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Full text of "Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen"

VORLESUNGEN ÜBER DIE THEORIE 



DER 



AUTOMORPHEN FUNCTIONEN 



VON 



ROBERT FRICKE und FELIX KLEIN 

IN liKAUKSCHWEIÜ IX OÜTTINQEN. 



ERSTER BAND: 

DIE GRUPPENTHEORETISCHEN GRUNDLAGEN 



MIT 192 IN DEN TEXT GEDRUCKTEN FIGUREN. 




^ 



LEIPZIG, 

DRUCK UND VERLAG VON H. (;. TKUBNER. 

1897. 




AliLE RECHTE, 
EINSCHLIESSLICH DES ÜBERSETZUNGSRECHTS, VORBEHALTEN. 



Prictiöd in Gertt(aEy 



351 



Vorrede. 



Das Begleitwort, welches ich dem hiermit an die Öffentlichkeit 
tretenden Werke mitgeben will, soll die Absieht erfüllen, die eigen- 
artige Entstehungsgeschichte dieses Werkes in ausführlicher Weise 
darzulegen. 

Es handelt sich hier um die Einlösung eines Versprechens, welches 
am Schlüsse des zweiten Bandes der „Vorlesungen über die Theorie 
der elliptischen Modulfunctionen" gemacht worden ist. In der That 
wurde ja daselbst in Aussicht genommen, dass sich an die Behand- 
lung der Modulfunctionen eine nach gleichen Principien angelegte 
Darstellung der Theorie der eindeutigen automorphen Functionen an- 
schliessen sollte. Aber allerdings hat dieser Plan im vorliegenden 
Bande noch nicht im ganzen Umfange zur Ausführung gelangen 
können. Vielmehr ist hier nur erst ein erster wichtiger Schritt ge- 
schehen: es sind die grnppentlieoretischen Grundlagen der Theorie der 
eindeutigen automorphen Functionen zur Entwicklung gebracht. 

Um den Anschluss an die „Vorlesungen über die Theorie der 
elliptischen Modulfunctionen" möglichst enge zu gestalten , wurde der 
Titel „Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen" ge- 
wählt. Aber es handelt sich hier durchaus nicht um eine Vorlesungs- 
ausarbeitung im gewöhnlichen Sinne. Vielmehr sind die Quellen, aus 
deren vereinigter Kraft das vorliegende Werk entstand, weit mannig- 
faltiger; und wenn ich es hier versuchen will, diese Quellen näher 
zu bezeichnen, so muss ich vor allem in der Geschichte der modernen 
Functionentheorie ein wenig zurückgreifen. Lag doch überhaupt den 
nachfolgenden Darstellungen stets das Bestreben zu Orunde, auch der 
historischen Seite der vorgetragenen Theorieen gerecht zu werden und 
zumal auf die ursprünglichen Keime und Anfänge der einzelnen Ge- 
(lankenentwickluugen hinzuweisen. 

Wie im engeren Gebiete der Modulfunctionen, so ist es auch hier 
fast selbstverständlich, dass Riemann's Name allen anderen voran- 
stehen muss. Seine Arbeiten über die P-Function, über Minimal- 



IV Vorrede. 

flächen, über die Verteilung der Elektricität auf Cylindern, über lineare 
Differentialgleichungen u. s. w.*) enthalten die Keime und zum Teil auch 
schon die entwickelte Gestalt einer grossen Menge von Gedanken, 
welche in der späteren Theorie der automorphen Functionen funda- 
mental wurden. Natürlich erscheinen Riemann's Ansätze in dem vor- 
liegenden Werke überall in moderner Fortentwicklung; und es ist 
namentlich der bei Riemanu noch nicht herrschende Gruppenhegri/f, 
welcher hier zu allgemeinster Geltung gelangt. Dieser Begriff be- 
rührt aber in seiner für uns in Betracht kommenden Gestalt mehr 
nur die „formale" Seite der zu behandelnden Theorieeu. Man kann 
sagen, dass in der geschichtlichen Entwicklung der automorphen Func- 
tionen die „Form" des Gruppenbegriffs in Riemann's Schöpfungen den 
„Inhalt" gewann, und zwar einen Inhalt, der die Keime einer reichen 
Fortentwicklung einschloss. 

Eben diese innere Kraft that sich bereits in den ersten für die 
Theorie der automorphen Functionen wichtigen Trieben kund, welche 
mehr oder weniger unmittelbar an Riemann ansetzten: ich denke hier 
vor allem an Schwarz' wertvolle Untersuchungen über die hyper- 
geometrische Reihe. Hier wird u. a. das von Riemann überkommene 
Princip der Spiegelung in einer seiner wichtigsten Consequenzen 
weitergeführt, indem nämlich der seitens der Analytiker aufgestellte 
Begriff der „natürlichen Grenze" einer analytischen Function vermöge 
des Spiegelungsprincips zur geometrischen Evidenz gebracht wurde. 
Auch Fuchs' grundlegende Arbeiten über lineare Differentialgleichungen 
sind hier zu nennen. Freilich kommen dieselben mehr nur im engeren 
Gebiete der automorphen „Functionen" zur Geltung, während sie mit 
den gruppentheoretischen Entwicklungen des vorliegenden Bandes nur 
mittelbar zusammenhängen. 

Es würde der nachfolgenden Darstellung selbst nur vorgegriffen 
werden, falls hier jede Untersuchung genannt werden sollte, die für 
die Weiterentwicklung der automorphen Functionen von Wert war. 
Indem ich hier vielmehr nur dem Hauptzuge der Entwicklung folge, 
will ich nun gleich die Namen der beiden Forscher nennen, welche 
mit Recht als die eigentlichen Begründer der Theorie der automorphen 
Functionen gelten: F. Klein und II. Poincare. 

Klein behandelte bei seinen Untersuchungen über Modulf unctionen 



*) ■ Den verschiedenen hierauf bezüglichen in den gesammelten Werken 
ßiemann's publicierten Aufsätzen tritt neuerdings eine von Herrn v. Bezold der 
Göttinger Universitätsbibliothek überwiesene stenographische Nachschrift einer 
Vorlesung hinzu, welche Riemann im Sommer 1869 über die hypergeometrische 
Eeihe gehalten hat; vergl. die Göttinger Nachrichten vom 31. Juli 1897. 



Vorrede. V 

zwar nur erst eiuen Specialfall der allgemeinen automorphen 1- unctioneu; 
aber es gelang, in diesem besonderen Falle eine ausserordentlich weit 
entwickelte Theorie zu schafiFen (wobei ja namentlich die Beziehung 
zu den elliptischen Functionen fördernd eingriff). Und wenn heute von 
der Höhe einer entwickelten Theorie der automorphen Functionen aus 
der im Gebiete der Modulfunctionen liegende Ausgangspunkt ein ver- 
hältnismässig weit entfernter scheint, so darf man doch nicht vergessen, 
dass zahlreiche Grundbegriff'e der Theorie der Modulfunctionen, vor allem 
derjenige des „Fundamentalbereichs" einer Function, unmittelbar ihre 
Gültigkeit für die allgemeine Theorie der automorphen Functionen 
bewahrten. Die grosse Tragweite dieses Begriff'es des „Fundamental- 
bereichs", der uns im vorliegenden Bande nur erst von seiner einen 
Seite, nämlich als „Discontinuitätsbereich einer Gruppe*', entgegentritt, 
wird im vollen Umfange erst im folgenden Bande deutlich werden; er 
wird uns daselbst zum unmittelbaren Fundament für den Existenzbeweis 
der zu einer Gruppe gehörenden automorphen Functionen werden. 

Bei der Begründung der allgemeinen Theorie ging Klein den 
steileren Weg, indem er Riemann'scheu Traditionen folgend von der 
functiouentheoretischen Seite sogleich eine sehr allgemeine Auffassung 
der Theorie zu gestalten unternahm. Demgegenüber gelangte Poincare, 
durch arithmetische Schulung geleitet, auf einen mehr inductiven Weg, 
welcher den Blick auf concrete Einzelfälle lenkte; doch nahm derselbe 
schnell die übrigen, mehr functionentheoretischen Gedankengänge mit 
auf. So entstanden jene mit Recht bewunderten Arbeiten Poincare's 
in den ersten Bänden der Acta mathematica, welche ein beredtes 
Zeugnis von der Kraft der Intuition und der Erfindungsgabe ihres 
Verfassers ablegen. 

Seit Mitte der achtziger Jahre scheint in Frankreich die Trieb- 
kraft zur Weiterentwicklung der automorphen Functionen erlahmt; 
denn was von Poincare selbst und einigen seiner Schüler in dieser 
Hinsicht noch veröff"entlicht wurde, war teils nicht neu, teils blieb es 
ohne abschliessende Resultate. 

Demgegenüber fasste Klein den weitreichenden Plan einer Ver- 
öff"entlichung grossen Stiles, welche in einem mehrbändigen Werke die 
regulären Körper, die Modulfunctionen und die automorphen Functionen 
behandeln sollte. Ich brauche ja hier nicht zu wiederholen, was über 
die Weiterentwicknng dieses Planes in den Vorreden zu den Vor- 
lesungen über das Ikosaeder, sowie zu denjenigen über Modulfunctionen 
gesagt wurde. Nur was das vorliegende Werk über die den auto- 
morphen Functionen zu (.rrundc liegenden Gruppen unmittelbar an- 
geht, mu88 hier hervorgehoben werden. 



VI Vorrede, 

Es lag zunächst das Bestreben vor, durch eine Reihe akademischer 
Vorlesungen den gefassten Publicationsplan zu fördern und vorzu- 
bereiten. In dieser Hinsicht sind die von Klein in den Jahren 1889 — 97 
autographisch herausgegebenen Vorlesungen*), welche alle mit der 
Theorie der automorphen Functionen mehr oder minder in Beziehung 
stehen, sowie die Vorlesungen des Unterzeichneten über die Theorie 
der automorphen Functionen im Wintersemester 1892/93 und Soramer- 
semester 1893 zu nennen. 

Aber allerdings kann von einer directen Einwirkung auf die nach- 
folgende Darstellung auch nur bei den Vorlesungen Klein's über Nicht- 
euklidische Geometrie sowie meinen eigenen Vorlesungen gesprochen 
werden. Erstere Vorlesungen habe ich vielfach bei der Abfassung des 
einleitenden Kapitels benutzt, welches die projectiven Maassbestim- 
mungen behandelt. In meinen Vorlesungen über automorphe Func- 
tionen ist der allgemeine Begriff des Normalpolygons zum ersten 
Male entwickelt, auf den ich sogleich nochmals zurückkomme. Klein's 
Vorlesungen über Differentialgleichungen, Riemann'sche Flächen u. s. w. 
berühren die gruppentheoretischen Gegenstände des vorliegenden Bandes 
nur nebenher, sollen jedoch bei den functioneutheoretischen Entwick- 
lungen des folgenden Bandes unmittelbarer zur Geltung kommen. 

In der That hatte ich ja schon am Anfang zu betonen, dass es 
sich hier nicht um die Ausarbeitung einer wirklich gehaltenen Vor- 
lesung handelt. Vielmehr musste ich, als ich vor etwa vier Jahren 
an den Plan heranging, eine Theorie der automorphen Functionen zu 
verfassen, die gesamte mir zugängliche Überlieferung zusammenfassen, 
um hierauf meinen Plan zu gründen. 

Gleich hier will ich voller Dankbarkeit hervorheben, wie viel mir 
bei Schaffung dieses Werkes die wirksame Unterstützung meines hoch; 
geehrten Lehrers und lieben Freundes F. Klein wert gewesen ist. 
War es ursprünglich seine bewährte Führung, die mir vor vielen 
Jahren diese aussichtsreichen Gebiete der modernen Mathematik er- 
schloss, war es andrerseits Klein's eigener Publicationsplan, den ich 
zu dem meinigen machen durfte, so habe ich auch nun bei der Durch- 
führung dieses Planes nicht allein gestanden. Durch seine nie er- 
müdende Kritik bin ich bei meinen Dispositionen, Ausarbeitungen, 
sowie bei der Correctur der Druckbogen stets wesentlich gefJJrdert; 



*) Es sind dies der Reihe nach: Nichteuklidische Geometrie I, II 1889—90; 
lineare Differentialgleichungen I, II 1890—91; Kiemann'sche Flächen l, II 1891—92; 
Höhere Geometrie I, II 1892—93; hypergeometriache Function 1893—94; lineare 
Differentialgleichungen 2. Ordnung 1894; Zahlentheorie I, II 1895—96; vergl. die 
Referate von Klein iu den Bdn. 45, 46 und 48 der Mathem. Annalen. 



Vorrede. VII 

und es ist mir eine besondere Beruhigung, dass Klein durch den Titel 
des Werkes die Mitverantwortung für die Correctheit der vielfach so 
schwierigen Gegenstände der nachfolgenden Darstellung trägt. Ge- 
radezu umgestaltend hat Kleins Einfluss im einleitenden Kapitel ge- 
wirkt; es handelt sich daselbst um Auffassungen der projectiven Geo- 
metrie, welche mir weniger geläufig waren, und ich erkenne hier 
dankbar an, dass ich die reife Abrundung dieses Kapitels von mir 
allein aus nicht hätte gewinnen können. 

Man wolle es entschuldigen, wenn ich nun gerne auch bei den- 
jenigen Teilen meines Werkes verweile, in welchen die eigene Thätig- 
keit die Fortentwicklung der Theorie der automorphen Functionen in 
wesentlichem Grade gefördert hat. Ich denke hierbei zunächst an meine 
arithmetischen Untersuchungen, welche einen grossen Teil des dritten 
Abschnitts füllen. Dann aber ist es insbesondere der Inhalt der beiden 
ersten Kapitel des zweiten Abschnitts, welchen ich, soweit er die Haupt- 
kreisgruppen betrifft, für mich in Anspruch nehmen darf. Die Begriffe 
des Normalpolygons, des natürlichen Discontinuitätsbereichs, die aus- 
führliche Theorie der kanonischen Bereiche und die Transformations- 
und Invariantentheorie der Hauptkreisgruppen liefern die Haupt- 
gesichtspunkte, um welche sich der Stoff gruppiert. Noch vor drei 
Jahren habe ich nicht hoffen dürfen, dass es möglich war, diesen 
nunmehr centralen Teil des Werkes zu schaffen, welcher uns fortan 
ein Recht giebt, von einer „Theorie" der Hauptkreisgruppen zu sprechen. 

Übrigens will ich auch dieses hervorheben, dass der Verfasser 
eines zusammenhängenden Werkes über einen mathematischen Gegen- 
stand selbst an solchen Stellen, welche durch vorangegangene Ab- 
handlungen oder Vorlesungen bereits gegründet erscheinen, erfahrungs- 
mässig aufs vielfältigste Gelegenheit hat, Begriffe zu vervollkommnen, 
Lücken auszufüllen , Irrtümer zu verbessern. Zeigen doch nur zu 
leicht die Abhandlungen über einen im vollen Flusse der Entwicklung 
stehenden Forschungsgegenstand die Spuren des Vorläufigen und des 
Unfertigen; und sind doch Vorlesungen, wenn anders sie als solche 
wirksam und anregend sein sollen, nur selten mit der in alle Einzel- 
heiten des Stoffes eindringenden Vollständigkeit eines Lehrbuchs aus- 
zustatten. — 

Der geehrten Verlagshandlung danke ich angelegentlichst für die 
vorzügliche Ausstattung, welche sie in Bezug auf Text und Figuren 
dem Werke hat angedeihen lassen. Das beständig bereitwillige Ent- 
gegenkommen der Herren Verleger verpflichtet mich um so mehr, als 
der Druck bereits frühzeitig begonnen hat (Ostern 1895) und durch 
zwei länger dauernde Pausen hat unterbrochen werden müssen. 



VIII Vorrede. 

Die Fortsetzung dieses Werkes soll der fuiictionentheoretischen 
Durchführung der Theorie gewidmet werden. Die Erfahrung muss 
lehren, ob es gelingen will, die Theorie der analytischen Bildungs- 
gesetze der automorphen Functionen aus dem gegenwärtigen und wohl 
zweifellos unvollkommenen Stadium der Entwicklung hinauszuführen, 
oder ob hier die Beschränkung darauf geboten erscheint, den über- 
kommenen Stoff logisch zu gliedern, zu sichten und vielleicht in Ein- 
zelheiten zu vervollkommnen. Jedenfalls aber wollte ich schon hier 
hervorheben, dass in letzterer Hinsicht die mit bewunderenswerter 
Gründlichkeit und Schärfe durchgeführten Untersuchungen des unver- 
gesslichen Ernst Ritter eine wertvolle Vorarbeit für den folgenden 
Band dieses Werkes liefern. 

Braunschweig, den 30. Juni 1807. 

Robert Fricke. 



Inhalts -Verzeichnis. 

Seite 

Vorbemerkungen 1 

Einleitung. 

Entwicklungen über projective Maassbestimmungen. 

§ 1. Die projectiven Maassbestim raungen in der Ebene und deren Arteinteilung 3 
§ 2. Die zur Maassbestimmung gehörenden Bewegungen und ümlegungen der 

Ebene. Die Variabele J im parabolischen Falle 7 

§ 3. Die CoUineationen des Kegelschnitts z^z^ — 2^,*^0 in sich. Verhalten 

des zugehörigen t 12 

§ 4. Die Gruppe der Bewegungen und Umlegungen im hyperbolischen und 

elliptischen Falle 15 

§ 5. Allgemeine Definition der ^ -Werte für die Punkte der projectiven Ebene 20 
§ 6. Die J -Werte in der hyperbolischen Ebene. Die J- Halbebene und 

^-Halbkugel 22 

§ 7. Die hyperbolische Maassbestimmung in der |:- Halbebene und auf der 

^-Halbkugel 26 

§ 8. Über Flächen von constantem negativen Krümmungsmaass 30 

§ 9. Figuren für die Bewegungen der projectiven Ebene in sich 32 

§ 10. Die elliptische Ebene und die J-Ebene bez. ^-Kugel 36 

§11. Die elliptische Maassbestimmung auf der J- Ebene und J;- Kugel .... 41 
§ 12. Die hyperbolische Maassbestimmung im Räume und die zugehörigen 

Bewegungen 44 

§ 13. Die Kreisverwandtschaften und die hyperbolische Geometrie. Die Rota- 
tionsgruppen im hyperbolischen Räume 49 

§ 14. Beziehung des hyperbolischen Raumes auf den J- Halbraum 5,S 

§ 15. Schlussbemerkungen zur Einleitung 57 



Erster Abschnitt. 

Grundlagen für die Theorie der discontinuierlichen Gruppen 
linearer Substitutionen einer Variabelen. 

Erstes Kapitel. 
Die Discuntinuitüt der Gruppen mit Erliintoniiigen an eiufiulioii 

Beispielen. 

§ 1. Unterscheidung continuierliclier und discontinuieriicher Substitutions- 

gruppen 60 



X Inhalte -Verzeichnie. 

Seite 
§ 2. Unterscheidung eigentlich und uneigentlich discontinuierlicher Substitu- 
tionsgruppen 62 

§ 3. Recapitulation und Ergänzung betreffend cyclische Gruppen 65 

§ 4. Die Gruppen der regulären Körper und die regulären Einteilungen der 

elliptischen Ebene 69 

§ 5. Die Modulteilnng in der J- Ebene und in der hyperbolischen Ebene. . 74 

§ 6. Einführung und Erweiterung der Picard'schen Gruppe 76 

§ 7. Die zur Picard'schen Gruppe gehörende tetraedrische Einteilung des 

J-Halbraumes 79 

§ 8. Der Discontinuitätsbereich und die Erzeugung der Picard'schen Gruppe 83 

§ 9. Über Untergruppen der Picard'schen Gruppe. Historisches 87 

Zweites Kapitel. 

Die Grnppen ohne infinitesimale Substitutionen und ilire normalen 

Discontinnitätshereiche. 

§ 1. Der Begriff der infinitesimalen Substitutionen 94 

§ 2. Die eigentliche Discontinuität der Gruppen ohne infinitesimale Substi- 
tutionen 98 

§ 3. Die Begriffe der Polygon- und der Polyedergruppen 102 

§ 4. Einführung der normalen Discontinuitätsboreiche bei Rotationsgrnppen 106 
§ 5. Von den Ecken und Kanten der Normalpolygone bei Rotatiousgruppen. 

Erster Teil: Die Ecken im EUipseninnern HO 

§ 6. Fortsetzung: Die Ecken auf und ausserhalb der Ellipse 114 

§ 7. Die Normalpolyeder im hyperbolischen Räume und deren Gestaltung 

im Kugelinnern 120 

§ 8. Die Normalpolyeder auf und ausserhalb der Kugel 123 

§ 9. Das Verhalten der Polygongruppen auf der Kugeloberfläche. Erster 

Teil: Allgemeines 126 

§ 10. Fortsetzung: Specielle Betrachtung der Gruppen mit Grenzcurven . . 131 

§ 11. Die Normalbereiche der Gruppen zweiter Art 137 

§ 12. Die Normalbereiche in der J-Ebene und im J-Raum. Historisches. . 140 

, Drittes Kapitel. 

Weitere Ansätze zur geometrischen Theorie der eigentlich 

discoutinuierlichen Gruppen. 

§ 1. Die erlaubte Abänderung der Discontinnitätshereiche, insbesondere bei 

Gruppen mit Hanptkreis 146 

§ 2. Fortsetzung: Die erlaubte Abänderung bei Polyedergruppeu, sowie 

Polygongruppen ohne Hauptkreis 149 

§ 3. Definition der Gruppen ohne infinitesimale Substitutionen durch Dis- 

continuitätsbereiche. Durchfährung im Hauptkreisfalle 154 

§ 4. Fortsetzung: Definition der Polyedergruppen durch Discontinuitäts- 

bereiche 157 

§ 6. Fortsetzung: Allgemeine Definition der Polygongruppen durch Discon- 

tinuitätsbereiche 159 

§ 6. Classification der Gruppen ohne infinitesimale Substitutionen nach der 

Gestalt der Discontinuitätsbereiche und regulären Einteilungen .... 164 



Inhalte -Verzeichnis. XI 

Seit« 

§ 7. Die Erzeugung der Gruppen und die für die Hrzeugendc-n gültigen lle- 

lationen 168 

§ 8. Fortsetzung: Die Erzeugenden und ihre Relationen bei Polyedergruppen 

sowie bei beliebigen Polygongruppen 172 

§ 9. Herateilung geschlossener Flächen aus den Discontinuitätsbereichen d^ r 

Polygongruppen 177 

§ 10. Die kanonischen Discontinuitätsbereiche der Polygongruppen 182 

§ 11. Von der Composition der Polygongruppen 190 

§ 12. Einführung der homogenen Substitutionen und Gruppen 194 

§ 13. Die isomorphe Spaltbarkeit bei Polygongruppen ohne secundäre Re- 
lationen 197 

§ 14. Die homogene Gestalt der primären Relation zwischen den Vi, Vaj., Vbi^ 202 



Zweiter Abschnitt. 

Durckführung der geometrischen Theorie der Polygongruppen 
aus ^-Substitutionen. 

Erstes Kapitel. 

Behandlung der Rotationsgruppeu auf Grundlage der normalen 
Discoutiuuitätsbereiche. 

§ 1. Erledigung der elliptischen Rotationsgruppen 211 

§ 2. Die Normalsechsecke der parabolischen Rotationsgruppen 214 

§ 3. Beziehung der Normalsechsecke der parabolischen Rotationsgruppen zur 

Reduction der binären quadratischen Formen 217 

§ 4. Die parabolischen Rotationsgruppen mit elliptischen Substitutionen . . 222 

§ 5. Die parabolischen Rotationsgruppen zweiter Art 224 

§ 6. Fortsetzung: Die parabolischen Rotationsgruppen zweiter Art mit 

elliptischen Substitutionen 228 

§ 7. Die Nichtrotatiousgruppen mit zwei Grenzpunkten 234 

§ 8. Die Gruppen zweiter Art mit zwei Grenzpunkteu 238 

§ ü. Einführung der Normalpolygone für hyperbolische Rotationsgruppen . 241 

§ 10. Untersuchung über die zufälligen Ecken der Normalpolygone .... 245 
§ 11. Die zu den Substitutionen F, F', F" der zufälligen Ecken gehörenden 

Curven C^ 251 

§ 12. Weiteres über die Curvun C.^ der Tripel F, V\ V" 255 

§ 13. Die zu den festen Polygouecken gehörenden Bereiche Q. Der Recipro- 

citätssatz der Normalpolygone 268 

§ 14. Der Gattungsbegriff und die Typeneinteilung der Normalpolygone . . 261 

§ In. Vom Vorkommen der Specialtypen bei der Gattung {p, n) 206 

§ 16. Veränderung der Normalpolygone bei Monodromie der Centren C^ . . 270 
§ 17. Die natürlichen Discontinuitätsbereiche der hyperbolischen liotatious- 

gruppen 275 



XII Tnbalts -Verzeichnis. 

Zweites Kapitel. 

Die kaDOuischen Polygone und die Moduln der hyperbolischen 
Kotationsg^ruppen. 

Seite 

§ 1. Einleitendes. Die kanonischen Polygone der Gattung (0, 3) 285 

§ 2. Die kanonischen Polygone der Gattung (1, 1) als geradlinige Vierecke 288 

§ 3. Allgemeine Gestalt der kanonischen Polygone der Gattung (1, 1) . . . 294 

§ 4. Die Doppel-w-ecke der Gattung (0, n) und deren Transformation. . . 299 
§ 5. Umwandlung der Doppel-w-ecke in kanonische Polygone der Gattung 

{0,n) 305 

§6. Die kanonischen Polygone beliebiger Gattung (/), «) 310 

§ 7. Fortschaffung convexer Winkel am geradlinigen Polygone (p, n) . . . 316 

§ 8. Transformationstheorie der Polygone beliebiger Gattung (p, n) . . . . 320 

§ 9. Fortsetzung: Die Elementartransformationen S**"^ und 4^"^ Art .... 327 

§ 10. Die Invarianten der Substitutionenpaare V^, V.^ 335 

§ 11. Die Moduln j\ , j^, j.^ der kanonischen Polygone (0, 3) 341 

§ 12. System der charakteristischen Bedingungen für die Moduln der Gattung 

(0, 3). Mannigfaltigkeit aller Gruppen (0, 3) 347 

§ 13. Die Moduln und ihre charakteristischen Bedingungen bei der Gattung 

(1, 1). Mannigfaltigkeit der Gruppen (1, 1) 354 

§ 14. Einführung der Moduln der Gattung (0, «). Compositionsbetrachtungen 361 

§ 15. Adjunction von Ji23. ^234» • ■ ■ Relationen für die Moduln (0, n) . . . 365 

§ 16. Weitere Bedingungen für die Moduln der Gattung (0, 71) 370 

§ 17. Das volle System der charakteristischen Bedingungen für die Moduln 

der Gattung (0, w) 377 

§ 18. Mannigfaltigkeit aller Gruppenfamilien der Gattung (0, «) 383 

§ 19. Die charakteristischen Bedingungen und die Mannigfaltigkeit aller 

Gruppen {p, n) 385 

§ 20. Die Transformationen der Modulsysteme und die Modulgruppen der 

einzelnen Gattungen (p, n) 389 

§ 21. Die Modultransformationeu der Gattungen (0, 4) und (1,1) 394 

Drittes Kapitel. 

Betrachtung der Kreisbogenvierecke ohne Uauptkreis und 
Bemerkungen über sonstige Nichtrotationsgruppen. 

§ 1. Geometrische Ableitung der sieben Typen der Kreisbogen Vierecke. . . 399 

§ 2. Die Invarianten ff^^ der Kreisbogenvierecke 405 

§ 3. Die Grenzcurve beim Viereck des ersten Typus mit vier Winkeln null. 

Vorbereitendes 411 

§ 4. Approximative Constructionen der Grenzcurve 415 

§5. Die 4 Punktarten auf der Grenzcurve. Die parabolischen Punkte denselben 418 

§ 6. Fortsetzung: Die hyperbolischen und loxodromischen Punkte der Grenzcurve 424 

§ 7. Die Vierecknetze des zweiten bis sechsten Typus 428 

§ 8. Weitere Beispiele von Nichtrotationsgruppen erster und zweiter Art . 436 



Inhalte -Verzeichnis. XIII 

Dritter Abschnitt. 

Über arithmetische Definitionsweisen eigentlich discontinuierlicher 
Gruppen aus ^-Substitutionen. 

Erstes Kapitel. 

Die Rotationsuutergnippeu innerhalb der Picard'schen Gruppe 
und die zugehürigeu binären quadratischen Formen. 

Seite 

§ 1. Die Gauss'schen Formen und die Modulgruppe 448 

§ 2. Einführung der Dirichlet'schen und Hermite'schen quadratischen Formen 450 

§ 3. Geometrische Deutung der Dirichlet'schen und Hermite'ächen Formen. 454 
§ 4. Behandlung des Aquivalenzproblems bei den definiten Hermite'schen 

Formen 456 

§ 5. Reductionstheorie der Dirichlet'schen Formen 459 

§ 6. Die Transformationen der Dirichlet'schen Formen in sich 464 

§ 7. Reductionstheorie der indefiniten Hermite'schen Formen 467 

§ 8. Die reproducierenden Gruppen der indefiniten Hermite'schen Formen . 471 
§ 9. Die reproducierenden Gruppen der zur Determinante Z) = 5 gehörenden 

Hermite'schen Formen 477 

§ 10. Die reproducierenden Gruppen der zur Determinante D = 7 gehörenden 

Hermite'schen Formen 484 

§ 11. Theorie der Gauss'schen Formen iu projectiv-geometrischer Gestalt. . 491 

§ 12. Die projective Gestalt der Picard'schen Gruppe 494 

§ 13. Theorie der Hermite'schen und Dirichlet'schen Formen m projectiv- 
geometrischer Gestalt 497 

Zweites Kapitel. 

Ton den reproduciereudeu Gruppen ternärer und qnaternärer 
quadratischer Formen. 

§ 1. Ansatz der zu untersuchenden Gruppen und eigentliche Discontinuität 

derselben 502 

§ 2. Äquivalenz und Commensurabilität der reproducierenden Gruppen F. 

und Fy ternärer und quaternärer quadratischer Formen 504 

§ 3. Existenzbeweis der reproducierenden Gruppen der ternären Formen 

f{z^) beider Arten 508 

§ 4. Existenzbeweis der reproducierenden Gruppen der quaternären Formen 

F{z.) 513 

§ 5. Vom Vorkommen elliptischer und parabolischer Substitutionen iu den 

Gruppen F, und F^. 517 

§ 6. Historische Bemerkungen über ternüre und quaternüre Formen. ... 519 
§ 7. Bericht über Selling's Behandlung der teruilreu quadratischen Formen 525 
§ 8. Arithmetische Bildungsgesetze der J- Gruppen /\ der indefiniten Formen 

A^.) &33 

§ 9. Neue Constructionsmethodo des Discontinuitätsbereichs der einzelnen 

Hauptkreisgruppe F, 539 

§ 10. Beispiele reproducierender (iruppen reeller Formen f(e^) . . 546 

§ 11. Fortsetzung: Gegen die Modulgruppe incommensurabele Gruppen [;;, 7, rj 554 



XIV Inhalts -Verzeichnis. 

Seite 

§12. Arithmetisches Bildungsgesetz der J- Gruppen F. bei complexen ter- 

nären Formen f(z-) 56.ö 

§ 13. Beispiele von reproducierenden Polyedergruppen F 569 

§ 14. Über arithmetische Bildungsgesetze bei den reproducierenden Gruppen 

quaternärer Formen F{z^) 577 

§ 15. Beispiel einer reproducierenden Gruppe J"^ 582 

Drittes Kapitel. 

Über eine specielle Art von Hauptkreis- und Polyedergruppen mit 
g&uzen algebraischen Substitutionscoefflcienten. 

§ 1. Definition der Gruppen [p, q, r] bei beliebigem Zahlkörper ß . . . . 586 

§ 2. Verschiedene Erweiterungen der Gruppen [i^, g, r] 688 

§ 3. Hilfssätze aus der Theorie der Einheiten 593 

§ 4. Die Discontinuität der Gruppen \^p, q, r] mit reellen Substitutions- 
coefflcienten 597 

§ 5. Die Discontinuität der Gruppen [p, q, r] mit complexen Substitutions- 
coefflcienten 603 

§ 6. Ansatz der zu behandelnden Hauptkreisgruppen des Charakters (0, 3) . 606 

§ 7. Discussion der drei Bedingungen der eigentlichen Discontinuität . . . 609 
§8. Die zu den ausgesonderten Signaturen (0, 3; 2, l.,, Zg) gehörenden 

Gruppen {_p, q, r^ 611 

§ 9. Beweis der Identität der ausgesonderten Gruppen (0, 3; 2, /„, l.^) mit 

den arithmetisch definierten Gruppen [p, q, r'\ 616 

§ 10. Ansatz der zu behandelnden Hauptkreisgruppen des Charakters (.1, 1). 621 

§ 11. Die Gruppen (1, 1; /) für Z = 4, 5, 6 mit quadratischen Zahlkörpern ß 624 

§ 12. Die Gruppen (1, 1; 2) und (1, 1; 3) mit quadratischen Zahlkörpern ß 628 



Erster Band. 

Die discoiitiiinierlicheii Gruppen linearer Substitutionen einer 

Veränderlichen. 

Unter den Hilfstheorieu, welche die neueste Functiouenlehre für 
ihre Zwecke verwertet, steht die in fast allen Teilen der höheren 
Mathematik sich mehr und mehr Geltung verschatfeude Gruppentheorie 
im Vordergründe. Es erweisen sich namentlich gewisse functionen- 
theoretische Ideenbildungen, die in ihrem ersten Ursprung auf Rie- 
mann zurückgehen und deren Weiterentwicklung eine Hauptaufgabe 
des vorliegenden Werkes ist, den gruppentheoretischen Methoden leicht 
zugänglich. Bei dieser Sachlage wird es nicht überraschen, wenn der 
erste Band der Vorlesungen über die sogen, automorphen Functionen 
einzig den gruppentheoretischen Fundamenten der künftigen Unter- 
suchungen gewidmet ist. Es erschien diese Einteilung um so mehr 
rätlich, als sich die Lehre von den discontinuierlichen Gnqypen linearer 
Siihsfitutionen einer Veränderlichen, welche wir hier zu entwickeln haben, 
in neuester Zeit mehr und mehr zu einer besonderen Disciplin heran- 
gebildet hat, die namentlich auch durch ihre innigen Beziehungen zur 
Geometrie und Zahlentheorie ein selbständiges Interesse für sich in 
Anspruch nimmt. Dabei würde an sich die Inbetrachtnahme auch 
mehrerer Veränderlicher natürlich sein; jedoch beschränken wir uns 
auf den Fall einer Veränderlichen im Hinblick auf die beabsichtigten 
functionentheoretischen Anwendungen. 

Die nachfolgende Darstellung ist durch die „Vorlesungen über das 
Ikosaeder^^ sowie namentlich durch die ^^Vorlesungen über die Theorie 
dn- clli2)tisdien Modul functionen" ''') aufs mannigfachste vorbereitet und 
setzt ihrerseits zumeist die Bekanntschaft mit den grundlegenden Teilen 
dieser Werke beim Leser voraus. Auch historisch hat sich die Theorie 
der automorphen Functionen aus derjenigen der regulären Kiirprr und 

*) Die genannten Werke sind im lolj»enden oiticrt als „Ikos." biv.. „M." l 
und „M.** II unter Angabe der Reitenzahl. 

Fricke- Kloin, Automurpho Fuuctiuuüii. 1. 1 



2 Vorbemerkungen. 

der Modnlfunctionen entwickelt*). Wenigstens ist dieses der Weg, 
den seinerzeit Klein unter Eiutiuss einmal der bekannten Arbeiten 
von Schwarz, andrerseits der beginnenden Publicationen Poincare's 
eingesehlagen hat. Wenn Poincare daneben auch andere Momente 
heranzieht, nämlich die arithmetischen Methoden von Hermite u.a., von 
denen weiter unten ausführlich die Rede sein wird, und die functionen- 
theoretischen Fragestellungen von Fuchs betreffend eindeutige Umkehr 
der Lösungen linearer Differentialgleichungen S**"' Ordnung, so gehen 
eben diese Ansätze ihrerseits doch wieder genau auf dieselben Gedanken- 
kreise zurück, aus denen die Theorien der regulären Körper und der 
elliptischen Modulfunctionen erwachsen sind. 

Bei den gruppentheoretischen Untersuchungen des ersten Bandes 
haben wir häufig Gebrauch von projeetiven Maassbestimmungen in der 
Ebene und im Räume zu machen. Diese Maassbestimmungen hätten 
auch schon in der Theorie der Modulfunctionen verwertet werden 
können, und sie werden hier zu einem notwendigen Hilfsmittel der 
Untersuchung. Es sei erlaubt, einige auf diesen Gegenstand abzielende 
Entwicklungen als eine besondere Einleitung hier vorauszusenden. 

*) Man sehe hierzu die Daratcllung am Abschluss des ersten Bandes von „M". 



Einleitung. 
Entwickluiigeii über ])iM>jective Maassbestiniimm^cn. 

§ 1. Die projectiven Maassbestimmungen in der Ebene und deren 

Arteinteilung. 

Zur Begründung der iu Aussicht genommeueu Maassbestimmungeu 
in der Ebene wählen wir ein System homogener Punktcoordinaten s^, 
Z.2, ^3 aus und nennen die zugehörigen Liniencoordiuateu u\, w^j ic^. 
Es werde alsdann ein Gebilde zweiten Grades iu Puuktcoordinaten 
symbolisch durch f^z = oder explicite durch: 

(1) /■-- = 2«a^.--. = (», i, ^ = 1; 2, 3 

h *•■ 
gegeben, wobei die a^ reelle Coefficienten sein sollen. Die hiermit fest- 
gelegte Curve zweiten Grades wird der Maassbestinimuug iu gleich zu 
bezeichnender Weise als „absolutes Gebilde" zu Grunde gelegt. Auch 
die Gleichung des absoluten Gebildes in Linieucoordinateu: 

(2) cp^,^ = ^aaWiiVk = 0, i, Ic = 1, 2, 3 

kommt sogleich zur Verwendung. 

Sind nun in der Ebene zwei Punkte der Coordinaten Zi = Xi und 
Zi = yi gegeben, so soll definiert werden, was unter Entfernung dieser 
beiden Punkte im Sinne der neuen Maassbestimmung zu verstehen ist. 
Wir verbinden zunächst diese beiden Punkte durch eine Gerade und 
haben als Coordinaten der Punkte dieser Geraden Zi = kXi -\- ^ly,, 
unter X : /tt einen Parameter verstanden. Zwei unter diesen letzteren 
Punkten gehören dem absoluten Gebilde (1) au, und die zugehörigen 
Werte A : ^ des Parameters berechnen sich bekanntlich aus: 

(3) Av;.. + 2/i^/;, + fr7;, = 0, 

wo fj,.,j durch Polarisation aus fxx entsteht. Diese beiden Punkte werden 
mit den beiden gegebenen Punkten Xi, y, ein Quadrupel biKien, dessen 
sogleich niilier anzugebendes Doppelvcrhältnis durch Dx,j bezeichnet 



4 Einleitung. 

sein mag. Uuabhäugig vun der Bedeutung, welche die Bezeichnung 
„Eutfernung der Punkte .r, y" im gewöhulicheji Sinne bereits besitzt, 
wollen wir jetzt als „Enffemimg E{x, y) zweier Punkte Xi und y, im Sinne 
der zu hildeiulen 2>yojecfivcn3Iaasshestimmuny" fohlendes festsetzen: E{x,ii) 
sei definiert als Logarithmus des Doi)iielvc)hältnisses Dxy, multipliciert 
mit einer festgetväJdten constanten Zahl Je: 

(4) Eix,y) = h\o^^D.,. 

Dualistisch entsprechend gestaltet sich die Definition des „Winlcels'' 
W{u,'v) zzvischen zivei Geraden der Coordinaten iüi=Ui und iV; = v,: 

(5) W{u, r) = xlogZ>„,, 

unter x wieder eine fjestgewählte Constante verstanden. Zur Bildung von 
D„c hat mau durch den Schnittpunkt der Geraden U; luid v,- die Tan- 
genten an das absolute Gebilde zu legen, wobei alsdann D„v das 
Doppelverhältnis dieser vier Geraden durch einen Punkt ist. Die be- 
sondere Auswahl der Constanten U und x bedeutet Auswahl der Maass- 
einheit für die Längen- bez. Winkelmessung. Auf den geometrischen 
Sinn der getroffenen Festsetzungen kann hier nicht ausführlich ein- 
gegangen werden; wegen eingehender Monographien vergl. num die 
Nachweise am Schlüsse des Paragraphen. 

Durch Auflösung der Gleichung (3) kann man E{Xj y) explicite 
durch die Gleichung des absoluten Gebildes ausdrücken. Man wähle 
die Doppelverhältnisse unter den jedesmal vorliegenden zwei M<»glich- 
keiten so aus, dass die Entfernung durch: 



f _L ]//-a —ff 
(0) l^{x, y) = l log ■''■' ^ '^/-^— i^'^' 



I xy ' I xy ixxi yy 

der Winkel aber durch: 



(<) W{Uj V) =-x log - 



gegeben wird. Die Auswahl der beiden andern Ausdrücke für die 
JJoppelverhältnisse würde nur einen Zeichenwechsel von E und W im 
(befolge haben. 

Unter den Eigenschaften der Ausdrücke E{x, y) und W(it, v) sei 
hier das Gesetz der Addierbarkeit sowohl für Strecken wie für Winkel 
genannt. Sind z. B. drei Punkte einer Geraden durch ihre Coordinaten 
^ b Vi) ^i gegeben, so gilt die Gleichung: 

Eix,z) = E(x,y) + E(y,z), 

wie aus den Eigenschaften der Doppelverhältnisse mit Rücksicht auf 



Entwicklungen über projective Maaesbestimmungen. 5 

das ßilduugsgesetz der Formeln (O) leicht folgt; J'J und W wurden 
eben deshalb mit LogariUtmm von Doppelverhältuissen proportional 
gesetzt, um diesem Gesetz der Addierbarkeit der Strecken zu genügen. 
Übrigens lieisst die begründete Maassbestimmung eine projcdivc, weil 
die getroffenen Festsetzungen der Methode nach der projeetiven Geo- 
metrie angehören. 

Die Funkte des absoluten Gebildes selbst spielen die Rolle der un- 
endlich fernen Elemente^ und je nach der Natur dieses Gebildes hat 
man verschiedene Arten von projeetiven Maassbestimmungen in der 
Ebene; wir unterscheiden die folgenden Arten: 

1) Die liy))erholisclic Maassbestimmimg, der ein einteilujcr^) (nicht- 
zerfallender) Kegelschnitt als absolutes Gebilde zu Grunde liegt. Wir 
denken denselben in der Coordinatenebeue zweckmässiger Weise als 
Ellipse gezeichnet, was ja bei der projeetiven Natur der Maassbestim- 
mung keine Einschränkung ist. Unsere Betrachtungen erstrecken sich 
zumeist nur auf das Innere der Ellipse, und wir werden die Bezeich- 
nung „hyperbolische Ebene" späterhin geradezu als synonym mit dem 
Ellipseniuneren gebrauchen. 

2) Die elliptische Maassbestimmung, welcher ein nidltciliger Kegel- 
schnitt zu Grunde liegt, d. h. ein Kegelschnitt mit reeller Gleichung 
aber ohne reellen Punkt. Eine Einteilung der (^reellen) Ebene in ver- 
schiedenartige Bereiche tritt hier nicht ein. 

3) Die parabolische Maassbestimmung, welche vorliegt, falls y„. „=U 
ein imaginäres Ptmldeimar dnYsteWt; f\i = liefert dann doppelt zählend 
die reelle Verbindungslinie jener beiden Punkte. Noch specieller wählen 
wir sogleich als Punktepaar (p = die beiden imaginären Kreispunkte 
und erhalten so die elementare Maassbestimmung der gewöhnlichen Geo- 
metrie in unseren allgemeinen Ansatz eingeordnet. Unter parabolischer 
Maassbestimmung schlechthin verstehen wir weiterhin stets die hiermit 
wiedergewonnene Maassbestimmung der Elementargeometrie. 

Will man die hiermit gemachten Angaben analytisch im einzelneu 
verfolgen, so ist es zweckmässig, die nachfolgende Gleichungsform des 
absoluten Gebildes zu benutzen: 
(8) f.. = c(z,' + zJ)-z,^ = 0, 

worauf die Gleichung in Liniencoordinaten: 
(0) <p,„,^ = tVj^ -\- IL\- — Civ.r = (> 

ist. Man hat alsdann den ersten, zu'citcn oder dritten der eben unter- 
schiedenen Fülle, je nachdem c positiv, negativ oder null i^t. llbrigens 

*) Eine ebene Curvo wird n-tcili^ genannt, wenn sie n güschlosBcne reelle 
Züge aufweist. 



6 Einleitung. 

wolle man, um den Fall der elementaren Maassbestimmuug sogleich 
in endgültiger Gestalt zu gewinnen, die von der Auswahl der Maass- 

eiuheit abhängenden Constanten li = = und x = — — setzen. 

° 21/e 2 

Um den Übergang zum elementaren Falle durch einige Formeln zu 
erläutern, so bemerken wir, dass für unendlich kleines e der Ausdruck 
{fxij — fxxfyx]) selbst unendlich klein wird; man berechnet nämlich leicht: 
fl,j — fxxf,j,j = e [{x^y^ — x,yi)- + {x^y^ — x.jj^y] . 

Es nimmt weiter die Formel (6), wenn wir sogleich den gewählten 
Wert Je eintragen, in diesem Falle die Gestalt an: 



E{x, y) = - -- log ( 1 + ^^^V Ax^. A _ _ J^ yf'y f^^^f'ju . 

Ve \ 'xu J Vc txy 

Explicite haben wir demgemäss für lim. e = folgende Definition für E: 



(10) E(X V) = ^^^"'^3 ~ ^33/1)'+ (^ 8 ^8 — •^'8^8)' 

womit wir in der That die Definition der Entfernung in der elementaren 
Geometrie wiedergewonnen haben. Die Behandlung des Ausdrucks für 
W{;u, v) ist insofern noch einfacher, als man hier nicht erst einen 
Grenzübergang für lim. c = zu vollziehen braucht, sondern in den 
Formeln (7) und (9) direct e = setzen darf. 

Die Begründung der projectiven Maassbestimmungen in der vor- 
stehend entwickelten Gestalt verdankt mau Cayley; man vorgl. darüber 
dessen Aufsatz „A sixth memoir lipon quantics" *) und zwar insbesondere 
die Artikel 209 bis 229, welche die Überschrift „On the thcory of 
distanct" tragen. Ausserlich sehen die Cayley'schen Formeln etwas 
anders aus, insofern Cayley zur Definition von Entfernung und Winkel 
nicht den Logarithmus, sondern die Function arccos. braucht. Dies 
hat den Nachteil im Gefolge, dass das Gesetz der Addierbarkeit der 
Strecken und die Beziehung zum Doppelverhältnis nicht so unmittelbar 
in Evidenz tritt. Die Definition des Winkels (der elementaren Maass- 
bestimmung) durch den Logar'dlimus eines Doppelverliültnisscs ist merk- 
würdiger Weise schon lange vor Cayley durch Laguerre gegeben 
worden, nämlich in dessen erst sehr spät hinreichend beachteter Jugend- 
arbeit „Note sur la thcorie des foyers'"^*). Ganz allgemein ist der Lo- 
garithmus in der ersten Arbeit Kl ein' s „Über die sogenannte nicht- 

*) Philosophical TranBactious Bd. 140 pg. 61 ff. (1859) oder „CoUected matLn 
matical papera" ßd. II pg. 561 ff. 

**) Nouvellea Annales de Matböiu. Bd. 12 pg. 154 (1853). 



EntwickluDgcu über projtjctive Maassbeütimmungcu. 7 

euklidische Geometrie"*) gebraucht, in welcher durch besoudere Berück- 
sichtigung der Realitütsverhültuisse die obigen Benennungen „elliptisch" 
etc. eingeführt werden, und in welcher zugleich (was ihr Hauptinteresse 
ist) die Cayley'schen Maassbestimiuuugen als mögliche analytische 
Fundamente für die von Lobatschefski, Bolyai, Kiemaun u. a. ent- 
wickelten neuen nicht -euklidischen Geometrien aufgewiesen werden. 

Von ausführlichen Darstellungen über projective Maassbestini- 
mungen, welche meist auch deren Verhältnis zur nicht- euklidischen 
Geometrie behandeln, seien einmal das 22'*'" Kapitel „Die Metrik und 
die Projcctivität" in Salmon- Fiedler's Kegelschnitten**) genannt, 
ferner die Darstellung von Liudemanu im zweiten Bande der „Vor- 
lesungen über Geometrie von Ä. Clehsch"'^**), vor allem aber das für 
das erste Studium besonders empfehlenswerte Buch von Killin<-' 
„Einfilkruny in die Grundlagen der Geometrie" j), dessen zweiter Ab- 
schnitt von den projectiven Grundlagen handelt. 

Wir betonen noch ausdrücklich, dass die principielle oder meta- 
physische Bedeutung der projectiven Maassbestimmung für die Grund- 
legung der Geometrie für uns im folgenden gar nicht in Betracht 
kommt. Die projectiven Maassbestimmungeu liefern uns vielmehr con- 
crete geometrische Methoden, deren Benutzung uns bei vielen gruppen- 
tbeoretischen Fragen nützlich sein wird. 

§ 2. Die zu einer Maassbestimmung gehörenden Bewegungen und 

symmetrischen Umformungen der Ebene in sich. Die Veränderliche ^ 

im parabolischen Falle. 

Die Entwicklungen des vorigen Paragraphen werden nunmehr mit 
dem Gruppenbegriff in Beziehung gesetzt, wobei es zweckmässig ist, 
diese Beziehung zunächst einzig für die elementare Maassbestimmung 
zu entwickeln. Die „parabolische" Ebene gestattet unendlich viele con- 
gruente Verschiebungen oder (wie wir sagen wollen) „Bewegungen"'^ in 
sich, welche in ihrer Gesamtheit eine sogenannte continnierlicJie Gruppe 
bilden. Diese Gruppe heisst deshalb contiuuierlich, weil ihre Operationen 
ein einziges Continuum bilden, oder weil jede Operation der Gruppe 
in jede andere contiuuierlich überführbar ist, ohne dass sie aufhört, 
der Gruppe anzugehören. Combiuiert man eine einzelne symmetrische 
Umformung oder „Umklaj^pung" der parabolischen Ebene um eine ihrer 

*) Mathematische Annalen M. 4 pg. 673 (1871). 
**) Vierte Aufl., Leipzig (1878) p. 560. 
*♦*) Bd. 2, Teil 1, Leipzig (1891), Absclin. 3. 
t) Bd. 1, Paderborn (18U31 



8 Einleitung. 

Geraden mit der fraglichen Gruppe, so entspringt ein neues Continuum 
von Operationen, das zwar nicht für sich allein, wohl aber zusammen 
mit der Gruppe der Bewegungen eine neue Gruppe, die „eriveitcrtc 
Gruppe" liefert. Wir schliessen uns der Sprechweise in „M." I am 
besten an, wenn wir diese erweiterte Gruppe als eine solche von der 
zicciten Art bezeichnen und ihr die ursprüngliche Gruppe der Be- 
wegungen als eine von der ersten Art gegenüberstellen. Im Sinne 
unserer späteren Unterscheidung der continuierlichen und discontinuier- 
lichen Gruppen könnten wir die vorliegende Gruppe zweiter Art auch 
als eine gemisclite Gruppe bezeichnen; doch werden wir diese Be- 
nennung weiterhin kaum brauchen. 

Entfernung zweier Punkte und Winkel zweier Geraden der para- 
bolischen Ebene sind Invarianten sowohl der continuierlichen Gruppe 
der Bewegungen als auch der Gruppe zweiter Art. Will man für 
diesen Satz die analytische Ausdrucksform finden, so hat man vorerst 
die Operationen der beiden Gruppen durch Formeln in den Coordinateu 
2i darzustellen. Hier ist es nun für alles folgende von grösster Wichtig- 
keit, dass sich die fraglichen Formeln einfacher angeben lassen, falls 
tvir die Vcrliältnisse der drei reellen homogenen Coordinateu Zi in geivisscr ' 
Weise durch eine einzige complexe Variahele t, ersetzen. 

Wir führen nämlich hier im parabolischen Falle statt der Zi zu- 
vörderst rechtwinklige Cartesische Coordinateu ^, >; durch die Gleichung 

g : t? : 1 = ^1 : ^2 = % 
ein, um sodann unter der Substitution t, = ^ -{- i)] die Ebene des ' 
rechtwinkligen (Koordinatensystems zugleich als Ebene der complexeu 
Variabel en t, zu definieren. Es ist also zu schreiben: 

(1) g = '-^t-^, 

worauf der Ausatz des vorigen Paragraphen direct die elementaren ] 
Maassverhältnisse in der g-Ebene ergiebt. 

Unter Benutzung der in „M." I verabredeten Sprechweise*) werden 
wir jetzt die Bewegungen der ^-Ebene in sich als Operationen erster 
Art bezeichnen und die in der Gruppe zweiter Art hinzukommenden 
Operationen als solche von der zweiten Art benennen können. In der 
That werden jene Operationen durch die linearen 5- Substitutionen 
erster Art: 

(2) r = e'''^ + c- 

geliefert, diese aber von den Substitutionen zweiter Art: 



•) Vergl. hier uud weiterhin „M.'- I pg. 163 tt'. 



Entwicklungen über projective Maaesbebtimmungen. 9 

(3) r=6''''^ + c, 

wo ^ der zu ^ conjugierte Wert ist und auch in der letzten Funiud 
der Übergang von ^ zu ^' gemeint ist; es bedeutet dabei d- einen reellen 
Winkel und c eine coniplexe Constante. Die Substitutionen (i') stellen 
directe „Kreisvervvandtschaften" dar und sind übrigens ellij)tisclie oder 
parabolische Substitutionen mit dem „Fixpunkt" ^ = oo, wie man auf 
Grund der soeben citierten Entwicklungen aus „M." I ohne Mühe fest- 
stellen wird. Die Substitutionen (3) liefern indireete Kreisverwandtschaf- 
ten, und wir können ihre Gesamtheit aus der Gruppe der ersten Art etwa 
durch Combinieruug derselben mit der Operation t,'= — ^ (der Spiegelung 
im der imaginären 2;-Axe) herstellen. Bei dem elementaren Charakter 
der hier vorliegenden Verhältnisse ist es nicht erforderlich, die Invarianz 
von Entfernung und Winkel gegenüber den Operationen (2) und (3) 
noch ausführlich analytisch darzuthun. — 

Wiegen der gleich durchzuführenden Verallgemeinerung unserer 
Überlegung auf die hyperbolischen und elliptischen Fälle sind die vor- 
stehenden Erörterungen unter Rückgang auf die^j, ^.,, ^-3 im Sinne der 
allgemeinen projectiven Geometrie aufzufassen. 

Was zuvörderst die Einführung von t, anlangt, so schreiben wir 
die Gleichung (1) und die entsprechende Gleichung für den conjugierten 
Wert ^ in der folgenden Gestalt: 

(4) 2, + iz, — tz, = 0, z,- i:, — i:, = 

und wollen diese Gleichungen nun wieder in der projectiven Ebene 
der Coordinaten Zi deuten. Hier spielen t, und t, die Holle der Para- 
meter zweier Geradenhiisehel, deren Centren die beiden imaginären Krcis- 
imnläc sind; in der That sind die Coordinaten der letzteren gegeben 
durch : 
{r>) Zi + iz., = , z.^ = 0. 

Sehen wir die Zi für den Augenblick als couiplcxc Vorändt'rliche an, so 
kann ein beliebiger Punkt der so erweiterten Coordinatenebcne durch 
ein Paar coraplexer Werte der als nnahliüngiy von einander zu denkenden 
Parameter ^ und t, eindeutig gegeben werden, nämlich auf Grund der 
Gleichung: 

«;) z,:z,'.z,^{l+'^):i{i-t):-2. 

Die Beziehung zwischen den z, und t, können wir nun m (.-ino neue 
geometrische Formulierung kleiden; wir werden nämlicii die letzten 
Gleichungen dahin di'uten, dass ein I'iodd der Coordinafcnchcnc der com- 
plexai Zi durch <li<j(iiit/(^n hcidni Varameter 5, t, (jegchcn wird, wclclic deti 



10 Einleitung. 

von ihm nach den Kreispioillm siehenden Geraden snydiören. Dabei be- 
kommen die unendlich fernen Elemente der Ebene alle dieselben zwei 
Parameter, nämlich ^=00 und t, =00. Innerhalb der so gewonnenen 
Erweiterung unseres Ansatzes, an welcher mau für später festhalte, ist 
alsdann der Jxüclgang zu den PunJcten der reellen Coordinatenebene dadurch 

zu vollziehen, dnss man ^ und t, ivieder conjuyicrt complex wählt. Doch 
halte man auch für diese reellen Punkte an der eben zuvor gegebenen 
geometrischen. Bedeutung von ^ als Büschelparameter fest. 

Um die Substitution (2) projectiv aufzufassen, genügt es, die reelle 
Coordinatenebene allein in Betracht zu ziehen*). Wir setzen c= a-f- < 6 
und trennen Reelles vom Imaginären: 

^' = ^ • cos 0- — n] • sin -9- + « , tj' = ^ • sin d- -\- t] ■ cos d- -\- h , 
was sich für die z^, z^, -3 umschreibt in: 

[„-,' = cos d' ■ Zi — sin -d- • z.^ + «*3> 
C^) \ Z2' = sin ■^ • Zi -f- cos d' ■ Z2 -{- hz^, 

Wir können diese ternäre Substitution als eine Collineation ansehen, 
welche die beiden Kreispunkte (und zwar jeden einzeln) in sich trans- 
formiert. Zugleich haben wir in (7) die allgemeinste Oj)eration dieser 
Art vor uns, welche die Eigenschaft hat, die zur Maassbestimmung 
gehörenden Ausdrücke E {x, y) und W{n,v) als Invarianten zu be- 
sitzen. Man bestätigt dies ohne Mühe durch Rechnung auf Grund der 
in (5) angegebenen Coordinaten der Kreispunkte sowie des Ausdrucks 

*) Wollten wir auch hier noch an der Vorstellung beliebig complexer 2- und 
damit von einander unabhängiger f, J festhalten, so wäre die eine Substitution 
(2) des Textes durch das .Substitutionspaar: 

t'^c'^'t+c, i' = C'^'J + C 

EU ersetzen, wobei 'S", -ö-, c, c vier beliebige complexe Grössen sind. An Stelle der 
sogleich im Texte unter (7) zu gebenden ternäreu Substitution würde alsdann die 
allgemeinere treten: 



.»' 



, ^ ' + c'''' . c-c 



' 2t ' ' 2 * ' 2t 

Der Übergang zur Substitution (7) des Textes vollzieht sich von hieraus dadurch, 
dass %• nun im speciellen einen reellen Winkel bedeutet und 9 = — -S' ist, während 
andrerseits c und c conjiigiert complex sein solleu. 



Entwicklungen über piojectivc Maassbestimmungen. H 

(10) pg. f) für die Entlernung iJ(x, y). Die Substitution t,' = — ^ 
liefert in demselben Sinne die terniire Substitution Si= — 5,, ^./=r«, 
z.^' = ^3 oder besser: 

(8) s^' = z, , z.;= - z., , z.; = - z,, 

(1. h. eine Collineation, welche im übrigen durchaus die Eigenschaften 
der Collineation (7) teilt, nur dass sie die Kreispunkte vertauscht. 
Fassen wir zusammen, so kommt: Die Griip2)e ziveifer Art aller Bc- 
loegungen, symmetrischen Umformungen u. s. iv. der parabolischen Ebene 
in sich ivircl geliefert von den gesamten Collineationen , ivclche das absolute 
Gebilde der Maassbestimmnng (das Paar der imagniüren Kreispunlde) in 
sich transformieren und die ÄnsdrücJce E und W zu Invarianten haben; 
der Gruppe erster Art speciell entsprechen diejenigen unter diesen Colli- 
neationen, tvelche jeden der KreispiinJcfe einzeln in sich überführen. — 

Die so entwickelten Anschauungsweisen sind leicht der Verall- 
gemeinerung auf die Fälle hyperbolischer und elliptischer Maass- 
bestimmungen fähig. Für die Veränderliche ^ muss man an die Para- 
meterdarstellung für die Punkte und Tangenten des Kegelschnitts an- 
knüpfen; doch verlangt dies eine besondere Betrachtung, die wir gleich 
ausführen. Ganz unmittelbar aber ergeben sich folgende Überlegungen: 

Die zu einer projectiven Maassbestimmung gehörenden „Be- 
wegungen" der Ebene in sich werden sich als reelle Collineationen 
dieser Ebene in sich darstellen; denn bei den „Bewegungen" gehen 
nicht nur die reellen Punkte sondern auch die reellen geraden Linien 
immer jeweils wieder in ebensolche über. Bei diesen reellen Colli- 
neationen wird aber der absolute Kegelschnitt in sich übergehen; denn 
die „unendlich fernen Elemente" gehen bei den „Bewegungen" in 
sich über. 

Nun bilden die gesamten reellen Collineationen des absoluten 
Kegelschnitts in sich eine Gruppe von oc^ Operationen; denn ein Kegel- 
schnitt hat 5, eine reelle Collineation 8 Avesentliche Constanten, und 
alle eigentlichen Kegelschnitte sind collinear. Gegenüber allin diesen 
X)'' Operationen sind die zur Maassbestimmung gehörenden Ausdrücke 
K{x, y) und W(i(, v) Invarianten; denn dies geht aus der projectiven 
Definition dieser Ausdrücke ohne weiteres hervor. Die Frage aber, 
ob diese oo^ Collineationen durchweg „Bewegungen" vorstellen oder 
nicht, werden wir im folgenden wichtigen Satze beantwortet finden: 
Im Falle der hyperbolischen ^faassbcstimmting ist die Gruppe aller cv"* 
reellen Collineationen des absoluloi Kegelschnitts in sich eine Gru2}i)€ 
zweiter Art; sie besteht aus zwei continuicrlirhcn Schaaren von Oiycrn- 
tionen, und diejenigen der ersten Art coincidieren gerade mit den gesamten 



12 Einleitung. 

.jBewegungm" , ivährcnd ihr Znsatz der symmetrischen Umformungen zur 
::ivcitai Schaar hinführt. Im elliplischcn Falle ist hiin/cyen die Gesamt- 
ijrnppc der frayliehcn ColUneationeti dirccl von der ersten Art und liefert 
(jenaii die eine continuierliche Schaar aller ..Betvegungen"'. 

Der Nachweis dieses Satzes soll dadurch geführt werden, dass wir 
die iu Rede stehenden Collineatiouen durch ternäre ^;,- Substitutionen 
analytisch darstellen. Um dies aber in einfachster Weise auszuführen, 
müssen wir die Veränderliche ^ im Falle der hyperbolischen und 
ellipti.schen Maassbestinimung näher in Discussion ziehen, \\as im fol- 
genden Paragraphen geschehen soll. — 

Die oben entwickelte projective Auffassung der complexeu Varia- 
belen t und damit der gewöhnlichen Gauss'schen Ebene der complexeu 
Variabelen iindet sich zuerst bei v. St au dt; man sehe darüber die 
Staudt'schen „Beiträge zur Geometrie der Lage' xVrt. 410*). 

Die Bewegungsgruppen, zu denen wir hier geführt wurden, sind 
wichtige Beispiele für die allgemeine Theorie der continuierlichen 
Transformationsgruppen, die im Laufe der letzten Jahrzehnte durcii 
Lie und seine Schüler entwickelt wurde. Neben zahlreichen Special- 
arboiten Lie's hat diese Theorie vor allem iu dem dreibändigen Werke 
./Theorie der Transformatiousgruppoi" *'^') von Lie und Engel, ferner 
iu den von Scheffers herausgegebenen akademischen Vorlesungen Lie's 
über Ditterentialgleichungen sowie über continuierliche Gruppen ***) 
ausführliche Darstellungen gefunden. Zu Beginn des nächsten Kapitels 
werden wir nochmals Gelegenheit haben, auf den Begriff der conti- 
nuierlichen Gruppen zurückzukommen. Übrigens ist dieser Begriff, so- 
weit es sich um Bewegungsgruppen handelt, nicht erst von Lie ein- 
geführt; so z, B. wird mit continuierlichen Gruppen dieser Art in der 
früheren Arbeit von 0. Jordan .,Memoire siir Ics groupcs de mouve- 
mcnts" t) iu ausgedehnter Weise gearbeitet. 

§ 3, Aufstellung aller Collineationen des Kegelschnitts ^^i^r^ — ^^'^ -=^ 
in sich. Verhalten des zugehörigen ^. 

Der Kegelschnitt, dessen Collineationen in sich hier aufgestellt 
werden sollen, möge jetzt durch die Gleichung: 
(1) /;, = ;:,-, -V'-O 

gegeben sein. Hierdurch ist im reellen Coordinatensystem der ä', ein 

*) Nürnberg, 1856 bis 1860. 
**) Loi|)zig (1888 bis 1893). 
***) Leipzig (1891 uiul 1893). 

t) Anuali di mateniatica, 2to Folge, Bd. 2 (1868). 



Entwicklungen über iirojective Maasäbeätimmun<^en. 13 

einteiliger Kegelschnitt dargestellt*, doch kann man durch eine gewisse 
imaginäre Transformation (die wir später ausführen) zu der einfachsten 
Gleichungsform eines nullteiligeu Kegelschnitts gelangen. Auch lässt 
sich im speciellen die in (8) pg. 5 empfohlene Gleichuugsform durch eine 
einfache Transformation erreichen. Um hier aber beide Fälle (sowohl 
den hyperbolischen als den elliptischen) vorzubereiten, werden wir zu- 
vörderst alle Colliueatiouen des Kegelschnitts (1) in sich, d. h. sowohl 
die reellen als diejenigen mit complexen Coefficienten, ableiten müssen. 
Es werden demnach auch die z^, z.,, z.-^ im vorliegenden Paragraphen 
als complexe Variabele angesehen. 

Um die vorgelegte Aufgabe in einfachster Weise zu lösen, macheu 
wir Gebrauch von dem veränderlichen Tarameter %, in welchem die 
Coordinaten der Punkte des Kegelschnitts sich rational darstellen 
lassen. Wir definieren ^ für die Punkte des Kegelschnitts durch: 

(2) z,^z,^z, = f^l^.\ 

und müssen im Sinne der gerade getroffenen Verabredung ^ als com- 
pZ<?:re' Variabele ansehen. Übrigens wolle man schon hier bemerken, 
dass die Veränderliche t, in projectiver Auffassung genau dieselbe 
Rolle spielt, wie das t, der parabolischen Maassbestimmung im vorigen 
Paragraphen. Man hat nur nötig, den Wert ^ nicht nur dem einzelnen 
Punkte, sondern auch der ihm zugehörigen Tangente zuzmveisen. Degene- 
riert nun der Kegelschnitt als Liniengebilde in das Paar der Kreispunkte, 
so bleibt nur die letztere Interpretation von t, in Kraft, und wir 
werden direct zum Parameter des von dem einen oder anderen Kreis- 
punkte auslaufenden Geradenbüschels zurückgeführt. Auch der weitere 
Gebrauch von t, im hyperbolischen und elliptischen Falle wird dem- 
jenigen des parabolischen Falles genau analog sein. 

Indem wir jetzt kurz von einem Punkte t, des Kegelschnitts 
sprechen können, wird die Tangeute in einem solchen durch: 

(3) z,-n^,+ ^'z,= 

gegeben sein, die Verbindungslinie zweier Punkte t. und ^ aber durch: 

(4) z,-z,{l+^) + z.M=^- 

Das der Gleichung (1) zu Grunde liegende Coordinatensysteni l)esteht 
aus zwei Tangenten des Kegelschnitts und der Verbindungslinie ihrer 
Berührungspunkte. Soll demnach der Kegelschnitt durch eine CoUi- 
neation in sich selbst übergehen, so werden die erste und dritte Seite 
des neuen Coordinatendreiecks wieder Taugenten, die zweite aber die 
Verbindungslinie der Herülirungsi)unkle sein. Sind die n«'uen lierührungs- 
punkte durch t, uiul ^ gegeben, so wird sich die fragliche Colliueation 
mit Hülfe von Constanten a, h, c in der Gestalt: 



14 Einleitung. 

(5) ;^2'=&(^l-(e 4-0^2 + 5^^3), 

darstellen müssen. Da zufolge dieses Ansatzes: 

ist, und da andrerseits doch {Zi^i — ^2'^) bis auf einen Factor gleich 
(ir, r.j — z.^) sein muss, so folgt c == h''a~^. Eine weitere Einschränkung 
lindet nicht statt, d. h. wir haben in (5), sobald c durch seinen Wert 
h^a~^ ersetzt wird, die allgemeinste Collineation des Kegelschnitts (1) 
in sich; in der That bestätigt mau leicht durch Rechnung die Relation: 

(0) ^x - ,;-^ = h\i - 0\z,z, - zi). 

Um die Gleichungsform unserer CoUiueation etwas symmetrischer 
zu gestalten, führen wir neue Coustanten a, ß, y, d durch die Fest- 
setzungen ein: 

ya ya 

Daraufhin cntsprimjt als allgemeinste reelle oder imaginäre Collineation 
des Kegelschnitts (1) m sich: 

j z;=a'z^ + 2aßz,-j-ß'z„ 

(7) z:= ayz, + (ad + ßy)z, + ßöz„ 
I z.;=fz, + 2yöz., 4- Ö''z,„ 

und Gleichung (6) geht über in 

(8) z^z^ — zP = (ad - ßyfiz^z^ - zi). 

Die oben stillschweigend gemachte Annahme, dass ^ und ^' von einander 
verschieden sind, und dass h nicht verschwindet, kleiden wir nun in 
die ausdrücklich zu formulierende Bedingung, dass {ad — ßy) von mdl 
vci-schicdcn sein muss: 
00 ad-ßy'^0- 

im übrigen aber bedeuten die a, ß, y, d hier hcliehige complexe Con- 
stantc. Einen besonderen Proportioualitätsfactor brauchen wir in die 
linken Seiten der Gleichungen (7) nicbt aufzunehmen, da es offenbar 
erlaubt ist, die a, /3, y, ö zugleich mit einem beliebigen Factor zu 
versehen. 

Es ist wichtig, sogleich festzustellen, wie sich der Parameter t, 
bei Ausübung der Collineation (7) verhält. Indem man die beiden 
ersten Formeln (7) durch einander dividiert und die Quotienten der 
Zi und z! durch don ursprünglichen und transformierten Parameter t, 



Entwicklungon über iirojcctive iMaiissbostimniun^^'en. 15 

und ^' ausdrückt, liisst sich auf der rechten Seite der entspringenden 
Gleichung im Zähler und Nenner der Factor {cc^ -{- ß) fortheben. Es 
ergiebt sich alsdann das einfache, aber äusserst folgenreiche Resultat: 
Der Parameter l erfährt der Collineation (7) entsprechend seinerseits die 
lineare Substitution : 

d. h. die allgemeinste lineare Suhstitution einer von mdl verschiedenen 
Determinante (ad — ßy). 

Auf das Bestehen der Relation (10) hätte man aus der eindeutigen 
und algebraischen Beziehung der Veränderlichen ^, t,' auf Grund be- 
kannter functioueutheoretischer Sätze auch direct schliessen und von 
da rückwärts die Formeln (7) ableiten können. Doch wurde dieser 
der gerade vorliegenden Untersuchungsmethode fremdartige Gedanken- 
gang mit Absicht vermieden. 

Das Problem, die linearen Transformationen einer ternären quadra- 
tischen Form in sich anzugeben, ist mit Ausführlichkeit zuerst von 
Hermite und Cayley behandelt. Die betreffenden Untersuchungen 
Hermite's finden sich in der Abhandlung „Sur la theorie des formcs 
quadratiques^' (premier memoire)*), diejenige Cayley 's in dem Aufsatze 
„Sur la transformation d'ime fonction quadratique en elle-mcme par des 
sid)stitutions lineaires"**). Doch bieten diese Abhandlungen sowohl mit 
Rücksicht auf die grosse Allgemeinheit ihrer Ansätze, sowie auch in 
Ansehung der weiter mit ihnen befolgten Zwecke zu den voraufgehen- 
den Entwicklungen nur wenig Berührungspunkte. Wir beziehen uns 
deshalb auch nicht auf die ausgedehnte weitere hier sich anschliessende 
Litteratur. Die mit unserem Gegenstande zusammenhängenden Unter- 
suchungen von Eni er sowie eine Notiz von Gauss werden passender 
im nächsten Paragraphen genannt. 

§ 4. Die Gruppe der „Bewegungen und symmetrischen Umformungen" 
für die hyperbolische und elliptische Ebene. 

Aus den aufgestellten Collineationen, deren Cocflicienten beliebig 
coinplex sind, haben wir nun diejenigen besonders auszuschalten, welche 
im Sinne der projectiveu Maassbestimmung entweder direct eine Be- 
wegung oder eine Bewegung corabiniert mit einer symmetrischen Um- 
i'ormun2 darstellen. 



*) CroUe's Journal Bd. 47 pg. .'{07 (1^5:1). 
'**) Crello'fl Journal Hd. 50 i.ir. -288 (1855). 



IQ Einleitung. 

Im Falle der hjperholi sehen Maassbestimmuug ist dies sehr einfach. 
Hier ist nämlich die den reellen Werten z^, z.,, z.^ entsprechende Coor- 
dinatenebene direct diejenige Ebene, auf welche sich die projective 
Maassbestimmung bezieht; insofern ja die Gleichung z^^z.^ — ^/ = 0, 
nur für reelle Werte z-, gedeutet, einen einteiligen Kegelschnitt liefert. 
Nach § 2 besteht nun die gewünschte Gruppe aus allen reellen Colli- 
neationen (7) pg. 14. Eine solche CoUineation liegt aber vor, wenn die 
neun Coefticienten in (7)pg. 14 reell sind; und dies wiederum ist stets 
und nur dann der Fall, wenn die vier Zahlen a, ß, y, ö reelle Quoti- 
enten besitzen. Unter diesen Zahlen dürfen wir aber eine (nicht-ver- 
schwindende) willkürlich wählen; wir werden sie selbst reell aussuchen 
und haben dann den Satz, dass die gesuchte Gruppe aus allen ternären 
Suhstltutionen, (7) pg. 14 mit vier reellen Zahlen «, ß, y, d einer von mdl 
verschiedenen Determinante {ad — ßy) besteht. 

Die so gewonnene Gruppe ist in der That, wie schon oben (pg. 11) 
bemerkt, eine Gruppe der ziceiten Art, denn sie besteht aus zivei con- 
tinuierlichen Schaaren von Operationen, welche sich durch das Vor- 
zeichen der Determinanten {aÖ — ßy) von einander unterscheiden. Voji 
der „ersten Art" sind die Substitutionen mit positiven Determinanten 
{aö — ßy), welche für sich genommen eine Gruppe bilden, da sich 
bei Combiuation zweier Substitutionen ihre Determinanten multi- 
plicierou. Zugleich aber stellen diese Substitutionen erster Art ein 
Continuum dar, dem auch die identische Substitution angehört: dir 
Snhstitutimien positiver Determinante bilden für sich genommen die Gruppe 
der Beivegumjen der hyperbolischen Ebene. Die Gesamtgruppe der zweiten 
Art werden wir von hieraus etwa durch Zusatz der einzelnen Operation: 

(1) ^l'=~l, ^t = — h, h=^-6 

erzeugen, welche «= 1,* d= — 1, /i = y = M und also negative 
Determinante {ccö — ßy) hat, und welche andrerseits ersichtlich die 
symmetrische Umformung der hyperbolischen Ebene (des Ellipsen- 
inneren) an der Geraden z.^ = vorstellt. Weitere geometrische 
Erörterungen über unsere Gruppe folgen unten. Dass wir übrigens 
od^ Bewegungen erhalten, wie schon oben auf anderem Wege abgeleitet 
wurde, ergiebt sich nun dadurch, dass wir dreifach unendlich viele 
(Quotienten a : ß : y : ö der vier reellen Grössen «, ß, y, Ö haben. - 

Ein wenig umständlicher ist die Einzeldiscussion für den Fall der 
elliptischen Maassbestimmung. Indem wir der Deutlichkeit halber die 
neue Bezeichnung .r, , a:.,, x. für die reellen Coordinaten der elliptischen 
Ebene anwenden, stellen wir im Anschluss an die pg. 5 unter (8) 
empfohlene Gleichungsform das absolute Gebilde durch: 



Entwicklungen über projective Maassbestimniuiigen, 17 

(2) /;. = x;' + x^ + x,^ = 

dar, womit in der That eiue nullteilige Curve zweiten Grades gegeben 
ist. Diese Gleichung geht aus Gleichung (1) pg. 12 durch die 
imaginäre Transformation : 

(b) Z^ = X^ -j- IX.^, ^2 = 1X2, Z^ = Xy IX^ 

hervor. Durch Einführung der neuen Variabelen Xi in die Substitution (7) 
pg. 14 entspringt als allgemeinste, d. h. reelle oder complexe Gleichungs- 
form der Collineationen der Curve (2) in sich: 

x;=l(c^-{-^-\-f + d')x,-{-i(ccß-\-yd)x2-hi{a'-ß'-^f-d')x„ 
(A) X2 = -i{ay-^ßd)x,-{-{ad + ßr)x,-\-iay-ßd)x,, 

x.;=-i(a'-j-ß'-f-d-')x, + {aß-yd)x2-\-l{a'-ß-'-f+d-^)x,. 

Es gilt nun, die u, ß, y, d in der allgemeinsten Weise so zu be- 
stimmen, dass in (4) eine reelle Collineation vorliegt. Es müssen zu 
diesem Ende die Quotienten der neun Coefficienten in (4) reell aus- 
fallen. Doch dürfen wir auch direet die Realität der neun Coefficienten 
in (4) fordern, da solches ja andrenfalls durch Behaftung aller Coeffi- 
cienten mit einem gemeinsamen Factor stets zu erreichen ist. Man 
setze nun ausführlich: 

tt = a -{- ih, ß = c -\- id, y = e -\- if, d = (/ -{- ih 

und bezeichne übrigens für die nachfolgende Discussion die Substitution 
(4) abgekürzt durch: 

Xk = cik iXi + ak-2X.> -f aksXi. 

Wir bringen nun zuvörderst die Realität der Coefficienten a,j, 
«33, a,.j, rt.ji zur Verwendung; es ist hierfür hinreichend und notwendig, 
dass a^ -{- d' und ß" -\- y" reelle, «" — Ö" und ß- — y' aber rein 
imaginäre Grössen sind. Es ergeben sich hieraus für die beiden Zalileu 
a und d die Gleichungen: 

g' — //- = a' — 6"'', gh = — ah. 

Durch Auflösung nach g und //, sowie entsprechende Behandlung von 
ß und y folgt: 

(ö) "^ = + ^ dz *^'> ?^ = dz ^ i ^'^ 

womit zunächst sechzehn verschiedene Fälle gegeben sind. 

Von diesen sechzelin Möglichkoitcn kommt schliesslicli nur eine 
einzige zur Geltung, nämlich: 

(G) d = n — ih, y = — c -\- iil, 

wie man durch Einzeldiscussion der sechzelin Fälle zu zeigen hat. 

J"'ri c k c - K I (' i II , Aulomnriilir l''mii tiniicn. l. 2 



18 Einleitung. 

Nehmen wir z. B. a = d, ß = y, so benutze man die Realität von 
«12 und 0^2 5 ^i^s liefert: 

ah -\- cd = 0, ac — hd = 0, 
Gleichungen, die mit einander combiiiiert (c^ + V^)d = ergeben. Es 
ist also entweder h = c = oder d = und dann auch a = 0. Im 
ersten Falle ist: 

a = «, ß = Id, y = id, 8 = a, 
im zweiten hingegen: 

a = ib, ß = c, y = (^7 ^ = i^' 

Das erste Wertsystem subsumiert sich direct unter den Ansatz (6), 
das zweite, nachdem' wir a, /3, y, d mit dem gemeinsamen Factor i 
versehen haben; der Zusatz des Factors i aber beeinträchtigt die 
Realität der Coefficienten in (4) nicht. Ist zweitens etwa 8 = a, 
y = c — id , so fordere man die Realität von 0,3, welche nur mit 
einem rein imaginären cc verträglich ist. Somit ist nun: 
a = 8 •= ib^ ß = c -\- id, y = c — uZ, 
worauf die Erweiterung mit i wieder zum Ansatz (6) hinführt. Ent- 
sprechend erledigen sich die übrigen Fälle. 

Es ist hiermit das folgende Resultat gewonnen: Die Substitution 
(4) liefert die allgemeinste reelle Collineatimi, ivenn 8 und a conjugiert 
complexe Zahlen sind und dasselbe von — y und ß gilt: 

(7) tt = a -\- ib, 8 = a — ib, ß = c -\- id, y = — c -f- id\ 
jedoch ist im Änschluss an die Gleichung: 

(8) a8 - ßy = a^ -[-W ■\- c' + d^ 

noch u-eiter zu fordern, dass die vier reellen Zahlen a, b, c, d nicht zu- 
gleich verschwinden. Dass hier alle Determinanten {a8 — ßy) positiv 
ausfallen, ist keine Besonderheit; versehen wir, was ja erlaubt ist, 
die a, ß, y, 8 durchgehends mit dem gemeinsamen Factor i, so ent- 
springen lauter negative Determinanten. 

Die Gruppe, welche wir hiermit gewonnen haben, ist nun, wie 
schon oben im voraus bemerkt wurde, in der That eine continuierliche. 
Denn während im hyperbolischen Falle die Collineationen mit 
u8 — /Sy > und die mit a8 — ßy <C0 als verschieden neben ein- 
ander betrachtet werden mussten, gewinnen wir gegenwärtig bereits für 
a8 — /3y > sämtliche Collineationen; zugleich ist aus der freien Ver- 
änderlichkeit von a, b, c, d evident, dass alle Substitutionen zu einem 
Continuum gehören. Auf den geometrischen Sinn, welchen diese be- 
merkenswerte Verschiedenheit zwischen dem elliptischen und hyper- 
bolischen Falk' hat, wird woitor unten eingegangen. 



Entwicklungen über projective Maaasbestimmungon. l'.l 

Die Hauptformeln des vorliegenden Paragraphen sind seit lange 
bekannt und oft zur Verwendung gebracht. Einmal nämlich spielt 
das Formelsystem (7) pg. 14, welches wir hier für reelle a, ß, y, Ö zu 
bilden hatten, in der arithmetischen Theorie der binären quadratischen 
Formen eine bekannte wichtige Rolle, indem es den Übergang von 
einer quadratischen Form zu einer mit ihr äquivalenten Form ver- 
mittelt. Man vergleiche hierzu etwa die „Disqiiisitiones aritJtmeticae" 
von Gauss, z. B. den Artikel 157 derselben. Besonders reichhaltig aber 
ist die Geschichte des Formelsystems (4) pg. 17, das in dieser oder doch 
in einer unwesentlich davon verschiedenen Gestalt von zahlreichen 
Autoren bei Untersuchungen über orthogonale Substitutionen und über 
die JDrehungen eines festen Körpers um einen Punkt benutzt wurde. 
Dass die Drehungen eines Körpers um einen festen Punkt hier in 
Beziehung zur elliptischen Maassbestimmung der Ebene treten, wird 
nicht überraschen; in der That ist ja die Maassbestimmung, welche 
die Elementargeometrie im Strahlbündel benutzt, eine elliptische, 
welcher der nullteilige Kegel vom Centrum des Strahlbündels nach 
dem Kugelkreise als absolutes Gebilde zu Grunde liegt. Diese 
Maassbestimmung im Strahlbündel ist geradezu das einfachste Beispiel 
einer elliptischen Maassbestimmung, übrigens sind hier zuerst zwei 
Untersuchungen von Euler*) zu nennen, in deren erster die gegen- 
wärtig als orthogonal bezefchneten Substitutionen betrachtet werden; 
Euler giebt daselbst die ternäre orthogonale Substitution im wesent- 
lichen in der Gestalt (4) pg. 17 an. In der zweiten Abhandlung 
beschäftigt sich Euler mit der Drehung eines dreiaxigen Coordi- 
natensystems um seinen Nullpunkt, ein Gegenstand, auf den wir 
gleich zurückkommen. Aus den hierbei entwickelten Formeln Euler's 
leitete späterhin Rodrigues in einer Abhandlung „Des lois gvomc- 
triques, qui regissent les dcplacements d'un Systeme solide'^ **) das 
Coefficientenschema (4) wieder ab. Andrerseits sehe man die Arbeiten 
Cayley's über orthogonale Substitutionen zumal in dem Aufsatze 
„Sur quelques proprietcs des determinants gaiiches"***), sowie wegen der 
Beziehung zur Quaternionentheorie auch die frühere Notiz „Ou certain 
rcsnlts rclating to quaternions'''l). Diesen interessanten Zusammenhang 
mit Hamilton's Quaternionen können wir hier leider nicht genauer 
verfolgen. Dass die Bewegungen und Umlegungen der elliptischen Ebene 
in sich eine einzige continuierliche Gruppe bilden, ist von Study im 

*) Novae Comnientationes Petropolitanae, Bd. 15 pg. 75 iiiul Hd. -ü pg. '217. 
**) Lioiiville's Journal, s^rie I, Bd. 5 pg. 405. 
*'*) Crelle's Journal, Bd. 32 pg. 119 (1846). 
t) Pliilosopbicnl niaga/ino, Bd. 2G pg. 141 (1845). 



20 Einleitung. 

Verlaufe der Arbeit: „Von den Bewegungen und Umlegungen^'*), 
nämlich in I § 13, klargestellt worden; wir kommen hierauf noch 
wiederholt zurück. 

§ f). Allgemeine Definition der ^ -Werte für die Punkte der 
projeetiven Ebene. 

Indem wir auf die Voraussetzungen und Resultate des § 3 hier 
aufs neue zurückgehen, knüpfen wir insbesondere an den Umstand, 
dass der dort eingeführte Parameter t, die lineare Substitution (10) 
erfährt, falls die projective Ebene der durch (7) dargestellten Colli- 
neation unterworfen wird. Dieses Verhalten von i, wird zum Aus- 
gangspunkt neuer Entwicklungen, welche das geometrische Verständnis 
der soeben studierten Bewegungsgi'uppen befördern wird. 

Um das eben zuletzt gemeinte Ziel zu erreichen, werden wir der 
complexen Variabelen t, erst noch eine allgemeinere geometrische Be- 
deutung geben, und zwar in demselben Sinne, wie dies in § 2 bei 
Besprechung der parabolischen Maassbestimmung geschah. Wir knüpfen 
hierbei vorab erst wieder an die Vorstellung beliebig complex ver- 
änderlicher Coordinaten z^, z-.y, z^ an, sowie an den schon in § 3 
eingeführten Parameter ^ für die Punkte und Tangenten des Kegel- 
schnitts /".. = 0. 

Um zuvörderst die Verhältnisse des parabolischen Falles zu re- 
capitulieren, so zerfiel das Büschel der Tangenten in die beiden Ge- 
radeubüschel durch die Kreispunkte. Dem einzelnen Punkte der Ebene 
der complexen Zi, 02} ^s ordneten wir sodann die beiden Werte ^, l 
zu, welche als Parameter zu den durch diesen Punkt hindurchlaufenden 
Geraden der Büschel gehören. 

Genau so werden wir nunmehr im Falle eines nicht - zerfallenden 
Kegelschnitts jedem Punkte do' Ebene beliebig complcxer 5, diejenigen 
beiden Werte ^, l zuordnen, welche als Faramcter zu den beiden durch 
jenen Funlt hindurcldau [enden Tangenten des Kegelschnitts gehören. Da 
die Gleichung der Tangente vom Parameter i,: 

(1) z, - 2tz2 + ^'z, = 

ist, so findet man als die dem einzelnen Punkte der Coordinatenebene 

der complexen Zi zugehörigen Werte i; und ^: 



_ g» + v^,' — ^1 ^3 z _ g , - y 



(2) g_ ..-^.., -., ^^ ^_ 

Gleichungen, die sich in folgender Weise invertieren: 
*) Matbem. Annalen, Bd. :VJ prr. filS (1891). 



Entwicklungen über projective Maaasbestimmangcn. -J] 

(3) ^i:^.:^3 = 2e^a+Ö:2. 

Mau sieht, dass nicht nur jedem Punkte der Ebene complexer Zi,^^}^^ 
ein Wertepaar ^, l eindeutig zugehört, sondern auch nmgchehrl ist 
jedem Wertepaar der als unabhängig von einander zu deiikendcn com- 
plexen Variahelen ^, ^ ein Punict z^, z^, z.^ der Coordinatenebene zu- 
geordnet. 

Die volle Tragweite des hiermit gewonnenen Ansatzes werden wir 
dadurch gewinnen, dass wir auf Grund der Entwicklungen des vorigen 
Paragraphen für den hyperbolischen und später auch für den elliptischen 
Fall Realitätsdiscussionen eintreten lassen. Dabei wird die im vor- 
letzten Paragraphen bereits behandelte Thatsache im Mittelpunkt 
stehen, dass gegenüher der auf die Coordinatenebene ausgeübten Collineation 
(7) pg. 14 die den einzelnen Pnnlcten der Ebene nunmehr zugeordneten Werte 
^, ^ simultan die Substitufimien: 

erfahren. Wir werden dabei im einzelnen die volle Analogie zu den 
speciellen Verhältnissen der parabolischen Ebene erkennen, wenn wir 
nur die letzteren, wie oben befürwortet, im projectiven Sinne, d. h. 
als Beziehungen zu den Kreispunkten, auffassen. 

Die in Formel (2) dargestellte Zuordnung von Werten £;, ^ zu 
den Werten z^, z^, z^ der Coordinaten ist zuerst von Hesse in dem 
Aufsatze ^^Ein Cbertragungsprincip^' '^') aufgestellt und untersucht wor- 
den. Inzwischen ist die Interpretation der Formel (2) bei Hesse eine 
sehr viel beschränktere wie hier, und die ganze Vorstellungsweise wird 
deshalb eine etwas gekünstelte, weil t, nicht wie hier als Parameter 
des Tangentenbüschels gefasst wird. Es ist also keine Rede von der 
gleichmässigen Einordnung des parabolischen Falles. Im Sinne der 
Entwicklungen des folgenden Paragraphen könnten wir sagen, dass 
sich die Hesse'sche Untersuchung auf die reellen Verhältnisse des 
hyperbolischen Falles und auch da nur auf den ausserhalb der Ellipse 
gelegenen Teil der Ebene bezieht. Des Ferneren sei hier auf das 
Erlanger Programm von Klein verwiesen {Vergleichende Betradttungcn 
über neuere geometrische Forschungen, 1872)**), sowie auf dessen Abhaml- 
lung „Über binäre Formen mit linearen Transformationen in sich"**'^'), 
wo die hier in Betracht kommenden Verhältnisse zum ersten Male im 
Zusammenhange hervortreten; wir kommen darauf später noch zurück. 



*) Grelles Jonml, Bd. 66 (1866). 
**) Abgedruckt in Bd. 43 der Mathoni. Annalcn. 
***) Matbem. Annalcn, Bd. li pg. 183 (1876). 



22 Einleitung. 

§ 6. Die ^-Werte in der hyperbolischen Ebene. Die ^-Halbebene 
und die ^-Halbkugel. 

Die Zuordnung von Werten S beziehe sich nunmehr einzig auf 
die reellen Punkte der Injperholischen Ebene, so dass wir hier, gerade 
wie auch in § 4, die Zi auf reelle Werte zu beschränken haben. Die 
(yurve s^z^ — z.^ = denken wir gleichfalls in der früheren Art als 
Ellipse gezeichnet, und es wird alsdann ausserhalb der Ellipse 
{z.^ — z^z^ > 0, innerhalb derselben aber {z.^ — z^z^ <0 sein. Indem 
wir unter den Punkten der hyperbolischen Ebene wieder nur die reellen 
Punkte dieser Ebene verstehen wollen, ergiebt sich aus der Formel (2) 
pg. 20 der Satz: Dem einzelnen Punlde der hyperbolischen Ebene ausserhalb 
der Ellipse ist ein Paar reeller Werte §, ^ zugeordnet, die insbesondere 
coincidieren, sobald der Punkt auf die Ellipse selbst rückt; dem einzelnen 
Punlde des Ellipseninnern ist ein Paar conjugiert complexer Zahlen t,, i, 
zugeordnet. 

Die zu (2) inverse Formel (3) pg. 21 wollen wir jetzt unter Wieder- 
heranziehung der Schreibweise ^ = ^ + ^^ f"r jeden der beiden hier- 
mit unterschiedeneu Fälle besonders in Ansatz bringen. Im ersten 
Falle haben wir für t, und ^ insbesondere zwei beliebige reelle Werte 
^ und i einzutragen. Die Formel (3) pg. 21 liefert nun: 

(1) 2Ü:{i-\-l):2 = z,'.z,'.z„ 

wodui'ch diesem Wertepaar |, ^ einen Punkt Si ausserhalb der Ellipse 
der hyperbolischen Ebene zugeordnet ist. Sind andrerseits 1= i, -\- iri 
und t, = i, — ir] irgend zwei conjugiert complexe Werte, so ergiebt 
Formel (3) pg. 21 nunmehr die Proportion: 

(2) {^ + ^^i^\=z,:z,:z,, 

und wir finden für das Wertepaar ^, l einen Punkt des Ellipseninnern 
als zugehörig. Der Fall, dass der Punkt Zi auf der Ellipse selbst 
gelegen ist, stellt dabei den Übergang zwischen diesen beiden Fällen 
dar; in Formel (1) würde man ^ = |, in (2) aber tj = einzusetzen 
haben. 

Indem wir nunmehr die gewöhnliche 5- Ebene der complexeu Ver- 
änderlichen t, in die Betrachtung einführen, hat man damit folgendes 
Ergebnis: Die Punlde des Ellipscnäusseren der hyperbolischen Ebene 
entsprechen tvechsehceise eindeutig den Punldepaaren der reellen i,-Äxe 
und desgleichen die Ellipscnpunlde selbst den PunMen der reellen Axe; 
die Punlde des Ellipseninnern entsprechen ivechselweise eindeutig den 
Paaren bezüglich der reellen t,-Axe symmetrisch gelegene)- Punlde. Wenn 
wir, der Sprechweise von „M." I folgend, die g- Ebene durch die reelle 



Entwicklungen über projective Maassbestimmungeu. 



•J'.i 



5-0 




Fig. 1. 



Axe in eiue positive und eine negative Halbebenu zerlegt denken, 
so können wir den letzten Teil des eben formulierten Satzes auch so 
aussprechen: Das Ellipseninnere ist tvechsehveise ein(lenti<j auf die einzelne 
der leiden ^- Halbebenen bezogen, wobei die FunJde der Ellipse seihst den 
PunJden der reellen t,-Axc zwjehörcn. 

Man wolle sich die hier vorliegende Abbildung etwa der positiven 
Halbebene auf das Ellipseninnere mit Hülfe von Fig. 1 deutlich macheu. 
Zur näheren Orientie- 
rung sind in der posi- 
tiven ^- Halbebene zwei 
Systeme äquidistanter 
Geraden gezogen, unter 
denen die imaginäre 
Axe besonders hervor- 
gehoben wurde. Im 
EUipseninnern liefert 
das eine Geradensystem 
wieder ein Geradenbüschel durch den Bildpunkt von ^ = oo; das andere 
Geradensystem geht in ein System von Ellipsen über, welche einzeln 
die absolute Ellipse im Punkte ^ = oo hyperosculieren. Wir kom- 
men auf diese Verhältnisse weiter unten (in § 9, pg. 35) noch aus- 
führlicher zurück. 

Um Eindeutigkeit der Beziehung für die ganze ^- Ebene zu er- 
zielen, könnte man das Ellipseninnere doppelt überdeckt denken, wobei 
die beiden Blätter längs der Ellipse selbst mit einander zusammen- 
hängen müssten. Es ist dieses die Vorstellungsweise, welche Klein 
bei seinen „projectiven" Riemann'schen Flächen benutzt (z. B. in den 
Mathera. Annalen, Bd. 7, 1874). Wir können indes den allgemeinen 
dort gegebenen Ideen hier nicht nachgehen, sondern bleiben bei un- 
serem speciellen Gegenstande. 

Bereits in § 1 wurde übrigens in Aussicht genommen, nur das 
Ellipseninnere als „hyperbolische Ebene" anzusprechen. Thueu wir 
dies, so ist das hier gewonnene Resultat, wie wir nochmals consta- 
tieren, dem für die reelle parabolische »Ebene oben (pg. lOj abgelei- 
teten Ergebnisse aufs genaueste analog. Beide Male sind es zwei 
einander conjugierte Werte g, t, welche für die projective Auffassung 
in der gleichen Weise den einzelnen Punkten der Ebene zugeordnet sind 
u. s. w. 

Die hier vorliegende 1-2-deutige Abbildung des EUipseninnern auf 
die ^- Ebene ist nun nach der geometrischen Seite hin bereits in 
„M.*' l pg. 239 ausführlich besprochen. Es sei hier kurz daran erinnert, 




24 Einleitung. 

dass es sich um Combiiiation einer stereograpliischeii und eiuer ortho- 
graphischen Projection handelt. Einmal nämlich projiciere man die 
g- Ebene .stereographisch auf eine Kugel, wie dies in Figur 2 ange- 
deutet ist; dabei soll die reelle ^Axe ein grösster Kugelkreis werden 
(etwa der Schnittkreis der Kugeloberllüche mit der Papierebene in 
Fig. 2), während die „positive Halbkugel" unterhalb der Papierebene 

liege. Auf letztere, d. i. auf 
die Papierebene, projiciere 
man nun orthographisch, 
wobei je zwei conjugiert 
complexe ^ offenbar den- 
selben Bildpunkt liefern. Den 
entspringenden Kreis mit 
doppelt überdecktem Innern 
beziehe man endlich colli- 
near auf die Ellipse der 
Figur 1 und zwar so, dass 
sich die Bildpunkte von ^==0, 1, oo mit den diese Werte tragenden 
Ellipsenpunkten decken. 

Haben wir hiermit die Überführung der £;- Ebene in das Ellipsen- 
innere unter Einhaltung des in „M." I 1. c. befolgten Gedankeng^anges 
reproduciert, so erscheint es für das Verständnis der hier vorliegenden 
Verhältnisse wünschenswert, doch auch noch umgekehrt die Umge- 
staltung des EUipseninnern in die ^-Halbebeue in Überlegung zu ziehen. 
Dieser Überlegung können wir dadurch eine besonders elegante Wen- 
dung geben, dass wir die in (2) pg. 20 bereits aufgetretene Quadratwurzel 
|/*i<3 — 5j,^ als Haumcoordinate z^ in die Betrachtung einführen und 
dann im einzelnen Punkte des EUipseninnern etwa senkrecht zur Ebene 
der Ellipse z^ = -f- Yz^z^ — z.r und z^ = — V^i^-i — ■^2' ^^^ Ordinaten 
auftragen. So gewinnen wir im Räume die durch z^^ -\- z^- — ^1-^3 ===0 
dargestellte Fläche, tvckhe hei zweclünässiger Auswahl des Coordinaten- 
systems direct die in Fiy. 2 benutzte Kugel der complexen Variaheleti t, 
vorstellt. Dieser Auffassung von der Beziehung zwischen der projectiven 
Ebene und der ^- Ebene werden wir entsprechend auch im elliptischen 
Falle begegnen. 

Wir haben nun vor allem einige Einzelausführungen über den 
Charakter der in Rede stehenden Beziehungen zu bringen. 

Ein Kreis der ^- Ebene projiciert sich stereographisch in einen Kreis 
der Kugeloberfläche und liefert demnach in der hyperbolischen Ebene 
eine Ellipse. Letztere wird die Ellipse z^' — z^z^ = in zweien ihrer 
reellen Punkte berühren, falls der anfänglich gemeinte Kreis der 



KntwickluDgen über projpctive MaassbeBtiinmuugeD. 25 

^- Ebene die reelle Axe schneidet. Liegt der Mittelpunkt des Kreises 
im speciellen auf der reellen i;-Axe, so artet die Ellipse in eine doppelt 
zu zählende gerade Linie aus. Auch die Umkehrung dieses Satzes 
ist gültig, wie man aus dem obigen Projectionsverfahren leicht schliesst; 
es gilt also das Resultat, dass die gesamten geradlinigen Transversalen 
der Ellipse z^ — z^z.^ = ^ der hyperholisclien Ebene und das System der 
zur reellen t,-Axe orthogonalen Kreise der ^- Ebene einander entsprecJiende 
geometrische Gebilde sind. Dieser Satz ist natürlich sehr leicht auch 
eines rechnerischen Beweises fähig. In der That findet man als 
Gegenbild der durch: 

(3) U\Zi -\- IC.jZ.) 4" ^'"ä^S = ^^ 

dargestellten Geraden vermittelst der Proportion (2) die Gleichung: 

(4) ^^•:(r + T) + ^'-2^ + ^^-3 = 0, 

die einen gegen die reelle ^-Axe orthogonal gerichteten Kreis dar- 
stellt. Die an die ic, zu stellende Forderung aber, dass die Gerade 
die Ellipse schneidet, kommt auf die Bedingung zurück, dass der 
Kreis (4) reellen Radius hat. 

Die so festgesetzte Beziehung zwischen dem Ellipseninneren und der 
^- Ebene wird in der Folge sehr oft benutzt werden; man muss sich 
dieselbe auf alle Weise einüben. Wir betonen insbesondere, dass diese 
Beziehung eine zweideutige ist. Doch handelt es sich in der Folge 
immer um Figuren, die das Ellipseuiunere nur einfach überdecken, und 
mau wird in der ^-Ebene die Betrachtungen dementsprechend stets auf 
eine der beiden Halbebenen einschränken können, da wir in der an- 
deren ^- Halbebene dieselben Verhältnisse in einer bezüglich der reellen 
^-Axe symmetrischen Lage antreffen würden; wir bevorzugen in diesem 
Sinne, wie in „M." I, zumeist die positive ^- Halbebene. 

Wir formulieren hier übrigens nochmals den projectiven Charakter 
der zwischen der hyperbolischen Ebene und der 2;- Ebene begründeten Be- 
ziehung. In § 2 pg. 9 u. f. wurde die projective Auffassung der ^- Ebene 
entwickelt, nach welcher ^ und l als die Parameter der beiden Geraden- 
büschel durch die Kreispunkte eingeführt wurden. Die im vorliegenden 
Paragraphen besprochene Beziehung hönnen uir in diesem Sinne als eine 
Abbildung des Tangentenbüschcls der Ellipse auf das eine nie das andere 
der beiden eben genannten Geradenbüschel durch die Kreispunktc der 
parabolischen Ebene auffassen. Diese Vorstellungsweise soll im nächsten 
Paragraphen noch ausführlicher zur Geltung kommen. 

Neben die hyperbolische Ebene und die gewöhnliche ^-Ebene 
stellen wir nun übrigens auch die in Figur 2 benutzte Kugeloborfläche 
als durchaus gleichberechtigtes Gebilde; sie darf bekanntlich ebensowohl 



26 Einleitung. 

wie die Ebene als Trägerin der complexeu Werte ^ angesehen werden 
und soll kurz als ^- Kugel bezeichnet werden. Zugleich liefert die 
Kugel mit ihren beiden imoginüren Scharen geradliniger Erzeugender 
ein neues und wichtiges Glied der projectiven Betrachtung, das wir 
hier zum ersten Male nennen. Nach bekannten Grundsätzen der pro- 
jectiven Raumgeometrie ergeben diese imaginären Erzeugenden bei der 
stereographischen Projection die beiden von den Kreispunkten aus- 
laufenden Strahlenbüschel und bei orthographischer Projection die Tan- 
genten der zugehörigen Umrisscurve, d. h. eben unserer absoluten Ellipse. 

§ 7. Die hyperbolische Maassbestinimung in der ^-Halbebene 
- und auf der ^-Halbkugel. 

Es soll nunmehr die früher in der hyperbolischen Ebene begrün- 
dete Maassbestimmung auf die einzelne ^- Halbebene und damit auch 
auf die einzelne ^-Halbkugel übertragen werden, und wir sprechen 
daraufhin schlechtweg von einer hyperbolischen Maassbestimmung in der 
positiven ^-Halhebene bez. auf der ^-HalbJiugel. Die dabei zunächst 
hervortretenden Sätze wird man aus den Vorbereitungen des vorigen 
Paragraphen ohne weiteres ablesen können. 

Durch zwei Punkte t und ^ der positiven Halbebene ist, im Sinne 
der Maassbestimmung gesprochen, eine „Gerade" festgelegt; sie ist in 
der Sprechweise der gewöhnlichen Geometrie der durch die beiden 
Punkte orthogonal zur reellen ^-Axe ziehende Halbkreis. Diese „Ge- 
rade" hat zivei „unendlich ferne" Punkte, indem ja die Punkte der 
reellen ^-kxe die „unendlich fernen" Elemente darstellen. Es folgt 
dies unmittelbar durch Übertragung der bezüglichen obigen Angaben 
(pg. 4 u. f.) von der hyperbolischen Ebene auf die t- Ebene bez. g- Kugel. : 

Die Winkelmessung führt zu einem besonders einfachen Resultate, 
das wir zunächst rechnerisch ableiten. Indem wir in (7) pg. 4 für x 
den Werth — - wählen und W(u,v)=d' setzen, folgt durch Übergang 
vom Logarithmus zur Function arctg: 



(1) ^ = arctg ^^-'^"-' -'^'-' 

und von hieraus berechnet sich leicht: 

(2) cos^=+ ''•"' 



wo das eine oder andere Zeichen zu nehmen ist, je nachdem man mit 
& den spitzen oder stumpfen Winkel zwischen den beiden Geraden 
M, V meint. Nun ist 90 = «/ — 4u\Ws, und also folgt: 



Eulwickhiugeu über projective Maaasbestimmungen. 27 

so (Uiss «ich aus (2) ergiebt: 

(3) cos 'S- = + / - 

Es mögen uun auf der anderen Seite die beiden Geraden a, v in 
tler ^- Ebene Kreise der Radien )\, r^ liefern, deren Mittelpunkte den 
Abstand c haben. Ist alsdann #' einer der beiden Winkel, unter denen 
sich diese Kreise schneiden, wobei übrigens &' im elementaren Sinne 
gemessen sein soll, so ist bekanntlich: 

(4) cos »■= + -'- ^^-'^. 

Nun sind die Mittelpuuktscoordinaten und der iiadius des durch (4) 
pg. 25 gegebenen Kreises die folgenden: 



IC, 






woraus sich fast unmittelbar ergiebt: 



2 _ ,. 2 _ 2 Ulf, + ^ u,v^ - u,v^ ^ y^^ ^ V^cc 

- 2u^Vi ' ^ -"1 ' " 2v, 



Die Formel (4) geht damit über in: 
(5) cos^'= + - 



2«iV3 — SMgr, 



Der Vergleich der Formeln (3) und (5) liefert d-'= &, ein Re- 
sultat, welches sich nach einer bekannten Eigenschaft der stereogra- 
phischen Projection uugeäudert auf die ^-Kügel überträgt. Die für 
die hyptrholiscJte 3Iaassbestimmun(j berechneten Maasszahlcn der ^Vinlccl 
in der ^-Halbehene hez. auf der t,-Halhhugel stimmen dementsprechend genau 
üherein mit den Maasszahlen dieser Winkel im elementaren Sinne gemessen, 
so dass in Ansehnng der Win1celm£ssimg unsere nette Maasshestimmung 
^T^mentaren Charalder trägt. 

Das hiermit gewonnene Ergebnis, ^'= •«)■, ist für die am Schlüsse 
des vorigen Paragraphen (pg. 25) erwähnte projective Auffassung un- 
mittelbar ersichtlich. -Es übertragen sich nämlich, wie daselbst bemerkt, 
die beiden vom Scheitelpunkt des zu messenden Winkels an die Ellipse 
der hyperbolischen Ebene zu ziehenden Tangenten auf die beiden Ge- 
raden vom Bildpunktc in der i;- Ebene nach den beiden imaginären 
Kreispunkten. Andererseits sind die von einem Punkte der hyper- 
bolischen Ebene auslaufenden Fortschreitungsrichtungen auf die ent- 
sprechenden Fortschreitungsrichtungen vom Bildpunkte in der (;- Halb- 
ebene hier (wie bei jeder stetigen Abbildung) projectiv bezogen. Das 



28 Einleitung. 

zur Winkelniessung iu der hyperbolischen Ebene dienende Doppelver- 
hältnis wird daher bei dem oben geschilderten Projectionsverfahren 
dieser Ebene auf die ^-Ebene in letzterer direct jenes Doppelverhältnis, 
das der elementaren Winkelmessung nach Laguerre zu Grunde liegt. 
Der entsprechende Satz aber findet auf der Kugelfläche Geltung, weil 
dort der elementaren Winkelbestimmung im Sinne Laguerre's gerade 
die beiden imaginären Erzeugenden der Kugel zu Grunde liegen, welche 
durch den Scheitel des Winkel hindurchlaufen. 

Zur Vorbereitung späterer Anwendungen berechnen wir für unsere 
hyperbolische Maassbestimmung das Bogenmaass dö für ein in der 
positiven ^- Halbebene gelegenes Element. Zwei einander unendlich 
nahe Punkte seien ^ und ^'= ^ -\- dt, oder explicite: 

(6) t = ^ + iv. ^'=^'+iri'={^-^(m + Kv+d7j). 

Bestimmen wir nach (6) pg. 4 die Entfernung dß dieser beiden Punkte, 

indem wir Ic = - nehmen, so kommt, da die Quadratwurzel unendlich 

klein wird: 

da = lü«- ( 1 4- ■'*•' I = -^ ■"' . 

Aus den Formeln des vorigen Paragraphen folgt nun: 

2/:;^ = x,i/, + x,y, - 2x,y, = ^^ + r + V + n' - 2^r, 

sowie ferner t\tx = ^f, f>j>j = »? '^ so dass sich für de findet: 



Xl'-(r + yr + n' 
Drückt man nun ^ und ?/ auf Grund von (6) aus, so folgt nach 

kurzer Zwischenentwicklung da == ^ • Führen wir neben dem 

Bogenelemente da nun gleich auch das Flächeuelement dx ein und 
benutzen den Satz über den elementaren Charakter der Winkelmessung, 
so folgt: Im Sinne der hyperbolischen Maasshestimmung der t,-Halb- 
cbenc stellen sich das Bogenclenient da und das Flüchenelement dx durch 
die Gleichungen dar: 

(7) ,?(y = 1:^111+1^' dx = '^^-f^. 

Ganz besonders wichtig ist es, die zur hyperbolischen Maass- 
bestimmung gehörenden Bewegungen der ^- Halbebene in sich zu be- 
trachten. Die Entwicklungen von pg. 15 und 16 geben hier unmittel- 
bar das Resultat: Die Gruppe aller Bctvegungcn in sich, welche die 
positive ^'Halbenc im Sinne der hyperbolischen Maassbestimmung mlässt, 



Entwicklungon libor prqjoctive Maassbestimmungcn. 29 

ivird analytisch dargestellt diinh die Gesamtheit aller linearen t,-Suh- 
stittdionen: 

(8) ^'=^+-1 ^^-(^y>^ 

mit reellen Coefftcienten einer von null verschiedenen positiven iJcfcr- 
minante. Im gewöhuliclien Sinne stellen diese Substitutionen Abbil- 
dungen durch Kreisvei'wandtschaß dar, und zwar handelt es sich hier 
um diejenigen directen Kreisverwandtschafteu, welche die positive i;-Halb- 
ebene in sich selbst überführen*). Die directen Kreisverwandtschaften 
vermitteln nun bekanntermaassen cöw/brme Abbildungen; und es stimmt 
dies mit dem vorhin gefundenen Ergebnis betreffs der Winkelmessung 
überein, insofern die im gewöhnlichen Sinne gemessenen Winkel (zu- 
folge der erwähnten Conformität) den Charak1:er der Invarianz gegen- 
über den fraglichen „Bewegungen" besitzen. 

Für die in § 6 pg. 25 entwickelte projective Auffassung der [Para- 
meter l, t, müssten wir neben (8) als zweite Gleichung: 

(9) r= -^i^ 

stellen und würden dann zwei projective Umformungen der von den 
beiden imaginären Kreispunkten auslaufenden Strahlbüschel vor uns 
haben. 

Die Gesamtgruppe (zweiter Art) des § 4 entsprang durch Zusatz 
der Operation ^i'=^i, ^2'=^ — ^-i^ %' = ^3 zur Gruppe der „Bewegungen". 
Diese Operation bedeutet eine symmetrische Umformung an der Axe 
z^ = Q des Coordinatendreiecks. Beim Übergang zu i, machen wir nun 
an dieser Stelle Gebrauch von der Zweideutigkeit der Beziehuug der 
hyperbolischen Ebene zur ^-Ebene. Zufolge derselben können wir 
der fraglichen Operation entweder die Substitution ^ == — i, oder 
5'= — \ entsprechen lassen, wo die letztere Substitution in demselben 
Sinne, wie Substitution (3) pg. 9 zu verstehen ist. Wir dürfen und 
wollen der obigen ^r,- Substitution die Operation ^= — t, entsprechen 
lassen, da hierdurch die Spiegelung an der imaginären ^-Axe darge- 
stellt ist und also nicht nur der ursprüngliche Charakter der ^,- Sub- 
stitution gewahrt bleibt, sondern auch die positive ^- Halbebene in sich 
selbst übergeht; letzteres würde bei Bevorzugung der Substitution 
^= — i; nicht gelten. Durch Combination von t,' = — 5 uiii den 
Substitutionen (8) folgt nun: Die hier eintretetide Gesamtgruppe suciter 
Art liefert neben der (huppe aller Beivegungoi (8) noch dir Schar der 
SuhstittUionen: 

*) Cf. „M." 1 p^'.sstr. 



3Q Einleitung. 

(10) ^="|-v «^-^r>o, 

ivo a, ß, y, 8 continuierlich alle Quadrupel reeller Zahlen einer von null 
verschiedenen positiven Detefrminante durchlaufen. Diese Operationen 
stellen indiredc Kreisverwandtschaften dar, und zwar wieder alle die- 
jenif'en, welche die positive ^- Halbebene in sich selbst überführen. 
Wir gebrauchen, wie in „M." I pg. 196 ff., für die Operationen (10) 
die Benennung der Suhsütutionen ziveiter Art, womit wir uns der oben 
(pg. 8 ff.) eingeführten Sprechweise unmittelbar anschliessen. 

Wir haben so die projeetive Geometrie des Ellipseninnern an die 
Geometrie der Kreisverwandtschaften geknüpft, die letztere in der Art 
specialisiert, dass ' die reelle ^-Axe stets sich selbst entspricht. Je 
nach dem augenblicklichen Bedürfnis werden wir bald von der einen, 
bald von der andern Vorstellungsweise Gebrauch machen; für die 
späteren Zwecke der Functionentheorie wird freilich zumeist der Ge- 
brauch der ^- Halbebene vorherrschen. Doch geschieht dies weniger 
aus sachlichen Gründen, als um der Gewöhnung der Functionentheoretiker 
entgegen zu kommen. 

Der Connex der projectiven Geometrie mit der Geometrie der Kreis- 
verwaudtschaften ist in noch grösserer Allgemeinheit (worauf wir 
später zu sprechen kommen) von Klein in den bereits genannten Ver- 
öffentlichungen entwickelt. Seinen prägnantesten Ausdruck findet 
derselbe, wenn wir sagen, dass die Kreisverwandtschaften der Ebene 
direct projectiven Transformationen der von den Kreispunkten aus- 
laufenden Strahlbüschel entsprechen. Die hyperbolische Maassbestim- 
mung in der ^- Halbebene, wie wir sie hier entwickelten, ist von 
Poincare in der späterhin noch sehr häufig zu nennenden Arbeit 
„Theorie des groupes fuchsiens^' *) zu Grunde gelegt. Jedoch wird die 
Definition der Maassbestimmung daselbst unvermittelt gegeben, d. li. 
ohne Bezugnahme auf die projeetive Geometrie und auf die Unter- 
suchungen Cayley's. 

§ 8. Bemerkung über Flächen von constantem negativen 
Krümmungsmaass. 

Nebenher soll hier in Kürze der Beziehung gedacht werden, in 
welcher die hyperbolische Geometrie zu den Flächen von constantem 
negativen Krümmungsmaass steht, dieses letztere in der bekannten 
von Gauss eingeführten Art definiert. Es haben diese Flächen eines 
Constanten positiven bez. negativen Krümmungsmaasses ihre erste 



"} Acta luathematica, Bd. 1 pg. 1 (1882). 



Entwicklungen über projective Maassbestimmungen. 31 

ausführliche Theorie in zwei Arbeiten von Min ding*) gefunden, und 
es sind zumal in der zweiten Arbeit die Rotationsflächen von con- 
stantem Krümmungsmaass behandelt worden. Für positives constantes 
Krümmuugsmaass giebt es drei Gattungen solcher Rotationsflächen, 
von denen die dritte den Grenzübergang zwischen den beiden andern 
Gattungen vorstellt und in eine Reihe sich berührender congruenter 
Kugeln zerfällt. Auch für negatives Krümmungsmaass fanden sich 
drei Gattungen (übrigens irreducibeler) Rotationsflächen, wobei die 
dritte Gattung wieder den Übergang zwischen den beiden andern 
abgab. Eine Fläche dieser Übergaugsgattung, die man durch Ro- 
tation der unter dem Namen Tractrix bekannten Curve um ihre Asym- 
ptote erhält, nennt man, um die Analogie zum Falle des positiven 
Krümmungsmaasses möglichst zu wahren, nach Beltrami eine Pseudo- 
Sphäre. Auf die Gestalt der Pseudosphäre näher einzugehen, kann hier 
in keiner Weise der Ort sein; auch werden wir weiterhin nirgends 
Gelegenheit finden, auf diese hier nur der Vollständigkeit halber ge- 
machten Andeutungen zurückzugreifen. Immerhin seien noch folgende 
Bemerkungen gestattet. 

Bezeichnet man die geodätischen Linien einer Fläche von con- 
stantem Krümmungsmaass als deren „gerade Linien" und misst übrigens 
Bogenlänge und Winkelgrösse auf der Fläche im Sinne der Elementar- 
geometrie, so stimmen die auf der Fläche zu Tage tretenden geo- 
metrischen Verhältnisse dem Wortlaut nach genau mit den Sätzen 
der hyperbolischen oder Lobatschewski'schen Geometrie überein. Sätze, 
die wir späterhin im Sinne der hyperbolischen Geometrie, sei es im 
Ellipseniunern, sei es in der positiven ^- Halbebene oder auf der ^-Halb- 
kugel aussprechen werden, würden wir demnach bei Zugrundelegung 
der Pseudosphäre im Sinne der elementaren Geometrie formulieren 
können. Allerdings ist es hierbei störend, dass die Pseudosphäre 
einerseits als Rotationsfläche in sich zurückläuft, andererseits dem 
Rückkehrpunkte des Tractrix entsprechend durch eine Rückkehrcurve 
begrenzt ist. 

Die Beziehung zwischen der nicht -euklidischen Geometrie und 
den Flächen von constantem Krümmungsmaass ist übrigens erst ver- 
hältnismässig spät bemerkt worden. Li der That waren in dieser 
Beziehung grundlegend erst die Gedanken Riemann's, welche der- 
selbe in seinem Habilitationsvortrage „über die Hypothesen, uclchc 
der Geometrie zu Grunde liegen"*'^') entwickelte; an dieselben schliessen 

*) Crelle's Journal, Bd. '19 pg. 370 (1839) und Bd. 40 pg. 171 (1840). 
**) Vorgelesen am 10. Juni 1854, späterhin gedruckt im dreizohnt«Mi Bande 
der Al)liiiiidlung<'n der (»esellscli. d. Wiss. zu <Jöttingeii, ISfiC. 



32 Kinleitiitif,'. 

sich die Entwicklungen Beltrami's in dessen bekannter Abhandlung: 
„Saggio di interpretazione della geometrla non-eticluka"*). 

Sehr viel näher steht unseren hier gegebenen Entwicklungen die 
andere grundlegende Arbeit Beltrami's: „Teoria fondamentale degli 
spazii di airvatura costante" **). Hier wird gleich anfangs das nicht- 
euklidische Bogenelement durch folgende Foriliel definirt: 



l/dx* -4- dx^ 4- • • • dx- 
(is = li • , vfo X- -\- xi -{-■■■-{- Xn = a- . 

Nehmen wir n = 2 und R==a = 1, so haben wir geradezu das hyper- 
bolische Bogenelement auf unserer ^- Kugel, wie wir hier nicht weiter 
ausführen. Des Weiteren gelangt Beltrami durch eine stereogra- 
phische Projection /u der Formel : 

ds = R ■ f 

n 

was direct unserer Formel (7) pg. 28 entspricht. 



§ 9. Figürliche Erläuterung der Bewegungen der projeetiven 

Ebene in sich. 

Die linear-gebrochenen Substitutionen einer complexen Veränder- 
lichen ^ mit beliebigen complexen Substitutionscoefficienten haben 
bereits in „M." 1 pg. 1(55 ff. eine ausführliche geometrische Theorie 
gefunden. Dieselben wurden dort durch continuierliche „Bewegungen" 
«ler ^-Ebene in sich versiunlicht und des näheren durch die zugehörigen 
Bahncurveii und Niveaulinien figürlich dargestellt; doch war daselbst 
die Bezeichnung „Bewegung" nur abkürzend für continuierliche De- 
formation gesetzt. 

Denken wir diese Theorie für die ^-Substitutionen reeller Coeffi- 
cienten von positiver Determinante und damit etwa für die positive 
^- Halbebene ausgeführt, so werden nunmehr die vorhin im übertragenen 
Sinne als „Bewegungen" bezeichneten Deformationen direct mit den 
Bewegungen der ^-Halbebene im Sinne der hyperljolischen Maass- 
bestimmung identisch. 

Die gesamten ^-Substitutionen erster Art wurden in „M." I pg. 1G4 
in die vier Unterarten der hyperbolischen, cUiptiscIien, parabolischen und 
lozodromischen geteilt. Indem wir diese Benennungen hier wieder 
aufnehmen, gilt vor allem der Satz: Unter den ^-Substitutionen, welche 
„Bewegungen" der positiven t,-Halbebene in sich liefa-n , kommen nur hypcr- 

*) Giornale tli iiiateniatiche, Bd. 6 (18G8). 
**) Annali di niateniatica, Folge 2, IUI. 2 (1868). 



Kntsvicklungeii über jirnjective Maassbo8tin)niiingei). 33 

holische, parahuJlschr und diqüische vor, (hujcgcn fcliloi die loxodromischen. 
Mau folgert dies aus deu 1. c. eutvvickelteu Formeln aui einfachsten 
aus dem Umstände, dass die fraglichen ^Substitutionen reelle Coeffi- 
cienten einer jiositiven Determinante haben. Doch würde man auch 
auf die Thatsache zurückgehen können, dass die reelle ^-Axe stets 
Bahncurve für eine Substitution unserer Art ist, und dass kreisförmige 
(oder im besonderen Falle geradlinige) Bahncurven nur bei den nicht- 
loxodromischen Substitutionen eintreten. 

Indem wir jetzt die geometrischen Vorstellungen aus der ^-Ebene 
in die projective Ebene übertragen, werden die dort eintretenden Ver- 
haltnisse in gewisser Hinsicht reichhaltiger. Die beiden ^-llalbebenen 
gehen in das doj)pelt-bedeckte EUipseuinnere über; der ausserhalb der 
Ellipse (jclcfjcne Teil der projectiven Ebene, der doch auch an den Colli- 
ncationen teilnimmt, Jiomnit hier hinzu, und also gewinnt das geometrische 
Bild der Eetvegung eine entsprechende Erneitcrung. Es ist für die spä- 
teren Untersuchungen nötig, auch in der projectiven Ebene den Verlauf 
der Bahncurven und Niveaulinien für die Substitutionen stets anschaulich 
vor Augen zu haben; es sollen demnach die dreierlei Arten der gegen- 
wärtig in Betracht kommenden Substitutionen in diesem Sinne hier 
behandelt werden. Dabei werden die entsprechenden auf die Ebene 
der Kreisverwandtschaften bezüglichen Entwicklungen aus „M." I 
])g. 165 ff. als bekannt angesehen. In der Tliat gehen die dort mit- 
geteilten Figuren 40 u. s. w. durch das vorhin pg. 24 augedeutete Pro- 
jectionsverfahren in die sogleich zu besprechenden Figuren 3 u. s. w. 
über. Freilich gewinnt man dabei direct nur erst eine Anschauung 
der im EUipseninnern eintretenden Verhältnisse; indes liefert die })ro- 
jective Auffassung der im Einzelfall vorliegenden Collineationen jedes- 
mal das allgemeine Bild. 

1) Eine hyperbolische Substitution hat in der projectiven Ebene 
ausserhalb des absoluten Kegelschnitts f\, == einen Fixpunkt P. Zwei 
weitere Fixpunkte werden vom Schuitt der Polare von P in Bezug 
auf f,i = mit diesem Kegelschnitt geliefert. Nur diese beiden letz- 
teren Fixpunkte, die auf der Ellipse /j.- = selbst gelegen sind, 
kommen in der ^-Ebene zur Geltung und liegen dort, wie es sein muss, 
auf der reellen Axe. Die Niveaulinien werden durch das Büschel der 
Geraden durch P geliefert, wie in Figur 3 (pg. 34) angedeutet ist. 
Wollte man im Sinne der Maassbestimmung äcpiidistante Niveaulinien 
zeichnen, so würden sich dieselben für das Auge gegen die beiden 
Ellipsentangenten von P beiderseits mehr und mehr zusamnuMidrängen, 
wie die Figur veranschaulicht. Die Bahncurven werden von den Kegel- 
schnitten geliefert, welche die absolute Ellipse /'.; = () in den beiden 

J'" r i e kr - K 1 ol n , AutonMvjiln« rui.ctiiineii. 1. ;> 



34 



Eiuleitiuiff. 




Fig. 3. 



auf ilu- gelegenen Fixpuukten berüliren; auch dies ist in Figur 3 auge- 
deutet. Unter ihnen findet sich doppeltzählend die Polare vou P. 

2) Eine elliptische 
Substitution hat einen 
im Innern der Ellipse 
gelegenen Fixpunkt P, 
welcher sich in der 
^-Ebene in die beiden 
coujugiert complexen 
Fixpunkte der zugehö- 
rigen ^ - Substitution 
trennt. Das Geraden- 
büschel durch den Fix- 
puukt P bildet die Ni- 
veaulinien, wie Figur 4 
zeigt. Die Bahucurven 
bestehen, wie gleich- 
falls in Figur 4 zu sehen 
ist, teilweise aus Ellipsen (zu denen auch die absolute Ellipse gehört), 
teilweise aus Hyperbeln, zwischen welchen sich eine Parabel einfügt. 

Als Grenzfall der Hyper- 
beln tritt (doppeltzählend) 
eine Gerade ein, nämlich 
die Polare vou P in Bezug 
auf die absolute Ellipse. 
Im Sinne der mit imagi- 
nären Werten der Coordi- 
naten rechnenden allge- 
meinen Geometrie würden 
wir sagen, dass ausser P 
zwei weitere Fixpuukte von 
den imaginären Schnitt- 
punkten der absoluten El- 
lipse mit der Polare von 
P geliefert werden. Da 
würden dann die Bahu- 
curven diejenigen Kegel- 
schnitte sein, welche die 
Ellipse f.. = in den beiden fraglichen imaginären Fixpuukten be- 
rühren. Mau sieht, dass sich solcher Weise der hyperbolische und 
elliptische Fall einer gemeinsamen Auffassung unterordnen. 




Fig. 1. 



Entwicklungen über projective Maassbestimmnngen. 



35 




^) 



Fig. 5. 



;l) Eine parabolische Substitution stellt den Übergang zwischen 
den beiden eben besprochenen Fällen vor. Es existiert nur ein auf 
der absoluten Ellipse f.. = ('» 
gelegener Fixpunkt P. Die 
Niveaulinien werden wieder 
vom Geradenbüschel durch P 
geliefert; die Bahncurven sind 
jetzt die Kegelschnitte, welche 
die absolute Ellipse im Punkte 
P hyperosculieren. Unter den 
Bahncurven sind alle drei Gat- 
tungen von Kegelschnitten ver- 
treten , wie Figur 5 zeigt. Die 
Polare von P ist in die Tan- 
gente des Berührungspunktes 
P übergegangen. Hier liegt 
nun übrigens die Figur vor, 
von welcher wir schon oben 
(pg. 23) in anderem Zusammenhang Gebrauch machten. 

Die vorstehenden Entwicklungen sind zunächst an die Besprechung 
der hyperbolischen Maassbestimmung angeschlossen; sie übertragen sich 
indes mit Leichtigkeit auf den elliptischen Fall. Es werden hier einzig 
elliptische Substitutionen vorkommen und es kommt demnach allein 
Figur 4 zur Anwendung. Die in dieser Figur stärker markierte Ellipse 
verliert dabei ihre ausgezeichnete Rolle, welche sie in der hyper- 
bolischen Maassbestimmung als absolutes Gebilde spielte; doch ist dies 
der einzige Unterschied. Endlich ziehen wir als paraholiscltc Ebene auf 
(irund der Entwicklungen von pg. 8 immer direct die ^-Ebene heran; 
hier bleiben dann die Figuren aus „M." I 1, c. unmittelbar bestehen. 

Den Begriff der Periode einer elliptischen Substitution werden wir 
in dem bekannten Sinne gebrauchen (cf. „M." I pg. 190) und haben 
hier vor allem näher auf die Substitutionen der Periode zirei einzu- 
gehen. Dieselben stellen nach „M.'" I pg. 700 sogen, harmonische Pcr- 
spectivitäten dar. Der einzelnen solchen Perspectivität gehört ein Pol 
oder Centrum P und eine Axe A zu, die im hyperbolischen Falle 
die Polare von J' ist, und es erscheint nicht nur P, sondern auch jeder 
Punkt auf ^ durch die Substitution sich selbst zugeordnet. Alle übrigen 
Pimkte vertauschen sich zu Paaren, wobei die Verbindungsgorade 
zweier zuseordneton Punkte durch P hindurchzieht, und wobei diese 
beiden Tunkte durch P und durch den Schnittpunkt ihrer Verbindungs- 
linie mit A harmonisch getrennt sind. 

.1* 



30 Einleitung. 

Obwohl es nur diese eine Classe von Substitutionen der Periode 
zwei giebt, ist doch der Effect derselben ein gänzlich verschiedener, 
je nachdem die hyperbolische oder elliptische Ebene vorliegt. Um 
zuvörderst bei der ersteren zu verweilen, so müssen wir hier die har- 
monischen Perspectivitiiten in zwei Classen trennen, je nachdem das 
Centrum P innerhalb oder ausserhalb der absoluten Ellipse gelegen 
ist. Da wir nur das Ellipseninnere als hyperbolische Ebene ansehen, 
so wird eine Perspectivität erster Classe (mit einem Pol P innerhalb 
der Ellipse) den Charakter einer Drehung um P und damit einer Sub- 
stitution crste>- Art haben. Eine Perspectivität der zweiten Classe, 
deren Axe A durch das Ellipseninnere zieht, hat dagegen den Cha- 
rakter einer symmetHschen Umformung oder Spirgehmg an A und damit 
einer Substitution ziceiter Art. Für die hyperbolische Ebene, d. i. für 
das Ellipseniunere, liegt also eine scharfe Sonderung der Substitu- 
tionen in zwei Arten vor, die wir ja früher (pg. 16) auch analy- 
tischerseits zu constatieren hatten. 

Die elliptische Ebene wird erst von der unbegrenzten reellen Co- 
ordinatenebene geliefert. Eine harmonische Ferspectlvität ivird demnach 
nunmehr den CharaJdcr einer Drehung (nämlich wn P) und den einer 
symmetrischen Umformung {iiümlich an A) in sich vereinigen'''^ Infolge- 
dessen fällt bei der elliptischen Ebene die Einteilung der Substi- 
tutionen in ZV/ei Arten von selber fort, und es ist damit der geome- 
trische Grund aufgedeckt, warum wir oben (pg. 16 und 18) für die 
hyperbolische Ebene eine Gruppe der zweiten Art, für die elliptische 
aber nur eine solche der ersten Art erhalten haben. 

§ 10. Die elliptische Ebene und die ^-Ebene bez. ^- Kugel. 

Bei der Behandlung der elliptischen Maassbestimmung, die weit 
einfacher ausfällt als die der hyperbolischen, können wir mehrfach an 
Entwicklungen aus „Tkos." anknüpfen. Für das absolute Gebilde der 
Maassbestimmung halten wir an der schon in (2) pg. 17 gebrauchten 
Gleichungsform fest und haben demnach die Ausdrücke (2) pg. 20 für 
t, und \ vermöge der Formeln (3) pg. 17 zu transformieren; dabei 
ersieht sich: 



^ ^ _ ^ + l/V + V-i- ^s 



g=- 






^3 + *^i .Tj -j- yx^'' -\- x./^ -}- x^ 



*) Dies wild anders, wenn wir die elliptische Ebene als Doppelebene auf- 
fassen, wie sogleich geschehen soll. 



Entwicklungen über piojective Maassbestimmuugen. 37 

Man wolle hier zuvörderst, gerade wie oben beim allgemeinen 
Ansätze sowie auch bei der Discussion der hyperbolischen Ebene, ^ 
und ^ als unabhängige complexe Veränderliche betrachten. Die Tan- 
genten des absoluten Kegelschnitts sind dann wieder auf jedes der 
beiden Geradenbüschel durch die Kreispunkte der parabolischen ^-Ebene 
bezogen, wie wir entsprechend pg. 25 für den hyperbolischen Fall aus- 
führten. Es hat dies wie damals für die Übertragung der Winkel messung 
von der elliptischen Ebene auf die gewöhnliche ^- Ebene und damit 
auch auf die i;- Kugel seine charakteristischen einfachen Folgen, worauf 
wir weiter unten zurückkommen. 

Vorab wollen wir die Frage beantworten, in welcher Beziehung 
^ und ^ zu einander stehen müssen, wenn es sich um reelle Punkte der 
t-lliptischen Ebene handeln soll. Eine leichte Zwischenrechnung zeigt, 
dass man stets und nur dann zu reellen Fwikten der elliptischen Ebene 

(K fährt tvird, falls t, und — -r conjugiert complexe Zahlen sind. Indem 

wir weiterhin nur noch von diesen reellen Punkten der elliptischen Ebene 
handeln, wollen wir die beiden dem einzelneu solchen Punkte zuge- 
ordneten Werte t,, t, in den einen Ausdruck zusammenfassen : 



^ ^ ^3 + i^\ X, + l/V+^^7+^' ' 

und es gilt nunmehr die hierdurch gegebene Beziehung der ellip- 
tischen Ebene auf die ^-Ebene in Discussion zu ziehen. 

Zu diesem Ende führen wir rechtwinklige Cartesische Coordinaten 
% == X, Xi = — y, x^ = 1 ein und haben dann an Stelle von (1) die 
Gleichung: 

• ■>) g = ^ + /,? = — 4±i^.=. 

Die Inversion dieser Gleichungen führt auf: 

■V ^ = 1 — T» — ^i ' y = 



Wie man sieht, liegt hier eine ein-zweideutige Beziehung der ^-Ebenc 
(Ulf die elliptisclie Ebene vor. Wir können dieselbe als Combination 
(i)icr gewissen stereograpJiischcn Projection und einer Ccntralprojcction be- 
trachten. Man führe nämlich zunächst neben der ^- Ebene expiicite 
die 2; -Kugel ein, indem man jedoch nun die stereographische Projection 
so anordnet, wie Figur 6 (pg. 38) zeigt. Hier ist C das Centrum der 
stereographischen Projection, und es schneidet die Papierebene aus der 
^-Ebene deren reelle Axe aus. Die Kugel soll nunmehr im Punkte C 
V(Hi der elliptischen El)oiie berührt werden, und man wolle alsdann 



38 



Kioleitnni 



die Kugeloberfläclie durch Ceiitralprojection vom Mittelpunkt der Kugel 
auf die elliptische Ebene übertragen. Entsi)richt nun ein Punkt der 

elliptischen Ebene mit 
elliptische Ebetie ^jer Entfernung 

vom Nullpunkt zwei 
— - " Werten t, und ^ mit 
den absoluten Beträgen 
q und ()', so ergiebt 
Figur 6 durch elemen- 
tare Betrachtung die Re- 
lationen : 




>• = ?(- 1 +]/l + »-0, /•=y'(l + Kl + '•'). 
Von hieraus gewinnt man die Relation (2) fast unmittelbar wieder 
und hat damit durch directe Rechnung den behaupteten geometrischen 
Charakter dieser Relation bestätigt. 

Die Bedingung für die reellen Punkte der elliptischen Ebene hatten 
wir vorhin in die Form gekleidet, dass für diese Punkte die Werte 

^ und — - conjugiert complex sein müssen. Dies spricht sich jetzt mit 

Hilfe der g- Kugel dahin aus, dass auf ihr die beiden Punkte g und t 
diametral sein müssen. Das eben dargestellte Projectionsverfahren giebt 
eine geometrische Bestätigung dieses Satzes. 

Übrigens stellt sich gerade wie im hyperbolischen E'alle so auch 
hier die ^- Kugel als gleichberechtigt neben die elliptische Ebene und 
die ^- Ebene, und wir werden im nächsten Paragraphen noch ausführ- 
licher die Eigenart der elliptischen Maassbestimmung auf der g-Kugel 
(welche direct die elementare Maassbestimmung auf der ^- Kugel ist) 
zu verfolgen haben. Mit Rücksicht darauf constatieren wir gleich 
hier, dass der vom Mittelpunkte an die Kugel gehende imaginäri' 
Umhüllungskegel X- -(- Y'- -\- Z'- = (wenn hierbei X =^ x, Y = y 
und Z rechtwinklige Coordinaten durch den Kugelmittelpunkt bedeuten) 
aus der elliptischen Ebene gerade deren absoluten Kegelschnitt aus- 
schneidet. Hieraus folgt dann insbesondere, dass wieder die beiden 
durch den einzelnen Kugelpunkt hindurch laufenden imaginären Er- 
zeugenden bei der Centralprojection auf die elliptische Ebene dortselbst 
die beiden vom projicierten Punkte an den nullteiligen absoluten Kegel- 
schnitt zu legenden Tangenten liefern. Dieses Sachverhältnis ist für 
die Auffassung der elliptischen Winkelmessung auf der ^- Kugel grund- 
legend. Endlich bemerken wir, dass wir die Kuffeloberfläche auch 



Entwicklungen über projectivo Maassbestimmungen. 



39 



hier auf Grund einer analytischen Maassnahme hätten einführen kön- 
nen, welche der oben im hyperbolischen Falle befolgten (cf. p<^. 24) 
;4enau entspricht; doch verfolgen wir dies nicht weiter. 

Betreffs der Beziehung der elliptischen Ebene zur i;- Kugel und 
^- Ebene, wie wir dieselbe durch Figur 6 festlegten, gelten folgende 
Sätze. Die geraden Linien der elliptischen Ebene gehen auf der 
^- Kugel in grösste Kreise derselben über, und die letzteren liefern 
ihrerseits Kreise der ^-Ebene, die leicht näher zu beschreiben sind. 
Vor allem gehört zu ihnen der Einheitskreis der ^-Ebene, d. h. der 
Kreis mit dem Radius 1 um ^ = 0. Im übrigen gehen die grössten 
Kreise der Kugel in diejenigen Kreise der ^-Ebene über, iveJche den 
Einheitsh-eis in zivei diametralen Timläen schneiden; und das System 
dieser Kreise ist es also, icelclies dem System der Geraden der cUip(ische)i 
Ebene correspondiert. In der elliptischen Ebene giebt es keine reellen 
unendlich fernen Punkte. Daher fehlen die letzteren im Sinne der zu 
dhertragenden elliptischen Maasshestimmung auch auf der t,- Kugel und in 
der ^- Ebene. 

Die Zweideutigkeit der Beziehung der ^- Ebene zur elliptischen 
Ebene giebt hier zu einer eigenartigen Auffassung der letzteren Anlass. 
Wir ivcrden gemäss der in Figur 7 angedeuteten Projectionsivcisc die 




Fig. 7. 

ellijdischc Ebene mit einer ziveiseitigcn Bedeckung von Z(dducrfe)i S «'f'"- 
schcn*). Dabei wird die obere Halbkugel in die untere Belegung über- 
L;ehen, die untere Halbkugel in die obere. 

Ganz dasselbe hätte, wie wir hier nebenher bemerken, bereits beim 
Ellipseninnern der hyperbolischen Ebene stattfinden können. Iiulessen 

*) Man verwechsele diese Maassnahme nicht mit der in der Functionentheorie 
sonst üblichen Bedeckung der f- Ebene durch zwei oder mehrere ülätter einer 
gewöhnlichen Riemann'schen Flilche. Letztere liegen alle auf derselben Seite der 
zu überdeckenden Ebene. 



4() Einleitung. 

wird erst liier im ellij-tischen Falle die zweiseitige Bedcckimr*; besonders 
fol^'enreich; vermöge dieser Vorstellungsweise werden wir nämlich die 
,,Bctvcgunge)i" der elliptischen Ebene in sich in gewissem Sinne vollstän- 
diger auffassen könner. Diese Bewegungen entsprechen einfach, wie 
wir noch ausführlicher im nächsten Paragraphen nachweisen, den 
Drehungen der ^- Kugel um ihren Mittelpunkt. Das dabei eintretende 
Verhalten der elliptischen Ebene veranschauliche man .'■ich mit Hülfe 
von Figur 7, indem mau sich die Kugel um irgend einen ihrer Durch- 
messer laugsam gedreht denke. Beide Seiten der Ebeue bleiben fest 
mit einander in Verbindung; aber das Bemerkenswerte ist, dass beide 
Seiten dabei fortwähreiid in einander übergehen. Man hat sich somit die 
Vorstellung zu bilden, dass beide Seiten der elliptischen Ebene wie bei 
einer sogenannten Doppcl fläche continuicrlich in einander übergehen und 
vermöge dieses Überganges ein einziges durchaus susamnicnMngendes Ge- 
bilde abgeben. 

Die Entdeckung solcher Flächen, deren beide Seiten continuierlicli 
in einander übergehen, und die sonach nicht als Grenzen von Körpern 
aufgefasst werden können, verdankt man Moebius, worüber man 
dessen letzte Abhandlung „Über Polyeder"*) vergleichen wolle. Die 
einfachsten Doppeltlächen sind übrigens berandete Flächen, und es ist 
in Figur 8 zum besseren Verständnis eine Fläche dieser Art abgebildet, 

welche, wie man sich überzeugen 
^^ wolle, eine einzige in sich zurück- 

laufende Randcurve besitzt. Anschau- 
lich völlig zugängliche Doppelflächen, 
die geschlossen sein sollen, kann 
man nur dadurch herstellen, dass man 
p. j^ Selbstdurchdringungen der Fläche zu- 

lässt. Die elliptische Ebene und über- 
haupt die Ebene der projectiven Geometrie ist nur in dem Sinne eine 
sich selbst nicht durchdringende geschlossene Doppelfläche, dass der 
Zusammenhang durch diejenigen Elemente der Ebene hergestellt ist, 
welche im Sinne unserer gewöhnlichen Raumauffassung (jedoch nicht 
im Sinne der elliptischen Maassbestimmung) unendlich fern sind. Die 
Auffassung der Ebene als Doppelfläche, welche für das Gesamtgebiet 
der projectiven Geometrie sehr wesentlich ist, wurde zum ersten Male 
von Schläfli und Klein in den Matheru. Annalen Bd. 7 pg. 550 (1874) 
entwickelt. 

*) Berichte der Leipziger Gesellschaft der Wissenschaften von 18G6 oder 
Band 2 der gesammelten Werke. Wegen der allgemeinen Auffassung vergl. man 
auch Dyck in den Mathtm. Annalen üd. 32, pg. 473 u. f. (1888). 




Kntwicklungcn über projectivc Maassle.'stimnuingen. 41 

§ 11. Übertragung der elliptischen Maassbestimmung auf die 
^- Ebene und ^- Kugel. 

Wie vorhin im hyperbolischen Falle werden wir auch jetzt die 
elliptische Maassbestimraung aus der projectiven Coordiuatenebene der 
Xi auf die ^-Ebene und die ^-Kugel übertragen und sprechen dann 
von einer elliptischen Maassbestimmung in der t,- Ebene bez. auf der 
t,- Kugel. Wir sagten bereits, dass die elliptische Maassbestimmung, auf 
die t,- Kugel übertragen, genau identisch mit der elementaren Maassbestim- 
mung der sphärischen Geometrie tvird. 

Um diesen Satz zu beweisen, brauchen wir nur auf die Ausdrücke 
für Entfernung E(x,y) und Winkel W(u,v) in der elliptischen Ebene 
unter Zugrundelegung der Gleichungsformen: 

fxx = ^i"^ + x./ + jg- = , (pau = «i- + Wo"' + "j"' = ' * 
zurückzugehen. Die Constanten k und x identiticieren wir mit — — 
und benutzen übrigens in den Formeln für E und W an Stelle des 
Logarithmus cyclometrische Functionen. Dann ist, wie man aus (6) 
und (7) pg. 4 auf Grund bekannter elementarer Formeln schliefst: 



1 \ 7 V \ '^'i '/i + '''^•2 y> 4- ^i " 

1) L(.r,g) = arccos ; 7 -.. t"^ 7 4 w-Vi^ 



V^i ' + a-a* + ^3* Vvi* -^ y-.* -i- Vs 



(2) 11 (u, i) = arccos ^—^- ' ^-^^-^ 



llierbei werden die Quadratwurzeln überall eindeutig bestimmt sein, 
wenn wir noch festsetzen, auf welcher Seite der elliptischen Ebene 
die Punkte bez. geraden Linien gelegen sein sollen. 

Nunmehr bemerke mau, dass wir für das Strahlenbündel, dessen 
Centrum der Kugelmittelpunkt ist, gemäss den durch Figur 6 darge- 
legten Verhältnissen in den .x',- rechtwinklige Strahlencoordinaten und 
in den ?/, zugehörige Ebenencoordinaten besitzen. Da liefern nun die 
Formeln (1) und (2) direct die Maasszahlen für die Winkel zwischen 
/.wei Strahlen bez. zwischen zwei Ebenen im Sinne der Elementar- 
geometrie. Der tiefere Grund hierfür liegt natürlich in der bereits 
hervorgehobenen Thatsache, dass der vom Kugelmittelpunkte auslau- 
tende von der elementaren Maassbestimmung benutzte Kegel: 

X2 -f Y- -\- Z' = 
aus der elliptischen Ebene der Figur 6 gerade deren absoluten Kegel- 
schnitt ausschneidet. Nun ist aber die Maassbestimmung im Strahlen- 
büiulel geradezu identisch mit der Maassbestimmung der sphärischen 
'leometrie auf der Oberfläche der ^- Kugel. Die aufgestellte Behauptung 
rscheint von hieraus selbstverständlich. 



42 Einleitung. 

Wollen wir dies für dieWiiikelmessung noch etwas weiter ausführen, 
so benutze man wie oben, dass die Doppelverhältnisse von irgend vier 
von einem Punkte auslaufenden Fortschreitungsrichtungen gegenüber 
irgend welchen Projectionen den Charakter der Invarianz besitzen. Die 
Tangenten vom Scheitelpunkte eines Winkels der elliptischen Ebene an 
den absoluten Kegelschnitt, welche mit den beiden Schenkeln das zum 
Winkelmaass führende Doppelverhältnis liefern, übertragen sich aber, 
wie wir schon bemerkten, auf der ^-Kugel in die beiden geradlinigen 
Erzeugenden durch den betreffenden Punkt. Diese wiederum liefern 
in der ^- Ebene die beiden Strahlen vom Scheitelpunkt des Winkels 
nach den Kreispunkten. Daher inüssen die Winkel der elliptischen 
Maassbestimmung auf der ^-Kugel und der ^-Ebene mit den elementaren 
Winkeln daselbst direct übereinstimmen. 

Weiter folgern wir, dass die „Bewegtmgen" der elliptischen Ebene 
in sich heim t'heryamj zur Kugel den elementaren Charalder der Drehungen 
der Kugel um ihren MittclpunJd annehmen. In der That drücken sich 
in ^ nach pg. 17 u. f. die „Bewegungen" der elliptischen Ebene durch 
die dortigen Substitutionen (4) aus, in welchen wir a, ß, y, d in der 
Gestalt (7) pg. 18 anzusetzen haben, d. h. durch die Substitutionen: 

/.,N .' _ {a-^ib)t + ic-\-id ) 

^ ' ^ (-c + ü/)S + (a-t6)' 

wobei a, b, c, d irgend vier reelle nicht durchgängig verschwin- 
dende Zahlen sind. Diese icichtigen Substitutionen, an die wir später 
noch oft anknüpfen werden, stellen nun in der That die Gruppe der 
Drehungen der t,-Kugel um ihren MitfclpunJct dar, wie mit aller Aus- 
führlichkeit in „Ikos." pg. 32 ff. abgeleitet ist. 

Eine grosse Beschränktheit, welche der elliptischen Maassbestim- 
mung im Gegensatz zur hyperbolischen anhaftet, besteht darin, dass 
wir hier nur zu elliptischen i,- Substitutionen geführt werden, wie 
schon gelegentlich angedeutet wurde. Man kann dies entweder aus 
der geometrischen Natur einer Kugeldrehung um den Mittelpunkt 
ohne weiteres einsehen oder auch analytisch aus der Gestalt der 
Substitution (3) nachweisen, wobei man „M." I pg. 164 heranziehen 
wolle. 

Die Continuität der Gruppe aller pg. 17 u. f. bestimmten reellen 
Collineationen und damit aller ^-Substitutionen (3) ist hier aus der 
geometrischen Bedeutung dieser Gruppe aufs neue evident geworden. 
Gleichwohl bietet sich jetzt, wo wir über die ^- Ebene und g-Kugel 
verfügen, die Möglichkeit der Erweiterung unserer continuierlichen 
Gruppe auf eine Gruppe der zweiten Art Die Transformation der 
S- Kugel vermöge der sogenannten Diametralsymmetrie, wobei immer zwei 



Etitwicklungen über projective Manssbestimnningen. 4/5 

•lianietrale Punkte ausgetauscht erscheinen, wird durch die ^-Substi- 
tution zweiter Art t,' = -— - dargestellt, wobei ^ der zu ^ conjugierte 

Wert ist und wie immer der Übergang von i; zu ^ gemeint ist. Für 
die elliptische Ebene entspricht dieser Substitution, so lange wir jene 
Ebene wie anfänglich als einfache Coordinatenebene der Xi denken, die 
identische Transformation, die im besonderen eine Veränderung der a;,, 
d. h. ihrer Verhältnisse, nicht im Gefolge hat. Benutzen wir hingegen 
ilie oben entwickelte Vorstellung der doppelseitigen elliptischen Ebene, 
so bedeutet die Diametralsymmetrie der ^- Kugel den Austausch der 
beiden Seiten der elliptischen Ebene. Analytisch entspricht dem, dass 
man neben den Coordinaten x^, x^, x.. die Quadratwurzel Yx^ -\- x^ -f" ^3^ 
in Betracht zieht, die dann beliebig im Vorzeichen geändert werden 
kann. Durch die hiermit gegebene Erweiterung entspringt aus der 
bisher continuierlichen Gruppe der Bewegungen eine Grup])c zweiter 
Art von t,- Substitutionen, ivelche nehcn den Substitutionen (3) noch die- 
jenigen der zweiten Art enthält: 

, 4N .' _ («+ t &)f-f (c-f ici) _ 

(— c + i<?)?+ (« — »■&) 
Statt übrigens die eben genannte Transformation der Diametral- 
Symmetrie zu benutzen, kommen wir zu derselben Gruppe zweiter Art, 
wenn wir die Operationen (3) mit der Spiegelung an irgend einer 
Diametralebene combinieren; man vergleiche hiermit auch die Erörte- 
rungen in ,,Ikos." pg. 23 ff. 

Die Substitutionen vom Typus (8) sind in dieser Gestalt zuerst 
von Riemanu in der Minimalflächeutheorie benutzt; man vergl. hierzu 
den Artikel -'^ von Riemaun's Abhandlung .,Über die Fläche vom Uein- 
sten Inhalt bei gegebener Begrenzung"'^'). Im übrigen hängen die frag- 
lichen Substitutionen enge mit der Mehrzahl der Untersuchungen zu- 
sammen, die wir oben (pg. 19) bei Besprechung der Bewegungen der 
elliptischen Ebene zu nennen hatten. Man sehe hierüber und nament- 
lich auch über die Beziehungen zur Quaternionentheorie die Entwick- 
lungen und litterarischen Nachweise in „Tkos." pg. 35 ft". nach. 

Die Beziehung der sjihärischeu Geometrie zur elliptischen ist in 
der hier in Betracht kommenden Weise von Klein in seinen ersten 
.arbeiten „Über die sogenannte u ich t-euklidi sehe Geometrie'**) entwickelt 



*) Abhaudlungon der tiüttin-.-r Cifsellsuh. iL \Vl^s. lül. 13 (1867) oder Werke 
p. 2'Jl. 

**) Mathem. Annalen lid. 4 >in.l C (KH72 und 73). 



44 Kinleilung. 

worden. Späterhin sind Newcomb*), Killing**) und Klein***) 
wiederholt auf diesen Gegenstand zurückgekommen. Übrigens beziehen 
sich diese letzteren Untersuchungen zumeist gleich auf sphärische bez. 
elliptische Räume von drei und mehr Dimensionen, welche als solche 
der unmittelbaren Anschauung nicht mehr zugänglich sind. 

§ 12. Die hyperbolische Maassbestimmung im Räume und die 
zugehörigen „Bewegungen". 

Die Begründung der projectiveu Maassbestimmung im Räume ge- 
schieht analog wie. in § 1, pg. 3 u. f., in der Ebene. Es wird eine Fläche 
zweiten Grades /;, = als absolutes Gebilde zu Grunde gelegt, worauf 
die Definition der Entfernungen und Winkel durch Logarithmen von 
Doppel Verhältnissen gerade so wie oben zu geben sind: um die Ent- 
fernung zweier Punkte anzugeben, muss man die beiden Schnittpunkte 
der durch sie bestimmten Geraden mit der Fläche /;; == aufsuchen 
und das Doppelverhältnis dieser vier Funkte berechnen etc. 

Je nach der Natur der absoluten Fläche zweiten Grades haben 
wir eine grössere Reihe von Fallunterscheidungen; doch werden wir 
aus Gründen, die im nächsten Paragraphen zu entwickeln sind, später- 
hin nur diejenige hyperbolische Maassbestimmung gebrauchen, welche 
sich auf eine einteilige, nicht geradlinige Fläche zweiten Grades als 
absolutes Gebilde bezieht. Es ist zweckmässig, diese Fläche zweiten 
Irrades sogleich als Kugel anzunehmen, und wir wollen die letztere 
gegeben denken durch die Gleichung: 

a) /;=--v + v + -v-^4^ = o. 

