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From the h'brary of
CAPTAIN THOMAS J. J. SEE
Presented to Stanford by bis son
\4
/^«•<^i^^'
T. J. J. SEE
Marc Iscano. CALir.
VORLESUNGEN
UBEll
DIE IM UMGEKEHRTEN VERHÄLTNISS DES QUADRATS
DER ENTFERNUNG WIRKENDEN KRÄFTE
VON
P. G. LEJEUNE-DIRICHLET.
HERAUSGEGEBEN
Dr. f. GRUBE,
OBD. LEHRER AN DER X. DOMSOHULE ZU BCHLBBWIO.
LEIPZIG,
DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER.
1876.
Vorwort des Herausgebers.
Dieser Veröffentlichung der Dirichlef achen Vorlesungen
über die im umgekehrten Verhältniss des Quadrats der Ent-
fernung wirkenden Kräfte, „von denen mit Recht gesagt
worden ist, dass sie das beste Lehrbuch über jenen Gegen-
stand bilden würden" (Heine, Handbuch der Kugelfunctionen.
1861), liegt ein von mir, dem es vergönnt war, noch sämmt-
liche Vorlesimgen Dirichlefa zu hören, im Wintersemester
1856 — 57 geführtes Heft zu Grunde. Ich habe es mir zur
Aufgabe gemacht, die genannten Vorlesungen möglichst ge-
treu, ohne irgend welche Zusätze oder Kürzungen oder Ver-
änderungen, wiederzugeben, und etwaige Zusätze oder Oitate,
die mir nothwendig oder wünschenswerth schienen, in einem
Anhange gegeben. . Nur einmal habe ich mir in der An-
ordnung des Stoffes eine Abweichung von Dirichlet erlaubt,
indem ich den Satz über die charakteristischen Eigenschaften
des Flächenpotentials, den Dirichlet erst zu Anfang des sechsten
Abschnittes gab, an das Ende des dritten Abschnittes ver-
legt habe, wo er mir passender zu stehen schien. Unter
den Zusätzen, die mir für ein vollständiges Lehrbuch der
Potentialtheorie nothwendig schienen, ist namentlich der
strenge DirichlefaGhe Beweis für die Entwickelbarkeit einer
für alle Punkte der Kugeloberfläche gegebenen Function
nach Kugelfunctionen zu nennen, der möglichst genau nach
der Dirichlefacheji Abhandlung hierüber (im 17. Bande des
IV Vorwort des Herausgebers.
Creiyschen Journals) mitgetheilt ist. Ich glaubte hierin
ganz im Sinne DiricMeifs zu handeln, der diesen Beweis nur
wegen der Kürze der Zeit in jenem Wintersemester fort-
gelassen, aber wiederholt und nachdrücklich auf die genannte
Abhandlung verwiesen hat. Ausserdem sei hier noch eine
Berichtigung von Dirichlefs historischer Darstellung des
Laplac^schen Satzes über die Wirkung einer unendlich dünnen
schalenförmigen Masse in der Nähe ihrer Oberfläche hervor-
gehoben. Die Dirichlefsche Darstellung beruht offenbar auf
ei^em Irrthum, wie die hierauf bezüglichen, ausführlich mit-
getheilten Stellen aus Poisson's Abhandlung über die Ver-
theilung der Elektricität auf der Oberfläche leitender Körper
zur Genüge darthun werden.
Schleswig, im Mai 1876.
' F. Grube.
Inhalt.
Erster Abschnitt: Das Potential einer einen Baum
erfüllenden Masse.
Seite
§. 1. Wirkung eines Systems discreter Massenpunkte 1
§. 2. Zwei merkwürdige Eigenschaften der Componenten .... 4
§. 3. üebergang von einem diseontinuirlichen System zu einem
continuirlich mit Masse erfüllten Raum 6
§. 4. Das Potential und seine ersten Derivirten ändern sich
überall nach der Stetigkeit 11
§. 5. Bestimmung des Potentials und seiner Derivirten für eine
homogene Kugel. Beweis des allgemeinen Satzes lim (v^) = itf 13
§. 6. Die Gleichung ^, + ^, + ^, = - 4»t„ 18
§. 7. Der 6^reen'sche Satz. Die charakteristischen Eigenschaften
des Potentials 28
Zweiter Abschnitt: Potential und Anziehung eines
homogenen EUipsoides.
