiilten folglicli die Gleichung:

(it;

m — 1 »r — 1

w" ^ \P^R.l m*

« — 1 n- — 1 n — 1 n- — 1

in welcher man die Summationen auf alle vorher definirten
ganzen Zahlen w, bez. m erstrecken und sich erinnern muss,
dass die Werthe (5 = itl,£ = ibl durch die Bedingungen
(9) fixirt sind, während die Vorzeichen in den Gleichungen
0 = ± 1 , /; = dz 1 willkürlich geblieben sind.
Setzt man in der Gleichung (H):

0=1, »; = 1, P, = 1, i?, = 1, und folglich P, = P,

so nimmt dieselbe die Form an:

n — 1 n- — 1

1 „ 2.*^ „ 1

!12) ^^..3fl = ^,-l.^,5 ^ . 8 (l)l^

Diese specielle Gleichung dient uns dazu, die Anzahl der
verschiedenen Formen, welche zu einer beliebigen positiven
oder negativen Determinante gehören, zu bestimmen. Bei
dieser Untersuchung muss man die Fälle eines positiven I)
und eines negativen D von einander getrennt behandeln
und jeden dieser beiden Fälle nochmals in zwei Unterfälle
eintheilen, je nachdem es sich um eigentlich oder uneigentlich
primitive Formen handelt. Da jedoch ein Theil der Anal3-se
diesen vier Fällen gemeinsam ist, so empfiehlt es sich, um
nicht zweimal dieselben Betrachtungen anstellen zu müssen,
dass wir uns zunächst mit dem Theile der Untersuchung be-
schäftigen, dessen Ziel es ist, die Gestalt der rechten Seite
der Gleichung (12) zu ermitteln, wenn in derselben s = \ -\- Q
gesetzt und die positive Veränderliche o als unendlich klein
werdend angenommen wird.

Um diese Untersuchung für den ersten Factor auf der
rechten Seite zuerst durchzuführen, seien e, e', e", . . . die-
jenigen Zahlen in der lleihe:

i, 2, :s, ..., 11),- I,

i() (5. Lejeune hirichlet.

welche keinen gemeinschaftliclien Theiler mit 2 l>^ haben.

Dann kann offenbar die Summe — , v- , wo w nur positive

und 7.\\ 2 I>^ relativ prime Wertlie annehmen darf, in so viele
Theilsummen von der Gestalt:

_L4. 1 . 1 . ...

[357] als es Glieder in der Reihe e, e', e'\ . . . giebt, zerlegt
werden. Da man andrerseits aus dem früher für die Reihe
(1) des i:^ 1 erhaltenen Resultate leicht schliessen kann, dass

jede dieser Theilsummen die Form ;^ — • — annimmt, und da

2/>>, Q

die Anzahl dieser Theilsummen oder, was auf dasselbe
hinauskommt, die Anzahl der Glieder e, e', e'\ .. ., Je nach-
dem I) ungerade oder gerade ist, gleich J oder IJ ist,
wobei ./ die gleiche Bedeutung wie in dem i? 5 hat, so erhält
mau für diese beiden Fälle:

1 z/ 1 , ,. 1 J \

• - oder :i , + .- = V,

(13) -^^^=2". .- oder V

die Veränderliche o ist hierbei immer als unendlich kleine
Grösse vorausgesetzt. Wenn wir nun den zweiten Factor auf
der rechten Seite betrachten, so ist leicht zu erkennen, dass
dieser einen besonderen Fall der Reihe bildet, auf welche sich
der dritte llülfssatz des i? 1 bezieht; um diesen Factor zu er-
halten, ist in der allgemeinen Reihe des genannten ilülfssatzes:

// — 1 >r — 1

r, = i) '^ , ^ 1^',) oder r„ = 0

zu s(itzen. Je nachdem w relativ prim zu 2 /)^ ist oder nicht.
Die beiden N'oraussetzungen dieses Ilülfssatzes, welche darin
b('Slch(')i, dass erstens r,^ eine periodische Function des Index
und zweitens die Summe der eine Periode bildenden (ilieder
gleich Mull ist, sind erfüllt, wie man sich leicht überzeugt.
I'ür die erste ist es evident, und um es für die zweite zu er-
kennen, genügt es, auf den Hülfs.satz am Kndo des ij .'» zurück-
zugreifen und zu beachten, dass nicht gleichzeitig d ^^ 1,
/ I, 7* =- dr 1 sein kann. In der Tliat. aus den Be-
dingungen (9) folgt, dasä diese letzten Gleicliuugen nur dann

Verschiedene Anwendungen der Infinitesimalanal)sis etc. 47

miteinantler verträglich sind, wenn P= 1 ist; dann al>er
bezichen sich diese Gleichungen auf den von uns ausgeschlos-
senen Fall, in welchem die Determinante eine positive Quadrat-
zahl ist. Daraus folgt, dass die Summe:

n — 1 H^

^d -^ ■ 8

wenn man in derselben die positive Veränderliche q unendlich
klein werden, gegen eine endliche, durch den Ausdruck:

n — 1 i)- — 1

;h) ^s-^ r« (|)i

gegebene Grenze convergirt, in welchem die Werthe von n
in der natürlichen Ordnung, d. h. so, dass sie eine steigende
Reihe bilden, auf einander folgen sollen.

I. Wir kehren jetzt zur Gleichung (12) zurück und be-
handeln zuerst den Fall, in welchem D negativ, also J) = — 1)^
ist. Es seien

[358] (15) ax^ -^2bzy-{-ci/ , a'x^ -\- Ih'xy -{- ctf, . . .

die verschiedenen eigentlich primitiven Formen dieser Deter-
minante 7), deren Anzahl ich mit h bezeichne. Dann besteht
die Gleichung:

2«+i 1 1

V_ __ V l_ V I

" m' '^[ax^-\-2hxy + c^/Y^^ {a'x''-^2b'xy-\-cij-f^

wo auf der rechten Seite ebenso viele Glieder stehen, als es
Formen (15) giebt, und wo sich die doppelte Summation in
jedem Gliede auf alle ganzzahligen Werthesysteme von x und
y erstreckt, welche zwischen — oo und -\- oo liegen und die
doppelte Bedingung erfüllen, keinen gemeinschaftlichen Theiler
zu besitzen und der Form, in welche sie substituirt werden,
einen zu 2 J) relativ primen Werth zu geben. Dies folgt erstens
daraus, dass jede der auf der linken Seite stehenden ganzen
Zahlen w, auf Grund des Satzes I des § 1, durch die Gesammt-
heit der Formen (15) 2"'*''mal in der angegebenen Weise dar-
gestellt werden kann, und zweitens daraus, dass umgekehrt
jeder zu 2 J) relativ prime Werth, den irgend eine der Formen
(15) annehmen kann, wenn man ihren Unbestimmten x und y

.J8 f». Lojcuno Diriclilet.

tlieilerfremde Wertlic beilcfjt. iiacli den bekannten, im An-
fange des genannten Paragraphen in die Erinnerung zurück-
gerufenen Resultaten mit einer der durch in bezeichneten
ganzen Zahlen übereinstimmt. Setzt man nun den Ausdruck,

9." + »

welcher durch die letzte Gleichung für - — — -- gegeben ist,

m

in die Gleichung (12) ein, so wird:
.. l -. 1

w-''' ax* -\- Ibxy -\- cy^

/i — 1 n'- — 1

2^\-^d 2"

71

Jedem Gliede auf der linken Seite kann, wie leicht zu
seilen ist, eine einfachere Form gegeben werden. Das erste
dieser tUicder'' ist augenscheinlich gleich dem Ausdrucke:

v l

" {ax*-\- Ibxy + cy^f

wo bei der doppelten Summation die Werthepaare ;r, // nur
der einzigen Hedingung unterworfen sind, das Trinom, in
welches sie eingesetzt werden, ungerade und relativ prim zu />
zu inaclien. Legt man dem Zeichen .i" diesen Sinn bei, so
erhält man:

|r ! + v' \ + ...

ax*-\-2bxy+ct/i^^ {ax*-{-2ö'xy-\-r'y-''^

'" I //— 1 ;/■-— 1

i359 Nun niuss man .v = 1 + C setzen, wo die positive Ver-
iluderliche (i stets als unendlicli klein angenommen wird, tmd
iiacliselien, was bei dieser Annahme aus den einzelnen (iliedern
:iuf der linken Seite der (Ücichuug 17 wird. Da n.ich den
im 4j .^ abg(!lci(el(',n Uesiiltalcn die Werthepaare, welche man
in Ji'der dii'scr Dnppclsuinmen, z. 1{. in der ersten .r und y
beilfgcn niUHS. in Systeme v<»n der Form:

Verschiedene Anwenduugen der lafinitesimalanalysis etc. -J9

(IS) X = 2 y;, r -I- « , y = 2 Z>, IC -f /

vertbeilt werden können, so lässt sich diese erste Summe in
ebensoviele Tlieilsummen zerlegen, als es derartige Systeme
giebt; jede dieser Theilsummen hat die Form:

[ax^ + ->bxy -\-cy-y^-^''

wo mau für x und y die Werthe (18) einsetzen und dann
über alle ganzen Zahlen v und w von — oo bis -{- oo sum-
miren muss. Um diese Theilsumme zu berechnen, bestimmen
wir, wie oft das Trinom ax^ -\- 2bxy + cy- in dieser Summe
einen Werth erhält, welcher eine beliebige positive Grösse o
nicht übersteigt. Diese Frage ist aber offenbar identisch mit
der anderen: wieviele Punkte, deren Coordinaten x und y die
Form (IS) haben, liegen im Innern oder auf der Begrenzung
der durch die Gleichung:

ax" -\- Ibxy -\- cy- = a

gegebenen Ellipse? Da der Flächeninhalt dieser Ellipse:

Vac — 0- yn,

ist, wo der Buchstabe tt die gewöhnliche Bedeutung hat, so
folgt aus dem zweiten Hülfssatze des §1*) unmittelbar i**),
dass die zu bestimmende Zahl in die Form:

ü 4- ö^ i^i [o]

^yD\

gebracht werden kann, wo der constante Exponent ö einen
zwischen \ und 1 gelegenen Werth hat, und wo die Function
\p{o] endlich bleibt, wie gross man auch die Veränderliche o
wählt. Nimmt man noch den ersten Satz desselben Para-

*i Aus der Natur dieses Satzes leuchtet unuüttelbar ein. dasa
die auf der Begrenzung der Curve liegenden Punkte nach Belieben
als innere oder als äussere Punkte gezählt werden können. Man
kann also auch, und mit um so mehr Recht, diese Punkte theils
zu den inneren und theils zu den äusseren Punkten zählen, wie
wir später, wenn wir uns mit positiven Determinanten beschäftigen,
thun werden.

Ostwald's Klassiker. 91. 4

5(1 G. Lejeune Dirichlet.

graphen zu Hülfe, so eigiebt sich für die betrachtete Theil-
summe der Werth:

TT 1

4 vT)] ?

Berücksichtigt man nun noch, dass gemäss dem ij "> die An-
zahl der Systeme 18) und folglich die der Theilsummen, in
welche die Summe:

^^^^ ~ [ax* 4- 2bxy + cy-y^

zerlegt worden ist, gleich ID^J oder AD^J ist, je nachdem
D ungerade oder gerade ist, so folgt weiter, dass die vor-
stehende Summe, den beiden Fällen entsprechend, gleich

ist. Da dieses Resultat nichts, was der Form a.v--{-'lb.rtf-\-ri/-
eigenthümlich ist, sondern nur die allen Formen (lö^ gemein-
same Determinante enthält, so sieht man, wenn man u immer
als unendlich kleine Grösse voraussetzt und den Fall eines
ungeraden D von dem eines geraden J) trennt, dass die
linke Seite der Gleichung (17) gleich

, h;cJ 1

oder — =^ • -

1 JJl f

ist. Mit Hülfe dieser Ausdrücke und der oben abgeleiteten
Resultate (13 und (14 geht die Gleichung 17) für einen
unendlich kleinen Werth von (> in die folgende wichtige
Gleichung''; über, welche sowohl für den Fall eines geraden
als den eines ungeraden J) gilt:

(10) /, = lvÄ-:=V-^ /^ (^),' •

Diese Gleichung ist für J) =^ — 1 eiuer Ausnahme unter-
worfen, welche daher kommt, dass der Lehrsatz 1 des tj 4
in dem gleichen Falle eine Ausnahme erleidet. Wie sich
dann aus der vorstehend benutzten Analyse ergiebt und sich
auch a posteriori verificiren lässt, muss man in diesem be-
sonderen Falle die rechte Seite der Gleichung 1 '.•) verdoppeln,

Verschiedene Anwendungen der Infinitesimalanalysis etc. 5|

damit diese letztere wieder richtig ist. In der That, man
hat in diesem Falle // = 1 , /;, = l , ö = — i ^ « = 1,
F = — l , und es wird also die in der soeben angegebenen
Weise abgeänderte Gleichung:

diese Gleichung ist aber richtig, wie aus der bekannten
Leibniz^schen Reihe folgt.

II. Wir nehmen jetzt an, dass die Determinante D wieder
negativ ist, dass aber ferner /) ^ 1 (mod. 4' ist und die
Formen (15) die der uneigentlich primitiven Ordnung sind.
Dann ist (5i = 1 , £ = 1, und die Gleichung (16) muss durch
die folgende ersetzt werden:

9" -t- 1 1

,2\5

" {2m)^ {az- + '2bxy + cy

+ - \ . ...

wo in jedem Gliede der rechten Seite die doppelte Summation
über alle Werthe von x und y zu erstrecken ist, welche
keinen gemeinschaftlichen Theiler haben und für welche die
Hälfte der in diesem Gliede aufti-etenden Form relativ prim
zu '2D wird. [361 Die Einsetzung dieses Ausdruckes in die
Gleichung (12) giebt:

v±.v_ ___i____ , vj .v_ _J ,

'' w" " {ax^-\-2bzij+cf)'^^ n-' ^ {ax''-\-2b'xij-]-cy^Y~^" '

l

" " /'^ " \P}

,s J

von welcher Gleichung man, wie in dem vorhergehenden Falle,
zu der folgenden gelangt:

+ r

0):

{ax^--^2bxi/-{-cy-]^ [a'x- -\-2b'xy-\-cy^)'

" " n' ' \PJ u' '

wo das Zeichen -' andeutet, dass bei der doppelten Summation
die Werthepaare x, y nur noch der einen Bedingung, die Hälfte

4*

.")•) O. Lejeiine Diriclilet.

der betrcfleuden (juadiatischen Form relativ prim zu 2 Ji zu
machen, genügen müssen. Setzt man nun *= 1 -f- q. wo )j
immer eine unendlich kleine positive Veränderliche ist. su kann
man die Rechnung wie in dem schon erledigten Falle zu Ende
führen, wenn man sich erinnert, dass, wie in dem § .". "gezeigt
ist. die Anzahl der Systeme von der Form:

.r = 2 1), r -r ct. ij = 2 Z>, v: + '/ .

welche für die Hälfte einer uneigentlich primitiven Form von
der Determinante J) eine zu 11) relativ prime Zahl ergeben,
gleich D^J oder '6D,^J ist. Je nachdem die erste oder zweite
der Congruenzen D ^ \ und 1) e^ h mod. S) besteht. Man
findet so für die Anzahl // der uneigeutlich primitiven Formen:

(21!

h= |yi>, .-(^)1. 1>=X (mod.S),

Der zweiten Formel muss die Bemerkung hinzugefügt werden,
dass sie für D = — '^ falsch ist, was aus der Ausnahme
folgt, welcher der Lehrsatz I des § 4 in dem gleichen Falle
unterworfen ist; damit die Formel richtig wird, muss dann die
rechte Seite verdreifacht werden '- .

III. Wir gehen jetzt zu dem Falle positiver Determinanten
über, in welchem also J) = 7^, ist, uud nehmeu zuerst an,
dass die verschiedenen Formen (15] zu der eigentlich primi-
tiven Ordnung gehöreu uud sämmtlich die Bedingungen (7)
des § l erfüllen. Dann ist nach dem Lehr.-^atze III des § 4 :

" m" {ux--i-2bxi/ 4- VI/-/' ~^ " [a'x--\-2 b'xy -\- cYY "^" " '

wo diq doppelte Suuinialion in Jedem Gliede der rechten Seite
[362 übrr alle zu einander relativ j)rimen Werthepaare von
;c uud II zu erstrecken ist, welche dem zugehörigen Triuom
einen zu 2 1) relativ primen Werth geben und ausserdem den
rngleichheiten (s) des angegebenen Paragraphen genügen, wenn
«'8 sich um das erste (Uied handelt, und analogen Ingleich-
heiten, wenn es sich um die übrige-i Glieder handelt.

Da sowohl i)ositive als negative Zahlen durch eine Form
von positiver Determinante darstt'Ubar sind, .so kanu es zu-

Verschiedene Anwendungen der Infinitesiraalanalysis etc. öS

nächst scheinen, als ob man noch die Bedingung hinzufügen
müsse, dass für die Unbestimmten x, y nur solche Zahlen,
welche der quadratischen Form einen positiven Werth geben,
gewählt werden dürfen. Man überzeugt sich aber leicht, dass
diese Bedingung bereits implicite in den vorigen enthalten ist.
In der That, sind a, 5, x und y positiv, so zieht die Be-
dingung:

^ T—bU

■^ — — T^ — y

offenbar die andere nach sich:

Setzt man in die Gleichung (12) den obigen Ausdruck für

2"
.5' -^ ein, so ist:

„ 1 „ 1 . ^ l „ 1

w** {ax--{-1hxy + cy''-)^ li-^ [ax--\-lb'xy-\-c'y^Y
n — 1 tr — 1

n' -" * [pj „s

Man erkennt ohne Mühe, dass das Product:

h^ ax- -\- 2bxy -\- cy-y

in e einfachere Form^) gebracht werden kann:

v ^ ■

" (a.r- + 2bxy + cyY '

wo die doppelte Summation über alle Werthepaare x^ y zm
erstrecken ist , für welche das Trinom relativ prim zu 2 1)
wird und die Ungleichheiten :

.t->0, y>0, y^ T—bv""

erfüllt sind. Es genügt hierzu zu bemerken, dass die Be-
dingungen ;S) des § 4 dieselbe Gestalt behalten, wenn man
in ihnen x und y durch nx und ny ^ wo n positiv ist, ersetzt,

54 f'- Lejeune Dirichlet.

und dass, nvciiu man darauf wieder x und ij an Stelle von
nx und nij sclireibt , die neuen Unbestimmten x und y nicht
mehr der Bedingung, relativ prim zu einander zu sein, unter-
worfen sind. Legt man als(t dem Zeichen —' den .soeben er-
klärten Sinn bei und beachtet man, dass für die zweite Form
in der letzten der Ungleichheiten S) des § 4 die Cuefficienten a
und h durch a' und b' zu ersetzen sind, und entsprechend für
die übrigen Formen. [363] so erhält man die Gleichung:

^ „. 1 . -„ 1

roo\

« — 1 //-— 1

ir

Nun ist zu ermitteln, was aus den einzelnen Gliedern dieser
Gleichung wird, wenn, .v = 1 -\- q gesetzt, die positive Ver-
änderliche (j unendlich klein wird. Zu dem Zwecke zerlegeu
wir jedes Glied auf der linken Seite, z. B. das erste:

1

iax- -j- Ibxy -j- cy- *

in ebenso viele Theilsummen. als es Systeme von der Form:

x = -lJ)c-\-u, y = -ll)ic -\-y

giebt. für welche das Trinom ax- -f- 'llxy + <^y' relativ prim
zu 2 T) wird. Es sei

1 aV

^•>o. y>", y^yj, — j-pÄ-,

" [ax^ + löxy + cy^y^'^' ^ - y -^ ^ J = 'l'_l,l

X = 1 Dv -f- u . // = 2 1) V + y .

eine dieser Theilsummen. in welcher die Summation in Bezug
auf c und v: über alle ganzen Zahlen von — co bis -f- oö*)
erstreckt werden muss. Um den Werth dieser Theilsumme zu
erhalten, bezeichnen wir mit a eine beliebige positive Ver-
änderliche und bestimmen die Zahl, welche augiebt. wie oft
das Trinom ax- -\- 2/jxy -\- < y^' bei der dt»ppi'lten Summation
einen u nicht übersteigenden Werth annimmt. Nach der in
dem i? 1 angegebenen geometrischen Construction kommt aber

♦ welche mit den obigen Bedingungen verträglich sind.",

Verschiedene Anwendungen der Infinitesimalan.ilysis etc. 55

diese Untersuchung auf die Aufgabe zurück, zu ermitteln, wie-
viele Punkte, deren Coordinaten .r und y von der Form:

.r = 2 /y» i- + « . y = 21) w -\- y

sind, es im Innern oder auf der Begrenzung des hyperbolischen
Sectors gibt, welcher einerseits von den durch die Gleichungen:

aU

r—bu

dargestellten Geraden und andrerseits von dem zwischen ihnen
liegenden Bogen des ersten Astes der Hyperbel:

ox^ -j- 2 bxy -{- cy' = a

begrenzt ist; um vollständig genau zu sein, fügen wir hinzu
— obgleich das Endresultat nicht im geringsten dadurch be-
einflusst wird — , dass von denjenigen dieser Punkte, die etwa
auf dem von der a:-Axe gebildeten Theile der Begrenzung
liegen, abgesehen werden soll. Führt man Polarcoordinaten
r und (f ein, welche mit den rechtwinkeligen Coordinaten x
und y durch die Gleichungen : x = r cos r/^ , y = r siu (f ver-
bunden sind, so ist der Flächeninhalt des Sectors:

\lr-d(p = \o\ r-

d,f

fp -j- 2b cos (fsmcp -{- csin- rp '
[364' wo die Integrationsgrenzen Null und der spitze Winkel
mit der trigonometrischen Tangente — — — r-r-^sind. Wenn man

1 OL

die Integration nach den bekannten Methoden**) ausführt, so
findet man für den in Rede stehenden Flächeninhalt den sehr
einfachen Ausdruck:

Ö

■—^Xo^iT+V\D.