Gerade wie oben werden wir zumeist nur das Kugelinnere als „hyper- 
bolischen" Raum bezeichnen. Übrigens wird es hier nach den Vor- 
übungen der vorangegangeneu Paragraphen gestattet sein, die Schluss- 
weise fortan etwas mehr im Sinne der allgemeinen projectiven Geo- 
metrie durchzuführen. Speciell werden sogleich die geradlinigen Er 
zeugenden der Kugel, welche wir schon wiederholt nannten, explicit 
zur Verwendung kommen. 

Um die „Bewegungen" des hyperbolischen Raumes in sich zu ge- 



*) „Elenicntanj theorems relnting to thc gcomctry of a Space of three diincn- 
sions and of uniform positive curvnture in the fourth dimension", Crelle's Journ. 
Bd. 83 (1877). 

**) „Zwei liaumformcn mit constanter positiver Krümmuiuj" , Crelle's Journ. 
Bd. 86 (1879) und ,J'licr die Cli/ford-Klein'^chcn liaum formen", Mathem. Anniilen 
Bd. :-}9 (1891). 

***) ,^Zur nicht- euklidischen Geometrie'', Mathem. Aunalen Bd. 37 (1890). 



Entwicklungen über jirojectivo Maaasbestim muntren. 45 

winnen, werden wir die Grujipe aller reellen itaumcollineatioiien auf- 
suchen, bei denen das absolute Gebilde (1) in sich transformiert wird. 
Was die Mannigfaltigkeit dieser Gruppe angeht, bemerke man, das.s 
eine RaunicoUineatiou 15 wesentliche Constanten hat, eine Fläche zwei- 
ten Grades aber 9. Wir schliessen, dass eine Fläche ziveiten Grades 
oo" Collineationcn in sich zalässt; es handelt sich hierbei im vorliet^eii- 
den Falle ausschliesslich um reelle Constante, und es gilt der Wert- 
vorrat einer reellen Variabelen, wie auch bisher, als einfach unendliche 
Mannigfaltigkeit. 

Um die analytische Ausdrucksform der fraglichen CoUineationen 
zu gewinnen, machen wir ähnlich wie früher von einer Taramckr- 
darstellnng für die Punkte der Fläche (1) Gebrauch. Wir werden da- 
durch zu zwei complexen Grössen t, und t, geführt werden, welche hin- 
fort für die hyperbolische Maassbestimmung im Raum in gleicher 
Weise grundlegend werden, wie vorhin bei den Betrachtungen in der 
Ebene der Parameter t, der Tangentenschar des absoluten Kegelschnitts. 
Zu dem Zwecke nun ziehen wir die beiden Scharen geradliniger Er- 
zeugender der Fläche (1) heran. Diese Geraden sind auf der Fläche (1) 
imaginär, und wir müssen hier, gerade wie in § 3, vorab die Coordi- 
naten Zi als beliebige complexe Variabele ansehen und dem entspre- 
chend denn auch erstlich die Gesamtheit aller reellen und imaginären 
CoUineationen der Fläche (1) in sich aufsuchen; hernach ist aus dieser 
Gesamtgruppe dann wieder die Untergruppe der reellen Substitutionen 
auszuschalten. 

Um nun die in Rede stehenden Geradenscharen zu<iänrjlich zu 
machen, schreiben wir die Gleichung (1) um in : 

(2) (^4 + ^3) (^4 — %) — (^1 + «>2)(^1 - '"''2) = 

und führen ein neues Coordinatensystem durch die Formeln ein: 

(•^) Vi = ^.. + ^3 , y> = h + i^2 , V-A = h — '^-2 , y.i = ~4 — -"3 • 

Die Gleichung der absoluten Fläche ist dann y^y^ — y^y.^ = 0, und 
wir können unsere Fläche dementsprechend auf zwei Arten als Schnitt- 
gebilde projectiver Ebenenbüschel erzeugen, indem wir entweder: 

(4) Vi — ty3=0, y, — ^y^ = oder y^ — ly., = 0, y^ — Sy* = <^ 

setzen. Hierbei sind g und i; Parameter der Ebonenbüschel und damit 
zugleich Parameter der beiden Gcradenscharrn; zu jedem Werte ^ ge- 
hört vermöge (4) eine Gerade der einen Schar, zu jedem Werte $ 
• int" solche der anderen Schar. Dabei sind ^ nnd ^ zunächst von 
cinande)' unabhängige complexe veränderliche Grössen; erst s]uiterhin 



46 Einleitung. 

werden wir wieder t, und t, im früheren Sinne conjugiert complexer 
Zahlwerte benutzen. 

Im einzelnen Punkte der Fläche schneidet sich nun stets eine 
Gerade der einen Schar mit einer der zweiten. Beiden Geraden ge- 
hören wechselweise eindeutig zwei (im allgemeinen complexe) Werte 
t. und ^ zu. Wir iverden nun die in Aussicht genommene Parameter- 
darstellung dadurch begründen, dass wir die Coordinaten der Punkte un- 
serer Fläche durch die zugehörigen Wertepaare ^, ^ in der Gestalt: 

(ö) Vi •■!/, •.y.,:y^ = l^:t:l: 1 

ausdrücTien. Die Proportion (5) wollen wir noch so umschreiben, dass 
wir homogene Veränderliche 1= t,^: ^o und ^=^1:^3 einführen; es ist 
dann: 

(ß) Vi • y-i • ?/:i : y 1 = ^1 fi : ^1 ^2 'ti^i-- So li • 

Benutzt man die zweite und vierte Gleichung (4), so folgt auf 
Grund von (3) als Beziehung zwischen den ursprünglichen Coordinaten 
Zi der Flächenpuukte und den Parametern ^ und ^ dieser Punkte 
einerseits: 

(1) t '^ ^1 1 ''^■i , ^ __ ^1 ^^2 

sowie andererseits: 

(8) z, : z, : z, : z, = {t -^-l):- i{t - l) : {Ü - 1) '■ {Ü + 1) • 

Wir lesen aus (7) und (8) insbesondere den folgenden wichtigen 
Satz ab: Den reellen Punkten, der Kugel (1) gehören conjugiert complexe 
^\'ertc der Parameter t„ t, zu und umgekehrt 

Die Raumcollineationen, durch welche die absolute Fläche in sich 
selbst übergeführt wird, zerfallen nun in zwei Arten: bei einer Colli- < 
neation erster Art erscheint jede Gradenschar in sich selbst trans- 
formiert, bei einer solchen der zweiten Art tritt eine Permutation 
beider Scharen ein. 

Handeln wir zuvörderst von den Collinoationen erster Art, so ist 
bei einer einzelneu solchen jede Geradenschar auf sich selb.st collinear 
bezogen. Die allgemeinste Beziehung dieser Art stellt sich aber aus 
functionentheoretischen Gründen notwendig durch eine beliebige lineare 
Substitution des Parameters der Schar dar. Wir werden also zu der all- 
gemeinsten CoUineatiou erster Art geführt, wenn wir auf t, uml \ sinmlfan 
die Substitutionen: 

ausüben , (vo « . (i . . y, Ö acht complexe Coefficienfen siruJ, nur so gewählt, 



(10) 



Entwicklungen über projeotive Maassbestimiuungen. 47 

(iass die Determinanten {ad — ßy) und (ad — ßy) von ntdl verschie- 
den sind. 

Durch (!•) ist die Collineation nur erst für die i'uiikte der (Jber- 
tliiche selbst dargestellt. Um sie als Oulliueation des gesamten Raumes 
zu schreiben, haben wir vermöge (5) oder (6) auf" die y zurückzugehen. 
Man hat hier etwa in homogener Schreibweise zu setzen: 

2/i'= ^xV = («^1 + ßW i^l + ßÜ = ciay, + aßy, + ßäy, + ßßy^ , 
wo rechter Hand die Producte der l^, ^o, ti, ti wieder auf Grund von 
(6) durch die y^, y.^, y^, y^ ausgedrückt sind. Als allgemeinste Gestalt 
einer (reellen oder complexen) Baimicollineation erster Art der absoluten 
Flüche in sich hat man somit: 

yi= ««2/1 + ^ßy> + ß^y-i + ßhx, 

y-2 = ^yyi + ^^y- + ßry^ + ß^Vi^ 

ys = Y^yi + yßy-i + ^««/a + ^ßy^: 

jji == yyyi + y^y-^ + ^yys + ^^y^. 

Des näheren ergiebt sich, wie man leicht feststellt: 

vii) yi'yi — 2/2' ^3'= («<5 — ßy) («^^ — ßy) (.y^y^ — y2ys)- 

Die Gesamtheit aller Collineationen zweiter Art der absoluten 
Fläche in sich ergiebt sich nun sofort, indem wir die Vertauschung 
von ^ und ^ hinzunehmen. Wir werden zunächst sagen: Die gesamten 
Collineationen zweiter Art der ahsoliden Fläche in sich wrrden (/clicfcrt 
von den sitmdtanen linearen Sahst itutionen: 

yS + d y^ + d 

Im Übrigen aber beachte man dass der Vertauschung von l, und <; die 
folgende Substitution der y entspricht: 

y'i = yi , y'i = 2/3 , y\ = y^ , y'i = //4 • 

Diese also müssen wir mit den Formeln (10) comhiniercn, um die gc- 
samten Collineationen ziveiter Art der Fläche in sich zu gewinnen. 

Wann werden wir nun mit einer reellen Collineatidii des ursitrüng- 
lichen hyperbolischen Raumes der Zi zu thun haben? Mau kann, um 
hierüber zu entscheiden, entweder die Collineation (10) auf die r, um- 
rechnen und die Realität der neuen Coetlicienten discutieren, oder 
man kann, was noch directer ist, an die Substitutionen (0) und (12) 
anknüpfen und den Satz benutzen, dass reellen l'unkten der Kugel 
conjugiert complexo §;, \ zugehören. Beides führt zum Resultat: Man 
hat stfts und nur ihmn mit <in(r rt eilen Collincntion di's (tn/<iugs zu 



48 Einleitung. 

Gründe ydcgkn hypcrhoJischen Baumes zu thun, ivcmi in (9) hez. (12) 
die vier Coeffwicntcn u, ß, y,Ö die zu cc, ß, y, ö conjucjicrt complcxcn 
Z(ddwcrtc darstellen. In diesem Falle, der für uns liinf'ort einzig in 
Betracht kommen wird, ist die zweite Substitution (9) bez. (12) immer 
bereits durch die erste mitgegeben. 

Was nun hier endlich noch über die „Bewegungen*' des hyper- 
bolischen Raumes zu sagen ist, liegt nach Analogie mit der hyper- 
bolischen Ebene fast unmittelbar auf der Hand. Die Gesamtgruppe 
aller reellen Collineationen der Fläche (1) in sich ist eine Gruppe 
zweiter Art und besteht aus zwei contiiiuierlichen Scharen von Ope- 
rationen. Die in ihr enthaltene Untergruiype erster Art, aus allen Sub- 
stitutionen (0) bestehend, liefert die gesamten „licivcgungen" des hyper- 
bolischen liaumes in sich; die ziceite continuierliche Schar der Substitut ionoi 
(12) entspringt durch Combination der Bewegungsgruppe mit einer ein- 
zelnen „symmetrischen Umformung" des hyperbolischen Baumes an einer 
Ebene. Da die a, ß, y, ö gegenwärtig beliebige complexe Zahlen 
sind, die indes nur in ihren Quotienten zur "Wirkung kommen, so ent- 
hält die in Rede stehende Gruppe cxf' Operationen; es stimmt dies 
mit der schon oben vollzogenen vorläufigen Abzahlung überein. 

Es erübrigt noch, dass wir die jetzige Parameterdarstellung ^, t, 
mit den früheren in Beziehung setzen. Wir bezeichneten früher mit 
t,, ^ die Parameter der beiden von einem Punkte der Ebene an den 
absoluten Kegelschnitt laufenden Taugenten, insbesondere der beiden 
von dem Punkte nach den Kreispunkten der ^-Ebene hingehenden 
Geraden. Nun waren die verschiedenen Übertragungen der Ebene auf 
die Kugel durch irgend welche Projectionen von uns immer so einge- 
richtet worden, dass die genannten Tangenten resp. Verbindungsgeraden 
sich direct in die geradlinigen Erzeugenden der Kugel verwandelten. 
Deshalb sind die früheren t„ t, genau wie die jetzigen Parameter, 
ivelche die Erzeugenden der beiden Seharen auf der Kugel eindeutig fest- 
legen, imd in der That erweisen sie sich, von kleinen Änderungen in 
der Bezeichnung abgesehen, die wir hier nicht ausführlich discutiereu 
wollen, mit den jetzigen t,, t, geradezu als identisch. Die conjugierten 
Werte t,, 5, welche wir jetzt einem reellen Kugelpunkte beilegen, sind 
dann auch mit denjenigen ^-Werten identisch, welche man ihnen in 
der Functioueutheorie erteilt, wenn man die Kugel als Biemann' sclie 
Kngcl/lüche benutzt; wir kommen sofort darauf zurück. 

Die hier gebrauchte Parameterdarstellung für die Punkte einer 
Fläche zweiten Grades ist von Plücker*) eingeführt und seither 

*) In Crelle's Journal, Bd. 3G (^1847). 



Eiitwicklnugeu über iJiojuctive Maassbestimmurigeii. 49 

liusserst häufig iu Benutzung genommen worden; man vcrgl. da'/.u auch 
Jkos." pg. 179 ff. Im übrigen ist hier vor allem wieder Cayley zu 
nennen, der die Aufgabe, die Collinoatiun«-'n einer Fläche zweiten Grades 
in sich aufzustellen, wiederholt behandelt hat; speciell die quaternäre 
Substitution (10) findet sich in der Abhandlung „On the honiographic 
transformntion of a surface of thc second order into itself''*) abgeleitet. 
Die Deutung des t, auf der gewöhnlichen Riemann'schen ^-Kugel durch 
die geradlinigen Erzeugenden sowie die im nächsten Paragraphen zu 
gebende specielle Schilderung der einzelneu „Bewegungen" ist zuerst 
von Klein im Bde. 9 der Mathem. Annalen entwickelt („Über binäre 
Formen mit linearen Substitutionen in sich selbst^', 1875). 

§ 13. Zusammenhang der Kreisverwandtschaften mit der 
hyperbolischen Geometrie. Die Rotationsuntergruppen im hyper- 
bolischen Räume. 

Wie eben zuletzt, so beziehen sich auch weiterhin unsere Be- 
trachtungen einzig auf den reellen Raum der Zi, so dass t, und ^ wieder 
conjugiert complexe Grössen sind. Von den Substitutionen (9) und 
(12) § 12 dürfen wir also jedesmal die zweite sparen, da sie ja mit 
der ersten (als zu ihr conjugiert) sogleich mitgegeben ist. 

Wir sagten bereits, dass wir die als absolutes Gebilde der hyper- 
bolischen Maassbestimmimg zu Grunde gelegte Kugel direct als t,- Kugel 
im früheren Sinne, d. h. als Trägerin der complexen Werte t, im geivöhn- 
lichen Riemann'schen Sinne anmsehen haben. Um diesen Satz hier noch- 
mals in besonders elementarer Weise darzulegen, gestalten wir das Co- 
ordinatensystem der Zi des vorigen Paragraphen in ein rechtwinkliges 
Cartesisches System um, indem wir setzen: 

(1) z^:z.^'.z^:z^ = X:Y:Z:\; 

es ergiebt sich so aus den Formeln (7) pg. 46 und (1) pg. 44: 

(2) t = T-^z^ ^" + ^' + ^^' = 1, 

und eben hierdurch stellt sich in bekannter Weise die stereographisohe 
Projection der ^- Ebene auf die Kugeloberfläche dar (cf. „Ikos." pg. 32). 
Nun stellen aber in der Functionentheorie die linearen Substitu- 
tionen der ^, i, bekanntlich die allgemeinsten Kreisverwandtschaften 
in der ^-Ebene bez. auf der ^- Kugel dar („M." I pg. 103 11'.). Die- 
selben Substitutionen erhielten in den Formeln (9), (10) des vorigen 
Paragraphen ihre einfache BeiUnitung für d(Mi hyporbolisthon l\aun\. 

*) Philosoi)hic.al niagiizine, Bd. 7 pg. 208 (18ri4). 

l-'rukK- K l.Mii \iit,.innrplu- iMiiK-lionon. T. t 



50 Einleitung. 

Es gilt also der Satz: Führt man eine beliebige „Beivegung^' des hjper- 
bolischen Baumes in sicli aus, so erfährt dabei die t,-Kngel eine Kreis- 
verivandtschaft, und die Gesamtgruppe der Beivegungen liefert gerade die 
gesamten directen Kreisverwandtschaften; die Schar der reellen Colli- 
neationen zweiter Art aber liefert entsprechend die gesamien indirccten 
Kreisverivandtschaften. Dieses Resultat kann aiclit überraschen-, denn 
bei einer Collineation der 2^- Kugel in sich geht jede Ebene des hyper- 
bolischen Raumes wieder in eine solche über, und also der ebene 
Schnitt mit der ^- Kugel gleichfalls in einen solchen. Die 2;- Kugel 
erfährt also eine Transformation, bei welcher Kreise in der That stets 
in Kreise übergehen, d. i. eine Kreisverwandtschaft. Es folgt aber aus 
dem vorigen Paragraphen, wie wir sahen, noch mehr, nämlich dass 
auch jede directe Kreisverwandtschaft der i;- Kugel sich durch eine „Be- 
wegung" des hyperbolischen Raumes in sich ausführen lässt. 

Zum Zwecke späterer Entwicklungen ist es wünschenswert, die 
Coincidenz der linearen £;- Substitutionen erster Art mit den „Be- 
wegungen" des hyperbolischen Raumes noch weiter zu verfolgen. Wir 
kommen hier zu Vorstellungen, welche die Verallgemeinerung der in 
§ 9 pg. 32 für die Ebene entwickelten Anschauungen abgeben. Übri- 
gens sind die Einzelheiten der im hyperbolischen Räume vorliegenden \ 
Verhältnisse für später nicht von der gleichen Wichtigkeit, wie die- 
jenigen der projectiven Ebene, und werden zumal hei den Unter- 
suchungen des zweiten Abschnittes völlig in den Hintergrund treten. 
Bei dieser Sachlage dürfen wir uns hier entsprechend kürzer fassen. 

Man mache sich vor allem die Lage der Bahncurven und Niveau- 
fUichen klar, die im hyperbolischen Räume einer einzelnen elliptischen, 
parabolischen, hyperbolischen oder endlich loxodromischen ^-Substitution 
entsprechen. 

Für die einzelne Substitution lege man zu dem Zwecke die 
tferadliuige Kugeltransversale zwischen den beiden Fixpunkten und 
die dieser Transversale zugehörige ausserhalb der Kugel gelegene 
Polare fest. 

Hat man alsdann eine nicht-loxodromische Substitution, so ist die 
Sachlage sehr einfach: Die beiden Ebenenbüschel durch die soeben 
genannten Geraden schneiden auf der Kugel das System der Bahn- 
und Niveaulinien aus (man vergl. hierzu die Entwicklungen in „M." 
1 pg. 1G9). Die eine der beiden Geraden bleibt bei Ausführung der 
Bewegung Punkt für Punkt fest, und das ihr zugehörige Ebenenbüschel 
Avird man als das System der Niveauebenen bezeichnen können. Die zu 
diesem Ebenensystem im Sinne der Maassbestimmung gehörenden ortho- 
gonalen Trajectorien sind die Bahncurven; im gewöhnlichen Sinne sind 



Entwicklungen über projective Maassbestimmungen. 51 

die letzteren Kegelschnitte, welche die ^- Kugel, allgemein zu reden, 
in zwei Punkten berühren, nämlich in denjenigen beiden Punkten, in 
welchen die Kugel von der anderen Geraden geschnitten wird. 

Etwas complicierter liegen die Verhältnisse bei einer loxothomischen 
^-Substitution. Hier winden sich, um nur auf das Innere der ^-Kugel 
zu achten, die Bahncurven unendlich oft spiralförmig um die Ver- 
bindungsgerade der beiden Fixpunkte, welche letztere Anfangs- und 
Endpunkt der einzelnen Spirale abgeben. Für den Fall, dass die beiden 
Fixpunkte Endpunkte eines Kugeldurchmessers sind, wurden die auf der 
Kugeloberfläche selbst in Betracht kommenden Verhältnisse bereits in 
„M." I pg. 170 untersucht, wo denn auch der Ursprung des Namens 
„loxodromische" Substitution bereits hervorgehoben wurde; die gegen- 
wärtige Entwicklung stellt die projective Verallgemeinerung der da- 
maligen vor. 

Unter den ^-Substitutionen zweiter Art spielen die sogen. Spiege- 
lungen oder symmetrischen Umformungen an Kreisen eine bevorzugte 
Rolle (cf. „M." I pg. 197). Im hyperbolischen Räume der Zi sind die 
ihnen correspondierenden Collineationeu zweiter Art sogen, harmonische 
Peispectivitäten. Bei der einzelnen solchen Transformation bleibt ein 
Punkt ausserhalb der Kugel und die diesem Punkte bezüglich der 
Kugel zugehörige Polarebene Punkt für Punkt fest. Die übrigen Punkte 
permutiereu sich zu Paaren in der Weise, dass die Verbiuduugsgerade 
zweier zusammengehörenden Punkte durch den äusseren Fixpunkt 
zieht, während zugleich diese drei Punkte samt dem Schnittpunkte 
ihrer Geraden mit der schon genannten Polarebene ein harmonisches 
Quadrupel bilden. Im Anschluss hieran erwähnen wir noch, dass eine 
harmonische Perspectivität mit Centrum im Kugelinnern auf den gleich- 
falls in „IM" I pg. 198 betrachteten Fall einer Inversion an einem 
imaginären Symmetriekreis führt. — 

Ein bemerkenswertes und späterhin oft zur Verwendung kommen- 
des Priucip, aus der für den hyperbolischen Raum gewonnenen Ge- 
samtgruppe Untergruppen auszuschalten, gründet sich auf folgende 
Maassnahme. Wir sammeln die gesamten reellen Collineationen unserer 
'•nippe, ivelche einen vorgeschriebenen Punkt des hyperbolischen Raumes 
zum Fixpunldc haben. Es ist klar, dass diese Collineationen für sich 
eine Untergruppe bilden. Die hierbei zur Geltung kommenden Colli- 
neationen erster Art wird man als „Rotationen" um den gewählton 
Punkt bezeichnen können; es sei dieserhalb erlaubt, die hier gemeinten 
Untergruppen als Uotationsgruppcn und «Icn frst <_rowählten Punkt als 
zugehöriges Centrum zu bezeichnen. 

Die Rotationsgruppen ordnen sich ersichtlich in drei Classen an, je 



I 



52 Einleitung. 

nachdem das Centrum ausserhalb, innerhalb oder auf der absoluten Kugel 
der hyperbolischen Maassbestimmung gelegen ist. 

Eine Gruppe der ersten Classe lag bereits oben in § 6, pg. 23 u. f. 
vor, als wir die hyperbolische Ebene durch orthographische Projectiou 
auf die Kugel übertrugen. Es handelt sich dort um diejenigen Be- 
wegungen des hyperbolischen Raumes, welche einen im Sinne der 
gewöhnlichen Raumanschauung unendlich weit gelegenen Punkt fest- 
lassen, und es ergiebt sich, dass dieselben mit den Bewegungen der 
hyperbolischen Ebene in sich direct identisch sind. Analog treffen wir 
eine Gruppe 2''" Classe in § 10, pg. 38, bei Übertragung der elliptischen 
Ebene auf die Kugel. Die Übertragung geschah durch Centralprojection 
vom Kugelmittelpuükt aus und die Bewegungen der elliptischen Ebene 
verwandelten sich in Übereinstimmung hiermit in diejenigen Bewegungen 
des hyperbolischen Raumes, welche den Kugelmittelpunkt festlassen. 
Nun bemerke man, dass eine analoge Beziehung notwendigeriveise immer 
auftritt, wenn tvir das Centrum einer Rotationsgriqype ausserhalb oder 
innerlialb der Kugel annehmen. 

Zum Beweise benutze man den Umstand, dass die Polarebene des 
Centrums bezüglich der Kugel durch die Operationen der Untergruppe 
in sich transformiert wird, und dass innerhalb dieser Polarebene der 
Schnittkreis derselben mit der Kugel insbesondere wieder collinear auf 
sich selbst bezogen erscheint. Dieser Schnittkreis ist einteilig oder 
uullteilig, je nachdem das Centrum ausserhalb oder innerhalb der 
Kugel liegt. Hiermit haben wir aber für die projective Auffassung 
genau den Ansatz wiedergewonnen, der in § 4, pg. 15 ff., zu den 
Gruppen der hyperbolischen, bez. der elliptischen Ebene hinführte. 

Liegt das Centruni auf der Kngel selbst, so wird das Resultat 
etwas anders. Es ist zweckmässig, die Überlegung in folgender Weise 
direct an t, anzuschliessen. Man denke t, so gewählt, dass im Cen- 
trum der Gruppe der Wert ^ = oo vorliegt, was nötigenfalls durch 
lineare Transformation von t, erreichbar ist. Alle Substitutionen erster 
Art der Untergruppe, um nur von diesen zu sprechen, werden dann 
in der Gestalt: 

(3) r=«e + /3 

erscheinen; denn dies sind die Substitutionen, welche t, = oo zum 
Fixpunkte haben. Der Vergleich mit (2) und (3) pg. 8 u. f. liefert 
den Satz: Eine liotationsgruppc mit Centruni auf der Kugel ist nicht direct 
identisch mit der in § 2 aus der parabolischen Maassbestimmung abgeleiteten 
Gruppe; sie umfasst jedoch die letztere und entspringt aus ihr durch Zu- 
satz der Gruppe aller Ahnlichlceitstransformationen: 
(4) i'=at. 



Eutwicklungcn über projective Maassbeatimraungen. 53 

Auf die so erweiterte Gruppe liätten wir bereits oben ([>g. 10) bei 
Besprechung der parabolischen Maassbestim tuung eingehen können. 
Gegenüber der erweiterten Gruppe würde alsdann zwar der damalige 
Ausdruck W{u, v), nicht aber E(x, y) den Charakter der Invarianz 
besessen haben; in der That stellt ja die Ähnlichkeitstransformation 
eine zwar conforme, aber nicht congruente Abbildung dar. 

Mit diesen Erörterungen sind die Gruppen der Ebene, die wir 
früher nur beiläufig auf die ^- Kugel übertragen haben, allgemein und 
systematisch in die Betrachtung des auf die Kugel als absolute Fläche 
zu gründenden hyperbolischen Raumes eingeordnet. 

Wir verweisen zum Schluss noch auf die Untersuchung von 
Schilling im 44®'®'^ Bande der Mathematischen Annalen*), es wird 
dort die geometrische Betrachtung der Bewegungen des hyperbolischen 
Raumes nach verschiedenen Seiten weiter entwickelt. 

§ 14. Beziehung des hyperbolischen Raunaes auf den ^- Halbraum. 

Man wird bemerkt haben, dass die Entwicklungen über den 
hyperbolischen Raum zahlreiche Analogieen zu den bei der hyper- 
bolischen Ebene besprochenen Verhältnissen darbieten. Es gilt hier 
zum Schluss diese Analogieen noch weiter auszudehnen, indem wir der 
pg. 22 u. f. entwickelten Beziehung zwischen der hyperbolischen Ebene 
und der £;-Halbebene eine entsprechende Beziehung für den hyper- 
bolischen Eiaum an die Seite stellen. Den Punkten der Ellipse der 
hyperbolischen Ebene entsprach seinerzeit die reelle ^-Axe, während 
einem einzelnen Punkte im Ellipseninnern ein bezüglich der reellen 
^-Axe symmetrisch gelegenes Punktepaar zugehörte. Gerade so lassen 
wir geyemvärtig der Kugel des hyperbolischen Raumes die t,- Ebene ent- 
spreclien; einem einzelnen PimJ^te des Kiujelinnern aber iveisen wir zwei 
Fxmlxte des „^-liamnes" zu, die zur i,- Ebene symmetrisch liegen. Unter 
^-Raum soll dabei ein gewöhnlicher dreidimensionaler Raum gemeint 
sein, in welchem die ^- Ebene gelegen gedacht wird. 

Wie diese Zuordnung nun des näheren beschaffen sein soll, wenlon 
wir am einfachsten gleich analytisch festlegen. Wir knüj)fen an die 
rechtwinkligen Coordinaten |, ^; der ^ = (§ -f- *>?)- Ebene an und führen, 
um die Punkte des §- Raumes bezeichnen zu können, die zur ^- Ebene 
senkrechten Ordinaten d- ein. Indem wir X, Y, Z wie im vorigen 
l'aragraphen (pg. 40) als rechtwinklige Coordinaten im hyperbolischen 



*) Beiträge zur geonut tischen Theorie der Schicar:' sehen s-Fnuction (1894\ 
Vergl. iusbes. § 7 ilasclbst. 



54 Hinleitung. 

Eaume brauchen, soll die in Rede stehende Beziehung des hyper- 
bolischen Raumes auf den ^Raum festgelegt sein durch: 



(1) ^ = Yzrz' "I^T^i^Z' ^ = ± rzz-z 

Für die Punkte der Kugel kommen wir, wie es sein muss, auf 
die Formel (2) pg. 49 zurück. Ein Punkt ausserhalb der Kugel des 
hyperbulischen Raumes liefert imaginäres -O'; ein Punkt des Kugel- 
innern liefert, wie es sein sollte, zwei bezüglich der 2;-Ebene sym- 
metrische Punkte. Will man Eindeutigkeit der Beziehung erzielen, so 
wird man den g-Raum durch die ^-Ebene, die wir etwa horizontal 
denken, in zwei Hqlhräume zerlegen; der obere Halbraum möge posi- 
tiven Werten & zugehören und soll fortan als positiver Halhramn be- 
zeichnet werden; auf das Kugelinnere des hyperbolischen Raumes ist 
letzterer dann eindeutig bezogen. 

Man hat nun für die so begründete Beziehung folgende Sätze, die 
sich wiederum entsprechenden Sätzen über die hyperbolische Ebene 
und ^- Halbebene genau anschliessen: Ben Ehenen und Geraden d(s 
hypcrholischen Baumes entsprechen im ^- HaJhranm Halhkugeln hes. Halb- 
lireise , die gegen die t,- Ebene orthogonal gerichtet sind. Die Gleichung 
einer Ebene des hyperbolischen Raumes: 

(2) u\ X + w, Y-\-iv^Z-j- w^ = 
transformiert sich nämlich vermöge (1) auf die Gestalt: 

(3) (2v, + u;) i^' + yf + ^') + 2 u; I + 2 tv, n + {iv, - iv,) = 0, 

und hierdurch ist in der That eine Kugel dargestellt, deren Mittel- 
punkt der ^- Ebene augehört. Eine Gerade des hyperbolischen Raumes 
als Schnitt zweier Ebenen liefert dann weiter den Schnitt zweier 
solchen Kugeln, d. i. einen auf der ^- Ebene senkrecht stehenden 
Kreis. 

Indem wir die hyperbolische Maassbestimmung aus dem projec- 
tiven Raum in den i;-Halbrauni übertragen, ist die Definition dt r 
Entfernung zweier Punkte unmittelbar zu geben. Man wird den durch 
die beiden Punkte hindurchziehenden, zur ^-Ebene orthogonalen Halb- 
kreis zeichnen, das Doppelverhältnis der beiden Punkte und der Fuss- 
punktc dieses Halbkreises nach Maassgabe der bezüglichen anfänglichen 
Festsetzungen (von pg. 4) berechnen u. s. w. Vor allem wichtig ist 
der Satz: Die hyperbolische Winicelmessung des ^- Halbraumes stimmt 
üherein mit der Winkelmesswig der elementaren Raumgeometrie. Man 
beweist dies wohl am kürzesten durch Benutzung des entsprechenden 
Satzes in § 7, pg. 27, Um nämlich z.B. den Neigungswinkel zweier „Ebe- 



Entwicklungeil über prqjcctive MaaBabestimiuiingen. 55 

iicn", d. i. zweier auf der ^-Ebene orthogonalen Halbkugeln zu messen, 
errichte man eine Halbebene J5^ senkrecht zur ^-Ebene durch die beiden 
Mittelpunkte jener Halbkugeln, wobei nun der fragliche Neigungs- 
winkel als Winkel zwischen den beiden Schnittkreisen in E vorliegt. 
Der Ebene E gehört im hyperbolischen Räume eine Ebene E' zu, 
welche durch den ^ = 00 tragenden Punkt der absoluten Kugel hin- 
durchzieht. Die Beziehung zwischen der Ebene E' und der Halbebene 
E ist alsdann genau diejenige, welche wir in §§ G und 7, pg. 22 ff. 
ausführlich besprachen. Der gegenwärtige Satz über die Winkel- 
niessung ist hiermit eine unmittelbare Fol^e des damali«j;en. 

Die eben eingeführte Halbebene E wollen wir noch einmal be- 
nutzen, um Formeln für die Differentiale von Bogen, Fläche und Vo- 
lumen aus den auf die 2;- Halbebene bezüglichen Formeln (7) pg. 28 
abzulesen. Offenbar ergiebt sich der Satz (der übrigens weiterhin 
kaum Anwendung findet): Sind ds, dt, du MaasszaJden von Boijen- hez. 
Flächen- tmd Raumelementen des ^-Raumes, im elementaren Sinne ge- 
messen, so gelten für die in der hyperbolischen Maasshestimmung ausge- 
drücldcn 3Iaasszahlen da, dt, dv dieser Elemente die Formeln: 

/,>. , ds -, dt 7 du 

(4) f^^ = ^^ '^^ = ö^.y '^^ = ^^ 

miter %• jedesmal den senTirechten Abstand des Elementes von der t,- Ehme 
verstanden. Für ■d- = werden diese Formeln illusorisch, dem Um- 
stände entsprechend, dass im Sinne unserer hyperbolischen Maass- 
bestimmung die Punkte der ^- Ebene die unendlich fernen Elemente 
des Halbraumes sind. 

Bei der analytischen Darstellung der .,Bewegungen'* des ^-Halb- 
raumes in sich ist es zweckmässig, statt ^, ^/, 9- eine etwas andere 
Coordinatenbestimmung einzuführen. Zuvörderst ersetzen wir t, und /; 
durch i = i> -{- i'>] und ^ = ^ — iri] andererseits wollen wir als Ersatz 
von #• das Quadrat der Entfernung r des Punktes (§, r;, ^) vom Null- 
punkte t = 0, ■O- = einführen, wobei im Anschlüsse an (1) die For- 
mel gilt: 

(5) r2 = r+T + ^-^ = r--|- 

Man hat iiiernach unter Wiedereiufülinmg des in >; 12 pg. If) benutzten 
Coordinatensystems der y die Beziehungen: 

(6) i:-=<.=, f-^ i^i. 

Das Gleichungssystcm (10) jw/. 47 liefert hiernach als Ausdrucke form der 
„lieu'cgung" des t,- Raumes in sich: 



56 Einleitung. 



0) 



yy,-2 -|- y^^ -(- ^yj -|- ^5 



tvohci a, ß, . . die in § 12, pg. 46 angegebene Bedeutung haben. Die Ope- 
rationen zweiter Art wird man durch Combination dieser Substitutionen 
(7) mit der Substitution ^'= ^, ^'= g, »•"'' = »•2 erzeugen. Für Punkte 
der g- Ebene selbst müssen wir dabei auf die gewöhnlichen ^-Substi- 
tutionen zurückkommen. Hier ist in der That 9 = und r^ = t,t,\ 
dann aber liefert die zweite Formel (7): 

\yi-\-^)Gl-\-s) yä: + ö' 

wie es sein muss. 

Dass wir die einzelne i;- Substitution erster Art auch im ^-Halb- 
raum durch ein System von Balmcnrven und Niveauflächcn veranschau- 
lichen können, braucht kaum gesagt zu werden. Hierbei bieten wieder 
die nicht- loxodromischen Substitutionen keinerlei Schwierigkeit. Bei- 
spielsweise sind bei einer hyperbolischen Substitution die gesamten 
den Raum erfüllenden Kreise durch die beiden in der ^- Ebene gelege- 
nen Fixpunkte die Bahncurven, die dazu orthogonal verlaufenden Kugeln 
aber die Niveauflächen. Bei einer elliptischen Substitution bleibt der 
durch die beiden Fixpunkte der ^-Ebene hindurchlaufende zu dieser Ebene 
orthogonale Halbkreis Punkt für Punkt fest, und die Bewegung hat 
den Charakter einer Wälzung oder Wirbelbewegung um diesen Kreis. 
Bei einer loxodromischen Substitution endlich wird der die beiden 
Fixpuukte verbindende zur 2;-Ebene orthogonale Halbkreis wie bei 
einer hyperbolischen Substitution in sich selbst transformiert. Im 
übrigen windet sich bei Ausführung der Bewegung der g- Halbraum 
um diesen Halbkreis spiralförmig von einem Fixpunkt zum andern 
hin, wobei in der ^-Ebene selbst die bereits in „M." I pg. 172 be- 
sprochenen Doppelspiralen auftreten. 

Unter den Substitutionen zweiter Art sind natürlich wieder die- 
jenigen besonders zu nennen, welche symmetrische Umformungen oder 
Spiegelungen darstellen. Dieselben werden nun im ^-llaume Trans- 
formationen durch reciproke Radien an Kugeln, die zur ^-Ebene senk- 
recht verlaufen. 

Die Beziehung des ^-Raumes auf sich selbst, wie sie durch eine 
einzelne {;- Substitution dargestellt ist, werden wir nach Analogie einer 



Entwieklunf,'i;u iiljpr projective MaassbcstinimuDgen. 57 

früheren Benennung als eine Kugelverwandtschaft bezeichnen und 
sprechen von einer dircctm oder indirecten Kugel Verwandtschaft, je 
nachdem eine ^-Substitution erster oder zweiter Art vorliegt. Das 
Wesentliche an dieser Beziehung ist, dass sie ein ivechseliveise eindeu- 
tiges Entsprechen für die Punkte des ^-Raumes festlegt, uobei Kugeln 
immer wieder' in Kugeln übergehen. Die Ebenen sind dabei besondere 
Fälle von Kugeln. Im übrigen muss betont werden, dass wir hier 
doch nur mit solchen Kugelverwandtschaften zu thun haben, bei denen 
die ^-Ebene stets sich selbst eyitspi-icht. Dies ist ganz analog der oben 
bei der hyperbolischen Maassbestimmung in der Ebene hervorgehobenen 
Sachlage, dass wir dort nur mit Kreisverwaudtschaften der i;-Ebeue 
zu thun hatten, bei denen die reelle ^-Axe stets in sich selbst übergeht. 
Die hyperbolische Maassbestimmung eines Halbraumes in der 
hier besprochenen Gestalt findet sich in Poincare's „Memoire snr 
Ics groupes Kleine'ens" *) ausführlich entwickelt; doch werden dort 
die ^-Substitutionen direct, d. h. ohne Vermittlung der Maassbestim- 
mung im projectiven Räume, als Transformationen des ^-Raumes 
untersucht; und es wird nur am Schlüsse der Analogie der sich er- 
gebenden Maassbestimmung zur Lobatschewski'schen Geometrie gedacht. 
Infolgedessen bleibt auch die eigentliche Quelle des Formelsystems (7) 
pg. 56, d. i. die Collineationsgruppe des projectiven Raumes, unerwähnt. 
Unter allen Transformationen des ^- Kalbraumes in sich greift Poincare 
die Inversionen durch reciproke Radien an Kugeln als einfachste auf, 
deren geometrischer Sinn sofort evident ist. Die übrigen i;- Substitu- 
tionen werden dann dadurch zugänglich gemacht, dass sie durch eine 
Folge mit einander combinierter Spiegelungen ersetzt werden. In- 
zwischen werden sowohl die Anzahl als die Auswahl der im einzelnen 
Falle anzuwendenden Spiegelungen 1. c. noch sehr willkürlich gelassen. 
Es sei hierzu die Bemerkung gestattet, dass eine nicht-loxodromische 
Substitution stets aus zwei, eine loxodromische Substitution stets aus 
vier Spiegelungen hergestellt werden kann, sofern man mit der klein- 
sten Anzahl von Spiegelungen reichen will; die Symmetriekreise sind 
Niveaulinien der nicht- loxodromischen Substitution bez. der beiden 
niclit-loxodromischcn Substitutionen, aus denen sich die loxodromische 
erzeugen lässt (vergl. auch die i)g. 53 geniunito Arbeit von Schilling"). 

§ 15. Schlussbemerkungen zur Einleitung. 

Für die Abgrenzung der in der Einleitung vorgotragoncn Ent- 
wicklungen in sachlicher und methodischer Hinsicht war einzig die 

*) Acta matheniatioa, Bd. .{ i»»?. 49 (1883). 



58 Einleitung. 

Absicht raaassgeblich, diese Entwicklungen als Einleitung zu den nun 
folgenden Untersucluingen gelten zu lassen. Aus diesem Grunde ist 
von den projectiveu Maassbestimmungen im Räume allein die hyper- 
bolische zur Sprache gekommen, die sich auf eine einteilige, nicht- 
geradlinige Fläche zweiten Grades als absolutes Gebilde bezieht. Es 
sind natürlich die gruppentheoretischen Erörterungen in gleicher Weise 
auch auf den parabolischen und elliptischen Raum anwendbar. Auch 
kann man im elliptischen Falle wieder durch Vermittlung der beiden 
Geradenscharen die Bewegungen durch Paare linearer Substitutionen 
der beiden Parameter darstellen, wie dies u. a. von Klein in der 
mehrfach citierten Arbeit „Zur nicht - euldidischen Geometrie" *) (im 
Artikel 1) entwickelt wird. Die Bedingung einer reellen Collineation 
ist hier die, dass jede der beide Substitutionen unabhängig von der 
andern den Typus (3j pg. 42 besitzen muss; im Gegensatz hierzu war 
im hyperbolischen Falle die zweite Substitution mit der ersten als 
zu ihr conjugiert ohne weiteres mitgegeben. Während wir also hier 
mit einer Substitution reichen, ist man im elliptischen Falle durchaus 
genötigt, Substitutions^^aare zu betrachten; deshalb aber fallt der 
elliptische Raum aus unserem Programm, Substitutionsgruppen einer 
Veränderlichen zu betrachten, hinaus. 

Betreffs der Methode der vorangehenden Entwicklungen sind fol- 
gende Bemerkungen nachzutragen. Zu jeder Art geometrischer Be- 
trachtungen hat man nach bekannten modernen Grundsätzen**) eine 
Gruppe von Transformationen als zugehörig zu betrachten. Geo- 
metrische Gebilde, die durch eine Substitution der Gruppe aus einander 
hervorgehen, heisseu alsdann äquivalent und gelten als nicht wesent- 
lich verschieden; man soll dann, vom principiellen Standpunkte aus, 
die Darstellung so einrichten, dass bei der Formulierung der Sätze 
äquivalente Gebilde immer zugleich einbegriffen sind. 

Dieser Forderung „invarianter Darstellung" entspricht die bisherige 
Entwicklung nur zum Teil. Bezüglich der Gesamtgruppe aller Kreis- 
verwandtschaften hat die reelle ^-Axe nichts vor irgend einem Kreise 
der ^- Ebene voraus. Wir könnten in §§ 6 und 7 die reelle Axe in 
diesem Sinne durch einen beliebigen anderen Kreis der ^-Ebene er- 
setzen, den wir dann Hauptlireis nennen, und durch den wir die i;-Ebene 
in das Ilauptkreis-Innere und -Äussere (an Stelle der beiden Halbebenen) 
teilen. In ähnlicher Weise könnten wir die Kugel des hyperbolischen 
Raumes durch irgend eine mit ihr collineare Fläche ersetzen u. s. w. 



*) Mathem. Annalen, Bd. .37 pg. 548 flP. 
**) Cf. Klein, Eilanger Trogramm, 1872. 



Entwicklungen über prqjective MaassbcBtimmungen. 59 

Wenn wir nun diese Allgemeinheit der Denkweise oben vielfach 
gemieden und sodann meist an particuläre geometrische Vorstellungen 
anknüpften, so geschah dies wesentlich aus praktischen Gründen. Der 
Leser wird leichter die allgemeine Auffassung erwerben, wenn man 
ihn allmählich zu derselben hinanführt, als wenn man gleich anfangs 
von ihm eine volle Beherrschung derselben verlangt. Auch der gereifte 
]\Iathematiker wird immer gern auf solche Formeln zurückgehen, bei 
denen alle vorkommenden Grössen eine unmittelbare elementar- geo- 
metrische Bedeutung haben. 

Diese Sachlage soll uns nicht hindern, in der Folge, so oft es 
angezeigt erscheint, Jcreisvenvandte oder laigelverivandte Figuren als nicht 
wesentlich verschieden zu behandeln. So werden wir gelegentlich die 
5- Ebene mit den beiden Halbräumeu durch eine Kugel und das Kugel- 
Innere und -Äussere ersetzen. Es wird ferner z. B. die an die ele- 
mentare Maassbestimmuug in der Ebene geknüpfte Bewegungsgruppe 
aus allen elliptischen und parabolischen Substitutionen bestehen, welche 
einen beliebig fixierten Punkt der ^-Ebeue zum gemeinsamen Fixpunkte 
haben u. s. w. 



Erster Ahschiiitt. 

Gniiicllageii für die Theorie der discontiniiierliclien 
Oruppen linearer Sutostitutioiien einer Variabelen. 



Erstes Kapitel. 

Die Discontinuilät der Gruppen mit Erläuterungen an einfachen 

Beispielen. 

Unter Vorbehalt tler sogleich zu eutwickelnden Definition der 
„eigentlich discontinuierlicheu Gruppen" ist es möglich, das gemeinsame 
Thema aller weiteren Untersuchungen dieses Werkes in dem nach- 
folgenden Satze zu formulieren: Es sollen ans der confinnierlichen hez. 
gemischten Gesamtgruppe aller <x>^ linearen t,- Suhstitutionen diejenigen 
Untergruppen ausgesondert tvcrdcn, welche eigentlich discontinuicrlich sind; 
und es es soll die Bedeutung dieser Untergruppen für Geometrie, Arith- 
metilc und Functioncntheorie dargestellt iverden. Eine Anzahl dieser 
Gruppen ist bereits in der Theorie der Modulfunctionen zur Sprache 
gekommen; wir werden dieselben hier in die Gedankenentwickhmg der 
Einleitung einzuordnen haben. Doch wird es zuvörderst nötig sein, 
vom Begriffe der Discontinuität der Gruppen zu handeln. 

§ 1. Unterscheidung continuierlicher und discontinuierlicher 
Substitutiousgruppen. 

Mit den continuierlichen Gruppen sowie den aus mehreren con- 
tinuierlichcn Scharen bestehenden gemischten Gruppen oder Gruppen 
zweiter Art hatten wir bereits in der Einleitung zu thun. Das wesent- 
liche und definierende Merkmal dieser Gruppen ist, dass ihre Std)sti- 
tutionscoeffkienten einen oder mehrere continiiierlich veränderliche Para- 
meter enthalten, die enticeder begrenzt oder unbegrenzt variabel sind. So 
wurde die Gruppe aller Drehungen der Kugel um den Mittelpunkt durch 



1, 1. Erläuterung der Gruppendiscontinuität an Beispielen. Gl 

die Substitutionen (3) pg. 42 dargestellt, und hierbei waren a, b, c, d 
(die freilieh nur ihren Verhältnissen nach in Betracht kommen) vier 
reelle variabele Parameter, welche nur au die Bedingung gebunden 
waren, nicht unendlich zu werden oder zugleich zu verschwinden. 

Es ist nun zweckmässig, das Bisherige sogleich mit dem Begriffe 
der PunJctäquivalenz in Connex zu setzen, die wir bezüglich einer 
einzelneu Substitution oder einer Gruppe von Substitutionen je nach- 
dem in der ^-Ebene, dem ^- Räume oder der projectiven Ebene bez. 
dem projectiveif Räume in bekannter Weise*) begründen. Bei einer 
Gruppe der in Bede stehenden Art bilden alsdann die Systeme einandei- 
äquivalenter Piinlte ganze Pünldcontinua, die je nach der Mächtigkeit 
der Gruppe Vohitnina, Oberflächen oder Curven vollständig ausfüllen. So 
hat man im hyperbolischen Räume (pg. 48) bezüglich der Gruppe aller 
oo" Bewegungen als System äquivalenter Punkte das im Innern der 
Kugel gelegene Volumen. Für eine Rotationsgruppe mit Centrum 
ausserhalb der Kugel bilden die äquivalenten Punkte Oberflächen 
zweiten Grades, welche die Kugel längs eines gemeinsamen Kreises 
berühren u. s. w. 

Den bisherigen Gruppen stehen nun die discontinuierlicheu gegen- 
über, welche wir in folgender Weise zu definieren haben: Eine Sub- 
stitutionsgruppe soll stets dann discontinnierlich heissen, ueim die Coeffi- 
cienten der Substitidionen keine continnierlich variabelen Parameter ent- 
halten , tvenn also der Übergang von irgeyid einer Substitution der Gruppe 
zu einer anderen stets nur discontinnierlich vollzogen werden kann, voraus- 
gesetzt, dass man keine Zivischenglieder einschaltet, u-elche der Gruppe 
nicht angehören. Wir wenden diesen Begriff der Discontinuität nur 
auf Gruppen aus linearen ^-Substitutionen an, die also letzten Endes 
alle in der Gesamtgruppe aller oo^ t- Substitutionen oder auch in der 
Gesamtgruppe aller oo'' Bewegungen des hyperbolischen Raumes als 
Untergruppen enthalten sind. 

Gruppen von endlicher Ordnung, diejenigen also, welciie aus der 
Theorie der regulären Körper entspringen, sind selbstverständlich dis- 
continnierlich. Unter den Gruppen von der Ordnung <x> möge etwa 
die Modulgruppe, d. h. die Gruppe aller ganzzahligen Substitutionen 
der Determinante 1, als erstes Beispiel einer discontinuierlicheu Gruppe 
gelten. Auch die gesamten gauzzahligen Substitutionen etwa von 
positiver Determinante werden eine discontinuierliche Gruppe bilden, 



*) Siehe z. B. „M." I pg. 183 ff. Ks sei daran erinnert, ilass der AquiviiUi»/.- 
liogriff nur dann seine voUi- TnigwiMti' hat, wenn die (Iruppo mit jfdor 8ul>^titutiou 
auch deren inverse enthält, was wir in der Folge inunor vorauäsetzen. 



62 I- Allgemeine Theorie der discontinuierlichen Giuppeu aus ^ Substitutionen. 

welche die Modulgriippe offenbar als Untergruppe in sich enthält. 
Ein weiteres naheliegendes Beispiel einer discontinuierlichen Gruppe 
liefert die Gesamtheit derjenigen ^-Substitutionen, deren Coefficienten 
ganze complexe Zahlen der Gestalt (« + ih) sind. Setzen wir die 
einschränkende Bestimmung hinzu, dass die Determinante gleich 1 
sein soll, so entspringt eine neue discontinuierliche Gruppe, mit der 
wir uns bald zu beschäftigen haben. Überall ist hier die Gruppen- 
discontinuität begründet in der Eigenschaft der Systeme ganzer Zahlen, 
discontinuierliche oder discrete Mannigfaltigkeiten zu sein. 

Die Systeme äquivalenter Fiinlie hezüglich einer discontinuierlichen 
Gruppe hilden discrete PunJctmannig faltigkeiten. Aber es kann dabei 
sehr wohl sein, dass ein einzelnes solches Punktsystem eine Curve 
oder eine Oberfläche oder selbst ein Volumen üherall dicht bedeckt 
bez. erfüllt. Bezüglich der schon genannten Modulgruppe bilden z. B. 
die gesamten rationalen Punkte der reellen ^-Axe ein System äqui- 
valenter Punkte, welches die reelle ^-Axe zwar überall dicht, aber 
nicht continuierlich bedeckt. Andererseits bilden bei der Modulgruppe 
z. B. die mit 1 = i äquivalenten Punkte ein System, dessen Disconti- 
nuität unmittelbar anschaulich ist*). 

Der Gruppenbegriö" hat sich historisch an Gruppen endlicher 
Ordnung und also an discontinuierlichen Gruppen entwickelt; es waren 
dies bekanntlich die Gruppen der Permutationen der n Wurzeln einer 
Gleichung n*'" Grades. Im Gegensatz zur Theorie der continuierlichen 
Gruppen, betreffs deren Ausbildung wir bereits in der Einleitung (pg. 12) 
einige Nachweise gegeben haben, zeichnen sich die discontinuierlichen 
Gruppen durch innere Verwandtschaft zur Zahlentheorie aus. Neben 
den eben vorangegangenen Erörterungen vergl. man in letzterer Hin- 
sicht „M." I pg. 243 ff. sowie vor allem die Entwicklungen des unten 
folgenden dritten Abschnitts. 

§ 2. Unterscheidung eigentlich und uneigentlich discontinuierlicher 

Substitutionsgruppen. 

Für die discontinuierlichen Gruppen haben wir nunmehr die er- 
neute Fallunterscheidung in eigentlich und uneigentlich discontinuierliche 
Gruppen zu treffen. Wir werden unter Vorbehalt einer späteren 
analytischen Begriffsdefinition die fragliche Arteiuteilung der Gruppen 
an die Vorstellung zugehöriger Fuudamentalbereiche oder (wie wir 
fortan sagen wollen) Discontinuitütsho'eiche**) knüpfen. Die Begriffs- 

*) Vergl. hierzu „M." I pg. 211 ft". 

■'*) Die hiermit hefiirwortcle Ik'zeichnniig ist l'ür tlio vorliegenden Verhältnisse 
charakteristischer. 



I, 1. Erläuterung der üruppendiscoutinnität an Beispielen. G3 

bestimmung dieser Bereiche für die Puuktäquivalenz in der ^- Ebene 
wurde in „M." I pg. 185 des ausführlichen entwickelt. Wenn wir hier 
Puuktäquivalenzen auch in der projectiven Ebene oder vielleicht 
gelegentlich auf einer Geraden derselben oder auch im hyperbolischen 
Räume u. s. w. betrachten, so bedarf es kaum der besonderen Er- 
klärung, dass wir auch dem Begriff des Discontinuitätsbereiches einen 
dementsprechend grösseren Umfang verleihen. Wesen und Bedeutung 
dieses Bereiches erfahren bei dieser Ausdehnung keinerlei Modification, 
so dass es überflüssig erscheint, hier bei erneuten Begriffserklärungen 
zu verweilen. 

Wir stellen nun die folgende Definition auf: Eine discontinuier- 
liche Gruppe linearer t,- Siibstitutionen soll innerhalb eines Gebietes, auf 
dessen PunJde wir die Äquivalenz bezikjlich der Gruppe amvenden, stets 
und nur dann eigentlich discontinuierlich heissen, ivenn der Discontinuitäts- 
bereich der Gruppe in diesem Gebiete ein geometrisches Gebilde von der 
gleichen Dimensionenanzahl vorstellt, wie das Gesamtgebiet selbst. Der 
Charakter einer Gruppe als einer eigentlich discontinuierlichen ist 
solchergestalt nur bedingungsweise angegeben, nämlich mit Rücksicht 
auf das Gebiet, dessen Punkte bezüglich der Gruppe als äquivalent 
augesehen werden. So z. B. nennen wir eine Gruppe innerhalb der 
Ellipse der hyperbolischen Ebene eigentlich discontinuierlich, wenn sie 
daselbst einen Discontinuitätsbereich von endlicher i^/äc/tmausdehnung 
besitzt. Eine und dieselbe Gruppe kann in einem Gebiete uneigentlich, 
in einem anderen eigentlich discontinuierlich sein. Wenn wir z. B. 
bei der Modulgruppe die Punktäquivalenz einzig auf die reelle ^-Axe 
beziehen, so würde die Modulgruppe nur erst uneigentlich disconti- 
nuierlich sein; dahingegen erweist sich dieselbe innerhalb der positiven 
^-Halbebene bekanntlich als eigentlich discontinuierlich (cf. „M." I 
pg. 210). Andere Gruppen werden wir bald kennen lernen, welche 
zwar noch nicht innerhalb der g- Ebene, wohl aber im ^-Halbrauni 
eigentlich discontinuierlich sind. 

Nebenher sei hier folgende Bemerkung erlaubt: Die getroffene 
Fallunterscheidung der Gruppen in eigentlich und uneigeutlich dis- 
continuierliche, so folgenreich sie sich auch weiterhin gestaltet, greift 
keineswegs in dem Grade in das Wesen der Gruppen selbst ein, wie 
die vorhergehende Einteilung in coutinuierliche und discontinuierliche 
Gruppen. Man ist bei vielen Untersuchungen gewöhnt, einzig in der 
titructur einer Gruppe deren eigentliches Wesen zu sehen. Demgegen- 
über sei hier ohne Beweis angegeben, dass es nicht allein von der 
Structur, sondern auch von der speciellen DnrsttUungsf'orm einer Gru})pe 
von i;- Substitutionen abhängt, ob eigentliche Diseontinuität vorliegt oder 



04 I. Allgemeine Theorie der discontinuierlichen Gruppen aus ^-Substitutionen. 

nicht. Man kann in der That Gruppen von verschiedener Ausdrucks- 
form angeben, die genau isomorph sind, und von denen doch die eine 
innerhalb der ^- Ebene einen üiscontinuitütsbereich von endlicher 
Flächenausdehnung besitzt, während sich die andere unter allen Um- 
ständen nur als uneigentlich discontinuierlich erweist. Es hängt dies 
damit zusammen, dass nach den von G, Cantor gegebenen Entwick- 
lungen Puuktmengen, die überall dicht liegen, doch abzahlbar sein 
können. Indessen treten derartige tiefer liegende Gegenstände im 
grössten Teile der nachfolgenden Entwicklungen in den Hintergrund. 

Dass die gegebene Definition der eigentlichen Discontinuität einer 
Gruppe sachgeraäss ist und keine Widersprüche einschliesst, kann 
ausführlich nur erst durch die späteren Untersuchungen selber bewiesen 
werden. Es ist denn auch in der historischen Entwicklung durchaus 
nicht leicht gewesen, die Tragweite des fraglichen Begriffes klar zu 
erfassen. Man vergleiche in dieser Hinsicht die Erörterungen von 
Klein in seiner Arbeit „Nene Beiträge zur Riema im' sehen Fimctkmen- 
theorie"*), Abschnitt III § 5. Es werden dort „brauchbare" Gestalten 
von Discontinuitätsbereichen direct zum Ausgangspunkt der Unter- 
suchung gewählt, da die Anknüpfung an eine nicht näher specificierte 
Gruppe aus 2;- Substitutionen eben wegen der Schwierigkeit der hier 
in Frage stehenden Discontinuitätsbegrifle einstweilen nicht opportun 
erschien. In der That bedurften die anfänglichen Angaben Poincare's 
in dieser Hinsicht der Ergänzung, die dann in principieller Weise von 
Poincare selbst durch Hereinnahme des ^- Halbraumes gegeben worden 
ist. Poincare hat hierüber in einer Reihe von Noten in den Comptes 
Rendus von 1892 und 1893 sowie im Zusammenhang in der Arbeit 
„Memoire siir les groupes Kleitit'ens"**), § 2, berichtet, und wir kommen 
hierauf unten ausführlich zurück. 

Die Bezeichnungsweise, welche wir oben brauchten, stimmt übrigens 
mit der von Poincare ursprünglich eingeführten nicht überein. Die 
letztere unterliegt in der That der Kritik: Ein System discreter 
Punkte, welches eine Curve oder Fläche überall dicht bedeckt, 
heisst darum noch keineswegs continuierlich. Entsprechend darf 
eine Gruppe, welche Substitutionen enthält, die unendlich wenig von 
einander verschieden sind, aus diesem Grunde allein noch nicht 
continuierlich heissen. Dies ist vielmehr erst statthaft, wenn der- 
artige Substitutionen der Gruppe nicht als discrete Elemente ange- 
hören, sondern vielmehr in einander überführbar sind durch contiuuier- 



*) Mathom. Annalen, Bil. 21 pg. 141 (1882), 
") Acta niatlieniatica, Hd. 3 pg. 49 (1883). 



I, 1. Erläuterung der fJruppendiscontinuitiit an Beispielen. Gä 

liehe Veränderung von variabelen Parametern, die in den Coefficienteu 
der (inippe enthalten sind. Die von Poincare a. a. O. § 2 gegebene 
Definition der Continuitiit einer Grui)pe ist in diesem Sinne unzuläng- 
lich, und es sei hier die Zwischenbemerkung gestattet, dass die Dar 
Stellung von Lie und Engel in Bd.I pg. 3 ihres oben (pg. 12) genannten 
Werkes denselben Mangel aufweist. Indem der Begriff der continuicr- 
licheu Gruppen oben richtiger gefasst wurde, konnte die Benennung 
„eigentlich" und „uneigentlich discontinuierlich" nicht im Sinne Poin- 
care's beibehalten werden; wir sagen dafür vielmelir „eigentlich dis- 
contiuuierlich in der ^-Ebene bez. im ^-Raume", eine Benennung, die 
freilich etwas länger, aber dafür sachgemäss und bezeichnend ist. 

Nach den an die Spitze dieses Kapitels gestellten Bemerkungen 
sollen sich die ferneren Untersuchungen einzig auf solche Gruppen 
beziehen, welche, sei es im £;-Raume, sei es in der ^-Ebene, eigent- 
lich discontinuierlich sind. Wir beginnen damit, einige besonders 
bekannte Beispiele solcher Gruppen zur Erläuterung der vorangehen- 
den allgemeinen Erörterungen zu betrachten. 



§ 3. Recapitulation und Ergänzung betreffend die Discontinuitäts- 
bereiche cyclischer Gruppen, 

Die Discontinuitätsbereiche cyclischer Gruppen, d. h. derjenigen 
Gruppen, welche durch Wiederholung einer einzigen Substitution ent- 
springen, sind in „M." I pg. 186 ff. untersucht. Eine ausführliche 
Betrachtung finden dortselbst die aus einer nicht-loxodromischen Sub- 
stitution entstehenden Gruppen, jedoch lassen sich die Gruppen mit 
loxodromischen Erzeugenden ebenso leicht erledigen. 

Die citierten Untersuchungen beziehen sich einzig auf die Dis- 
continuitätsbereiche innerhalb der ^- Ebene. In den nicht-loxodromi- 
schen Fällen ist es hier am einfachsten, den Discontinuitätsbereioh 
durch zwei Niveaukreisc einzugrenzen. Der fragliche Bereich hat als- 
dann die Gestalt eines Kreisringes im hyperbolischen Falle, einer 
Sichel mit den Fixpunkten als Spitzen im elliptischen Falle, während 
der parabolische Fall, wie es sein muss, den Übergang zwischen jenen 
beiden darstellt; man vergl. hierzu die Figuren 44 bis 47 in „M." I 
pg. 187 ff. Auch im Falle einer loxodromischen Erzeugenden würde 
man den Discontinuitätsbereich durch zwei Niveaucurven eingrenzen 
können. Indessen würde dies den Nachtheil im Gefolge haben, dass 
sich der so gewählte Discontinuitätsbereich um jeden der beiden Fix- 
punkte unendlich oft herum winden würde (cf. Figur 41 in „M." 1 
pg. 172). Wir ziehen demnach vor, nach Art \on Figur D den Dis- 

Fricko-Kloin, Autoiii(>ri>lio Kmiclioiiou. I. •> 



66 I Allgemeine Theorie der diacontinuierlicheu Gruppen aus ^-Substitutionen. 




Fig. 9. 



continiiitätsbereich auch liier durch zwei Kreise eiuzugrenzeii, von 
(leuen der eine aus dem anderen durch einmalige Ausübung der er- 

zeugenden loxodromisehen Substitu- 
tion entstellt. 

Die cydisclien Gruppen sind, ab- 
gesehen von einem einzigen Ausnahne- 
fnlle, innerhalb der ^- Ebene, aber atieJi 
bereits auf einer einzelnen Bahncnrve, 
eigentlich discontinuierlich. Der Aus- 
nahmefall ist bereits in „M." I pg. 191 
besprochen; er tritt ein, wenn die 
erzeugende Substitution der Gruppe 
elliptiseh und als solche aperiodisch 
ist, d. h. wenn der 1. c. mit ^ bezeichnete Winkel, um welchen die 
elliptische Substitution dreht, zu 2% in einem irrationalen Verhältnis 
steht. 

Zwei Eigenschaften, welche jedem Discontinuitätsbereich einer 
Gruppe erster Art, d. h. einer nur aus Substitutionen erster Art be- 
stehenden Gruppe, zukommen, sollen hier mit Bezugnahme auf die 
ebenen Discontimiitätsbereiche der cyclischeu Gruppen in Erinnerung 
gebracht werden. Einmal sind die Randcurven eines Discontinuitäts- 
bereiches bei einer Gruppe erster Art paarweise einander durch die 
Erzeugenden der Gruppe zugeordnet. Unter zwei solchen Randcurven 
gilt alsdann nur die eine als dem Bereiche zugehörig, wie dies an 
den vorhin genannten Figuren und auch vorstehend in Figur 9 stets 
zum Ausdruck gebracht ist. Andrerseits muss hier erneut auf die 
grosse Willkür in der Gestalt des Discontinuitätsbereichs einer Gruppe 
erster Art hingewiesen werden. Diese Willkür ist für die cyclischen 
Gruppen in „M." T jig. 191 besprochen und führte im Verfolg der 
Untersuchungen von „M." 1 zum Begrili" der „erlaubten Abänderung'"' 
eines Discontinuitätsbereichs. Es ist dieser Begriff in „M." I pg. 280 
und 313 erläutert; derselbe wird hier aufgenommen und fernerhin oft 
zur Anwendung gebracht ■••). 



*) Es liegt keineswegs im Sinne der weiteren Untersuchungen des Textes, 
die grosse Willkür in der Gestaltung der tragliehen Discontinuitätsbereiche hier 
noch weiter im einzelnen zu verfolgen. Indes sei doch auf die bezüglichen Unter- 
suchungen von Schilling in seiner oben (pg. 53) genannten Abhandlung pg. 180 fi'. 
aufmerksam gemacht. Insbesondere im loxodromisehen Falle wählt Schilling den 
Discontinuitätsbereich einmal als Kreissichel, sodann nach Art von Figur 9 des 
Textes als Kreisband und zeigt durch ein 1. c. näher erläutertes „Princip der 
Meridian- und Breitencurvon" die Gleichberechtigung beider Gestalten. 



I, 1. Erläutoninp der Gruppendiscontinuität an Beispielen. 67 

Die letzten Sätze verlieren ihre Gültigkeit bei den „Discontinuitäts- 
bereichen ziveiter Art'', wie wir kurz sagen wollen, wenn die zu Grunde 
liegende Gruppe eine solche von der zweiten Art ist. Unter den 
cyclischen Gruppen der ersten Art lassen sich die nicht-loxodromischen 
stets durch Spiegelungen zu Gruppen der zweiten Art erweitern, und 
es sind die Discontinuitätsbereiche dieser erweiterten Gruppen in „M." I 
pg. 205 ff. besprochen und daselbst in den Figuren 52 bis 54 erläutert. 
Die fraglichen Bereiche sind von zwei auf einander folgenden Sym- 
metriekreisen der Gruppe begrenzt, und es ist eine weitere Deforma- 
tion der Bereiche nicht mehr statthaft. In dieser Bestimmtheit der 
Umrandungen liegt ein entschiedener Vorzug der Discontinuitätsbereiche 
zweiter Art, eine Sachlage, die für die Modulgruppe in „M." I pg. 230 ff. 
im einzelnen discutiert wird, und die in der Folge wiederholt zur 
Geltung kommen soll. 

Diese Untersuchungen verallgemeinern wir nun so, dass wir statt 
in der ^- Ebene auch in der projectiven Ebene oder im hyperbolischen 
Räume oder endlich im ^-Raume Discontinuitätsbereiche cyclischer Unter- 
gruppen construieren. In den nicht loxodromischen Fällen ist es dabei 
zweckmässig, zunächst an die in § 9 der Einleitung entwickelten Vor- 
stellungen anzuknüpfen und also eine cyclische Untergruppe innerhalb 
der Gruppe der Bewegungen der hyperbolischen Ebene zu betrachten. 
Dabei soll der Kürze halber nur von Discontinuitätsbereichen etster Art 
gehandelt werden, da die Übertragung auf die Gruppen zweiter Art 
nach „M." 1 pg. 205 ff', leicht vollzogen werden kann. Wir knüpfen 
nun übrigens unmittelbar an die in in § 9, pg. 32 ff'., der Einleitung 
gegebenen Figuren an. 

Hat die cyclische Gruppe eine hyperbolische Erzeugende, so giebt 
Figur 10 die einfachste Gestalt des Discontiuuitätsbereiches an. Der im 
Ellipseninneru gelegene Teil des Be- 
reiches ist durch Schraffierung hervor- 
gehoben. Die beiden Randcurven sind 
zwei von dem ausserhalb der Ellipse 
gelegenen Fixpunkte ausstrahlende Ge- 
rade, von denen die eine durch Aus- 
übung der erzeujjenden Substitution in 
die andere übergeht. Der Discontinui- 
tätsbereich zieht sich auf diese Weise in 
(Jestalt eines geradlinig begrenzten 

Winkels von endlicher Ausdehnung an den Fixpunkt heran. Dieser 
Winkel hat, projectiv gemessen, natürlich einen rein imaginären Betrag. 
Übrigens haben wir damit den Discontinuitätsboroich nur erst für 




68 I- Allgemeine Theorie der discontinuierliclien Gruppen ans ^ Substitutionen. 




Fig. 11. 



denjenigen Teil der gesaraten projectiven Ebene coustruiert, der durch 
die beiden Tangenten vom wiederholt genannten Fixpunkte an die 
Ellipse eingegrenzt ist. Es wäre niclit schwer, den Bereich so zu er- 
gänzen, dass er für die „gesamte" projective Ebene Discontinuitäts- 
bereich ist. 

Den parabolischen Fall fassen wir als Grenzfall des eben besproche- 
nen auf in dem Sinne, dass wir den bislang ausserhalb der Ellipse 

gelegenen Fixpunkt auf diese selbst 
rücken lassen. Es entspringt hier der 
in Figur 11 angedeutete Bereich, wel- 
cher mit seiner über die Ellipse hinaus 
beiderseits angedeuteten Fortsetzung 
nunmehr für die ganze projective Ebene 
den Discontinuitätsbereich darstellt. Es 
findet dabei für die projective Auf- 
fassung, gerade wie auch im hyper- 
bolischen und elliptischen Falle, na- 
türlich Zusammenhang des Bereichs durch das Unendliche statt. Der 
Winkel, mit welchem sich der Bereich an den Fixpunkt heranzieht, 
hat im Sinne der auf die Ellipse zu gründenden hyperbolischen Maass- 
bestimmung im vorliegenden Falle die Grösse null. 

Im elliptischen Falle endlich tritt Figur 12 ein. Der Fixpunkt, an 
welchen sich der Discontinuitätsbereich als geradlinig begrenzter Winkel 

heranzieht, liegt nun im Innern der 
Ellipse; und der fragliche Winkel ist 
im Sinne der hyperbolischen Maass- 
bestimmuug ein aliquoter Teil von 
2ä. Der Bereich ist für die „ge- 
samte" projective Ebene Discontinui- 
tätsbereich, wenn wir ihn, wie in der 
Figur angedeutet, über die Ellipse 
hinaus durch das Unendliche bis zur 
Polare des Fixpunktes fortsetzen*). 

Man wolle sich auch noch veranschaulichen, wie der Discontinui- 
tätsbereich im hyperbolischen Räume für eine einzelne cyclische Gruppe 
gestaltet ist. Der Discontinuitätsbereich lässt sich in Übereinstimmung 




Fig. la. 



*) Eine weitere Ausgestaltung finden die im Texte entwickelten Vorstellungen, 
falls man die projective Ebene als Doppelebene auffasst. Wir gehen hierauf in- 
dessen nicht mehr eiu , da die Betrachtung im Falle der hyjDerbolischeu Ebene, für 
welchen die Figuren dos Textes gedacht sind, weiterhin meist auf das Ellipsen- 
innere eingeschränkt bleibt. 



l, 1. Erläuterung der GruppeDdiscoutinuität an Beispielen. 60 

mit den Figuren 10 bis 12 stets durch zwei Ebenen eingrenzen, 
welclie durch die Drehungsaxe der erzeugenden Substitution hindurch- 
gelien und somit Niveaufliiehen der letzteren darstellen. Im liyper- 
bolischen Falle verläuft die Drehungsaxe ausserhalb der absoluten 
Kugel, im elliptischen Falle durchschneidet sie die Kugel. Die vorhin 
mitgeteilten Figuren 10 bis 12 könuen als ebene Schnitte der räum- 
lichen Discontiuuitätsbereiche gelten. 

Loxodromische Substitutionen kommen noch nicht in der projectiven 
Ebene, sondern erst im hyperbolischen Räume vor. Wollten wir unter 
Einhaltung der in Fig. 9 pg. 6G befolgten Maassnahme für das Kugel- 
innere des hyperbolischen Raumes einen Discontinuitütsbereich con- 
struieren, so würden wir eine erste Ebene in einfachster Weise so 
auswählen, dass sie durch die zur Verbindungsgeraden der auf der 
^- Kugel gelegeneu Fixpuukte conjugierte Polare hindurchzieht. Diese 
Ebene wird durch einmalige Ausübung der loxodromischen Erzeugenden, 
d. h. durch die ihr entsprechende Schraubeubewegung des hyper- 
bolischen Raumes, in eine zweite Lage übergeführt; und der zwischen 
der ersten und zweiten Ebene gelegene Teil des Raumes ist der Dis- 
continuitätsbereich. 

§ 4. Die Gruppen der regulären Körper und die regulären 
Einteilungen der elliptisclien Ebene. 

Abgesehen von den cyclischen Gruppen des elliptischen Falles sind 
die Gruppen von endlicher Ordnung aus ^-Substitutionen durch die 
vier in der Theorie der regulären Körper auftretenden Gruppen des 
Dieders, Tetraeders, Oldaedcrs und ITiosaeders erschöpft. Der Beweis, 
dass es keine anderen endlichen Gruppen aus linearen Substitutionen 
einer Variabelen giebt, ist in „Ikos." pg. 115 u. f. entwickelt; der 
fragliche Nachweis ist daselbst freilich auf functionentheoretische Er- 
örterungen basiert, die unseren gegenwärtigen Betrachtungen fern 
liegen; doch werden wir später Gelegenheit finden, einen rein gruppen- 
theoretisch- geometrischen Beweis des in Rede stehenden Satzes zu 
liefern. Die vier Gruppen selbst sind in „Ikos.'' und „M." I bereits 
sehr ausführlich untersucht worden; insbesondere sehe man in „M." I 
Fig. 12 bis 15 und 28 bis 31 die figürlichen Darstellungen sowohl der 
Kugelteilungen als deren stereographische Frojectionen auf die Ebene 
nach und vergleiche dies mit den in § 11 der Einleitung (jig. U fl".) 
der elliptischen Maassbestiiunuing gcwidnu'ten Entwicklungen. 

(Jruppen endlicher Ordnung sind unter allen Umständen eigentlich 
(liscontinuierlich, und man würde nach den eben citierten Entwick- 
lungen der Einleitung für die in Rede stehenden (.Jruppen innerhalb 



70 I- Allgemeine Theorie der discontinnierlichen Gruppen aus J- Substitutionen. 




der elliptischen Ebene die Discontinuitätsbereiche etwa noch con- 
struieren können. Es soll diese Ergänzung zur Theorie der Gruppen 
der regulären Körper hier mitgeteilt werden; sie bildet eine günstige 
Gelegenheit, die Übertragung von Kugelfiguren auf die projective Ebene 
an charakteristischen Beispielen einzuüben. 

Nach pg. 38 der Einleitung haben wir im Einzelfall die reguläre 
Teilung der Kugeloberfläche durch Centralprojection auf eine Ebene 
zu übertragen, auf welche letztere man in richtiger Weise die elliptische 
Maassbestimmung bezieht. Wir wollen über die Lage der so gewon- 
nenen elliptischen Ebene zur Kugel keine besonderen Voraussetzungen 
machen. 

Unter den unendlich vielen Specialfällen 
diedrisclier Kugelteilungen ist die zur Dieder- 
gruppe der Ordnung 6 gehörende in„M."Ipg.72 
dargestellt. Die Centralprojection dieser Ein- 
teilung auf die elliptische Ebene liefert die 
in Figur 13 dargestellte Einteilung dieser 
Ebene in sechs Dreiecke, die im Sinne der 
elliptischen Maassbestimmung abwechselnd 
symmetrisch und congruent sind. Jedes der 
Dreiecke in Figur 13 entspricht zwei Kreis- 
bogendreiecken der Kugel- 
teilung. Man muss die Ein- 
teilung so auffassen, dass 
vier unter den Dreiecken 
sich durch das Unendliche 
hindurchziehen, wobei na- 
türlich diese Ausdrucks- 
weise im gewöhnlichen 
Sinne, aber nicht im Sinne 
der elliptischen Maassbe- 
stimmung zu verstehen ist. 
Die 24 Kreisbogendrei- 
ecke der Tetraederteihing, 
wie man sie in Figur 29 
„M." I pg. 104 vorfindet, 
übertragen sich auf die 
zwölf geradlinigen Drei- 
ecke der in Figur 14 dar- 
gestellten regulären tetracdrischen Einteilung der elliptischen Ebene. 
Es ist interessant, dass wir hier direct die Fifjur des vollständigen Virrecks 



Fig. 13. 




Flg. 14. 



I, 1. Erläuterung der Gruppendiscontiouität an Beispielen. 



71 



vor uns haben (womit aufs neue hervortritt, dass diese niedersten 
Gruppen linearer Substitutionen einer Veränderlichen überall in die 
Elemente eingreifen). Die vier Ecken des Vierecks erscheinen dabei 
(vermöge der ein-zweideutigeu Beziehung) gleichzeitig den vier Tetra- 
ederecken und den vier Seitenmitten zugeordnet. Die sechs Kanten- 
mitten des Tetraeders liefern die drei Schnittpunkte der Gegenseiten 
des Vierecks*). 

Von hieraus ist der Übergang zur oktaedrischen Einteilung der 
elliptischen Ebene dadurch zu gewinnen, dass man die drei eben zuletzt 
genannten Schnittpunkte der Gegenseiten des Vierecks paarweise durch 
Gerade mit einander verbin- 
det. Es ergeben sich die 
24 Dreiecke der Fig. 15, die 
natürlich wie immer im 
Sinne der Maassbestimmung 
abwechselnd symmetrisch 
und congruent sind. Es ist 
hier im Gegensatz zu den 
Figuren 13 und 14 eine Be- 
merkung zu machen, die sich 
zugleich auf Fig. 16 beziehen 
soll. Sowohl bei der okta- 
edrischen, wie ikosaedri- 
schen Einteilung der Kugel- 
oberfläche, welche man in 
„M." I pg. 76 und 106 dar- 
gestellt findet, trifft es sich, 
dass jedesmal ein schraffier- 
tes Dreieck einem freien diametral ist. Man muss demnach die in 
Fig, 15 und 16 gegebenen Projectionen so auffassen, dass sie immer 
nur die Einteilung der einen Seite der elliptischen Ebene liefern. Die 
andere Seite ist zwar durch dieselben Geraden eingeteilt; indessen liegt 
jedesmal unter einem schraffierten Dreiecke ein freies und umgekehrt. 
Dabei werden in den nur einseitigen Figuren lö und 1(5 diejenigen 
Dreiecke, welche sich durch das (im gewöhnlichen Sinne) Unendlich- 

*) Es ist interessaut zu unter.sucheu, welches die Lage des absoluten Kegel- 
schnitts der elliptiacheu Maiissbestimmuug in den Ebenen der Figuren 13 ff. ist. 
In dieser Hinsicht tei wenigstens die eine Bemerkung gestattet, dass im Falle der 
Figur 14 der absolute Kegelschnitt vou dem in der synthetischrn Geometrie wohl- 
bekannten nullteiiigen Kegelschnitte geliefert wird, in Bezug auf den das Vieracit 
der Figur U sich selbst zugeordnet ist. 




Fig. 15. 



72 I. Allgemeine Theorie der discontinuierlichen Gruppen aus f-Substitutionen. 

ferne der Ebene lundurchziehen, zum Teil schraffiert zum Teil frei 
sein. Es ist oftenbar ein Mangel der gewöhuliclien geometrischen 
Untersuchungen derartiger Coutigurationen, dass mau dabei die durch 
dieselben vermittelten Gebietseinteilungen insbesondere auf der als 
Doppelfläche angeseheneu Ebene nicht in Betracht zieht. 

Es bleibt endlich noch die ilosacdrischc Einteilung der ellip- 
tischen Ebene übrig, welche in Figur 16 entworfen ist. Es ist diese 
Figur im Sinne der projectiven Geometrie, ohne dass man ihren Zu- 
sammenhang mit dem Ikosaeder bemerkt hätte, wiederholt und aus- 
führlich untersucht worden, worüber sogleich noch näher zu berichten 



i 




Fig. 16. 

ist. Um hier wenigstens die Constructiou der Figur näher zu erläutern, 
so ist zuvörderst klar, dass, wenn einmal das Fünfeck ADCLK der 
Figur gewonnen ist, alles weitere durch lineare Construction zu 
erledigen ist. Das fragliche Fünfeck ist aber kein willkürliches, son- 
dern muss der Bedingung genügen, mit einem (im gewöhnlichen Sinne) 
regulären Fünfeck projectiv zu sein. Es wird nämlich direct ein sol- 
ches, falls die elliptische Ebene, auf welche wir die ikosaedrisch 
geteilte Kugel von ihrem Mittelpunkt aus projicieren, letztere in 
einem von zehn Dreiecken umlagerten Punkte (d. h. in einem Eck- 
punkte des Ikosaeders") berührt. Bis auf Liuearconstructionen wird 



], 1. Erläuterung der Gruppendiscontinuität an Beiepielen. 



73 



somit die ikosaedrische Teilung der elliptischen Ebene nach bekannten 
Sätzen durch einmalige Construction der Irrationalitiit |/5 gewonnen 
werden können, ^^ir werden übrigens, um jede Besonderheit in der 
Lage der elliptischen Ebene zu vermeiden, folgendermaassen verfahren: 
Das Viereck mit den Eckpunkten A, B, C, D wird zunächst will- 
kürlich gewählt, womit der Eckpunkt E als Schnittj)unkt der Diago- 
nalen zugleich gegeben ist. Um sodann den Punkt F auf der Diago- 
nale BD zu bestimmen, führe man Dreieck ABC als Coordiuaten- 
dreieck z^, z.2, z^ ^i^ "°<^ wähle die 
Seite 5^1 = dem Punkte A gegen- 
über etc.-, der Punkt D soll die Co- 
ordinaten (1,-1, 1) bekommen. Man 
ziehe nun, Avie in Figur 17 ausge- 
führt, die Geraden AF und CF, 
durch deren Verlängerung man die 
l'unkte G und H gewinnt. Werden 
die Coordinateu von F vorläufig 
(l, ß, 1) genannt, so bekommen Cr 
und H die Coordinaten (0, a, 1) bez. 
(1, «, 0). Man berechne nun weiter 
den Schnittpunkt J der Geraden dB 
mit der Axe z., = 0, sowie darauf- 
hin die Gleichungen der Geraden 
JF und DH: 

(«2 -f- a)Zi — z^ — cc-z^ = , 

KZ^ — Z, — («+ 1)^^3 = 0. 

Der Punkt F ist nun derart zu bestimmen, dass sich die beiden letz- 
teren Geraden auf der Axe z^ = durchschneiden. Diese Forderung 

liefert « = — ^ -^, so dass die Gewinnung des Punktes F, wie schon 

erwähnt, durch Construction von j/ö zu erzielen ist. Alles weitere folgt 
sodann, wie bereits bemerkt wurde, durch Linearconstruction. 

Auf rein synthetischem Wege ist unsere Figur am ausführlichsten 
durch Schröter in dem Aufsatze ..Das Ckbsch'sche Sechseck"*) unter- 
sucht worden. Greift man aus Figur IG die fünf Ecken A. D, C, L. K 
heraus und fügt ihnen noch den Punkt /•' hinzu, so hat man .^echs 
Punkte, die in zehn verschiedenen Anordnungen die Ecken Hrianchon- 
.scher Sechsecke liefern. Auf die Existenz derartiger Sechsecke hatte 
Clebsch in einer sogleich zu ucniuMiden Abhandlung aufmerksam ge- 




Fig. 17. 



*) Mathem. Auimlon 1kl. 28 j.-. 457 (1886). 



74 I. Allgemeine Theorie der discontinuierlichen Gruppen aus ^-Substitutionen. 

macht, und hierher rührt die von Schröter gewählte Benennung. Etwa 
zu gleicher Zeit mit Schröter hat auch Hess in seiner Abhandlung 
„Beiträge zur Theorie der mehrfach perspectiven Dreieclce und Tetraeder"'^) 
die in Rede stehende Figur betrachtet. Es handelt sich hierbei überall 
um weitere Einzelheiten der ikosaedrischen Einteilung der elliptischen 
Ebene, wie sie in Figur 16 vorliegt. Die hier zu nennenden Arbeiten 
von Clebsch, an welche Hess und Schröter angeknüpft haben, sind 
die folgenden: ..r&er die Antvendung der quadratischen Substitution auf 
die Gleichungen fünftai Grades und die geometrische Theorie des ehenen 
Fünfseits" sowie ..Über das ebene Fiinfeclc"**). In § 17 der zuerst 
genannten Arbeit gewinnt Clebsch die wiederholt erwähnte Figur, in- 
dem er die von ihm als Diagonalfläche bezeichnete Fläche dritter Ord- 
nung auf die projective Ebene abbildet; die sich weiter anschliessen- 
den aljiebraischeu Entwicklungen von Clebsch kommen hier nicht in 
Betracht. 

§ 5. Die zur Modulgruppe gehörende Einteilung der £:- Halbebene 
uud der hyperbolischen Ebene. 

Das lehrreichste Beispiel zur Erläuterung der oben über die Gruppen- 
discontinuität entwickelten Principien liefert die ModuJgruppe, d. h. die 
Gruppe aller reellen ^-Substitutionen mit vier rationalen ganzzahligen 
Coefticienten der Determinante 1. Zugleich kommen hierbei die Ent- 
wicklungen der Einleitung, die hyperbolische Ebene betreffend, ausgiebig 
zur Verwendung. 

Die Modulgruppe hat in „M." I eine fast allseitige Untersuchung 
gefunden, und es ist vor allem die ihr zugehörige Dreiecksteilung der 
i;- Halbebene in den Mittelpunkt der Betrachtung gestellt. Letzteres 
ist die Einteilung, welche man in „M." I pg. 113 Fig. 36 dargestellt 
findet, und welche dann zumal 1. c. pg. 208 11". ausführlich in Discussion 
gezogen wurde. Aus dieser Figur erweist sich die Modulgruppe als 
eigentlich discontiniiierlich zwar nicht auf der reellen ^-Axe, wohl aber 
in der ^-Ebene, ein Umstand, der schon oben (§ 1 und 2 des vorl. 
Kap. pg. 63) hervorgehoben wurde. 

Da die ^- Halbebene auf die hyperbolische Ebene, d. h. auf das 
Ellipseninnere der projectiven Ebene, wechselweise eindeutig bezogen 
ist, so ist die fragliche Gruppe auch hier eigentlich discoutinuierlich. 
Sie giebt zu einer Einteilung des Ellipseninnern in geradlinige Dreiecke 
Anlass, die auch bereits in „M." I nämlich pg. 239 ff. besprochen 



*) Mathem. Annalen Bd. 28 pg. 167 (1886). 
**) Mathem. Aunalen Bd. 4 pg. 284 uud pg 476 (1871). 



I, 1. Erläuterung der Gruppendiscontinuität an Beispielen. 



75 



wurde. Es ist diese geradlinige Figur, welche wir hierneben in Fig. 18 
reproducieren, um so interessanter, als sie ganz allein durch Linearcon- 
struction, nämlich durch fortgesetzte Construction vierter harmonischer 

Punkte gewonnen werden kann; es ist 
darüber 1. c. pg.240 ausführlich berichtet 
und auch darauf hingewiesen, dass 
diese Figur wieder in der synthetischen 
Geometrie ihre wichtige Rolle spielt. 

Nach § 3 und 4 der Einleitung 
pg. 14 u.f. kann man die Collineationen 
der geradlinigen Einteilung der Figur 18 
in sich in ihrer Gesamtheit leicht an- 
geben; wir haben einfach die pg. 14 
unter (7) angegebenen Substitutionen: 




Fig. 18. 



(1) I < = ocyz, + (aö + ßy)z, + ßdz, , 

für die Gesamtheit aller Quadrupel ganzer Zahlen a, ß, y, Ö zu bilden, 
welche der Bedingung ad — ßy= + l genügen; das untere Zeichen 
liefert hierbei die Substitutionen zweiter Art. Für die Beziehung der 
Zi zur complexen Variabelen t, gilt dabei die Gleichung (2) pg. 20, und 
die Ellipse ist durch z^z^ — z.>^ = gegeben. 

Es ist nun besonders interessant, die in „M.*' I pg. 243 tf. ent- 
worfene Theorie der binären quadratischen Formen nicht wie dort au 
die ^- Halbebene, sondern an die hyperbolische Ebene zu knüpfen. Die 
einzelne 1. c. symbolisch durch (rt, &. c) bezeichnete quadratische Form 
wird alsdann direct durch den Punkt z^ = a, z^ = h, z^ = c der pro- 
jectiven Ebene gedeutet, und dieser Punkt liegt innerhalb oder ausser- 
halb der Ellipse, je nachdem die Determinante der Form negativ oder 
positiv ist. Die Gleichung (1) .stellt uns dann direct den Übergang 
zwischen äquivalenten Formen dar und stimmt in der That mit der 
bekannten Formel aus den Elementen der arithmetischen Theorie der 
binären quadratischen Formen überein*). Die repräsentierenden Punkte 
der Formen positiver Determinante sind die rationalen Punkte der 
projectiven Ebene ausserhalb der Ellipse, d. h. die Punkte, welche man 
durch gauzzahlige Coordinaten z^, z^, z.^ geben kann; diese Punkte 
liegen, was wir sogleich benutzen wollen, im Ellipsenäusseren überall 

*) Siehe z. B. die von Pedekind ber.uisgegebenoii Dirichlt'fschen Vor- 
lesungen über ZahU'nthoorii', l. AuH. j.i,v 130; num vercl iiuch unseii' obigen be- 
züglichen Angaben pg. 1'.». 



70 I. Allgemeine Theorie der discontinuierlicheu Gruppen aus ^ Substitutionen. 

dicht. Will man die Betrachtung einzig auf das Ellipseninnere be- 
schränken, so wird man au Stelle des ausserhalb der Ellipse gelegenen 
Tunktes seine Polare setzen; diese ist es dann, welche dem Smith'schen 
Halbkreise aus ,,M." I pg. 251 entspricht. Neuerdings ist Hurwitz 
auf diese Theorie in einer Arbeit: .,iJher die Bechiction der binären qua- 
dratischen Formen''*) ausführlich zurückgekommen. Hurwitz entwickelt 
daselbst eine neue Ableitung der in Fig. 18 vorliegenden Einteilung 
des Ellipseninnern und gründet sodann die Behandlung der quadratischen 
Formen auf die sogenannten Farey'schen Polygone, welche in gewisser 
Weise aus Symmetrielinien der Figur 18 aufgebaut sind. 

Es ist hier nicht der Ort, diese Gegenstände weiter zu entwickeln; 
wohl aber wollen wir aus bekannten Sätzen der Theorie der binären 
quadratischen Formen umgekehrt einen Schluss auf die Eigenart der 
Figur 18 thun. Da nach „M." I pg. 255 und 260 zu jeder ganzzahligen 
binären quadratischen Form positiver Determinante eine cyclische Unter- 
gruppe hyperbolischer Substitutionen gehört, welche die Form in sich 
transformieren, so ist jeder ausserhalb der Ellipse gelegene rationale 
Punkt der projectiven Ebene Fixpunkt einer solchen cyclischen Unter- 
gruppe aus Substitutionen (1). Man veranschauliche sich nun die 
geometrische Bedeutung der hyperbolischen Substitutionen (1) nach 
der oben pg. 33 besprocheneu Figur 3 und wird sofort ermessen, dass 
der ausserhalb der Ellipse gelegene Fixpunkt eine Häufungsstelle äqui- 
valenter Punkte bezüglich der cyclischen Untergruppe und also auch 
bezüglich der Gesamtgruppe (1) abgiebt. Da nun die fraglichen Fix- 
punkte, wie schon bemerkt, das EUipsenäussere überall dicht bedecken, 
so ist es nicht möglich, dass dortselbst ein Discontinuitätsbereich der 
Gruppe von endlicher Flächenausdehnung vorliegt: Die Modidgruppe 
besitzt nur im Ellipseninnern der hijpcrbolisclien Ebene, aber nicht ausser- 
halb desselben, so wenig ivie auf der Ellipse selbst, den Charakter der 
eigentlichen Discontinuität. 

Es ist interessant, die ganze Theorie der Modulfunctionen an dieser 
„hyperbolischen" Figur zu entwickeln, wie es überhaupt unter Um- 
ständen functionentheoretisch wichtig sein dürfte, statt der ^- Ebene 
die hyperbolische Ebene zu Grunde zu legen. 

§ 6. Einführung und Erweiterung der Picard'schen Gruppe 
mit complexen Substitutionscoefficienten. 
Es wurde oben (pg. G2) auf eine Gruppe hingewiesen, in welcher 
die Coefficienten der g- Substitutionen ganze complexe Zahlen der Ge- 
stalt (a + ib) sind. Wir schreiben in diesem Sinne: 

*) Math. Annalen Bd. 45, pg. 85 (1894). 



I, 1. Erläuterung der Gruppendiscontinuität an Beispielen. 77 

(1) a = a -\- ia, ß = h -\- ib', y == c -\- ic , Ö = d -\- id' , 

so dass a, a , h, . . rationale ganze Zahlen sind, und verlangen, dass 
die Determinante aö — ßy entweder == 1 oder = i ist. Die Forde- 
rung, dass die Determinante — 1 oder — / sei, würde keine neuen 
Substitutionen ergeben, da selbige durch Aufnahme des gemeinsamen 
Factors i in die vier Coefficienten auf die Substitutionen der Deter- 
minanten 1 und i zurückgeführt werden. Mit Rücksicht auf diese 
Sachlage ergiebt sich der Satz: Die Gesamtheit aller Substitutionen: 

(2) r=yj:|:^ ad~ßy^l oder =i 

mit ganzen complexen Coefßcie^iten der Gestalt (1) nnd von der Deter- 
minante 1 oder i bilden eine Gruppe, innerJialb welcher die Substitutionen 
der Determinante 1 eine ausgezeichnete Untergruppe des Index 2 bilden. 
Die Gesamtgruppe möge kurz F, die Untergruppe Fo heissen. 

Die Gruppe F^ und mit ihr F sind noch nicht in der ^- Ebene, 
wohl aber im i;-Halbraum eigentlich discontinuierlich, und wir haben 
demnach hier ein erstes Beispiel für die pg. 64 erwähnten Anschauungs- 
weisen Poincare's im ^- Halbraum. Unter diesen Gesichtspunkten ist 
die Gruppe Fg zuerst von Picard untersucht in einer unten noch zu 
nennenden Arbeit; wir erwähnen dort auch die frühere Litteratur des 
Gegenstandes. Picard hat a. a. 0. den Discontinuitätsbereich der 
Gruppe r^ festgestellt, aus welchem sich derjenige für F fast unmittel- 
bar ableiten lässt; es sei dieserhalb erlaubt, die fraglichen Gruppen 
nach dem Namen Picard's zu benennen. 

Bei der näheren Untersuchung der Picard'schcn Gruppe, wie wir 
sie im folgenden geben, ist die Behandlung der Modulgruppe in „M.'' I 
pg, 2ü8 ff. bis ins einzelne vorbildlich. 

In diesem Sinne stellen wir zunächst die in der Picard'scheu 
Gruppe enthaltenen Substitutiousarten fest. Nach „M." I pg. 104 hängt 
die Natur einer Substitution in erster Linie von der Summe (a -f d) 
des ersten und vierten Coefficienten ab, vorausgesetzt, dass die Deter- 
minante gleich 1 ist. Man hat eine nicht-loxodromische Substitution 
stets und nur dann, wenn (a -|- ()) reell ist, und zwar hat man eine 
elliptische, parabolische oder hyperbolische Substitution, je nachdem 

der absolute Betrag der fraglichen Summe j a -|- d j 2 ist; alle Sub- 
stitutionen mit nicht-reeller Summe {ci -f d) sind loxodromisch. 

Wenden wir diese Sätze auf die Picard'sche Grujipe I\ an, deren 
Sub.stitutionen die Determinante 1 haben, so sind die reellen (« -f- ö) 
bei der hier vorliegenden Natur der Substitutionseoeflicienten gewöhn- 
liche ganze Zaiilen. Es folgt demnach: Dir (lru}ipe F., mthälf an rilip- 



78 I- Allgemeine Theorie der discontinnierlichen Gruppen ans J-Substitutionen. 

tischen Substitutionen höchstens solche der Perioden 2 oder 3, ausserdem 
aber parabolische und hyperbolische, sowie endlich auch loxodromische. Das 
Vorkommen der ersten vier Substitutiousarten ist aber bereits durcli 
den Umstand gewährleistet, dass die Modulgruppe in Fg enthalten ist. 
Dass auch loxodromische Substitutionen vorkommen, ist leicht zu sehen 
und wird übrigens weiterhin noch unmittelbar evident. 

Eine in der umfassenderen Gruppe F, aber noch nicht in F^ ent- 
haltene Substitution liefert einmal wiederholt eine Operation der F., . 
Neben den Perioden 2 und 3 könnten demnach bei den elliptischen 
Substitutionen der CTruppe F die Perioden 4 und G vertreten sein. 
Bringt man aber die zunächst mit der Determinante i behafteten Sub- 
stitutionen der Gruppe F (durch Multiplication der Coefficienten mit 

1 j\ 

dem gemeinsamen Faktor — ^=- | auf die Determinante 1 und untersucht 

sodann die Summe des ersten und vierten Coefficienten, so zeigt sich, 
dass in F zwar elliptische Substitutionen der Feriode 4, nicht aber solche 
der Periode 6 enthalten sind. 

Bei der Untersuchung des Discontinuitätsbereiches der Modulgruppe 
in „M." I pg. 227 if. brachte es eine erhebliche Vereinfachung mit sich, 
von der Erweiterung der Gruppe durch Spiegelungen Gebrauch zu 
machen. Auch bei der Picard'schen Gruppe ist eine Erweiterung nach 
dieser Richtung hin angebracht, und zwar setzen wir gerade wie bei 
der -Modulgruppe die Spiegelung an der imaginären Axe ^' == — i, 
hinzu, so da^s an Sithstitutionen der Gruppe F zweiter Art neu hinzu- 
kommen: 

(3) 5' = "|— f. 

a, ß, y, d in derselben Bedeutung wie in (2) gebraucht. In der That 
beweist man leicht, dass diese Substitutionen im Verein mit den Ope- 
rationen (2) eine Gruppe bilden. In ihr ist als Untergruppe F, dann 
die aus Fg durch Erweiterung mit t' = — l entspringende Gruppe 
enthalten. 

Unter den Operationen zweiter Art der Gruppe F sind die S2)ie- 
gelungen an reellen (einteiligen) Symmetriekreisen für die weitere Unter- 
suchung die wichtigsten. Nach „M." I pg. 198 sind solche Spiege- 
lungen charakterisiert durch die Substitutionen: 

wo A. Ä, B, C reelle Grössen sind, die der vorstehenden Ungleichung 

genügen. Soll die Substitution (3) eine solche Spiegelung sein, so muss: 

a = 6{A-\-iA'), ß = 0B, y = 6C, 8 = (5{A—iÄ) 



I, 1. Erläuterung der Gruppendiscontinuität an Beispielen. 79 

sein, unter 6 einen Froportionalitätsfactor verstanden. Hieraus er- 
giebt sich: 

ad — ßy = ö-(yl- + Ä^' - BC) == 1 oder = i, 
je nachdem die zweite oder dritte Gleichung (2) gilt. Im ersten Falle 
ist 6 reell, im zweiten aber ist 6 das Product von (1 -j- i) mit einer 
reellen Zahl. Indem wir den gemeinsamen Factor a in die Coefficienten 
von (4) wirklich einführen und sodann für a, /3, y, ö ihre in (Ij er- 
klärte Schreibweise benutzen, ergiebt sich das Resultat: In der vor- 
liegenden Gruppe ziveiter Art F gieht es zivei Typen von Spiegelungen 
mit reellen Symmctrieh'eisen ; sie si^id gegeben durch: 

(o) t = ^ - , ' a^ -[- a- — hc = ] . 

c J; — (a — i a) 

(6) r = (« +i«)il^Mi +J') , a'- + a-'-2he=\- 

man hat dabei für a, a, b, c nach und nach alle Quadrupel ganzer 
rationaler Zahlen zu setzen, ivelche den unter (5) und (6) an zweiter 
Stelle beigefügten Gleichungen genügen. 

Als Gleichungen der zu den Spiegelungen (5) und (6) gehörenden 
Symmetriekreise gewinnt man: 

(7) c(r + r) -2al-2dn-\-b^0, 

(8) c{^' + ri^) -(«' + «)!- {a - «)^ + ?> = , 

wenn man, wie in der Einleitung, ^ = ^ + />; setzt. Für c = hat 
man sowohl in (7) wie (8) eine gerade Linie. Ist c von null ver- 
schieden, so liegen Kreise mit endlichen Radien vor; und zwar hat 

man in (7) einen Kreis mit dem Radius - um den Punkt ^ == „ > »i = ~ ' 
^ J c c c 

in (8) aber einen Kreis mit dem Radius — - um den Punkt mit den 
Coordinaten H = — ^"> ri = — - • 

§ 7. Die zur Picard'schen Gruppe gehörende tetraedrische 
Einteilung des ^- Halbraums. 

Während für die geometrische Interpretation der reeilon ^-Sub- 
stitution in der Einleitung die hyperbolische Ebene und diiniit die 
^Ebene ausreichte, führte uns der Fall complexer Substitutionscoefli- 
cienten zum hyperbolischen Baume und damit zum t,- Halbraum. Die 
Zugrundelegung der letzteren lür die weitere Untersuchung der Picard- 
schen Gruppe wird demnach für uns der gewiesene Weg sein, und 
wir werden die Substitutionen erster Art unserer Gruppe als Ho- 



80 I- Allgemeine Theorie der discontinuierlichen Gruppen aus J Substitutionen. 

wesunofen des Halbraums in sich deuten, sowie vor allem die unter 
(5) und (G) gewonnenen Substitutionen als Spiegelungen des Halbraumes 
an Halblntgcln, die auf der ^- Ebene orthogonal stehen. Braucheu wir, 
wie in der Einleitung, als Coordinatenbestimmung im i;- Halbraum 
^, j/, O', so werden die bei der Picard'scheu Gruppe F eintretenden 
Symmetriehalbkugeln durch: 

(1) c(r' + >f + -^'0 - 2a| — 2a f] -{- h = , 

(2) c(r + r + »') - («' + «)^ - («' -a)ri-i-h = () 
gegeben sein; die Bedeutung der ganzen Zahlen a, a, h, c ist dabei 
dieselbe wie im vorigen Paragraphen. 

Die Aufsuchung des Discontinuitlitsbereichs der Picard'schen Gruppe 
im ^-Halbraume führt zu Ergebnissen, die den bei der Modulgruppc 
vorliegenden Verhältnissen aufs genaueste analog sind. Wir werden 
im vorliegenden Paragraphen nur erst das System aller Symmetrie- 
halbkugeln (1) und (2) der Gruppe F aufsuchen und die durch diese 
gegebene Einteilung des ^- Halbraums feststellen. Die letztere ent- 
spricht der zur Modulgruppe gehörenden Dreiecksteilung der ^-Halb- 
ebene, wobei nun den Kreisbogendreiecken oder allgemeiner Kreis- 
bogenpolygoneu der £;- Halbebene Kugelschalen'pohjcder des ^- Halbraums 
gegenübertreten, deren begrenzende Halbkugeln orthogonal gegen die 
^- Ebene verlaufen. Es ist aber die wichtigste Eigenschaft der durch 
die Kugeln (1) und (2) gelieferten Einteilung des Halbraums, dass 
dieselbe eine regulär -symmetrisclie ist, diese Benennung im Sinne von 
„M," I (z. B. pg. 303, 336 u. s. w.) gebraucht. Denn da eine einzelne 
Spiegelung (5) oder (6) pg. 7t^l als Operation von F diese Gruppe in sich 
transformiert, so wird durch diese Spiegelung auch das Gesamtsystem 
der Symmetriekugeln (1) und (2j in sich übergeführt. Je zwei benach- 
barte Parcellen der Einteilung müssen also durch die Inversion au 
ihrer gemeinsamen Seite in einander übergehen, und es wird die ge- 
samte durch (l) und (2) lewerJcstelligte Polyederteilung des ^- Halbraums 
in tvoldbcJcannter Weise nach dem auf den Raum übertragenen Princip 
der Symmetrie aus einem ersten Aiisgangspolyeder abgeleitet werden 
können. 

Um nun die gedachte reguläre Einteilung des ^- Halbraums zu 
gewinnen, untersuchen wir zuvörderst die in (1) und (2) enthaltenen 
Ebenen. Für letztere ist c = charakteristisch, worauf die weitere 
Behandlung der zweiten Gleichungen (5) und (G) pg. 79 leicht ausführbar 
ist. Man findet, dass die gesamten unter (1) und (2) enthaltenen Ebenen 
durch die vier Gleichungen: 
(3j 2| = &, 2n = b, l + ri = b, i,-n = h 



I, 1. Erläuterung der Gruppendiscontinuität an Beispielen. 



81 




Fiff. i:i. 



gegeben sind, ivobei h jedesmal alle ganzen rationalen Zahlen zu durch- 
laufen hat. Der in der ^- Ebene gelegene Grundriss des hiermit ge- 
wonnenen Ebenensystems ist in 
Fig. 19 dargestellt. Derselbe liefert 
die in „M." I pg. 107 an zweiter 
Stelle angegebene geradlinige Ein- 
teilung der ^- Ebene, auf die wir 
in einem der folgenden Paragraphen 
nochmals zurückkommen. Der ^- 
Halbraum selbst erscheint durch die 
Ebenen (3) otfeubar in ein System 
von dreiseitigen Prismen eingeteilt, 
die überdies rechtwinklig und gleich- 
schenklig sind. 

Man nehme nunmehr c in (1) und (2) von null verschieden au 
und darf alsdann aus naheliegendem Grunde c > voraussetzen. Es 

ist jetzt eine Kugel vom Radius - bez. — = dargestellt, je nachdem (1) 

oder (2) vorliegt. Da c ganzzahlig ist, so ist der grösste überhaupt 
vorkommende Radius 1 ; dieser tritt für c = 1 ein und zwar allein für die 
Gleichung (1). Es gilt dann, alle gauzzahligen Lösungen der Gleichung: 

«2 4- a'- - 6 = 1 

festzustellen, und hier sind offenbar die beiden ganzen Zahlen a und 
d willkürlich wählbar, während h in jedem Falle eindeutig bestimmt 
ist. Es hat sich so ergeben: Unter den Sgmmctriehigcln der Gruppe F 
finden sich alle Kugeln mit dem Badius 1 um die ganzzahligen Funhte 
£; = rt -|- id der t,- Ebene und Jceine eigentliche Kugel von grosserem 
liadius. 

Weiter brauchen wir die Aufzählung besonderer Symmetriekugelu 
(1) und (2), wie sich bald zeigen wird, nicht mehr zu treiben. Wir 
greifen vielmehr unter den bisher gewonnenen Symmetrie-ebenen bez. 
-kugeln die speciellen vier auf, welche durch: 
(4) 7/ = 0, |-fr; = 0, 2^-fl=0, ^'-\-r-\-^'=\ 

gegeben sind. Die drei an erster Stelle genannten Ebenen grenzen 
ein erstes unter den schon genannten dreiseitigen Prismen ein; die durch 
die vierte Gleichung dargestellte Halbkugel durchschneidet das Prisnui; 
und wir wollen jetzt insbesondere denjenigen Teil des Prismas be- 
trachten, der ausserhalb der fraglichen Halbkugel gelegen ist Wir 
nennen diesen Teil Tq und dürfen ihn mit demselben Rechte als 
t'in Kugflschalenfctrneder bezeichnen, mit wekhom wir in .,M." I 

Fricke-Klein, Autoiiiorplu! Functionen. 1. l) 



82 I- Allgemeine Theorie der discontiuuierlichen Gruppen auB .^Substitutionen. 




Fig. 20. 



pg. 227 den Ausgangsraum der Modulgruppe als Kreisbogendreieck 
benannten; beide Male ist freilich eine Ecke des Bereiches im Un- 
endlichen gelegen. Um die Lage des Tetra- 
eders Tq noch näher zu beschreiben, sind 
in Fiscur 20 die Grundrisse der Ebenen 
und Kugel (4) gezeichnet. Man muss sich 
nun senkrecht zur Papierebene die zu den 
drei Geraden gehörenden Ebenen, sowie die 
zum Kreise gehörende Halbkugel errichtet 
denken; das Tetraeder T^, wird dann nach 
unten von der Halbkugel begrenzt und zieht 
sich nach oben zwischen den drei Ebenen 
ins Unendliche. In noch directerer Weise mag Figur 21 die Lage 
und Gestalt des Tetraeders T^ versinnlichen. Die Kanten des Tetra- 
eders T„ sind in dieser Figur, die wir gleich noch weiter verfolgen, 
durch stärkeres Ausziehen hervorgehoben. 

Nach Analogie von „M." I pg. 228 
können wir die Punkte des Tetraeders T^ 
durch gewisse Ungleichungen definieren, 
welche für die Coordinaten i,, ri, Q- der- 
selben bestehen. In der That findet man 
leicht den Satz, dass für die Puiikte des 
Tetraeders T^, folgende drei Ungleichingen 
cJiaraliteristiseh sind: 

r^ + r + ^^ > 1 . 

Man untersuche nunmehr, ob in das 
Tetraeder T^^ noch irgend welche andere 
Symmetriekugeln der Gruppe F eindringen 
können. Von allen Punkten des Tetra- 
eders Tq ist die Ecke von den Coordinaten 
der g- Ebene am nächsten gelegen. Bei der 




(ö) 



Fig. 21. 



i=- n = 



^ 



1 



schon oben festgestellten Grösse und — der Radien der Symmetrie- 

^ f } '2 

kugeln kann sonach in das Innere von 7'„ jedenfalls nur eine Sym- 
metriekugel des Radius 1 eindringen. Diese Kugeln aber haben die 
ganzzahligen Punkte t, = a -{- id zu Centren, und es folgt demnach, 
dass zwar die Kugel um t,== — 1 durch eine Kante von T^ hindurch- 
geht, dass aber keine dieser Kugeln in Tq eindringt. 

Denken wir nunmehr die gesamten Symmetriehalbkugeln (1) 



I, 1. Erläuterung der Griippendiscontinuitiit an Beiapiclen. 83 

und (2) pg. 80 construiert, so werden sie, wie schon ausgeführt wurde, 
eine Einteilung des Halbraumes liefern, in welcher je zwei benach- 
barte Parcellen bezüglich ihrer gemeinsamen Seite symmetrisch sind. 
Es handelt sich hier also um eine vollständige und überall einfache Aus- 
füllung des Halbraumes mit Tetraedern T^, T^, T^, . . ., welche durch 
immer iviederholte Spiegelung aus dem Ausgangstetraeder T^ gewonnen 
werden Jcönnen. Die Tetraeder senken sich, wie man noch in Figur 21 
sehen wolle, mit Spitzen zur i;- Ebene herab, und die letztere ist in 
ganz derselben Weise eine natürliche Grenze für den Spiecelun^s- 
process, wie die reelle Axe bei der Dreiecksteilung der Modulgruppe. 
Beim Durchschreiten des Halbraumes gegen die ^-Ebene hin trifft mau 
auf Tetraeder, die, im elementaren Maasse gemessen, kleiner und 
kleiner werden, und die in unmittelbarer Nähe der £;-Ebeue unbegrenzt 
zusammenschrumpfen. 

Auf Grund der hiermit gewonnenen Ergebnisse werden wir nun 
leicht über den Discontinuitätsbereich und die Erzeufjunir der Picard- 
sehen Gruppe endgültige Angaben machen können. 

§ 8. Der Discontinuitätsbereich und die Erzeugung der 
Picard'schen Gruppe. 

Es soll hier zunächst für die durch Spiegelungen erweiterte Pieard- 
sche Gruppe F der Discontinuitätsbereich abgeleitet werden. Zu diesem 
Ende übe man auf den mit der Tetraederteilung versehenen ^- Halb- 
raum irgend eine symbolisch durch V zu bezeichnende Substitution der 
Gruppe r aus. Durch V wird die Gruppe F in sieh transformiert, 
und insbesondere wird jede in F enthaltene Spiegelung durch ]' wie- 
derum in eine Spiegelung dieser Gruppe transformiert. Jede Symuu'trie- 
lialbkugel der Tetraederteilung wird demgemäss durch V wieder in 
eine ebensolche Symmetriehalbkugel übergeführt, d. h. die zur Gruppe F 
gehörende Tetraederteilung wird nicht nur durch die Spiegelungen, sondern 
überhaupt durch jede Operation von F in sich selbst transformiert. 

Man greife nun irgend einen Punkt des Ausgangstetraeders 7'„ auf 
und denke die sämtlichen mit diesem Punkte bezüglich F äquivalenten 
Punkte markiert. Ist noch ein zweiter unter diesen Punkti-n innerhalli 
2'q gelegen, so giebt es nach dem soeben ausgesprochenen Satze eine 
von der Identität verschiedene Operation in F, welche 7',, in sich traus- 
lormiert. Die dem Tetraeder 7'„ angehörende parabolische Spitze ^ = oo 
wird bei dieser Transformation in sich übergehen und also würden 
wir es mit einer Substitution der (Jestult: 

§' = g4-/i oder i'^i^-\-ß 



84 T. Allgemeine Theorie der discontinuierlichen Gruppen aus ^-Substitutionen, 
bez., falls eine Substitution zweiter Art vorliegt, der Gestalt: 

t' = -i+ß oder e' = -*i+^ 
zu tliun haben. Alle diese Substitutionen sind in der zu Figur 19 pg. 81 
gehörenden Dreiecksgrui>pe enthalten und können sonach das Tetraeder 
Tq nicht in sich transformieren. Innerhalb des Tetraeders Tq kann es 
bei dieser Sachlage keine zwei bezüglich F äquivalente Punkte geben. 

Auf der anderen Seite giebt es zw jedem Punkte des ^-Halbraunios 
einen äquivalenten Punkt innerhalb T^,; denn jener erste Punkt kann 
durch eine Kette von Spiegelungen der Gruppe F in T^^ hinein trans- 
formiert werden. 

Hiermit schliesst sich der zu liefernde Nachweis, und wir haben 
den Satz gewonnen: Das durch die Bedinguiigen (5) pg. 82 definierte 
Ausgangstetraeder T^^ ist der Discontinuitätshereich der Gruppe JT, tvelche 
letztere somit zwar noch nicht innerhalb der t- Ebene, wohl aber im 
^- Halbraum eigentlich discontinuierlich ist. 

Die uneigentliche Discontinuität der Gruppe F innerhalb der 2;-Ebene 
wurde zwar in der voraufgehenden Entwicklung nicht besonders hervor- 
gehoben, folgt aber z. B. schon aus dem Umstände, dass die mit 
einander äquivalenten Tetraederspitzen die ^- Ebene überall dicht be- 
decken. 

Man bringe nun die vier Seiten des Ausgangstetraeders in die 
Reihenfolge, wie sie durch die Gleichungen: 

(1) 7^ = 0, 2^+1=0, |-^ + ^2_f_^2_l, | + 7? = 

festgelegt ist, und bezeichne die vier zugehörigen Spiegelungen durch 
Aj B, C, D; man hat somit exjilicite: 

(2) Ait)^i, 5(0 = -f-1, ^'(0 = =, i)a) = -^^ 

Es entsprechen diese Substitutionen den drei in „M." I pg. 232 mit 
A, B, C bezeichneten Modulsubstitutionen, wie man denn hier über- 
haupt die genaueste Analogie zu den damaligen Entwicklungen be- 
merkt. Vor allem gilt: Die erweiterte Ficardsche Gruppe F lässt sich 
aus den vier Spiegelungen A, B, C, D erzeugen. 

Als Spiegelungen genügen die erzeugenden Substitutionen A, B, 
C, D den vier Relationen: 
(3) A'=l, B'=\, (72=1, 1)2=1. 

Es sind dies aber nicht die einzigen zwischen A, B, C, D bestehenden 
Relationen. Um die Gesamtheit derselben in Erfahrung zu bringen, 
muss man die in „M." I pg. 452 ff. auf ebene Polygonteilungen ange- 
wandte Überlegung auf Polyederteilungen des g-TIalbraumes übertragen. 



I, 1. Erläuterung der Gruppendiscontinuität an Beispielen. 85 

Das Wesen der fraglichen Betrachtung bleibt dabei völlig unverändert. 
Die einzelne für Ä, B, C, D gültige Relation 11 {A, B, C, D)= l 
wird durch eine geschlossene Linie versinnlicht, welche von einem 
Punkte des Tetraeders T^ beginnt und dort endet. Die Zusammen- 
setzung dieser Relation aus primitiven Relationen wird dann genau, 
wie 1. c. ausführlich geschildert wurde, durch Zusammeuziehung jenes 
geschlossenen Weges gewonnen. Es zeigt sich, dass die Anzahl der 
ausser (3) noch hinziüiommenden Relationen mit der Anzahl der Classen 
äquivalenter Tetraederhantcn unserer Einteilung ühcreinstimmt ; wir haben 
dabei, einem allgemein üblichen Brauche der Arithmetik folgend, die 
Bezeichnung „Classe" für den Inbegriff äquivalenter Gebilde irgend 
welcher Art (hier von Tetraederkanten) benutzt. Die nähere Gestalt 
der einzelnen Relation bestimmt man dann entweder aus dem Neif^uncrs- 
winkel, welchen das Tetraeder 1\ an der einzelnen Kante darbietet, 
oder durch Rechnung aus der Gestalt (2) der Substitutionen A, B, C\ 
D. Man findet: Neben den Relationen (3) bestehen für die vier erzeu- 
genden Substitutionen der Picard'schen Gruppe F den sechs durchweg in- 
äquivalenten Tetraederlwiten entsprechend die sechs Relationen: 

i{ABy=\, {ACf = \, {ADr=\, {BCf-l, 
\ {BDf=\, (CDY=\. 

Sollen wir die Seiten des Tetraeders T^ für den Augenblick selbst 
A, B, C. D nennen, so spricht sich in den Relationen (4) sofort aus, 
welche Neigungswinkel bei T^ vorkommen. Drei rechte Winh'l liegen 
vor bei den Seitenpaaren (A. B), {A, C) und [C, D); die Seiten B und 

C bilden den WinJcel — , die Paare (A, D). (B. D) die Winlcel -^- Der 

genaue Zusammenschluss der Tetraeder um die gemeinsamen Kanten 
ist damit auch nach dem Princip der Symmetrie unmittelbar ersichtlich. 
Wenn man von F zur Picard'schen Gruppe erster Art F übergehen 
will, so hat man ganz wie bei der Modulgruppe „M." I pg. 230 hier 
zwei Tetraeder, die benachbart sind, zusammenzufassen. Wir vereinen 
etwa mit T^ sein an der Seite D entworfenes Spiegelbild, wodurch ein 
von den fünf Symmetrie-halbkugeln bez. -halbebenen: 

i 1 = 0, 2// -1=0 

eingegrenztes Pentaeder Pq entspringt. Bas damit gewonnene Pentaeder 
Pf,, dessen Punkte ivir auch durch die Ungleichungen: 

(6) -l<J<o, ok.kI r-" + 'r + '^'>i 

definieren Icönnen, i^t der Biscontinuitätsbereich der Picard' sehen Gruppe 



86 I- Allgemeine Theorie der cliscontinuierlichen Gruppen aus ^-Substitutionen. 

erster Art F. Gerade wie beim Ausgangsdreieck für die Modulgruppe 
erster Art wolle man auch hier nur diejenigen Randpunkte dem Penta- 
eder zurechnen, welche als solche dem ursprünglichen Tetraeder T^ 
angehören. In den beiden ersten Ungleichungen (6) ist dies bereits 
zum Ausdruck gebracht; für die dritte Ungleichung (6) müssen wir den 
Zusatz machen, dass das untere Zeichen nur dann gelten darf, falls 
§ + t; < ist. 

Bezeichnen wir das Pentaeder Pq gemäss seiner Entstehung als 
Do2yp€ltetraeder, so sind die sechs freien Seitenflächen desselben zu 
Paaren durch die Erzeugenden der Gruppe F einander zugewiesen. 
Es ergiebt sich: Die ursprüngliche Gruppe F lässt sich aus deti drei 
elliptischen Suhstitutionen der Perioden 4, 4, 2: 

(7) AD^S, BB=T, CB^U 

erzeugen, deren explicite Gestalt sich auf Grund von (2) zu: 

(8) (5) r = /^, (T) r = - ^■e - 1 . {U) r = .^ 

berechnet. Durch Combination der Substitutionen S, T, U folgt: 

ST-' = AB, TU-^=BC. US-' = CA. 

Es ergiebt sich somit auf Grund von (4) weiter: Zwischen den drei 
erzeugenden Suhstitidionen der Picard'scheu Gruppe F bestehen die sechs 
Relationen: 

^^ ^ 1 {ST-'Y = 1 . {TU-^y = 1 , (US-'Y = 1 . 

Endlich seien hier auch betreffs der Untergruppen F^ und Pg 
einige nähere Angaben gemacht. Die vier Spiegelungen (2) haben 
bis auf die letzte, nämlich B, Determinanten + 1 oder — 1. Nehmen 
wir somit aus der Tetraederteilung alle mit B äquivalenten Symmetrie- 
halbkugeln heraus, so entspringt als zur Gruppe Fo gehörig eine Pentaeder- 
teilung des t,-Halhraumes. icohci das Ausgangspentaeder durch die fünf 
unter (5) dargestellten Seiten cingegrmizt ist Unter den fünf erzeugenden 
Spiegelungen A, B, C, B', E' sind die ersten drei die bisher unter 
dieser Benennung gebrauchten Operationen; für B' und E' hat man: 

(10) (Z)') t,'=-l, (E') r = e+^. 

Zwischen diesen Substitutionen bestehen gewisse acht Relationen, 
welche den acht Pentaederkanteu entsprechen, sodann aber die fünf 
Gleichungen A^=\, ..., denen die A, ... als Spiegelungen genügen. 
Wir wollen von hieraus auch noch die Erzeugenden der Gruppe 
erster Art F^ aufstellen. Als Discoutinuitätsbereich soll dasjenige 



I, 1. Erläuterung der Gruppendiscootinuität an Beispielen. 87 

„Doppelpentaeder" benutzt werden, welches aus P^, durch Anfügung 
seines an U entworfenen Spiegelbildes entsteht. Das als Disconti- 
nuitätsbereich der Gruppe A fungierende Doppelpentaeder kann somit als 
durch die Ungleichungen: 

(11) -l<^<r ^^n^r ^'+r + ^'>^ 

definiert angesehen iverden mit dem Zusatz, dass in den leiden letzten 
Gleichungen die Gleichheitszeichen nur dann gelten dürfen, ivenn | < 
ist. Als Erzeugende der Gruppe Fg kann man die folgenden vier ver- 
wenden: 

S'=ÄD\ r = BD', U'=^CD', V' = E'D\ 

deren explicite Gestalt sich berechnet zu: 

(12) s'(o = -t, ra) = t-i, c/'(0 = -^- v'a)=-.-i-\-i. 

Man hat als Resultat: Die Gruppe F^ lässt sich ans vier Substitutionen 
erzeugen, von denen drei elliptisch von der Periode zivei sind, nämlich 
S' , U' , V , während T' parabolisch ist. Die Substitutionen T' und ü', 
für sich allein genommen, erzeugen die in F.^ enthaltene Modulgruppe. 
Die Substitutionen S' , T' , V, für sich combiniert, liefern die 
Gruppe aller Substitutionen; 

i' = ±t-\-(a-{-ib), 

wo a und b beliebige rationale ganze Zahlen, also (a -f- ib) eine be- 
liebige complexe ganze Zahl dieser Gestalt ist. Combinieren wir mit 
den Substitutionen dieser Art immer wieder die Substitution ü', so 
erkennt man leicht, dass sich für die Substitutionen der Gruppe F^ 
eine KettenbruchentwicMung ergiebt: 



welche für die vorliegende Gruppe F., das Analogon der in „M." I 
pg. 220 für Modulsubstitutioneu aufgestellten Kettenbruchentwicklung ist. 

§ 9. Bemerkungen über Untergruppen der Picnrd'sohon Gruppe. 

Historisches. 

Man wird das l'roblom, die gesamten llntergrup])en der Picard- 
schen Gruppe auizuzählen, bei dem Charakter dos aiudogou Problems 
innerhalb der Theorie der Modulgruppe (cf. „M." I pg. 418) als ein 
sehr schwieriges ansehen müssen; und es sollen hier auch nur nach 



I 



88 I- Allgemeine Theorie der discontinuierlichen Gruppen aus ^ Substitutionen. 

zwei Richtimgeu hin einige vorläufige Angaben über Untergruppen der 
eben betrachteten Gruppen gemacht werden. 

Indem wir zuvörderst etwa an die umfassenden Gruppen F und F 
anknüpfen, wollen wir die den Kanten und Ecken des Ausgangs- 
tetraeders Tq entsprechenden Untergruppen vom Charakter der cycli- 
schen bez. der Rotationsgruppen (cf. pg. 51) aufstellen. Wir finden 
solcherweise eine erste Gelegenheit, die früher entwickelten allgemeinen 
Ansätze, betreffend cyclische Gruppen und Rotationsgruppen, an einem 
concreten Beispiel zur Ausführung zu bringen. Im übrigen wird auch 
hier wieder die schon mehrfach hervorgehobene Analogie zur Modul- 
gruppe bestehen bleiben; es handelt sich speciell um Übertragung der 
Entwicklungen in „M." I pg. 216 u. f. 

Nach den Erörterungen der Einleitung (pg. 56) gehört zu jeder 
cyclischen Untergruppe aus elliptischen Substitutionen im ^-Halbraume 
ein Punkt für Punkt festbleibeuder Halbkreis, der senkrecht gegen di»' 
^- Ebene vorläuft. In diesem Sinne finden wir den sechs Kanten des 
Tetraeders T^ entsprechend insgesamt sechs Classen cyclischer Untcr- 
gruiypen ans elliptischen Suhstitutionen innerhalb der Picard'schcn Grupypc 
F. Die mit einander gleichberechtigten Gruppen sind dabei nach der 
schon vorhin eingeführten Sprechweise in eine „Classe" zusammen- 
gefasst. Nach der Formel (4) des vorigen Paragraphen (pg. 85) oder 
auch bei der Grösse der Kantenwinkel des Tetraeders T„ haben drei 
unter diesen Gruppen die Ordnung zwei, eine die Ordnung drei und 
endlich die beiden letzten die Ordnung vier. 

Von den vier Ecken des Ausgangstetraeders liegen drei im Innern 
des i;- Halbraumes. Sammeln wir alle Substitutionen aus F, welche 
eine einzelne dieser Ecken in sich selbst überführen, so entspringt not- 
wendig eine Motationsimtergruppe vom Typus der in der Theorie der re- 
gulären Körper auftretenden Gruppen, da das Centrum dieser Rotations- 
gruppe im £;- Halbraum und also im Kugelinnern des projectiven Raumes 
liegt. Man spricht demnach allgemein von einer diedrischen, tetraedri- 
schen etc. Ecke, je nachdem die zugehörige Rotationsuntergruppe eine 
Diedergruppe, Tetraedergruppe etc. ist, und unterscheidet die Dieder- 
gruppen noch näher durch Angabe ihrer Ordnungen 2w. Man kann 
nun aus den für die Gruppe F oben mitgeteilten Figuren leicht ab- 
lesen, dass die leiden Eclcen ^ = 0, # = l und ^ = — ^, ■9' = ^,- 
diedrisch von den Ordnungen 8 und 6 sind, während ivir in der dritten 
Ecke 1= -— ^ Q- =-- eine oktaedrische vor uns haben. Doch kann 

man diese Resultate auch auf dem Wege der Rechnung gewinnen, wie 
wir etwa für die oktaedrische Ecke ausführen wollen. 



I, 1. Erläuterung der GruppendiBContinuität an Beispielen. 89 

Die gesamten Symmetriehalbkugeln der Einteilung des Halbraums 
in Tetraeder sind durch die Gleichungen (1) und (2) pg. >^0 angegeben, 
wo für die ganzen Zahlen a, a, b, c alle Lösungen der Gleichungen (5) 
bez. (6) pg. 79 einzusetzen sind. Um somit alle Symmetriehalbkugeln 

durch den Eckpunkt ^ == — ^ , -ö- = — ^ zu erhalten, trage man in 

\ 2 

die Gleichungen (1) und (2) pg. 80 für die Coordinaten |, »;, 9- die 

Werte : 

ein und hat somit einmal alle ganzzahligen Auflösungen des Glei- 
chungspaares: 

a + rt' + 6 + c = , a2 + a'2 - 6c = 1, 

sodann aber des Paares: 

a -Lh-\-c = 0, a- + a- — '2hc = 1 

aufzusuchen. Doch geben dabei zwei Auflösungen, die durch gleich- 
zeitigen Zeichenwechsel aller vier Zahlen aus einander hervorgehen, 
eine und dieselbe Halbkugel. 

Das erste Gleichungspaar führt durch Elimination von h auf: 

(2a + cj + {2a -f c)' + 2c' = 4 . 

Diese Gleichung führt insgesamt nur auf seclis Lösungen (a, a, b, c), 
nämlich (1, 0, — 1, 0), (0, 1 — 1, 0), (- 1, — 1, 1, 1), (0, - 1, 0, \\ 
(— 1, 0, 0, 1), (0, 0, — 1, 1). Das zweite Gleichungspaar führt durch 
Elimination von a auf: 

a- -f- h- -f- c- = 1 , 

eine Gleichung, die noch leichter zu discutieren ist. Es zeigt sich, 
dass insgesamt nur noch drei weitere Lösungen hinzukommen, nämlich 
l, 0, 0, 0), (0, — 1, 1, 0), (0, — 1, 0, 1). Es gehen somit im ganzen 
neun Symmetriehalbkugeln der Ilalbraumteilung durch die in Rede 
stehende Ecke, und wenn man unter Benutzung der Gleichungen (1) 
und (2) pg. 80 die neun in der ^- Ebene gelegenen Grundrisse dieser 
Kugeln zeichnet, so ergiebt sich das Kreissystem der Figur 22 (pg. 90\ 
in welchem man unter Vergleich mit „M." I pg. 75 die Oktaederteilung 
erkennt. Der oktaedrische Charakter der fraglichen Ecke von 7'„ ist 
damit aufs neue bewiesen. 

Es ist endlich noch die vierte, bei t. = <x gelegene Ecke des Tetra- 
eders zu discutieren. Im projectiven Räume gedacht, wird der frag- 
liche Eckpunkt auf der absoluten Kugel der hyperbolischen Maass 
bestimmung selber gelegen sein. Wir müssen demnach zufolge der 



90 I Allgemeine Theorie der discontinuierlichen Gruppen aus J-Subetitutionen, 



allgemeinen Erörterungen von pg. 52 hier zu einer Rotationsunter- 
gruppe von solchem Typus geführt werden, wie, sie bei den elemen- 
taren Bewegungen der parabolischen Ebene in sich auftreten. Dies 
bestätigt sich sofort: Die Substitutionen der Picard'schen Gruppe, 
welche die Ecke ^ = 00 des Tetraeders in sich transformieren, sind 
in ihrer Gesamtheit gegeben durch: 

(1) r==^••t^-(« + ^■^), 

wo 2/ = 0, 1, 2, 3 zu nehmen ist. Wir sind damit zur Gnqype des 
geradlinigen Breiecks der Winkel ^> j» t geführt, deren zugehörige 

Teilung der ^-Ebene bereits oben Figur 19 pg. 81 sowie andrerseits 

in „M," I pg, 107 dargestellt ist. 

Wir haben in der vorstehenden Behandlung der Picard'schen 

Gruppe überall den ^- Halbraum zu Grunde gelegt, um mit der Be- 
handlung der Modulgruppe 
in „M," I allenthalben glei- 
chen Schritt zu halten. Doch 
wird man nun mit Recht 
fragen, welches für die Pi- 
card'sche Gruppe das Ana- 
logon der in „M." I pg, 239 
studierten und oben in Fi- 
gur 18 pg. 75 reproducier- 
teu „geradlinigen Modul- 
figur" ist. Um hierauf zu 
antworten, haben wir nur 
nötig, die Einteilung des 
^- Halbraumes in Tetraeder 
auf das Kugelinnere des 
hyperbolischen Raumes zu 
übertragen. Wir wählen da- 
bei den oben als oktaedrisch 




Fig. 22. 



erkannten Eckpunkt ^ = — 



1 + i 



-^ = ,_ zum * Kugelmittelpunkt, 

y2 



worauf die zu den neun Kreisen der Figur 22 gehörenden Halbkugeln 
neun Diametralebeuen der absoluten Kugel des hyperbolischen Raumes 
liefern, und zwar offenbar die neun Symmetrieebenen eines der Kugel 
eingeschriebenen regulären Oktaeders. Aber auch die acht Seitenflächen 
dieses Oktaeders stellen sich ein; denn eine unter ihnen ist, wie man 
mit Hilfe von Figur 21 oder 22 leicht feststellen wird, die Symmetrie- 
ebene der Spiegelung t,' = ^, und die übrigen sieben Seiten des 



I, 1. Erläuterung der GruppendiBcontinuitiit an HeiBpieltn. [)l 

Oktaeders folgen dann vermöge der Regularität der Einteilung von 
selber. 

Auf Grund dieser Ergebnisse entspringt folgendes schöne Bild von 
der fraglichen regulären Eiutoilung: Man construiere ein der absoluten 
Kugel eingeschriebenes reguläres Oktaeder und reproducierc dasselbe 
nach dem Princi]) der Symmetrie: Es entsprbvjt eine regulär- aymmetrische 
Einteilung des Kugclinnern in lauter Oktaeder, deren Ecken auf der Kugel 
liegen. Dabei ist die einzelne Kante immer von vier Oktaedern umlagert ; 
denn sämtliche Kantenwiukel des Ausgangsoktaeders sind, wie man 
leicht aus Figur 21 pg. 82 abliest, rechte. Setzen wir nun noch die 
Symuietrieebenen jedes Oktaeders hinzu, so wird das einzelne unter 
ihnen in 48 Tetraeder zerlegt; und damit liegt dann endgültig die zur 
Ficard'schen Gruppe F gehörende Einieilung des Kugelinnern in Tetra- 
eder vor. Hiermit ist das Aualogou der „geradlinigen Modulfigur" ge- 
wonnen. Auch würden wir nach dem Muster von „M." I pg. 240 eine 
projective Erzeugung unserer regulären Raumteilung durchführen 
können; doch gehen wir hierauf der Kürze halber nicht mehr ein. — 

Die oben betrachteten Untergruppen von F sind übrigens nur erst 
diejenigen unter den cyclischen und Rotationsuntergruppen der Picard- 
schen Gruppe, die sieh nach den Sätzen der Einleitung ohne weiteres 
ergaben. Für das Studium der cyclischen Untergruppen aus hyper- 
bolischen oder aus loxodromischen Substitutionen, sowie andrerseits 
der Rotationsuntergruppen, deren Centren im hyperbolischen Räume 
ausserhalb der absoluten Kugel liegen, sind erst noch weitere Hilfs- 
mittel heranzuholen. Die letzteren bestehen einmal in geometrischen 
Entwicklungen, die erst im Verlaufe der nächsten Kapitel ausge- 
führt werden, andrerseits, was besonders interessant ist, in der arifh- 
metisclien Theorie von xwci Arten quadratischer Formen mit complcxen ganz- 
zahligen Coefficienten der Gestalt (a + i^)- Mit der Theorie der hier 
gemeinten quadratischen Formen steht nämlich die Picardsche Gruppe 
und die ihr zugehörige Halbraumteilung in derselben engen Be- 
ziehung wie die Modulgruppe zufolge „M." I pg. 243 ff. mit der Theorie 
der gewöhnlichen Gauss'schen quadratischen Formen. ^^ ir kommen auf 
diesen Gegenstand unten ausführlich zurück; doch erscheinen einige 
vorläufige historische Angaben schon hier angebracht. 

An erster Stelle haben wir die grosse Untersuchung Dirichlet's 
zu nennen, welche den binären quadratischen Formen: 
(2) aur + 'Jbxij -f ('>/' 

gilt, in denen die Coefficienten ganze complexe Zalilrn der liier in 
llede stehenden Art sind. Es sind diese Untersuchungen zusnmmen- 
gefasst in der Abhandlung .Mechcrchcs sur Ics formcs quadratiqucs a 



92 I- Allgemeine Theorie der discontiuuierlichen Gruppen aus ^-Substitutionen. 

coi'fficients et ä indäcrmim'es conqilcxes'^ '*) , welche die Methode anlan- 
gend an den Disquisitiones arithraeticae ihr Vorbild findet und rein 
arithmetisch sich aufbaut. Neuerdings ist Hilbert in seiner Abhand- 
lung „Über den Dir ichlet' sehen biquadratischen ZahJJxörpei-'' **) auf die 
Dirichlet'schen Untersuchungen zurückgekommen und hat dieselben 
in dem von Dirichlet selbst geplanten Sinne vervollständigt. Es ist 
nun möglich, diese Theorie auf Grund der Raumteiluag der Picard- 
schen Gruppe in geometrischer Form zu entwickeln, wobei die Behand- 
lung der gewöhnlichen Gauss'schcn quadratischen Formen in „M." I 
pg. 243 ff. als Modell dienen kann. Insbesondere zeigt sich dabei, dass die 
Dirichlet'schen Formen (2) zu den cyclischcn Gruppen innerhalb der Picard- 
scheii Gruppe in enger Beziehung stehen. Wir verschieben die aus- 
führliche Besprechung der Einzelheiten auf später. 

Die Picard'sche Gruppe ist nun aber noch weiter tragend; sie 
bietet nämlich auch einen sehr eleganten geometrischen Eingang in 
die Theorie der sich selbst conjugierten binären quadratischen Formen, 
d. h. der Formen: 

(3) 'axx + bxy + bxy + cyy, 

wo a und c reelle ganze Zahlen sind, b und b aber zwei conjugiert 
complexe Zahlen unserer Art, ebenso wie x und x, y und y. Diese 
Formen sind von Her mite in der noch mehrfach zu nennenden Ab- 
handlung „Snr la theorie des formcs quadratiques" '^**) eingeführt und 
untersucht worden. Die geometrische Theorie der Formen (3), über 
welche wir späterhin gleichfalls im Zusammenhang berichten, wird 
ihr Hauptinteresse in dem Umstände finden, dass sie in unmittelbarer 
Beziehung zu den BotationsQruyiipen innerhalb der Picard'schen Gruppe 
steht. Es ist dies gerade dieselbe Beziehung, wie sie in „M." 1 pg. 252 0". 
zwischen den damaligen Formen und den cyclischen Untergruppen inner- 
halb der Modulgruppe hervortrat, und wie wir sie zwischen den Dirichlet- 
schen Formen (2) und den cyclischen Untergruppen der Picard'schen 
Gruppe schon erwähnten. 

Der erste, der die hier gedachte geometrische Theorie der Her- 
mite'schen Formen (3) in Angriff genommen hat, ist Picard gewesen; 
man sehe hierüber dessen Abhandlung ..Siir iine groupe des transforma- 
tions des points de l'espace situcs du meme cöte d'un plan'^'j-). Picard 

♦) Crelle's Journal Bd. 24 pg. 291 (1842) oder Gesammelte Werke Bd. 1 
pg. 535 ff. 

**) Mathem. Anualen Bd. 45 pg. 309 (1894). 
***) Crelle's Journal Bd. 47 pg. 343 ff. (1853). 
t) Bulletin de la societ^ matb^matique de France, Bd. 12 (1884); siehe auch 
Mathem. Annalen Bd. 39 pg. 142. 



I, 1. Erläuterung der Gruppendiscontinuität an Beispielen. 93 

gelangt daseltrst durch geometrische Interpretation der bereits von 
Hermite aufgestellten Reductionsbedingungeu für die späterhin als de- 
finit zu bezeichnenden Formen (3) zum Discoutinuitätsbereich der oben 
mit F^ bezeichneten (iriijjpe im ^-Halbraum, ein Umstand, der uns 
oben veranlasste, die fragliche Gruppe mit Picard's Namen zu belegen. 

In neuerer Zeit hat Bianchi, ohne zunächst mit den Picard'schen 
Resultaten bekannt zu sein, diese Gegenstünde sehr ausführlich in 
Untersuchung gezogen und bei verschiedenen Gelegenheiten darüber 
berichtet; vergl. namentlich die Note „Sui gruppi di sostituzioni lineari 
n coeffcienti interi complessi" *) sowie die ausführliche Arbeit Meo- 
metrische DarstcUung der Gruppen linearer Substitutionen mit ganzen 
complexen Coefficienten nebst Amvendungen auf die Zahlenthcorie" **). 
Bianchi giebt hier eine Behandlung der oben mit Fg bezeichneten 
Gruppe, für welche die Untersuchung der Modulgruppe in „M." I 
pg. 211 flf. vorbildlich ist; d. h. es wird von den Substitutionen zweiter 
Art kein Gebrauch gemacht. Die Behandlung der Dirichlet'schen 
Formen (2) und der Hermite'schen Formen (3) auf Grund der Halb- 
raumteilung entwickelt Bianchi in der zweiten der beiden eben 2e- 
nannten Abhandlungen. 

Es sei hier endlich noch die Arbeit von Hurwitz ,,lJber die Ent- 
ivicTüung complexer Grössen in Kettcnbriiclte" ^**) erwähnt, in welcher 
insbesondere Kettenbrüche complexer Zahlen mit Teilnenuern behandelt 
werden, welche ganze complexe Zahlen der Gestalt (a + ib) sind. Die 
Hurwitz'sche Untersuchung steht in unmittelbarer Beziehung zu der 
pg. 87 erwähnten Kettenbruchzerlegung der Substitutionen der Gruppe 
Fg, und die Hurwitz'schen Resultate könnten aus der Theorie der 
Picard'schen Gruppe gerade in derselben Art abgeleitet werden, wie 
die bekannten Sätze über Kettenbruchentwicklung reeller Grössen aus 
der Theorie der Modulgruppe. 

Die Picard'sche Gruppe hat vorstehend eine etwas breitere Be- 
handlung gefunden, weil sie das erste Beispiel einer nur erst im 
S-Halbraume eigentlich discontinuierlichen Gruppe abgiebt. Wir sind 
aber nun durch die in diesem Kapitel besprochenen Gruppen in den 
Stand gesetzt, für die allgemeinen Erörterungen der nachfolgenden 
Kapitel überall zweckmässige Einzelbeispiele zur näheren Illustration 
zur Hand zu haben. 

*) Rendiconti dolhi R. accad. dei Lincti vom 'JU. April 1S9(». 
**) Mathem. Annalen Bd. as pg. 313 ^1890). 
***) Acta mathematica Bd. 11 pg. 1H7 (1S8«). 



Zweites Kai)itel. 

Die (iriippen ohne iiifiiiitesiiuale Substiliitioueii und ihre normalen 
Discontinuitätsbereiche. 

Die eigentliche Discontinuität einer Gruppe aus ^-Substitutionen 
wurde oben in geometrischer Weise definiert. Es giebt aber Kenn- 
zeichen, auf Grund deren man an den Substitutionen der Gruppe direct 
entscheiden kann, ob dieselbe eigentlich discontinuierlich ist oder 
nicht. Indem wir diese Kennzeichen zur Discussion bringen, werden 
wir auf neue Art, und zwar analytisch, die für uns in Betracht 
kommenden Gruppen charakterisieren können. Diese Gruppen werden 
alsdann entweder in der projectiven, d. i. elliptischen, parabolischen 
oder hyperbolischen Ebene (der ^- Ebene) oder doch jedenfalls im 
hyperbolischen Räume (im ^-Halbraume) endliche Discontinuitäts- 
bereiche besitzen. Über die Gestaltung derselben sollen hier mehrere 
allgemeine Anschauungsweisen entwickelt werden, welche wir auf den 
Begriff des „normalen Discontinuitätsbereiches" gründen wollen. Die 
Substitutionen setzen wir vorab als von der ersten Art voraus; die 
Erweiterung auf Substitutionen und Gruppen der zweiten Art wird 
hernach keine besondere Schwierigkeit machen. Wir denken die Sub- 
stitutionen als unimodular geschrieben, wie sogleich noch näher er- 
läutert werden soll. 

§ 1. Der Begi'iff der infinitesimalen Substitutionen. 

Die Untersuchungen, welche wir hier anzustellen haben, beruhen 
auf der Möglichkeit, den Differentialbegriff auf die linearen 5- Substi- 
tutionen in Anwendung zu bringen. Indem wir hier immer an den 
für die ^- Ebene bez. den ^-Kaum erklärten Maassbestimmuugen fest- 
halten, stellen wir unter Vorbehalt künftiger schärferer Fassung folgende 
Definition auf: June lineare t,- Siibsüüdion soll inifinitesimal heissen, 
tvetin die ihr zugehörige „Beiregung'' der t,- Ebene oder des ^-Raumes in 



I, 'J. Normalbereiche der Gruppen ohne infinitesimale Substitutionen. 95 

sich eine Diffh-entialverschiehung darstellt. Durch eiue etwa vorliegende 
infinitesimale Substitution V gehe t, in (^ -j- d^) über, wo natürlich 
(/^ mit t, veränderlich sein wird und speciell in den Fixpunkfen von 
V verschwindet. Unter diesen Umständen gilt für die Coei'ficienten 
von V die Gleichung: 

ans welcher sich ergiebt, dass (y^^ + (Ö — cc)^—ß) unabhängig von t, 
unendlich klein sein wird. Wir finden somit: Bei einer infinitesimalen 
Substitution sind die drei Zahlwerte ß, y, (cc — d) unendlich llein; und 
auch umtjeliehrt ist jede Substitution^ von der letzteres gilt, infinitesimal. 
Wir denken hierbei, um den unbestimmten gemeinsamen Factor der 
vier Substitutionscoefficienten festzulegen, etwa stets die Gleichun«»' 
ad — ßy = \ als erfüllt; man bezeichnet eine in dieser Weise nor- 
mierte Substitution als unimodular. Auch schon aus der anfän«- 
liehen Definition hätte gefolgert vs^erden können, dass eine infinitesi- 
male Substitution von der Identität 1 unendlich wenig verschieden ist; 
wir werden sie aber auch als von 1 thatsächlich verschieden aufzu- 
fassen haben. 

Die bekannte Arteinteilung der Substitutionen in elliptische etc. 
bleibt natürlich für die infinitesimalen Substitutionen ohne Einschrän- 
kung bestehen. Man wolle sich in den einzelnen Fällen die verschieden- 
artigen Differentialverschiebungen klar machen, welche die ^- Ebene 
oder der ^-Raum oder auch der projective Raum erfahren. So wird 
z. B. eine loxodromische Substitution für den hyperbolischen Raum 
eine unendlich kleine Schraubenbewegung liefern. Jede loxodromische 
Substitution V lässt sich in eindeutig bestimmter Art durch Verbin- 
dung einer hyperbolischen und einer elliptischen Substitution herstellen, 
welche die gleichen Fixpunkte wie V haben (cf. „M." I pg. 1()4). Es 
sei hier festgestellt, dass bei einer infinitesimaleii loxodromi sehen Sub- 
stitution sowohl der hyperbolische als der elliptische Bestandteil, d. i. sowohl 
die Verschiebung längs der Schraubcnaxe wie die I)rehu)ig um dieselbe 
infinitesimal sein werden. 

Genau wie bei der Begründung des Difterentialbegritfes kimnen 
wir den Begrifi" der infinitesimalen Substitution nur erst dann scharf 
durchführen, wenn ein System von unendlich vielen Substitutionen 
vorgelegt ist. Es ist zwar keineswegs erforderlich, aber doch für die 
Folge zweckmässig, wenn wir als ein solches System dircct eine 
Gruppe r aus unendlich vielen $- Substitutionen geben. Wir werden 
alsdann sagen, die Gruppe F entJialtc infinitesimale Substitutionen, wenn 
es nach Auswahl einer von mdl verschiedenen , aba' beliebig kleinen jiosi- 



9(3 I- Allgemeine Theorie der discontinuierlichen Gruppen aus f- Substitutionen. 

tiven ZaJil e doch stets noch möglich ist, innerhalb F eine von der Identität 
verschiedene Substitution Vausziavählen, für ivclche die Zahlen ß, y, {a — ö), 
absolut genommen, alle drei zugleich Meiner als e sind. Bei der Willkür- 
licbkeit in der Auswahl der Grösse e folgert man von hieraus sogleich 
weiter: Enthält die Gruppe F im eben erJdärtcn Sinne eine infinitesimale 
Substittdion, so enthält sie deren sogleich unbegrenzt viele. 

Ist die Gruppe F eine continuierliche oder besteht sie aus mehreren 
continuierlichen Scharen von Substitutionen, so enthält sie stets in- 
finitesimale Substitutionen. Ist nämlich V eine Substitution der Gruppe, 
so möge F durch eine Differentialveränderung der Parameter in ]" 
übergehen; alsdann ist V V~^ infinitesimal. Indessen ist sehr zu 
betonen, dass die obigen Ansätze ohne jede Einschränkung auch für die 
discontinuierlichen Gruppen gelten, wie denn auch bei der Grundlegung 
der Differentialrechnung die Stetiglceit in der Veränderlichkeit der 
Differentiale durchaus nicht zu den notwendigen Voraussetzungen gehört. 

Wenn man will, kann man die zuletzt gegebene Begritfserklärung 
der infinitesimalen Substitutionen auch geometrisch formulieren. So 
z. B. wird man sagen, die Gruppe F enthalte infinitesimale hyper- 
bolische Substitutionen, wenn sich nach Auswahl einer beliebig kleinen, 
von null verschiedenen Strecke e im hyperbolischen Räume aus F stets 
noch eine hyperbolische Substitution herausgreifen lässt, welche die 
Punkte des Raumes um weniger als e verschiebt. Soll es sich um 
elliptische Substitutionen handeln, so wird man den Drehungswinkel 
£ vorab beliebig klein auswählen; bei loxodromischen Substitutionen 
wird man etwa wieder auf deren Zusammensetzung aus elliptischen 
und hyperbolischen Substitutionen zurückgehen etc. 

Unter den „endlichen" loxodromischen Substitutionen giebt es zwei 
besondere Arten, die hier noch zu besprechen sind; diejenigen nämlich, 
welche entweder von den hyperbolischen oder von den elliptischen 
Substitutionen unendlich wenig verschieden sind. Es soll sich also 
um solche loxodromische Substitutionen handeln, die zwar nicht selbst 
infinitesimal sind, die jedoch entweder einen elliptischen oder hyperbolischen 
infinitesimalen Bestandteil enthalten. Man mache sich die Eigenart der 
Schraubenbewegung des hyperbolischen Raumes in diesen beiden Fällen 
deutlich. Ist nur der elliptische Bestandteil der loxodromischen Sub- 
stitution F infinitesimal, der hyperbolische hingegen endlich, so werden 
offenbar die successiven Potenzen V, V^, F^--- stets denselben Charakter 
haben; wir betonen insbesondere, dass diese Potenzen niemals infini- 
tesimal werden können, da die in ihnen enthaltenen hyperbolischen 
Verschiebungen grösser und grösser werden. Dahingegen werden sich 
unter den Potmzen von V stets infinitesimale finden^ falls der hijperbolische 



I, 2. Normalbereiche der Gruppen ohne infinitesimale Substitutionen. 97 

Bestandteil von V infinitesimal ist. Dieser für die Fortsetzung unserer 
Untersuchung wichtige Satz wird durch folgende Überlegung bewiesen. 

Es wird angenommen, dass in F loxodromische Sub.stitution^'n 
der eben bezeichneten Art vorkommen, von denen also nur der hyper- 
bolische, aber nicht der elliptische Bestandteil infinitesimal ist. Be- 
zeichnet man somit durch ^ einen von null verschiedenen Winkel, 
während man e' beliebig klein, aber von null verschieden und positiv 
auswählt, so giebt es in F loxodromische Substitutionen, deren 
elliptischer Bestandteil um einen Winkel > d^ dreht, während der 
hyperbolische Bestandteil eine Verschiebung < e' bewirkt. Das System 
dieser loxodromischen Substitutionen nennen wir 2J. 

Man wähle nunmehr eine zwar endliche, aber beliebig; grosse 

2 it 

Zahl n aus, und zwar insbesondere so, dass - < -O- wird. Weiter 

wähle man in der eben immer wieder bezeichneten Weise eine beliebig 
kleine Zahl e und brauche die soeben schon benutzte Zahl e' in der 

r € 2 TT 

Bedeutung e == - , während man abkürzend — = e schreibt. Ist 

nunmehr V eine Substitution aus 2J, so ist evident, dass sich unter 
den n ersten Potenzen F, F", • •, F" zwei, F^ und Vf , nachweisen 

2 TT 

lassen, für welche die Differenz der Drehungswinkel < — ^ ^ f ist. 

Ist der elliptische Bestandteil von F periodisch, so wird man sogar 
zwei solche Potenzen F^, F' von gleichen Drehungswinkeln auffinden 
können, wenn man n hinreichend gross gewählt hat. Man setze nun- 
mehr p — q = m, so dass m < n ist, und schreibe F'" = V. Der 
hyperbolische Bestandteil von F' verschiebt den projectiven Raum 
durch eine Strecke, welche kleiner als me'<ine', d. h, kleiner als c 
ist, während, wie wir gerade sahen, der Drehungswinkel von V kleiner 
als £ ist. Hiermit ist der zu beweisende Satz ersichtlich. 

Die continuierlichen Gruppen enthalten, wie wir schon oben be- 
merkten, stets infinitesimale Substitutionen; und die letzteren spielen 
in der Theorie der continuierlichen Transformationsgruppen eine prin- 
cipielle Rolle, worüber man die beiden oben (pg. 12) genannten Werke 
von Lie und seinen Schülern vergleichen wolle. Für die Theorie der 
automorphen Functionen sind die infinitesimalen Substitutionen durch 
Poincare im Verlaufe seiner Arbeit „3/mojVc sur Ics (/nuq)es Kicim'ens*'*) 
herangezogen. Doch spielen dieselben hier einstweilen nur eine nega- 
tive Rolle, insofern nämlich für die Theorie der eindeutigen auto- 
morphen Functionen einer complexen Veränderlichen, wie wir gleich 



I 



*) Acta mathematica, Bd. li y^. 57 (1883). 

ITricke-K leiu , Autoniorpliu Fuuctloiion. 1. 



98 J. Allgemeine Theorie der discontiuuierlichen Gruppen aus ^-Substitutionen. 

sehen werden, nur die Gruppen ohne infinitesimale Substitutionen in 
Betracht kommen. 