§. 8. Historisches über das Problem der Anziehung der Ellipsoide 37
§. 9. Entwicklung des Potentials eines Ellipsoides für äussere
Punkte mit Hilfe des Mac Xawnn'schen Satzes 39
§.10. Nachweis der Richtigkeit der Formeln für das Potential
eines homogenen Ellipsoides 41
§. 11. Wirkung einer unendlich dünnen von zwei ähnlichen Flächen
begrenzten ellipsoidischen Schale 45
Dritter Abschnitt: Das Flächenpotential.
§. 12. Der XopZacc'sche Satz, üebergang von einem mit Masse
stetig erfüllten Raum zu einer mit Masse belegten Fläche . 52
§. 13. Das Flächenpotential ist überall stetig 54
§.14. Die erste Derivirte des Flächenpotentials v ist auf der Nor-
male beim üebergang von der einen Seite der Fläche auf
die andere unstetig: l^r— ) — \-i—) = — ^nk. ... 57-
§. 15. Die charakteristischen Eigenschaften des Flächenpotentials 65
VI Inhalt.
Vierter Abschnitt: Potential und Kugelfunotionen.
Seite
§. 16. Entwicklung des Potentials einer über eine Eugelfläche
vertheilten Masse in eine convergirende Reihe 69
§. 17. Anwendung des Satzes (— j — (— j = — 47rJfe auf
den Fall einer Kugelfläche. Verwandlung einer für alle
Punkte einer Kugelfläche gegebenen Function in eine Kugel-
functionreihe . . .' 73
§. 18. Die Gleichung / (-=— ) ds =^ ist nur eine andere. Form
V W,
d^ v d^ 1) d^v
der Gleichung -=—^ + 3—5 + -fi = Ö- Transformation der
letzten Gleichung, indem man statt der rechtwinkligen
Coordinaten Polarcoordinaten einführt, in die Form:
. ^ d^(Qv) , d /dv . A , 1 d^v
§. 19. Entwicklung eines beliebigen Potentials nach steigenden
und fallenden Potenzen des radius vector. Definition der
Kugelfunctionen. Die Coefficienten jener Potenzen sind
Kugelfunotionen 82
§. 20. Die hauptsächlichsten Eigenschafben der Kugelfunctionen . 85
§. 21. Die Entwicklung einer beliebigen Function zweier Veränder-
lichen nach Kugelfunctionen. . Dieselbe ist, wenn überhaupt,
nur auf Eine Art möglich • • 90
§. 22. Integration der Differentialgleichung (2) §. 19., oder Auf-
stellung des allgemeinsten Ausdruckes für die Kugelfunctionen 92
Fünfter Abschnitt: Anwendungen der Theorie auf einige
specielle Aufgaben aus der Elektricitätslehre.
§. 23. Erfahrungssätze und Hypothesen aus der Elektricitätslehre.