Aus diesem Resultate folgt mittelst des zweiten Hülfssatzes'**)
des § 1, dass die Zahl, welche wir uns zu bestimmen vor-
genommen haben, in der Form:

G _

-\oz[T-\-U] 1) -\-o^ip[o)

SVI)

56 <'• Lejeune Dirichlet.

gescbriebeu werden kann, \vu der constante Exponent d
zwischen i und l enthalten ist und die Function »/' u endlich
bleibt, wie gross man auch die Veränderliche o wählen mag.
Mit Hülfe des ersten Satzes im ij 1 folgt hieraus, das» die be-
trachtete Theilsumme gleich

ist. Da nach den Resultaten des § 5 die Zahl der in derselben
Gesammtsumme enthaltenen Theilsumme gleich \ 1) J oder
11) J ist, je nachdem /> einen geradzahligen oder ungerad-
zahligen Werth hat, so ergiebt sich, dass jedes Glied auf der
linken Seite der Gleichung 22 für einen unendlich kleinen
Werth von (>, diesen beiden Fällen entsprechend, gleich

-=!— log 7' 4- r I 7>) ' oder -^ log T + IJ V i)) -- -

■IM)' c^ 4 1 yv t»

ist. Wenn wir also mit h die Anzahl der verschiedenen
Formen der Determinante /> bezeichnen , so ist die linke
Seite gleich:

^'^ loglr+riVv», ' oder -^-=^ log r -f LM yy ' ,

•1\ D' i' i\JJ'

je nachdem JJ gerade oder ungerade ist.

Da andererseits auf Grund der Resultate (i:> und (14)
die rechte Seite in diesen beiden Fällen bez.

//— l M-— 1 /'— 1 M--I

JJ i> \l'l n iJ) u \Pj n

ist, so folgt, wenn man noch den auf beiden Seiten der Glei-
chung auftretenden Factor — fortstreicht:

u

— n—\ H'—\

iog(7'-i-ri n W7 "

diese (ileiehiing gilt filr jeden gera<ien oder ungeraden [nicht
i|uadratischen , positiven Werth der Determinanten 1), und es
bedeuten 7 \ind V die kleinsten positiven ganzen Zahlen
(1 und 0 ausgeschlossen], welche die (Jleicliung /- — Du- = 1
befriedigen.

Verschiedene Anwendungen der Infinitesimalanalysis etc. 57

365] IV. Da der Fall, in welchem die positive Determinante
D von der Form 4 r + 1 ist und die Formen, deren Anzahl //,
zu bestimmen ist, zu der uneigentlich primitiven Ordnung ge-
hören , dem soeben ausführlich behandelten Falle ganz und
gar ähnlich ist, so beschränken wir uns auf die blosse Angabe
des Resultates, welches diesem letzten Falle entspricht und
in den folgenden Gleichungen enthalten ist :

h= -'^ -^(p)-> />^l(mod.S),

log|(r+ ÜYD) \^l >^

2\ D ^ln\ 1

24)

h = \ ~-^-^ — J ( -,*- 1 '- , D = ö (med. 8) ;

in diesen Gleichungen bezeichnen T und U die kleinsten
positiven ganzen Zahlen (2 und 0 ausgeschlossen), welche
der Gleichung t'^ — /)w- = 4 genügen.

V. Wir wollen uns nun mit der schon in dem § 3 ange-
kündigten Untersuchung beschäftigen und nachweisen, dass
die nach den bekannten Vorschriften, welche in dem ange-
führten Paragraphen in Erinnerung gebracht worden sind,
aufgezählten Geschlechter wirklich sämmtlich existiren und
jedes dieselbe Anzahl von Formen enthält. Es seien zu diesem
Zwecke:
'25) (p, (f', (f", . . . \ ip, ip\ ip", . . .

die Einzelcharaktere, welche dazu dienen, diese Aufzählung
für irgend eine Determinante auszuführen, sei es, dass es sich
um eigentlich primitive Formen, sei es, dass es sich um un-
eigentlich primitive Formen handelt, falls für die gegebene
Determinante die Ordnung dieser letzteren Formen vorhanden
ist. Da der Fall, dass die Determinante eine (positive) Quadrat-
zahl ist, ausgeschlossen wurde, so enthält der erste Theil der
horizontalen lieihe (25) wenigstens ein Glied, und die Be-
sichtigung der beiden in dem § 3 gegebenen Tabellen lehrt
uns, dass die Ausdrücke <p^ <p', rp", . . ., welche diesen ersten
Theil bilden, immer die Bedingung erfüllen:

m — 1 m- — 1
26) <pfp'fp" - • ■ = d - E ^ i^j ■

Wir bezeichnen allgemein mit / ii"o®n<i einen der Aus-
drücke (25) oder irgend eines der Producta, welche man aus

58 ^^ Lejeune Diriclilet.

diesen Ausdrücken bilden kann, indem man zwei. drei, und
so weiter fort, schliesslich alle Ausdrücke mit einander multi-
plicirt, wobei nur das einzio:e Troduct {2(t) ausgeschlossen
wird; mit anderen Worten wir bezeichnen mit y irgend ein
Glied des entwickelten Ausdruckes:

, [(l+'rifl +'/')(' +'/" ••■][(l + V'(l+'/'')(l + ''' • •]

Legen wir dem Buchstaben /. dieselbe Bedeutung wie in dem
i? W bei, so ist die Anzahl der Ausdrücke y^ gleich 2' — 2.
[366] Theilt man nun die (iesammtanzahl // der zu einer ge-
gebenen Determinante gehörenden Formen in zwei Gruppen,
die bez. // und //' Formen enthalten, indem man in die erste
Gruppe alle diejenigen Formen aufnimmt, welche der Be-
dingung y = l genügen, und in die zweite alle die, welche
die entgegengesetzte Bedingung erfüllen, so wollen wir nach-
weisen, dass immer

// — 77' = u

ist. Um dies zu thun, genügt es, die soeben benutzte Ana-
lyse, welche von der Gleichung (12) ausging, auf die allge-
meinere Gleichung (11) anzuwenden, nachdem in ihr den
Grössen G>, \\, P, und P, Werthe beigelegt sind, welche den

m — 1 ;//"- — 1

Ausdruck (•> '^ / '^ (- — — | mit y coincidiren lassen.

Wenn man diese Bedingung erfüllt , so kann . wie man sich
leicht überzeugt, nicht gleichzeitig:

O = 1 . , = I . ]\ B, = ± l
oder

dh = 1 , f /, = 1 , 7^, ]{, = ±z \

sein. Die Unmöglichkeit des ersten Wcrthesystems folgt
daraus, dass y wenigstens einen Factor von einer der Formen :

III — 1 in'- — I

enthält. Damit das zweite Werthesystcm zulässig wäre, müsste
Oj = d, /^ = f . 7-*^ 7»*, = ± 7^ sein; dadurch würde y die
Form:

in — I vr — 1

'^ ' ' ^ ij') ^ 'f'f'f

Verschiedene Anwendungeu der Infinitesiiualanalysis etc. 59

erhalten, welche wir oben ausgeschlossen haben. Daraus folgt,
das3 jeder der beiden Factoren auf der rechten Seite der
Gleichung (11) von derselben Art ist. wie der zweite Factor auf
der rechten Seite der Gleichung (12), und dass mithin jeder
dieser beiden Factoren sich einem endlichen Grenzwerthe von
der Form (14) unbegrenzt annähert, wenn die positive Ver-
änderliche Q unendlich klein wird. Um die linke Seite der
Gleichung (11) nach demselben Gesichtspunkte zu untersuchen,
muss mau, wenn es sich um eine negative Determinante und
die eigentlich primitive Ordnung handelt, die Gleichung (Hi)
durch die folgende ersetzen:

^7

-4- V.

1 . „ 1

{az'^ -i-'2bxy -\- cy'-y [a'x- -j- 2 b'xy + c'y'^}'^ '

wo man das obere oder das untere Zeichen in jedem Gliede
der rechten Seite wählen muss, je nachdem die Form in dem
betreffenden Gliede der Bedingung / = 1 oder y= — 1 ge-
nügt; in den drei anderen Fällen muss man ähnliche Sub-
stitutionen machen. Wenn dies geschehen ist und wenn immer
Q als unendlich klein betrachtet wird, so sieht man ohne
Mühe und ohne auf irgendwelche Einzelheiten in dieser Hin-
sicht näher eingehen zu müssen, dass die linke Seite der
Gleichung (11) — abgesehen von einem blossen Zahlenfactor,
welcher für die vier Fälle verschieden ist — das Product von

(H — H') — mit |367| einem der Ausdrücke:
o

^ £^ log (T + r\ D) oder -"1= log ^ (T + WJ))

yD\ yw VIP

ist. Diese letzteren Ausdrücke sind aber offenbar von Null
verschieden; damit also die linke Seite endlich bleibt, wie die
rechte, so muss

H— H' = 0
sein, was zu beweisen war.

Mittelst dieses Resultates gelingt es uns leicht den Nach-
weis zu führen, dass die Formen gleichmässig in die nach den
Regeln des § 3 aufgezählten Geschlechter vertheilt sind. Es
sei zur Abkürzung 2''~' = /, und es mögen die Anzahl der
Formen, welche die verschiedenen, in beliebiger Reihenfolge

(]0 tf. Leieuue Dirichlet.

angeorduett'U (.Jesclilechter enthulten, mit //,, //^, //,, ..., h^
bezeicliuet werden, wobei die Glieder dieser Keilie, welche
nicht existirendeu Geschlechtern entsprechen, gleich Null zu
setzen sind. Beachtet man nun, dass die Formen, welche ein
Geschlecht bilden, entweder siiramtlich der Bedingung y = l
oder sämmtlich der* entgegengesetzten Bedingung / = — l
genügen, so kann offenbar jede Gleichung von der Form:

//— //' = 0

auch folgendermaassen geschrieben werden:

(2S) //, ±1 //j rh 7^3 i • • • ± Ä^ = 0 .

Dem ersten Gliede geben wir das Zeichen -j- für jedes be-
liebige /; jedes andere Glied erhält das Zeichen + öder — ,
je nachdem das Geschlecht, welchem dieses Glied entspricht,
der gleichen Bedingung / = dt 1 genügt, wie das Geschlecht,
auf welches sich die Zahl h^ bezieht, oder der entgegen-
gesetzten Bedingung. Nun müssen wir untersuchen , wie oft
in dem Complexe der Gleichungen, welche der vorstehenden
analog sind und deren Anzahl gleich derjenigen der Aus-
drücke 7, nämlich gleich 'V- — 2 ist, irgend ein Glied //,„,
abgesehen von dem ersten, das positive oder negative Vor-
zeichen hat, oder mit anderen Worten, wie oft das Vorzeichen
dieses Gliedes dem des ersten gleich oder entgegengesetzt ist.
Es sei:

(p = i(, (p' = u\ 'f'" = i(", ••• I '/' = /^, «/^'=/, ^" = f

der (fesammtcharakter des Geschlechtes, dessen Formenanzalil
gleich //, ist; hierbei sind «, (/, ((", ...; li, ,i\ ,/', ...
bestimmte Werthe von der Form zb I, deren erstere der Be-
dingung acc'tt" ••• = 1 genügen. Gerade so sei:

(p = a, (f' = a\ <ß>"=a", ... j iiJ = h, ij.»' = b\ «//'=//', ...

der Gesammtcharakter des Geschlechtes, auf welches sich //,„
bezieht. Dann genügt es wieder auf den Ausdruck (27), dessen
Entwickelung alle Ausdrücke y liefert, zurückzugreifen, um
zu sehen, dass der Ueberschuss der Anzahl der Fälle, in denen
//, und //,„ gleiche Zeichen haben, über die Anzahl der Fälle,
in denen sie entgegengesetzte Zeichen besitzen, (368 durch
licn folgenden Ausdruck''*) gegeben ist:

[(I -\-ua) 1 4- «',/)...][(! +.:f/.),l 4- ,^7/)...]

Verschiedene Auwendungen der Infinitesimalaaalysia etc. (31

Da uun die beiden Gesammtcbaraktere von einander ver-
schieden sind, so kann nicht gleichzeitig

aa = 1. a' a = 1, . . . ; ßb = 1, ß' b' = 1. ...

sein; der erste Theil des obigen Ausdruckes bat mithin den
Wertb Null, und da offenbar

aa • «'o' ■ • • = 1

ist. so hat der Ueberschuss. um dessen Bestimmung es sich
liandelt, den Werth — 2. Wenn man noch sämmtlicbe Glei-
chungen von der Gestalt (2S), deren Anzahl gleich 1'- — 2
ist. und die evidente Gleichung:

2h, + 2/^, + 2/^3 H h2//^ = 2/^

binzunimmt, so ergiebt sich:

Vh, = 2// ,

und folglich

h

Dieses Resultat beweist aber, dass die Gesammtheit der Formen
sich gleichmässig in die verschiedenen Geschlechter vertheilt,
da das Geschlecht, auf welches sich die Zahl //, bezieht,
ganz willkürlich gewählt war.

Auf die Weise hat man für einen der Hauptsätze aus
der Theorie der quadratischen Formen, welcher bisher nur
durch Zuhülfenahme einer grossen Anzahl verschiedener Be-
trachtungen bewiesen worden war. einen neuen und sehr ein-
fachen Beweis erhalten. Vergl. hierzu die Artikel 252. 261
und 287, III des Gauss'&cheu Werkes.

Es erübrigt uns noch, die Sätze abzuleiten, welche die
in den ersten vier Nummern dieses Paragraphen aufgestellten
Gleichungen enthalten, und welche von zweierlei Art sind;
die erste Art folgt aus den Ausdrücken für h, wie wir sie
in dem Vorstehenden erhalten haben, die andere dagegen er-
fordert die vorherige Ausführung der in diesen Ausdrücken
auftretenden Summen, damit sich die Zahl h in einer rein
arithmetischen Form darstellt. Da die Resultate, um die es
sich handelt, sehr zahlreich und der Mehrzahl nach völlig neu
sind, so empfiehlt es sich, sie mit einiger Ausführlichkeit dar-
zustellen. Aus diesem Grunde verspare ich ihre Darlegung

(',2 (i. Lejeune Dirichlet.

jiuf die Fortsetziiug dieser Uuteisucliungeu und beendige diesen
ersten Theil damit, die Verpflicbtiing einzulösen, welche ich
in der schon genannten Abliandlung über die aritlimetische
Progression übernommen habe. Nach dem § 1 1 dieser Ab-
handlung bleibt zu beweisen, dass die Summe:

J(zh \]-(± \y{± ir/(d:lV....-i,

in welcher die oberen Zeichen nicht gleichzeitig gültig sind,
einen von Null verschiedenen Werth hat.

Wir theilen die Primzahlen p, //, p", . . ., auf welche sich
die doppelten Werthe der Form ri l beziehen, von der
dritten an in zwei Gruppen und fassen in der ersten Gruppe
alle diejenigen [369" dieser Primzahlen zusammen , welchen
das untere Zeichen entspricht. Bezeichnen wir weiterhin mit
Pj />', j}", . . . die Zahlen dieser ersten Gruppe, so werde:

— Pp'p"- • ■ = /'

gesetzt, wo das Zeichen auf der linken Seite noch zu tixireu
ist; r, r', r'\ ■ ■ • seien die Primzahlen der zweiten Gruppe
und wir setzen :

/•/•'/•" . . . = 7,'.

Dann ergiebtsich aus der Bedeutung der Buchstaben «./^, ;',;'', • • •,
welche in dem § 7 der genannten Abhandlung auseinander
gesetzt ist, dass die obige Summe auf die Form:

;; — 1 w" — 1

2-(± 1) - .± 1) ^

(;);-

gebracht werden kann. Wenn man nun das willkürliche
Vorzeichen in der (Heichung

J'^±P///>' ■ ■ ■

so wählt, dass die Zahl 1' von der Form 1// -\- 1 oder V(in
der Form -1 /< -|- 3 ist, je nachdem das in dem Ausdrucke
/«— 1

idi I) *■ gegebene Zeichen das obere oder untere ist, so
stimmt diese letzte Summe offenbar mit derjenigen übereiu,
welche der oben gefundene Ausdruck für die Anzahl // der zur
Uetcrniiuante D gehörenden Formen enthält, wobei wir diese

Verschiedene Anwendungen der Intinitesimalanalyais etc. 03

Determinante gleich FR- oder gleich 2PR- voraussetzen,

n-—\

je nachdem das in dem Ausdrucke it 1) '^ gegebene
Zeichen das obere oder untere ist. Daraus folgt, dass die
Summe, welche wir zu untersuchen hatten, in der That
immer von Null verschieden ist; denn im anderen Falle würde //
selbst sich auf Null reduciren, was unmöglich ist, wie man
mit Hülfe der Form x- — Dy" erkennt, welche für jeden Werth
der Determinante 1) vorhanden ist.

Berlin, den 4. Juli 1S39.

Zweiter Tlieil.

^Crcl/f'ä Journal. Bd. Ul. 8. 1 — 12.

[Ij Wir wollen nun die Folgerungen entwickeln, welche
aus den in den ersten vier Nummern des vorhergehenden
Paragraphen aufgestellten Gleichungen sich herleiten lassen,
und beginnen mit denjenigen, welche unabhängig von der
Summation der beiden in den Ausdrücken für // enthaltenen
allgemeinen Reihen erhalten werden können. Dann gehen
wir zu den Folgerungen über, w-elche sich aus dieser Summa-
tion ergeben; die Summation kann entweder durch Integration
eines rationalen Bruches oder mit Hülfe von bekannten Siuus-
und Cosinusreihen ausgeführt werden.

Wir greifen auf die Gleichung 17) zurück, in welcher
auf der rechten Seite die beiden Summationen in Bezug auf
7/ über alle positiven, ungeraden und zur negativen Üeter-
minante IJ relativ primen ganzen Zahlen erstreckt werden
müssen. Setzt man in der ersten dieser beiden Summen //'
au Stelle von w, so kann die Gleichung auch in der Form:

;i)

w — 1 n- — 1

geschrieben werden, wo rechts das Zeichen — die doppelte
Summation in Bezug auf // und n' andeutet. Dieser Reihe
kann leicht dadurch die (ü'stalt einer einfachen Reihe gegeben
werden, dasrs man alle Glieder, für welche das l'roduct /itt' den-
selben Werth hat. in ein einziges Glied zusammenfasst. Mau

• rliiilt so als allgemeines Glied o„ ^, wo ti immer die gleiche

Verschiedene Anwendungen der Infinitesimalanalysis etc. 05

Bedeutuug wie bisher hat und a„ den Ueberschiiss der An-
zahl der Theiler k von w, welche der Bedingung:

Z-— 1 /,■-— 1

genügen, über die Anzahl dieser Theiler, welche die entgegen-
gesetzte Bedingung:

ö^ s ^ (?) = -'

befriedigen, bezeichnet. [2] Die linke Seite der Gleichung (1)
kann ebenfalls auf eine einfache Reihe von ähnlicher Form
zurückgeführt werden: das allgemeine Glied dieser Reihe hat
als Coefticienten die Zahl, welche angiebt, wie oft die ganze
Zahl ?i durch sämmtliche quadratische Formen dargestellt
werden kann, wenn man in diesen Formen den Unbestimmten
X und y irgendwelche positive oder negative, zu einander
relativ prime oder nicht prime Werthe beilegt. Bezeichnet
man diese Anzahl mit r„, so erhält man:

1 1

3r — = "> ^a

n V — ~ n ?
/r n-

Da diese Gleichung für jeden Werth der Unbestimmten s,
welcher grösser als 1 ist, besteht, so lässt sich aus ihr leicht
schliessen, dass

ist.

Dieses Resultat kann mit demjenigen, welches man auf
dieselbe Weise aus der Gleichung (10) ableitet, nachdem
man deren rechter Seite die Form:

\FJ(2tin'

(2i

gegeben hat, in dem nachfolgenden Satze vereinigt werden;
in diesem sind die eigentlich und uneigentlich pri-
mitiven Formen, wie wir sie bisher nannten, als Formen
erster und zweiter Art unterschieden*].

*) Ich glaubte, in diesem Punkte von der in den Di.sq. arithm.
angenommenen Terminologie abweichen zu sollen, um in den

Ostwald's Klassiker. 91. 5

(36 tr. Lejeune Dirichlet.

■ Ist // eine positive ungerade und zur negativen Deter-
minante ]) relativ prime ganze Zahl und bezeichnet a den
Ueberschuss der Anzahl der Theiler k von y?, für welche
Ä— 1 k-—\

1 ist (wo (), t und P die im § C. festge-

(.) =

setzte Bedeutung haben), über die Anzahl dieser Theiler. welche

die entgegengesetzte Bedingung ö ^ t - j J = — l er-
füllen, so giebt das Doppelte der Zahl o an, auf wieviele
verschiedene Arten die ganze Zahl n[2n) durch das voll-
ständige Forniensystem erster i zweiter) Art, dessen Deter-
minante D ist, dargestellt werden kann.u

Es muss hierzu nothwendigerweise bemerkt werden, dass
dieses Resultat dieselben Ausnahmefälle darbietet, wie der
Lehrsatz I des >j 4, und dass für diese beiden Fälle die An-
zahl der Darstellungen bez. gleich Aa oder (>(/ ist.