§ 2. Die eigentliche Diseontinuität der Gruppen ohne infinitesimale 

Substitutionen. 

IFm die Entwicklung späterhin nicht zu unterbrechen, soll hier 
ein Hilfssatz vorausgesandt werden, den wir in bekannter abkürzender 
Sprechweise so formulieren: Sind U und V zicei elliptische Substitutionen, 
und ist das Paar der Fixptmlctc von U nur unendlich ivenig vom Paar 
der Fixpunlite von V entfernt gelegen, so ist U~^VUV~^ infinitesimal. 
Denn es sind ZJ""^ VU und V zwei elliptische Substitutionen der 
gleichen Drehungswinkel, während das eine Fixpunktepaar dem andern 
unendlich nahe gelegen ist. Zugleich ist U~^VU von V und damit 
U~^VUV~^ von 1 verschieden, da F nur mit solchen Substitutionen 
vertauschbar ist, deren Fixpunkte genau mit denen von V coincidieren. 

Ist nun eine vorgelegte Gruppe F in der ^-Ebene oder doch im 
2;- Halbraum eigentlich discontinuierlich, so wird sie daselbst einen 
endlichen Discontinuitätsbereich besitzen. Durch die gesamten Sub- 
stitutionen der Gruppe F geht dieser Bereich in unendlich viele*) 
neue mit ihm äquivalente Bereiche über, welche sich nach Aa't der 
im vorigen Kapitel besprochenen Beispiele in der ^- Ebene bez. im 
Halbraum lückenlos und einfach an einander schliessen. Die mit ein- 
ander äquivalenten Punkte als homologe Stelleu der an einander gereihten 
Bereiche sind hier stets durch endliche Intervalle von einander getrennt. 
Es gilt also der Satz: Eine Gruppe F, welche in der ^- Ebene oder doch 
jedenfalls im t,- Halbraum eigentlich discontinuierlich ist, lann keine in- 
finitesimale Substitutionen enthalten. 

Von diesem Satze gilt nun auch die ümkehrung: Eine Gruppe F 
aus t,- Substitutionen^ unter denen sich Iceine infinitesimale 
finden, ist entiveder schon in der t,-Ebcne oder doch jedenfalls 
im ^-Halbraum eigentlich discontinuierlich. Wir werden darauf- 
hin in den Stand gesetzt sein, für diejenigen Gruppen, mit denen sich 
das vorliegende Werk beschäftigt, eine neue und erschöpfende Defini- 
tion zu geben: es sind die l-Gruppcn ohne infinitesimale Siüjstiiidionen. 

Wir beweisen dieses Theorem zunächst für diejenigen Gruppen, 
welche bei den Bewegungen der hyperbolischen Ebene auftreten, und 
welche nach pg. ,52 als lioiationsgruppicn mit einem Centruin ausserhalb 
der Kugel zu bezeichnen sind. Durch zweckmässige Auswahl von ^ 



4 



*) Man denke bei der vorliegenden Discussion die Gruppen der regulären 
Körper als zu elementar allemal bei Seite gelassen. 



I, 2. Normalbereichc der Gruppen ohne infinitesimale Substitutionen. 99 

kann man l)ei solchen Gruppen F erreichen, dass die Substitutions- 
coefficieuten durchgängig reell und von positiver Determinante werden; 
überdies kommen loxodromische Substitutionen in F nicht vor. 

Es soll nun F keine infinitesimale Substitutionen enthalten; 
jedoch nehme mau an, diese Gruppe sei in der ^- Halbebene nicht 
eigentlich discoutiuuierlich. Es finden sicii dann in jedem im Innern 
der Halbebene eingegrenzten noch so kleinen, jedoch endlichen Be- 
reiche wenigstens noch zwei bezüglich der Gruppe äquivalente I'unkte. 
Diese Äquivalenz aber kann durch keine hyperbolische oder para- 
bolische Substitution von F vermittelt werden, da die Substitutionen 
dieser Art aus F einen Punkt im Innern der Halbebene immer durch 
eine endliclie Strecke verschieben. Die in Rede stehende Äquivalenz 
muss somit durch eine elliptische Substitution vermittelt sein; und 
zwar müssen die beiden fraglichen Punkte in unmittelbarer Nähe des 
Fixpuuktes dieser Substitution gelegen sein, da wir ja hier jedenfalls 
mit einer periodischen elliptischen Substitution zu thun haben. Aus 
dieser Sachlage folgt, dass die ^- Halbebene überall dicht von Fix- 
punkten der elliptischen Substitutionen von F bedeckt ist; auf Grund 
des am Anfang des Paragraphen formulierten Hilfssatzes schliessen 
wir sonach auf das Vorkommen infinitesimaler Substitutionen in F. 
Wir fassen nochmals zusammen: Bestellt die Gruppe F aus Suhstitntioncn 
mit reellen Coefficienten positiver Determinante nnd kommen unter diesen 
Suhstitutionen infinitesimale nicht vor, so ist F in der i,-Halbehene 
eigentlich discontinuierlich. 

Wir mögen nun eine ganz beliebige Gruppe F ohne infinitesimale 
Substitutionen haben und verlegen alsdann die Betrachtung in das 
Kugelinnere des hyperbolischen Raumes. Wäre F daselbst nicht 
eigentlich discoutiuuierlich, so würde man in jedem noch so kleinen, 
jedoch endlichen räumlichen Bereiche stets wenigstens zwei äquivalente 
Punkte nachweisen können. Man discutiere -wieder, durch was für eine 
Substitution von F diese Äquivalenz vermittelt wird. Eii>e hyper- 
bolische, parabolische oder eine loxodromische Substitution mit end- 
lichem hyperbolischem Bestandteil kann es ersichtlich nicht sein. Loxo- 
dromische Substitutionen mit infinitesimalem hyperbolischen Bestand- 
teil kommen zufolge des vorigen Paragraphen nicht vor. Es bieii)en 
nur die elliptischen Substitutionen von F übrig, wobei die beiden 
traglichen äquivalenten Punkte in unmittelbarer Nähe der Axe der 
zugehörigen elliptischen Substitution liegen müssen. Es folgt: Die 
Axcn der in F enthaltenen elliptischen Suhstitutionen erfüllen das Kugel- 
innere überall dicht. 

Nun aber kann mau leicht stduMi, dass sich in jedem System von 



100 I- Allgemeine Theorie der discontinuierlichen Gruppen aus J:-Substitationen. 

Kugelsehnen, welches das Kugelinnere überall dicht ausfüllt, auch 
Sehnen nachweisen lassen, die einander längs ihrer ganzen Ausdehnung 
unendlich nahe liegen. Man wolle nämlich etwa concentrisch mit der 
Kugel K eine etwas kleinere Kugel K^ coustruieren und nur diejenigen 
elliptischen Sehnen betrachten, welche das Innere von Z'„ erreichen. 
Von allen diesen Sehnen fixiere man je einen auf K gelegeneu End- 
punkt. Da es sich um unendlich viele Sehnen handelt, so werden 
diese Punkte auf K wenigstens eine Häufungsstelle P darbieten. 
Daraufhin wolle man um P einen beliebig kleinen, aber endlichen 
Bereich auf K eingrenzen und die unendlich vielen von hier aus- 
strahlenden Sehnen des zuletzt gedachten Systemes auffassen; dieselben 
liegen insgesamt im Innern des von P an K^^ ziehenden Tangenten- 
kegels. Die unendlich vielen anderen Endpunkte der fraglichen 
Sehnen besitzen dann auf der durch den letzteren Tangenteukegel von 
K abgeschnittenen Calotte wenigstens einen Grenzpunkt Q. Damit 
ist der am Anfang dieses Absatzes ausgesprochene Satz bewiesen*). 

Wir schliessen nun sofort weiter, dass sich aus P Paare elliptischer 
Substitutionen U, V herausgreifen lassen, für welche die Fixpunkte 
der einen von denen der anderen nur unendlicli wenig verschieden 
gelegen sind. Der Hilfssatz vom Anfang des Paragraphen zeigt dann, 
dass r unter diesen Umständen infinitesimale Substitutionen enthalten 
uiüsste, Avas der Voraussetzung widerstreitet. Die obige Behauptung, 
dass jede ^-Gruppe ohue infinitesimale Substitutionen im ^- Halbraum 
eigentlich discontinuierlich ist, haben wir damit bewiesen. — 

Aus dem nunmehr allgemein bewiesenen Satze über die eigent- 
liche Discontiuuität der Gruppen ohne infinitesimale Substitutionen 
im ^- Halbraum oder im hyperbolischen Räume Hesse sich der oben 
speciell für die Rotatiousgruppen ausgesprochene Satz als besonderer S 
Fall leicht wiedergewinnen. Man hat sich nur klar zu machen, wel- 
cher Art die Drehungen des projectiven Baumes um das Centrum der 
fraglichen Gruppe sind; doch gehen wir hierauf nicht näher ein. p 

Zu einer ersten Erläuterung der gewonnenen allgemeinen Sätze 
mögen die Gruppen des vorigen Kapitels dienen. Die Modulgruppe 
gehört zu den Kotationsgruppen der soeben wiederholt genannten Art. 
Ihre Substitutionen haben die Determinante 1 und die Coefficienten 
sind ganzzahlig; es kommen somit iiifinitesinialc Substitutionen nicht 
vor, und also ist die Modulgruppe in der t;- Halbebene eigentlich dis- 

''^) Etwas abstracter kann msin die im Texte gegebene Überlegung dahin 
zusammenfassen, dass in der vierdimensionalen Mannigfaltigkeit aller das Innere 
von 7v'„ durchziehenden Geraden die unendlich vielen elliptischen Axcn wenigstens 
eine Häufungsstelle aufweisen müssen. 



I, 2. Normalbereiche der Gruiipen ohne infioiteBimalc Substitutionen. 101 

continuierlich, wie ja auch bekannt ist. Auch die i^icard'sche Gruppe 
enthält keine infinitesimale Substitutionen. Da sie jedoch keine 
Kotationsgruppe ist, so werden wir auf ihre eigentliche Discontinuität 
mit Sicherheit erst im i;- Halbraum schliessen dürfen. lu der That ist 
die Picard'sche Gruppe in der ^- Ebene nur erst uneigentlich disconti- 
nuierlich, da diese Ebene, wie wir oben sahen, überall dicht von Fix- 
punkten der Substitutionen der Gruppe bedeckt ist. 

Auf der anderen Seite betrachten wir etwa die Gruppe aller ganz- 
zahligeu reellen Substitutionen einer beliebigen positiven Determinante n. 
Diese Gruppe ist in der ^- Ebene und auch im ^- Räume nur erst 
uneigentlich discontinuierlich; in der That enthält sie, wenn wir ihre 
Substitutionen nur uuimodular schreiben, offenbar infinitesimale Substi- 
tutionen. Man wähle nämlich zunächst e beliebig klein, aber endlich 

uud bestimme die ganze Zahl a so gross, dass a{a — 1)=m>— , 

le 

\U, a — 1/' 

unimodular geschrieben die Coefficienten : 



wird. Die in der Gruppe enthaltene Substitution ( ' ), weicht 

\U, a — 1/ 



yn ] n 

liefert, genügt alsdann, ohne gleich 1 zu sein, den Bedingungen, dass 
a — d', ß', y absolut < e sind. 

Der in diesem Paragraphen bewiesene Hauptsatz über die eigentliche 
Discontinuität der Gruppen ohne infinitesimale Substitutionen ist von 
Poiucare aufgestellt und bewiesen worden; cf. § 2 der schon genannten 
Abhandlung „31cmoire sur les groitpes Kleiucens'^'^). Durch Herein- 
nähme des ^-Halbraumes in die Betrachtung war es möglich, unter 
directer Anknü})fung an die Substitutionsgruppe den fragliciien Satz 
zu gewinnen, der infolge seiner grossen Allgemeinheit gruntllegend 
ist. Die vorausgehenden Untersuchungen von Klein, über welche in 
den „Neuen Beitrüyen zur Ttiemmm schcti FuHctiouetitlu'oric'" ■ *j zu- 
sammenhängend Bericht erstattet ist, bewegten sich allein in der ^-Ebene 
selbst. Es hat dies zur Folge, dass hier gewisse Gruppen in den 
Vordergrund der Untersuchung gerückt werden, welche bei Poincar^ 
zunächst zurücktreten, die aber gleichwohl für die functionentheore- 
tischen Zwecke höchst wichtig sind, Uni einseitigen Auffassungen 
vorzubeugen, wollen wir im folgcnchii Paragraphen auf die hier vor- 
liegenden methodischen Unterschiede näher eingehen. 

*) Acta mathematioa, IUI. 3 y^. r>7 (188H). 
**) Mathem. Annaliii, Hd. 'Jl (188'2\ 



102 I- Allgemeine Theorie der discontinuierlichen Gruppen aus J- Substitutionen. 

§ 3. Einführung der Begriffe der Polygon- und der 
Polyeder-Gruppen. 

Die Motlulgruppe hatte die Eigenschaft, auf der Ellipse der pro- 
jectiven Ebene sowie ausserhalb derselben nur erst uueigentlich dis- 
continuierlich zu sein, wie oben (pg. 7(3) ausdrücklich hervorgehoben 
wurde. Die bei den Bewegungen der hyperbolisclien Ebene in sich auf- 
tretenden Gruppen, zu denen ja auch die Modulgruppe gehört, können 
wir nach der im Schlussparagraphen der Einleitung befürworteten 
Sprechweise auch als Haiiptkreisgruppcn benennen. Im speciellen wird 
der Hauptkreis zur reellen ^-Axe, falls wir ^ so auswäblen, dass die 
Substitutionscoefticienten reell sind. Zu den Hauptkreisgruppen ge- 
hören auch die Gruppen der Kreisbogendreiecke dritter Art, die in 
„M." I pg. 108 unter dieser Benennung besprochen wurden. Auch 
diese Gruppen besitzen in der projectiven Ebene allein im Innern der 
Ellipse den Charakter der eigentlichen Discontiuuität. 

Demgegenüber müssen wir nunmehr auf die Existenz von Haupt- 
kreisgruppen aufmerksam machen, tvelcJie flicht nur im Innern der 
FÄlipse, sondern auch mif derselben und also in der t,- Ebene auf dem 
Hauptkreise {der reellen Äxe), sowie selbst noch im EUipsenäussern ei(/ait- 
lich discontinuierlich sind. Indem wir eine eingehendere Behandlung 
aller dieser Gruppen bis späterhin versparen, gilt es hier nur erst, an 
einem einfachsten Beispiele deren Vorkommen darzuthun. 

Zu diesem Ende wolle man z. B. den durch die drei Geraden der 
Figur 23 eingegrenzten Bereich als den auf das Ellipseninnere (die hyper- 




Fig. 23. 



Fig. 24. 



bolische Ebene im engereu Sinne) bezüglichen Discontiuuitätsbereich einer 
Gruppe zweiter Art ansehen, die sich somit aus den drei zu diesen Geraden 
gehörenden Spiegelungen erzeugen lässt. In der positiven ^- Halbebene 
gewinnen wir den in Figur 24 angedeuteten Bereich, an dessen Be- 
raudung drei Strecken der reellen ^-Axe teilnehmen. Die lückenlose 
und einfache Bedeckung der ganzen positiven Halbebene mit äqui- 



I, 2. Normalbereiche der Grupiiun ohne infinitesimale Substitutionen. 1()3 

valenten ßereiclien dieser Art vollzieht sich nach dem i'rincip der 
Symmetrie im wesentlichen gerade so, wie im Falle der Modulj^ruppe 
oder eines Kreisboi^endreieeks dritter Art, der in „M." I pg. 108 aus- 
führlich geschildert wurde. Nuu aber wird jeder Bereich der Halb- 
ebenenteilung längs dreier endlich ausgedehnten Strecken an die reelle 
Axe heranreichen; oder wir künueu das Sachverhältnis auch dadurch 
charakterisieren, dass der DiscontiDuitätsbereich mit seinem am Haupt- 
kreise entworfenen Spiegelbilde zusammenhängt, entgegen der Sachlage, 
wie er z. B. bei der Modulgruppe oder einer sonstigen Dreiecksgruppe 
dritter Art vorliegt. Unsere Gruppe ist sonach herelts auf dem Haupt- 
Jcreise eigentlich discontinuierlich und besitzt dortseihst einen aus drei end- 
lichen Bogenstüclcen bestehenden Discontinuitätsbereich. 

Auch in der projectiven Ebene wolle man sich die vorliegenden 
Verhältnisse noch deutlich macheu. Wie der ursprüngliche Bereich 
der Figur 23 so wird jeder weitere Bereich des Netzes mit drei Ecken 
in den ausserhalb der Ellipse gelegenen Teil der Ebene hinausragen. 
Diese Ecken lagern sich ohne Collision neben einander und bedecken 
dadurch einen kleinen Teil des Ellipsenäusseren, wie wir dies weiter- 
hin noch bei mehreren Gelegenheiten näher betrachten werdeu. Unsere 
Gruppe ist also, iviederum entgegen der Modulgruppe, jedenfalls auch noch 
in einem Teile des Ellipsenäusseren eigentlich discontinuierlich^). 

Fast Wort für Wort dieselben Überlegungen wiederholen sich 
für den ^-Halbraum oder den hyperbolischen Baum. Die Picard'sche 
Gruppe ist in der 2;- Ebene mieigentlich discontinuierlich, und dement- 
sprechend hängt der Discontiuuitätsbereich derselben im g-Halbraume 
mit seinem an der 2;-Ebene entworfenen Spiegelbilde nicht zusammen; 
dabei wird Zusammenhang in einem Punhte gerade wie bei der Modul- 
gruppe nicht gerechnet. Demgegenüber ist es nun auch hier leicht, 
die Existenz von Gruppen nachzuweisen, die sicher nicht den elementaren 



*) Nebenher sei bemerkt, dass der Charakter der eigentlichen Discontinuitiit 
der fraglichen Gruppe im Ellipsenänsseren auch noch über den im Texte bezeich- 
neten, aus den Ecken der Dreiecke zusammengesetzten Bereich hinaus gewahrt 
bleibt. Der Bildung eines Discoutinuitätsbereiches für das gesamte EUipseuäussere 
tritt hier freilich zunächst der Umstand hindernd in den Weg, dass die hyper- 
bolischen Fixpunkte im Ellipsenäusseren ein System discreter Punkte abgeben, 
dessen Structur erst durch eine besondere Untersuchung festzustellen ist. Man 
hat aber hierin keine principielle Schwierigkeit zu sehen, und wir werden im näch- 
.>ten Abschnitte (allerdings für andere Gruppen) derartige Punktsysteme ausführlich 
in Untersuchung ziehen. Auf die schliessliche Gestalt des DiscontinuitiltÄbereiches 
gehen wir an dieser Stelle nicht weiter ein, bemerken jedoch, dass man hier nur 
dann zu endgültigen und durchsiolitigen Ergebnissen gelangt, wenn man die pro- 
jective Ebene als Doppelfläche auffasst. 




104 I- Allfjemeine Theorie der cliscontinuierlichen Gruppen aus ^-Substitutionen. 

Charakter der Botationsgruppen haben, aber gleichwohl auf der Begren- 
zung des l'Halhraimies, bes. der absoluten Kugel des Xirojectiven Baumes 
sowie auch noch ausserhalb der absoliden Kugel eigentlich discontinuier- 
lich sind. 

Man wolle z. B. im projectiven Räume ein Tetraeder construieren, 
dessen sämtliche Seiten die absolute Kugel durchschneiden, während 

alle sechs Kanten ausserhalb der Kugel ver- 
laufen. Dieses Tetraeder mache man zum 
^N, Discontinuitätsbereich einer Gruppe zweiter 

i Art, welche sich demgemäss aus vier Spie- 

y gelungen erzeugen lassen wird. Die Pro- 

jection der Schnittkreise der Tetraederseiten 
mit der Kugel auf die ^-Ebene liefert Figur 25, 
in welcher der schraflierte Teil der ^-Ebene 
von demjenigen Teile der absoluten Kugel 
herrührt, welcher im Innern des Ausgangs- 

Fig. 25. ' . 

tetraeders unserer Gruppe gelegen ist. 
Der Spiegelungsprocess des Symmetrieprincips lässt sich nun ohne 
Schwierigkeit auch auf den Bereich der Figur 25 anwenden*). Es 
wird sich im Innern der jedesmal noch frei bleibenden Kreise, je ein 
neuer mit dem ursprünglichen äquivalenter Bereich anlagern, und diese 
Bereiche werden schliesslich, wenn man von gewissen Grenzpunkteu 
absieht, zu einer vollständigen und einfachen Bedeckung der i;- Ebene 
führen. Wir müssen uns vorbehalten, auf die Eigenart der so zu ge- 
winnenden Ebeuenteiluug unten noch ausführlich zurückzukommen. 
Jedenfalls aber ist schon hier ersichtlich, dass die aufgestellte Gruppe 
zwar Hauptlcreisgruppcn als Untergruppen in sich enthält, dass sie selbst 
aber nicht mehr den einfachen Charaldcr einer Ilauplhreisgruppe dar- 
bietet. Nehmen wir nämlich nur drei unter den vier Spiegelungen 
der Figur 25 zu erzeugenden Substitutionen, so entspringt allerdings 
eine Hauptkreisgruppe, da drei einander nicht schneidende Kreise unter 
allen Umständen einen gemeinsamen Orthogonalkreis haben. Die vier 
Kreise der Figur 25 haben aber keinen gemeinsamen Orthogonalkreis, 



*) Das im Texte vorgelegte Beispiel ist bereits von Kiemanu bebandcil. 
worden. Siehe die späterhin noch öfter zu nennende Arbeit Riemann's „Gleich- 
gewicht der ElectricUät auf Cylindeni mit kreisförmigan Querschnitt und parallelen 
A.ren^\ Gesammelte Werke, pg. 413. Diese Arbeit ist zuerst 1876 aus Riemann's 
Nachlasse publiciert worden, gerade als Schottky, unabhängig von Rieniann, 
denselben Gegenstand in Untersuchung genommen hatte (Dissertation, Berlin 1875, 
umgearbeitet in Crelle's Journal, Bd. 83, 1877); vgl. hierzu auch die Bemerkungen 
von Schottky in Bd. 20 der Mathem. Annalen pg. 299 u. f. (1882;. 



I, 2. Normalbei-eiche der tiruppen oline infinitesimale Substitutionen. 105 

wie man auch schon daraus schliessen ma^, dass diese vier Kreise 
auf der absoluten Kugel des hyperbolischen Raumes durch vier, nicht 
durch einen Punkt gehende Ebenen ausgeschnitten werden. 

Die auf der directen Untersuchung der ^-Substitutionen beruhen- 
den Betrachtungsweisen Poincare's, wie wir sie soeben in § 1 und 2, 
pg. 95 u. f. schilderten, gaben sofort das Mittel, die von den Bewe- 
gungen der hyperbolischen Ebene gelieferten Hauptkreisgruppen als 
eine besondere Gattung zu charakterisieren; durch richtige Auswahl 
von t, kann mau hier nämlich lauter reelle Substitutionscoefficienten 
positiver Determinante erzielen. Dagegen mangelt es diesen Ansätzen 
zur Zeit noch an einer einfachen Methode, für diejenigen Gruppen, 
welche weder Hauptkreisgruppen sind noch einer der anderen elemen- 
taren Classeu der Rotationsgruppeu angehören, durch alleinige Be- 
trachtung der Substitutionscoefficienten zu entscheiden, ob nur erst im 
^- Räume oder nach Analogie des Beispiels der Figur 25 schon in der 
^- Ebene eigentliche Discontinuität vorliegt. 

Auf der anderen Seite ist zu betonen, dass die hier hervortretende 
Fallunterscheidung, je nachdem die eigentliche Discontinuität bereits 
in der Ebene oder erst im ^- Räume stattfindet, nicht nur an sich we- 
sentlich ist, sondern bei unseren späteren functiouentheoretischen Unter- 
suchungen fundamentale Bedeutung gewinnt: In der That l-omnicii für 
die Theorie der eindeutigen automorphen Functionen einer Variahclen ent- 
sprechend dem heutigen Zustande der Functionentheoi'ic alleiri die hereits 
in der t,- Ebene eige^itlich discontinnierlichen Gruppen in Betracht. 

Bei dieser Sachlage erscheint es denn auch berechtigt, wenn 
Klein bei seinen ersten Untersuchungen über automorphe Functionen, 
wie wir schon pg. 64 hervorhoben, nicht an die Gruppen, sondern, 
von functionentheoretischen Erwägungen geleitet, direct an die Dis- 
continuitätsbereiche in der ^- Ebene anknüpft, welche ihrerseits dann 
umgekehrt die Gruppen definieren. Eben auf diesem geometrischen 
Wege wurde Klein damals zu den Gruppen geführt, welche, ohne 
Hauptkreisgruppen oder sonstige Rotationsgruppen darzustellen, gleich- 
wohl in der ^- Ebene eigentlich discontinuierlich sind. Seine Ergeb- 
nisse teilte Klein brieflich an Poincare mit*), welch' letzterer dann 
in seinen bezüglichen Noten der Comptes rendus sowie in der wieder- 
liolt genannten Abhandlung im 3. Bande der Acta matliematica für 
die fraglichen Gruppen die Benennung „Klein'sche Gruppen" in Vor- 
schlag brachte. Für die den Bewegungen der hyperbolischen Ebene 
entstammenden Hauptkreisgruppen braucht l\)incare demgegenüber den 

*) Von Poincarö veröfiFentlicht in den Comptes rondus von 1881 Bd. I pg. i486. 



106 I- Allgemeine Theorie der discontinuierlichen Gruppen aus J-Substitutiouen. 

Namen der „Fuchs'schen Gruppen" und definiert sie übrigens als Grup- 
pen reeller ^-Substitutionen positiver Determinante. Diese Angaben 
bezwecken hier nur erst eine vorläufige Orientierung: die näheren 
Ausführungen zur Terminologie unserer Gruppen finden erst im näch- 
sten Kapitel ihren Platz. 

Es wird nun für die Entwicklung der Theorie der automorphen 
Functionen von principieller Wichtigkeit sein, dass wir zwischen func- 
tionentheoretisch brauchbaren Gruppen und solchen, die es nicht sind, 
unterscheiden. Diese Rücksichtnahme aber veranlasst die Einführung 
einer neuen Terminologie, die wir schon hier nennen wollen. Wie 
wir bald sehen werden, und wie die Picard'sche Gruppe bestätigt, lassen 
sich die Discontinuitätsbereiche im projectiven Räume stets in Gestalt 
von Füllfedern angeben, von deren Seitenflächen wir einstweilen un- 
entschieden lassen, ob dieselben eben oder gekrümmt sein mögen. 
Liegt überdies bereits eigentliche Discontinuität auf der g-Kugel selbst 
vor, so kann man den Discontinuitätsbereich dortselb.st stets als Po- 
lygon wählen, dessen Seiten Kreise oder sonstige Curveu sein mögen. 
Wir wollen demgemäss, einem Vorschlage von Biauchi folgend, die 
gesamten bereits auf der ^- Kugel (oder in der ^- Ebene) eigentlich dis- 
continuierlichen Gruppen unter der gemeinsamen Benennung der l'olij- 
(jongruppen zusammenfassen, während alle ^- Gruppen ohne infinitesi- 
male Substitutionen, die erst im Raum eigentlich discontinuierlich 
sind, Poh/cdergnip2)en lieissen sollen. Für die späteren functionen- 
theoretischen Anwendungen wird somit einzig die Theorie der Poly- 
gongruppen zur Geltung kommen. Dieser Einteilung entsprechend 
könnte man diejenigen Hauptkreisgruppen, welche bereits auf dem 
Hauptkreise selbst eigentlich discontinuierlich sind, etwa als „Seg- 
mentgruppen" in eine besondere Vorclasse vereinen und würde sich 
auf diese Segmentgruppen beschränken, wenn man automorphe Func- 
tionen einer einzelnen reellen Variabelen untersuchen wollte. Doch 
machen wir von dieser Einteilung weiter keinen Gebrauch. 

§ 4. Einführung der normalen Discontinuitätsbereiche der 
projectiven Ebene bei Rotationsgruppen. 

Nachdem die eigentliche Discontinuität der Gruppen ohne infini- 
tesimale Substitutionen festgestellt ist, wird es nun an der Zeit sein, 
über die Gestalt der Discontinuitätsbereiche nähere Untersuchungen 
anzustellen. Wir handeln hier bis auf weiteres ausschliesslich von 
Gruppen der ersten Art, d. h. solchen Gruppen, welche einzig aus Sub- 
stitutionen der ersten Art bestehen. Bei ihnen sind die Disconti- 
nuitätsbereiche noch sehr willkürlich wählbar, worüber oben (pg. G6) 



I 



I, 2. Norroalbereiche der Gruppen ohne intinitesimule Substitutionen. 107 

uud in „M." I |)g. 101 und pg. 216 nähere Ausführungen gegeben sind. 
Wir werden hier gewisse Normalgestalteu der Discontinuitütsbereiche 
empfehlen, deren Theorie in ihren Grundzügen sogleich entwickelt 
werden soll. Dabei beschränken wir uns zuvörderst auf solche Gruppen, 
welche den Bewegungen der projectiven Ebene entspringen, und welche 
nach der pg. 51 eingeführten Sprechweise Botationsgruppcn sind. Über- 
dies legen wir der Betrachtung direct die projective Ebene zu Grunde, 
welche also die elliptische, parabolische oder hyperbolische Ebene ist, 
je nach der Lage des im hyperbolischen Räume gedachten Rotations- 
centrums. Freilich sind die Gruppen des elliptischen und })arabolischen 
Falles, wie Avir zum Teil von früher her wissen und auch weiter unten 
noch näher ausführen, so einfach und leicht zugänglich, dass es zweck- 
mässig erscheint, den Wortlaut der folgenden Untersuchung stets auf 
den hyperbolischen Fall, d. i. auf diejenigen Gruppen zu beziehen, 
welche wir nach der pg. 58 getroffenen Verabredung als Hauptkreis- 
gruppen bezeichnen. Die im folgenden vorkommenden Maassangaben 
sind natürlich stets im Sinne der zugehörigen projectiven Maassbestim- 
mung gemeint. 

Es bestehe nun die Hauptkreisgruppe F aus den unendlich vielen 
Siibstitutionen F„=l, Fj, F^, . . ., unter denen infinitesimale nicht 
vorkommen. Im Innern der absoluten Ellipse der hyperbolischen Ebene 
wählen wir einen Punkt Cq willkürlich aus, allein mit der einen Be- 
schränkung, dass er nicht gerade der Fixpunkt einer elliptischen Sub- 
stitution von r sein soll, sofern solche Substitutionen in unserer 
Gruppe überhaupt vorkommen. Von Cq aus gewinnt man durch Trans- 
formation mittelst der Substitutionen der Gruppe unendlich viele weitere 
Punkte C'i=Fi(6o), G.,=V^{C^^, ..., die alle dem Ellipseniunern 
angehören, und die durchgehends in endlichen Entfernungen von ein- 
ander liegen. Das PuitJdsijstcm Co, Ci, ... ivird durch die Suhstitu- 
tionen der Gruppe in sich seihst transformiert und zeigt in dem Simw 
lleyularität, dass dasselbe um jeden einzelnen seiner l'unlfe genau so an- 
geordnet ist, ivie um jeden a)idern. 

Man wolle nun (immer im Sinne der projectiven Maassbestimmuug 
gesprochen) um alle Funkte d mit einem und demselben Radius r 
Kreise beschreiben, die K^, K^, 7C, ... heissen sollen. Der Kreis A', 
wird durch die Substitution Vi aus K^ entstehen, und das gesamte 
Kreissystem wird durch die Substitutionen der Gruppe F in sich trans- 
formiert werden, 

Ist r hinreichend klein gewählt, so werden keine zwei unter den 
Kreisen K mit einander coUidieren. Doch denke man sich nunmehr 
den Radius /• zu gleicher Zeit bei allen Kreisen A' wachsend. Der 



108 I- Allgemeine Theorie der discontinuierliclien Gruppen aus J- Substitutionen. 

einzelne von 6*,- auslaufende Strahl soll dabei jedoch nur so lange 
wachsen, als er noch freies, d. h. von andern Strahlen noch nicht be- 
setztes Gebiet antrifft. Äquivalente Strahlen werden dabei immer zu 
gleicher Zeit das Ende ihres Wachstums erreichen, wie denn überhaupt 
die ganze Figur in jedem Augenblicke durch die gesamten Substitu- 
tionen von r in sich selbst transformiert wird oder auf ebenso viele 
Arten im Sinne der projectiven Maassbestimmung mit sich selbst con- 
gruent ist. Den hiermit eingeleiteten Process setzen wir so lange 
fort, bis er sein natürliches Ende erreicht. 

Wir untersuchen nun die Gestalt desjenigen Bereiches, der von 
den Strahlen eines einzelnen Centrums, etwa des Punktes Cm, bedeckt 
ist. Es möge der um das Centrum Cm sich concentrisch erweiternde 
Kreis mit dem entsprechend wachsenden Kreise um C*„ zur Berührung 
kommen. Bei Fortführung des Processes wird sich alsdann zwischen 
den beiden zu Cm und C„ gehörenden Bereichen eine geradlinige Grenze 
einstellen, die im Mittelpunkt der Verbindungsgeraden C,„Cn gegen diese 
senkrecht verläuft, d. i. diesen Mittelpunkt mit dem ausserhalb der 
Ellipse gelegenen Pole der Geraden C„,(7„ verbindet. Solche gerad- 
linige Grenzen stellen sich natürlich zu gleicher Zeit für alle Strahlen- 
büschel ein. 

Man verfolge nun die Ausgestaltung der geradlinigen Begrenzung 
zweier Nachbarbereiche. Die Gerade wird vom anfänglichen Berüh- 
rungspunkte beider Kreise zunächst nach beiden Seiten hin mit gleicher 
Geschwindigkeit wachsen. Sie wird aber nach der einen oder anderen 
Richtung hin einen Endpunkt bekommen, falls sich zwischen die beiden 
concentrisch wachsenden Kreisscharen eine dritte oder vielleicht auch 
mehrere weitere zu gleicher Zeit einschieben. Mit Hilfe der beige- 
fügten , übrigens nur schematischen 
Figur 26 wird man sich den fraglichen 
VorganfT leicht veranschaulichen kön- 
nen. Wie sich die Verhältnisse im 
Falle der Modulgruppe gestalten, wer- 
den wir sogleich weiter verfolgen. In 
Figur 26 sind es vier benachbarte Be- 
reiche, welche gegen einander wachsen; 
dementsprechend laufen vier gerad- 
linige Grenzen in einem Endpunkte 
zusammen. Man wolle sich gleich an- 
'^' merken, dass dieser Endpunkt von den 

vier Centren C,„, C„, Cp, C, gleich iveit entfernt ist, und dass die Ecken- 
winkel der vier Bereiche nothwendiger Weise concav sind. 




I, 2. Norm albereiche der Gruppen ohne infinitesimale Substitutionen. 109 

Es hat übrigeus keinerlei Schwierigkeit, eine geradlinige Grenze 
zweier Bereiche nötigenfalls bis an die Ellipse heran oder gar über 
dieselbe hinaus wachsen zu lassen. Man hat zu diesem Ende nur zu- 
zulassen, dass die Radien r der Kreise K unendlich gross bez. dar- 
über hinaus rein imaginär werden. Wie wir sogleich noch ausführ- 
licher sehen, ist dieses Vorkommnis charakteristisch für den Fall, dass 
die Gruppe bereits auf der absoluten Ellipse selbst eigentlich discou- 
tinuierlich ist. Will man sich im letzteren Falle auf das Ellipsen- 
innere beschränken, so würde die Ellipse selbst au der Begrenzung 
jedes einzelneu Bereiches mit einem oder mehreren Bogenstücken teil- 
haben. 

Am Schlüsse des eingeleiteten Processes wird der einzelne Bereich 
rings von benachbarten Bereichen umgeben sein, die sich ohne Lücke 
an einander reihen, und von denen keine zwei mit einander coUidieren, 
d. h. über einander greifen. Alle Bereiche sind mit einander congruent 
und gehen durch die Substitutionen von F aus einem unter ihnen her- 
vor. Ein einzelner dieser Bereiche, z. B. der mit dem Centrum C^, 
kanu demnach als Discontinuitätsbereich der Gruppe F benutzt werden. 
Wir benennen ihn als normalen Discontinuitätsbereich oder kurz Isor- 
mnlpohjgon der Gruppe und bezeichnen ihn symbolisch durch P„, wäh- 
rend durch die Substitution F« aus P^ der Bereich P, hervorgehe. Es 
hat sich somit ergeben: Das Ellipsen innere der projectiven Ebene ge- 
stattet, der Gruppe F entsprechend, eine reguläre Einteilung in lauter 
äquivalente centrierte und geradlinige Normalpolygone, Kclchc mit lauter 
concavcn Winleln ausgestattet sind und offenbar cinfachoi Zusammenhang 
besitzen. Falls F schon auf der Ellipse selbst eigentlich disooutinuier- 
lich ist, wird F^^ über die Ellipse hinausragen, wie wir schon andeu- 
teten. Will man in diesem Falle unter Pq nur den im Ellipseninnern 
gelegenen Teil des Normalpolygons verstehen, so wird freilieh die 
Ellipse selbst an der Beraudung des einzelnen Polygons teilhaben, und 
alsdann erfährt die Geradlinigkeit der Begrenzung eine ersichtliche 
Einschränkung. Mau merke noch an, dass das Noriuali>olyg(iii und 
damit die ganze Reihe der weiteren Polygone der Einteilung dunh 
das Centrum Cq eindeutig bestimmt ist und also, den verschiedenen 
Lagen von (7„ entsprechend, auf od- Weisen iväldhar ist. 

Die Übertratruns der ffewonn«men Ergebnisse auf dicjcnigiMi h'o- 
tatiotisgruppen, denen die elliptische oder parabolische Ebene zu tirunde 
liegt, vollzieht sich ohne Schwierigkeit. Die Verhältnisse li»^gen hier 
insofern noch einfacher, als die ganze Ebene bez. im elliptischen Falb" 
die ganze Doppelebeue mit einer regulären Teilung versehen erscheint. 



110 I. Allgemeine Theorie der discontinuierlichen Gruppen aus ^-Substitutionen. 

§ 5. Von den Ecken und Kanten der Normalpolygone bei Haupt- 
kreisgruppen. Erster Teil: Die Ecken im Ellipseuinnern. 

Die weitere Ausgestaltung der Theorie der Normalpolygone be- 
trifft in erster Linie die Ecken derselben. Man hat hierbei zu unter- 
scheiden, ob der einzelne Eckpunkt Fixpunkt einer in der Gruppe ent- 
haltenen Substitution ist oder nicht. Im letzteren Falle sprechen wir 
von einer zufälligen Ecke, eine Bezeichnung, die dem Umstände ent- 
sprechen soll, dass die Lage der zufälligen Ecken von der Auswahl 
des Centrums C^ abhängig ist. Die übrigen Ecken werden wir je nach 
der zugehörigen Substitution als elliptische, paraJjolischc und Jiyperbolische 
EcJcen benennen. Nur die zufälligen und die elliptischen Ecken liegen 
im Ellipseuinnern; von ihnen handeln wir zunächst. 

Es wird gut sein, hier am Beispiele der Modulgruppe vorab die 
Gestalt der Normalpolygone zu erläutern; diesem Zwecke soll die bei- 
gefügte Figur 27 dienen, die sich au 
Figur 18 pg. 75 anschliesst. Der Punkt 
Cq ist hier in einem schraffierten 
Elementardreieck angenommen; die 
mit Co äquivalenten Punkte C^,C^, ... 
liegen demnach gleichfalls in schraf- 
fierten Dreiecken, da es sich hier 
nur um Modulsubstitutionen erster 
Art handelt. Unter allen Punkten 
C liegt nun C^ dem Punkte Cq am 
nächsten, so dass wir halbwegs zwischen diesen beiden Punkten eine 
geradlinige Polygongrcuze antreffen. Letztere Gerade verfolgen wir 
etwa in der Richtung nach rechts so lange, bis die erlangte Ent- 
fernung von Cq (und (7J. gleich der Entfernung von einem weiteren 
nun nächstgelegenen Punkte C (hier Cg) geworden ist. 

In diesem Augenblick haben wir offenbar eine zufallige Ecke er- 
reicht; und wie man in Figur 27 nachsehen wolle, liegt je eine solche 
Ecke im einzelnen nicht- schraffierten Dreieck, wobei immer drei Poly- 
gonseiten in einer solchen Ecke zusammenlaufen. Um diese Über- 
legung sogleich für eine beliebige Kotationsgruppe F zu verallgemei- 
nern, so wird mau auch allgemein zu erwarten haben, dass immer 
drei Polygonseiten in der einzelneu zufälligen Ecke zusammenlaufen. 
Man wird nämlich bei Durchlaufung einer zwischen zwei Punkten C),, 
Cq sich bildenden geradlinigen Grenze im allgemeinen nur einem dritten 
Punkte Cr und nicht zugleich zweien am nächsten kommen. Doch 
wollen wir in keiner Weise ausschliessen, dass nicht auch einmal 




Fig. 27. 



I, 2. Normalbereiche der Gruppen ohne infinitesimale Substitutionen. 1 1 1 





mehr als drei Seiten in einer zursilligen Ecke zusammenlaufen. Kommt 
dies bei particulären Lagen von Q vor, so wird man bei einer kleinen 
Veränderung der Lage 
von Cq einen mehrseiti- 
gen Eckpunkt in mehrere 
dreiseitige sich auflösen 
sehen, Figur 28 wird 
dies näher erläutern. 

Die eben zuletzt be- 
folgte Schlussweise wolle ^'s -^■ 
man übrigens nur als 

eine vorläufige ansehen. In der That legt dieselbe den Satz, dass das 
Auftreten eines mehr als dreiseitigen Eckpunktes nur an gewisse parti- 
cularisierte Lagen von C^ gebunden ist, mehr nur der Anschauung 
nahe, als dass sie einen einwandfreien Beweis dieser Behauptung 
brächte. Thatsächlich aber werden wir den in Rede stehenden Satz 
im Verlaufe der Specialuntersuchungen des nächsten Abschnitts präci- 
sieren und (abgesehen von einem übrigens elementaren Ausnahmefalle) 
beweisen können, und wir werden auf ihn einen wichtigen Ausbau der 
Theorie der Normalpolygone gründen. Doch benutzen wir diesen Satz 
einstweilen nicht. 

In einer einzelnen zufalligen Ecke mögen nun die n Polygone 
Po, P,, . . ., Pn — i zusamraenstossen und dortselbst die durchweg con- 
caven Winkel -O-,,, •O-^, . . ., &n — i bilden. Wie in Figur 20 für u = .^ 
ausgeführt ist, wollen wir die Ecke in 
der Pfeilrichtung umkreisen und unter- 
scheiden dabei für jede einzelne Polygon- 
grenze in der angedeuteten Weise zwi- 
schen zwei Ufern Uq, v^, «, , v^, ..., r„_i. 
Überdies erinnern wir daran, dass es die 
Substitutionen Fj, F^, . . ., F„_i der zu- 
grundeliegenden Gruppe sind, welche P„ 
in Pj, Pg, . . ., P„_i transformieren. 

Das einzelne unter unseren Poly- 
gonen, z. B. P^,, wird nun, als mit jedem der l'olygone ]\, .... /',_i 
äquivalent, weitere (n — 1) zufallige P]cken besitzen, deren Winkel 
^i, ^'.,, . . ., -9-'„_, bez. mit i^,, i%, . . ., ^,,_i gleich sind, indem sie 




\ 



t'ig. S3. 



aus letzteren bez. durch die Substitutionen F, ,1 



., V„-i hervor- 



gehen. In Fig. 30 ist dies für » = 3 nälier erläutert, und speciell werden 
durch die Substitution IT^ die beiden dem Polygon Pi angehörenden 
Ufer Vk—i und Ui, in die mit ihnen äquivalenten Ufer »i-i und i/j von 



1 12 I. Allgemeine Theorie der discontinuierlichen Gruppen aus ^-Substitutionen. 



P„ übergeführt. 



Wollen wir nun noch der Gleichmässigkeit wegen 
n'o und v'n—i für u^^ und Vn—i schreiben und setzen übrigens F(, = F„ = 1, 
so geht ersichtlich die zu u[. gehörende Seite von 7', in diejenige von 
v'k durch die der Gruppe angehörende Substitution Vk+iVk über; der 




Fig. .so. 

iinfaiiglich um die zufällige Ecke beschriebene Kreis zerlegt sich aber, 
wie in Figur 30 anoedeutet, in n Kreissegmente durch die Winkel 

0-0, ^'l, ^2, - . •, ^'n-U ^ 

Die angestellte Untersuchung hat solcherweise als Resultat er- 
geben: Die zufüllifjcn EcJccn der Normalpolyyone gehören zu dreien (bez. 
zu n > 3) in Cyclen zusammen. Die seclis {bez. 2n) Schenkel der Winkel 
eines einzelnen Cyclns sind zu Paaren einander durch Substitutionen der 
Gruppe zugeordnet, und zivar geht dabei die einzelne Folygonseite gerade 
ohne liest und ohne Ubcrschuss in die zugeordnete Seite über. Die drei 
{bez. n) Ecken des einzelnen Cyclus haben alle gleiche Enifamung vom 
Polygoncentrum Q; die Witdel des Cyclus sind ohne Ausnahme concav 
und liaben 2n zur Summe. Im Falle der Mudulgriij)pe tritt, wie Figur 27 
zeigt, nur ein Cyclus zufälliger Ecken ein. 

Um die ellipti.schen Ecken in entsprechender Weise zu behandeln, 
fassen wir die innerhalb der Gruppe gleichberechtigten cyclischen 
Untergruppen elliptischer Substitutionen in gewohnter Weise in eine 
Classe zusammen. Der einzelnen Classe gehört alsdann ein System 
äquivalenter elliptischer Fixpunkte im Innern der Ellipse an, so das> 
wir auch von einer „Classe elliptischer Fixpunkte'' sprechen dürfen. 



F, 2. Normal bereicbe der fJruppen ohne inliaiteMioiale Substitutionen. H.'i 

Es wird nun stets möglich sein, das Centrum C« so anzunehmen, 
dass demselben nur einer und nicht zugleich zwei Fixpunkte aus einer 
vorgelegten Classe am nilch.sten liegen. 7^„ wird dann an diesen Fix- 
punkt heranwachsen und jedenfalls an keinen anderen Fixpuukt der 
gleichen Classe, da letztere Fixpunkte anderen Centren C näher ge- 
legen sind. Wir schliessen: Das Normalpol ijyon 1\ ivird sich hei ziveck- 
müssif/ei- Auswahl von C'^ an je einen Fixpunld ans der einzelnen Classe 
elliptischer Fixpunlde mit einer Ecke heranziehen. Die Ciassenanzahl 
elliptischer Untergruppen ist sonach geradezu durch die Anzahl elliptischer 
Ecken von P^ gegeben. 

Doch betrachte man die Umgebung einer einzelnen elliptischen 
Ecke von P^ noch etwas näher und bezeichne die Ecke zu diesem Ende 
für den Augenblick abgekürzt durch E. Hat die zugehörige elliptische 
Untergruppe die Ordnung v, so giebt es ausser C^, insgesamt noch 
weitere (v — 1) Centren, etwa (7j, C.,, . . ., C,,_i, welche dem Punkte E 
mit Cn. gleich nahe liegen, und welche durch die Substitutionen der 
Untergruppe aus (\^ hervorgehen. Lässt man nun die Polygonteilung 
nach der Methode des vorigen Paragraphen entstehen, so bilden sich 
otfenbar v Gerade immer halbwegs zwischen den Punkten Q, C, , . . ., 
C'v— 1, und es werden diese Geraden im Punkte E zusammenlaufen, 
wobei je zwei auf einander folgende den Winkel bilden. Es folgt 
somit: Be}- WinJcel, welchen das Normalpolygon P^, an dem. einen ellip- 
tischen Eckpunlde ans der einzelnen Classe anf weist, ist —, wenn v die 
Ordnung der zugehörigen cyclischen Untergruppe ist; die beiden diesen 
Winkel hildendai Polygonseiten tverden durch die erzengende elliptische 
Siä)stitution der cyclischen Untergruppe gerade ohne Best und ohne L^ber- 
schnss in einander übergeführt. Das Normalpolygon der Figur "21 pg. 110 
weist zwei Ecken der besprochenen Art auf; bei einer unter ihnen 
(der Classe der zu t, -= i gehörenden Eckpunkte der Modultfilung ent- 
sprechend) tritt der Winkel n auf, so dass diese Ecke üiissrrlich nicht 
weiter hervortritt. 

Für specielle Lagen von 6^ kann es eintreten, dass mehr als eine 
Kcl<e aus der einzelnen Classe dem Centrum T,, am nächsten liegen. 
Die nun eintretenden Verhältnisse wolle man sich an dem der Modul- 
gruppe entnommenen Beispiel der Figur .'U (pg. 114) deutlieh nuichen. 
Links ist der allgemeine Fall skizziert; rechter Hand ist das Centrum 
C'o auf die Symmetrielinie des Do}ipeldreiecks getreten, wobei nun er- 
sichtlich zwei elliptische Eckpunkte aus der zu v = 3 gehörenden Classe 
C„ gleich nahe sind. E^ wird sich nun an zwei Ecken aus der Classe 
je nur noch mit den Winkeln .^ heranzielicn. und diese i)eiden Ecken 

Fri ck e- Klfi n , Autoinorpln" Kinn tl-ii-n I H 



114 I. Allgemeine Theorie der discontiauierlichen Gruppen aus ^-Substitutionen. 





Fig. 31-. 



werden sich nach Art der oben bei den zufälligen Ecken beschriebenen 
Verhältnisse zu einem Cyclus zusammenschliessen. Man mache sich 

noch an Figur .'U klar, wie 
beim Eintritt des fraglichen 
Specialfalles zufällige Ecken in 
elliptische übergehen bez. mit 
solchen verschmelzen. Im übri- 
gen brauchen wir diesen Gegen- 
stand wegen seines particulären 
Charakters nicht weiter im ein- 
zelnen zu verfolgen. 

Für die Rotationsgruppen 
mit einem innerhalb oder auf 
der Kugel des hyperbolischen Raumes gelegenen Centrum, d. h. für 
die Gruppen der elliptischen und parabolischen Ebene gelten die vor- 
stehenden Betrachtungen ohne weiteres mit. Sie sind für diese Gruppen 
sogar erschöpfend; denn die zugehörigen Polygone zeigen einzig zu- 
fällige und elliptische Ecken, wenn wir von zwei elementaren Gruppen 
des parabolischen Falles (den cyclischen Gruppen und den später als 
parabolische Diedergruppen zu bezeichnenden Gruppen) absehen. Bei 
den Hauptkreisgruppen können aber auch noch Ecken der Nornial- 
polygone auf und ausserhalb der Ellipse der projectiveu Ebene auf- 
treten, wofür die Modulgruppe ja schon ein Beispiel abgiebt; von diesen 
Ecken handeln wir im nächsten Paragraphen. 



§ 6. Von den Ecken und Kanten der Normalpolygone bei Hauptkreis- 
gruppen. Zweiter Teil: Die Ecken auf und ausserhalb der Ellipse. 

Eine vorgelegte Gruppe F vom Typus der Hauptkreisgruppen 
möge parabolische Substitutionen enthalten; eine unter ihnen nennen 
wir V und ihren auf der Ellipse gelegenen Fixpunkt E. Wir ziehen 
nach Vorschrift von Figur 11 pg. 68 einen Discontinuitätsbereich für 
V, eingegrenzt durch zwei von E ausziehende Gerade, welche im Sinne 
der Maassbestimmung den Winkel Null mit einander bilden, aber einen 
bestimmten endlichen Abstand von einander haben. Zwei im Innern 
der Ellipse auf diesen beiden Geraden gelegenen Punkte verbinden 
wir wieder durch eine Gerade und haben so vom Discontinuitätsbereich 
der parabolischen Substitution ein Dreieck mit der Spitze jE abge- 
schnitten; dies Dreieck nennen wir kurz z/. 

Es gilt nun vorab folgenden Satz festzustellen: Im Dreieck /i 
Tiann nur eine endliche Anzahl der Funlde C^, C'^, . . . unseres gesamten 



1,2. Normalbereiche der Gruppen ohne infinitesimale Substitutionen, llf) 

Sysknis äquivalenter Polygonccntren gelegen sein. Gäbe es nämlich uu- 
endlich viele Punkte C in z/, so müssten dieselben einen Grenzpunkt 
haben, und dieser konnte zufolge der eigentlichen Discontinuität unserer 
Gruppe nur der Punkt E sein. Doch liisst sich dies als unniöglifh 
nachweisen. 

Wir führen /u diesem Zwecke vorübergehend die Veränderliche ^ 
ein und zwar so. dass £; = oo in E und ^= ? in C',, stattfinden; ^ ist 
hierdurch offenbar eindeutig bestimmt. Die 2;- Substitutionen der Grupj)e 
r fixieren wir unimodular; speciell die Substitution ]' hat die Gestalt 
^ = ^ -{- h^ während die mit Cq äquivalenten Punkte 6',, C, . . .: 

(1) e=:^ifi + / ' 



y' + s"- ' y' + ä-" 
sind. Das Dreieck z/ ist in der ^-Halbebeue durch zwei zur imagi- 
nären Axe parallele Gerade und unten durch ein Kreissegment einge- 
grenzt; nach oben zieht es sich ins Unendliche. 

Innerhalb des hiermit bezeichneten Dreiecks würden wir nun in 
jeder noch so grossen Höhe über der reellen ^-Axe noch Punkte C 
unseres Systems antreffen müssen. Zufolge (Ij giebt es somit nach 
Auswahl einer beliebig kleinen, positiven, von null verschiedenen Zahl e 
innerhalb F noch Substitutionen, in welchen i^y- -\- d"-) und also y und d 
zugleich absolut genommen kleiner als c sind. Ist U eine solche Sub- 
stitution, so bilde man die parabolische Substitution ]" = l~^]U der 
Gruppe, deren Coefficieuten a, ß\ y\ d' explicit durch: 

u' = l-\-ydh, ß' = ö-h, y' = — y'h, d' = l—ydh 
gegeben sind. Denken wir e so klein gewählt, dass 2eh absolut kleiner 
als 1 ist, so werden die drei Zahlen a' — d', ß', y absolut zugleich 
< e sein. Die Gruppe T würde also entgegen der Annahme infinite- 
simale Substitutionen enthalten. Die aufgestellte Behauptung ist damit 
bewiesen. 

Man gehe nun wieder zum Dreieck J der hyperbolischen Ebene 
zurück. Da in z/ nur eine endliche Anzahl von l'unkten C gelegen 
ist, so können wir eine Bahncurve von V finden, welche zwar sclb.st 
' noch durch einen und damit durch unendlich viele bezüglich I äqui- 
valente Punkte (! hindurchzieht, die jedoch von J ein kleineres Dreieck 
mit der Spitze 7v abschneidet, in dessen Innerem kein Punkt V mehr 
anzutreffen ist. Sind die auf der fraglichen Bahncurve gelegenen 
Punkte unseres Systems . . ., r,„, C„, C,,, ..., so werden offenbar in dor 
fertigen Polygonteilung des Ellipseninnern die Polygone ..., 7',,,, 7'„, .. 
mit lauter äquivalenten Ecken an den Punkt E heranragen. Die 
(Jrenzlinien zwischen diesen Polygonen werden durch Anfang.-<strecken 
ilerjenigen Geraden gebildet, welche von E aus nach den Mitten 

8 * 



HG I. Allgemeine Theorie der discontinuierlichen Gruppen aus J- Substitutionen. 



der VerbiuduHgsgeraden auf einander folgender Punkte unserer Reihe 
. . ., Cm, C„, ... hinziehen. Wählt man nämlich z. B. auf der von 7:' 
nach der Mitte von C,nCn ziehenden Geraden nahe genug an E einen 
Punkt, so ist nach dem Entstehuugsmechanismus der Polygonteilung 
deutlich, dass jener ausgewählte Punkt durch die von den Centren C,„ 
und Cn ausstrahlenden Geraden und durch keine anderen erreicht wird. 
Die bisherigen Betrachtungen geben die Basis ab, auf welcher 
die weitere Untersuchung der parabolischen Ecken nun genau so ein- 
fach wird, wie diejenige der elliptischen. Das Ausgangspolygon P„ 
gehört entweder der Reihe . . ., P,„, F„, . . . bereits an oder es wird 
eine mit E äquivalente Ecke aufweisen. Teilen wir die cyclischen 
Untergruppen aus parabolischen Substitutionen in Classen ein, so er- 
giebt sich als Resultat: Das Normnlpolygon P^^ sieht sich mit einer 
Spitze vom Wiiikel null, nhcr hcstimmtem. Abstände der begrenzenden Seiten 
an je eitlen FixpunM aus der einzelnen Classe parabolischer Fixpunlti' 
der Gruppe F heran. Die beiden diese Ecke bildenden Polygonseifoi 
sind gerade ohne Rest und Uberschuss durch die parabolische Erzeugende 
der fraglichen cyclischen Untergruppe in einander transformierbar. Man 
vergl. hierzu die in Figur 27 pg. 110 skizzierten Verhältnisse bei der 
Modulgruppe. 

Hinzuzusetzen ist nur noch, dass auch bei den parabolischen Ecken 
ein der Figur 31 pg. 114 entsprechender Ausnahmefall für particuläre 
Lagen von Q eintreten kann. Statt allgemeiner Erörterungen begnügen 

wir uns wieder mit der Angaln- 
eines der Modulgruppe entnomme- 
neu Beispiels. In Figur 32 wurd«' 
der Punkt C\ rechter Hand wieder 
auf einer Symmetrielinie der Modul- 
teilung angenommen. Das Normal- 
polygon P^ hat hier zwei parabo- 
lische Spitzen, die zu einem Cyclus 
zusammengehören. Verlässt 0„ die 
Symmetrielinie, so geht eine der 
beiden parabolischen Ecken in eine 
zufällige Ecke über, während für die andere die Angaben des vorhin 
formulierten allgemeinen Satzes ohne Einschränkung gelten. 

Eine hyperbolische Substitution V hat drei Fixpunkte, von denen 
einer ausserhalb der Ellipse gelegen ist, während die beiden anderen 
die Schnittpunkte der Ellipse mit der Polare des ersteren sind. Man 
wolle Cyj erstlich allein durch die hyperbolische Substitution V der 
Gruppe sowie durch die Potenzen von V transformieren, wodurch die 




Fig. :i2. 




1,2. Normalbeieiche der Gruppen ohne infinitesimale Subbtitulionen. 117 

Punkte Ci, C—i, 62, 6'_o, . . . entstehen mögen, die auf einer Bahn- 
curve der Substitution V gelegen sind. Auf dieses Punktsystem wende 
man vorab allein erst die im vorletzten Paragraphen geschilderte Con- 
structionsweise der Nornialpolygone 
an. Es entstehen die in Figur 33 
skizzierten Discoutinuitätsbereiche der 
aus V zu erzeugenden cyclischen Un- 
tergruppe, Vielehe genau die bereits 
von Figur 10 pg. 67 her bekannte 
Gestalt haben. Gehen wir nun auf 
das gesamte Punktsystem C zurück, 
so ist evident, dass P^ über den Fig. 33. 

um 6'„ soeben abgegrenzten Discon- 

tinuitätsbereich nirgends hinausgreii'en kann. Wir schliessen: Das 
Normalpolygon Fq Jcommt einem auf der Ellipse gelegenen hyperholischen 
Fixpunlite niemals nahe; es hat insbesondere Tieine auf der Ellipse gelegene 
hyperbolische Eclie. Es tritt damit ein wichtiger Unterschied zwischen 
den elliptischen und parabolischen Fixpunkten einerseits und den hyper- 
bolischen andrerseits in Geltung, ein Umstand, auf den wir noch wieder- 
holt zurückommen. 

Die Untersuchung der ausserhalb der Ellipse gelegenen hyper- 
bolischen Fixpunkte nötigt uns auf die in § 3 pg. 102 besprochene Ein- 
teilung der Gruppen der hyperbolischen Ebene in zwei Gattungen zurück- 
zugreifen, je nachdem dieselben auf der Ellipse uneigentlich oder eigent- 
lich discontinuierlich sind. Liegt uneigentliche Discontinuität auf der 
Ellipse vor, so ist letztere überall dicht von hyperbolischen Fixpunk- 
ten (eventuell auch von parabolischen) besetzt. Es kann nun kein 
endliches Stück der Ellipse in oder auch nur auf der Grenze von i„ 
gelegen sein. Vielmehr kann das Normalpolygon die Ellipse nur noch 
in Eckpunkten erreichen, und wir wollen hier die Annahme machen, 
dass i'f, nicht unendlich viele Eckpunkte auf der Ellipse aufweist. Die 
auf der Ellipse gelegenen Ecken ordnen sich nun in der wiederholt 
beschriebenen Art zu endlich vielen in Cyclen zusammen, und die 
Betrachtung der Polygonteilung in der Umgebung einer einzelnen Ecke 
lässt unmittelbar den jiarabolischen Charakter derselben erkennen. 
Wir formulieren insbesondere das folgende Kesultat: Ist unsere Gruppe 
auf der Ellipse uneigentlich discontinuierlich und hat 7', endliche Seitin- 
anzahl, so Jcommt das Normalpol ygmi 7', der Ellipse nirgctuiuo miitc 
oder erreicht dieselbe doch nur in parahoUschen Spitzen, je nachdem die 
Gruppe parabolische Substitutionen nicht aufiveist oder solche in ihr ent- 
halten sind. Für den Fall unendlich grosser Seitenanzahl bleibt dieser 



118 I- Allgemeine Theorie der discontinuierlichen Gruppen aus J;- Substitutionen. 

Satz niemals bestehen; dieser Fall wird aucli in der Folge häufig 
auszuschliessen sein, was jedesmal ausdrücklich hervorgehoben wird. 

Wir nehmen endlich an, die vorgelegte Gruppe sei auf der Ellipse 
eigentlich discontinuierlich. Es giebt nun auf der Ellipse endliche 
Strecken, die von Fixpuukten gänzlich frei sind. Eine solche Strecke 
greifen wir auf und wählen sie sogleich so gross, dass sie zwar selbst 
keine zwei äquivalente Punkte aufweist, dass aber jede Vergrösserung 
derselben Paare äquivalenter Punkte auf ihr liefern würde*). Die End- 
punkte der Strecke werden durch eine hyperbolische Substitution V 
der Gruppe correspondiereu; denn wir haben eine Gruppe erster Arl, 
und würde sich hier eine parabolische oder elliptische Substitution V 
ergeben, so würde die wiederholte Reproduction des auf der Ellipse 
abgeschnitteneu Segmentes vermöge V nach und nach die ganze Ellipse 
mit Segmenten bedecken. Es würden somit neben 1, V-^, V-'^, . . in 
r keine weiteren Substitutionen vorkommen, und also würde man in 
der Gesamtgruppe eine cyclische Gruppe erkennen, was wir hier doch 
ausschliessen werden. Die auf der Ellipse gelegenen Fixpuuktc der 
hyperbolischen Substitution V mögen A und B heissen; derjenige zwi- 
schen ihnen verlaufende Bogen der Ellipse, welchem die ausgewählte 
Strecke angehört, ist oÖenbar frei von weiteren Fixpunkten. 

Jetzt wolle man die Ellipsensehne AB sowie die sämtlichen mit 
ihr bezüglich der vorliegenden Gruppe äquivalenten Sehnen ziehen. 
Zufolge der eben bezeichneten Sachlage werden sich keine zwei unter 
diesen Sehnen schneiden-, denn die erste Sehne AB wird von keiner 
andern getroffen und kann übrigens auch mit keiner andern einen 
Endpunkt gemein haben**). Durch die fraglichen Sehnen werden so- 
mit von der Ellipsentläche unendlich viele äquivalente Ellipsenabschnitte 
abgetrennt, von denen keine zwei einen Punkt gemeinsam haben. Wir 
nehmen C^ auf dem zur Substitution V gehörenden Abschnitt an, wo- 
selbst dann auch die mit C^ bezüglich V äquivalenten Punkte Ci, C-i, 
d, C—2, • . sich finden. Unsere Punktreihe . ., ü—i, Co, Ci, . . darf in 
der Nähe der Sehne AB, jedoch jedenfalls soweit im Innern des Ab- 
schnittes angenommen werden, dass die von der Auswahl von Cq un- 
abhängige Entfernung ((.*„, C\) jedenfalls nicht grösser ist, als die 



I 



*) Diese Strecke wird mit weiteren ähnlich gewählten Strecken einen Dis- 
continuitätsboreich der Gruppe auf der Ellipse abgeben. 

**) Hätte nämlich Sehne AB etwa den Punkt A mit einer zweiten Sehne 
gemein, so gäbe es neben V in der Gruppe eine hyperbolische Substitution U, 
welche mit V dcu Fixpunkt .1 gemein hat. Dann wäre U~ ^VUV~^ parabolisch 
mit dem Fixpuukt.l, was nach der am Anfang des Paragraphen gegebenen Ent- 
wicklung nicht zulässig ist. 



1,2. Normalbereiche der Giuppeu ohne iüfinitesimale Subbütutionen. 119 

Entfernung des Punktes Q von einem nächst gelegenen, aber nicht 
der Reihe Co, C'i, C—i, . . . angehörendem Punkte C. 

Nunmehr wolle mau die Polygonteilung in gewohnter Art ent- 
stehen lassen und benenne den ausserhalb der Ellipse gelegenen Fix- 
punkt der hyperbolischen Substitution V durch E. Es ist sofort 
evident, dass nicht nur die Mittelpunkte der geradlinigen Strecken 
. . ., C—iCo, CoC'i, ... Randpunkte werden, sondern da.ss von diesen 
Punkten nach E ein System unendlich vieler geradliniger Polygon- 
greuzen strahlt, welche in E lauter gleichwinklige und äquivalente 
Polygonecken formieren. Dass dabei die Längen der von den Centren 
C auslaufenden Strahlen ins unendliche wachsen und imaginär werden 
müssen, um das Ellipsenäussere zu erreichen, bietet keine Schwierig- 
keit; es ist das ja nur eine Folge unserer Definition des Begriffes 
„Länge''. 

Um der vorliegenden Überlegung volle Allgemeinheit zu geben, 
lasse man nun 6',, seine Lage continuierlich ändern, jedoch stets nur 
im Innern der Ellipse. P^, wird anfänglich seine hyperbolische Ecke E 
behalten. Hat sich indes Cq von E soweit entfernt, dass weitere der 
Reihe Co, Ci, C'_i, . . . nicht angehörende Punkte C der Ecke E gleich 
nahe gekommen sind*), so hat sich inzwischen eine zufällige Ecke 
von Fq über den zur Sehne AB gehörenden Ellipsenabschuitt hinaus 
ins Ellipsenäussere begeben und ist zur hyperbolischen Ecke E ge- 
worden. Es liegt der Übergangsfall vor, den wir für elliptische und 
parabolische Ecken in den Figuren 31 und 32 (pg. 114 und pg. llßj 
illustrierten, d. h. das Polygon P^ hat für den Augenblick zwei hyper- 
bolische Ecken E und E' der gleichen Classe. Bei weiterem Fort- 
schreiten von C'o behält P^ allein die Ecke E' als hyperbolische bei, 
während die bisherige in E vou dort fortrückt und in eine zutallige 
Ecke übergeht. 

Wir entnehmen aus dieser Überlegung, dass im vorliegenden 
Falle offenbar auch auf und ausserhalb der Ellipse zufällige Eeken ton 
Po vorkommen können. Vor allem aber haben wir die gesamten in 
der vorgelegten Gruppe enthaltenen Classeu cyclischer Untergruppen 
aus hyperbolischen Substitutionen in zwei Gattungen zu zerlegen, je 
nachdem die auf der Ellipse gelegenen Fixpunkte einer Substitution 
der Classe durch weitere Fixpunkte getrennt sind oder nicht. Das 
Normalpolygon Fq wird sich bei ziveckmässiger Annahme von 6', an je 
einen (ausserhalb der Ellipse gelegenen) Fixpunkt aus dm Classcn der 

'*) Ks sei daran erinnert, dass die von K Uquidistanteu Tnnkte iiuf einer 
Bahncurve der hyperbolischen Substitution V liegen. 



120 T. Allgemeine Theorie der discontinuierlichen Gruppen aus J- Substitutionen. 

crsteren Gattung mit einer hyperholischen Ecke heranziehen, und die 
leiden zugehörigen Kanten von Pq tverden durch die zugehörige hyper- 
bolische Erzeugende der cyclischen Untergruppe genau in einander trans- 
formierhar sein; demgegenüber zieht Pq niemals an einen FixpunU der 
zweiten Gattung heran. Soll übrigens die Seitenaiizahl von P^ endlich 
sein so muss natürlich die Classenanzahl erster Gattung gleiclifalls 
endlich sein. 

Wie wir sahen, sind die Seiten des Normalpolygons zu Paaren 
auf einander durch Substitutionen der Gruppe bezogen. Man bemerke 
noch, dass die Seiten jedesmal Niveaidinien der zugehörigen Substitutionen 
darstellen. Für je zwei solche Seiten, welche eine nicht-zufällige Ecke 
einschliessen und also benachbart sind, ist dies unmittelbar evident; 
aber auch für solche Seiten, die je zwei zufällige Ecken zu Endpunkten 
haben, und die somit ihren zugeordneten Seiten nicht benachbart sind, 
beweist man den ausgesprochenen Satz ohne Mühe aus dem oben aus- 
führlich geschilderten Entstehungsmechanismus der Normalpolygone. 

Die Theorie der Normalpolygone für Rotationsgruppen ist hiermit 
in ihren Grundlinien dargelegt. Den weiteren Ausbau behalten wir 
uns bis in die Specialentwicklungen des folgenden Abschnitts vor, wo 
der Begriff des Normalpolygons zu einem weittragenden Fundamente 
wird. 

§ 7. Die Normalpolyeder im hyperbolischen Räume und deren 
Gestaltung im Kugelinneren. 

Die Übertragung der bisherigen Untersuchungen auf den hyper- 
bolischen Raum führt uns zu Ergebnissen, welche zunächst denjenigen 
in der projectiven Ebene analog sind, im weiteren Verfolg sich aber 
weit mannigfacher gestalten. Die neuen Betrachtungen werden dabei 
für die gesamten ^-Gruppen ohne infinitesimale Substitutionen gültig 
sein, wenngleich wir sie natürlich in erster Linie auf diejenigen Gruppen 
anwenden werden, für welche die projective Ebene eine unzulängliche 
Grundlage ist*). 

Da die elliptischen Axen das Kugelinnere des hyperbolischen 
Raumes nicht überall dicht durchziehen, so können wir C'^ als nicht 
auf einer elliptischen Axe gelegen annehmen. Im übrigen möge Cf, 
im Kugelinneren liegen, und es werden die äquivalenten Punkte C,,, 
C\, . . . duvchgchends in endlichen Entfernungen von einander gelegen 
sein. Man construiere nun zu gleicher Zeit um alle Centren C Kugeln 



*) Vorgl. hierzu auch die Uemcrkungeu von Dyck in den Berichten der Kg]|| 
Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften von 1884, pg. 61 ff. 



I, 2. Normalbeit'icho der Gruppen ohne infiniteKimale Substitutionen. 121 

mit gleich grossen Radien und lasse diese Radien zu gleicher Zeit bei 
allen Kugeln wachsen. Indem man auch im übrigen ganz analog wie 
Trüber in der projectiven Ebene den Process sich entwickeln lässt und 
zugleich die Mannigfaltigkeit in der Auswahl des ersten Centrums Cq 
beachtet, entspringt offenbar folgendes Ergebnis: Zu jeder Gnippc ohne 
infinitesimale Siibstitutionen gehört eine reguläre Einteilung des hyper- 
holischen Raumes lez. des Kugelinneren in einfach gusammenhängende 
Normalpolyeder Uq, U^, TI^, . . ., von denen jedes einzelne, eiua JI^, als 
Discontinuitätsbereich der Gruppe angesehen werden kann. Die Normal- 
polyeder sind in den FiinJcten C centriert, sie sind ehenjlächig, und ihre 
Kantenwinhel und Eelcen sind concav. Die Polyedertciliing lüsst sich für 
die einzelne Gruppe auf <x>^ Weisen auswählen. Es wird natürlich kei- 
neswegs ausgeschlossen, dass die Polyeder vorkommendenfalls bis zur 
Kugel und über dieselbe hinaus wachsen; wir kommen sogleich aus- 
führlicher hierauf zurück. 

Um vorab die Gestaltung der Polyeder im Kugelinneren zu ver- 
folgen, so werden wir die hier eintretenden Kanten iu zufällige und 
elliptische einteilen. Die zufälligen Kanten werden ihre Lage mit C'„ 
ändern; und es gilt auch im übrigen für dieselbe eine Theorie, welche 
sich derjenigen der zufälligen Polygonecken in § 5 (pg. 110 ff.) durchaus 
analog anschliesst. Man gewinnt als Ergebnis: Die zufälligen Kanten 
des Normalpolyeders TI^ gehören im allgemeinen zu drei {oder hei hesondertir 
Annahme von Cq möglicher Weise zum Teil auch zu w > 3) in Cyclen 
zusammen, indem die zugehörigen sechs (bez. 2n) Polyeder seifen ohne Rest 
und Überschuss durch Substitutionen der Gruppe paarweise in einander 
transformierbar sind. Die Summe der durchgehends concaven Kanten- 
winJcel eines solchen Cyclus ist 2%. Die Abstände des Punktes C^ von 
den Kanten eines Cyclus sind einander gleich. 

Wir reihen hieran sogleich die Besprechung der zufälligen Ecken 
des Normalpolyeders //(,, in welchen mehrere zufällige Kanten zusam- 
menlaufen. Auch hier wird man die Analogie zu den früheren Tber- 
legungen sofort überblicken und gelangt zu folgenden Ergebnissen: 
Die zufälligen, d. h. mit C^, veränderlichen Polyederecken sind concav und 
im allgemeinen dreiseitig; sie ordnen sich nach Maassgabc der Zusammen- 
gehörigkeit der sie einseht iesscndcn Polyedersriten im allgemcitien zu vieren 
zusammen, doch können diese Zahlen bei besonderer Annahme von C\^ auch 
'ibertroffen tverden. Zusammengehörige zufällige Ecken von II^^ zeigen vom 
Centrum C„ gleiche Entfernung, und die zugehörigen räumlichen Ecken 
lassen sich so an einander fügen ^ dass sie alsdann die räumlirhr l'w- 
gebung ihrer gemeinsamen Spitze gerade vollständig ausfüllen. 

Die cyclischen Untergruppen aus elliptischen Substitutionen sowie 



122 I. Allgemeine Theorie der discontinuierlichen Gruppen aus ^ Substitutionen. 

auch die zugehörigen Axen teilen wir wieder in Classen ein. Das 
Polyeder ITq ivird sich tvenigstens an eine Äxe ans der einzelnen Classe 
heranziehen. Aber es ist durchaus nicht gesagt, dass sich IIq mir an eine 
einzige Axe aus der einzelnen Classe heranzieht Man muss sich nämlich 
vorstellen, dass die einzelne elliptische Axe im allgemeinen aus meh- 
reren, und nicht durchweg äquivalenten, Polyederkanteu besteht, und 
dass dementsprechend umgekehrt mehrere elliptische Kanten des ein- 
zelnen Polyeders TIq auf äquivalente Substitutionen führen. Man kann 
auch sagen, dass verschiedene elliptische Axen derselben Classe jeweils 
mit Stücken, die für sich genommen inäquivalent sind, am Polyeder 
TIq participieren. Dass der KatitenivinJiel von ITq in einer elliptischen 

Kante im allgemeinen — ist, ivo v die Ordnung der zugehörigen Unter- 
gruppe ist, und dass die beiden jene Kante einschliessenden Polyederseiten 
durch die Erzeugende dieser Untergruppe genau in einander transformierbar 
sind, folgt fast unmittelbar. Wenn bei Bewegung des Centrums Cq eine 
elliptische Axe aufhört, längs einer Strecke Polyederkante zu sein, so 
ist dies nach Analogie des Verhaltens der elliptischen Punkte in der 
Ebene zwar einmal dadurch möglich, dass eine bisherige elliptische 
Kante in eine zufällige Kante übergeht. Aber es kommt nach den eben 
gemachten Darlegungen hier andrerseits vor, dass die elliptische Kante 
von IIq durch Zusammenrücken zweier auf ihr gelegenen Ecken als 
Kante von Uq verschwindet, während in der Polyederteilung, als Ganzes 
betrachtet, die elliptische Axe, auf welcher die eben gemeinte Kante 
lag, durchaus bestehen bleibt. 

Eine elliptische Axe ist, wie wir schon andeuteten, längs ihres 
ganzen im Kugelinneren gelegenen Verlaufs aus Polyederkanten zusam- 
mengesetzt; es liegt hierin ein wesentlicher Unterschied gegenüber den 
zufälligen Kanten. Besteht eine elliptische Kugelsehne aus mehreren, 
vielleicht unendlich vielen, Polyederkanten, so sind letztere durch Po- 
lyederecken von einander getrennt. Laufen in eiuer solchen Ecke 
ausser der einen elliptischen Kante nur zufällige zusammen, so wollen 
wir sie eine halbreguläre nennen; demgegenüber sind die regtdären 
Ecken der Polyederteilung diejenigen, in welchen wenigstens zwei, da- 
mit aber auch noch weitere elliptische Kanten zusammenlaufen. Über 
die halbregulären Ecken wird man auf Grund der schon durchgeführten 
Untersuchung der zufälligen Ecken und der elliptischen Kanten leicht 
weitere Angaben machen; wir betrachten demnach sogleich die regu- 
lären Ecken. 

Schneiden sich im Kugelinneren zwei elliptische Axen der Gruppe, 
80 ist der Schnittpunkt notwendig das Rotationscentrum einer Unter- 



I, 2. Nonnalbereichc der LJnii»peii oliue intinitcbimale Substitutionen. 123 

gruppe vom Typus der in der Theorie der regulären Körper auftreten- 
den Gruppen. Die regulären Ecken des Kugelinneren zerfallen demnach 
ihrer Art nach in diedrischc, tetraedrischc, oJdaedrische und ikosacdrische, 
und an die einzelne Ecke tverden sich bez. 2n, 12, 24 oder 00 Folyeder 
der regulären Einteilung mit lauter sechsseitigen Ecken und drei ellip- 
tischen soivie drei zufälligen Kanten heranziehen. Gleichberechtigte Unter- 
gruppen dieser Art und damit äquivalente reguläre Ecken vereinen wir 
in eine Classe. Es gilt dann der Satz, dass das Normal^whjeder 11^^, von 
Ijarticulären Äusivahlen von O^ abgesehen, je eine reguläre Ecke aus der 
einzelnen Classe ai<fweisc7i ivird. Dass übrigens bei dem einzelnen regu- 
lären Punkte sechsseitige Ecken auftreten, kommt auf den z. B. bei der 
Modulgruppe oben (pg. 110) bereits hervorgetretenen Umstand zurück, 
dass überhaupt jede Dreiecksgruppe ein sechsseitiges Normalpolygon 
liefert. Wir gehen hierauf im ersten Kapitel des nächsten Abschnitts 
mit Ausführlichkeit ein. 

Die Picard'sche Gruppe des vorigen Kapitels kann mau zur Er- 
läuternng der vorstehenden Erörterungen benutzen. Insbesondere sei 
daran erinnert, dass die damals mit F bezeichnete Gesamtgruppe im 
Kugelinneren drei Classen regulärer Ecken darbietet; zwei davon sind 
diedrisch mit n = 2 und n = ?>, die dritte erwies sich als oktaedrisch. 

§ 8. Die Normalpolyeder auf und ausserhalb der Kugel. 

Wie bei der Behandlung der Gruppen der hyperbolischen Ebene dis- 
cutieren wir nun den Fall, dass die jetzt vorliegende Gruppe parabolische 
Substitutionen enthält. Es finden hierbei zunächst ganz ähnliche Be- 
trachtungen wie in § 6 pg. 115 statt. Eine einzelne parabolische Sub- 
stitution V sei vorgelegt. Wir wollen alsdann zum vorübergehenden 
Gebrauch den ^-Halbraum heranziehen und fixieren t, so, dass der Fix- 
punkt in den Unendlichkeitspunkt ^ == oo fällt. Mögen die Coordi- 
naten von Cq im Halbraume ^q, iJo, ^^ werden; es soll dann gezeigt 
werden, dass die Ordinalen ^ der Funkte C sämtlich unter einer angeb- 
baren endlichen Grenze bleiben. 

Für die Ordinaten & der Punkte C berechnet man nämlich auf 
Grund der pg. ö5 und 56 entwickelten Formeln leicht: 

(1) ^ = -_ *" 

>^ollcn nun in jeder noch so grossen Hi)he über der ?- Ebene noch 
Punkte C vorkommen, so muss es Substitutionen in der Gruppe geben, 
liir welche der Nenner auf der rechten Seite von {[) beliebig klein 
ausfällt. Dies ist offenbar nur möglich, wenn .«sich Substitutionen in 



124 I. Allgemeine Theorie der discoatinuierlichen Gruppen aus J- Substitutionen. 

der Gruppe nachweisen lassen, bei denen die absoluten Beträge von 
y und ö zugleich beliebig klein ausfallen. Wäre dies der Fall, so 
würden sich bei der Gestalt ^' = ^ + & von V auf Grund der schon 
pg. 115 ausgeführten Rechnung infinitesimale Substitutionen in der 
Gruppe nachweisen lassen. Dies aber würde den Voraussetzuhgen 
widerstreiten. 

Unter Rückkehr zum hyperbolischen Räume ziehe man nun das 
System der concentrischen Kugeln in Betracht, welche den Fixpunkt 
von F zum Mittelpunkte haben*); diesen Fixpuukt selbst nennen wir 
kurz E, die durch ihn hindurchziehende parabolische Kaute von V 
heisse 7i; sie wird die Kugel im Punkte E berühren. Des weiteren 
sind nun zwei Fälle' zu unterscheiden, je nachdem nämlich E Fixpunkt 
einzig einer cyclischen Untergruppe ist oder aber einer Rotationsgruppe 
von demjenigen Typus, welcher bei den Bewegungen der parabolischen 
Ebene auftritt. Gruppen der letzteren Gattung lernten wir bereits in 
„M." I pg. 107 kennen; ihre genauere Theorie werden wir erst später- 
hin (im ersten Kapitel des folgenden Abschnitts) entwickeln, und wir 
wollen hier insbesondere vorgreifend den Satz benutzen, dass die 
Normalpolygone dieser Gruppen in der g- Ebene die Gestalt von Sechs- 
ecken darbieten. 

Unter den oben construierten concentrischen Kugeln von E wird 
es nun im Innern der absoluten Kugel eine erste geben, auf deren 
Oberfläche Punkte C unseres Systems vorkommen, während im Innern 
derselben sich keine solchen Punkte finden. Auf der Oberfläche dieser 
Kugel finden sich aber mit einem Punkte C deren gleich unendlich 
viele, die je nach der Natur der zu E gehörenden Untergruppe ent- 
weder auf einer Bahncurve von V angeordnet sind oder ein bezüglich 
der erwähnten Rotationsuntergruppe äquivalentes Punktsystem vor- 
stellen. 

Im ersten dieser beiden Fälle mögen ..., Cp, 6',, Cr, ... die Punkte 
der fraglichen einfach -unendlichen Reihe sein. Halbwegs zwischen 
ihnen werden sich alsdann Seiten der zugehörigen Normalpolyeder ein- 
stellen, welche sich sämtlich in der oben mit K bezeichneten Kaute 
schneiden. Da weitere Polyederseiten durch E nicht hindurchgehen 
können, so gilt der Satz: Gieht es in der Gruppe cyclische parabolische 
Untergruppen, die jedoch nicht in Rotationsuntergrujjpen der gelcennzeich- 
neten Art enthalten sind, so haben die JSlormalpolyeder parabolische Kanten, 



*) Diese Kugeln stellen sich, wie wir hier kurz in Erinnerung bringen, für das 
Auge als Rotationsellipsoide dar, welche die absolute Kugel der Maassbestimmung 
im Fixpunkte von V berühren. 



l, 2. Normalbereiche der Gruppen ohne inßniteriimale Substitutionen. 125 

welche sich zu beiden Seiten der zugehörigen Fixpunkte E ausdehnen. //„ 
lann sich, ohne dass Cq particulär gewählt wäre, an mehrere Kanten atts 
der gleichen Closae heranzielicn. Es gelten hier dieselben Bemerkungen, 
wie bei den elliptischen Axen des Kugelinnern, d. li. man muss sich 
vorstellen, dass verschiedene parabolische Axen aus derselben Classe 
Kanten von TIq liefern; diese Kauten stellen dabei inäquivalente Strecken 
der betreffenden Axen dar. Die Polyeder ragen hier, wie man sieht, 
in das Kugeläussere hinaus. 

Für den zweiten Fall ist das Beispiel der Picard'schen Gruppe 
charakteristisch; indem mau die Rotationsuntergruppe für sich allein 
betrachtet, bemerkt man leicht, dass an den Normalpolyedern nun 
parabolische Spitzen vorkommen. Es gilt offenbar der Satz, in wel- 
chem wir einen auf der Kugel gelegenen Fixpunkt von mehr als einer 
cyclischen parabolischen Untergruppe als einen regidüren Echpunht be- 
nennen: Das NormaJpolycder TIq zieht sich, im aUgemeincn an je einen 
auf der Kugel gelegenen regulären EcJcpunlct aus dei- einzelnen Classe dieser 
Punkte mit einer sechsseitigen Spitze heran. Über die Natur der sechs 
hier zusammenlaufenden Kanten (ob sie zufällig oder elliptisch sindj. 
sowie über die Zuordnung der sechs Seitenflächen werden wir erst bei 
den Specialuntersuchungen im ersten Kapitel des zweiten Abschnitts 
nähere Angaben machen können. 

Wir betrachten demnächst die auf der Kugeloberfläche gelegenen 
hyperbolischen und loxodromischen Fixpunkte. Es sei V eine hyperbo- 
lische Substitution der Gruppe, deren beide auf der Kugel gelegeneu 
Fixpunkte E und E' seien. Man markiere nun zunächst alle mit Cq 
bezüglich der aus F entspringenden Untergruppe äquivalenten Punkte 
Co, C'i, C—i, . . ., welche auf einer Bahucurve von V gelegen sind. 
Wendet man sodann zuvörderst allein auf dieses Punktsystem die Con- 
structionsweise der Normalpolyeder an, so stellen sich lauter ebene 
Grenzen ein, welche die geradlinigen Verbindungsstrecken, . . ., CLiCo, 
C'„6',, .. jeweils im Mittelpunkt senkrecht schneiden. Der um C^ ent- 
stehende Bereich, von welchem //„ ein Teil ist, bleibt sowohl mit seinem 
Innern als mit seiner Berandung von E und E' entfernt. Die loxodro- 
mischen Substitutionen behandele mau gerade so und wird zu dem 
nämlichen Ergebnis gelangen. Man erinnere sich nur, dass loxodro- 
nüsche Substitutionen mit iniinitesinuilem hyperbolischen Bestandteil 
in der Gruppe nicht vorkommen (cf pg. 07). Es ergiebt sich: Ein 
(ruf der Kugel gelegener hyperbolischer oder lo.Todromisrhcr Eixpuukt der 
Gruppe kann weder im Innern, noch nnf linrr Srilr. haute otirr in einer 
Ecke des Normalpolyeders liegen. 

Analog wie in § 6 (pg. 117) ist jetzt zu unterscheiden, ob die Gruppe 



126 I Allgemeine Theorie der discontinuierlichen Gruppen aus ^-Substitutionen. 

auf der Kugel uneigentlich oder eigentlich discontinuierlich ist. Im 
ersteren Falle verläuft /7„ durchaus im Kugeliimern und kann die Ober- 
fläche nur in einzelnen Punkten erreichen. Machen wir für den Augen- 
blick die beschränkende Voraussetzung, dass das Polyeder 11^ endliche 
Seitenzahl hat, so kann es nur in einer endlichen Anzahl von Ecken die 
Kugel erreichen. Auf Grund der Zuordnung der Polyederseiten gehören 
diese Ecken in gewisser Ordnung zusammen; und indem man in der 
fertigen Polyederteilung die Umgebung einer einzelnen Ecke betrachtet, 
bemerkt man leicht, dass der Eckpunkt das Centrum einer Rotatious- 
untergruppe von dem im Anfang des Paragraphen wiederholt genannten 
Typus ist. Wir haben als Resultat: Eirie auf der Kugel uneigaülich 
äiscontinuierliclie Gruppe, die somit im Sinne des § 3, pg. 106, im engeren 
Sinne als Polyedergruppe zu hezeichnen ist, hat ein durchaus im Kugel- 
innci'en verlaufendes Normalpolyeder 11^, welches die Kugeloherflüehe höch- 
stens in 7'egiüüren Eehptmlcten erreichen kann; doch gilt hier die Endlichheil 
der Seitenanzahl von IJ^^ als Voraussetzung. Die Picard'sche Gruppe des 
vorigen Kapitels giebt ein hierher gehöriges Beispiel ab. 

Ist die Gruppe auf der Kugeloberfläche eigentlich discontinuier- 
lich, d. h. handelt es sich um eine Folygongruppe , so dringt das Poly- 
eder //,, mit einem oder mehreren Teilen in das Kugeläussere hinaus. 
Über die hier eintretenden Seiteuflächen, Kanten und Ecken gelten 
ähnliche Bemerkungen, wie im Kugeliunern. Die Kauten können zu- 
fällige sein oder nicht; im letzteren Falle unterscheiden wir wieder, 
ob die zugehörige Substitution elliptisch, parabolisch etc. ist. Andrer- 
seits sind die Ecken entweder zufällige oder halbreguläre oder endlich 
reguläre. Eine nähere Untersuchung über die Natur dieser Ecken, 
sowie überhaupt über die ausserhalb der Kugel gelegenen Teile von 
//() stellen wir nicht an; doch bemerken wir, dass diese Untersuchung 
in den Entwicklungen der nächsten Paragraphen implicite enthalten sind. 

§ 9. Das Verhalten der Polygongruppen auf der Kugeloberfläche. 
Erster Teil: Allgemeines. 

Wenn wir nunmehr das Verhalten der Polygongruppen auf der 
Kugeloberfläche ausführlich untersuchen wollen, so werden wir natür- 
lich annehmen, dass nicht der elementare Typus der Rotationsgruppen 
vorliegt. Im Gegensatz zu den entsprechenden Verhältnissen in der 
hyperbolischen Ebene treö'en wir alsdann hier im hyperbolischen Räume 
auf neue und ausserordentlich mannigfaltige Ergebnisse. 

Es gilt zuvörderst, den folgenden Grundsatz zu beweisen, in wel- 
chem die Maassbestimmuntjen auf der Kusel im elementaren Sinne 



I, 2. Normalbereiche der Gruppen ohne infinitctiimale SabstitutioneD. 127 

gemeint sind*): Ist die Gruppe in einem Bereich von endlicher, wenn auch 
noch so Meiner Flächcnmisdehnnng auf der Kugel uneigentlich discontinuier- 
lieh, so ist sie auf der Kugel nirgends eigentlich disconlinuierlicli. 

Man wolle nämlich im Innern des gedachten Bereiches einen 
Kreis von endlichem Radius zeichnen und sodann die Ebene dieses 
Kreises in ihrem Verlauf im Kugelinnern verfolgen. Sie wird hier 
durch Polyeder der das Kugeliunere erfüllenden Einteilung hindurch- 
ziehen, und man wolle zur Erleichterung der Vorstellungen ein ein- 
zelnes dieser Polyeder in das Ausgangspolyeder 77,, transformieren. Die 
genannte Ebene geht dabei in eine neue Lage über, in welcher sie die 
Kugeloberfläche in zwei Kalotten K und Ä" zerlegt. Innerhalb K ist 
die Gruppe allenthalben uneigentlich discontinuierlich; und dies ist 
nach den im Anfang des Kapitels gegebenen Entwicklungen nur da- 
durch möglich, dass K überall dicht von Fixpunkten bedeckt ist. 
Lässt sich nun im Innern von Ä' ein nicht-elliptischer Fixpunkt finden, 
so unterscheiden wir, ob der zweite Fixpunkt der zugehörigen Sub- 
stitution gleichfalls auf K oder auf K' liegt. Im ersten Falle kann 
man durch hinreichend oft wiederholte Anwendung der betreffenden 
Substitution K' in eine gänzlich innerhalb K gelegene Kalotte über- 
führen, und wir schliessen demnach durch Anwendung der inversen 
Substitution, dass auch K' allenthalben dicht von Fixpuukten bedeckt 
sein muss. Ist hingegen der zweite Fixpunkt der fraglichen Substitu- 
tion auf K' gelegen, so können wir durch hinreichend oft wiederholte 
Ausübung dieser Substitution K in eine die ganze Kugel bis auf einen 
beliebig kleinen Rest bedeckende Kalotte transformieren, so dass wieder 
die ganze Kugel überall dicht von Fixpunkten besetzt sein würde. 
Wären aber alle in K gelegenen Fixpunkte elliptisch, so würde die 
schon pg. 100 durchgeführte Überlegung die Existenz von elliptischen 
Substitutionen in der Gruppe ergeben, deren beide. Fixpunkte auf Ä' 
einander beliebig nahe liegen. Wir können sie so nahe wählen, dass 
K' durch einmalige Ausübung der Substitution in eine gänzlich inner- 
halb K gelegene Kalotte übergeführt wird. Auch hier sieht man 
wieder, dass auch K' überall dicht von Fixpunkten bedeckt ist; und 
damit ist unsere Behauptung erhärtet. Wir können somit den Satz 
anmerken: Bei Folygongruppen erfüllen die auf der Kugclohcrfläche ge- 
legenen Fixpunkte keinen zweifach ausgcdchnlcn Teil dieser Ülx-rfläcJic 
überall dicht. 

*) Man erinnere sich, dasa vermöge der hyperbolischen Maa-ssbestinmiung de.'« 
Kaume-s auf der Ku^'elobcrtiilche .seibat oine Miuisabeatiuimiing nur erst toilwoise 
gegeben ist, inaofeni freilich der WinkelbegrilV, nicht aber der UegritV dor Ent- 
fernung fixiert ist. 



128 I. Allgemeine Theorie der discontinuierlichen Gruppen aus J- Substitutionen. 

Man bringe nun die Kugel mit dem einzelnen Polyeder /Z^, zum 
Durchschnitt und fixiere die im Innern von 77q gelegenen Teile der 
Kuffeloberfläche. Dieselben werden aus einem oder mehreren Kreis- 
bogenpolygonen bestehen, die wir etwa Pq, p^, '--yPo nennen, wenn 

V ihre Anzahl ist. Es kann durchaus auch v = oo sein; doch werden 
wir diesen Fall zur Vermeidung zu Aveit gehender Complicationen nicht 
besonders ins Auge fassen. Die Ecken der Kreisbogenpolygone j)^, ^^', 
. . ., Pq^^ sind stets concav und entweder sufalUg oder elliptisch oder 
endlich parabolisch; an hyperbolische oder loxod romische Fixpiüikte reicht 
heines der Polygone heran. Natürlich fassen wir hier überall den Be 
griff des Polygons in dem Sinne, dass wir nicht die aus Kreisbogen 
bestehende Umrisscurve damit meinen, sondern das durch diese Um- 
risscurve eingegrenzte Stück der Kugeloberfläche. 

Es kann vorkommen, dass eine Seitenfläche des Polyeders //^ im 
Kugelmwe>eM überhaupt keine Kanten darbietet, dass vielmehr die sämt- 
lichen diese Seite begrenzenden Kanten ausserhalb der Kugel liegen. 
Alsdann nimmt offenbar der volle Schuittkreis dieser Seite mit der 
Kugel an der Begrenzung eines der Polygone p^, p^, . . . Teil, woraut 
das betreffende Polygon oft'enbar mehrfach zusammenhängend sein 
wird; ein hierher gehöriges Beispiel lernten wir pg. 104 kennen,. AUge 
mein merken wir den Satz an: Das einzelne der Kreisbogenpolygone p„. 
Pq, . . . ist einfach oder mehrfach zusammenhängend, ivobei die einzelne 
der unterschiedenen, das Polygon begrenzenden, Kreisbogenketten auch aus 
einem einzigen Vollkreise bestehen kann. Der Fall eines unendlich hohen 
Zusammenhangs des einzelnen Polygons ist zwar keineswegs ausge- 
schlossen, wird aber wieder zweckmässig bei Seite gelassen. 

Man denke nunmehr die gesamte Polyederteilung JIq, 77,, ... an 
gebracht und bilde den Durchschnitt derselben mit der Kugeloberfläche. 
Letztere wird überdeckt erscheinen mit unendlich vielen Polygonen 
i'o, • . ., JPo ~'\ }h, • • •> T^['~^\ Ps, • • •} von denen jedes mit einem der 

V Polygone P(^, . . ., 2^o~^^ äquivalent ist. Da die Gruppe in keinem 
endlichen Flächenstück der Kugel überall uneigentlich discontinuierlicli 
ist, so ergiebt eine kurze Zwischenbetrachtung, dass Punkte, die von 
dem Polygonsystem der Kugeloberfläche freibleiben, nirgends ein end- 
liches Fiächenstück füllen können. Punkte der Kugeloberfläche, welche 
von den Polygonen nicht erreicht werden, sollen Grenzpunkte der Gruppe 
heissen. Zu den Grenzpunkten gehören insbesondere die hyperboli sehen 
und loxodroniischen Fixpunkte der Kugeloberfläche. Auch die parabo- 
lischen Fixpunkte rechnen wir den Grenzpunkten zu, obwohl sie Polygon- 
ecke sein können; sie können nämlich niemals im Innern der gleich 
zu betrachtenden Pulygonnetze liegen, und es wird sich bei der Fort- 



I, 2. Normalbereiche der Gruppen ohne infinitesimale Substitutionen. 129 

luhrung der Untersuchung sogleich als zweckmässig erweisen, den au 
der Spitze einer parabolischen Ecke gelegenen Fixpunkt nicht mehr 
als dem Polygon augehörig anzusehen. Es gilt alsdann der Satz: 
Die V Polygone p^, p'q, . . ., p^~ bilden einen Discontiuuilätsbereich für 
die gesamte Kugeloher fläche, die Grenzpunkte der Gruppe allein aus- 
genommen. 

Die Randcurven der Polygone 2hf p'ot • ■ ■, p[)~^^ sind paarweise 
einander zugeordnet, wobei je zwei einander entsprechende Randkreise 
durch Substitutionen der Gruppe ohne Rest und Überschuss in einander 
transformierbar sind. Wir müssen nun hier durchaus mit dem Vor- 
kommnis rechnen, dass zugeordnete Randcurven verschiedenen unter 
den V Polygonen angehören. Ist aber eine Seite von j)^ etwa mit 
einer solchen von 2^0 zusammengeordnet, so ist mit p^^ ein zu p^^ 
äquivalentes Polygon p^l'^ benachbart. Man wolle alsdann im System 
der V Polygone j^, p'^, . . ., p'^"^^ das Polygon p^^ durch />^*> ersetzen 
und letzteres mit Pq in eins ziehen. Durch Wiederholung dieser Maass- 
nahme können wir die v Polygone Po,Po> • ■ •; 1>^' '^ schliesslich durch 
/i < V Polygone Po, P^, . . ., Po"~ ersetzen, ivelche in demselben Sinne 
wie die ursprünglichen einen Discontinuitütsbereich der Gruppe liefern, 
und wobei nun die Seiten des einzelnen Polygons stets nur wieder Seiten 
des nämlichen Polygons zugeordnet sind. Die neuen Polygone Po, Po, 
. , ., P(" — 1) sind gleichfalls von Kreisbogen begrenzt und besitzen nur 
zufällige oder elliptische bez. parabolische Ecken. 

Auf das System der Polygone Pp, Pq, ..., Po"~'^ wolle man nun 
die gesamten Substitutionen der Gruppe ausüben und findet die Kugel- 
oberfläche bis auf die Grenzpunkte von unendlich vielen Polygonen 
Po, . . ., Pi;"~'\ Py, ..., P^^~^\ P2, . . . bedeckt. Insbesondere wolle 
man dabei diejenigen Polygone P^, P.^, ... verfolgen, welche sich au 
Pq auf Grund der für dies Polygon gültigen Zuordnung der Kanten 
mittelbar oder unmittelbar anschliessen. Dieselben werden ein zusam- 
menhängendes Netz von Polygonen bilden, das kurz durch N bezeichnet 

sein möge. Entsprechende Netze bilden sich um P^, . . ., Po"~ ; sie 

mörjen N' ^"i" — ^) genannt werden. Keine zwei unter diesen u Po- 

lygonnetzen N, . . ., iV^"~'^ Jcönneu auch nur einen Punkt gemeinsam 
haben; denn ein gemeinschaftlicher Punkt von N und A" würde sowohl 
in Po wie P^^ einen äquivalenten Punkt haben, was nicht möglich ist. 
Die gesamten Substitutionen des Netzes N in sich, welche also P,, in 
alle übrigen Polygone von N transformieren, bilden eine in der Ge- 
samtgruppe enthaltene Untergruppe, welche Cr heissen möge; ent- 
sprechend mögen die Untergruppen (!', . . ., G^"~^^ zu den Netzen 

Kriuki'-Kloili, Atitomorphu Kuncllc.ium. l. "•• 



130 I Allgemeine Theorie der discontinuierlichen Gruppen aus ^-Substitutionen. 

N\ .. ., iV^C"— 1) gehören. Die eingehende Untersuchung der hier vor- 
liegenden Verhältnisse macht eine Reihe von Fallunterscheidungen 
nötig. 

Wir nehmen erstlich an: Die gange Kugel ist nur von einem Netze 
N bedeckt. Hier ist notwendig ju. = 1 und die Untergruppe G fällt 
mit der Gesamtgruppe F zusammen-, doch sei sogleich betont, dass bei 
|U. = 1 auch mehrere, ja unendlich viele Netze eintreten können, die 
natürlich alle äquivalent sind. Wir werden später Gruppen mit nur einem 
Netz kenneu lernen, bei denen P^ niehrfach zusammenhängend ist, aber 
auch solche mit einfach zusammenhängendem Po*)* ^^^ denselben iverden 
die Grenzpunlde sämtlich isolieii gelegen sein; jedenfalls folgt schon hier, 
dass die Grenzpunldo keine gescJdossene Ciirve bilden dürfen, welche einen 
Flächenteil der Kngel eingrenzt. Es subsumieren sich hier gewisse ele- 
mentare Gruppen, welche je nur zwei Greuzpunkte haben**). Wie wir 
sehen werden, besteht eine solche Gruppe aus lauter Substitutionen, 
welche die beiden Grenzpunkte zu Fixpuukten haben. Hierüber hinaus 
besteht folgender allgemeine Satz: Hat eine beliebige Polygongruppe 
mehr als zwei Grenzpunkte auf der Kugeloberfläche, so hat sie deren 
gleich unendlich viele. Man nehme nämlich an, die Anzahl der Grenz- 
punkte sei etidlich und transformiere dieselben durch die Substitutio- 
nen der Gruppe. Da ein Grenzpunkt stets nur wieder mit einem eben 
solchen äquivalent ist, so bewirkt jede Substitution eine Permutation 
der Grenzpunkte. Man sieht sofort, dass unendlich viele Substitutionen 
dieselbe Permutation der Grenzpunkte bewirken müssen; insbesondere 
werden unendlich viele Substitutionen der Gruppe die sämtlichen Grenz- 



*) Alle diese allgemeinen Angaben werden bei den Einzelentwicklungen im 
dritten Kapitel des folgenden Abschnitts an Beispielen thatsächlich in die Er- 
scheinung treten. Man wolle schon hier zur Erläuterung der abstracten Erörte- 
rungen des Textes die dortigen Figuren und Ausführungen heranholen; es wird 
ja dabei nicht hinderlich sein, dass sich jene Figuren meist auf Gruppen der 
zweiten Art beziehen, welche aus Spiegelungen erzeugbar sind. Eine Gruppe mit 
jLi = 1 und nur einem Netze werden wir z. B. aus einem Kreisbogenviereck mit deu 

TT TT TT TT 

Winkeln -^ , _ , ■, erzeugen; auch die oben bereits erwähnte, zum Polygon der 

Figur 26, pg. 104 gehörige Gruppe gehört hierher. Eine Gruppe mit ft = 1 und 
unendlich vielen Netzen gewinnt man, wenn man im hyperbolischen Räume ein 
reguläres Tetraeder, dessen Kanten etwa Tangenten der absoluten Kugel sind, als 
Diöcontinuitätsbereich einer Gruppe zweiter Art vorlegt und überdies noch die 24 
Substitutionen des regulären Tetraeders in sich hinzufügt. Auch diese Gruppe, auf 
welche sich übrigens die pg. 120 erwähnten Ausführungen von Dyck beziehen, 
findet man unten a. a. 0. ausführlich besprochen. 

**) Die Theorie dieser Gruppen entwickeln wir im ersten Kapitel des folgen- 
den Abschnitts. 



I, 2. Normalbereiche der Gruppen ohne infinitesimale Substitutionen. i;51 

punkte unverändert lassen. Da aber keine Substitution mehr als zwei 
Fixpunkte hat, so ist die Anzahl der Grenzpunkte nicht grösser als zwei. 

§ 10. Fortsetzung: Specielle Betrachtxing der Gruppen mit 

Grenzcurven. 

Man discutiere nunmehr den Fall, dass die ganze Kwjeloherfläche 
bis auf die Grenzpunkte von zwei Polygonnetzen N, N' bedeckt ist. Wir 
gelangen hier zu neuen und interessanten Ergebnissen, welche zumal 
in der Einführung der Grenzcurven gipfeln. Der Rand des einzelnen 
Netzes ist aus einer Mannigfaltigkeit von Grenzpunkten gebildet, gegen 
welche die Polygone des Netzes (im Sinne unserer gewöhnlichen An- 
schauung) unendlich klein werden. Da Grenzpunkte niemals endliche 
Flächenteile füllen, so werden wir zum Begriff der Grenzcurve geführt, 
ivelche eine zusammenhängende Kette unendlich vieler GrenzpunJde dar- 
stellt. Gegenwärtig tritt eine Grenzcurve auf, welche die Kugelober- 
tläche in die beiden von N und N' bedeckten Bereiche teilt; die Zahl fi 
kann sowohl = 1 als = 2 sein, und dementsprechend ist die Gruppe 
G entweder in der Gesamtgruppe eine Untergruppe vom Index '2 oder 
die Gesamtgruppe selbst. 

Die oben betrachteten Gruppen der hyperbolischen Ebene, welche 
auf der absoluten Ellipse uneigentlich discontiuuierlich sind, ordnen 
sich hier als besonders einfache Specialfälle ein. Das Polyeder 77^ 
einer solchen Gruppe ragt in das Kugeläussere mit einer Ecke hinaus, 
deren sämtliche Seiten eben durch jenen gemeinsamen Eckpunkt hin- 
durchlaufen, ein Vorkommnis, welches man übrigens durchaus als par- 
ticulär anzusehen hat. Trifft jedoch dieser fragliche Specialfall zu, so 
wird die Polarebene jener ausserhalb der Kugel gelegenen Ecke auf 
der Kugel einen Kreis ausschneiden, welcher der Hauptkreis wird, 
und welcher die Rolle der Grenzcurve übernimmt. Die beiden durch 
den Hauptkreis abgetrennten Kugelkalotten tragen nun die Netze A 
und N'. Die Gruppe besteht nur aus nicht-loxudroniischen Substitu- 
tionoii, und die sämtlichen Axen dieser Substitutionen laufen durch den 
Pol der Hauptkreisebene, welcher demgemäss als eine ausserhall) der 
Kugel gelegene reguläre Ecke der Polyederteilung zu bezeichnen ist. 
Wir haben damit den allgemeinen Typus einer solchen regulären Ecke 
vor Augen. Indem wir die Modulteilung für die ganze Kugelober- 
tläche, d. h. nicht nur auf der positiven, sondern auch auf der nega- 
tiven Halbkugel entwerfen, haben wir ein hierher gehörendes Beispiel. 
Die eben gemeinten, den Bewegungen der hyperbolischen Kbeiie 
t'iistammenden Gruppen haben nun beständig /t = -. Doch kommen 
daneben auch Gruppen mit u =- 1 vor In tlieseni Falle werden beide 



132 I Allgemeine Theorie der discontinnierlichen Gruppen aus J-Substitutionen. 

Netze mit einander äquivalent, d. h. es giebt in der Gruppe Substitu- 
tionen, welche die beiden durch den Hauptkreis geschiedeneu Halbkugeln 
permutieren. Die Erweiterung der Modulgruppe durch Hinzunahme der 
ganzzahligen Substitutionen von der Determinante ad — ßy = — 1 
liefert hierzu ein Beispiel, wie wir denn allgemein zu den neuen Gruppen 
geführt werden, wenn wir (unter Annahme der reellen ^-Axe als Haupt- 
kreis) neben den reellen i;- Substitutionen positiver Determinanten noch 
ebensolche Substitutionen von negativer Determinante zulassen. Auch 
diese Gruppen stellen offenbar Rotationsgruppen mit Centrum ausser- 
halb der Kugel (also Hauptkreisgruppen) dar, insofern doch der Pol 
der Hauptkreisebene bei Permutation der Halbkugeln an seiner Stelle 
bleibt. Wir gewinnen hiernach erst den vollen lubegriiSF der Hauptkreis- 
gruppen, wenn wir die Gruppen mit fi = l den aus den Bewegungen 
der hyperbolischen Ebene entspringenden Gruppen hinzufügen. Wir be- 
nennen gelegentlich die Hauptkreisgruppen, deren Substitutionen teil- 
weise die beiden durch den Hauptkreis abgetrennten Kalotten permu- 
tieren, als solche vom „zweiten Typus"; jede solche Gruppe enthält 
als Untergruppe des Index zwei eine Hauptkreisgruppe des „ersten 
Typus", bei der die einzelne Kalotte stets nur in sich selbst übergeht. 
Im hyperbolischen Räume werden die Discontinuitätsbereiche beim 
zweiten Typus durch Pyramiden gegeben, welche die Hauptkreisebene 
zur Basis, deren Pol aber zur Spitze haben. Wegen der Beziehung der 
Gruppen vom zweiten Typus zu den durch Operationen zweiter Art 
erweiterten Gruppen der hyperbolischen Ebene sehe man die Dar- 
legungen pg. 141 (unten) und 142. 

Es ist nun, wie wir schon betonten, der Hauptkreisfall hier als 
particulär anzusehen. Man wird im allgemeinen nicht erwarten dürfen, 
dass sich ausserhalb der Kugel ein Punkt nachweisen lässt, durch 
welchen sämtliche an P^ beteiligten Polyederseiten hindurchlaufen, und 
in welchem sich sämtliche Axen der in der Gruppe enthaltenen Sub- 
stitutionen schneiden. Wir können auch sagen, dass der über Pq her- 
vorragende Teil des Normalpolyeders im allgemeinen mehr als eine 
Ecke darbieten wird. Die vorläufige Besprechung der nun eintretenden 
Verhältnisse wollen wir auf folgenden Satz gründen: Liegt der Haupt- 
kreisfall nicht vor, so entlüLlt die Gruppe stets loxodromische Substitutionen. 

Man nehme nämlich an, dass die Gruppe G aller Substitutionen 
des Netzes N in sich, welche im vorliegenden Falle mit der Gesamt- 
gruppe identisch ist oder als Untergruppe des Index 2 in ihr enthalten 
ist, lauter nicht-loxodromische Substitutionen enthält. Wie wir dann 
zeigen können, lassen sich die Substitutionen der Gruppe so schreiben, 
dass sie sämtlich reelle Coefficienten haben. Zu diesem Ende fixiere 



], 2. Normalbereiche der Gruppen ohne infiuitesimale Substitutionen. 13;^, 

man diese Substitutionen unimodular und greife eine hyperbolische V 
heraus*;. Sodann führe mau ^ in der Art ein, dass die Fixpunkte 

von F die Werte ^ = und oo bekommen; mau hat I'^ ("' ), abge- 
kürzt geschrieben, wobei a und d reell und von 1 verschieden sind. 
Ist ü =' ( ' cJ irgend eine andere Substitution der Gruppe, so ist 

nach Voraussetzung die Summe (« -\- d) reell. Da dasselbe für VU 
gilt, so sind a und ö einzeln reell und also folgt weiter, dass auch 
das Product ßy reell ist. Die Variabele ^ ist bisher nur erst bis auf 
einen Factor bestimmt; wir wählen denselben so, dass in irgend 

einer Substitution U= { ' ), in welcher nicht zugleich 8 = und 

y = ist, ß und y reell ausfallen. Ist nun U' = i ,' .) irgend 

eine weitere Substitution der Gruppe, so folgt die Realität von ß' 
und / aus dem Umstände, dass L'U und UV reelle erste Coefficienten 
haben. Es haben sonach alle Substitutionen der Gruppe G reelle Co- 
efficienten, und also ist G sowie auch die vorgelegte Gesamtgruppe 
eine Hauptkreisgruppe; G selbst gehört zum ersten Typus, da alle ihre 
Substitutionsdeterminanten als + 1 fixiert waren. Sobald dieser Fall 
nicht vorliegt, werden sich also loxodromische Substitutionen in der 
Gruppe finden, und zwar offenbar unendlich viele. 

Unter Rückkehr zum allgemeinen Fall markiere man auf der 
Grenzcurve des Netzes N die unendlich vielen loxodromischen Fix- 
punktepaare. Für ein einzelnes Paar fixiere man auf der Kugelolser- 
fläche überdies die unendlich vielen ringförmigen Discoutinuitätsbereiche, 
wie wir sie pg. 66 verabredeten, sowie die doppelsj)iraligen Bahncurven. 
Jeder loxodromische Fixpunkt liegt auf der Grenzcurve, und da letztere 
durch alle Substitutionen der Gruppe in sich transformiert wird, so 
gelangen wir zu der Vorstellung, dass sich die Greiizcttnc um jeden 
ihrer unendlich vielen loxodromischen Fixpimlde unendlich oft spiraliif 
windet. Es sollte diese vorläufige Entwicklung auf die merkwürdige 
Cnmpliciertheit der Grenzcurven hindeuten, welche stets dann eintritt, 

*) Den Zweifel, ob vielleicht Gruppen uqendlich hoher Ordnung nur aus 
elliptischen und parabolischen Substitutionen be.>;tehon könnten, wird man auf 
Grund der folgenden Sätze beseitigen, die nicht schwer beweisbar sind und auch 
sonst mit Vorteil verwendet werden können: Sind T. V elliptische Sub-ititutioueo, 
80 ist U VU~^ \ ~^ elliptisch, parabolisch, hyperbolisch oder loxodromisoh, je 
nachdem sich die Axen von U und V innerhalb, auf, ausoerhalb der Kugel oder 
garnicht schneiden. Sind 17 und F parabolisch, so ist /V M-' hyperbolisch, 
wenn nicht bereits U V loxodromisih wnr. 



13i I- Allgemeine Theorie der discontinuierlichen Gruppeu aus J-Substitntionen. 

wenn nicht der elementare Fall eines Kreises vorliegt. In der That 
sind die Grenzcurven, die nicht Kreise sind, üherhaupt den gewöhnlichen 
Methoden der analytischen Geometrie nicht mehr zugänglich; sie sind durch 
keine analytische, geschweige algebraische Gleichungen zivisclien den Coordi- 
naten |, ■»? darstellbar^). Wir kommen auf die Natur dieser Grenzcurven 
im zweiten Abschnitt (Kap. 3) ausführlich zurück, wollen jedoch schon 
bei der Formulierung der nächstfolgenden Sätze auf die eben ge- 
machten Angaben Bezug nehmen**). 

Es bleibt endlich der Fall zu besprechen, dass die Kugelober fläche 
von mehr als zwei Folygonnetzen hcdecJct ist. Das einzelne Netz kann, 
wie im eben besprqcheneu Falle, einfach zusammenhängend sein; doch 
ist dies keineswegs erforderlich, und wir werden sogleich über den 
Zusammenhang des einzelnen Netzes noch weitere Untersuchungen an- 
stellen. Vorab nehmen wir an, die Kugelteilung weise im ganzen die 
endliche Anzahl von v Netzen auf. Es wird alsdann in der Gesamt- 
gruppe eine Untergruppe G^ von endlichem Index geben, deren ein- 
zelne Substitution jedes der Netze in sich selbst überführt. Da diese 
Untergruppe auch in der zum Netze N gehörenden Gruppe G eine 
Untergruppe von endlichem, Index ist, so wird die Grenzeurve des Netzes 
N von hyi)erbolischen und loxodromischen Fixpunkten der Gruppe Gq 
überall dicht bedeckt sein***). Ist andrerseits Feine beliebige hyperbo- 
lische oder loxodromische Substitution, welche (tq angehört, so liegen die 
beiden Fixpunkte von V notwendig auf dem Rande von JV; denn läge 
einer derselben ausserhalb N, so würde N durch wiederholte Anwen- 
dung von V oder J~^ beliebig nahe an diesen Fixpunkt und also nicht 
in sich transformiert werden. Die Anwendung der gleichen Über- 
legung auf ein zweites Netz N' lehrt, dass die Grenzeurve von N in 
ihrer ganzen Ausdehnung auch N' begrenzen wird. Da beide Netze 
zusammenhängende Bereiche darstellen, so folgt, dass sie auch einfach 
zusammenhängen, und dass sie zusammen die Kugel bereits vollständig 

*) Auf das Auftreten derartiger nicht -analytischer Grenzcurven hat zuerst 
Klein in seinem pg. 105 citierten Briefe an Poincare aufmerksam gemacht. 

**) Man vergl. insbesondere schon jetzt die unten a. a. 0. mitgeteilte an- 
nähernde Zeichnung der Grenzeurve für den Fall, dass das Ausgangspolygon ein 
Viereck mit vier Winkeln null und ohne gemeinsamen Orthogonalkreis ist. 

***) Gegen die Grenzeurve des Netzes N hin werden nämlich die Polygone 
unbegrenzt klein. Dies könnte freilich auch dadurch geschehen, dass die zuge- 
hörigen Substitutionen elliptisch wären, bei deren einzelner die beiden Fixpunkte 
einander unbegrenzt nahe liegen. Doch würde man dann um so mehr in unmittel- 
barer Nähe der elliptischen Fixpunktepaare loxodromische oder hyperbolische 
Fixpunkte nachweisen, welche aus entfernt gelegenen Punkten dieser Art durch 
die fraglichen elliptischen Substitutionen hervorgehen. 



1, 2. Norm albereiche der Gruppen ohne infinitesimale SubBtitutionen. IBo 

bedecken: Enthält der Schnitt der Polyederteilnng einet Gruppe F mit 
der Kitf/eloberfläche mehr als zwei Netze, so enthält er sogleich unendlich 
viele Netze. Diese imeudlich vielen Netze werden sich in (i Classen 
anordnen, /x in der Bedeutung des vori^'en Paragraphen gebraucht. 
Ist /* > 2, so tritt der Fall unendlich vieler Netze immer ein, doch 
kann er auch bei ^ = l und ^ = '2 vorliegen *). 

Es ist nicht ausgeschlossen, dass die Grenzcurven zweier Netze 
aus dem System N, N' , . . ., m"-V der iuUquivalenten Netze ein- 
zelne Punkte gemein haben, und wir werden dies späterhin insbe- 
sondere bei parabolischen Punkten zu beobachten haben. Inzwischen 
veranschauliche man sich den Fall, dass die Netze N, N', . . ., N^"-^) 
durchaus isoliert liegen. Ist dann V eine nicht- elliptische Substitu- 
tion der zu N gehörenden Gruppe G, so entspringen durch wiederholte 
Ausübung von F ausserhalb N, aber hart am Rande in der Nähe eines 
Fixpunktes von V unendlich viele mit iV', N", . . ., N^/' — ^y äquivalente 
Netze. Da die Grenzcurve jedes Netzes überall dicht mit Fixpunkten 
besetzt ist, so folgt: Im Falle unendlich vieler Polygonnetze ist jedes 
einzelne derselben ausserhalb überall dicht von anderen Netzen umlagert, 
ivelche gegen die Grenzcurve des ersteren hin unbegrenzt Mein werden** ]. 

Es ist nun weiter die Frage nach dem Zusammenhang des ein- 
zelnen Netzes zu discutieren. Im Voraufgehenden haben wir die Be- 
nennung „Grenzcurve" immer auf die gesamte Begrenzung des einzelnen 
Netzes bezogen; ist dasselbe mehrfach zusammenhängend, so wollen 
wir den einzelnen geschlossenen Zug der Berandung fortan als eine 
Grenzcurve bezeichnen. Wir werfen daraufhin die Frage auf, ob es 
Polygonnetze mit einer endlichen Anzahl von v Grenzcurven geben kann. 

Es sei V eine hyperbolische oder loxodromische Substitution 
der zum Netze N gehörenden Gruppe (r; und man nehme au, dass 
die beiden Fixpunkte von V auf zwei verschiedenen unter den v Grenz- 
curven gelegen seien, welch' letztere sonach durch endliche Zwischen- 
räume getrennt sind. Es müssten dann einmal diese beiden Grenz- 
curven durch V einzeln in sich transformiert werden. Andrerseits 
würden durch hinreichend häufige Anwendung von V bez. T"' Teile 
der ersten Grenzcurve in unmittelbare Nähe des auf den zweiten ge- 
legenen Fixpunktes transformiert werden und umgekehrt. Wir sehen so. 



*) Auch zur Erläuteruuf? des Falles unendlich vieler Netze kinin uiuii eine 
Figur aus dem Kapitel 11, 3 heranziehen. Wir kommeu diisclbst auf tin«.' uus fünf 
Spiegelungen zu erzeugende Gruppe zu sprechen, fiir welche die iui Texte mit u 
bezeichnete Zahl =3 ist. Die drei Polygone P, , /',', /'„' stellen insbesondere ein 
Dreieck, ein Viereck und ein Fünfeck jeweils mit den Winkeln null dar. 

**) Vergl. hierzu wieder die Zeichnung der eben citierten Gruppe mit ^i -^ ;i, 



136 I Allgemeine Theorie der diecontinuierlichen Gruppen aus J-Substitutionen. 

dass die beiden Fixpunkte einer hyperbolischen oder loxodromischen Sub- 
stitution stets auf einer und derselben Grenzcurve, d. h. auf einem und 
demselben geschlosseneti Zuge der Berandung des Netzes Hegen. 

Indem man nunmehr die Substitution V immer wieder ausübt 
gehen die (t^ — 1) übrigen Grenzcurven immer wieder in neue Grenz- 
curven des Netzes über, welche sich gegen die Fixpunkte von V offen- 
bar in unendlicher Anzahl häufen. Wir finden: Es ist entiveder v^\, 
d. h. das Netz N stellt einen einfach zusammcnhüugenden Bereich dar, 
oder der Grad des Zusammenhanges ist unendlich gross, d. h. das Netz 
besitzt unendlich viele Grenzcurvei}. Im letzteren Falle lassen sich in 
der Nähe jedes Punjites der einzelnen Grenzcurve beliebig viele weitere 
Grenzcurven nachweisen. Man wird nun die Grenzcurven des Netzes 
N in Glossen äquivalenter Curven anordnen, wobei die Classenanzahl 
sowohl endlich wie auch unendlich gross sein kann; doch werden wir 
späterhin die Discussion zumeist auf Netze mit endlicher Classenanzahl 
der Grenzcurven einschränken. Übrigens sei sogleich bemerkt, dass 
in der Kugelteilung der Gesamtgruppen neben Netzen von unendlich 
hohem Zusammenhange sich auch solche von einfachem Zusammenhange 
zeigen können. Alle diese Angaben werden wir bei den Specialbe- 
trachtungen im Kapitel II, 3, auf welches wir schon wiederholt unter 
dem Texte Bezug nahmen, an Beispielen bestätigt finden. 

Was die Gestaltung der einzelnen Grenzcurve anlangt, so gelten 
hier durchaus die in der ersten Hälfte des Paragraphen über diese 
Frage gegebeneu Entwicklungen: die einzelne Grenzcurve stellt ent- 
weder einen Kreis oder eine nicht-analytische Curve von grosser Com- 
pliciertheit dar. Wir könnten demgemäss drei Gattungen von Polygon- 
netzen eines unendlich hohen Zusammenhangs unterscheiden, je nachdem 
dasselbe durch unendlich viele Kreise oder nicht- analytische Curven oder 
endlich teils von Kreisen, teils von nicht -analytischen Curven begrenzt ist. 
Alle drei Möglichkeiten kommen thatsächlich vor; aber natürlich sind 
die Grenzcurven der einzelnen Classe äquivalenter Grenzcurven stets 
gleichartig. 

Es ist hiermit ein erster allgemeiner Überblick über die Verhält- 
nisse gegeben, welche wir bei der Polygon- oder Polyederteilung irgend 
einer Gruppe aus ^-Substitutionen erster Art antreffen können. Indem 
wir die Untersuchung unter Einhaltung der gleichen Allgemeinheit 
noch sogleich nach zwei Richtungen hin ergänzen wollen, wiederholen 
wir hier nochmals, dass in den Specialuntersuchungen des zweiten 
Abschnitts die hier gewonnenen Ergebnisse durch Betrachtung gewisser 
besonderer Gruppen im einzelnen erläutert und weiter ausgebaut wer- 
den sollen. 



I, 2. Normalbereiche der Gruppen ohne infinitesimale Substitutionen. 137 

§11. Die normalen Discontinnitätsbereiche für die aus Substitutionen 
erster und zweiter Art bestehenden Gruppen. 

Ist die bisher besprocliene Gruppe F der Substitutioneu ^o = 1, 
Vi, Fg, ... der Erweiterung auf eine Gruppe der zweiten Art fähig, 
so heisse die letztere F und enthalte neben den Substitutionen erster 
Art von F noch die Substitutionen zweiter Art V^^, V^, K, ••• . Inner- 
halb F ist nun F eine ausgezeichnete Untergruppe vom Index zwei. 
Die bisher entwickelte Theorie der normalen Discontinuitätsbereiche 
überträgt sich hier ohne Schwierigkeit, wie wir für die einzelnen, oben 
unterschiedenen Fälle leicht nachweisen werden. 

Sei zuerst F eine Gruppe der hyperbolischen, elliptischen oder 
parabolischen Ebene, so operieren wir in dieser Ebene und werden die 
Operationen zweiter Art F^, Fj, ... als symmetrische Umformungen 
der projectiven Ebene in sich oder Combinationen aus symmetrischen 
Umformungen und Bewegungen zu deuten haben. Der Deutlichkeit 
halber denken wir die folgenden Überlegungen für den hyperliolischen 
Fall der projectiven Ebene durchgeführt; auf die beiden anderen Fälle 
übertragen sie sich mit Leichtigkeit. 

Im Ellipseninnern der hyperbolischen Ebene wählen wir zunächst 
den Punkt C^ so, dass er weder mit einem elliptischen Fixpunkte von F 
zusammenfällt, noch auch auf der Symmetrieseraden einer etwa in F 
enthaltenen Spiegelung gelegen ist. Durch die Substitutionen F^,, 1^, 
Fj, F, , Fg, . . . von F geht alsdann C^ in lauter äquivalente Punkte Q, 
Cyj, Cj, C^, Cg, ... über, von denen keine zwei coincidieren können. 
Man lasse nunmehr von diesem Punktsystem aus genau in der froher 
wiederholt geschilderten Weise (durch wachsende concentrische Kreise) 
eine reguläre Einteilung des Ellipseninnern bez. der projectiven Ebene 
entstehen. Die Grenzen der einzelnen um Q, r„. C,, ... entstehenden 
Bereiche werden nach wie vor gerade Linien sein, so dass wir von 
einer regtdären Einteilung in gerndlinifie Polygone P^, P„, P^, P, . ... 
sprechen können. In „M." I pg. 304, 336 etc. gewannen wir bei 
Gruppen der zweiten Art stets „regulär- symmetrische" Einteilungen, 
die sich ersichtlich hier einordnen. Diese Bezeichnungsweise ist in- 
dessen nur anwendbar, falls thatsächlich Symmetrielinien auftreten, 
und also Spiegelungen in F enthalten sind. Es lassen sich aber, wie 
wir bei Fortfuhrung unserer Untersuchungen noch leicht bemerken 
werdnn, beliebig viele Gruppen zweiter Art aus i;- Substitutionen nach- 
weisen, unter denen Spiegelungen nicht vorkommen. Um demnach 
eine allgemein gültige ßezeichnungsweise zu haben, nennen wir die 
gewonnene' Einteilung P^, P^, P,, •• eine reguläre Kinteilung der 



138 I. Allgemeine Theorie der discontinuierlichen Gruppen aus J-Substitutionen. 

zweiten Art und bezeichnen entsprechend ckn Discontimiitätshereich P^ 
von r als ein Normalpolygon der zweiten Art. 

Die erste Frage wird nun stets die sein, ob F Spiegelungen ent- 
hält oder nicht, und ob daraufhin die reguläre Einteilung den Charakter 
der Symmetrie darbieten wird oder nicht. Im ersteren Falle ordnen 
wir die gesaraten Spiegelungen von F in Classen an und übertragen 
diese Anordnung auf die zugehörigen Symmetriegeraden. Es gilt als- 
dann der leicht erweisliche Satz: Das Normalpohjgon zweiter Art I\ 
zieht sich wenigstens an eine, vielleicht auch an mehrere Symmetriegeraden 
ans der einzelnen Classe heran, ohne dass im lefzteren Falle Cq particidär 
getvählt wäre. Die, einzelne Symmetriegerade liefert dabei entweder 
mit einem ganz im Ellipseninneren gelegenen Stücke oder auch bis an 
die Ellipse heran oder über dieselbe hinaus eine Seite des Polygons P^. 
Man bemerkt» noch, dass die einzelne Symmetriegerade offenbar längs 
ihres ganzen Verlaufs im Ellipseninnern aus Polygonseiten zusammen- 
gesetzt sein muss. 

Bei der Zusammenordnuug der Seiten des Polygons Po bleiben 
im wesentlichen die Überlegungen von pg. 111 ff. in Kraft. Neu gegen 
früher ist, dass solche Polygonsciten , welche von Symmetriegeraden geliefert 
werden, hei der Zuordnung der Seiten ersichtlich offen bleiben, iud^m jeder 
Punkt einer derartigen Seite sich selbst zugeordnet ist. Die übrigen 
Seiten sind einander zu Paaren durch Substitutionen von F zugeordnet. 
Folgende Festsetzung erscheint hier zweckmässig: Wir unterscheiden 
die Seiten von Pq in solche der ersten und solche der ztveiten Art, je nach- 
dem sie in die zugeordneten Seiten durch Siüjstitutionen erster oder zweiter 
Art übergeführt werden. Durch Spiegelungen sich selbst zugeordnet»' 
Seiten gehören natürlich zur zweiten Art. Die Seiten der zweiten Art 
dürfen jedenfalls nicht gänzlich fehlen. 

Voreinen wir nunmehr Pq mit einem solchen benachbarten Poly- 
gon Pq, welches mit P^ eine Seite zweiter Art gemein hat, so ent- 
springt im Doppelpolygon ein Discontinuitätsbereich der Gruppe F. 
Dies Doppelpolygon ist im allgemeinen durchaus kein Normal- 
polygon im Sinne von pg. 109. Wenn wir jedoch Cq unendlich 
nahe an eine Symmetriegerade heranrücken lassen, so kommen die 
Punkte Cy, C„, C*!, C'i, . . . zu Paaren einander unendlich nahe. Lassen 
wir sie vollends zusammenfallen, so nimmt das Doppelpolygon offen- 
bar die Gestalt eines durch eine Gerade symmetrisch gehälfteten Nor- 
malpolygons erster Art an. Allgemein gilt hierbei der Satz: JEine Seite 
des Doppclpolygons ist durch eine Substitution von F stetes auf ein/" Seite 
des gleichen oder des anderen Elementarpolygons bezogen, je nachdem si( 
als Seite des Elementarpolygons von der ersten oder ztveiten Art war. 



I, 2. Normalbereiche der TJ nippen ohne infinitesimale Subatitutionen. 139 

Einige weitere Sätze über die Beziehung der Symmetriegeradeii zu den 
elliptischen Fixpunkten, die wir später gelegentlich brauchen, werden 
leicht an Ort und Stelle nachgetragen werden. 

Sei jetzt eine beliebige Gruppe F aus g- Substitutionen gegeben, 
welche sich durch Zusatz von Vq, Fj, . . . zur Gruppe zweiter Art F 
ausgestalten lässt, so werden wir unseren Betrachtungen den hyper- 
bolischen Raum zu Grunde legen. Die voraufgehenden Entwicklungen 
übertragen sich hier fast unmittelbar. Von einem System äquivalenter 
Punkte Co, Cq, Ci, C^, Co, ... aus lassen wir die reguläre Einteilung 
zweiter Art des hyiierbolisclien Baumes in Kormoljjoh/eder zweiter Art 
Hq, IIq, . . . entstehen. Das einzelne Polyeder ist ebenflächig und zieht 
sich, sofern Spiegelungen und damit Symmetrieebenen vorkommen, an 
wenigstens je eine Symmetrieebene aus der einzelnen Classe heran. 
Die einzelne Symmetrieebeue ist jedenfalls in ihrem ganzen im Kugel- 
innern verlaufenden Teile aus lauter Polyederseiten zusammengesetzt. 
Insbesondere kann es auch eintreten, dass eine Symmetrieebene nur 
eine einzige Polyederseite liefert, wofür wir bereits oben (pg. 104) ein 
Beispiel kennen lernten. 

Die Seiten des Elementarpolyeders werden vnr in Seiten der eisten 
und solche der zweiten Art einteilen, je nachdem sie in die zugeord- 
neten Seiten durch Substitutionen erster oder zweiter Art von F über- 
geführt werden. Ist die gemeinsame Seite von ^^^ und //^ eine Seite 
zweiter Art, so können wir diese beiden Elementarpolyeder zu einem 
Dojypelpolyeder vereinen, welches einen Discontinuitätsbereich für die 
Gruppe erster Art F abgiebt. Kommen Spiegelungen vor, so können 
wir durch zweckmässige Auswahl von Cq das Doppelpolyeder so ge- 
stalten, dass es ein Normalpolyeder erster Art im früheren Sinne aus- 
macht. Die gesamte Polyederteilung ist dann eine rcgulär-synimetriscfic, 
wie sie z. B. bei der Picard'schen Gruppe vorliegt. 

Eine ergänzende Bemerkung erfordert noch der Fall, dass die 
Gruppe F bereits auf der absoluten Kugel des hyperl)olischen Raumes 
eigentlich discontinuierlich ist. Wir hatten für diesen Fall im vorauf- 
gehenden Paragraphen (pg. 129) gewisse ^ Untergruppen G, G\ .... 
G^C'< — 1) von F ausgesondert, welche jeweils die gesamten Substitutionen 
des einzelnen Netzes N, N', . . ., N^"'"^^ in sich enthielten. Mau wird 
vom Elementarpolyeder aus auch bei unseren Gruppen zweiter Art 
genau in derselben Art zu einem System inäquivalonter Polygonnetze 
gelangen können und findet jedem Netze eine (iruppr von Sul)stitutit)nen 
desselben in sich zugeordnet. Es ist aber keineswegs nötig, dass die 
wieder bei den einzelnen Netzen hier eintretenden Gruppen sämtlich 
von der zweiten Art sind; es kann sogar der Fall vorkommen, dass 



140 ^ Allgemeine Theorie der discontinuierlichen Gruppen aus ^[-Substitutionen. 

sie alle der ersten Art angehören. Bleibt aber ein Netz beim Fort- 
gang von F zu F intact, d. h. bleibt es ein Netz der ersten Art, so 
wird es offenbar bezüglich F mit einem der (p — 1) übrigen (bezüglich 
r inäquivalenten) Netze äquivalent. Wir können demgemäss den Satz 
aufstellen: Gehen v unter den /li hezüglich F inäquivalenten Netzen hei 

tjhergang zu F in reguläre Netze zweiter Art über, so ist ^ "T " die 
Gesamtzahl der hezüglich F inäqnivalenten Netze. — 

Hiermit möge die allgemeine Besprechung der normalen Disconti- 
nuitätsbereiche in der projectiven Ebene und im projectiven Räume 
einstweilen abgeschlossen sein. 

§ 12. Übertragung der normalen Discontinnitätsbereiche auf die 
^- Ebene und in den ^-Raum. Historisches. 

Unsere späteren functionentheoretischen Untersuchungen knüpfen 
zumeist an den Gebrauch der ^- Ebene und des von ihr durchzogenen 
^-Raumes an, und es wird demnach wünschenswert sein, dass die über 
die Gestalt der Discontinuitätsbereiche in der projectiven Ebene bez. 
im projectiven Räume gewonnenen Ergebnisse auf die ^- Ebene oder 
den ^-Raum übertragen werden. Hier könnten wir uns nun kürz dar- 
auf berufen, dass unsere obigen Untersuchungen über Polyederteilung 
des hyperbolischen Raumes für jede ^-Gruppe ohne infinitesimale Sub- 
stitutionen gültig sind, und dass die ausführlich gegebenen Erörte- 
rungen über den Schnitt dieser Polyederteilung mit der absoluten 
Kugel, d. h. mit der ^- Kugel, die hier gewünschte Ergänzung unserer 
bisherigen Betrachtungen bereits giebt; denn man wird ja die stereo- 
graphische Projectiou der ^- Kugel auf die ^- Ebene, sofern man sie 
überhaupt ausführen will, nicht mehr als einen wesentlichen Schritt 
ansehen. Doch müssen wir hier noch einige erläuternde Bemerkungen 
nachtragen, wobei wir mit den Gruppen der hyperbolischen Ebene 
beginnen. 

Nach den Entwicklungen der Einleitung entspricht einem Punkte 
im Ellipseninnern der hyperbolischen Ebene jedesmal ein zur reellen 
^-Axe symmetrisch gelegenes Punktepaar der ^- Ebene; die Punkte 
dieses Paares fallen insbesondere auf der reellen ^-Axe zusammen, 
wenn der Punkt der hyperbolischen Ebene auf die Ellipse selbst rückt. 
Dagegen liefert der einzelne Punkt im Ellipsenäusseren ein Punktepaar 
der reellen ^-Axe: das Ellipsenäussere der projectiven Ebene überträgt 
sich also nicht auf ein endlich ausgedehntes Flächenstück der ^-Ebeue. 
Wir entnehmen hieraus: Der im Ellipseninnern gelegene Teil des Nor- 
malpolygons Fq übertrügt sich in die t,- Ebene und zwar in zwei hezüglich 



I, 2. Norroalbereiche der Gruppen ohne intinitegimale Substitutionen. 14] 

der reellen Axe symmetrisch ycltytnt l'ohjyune F^ und F^; etwaige atuiser- 
halb der Ellipse liegende Teile des Normalpolygom gehen als Flüchen^tücke 
in der l-Ebene verloren. Dieser Satz gilt ohue Änderuug auch für die 
Polygone zweiter Art. 

Indem wir jetzt in der ^ Ebene die Benennung „Normalpolygon" 
beibehalten, gilt der Satz, dass das der einzelnen Halbehene angehörende 
Normalpohjgon F^ oder F^, soweit es nicht von Stücken der reellen ^-Äxe 
berandet ist, gegen diese Axe orthogonal gerichtete Kreisbogen zu Fand- 
ciirven hat. Im übrigen gewinnen die hier vorliegenden Verhältnisse 
einen durchaus verschiedenen Charakter, je nachdem die Gruppe auf 
der reellen ^Axe eigentlich oder uneigentlich discoutinuierlich ist. 

Im letzteren Falle verlaufen die beiden Kreisbogenpolygone F^ und 
Po' durchaus getrennt; denn selbst wenn sie sich mit parabolischen 
Spitzen an die reelle Axe heranziehen sollten, wollen wir ja die para- 
bolischen Fixpunkte selber den Polygonen nicht mehr zurechnen, so 
dass Pq und P^' an einer solchen Stelle nicht zusammenhängen werden. 
Das einzelne Normalpolygon P^ oder P,,' ist ein Discontinuitätsbereich 
für seine Halbebene, und man merke an, dass dieser Bereich einfach 
zusammenhängend ist. 

Im Falle der eigentlicJien Discontinuität auf der reellen Axe ist das 
einzelne Polygon durch ein oder mehrere Stücke der reellen Axe begrenzt; 
Fq und Fq zusammen bilden einen ein- oder mehrfach zusammenhängen- 
den Discontinuitätsbereich der Gruppe für die ganze J:-Ebene. Wenn 
man will, kann man im letzteren Falle P^ allein als ein Folygon sueiter 
Art ansehen, wobei die P^ begrenzenden Stücke der reellen Axe Seiten 
zweiter Art im Sinne des vorigen Paragraphen sind. Dann würde man 
also r durch Hinzuuahme der Spiegelung an der reellen Axe erwei- 
tern. Auch falls wir schon von einem Polygon zweiter Art Fq aus- 
gingen, veranlasst die Durchführung der letzteren Auffassung keinerlei 
Schwierigkeit. 

Umgekehrt kann man Gruppen zweiter Art der hyperbolischen 
Ebene in Hauptkreisgruppen vom „zweiten Typus" (nach pg. 132) um- 
setzen. Nach den Entwicklungen der Einleitung können wir nämlich das 
Ellipseninnere der hyperbolischen Ebene doppelseitig auffassen (wobei 
die beiden Seiten längs der Ellipse zusammenhängen). Die Operationen 
zweiter Art kann man dann so einführen, dass bei ihnen ein Austausch 
der beiden Seiten stattfindet. Dies wird beim Fortgang zur !;- Ebene 
hervortreten, insofern sich nun die beiden Seiten des Ellipseninnern in 
die beiden Halbebenen übertragen. Analytisch entspricht unserer Ver- 
abredung, dass wir die in der zuuäciist vorgelegten Gruppe F ent- 
haltenen Substitutionen zweiter Art J',,, ]\, r_., ... einzeln mit der 



142 I- Allgemeine Theorie der discontinuierlichen Gruppen aus ^Substitutionen. 

Spiegelung an der reellen ^-Axe combinieren und so Substitutionen 
erster Art V^', V^', V.^', . . . herstellen, welche mit den bereits in F ent- 
haltenen Substitutionen erster Art eine zu JT genau isomorphe Gruppe 
erster Art F' bilden werden. Will man dies im einzelnen nachweisen, 
so hat man sich nur auf den Umstand zu berufen, dass jede Substi- 
tution von F durch die Spiegelung an der reellen 2;-Axe in sich selbst 
transformiert wird. In F' haben wir nun eine Hauptkreisgruppe ge- 
wonnen, von deren Substitutionen folgendes gilt: die in F' entlialfene)! 
Substitutionen Vq, F/, . . . permutieren die beiden Halbebenen, während die 
Substitutionen Vq=1,Vi, .. . der in F' etithaltenetz ursprünglichen Gruppe F 
die einzelne Halbebene in sich überführen. Der zweite Typus liegt somit 
wirklich vor. Der Discontinuitätsbereich von F liefert in der einzelnen 
(etwa der positiven) Halbebene einen Discontinuitätsbereich für F' in 
der ganzen g- Ebene. Man bemerke noch, dass wir auf dem gekenn- 
zeichneten Wege zu jeder Hauptlcreisgruppe F' des zweiten Typus gelangen 
können; denn jede solche Gruppe liefert durch Umkehrung des obigen 
Processes eine Gruppe zweiter Art F. Übrigens würde der Zusatz der 
Spiegelung an der reellen Axe zu F oder auch zu F' eine Gruppe 
zweiter Art F' erzeugen, in welcher jene beiden Gruppen Untergruppen 
des Index zwei, JT aber eine Untergruppe des Index vier sein würde. 
Man wird sich diese allgemeinen Entwicklungen am Falle der Modul- 
gruppe ohne Mühe klar machen können. — 

Es sei nun erlaubt, ein paar historische Bemerkungen einzu- 
schalten. Eine ausführliche Theorie der Discontinuitätsbereiche für 
Hauptkreisgruppen ist auf gruppeutheoretischer Grundlage von Poin- 
care in seiner Arbeit „Theorie des groupes fuchsiens''*) entwickelt wor- 
den. Aber es muss sogleich betont werden, dass die 1. c. pg. 19 ein- 
geführte Benennung „polygone normal'^ sich nicht mit der von uns 
gebrauchten Sprechweise deckt. Poincare knüpft an den allgemeinen 
Begrilf eines Discontinuitätsbereiches an und macht ausgedehnten Ge- 
brauch von dem Mittel der „erlaubten Abänderung", wie wir das- 
selbe in „M." I pg. 280 erklärten; dies ist deshalb statthaft, weil 
Poincare einzig von Gruppen der ersten Art handelt. Die Folge aber 
ist, dass die von Poincare entwickelten Vorstellungen über die Gestalt 
der Discontinuitätsbereiche noch ziemlich lose gefügt erscheinen, wo- 
gegen die hier auf Grundlage der Anschauungen des § 4 entwickelte 
Theorie eben in diesen Anschauungen einen inneren Organismus ge- 
wonnen hat. Die oben gewonnenen Ergebnisse, wie z. B. dass die 
Randcurven stets als gegen die reelle Axe orthogonale Kreisbogen an- 

*) Acta mathematica Bd. I pg. 1 (1882), 



I, 2. Normalbereiche der Gruppen ohne infinitesimale Substitutionen. 143 

genommen werden können, kommen demnach bei Poincare a posteriori 
als Resultat erlaubter Abänderung heraus, während sie oben durch 
Deduction aus dem an die Spitze gestellten Begriffe des Normalpoly- 
gons folgten. Unsere Normalpolygone ordnen sich natürlich In letzterer 
Hinsieht denjenigen Poincare's ein; aber sie haben vor den letzteren 
eine Menge weiterer Eigenschaften voraus, welche in der Folge sehr 
wichtig werden. 

Eine beiläufige Folge dieser Sachlage war, dass die Stellung der 
hyperbolischen Fixpunkte anfänglich nicht genau erkannt wurde. In 
der That ist Poincare bei seinen ersten functionentheoretischen An- 
wendungen*), indem er seine Polygone mit hyperbolischeji Spitzen 
versah, zu irrtümlichen Ergebnissen gelangt, die er späterhin zurück- 
zog**); in den parallel gehenden Untersuchungen Klein 's***) wurde 
die in Rede stehende Schwierigkeit unberührt gelassen. Späterhin hat 
Klein in einem besonderen Aufsatze „Über den Begi'iff des functionen- 
theoretischen Fundamentalbereichs" -j) die Sachlage klargestellt. Wir 
gehen hier unter Vorbehalt der späteren functionentheoretischen Be- 
sprechung insoweit darauf ein, als es für unsere gegenwärtigen grup- 
pentheoretisch-geometrischen Untersuchungen in Betracht kommt. 

Nach oben gefundenen Sätzen kann kein Normalpolygou in der 
^-Ebene eine hyperbolische Ecke aufweisen. Dies ist aber durchaus 
nur eine Folge aus dem oben aufgestellten Begriff des Normalpolygons; 
denn durch erlaubte Abänderung können wir, sogar ohne die kreis- 
förmigen Randcurven aufzugeben, sofort zu Polygonen mit hyper- 
bolischen Ecken gelangen. Wir behaupten nun, dass es sich hierbei 
nur um scheinbare Ecken handelt; in Wirklichkeit setzt sich der Discon- 
tinuitätsbereich über dieselben hinaus fort. 

Der Fall einer cyclischen Gruppe aus hyperbolischen Substitutionen 
ist hier schon hinreichend bezeichnend. In Fig. 34 ist (pg. 144) die ge- 
wohnte Gestalt des ringförmigen Discontinuitätsbereichs für diesen Fall 
angegeben; der eine begrenzende Kreis ist beliebig angenommen, nur so, 
dass er die beiden Fixpunkte trennt; der andere geht aus ihru durch Aus- 
übung der erzeugenden Substitution hervor. Legen wir nun den ersten 
dieser beiden Kreise durch den einen Fix{)unlvt der Substitution, so 
wird auch der andere durch diesen Punkt ziehen, und wir würden nach 



*) Cf. Comptes rendus, Bd. O.S p«:. 582 (1881' uiul Muthoni Anuiiloii \U\. l'J 
pg. 6Ö8 u. f. (1881). 

**) Cf. Acta mathem. iJd. 4 pg. 2.S6 tt". (1884). 
***) Im 21"«'» Baude der Anualeu (,1882). 
t) MaUi. Annalen Bd. 40 pg. 130 (1891). 



144 I. Allgemeine Theorie der discontinuierlicheu Gruppen au^ ^-Substitutionen. 

Analogie von Figur 34 zunächst den in Figur 35 angedeuteten Dis- 
continuitätsbereich gewinnen, welcher im Fixpunkte eine hyperbolische 
Ecke aufweist 






Fig 3t. Fi«. 35. 

Versuchen wir jedoch nunmehr den Bereich der Figur 34 durch 
erlaubte Abänderung in die in Figur 35 angegebene Gestalt zu über- 
führen, so zeigt sich, dass die letztere Gestalt überhaupt noch gar 
keinen vollständigen Ersatz des erstereu Bereiches darbietet. Vielmehr 
müssen wir, wie Figur 36 des näheren angiebt, um einen solchen Er- 
satz zu haben, zwei Bereiche mit vier 
hyperbolischen Spitzen zusammenfügen 
und diese Spitzen zu Paaren derart ver- 
binden, dass ein zusammenhängender 
Bereich entspringt. Dieser letztere Be- 
reich würde nun für spätere Anwen- 
dungen durchaus nnzwechmüssig gewählt 

sein. Die oben entworfene Theorie der 
Fig. sc. 

normalen Polygone und Polyeder zeigt, 
dass man das Auftreten derartiger Figuren von vornherein meiden 
kann. 

Analoge Bemerkungen kann man an die loxodromischen Fixpunkte 
anschliessen; nur würden dieselben insofern noch complicierter aus- 
fallen, als sich loxodromische Zipfel des Polygons spiralig um den 
Fixpuukt herumwinden würden. Auf Grund der Theorie der Normal- 
polyeder werden wir auch derartige Polygonzipfel stets vermeiden dürfen. 

Es würde übrig bleiben, der Übertragung unserer Untersuchungen 
auf den ^-Raum noch mit einigen Worten zu gedenken. Die Polygon- 
teilungen, welche auf der absoluten Kugel, d. i. der ^- Kugel, im Falle 
eigentlicher Discontinuität daselbst, entspringen, übertragen sich bei 
diesem Übergange durch stereographische Projection auf die ^-Ebeue. 
Die Polyederteilung des Kugelinnern überträgt sich dabei in eine re- 
guläre Einteilung des positiven sowie des negativen t,- Ualhraumes in 



I. 2. Normalbereiche der Grnppen ohne infiniteeimale Sabstitationen. 14;') 

Kugdschalenpolyeder ; die eventuell über die Kitgel hinausragenden Teile 
der Polyeder gehen beim Übergang zum t,-Jiaum verlori-n. Die Ein- 
teilung jedes der beiden Halbräume ist ein eindeutiges Abbild der 
Polyederteilung des hyperbolischen Kugelinnern. 

Liegt uneigentliche Discontinuitiit in der ^-Ebene vor, so verlaufen 
die Polyeder des einen Halbraumes getrennt von denen des anderen 
Halbraumes; dieser Fall liegt z. B. bei der Picard'sclien Gruppe vor. Ist 
die Gruppe in der ^- Ebene eigentlich discontinuierlich, so hängt das 
Polyeder 77^ mit seinem Spiegelbild 77^' bezüglich der g- Ebene in einem 
oder mehreren Polygonen zusammen. Die Polyeder bilden dann, ob- 
wohl einzeln stets einfach zusammenhängend, vereint einen ein- oder 
mehrfach zusammenhängenden Raum. — 



Die Untersuchungen des hiermit abzuschliessendcn Kapitels haben 
uns zu einer ersten allgemeinen Anschauung über die Gestalt der Dis- 
continuitätsbereiche hingeführt. Wir werden die gewonnenen Ergeb- 
nisse durch Betrachtung besonders zugänglicher Beispiele erläutern 
und ergänzen wollen. Es soll dies, wie schon wiederholt angedeutet 
wurde, ein Hauptgegenstand der Untersuchungen des zweiten Abschnittes 
sein. Vorab aber ist die allgemeine Theorie der ^-Gruppen nach 
verschiedenen anderen Richtungen hin weiterzubilden. 



F ricke- K lein, Autuiiiurpbe Kuiiotionun I l(t 



Drittes Kapitel. 

Weitere Ansätze zur ge o in etri sehen Tlieorie der eigentlich 
, discontiuuierlicheu (Gruppen. 

Auf Grundlage der Ergebnisse des vorigen Kapitels soll die all- 
gemeine Theorie unserer Gruppen jetzt nach verschiedenen Richtung^'u 
hin weiter ausgebaut werden. Doch bleibt die Betrachtung alsbald 
einzig auf die Polygongruppen eingeschränkt, da wir allein diese letz- 
teren in der Theorie der automorphen Functionen einer Variabelen zu 
verwenden haben. Es tritt jetzt vor allem die Frage nach der Existenz 
der Gruppen auf, welche wir demgemäss zuerst behandeln. Des wei- 
teren wollen wir uns durch eine sachgemässe Classification einen syste- 
matischen Überblick über die gesamten Typen der ^[-Gruppen ohne 
infinitesimale Substitutionen schaflFeu. Wir werden sodann genau wie 
in „M." I pg. 328 die Polygone der Gruppen zu geschlossenen Flächen 
ausgestalten. Diese Maassnahme wird für die späteren fuuctionen- 
theoretischen Untersuchungen principielle Bedeutung gewinnen; doch 
wird sie auch schon im vorliegenden Kapitel zu sehr wichtigen Er- 
gänzungen der allgemeinen Theorie der Polygongruppen hinführen. 

§ 1. Von der erlaubten Abänderung der Dlscontinuitätsbereiche, 
insbesondere bei Gruppen mit Hauptkreis. 

Die nachfolgenden Untersuchungen beziehen wir, sofern nichts 
anderes bemerkt ist, auf Gruppen der ersten Art. Die Ausdehnung 
auf die Gruppen der zweiten Art würde zwar zumeist keine Scliwiorig- 
keit haben, soll jedoch stets nur dan?i vollzogen werden, wenn die 
Hereinnahme der Gruppen zweiter Art zu wesentlich neuen Gesichts- 
punkten hinführt. 