Stellung der Aufgabe. Das der Lösung zu Gnmde lie-
gende Princip 100
§. 24. Erste Aufgabe. Die Dichtigkeit der elektrischen Schicht
zu bestimmen, die sich auf einem kugelförmigen Leiter
bildet, der der Wirkung eines beliebigen Nichtleiters aus-
gesetzt wird . .V 101
§. 25. Die Aufgabe des vorigen Paragraphen wird dahin speciali-
sirt, dass der Nichtleiter sich auf einen Punkt reducirt . 104
§. 26. Zweite Aufgabe. Die zwei Schichten zu bestimmen, die
sich auf der äusseren und inneren Oberfläche einer Hohl-
kugel bilden, wenn man einen beliebigen Nichtleiter in
die Höhlung bringt. Für die Wirkung ' des Nichtleiters
Inhalt. .yii
Seite
und der beiden Schichten nach aussen kommt die Lage des
ersteren innerhalb der Hohlkügel, sowie die Elektricitats-
vertheilung in ihm nicht in Betracht ' . . . .106
27. Dritte Aufgabe. Die Schichten zu bestimmen, die sich auf
den Oberflächen zweier kugelförmiger Leiter bilden, wenn
beiden Elektricität mitgetheilt wird. Die Bestimmung der
Dichtigkeit hängt von der Lösung einer Functional-
gleichung ab 110
28. Digression über die Natur der Functionalgleichungen . .114
29. Fortsetzung der Lösung der dritten Aufgabe. Bestimmung
der Grenze von Xn, wenn x. =:i , äj« = :; u. s. f. 116
* k — cx^ ^ k — cx^
30. Fortsetzung. Bestimmung der Functionen fix) und F{y\
sowie der Constanten P und Q 118
31. Fortsetzung und Schluss, Bestimmung der Grössen a und
Aufstellung der Formel füi- die Dichtigkeit k 125
Sechster Abschnitt: Allgemeine Probleme und S&t^e in
Bezug auf eine mit Masse belegte Fläche.
32. Nachweis der Existenz einer Function, die für einen ge-
gebenen Raum gewissen Bedingungen genügt. (Das Di-
ncÄZeiJ'sche Princip) 127
33. Es ist immer eine und nur eine Belegung der Oberflächen
beliebig vieler begrenzter Käume mit Masse möglich, so
dass das Potential an jeder Stelle der Oberflächen einen
vorgeschriebenen Werth hat 130
34. Fortsetzung. Zwei allgemeine Principien . , 133
35. Fortsetzung. Die Function u für den unendlichen Raum . 135
36. Substitution einer unendlich dünnen Schicht statt einer be-
liebigen Masse 140
87. Es ist immer ein und nur ein elektrisches Gleichgewicht
möglich bei einem beliebigen System elektrischer Leiter
und Nichtleiter 143
38. Der im §. 26. von der Hohlkugel bewiesene Satz gilt all-
gemein 145
Siebenter Abschnitt: Magnetismus.
39. Erfahrungssätze und Hypothesen in Bezug auf den Magne-
tismus 148
40. Potential, magnetisches Moment, magnetische Axe eines
Magneten 148
41. Die Wirkungen, die zwei Magnete mit parallelen Axen in
die Ferne ausüben , verhalten sich wie ihre Hauptmomente.
Zusammensetzung zweier Magnete 151
VIII. Inhalt.
Seite
§. 42. Erdmagnetismus. Componenten der erdmagnetischen Kraft 153
■§.43. ^Fortsetzung. Die Componente Y ist auf der Erdoberfläche
völlig* bißstimmt, wenn die Componente X für die ganze
Erdoberfläche gegeben ist 155
§. 44. Fortsetzung. Bestimmung der Componente Z aus der Com-
ponente X unter der Annahme, dass die magnetischen
Kräfte ihren Sitz entweder nur innerhalb , oder nur ausser-
halb der Erde haben 155
§. 45. Dritte Hypothese: Der Magnetismus sitzt theils innerhalb/
theils ausserhalb der Erde 158
Erster Abschnitt. ^
Das Potential einer einen Ranm erfüllenden Masse.
§.1.