[3j Legt man der Determinante D bestimmte Werthe bei,

so erhält man sehr einfache Sätze, wie z. B. die folgenden^''):

j)Die Anzahl von Lösungen der Gleichung .i" -f- y' = '*

ist gleich dem vierfachen Ueberschusse der Anzahl der

Theiler von n, welche die Form 4 1' -|- 1 haben, über die

Anzahl dieser Theiler von der Form 4 r + ■^•"

»Die Anzahl von Lösungen der Gleichung .r- -f- 2y* = n
ist gleich dem doppelten ueberschusse der Anzahl der
Theiler von w, welche von einer der Formen Sr-|-1, 3
sind, über die Anzahl dieser Theiler, welche von einer der
Formen S r -|- 5, 7 sind.«
Und so fort.

Der erste dieser speciellen Sätze war schon bekannt. Herr
Jacohi, von welchem dieser Satz zuerst aus der Vergleichung

benennuiig(Mi die Aualn^ie. welclie zwischen den durcli dieselben
bezeiclmetcii (iebilden bi'.stelit, bewahren zu können. Die (|uadra-
tiseheu Foriiien mit coniplexcn (^oel'ticienten, mit denen wir uns
in der Fortsetzung dieser IJntersncliiin;: zu bescliiiftifieii liaben
werden, bieten in der Hezieliung, um die es sich hier liandelt.
;,'egenül)er den ;,'ewühnliclieii Formen eine grössere Maniiigfiilti^rkeit
dar, welclier sich die von Herrn (iauss gebraucliten Ausdrücke
nur schwer anjjassen würden, 'rhatsäehlich kann in Formen dieser
Art der grösste ^:;emein8ame Tiieiler von «, 'Ih. c die Kinlieit. die
Zahl 1 -(- V — 1 oder endlich die Zahl 2 sein, wobei immer voraus-
gesetzt ist, dnss (lerjenit-'e von a. h. c gleieli der Einheit ist.

Verschiedene Anwendungen der Infinitesimalanalysis etc. 67

zweier zur Theorie der elliptischen Functionen jrehörenden
Reihen abgeleitet worden war, hat seitdem einen rein arith-
metischen Beweis desselben gegeben*).

Durch Betrachtungen derselben Art kann man zu dem
üben ausgesprochenen allgemeinen Resultate gelangen, indem
man von dem schon genannten Lehrsatze des § 4 ausgeht.
Dies wollen wir in Kürze zeigen, wobei wir uns auf den Fall
beschränken, in welchem die Formen zu der ersten Art ge-
hören, da die gleiche Schlussweise sich auch auf den anderen
Fall anwenden lässt. Wir setzen zunächst voraus, dass alle
Primzahl factoren von n zu der von uns mit f bezeich-
neten Art gehören, und es sei n=f^^^j\'"-fj-^...^ wo
f\ifiif:\T--- ungleiche Primzahlen bezeichnen. Um alle
Darstellungen, deren n fähig ist, vollständig aufzuzählen,
ordnen wir sie in Gruppen, indem wir in dieselbe Gruppe
alle diejenigen Darstellungen zusammenfassen, für welche der
grösste gemeinschaftliche Theiler der Unbestimmten x und y
denselben Werth / hat, durch dessen Quadrat augenscheinlich
n theilbar sein muss. Die Anzahl der in einer solchen
Gruppe enthaltenen Darstellungen ist offenbar dieselbe, wie

die Anzahl der Darstellungen der ganzen Zahl — , bei welchen

die Unbestimmten x und y der Bedingung, relative Primzahlen
zu sein, unterworfen sind. Aus der über die Natur von f^,
J\, . . . gemachten Voraussetzung und aus dem bereits citirten
Satze folgt aber, dass diese letztere Anzahl gleich 2 . 2" ist,

wenn f.i die Anzahl der ungleichen Primzahlfactoren von —

bezeichnet. Es läuft also alles darauf hinaus, die Summe der

Potenzen 2'*, welche den ganzen Zahlen von der Form —

entsprechen, zu bestimmen. Um diese Summe zu erhalten,
[4] betrachten wir das Polynom:

^4 = 2//' + 2/^-2 4- 2/-/.-1 4- • • • ,

welches so weit fortzusetzen ist, als die Exponenten nicht
negativ werden, und in welchem der Coefficient des letzten
Gliedes gleich 2 oder gleich 1 zu setzen ist, je nachdem der

*) Siehe Journal f. r. u. a. M., Bd. 12, S. 167. [Jacobi's Werke,
Bd. 6, S. 245. H.J

5*

68 ^- Lejenne Dirichlet.

Exponent dieses Gliedes den Werth 1 oder 0 haf. Da das
entwickelte Product aus diesem Polynom und den analogen,
auf /',, /.,, . . . bezüglichen Polynomen offenbar von allen

Gliedern der Form '-"•,, gebildet wird, so erhält man die

Summe der Potenzen 2", wenn man alle Zahlen /",, /,, . . .
durch die Einheit ersetzt. Durch diese Aenderung werden
aber i^,, F^, . . . bez. gleich /., 4- 1, A, + 1, • • •*, hieraus
folgt, dass die Anzahl der Darstellungen, welche bestimmt
werden soll, gleich dem doppelten Producte (/., + 1) (Ä^H- 1) • . •
ist, welches letztere bekanntlich die Anzahl der Theiler von
n angiebt. In diesem ersten Falle ist also, wie man sieht,
das Resultat in Uebereinstiramung mit dem allgemeinen Satze,
da in diesem Falle, in welchem die Theiler sämmtlich die
erste der in diesem Satze ausgesprochenen Bedingungen er-
füllen, die Anzahl der Theiler genau gleich dem mit a be-
zeichneten Ueberschusse ist. Wir gehen nun zu dem allge-
meinen Falle über, in welchem // auch Primzahlfactoren (j von
der Art enthält, dass für sie

ist. und setzen:

Aus dem bereits untersuchten Falle lässt sich leicht folgern,
dass bei dieser Annahme die Anzahl der Darstellungen, deren
// fähig ist, durch das Product 2(/., + !)(/.,+ 1) . . . gegeben
wird, wenn die Exponenten »',, r^, . . . sämmtlich gerade Zahlen
sind, und sich dagegen auf Null roducirt, wenn dies nicht
der Fall ist. Wir haben also nachzuweisen, dass der Ueber-
schuss (} den Werth (Ä, -{- \) (/.^-\- \) . . . oder den Werth
Null hat, je nachdem // dem ersten oder dem zweiten dieser
beiden Fälle angehört. Um diesen Beweis zu t'rtlireu. bilden
wir das Product der Ausdrücke;

1 4-.V. H h.v,''', i+.v,-l h.v/S •••,

dessen verschiedene Glieder alle Theiler von fi liefern. Wird irgend

t'iner dieserTheihr mit ^bezeichnet, so ist (^ * ^ "^ ( |=±:1.

Verschiedene Anwendungen der Infinitesimalanalysis etc. 69

wobei das obere oder untere Zeichen gültig ist, je nachdem
die Anzahl der in k enthaltenen Factoren y\ , g^^ . . . gerade
oder ungerade ist. Folglich geht das obige Product [5] in a
über, wenn in ihm 1 =/", =fi = • • • , — ^ =^i =^-2 = • ■ •
gesetzt wird. Das Product wird mithin gleich:

1— ( — 1)"!+^ 1— f— D^a+l

{K + ^){k-\-^)---x — 4^ ^-^ ;

dieser Ausdruck ist in der That aber gleich [l^-{-l]{?.^-\-\). . .,
wenn i\, v^, . . . sämmtlich gerade Zahlen sind, und gleich
Null in jedem anderen Falle.

Die vorstehenden Resultate beziehen sich auf den Fall, in
welchem die Determinante IJ eine negative ganze Zahl ist.
Aehnliche Eigenschaften existiren für die Formen, deren De-
terminante positiv ist. Um diese Eigenschaften zu ermitteln,
kann man von den Reihen, welche wir in den Nummern III
und IV des § G betrachtet haben, Gebrauch machen. Man
kann diese Eigenschaften aber auch durch rein arithmetische
Betrachtungen erhalten, welche den von uns soeben aus-
einandergesetzten ganz ähnlich sind, indem man den Lehr-
satz III des § 4 zum Ausgangspunkte nimmt.

Es würde mithin unnütz sein, in dieser Hinsicht auf weitere
Einzelheiten einzugehen, und wir beschränken uns darauf, die
Resultate, welche sich auf die Formen von positiver Deter-
minante beziehen, anzugeben. Nützlich ist es aber, diesem
Satze eine Bemerkung vorauszuschicken, welche geeignet ist,
ihn zu vereinfachen, und welche die Bedingungen betrifl't,
denen die Coefficienten der Formen von positiver Determinante
in den §§ 4 und 6 unterworfen wurden. Dort wurde vor-
ausgesetzt, dass von den Coefficienten jeder derartigen Form,
wie ax- -f- 2bxy -{- cij-, die beiden ersten positiv sind, während
der dritte negativ ist. Von diesen Bedingungen sind aber
nur die erste und dritte nothwendig, und alles, was in den
genannten Paragraphen bewiesen worden ist, gilt ebenfalls,
wenn b negativ oder Null ist. In der That haben wir nir-
gends auf das Vorzeichen des mittleren Gliedes Rücksicht ge-
nommen, ausser in der Nummer III des § 6, um zu beweisen,
dass der Ausdruck ax- -{-2b.ri/ -^-ci/'- positiv ist, wenn man
in demselben:

•^>0, y>0, y^^JL__:c

70 f»- Lejeune Dirlchlet.

voraussetzt. Dieses Resultat liiiugt aber, wie leicht zu er-
kennen ist, nicht mehr von dem Vorzeichen von b ab. Um
sich davon zu überzeugen, beachte man, dass die letzte
dieser Ungleichheiten in die Form [ax-\-hy) U^yT gebracht
werden kann, aus welcher, da die rechte Seite positiv ist,
^ax + Äy)* J^^^f T- folgt. Andrer.^eits ist 2'* > DU*, und
mithin erhält man durch Multiplication [ax-\- hyY'^ Dy*
oder, was auf dasselbe hinauskommt, da der Coefficient a
positiv ist, ax^- -\-'2hxy -\- cy'-'^ 0^ was zu beweisen war.

[6] Nimmt man auf die soeben gemachte Bemerkung
Rücksicht und bezeichnet mau, wie früher, mit lo die Zahl 1
oder 2, je nachdem es sich um Formen der ersten oder zweiten
Art handelt, so kann man die betreffenden Resultate in den
folgenden Satz zusammenfassen.

j^Ist D eine positive ganze Zahl laber keine Quadratzahl)
und bezeichnen T und 1^ die kleinsten positiven Werthe von
/ und ti [w und n ausgeschlossen), welche der Gleichung
/'- — I)ur:=io- genügen, so seien:

ax^- -\-'2hxy -\- cy-^ a x' + 1 h' xy + r'//-, . . .

die verschiedenen Formen erster (zweiter) Art, welche die
Zahl D zur Determinante haben und so gewählt sind, dass
die Coefficieuten von .r* sämmtlich positiv, die von //- sämmt-
lich negativ sind; wir setzen ferner voraus, dass die Unbe-
stimmten .'• und // nur positive Werthe annehmen solleu.

aü
ausserdem in der ersten Form der Bedingung >/^^, tFt^

1 OL

und in den auderen Formen ähnlichen Bedingungen unter-
worfen sind. Bezeichnet dann n eine positive, ungerade und
zu J) relativ prime ganze Zahl , so behaupte ich . dass die
Anzahl der verschiedenen Darstellungen, deren die Zahl o fi
durch die gegebenen Formen flihig ist, gleich ist dem Uober-
schusse der Anzahl der Theiler von k, für welche der Aus-
k—\ /r-l

druck ö '^ e ^ l-.A den Werth 1 hat. über die Anzahl

dieser Theiler. welche demselben Ausdruck den Werth — 1
geben.«

Um diesen Satz auf einen speciellen Fall anzuwenden,
werde /> = 2 gewählt. Dann ist <(> = 1 , 7'= 3. ^=2.
(\ = 1 , f = — I , P = 1 , und das vollständige Formensystem
reducirt sich auf ein einziges Glied, als welches wir die Form

Verschiedene Anwendungen der Infinitesimalanalysis etc. 71

X- — 2y- wählen können. Das auf diesen Fall bezügliche
Resultat lautet also:

»Wenn in der Gleichung x"- — 2y" = n., wo /i eine
ungerade, positive Zahl ist, die Unbestimmten x und y
nur positive Werthe, welche überdies die Bedingung Hy ^ 2.r
erfüllen, annehmen können, so ist die Anzahl von Lösungen
dieser Gleichung gleich dem Ueberschusse der Anzahl der
Theiler von w, welche eine der Formen S?' ± 1 haben, über
die Anzahl dieser Theiler, welche eine der Formen 8r ± 5
halben.
Da in der oben aufgestellten Gleichung (1), ebenso wie in
den drei analogen Gleichungen, welche wir der Kürze wegen
hinzuschreiben unterlassen haben, die beiden Seiten in Gruppen
von Gliedern einander gleich sind — in dem Sinne, dass das
einzige Glied, welches aus der Vereinigung aller einzelnen ,^7]
Glieder auf der rechten Seite, für welche das Product n7i
einen bestimmten Werth hat, resultirt, identisch gleich der
Summe aller derjenigen Glieder auf der linken Seite ist,
für welche die quadratischen Formen den gleichen bestimmten
Werth haben, gebildet wird — , so sieht man. dass die Rich-
tigkeit dieser Gleichungen von der besonderen Gestalt der
Function, welche in ihnen auftritt, unabhängig ist und dass
diese Function, welche in den betreffenden Gleichungen, so
wie sie sich uns zunächst dargeboten haben, eine Potenz des
Exponenten — s ist, durch eine ganz willkürliche Function
ersetzt werden kann. Wenn immer nur die Gleichung, welche
sich auf den ersten der vier allgemeinen Fälle bezieht, hin-
geschrieben wird, so besteht also auch die folgende Gleichung:

— 'fpax^ -\-2hxy-\-cy'^, -\-ycfax--{-'2l)'xy-\-c'y"-, -\

7) — 1 il^ — 1

= 2.^0 e 1^1 (p[7in) ,

in welcher die Suramenzeichen ihre frühere Bedeutung bei-
behalten haben. Die durch die Charakteristik (f bezeichnete
Function muss nur, wie hinzuzufügen ist. so beschaffen sein,
dass die obigen Reihen convergent sind und zu den Reihen
gehören, welche wir Reihen erster Art nannten. Diese Be-
dingung ist z. B. erfüllt, wenn man (p ' z = q~ annimmt, wo q
eine reelle oder imaginäre Constante, deren numerischer AVerth
oder deren Modul kleiner als die Einheit ist, bezeichnet. Dieser

72 0. Lejeunc Diiichlet.

Fall ist in:<ofern besonders bemerkensweitb, als er die eine
der Summatiouen auf der recbten Seite auszuführeu und die
auf der linken Seite stehenden doppelten Reihen in Summen
von Producten einfacher Reihen umzuformen gestattet, sodass
die Gleichung dann eine Beziehung zwischen gewissen einfachen
Reihen darstellt, welche mit Reihen aus der Theorie der ellip-
tischen Functionen identisch sind. Die Vereinfachung, vun
welcher wir sprechen, findet jedoch nur statt für die Glei-
chung (2) und die weitere analoge Gleichung, welche sich auf
einen negativen Werth von J> bezieht; sie erstreckt sich nicht
auf den Fall, in welchem die Determinante positiv ist. Man
kann in diesem letzteren Falle wohl noch eine der Summationen
auf der rechten Seite ausführen, aber die l'ngleichhcitsbe-
dingungen, denen jene in Bezug auf x und y unterworfen sind,
verhindern die Umformung der Doppelreihen nach x und y
in Producte von einfachen Reihen'' .

Da die Formeln, auf welche man durch die soeben be-
sprochene Reduction geführt wird, neu sind und einiges
Interesse darzubieten scheineu, so deuten wir kurz den Weg
an, auf welchem man dieselbe ausführen kann. Wenn mau
in der Gleichung (2) der Function (p die Form einer Expo-
nentialfuncti(tn giebt, ^8] .so geht diese Gleichung in die
folgende über:

^., a/--\--lbxij-^cir ^, a'x-^lh'.cij + c'y-
3)) /?— 1 n-—\
I =2i-,V - . '•

(;)'/'"■•

In dem besonderen Falle, wo die sämmtliclu'u mittleren Coefli-
cienten i, //,... gleich Null sind, stellt sich die linke Seite
unmittelbar als Summe einer endlichen Anzahl von Producten
einfacher Reihen dar. Ist z. B. I) = — 2 , so existirt dann

nur die einzige Form x^ -\- 2y'^, und die Summe ^ »j ' ,

in welcher .r*-}-2y* nur ungerade Werthe annehmen darf,
muss tlber alle ungeraden ganzen Zahlen x und über alle
geraden und ungeraden ganzen Zahlen // erstreckt werden.
Vereinigt man die Glieder, welche entgegengesetzten Werthen
v(in X oder y entsprechen, so nimmt die linke Seite die Gestalt
des folgenden Prodiictes an:

Verschiedene Anwendungen der Infinitesimalanalysis etc. "J'S

Da in diesem Falle d ^^ — 1,€ = — i ^ P = — i ist, so
wird die linke Seite gleich

n — 1 n- — 1

wo das Zeichen — sich auf alle positiven und ungeraden
Werthe von ti und n erstreckt. Führt man die Summation
in Bezug auf ?t aus, so erhält man:

u — 1 ir — 1

^ 1 — (f''

Man erhält also in diesem besonderen Falle die Gleichung:

[q + q" + r' H ; ,i + 2^ + -^q' + 25'« H )

^ q , q' r q'' ,

welche sich mit Hülfe von bekannten Formeln aus der Theorie
der elliptischen Functionen leicht verificiren lässt. 1^,

Wir gehen nun zu einem allgemeineren Falle über, wel-
cher genügt, um zu zeigen, auf welche Weise die fragliche
Keduction für beliebige negative Werthe von D ausgeführt
werden kann. Es sei D = — p, wo p eine Primzahl von
der Form 4j/ -|- 3 bezeichnet. Bei dieser Annahme ist ö= 1,
fc ^ 1, P = — p zusetzen; die rechte Seite wird also, wenn

man an Stelle von ( ) den gleichwerthigen Ausdruck 1 — j

setzt, gleich

"(7)^"'"

Da H und ti alle positiven, ungeraden und zu p relativ
primen Werthe annehmen sollen, so geht der vorstehende
Ausdruck, wenn man in ihm die Summation in Bezug auf n'
ausführt, über in

[9] Betrachten wir nun eine der auf der linken Seite
stehenden Doppelsummen, z. B. die erste. Gemäss den Resul-
taten des § 5 können die Werthepaare, welche x und y in

74 (»• Lejeune Dirichlet.

dieser Summe aunelimen milsseu, in eine bestimmte Anzahl
von Systemen der Form .r = 'Ipti -\- a ^ y = -p^' + /' ver-
theilt werden, wo «, ;' bestimmte ganze Zahlen und //, r
unbestimmte ganze Zahlen, für welche alle Werthe von — oo
bis oo zu setzen sind, bezeichnen. Wenn man a.r* + 2/y.r//-}-ri/*

in die Form — ['a^' -\- hy' -\- py-] setzt, so erhält man:

1 V

— r2M(aM -\-hv)-\-a<( + hy]- ■' {'Ipv 4-1'-

Wir zerlegen nun diese Theilsumme ihrerseits in weitere Sum-
men, indem wir allmählich at?, ar -\- \ . . . . , av -\- a — 1
an Stelle von v setzen. Für irgend eine dieser Theilsummen,
deren Anzahl gleich a ist, erhält man so den folgenden Aus-
druck, welcher sich auf die Substitution von ac -f- /. bezieht
und in welchem zur Abkürzung 'Iph'/, -\- au -\- hy = h .
2p}. -{-;' = / gesetzt ist:

- [2 « a [u 4- h r) + Äf ^-[2pav + I-
^q" q"

Wenn man Jetzt die Summation in Bezug auf u als die zuerst
auszuführende ansieht, so hindert nichts, u -\~ br durch u zu
ersetzen, und das Resultat nimmt dann die Gestalt des Productes
zweier einfachen Reihen an:

(2;j au + /•,- ■''' (2;; a r + /,"

Diese beiden Reihen können, wie ferner leicht zu sehen ist,
auf die höchst wichtige Function zurückgeführt werden,
welche von Herrn Jacobi in die Theorie der elliptischen
Functionen eingeführt ist und welche den Ausdruck hat:

1 — Iq cos 'l.r -\- '2q* COS 4;r — 2q'' COS ().r -f- • • • •

Andererseits kann man auch die beiden Reihen (4) auf ellip-
tische Functionen zurückführen, wenn man die bekannten
Formeln dieser Theorie mit den schönen Ausdrücken verbindet.

welche Herr Guu.ss*) für die Darstellung von j — j durch eine
ciiilliche Reihe von Sinus- oder Cosinusfunctionen gegeben hat."^

' Diaq. urithin.. art :<")5: Suminafio quaruiidam serienttn .vi'hi/..
Werke. Bd. 2, S. it. II.