Ein ebener oder räumlicher Discontinuitätsbereich erster Art ist 
nun, wie häufig bemerkt wurde, noch im hohen Grade unbestimmt. 
Die Art dieser Unbestimmtheit lässt sich vollständig durch den in 
„M." T pg. 31 ;5 detiiiierteu Bt-^ritf der „erlaubten Abänderung" charak- 



I, 3. Ausätze zur Definition und Erzeugung der Gnippen 147 

terisieren. Letztere Operation besteht darin, dass ein am Kunde oder 
au der Oberfläche des Discontinuitätsbereiches gelegenes Stück des- 
selben von endlicher Flächen- be/. Kaumausdelinuug abgetrennt und 
vermöge der Zuordnung der Raud-curveu bez. -flächen an einer zuge- 
ordneten Stelle, welche nicht mit abgetrennt sein darf, durch ein 
äquivalentes Stück ersetzt wird. Auch die wiederholte Anwendung 
dieser Operation auf einen Discontinuitätsbereich werden wir als er- 
laubte Abänderung desselben bezeichnen; doch ist es zweckmässig, nur 
eine endliche Anzahl von Abtrennungen und Anfügungen der gedachten 
Art als erlaubt anzusehen. Eine hyperbolische Ecke kann, wie man 
sich an den pg. 144 betrachteten Figuren (nämlich durch schrittweisen 
Übergang von der Figur 34 zu Figur 36) deutlich machen wolle, nur 
durch unendlich oft wiederholte Abtrennungen und Anfügungen her- 
gestellt werden, sofern diese Ecke nicht schon anfangs bestand; analoges 
gilt für die räumlichen Discontinuitätsbereiche in Bezug auf die hyper- 
bolischen und loxodromischen Fixpunkte auf der Kugel. Wir merken 
sonach den Satz an, dass ein Discontimiitätshereich durch erlaubte Ab- 
änderung niemals an einen auf der Ellipse oder auf der absoluten Kugel 
gelegenen hyperbolischen oder loxodromischen Fixpunld unmittelbar heran- 
gebracht iverden kann, wenn er nicht schon anfangs an denselben heran- 
reichte. 

Wenden wir insbesondere auf die normalen Bereiche des vorigen 
Kapitels die erlaubte Abänderung an, so werden wir die Erhaltung 
der geradlinigen bez. ebenflächigen Begrenzung nicht fordern. Aber 
es ist doch zumeist zweckmässig, in Anbetracht der neuen Begrenzung 
nicht jeder möglichen Willkür die Thür zu öff'nen. So könnte man 
z. B. fordern, dass die neue Begrenzung aus lauter Stücken analytischer 
Curven bez. Flächen besteht; und es werden sogar bei den späteren 
Einzeluntersuchungeu fast ausnahmslos wieder Gerade und Ebenen sein, 
durch welche wir die Bereiche auch nach der Abänderung eingegrenzt 
linden. 

Wir gehen nun speciell auf die Hauptkreisgruppen ein und werden 
dabei die Betrachtung auch in dem Falle auf das Ellipseuinnere Cunter 
Einschluss der Ellipse selbst) beschränken, dass eigentliche Discouti- 
uuität auf der Ellipse vorliegt*;. Es ist die Frage, inwieweit die oben 



*) Wir beschränken uns übrigens auf die Gruppen, deren Substitutionen ji'de 
durch den Hauptkreis auf der f- Kugel abgetrennte Kalotte einzeln in sich trans- 
formieren. Gruppen, bei denen aucb Vertausclningen beider Kalotten vorkommen, 
ebenso Gruppen der zweiten Art beanspruchen bei den augenblicklich vorliegenden 
Fragen kein selbständiges Interesse, da bei ihnen jedesmal eine Gruppe von der 
im Texte gemeinten Art als Untergruppe vom Iudex zwei vorliegt. 

10» 



148 I- Allgemeine Theorie der discontinuierlichen Gruppen aus ^[-Substitutionen. 

gefundenen Eigenschaften der normalen Discontinuitätsbereiche gegen- 
über erlaubter Abänderung den Charakter der Invarianz besitzen, und 
welches daraufhin die wesentlichen Eigenschaften eines Discontinuitäts- 
bereiehes sind, den man durch beliebige erlaubte Abänderung vom 
Normalpolygon aus zu erzielen vermag. Wir nennen den veränderten 
Discontinuitätsbereich sogleich wieder Pq und haben dann die nach- 
folgenden Sätze, welche um so wichtiger sind, als wir durch Um- 
kehrung derselben bald zu Ergebnissen betreffs der Existenz unserer 
Gruppen gelangen. 

I. Der Bereich Pq ist ein einfach zusammenhängendes, dem Ellipsen- 
innern angehöreiides Polygon. 

II. Die Randcurven des Polygons Pq sind, soweit sie nicht durch 
Stücke der Ellipse seihst gebildet werden, zu Paaren auf einander hegogen, 
und gehen in dieser Zuordnung durch Substitutionen der Gruppe ohne 
Rest und Ubeischuss in einander über. 

III. Die Polygoneclicn innerhalb der Ellipse gehören zu geschlossenen 
Cyclen zusammen, und es ist für den eirtzelnen Cyclus die Winhelsumnu 
gleich 2% {zufällige Ecken') oder gleich einem aliquoten Teile von 2n {ellip- 
tische Ecken). 

IV. Ecken auf der Ellipse bildest cid weder geschlossene Cyclen {para 
bolische Ecken); oder sie liefern als zufällige Ecken offene Cyclen, wobei 
die Winkelsumme, im elementaren Sinne gemessen, gleich tc ist. 

Einige Erläuterungen zu diesen Sätzen werden zuvörderst am 
Platze sein. Wenn von einer Randcurve des Polygons die Rede ist. 
so denken wir dieselbe durch zwei auf einander folgende Ecken be- 
grenzt, so dass die Randcurve zwar selber durchaus stetig gekrümmt 
erscheint, während in ihren Endpunkten die Beranduug des Polygons 
eine convexe oder concave Einknickung erfährt. Doch wird man in 
zwei Fällen eine Ausnahme dieser Regel eintreten lassen, indem mau 
nämlich eine uneigentliche Ecke, d. i. eine solche 
vom Winkel n, unter Umständen doch als eine 
Ecke gelten lassen muss. Dies wird erstlicli 
erforderlich sein, falls die Ecke Fixpunkt einer 
elliptischen Substitution der Periode zwei ist. Des 
weiteren kann der in Figur 37 skizzierte Fall 
einer zufalligen Ecke des Polygons Pq vom Winkel 
n eintreten. Hier haben die mit P^ äquivalenten 
Polygone Pj und P^ beide in E eine Ecke. Wür- 
den wir nun E nicht auch als Eckpunkt des Poly- 
gons Pq ansehen, so würde ersichtlich der unter II. formulierte Satz 
seine Allgemeingültigkeit verlieren. 





I, 3. Ansätze zur Definition und Erzeugung der Gruppen. 149 

Unter den Cyclen zufälliger Folygonecken können jetzt auch solche 
auftreten, die nur aus zwei Ecken bestehen. Doch ist dann, wie man 
aus Figur 38 abliest, stets eine der beiden Ecken eine 
convexe. Das Auftreten offener Cyclen für Ecken auf 
der Ellipse erkennt man als eine einfache Folge des 
ümstandes, dass wir die etwa über die Ellipse hin- 
ausragenden Teile des Discontinuitätsbereiches ver- 
nachlässigen wollten. 

Die Angaben der Sätze I etc. wird man grössten- 
teils ohne weiteres als zutreffend erkennen; nur der '' 
Umstand, dass Pq beständig einfach zusammenhängend fil.'. 3». 
bleibt, erfordert einige Überlegung. Wir nehmen an, 
das durch beliebige erlaubte Abänderung gewonnene Polygon P,, sei 
noch einfach zusammenhängend, und erzeugen von P^ aus die zuge- 
hörige reguläre Einteilung des Ellipseninnern. Um erneut eine erlaubte 
Abänderung vorzunehmen, zerlegen wir Pq durch einen zwei Rand- 
punkte verbindenden Querschnitt in die beiden einfach zusammen- 
häugenden Bereiche Q^ und Pq und vollziehen die entsprechende Zer- 
schneidung bei allen äquivalenten Polygouen. Nach der anfänglichen 
Definition der erlaubten Abänderung ist Q^ neben P^ wenigstens noch 
mit einem weiteren Bereiche P benachbart, etwa mit dem zu P^ ge- 
hörenden Stücke Pj. Man wolle dann Q^ und P, zum neuen Polygon Pq 
vereinen und verfahre in den äquivalenten Bereichen gerade so. Sollte 
nun P^' mehrfach zusammenhängend sein, so müssen die gemeinsamen 
Seiten von Q^ und Pj und also von Pq und P^ aus mehreren getrennten 
Zügen bestehen; und es muss sich wenigstens eine zwischenliegende 
Seite von P^ finden, längs welcher mit P^^ ein drittes Polygon P^ 
benachbart ist. Nach der Abänderung liefert Pg ein neues Polygon 
P2', welches von P^' rings umschlossen ist. Dies ist aber unmöglich; 
denn Pg' wäre nun seinerseits auch mehrfach zusammenhängend und 
würde ein Polygon Pg' umschliessen, dieses ein Polygon P^' u. s. w., 
und die Inhalte dieser Polygone müssten notwendig gegen Null con- 
vergieren, obwohl sie doch sämtlich (im Sinne der hyperbolischen 
Maassbestimmung) mit P^, congruent sind. Der einfache Zusammen- 
hang jedes durch erlauV)te Abäiuleruuu" t'rreichbaren Polygons ist da- 
mit bewiesen. — 

§ 2. Fortsetzung: Erlaubte Abänderung der Discontinuitätebereiche 
bei Polyedergruppen sowie Polygongruppeu ohne Hauptkreis. 

Indem wir uns nunmehr zur ausführlichen Betrachtung der Poly- 
eder Uq wenden, sollm alle im hyperbolischen Räume etwa in das 



150 I- Allgemeine Theorie der discontinuierlichen Gruppen aus J- Substitutionen. 

Kugeläussere hinausragende Teile der Polyeder vernachlässigt werden; 
es werden somit au der Begrenzung eiues einzelnen Polyeders stets 
dann Stücke der Kugeloberfläche Teil nehmen, wenn auf der letzteren 
eigentliche Discoutinuität der Gruppe vorliegt. Die Verhältnisse ge- 
stalten sich nun hier insofern etwas complicierter, als man am ein- 
fachen Zusammenhang der Polyeder nach erlaubter Abänderung nicht 
mehr festhalten kann. Schneidet man z. B. aus dem Normalpolyeder 
ein cylindrisch dasselbe durchdringendes Stück aus, um es an richtiger 
Stelle zu ersetzen, so wird der Zusammenhang des neuen Disconti- 
nuitätsbereichs, ohne dass derselbe in getrennte Stücke zerfiele, doch 
nicht mehr einfach sein. Man wird somit, obschon man nach der 
Theorie der Normalbereiche mit einfach zusammenhängenden Polyedern 
reicht, gleichwohl nur den Zusammenhang des einzelnen Polyeders, 
aber nicht mehr die Einfachheit dieses Zusammenhanges als eine gegen- 
über erlaubter Abänderung invariante Eigenschaft ansehen. 

Entsprechend der bei den Polygonen befolgten Maassnahme werden 
wir die gesamte Oberfläche des Polyeders, das wir auch nach der Ab- 
änderung noch IJq nennen wollen, in einzelne Randflächen zerlegen, wobei 
die einzelne Randfläche im innern Verlauf überall stetig gekrümmt ist 
und von einem oder mehreren geschlossenen Zügen von Kanten- mit con- 
vexen oder concaven Polyederwinkeln eingegrenzt ist. Nach Analogie 
der im Anschluss au Figur 37 (pg. 148) besprochenen Verhältnisse der 
ebenen Polygone wird man hier in den entsprechenden Ausnahmefällen 
auch Kauten mit gestreckten Polyederwinkeln als Grenzen einer Rand- 
fläche zulassen. Auch isoliert liegende Kanten im Innern einer Rand- 
fläche können auftreten; doch kommen die meisten dieser Complica- 
tionen zum Fortfall, wenn man auch für die abgeänderten Polyeder 
nur ebene Raudfiächen zu benutzen gestattet. 

Die gegenüber erlaubter Abänderung invarianten Eigenschaften 
des einzelnen Polyeders sind nun die folgenden: 

I. Der Jycrcich 11^ ist ein zusammenhängendes, nirgends über die 
Kugel hinausragendes Folycder. 

II. Die Handflächen des Polyeders U^ sind, soweit sie nicht durch 
Stücke der Kugeloherflächc seihst gehildrt tverden, zu Faaren auf einander 
bezogen imd gehen in dieser Zuordnung durch Substitutionen der Gruppe 
ohne Rest und Übe^schuss in einander über. 

III. Die Kanten von /7y im Inneren der Kugel gehören zu cyclisch 
geschlossenen Systemen zusammen, und es ist die Summe der Neigungs- 
winkel mit äquivalenten Scheitelpunkten im einzelnen System gleich 2n (zu- 
fällige Kanten) oder gleich einem aliquoten Teile von 2n {elliptische und 
damit geradlinige Kanten)] Kanten auf der Kugel sind stets zufällig und 



I, 3. Ansätze zur Definition und Erzeugung der Gruppen. 151 

gehören zu offenen Cyclen von im allgemeinen zwei Gliedern zusammen, 
wobei die Summe der Neigimguivinkel, elementar gemessen, gleich n ist. 

IV. Die Ecken von TIq innerhalb der Kugel gehören in sphärisch 
geschlossene Systeme zusammen, und es ist bei richtiger Zusammenfügung 
der Ecken eines Systems entweder die räumliche Umgebung des gemein- 
samen Scheitelpunktes g< rade volhtündig ausgefüllt {zufällige Ecken mit 
lauter zufälligen Kanten), oder ivir erhalten die Ausfüllung eines Winkel- 
raumes mit geradliniger Kante und einem Neigungswinkel, der ein ali- 
quoter Teil von 2n: ist (halbreguläre Ecken mit einer elliptischen Kante), 
oder endlich ivir gelangen solcherweise zu einer von den in der Theorie 
der regulären Körper auftretenden Ecken {reguläre Ecken); die Ecken 
auf der Kugel sind entiveder zufällig oder elliptisch oder parabolisch 
und bilden dementsprechend verschiedenartige Systeme zusammengehöriger 
Ecken. 

Bei den ebeu zuletzt besprochenen Ecken auf der Kugel kann ea 
vorkommen, dass die gesamten Ecken eines Systems die Kugel nur 
in einem Punkte erreichen; dies tritt erstlich bei den parabolischen 
Spitzen auf, welche wir z. B. bei der Picard'schen Gruppe kennen 
lernten. Andrerseits kann eine Ecke auf der Kugel zugleich Polygou- 
ecke einer von einem Stück der Kugelfläche gelieferten Randfläche von 
IIq sein. Wir kommen hiermit zu dem Falle eigentlicher Disconti- 
uuität auf der Kugeloberfläche, welcher seiner grossen Bedeutung 
halber hier noch besonders betrachtet werden muss. 

Gehen wir zu diesem Ende auf die im vorigen Kapitel gewonneneu 
allgemeinen Ergebnisse über Einteilungen der Kugeloberfläche zurück, 
die zu Polygongruppen gehören, so ist hier vor allem folgender Satz 
an die Spitze zu stellen: Das System aller Grenzpunkte einer zu einer 
vorgelegten Gruppe gehörenden Einteilung der Kugeloberfläche ist invariant 
gegenüber erlaubter Abänderung des DiscontinuitätsbereicJis, mögen diese 
Grenzpunkte aus lauter isoliert liegenden Punkten bestehen oder sich zu 
einer oder unendlich vielen Grenzcurven vereinigen. Es ist dieser Sat/. 
eine unmittelbare Folge aus der Begriflsdefinition der Grenzpuukte. 

Im vorigen Kapitel (pg. 128) verstanden wir unter v die Anzahl 
der auf der Kugeloberfläche gelegenen Polygone, in welchen das ur- 
sprüngliche Nornialpolyc'der Hq die Kugelfläche durchdrang. Durch 
erlaubte Abänderung der Polygone hatten wir dieselben in (i ^v 
Polygone Fq, T^, ..., Po"~'' verwandelt, welche die Eigenschaft hatten, 
dass eine Kandcurve eines einzelnen dieser Polygone stets wieder einer 
Randcurve des gleichen Polygons eutsprach. Nehmen wir nunmehr 
erneut erlaubte Änderungen an diesen Polygonen P^, . . ., P,"~ ein- 
zeln vor, so bleibt die zuletzt erwähnte Eigenschaft dieser Polygone 



I 



152 I Allgemeine Theorie der discontiuuierlichen Gruppen aus J- Substitutionen. 

offenbar erhalten. Solche Änderungen lassen sich übrigens durch spe- 
cielle erlaubte Abänderungen des Polyeders Uq stets erzielen. 

Bei dieser Sachlage werden wir die Betrachtung auf ein einzelnes 
Polygon, etwa Fq, einschränken, welches nach pg. 129 zur Bildung der 
Untergruppe G und des Netzes N hinführt. Über die gegenüber er- 
latibtei- Äbäuderiüig invarianten Eigenschaften des Polygons Pq gelten dann 
die oben für Hauptheisgriqjpen aufgestellten Sätze I, II nnd III mit 
einigen sogleich näher anzugebenden Abweichungen und Zusätzen. Diese 
Abweichungen sind teils wesentlich, teils nur von untergeordneter 
Bedeutung und in dem Umstände begründet, dass wir gegenwärtig 
mit der ^- Kugel, damals aber mit der projectiven Ebene arbeiteten. 

In letzterer Hinsicht sei folgendes bemerkt. Die von den Be- 
wegungen der hyperbolischen Ebene gelieferten Hauptkreisgruppeii 
subsumieren sich hier; doch wird im Falle eigentlicher Discontinuität 
auf dem Hauptkreise das pg. 148 betrachtete Polygon P^ nur eine durcii 
den Hauptkreis abgetrennte Hälfte des jetzigen Polygons P^ sein. Die 
Folge ist, dass nunmehr (und zwar nicht nur bei den fraglichen Haupt- 
kreisgruppen, sondern stets) die Randcurven von P^ ausnahmslos zu 
Paaren zusammengehören, und dass die Ecken stets geschlossene Cyclen 
bilden. V^on hyperbolischen und loxodromischen Fixpunkten bleibt 
i^Q nach wie vor fern. 

Ganz besonders in den Vordergrund müssen wir nun hier die 
Eigenschaft von P^, rücken, bei Reproductiou auf Grund der Zuord- 
nung der Randcurven um eine elliptische oder zufällige Ecke herum 
in bekannter Weise eine geschlossene Polygonreihe zu liefern. Diese 
Eigenschaft gilt selbstverständlich auch von jedem Polygon einer 
Hauptkreisgruppe, ist indessen dort, wie wir gleich sehen werden, eine 
Folge der Eigenschaften III und darf deshalb nicht gesondert aufge- 
führt werden. Hier haben wir den bisher genannten Eigenschaften des 
Polygons P(j noch als eine wesentlich neue die folgende anzureihen: 

V. Der lieiyroductionsprocess des Polygons P^, um eine seiner ellip- 
tischen oder zufälligen Ecken führt nach einmaliger Umlaufung der Ecke 
zu Pq zurück und schliesst sich solchergestalt um die Ecke herum glatt ab. 

Um die Notwendigkeit dieser Angaben zu ermessen, nehme man 
z. B. ein von Kreisbogen begrenztes Polygon P^ mit einem Cyclus von 
drei zufälligen Ecken. Ist eine derselben E, so mögen um E die Po- 
lygone 2^^, 7'j, Pjj herum liegen. Wir können nun die Bezeichnungen 
der Figur 30 pg. 112 hier anwenden, so dass Pj und Pg aus /-*„ durch 
die Substitutionen F] und K, hervorgehen. Die Endpunkte der gemein- 
samon Seite von Pq und P, seien E und £", und es sei V eine be- 
liebige hyperbolische Substitution, welche E und E' zu Fixpunkten 



I, 3. Ansätze zur Definition und Krzeugung der Gruppen. 153 

und also die gemeinsame Seite von Pq und P^ zur Bahncurve hat. 
Ersetzen wir Fj durch F/=FFi, was hier, wo der Hauptkreist'all nicht 
mehr vorliegt, an sich durchaus erlaubt ist und eine Änderung der 
Eigenschaften I bis IV nicht bewirkt, so tritt an Stelle von 1\ ein 
Polygon P/, dessen bisher mit P2 gemeinschaftliche Seite nunmehr 
nur noch in E mit dieser Seite in Berührung ist, ohne weiterhin mit 
ihr zu coincidieren. Man sieht somit, dass unter Fortdauer der Be- 
dingungen I bis IV die Eigenschaft V verloren gegangen ist. 

Eine weitere wesentliche Abweichung von den Polygonen der pro- 
jectiven Ebene besteht darin, dass Pq keineswegs mehr einfach zusammen- 
hängend zu sein braucht; bereits in Figur 25 pg. 104 lernten wir in 
der That ein vierfach zusammenhängendes Polygon der hier in Be- 
tracht kommenden Art kenneu. Hierbei ist jedoch zu bemerken, dass 
die Hauptkreispolygone in der ^-Ebene auch gelegentlich bereits mehr- 
fachen Zusammenhang zeigen können (wie bereits pg. 141 angedeutet 
wurde). Das für die einzelne Halbebene gebildete Polygon hat zwar 
stets einfachen Zusammenhang. Nun aber mögen wir eigentliche Dis- 
continuität auf der reellen ^-Axe (dem Hauptkreise) haben, und das 
Polygon der positiven Halbebene möge u. a. durch wenigstens zwei 
Strecken der reellen Axe begrenzt sein. Liegt nun der erste Typus 
vor, d. h. besteht die Gruppe aus lauter solchen Substitutionen, welche 
die Halbebenen einzeln in sich transformieren, so müssen wir dem 
Polygon der positiven Halbebene sein Spiegelbild an der reellen Axe 
anfügen, um ein auf die ganze i;- Ebene bezogenes Polygon der Gruppe 
zu gewinnen. Letzteres ist dann offenbar von mehrfaciiem Zusammen- 
hang; vergl. hierzu Figur 24 pg. 102. 

Wir fügen noch folgenden, übrigens nicht umkehrbaren, Satz an: 
Liefert P^ ein Polygonnetz N mit nur einer geschlossenen Randcurve, so 
ist Pq notwendig einfach zusatnmenhängend. Man wolle nämlich gerade 
in der oben (pg. 149) durchgeführten Art unter der Voraussetzung eines 
mehrfachen Zusammenhanges von Pq den Reproductionsprocess der 
Polygone verfolgen. Die äquivalenten Polygone sind j'^tzt nicht mehr 
von gleichem Flächeninhalt, und es werden an sich in den vom mehr- 
fach zusammenhängenden Polygon P^ umschlossenen Lücken jetzt un- 
endlich viele weitere Polygone des Netzes sich einfügen können, womit 
aber das Auftreten von Grenzpunkten in diesen Lücken gegeben sein 
würde. Daraus würde folgen, dass Grenzpunkte des Netzes vorkämen, 
welche durch Pq von einander geschieden sind. Unter diesen Um- 
ständen würden die Grenzpunkte also nicht insgesamt eine geschlossene 
Curve bilden können, was doch vorausgesetzt wurde. 

Die Besprechung der erlaubten Abänderung sei mit dem Satze 



154 1- Allgemeine Theorie der discontinuierlichen Gruppen aus f- Substitutionen 

geschlossen, dass zwei Discontinuitätshereiche unserer Art, welche zu der- 
selben Gruppe gehören und im Falle einer Pohjgongruppe nicht durch 
Gremcnrven von einander getrennt sind, durch erlauhte Abänderung stets 
in einander üherfiÜirbar sind. Mau wird sich dies im Falle der Haupt- 
kreisgruppen etc. leicht veranschaulichen. 

§ 3. Definition aller Gruppen ohne, infinitesimale Substitutionen 

durch geeignete Discontinuitätshereiche. Durchführung im 

Hauptkreisfalle. 

Der bisherige Gedankengang soll jetzt in dem Sinne umgekehrt 
werden, dass wir nicht mehr an eine Gruppe ohne infinitesimale Sub- 
stitutionen anknüpfen, sondern ein Polygon Pq oder Polyeder FIq von 
den im vorigen Paragraphen aufgezählten Eigenschaften als das primär 
Gegebene ansehen. Wir werfen die Frage auf, welche Willkür in der 
Auswahl von P^ bez. 77^ noch übrig bleibt, wenn P^ bez. 77^ der 
Discontinuitätsbereich einer Gruppe seiu soll, und zwar in dem Um- 
fange, wie dies von den Normalbereichen und den Bereichen des vo- 
rigen Paragraphen gilt. Indem wir hierüber entscheiden, werden wir 
zu wichtigen Existenztheoremen der Gruppen ohne infinitesimale Sub- 
stitutionen gelangen-, denn es ist in der überwiegenden Mehr^iahl der 
Fälle weit leichter, ein mit bestimmten Eigenschaften ausgestattetes 
Polygon oder Polyeder zu bilden, als auf Grund analytischer oder 
arithmetischer Maassregeln Substitutionen in unendlicher Zahl herzu- 
stellen, die eine eigentlich discontinuierliche Gruppe bilden. Ein richtig 
gewählter Discontinuitätsbereich ivird direct als Definition einer zugehörigen 
Gruppe gelten. Die Zuordnung der Raud-curven bez. -flächen liefert 
dabei genau wie bei den Gruppen des ersten Kapitels ein System von 
erzeugenden Substitutionen der Gruppe, und man kann weitere Substi- 
tutionen der Gruppe von hieraus in beliebiger Anzahl berechnen*). 

Wenn wir nunmehr auf die nähere Besprechung des aufgeworfenen 
Problems eingehen, so sei es erlaubt, das vorzulegende Polygon Pq 
oder Polyeder 770 nur mit endlich vielen Kand-curven bez. -flächen aus- 
zustatten. Die Ergebnisse, zu welchen wir gelangen, büssen freilich 
ihre Gültigkeit auch im Falle unendlich vieler Rand-curven bez. -flächen 
nicht ein. Doch ist es mit Rücksicht auf unsere späteren Zwecke 



*) Die hiermit dargelegte Methode ist aus „M." I sehr bekannt; sie bezeichnet, 
wie schon pg. 64 angegeben wurde, den Standpunkt, welchen Klein bei eeinor 
Darstellung in Bd. 21 der Annalen befolgt. Auch bei Poincare liegt diese Denk- 
weise implicite von vornherein zu Grande, und er benutzt dieselbe insbesondere 
eiplicit zum Existeuibeweise der Gruppen; ci'. Acta mathem. Bd. 3 pg. 72. 



I, 3. Ausätze zur Definition und Erzeugung der Gruppen. 1")"» 

statthaft, die mit dem Eintreten unendlich vieler Rand-curven bez. 
-flächen verbundene Complication der Vorstellungen zu meiden. 

Sei nun, um wieder mit dem Haupthreisfalle zu beginnen, im 
Ellipseninnern ein Polygon P^ gezeichnet, dessen Randcurven, soweit 
sie nicht von Stücken der Ellipse gebildet werden, durch Bewegungen 
in der hyperbolischen Ebene zu Paaren ohne Rest und Überschuss in 
einander überführbar sind. Dem Polygon sollen ferner auch die unter 
I, III und IV pg. 148 angegebenen Eigenschaften anhaften, von denen 
übrigens keine eine notwendige Folge der übrigen ist. Wir können 
alsdann beweisen: Jedes diesen Vorsclinfteu gemäss (jeivähUe Polygon ist 
Discontinuitätsbereich einer Gruppe für den gesamten hn Innern der El- 
lipse verlaufenden Teil der projectiven Ebene. 

Man reihe nämlich an P^ auf Grund der Zuordnung der Rand- 
curven in bekannter Art immer wieder neue äquivalente Polygone an 
und überzeuge sich zuvörderst, dass sich der Reproductionsprocess um 
die Ecken im Ellipseninnern herum glatt schliesst. Diese Thatsache 
ist eine Folge der Eigenschaften III nur unter der ausdrücklichen 
Voraussetzung, dass der Hauptkreisfall vorliegt. Möge nämlich E 
eine zur Periode v gehörende elliptische Ecke sein, wobei wir den 
Fall zufälliger Ecken als v = 1 subsumieren; es möge überdies die 
Ecke E einem Cyclus von n Ecken des Polygons P^ augehören. Man 
bilde nun die Kette der Polygone um E herum. Das {nv -f- 1)'® Po- 
lygon liegt jedenfalls zum Teil über P^, und zwar in der Art, dass 
in E zwei einander äquivalente Ecken beider Polygone coiiicidieren, 
indem zugleich die diese Ecken einschliessenden Polygonseiteu die 
äquivalenten Seiten des anderen Polygons berühren. Die Äquivalenz 
beider Polygone kann somit nur durch die identische Substitution 
vermittelt sein, da sie den im Innern der Ellipse gelegeneu Punkt 
E zum Fixpunkte hat und die Ellipse in sich überführt, während 
sie doch andrerseits offenbar nicht elliptisch sein kann. Hiermit 
ist der Zusammenschluss des Polygonnetzes um die Ecke E herum 
nachgewiesen; man kann das Resultat dahin aussprechen, dass das 
m Ellipseninneren entstehende Polygonnetz nirgends Verztceigungspunkte 
bekommen kann. Hiermit ist indessen die ausgesprochene Behaujitung 
nur erst zum Teil bewiesen; wir haben die Untersuchung in folgender 
Weise fortzusetzen: 

Von einem beliebigen Punkte Ä im Innern von P,, denke man in 
der Ebene beliebige geradlinige »strahlen gezogen und verfolge die 
Polygone, welche auf einen einzelnen dieser Strahlen auf Grund der 
Zusammenordnung der Randcurven des anfanglich allein vorgelegten 
Polygons Pq aufgereiht erscheinen; diese Polygone werden eine be- 



156 I. Allgemeine Theorie der discontinuierlichen Gruppen aus J-Substitutionen. 

stimmte Kette Pq, Pj, . . ., F„, ... bilden. Man discutiere nun die 
Frage, ob sich der Reproductionsprocess der Polygone längs des frag- 
lichen Strahles bereits im Innern der Ellipse verlangsamen kann, so 
dass sich ein Punkt B des Strahles im Innern der Ellipse nachweisen 
Hesse, dem sich die Polygone P^, P^, . . . der Reihe zwar beliebig nähern, 
ohne ihn indes zu erreichen. Dies ist jedenfalls nur so möglich, dass 
die Kette der längs des Strahles angereihten Polygone Pq, Pj, ... 
unendlich viele Glieder enthält, und man findet daraufhin die Strecke 
AB durch die Randcurven der Polygone in unendlich viele sich gegen 
B häufende Segmente geteilt. Wir wählen nunmehr n so gross, dass 
das in P„ gelegene Segment sowie alle gegen B hin folgenden im Sinne 
unserer hyperbolischen Maassbestimmung kleiner als die beliebig klein 
gewählte Zahl e > sind, und wollen sodann P„ samt der in Rede 
stehenden Geraden nach P„ zurücktransformiereu. 

Man überlege nunmehr, wie die transformierte Gerade das Polygon 
P(, durchschneiden mag. Das in P^ gelegene Segment könnte in der 
Weise sehr klein sein, dass die Gerade nahehin eine Tangente einer 
Randcurve von Pq wäre. Doch würde nach unseren Annahmen über die 
Natur der Randcurven die Gerade alsdann nächstbenacbbarte Polygone 
in endlichen Segmenten durchsetzen. Dies würde auch dann bestehen 
bleiben, wenn die Gerade hart an einer zufälligen oder elliptischen 
Ecke durch Fq hindurchzöge. Da zufällige Ecken auf der Ellipse der 
Natur der Sache nach hier nicht in Betracht kommen können, so 
würde nur noch die Möglichkeit bleiben, dass die Gerade dicht an 
einer parabolischen Ecke durch P^ hindurchzieht. Doch diese letzte 
Annahme lässt sich nicht vereinen mit der Eigenart eines Polygon- 
netzes in der Umgebung eines parabolischen Punktes, wie dieselbe 
z. B, für cyclische Gruppen oben pg. 68 oder mit besonderer Aus- 
führlichkeit für die Modulgruppe in „M." I pg. 236 geschildert wurde. 
Die Segmente der geraden Linie werden im fraglichen Falle gar nicht 
unendlich klein, sie würden vielmehr in irgend einem Polygon des zum 
parabolischen Punkte gehörenden Kranzes ein Minimum erreichen und 
von dort nach beiden Seiten hin zunehmen. 

Der oben angenommene Punkt Ä war ein beliebiger Punkt des 
Polygons Pq, und wir können die nämliche Überlegung auf jedes be- 
liebige andere Polygon des Netzes anwenden. Es folgt sonach, dass 
das Folygonnctz im Innern der Ellipse nirgends einen GrenzpiinH dar- 
bieten kann. Dieser Satz ist übrigens wesentlich durch die Voraus- 
setzung bedingt, dass P^^ keine hyperbolische Ecken haben sollte. Die 
vorhin auf ihre Möglichkeit hin untersuchte Verlangsamung im Re- 
productionsprocess der Polygone im „Innern" der Ellipse tritt in der 



I, 3. Ansätze zur Definition und Erzeugung der Gruppen. 157 

That bei einem Polygon mit hyperbolischer Ecke stets ein, wie man 
aus den Entwicklungen von pg. 144 und den dortigen Figuren un- 
mittelbar entnehmen wird. Noch leichter ist es, mit Hilfe der Figur 10 
pg. 67 sich die vorliegenden Verhältnisse deutlich zu machen. Zieht 
man hier durch den einen auf der Ellipse gelegenen Fixpunkt der 
hyperbolischen Substitution eine Gerade und übt diese Substitution auf 
diese Gerade immer wieder aus, so drängen sich die so entspringenden 
Geraden gegen die Verbindungslinie der beiden auf der Ellipse ge- 
legenen Fixpunkte immer mehr zusammen, ohne dieselbe indes völlig 
zu erreichen. Die zwischen den Geraden eingegrenzten Bereiche werden 
somit gegen jene das „Innere'' der Ellipse durchziehende Gerade hin 
schliesslich unendlich schmal; wir haben in dieser Geraden eine Grenz- 
lage, welche der Reproductionsprocess nicht überschreitet. 

Nehmen wir die bisherigen Ergebnisse zusammen, so folgt von 
selber, dass das Polygonnetz das gesamte Innere der Ellipse lückenlos 
und überall nur einfach bedeckt. Denn eine Collisiou zwischen Poly- 
gonen des Netzes ohne das Auftreten von Verzweigungspunkten würde 
nur dadurch möglich sein, dass im Ellipseninnern Lücken offen bleiben, 
um welche sich das Polygonnetz ohne sie auszufüllen herumzieht. 
Diese Möglichkeit, welche unter anderen Voraussetzungen eine wich- 
tige Rolle spielen wird, ist indessen hier ausgeschlossen, da der Re- 
productionsprocess nur die Ellipse selber, nicht aber bereits irgend 
welche Punkte oder Linien im „Innern" der Ellipse zu Grenzen hat. 
Unsere obige Behauptung über Pq, Discontinuitätsbereich einer Gruppe 
zu sein, ist damit bewiesen. 

§ 4. Portsetzung: Definition der Polyedergruppen durch 
Discontinuitätsbereiche. 

Die Überlegungen des voraufgehenden Paragraphen lassen sich 
vollständig auf das Kugelinnere des hyperbolischen Raumes übertragen. 
Wir denken im Kugelinnern ein Polyeder U^ gegeben, das die ge- 
samten für die Discontinuitätsbereiche //„ oben (pg. 150 u. f.) aufge- 
zählten Eigenschaften besitzt. Natürlich ist der Wortlaut der unter 
II 1. c. genannten Eigenschaften dem Umstände entsprechend anders zu 
wählen, dass wir liior nicht von der Existenz einer Gruppe ausgehen. 
Wir werden sagen müssen, dass die Randflächen von T/^,, soweit sie 
nicht von Teilen der Kugeloberfläche gebildet werden, paarweise im 
Sinne der hyperbolischen Maassbestimniung einander congnient sind, 
so dass sie in dieser Zumtlnung durch solche Collineationen erster 
Art in einander überführbar sind, welche die Kugel in sich trans- 
luruiieren. Natürlich nuiss diese Zuordnung derartig sein, dass das 



I 



158 I Allgemeine Theorie der discontinuierlichen Gruppen aus f-Substitutiouen. 

aus IIq durch die einzelne Collineation hervorgehende Polyeder ^^ 
mit jenem imy eine Randfläche gemein hat, d. h. dass IIq und /Zj auf 
verschiedenen Seiten ihrer gemeinsamen Kandfläche gelegen sind. Es 
sei auch hier bemerkt, dass von den Fundamentaleigenschaften des Po- 
lyeders IIq keine durch die übrigen bereits mit bestimmt ist. 

Wir können nun den Satz beweisen, dass das dergestalt bestimmte 
Polyeder U^ Discontinuitütsbereich einer Gruppe für das gesamte Kugel- 
innere ist, so dass wir also jede für uns in Betracht kommende Gruppe 
durch ein im Baume geeignet gewähltes Polyeder mit bezogenen Handflächen 
zu definieren im Stande sind. Zum Beweise dessen reihe man wieder 
an IIq auf Grund der Zuordnung der RandÜäclien Polyeder JIi, 11^^ ... 
an und setze diesen Process in bekannter Weise fort. Wir müssen 
zeigen, dass das entspringende Polyedersystem das gesamte Kugeliniiere 
ohne Lücke aber auch überall nur einfach ausfüllt. 

Analog wie im vorigen Paragraphen werden wir uns zunächst 
überzeugen, dass sich der Reproductionsprocess um die Kanten und 
Ecken herum glatt abschliesst. Betrachten wir zunächst eine Kaute 
von IIq, so werden wir nach einmaligem Umgange um dieselbe ein mit 
IIq äquivalentes Polyeder erhalten, wobei die mit einander in Deckung 
betindlicheu Kauten der beiden Polyeder einander entsprechen, während 
von den Paaren der einschliesseudeu Randilächen jedesmal die beiden 
einander äquivalenten längs der Kante in Berührung sind. Endigt nun 
die Kante wenigstens in einer im Innern der Kugel gelegenen Ecke 
von Uq, so ist dieser Endpunkt ein Fixpunkt derjenigen Substitution, 
welche die Äquivalenz zwischen beiden Polyedern vermittelt. Diese 
Substitution muss also die Identität sein, da sie ersichtlich nicht 
elliptisch sein kann und doch einen im Kugelinnern gelegenen Fix- 
punkt hat. Reicht die Kante von IIq als solche beiderseits bis an die 
Kugel heran, so liefern die beiden Endpunkte wieder Fixpunkte der 
fraglichen Substitution. Dass dieselbe auch nun wieder der Identität 
gleich ist, folgt aus dem Umstände, dass sie ersichtlich weder ellip- 
tisch noch parabolisch sein kann, und dass doch IIq an hyperbolische 
Fixpunkte nicht heranreicht. Der glatte Abschluss des Polyedersystems 
um die Kanten herum ist damit dargethan. Für die Umlagerung der 
Ecken im Imiern der Kugel bleibt dieselbe Überlegung beweiskräftig. 
Es werden sonach überhaupt keine Verzweigungen im Polyedersystem 
des Kugelinnern auftreten können. 

Des fernereu überzeugen wir uns wie oben, dass der Reproduc- 
tionsprocess der Polyeder niemals im „Innern" der Kugel verlangsamen 
kann. Wir denken sogleich von einem beliebigen Punkte Ä im Innern 
eines beliebigen Polyeders 77„ des Systems nach allen Seiten gerad- 



I, 3. Ansätze zur Definition und Erzengung dt-r Gruppen. 159 

linige Strahleu gezogen und verfolgen die längs eines derselben auf- 
gereihten Polyeder. Sollte noch im Innern der Kugel ein Grenzpunkt 
B auftreten, so ist die Gerade AU gegen B hin durch die Randflächen 
der Polyeder in unendlich viele Segmente geteilt. Sind nun die längs 
des Strahles aufgereihten Polyeder 77„, n„^ij /7„^.2, . . ., so nehme 
man ein in der Reihe hinreichend weit entferntes Polyeder !!„ + „, und 
transformiere dasselbe samt dem geradlinigen Strahle nach T/q. Der 
Strahl würde hier eine Gerade ergeben, welche nicht nur IIq, sondern 
die gesamten nach der einen Seite sich längs ihr anschliessenden Po- 
lyeder in unendlich kleineu Segmenten durchsetzt. 

Es ist nun auch hier wieder ohne Mühe zu sehen, dass eine Gerade 
der fraglichen Art unmöglich ist auf Grund der Voraussetzung, dass 
Uq von allen hyperbolischen und loxodromischen Fixpunkten fern bleibt. 
Die Betrachtung ist genau wie oben, und es bringt das Auftreten der 
Ecken neben den Polyederkanten nur eine geringe Verlängerung, aber 
keine Erschwerung der Überlegung mit sich. Von den auf der Kugel- 
oberfläche gelegenen Kanten und Ecken können die zufälligen und 
elliptischen, wie man leicht bemerkt, hier nicht in Betracht kommen. 
Eine Überlegung erfordern einzig die parabolischen Punkte, welche 
entweder Polyederecken oder Polygonecken für Randflächen der Poly- 
eder auf der Kugel darstellen. Doch ergiebt auch hier wieder der 
bekannte Charakter der Umgebung eines parabolischen Punktes, dass 
eine dortselbst in der Nähe durch /7^, hindurchziehende Gerade in 
keiner Weise innerhalb der weiter sich anreihenden Polyeder unendlich 
klein werdende Segmente bekommen kann. 

Nehmen wir nun die bisherigen Ergebnisse zusammen, so ergiebt 
sich die einfache und vollständige Ausfüllung des Kugelinnern durch 
unser Polyedernetz. Eine Collision der Polyeder bei fortgesetzter Bil- 
dung des Systems, ohne dass je Verzweigungen aufträten, wäre in 
der That nur noch so möglich, dass sich im Kugelinnern Lücken 
finden, um welche sich das Polygonnetz ohne sie auszufüllen herumlegte. 
Dies ist indessen, da Grenzpunkte im Kugelinnern, wie wir sahen, 
nicht auftreten können, ausgeschlossen. Unser Fundamentalsatz über 
die Definition der Gruppen durch Polyeder Il^y ist daniit bewiesen. 

§ 5. Fortsetzung: Allgemeine Definition der Polygongruppen durch 
geeignete Discontinuitätsbereiche. 

Wie bei früheren Gelegenheiten, so i.st es auch hier wieder be- 
sonders wichtig, der Gattung der Foh/(/o)i(fnip})€)i , welche nicht gerade 
notwendig in die specielle Classe der Hauptkreispruirpen hineingeboren, 
eine ausführlichere Betrachtunüf zu \vi<lniiii; hit^r in der That werden 



■ 



160 I- Allgemeine Theorie der discontinuierlichen Gruppen aus ^-Substitutionen. 

wir zu neuen Gesichtspunkten geführt. Wir setzen voraus, dass auf 
der ^- Kugel ein Polygon Pq gegeben sei, das nicht über sich selbst hin- 
übergreife, und dessen Bandcurven zu Paaren auf einander bezogen und 
in dieser Zuordnung durch t,- Substitutionen erster Art genau in einander 
überfiihrbar sind; die Ecken sollen nur zufällige, clliptiscJie oder parabo- 
lische sein und auf die iviederholt genannte Art in geschlossene Cyclen an- 
gereiht erscheinen; es soll endlich um die zufälligen und elliptischen Ecken 
von Pq herum der Beprodtictionsprocess der Polygone sich glatt schliesscn. 
Das Problem, ob ein ausgewähltes Polygon Pq der bezeichneten Art 
Discontinuitätsbereich einer Gruppe ohne infinitesimale Substitutionen 
ist, versuchen vs^ir zunächst in der bisherigen Weise durch Bildung 
des von Pq aus zu erzeugenden Polygonnetzes zu beantworten. Doch 
treten hierbei verschiedene neue Fragen und Schwierigkeiten ein. 

Erstlich ist zu bemerken, dass nach den Entwicklungen des vo- 
rigen Kapitels in solchen Fällen, wo Greuzcurven vorliegen, die Gruppe 
im allgemeinen nicht durch ein einzelnes Polygon mit bezogenen Kand- 
curven definierbar ist. In der That können ivir durch ein einzelnes 
Polygon Pq immer nur eine Gruppe von der Art der im vorigen Kapitel 
pg. 129 ff. mit G bezeichneten Untergruppen definieren. Wir würden, um 
allgemeiner zu verfahren, an Systeme von ^i Polygonen Pq, .Pq, . . ., 
P^~^^ anknüpfen müssen. Doch würden sich auch auf diese Weise 
noch nicht alle denkbaren Polygongruppen definieren lassen. Haben 
wir nämlich z. B. eine Gruppe mit unendlich vielen Netzen, die aber 
alle unter einander äquivalent sind, so würde zwar ein einzelnes Po- 
lygon Pq den Discontinuitätsbereich vorstellen; aber die Zuordnung 
der Randcurven von Pq würde noch nicht auf diejenigen Substitutionen 
führen können, welche die Äquivalenz der verschiedenen Netze unter 
einander vermitteln. 

Nehmen wir jedoch vorab an, dass beim Reproductionsprocess 
des am Anfang des Paragraphen vorgelegten Polygones Pq sich eine 
Grenze des Polygonnetzes einstellt, so tritt die Frage auf, ob diese 
Grenze auch eine wesentliche Grenze der Gruppe ist, d. h. aus einer un- 
unterbrochenen Folge von nicht- elliptischeti Fixpunkten und deren Häu- 
fungsstellen besteht. Es würde hier also erneut die Möglichkeit einer 
Verlangsaniung des Reproductionsprocesses an unwesentlicher Stelle 
zu discutieren sein, welche im Hauptkreisfalle wegen des Ausschlusses 
hyperbolischer Ecken unmöglich war. Ferner aber würde die Frage 
eintreten, welcJie Einteilungen der Kugeloberfläche die entsprechende Gruppe 
ausserhalb des zu Pq gehörenden Netzes liefert. 

Vor allem ist zu fordern, da^s die Polygone des aus Pq zu erzeu 
gendcn Netzes auf der t,- Kugel nirgends mit einander collidieren. Nun 



I, 3. Ansätze zur DefinitiOD und Erzeugung der Gruppen. 161 

ist zwar auf Grund der Eigeuart der Polygoneeken das Aultreten von 
Verzweigungspunkteu im Polygoauetz von vornherein ausgeschlossen. 
Überhaupt unmöglich ist die Collision der Polygone daraufhin aber 
nur dann, wenn die Grenzpunkte des Netzes eine einzige geschlossene 
Grenzcurve bilden und also das Netz einen einfach zusammenhängeu- 
den Bereich bildet. Treten aber unendlich viele Grenzcurven oder 
auch nur unendlich viele isoliert liegende Grenz{)unkte auf, so kann 
das Netz nicht mehr endlichen, geschweige denn einfachen Grad des 
Zusammenhanges darstellen. Dann aber ist durchaus die Frage, ob 
der Reproductionsprocess um eine einzelne der bleibenden Lücken 
herum sich gerade glatt abschliesst oder nicht. Es werden sich 
freilich äquivalente Grenzcurven in letzterer Hinsicht stets gleich ver- 
halten, so dass mau nur je eine Grenzcurve aus der einzelnen Classe 
in Untersuchung zu ziehen braucht. Aber aus dem Ijlossen Anblick 
des Polygons Pq oder auch einiger sich anschliessender Polygone des 
Netzes wird man in keiner Weise unmittelbar auf den Verlauf der 
Grenzcurven, geschweige denn auf ihre Classenanzahl sehliessen können. 
Wir können einzig auf Grund der schon pg. 153 durchgeführten Über- 
legung aussagen, dass im Falle eines mehrfach zusammenhängenden 
Polygons P,^ notwendig unendlich viele Grenzcurven oder Greuzpunkte 
auftreten. Dagegen sind bei einfach zusammenhängendem P^ nach dem 
Bisherigen noch alle Möglichkeiten offen (die unendlich vieler isoliert 
liegender Grenzpunkte, sowie die Möglichkeit einer und schliesslich 
unendlich vieler Grenzcurven), und sie kommen, wie wir später sehen 
werdeil, auch alle wirklich vor. — 

Bieten sich sonach der endgültigen Lösung unseres Problems bei 
alleiniger Operation in der ^-Ebene oder auf der ^-Kugel erhebliche 
Schwierigkeiten dar, so gewinnen wir durch Recursion auf die im vo- 
rigen Paragraphen bereits festgestellten Ergebnisse eine endgültige und 
überaus einfache Erledigung aller aufgeworfenen Fragen in dem nach- 
folgenden Satze: Das Polygon P^ ist DiscontinuiUitshereich einer Gruppt 
in dem hier zu irn artenden Umfange, falls es gcli)igt, ein den oben for- 
mulierten Anforderungen genügetules Polyeder 11^^ su Inlden, welches P^ 
zu einer seiner Randflüchen haf^). 

Die Richtigkeit dieses Satzes leuchtet nach den Überlegungen dos 
vorigen Paragraphen sowie nach den hierher gehörenden Untersuchungen 
des vorigen Kapitels unmittelbar ein. Die Ausgestaltung von P^ zum 



*) Dieses Theorem Aa\h wolil den wirhti^'stcn Erfolg der vou t'oincare 

iiigi'führten Maassnabnie dar, die Polyederteilungeu deu Kaunifs für die Zwecke 
unserer Gruppen zu verwerten. 

b'ri ck a ' K lu i n , Aul<inior|>he KunctioDt>u. I. II 



162 I- Allgemeine Theorie der discontinuierlichen Gruppen aus ^-Substitutionen. 

Polyeder 11^ hat nicht die geringste Schwierigkeit. Nur der Einfach- 
heit halber mögen wir annehmen, dass die Randcurven von P^ aus- 
schliesslich aus Kreisbogen bestehen, wie solches späterhin in der That 
stets eintreffen wird. Man wolle alsdann im Kugelinnern die Ebenen 
legen, welche auf der i;-Kugel die Randkreise von Pq ausschneiden und 
fasse den Bereich des Kugelinnern auf, welcher durch Pq, die eben 
gezogeneu Ebenen, bez. Teile derselben, sowie eventuell weitere Stücke 
der Kugeloberfläche eingegrenzt ist. Dieser Bereich muss ein Polyeder 
IIq mit den erforderlichen Eigenschaften darstellen. Dabei bemerke 
man, dass die Zuordnung derjenigen Randflächen von 77q, welche nicht 
auf der Kugel liegen, durch die Zuordnung der Raudcurven von P,, 
bereits vollständig gegeben ist. 

Indem wir annehmen, dass 77(, den oben geforderten Eigenschaften 
in der That genügt, bemerken wir schliesslich noch, dass nuu auch 
die gesamten weiteren im Anschluss an P^ aufgestellten Fragen ihre 
einfache Erledigung finden, Ist Pq die einzige Randfläche von 11,^, 
welche auf der ^-Kngel liegt, so besitzt das von Pq aus zu erzeugende 
Netz nur isoliert liegende Grenspunkte und ivird ahgeselien von diesen 
letzteren die ganze Kugeloherfläche bedecken. Man beweist diesen Satz leicht 
unter Benutzung des ümstandes, dass die Randflächen von ' /Iq auf 
die Randcurven von P^ wechselweise eindeutig bezogen sind. Hat 11^ 
ausser Pq noch weitere Stücke der Kugeloberfläche Pq, . . ., P(,(''~^) zu 
Handflächen j so hat das von Pq aus zu erzeugende Netz eine oder unend- 
licJi viele Grenzcurven. Die Einteilung der Kugeloherfläche in dem vom 
Netze TV des Polygons P^, noch frei bleibenden Teile regelt sich dann 
nach den allgemeinen Ergebnissen des vorigen Kapitels pg. 134 fl". 

Doch hat gegenüber den damaligen Erörterungen die hier vor- 
liegende Kugelteilung der durch P^ definierten Gruppe, wie wir schon 
am Anfang des Paragraphen kurz ausführten, einen particulären Cha- 
rakter. Derselbe ist in dem schon benutzten Umstände begründet, 
dass die Randflächen von 11^ auf die Randcurven von P^ eindeutig 
bezogen sind, während für die Randcurven etwa noch weiter in Be- 
tracht kommender Polygone P^', ... sehr wohl nur ein Teil der Rand- 
flächen von //„ zur Verwendung kommen können. Unter den Poly- 
gonen, welche Randflächen von i7„ auf der Kugeloberfläche darstellen, 
giebt es also hier eines (nämlich eben P^), an dessen Beraudung alle 
Seitenflächen von Uq participieren. Gehen wir somit in der Polyeder- 
teilung von IIq zu benachbarten Polyedern fort, so liefern dieselben 
stets mit P,, unmittelbar benachbarte Polygone. Wir finden: Selbst 
in dem Falle, dass die durch P^ zu definierende Gruppe eine Kugel- 
teilung mit loiendlich vielen Grenzcurven liefert, ist das zu Pq gehörende 



I, 3. Ausätze zur Deönition und Erzeugung der Gruppen. 1 <53 

Polygonnetz nur mit sich seihst äquivalent. Liefern die übrigen (v — 1) 
Polygone P^', . . ., P^^''— i) nach der Methode von pg. 129 redueiert 
(u. — 1) Polygone, so Hesse sich noch leicht zeigen, dass stets für 
jtt > 2, vielfach aber auch für ^ = 2 die (ju. — \) übrigen Classen von 
Polygonnetzeu aus unendlich vielen Netzen bestehen. 

Einen ersten Schritt zur Beseitigung der hiermit bezeichneten Be- 
schränkung können wir übrigens dadurch thun, dass wir Systeme von 
Polygonen P^, Pq, ..., P^"~^) vorlegen. Aber auch auf diese Weise 
würden sich z. B. diejenigen schon vorhin erwähnten Gruppen nicht 
miterledigen lassen, welche zwar ^=\, aber gleichwohl unendlich viele 
(mit einander äquivalente) Netze haben*). In einem solchen Falle ist 
zum Zwecke der Bildung eines Discontinuitätsbereiches der Rückgang 
auf das zugehörige Polyeder immer unvermeidlich. Dasselbe wird als- 
dann wenigstens ein Paar Seitenflächen darbieten, die gänzlich im 
Kugelinnern verlaufen, und deren zugehörige Substitution die Äqui- 
valenz zwischen zwei verschiedenen Polygonnetzen vermittelt. — 

Da die Polyeder 77^, 77^, ... das ganze Kugelinnere ohne Lücke 
füllen, so werden die Polygonnetze auf der Kugeloberfläche keinen 
endlichen Bereich frei lassen. Wir schliessen daraus, dass die heim 
Netze von Pq auftretende Berandung eine der Gruppe als wesentlich zu- 
gehörende natürliche Grenze vorstellt. 

Vor allen Dingen klärt sich nun der Fall eines mehrfach und 
damit unendlich vielfach zusammenhängenden Polygounetzes vollständig 
auf, ein Umstand, den wir baldigst noch weiter auszubeuten haben. 
Vorab bemerken wir nur, dass im gedachten Falle an FIq gänzlich im 
Kugelinnern verlaufeitde Kanten auftreten, d. h. Kanten, deren beide Eck- 
punkte im Kitgelinneren liegen. Diese Kanten geJiören somit zu Rand- 
flächenpaaren, deren zugeordnete Randcurven von Pq nicht benachbart 
sind. Der Zusammenschluss des Polygonnetzes um die Lücken herum 
ohne CoUision kommt nun einfach auf den Umstand zurück, dass sich 
jene Kanten zu Cyclen der oft genannten Eigenschaften zusammen- 
ordnen werden. — 



*) Ein Beispiel einer solchen Gruppe wurde pg. 130 (unter dem Texte) be- 
r|irochen. Wir hatten daselbst zuvörderst ein reguläres Tetraeder der absoluten 
Kugel des hyperbolischen Raumes so eingeschrieben, dass die Kauten des Tetra- 
eders Kugeltangenten sind. Sodann hatten wir noch die Unterteilung dieses Te- 
traeders durch die Synimetrieebeneu in 24 kleinere Tetraeder vollzogen und ein 
einzelnes dieser letzteren Tetraeder als Discontinuitätsbereich (zweiter Art) vor- 
gelegt. Hier ist P^ ein Dreieck und das Tetraeder besitzt eine ^nzlich im Kugel- 
innern gelegene Seitenfläche (man vergl. die weiteren Ausführungen in Kap. 3 des 
Abschu. II). 

11* 



164 I- Allgetneine Theorie der discontinuierlicben Gruppen aus J- Substitutionen. 

Es würde übrig bleibet), die hiermit vollständig entwickelte Theorie 
auf die Polygone der zweiten Art zu übertragen und also insbesondere 
zu fragen, iu wie weit ein willkürlich zu wählendes Polygon zweiter 
Art Discontinuitätsbereich einer Gruppe zweiter Art sein kann. Wir 
erledigen diese Frage einfach dadurch, dass wir an das gegebene Po- 
lygon längs einer Seite zweiter Art ein äquivalentes Polygon anreihen 
und mit ersterem zu einem Polygon der ersten Art vereinen. Auf 
dieses würde sodann die vorangehend entwickelte Theorie anzuwen- 
den sein. 

Es sind hiermit die wichtigsten theoretischen Grundlagen für die 
geometrische Theorie der eigentlich discontinuierlicben Gruppen ge- 
wonnen. Bevor wir jedoch an den speciellen Ausbau dieser Theorie 
herangehen, sind die allgemeinen Erörterungen erst noch nach ver- 
schiedenen Seiten zu ergänzen. 

§ n. Classification aller Gruppen ohne infinitesimale Substitutionen 

nach der Gestalt der Discontinuitätsbereiche und der aus diesen 

entspringenden regulären Einteilungen. 

Da wir nach den bisherigen Ergebnissen alle Gruppen ohne in- 
finitesimale Substitutionen durch geeignete Polygone und Polyeder de- 
finieren können, so dürfen wir nun auch auf die Gestalten dieser 
Discontinuitätsbereiche und der aus ihnen entspringenden Ebenen- und 
Raumteilungen eine sachgemässe Classification aller in Rede stehenden 
Gruppen gründen. Wir können uns hierbei wieder auf die Gruppen 
der ersten Art beschränken; die Classification der Gruppen zweiter Art 
ist hierdurch unmittelbar mit erledigt, da jede Gruppe zweiter Art 
eine bestimmte Untergruppe erster Art vom Iudex zwei in sich ent- 
hält. Späterhin werden wir dann natürlich bei der einzelnen Gruppe 
erster Art untersuchen müssen, ob und wie sie sich auf eine Gruppe 
zweiter Art erweitern lässt. Unter Vorbehalt gleich folgender Erläu- 
terungen stellen wir hier zunächst tabellarisch die Classification der 
Gruppen zusammen, welche uns am empfehlenswertesten erscheint: 
I. Cyclische Gruppen. 

a) Im projectiven Räume bleibt eine Axe Punkt für Punkt 
fest (elliptische, parabolische, hyperbolische Gruppen). 

b) Im projectiven Räume bleiben nur zwei Punkte fest, näm- 
lich zwei Punkte der Kugelfliiche (loxodromische Gruppen). 

II. Nichtrotationsgruppen mit zwei Grenzpunkten. 
III. Rota^tionsgruppen. 

a) Das Centrum liegt innerhalb der Kugel (elliptische Ro- 
tationsgruppen oder Gruppen der regulären Körper). 



I, 3. Anaätze zur Defioition und Erzeugung der Gruppen. 1 65 

b) Das Centrum liegt auf der Kugel (parabolische Rotations- 
gruppen oder doppeltperiodische Gruppen). 

c) Das Centrum liegt ausserhalb der Kugel (hyperbolische 
Rotationsgruppen oder Hauptkreisgruppen). 

1. Die Gruppe ist auf dem Hauptkreise uneigentlich dis- 
continuierlich (zwei Polygonnetzej. 

a) Erster Typus: Die durch den Hauptkreis abgeteilten 
Kalotten der ^-Kugel werden durch alle Substitutionen 
der Gruppe einzeln in sich transformiert. 

ß) Zweiter Typus: Die Gruppe besteht zur Hälfte aus 
Substitutionen, welche beide Kalotten permutieren. 

2. Die Gruppe ist auf dem Hauptkreise eigentlich discon- 
tinuierlich (ein Polygonnetz). 

a) Erster Typus: Die durch den Hauptkreis abgeteilten 
Kalotten der ^-Kugel werden durch alle Substitutiooeu 
der Gruppe einzeln in sich transformiert. 
ß) Zweiter Typus: Die Gruppe besteht zur Hälfte aus 
Substitutionen, welche beide Kalotten permutiereu. 
IV. Nichtrotationsgruppen mit unendlich vielen Grenz- 
punkten. 

a) Polygongruppen mit einem Netze. 

1. Der Discontinuitätsbereich ist einfach zusammenhängend. 

2. Der Discontinuitätsbereich ist mehrfach zusammen- 
hängend, 

b) Polygongruppen mit zwei Netzen. 

c) Polygongruppen mit unendlich vielen Netzen, wobei im 
allgemeinen jedes Netz eines von unendlich vielen äqui- 
valenteu ist, im speciellen aber ein nur mit sich selbst 
äquivalentes Netz eintritt. 

1. Die Grenzcurven sind sämtlich oder teilweise nicht- 
analytisch. 

a) Die Netze sind sämtlich einfach zusammenhängend. 
ß) Die Netze sind entweder insgesamt oder teilweise 
von unendlich hohem Zusammenhang. 

2. Die Grenzcurven sind sämtlich Kreise. 

cc) Die JSetze sind sämtlich einfach zusammenhängend. 
ß) Die Netze sind entweder alle oder teilweise unend- 
lich vielfach zusammenhängend. 
d) Eigeutliche Polyedergruppeu. 
Man wird diese Classification nach den bisher gesammelten Er- 
fahrungen zumeist ohne weiteres verständlich finden. Verschiedene 



1 {^Q 1. Allgemeine Tlieorie der discontiDuierlichen Gruppen aus J-Substitntionen. 

Gesichtspunkte werden freilich erst bei den Einzehmtersuchungen des 
folgenden Abschnitts zur endgültigen Erledigung kommen. Es betrifft 
dies jedoch nur solche Gruppen, welche wegen ihrer nebensächlichen 
Bedeutung unsere Aufmerksamkeit bisher nicht besonders auf sich 
zogen. Hierher gehören die doppeltperiodischen Gruppen III. b) sowie 
die mit ihnen verwandten Gruppen II. mit zwei Grenzpunkten, von 
denen wir oben (pg. 130) nur erst die Möglichkeit constatierten. Für 
die wohlbekannte Dreiteilung der Rotationsgruppen je nach der Lage 
des Centrums bringen wir hier die kurze und bezeichnende Ausdrucks- 
weise der „elliptischen" u. s. w. Rotationsgruppen in Vorschlag. Eine 
ausführlichere Gliederung orfordert hier nur die Classe der Hauptkreis- 
gruppen. Unter den Nichtrotationsgruppen haben wir alle diejenigen, 
welche auf der ^- Kugel uneigentlich discontinuierlich sind, also alle 
Tolyedergruppen im engeren Sinne, in IV. d zusammengefasst. 

Es sind hier noch einige historische Bemerkungen anzufügen. 
Zunächst ist nämlich zu erwähnen, dass Poincare in seinen wieder- 
holt genannten Abhandlungen „Theorie des groupes fuchsiens" und 
„Memoire siir les groupes lieineens" Classificationsprincipien für die 
Gruppen entwickelt*). Doch basiert Poincare seine Einteilung vor- 
nehmlich auf die Eigenart der Ecken und Kanten der Polygone und 
Polyeder, oime betreffs der Beschafi'enheit der gesamten regulären Ein- 
teilung bereits zu abgeklärten Anschauungen durchzudringen. Die 
Folge ist, dass Poincare's Entwicklungen an dieser Stelle jedenfalls 
unvollständig erscheinen, indem sie die Natur der Mannigfaltigkeit 
der Grenzpunkte nicht gehörig in den Vordergrund stellen. Dass die 
volle Rücksichtnahme auf diese letztere Mannigfaltigkeit zu einer prin- 
cipielleren Einteilung führt, braucht wohl nicht weiter erläutert zu 
werden**). 

Wir müssen hier auch noch einen Blick auf die von Poincare 
gebrauchte Terminologie der „Fuchs'schen" und „Klein'schen" Gruppen 
werfen. Als Fuchs'sche Gruppen bezeichnet Poincare die Hauptkreis- 
gruppen des ersten Typus (III, c,«), bei welchen uuin durch zweckmässige 
Auswahl von ^ zu reellen imimodularen Substitutionen geführt wird 
(cf. pg. 105). In allen übrigen Fällen lassen sich unter Gebrauch uni- 
inodularer Substitutionen coraplexe Coefficienten der Substitutionen nicht 
meiden, und die gesamten hierher gehörenden Gruppen fasst Poincare 
unter der Benennung „Klein'sche" Gruppen zusammen. 



*) Siehe Acta tnatbematica, Bd. 1 pg. 20 und Bd. 3 pg. 74. 
**) Vergl. hierzu auch Rittur, „Dk autonwrpiten Formen vom Geschlechte 
n/W/" in den Math. Annalen Bd. 41 pg. 7 (1892). 



I, 3. Ansätze zur Definition und Erzeugung der Gruppen. 167 

Diese Benennungen (welche sich des weiteren auf die zu den 
Gruppen gehörenden Functionen übertragen) entsprechen dem zu- 
falligen Entwicklungsgange, den Poincare's Arbeiten über die Grup- 
pen genommen haben. Poincare spricht sich hierüber in einem an 
Klein gerichteten und in den Mathem. Annaleu Bd. 20 pg. 52 ver- 
öffentlichten Briefe aus. Dass die Terminologie sachlich kaum zu- 
treffend sein dürfte, hat Klein bereits in den Mathem. Annalen Bd. 19 
pg. 564 und Bd. 21 pg. 214 dargelegt; sein Vorschlag, dem wir hier 
selbstverständlich folgen, ging dahin, beide Personalbenennuugen fallen 
zu lassen und je nach Bedürfnis durch Benennungen, die aus dem Wesen 
der Sache geschöpft sind, zu ersetzen. Leider hat Poincare, ohne im 
Princip Widerspruch zu erheben, sich diesem Vorschlage nicht ange- 
schlossen, sondern an dem Rechte des Erfinders, die Namen nach 
Gutdünken zu wählen, festgehalten. 

Es würde an sich nicht notwendig gewesen sein, hier auf diese 
Angelegenheit, die nur Formalien betrifft, zurückzukommen, und es 
geschieht nur, um die hier gegebene Darstellung gegen die sonstige 
Litteratur des Gegenstandes zu orientieren. Dabei handelt es sich 
nicht nur um die Poincare'schen Originalarbeiten, sondern um die 
Publicationen zahlreicher Autoren, welche Poincare's Terminologie 
schlechthin acceptiert haben. Wir können hier die generelle Mah- 
nung nicht unterdrücken, dass man die Arbeiten Poincare's bei 
allem ihren Reichtum an neuen und weittragenden Gedanken in 
ihren thatsächlicheu Resultaten vielfach nicht ohne Kritik aufneh- 
men sollte. In der That sind diese Arbeiten vielfach nur Skizzen 
der mit aller Mächtigkeit der Intuition auf den Verfasser eindrin- 
genden Ideen, die unmittelbar niedergeschrieben und nicht im Ein- 
zelnen abgeglichen sind. Um nur bei einem direct zum vorliegen- 
den Paragraphen gehörenden Gegenstande stehen zu bleiben, so sagt 
Poincare in dem mit „Classification" überschriebenen § 6 seiner Arbeit 
Ober die Klein'schen Gruppen wörtlich Folgendes: „Nous classerons 
„d'abord les polyedres generateurs d'apres le nombre de leurs faces 
„de la 2® sorte*). C'est la en effet uu point fort important; cur si 
„un polyedre P^ a n faces de la 2® sorte, le plan des ^i] se trouve 
„divise eu n parties et chacune de ces parties en une infinite de poly- 
„gones R de teile fa^on qu'ä chaque Substitution du groupe corre- 
„sponde un polygone R et un seul.'* Der Leser des vorigen Kapitels 
weiss, dass sich in diesem für allgemeines n ausgesprochenen Satze 



*) Randflllcben der Polyeder, die von Teilen der j;- Kugel bez. -Ebene ge- 
bildet »ind. 



168 1- Allgemeiae Theone der discoatinuierlichen Gruppen aus J- Substitutionen. 

eine völlig missverständliche Auffassung über die thatsächlich hier 
vorliegenden, und zwar principiellen Verhältnisse documentiert*). 



§ 7. Von der Erzeugiing der Gruppen und den zwischen den 
erzeugenden Substitutionen bestehenden Relationen. 

Die Erörterungen, welche wir über die Erzeugung der Gruppen 
hier auszuführen haben, sind zwar ihrem Wesen nach in keiner Weise 
auf Discontinuitätsbereiche mit einer endlichen Anzahl von Randcurven 
bez. -fläclien eingeschränkt. Aber die Übertragung auf Polygone mit 
unendlich vielen Seiten und Polyeder mit unendlich vielen Randflächen 
vollzieht sich, wo es nötig wird, ohne Schwierigkeit; und es ist andrer- 
seits die Annahme endlicher Seiten- bez. Flächenanzahl eine Erleich- 
terung für die Darstellung, so dass wir diese Annahme hier ausdrück- 
lich machen wollen. 

Wir beginnen die Betrachtung hier wieder mit den unter III, c, a 
der Tabelle pg. 165 rubricierten hyperbolischen Kotationsgruppen, 
welche von den Bewegungen der hyperbolischen Ebene geliefert werden. 
Es sei vor allem im EUipseninnern der projectiven Ebene ein Polygon 
Pq als Discontinuitätsbereich einer Gruppe dieser Art, die wir F nen- 
nen, in richtiger Weise ausgewählt. Die nicht von Stücken der Ellipse 
gelieferten Seiten von P^ sind zu Paaren einander zugeordnet. Ist n 
die Anzahl der Seitenpaare, so wird die Zuordnung vermittelt durch 
gewisse n Substitutionen F^, Fg, . . ., F„, die wir uns sogleich in ihrer 
Gestalt als unimodulare, und zwar hier reelle, g- Substitutionen gegeben 
denken können. Entsprechend der Gegenseitigkeit der Zuordnung der 
Randcurven werden wir mit der einzelnen Substitution stets auch deren 
inverse als gegegeben ansehen. 

Belegen wir ein beliebiges Polygon P der zu V gehörenden Ein- 
teilung des EUipseninnern mit derjenigen Substitution F von F als 
mit einem Namen, welche das Ausgangspolygon P^ in P transformiert, 
80 bekommt Pq den Namen F^ = 1. Das Ausgangspolygon 7^ aber 
erscheint umgeben von den 2w Polygonen F^', V'^\ . . ., F^\ und 
in derselben Weise erscheint ein beliebiges Polygon P der Einteilung 
mit dem Namen F umgeben von den 2n Polygonen VV-\ VV^^^ ..., 
VV- **). Wendet man diesen Satz auf die successive Entstehung des 

*) Vergl. hier/.)i Schlesinger in Crelle'y Journal Bd. HO pg. 134 und l.SfS. 
•*) Die Zahl 2n der umgebenden Polygone reduciert sich in leicht erflicht- 
licher Weise, sobald unter den Subatitutionen V^ , . . . , F„ eine oder mehrere ellip- 
tisch von der Periode 2 sind. 



I, 3. Ansätze zur Definition und Erzeugung der Gruppen. 169 

Polygonnetzes von P^ aus an, so ergiebt sich, dass die zu irgend 
einem bestimmten Polygon P gehörende Substitution V durch eine 
endliche Anzahl von Kombinationen von Substitutionen aus der Reihe 
r- , V- , F- , . . , V- erzeugt werden kann. Wir gewinnen den 
übrigens aus „M." I bereits sehr bekannten Satz: Die n Substitutionen 
Fj , Fg , . . . , F„ bilden ein System von erzeugenden Substitutionen der 
Gruppe r, und die thatsächliche Herstellung aller Substitutionen von F 
aus Vi, . . ., V„ entspricht der Erzeugung des gesamten Polygonnetzes von 
Pq aus. Man kann diesen Umstand symbolisch durch die Gleichung: 

(1) F=77(F„ F., .... F.) 
oder etwas mehr ausführlich durch: 

(2) V = F"' • F"' • • • • V"'' 

andeuten, wo der einzelne der unteren Indices a, deren Anzahl v be- 
liebig gross ist, eine Zahl aus der Reihe 1, 2, . . ., >t darstellt und 
die «i, a.^, . . . irgend welche positive oder negative ganze Zahlen sind, 
während die Combination der Substitutionen durch Multiplication ihrer 
Symbole angedeutet ist. 

Die Erzeugenden der Gruppe F sind natürlich durchaus von der 
Auswahl des Discontinuitätsbereichs P,, abhängig, und es ist nicht 
einmal ihre Anzahl n hierbei invariant. Doch werden wir baldigst in 
der Theorie der kanonischen Discontinuitätsbereiche sehen, dass bei 
jeder Gruppe für die Anzahl n ein eindeutig bestimmtes Minimum 
existiert. 

Es entsteht nun die Frage, auf wieviel verschiedene Weisen sich 
die einzelne Substitution F von F in der Gestalt (1) darstellen lässt. 
Diese Frage ist, wie man leicht bemerkt, vollständig mit der folgen- 
den beantwortet: Welches sind die für die Erzeugenden F^, . . ., F„ be- 
stehenden, d. h. unabhängig von t, gültigen Belationett : 

oder noch kürzer geschrieben /7(F, , . . ., F„) = 1? Um hierauf zu ant 
Worten, betrachten wir die Ecken der Polygonteilung näher. 

Die nachfolgende Überlegung wird man sich zweckmässig mit 
Hülfe der Figur 30 pg. 112 im einzelnen klar machen; doch müssen 
wir hier sogleich allgemein argumentieren. Sei zu diesem Ende E 
irgend eine Ecke von P^, um welche ein Cyclus von v Polygonen 
gelagert ist, Py selbst mit gerechnet. Man umkreise E etwa im Sinne 
wachsender Winkel und findet dabei als zu den durchlaufenen Poly- 
gonen zugehörig die Substitutionen: 



I 



170 I- Allgemeine Theorie der discontimiierlichen Gruppen aus ^[-Substitationen. 

a, ' a, «1 ' rtj «i «1 ' ' «v fly 1 Ol ' 

WO die £ entweder -{- 1 oder — 1 bedeuten. Da das v**' Polygon des 
Cyclus wieder mit Pq identisch ist, so besteht die Relation: 

(3) F'' • F*' -1 • • • F'' = 1 oder auch F~'' • F~'^ • • • F"'" = 1 . 

Die Bedeutung der in dieser Formel auftretenden Substitutionen F«,, 
l^fl,» • • ') ^a^ können wir unmittelbar angeben, indem wir die mit E 
zu einem^ Cyclus voreinten Ecken Fj^^ E^, ..., -R'v—i von Po einführen: 
es werden durch Va^. die beiden einander zugeordneten Randcurven von 
Ek nnd Ek—i correspondieren. Wir schliessen hieraus: die Factoren 
des symbolischen Productes auf der linken Seite von (3) sind alle von 
einander verschieden oder wiederholen sich fi Male periodisch, je nach- 
dem E eine zufällige oder eine zur Periode /u gehörende elliptische Ecke 
ist. Auf diese Weise ergiebt sich: Ist m die Anzahl der Cyclen, tvelcJx 
die im ElUpseninnern gelegenen Eclen von P^ bilden, so finden wir diesen 
Cyclen entsprechend m verschiedene wesentliche Relationen (3j für die Er- 
zeugenden Fj, . . ., F„, wobei im Falle eines zur Periode (i gehörenden 
Cyclus elliptischer EcJcen die linke Seite von (3j als (i^^ Potenz geschrieben 
iverden kann. 

Als Beispiel möge hier vorderhand die Modulgruppe dienen, für 
welche diese Verhältnisse in „M." I pg. 452 erörtert sind. Man be- 
merke überdies, dass bei einem Normalpolygon für gewöhnlich zu einer 
zufälligen Ecke eine dreigliedrige Relation F«, • Va^ • Fa, = 1 gehört, 
während eine elliptische Ecke eine Relation der Gestalt Fa = 1 liefert. 

Es gilt nun aber weiter der Satz: Mit den m von den Ecken des 
Polygons P^ gelieferten BMationen sind bereits alle ivesentlichen Relationen 
gewonnen, welche für die erzeugenden Substitutionen Fj, Fj, . . ., F„ be- 
stehen^ d. h. alle überhaupt existierenden Relationen lassen sich in einer 
sogleich noch näher zu bezeichnenden Weise atis jenen m Relationen her- 
stellen. Beim Beweise dieses Satzes bleibt die für die Modulgruppe in 
„M." I pg. 452 ff. durchgeführte Überlegung nicht nur vollgültig be- 
stehen, sondern sie erweist sich sogar auch jetzt noch als völlig aus- 
reichend, so dass es genügen wird, wenn wir hier nur die Gesichts- 
punkte der fraglichen Überlegung kurz andeuten. 

Liegt irgend eine Relation: 

(4) F"' . F"* • • • V"* = 1 

vor, welche links insgesamt N= a^ -\- cc^ -{-•■-{- et, symbolische Fac- 
toren aufweist, so bilde man die iV -|- 1 Substitutionen: 



], 3. Ansätze zur Definition und Krzeugung der Gruppen. 171 

wobei jede folgende Substitution aus der nächst vorhergehenden durch 
Zusatz eines weiteren Factors entsteht. Von den zugehörigen iV -f- 1 
Polygonen des Netzes ist jedes mit dem folgenden benachbart, und das 
letzte ist mit dem ersten identisch. Als Gegenbild der Relation (4) 
eutspringt solcherart eine geschlossene Kette von Polygonen des Netzes, 
und umgekehrt liefert auch jede solche Kette leicht ersichtlich eine 
Relation für die Erzeugenden Fj , F,, . . ., F«. 

Es ist nun eine Erleichterung für die Anschauung, wenn wir, wie 
auch in „M." I 1. c. an der Stelle der Kette der Polygone' eine die 
Polygonecken überall meidende geschlossene Curve C treten lassen, 
längs welcher die Polygone der Kette in richtiger Folge angereiht 
sind. Diese Curve C ist dann insoweit willkürlich, dass sie im Innern 
des einzelnen Polygons in ihrem Verlauf beliebig abgeändert werden 
darf, und dass auch die Ein- und Austrittstelle über ihre bezüglichen 
Seiten, jedoch nicht über die Ecken hinaus verschoben werden mögen. 

Ziehen wir, wie Figur 39 andeutet, die Curve C aus einem Po- 
lygon P ohne Überstreichung einer Ecke in ein benachbartes Polygon 
P' hinüber, so bedeutet das die Einschaltung zweier 
sich identisch aufhebenden Factoren V^'V~' an ge- 
wisser Stelle auf der linken Seite von (4); es ist dies 
eine unwesentliche oder, wie wir sagen wollen, iden- 
tische Umformung der Relation (4). Durch wieder- 
holte Anwendung der bezeichneten Veränderung von 
C kann man, wie 1. c. noch näher ausgeführt wird, pjg 39 

die Curve C in eine Reihe von „Schleifen" auflösen, 
die alle von P^ ausgehen und nur je eine Polygonecke der Einteilung 
umkreisen. Die Relation (4) lässt sich somit durch identische Um- 
formung auf die Gestalt bringen: 

(5) /7,(F„...,F„)-/7,(F„...,F„V../7,(Fi,...,FJ = l, 

wo sich die links stehenden Factoren auf die fraglichen Schleifen be- 
ziehen, deren Anzahl A sein mag. 

Hier ist nun offenbar jeder der A Factoren bereits selbst gleich 1 
und stellt in einer nur unwesentlich veränderten Gestalt eine schon 
im Anschluss an die Ecken von P^ in (3) construierte Relation dar. 
Es basiert dieser Umstand einfach auf der Thatsaclu-, dass jede in 
der Polygunteilung überhaupt vorkommende Ecke mit einer Ecke von 
Pq äquivalent ist. Um etwa für den ersten Factor von [b) die iden- 
tische Umformung in die betreffende Relation (3) etwas näher zu be- 
schreiben, so wird man zuvörderst eine geeignete cyclische Vertauschung 
der Factoren in der fraglichen Relation (3) vornehmen, was etwa 




172 1 Allgemeine Theorie der discontinuierlichen Gruppen aus ^[-Substitutionen. 

jTj ( Fj, . . ., F„) = 1 liefere. Sodann hat man mit Hilfe einer gewissen 
Substitution V: 

n,{v„...,v.)= v-^-jt,{v„...,v„)-v 

zu setzen oder auch unter Darstellung von V durch F, , . . ., F„: 

Beide hiermit vollzogene Umformungen der ursprünglichen Relation (3) 
sind unwesentliche oder identische Umformungen. Die Relationen (4) 
führen demnach stets auf die schon in (3) gewonnenen Relationen 
zurück, deren Vollständigkeit im behaupteten Sinne somit erwiesen ist. 
Es sei gestattet, hier noch zwei kurze Bemerkungen anzuschliessen. 
Einmal nämlich wird man sich sofort überzeugen, dass die w aufge- 
stellten Relationen für die F,, ..., F„ als Folgen der unter IIL pg. 148 
formulierten Eigenschaften der Polygonecken angesehen werden kön- 
nen. Auf der anderen Seite bemerke man, dass die „M." I pg. 455 
gegebenen Betrachtungen über Gruppenisomorphismus sich auf die 
vorliegenden Verhältnisse ohne weiteres übertragen. Sind irgend n 
gleichartige Operationen [/,, C/g, . . ., ün fähig, durch Combination 
eine Gruppe von Operationen derselben Art zu erzeugen, so ist diese 
Gruppe mit F genau isomorph, falls zwischen den ü dieselben Re- 
lationen bestehen, wie zwischen den V *). 

§ 8. Fortsetzung: Die Erzeugenden und ihre Relationen bei 
Polyedergruppen sowie bei beliebigen Polygongruppen. 

Bei der Übertragung unserer Überlegungen auf die Polyeder- 
teilungen des projectiven Raumes soll es zunächst ganz gleichgültig 
sein, ob das Polyeder /Z^ einer nun vorgelegten Gruppe V die Kugel 
höchstens in Punkten erreicht oder ob nach den Vorstellungen aus 
dem Anfang des vorliegenden Kapitels unter den Randflächen von 77,, 
auch Teile der Kugeloberfläche vorkommen. Stets sind die Schluss- 
weisen des vorigen Paragraphen unmittelbar und vollständig auf 11^ 
und die zugehörige Gruppe F anwendbar, wie hier nur kurz angedeutet 
zu werden braucht. 

Die nicht auf der Kugeloberfläche gelegenen Randflächen oder 
Seiten von /7f, sind zu Paaren einander zugeordnet und, wenn im 

*) Man vergl. hierzu die in „M." I p«;. 466 gegebenen Citate auf Arbeiten 
von Cayley und Dyck. In der betreffenden Arbeit von Dyck (Mathem. Ann. 
Bd. 20 pg. 1 ff.) haben, wie es dem ausschliesslich gruppentheoretischen Charakter 
der dort gegebenen Entwicklungen entspricht, die zur Verwendung kommenden 
Polygonnetze nur eine schematische und keineswegs absolute Bedeutung. 



I, 3. Ansätze zur Definition und Erzeugung der Gruppen. 17!-i 

ganzen n solcher Paare vorliegen, so möge diese Zuordnung in be- 
kannter Weise durch die n Substitutionen F^, Fg, . . ., F„ vermittelt 
sein. Es sind alsdann F^, Fg, . . ., F„ die dem Polyeder 77^ entsprechen- 
den erzeugenden Substitutionen der Gruppe F, und die Herstellung des 
gesamten Polyedersystenis von 11^^ aus ist ein Bild für die Erzeugung der 
Gruppe r aus T',, F,, . . ., F„. 

Die im Kugeliunern gelegeneu Kanten von 11^ mögen sich zu ni 
Cyclen zusammenschliessen, die entweder elliptischen oder zufälligen 
Charakter haben. Diese m Cyclen von Kanten liefern m ivesentlich ver- 
schiedene Relationen : 

(1) V .F^'-'-F'" = 1 

zwischen den erzeugenden Sid)stitutionen , wobei im elliptischen Falle auf 
der linken Seite von (1) etwa fi-malige Wiederholung derselben Factoren- 
folge eintritt. Diese Relationen sind wieder die Folgen der unter III 
pg. 150 formulierten Eigenschaften der Polyederkanten. Im übrigen 
bemerke man, dass sie bei Gebrauch von Normalpolyedern für gewöhn- 
lich die einfachen Gestalten f\Va^Va^ = 1 und F^ = 1 annehmen. 

Auch der Beweis des Satzes, dass ausser den m gewonneneti Re- 
lationen zwischen den V^, V2, ..., F„ ivesentlich neue Relationen nicht 
mehr bestehen Jcönnen, lässt sich durch die im vorigen Paragraphen 
entwickelte Überlecfung führen. Jede etwa bestehende Relation ver- 
sinnlichen wir vermöge einer die Polyederteilung durchziehenden ge- 
schlossenen Curve C, welche die Kanten und Ecken der Einteilung 
meidet. Durch unwesentliche Abänderungen, welche identische Um- 
formungen der zugehörigen Relation im Gefolge haben, lässt sich die 
Curve C in eine Anzahl von Schleifen auflösen, welche sämtlich von 
einem Punkte des Ausgangspolyeders TJ,, ausziehen und je nur eine 
Polyederkante umlaufen. Die weiter zum Belege unserer Behauptung 
führende Überlegung gestaltet sich genau wie im vorigen Paragraphen. 

Die eigentlichen Polyedergruppen sind hiermit vollständig erledigt. 
Aber auch für diejenigen Gruppen, welche bereits auf der ^- Kugel 
eigentlich discontinuierlich sind, werden die Fragen nach den erzeu- 
genden Substitutionen und ihren Relationen unter Rückgang auf die 
Polyederteilung vollständig und in einfachster Weise gelöst. Gleich- 
wohl ersclieinen die folgenden zusätzlichen Ausführungen über diese 
letzteren Gruppen noch am Platze. 

Indem wir für den Augenblick unter Wiederaufnahme der frühe- 
ren Vorstellung das Polyeder //„ in seiner Gesamtausdehnung, d. h. 
;uicli über die Kugel hinausgreifend, auffassen, kann der Fall eintreten. 
dass dif» gesamten Polyederkanteu ausserhalb der Kugel verlaufen. In 



I 



174 I- Allgemeine Theorie der discontinuierlichen Gruppen aus ^Substitutionen. 

der That lieferte die im Auschluss an Figur 25 pg. 104 betrachtete 
Gruppe ein hierher gehörendes Beispiel. Wollen wir uns hier der 
Einfachheit halber der Normalpolyeder bedienen und nun TZq gleich 
wieder auf das Kugelinnere beschränken, so wird eine ebene Rand- 
fläche von Uq im Kugelinnern das Polyeder Uq stets sogleich in 
ihrer ganzen Ausdehnung begrenzen. Der IIq begrenzende Bereich der 
Kugeloberfläche ist von 2n vollständigen Kreisen eingegrenzt, die ent- 
weder durchaus getrennt von einander verlaufen oder im Grenzfall 
einander auch irgend wie berühren dürfen. Da im Kugelinnern nun 
überhaupt keine Kanten auftreten, so bestehen für die hiermit charalc- 
terisierten Gruppen yar Jceine Relationen zwischen den erzeugenden Sub- 
stitutionen. Wir kommen auf diese Gruppen unten bei verschiedenen 
Gelegenheiten ausführlich zurück. 

Weiterhin wollen wir uns auf solche Gruppen beschränken, welche 
durch Angabe eines einzelnen Polygons Pq definiert werden können. 
Diese Gruppen wurden im Verlaufe von § 5 pg. 160 S. ausführlich be- 
sprochen. Wir fanden u. a., dass die Randcurven von Pq auf die 
Randflächen des zugehörigen Polyeders Uq im Kugelinnern wechsel- 
weise eindeutig bezogen waren, sowie vor allem, dass das zu Pq ge- 
hörende Polygonnetz N nur mit sich selbst äquivalent ist, selbst wenn | 
die zur Gruppe gehörende Einteilung der gesamten Kugeloberfläche ' 
noch unendlich viele weitere Netze darbietet. 

Man nehme nun zuvörderst an, das zu Pq gehörende Netz N sei 
einfach zusammenhängend. Dieses Netz besitzt dann eine geschlossene 
Grenzcurve, ausserhalb welcher entweder ein oder unendlich viele 
weitere Netze sich finden; Pq selber ist hier notwendig einfach zu- 
sammenhängend. Jeder geschlossenen Kette von Polyedern entspricht 
nun eine geschlossene Kette von Polygonen des Netzes N und umge- 
kehrt. Dabei Jiönnen wir dank dem einfachen Zusammenhange von JN 
hier genau wie bei den Gruppen der hyperbolischen Ebene verfahren und 
gewinnen so ivie dort die gesamten m Relationen. Die Ecken der Poly- 
gouteilung erscheinen hier eben wechselweise eindeutig auf die Kanten 
der Polyederteilung bezogen. 

Ist ferner N unendlich vielfach zusammenhängend, so kann dies ent- 
weder durch unendlich viele isoliert liegende Grenzpunkte oder durch 
unendlich viele Grenzcurven eintreten. Ob das eine oder andere der 
Fall ist, macht für unsere Überlegung keinen wesentlichen Unterschied 
aus; die Formulierung der Sätze möge sich etwa auf den Fall unend- 
lich vieler Grenzcurven beziehen. Wir haben hierbei eine Fallunter 
Scheidung nach dem Zusammenhang des Ausgangspolygons P„ selber 
zu treffen. 



I, 3 Ansätze zur Definition nnd Erzeugung der Gruppen. 175 

Tst erstlich Pj, einfach zusammenhängend, so können wir wegen 
des unendlich hohen Zusammenhanges von N beliebig viele geschlos- 
sene Polygonketten nachweisen, deren zugehörige Curven C sich nicht 
in Schleifen um die Eckpunkte von N auflösen lassen. Es steht hier 
ja sofort frei, im Innern von N um eine und damit sogleich um un- 
endlich viele Lücken herum eine geschlossene Curve zu legen, welche 
sich ersichtlich nicht mehr allein in Schleifen um die Eckpunkte auf- 
lösen lässt. Relationen zwischen den V^, V.,, . . ., T'„, welche man aus 
den Eckpunkten des Netzes nach der bisher befolgten Art gewinnt, 
mögen nun als primäre Relationen bezeichnet werden; ihnen reihen sich 
als secundäre Relationen alle diejenigen an, welche im Falle nicht ein- 
fach zusammenhängender Netze von geschlossenen Curven der letzten 
Art herrühren*). 

Während nun die primären Relationen von den Ecken des Poly- 
gounetzes N aus sich ohne weiteres erledigen, sind die secundären 
ohue Recursion auf die Polyederteilung nicht recht verständlich; doch 
klärt sich ihre Eigenart ohne weiteres auf, wenn wir die Polyeder- 
teilung wieder in Betracht ziehen. Unter den von den Kanten des 
Polyeders Üq zu liefernden gesamten m Relationen mögen Wij primäre 
auch aus den Ecken von Pq abzuleiten sein. Es bleiben dann eben 
noch m^ = m — m^ secundäre Relationen übrig ^ uelche von den Cyclen 
derjenigen im Innern der ^- Kugel gelegenen Kanten von Uq geliefert wer- 
den, deren eingrenzende Rand flächenpaare nicht benachbarte Randcurven 
von Pq liefern. Die hier zur Geltung kommenden Kanten reichen eben 
nicht bis an die ^- Kugel heran, so dass ihnen keine Polygonecken 
entsprechen. Die v um eine solche Kante herumliegenden Polyeder 
liefern eine gürtelförmig auf der ^-Kugel gelegene Kette von Polygonen 
des Netzes N. 

Auf die Constitution des Polygonnetzes N fallt von diesem Re- 
sultate aus neues Licht. Sehen wir für den Augenblick das Hinwei;- 
schieben einer Curve C über Ecken der Einteilung als erlaubt an, so 
giebt es immer noch w, inäquivalente Classeu elementarer geschlosse- 
ner Wege in N, d. h, solcher Wege, welche sich ohue Hinwegschiebung 
über Grenzpunkte oder Lücken nicht auf Punkte zusammenziehen lassen. 
Der allgemeinste geschlossene Weg in ^' lässt sich aus elementaren 
Wegen dieser Art aufbauen. 

Arbeiten wir mit ebenflächigeu Polyedern, wie wir hier der Ein- 
fachheit halber voraussetzen wollen und was ja z. B. beim Gebrauch 



*) Vergl. hierzu K. Ritter, „Dtc eindeutigen automorphen b'ortiun tum Ge- 
V Idechte null", Matliem. Ann., Bd. 41 pg. « (1892). 



I 



176 I Allgemeine Theorie der discontinuierlichen Gruppen aus f Substitutionen. 

vun Normalpolyederu immer der Fall sein würde, so sind die Rand- 
curven von Pq aussc 
secundären Relation: 



curven von P^ ausschliesslich Kreise. Fixiert man nun den zu einer 



gehörenden Gürtel von Polygonen P^, F^, . . ., P,., so erscheinen diese 
Polygone von einander durch v Kreisbogen abgegrenzt, die durch zwei 
gemeinsame Punkte laufen. Man könnte diese Punkte als „ideale" Ecken 
bezeichnen, wobei immer noch zwischen zufälligen und elliptischen 
Ecken zu unterscheiden wäre; und man findet solchen idealen Polygon- 
ecken die secundären Relationen in genau derselben Art zugehörig, 
wie den realen Ecken die primären. Man bemerke zum Schluss: P^ 
(und damit jedes Polygon) gehört v unterschiedenen Gürteln der vor- 
liegenden Classe au, falls es sich um eine zufällige Ecke handelt, da- 
gegen Vq Gürteln, wenn der elliptische Fall der Periode ft vorliegt und 
Vq^ = V gesetzt wird. 

Etwas mannigfaltiger gestalten sich die Verhältnisse, falls P^^ 
mehrfach zusammenlmngend ist; doch lassen sich natürlich auch hier 
alle etwa eintretenden Fragen nötigenfalls durch Rückgang auf die 
Polyederteilung leicht beantworten. Man stelle sich vor, P^ sei von 
einer im Netze N geschlosseneu Curve G durchzogen, welche eine 
in Pq vorhandene Öffnung umschliesst. In dieser Öffnung werden 
unendlich viele weitere Polygone und also auch Grenzpunkte des 
Netzes N liegen. Gleichwohl können wir C ohne jede Änderung der 
zugehörigen Relation zwischen den F^, F^, . . ., F„ über die in Rede 
stehende Lücke hinüberschieben, was man zumal unter Rückgang auf 
die Polyederbilduug unmittelbar verständlich finden wird. Lüsst sich 
nun jede Curve C des Netzes durch derartige Abänderungen und übrigens 
Himvegschiebung über Ectcen auf einen Punkt zusammenziehen, so treten 
trotz unendlich hohen Zusammenhanges von N nur primäre Relationoi 
ein. Wir haben hierbei die Begriffe der primären und secundären 
Relationen in sofort verständlichem Sinne allgemein gebraucht und 
bemerken übrigens, dass sich der oben besprochene Fall, in welchem 
überhaupt keine Relation zwischen F^, Fo, . . ., F„ vorhanden ist, hier 
einordnet. 

Letzten Endes ist es möglich, dass nicht jede geschlossene Curve 
C durch Abänderungen der gedachten Art auf einen Punkt zusammen- 
gezogen werden kann. Es erfordert dies, wie wir nebenher bemerken 
wollen, notwendig das Auftreten von Ecken und damit von primären 
Relationen. Dann treten wieder secundäre Relationen auf; ist »Wj die 
Anzahl der primären Relationen, so bleiben m.j = m — tn^ Cyclen von 



I, 3. Ansätze zur Definition und Erzeugung der Giuppeu. 177 

Kanten des Polyeders Uq über, die gänzlich im Innern der Kugel ver- 
laufen, und denen demzufolge keine Ecken von P^, entsprechen; diese 
Cyclen liefern die secundilren Relationen. Die Behandlung der secun- 
dären Relationen auf Grund der das Netz N nicht erreichenden Kanten 
von Uq gestaltet sich wi vollen Umfange genau so, wie im schon erledigten 
Falle eines einfach zusammenhängenden Polygons Fq. 

Hiermit ist die allgemeine Besprechung der Gruppenerzeugung 
beendet. 

§ 9. Einführung der geschlossenen bez. teilweise geschlossenen 
Flächen bei Polygongruppen erster und zweiter Art. 

Behufs Einführung neuer wichtiger Gestalten der Discoutinuitäts- 
bereiche bei Polygongruppen, sowie um die späteren functionentheo- 
retischen Untersuchungen vorzubereiten, wollen wir jetzt von der in 
„M." I aufs häufigste angewandten Maassregel Gebrauch machen, ein 
einzelnes Folygmi durch Zusammenhiegung seiner auf einander bezogenen 
Randcurven in eine im Räume gelegene Fläche F zu verwandeln. Wir 
wollen hierbei auch im Falle der Rotatiousgruppen an ein auf der 
^-Kugel gelegenes Polygon anknüpfen. Haben wir dann ein Polygon der 
ersten Art, so ist die Fläche F eine vollständig geschlossene; von diesem 
Falle handeln wir zunächst allein*). 

Es sei sogleich ausdrücklich betont, dass die geschlossenen Flä- 
chen hier einstweilen allein im Sinne der analysis situs in Unter- 
suchung gezogen werden, und dass sie überhaupt nur erst in diesem 
Sinne als bestimmt anzusehen sind. Es wird späterhin erst noch aus- 
führlicher Untersuchungen bedürfen, die Gestalt der Fläche genauer 
zu fixieren und ihre Beziehung zum Polygon analytisch zu fundieren. 
Immerhin ist es eine wesentliche Erleichterung der Sprechweise, wenn 
wir die Beziehung der geschlossenen Fläche zum Polygon und damit 
zur i;-Kugel schon hier als eine im allgemeinen „conforme" benennen; 
wir wollen damit hier nur zum Ausdruck bringen, dass die Umgebung 
eines Punktes der ^- Kugel im allgemeinen eindeutig auf die Umgebung 
des zugeordneten Flächenpunktes bezogen ist. 

In „M." I erschien die Fläche der zugehörigen Gruppe eindeutig 
zugeordnet. Dasselbe ist hier vielfach, aber keineswegs stets der Fall. 



*) Bei einer Hiiuptkreisgriippe des ersten Typus, die auf dem llauptkreise 
eigentlich discontinuierlich ist, würde ein für die eine durch den Hauiitkrois abge- 
trennte Kalotte gebildetes Polygon, für sich genommen, nach früheren Entwick- 
lungen ein Polygon zweiter Art sein. Man hat in diesem Falle, wie wir kurz in 
Erinnerung bringen, das am Hauptkreis entworfene Spiegelbild anzufügen und auf 
das so vervollständigte Polygon den im Texte bezeichneten Process anzuwenden. 

Friuku- Kloi u, Aittoinorphu Funotiouuii. I. 12 



I 



178 J- Allgemeine Theorie der discontinuierlichen Gruppen aus ^-Substitutionen. 

Man erinnere sich nämlich, dass der Discontinuitätsbereich einer Poly- 
gongruppe allgemeiuster Art aus ^ getrennten Polygonen P,,, 1\', . . ., 
Pq"~^^ besteht, wobei die Randcurven jedes Polygons immer nur wieder 
auf Randcurven desselben Polygous bezogen sind. Hier also würden 
wir ;u. unterschiedene Flächen als der Gruppe zugehörig finden; und 
es sind z. B. die Geschlechtszahlen |), d. h. die Grade des Zusammen- 
hanges dieser Flächen, wie wir noch sehen werden, in keiner Weise 
an einander gebunden. 

Die einzelne der eben betrachteten Flächen F können wir offen- 
bar derjenigen Untergruppe F zuordnen, welche alle Substitutionen 
des vom zugehörigen Polygon Pq zu erzeugenden Netzes in sich um- 
fasst. Es ist bei dieser Sachlage zweckmässig, dass ivir uns liier gleich 
wieder auf Gruppen F heschränicen , hei denen ein nur mit sich selbst 
äquivalentes Netz N auftritt, die also durch ein einzelnes Polygon P„ 
vollständig definiert tverdcn liönnen. Doch bemerke mau, dass die Fläche 
der Gruppe auch dann noch nicht eindeutig zugeordnet ist; denn auch 
bei einer Gruppe der eben gemeinten Art kann der Discontinuitäts- 
bereich neben Pq weitere Polygone P„', P,/', . . . enthalten, welche 
ihrerseits auf ganz andere Flächen führen als Pq. Wo auf der Ein- 
dcutiglieit besonderer Nachdruck liegt, werden wir also die Fläche F als 
Attribut des Polygons P^ bez. des von ihm erzeugten Netzes und nicht als 
Attribut der Gruppe F ansehen. 

Die mechanische Umgestaltung eines Polygons Pq in die zuge- 
hörige Fläche F ist zumeist um.ständlich, begrifflich hat diese Ope- 
ration jedoch keinerlei Schwierigkeiten. Übrigens ist durchaus erlaubt, 
das Polygon P^ vermöge der Zusammcngehörigleit seiner Piandcurven direct 
als geschlossene JSlannigfaltiglicit anzusehen, indem wir, wie auch in „M." J 
häufig, die einander zugeordneten Randpunkte direct identisch setzen. 
Halten wir an der Vorstellung der im Räume geschlossenen Fläche 
fest, so haben wir vor allem folgendes zu constatieren: Durch die 
Beziehung des Polygons Pq auf F ist sogleich eine Beziehung des gesamten 
zu Pq gehörenden Polygonnetzes N auf die Fläche F festgelegt; diese Be- 
ziehung ist im allgemeinen eine conforme in dem oben verabredeten Sinne, 
indem sie nämlich einzig in den elliptischen und paraholischen Ecken in 
einer aus „M." I bekannten Art den Charakter der Conformität einhüsst. 
Wir kommen hierauf bei den späteren functionentheoretischen Unter- 
suchungen zurück. 

W^enn wir eben die Frage discutierten, inwieweit der einzelnen 
Gruppe eine zugehörige Fläche F eindeutig zugeordnet war, so hatteu 
wir dabei die Invarianz von F gegenüber erlaubter Abände)-ung von P„ 
bereits stillschweigend vorausgesetzt. Um hierauf jetzt etwas näher 



I, 3. Ansätze zur Definition und Erzeugung der Gruppen. 179 

einzugehen, so denken wir auf der geschlossenen Fläche F die von 
den zusammengehefteten Randcurven des Polygons P^, herrührenden 
Linien markiert. Wir fassen dieselben in bekannter Weise als ein 
Schnittsystem auf, durch welches die Fläche, ohne zerstückt zu werden, 
in eine einfach oder noch mehrfach zusammenhängende Fläche zerlegt 
wird, je nachdem P^ einfach oder mehrfach zusammenhängend ist. 
Eine erlaubte Ahünderung des Polygons ist nun auf der Flüche F ein- 
fach eine Abänderung in der Lage des Schnittsystems, bei ivelcher die 
Fläche als solche nnverändert bleibt. Insbesondere wird die den Grad 
des Zusammenhangs von P' messende Geschlechtszahl p der Fläche gegen- 
über erlaubter Abänderung invariant sein. Wir tverden demgcmäss das 
Geschlecht p als ein Attribut des Polygons Pq und dadurch mittelbar auch 
der Gruppe F ansehen, wie dies auch in „M/' I pg. 339 ff. geschah. 
Dabei bemerke man sogleich, dass im Falle eines einfach zusammen- 
hängenden Netzes N das hier in Rede stehende Schnittsystem die 
Fläche F in eine einfach zusammenhängende Fläche zerschneidet. 

Der Leser der Modulfuuctionen versteht ohne weiteres die func- 
tionentheoretische Wichtigkeit der hier entwickelten Vorstelluu2en. 
An gegenwärtiger Stelle können wir jedoch nur erst die gruppen- 
theoretisch-geometrischen Verhältnisse erörtern. Li dieser Hinsicht 
werden uns die geschlossenen Flächen sogleich zu einer neuen und 
wichtigen Gestalt der Discontinuitätsbereiche von Polygongruppen hin- 
führen. Bevor dies indessen ausgeführt wird, beanspruchen die Gruppen 
der ziveiten Art hier eine besondere Betrachtung, da sie an vorliegender 
Stelle in der That zur Aufstellung neuer Gesichtspunkte Aulass geben. 

Es sei irgend eine Polygongruppe zweiter Art J^ vorgelegt, welche 
durch Angabe eines einzelneu Polygons zweiter Art P„ definierbar ist. 
Lidern wir die pg. 138 eingeführte Bezeichnung der Seiten erster und 
zweiter Art für die Randcurven dieses Polygons P^ wieder aufnehmen, 
wird Pq wenigstens eine Seite der zweiten Art aufweisen. Längs der- 
selben wird mit P^ ein Polygon P^^ benachbart sein, welches aus P^, 
durch die Substitution zweiter Art \\^ der Gruppe F iiervorgeht. Die 
Polygone 7^ und P^, zusammen genommen liefern ein zur bessert>n 
Unterscheidung durch P„' zu bezeichnendes Polygon ersiir Art, welches 
der in /' enthaltenen ausgezeichneten Untergruppe F erster Art vom 
Index zwei zugehört. 

Wir untersuchen nun, welche Folgerungen diese Verhältnisse für 
die zum Polygon erster Art P„' gehörende geschlossene Fläche /" 
nach sich ziehen, und gehen zu diesem Ende auf die reguläre Ein- 
teilung zweiter Art der Polygone P„, P„, i*,, P^, ... zurück, die 
pg. L>7 eingeführt wurde. Üben wir die Substitution 1'^, aus, so geht 

12 * 



180 I- Allgemeine Theorie der discontinuierlichen Gruppen aus ^Substitutionen. 

Pq in P^ über und P^ '" ^^^ benachbartes Polygon P^, welches be- 
züglich r mit Pq äquivalent ist. Das Polygon erster Art P,,' geht 
somit in eine neue Gestalt über, die indes durch erlaubte Abänderiiug 
wieder genau in die ursprüngliche Lage zurückgeführt werden kann; 
die beiden Polygone zweiter Art P„ und P^ erscheinen dabei gerade 
ausgetauscht. Die gcsclüossme Fläche F' ivircl clenifjemäss der nicht 
weiter speciftcierten Substitution ziveiter Art V^ entsprechend eine Trans- 
formation zweiter Art, d. h. eine solche mit Umlegung der Winlcel, in sich 
erfaJtren. Bei dieser Transformation tauschen sich diejenigen beiden 
durch F und P' zu bezeichnenden Teile von F' aus, welche den Poly- 
gonen zweiter Art Pq und Pq entsprechen. 

Die aufgefundene Transformation der Fläche F' in sich ist nun 
V071 der Periode zivei, da die einmalige Wiederholung von T'„ eine Sub- 
stitution erster Art von F liefert. Dem entspricht es nach den in 
„M." I pg. 320 ff. entwickelten Vorstellungen, dass innerhalb F die 
Gruppe erster Art F eine ausgezeichnete Untergruppe vom Index zwei 
ist. Zugleich aber bedingt der Übergang von der Polygonteilung zur 
geschlossenen Fläche gegenüber den im vorigen Kapitel pg. 137 u. f 
geschilderten Verhältnissen eine wichtige Vereinfachung. Sollte eine 
reguläre Polygonteiluug zweiter Art eine i^gnunctrische sein, so mussten 
in der Gruppe F notwendig Substitutionen zweiter Art der Periode 
zwei enthalten sein, was aber keineswegs immei- der Fall war. Die 
aufgefundene Triinsformatiou der Fläche F' in sich ist immer von der 
Periode zivei, und F' heisst in diesem Sinne stets eine symmetrische 
Fläche. 

Wir haben auf diese Weise Anschluss an die Theorie der sym- 
metrischen Flächen gewonnen, welche von Klein wiederholt behandelt 
ist. Man vergl. vor allem die Schrift ,,Uber liiemanns Theorie der 
algebraischen Functionen und ihrer Integrale"*) pg. 72 ff., wo die frag- 
lichen Flächen zum ersten Male aufy;ezählt und in ihrer Eigenschaft 
als lliemann'sche Flächen näher betrachtet sind. Die Untersuchung 
von Weich old „Die symmetrischen Piemann' sehen Flächen und die Pc- 
riodicitätsmodidn der zugehörigen AbeV sehen Integrale"**) schliesst sich 
hier an, und es sei gestattet, auch auf die zahlreichen in „M." I be- 
trachteten Flächen unserer Art hinzuweisen. Auf den weiteren Ausbau 
der Theorie der symmetrischen P'lächen namentlich nach der functionen- 
theoretischen Seite ist Klein neuerdings in Vorlesungen zurückge- 
kommen, sowie in einem besonderen Aufsatze: ,,Vber Pealitäfsver- 



*) Leipzig (Teubner) 1882. 
**) Zeitschrift für Mathematik unil Physik, Bd. 28 pg. 321 (1883). 



I 






I, 3. Ausätze zur Definition und Erzeugung der Gruppen. 181 

hältnisse bei der einem heliehigen Geschlechte zugehörigen Normalcnnc 
der cp"*). 

Eiuige nähere Ausfiilirungen über symmetrische Flächen werden 
hier um so mehr am Platze sein, als dieselben von der Gestalt der 
Polygone zweiter Art in neuer Weise verständlich werden. Vs'w haben 
hier vor allem an die Symmetrielinien der einzelnen Fläche F' anzu- 
knüpfen, welche bei der Transformation zweiter Art der Fläche F' in 
sich Punkt für Punkt sich selbst eutspi-echen. Die einzelne solche 
Symmetrielinie ist eine geschlossene, nirgends eine Einknickung er- 
fahrende Curve auf F'. Es kann sehr wohl sein, dass Symmetrie- 
linien überhaupt nicht auftreten-, jedenfalls ist ihre Anzahl <p-\-l, 
unter p das Geschlecht von F' verstanden, wie 1. c. bewiesen wird. 

Die Symmetrielinien von F' rühren nun offenbar von den Sym- 
metriekreisen der in F enthaltenen Spiegelungen her. Die Seiten 
zweiter Art des Polygons P^, welche Teile solcher Spiegelkreise sind, 
reihen sich auf Grund der Zuordnung der Randeurven des Polygons 
zweiter Art Pq in geschlossene Ketten zusammen. Ist nämlich der 
Endpunkt einer fraglichen Polygonseite Fixpunkt einer elliptischen 
Substitution der Periode v, so reiht sich ein weiteres Glied der Kette 
unter dem Winkel ^ an-, den parabolischen Fall mögen wir hierbei 
mit V = oo subsumieren. Ist der Endpunkt eine zufällige Ecke, so 
reiht sich das nächste Glied erst nach Durchlaufung eines offenen 
Eckencyclus der Winkelsumme it an. Beides wird man leicht aus der 
Eigenart des Polygonnetzes ablesen. Die einzelne geschlossene Kette von 
Seiten ziveiter Art des Polygons P^, die ivir so bilden mögen, liefert mm 
ersichtlich eine geschlossene Symmetrielinie auf F'. Man wird dabei aus 
der fertigen Polygonteilung ohne besondere Mühe ableiten, dass die 
auf einander folgenden Glieder der einzelnen solchen Kette im allge- 
meinen äquivalenten Symmetriekreisen angehören, dass indessen in 
einem elliptischen Fixpunkte mit geradem v, den Fall v = <x> einge- 
schlossen, der Übergang auf einen nicht äquivalenten Symmetriekreis 
stattfinden kann. Die weitere Durchführung dieser Überlegung gehört 
der Einzeluntersuchung an. Wir begnügen uns mit der Angabe des 
Satzes, dass die Anzahl der Symmetrielinien auf F' die Anzahl der 
Classcn in F enthaltener Spiegelungen jedenfalls nicht iHiertrifft. Im Falle 
der Modulgruppe haben wir zicei Classen von Spiegelungen und eine 
Symnictrielinie. 

Es liegt sehr nahe, die symmetrischen Flächen von gleichem p 

*) Matbem. Annalen, Bd. 4-2 pj». 1 (lrt9'2); autographierto Vorlesungen über 
Biemanu'scbe Flftchen, Heft H (1891 — 92^. 



I 



182 I- Allgemeine Theorie der iliscontinuierlichen Gruppen aus J- Substitutionen. 

nach der Anzahl ihrer Symmetrielinien zu classificieren. Indessen 
würde eine solche Classification noch ungleichartige Flächen zusam- 
menfassen. Neben der Zahl der Syminetrielinien muss man noch 
eine Unterscheidung berücksichtigen, welche Klein durch die Worte 
„orthosymmetrisch" und „diasyminetrisch" bezeichnet. Denkt man F' 
längs aller Symmetrielinien aufgeschnitten, so bleibt die Fläche dabei 
entweder noch zusammenhängend, oder sie zerfällt in zwei getrennte 
Stücke; im ersteren Falle heisst sie diasymmetrisch, im letzteren ortho- 
symmetrisch; eine Fläche ohne Symmetrielinien ist natürlich diasym- 
metrisch. Die Bezeichnungen sind von der Diametral- und Ortho- 
gonalprojection der- Kugel in sich hergenommen. Bei gegebenem p 

hat man |'^--J Arten orthosymmetrischer Flächen bez. mit J> -|- 1, 

p — l, p — 3, ... Symmetrielinien, dagegen (^) -f- 1) Arten diasym- 
metrischer Flächen, die der Reihe nach j|), i> — 1, jJ — 2, ..., 2, 1, 
Symmetrielinien besitzen. 

Es tritt nun die Frage auf, wie man allein an dem Polygon 
zweiter Art Pq zu entscheiden vermag, ob F' dia- oder orthosymme- 
trisch ist. Der pg. 138 (unten) formulierte Satz über die Zuordnung der 
Kandcurven des aus Pq und P^, zusammengesetzten Polygons erster Art 
liefert unmittelbar folgende Antwort: Die symmetriscJic Fläche F' ist 
orthosymmetrisch oder diasymmetrisch, je nachdem die Seiten ztveiter Art 
von P(, ausnahmslos Symmetrielireise von Spiegelungen der Gruppe F sind 
oder nicht. — 

Es würde nicht schwer sein, die in diesem Paragraphen durch- 
geführten Überlegungen wenigstens teilweise auch auf die Polyeder //„ 
auszudehnen; doch würde dies für die späteren Untersuchungen zweck- 
los sein und soll daher unterbleiben. 

§ 10, Die kanonischen Discontinuitätsbereiche der Polygongruppen. 

Die geschlossenen Flächen F führen uns zu neuen und wichtigen 
Gestalten der Discontinuitätsbereiche solcher Polygongruppen erster 
Art hin, welche durch ein einzelnes Polygon Pq definierbar sind. Eine 
erlaubte Abänderung von P^ bedeutet für die Fläche F eine Abände- 
rung des Schnittsystems. Umgekehrt wird der Übergang zu einem 
neuen Schnittsystem stets auf eine erlaubte Abänderung von Pq hin- 
auskommen. Unter Benutzung dieser Sachlage knüpfen wir, um eine 
für spätere Zwecke möglichst geeignete Gestalt von P„ zu gewinnen, 
an die Vorstellung eines aus p Paaren conjugierter Kückkehrschnitte 
bestehenden kanonischen Schnittsystems au, wie ein solches ausführlich in 
„M." I pg. 495 besprochen wurde. Wir nennen, wie damals, diese Schnitte 



I 



I, .'i, Ansätze zur Definition und Erzeugung der Gruppen. 



183 




Fig. 40. 



n^, /y,, «o, 1'2, ■ • • und fügen noch die ^) Schnitte c,, c.^, . . ., Cp gleich- 
falls in der damaligen Weise an. In Figur 40 ist dies für das Geschlecht 
p = "2 dargestellt; der gemeinsame 
Anfangspunkt i: der Schnitte c soll 
jedenfalls nicht von einer elliptischen 
oder parabolischen Ecke des ursprüng- 
lichen Polygons herrühren. Es wird 
öfter zweckmässig sein, die Schnitte c 
direct an der Kreuzungsstelle der ^^ 
Schnitte a und h einmünden zu las- 
sen; doch werden die zunächst anzu- 
stellenden Überlegungen ein wenig 
einfacher, wenn wir an der Anord- 
nung der Figur 4C» festhalten. 

Für die vorliegenden Zwecke ist das Schnittsystem erst noch 
weiter zu vervollständigen. Möge die Polygonteilung im ganzen ii Clas- 
sen elliptischer oder parabolischer Ecken darbieten, so werden auf der 
geschlossenen Fläche F gewisse n Stelleu e^, e^, . . ., e„ vorkommen, 
die elliptischen oder parabolischen Polygonecken entsprechen, und für 
welche dementsprechend die Conformität der Beziehung zwischen F 
und dem Polygonnetz Einbusse erleidet. Diesem Umstände entsprechend 
ziehen wir von E aus die n Schnitte d^, <].,, . . ., </„ nach den frag- 
lichen Punkten e^, . . ., e„. Alle (« -|- dp) Schnitte a, h, c, d sollen 
stetig gekrümmte Linien sein. In Figur 40 ist der Fall n = 3 darge- 
stellt; man überzeuge sich, dass die Ufer der (h -{- 3j)) gezogenen Schnitte 
eine einzige zusammenhängende Kette von Kandcurven darstellen, 
welche F in einen einfach zusammenhängenden Bereich verwandelt. 

Die solcherweise zerschnittene Fläche F wolle man nun auf Grund 
der Beziehung zwischen der Fläche F und dem vom Polygonnetz be- 
deckten Bereich der 5- Kugel auf letztere übertragen. Als Abbild 
erhalten wir ein zusammenhängendes und, wie wir noch sehen werden, 
von hyperbolischen und loxodromischen Ecken freies Polygon, welches 
in demselben Umfange ein Discontinuitätsbereich der Gruppe ist. wie 
das ursprüngliche Polygon Pf,. Bns gewonnene neue Polygon benennen 
wir, dem gctväJdten Querschnittsystem entsprechend , als einen kanonischen 
Discontinuitätsbereich oder ein kanonisches Polygon der Gruppe und bc- 
Belehnen es gleich selbst wieder durch P^. Die Tlieorie der kanonischen 
Discoutinuitätsbereiche ist ihrem wesentlichen Inhalte nach von Klein 
in seiner Arbeit „A'cmc Beiträge zur Iliemann'schoi Funcfionentheorie^'*) 



■''■) Mathem. Annulen, üd. 21 j.g. 180 (1882). 



184 I- Allgemeine Theorie der discontinuierlichen Gruppen aus ^ Substitutionen. 

entwickelt. Doch bezieht sich die dortige Darstellung nur auf Haupt- 
kreisgruppen, die auf dem Hauptkreise selbst nicht eigentlich discon- 
tinuierlich sind; die Verhältnisse liegen da insofern besonders einfach, 
als Po stets einfach zusammenhängend ist, was hier im allgemeinen 
keineswegs zu erwarten ist. Wir werden hierüber einstweilen keine 
besonderen Voraussetzungen macheu. 

Der Punkt E der Fläche F liefert nun im ganzen {n -f p) zu- 
fällige, in einen Cyclus zusammengehörende Ecken des kanonischen 
Polygons Py. Wir wollen hier zunächst den zwischen zwei auf ein- 
ander folgenden Ecken des eben gemeinten Cyclus gelegenen Teil des 
Polygonrandes in Eintracht ziehen, welcher von einem einzelnen Tripel 
von Schnitten c, a, h herrührt. Aus Figur 41, in wel- 
cher dieses Tripel von Schnitten nochmals dargestellt 
ist, lesen wir ab, dass dasselbe von E abgesehen zwei 
weitere Cycleu und zwar zu drei bez. vier Ecken liefert; 
die Ecken dieser Cyclen seien generell durch s bez. s 
bezeichnet. Das Abbild der Ufer der Schnitte liefert 
dementsprechend eine Kette von acht stetig gekrümmton 
Kandcurven, die natürlich im allgemeinen nicht kreis- 
förmig gestaltet sind. In Figur 42 ist schematisch die 
Kette dieser acht Randcurven dargestellt und durch Nummerierung 
des näheren auf Figur 41 bezogen. Die vier Paare auf einander be- 
zogener Randcurven liefern die Substitutionen F„, Vä, Vb und Vc, wie 
in der Figur im einzelnen augedeutet ist. Es soll natürlich in keiner 
Weise ausgeschlossen sein, dass gelegentlich eine der Substitutionen 
Vu, TV, Vh, Vc gleich 1 ist. Welches Bild der Polygonrand in diesen 
Fällen im speciellen darbietet, werden wir gleich näher untersuchen; 



-,-^: 




Fig. u. 





/ \ ^ f 



Fig. 12. 



es werden dann eben gewisse Randcurven, die in Figur 42 getrennt 
liegen, coincidieren. 

Weit einfacher erledigen sich die Schnitte d. Die beiden Ufer 



I 



I, ;!. Ansätze zur Definition und Erzeugung der Giuiipen. 



185 




des einzelnen solchen Schnittes liefern zwei auf einander folgende 
Uandcurven von P„, die durch eine elliptische oder paraholische Sub- 
stitution auf einander bezogen sind. Der von den beiden fraglichen 
Randcurven gebildete Eckpunkt von Pq liefert einen Fixpunkt der zu- 
gehörigen Substitution. Wir bezeichnen die n in diesem Sinne von 
(/j, . . ., dn gelieferten Substitutionen durch T', , . . ., r„. 

Es ist nun sehr leicht, ein endgültiges Resultat über die Gestalt 
des kanonischen Polygons P„ zu gewinnen. Offenbar gilt unter Vor- 
behalt der näheren Un- 
tersuchung der Mög- 
lichkeit direct mit ein- 
ander in Coiucidenz 
betindlicher Randcur- 
ven Folgendes: Ist das 
lianonische Polygon P^ 

als solches einfach zu- ^ 

sanwienJtängoid, so ist 
es von (2n -\- Sp) stetig 
gelcrümmten, aber nicht 
notwendig Ireisfönnigen 
Randcurven begrenzt, 
welche sich zu 2n den 
Schnitten d entsprechen- 
den Curven und iveiteren 
p consecutiven Stücken 
vom Typus der Figur 42 
an einander reihen. Die- 
sem Polygon entsprechen 
{n -f 4p) Erzeugende der 
(huppe, nämlich die n elliptischen oder parabolischen Substitutionen 

(1) F., V„ ..., n 

und iveitcre 4p Substitutionen: 

'2) t:,,, f;,, f.,, ] 



7: 



^^r: 




Fi(?. 43. 



"kf 



(Ä-=l,2, .., p), 



ihren Charakter sich allgemein nicht )iiihcr bestimmen lässt. In Figur 43 
ist der schon vorhin (in Figur 40) betrachtete Fall » = i», p = - durch 
eine schematische Zeichnung näher erläutert; P.^ ist hier als einfach 
ztisammenhängeud angenommen. 

Auf Grund der primären Relationen, welche zwischen den Er- 
zeugenden bestehen, lässt sich die Anzahl derselben erheblieh reilu- 



I 



186 I- Allgemeine Theorie der discontinuierlichen Gruppen aus ^ Substitutionen. 

eieren. Das kanonische Polygon P^ hat n elliptische oder parabolische 
Ecken und (n -j- Sp) zufällige, die sich in (2^ -f- 1) Cyclen zusammen- 
orduen; wir wollen die zugehörigen (« -{- 2p -\- 1) Relationen für die 
Substitutionen (1) und (2) aufstellen. 

Erstlich liefere die Stelle e, der Fläche F eine elliptische Polygon- 

2 jr 

ecke des Winkels ; dann ist F,- von der Periode h, und es gilt die 
Relation : 

(3) f;' = i, 

Um Weitläufigkeiten in der Ausdrucksweise zu vermeiden, wollen wir 
auch im parabolischen Falle, d. i. für /, = oo, unter V.' die identische 
Substitution 1 verstehen. Wir brauchen dann bei Benutzung der Re- 
lationen (3) nicht immerfort die parabolischen V; auszuschliessen. 

Der Punkt E der geschlossenen Fläche liefert für Pq einen Cyclus 
von {n -\- p) Ecken, wobei die n Substitutionen Fi wnd die p) Sub- 
stitutionen Vcf^ zur Geltung kommen. Mit Hilfe der Figuren 40 und 43 
stellt man als Gestalt der zugehörigen Relation leicht fest: 

n p 

(4) n''-i7''^' = 'i 

1=1 A- = 1 

in Figur 40 entspricht derselben der in der Pfeilrichtung um den Punkt 
E ausgeführte Umgang. 

Es folgen weiter die p) Paare der Punkte £ und t', welche zu 2p) 
Relationen führen; man bestimmt dieselben mit Hilfe von Figur 41 
und 42 zu: 



— 1 ^ 1 ir—l 



(5) F;.F„-Fr^ = l und Fr • F.'- F, • F. = 1. 

Weitere primäre Relationen bestehen nicht. 

Die in Aussicht genommene Reduction in der Anzahl der Er- 
zeugenden vollzieht sich nun auf Grund der Relationen (5); denn ofleu- 
bar können wir die 2p Substitutionen VJ und Vc durch die übrigen 
wie folgt ausdrücken: 

(0) f; = F, • V-' ■ vr\ F = n • v-' ■ w' ■ f, . 

Hiermit ist folgendes Ergebnis gewonnen: Das zunächst erhaltene Sy- 
stem der Erzeugenden lässt sich auf die (n -f- 2p) Substitutionen: 

reducieren; zwischen ihnen bestehen die (« -J- 1) Relationen: 
(8) F;' = 1, F,'^ = 1, ..., ¥^" = 1, 



I, 3. Ansätze zur Definition und Krzengung der Gruppen. 



187 



(^) 






"k 



V'.-'^^-y^ 



1, 



: 1 A- = 1 

ivomit die primären Ilelationen im wesentlichen erschöpft sind. Eine 
weitere Reductiou in der Anzahl der Erzeugenden erscheint ausge- 
schlossen. — 

Diese allgemeinen Entwicklungen erfordern, um vollständig zu 
sein, einige Ergänzungen, und zwar zunächst mit Rücksicht auf die 
Möglichkeit, dass unter den Substitutionen (1) und (2) eine oder meh- 
rere der Identität gleich werden. Da die Substitutionen V^,V.^, . . ., F„ 
sicher von 1 verschieden sind, so haben wir nur die Fälle zu discu- 
tieren, dass die Ufer von Schnitten c, a oder h beim Fortgang von 
der Fläche zur ^- Kugel in Deckung bleiben. 

Mögen nun erstlich für das in Figur 41 dargestellte Tripel von 
Schnitten die Ufer von c auch auf der 
^- Kugel coincidieren, ohne dass dies zu- 
aleich für die Schnitte a und 6 gilt. 
Es ist alsdann Fe == 1 , und an Stelle 
der Figur 42 treten die in Figur 44 
schematisch angedeuteten Verhältnisse. 
Aus Figur 44 oder auch aus (5) und 
(6) lese man für die von 1 verschiede- 
nen Substitutionen Va, F,, F^, die Be- 
ziehungen ab: 

(10) Va' = V-', Va ■¥,=¥,-¥., ^'ß-^^- 

so dass die Substitutionen F„ und Vb, welche wir allein beizubehalten 
haben, mit einander vertauschbar sind. Der Beschränkung auf F„ 
und Vb entspricht eine naheliegende erlaubte Abänderung, welche an 
Stelle der Figur 44 die in Figur 45 dar- 
gestellte Anordnung setzt. Wir merken 
an: Bleiben für ein Schnitttripel heim Fort- 
fjang zur t,- Kugel die Ufer von c, aber nicht 
die von a und h in Deckung, so tritt eine 
isoliert liegende geschlossene Kette von vier 
Randcnrrrn mit einem ()/dns ::u fälliger Ecken 
(Ulf; die gegenüherlicgendcn Seiten des }'icr- 
rcl's sind auf einander durcJi zwei mit ein- 
ander permntahele Snhstitntioncii hczogni. 

Die Substitutionen V„ und ]'t, für sich 
genommen bilden im vorliegenden Falle eine (Jruiipe, deren sämtliche 
Substitutionen man sofort in di-r Gestalt Va}'f, angiebt, wo jr, r alle 





Fig. 15. 



I 



188 I- Allgemeine Theorie der discontinuierlichen Gruppen aus ^ Substitutionen. 




Fig. 16. 



Combinationen ganzer positiver und negativer Zahlen durchlaufen sollen. 
Vorgreifend sei hier mitgeteilt, dass die entspringende Gruppe, für sich 
genommen, entweder einen oder zwei Grenzpunkte hat und sich damit 
entweder unter III, b oder II der pg. 164 entworfenen Gruppentabelle 
subsumiert; wir kommen im nächsten Kapitel auf diese Gruppe aus- 
führlich zurück. 

Ist jetzt zweitens V„ = 1 , so ist auch F«' = 1 , da diese Substi- 
tution zufolge (G) aus Va durch Transformation entsteht. Damit folgt 

aber aus (5) auch ?'. = 1 , so dass 
einzig Vo von 1 verschieden sein wird. 
An Stelle von Figur 42 treten die in 
Figur 46 dargestellten Verhältnisse 
ein; wir haben zwei geschlossene iso- 
liert verlaufende Randcurven, welche 
durch die hyperbolische oder loxo- 
dromische Substitution Vf, einander 
zugeordnet sind. Die Substitution Vi, 
für sich genommen erzeugt natürlich 
eine cyclische Gruppe mit zwei Grenzpunkten. 

Zu wesentlich demselben Ergebnis gelangen wir, wenn nun letzten 
Endes F^ = 1 genommen wird. Hier ist dann auf Grund von (6) ein- 
mal Fe = 1 , sodann VJ = 1^^'', so dass nun T', 
aliein von 1 verschieden ist. Die zunächst an Stelle 
von Figur 42 tretende Figur wird man durch eine 
nahe liegende erlaubte Abänderung umgestalten 
und findet so, dass nun Figur 47 schematisch die 
eintretenden Verhältnisse darstellt. Wir sind der- 
art in der That im wesentlichen zu dem vorigen 
Falle zurückgeführt. 

Fassen wir zusammen, so gilt als Resultat: 
Bleiben für ein Schnitttripel a, h, c heim Fortgänge 
von der Fläche F zur i,- Kugel die Ufer entweder von 
a oder von b in Dechmg, so gilt dasselbe für die Ufer von c. Das 
Schnitttripcl liefert alsdann zivei für sich geschlossene isoliert verlaufende 
Ilandcurven des Icanonischen Polygons, tvelche auf einander durch die 
hyperbolische oder loxodromische Substitution Vb bez. F« bezogen sind. — 
Sind hiermit die Fälle erledigt, dass eine der Substitutionen F.. = l 
ist, so müssen wir nun noch einen Schritt weiter gehen. In der That 
gilt es mit Rücksicht auf die gleich folgenden Untersuchungen nun, 
die Möglichkeit zu discutieren, dass in der Relation (4) zwei oder 
mehr auf einander folgende Substitutionen, für sich allein combiniert, 




Fig. 47. 



I, 3. Ansätze zur Definition uiul Erzeugung der Gruppen. 



189 




Fig. 48. 



die Identität ergeben, 
ohne dass sie einzeln 
bereits gleich 1 wären. 
Istz.B.F-^F-^=l, 
so liegt für die bei- 
den ersten Systeme zu 
acht Raudcurven die in 
Figur 48 gezeichnete 
Anordnung vor. Dem 
Umstände entsprechend, 
dass liier FT" • F-T die 
Identität ist, coincidie- 
ren hier zwei nicht auf 
einander folgende Po- 
lygonecken E, ohne 
dass Coincidenz von 
Randcurven auftritt. 
Auch umgekehrt ist 
evident, dass für den 
hier gedachten Fall der 
Coincidenz zweier nicht 
auf einander folgender 
Ecken E sich ein zu- 
gehöriges und für sich 
mit 1 identisches Pro- 
duct von Factoren aus 
der linken Seite von 
(4) herauslösen lässt. 
Würde nämlich dies 
Product eine von 1 ver- 
schiedene Substitution 
darstellen, so wäre der 
Coincidenzpunkt der 
beiden Ecken E ein 
Fixpunkt derselben, was 
aber ersichtlich den über 
/'.' gemachten Voraus- 
setzungen widerstreiten 
würde. 

Es erscheint nun angezeigt, von einer erlaubten Abänderung Ge- 
brauch zu machen, welche von Figur 4S zu Figur 4!» hinführt, und 




I 



190 I- Allgemeine Theorie der discontinuierliclien Gruppen aus ^ Substitutionen. 

welche sich leicht ersichtlich auch in denjenigeu Fällen ausführen lässt, 
dass in (4) mehr als zwei Factoren, für sich combiuiert, 1 ergeben. 
Der Erfolg ist, dass das m diesen Suhstituthnen gehörende System von 
Randcurven für sich einen geschlossenen Zug hildet, ivelcher mit dem ilhrigcn 
Verlauf des Fohjyonrandes ausser Zusammenhang gesetzt ist. Können 
wir öfter hinter einander mit 1 gleiche Producte aus der Relation (4) 
herausheben, so werden wir den Polygonrand in ebenso viele getrennt 
verlaufende geschlossene Züge auflösen können. Dabei ist aus der 
Gestalt des kanonischen Polygons ersichtlich, dass diese Auflösung 
stets nur in einer Weise möglich ist. 

Die hiermit gewonnenen Ergebnisse werden in neuer Weise verständ- 
lich auf Grund des Princips der Gruppencomposition, das wir seiner 
grossen Wichtigkeit wegen in einem besonderen Paragraphen besprechen. 

§ 11. Von der Composition der Polygougruppen. 

Sind irgend zwei Gruppen ohne infinitesimale Substitutionen vor- 
gelegt, so kann man durch immer wiederholte Zasammenfügung der 
Substitutionen der einen Gruppe mit denen der anderen eine neue 
Gruppe erzeugen, von der wir sagen wollen, dass sie durch Compo- 
sition aus den beiden ersten Gruppen entstehe. Die componierte Gruppe 
ist offenbar die kleinste Gruppe, in welcher die beiden gegebenen 
Gruppen als Untergruppen enthalten sind-, sie ist überdies disconti- 
nuierlich, kann aber sehr wohl infinitesimale Substitutionen aufweisen. 
Sind die beiden gegebenen Gruppen innerhalb der componierten Gruppe 
Untergruppen endlicher Jndices, so heissen jene beiden Gruppen mit 
einander commensurahel'^) ; eine notwendige Bedingung hierfür ist die 
genaue Identität der Systeme der Grenzpunkte für die beiden zu com- 
ponierenden Gruppen. In den für uns hauptsächlich in Betracht kom- 
menden Fällen sind die Indices der gegebenen Gruppen innerhalb der 
durch Composition entstehenden Gruppe stets unendlich. 

Der hiermit eingeführte Begriff der Gruppencomposition vermag 
uns hier nicht mehr mit wesentlich neuen Resultaten zu versehen; er 
dient uns vielmehr zunächst einzig dazu, die bisherigen sowie weiter 
unten folgende geometrische Überlegungen von neuen Gesichtspunkten 
aus zu betrachten. In diesem Sinne wird es gestattet sein, unse- 
ren Gegenstand hier einstweilen nur in demjenigen beschränkten Um- 
fange zu besprechen, welchen Klein in seiner Arbeit „Neue Beiträge 



*) Diese Benennung rührt von Poincart? her; siehe dessen Abhandlung ,.ies 
fonctions fuchsiennes et V arühmäique" , Liouville's Journal, sör. 4, Bd. 3 (1887). 




I, 3. Ansätze zur Definition und Erzeugung der Gruppen. 191 

^Hr Rionann' sehen Functionentheorie" *) bei der Einführung der Gruppen- 
composition eingehalten hat. Die Terminologie ist dortselbst übrigens 
ein wenig anders gewählt, insofern statt „Composition" unter directem 
Anschluss an die geometrische Vorstellung „Ineinanderschiebung der 
Gruppen" gesagt wird. 

Um uns für die weitere Besprechung zuvörderst einiger Beispiele 
zu bedienen, so betrachte man den in Figur 50 dargestellten Discon- 
tinuitätsbereich einer aus zwei 
hyperbolischen oder loxodro- 
inischen Substitutionen F, und 
V.2 ZU erzeugenden Gruppe. 
Wir werden sagen, dieselbe 
entstehe durch Composition 
zweier cyclischen Gruppen, 
welche aus V^ bez. Vo erzeug- 
bar sind. Der Discontiuui- 
tätsbereich der durch Compo- 
sition entspringenden Gruppe 
ist hier das von den Discon- 
tinuitätsbereichen der beiden 
componierenden Gruppen ge- 
meinsam bedeckte Stück der ^- Ebene. 

Zu ähnlichen Ergebnissen führt der in Figur 51 skizzierte Fall, 
in welchem die beiden erzeugenden Substitutionen elliptisch sein sollen. 
Hat dabei F, die Periode v^, Vc, aber v.,, so werden in den Ecken die 

Winkel - und "- eintreten. Dass wir in Figur 51 thatsächlich ein 
brauchbares Polygon P^ haben, ist nach 
früheren allgemeinen Regeln durch Über- 
gang zum zugehörigen (im hyperbolischen 
Räume gelegenen) Polyeder //,, leicht zu be- 
weisen. Es ist dies ein Tetraeder, von dem 
nur zwei gegenüberliegende Kauten, deren 
Ivantenwinkel aliquote Teile von 2n sind, 
die Kugel schneiden. Doch kann man auch 
unter alleinigem Operieren auf der ^-Ku- 
gel oder in der ^ Ebene zum Ziele gelan- 
gen, wie sogleich unter allgemeineren Vor- 
aussetzungen noch auszuführen ist. Es handelt sich hier um die Cum- 
position zweier endlicher cyclischer Gruppen, und die Behauptung ist, 
*) Math. Annalen Bd. 21 (1P82) pg. 200. 



Fig. 50. 




Fig. 61. 



II 



192 I- Allgemeine Theorie der discontinuierlichen Gruppen aus ^[-Substitutionen. 

dass der Discontinuitätsbereicli der compouierten Gruppe der gerneiu- 
sarne Teil der beiden Discoutiuuitätsbereiche für die componierenden 
Gruppen ist. Wir können die gegenseitige Lage dieser letztereji Be- 
reiche dahin besehreiben, dass die Berandung jedes von ihnen gänzlich 
innerhalb des anderen Bereiches liegt. In der Figur ist diese Gegen- 
seitigkeit etwas verdeckt, weil der eine der beiden Discontinuitäts- 
berciche, derjenige von V^, den Punkt ^ = cxj enthält. 

Zur Verallgemeinerung dieser Verhältnisse wählen wir nunmehr 
zwei beliebige Polygongrujjpen F und F', welche durch Angabe je 
eines Polygons 7^ bez. P„' definierbar sind; die Polygone F^ und P^,' 
sollen natürlich zusammenhängend, aber nicht notwendig einfach zu- 
sammenhängend sein. Es gilt alsdann folgender Satz: Lassen sidi die 
beiden Polygone Pq und Pq der componicrcnden Gruppen derart ausivühlen, , 
dass die gesamte Berandung jedes der leiden Polygone, wie in den he- ' 
sprochenen Beispielen, gänzlich innerhalb des anderen Polygons liegt, so 
entsteht durch Composition von F und F' eine Polygongruppe, ivelche durch \ 
den von P^ und Pq gemeinsam bedecJden Bereich Qq als Discontinuitäts- 
bereich definiert werden Jcann. 

Es ist nützlich, den Beweis dieses Satzes ohne Zuhilfenahme 
von Polyedern zu führen. Der Nachweis beruht in der Hauptsache , 
auf wiederholter Anwendung der Erwägung, dass die gesamten Poly- ( 
gone des zu P^ gehörenden Netzes, Pq allein ausgenommen, gänzlich : 
innerhalb des einen Polygons P,,' Platz finden, wie denn auch alle ' 
Polygone des zu P^^' gehörenden Netzes, vom Ausgangspolygon P^,' 
allein abgesehen, in 7p liegen. Alle mit dem Rande von Pq äqui- 
valenten Systeme von Kandcurven fassen wir des weiteren der Kürze 
halber als eine „Classe von Rändern" zusammen; desgleichen liefern 
alle mit dem Rande von Pq äquivalenten Ränder eine zweite Classe. 
Überdies wollen wir die Substitutionen von F durch V bezeichnen, 
diejenigen von F' aber durch V, wobei zur näheren Unterscheidung 
in gewohnter Weise untere Indices zur Verwendung kommen. 

Man wolle nunmehr auf Qq die Substitutionen von F ausüben. 
Wir erhalten das Polygonnetz von F, jedoch so verändert, dass aus 
jedem Polygon durch Einlagerung eines Randes zweiter Classe ein 
oder mehrere Stücke herausgehoben sind. Wir begeben uns nun ins- 
besondere in den Bereich Qa, welcher durch Va aus Qq entsteht, und 
dessen Rand zweiter •CJIasse noch ungedeckt ist. Indem wir immer 
nur wieder die Zusamnienordnung der Curven dieses Randes zweiter 
Classe in Betracht ziehen, hängen wir an Qa gänzlich innerhalb der 
in Pa noch bleibenden Lücken sogleich ein ganzes Netz unendlich 
vieler Bereiche (/,,o = Qa, Qa,i, Qa,2, •• ., wobei nun offenbar Qa,i, durch 



I, 3. Ansätze zur Definition uml Erzeugung der Gruppen. 19i> 

V„ V,,' aus Q^ entsteht. Imlem wir die gleiche Maassregel auf alle 
Bereiche Qa in Anwendung bringen, werden alle bis jetzt gezeichneten 
Bereiche Q offenbar nicht collidieren, während sie sämtlich bis auf 
Vu) Q\f Qi} • •• uoch ungedeckte Ränder erster Classe darbieten. 

Man übersieht nun, wie dieser Process fortzusetzen ist. An den 
Rand erster Classe des Bereiches Qa,h = Qa,l.,^) hängen wir in der hier 
noch bleibenden Lücke ein ganzes Netz weiterer Bereiche Qa,ij,r, welche 
aus Qq durch VaVi'Vc entstehen, und fährt entsprechend fort. Wir 
bekommen dergestalt in der That ein zusammenhängendes, die i;-Kugel 
nirgends doppelt oder mehrfach bedeckendes Netz. Zugleich geht aus 
der durchlaufeneu Überlegung hervor, dass die Grenzpunkte des Netzes 
der Bereiche Q entweder mit Grenzpunkteu von F oder F' äquivalent 
sind oder aber Häufungsstellen solcher Grenzpunkte darstellen, von 
denen dies letztere gilt. Der aufgestellte Satz ist damit vollständig 
bewiesen. 

Zusätzlich sei noch bemerkt, dass das Netz der Polygone Q unter 
allen Umständen von uncmUlch hohem Zusammenhange ist, dass aber 
gleichwohl über die primären und secundären Relationen hinaus, welche 
für die Erzeugenden der Gruppen F und F' im einzelnen bestehen, 
weitere Relationen zwischen den Erzeugenden der componierten Gruppe 
nicht eintreten. Letztere Angabe entspringt unmittelbar aus einer be- 
reits pg. 176 durchgeführten Überlegung. 

Mit Hilfe des Princips der Gruppencomposition können wir nun 
von einfacheren Gruppen zu immer complicierteren aufsteigen. Doch 
bleiben wir, sofern wir dieses Princip nur in dem erläuterten Umfange 
in Anwendung bringen, immer nur erst im Gebiete solcher Polygon- 
gruppen, welche durch ein einzelnes zusammenhängendes Polygon de- 
finierbar sind. Wir sind hiermit zu den Schlussergebuissen des vorigen 
Paragraphen zurückgeführt. Indem wir nämlich dort aus der Gesamt- 
berandung des Polygons eine für sich geschlossene Kette von Rand- 
curven ausschieden, werden wir sagen, dass die dortige Gesamtgruppc 
durch Composition aus zwei Gruppen erzeugbar ist, wobei die Beranduug 
des Polygons der einen coniponierenden Gruppe aus dem ausgeschiedenen 
und für sich geschlossenen Zuge der Kandcuruen bestellt, nährend die 
übrig bleibenden liandcurven das andere Polygon eingrenzen. Das Ge- 
schlecht der componierten Gruppe ist dabei gleich der Summe der 
Geschlechter der coniponierenden Gruppen. Eine kleine Ergänzung 
erfordert der Wortlaut dieser Sätze nur in den beiden durch die Fi- 
guren 40 und 47 (pg. 18S) versinnlichten Fällen. Hier hat beide Male 
die eine der componierenden Gruppen das Geschlecht p= l, und ihr 
Polygon ist nicht von einem geschlossenen Zuge von Randcurvcn be- 

I'' ri c k e- K I !• i 11 , Aulumnrpho l''uuctioiii'ii 1. 13 



I 



194 I. Allgemeine Theorie der discontinuierlichen Gruppen aua J;- Substitutionen. 

grenzt, sondern von zwei getrennt verlaufenden und auf einander be- 
zogeneu Randcurven. 

Es sei hier auch noch eine Bemerkung betreflfs der überhaupt 
allgemeinsten Polygongruppe mit endlicher Erzeugendenanzahl gestattet. 
Nach pg. 129 hat dieselbe als Discontinuitätsbereich für die gesamte 
i;-Kugel eiu System von (i getrennt liegenden Polygonen P^, Pq, ..., 
Pf/* — *), deren einzelnes je eine Polygougruppe von der bisher betrach- 
teten Art definiert. Sind diese letzteren Gruppen F, F', . . ., pC« — i)^ 
so werden wir nun einfach sagen, dass die Gesamtgruppe durch Com- 
position der Gruppen F, F', . . ., p("— i) hergestellt iverden kann. Übri- 
gens ist es oft möglich, dass zu diesem Zwecke einige unter den ^i 
zu componierenden Gruppen entbehrt werden können; doch gehen wir 
auf weitere Einzelheiten in dieser Hinsicht nicht mehr ein. 



§ 12. Einführung der homogenen Substitutionen und Gruppen. 

Wie in der Theorie der Modulfunctionen , so werden wir auch 
später oft Gelegenheit haben , mit den homogenen Substitutionen zu ar- 
beiten. Zur Einführung derselben setzen wir t, gleich dem Quotienten 

~ der beiden Veränderlichen ^, und t,^ und bezeichnen daraufhin: 

als eine homogene t,-Suhstitution. Wir wollen abkürzend die homogenen 
Substitutionen allgemein etwa durch U bezeichnen, während wir für die 
nicht-homogenen die bisherige Benennung V beibehalten. 

Jeder Substitution V entsprochen nun zunächst unendlich viele 
homogene U, da durch V die Coefficienten a, ß, y, d nur erst bis auf 
einen willkürlichen, jedoch von null verschiedenen gemeinsamen Factor 
bestimmt sind. Sollen hingegen die homogenen Substitutionen imi- 
modular sein, d. h. soll ad — ßy = 1 sein, so entsprechen jedem V 
zwei homogene U, die durch simultanen Zeichenwechsel der Coefficienten 
aus einander hervorgehen (cf „M." I pg. 143). 

Ist nun irgend eine Gruppe F aus ^-Substitutionen V vorgelegt, 
so ersetze man erstlich jedes >' durch die beiden unimodularen U. Diese 
homogenen Substitutionen werden in ihrer Gesamtheit wieder eine 
Gruppe bilden, die wir als homogene Gruppe bezeichnen. Die nicht- 
homogene Gruppe ist auf die homogene 1-2-dentig homomorph bezogen, wie 
für den Fall der Modulgruppe in „M." I pg. 143 ausgeführt wurde*). 



*j Die Bezeichnung „homoinorph" erscheint treffender, als die 1. c. gebrauchte 
„isomorph", da es sich ja hier noch nicht um „Gleichheit", sondern nur erst um 



I, 3. Ansätze zur Definition und Erzeugung der Grnppen. 195 

l Um jedoch nun etwas allgemeiner zu verfahren, wähle mau unter 

i den beiden unimodularen U, welche einer vorgelegten Substitution V 
entsprechen, eine bestimmte aus. Von ihr aus wird alsdann unt<'r 
Hinzusetzung eines Factors /t jede demselben V entsprechende Substi- 
tution U in der Gestalt: 

geschrieben werden können. Wir wollen den Factor ,u als Mnltipli- 
cator der homogenen Substitution (2) bezeichnen. 

Es sei nunmehr wieder F eine Gruppe aus Substitutionen ]', von 
der wir der Einfachheit halber annehmen wollen, dass sie sich aus 
einer endlichen Anzahl ihrer Substitutionen, etwa aus Fj, F^, . . ., T'„, 
erzeugen liisst. Wir fixieren die ihnen entsprechenden homogenen 
Substitutionen C^, V.2, . . ., t'„ mit beliebigen aber fest gewählten 
Multiplicatoren und erzeugen aus CTj, U.,, ..., U„ eine homogene Gruppe. 
Dieselbe wird mit der ursprünglichen Gruppe F homomorph sein, und 
es handele sich um einen l-v-deutigen Homomorphismus; wir haben 
alsdann über die hier eintretende Zahl v eine nähere Untersuchung 
anzustellen. 

Mögen der beliebig gewählten Substitution Vi von F die v Sub- 

O DO ' 

stitutionen Ui, U/, ..., Ui^^ mit den Multiplicatoren ft,-, f/,', ..., »!'"' 
in der homogenen Gruppe entsprechen, so werden ofTenbar die v Sub- 
stitutionen: 

(3) 1 = u,iri-\ U' = u;u-\ . . ., ?7^'-"= ff-^'- VT' 

der identischen Substitution F^, = 1 von F correspondiereu, und andrer- 
seits werden der Identität V^^ = 1 keine weiteren als diese v Substitu- 
tionen in der homogenen Gruppe zugeordnet sein. Die v Multiplicatoren 
der Substitutionen (8) sind: 

/,N , —1 , ' —l (>■— 1) (1 — 1) —1 

und also werden die Substitutionen (3) selber (abgekürzt geschrieben) 
die Gestalt haben: 



Nach einem bekannten Satze der Gruppentheorie bilden die der 
Identität Vq = 1 entsprechenden v Substitutionen (p) für sich eine 



„Xhiiliclikeit" zweier (inijtpen handelt. Die Benenntinp „I.soniorphisnius'' soll 
dementsprechend fürliin in der Bedeutung von „1 1-dtuti^'om Homoniorphisuius" 
benutzt werden. 

13* 



i 



196 I- Allgemeine Theorie der discontinuierlichen Gruppen aus J- Substitutionen. 

Gruppe. Soll nun v endlich sein, so müssen die Factoren (4) die v 
verschiedenen a^'''° Wurzeln der Einheit vorstellen. Es gilt somit der 
Siitz: Sind die homogenen Erzeugenden U^, U^, . . ., Un so geicühlt, dass 
endlich-deutiger, etwa 1-v-deutiger, Homomorphismus zivischen der nicht- 
homogenen und homogenen Gruppe eintritt, so entstehen die v Midtipli- 
catorcn der dem einzelne)! F,- entsprechenden homogenen Suhstitutionen aus 
einem unter ihnen durch MnltipUcntion mit den v verschiedenen r'"" Ein- 
heitsivurzeln, und speciell für F^, = 1 sind diese Einheitswurzeln selbst die 
Midtiplicatoren. 

Die weitere Discussion knüpft an den Umstand an, dass sich die 
Identität F = 1 im wesentlichen nur auf m Arten aus den Substitu- 
tionen Fl, V.^, . . ., F„ erzeugen lässt, wenn m wie oben fpg. 170 ff.) 
die Anzahl aller zwischen den ]",, V.,, . . ., V„ bestehenden Relationen 
ist; wir wollen diese Relationen symbolisch: 

(6) //,(F,,...,FJ = 1, ..., 7/,„(Fi,...,F„) = l 

schreiben. Den Ausdruck der allgemeinsten zwischen den F, , . . ., V„ 
bestehenden Relation gewinnen wir nach früheren Sätzen von hieraus, 
indem wir die linken Seiten von ((>) mit beliebigen Substitutionen V 
der Gruppe zu V—^TIV ausgestalten und beliebig viele Ausdrücke 
dieser Art mit zwischengeschalteten Producten V'V'~^ multiplicativ 
zusammenfügen (cf. pg. 172), 

Um demgemäss in der homogenen Gruppe auf die allgemeinste 
Art eine der Identität Fo = 1 entsprechende Substitution zu erzeugen, 
wird man auf den linken Seiten der in Relationen (G) die Fj, . . ., F„ 
durch die homogenen Erzeugenden T^, , . . ., U,i ersetzen und an Stelle 
von F und V in den eben formulierten Angaben beliebige Substitu- 
tionen der homogenen Gruppe treten lassen. Der Ersatz der F, , . . ., 
F„ durch die homogenen Erzeugenden in ((i) führt auf m Formeln der 
Gestalt: 

(7) riiu,,u,,...,u„) = (^''\ 

und da eine Substitution dieser Gestalt mit jeder homogenen Substi- 
tution U vertauschbar ist, so folgt: 

ohne Veränderung des Multiplicators ^. Da überdies J'IJ'~^ stets 

gleich der homogenen identischen Substitution ( ' j ist, so ergeben 

sich alle der Identität \\ = 1 entsprechenden Sid)stitidioncn der homogenen 
Gruppe durch Wiederholung und Comhination der m, den lielationen (ß) 



I, 3. Ansätze zur Definition und Erzeugung der Gruppen. 107 

entstammemlm Snhstitutionen (7). SolUn wir eudUch-deutif/en Homo- 
morphismus haben, so tnüssen sämtliche m Multiplicatore^i u, icelche in 

(7) eintreten, Einheitsivurzeln endlicher Grade sein; das kleinste gemein- 
schaftliche Vielfache dieser .Grade ist dann die oben durch v bezeichnete 
Zahl. 

Für spätere Anwendungen ist die Frage wichtig, wann v = \ 
werden kann, so dass Isomorphismus zwischen der nicht-homogenen und 
liomogenen Gruppe besteht; im Anschluss au die „Spaltung" von ^ 
in t,^ und t,., wollen wir in diesem Falle die nicht- homogene Gruppe 
„isomorph spaltbar'' nennen. Um hierüber im Einzelfalle zu entscheiden, 
wollen wir die anfänglich fest auszuwählenden Multiplicatoren der homo- 
genen Erzeugenden t/,, V.^, ..., Un als /itj, itt.,, ..., ^li,, explicit einführen. 
Wir haben sodann in den m Relationen (7) rechter Hand überall 
a = 1 zu fordern: 

(8) //.(f/,,..., £/„) = (o;i)> •••> n,Ai\,...,i\) = i^^^^^^, 

und unsere Frage ist, zu entscheiden, ob man ein Multiplicatorensystem 
u^, ^i.,, . . ., ,«7» in Übereinstimmung mit diesen m Bedingungsgleichungen 
auswählen kann oder nicht. Die Beantwortung dieser Frage erfordert 
die explicite Kenntnis der Gestalt der Relationen (8); wir können die 
Untersuchung demnach hier nur erst für diejenigen Polygongruppen 
zu Ende führen, welche durch ein einzelnes Polygon definierbar sind 
und dabei keine secundäre Relationen aufweisen; denn nur in diesem 
Falle besitzen wir bislang die vollständige Kenntnis der zugehörigen 
Relationen (cf. pg. 18G u. f.). — 

Übrigens sei noch die Bemerkung gestattet, dass sich die hier 
durchgeführten Untersuchungen auch auf Substitutionen und Gruppen 
der zweiten Art übertragen lassen; doch werden wir weiterhin kaum 
Gelegenheit finden, von einer derartigen Ausdehnung der Untersuchung 
Gebrauch zu machen. 

§ 13. Die isomorphe Spaltbarkeit bei Polygongriippou ohne 
secundäre Relationen. 

Es sei eine Polygongruppe F ohne secundäre Kolationeu vorgelegt 
und ein ihr zugehöriges kanonisches Polygon in der ^" Ebene fixiert. 
Dasselbe habe n elliptische und parabolische Ecken und gehöre zum 
Geschlecht }). Die Erzeugenden nennen wir wie früher F,, . . ., V„, 
y,„, Fft,, .... r„ , )', . Die Relationen zwischen diesen Substitutionen 
iiul einmal: 



I 



198 I- Allgemeine Theorie der discontiunierlichen Gruppen aus J- Substitutionen. 

wo /,- die Periode der Substitution F, ist; jedoch soUeu hier alle die- 
jenigen Relationen ausfallen, für welche T^- parabolisch und also Z,==oo 
ist. Vom Cyclus der pg. 183 ff. durch £" bezeichneten Polygonecken rührt 
die nachfolgende Relation her: 

(2) nV'TIyHr\v.j-,'==i. 