Die Untersuchungen, welche den Gegenstand dieser Vor-
lesungen bilden, datiren von der Entdeckung des Newton'schen
Gesetzes, nach welchem ^wischen je zwei Massenelementen
eine Anziehung stattfindet, welche ihrer Masse proportional
und dem Quadrat ihrer Entfernung umgekehrt proportional
ist. Nachdem dies Gesetz erkannt war, entstand das Problem,
die Wirkftng zweier sich gegenseitig anziehenden Massen von
endlicher Ausdehnung auf einander zu bestimmen. Jenes
Gesetz ist nämlich ein Elementargesetz, insofern es nur für
zwei Massen gilt, von denen jede in einem Punkte concen-
trirt ist. Wenn die Massen also von endlicher Ausdehnung
sind, so ist die Gesammtwirkung aus unendlich vielen Elementar-
wirkung,en zu bestimmen. Deshalb lässt sich jenes Problem
im Allgemeinen offenbar nicht lösen; nur für gewisse Formen
der anziehenden Massen wird die Lösung möglich sein. Hin-
gegen besitzt jene Wirkung gewisse allgemeine Eigenschaften,
die von der grössten Bedeutung sind. Mit der Betrachtung
dieser allgemeinen Eigenschaften, welche eine Folge des
Newton' sehen Gesetzes sind, werden wir uns zu beschäftigen
haben. *
Zunächst bestimmen wir die Wirkung, welche eine
Masse von endlicher Ausdehnung auf eine in einem Punkt
concentrirte Masse ausübt. Es ist aber zweckmässig, vor-
läufig statt der Masse von endlicher Ausdehnung ein System
einzelner, von einander getrennter, materieller Punkte zu be-
trachten.
Dirichlet, Potentialtheoi^e. 1
2 Erster Abschnitt.
Drücken wir die nach dem Newton'schen Theorem zwischen
zwei materiellen Punkten stattfindende Kraft durch eine For-
mel aus, so wird darin eine gewisse Oonstante vorkommen,
welche abhängig ist von der Wahl der Einheit der Masse
und der Kraft. Für die Bestimmimg der Krafteinheit ist
bekanntlich eine Zeit- und eine Längeneinheit erforderlich;
nachdem diese festgesetzt sind, hat man auch eine Einheit
für die Geschwindigkeit; ausserdem hat man auch eine be-
liebige Masseneinheit anzunehmen. Nachdem dies Alles ge-
hörig bestimmt ist, hat man auch ein Mass für die Kraft:
die Kraft P ist nämlich -diejenige Kraft, welche der Massen-
einheit die Geschwindigkeit P ertheilt, nachdem sie eine
Zeiteinheit hindurch auf dieselbe mit gleicher Intensität ge-
wirkt hat. Hat man nun zwei in zwfei Punkten concentrirte
Massen m und m^ in der Entferming r von einander, so ist
p = — ^g- der Ausdruck für die Kraft, welche m auf vfi und
m auf m ausübt;^ die Oonstante Ä ist oflFenbar diejenige
Kraft, welche eine Masseneinheit, bei der EntfernÄng 1, auf
eine andere Masseneinheit ausübt, und hängt von der Wahl
der Einheiten ab.
Es sei nun ein festes Massensystem gegeben und die
Kraft zu bestimmen, welche dies System auf die in einem
Punkte concentrirte Masse M ausübt. Die einzelnen Massen
des Systems seien m, m , m" . . ., die Coordinaten derselben,
bezogen auf drei beliebig gewählte auf einander senkrechte
Coordinatenaxen, resp^a, 6, c; a', 6', c . . . ./^, die Coordinaten
von M seien x^ y^ z\ die Entfernungen zwischen M und
m, m', m\ , , seien resp. r, /, /'... . Die Kräfte, welche
die einzelnen Massen m, m , , , auf M ausüben, sind resp.
— 2— , — Tg— .... Nach den Regeln der Slatik, mit Hilfe
des Kräfteparallelogramms, können alle Kräfte, welche auf
einen Punkt wirken, zu Einer Kraft zusammengesetzt werden;
aber es ist besser, nicht die erste Kraft mit der zweiten
zusammenzusetzen, dann deren Resultante mit der dritten
u. s. w., sondern vorher alle einzelnen Kräfte nach drei auf
einander senkrechten Richtungen in drei Componenten zu
Das Potential einer einen Raum erfüllenden Masse. 3
zerlegen. Dadurch erhält man drei Reihen von Kräften von
der Art, dass sämmtliche Kräfte einer jeden Reihe dieselbe
Richtung haben, mithin durch Addition zu Einer Kraft zu-
sammengesetzt werden können. Jede der drei Oomponenten
wird erhalten, wenn man die zu zerlegende Kiaft mit dem
Cosinus des Winkels multiplicirt, welchen sie mit der Rich-
tung bildet, nach welcher zerlegt wird. Nennen wir die
drei Winkel, welche die Richtung Mm mit den drei Co-
ordinatenaxen bildet, a, ß^ y, so sind die drei den Coordi-
natenaxen parallelen Oomponenten der Kraft — j— :
-j:ä— cos a, -j:ä— <^os ß, —^ cos y.