Verschiedene Anwendungen der Infinitesitnalanalysis etc. 75

Die Formeln, welche man auf diese Weise erhält, erschei-
nen mir besonders dadurch bemerkenswerth, dass die Producte
der Form (5i, welche die linke Seite bilden, sowohl hinsicht-
lich ihrer Anzahl als auch hinsichtlich der Constanten a. k. /,
welche in ihnen vorkommen, von der Anzahl und den Coef-
ficienten der verschiedenen quadratischen Formen, welche für
die entsprechende Determinante existiren, abhängen; es ist zu
hoften, dass man durch tiefere Untersuchung der soeben an-
gedeuteten Beziehung [10] zu den wichtigsten Resultaten ge-
langt, welche neues Licht auf die Natur der quadratischen
Formen von negativer Determinante zu werfen im Stande sind.
Dies ist wenigstens die Erwägung, welche mich veranlasst
hat, diese Bemerkung, so unvollständig sie auch ist, den
Mathematikern zur Beachtung vorzulegen.

§ s.

In diesem Paragraphen wollen wir 1) die höchst einfache
Beziehung aufstellen , welche zwischen der Anzahl der zu
derselben Determinante gehörenden Formen erster und zweiter
Art besteht, und 2] untersuchen, wie die Formenanzahl irgend
eiiner Determinante abhängt von der Formenauzahl, welche
dieser Determinante getheilt durch die grösste in ihr enthaltene
Quadratzahl entspricht.

I. Es seien bez. // und // die Anzahl der Formen erster
und zweiter Art, deren Determinante eine ganze Zahl 4^+1
ist. Setzen wir zuerst D als negative Zahl voraus, so giebt
die Gleichung (19) § 6, wenn man beachtet, dass hier d = 1,
e = \ ist:

TT \P/ n

Es genügt, diesen Ausdruck mit den Gleichungen (21) zu ver-
gleichen, um daraus die Folgerungen zu ziehen:

// = Ä', D = 1 (mod. S ; Ä = 3//, Z> = 5 (mod. S).

Die zweite dieser Gleichungen ist, wie hinzugefügt werden
muss, für /> = — 3 unrichtig; in diesem Falle ist vielmehr
h = //.

U. Wenn T) positiv ist, so ergiebt sich die zwischen h
und li bestehende Beziehung in derselben Weise aus der
Vergleichuug der Formeln (23, und (24 i. Bezeichnet man

76 ö- Lejeune Dirichlet.

bez. mit 7', i' uud T\ U' die kleinsten positiven Werthe,
welche den Gleichungen:

^1) t- — Du- = 1 i2) /'- — Du- = 4

genügen, so lautet die Beziehung, um welche es sich handelt,
folgendermaassen :

, ,,log.V;r+ U'\1j) ,,_ , , , ,

// = h ^-- ■:^ — , /> ^ 1 mod. 8

\o^[T+UVD)
Ji = 3 /< — ^-^=:— _ — , JJ ^^ 0 mod. 8 .

log T-^ uyv)

Um diesem Resultat eine einfachere Gestalt zu geben, be-
achten wir, dass alle Lösungen der Gleichung 1 oflfenbar in
denen der Gleichung 2, enthalten sind; es genügt die Lö-
sungen der letzteren Gleichung zu betrachten, in welchen /'
und u' gerade sind, und t = yt', u = ^u zu setzen. Folg-
lich ist, wenn 2" und U' gerade Zahlen sind, T^=\T\
U=^U', uud dieser Fall tritt, wie leicht zu sehen ist,
immer ein, wenn J) die Form 8j^ + 1 hat, weil bei dieser
Annahme die Gleichung ;2 durch ungerade Werthe von t'
und u nicht würde befriedigt werden können.

11] Es bleibt also noch der Fall zu betrachten, in wel-
chem JJ die Form b r -f- 5 hat und T' uud U' gleichzeitig
ungerade sind. Da alle positiven Lösungen der Gleichung ^2)
durch die Formel:

t'-\-u'VD rr -\- u'V7)\"

_ rr -\- urny

wo H eine positive ganze Zahl ist, gegeben sind, so folgt aus
der obigen Bemerkung, dass man die Werthe T und 6' er-
hält, indem man den kleinsten Exponenten n bestimmt, für
welchen (' uud <<' gerade sind, und daun T=\i', C=\u'
setzt. Nun überzeugt man sich aber leicht, dass dieser Ex-
ponent die Zahl '.'< ist; denn nimmt man // = 2, so findet man
für u den ungeraden Werth T'i", während der n = 3 ent-
sprechende Werth |C/''3r'* + y>Z7'*i_otrenbar gerade ist.

_' IT' -4- U' VT)\'
Mithin ist T -}- [ ] J) = r ^-Z—!-±\. Wendet mau

diese Resultate auf die oben gegebenen Gleichungen an, so

Verschiedene Anwendungen der Infinitesimalanalysis etc. 77

sieht man, dass für eine Determinante von der Form Sj/+ 1
stets h = //' ist, und dass, wenn 7> die Form Sr + 5 hat,
alles von den ganzen Zahlen T' und V abhängt; je nach-
dem diese Zahlen gerade oder ungerade sind, ist h = 3h'
oder h = /?/.")

III. Indem wir uns jetzt zur zweiten der oben aufgewor-
fenen Fragen wenden, bemerken wir zunächst: Nachdem in
dem Vorhergehenden die Beziehung, welche zwischen den zu
derselben Determinante gehörenden Formen erster und zweiter
Art stattfindet, aufgestellt worden ist, können wir bei der noch
zu beantwortenden Frage die Formen, deren Classenanzahl zu
vergleichen ist, als zur ersten Art gehörend voraussetzen. Es
seien dann D und D' = DS- die beiden Determinanten, wo
D keinen quadratischen Factor-" enthält und >y positiv voraus-
gesetzt wird, und wir bezeichnen bez. mit h und //' die An-
zahl der Formen, welche bez. diesen beiden Determinanten
entsprechen. Da die Grössen 6', e, P für diese beiden De-
terminanten offenbar dieselben sind, so ist, wenn zuerst D als
negative Zahl vorausgesetzt wird, auf Grund der Gleichung
(19) des § 6:

— H — 1 n- — 1

n — 1 «'- — 1

TT \Pj n

Obgleich die allgemeinen Glieder der in beiden Ausdrücken
auftretenden Reihen von gleicher Gestalt sind, so habeu trotz-
dem diese Reihen verschiedene Werthe. In der ersten Glei-
chung ist nämlich die Summation über alle ungeraden und zu
D relativ primen ganzen Zahlen n zu erstrecken, während in
der zweiten Gleichung w nur ungerade und zu 1)' relativ
prime ganze Zahlen annehmen darf. Um die zwischen diesen
beiden Summen bestehende Beziehung aufzudecken, muss man
auf die Gleichung 6' des § ü zurückgreifen. Wenn man in
dieser Gleichung 0 = (), /^=f, P^=^P^ 11^=^ \ setzt, so
sieht man, dass die beiden obigen Reihen [12] als der Grenz-
werth betrachtet werden können, gegen welchen das Product:

1

U

T-^

78 G. Lejeune Dirichlet.

convergirt, wenn die VcriluderlicLe .s sich unbegrenzt der Ein-
heit annähert; es ist aber der Unterschied wohl zu beachten,
dass man in diesem Produete, wenn es sich um die erste Reihe
handelt, alle positiven und ungeraden Primzahlen </, welche J)
theilen, ausschliesseu muss, während man, um die zweite Keihe
zu erhalten, alle positiven und ungeraden Primzahlen, welche
iy=l)S'- theilen, au^zuschliessen hat. Bezeichnet mau mit
r, ;•', ;•",... die ungeraden, positiven uud ungleichen Prim-
zahlen, welche in J)', aber nicht in J> enthalten sind, so
folgt, dass das Verhältniss der ersten zu der zweiten Keihe
den Werth

m

hat, wo das Zeichen // sich auf alle soeben definirten Werthe
von r erstreckt.

Mit Hülfe dieses Resultates liefert die Vergleichung der
Ausdrücke für Ji und // die Beziehung:

/•— 1 ;••-— 1

h- = hs.n[v-6 - . ' (-;i)i],

welche die gesuchte Beziehung zwischen // und h' darstellt.
Diese Gleichung ist, wie hinzugefügt werden muss, nicht auf
den Fall y> = — l anwendbar; in diesem Falle muss ihre
linke Seite verdoppelt werden.

IV. Da der Fall, in welchem /> und />' positiv sind, eine
ganz ähnliche analytische Behandlung zulässt, so beschränken
wir uns darauf, das diesbezügliche Resultat anzugeben. Be-
zeichnet man mit T, U und T', U' die kleinsten positiven
Werthepaare , welche den Gleichungen t- — Dtr = l und
/'* — J)'ii'-= l genügen, so lautet das Resultat, um welches
es sich handelt:

— /•— 1 >-— 1

,. , ,iog(7'4-ri />! r, „~2 ^/'•\'l

logV-hU'yj)] I \/VrJ'

man kann hierzu noch bemerken, dass der logarithmische
Factor olVenbar gleich der Einheit dividirt durch den kleinsten
positiven Exponenten /. ist, für welchen der Coefücient v(tu

Verschiedene Anwendungen der Infinitesimalanalysis etc. 79

Vi) in der entwickelten Potenz (T+ UVIJ/^ durch S theil-
bar ist-' .

Bevor wir diesen Paragraphen beschliessen und uns mit der
am Anfange des vorigen Paragraphen erwähnten Summation
beschäftigen, bemerken wir noch, dass die beiden soeben be-
handelten Fragen bereits in dem Werke von Herrn Gauss
(art. 253 — 250), aber mit anderen Ilülfsmitteln gelöst worden
sind. Hinsichtlich der Resultate findet mau, dass die des
berühmten Autors für negative Determinanten mit den unsrigen
identisch sind, dass sie aber, wenn die Vergleichung zwischen
Formen mit positiver Determinante vorzunehmen ist, von unsern
Resultaten wesentlich verschieden sind und sich in einer com-
plicirteren Form darstellen.

{Crelle's Journal, Bd. 21, S. 134—155.)

§ 9.

[134] Die Summation, welche uns noch auszuführen übrig
bleibt, kann nach zwei verschiedenen Methoden bewirkt werden,
indem man sich dazu der wichtigen Formeln bedient, welche
Herr Gauss in seiner schönen Arbeit mit dem Titel »Summatio
quarundam serierum singularium«* aufgestellt hat. Die
erste dieser Methoden stützt sich auf gewisse bekannte Reihen,
welche nach den Sinus und Cosinus der vielfachen Bogen
fortschreiten. Als wir diese Methode in einer früheren Mit-
theilung**! benutzten, bemerkten wir bereits, dass sie in der-
selben Weise und mit gleicher Leichtigkeit auf alle Reihen
anwendbar ist, welche dazu dienen, die Anzahl der Formen
für irgend eine Determinante darzustellen, das ist also auf die
beiden allgemeinen Reihen 19; und (23) des § 6. Wir haben
sogar noch die Bemerkung hinzugefügt, dass die Reihen von
dieser Gestalt noch durch dasselbe Hülfsmittel in mehreren
Fällen summirt werden können, in welchen der Exponent s

der in dem allgemeinen Gliede enthaltenen Potenz -^ nicht

gleich der Einheit ist, was ausserdem evident ist. In der
That, da die betreffende Methode darin besteht, den Factor,

*) Werke, Bd. 2, S. 9. H.

**) Siehe Journal f. r. u. a. M., Bd. 18, S. 259—274. [Werke.
Bd. 1, S. 357—374. H.j

80 ^''- Lejeune Diricblet.

welclier in — r multiplicirt ist, mit Hülfe der Gausn sehen Foi-
?r

mein durch eine endliche Anzahl von Gliedern einer der
Formen sin ;/.r, cos tix zu ersetzen, so ist die lieihe nach
dieser Transformation in eine Summe von endlichen trigono-
metrischen lieihen umgeformt, deren jede einen Ausdruck von

sin //-j' cos fi x

der Form — oder — ^— — als allgemeines Glied hat, und

n 71

kann folglich für dieselben Werthe von s summirt werden, für
welche J). Bcnioulli die Summen dieser letzteren Reihen
gegeben hat.

Die zweite Methode beruht auf dem bekannten Integrations-
verfahren rationaler Brüche. Die bereits citirten Reihen (I9i
und 28 § G stimmen mit den Reihen überein, [135] welche die
zweite der drei Classen unendlicher Reihen bilden, die wir in
der Abhandlung über die arithmetische Progression zu unter-
scheiden hatten, und wir haben schon in dem t? I (i der ge-
nannten Abhandlung bemerkt, dass die Reihen zweiter und
dritter Classe durch das Verfahren, welches wir in dem § 4
derselben Abhandlung ausführlich erörtert haben, summirt
werden können. Beide soeben angegebenen Methoden sind
von grosser Einfachheit. Da die zweite Methode diejenige ist,
welche sich am natürlichsten darbietet, so wollen wir von ihr
zuerst Gebrauch machen. Ehe wir aber diese Rechnung
unternehmen, müssen wir an die Gr/?/6A'schen Formeln erinnern.
Ich lasse hier eine Ableitung derselben folgen, welche sich
zwar auf dieselben Principien, wie eine frühere Arbeit* , stützt,
aber in mancher Hinsicht einfacher ist.

Bezeichnet /'.r eine Function von .r, welche ich zwischen
den (Jrenzen x = ü und x = /r als stetig voraussetze, und wird

jt\x CO

s ,s.rr/.r =

gesetzt, so ist bekanntlich:

'o -\- 2 2"r, C08 sx = 'rf[Xj

* Ueher viuv »riir Aniiiii(luiiii luslitnndir Jiitctjni/r auf dir
Sinnination. endlicher oder u/uiitllirlirr Reihen, Abluindl. d. Herl.
Akttd., 1H35. S. 3H1— 4(17; Werke, Bd. 1. S. 237-251;. II.

Verschiedene Anwendungen der Infinitesimalanalysis etc. gl

wo sich das Zeichen ^ auf alle ganzen Zahlen von s = 1

bis 6=00 erstreckt*. Da diese Entwickelung zwischen

den Grenzen x = (» und x = :c einschliesslich gültig ist, so
ist im Besonderen:

Man erkennt leicht, wie diese Gleichung abgeändert werden
muss, wenn die Grenzen des Integrals Cg beliebige Werthe
haben. Bezeichnet h eine positive ganze Zahl, so fassen wir
z. B. die Grenzen 0 und 2h7t ins Auge und setzen:

(1) I f{^) cos sx dx = Cg ^

0

wo die Function fix) zwischen den Grenzen des Integrals
immer stetig ist. Theilt man dieses Integral in 2Ä Theil-
integrale, deren Grenzen:

0 und 7t, rc und lit, ..., (2/^ — \)7t und Ihn

sind, und führt man alle diese neuen Integrale auf solche
mit den gemeinsamen Grenzen 0 und 7t zurück, so wird:

=f[f[^) +/(2rr - x) -i-f{27t + .^•) + • ••

s

0

+ f{2[h-l]7t~x)+f\2[h—l]7t-j-x)

-\- f{2h7t + ^)] cos sx dx.

Da dieser Ausdruck für Cg dieselbe Gestalt wie der oben ge-
gebene hat, so ist:

(2) c, + 2^ c, = 7t\f[^] + f[2h7t) + ^2^'f{2s7t^ ,

wo das allgemeine Glied Cg auf der linken Seite durch die
Gleichung (1) gegeben ist. [136] Betrachtet man dann das
Integral :

/ cos (.r'-; dx = a ,

* BirichUt, Siir la convergence des series trigon. (Journal f.
r.u.a. M., Bd. 4, S. 157—169; Werke, Bd. 1, S. 117—132); Ueber die
Darstellung ganz willkürlicher Functionen etc. (Repertorium der
Physik von Doreu. Moser. Bd. 1,S. 152— 174 ; Werke Bd. I ,S. i;i3— 160.)

Ostwald's Klassiker. !il. a

82 G- I^ejeune Dirichlet.

wo rt eine numerische Grösse ist und setzt man in dem-
selben .r = ^ 1/ - — , wo z die neue Veränderliche und n

2 ' 2 TT

eine positive, durch 4 theilbare ganze Zahl bezeichnet, so er-
hält man:

— je

Zerlegt man dieses Integral in unendlich viele Integrale,
welche zwei aufeinanderfolgende Vielfache von tt, wie z. B.
25.T und 2(6 -f- Ij/r als Grenzen haben, und führt man
diese neuen Integrale durch Aenderung von z in 26vr + r
auf solche mit den gemeinsamen Grenzen 0 und 2rr zurück,
so wird:

y /cos j- i2s;r + zY- dz = 2a V— ,

ij

wo das Zeichen — sich auf alle ganzen Zahlen von 6 = — oo
bis s = CO bezieht.

Wenn man das Quadrat unter dem Cosinuszeichen ent-
wickelt, dann das Glied \fi{{-:i, welches ein Vielfaches von
271 ist, unterdrückt und schliesslich je zwei Glieder der Summe,
welche entgegengesetzten Werthen von * entsprechen, zu einem
Gliede vereinigt, so ergiebt sich:

0 li

wo das Suramenzeichen sich auf alle ganzen Zalilon von * = 1
bis s = oo erstreckt. Setzt man noch ?iz = 2.r, so erhält
man:

ii fi )i /i

cosÄ.r d-t = rt] 2;ii

Da die ganze Zahl 7/ gerade ist, so nimmt die linke Seite die
Gestalt an. welche die linke Seite der Gleichung (2) bat,

Verschiedene Anwendungen der Infinitesimalanalysis etc. 83

wenn f[x) gleich cos [^ — | ist. Auf Grund dieser Gleichung
folgt also:

cos 0 + cos — - + 2 > cos s^ = aV

\ 2 / n -^ 91 ' TT

^ 2>r In

Beachtet man, dass cos*" — = cos {n — sY' — ist, so

n n

kann man dieser Gleichung die einfachere Form geben :

s = n — 1

"^ ,27r -t/In

> cos 6* = « 1/

Um die von n unabhängige Grösse a zu bestimmen, genügt
es, 71 einen speciellen Werth zu geben. ' Setzt man z. B. w = 4,

so findet man a= y-^' [^^''J ^^^" erhält also schliess-
lich , welches auch der Werth der ganzen Zahl w = 4 /t
sein mag:

s = n - 1 n

> COS 6^ — = y?i-

4-»
Behandelt man das Integral / sin {x^) dx in gleicher Weise,

— 00

so findet man schliesslich:

> sin.s^ — = 1

Durch eine ähnliche Rechnung würde mau die vorstehenden
Summen auch für die Fälle, in welchen w von einer der drei
Formen 4/t -}- 1, 4/< + 2, 4u + 3 ist. leicht berechnen
können; es ist aber noch einfacher diese drei Fälle auf den
Fall, in welchem 7i die Form 4u hat, zurückzuführen.

Um dies zu erreichen, seien w und w? zwei beliebige ganze
Zahlen, deren erste positiv vorausgesetzt wird; wir setzen:

^ e " = (p[m, 7i),

s = ()

WO ^ zur Abkürzung die imaginäre Grösse ] — 1 bezeichnet.

C*

§4 G. Lejeune Diricblet.

Die Function (f m, n) besitzt mehrere wichtige Eigen-
schaften. Zunächst hat man offenbar, wenn m' eine dritte
ganze Zahl bezeichnet, welche der Congruenz m ^ jn (med. 71)
genügt:

(3) (p{m, n) = (p[m\ n) .

Ferner ist, wenn man c relativ prim zu 71 voraussetzt:

(4) (f [m, n) = ff ('■' w, //) .

Diese Gleichung folgt daraus, dass der Ausdruck es, wenn
man in demselben nacheinander 6=0, 1, ..., « — "1 setzt,
bei der Division durch w dieselben Zahlen als Reste lässt.

Eine dritte Eigenschaft wird durch die Gleichung aus-
gedrückt:

(5) (f{7t, fTi) ■ (p{m,n.) = (p(l, m7i) ,

in welcher die beiden ganzen Zahlen // und m positiv und zu
einander relativ prim vorausgesetzt sind. In der That, da .

2J e " =cp (m, 71), ^ e »' = <p[7i, m)

s = 0 ' = 0

ist, so erhält man durch Multiplication:

''* 7t i
^ ^ e '"" = (p[ni, n) (p n, m)

oder, was auf dasselbe hinauskommt, indem man in dem Ex-
ponenten den Ausdruck 2st:i i, ein Vielfaches von 2/r/, hin-
zufügt:

^ ^e »^^^ = <pim,,>)cp{77,m].

S = (I / = 0

138] Das Binom ms -\- 71 f kann durch seinen Kest in
Bezug auf den Modul mw ersetzt werden. Da nun aber /7i
und w zu einander relativ prim sind, so erkennt man leicht,
dass die Werthe, welche dieser liest zwischen den (irenzen
der doppelten Summatiou erhält, mit den Gliedern der Kcilio
0, 1, 2, ..., 7n/i — 1, aligosehon von der Reihenfolge, über-
einstimmen. Das Resultat nimmt mithin die Gestalt einer ein-
fachen Summe an und giebt:

Verschiedene Anwendungen der Infinitesimalanalysis etc. S5

s = wui — 1 j2 rüi
^ e '"" = fp[ni, n) fp[n, m) ,
s = o

was zu beweisen war.

Mit Hülfe der soeben aufgestellten Gleichungen kann man
leicht den Werth von </)(l, n), welche Form auch die Zahl n
haben mag, berechnen. Nimmt man erstens w = 4/f an. so
ist auf Grund der oben ausgeführten Summationen:

cp(l, n) = (1 + i) Vn.