Weitere Relationen werden nicht vorkommen. 

Bei dem Fortgange zu den homogenen Substitutionen ist es nun 
zunächst vollständig gleichgültig, mit welchen Multiplicatoren wir 
Ua^, Uoj^, • • ■, Ua , Üb ausstatten. Eine nachträgliche Behaftung z. B. 
von ZJflj mit dem Multiplicator ft hat nämlich für £/„" ersichtlich den 
Multiplicator /n~^ im Gefolge. Eine Abänderung der rechten Seite der 

(2) entsprechenden homogenen Relation wird hierbei also nicht ein- 
treten können. 

Anders verhält es sich mit den n elliptischen oder parabolischen 
Erzeugenden Fj, F,, ..., F„. Wir wollen sie in homogener Gestalt 
zuvörderst uuimodular auswählen. Für die imraholischoi Suhstitutionoi 
setzen ivir überdies a-\- Ö = 2 fest, wodurch sie in homogener Gestalt U 
eindeutig fixiert sind. Bei den elliptischen Substitutionen F,- würde eine 
Festsetzung über das Vorzeichen von [a -\- d) im Falle der Periode 2 
den Dienst versagen und überhaupt unzweckmässig sein. Wir ver- 
fahren demnach hier etwas anders und schreiben die einzelne ellip- 
tische Substitution F, zuvörderst nach „M." I pg. 165 in der Gestalt: 

(3) ^,=e^^-^- 

Der Punkt ^ = c liefere dabei die zur fraglichen Substitution gehörende 
elli])tische Polygonecke, und die Maasszahl O' des Drehungswinkols 
können wir stets innerhalb der Grenzen 0<'9'<27r gelegen annehmen, 
womit dieselbe zugleich eindeutig bestimmt ist. Bei Einführung der 
homogenen Variabelen t^ und ^^ spalten wir auch e und e in Quo- 
tienten zweier Grössen f^, s^ und f/, f./ i» willkürlicher Weise. Die 
hierbei eintretenden zweigliedrigen Determinanten (^^fg — ?2*i) schrei- 
ben wir symbolisch (g, a). Der Substitution (3) möge nun die homogene 
Substitution : 

(4) (r, s) ^ e-^it, e), (r, n = c~~{l, o 
entspreclien, welche man sofort als unimodular erkennt. Die Summe 
{a -\- d) ist hier gleich 2 cos - ; der Grenzübergang lim. ■O- = und 
lim. t = a liefert somit die parabolischen Substitutionen in der obigen 



I, 3. Ansätze zur Definition uml Eizeugunf,' der Gruppen. 199 

lioniogenen Gestalt. Nach den hiermit gegebenen Vorschriften wählen 
wir nun die den F, , V.,, . . ., F„ entsprechenden homogenen Substitu- 
tionen f\, IL, . . ., Un- 

Indem wir des ferneren die Multiplicatoren der Ua, Uo willkürlicli, 
jedoch bestimmt wählen, haben wir ein eindeutig fixiertes System von 
{n-\-2p) Erzengendeii Uy, Ij\, ..., C/,,, Ua^, TJoy, •■•,l\, U^^ der homo- 
genen Gruppe gewonnen. 

Wird es nun möglich sein, ein jetzt nachträglich zuzufügendes 
Multiplicatorensystem so auszuwählen, dass die homogene Gruppe, 
wenn wir sie aus dem solcherweise veränderten Substitutionssystem 
erzeugen, isomorph mit der nicht-homogenen ausfällt? Es kommt hier- 
bei einzig auf die Multiplicatoren fi^, [I2, . . ., (J-n an, welche wir den 
ersten n Substitutionen U^, . . ., U„ zufügen; wir haben dabei nach 
den allgemeinen Vorschriften des vorigen Paragraphen die {n -\- 1) den 
Relationen (1) und (2) entsprechenden homogenen Relationen zu di.s- 
cutieren. 

Die Relationen (l) verursachen nun keinerlei Schwierigkeit. Ist 
Vi elliptisch, so entspringt aus Ui durch Behaftung mit dem Factor ^u,- 
die nunmehr als Erzeugende zu wählende Substitution: 

7t i ni 

(5) (r, B) = ,a,- • e^'- • (^.), (r, f'j = ft,- • r ~- (e, £') .*) 

Es stellt hier 7j als positive Zahl die Periode von Vi dar, wie aus der 
anfänglichen Umlaufsrichtung um die Ecke £" (cf. Fig. 43 pg. 185) 
hervorgeht. Durch /,-malige Wiederholung der Substitution (5) kommt 

's \ 

' ) ; und da dies die (homogene) identische Substitution 

0, — .</ 

sein soll, so muss /it.' = — 1 sein. Die allgemeinste Art, (.u i)i Über- 
einstimmung mit dieser Bedingung zu wühlen, ist: 

(6) /i, =c '' 

wo Vi eine ivillMrlich bleibende ganze Zahl ist. Die Miiltiplicatorv)! 
etuaigcr parabolischer Substitutionoi Vi blcibni liier vorläufig u-illkürliiJi 
wählbar. Die Relationen (l) sind hiermit in gewünschter Weise er- 
ledigt. 

Die Relation (2) setzen wir vorab für die U an, d. ii. ohne so- 
gleich die Multiplicatoren p^, ..., u„ hcroinzuziehen. Man bemerke 
hierbei, dass das einzelne Product U^ U,,UaV~ unabhängig von der 



*) Eine Verwechselunpr des Index i mit di^r im Exponenten vorkomMionden 
imaginären Eiiilu-it » = ^ — 1 ist kaum zu bi-1'ürchteu. 



I 



200 T- Allgemeine Theorie der discontinuierlichen Gruppen aus ^-Substitutionen. 

Auswahl der Multiplicatoren in Ua und Uo unimodular ist, während 
andrerseits die Ui, . . ., Un direct unimodular sind. Es ergiebt sich 
demzufolge: 

n p 

(7) jTf^-jrj^'^"*^«*^'^' = i ^' 



wo wir abkürzend die homogene Substitution 



(-1, ox 
V 0, — 1/ 



gesetzt haben. Das Vorzeichen der rechten Seite von (7) hängt nun, 
wie hier vorläufig ohne Beweis mitgeteilt werden soll, einzig von n 
ab, indem für gerades n das obere, für ungerades n das untere Zei- 
chen gilt; wir haben somit die Formel: 

(8) fl u^ fl ^'«T' Uo,u„.u;,' = (- 1)" . 

; = 1 k=i 

Der Beweis der Richtigkeit dieser Angabe ist mit gewissen Schwierig- 
keiten verknüpft, da sich derselbe, wie es scheint, mit den bisherigen 
Untersuchungsmethoden nicht führen lässt. Wir müssen hier in der 
That zu gewissen Continuitätsbetrachtungen unsere Zuflucht nehmen; 
dieselben gestalten sich aber so umfänglich, dass wir den Nachweis 
von (8) in einem besonderen Paragraphen nachholen. Wir sehen einst- 
weilen die Formel (8) als bewiesen au. 

Ist nun zunächst n = 0, so kommen Relationen (1) überhaupt 
nicht vor; und da die rechte Seite der Relation (8) gleich -f- 1 ist, 
so folgt, dass unter der hier stets geltenden Voraussetzung des Fehlens 
sccundärer Relationen für n = die homogene Gruppe der nicht- homo- 
genen stets isomorph ist. 

Ist jedoch n > 0, so setzen wir auf der linken Seite von (8) die 
Multiplicatoren ft,, /ito, • . >, ^n ein; es entspringt dann rechts die mit 
dem Factor ( — l)'\u, • /it.^ • • • /it„ versehene identische Substitution, und 
es fragt sich somit, ob iw,, ^i.,, . . ., ^i„ unter Einhaltung der unter (ü) 
bereits gewonnenen Bedingungen noch so bestimmbar sind, dass ihr 
Prodnct (— 1)" wird. 

Dieser Forderung kann nun jedenfalls stets genügt werden, falls 
unter den Erzeugenden Ui, . . ., Un wenigstens eine parabolische Sub- 
stitution enthalten ist, da der zu ihr gehörige Multiplicator fi noch will- 
kürlich wählbar war. Wir merken somit als erstes Resultat au: Kommt 
unter den n Erzeugenden J\, . . ., F„ einer Folygongrnppe des Ge- 
schlechtes p ohne secundäre lielationen wenigstens eine parabolische vor, 
so ist hei Fortgang zur homogenen Gruppe die isomorphe Spaltbarkeit stets 
möglich. 



I, ;j. Ausätze zur Dclinitiun und Eizouj^ung der Grupi)en. 201 

Sind jedoch alle n ersten Erzeugeuden der druppe F elliptisch, 
so ist weiter die Gleichung: 

I = l 

7AI discutieren. Wir haben als vorläufiges Ergebnis: lunc Foli/gon- 
(jmppe ohne secunääre Relationen, deren n erste Erzeugende V^, . . ., Vn 
sämtlich elliptisch, und zwar von den Feriodeyi l^. L. . . ., l,^ sind, ist 
stets und nur dann isomorinh simlthar, tvenn es {n -j- 1) ganze Zahlen 
i/j, 1^2 , . . ., Vn und N giebt, tvelche die Gleichung: 

(9) 2v, + ?, + 1 ^ 2n + Z, + l _j ^ 2Vn + ?„+l _ ^^ 

befriedigen. Hier hat man nun eine diophantische Gleichung, von 
deren Lösbarkeit die Beantwortung unserer in Rede stehenden Frage 
abhängt. 

Um die Gleichung (9), die wir unter allgemeineren Voraussetzungen 
erst an einer späteren Stelle discutieren, wenigstens an einem einfachen 
Beispiele zu illustrieren, so nehmen wir an, dass Iceine zwei unter den 
ganzen Zahlen Z^, l^, ..., h einen Factor gemein haben. Es gilt dann die 

folgende Überlegung. Erstlich darf keine der Zahlen \, h. /„ gerade 

sein, wenn eine Lösung der diophantischen Gleichung (9) existieren 
soll; denn wäre etwa ?, gerade und also h, . . ., /„ ungerade, so wür- 
den die n Brüche in (9), auf gleichen Nenner gebracht, einen Bruch 
mit ungeradem Zähler und geradem Nenner liefern, der somit unmög- 
lich gleich 2N sein kann. Ist nun h ungerade, so kann man eine 
Zahl Vi angeben, für welche 2vi-\- 1^0 (mod. /,) wird. Das zuge- 
hörige Glied auf der linken Seite von (9) wird dann offenbar eine 
gerade ganze Zahl; und also gehört zu n auf diese Art gewählten 
Zahlen v^, . . ., v„ auch ein gan/.zahliges ^'^. Es gilt somit der Satz: 
Sind die n Zahlen ?,, l.,, ..., In sämtlich endlich ^ und sind je zwei unter 
ihnen relativ prim zu einander, so ist die Gruppe stets u)ul nur da)in 
isomorplb spaltbar, wenn alle h ungerade si)ul. Auf Grund dieses Satzes 
ist z. B. bei der Ikosaedergru})pe, für welche /^ = 2, L = 3, I3 = ö 
ist, die isomorphe Spaltbarkoit unmöglich, was bereits in den „Vor- 
lesungen über das Ikosaeder" i)g. 40 festgestellt wurde und damals zu 
wichtigen Folgerungen Anlass gab. 

Die vorstehend gegebene Entwicklung wird für die Theorie der 
automorphen Formen in demselben Sinne grundlegend und ist innor- 
lialb dieser Theorie noch weiter fortzusetzen. Man vergleiche die be- 
K'its wiederholt genannte Arbeit von Ritter „Die cindculigni aufo- 



I 



f 

202 I. Allgemeine Theorie clci- discontinuierlichen Gruppen aus J- Substitutionen. 

morphen Formen vom Geschlechte null"*), in welcher das Problem der 
isomorphen Spaltbarkeit der Gruppen in der hier reproducierten Art 
mit Ausführlichkeit behandelt wird, 

§ 14. Die homogene Gestalt der primären Relation zwischen 

den Vi, V,,,., Vo^. 

Es ist jetzt letzten Endes noch die Richtigkeit der Relation: 

n p 

(1) nur'nv7:u,,u„,u;r,' = (- \y 

1 = 1 * = 1 

nachzuweisen. Wir macheu zu diesem Zwecke von einer continuicrlichen 
Abänderung des Polygons P^ Gebrauch, welche nicltt mehr unter den 
Begriff der erlaubten Abänderung fällt. Bei den neuen Abänderungen j 
sollen vielmehr die Erzeugenden V^, .., V„, Va^, V^^, ..»F« , F* selber j 
contiuuierliche Abänderungen erfahren. Es wird dabei das Polygon 
Pq, welches wir zunächst als einfach zusammenhängend annehmen 
dürfen**), aufhören, Discontinuitätsbereich einer Gruppe zu sein. Aber 
in jedem Äugcnhlich sollen die llandcurven in der bisherigen Ordnung 
zu Paaren durch Substitutionen F,-, Va^, T"/,^., Fi^,^., Vc^ auf einander be- i 
zogen sein, und es soll stets die auf den Cychis der zufälligen Eclcen j 
bezogene Belation: 

, = 1 k -_ 1 

erfiUlt sein. Den durchzuführenden Abänderungsprocess des Polygon> 
bezeichnen wir sogleich noch näher. Jedenfalls aber werden, wenn 
wir für die homogenen Substitutionen Ui, U^, . . ., Un an der oben ver- 
abredeten unimodularen Fixierung festhalten, sowohl die Z7,, ..., Un 
wie auch die i) Producte U^^lhUaU/T^ mit der in Rede stehenden 
stetigen Änderung selber nur stetige Abänderungen erfahren. Die linke 
Seite von (1) kann demnach ihrerseits sich nicht unstetig ändern; und 
da sie nur gleich -f- 1 oder — 1 sein kann, so ivird sie den einmal 
geiüonnenen Wert während des ganzen Abänderungsprocesses betvahre». 
Wir machen von diesem Umstände in der Weise Gebrauch, dass wir 
Pq stetig in eine der directen Berechnung der linken Seite von (1) 
zugängliche Gestalt überführen. 

Um den beabsichtigten Abänderungsprocess charakterisieren und 



*) Göttingcr Dissertation, abgedruckt in 13d. 41 der Mathem. Ann. (1892). 
*•) Andernfalls wvirden wir nämlich P^ aus mehreren Polygonen componieren 
und die Betrachtung des Textes auf die letzteren einzeln anwenden. 



1, 3. AiisiUze zur Definition und Erzeugung der Gruppen. 



203 



sodann wirklich durchführen zu können, sind einige Vorbereitungen zu 
treffen. Erstlich ersetzen wir die Relation (2) nach pg. 186 durch 
die (jJ + 1) Relationen: 



V =v, v~^vr^v 



(3) 

(4) 

Sodann nehmen wir eine erlaubte Abänderung des ursprünglichen 
Polygons Pq vor, welche zum Zwecke hat, die pg. 184 u. f. benutzten 
Substitutionen Va entbehrlich zu machen, und welche einfach darauf 




Fig. 52. 



hinausläuft, auf der geschlossenen Fläche die Schnitte c an den Kreu- 
zuugspunkten der Schnitte a und b einmünden zu lassen. Au Stelle 
der Figur 42 pg. 184 tritt der in Figur 52 angegebene Zug von sechs 
Randcurven, wie wohl nicht näher ausgeführt zu werden braucht. Zu 
den sechs Curven gehören in der in der Figur angezeigten Art die drei 
Substitutionen Va, Vb, Vc- Die fünf durch E^, . . ., E^ bezeichneten 
Ecken liefern für dieselben die Relation (4\ 

Die mit dem Polygon P^ durchzuführende Abänderung lässt sich 
mm der Hauptsache nach dahin charakterisieren, dass wir sowohl die 
Seiten jedes zu einer Substitution Vc gehörenden Paares, sowie auch 
j(^ zwei durch eine der n Substitutionen F, correspondierendo Seiten 
einander bis zur Coincidenz annähern, ohne dass dabei der Rand des 
Polygons irgendwo zerreissen darf. Indem wir i*„ auf der i;- Kugel 
gelagert denken, stellen wir uns vor, dass die (n -f" i^) zutälligen Ecken 
K gleichzeitig oder nach einander nach einer gemeinsamen vom ur- 
si)rünglichen Polygon i*, freien und demselben etwa diametralen F]nd- 
lage hingezogen werden. Die Winkel in den Ecken E dürfen hierbei 
gleichfalls continuicrliche Änderungen crfahrt-n; doch muss ihre Summe 
constant gleich "In bleiben, da sonst die Ixclation (2) nicht fortl)c- 
stchcn würde, i^ selbst wird sich dabei mehr und mehr über die 



I 



204 I. Allgemeine Theorie der discontinuierlichen Gruppen aus J-Substitutionen. 




\ 



Fig. JJo. 



Kugeloberfläche ausbreiten, braucht aber nirgends über sich selbst 
hinüber zu greifen. Die schliesslich zu erreichende Endlage ist in 
Figur 53 für den Fall n = 3, p = 2, dem auch schon die Figur 43 

, (pg. 185) gewidmet ist, 

schematisch angedeutet; 
es bleiben hier, wie man 
sieht, nur noch die 2j) 
durch Va^ und Vo^, corre- 
spondierenden Randcur- 
ven oflfen. 

Die Einzelheiten des 
Anderungsprocesses sind 
nun einer eingehenden 
Discussion zu unter- 
ziehen. 

Man untersuche zu- 
nächst allein die erfor- 
derliche stetige Verän- 
derung des Systems der 
sechs Seiten 1 bis 6 in 
Figur 52 und hat dabei 
die Veränderung von Vc und damit der Seiten 1 und 6 als unabhängig 
anzusehen. Die Frage wird sein, ob bei jeder denkbaren Änderung der 
Substitution Vc und der Seiten 1 und 6 immer auch ein Substitutionen- 
paar Va, Vb und ein zugehöriges Seitenquadrupel 2, 3, 4, 5 existiert, 
die sich mit Vc stetig ändern. Um hierüber zu entscheiden, gehen wir 
noch einen Schritt weiter und denken die Seiten 1 und 6 und damit 
die Substitution Vc ganz willkürlich vorgelegt. Wir dürfen dann noch 
die Ecken E^, E^, E^ iviUhürlich annehmen und liönncn gleichivöhl ein 
geeignetes Suhstifntionenpaar F„, Vi, auffinden, tcclchcs der IMation (4) 
genügt und zu einem hrauchharen Seitenquadrupel 2, 3, 4, 5 gehört. 

Seien nämlich die Coefficienten von Va und Vi, durch a, /3, y, d 
und «', ß\ /, d' bezeichnet und nehme ^ in den Ecken E^, E^j . . ., 
Er, die Werte l^^\ t,^-\ . . ., g<-') an. Es gelten dann für die drei Quo- 
tienten der Coefficienten a, ß, y, ö die Gleichungen: 
y^W^W -f. d^C) _ «^(1) — ß = 0, 7^(->^(3) _|_ ^g(3) _ „^(2) _ ^ = 

und entsprechend für die drei Quotienten von a, ß' , y\ 6': 

y' ^(2)^(5) ^ d'2; S) — a'^(-') - /r = 0, /g(3)^(l) _|_ ö'^(l)_ «'^(3) _ ^'=0. 

Die Substitution V^V^^V^^Va wird nun, falls diese vier Gleichungen 
bestehen, sicher g^) in t,^^"» transformieren. Damit diese Substitution 



T, 3. Ansiütze zur Definition und Erzeugung der Gruppen. 20f) 

aber gleich Vc werde, müssen wir noch zwei Paare einander ent- 
sprechender Punkte auf den Seiten 1 und G aufgreifen und fordern, 
dass Vc jedesmal den einen Punkt des Paares in den anderen überführt. 
Aus den zwei so entspringenden Gleichungen können wir im Verein 
mit den schon genannten vier Relationen die Quotienten der Coeffi- 
cienten von Va und Vo berechnen. Diese Coefficienten selbst bestimmen 
wir daun etwa so, dass beide Substitutionen uuimodular werden. 

Die hiermit angedeutete Rechnung kann nur dadurch auf ein un- 
brauchbares Resultat führen, dass einer oder mehrere von den acht 
Coefficienten unendlich grosse Werte annehmen. Die betreffende Sub- 
stitution hat daun die Eigenschaft, dass sie jeden von einem ihrer 
Fixpunkte endlich entfernten Punkt der ^- Kugel in unendliche Nähe 
des einen Fixpuuktes transformiert. Dies ist jedoch bei den Substi- 
tutionen Va und V(, nicht zu befürchten, wenn wir, wie geschehen soll, 
die Punkte E^, E^, E^ von einander und von E^ und Er, endlich ent- 
fernt wählen. 

Schliesslich wolle man noch bemerken, dass bei continuierlicher 
Veränderung der Seiten 1 und G und der Substitution Vc auch die 
Substitutionen Va und Vo sich continuierlich ändern werden, falls man 
nur zugleich vorschreiben will, dass auch die Ecken JE'o, £'.,, E^ hier- 
bei keine unstetige Lajyenäuderuucjen erfahren sollen. 

Dass bei der vollen Allgemeinheit der entwickelten Vorstellungen 
betreffs der Gestalten der Seitensextupel noch mannigfache Möglich- 
keiten denkbar sind, ist selbstverständlich. Doch werden wir bei 
dem für uns vorliegenden Zwecke den Anderungsprocess so leiten, 
dass die unserem Sextupel angehörenden Polygouwinkel niemals ne- 
gativ werden oder auch über 2n hinaus wachsen. Dies lässt sich 
ohne Mühe erreichen; indem nämlich die Seiten 1 und G des Sextupels 
in Figur 52 nach unten zusammengebogen werden, hat mau nur Sorge 
zu tragen, dass die Seiten 2 bis 5 nach oben ausweichen und die 
Ecken E.,, E.^, E^ stets in richtiger Folge zwischen Z:, mul 7s-, ge- 
legen sind. 

Wir untersuchen nun sogleich das Verhalten der zum einzelnen 
Sextupel gehörenden Substitutionen Uat Li., Uc bei Durchführung der 
in Aussicht genommenen Änderung. Am Schlüsse derselben sind die 
Seiten 1 und G zur Coincidenz gelangt, und wir gewinnen die in Figur 45 
pg. 187 angegebene Anordnung, die auch in Figur 53 pg. 204 un- 
mittelbar hervortritt. Hier ist nun ]'• =^1 geworden, und wir können 
zeigen, dass auch Uc = -{- \ ist. Dies könnten wir wieder auf (irund 
von Continuitätsvorstellungen beweisen; doch werden wir direct ver- 
f ihren und ohne weiteres darüber entscheiden, ob in: 



206 I. Allgemeine Theorie der diseontinuierlichcn Gruppen aus ^-Substitutionen. 

(5) Uoü;r'u,-'Ua = ±i oder ür'UaUo = ±Ua 

das obere oder uutere Zeichen gültig ist. Da die Summe des ersten 
und vierten Coefficienten für die auf der linken Seite der zweiten Glei- 
chung (5) stehende Substitution gleich (a -\- d) ist (cf. „M." I pg. 262), 
wo a und d Coefficienten von Ua sind, so kann das untere Zeichen 
höchstens dann eintreten, wenn a -|~ ^ = ^ ^^^ ^^so Ua elliptisch von 
der Periode zwei ist. Indem man die Relation (5) in die Gestalt setzt 
üaUoU^ = + Ubf sieht man, dass auch Uö in diesem Falle elliptisch 
von der Periode zwei sein muss. Va und Fj für sich genommen wür- 
den nun eine Yierergruppe bilden (cf. „Ikos." pg. 12); doch wider- 
spricht dies dem aus Figur 45 pg. 187 zu entnehmenden Discontinui- 
tätsbereich der durch F« und Vo zu erzeugenden Gruppe. Es ist somit 
am Schlüsse der auf das einzelne System von sechs Seiten belogenen Ab- 
änderung stets Uc = -\- i. — 

Es sind nun weiter die continuierlichen Abänderungen zu be- 
sprechen, welche wir mit den elliptischen Ecken der Substitutionen 
F, , Fo, . . ., F„ vornehmen wollen. Wir werden hier erstlich die zu- 
gehörigen Drehungswinkel o)-, , . . ., ■O',, als coutinuierlich veränderlich 
ansehen, jedoch ein Abnehmen unter oder ein Anwachsen über 2n; 
verbieten; wir sehen damit von dem Bestehen der Relationen F. '= 1 
jetzt ganz ab und halten nur daran fest, dass die Fj, . . ., F„ ellip- 
tische Substitutionen bleiben. Etwaige parabolische Substitutionen 
unter den F, , . . ., F„ lassen wir durch Anwachsen der Winkel in 
elliptische übergehen und halten dann natürlich an den eben bereits 
bei den elliptischen F aufgestellten Grenzen für & fest. Für die ent- 
sprechenden homogenen Substitutionen U^, C/g, . . ., Un nehmen wir 
die bezüglichen Festsetzungen und Ergebnisse von pg. 198 in Bf 
nutzung. 

Unser continuierlicher Umwandlungsprocess schreibt uns nun vor, 
den Winkel O- der einzelnen elliptischen Ecke, der Figur 53 pg. 204 
entsprechend, bis 2n anwachsen zu lassen. Dabei geht F continuier- 
lich in 1 über, und wir behaupten nun, dass die zugehörige homogene 
Substitution U schliesslich in — 1 übergeht, dieses letztere Symbol im 
obigen Sinne (pg. 200) gebraucht. In der That ergiebt sich der Be- 
weis unmittelbar aus der Gestalt (4) pg. 108 der homogenen Substi- 
tution JI, indem man für -9- den Wert 2;r einträgt. 

Um nun zu untersuchen, ob wir die für die elliptischen Substi- 
tutionen beabsichtigten Abänderungen der Randcurvenkette unbeschadet 
der Relation (.^) vollziehen dürfen, haben wir zuvörderst folgenden 
Satz aufzustellen: ^]'ir lönnen ztvei elliptische Substitutionen V, V mit 



I 



I, 3. Ansätze zur Definition und Erzeugnng der Gruppen. 207 

fest gegebenen Brehungswinheln 0^ und ■9'' stets noch so auswäJden, dass 
W eine beliebig vorzuschreibende , jedoch von der Identität verschiedene 
Substitution V" ist. Operieren wir niimlich hier durchweg mit uni- 
modulareu Substitutionen: 

^-O' '""O;';:)- '■"=(::! 

so kommt die Angabe der Winkel d- und -O-' darauf hinaus, dass 
a -\- d =^ X und a -\- d' = x gegebene Werte sind, während übrigens 
a, ß, . . ., /, d' aus den gegebenen Zahlen a, b, c. d zu berechnen 
sind; die letzteren erfüllen die Bedingung ad — bc = 1. Für u, ß', 
y', ö' berechnen sich dabei aus VV = V" die Gleichungen: 

I <^' = ad-cß, ß'==bd — dß, 

^ ^ I y' = — ay -\- ca , d' = — by -\- da , 

und V ist uuimodular, falls dies für V gilt. Die Coefficienteu von V 
und V müssen sonach neben (6) den drei Bedingungen: 

a -\- d = X , a -\- d' = X , ccÖ — ßy = 1 
genügen, welche unter Benutzung von (6) und nach Elimination von 
d für a, ß, y die beiden Gleichungen liefern: 

(7) a(a ■ — d) -\- ßc -{- yb == ax — x', u(x — a) ~ ßy = 1. 

Es giebt, wie man leicht feststellt, stets Lösuugssysteme dieser Glei- 
chungen in endlichen Zahlen a, ß, y; und man könnte sogar noch 
den einen Fixpunkt von V willkürlich wählen. Der einzige Ausnahme- 
fall, den wir übrigens bereits oben andeuteten, ist durch b==c = 0, 
rt = rf = + 1 angegeben. Hier ist noch ^' = :jz^ ^^ fordern, damit 
Substitutionen V, V existieren; in der That müssen ja nun V und V 
einander invers sein, da F" = 1 sein soll. Zum Schluss bemerke 
man noch, dass bei stetigen Änderungen von ]'", x und x' die Sub- 
stitutionen V, V ihrerseits keine unstetige Änderungen zu erfahren 
brauchen. — 

Indem wir alle hiermit getroffenen Vorbereitungen zusammen- 
fassen, gelingt es nunmehr leicht, das auf der rechten Seite der 
Gleichung : 

(8) U, • U, ■•■ IL ' U-'- U-' ••• V-' = + l 

gültige Vorzeichen eindeutig zu bestimmen. Das hier linker Hand 
stehende symbolische IVoduct wollen wir zur Abkürzung mit U^^ be- 
zeichnen : 

Has Ziel unserer Untei'suchung ist dann der Beweis der Formel 

^.. = (-1)". 



I 



208 I- Allgemeine Theorie der discontinuierlichen Gruppen aus J- Substitutionen. 

Ist nun p > 0, so leiten wir den Abänderungsprocess so, dass 
zunäclist nach einander in den p Systemen zu sechs Seiten von der Art 
der Figur 52 pg. 20?) jeweils die Seiten 1 und G zur Coincidenz kommen. 
Die Substitutionen auf der linken Seite vou (8) werden sich bei con- 
stant bleibendem Uq continuierlich ändern, wobei nach und nach 
Uc , Uc _i, ..., Uc.^, Uc^ mit der identischen Substitution gleich werden. 
Infolge der vorausgesandten Entwicklungen können wir bei der Zu- 
sammenbiegurig des einzelnen Seitenpaars 1 und 6 so verfahren, dass 
jedesmal nur die Seiten des benachbarten Systems mit verändert und 
zwar zuvörderst gedehnt werden, während der übrige Teil des Polygon- 
randes erst noch unverändert bleibt. Bei der Zusammenbieguug des 
letzten, zu Uc^ gehörenden Seitenpaars sind dann die elliptischen Sub- 
stitutionen Vn und Vn~i derart mit zu verändern, dass die Relation (3) 
ständig erfüllt ist; letzteres ist nach den eben zuletzt über die ellip- 
tischen Substitutionen V vorausgesandten Bemerkungen stets möglich, 

O OD 

Es steht aber andrerseits nichts im Wege, bei der Zusammenbiegung 
der Seiten des einzelnen Paares sogleich den gesamten übrigen Polygon- 
rand zu verändern, wenn man auf diese Weise im Einzelfall bequemere 
Gestalten des Polygons gewinnen kann. 

Eine besondere Bemerkung erfordert der bezeichnete Deformations- 
process nur für n = und n = 1. Im ersteren Falle Averden die 
beiden Substitutionen Uc, und Uc^ offenbar letzten Endes zu gleicher 
Zeit gleich 1, und wir finden Ü7„ = 1 in Übereinstimmung mit (1). 
Für n == 1 können wir den Process in der beschriebenen Weise nur 
erst so weit fördern, dass wir eine Relation C^ • Ur^ = Uq erhalten. 
Indem wir jetzt die Seiten 1 und 6, die noch übrig sind, zusammen- 
biegen, kommen zugleich die durch F^ auf einander bezogenen Seiten 
zur Coincidenz. Wie wir schon feststellten, erhalten wir dann f/j = — 1 
und Uci= 1, also Uq = — 1, was wieder mit(l) übereinstimmt. Für n = 2 
hat man, um K, = 1 zu erhalten, übrigens noch dafür Sorge zu tragen, 
dass die Drehungswinkel für V^ und K gleich werden. Diese Substitu- 
tionen sind nun in der That invers, und die Kette der Randcurven ist 
(eventuell nach erlaubter Abänderung) in ein Kreisbogenzweieck überge- 
gangen. Biegen wir unter wachsenden Winkeln die beiden Seiten des 
Zweiecks zusammen, so werden in Uy-U^ =Uq die beiden links stehen- 
den Factoren zugleich = — 1 , so dass Uq= \ ist und die Relation 
(1) wieder richtig wird, 

Ist nun n beliebig > 2, so haben wir bisher eine Kette von 2m 
Curven und ihr entsprechend eine Relation 
(9) U,U,---U,^ = U, 

erreicht, wobei gegenüber (8) nur zwei der links stehenden Factoren 



1, 3. Ausätze zur Definition und Erzeugung der Gruppen. 209 

verändert erscheinen. Hier biege man nun nach einander die durch 
Un, Un — i, ■ . . auf einander bezogeneu Seiten zusammen, wobei jedes- 
mal zwei weitere Factoren der Veränderung mit zu unterwerfen sind. 
Das schliesslich noch bleibende Zweieck behandeln wir, wie oben, und 
finden letzten Endes bei unverändertem TJq alle n Factoren auf der 
linken Seite von (9) mit (— 1) identisch. Es wird somit C/jj = (— 1)", 
und damit ist die Relation (1) in der That bewiesen. 



Die allgemeinen Grundlagen für die Theorie der discontinuierlichen 
^-Gruppen ohne infinitesimale Substitutionen sind mit dem Vorstehen- 
den in dem hier beabsichtigten Umfange vollständig entwickelt worden. 
Wenn wir von dem zuletzt behandelten Gegenstande absehen, so ist 
überall der Begriff des Discontinuitätsbereiches das wesentlichste Fun- 
dament unserer Untersuchungen gewesen. Dabei können wir, je nach 
dem Zwecke der einzelnen Untersuchung, den Discontinuitätsbereich 
entweder, wie im Anfang des vorliegenden Kapitels, in nicht weiter 
specificierter Gestalt annehmen oder wir können die normalen Bereiche 
des vorigen Kapitels oder endlich die zuletzt discutierten kanonischen 
Polygone benutzen. Der Übergang von der einen zur andern Gestalt 
ist immer durch erlaubte Abänderung erreichbar. 

Auch weiterhin wird der Begriff des Discontinuitätsbereiches seine 
centrale Stellung bewahren, gerade wie dies im Specialfalle der Modul- 
functionen in „M." I und II zur Geltung kam. In diesem Sinne wür- 
den wir hier unter beständigem Gebrauch der Discontinuitätsbereiche 
auch eine allgemeine Theorie der Untergruppen entwerfen können, 
welche sich den Entwicklungen in „M." I pg. 308 ff. aufs genaueste 
analog gestalten würde. Doch führen wir dies nicht aus, weil eine 
Behandlung der Untergruppen in diesem Sinne gegenüber der ge- 
nannten Entwicklung aus „M." I einstweilen zu wenig neue Gesichts- 
punkte darbieten würde. Dies wird ja nicht hindern, dass wir, wo 
sich die Gelegenheit bieten sollte, von dem Princip, durch Aneinander- 
reihung von Polygonen Untergruppen zu definieren, Gebrauch machen. 

Ausgerüstet mit den jetzt gewonnenen Methoden und allgemeinen 
Anschauungsweisen wollen wir nunmehr im folgenden Abschnitt an 
die Einzeluntersuchung der thatsächlich existierenden Gruppen heran- 
gehen. 



I 



Fricke-K loiu, Autonjorpho Funoliouon. I. 14 



Z\veiter Abschnitt. 

Durclituhi'uiig der geometrischen Theorie der 
Polyg;ongr!i])peii aus s- Substitutionen. 



Erstes Kapitel. 

Beliaudlniig der Rotatiousgrnppen auf (iruiidlage der normalen 
Diseontinnitätsbereiche. 

Die in den beiden letzten Kapiteln des vorigen Abschnitts ent- 
wickelten Grundlagen für die Theorie der eigentlich discontinuierlichen 
Gruppen aus ^-Substitutionen sollen nunmehr für die Aufklärung der 
thatsächlicheu Einzelheiten dieser Theorie zur Verwendung gebracht 
werden. Die Betrachtung soll dabei überall auf die Polygongruppen 
eingeschränkt bleiben, da die eigentlichen Polyedergruppen bei unseren 
späteren functionentheoretischen Untersuchungen keine Rolle mehr 
spielen werden. Innerhalb des so beschränkten Bereiches wollen wir 
jedoch, soweit als unsere Mittel gestatten, in dem anschaulichen 
Erfassen der wirklich existieren-den Gruppen vordringen. In diesem 
Sinne soll im ersten Kapitel die pg. 106 ff. begrüudete Theorie der 
Normalpolygone auf die unter III pg. 164 rubricierten Rotationsgruppen 
angewandt werden. Wir geben zunächst eine erschöpfende Behandlung 
der elliptischen und parabolischen liotationsgruppen. Für die hyperholischen 
Rotaiionsgruppen (Hauptkreisgruppen) gewinnen wir zwar im Verfolg 
der zugehörigen Normalpolygone den sehr interessanten Begriff der 
„natürlichen'' Discontinuitäfshereiche; dagegen kommen wir für diese 
Gruppen hier noch nicht zum vollständigen Abschluss, müssen viel- 
mehr zu diesem Ende (im folgenden Kapitel) die „kanonischen" Polygone 
lierauholen. Übrigens wird es ein Leichtes sein, im Anschluss an die 
parabolischen Rotationsgruppen die unter II der Tabelle pg. 164 ge- 
nannten Gruppen mit zwei Grenzpunkten zu erledigen. Endlich sind 
die cyclischen Gruppen oben pg. 65 ff. sowie in „M." I pg. 183 ff. be- 



II, 1. Theorie der Rotationsgruppen auf Grundlage der Normalpolygone. 211 

reits vollständig behandelt; die Erweiterung durch Spiegelungen ist 
bei diesen Gruppen, abgesehen vom loxodroniischen Falle, stets möglich 
(siehe das Nähere in „M." I pg. 200 ff.). So bleibt für das dritte°Ka- 
pitel des vorliegenden Abschnitts nur noch die Besprechung der Nicht- 
rotationsgruppen über. 

§ 1. Erledigung der elliptischen Rotationsgruppen. 

Die elliptischen Rotationsgruppen oder Gruppen der regulären 
Körper haben in „Ikos." Abschn. I, in „M." I pg. 69 ff., sowie oben 
pg. 69 ff. ausführliche Behandlung gefunden. Speciell an letzter Stelle 
wurden diese Gruppen in ihrer Eigenschaft als Gruppen von Bewegungen 
der elliptischen Ebene in sich untersucht. In jedem Falle ist es leicht 
zu sehen, dass es sich hier um Gruppen endlicher Ordnung handelt. 
Dieses ergiebt sich z. B. unter Gebrauch der elliptischen Ebene mit 
Rücksicht auf die Forderung, dass die einzelne Gruppe in dieser Ebene 
einen endlich ausgedehnten Discontinuitätsbereich hat, einfach aus 
dem Umstände, dass der Gesamtiuhalt der elliptischen Ebene endlich 
ist. Aus den Entwicklungen des ersten Abschnitts folgt zugleich, dass 
durch die fraglichen Gruppen der elliptischen Ebene auch die sämt- 
lichen Gruppen endlicher OrAnving aus ^ Substitutionen bereits erschöpft 
sind; denn die parabolischen und hyperbolischen Rotationsgruppen, 
sowie alle Nichtrotationsgruppen sind von unendlicher Ordnung. 

Die citierten Darlegungen über die elliptischen Rotationsgruppen 
sollen hier noch eine Ergänzung erfahren. In „Ikos." pg. 115 ff. ist 
bewiesen, dass die cyclischen (elliptischen) Gruppen, die Gruppeti der 
Bieder, des Tetraeders, Oktaeders und Ucosaeders bereits alle existierenden 
elliptischen Rotationsgruppen und also alle Gruppen endlicher Ordnung 
aus t- Substitutionen darstellen. Dabei sind es functionentheoretische 
Überlegungen, welche bei diesem Beweise benutzt werden; und dieser 
Umstand macht os wünschenswert, dass wir hier untersuchen, wie sich 
das gleiche Ergebnis aus rein gruppentheoretisch -geometrischen Er- 
wägungen entnehmen lässt*). Diese Ergänzung wurde bereits oben 
(pg. 60) in Aussicht genommen; sie entspricht der vielfach sonst be- 
handelten elementargeometrischen Aufgabe, alle „regulären" Körper 
aufzuzählen. 



*) Die Methode, welche C. .lordau in der Abhandlung „Memoire sur les 
iquatiom diß'erentielks Hneaires ä integrale algdbrique" (Crelle'a Journal Bd. 84, 
1877) zum Beweise unseres Satzes benutzt, ist gruppentheoretisch-algebraisch; es 
handelt sich dabei um eine schrittweise ausgeführte Coustruction der fraglichen 
Gruppen von ihren cyclischen Untergruppen aus. Übrigens sehe man wegen wei- 
terer Literaturaugaben „Ikos." p. 115 u. f. 

U* 



I 



212 n. Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 

Den fraglichen Nachweis gründen wir hier auf die Theorie der 
Normalpolygone, und zwar in der Art, dass wir die Aufgabe erledigen, 
alle denkbaren und wesentlich verschiedenen Normalpolygone P^ in 
der elliptischen Ebene aufzustelleu. Das einzelne Polygon nehmen wir 
nach pg. 113 zuvörderst so an, dass es je nur an einen elliptischen 
Fixpunkt aus der einzelnen Classe heranragt. Man bemerke, dass unter 
dieser Voraussetzung auf dem Rande von Pq niemals zwei elliptische 
Ecken unmittelbar auf einander folgen können*). 

Das Polygon P^ habe nun s = 2q Seiten, m Cyclen zufälliger 

2« 2« 2 TT 

Ecken und m elliptische Ecken mit den Winkeln ^— , j- , . . ., j^ ■ 

Da zum einzelnen Cyclus wenigstens drei zufällige Ecken gehören, so 
gilt für die Anzahl (5 — n) der zufälligen Ecken: 

(1) s — n'^ 3m. 

Da ferner die Winkelsumme des geradlinigen s-Ecks der elliptischen 
Ebene > (s — 2)« ist, so gilt: 

n 

(2) 2m+^f>s-2. 

t=i ' 

Wenn wir s aus (1) und (2) eliminieren und zugleich die Ungleichung 
li ^ 2 berücksichtigen, so folgt weiter: 

n 

(3) w^^|>w + n — 2. 

t=i * 

Da endlich nach den vorausgesandten Bemerkungen die Anzahl (s — n) 
der zufälligen Ecken nicht kleiner sein kann, als die Anzahl n der 
elliptischen Ecken, so ist: 

(4) s — M ^ n. 

Nun kommen zufolge der letzten Angabe jedenfalls zufällige Ecken 
vor, so dass m ^ 1 ist. Aus (3) folgt 2 > m, und also ist m= 1, so 
dass Pq einen Cyclus zufälliger Ecken aufweist. Die Substitution von 
7)1 = 1 in (2) liefert mit Rücksicht auf (3): 

n 

n ^^ j> s — 4, 4 > s — w, 
1=1 ' 

so dass unter Benutzung von (1) sich s — n = 3 und also ein drei- 
gliedriger Cyclus von Ecken ergiebt. Nun liefert die Ungleichung (4) 

*) Die zwiachenliegende Seite wäre in der That sowohl der rechts, wie der 
links folgenden Seite zugeordnet, was nur beim zweieckigen Discontiuuitätsbereich 
einer cyclischen Gruppe zutrifft; dieser Fall aber kommt im Texte nicht in Betracht. 



II, 1. Theorie der Rotationsgruppen auf Grundlage der Nornialpolygone. 213 



für n die Werte 1, 2 und 3; doch ist n = 2 sofort auszuschliessen, 
da in diesem Falle s eine ungerade Zahl sein würde. 

Für w ^ 1 wäre P^ ein Viereck, bei dem sich ersichtlich in keiner 
Weise ein dreigliedriger Eckencyclus herstellen Hesse. Es ist somit 
notwendig: 

(5) m = 1, n = 3, g = 3, s = 6, 

und aus (2) ergiebt sich für die ganzen Zahlen l^, /g, l^: 



(6) 



f + f + l>l- 

'l '2 's 



Das Normalpolygon P^ der elliptischen Ebene ist ein Secksech mit drei 
zufälligen und drei elliptischen Ecken, tvelche letztere der Ungleichung (6) 
genügen. Biese Ungleichung lässt nach „Ikos.'' nur folgende vier Lösungen zu: 



h 


h 


k 


2 


2 


l 


2 


3 


3 


2 


3 


4 


2 


3 


5, 



ivobei im ersten Falle die ganze Zahl l unbestimmt bleibt. 

Um die sämtlichen, diesem Ansätze entsprechenden Gruppen auf- 
zuzählen, schalten wir eine Hilfsbetrachtung ein. 

Die elliptischen Ecken von P^ nennen wir e,, e,? ^3 und die ihnen 
zugehörigen Substitutionen Fj, V^, F3. Indem wir die drei Geraden 
e, €2, e.y Cg , egCj ziehen, spalten wir von P^ drei in Figur 54 durch 
Nummern unterschiedene Dreiecke ab. Wir nehmen sodann in dem 
Sinne eine erlaubte Abänderung 
von Pq vor, dass wir auf das 
Dreieck 1 und 2 bez. die Sub- 
stitutionen Fg und Fi~^ aus- 
üben. Das in Figur 54 (rechter 
Hand) dargestellte neue Po- 
lygon Pq besteht aus zwei 
neben einander liegenden Drei- 
ecken mit den Ecken Ci , eo , €r^ , e^'. 
Die beiden zuletzt genannten Ecken f.,, e^' sind die Fixpunkte von 
F3=F2~*F,~^ bez. V^' = V^Vy. Nun beachte man, dass die Gerade 
6,63 gemeinsame Niveaulinie von F, und F, ist, und dass demnach die 
Spiegelung Fg an dieser Geraden sowohl F, wie Fj in ihre inverse 
Substitution transformiert. Durch Fg werden somit Fg und Fg', und 
also auch Cg und ('3' in einander transformiert: Die Gerade e^c^ ist eine 





Fig. bi. 



I 



214 n. Ausführliche Theorie der Polygongrappeu. 

Symmetrielinie des Boppeldreiecks P^, und also sind die Winkel des ein- 
zelnen DreiecTis , , ^, j" 

h 'a '3 

In der durch F3 erweiterten Gruppe F sind auch die beiden Spie- 
gelungen ¥2= F1F3, Fl = F3F2 an den beiden anderen Seiten e^^ bez. 
^363 des Elementardreiecks enthalten. Diese drei Spiegelungen Fj, V^, F, 
können dann als Erzeugende von F benutzt werden; Fj, F2, F3 stellen 
sich in ihnen in der Gestalt dar: 

(7) v,v,==r„ nY,= v,, v,v,==v,. 

Die vier schon angegebenen Zahlcombinatiouen ^i, l^, /g führen von 
hieraus direct zu den vier oben (pg. 70 fl'.) mitgeteilten regulären Ein- 
teilungen der elliptischen Ebene zurück; andere reguläre Einteilungen 
als diese giebt es also nicht, und dies sollte bewiesen werden*). 

§ 2. Die Normalseehsecke der parabolischen Rotationsgruppen. 

Die parabolischen Rotationsgruppen oder Gruppen der parabolischen 
Ebene bestehen bei zweckmässiger Einführung von ^ (cf. p. 8) nur aus 
£;- Substitutionen der Gestalt: 

(1) ^=e-''-t-\-c, 

wobei man den Winkel -9^ auf das Intervall 0<0'<2;r einschränken wird. 
Die einzelne solche Substitution ist parabolisch mit dem Fixpunkt 
g = oo, falls d- == ist; bei einem von null verschiedenen Winkel # 
hat man hingegen eine elliptische Substitution, deren einer Fixpunkt 
bei t, = 00 gelegen ist. 

Um nun die Theorie der Normalpolygone hier wieder im einzelnen 
durchzuführen, möge zuvörderst eine Gruppe F vorgelegt sein, welche 
nicht cyclisch ist und nur paraholische Substitutionen (1) enthält. Ein 
zu F gehörendes Normalpolygou P^ habe s =^ 2q Seiten, m Cyclen 
zufälliger Ecken und n nicht-zufällige Ecken. Da F nicht cyclisch ist, 
so ist g* > 1; da ferner ^ = 00 der einzige Fixpuukt der Substitutionen 
von F ist, so ist w = 1 oder = 0, je nachdem P„ an diesen Fixpuukt 
heranreicht oder nicht. Es gelten nun die Bedingungen: 

(2) s — n> 3 m, 2m = s — 2; 

*) Die Tetraedergruppe sowie die Bämtlichen Diedergruppen erster Art lassen 
sich übrigens stets noch auf eine zweite, wesentlich neue Weise auf Gruppen der 
zweiten Art erweitern. Die Vierergruppe ist sogar in vier verschiedenen Gruppen F 
als Untergruppe des Index zwei enthalten. Wir gehen auf die üntersuchuugs- 
methode derartiger Gruppenerweiteiuugen bei Gelegenheit der parabolischen 
Rotationsgruppen mit Ausführlichkeit ein. 



II, 1. Theorie der Rotationsgruppen auf Grundlage der Normalpolygone. 215 

die erste Bedingung ist identisch mit (1) pg. 212, die zweite folgt aus 
der Betrachtung der Winkelsumme des Polygons. 

Durch Addition der Relationen (2) folgt nun 2 ^ w -f '<; loan 
hat also nur die beiden Möglichkeiten: 

(3) w« -j- >i = 1 , m -]- n = 2. 

Nimmt man im ersten Falle n = 1, so folgt m = 0, s = 2, und also 
wäre r cyclisch, was wir soeben ausschlössen. Combiniert man die 
Annahme n= 1 mit der zweiten Gleichung (3), so folgt m= 1, s = 4; 
doch würde eine Viereck Pq neben der parabolischen Ecke notwendig 
noch eine elliptische aufweisen, die der parabolischen gegenüber läge. 
Die Annahme n = 1 ist somit unstatthaft: das Polygon P^ verläuft 
durchaus im Endlichen und hat nur zufällige EcJ:en. 

Setzen wir somit n = 0, so liefern die Gleichungen (3) die Mög- 
lichkeiten m = 1 und ni = 2, denen die Werte s = 4 bez. 5 = 6 
entsprechen. Das Normalpolygon einer pardbolisclien Rotationsgruppe, 
welche nicht-cyclisch ist und nur aus paraholischen Substitutionen hesteht. 
ist enttveder ein Viereck oder ein Sechseclc mit nur zufälligen Echen. Wir 
werden bald finden, dass sich das Viereck als ein besonderer Fall des 
Sechsecks auffassen lässt. 

Liegt nun der erste Fall s = 4 vor, so sind notwendig je die 
beiden gegenüberliegenden Seiten des Vierecks P^^ auf einander be- 
zogen; denn anderenfalls würden nicht-zufällige Ecken vorhanden sein. 
Es foltjt hieraus, dass Pq ein Parallelogramm ist. Die vier Ecken dieses 
Parallelogramms bilden einen viergliedrigen Cyclus und eben deshalb 
sind sie alle vom Centrum Cq des Normalbereichs gleich weit entfernt. 
Es folgt: Für s = 4 ist der Normalhereich unserer paraholischen Bofations- 
gruppe ein Rechteck, dessen Gegenseiten einander zugeordnet sind; umgekehrt 
definiert jedes Rechteck dieser Seitenzuordnung eine G-ruppe unserer Art und 
ist Normalbereich derselben. Die Centren C'^, C^, Cj, ... der zugehörigen 
Rechteckteilung bilden nämlich ein rechteckiges Punktgitter, und das zu 
diesem System äquivalenter Punkte gehörende Netz der Norniaipolygone 
liefert offenbar direct die Rechtecke. 

Beim Sechseck sind notwendig auch jedesmal zwei Gegenseiten 
auf einander bezogen; denn jede andere Art, die Seiten zuzuordnen, 
tiihrt entweder auf elliptische Ecken oder zweigliedrige Cycleu, wie 
man ohne Mühe im einzelnen feststellen wird. Es sind somit je zwei 
Gegenseiten des Sechsecks parallel und gleich, und wir haben zwei drei- 
gliedrige Cyclen zufälliger Ecken, wobei zum einen Cyclus die erste, 
dritte und fünfte Ecke gehören, zum anderen die zweite, vierte und 
sechste. Das fertige Bild der Sechseckteiluug ist in Figur 55 angedeutet; 



216 



II. Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 



wie man sieht, bilden die Centren Cq, Cy, Cg, ... ein parallelogram- 
matisches Gitter. Verbindet man C^ mit den Ceutren der sechs benach- 
barten Secksecke, so erscheint P^ durch drei in Cq sich schneidende 
Gerade in sechs Vierecke zerlegt, von denen je zwei gegenüberliegende 




Fig S5. 



congruent sind. Es ergiebt sich hieraus, dass nicht nur je die drei 
Ecken des einzelnen Cyclus von Cq gleich weit entfernt sind, sondern 
dass sogar alle sechs Ecken auf einem Kreise um Cq liegen. Über- 
haupt aber gilt der Satz: Das Normalpolygon der parabolischen Botations- 
gnippen ohne elliptische Substitutionen ist durch seine Eigenschaft, ein 
Sechseck im Kreise mit gleichen und einander zugeordneten Gegenseiten 
zu sein, bereits endgültig definiert. Aus der Gleichheit der Gegenseiten 
ergiebt sich nämlich bei einem beliebigen solchen Sechseck leicht 
auch deren Parallelismus; und hieraus folgt weiter, dass die Winkel- 
summe des einzelnen Eckencyclus 2n ist. Ein Sechseck der genannten 
Art ist also stets Discontinuitätsbereich einer Gruppe. Für letztere 
aber bilden die Sechseckmittelpunkte des zugehörigen Netzes ein System 
äquivalenter Punkte Cq, Cj, Cg, . . ., und das zu diesem System ge- 
hörende Netz der Normalpolygone liefert eben das Sechseck wieder, 
von dem wir gerade ausgingen. 

Der vorhin gesondert behandelte Fall eines Rechtecks Pq lässt 
sich, wie bereits oben bemerkt, als Specialfall eines Sechsecks unserer 
Art auffassen: In der That tverden wir auf ein Rechteck mit einander 
zugeordneten Gegenseiten geführt, falls im Sechsech irgend zwei einander 
gegoiüberliegende Seiten verschwindend Mein tverden. Dieserhalb ist es 



II, 1. Theorie der Rotationsgruppen anf Grundlage der Normalpolygone. 217 

statthaft, allgemein vom „Normalsechseck der parabolischen Rotations- 
gruppen ohne elliptische Substitutionen" zu sprechen. 

Da übrigens jede Substitution der Gruppe geometrisch eine Pa- 
rallelverschiehung der ^- Ebene in sich bedeutet, so ist offenbar jedes 
System bezüglich der Gruppe äquivalenter Punkte Cq, C/, C2 , • • • 
mit dem obigen besonderen System Cq, Cy, C.^, ... congruent. Hieraus 
folgt aber auch die Congruenz des zum Centrum Q' gehörenden 
Normalpolygons P^' mit P,,: Bei einer jßarabolischen Rotationsgruppe 
ohne elliptische Suhstitidionen ist die Gestalt des Normalpolygons unab- 
hängig von der Auswahl des Centrums Cq und mit der Gruppe eindeutig 
hestimmt. 

Das Sechseck gestattet eine wichtige erlaubte Abänderung, die 
hierneben in Figur 56 ausgeführt ist. In der neuen Gestalt ist der 
Discoutinuitätsbereich ein Parallelogramm mit einander 
zugeordneten Gegenseiten; offenbar lässt sich dieser Über- 
gang zum Parallelogramm auf drei verschiedene Weisen 
vollziehen. Weiter folgt unmittelbar: Eine parabolische 
Rotationsgruppe ohne elliptische Substitutionen ist stets 
aus zwei mit einander vertauschbaren Substitutionen er- 
zeugbar, die W'ir sogleich in die typische Gestalt setzen ^ ^^ 
Icönnen: 

(4) t'=e + ö,, r = e + «.. 

Die gesamte Gruppe besteht demnach aus den Substitutionen: 
(5) ^ =^ + niico, + m,coo, 

wo ))ii, w?2 äll^ Paare ganzer Zahlen durchlaufen sollen. Diesem Resultate 
gemäss sind unsere parabolischen Rotationsgruppen keine anderen, als 
die der Theorie der doppeltperiodischen Functionen zu Grunde liegenden 
Gruppen; im Discoutinuitätsbereich der Figur 56 erkennen wir direct 
das Feriodenparallclogramm jener Theorie. Die oben gelegentlich benutzte 
Benennung ..Gruppen der doppeltperiodischcn Functionen" für die in Rede 
-tehenden Rotationsgruppen ist damit gerechtfertigt*). 

§ 3. Beziehung der Normalsechsecke der parabolischen Rotations- 
griippen zur Reduction der binären quadratischen Formen. 

Das Periodenparallelogranim der doppeltperiodischen Functionen 
kann nach einer bekannten Theorie in unendlich vielen Weisen ge- 
wählt werden. Es hängt dies, wie z. B. in ,,M." I pg. 29 erörtert ist. 




*) Das im Texte gewonnene Ergebnis, dass sich eine eigentlich dieconti- 
miierliche, nur ans Substitutionen der Gt>stalt J' = J -]- c bestehende Gruppe stets 
aus zwei und nicht mehr iSubätitutionen erzeugen lilsst, liefert den Satz der Functionen- 



218 n. Ausführliche Theorie der Polygongriippen 

mit der linearen Transformation der Perioden co^, a^ zusammen; neben 
ein erstes Parallelogramm der Ecken ^=0, Oj, cjg» '^i "f" ^^2 stellt 
sich jedes weitere mit den Ecken 0, ra/, Og', cJi'+ ojg', wobei in be- 
kannter Weise: 

ist und a, ß, y, d irgend vier ganze Zahlen der Determinante 1 be- 
deuten. Die gesamten hierbei eintretenden Quotienten o' = — , stellen 

nach „M." I ein System bezüglich der Modulgruppe äquivalenter Punkte 
dar: indem wir einen einzelnen unter diesen Punkten aufsuchen, haben 
wir zugleich eines unter jenen Parallelogrammen fixiert. 

Die Auswahl eines einzelnen Punktes co oder Parallelogramms 
ist nun in anderer Gestalt dieselbe Operation, welche in der Theorie 
der Reduction der ganzzahligen binären quadratischen Formen negativer 
Determinanten als Auswahl einer repräsentierenden Form erscheint. 
In „M/' I pg. 243 ff. ist diese Theorie entwickelt, wobei das Ausgangs- 
dreieck der Modulteilung als Raum für die reducierten Formen zu 
Grunde gelegt ist. Die entsprechenden Reductionsbedingungen für o 
bez. für die Coefficienten der quadratischen Formen sind a. a. 0. 
pg. 249 angegeben; durch diese Bedingungen wird in jeder Classe 
äquivalenter Formen eine einzelne Form eindeutig als reduciert festgelegt. 

Die Normalsechsecke des vorigen Paragraphen waren nun ihrer- 
seits eindeutig mit den Gruppen bestimmt. Die zu den Sechsecken 
gehörenden Parallelogramme, deren Herstellungsart wir sogleich noch 
näher betrachten, werden demnach gleichfalls als „Repräsentanten" 
aller übrigen, zu derselben Gruppe gehörenden Parallelogramme fungieren 
können, und wir werden sie in diesem Sinne als „reducierte Parallelo- 
gramme" bezeichnen. Dabei entspringt die Frage, ob die auf diesem 
Wege von den Normalsechsecken aus zu gewinnenden Reductions- 
bedingungen mit denen in „M." I pg. 249 übereinstimmen, oder welche 
sie sonst sein mögen. 

Zur Verwandlung des Sechsecks in ein Parallelogramm fixiere 
man nun die Centren der sechs dem Ausgangssechseck P^ benach- 
barten Sechsecke und nenne diese Centren, wie Figur 55 andeutet, 
Ci, C.2, ..., Cß. Irgend drei consecutive unter diesen Centren mit Cq 
vereint liefern die Ecken eines Parallelogramms. Dabei entspringen 

theorie, dass eine eindeutige Function eines complexen Argumentes niemals mehr 
als zwei von einander unabhängige Perioden aufweisen kann. Der bekannte von 
Jacobi herrührende Beweis dieses Satzes kommt geradezu darauf hinaus, dass 
im Falle von drei unabhängigen Perioden die Existenz infinitesimaler Substitutionen 
dargethan wird ; er ordnet sich also in unseren allgemeinen Gedankengang ein. 



II, 1. Theorie der Rotationsgruppen auf Grundlage der Normalpolygone. 219 

offenbar nur drei verschiedene Parallelogramme. Man kann dieselben 
auch dadurch herstellen, dass man das Breieck der Ecken Cq, C^, C^ 
auf die 'drei möglichen Arten zum Parallelogramm ergänzt. Hieraus 
geht bereits hervor, dass die neuen Reductionsbedingungen für die 
Parallelogramme nicht ein-, sondern dreideutig sein werden. 

Das Sechseck hat nun lauter stumpfe Winkel, die nur im Grenz- 
fall eines Rechtecks rechte Winkel werden. Die Winkel des eben zu- 
letzt genannten Dreiecks sind sonach spitze oder höchstens rechte. 
Umgekehrt liefert irgend ein Dreieck dieser Art durch Errichten der 
Lote auf den Seitenmitten u. s. w. stets ein Normalsechseck fcf. Figur 55 
pg. 216). Wir finden sonach: Bie von den Normalsechsecken für die 
Periodenparallelogramme etc. gelieferten Beductionsbedingungen kleiden sich 
in die einfache geometrische Gestalt, dass das Breieck mit den Ecken 
t, = 0, cjj , «2 ß"^ spitzwinkliges oder höchstetis rechtwinkliges sein soll. 
Wir sind hiermit vom Normalsechseck aus gerade zu jener Reductions- 
bedingung geführt, welche in der wichtigen Arbeit von Selling „über 
die binären und ternären quadratischen Formen'^*) der Theorie der 
binären Formen zu Grunde gelegt ist. 

Um zu untersuchen, wie sich die vom Normalsechseck gelieferte 
Reductionsbedingung für den Periodenquotienten to ausspricht, nennen 
wir die Seitenlängen des Dreiecks mit den Ecken C^,. (7,, Q etwa 
So, Si, «2, wobei die Seite s,- der Ecke d gegenüberliege. Wir führen 
überdies t, so ein, dass in den Eckpunkten Cq, C\, C, die Werte ^ = 
bez. CO.,, (Ol zutreffen; dann ist der Periodeuquotient o von positivem 
imaginären Bestandteil, und s,„ s^, s^ sind bez. die absoluten Beträge 
der drei Zahlen cjj — o.,, co^, Oo. 

Die Forderung, dass das in Rede stehende Dreieck nicht stumpf- 
winklig sein soll, drückt sich nun durch die drei folgenden Unglei- 
chungen aus: 

(1) s.'+sr^s,2; i,k,l==\,2,'d. 

Verstehen wir, wie gewohnt, unter a den zu a coujugierten Wert, 
so nehmen bei Übergang zu co und q die drei Bedingungen (H die 
Gestalt an: 

0)03 -{- (fij — 1)(«— 1) > 1, 

(2) I co^ + 0-I)0-|)>^ 
*" . "^ _L ' L_->i 

Q) 1 üj 1 I wl CO — 1 ' 

wobei das Gleichheitszeichen im P^inzolfall natürlich höchstens in einer 
*) Crelle's Journal, Lfd. 77 ji«,'. 143 11'. (,1874). 



■ 



220 



II. Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 




der drei Relationen vorkommen kann. Die drei Bedingungen (2) ver- 
wandeln sich nach kurzer Zwischenentwicklung in: 

2(Dö>ö-(-ö, 2>ö-}-Q, CO -f- ö3 > 0, 

und diese Ungleichungen gehen, wenn mau a = h, -\- irj einführt, über 

in die folgenden: 

(3) r+'f^^, 1>^>0. 

Der durch diese Bedingungen eingegrenzte Bereich ist nun das in 
Figur 57 dargestellte Kreishogendreieclc mit dm Eckpunkten cj = 0, 1, oo; 

dieses Dreieck ist also dei' von den Normalsechs- 
ecken gelieferte JRaiim der redncierten Weite oj. 
Infolge der oben gewählten Einführung der 
Werte o^, Og konnten wir uns hierbei auf die 
positive to- Halbebene beschränken. 

Das Dreieck der Figur 57 besteht aus drei 
Doppeldreiecken der Modulteilung. Dem ent- 
spricht die schon oben hervorgehobene That- 
sache, dass das Normalsechseck auf die oben 
beschriebene Art stets drei Parallelogramme 
liefert, welche zugleich reduciert sind. Es ist 
übrigens leicht ersichtlich, dass die Randpunkte 
des Kreisbogendreiecks diejenigen Gruppen liefern, deren Normal- 
sechsecke durch Verschwinden zweier Gegenseiten in Rechtecke ausarten. 
Die drei Paare der Gegenseiten des Sechsecks correspondieren dabei 
den drei Seiten des Kreisbogendreiecks der Figur 57. 

Übrigens ist es gar nicht schwer, die geometrische Überlegung 
so zu wenden, dass wir statt der Selling'schen Reductionsbedingungen 
diejenigen von „M." I pg. 249 wiedererhalten. Im wesentlichen kommt 
dies darauf hinaus, dass wir unter den drei eben iviederhoU genannten 
Parallelogrammen dasjenige bevorzugen, welches die beiden kleinsten Seiten 
hat. Dabei wolle man den Nullpunkt ^ = sowie die beiden Perioden 
©1 und 0)2 in der Weise einführen, dass bei positivem Umlauf des 
Parallelogramms die drei Eckpunkte bei ^ = Oi, 0, cog in dieser Reihe 
auf einander folgen, und dass die Seite von ^ = bis ^ = (o^ die 
kleinste wird. Der Quotient co wird alsdann positiven imaginären 
Bestandteil haben. Die so gegebene Vorschrift lässt sich, wenn wir 
hier stets von particulären Fällen absehen, noch in zwei Weisen 
ausführen; doch liefern beide Arten gleiche Quotienten co. Der ana- 
lytische Ausdruck der vorstehenden Bedingungen ist: 



iU = 



Fig. 57. 



to, 



> ; «1 1 > , «ä 






II, 1. Theorie der Rotationagruppen auf Grnndlage der Normalpolygone. 221 

gültig sowohl für das obere, wie untere Zeichen. Die Entwicklung 
dieser Ungleichungen liefert: 

(cj + l)(rä + 1) > öö, öö > 1 

oder unter Gebrauch von | und tj: 

(4) i>2i>-i, r^+r>i- 

Hiermit sind wir in der That zu dem in „M." I zu Grunde gelegten 
Ausgangsbereich der Modulgruppe zurückgeführt, nur dass wir die 
Randpunkte dieses Bereiches der Kürze halber ausser Acht Hessen, 

Bei den besonderen Maassverhältnissen der Figur 55 pg. 216 ist 
das Parallelogramm C^d^C^C^ dasjenige mit den beiden kleinsten Seiten. 
Dabei wird man ^ = nach C4 legen, während die Punkte Cq und Q 
bez. die Werte t, = Oc, und a^ tragen. 

Die Theorie der Reduction der binären quadratischen Formen in 
dem hier entwickelten geometrischen Gewände war durch die bekannte 
von Gauss*) herrührende Interpretation der Formen vermöge parallelo- 
grammatischer Punktgitter indiciert. Die wirkliche Angabe der „re- 
ducierten" Parallelogramme findet sich in der eben zuletzt besprochenen 
Art bei Dirichlet in der Abhandlung „Über die Rediidion der posi- 
tiven quadratischen Formen mit drei unhestimmten ganzen ZaJden"**). 
Diese Abhandlung ist für uns um so interessanter, als in derselben 
vom Netz der reducierten Parallelogramme aus auch die hier au die 
Spitze gestellte Sechseckteilung hergestellt und näher discutiert wird 
(cf. 1. c. pg. 216). Behalten wir die bisher gebrauchte Bezeichnung 
Cq, Cy, C2, ... für die Punkte des Gitters bei, so ist Dirichlet's 
Definition des zu Cq gehörigen Sechsecks die, dass dasselbe den Inbegriff 
aller derjenigen Funkte der Ebene darstellt, ivelche dem Punkte C^ näher 
liegen als einem anderen Funkte des Gitters. Es ist interessant zu be- 
merken, dass diese Festsetzung eine vollständige Definition des Normal- 
polygons der parabolischen Rotationsgruppeu darstellt, welche zugleich 
unmittelbar der Verallgemeinerung auf zahlreiche andere Gruppen ITihig 
erscheint. Doch sei hier nebenher bemerkt, dass sich in gewissen 
Fällen hyperbolischer Rotationsgruppen die fragliche Definition der 
Normalpolygone, welche wir kurz als die Dirichlet'sche Definition be- 
zeichnen wollen, als unbrauchbar bez. unzutreflend erweist; wir kommen 
hierauf später zurück. 



♦\ 



*) Siehe Gauss' Anzeige der Seeber'schen Untersuchungen über ternäre qua- 
dratische Formen in den Göttingischen gelehrten Anzeigen vom U. Juli 1831 
(Gauss' Werke Bd. 2 pg. 194). 

**) Crelle's Journal Bd. 40 pg. 209 (1850). 



I 



222 II- Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 

§ 4. Die parabolischen Rotationsgruppen mit elliptischen 
Substitutionen. 

Sei nunmehr eine parabolische Rotationsgruppe F vorgelegt, welche 
irgend welche Substitutionen: 

(1) r=e-'^'e + c, 

also auch elliptische enthalten mag. Die in JT enthaltenen paraboli- 
schen Substitutionen bilden für sich eine Gruppe F^, welche in F aus- 
gezeichnet enthalten ist; denn eine parabolische Substitution geht bei 
Transformation wieder in eine parabolische über. 

Bei Combinatiou zweier Substitutionen (1) multiplicieren sich die 
Factoren e'*' derselben; alle in F vorkommenden Factoren e^' bilden 
demnach ein System von Zahlen, die sich durch Multiplication unter 
einander reproducieren. Da die gesamten elliptischen Substitutionen 
von F von endlicher Periode sind, so sind die Factoren e** Einheits- 
wurzeln endlicher Grade. Das fragliche System der Factoren e"^' 
stellt somit alle n Einheitswurzeln eines gewissen Grades 7i vor. 

Setzen wir e " = £, so sind demnach die gesamten in F auftretenden 
Factoren c'^' durch 1, s, s^, . . ., £"~^ gegeben. 

Wir greifen nun irgend eine Substitution mit dem Factor s aus 
F auf; dieselbe ist eine elliptische Substitution der Periode n. Wählen 
wir t, so, dass ^ = in dem im Endlichen gelegenen Fixpunkt dieser 
Substitution zutrifft, so hat letztere die Gestalt ^' = s^ und erzeugt 
die endliche Gruppe n*®"^ Ordnung der Substitutionen: 

(2) v=et, t'=sn,..-, t=s^-n, r=^ 

Man zeigt durch eine einfache gruppentheoretische Betrachtung, dass 
die Gesanitfjruppe F durch Comhinatioii der cyclischen Gruppe (2) mit 
der Gruppe F^ entspringt. 

Wir benennen nun die erste unter den Substitutionen (2) durch 
V; dieselbe bedeutet geometrisch eine Drehung der ^- Ebene um ihren 

2 TT 

Nullpunkt durch den Winkel — . Es ist die Frage, wie wir n wählen 
dürfen, damit eine vorgelegte parabolische Rotationsgruppe F^ ohne 
elliptische Substitutionen durch V in sich transformiert wird und sonach 
durch Combinatiou mit V eine erweiterte Gruppe von der Art der 
obigen Gruppe F liefert. 

Um hierüber zu entscheiden, wählen wir für Fq ein System äqui- 
valenter Punkte Cq, C\, C^, . . ., indem wir speciell C^ mit dem Null- 
punkt ^ = coincidieren lassen. Auf das zugehörige Netz der Normal- 
polygone Pq, I\, Pg, ... üben wir die Substitution V aus und ge- 
winnen dadurch das Netz der Normal polygone für die durch V trans- 



II, 1. Theorie der Rotationsgruppen auf Grundlage der Normalpolygone. 223 



formierte Gruppe Fq. Aber die transformierte Gruppe soll gleich der 
ursprünglichen sein, und da C^ durch V in sich übergeht, so wird P^ 
durch V genau in sich selbst transformiert. Andrerseits, so oft P^ 
durch eine Drehung V um C'^ in sich übergeführt wird, ebenso oft 
gestattet rjj durch Combination mit Fdie Erweiterung auf eine Gruppe F 
obiger Art. Mit Rücksicht auf die Angaben des vorletzten Paragraphen 
betreffs der Gestalt des Polygons Pq ergiebt sich demnach unmittelbar: 
Jede parabolische Piotationsgrttppe Fq (ohne elliptische Suhsiituüonen) ge- 
stattet im obigen Sinne die Erweiterung durch eine Substitution V der 
Periode w = 2; die Erweiterung durch eine Substitution V mit n = 3 
oder n = 6 ist stets und nur dann möglich, wenn P^ ein gleichseitiges 
Sechseck ist; endlich ist die Erweiterung von Fq durch eine Substitution V 
mit w = 4 immer und nur dann statthaft, tventi Pq ein Quadrat ist. 
Ändere Werte von n sind unzulässig. 

Dieses Ergebnis kann man natürlich auf dem Wege der Rechnung 
bestätigen. Benennt man nämlich die Erzeugenden (4) pg. 217 von Ff, 
durch Vi und V2 und gebraucht Fiu der bisherigen Bedeutung, so haben 
die beiden Substitutionen VV^V-^ und VV.,V-^ die Gestalt: 

Da nun diese Substitutionen gleichfalls in Fq enthalten sein sollen, so 
gelten die Gleichungen: 

£ft)j = ß«! 4- /3W2, £0)2 = J'Cöj -f- ^©2 

mit ganzen Zahlen a, ß, y, d. Die Elimination von gj, und Oo liefert 
für e die quadratische Gleichung: 

£^ — (a + d) £ + (a d — ßy) =0 
mit ganzzahligen Coefficienten. Da nun s 
eine primitive w*® Einheitswurzel sein soll, 
so folgt aus bekannten Siitzen der Arith- 
metik, dass n auf die Werte 2, 3, 4, 6 
eingeschränkt ist. Damit sind wir aber 
auf die bereits erhaltenen Gruppenerwei- 
terungen zurückgeführt. 

Die Discontinuitätsbereichc der durch 
elliptische Substitutionen erweiterten Grup- 
pen F wird man in jedem Falle aus dem 
Seckseck der zu Grunde liegenden F„ leicht 
herstellen. Der stets möglichen Erweiterung 
durch i,'= — ^gehteinollälftungdt's Sechs- 
ecks vermöge einer der drei durch C'„ laufenden Diagonalen parallel, welche 
|kuf das in Figur 58 schraftierte Polygon mit vier zufälligen und vier 




Fig. sa 



I 



224 



II. Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 



elliptischen Ecken der Winkel n führt. Die drei Fälle n = 3, 6 und 4 
führen auf die in Figur 59 schraffierten Bereiche, die bez. ein Drittel, 
Sechstel und Viertel der bezüglichen Polygone P^ vorstellen. 






Fig. 69. 

Es sei bei dieser Gelegenheit erwähnt, dass auch die aus einer 
einzelnen parabolischen Substitution t,' = t, -\- c entspringende cyclische 
Gruppe der Erweiterung durch ^'= — ^ fähig ist. Die auf diese Weise 
entspringende Gruppe aller Substitutionen: 

(3) g'= + ^ + mc, w= — oo, ..., + oo 

kann man offenbar als Grenzfall der pg. 213 erwähnten gewöhnlichen 
Diedergruppe (2, 2, T) für l = oo ansehen. Wir bezeichnen die Gruppe (3) 
in diesem Sinne als paraholische Diedergruppe, wogegen die- Dieder- 
gruppen (2, 2, l) mit endlichen l elliptisch heissen sollen. Auf die 
zur parabolischen Diedergruppe gehörende reguläre Ebenenteilung 
kommen wir am Schlüsse des übernächsten Paragraphen kurz zurück. 
Man kann hier endlich noch fragen, wo die besonderen Gruppen F 
mit elliptischen Substitutionen der Perioden 3, 6 und 4 ihre repräsen- 
tierenden Punte ö im Kreisbogendreieck der Figur 57 pg. 220 haben. 
Die Entwicklungen des vorigen Paragraphen sowie die uns von „M." I 
her geläufigen Betrachtungen liefern hier ohne weiteres folgende Ant- 
wort: Die hei w = 3 und n =^ 6 eintretenden Gruppen gehören mm 
Mittelpunkt jenes KreisbogendreiecJcs , d. h. zum SchnittpunJct seiner drei 
Symmetrielinien; die Seitenmitten des Dreiecks, d. h. die FusspunJde jener 
Symmetrielinien, liefern die zu n == A gehörenden Grupxjen. 



§ 5. Erweiterung der parabolischen Rotationsgruppen durch 
Substitutionen zweiter Art. 

Es ist nun zu untersuchen, welche parabolischen Rotationsgruppen F 
durch Zusatz von Substitutionen zweiter Art V auf Gruppen der zweiten 
Art r erweitert werden können, in deren einzelner die ursprüngliche 
Gruppe r dann ausgezeichnet vom Index zwei enthalten ist. Hierzu 
ist im Einzelfall hinreichend und notwendig, dass F durch V in sich 
transformiert wird, und dass F^ in F enthalten ist. Brauchen wir wie 



11, 1. Theorie der Rotationsgruppen auf Grundlage der Normalpolygone. 225 

oben die Bezeichnung Fq für die Untergruppe aller parabolischen Sub- 
stitutionen in r) so wird offenbar auch F^ durch V in sich trans- 
formiert, da eine parabolische Substitution bei jeder Transformation 
wieder in eine parabolische übergeht. Hieraus folgt leicht, clnss auch die 
Untergruppe Fq durch V auf eine Fq erweitert wird. Es ist nämlich zu 
diesem Zwecke nur noch zu fordern, dass F" in Fq enthalten ist. Nun 
hat V ersichtlich die Gestalt ^'= «^ + /^ (fl^ t = '^^ durch Fin sich 
transformiert werden muss); es ist also V~{^) = aä^ -{- ß', wo ä zu a 
conjugiert und also aa reell und positiv ist. Da nun letztere Sub- 
stitution in F enthalten sein soll, so ist acc zufolge des vorigen Para- 
grapben überdies eine Einheitswurzel. Es ist somit notwendig aä=l, 
d. h. V^ ist in Fq enthalten, und also wird, wie wir behaupteten, auch 
F^ durch V auf eine J^ erweitert. Merken wir ausserdem sogleich 
au, dass a = e^' ist, wo d- einen reellen Winkel bedeutet. 

Wir behandeln nun zuvörderst die Erweiterung der Gruppe Fq. 
Da letztere jedenfalls durch V(t) = t — ß ^^ sich transformiert wird, 
so findet das Gleiche bei Transformation durch die Substitution 
Vq = VV, d. i. durch t,' = e^'\ statt. Diese Substitution ist aber eine 
Spiegelung, sogar eine Spiegelung in elementarem Sinne, d. h. eine 
solche mit gerader Symmetrielinie. Wir merken als Resultat an: Lässt 
sich eine Gruppe Fq überhaupt durch eine Sid)stitution ziveiter Art er- 
tveitern, so gestattet sie auch die Erweiterung durch eine Spiegelung an 
einer Geraden der t,- Ebene. 

Betreffs dieser letzteren Erweiterungen gilt nun der folgende Satz: 
Eine parabolische Rotationsgruppe Fq ohne elliptische Sidjstitntionen ist 
stets und nur dann der Erweiterung durch eine Spiegelung fähig, wenn 
sich ein zugehöriges Periodenparalklogramm entweder als Bcchteck oder 
als Ehomhus tvählcn lässt. Die Anordnung hann man so treffen, dass 
die Symmetriegerade Mittellinie des Rechtecks bez. Diagonale des Rhombus 
ist. Für ein rechteckiges Normalpolygon sind diese i^ngaben ohne 
weiteres evident. Ist aber das Normalpolygon der erweiterungsfähigen 
Gruppe Fq ein eigentliches Sechseck, so wühle man ('^, auf der Sym- 
metriegeraden und ziehe Figur 55 pg. 216 heran. Po ist notwendig 
bezüglich der Geraden symmetrisch, und letztere wird entweder eine 
Diagonale oder Mittellinie des Sechsecks sein. In beiden Fällen zeigt 
die Anschauung der Figur 55 fast unmittelbar, dass das schon oben 
betrachtete Dreieck CqÜ^F.^ ein gleichschenkliges ist. Das Parallelo- 
gramm lässt sich demnach in der That in die Gestalt eines Rhombus 
setzen. 

Es wird den Überblick erleichtern, wenn wir sofort die repräsen- 
tierenden Punkte o des Kreisbogendreiecks der Figur 57 pg. 220 für 

K r iiUo -K I e i n , A iiinnu.i i.li.' riiuctioneu. I. 15 



226 II- Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 

die hiermit gekennzeiclineten Gruppen Fq angeben. Es handelt sielt 
um diejenigen Piinläe des DreiecTiS, ivelche den 6 am Dreieck heteiligten 
Symmetrielinien der ModaUeilung angehören. Einmal nämlich liefern die 
Randpunkte des Dreiecks die Gruppen F^ mit rechteckigem Disconti- 
nuitätsbereich. Sollen wir aber ein gleichschenkliges Dreieck C^C^C, 
haben, so müssen nach pg. 219 unter den drei absoluten Betrügen 
I ö, I, I «2 L I "i — '*'2 1 2^*i einander gleich sein; damit aber erhalten 
wir die Punkte der drei Symmetrielinien im Innern des Dreiecks Fig. 57, 
wie man leicht weiter ausführen wird. 

Wir kehren nun zur Erweiterung der Gruppe Fq durch die zuerst 
vorgelegte Substitution V zurück. Man kann sich t, so eingeführt 
denken, dass die Symmetriegerade der soeben durch FJ, bezeichneten 
Spiegelung die reelle t,- kxe wird. Es ist dann V{^=\-\-ß. Des 
weiteren haben wir zu unterscheiden, ob zu jT,, ein Rhombus oder 
ein Rechteck P^ gehört. 

1) Ist Pq ein JRJiomhus, so legen wir denselben so, dass die eine 
Diagonale auf der reellen Axe liegt und die linke Ecke mit ^ = 
coindiciert; dies hat keine Schwierigkeit, da F„ durch 5' = ^ in sich 
transformiert wird. Die Perioden co^, a, sind dann, wenn wir an 
ihrer früher verabredeten Einführung festhalten (pg. 219), conjugiert 
imaginäre Zahlen. Verstehen wir unter ß die zu ß conjugierte Zahl, 
so ist: 

(1) r(0 = e + /3 + ^; 

und da wir noch zu fordern haben, dass diese Substitution in F„ ent- 
halten ist, so haben wir die Gleichung: 

(2) ß-{- ß = mi(Oi-{- m^Gj, 

in Ansatz zu bringen. Linker Hand steht hier eine reelle Zahl; es 
ist somit rechts m^ = m^, und also hat V die Gestalt: 

^' = S + 2 "* (^1 + ^-^ + «"^> 

wo h reell ist. Combinieren wir hiermit die in Fq enthaltene Sub- 
stitution t' = t — mco2, so ergiebt sich: 

^' = f + Y »w («1 — «2) -\- ib =l-{- ih' 

mit reellem h'. Diese Substitution stellt aber eine Spiegelung dar: es 
hat sich auf die Weise ergeben: Ist Pq ein Rhombus, so sind in /',, 
stets Spiegelungen enthalten; wir gelangen also hier bereits zu allen denk- 
baren Gruppen Fq, ivenn wir nur durch Spiegelungen ertveitern. 



II, 1. Theorie der Rotationsgruppen auf Grundlage der Normalpolygone. 227 




Fij?. 60. 



Bei der einzelnen rhombischen Gruppe F^ giebt es nun stets zwei ver- 
schiedene Arteti der Erweiteiung , je nachdem wir die eine oder andere 
Diagonale als Symmetriegerade der erzeugenden Spiegelung heranziehen. 
Der Charakter der entspringenden 
regulär-symmetrischen Einteilung 
der ^- Ebene ist beide Male der- 
selbe; die beigefügte Figur 60 
soll denselben näher erläutern. 
Das einzelne gleichschenklige 
Dreieck der Einteilung ist ein 
Discontinuitätsbereich der Gruppe; 
dabei ist die Grundlinie als Sym- 
metrielinie sich selbst zugeordnet; 
die beiden anderen Seiten sind als Seiten zweiter Art nach Maassf^abe 
von Figur 61 auf einander bezogen. 

2) Ist zweitens P,, ein RechtecJc, so orientieren wir dasselbe so, dass 
eine Ecke bei ^=0 liegt, und dass die Seiten 
mit den reellen und imaginären ^-Axen coin- 
cidieren; «, wird nun rein imaginär, a^ reell. 
Die Gleichungen (1) und (2) bleiben hier in 
Kraft; und offenbar finden wir nunmehr m^ == 0, 
so dass V die Gestalt hat: 

^' = i + 2 ^"K>. + ib. 

Die Grösse der reellen Zahl b ist hierbei gleichgültig, und wir dürfen 
sie gleich null setzen. Üben wir nämlich auf t nachträglich die Sub- 
stitution t,' = t — ., ib aus, so nimmt für die neue Veränderliche t, 
die letzte Formel die Gestalt au: 




(3) 



t'= ^+ 2 *'^"-'' 



und hierill haben wir also die Substitution V vor uns, welche i^, in 
sich selbst transformiert. 

Je nachdem nun in Formel (3) die Zahl m gerade oder ungerade 
ist, enthält die erweiterte Gruppe die erste oder zweite der beiden 
folgenden Substitutionen: 



(4) 



?;' = ^, r=f+ .! 



Der hiermit zu Tage tretenden Fallunterscheidung entsprechen zwei 
wesentlich verschiedene Arten der Gruppenerweiterung. Den ersten 
Fall können wir dahin auffassen, dass es sich um Erweiterung durch 

16* 



228 



II. Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 




Fig. 62. 



Spiegelung an einer Mittellinie des Rechtecks handelt, und zwar in unserem 
Falle an der horizontalen Mittellinie. Die zur r„ gehörende Einteilung 

ist durch Figur 62 versinn- 
licht. Der durch stärkeres 
Ausziehen der Randcurven 
hervorgehobene Disconti- 
uuitätsbereich von F^ hat 
zwei Seiten erster Art, die 
durch ^' == ^-(- ^2 correspon- 
dieren, sowie zwei Seiten 
zweiter Art, nämlich die 
horizontalen Symmetrie- 
linien. Im zweiten Falle 
gewinnen wir die in Figur 63 dargestellte Einteilung der ^- Ebene. Hier 
sind die beiden Seiten erster Art durch ^'=^-\- coi aufeinander bezogen, 

während die beiden Seiten zweiter 
Art des Discontinuitätsbereiches 
durch die zweite Substitution (4) 
correspondieren. Wie in Figur 63 au- 
gedeutet ist, stellt letztere Substitu- 
tion Jceine Spiegelung dar. Merken 
wir somit als Resultat an: Für eine 
'parabolische Botationsgrtippe mit 
rechteckigem Discontimiitätshereich 
gieht es zwei wesentlich verschiedene 
Erweitermigen auf Gruppen von der 
zweiten Art, und nur hei der einen dieser beiden Enveitcrungen treten Spiege- 
lungen in der Gruppe zweiter Art i ^ auf. Übrigens lässt sich jede dieser 
beiden Erweiterungen ofi'enbar in zwei Weisen ausführen, nämlich je nach- 
dem man die eine oder andere Mittellinie zur Spiegelung heranzieht u. s.w. 

§ 6. Fortsetztmg: Parabolische Rotationsgruppen zweiter Art mit 
elliptischen Substitutionen. 

Es möge nun F eine parabolische Rotationsgruppe sein, welche 
elliptische Substitutionen, jedoch nur erst solche der Periode zwei ent- 
hält. Statt alsdann F durch Substitutionen zweiter Art zu erweitern, 
werden wir untersuchen, wie sich die soeben gewonnenen Gruppen F^^ 
durch Zusatz elliptischer Substitutionen der Periode zwei zu Gruppen F 
erweitern lassen, in denen die J^ Untergruppen des Index zwei sind. 
Nach den am Anfang des vorigen Paragraplien gegebenen Überlegungen 
kommen wir auf dem Wege zu demselben Ziele. 




Fig. 63. 



II, 1. Theorie der Rotationsgruppen auf Grundlage der Normalpolygone. 220 



Zur Erleichterung des Überblicks über die folgende etwas aus- 
gedehnte Untersuchung machen wir die Hauptabschnitte derselben 
durch vorgesetzte Nummern kenntlich. 

1) Unter den drei wesentlich verschiedenen Gruppen F,, enthielten 
nur die beiden ersten, durch die Figuren GO und 62 dargestellten, 
Spiegelungen, deren Symmetriegerade in diesen Figuren parallel zur 
reellen Axe gewählt wurden. Die hinzuzusetzende elliptische Sub- 
stitution V, oder ausführlich: 

(1) r=-e + /5, 

muss nun das System der Symmetriegeraden in sich transformieren. 
Wäre dies nämlich nicht der Fall, so würden in F noch neue mit den 
alten parallele Symmetriegerade und damit noch neue parabolische 
Substitutionen auftreten und rjj wäre nicht die Untergruppe aller 
parabolischen Substitutionen, wie wir doch annahmen. Es ergiebt 
sich, dass der im Endlichen gelegene Fixpunld von V entweder auf einer 
Symmetriegeraden oder genau in der Mitte zivisclien zweien gelegen sein mnss. 

Jede unserer beiden Gruppen wird nun durch beliebige Parallel- 
verschiebung der ^- Ebene im Sinne der Symmetriegeraden in sich trans- 
formiert. Wir dürfen also im gleichen Sinne auch den Fixpunkt der Sub- 
stitution (1) beliebig verschieben. Andererseits folgt aus dem vorigen 
Paragraphen, dass wir aus einem ersten elliptischen Fixpunkt alle 
übrigen durch Zusatz von beliebigen Periodenhälften herstellen. Hieraus 
ergiebt sich nun leicht Folgendes: Es giebt im Falle eines rliombischen 
Periodenimrallelogramms (Figur 60) nur eine erweiterte Gruppe F mit 
elliptischen Substitutionen der Periode zwei; beim Rechteck der Figur 62 
haben wir indessen bereits zivei solche Gruppen. Bei der Lage des 
Periodenrhombus wird nämlich aus 
einem mitten zwischen zwei Sym- 
metriegeraden gelegenen Fixpunkte 
durch Vermehrung um -„' ein auf 
einer Symmetriegeraden gelegenen 
Fixpunkt gewonnen; hier kommt 
i's also auf dasselbe hinaus, ob 
wir die eine oder die andere Lage 
des Fixpunktes zum Ausgang für 
dieErweiterungannehmen. Im Falle 

der Figur 02 führt indessen die in Rede stehende Fallunterscheidung 
auf zwei verschiedene Gruppen V. 

Die erste unter den drei fraglichen Gruppen F liefert die in Figur 64 
dargestellte Einteilung der ^- Ebene, wobei der Deutlichkeit halber die 



r<l 


p— 'S"? \ 


'^ ■ ] 


"" ~^^ 


\^y 


ö)j\[ !'••■ 


._. .>.;, 


X-.__. 


[j •'•''' X^ 


,-•■■■' i 


X. 


"^ 


X^lCjIBiiSk -^ 


--^ 






Vi^ 





Fig. (M. 



230 



n. Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 




Fig. 65. 



zu Grunde liegende Rhombenteilung gegenüber Figur 60 pg. 227 nach 
etwas grösserem Maassstab gezeichnet wurde. Der Discontinuitäts- 
bereich der vorliegenden Gruppe hat die Gestalt eines rechtwinkligen 
Dreiecks, wobei die auf der Mitte der Hypotenuse gelegene elliptische 
Ecke vom Winkel n nicht mitgezählt ist; diesem Bereich entsprechen als 

Erzeugende zwei Spiegelungen 
und eine elliptische Substitution. 
Diejenigen elliptischen Fix- 
punkte, welche in dieser ihrer 
Eigenschaft nicht bereits als 
Schnittpunkte von Symmetrie- 
geraden hervortreten, sind in 
Figur 64 (sowie in den weiter 
folgenden Figuren) durch Punkte 
besonders hervorgehoben. 
Nehmen wir in Figur 62 (pg. 228) den Fixpunkt der Substitution (1) 
auf einer Symmetrielinie, so entspringt die besonders einfache regulär- 
symmetrische*) Einteilung der Figur 65. Die Gruppe ist aus vier 
Spiegelungen erzeugbar. Wählt man den Fixpunkt der Substitution (1) 

zweitens zwischen zwei Sytumetrie- 
geraden, so gewinnt man die in 
Figur 66 angedeutete Einteilung 
der ^-Ebene. Wie man sieht, lässt 
sich die Gruppe nun aus zwei 
Spiegelungen und zwei elliptischen 
Substitutionen erzeugen. 

2) Einer entsprechenden Dis- 
cussion haben wir nun weiter die 
Figur 63 pg. 228 zu unterwerfen. 
Wir könnten dabei ganz in der bisherigen Weise verfahren ; indessen ist 
es überzeugender, hier durch Rechnung über die möglichen Erweiterungen 
von Fq zu entscheiden. Die in F^ enthaltene zweite Substitution (4) 
pg. 227 heisse F, während wir für die elliptische Substitution (1) die 
Benennung V beibehalten. Da nun VVVV, d. h. die Substitution 
^ = l — iß — /3) in r und also auch in F^^ enthalten ist, so haben wir 
ß — /i = mtOy und also hat V die Gestalt: 

mit willkürlich wählbarer reeller Zahl h. Ist nun m gerade, so können 




Fig. 66. 



•) Man vergl. über diese Ausdrucksweise oben pg. 137 sowie „M." I pg. 30.3. 



II, 1. Theorie der Rotationsgruppen auf Grundlage der Normalpolygone '231 



wir V mit ^' = — ^ ^ identificieren; dann wird FF die Substitution 

;'= — b, welche die Spiegelung an der imaginären Axe darstellt. 
Wie man ohne Mühe weiter ausführt, gdamjen ivir hier zur regulär- 
symmetrischen RechtecJdeilung (kr Figur 05 zurück. Ist ni ungerade, so 



nehmen wir m =^ 1 und setzen h = 



so dass die Substitution V 




den Fixpunkt — ^ ^'- hat; hien' etiispringt dann noch eine icesentlich neue 

Gruppe r mit elliptischen Substitutionen der Periode zicei. Das Nähere 
betreffs dieser Gruppe entnehme 
man aus der zugehörigen re- 
gulären Einteilung der ^-Ebene, 
die in Figur 67 gegeben ist. Es 
sind in dieser Pkeine Spiegelungen 
enthalten; Erzeugende von F sind 
zwei elliptische Substitutionen 
und eine parabolische Substitution 
zweiter Art (cf. „M." I p. 197). 

3) Wir haben nunmehr noch rig. 67. 

von der Erweiterung der drei zu 

den Figuren 59 pg. 224 gehörenden Gruppen durch Substitutionen 
zweiter Art zu handeln. In den beiden ersten Fällen, wo es sich 
um elliptische Substitutionen der Perioden w = 3 und w = 6 handelt, 
hat die Uhtergruppe r^ rhombischen Discontinuitätsbereich. Auf Grund 
der Überlegung vom Anfang des vorigen Paragraphen sowie der Re- 
sultate, welche wir über Erweiterung der Gruppen F^ von rhombischem 
Discontinuitätsbereich bereits erhielten, ergiebt sich, dass in den frag- 
hchen beiden Fällen n = 3 und « = 6 die erweiterten Gruppen F 
Spiegelungen enthalten. Demnach handelt es sich zunächst darum, die 
Gruppen der beiden ersten Figuren 59 
durch Spiegelungen zu erweitern. 

Es ist nun nicht schwierig, für 
die regulären Einteilungen der beiden 

fraglichen Gruppen die gesamten 
Spiegelungen anzugeben, vermöge deren 
die einzelne Einteilung in sich über- 
geht. Wir finden, dass die erste 
Gruppe auf zwei criveiterte Gruppen F 
führt, die zweite nur auf eine. Zu- 
nächst treffen wir hier auf die Gruppe des geradlinigen gleichseitigen 
Dreiecks, der die in Figur GS angegebene regulär- symmetrische Ein- 






-i 



i 



Fig. 68. 



I 



232 



II. Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 




Fig. 69. 



teilung zugehört; die Gruppe ist aus drei Spiegelungen erzeugbar. 
Zu der gleichen Gruppe erster Art gehört aber noch eine zweite 
Gruppe r, deren regulär- symmetrische Einteilung in Figur 69 an- 
gegeben ist. Der Discontinuitätsbereich wird hier von einem gleich- 

.schenkligen Dreieck gebildet, 
dessen beide Seiten durch eine 
elliptische Substitution der Pe- 
riode drei auf einander bezogen 
sind, während die Basis als 
Symmetrieliuie sich selbst zu- 
geordnet ist. Unter den ellipti- 
schen Fixpunkten sind wieder 
diejenigen, welche nicht schon 
als Schnittpunkte von Sym- 
metriegeraden (vermöge der 

Schraffierung) hervortreten, 
durch Punkte besonders markiert. 
Um der Figur ein gleichmässiges 
Aussehen zu verleihen, haben wir übrigens liier und weiterhin davon 
abo-esehen, eines unter den Dreiecken durch Markieren seiner Seiten 
und Zusatz von Pfeilen als Ausgangsdreieck zu kennzeichnen. 

Für die zweite Figur 59 pg. 224 giebt es, wie schon bemerkt, 
nur eine Erweiterung durch Spiegelungen; dieselbe führt zur Gruppe 

des geradlinigert Dreiecks 

71 TT Tl ■, T-,. 

teilung in Figur 70 ge- 
geben ist. 

Um endlich die zur 
letzten Figur 59 gehörende 
Gruppe entsprechend zu 
behandeln, verfahren wir 
rechnerisch und orientieren 
die eben genannte Figur 
so, dass der Mittelpunkt 
des Umrissquadrats bei 
g = 0, die vier Ecken bei 
g = i ^ i^ liegen. Elliptische Fixpunkte von der Periode vier sind 
alsdann einmal die Punkte t, = m -^ ni mit ganzen Zahlen m, n, 
sodann die Punkte ^ = ^ 1" ^ + w -f ni; Fixpunkte von der Periode 




Fig. 70. 



zwei 



i haben wir in ^ = „ + m -|- ni und ? = ., + ni 



m. 



II, 1. Theorie der Rotationsgruppen aaf Grnndlage der Normalpolygone. 233 



Die erweiternde Substitution V brachten wir nun bereits oben 
auf die Gestalt ^' = e"* ' l -^ ß. Da sie den Punkt ^ = in einen 
elliptischen Fixpunkt von der Periode vier transformier.m muss, so ist: 

ß = m + ni oder /3 = ' "j" ' -f w, -f n/, 
und r wird demnach auch entweder: 
(2) ^' = e''~t oder ^' =^ e-^-^ + i^" » 

enthalten. Man fordere weiter, dass ^ = l wieder einen elliptischen 

Fixpunkt ^' von der Periode zwei liefert; es ergiebt sich, dass e*"' die 
Gestalt (in -\- ni) hat. Dies ist aber nur möglich, wenn e**' = i* 
Da nun t' ^ iX in F enthalten ist, 
so enthält F den beiden Substitu- 
tionen (2) entsprechend entweder: 



ist. 



(3) r=Joder5- = 



^i+'-V 




Fig. 71. 



Beide Sulstitutionen sind Spiegelungen 
und wir erhalten ihnen entsprechend 
zwei verschiedene Enveiteru ngen der vor- 
liegenden Gruppe durch Spicgehmgen. t:2^^_^_JZI " . . y 
Im ersten Falle werden wir zur 
Gruppe des gleichschenkligen recht- 
winkligen Dreiecks geführt, dem die 

Figur 71 gewidmet ist. Erweitern wir durch die zweite Substitution (3), 
so kommt die zur regulären Einteilung der Figur 72 gehörende Gruppe. 
Diese Einteilung stellt sich offenbar 
neben Figur 69. Der Discontinuitäts- 
bereich ist ein gleichschenkliges 
rechtwinkliges Dreieck, welches als 
Erzeugende eine Spiegelung und eint' 
elliptische Substitution der Periode 
vier liefert. Die elliptischen Fix- 
l)unkte, durch welche keine Sym- 
metriegerade hindurchziehen, sind 
in der Figur wieder besonders 
markiert. Vergl. übrigens wegen der pig. ts. 

Figuren GS, 70 und 71 „M."I pg. 107. 

4) Wir schliessen mit der Bemerkung, dass auch die parabolische 
Diedergruppe auf eine Gruppe zweiter Art erweitert werden kann. Man 
setze nämlich die Spiegelung au derjenigen Geraden hinzu, auf welcher 




234 



II. Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 



die elliptischen Fixpunkte gelegen sind, und gewinnt die in Figur 73 
angedeutete Einteilung, welche wohl ohne weiteres verständlich ist. — 

Indem wir noch einmal die Er- 
gebnisse zusammenfassen, so haben 
wir insgesamt 20 verschiedene Typen 
von parabolischen Rolationsgruppen 
getvonnen, wobei die cyclischen para- 
bolischen Gruppen und die para- 
bolischen Diedergruppen mitgezählt 
sind. Von diesen Typen gehören 7 
der ersten und 13 der zweiten Art 
an*). — 

Wir haben vorstehend die Auf- 
zählung aller parabolischen Rotationsgruppen zweiter Art um so lieber 
mit voller Ausführlichkeit gebracht, als die hier zur Verwendung ge- 
kommenen Methoden der Untersuchung auch bei den elliptischen und 
hyperbolischen Rotationsgruppeu zugkräftig bleiben. Doch würde es 
aus Mangel an neuen Gesichtspunkten ermüdend wirken, wollten wir 
in der alsbald zu entwickelnden Theorie der hyperbolischen Rotations- 
gruppeu etwa wieder mit derselben Ausführlichkeit auf die zugehörigen 
Gruppen zweiter Art eingehen. 




Fig. 73. 



§ 7. Die Nichtrotationsgruppen mit zwei Grenzpunkten. 

Es sollen hier sogleich die Folygongruppen mit zwei Grenzpunkten, 
welche unter II der Tabelle pg. 164 genannt wurden, behandelt werden. 
Diese Gruppen sind nämlich nahe verwandt mit den parabolischen 



*) Dem im Texte vollständig gelösten Problem, alle eigentlich discontinuier- 
lichen Gruppen von Bewegungen und Umlegungen der parabolischen Ebene in 
sich aut'zuütellen , reiht sich das entsprechende Problem für den parabolischen, 
d. h. gewöhnlichen dreidimensioualen Raum an. Hier finden sich die 20 Gruppen 
des Textes wieder ein, und zwar als diejenigen particulärcn Gruppen, bei deren 
einzelner eine Ebene (und damit zugleich alle ihr parallelen Ebenen) in sich über- 
gehen. Dies auf den parabolischen Raum bezügliche Problem ist von den Krystallo- 
graphen vielfach behandelt worden. Das Endresultat ist, dass es im Räume ins- 
gesamt 230 Gruppen giebt, von denen 65 zur ersten Art und 165 zur zweiten 
gehören. Vergl. die in russischer Sprache erschienene Schrift von Fedorow 
„Symmetrie der regelmässigen Systeme von Figuren" (Petersburg, 1890) sowie 
Schönflies' Werk ,,Kiyhtallsysteme und Krystallstructiir" (Leipzig, 1891). Die 
in unserem vorliegenden Buche gewonnenen Resultate über die Gruppen der 
elliptischen Ebene, der hyperbolischen Ebene, sowie des hyperbolischen Raumes 
würden in demselben Sinne grundlegend sein für eine Behandlung der Krystallo- 
graphie in diesen Ebenen bez. im hyperbolischen Räume. 






II, 1. Theorie der Kotationagruppen auf Grundlage der Normalpolygone. 235 

Rotationsgruppen und können ohne Mühe auf Grund der Ergebnisse 
der vorigen Paragraphen erledigt werden. 

Sei r eine Gruppe der fraglichen Art, so wählen wir ^ in der 
Weise, dass in den beiden Grenzpunkten ^ = und ^ = oo stattfindet. 
Die Substitutionen der Gruppe werden nun entweder die beiden Grenz- 
punkte zu Fixpunkten haben und besitzen alsdann die Gestalt: 

(1) r = «^ 

oder sie permutieren die Grenzpunkte und sind dann von der Form: 

(2) r=i- 

Zugleich bemerkt man auf Grund der Principieu des Abschnitts I ohne 
Mühe, dass jede Gruppe, die nur Substitutionen dieser Gestalten enthält 
und von infinitesimalen Substitutionen frei ist, eine Folygongruppe mit 
zwei GrenzpunJiten ist. 

Kommen Substitutionen (2) vor, so bilden alle Substitutionen (1) 
der Gruppe eine Untergruppe Fq. Wir behandeln zuerst Gruppen F^ 
dieser Art, deren sämtliche Substitutionen die Grenzpunkte zu Fix- 
punkten haben. Die Substitutionen selbst mögen elliptisch, hyper- 
bolisch oder loxodromisch sein. 

Zur näheren Untersuchung von Fq bedienen wir uns der durch 

(3) 5o = ioge 

vermittelten logaritlmiischen Abbildung der ^- Ebene auf die Ebene einer 
neuen Variabelen ^. Es handelt sich hierbei um eine l-cx)-deutige 
Beziehung, indem sich bekanntlich die ^-Ebene auf einen Parallel- 
streifen der ^Q-Ebene von der Breite 2n überträgt, dessen Ränder zur 
reellen Axe parallel laufen. Die Einteilung der ^(,- Ebene in unendlich 
viele solche Streifen giebt das volle Bild der Beziehung (3); dem ein- 
zelnen Werte t, entsprechen dabei die unendlich vielen Werte f^, -}- 2nni, 
wo n alle ganzen Zahlen von — oo bis + oo durchläuft. Die Geraden 
der ^0- Ebene correspondieren den logarithmischen Spiralen der i;- Ebene 
mit dem Windungspunkte ^ = 0. Speciell liefert das Büschel der zur 
reellen to-^xe parallelen Geraden in der ^- Ebene das Geradenbüschel 
durch ^ = 0; und dem Büschel der zur imaginären i:„-Axe parallelen 
Geraden entspricht das System der concentrischen Kreise um ^ = 0. 

Die Substitution (1) wird nun durch die Transformation (3) in 
die Gestalt übergeführt: 

&,'-^ 5o+ J^g«- 

/,, liefert dementsprechend eine transformierte Gruppe Fq aus lauter 

parabolischen Substitutionen mit dem Fixpunkte ^ = c». Aus dem 

geometrischen Charakter der ausgeführten Transformation geht aber 



236 



II. Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 



ohne weitere.s hervor, dass eine Gruppe F^ stets eine eigentlich dis- 
eontinuierliche Gruppe F^,' liefert, wobei jedoch die Besonderheit vor- 
liegt, dass F^' die Substitution ^' == S + 2/« enthält. Aber auch das 
Umgekehrte gilt, wie sofort ersichtlich ist. Wir gewinnen somit die 
sämtlichen Gruppen F^ aus Substitutionen (1) mit zwei Grenzpunlcten, 
tvenn ivir auf alle parabolischen Rotationsgruppen der ^q- Ebene, für 
deren zugehörige Perioden öj, a., sich zwei ganze die Gleichung: 

(5) i"^i"i H~ ^'^'i = 2*^ 

befriedigende Zahlen fij, fig finden lassen, die zu (3) inverse Transforma- 
tion ^ = e-" ausüben. Man darf hier offenbar den Quotienten o, sowie 
die ganzen Zahlen- fjj, ^^ willkürlich wählen, und kann dann immer 
noch cjj, f<jo so fixieren, dass die Gleichung (5) erfüllt ist. 

Als Einteilung der ^j,- Ebene wählt man am besten gleich die- 
jenige in Parallelogramme und bildet dieselben behufs Gewinnung der 




zu F^ gehörenden Einteilung der ^ Ebene auf letztere ab. Die in der 
t,- Ebene entspringende Einteilung ivirä alsdann durch logarithmische Spiralen 
zweier isogonalen Schaaren gebildet, und der Discontinuitätsbereich von F^ 
erscheint natürlich wieder als Viereck, dessen Gegenseiten auf einander 
bezogen sind (siehe Figur 74). Speciell können natürlich Gerade durch 



II, 1. Theorie der Rotation sgruppen auf Grundlage der Normalpolygone. 237 

den Nullpunkt ^ = oder Kreise um denselben an Stelle eigentlicher 
Spiralen als Vierecksgrenzen eintreten *). 

Wir gedenken hier auch noch der Erzeugenden von F^: 

(6) T',(0 = 6"".e, K(0 = e'H, 

welche den Erzeugenden (4) pg. 217 von F^ entsprechen. Es ist 
nämlich erwähnenswert, dciss Fj und V, siveiHelationen genügen, nämlich 
erstlich der primären : 

(7) v,r,Vr'v-^=\, 

ivelche aus dem Cyclus der vier zufälligen Ecken des Vierecks hervorgeht, 
und andrerseits der secundären lielation: 
(8) F/'' • V/^ = 1. 

Die erste Relation besagt einfach, dass die beiden Erzeugenden F^, T', 
vertauschbar sind. Die Relation (8), welche der Formel (5) corre- 
spondiert, entspricht dem Umstände, dass das zu F,^ gehörige Polyoron- 
netz einen zweifach zusammenhängenden Bereich darstellt; in der That 
sind ja die beiden Greuzpunkte unserer Gruppe bei i; = und ^ = cc 
nicht als dem Netze zugehörig anzusehen (cf. pg. 175). — 

Die Gruppen, welche neben Substitutionen (1) auch solche vom 
Typus (2) enthalten, erledigen sich nun leicht. Jede Substitution (2) 
ist elliptisch von der Periode zwei und transformiert eine Substitution 
^' = a^ in ihre inverse. Daraus ergiebt sich unmittelbar: Die einzelne 
Gruppe Fq ist mit einer icilUciirUch zu uählcnden Suhstiiution (2) der 
Erueiterung fähig, und uir gelangen solcherweise zu den gesamten nocli 
fehlenden Gruppen erster Art mit zwei Greiizputdcten. Man kann die 
Anordnung so treffen, dass die Ecken, Seitenmitten und Vierecks- 
mittelpunkte der zu Fq gehörenden Einteilung die elliptischen Fix- 
punkte liefern. Den Discontinuitätsbereich der umfassenderen Gruppe F 
gewinnt man leicht durch Hälftung des Vierecks der Gruppe F^. 

Natürlich können wir die fraglichen Gruppen F durch die Trans- 
formation (3) aus den parabolischen Rotationsgruppeu mit elliptischen 
Substitutionen der Periode zwei ableiten. Die zu den Figuren 50 
pg. 224 gehörenden Gruppen mit elliptischen Substitutionen der Perioden 
3, 4 und 6 geben, vermöge (3) transformiert, nicht mehr Gruppen 
„linearer" Substitutionen. 



*) Wie mau leicht bemerken wird, ist es stets möglich, das Viereck auch durch 
Kreisbogen oder Gerade an Stelle der logarithmischen Spiralen einzugrenzen. Doch 
würde dies den Nachteil haben, dass der einzelne begrenzende Kreisbogen bez. 
die einzelne begrenzende Gerade über das zugehörige Viereck hinaus nicht an 
der Einteilung der J- Ebene participieren würde. 



238 n. Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 

§ 8. Erweiterung der Gruppen mit zwei Grenzpunkten duroh 
Substitutionen zweiter Art. 

Soll eine Gruppe des vorigen Paragraphen im üblichen Sinne der 
Erweiterung vermöge einer Substitution zweiter Art V fähig sein, so 
wird letztere notwendig die Grenzpunkte in sieh transformieren und 
demnach entweder die erste oder zweite der folgenden Gestalten zeigen: 

(1) v=<^l r=|- 

über die Möglichkeit solcher Erweiterungen entscheiden wir unmittelbar 
durch Recursion auf die parabolischen Rotationsgruppen vermöge der 
schon im vorigen Paragraphen benutzten Transformation ^^ = log t,. 
Die Substitutionen (1) werden dabei transformiert in die neue Gestalt: 



(S) 



So = So + log a, ^0 = — So + log ß. 



Hiermit ist für die parabolischen Rotationsgruppen zweiter Art, welche 
wir heranziehen wollen, eine bestimmte Orientierung der zugehörigen 
Einteilung in der ^„-Ebene bedingt. Beispielsweise werden wir die 
Figur 60 pg. 227 einmal so gelagert denken, dass die Symmetrielinien 
der Rhomben parallel zur reellen ^^-Axe verlaufen, uud erhalten dann 
bei Übergang zur 5- Ebene eine erweiterte Gruppe mit Substitutionen 
von der ersten Gestalt (1). Lagern wir hingegen die Symmetrielinien 
parallel zur imaginären Axe^ so erhalten wir eine Gruppe zweiter Art 
mit Substitutionen vom zweiten Typus (1). Natürlich kann es auch 
vorkommen, dass beide Typen (1) in einer erweiterten Gruppe zu- 
gleich auftreten; in diesem Falle enthält die zugehörige Gruppe erster 
Art elliptische Substitutionen (2) pg. 235. 

Geht man nun die verschiedenen regulären Einteilungen zweiter Art 
des vorigen Paragraphen durch, so ergiebt sich das folgende Resultat: 
Es (jiebt insgesamt zicölf wesentlich verschiedene Grupj)cn zweitem' Art mit 
zwei Grenzpunl'ten. Die zugehörigen regulären Einteilungen werden durch 
logarithmische Ahhildung der Figuren 60 soivie 62 bis 67 geliefert; die 
Figuren 64 und 65 liefern je nur eine Gruppe, die übrigen Figuren 
jedoch im vorstehenden Sinne jedesmal zwei. 

Es wird ausreichend sein, wenn wir dies Ergebnis an einigen 
Beispielen illustrieren. Belassen wir etwa erstlich in Figur 60 die 
Symmetrielinien parallel zur reellen Axe und wählen a^ und cjg so, 
dass 2«! — 2(0^ = 7ii ist, so entsteht die in Figur 75 gegebene Ein- 
teilung zweiter Art der ^- Ebene in Dreiecke. Das einzelne Dreieck 
ist von drei Seiten zweiter Art eingegrenzt, unter denen sich eine 



]I, 1. Theorie der Rotationsgruppen auf Grundlage der Normalpolygone. 23U 
Symmetrielinie findet; die beiden anderen Seiten sind nach Maassgabe 




Fig. 75. 



von Figur 61 pg. 227 auf einander bezogen. In Figur 76 bemerkt 
man die Übertragung der Figur 62 pg. 228 auf die ^- Ebene; es wurde 




Ki«. 7«, 



hierbei a», mit '[, identificiort. |)urch den bei i: -^ (* gelegenen Mittel- 



240 



II. Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 



4 



puukt der Figur ziehen vier Symmetriegerade hindurch. Der einzelne 
viereckige Discontinuitätsbereich weist zwei Seiten zweiter Art, nämlich 




Kig. 77. 



Symmetriegerade, auf, sowie zwei Seiten erster Art, die durch eine 
hyperbolische Substitution auf einander bezogen sind. Die durch 
Figur 77 definierte Gruppe, welche der Figur 63 pg. 228 correspondiert, 




Fig. 78. 



zeigt die Besonderheit, dass sie keine Spiegelungen enthält. Zum « 
Schluss erwähnen wir auch noch die in Figur 78 dargestellte Ein- 



II, 1. Theorie der Rotation sgruppen anf Grundlage der Normalpolygone. 241 

teilung; die zugehörige Gruppe entspricht der zu Figur 65 pg. 230 
gehörenden paraljolischen Rotationsgruppe. Diese Gruppe ist insofern 
besonders einfach, als sie aus Spiegelungen allein erzeugt werden kann*). 



§ 9. Neue Erläuterungen betreffend die Einführung der Normal- 
polygone der hyperbolischen Botationsgruppen**). 

Indem wir nunmehr au die genaue Untersuchung der hyperhoiisclien 
Rotationsgruppen herantreten, legen wir wie früher die projective Ebene 
der Betrachtung zu Grunde und ziehen übrigens bis auf weiteres einzig 
Gruppen erster Art heran. Die einzelne solche Gruppe F ist auf der 
fundamentalen Ellipse der hifperholischen Ebene selbst entiveder eigentlich 
oder nneigentlich discontinuierlicJi*''^'*). Im letztern Falle bildet die Ellipse 
die natürliche Grenze des Polygonnetzes; im ersteren Falle hingegen 
greift nach den Darlegungen von pg. 103 das Netz mit unendlich 
vielen Ecken in das Ellipsenäussere hinaus. lusbesondere dieser Fall 
der eigentlichen Discontinuität auf der Ellipse ist es nun, welcher im 
gegenwärtigen Paragraphen einige neue Erläuterungen nötig macht. 

Um hier zunächst an den allgemeinen Charakter des Polygonnetzes 
bei eigentliclier Discontinuität auf der Ellipse etwas ausführliclier zu 
erinnern, so hat die einzelne über die Ellipse hinausragende Ecke in 
ihrer äussersten Spitze einen hyperbolischen Fixpunkt F. Die Tangenten 
von ihm aus an die Ellipse, welche die Berührungspunkte Ä und B 
haben mögen, liefern hiernächst den Rand des Polygonnetzes. Im 
Innern des Ellipsensegmentes AB, über welches das Netz in das 
Ellipsenäussere hinaustritt, finden sich keine Grenzpunkte der Gruppe; 
der Discontinuitätsbereich der Gruppe innerhalb des fraglichen Bogens 



*) Man könnte auch noch die Polyeder des projectiven Raumes in Betracht 
ziehen , welche zu den Gruppen defl Textes gehören. Dabei ist es zweckmässig, 
die beiden Grenzpunkte auf der ^- Kugel diametral zu nehmen, und zwar etwa 
80, dass der sie verbindende Kugeldurchmesser vertical verläuft. Dann wird z. B. 
im Falle der Figur 78 das Polyeder durch zwei Horizontalebenen, sowie awei 
weitere Ebenen eingegrenzt, welche sich in dem eben genannten Durchmesser 
schneiden. Dabei tritt ersichtlich ein Stück dieses Durchmessers als eine gänzlich 
im Kugelinnem gelegene Kante des Polyeders ein; letzterer entspricht die secun- 
däre Relation zwischen den Erzeugenden (cf. pg. 175 ff,). 

**) Die Hauptergebnisse der weiter folgenden Entwicklangen dieses und des 
tolgenden Kapitels sind in der Note des Verf. „l'ber die Discontinuitntshereiche cUr 
Gruppen reeller linearer Substitutionen einer complexen Variabclen'-, Göttinger 
Nachrichten von 1895, Heft .3, mitgeteilt. 

***) Die Zugrundelegung der projectiven Ebene gestattet die gleichzeitige 
Behandlung beider Fälle; bei Bevorzugung der ^- Kugel wären die Fälle formal 
üo verschiedenartig, dass eine gemeinnanie Behandlung unmöglich sein würde. 

Fricko-Kloin, Automonihe Knnclionon. i. 16 



I 



242 



II. Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 



AB der Ellipse besteht aus einem kleineren Ellipsensegment, welches 
man so zu wählen hat, dass seine beiden Endpunkte durch die zum 
Punkt F gehörende hyperbolische Substitution V auf einander bezogen 

sind. Man wolle sich der 
beigefügten schematischen 
Figur 79 zur näheren Ver- 
anschaulichung dieser Ver- 
hältnisse bedienen. 

Bei dieser Sachlage wer- 
den mit einem Punkte Co, den 
wir im Innern der eben be- 
sprochenen, der Ellipse an- 
liegenden Ecke annehmen, 
bezüglich F innerhalb der 
gleichen Ecke nur diejenigen 
PunkteCi,C_,,C2,C_2,C3,... 
äquivalent sein, welche aus 
0„ durch wiederholte Aus- 
übung der eben genannten 
zu F gehörenden Substitution 
Wir werden diese Verhältnisse sogleich in 




Mg. 79. 



V und V~^ entspringen. 
Benutzung nehmen. 

Zur Einführung der Normalpolygoue, auf welche wir die weitere 
Betrachtung basieren, wird man sich der allgemeinen Ansätze von 
pg. 106 tf. bedienen. Das erste Centrum Cq denken wir zunächst irgendwo 
im Ellipseninnern, nur von einem elliptischen Fixpunkte verschieden, 
gewählt. Der Fall eigentlicher Discontinuität auf der Ellipse unter- 
scheidet sich dann dadurch vom anderen, dass bei jenem die Polygone 
über die Ellipse hinauswachsen (cf. pg. 109). Die zur Bildung der 
Polygone P^,, Pj, ... dienenden coucentrischen Kreise um Cq, Cj, ... be- 
halten dabei auch im Ellipsenäusseren durchaus ihre elementare Bedeu- 
tung, nach welcher sie einfach die Bahncurven der zu Cq bez. Cj, ... 
als Fixpunkten gehörenden Substitutionen sind. Die im Innern der 
Ellipse auftretenden geradlinigen Polygongrenzen, welche bis an die 
Ellipse selbst heranreichen, setzen sich ohne Richtungsänderung über 
die Ellipse hinaus fort, bis sie zufällige oder hyperbolische Ecken 
erreichen. Der Unterschied gegen die Verhältnisse im Innern der 
Ellipse ist dabei rein formal und besteht darin, dass die ausserhalb 
gelegenen Kreise um C^ Radien besitzen, für welche die hyperbolische 
Maassbestimmung imaginäre Maasszahlen liefert; das Wesen der realen 
geometrischen Verhältnisse wird aber hierdurch nicht berührt. 



II, 1. Theorie der Rotationsgruppen auf Grundlage der Normalpolygone. 24'^ 



Hierüber hiuaus treffen wir nunmehr die neue Festsetzung, dass 
wir im Falle eigentlicher Discontinuität auf der Ellipse auch solche 
Centren C^ zulassen, welche auf oder ausserhalb der Ellipse, jedoch 
im Innern der oben betrachteten Ecken des Netzes liegen; wir können 
sagen, C^ solle irgendwo innerhalb der zur Gruppe (jehürenden natürlichen 
Grenze gelegen sein. 

Für ein solches C^ ausserhalb der Ellipse ist nun derBildungsprocess 
der Normalpolygone nicht ohne weiteres nach der früheren Regel aus- 
führbar. Infolge des Charakters der hyperbolischen Maassbestimmung 
haben alle Punkte der von C^ an die Ellipse ziehenden Tangenten vom 
Punkte Q die Entfernung null. Ein Kreis mit sehr kleinem Piadius 
stellt, elementar gesprochen, eine von jenem Tangentenpaar nur sehr 
wenig verschiedene Hyperbel dar. Nun veranschauliche mau sich die 
Lage der Punkte Cq, C^, ... in Figur 79 und wird sofort bemerken, 
dass die „Kreise'' um Cq, C^, ... notwendig gleich anfangs collidieren; 
dieselben erscheinen somit als ungeeignet, zum Ausgangspunkt für die 
Construction von Normalpolygonen gewählt zu werden*). 

Die hiermit gefundene Schwierigkeit lässt sich nun sehr leicht 
dadurch überwinden, dass wir dem nach der früheren Vorschrift zu 
vollziehenden Bildungsprocess der Normalpolygone einen besonderen 
einleitenden Act voraussenden. Wir knüpfen hierbei an die in Figur 79 
angedeutete beiderseits unendliche Reihe der äquivalenten Punkte 
Cq, C, , C—i, Cg, . .. und ziehen von F aus alle diejenigen Geraden, 
welche halbwegs zwischen je zwei consecutiven Punkten C verlaufen. 
Man kann diese Geraden auch dadurch eindeutig definieren, dass je 
zwei consecutive C durch Spiegelung**) an der zwischenliegenden 
Geraden in einander übergehen sollen. Die construierten Geraden 
grenzen Discontinuitätsbereiche von J"" innerhalb der Ecke^Fi^ ein***). 
Wir setzen nun diese Bereiche bis in das Ellipseninnere fort, ohne 
indes die Polare AB von F zu erreichen. Ferner aber wollen wir 
die fraglichen Bereiche im Innern der Ellipse durch eine Kette von 

*) Zufolge dieser Darlegungen ist für die im Texte gewählte Lage des Cen- 
trums Cq autiserhalb der Ellipse die Dirichlet'sche Definition des Normalpolygons 
(cf. pg. 221) unzulänglich; dies ist der öinu des Vorbehalts, den wir am Schlüsse 
des tj 3 (pg. 221) aussprachen. 

•*) Natürlich ist unter dieser Spiegelung die harmonische Perspoctivität ge- 
meint, welche die gedachte Gerade zur Axe und iliien l'ol bezüglich dor Ellipse 
zum Centrura hat. 

' ' ■) Nach demselben Princip kann man ott'enbar für jedes beliebige innerhalb 
oder ausserhalb der Ellipse gelegene Centrum L\ einen Normalbereich irgend einer 
"vclischen Gruppe construieren; nur darf C„ nicht auf einer der Tangenten gelegen 
111, welche vom Fixpunkt l"' der cyclischeu (iruppe an die EUipsu laufen. 

16* 



244 n. Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 

Kreisbogen . . ., i^o^i> -^1-^27 • • • abgrenzen, welche die Punkte 
. . ., Co, Ci, ... zu Centren haben und lauter gleiche Radien (von 
imaginärer Maasszahl) besitzen. Man wird diese Maassregel mit Hilfe 
der Figur 79 (pg. 242) unmittelbar verstehen*). Der einzelne Punkt J), 

hat offenbar von Q und C,_i gleiche Entfernung; der Bogen Bjlh+i 
stellt, elementar gesprochen, ein Segment einer Ellipse dar, welche die 
fundamentale Ellipse in den beiden Berührungspunkten der von C, an 
die letztere zielienden Tangenten berührt u. s. w. 

Nunmehr vollziehen wir dieselbe Construction in allen bezüglich 
r mit der Ecke AFB äquivalenten Ecken und natürlich mit den zu 
..., Cq, C'i, ... äquivalenten Ausgangspunkten. Es ist dann aus der 
Lage dieser Ecken unmittelbar evident, dass die bis dahin gezeichneten 
Bereiche nirgends mit einander coUidieren. Andrerseits haben wir mit 
den augenblicklich vorliegenden kreisförmigen Grenzen der Bereiche 
allenthalben das Ellipseninnere erreicht, und der ferneren Construction 
der Normalpol3'gone auf Grund des überall gleichmässigen Anwachsens 
der Kreisflächen steht keine Schwierigkeit im Wege. Sollte das Polygon- 
netz mehr als eine Classe von Ecken ausserhalb der Ellipse darbieten, 
so hindert natürlich nichts, die Polygone aufs neue über die Ellipse 
hinaus in die noch unbedeckten Ecken ganz in der bisherigen Weise 
(d. h. unter Benutzung der Kreise um Cq, C^, . . .) hineinwachsen 
zu lassen. 

Es wird übrigens kaum nötig erscheinen, noch auf die unwesent- 
lichen Modificationen der vorstehenden Betrachtung hinzuweisen, welche 
eintreten, falls Cq auf der Ellipse selbst angenommen wird. — 

Nachdem wir in dieser Weise die Grundlagen unserer Unter- 
suchungen von pg. 106 fi". ein wenig erweiterten, übernehmen wir nun- 
mehr die damaligen Ergebnisse betrefi'end die Gestaltung der Normal- 
polygone Po, Pj, P2, ... im vollen Umfange. Die Ecken des einzelnen 
Polygons Pq hatten wir dortselbst in zufällige und nicht-zufällige zu 
sondern, von denen die letzteren Fixpunkte von Substitutionen der 
Gruppe waren. Es werden sehr bald continuierliche Veränderungen 
von Pq zu betrachten sein, welche Bewegungen des Centrums Cq ent- 
sprechen. Hierbei werden die zufälligen Polygonecken selber beweglich 
sein, die nicht-zufälligen aber off"enbar fest. Es wird in diesem Sinne 
erlaubt sein, die Polygonecken auch als heicegliche und feste zu unter- 
scheiden. 



'*\ Die einzelnen Kreisbogen JJ^^Dy, ... sind übrigens in der Figur mit über- 
trieben starker Krümmung gezeichnet, um sie für das Auge besser von einander 
zu sondern. 



II, 1. Theorie der Kotationsgruppen auf Grundlage der Normalpolygone. 245 

Die frühere Angabe (pg. lllj, die Anzahl der beweglichen Ecken, 
welche im Einzelfall zu einem Cyclus zusammengehören, sei im all- 
gemeinen gleich drei, wurde nur unter dem ausdrücklichen Vorbehalt 
einer späteren ausführlichen Untersuchung gemacht. Diese Unter- 
suchung soll sogleich in Angriff genommen werden. — 

Vorab benutzen wir nur noch die Gelegenheit, ein allgemeines 
Princip zu formulieren, welches den Begriff der Normalpolygone be- 
trifft, und welches bei der in Aussicht genommenen Untersuchung • 
sowie namentlich bei späteren Gelegenheiten sehr nützlich ist. 

Sind irgend zwei Seiten des Normalpolygons 1\ durch die Sub- 
stitution V auf einander bezogen, so stellen diese Seiten Niveaugerade 
von V dar, welche sich, nötigenfalls verlängert, im Fixpunkte F von 
V schneiden. Diese beiden Geraden, für sich genommen, grenzen einen 
zu Co gehörenden Normalbereich der aus V zu erzeugenden cyclischen 
Gruppe ein. Ist andrerseits V irgend eine Substitution von F, so 
ragt Py offenbar nirgends über den zu Q gehörenden Normalbereich 
von V hinaus. 

Bei dieser Sachlage ist folgender Satz unmittelbar evident: Das 
Xormalpolygon P„ der Gruppe F mit dem Centrum Cq ist der gemein- 
same Bestandteil aller derjenigen Normalbereiche des Cenfrums Q, welche zu 
den ve)-schiedenen cyclischen üntergriippen von F gehören. Natürlich werden 
nicht alle in dieser Weise eintretenden cyclischen Bereiche mit ihren 
Grenzen an der Berandung von P^ participiereu. 

Dieses Princip, welches, wie gesagt, später wiederholt angewandt 
wird, hätte mau überhaupt zur Definition der Normalpolygone nicht- 
cyclischer Gruppen F an die Spitze stellen können. Doch unterlassen 
wir, die Entwicklung, welche die Theorie der Normalpolygone als- 
dann genommen hätte, noch näher zu skizzieren. 



§ 10. Untersuchung, die Cyclen zurälliger Ecken der Normal 
polygone Fq betreffend. 

Wir stellen nunmehr die Cyclen zufälliger Ecken des Normal- 
polygons Pß von F zur näheren Discussion und fragen nach der Mög- 
lichkeit eines Cyclus mit mehr als drei zugehörigen Ecken. Eine be- 
sondere einleitende Betrachtung wird uns gestatten, diese Frage in 
eine der analytischen Untersuchung zugängliche Gestalt zu kleiden. 

Möge vorab der zu C',, gehörende Normalbereich irgend einei- 
cyclischen Gruppe vorgelegt sein, dfn wir kurz als fiiien „cyclischen 
Normalbereich" bezeichnen; und es möge Fj irgend ein Punkt auf der 
einen diesen Bereich begrenzenden Niveaugeradon sein. Jenseits dieser 



246 II- Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 

Geraden schliesst sich ein äquivalenter Bereich mit dem Centrum C^ an. 
Es gilt alsdann der Satz: Cq und C^ liegen auf ein und demselben Kreise 
mit dem 3IiUelpun]it JE, ein Kreis, der offenbar durch seinen Mittel- 
punM E und einen der beiden Punkte C^, C^ bereits eindeutig bestimmt ist. 

Man bemerke hierbei, dass ja die „Kreise" um E im gewöhnlichen 
Sinne zu E als Fixpunkt gehörende Bahncurven vorstellen. Der Ver- 
lauf der letzteren ist des näheren in den Figuren pg. 34 u. f. geschildert; 
es war dabei eine dreifache Fallunterscheidung zu trefiFen, je nachdem 
das Ceutrum E des Kreises ausserhalb, innerhalb oder auf der Ellipse 
gelegen ist. Im ersten Falle ist, wie wir besonders hervorheben, die 
einzelne Bahncurve als solche durch die beiden auf der Ellipse ge- 
legenen Fixpunkte der zu E gehörigen Substitutionen als begrenzt 
anzusehen (cf. Figur 3 pg. 34). Nun sind die Kreise um E doch die- 
jenigen Kegelschnitte, welche die absolute Ellipse in den beiden (reellen 
oder imaginären) Schnittpunkten mit der Polare von E berühren. Da- 
her wird der einzelne Kreis, d. i. der einzelne solche Kegelschnitt, im 
Falle eines ausserhalb der Ellipse gelegenen Centrums E jedesmal aus 
zwei zu E gehörenden Bahncurven zusammengesetzt sein, in den beiden 
anderen Fällen aber je nur aus einer Bahncurve bestehen. Diese Be- 
merkungen, welche natürlich nur für die reellen Verhältnisse ~ in der 
projectiven Ebene gelten, wird man sich an den genannten Figuren 
pg. 34 leicht klar machen. 

Bei dieser Sachlage können wir die oben formulierte Behauptung 
genauer in folgender Weise aussprechen: Die Centren C^ und C^ der 
benachbarten cyclischen Normalbereiche liegen auf einer und derselben mm 
BandpmiJde E im fraglichen Sinne gehörenden Bahncurve. In der Thal 
ist ja die geradlinige Grenze der beiden fraglichen Bereiche eine Niveau- 
gerade für E (vergl. die Figuren pg. 34). Durch Spiegelung an dieser 
Geraden geht aber einmal jede einzelne Bahncurve in sich über, so- 
dann werden durch jene Spiegelung die Punkte C^^ und Q mit ein- 
ander permutiert. Damit ist unsere Behauptung evident. 

Wir kehren nunmehr zum Netz der Normalpolygone P^,, Pj, ... 
unserer hyperbolischen Rotationsgruppe zurück. Mit Hilfe des am 
Schlüsse des vorigen Paragraphen aufgestellten Princips ergiebt sich 
aus den vorstehenden Bemerkungen unmittelbar: Ist E irgend ein 
Punkt auf der geradlinigen Grenze von P^ und Pj, so liegen die beiden 
Centreu C,, und C, auf einer und derselben zu E gehörenden Bahn- 
curve. Da hierbei E ofienbar auch eine zufällige Ecke bedeuten darf*), 



*) Für den einzelnen an dieser Ecke ^beteiligten cyclischen Normalbereich 
wird nämlich E ein gewöhnlicher Randpunkt. 






II, 1. Theorie der Rotationsgruppen auf Grundlage der Normalpolygone. 247 

so gilt weiter der Satz: Stossen in einer zufälligen Ecke E des Polygon- 
netzes die n Normalpolygone P^, Pj, . . ., P„_i zusammen, so liegen die 
n zugehörigen Centren Cq, Cj, . . ., C'„_i auf einer und derselben zu E 
gehörenden Bahncurve*). Für den Fall, dass die Ellipse die Grenze des 
Polygounetzes ausmacht, wäre dieser Satz aus der Natur der Normal- 
polygone unmittelbar ersichtlich gewesen; die vorstehende ausführlichere 
Darlegung war mit Rücksicht auf die präcise Erledigung der auf der 
Ellipse eigentlich discontinuierlichen Gruppen erforderlich. — 

Wir können nun das eben gewonnene Resultat in einer geome- 
trisch noch mehr ausgeprägten Gestalt ausdrücken, welche für den 
Ansatz der Rechnung bequemer sein wird. Wie bereits oben (pg. 24) 
tragen wir die Irrationalität z^ = ]/^, s^ — z.^^ als vierte Coordinatc auf, 
indem wir das in der projectiven Ebene zu Grunde liegende Coordinaten- 
system der z^, z^, z^ durch Zusatz von z^ zu einem homogenen Coordi- 
natensystem im Räume ausgestalten. Die Endpunkte der aufgetragenen 
Coordinaten, welche nur für das Ellipseninnere reell ausfallen, bilden 
die durch: 

(1) z.z.^— z^^ - z^^ = 

gegebene Oberfläche, die wir bei zweckmässiger Auswahl der Maass- 
verhältnisse als EJlipsoid (^- Kugel) deuten können; dasselbe schneidet 
die ursprüngliche projective Ebene in der Ellipse ZiZ^ — •S'o' = 0, Hier- 
neben construieren wir, indem wir ausserhalb der Ellipse die Ordinaten 
Vz^—^i^Q auftragen, auch noch die durch: 

(2) ^i^3-V'+^/=0 

gegebene Oberfläche, welche ein einschaliges Hyperboloid vorstellt; auch 
das letztere schneidet die projective Ebene ^^^ = in der fundamentalen 
Ellipse z^z^ — z.^==0, und man wird sich ohne Mühe ein Bild von 
dem Verlauf der beiden fraglichen Flächen gestalten. 

Demnächst wollen wir von dem der ursprünglichen projectiven 
Ebene .r, = gegenüberliegenden Eckpunkte des Coordinatentetraeders 
aus das Netz der Polygone auf die Oberflächen (1) und (2) pro- 
jicieren. Der in das Ellipseninnere entfallende Teil des Netzes kommt 
auf das Ellipsoid zu liegen, die etwa über die Ellipse hinausreichenden 
Ecken auf das Hyperboloid (2). Indem wir die urspriiiiglithe pro- 
jective Ebene horizontal gelegt denken, können wir von einem oberen 
und einem unteren Halbellipsoid sprechen. Beim Hyperboloid würde 

*) Man wolle übrigens hier und weiterhin wohl beachten, dass es sich im 
Texte keineswegs um die Babncurve einer Substitution der vorliegenden Gruppe V 
handelt. 



I 



248 II. Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 

zwar die gleiche Sprechweise dem projectiven Charakter der Verhält- 
nisse nicht entsprechen; man wolle sich nur veranschaulichen, in 
welcher Weise bei den Collineationen des Hyperboloids in sich die 
einzelnen Teile dieser Oberfläche durch das Unendliche in einander 
übergehen. Indessen können wir von einem oberhalb bez. unterhalb 
der projectiven Ebene verlaufenden Teile des Hyperboloids sprechen, 
sofern wir uns nur in Bereichen des projectiven Raumes bewegen, 
die (im gewöhnlichen Sinne) im Endlichen gelegen sind. 

Im Anschluss hieran treffen wir des genaueren die Festsetzung, 
dass der im Ellipseninnern verlaufende Teil des Polygounetzes auf das 
obere Halbellipsoid projiciert werden soll. Auch etwaige hyperbolische 
Ecken sollen über die Ellipse hinaus auf den oberen Teil des Hyper- 
boloids gelagert werden. Eine Ecke, welche in der ursprünglichen 
projectiven Ebene das (im gewöhnlichen Sinne) Unendliche durchzieht, 
greift dann freilich auf den unteren Teil des Hyperboloids hinüber. 
Aus der Gestalt des Polygonnetzes geht hervor, dass dieses Vor- 
kommnis höchstens einmal eintreten kann; durch zweckmässige Aus- 
wahl der unendlich fernen Geraden in der Ebene z^ = lässt es 
sich überhaupt vermeiden. 

Wir wollen nunmehr die Operationen Fder vorliegenden Gruppe F 
explicite in die Betrachtung einführen; dieselben sind von der ersten 
Art, und wir werden sie mit reellen Coefficienten a, ß, y, S und uni- 
modular anschreiben. Der einzelnen Substitution entspricht die Colli- 
neation: 

(3) 2,' = ayz, + (ad + ßy)z, -f ßdz„ 

der projectiven Ebene (pg. 14), und wir stellen auf Grund von ad — ßy = \ 
sogleich die Identität fest: 

(4) z,'z^ — z.; - = z^z^— z^-. 

Die Collineation (3) lässt sich natürlich auf unendlich viele Weisen 
zu einer Collineation des projectiven Raumes ausgestalten; wir setzen 
fest, dass diese Ausgestaltung durch Zusatz von: 

(5) ^;=^. 

zu (3) vollzogen werden soll. Hierdurch wird erreicht, dass unsere 
Collineation auch im Räume den Charakter einer Operation erst(^r Art 
bewahrt, worüber man die Entwicklungen der Einleitung pg. 46 ö. 
vergleiche. Zugleich bilden die Substitutionen (3) und (.5) zusammen- 
genommen eine Gruppe von Raumcollineationen. Bei denselben gehen 



II, 1. Theorie der Rotationsgruppen auf Grundlage der Normalpolygono. 249 

nicht nur die beiden Flüclicn (1) nnd (2) vermöge (4) in sich über, son- 
dern dasselbe gilt infolge der von uns geivühlten Frojcctionsiveise auch 
von dem auf die Flächen übertragenen Folijgonnetze. 

Einen ganz besonders einfachen Charakter gewinnen die zu einem 
einzelnen Punkte E im oben besprochenen Sinne gehörenden Bahn- 
curven auf den Oberflächen (1) und (2). Mit Hilfe der Figuren pg. 34 
sowie der vorstehenden Entwicklungen wird man unmittelbar erkennen: 
Die fraglichen zu einem Funkte F gehörenden Bahncurven stellen die 
Schnitte der Oberflüchen (1) und (2) mit demjenigen Ebenenbüschel dar, 
dessen Axe die Polare des Funhtes E bezüglich der fundamentcden Ellipse 
ist*). Ist diese Polare durch die Gleichung ^i^"! + «2^2 ~l" ^»■^a = *^ 
gegeben, so handelt es sich hierbei um das Büschel der Ebenen: 

(6) a,z^ + «2% + «3^3 + Ci^i = ^) 

mit veränderlichem Coefficienten a^. Dabei liefert die einzelne Ebene (6) 
auf dem Ellipsoid und Hyperboloid, sofern sie überhaupt schneidet, 
immer je zwei oder eine Bahncurve, je nachdem E ausserhalb der 
Ellipse liegt oder nicht. Der einzelne die fundamentale Ellipse in 
ihren Schnittpunkten mit der eben genannten Polare von E berührende 
Kegelschnitt: 

(7) (rtj ^-1 + a.^ z, + flg z^y — X (z^ Z3 — zf) = 

liefert demgegenüber zufolge der be/iiiglichen obigen Bemerkungen auf 
dem Ellipsoid oder Hyperboloid offenbar jedesmal vier bez. zwei Bahn- 
curven, je nachdem E ausserhalb der Ellipse liegt oder nicht. 

Diese Angaben sind auch durch Rechnung leicht zu verfolgen: 
Liegt der Kegelschnitt (7) z. B. im Innern der Ellipse, so ist x>0, und 

wir trugen :jz.V^i^3 — ^2^ ^^^ Ordinate z^ auf. Der Kegelschnitt (7) spaltet 
sich dabei unmittelbar in die beiden Curven, welche durch die Ebenen: 

(8) «i^^i -f- «2-^2 + ^3-^3 + l/jc ^"4 = 

auf dem Ellipsoid ausgeschnitten werden; Gleichung (8) subsumiert 
sich aber unter (6). — 

Jetzt gehen wir endlich auf die n Centren Cq, C, , ..., C„ — i der 
i'olygone P^, Pj, . . ., P„_i mit gemeinsamer zufälliger Ecke F zurück. 
Die C lagen in der Ebene z^ = ^^ auf einer zu E gehörenden Bahn- 
curve, und es gilt nunmehr einzusehen, dass auch nach der Projection 

*) Man erinnere yich auch an den in der Kinleitung (pg. 50) durgek'gten 
i'liarakter unserer nicht-loxodroniischen HaumcoUineationen. Die Verbindungs- 
linie von E mit der z^ = gegenüberlii'y;onden Ecke des Coordinatcntetraeders 
ist bezüglich der Fläche (1) oder (2) die harmonische Polare zu der Polare von E 
liczüglich der fundamentalen KJlipse. Jene Verbindungslinie bleibt bei der Colli- 
ination Punkt für Punkt fest n. s. w. 



250 II. Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 

auf das Ellipsoid heg. Hyperboloid die Funkte Cq, C^, ..., C„_i auf 
einer und derselben zu E gehörenden Bahncurve liegen. Man wolle sich 
die hierbei in Betracht kommenden Verhältnisse in den verschiedenen 
Fällen mit Hilfe der bezüglichen Figuren pg. 34 u. f. klar machen. 

Liegen erstlich die Punkte Cq, . . ., C„—i im Innern der Ellij^se, so 
ist unsere Behauptung aus der vorgeschriebenen Projectionsweise des 
Polygonnetzes auf das obere Halbellipsoid unmittelbar ersichtlich. 

Etwas umständlicher ist der Fall, dass die Punkte Cq, . . ., C„_i 
dem EUipsenäusseren angehören. Zur Erleichterung der Ausdrucksweise 
machen wir von der nach einer Bemerkung pg. 248 erlaubten Annahme 
Gebrauch, dass keine hyperbolische Ecke auf den unteren Teil des 
Hyperboloids hinübergreife. Insbesondere liegen dann die Punkte 
Cq, Ci, . . ., Cn—i sämtlich im oberen Teile des Hyperboloids. Wir 
projicieren demnächst die in der Ebene z,^ = durch die ursprüng- 
lichen Punkte C hindurchlaufende Bahncurve auf das Hyperboloid in 
diejenige unter den beiden correspondierenden Bahncurven, welche 
durch den neuen Punkt C^ hindurchzieht. Diese Bahncurve kann nun 
im weiteren Verlauf sehr wohl auf den unteren Teil des Hyperboloids 
hinübergreifen. Es ist somit zu beweisen, dass unsere Bahncurve 
überall dort, wo ihr Original in der Ebene 3^ = durch einen der 
Punkte C\, ..., C„_i zieht, dem oberen Teile des Hyperboloids angehört. 

Um dies im Falle der Figur 3 pg. 34, d. h. für einen ausserhalb 
der Ellipse gelegenen Punkt E zu sehen, erinnere man sich, dass E 
mit keinem der Punkte C in derselben über die Ellipse hinausreichenden 
Ecke des Netzes liegt. Man stelle weiter fest, wo unsere Bahncurve 
auf den unteren Teil des Hyperboloids hinüberziehen kann und wird 
in der Veranschaulichung dieser Verhältnisse unmittelbar den Beweis 
der letzten Behauptung erblicken. Der Fall der Figur 5 pg. 35 ist 
nicht wesentlich vom eben besprochenen verschieden. Liegt endlich E 
im Innern der Ellipse, so ziehen wir Figur 79 pg. 242 heran und be- 
merken, dass die zufällige Ecke E daselbst unmöglich im Innern des 
Dreiecks ABF gelegen sein kann. Umgekehrt folgt somit, dass im 
Falle der Figur 4 pg. 34 keine an dem System der Centren Cq, ..., C>,_i 
beteiligte hyperbolische Ecke die Polare von E bezüglich der funda- 
mentalen Ellipse überschreiten kann. Macht man sich wieder deutlich, 
wo unsere Bahncurve nunmehr möglicherweise auf den unteren Teil 
des Hyperboloid hin überstreift, so ist die am Ende des letzten Ab- 
satzes ausgesprochene Behauptung auch für diesen Fall ersichtlich. 

Unser obiger Satz, dass Cq, C,, . . ., Cn—i auch nach Projection 
auf die Oberfläche (1) bez. (2) auf einer und derselben Bahncurve 
liegen, ist somit in allen Fällen bewiesen. 



II, 1. Theorie der Rotationsgnippen auf Grundlage der Normalpolygone. 251 

Bei dieser Sachlage können wir das gewonnene Ergebnis auch 
dahin formulieren, dass die n Punkte C^, Cy, . . ., Cn-i der Oberfläche 
des Ellipsoids hez. Hyperboloids in einer und derselben Ebene gelegen 
sind. Hiermit haben wir die Lage der Punkte (J in der oben in Aus- 
sicht genommenen einfachsten Weise beschrieben. 

§ 11. Einführung gewisser zu den Substitutionentripeln V, V, V" 
der zurälligen Ecken gehörenden Curven dritter Ordnung. 

Die bisherigen Vorbereitungen setzen uns in den Stand, die Auf- 
lösung unseres eigentlichen Problems, id)er das Vorkommen von Cyclen 
zufälliger Ecken mit mehr als drei Gliedern zu entscheiden . unmittelbar 
anzubahnen. Liegt ein solcher Cyclus mit der Ecke E vor, so besitzt 
derselbe entweder vier oder mehr Glieder. Jedenfalls können wir vier 
um E herumliegende Polygone P, P', F", P'" der Centren C, C, C", C" 
aufgreifen, wobei P' und P" die zu P unmittelbar benachbarten Polygone 
seien; die Polygone P und P'" haben dann nur die Ecke E gemein, 
ein Umstand, der weiterhin zur Geltung kommt. Die Substitutionen 
unserer Gruppe F, welche P in P', P" und P"' transformieren, nennen 
wir bez. V, V, F", Benennungen, die wir gleich auch für die zu- 
gehörigen Raumcollineationeu gebrauchen. 

Mögen nun die vier Centren 0, auf das Ellipsoid bez. Hyperboloid 
in vorgeschriebener Weise projiciert, vier Punkte der Coordinaten Zt 
bez. z/, Zi", Zi" liefern; dann haben wir zum Ausdruck zu bringen, 
dass diese vier Punkte in einer Ebene liegen. Dabei kommt die Ge- 
stalt (3) und (5) unserer Raumcollineationeu zur Geltung, welche ins- 
besondere zeigt, dass z^= z^' = z^" = z^'" ist. Die Bedingung, dass 
die fraglichen vier Punkte einer Ebene angehören, kleidet sich sonach 
in die Gestalt: 

1' ' ' 

, Zi , Zo , ^3 I , 



(1) 



1 /r 'r r 

1 et r" p 



1>r' ni "I 

, Zi , Z.^ j ^3 

Die Bedeutung des ersten links auftretenden Factors ist unmittelbar 
deutlich: ist ^, = 0, so liegen C und damit C, C", C" auf der Ellijise, 
1 und solche vier Punkte genügen selbstverständlich der Bedingung, auf 
einer zu E gehörenden Bahncurve zu liegen. 

Zur Discussion des zweiten Factors auf der linken Seite von (1) 
verlegen wir die Betrachtung sogleich wieder in die projective Ebene, 
in welcher ^j, z^, z.^ die Coordinaten von C sind, z^', z^\ z.^' diejenigen 
von C u. s. w. Dabei sind die Zi, z^', z^' lineare Functionen der 



252 II- Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 

^\} ^2) ^i vom Typus (3) pg. 248, und dasselbe gilt von z^', z.^' , z.^' 
und 0,'", Z2", z^" \ denn in der Gestalt (3) pg. 248 stellen sich unsere 
drei Substitutionen F, F', F" dar. Tragen wir diese linearen Functionen 
der Zi für zl, zl' zl" in 

1 , 0j , Z.21 ^3 



(2) 



1111 

1 ^ " ' " £ ' 
'7 '^1 ' ^2 J ^3 



= 



ein, so wird die linke Seite dieser Gleichung eine homogene ganze 
Function dritten Grades in z^, z^, %, von der wir sogleich den Nach- 
weis führen wollen, dass sie bei der für uns vorliegenden Bedeutung von 
F, F', F" nicht identisch verschwindet. Dann aber stellt die Gleichung (2) 
in z^, Z2, z^ eine Curve dritter Ordnung dar, welche offenbar mit 
F, F', F" fest gegeben ist, und welche wir in diesem Sinne als die 
zum Tripel F, F', F" gehörende Curve dritter Ordnung bezeichnen können. 

Indem wir beide Facto ren von (1) zusammenfassen, ergiebt sich 
auf unsere Frage, die Cyclen mit mehr als drei zufälligen Ecken be- 
treffend: Giebt es im Polygonnetze der Gruppe F eine zufällige Eclce mit 
ivenigstens vier Polygonen P, P', P'\ P'", deren drei letzte aus dem ersten 
durch V, V, V" hervorgehen, so liegt das Centrum C von P entweder 
auf der Ellipse oder auf der Curve dritter Ordnung des Tripels V, V F". 
Dieses Ergebnis wird für die Fortentwicklung der Theorie der Normal- 
polygone unserer Gruppen F fundamental*). — 

Dem Beweise, dass die Gleichung (2) in z^, z^, z^ nicht identisch 
verschwinden kann, senden wir ein paar vorbereitende Betrachtungen 
voraus. 

Erstlich untersuchen wir, ob F" elliptisch sein kann. Nehmen 
wir dies an, so kann P jedenfalls nicht an den Fixpunkt von V" 
heranreichen; würde dies nämlich der Fall sein, so würde der frag- 
liche Fixpunkt auch auf dem Rande von P'" gelegen sein, dem Um- 
stände entgegen, dass P und P'" nur die zufällige Ecke E gemein 
haben. Nun sei E als Ecke von P'" mit der Ecke E—x von P homolog, 
und weiter sei zur Ecke E von P die Ecke £", von P'" homolog. 
Die Diagonale (oder Seite) E-iE von P geht durch F" in die dem 
Polygon P'" angehörende Gerade EE^ über. Letztere wird durch noch- 

*) Bei den parabolischen Rotationsgruppen geht diesem Theorem kein ent- 
sprechender Satz parallel. Ist der Normalbereich einer einzelnen solchen Gruppe 
ein Rechteck, so liegt für jede Auswahl von C ein viergliedriger Cyclus zufälliger 
Ecken vor. Es ist dies der „elementare Ausnahmefall", von dem pg. 111 die 
Rede war. 



M 



II, 1. Theorie der Rotationsgrappen auf Grundlage der Normalpolygone. 253 

malige Anwendung von V" in eine durch -E'i-E'2 zu bezeichnende Gerade 
des Polygons V" (P'") übergehen, auf welche letztere man aufs neue 
V" anwende u. s. w. Ist / die Periode von F", so entspringt auf 
diese Weise ein gänzlich im Polygonuetze gelegenes, aus l Geraden 
bestehendes geschlossenes reguläres Vieleck, welches kurz L heisse. 

Da mit P auch die (/ — 1) übrigen an L beteiligten Polygone 
nicht an den Fixpunkt von V" heranreichen, während doch andrer- 
seits dieser Fixpunkt als Centrum des Vielecks L in dessen Innern 
liegt, so wird die Geradenkette L notwendig noch weitere Polygone 
unserer Gruppe umschliessen. In einem dieser Polygone ziehen wir 
die mit £■£", äquivalente Gerade und macheu sie zum Ausgangspunkt 
für die Construction einer neuen mit L äquivalenten Geradenkette L'. 
Letztere liegt notwendig gänzlich innerhalb L. Ein Glied von L' kann 
nämlich erstlich ein solches von L niemals im Innern eines Polygones 
schneiden, da jene Glieder äquivalente Gerade ihrer zugehörigen Polygone 
sind, von denen im einzelnen Polygone somit stets nur eine liegt. 
Aber auch in keiner der Ecken E, E^, E^, ... kann L' über L hinaus- 
ziehen; denn z. B. in den neben P und P" noch an E heranreiche uden 
Polygonen unseres Netzes laufen die mit EE^ äquivalenten Geraden 
gar nicht von E aus. 

Die Geradenkette L' wird, da sie mit L äquivalent ist, ihrerseits 
wieder Polygone des Netzes umschliessen, die an ihr nicht beteiligt 
sind. Wir können somit zur Construction einer neuen gänzlich inner- 
halb L' gelegenen Geradenkette L" vorgehen und in derselben Weise 
ohne Ende fortfahren. Hieraus aber würde sich mit Notwendigkeit 
ergeben, dass im Innern von L und also im luuern unseres Polygou- 
netzes Grenzpunkte desselben gelegen sind. Das widerspricht der 
Structur unseres Puiygonnetzes, und also ist die Annahme, V" sei 
elliptisch, nicht haltbar: Die Substitution V" ist notwendig nicht-elliptisch. 