Werden die drei Oomponenten der Gesammtanziehung durch
X, F, Z bezeichnet, so hat man
X = TcM f -j- cos « + -Tj cos a' -f- . . . 1
r=Ä;Jbr23-eos^,
Z=fcJbr^^cosy;
und da
a — X h — y a c — z
— — = cos «, — ^ = cos /3, -^ = cos y ,
so ist auch
m {a — x)
Die ganze in dem Punkte {Xj y, z) stattfindende Kraft J2
und die Winkel A, /x, v, welche ihre Richtung mit den drei
Ooordinatenaxen bildet, erhält man aus den drei Oomponenten
mit Hilfe der Gleichungen
X==iJcosA, F=ücosft, Z=Reosv,
R = 1/(X2 ^ P + Z^).
Erster Abschnitt.
§. 2.
Jene drei Summen, welche die Componenten des Systems
darstellen, besitzen zwei bemerkenswerthe Eigenschaften, auf
welchen die allgemeine Theorie beruht.
I. Jene drei Summen shid die partiellen DifferentiaJr
qtiotienten Einer Summe,
Es ist nämlich
f^ = (oo-aY + (y- by +{e - cf;
daraus ergiebt sich
und daraus
Da ferner
dr
dx
X
= ^JcM^
m dr
r^ dx '
SO hat man
oder
(1)
Der Ausdruck
r^ dx
r
dx'
X = kM^
md —
r
dx
dE
X^TcM
Y=JcM
Z = JcM
dx
d2-
r
dy
dZ^
r
dz
2f=
r * r ^ r
+
d. h. die Summe aller wirkenden Massentheilchen, jedes
durch seine Entfernung vom angezogenen Punkt dividirt,
spielt eine grosse Rolle, und wird das Potential genannt.
Der Factor M in den Formeln (1) kann fortbleiben,
wenn wir dem angezogenen Punkt die Masse 1 geben; eben-
falls kann die Constante h def Einheit gleich gesetzt werden,
Das Potential einer einen Ra.um erfüllenden Masse. 5
'wenn nur die Masseneinheit passend gewählt wird: es wird
k == Ij wenn als Masseneinheit der (]//j)te Theil der ur-
sprünglichen Einheit genommen wird. Unter diesen Vor-
aussetzungen wird, wenn wir das Potential durch v bezeichnen:
Y^ dv y> dv y dv
dx^ ^y^ dz*
Uebrigens gilt diese Eigenschaft der Componenten, die
partiellen Diflferentialquotienten Einer Summe zu sein, für
jedes Anziehungsgesetz, nicht blos für das Newton'sche. Es
sei nämlich
p = mnif{r) ,
so wird
Ist ferner
Jf{r)dr=-'q){r),
so hat man
• 'x = ^ ^yW _^ ^y^ ^ ^ <^yW ^^^ ^ d2mq>(r)
^^ dr dx ^Lj dx dx '
Auch für die magnetischen und elektrischen Flüssig-
keiten gilt bekanntlich das Newton^sche Gesetz; da aber
zwei magnetische oder elektrische Massentheilchen sich ab-
stossen, wenn sie gleichartig sind, und sich anziehen, wenn
sie ungleichartig sind, so ist hier
JcMm •
P = ^•
Wenn also ein System magnetischer oder elektrischer Massen-
theilchen m , m' • • • auf ein gleichfalls magnetisches oder
elektrisches Massentheilchen wirkt, und wenn wir annehmen,
dass das Quantum magnetischen oder elektrischen Fluidums,
welches letzteres besitzt, gleich — 1 sei, so können wir
wieder setzen
X = ^ w (g — x )
In dieser Summe kann m auch negativ werden, was freilich
6 Erster Abschnitt.
bei der Grayitation zwischen ponderablen Massentheilchen
keinen Sinn hatte.