Zweitens sei n eine ungerade ganze Zahl. Die Gleichung (5)
wird für m ^ 4:

rp [4: , Ji) (f {n , 4) = f/) ( 1 . 4 ?i) .

Wegen der vorhergehenden Gleichung ist hier die rechte Seite
gleich 2(1 -\-i)y/). Die beiden Ausdrücke y(4, w), (f'{n,i;
können aber mit Hülfe der Gleichungen (3 und (4) durch
andere ersetzt werden, und zwar der erste durch (p{l,7i.
der zweite durch (p{l, 4) oder fp{'i, 4), je nachdem Ji von
der Form 4« + 1 oder Af.i -\- 3 ist. Nun ist aber leicht zu
sehen, dass

cp{l,4] =2(l+^•, f/'lS, 4) =2(l-e)
ist. Folglich ist:

(p(i.n)=y?i, 71 = 4 1.1 -\- 1 ; cp{i, ?i) = iV/i, 'w==4,u + 3.
Es bleibt noch der Fall, in welchem n von der Form iu -{- 2
ist. zu untersuchen übrig. Da bei dieser Annahme — und 2
relativ prim zu einander sind, so giebt die Gleichung (5):

und da andrerseits

9'(|, 2) = y(l, 2)=0
ist, so folgt:

Cp[l, 7V = 0 .

Betrachten wir im Besonderen den Fall, in welchem 7i eine
ungerade Primzahl j) ist; es seien a und b bezüglich die

S6 G. Lejeune Dirichlet.

(juadratischen Reste und NicLtreste der Zahl y>, welche kleiner
als diese Zahl sind. Beachtet man noch, dass der Aus-

druck i ~ ' sich auf l oder / reducirt, je nachdem p die
Form 4-ff + l oder Au -\- 3 hat, so ist dann:

139] diese Gleichung kann dadurch, dass man s' durch seinen
liest ersetzt, in der folgenden Form geschriebt^'n werden:

1 + ^yjc" P =^ ^ I Vp,

wo das Zeichen .3 sich auf alle Werthe von a bezieht. Wenn
?n eine nicht durch j) theilbare ganze Zahl bezeichnet, so er-
hält mau ebenfalls, indem man f/m^' durch seinen Rest ersetzt:

27zi

oder

je nachdem

l,-^

P

ist. Da andrerseits -2)

<p{m,p)= 1+2^

2 rr / , 2 rr »

0

beide Resultate in die folgt
werden :

. iP_-JY

ist, so können beide Resultate in die folgende Formel zu-
sammengefasst werden :

P

Setzt man an Stelle von *- seinen Rest, so erhält der Aus-
druck (f{ni,p) die andere Gestalt:

2 fii 1 i
a

'/ f'h P = ^ -\- - ^ '• '' ,

Verschiedene Anwendungen der Infinitesimalanalysis etc. 87

und die Vergleichung dieser beiden letzten Formeln mit ein-
ander liefert die Beziehung:

1 m 71 i hl — 1 \ -

P
Wenn man nun beachtet, dass offenbar ^2)

j.m7ii ui — i\

^e P -\-^e P = — 1

ist, so kann die zuletzt erhaltene Gleichung auch in die fol-
gende übergeführt werden:

'l7nni ,p — 1\"-

Subtrahirt man diese Gleichung von der zuerst erhaltenen, so
wird schliesslich:

'Imni Ip — 1\''

Diese Gleichung gilt für jede ganze Zahl m, welche nicht
durch p theilbar ist. Wenn ?n ein Vielfaches von p ist, so
reducirt sich die linke Seite offenbar auf Null. Wir schreiben
die Gleichung auf die folgende abgekürzte Art:

wo sich das Summenzeichen auf alle ganzen Zahlen von g = l
bis g=p — 1 erstreckt.

§ 10.
[140] Die Bestimmung der Anzahl // der quadratischen
Formen, welche einer beliebigen Determinante entsprechen,
lässt sich, wie wir durch die im § S erhalteneu Resultate ge-
zeigt haben, immer auf eine gleichartige Aufgabe zurück-
führen, welche sich auf den Fall bezieht, dass die Deter-
minante durch keine Quadratzahl theilbar ist und die Formen,
deren Anzahl zu bestimmen ist, zur ersten Art gehören. Wir
haben uns folglich nur noch mit den vier Determinanten:

P, iP, — P, — 2P

88 <■■ Lejeiiue Dirichlet.

zu beschäftigen, wo P= pp p" . .. eine nngerade und positive
ganze Zahl bezeichnet, deren Primzahlfactoien p-p'^p'.---
sämmtlich von einander verschieden sind.

Es ist wiclitig zu beacliten, dass der Buchstabe P, so
wie wir ihn eben definirt haben, dieselbe Bedeutung wie in
den Paragraphen 5 und G hat, wenn die Determinante, welche
wir stets mit D bezeichnen, positiv ist; dass aber in dem Falle
eines negativen 1) dieser Buchstabe, so wie er in den ge-
nannten Paragraphen gebraucht worden ist, der jetzt mit
— P bezeichneten Grösse entspricht. Dies ändert nichts an

dem Ausdruck I 1, welcher in der Gleichung (19) des § 6

vorkommt, und an dem durch die Gleichungen '9) desselben
Paragraphen festgesetzten Werthe von f, da dieser Werth
gleich -h l oder — 1 sein muss, je nachdem die von jedem
quadratischen Theiler befreite Determinante eine ungerade
oder gerade Zahl ist. Anders verhält es sich aber mit (), da
dieser Werth von dem Reste abhängt, welchen die Zahl 7^,
mit ihrem Vorzeichen genommen, in Bezug auf den Divisor 4
läsat. Setzt man noch zur Abkürzung:

/*— 1 n-—\

wo das Zeichen 2" sich auf alle positiven, ungeraden und zu
P relativ primen ganzen Zahlen n erstreckt, so folgt aus dem
Obigen, dass die Ausdrücke ()=ili l. f = di 1, welche in die
Reihe V der Gleichungen (19) oder (23 — je nachdem es
sich um eine negative oder positive Determinante handelt —
eingesetzt werden müssen, in folgender Weise bestimmt sind:

1)=^ P, P=An+ 1 j ._ _

D= P, P=4*/ + 3| ^

D= 2P, P=4/<-|- 1 i v_ __

/> = — 2P, P=4//-|-:<r— •' '- ''

i>= 27>, P=:4// + 3

/) = _27>. P=4.,+ l^'^ = ~*' ' = "'

Verschiedene Anwendungen der Infinitesimalanalysis etc. 89

[141] Demnach haben wir allmählich die vier Combinationen
zu berücksichtigen , welche das Gleichungenpaar d = ± 1 ,
£ :^ dz 1 darbietet.

I, Wir nehmen zuerst (5 = 1, 6=1 an. Theilt man die

[-(1)1].

Reihe V durch |l — j^l — I, so wird
V

-(.)

2\1 Ip/w'

wo das Zeichen — sich auf alle positiven, geraden und un-
geraden ganzen Zahlen w, welche zu P relativ prim sind,
erstreckt. 23]

Stellt man, wie in § 1, die Reihe durch ein Integral dar,
so erhält man: 2^)

1 1

■f{x)dx

l

m

xP-l

hierbei ist zur Abkürzung /"(.r) ==—( — ] a;" gesetzt, wo das

Zeichen .3 sich auf diejenigen der oben definirten ganzen
Zahlen w, welche kleiner als P sind, erstreckt. Wendet man
auf dieses Integral die gewöhnliche Methode der Partialbruch-
zerlegung an, so findet man:

V 1 „ J — p-j / dx

-{^

=-4^/i

imni
1

P

wo das Zeichen — sich auf alle ganzen Zahlen von w := 0
bis m = P — 1 erstreckt. Es kommt mithin alles darauf an,

('2m7ji\ n „

e^l = 2{\e^ zu bestimmen.

Um dies zu erreichen, bringen wir den in dem Expo-
nenten enthaltenen Bruch i — j auf die Form:

71 q q'

P /> ;;

00 f}. LejeuTie I'irichlet.

wo // eine positive oder negative ganze Zalil und «7, g\ • • •
positive ganze Zahlen, welche bez. kleiner als />, p\ • ■ • sind,
bezeichnen. Diese Zerlegung kann bekanntlich nur auf eine
einzige Weise geschehen [Disq. (irithm., art. 311), und
offenbar kann keine der ganzen Zahlen </, g\ •■ ■ gleich Null
sein, da // relativ prim zu P ist. Legt man n alle Werthe
bei, welche es bei der Sunimation annehmen muss, so über-
zeugt man sich leicht, dass die Zahlen </, y\ ■ • ■ alle Com-
binationeu , welche man aus den Zahlenreihen </ = 1 bis
g=p — 1, ^'=1 h\i g' = p — 1 u. s. w. bilden kanu. dar-
bieten. Die ganze Zahl /t kann man vernachlässigen, da »ie
im Exponenten mit 'IniTii multiplicirt wird. Setzen wir nun

P P

für einen Augenblick — = /•, — = 7- .. so giebt die obige

p p

Gleichung die Congruenz:

[142] u = gr-\- g' / -\ (raod. P),

aus welcher die Gleichungen:

(^(■;)(^M?)=(3(3-;

(itnrr i\
e -^ J m das Pro-

duct von ()(-,) •■• multiplicirt in die Summen:
2 m 71 i ,1 m n i

W^-&' '■■'■

tibergeführt wird. Ersetzt man diese letzteren durch ihre von
der Gleichung ((>) des vorigen Paragraphen gegebenen Werthe,
so erhält man:

wo m relativ prim zu /' vorausgesetzt ist. In dem entgegen-

(2 )ii I i \
f ' '/, wt'il wenigstens eine
der obigen Summen sich auf Null reducirt. Was das Pro-

iliict I Ij — j... aubelrilft, so bemerkt man, dass es sich

Verschiedene Anwendungen der Infinitesimalanalysis etc. Ol

aus ebenso vielen Theilproducten von der Form (^)( ) zu-
sammensetzt, als es Combinationen zur zweiten Classe von
den Zahlen p^ p' , . . . giebt. Da nun aber

ist, so sieht man, dass der Ausdruck, welcher in der oben
gefundenen Gleichung in ( — jl P multiplicirt ist, die For

m:

|t>+^-'+.

)'^m

t^ - - ' = ^

annehmen kann. Wir erhalten also schliesslich:

(2mni\ I 'Imnix /P— 1\-

.^) = 0 oder/U -^)=eV"2-) |^J |/p^

je nachdem m und P einen gemeinschaftlichen Theiler haben
oder nicht. Setzen wir diesen Werth in die letzte Gleichung
für V ein und beachten wir, dass, so lange m<^P bleibt,
das Integral:
i
, dx , /^ . niTiX 7t I '2m\ .

... X — e ^

0

ist, so wird:

wo sich das Summenzeichen über alle ganzen Zahlen m er-
streckt, welche kleiner als P und relativ prim zu P sind.

— 1 = 0 ist, so kann man diese

Gleichung durch die folgende einfachere ersetzen:

a <

♦j2 G. Lejeune Diricblet

Rl)l] "^"'^"'^ '°""^'^"

Da die linke Seite reell ist, so mfissen sich die imaginären
Glieder auf der rechten Seite zerstören, was sich auch über-
dies leicht verificiren lässt. -^)

Unterscheiden wir jetzt die beiden Formen, welche P dar-
bieten kann, indem wir nach einander l^=-ii.i-\-l und
P=4/t-t-3 setzen, so erhalten wir auf diese Weise:

,= ,„+,. r=-^[,-(|,).;].(^)>„..„^/.

|p=4,„+3,r=-^[,_(^):].(i:)™.

wo sich das Zeichen — immer auf alle zu P relativ primen
ganzen Zahlen, welche kleiner als P sind, erstreckt.

II. Zweitens sei d = — 1, 6 = 1. Da der Factor, welcher

in der Reihe J' mit — multiplicirt ist, für Werthe von w.
u

welche um ein Vielfaches von 4 P diflerireu, der gleiche ist,

so ist nach dem im § 1 Gesagten :'-^)

J

wenn man zur Abkürzung:

f(t] = :^

1

J" \ F[X) d.r

(;.)-

setzt, wo sich das Zeichen 2 über alle gauzi-n Zahlen fi er-
streckt, welche kleiner als 4 1' und relativ i)rim zu 4 P sind.
Die bekannte Meth<»de der Partialbruchzerlegung gicbt :

\ p^^ ^^ ' l imni

J z-e •»^'

Verschiedene Anwendungen der Infinitesimalanalysis etc. 93

wo sich das Zeichen 2" auf alle ganzen Zahlen von m ^ 0
bis m = \ P — 1 erstreckt.

Es kommt mithin nur noch darauf an, den Ausdruck

2 m 71 i

Fe '^^ ) zu bestimmen. Man kann dies durch Betrachtungen
erreichen, welche denen, die wir in der vorigen Nummer zur

Bestimmung von f.e " i gebraucht haben, analog sind, es
ist aber einfacher diesen Fall auf den schon untersuchten
zurückzuführen. Zu dem Zweck zerlegt man den in dem

Exponenten auftretenden Bruch — -^ in der folgenden Weise:
n y n

[144] wenn man hierbei y und n positiv und kleiner bez. als
4 und P voraussetzt, so bilden, wie leicht zu sehen ist, die
Werthe von / und n bei der in Bezug auf n auszuführenden
Summation alle Combinationen der Zahlen /, welche kleiner
als 4 und relativ prim zu 4 sind, mit allen Zahlen n\ welche
kleiner als P und relativ prim zu P sind. Bringt man die
letzte Gleichung in die Form:

7i~Py + 4w' (mod. 4P),

so folgen aus ihr leicht die Beziehungen:

n— 1 P— 1 ;' — 1

(-1)— =,_i) M-i) ^ , (J) = (^)-

2 m 71 i

Die Function F[e ^^ ] geht durch Einsetzung dieser
Werthe über in:

2inni P — 1 y — 1 2m7ii ,'2m7i i

-i^)^"

Die zweite der auf der rechten Seite stehenden Summen ist

2m7tt

offenbar identisch mit der Function f e -^ ) , da hier ?i
dieselbe Bedeutung wie ti in der vorigen Nummer hat. Die
erste Summe kann aus den im § 9 gegebenen Formeln ab-

94 0. Lejenne Dirichlet.

geleitet werden; da sie aber nur zwei Glieder, entsprechend
j' = 1, 3 hat, so sieht man ohne Mühe und ohne diese For-

m — 1

mein zu benutzen, dass diese Summe gleich 2i{ — l '^ für
einen ungeraden Werth von m ist, und dass sie im andern
Falle verschwindet. Setzt man nun für die beiden Summen

P— 1

ihre Werthe und an Stelle von ( — 1 - die gleiche Grösse
i - , so erhält man:

(2) F{i^) = A ■^' /(-ü 2 ^VH'.

wenn 7)i relativ prim zu \P ist. Im entgegengesetzten Falle
verschwindet die linke Seite dadurch, dass wenigstens eine der
soeben betrachteten Summen sich auf KuU reducirt. Mit Hülfe
dieses Resultates ergiebt sich:

wo sich das Summenzeichen über alle ganzen Zahlen w, welche
kleiner als 4 P und relativ prim zu 1 P sind, erstreckt. Be-
achtet man, dass für diese Werthe:

m — \

ist, so nimmt die obige Gleiclmng die einfachere Gestalt an:

m

m — 1

1 4P

■ •> /w\ /, . wrr m7i \

) (p)(i»s"»:r/.-|/'')

[145^ rnter.scheidet man Jetzt die beiden Formen, welche die
Zahl P in Bezug auf den Modul I darbieten kann, so erhält
man :

(b)

Verschiedene Anwendungen der Intinitesimalanalysis etc. 05

711 — 1

7)1 — 1

(I/4PJ-' ^ \PI '

wo sich das Summenzeicben auf alle ganzen Zahlen w?, welche
kleiner als 4P und relativ prim zu 4P sind, bezieht.

III. Da die Fälle, welche noch zu behandeln übrig sind,
und welche (5==1, £ = — 1; (5 = — 1, f = — 1 ent-
sprechen, den soeben behandelten ganz ähnlich sind, so deuten
wir nur kurz die Rechnung an, welche auf sie anzuwenden ist.
Behält man zunächst den Doppelwerth d=äzl bei, so ist:^^)

-1^

7> — 1 n'- — 1

äx ,

x'^P- 1

wo sich das Zeichen — auf alle ganzen Zahlen ??, welche
kleiner als SP und relativ prim zu SP sind, erstreckt. Daraus
folgt:

j^^ _ ^ ' (^^

ip-^mi-

SP ~ "* I 2mni '

wo sich das Zeichen — auf alle ganzen Zahlen von w? = 0
bis m = 8 P — 1 bezieht, und ^„, zur Abkürzung die Summe :

ji — 1 n- — 1 «

2711711

erstreckt über alle oben definirten ganzen Zahlen n. bezeich-
net. Setzt man:

?i y' n'

8P = '"+S- + P'

80 ist leicht zu sehen, dass n alle Werthe, über welche die
Summation erstreckt werden muss, annimmt, wenn man die
ganzen Zahlen y, welche kleiner als S und relativ prim zu

96 G. Lejeune Dirichlet.

S sind, mit den ganzen Zublen //, welche kleiner als P und
relativ prim zu P sind, combinirt. Beachtet man ferner, dass
zufolge des § 2 die Congruenz // ee Py + S// mod. SP)
die folgenden Gleichungen nach sich zieht:

P— 1 y—\ n-—\ r--\ y'—i

= ö -^ d ^ , {-\) ^ ='-l) ^ (-1) ** ,

so nimmt der Ausdruck A„i die Gestalt an:
P— 1 Imni y—\

[146] Es ist also nur noch der Werth der Summe in Bezug
auf y zu bestimmen. Man könnte denselben aus dem vorigen
Paragraphen ableiten, da die Summe aber nur aus der kleinen
Anzahl von Gliedern, welche ;' = 1, 3, 5, 7 entsprechen, ge-
bildet wird, so sieht man unmittelbar, dass für 6 =•. 1 die

m- — 1

Summe den Werth Null oder ( — 1) VS und für ö = — l

m — im- — 1

den Werth Null oder ( — 1) ^ ^ H 8 hat. Je nach-

dem m gerade oder ungerade ist.^ß) Folglich ergeben sich
die beiden Gleichungen:

«2—1 Imni m-—\ /-?— '\*

jf— 1

«— 1 . n-—\ Imni ni-\ m^—\ /P+U*

b

-(«)/—=,_.,— "^-(';',).-r^-'^

welche m relativ prim zu ^P voraussetzen, und deren rechte
Seiten im entgegengesetzten Falle durch Null zu ersetzen sind.
Mittelst dieser Ausdrücke wird die Keelnuing wie in den schon
erledigten FilUen zu Ende geführt, und mau findet:

Verschiedene Anwendungen der Infinitesimalanalysis etc. 97

d=\, £ = —l:
ni- — 1
P=4„+l, r=--_=-(-l) 8 (j)logsm^;

7)1- 1

J = — !,£ = — i :

in — 1 «r — 1

»n — 1 ?n^ — 1

Die Summen sind über die ganzen Zahlen ?n, welche kleiner
als 8P und relativ prim zu 8P sind, zu erstrecken.

IV. Wir wollen nun das Problem, mit welchem wir uns
soeben beschäftigt haben, mit Hülfe der ersten der beiden
oben angegebenen Methoden, nämlich der Methode der trigono-
metrischen Reihen, lösen; der Kürze wegen beschränken wir
uns auf die Reihen V, welche sich auf negative Determinanten
beziehen. Es sei zuerst d = l , £= 1 ^ p :^ 4 /( _{_ 3 j danu
ist:

V

~^\p)n^

wo sich das Zeichen .3 auf alle ungeraden und zu P relativ
primen ganzen Zahlen erstreckt. Aus der Gleichung 1 dieses
Paragraphen folgt für eine ganze Zahl P von der Form in -{-3:

l ^ lfn\ . '2m jt ln\

je nachdem n relativ prim zu P ist oder nicht; hierbei er-
streckt sich das Zeichen — auf die ganzen Zahlen w, welche
kleiner als P und relativ prim zu P sind. Wenn man diesen

Ausdruck an Stelle von (73) in tue Reihe V einfuhrt, so kann

OätwalJ's Klassiker. Ol.

98 G. Lejeune Dirichlet.

man dann die Summation in Bezug auf )i über alle ganzen
Zahlen erstrecken, [147] da der obige Ausdruck für Werthe
von ;/, welche nicht relativ prim zu P sind, ver.^chwindet.
Kehrt man noch die Reihenfolge der beiden »Summen um, so
erhält man auf diese Weise:

V= nzi ^ -r LI - sin w -— •
yp \FI n P

Die zuletzt geschriebene Summe kann man mit Hülfe des be-
kannten Satzes, dass die Keihe

, sin X sin 3a; sin hx

(5) — + -^ + -^ + . . .

7t 7t

den Werth oder — hat, je nachdem der Werth von x

4 4

zwischen 0 und ./ oder zwischen :c und 27t gelegen i.st. Trennt

P

man also die Werthe von w?, welche kleiner als -- sind, von

P

denen, welche — übersteigen, und bezeichnet man diese Werthe

bez. mit m' und ///', so wird:

Da man in der zweiten Summe m" oöenbar durch P — ;//
ersetzen kann, und da ferner, weil 1* von der Form 1// + 3
ist, die Gleichung:

besteht, so erhillt man schliesslich:

V

2Vl

welcher Ausdruck eine andere Form als der früher gefundene
hat. Hätten wir vor Ausführung der Summation durch

I ' — (t>1v ^'vidirt, so würden wir zu dem liesultate ge-
langt sein, welches wir durch die andere Methode erhalten
haben.