Fürs zweite bemerke man, dass keine zwei unter den Substitutioiien 
V, V'y V" einer und derselben cyclischen Gruppe angehören können. Wären 
nämlich V und V, welche P in die benachbarten Polygone P' bez. P" 
translormieren, Substitutionen der gleichen cyclischen Gruppe, so wären 
die von E ausziehenden Seiten von P zugehörige Niveaugerade, und 
ihr Schnittpunkt E wäre der zugehörige Fixpunkt, entgegen dem Cha- 
rakter von E. Sollten aber etwa V und l" in der gleichen cyclischen 
Gruppe enthalten sein, so wäre, da Feine zu P gehörende Erzeugende 
ist und das Polygon V~^{P) mit P eine Seite gemein hat, V" eine 
von V und V~^ verschiedene Potenz von V. Die zu C und C"' = F"((') 
gehörenden cyclischen Normiilbereiche der aus V entspringenden Gruppe 
haben somit nur den Fixpunkt von V gemein, und also kömien nach 



254 



II. Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 



dem Princip von pg. 245 die Polygone P und V" nicht den zufälligen 
Eckpunkt E gemein haben. 

Wir behaupten endlich drittens: Unter den Substitutionen V, V, V" 
können keine zwei einot auf der Ellipse gelegenen Fixpunlä gemein haben. 
Hätten nämlich etwa V und V auf der Ellipse einen Fixpunkt gemein, 
so wären entweder beide Substitutionen hyperbolisch oder eine unter 
ihnen wäre hyperbolisch, die andere parabolisch. Im ersteren Falle 
wäre VV'V~^V'~^ parabolisch mit dem gleichen Fixpunkt, wie man 
leicht ausrechnet. Nach der bereits pg. 115 ausgeführten Rechnung 
enthielte somit unsere Gruppe in beiden Fällen infinitesimale Sub- 
stitutionen. 

Nach diesen Vorbereitungen gehen wir zu unserer eigentlichen 
Aufgabe, zu zeigen, dass die nach z^, z.,, % entwickelte Gleichung (2) 
nicht identisch verschwindet. Wir berechnen etwa den Coefficienten 
von ^2^ indem wir z^== z^= 0, Z;i= \ eintragen, und finden für den- 
selben mit Rücksicht auf ad — ßy = 1 u. s. w.: 

1, 0, 1, 

1, 2«^, ad+ ßy, 2yd 

1, 2 a ß', ad' -i- ß'y, 2y' Ö' 

1, 2a" ß", a"d"-\- ß"y", 2y" Ö" 



(3) 



aß, ßy, yd 

^'ß\ ß'y', y'^' 

a ß , ß y , y d 



Das Coordinatensystem der Zi denken wir so gewählt, dass J; = oo 
Fixpunkt der nicht-elliptischen Substitution F" wird, und dass t == ^* 
weder für F" noch für V~^V' Fixpunkt wird; dem ist ohne Schwierig- 
keit zu genügen. Folgen dieser Bestimmungen sind: 



(4) 



a"^0, ^"^0, /'=0, dß'-d'ß^O, y^O, y'^0; 



es ist nämlich (dß' — d' ß) der zweite Coefficieut von V~^V', und die 
beiden letzten Ungleichungen (4) gelten, weil g = oo nicht auch noch 
Fixpunkt von V oder F' sein kann. Der in (3) entwickelte Coefficient 
von z^^ nimmt nun auf Grund der Bedingung y" = die Gestalt an: 

8a'ß"yy{ßd' - ß'd) 

und erweist sich damit zufolge (4) als nicht- verschwindend. Es ist 
damit in der That der Beweis geführt, dass die nach z^, z^, z^ ent- 
wickelte Determinante (2) für die bei uns in Betracht kommenden 
Substitutionentripel nicht identisch verschwindet, und zugleich ist 
unser obiges Theorem über das Auftreten der Cyclen mit mehr als 
drei zufälligen Ecken vollständig bewiesen. 



II, 1. Theorie der Rotationsgruppen auf Grundlage der Normalpolygone. 255 

§ 12. Weitere Bemerkungen über die Curven dritter Ordnung 
der Tripel V, V , V" . 

Ein paar zusätzliche Bemerkungen zu den gewonnenen Ergebnissen 
leiten wir durch folgenden Satz ein: Die zum Tripel V, V', V" ge- 
hörende Curve dritter Ordnung geht durch die sechs FixpimJcte der Sub- 
stitutionen F, r, V", Vr-\ rV"-\ V"V-^ hindurch^). In derThat 
werden im einzelnen dieser Punkte jedesmal zwei Horizontalreihen der 
Determinante (2) pg. 252 einander gleich. 

Zum Teil geht dies auch aus einer anderen Gleichungsform der 
Curve dritter Ordnung hervor, die wir aus (2) pg. 252 dadurch ab- 
leiten, dass wir die Elemente der ersten Horizontalreihe nach ein- 
ander von den Elementen der drei übrigen Reihen abziehen. Wir be- 
nutzen hierbei die Abkürzungen: 

I a,= (a2_l)^^^2a/3.-'2-f /3^^3, 

c, = fz^ + 2yöz, -f {ö^ - 1)^3 

und definieren «;, ...,«;',.. . gerade so für F' und F". Die Curve 
dritter Ordnung des Tripels V, V, V" erschänt nun durch: 

ttz , &.- , c, 
(2) a' h\, c' =0 



Clz , 


h, 


Cz 


a'z, 


^•, 


C'z 


a'z , 


v:, 


C'z 



dargestellt. Hier liefern dann die Elemente der einzelneu Horizontal- 
reihe, für sich gleich null gesetzt, drei Gerade durch einen Punkt; und 
zwar gehören den drei Horizontalreiheu in dieser Weise als Schnitt- 
punkte der bezüglichen Geraden die etwa kurz durch F, F' und F" 
zu bezeichnenden Fixpuukte von F, F', F" zu. 

Die Gleichung (2) kann als das Eliminationsresultat der Para- 
meter A, fi, V aus den drei Gleichungen: 

Aa, + fti, + VC, = 0, 

A«; -f j[t&; -}- VC, = 0, 

Aai' + /i6V -f VC,' = 
angesehen werden. Durch dieses Formelsystem ist eine projoctive Er- 
zeugung unserer Curve dritter Ordnung begründet, welche in der syn- 

*) Handelt es sich um eine hyperbolische Substitution, so ist hier und bei 
den nächst folgenden Untersuchungen, sofern nichts weiter bemerkt ist. unt^r 
Fupunkt schlechthin der ausserhalb dor Ellipse gelegene verstand.n 



I 



256 II- Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 

thetischen Geometrie sehr bekannt ist. In demselben Sinne kann man 
die Gleichuug (2) der Curve dritten Grades auch als Eliminationsresultat 
der drei Parameter A, A', X" aus den drei folgenden Gleichungen: 
Attj -f- k' a~ -\- l" a- = 0, 

ih + A'&; + r6;' = o, 
kc, + x'c, H- x"c: = 

ansehen. Im ersten Falle liegt allerdings die Besonderheit vor, dass a^ = 0, 
&. = 0, Cj = drei Gerade durch einen Punkt, nämlich den Fixpunkt 
von V sind, und dass die zweite und dritte Gleichung in derselben 
Beziehung zu V und V" stehen. 

Der Umstand, -dass unsere Curve von drei Substitutionen F, V, V" 
und damit von drei besonderen Collineationen (die nämlich die ab- 
solute Ellipse in sich überführen) geliefert wurde, bedingt übrigens 
keine Besonderheit dieser Curve. Nur die projective Erzeugung, von 
der wir eben sprachen, ist eine besondere*). Dagegen enthält die Glei- 
chung der Curve dritter Ordnung genau soviel wiWcürliche Constante 
(nämlich neun), wie die allgemeine Gleichung dritten Grades. Wir wollen 
hieraus auch noch beiläufig den Schluss ziehen, dass die Curve dritter 
Ordnung (2) im allgemeinen nicht zerfällt; für specielle Tripel darf 
dies natürlich sehr wohl der Fall sein. 

Ordnen wir die Gleichung (2) nach Potenzen von ^'i, z^, % an, 
so gewinnt sie die Gestalt: 

(3) f{z„ ^o, z^\a, ß, .. ., /', 8") = 0, 

in welcher die Coefficienten der links stehenden homogenen Function 
dritten Grades der Zi rationale ganze Functionen zweiten Grades so- 
wohl von a, /3, y, ö wie «', . . ., wie endlich a", . . . sind. Für ge- 
legentliche Anwendungen weisen wir noch auf den covarianten Charalcter 
der Gleichung (3) und damit der Curve dritter Ordnung hin. Trans- 
formieren wir nämlich V, V, V" gleichzeitig durch eine beliebige 
^-Substitution mit reellen Coefficienten, so kommt dies darauf hinaus, 
dass wir die projective Ebene einer entsprechenden CoUineation unter- 
werfen, die die fundamentale Ellipse in sich überführt. Hierbei gehen 
(im Sinne der projectiven Maassbestimmung gesprochen) „Kreise" 
wieder in „Kreise" über, und daraus ergiebt sich mit Rücksicht auf 
die Bedeutung der Curve dritter Ordnung (3) leicht: Bei der Trans- 
formation geht die durch (3) dargestellte Curve direct in die Curve dritter 
Ordnung des Tripels der transformierten Substitutionen über. 

*) Hiervon kann man sich übrigens leicht durch formale Umgestaltung der 
Gleichung (2) vermöge geeigneter Combinationen der Horizontal- bez. Vertical- 
reihen frei machen. 



,4) 




(5) 



II, 1. Theorie der Rotationsgruppen auf Grundlage der Normalpolygone. 257 

Ist C ein beliebiger Punkt unserer Curve dritter Ordnung, so 
liegen die Punkte C, F(0), V'{C), V" (C) auf einem Kreise od.^r ge- 
nauer auf einer und derselben Bahncurve. Dasselbe gilt demnach 
auch von den vier Punkten C, V-^(C), V-^V'(C), V-^V"(C). Wir 
bemerken auf diese Weise, dass die einzelne Curve dritter Ordnung immer 
nigleich zu den vier Suhstitutionentripeln gehört: 

r, r\ 

r--\ r-^v", 

V"-'V', v"-\ 

Auf der anderen Seite ist klar, dass die vier Punkte C, C, C" C" 
zugleich vier auf einander collinear bezogene Curven dritter Ordnung he- 
schreiben, falls C die Curve (3) beschreibt; es sind dies offenbar die zu 
den vier Tripeln: 

V, r, V", 

v-\ v'v-\ v"v-\ 

VV'-\ V'-\ V"V'-\ 

rv"-\ v'v"-\ F"-i 

gehörenden Curven. 

Wir gehen endlich nochmals auf die zufällige Polygonecke E 
selber zurück, welche den Mittelpunkt des durch C, C, C" , C" zu 
legenden Kreises darstellt. Während diese Punkte ihre vier Curven 
dritter Ordnung beschreiben, wird E eine fünfte auf jene zwar nicht 
collinear aber doch eindeutig bezogene Curve dritter Ordnung beschreiben. 
E liegt nämlich mit den weiteren zum gleichen Cjclus gehörenden 
Ecken E', E", E'" des Ausgangspolygons auf gleichem Kreise um C, 
wobei E', E", E'" aus E durch V-\ V'-\ V"-' hervorgehen. 

Dies bestätigt sich auch leicht durch Rechnung. Sind y^,y.,y^ die 
Coordinaten des Kreismittelpunktes E, so berechnet mau: 

wobei wir die zu den Elementen der ersten Horizontalreihe in (2) pg. 255 
gehörenden ünterdeterminanteu bevorzugten. Gerade so gut könnten 
wir die zweite oder dritte Reihe benutzen, und also haben wir simultan 
die drei Gleichungen: 

ff.. ^3— 2/>,2/,+ c.yi = 0, 

a;?/3 — 26;'7/2-i-c;>i = o. 

lyiese drei hilinearen Gleichungen sfclkii die Beziehung der Curve des 

Frirkp-Kleiii, Automorphn FnTirtlnncn. r. jiy 



258 II- Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 

Punktes C auf diejenige des Punktes E, soune implicite diese beiden Ourven 
selbst dar. Ordnen wir nach 2^, z^, z^ an und eliminieren diese Grössen, 
so entspringt eine der Determinante (2) genau analog gebildete Glei- 
chung für y^, 2/2, «/s und das Tripel F~"^ F'^S F"~^ 

Die Curven der Punkte 0, 0', C", 0'" stehen natürlich der Curve 
des Punktes IE gegenüber durchaus coordiniert. Wählen wir nach ein- 
ander jene vier Curven zum Ausgangspunkt für den Übergang zur Curve 
des Punktes E, so gewinnen wir die letztere als zu gewissen vier 
unterschiedenen Substitutionentripeln gehörig, welche ein System von 
der Art des Systems (4) abgeben. — 

§ 13. Die zu den festen Polygoneeken gehörenden Bereiche Q. 
Der Reciprocitätssatz der Normalpolygone. 

Sind bisher die zufälligen Ecken der Normalpolygone P^, Pj, ... 
unserer Gruppe T Hauptgegenstand der Untersuchung gewesen, so 
wollen wir nunmehr die festen Ecken der Polygone, welche Fixpunkte 
von Substitutionen der Gruppe sind, in die Discussion hereinziehen; wir 
gelangen dabei zu neuen und wichtigen Resultaten. 

Zufolge der ursprünglichen Vorschrift (pg. 107) sollte das Polygon- 
centrum Cq nicht mit einem Fixpunkt zusammenfallen. Sehen wir jetzt 
zu, welche Ergebnisse entspringen, falls wir von dieser Beschränkung 
Abstand nehmen. 

Es sei erstlich e^ der Fixpunkt» einer cyclischen Untergruppe der 
Ordnung l aus elliptischen Substitutionen. Nehmen wir Cq nahe bei Cq 
an, so wird eine zugehörige Norraalteilung entspringen, in welcher 
der Punkt e^^ von l Polygonen P^, P^, . . ., P/— 1 umlagert ist. Die 
Normalteilung bleibt jedenfalls eine fest bestimmte, wenn wir C„ auf 
bestimmter, etwa geradliniger Bahn nach dem Punkte f„ hinführen. 
Aber hierbei werden die Kreisflächen, welche zur Bildung der Polygone 
Pq, Pi, . . ., Pi—i dienen, mit einander mehr und mehr concentrisch. 
Man kann daraufhin sofort angeben, was aus dem Complex der l Po- 
lygone Pq, Pj, ..., Pi—i geworden ist, falls Cq mit den (/ — 1) übrigen 
Centren Ci, . . ., Ci—i bei ?„ zur Coincidenz gekommen ist: Jene l Po- 
lygone werden, zusammengefasst, offenbar eitlen Bereich Qq darstellen, zu 
welchem ivir direct gelatigen, wenn -wir auf die Classe aller mit e^ äqui- 
valenten Punkte e^^Cy, ... die Bildungsweise der Normalpolygone anwenden. 

Den Bereich Q^, zu welchem wir auf diese Weise gekommen sind, 
wollen wir weiterhin kurz als „den Bereich des elliptischen Fixpunktes Cq" 
bezeichnen. Derselbe entspricht genau der Dirichlet'schen Definition 
der Normalpolygone (pg. 221), wenn wir diese unmittelbar auf e^ als 
Centrum beziehen. Indessen enthalten wir uns hier der Benennung 




II, l. Theorie der Rotationsgruppen auf Grundlage der Normalpolygone. 259 

Normalhereich Q^, weil wir diese letztere Bezeichnung nach wie vor 
nur bei Discontinuitätsbereichen der Gruppe in Anwendung bringen 
wollen. Jedenfalls teilt der Bereich Q^ insofern die Eigenschaften 
eines Normalpolygons, als er geradlinig begrenzt ist und nur concave 
WinJcel besitzt. Auch wird das Gesamtnetz der zur Classe der Centren 
^o> ^if ••• gehörenden Bereiche Q offenbar durch alle Substitutionen der 
Gruppe in sich übergeführt; dabei gehört des näheren zum einzelnen 
Bereiche Qi eine cyclische Gruppe von Substitutionen desselben in 
sich, und es giebt das Ceiitrum e,- von Qi den Fixpunkt oder das 
Rütationscentrum dieser cyclischen Gruppe ab. 

Es ist ein Leichtes, vom Netze der Bereiche Qi wieder rückwärts 
zu einem Netze von Normalpolygonen der Gruppe F überzugehen. 
Man wolle innerhalb Qq vom Centrum e^ aus beliebige l Gerade ziehen, 

2 Tt 

welche die Winkel -j- mit einander bilden, und vollziehe dieselbe Cou- 

struction in äquivalenter Weise in Qi, Q.^, ■■ ■ -^Is Centren C^^, C,, . . ., Ci—i 
der in Q^^ entstandeneii Polygone Pq, P,, . . ., Pi-i sind offenbar die bei 
Bq coincidierenden EndpiinJcte der l Winkelhalbierenden Geraden innerhalb 
Po, Pj, . . ., P;_i anzusehen. Man halte an dieser Auffassung für einige 
bald folgende Erörterungen fest. 

Die vorstehenden Auseinandersetzungen übertragen sich ohne 
Schwierigkeit auf etwaige parabolische Spitzen e^, sowie auf die hyper- 
holischen Ecken c^, welche im Falle eigentlicher Discontinuität auf der 
Ellipse ausserhalb der letzteren auf dem Rande des Polygonnetzes auf- 
treten. Die stetige Überführung der Centren Co, Oi, ... in die Punkte 
',,, c^, e^, . . ., einer einzelnen solchen Classe wird man sofort ver- 
olgen. Bei der unmittelbaren Herstellung des „zu der einzelnen Classe 
'„, Ci, e^, ... gehörenden Netzes der Bereiche Qq, Qi, Q.^, . . ." hat man 
hier natürlich nötig, auf die pg. 243 u. f. entwickelten „Vorbereitungen 
zum Bildungsprocess der Normalpolygone" zurückzugreifen. 

Ist nämlich erstlich Cq, Cj, ... eine Classe parabolischer Punkte, 
so können wir nach einem pg. 115 u. f. bewiesenen Satze im Innern 
der Ellipse ein System äquivalenter Bahncurven für e^, Cj, ... hin- 
reichend nahe an e^, e^, ... ziehen, die nirgends mit einander colli- 
dieren. Die von diesen Bahncurven eingegrenzten Flächen nehme man 
iils anfängliches System von „Kreisflächen", deren Weiterbildung nach 
bekannter Vorschrift zu den Bereichen Q^, Q^, . .. unserer parabolischen 
Punkte c„, e,, ... hinführt. 

Analoges gilt für eine Classe hyperbolischer Ecken e^, Ci, ... 
ausserhalb der Ellipse. Für den einzelnen Punkt c, zeichne man die 
beiden Ellipsentangenten, die dann hierselbst den Rand des Polygon- 

17* 



260 n. Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 

uetzes Pq, P^, ... ausmachen. Fügen wir den beiden Tangenten die 
Polare von 6-, hinzu, so ist ein Dreieck eingegrenzt, welches offenbar 
mit keinem einzigen seiner äquivalenten Dreiecke der Punkte r^^, e,, . . . | 
collidiert. Diese unendlich vielen Dreiecke können uns nun als anfäng- 
liche Kreisflächen gelten, deren weiteres gleichzeitiges Wachstum über 
die Polaren hinaus auf die zur Classe der hyperbolischen Puukte 
Cq, e^, ... gehörenden Bereiche (^y, ^, , ... führt. 

Auch der Übergang vom einzelneu Netze Qq, Q^, ... zu einem 
zugehörigen Netze von Normalpolygonen P^, Pj, P^, . . . der Gruppe F 
gestaltet sich jetzt genau so wie im Falle elliptischer Punkte Cq, e^, ••• ■ 
Qq geht durch die Substitutionen einer cyclischen, etwa aus V zu er- 
zeugenden Gruppe des Fixpunktes Cq in sich über: Man ziehe innerhalb 
Qq von Cfl aus irgend ein System äquidistanter Geraden, in welchem die I 
einzelne Gerade durch V in die nächstfolgende übergeht, imd wiederhole die- 
selbe Constniction in äquivalenter Weise in den übrigen Bereichen Q^, Q^, ...; 
es liegt dann direct ein Netz von Normalpolygonen P„, Pj, Pg, ... der 
Gruppe vor. Der einzelne Bereich, z. B. Q^^, zerfällt natürlich nun in 
unendlich viele Normalpolygone P„, P^, P.^, ... Als Centra C\, C^, C\, . . • 
der letzteren hat man wieder die bei Cq coincidierenden Endpunkte der 
Winkelhalbierenden Geraden innerhalb Pq, Pj, ... anzusehen. — 

Um die wichtige Bedeutung zu erkennen, welche die Bereiche Q 
für die Theorie der Normalpolygone besitzen, stellen wir den folgenden, 
auch für sich allein genommen sehr interessanten Satz auf, welchen 
wir seinem Charakter nach als den „Rcciprocitätssatz der Normalpolygotie" 
benennen wollen: Der Punkt Cq gehört dem zum Punkte C^^ gehörenden 
Normalpolygone P^ von F stets und nur dann an , wenn umgcJceJirt Cq dem 
Polygon P^ des Centrums Cq angehört. Wir brauchen hierbei die Ausdrucks- 
weise, ein Punkt gehöre einem Polygon an, falls er entweder im Innern 
oder auf dem Rande des Polygons liegt. Doch muss dabei der Punkt, 
falls er in einer festen Polygonecke gelegen ist, als Endpunkt einer dem 
Polygon angehörenden Geraden gelten; denn nur so können wir von einem 
bestimmten, zum fraglichen Punkte gehörenden Normalpolygon sprechen. 

Für diejenigen Gruppen, bei denen die Dirichlet'sche Definition 
des Normalpolygons uneingeschränkt gilt, ist der Reciprocitätssatz 
direct in dieser Definition enthalten. Ist nämlich die durch \Cq , Cq\ zu 
bezeichnende Entfernung 'der Punkte Cq und Cq nicht grösser als 
irgend eine der Entfernungen \Cq, F,(Q)], so ist auch [Cq, Cq'\ nicht 
grösser als irgend eine Entfernung [Cq, V~ (Cq')]; denn es ist offenbar 
[Co', V,{C^] = [Cq, V-\Cq)]. 

Für jede beliebige Gruppe F ist folgendes Schlussverfahren gültig. 
Wir beweisen den Reciprocitätssatz zunächst im Falle einer cyclischen 



ji 



II, 1. Theorie der Rotationsgruppen auf Grundlage der Nornialpolygone. 261 

Gruppe; hier aber ist er eine unmittelbare Folge der Gestalt eines 
cyclischeu Normalbereiclies, wie wir sie früher festlegten. Die allgemeine 
Richtigkeit unseres Satzes ergiebt sich dann ohne weiteres aus dem 
Princip von pg. 245, nach welchem das Normalpolygon P^ unserer 
Gruppe r mit dem Centrum Q der gemeinsame Bestandteil der zu Cy 
gehörenden Nornialbereiche aller cyclischen Untergruppen von F ist. 

An den Reciprocitätssatz schliesst sich folgende specielle Regel an: 
Der FunTxt Cq liegt stets und mir dann auf dem Hände des zum Ptoilte Q' 
f/ehörenden Nortnalpolygons Pq, falls unigel'ehrt Cq auf dem Rande des 
l'ohjgons Pq mit dem Centrum Cq gelegen ist. Doch hat man hierbei eine 
feste Polygonecke nur dann als Randpuukt anzusehen, falls dieselbe als 
Endpunkt einer der beiden sich hier anschliessenden Polygouseiten gilt. — 

Die vorstehenden Entwicklungen setzen uns in den Stand, die 
Theorie der Normalpolygone in Ansehung der festen Polygoneclien 
wesentlich zu präcisieren. Diese festen Polygonecken stellten die Classen 
elliptischer oder parabolischer Fixpuukte der Gruppe dar, zu denen 
eventuell auch noch Classen hyperbolischer Fixpunkte ausserhalb der 
Ellipse treten. Sind Cq, Cj, e^» • • • die Punkte einer einzelnen solchen 
Classe, so gaben wir seinerzeit (jjg. 113£f.) an, dass ein Normalpolygon 
im allgemeinen an einen, für besondere Lagen des Centrums auch 
wohl an mehrere Punkte der fraglichen Classe heranreiche. Um diese 
Verhältnisse nunmehr genauer zu bezeichnen, tragen wir die zur Classe 
^o> ^i> ••• gehörende Einteilung Q^, Q^, ... auf und haben alsdann 
den Satz: Das Normalpolygon Pq des Centrums Cq ragt an diejenigen 
Fiximrdite der Classe Cq, Ci, ... mit festen Ecken heran, deren zugehörigen 
Bereichen Q der PunJct Cq angehört. Für gewöhnlich handelt es sich 
hierbei natürlich nur um einen Bereich Q; nur wenn Cq auf einer Seite 
oder in einer Ecke eines Bereiches Q liegt, kommen deren zwei bez. 
mehrere in Betracht. Der Beweis unserer Behauptung geht auf Grund 
des Reciprocitätssatzes unmittelbar aus dem Umstände hervor, dass 
Cq mit Qi ja auch einem diesen Bereich zusammensetzenden Normal- 
polygone angehört, und dass das Centrum des letzteren eben die zu 
Qi gehörende Ecke e, ist. 

§ 14. Der Gattungsbegriff und die verschiodenen Typen von 
Normalpolygonen der einzelnen Gattung. 

Auf dem Fundamente der bisherigen Ergebnisse versuchen wir 
nunmehr weiter in die Einzelheiten der Theorie der hyperbolischen 
llotationsgruppen einzudringen, indem wir für diese Gruppen hier vor 
allem eine Classifiaition in Gnttungcn an die Spitze stellen. Folgendes 
ist die hierzu füliroiule IJberlegung: 



262 II- Ansführliche Theorie der Polygongruppen. 

Bei der einzelnen Gruppe F ist die Gestalt des Normalpolygons P^ 
bis zum gewissen Grade von der Auswahl seines Centrums Cq ab- 
hängig und mit wechselndem Centrum entsprechend veränderlich. 
Jedenfalls aber ist unabhängig von der Auswahl des Centrums C^ 
vor allem die Anzahl n der Cyclen fester Ecken, sowie das Geschlecht j) 
der aus dem einfach zusammenhängenden Polygon Pq herzustellenden 
geschlossenen Fläche; denn beide Zahlen sind überhaupt gegenüber 
erlaubter Abänderung invariant. Dieserhalb tvollen wir nunmehr alle 
Gruppen, welche in p und n ühereinstimmen , zu einer „Gattung'' zu- 
sammenfassen und bezeichnen das Zahlenpaar (p, n) als „Charakter'' der 
Gattung. Wir sprechen auch wohl kurz von einer Gruppe oder einem 
Polygone des Charakters {p, n) oder schlechthin von einer Gruppe 
(jp, n). Die Betrachtung soll auf die Gattungen mit endlichen p und n 
eingeschränid bleiben; hieraus wird sofort hervorgehen, dass wir stets 
nur mit Polygonen endlicher Seitoianzahl zu thun haben. 

Wir greifen nämlich für eine vorgelegte Gruppe F des Charakters 
{p, n) ein beliebiges Normalpolygon P,, mit dem Centrum C^, auf. 
Die Seitenanzahl vom Polygon P^ bezeichnen wir durch s; setzen wir 
dann s = 2q, so stellt q die Anzahl der von Pq gelieferten Gruppen- 
erzeugenden dar. Die zufälligen Ecken von P^ mögen m Cyclen bilden. 
Da der einzelne solche Cyclus wenigstens drei Ecken enthält und die 
einzelne der n Classen nicht zufälliger oder fester Ecken wenigstens 
eine Ecke von Pq stellt, so ist: 

(1) 2(/ = s ^ 3m -f- n. 

Das Gleichheitszeichen gilt stets und nur, falls die Cyclen zufälliger 
Ecken von P^ ausnahmslos dreigliedrig sind und P^ zugleich nur an 
je einen Fixpunkt aus den fraglichen n Classen heranragt. 

Das Polygon P„ stellt einen einfach zusammenhängenden Bereich 
dar und liefert durch Zusammenbiegung auf einander bezogener Seiten 
eine geschlossene Fläche des Geschlechtes p. Markieren wir uns auf 
der Fläche die (in -{- n) von den Polygouecken herrührenden Punkte, 
so wird sie zu einer Fläche des Zusammenhanges {2p -}- m -j- n) aus- 
gestaltet. Durch die q von den Seitenpaaren herrührenden Querschnitte 
wird sie in eine einfach zusammenhängende Fläche verwandelt; es 
gilt demnach die Formel: 

(2) 2p + m + n = g + 1. 

Auf Chund der Relationen (1) und (2) können mr die Seitenanzahl 
s = 2q und die Cyclenanzahl m im Charakter {p, n) der Gattutig wie 
folgt ausdrücken: 

(3) s^l22)-|-4w — 6, 2^6i) + 2w— 3, m£Ap-\-n — 2. 






II, 1. Theorie der Rotationegruppen auf Grundlage der Normalpolygone. 26.^ 

Hiermit ist der in Aussicht gestellte Endlichkeitsbeweis für die 
Anzahl s geführt. 

Von den Polygonen der Gattung (p, n), welche dieselbe Seiten- 
auzahl s haben, und bei denen die Seiten in der gleichen Folge ein- 
ander zugeordnet sind, sagen wir, sie gehören dem gleichen Typus 
au; Polygone des gleichen 'i^ypus sind im Sinne der analysis situs 
einander gleich. Gelten in (3) die Gleichheitszeichen, so sprechen wir 
von einem getvöhnlichen Typus, im anderen Falle von einem besonderen 
oder Specialtypus; wir werden diese Benennungen weiterhin gerecht- 
fertigt finden und würden die Specialtypen auch als Übergangstypen 
benennen können. Die gewöhnlichen Typen können wir auch dahin 
definieren, dass ihnen diejenigen Polygone angehören, deren Ecken, 
je nachdem sie zufällig sind oder nicht, durchweg drei- bez. eingliedrige 
Cyclen bilden. Jede Erhöhung der Gliederauzahl eines oder mehrerer 
Cyclen bedingt eine Verminderung der Seitenanzahl. Übrigens dürfen 
wir, wie wir noch sehen werden, die Polygone von Specialtypus als 
solche von gewöhnlichem Typus ansehen, bei denen zwei oder mehr 
Seiten unendlich klein geworden sind. 

Auf Grund dieser letzteren Bemerkung wird es gestattet sein, 
hier vorab allein von den gewöhnlichen Typen der Gattung (2:», n) zu 
handeln; es gelten alsdann in (3) überall die Gleichheitszeichen, und 
wir haben für die niedersten Zahlwerte {p, n) folgende tabellarische 
Zusammenstellung der zugehörigen Werte s und tu: 



p = Ö, 



n 


3, 


4, 


5, ... 


m 


1, 


2, 


3,... 


s 


6, 


10, 


14,... 



p = l, 



p 



n 1, 2, 3, 

m h 3, 4, 5, 

s 11 10, 14, 18, 

n II 0, 1, 2, 

m\ 6, 7, 8, 

s I 18, 22, 26, 



I 



264 II. Ausführliche Theorie der Polygongrnppen. 

Hierbei braucht kaum bemerkt zu werdeu , dass für jj) == der Fall 
n = 2 auf eine cyclische Gruppe, für p = \ der Fall w = auf eine 
parabolische Rotatiousgruppe führen würde; beide Fälle gehören somit 
nicht hierher. 

Die Aufstellung aller unterschiedenen Typen der Gattung (p, « i 
ist nun eine Aufgabe der Combinatorik, die wir indes durch einen 
weiterhin noch zu erörternden Process sehr kürzen können. Vorab 
wollen wir den Satz beweisen, dass jeder combinatorisch mögliche Typus 
auch ivirJclich vm'lcommt. In der That können wir jedesmal ein allen 
Anforderungen eines Discontinuitätsbereiclies genügendes Polygon con- 
struieren, dessen s Seiten den vorgeschriebenen Typus der Zusammen- 
ordnung darbieten. 

Um dies auszuführen, zeichne man der Einfachheit wegen die i 
absolute Ellipse als Kreis und entwerfe in seinem Innern und mit ' 
ihm concentrisch ein reguläres Polygon von (s-\-2n) Seiten. Da diese 
Anzahl stets > 6 ist, so kann man die Dimension des Polygons so 
wählen, dass seine Winkel (im Sinne der hyperbolischen Maass- 

2 n 

bestimmung) gleich — werden. Indem wir den Rand des Polygons 

etwa im positiven Umlaufssinn beschreiben, bekommen wir. für dii 
Seiten eine Nummerierung, und die einzelne Seite gewinnt einen 
Anfangs- und einen Endpunkt. Man verlängere nunmehr die erste , 
Seite über ihren Endpunkt und die vierte über ihren Anfangspunkt ' 
hinaus, bis sie sich im Punkte e, schneiden. Der Punkt e^ liegt 
notwendig ausserhalb des Kreises; wäre dies nämlich nicht der 

Fall, so könnten wir, wie aus der beigefügten 
Figur 80 hervorgeht, im Kreisinnern zwei Drei- 
ecke von nicht-verschwindendem Inhalt und je 
einer Winkelsumme > jr nachweisen, was dem 
Charakter der hyperbolischen Maassbestimmung 
entgegen ist. Man nehme nunmehr die bis- 
herige zweite und dritte Seite des Polygons 
fort und lasse auf die erste sogleich die vierte 
Seite in der Ecke Cj folgen. Es giebt eine hyperbolische Substitution Fj 
des Fixpunktes e^, vermöge deren die erste dieser beiden Seiten ohne 
Rest und Überschuss in die andere übergeht. Indem man weitere 
(n — 1) Male dieselbe Manipulation an geeigneten Stellen wiederholt, 
gewinnt man ein Polygon F^ mit n nicht- zufälligen ausserhalb des 
Kreises gelegenen Ecken e, , e^, . . ., e„; die n zugehörigen hyperbolischen 
Substitutionen V^, V.,, . . ., F„ werden wir als Erzeugende in Ansatz 
bringen. Die noch ungedeckten (s — 2n) einander gleichen Seiten ordnen 




II, 1. Theorie der Rotationsgruppen auf Grundlage der Nortualpolygone. 265 

wir durch weitere Erzeugende f'„ + i, r,,^-.',, • . .; wie es der Typus vor- 
schreibt, einander zu und haben damit, wie man unmittelbar .sieht, 
einen Discontinuitätsbereich erhalten, welcher den vorgeschriebenen 
Typus besitzt. 

Es ist natürlich eine Besonderheit, dass wir soeben die gesamten 
nicht-zufälligen Ecken ausserhalb der Ellipse wählten. Doch ist diese 
Maassregel wichtig. Wir werden nämlich im nächsten Kaj)itel zeigen, 
dass die gesamten Gruppen der Gattung (p. 71) ohne elliptische Sub- 
stitutionen ein Continuum bilden. Nehmen wir diesen Satz vorläufig 
als richtig an, so werden wir bald sehen, dass ivir vermöge eines ge- 
wissen im Sinne der analysis situs auszuführenden stetigen Unmandlungs- 
processes, und zwar durch Vermittlung der Special- oder Vbergangstypen, 
von dem einzelnen Typus der Gattung (p, ??) alle übrigen gewinnen Icönnen. 
Diese in § 16 näher zu besprechende Operationsweise führt weit schneller 
zur Kenntnis der verschiedenen Typen der einzelneu Gattung {p, n), als 
eine directe combinatorische Methode. Einstweilen begnügen wir uns 
damit, die niedersten Gattungen betrefifend, folgende fertigen Resultate 
zusammenzustellen. 

Die drei Gattungen (0, 3), (0, 4), (0, 5) besitzen je nur einen 
einzigen gewöhnlichen Typus; bei (0, 6) treten deren drei auf. Bei 
der Gattung (0, 3) gewinnen wir das in Figur 81 schematisch angedeutete 
Sechseck, dem wir schon wiederholt begegneten (siehe z. B. Figur 54 
pg. 213). Die Gattung (1,1) besitzt gleichfalls nur einen gewöhnlichen 
Typus, welcher im Zehneck der Figur 82 dargestellt ist; wir werden 



' A 







Y\g. 81. 



Fig. 82. 



mit dieser Gattung im folgenden Kai>itel noch ausführlich zu thun 
haben. Die Gattung (1, 2) besteht aus fünf gewöhnlichen Typen, 
welche wir zu späterem Gebrauch in Figur 83 zusammenstellen und 
iiummerieren. Der Einfachheit halber haben wir das einzelne Vierzehneck 



I 



266 



II. Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 



als einen in 14 gleiche Teile geteilten Kreis gezeichnet; die Figuren 
sind jii ohnedies sämtlich nur schematisch oder im Sinne der analysis 
Situs aufzufassen. Unter diesen fünf Typen vom Charakter (1,2) sind 
vier sich selbst symmetrisch; nur der fünfte Typus ist unsymmetrisch. 




Es entspricht indessen den sonstigen hier vertretenen Grundauffassungen, 
wenn wir das symmetrische Spiegelbild des fünften Typus nicht als 
einen besonderen Typus hinstellen. Um endlich auch noch eine 
Gattung mit w = heranzuziehen, so stellen wir in Figur 84 die 
gesamten gewöhnlichen Typen vom Charakter (2, 0) zusammen. Wie 
man sieht, liegen hier acht gewöhnliche Typen vor, von denen die 
sieben ersten symmetrisch sind. In allen Fällen wird man leicht 
die Cyclen zufälliger Ecken auffinden, die nicht zufälligen Ecken 
markieren u. s. w. 



§ 15. Vom Vorkommen der Specialtypen bei den Normalpolygonen 

der Gattung {p, n). 

Äquivalente Centren liefern äquivalente Normalpolygone, die für 
unsere Zwecke durchaus gleichwertig sind und insbesondere dem gleichen 
Typus angehören. Man wird somit alle wesentlich verschiedeneu Normal- 
polygone von r bereits dadurch gewinnen, dass man das Centrum 6'„ 
nach und nach mit allen Punkten eines etwa anfänglich ausgewählten 
Normalpolygons P vom Centrum C ideutificiert. Hier tritt nun vor 
allem die Frage ein, für welche Lagen von Cq innerhalb P das zugehörige 
Normali)olygon einem Specialtypus angehört. 



II, 1. Theorie der Rotationsgrnppen auf Grundlage der Normalpolygone. 267 

6 










Fig. »i. 



I 



268 II- Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 

Bei der Behandlung dieses Problems machen wir wiederholten 
Gebrauch von folgendem Grundsatz: Lagert man über P irgmd eine 
neue zu r gehörende Normalteilung P^, P^, ..., so lann nur eine end- 
liche Anzahl von Polygonen der neuen Einteilung an P teilliäben. Wir 
sagen dabei, Pk habe am Polygon P Teil, falls beide Polygone wenig- 
stens einen von einer parabolischen oder hyperbolischen Spitze ver- 
schiedenen Punkt gemein haben. 

Man bemerke nämlich, dass jeder im Innern des Polygonnetzes 
liegende Bereich, der dem Rande des Netzes nirgends unmittelbar 
nahe kommt, zufolge der Fundamentaleigenschaft eigentlich disconti- 
nuierlicher Gruppen durch eine endliche Anzahl von Polygonen des 
Netzes Po, Pi, . . . vollständig ausfüllbar ist. An den Rand des Netzes 
zieht aber nur eine endliche Anzahl von Ecken des Polygons P mit 
parabolischen oder hyperbolischen Spitzen heran. Die einzelne solche 
Ecke ist im allgemeinen durch zwei, gelegentlich auch durch mehrero. 
aber immer endlich viele Polygone des Netzes P(„ Pi, . . . völlig aus- 
gefüllt; letzteres tritt ein, wenn die fragliche paraboHsche oder hyper- 
bolische Spitze im neuen Netze der Polygone P«, P, , . . . mehrgliedrigo 
Cyclen liefert. Der aufgestellte Satz ist hiermit bewiesen. 

Als unmittelbare Folge unseres Satzes ergiebt sich weiter: Trä^t 
man eine der zu dm n Classen fester Ec^mnkte gehörende Einteilung 
Qq, Qif Q2} • ■ • ^"/' ^"^^ ^^'"* **"^ ^'^^'^ endliche Anzahl von Bereichen Q 
am Pohjgon P teilhaben; denn der einzelne solche Bereich stellt ja einen 
Complex von endlich oder unendlich vielen Normalpolygonen dar. 

Das zu einem Centrum Cq gehörende Polygon P^ kann nun erstlich 
dadurch zu einem Specialtypus gehören, dass es einen oder einige mehr 
gliedrige Cyclen fester Echen aufweist. Die Lage des Centrum (\, können 
wir unter diesen Umständen nach pg. 261 unmittelbar charakterisieren. 
Man hat nur die zur Classe des einzelnen solchen Cyclus gehörende 
Einteilung Q^, Q^, Q^, .., aufzutragen, worauf alsdann C« auf dem 
Rande zweier oder mehrerer Bereiche Q liegt. An P haben nur 
endlich viele Bereiche Q Teil, und der einzelne unter ihnen durchzieht 
das Polygon P nur mit einer endlichen Anzahl von Seiten. Tragen 
wir nach'' einander alle n Einteilungen Q^, Q,, . •• auf und markieren 
immer diejenigen Seiten, welche in P entfallen, so habeii wir in P eine 
endliche Anzahl geradliniger StrecJcen gezeichnet, welche den geometrischen 
Ort aller Centra C\ mit Specialfypen mchrgliedriger fester EcJcen darstellen. 

Ein Specialtypus kann zweitens nur noch dadurch auftreten, dass 
Po wenigstens einen Cyclus zufälliger Ecken mit mehr als drei Gliedern 
aufweist. Die f)iscussion dieses Gegenstandes erfordert eine kurze vor- 
bereitende Betrachtung. 



II, 1. Theorie der Rotationsgruppen auf Grundlage der Normalpolygone. 269 

Wir lassen Q das gesamte Polygon P beschreiben und markieren 
alle zugehörigen Normalpolyfrone P^. Dieselben werden einen zu- 
sammenhängenden Bereich bedecken, welcher offenbar mit P fest be- 
stimmt ist, und den wir kurz als den Bereich R bezeichnen wollen. 
Vun diesem Bereich lässt sich sofort aussagen, dass er die natürliche 
Grenze unserer Gruppe (den gemeinsamen Rand ihrer Polygonnetze) 
nur in einer endlichen Anzahl von hyperbolischen oder parabolischen 
Ecken erreicht; denn wir stellten schon fest, dass P nur an einer 
begrenzten Anzahl von Bereichen Q des einzelnen der n Netze teilhat 

Sei nun e, ein einzelner solcher Eckpunkt, und gehöre demselben 
Vi als Erzeugende der bezüglichen cyclischen Untergruppe zu. Es 
lässt sich alsdann ein cyclischer Normalbereich von I', angeben, über 
den P nicht hinausragt, und auf welchen somit auch Cq eingeschränkt 
ist. Hieraus ergiebt sich unmittelbar, dass der Bereich R an den Eck- 
punkt e, mit einer Ecke heranreicht, welche sich auf alle Fälle durch 
zwei neben einander gereihte Normalbereiche von Fi vollständig über- 
decken lässt; und dies wiederum liefert vermöge einer eben (pg. 268) 
bereits angedeuteten geometrischen Überlegung fast ohne weiteres das 
Ergebnis, dass sich die in Rede stehende Ecke von R durch eine 
endliche Anzahl an f, heranziehender Polygone des zu P gehörenden 
Netzes gänzlich ausfüllen lässt. 

Schneiden wir nun für den Augenblick vom Bereich R die nächsten 
Umgebungen aller an den Netzrand heranreichenden Ecken ab, so ist 
für den übrig bleibenden mittleren Teil von R aus der Discontinuität 
von r selbstverständlich, dass derselbe durch eine endliche Anzahl von 
Normalpolygonen eines einzelnen Netzes vollständig bedeckt werden 
kann. Indem wir zusammenfassen, entspringt das Ergebnis, dass am 
fki-eiche R notwendig nur eine begrenzte Anzahl von Polygonen des zu P 
gehörenden Netzes teilhaben. 

\Yir können dies Resultat noch in einer etwas anderen und für 
die gleich zu vollziehende Anwendung zweckmässigeren Gestalt aus- 
sprechen. Sei Pq Normalpolygon irgend eines in P gelegenen Ceu- 
trums Cq und V eine zu P„ gehörende Erzeugende. Die beiden durch 
V correspondierenden Seiten von P^ liegen als homologe Gerade in 
zweien unter jenen Polygonen, mit welchen wir soeben R bedeckten; 
und da die Anzahl dieser Polygone endlich war, so gilt der Satz: 
Die zu den innerhalb P gelegenen Centren C„ gehörenden yornialpolygone P^ 
liefern insgesamt nur eine begrenzte Anzahl von erzeugenden Substitutionen. 

Nun habe das Polygon P^, dessen Centrum C'„ innerhalb P ge- 
legen ist, einen Cyclus von mehr als drei beweglichen Ecken. Sei A' 
ein zugehöriger Eckpunkt, und mögen sich um £ herum au iy die 



270 11. Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 

Polygone Pj, F.^, nächst P, aber P3 anschliesseu. Es möge Pq in 
diese drei Polygone durch die Substitutionen F, , Fg, V^V^ übergehen, 
wo alsdann Fj, V^, F3 von Pq gelieferte Erzeugende sind (cf. pg. 112). 
Wir werden auf Grund unseres eben gewonnenen Resultates sogleich 
schliessen, dass Tripel Fj, V^, V^V^ dieser Art, selbst wenn wir Q 
das ganze Polygon P durchlaufen lassen, doch nur in endlicher Zahl 
auftreten. Unsere Untersuchungen von pg. 252 sagen nun aber un- 
mittelbar aus, dass hei den hier gedachten Verhältnissen das Centrum C^ 
entweder auf der Ellipse oder auf der zum Tripel Fj, Fg, V^V^ gehörenden 
Curve dritter Ordnung gelegen sein muss. 

Hiermit aber -ergiebt sich, die zufälligen Ecken betreffend, die 
folgende Antwort auf unsere am Anfang des Paragraphen gestellte 
Frage nach dem Vorkommen der Specialtypen: Der geometrische Ort 
aller in P gelegenen Centra 0,,, deren Polygone Specialtypen mit mehr- 
als- dreigliedrigen Cijclen von beiveglichen Ecken darbieten, setzt sich aus 
Segmenten der Ellipse und endlich vielen Stücken von Gurven der dritten 
Ordnung zusammen. Natürlich kommen Ellipsensegmente nur bei den 
auf der Ellipse eigentlich discontinuierlichen Gruppen zur Geltung. 
In wie weit dann die in P entfallenden Ellipsensegmente, und welche 
Stücke jener Curven dritter Ordnung am fraglichen geometrisclien Ort 
teilhaben, bleibt hier noch unentschieden; weiter folgende Unter- 
suchungen müssen in dieser Hinsicht näheren Aufschluss erteilen. 

Fassen wir unsere Ergebnisse über die festen und die beweglichen 
Ecken noch einmal in eins zusammen, so hat sich gefunden, dass der 
geometrische Ort aller Centra C^^ mit Polygonen von Specialtypen inner- 
halb des vorab gewühlten Polygons P aus endlich vielen Stücken von 
Geraden, der fundamentalen Ellipse sowie von Curven dritter Ordnung 
da' pg. 252 eingeführten Art zusammengesetzt erscheint Den weiteren 
Ausbau dieses Resultates vollziehen wir im übernächsten Paragraphen. — 



§ 16. Von der Veränderung der Normalpolygone bei Monodromie 

der Centren Cq. 

Es sollen nunmehr etwas näher die Veränderungen untersucht 
werden, welche ein Normalpolygon Pq bei stetigen Orts Veränderungen 
seines Centrums C,, oder kurz gesagt bei Monodromie desselben erfährt. 
Wir wollen in dieser Hinsicht zunächst einen Satz formulieren, welcher 
auch schon bei den vorangehenden Überlegungen implicite gelegentlich 
in Betracht kam: Bas Normalpolygon Pq der vorgelegten Gruppe F ändert 
sich hei stetigen Lagenänderungen des Centrums Cq selber stetig. Man 
kann diesen Satz entweder aus dem BegriflFe des Normalpolygons ab- 



II, 1. Theorie der Rotationsgruppen auf Grundlage der Normalpolygone. 271 

lesen oder auch direct beweisen, indem man durch Rechnung den Weg 
verfolgt, welche eine einzelne bewegliche Ecke E bei Monodromie von 
Cq beschreibt. 

Um die angedeutete Rechnung für die bewegliche Ecke E durch- 
zuführen, so mag E von den Polygonen P, P', P" der Centren C, C, C" 
umgeben sein, deren beide letzte aus dem ersten durch Fund V ent- 
springen mögen. Die Coordinaten von C seien 5;,, die von E aber y,. 
Hat der „Kreis" durch C, C, C" die Gleichung (8) pg. 249, so gilt 
«j = 2/3, «2 = — ^y-21 ^3 = !/n denn E ist der Mittelpunkt des Kreises, 
und letzterer wird durch den Pol der 1. c. durch a^Zy -\- a.^z., -\- a.^z.^ = 
dargestellten Geraden gebildet. Man setze nun die angegebenen Werte 
von «1, «2? ^[3 ^^ diö Kreisgleichuug ein und bringe zum Ausdruck, 
dass dieser Gleichung auch die durch V und V aus Zi entspringenden 
Coordinaten von C und C" genügen, was zwei weitere Gleichungen 
giebt. Ziehen wir dann die erste Gleichung von der zweiten und 
dritten ab, so entspringen unter Benutzung der pg. 255 erklärten Ab- 
kürzungen für V und V die Gleichungen: 



(1) I . , < 

Diese eiu-ein-deutige quadratische Beziehung regelt die Bewegung von E 
bei Monodromie von O^; unsere obige Behauptung ist hiermit evident*). 
Wir können nun C^ auf das im vorigen Paragraphen zu Grunde 
gelegte Polygon P einschränken. Gewinnen wir dann im Verlaufe der 
von Cq zu beschreibenden Bahnen einen Specialtypus für P^, so tritt 
Herabminderung der Seitenanzahl s von P^ ein, d. h. es ziehen sich 
zwei einander zugeordnete Pulygonseiten auf Punkte zusammen, und 
zugleich liegt Cq auf einer der Geraden, einem Ellipsensegment oder 
einem Segment einer Curve dritter Ordnung, aus denen wir innerhalb 
P den Ort aller Centra mit Specialtypeu zusammengesetzt fanden. 
Nach Überschreiten der Geraden bez. des Curvensegmentes gewinnt 7^„ 
wieder einen gewöhnlichen Typus. Andrerseits kann wegen der stetigen 
Änderung des Polygons Pq mit O^ ein Wechsel im Typus auch nur 
auf diese Weise, d. h. vermöge Durchgang durch einen Special- oder 
Ühergangstypus sich vollziehen. Die Einzelheiten der hierbei ein- 
tretenden Veränderungen des Polygons 7*, sollen nun besprochen werden. 



*) Die Fundamentalpunkte der Cii'inonatransfornmtion \\) sind die Fii- 
punkte der drei yubstitutionen F, V und \"V~^. Diesem Umstände entspricht 
die schon früher erkannte Thatsache, dass, wenn Q in einen dieser Fixpuukte 
hineiurückt, die bewegliche Ecke E auf einer Seite des zugehörigen B.'rciohos <',) 
unbestimmt wird. 



272 



II. Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 



Sind erstlich die beiden auf einander bezogenen Seiten /Sj und S^, 
welche sich auf Punkte zusammenziehen sollen, benachbart, so hat C,, 
eine in P gezogene Gerade zu überschreiten; denn jene Seiten haben 
ersichtlich einen festen Eckpunkt des Polygons gemein. Die Gestalt 



von Pß vor diesem Übergang ist 




in Figur 85 schematisch dargelegt. 
Die beiden Seiten Si und ^2 haben 
die feste Ecke e gemein und seien 
durch V auf einander bezogen. Die 
beiden anderen Ecken E^ und E^ 
dieserSeiten bilden bewegliche Ecken, 
welche mit E^^ vermöge V^ und Fg 
einen dreigliedrigen Cyclus liefern. 
Fig. 85. Bei einem Polygon von gewöhn- 

lichem Typus können nämlich nie- 
mals zwei feste Ecken benachbart sein, da sonst die zvvischenliegende 
Seite sowohl der rechts wie der links benachbarten Seite zu- 
geordnet wäre. 

In dem Augenblick, dass S^ und S.^ sich zu Punkten zusammengezogen 
haben und also die Coincidenz von E^ und jEg in e stattfindet, hat C^ 
die fragliche Gerade erreicht und E^ is^ in den mit e äquivalenten 
Fixpunkt e gerückt. Hat Cq die Gerade überschritten, so ist der Special- 
typus wieder in einen gewöhnlichen übergegangen. E^^ und E^ bleiben 
in Coincidenz und liefern die neue bewegliche Ecke ü"/, während bei 
der nunmehr gewonnenen festen Ecke e' zwei neue durch eine mit V 
gleichberechtigte Substitution V auf einander bezogene Seiten Si und 
S2' auftreten. Die hier in Betracht kommenden Substitutionen genügen 
den Relationen: 



(2) 



FF,F,= i, rv,v,= h 



Wir können demnach folgenden Satz formulieren: Überschreitet Cq die 
geradlinige Grenze zweier Bereiche Q, die zu den Ecken e und e der 
Siibstittition F, F' gehören, so tritt dabei im Erzeugendensystem die Modi- 
fication ein, dass V durch die gleichberechtigte Substitution F'= F~^FFj 
ersetzt ivird. Fj hat dabei die in Eigiir 85 angegebene Bedeutung. 

Sind zweitens die beiden Seiten Si und ^2, welche sich beim 
Wechsel des Typus auf Punkte zusammenziehen, nicht -benachbart, so 
überschreitet Cq in P ein Ellipsenscgment oder ein Segment einer Curve 
dritter Ordnung. Die Endpunkte E^, Ei, E^, E./ der beiden Seiten 
sind beweglich und bilden in der in Figur 86 angegebenen Weise mit 
i'a und iy dreigliedrige Cyclen. Die Bedeutung der Substitutionen 



II, 1. Theorie der Rotationsgruppen auf Grundlage der Normalpolygone. 273 



F, Fj, ... entnehme man aus den Angaben der Figur 86; es bestehen 
die beiden Relationen: 

(3) FFj V, = 1 und rV,' F/ = 1. 

Überschreitet nun Cq das in Rede stehende Curvenstück, so sind die 

Seiten S^ uud S.^ verschwunden und damit tritt die Substitution V ausser 

Wirkung. Dafür dehnen sich die 

die bisherigen Ecken E^ und E^' zu 

zwei neuen Seiten /S/, S2, die durch 

V auf einander bezogen sein mögen 

(vergl. den punktierten Pfeil in 

Figur 86). Merken wir an, dass 

de)' fragliche Übe^-gang für das Er- 

zmgendenaystem die Modifcation im 

Gefolge hat, ddss V durch V ersetzt 

erscheint; F~^ imd V werden dabei 

ans den beteiligten Substitutionen, ivie 

folgt, aufgebaut: 




Fig. 86. 



(4) 



y-'=v,v,^v;v;, v'=v;-^v,= v,'V7 



Es ist nun vor allen Dingen zu betonen, dass jeder Wechsel der 
gewöhnlichen Typen für die Nortnalpolygone unserer Gruppe F sich auf 
die erste oder zweite der hiermit bezeichneten Arten des Übergangs, und 
ewar durch einmalige oder iciederholte Anwendung , vollziehen lässt. Denn 
die Specialtypen mit is — 4) oder noch weniger Seiten, bei denen die 
eben beschriebenen Verhältnisse des Verschwindens eines Seitenpaares 
an zwei oder mehreren Stellen zugleich stattfinden, treten nur für 
endlich viele Centren Cq in P auf, welche gemeinsame Punkte der in 
P gezogeneu, wiederholt genannten Geraden oder Curveusegmeute sind. 
Diese Punkte lassen sich also bei Auderuug von C^ stets umgehen. 

Übrigens ist hervorzuheben, dass beim Verschwinden eines Sciteupaars 
und Ersatz desselben durch ein neues Paar an anderer Stelle sehr oft der 
bisherige Typus, nur in einer im allgemeinen veränderten Orientierung, 
sich wieder einstellt. Dies wird insbesondere beständig bei jenen 
niedersten Gattungen der Fall sein, welche nur einen gewöhnlichen 
Typus aufweisen. 

Man könnte als benachbart je zwei solche gewöhnliche Typen 
benennen, welche in einem Specialtypus von {s — 2) Seiten zu- 
sammenhängen. Dann hat man z. B. für die lunf Typen der Gattung 
(1, 2), wie man mit Hilfe von Figur 83 pg. 266 leicht feststellt, das 
folgende Schema: 



Kr i c k e-K 1 (■ i 11 , Automorplio l'unitiomwi l. 



\6 



274 ^I- Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 

III 

I<^ ^11— IV 

V 

Der Typus IV ist also nur mit II benachbart, I dagegen mit IIT und 
V u. s. w. Ma)i überzeuge sich des weiteren, dass z. B. beim Typus IV 
das Verschwinden des Seitenpaares 1 und 2 wieder zum gleichen 
Typus IV zurückführt. In dieser Weise bilden alle fünf Typen eine 
zusammenhängende Kette. 

In derselben Art stellen überhaupt bei jeder Gattung {p, n) die 
verschiedenen ihr angehörenden gewöhnlichen Typen eine zusammen- 
hängende Kette dar. Um dies zu sehen, benutzen wir das bereits 
oben (pg. 265) erwähnte und im folgenden Kapitel zu beweisende 
Theorem, dass alle von elliptischen Substitutionen freien Gruppen der 
Gattung (2), n) ein Continuum bilden. Bei continuierl icher Änderung 
der Gruppe und zugleich stattfindenden stetigen Bewegungen von Cq 
wird auch Fq nur stetige Formänderungen erleiden. Da für die einzelne 
Gruppe Centren mit Specialtypen einer Seitenanzahl ^ s — 4 stets 
nur vereinzelt auftreten, so hat es, wie wir bereits soeben ausführten, 
keine Schwierigkeit, diese Lagen mit Cq beständig zu meiden; und 
wir können dann doch noch mit Cq jedes Centrum von gewöhnlichem 
Typus erreichen. Hieraus ergiebt sich mit Rücksicht auf den pg. 264 
bewiesenen Satz, dass jeder im Sinne der analysis situs mögliche ge- 
wöhnliche Typus der Gattung {p, n) bei den Gruppen (p, n) ohne 
elliptische Substitutionen auch wirklich auftritt, das nachfolgende Re- 
sultat: Durch die beiden pg.272 u.f. besprochenen Arten des Typenwechsels, 
ivelche wir nur noch im Sinne der analysis situs zu handhaben brauchen, 
können aus einem einzelnen gewöhnlichen Typus der Gattung mittelbar 
alle übrigen hergestellt werden. In diesem Satze ist die Methode zur 
Aufstellung aller gewöhnlichen Typen der einzelnen Gattung {p, n) 
gegeben, welche wir oben (pg. 265) vorläufig erwähnten, und vermöge 
deren die damals für die Gattungen (1, 2) und (2, 0) mitgeteilten 
Resultate abgeleitet sind. — 

Specialtypen mit (s — 4) Seiten treten noch bei jeder Gruppe auf; 
sie gehören, wie wir schon andeuteten, zu solchen Centren Cq, welche 
Ecken der Einteilungen Q vorstellen oder sonst irgend wie zweien 
unter den in F gezogenen Geraden oder Curvenstücken angehören. 
Das Auftreten von Specialtypen mit einer um sechs oder noch mehr Ein- 
heiten (gegenüber den gewöhnlicJien Typen) verringerten Seitenanzahl Jmt 
man dagegen als etwas Farficuläres anzusehen; Gruppen, bei denen solche 
Specialtypeu vorkommen, könnte man etwa singulare nennen. Derartige 



I 



I 



II, 1. Theorie der Rotationsgruppen auf Grundlage der Normalpolygone. 275 

singulare Gruppen kommen in jeder Gattung vor. 80 können wir in 
der Gattung (1, 2) bis auf Sechsecke mit zwei mehrgliedrigen Cyclen 
fester Ecken und ohne bewegliche Ecken herabgehen. In der Gattung 
(2, 0) ist die denkbar niederste Öeitenanzahl acht; sie wird z. B. er- 
reicht von der durch ein reguläres Achteck mit Winkeln - und mit 

einander zugeordneten Gegenseiten definierten Gruppe, wobei sich alle 
acht Ecken zu einem einzigen Cyclus zusammenschliessen. Diese singulare 
Gruppe ist übrigens bekannt; sie ist als ausgezeichnete Untergruppe 
des Index 48 in der zum Schema (2, 3, 8) gehörenden Dreiecksgruppe 
enthalten (cf. „M." I. pg. 108) und entspricht derjenigen in der gewöhn- 
lichen Modulgruppe enthaltenen ausgezeichneten Congruenzgruppe achter 
Stufe, deren Substitutionen modulo 8 einer der Congruenzen: 

^-O' -O' <t)' <:) 

genügen (cf. „M." I pg. 652). 

Eine eingehende Behandlung der singulären Gruppen, welche dem 
allgemeinen Charakter unserer gegenwärtigen Untersuchungen nicht 
entsprechen würde, soll hier nicht gegeben werden. Wir haben diesen 
Gegenstand nur berührt, um später etwa auftretende singulare Gruppen 
sogleich bequem in die allgemeine Theorie einordnen zu können; übrigens 
steht zu hoffen, dass die weitere Durchbildung der Theorie dieser 
singulären Gruppen zumal in den niedersten Fällen 2^ füi" die Theorie 
der algebraischen Functionen Bedeutung gewinnt. 

§ 17. Von den „natürlichen" Diseontintiitätsbereichen der hyper- 
bolischen Rotationsgruppen erster Art, 

Eine besonders klare Anschauung der in den vorangehenden 
Paragraphen entwickelten Verhältnisse gewinnen wir hier endlich durch 
die nachfolgende Betrachtung, welche uns zu einer neuen und in- 
teressanten Gestalt der Discontinuitätsbereiche der hyperbolischen Rota- 
tionsgruppen erster Art hinführt. 

Wir lassen Cq von irgend einer Anfangslage aus alle diejenigen 
Lagen beschreiben, welche durch solche stetige Wege erreichbar sind, 
dass Pq niemals verminderte Seitenanzahl darbietet. Cq wird dabei 
einen zusammenhängenden Bereich T beschreiben, dessen gesamte 
Kandpunkte als Centren Cq Polygone von Specialtypen liefern. Eine 
erste unmittelbar ersichtliche Eigenschaft von T ist alsdann, dass T 
einen zusammenhümjenden Bcrcie/i darstellt, dessen PunJitc als Centren (\^ 
Poh/ffonc /', mit einem nnd denisciltcn Krsaujciidensyslcm liefern. Bei 

IK* 



276 II. Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 

Überschreitung der Begrenzung von T wird indes im allgemeinen eine 
Änderung im Erzeugendensystem stattfinden und zwar von der Art, 
wie sie im vorigen Paragraphen im Anschluss an die dortigen Formeln 
(2) und (4) beschrieben wurde. 

Vom Bereiche T können wir nun den wichtigen Satz zeigen, dass 
im Innern desselben niemals zwei vei~schiedene einander bezüglich F äqui- 
valente PimMe gelegen sind. 

Nehmen wir nämlich an, es gäbe innerhalb T zwei äquivalente 
Punkte C(, und Cq', so mag der zweite aus dem ersten durch die Sub- 
stitution V von r hervorgehen. Die beiden zugehörigen Polygone Pq 
und Pq, welche den gewöhnlichen Typus zeigen, sind einander con- 
gruent. Die Seiten des ersten bezeichnen wir durch Si, S^, . . ., S^q] 
die homologen Seiten von P^' seien Si , S2', . . ., S'2q. Möge Sk durch 
Vk in die zugeordnete Seite übergehen; die 2q zu Pq gehörenden 
Erzeugenden: 
(1) n, F2, F3, . . , F2, 

sind dann natürlich zu Paaren einander invers*). 

Die Erzeugenden von Pq gehen nun aus den Substitutionen (1) 
durch Transformation vermöge V hervor. Da aber P'o dieselben Er- 
zeugenden wie Pq liefert, so wird V die Substitutionen (1) abgesehen 
von der Reihenfolge in sich transformieren. Es giebt somit eine 
Potenz V^ mit endlichem, von null verschiedenen /n, welche jede ein- 
zelne Substitution (1) in sich überführt. Nun ist aber Vk nur durch 
eine solche Substitution in sich transformierbar, welche mit Vk einer 
und derselben cyclischen Gruppe angehört**). Da jedoch die Substitu- 
tionen (1) nicht alle der gleichen cyclischen Gruppe angehören, so 
folgt Vf = 1, und also ist V elliptisch. Für unsere Gruppe ist somit 
der Charakter w > 0. 

Wir begründen jetzt eine zweite Beziehung der Seiten von Pq auf 
die von Pq, indem wir Cq innerhalb T stetig in Cq' überführen. Geht 
hierbei Si in Sr über, so geht S^ in Sy+i, S-^ in 5,'+ 2, • • • über, da 
zwischendurch keine Seite verschwunden ist. Nun haben Pq und Pq 
als Normalpolygone von gewöhnlichem Typus je eine mit dem Fix- 



*) Eine etwaige elliptische Substitution der Periode zwei wird demnach im 
System (1) doppelt gezählt. 

**) Der Fixpunkt von V/. muss nämlich durch die transformierende Substitu- 
tion in sich übergeführt werden. Hieraus ergiebt sich die Behauptung des Textes 
unmittelbar, falls der Fixpunkt von V^^ innerhalb oder ausserhalb der Ellipse 
liegt. Bei parabolischen Vf. könnte man vermuten, dass die transformierende 
Substitution auch eine hyperbolische sein dürfte, deren einer auf der Ellipse ge- 
legener Fixpunkt mit dem von V^. coincidiert. Dies ist indessen nicht statthaft. 



II, 1. Theorie der Rotationsgruppen auf Grundlage der Normalpolygone. 277 

punkt vüu V äquivalente Ecke; mögen diese Ecken e und e heisseu. 
Bei dem eben bewerkstelligten stetigen Übergang von P^, in Pq wird 
dann die erste dieser Ecken e in die zweite e übergeführt werden. 
Aber auch bei der Transformation V von P„ in P^' muss e in e über- 
gehen, da e der einzige mit e äquivalente Punkt auf dem Rande von 
Py' ist. Es ist also evident, dass v = 1 ist, d. h. dass es sich beide 
Male um die gleiche Art der Seitenzuordnung handelt. 

Bei der Überführung von C^ nach C^' haben nun die Erzeugenden 
keine Änderung erfahren; S^' wird also gleichfalls durch }\ in die zu- 
geordnete Seite von P^' übergeführt u. s. w. Dies besagt, dass die Sub- 
stitutionen (1) nicht nur bis auf die Reihenfolge, sondern einzeln durch 
V in sich transformiert werden. Es folgt somit, dass V= 1 ist, und 
dass also Q und Cq coincidieren ; unsere Behauptung ist damit bewiesen. 

Wir construieren nun, indem wir über die Berandung von T hin- 
übergehen, die hier sich anreihenden analogen Bereiche T', T", . . . 
Dabei bemerke man vor allem, dass zwei äquivalente Anfangslagen 
von Cq zu äquivalenten Bereichen T hinführen. Offenbar entspringt ein 
ganzes Nets von Bereichen T, icelches durch alle Substitutionen der Gruppe 
in sich transformiert ivird. und welches denjenigen Teil der projectiven 
Ebene bedeckt, der auch von einem beliebigen zur Gruppe gehörenden Netze 
von Normalpolygoyioi id)erspannt ist. Das so gewonnene Netz bildet für 
die einheitliche Gesamtauffassung der Theorie der Xormalpolygone 
zweifellos die einfachste Grundlage. 

Vor allem bemerke man, dass die Randcurven der Bereiche T ge- 
rade von den gesamten Centren (?„ mit Polygonen von Specialtypcn geliefert 
werden. Es handelt sich hier einmal um alle jene Geraden, welche 
durch Übereinanderlagerung aller n Einteilungen in Bereiche (^ geliefert 
werden; dabei gehört jede Gerade dem Netze der T in derselben Aus- 
dehnung an, wie dem bezüglichen Netze der Bereiche (^. Die noch 
übrigen Randcurven der T werden von der fundamentalen Ellipse sowie 
von jenen Curven dritter Ordnung geliefert, welche wir oben gewissen 
Tripeln erzeugender Substitutionen zugeordnet fanden. Eben aus dem 
Netz der Bereiche T geht nun hervor, welche Curven dritter Ordnung 
und in uelcher Ausdehnung die einzelne Curve dritter Ordnung sowie die 
Ellipse Ccntra Cq für Polygone mit Specialtypcn liefert. Wir werden 
hierfür sogleich ein besonderes Beispiel betrachten. Übrigens ergiebt 
sich im Einzelfall aus der Art der bei den Bereichen T auftretenden 
Ecken auch, ob eine singulare Gruppe vorliegt oder nicht. 

Wir benutzen nun den pg. 270 bewiesenen Satz, dass ein etwa 
anfänglich ausgewähltes l'olygun P nur von endlich vielen (ieraden 
bez. Curvensegmenten der genannten Art durchzogen wird. Da übrigens 



278 II- Ausführliche Theorie tler Polygongruppen. 

der einzelne Bereich T niemals zwei äquivalente Punkte enthält, so 
entspringt das wichtige Ergebnis: Es giebt immer nur eine endliche 
Anzahl, etiva ^, inäquivalente Bereiche T; irgend ^ solche Bereiche, 
tvelche mit einander zusammenhängen, hilden einen Discontinuitätshereich 
der Gruppe. Jeden so entspringenden Bereich wollen wir als einen 
„natürlichen Biscontinuitäfshereich" der Gruppe benennen. 

An einen ersten Bereich Tq kann mau nur auf eine endliche An- 
zahl von Arten (^ — 1) weitere inäquivalente Bereiche Tq, Tq, ..., Tq'~^^ 
hängen. Es ergiebt sich somit, falls man äquivalente Bereiche nicht 
als verschieden ansieht, das wichtige Resultat: Ein natürlicher Dis- 
continuitätshereich der Gruppe lässt sich nur auf eine endliche Anzahl von 
Arten wählen; seine Randcurven sind feste, mit F eindeutig gegebene Linien. 
Eben in diesen letzten Eigenschaften ist ein wesentlicher Vorzug der 
natürlichen vor sonstigen Discontinuitätsbereichen unserer Gruppe erster 
Art zu sehen. 

Bei zwei äquivalenten Normalpolygonen geht das Erzeugenden- 
system des einen aus dem des anderen durch Transformation vermöge 
einer gewissen Substitution hervor. Solche zwei Erzeugendensysteme 
mögen wir für den Augenblick als nicht wesentlich verschieden an- 
sehen*). Dann gilt offenbar der Satz: Die Anzahl der verscJiiedenen von 
den Normalpolygonen der Gruppe F gelieferten Erzeugendensysteme ist ^ ^. 

Wir fügen hier endlich noch eine Bemerkung über solche Gruppen 
an, welche der Erweiterung durch Spiegelungen fähig sind. Liege 
eine derartige Gruppe vor, so wird das Netz der Bereiche T derselben 
auch durch diese Spiegelungen in sich übergehen, da es gegenüber einer 
Transformation der Gruppe den Ch arakter der Covarianz besitzt (cf. pg. 256). 
Es ist aber die Frage, ob die Symmetriegeraden direct unter den Rand- 
curven der Bereiche T enthalten sind oder nicht. Dies ist jedenfalls 
nicht stets der Fall; denn man wird z. B. sofort bei den in Fig. 84 
pg. 267 gegebenen ersten sieben Typen der Gattung (2, 0) sich selbst 
symmetrische Polygone angeben, deren Centrum Cq somit auf der 
Symmetrielinie liegt, ohne dass ein Specialtypus vorliegt. Man ziehe 
andrerseits den Fall der Modulgruppe heran (cf. Fig. 27 pg. 110), wo 
die Bereiche T direct die Elemeutardreiecke sind, und wo also das 
Netz der T gerade durch die gesamten Synimetrielinien geliefert wird. 

Um wenigstens zu entscheiden, wann eine Symmetriegerade G 
unter den Randcurven der Bereiche Q auftritt, wähle man Cq auf G. 
Das zugehörige Polygon P„ muss dann zwei bezüglich G symmetrische 
feste Ecken c und e haben, die zu der gleichen Classe gehören und 

*) Diese Auffassung wird ihren einfachsten Ausdruck bei den invarianten- 
theoretischen Untersuchungen des folgenden Kapitels finden. 



II, 1. Theorie der liotationsgruppen auf Grundlage der Normalpolygooe. 279 

also durch eiue Substitution von F correspondieren. Man kann auch 
.sagen: P^ muss eine feste nicht auf G gelegene Eclie e haben, welche in 
der eriveiterten Gruppe F Fixpnnld einer cyclischen Gruppe zweiter Art ist. 
Unter diesen umständen ist offenbar e mit der bezüglich G symme- 
trischen Ecke e' innerhalb F äquivalent. 

Die Discussion der Frage, ob vielleicht Symmetriegerade auch als 
Bestandteile zerfallender Curven dritter Ordnung unserer Art auftreten 
können, lassen wir hier bei Seite. — 

Es wird nun am Platze sein, die vorangehenden Entwicklungen 
durch ein einfaches Beispiel zu erläutern. Wir wählen eine besondere 
der Gattung (0, 4) angehörende Gruppe, auf welche wir im nächsten 
Abschnitt noch ausführlich zurückkommen. Die Gleichung der ab- 
soluten Ellipse setzen wir in die Gestalt 11 is^^ — 2^^ — ^"3^=0 und 
fragen nach allen ganzzahligen unimodularen ternären Substitutionen 
erster oder zweiter Art, welche die Ellipse in sich transformieren. 
Dieser Ansatz führt, wie sich in dem nächsten Abschnitte zeigen wird, 
zu einer hyperbolischen Rotationsgruppe zweiter Art F, deren Dis- 
continuitätsbereich ein aus vier Symmetriegeraden gebildetes Viereck ist. 

Um die Verhältnisse zuerst in der g- Halbebene darzulegen, so 
setzen wir am zweckmässigsten : 



(2) 



e = 



+ iynz^^—2,'-z. 



z^yn — z. 




Fig. 87 



Der Discontinuitätsbereich der (iruppe F niniiut alsilaim die Gestalt 
des hierneben in Figur 87 mit[[den Ecken t\, c^, c^, c^ versehenen Vier- 



280 



II. Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 



ecks an, welches bez. die Winkel — , — , j, — aufweist. Die Werte 
von t, in den vier Ecken sind der Reihe nach: 



3+i/n 



h 



|/ii + iys 



l-f z 



1/2 ' ' b—Vn — 3+yii 

Die zu den vier Ecken e^, . . ., e^ gehörenden Substitutionen sollen 
Fj, . . ., F4 heissen und so gewählt sein, dass sie die in Figur 87 an- 
gedeuteten Pfeilrichtungen haben; es ist alsdann: 



(3) 



V^ = 



y.= 



0, 

3 — yli 



3+Vll 



]/2 





1 — 1/11 5 + J/ll 
2 ' 2 

— 5 + yTi 1 -I- Vii 



n 



n = 



1 


1 \ 


K2' 


y~> 


l 


1 


V2' 


KäJ 



1, —3—1/11 



^_3+]/ll, -1 

Ausserdem haben wir noch die beiden in Figur 87 durch V und F' 
bezeichneten hyperbolischen Substitutionen nötig: 



(4) F= 



3 + yTi 3 + |/ii ' 
9 ' 9 



Vii 



1/11 



r 



F': 



l 



— [/2 
- 3 + yil 

yä 



3 4- yii ) 



y2 
-yä 



Dieselben sind offenbar an die Substitutionen (3) durch die folgenden 
Relationen geknüpft: 

(5) v=v,v,= vr'vr\ v'=v,v,= vr'vr\ 

In den Zi geschrieben müssen die sechs Operationen F,, . . ., V 
ganzzahlig ausfallen; in der Tliat werden wir hier zu folgenden For- 
meln geführt: 



(6) 





10, 


- 3, 











1, 


0, 




y^ = 


33, 


-10, 





, v,= 


0, 


0, 1 


) 




0, 


0, 


— 1 




0, 


- 1, 






1^, 


- 3, 


— 2 




21, 


-6,-2 


v,= 


22, 


- 6, 


— 3 


, y.= 


66, 


— 19, —6 




33, 


- 8, 


- 6 




22, 


— 6, —3 




10, 


0, - 


3 






12, 


-3,-2 


V = 


33, 


0, - 


10 


i 


V' = 


33, 


— 8, —6 




0, 


1, 









- 


-22, 


6, 


3 



II, 1. Theorie der Uotationsgruppen auf Grundlage der Normalpolygone. 2^1 
Die Coordiuate» Zi der Ecken Cj, . .., c^ geben wir in folgender Weise an: 

(7) e, = (l,3, 0), e,= {\,0,i)), e,= {b,n,\\), r,= (l, 3, 1). 

Wir markieren auch noch die zu V und V gehörenden Fixpunkte c 
und e durch: 

(8) e = (l,3, 3), c'=(3, 11,0). 

Das in der gleich folgenden Figur 88 durch die Mitte der Ellipse 
ziehende Axenkreuz liefert ein Cartesisches System, das wir durch: 

(9) Ä'i •.z^:z^ = \:(x + y):x 

zu definieren haben. 

Wenn wir nach diesen Vorbereitungen nunmehr zu un.seren eigent- 
lichen Fragen übergehen, so ist nacli den vorhin über die Öymmetrie- 
linien gemachten Bemerkungen zuvörderst deutlich, dass die Uber- 
eiuanderlagerung der vier hier in Betracht kommenden Einteilungen 
in Bereiche Q das Vierecknetz der Gruppe liefert. Die zur Geltung 
kommenden Stücke von Curven dritter Ordnung*) werden wir daraufhin 
nur noch in einem einzelnen Viereck, etwa dem der Ecken e^, ..., 64, 
zu zeichnen brauchen; denn in allen übrigen Vierecken wiederholen 
sich dieselben Verhältnisse in symmetrischer bez. congruenter Weise. 

Liegt nun ü^ innerhalb des öfter genannten Vierecks, so ist das 
vom zugehörigen Normalpolygon P^ gelieferte System der fünf Er- 
zeugenden (cf. pg. 263) entweder Fj, . . ., F^, F oder Fj, ..., Fj, V. 
Der Austausch von F und F' findet statt, falls Cq auf der zum 
Tripel F, Fi, VZ gehörenden Curve dritter Ordnung liegt. Es ist 
dies die einzige Curve dritter Ordnung, welche im Viereck der vor- 
liegenden Gruppe zur Geltung kommt. Natürlich gehört dieselbe auch 
den drei Tripeln an: 

(F-\ V7\ F3), (r, vv\ F), (r-\ Vi\ F.). 

Wie man auf Grund von (5) beweist, bilden diese drei Tripel im Verein 
mit F, Fl, VT^ ein System von der Art (4) pg. 257. Wir zeigten in 
der That bereits dort, dass zu solchen vier Tripeln stets nur eine und 
dieselbe Curve dritter Ordnung gehört. 

Als Gleichung unserer Curve dritter Ordimng finden wir aus (H) 
vermöge der früher entwickelten Regeln: 

— 3 ^2^3' "f" 33 -, .^jj^j = 0. 
*) Die Ellipse bleibt hier oflfeubar ausser Betracht. 



282 



11. Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 



Der Verlauf dieser Curve dritter Ordnung ist hierneben in 
Figur 88 angedeutet; die beiden Stücke der Curve, welche wirklich 
Centren Cq mit Normalpolygonen von Specialtypen liefern, sind, ebenso 




Fig. 88. 



wie die das Viereck begrenzenden geradlinigen Kanten (welche die- 
selbe Bedeutung haben), in der Figur stärker markiert. Dass unsere 
Curve dritter Ordnung durch die sechs Punkte Cj, c^, e.^, e^, e, e 
hindurchgeht, folgt auch aus der allgemeinen Theorie der Normal- 
polygoue (pg. 255, erster Satz). 

Durch Anfügen eines symmetrischen Vierecks an das eben heraus- 
gegriffene Ausgangsviereck bilden wir einen Discontinuitätsbereich 
unserer Gruppe erster Art F. Man sieht, dass derselbe aus seclis Be- 
reichen T besteht. Gleichwohl giebt es nur vier wesentlich verschiedene 
Erzeugendensysteme; denn, wie man leicht bemerkt, liefern im ein- 
zelnen Viereck die beiden zweieckigen Bereiche T das gleiche Er- 
zeugendensystem. 

Die hiermit dargelegten Verhältnisse kehren natürlich entsprechend 
bei allen durch Kreisbogenvierecke zu definierenden Gruppen wieder. 
Hat man insbesondere ein reguläres Viereck, so zerfällt die Curve 
dritter Ordnung in die beiden Diagonalen und die Polare des Vierecks- 
mittelpuuktes. 



11, 1. Theorie der Rotationegruppeu auf Grnndlage der Normalpolygone. 283 

Es wäre nicht uninteressant, auch noch für die weiter folgenden 
Gattungen (0, 5), (1, 1), ... der hyperbolischen Rotationsgruppen 
Beispiele heranzuholen. Indessen würde uns dies von anderen wich- 
tigen Untersuchungen zu weit abführen. Wir bringen demnach hier 
die Theorie der Normalpolygone zum Abschluss. Au die hyperbolischen 
Rotationsgruppeu der zweiten Art knüpfen wir hier keine besondere 
Betrachtungen mehr. Die im ersten Abschnitte über diese Gruppen 
gegebenen Ansätze im Verein mit der soeben entwickelten Theorie 
der Gruppen erster Art liefern eine für die späteren Anwendungen 
ausreichende Basis. 



Zweites Kapitel. 

Die kanonischen Polygone und die Moduln der hyperbolischen 

Rotationsgruppen. 

Die Theorie der elliptischen und parabolischen Rotatiousgruppen 
konnte im voraufgehenden Kapitel in dem Sinne zum Abschluss ge- 
bracht werden, dass wir alle hierher gehörenden Gruppen durch ihre 
Discontinuitätsbereiche ohne Schwierigkeit anzugeben vermochten. Da- 
gegen wurde ein analoger Abschluss für die Theorie der hyperbolischen 
Rotationsgruppen noch nicht erreicht. Es hatte dies darin seinen Grund, 
dass wir auf der einen Seite eine heyrenste Anzahl elliptischer und 
parabolischer Ilotationsgruppen*) besitzen, während demgegenüber eine 
unendliche Mannigfaltigkeit verschiedener hyperbolischer Rotations- 
gruppen existiert. Wir werden die Theorie der hyperbolischen Rota- 
tionsgruppen nur erst dann als abgeschlossen ansehen dürfen, wenn 
wir den vollen Überblick über deren Manni(jfalii<jlieit gewonnen haben 
und diese Mannigfaltigkeit etwa mit analytischen Hilfsmitteln zu be- 
herrschen verstehen. 

Diese Aufgabe werden wir nun durch Heranziehung der Jcanonischen 
Folyyone unserer Gruppen lösen können (cf. pg. 182 ff.). Wir beschränken 
uns dabei natürlich wieder auf Gattungen endlicher Charaktere {p, n) 
und legen auch hier die projective Ebene den geometrischen Über- 
legungen zu Grunde. Die Theorie der kanonischen Polygone der hyper- 
bolischen Rotationsgruppen gewinnt hier eine Fortbildung, welche von 
grundlegender Bedeutung für die Weiterentwicklung unserer Unter- 
suchungen ist. 

Die analytischen Hilfsmittel, vermöge deren wir die Mannigfaltig- 
keiten der hyperbolischen Rotationsgruppen definieren werden, gewinnen 
wir in gewissen „Moduln''' der kanonischen Polygone, welche als solche 
mittelbar auch zu Modidn der Gruppen werden. Die Theorie dieser 
Moduln ist gleichfalls von grosser Tragweite und wird zumal bei deji 

*) Hierbei gelten Gruppen, die in einander transformierbar sind, natürlich 
als nicht wesentlich verschieden. 



II, 2. Kanonische Polygone und Moduln der hyperbolischen Rotationsgruppen. 285 

späteren functionentheoretischen AnwenSungen unserer Untersuchungen 
eine wichtige Rolle spielen. 

Es sei noch hinzugesetzt, dass wir auch hier bis auf weiteres 
einzig von Gruppen der ersten Art handeln. 

Die im vorliegenden Kapitel zur Darstellung kommenden Unter- 
suchungen sind erst in letzter Zeit durch den Verf. ausgeführt; vor- 
läufige Mitteilungen über die Resultate sind in den beiden Noten ge- 
geben: „Über die Discontinuitätsher eiche der Gruppen reeller linearer Sub- 
stitutionen einer complexen Variabelen"*) und ,/Ül)er die TJworie der 
cmtomorpjhen Modtdgruppe^i^' **j. 

§ 1. Einleitende Bemerkungen. Die kanonischen Polygone der 

Gattung (0, 3). 

Die Theorie der kanonischen Discontinuitätsbereiche ist oben 
(pg. 182 £F.) unter Zugrundelegung der ^- Kugel entwickelt. Es bietet 
aber keinerlei Schwierigkeit dar, die dortige Darstellung im Falle der 
hyperbolischen Rotatiousgruppen auf die projective Ebene zu beziehen. 
Es tritt hier sogar die Vereinfachung eiu^ dass das kanonische Polygon P^ 
unter allen Umständen einfach zusammenhängend ist, was auf der 
^-Kugel keineswegs immer der Fall sein würde. Sind unter den n festen 
Eckpunkten***) von P^ auch hyperbolische enthalten, so wird Pq mit 
einer entsprechenden Anzahl von Ecken über die Ellipse hinausragen. 
Die gesamten zufälligen Ecken von P^ werden wir zweckmässiger Weise 
in das Ellipseninnere legen, was keine Schwierigkeit hat. 

Auf der geschlossenen Fläche lassen wir die p Schnitte c, wie 
auch schon pg. 203 geschah, in die Kreuzungsstellen der bezüglichen 
Schnitte a, b einmünden. Wir gewinnen so ein Polygon P^, von (2n -f- 6^) 
Seiten, von denen wir seinerzeit nur erst angeben konnten, dass sie 
stetig gekrümmte Linien sind, die alsdann durch die Erzeugenden der 
Gruppe auf einander bezogen waren. An dieser Stelle setzt die neue 
Untersuchung ein; wir werden zeigen können, dass ivir in allen Fällen 
(las mit {2n -\- 6p) Seiten versehene Polygon Pq geradlinig und mit 
ausschliesslich concaven Winkeln ivählen können, und eben dies ist 
der Satz, welcher zur Grundlage für die Theorie der hyperbolischen 
Rotationsgruppen wird. 

*) Göttinger Nachrichten vom 19. Oktober 1895. 
**) Göttinger Nachrichten vom 2b. April 1896. 

***) Die ]5enennungL'M der „ziiFälligen" und „festen" Kcken übertnigeu wir von 
ilen Normiilpolygonun in sofort verständlicher Weise auf beliebige andere Polygone 
unserer Gruppen. 



I 



286 II- Ausführliche Theorie der Polygongruppeu. 

Den angedeuteten Satz #erclen wir auf iuduetivem Wege nach- 
weisen und beginnen mit denjenigen Gruppen, welche sich aus zwei 
Substitutionen erzeugen lassen. Pq liefert nach pg. 185 zunächst die 
(ji _|_ 3^,) erzeugenden Substitutionen: 

V„ V„ ..., F„, F„,, F,,, Fe,, ..., F„^, F,^, F^^; 

doch konnten die Substitutionen Vc durch die F«, F,. ausgedrückt 
werden. Zwischen den (n + 2 2^) Substitutionen F, F„^, F^r. bestand 
alsdann die Relation: 

n /y 

1 = 1 Ä = 1 

Erinnern wir uns nun, dass für ^ = notwendig w>3 und f ur jp = 1 
desgleichen w ^ 1 ist, so ergiebt sich sofort, dass die Gruppen der 
beiden Gattungeti (0, 3) und (1, 1) die einzigen hyperholischen Rotations- 
gruppen sind, welche sich aus je mvei Suhstitiitionen erzeugen lassen. — 

Liege nun zuvorderst eine Gruppe F der Gattung (0, 3) vor, so 
bilden wir ein zugehöriges Normalpolygon P„ von gewöhnlichem Typus. 
Nach pg. 265 ist dasselbe, wie hierneben in Figur 89 ausgeführt ist, 
ein Seckseck mit drei festen und drei beweglichen Ecken. 

Hier ist, wie man sieht, das Normalpolygon Pq 
direct auch ein Icanonisches Polygon; der Satz über 
die Möglichkeit der geradlinigen Begrenzung und 
der Concavitüt der Winkel ist somit für die Gattung 
(0, 3) ohne weiteres evident. 

Die in Figur 89 noch näher definierten Sub- 
stitutionen Fl, F2, F3 sind durch die Relation 
Flg. 89. F, Fj F3 ^ 1 verknüpft. Indem wir auf Grund 

derselben etwa F3 durch Fj und Fg ausdrücken, 
bleiben diese beiden letzteren Substitutionen F, und Fg als Gruppen- 
erzeugende. Die beiden Fixpunkte von F, und J ^ '^i"^ ^^ ^^^ Figur rj 
und e., genannt*); es wird alsdann e, innerhalb, auf oder ausserhalb 
der Ellipse liegen, je nachdem F, elliptisch, parabolisch oder byper- 
bolisch ist. Man bemerke indessen, dass die dem Polygon P(, angehörende, 
in Figur 89 gezogene Vcrbindungsge^'ade e^l nottvendig ganz oder teihveise 
innerhalb der Ellipse gelegen ist. Dies geht aus der bekannten Gestalt 
des Polygonnetzes unmittelbar hervor. Man vergegenwärtige sich nur, 
dass, selbst wenn das Netz mit hyperbolischen Ecken über die Ellipse 




*) Unter Fixpunkt einer Substitution schlechthin meinen wir im hyper- 
bolischen Falle hier wieder den ausserhalb der Ellipse gelegenen Fixpunkt. 



II, 2. Kanonische Polygone und Moduln der hyperbolischen Rotationsgruppen. 287 

hinausragt, innerhalb der einzelnen solchen Ecke, das zugehörige Ellipseu- 
segment eingeschlossen, weitere Fixpuukte der Gruppe nicht auftreten. 

Wir wollen nun ganz allgemein die Substitutionenpaare in drei 
^,Species" einteilen; und zwar teilen wir ein Paar Fj, V2 der ersten, 
zweiten oder dritten Species zu, je nachdem die Verbindungsgerade 
der beiden Fixpunkte die Ellipse in zwei Punkten schneidet, dieselbe 
nicht trifft oder berührt. Dann gilt offenbar der Satz: Das Erzmyenden- 
paar F,, Fg unserer Gruppe F der Gattung (0, 3) stellt ein Paar der 
ersten Species dar. Zur Orientierung fügen wir sogleich vorgreifend 
hinzu: Das Erzeugendenpaar einer Gruppe (1, 1) stellt ein Paar der 
zweiten Species vor; aus einem Paar der dritten Species aber kann 
man stets infinitesimale Substitutionen erzeugen*), ein solches Paar 
kann also bei unseren Gruppen überhaupt nicht vorkommen. 

Man verstehe nun unter F3 die Spiegelung an der Geraden e^o] 
Kj hat für das Ellipseninnere direct den Charakter einer Spiegelung, 
da das Paar Fj, V2 zur ersten Species gehört. Durch Fj werden die 
Substitutionen F^ und Fg je in ihre inversen Substitutionen trans- 
formiert (cf. „M." I pg. 200 ff.): 

a) %r,v,= VY', r,v,v,= v-K 

Die Gruppe F ist somit der Erweiterung durch F3 auf eine Gruppe 
zweiter Art F fähig. Dabei wird F auch die beiden Operationen: 

(2) V,= VV'%, V\=V,Vz 

enthalten, welche die Spiegelungen au den Geraden e^e^ und c, e^ dar- 
stellen. Letzteres geht einfach daraus hervor, dass z.B. durch Fo, wie 
man leicht zeigt, sowohl Fi wie F3 = F7 V^ in ihre inversen Sub- 
stitutionen transformiert werden. Auf Grund der Gleichungen: 

(3) Fi=F.Fs, V,= W%, V,= T\V, 

können wir Fj , F2, F, als Erzeugende der Gruppe F wählen. Zu- 
sammenfassend haben wir das Resultat: Eine (intppe der luütumj (0, .'i) 
ist stets der Erweiteruwj auf eine Gruppe zweiter Art fähig, und zwar 
gelangen wir auf diese Weise zu den hehannten regulär-symmetrischen Drcirck- 
netzen, tvelche für den Fall, dass keine der Feien e^, e.,, e^ ausserhalb der 
FAlipse liegt, bereits in „M." I pg. 10^ ff. ausführlich betrachtet wurden. 
Ditscm von „M.'' 1 her bekannten Falle reihen sicli liier drei weitere 
an, je nachdem eine, zwei oder alle drei Ecken aussi'rhalb der Ellipse 

*) In diesem Falle ist nämlich ^j ' ^0 J^, ^« ' parabolisch und li:it lieu Fix- 
l>iinlvt mit K, und I., auf der Fdlipse gemeiusaiu (cf. pj^. llf»). 



288 IT- Ausführliche Theorie der Polygongruppen 

gelesen sind. Dass dabei die einzelne Seite des Dreiecks stets in das 
Ellipseninnere eindringt, bez. dasselbe durchdringt, betonten wir bereits. 
Bei der Einfachheit der vorliegenden Verhältnisse erscheint es unnötig, 
die Lage des Dreiecks gegenüber der Ellipse in den vier unterschiedenen 
Fällen noch näher zu erläutern (vergl. jedoch weiter unten § 11). 

Übrigens sei hier noch eine Bemerkung über die Relation Fj ¥.,¥^=1 
angefügt. Wir können die Bedeutung derselben dahin formulieren, dass 
ihrzufolge unser Elcmentardreieck, um seine Ecken e^, e^, e^ nach einander 
im positiven Sinne durch die doppelten DrciecJiSwinJcel gedreht, seine ur- 
sprüngliche Lage wieder annimmt. Für sphärische (und damit für ebene) 
Polygone wurde dieser Satz wohl zuerst von Hamilton ausgesprochen*). 

§ 2. Die kanonischen Polygone der Gattung (1,1) in ihrer ersten 
Gestalt (als geradlinige Vierecke). 

Nach pg. 286 haben auch noch die Gruppen der Gattung (1,1) 
die Eigenschaft, jeweils aus zwei Substitutionen erzeugt werden zu 
können. Sei nun eine Gruppe F dieser Gattung vorgelegt, so besitzen 
die zugehörigen Polygonnetze eine Classe fester Ecken, für welche 
wir die Einteilung in Bereiche Q (cf. pg. 258) heranziehen. Wählen 
wir das Centrum 6'(, in irgend einer Ecke dieses Bereichuetzes, so wird 

das zugehörige Normalpolygon (s — 4), d.h. 
sechs Seiten haben. Von den sechs Ecken 
sind drei zufällig und liefern als solche einen 
Cyclus, während die übrigen drei einen Cyclus 
>€' fester Ecken bilden, wie ohne weiteres aus 
der allgemeinen Theorie (pg. 261 ff.) hervor- 
geht. Man stellt sofort fest, dass jede Seite 
des Sechsecks ihrer Gegenseite zugeordnet 
ist; denn keine andere Art der Zuordnung 
liefert zwei dreigliedrige Eckencyclen. 
Das gewonnene Sechseck, welches als Normalpolygon lauter cou- 
cave Winkel hat, möge, wie in Figur 90 angedeutet ist, die drei festen 

*) Man vergl. Hamilton, Elemente der Quaternionen, deutsche Übersetzung 
von Paul Glan (Leipzig, 1882), pg. 547 des ersten Bandes. Siehe auch Thomson 
und Tait, Handbuch der theoretischen Physik, deutsche Übersetzung von Helm- 
holtz und Wertheim (Braunschweig, 1871), erster Teil des ersten Bandes pg. 76. 
Die fragliche Beziehung zur sphärischen Trigonometrie ist übrigens von Klein 
wiederholt in Vorlesungen hervorgehoben (siehe z. B. die autographierten Vor- 
lesungen über lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung vom Wintersemester 1890, 
1891 pg. 20 ff.); im Anschluss hieran vergleiche man endlich die Dissertation von 
Schilling, Beiträge zur geometrischen 'Iheoric der Schwarz' sehen s- Function, 
Mathem. Anualen Bd. 44, pg. 168 (1893). 




II, 2. Kanonische Polygone und Moduln der hyperbolischen Rotationsgruppen. 289 

Ecken e, e', e" haben. Unter den drei zugehörigen Erzeugenden sind 
in der Figur F« und F« besonders bezeichnet. Man trenne nun ver- 
mittelst der Diagonalen ee und e e' vom Sechseck zwei Dreiecke ab und 
füge sie durch Ausübung von Fj" bez. Y'^ links wieder an. Wir 
gewinnen solcherweise als Discontimiitätshereich der G-ruppe F ein gerad- 
liniges Viereck der Ecken e, e, e", e", wie in der Figur 90 näher aus- 
geführt ist. Das Viereck heisse P^, und führe zu dem Vierecknetze 
Pq, Pj, P2, . . .; die Gegenseiten von P^ sind durch die Erzeugenden 
Va, V(, auf einander bezogen, und die vier Ecken bilden einen ein- 
zigen Cyclus. 

Besonders präcis lässt sich der Übergang vom Netze der Sechs- 
ecke zu demjenigen der Vierecke dahin bezeichnen, dass man sagt: 
Im ersten Sechseck sind die beiden Diagonalen ee und e e zu ziehen, 
und die gleiche Construction ist in allen übrigen Sechsecken zu nieder- 
holen; nimmt man demnächst die gesamten Sechseckseiten fort, so restiert 
direct das Vierecknetz. In dieser Weise werden wir auch weiterhin die 
erlaubten Abänderungen der Polygone meist vollziehen können. 

Statt die Erzeugenden F«, Vi> nach der in Figur 90 gegebenen 
Vorschrift zu wählen, könnte man sie einzeln oder zugleich durch 
ihre inversen Substitutionen ersetzen, und man könnte auch ihre 
Reihenfolge umkehren. Man kann dieserhalb das Erzeugeudeusystem 
F„, F, beim einzelnen Viereck stets in acht verschiedenen Weisen in 
Ansatz bringen. In Figur 90 ist die Anordnung so getroffen, dass die 
Pfeilrichtung von Va diejenige von V,j von ihrer linken zur rechten 
Seite durchsetzt. Halten wir hieran fest, so würden nur noch vier 
Arten, das Erzeugendensystem zu wählen, vorliegen; späterhin, wo 
wir an Stelle der Vierecke mit (kanonischen) Sechsecken arbeiten, 
werden wir geradezu Eindeutigkeit erzielen können. 

Die Ecken e, e, e", e" des Vierecks Po seien die Fixpunkte der 
innerhalb F gleichberechtigten Substitutionen F,-, Vä, Vc', IV- Die 
Darstellung dieser Substitutionen in F,, F, ist: 

I F = FF„-' IT' r«, f; = Va F V-' Vo-\ 
^ j f;'= Vo-' f„ f v-\ vr = F.-' ir' Va f. 

Man hat zu unterscheiden, ob die Substitutionen Fe, ... elliptisch, 
parabolisch oder hyperbolisch sind. Im ersten Falle liegt das Viereck P^ 
[i gänzlich im Innern der Ellipse, im zweiten ist es der Ellipse eiu- 
'^eschrieben, und endlich im dritten Falle ragt es mit vier hyperbolischen 
Kcken in das Ellipsenäussere hinaus, wobei alsdann jede Seite des 
Vierecks eine Ellipsensecante vorstellt. Die Analogie zum Perioden- 

F ricku - K lo in , Autoniori>lii' FiinctlouiMi. I. 19 



290 !!• Ausführliche Theorie der Polygongruppea. 

Parallelogramm der parabolischen Rotationsgruppen wird man sofort 
erkannt haben; doch besteht der wesentliche Unterschied, dass die 
Ecken unseres jetzigen Vierecks P^ nicht-zufällig sind. 

Wir können nun hier sofort den Anschluss an die Theorie der 
Tcanonischen Polygone gewinnen. In der That stellt ja das einzelne 
Vierecli direct einen kanonischen Bereich unserer Gruppe F dar. Auf der 
zugehörigen geschlossenen Fläche entspricht dem Viereck P^ ein solches 
kanonisches Schnittsystem, bei welchem die Kreuzungsstelle der Rück- 
kehrschnitte a, b der den festen Polygonecken entsprechende Punkt 
der Fläche ist; wir wollen diesen Punkt kurz als den singulären Punkt 
der geschlossenen Fläche bezeichnen. 

Das so erhaltene kanonische Viereck P^ ist ein particuläres, da es 
uns von einem Normalpolygon der Gruppe nach obiger Vorschrift 
geliefert wurde. Indessen ist es nicht schwer, P^ so zu transformieren, 
dass jede Besonderheit in dieser Hinsicht abgestreift wird. Über die 
hierbei in Betracht kommenden Gesichtspunkte, welche weiterhin über- 
haupt stark in den Vordergrund rücken, senden wir folgende all- 
gemeine Bemerkungen voraus. 

Im allgemeinen Falle {p, n) entspricht ein mit {2n -\- 6p) Seiten 
ausgestattetes kanonisches Polygon Pq einem kanonischen Quer^chnitt- 
system auf der zugehörigen geschlossenen Fläche. Solcher Querschnitt- 
systeme giebt es immer unendlich viele, und wir haben in dieser Hin- 
sicht zunächst festzusetzen, dass jede stetig verlaufende Änderung des 
einseinen Querschnittsystems, hei tcelcher keine zwei Querschnitte mit ein- 
ander collidieren, und hei welcher Icein Schnitt eerreisst, als unwesentlich 
gelten soll. Die Endpunkte der n Schnitte d (cf. pg. 183) bleiben als 
die „singulären" Punkte der geschlossenen Fläche bei einer solchen 
Änderung natürlich fest; im übrigen ist aber das ganze Schnittsystem 
beweglich. Es handelt sich hierbei um solche erlaubte Abänderungen des 
Polygons P^,, bei denen das Erzeugendensijstem vollständig erhalten bleibt. 
Von den Schnitten c dürfen beliebig viele verschwinden; auch darf der 
Punkt E (siehe die Figur 40 pg. 183) gelegentlich in einen einzelnen 
singulären Punkt hineinrücken, worauf einer unter den n Schnitten d 
in Wegfall kommt. 

Ausser diesen als unwesentlich bezeichneten (stetigen) Abände- 
rungen des kanonischen Querschnittsystems giebt es nun, abgesehen 
vom niedersten Falle der Gattung (0, 3), stets noch unendlich viele 
verschiedene wesentliche Abänderungen. Der Übergang von einem ersten 
kanonischen Schnittsystem zu einem wesentlich neuen ist in unstetiger 
Weise zu vollziehen, und ihm entspricht stets eine solche erlaubte 
Abänderung des ersten kanonischen Polygons Pq in ein neues gleicli- 



II, 2. Kanonische Polygone und Moduln der hyperbolischen Kotationsgruppen. 291 

falls kanonisches Fq, hei der das Frzeugendensystem eine Änderung er- 
fährt In einem solchen Falle wollen wir von einer „Transformation 
des lanonischrn Polygons durch n-escntliche Umgestaltung des Schnitt- 
systems'' oder kurz von einer „Transformation des kationiscJien Polygons'' 
sprechen. Es wird ein Hauptsatz der „Transformationstheorie der 
kanonischen Polygone" sein, dass in allen Einzeirallen die allgemeinste 
in diesem Sinne mögliche Transformation aus einer endlichen Anzahl 
„elementarer Transformationen'' durch Wiederholung und Combination 
derselben hergestellt werden kann. — 

Wenn wir uns nunmehr im Falle einer Gruppe Fder Gattung (1, Ij 
vorab einzig auf die kanonischen Vierecke P^ beschränken, so ist die 
Transformationstheorie dieser Vierecke äusserst leicht durchgeführt. 
Auf der geschlossenen Fläche handelt es sich darum, den singulären 
Punkt dauernd als Schnittstelle der Rückkehrsschnitte a, h festzuhalten, 
sodann aber von einem ersten zugehörigen kanonischen Schnittsystem 
zu einem beliebigen anderen überzugehen. Dies ist nun die Fundamental- 
aufgabe, welche der Theorie der linearen Transformation der elliptischen 
Functionen zu Grunde liegt (siehe etwa „M." I pg. 27 flF.). Für die Auf- 
fassung der wesentlichen hierbei in Betracht kommenden Verhältnisse 
ist bekanntlich die zerschnittene Fläche mit einem Viereck, auf welche 
man dieselbe abzubilden vermag, vollständig gleichwertig; denn es 
handelt sich hierbei nur um Betrachtungen im Sinne der aualysis situs. 
Indem wir somit an Stelle der geschlossenen Fläche sogleich wieder 
mit dem Viereck in der projectiven Ebene arbeiten, werden wir die 
Transformationen desselben nach genau derselben Vorschrift auszuüben 
haben, welche für das Periodenparallelogramm der elliptischen Functionen 
gilt; denn auch dieses Parallelogramm ist ein Abbild der zerschnittenen 
Fläche. Aus den bezüglichen „M." I 1. c. entwickelten Sätzen folgt 
somit unmittelbar: Es giebt für das Netz unserer kanonischen Vierecke 
Pqj Pi, P2, . . . im icesentlichen nur eine Elemetitartransformation, deren 
geometrische Bedeutung sich dahin charakterisieren lässt, dass man in 
Pq, und entsprechend in P^, P^, . . ., eine Diagoyiale zu zielwn hat und 
ein Paar Gegenseiten auslöscht. Offenbar ist aber diese Operation auf 
das Viereck Pq in vier verschiedenen Arten anwendbar und liefert so 
vier, paarweise inverse, Elementartransformationen, aus denen alle 
übrii;en herstellbar sind. Wir haben hiermit die Elementartransforma- 
tionen in ihrer für unsere späteren Zwecke einfachsten und übrigens rein 
geometrischen Weise erklärt. Ihre nähere Untersuchung und vor allem 
ihre Wirkung auf das Erzeugendensystem von F wird uns weiter unten 
(in § 8) noch ausführlich beschäftigen. 

Man überlege nun, dass ein Netz geradliniger Vierecke bei Aus- 

19* 



292 II- Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 

führung einer Elementartransformation stets in eiil ebensolches über- 
gelit, während man doch andrerseits auf der geschlossenen Fläche 
durch Ausübung von Elemeutartrausformationen zu jedem Querschnitt- 
system gelangen kann, dessen Kreuzungsstelle der singulare Punkt ist. 
Es entspringt hieraus das folgende, einem bekannten Satze aus der 
Theorie der elliptischen Functionen correspondierende Theorem: Wie 
man auch die geschlossene Fläche vom singulüren Putikte ans Jcanonisch 
zerschneiden mag, das Abbild der zerschnittenen Fläche stellt sich in der 
projectiven Ebene entweder direct oder nach umvesentlicher Änderung, 
ivelche nur den Innern Verlauf der Seiten, aber nicht die Lage der Ecken 
betrifft, als geradliniges Viereck unserer Art dar. Man kann auch sagen, 
dassjefZer viereckige Discontinuitätsbereich unserer Gruppe entweder direct 
oder nach unwesentlicher Änderung geradlinig begrenzt erscheint. — 

Indem wir nun sogleich ein beliebiges geradliniges Viereck Pq 
von r der Betrachtung zu Grunde legen, behalten wir natürlich die 
Bezeichnungen der Ecken e, e', . . ., der Erzeugenden F«, Vb, Vc, F/, ... 
u. s. w. bei; auch über die Lage der Eckpunkte gelten durchaus die 
früheren Bemerkungen, d. h. sie liegen zugleich entweder innerhalb 
oder auf oder endlich ausserhalb der Ellipse. 

Zum Zwecke einiger weiterer Ausführungen über das zu P^ ge- 
hörende Vierecksnetz übe man zuvörderst auf P^, die aus F« ent- 
springende cyclische Gruppe aus und erzeuge auf diese Weise die 
Viereckskette . . ., P— 2, P— i, Po? Pd ^2^ •■•• Hierbei werden zwei 
sich an einander schliessende Viereckswinkel, summiert, beständig 
einen concaven Winkel liefern. Im Falle einer parabolischen oder hyper- 
bolischen Substitution Vc ist dies aus dem Vierecksnetze unmittelbar 
evident; für ein elliptisches Vc hat man nur zu bedenken, dass selbst 
die Summe aller vier Winkel des Vierecks höchstens gleich tc ist, 
nämlich wenn Vc die Periode 2 hat. Unsere Viereckskette hat somit 
zwei verschiedene Grenzpunkte, und also ist Va hyperbolisch. Wenden 
wir die gleiche Überlegung auf Vi, an, so werden wir zugleich gewahr, 
dass die auf der Ellipse gelegenen Fixpunkte von Va und F* sich 
gegenseitig trennen. Wir haben damit das bereits pg. 287 angegebene 
Resultat bestätigt: Die von einem beliebigen Viereck P^ der Gruppe F 
gelieferten Erzeugenden Va, Vo bilden ein Paar zweiter Species und sind 
als solche hyperbolisch. 

Die beiden ausserhalb der Ellipse gelegenen Fixpunkte von F, 
und Fft, an welche übrigens das Vierecksnetz unter allen Umständen 
nicht heranreicht*), mögen e« und C/, heissen; ihre Polaren seien mit 



'') Würde das Netz an den Fixpunlct von F^ mit einer Ecke heranreichen, 



II , 2. Kanonische Polygone und Moduln der hyperbolischen llotationsgruppen. 293 

Pa und 2h bezeichnet. Die Spiegelung au der Verbindungsgeraden e^e^ 
hat für das Ellipseninnere die Bedeutung einer elliptischen Substitution 
der Periode zwei, deren Fixpunkt der Schnittpunkt von pa und pi, ist. 
Diese Substitution möge durch V bezeichnet sein. 

Die Substitution V transformiert nun sowohl F« wie V,, in ihre 
inversen Substitutionen; sie wird somit die Gruppe F in sich trans- 
formieren: Es wird aber sogar das Viereck P^ durch V direct in sich 
seihst transformiert. Infolge (1) gehen nämlich bei Transformation durch 
V die Substitutionen Vc und FJ' in einander über und ebenso Vc und 
Vc'j vergl. übrigens die beigefügte Figur 91, in welcher die Sub- 
stitutionen Vc als parabolisch angenommen wurden. 




Fig. 91. 

Es ergiebt sich weiter vermöge einer leichten Zwischenbetrachtung, 
dass der Schnittpunkt von Pa und ^^ zugleich der Schnittpunkt der 
Diagonalen des Vierecks ist: Pq ist somit ein centriertcs Viereck, welches 
im Fixpunld von V seinen Mittelp^mM hat. Die Benennung „Parallelo- 
gramm" für Pq würde dem Charakter der hyperbolischen Maass- 
bestimmung nicht entsprechen. 

Der Zusatz der elliptischen Substitution V zur vorliegenden 
Gruppe r würde zu einer umt'asseiuleren Gruppe erster Art führen, 
in welcher F ausgezeichnete Untergruppe des Index zwei ist. Diese 
umfassendere Gruppe hat den Charakter (0, 4), und unter ihren Er- 
zeugenden sind drei elliptisch von der Periode zwei, während die vierte, 
einmal wiederholt, die Substitution V^ liefert. Wir kommen weiter 
unten (in § 1.')) auf diese Gruppe zurück. 

tiO würden innerhalb dieser Ecke entweder die Punkte c und t' oder c" und e" 
liegen. Beides ist bekanntlich unmöglich (cf. pg. 242). 



294 II. Ausführliche Theorie der Polygongruppen, 

§ 3. Die allgemeine Gestalt der kanonischen Polygone für 
die Gattung (1, 1). 

Für die späteren Anwendungen ist das centrierte Viereck als 
kanonischer Discontinuitätsbereich einer Gruppe (1, 1) ungeeignet. 
Wir müssen vielmehr zu einer solchen Zerschneidung der geschlossenen 
Fläche übergehen, bei welcher der Schnittpunkt der Rückkehrschnitte a 
und b nicht in der singulären Stelle der Fläche liegt. Es ist dann 
auch noch ein Schnitt c hinzuzusetzen, welcher diese beiden Punkte 
mit einander verbindet; und das kanonische Polygon besitzt demnach 
sechs Randcurven und entsprechend drei Erzeugende Va, Fj, F«. 

Zur Einführung dieser neuen Gestalt der kanonischen Polygone 
legen wir zunächst eines der unendlich vielen geradlinigen Vierecks- 
netze unserer Gruppe F zu Grunde und nennen die Vierecke kurz 
Pq', P/, .... Sei alsdann Eq ein beliebiger Punkt im Innern von P^', 
und mögen die entsprechenden Punkte der übrigen Vierecke JEi , E^, ... 
heissen. Verbinden wir nunmehr die Punkte E je zweier benachbarten 
Vierecke geradlinig, so entspringt ein Netz von Geraden, deren je 
vier vom einzelnen Punkte E auslaufen, und die übrigens nicht mit 
einander collidieren. Offenbar haben wir liier mit der Vbertragung eines 
getvissen Faares conjugierter Ilüclikehrsehniüe a, b m thun, deren Kreuzungs- 
stelle dem Funlde Eq correspondiert*). Da aber der Schnitt c noch fehlt, 
so liegen noch keine fertigen kanonischen Polygone vor; vielmehr er- 
scheinen hier immer die endlich bez. unendlich vielen kanonischen 
Polygone, welche sich an den gleichen Eckpunkt e der Vierecksteilung 
heranziehen, in eins gefasst. 

Ehe wir den Zusatz des Schnittes c vollziehen, vergegenwärtigen 
wir uns die Veränderung des construierten Geradensystems, falls E^ 
das Ausgangsviereck Pq' durchläuft. Es hat hierbei keine Schwierig- 
keit, Eq auf den Rand von P^' rücken zu lassen, nur soll Eq einst- 
weilen nicht über P^' hinauswandern. Lässt man aber Eq in eine der 
vier Eclien e, e, e'\ e" von Pq Mneinrüclcen , so iverden wir in jedem 
Falle zur ursprünglichen VicrecJistcilung zurücl'geführL Dabei zerfallen 
die zunächst zusammenhängenden kanonischen Polygone mit dergleichen 
festen Ecke im letzten Augenblick in ebenso viele getrennte Vierecke. 

Die letzte Überlegung führt auf einige Angaben über die Winkel 
unseres Geradennetzes. Wir nennen die um Eq herumliegenden Winkel 
den Ecken e, e, ... entsprechend etwa d', 9-', d'", O'"'. Da sie die 

*) Es ist dies unmittelbar evident, weuu man nur etwa das Viereck 1\' mit 
seinen vier von JS^ aus gezogenen Geraden umgekehrt zur geschlossenen Fläche 
zusammenlegen will. 



II, 2. Kanonische Polygone und Moduln der hyperbolischen Rotationsgrnppen. 29ö 



Summe 2ä haben, so kann höchstens einer unter ihnen convex sein. 
Offenbar ivird aber der einzelne Winlcel, z. B. &, notivendiy convex, tvenn 
Eq in die Nähe der entsprechenden Eclce, also hier e, rückt Man wolle 
sich nur veranschaulichen, in welche beiden Geraden des Vierecks- 
netzes die Schenkel des Winkels -9- übergehen, falls Eq in e hineinrückt. 

Für später wird der Fall hyperbolischer Vc besonders wichtig sein. 
Zfehen wir hier für die Eckpunkte des Vierecksuetzes die Polaren, so 
werden diese nach bekannten Sätzen im Ellipseninnern nicht colli- 
dieren. Sind insbesondere p, p , p" , p" die Polaren von e, e', e", e'", 
so werden durch p, p, p\ p" von P^' vier durchaus getrennt liegende 
Dreiecke abgeschnitten; man merke überdies an, dass keine dieser 
vier Polaren durch F« oder Vb, die Erzeugenden von P,,', in sich trans- 
formiert werden. Aus der blossen Anschauung dieser Verhältnisse er- 
giebt sich: Wählt man Eq auf der einzelnen Polare, etiva p, oder auch 
im Innern des durch p von Pq abgetrennten Dreiecks, so ist der corre- 
spondierende Winkel 0- nottvcndig convex. 

Bei festliegenden Schnitten a, b können wir nunmehr den Schnitt c 
nur noch in vier wesentlich verschiedenen Weisen ziehen. Dem ent- 
spricht es, dass wir in P^ den Punkt E^ mit irgend einer der vier 
Ecken e, e, e", e" etwa wieder geradlinig verbinden können. Wählen 
wir eine Ecke und ziehen die entsprechenden Verbindungsgeraden in 
allen übrigen Vierecken, so liegt nach Fortnahme der Vierecksseiten 
direct ein Netz kanonischer geradliniger Sechsecke der Gruppe F vor, 
wobei die vorhin gezogenen Ge- 
raden EqEj^, ... und die eben 
zuletzt nach den festen Ecken e 
gezogenen Linien die Seiten ab- 
geben. 

Haben wir etwa Eq, wie in 
Figur 92 hierneben geschehen ist, 
mit e" verbunden, so wird der 
Winkel -d'" in zwei Winkel zerlegt, 
so dass nunmehr um Eq fünf 
Winkel herumliegen. Dieselben 
sind gleich den fünf Winkeln 
unseres kanonischen Sechsecks in 
dessen beweglichen Ecken. Ist 
keiner der Winkel ^ convex, so Fig- »a. 

sind selbstvcrstäudlicli alle Sechs- 

i'ckwinkel concav. Ist ein Winkel d-, etwa Q-", convex, so vormeidet 
man convexe Winkel des Sechsecks dadurch, dass man die zugehörige 




296 II. Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 

Ecke e" mit Eq verbindet. Ein Blick auf Figur 92 lehrt alsdann, 
dass die heidm Teile von 0'" stets concav sind; denn die Verbinduucrs- 
geraden JEqE^ und EqE^ schneiden notwendig die Vierecksseite e'e" 
bez. e"e"'. ■ 

Die erlaubte Abänderung des ursprünglichen Vierecks in das Sechseck 
kann man mit den Einzelangaben der Figur 92 noch näher verfolgen. 
Das Viereck zerfällt in die durch Nummern 1 bis 5 unterschiedenen 
Bereiche, welche übrigens, im Falle Eq auf den Rand von PJ tritt, 
in leicht ersichtlicher Weise degenerieren. Die Umlegung der Bereiche 
2, 3, 4, 5 in 2', 3', 4', 5' liefert direct das geradlinige Sechseck. Als 
Ausgangssechseck Pq wollen wir etwa dasjenig*e wählen, dessen mit 
Pq gemeinsame Ecke der mit E^, verbundenen Ecke von Pq gegen- 
über liegt, und das übrigens Eq zur Ecke hat. Diese in Figur 92 er- 
sichtlich eingehaltene Maassregel hat zur Folge, dass das Ausgangs- 
sechsech Pq mit dem Viereck P^ die Erzeugenden Va , Vb gemeinsam hat. — 

Als Resultat der Untersuchung fassen wir zusammen: Den un- 
endlich vielen wesentlich verschiedenen Vierechietzen unserer Griqype F reihen 
sich ebenso viele verschiedene Netze geradliniger Tianonisclier Sechsecke mit 
concaven Winkeln an. Es stellt uns dabei frei, für einen ersten festen 
Eck^ninkt c ein System äquivalenter Niveaugeraden, ivelche Sechseckseiten 
werden sollen, nach Willkür herauszugreifen. Insbesondere dürfen wir 
vorschreiben, dass die hiermit gemeinten von e auslaufenden Sechseckseiten 
im Falle hyperbolischer Vc ihre Endpunkte entweder auf der Polare von e 
oder bereits vor Erreichen dieser Polare finden. Diese letzten Zusätze sind 
mit Rücksicht auf die späteren Anwendungen notwendig; ihre Verifica- 
tion ergiebt sich unmittelbar aus der Willkür von E^ und aus den 
über die Winkel -0' zumal im Falle hyperbolischer Vo vorausgesandten 
Bemerkungen. 

Wir wenden uns nunmehr zu der wichtigen Frage, inwieweit die 
der bisherigen Betrachtung zu Grunde liegenden kanonischen Quer- 
schnittsysteme der geschlossenen Fläche als die allgemeinen angesehen 
werden dürfen. Wir knüpfen zu diesem Ende an ein ganz beliebiges 
System von Querschnitten a, b, c und wollen eine solche unwesent- 
liche Änderung vornehmen, bei welcher die Schnittstelle von a und b 
über c unter entsprechender Kürzung dieses Schnittes bis zum siugu- 
läreu Funkt hinwandert. Das so erhaltene Schnittsystem liefert ent- 
weder direct oder nach einer weiteren unwesentlichen Umgestaltung 
ein geradliniges Viereck als Abbild (pg. 292). Von hieraus kann man, 
wenn man will, durch erneute unwesentliche Abänderung zu einem 
geradlinigen Sechseck unserer Art gelangen. Wir haben somit den 
Satz gewonnen: Ein ganz beliebiges kanonisches Schnittsystem der ge- 



II, J. Kanonische Polygone und Moduln der hyperbolischen llotationagruppcn. 2'J7 

schlossenen Fläche liefert cntiveder ohne weiteres oder nach unwesentlicher 
Umgestaltung, hei welcher insbesondere die Erzeugenden erhalten bleiben, 
als Abbild der zerschnittenen Flüche ein geradliniges Sechsech mit con- 
caven Win Je ein. 

Von hieraus wird mau sich nuu rückwärts die Vorstellung des 
allgemeinen kanonischen Sechsecks construieren. Dabei ist vor allem 
die Bahn maassgeblich, welche der Kreuzungspunkt der Schnitte a, b 
beschreibt. Offenbar gilt die Vorschrift, dass dieser Kreuzungspunkt 
stets die singulare Stelle zu meiden hat, es sei denn, dass zugleich c 
verschwindet; denn andrenfalls würden wir eine geschlossene Linie c 
und also einen dritten Rückkehrschnitt gewinnen, welche die Fläche 
zerstücken würde. Im übrigen aber darf die Kreuzungsstelle von a 
und b jede beliebige Bahn beschreiben, wobei man nur die Schnitte 
selbst nötigenfalls dem Kreuzungspunkte ausweichen lassen wird. 

In der projectiven Ebene entspricht dieser Abänderung Folgendes: 
Von einem ersten etiva geradlinigen SechsecJc (cf. Figur 92 pg. 295) ge- 
langt man zum allgemeinsten hanmiischen Polygon des gleichen Erzeugenden- 
systetns, indem man die zufällige Eche E^ auf ganz beliebiger Bahn inner- 
halb des Polygonnetzes variiert und hierbei nur die eventuell vorliegenden 
elliptischen Ecken e meidet. Die Bahnen der übrigen vier beweglichen 
Ecken sind natürlich mit Eq geregelt, und die Seiten sind immer ent- 
sprechend abzuändern. Man erkennt, dass man bei diesen Veränderungen 
die Geradliniglceit der Seiten des Polygons nicht immer aufrecht erhalten 
lann. Man wolle z. B. in Figur 92 pg. 295 den Punkt E(^ in der geraden 
Verlängerung von e'E^ bis zur Geraden eEf^ fortwandern lassen; im 
letzten Augenblick muss dieselbe ausweichen und damit gekrümmt er- 
scheinen, wenn nicht Zerfall der Fläche und damit des Polygons ein- 
treten soll. 

Im Falle hyperbolischer V; präcisieren wir die Verhältnisse noch 
ein wenig weiter und führen zu diesem Zwecke wieder die Polaren 
p, P , • • • der festen Ecken ein. Ein erstes geradliniges Sechseck 
(Figur 92, pg. 295) wählen wir so, dass seine an die feste Ecke c 
sich anschliessenden Seiten eE^, eEc, jedenfalls nicht über die Polare jj 
von c hinausreichen. Betvegcn ivir nunmehr Es und damit A'c ganz be- 
liebig innerhalb des durch p vom Polygonnetz abgetrennten Dreiecks, p 
eingeschlossen, so können ivir zwar die Gcradlinigkeit der Seiten durch urg 
aufrecht erhalten, aber wir müssen gelegentlich einen convexoi ]yinkti bei 
/ ,, oder Er, in Kauf nehmen. Dieser Winkel eneieht indessen niemals 

den Betrag • Man wird sich dies mit Hilfe der beigefügten Figur 93 

leicht deutlich machen; in derselben ist die Anfangslage des Sechsecks 



298 



II. Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 




Fig. 93. 



stark ausgezogen, und die neue Lage wird erzielt, indem Es und £"6 
auf 2^ nach links wandern, während die übrigen beweglichen Ecken 
auf ihren Polaren entsprechende Wege beschreiben. Auf der geschlossenen 

Fläche wird bei dieser 
Veränderung der Schnitt 
c im positiven Sinne 
um den singulären Punkt 
gedreht. Übrigens liest 

man noch leicht aus 
Fiffur 93 ab, dass auf der 
Polarep das Intervall der- 
jenigen Punkte Jt^, welche 
Sechsecke ohne convexe 
Winkel liefern, kleiner 
als die Breite eines Di.s- 
continuitätsbereiches von 
Vc ist. 

Derartige Sechsecke 
mit einem der festen 
Ecke e nächst benachbarten convexen Winkel können wir auch in der 
Folge nicht entbehren. Um ihre Bedeutung aber schon hier an einem 
Beispiel aufzuweisen, wollen wir die „Elementari7-ansformationen" dired 
an dem geradlinigen Sechseck P^ als Umformungen desselben wieder in ein 
geradliniges Sechseck erklären. Wir nehmen etwa sogleich wieder an, 
Vc sei hyperbolisch und Pq so gewählt, dass die Polare p die beiden 

von c ausziehenden Seiten von P,, nicht 
schneidet. Bedienen wir uns nun der Be- 
zeichnungen von Figur 92, so können wir 
in folgender Art die Elementartransforma- 
tionen erklären: 3Ian liat durch Ziehen einer 
der drei Diagonalen E^Eq, E^E^, EqEq ein 
Dreiech ahgutrennen und je nachdem unter 
Ausühung von VcT oder Vf tvieder anzu- 
hängen. Man zählt leicht ab, dass wir auf 
diese Weise drei Transformationen und ihre 
inversen erhalten; nach pg. 291 wird sich 
somit eine unter unseren drei Operationen 
durch die beiden anderen ausdrücken lassen. 
Als Beispiel und zur Vorbereitung 
weiterer Entwicklungen soll allein die in Figur 94 angedeutete Trans- 
formation des gegebenen Sechsecks P^ in das durch Schraffierung hervor- 




Fig. 94. 



11,2. Kanonische Polygone und Moduln der byperbolischen RotatiooBgruppen. 299 

gehobene Sechseck Po' ein wenig näher betrachtet werden ; wir bezeichnen 
diese Transformation symbolisch etwa durch T. Wählen wir nun das 
Erzeugendenpaar bei dem transformierten Sechseck P^' = T{F^^ genau 
nach derselben Vorschrift, wie beim ursprünglichen, so haben wir als 
Wirkung von T auf die Erzeugenden (cf. E'igur 94): 

(1) V:=V-'Va, Vo=Va. 

In Fq kann nun offenbar beiJS'g ein convexer Winkel auftreten; doch wird 
man durch Benutzung von Figur 93 ohne Mühe feststellen, dass ein 
solcher Winkel die erneute Anwendung von T nie hindern kann. 

Um etwas mehr über das Auftreten eines convexen Winkels aus- 
zusagen, bestimmen wir aus (1) als Wirkung von T" auf Va, V/,: 

(2) f; = vr' Va F„ f; = ir V. f„ 

wobei wir für die Auswahl der Erzeugenden in T^(P^) wieder an der 
bisherigen Vorschrift festhielten. Es entsteht somit Fc(T^(P(,)) aus P^ 
direct durch Verschiebung von i^ bis ii'y und entsprechende Ver- 
schiebung der übrigen Ecken, woraus sich ergiebt: Hat P^ lauter 
concave WinM, so hat T^(Pq) sicher einen convexen Winlel. Durch 
Betrachtung der Winkel und ihrer Summen kann man überdies noch 
leicht feststellen: Ist T''+^(Pq) das erste SechsecJc mit einem convexen 
WinJcel, so hahen die drei consecutiven Sechseclie T\P^, T*—\P^, T''--(Py) 
durchiveg concave Winliel. Dieser Satz kommt später zur Verwendung-. 



§ 4. Die Doppel-?? -ecke der Gattung (0, u) und deren 
Transformation. 

Wir gehen nun zur Behandlung der Gattung (0, n) mit beliebigem 
n über und mögen unter F eine einzelne hierher gehörige Gruppe 
verstehen. Auch hier knüpfen wir, was durchaus wesentlich ist, an 
ein Netz von Normalpoljgouen etwa eines zur Gattung gehörenden 
gewöhnlichen Typus an und wollen in einem herauszugreifenden Aus- 
gangspolygon die nicht-zufälligen Ecken in der Reihenfolge, wie sie bei 
Durchlaufung des Polygonrandes im positiven Sinne auf einander folgen, 
durch ^1, Cg, . . ., Cn bezeichnen. Die einzelne Ecke e, kann ausserhalb, 
auf oder innerhalb der Ellipse liegen; im letzten Falle ist der Polygon- 

wmkel bei c. gleich ^ , wo /, die Periode der zugehörigen elliptischen 

Erzeugenden ist. 

Ziehen wir die n Geraden e^^, e^, . . ., c,.t^, so ist im Innern 
i des Normalpolygons ein geradliniges n-Eck N^ mit lauter concaven 
j Winkeln eingegrenzt, dessen einzelne Seite selbst in drm Falle durch 



300 n. Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 

das Innere der Ellipse zieht, dass ihre beiden Endpunkte ausserhalb 
liegen; letzteres geht gerade wie bei w = 3 ohne weiteres aus der 
Gesidlt des vom ganzen Polygonnetze bedeckten Bereiches hervor. 
Die Construction der Geraden ej^, e^, ... v^iederhole man nun in 
genau derselben Art in allen Polygonen des Netzes und erhält solcher- 
weise den unendlich vielen Polygonen entsprechend unendlich viele 
M-Ecke Nq, Nj_, N2, • . ., die natürlich sämtlich congruent sind, und 
die ersichtlich in den Ecken e mit einander zusammenhängen. 

Man nehme nunmehr die sämtlichen Seiten des ursprünglichen 
Polygonnetzes fort und discutiere den Charakter der zurückgebliebenen 
Einteilung. Diesier wird am deutlichsten, wenn wir die zum Ausgangs- 
polygon gehörende geschlossene Fläche F etwa in Gestalt einer Kugel 
einführen (cf. pg. 177). Dabei mögen die Ecken q, Cg, . . ., e„ auf der 
Kugel F die Punkte s^, 82, . . ., Sn liefern. Der Rand von Nq überträgt 
sich auf F in eine geschlossene Curve K, welche aus n stetig ge- 
krümmten Stücken f^fa, ^2^3» ••• zusammengesetzt erscheint. Durch 
K wird die Kugelfläche jFin zwei einfach zusammenhängende Bereiche N 
und N' zerlegt, von denen der erste dem w-Eck Nq entspricht. 

Gehen wir nun zur projectiven Ebene zurück, so ist evident, dass 
die zivischcn den n- Feiten Nq, N^, N^, ... offen bleibenden Studie eine 
zweite dem Bereich N' entsprechende Beihe von unter sich ivieder äqui- 
valenten geradlinigen n-Fcken N^', iV/, N^', . . . mit concaven WinJceln 
darstellen. Es besteht zwischen diesen beiden Reihen von n- Ecken 
offenbar das Verhältnis der Gegenseitigkeit; wir nennen sie in diesem 
Sinne einander conjugiert. 

Irgend zwei benachbarte M-Ecke zusammengenommen liefern ein 
volles Abbild von F und stellen somit einen Discontinuitätsbereich von 
r in Gestalt eines Doppel -n-eclis dar. Wir wählen zu diesem Ende 
etwa die «-Ecke JV,, und Nq, welche die Seite c|^ gemein haben 
mögen. Für n = 3 kommen wir hiermit auf die oben (pg. 287) ge- 
wonnenen Dreiecknetze und Doppeldreiecke zurück, wobei wir in den 
Seiten derselben lauter Symmetriegerade der Gruppe erkannten. Letzteres 
kann auch bei höherem n vorliegen; aber es ist hier in keiner Weise 
das Allgemeine, wie aus der Fortsetzung unserer Untersuchung noch 
deutlich hervorgehen wird*). Jedenfalls aber dürfen wir die Gerade p, c., 
im Sinne der analysis Situs als Symmetrielinie des Doppel -n-ec7cs bezeichnen. 



*) Mit Rücksicht auf die späteren functionentheoretischen Entwicklungen 
läuft diese Bemerkung einfach darauf hinaus, dass sich auf der Kugel F zwar 
stets durch drei Punkte f,, f^, f 3 , aber nicht immer durch vier oder noch mehr 
Punkte E, , f . , ... ein Kreis legen lässt. 



11, 2. Kanonische Polygone und Moduln der hyperbolißchen Rotationsgruppen. 301 




Es mögen dabei die Ecken e^,e^,... des «-Ecks iV,, den Ecken c^, e/, . . . 

des conjugierten M-Ecks entsprechen, wie in Figur 95 angedeutet ist. 

Je zwei einander symmetrische Seiten sind dann auf einander bezogen, 

und die Summe je zweier entsprechenden 

Winkel ist nie convex und liefert im ellipti- 
2 jj 

sehen Falle , • Die so erhaltenen Doppel- 

w-ecke werden für die weitere Behandlung 
der Gattung (0, n) die Grundlage bilden. — 
Wir schliessen hier sogleich die Trans- 
formationstheorie des Doppel -w-ecks an und 
haben hierbei zuvörderst die auf der Kugel- 
oberfiäche F in Betracht kommenden Ver- 
hältnisse klarzustellen. Eine Veränderung 
der Curve K, welche nur in einer Deformation der einzelnen Stücke 

^1^2; ^2^3; • • • b^i festliegendem Anfangs- und Endpunkt des einzelnen 
Stückes besteht, und welche ohne jede Collision der Curve K mit sich 
selbst von statten geht, haben wir als unwesentlich anzusehen. Ihr 
würde eine erlaubte Abänderung des Doppel -«-ecks entsprechen, bei 
welcher sämtliche Ecken sowie alle Erzeugenden intact bleiben, aber 
die Geradlinigkeit der Begrenzung aufhört. Demgegenüber sei nun- 
mehr eine wesentliche Abänderung von K definiert, bei welcher die 
Reihenfolge zweier benachbarten Punkte £, etwa s.^ und fj, umgekehrt 
wird. Wir können dies 
erstlich in der durch 
Figur 9G angedeuteten 
Weise ausführen ; die ur- 
sprüngliche Curve K ist 
hier punktiert gezeich- 
net, die neue stark aus- 
gezogen. Doch hätten 
wir offenbar von e^ aus zur Umgehung von e^ auch in iV hinein aus- 
biegen können. Die hiermit definierte Ahünderinuf , welche wir also für 
das einzelne Paar henaehhartcr Vunldc immer in zuri Weisen ausführen 
können, ist nun die einzige hei der Gatluwj (0, n) auftretende Elvmentar- 
transformaiion (cf. pg. 201). 

Um dies einzusehen, müssen wir uns von der Mannigfaltigkeit 
aller Curven K ein deutliches Bild nnichen, wobei wir nunmehr unter 
K irgend eine sich selbst weder schneidende noch l)erührende ge- 
schlossene Curve verstehen, welche die )i 1 'unkte f in irgend einer 
Folge durchzieht. 




302 



II. Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 




Für M = 3 giebt es im wesentlichen nur eine Curve K, und die 
Ausübuno- der Elementartrausformation führt somit im wesentlichen 
wieder zu der gleichen Curve zurück. Man wolle nur bemerken, dass 
sich jede Curve e^s^ auch ohne Überschreiten von £3 stetig in jede 
andere Curve zwischen s^ und «g deformieren lässt; denn nach Heraus- 
nahme des Punktes fg aus der Oberfläche F stellt dieselbe einen einfach 
zusammenhängenden Bereich dar. Hat man s^s^ ^^ die gewünschte 
neue Lage gebracht, so kann man gerade so mit e^s^ und sodann mit 
£^£i verfahren; denn es handelt sich auch hier wieder beide Male um 
stetige Deformation einer Verbindungslinie zweier Punkte auf einem 
einfach zusammenhiingenden Bereich. Die vorhin ausdrücklich als un- 
wesentlich bezeichnete Abänderung jeder 
Curve K in jede andere ist daraufhin hier 
stets leicht ausführbar. 

Dagegen stellt bereits bei ?i = 4 die Kugel- 
oberfläche nach Herausnahme der Punkte £3 
und £4 einen zweifach zusammenhängenden 
Bereich mit einem Periodeuwege dar. Hier 
haben wir also cx>^ wesentlich verschiedene 
Curven £^^£2. Damit ist der Satz gewonnen: 
Für « > 4 gieht es stets unmdlich viele ivescntlich 
verschiedene Curven K, ivährend hei n = 3 nur eine einzige vorliegt. Man 
sehe die hierneben in Figur 97 gegebene Skizze, in welcher die zunächst 
etwa geradlinig gedachte Verbindung von e, und £^, durch zweimalige Ein- 
fügung des elementaren Periodenweges abgeändert ist. 

Mögen nun im 
allgemeinen Falle n 
irgend zwei Curven 
KundK' vorliegen, 
so wollen wir den 
Übergang von der 
einen zur andern 
durch eine Kette 
von Elementar- 
transformationeu 
thatsächlich bewerkstelligen. Möge K den in Figur 98 dargestellten 
Verlauf darbieten, den wir nur des leichteren Überblicks halber, aber 
nicht aus principiellen Gründen so einfach annahmen. Auf K' möge 
der Punkt £,.1 auf e^ folgen, wobei die Curve £i£,^ einen fest vor- 
geschriebenen Verlauf nimmt; in der Figur ist Vj = 6 gewählt. 



Fig. 1>7. 




Fig. 08. 



11,2. Kanonische Polygone und Moduln der hyperbolischen Itotationsgruppen. 303 



Wir knüpfeu nun an K an und nehmen zunächst die durch Figur 99 
näher dargelegte unwesentliche Änderung dieser Curve vor. Das Wesen 
dieser Anderungbesteht 
darin, dass wir in steti- 
gerWeise mit dem Stück 

E^s.^ eine Ausbuchtung 
vornehmen, und zwar 
nach Maassgabe des 
Verlaufs der neuen 




Fig. 99. 



Curve £i£vj, bis wir mit der Spitze der Ausbuchtung in die Nähe von £,i 
gelangt sind. Es erscheint hier das erste Stück der veränderten Curve 
fjfg ^^f ^i^»'i abgewickelt, nur dass ein letztes an fy^ gelegenes Segment 
von fi£,j noch frei bleibt. Bei diesem Process müssen einige weitere 
Stücke fofs, f3f4, ... von K in der durch Figur 99 angedeuteten Art 
ausweichen, damit K nicht mit sich selbst in Collision kommt. 

Nunmehr nehmen wir ein« wesentliche Abänderung vor. Zwischen 
der Spitze der Ausbuchtung von £j £2 i^md Sy^ verlaufen mehrere weitere 
Stücke £}.£fi. Wir schieben das s,i durchziehende Stück von K, sowie 
die eben genannten zwischenliegenden Stücke sämtlich über £,i hinweg 
und lassen, um «if^ vollständig zu gewinnen, die Spitze der Aus- 
buchtung in £,1 einmünden. Dieser Process ist durch Übergang von 
Figur 99 zu 100 versinnlicht. Man mache sich au diesen Figuren 
deutlich, dass die so- 
eben ausgeführte Ope- 
ration eine Reihe von 
Elementartransforma- 
tionen darstellt. Wenn 
wir nämlich in Figur99 

die Curve £.£.- bis an 
Sq heranziehen, nach- Fig. 100. 

dem wir vorher fr, £7 

von fß zurückzogen, so bedeutet dies eine Elementartrausformation, 
welche die Reihenfolge von £5 und s^ ändert. Entsprechend wird die 
nächste Elementartransformation die Reihenfolge von £^ und f^ um- 
kehren. Der letzte Schritt zur Gewinnung der Figur 100 ändert die 
Folge £2, £3, £,; in fg, £«, £3; man wird ihn ohne Mühe als Combination 
zweier Elementartransformationen darstellen, indem man erstlich £3 und 
fy, sodann £., und f^ jedesmal in einer bestimmton unter den beiden 
uiüglichen Weisen in der Reihenfolge austauscht. 




304 II- Ausführliche Theorie der Poljgongruppen. 

Nunmehr verfahren wir vollständig analog mit £,.i£2; indem wir diese 

Curve an dem zweiten Stück «vi £12 von ÜC' abwickeln. Eine Collision 

mit dem schon gewonnenen Stück SiSy^ kann nicht stattfinden, da K' 
selbst niemals mit sich in Collision ist. Die endgültige Herstellung von 

fvi^.g erfordert eine zweite Reihe von Elemeutartransformationen. 
In derselben Art fahren wir fort, bis wir den w**'' Punkt s, 
auf K' erreicht haben. Es restiert dann zunächst eine irgend wie ver- 
laufende Verbindungslinie von £r„_j und e^. Aber die Kugel ¥ ist 

durch die (w — 1) ersten Stücke £i£ri, «vi£v2, ... in einen einfach zu- 
sammenhängenden . Bereich ausgestaltet. Man kann somit jede Ver- 
bindungslinie £v,j_j£i durch unwesentliche Abänderung stetig in jede 
andere überführen; und also können wir durch unwesentliche Abänderung 
nunmehr K' vollständig erreichen. Wir haben das Resultat: Jede Trans- 
formation der Curve K lässi sich durch wiederholte Ausiihung von Elementar- 
transformationen obiger Art herstellen. — . 

Indem wir nunmehr die Behandlung der Transformation in die 
projective Ebene verlegen, nehmen die Verhältnisse einen überraschend 
hohen Grad von Einfachheit an. Wir orientieren uns zunächst am 
Netze der n-Ecke Nq, Nq, JV, , N^', ... über die Bedeutung der 
Elementartransformation, indem wir etwa die durch Figur 96 pg. 301 

dargestellte Transformation ausüben. 
Man hat nichts weiter zu thun, als 
im Doppel -«-eck die beiden Geraden 
Cj Cg' , e7^ zu ziehen und dafür e/'^, 
^e^ auszulöschen (wie Figur 101 zeigt), 
sowie die gleiche Construction in allen 
übrigen Doppel-«-ecken des Netzes 
auszuführen. Das neue n-Ech der 
Ecken e^ , ^i, c^^ ^a hj • • •■> ^n, sowie 
auch das conjugierte, ist wiederum ge- 
radlinig und besitzt nur concave Winkel; 
und beide n-EcJce bilden ein neues 
Dojjpel-n-eclc, welches mit dem anfänglichen in allen wesentlichen Eigen- 
schaften übereinstimmt. Übrigens würde die andere Elementartrans- 
formation, welche auf K gleichfalls die Reihenfolge von e.^ und fj 
umkehrt, im Doppel -w- eck dadurch zu vollziehen sein, dass man 
die Geraden r/T, 7^^ zieht etc. 

Für n = ?> bewirkt die Elementartrausformation den Austausch 
der beiden Reihen conjugierter Dreiecke ohne Änderung des ganzen 




II, 2. Kanonische Polygone und Moduln der hyperbolischen Rotationsgruppen. 305 

Netzes. Dagegen hat für n > 3 eine Elementartransformation stets 
eine wesentliche Veränderung des w- Ecknetzes zur Folge. Dies ge- 
staltet sich natürlich ganz analog den Verhältnissen auf der Kugel F, 
die wir bereits besprachen. Auf das neue n-Ecknetz können wir offenbar 
ebensowohl und mit dem gleichen Erfolge eine zweite Elementartrans- 
formation ausüben und in gleicher Weise fortfahren. Wir gelangen 
auf dem Wege zu folgendem höchst wichtigen Theoreme: Wie ivir auch 
die Curve K auf der Kiigel F ausivählen mögen, immer iverden nach einer 
nötigerifalls vorausgesandten tinwesentlichen Änderung von K die beiden durch 
K abgetrennten Stücl'e N und N' von F sich auf zwei conjugierte gerad- 
linige n-EcJxC Nq und Nq mit concaven WinJceln in die projective Ebene 
übertragen. Bei der ausserordentlichen Mannigfaltigkeit und Compliciert- 
heit der Curven K wird man auf Grund dieses Theorems ermessen, dass der 
Übergang von der Kugel zur projectiven Ebene in sehr bemerkenswerter 
Weise eine Klärung und Vereinfachung der Verhältnisse bewirkt. 

Zum Schlüsse heben wir nochmals hervor, dass für «^4 stets unendlich 
viele verschiedene »? -Ecknetze existieren, und dass jedes hierbei eintretende 
Doppel-w-eck als Discontinuitätsbereich der Gruppe fungieren kann. 

§ 5. Herstellung der kanonischen Polygone der Gattung (0, «) 
aus den Doppel -«-ecken. 

Der Übergang zu den kanonischen Polygonen der Gattung (<), n) 
ist nun leicht vollzogen. Wir greifen ein beliebiges Doppel -/<- eck 
Nq, Nq der Gruppe F auf, wählen 
im Innern von Nq einen Punkt E 
und ziehen die n geraden Linien 
Ee^ Ee,^, Ee^', . . ., Ee^ nach den 
Ecken von Nq', wie solches hier- 
neben in Figur 102 ausgeführt ist. 
Die gleiche Construction wiederholen 
wir in allen w- Ecken iV,' N^', . . . 
und nehmen sodann die Seiten des 
gesamten n- Ecknetzes fort. Es restiert 
ein Netz Icanonischer Polygone Pq,1\,... 
der Giiqype, deren einzelnes von 2w ^^ ^^^^ 

Geraden eingegreiizt ist und lauter 
concave*) Winlcl enthält. Sei Fq das in Figur 1<>2 um N^ gelagerte, stark 

•) Doch tritt natürlich in einer elliptischen Ecke der Winkel n auf, falls 
die zugehörige erzeugende Substitution die Periode '2 hat. Die gleiche Bemerkung 
soll weiterhin niclit bei jeder (»elegenheit wiederholt werden. 

Frii-ke- Klein, Automorphe FiinctioneD. 1. ;20 




306 ^I- Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 

umrandete Polygon, dessen Herstellung aus dem Doppel-«- eck in der 
Figur leicht zu verfolgen ist; man vollzieht in der That den Übergang 
in der Weise, dass man die Dreiecke, in welche Nq durch die (geraden 
jEc, , Ee^, ... zerschnitten ist, in richtiger Folge an den Seiten des 
n-Ecks Nq anlagert. Die zu 1\^ gehörenden Erzeugenden von F nennen 
wir, wie in der Figur näher angegeben ist, F^, V^, ..., F,,-, der Cyclus 
der n zufälligen Ecken E liefert dann die Relation: 

(1) V,-V,-V, ... F,.==l. 

Es existiert nun zum Polygouuetz F^, P, , ... immer ein con- 
jiigiertcs Netz Fq, P/, . . . Wählen wir nämlich den Punkt E' in N^, 
und ziehen die n Geraden Ee^, E'e.^, . . ., E'e^, so entspringt nach 
Wiederholung der gleichen Construction in ^j, N^, ... und Fort- 
nahme aller n- Eckseiten ein neues Netz Fq, F^, . . ., welches zum 
ersten Netze in der That im Verhältnisse der Gegenseitigkeit steht. 
Auch die einzelnen Polygone, wie Fq und P^', mögen einander con- 
jugiert heissen; P^' sei etwa dasjenige Polygon, welches N^ umschliesst. 
Natürlich teilen in Ansehung der Gestalt die neuen Polygone P„', P,', . . . 
die schon hervorgehobenen einfachen Eigenschaften von P„, P^, . . . 

Die n Geraden Ee^ , Ee^ , Ee^, . . . übertragen sich auf der Kugel E 
in n Curven Ef, , Ef^, ••• von dem in A^' gelegenen Bildpunkte E 
von E nach fj, £.,, ..., f„. Diese n Curven stellen ein kanonisches 
Schnittsysteni auf der geschlossenen Fläche F dar, das wir kurz etwa 
durch 2 bezeichnen wollen. Hier gelten nun ganz ähnliche Bemer- 
kungen, wie oben (pg. 297) bei Behandlung der Gattung (1, 1). Als 
unwesentlich hat jede stetige Umwandlung von 27 zu gelten, bei welcher 
die n Schnitte nicht unter einander collidieren; der gemeinsame Ur- 
sprung E der Schnitte wird dabei auf P" eine beliebige, nur die Punkte 
£j , £2> • • •, f/i meidende Bahn beschreiben, während natürlich die End- 
punkte der Schnitte bei £, , fg, ..., £„ festliegen*). Zum conjugierten 
Polygon Fq gehört übrigens in ganz entsprechender Weise ein zu Z 
conjugiertes Schnütsystem U', und man merke vor allem den Satz an, 
dass unter drei zusammengehürigen Gebilden 2J, 2J', K jedes die beiden 
anderen im wesentlichen eindeutig bestimmt. 

Das Schlussergebnis des vorigen Paragraphen und die soeben aus- 
geführte Construction von P„ führt nun auf folgendes wichtige Theorem, 
welches sich dem für die Gattung (1,1) pg. 297 formulierten Satze 



*) Auch von der Bedingung, dass E in keinen Punkt e. hineinröcken soll, 

könnten wir absehen; nur würde man die betreffende Linie Ef . hierbei auf einen 
Punkt zusammenziehen müssen. 



II. 2. Kanonische Polygone und Moduln der hyperbolischen Rotationsgruppen. 307 

unmittelbar anschliesst: Jedes beliebige kanonische Querschnittsystem der 
geschlossenen Fläche F liefert entweder direct oder nach umvesentlicher 
Umgestaltung , hei tvelcher insbesondere die Erzeugenden erhalten bleiben, 
als Abbild der zerschnittenen Flüche in der projectiven Ebene ein gerad- 
liniges und mit lauter concaven Winheln ausgestattetes Polygon von 2n 
Seiten. Dabei sei nochmals daran erinnert, dass für w ^ 4 stets un- 
endlich viele wesentlich verschiedene Querschnittsysteme existieren; 
man wolle überdies für später anmerken, dass die Reihenfolge der 
n Classen fester Eclpunkte auf dem Rande des Polygons in ganz beliebiger 
Weise vorgeschrieben uerden darf 

Zum Zwecke der Transformation der kanonischen Polygone, welche 
die Vermittlung zwischen den unendlich vielen verschiedenen Polygonen 
unserer Gruppe liefert, wird mau immer auf die zugehörigen w-Eck- 
uetze zurückgehen und nach der Vorschrift des vorigen Paragraphen 
verfahren. Wir wollen hier nur uoch aufweisen, wie sich die Er- 
zeugenden Fl, F2, F3, . . ., F„ bei Ausübung einer Elementartrans- 
formatiou verhalten. Man stellt dies mit Hilfe der Figuren 101 und 102 
ohne weiteres fest. Die beiden Elementartransformationen ^ ivelche die 
Reihenfolge der Eden Ci und e.+i mnkehren, ersetzen die Erzeugenden 
r, und F,_|-i durch: 

(2) V,Vi+iVr\ V^ bez. durch Vi +„ F^\FF+i- 

Die llelatiou zwischen den transformierten Erzeugenden, z. B. 

l\V,--- F_x(F, F+i Vr') • F, • F,+2 • F+3 • • F„ = 1, 

ist in jedem Falle eine identische Folge der Relation (1). Übrigens 
erkennt man leicht, dass die beiden in (2) angegebenen Elemeutar- 
transformationen einander invers sind. Denken wir demnach die eine 
mit der anderen gegeben, so haben wir im Einzelfalle insgesamt 
n Elementartransformationen. 

Mit Rücksicht auf die späteren Anwendungen sind hier einige 
weitere Bemerkungen auzuschliessen. Zuvörderst sei betont, dass irgend 
zwei aus den von Pq gelieferten Erzeugenden F^ , Fg , . . . , F„ ein Paar 
der ersten Species darstellen. In der That zieht ja jede Diagonale des 
n-Ecks iS'u durch das Ellipseuinuere hindurch, wie wir aus der (Je- 
stalt des ganzen Polygonuetzes wissen. 

Kommen unter F, , F., . . ., F,. hyperbolische Substitutionen vor, 
so wollen wir die .\uswahl des zum Polygon P„ führenden Punktes E 
beschränken. Wir zeichneu, gerade wie auch früher bei der Gattung 
(1, 1), für alle ausserhalb der Ellipse golegeneii und also hyperbolischen 
Ecken Ci l)oz. e,' des w-Ecks N^ (cf. Figur 102) die Polaren ;», bez. ;),' 

20* 



308 II- Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 

bezüglich der Ellipse. Diese Polaren schneiden sich in N^ nicht; die 
einzelne schneidet jedoch von i\V ein Dreieck ab; und es bleibt in- 
mitten ein Polygon, dessen Seiteuanzahl die Zahl n um soviel Ein- 
heiten übertrifft, als hyperbolische Ecken vorliegen. Innerhalb dieses 
Polygons (das offenbar gänzlich im Ellipseuiunern liegt) oder auch 
auf einer der das Polygon begrenzenden Polaren wählen wir den 
Punkt E, womit die frühereu Maassnahmen und Resultate in keiner 
Weise beeinträchtigt werden. Es ergiebt sich so: Ein kanonisches 
Volygon Pq von F lässt sich unter Einhaltung aller bislang über seine 
Gestalt geschehenen Festsetzungen stets so fixieren, dass von der einseinen 
hyperbolischen Ecke d aus die sich hiernächst anschliessenden zufälligen 
Ecken erst nach JJbeischrciten der zugehörigen Polare })( bez. auf der letzteren 
erreicht werden. Die sämtlichen zufälligen Ecken von P^ liegen dann 
offenbar im Innern der Ellipse. 

Übrigens ist es leicht, von einem ersten, etwa geradlinig ge- 
wählten und mit coucaven Winkeln ausgestatteten Polygon Pq zu dem 
allgemeinsten kanonischen Polygon des gleichen Erzeugendensystems 
überzugehen. Man wird auf der geschlossenen Fläche F das zu P^ 
gehörende Querschnittsystem 2J einer ganz beliebigen stetigen und un- 
wesentlichen Umformung unterziehen, wobei namentlich die vom Punkte E 
beschriebene Bahn maassgeblich ist. Diese Bahn hat nur der Bedingung 
zu genügen, die n Punkte s zu umgehen, sofern nicht zugleich die 
Curve E.S sich auf einen Punkt zusammenzieht. In der projectiven 
Ebene hat man die Veränderung von Pq vor allem dadurch zu regeln, 
dass man eine erste zufällige Ecke E innerhalb des Netzes auf be- 
liebiger nur die etwa vorliegenden elliptischen Punkte e meidender*) 
Bahn bewegt; die übrigen zufälligen Ecken beschreiben dann von selbst 
entsprechende Bahnen, und natürlich erfahren die Seiten Abänderungen, 
welche den Veränderungen der Schnitte auf der geschlossenen Fläche 
entsprechen. 