IL Zunschen den drei Derivirten der Componenten oder
den zweiten Derivirten des Potentials nach den Coordinaten
X, y, z des angesogenen Punktes findet folgende bemerJcenswerthe
Belation statt:
oder
dX ^^ d Y ^^ d Z ^
dx ^ dy ^ dz '
dx^'^dy^'^d^^~^'
Durch Differentiation der Gleichung
TT "^7 a — X
nach X ergiebt sich nämlich
dX d}v ^ / 1_ 3 (g — x) dr\
dx dx^ ^^ _ \ r* r* d^j
-:2''{-h+'-^?^
ebenso ist
dy dy^ ^
-(-i+'-^s^)
dz ~ dz^~ Zj^ \ r« "T ~T^ ) •
Durch Addition dieser drei Gleichungen ergiebt sich die
'Behauptung.
Diese von »Laplace ^) zuerst bemerkte Eigenschaft des
Potentials bildet die Grundlage aller Untersuchungen über
das Potential.
§. 3.
Gehen wir von einem System discreter Punkte zu einem
körperlichen Raum über, der von den anziehenden Massen-
theilchen stetig erfüllt ist, so verwandeln sich die betrachteten
Summen für Vj X, ^— offenbar in dreifache Integrale. Be-
zeichnen wir irgend ein Raumelement durch dT, und die
Dichtigkeit in demselben durch Je, so wird:
(1)
Das Potential einer einen Raum erfüllenden Masse.
dX
dx
Die Integrationen erstrecken sich über den ganzen Raum,
den die anziehende Masse einnimmt.
Den Punkt {x, y, z), in welchem die Masse concentrirt
ist, auf welche, die Wirkung, sei es eines Systems discreter
Massenpunkte, oder einer einen Raum stetig erfüllenden
Masse, ausgeübt wird, wollen wir von jetzt an, der Kürze
halber, beständig mit dem Buchstaben bezeichnen,. Wäh-
rend bei einem System discreter Massenpunkte der Punkt 0,
wenn anders jene Summen bestimmte endliche Werthe haben
sollen, nicht mit einem Punkte des Systems« zusammenfallen
darf (denn dann würde in einem Gliede jener Summen der
Factor — , und mithin dies eine Glied selbst unendlich werden),
so kann bei einem continuirlich mit Masse erfüllten Raum
dieser Punkt sehr wohl im Innern der Masse liegen. Denn
ein Integral kann mitunter einen bestimmten endlichen Werth
behalten, wenn auch in einzelnen seiner Elemente unendlich
grosse Factoren vorkommen. In diesem Falle befindet sich
das erste und zweite unserer Integrale: dieselben behalten
— • wie wir sogleich zeigen werden — einen bestimmten end-
lichen Werth (oder sie werden nicht sinnlos), wenn auch der
Punkt der Masse angehört, obgleich dann — für die un-
endlich nahe bei demselben gelegenen Elemente unendlich
gross wird. Unser drittes Integral hingegen wird -allerdings
jetzt sinnlos werden; daraus folgt aber noch nicht, dass nun
auch 5 — sinnlos ist, sondern nur dies, dass der Werth des-
dx ' '
selben nicht durch jenes Integral bestimmt ist.
Um dies besser einzusehen, schicken, wir einige Bemer-
kungen über bestimmte Integrale voran.
Bekanntlich kann ein bestimmtes Integral durch eine
Fläche dargestellt werden. Hat man eine Curve, deren Glei-
Ä
chung b=f(a) ist, so ißt f f(a)da die Fläche, welche be
8
Erster Abschnitt.
/(•
grenzt wird von den beiden zu den Abscissen g und h ge-
hörigen Ordinaten, und von den zwischen diesen beiden Or-
dinalen liegenden Stücken der Curve und der Abscissenaxe.