Verschiedene Anwendungen der Infinitesimalanalysis etc. 99
Zweitens sei ö = — 1, £=1, P= in + 1. Dann ist:

wo ti nur Werthe, welche zu 4P relativ prim sind, annehmen
darf. Die Gleichung (2) giebt für diesen Fall:

m — 1 « — 1

^^(-1) (-)sm»-^=(_l) 2 |-)„der=0,

je nachdem n relativ prim zu 4P ist oder nicht; das Zeichen -
erstreckt sich hierbei auf die ganzen Zahlen w, welche kleiner
als 4P und relativ prim zu 4P sind. Führt man diesen Aus-
druck in die Reihe V ein, so wird:

m — 1

y4P ^ ^ \P] n 4P

Da der Ausdnick, welchen man in die Reihe V eingesetzt
hat, verschwindet, wenn n nicht relativ prim zu 4P ist, [148]
so kann man nach Belieben annehmen, dass n in der Summe:

^,1 . Irnrc

.i- sin n^ ^^

n 4P

alle ganzzahligen Werthe oder nur die ungeraden durchläuft.
Bei der ersten Annahme hat man auf Clvund der Glei-
chung :

, , , sin a; , sin 2 o: , sin 3.-^

welche für die Werthe .r = 0 bis x = l7t gültig ist :

m u\

Ypy

^ 1 . Im 7t , I m.

— — sin 71 , ^ = V \^t

n 4P -\ 2.

und folglich:

m — 1 m — 1

2y4P^ ^ \p) [npy ^ ^ \p)

oder, was auf dasselbe hinauskommt, da die erste Summe
offenbar gleich Null ist:

100 ^- Lejeune Dirichlet.

m—l

F = -^--^:f(-.)'^""(^,)»;

7t

Tvipy

dieser Werth stimmt mit dem durch die audere Methode er-
lialtcnen überein.

Nimmt mau zweitens an, dass /t nur ungerade Werthe
durchläuft, so findet man mit Hülfe der Gleichung (.">) :

f m'—l m"—\ ,

wobei Dl' und 7)i" die Werthe von w, je naclidem sie kleiner
oder grösser als 2P sind, bezeichnen. Ersetzt man m" durch
41* — w' und beachtet man, dass:

4P— m' — 1 MJ'— 1

ist, so erhält man für V den neuen Ausdruck:

ni'—\

2ViP

Wtnn man die beiden anderen Fälle in gleicher Weise
behandelt, so findet man ausser den bereits durch die andere
Methode erhaltenen Resultaten zwei neue, welche wir mit den
beiden vorhergehenden hier zusammenstellen wollen:

2V/-* \^ '

m'— 1

ffl'«— 1

,>- .,,^-i,/.=-i,,+3,r=^^'^^^v(-i) » (';),

m'—\ , m'^—\ ,

Verschiedene Anwendungen der Infinitesinialanalysis etc. 101

[149] Die Werthe von m' sind relativ prim zu P und in den
drei letzten Gleichungen ausserdem ungerade. Bezüglich der
Summationsgrenzen ist hinzuzufügen, dass die Werthe von m'
bez. kleiner als \1\ 2P, 4P, 4P sein müssen.

Die Ausdrücke für V können noch viele andere Formen
annehmen. Man erhält z. B. von den vorigen verschiedene,
einfachere Ausdrücke, wenn man in dem Falle, in welchem das
allgemeine Glied einen der Factoren

n — 1 «- — 1

(-1) ' , (-1) «

oder beide enthält, dieselben in der Reihe beibehält und die

Crae^ss'schen Formeln nur benutzt, um die Ausdrücke r jj zu

ersetzen. Dies wollen wir noch für die drei letzten Fälle der
vorstehenden Tabelle (d) ausführen.

In dem ersten dieser drei Fälle hat man:

F = ^{-.)V(»)A, P =,„ + ,,

und die Gleichung 1) giebt dann, je nachdem n relativ prim
zu P ist oder nicht:

:^ |-^,| cos 71 j^ = |-p I l/P oder = 0 ,

wobei m alle Zahlen kleiner als P und relativ prim zu P an-

(;')

nehmen muss. Setzt man diesen Ausdruck für
erhält mau:

n— 1

1 2 m TT

— cos n

^=^-i?)-^<-'

Yp \PI ^ ' n P '

wo jetzt die Summation in Bezug auf n über alle ungeraden
ganzen Zahlen erstreckt werden kann. Nun hat aber be-
kanntlich die Reihe:

cos X

cos 3 a;
3

^ cos hx

0

1

den Werth:

TT

7t Tt

4' ■""

4' 4'

102 ('• Leicune Dirithlet.

je nachdem der Wertli von x in den drei Intervallen:

, . :t rr , . 3 TT 3?r . . ^
0 bis y, Y bis --, .,- bis In

gelegen ist. Bezeichnet man nun bez. mit m\ m", m" die
Werthe von w, welche bez. in den drei Intervallen:

0 bis \r, \r bis \1\ \P bis P

liegen, so wird:

Da nun offenbar:

.(';;)--(";:) -.(';:)..(-)h-.(-V".

[150] ist, so erhält man schliesslich:

wo m' die zu T* relativ primen Werthe, welche zwischen 0
und \ P enthalten sind, bezeichnet.
In dem zweiten Falle ist:

r==v(_,)^-(;);^,/.^,„4.,.

Setzt mau hierin den durch die Gleichung (1) für 1 I ge-
gebenen Wertli ein, so wird:

ii'—X
1 lm\ — ;: — ! . Im !t

F=4-2' '' -(— 1 sin;/ „ ,

yp \P] ^ ' n P '

wo ;/ Jf'lzt alle ungeraden Werthe annehmen kann, gleich-
gültig ob sie zu P relativ prim sind oder nicht. Wird nun die
Reihe:

sin :r sin 3;r sin r>.r sin 7r

^ —-\--^^-\---

durch die hckauutcn llülfsmittcl suininirt, so findet man ihren
Worth bez. gleich

Verschiedene Anwendungen der Infinitesiraalanalysis etc. 103

VC Tt

2|/2 li'l

je nachdem x in den fünf Intervallen:

. . 7t 7C , . 3 /t 3 7tr , . 5 7f 5 /r , . 7 /r 7 7t, . „
0 bis -, - bis - , — - bis — - , — - bis — - , — - bis Irt
4 4 4 ' 4 4 4 1 4

gelegen ist. Bezeichnet man also mit m die Werthe von
m^ welche zwischen \P und \P liegen, und mit ni die-
jenigen, welche zwischen fP und \P liegen, so resultirt:

K=--l_|.g)-.(-)l

21/2P

oder einfacher, wenn man beachtet, dass m durch P — m
er;

. , ^ :, lP—m'\ lm'\ . ^

i'setzt werden kann und dass 1 ^ — I = — I „1 ist:

Auf ganz ähnliche Weise 2^) findet man, wenn P von der
Form 4(tt '+ 1 ist:

n — 1 7i~ — 1

(g)

wo m' und m" die zu P relativ primen Werthe bezeichnen,
welche bez. in den beiden Intervallen 0 bis J P, |-P bis
^P enthalten sind. Zu den Gleichungen (e) und (g) ist zu
bemerken, dass sie nicht anwendbar sind, wenn P = 1 ist.

§ 11.

[151] Man könnte dem Ausdrucke für die Reihe V noch
viele andere Formen geben, sowohl wenn sich diese Reihe
auf eine negative, als wenn sie sich auf eine positive Deter-
minante bezieht. Da aber diese Einzelheiten keine Schwierig-
keiten darbieten , so halten wir uns nicht bei ihnen auf und
gehen vielmehr zur Aufzählung der Sätze über, welche sich

104 Cr. Lejeunc Diricblet.

aus den Glcicbungcü (19) und {2'A) des § i> ergeben, wenn
man die soeben erhaltenen Ausdrücke in dieselben einführt^S).

Positive Determinanten.

/ 2 \ ... ^'f

I. il = P, />= 1/1 + 1; /l = — ^— =:log - •

Hierbei sind die ganzen Zahlen m, welche kleiner als P und
relativ prim zu P sind, mit a oder b bezeichnet, je nachdem

die Gleichung ( J = l oder i 1 = — 1 stattfindet.

IT • ^'-^

1 ^^''°4P

II. D = P, P=4« + 3; h = — , T--=xlog

iog(r4-^^vp) j[

. OTT

Hierbei sind die ganzen Zahlen w, welche kleiner als 4P
und relativ prim zu 1 P sind . mit a oder b bezeichnet , je

w — 1

/ -»l \

oder
m — 1

nachdem die Gleichung ( — 1) " i .A
m — 1 ^^ '

(_ 1) 2 l^"A^_i stattfindet.

^ ' ,^ . b7t

1 ^^''"SP

log(r+C7y2Pl jj^.^a^
SP
Hierbei sind die ganzen Zahlen 7)1, welche kleiner als SP
und relativ prim zu 8i* sind, mit u oder h bezeichnet, je

m-— 1

nachdem die Gleichung ( — 1) ^ ( /') "^ ^ ^^^^
»/*— 1

(-.)-^(;:) =

»/*— 1

l stattfindet.

,, . bjt

1 ^'""8P

IV. />r=2P, P= iM-l-;?; Ä= — -. >-=^slo? -'

\o^(T+UV2P) jj,,^^
SP

Verschiedene Anwendungen der Infinitcsimalanalysis etc. 105

Hierbei sind die ganzen Zahlen w?, welche kleiner als SP
und relativ prim zu 8P sind, mit a oder b bezeichnet, je

7n — l in- — 1

nachdem die Gleichung (—1) ^ ^ 1 d) ^^^ ^ ^^^^

m — 1 m- — 1
(— 1) 2 ^ / ^j = _ 1 stattfindet.

[152] Negative Determinanten.

V. Z) = -P,P=]u + 3; /, = |^2-(|]j^^^ = ^-i>>.

In dieser Gleichung haben a und h dieselbe Bedeutung, wie
in dem ersten Falle, und A und B geben an, bez. wieviele
Werthe a und h unterhalb ^P vorhanden sind.

Yl.D = -P, P=4.a+l;Ä=^^^ = ^^.

Die Buchstaben a und h haben dieselbe Bedeutung, wie in
dem zweiten Falle, und A und B bezeichnen bez. die Anzahl
der Werthe a und i, welche kleiner als 2 P sind. Bezeichnen
A' und B' die Anzahl der unterhalb \P gelegenen Werthe
a und h, wobei jetzt a und h die gleiche Bedeutung wie in dem
ersten Falle haben, so hat man in diesem sechsten Falle auch:

h = -2[Ä — B').

v;l s:^ A T>

VII. Z) = — 2P, P=4u + 3; A = ^ ^^ =- — = •

' ' ^ ' 8P 2

Die Buchstaben a und h haben dieselbe Bedeutung, wie in
dem dritten Falle, und A und B bezeichnen bez. die Anzahl
der Werthe a und b, welche kleiner als 4P sind. Bezeichnen
A' und B' die Anzahl der zwischen \ P und l P enthaltenen
AVerthe a und Z», wobei jetzt a und b die gleiche Bedeutung
wie in dem ersten Falle haben, so hat man in diesem siebenten
Falle auch:

// = -liA' — B').

VIII. /;=— 2P, P=4u+l; Ä==^^?- = — :?.

Die Buchstaben a und b haben dieselbe Bedeutung, wie in
dem vierten Falle, und A und B bezeichnen bez. die Anzahl

106 G. Lejeuiie Dirichlct.

der Wertlie a und l>, welche kleiner als 4P sind. Bezeichnen
A' und B', bez. A" und Ji" die Werthe a und b, welche
zwischen 0 und IP, bez. ^ 7^ und \1' gelegen sind, wobei
Jetzt a und b die gleiche Bedeutung wie in dem ersten Falle
haben, so hat man in diesem achten Falle auch:

/, = 2{A' — B' —A"+ B").

Es bleibt uns noch übrig, einige Bemerkungen über die
soeben ausgesprochenen Kesultate hier anzufügen. Die Aus-
drücke, welche sich auf die vier ersten Fälle — um zunächst
von diesen zu reden — beziehen, sind zwar sehr einfach,
haben aber nicht die Form, welche ihre wirkliche Bedeutung
erkennen lässt. [153] Um ihnen diese Form zu geben, beschäf-
tigen wir uns insbesondere mit dem ersten dieser Fälle. Die
drei andern geben zu ganz ähnlichen Bemerkungen Anlass.
Es sei X eine unbestimmte Grösse, und wir betrachten die
beiden Froductc

2 a 71% 2brti

n[x — c ^' ), Il{x — e ^ ).

Offenbar ist, wenn man

2 « 71 1 2b ni

X = n X — e^)- n[x — e^)

setzt, das Polynom X nichts anderes als die linke Seite der
Gleichung, welche man erhält, wenn man die binomische
Gleichung x'' — 1 = 0 von ihren nicht primitiven Wurzeln
befreit. Daraus kann man leicht schlicssen^'-*), dass für .r = 1 :

X = 1 oder X = P

ist, je nachdem die Anzahl der Frimfactoren /), p\ />", . . .
von P grösser oder gleich 1 ist. (Der Fall, in welchem P den
Werth hat, ist ausgeschlossen, da in diesem Falle die Deter-
minante eine Quadratzahl ist.)

Den beiden soeben unterschiedenen Fällen entsprechend
ist also:

2 a 71 1 2 h n i

//(l —c ^' ) • n[l—c ^' )= l oder = 7'.

Verschiedene Anwendungen der Infinitesiinalanalysis etc. 107
Ferner ist:

2 ü TT J 71 t

beachtet man nun, dass die Werthe a und b in gleicher
Anzahl vorhanden sind, dass die Summe über die Werthe a
zu jeder Zahl a stets auch ihr Complement P — a enthält,
und dass die Summe über die Werthe b die gleiche Eigenschaft
hat, so folgt:

2bni

= r :- >

. UTZ lant

IL sm -^ / -^-\

P J7I1 — c ^

und mit Rücksicht auf eine frühere Gleichung auch:

17 ein *^ 257ri 2hni

JTsin-p

entsprechend den beiden oben unterschiedenen Fällen. Die
Bestimmung von h hängt also von dem Producte:

2h7TÜ

nl-ß")

ab. Nun aber ergiebt sich aus einem bekannten Satze, welcher
Herrn Gauss*) zu verdanken ist, und welcher sich leicht auf
eine zusammengesetzte Zahl J* erweitern lässt, [154] dass das
Polynom:

(2 J rr i\
x — e ^ ]
immer die Form:

*) Disq. arithm., art. 357. H.

lOS fi- I^ejeune Diiichlct.

hat, wo Y und / Polynome mit ganzzabligen ('oefficienten
sind. Bezeichnet man nun mit Y^ und Z^ die Werthe, welche
y und Z für .r =: 1 annelimen, und geht man von den l^oga-
rithracn zu den Zahlen über, so wird die Gleichung, welche //
bestimmt:

oder

\ 2 17^ /

M?.)

je nachdem die Anzahl der Primfactoren von P grösser oder
gleich 1 ist. In dieser Gestalt erscheinen die Resultate sehr
bemerkenswert!!, wenn es wahr ist, dass — wie ein berühmter
Mathematiker behauptet hat — das Interesse, welches die
arithmetischen t'ntersuchungen darbieten, nicht nur in der
Schwierigkeit des Stofles seine Quelle hat, sondern vor allem
in den engen Beziehungen, welche derartige Untersuchungen
zwischen Theorien enthüllen , zwischen denen man keinen
Zusammenhang vermuthet haben würde.

Die Berechnung der Polynome Y und Z kann entweder
nach der Methode von Herrn GaifSi: oder mittelst eines von
Lcffcndrc benutzten Verfahrens geschehen; dieses letztere stützt
sich auf die bekannten Beziehungen, die zwischen den Coefti-
cienten einer Gleichung und den Summen gleichhoher Potenzen
ihrer Wurzeln bestehen. Mittelst dieser Relationen können
leicht allmählich alle ('oefficienten einer Gleichung berechnet
werden, wenn die Summen ihrer AVurzelpotenzen bekannt sind;
dies ist hier der Fall, da sich die Summe der mtcn Potenzen
von den Wurzeln der Gleichung::

rihni
II r

(2 h 71 i\
n = 0

oline Schwierigkeit aus der Formel (I) des vorigen Para-
graphen ergiebt.

Man findet so z. B. für P= :< • II:

r= 2a:*" — a;'-' + 8 a:« + T).;-' + 2 a-''' + IIa;"' + 2.r* -f fia:»

+ Sa:* — .r + 2,
/ = a:" -f- .r" -f 2x'' 4- 2.c^ + a:'' + x,

Verschiedene Anwendungen der Infinitesimalanalysis etc. 100

folglich:

y, = 4ü, Z^ = S.

Da noch (-^) = 1 ist, so wird:

(i)

y, -fz, y/V 'Vi'

(23 + 4|/33f .

\ 2 /

Andrerseits ist:

T + UVP =23 + 4 1/33 ,

woraus h = 2 folgt; dies ist auch richtig, da die Formen,
welche der Determinante 33 entsprechen, x'- — 33?/^, 33a;- — y-
sind.

Um ein Beispiel für den Fall, in welchem sich P auf eine
Primzahl reducirt, [155] zu geben, sei P= 17; man findet
dann 1, = 34, Z^ = S und der Ausdruck:

l 21/p /

wird

(4 -f- Vl7)^ = 33 + Syi7;

Dieser Ausdruck ist aber die erste Potenz von T + UVI*
= 33 + sWj , wie es der Fall sein muss, da für die
Determinante 17 nur die einzige Form x"^ — 17y- existirt.

Die Ausdrücke für h , welche sich auf negative Deter-
minanten beziehen, bedürfen keiner Erklärung. Wir fügen
nur hinzu, dass für einen besonderen Fall, welcher sich auf
Nr. V bezieht, das Resultat bereits von Herrn Jacohi gegeben
worden ist. [Siehe Grelle & Journal, Bd. 9, S. 1S9.*)]

Wir beschliesseu diese Abhandlung mit der Andeutung
einer Anwendung, welche man in dem Falle negativer Deter-
minanten von den Ausdrücken für h machen kann. Wenn
eine ganze Zahl k in drei Quadrate zerlegbar ist oder, mit
andern Worten, wenn die Gleichung x- -}- y- -|- ~" = k mög-
lich ist, so hängt, wie man weiss, die Anzahl ihrer Lösungen
von der Anzahl der Formen ab, deren Determinante — k ist.

*) Observatio arithmetica, Werke, Bd. 1», S. 240. Jucnhi liat sein
Resultat durch luduction erhalten. II.

110 G. Lejeuue Dirichlet.

Die Säl^o, welche diese Abliängigkeit feststellen, sind zuerst
von Liijetidre für die einfachsten Fälle auf inductivem Wege
entdeckt worden. Herr Uauss hat sie dann auf allgemeine
und sehr scharfsinnige Weise in dem fünften Abschnitte seines
Werkes bewiesen. Offenbar genügt es, die fraglichen Sätze
mit den Resultaten zu vergleichen, zu denen wir in diesem
Paragraphen und in dem § 8 gelangt sind, um durch die
einfache Elimination der Anzahl der quadratischen Formen,
welche beide Male vorkommt, neue Ausdrücke, welche nichts
auf die (juadratischen Formen bezügliches mehr enthalten,
für die Anzahl von Lösungen der Gleichung .r- -j- y' + c- = /;
abzuleiten. Ich beschränke mich liier auf diese einfache Be-
merkung und unterlasse gegenwärtig die Aufzählung dieser
neuen Sätze; diese Einzelheiten linden besser ihren Platz in
einer besonderen Abhandlung^"', in welcher ich die be-
treffenden Resultate auf directem Wege und ohne Zuhülfe-
nahme der beiden soeben erwähnten Theorien abzuleiten ver-
suchen werde.

Anmerkuuffen.

Gustav Peter Lejeune Dirichlet*) wurde am 13. Februar
1805 in Düren in der Rheinprovinz geboren. Im Jahre 1817
kam er auf das Gymnasium in Bonn und im Jahre 1819 auf
das Jesuiter-Gymuasium in Cöln, wo der nachher als Physiker
berühmt gewordene Ohm sein Lehrer in der Mathematik war.
Nachdem er hier das Abgangszeugniss für die Universität er-
halten hatte, ging er im Mai 1822 nach Paris, wo er am College
de France und an der Faculte des sciences die Vorlesungen von
Lacroix, Biot, Hachette, Francoeur hörte. Ferner nützte
ihm der Aufenthalt in dem Hause des Generals Foy^ in welches
er im Jahre 1823 als Hauslehrer kam. Bedeutungsvoll wurde
für Dirichlet das Studium von G'ausn^ berühmten Disquisitiones
arithmeticae. Seinen wissenschaftlichen Ruf begründete er
durch sein »Memoire sur Timpossibilite de quelques equations
indeterminees du cinquicme degrd« , durch welches er mit
Fourier und Alexander v. Humboldt bekannt wurde; der
erstere hat auf die Richtung seiner wissenschaftlichen Forschung,
der letztere auf die Gestaltung seiner äusseren Lebensverhält-
nisse grossen Einfluss ausgeübt.