Bei diesen Veränderungen werden wir die Forderung der Gerad- 
linigkeit aller Seiten nicht beständig aufrecht erhalten können. Es 
ist aber sehr wichtig, dass, falls etwa V, hyperbolisch ist, der folgende 
den Verhältnissen bei der Gattung (1, 1) durchaus entsprechende Satz 
besteht: Bewegen wir den ursprünglich im n-Eck Nq gelegenen Punkt E 
auf der Polare pi der hypei-bolischen Ecke e, beliebig weit, jedoch inner- 



•) Ausgenouimeu siud offenbar die etwaigen elliptischen Ecken des ursprüng- 
lichen Polygons P, ; in eine solche Ecke mündet die Bahn des Punktes J£ ein, 
falls der Punkt E auf der geschlossenen Fläche in den correspondierenden Punkt £ 
unter Zusamiuenziehung der Ef auf null hineinrückt. 



II, 2. Kanonische Polygone nnd Moduln der hyperbolischen Rotationsgruppen. 309 

halb der Ellipse nach rechts oder linJcs, so können wir das mgehörige 
kanonische 2n-Eck gleichwohl beständig geradlinig erhalten; nur tritt der 
Ecke Ci nächst benachbart ein convexer Winlicl auf, sobald E über N^ 
nach rechts oder links hinausivandert. Um dies einzusehen, fasse man 
die gesamten w-Ecke mit der Spitze e,- zu einem grösseren Bereiche M 
zusammen; das ganze n-Eeknetz lässt sich aus unendlich vielen solchen 
Bereichen M zusammensetzen. Die Polare pi, welche wir rechts und 
links nur bis zur Ellipse ziehen, liegt gänzlich in dem zu e,- gehörigen 
Bereiche 31. Vor allem aber bemerke man, dass M gegen den übrigen 
Teil des Bereichnetzes durch eine aus unendlich vielen Gliedern be- 
stehende gebrochene Linie abgegrenzt ist, welche sich beiderseits gegen 
die Endpunkte von pi hinzieht, und welche für M ausnahmslos con- 
cave Winkel liefert. Nun nehme man hinzu, dass innerhalb 31 die mit 
E äquivalenten Punkte äquidistant auf pi liegen. Es ist alsdann eine 
unmittelbare Folge der Anschauung, dass bei beliebiger Bewegung 
von E auf p; die von E aus nach den festen Ecken von Nq zu ziehenden 
Geraden weder mit einander noch mit den entsprechenden Geraden 
von den äquivalenten Punkten aus collidieren. Unser obiger Satz er- 
scheint ohne weiteres als Ergebnis dieser Darlegungen. — 

Wir schliesseu die Betrachtung der Gattung (0, n) mit der 
Behandlung der Aufgabe, aus den zum Polygon Pq gehörenden Er- 
zeugenden Fl, Fg, ..., Vn die zum conjugierten Polygon Pq gehörenden 
F/, Fg', . . ., V„' zu bestimmen. Wir halten hierbei an der durch 
Figur 102 pg. 305 getroffenen Festsetzung fest. Um also aus dem 
dortigen Polygon Pq das conjugierte Pq zu gewinnen, wählen wir E' 
in iVg und ziehen zufolge der früheren Vorschrift von E' n Gerade 
nach ßj, e^, . . ., e„. Hierdurch erscheint P^ in n Vierecke zerlegt, die 
wir so nummerieren wollen, dass dasjenige mit der Diagonale e^e^ das 
erste ist, das mit e^e^ das zweite u. s. w. Wir denken nun Pq längs 
der n Geraden E' Ci zerschnitten, jedoch so, dass die n Vierecke noch 
in den (n — 1) Punkten e^, e^, . . ., e,, zusammenhängen, welche ge- 
wissermaassen (n — 1) Gelenke der Viereckskette vorstellen. 

Den Übergang zu Pq bewerkstelligen wir nun folgendermaassen: 
Während das erste Viereck am Orte bleibt, drehen wir die (n — 1) 
übrigen Vierecke zugleich um das Gelenk e., durch Ausübung von V^. 
Die Ecke e^ kommt dabei bereits in ihre richtige Lage e^\ während 
e^, ^5, . . ., e„ in die Lagen €^^*\ e^^^\ ..., f„^*> gelangen mögen. Die 
zugehörigen Substitutionen sind offenbar: 

Für die ersten drei zu Pq gehörenden Substitutionen haben wir 



310 II. Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 

Fj' = F, , Vo = V^, F3' = V^'^\ Demnächst aber haben wir den 
Process in der Weise fortzusetzen, dass wir das System des dritten 
bis w*®° Vierecks aus der neuen Lage um das Gelenk e^ durch Aus- 
übung von Fs^^' drehen. Nunmehr gelangt e/^^ in seine Endlage e^, 
während et^\ . . ., e}^^ vorerst an die Stellen 65^^^, . . ., e}^^ rücken. Die 
zugehörigen Substitutionen sind: 

(8) (2) <2) *!.\ (3) (2) (2) j!l, (3) (2) (2) <!^i 

F4 = Fs F4 F3 , F5 = F 3 I 5 J' 3 , • . •, Vn == Vz Vn y^ • 

In derselben Weise fahren wir fort und gewinnen als Ergebnis, dass 
die vom conjugierten Polygon P^ gelieferten Erzeugenden die folgenden sind: 

(3) v;=:v,, v;-=v,, v^==vp, f;=f/-'", ..., v.:=v}r'\ 

Zwischen diesen Substitutionen besteht die Relation: 

(4) f;.f„'_i ••• F3'. f;. f/=i. 

Dieselbe ist eine identische Folge der Relation (1), eine Thatsache, die 
späterhin zur Geltung gelangt. Man wolle nämlich die Relation (4) 
in die Gestalt umschreiben: 

Vi"-'' ■ Fill^^ . • ■ Vl'^V^'^ . F2 • F, = 1. 
Hier hat man alsdann die oberen Indices zu reducieren, indem man 

zuvörderst F„ durch F„_i • V^ • ViT—i ersetzt. Sodann redu- 

ciere man alle oberen Indices (« — 2) und fahre so fort; man kommt 
schliesslich auf die Relation (1) zurück, womit die aufgestellte Be- 
hauptung bestätigt ist. 

§ 6. Die kanonischen Polygone im Falle einer beliebigen 
Gattung {p, n). 

Die Vorbereitungen der vorangehenden Paragraphen setzen uns 
in den Stand, nunmehr für den Fall einer beliebigen Gattung {p, n) 
die geometrische Theorie der kanonischen Polygone und ihrer Trans- 
formation bis zu dem gleichen Grade wie in den bisherigen Special- 
fällen zu entwickeln. Zum Unterschiede gegen die bisher behandelten 
Fälle knüpfen wir hier im allgemeinen Falle nicht erst an ein Normal- 
polygon an, sondern legen auf der geschlossenen Fläche gleich ein be- 
liebiges kanonisches Schnittsystem zu Grunde, welches als Abbild der 
zerschnittenen Fläche in der projectiven Ebene das Polygon P^, liefern 
mag; auf letzteres wenden wir sogleich die gesamten Festsetzungen 
und Bozoichnungen von § 1 pg. 285 an. Es ist unser Hauptproblem, 
zu entscheiden, ob wir vielleicht auch jetzt durch unwesentliche Ab- 



II, 2. Kanonische Polygone und Moduln der hyperbolischen Rotationsgruppen. 311 

änderung des Schnittsystems P^, zu einem geradlinigen Polygon mit 
concaven Winkeln ausgestalten können oder nicht. Bei dieser Unter- 
suchung haben wir ausgedehnten Gebrauch vom „Princip der Gruppen- 
composition" (cf. pg. 190) zu machen; um dieses Princip jedoch ein- 
zuführen, ist es nötig, eine kurze Vorentwicklung vorauszusenden. 

Die bereits erledigten Fälle (1, 1) und (0, n) mögen hier als aus- 
geschlossen gelten. Es ist dann sicher p> 0, und wir wollen eine 
unter den p Substitutionen Vc^ herausgreifen, die wir kurz Vc nennen, 
und über die wir hier einige Sätze entwickeln wollen. Wir nehmen 
zu diesem Ende die beiden durch Vc auf einander bezogenen Seiten 
von Pq fort und zerfallen hierdurch den Rand des Polygons P^ in 
zwei Teile, die wir li^ und J^ nennen wollen; R^ möge sich aus den 
vier Seiten zusammensetzen, welche durch die zu Vc gehörenden Sub- 
stitutionen Va, Vb correspondieren, P., wird dann die Kette der übrigen 
(2n + 6i> — 6) Randcurven von P,, vorstellen. 

Wir stellen demnächst den Satz fest: In den beiden zu Pj und B2 
gehörenden Systemen von Gruppenerzeugenden lässt sich jedesmal eine Sub- 
stitution angeben, ivelche Jceine Potenz von Vc ist^-). Wären nämlich 
erstlich (P^ betreffend) Va und Vb zugleich Potenzen von Vc, so 
wäre zufolge: 

Vc = Vo v~' vr' F„ 

notwendig ]'. == 1 und damit P^ mehrfach zusammenhängend, was 
doch nicht zutrifft. Ist auf der andern Seite jj > 1 , so liefert Pg wenig- 
stens noch ein Paar VJ, Vb, auf welches wir die gleiche Überlegung 
mit demselben Erfolge anwenden können. Haben wir aber p = 1, so 
ist w> 1, und wir können das Paar V^, V^ heranziehen. Diese Sub- 
stitutionen können nicht zugleich Potenzen von Ve sein; denn es müssten 
in diesem Falle die beiden Fixpunkte von F^ und Fg coincidieren, 
entgegen der Thatsache, dass sich Pjj an diese Fixpunkte mit zwei 
verschiedenen Ecken heranzieht**). Man kann bei dieser Sachlage auch 
sagen, da^s sich längs R^ und R^ wenigstens je ein mit P^ benachbartes 
Polygon aufweisen lässt, welches aus P^ nicht durch eine Potenz von Vc 
entsteht. — 

Nunmehr verbinde man irgend zwei durch Vc correspondierende 
Uandpunkte von P„, die nicht gerade Eckpunkte sind, durch eine 



*) Dies geht boieits aus unseren früheren Untersuchungen nbiT die Relationen 
zwischen den P>7.eugenden (ct. pg. 185 if.) hervor; doch ist der im Texte zum 
Beweise eingeschlagene Gedankengang noch überzeugender. 

**) Würden die beiden fraglichen Eckpunkte coincidieren, so niüeste not- 
wendig V^(P^,) mit 7',, in CoUision geraten. 



312 n. Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 

innerhalb Pq verlaufende Linie und übe auf letztere alle Substitutionen 
der zu Vc gehörenden eyclischen Untergruppe aus. Es entspringt so 
eine die Polygone ... Vr^iPo), Po, ^^c{Po) , ••• durchlaufende Curvo, 
die wir C nennen wollen, und über deren Verlauf wir leicht nähere 
Angaben machen können. 

Die Gestalt von C ist vor allem durch die Natur der Substitution 
Vc bedingt. 

Nehmen wir iu dieser Hinsicht erstlich an, Vc sei elliptisch 
oder parabolisch, so wird C eine geschlossene Curve sein (falls wir 
iür parabolisches Vc noch den Fixpunkt von Vc zufügen). Nur dieseii 
letzteren Punkt hat C mit dem Rande des Polygonnetzes gemein, im 
übrigen aber verläuft unsere geschlossene Curve C gänzlich im Innern 
des Netzes. Es ist nun leicht, diese Annahme einer nicht -hyper- 
bolischen Substitution Vc als unmöglich zu erkennen. Man bilde \ 
nämlich die gesamten mit C äquivalenten Curven C, C, C" , . . . und 
beweise zuvörderst vermöge der pg. 253 bei ähnlicher Gelegenheit 
herangezogenen Überlegung, dass keine zwei Curven einen im Innern 
des Polygonnetzes gelegenen Punkt gemein haben können. Nach 
unserer soeben vorausgesandten Überlegung umschliesst aber C not- • 
wendig wenigstens eine weitere Curve C = V(C)] in der That findet i 
sich ja sowohl längs Ri als i?2 neben P,, wenigstens ein von C nicht 
durchzogenes Polygon, welches somit zur Construction von C hinführt. 
Wäre nun Vc elliptisch, so bemerke man, dass C notw^endiger Weise . 
die Curve C"= V^(C), diese die Curve C" = V^{C) u. s.w. umschliessen i 
müsste, und dass somit im Innern von C wenigstens ein Grenzpunkt t 
auftreten würde, was doch unmöglich ist. Im parabolischen Falle würde t 
von den entsprechend gebildeten Curven C, F(C), F^((7), ... gleich- \ 
falls jede die folgende umschliessen, und sie müssten notwendig alle (i 
den parabolischen Punkt gemein haben, welch' letzterer somit Fixpunkt 
von V sein würde. Da nun aber ersichtlich keine endliche Potenz von 

V der aus Vc zu erzeugenden eyclischen Gruppe angehört, so wäre 

V hyperbolisch und würde mit Vc ein Paar dritter Species bilden, 
was wieder unmöglich ist (pg. 287). 

Diese Überlegung hat ergeben, dass Vc notwendig hyperbolisch ist, 
und wir können hinzusetzen, dass es sich hier um eine hyperholische 
Suhslitution handelt, an deren ausserhalb der Ellipse gelegenen FixpmiM Cc 
das Polygonnetz nicht heranragt. Nennen wir nämlich die beiden auf 
der Ellipse und zugleich auf dem Rande des Polygonnetzes gelegenen ! 
Fixpunkte von Vc etwa e/ und €c", so stellt C eine das Polygonnetz 
durchsetzende Verbindungslinie von e/ und ej' dar. Würde sich nun 
das Polygounetz an Cc heranziehen, so wäre das eine der beiden durch 



I 



II, 2 Kanonische Polygone und Moduln der hyperbolischen Rotationsgruppen. 313 

eä und Cc' abgetrennten Ellipsensegmente gänzlich frei von Grenzpunkten. 
Dies steht aber im Widerspruch mit der Thatsache, dass sich zu 
beiden Seiten von C weitere Curven C, C", . . . fiiulen, welche letztere 
doch gleichfalls in hyperbolischen Fixpunkten auf der Ellipse endigen 
müssten. — 

Um nun das Priucip der Gruppencomposition in Anwendung bringen 
zu können, behalten wir alle bisherigen Bezeichnungen bei und ver- 
stehen unter Fg insbesondere die Substitution Fcj. Die beiden Ellipsen- 
segmente, welche durch e/ und e" abgetrennt werden, mögen S^ und 
S2 heissen, und es liege etwa S^ mit dem Randstück R^ von Pq, ^2 
mit jRg auf derselben Seite von C. 

Man denke von Pq nun vorerst einzig die beiden durch Vc auf 
pjnaiuler bezogenen Seiten gezeichnet. Dieselben stellen ein Bruchstück 
vom Rande eines zu Vc gehörenden cyclischen Discontinuitätsbereiches 
dar. Um einen vollständigen Bereich für Vc zu gewinnen, verlängere 
man die beiden fraglichen Seiten gerad- oder krummlinig zuuächst in 
der Richtung auf S^ und über S^ hinaus bis ^o, und zwar natürlich 
so, dass die beiden Verlängerungen auch durch Vc correspondieren; 
in gleicher Weise verlängere man die beiden Seiten in der Richtung 
auf S.^ und über ^2 hinaus, bis man ßc von der entgegengesetzten Seite 
her erreicht*). Unser cyclischer Discontiuuitätsbereich wird hierbei 
die (im gewöhnlichen Sinne) unendlich ferne Gerade überschreiten. 

Nach dieser einleitenden Construction kehren wir zum Polygon P^ 
zurück und zeichnen den Rand desselben bis auf das Stück P^; statt 
dessen aber hänge man hier den über S-^ hinaus bis Cc hinziehenden 
Teil des soeben construierten cyclischen Bereiches an. Der so ge- 
tvonnene Bereich geniUjt offenbar allen Anforderungen eines Discontinuitäts- 
hereiches und stellt ein kanonisches Polygon einer Gruppe vom CharaJcter 
(j) — 1, n -f- 1) dar. Diese Gruppe, welche eine Untergruppe unserer 
Gesamtgruppe (p, n) ist, besitzt zu Erzeugenden: 

V V F F 1 , = V~^ V V. V V^ • 

'D '2> • • •} ' nj r n-\-l ' c^ > '112' ''2' •'*' "p ' r^ 

ihr Polygonnetz zieht sich an €c = Cn + i heran, und das Ellipsen- 
segment 6'i weist, abgesehen von seinen Endpunkten ei, f/', keinen 
Grenzpunkt der neuen Gruppe auf. 



*) Findet man diese Opciationsweise (wehren der möglichen Collisioiien der 
/n ziehenden Linien unter einander) nicht hinreichend klar, so wird ea jedenfalls 
nicht schwer halten, J*„ als Bruchstück eines cyclischen zu V. gehörenden Dis- 
continuitätsbereiches aufzufassen. Dieses Bruchstück kann man aber zweifellos 
nach Fortnahme von li^ und Jf, zu einem vollständigen cyclischen Discontinuitäts- 
bereich unserer Art auswachsen lassen. 



314 11- Ausfuhrliche Theorie der Polygongruppen. 

Um die Einführung der Gruppe (p — 1, n -j- 1) noch iu einer 
etwas anderen Weise zu besehreiben, gehen wir nochmals auf die ge- 
samten bezüglich F äquivalenten Curven C, C\ . . ., zurück, behalten 
von Pq nur denjenigen durch C abgeschnittenen Teil bei, welcher zu 
R^ gehört, und fassen diesen Polygonteil mit allen denjenigen ent- 
sprechend gebildeten Polygonteilen zu einem Complex zusammen, welche 
von P„ aus ohne Überschreiten einer Curve C, C, . . . erreichbar sind. 
Alle zu den ausgewählten Folygonteilen gehörenden SuhsÜtidionen werden 
den fraglichen Complex offenbar in sich überführen und bilden in diesem 
Sinne für sich eine Untergrtq^pe der Gesamtgruppe F, welche eben unsere 
Griqype {p — 1, w + 1) ist. Der in Rede stehende Complex wird zum 
Polygonnetz der Untergruppe ausgestaltet, indem man längs jeder am 
liande des Complexes beteiligten Curve C alle einzelnen durch diese 
Curve abgeschnitteneu Polygonteile in der oben geschilderten Weise 
durch Anfügung cyclischer Bereiche ergänzt. 

Nun wolle man zweitens den Rand von P^ bis auf R^ zeichnen 
und füge statt dessen den über S., hinausziehenden Teil unseres obigen 
cyclischen Discontinuitätsbereiches an. Es entspringt so offenbar ein 
kanonisches Polygon einer neuen in F enthaltenen Untergruppe, und zwar 
von der Gattung (1, 1). Ihre Erzeugenden sind: 

'^nj 'b) f^c] 

ihr Polygonnetz zieht sich gleichfalls an e,. heran, aber von der ent- 
gegengesetzten Seite, wie dasjenige der Gruppe {p — \ , n -\- \)\ und nun 
ist das Segment So von Grenzpunkten frei, natürlich wieder von den 
Endpunkten Cc und e/' abgesehen. 

Die ursprüngliche Gruppe F entsteht nun offenbar umgekehrt 
durch Composition der beiden Gruppen {p — 1, n -\- 1) und (1, 1), 
wobei der Discontinnitätsbereich der componierten Gruppe direct der ge- 
meinsame Bestandteil der Discontinuitätsbereiche der beiden componierendeti 
Gruppen ist. 

Jetzt hindert offenbar nichts, die soeben beschriebene Manipulation 
aufs neue auf die Gruppe {p — 1, n -\- 1) und Vc^ auszuüben, welche 
dann entsprechend durch Composition aus einer Gruppe (p — 2, n-\- 2) 
und einer Gruppe (1, 1) entstanden erscheint. Fahren wir in der 
gleichen Weise fort, so folgt: Die nrsprüngliclie Gruppe F kann durch 
Composition aus einer Gruppe (0, n -\- p) der Erzeugenden: 

und p Gruppen (1, 1 i der Erzeugenden Va^, Vb^ hergestellt werden. Für die 



II, 2. Kanonische Polygone und Moduln der hyperbolischen Rotationsgnippen. 315 

(n -\- p) Substitutionen (1) gilt dann, wie es sein muss, die Relation: 

(2) V,-V, •■• F„. F„+i ■•• F„+^ = l. 

Die (p 4" 1) componierenden Gruppen nennen wir Fq, F, , Fg, ..., Fp, 
wobei Fl, . . ., Fp den Substitutionen F^j, . .., Vc entsprechen und Fy 
die Gruppe (0, n -j- p) ist. 

Es wurde nun bereits oben (po;. 307) der Satz aufgestellt, dass wir das 
zunächst vorliegende kanonische Polygon von F^ durch unwesentliche 
Abänderung in ein geradliniges und mit concaven Winkeln ausgestattetes 
(2n + 2j9)-Eck umwandeln können. Dabei sind die Seiten Niveau- 
gerade der Erzeugenden, und wir können das Polygon der F^ ins- 
besondere so gestalten, dass die von der einzelnen festen Ecke aus- 
ziehenden Seiten im Falle einer hyperbolischen Erzeugenden erst auf der 
zugehörigen Polare oder jenseits derselben die sich anschliessenden 
zufälligen Ecken erreichen fcf. pg. 308). 

Nun ist die Sachlage die, dass wir an dem eben vollzogenen 
stetigen ümformungsprocess sogleich die Polygone der Gruppen F,- 
teilnehmen lassen können. 

Um dies zu sehen, bezeichnen wir für die einzelne Gruppe F, die 
Polare des zugehörigen hyperbolischen Punktes e,:. durch /), und nennen 
die beiden durch jp,- abgeschnittenen Ellipsensegmente gerade wie vorhin 
ä/'^ und 5/''. Dann ist, wenn wir uns der Kürze halber der Bezeich- 
nungen der Figur 93 pg, 298 bedienen, der von ä/'' und pi ein- 
gegrenzte Ellipsenabschnitt derjenige, in welchem wir die Ecken E-J''^ 
und Eg willkürlich bewegen können, ohne die Möglichkeit geradliniger 
Grenzen für das Polygon der Gruppe F,- einzubüssen (cf. pg. 297)*). 

Der eben gemeinte Ellipsenabschnitt zwischen S^ und pi ist nun 
derjenige, in welchem das Polygon der F^ bis auf die eine über jj, hinaus- 
ziehende Ecke mit der Spitze Cc- gelegen ist. Indem wir somit das Polygon 
der F, an der Umwandlung sogleich teilnehmen lassen, ist es möglich, 
dieses Polygon geradlinig auszugestalten; aber wir müssen damit rechnen, 
dass an einer der Stellen E^ , Eq ein convexer Winkel eintritt. 
W^ollen wir nämlich, dass das Polygon der F^y ohne convexe Winkel 
bleibt, so haben wir es nicht in der Hand, die Punkte Fr,' und Fg*'' 
auf Pi oder in Richtung von j), beliebig weit nach der einen oder 
inderen Seite zu verschieben (cf pg. 298 und 308 u. f.). Doch wollen wir 



*) Zu dem durch p. und <S'/'^ eingegrenzten Abschnitt gehören Rchliesslich 
nur die drei inneren Ecken des zu V„j, V/,- gehörenden Seitenqundnipels. Sollten 
jedoch anfangs auch noch die Endpunkte K/'^ E,.}'' dieses Quadrupels oder noch 
weitere zufüUigen Ecken im fraglichen Ellipsenabschnitt liegen, so wird man diese 
Ecken bis auf p oder über p- hinaus verschiebon, was keine Schwierigkeit hat. 



316 n. Ausführliche Theorie der Polygongrappen. 

gleich hier hervorheben, dass zufolge der Figur 93 pg. 298 der Über- 
sclmss eines etwaigen convexen Winkels über -x niemals den Betrag 
- erreichen kann. 

Indem wir die Polygone aller j) Gruppen F, zugleich mit demjenigen 
von Py an der stetigen Umgestaltung teilnehmen lassen, haben wir 
vor allem erreicht, dass es sich hier nur um eine unwesentliche Um- 
gestaltung desjenigen kanonischen Schnittsystems handelt, welches wir 
auf der geschlossenen Flüche der Gruppe T anfänglich völlig willkürlich 
aufgriffen. Unsere vorangegangene Überlegung hat somit das wichtige 
Theorem ergeben : ILin tviWiürlich gewähUes lanonisches Schnittsystem auf der 
zu r (jf'hörendai geschlossenen Flüche liefert entweder direct oder nach un- 
tvesentliche}' Umgestaltung als Ahbild der zerschnittenen Fläche ein gerad- 
liniges Polygon mit (2n -\- Gjf^) Seiten, unter dessen Winlrln sich höch- 
stens p convexe finden können; die letzteren sind aber jedenfalls kleiner 

als — und können nur an jenen 2p Stellen vorkommen, welche die End- 
punkte der den Schnitten a,, hi entsprechenden Seitotquadrupel sind. Die 
durchgeführte Construction dieses Polygons P^ liefert zugleich ein sehr 
anschauliches Bild desselben; man wolle sich z. B. klar machen, dass 
schon wegen der Lage und Grösse etwaiger convexer Winkel eine Collision 
der Seiten von P^ unter einander ausgeschlossen bleibt, u. s, w. 

§ 7. Fortsetzung: Fortschaffung der bei den geradlinigen kanonischen 
Polygonen der Gattung (j), ;?) etwa auftretenden convexen "Winkel. 

Das mögliche Auftreten convexer Winkel wird man jedenfalls 
als eine Unvollkommenheit unseres bisherigen Resultates gegenüber 
den Schlussergebnissen bei den Gattungen (1, 1) und (0, n) ansehen. 
Es giebt zwei Wege, diese Unvollkommenheit zu überwinden. 

Erstlich kann man durch wesentliche Umgestaltung des Schnittsystems, 
d. i. durch Transformation des Polygons Pq die convexen Winkel fort- 
schaffen. Diese Transformation wird sich einfach auf die einzelne F, 
beziehen. Wir können nämlich zufolge pg. 299 für die einzelne Fi mit 
convexem Winkel die daselbst mit T bezeichnete Transformation einmal 
oder wiederholt anwenden, um den convexen Winkel zu entfernen; 
T-i gilt dabei nötigenfalls auch als W^iederholung von T. Um dies 
in besonders einfacher Weise näher auszuführen, knüpfen wir an den 
1. c. hervorgehobenen Satz an, dass immer wenigstens gewisse drei auf 
einander folgende Potenzen T'-^, T'~\ T* ein kanonisches Sechseck 
mit convexem Winkel in ein solches mit lauter coneaven Winkeln 
verwandeln. Man kann demnach auch bereits durch einmalige oder 
wiederholte Ausübung von T^ den convexen Winkel entfernen. 



II, 2. KanoDische Polygone und Moduln der hyperbolischen Rotationsgruppen. 31 



Hierbei uun liefert zufolge der Darstellung von T durch Va, V,, 
(cf. pg. 299) die Transformatiou T^: 



IV 



vr'v,7'Va= V 



r,.. 




Fig. 10.", 



(1) v:=y.r'v,r~'yr'Va= wr'v.:, 

wenn die Auswahl der Erzeugenden T«', ^V im transformierten Sechseck 

dieselbe ist, wie die von Va, Vb im ursprünglichen*). Demzufolge ist 

die geometrische Bedeutung von T^ eine höchst einfache: T' stellt den 

Fortgang von dem in Figur 103 stark 

umrandeten Sechseck zum schraffierten 

Sechseck dar. In der That hat dieses 

Sechseck zufolge Figur 103 die in (1) 

gegebenen Erzeugenden Va, TV und 

lässt sich demnach durch unwesentliche 

Abänderung in unser geradliniges 

Sechseck T^{Pq) verwandeln. 

Noch einfacher wird die in Figur 103 
vollzogene Transformation auf der zu 
r gehörenden geschlossenen Fläche. 
Sie besteht einfach in einer Verlegung 
des bezüglichen Schnittes c, iu eine 

neue Lage c/, wie sie in Figur 104 durch Fortgang von der links 
zur rechts dargestellten Anordnung gegeben ist. Das so gewonnene 
Schnittsystem ist natürlich 

erst noch einer gewissen un- ^ *? 

wesentlichen Abänderung 
zu unterziehen, ehe es 
unser geradliniges Polygon 
T\P;) liefert. Ist der cou- 
vexe Winkel noch nicht 
verschwunden, so hat man 
die gleiche Manipulation 
zu wiederholen. Es ent- 
springt der Satz: Sollte 
dos zunächst auf<j(gnff'enc 
lanonische Schnittsystem in 
oben bezeichneter Weise auf 
ein geradliniges Polygon mit 

einem oder mehreren convexcn Winheln führen, so kann man stets durch 
Verlegung einzig der bezüglichen Schnitte c zu einem Schüttsystem gelangen, 

*) In der That sind ja nur bei Einhaltung dieser Vorschrift die Formeln (1) 
eindeutig bestimmt (siehe auch ]ig. 289'). 





tM«. 104. 



318 "^- Aiiafübrlicbe Theorie der Polygongruppen. 

welches nach der erforderlichen unwesentlichen Abänderung auf ein gerad- 
liniges Folygon mit ausschliesslich concaven Winkeln führt. — 

Für die Uiitersuchuugen der beiden folgenden Paragraphen ist 
nun die zweite in Aussicht genommene Art der P^ortschaffung etwaiger 
convexer Winkel ohne Transformation, d. i. allein durch umvesentliche 
Abänderung des Polygons besonders nützlich. 

Wir knüpfen an das geradlinige Polygon F^, wie es durch unseren 
pg. 316 formulierten Hauptsatz geliefert wird, und fassen die beiden 
durch Vc- auf einander bezogenen Seiten ins Auge. Auf diesen beiden 
Seiten können wir ohne Einbusse der Geradlinigkeit die beiden Ansatz- 
punkte des zu Vap Vb. gehörenden Seitenquadrupcls zugleich bis zu den 
beiden anderen zufälligen Endpunkten der Seiten von Vc^ hinschieben 
(cf. pg. 297), wodurch diese beiden Seiten otfenbar gänzlich in Weg- 
fall kommen. 

Führen wir die gleiche Operation für alle i) Substitutionen ]\. 
aus, so ist Po ein geradliniges Polygon von (2w -f- 4j)) Seiten geworden, 
und wir haben neben den n festen Ecken nur noch einen einzigen 
Cyclus von {n -f- ^p) zufälligen Ecken, welchem direct die Relation 
(9) pg. 187 zugehört. Dass hierbei Collisionen des Polygons mit sich 
selbst infolge etwaiger convexer Winkel gänzlich ausgeschlossen sind, 
sieht man wohl am einfachsten, wenn man sich die Lage der con- 

vexeu Winkel veranschaulicht und sich erinnert, dass dieselben stets < — 

sind. Natürlich sind auch auf der geschlossenen Fläche sämtliclie 
Schnitte c auf null zusammengezogen, so dass die Kreuzungspunkte 
sämtlicher conjugierten Schnitte «,, 6/ bei M coincidieren. 

Da alle zufälligen Ecken hier zu einem Cyclus gehören, so kann 
unser neues Polygon Pq nur noch an einer einzigen beweglichen Ecke 
einen convexen Winkel besitzen. Nehmen wir an, dass ein solcher 
vorkomme, und nennen den Scheitelpunkt E. Wie wir zeigen wollen, 
giebt es eine solche, die geradlinige Begrenztheit von P^, nicht störende, 
Bewegung von P', bei welcher der bisher convexe Winkel stetig in 
in einen concaven übergeht. Aus der Stetigkeit dieses Übergangs er- 
giebt sich aber, dass die demnächst sich einstellenden Polygone 1\ 
lauter concave Winkel haben; denn es kann nicht sofort an anderer 
Stelle ein convexer Winkel auftreten, da doch bisher die Summe aller 
übrigen Winkel concav war. übrigens bemerke man, dass durch die 
Bewegung von E die Umgestaltung von P„ bereits eindeutig reguliert ist. 

Um nun unsere Behauptung zu beweisen, verstehen wir unter 
F, die bez. eine der beiden am Punkte E beteiligten Gruppen aus der 
Reihe Pj, Pg, . . ., Fp und nennen j>, die zu Vc- gehörende Polare. 



II, 2. Kanonische Polygone und Modiilu der hyperbolischen Rotationsgruppen. 319 

Sollte E noch nicht auf pi gelegen sein, so lassen wir E auf einer 
Niveaulinie von V^. nach pi wandern, was die Geradlinigkeit der Seiten 
von P(, nicht gefährdet. Ist bei dieser Veränderung der Polygonwinkel 
bei E nicht dauernd convex geblieben, so sind wir am Ziele, Andern- 
falls verschieben wir nunmehr E auf pi in der von P^ nicht besetzten 
Richtung (cf. Figur 93 pg. 298). Hierbei hört das zu Grunde liegende 
Polygon der Gruppe jT^, nicht auf, geradlinig zu sein und von Niveau- 
geraden der zugehörenden Erzeugenden eingegrenzt zu werden (cf. pg. 308 
u. f.). Zugleich haben die Punktepaare, in denen die Seitenquadrupel der 
Gruppen P, eingehäugt werden, insgesamt und beständig solche Lagen, 
dass je die vier Seiten des einzelnen Quadrupels geradlinig gezogen 
werden können. Aber es kann bei der Bewegung von E, wie wir 
sie einleiteten, der Winkel des Scheitelpunktes E offenbar nicht dauernd 
convex bleiben; denn die mit £ benachbarten Ecken von P^ beschreiben 
entweder zwei mit p,- äquivalente Geraden, welche zu verschiedenen 
Seiten von pi liegen und pi erst ausserhalb der Ellipse schneiden, oder 
der eine dieser beiden Punkte ist ein fester Eckpunkt, dessen Lage 
gegen pi wir von pg. 308 her kennen, und der andere beschreibt auf 
der entgegengesetzten Seite von pi (innerhalb des Polygonnetzes ge- 
dacht) eine Gerade der eben genannten Art. 

Unsere hiermit beendete Überlegung hat zu folgendem Fundamental- 
theorem geführt: Wie wir auch auf der geschlossenen Fläche ein 
kanonisches Quer Schnittsystem auswählen mögen, dasselbe liefert 
entweder direct oder nach einer nnicesentlichen Umgestaltung, 
hei ivelcher man insbesondere sämtlicJie Schnitte c verschivinden 
lasse, als Abbild der zerschnittenen Fläche ein geradliniges 
Polygon von i2n-\-4p) Seiten und von lauter concaven Winkeln. 
lu diesem Theoreme sind die früheren für die Gattung (0, n) und (1, 1) 
ausgesprochenen Sätze als specielle Fälle enthalten. — 

Hat man einmal ein geradliniges {2n -\- 42))-Eck mit concaven 
Winkeln für F gewonnen, so fragt sich nun natürlich, inwieweit ohne 
Einbusse dieser Eigenschaften von 7^„ eine einzelne bewegliche Ecke E, 
durch welche wir etwa wieder die Veränderung eindeutig regulieren, 
frei beweglich ist. Wir wollen hierbei die Coincidenz von E mit festen 
Kckpunkten des Polygonnetzes verbieten, wenn wir solchen Punkten 
Mich beliebig nahe kommen dürfen. Es ist alsdann das Verschwinden 
• iuer der (2w -f- "^p) Seiten von P^ beständig ausgeschlossen; und man 
überblickt sofort, dass man stets brauchbare Gestalten von i^ behält, 
\\t'iiu man nur Sorge trägt, dass niemals ein convexer Winkel auftritt. 

Der Bereich, Avelchen wir für E suchen, wird nun lauter solciie 
Kandpuukte haben, für welche entweder bei E oder l>i'i irgend einer 



320 ^I- Ausführliehe Theorie der Polygongruppen. 

anderen Ecke E' ein gestreckter Winkel eintritt. Man hat dabei drei 
Fälle zu unterscheiden. Erstlich seien mit dem gedachten Punkte E' 
zwei feste Ecken benachbart; dieselben liegen dann mit E' auf einer 
Geraden. Unter diesen Umständen aber liegt auch E, als mit E' 
äquivalent, mit gewissen zwei festen Ecken eines an E beteiligten 
Polygones auf einer Geraden, welche letztere dann mit einem Segmente 
an der Berandung unseres für den Punkt E gesuchten Bereiches teilhat. 
Zweitens kann E' mit einer festen und einer beweglichen Ecke benach- 
bart sein; dann liegt E' auf einer gewissen mit den Erzeugenden von 
Pß fest gegebenen Curve zweiten Grades, und Gleiches gilt somit auch 
von E. Sind endlich mit E' zwei bewegliche Punkte benachbart, so liegt 
E auf einer in derselben Weise fest gegebenen Curve dritter Ordnung. 
Es entspringt der Satz: Soll F^ die Geradliniglceit der Seiten und 
die Concavität der Winltel nicht einhüsscn, so ist E auf einen durch die 
Erzeugenden von Pq fest bestimmten Bereich beschränkt, welcher durch 
Stücke von Geraden, Kegelschnitten oder Curven dritte^- Ordnung ein- 
gegrenzt ist. Besonders einfach gestaltet sich der Fall (0, «); in Figur 102 
pg. 305 ist der eben gemeinte Bereich für E direct durch das M-Eck Nq 
gegeben. 

§ 8. Transformationstheorie der kanonischen Polygone einer 
beliebigen Gattung {p, n). 

Sind Pq und P^ zwei wesentlich verschiedene Polygone einer und 
derselben Gruppe F der Gattung (p, n), so nannten wir den Über- 
gang von Py zu Pq eine „Transformation" von P^; wir gaben auch 
bereits pg. 291 den Satz an, dass jede Transformation diesem' Art aus 
einer etidlichen Anzahl von Elementartransformationen erzeugt werden kann. 
Wir müssen hier vor allen Dingen den Charakter dieser Elementar- 
transformationen näher aufweisen. Dabei macheu wir einen etwas aus- 
gedehnteren Gebrauch als bisher von den zum einzelnen Polygon Pq 
gehörenden Erzeugenden, und wir wollen in dieser Hinsicht folgendes 
Princip voranstellen: Ein kanonisches Polygon Pq von F ist durch An- 
gabe und Ileihenfolge seiner Erzeugenden bis auf umvesentliche Abänderung 
fest bestimmt. Dieser Satz ist für die Gattungen (0, n) und (1, 1) aus 
den obigen Entwicklungen direct klar; von hieraus folgt er für jed< 
beliebige Gattung {p, n) auf Grund des Princips der Composition. 

Betreffs der Substitutionenpaare F^., Vb. machen wir noch darauf 
aufmerksam, dass die Vieldeutigkeit in der Auswahl, von welcher 
pg. 289 die Rede war, hier nicht besteht. Es ist nämlich jetzt immer 
fest bestimmt, was Vc. bedeutet; und gegenüber Vc- werden wir F«., K*. 
stets nach Vorschrift der Figur 92 pg. 295 orientieren. 



p 



IT, 2. Kanonische Polygone und Moduln der hyperbolischen Rotationsgruppen. 321 

Die Transformation der kanonischen Schnittsysteme spielt eine 
wichtige Rolle in der Theorie der linearen Transformation der Abel'schen 
Functionen. Die Hauptsätze dieser Entwicklungen, insoweit sie sich 
auf die Elementartransformationeu des einzelnen kanonischen Schnitt- 
systems beziehen, werden wir hier als bekannt ansehen*). Übrigens 
müssen wir gleich anfangs betonen, dass die Trausformationstheorie 
der kanonischen Polygone nach zwei Richtungen hin complicierter ist, 
als die Theorie der linearen Transformation der Abel'schen Functionen. 

Erstlich trägt ja unsere geschlossene Fläche F die n singulären 
PunJcfe £i, £2, ••-, f/., und das Querschnittsystem ist dementsprechend 
mit den n Schnitten d; auszugestalten. Der einzelne Rückkehrschnitt 
a/c, hk ist somit hier nicht in demselben Grade frei bewr glich, wie auf 
einer von singulären Punkten freien Fläche. Hinwegschiebungen von 
Rückkehrschnitten über singulare Punkte £, führen demnach auf wesent- 
liche Umgestaltungen des Polygons, und auf diese beziehen sich die 
weiterhin zu definierenden Elementartransformationen dritter Art. 

Auf der anderen Seite spielen die p Schnitte Ck hier eine durchaus 
wesentliche Rolle, was in der Theorie der Abel'schen Functionen nicht 
der Fall ist. Der Grund dieses Unterschiedes liegt aber in folgendem 
Sachverhältnis: Die geschlossenen Wege auf der Fläche F liefern in 
der Theorie der Abel'schen Functionen die Integralsubstitutiouen'^*) 
während sie hier bei uns die ^-Substitutionen ergeben: Die Integral- 
suhstitutionen hohen die Eigenschaft, dass je zwei unter ihnen mit ein- 
ander vertauschbar sind, von den ^- Substitutionen gilt dies aber nicht*'^*). 
Aus der Gestalt (1) pg. 289 einer Substitution Vc ergiebt sich dem- 
nach unmittelbar, dass ihr die identisclie Integralsubstitution corre- 
spondiert. Für die letzteren Substitutionen sind also nur die Abände- 
rungen der 2 11 Rückkehrschnitte a^., bk wesentlich; und wir entnehmen 
den vorhin genannten Abhandlungen, in welcher Weise die allgemeinste 
derartige Transformation aus elementaren aufgebaut werden kann: es 
sind zwei Arten von Elementartransformationeu, welche hierbei zur 



*) Man vergl., was die hier in Betracht kommenden geometrischen Ver- 
hältnisse angeht, die Abhandlung von Thomae „Beitrag zur Theorie der Abel' sehen 
Functionen", Crelle's Journal Bd. 75 pg. 224 ff. (1873) oder auch, für den hyper- 
elliptischen Fall, C. Jordan „Tratte des suhstitutiotis et des cquations dlgehriques" 
(Paris, 1870) pg. 354 ff. sowie Burkhardt ,,Grund:üge einer allgeineinen Sijstc- 
matik der hyperelliptischen Functionen erster Ordnung", Mathem. Annalen Bd. 35 
l.g. 209 tf. (1889). 

**) Wir beziehen diese Substitutionen auf die ;) Integrale erster Gattnng 
der Fläche. 

•**) Dieser Unterschied wurde wohl y.uni oralen Mal von Kh-in in don Mathcm. 
Annalen Bd. 21 pg. 185 (1882) hervorgehoben. 

Fricko-Kloin, Autnmnrphi' l^'nnollciuMi, I. 21 



322 11- Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 

Geltung kommen (die erste und vierte Art der nachfolgenden Dar- 
stellung). Darüber hinaus müssen wir hier, um mit einer eindeutig 
bestimmten Transformation des kanonischen Polygons zu thun zu 
haben, jedem neuen System von Schnitten Ok, hk immer ein bestimmtes 
zugehöriges System von Schnitten c, d hinzufügen; und es kommt hier 
eine neue Art von Elementartransformationen hinzu, welche uns ge- 
statten, unter Hiuzunahme gewisser besonderer Transformationen erster 
Art bei festen a^-, &t von einem ersten System zugehöriger (n -]- p) 
Schnitte c, d zu jedem anderen brauchbaren zu gelangen (Elementar- 
transformationen siveiter Art). 

Durch Combination der Elementartrausformationen aller vier Arten 
aber werden wir von irgend einem zunächst vorgelegten kanonischen 
Polygon unserer Gruppe F zu jedem anderen solchen Polygon hin- 
gelangen können. 

Wir besprechen nun die vier Arten unserer Elementartransforma- 
tionen im einzelnen: 

Eine Elementartransformation erster Art soll sich auf tvesentliche Ab- 
änderung eines einseinen Schnittpaars a, b allein und also auf Umwandlung 
eines einzelnen Erzeugendenpaares Va, Vi, bei Festhaltung aller übrigen 
Erzeugenden beziehen. Entsprechend verstehen wir unter einer (ele- 
mentaren oder nicht-elementaren) Transformation erster Art überhaupt 
eine solche, bei welcher sieh nur F« und Vb ändern. Hierbei handelt 
es sich im Grunde um die Transformationen eines kanonischen Sechs- 
ecks (1, 1); denn das zu Ya, Vo gehörende Seitenquadrupel im Verein 
mit den beiden zu Vc gehörenden Seiten liefert nach pg. 314 ein 
Polygon vom Charakter (1, 1). 

Wir stellen daraufhin zunächst fest, um welche Veränderungen 
des kanonischen Querschnittsystems auf der geschlossenen Fläche es 
sich bei unseren Transformationen erster Art handelt. Fassen wir 
erstlich die Schnitte a, b rein geometrisch und ohne Zusatz von c, so 
ist aus der Theorie der elliptischen Functionen bekannt und oben 
(pg. 291 ff.) benutzt, dass mau alle Umänderungen aus zweien (und ihren 
inversen) herstellen kann. Es handelt sich darum, wie wir nur kurz 
zu erinnern brauchen, aus beiden Schnitten durch Combination einen 
neuen herzustellen und diesem einen der bisherigen hinzuzugesellen. 

Liegt nun irgend ein auf diesem Wege zu gewinnendes neues Schnitt- 
system vor, so ist zweitens zu entscheiden, welchen unter diesen beiden 
Schnitten wir a' und welchen b' nennen wollen, und in welcher Rich- 
tung wir uns die Schnitte durchlaufen denken. Hier hat man, wie 
schon pg. 280 festgestellt ist, die Auswahl zwischen acht Möglich- 
keiten. Doch reducierten wir diese Anzahl 1. c. bereits auf vier durch 



II, 2. Kanonische Polygone und Moduln der hyperbolisclien Rotationsgruppen. 323 

die Festsetzung, dass die Pfeilrichtiing von V diejenige von a von ihrer 
rechten zur linlcen Seite überschreitet. An dieser Festsetzung müssen wir 
festhalten, wenn wir, was geschehen soll, die Substitutionen 7"«. V,^, Vc 
beständig in der durch Figur 92 pg. 295 niedergelegten Art gegen 
einander orientieren wollen: Dann aber werden wir unter den vier mög- 
lichen Auswahlen der Schnitte a', b' und ihrer Richtungen einfach dadurch 
entscJieiden , dass wir die Bichtung der Einmündung des Schnittes c am 
Kreuzungspunkt von d und b' angeben. 

Man wird nun längst bemerkt haben, dass unsere Betrachtungen 
in allerengster Beziehung zur elliptischen Modulgruppe stehen, und 
zwar des genaueren zur Gruppe aller unimodularen homogenen Sub- 
stitutionen: 

(1) (d/ = Küj -f- /JCJ^, o/ = y (Ol -f~ ^ ^2 • 

Dieser Beziehung geben wir dadurch ein festes Fundament, dass wir 
den beiden ursprünglichen Substitutionen F^, Va die Transformationen 
des Integrals erster Gattung: 

(2) (7,) w'=« + öi, (FJ H'=»-fo, 

entsprechen lassen; mit dieser Zuordnung bleiben wir der gewohnten 
Forderung eines in der positiven Halbebene gelegenen Periodenquotienten 
« = «1:02 getreu (cf. Figur 91 pg.293). Die vier möglichen Auswahlen 
für rt' und &', von denen eben wiederholt die Rede war, correspondieren 

nun einfach durch die Modulsubstitutionen ( — n'__Li)' (j^ir») 

mit einander. Vor allem merken wir an: Die unendlich vielen mit der 
Einmündungsrichtung von c versehenen Schnitte a', b' entsprechen den ge- 
samten Modidsubstitutionen (1) ivechseliceise gerade eindeutig. 

Es ist nunmehr besonders wichtig, dass sich der Schnitt c noch 
in einfach unendlich vielen Weisen vervollständigen lässt; denn es 
steht der durch Vc dargestellte Periodenweg noch offen, den man im 
einen oder anderen Sinne beliebig oft einhängen mag*). Hierdurch 
wird zwar Fe selber in keiner Weise geändert, welches mit den 
übrigen Grnppenerzeugendeu bei allen hier in Frage stehenden Trans- 
formationen invariant bleibt; aber tvir erhaltet der ein.elnen Sub- 
stitution (1) entsprechend immer 00^ Substitutionenpaare , welche aus einem 
'tnter ihnen in der Gestalt: 

*) Nehmen wir vom kanonischen Schnittsystem den einzelnen Schnitt c fort, 

i> resticrt eine mit zwei Randcurven versehene Fläche, die zweifach zusammen- 

i iiigend ist, und auf der es also einen Ponodenwog giebt. Eine Ausnahme liegt 

nur für die Gattung (1, 1) vor, auf welche wir im Texte gleich zurückkommen. 

21* 



324 I^- Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 

(3) Vr Va' F+', rr Vo V+\ t; = - OO, . . ., + Oü 

hervorgehen. 

Übrigens bemerke man, dass im niedersten Falle, der Gattung (1, 1), 
die Transformationen (3) umvesentlich sind. Sie kommen auf Transforma- 
tionen des Gesamtpolygons und damit seines Erzeugendensystems durch 
die Substitution V/ der zu Grunde liegenden Gruppe hinaus; das 
Querschnittsystem bleibt hierbei dasselbe, dem Umstand entsprechend, 
dass im Falle (1, 1) von keinem eigentlichen Periodenwege Vc die 
Rede ist. In allen höheren Fällen liegen hingegen in (3) unendlich viele 
icesentlicJi verschiedene Transfortnationen vor, so dass die Gesamtheit der 
auf das einzelne Paar F„, Vb bezogenen Transformationen nur erst l-oo- 
deutig dem System der Substitutionen (1) zugeordnet erscheint 

Es ist nun das Interessante, dass trotz der grösseren Anzahl der 
Transformationen erster Art unseres kanonischen Polygones die Ge- 
samtheit dieser Transformationen doch aus zwei elementaren hergestellt 
werden kann, welche wir in der schon pg. 298 erklärten Weise definieren. 
Die einzelne dieser Elementartransformationen besteht darin, dass u'ir 
an dem zu Va,Vb gehörenden Seitenquadrupel ein Dreieck geradlinig abspalten 
und unter Ausübung einer der Sid)stitutionen Va~ , Vb~ wieder anhängen. 

Die so bezeichnete Vorschrift führt zunächst auf drei gleichartige 
Elementartransformationen (und ihre inversen), die wir 7\, T.,, T.^ 
nennen wollen und durch die Figuren 105 bis 107 erklären. Die 




Fig. 105. 





Fig. 107. 



Wirkung dieser drei Transformationen auf die Erzeugenden T'«, Vo ist 
die folgende: 

(4) • (T,) V:=Va, TV^F,];, 



II, 2. Kanonische Polygone und Moduln der hyperbolischen Rotationsgruppen 325 

und wir können übrigens diese Formeln nach dem am Anfang des 
Paragraphen aufgestellten Princip garadezu als Definition der Trans- 
formationen 1\, T.,, T3 ansehen. Hier gilt offenbar T^= T^- T^, so dass 
tvir T^ und T^ endgültig als Elementartransformationen auswählen können. 

Sie entsprechen den Modulsubstitutionen ( ^\)}\r! )• Insbesondere 

wollen wir uns aus ihnen noch die Transformation: 

(5) (T, . T, ■ T,) V: = V-' vr Va = Vr' Vc, V,' = F« 

herstellen, welche der Modulsubstitution ( / n) öJ^^spricht. Dass die 

Substitution Vc = VbV^ ViT Va durch die Elementartransformationen 
7\, T^ und somit durch alle Transformationen erster Art in sich über- 
geführt wird, kann man nun auch an (4) direct beweisen. 

Unsere Behauptung, dass wir aus T^, T^ alle Transformationen 
erster Art herstellen können, geht nun einfach aus dem Umstände 
hervor, dass einmal die Transformationen T.^ und T^ • T^ ■ T^ den in 
„M." I immerfort benutzten Erzeugenden der Modulgruppe correspon- 
dieren, während andrerseits (I\ • T2 • T^Y oder, was auf dasselbe hinaus- 
läuft, (T2 • TJ" die Elementaroperation für die cyclische Reihe der 
Transformationen (3) liefert. Die Thatsache aber, dass T^, T^ weit 
mehr Transformationen erzeugen als die Modulsubstitutionen, die ihnen 
entsprechen, entspringt einfach aus dem Umstände, dass {T^T^T^^^ 
resp. (T^Tj)*^ im Falle der Modulsubstitutionen direct der Identität 
gleich ist. Übrigens sind wir zur Betrachtung von {T.^T^''' schon oben 
(in (2) pg, 299) bei Discussion der Gattung (1, 1) geführt worden. 

Nehmen wir endlich noch hinzu, dass unser kanonisches Polygon P^ 
insgesamt p Paare F«, Vi, darbietet, so ergeben sich für dasselbe im 
ganzen 2p, d. h. vor allen Dingen eine endliche Anzahl von Elemeutar- 
transformationen erster Art. — 

Weit einfacher gestaltet sich die Besprechung derjenigen Trans- 
formationen des kanonischen Polygons, welche wir zu einer ziveiten Art 
zusammenfassen. Wir denken hierbei auf der geschlossenen Fläche 
(las System der p Paare von Rückkehrschnitten a, h fest ausgewählt 
und den Punkt E fixiert Wir halten ferner daran fest, dass die 
}) Schnitte c, und dann natürlich auch die n Schnitte d, bei Umkreisung 
des Punktes E consecutiv sind. Aber auch dann ist das Schnittsystem 
c,, ..., Cp, dy, ..., dn, abgesehen von einigen niedersten Gattungen, 
auf die wir sogleich zurückkommen, immer noch auf unendlich viele 
Weisen wählbar, wie dies im Specialfalle p = oben (pg. 301 ff.) 
bereits ausführlich gezeigt wurde. 



326 II- Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 

Der Übergang von einem sich hier einstellenden kanonischen 
Schnittsystem zu einem anderen unter ihnen soll nunmehr allgemein 
als Transformation zweiter Art benannt werden. Für diese Transforma- 
tionen zweiter Art bleibt die pg. 301 ff. entworfene Transformations- 
theorie der Gattung (0, n) vollständig in Kraft. Dabei bereitet es gar 
keine Schwierigkeit, dass wir auf der geschlossenen Fläche an Stelle der 
singulären Punkte zum Teil geschlossene Curven setzen müssen, wie sie 
durch die Ufer der einzelnen Schnittpaare a, h geliefert werden. Man 
kann mit diesen geschlossenen Curven gerade so gut arbeiten oder auch 
dieselben, wenn man will, durch einzelne Punkte ersetzen; es geht dies 
aus der Figur 53 pg. 204 unmittelbar hervor*). Die Betrachtungen 
von pg. SOlff. liefern daraufhin unmittelbar als Resultat: Die allgemeinste 
Transformation zweiter Art unseres Jcanonischen Fohjgons lüsst sich aus 
(n +^) — 2) mit einander durchaus gleichartigen Elementartransformationen 
er zeugen, bei deren eineeiner entweder zwei benachbarte Schnitte c oder zwei 
ebensolche Schnitte d umgeordnet erscheinen. 

In der That zeigt der Gebrauch der 1. c. durch K bezeichneten 
Curve auf der geschlossenen Fläche, dass bei der für uns gültigen 
Vorschrift, die Schnitte c und d nicht unter einander zu vermengen, 
die Elementartransformation entweder nur auf zwei benachbarte Schnitte c 
oder auf zwei Schnitte d auszuüben ist. Nun ist nach pg. 301 die Um- 
ordnung zweier Schnitte immer in zwei Arten ausführbar, die jedoch 
einander invers sind, und von denen wir somit nur eine heranzuziehen 
brauchen; wir erhalten also für die Schnitte c im ganzen (« — 1), für 
die Schnitte d aber {p — 1) Elementartransformationen. 

Wegen der directen Ausführung dieser Elementartransformationen 
am Polygon können wir uns auf die Darlegungen von pg. 304 u.f. berufen. 
Auch ist die Darstellung unserer Transformationen durch die Er- 
zeugenden wenigstens für F^, V.,, . . ., F„ bereits pg. 309 gegeben. 
Für die eine der beiden Umordnungen der Schnitte c,- und c,.j.i gilt 
entsprechend : 

Ff. = Vc^ Vc.j^^Vc., F.._^j -"^ ^c,-? 

(6) 7„'. = Kc-^F.,^,F,, f;,^, = f.,. 



*) Die Einmündungsstelle des einzelnen Schnittes c im Kreuzungspunkt von 
a und h, sowie auch die Einfügung des zu Vc gehörenden geschlossenen Weges 
im einen oder anderen Sinne gilt hier als gleichgültig; ein Wechsel in dieser 
Hinsicht kommt in der That auf eine Transformation erster Art hinaus und ist 
dort bereits ausführlich in Betracht gezogen. 



II, •-'. Kanonische Polygone und Moduln der hyperbolischen Rotationsgruppeu. 327 

I Endlich ist es ein Leichtes, die oben schon erwähnten niedersten 

Gattungen zu charakterisieren, für welche bei bereits fixierten p Schnitt- 
paaren ük, h die Schnitte c und d nur in endlich vielen Weisen ge- 
wählt werden können. Es sind dies die sieben Gattungen: 

(0,3), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (2,2), (3,0). 
In zwei Fällen, nämlich bei (1, 1) und (2, 0) können wir die Schnitte 
c, d im wesentlichen nur in einer Art wählen; hier giebt es überhaupt 
keine Transformation zweiter Art. Bei den Gattungen (0, 3), (1, 2), 
(2, 1), (3, 0) giebt es jedesmal zwei Möglichkeiten für c, d, dem Um- 
stände entsprechend, dass jeweils die eine hier eintretende Elementar- 
transformation einmal wiederholt die ursprüngliche Anordnung wieder 
ergiebt und in diesem Sinne von der Periode zwei ist. Schliesslich 
haben wir bei (2, 2) vier verschiedene Systeme c, d\ die beiden 
Elementartransformationen, welche hier vorliegen, liefern durch Com- 
biuation eine Gruppe vom Typus der Vierergruppe. — 

§ 9. Fortsetzung: Die Elementartransformationen dritter und 
vierter Art. Schlussergebnis. 

Es bleiben nun noch die Elementartransformationen der dritten 
und vierten Art zu besprechen übrig, welche sich wieder auf Ver- 
änderungen der Rückkehrschnitte »*,&* beziehen. Hierbei gilt natürlich 
durchweg ^ > 0. 

Eine Elementartransformation dritter Art sollte der Hinweg- 
schiebung eines einzelnen Rückkehrschnittes über einen singulären 
Punkt £, entsprechen. Die Untersuchung der correspondierenden Ab- 
änderung des Polygons F^ können wir durch Ausübung gewisser 
Transformationen zweiter und erster Art, die als bekannt gelten, er- 
heblich vereinfachen. Erstlich können wir nötigenfalls durch eine 
Transformation zweiter Art erreichen, dass der singulare Punkt, über 
welchen der Rückkehrschnitt hinweggeschoben werden soll, der letzte 
in der Reihe, nämlich £„, ist. Zweitens können wir den Rückkehr- 
schnitt, welcher über f„ hinweggeschoben werden soll, zum Schnitte a^ 
unseres Systems machen; denn die Transformationen zweiter Art ge- 
statten die p Schnittpaare (a^, hk) unter einander zu vertauschen, und 
eine Änderung der Einmündung von q (d. i. eine Transformation erster 
Art) vollzieht nötigenfalls eine Permutation von a^ und />, . 

Für die nähere Untersuchung der hier in Rede stehenden Ab- 
änderung des Polygons J\ ist wieder die Figur 53 pg. 204 besonders 
geeignet, wobei man sich nur vergegenwärtigen wolle, dass jeweils 
die beiden Ufer des einzelnen Schnittes c oder d am Polygon P^ ge- 



I 



328 'I- Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 

trennt liegende Randcurven sind. Die für uns vorgeschriebene Ver- 
schiebung von «1 bewirkt nun zunächst eine solche erlaubte Abänderung 
von in, bei welcher Randstücke von Fq von der einen zu a^ ge- 

-i- 1 -— 1 

hörenden Randcurve unter Ausübung von F«; oder F«, fortgesetzt 
an die zugeordnete Stelle hinübergeschafft werden. Wir können an- 
nehmen, dass der Sinn der Verschiebung von a^ ein solcher ist, da.ss 
hierbei Va, zur Geltung kommt. Wäre dies nicht der Fall, so würde 
man vorab den Schnitt q (durch Transformation erster Art) so zu 
verlegen haben, dass er an der entgegengesetzten Ecke der zu a^, \ 
gehörenden viereckigen Lücke in Figur 53 einmündet. Wir haben also 
durch diese Vorbereitungen erreicht, dass wir nur eine einzige Elementar- 
transformation dritter Art den bisherigen Transformationen hinzu- 
gesellen müssen. 

Um nun die Wirkung unserer Elementartransformation auf das 
Polygon Po sowie die Erzeugenden näher zu untersuchen, führen wir 
den eingeleiteten Abänderungsprocess von 1\ weiter fort, indem wir 
zugleich auf der Fläche F den Schnitt a,- über £„ hinwegschieben. In 
diesem Augenblicke hört nun, wie man sich in Figur 53 (pg. 204) 
deutlich mache, die £„ correspondiereude Ecke e„ auf, dem Polygon Fq 
anzugehören-, und P^ gewinnt anstatt e„ den neuen festen Eckpunkt 
e^ = F«, (f„). Infolge dessen wird bei unserer Transformation an Stelle 
von F„ jedenfalls: 

(1) v; = Va,VnVa-' 

treten; doch müssen wir die zugehörige Umgestaltung des Schnitt- 
systems erst noch näher erläutern. 

Diese Umgestaltung kann folgendermaassen beschrieben werden: 
Jedenfalls ist der Schnitt cl„ unbrauchbar geworden. Derselbe würde 
bei der augenblicklichen Lage in Figur 53 in zwei Stücke zerteilt er- 
scheinen, deren erstes vom Ursprung E zu einem Punkte auf der einen 
Randcurve von F«, führt, während der Rest von dem correspondierenden 
Randpunkt nach eü zieht. Den ersten Teil des Schnittes d müssen wir 
auslöschen; denn er schneidet von P„ ein Stück ab. Diese Änderung 
läuft beim Polygon P^ darauf hinaus, dass wir das abgeschnittene Stück 
durch Ausübung von F„ wieder anhängen. Andrerseits werden wir 
den Rest des Schnittes f7„ durch einen neuen Schnitt da ersetzen, der 
wieder von E ausläuft und unter Umgehung der zu «,, 64 gehörenden 
Lücke e'n erreicht; durch diesen Schnitt dn wird vom Polygon Pq wieder 
ein Stück abgespalten. Die Fortnahme des Restes von dn bedeutet dann, 
dass wir das eben vermöge d'„ abgetrennte Stück durch Ausübung von F«'""^ 
wieder anhängen. Hiermit ist der Abänderungsprocess zu Ende geführt. 



II, 2. Kanonische Polygone und Moduln der hyperbolischen Rotationsgruppen. 329 

Für die so gewonnene neue kanonische Zerschneidung haben wir 
erstlich die Formel (1), andrerseits, was die F«, Vo angeht, die Formeln: 

v = v'-^v v v: — V. V 

Indem wir nun noch die Gleichung (1) benutzen und übrigens zu- 
sammenfassen, haben wir als Resultat gewonnen: Die hier in Betracht 
qezogene elementare Transformation dritter Art ändert allein die Erzeugenden 
Kl, Voi, Vf,^ und ztvar in der folgenden Weise: 

V' = V V V~^ V' = V V~^V V V~^ 

Y' ^ jr V V V~^ 

' Ol ' bi ' a^ f' n f Ol • 



(-^) 




Fig. 108. 



Eine Bestätigung dieses Ergebnisses wolle 
man aus der leicht verificierbaren Identität : 

(3) v:vr'yxv:j^-' = 

entnehmen. Diese Gleichung muss aber 
deshalb bestehen, weil doch die Relation (9) 
pg. 187 auch für das transformierte Polygon 
gültig ist. 

Es ist nun möglich, die in (2) nieder- 
gelegte Transformation am geradlinigen 
Polygon Pq durch fast ebenso einfache 
Construction auszuführen, wie dies im Falle der Elementartransforma- 
tionen erster und zweiter Art gelang. Dies ist in den schematisch 
zu verstehenden Figuren 108 ff. ausgeführt. Im ursprünglichen Polygon, 
wie es Figur 108 giebt, ist der Anfangs- 
punkt der Seite 1 mit dem Endpunkt der 
Seite 3 durch eine geradlinige Diagonale 
verbunden, und das solcherweise ab- 
getrennte Viereck ist durch Ausübung 
von Fflj verlegt, wobei die Seiten 3 und 5 
zur Deckung kommen. Das so entspringende 
Polygon ist in Figur 109 dargestellt, die 
zugefügten Ziffern an den Seiten werden 
den Überblick erleichtern. Nunmehr ist 
der Anfangspunkt der Seite 8 mit dem End- 
punkt der Seite 1 durch eine Diagonale zu 
verbinden, die man, wenn etwa ein störender convexer Winkel aufgetreten 
sein sollte, auch gekrümmt zeichnen mag. Das hierdurch abgespaltene 




Fig. 109. 



330 



II. Ausführliche Theorie der Polygongruppeu. 




Fünfeck ist durch Ausübung von F,,'-^ zu transformieren und liefert 
in Figur 110 das endgültige neue Polygon, dessen Erzeugende in 

der That die in (2) dargestellten sind. Eben 
aus diesem letzten Umstände folgt mit 
Rücksicht auf das am Anfang des vorigen 
Paragraphen (pg. 320) aufgestellte Princip, 
dass die hier vollzogene Transformation 
von Pq in der That unsere Elementar- 
transformation dritter Art ist. Man wird aber 
auch sehr leicht in der durch Figur 108 ff. 
beschriebenen Manipulation die wesentlichen 
Schritte der oben am Polygon der Figur 53 
pg. 204 ausgeführten Transformation wieder- 
erkennen. Sollten übrigens am transformier- 
ten Polygon (Figur 110) gekrümmte Seiten 
oder convexe Winkel auftreten, so können wir dieselben nach dem 
Fundamentaltheorem von pg. 319 stets durch unwesentliche Abänderung 
entfernen. — 

Indem wir nunmehr die Elementartransformation der ersten drei 
Arten als erledigt und stets ausführbar ansehen dürfen, haben wir 
den Rückkehrschnitten Ok, h/, freie Beweglichkeit auf der geschlossenen 
Fläche verschafft. Dann aber zeigen uns die pg. 321 citierten Grund- 
lagen der linearen Transformation der Abel'schen Functionen, dass 

nur noch solche Elementartransformationen 
hinzukommen müssen, welche auf eine gleich 
zu beschreibende Art aus zwei Paaren a., Z>, 
und o^., hk zwei neue Querschnittpaare zu 
bilden gestatten. Wir werden so zu unseren 
Elementartransformationen der vierten Art 
geführt, welche wir unter directem Anschluss 
an die genannten Originaldarstelkmgen vor- 
läufig wie folgt definieren: Die beiden Schnitte 
tti und ttk, beide in der Pfeilrichtung genommen, 
geben vereint den neuen Schnitt «/, dem der 
bisherige Schnitt bi als conjngierter b( hinzugesellt ivird; der neue Schnitt a/ 
ist genau mit a^ identisch, während bk aus dem bisherigen Schnitte bk und 
dem entgegengesetzt der Pfeilrichtung durchlaufenen Schilifte bi msammen- 
gcsetzt erscheint. Das Wesen dieser Transformation ist durch Fortgang 
von Figur 111 zu Figur 112 vollständig gegeben; wir haben in diesen 
Figuren von einer in der Functionentheorie gebräuchlichen Darstellungs- 
weise der Querschnittsysteme Gebrauch gemacht. Die beiden Quer- 




Fig. m. 



H, 2. Kanonische Polygone und Moduln der hyperbolischen Rotationsgruppen. 331 




Fig. 112. 



schnittpaare erscheinen bei der vorliegenden Transformation nicht gleich- 
berechtigt, so dass wir insgesamt p{p — 1) solche Transformationen 
gewinnen; ihre inversen Operationen haben 
wir natürlich als mit ihnen gegeben anzusehen. 

Aus Zweckmässigkeitsgründen wollen wir 
jetzt an Stelle der eben definierten Trans- 
formationen vierter Art durch Combinatiou 
derselben mit Transformationen der beiden 
ersten Arten gewisse andere Transformationen 
setzen. 

Erstlich bemerke man, dass durch die 
Schnitte c eine bestimmte Reihenfolge für die 
j) Paare a, b festgelegt wird. Doch kann man 
durch Transformation zweiter Art stets erreichen, dass irgend zwei ge- 
wünschte Paare benachbart werden. Es wird demnach erlaubt sein, 
am fertigen Polygon die Elementartransfoj'niation vierter Art stets mir an 
henachbarien Paaren Va, Vt, auszuüben. Für das einzelne Polygon giebt es 
dann immer nur {2p — 2) Elementartransformationen dieser Art. Auch 
diese Anzahl könnten wir nach dem bei den Transformationen dritter 
Art benutzten Princip noch weiter reducieren, indem wir uns offenbar 
auf die Transformation der beiden ersten Paare allein beschränken 
könnten. Doch behalten wir lieber alle (2p — 2) Elementartransforma- 
tionen bei, da sie gleichberechtigte Operationen sind. 

Statt dessen können wir eine andere Vereinfachung durch Heran- 
ziehung von Transformationen erster Art erzielen. Wir wollen dabei 
unsere Betrachtungen etwa auf die Paare a^, b^ und a^, b.2 beziehen; doch 
sollen dieselben im Sinne der gerade getroffenen Verabredung zwei 
beliebige benachbarte Schnittpaare repräsentieren. 

Indem wir die beiden ausgewählten Querschnittpaare symbolisch 
durch (cf^, 6i) (a^, b^ bezeichnen, wird die in Figur 112 vollzogene 
Transformation als Übergang zu («^ -f- a.,, bj) (ffo, b., — bj) dar- 
gestellt sein. Wir wollen nun vorab vermöge Transformation erster 
Art von {a^, b^) {a.^, b^ zu (&,, — a^ (a^, b^ fortgehen, um sodann 
durch die obige Transformation vierter Art zu (b^ -\- a^, — aj (a.,, b., -}- «j) 
zu gelangen. Endlich kommen wir von hieraus durch erneute Trans- 
formationen erster Art zu ( — b^ — «2» ^i) ( — ^2 — ^n ^2) ^^^^ mögen 
hiermit die definitiven neuen Schnitte a/, &,', a/, &/ gewonnen haben. 
Die solcherweise festgelegte Elcmcntartransformation vierter Art wird 
durch B'ortgang von Figur 113 zu Figur 114 direct dargestellt. 

Die Wirkung der eben erklärten Transformation auf die Erzeu- 
genden Va^f Ffc, , Va^, Vb^ wird durchaus mit dadurch bedingt sein, in 



1 



332 



II. Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 



welcher Weise wir die neuen Schnitte durch zwei zugehörige Schnitte 
c/, c/ den übrigen anfügen. Jedenfalls aber steht schon jetzt fest, 
dass die neuen Substitutionen F«/, F^/, F^/, F^' 
innerhalb der Gruppe F der Reihe nach mit: 





vr'VaT' 



Fig. 113. 



(4) n., Vo7'VaT\ F^, .0, 

gleichberechtigt sein werden. Man wird dies aus 
Figur 1 14 sofort ablesen, wenn man bedenkt, dass 
allgemein die Durchlaufung des Schnittes a, (bez. &,) 
in der Pfeilrichtung auf die Ausübung der Opera- 
tion Vb- (bez. Va^ hinauskommt. 

Der Vorzug, welchen die gewählte Elementar- 
transformatiou vierter Art vor der in Figur ll'J 
dargestellten besitzt, besteht nun darin, dass dieselbe am Polygon I\ 
einen besonders einfachen geometrischen Charakter gewinnt. Dabei 
haben wir gar nicht erst nötig, die Transformation 
auf der geschlossenen Fläche durch Anfügung von 
Schnitten c definitiv auszugestalten, sondern wir 
können die Betrachtung sogleich in die pro- 
jective Ebene verlegen und also am Polygon 
selbst vornehmen. 

DieseWenduug unserer Überlegung beruht auf 
einer gewissen Identität, welche wir zunächst auf- 
stellen wollen. Verstehen ivir unter Va\, F^'^, ¥„[, V^^ 
vorab direct die vier Substitutionen (4), so gilt fol- 
Fig. IM. gende Belation identisch: 

(5) n;-^ F.; F„; v;-' • f^-^ n; f„: n;-^ = 

(Vt>.n)-' • (F-'n.F„.F.7^ • V-'l\VaJ'>-') ■ iVo^Vo,). 

Nun steht rechts in der mittleren Klammer genau der zu Va,, F,, , F;,, F,, \ 
gehörende Bestandteil der Relation (9) pg. 187, und die linke Seite * 
ist genau so in den Substitutionen ¥„',, ... gebaut. Transformieren wir 
demnach, der Relation (5) entsprechend, die Substitutionen (4) zugleich 
durch Vt>^l\ und nennen die so entspringenden Substitutionen gleich 
selbst wieder TV., . . ., Vo',: 




(6) 



( ^«,'= VoJ^Vo, \ 



F*;= n.n.F«7'F,7'nr'nr', 



{^<'2 — VhJ^hJ\Vf,, }'\ , Vi^' = Vb^Va^ Vb, Fftj , 
80 werden die hierdurch erklärten Operationen direct der Identität: 



II, 2. Kanonische Polygone und Moduln der hyperbolischen Rotationsgrnppen. 333 



(T) 






genügen und sich demnach ohne weiteres in die Relation (9) pg. 187 
einfügen. 

Um nun auf dieser Grundlage den schon erwähnten einfachen 
geometrischen Charakter unserer Transformation aufzuweisen, betrachten 
wir zunächst den niedersten hier überhaupt zur Geltung kommenden 
Fall der Gattung (2, 0). Hier können wir sogar von der eben noch 
vollzogenen Transformation der Substitutionen (4) durch Vl^Vb^ ab- 
sehen; denn die mittlere Klammer auf der rechten Seite von (5) ist 
nun gleich 1, und damit ergiebt sich die wiederholt genannte Relation 
(9) pg. 187 für: 



(8) 



^a, = ^bt, ^6, = ^ />! ^a, 



f a^ ' ^ 1 * 6a = T t, ^ «o 



direct aus (5). P^ wähle man nach pg. 319 als geradliniges Achteck 
mit coneaven Winkelu und bezeichne die Ecken mit £'j , . . . , E^. Die 
in (8) zur DnrUeUiing gelangende ElemmiaHransformation vierter Art 
ist alsdann geometrisch durch Fort- 
gang von dem in Figur 115 stark 
ausgezogenen Achtech P^ zu dem 
schraffierten Achtech P^ zu voll- 
ziehen. Man kann sagen: Es sind 



die Diagonalen E^E^ und E^E^ zu 
zielten und die Seiten E^E^ undE^E^ 
auszulöschen, ivährend in allen übrigen 

Achtecken des Netzes die gleiche 
Manipulation zu wiederholen ist. 
Dass diese Transformation sich in 
der That in der Gestalt (8) dar- 
stellt, geht unmittelbar aus der 
Figur hervor. 

Im allgemeinen Falle (^p, «) 
ist wegen der nun nicht zu ver- 
meidenden Transformation der 
Substitutionen (4) vermöge F*, F^, der Sachverhalt ein wenig ver- 
wickelter. Eine geringe Erleichterung der Ausdrucksweise schafft es 
allerdings, wenn wir nicht die Substitutionen (4) durch I\ V,.^, sondern 
alle übrigen Erzeugenden durch {Vi^V,,)-^ transfora>ieren, was ja 
im wesentlichen auf dasselbe hinauskommt. 




334 



II. Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 



Das ursprüngliche Polygon P^ nehmen wir wieder als geradliniges 
(2w -|- 4p) -Eck mit lauter concaven Winkeln au. Die hier in Hede 

stehende Elementartransformation viei-ter Art 
fuhren wir dann durch diejenigen beiden Schritte 
thatsächlich aus, ivelche schematisch durch Über- 
gang von Figur 116 zu Figur 118 dargestellt 
sind. Wir werden somit zunächst im Po- 
lygon Pq der Figur 116 die zwei punktierten 
Diagonalen ziehen, lassen den mittleren 
Bereich au seiner Stelle und transformieren 
die beiden abgeschnittenen Stücke bez. durch 




Fig HC. 



\ 



Vi,. ^ und Fftj ; die hinzugefügten Num- 




Fig. 117. 



mern der Seiten werden den so gewonnenen 
Übergang zu Figur 117 veranschaulichen. Im vermittelnden Polygon 
der Figur 117 wolle man sodann die wieder punktiert angedeutete 
3 Linie ziehen (die eventuell, beim Auftreten 

störender convexer Winkel, krummlinig 
gewählt werden darf) und hat sodann den 
links abgetrennten Teil durch Vl^ zu trans- 
formieren, um Pq' in Figur 118 zu gewinnen. 
Dass dies die obige Elementartransformation 
/// vierter Art ist, geht aus den Figuren direct 
hervor. Übrigens kann man auch hier natür- 
lich wieder nach pg. 319 etwaige convexe 
Winkel oder gekrümmte Seiten bei Pq durch 
unwesentliche Abänderung entfernen. — 
Fassen wir alle somit gewonnenen Ergebnisse zusammen, so hat 
sich das nachfolgende Fundamentaltheorem ergeben: Die gesamten 

Transformationen, welche von einem beliebigen 
ersten lanonischen Polygon Pq der Gruppe F 
zu allen übrigen kanonischen Polygonen der 
gleichen Gnippe F hinführen, lassen sich bei 
p'> 0*) aus (« + 5jp — 3) Elementartrans- 
formationen zusammensetzen, und zwar sind 
hinter diesen Elementartransformationen2p von 
der ersten, {n-\- p — 2) von der zweiten, eine 
von der dritten und (2 p — 2) von der vierten 
Art. Dabei ist die zuletzt angegebene Anzahl 
der Elementartransformationen vierter Art, 

*) Für die Gattung (0, n) stellten wir bereits oben (pg. 301 ff.) die Anzahl der 
Elementartranaformationen fest. 




II, 2. Kanonische Polygone und Moduln der hyperbolischen Rotationsgruppen. 335 

wie wir wiederholen, noch einer weiteren Reduction fähig. Überhaupt 
würde man die Zahl der erzeugenden Transformationen noch wesent- 
hch vermindern können, wenn man nicht gerade an Elementartrans- 
formatiouen festhalten will. Wir verfolgen dies nicht weiter, sondern 
begnügen uns mit dem ausgesprochenen Satze. Derselbe wird späterhin 
zur Grundlage wichtiger neuer gruppentheoretischer Entwicklungen 
werden. 

§ 10. Die Invarianten der Substitutionenpaare V^, V^. 

Die bislang gewonnenen Resultate sind zwar grundlegend für die 
Behandlung des Problems, die Gesamtmannigfaltigkeit aller hyper- 
bolischen Rotationsgruppen endlicher Charaktere Qj, n) zu überblicken. 
Indessen müssen wir uns, um in dieser Beziehung völlig zum Ziele 
zu gelangen, noch mit anderen, und zwar analytischen, Hilfsmitteln 
versehen. Wir gehen hierbei von der Erwägung aus, dass die bei den 
vorausgehenden Untersuchungen als wesentlich betrachteten Eigen- 
schaften eines Polygons Pq offenbar invariant gegenüber einer heliebigen 
Collineation erster oder zweiter Art sind, welche die Ellipse in sich 
überführt, gleichgültig ob diese Collineation der gerade vorliegenden 
Gruppe angehört oder nicht. Dieserhalb werden wir, wenn es sich 
nunmehr darum handeln soll, gewisse ,31odid7i" der kanonischen Polygone 
einzuführen, diese Moduln derart auswählen, dass sie den Charakter 
der Invarianz im gekennzeichneten Sinne besitzen. 

J)ie Befriedigung dieser Forderung bahnen wir nun dadurch an, 
dass wir hier vor allem die Invarianten der Substitutiofienpaare Fj, V., 
einführen. Es handelt sich hier natürlich einzig um Substitutionen 
reeller Coefficienten, die wir ein für allemal wiimodidar fixiert denken 
wollen. Die Ausdrucksform der einzelnen Substitution ist dann bis auf 
einen simultanen Zeichenwechsel der vier Coefficienten fest bestimmt; 
erst später werden wir dieselbe endgültig festlegen. 

Transformieren wir ]\ und V^ zugleich durch eine beliebige Sub- 
stitution erster oder zweiter Art (mit reellen Coefficienten), so mögen 
wir V^ und V^ gewinnen. Die beiden Paare Fj, Fo und F/, IV nennen 
wir dann einander äquivalent und wollen alle in diesem Sinne äqui- 
valenten Paare in eine „Classe" von Substitutionenpaaren vereinen. 

Wir nehmen nunmehr die Einteilung der Substitutionenpaare T',, V^ 
in drei Specics wieder auf, welche bereits oben (pg. 287) eingeführt 
wurde. Die Verbindungsgerade der beiden Fixpunkte von T, und I .,*) 

*) Iiu Falle einer hyperbolischen Substitution ist hier wieder ausschliesslich 
der ausserhalb der Ellipse gelegene Fixpunkt gemeint. ^ 



336 II- Aasführliche Theorie der Polygongruppen. 

nennen wir etwa die Axe des Paares Fj, V^. Es sei dann wiederholt, 
dass Fj, Fo zur ersten, zweiten ode^' dritten Species gehört, je nachdem 
die Axe die fundamentale Ellipse schneidet, nicht erreicht oder heriihrt. 
Äquivalente Paare gehören natürlich immer derselben Species an. Wir 
wollen von diesem Umstände Gebrauch machen, wenn es sich darum 
handeln soll, aus den einzelnen Classeu „rediicierte" Paare zur Repräsen- 
tation der ganzen Classe herauszugreifen. 

Liegt eine Classe der ersten Species vor, so wollen wir ein Paar 
Fl, V2 derselben reduciert nennen, uenn seine Axe mit der imaginäroi 
t,-Axe coincidiert. Ein reduciertes Paar erster Species hat somit die 
Gestalt: 

Das Paar bleibt reduciert, wenn wir nachträglich durch eine beliebige 
Substitution transformieren, welche die imaginäre 2;- Axe in sich über- 
führt. Es giebt vier continuierliche Scharen solcher Substitutionen; die 
erste Schar wird von allen Substitutionen t,' = xt, mit positivem Para- 
meter X gebildet, die drei übrigen Scharen entspringen von hieraus 
durch Combination mit: 

(2) r=-t, r=-j, r=i- 

Ein Paar der ziveiten Species soll reduciert heissen, wenn der Fol 
der r.uyehürigen Axe mit t,^ i coincidiert. Die Ausdrucksform eines 
reducierten Paares zweiter Species ist somit: 

wie man leicht feststellt. Das Paar bleibt reduciert, wenn wir nach- 
träglich durch irgend eine Substitution erster oder zweiter Art, welche 
^=i zum Fixpunkt hat, transformieren. Solcher Substitutionen giebt es 
zwei continuierliclie ScJiaroi; es handelt sich einmal um die Schar aller 
Drehungen um ^ = i, welche wir sodann noch mit t' = — ^ com- 
binieren können. 

Die Paare dritter Species kommen für uns nur beiläufig in Be- 
tracht, da solche Paare in eigentlich discontinuierlichen Gruppen nie- 
mals vorkommen können (cf. pg. 287), Wir begnügen uns mit der 
Festsetzung, dass ein solches Paar reduciert heissen soll, falls der 
Punkt ^ = c» auf der Ellipse der Berührungspunkt der zugehörigen Axe 
ist. Die reducierten Paare haben daraufhin die Gestalt: 



II, 2. Kanonische Polygone und Moduln der hyperbolischen Rotationsgruppen. 337 

Als Invariante der einzelnen Substitution könnten wir im nicht- 
parabolischen Falle den Factor h benutzen, welcher in der bekannten 
kanonischen Gestalt (cf. „M." I pg. 164): 

der Substitution auftritt. Wir würden dann mit einem- aus Formel (5) 
unmittelbar zu definierenden Doppel Verhältnis arbeiten. Indessen stellt 
sich Ji, wie man sieht, durch {a -f Ö) dar, und zufolge „M." I pg. 262 
besitzt bereits dieser Ausdruck die Invarianteneigenschaft*). Wir be- 
nutzen dieserhalb direet die Summe (a -f d) als Invariante der ein- 
zelnen Substitution F, und zwar auch im parabolischen Falle; zur 
Abkürzung setzen wir j = a -f Ö. Die Invariante j ist bei gegebener 
Substitution einstweilen nur bis auf das Vorzeichen bestimmt: übrio-ens 
sind offenbar die elliptischen, hyperbolischen und parabolischen Sub- 
stitutionen bez. durch die Bedingungen unterschieden: 

!il<2, \j\>2, J\ = 2. 

Indem wir zu den Substitutionenpaaren F^, F, vorgehen, wenden 
wir uns sogleich zu den drei Species. Hiermit ist, wie doch noch au.s- 
drücklich gesagt sein soll, die Voraussetzung gemacht, dass \\, Fo 
nicht einer und derselben cyclischen Gruppe angehören, und dass Tieine 
dieser leiden Suhstiintionen die Identität sei. Auch wird bei der Mehr- 
zahl der sogleich aufzustellenden Sätze die dritte Species ausgeschlossen 
bleiben müssen, was für die späteren Anwendungen ohne Folge bleibt. 

Das Paar 1\, Fo hat nun nicht nur die zugehörigen Invarianten j^ 
und J2, sondern darüber hinaus kann die Invariante j jeder aus 1\, F, 
zu erzeugenden Substitution als Invariante des Paares F^, Fg gelten. 
Möge vor allem die Invariante j, , ^ oder kurz j^.^ **) von F^ • V^ den 
Invarianten j^ und j.^ angereiht werden, wo wir dann explicite: 
(6) ii=ai+^i, j,= ct,-{-d,, j^^=a,a,-{- d,d,-{- ß,y.^-i- ß,_y^ 
haben. Die Invarianten j,, jg, j^., sind von einander unabhängig; denn 
wir können durch alleinige Transformationen von V^ bei festbleibeudeu 
ii, j., beliebig viele verschiedene zugehörige j^^ gewinnen, wie mau 
durch directe Rechnung leicht zeigt und in den weiter folgenden 
Entwicklungen unmittelbar bestätigt sehen wird. Aber weiter gilt der 

*) Es ist dies I. c. freilich nur erst für die Transformation durch Sub- 
stitutionen erster Art gezeigt. Indessen bewirkt die Transformation durch f ' = — f 
nur Zeichenwechsel von ß und y, so dass die Invarianz von (a-\-S) all^'emein besteht. 
**) So oft es keine Zweideutigkeit hervorruft, lasseu wir das Komma zwi- 
schen den unteren Indices in j\ , , fort. 

Frickc-K loiii, Autoniorplio Funclionun. I. o») 



338 II- Ausführliche Theorie der Polygongruppeu. 

Satz, dass, sofern nicht die dritte Sjiecies vorliegt, die Classe des Paares 
Fl, Fg durch Angabe der drei Invarianten j^, j.2, J12 bereits eindeidig 
bestimmt ist. Wir werden in diesem Sinne jj, ^'2? ii2 ^^^ »die Invarianten 
der Classe oder des Paares J^, Fg" bezeichnen dürfen. 

Dem Beweise dieses Theorems senden wir einige Vorentwicklungen 
voraus. Wir constatieren zunächst, dass zwei einander inverse Sub- 
stitutionen, V lind F~S stets dieselben Invarianten j haben, und dass 
andrerseits J2i=ji2 ^^^j wenn wir unter jgi ^^i^ Invariante von F« • F, 
verstehen. Der Beweis ergiebt sich unmittelbar aus den Formeln (6). 
Weiter aber wollen wir die Invarianten der Substitutionen V^y~^ 
und V~^ F, Fj V~'^ bilden, die wir consequenter Weise durch ji, _ 2 und 
^'_i,2, 1,— 2 bezeichnen. Diese beiden Invarianten lassen sich in den 
drei Invarianten j^, J2, ji-i des Paares F^, V^ darstellen; es gelten nämlich 
die Formeln: 

(7) ji , _ , = ii ia — ii2 , i_ 1 , 2 , 1 . - 2 = ;? + ji^ + in — jijdi2 — 2. 

Wir beweisen diese beiden Relationen leicht durch Rechnung. Speciell 
bei der zweiten stellen wir zuvörderst fest: 

(8) i_:, 2, 1,-2 = K- (y0(«2- ^2)(^ir2+ ^2/1) + ^iV2'+ ^2Tr 

Zu eben diesem Ausdruck gelangt man nun in der That auch, wenn 
man auf der rechten Seite von (7) die einzelnen Glieder auf Grund 
von (6) durch die Coefficienten von F^ und Fg darstellt. 

Um die Bedeutung der Invariante j_i, 2,1.-2 aufzuweisen, bilden 
wir die Gleichung (8) im besonderen für ein reduciertes Paar erster 
Species und gewinnen nach kurzer Zwischenrechnung: 
(9) J-i,2,i,-. = 2-{-iß,y,-{-ß,y,y. 

Entsprechend kommt für ein reduciertes Paar der zweiten Species: 

(10) j_,,2:i,_2=2-^/K-d,)i 

Wir haben im letzten Falle sogleich /3i = angenommen; dies ist durch 
eine hier ja noch erlaubte Drehung um t = * stets zu erreichen*). 
Da für ein reduciertes Paar dritter Species die rechte Seite von (8) 
oöenbar gleich 2 wird, so gilt der Satz: Das Substitutionenimar T^, ¥., 
gehört der ersten, zweiten oder dritten Species an, je nachdem die Invariante: 
(11) .;-i,2,i,-2 = ;i' + ^2'+ yi2' — iii2ii2 — 2>2 oder <2 odei- =2 
ist. 

*) Man erinnere sich, dass die Substitutionen eines Paares zweiter Species 
stets hyperbolisch sind; die Fixpunkte von F, sind dementsprechend im Texte 
nach S =^ und ^ = 00 gelegt. 



r 



II, 2. Kanonische Polygone und Moduln der hyperbolischen Rotationsgruppen. 339 

Es folgt hieraus, dass die drei Zahlen j^, j^, Ji2, obschon sie nicht 
durch eine Gleichung verknüpft sind, dennoch in ihrer Veränderlich- 
keit sich gegenseitig einschränken. Ist nämlich wenigstens einer unter 
den absoluten Werten \ji\, IJ2I kleiner als 2, so handelt es sich um 
ein Paar erster Species, und also gilt dann die erste Ungleichung (11). 
Man bemerke aber weiter, dass das Substitutionenpaar V^^V^, V~^ die 
Invarianten j^^, j^, j\ besitzt. Ist also |ii2 | <2, so stellt V^V^, V~^ 
seinerseits ein Paar erster Species dar. Bei der Symmetrie der In- 
variante j-1,2, 1,— 2 in Jif J2} Ji2 gil^ somit der Satz: Ist wenigstens 
einer der drei absoluten Beträge \ji\, \ji\, Jn \ Meiner als 2, so gilt die 
Ungleichung: 

(12) ii' + i2 + ii/-iii2ii2-2>2. 

Als Ergänzung dieses Satzes wird man leicht noch den folgenden be- 
weisen: Ist wenigstens eine der Zahlen |ii |, \J2\7 Jn I gleich 2, so gilt 
notwendig: 

(13) ir + j^ + h,' - jJJ,2 -2^2. 

Hierdurch kommen unendlich viele Wertsysteme für die j^ , j^ , ^'j, zum 
Ausschluss, so dass die drei Invarianten sich in der That in ihrer 
Veränderlichkeit gegenseitig einschränken. 

OD O 

Wir sehen nun weiter von den Paaren der dritten Species ganz 
ab und präcisieren das oben bereits angedeutete Theorem über die 
Bestimmtheit der Classe durch ihre Invarianten j^, j^, j^^, in der fol- 
genden Weise: Jedes Tripel reeller Zahlen j^, j.^, j^^t ß*' iv^cJies die 
Ungleichung: 

(14) h' + j.^ + h,' - i:i2;i2 -2^2 

mit defr Bedingung besteht , dass das obere Zeichen das zutreffende ist, 
sofern wenigstens eine der Zahlen \jx\, \jo\, , ii2 I <^ 2 ist, definiert ein- 
deutig eine zugehörige Classe von Substitutionenpaaren der ersten bez. 
zweiten Species. Der Beweis entspringt aus dem Umstände, dass wir 
aus den gegebenen Zahlen j^, j^, j^^ stets ein zugehöriges reduciertes 
Paar Fj, Fg zu berechnen vermögen, dass sich aber die gesamten 
hierbei im Einzelfalle eintretenden Paare als äquivalent ergeben. 

Gilt nämlich zunächst in (14) das obere Zeichen, so werden wir 
aus ji, J2, Ji2 ein reduciertes Paar der Gestalt (1) berechnen. Hier 

gilt dann direct a^ = ^ ii > "2 = o ^- ' ^^ werden aber in F^ nicht 

ßi und yi zugleich null sein können, da sonst Fj = 1 und ./— 1, 2. 1 . — 2 = 2 

wäre. Durch Transformation vermöge ^' = - , die noch statthaft ist, 



340 II- Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 

geht aber dieses F^ in ( ^ ' M über; und also dürfen wir annehmen, 

dass der dritte Coefficient von F^ von null verschieden ist. Letzterer 
kann sodann durch die noch zulässige Transformation vermöge t,' = xt, 
bez. t,' = — y.\ stets gleich 1 gemacht werden, so dass sich eindeutig 

yj = 1, /3i = ^ j^^— 1 bestimmt. Für ];, gilt: 

(15) Ih + 7,ß, =.yi2 - 2 hh, «2' - ß.r. = 1 , 

wo man für ß-^^ und «^ die schon berechneten Werte eintragen wolle. 
Ist F, parabolisch und also ß^ = 0, so ist V^ eindeutig bestimmt. 
Andrenfalls sind ß^ und y.^ß^ die Wurzeln der Gleichung: 

X' - (ii2 - } hh)^ + l, Ü^ - 4)^^ - 4) = 0, 

deren Discriminante gleich (j-i, 2, 1, —2 — 2) und also positiv ist. Es 
ergeben sich solcherweise zwei Paare reeller Substitutionen F^, F^, 
die jedoch nur in V^ differieren. Beide Paare sind aber äquivalent; 
denn sie gehen in einander durch Drehung von der Periode zwei um 
den Fixpunkt von F^ über, eine Drehung, welche elliptisch ist oder 
eine Spiegelung vorstellt, je nachdem F^ elliptisch oder hyperbolisch 
ist. Für die Paare erster Species ist hiermit das obige Theorem 
bewiesen. 

Zur Vorbereitung späterer Untersuchungen merken wir noch den 
folgenden, aus der eben gegebenen Entwicklung unmittelbar hervor- 
gehenden Satz an: Die Coefficienten des berechneten, zu den Invarianten 
Ji,J2,Jv2 gehörigen reducierten Paares erster Species sind in diesen Invarianten 
entweder direct oder nach Adjnnction von Yj—i, 2, 1,-2 — 2 rational, je 
nachdem unter den Substitutionen Fj, V^ wenigstens eine parabolische ist 
oder nicht. 

Gilt nun in (14) das untere Zeichen, so ist notwendig j Ji | > 2, 
I J5J I > 2, I ;/,2 I > 2. Im reducierten Paare (3), welches wir nunmehr 
zu berechnen haben, dürfen wir sogleich ßi = annehmen, worauf sich 

UO) 2 «, = j, + ]^7 - 4 , 2 d, = j, =F VJ^ 4 

ergiebt. Bei Transformation durch ^ = —r- permutieren sich a^ und d, ; 

wir dürfen demnach in (16) die oberen Zeichen als die gültigen an- 
nelimen und haben damit F^ als reelle Substitution eindeutig bestimmt. 
Die Coefficienten a., und d^ berechnen sich nunmehr eindeutig aus: 

u., -\- d.,= j.^ , «1 a., + d, dg = j, a ? 



ir, 2. Kanonische Polygone und Modaln der hyperbolischen Rotationsgruppen. 341 
wiihreuil sich für ß.^ daraufhin die Gleichung ergiebt: 

Ol'-4)/3/=2-i_x,2.1,-2. 

Die beiden hieraus entspringenden Werte ß.^ differieren nur im Vor- 
zeichen, so dass sich die beiden zugehörigen Substitutionenpaare durch 
Transformation vermöge ^' =^ — ^ als äquivalent erweisen. Also gilt 
der zu beweisende Satz auch hier*). 

Es könnte auffallen, dass bei der eben vollzogenen Rechnung die 
Ungleichungen ; j^ 1 > 2 und | j,2 , > 2 nicht explicite gefordert werden. 
Indessen sind dieselben durch die beiden Ungleichungen J ^^ | > 2, 
j_i,2, 1, — 2<2 immer bereits mitgegeben. Man sieht dies am leich- 
testen durch Vermittlung von Fj und Fg selber. Eine Substitution 
mit ß = y ist stets hyperbolisch; denn die Coordinaten des Fixpunktes 
sind allgemein 2/3, d — «, — 2^, so dass im fraglichen Falle der 
Fixpunkt auf der Geraden 2^-\- z^ = 0^ d. h. ausserhalb der Ellipse 
liegt. Man hat somit |i2l>2, und ähnlich lässt sich \ j^., >2 
zeigen. — 

Die hier besprochenen Invarianten linearer Substitutionen sind 
wiederholt von Poincare in Benutzung gezogen worden. Erstlich gelten 
den linearen homogenen Substitutionen von wVariabelen die allgemeinen 
Ansätze, welche Poincare zu Beginn seiner Arbeit „Sur les groupes des 
equations lineaires"**) entwickelt; speciell die binären Substitutionen und 
Substitutionenpaare behandelt Poincare im Verlaufe der Arbeit „Les 
fondions fuchsiennes ei Varitlimetiqiie"***). Jedoch findet sich an letzterer 
Stelle keine consequente Theorie der Substitutionenpaare, wie sie vor- 
stehend entwickelt ist. An Poincare knüpft mit weiteren Ausführungen 
und Anwerulungen H. Vogt in seiner Pariser Dissertation „Sur les 
invarianfs fondamentaiix des equations diffcrentielles Imeaires du second 
ordre' -f)] doch enthält diese letztere Arbeit einige irrtümliche An- 
gaben und bleibt in den gruppentheoretischen Anwendungen ohne 
abschliessende Resultate. 

§11. Einführung der Moduln j^^, j.^, j.^ für die kanonischen Polygone 

der Gattung (0, 3). 

Die parabolischen Rotationsgruppen oder Gruppen der doppelt- 
periodischen Functionen bilden bekanntlich ein ganzes Continuum von 

*) Nebenher sei bemerkt, dass für die Paare dritter Species das Theorem 
des Textea nicht mehr gilt. 

**) Acta mathematica, Bd. 4 pj;. 201 (188.S). 
***) Liouville's Journal, Serie t Jkl. 3 pg. 405 (1887). 
1) Anualt's de rLcolc Normale, Serie 3 Bd. 6, Supplement (1889). 



342 



11. Ausführliche Theorie der Tolygongruppen. 



Gruppen. Letzteres konnten wir durch die einzelne complexe Variabele co 
in dem Sinne beherrschen, dass wir durch Angabe eines einzelnen 
Wertes ca mit positivem imaginären Bestandteil eine einzelne „Classe" 
parabolischer Rotationsgruppen eindeutig zu definieren vermögen. In 
Übertragung einer bekannten Sprechweise wollen wir o als den „Modul" 
der parabolischen Rotationsgruppen benennen. 

Zu einem analogen Sachverhalt werden wir nun stets gelangen, 
wenn wir mit einem Continuum von Gruppen zu thun haben. So 
stellt sich dem Modul a bei der einzelnen Gattung hyperbolischer 
Rotationsgruppen ein Syste^n von Moduln gegenüber, welche uns in 
derselben Weise gestatten sollen, die Mannigfaltigkeit der Gruppen 
dieser Gattung zu überblicken und das einzelne Individuum aus dieser 
Mannigfaltigkeit durch particuläre Zahlwerte dieser Moduln eindeutig 
zu definieren. 

Die so postulierten Moduln werden uns nun unmittelbar von den 
Invarianten ji, j^,... der erzengenden Suhstihdionen geliefert werden*). 
Hiermit genügen wir zugleich der Forderung der Invarianz; in der That 
werden wir ja Gruppen oder Polygone, die durch Substitutionen erster 
oder zweiter Art iü einander transformierbar sind, als äquivalent in eine 
Classe vereinen und in Ansehung der für uns vorliegenden Fragen 
nicht als wesentlich verschieden betrachten. 

Methode und Charakter der hiermit eingeleiteten Theorie der Moduln 
der hyperbolischen Botationsgnippen wollen wir nun zunächst am niedersten 

Falle, nämlich demjenigen der Gat- 
tung (0, 3) erläutern. Wir setzen uns 
zuvörderst mit den bezüglichen oben 
(pg. 286 ff.) gewonnenen Ergebnissen 
in Contact. 

Für eine Gruppe F der Gattung 
(0, 3) möge in Figur 119 ein Doppel- 
dreieck gezeichnet sein, dessen drei 
Ecken e^, e.^, e^ die Erzeugenden 
Fl, Fg, Fj liefern. Wählen wir diese 
Substitutionen, wie in Figur 119 an- 
gegeben, so besteht die Relation: 

OD / 




(0 



FiF2F3=l oder ^'=¥^7^. 



*) Wir vermeiden hier mit Absicht die vom Falle der parabolischen Rotations- 
gruppen her nahegelegte Bezeichnung co, , cog , . . . für die Moduln, um für die co, , coj , . . • 
die typische Bedeutung als Integralperioden zu reservieren. 



I 



II, 2. Kanonische Polygone und Moduln der hyperbolischen Rotationsgruppen. 343 

Wir fixieren etwa ^ iu der Art, dass die Seite e, e^ mit der ima- 
ginären i;-Axe coincidiert; V^K^ würden dann ein rediiciertes Paar 
erster Species vorstellen. V^, V.,, V^ lassen sich in der jig, 287 an- 
gegebeneu Art in den Spiegelungen: 

an den drei Seiten des in Figur 119 links gelegenen Elementardreiecks 
darstellen. 

Zu Moduln des Doppeldreiecks und damit der Gruppe F wählen 
wir nun die Invarianten ij, ^2» ii2 ^^^ Paares F,, V^, wobei zufolge 
(1) die Invariante ^'j, vielleicht vom Vorzeichen abgesehen (worüber 
sogleich nähere Untersuchung anzustellen ist) der Invariante /g von V^ 
gleich ist. Da F, , Fg ein Paar der ersten Species vorstellen, so gilt 
j_i,2, 1, — 2>2 oder explicite: 

(3) ii^ + i2' + ii2'-i.i2ii2-2>2; 

weitere Bedingungen werden vom vorigen Paragraphen nicht geliefert. 
Es tritt nun die principielle Frage auf: Ergehen sich über (3) hinaus 
durch die Natur der Jcanonischen Discontinuitätshereiche der Gattung (0, 3) 
noch iveifere einschränliende Bedingungen für die Moduln j^, j^, ii2, ^ind 
eventuell zvelches sind diese Bedingungefi? *) 

In dieser Hinsicht haben wir zunächst unmittelbar den folgenden 
Satz zu formulieren: Diejenigen unter den Moduln ji, J2, Js= :hJi2} 
welche zu elliptischen Substitutionen gehören und also absolute Beträge 
\ jk I < 2 haben, genügen den Gleichungen: 



l4) I jk ! = 2 cos y 



tvo Ik die Periode der zugehörigen elliptischen Substitution Vn ist. Dies 
folgt unmittelbar aus der bekannten Natur elliptischer Polygouecken. 
Die absoluten Werte der Invarianten sind in der That nichts anderes 
als die doppelt genommenen Cosinus der halben Drehungswinkel der 
betreffenden Substitutionen, ein Satz, der natürlich auch für die auf 
und ausserhalb der Ellipse gelegenen Ecken gilt. 

Hiermit sind aber noch nicht die sämtlichen Bedingungen für die 
Moduln aufgestellt, und wir werden, nni in dieser Hinsicht \o\\- 
ständigkeit zu erzielen, erst noch einige vorbereitende Untersuchungen 
durchführen müssen. 



*) Dieses Problem (^jedoch in minder entwickelter Form") spielt auch schon 
in Poincard's Arbeit „Theorie des groupcs fnchskns" (Acta mathematica Hd. 1, 
1882) eine Rolle; siehe z. 13. daselbst pg. öO unten. 



■ 



344 II- Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 

Erstlich ist es notwendig, gleich hier am Anfang über die Vor- 
zeichen der Coefficienten von }\, V^, Fg eindeutige Festsetzungen zu 
treffen. Wenn man will, kann man diesen Schritt als den Übergang 
zur homogenen Schreibweise der Substitutionen V auffassen. In dieser 
Hinsicht bestimmen wir, dass, falls jt nicht verschwindet, stets j,- > sein 
soll, und haben dadurch die Vorzeichen der Coefficienten von Vi, sofcim 
diese Substitution nicht elliptisch von der Periode 2 ist, eindeutig festgelegt. 

Liegt aber eine Substitution von der Periode 2 vor, so ist eine etwas 
ausführlichere Betrachtung notwendig. Die einzelne elliptische Sub- 
stitution V, welche als Erzeugende bei einer unserer Gruppen fungiert, 
haben wir stets so fixiert, dass sie eine Drehung im positiven Sinne 
um den bezüglichen Fixpunkt e vorstellt. Es kommen dann für uns 
nur solche Drehungen zur Geltung, deren Drehungswiukel &■ ^n sind. 
Nachdem wir soeben festsetzten , dass bei -d- < jr die Invariante j von V 
positiv sein soll, wollen wir den Fall ^ = ti, d. h. den einer Sub- 
stitution der Periode 2, als Grenzfall dieser Festsetzung fassen. Es zeigt 
sich in der That, dass diese Bestimmung die Vorzeichen der Coefficienten 
im vorliegenden Fall eindeutig festlegt. Wählen wir t, nämlich so, dass 
im Punkte e ^ = i wird, so haben wir für d- <,7C die Substitution 

V^ ( /? ) *^*^ positiven a und /3; denn es ist j = 2a >0, und 5 = 
wird durch V in einen positiven Wert — transformiert. Wird nunmehr 
%■ = IC, so wird a = und /3 = 1, d. h. wir erhalten ( / ^) »^'"^ 

nicht etwa ( ' , j als elhptische Substitution der Periode 2; und 

also ist in der That Eindeutigkeit erzielt. 

Die getroffene Festsetzung ist ihrer Natur nach invariant bei 
Transformation durch eine Substitution erster Art; doch bewahrt sie, 
wie wir nebenher bemerken, diesen Charakter nicht, falls wir durch 
eine Substitution zweiter Art transformieren, weil nämlich bei einer 
solchen Transformation die Pfeilrichtunj? der Substitution in die ent- 



gegengesetzte verwandelt wird. Transformieren wir aber ( i' n) ^^^^^ 
die reelle unimodulare Substitution erster Art ( ' ), so folgt: 

/ d, - /A / 0, 1\ (a, b\ _ / ah + cd, b' + d- \ 
V- c, a)\- \,())\c,d) \-a*-6^ —ab — cd)' 

Hier ist beständig /3 > 0, y < 0, was neben j = bereits durch ß > y 
eindeutig festgelegt ist. Indem wir zusammenfassen, haben wir fol- 



II, 2. Kanonische Polygone und Moduln der hyperbolischen Rotationsgruppen. 345 

gendes Resultat: Die Vorzeichen der Cocfßcienten in den Substitutionen 
Vi können ivir durch die Festsetzungen ji > bez. im Falle einer elliptischen 
Substitidion der Periode 2 (d. i. für ji = 0) durch /3, > y,- eindeutig fixieren. 
Es ist dies eine äusserst wichtige und weiterhin oft zur Verwendung 
kommende Bestimmung. — 

Des weiteren haben wir eine rein geometrische Betrachtung an- 
zustellen. Wir teilen zunächst alle für uns in Betracht kommenden 
Dreiecke der Ecken e^, e<^, e^ in vier Kategorien, je nachdem keine, 
eine, zwei oder alle drei Ecken ausserhalb der Ellipse liegen; in 
Fisur 120 sind diese vier Kategorien durch Nummern unterschieden. 




Fig. 120 

Wir sehen alsdann für den Augenblick von der Forderung ab, dass 
die im EUipseuinnern gelegenen Winkel aliquote Teile von ii sein 
sollen, halten jedoch daran fest, dass keiner dieser Winkel grösser 
als ein rechter sein darf. Es gilt dann, einzusehen, dass die sämtlichen 
so Charakter isicrten Dreiecke ein Continnum darstellen, in uclchein die 
Dreiecke mit einem oder zivei rechten Winkeln die Greiufälle abgeben*). 

In der That ist unmittelbar ersichtlich, dass alle Dreiecke mit 
drei auf der Ellipse gelegenen Ecken ein Continuum darstellen. Irgend 



*) Weitere Grenzfälle werden von denjenigen Dreiecken geliefert, bei denen 
eine oder mehrere Seiten Tangenten der fundamentalen F^llipse sind. Doch sind 
diese Dreiecke bereits unbrauchbar und kommen im Texte nicht in Betracht. 



346 



II. Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 



eines unserer Dreiecke lässt sich aber stets continuierlich in ein 
Dreieck der eben gemeinten Art umwandeln, wobei im Verlaufe der 
Umwandlung die sämtlichen Winkel dauernd spitz sind. Zu diesem 
Ende werden wir im Falle der ersten Kategorie etwa eg zunächst an 
seiner Stelle lassen, die Punkte e^ und e^ aber auf den Verlängerungen 
der Seiten c~e'^ und e^e^ nach unten bis zur Ellipse verschieben. Hierbei 
ist nur darauf zu achten, dass die durch e^ und e^ hindurchlaufende 

Gerade während des Processes 
weder über den Pol von e, e^ noch 
den von e^e^ hinübergeschoben 
wird (cf. Figur 121). In den 
übrigen Fällen regelt sich der 
Process zum Teil noch einfacher. 
Liegt ein Dreieck mit einem 
rechten Winkel vor, so wolle man 
das Dreieck gleich anfangs so 
umwandeln, dass derselbe < ^ 
wird; denn wir haben schon 
betont, dass im Verlaufe der 
Umwandlung kein Winkel = -• 




Fig. 121. 



oder gar > - werden soll. Haben wir gar ein Dreieck mit zwei rechten 
Winl'eln, so ist dies im doppelten Sinne ein Grenzfall. Die dritte Ecke 
liegt dann offenbar ausserhalb der Ellipse und stellt den Pol der gegen- 
überliegenden Seite dar. Die zu- 
gehörige Gruppe wird elementar 
und ist nach Analogie mit früheren 

Bezeichnungsweisen als liyper- 
bolische Diedergruppe zu benennen 
(cf Figur 122). - 

Die eben gegebenen Darlegun- 
gen liefern uns die Grundlage für 
gewisse Confimdtätsbetrachtnngen, 
wie wir sie hier und entsprechend 
in der Folge oft wiederholt an- 
zustellen haben. Wir machen gleich 
hier von Betrachtungen dieser Art 
bei Entscheidung der Frage Ge- 
brauch, ob in der Gleichung j^ = +.?j2 das obere oder untere Zeichen 
gültig ist. Damit diese Frage einen Sinn hat, werden wir natürlich 
jj > voraussetzen. 




Fig. 122. 



f 



II, 2. Kanonische Polygone und Moduln der hyperbolischen Rotationsgruppen. 347 

Zur Beantwortung der aufgeworfenen Frage wandeln wir das 
vorgelegte Dreieck innerhalb des oben beschriebenen Continuums in 
ein solches Dreieck um, dessen Ecken auf der Ellipse gelegen sind. 
Die Erzeugenden V^, F^, V.^ werden hierbei stetige Änderungen erfahren, 
und keine der Invarianten j; geht durch hindurch, da während des 
Processes keine rechten Winkel auftreten. Besteht zu Anfang eine der 
Gleichungen j\ = 0, j.^ = oder gar beide, so werden zufolge der 
vorausgesandten Bemerkungen und Festsetzungen die Invarianten jj, j'2 
mit Beginn des Continuitätsprocesses zu positiven Werten übergehen*). 
Da am Ende des Processes Fj, Fg, F3 parabolisch geworden sind und 
die Invarianten dauernd positiv sind, so sind die End werte: 

h = 2, Ä = 2, js = ±i,o = 2. 

Die Ungleichung (3) pg. 343 liefert daraufhin: 

12=F8 — 2>2, 

und also kann nur das untere Zeichen gelten. Hieraus schliessen wir 
nun gleich allgemein: Die Simultaninvarianie j^^ des Paares F^, V.^ genügt 
der Bedingung j,2 = — is, und entsprechend gelten die Gleichungen: 

KP) Jn ^^^ Js} J-'ä ^"^ Jij Jsi ^ J-if 

so dass die Invarianten j^.2, j^g, Jg^ zufolge unserer Festsetzungen niemals 
positiv sind. In der That ist ja während des Umwandlungsprocesses 
die Invariante Jjg nicht durch hindurchgegangen und hat sich stetig 
geändert; sie muss somit schon anfangs negativ gewesen sein. 

Nachdem dies festgestellt ist, nehmen wir die Aufstellung aller 
für die Moduln Ji, j^, ii2 gültigen Bedingungen näher in Angriff. 

§ 12. System der charakteristischen Bedingungen für die Moduln 
der Gattung (0, 3). Mannigfaltigkeit aller Gruppen [0, o). 

Unsere Festsetzungen über die Vorzeichen der Coefficienten in 
Vi, V., hatten, wie wir eben sahen, die Ungleichung J,2 < im Ge- 
folge. Die Ergebnisse des vorigen Paragraphen können wir demnach 
dahin zusammenfassen, dass für die Moduln J^, j«, ./12 = — j;t unseres 

*) Übrigens ist es sehr leicht, den Fall j. = auf Grund von ß. > y. unter 
Gebrauch der für ein reduciertes Paar erster Species in (1) pg. 336 aufgestellten 
Gestalt von F, , F, einer directen Behandlung zu unterziehen. Ist etwa F von 
der Periode 2, so lege man den Fixpunkt direct nach f = i und lasse sich e^e^ 

in der Richtung auf f = CX) anachliessen. Dann ist F. = ( ' ), F. = ( ' ^] 

\— 1,0/ - \y, 0/ 

mit a .> 0, ß > und ß > y |, woraus man die zu beweisende Ungleichung 

Ji: = — ß -{- y < unmittelbar abliest. 



348 ^I- Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 

Polygones P(, bez. unserer Gruppe F der Gattung (0, 3) folgende not- 
wendige Bedingungen bestehen: Es muss erstlich: 

(1) ii' + J/ + i,2'-iiiJ,.-2>2 

gelten; sodann bestehen teils auf Grund von Festsetzungen teils als Folgen 
solcher die Ungleichungen: 

(2) i,>0, j,>0, j,,£0, 

tvobei jedoch das Gleichheitszeichen zugleich höchstens an zivei Stellen 
gelten darf (hyperbolische Diedergruppe) ; endlich erfüllen diejenigen Moduln 
ji! h} ia = — ii2; i^elohe < 2 sind, die Gleichungen: 

(3) ji = 2 cos " , 

unter li jedesmal eine ganze Zahl > 1 verstanden. 

Die aufgestellten Bedingungen sind nun nicht nur notwendig, 
sondern auch hinreichend; in der That gilt, wie wir jetzt nachweisen 
wollen, der Satz: Jedes Tripel reeller Zahlen j^, j.,, j^<^, die den Be- 
dingungen (1), (2) und (3) genügen, Jcommt als System von Moduln bei 
einer und nur einer Classe von Gruppen bez. Polygonen der Gattung (0, 3) 
wirklich vor; die Classe ist demnach durch jenes Zahlentripel als ein- 
deutig defnieii anzusehen. Wir wollen den Sinn dieses Satzes dadurch 
abgekürzt bezeichnen, dass wir die Bedingungen (1), (2) und (3) als 
die „charaicter istischen Bedingungen für die Moduln der Gattung (0, 3)" 
benennen. Auch bei den höheren Gattungen wollen wir die gleiche 
Bezeichnungsweise in demselben Sinne verwenden. 

Der aufgestellte Satz ist dadurch zu beweisen, dass wir dem 
einzelnen unserer Zahlentripel j^, jg, j^.^ stets ein und im wesentlichen 
auch nur ein als Discontinuitätsbereich brauchbares Elementardreieck 
zugewiesen finden. 

Wir bemerken zunächst, dass nach pg. 339 '^^ Ji, j^j jn ^"'* ^^*^^ 
Classe von Paaren erster Species gehört, und wir wählen aus der Classe 
das particuläre Paar V^, Fj mit den Fixpunkten e^, 62- 

Zwei Punkte besitzen nun in der projectiven Ebene an sich zwei 
gerade Verbindungsstrecken, von denen die eine die Verlängerung der 
anderen ist. Es ist demnach die Frage, welche unter diesen beiden 
geradlinigen Strecken zur Dreiecksseite e^ zu wählen ist. 

In dieser Hinsicht bemerken wir zunächst, dass e,~e^ das gänzlich im 
Ellipseninnern verlaufende Stück sein muss, falls Fj und V^ nicht 
hyperbolisch sind. Haben wir zwei nicht- elliptische Substitutionen 
Fj, F2, so muss e^^ durch die Ellipse hindurchziehen. Ist endlich 
die eine Substitution elliptisch, die andere hyperbolisch, so muss e^e^ 



II, 2. Kanonische Polygone und Moduln der hyperbolischen Rotationsgruppen. 349 

diejenige Strecke sein, welche von der Polare des hyperbolischen 
Punktes geschnitten wird. Sollte der elliptische Punkt auf jener Polare 
liegen, so können wir e'e^ nach Willkür mit der einen oder anderen 
der beiden fraglichen Strecken identificieren und erhalten übrigens 
eine hyperbolische Diedergruppe. Man wolle sich alle diese Angaben 
etwa an den vier Dreieckstypen der Figur 120 pg. 345 deutlich machen. 

Sollen nun Fj, V^ als Gruppenerzeugende unserer Art brauchbar 
sein, so müssen die zugehörigen Drehungsrichtungen in der durch 
Figur 123 angegebenen Art orientiert sein (cf. Figur 119)*). Hierbei 
ist zu bemerken, dass zwar bei einer 
hyperbolischen oder parabolischen Sub- 
stitution der Drehungssinn von vorn- 
herein geometrisch eindeutig bestimmt 
ist, nicht aber bei einer elliptischen 
Substitution. Wir erreichen dies hier, 
wie ausdrücklich hervorgehoben sein 
soll, nur durch die besondere Fest- 
setzung, dass der zugehörige Drehungs- 
winkel ^ 71 ist. 

Bei einer unter den Substitutionen 
Vif V^ dürfen wir nun die Pfeilrichtung 

willkürlich wählen; denn wir können nötigenfalls F^, F^ zugleich noch 
durch die Spiegelung an der Geraden e^e^ transformieren. Ausserdem 
aber können wir offenbar bei einer elliptischen Substitution der Periode 2 
ohne sonstige Änderung die Pfeilrichtung umkehren. Ist demnach 
wenigstens eine der Substitutionen Fj, F, von der Periode 2, so 
können wir für die zweite und sodann auch noch für die erste die 
Pfeilrichtung nach Vorschrift von Figur 123 wählen. Ist aber keine 
der Substitutionen ]'i, V.^ von der Periode 2, so können wir etwa bei 
l\ die gewünschte Pfeilrichtung annehmen. Es ist aber dann durch- 
aus die Frage, ob die Pfeilrichtung von Fg die richtige ist oder nicht. 

Die Beantwortung dieser Frage stützt sich auf folgenden Satz: 
Die Substitutionen Fj, V.2^ drcJien um ihre FixpimJcte e^, i\ beide in dem 
gleichen oder im entgegengesetzten Sinne, je nachdem: 

(4) iii2-2^>0 oder <0 

zutrifft. Den Beweis dieser Behauptung führen wir wieder auf Grund 
einer Continuitätsbetrachtung und schicken zu diesem Zwecke folgende 
Bemerkung voraus. 

*) Figur 123 ist so angeordnet, dass die Strecke e,e. nicht durch das Un- 
endliche hindurchzieht; dies ist stets erreichbar. 




350 II- Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 

Die Coordinaten von e, in der projectiven Ebene sind durcli 
{2ßi, di — cci, — 2y,) gegeben. Die Bedingung, dass e^ auf der Polare 
von ßg und damit e^ auf derjenigen von e^ gelegen ist, findet sich 
damit vermöge einer leichten Zwischenrechnung zu: 

(5) 2ß,r,+ (d, - «,) (d. - «,) + 2 ^2 ri = 0. 

Man überzeuge sich nun, dass die linke Seite dieser Gleichung gerade 

die in (4) auftretende Invariante (2Ji2 — J1J2) ist: 

(6) 2ß,y, + {d, - a,){d, - a,) + 2ß,y, = 2j,,-jJ,. 

Bei jeder continuierlichen Veränderung von Fj, Fg, bei welcher c^ 
niemals die Polare von p passiert, wird demnach dauernd entweder 
die erste oder zweite Ungleichung (4) bestehen. 

Nun lassen wir Fj, V^ stetig in parabolische Substitutionen über- 
gehen, wobei 61 und Cg ^^^ ^^^ Ellipse rücken. Dies lässt sich stets 
in der Art ausführen, dass (^j^^ — J1J2) dauernd von null verschieden 
ist; auch meide man mit Fj, Fg elliptische Substitutionen der Periode 2, 
so dass ji und J2 stets > sind. Im Falle der Figur 123 wird man 
etwa zuerst Cj, bis €2 verschieben und sodann e^ nach c^' rücken lassen. 
Man wähle dabei t, so, dass in den neuen Punkten e^ und e.^ bez. die 
Werte t = und 2; ^ 00 zutreffen. Die Substitutionen haben dann 
die Form angenommen: 

und hier ist y, < zufolge unserer Festsetzung, dass bei F^ der 
positive Drehungssinn vorliegen sollte, während andrerseits bei Fg 
der positive oder negative Drehungssinn vorliegt, je nachdem /^g > 
bez. <0 ist. Nun folgt aus (6): 

hj^^- 2ii.2= - 2ß2n, 
und also ist unsere durch (4) charakterisierte Regel für die Sub- 
stitutionen (7) thatsächlich richtig. Sie gilt dann aber zufolge unserer 
Überlegung auch allgemein*). 

Jetzt haben wir nur noch zu bemerken, dass für das oben ge- 
meinte Paar Fj, Fg die Invarianten j^ und j.^ > sind, und dass zu- 
folge (2) pg. 348 immer j^^ < ist. Es gilt somit stets die erste 
unter den Ungleichungen (4), d. h. die zum vorgelegten Tripel 

*) Ersetzt man eine der beiden Substitutionen Fj , V^ durch ihre inverse 
(wobei sich deren Pfeilrichtung umkehrt), so wird (j, ^.j — 2;',„) das Vorzeichen 
wechseln; in der That zeigt Formel (6), dass der Zahlwert von UiJ^- -Jii) 
genau in den entgegengesetzten übergeht. 



TI, 2. Kanonische Polygone und Moduln der hyperbolischen Rotationsgrnppen. 351 

in J2> Ji2 gehörenden Substitutionen haben die in Figur 123 angedeu- 
teten Pfeilrichtuncren. 

Zur Fortsetzung der Construction des zum vorgelegten Tripel 
JiyJ2>Ji2 gehörenden Elementardreiecks bemerken wir, dass die Winkel 
bei fj und e.^ durch j^ und j., unmittelbar gegeben sind. Um sie zu 
construieren, führen wir die zu Fj und K^ gehörenden cyclischen 
Gruppenein und erweitern jede derselben durch Zusatz der Spiegelung 
F3 an e,6"2, welche ja jede der Substitutionen V^, V^ in ihre inverse 
transformiert. Die Symmetriegeraden der in diesen Gruppen enthaltenen 
Spiegelungen bilden zwei Strahlenbüschel durch e^ und e.^-^ und dabei 
werden, sofern wir an den Festsetzungen von Figur 123 festhalten, 
auf e, e, zur Linken die beiden Symmetriegeraden von: 

unmittelbar folgen. Liegt nämlich e, auf oder ausserhalb der Ellipse 
(und ist damit F,- nicht- elliptisch), so ist dies selbstverständlich. Ist 
Vi aber elliptisch, so berufen wir uns darauf, dass der Drehuntrs- 
Winkel < 7C und also der halbe Drehungswinkel, d. i. der Winkel 
zwischen den Symmetriegeraden von F3 und Vi T^ notwendig < -^ ist. 
Da aber stets der doppelte Cosinus dieses Winkels, nötigenfalls vom 
Vorzeichen abgesehen, durch die Invariante gegeben ist, so folgt für 
unsere Substitution F aus (3) pg. 348 als Grösse des fraglichen spitzen 
Winkels ^ • Im Innern dieses Winkels kann demnach auf Grund be- 
kannter Sätze keine weitere Symmetriegerade liegen. 

Man veranschauliche sich nun die Lage der beiden zu ^, T^ 
gehörenden Symmetriegeraden; liegt z. B. e. auf oder ausserhalb der 
Ellipse, so wird die durch Ci hindurch- 
ziehende unter diesen beiden Geraden 

I die Ellipse nur auf der linken Seite von 

I e^ schneiden. In jedem Falle wollen 

. wir den Schnittpunkt e^ unserer beiden 
Geraden markieren und damit das Drei- 

{ eck der Ecken e^, e.^, e^ einführen, dessen 

I bei ßg gelegener Winkel nunmehr der 
näheren Discussion zu unterwerfen ist. 
Zwei zunächst nicht ausgeschlossene 
Gestalten von Dreiecken bieten sich hier 
dar, welche für unsere weiteren Zwecke 
unbrauchbar sein würden. Es könnte 
einmal sein, dass eine der Dreieckssciten in der durch Figur 124 an- 
gezeigten Art ihren Endpunkt c.^ bereits vor Eindringen in die Ellipse 




I 



352 I^- Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 

erreichte. Es könnte zweitens e^ zwar im Ellipseninnern gelegen sein, 

jedoch der hierselbst vorliegende Dreieckswinkel den Betrag - über- 
steigen. 

Aber wir überzeugen uns leicht, dass keine dieser Möglichkeiten ein- 
treten kann. Läge nämlich einer dieser Fälle vor, so wollen wir e^ auf der 
in Figur 124 punktiert gezeichneten Linie nach irgend einem Punkte e./ 
von e^ verschieben. Hierbei hat keine der Invarianten j^, j/.^, ;/,2 einen 

Zeichen wechsiel erfahren, da kein Dreieckswinkel den Betrag ^y passiert 
hat; man wolle nur bemerken, dass doch jjg die Invariante der Substitution 
Vi Vi= Vr V{~ mit dem Fixpunkt ^3 ist. Nun ist anfangs und also auch 
am Schluss ji2 <0. Dies aber widerstreitet dem Umstände, dass schliesslich 

V^ und V^ übereinstimmend gleich f ^ j werden, was j,2 = 2 ergiebt. 

Die abnormen Gestalten der Dreiecke können somit nie eintreten. 
Vielmehr wird, wenn c^ im Innern der Ellipse liegt, der Dreiecks- 
winkel daselbst < ^^ sein und berechnet sich daraufhin aus (3) pg. 348 
zu - • Liegt ^3 ausserhalb der Ellipse, so werden die Seiten e^e, und 

3 

e^e2 in das Innere der Ellipse eindringen bez. dasselbe durchdringen. 
Wir erkennen im Dreieck somit unmittelbar einen Discontinuitäts- 
bereich zweiter Art, und also ist unser Theorem vom Anfaog des 
Paragraphen bewiesen. — 

Wir können dem gewonnenen Ergebnis auch dahin Ausdruck 
verleihen, dass wir sagen, unser Dreieck sei durch seine Winkel bez. 
durch die Cosinus derselben bereits eindeutig bestimmt. Es ist dies eine 
Eigenschaft, welche die hier vorliegenden Dreiecke mit den gewöhn- 
lichen sphärischen Dreiecken teilen. Wir schliessen hieran die histo- 
rische Bemerkung, dass unsere obige Invariante: 

I 1 1 • 1 • I 
(9) 4 — j,- — j,- - jj + ,y, jj,^ = 4 ' ,^ ./, , 1 , \ ./2 I , 

I 1 . 1 . . 

ganz entsprechend in den Cosinus der Winkel eines sphärischen Drei- 
ecks gebildet, in Entwicklungen der sphärischen Trigonometrie und 
Stereometrie seit lange eine ausgedehnte Rolle spielt'-'). Die Quadrat- 
wurzel aus der in (9) auftretenden Determinante nennt v. Staudt 

*) Siehe z. B. Lex eil iu den Acta Fetropolüana von 1782, I, pg. 71 H. 



II, 2. Kanoniache Polygone und Moduln der hyperbolischen Rotationsgruppen. 353 

den Sinns der dreiseitigen EcJce (welche zum sphärischen Dreieck ge- 
hört)*). Ein solcher „Eckeusinus" findet z. B. bei der Bestimmung 
des Tetraedervolumens eine elet'ante Anwendung. — 

Wir überblicken hier nun auch ohne weiteres die Gesamtmannig- 
faltigkeit aller Gruppen der Gattung (0, 3): 

Ist keiner der drei Moduln ji,J2,j\2 absolut j^rösser als 2, so gelten 
drei Gleichungen (3) mit ganzen Zahlen l > 2, die Möglichkeit ^ = oo 
eingeschlossen. 3Iit Angabe der Zahlen /j, l^, /g ist offenbar die Classe 
eindeutig bestimmt; wir wollen dem Gattuugscharakter (0, 3j die drei 
ganzen Zahlen l anfügen und nennen alsdann (0, 3; l^, Z.^, l.^) die 
„Signatur der Classe". 

Ist eine unter den drei Substitutionen Fj, V^, Fg, etwa die letzte, 
hyperbolisch, so sind mit Angabe der beiden Zahlen /, , /^ die Moduln 
ji,j.2 eindeutig bestimmt, während Jj2 unterhalb der durch J^, < — 2 
angegebenen Grenze continuierlich variabel bleibt. Es entspringen 
oo^ Classen, die offenbar ein Continuum bilden. Man kann sich dies 
natürlich auch mit Hilfe der Discontinuitätsbereiche, d. i. in unserem 
Falle mit Hilfe der Dreiecke fj, e^, e^ deutlich macheu, welche sich 
selbstverständlich mit den Invarianten stetig ändern. Das so gewonnene 
Continuum der oo^ Gruppenclassen fassen wir nun zu einer „Familie'' 
von Gruppen oder Classen zusammen und nennen (0, 3; /j, /o) die 
..Signatur der Familie'^. Wir merken noch an, dass die Reihenfolge 
der Zahlen l hier, sowie auch im obigen Falle einer Classe der 
Signatur (0, 3; Z^, /o, /g), offenbar gleichgültig ist; bei Transformation 
vermöge einer Substitution zweiter Art wird ja in der That die 
Reihenfolge der Ecken des einzelnen Elementardreiecks umgekehrt. 

Man wird endlich diese Betrachtungen leicht auf die Fälle aus- 
dehnen, dass zwei oder alle drei Substitutionen F, , Fo, \\ hyperbolisch 
sind, und gewinnt solcherart unendlich viele Familien der Signaturen 
(0, 3; Zj) sowie eine Familie der Signatur (0, 3). 

Wir fassen alle unterschiedenen Fälle zusammen, indem wir sagren: 
Ist V die ÄnzaJd der in oder auf der Ellipse gelegenen Ecken c^,e^, e.^ hei den 
Dreiecken der einzelnen Familie, so stellt die Familie ein (3 — v)fach 
unendliches Continuum. von Gruppenclassen vor. Dieser Satz soll immer 
die Bedeutung haben, dass wir ein einzelnes kanonisches Polygon der 
Familie continuierlich in jedes andere Polygon der Familie überführen 
können, ohne dass wir Zwischengestalten von Polygonen durchschreiten 
müssten, welche der Familie nicht angehören. 



*) Cf. Crelle'ö Journal, Bd. 24 pj,'. 252. 

Fr i c k u - Kl (■ i II , .\uiniiiiirplii> Kuiictiniiüti. 1. 23 



354 



II. Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 



§ 13. Die Moduln und deren charakteristische Bedingungen für die 
kanonischen Polygone der Gattung (1, 1). Mannigfaltigkeit der 

Gruppen (1 , 1). 

Bei der Behandlung der Gattung (1, 1) legen wir den kanoDischen 
Discoutinuitätsbereich einer zugehörigen Gruppe F in seiner einfachsten 
Gestalt als Viereck P^ zu Grunde und erinnern zunächst an die hierbei 
vorliegenden Verhältnisse (cf. pg. 288 ff.), welche wir hier zugleich 
in interessanter Weise fortzubilden haben. 

Wir haben drei Typen von Vierecken JP^ zu unterscheiden, je 
nachdem die Ecken innerhalb, auf oder ausserhalb der Ellipse liegen; 

in Figur 125 sind diese drei Typen 
durch die Nummern I, II, III unter- 
schieden. Die Gegenseiten des Vierecks 
sind durch die Substitutionen Va und Vo 
auf einander bezogen, welche die Er- 
zeugenden von r sind und ein Paar 
zweiter Species vorstellen. Die Ecken 
e, e', e", e" des Vierecks sind die Fix- 
punkte der vier gleichberechtigten Sub- 
stitutionen Fe, F/, Vc , Vc" , von denen 
sich zufolge pg. 289 die erste wie folgt 
in Va, Fi ausdrückt: 

(1) Vc=v,Va-'vr'Va. 

Vc ist elliptisch, parabolisch oder hyper- 
bolisch, je nachdem das Viereck Fq zum 
ersten, zweiten oder dritten Typus ge- 
hört. Im ersten Falle ist die Winkel- 
summe des Vierecks ein von '23C selbst 
verschiedener aliquoter Teil von 27t. 
übrigens kann man auch den Typus II 
als Grenzfall des Typus I oder auch III 
ansehen, eine Auffassung, von der weiter 
unten gelegentlich Gebrauch gemacht 
wird. 
Es mögen nun die Invarianten des Paares zweiter Species Va, Vi, 
durch ja, jö, jab bezeichnet und als Moduln des Polygons P^ heran- 
gezogen werden. Gewisse erste Angaben über diese Moduln lassen 
sich sofort machen. Zunächst ist nach pg. 338 die Invariante je von 
Vc direct durch: 

(^) Je == ja' -(- jb^ + jab' — jajbjub — 2 




Fig. 125. 



II, 2. Kanonische Polygone und Moduln der hyperbolischen Rotationsgruppen. 355 



gegeben; und da wir hier mit einem Paar zweiter Species zu thun 
haben, so gilt die Ungleichung: 

(3) ja' + J>,- + JJ — jajt.jah — 2 < 2. 

Die absoluten Werte von ja, jb, jah sind" > 2 (cf. pg. 292). Setzen wir 
ja > 2, J4> 2, so sind die Vorzeichen der Coefficienten in Va, F* fest 
bestimmt. Aus (3) ergiebt sich nun leicht jab>2, so dass wir zu- 
sammenfassend die Ungleichungen: 

(4) ja>2, >>2, ja»>2 

constatieren. Für je folgen aus (2) und (3) beim zweiten und dritten 
Typus (Figur 125) die Bedingungen je = — 2, je < — 2. Beim er.steu 
Typus ist jedenfalls | je | < 2, und hier entspringt die Frage, ob j,- 
negativen oder positiven Wert hat. — 

Um diese sowie einige weiter auftretende Fragen in einfachster 
Weise zu beantworten, gehen wir nunmehr auf die schon pg. 293 er- 
wähnte Erweiterung der Gruppe F durch Zusatz der 1. c. durch V 
bezeichneten elliptischen Substitution der Periode zwei ausführlich ein. 
Wir nennen die erweiterte Gruppe F' und wollen die hier eintretenden 
Verhältnisse zunächst in Allgemeinheit darlegen. 

In Figur 126 haben Avir als Beispiel ein Viereck Pq des ersten 
Typus herangezogen; doch gelten unsere Überlegungen uneingeschränkt 
auch in den beiden an- 
deren Fällen. Das Cen- 
trum e^ des Vierecks ist 
der Pol der Geraden <^ 
und liefert den Fixpunkt 
für die Substitution Vq 
der Periode 2, welche P 
in sich transformiert und 

die Erweiterung von 
r auf F' leistet. Die 
Schnittpunkte der Po- 
laren }) , p^ mit den 
Vierecksseiten nennen 
wir, wie in Figur 120, 
e, bis e^] sie stellen 
offenbar die Fixpunkte 
der in F' enthaltenen 
Substitutionen: 
{',) V^ = Vb Vo, V, = V„ V,, V, = V, F., V, = lo V. 

dar. Da K„ und ]'o durch Fo in ihre inversen Substitutionen trans- 

-.»3* 




Fig. l-.'6 



356 11. Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 

formiert werden, so sind die Suhstittttionen V^, ..., V^ elliptisch von 
der Periode zwei; da ferner: 

F, (e) = V,Vo (e) = F* (e") = e u. s. w. 
ist, so stellen die FizpunJcte e,- die Seitenmitten des Via-ecks dar, gerade 
wie sich in Co die Diagonalen halbieren. 

Man kann Fo, Vi, V^ als Erzeugende von r" ansehen, da sich 
aus (5) sofort F2 Vo = Va und Fi Fo = F4 ergiebt. Die Substitution Vc 
stellt sich nun als Quadrat der in F' enthalteneu Substitution FiFa 
dar; denn es ist: 

{rtVaY^ (nFoF.)2= (F.Fr'Fo)^= v.v-'vr'v,. 

Der Punkt e ist somit Fixpunkt von Fi Va^ und entsprechend findet 
man e als Fixpunkt von ViVa~ . Hieraus wollen wir noch ein wich- 
tiges Ergebnis über die Gestalt unseres Vierecks Pq ableiten. Man 
bemerke nämlich, dass Fi und Va durch die Spiegelung an der Ge- 
raden CiCa in Fl und VcT transformiert werden. Hierbei geht FiFa 
in FiFa~* und also e in e', e aber in e über: Die Seite e^ unseres 
VierecJiS steht se^ikrecht auf eTe^ und desgleichen ¥¥' auf e^, d' e'" auf 
e^Ca und endlich e"'e auf e^et- Als Discontinuitätsbereich von F' werden 
wir übrigens etwa das Dreieck ee e" wählen; es entspricht dem Er- 
zeugendensy.stem F^,, Fj, V^. Im Falle des Typus I ist die Winkel- 
summe des Dreiecks ein aliquoter Teil von %. — 

Die vorstehenden Darlegungen führen uns zu zwei höchst ein- 
fachen Arten, die einzelne Gruppe der Gattung (1, 1) zu definieren. 
Wir knüpfen erstlich zur Definition einer Gruppe (1, 1) an ein heliehiges 
Dreieck, welches wir nur der einen Bedingung unterwerfen, dass die 
Ecken c, e, e" zugleich entweder innerhalb oder auf oder endlich ausser- 
halb der Ellipse liegen, und dass im letzteren Falle die Dreiecksseiten 
E llipsensecanten sein sollen. Wir fragen, ob es stets möglich ist, dieses 
Dreieck zu einem Discontinuitätsbereich einer Gruppe F' vom Charakter 
(0, 4) obiger Art auszugestalten. 

Liegen die Ecken des Dreiecks innerhalb oder ausserhalb der 
Ellipse, d. h. hat das Dreieck (nach Analogie von Figur 125) den 
ersten oder dritten Typus, so ist die aufgeworfene Frage leicht be- 
antwortet. Man construiere die Seitenmitten Cq, e^, e^*), welche im 
Innern der Ellipse gelegen sind und die Fixpunkte der Substitutionen 



*) Um beim dritten Typus z. B. den Mittelpunkt e^ von ee zu finden, stelle 
man aus den Tangenten von e und e ein der Ellipse umschriebenes Viereck her; 
dann ist der Schnittpunkt seiner Diagonalen der gesuchte Punkt e,. Die Richtig- 
keit der Construction geht leicht aus dem Umstände hervor, dass das eben con- 
»truierte Viereck bei Spiegelung an jeder seiner Diagonalen in sich selbst übergeht. 



II, 2. Kanonische Polygone und Moduln der hyperbolischen Rotationsgruppen. 357 



der Periode zwei F^, Fj, F2 sein mögen. Stellen wir nun noch die 
Forderung, dass beim ersten Typus die WinkeJsumme des Dreiecks ein 
aliquoter Teil van n sein soll, so stellt das Dreieck direct den Disconti- 
mtitätshereich F^ der ans F^, Fj , Fg zu erzengenden Gruppe F' dar. 
Fügen wir dem Dreieck P^' etwa das kurz durch V^iPf^') zu bezeich- 
nende benachbarte Dreieck an, so haben wir ohne weiteres ein Viereck 
obiger Art, welches den Discontinuitätsbereich der aus F« = V^Vq und 
Vt,= V^Vq zu erzeugenden Gruppe (1, 1) liefert. 

Bei einem Dreieck vom zweiten Typus werden die Mittelpunkte 
^o»^n^2 zunächst unbestimmt. Wir dürfen sie gleichwohl nicht sämtlich 
willkürlich wählen, weil wir sonst unter Befolgung der eben be- 
schriebenen Construction in der Regel zu einem Viereck mit vier 
hyperholischcn Ecken auf der Ellipse gelangen würden. Die Möglich- 
keit solcher Vierecke geht aus Figur 93 pg. 298 unmittelbar hervor; 
verschiebt man hier die Ecken E^ und JE5 noch weiter nach links, bis 
sie im Endpunkt der Polare p coincidieren, so liegt ein Viereck vor, 
welches nur scheinbar dem zweiten Typus angehört, in der That aber 
noch gar keinen Discontinuitätsbereich vorstellt (cf. pg. 143). 

Es gilt nun der folgende Satz: Bei einem Dreieck vom stveiten 
Typus darf man auf zivei Seiten beliebige Punkte e^, e^ zu „3Iittelpunkteti" 
aussuchen; der dritte „Mittelpunkt" e., ist alsdann auf Grund einer einfachen 
Construction zu be- 
stimmen. Die Eigen- 
art dieser Construc- 
tion ist in den oben 

vorausgesandten 
Entwicklungen be- 
reits vorgeschrieben 
und ist übrigens hier- 
neben in Figur 127 

dargestellt: der 
Punkt £"2 ist durch Fig. 127. 

die Verbindungs- 
i^erade der Pole von e^e^ und e e' auszuschneiden. 

Um zu beweisen, dass wir nunmehr wirklich parabolische Ecken 
haben, müssen wir etwa zunächst die zur Ecke e' gehörende Sub- 
stitution Vy F(, Fg als parabolisch darthun. Für die beiden anderen 
Ecken ergiebt sich dasselbe dann unmittelbar aus dem Umstände, dass 
die zugehörigen Substitutionen VqV^V^ und V^V^Vq durch Trans- 
formation aus VyVf^V^ hervorgehen. Im nun V^V^^V^ zu untersuchen, 
nennen wir die Spiegelungen an e' e" und dCt, bez. Vt und W. Da der 




I 



35^ il- Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 

Punkt e' durch Vi= T^iFo in e transformiert wird, so ist V^Vb die 
Spiegelung an c et- Hieraus folgt, dass V^Vi, • V2 als Product zweier 
Spiegelungen, deren Symmetriegeraden sich in e schneiden, eine para- 
bolische Substitution mit dem Fixpunkt c ist. Da aber Vb V-> = V^ 
ist, so haben wir in VbV/, • V2 direct die Substitution V^V^^V^, die wir 
als parabolisch nachweisen wollten. — 

Bei der zweiten Art, eine Gruppe (1, 1) zu definieren, knüpfen 
wir an ein ganz heliehigcs Tripel von Punkten im Innern der Ellipse 
an, die nicht auf einer Gei-aden liegen. Wir behaupten, dass ivir jene 
drei Piinläe, sofern heim ersten Typus die Winkelhedingung erfüllt ist, 
stets und nur auf eine Weise als Punkte e^, e^, c., einer Gruppe V 
unserer Art anseilen Icönnen. Auch hier ist der Gang der Entwicklung 
als ümkehrung der obigen Darstellung bereits vorgezeichnet. 

Wir benennen die zu e^, e,, ^g (den drei gegebenen Punkten) als 
Fixpunkten gehörenden Substitutionen der Periode zwei durch Fo, Fj, Fg 
und definieren wieder F« und Fj durch F,= V.^V^, V^ = ViVq. Die 
Substitutionen Va, Vb sind hyperbolisch; ihre Fixpunkte €„ und Cb sind 
die Pole von c^„ bez. e^^. Wir definieren demnächst die drei Sub- 
stitutionen F, F', F" durch: 

(6) v=v\v,v,, r=v,v,v„ v"=v,v,v, 

und nennen die Fixpunkte derselben c, c, e"*). Die Substitutionen (6) 
gehen durch Transformationen vermöge }\, V.^, Vq in einander über: 

F = F, v vr \ r = \\ V" vr \ v" = Vo fFo" \ 

und hieraus ergiebt sich für die Fixpuukte c, e', e": 

c = V, (e) , e = V, {e") , e" = V, (e) , 

woraus wir das Resultat ablesen, dass e, auf der Geraden ee , fg n'uf 
e e" und e^ auf e"e gelegen sind, und gwar jedesmal als Mittelpunkte 
dieser Geraden. 

Weiter bemerke man, dass sich die Substitutionen F und F'~^ 
in die Gestalten FiF<, und ViV~ setzen lassen und demnach durch 
die Spiegelung an ^^^7 permutiert werden. Dasselbe wird somit von 
den zugehörigen Fixpunkten e und e gelten, d. h. ee' und eiSa schneiden 
sich unter rechtem Winkel. Hiermit haben wir die schon oben (pg. 356) 
besprochenen Verhältnisse wieder gewonnen und können vermöge ein- 
facher Construction vom Punkttripel e^, e^, e.^ aus das Dreieck e, c', e" 



*) Es sei tlarau erinnert, dass im Falle einer hyperbolischen Substitution 
atets der ausserhalb der Ellipse gelegene Fixpuukt gemeint ist. 




/I, 2. Kanonische Polygone und Moduln der hyperbolischen Rotationsgrappen. 359 

gewinnen. In Figur 128 ist wenigstens die durch e^ hindurchlaufende 
Dreiecksseitp hergestellt. Haben wir hier ein Dreieck vom zweiten 
oder dritten Typus oder ein solches Dreieck vom ersten Typus, dessen 
Winkelsumme ein aliquoter 
Teil von jr ist, so liefert 
unser gewähltes Punkttripel 
eine Gruppe F' vom Cha- 
rakter (0, 4) und damit eine 
Gruppe (1, 1). — 

Die gewonnenen An- 
schauungen setzen uns in den 
Stand, alle bei den Moduln 

der Gattung (1, 1) auftreten- Fig igs. 

den Fragen ohne Mühe zu 

beantworten. Wir behalten die Typeneinteilung der Dreiecke eee" bei 
und können die Invarianten ./„, /, jat, des zugehörigen Paares F«, Vi, 
auch als Moduln des Dreieclcs ee'e" ansehen. Wir haben dann mit einem 
Dreieck des ersten, zweiten oder dritten Typus zu thiin, je nachdem 
jc'> — 2 oder = — 2 oder endlich < — 2 ist. 

Wir constatieren, um unsere geometrischen Überlegungen zum 
Abschluss zu bringen, des weiteren etwa sogleich den folgenden Satz: 
Alle Breiecke vom ersten Typus mit fest gegebener WinJiclsiimme a bilden 
ein Continuum. Im Falle ö = 0, d.h. bei den Dreiecken vom zweiten Typus, 
bleibt dieser Satz offenbar bestehen*). Der Beweis unserer Behauptung 
geht aus den Grundeigenschaften des hyperbolischen Maassbestimmung 
fast ohne weiteres hervor. Ein erstes Dreieck vom ersten Typus mit 
der Winkelsumme 6 <C n lässt sich ohne Änderung von ö, und ohne 
dass ein Eckpunkt auf die Ellipse rückt, stetig in ein Dreieck der 

Winkel — verwandeln; letzteres aber ist (wie überhaupt jedes unserer 

Dreiecke) aus seinen Winkeln im wesentlichen fest bestimmt. 

Noch unmittelbarer sind folgende gleich zu benutzende Sätze er- 
sichtlich: Alle Dreiecke vom dritten Typus bilden ein Continuum. Alle 

Dreiecke vom ersten Typus mit <7 < „ bilden ein Continuum, desgleichen 
alle diejenigen mit <J > ^ ; dem ersten dieser beiden Continua gesellen 
wir zum Zwecke einer gleich folgenden Anwendung die Dreiecke mit 



*) Derselbe <,'ilt übrigens auch für die Dreiecke vom dritten Typus, ein 
Umstand, von dem bei Gelegenheit Gebrauch gemacht wird. Der Beweis l&sst 
ich gerade so wie im Texte für den ersten Typus führen. 



I 



360 II. Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 

= 0, d.i. die Dreiecke des zweiten Typus zu, zum zweiten Continuum 
gehören insbesondere die unendlich kleinen Dreiecke. 

Die Herstellung der Substitutionen Va, Vo und daraufhin die Be- 
rechnung der Moduln eines Dreiecks ist der Natur der Sache nach 
noch nicht an irgend welche die Wiukelsumme 6 betreffende Bedingung 
geknüpft. Auf Grund dieses Umstandes können wir den folgenden Satz 
zeigen: Je nachdem die WinJcelsumme a eines Dreiecks des ersten Tyjms 

< -r- oder > Y ^st, hat die Invariante je einen Wert < hez. > und 

timgekehrt. Ist nämlich ein Dreieck des ersten Typus mit <? < „ ^^^' 

gelegt, so gehen wir im Continuum aller Dreiecke dieses Typus mit 

< zu einem Dreiecke mit 6 = 0. Hierbei hat sich je stetig und 

ohne zu verschwinden geändert und hat schliesslich den Wert — 2 
angenommen; es war also anfangs je < 0. Haben wir ein Dreieck mit 

* > , so gehen wir zum unendlich kleinen Dreieck. Die Zahlen 

ja, jb, jab nähern sich hierbei übereinstimmend der Grenze 2 an, und 
also ist auch lim. je ^ 2; je war demnach anfangs positiv, da Durch- 
gang durch null nicht eingetreten ist. Hiermit ist die oben (pg. 355) 
aufgeworfene Frage nach dem Vorzeichen von je beantwortet 

Die vorstehenden Ergebnisse führen nun zu folgendem Theorem: 
Bei den Modidn ja, jb, jab der Gattung (1, 1) bestehen an charakteristischen 
Bedingungen cnttveder die Ungleichung: 

(7) ja' + jö^ + jaö' — jajbjah < 

(zweiter und dritter Typus, ersterer im Falle des Gleichheitszeichens) oder 
aber mit einer ganzen Zahl Z ^ 2 die Gleichung: 

(8) Ja^ + jb'^ + jab^ — jajbjab = 2 (l - COS y ) 

(erster Typus); in beiden Fällen treten die für ein Substitutionenpaar zweiter 
Species allgemein charakteristischen Ungleichungen: 

(9) ja>2, j,>2, jab>2 

noch hinzu. Wir erkannten nämlich einmal diese Bedingungen als not- 
wendig. Sind sie aber erfüllt, so definieren nach pg. 339 die Moduln 
ja, jb) jah eindeutig eine Classe von Paaren zweiter Species, aus denen 
wir F„, Vf, particulär aufgreifen. Damit sind e^, e,, e^ wie früher be- 
stimmt und führen zur Construction eines Vierecks, welches man 
nötigenfalls unter Recursion auf (8) als Discontinuitätsbereich erkennt. 
Die Bedingungen (7), (i<) und (9) sind somit auch hinreichend. 

Auch die Mannigfaltigkcii aller Gruppen (1, 1) ist nun sofort zu 
überblicken. Alle Gruppenclasseu mit je < — 2, die somit zum dritten 



II, 2. Kanonische Polygone und Moduln der hyperbolischen RotationBgruppen. 361 

Typus gehören, fassen wir in eine Familie der Signatur (1. 1) zu- 
sammen. Alle Classen mit jc^ — 2 und gleichem Wert / sollen die 
Familie von der Signatur (1, 1; /) liefern, wobei wir allen ganzen Zahlen 
1 = 2, 3, . . ., oo entsprechend unendlich viele Familien gewinnen. 
Im ersten Falle bleiben die Moduln ja, j^, ja,, unter Einhaltung der 
Ungleichungen (7) und (9) als endliche reelle Variabele willkürlich; 
im letzteren Falle sind sie an Stelle von (7) durch die eine Gleichung 
(8) an einander gebunden. Unsere obigen Angaben über die Mannig- 
faltigkeit der Dreiecke eee" liefern daraufhin unmittelbar den folgenden 
Satz: Entsprecheiid allen ganzen Zahlen 1^2, die Zahl l = oo ein- 
geschlossen, haben wir unendlich viele Familien der Signatur (1, 1; V), 
deren einzelne ein zweifach unendliches Continuiim von Classen darstellt; 
hinzu JiOmmt noch die eine Familie der Signatur (1,1) mit einem drei- 
fach unendlichen Continuum von Griippenclassen. 

Hiermit ist die Besprechung des Falles (1, 1) bis zu demselben 
Ziele gefördert, wie oben (pg. 353) diejenige der Gattung (0, 3). 



§ 14. Einführung der Moduln der Gattung (0, n\ Compositions- 
betrachtungen und Vorzeichenbestimmungen. 

Bei der näheren Untersuchung der Moduln der Gattung (0, n) 
dürfen wir w>3 annehmen, obwohl sich der oben schon behandelte 
Specialfall (0, 3) den Schlussresultaten, welche wir für die Gattunor 
(0, n) gewinnen werden, leicht einordnen lässt. Für eine voro'eleo'te 
Gruppe r vom Charakter (0, n) wählen wir 
nach pg. 307 ein geradliniges kanonisches Pq 
mit concaven Winkeln aus. Dasselbe liefere 
die Erzeugenden F^, V^, . . ., V„, denen bez. v" 

He Eckpunkte 6^, e^, . . ■, e„ zugehören. Die 
n zu einem Cyclus gehörenden zufälligen 
Ecken mögen E^, E^, . . ., En genannt werden 
und dürfen als im Innern der Ellipse gelegen 
angenommen werden; E^ liege zwischen e^ 
und e^, E^ zwischen e.^ und e^ u. s. w. Die 
Pfeilrichtungen der Substitutionen Fj, ..., F„ 
wählen wir nach Brauch im positiven Sinne, 
wie dies alles in Figur 129 zum Ausdruck 
kommt. Es besteht die Relation: 

1) F, . F- F •■• \\ = 1. 

Es gilt zunächst, einige Sätze über Herstellung unserer Gruppe F 
durch Composition abzuleiten, und wir bilden zu diesem Ende die 




X 



Fig. 129. 



362 II- Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 

Substitution Fj2 = ^iV^j. Wir können zeigen, dass diese Substitution 
F,2 = Fl V2 hyperboliscli ist, und dass das Fohjgonnetz von F an den 
Fixjnmkt c^., von F^g nicht heranreicht. 

Die pg. 312 bei ähnlicher Gelegenheit verwendeten Beweisgründe 
bleiben auch hier zugkräftig. Durch Fjg wird der Eckpunkt K^ von 
Pü in En transformiert. Man ziehe die Diagonale Esj^« und übe auf 
dieselbe alle Substitutionen der aus F^g zu erzeugenden cyclischen 
Gruppe aus. Es entspringt eine Kette K unendlich vieler mit E2En 
äquivalenter Geradenstücke, und diese Kette wäre im Falle einer nicht- 
hyperbolischen Substitution Fj^ entweder direct oder nach Zusatz des 
Fixpunktes Cjg eine geschlossene. Bildet man nun alle bezüglich F 
mit K äquivalenten Ketten, so zeigt sich wieder, dass keine zwei Ketten 
K, K' einen Punkt gemein haben können. Im Innern eines Polygons P 
ist dies nämlich deshalb nicht möglich, weil in P nur eine mit EzE.i 
äquivalente Diagonale liegt. Die einzelne Ecke E ist aber stets nur 
zivei Diagonalen gemeinsamer Endpunkt, und diese beiden Diagonalen 
gehören zu derselben Kette K\ denn E ist nur für eines der an E 
beteiligten Polygone mit der Ecke E.^ von P„ homolog und nur für 
ein weiteres Polygon mit der Ecke En von F^. Die Unmöglichkeit 
einer geschlossenen Kette K ergiebt sich nun wieder wie pg. 312 aus 
dem Umstände, dass sonst im Innern des Polygonnetzes Grenzpunkte 
liegen, bez. im parabolischen Falle die Gruppe F ein Substitutionenpaar 
dritter Species enthalten müsste*). 