Wenn also' die Function f{a) zwischen g und h überall end-
lich ist, so ist klar, dass jenes Integral immer einen be-
stimmten endlichen Werth hat. Wenn aber eine Ordinate
zwischen g und h unendlich wird, so Tcann es sich auch er-
eignen, dass das Integral sinnlos wird, und zwar entweder
dadurch, dass jene Fläche unendlich gross wird, oder. dadurch
dass sie ganz unbestimmt wird. Es sei z. B. f(a) = (a — x)~^}
wo ^ eine zwischen und 1 liegende Constante ist. Will
man nun die Fläche zwischen und 1 bestimmen, welche
a — x)~^da «ist, so wird die zu integrirende Function
freilich unendlich für a = x, oder die Curve hat f ür a = a;
eine Asymptote (Fig. 1.); aber dennoch ist in diesem Fall
die Fläche endlich. Denn es ist das unbestimmte Integral
f(a — x)~^da = 3 (a — :r)i , .
mithin ist die Fläche zwischen und x — a
X — e
J{a — x)-^da=^x^ — ^s^-,
also eine Grösse , die endlich bleibt für £ = 0. Ebenso ist
Fig. 1. die Fläche zwischen x und
1 endlich. Mithin ist auch
die ganze Fläche zwischen
und 1 endlich. Wäre der
Exponent aber '■ — y , so würde
jede der beiden Flächen, also
auch die ganze Fläche un-
endlich sein; un4 für den Ex-
ponenten — f würde die
ganze Fläche völlig unbe-
f^ ^ ./ stimmt werden , denn der eine
Theil derselben (zwischen und o^ würde negativ unendlich,
und der andere (zwischen x und 1) positiv unendlich werden.
Wenn ein bestimmtes Integral nach einem Parameter
zu diflferenziren ist, so darf man nach der Leibnitz'schen
Das Potential einer- einen Ratun erfüllenden Masse.
9
Regel unter dem Integralzeichen diflferenziren. Diese Regel
ist jedoch nicht immer anwendhar. Denn es kann sich er-
eignen, dass das ursprüngliche. Integral einen Sinn hat, diffe-
renzirt aher sinnlos wird. So hat z. B. ohiges Integral
1
f(a — x)'~ida einen bestimmten endliche!^ Werth, indem
1
f{a-~ x)-^da = Srri + 3 (1 — x)^
ist. Differenziren wir die -rechte Seite, so entsteht
x-i -^(1- x)-i ,
eine Grösse die für alle positiven Werthe des x zwischen
und 1 endlich ist. Wenn die Leibnitz'sche Regel in diesem
Fall gültig wäre, so müsste diese Grösse auch aus der
DiflPerentiation unter dem Integralzeichen hervorgehen. Da-
1
durch entsteht aber ^ J ifl — xy~^da, ein Integral, welches,
wie vorhin bemerkt, völlig unbestimmt ist. Es darf also,
wenn die Leibnitz'sche Regel anwendbar sein soll, das neue
Integral nicht sinnlos werden. Nun ist aber unser drittes
Integral unter (1) aus dem zweiten durch DiflFerentiation des
letzteren unter dem Integralzeichen entstanden. Die beiden
ersten Integrale haben immer einen bestimmten endlichen
Werth, wenn nur h nicht un-
endlich wird; das dritte aber
ist sinnlos, wenn der Punkt
im Innern liegt, so dass man
also in diesem Fall nicht mehr
Fig. 2.
behaupten kann, es werde -^
durch dasselbe bestimmt.