Im Jahre 1826 kehrte Dirichlet nach Deutschland zurück
und habilitirte sich im Jahre 1827 als Privatdocent an der
Universität in Breslau und 1829 an der Universität in Berlin,
nachdem er daselbst Lehrer der Mathematik an der allgemeinen
Kriegsschule geworden Avar. Im Jahre 1831 wurde Dirichlet
ausserordentlicher Professor und ordentliches Mitglied der

*) Da man den Namen Lejeune Dirichlet bald mit, bald oline
Bindestrich geschrieben findet, so möchte ich', im Interesse einer
einheitlichen Schreibweise, hier betonen, dass Dirichlet selbst seinen
Namen immer ohne Bindestrich gosclirieben liat, wie Herr Dedekind
die Freundlichkeit hatte mir mitzutheiien. In DirichleVs eignen
Veröffentlichungen findet sich oft der Bindestrich.

\ 1 2 Anmerkungen.

Akademie der Wissenscliaften in Berlin und im Jahre 1S39
ordentlicher Professor. Im Herbst 1855 wurde er als Nach-
folger von Gatii's nach Göttingen berufen, wo er leider schon
am 5. Mai IS 511 starb.

Da der besclnünkte Raum, welcher mir hier zur A'erfügung
steht, eine eingehendere Würdigung von Diric}dvt'& wisseu-
scliaftlichen Verdiensten nicht gestattet, so verweise ich auf
die schöne Gedächtnissrede, welche Kummer in der Berliner
Akademie (Abhandlungen der Akad. zu Berlin, ISGU) auf
Diricliht gehalten hat und der auch die vorstehenden bio-
graphischen Notizen entnommen sind. Es sei mir nur erlaubt,
hier Borchardt'a Worte (Journal f. r. u. a. M., ISöU, Bd. 5)
anzuführen: >Seine [DiricJdet's,] Werke sind nicht bedeutend
nach ihrer Zahl, aber sie bilden eine Keihe von Meisterwerken.
Schon in seinen ersten Veröftentlichungen zeigt sich eine gleich-
zeitige Beschäftigung mit den höchsten Theilen der Infinitesimal-
rechnung und mit der Zahlentheorie. Jede dieser Diiscipliuen,
besonders die erstere, hatte ihm bereits Bereicherungen von
hervorragender Wichtigkeit zu verdanken, als er zu der Ver-
wirklichung des tiefen Gedankens geführt wurde, beide bis
dahin getrennte Zweige der mathematischen Forschung durch
Einführung der Methoden der Infinitesimalrechnung in die
Zahlentlieorie zu vereinigen. <

Einzelne zahlentheoretische Resultate waren zwar schon
früher aus analytischen Untersuchungen nebenher abgeleitet
worden. So hatte z. B. Euler aus der von ihm aufgestellten
Formel: «=>■ ,

wo das Product über alle Primzahlen q zu erstrecken und s ^ 1

ist, gefolgert, dass unendlich viele Primzahlen existiren müssen.
Derartige Resultate hatten sich aber immer nur zufällig aus ana-
lytischen Unlersuchungeu ergeben. Dirichht erst gebührt das
Verdienst, wirkliche analytische Methoden in die Zahlonfheorie
eingeführt zu haben. Seinen Methoden verdankt die Zahlentheorie
viele neue Resultate und die Erkenntniss von manchem über-
raschenden Zusammenhange derselben mit anderen mathema-
lischen Diseiplinen, sowie von zahlenthcoretischen Gebieten unter
einander. »Die />/>/V7/A7'schen Methoden , sagt Kiamucr, >aind
für die Zahlentliedric in ähnlicher Weise epochemachend, wie die
1 )(■}>< arte. ^in:\\('\\ Anwcnduutren der Anal vsis für die Geometrie; sio

Anmerkungen. 113

würden auch, ebenso wie die analytische Geometrie, als Schöpf-
ung einer neuen mathematischen Disciplin anerkannt werden
müssen, wenn sie sich nicht bloss auf gewisse Gattungen, sondern
auf alle Probleme der Zahlentheorie gleichmässig erstreckten.«

Diriclilet wurde durch seine Versuche, den in der Ein-
leitung zur vorstehenden Abhandlung erwähnten Satz über
die arithmetische Progression in voller Strenge zu beweisen,
auf seine analytischen Methoden geführt, und gerade der
oben erwähnte Etiler sehe Nachweis der Existenz von unend-
lich vielen Primzahlen veranlasste ihn , unendliche Reihen
und Producte von ähnlicher Gestalt für seine Zwecke zu
verwenden. Es gelang DiricJdet auch auf diese Weise den
gesuchten Beweis zu führen, doch konnte er eine sich hierbei
darbietende Schwierigkeit nur durch sehr umständliche Be-
trachtungen überwinden. Das Bestreben, diese letzteren durch
einfachere Schlussfolgen zu ersetzen, führten ihn zu einer
weiteren Anwendung der Analysis auf die Zahleutheorie, deren
glänzendes Resultat die Bestimmung der Classenanzahl quadra-
tischer Formen für beliebige Werthe ihrer Determinante war.
Diese Arbeit, welche zu seinen schönsten und hervorragend-
sten Arbeiten zählt, veröffentlichte Dirichlet in den Jahren
1839 und 1840 in dem Journal f. r. u. a. Math, unter dem
Titel: Becherches sur diverses applicafions de Vanalyse
infinitesimale ä la theorie des nombres; dieselbe wurde
wieder abgedruckt in Diric/defs Werken, herausgegeben
von L. Kronecker, 1889, Bd. 1, S. 411—496. In der vor-
liegenden Ausgabe erscheint diese klassische Abhandlung zum
ersten Male in deutscher Sprache; der üebersetzung ist die
Originalausgabe zu Grunde gelegt, deren Seitenzahlen dem
Texte in eckigen Klammern eingefügt sind. Eine in manchen
Punkten vereinfachte Darstellung dieser Untersuchungen hat
Dirichlet selbst in seinen Vorlesungen über Zahlentheorie,
welche von Herrn Dcdekind veröffentlicht sind, gegeben (Vor-
lesungen über Zahlentheorie. 4. Auflage. Braunschweig, 1S94).
Neuerdings hat Herr Bachmann versucht, die Dirichlet' s^ew.
Untersuchungen mit den sogleich zu erwähuenden von Gauss
und Kronecker über dasselbe Problem zu einem einheitlichen
Ganzen zu verarbeiten. [Bachmann, Zahlentheorie, II. Theil:
Die analytische Zahlentheorie. Leipzig, 1894.)

Der Kernpunkt dieser DiricJilef sehen Untersuchung liegt
in der Gleichheit zweier Summen, von denen die eine über
alle Zahlen, welche durch die eigentlich, bez. uneigentlich

Ostwald's Klassiker. Dl. fi

I 11 Anmorkuugeu.

primitiven Formen einer gegebenen Determinante darstellbar
sind, und deren andere über alle relativ priraen Werthe. welche
die Unbestimmten .r, // in diesen Formen erhalten, zu er-
strecken ist. Als Grundformel, aus welcher sich diese Gleich-
heit ergiebt, ist die Formel (11) § 6 der vorstehenden Ab-
handlung oder die aus ihr abgeleitete specielle Formel (12)
§ ü anzusehen. Ausser der Bestimmung der Classenanzahl
löst Diricldet zugleich noch die Frage nach der Anzahl der
wirklich existirenden Geschlecliter der (luadratischen Ftumen
und nach der Vertheilung dieser letzteren in die einzelnen
Geschlechter, wodurch er zugleich einen der schwierigsten
Abschnitte der Disquisitiones ariihmeticae dem Verständnisse
besser zugänglich gemacht hat. Die Endformelu für die
Classenanzahl sind von so überraschender Einfachheit, dass sie
das Vorhandensein eines einfacheren arithmetischen Weges zu
ihrer Auffindunp: unwillkürlich vermuthen lassen; leider ist
bis jetzt aber noch kein Versuch in dieser Richtung von Erfolg
gekrönt gewesen. Die Resultate sind für positive und nega-
tive Determinanten wesentlich von einander verschieden und
zeigen den engen Zusammenhang der Classenanzahl mit der
zugehörigen Pe/^schen Gleicliung im ersteren Falle und mit
den quadratischen Resten und Nichtrcsten im letzteren Falle.

Gauss war zwar schon vor Diriclihi im Besitze der Lösung
des in Rede stehenden Problems gewesen; er selbst hat aber
nie etwas darüber veröfl'entlicht. Was sich in seinen nach-
gelassenen Untersuchungen über diese Frage vorgefunden hat,
ist im zweiten Bande seiner Werke (S. 269 — 291) unter dem
Titel: »De nexu inter multitudinem classium, in quas formae
binariae secundi gradus distribuuntnr, earumque determinan-
tem< veröffentlicht. Es sind dies meist nur kurze Notizen,
welche aber die vollständige Formel für die Classenanzahl
enthalten. Gauss hat sich sogar ähnlicher analytischer Hülfs-
mittel wie Dirichlet bedient. In den Disquisitioncs aritli-
meiicae (art. 304 — 306) giebt Gauss über die Classenanzahl
nur einige hcichst interessante Bemerkungen, zu welchen er
auf empirischem Wege gelangt war, und eine angenähert o
Formel für die mittlere Classenanzahl von Formen mit nega-
tiver Determinante.

Im Anschlüsse an die JJiric/ih't' sehn Abhandlung seien
noch die Arbeiten von Jlenmfe (Comptes rendus, Nov. 1S62)
und Pepin (Ann. do l'I'.colo Norm., T. XIII) erwähnt.

Auf einem ganz anderen Wege wie Dirichlet^ nämlich mit

Anmerkungen. 1 [ 5

Hülfe der Theorie der elliptischen Functionen hat Kronechir
die Classenanzahl bestimmt und zum Theil neue Formeln für
dieselbe aufgestellt. Vergleiche Kronerker'' s, diesbezügliche Mit-
theilungen in dem Journal f. r. u. a. M., Bd. 57, S. 2 18 und
in den Monatsberichten der Berl. Akad. vom Jahre 1875, S. 223,
sowie seine Abhandlungen: »Zur Theorie der elliptischen Func-
tionen« in den Sitzungsber. der Berl. Akad,, 1S83 — 1890. In
den beiden erstgenannten Arbeiten hat Kronecker zum ersten
Male Classenanzahlrelationen für Formen negativer Determinante
aufgestellt. Um ein Beispiel für diese Relationen, welche nur
für Formen negativer Determinante vorhanden zu sein scheinen,
zu geben, führe ich hier die folgende Formel an, welche Kro~
necJcer brieflich Dirichlet mitgetheilt hat. Für ;/ ^ 3 (mod. 4) ist:

v=[yTi]

h{n) + -2 ^ Ji{n — v')^(I){?i)-
»=i

in dieser Formel bezeichnet h[m) die Anzahl der eigentlich
primitiven Classen von der Determinante — m, (J){n) die Summe
der Divisoren von /i, welche grösser als V?i sind (w mitgerechnet)
und [Vn] die grösste in V n enthaltene ganze Zahl. Diese For-
meln sind für die wirkliche Berechnung von Classenanzahlen
negativer Determinante zum Theil sehr gut geeignet.

Dieser Zusammenhang der Zahlentheorie mit der Theorie
der elliptischen Functionen ist oft Gegenstand der Untersuchung
gewesen ; von Autoren auf diesem Gebiete nenne ich die Herren
Dedekind, Gierster, Hermite, Huricifz^ Klein, Pick, Seguier,
H. Weber. Vergleiche ferner hierüber die Werke von H. Weber
(Elliptische Functionen und algebraische Zahlen (Braunschweig,
1891) und /. de Seguier (Formes quadratiques et multiplication
complexe. Berlin, 1894.)

Hinsichtlich der weiteren Anwendungen, welche die LHrich-
/e^'schen Methoden gefunden haben, muss ich mich hier
kurz fassen. Dirichlet selbst hat mit ihrer Hülfe den Satz
bewiesen, dass durch jede quadratische Form, deren drei
Coefficienten keinen gemeinschaftlichen Theiler haben, unend-
lich viele Primzahlen darstellbar sind; DirichJcf\ diesbe-
zügliche Mittheilung ist von den Herren H. Webvr und
A. Meijer ergänzt. Ferner hat Dirichlet seine Methoden auf
die Bestimmung asymptotischer Gesetze der Zahlentheorie und
auf Formen mit complexen Coefficienten und Unbestimmten
angewendet. Später sind seine Methoden in den Gebieten

8»

116 Anmerkungen.

der allgemeinen complcxen Zahlen hier ist in erster Linie
Kiünvur zu nennen und auch auf Formen höherer Grade oder
mit mehr als zwei Variabein angewendet worden. .Schliesslich
sei noch erwähnt, dass Kronechcr in der Abhandlung: Ueber
den Gebrauch der l)iri(h]et'^z[\tvs. Methoden in der Theorie
der quadratischen Formen (Monatsberichte der Berl. Akad.,
ISGl) gezeigt hat, wie man mit Hülfe dieser analytischen
Methoden die ganze Theorie der gewöhnlichen binären quadra-
tischen Formen entwickeln kann, nachdem zuvor nur die ein-
fachsten arithmetischen Grundbegriöe festgestellt sind.

1) Zu S. 6. Diesen Satz hat DiricJilet schon in seiner Ab-
handlung über die arithmetische Progression (Werke, Bd. 1 , S. 320)

in derselben Weise bewiesen. Für den Beweis sind der Theorie

1

der / -Function nur die beiden Formeln: r(^)=/ flog — j dy

und r{Q -\- V] = (i 1^{q) zu entnehmen; aus diesen lassen
sich alle übrigen nöthigen Formeln leicht ableiten. Später
hat Dii'ichlet für diesen Satz einen einfachen Beweis ge-
geben, welcher die Benutzung der F- Function vermeidet
(Journal f. r. u. a. M., Bd. 58, S. 130: Sur un th^or^me relatif
aux söries). Es ist:

'+1
1 /* dx '^7 /* dx

y dx '^-r /* dx

1

k »=^-

Da -t:^ von v bis v + 1 fortwährend abnimmt, so ist

v+l

r dx

r'-*-v^J x'*'-'^ (v-i- l)'+v

Summirt man jetzt über alle Werthe von r = k bis %> = oo.
80 ist, wenn man ^ -—.- = S setzt:

woraus leicht lim ^.V= 1 folgt. Dirkldvt betrachtet (a. a. 0.

diu etwas allgemeinere Reihe *S' =V' t, rm» ^^^ welche

^ (Ä-l-ro)'-^«

Anmerkungen. 117

lim ^»S'= — ist; dieses Resultat folgt aus dem früheren,

wenn man dort k = — setzt.
a

2) Zu S. 7. Dieser Satz ist als Fundamentalsatz der Dirich-
/e^'schen Methoden anzusehen. Dirichlet selbst hat in dem in
der vorigen Anmerkung genannten Aufsatze die für den Beweis
dieses Satzes gar nicht erforderliche Voraussetzung, dass f{t)
die Form (3) habe, durch die allgemeinere ersetzt, dass sich
f{t) : t mit unendlich wachsendem t einem bestimmten end-
lichen Grenzwerthe nähert. Auf den a. a, 0. gegebenen Be-
weis dieses allgemeinen Satzes hat Dirichlet selbst Werth
gelegt, wie mir Herr Dedekind mitzutheilen die Güte hatte.

Die in den vorstehenden Sätzen auftretenden Reihen ge-
hören zu den jetzt als Dirichlet' ^dho, Reihen bezeichneten.

r=oo

Die allgemeine Form derselben ist^ '—, wo X;,, ^ /.•,.+, ist

und die k^. positive, mit dem Index v unendlich wachsende
Grössen bezeichnen; die Constanten a,. sind beliebige reelle
oder complexe Grössen und die Variabele ,s kann ebenfalls
reelle oder complexe Werthe annehmen. Siehe ferner:
Dirichlet- Dedekind^ Vorlesungen, Supplement U u. IX ; BacJt-
mann, a. a. 0., 3. Abschnitt; Huricitz^ Zeitschrift f. Math,
u. Phys., Jahrgang 27, 1882; Princjsheim^ Math. Annalen,
Bd. 37, 1890.

3) Zu S. 10. Man kann, ohne die Allgemeinheit dadurch
zu beeinträchtigen, annehmen, dass die verschiedenen Func-
tionen, welche die begrenzenden Curvenstücke analytisch dar-
stellen, homogene Functionen von x^ y und einem Parameter 8
sind. Dann entsprechen verschiedenen Werthen von (5 ähn-
liche und in Bezug auf den Coordinatenanfangspunkt ähnlich
gelegene Figuren; analoge lineare Dimensionen wachsen pro-
portional mit 6 und analoge Flächeninhalte proportional mit 6"-.

Hält man die ursprüngliche Figur fest und lässt man jetzt
die Parallelen des Gitters proportional y ? ^^ ^i einander

näher rücken, so ist, wenn a den Flächeninhalt der festen
Figur und F [a) die mit d veränderliche Anzahl von Gitter-
punkten im Innern der Figur bezeichnet: lim -rr — = —r.

ö=^d-a ah

11^ Anmerkungen.

Dieser Satz ist aber, wie leicht zu seilen ist, mit dem in
der JJin'r/ih'f sehen Abhandlung aufgestellten Satze identiscli.
Vergrössert man nämlicli die ursprüngliche Figur wobei das
Gitter aber ungeändert bleibt) in der Weise, dass i^ von dem
AVerthe 1 auf einen bestimmten Werth d, ^ l steigt, und
verkleinert mau dann die ganze Figur einschliesslich des
Gitters) wieder auf ()= 1 , so kommt dies auf dasselbe hinaus,
als wenn man die ursprüngliche Figur ungeändert lässt und

nur die Abstände a, h der Parallelen des Gitters auf — , -5-

Fio] ^* ^t

verkleinert; für beide Figuren aber hat — ^ — denselben Werth.

O"

Setzt mau in dem so umgeänderten Satze a = i := 1 , so
erhält mau die Form, in welcher Dirichlet selbst den Satz
später benutzt hat. Der leicht zu führende Beweis dieses
Satzes findet sich bei DirichUi-I^edehind . a. a. 0., Supple-
ment III und lässt sich leicht auf den etwas allgemeineren Satz

ausdehnen, dass die Seitenlängen der Rechtecke -r und -r sind.

0 o

Höchst bemerkenswerth ist, dass Gauss sich bei seinen
Untersuchungen auf denselben Satz gestützt hat, und zwar
findet sich der Satz auch in beiden Fassungen in seinen nach-
gelassenen Aufzeichnungen vor (Werke, Bd. 2, S. 2(19 u. fi". .

4) Zu S, 16. Vergl. Gauss, Disq. aritimi., art. 157 — KiO
und art. 223—227.

5) Zu S. IS. Sind 7)i und m' zwei zu 2J) relativ prime
Zahlen und wird w für .r = «, y = y und vi' für .r = a',
y = '/ durch die Form r/.r* -|- 2b.ry -\- cy^ mit der Deter-
minante JJ dargestellt, so folgt

(1) fnni = ^ — ^^y',

wo ^ = aacc' -\- h Icc/ -\- a'y) -\- ryy', 1^ = <f/ — «';' ge-
setzt ist. Aus der Gleichung il folgt aber sofort 7ntn' ^ i*

(mod. 1)\, also ist 1 — , -1 = 1 und fdlghch 1-1 = 1 I. Ist

nun /> EE 'i (mod. 4 , so geht die Gleichung (1) über in die
Congruenz: if* -j- ij* ^ mtn (mod. 1'. Da m und m' unge-
rade Zahlen sind, so muss eine der beiden Zahlen i' und ij
gerade, die andere ungerade sein; folglich ist vini'^ 1 (mod. 4)
nnn'—\ ui 1 in'—l

uiul mithin (—1) ^ =(—1) ^ •(— l) ^ = 1. Setzt

Anmerkungen. ] \ 9

man in der Gleichung (1) I) ^ 2, 6, 4, 0 (mod. S), so ergeben
sich in ähnlicher Weise die Sätze III bis VI.

6) Zu S. 2S. Zwei Formen von derselben Determinante
heissen bekanntlich benachbart, wenn sie die folgende Gestalt
haben: ax' + 2 bxy + cy^, cx^ -\- 2 b'xy + c'y'^, wobei h + b'
durch c theilbar sein muss, die zweite heisst der ersten nach
rechts, die erste der zweiten nach links benachbart. Zwei benach-
barte Formen sind äquivalent. — Eine Form ax'- -{-2bxy -\- cy-
von der positiven Determinante 1) heisst reducirt, wenn der
absolute Werth von a zwischen V D — h und V JJ -\- h liegt
und 0 <^ (^ <^ y 1) ist; die äusseren Coefficienten einer solchen
Form haben immer entgegengesetzte Zeichen. Jede Form von
positiver Determinante ist einer reducirten Form äquivalent;
jede reducirte Form besitzt eine und nur eine ihr nach rechts
benachbarte reducirte Form. Bestimmt man zu der reducirten
Form f/), die rechts benachbarte reducirte Form r/)^, zu dieser
wieder die rechts benachbarte (f,^^ und so fort, so kommt man
schliesslich zu einer Form </?„+,, welche mit (p^ identisch ist;
diese n Functionen </),, cp^^ . . . , ^„ bilden die Periode der
betrefieuden Classe der Determinante D. lieber die Beweise
dieser Sätze vergl. Gauss^ IHsq. arith.^ art. 160, 183 — 187.