Infolge dieses Resultates hat die Kette K zwei Endpunkte ei2, eü 
auf dem Rande des Polygonnetzes, welche zugleich die auf der Ellipse 
gelegenen Fixpunkte der hyperbolischen Substitution F^^ sind. Zufolge 
der Voraussetzung « > 3 werden sich auf jedem der beiden durch 
ei2, ^12 abgetrennten Ellipsensegmente Grenzpunkte der Gruppe finden 
(cf. Figur 129). Fj2 ist also, wie behauptet, eine solche hyperbolische 
Substitution, an deren Fixpunkt e^,^. ^^^ Polygonnetz nicht heranreicht 
(siehe auch pg. 314 oben). — 

Der Fixpunkt e^^ ist der Schnittpunkt der zu ex^ und eli gehörenden 
Ellipsentangenten; man veranschauliche sich daraufhin die Lage dieser 
Tangenten und des Punktes e^^ gegenüber 7*^ und der Kette K. Nehmen 
wir nunmehr vom Rande des Polygons P^ die vier Seiten E^^^j ^2^n 
EiBi, eiEn fort und ersetzen sie durch die beiden Geraden -£'26,2 und 

*) Der Deduction des Textes liegt analog wie pg. 311 wieder die Thatsache 
zu Grunde, dass weder 1\ noch V^ Potenzen von F,j bind, und dass für n > 3 
auch unter Fg, V^, . . ., T^^ Substitutionen vorkommen, welche keine Potenzen 
von r, , sind. 



II, 2. Kanonische Polygone und Moduln der hyperbolischen Rotationsgruppen. 363 



enEn, so liegt direct ein geradliniges kanonisches Polygon Po""" der- 
jenigen Gruppe (0, n — 1) vor, welche Fjg, Fg, F^, . . ., F„ zu Er- 
zeugenden hat. Dabei besteht zwischen den letzteren zufolge (1), wie 
es sein muss, die Relation: 



(2) 



V . V . V ' ■ ■ F = 1 



Übrigens mache man sich die Einführung der Gruppe (0, n — 1) und 
ihres Polygonnetzes unter Zuhilfenahme der Ketten K, K', . . . auch 
nach dem pg. 314 ausführlich geschilderten Gedankengang klar. 

Auf der anderen Seite behalte man vom Rande des Polygons P^ 
allein die vier zu F^, V^ gehörenden Seiten bei und ersetze die (2w — 4) 
übrigen durch diejenigen beiden Geraden E^C-^.^ '^"^ -^n^iz' ^'^ßlche die 
Verlängerungen der eben zuvor benutzten Verbindungsgeraden von 
J?„, e,„ und E , e,^ über E„ und E hinaus darstellen. Offenbar liegt 

2 ' 12 K ' 12 2 n '^ 

dann das Polygon P^^'> der aus V^, Fg, F"^ zu erzeugenden Gruppe 
der Gattung (0, 3) vor. Dabei hat P^^^ mit F^"-'^^ die beiden zu- 
fälligen Ecken E^, E^ gemein und zieht sich an die feste Ecke e^^ 
von entgegengesetzter Seite als P^j""^^ heran (siehe auch hier wieder 
pg. 314). 

Der Rückgang zur ursprünglichen Gesamtgruppe F geschieht durch 
den Process der Composition; wir gewinnen das Ergebnis: Die Gruppe F 
der Gattung (0, n) lässt sich durch Composition aus sivei Gruppen der 
Gattungen (0, n — 1) \ind (0, 3) mit einer gemeinsamen hyperbolischen 
Erzeugenden herstellen; die Polygone der componierenden Gruppen sind 
so ivähTbar, dass ihr gemeinsamer Bestandteil direct das Polygon Pq vo^i 

r ist. — 

Wir müssen auch noch die Substitution Fjg = F, Fg bilden und 
nachweisen, dass dieselbe hyperbolisch ist. Um dies in einfachster 
Weise auszuführen, wenden wir 
den eben betrachteten Decom- 

positionsprocess der Gruppe 
wiederholtan und können solcher- 
art zu einer Gruppe (0, 4) mit 
den Erzeugenden Fj , F^, Fg, F/ 
= F4 • F5 • • • F„ gelangen. Im 

kanonischen Achteck dieser 

luppe (0, 4) können wir die 
gegenüberliegenden Winkel der 
zufälligen Ecken als gleich an- 
nehmen; in Fiixur 130 sind sie in diesem Sinne übereinstimmend durch 
©, bez. 0g bezeichnet. Um dies zu erreichen, hat man nur nötig, bei 




Klg. 130. 



364 n. Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 

dem Dach pg. 305 u.f. zu vollziehenden Übergange vom Doppelviereck 
zum Achteck den 1. c. mit E bezeichneten Punkt als Schnittpunkt der 
Vierecksdiagonalen zu wählen. 

Man verlängere nun c^E^ und e^E^ über E^ bez. E^ hinaus bis 
zur Ellipse. Ein Schnittpunkt dieser beiden Verlängerungen innerhalb 
oder auf der Ellipse kann dabei nicht aufgetreten sein. Läge nämlich 
ein solcher in e„ vor (cf. Figur 130), so würde die Wiukelsumme der 
beiden Dreiecke e^E^e^^ und e^E^e^ (wegen &^-{- ®.^ = n) offenbar >_ 2x 
sein, was nicht möglich ist. Die Verlängerung der Seiten ^,£"4 und 
e^E^ über E^ und E^ hinaus giebt zu ähnlichen Betrachtungen Anlass. 
Nehmen wir demnach die durch Fg und V^ auf einander bezogenen 
Achteckseiten fort, so restiert wenigstens für das Ellipseninnere ein 
Discontinuitätsbereich der aus Fj und Fg zu erzeugenden Gruppe (0, 3). 
Die Gestalt dieses Bereiches zeigt (vermöge der beiden ihn berandenden 
Ellipsensegniente) unmittelbar, dass FjFg hyperbolisch ist. Merken wir 
somit zusammenfassend den Satz an: Die aus den Gruppenerzeugenden 
^i^^} ■ ' -, V^ von r herzustellenden SuhstüiUionen V^V^, V^V..^, ..., V^V^ 
sind ebenso tvie die n weiteren Substitutionen F^ Fg , V^V^, .... V^V^ für 
w > 3 durchweg hyperbolisch. — 

Wir führen nunmehr die Invarianten j^, j^, • . ., j„ der Substitutionen 
Fj, Fg, . . ., F^ als ein erstes System von Moduln des Polygons P^ 
ein und halten an der früheren Vorzeichenbestimmung ji > bez. 
ßi > yi für ji = fest. Die elliptischen Substitutionen der Periode 2 
sind hierbei als Grenzfälle der elliptischen Substitutionen mit einem 
im positiven Sinne genommenen Drehungswinkel -9' < tt und positiver 
Invariante aufgefasst (cf. pg. 344). 

Demnächst setzen wir die n simultanen Invarianten J12 > iss > •'•fjm 
der Paare F^, Fg etc. hinzu. Ihrem absoluten Werte nach sind diese 
ji,i+i grösser als 2, da ViV.^, V.,V^, ... hyperbolisch sind. Das Vor- 
zeichen bestimmt sich aus dem Umstände, dass F, und F+i, wie wir 
sahen, eine Gruppe (0, 3) erzeugen; hiernach folgt aus pg. 348, dass 
stets j,-, ,+1 < — 2 ist. 

Endlich gesellen wir den bisherigen Moduln auch noch die In- 
varianten jjg, jg^, . . ., j^2 der Paare F^, Fg etc. als Moduln des kanoni- 
schen Polygons Pq hinzu. Auch die absoluten Beträge dieser Moduln 
sind, wie wir wissen, sämtlich > 2. Des genaueren finden wir wieder 
ji, 1+2 < — 2, da Vi und F.f 2 Erzeugende einer Gruppe (0, 3) sind, 
wie wir vorhin bei den an Figur 130 angeschlossenen Betrachtungen 
sahen. Wir fassen die gewonnenen Ergebnisse in folgender Weisse zu- 
sammen: Die 3» Modidn ji, ji^ i^i, ji^ i^2 genügen bei den getroffenen 
Festsetzungen den du Bedingungen: 



11,2. Kanonische Polygone und Moduln der hyperbolischen Rotationsgruppen. 36o 

m2^ f?e»i Zusatz, dass für j-, =■■ die Ungleichung ßi > y, ^eV^. Die Vor- 
zeichen der Coefficienten von V^, K^, , . ., F^ sind hierdurch eindeutig 
fixiert. Übrigens bemerke man, dass die Ungleichungen: 

(.'*/ -h I Ji + i > Ji, i + i JiJi-\.iJi^ ,_j-i > 4, 

welche ausdrücken, dass Fi, Fj + i ein Paar erster Species darstellen, 

auf Grund von (3) stets ohne weiteres erfüllt sind. 

§ 15. Adjunction der Invarianten /j^^, 7^,34, .... Relationen für 
die Moduln der Gattung (0, n). 

Durch Angabe von ji, J2, Jiz ist die Classe des Paares F, , Fg 
eindeutig bestimmt. Denken wir Fj, Fg wie bisher bestimmt und setzen 
hj Jiz^ J23 hinzu, so würde F3 aus: 

h = «3 + «^.s , 

./•23 = «ä«3 + ^2<^3 + ^2^3 + ^2^3 

und «3 dg — jSg/y = 1 uuT erst zweideutig bestimmt sein. Die zweite 
Substitution Fj', zu welcher wii; hier geführt werden, lässt sich auch 
leicht angeben. Transformieren wir nämlich V^, Fg, Fg gleichzeitig 
durch die Spiegelung an e^e^, so gewinnen wir das Tripel 7'i~\ Fo"^, F3". 
Hierbei bleiben die Invarianten (1) den Werten nach unverändert, und 
dies gilt auch noch, falls wir die drei eben gewonnenen Substitutionen 
durch ihre inversen ersetzen, womit wir Fj, F^, F3' = V^"~^ gewinnen. 
Hier ist denn V^ die Substitution, welche tnit F3 durch Angabe von 
Fj, Fg sou/ie j^, j',3, j^^ bestimmt ist. Aus der angegebeneu Überlegung 
geht zugleich hervor: Die Suhstitutionen F3 jmd Fg' sind stets und nur 
dann mit einander identisch, wenn die drei PunJcte e, , e^, e^ auf einer 
Geraden liegen. 

Zur eindeidigeti Bestimmung von Fg benutzen wir jetzt die In- 
variante ji23 von Vi ' V2 • V^: 

(2) ./\23 = («. «. + /3. 7.) «. + (d^ ö, + y^ß.^)d, + {aJ,-\- ß, ö.,) y. 

Aus den vier linearen Gleichungen (1) und (2) lassen sich in der 
That die Coefficienten von Fg eindeutig berechnen. Man findet nämlich 
nach leichter Zwischenrechnung als Determinante des fraglichen (ilei- 
«liungssystoms: 

,/V"' 4- Ji + Jit — Ji.iJi' — 4; 
das Verschwinden dieser Determinante ist ausgeschlossen. 



I 



366 n. Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 

Ist jus die Invariante von V^ V^ V^', so sind j^s und j'123 die Wurzeln 
einer quadratischen Gleichung, deren Coefficienten in Ji, j.^, j^, J12; iis? izs 
rational sind. Um diese Gleichung aufzustellen, fixieren wir F,, Fg als 
reduciertes Paar erster Species und haben dann: 

^ ^ Vi «1^ " ^72 «2^ V3 ^3^ Vs «3^ 

denn die Gerade ej^ coincidiert hier mit der imaginären Axe. Man 
drücke nun die Coefficienten von Fj und F2 ^^^ ji, J2, jn aus, berechne 
etwa auf Grund von (1) und «3^3 — 13373= 1 die Substitutionen F3, Fg', 
sowie endlich durch Eintragen der berechneten Coefficienten in (2) 
die Werte ji23 und j'123. Mit Unterdrückung der Einzelheiten der 
Zwischenrechnung geben wir sogleich als Resultat an: 

(4) ^123 + Jl23 ^^ JlJ-2i 1 ^2,^31 "T ^3.^12 JlJiJil 

\p) JviA 'Jl23 = ./l + Ä' "h ^3 ~l~ ^12" "1 Jiz" "I ./23" 1 ^12^13^23 .hh3li 

JlJ-iJvi JiJiJ^i '*• 

Im Anschluss an diese Formeln werden wir als Discriminante Z),23 
des Siihstitutionentripels Fj, Fg, F3 den nachfolgenden Ausdruck defi- 
nieren: 

v") -^^123 ""^ O123 ~r ^183) ^Jus ' Jui 

oder explicite: 

(7) D123 = Oii23 + i2i3i + i3ii2 — JihJsY — 4 0? + Ja' + is' + 

I ^23 ~r J31 ~r J12 ~r J12J13J23 JiJ2Ji> JiJsJis JiJsJis '*/• 
Die Discriminante bleibt gegenüber einer Permutatiou der Indices 1, 2, 3 
ungeäudert. Übrigens aber gilt der Satz: Die Discriminante D123 eines 
Tripels Vy, Fg, Fj ist diejenige Invariante y deren Verschwinden charakte- 
ristisch dafür ist, dass die Fixpunkte r^, c^, r^ auf eitler Geraden liegen. 
Dies kann man auch noch auf anderem Wege bestätigen, wobei 
wir nicht einmal die besonderen Substitutionen (3) brauchen. Der Fix- 
punkt e irgend einer Substitution F hat die Coordinaten (2/3, d — a, — 2y). 
Sollen die Fixpunkte dieser Substitutionen T'^, l'g, F3 auf einer Geraden 
liegen, so muss demnach: 

(8) «2-^2, /^2, r, i=<^ 



a, — (^1, 


ß., 


n 


«2 — ^2 , 


(h, 


n 


«3 — ^3r 


ßs, 


73 



sein. Das Quadrat der linken Seite dieser Gleichung ist, wie eine 
leichte Zwischeurechnung zeigt, direet gleich D^.,^. 



II, 2. Kanonische Polygone und Moduln der hyperbolischen Rotationsgruppen. 367 
Für ji2s und j'ns gewinnen wir nun die Werte: 

(9) 2ji,3, 2,/;,3 = ./i J23 + ^2^31 + J3J12 - Jih.h ± I/A23» 

und es gilt hier zu entscheiden, ob für die zu unserem Polygon Pq 
gehörende Invariante ^',23 das obere oder untere Vorzeichen auf der 
rechten Seite von (9) gilt. Wir wenden zu diesem Eude auf F^, F^; ^ 
einen continuierlicheii Auderungsprocess an, wobei diese Substitutionen 
natürlich nicht dauernd Erzeugende einer eigentlich discontinuierlichen 
Gruppe zu sein brauchen. Die Definition der Invarianten j^, . . ., jjgs 
behält für jedes Tripel V^, V^, V^ ihre volle Bedeutung. Bei der 
Änderung tragen wir nur Sorge, dass keiner der drei Drehungswinkel 
O'i, ^2, &^ unserer Substitutionen im Innern der Ellipse über jc hinaus 
wächst, sowie dass die Punkte e^, e^, e^ nie auf einer Geraden gelegen 
sind. Es werden alsdaun die Invarianten j^, j.,, j^ während der Ver- 
änderung dauernd ^ und 2)^,3 beständig von null verschieden sein. 
Da sich die Invarianten, j^js eingeschlossen, nur stetig ändern, so wird 
am Schlüsse des Processes in der Formel (9) für 2 /jgß rechter Hand 
noch dasselbe Zeichen gelten wie anfangs. 

Bei der gegenseitigen Orientierung von Fj, F^ F3 (cf. Figur 129, 
pg. 361) ist es nun möglich, Cj, e^, e^ continuierlich nach ^ = bez. 
00, — 1 zu führen, während Fj, V.^, F3 schliesslich die parabolischen 
Substitutionen : 

'■.-L\:y '■■<[)■ '---a::) 

darstellen. Durch Combination derselben findet man j^.^s = 0, während 
andrerseits j^ ^ J2 = J3 = ^ und y'^o =^23 ==" Jn = 1 i"^^- Die Aus- 
rechnung der Formel (9) liefert 2/103 = — 1 + 1 , und also gilt das 
obere Zeichen. 

Die geometrische Bedeutung dieses Ergebnisses ist aber die fol- 
gende. Beschreiben wir den Umfang des zum Polygon Fq gehörenden 
n-Ecks Nq im positiven Sinne (so dass die Ecken e, , e^, . . . in dieser 
Anordnung folgen), so weicht beim Passieren einer Ecke die folgende 
Seite zur Linken aus. Diesem Umstände entspricht das obere Zeichen 
in der Formel (9) für 2/1.3. Würden wir e.^ durch den Fixpunkt e^' 
von F3' ersetzen, so würde die Gerade e^e^ von der Richtung e^t\ nach 
rechts hin abweichen. Merken wir somit als Resultat au: Die In- 
variante ji5,3 ist in ji, ji, J3, ji., ./,3, J23 eindeutig durch die Formel: 

(10) 2./i23 = JiM + hhi + hh2 — hhh + l/Aas*) 



•) Wir merken an, dass im Falle (O, 3) aus (6) pag. 347 sich; 



368 II- Ausführliche Theorie der Polygongruppea. 

mit positiver Quadrativurzel gegeben, und es kommt hierdurch zum Aus- 
drtich, dass hei Umlauf ung des Polygons Nq jede folgende Seite gegen die 
Richtung der voraufgehenden nach links ausweicht^). — 

Die vorsteheuden Ansätze gestatten uns nunmehr, die Classe des 
Polygons Pq eindeutig durch Moduln zu definieren. Durch Angabe von 
in j-if Jvi ^^^^ ^^® Classe von Vi, V» eindeutig bestimmt; die Substitutions- 
coefficienten enthielten zwar noch die Irrationalität ]//_ i, 2, 1, —2 — 2**), 
doch konnte das Vorzeichen dieser Wurzel willkürlich gewählt werden 
(cf. pg. 338 0'.). Nach Hinzusetzung von j^, ji^, J23 ""f^ Adjunction von 
ji23 ist F3 eindeutig und rational, nämlich ohne Zusatz neuer Irra- 
tionalitäten, bekannt. Aus V2, V^ ^^^ hj hif .hi ist F4 unter Ad- 
junction von ^234» c'^.s nach Analogie von (10) zu berechnen ist, gleich- 
falls rational bekannt; und dies ist bis zu F„_i in derselben Weise 
fortzusetzen, während F„ alsdann bereits aus: 

(11) Vi- v,-r, ■■•¥„ = \ 

eindeutig und zwar rational bekannt ist. Zugleich ist von den eben 
zur Verwendung gekommenen Invarianten keine überflüssig. Es ergiebt 
sich solcherweise: Die Classe des Polygons P„ kann durch die (3n — 6) 
„Moduln'' : 

(12) ji, . . ., jn-l, Jv2, • • •, jn — 2, n — 1, J13, • • -, j/i — 3, n — l 

unter Adjunction der nach Analogie von (10) m beredmenden {n — 3) 
Irrationalitäten : 

(13) Jl23> hsiy ■ • •} Jn — 3, n — 2, n-l 

eindeutig definiert werden; eine Verringerung der Anzahl dieser Moduln 
ist nicJit statthaft. 

Wir genügen nun der Symmetrie, indem wir auch noch die neun 
Invarianten: 

(1^) J>n Jn—l,n, Jn, l, Jn — 2,n, Jn-l, ly Jn, 2> ,/« — 2, n — l,n, ,'ln — l,»,l) Jn, l,i 

dem System der bisherigen Moduln von Pq hinzufügen. Jeder dieser 
neun Moduln ist auf Grund von (11) in den {An — 9) Moduln (12j 



ergiebt, woraus zugleich jy^^ = — 2 folgt. 

*) Stellen wir FA23 ^^^ linke Seite der Gleichung (8) dar, so gewinnt ]/J5,j3 
die Bedeutung des Inhalts vom Dreieck e^e^e^. Die Vorzeichenbestimmung des 
Textes kommt damit auf einen wohlbekannten Satz der analytischen Geometrie 
hinaus. 

**) Diese Quadratwurzel kann natürlich für besondere Werte der Invarianten 
Ji? Jti Jii rational ausziehbar sein; dies tritt z. B. ein, falls eine der Invarianten 
ji , Ji gleich 2 ist (cf. pg. 340). , 



II, 2. Kanonische Polygone und Moduln der hyperbolischen Rotationsgruppen. 369 

und (13) rational darstellbar; denn die zunächst vielleicht auftretende 
Irrationalität ^j—i, t, i, — 2 — 2 kann in den endgültigen Formeln für 
die Moduln (14) nicht mehr als solche enthalten sein, da ein Zeichen- 
wechsel jener Wurzel nach pg. 340 u. f. auf eine Transformation hinaus- 
läuft und dieserhalb die Moduln von F^ nicht verändern kann. Wir 
wollen die neun so entspringenden Relationen zwischen den 4w Moduln 
ji, ji, , + 1, >,-, , + 2, ji, , + 1, ,+2 in der Gestalt: 

(15) GkUn ji. .+ 1, ji, .+2, ji, . + 1, .+2) = 0, Ä- = 1 , 2, . . ., 9 

citieren und merken vor allem an, dass diese Gleichungen zugleich die 
Belation (11) ersetzen. Wir brauchen zu diesem Ende sogar nur 
diejenigen vier unter den Gleichungen (15) heranzuziehen, welche 
jn, jn,n-i, jn,n-2, jn—2,n-i, n liefcm; dcuu diese vier Gleichungen 
stellten gerade die aus (11) zu entnehmenden Ausdrücke für die Coeffi- 
cienten a„, /3„, y„, d„ in den Coefficienten der voraufgehenden Substitu- 
tionen dar, insofern durch die vier Moduln j„, jn,n — i, jn, « — 2, jn — 2,n — i, n 
im Verein mit F„_i und F„_2 die Coefficienten a„, ß„, y,,, d„ bereits 
eindeutig bestimmt sind. — 

Die 4m wiederholt genannten Moduln sind nur mittelbar als 
Attribute der Gruppe F aufzufassen. Sie gehören direct vielmehr nur 
erst zum Polygon Pq (oder dessen Classe) und erscheinen bei Aus- 
wahl eines anderen Polygons derselben Gruppe F gewissen Verände- 
rungen unterworfen, die wir späterhin in Allgemeinheit untersuchen. 
Vorab wollen wir wenigstens feststellen, welches die Moduln des mit 
Pq conjugierten Polygons F^' sind, wobei die Entwicklungen von pg. 309 
u. f Geltung gewinnen. 

Zeichnen wir die Moduln des conjugierten Polygons durch obere 
ludices aus, so wird zunächst ji = ji sein, da die Substitutionen F,' 
und Vi durch Transformation aus einander hervorgehen. Des weiteren 
können wir j,, , + 1 als Invariante von Vi-^-iVi ansehen und leiten aus 
den Rechnungen von pg. 310: 

F,+,F'= F¥iF/'-'^= v!'-''V^!^'vr'' ■ Vl''-''= F/'-')fV^^> 

:ib. Die beiden Substitutionen F,'~'^ und Vt^'-fi mit gleichen oberen 
Indices entstehen nun aus F «nd Ff+i durch Transformation vermöge 
einer und derselben Substitution. Es ergiebt sich somit /,', ,^1 =./,, , + 1. 
Für die Invarianten y^a, ... ist die Reihenfolge der unteren Indices 
nicht mehr gleichgültig*); und wir müssen an Stelle von /',, ,^i^ ,-l_j 

*) Bei einer geraden I'ermntatiou der unteren ludices bleibt j^,^ unverilndert, 
bei einer ungeraden I'ermulatiou geht sie in die pg. 307 mit j^^^ bezeichnete 
Invariante über. 

Friuko- Kleiu, Autoiuorpho Functioneu. I. 24 



370 II- Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 

beim conjugierten Polygon ^,'+2, , + 1, ,• einführen, dem Umstände ent- 
sprechend, dass bei Umlaufung des conjugierten ??-Ecks .A^ im posi- 
tiven Sinne die Reihenfolge e.„', e„—i, . . ., €2, ei der Ecken vorliegt 
Nun ist: 

(16) f.+.f,+xF/=f.^^>f.^,i^^-''=(fS,f.?,f~0-f.¥xF,<^-^' 
= viX, v!% vr'' = F/'-^> Vlifl"^ F,^^' . 

Da aber Vl'~^\ F.-jT^ , F, + 2^^ gleiche obere Indices habeu, so geht 
die in (16) zuletzt erhaltene Substitution durch Transformation in 
F, F, + i F.-i-o über; es ist somit yV+o^ , + 1, ,=./,, , + 1, ,-4-2. 

Anders gestalten sich die Dinge bei den noch fehlenden Moduln 
ji\i^i. Wir greifen hier auf die vpie bisher zu beweisende Gleichung 

zurück: 

(>-i) 

',+2»^. = yi+2 Vi = Vi yi+i '.+2 yi+i) 

auf Grund derselben stellen wir leicht den Ausdruck von ;",' ,-1-2 in den 
bisherigen Moduln fest. Wir fassen die Ergebnisse sogleich in folgender 
Weise zusammen: Dem Übe^-gange vom ursprünglichen Polygone Pq zum 
conjugierten P^ entspricht die folgende rationale Transformation der Modidn: 

(M\ l'i'"^'!'' ji,i+l=ji,i + l, ji-\-2, i + l, i = ji, i + l,i + 2,' 

{ ji,i + 2 == —./<•, i+2 -^ jiji + 2 — ji,i + lji+l,i+2-\- ji + lJi,i+l,i + 2' 

Diese Transformation ist ersichtlich von der Periode zweij und darin 
spricht sich die Gegenseitigkeit des Verhältnisses der beiden con- 
jugierten Polygone Pq und P^ aus. 

§ 16. Aufstellung weiterer für die Moduln der Gattung (0, n) 
gültiger Bedingungen. 

Die charakteristischen Bedingungen für die Moduln der Gattung 
(0, n) sind bisher noch nicht vollzählig aufgestellt; es fehlen noch 
drei Arten von Bedingungen, von denen die erste Art implicite bereits 
in den voraufgeheuden Entwicklungen zur Geltung kam. 

1) Zunächst ergiebt sich aus Formel (9) pg. 367 mit Rücksicht auf 
die Realität der Coefficienten von Vi, V->, . . ., V,,, dass die n Discrimi- 
nanien Dj^i^i^ < + 2*) durcligehends positiv sein müssen. Nehmen wir der 
einfachen Schreibweise halber das Tripel Fj, Fg, F3 als Repräsen- 
tanten eines beliebigen unserer Tripel, so ist die aufgestellte Bedingung 
explicite durch: 



*) Untere Indices i -\- l bez. « -j- 2 , welche n übertreffen, wird man natürlich 
stets mod. n zu reducieren haben. 



ir, 2. Kanonische Polygone und Moduln der hyperbolischen Rotationsgruppen. 371 

(1) (iii23 + ^2.781 + ./3./12 — ./i.;2i3)^ > 

gegeben. 

Um die Bedeutung dieser Ungleichung aufzuweisen, bemerken wir, 
dass durch die Invarianten j, , j.j, J^g, für welche wir hier natürlich 
überall an den Bedingungen (3) pg. 365 fe.sthalten, ein Paar erster 
Species F,, V.^ bis auf Transformation festgelegt ist. Wir berechnen 
aus /, , J2, ,/,2 ein particuläres Paar Fj, V.j und fügen sodann j.^ und j^., 
hinzu. Durch .h», Jä) J23 ist aufs neue eine Classe von Paaren F^, F3 
festgelegt, wobei wir unter V^ die eben bereits ausgewählte Substitution 
verstehen können. F3 ist dann nur erst insoweit bestimmt, dass wir 
diese Substitution noch durch eine beliebige Substitution transformieren 
dürfen, welche F, in sich überführt. Aus den oo^ so eintretenden 
Substitutionen F3 werden zwei oder eine ausgesondert, indem wir ji^ 
bez. y'ia und ^123 hinzusetzen. Hierbei ivird alsdann jy^ über die Be- 
dingung /,3 < — 2 hinaus noch an (1) gebunden sein, eine Ungleichung, 
deren Bestehen durch (3) pg. 365 in der That noch nicht gewährleistet 
ist. Um letzteres in einfachster Weise zu zeigen, setzen wir etwa 
jj = 0, j, = 2, J3 = 0, womit wir die Ungleichungen (3) pg. 365 
einhalten, und finden dann durch leichte Entwicklung von (1): 

; ^^ "hl _L "hjt 

eine Bedingung, welche in der That nur im Falle j^., = j.^.^ durch (3) 
pg. 365 bereits erfüllt ist. — 

2) Ein weiteres System von n charakteristischen Ungleichungen 
führen wir vermöge der folgenden geometrischen Überlegung ein. In- 
dem wir Fl, Tg, l]^ als Repräsentanten eines beliebigen unserer «Tripel 
ansehen, wollen wir den z.B. schon pg. 245 benutzten Umstand betonen, 
dass das Polygon P,, gänzlich innerhalb eines zu F^ gehörenden cycli- 
schen Discontinuitätsbereiches gelegen ist. Dabei ist es hinreichend, 
wenn wir diese Eigenschaft, im Innern eines Discontinuitätsbereichs 
von Fjj zu liegen, nicht für das Gesamtpolygon, sondern nur für die 
beiden auf e.^ nächstfolgenden festen Ecken t', und e.^ weiter verfolgen. 
Der Ausdruck dieser Bedingung in den Invariauton dos Tripels ist die 
hier gesuchte Ungleichung. 

Die Berechnung der fraglichen Ungleichung ist ein wenig um- 
ständlich, wenn auch in keiner Weise priucipiell scliwierig. Man wird 
die Substitutionen l\, \., Fj in der früher geschilderten Weise aus 
den Invarianten berechnen, wobei \\, V^ als reduciertes Paar in der 
Geraden c, e^ die imaginäre Axe liefert. Letztere drehe man nun durch 

24* 



372 II- Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 

Ausübung von Vr^ um den Punkt e^ (cf. Figur 129 pg. 361) und ver- 
lange, dass sie dabei über e^ weggeschoben wird. Auf die Einzelheiten 
der Rechnung werden wir hier nicht eingehen, sondern sogleich als 
Resultat angeben: Es besteht für die Moduln von Pq die Ungleichung: 

(2) J2 0'i3 + Jiihs) > iiiaa + hJn + ii23 0? — 2) , 

und entsprechende (w — 1) weitere Ungleichungen bestehen für die übrigen 

Tripel *). 

Hier tritt natürlich aufs neue die Frage ein, ob die Bedingung (2) 
nicht vielleicht unter Voraussetzung von (3) pg. 365 und (1) pg. 371 
schon von selbst erfüllt ist. Um dies zu prüfen, setzen wir etwa 
jj = j^ = is = 2, d. h, wir denken F^, Fg, J\ als parabolische Sub- 
stitutionen gewählt. Es folgt: 

Dm = 4(2 — ii8)(ii2i23 — ^Ju — 2^23 + 4), 
so dass unter Obacht auf (3) pg. 365 jedenfalls 7),23 > ist. Tragen 
wir für J123 seinen Wert (9) pg. 367 in (2) ein, so geht diese Un- 
gleichung nach kurzer Entwicklung in: 

- il3 < JliJ23 — 2 j,2 — 2i23 + 2 

über. Hiermit ist, wie man sieht, in der That eine wesentlich neue 
Bedingung für j^^ angegeben. — 

3) Endlich bleibt noch eine von den bisherigen wesentlich ver- 
schiedene Bedingung für die Moduln des Polygons Fq zu erörtern übrig. 
Es war ein Princip der hier gewählten Behandlung des Polygons F^ bez. 
des M-Ecks Nq, dass wir die Kette der Seiten des letzteren schritt- 
weise untersuchten, indem wir immer 
nur drei consecutive Substitutionen aus 
der Reihe F^, F,, . . ., F„ unmittelbar 
mit einander in Beziehung setzten. Es 
hat dies zur Folge, dass die bisherigen 
Betrachtungen der Mehrzahl nach ihre 
Gültigkeit auch für solche w-Ecke be- 
wahren, deren Randcurvenketten, wie 
beim Fünfeck der Figur 131, zwei oder 
mehrere Windungen darbieten. Wollen 
*'ig. 131. wir in eine solche Geradenkette ein 

Polygon einspannen, so muss dasselbe, 
wie Figur 131 andeutet, mit einem inneren Verzweigungspunkte aus- 
gestattet werden. 

*) Im Falle (0 , 3) nimmt die Ungleichung (2) vermöge (5) pg. 347 sowie auf 
Grund der Fussnote pg. 367 die bekannte Gestalt an: 

ii* + J/- + ii.* — ii JJt2 — 4 > 0. 




II, 2. Kanonische Polygone und Modnln der hyperbolischen Rotationegroppen. 373 



Wir gehen mm noch einen Schritt weiter und setzen wie oben 
(pg. 305) aus zwei conjugierten w- Ecken N,^ und N^ dieser Art ein 
Doppel-«- eck zusammen. Für n'^b hat es keine Schwierigkeit, Doppel- 
n-ecke zu bilden, für welche die Windungsanzahlen iv und w' der 
Berandungen von Nq und Nq einzeln oder zugleich > 1 sind. Solche 
Doppel-M-ecke sind aber keine Discontinuitätsbereiche; vielmehr gilt 
der Satz: Für die hei der Gruppengattiing (0, m) auftretenden Doppel-n- 
ecke sind die Windnngsanzahlen w, iv der beiden Elementar -n- ecke selbst- 
verständlich beide gleich 1. 

Die hiermit aufgestellte Bedingung kann noch in etwas anderer 
Weise geometrisch ausgedrückt werden. Denken wir ein Doppel -«-eck 
mit tv = 1 und tv > 1 vorgelegt, dessen auf einander bezogene Seiten 
natürlich gleich sein müssen. Verwandeln wir dann das Doppel-n-eck 
in ein kanonisches Polygon nach Vorschrift von pg. 305 und wählen 
hierbei den Punkt E im Verzweigungspunkte von Nq, so entspringt ein 
kanonisches Polygon P^, welches zwar keinen Verzweigungspunkt im 
Innern aufweist, bei welchem indessen die Winkelsumme für den Cyclus 
zufälliger Ecken gleich 2w'n und also > 2^ ist. Umgekehrt führt ein 
Polygon Pq, in welchem die Winkelsumme ein von 27t verschiedenes 
Multiplum von 2ä ist, auf ein Doppel-«- eck mit Verzweigungspunkt. 
Die Bedingung tv = 1 bringt somit zugleich zum Ausdruck, dass die 
Summe der Winkel im Cyclus zufälliger Ecken des kanonischen Polygons Pq 
gleich 2n ist. 

Die vorstehenden Darlegungen schliessen sich den voraufgehenden 
Entwicklungen über die Invarianten j,-,J,, ,^i, ... dadurch unmittelbar an, 
dass wir die Windungsanzahlen w 

und w als Functionen der Inva- e, 

rianten j,, . . . deuten. Diese Auf- 
fassung wird durch die folgende 
kinematische Überlegung begrün- 
det, welche letztere ihrerseits auf 
eine Verallgemeinerung des oben 
(pg. 288) für n == 3 erwähnten 
Hamilton'schen Satzes hinaus- 
kommt. 

Indem wir die bekannten an 
die Winkel fester Ecken zu stellen- 
den Forderungen zunächst ganz bei 

Seite lassen, legen wir ein Doppel-n-eck N, N' vor, dessen Seiten jedoch 
wie bei den Doppel-n-ecken der Gattung (0, n) im Innern der Ellipse 
verlaufen oder Ellipsensecanten sind. Es soll erstlich w = u' = l sein 




374 11- Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 

und natürlich müssen einander zugeordnete Seiten stets gleich sein; iu 
Fiofur 1B2 ist « = 5 zur Erläuterung gewählt. Wir drehen nun N' um e„ 
in der Pfeilrichtung, bis e„e^_i auf der ihr gleichen Seite e„e„_i liegt, 
und stellen diese Drehung durch Vn dar. Sodann üben wir auf N' eine 
analoge Drehung V„ — i um e„—i aus und fahren so fort, bis N' durch Aus- 
übung der Drehung V^ um e^ seine Anfangslage wieder gewinnt. Diese 
Rückkehr zur Anfangslage (welche dem Sinne des erwähnten Hamil- 
ton'schen Satzes entspricht) drückt sich analytisch durch die Relation aus: 

(3) F, . F2 . Fs • • • F„ = 1. 

Man lasse nun irgend einen Punkt der Ellipse, welchen wir mit 
N' starr verbunden denken, an den Drehungen von N' teilnehmen. 
Dieser Punkt wird bei Rückkehr von N' in seine Anfangslage die 
Ellipse im positiven Umlaufssinne eine gewisse Anzahl von Malen 
vollständig durchlaufen haben. Wir wollen diese Anzahl Ä nennen 
und nach der nötigen Verallgemeinerung der Vorstellungen näher 
bestimmen. 

In der That können wir den gleichen Ansatz ohne weiteres auf 
solche Doppel-?i-ecke ausdehnen, welche im übrigen durchaus mit 
den bisherigen übereinstimmen, nur dass die Windungsanzahlen iv, iv 
beliebige Werte > 1 haben sollen. Auch nun wird für die auszuübenden 
Bewegungen die Relation (3) gelten und der mit N' starr verbundene 
Ellipsenpunkt wird die Ellipse eine gewisse Anzahl Ä von Malen 
vollständig beschrieben haben. 

Zur Bestimmung von Ä bemerke man, dass diese Anzahl bei 
stetiger Verkleinerung des Doppel -w-ecks, bei welcher natürlich die 
Windungsauzahlen intaet bleiben und die aufeinander bezogenen Seiten 
beständig einander gleich sein müssen, selber unverändert bleibt. Wir 
werden Ä somit am unendlich kleinen Doppel- w- eck mit den Windungs- 
zahlen IV, IV oder, was auf dasselbe hinauskommt, am Doppel-«-eck 
der imräbolischen Ebene von den Windungszahlen tv, iv ablesen dürfen. 
Dabei wird A die Anzahl der vollen Umdrehungen bedeuten, welche 
die parabolische Ebene um ihren unendlich fernen Punkt ausführt, 
sofern wir das n-Eck N' und mit ihm die parabolische Ebene der 
oben beschriebenen Manipulation unterwerfen. Sind die einzelnen 
Drehungswinkel <&■„, i%,_i, . . ., ^1, so ist demnach direct: 

(4) 2jt^ = ^, + ^2 + ... + ^n. 

Es bedingt nun eine Vereinfachung der IJberlegung, wenn wir 
N' um den Punkt c, nicht im positiven Sinne um den Winkel t%-, 
sondern im negativen Sinne um {2% — %^ drehen. Dreht sich dabei 



II 



II, 2. Kanonische Polygone und Moduln der hyperbolischen Rotationsgruppen. 375 

die mit N' fest verbundene parabolische Ebene um ihren unendlich 
fernen Punkt im ganzen A' Male, so ist: 

n 

(5) 27cA'= ^{2jt — ^i) und Ä = n — Ä'. 

1=1 

Die Ausführung der hiermit beschriebenen Bewegung kommt aber 
darauf hinaus, dass wir N' auf dem festliegenden n-Eck N abrollen 
lassen. Um diese letztere Vorstellung noch lebhafter zu gestalten, 
können wir die Ecken von N und N' abrunden, indem wir nur Sorge 
tragen, dass die Perimeter von N und N' dauernd gleich sind. Unter 
Obacht hierauf können wir ofiFenbar sogar noch weiter gehen und N 
und N' stetig in «t-fach bez. iv-üach. gewundene Kreise umwandeln; 
dabei müssen dann die Radien r und / wegen des gleichen Gesamt- 
umfangs in der Beziehung wr = w r stehen. 

Lassen wir nun den so gewonnenen Kreis iV' auf 1^ abrollen, so 
können wir während dieses Processes die Drehung von ^' um seinen 
Mittelpunkt leicht controlieren. Möge der Radius von iV nach dem 
augenblicklichen Berührungspunkte des Kreises 'N' den Winkel t von 
der Anfangslage aus beschrieben haben, während sich iV' bis dahin 
um seinen Mittelpunkt durch den Winkel t' gedreht habe; dann zeigt 
eine elementare Betrachtung: 

rt = r{i'— t) und also ^ = ^ (l + ^') • 

Für t = 2wn ist die Abrollung vollendet; es ist somit der zugehörige 
Wert t'=2nÄ' gegeben durch: 

t' = 2nÄ = 23r (w + ^^ J uD<^ fiJso Ä = v} -\- w . 

Die Rückkehr zur Anzahl A vermöge (5) ergiebt den Satz: Führt man 
das n-Eck N' durch Ausübung der Drehungen F„, F„_i, . . ., Fg, Vi 
in seine Anfangslage zurück, so ist hiei'bei die mit N' starr verbundene 
Ellipse A = n — u'i — w^ Male im positiven Umlaufssinne vollständig 
in sich verschoben. 

Übrigens ist für ein w-Eck die Windungsanzahi iv nicht grösser als 

die grösste ganze Zahl E\^-J, welche < ^ ^^^- ^'^ Anzahl A 

der Umdrehungen der Ellipse genügt somit der Bedingung: 

(6) n — 2>A>n -2 ^'> (^) • 

Bei den Discontinuitütsher eichen, der Gattung (0, n) kommt natürlich nur 
die grösste Anzahl A = n — 2 cor. 



376 ^I- Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 

Auf der anderen Seite bemerke man, dass ivir die Änzald Ä und 
damit auch die Summe (u\ -\- iv^ für unsere Discontinuitätsbereiche atis 
den Invarianten ji, ji, ,-|-i, ... berechnen Jcönnen. Es ist dabei für die 
augenblickliebe Ausdrucksweise zweckmässig, in der ^-Ebene den Haupt- 
kreis als Einlieitskreis zu wählen, wobei das Ellipseninnere in das 
Innere des Hauptkreises übergehe; man richte es so ein, dass die 
sonst auf ^ = 0, +1, oo bezogenen Ellipsenpunkte nun die Punkte 
g == — ij +1, -\- i des Hauptkreises liefern. Die Substitutionen 
Fl, F2, ..., Vn denken wir uns zunächst nach pg. 368 in den Invarianten 
jif ji^ ,4-1, ... dargestellt und werden von hieraus die Transformation 
auf den neuen Hauptkreis vollziehen. 

Nun wähle man als den starr mit N' verbundenen Punkt der 
Ellipse bez. des Hauptkreises g = — i, welcher nach pg. 342 der eine 
Schnittpunkt der Geraden e^e^ mit der Ellipse ist. Übt man dann F„ 
aus, so drückt sich der von dem in Rede stehenden Punkte beschriebene 
Bogen des Hauptkreises zwischen ^= — i und ^= V„{ — i) offenbar 
durch die Invarianten allein aus, und zwar als ein bestimmter zwischen 
und 2n belegener Bogen, dessen Sinus und Cosinus eindeutig von 
den Invarianten abhängen. Dasselbe gilt von den weiter sich an- 
schliessenden Bogen zwischen t,= V„{ — i) und ^= F„_iFn( — i) u. s. w. 
Es handelt sich dabei für gewöhnlich um Bewegungen des Punktes 
auf dem Hauptkreise im positiven Sinne. Rückläufig wird der Punkt 
nur bei einer solchen hyperbolischen Substitution F, bei welcher er 
in der projectiven Ebene mit der bezüglichen hyperbolischen Ecke 
auf der gleichen Seite der zugehörigen Polare gelegen ist*); übrigens 
folgert man aus der Figur des Doppel-w-ecks leicht, dass der Punkt 
höchstens einmal rückläufig werden kann, wobei alsdann der auf dem 
Hauptkreise beschriebene Bogen negativ in Rechnung zu bringen ist. 
Die Summe aller berechneten Bogen, durch 2n dividiert, liefert die An- 
zahl Ä, welche solcherweise als eine allerdings transcendente, aber ein- 
deutig definierte Function der Invarianten -4 (,/,-, j,, , + 1, j,-, ,+2) erscheint. 
Wir Imben es alsdann als die letzte hier zu neunende Eigenschaft unserer 
Discontinuitätsbcreichc zu bezeichnen, dass für ihre Moduln die Gleichtmg: 

C^) MJn J<\ '-f-i ; J<, .+2) = n — 2 

gültig ist. 

Man muss aber diese Gleichung nicht dahin auffassen, dass sie 
über die Gleichungen (10) pg. 367 und (15) pg. 369 hinaus eine Be- 

*) Man wird diese im projectiven Sinne zwar nicht genaue, aber im Interesse 
der Kürze {gewählte Ausdrucksweise nach den früheren Darlegungen über die Ge- 
stalt und Lage der Polygone in der projectiven Ebene nicht miflsdeuten. 



II, 2. Kanonische Polygone und Moduln der hyperbolischen Rotationsgruppen. 377 

schränkung in der Zahl der vorliegenden variabelen Parameter zu be- 
deuten hätte. Sondern wir werden den entwickelten Darlegungen gemäss 

bei gegebenem « im ganzen I 2i?( — ^ — ) — ij Mannigfaltigkeiten von der 

gleichen Dimensionenanzahl (3n — 6) als Lösungen der citierten Glei- 
chungen (10) pg. 367 und (15) pg. 369 zu erwarten haben, welche den 
verschiedenen Werten -4 = n — 2, n — 3, ... entsprechend durchaus von 
einander getrennt sind. Von diesen Mannigfaltigkeiten ist dann nur 
die erste durch (7) als für die Gattung (0, w) in Betracht kommend 
bezeichnet. 

§ 17. Systematische Zusammenstellung und Vollständigkeitsbeweis der 
charakteristischen Bedingungen für die Moduln der Gattung (0, m). 

Indem wir die Ergebnisse der voraufgehendeu Paragraphen zu- 
sammenfassen, gelangen wir zum vollen System der charakteristischen 
Bedingungen für die Moduln der Polygone der Gattung (0, n). Diese Aus- 
drucksweise ist wie bisher in dem Sinne zu verstehen, dass jedes System 
von Moduln, ivelches den fraglichen Bedingungen genügt, eine und nur 
eine Classe von Polygonen Pq und damit'^Gruppen F der Gattung (0, w) 
defniert. 

Die fraglichen Bedingungen sind die folgenden: 

I. Bie 3n Modidn ji, j/, ,-4.1, j,, ,4.2 si)id reelle, den Bedingungen: 

(1) ji>0, Ä.+i<-2, i,,,+2< — 2 
genügende Zahlen, und es gilt, im Falle ji < 2, ausserdem: 

(2) j, = 2 cos ^ 
mit ganzen Zahlen /, ^ 2. 

II. Bie nach (7) pg. 366 zu berechnenden Zahlen 7),, ,_|_i, ,4.2 müssen 
den n Ungleichungen genügen: 

(3) D,. .-fi,.-f2>0. 

III. Mit Hilfe der positiv genommenen Wurzeln ]/Z) berechnen uir 
die n weiteren Moduln: 

{^) 2./,, , + ,, , + 2 = Ä/, + 1, , + 2 + .Ä-i-«,/', . + 2 + .Ä-f 2.;i, . + 1 — .Ä-./. + ü.-f 2 + 



nid haben zu fordern, dass die neun algebraischen Gleichungen bestehen: 
(5) Gk {ji , ./, , ,• + 1 , j, . , 4. 2 , ./, , , 4. 1 , , 4. 2 ) = , 

< elclie pg. 368 u. f. niilier betrachtet ivttrden. 



I 



378 !•• Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 

IV. Es gelten die n Ungleiclmngcn: 

+ ,/,-!,,■,, + 10?— 2). 

V. Endlich besteht die Gleichung: 

(7) ^(^.//./+i,.Ä,^+.) = H~2.*) 

Die aufgestellten Bedingungen sind zufolge der bisherigen Unter- 
suchungen notwendig und von einander unabhängig**); aber auch ihr 
Vollständigkeitsbeweis ist im bisherigen schon vorgezeichnet. Wir 
werden diesen Beweis in der Art führen, dass wir für ein beliebiges 
in Übereinstimmung mit I bis V ausgesuchtes System von Moduln 
ein und von Transformation abgesehen auch nur ein kanonisches 
Polygon L*Q als zugehörig nachweisen. 

Wir bestimmen erstlich ein particuläres Paar F, , V^ aus Ji,J2,Jiij 
ziehen die Verbindungsgerade ij^ der beiden Fixpunkte und wählen 
die Pfeilrichtungen in Übereinstimmung mit Figur 123 pg. 349. Ein 
Zweifel, welche Verbindungsgerade e^^e.^ unter den beiden Möglichkeiten 
zu wählen ist (hyperbolische Diedergruppe, cf. pg. 346), kann zufolge 
j,2 < nicht eintreten; diese Bemerkung gilt auch für die sogleich zu 
vollziehende Construction der Seiten e^.^, ... 

Die Substitutionen F3, F4, . . ., F„ sind nun aus Fi, V2 und den 
Invarianten eindeutig und zufolge (3) reell bestimmt, und man findet 
successive die Pfeilrichtungen je zweier consecutiven Paare auf Grund 
der Ungleichungen (1) mit Figur 123 pg. 349 in Übereinstimmung 
(cf. die Entwicklungen für die Gattung (0, 3) pg. 349 ff.). 

Man markiere die Fixpunkte es, . . ., e„ von F3, . . ., F« und ziehe 
nach der Vorschrift von pg. 348 die Verbindungsgeraden ^3, e^, ..., e^. 
Nach den ausführlichen Darlegungen von pg. 367 ist es die Wirkung 

*) Die Gattung (0, 3) subsumiert sich den fünf Bedingungssystemen des 
Textes, wie man durch Vergleich mit pg. 348 feststellen wolle, nicht ohne weiteres; 
an Stelle der zweiten und dritten Ungleichung (1) gilt nämlich im Falle (0, 3 
die Bedingung j. ,ii 5C 0. Im Falle (0, 4) ist aus einem nahe liegenden Grunde 
das gleichzeitige Verschwinden der vier Invarianten j- unzulässig. Dies kommt 
im Texte dadurch zum Ausdruck, dass für j, = j., = j^ = j^ =0 auch jj.^g = 
wäre und also zufolge (4) entgegen der Ungleichung (3) die Gleichung D^.^g =^ 
bestände. 

**) Doch wolle man bemerken, dass nach pg. 368 drei unter den Gleichungen (5) 
zur Darstellung von .y„_2 „_, „ , J„_j „ ^ , j „ , ., dienen, und dass für diese 
Invarianten auch bereits drei unter den Gleichungen (4) gelten. Auch übrigens soll 
die Bemerkung des Textes nur so verstanden werden, dass keines unter den sechs 
„Systemen" charakteristischer Bedingungen (1) bis (6) entbehrlich ist. Die Frage, 
ob jede einzelne Bedingung von den übrigen unabhängig ist, lassen wir unerörtert. 



II, 2. Kanonische Polygone und Moduln der hyperbolischen Rotationsgruppen. 379 

des positiven Zeichens der Wurzeln iu (4), dass in der Kette der Geraden 
e, e.^ , e^€g, ..., e„e, jede folgende von der Richtung der voraut'gehenden 
nach links abweicht. Wir gewinnen so ein geschlossenes n-Eck N 
mit concaven Winkeln, dessen Windungsanzahl tv einstweilen unent- 
schieden bleibt. 

Nach pg. .369 gilt infolge der Gleichungen (5) für die n Sub- 
stitutionen Vi, V-i, . . ., V„ die Relation: 

(8) V,-V,-V, ■■■ Vn=\. 

Bestimmen wir jetzt nach der Vorschrift von pg. 309 u.f. das conjugierte 
System F/, V^, . . ., F„', so ist: 

(9) f;. f;_:- f;_, ■■•vi=\ 

eine identische Folge von (8). Wir wenden demnächst auf die Kette 
der Seiten von N den pg. 309 ausführlich geschilderten Process der 
Umlegung zur conjugierten Kette e^^, ^^j ^i ^l > • • • ^n. Dabei ist: 

^3 ""= ^■i\^%)j ^4 "^^ ''^2 '3(^4); '••■) 
und der Endpunkt e^ der letzten Seite c„ei rückt nach cl=y%Vz ■ ■ • F„(ei) 
== V~ (ci) und erreicht also als Fixpunkt von Fj seine Anfangslage 
wieder. Wir gewinnen damit ein geschlossenes und mit N conjugiertes 
Polygon iV'. 

Nun kommen die Ungleichungen (6) zur Geltung, denen zufolge 
6,_i mit d^i in einem Normalbereich von F, liegen. Die Folge ist, 
dass in der Seitenkette von N' bei Durchlaufung von e^ nach e.^ , e^', . . . 
jede folgende Seite gegen die voraufgehende nach rechts ausweicht. Es 
liegt somit ein Doppel -w-eck N, N' von oben betrachteter Art vor. 

Endlich haben wir noch hervorzuheben, dass zufolge (7) die 
Windungsanzahlen w und w' unserer beiden n-Ecke N und N' beide 
gleich 1 sind. 

Man verwandele nun das Doppel-n-eck nach pg. 305 in ein 
Polygon Fq, dessen Seiten durch F,, F^, . . ., F„ auf einander bezogen 
sind. Dieses Polygon wird offenbar keinen Windungspunkt darbieten, 
und die Winkelsumme der zufälligen Ecken von Pq ist gleich 2n. 
Liegt Ci im Ellipseninneren, so hat P^ hierselbst zufolge (2) den Winkel 

^ • Dem Bedenken, ob nicht vielleicht der Polygon winkel (;r — "—) 

vorliegen möchte, begegnet man einfach durch die Bemerkung, dass 
Vi und F, + i zufolge der Bedingungen (1) und (2) nach pg. 348 ein 
brauchbares Polygon (0, 3) liefern. Der Winkel des letzteren bei c,- 
ist aber gleich dem Winkel unseres Polygons 7*,. welcher demnach 

2 IC 

wirklich gleich ist. 



I 



380 



II. Ansführliche Theorie der Polygongruppen. 



Hiermit haben wir am gewonnenen Polygon alle Eigenschaften 
eines Discontiuuitätsbereiches der Gattung (0, n) nachgewiesen, und 
also bestätigt sich die Vollständiglccit der Bedingungen I bis V. — 

Es wird am Platze sein, die voraufgehenden Entwicklungen durch 
Betrachtung einiger besonderer Gruppen zu illustrieren; diesem Zwecke 
mögen die beiden folgenden Beispiele dienen. 

1) Wir ziehen etwa zunächst die bereits pg. 279 benutzte Gruppe (0, 4) 
heran und halten an dem in Figur 87 pg. 270 mit den Ecken e^, c^, ^3, e^ 
versehenen Elementarviereck fest. Die Erzeugenden Fj, . . ., V^ sind dann: 

V2' V2 



Vi 



0, 



.3 + J/ll 
V2 



1/n 



v,= 



1/2 ' 

1 — \/n 
2 

- 5 + V'll 







5 + Vll 



2 



n = 



v,= 



V2 



1 

V~2} 



I -1, 3+l/ll| 

3-vn, 1 J 



wobei die Vorzeichen der Coefficienten nach der Vorschrift von pg. 345 
fixiert sind. Für die Invarianten berechnet man von hieraus die Werte: 

.h 2 = .;34 = — y 1 1 , i23 = i4i = — 2 1/2 , 

womit die Bedingungen (1) und (2) in diesem Falle bestätigt sind. 
Weiter ergiebt sich für die Discriminanten: 



T) — V 



22 • 3^ 



11 7) = 93 . 1 1 7) ^95 7) 

^ ^ J -*^234 ^ ' * ; -'^311 ^ > -'-^AVi 

SO dass die Ungleichungen (3) erfüllt sind. Auch ergeben die Glei- 
chungen (4) die richtigen Werte ji23== ji, J2u= Ju • • •> wie man 
leicht feststellt. Die Gleichungen (5) übergehen wir, da wir dieselben 
weiterhin für den Fall n = 4 noch allgemein zu discutieren haben. 
Dagegen überzeuge mau sich, dass die Ungleichungen (6) erfüllt sind. 
Die Gleichung (7) endlich controlieren wir in der Art, dass wir den 
Punkt ^ = fest mit dem conjugierten Viereck verbunden denken 
und sodann die Bewegungen V^, Fg, Fg, F^ ausüben. Da es sich hier 
um lauter elliptische Substitutionen handelt, so wird der fragliche 
Punkt des Hauptkreises, d. i. hier der reellen i;-Axe, nie rückläufig. 
Bei Ausführung der Bewegungen rückt nun der anfangs bei ^ = 
gelegene Punkt nach einander nach 3-f-"|/ll, 1, 00, und beschreibt 
somit, wie es sein muss, die reelle ^-Axe zweimal vollständig. — 



II, 2. Kanonische Polygone und Moduln der hyperbolischen Rotationsgruppen. 381 

2) Als zweites Beispiel betrachten wir eine Gruppe der Gattung 
(0, 5). Setzen wir die Gleichung der fundamentalen Ellipse in die 
Gestalt: 



(10) 



7 



5^2'--?s' = 



und bilden die gesamten ternären unimodularen Substitutionen erster 
Art der Ellipse (10) in sich, so gewinnen wir nach der Umsetzung 
in ^-Substitutionen die in Aussicht genommene Gruppe. Dieselbe ge- 
hört der Gattung (0, 5) an; denn der Discontinuitätsbereich ist, wie 
wir im nächsten Abschnitt noch ausführlich sehen, bei zweckmässiger 




Auswahl von t, durch das Doppelfünfeck der Figur 133 gegeben. Die 
Ecken ^i, ^2> •• •> ^& ^®^ links gelegenen Elementarfünfecks liegen bez. bei: 



e = ^ 



i]/2 



— 1/7 -f i V 3 — yb -f % — ]/6 -f t yt 

_ ^ 



3— V7' y6(3 — )/7)' —1+1/7 



]/7 



Es handelt sich hier um zwei mit einander symmetrische Elementar- 
fünfecke, so dass die Gruppe durch Spiegelung an der imaginären 
Axe erweiterungsfähig ist; es ist dies durch die Schraftierung in der 
Figur angedeutet. Die Winkel des Elementarfünfecks in den Ecken 

By, ßj;, . . ., e^ sind bez. , , , ^^ , • und also sind unter den 

fünf Erzeugenden vier von der Periode zwei und eine von der Periode 
drei. Die Erzeugenden sind unter richtiger Fixierung der Vorzeichen 
ihrer Coefficienten : 



I 



382 



II. Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 



' 1-1,0]' '•-' 



0, 

-3 +K7 
1/2 



3 +j/7 ) 




F, 



2 



i±viy= 



3 + V7 



>/5, 



V7 



^4 = 



fK5, 
1 - 



1+^7 
1/7, -1/5 






F6 


V7' 


F2' 


1/2 


F7 


_Vl 


1/2' 


12 



Auf (lieser Grundlage ist es uuii leicht, die Invarianten zu be- 
rechnen und an ihnen die charakteristischen Bedingungen I bis V zu 
bestätigen. Man findet; 

./i = 0, h = 0, .h=i, Ji = 0, Ä = 0, 

^--3>/2", M=-Vn), j,,= -ys^, ^=-2|/2, ./„ = -/l4, 

j,3 = -3l/5, .y,,= -2]/l4, J3,= _]/7Ö, ^ = -2^7, ./,,==-3l/7 

in Übereinstimmung mit den Bedingungen I. Weiter findet sich für 
die Discriminanten nach (7) pg. 366: 

T) — 9-1- D — 9- . F) . 7 T) =97 7) — 93 . r, 7) = 92 . r, . 7 

womit sich die Bedingungen II bestätigen. Die Gleichungen {4) 
liefern nun: 

.y.,3=2l/2, ^,= Vl4, ,k,,= SV2, ,U,=V\0, ./,.2 = V35. 

DieseWerte stimmen nach Zeichenwechsel mit den Werten y'^r, , ./Vi , ji-j , j.,^, ./lu 
überein; in der That ist ja F1F2F3 = V^ V^ , . . . . Indem wir die 
Gleichungen (5) wegen ihrer Compliciertheit auch hier übergehen, be- 
stätigen wir leicht die Ungleichungen (6). Zur Controle der Gleichung 
(7) endlich denke man den Punkt t, = fest mit dem conjugierten 
Fünfeck verbunden und übe auf dasselbe nach einander die Bewegungen 
^5> ^4j • • •, ^1 ^us. Der anfangs bei t = U gelegene Punkt rückt 
nach einander an die Stellen: 



17 

1/5^ 



2-fV7^ 



0, 00, 0; 



da er niemals rückläufig wird, so beschreibt er, wie man leicht fest- 
stellt, die reelle Axe in Übereinstimmung mit (7) drei Male. — 



II, 2. Kanouische Polygone und Moduln der hyperbolischen Rotationsgruppen. 383 

§ 18. Die in der Gattung (0^ n) enthaltenen Familien von Gruppen- 
classen. Continuitätsbetrachtung und Existenzbeweie. 

Die im vorigen Paragraphen für die Moduln der Gattung vom 
Charakter (0, n) aufgestellten charakteristischen Bedingungen zeigen 
uns, in welchem Bereich wir diese Moduln als willkürlich variabel 
anzusehen haben, um die gesamten der Gattung angehörenden Classen 
von Gruppen zu gewinnen. Es ist indessen wünschenswert, den Ge- 
samtumfaug der Gattung (0, n) in einer mehr anschaulichen Weise 
darzulegen; hierzu dienen die folgenden auf geometrischen Vorstellungen 
basierenden Betrachtungen. 

Wie früher, so definieren wir auch hier zunächst den Betriff 
einer Familie von Polygonen oder Gruppen (0, «). Liegen v unter den 
n festen Ecken e von 1\ auf oder innerhalb der Ellipse, so nennen 
wir diese v Ecken in ganz beliebiger Reihenfolge e,-^, e,^, ..., e,-^,. Mögen 
ihnen im Sinne von (2) pg. 377 die v ganzen Zahlen Zj, 1.2, . . ., l,. 
zugehören, welche einzeln > 2 sind, die Möglichkeit /, = oo ein- 
geschlossen. Alle Polygone (oder Gruppen) mit dem gleichen v und 
denselben Zahlen /,, l.,, . . ., /,, fassen wir zu einer Familie zusammen 
und bezeichnen (0, n\ l^, l.,, . . ., l^) als die Signatur der Familie. Es 
ist dabei die Reihenfolge der Zahlen /j, l^, . . ., Z, bez. der zugehörigen 
Ecken auf dem Rande von P^, wie schon hervorgehoben, ganz gleich- 
gültig (cf. die Entwicklungen über die Elementartransformationen 
zweiter Art pg. 301 ff. sowie pg. 325 ff.). Für v = ordnet sich die 
Gesamtheit aller Gruppen (0, n) ohne elliptische und parabolische 
Substitutionen als eine einzige Familie der Signatur (0, n) ein. 

Es gilt nun wieder der Satz, dass die Polygone der einzelnen 
Familie ein Continuum bilden. Man würde dies durch Discussion der 
Bedingungen (1) u. s. w. pg. 377 zeigen können; indessen ist es einfacher, 
unter Gebrauch des Schlusses der vollständigen Induction, wie schon in 
Aussicht genommen, ein directes geometrisches Beweisverfahren zu wählen. 

Es ist oben (pg. 353) gezeigt worden, dass die einzelne Familie 
der Gattung (0, 3) ein Continuum darstellt. Wir nehmen nun an, der 
zu beweisende Satz gelte für die Familien der Gattung ((), n— 1), und 
können dann zeigen, dass er auch noch bei (0, n) erhalten bleibt. 
Die allgemeine Gültigkeit wird damit bewiesen sein. 

Mögen nun zwei Gruppen F und F' der Gattung (0, n) vorliegen, 
welche derselben Familie angehören. Wir kimnen dann, wenn über- 
haupt V > ist, nötigenfalls unter Anwendung einer Transformation 
irf. pg. 301 ff.) zwei zugehörige Polygone l\, und /'„' bilden, in denen 
die V Zahlen /,, /., . . ., /, in dieser Kei Ihm) folge zu den i' ersten Ecken 



■ 



384 n. Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 

^j, ^2, . . ., Cy bez. e/, e^', . . ., e» gehören. Bei v = indessen wählen 
wir P„ und F^ nach Belieben. Die zu F^ und P^ gehörenden Er- 
zeugenden der Gruppe seien Fj, V.,, . . ., V„ und F/, TV, . . ., V„; für 
die V ersten stimmen die Invarianten überein: ji = Ji, ■ • -, jl = jv 

Nach pg. 363 kann man F durch Composition aus einer Gruppe F„_i 
von der Gattung (0, w— 1) und den Erzeugenden F^g = ViV.^, Fg ..., F„ 
mit einer Gruppe Fg von der Gattung (0, 3) und den Erzeugenden 
Fl, Fa, Fi7* herstellen. Möge F' in derselben Weise durch Composition 
aus F„'_i und F3' entspringen. Die Substitutionen F12, Fi'2 sind dann 
beide hyperbolisch (cf. pg. 362), ihre Invarianten brauchen zunächst 
nicht übereinzustimmen. 

Zufolge der letzten Bemerkungen gehören die Gruppen r„ — i und 
F„'_i der gleichen Familie an. Der Voraussetzung nach können wir 
somit F„_i in F„'_i continuierlich überführen, ohne dabei aus der 
Familie herauszutreten. F,2 geht dabei continuierlich in Vii über und 
bleibt während der Abänderung beständig hyperbolisch. 

Andererseits gehören auch F^ und F^' derselben Familie an, so 
dass wir auch Fg continuierlich in Fg' überführen können, ohne die 
Familie zu verlassen. Da aber bei (0, 3) die Invariante j,2 unterhalb 
— 2 beliebig variabel ist (cf. pg. 348), so können wir die Überführung 
von Fg in Fg' derart ausführen, dass F^g dabei genau die bereits so- 
eben bei Überführung von F„_i in F„'_i vollzogene Abänderung erfährt. 
Beide Processe können daraufhin zugleich ausgeführt werden; und es 
kommt dies offenbar darauf hinaus, dass wir die ursprünglich vorgelegte 
Gruppe F der Gattung (0, n) innerhalb ihrer Familie continuierlich in 
F' überführen. Die Behauptung, dass allgemein die Gruppen der 
einzelnen Familie ein Continuum bilden, ist damit bewiesen. 

Es tritt ferner die Frage auf, ob für -jede denkbare Signatur 
(0, m; /, , /g, . . ., /,) mit ganzen Zahlen />2 atich wirklich Gruppen 
existieren. Dass dies in der That der Fall ist, kann man wiederum 
durch das Schlussverfahren der vollständigen Induction erhärten. Wir 
nehmen an, dass bei der Gattung (0, n — 1) Gruppen jeder Signatur 
vorkommen, und können dann dasselbe für die Gattung (0, n) beweisen. 
Denn ist (0, w; /, , l^, . . ., /,,) vorgelegt, so greifen wir eine Gruppe 
der Signatur (0, n— 1; Zg, l^, ..., l,.) auf*), die wir F„_i nennen, und 
die F12, Fg, F4, ..., F„ zu erzeugenden Substitutionen hat. Componieren 
wir F„_i mit einer nach pg. 348 zu gewinnenden Gruppe Fg von der 
Signatur ((>, 3; /j, A,) und den Erzeugenden Fi, V-2, Fl7^ so entspringt 
offenbar eine componierte Gruppe der gewünschten Signatur. 



*) Für V < 3 tritt au Stelle dessen die Signatur (0, n — 1) 



II, 2. Kanonische Polygone und Moduln der hyperbolischen Rotationsgruppen. 385 

Haben wir für die vorgelegte Signatur eine einzige Gruppe ge- 
wonnen, so lehren nun die Bedingungen (1) bis (7) pg. 377, in welcher 
Weise wir die zugehörigen Moduln als variabel ansehen müssen, um 
die ganze Familie zu gewinnen. Bereits pg. 368 u. f. wurde erörtert, dass 
die Gleichungen (4) und (5) pg. 377 die 3n Invarianten J,, ./,, ,+1, J,, ,^2 
auf (3« — 6) unabhängige einschränken. Die v Gleichungen (2) pg. 377 
ergeben eine weitere Reduction auf (3» — 6 — v) unabhängig veränder- 
liche Moduln. Ungleichungen können den Grad dieser Veränderlichkeit 
nicht mehr herabdrücken, und auch durch die Gleichungen (7) pg. 378 
kann dieses nicht eintreten, wie aus der pg. 376 u. f. besprocheneu 
Bedeutung dieser Gleichung hervorgeht. 

Unter Zusammenfassung der zuletzt gewonnenen Ergebnisse haben 
wir demnach folgenden Satz: Die Gattung vom Charakter (0, n) zer- 
fällt in unendlich viele Familien der Signatur (0, n] l^, h, . . ., l,), wo 
< V ^ n ist und die l^, I2, ... irgend tvelche ganze Zahlai > 1, den 
Wert 00 eingeschlossen, vorstellen. Jede einzelne Familie stellt ein 
(3m — V — 6) -fach unendliches Continnum von Gruppenclassen dar. 

§ 19. Die charakteristischen Bedingungen der Moduln und die 
Mannigfaltigkeit aller Gruppen der Gattung (p, n). 

Zur Untersuchung der kanonischen Polygone der Gattung (jp, n) 
hatten wir die einzelne hierher gehörige Gruppe aus einer Gruppe 
vom Charakter (0, n -\- p) und p Gruppen (1, 1) durch Compositiou 
hergestellt. Für die Theorie der Moduln der Gattung (p, «) ist der 
Gebrauch eines anderen, aber mit dem bisherigen sehr nahe verwandten 
Compositionsverfahrens vorteilhafter. Um dasselbe zu beschreiben, gehen 
wir für einen Augenblick auf die Gattung (1, 1) zurück. 

Eine Gruppe der Gattung (1, 1) möge F«, F«, Vc zu Erzeugenden 
haben, wobei Vc hyperbolisch sein soll; für die zugehörigen Moduln 
halten wir an allen Festsetzungen und Ergebnissen von pg. 354 ff. 
fest, d. h. es gilt vor allem: 

I (1) ja>2, >>2, j<^>2, jc<-2. 

[1 Führen wir nun die auch schon pg. 186 gebrauchte Substitution Vd 
ein, so ist: 

(2) ' a = V(,Va '6 > 'c = Vara' 

} Die drei Invarianten ;„, Ja, Je*) des Substitutionenpaares Vä, ]', genügen 
neben den Bedingungen (1) der Ungleichung: 

•) Da F^ aus F~' durch Transformation hervorgeht, so stimmen die In- 

V irianten von V und V überein. 
a it 

K ricko- K leiu , Automori'li" Kniu-linni'ii I. 25 



386 



II. Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 



i^ + ja + je 



Jajajc 



2>2, 



welche man sofort als eine Folge von (1) erkennt. Nach pg. 348 
sind somit Vä, Va, Vc~ die Erzeugenden einer Gruppe (0, 3). 

Auch geometrisch ist die Entstehung dieser Gruppe (0, 3) sehr 
leicht darzulegen; Figur 134 soll diesem Zwecke dienen. Es ist hier 

erstlich das zu F«, Vo 
gehörende Viereck 
der Gruppe (1, 1) 
gezeichnet und links 
daneben das durch 
Vb aus ihm hervor- 
gehende Viereck an- 
gefügt ; letzteres 
liefert Va, Vi, als 
Gruppenerzeugende. 
Von hieraus gewinnt 
man den Disconti- 
nuitätsbereich der 
Gruppe (0, 3) einfach 
dadurch, dass man über den durch Vo" auf einander bezogeneu freien 
Seiten des Doppelvierecks jeweils geradlinige Dreiecke mit den Spitzen 
Ca, e'a zeichnet und dem bisherigen Bereiche anfügt. In Figur 134 ist 
dies näher ausgeführt. 

Sei nunmehr eine beliebige Gruppe F der Gattung Q), n) vor- 
gelegt, deren Erzeugende 




Fig. 134. 



(3) 



V\, • • -, rnj ray, Vbi, rci, • • •, ''^0^, rb.,j ' c. 



sind. Wir schalten nun die Vbj. einstweilen aus und ersetzen die Vc,. 
nach (2) durch die p Substitutionen Va,^. Es besteht alsdann zufolge 
pg. 186 die Relation: 



(4) 



v,-v. 



V ■ v~^ 



n,- 



V~^ • V 



1, 



und die an ihr heteiligten Substitutionen F,-, F«"', ^«a-~^ ^*^^ ^*^ -^" 
zeugenden einer Gruppe der Gattung (0, n + 2p). Zufolge der voraus- 
gesandten Darlegungen können wir diese Gruppe (0, n -(- 2p) her- 
stellen, indem wir die Gruppe (0, n -f- p) der Erzeugenden: 



Fl V V~ 



F.; 



mit den p soeben gewonnenen Gruppen (0, 3) von den Erzeugenden 
Vaf., Va^, Vc^ componieren. Die Gruppe (0, n -f- 2p) wird somit der 



II, 2. Kanonische Polygone und Moduln der hyperbolischen Rotationsgruppen. 387 

Gesamtgruppe (p, n) näher kommen, d. h. eine umfassendere Unter- 
gruppe der letzteren sein, als die Gruppe (0, « + p)- 

Um die Classe der Gruppe F eindeutig durch Moduln festzulegen, 
führen wir nun vor allem nach den Vorschriften der vorangehenden 
Paragraphen das Modulsystem der eben gemeinteii Gruppe (0, n -\- 2p) 
ein. Da jedesmal die beiden Substitutionen F«^., Va,. gleiche Invarianten 
haben, so sind unter den Moduln der Gruppe (0, n-\-2p) im ganzen: 

(5) 3(« + 2p) — V — 6 — 2> = 3m — v -\- bp — Q 

natürlich unter Einhaltung der charakteristischen Ungleichungen un- 
abhängig variabel. Man merke an, dass zu dem in Rede stehenden Modul- 
system auch die Invarianten je als Simultaninvarianten von F^, FJ 
gehören. 

Setzen wir nunmehr die p Substitutionen Vt,^ hinzu, so treten 
damit zugleich die 2p Invarianten j*^., ja^^b^ auf, wobei die ^ Gleichungen 
bestehen werden: 

(6) ja^ + jb^ + jab^ — jajbjab — je —2 = 0. 

Wir werden hier etwa die p Invarianten jo^. als unabhängige Moduln 
den bisherigen hinzufügen, so dass die Gesamtzahl unabhängiger Moduln 
sich auf: 

(7) 3w — V -\- 62) — 6 

beläuft. Die Invariante jab ist nun Wurzel der quadratischen Gleichung 
(6), und da jab reell ist, so gilt: 

(8) j,^0„^-4)>4(i„2-i,-2). 

Dem gewählten Entwicklungsgange gemäss werden wir diese Un- 
gleichung als eine Bedingung für jh auffassen, deren Erfüllung durch 
die ohnedies zu fordernde Bedingung j/, > 2 offenbar noch nicht ge- 
währleistet ist. 

Indem wir die Wurzel jab von (6) adjungieren, ist Fj eindeutig 
bestimmt. Es ist nämlich mit jab auch die Invariante: 

(9) jab = ja,-b = jajb — jab VOU F« V/, = V(,V~^ 

eindeutig bestimmt, die übrigens, wie man leicht bemerkt, die zweite 
Wurzel der Gleichung (6) ist. Es ist ferner die Invariante jt,,—c be- 
kannt, nämlich = j/,, da 

vr' n = V-' Fj-^ F, = v,r'v,Va 

zutrifft. Schreibt man nun die Invarianten /'/,, j,,,,, ja,,, ih,—c iu den 
Coefficienten von Vo sowie in denjenigen der übrigen beteiligten Sub- 
stitutionen Va, Vä, F; an, so liegt analog wie in (1) und (2) pg. 365 ein 

25* 



338 II- Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 

System von vier linearen Gleichungen für Vb vor, aus dem wir Fj 
berechnen können. Das Verschwinden der Determinante ist nämlich stets 
ausgeschlossen; denn dies würde, wie man durch Ausrechnung (cf. (8) 
pg. 366) leicht feststellt, die Folge haben, dass die Fixpunkte e«, €„ 
und €c von F«, Vä, Vc entgegen der Eigenart des zugehörigen Dis- 
continuitätsbereiches (0, 3) auf einer Geraden liegen. 

Es ist weiter die Frage, ob man allgemein angeben kann, welche 
der beiden Wurzeln der Gleichung (6) die Invariante jab ist. Dies 
lässt sich nicJd angeben. Gerade so gut, wie Fj, kann man nämlich 
die der zweiten Wurzel jao entsprechende Substitution V^ zur Aus- 
gestaltung der aus Va, F^, Vc zu erzeugenden Gruppe (0, 3) auf eine 
Gruppe (1, 1) benutzen. Um dies einzusehen, bemerke man vorab, 
dass Vi, aus jo und ihrer Eigenschaft, Va in Vä zu transformieren, not- 
wendigerweise erst zweideutig bestimmt ist. Die allgemeinste Sub- 
stitution (erster Art), welche Va in Vä transformiert, entsteht aus einer 
speciellen solchen Substitution durch Combination mit einer beliebigen 
Substitution der zu e^ gehörenden cyclischen continuierlichen hyper- 
bolischen Gruppe. Diese letztere Substitution ist nun in zwei Weisen 
immer so wählbar, dass die combinierte Substitution die gegebene In- 
variante jb erhält, wie man leicht durch Rechnung verfolgt. Da beide 
Substitutionen Vb, Vb auf Vc führen, so gehören eben ihnen die beiden 
Invarianten jab und jäb zu. Nun ist ja > 2, jb > 2, je < — 2, und es 
folgt aus: 

(10) {ja - jöY + jaö' + (2 - ja<.)jajö = je + 2, 

dass jede der beiden Wurzeln jab > 2 ist. Damit aber ergiebt sich 
auf Grund von pg. 360, dass sowohl Va, Vb, Vc als auch Fi, Vb, Vc 
die Erzeugenden einer Gruppe (1, 1) darstellen. Es ist also in der 
That Vb gerade so brauchbar wie Vb zur Ausgestaltung der zu Fi, FJ 
gehörenden Gruppe (0, 3). 

Unter Zusammenfassung der bisherigen Ergebnisse stellen wir 
nun folgenden Satz auf: Um die Moduln und charakteristischen Be- 
dingungen der Gruppe F vom Charakter (p, n) zu gewinnen, bilden wir 
zunächst die Moduln und charakteristischen Bedingungen für die bei Fort- 
lassung von Fftp . . ., Vb entspringende Gruppe (0, n -\- 2p). Darüber 
hinaus kommen noch die p Modidn jb hinzu und mit ihnen die p neuen 
Bedingtmgen (8), worauf nun endlich noch die p Moduln jab ^w adjungieren 
sind. Der Beweis dieses Theorems ist bereits in den voraufgehenden 
Darlegungen enthalten. Die Gruppe (0, n -\- 2p) bez. ihr Polygon 
dürfen wir nach den Entwicklungen der vorangegangenen Paragraphen 
bereits gebildet denken. Die Hinzufügung von jb liefert dann jedesmal 



II, 2. Kanonische Polygone und Modnln der hyperbolischen Rotationsgruppen, 389 

zwei Möglichkeiten der Compositiou mit einer Gruppe (l, 1), unter 
denen wir die eine durch Adjunction von jab herausgreifen. — 

Um die Mannigfaltigkeit aller Gruppeuclassen der Gattung (jp, n) 
zu überblicken, ist es zweckmässiger, an der früheren Art der Com- 
position festzuhalten, bei welcher wir die einzelne Gruppe aus einer 
Gruppe (0, n -{• p) und p Gruppen (1, 1) herstellten. Die Gruppe 
(0, n -f- p) hatte die Erzeugenden F^, . . ., F„, V^ , • • •, V^ , die 
einzelne Gruppe (1, 1) aber Va^^ Vtf.. 

Analog wie bisher nennen wir (p, n; l^, l.^, . . ., /•) die Signatur 
der Gruppe F, welche im Einzelfall vorliegt, und fassen alle Gruppen 
der gleichen Signatur in eine Familie zusammen. Dann gilt wieder 
der Satz, dass die Gruppeuclassen der einzelnen Familie ein Conti- 
nuum darstellen. Es geht dies unmittelbar daraus hervor, dass die 
Gruppen der Signatur (0, w -f- j;; l^, l^, . • ., /,) ein Continuum bilden, 
und dass dasselbe von allen denjenigen Gruppen (1, 1) gilt, welche 
durch Vermittlung von Vc,. mit der einzelnen Gruppe (0, n -\- p*) 
compositionsfähig sind*). 

Die Dimensionenanzahl des Continuums aller Gruppeuclassen der 
Signatur (/), n; l^, l.^, . . ., ?») könnten wir leicht durch Fortsetzung 
der zuletzt gegebenen Überlegung bestimmen. Doch müssen wir hierbei 
natürlich auf die schon unter (7) angegebene Anzahl unabhängiger Moduln 
geführt werden. Wir haben somit folgendes abschliessende Theorem: 
Die gesamte Gattung (p, n) zerfällt, allen möglichen Comhinationen von 
V ganzen Zahlen l > 1 mit < v ^ n entsprechend, in unendlich viele 
Familien der Signaturen (p, «; /j, h^, . . ., /,.).' die einzelne Familie stellt 
ein einziges (3n — v -{- 6p — 6) -fach unendliches Continuum von Gnippen- 
classen vor. Wie früher, so ist natürlich auch hier die Reihenfolge 
der Zahlen l^^, l^, . . ., Iv ganz gleichgültig. — 

§ 20. Von den Transformationen der Modulsysteme und den 
Modulgruppen der einzelnen Gattungen {p, n). 

Es bleibt jetzt nur noch ein einziger Gegenstand von principieller 
Bedeutung für die Theorie der hyperbolischen Rotationsgruppen zu 
erörtern. Bei der einzelnen Gruppe F der Gattung (p, n) ist durch 
ein zugehöriges Modulsystem das Polygon Pq bis auf Transformation 
eindeutig bestimmt. Nun aber gehören zu einer und derselben Gruppe F, 



*) Hierbei ist der Satz benutzt, dass alle Gruppen (1,1) mit gleichem J.<^ — 2 
ein Continuum bilden. Dieser Satz ist zwar pg 359 nicht ausführlich entwickelt, 
kann aber mit den damaligen Untersuchungsmittelu leicht bewiesen werden (cf. 
die Fussnote pg. 359). 



I 



390 II- Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 

abgesehen vom Falle der Gattung (0, 3), unendlich viele wesentlich 
verschiedene kanonische Polygone, und wir konnten jedes solche 
kanonische Polygon P^ unserer Gruppe aus einem ersten Pq durch 
Transformation herstellen, wobei die allgemeinste Transformation dieser 
Art aus einer endlichen Anzahl von Elementartransformationen, nämlich 
durch Wiederholung und Combination der letzteren zu gewinnen war 
(cf. pg. 320 tf.). Diesen unendlich vielen Polygonen entspricht es dann, 
dass wir für die einzelne Gruppe das System der Moduln, sobald nicht 
der Fall (0, 3) vorliegt, stets auf unendlich viele Arten auswählen können. 

Es fragt sich nun, welches der Zusammenhang zwischen diesen 
unendlich vielen Modulsystemen der gleichen Gruppe ist. Es seien 
die beiden vorgelegten Polygone Pq und Pq, und es mögen zu Pq die Er- 
zeugenden Fl, . . ., V„, Va^i Vbj^, Fcj, . . ., Vc^, zu Po' aber entsprechend 
7/, ..., Vn, Vä^, ..., Fe' gehören; die Moduln von Pq endlich seien 
ji,h, •• ■> ^ie von P^ aber j/, j/, 

Aus den Moduln von Pq können wir mit Hilfe der einzigen 
Quadratwurzel ]//_i^2, 1,-2 — 2*) die Erzeugenden F^, ..., F,-^ rational 
berechnen. Die Erzeugenden F/, . . ., Vä von Pq lassen sich als 
Combinationen der F^, . . ., Vc darstellen; denn jene sind in F ent- 
halten. Die Invarianten ,//, . . . ihrerseits sind in den Coefficienten von 
F/, . . . rational; sie sind deragemäss auch in den Cofficienten von 
F,, . . ., d. h. in den Invarianten j\, ... und |/y_i^2, 1,-2 — 2 rational. 
Indessen können die j/ , . . . als „Invarianten" von der zuletzt ge- 
nannten Quadratwurzel als solcher nicht abhängen; denn sie werden 
bei Zeichenwechsel derselben ungeändert bleiben (cf. pg. 3G9). Wir 
schliessen somit, dass die j/, ... bereits in den Invarianten j^, ... allein 
rational sind; und da offenbar der umgekehrte Satz gerade so bewiesen 
werden kann, so gilt das Resultat: Irgend zwei Modulsysteme, welche 
von zwei Jcanonischen Polygonen derselben Gruppe F geliefert tverden, 
hängen birational mit einander zusammen, d. h. die Moduln jedes Systemes 
sind rationale und rational umkehrbare Functionen der Moduln des 
anderen Systems. 

Diese birationalen Modultransformationen entsprechen nun den 
Transformationen der kanonischen Querschnittsysteme, die wir auf den 
geschlossenen Flächen und an den Polygonen Pq früher (pg. 320 ff.) 
mit Ausführlichkeit untersucht haben. Hier ist denn auch der Ort, 

*) Ist w = , so soll an Stelle von T'j , V^ nach dem pg. 386 entwickelten 
Ansätze das Substitutionenpaar V~^ und F'~^ = F,^ V^ ^V^ treten; bei « = 1 
aber ist das Paar F, , Fj durch Fj , V~ ' zu ersetzen. 



II, 2. Kanonische Polygone und Moduln der hyperbolischen Rotationsgruppen. 391 

wo wir die Gruppeneigenschaft aller bei der einzelnen Gruppe F ein- 
tretenden Transformationen und also aller zugehörigen birationalen 
Modultransformationen explicite einführen. In der That bedeutet ja die 
einzelne Transformation geometrisch eine feste Vorschrift, nach welcher 
wir aus einem heliehig auf der geschlossenen Fläche aufgegriffenen 
kanonischen Schnittsystem ein gewisses neues herstellen. Üben wir 
auf letzteres eine zweite unserer Transformationen aus, so stellt der 
directe Übergang vom ersten zum dritten System doch selbst wieder 
eine Transformation dar. 

Aber es ergiebt sich noch mehr. Indem die einzelne Transforma- 
tion unabhängig von dem besonderen Querschnittsystem und damit 
zugleich unabhängig von den speciell vorliegenden Werten der In- 
varianten ihre Bedeutung behält, wird sie ohne weiteres in der gleichen 
Gestalt für jede andere Gruppe F der Gattung {^p, n) ihre Gültigkeit 
bewahren. Die hier geivonnene Gruppe der Transformationen erscheint 
also, sei es dass man sie geometrisch auffasst oder durch die lirationalen 
Modultransformationen ausdrücM, als ein Attribut der ganzen Gattung 
(p, n), und wir ivoUen sie in diesem Sinne als die ,,Modiägriippe der 
Gattung {p, n)" bezeichnen. Abgesehen von der niedersten Gattung 
(0, 3) besteht für jede andere eine solche Modulgruppe unendlich hoher 
Ordnung; und wir gewinnen für die einzelne der Gattung angehörende 
F die gesamten ihr eigenen Modulsysteme, indem wir auf eines unter 
den letzteren alle Transformationen der Modulgruppe ausüben. 

Diese Modulgruppen der Gattungen (|), n) entsprechen offenbar 
genau der in der Theorie der doppeltperiodischen Functionen auf- 
tretenden Gruppe der linearen Substitutionen a = — ^t_c C^yo die 

a, /3, y, d rationale ganze Zahlen von der Determinante 1 sind). Wollen 
wir die Analogie vollständig wahren, so müssten wir die letztere 
Gruppe als die „Modidgruppe der parabolischen Eotationsgritppen" be- 
zeichnen. Die besondere Einfachheit dieser „elliptischen Modulgruppe" 
ist in dem Umstände begründet, dass es sich bei derselben nur um 
einen Modul co und in Übereinstimmung damit um lineare Transforma- 
tionen handelt. Beides hört bei unseren „automorphen Modulgruppen" 
auf. Gleichwohl bestehen viele verwandte Eigenschaften, die wir nun- 
mehr kurz zur Sprache bringen wollen. 

Zum Zwecke einer geometrischen Sprechweise könnte man die 
Moduln der Gattung (p, n) als Punktcoordinaten eines mehrdimen- 
sionalen Raumes deuten. Unter Berücksichtigung der zwischen den 
Moduln bestehenden Gleichungen kommen wir dabei auf einen 
(ßn + 6 j) — Q)-dimensionalen Raum liän + sp - c höheren Grades. Die 



392 II- Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 

charakteristischen Ungleichungen, sowie die für die einzelnen Familien 
noch weiter hinzutretenden Gleichungen grenzen dann diejenigen Teile 
dieses Raumes ein, deren Punkte brauchbare Modulsysteme liefern*). 
Der Rand dieses Raumteils, welcher gegenüber der Gruppe invariant 
sein muss, stellt die natürliche Grenze der Modulgruppe dar. 

Vor allem gilt der wichtige Satz, dass die Modidgruppe der Gattung 
ilh *0 j<^denfalls in allen denjenigen Teilen des Baumes Bzn + ep — e, die 
irattchhare Modidsysteme liefern, eigentlich discontinuierlich ist. Gäbe es 
nämlich infinitesimale Transformationen in der Modulgruppe, so könnten 
wir für eine einzelne Gruppe F der Gattung (p, n) unbegrenzt viele 
Polygone Pq, P^', -Po' • • • angeben, die, ohne genau dieselben Moduln 
zu besitzen, doch sämtlich nahehiu mit einander congruent **) wären. 
Zwei beliebige solche Polygone können in der hyperbolischen Ebene 
irgendwie gegen einander liegen. Aber es lässt sich zeigen, dass sich 
unter diesen Polygonen stets auch zwei finden, welche nahehiu coinci- 
dieren. Die zu diesen Polygonen gehörenden Erzeugenden von F wären 
aber nur unendlich wenig von einander unterschieden und würden somit 
auf infinitesimale Substitutionen in F führen, was doch nicht möglich ist. 

Um nun zu zeigen, dass unter den unendlich vielen Polygonen 
Po, Pf,', . . . zwei fast coincidierende gefunden werden können, tragen 
wir alle zugehörigen Polygonuetze über einander und nehmen erstlich 
n > an. Sei e^ die erste feste Ecke von Fq, so zieht in jedem der 
Netze an q ein Polygoucyclus heran. Man markiere die unendlich 
vielen nach e^ ziehenden Polygonseiten in P^,, welche wenigstens eine 
Häufungsstelle zeigen werden. Somit können wir zwei Polygone P^' ,Fq' 
finden, deren nach e^ ziehende Ecken fast coincidieren, und die also 
als gestaltlich unendlich wenig von einander verschiedene Disconti- 
nuitätsbereiche von F in ihrem Gesamtverlauf fast zusammenfallen. 

Ist n = 0, so kommt Pq der Ellipse nirgends nahe. Man ver- 
stehe nun unter JE irgend eine bewegliche Ecke von Pq und markiere 
in den unendlich vielen über einander geschichteten Polygonnetzen alle 
in P^ entfallende mit E homologe Ecken. Dieselben müssen not- 
wendig eine Häufuugsstelle aufweisen, und unter den unendlich vielen 
an dieser Stelle beteiligten Polygonen können wir offenbar wieder 
zwei Po', Po" auswählen, deren von E' und E" ausziehende Seiten 
nahehin zusammenfallen. Diese Polygone werden dann in ihrem Ge- 



*) Gemäss der zweiten Note pg. 378 werden wir aber nicht behaupten 
wollen, dass hierbei jede einzelne Ungleichung unabhängig von den übrigen zur 
Geltung kommt. 

**) Als congruent sollen hier nur diejenigen Polygone bezeichnet werden, 
welche durch Transformationen erster Art zur Deckung gebracht werden können. 



ir, 2. Kanonische Polygone und Moduln der hyperbolischen ßotationsgruppen. 393 

samtverlauf fast zusammenfallen. Beidemal kommen wir zu der nicht 
zulässigen P^lgerung, dass F infinitesimale Substitutionen enthält. 
Die eigentliche Discontinuität der automorphen Modulgruppen ist da- 
mit bewiesen. 

Über die Erzeugung der Modulgruppe der Gattung (p, n) können 
wir unmittelbar auf Grund des bezüglichen Theorems von pg. 334 
Angaben machen. Die Erzeugenden der Modulgruppe werden uns direct 
von den damaligen Elementartransformationen geliefert. Es entspringt 
damit der Satz: Die Modulgruppe der Gattung {p, n) lässt sich für 
p = aus n und für _p > aus (w -{- öp — 3) ihrer Transformationen 
erzeugen, und zivar zerfallen diese Erzeugenden in viei' Arten zu 2p, 
(n -{-2^ — 2), einer und {2p — 2) Transformationen. 

Die Frage nach dem Discontinuitätshereich der Modulgruppe der 
Gattung [p, n) behandeln wir wenigstens insoweit, dass wir eine Basis 
aufweisen, auf welcher eine Theorie der „reducierten^' kanonischen 
Polygone entwickelt werden kann. Die früheren analogen Entwick- 
lungen, die parabolischen Rotationsgruppen betreffend (pg. 218 u. f.), 
müssen dabei vorbildlich sein. Wir werden hier somit aufs neue die 
im vorangehenden Kapitel entwickelte Theorie der Normalpolygone 
heranziehen, übrigens können wir (wie auch 1. c.) den Begriff der 
reducierten Polygone auf dem bezeichneten Wege nur erst insoweit 
definieren, dass der einzelnen Gruppe F eine endliche Anzahl reducierter 
Polygone, aber im allgemeinen nicht ein einzelnes zugehört. 

Im Falle der Gattung (0, w) nennen wir ein kanonisches Polygon P^ 
reduciert, falls die festen EcJcen e,, e^» • • •, ^» desselben zugleich als feste 
Eden für ein zugehöriges Normalpolygon fungieren. Da wir für die 
einzelne Gruppe F nur eine begrenzte Anzahl wesentlich verschiedener 
normaler Polygone besitzen*), so gewinnen wir (durch den pg. 299 u. f. 
geschilderten Übergang) auch nur eine endliche Anzahl reducierter 
kanonischer Polygone. 

Zu demselben Ergebnis gelangen wir bei der Gattung (1, 1). Hier 
nennen wir im Anschluss an pg. 288 ein einzelnes Polygon reduciert, 
falls seine Erzeugenden Va, Vb unter den drei Erzeugenden eines zugehörigen 
Normdlsechsecks enthalten sind. Letzteres lässt sich, wie man leicht 
übersehen wird, im ganzen auf drei verschiedene Arten durch Ab- 
spaltung zweier Dreiecke in ein kanonisches Sechseck überführen. 
Die Verhältnisse gestalten sich denen bei den parabolischen Rotations- 

*) Dies ergab sich innerhalb der Theorie der natürlichen Discontinuitäts- 
bereiche (pg. 275 if.) ans dem Umstände, dass der einzelne natürliche Disconti- 
nuitlltsbereich aus einer endlichen Anzahl von 1. c. mit T bezeichneten Bereichen 
■/.usammengesetzt erscheint. 



I 



394 II- Ausführliche Theorie der Polygongruppen, 

gruppen (pg. 218 ff.) ganz aualog (man sehe das Nähere in der pg. 398 
citierten Note des Verf. über automorphe Modulgruppeu). 

Im allgemeinen Falle {p, n) ist die Sachlage deshalb umständ- 
licher, weil wir die verschiedenen Typen der Normalpolygone all- 
gemein nicht überblicken können. Gleichwohl ist es im Princip nicht 
schwierig, in jedem Einzelfalle eines Typus (j>, n) einen bestimmten 
Übergang zu einem kanonischen Polygon festzusetzen, welch' letzteres 
alsdann reduciert heissen würde. Die Endliclikeit der Anzahl reducierter 
Polygone ist dann stets eine Folge des ümstandes, dass für die ein- 
zelne Gruppe r nur eine begrenzte Zahl wesentlich verschiedener 
Normalpolygone existiert. 

§ 21. Specialbetrachtung der Modultransformationen für die beiden 
Gattungen (0, 4) und (1, I). 

Die allgemeinen Ansätze des vorigen Paragraphen über die Modul- 
gruppen {p, n) sollen hier letzten Endes noch durch zwei Beispiele 
näher erläutert werden. 

1) Bei der Gattung (0, 4), die wir zunächst heranziehen, redu- 
cieren sich die zwölf Moduln ji, /,_,_|.i, ./,■, ,+2 vermöge der Identitäten: 

J'si "^^ Ji2) J/41 ^^ Ji3> Jn ^^^ Ji2i Ji2 ^^ J24 
auf die folgenden acht: 

\^) .hy ,'f2 7 .'1-6} .'Uf Ji2) .hs} J2S) Jii' 

Zwischen ihnen bestehen aber noch zwei algebraische Relationen, da 
für w = 4 im ganzen nur 3w — 6 = Q Moduln unabhängig variabel 
sind. Diese Relationen sind auf Grund der allgemeinen Ansätze von 
pg. 367 u. f. zu berechnen; die Rechnung liefert: 

(-) ./12' + ,h'i^ — ii3.A'.i — (:iiJ2 + hJ4)Ji2 — UiJi + ^2.73)^3 
+ Ui:i2h:u + ii' + J2^ + h' + .// - 4) = 0, 

(3) i,2;/23 + iui + J2i — Ui:k + Jih) = ^^ 

Für die geometrische Sprechweise würde somit hier zunächst ein sechs- 
dimensionaler Baum achten Grades zu Grunde zu legen sein, der einem 
linearen Raum von acht Dimensionen eingelagert ist. 

Die Modulgruppe der Gattung (0, 4) lässt sich nun aus vier 
Transformationen erzeugen, die wir T^, . . ., T^ nennen. T^ stelle den 
Übergang von F,, V.„ Fg, V^ zu: 

(4) r,'=T;, k; = vr'v.r,, v;=v,, v:=v, 

dar; jT^,, T3, T^ gehen hieraus durch cyclische Permutation der unteren 



II, 2. Kanonische Polygone und Moduln der hyperbolischen Rotationsn^ruppen. 305 

Indices hervor. Die so festgelegte rationale Modultransformatiou 2\ 
hat die Gestalt: 



(5) {T,} { 



^1 3-2) 3-2 — 3ij Jiz — J'Hi Ji3 Jii 



und von hieraus gewinnt man natürlich die Transformationen T.,, T3, T^ 
durch die eben genannten Permutationen der unteren Indices. Übrigens 
sind in (5) nur diejenigen Moduln aufgeführt, welche eiue Veränderung 
erleiden; es ist also j.^ = J3, • • • Dass das System der Relationen (2) 
und (3) gegenüber der Transformation (5) invariant ist, zeigt man 
leicht durch directe Rechnung. 

An sich ist selbstverständlich, dass die Invarianten _;', , j._,, jg, j^ 
gegenüber den Modultransformationen nur Permutationen erfahren; 
denn die Winkel in den festen Ecken der kanonischen Polygone 
bleiben bei Transformation unverändert. Aber es giebt dieser Umstand 
zu einer interessanten Folgerung Anlass. Wir schliessen nämlich, dass 
es in der Modulgruppe (0, 4) eine ausgezeichnete Untergruppe des 
Index 24 giebt, bei deren Transformationen die j, einzeln invariant 
sind. Für die nähere Betrachtung dieser Untergruppe können wir die 
ji als Parameter ansehen, während wir j^^, Jn, ^23» J2i ^^^ Coordinaten 
eines E^ deuten. Dann sind durch (2) und (3) insgesamt 00* Oher 
flächen vierten Grades dargestellt, die im B^ gelegen sind, und die 
durch die Transformationen der fraglichen Untergruppe einzeln in sich 
übergeführt werden. Für j, ^ 2 correspondiert die einzelne solche 
Oberfläche jeweils einer Gruppenfamilie. 

Für particuläre W'erte der Invarianten j, kann sich der Index der 
eben gebildeten Untergruppe noch erniedrigen. Wir betrachten bei- 
spielsweise sogleich den extremen Fall, dass sämtliche Invarianten ji 
einander gleich sind; dann sind die ji gegenüber der Gesamtgruppe 
invariant. Wir wollen uns in diesem Falle der Bezeichnung bedienen: 

(6) ji=j, Jl2=^, hi=y, Jl3=^^ 724 =^ 

womit die Relationen (2) und (3) übergehen in 

dieselben stellen eine einfach unendliche Iteihc von Flächen vierter 
Ordnung im R^ dar. Von den vier Erzeugenden T, werden T^ = T^ 
und 2\^ = T^\ T., aber geht aus 1\ hervor, indem mau letztere 
Operation vermöge: 
(8) x=y, y' = x, z=t, t' =- 



I 



396 II. Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 

transformiert. Da unsere Flächenschar durch diese Transformation 
der Periode 2 in sich übergeführt wird, so können wir, falls die 
Operation (8) der Modulgruppe noch nicht angehören sollte, letztere 
Gruppe durch (8) erweitern. Die so entspringende Gruppe hat alsdann 
die leiden Erzeugenden: 

(9) (T) x' = x, y=t\ z'=y, t' = -xt~y + 2f, 

(10) (r) x=y, y' = x, z'=t, t' = z. 

Eine nähere Untersuchung der zugehörigen regulären Einteilungen 
der Oberflächen (7) soll hier nicht ausgeführt werden; wir fügen nur 
noch nebenbei hinzu, dass sich die hier vorliegende Gruppe bei ein- 
gehenderer Betrachtung als mit der elliptischen Modulgruppe isomorph 
erweist; in der That zeigt man mit Rücksicht auf die Relationen (7) 
leicht die Gleichungen T'^= 1, (TT'y== 1, während T aperiodisch ist, — 

Im Anschluss an die vorstehenden Untersuchungen zur Gattung 
(0, 4) wollen wir hier noch die Frage behandeln, in welcher Art sich 
der Fall einer durch Spiegehmgen erweiterungsfähigen Gruppe (0, 4) 
vermöge der Moduln charakterisieren lässt. Wir fügen dies hier um 
so lieber hinzu, als wir übrigens niemals Gelegenheit nahmen, die 
Modultheorie der hyperbolischen Rotationsgruppen für den besonderen 
Fall der symmetrischen Gruppen zu specialisieren. 

Liegt für eine Gruppe F eine Symmetrielinie vor, so können wir 
ein zugehöriges Doppelviereck so wählen, dass es durch jene Symmetrie- 
linie direct symmetrisch gehälftet wird. Die beiden zugehörigen und 
mit einander conjugierten kanonischen Achtecke heissen Pq und P,,', 
ihre Invarianten seien j^, j^, ... und j/, j^', . . . Nach pg. 370 ist der 
Übergang vom einen Polygon zum conjugierten durch: 

J'l3 ''^ JlJs I J2J4: JliJiä Jl3y 

' I ..... . . 

H\ ^^ Jih ~r J2J4 .InJii ^24 > 

d. h. also zufolge (3) durch: 

dargestellt, wobei wieder nur die Moduln aufgeführt wurden, welche 
eine Veränderung erfahren. 

Nun sind im gedachten Falle die Polygone Pq, P^' direct sym- 
metrisch, und sie haben somit dieselben Moduln. Die Gleichung (11) 
liefert daraufliin den Satz: Im Falle einer durch Spiegelungen erweiterungs- 
fähigen Gruppe (0, 4) lässt sich das Modulsysteni stets so ivählen, dass 
Ju = Jii ^^f) ^**^ umgekehrt liefert diese Belation stets eine erweiterungs- 
fähige Gruppe. Übrigens wird man leicht beweisen, dass es sich hierbei 
um eine particuläre Auswahl eines Modulsystems handelt; in der That 



II, 2. Kanonische Polygone und Moduln der hyperbolischen Rotationsgruppen. 397 

bleibt die Relation j^^=j^^ bei Ausübung der Modultransformation T^ 
nicht bestehen. Setzen wir in (7) z = t, so kommen als Gegenbilder 
aller regulär-symmetrischen und gleichwiokligen Polygonteilungeu (0, 4j 
die Punkte einer im gewöhnlichen Räume K^ gelegenen Curve 4'" 
Ordnung. — 

2) Ganz besonders einfach gestalten sich die Verhältnisse bei der 
Gattung (1, 1), welche wir hier zum Schlüsse noch betrachten wollen. 
Die Modulgruppe dieser Gattung lässt sich aus den beiden pg. 324 
unter (4) charakterisierten Elementartransformationen 2\ und T., er- 
zeugen; wir können aber nach den damaligen Erörterungen zu diesem 
Ende auch die beiden Operationen T^= T und T^ T^ T^ = T' benutzen, 
welche letztere unter (5) pg. 325 angegeben ist. Die Gestalt dieser 
Operationen als Modultransformationen stellt man ohne Mühe zu: 

\^ ) ja = ja, jb = jah, jab =^ jajal. jb, 



(12) , _,. .,_ 

K-L ) J" Jt, Jb = Ja, Jab = Jajb Jab 

fest. Es gilt T"^ = 1, und die beiden Operationen (12) entsprechen 
den elliptischen Modulsubstitutionen: 

(T) co'=co-fl, (r) «'=-^; 

die aus den Transformationen (12j zu erzeugende Modulgruppe der Gat- 
tung (1, 1) erscheint damit isomorph auf die nicht -homogene elliptische 
Modulgruppe bezogen*). Fügen wir noch die etwa durch S zu bezeich- 
nende Transformation VJ = F«, Vb = VtT^ hinzu, welche als Modul- 
transformation die Gestalt hat: 

{S) ja = ja , jb = jb , jäb = jajb — jab, 

so entspringt eine Gruppe, welche mit der durch Spiegelwigen erweiterten 
elliptischen Modidgruppe isomorph ist. In der That correspondiert der 
Operation S die Spiegelung o' = — co an der imaginären o-Axe. 

Zum Zwecke der geometrischen Sprechweise deuten wir ja, jb, jab 
als gewöhnliche Punktcoordinaten und setzen in diesem Sinne: 

(13) ja = oc, > = y, jab = z. 

Die für die Gattung (1, 1) fundamentale Gleichung (2) pg. 354: 

(14) x'^y'+z'- xyz - (j,+ 2) = 

deuten wir nun geometrisch als eine Schar von Flächen dritter Ordnung, 
deren einzelne durch die birationalen Modultransformationen in sich 



*) Erinnern wir daran, dass jede Gruppe (1, 1) in einer Gruppe (0, 4) als 
Untergruppe des Index zwei enthalten ist, so kann es nicht überraschen, dass 
die Modul,i:fruppe der Gattung (0, 4) sich gleichfalls als mit der elliptischen 
Modulgruppe homomorph erwies. 



(16) 



398 II. Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 

übergeführt wird. Als die Erzeugenden der durch S erweiterten Modul- 
gruppe (1,1) werden wir dann etwa die drei „Spiegelungen": 

(15) S, S'=ST, S"=T'S 

wählen dürfen, welche genau den in „M." I pg. 232 durch A, B, C 
bezeichneten Operationen parallel gehen. In x, y, z geschrieben sind 
die Ausdrücke der drei fraglichen erzeugenden Transformationen die 
folgenden: 

iß) x' = x, y'^y, s=xy — z, 
{S') x=x, y' = z, z' = y 
{S") x=y, y=x, z = z. 

Dem Charakter einer symmetrischen Umformung entsprechend bleiben 
bei der einzelnen dieser drei Operationen jedesmal die sämtlichen 
Punkte einer Fläche fest; es sind dies die drei Flächen: 

xy — 2'z = 0, y — z = 0, x — y = 0. 

Es ist interessant, die zur Modulgruppe (1, 1) auf der einzelnen 
Fläche (14) gehörende reguläre Einteilung auf Grund des pg. 393 ent- 
wickelten allgemeinen Ansatzes, d. i. unter Benutzung der Theorie der 
Normalpolygone, näher zu untersuchen und insbesondere ihrer Beziehung 
zur bekannten Modulteilung* der to- Halbebene weiter nachzugehen; 
doch würde uns diese Untersuchung zu weit von den nächsten Zielen 
der vorliegenden Darstellung ablenken*). 



Wir bringen hiermit die Theorie der hyperbolischen Rotations- 
gruppen zum Abschluss. Die Theorie der Modulgruppen der ver- 
schiedenen Gattungen (p,n) konnte hier nur in ihren Elementen fest- 
gelegt werden. Erst an einer sehr viel späteren Stelle werden wir 
im functionentheoretischen Gedankenzusammenhang auf diese Gegen- 
stände zurückkommen. 



*) Man vergl. übrigens wegen einiger weiteren Ausführungen die Note des 
Verf. „Über die Tlieorie der automorphen Modulgruppen" Göttinger Nachrichten 
1896, Heft 2. 



Drittes Kapitel. 

Betrachtung der Kreisbogenvierecke ohne Hauptkreis und 
Bemerkungen über sonstige Nichtrotationsgruppen. 

Die Theorie der Nichtrotationsgruppen soll hier nicht mehr in 
derselben Allgemeinheit behandelt werden, wie diejenige der Haupt- 
kreisgruppen im vorangehenden Kapitel; eine entsprechend abschliessende 
Behandlung der Nichtrotationsgruppen würde vermutlich zahlreiche 
Schwierigkeiten finden. Vielmehr mag es genügen, wenn die all- 
gemeinen Ansätze, welche die Nichtrotationsgruppen betreffend in 
Abschnitt I entwickelt wurden, hier an einigen speciellen Beispielen 
näher ausgeführt werden. In diesem Sinne sollen hier vor allem die 
regulär -symmetrischen Netze aus Kreisbogenvierecken näher betrachtet 
werden, wobei die Frage nach der Natur der Grenzgebilde besonderes 
Interesse gewinnt. In letzterer Hinsicht handelt es sich aber nicht 
um bestimmte Theoreme und deren Beweise, sondern um nur mehr 
vorläufige Fixierung der hier eintretenden Verhältnisse, die über unsere 
sonstige geometrische Gewöhnung hinausliegen. Ausser den Gruppen 
der Kreisbogenvierecke werden wir am Ende des Kapitels noch einige 
wenige Bemerkungen, allgemeinere Nichtrotationsgruppen betreffend, 
anfügen. 



§ 1. Geometrische Ableitung der sieben Typen der 
Kreisbogenvierecke. 

In der ^- Ebene oder auf der ^- Kugel sei ein Kreisbogenviereck P 
gezeichnet, welches als Discontinuitätsbereich zweiter Art eine eigent- 
lich discontinuierliche Gruppe F definieren möge. Die Seiten dieses 
Vierecks werden von den Kreisen Ki, K^, K^, Ä\ geliefert, und die 
zu den letzteren gehörenden Spiegelungen F,, Fj, Fj, F4 seien die 
Erzeugenden von F. Die Winkel des Vierecks müssen sämtlich aliquote 
Teile von n sein, die wir , , . , nennen; doch ist, wie wir 

MS 'j:i 'a* '■il 

sehen werden, die eigentliche Discoutinuität von F hiermit noch nicht 



I 



400 



II. Ansführliche Theorie der Polygongruppen. 



iu allen Fällen gewährleistet. Übrigens mögen die Kreise K^, ... auf 
der ^-Kugel durch die Ebenen J^,, ... ausgeschnitten werden; den 
Schnittpunkt der Ebenen E^, E^, E^ nennen wir alsdann Q^ und defi- 
nieren die Punkte Q^, Q^, Q^ entsprechend. 

Der Aufzählung aller unterschiedenen Typen von Kreisbogenvier- 
ecken P unserer Art senden wir zvs^ei vorbereitende Betrachtungen 
voraus. 

1) Irgend drei von den vier Spiegelungen F, erzeugen eine Rotations- 
gruppe zweiter Art, und zwar entspringe F^ aus V^, V^, }\ u. s, w. Das 
llotationscentrum von F,- ist alsdann der Punkt Qi. Je nachdem Qi 
ausserhalb, auf oder innerhalb der ^- Kugel liegt, haben wir eine 
hyperbolische, parabolische oder elliptische Uotationsgruppe. Im ersteren 
Falle haben wir noch zu unterscheiden, ob Fi auf dem zugehörigen 
Hauptkreise eigentlich discontinuierlich ist oder nicht. Im ersteren Falle 
ist der Discontinuitätsbereich von F, ein durch den Hauptkreis H sym- 
metrisch gehälftetes Vier- 
eck, wie es der schraffierte 
Bereich in Figur 135 dar- 
stellt; im andern Falle be- 
steht der Discontinuitäts- 
bereich von Fi aus zwei 
bezüglich des Hauptkreises 
symmetrischen Dreiecken. 
Liegen die Verhältnisse der 
Figur 135 vor, so sprechen 
wir von einer Gruppe Fi 
der ersten Kategorie, Dem 
reihen sich weitere drei Kate- 
gorien an, denen „Dreiecks- 
gruppen" entsprechen*), und 
zwar möge die zweite, dritte 
oder vierte Kategorie vor- 
liegen, je nachdem die 
Winkelsumme des Kreisbogendreiecks < ;r, = jt oder > ir ist. 

Diese Verhältnisse haben wir zu benutzen, wenn es sich darum 
handelt, eine sachgemässe Classification der Kreisbogenvierecke P vor- 
zunehmen. Dabei sei im voraus bemerkt, dass wir zwei Vierecksnetze 
bereits oben in Figur 65 pg. 230 und Figur 78 pg. 240 kennen lernten; 
die zugehörigen Gruppen waren parabolische Rotationsgruppen bez. 




Fig. 135. 



*) Cf. „M." I pg. 102 ff. 



n, 3. Einzelauaführungen über Nichtrotationsgruppen. 401 

Gruppen mit zwei Grenzpunkten. Beide Fälle gelten im folgenden als 
elementar und werden demnach ausgeschlossen. 

2i Zum Zwecke weiterer Vorbereitung der in Aussicht genommenen 
Classification nehmen wir für den Augenblick an, dass zwei nicht 
benachbarte Kreise, etwa K^ und K^, einander (ausserhalb P) berühren 
oder in zwei Punkten schneiden. 

Im ersteren Falle können wir Ä'j und K^ in der ^- Ebene als 
parallele Gerade zeichnen. Die Kreise üTg und K^ werden dann, sofern 
sie eigentliche Kreise sind, dem Viereck P ihre convexe Seite zukehren; 
in eine Gerade aber kann wegen Ausschluss der Figur 65 pg. 230 höch- 
stens einer der beiden Kreise K,^, K^ ausarten. Es folgt, dass K^ 
und K^ keinen Punkt gemein haben können. 

Zu dem gleichen Ergebnis gelangen wir auch, falls Ky und K^ 
sich in zwei Punkten schneiden. Man wähle diese beiden Punkte auf 
der ^- Kugel diametral, so dass K^ und Ä'g grösste Kugelkreise werden. 
Setzen wir die von Ä^ und K^ gelieferten Viereckseiten hinzu, so er- 
scheint das an P beteiligte von K^ und K^ ausgeschnittene Kugel- 
zweieck in P und zwei durch I)., und D^ zu bezeichnende Dreiecke 
zerlegt. Aus den für die Winkel von P gültigen Bedingungen ergiebt 
sich dann, dass der zur Ebene II.2 senkrechte Kugeldurchmesser den 
einen Endpunkt auf dem Rande oder im Innern von Do findet, und dass 
entsprechend der zu JE^ senkrechte Durchmesser einen D^ angehörenden 
Endpunkt hat. Die Veranschaulichung dieser Verhältnisse lehrt un- 
mittelbar, dass die Schnittlinie von E.^ und E^ gänzlich ausserhalb 
der Kugel liegt. 

Indem wir beide Fälle zusammenfassen, ergiebt sich: Unter den 
beiden Paaren nicht- benachbarter Kreise Ä'^, K^ und K.,, K^ können 
höchstens die Kreise des einen Paares, etwa K^, K^, einander schneiden 
oder berühren. 

Es folgt weiter: Die vie>- in unserer Vierecksgrtijf^e enthaltenen 
Breiecksgruppen F^, F^, P3, ^^ sind enttceder sämtlich Griipjyoi der 
ersten Kategorie oder dieser Kategorie gehören zwei nicht -henadiharte 
'irujypen, etwa Fj und Fg, an, icührend F^ tmd F^ zur zicciten, dritten 
oder vierten Kategorie gehören. — 

Hieraus ergiebt sich nun unmittelbar eine Einteilung aller Kreis- 
hogenvierecke in sieben Typen. Wir werden dem eben gewonnenen Satze 
gemäss annehmen, dass F^ und F^ allemal Gruppen der ersten Kate- 
gorie sind. Gehören alsdann dieser Kategorie auch F, und F^ an, so 
soll das Viereck 1* und seine Gruppe F dem ersten Typus angehören; 
wir können diesen Typus von Vierecken P symbolisch in sofort ver- 
täiidlicher Art durch [1,1] charakterisieren. Unter directem Gebrauche 

Fri c k o- Klr i 11 , AuUiinorpIi ■ Kiiiu tioii.'ii I. 2G 



402 II. Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 

der Kreise Ki können wir auch sagen, dass allemal K^ und K^ ge- 
trennt verlaufen sollen, dass aber weiter beim ersten Typus K^^ und K^ 
gleichfalls keinen Punkt gemein haben. Schneiden oder berühren sich 
Äj und K.^, so kann weder F^ noch JT^ der ersten Kategorie angehören. 
Der zweite, dritte u. s. w. Typus der Vierecke P bekommen diesem 
Umstände entsprechend die Symbole [2, 2] bez. [2, 3], [2, 4], [3, 3], 
[3, 4J, [4, 4]. Diesen sieben Typen sind die Figuren 136 bis 142 ge- 
widmet. Mau veranschauliche sich in diesen Figuren jeweils die Ge- 
staltung des Vierecks P; auf die Bedeutung sonstiger in den Figuren 
schraffierter Bereiche kommen wir unten zurück. 

Irgend ein Viereck P aus der Reihe der sechs letzten Typen 
kann man als durch Composition zweier Kreisbogendreiecke mit einem 
gleichen Winliel entstanden denken. Man wird sich dies mit Hilfe der 
gleich mitzuteilenden Figuren leicht klar machen. So haben wir z. B. 
in Figur 137 ein Viereck P des zweiten Typus. Nach Fortnahme von 
K.^ liefert das Viereck P zusammen mit dem Dreieck D^ das Aus- 
gangsdreieck von 1^2» ^'^^ entsprechend gewinnen wir durch Fort- 
nahme von K^ das Ausgangsdreieck von 1^. Beide Dreiecke haben 

den gleichen Winkel ^j, übrigens aber gilt dem zweiten Typus von i^ 
entsprechend: 

T + r + r<^> r +f +/ <i- 

•■la '34 '41 '■13 ''32 '21 

Sehen wir irgend zwei Dreiecke, welche dieselben Winkel in der- 
selben Folge haben, als nicht verschieden an, so können wir nun 
auch umgekehrt sagen: Irgend zwei Dreiecke mit einem gleichen Winkel 
lassen sich auf 00^ Weisen zu einem Viereck P eines der sechs letzten 
Typen componieren, und wir finden so ein einfach unendliches Contimmm 
wesentlich verschiedener Vierecke mit gleichen und gleichliegenden Winkeln. 
Die Mannigfaltigkeit rührt daher, dass wir z. B. im Falle der Figur 137 
bei festliegendem Ä'g den Kreis jK^ durch die zu 7ii und K^ als Bahn- 
curven gehörende cyclische hyperbolische Gruppe so lange verschieben 
dürfen, als er nicht mit K.^ collidiert. Im Gegensatze hierzu zählt 
man leicht 00* Vierecke des ersten Typus mit gleichen und gleichliegenden 
Winkeln ab, und es handelt sich dabei wieder um ein Contimmm von 
Vierecken. Die Winkel können als aliquote Teile von n beliebig vor- 
geschrieben werden; doch dürfen sie nicht zugleich = — sein. — 

Es ist nun für die genauere Untersuchung unserer Vierecksgruppen i ' 
vor allen Dingen nötig, dass wir uns die Lagenverhältnisse der Ebenen 
i?,, IC, Fj^, E^ und damit die zu den Gruppen gehörenden Disconti- 
uuitätspolyeder im projectiven Räume deutlich macheu. Dabei be- 



I 



II, 3. Einzelausführungen über Nichtrotationsgruppen. 



403 




Vig. 13G. 



schränken wir uns auf das Kugelinnere, werden also die zu con- 

struierenden Polyeder neben den Ebenen /;,' noch durch ein oder mehrere 

Stücke der Kugelober- 
fläche begrenzen. Gehört 

F zum ersten Typus, so 

ist das entsprechende 

Polyeder H ein Hexaeder, 

welches im Kugelinnern 

durch die vier Ebenen E 

prismatisch begrenzt ist, 

auf der Kugelfläche aber 
zwei getrennt liegende 
Vierecke P und P' zu 

Raudflächen hat; letztere 
liefern die in Figur 136 

dargestellte Projection 
auf die ^- Ebene. Der 
Fall, dass K^ und K^ ein- 
ander berühren, lässt sich 
als Grenzfall des ersten 
Typus auffassen. Das 
Viereck P' zerfällt in zwei nur in einer Spitze zusammenhängende Drei- 
ecke', und man könnte demnach 77 als Heptaeder 
bezeichnen. P gehört nun im allgemeinen zum 
zweiten Typus; doch liegt der dritte Typus vor, 
wenn eine der beiden Gruppen ^2? ^4 ^^^ parabolische 
Diedergruppe ist (cf. pg. 224). 

Schneiden sich K^ und K.^, so wählen wir wie 
oben El und ig als Diametralebeuen der Kugel. 
Die Punkte Q.^ und Q,^ liegen auf der Schnitt- 
geraden beider Ebenen, und zwar ausserhalb der 
Kugel, falls der zweite Typus vorliegt. FI stellt nun 
ein Heptaeder vor, welches neben den Ebenen E 
durch ein Viereck P und zwei Dreiecke der Kugel- 
oberfläche begrenzt ist. Die Projection dieser drei 
Bereiche auf die ^-Ebene ist in Figur 137 ge- 
geben. Man wird nun auch leicht die Verhält- 
nisse verfolgen, falls einer der beiden Punkte Q^, Q.^ 
auf bez. in die Kugel hincinrückt. Beim dritten 
und vierten Typus (Figuren 13."^ und 130) haben 
wir Hexaeder //, wobei der Unterschied vorliegt, dass das zu Figur liib 

2G* 




V\«. 137 



I 



404 



II. Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 



gehörende Hexaeder eine (in der Figur markierte) parabolische Spitze Q^ 
hat. Die drei letzten Typen (cf. Figuren 140 bis 142) liefern Pen- 



I 




Fig. 138. 




taeder TI mit zwei b^z. einem und gar keinem parabolischen Punkte 
auf der ^- Kugel. — 




[3, 3] 



< 



Fig. 110. 

Auf die so gewonnenen Polyeder 77 lassen sich nun unmittelbar 
die allgemeinen Ansätze von pg. 157 ff. in Anwendung bringen, welche 
letztere man ja ohne Mühe auf die Polyeder zweiter Art übertragen 
wird. Vor allem folgt: Bas Polyeder IJ ist stets imd nur dann Bis- 
contimütätshcrcich , ivcnn die sämtlichen Kantenuinlcel aliquote Teile von 



JI, ;i Einzel auBfühi-ungen über Nichtrotationsgruppen. 405 

it sind. Über die für die Viereckswinkel oben schon ausgesprochene 
Bedingung hinaus stellt sich also nur noch für die sechs letzten Typen 
die Bedingung ein, dass /j., eine ganze Zahl > 2 sein muss. 

Über die regulären Kugelteilumjen , welche unter der eben zuletzt 
formulierten Bedingung aus den vorliegenden Figuren entspringen, er- 





Fis. 142. 



geben die allgemeinen Theoreme von pg. 12G flF. das Folgende. Beim 
ersten Typus haben wir zivei Vierechietze, welche durch eine Gremcurve ge- 
trennt sind, r gehört nach der Tabelle pg. 165 in die Abteilung IV, b; 
sie ist jedoch eine Hauptkreisgruppe vom Charakter (0, 4), falls alle 
vier Ebenen E durch einen Punkt ziehen. Beim zweiten Typus ist 
die Kugel von einem Vierechietze und zicei Classen von je unendlich 
vielen Dreieclcnetzen bedeckt; wir haben also eine nicht - analytisclie 
Grenzcurve und unendlich viele Grenzlcreise (Abteilung IV, c, 1, ß der 
Tabelle pg. 165). Ahnlich liegen die Verhältnisse beim dritten und 
vierten Typus. Bei den drei letzten Typen trägt die Kugel jedesmal 
nur ein Vierecknetz, und die Grenzmannigfaltigkeit liefert ein System 
discreter Tunläe (Abteilung IV, a, 1 der Tabelle pg. 165). 

Man wolle übrigens diese Angaben hier nur als vorläufige an- 
sehen; wir werden uns mit den betreffenden regulären Kugelteilungen 
und namentlich den zugehörigen Grenzgebilden nocli ausführlicher zu 
beschäftigen haben. 

§ 2. Festlegung der sieben Typen der Kreisbogenvierecko durch 

ihre Invarianten. 

Die rein gestaltlichen Überlegungen des vorigen Paragraphen 
finden ihr analytisches Fundament in einer Invariantentheorie der 
Kreisbogenvierecke, welche nach den Gesichtspunkten unserer obigen 



I 



406 II- Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 

Invariantentbeorie der Hauptkreisgruppen durchzuführen ist und vAun 
Specialfall (0, 4) der letzteren Theorie in einer nahen und sogleich 
noch näher darzulegenden Beziehung steht. 

Nach „M." I pg. 198 haben wir für die einzelne der vier er- 
zeugenden Spiegelungen die nachfolgende Gestalt: 

(1) t'=v^{0 = -P^-, a,-t^- + ^-y.- = 1- 

Vit - "i 

Hierbei ist ^ der zu t, conjugierte Wert, und ebenso ist «,- zu «,- con- 
jugiert, während ß; und y, reell sind. Die einzelne Spiegelung besitzt 
keine Invariante; wohl aber haben zwei Spiegelungen Fi, Vk eine 
Invariante, die wir ö.t nennen und als halbe Summe des ersten und 
vierten Coefficienten der Substitution erster Art ViVk definieren: 

(2) 2<y/i. = UjO-k + aiUk + ßiyt + y,/5*. 

Die Invariante öu, ist reell und bedeutet (eventuell nach Wechsel des 
Vorzeichens) den Cosinus des NeignngsiumIceJs der heiden Ebenen L), 7v\ 
im Sinne der hyperbolischen Maassbestimmung*). 

Die vier Invarianten (Jjg, (?23, ^^a, ^41 sind absolut <1*, und es 
ist, sofern wir an den Festsetzungen des vorigen Paragraphen fest- 
halten, 02i absolut > 1, während sich über 6y^ allgemein nichts sagen 
lässt. Um aber die sechs Invarianten (j^ des Vierecks P auch dem 
Vorzeichen nach zu fixieren, führen wir die vier elliptischen oder 
parabolischen Substitutionen : 

(3) V, = K v„ r, = V,%, V, = % V„ V, = F, K 

ein und benennen die ihnen entsprechenden Ecken und Winkel von P 
durch Ci bez. &{. Schneiden sich Ki und iQ, so verstehen wir über- 
dies unter d-^^ den Winkel desjenigen von Kj^ und K^ gebildeten 
Kreisbogeuzweiecks, dem P angehört. Zufolge der im vorigen Paragraphen 
gewählten Reihenfolge der Kreise K auf dem Rande von P bedeutet 
Vi eine Drehung um c,- im positiven Sinne durch den Winkel 0^,. 

Ein simultaner Zeichenwechsel der Coefficienten in allen vier 
Spiegelungen ändert die sechs Invarianten ö,i nicht. Fixieren wir 
daraufhin die Coefficienten von V^ nach Willkür! Weiter fordern wir, 
dass die Invarianten ^',, j.^, j^ der drei ersten Substitutionen (3) nicht- 
negativ sind und im Falle des Verschwindens bei stetiger Verkleinerung 
des betreffenden W^iukels -O-,- und entsprechender stetiger Abänderung 

*) Die im Texte folgendeu Entwicklungen über die sechs Invarianten c-g. 
bedeuten demnach „Untersuchungen über die sechs Kantenwiukel eines eben- 
flächigen Tetraeders im hyperbolischen Räume". 



I 



II, 3. Eiiizelauaführungen über Nichtrotationsgruppen. 407 

von Vi positiv werden sollen (cf. pg. 344). Hiermit sind auch Fj, V^, V^ 
sowie die drei rückständigen Invarianten 6^^, (Jj,, 0.^^ hinsichtlich ihrer 
Vorzeichen festgelegt. 

Um diese Vorzeichenbestimmung explicite durchzuführen, stellen 
Avir eine Continuitätsbetrachtung an, bei welcher wir die Forderung, 
die Winkel seien aliquote Teile von n, fallen lassen, aber dauernd 

an den Ungleichungen -ö-, ^ - bez. auch •d'jg ^ - festhalten. Aus den 

geometrischen Vorstellungen des vorigen Paragraphen im projectiven 
Räume wird man leicht den Satz entnehmen, dass alle diesen Be- 
dingungen entsprechenden Vierecke ein Continuum bilden, in welchem 
Vierecke, unter deren vier Winkeln ^^j O'g, '^'3, ■O'^ bez. unter deren 
fünf Winkeln ■ö-j, d-^, d:^, d-^, &^^ ein oder mehrere rechte vorkommen, 
die Greuzfälle abgeben. Letztere Angabe hat die Folge, dass zwei 
Vierecke ohne rechte Winkel stets in einander überführbar sind, ohne 
dass ein Viereck mit rechtem Winkel passiert wird, dass aber andrer- 
seits ein Viereck mit einem oder mehreren rechten AVinkeln durch 
unendlich kleine Abänderuug in ein durchaus spitzwinkliges über- 
führbar ist. 

Im Innern der eben gemeinten Mannigfaltigkeit treten nun niemals 
Zeichenwechsel der Invarianten (?a auf. Wir bringen demnach deren 
Vorzeichen in Erfahrung, indem wir irgend ein particuläres Viereck 
heranziehen. Diesem Zwecke diene ein Hauptkreisviereck der Winkel U, 
welches bei zweckmässiger Lagerung die Spiegelungen liefert: 

Man rechnet leicht aus, dass die vier Invarianten (?,, , + 1 hier überein- 
stimmend = 1 werden, während (?,3 = 6.,^ = — 3 ist. Es ergiebt 
sich sonach das Theorem: Die sechs Invarianten ön, (ks Kreisbogenvicrcclcs 
sind vermijije unserer Festsetzungen reelle, den Bedingungen: 

(4) 0£ö,2<l, 0<(?,3<1, 0^6.,,<\, ()<<7,j<l, 

genügende Zahlen. 

Wir fassen jetzt alle durch eine beliebige Substitution erster oder 
zweiter Art in einander trausforniierbaren Vierecke in eine Classe zu- 
sammen. Es gilt dann der wichtige Satz: Die Classe des einzelnen Vier- 
cchs F ist durch Angabe der sechs Invarianten 0^ hcrcits eindeutig hesfinnnt. 

In der That haben wir in Fj eine hyperbolische Rotationsgruppe, 
deren Moduln (im Sinne von pg. 347 tf.) 26^,^, '2a^^, "itf^, sind. Nach 
pg, 348 ist die Gruppe F durch diese Moduln bis auf Transformation 



408 



n. Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 



bestimmt, und wir wählen sie in particulärer Weise aus, womit Fg, Fg, V^ 
alsdann ebenfalls bestimmt sind. Möge die getroffene Auswahl eine 
solche sein, dass der Hauptkreis von F^ die reelle Axe wird; es sind 
dann die Coefficienten cc^, «3, a^ reell. Den ersten Coefficienten von V^ 
schreiben wir unter Trennung des reellen vom imaginären Bestandteil 
a^ = a/ -(- ia/'. Zur Bestimmung von Fj haben wir dann die vier 
Gleichungen: 



(5) 



2(>,4=2<a4+ ßiy,+ yyßi, 
«1«^+ /5iri= 1- 



«:-, ß2, Y2 




2a„ 


2«s, 


2^4 




1> f^-23, <^-J4 


«3; ßii Tz 


y 


y-i, 


Y'^y 


74 


= 8- 


<^i3; 1; <?J4 


«4, ßi, Va 




ß., 


ß., 


ß. 




<?24> <^34; 1 



Die Determinante der ersten drei Gleichungen hat einen von null 
verschiedenen Wert; denn es ist: 



(«) 



und von der letzten Determinante werden wir alsbald sehen, dass sie 
nicht verschwindet. Es sind somit durch die ersten drei Gleichungen (5) 
die Zahlen «/, ß^, y^ fest bestimmt, Avorauf die vierte Gleichung (5) 
a^"^ liefert. Die beiden so gewonnenen coujugiert complexen Opera- 
tionen Vi liefern zwei bezüglich des Hauptkreises von F^ symmetrische 
Vierecke, die somit derselben Classe angehören. Unsere obige Be- 
hauptung über die eindeutige Bestimmtheit der Classe von P durch 
die sechs Invarianten 6ik ist damit bewiesen. 

Wir müssen jetzt einige weiterhin zur Verwendung kommende 
Verbindungen der ^^ kennen lernen. 

1) Setzen wir für beliebige Lage von P explicite a^ == «a + * «* , so 
wird die Gleichung des Kreises Ki in der ^- Ebene: 

(7) 7/ ii' + ^') - 2 «.' ^ - 2 a/'rj - ß, = , 

und von hieraus ergiebt sich als Gleichung der Ebene £", (cf. pg. 46): 

(8) 2a{zi -f 2«," ^2 - {ß< + y,)^3 + (ßi - y.)^4 = 0- 

Wir können diese Gleichung benutzen, um die Bedingung anzugeben, 
unter welcher P ein Haupth-eisvierccJc ist: für diesen Fall muss die 
Determinante: 



II, 3. Einzelaasführungen über Nichtrotationsgruppen. 



409 



m 



«X; «l; ßi, Vi 

«2. «2; ßt^ 7-2 

«3; «3; ßs, y-i 

i «4, «1, Ai; n 

verschwinden. Das Quadrat dieser Determinante drückt sich in den 
sechs Invarianten a,i rational aus; wir bezeichnen dieses Quadrat nach 
Fortheben des Factors 16 kurz durch — a und haben alsdann nach 
dem Multiphcationsgesetz der Determinanten: 

i , 

(?12, 1, (>23> <^24 
<^UJ ^U) <^34> 1 



(10) 






Da die Determinante (9) rein imaginären Wert hat, so ist 6 nicht- 
negativ: Die Invarianten (?a- erfüllen somit die Bedingung ö^O, und zwar 
ist das Zutreffen des Gleichheitszeichens für den Hauptkreisfall cha- 
rakteristisch. Wir könnten in diesem Sinne 6 als die Rauptkreis- 
invariante bezeichnen. 

2) Die Unterdeterminanten dritten Grades der Determinante (10) 
nach den Elementen der Diagonalreihe mögen —6^ bez. — (?2> —^3, —^i 
heissen. Man hat also explicite z. B,: 



= (^J + <?i3' + ^'3- - 2tf,2(?i3^.3 — 1- 



I 1> ^12 > <?13 
(11) ö,= — , ^,2, 1, (J,3 

i (?i3, (?2j, 1 

Die Invarian^ <?, gehört der Gruppe F.- zu, und zwar gilt der Satz: 
Die Gruppe Fi ist eine hyperlolischc , parabolische oder elliptische Rota- 
twnsgruppe, je nachdem <?, > 0, =0 oder < ist. Um dies etwa für 
r^ zu zeigen, berechne mau die Coordinaten Si des Punktes Q^ durch 
Auflösung der drei Gleichungen (8) für i = 1, 2, 3. Bei richtiger 
Wahl des Proportionalitätsfactors hat man alsdann für die linke Seite 
der Gleichung der absoluten Kugel direct: 

^1' + ^2' + ^3' — -^4' = ^12' + «^23' + <^i/ - - <yi2<y,a «^23 — 1 *) . 
womit der ausgesprochene Satz bewiesen ist. — 



*) Die Zwjschenrechnunm' kann man erheblich kürzen, indem man A', etwa 
als imaginäre f-Axe wählt und zur reellen J-Axe einen zu A', und I\\ ortho- 
gonalen Kreis bestimmt. 



410 11. Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 

Auf Grund dieser Ergebnisse ist es nun leicht, die sieben Typen 
der Vierecke P durch ihre Invarianten zu charalderisicrcn. Behalten wir 
die Festsetzungen des vorigen Paragraphen bei, so treten zu den 
schon genannten Bedingungen (4) noch die beiden a^ > 0, Ö3 > für 
alle sieben Typen hinzu; im übrigen aber gilt folgende Tabelle: 

I. o'^>0, (>.i> 0, 0,3 < — 1, 

II. 6,>0, (?, >0, 0,3 >-l, 

in. o',>o, (j, = o, 0,3 >-i, 

IV. a,>0, ß,<0, (?,3>-l, 

V. O-., =0, 0% = U, Ö,3>-1, 

VI. 6, = 0, (?i<0, ^13 > — ^ 

VII. a.,<0, (?, <0, <?,3> - 1. - 

Um die Beziehung der vorstehenden Entwicklungen zur Invarianten- 
theorie der Hauptkreisgruppen der Gattung (0, 4) darzulegen, be- 
dienen wir uns der schon in (3) eingeführten Substitutionen Vi und 
definieren die Invarianten jj, jis, ... derselben genau nach Vorschrift 
von pg. 337. Die sechs Invarianten ji und j/,, + i fj^^len reell aus; 
denn man hat: 

(ii = 2(7,2, A.= 2^,3, j,= 2a,„ i,= 2(?,,, 

^ ^ \ il2=i3.1= 2(7,3, jo3=i4.= 2(7-,,. 

Weiter sind ^,3 und j.,., die Invarianten von ViV^V^V^ und V^V^V^V^, 
und da diese Substitutionen in einander transformierbar sind, so ist 
ii3=A'.i'j ^iese pg. 39C für die Symmetrie der Hauptkreisgruppen 
gefundene Bedingung bleibt somit auch bei den Nichtrotationsgruppen 
bestehen. Übrigens findet man: 

(13) ju = Ju - 2 ((?,, (?3, + (7u<?23 - <^v,<^n - 'Y"') ; 

diese Invarianten haben demnach, sofern der Hauptkreisfall ö = nicht 
vorliegt, stets complexen Zalilwert. Für a = liefert die Relation (13) 
vermöge (12): 

(14) j,3 + hi = Jih + i-jii — iu'i23, 

womit wir eine früher auf anderem Wege gewonnene Formel wieder- 
erhalten (cf. (3) pg. 394). 

Die Invarianten a^, a.,, ... führen uns gleichfalls auf bekannte 
Formeln zurück; es wird z. B.: 

(15) 4 ö^ = jf + j/ + ji/ — JJ2J12 — 4. 



11, 3. Einzelauafühiungen über Niulitrotationsgruppcu. 



411 



Nach pg. 352 liefert also )/— o", den v. Staudt'schen Eckensinus für die 
iin Polyeder der T am Punkte Qi auftretende dreiseitige Ecke*). 

Wir schreiben endlich auch noch die Bedingung 6 > auf die 
ji, j'i, ... um und erhalten: 



(16) 



2, 


Jv ) Jl2 ) 


Ji 


ii, 




h-i 


jii > 


h 2, 


Ja 


h, 


./:'3 > Jz } 


2 



>0. 



Im Hauptkreisfalle, d. h. bei Gültigkeit des Gleichheitszeichens, 
entspringt hiermit eine Gleichung vierten Grades für die Invarianten. 
Es ist dies dieselbe Gleichung, welche wir bereits oben, pg. 394 
unter (2), kennen lernten; man wolle bei der Umrechnung nur jy^=j.,^, 
sowie die Relation (14) berücksichtigen. 



§ 3. Vorbereitungen zur Untersuchung der Grenzcurve beim 
Viereck des ersten Typus mit vier Winkeln null. 

Wie wir bereits pg. 403 feststellten, hat eine Gruppe f des ersten 
Typus als Discontinuitätsbereich (für die ganze g- Kugel) zwei Vier- 
ecke P und P'; wir stellten dieselben in Figur 136 pg. 403 dar und 
können sie einander conjugiert nennen. Die Ausübung der erzeugenden 
Spiegelungen reiht nun an jedes der beiden Vierecke weitere Vierecke 
an, und nach der allgemeinen Theorie (cf. pg. 126 ff.) erscheint die 
Kugelfläche schliesslich von zwei einfach zusammenhängenden Viereck- 
netzen iV und N' bis auf die Grenzpunkte der Gruppe vollständig 
bedeckt. 

Die beiden so gewonnenen Netze sind durch eine Grengcurve G 
von einander getrennt; denn es ergab sich (cf. pg. 127), dass nirgends 
ein Bereich von endlicher Flächenausdehnung zwischen N und N' vor- 
kommen konnte, der überall dicht von Grenzpunkten bedeckt wäre. 
Im Hauptkreisfalle (<y = 0) stellt die Grenzcurve G einfach den Hauptkreis 
selbst dar. Dieser Fall gilt hier als elementar, d. h. wir setzen weiterhin, 
sobald nichts anderes bemerkt ist, a> voraus. Nach den Angaben 
von pg. 133 u. f. ist alsdann G eine sehr complicierte, und zwar nicht- 
analytische Curve. Es ist der Zweck der nachfolgenden Betrachtungen, 
wenigstens einigorniaasseii die Eigenart der Grenzcurve G näher darzu- 

*) Ausser den schon pg. 352 u. f. gonannteu Arbeiten veigl. man hierz« 
etwa Stndy, Über Distunzrdationeti , Schlömilch's Zeitschrift Hil. -21 (188'2\ wo 
auch noch weitere Litteratiirnachweise zu finden sind. 



412 n. Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 

legen. Dabei sei es erlaubt, der Anschaulichkeit wegen die Betrachtung 
sogleich auf einen Specialfall einzuschränken: wir wählen das Kreis- 
hogenvierech von erstem Typus mit vier Winkeln null. Für die sechs 
Invarianten desselben gelten die Angaben: 

(1) <?12 = <^23 = <?84 = <^41 = 1 ; <^13 < — 1 » <^24 < — L 

Einige vorbereitende Untersuchungen sind hier zunächst voraus 
zu schicken. 

Erstlich berechnen wir mit Rücksicht auf (1) aus (10) pg. 400 
die Hauptkreisinvariaute (J; es ergiebt sich: 

(2) (? = (1 - (?i3)(l - (?24)(3 - <?13 - <^24 - <?1SÖ24)- 

Die Invarianten (Jja, 6^^ müssen somit der Bedingung: 

(3) (l + 0(l + %)^4 

genügen. 

Demnächst verabreden wir zwei besonders einfache Lagen des 

Viereckpaars P und P' in der 
g- Ebene, die wir als erste und 
ziveite Normallage weiterhin unter- 
scheiden wollen. 

Bei der ersten Normallage soll 
der Kreis K^ auf der imaginären 
t, - Axe liegen , während K^ der 

Kreis mit dem Radius - um ^ = - 

ist; Ki^ möge als gerade Linie ge- 
wählt werden, die dann zu K^ 
parallel läuft, so dass eine Ecke 
des Vierecks nach ^ = oo rückt. 
Die Anordnung wird des nähereu 
durch Figur 143 dargelegt; den 
Mittelpunkt von K^, nehmen wir als 
in der positiven Halbebene gelegen 
au. Die vier erzeugenden Spiege- 




Fig. 148. 



luugen nehmen daraufhin die Gestalt an: 



(4) 



t 



vAl)==-l, ^^(^^)=^-I 



y-M- 






i 



n, 3. Einzelausführungen über Nichtrotationsgruppen. 



413 



wobei y& positiv zu nehmen ist; letzteres entspricht unserer P'est- 
setzung über die Lage des Mittelpunktes von Z,. 

Der Berührungspunkt der Kreise K^ und /Vj liegt bei: 
(5) - i-c.. . .Vä 1 



S = 



+ ^'^ 



2 ■ 'J 1 — ff, 

Die Verbindungslinie Je dieses Punktes und des Nullpunktes ^ = 
schneidet offenbar alle vier Kreise Ki unter gleichem Winkel. Eben 
dieserhalb muss die Gerade Je durch den Berührungspunkt von K, 
und JTg hindurchziehen, während sie als Gerade auch durch ^ = oo, 
d. h. durch den Berührungspunkt von Zj und K^ läuft. Unter den 
beiden Winkeln zwischen Je und dem einzelnen Kreise Ei möge d- der- 
jenige sein, welcher J nicht übersteigt; dann ergiebt sich aus (5): 

'1 - Ol3)(l — ffsJ 



tor d- 



yä 



überträgt man diese Ergebnisse sogleich auf eine beliebige Lage des 
Kreisbogen Vierecks P, so folgt: Die vier paraboliscJien EcJcpunJcte des 
KreisboyenvierecJis der WinJcel null liegen stets auf einem Kreise Je, welcJier 
gegen die vier Seiten des VierecJcs unter dem gleicJien WinJcel: 



(6) 



^ = arctg (1 - ^.3)(i - O 



geneigt ist. Der Hauptkreisfall = liefert natürlich ■^ = v • Das 

Doppelverhältnis der vier Ecken von P ist somit reell, und man findet 
als einen der sechs Werte dieses 

Doppelverhältnisses — ~^'* . 

1 — 024 

Zur Definition der stveiten 
Normallage des Viereckpaars 
P, P legen wir die Fixpunkte 
der hyperbolischen Substitution 
Fj Fg nach ^ = und i; = oo. 
-STj und Äg werden dann con- 
ceutrische Kreise um ^ = 0, und 
zwar möge der Radius von Ä'^ 
gleich 1, der von K^ grösser 
als 1 sein. Der Mittelpunkt von 
Äg liege auf der positiven reellen 
Axe, wie hierueben in Figur 144 näher ausgeführt ist; den Mittelpunkt 
von K^ aber nehmen wir, wie ebenda ersichtlich, Avieder in der posi- 
tiven Ilalbebene an. 




Flgr. 144. 



414 n. Ausführliche Theorie der Polygongruppen. ^ 

Die Gestalten der SpiegeluDgeu V^ und Fg werden nun sehr einfach: 



während K, complicierter ausfällt; wir begnügen uns damit, die Werte 
der Coefficieuten a^, ß.2, j'o ^"^iugeben: 



(8) 



V 



- <^I3 + 1 



1' 



V— 1 — ö,3 K— 1 — ff,, 

die hier auftretenden Quadratwurzeln sind sämtlich reell und sollen 
positiv genommen werden. Der Kreis E^ ist bei der zweiten Normal- 
lage mit K., congruent und geht aus letzterem vermöge einer Drehung 
um 2; = durch einen Winkel a hervor; wir setzen abkürzend c'"' = £. 
Die Substitution V^ lässt sich demgemäss zunächst in der Gestalt 
ansetzen: 

(9) * r,a) = ^+-^i- 

Um daraufhin a und damit to durch die Invarianten darzustellen, 
knüpfe man an: 

^u = «2" — ^ + ßir-2 

und trage für «o, ß-^, y» die in (8) gegebenen Werte ein. Es ergiebt 
sich auf die Weise: 

(10) cos CO = ^»^** + '^A^ --2 . 

Soll der Hauptkreisfall vorliegen, so ist c? = tc und also 

<^13<^24 + <^13 + ^U 3 = 0, 

was auf Grund von (2) unmittelbar auf 6 = zurückführt. Bei der 
zweiten NorniaUage geht K^ aus K.^ vermöge einer Drehung um den 
Funkt ^ ^^ durch den Winkel: 

(11) ö = arccos i^''''l.'^l'\~^) 

hervor. Hätte man zur Einführung der zweiten Normallage K., und 
/v., concentrisch gewählt, so wäre an Stelle von a der Winkel: 

(12) «' = arccos (^''\^~r") 

getreten. Man merke noch an, dass für (7 > keiner der Winkel «, «' 
gleich 7t ist. 



II, 3. Einzelausführungen über Nichtrotationsgruppen. 415 

§ 4. Verschiedene approximative Constructionen der Grenzcuxve 
beim Viereck der "Winkel null. 

Das Viereckpaar 7^, P' lässt in der ^-Ebone (oder auf der i;-Kugel) 
das Innere der vier Kreise Ä', , , ., /iT^ ungedeckt. Da P zum ersten 
Typus gehört, so ist der einzelne dieser vier Kreise stets nur mit den 
liiMden benachbarten in Berührung: man kann sagen, dass die vier 
K'reisscheiben eine einfach geschlossene Kette bilden. Entwerfen wir 
nun vermöge des Princips der Spiegelung an jedem der vier Kreise Ki 
ein weiteres Viereckpaar, so bleiben demnächst zwölf Kreise offen, 
welche wiederum eine einfach geschlossene Kette bilden. Wir kommen 
hier auf den vom ersten Abschnitt her sehr bekannten Process der 
Herstellung der Vierecknetze nach dem Sjmmetrieprincip. Wenn wir 
dabei jedesmal an allen offenen Kreisen zugleich je ein weiteres Vier- 
eckpaar entwerfen, so haben wir nach dem }i*®° Schritte eine einfach 
geschlossene Kette von 4 • 3" noch offenen Kreisscheibeyi. 

Gehen wir nun zur Grenze für n = oo über, so werden die Radien 
der eben gemeinten beim einzelnen Schritte noch offen bleibenden 
Kreise ausnahmslos gegen null convergieren, wie aus der Eigenschaft 
dieser Kreise als Symmetriekreise der Vierecknetze folgt. Die Summe 
der Quadrate der Radien der 4 • 3" Kreise und also der Gesamtinhalt 
der Kreise convergiert für w = oo gleichfalls gegen null*), und die 
Kreisscheibenkette geht für lim n = oo in die Grenxcurve G über. 
Nehmen wir n so gross, dass keiner der 4 • 3" Durchmesser die be- 
liebig klein zu wählende Zahl d > übertrifft, so haben wir in der 
Kette der 4 • 3" Kreise ein erstes angenähertes Bild der Grenzcurve G. — 

Es ist nun interessant, im Anschluss an die Vorbereitungen des 
vorigen Paragraphen noch andere Arten der Approximierung an die 
Grenzcurve G zu verfolgen, welche nähere Angaben über den Verlauf 
von G zu machen gestatten. 

Wir knüpfen zunächst an die erste Normallage der Viereckpaars 
(Figur 143 pg. 412) an und fassen die Gerade Ic durch die vier Eckpunkte 
Cj, e.2, Cg, e^ als erste Annäherung an die Grenzcurve G auf; das innerhalb 
des Kreises Ä", gelegene Stück von Ti heisse A*,, so dass z. B. l\ die 
Verbindungsgerade der seinerzeit mit fg und e^ bezeichneten Ecken ist. 
Man führe nun den Spiegelungsprocess in der Art aus, dass man zu- 
nächst innerhalb K^ (d. i. rechts von der Geraden K^ alle unendlich 
vielen Viereckpaare anschliesst, welche aus dem ersten Paare durch die zur 
parabolischen Ecke c^ (in der Figur zu t, = oo) gehörende cyclische Gruppe 

*) Hierbei machen wir stillschweigend die Annahme, daes J; = ^x> nicht zu 
den Gronzpunkten der Gruppe gehurt. 



416 n. Ausführliche Theorie der Polygongruppen. 

zweiter Art entspriugeu. Wir haben so nach rechts hin eine unend- 
liche Reihe abwechselnd symmetrischer und congruenter Parallel- 
streifeu aneinandergefügt, welche eine Kette unendlich vieler ungedeckter 
Kreise K^, K^, K^', Äg", . . . darbietet. Die in ihnen enthaltenen ge- 
raden Segmente li^, l'^', l'^", /13 ", • • • bilden eine Zickzacklinie, deren 
einzelne Glieder abwechselnd rechts und links den Winkel: 

(1) 2^ = 2 arctg O^^.^KjjIL^il 

mit einander bilden, welcher für (? > sicher < n ist. Zur weiteren 
Annäherung an G ersetzen wir Jc^ durch die hiermit gewonnene ge- 
brochene Linie. 

Gehen wir nun sogleich zu einer beliebigen Lage eines offenen 
Kreises Ki und benutzen die Conformität der Kreisverwandtschaften! 
An Ki' lagert ein Viereckpaar mit den Ecken e/, e^', e.^ , e/. Letztere 
liegen auf einem Kreise 7r', dessen in Kl entfallendes Segment %' 
heisse. Ersetzen*wir die Kreisscheibe Kl durch das Kreissegment /b,', 
so tritt an Stelle der obigen Approximation durch eine Kette von 
Kreisscheiben eine solche durch eine einfach gesclilosse^ie Kette von 
Kreissegmenten lii. Nun verbindet Z;/ die Ecken e,'_i und e,' des an 
Ki lagernden Viereckpaars. Man übe auf letzteres unter einseitiger 
Bevorzugung von e,' die zu diesem Punkte gehörende parabolische 
Gruppe zweiter Art aus. Dabei erscheint Kl von 00^ weiteren Viereck- 
paaren erfüllt; doch bleibt eine Kette von Kreisen K/Li, Kl— 2, Kl— 2, ••• 
offen. Vor allem erscheint das bisherige Kreissegment kl durch eine Kette 
unendlich vieler Segmente mit dem Grenzpimlä e,- ersetzt, wobei die ein- 
zelnen Glieder der Kette ahwechselnd auf der einen und anderen Seite 
den Winkel 20" mit einander einschliessen. 

Für (7 = erhalten wir in den Kreissegmenten k immer nur 
wieder Stücke des Hauptkreises; der Winkel 2d- ist nun gleich it. 
Dahingegen werden für (? > und also 2d^<,n die Verhältnisse bei 
Fortsetzung des Spiegelungsprocesses in der angedeuteten Weise weit 
comj)licierter. Jedes einzelne Kreissegment k ist stets aufs neue durch 
eine unendliche Kette weiterer Segmente mit je einem parabolischen 
Grenzpunkt zu ersetzen, wobei zwischen den einzelnen Gliedern stets 
wieder die Winkel 2 "9- auftreten. Indem wir diesen Ersatz der Seg- 
mente k überall bis ins unendliche fortführen, kommen wir mit der 
Segmentenkette der Grenzcurve G näher und näher. Wir können 
dieses Ergebnis vielleicht dahin aussprechen, dass die Grenzcurve Q 
((7 > vorausgesetzt^ in jedem noch so kleinen Intervall unendlich viele 
liichtungsünderungen um endliche Betrüge erführt. — 



II, 3. Einzeiausführungen über Nichtrotalionsgruppen. 417 

Bei der eben besprocheuen Approximierung waren die parabolischen 
Punkte bevorzugt; sie waren die Sclieitelpunkte der Winkel 2d: Ent- 
sprechend führt die zweite Normallage von F,P' (cf. Figur 144 pg. 413) 
zu einer Annäherung an die Grenzcurve G, bei welcher gewisse hyper- 
bolische Punkte eine ausgezeichnete Rolle spielen. 

Wir knüpfen zunächst an irgend eine endliche Kette offener Kreise X,^'' 
und ziehen in jedem dieser Kreise dasjenige Kreissegment x/-'\ welches 
die beiden