7) Zu S.35. Bezeichnet man mit cp[n) die Anzahl der zu n
relativ primen Zahlen in der Reihe 0, 1, ..., w — 1, so ist, da
hier J)^ ungerade ist: (p 2J)^) = (pJ\) = '^i und da unter
den Zahlen 0 , 1 .... , Z>, — 1 ebensoviel gerade als ungerade
Zahlen sind, welche zu 7), relativ prim sind, so ist die Anzahl
der zu Z), relativ primen und geraden Zahlen in der Reihe

0, 1,...,2I>,— 1 gleich ■2'£^ = J.

8) Zu S. 30. Kronecker hat in dem ersten Bande von
Dirichlet^ Werken den Originaltext von dieser Stelle an durch
den folgenden leichter verständlichen ersetzt:

Bezeichnet man nun mit /v^, Zj^, . . . diejenigen der Prim-
zahlen /i-, k\ ..., welche in L als Factoren enthalten sind, und
mit X;,, k[, ... die übrigen, so wird die Summe des Hülfssatzes:

n — 1 «- — 1 n — 1 71- — 1

.0-^,-^(2) o.e..e-^,-^(i;)(^)...

durch das Product:

120 Anmerkungeu.

K- — 1

-:-.'-^(i^)-^©--

h—\ i'-—\

8

(a=l.2,..., /'o— l; a = 1,2,..., X-J— 1;...; Ä=l,3,5,7)
dessen Factoren:

?(i:)'^(ä'-

offenbar verschwinden, ausgedrückt. Da ferner:
h — \ 5'— 1

0

für die drei Fälle: 0=1, »; = — 1; 0 = — i, /^ = 1 ; 0 = — i,
/;= — 1 ist, so folgt, dass der Ausdruck:

«—1 n^'—l

:?© ^ r, ^

(i)

immer verschwindet, ausser wenn gleichzeitig 0=1, '^ =^ 1,
X := l ist, w. z. b. w.

9) Zu S. 4S. V-^ • y — . r TT-

= V '

^^ [ati^x* -h 'löii-xi/ -\- cu-i/-,''

Ersetzt man hier ?ix durch .r', //ij durch //', so sind .?•', i/'
nicht mehr relativ prira zu einander, und man erhält .somit ^'.

10) Zu den ö'. 4U u. 5ij. Von dieser Stelle an gestaltet
sich die Bestimmung von h ein wenig anders, wenn die beiden
ersten Hülfssätze des § 1 in der später von Dirichlet ihnen
gegebenen Fassung benutzt werden; die gleiche Bemerkung
gilt für die Fälle II, 111, IV. Vergleiche über diese Aenderung
J)iricJilct-l)edckind, a. a. 0., §§ 95 u. 9S.

\\) Zu <y. 00. In dieser Gleichung steht in dem Original-
texte, sowie in Bd. 1 der Werke: VT) statt > 77j.

12) Zu S. '»2. Auch hier kann man den Ausnahmefall
leicht verificiren; es ist hier /< = I , />,= 3, P= — 3 und

Anmerkungen. 121

Au3 . ,

, sin S.v sin o.r rr

sin X H 1 1 = U < .-r < ,T

TT

folgt für x= ~:

1— 4+1— Ji-±---=4--T = -^; also //= l.

13) Z?<! aS'. ö4^ Anmerkung. In Crelle^ Journal fehlt diese
Anmerkung; Dirichlet selbst bat, wie Kronecker berichtet,
in dem an Gauss geschickten Exemplare hier die Worte: ;>Com-
patibles avec les conditions pr(^c^dentes< hinzugefügt.

14) Zu S. 55. Man substituire ctg (/) = ;?; dann erhält
mau durch Partialbruchzerlegung schliesslich für das unbe-
stimmte Integral:

1 , actgfß + i + yi>
lof

2VD actgfp-{-b — yB

15) Zu S. 60. Entwickelt man diesen Ausdruck, so erhält
man 2^ — 2 Glieder; jedes dieser Glieder entspricht einem be-
stimmten speciellen Werthe von 7. Je nachdem nun ein solches
bestimmtes x iu den beiden Geschlechtern, zu denen h^ und h^,^
gehören, gleiche oder entgegengesetzte Werthe hat, ist der
Werth des betreffenden Gliedes + 1 oder — 1. Die alge-
braische Summe aller Glieder ist also gleich dem üeberschusse
der Anzahl der Fälle, in denen Jl^ und hf^y gleiche Zeichen
haben, über die Anzahl der Fälle, in denen sie entgegengesetzte
Zeichen haben. Addirt man also die 'V- — 2 = 2/. — 2
Gleichungen (28) zu einander, so erhält man, da der Ueber-

schuss gleich — 2 ist : (2 x — 2) /?, — 2 (/^^ + //j H h AJ = 0.

Siehe ferner: Dirichlet- Dedekind^ a. a. 0., Supplement IV
und Bachmann., a. a. 0., 9. Abschnitt.

16) Zu S. 66. Für X> = — 1, J) = — 0 und I) = 2
existirt nur je eine Formenclasse.

17) Zu S. 72. Als Beispiel für solche Beziehungen im Falle
positiver Determinanten diene das Beispiel aus JJirichlefs Vor-
lesungen (a. a. 0., S. 232), in welchem I) = 2 gewählt ist.
Man erhält :

2 f '-'"'- -Mi) '^""'

.'.1/ )i, h' ' '

»-—1

=^(_i) « _i!_=^: t i^ + _i^+..

1 22 Anmerkungen.

wo die Doppelsunime auf der linken Seite über nlle Werthe-
paare .r. y zu erstrecken ist, für welche y ^ u, 'Ix'^'Aij
und .?•"- — 'Itf- ungerade ist. Diese Gleichung lässt sich nicht
mit Hülfe der elliptischen Functionen bestätigen.

18) Zu S. 14. Mit Hülfe der unten angegebenen Formeln
von Jacohi (Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum,
Königsberg lS2i»; Werke, Bd. 1, S. 49—239) lässt sich diese
Formel folgendermaassen verificiren. Aus den Formeln G und 7
im § Gii findet man mit Benutzung des Theorem II im § 37:

1 +2r/ + 2r/ + 2</'«+ ... = ]/^ 't^' ^^^
'/ + (?' + T' + ■ • • = ^ ~J^ V ^. • Die Formel 13,
§39 liefert für .r = '^: —^+ '^' ^' ^'

8 1— </- ■ i—f 1—^^*» 1— 9«*
sin am-— sin aw — — - • Hierauf wendet mau

7C 4 4

noch die Formel an, welche man erhält, wenn mau die For-
mel 5 durch die Formel 3 (§ 18) dividirt: 2 sin (anu ■ sin a?)i v

cos a7n (u — v) — cos atji [u + v] ^ ,. . 3 /f

— In dieser ist 7i =

J am[u — v) -f- ^ uin[u -\- v) \

-— zu setzen und zu beachten, dass cos(/mK= (•,
4

cos am = 1/ - — ; — 77, Ja7nK=k\ J am ~ = \' k' \i{

K 1/ k' . ,- ;, , A'

— — j-, , zl am K = k , J a m ~

-\- k 2

Wie sich DiricJilet selbst die weitere Ausführung dieser
Gedanken vorgestellt hat , geht aus einem seiner Briefe an
Kronecker [Briefwechsel zwischen J). und K., herausgegeben
von E. ScJiering. Göttinger Nachrichten 1885. Brief vom
23. Juli 1857] hervor, in welchem er die weitere Behandlung
des zweiten Beispieles T) = — p für den Fall, dass p von
der Form 4 n -\- 3 ist , skizzirt. Nachdem DiricJiIci hier
zuerst die Bedingung, dass die Zahlen, welche mit /> einen
gemeinschaftlichen Theilcr haben, bei der Darstellung ausge-
schlossen werden, aufgehol)en liat, da sie nur C'oniplieationen
verursacht, giebt er, mit Benutzung der JacohV&chtn Be-
zeichnung, die (ileichung:

k J^'-yrtl^X . 1 A'.s .^-7 \iax- + 'lhx>/-\-Cfr ,
~~= - J>, I ~ sin ain = y n- • ' • _j .

Anmerkungen. 123

wo für X. y alle Werthepaarc zu setzen sind, für welche die
jedesmalige quadratische Form (der 1. xVrt) ungerade ist. Jede
der rechts stehenden Doppelsummen lässt sich in eine endliche
Anzahl von Producten je zweier einfachen Summen von der

Form ^ q , wo () und t rationale Zahlen sind, zer-

legen. Jede dieser einfachen Summen kann mit Hülfe der

Eigenschaften der 0-Function in die Form y — fp[k)^ wo

cp[k) eine algebraische Function des zu q gehörenden Moduls
ist, gebracht werden. Jede Function sin am auf der linken
Seite ist aber auch eine algebraische Function von x, folglich
drückt die obige Gleichung eine Relation zwischen den alge-
braischen Functionen des flüssig bleibenden k aus. »Man kann
daher sagen, dass die ganze Theorie der Formen von nega-
tiver Determinante und der durch sie darstellbaren Zahlen auf
Beziehungen zwischen den Wurzeln algebraischer Gleichungen
zurückkommt und sich aus diesen Beziehungen muss ableiten
lassen.«

In Dirichlefa Sinne hat Kronecker diese Untersuchungen
weitergeführt. (Vergl. hier speciell Sitz.-Ber. d. Berl. Akad.,
1S85, S. 761, wo Kronecker eine Gleichung aufstellt, von
welcher die oben von Dirichlet ihm mitgetheilte nur ein be-
sonderer Fall ist).

19) Zu S. 77, Gauss hat die gleichen Resultate für negative
und positive Determinanten aus der Lehre von der Composition
der quadratischen Formen erhalten. Nur für den Fall eines
positiven D von der Form 8r -\- ö giebt Gauss das Resultat
in andrer Form: »Es ist // = -^h oder // = h, je nachdem

die drei Formen (1, 0, — />), (4, 1, ~ |, (4, 3, ~ |

einer einzigen Classe oder drei verschiedenen Classen auge-
hören.« Unterhalb 1000 giebt es 125 Zahlen von der Form
8r -|- 5, von denen nur bei 31 Determinanten der erste Fall
stattfindet [Disq. arithm., art. 256). Für die übrigen 94 dieser
Zahlen hat Cayley die kleinsten (ungeraden) Werthepaare,
welche die Gleichung t'^ — Du"^ = ± 4 lösen, angegeben
(Journal f. r. u. a. M., Bd. 53, S. 369;.

20) Zu S. 77. Die Voraussetzung, dass D keinen qua-
dratischen Factor mehr enthält, ist für das Folgende un-
wesentlich.

124 Anmerkungen.

21^ Zti S. 70. Jede Lösung der Gleichung t* — J)u- = 1,
bei welcher der Werth von u durch S theilbar ist, jriebt eine
Lösunjr der Gleichung /'- — J),S-u'-= 1 und umgekehrt. Folg-
lich ist das kleinste positive Werthepuar /, u, welches die erste
Gleichung befriedigt und bei welchem ti durch /S' theilbar ist:
T', .VC/'. Mithin muss T' + SU' > 7>= [T -\- U VUi' sein,
wobei A die kleinste positive ganze Zahl bezeichnet, für welche
der Coefficient von VJ) in der entwickelten Potenz durch .S'
theilbar ist. Dirichlef hat in einer späteren Arbeit Ueber
eine Eigenschaft der (juadr. F. von pos. Det. Journal f. r. u.
a. M. Bd. 53, S. 127) angegeben, wie sich ). aus der Zer-
legung von S in seine Primfactoren berechnen lässt. Dort
hat er auch gezeigt, dass sich aus einer positiven Determinante
I) uneudlich viele andere von der Form DS' ableiten lassen,
welche mit J) die gleiche Classenanzahl haben. Daraus er-
giebt sich weiter die Richtigkeit der Gauss\Q\\en Vermuthung,
dass es unendlich viele positive Determinanten giebt, bei denen
jedes Geschlecht nur je eine Classe enthält. Negative Deter-
minanten dieser Art scheinen nur in endlicher Anzahl (65)
vorhanden und 7>) = — 1S4S die letzte zu sein [Disq. arithm.^
art. 303 u. 301).

Ueber die Formeln unter III u. IV vergl. auch Lipschitz.
Journal f. r. u. a. M., Bd. 53, S. 238. Dcdehind^ Ueber die
Anzahl der Idealclassen in den verschiedenen Ordnungen eines
endliclien Körpers (Braunschweig, 1S7 7). Diruhht-DedcJiiml^
a. a. 0., Supplement X.

22) Zu S. SG. Unter den Zahlen 1, 2, ,.., j) — 1 sind
eben so viele Keste a als Nichtreste h (mod. />); folglich ist

2 m n i , '1 in rx i 2 m n i

»=0

e P — 1

wenn m nicht ^ 0 (mod. p] ist.

Von weiteren Arbeiten über die Oaussschi^n Summen
nenne ich hier die Abhandlungen von Cauchy [LiouviUe»
Journal 1S40, t. 5, 8. 15 1), Kronevker [Liouvillc's Journal
lb5ü s(5r. t. 1 , S. 3!)2; Sitz.-Ber. der Berl. Akad. ISSO,
S. (ib() u. 851 und Journal f. r. u. a. M., Bd. 105, S. 2(i7), Luinh-
hvry Journal f. r. u. a. M. Bd. 111, S. 231). Vergl. auch deu
siebenten Abschnitt in dem schon öfter genannten Werke von

Aamerknngeu. ] 25

Bachmann , wo eiue ausführlichere Behandlung der Gauss-
schen Summen gegeben ist.

23) Zu S. 80. Die Reihe rechts ist ebenfalls convergent

(nach § 1, dritter Hülfssatz), da .-(-77) = 0 ist (nach § 5,

Hülfssatz), wenn 71 ein vollständiges Restesystem (mod. P)
durchläuft. Hier ist (mit Aenderung desSummationsbuchstabens):

(VI \ 1
— I — , wo w alle positiven ungeraden Zahlen, welche

relativ prim zu P sind, durchläuft. Die Zahlen n, welche
kleiner als 2h P (wo // eine beliebige positive ganze Zahl ist)
sind, theilen sich in ungerade Zahlen, welche mit den Zahlen
m<^1hP identisch sind, und in gerade Zahlen von der
Form 2w', wobei n alle Zahlen n <^ hP durchläuft. Folg-
lich ist:

^ \p]^^'^ Vp]^ '^\p]ln^

,.a«.;, = »:2-'(^): = r + i(|)2'(j)i,

1

24) Zu den S. 89, 92 u. 95. Es ist /".r"-' dx = --, folglich

0

,Jp)^=/2-'(p)---=Al-,^j^)-!

1

}i<p

126 Anmerkungeu.

Nun ist f{x) durch z [x — 1) ohne Rest theilbar, da /(O) = 0
und /*(!) =y!(-j-\ = 0 ist; der Bruch ./^"^^ .,, bleibt

also im ganzen Integrationsintervall endlich; mithin wird für
lim // = oo das zweite Integral unendlich klein und

a; — e

0

WO A^ den leicht zu berechnenden Werth nf\^ ^ i ^*t-

In ganz analoger Weise lässt sich die Rechnung in den
Fällen II und III durchführen; nur muss man im Falle II von

der Summe^^( — 1) - (^)— und im Falle III von der

Summe ^6 - ( — 1) ^ j — j — ausgehen, wo n alle posi-

tiven ungeraden Zahlen, welche relativ prim zu P und kleiner
als 4/tP, bez. hhP sind, durchläuft. Dabei ist zu beachten,
dass F[x) = 0 ist für x = 0 und x = l , wo F{x] im
«—1

Falle II für^'— 1) 2 i'|^x" und im Falle III für

/(— 1 «-^1

^6 2 (_i) 8 /M ,» ggget^t ist.

25) Zu S. 02. Es ist nur zu beachten, dass im Falle (I)
m und P — w?, im Falle (11) m und \P — ;/», im Falle (III)
nt und S/-* — w dieselben Zahlen durchlaufen.

2ü) Zm -6'. .W.

Y — 1 y'^ — 1 'Imni mni

yji)~^{— \) ^ c 8 ~= e~»~( 1 — 6 i'"] ( 1 — [— 1 ]'") .

Ist m = 8Ä + *'(^' = 1 , 3, .'), 7) , so wird die rechte Seite

gleich 2e * (1 —6{''), wo jetzt für () = -f- 1 und d -^ — \
die vier Fälle von r zu untersuchen sind.

Auiuerkungeu. 127

27) Zu S. 103. Nur ist liier die Reihe: C03.r -\ ;

cos 5a: cos Ix , , .^ ,
: h • • • zu benutzen, deren Werthe man aus

- ^ :, ^ ./ . sin 3a; sin oa: sin 7.r

denen der Kerne: sin x — -| _[-...

3 5 7

mittelst der Substitution x = -. x' ableiten kann.

28) Zu den S. 104 u. 105. Zunächst sei hier daran er-
innert, dass die beiden ersten Formeln für Ji unter Nr. VI

nicht für P = 1 gelten, dass vielmehr — an Stelle von Ji

zu setzen ist. Die Formel li ^= 1 [Ä — B') ist in diesem
Falle überhaupt unbrauchbar. Unter Nr. VIII versagt für
P= 1 die Formel li = 1[Ä — B' — Ä' -\- B') den Dienst,
während jedoch die andern Formeln für h gültig bleiben.

Statt der S Formeln für die Classenanzahl braucht man, wie
Kronecker (Sitz.-Ber. der Berl. Akad. ISS5, S. 7GS) gezeigt
hat, nur 2 Formelu, eine für positive und eine für negative
Determinanten, wenn man die von Gauss eingeführte Schreib-
weise der quadratischen Form mit dem Binomialcoefficienten
verlässt und dafür ax- -f- bxy -{- cxf' schreibt. Dann ist für
jede Form die Discriminante ä^ — \ac charakteristisch.

Gauss hat mit Hülfe der Classenanzahl negativer Formen
die Vertheilung der Reste a und Nichtreste h in Octanten
für die ungeraden Primzahlen und in Zwölftel für die Prim-
zahlen von der Form 24;^ + 1, 5, 13, 17 bestimmt (Werke,
Bd. 2., S. 269.)

An die Z>w'zc// /e^'schen Formeln für negative Determi-
nanten knüpft eine Arbeit von Herrn Hurioitz an (Acta
mathematica, Bd. 19, S. 351), welcher merkwürdige Congru-
enzen zwischen der Classenzahl dieser Determinanten und
den Bernoullf sehen, £ule)''&chen und verwandten Zahlen
aufstellt; bezeichnet ^,„ die m^" BerfiouIh"'&che Zahl, ff,„ den
m^^^ Secantencoefficienten 'Euler^sche Zahl) und ist ß„i =

— 5,„, SO ist z. B. h~{—l) -,:^p4-i oder

h ^ ( — 1) "^ ir^p 1) J6 nachdem p eine Primzahl von der

4
Form 4w + 3 oder 4;; 4- l ist.

\ Oy Anruerkungeu.

Aus dem Umstände, dass die Differenzen in den Aas-
drücken für die Classenauzahl negativer Determinanten positiv
sein müssen, da ja /( ^ 1 ist, lassen sich verschiedene be-
merkenswerthe Sätze über ^a und 2Sö, bez. über A und B
ableiten.

Die Gleichheit der verschiedenen Ausdrücke für dieselbe
negative Determinante lässt sich leicht verificiren; im Falle (V)

ist z. B. die Gleichheit: ll — ip\\- — ^-— - = -4 — 7^

direct nachgewiesen bei Bachmann a. a. 0., S. 215.

2'J) Zu S. loa. In der Theorie der Kreistheilung wird gezeigt,
dass die Gleichung, welcher alle primitiven P'*^" Einheitswurzeln
genügen und welche mit der Gleichung X = 0 identisch ist,

JT(.r"' — 1)
in der Form — = U geschrieben werden kann, wo

«, und /<2 bez. die sämmtlichen positiven und negativen
Glieder in dem entwickelten Producte:

-('-;)('-;)('-^)

bezeichnen. Folglich ist X(l) = j=^' • Nun gilt der Satz:

> Bezeichnet /< einen beliebigen Theiler von P. aber P selbst
ausgeschlossen, so theilt// ebensoviele Zahlen /<, als Zahlen /<,.<
Der obige Quotient hat folglich den Werth P oder 1 , je
nachdem die Anzahl der Primfactdreu gleich 1 oder grösser
als 1 ist. Siehe ferner Diriclilet^ Sur la manüre de resoudre
Ti-quation t* — ^?/' := 1 au moyen des fonctions circulaires
(Journal f. r. u. a. M., Bd. 17, 8. 2SG; Werke, Bd. 1, S. 43)
und Dirichlet-Dedekind^ Vorlesungen, §§ 107 — HO.

:}0) Zu S. HO. > lieber die Zerlegbarkeit der Zahlen in
drei Quadrate (Journal f. r. u. a. M.. Bd. lo, S. 22S.)

Würzburg, 185)7 April 27.

H. Hftussner.

Uruck roii HreiUopt ii U&rtel in Leiptig.

üb. d. Anziehung homogener Ellipsoide. Abhamlliingen von LsplaCC
(1782), Ivory (1809;. Gauss (1813), Cliasles (1838) und Dirichlet
(1839). Herausg. von A. W angerin. (118 S.) Jt 2.—.
Abhandlungen über Yariatioiis - Xleclmung. I. Tlieil: Abliand-
lungen von Job. Bemoulli (1G96), Jac. BernouUi (1697) und
Leonliard Euler (li44). Herausgegeben von P. Stäckel. Mit

19 lVvt«v /-IJl ov -/ r.

1

QA Le.letme-Dirichlet, Peter Oustav

2L3 Untersu'^himf^en über

L4.55 verschiedene Anwendungen

Physical Ä
Applied ScL

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