Um nun zunächst zu zeigen,
dass die beiden ersten unserer
drei Integrale in allen Fällen einen bestimmten endlichen
Werth haben, beschreibe man um den Punkt (Fig. 2.),
der im Innern der M^^sse liegen 9pll^ als Mittelpunkt eine
10 Erster Abschnitt.
Hilfskugel mit dem Radius 1; die Oberfläche dieser Kugel
theile man auf irgend eine Weise in Elemente do, und denke
sich den Punkt init allen Punkten der Peripherie eines
jeden Elementes durch die Geraden verbunden. Auf diese
Weise erhält man lauter unendlich dünne Kegel; diese zer-
schneide man wiederum durch Kugeloberflächen, die mit der
ersten concentrisch sind, und deren Radien unendlich wenig
von einander verschieden sind. Jeder Kegel schneidet aus
jeder dieser Kugelflächen ein Element von der Grösse r^do
heraus, wenn r der Abstand "Mer Kugelfläche vom Punkt
ist; und da die Höhe eines der durch den Durchschnitt der
KegeJ- und Kugeloberflächen gebildeten Raumelemente dr
ist, so wird der Inhalt desselben r^drda. Setzt man diesen-
Werth für dT in das erste Integral unter (1), so entsteht:
V = frJcdrdö,
Aus dieser Gleichung ist ersichtlich, dass v, nothwendig einen
bestimmten endlichen Werth erhalten wird, da die zu inte-
grirende Function überall endlich ist. Auf dieselbe Weise
findet man
=ß
kdrda ,
r '
so dass auch X einen bestimmten endlichen Werth hat;
denn ist der Cosinus des Winkels a, den r mit der
X-Axe bildet, also immer ein echter Bruch. Anders ,verhält
es sich mit dem dritten Integral, welches durch die Sub-
stitution für dT übergeht -in
fk '"^'f -^^ drä0 =fjc -A+lJPl^
drdö.
Schon der Theil dieses Integrals, welcher einem der Ele-
mentarkegel entspricht, wird unendlich, und die Theile,
welche verschiedenen Kegeln entsprechen, werden theils posi-
tiv, theils negativ unendlich. Das Integral ist mithin völlig
unbestimmt. Daraus darf mg,;i aber nicht schliessen, dass
auch ^— sinnlos ist, sondern nur dies, dass jenes Verfahren,
Das Potential einer einen Raum erfüllenden Masse. H
unter dem Integralzeichen zu differenziren, wodurch ^ — be-
stimmt werden sollte, jetzt nicht statthaft ist.
Liegt aber der Punkt ausserhalb der Masse, so ist
klar, dass alle drei Integrale, auch das dritte, einen Sinn
haben. Für äussere Punkte gilt also auch die Gleichung
dx^ •" dy"" "" dz'~^'
§.4. •
Liegt der Punkt ausserhalb der Masse, so haben
Potential und seine sämmtlichen D.erivirten bestimmte end-
liche Werthe. Daraus kann man den Schluss ziehen, dass
im äusseffen Raum v und alle Derivirten von t> stetige Functionen
von X, t/, z sind. Denn für die Stetigkeit einer Function
ist nur erforderlich, dass ihre Derivirte einen endlichen Werth
habe, anders im Innern und auf der Oberfläche der Masse,
wo die Stetigkeit gewisser Functionen in der That nicht
mehr stattfindet. Die' Functionen v, ^y j j j- sind freiließ
auch iin Innern und auf der Oberfläche stetig. Um die
Stetigkeit von -j- j'-j- y j- für diesen Fall nachzuweisen, müssen
wir ein anderes Verfahren in Anwendung bringen; für v
reicht die vorige Methode hin, weil nach §. 3. die Derivirten
von V immer bestimmte endliche Werthe haben.
Es soll also bewiesen werden, dass 3- , 3— , 5- sich überall
' dx^ dy' dz
nach der Stetigkeit ändern; das thun sie, obgleich ihre
d^ V
Derivirten ^— 2 u. s. w. sich jetzt nicht mehr überall stetig
ändern. Die Stetigkeit lässt sich hier, wie auch sonst oft,
dadurch nachweisen, dass man die in Rede stehende Grösse
in zwei Theile zerlegt, von denen der eine offenbar stetig
ist, der andere aber so klein gemacht werden kann, wie inan
nur will. Ist dies möglich, so ist offenbar die Stetigkeit
der ganzen Grösse bewiesen. Wir beschreiben also um den
Punkt eine Kugelfläche mit einem beliebigen Radius d
(Fig. 3.); dadurch wird die ganze Masse in zwei Theile zerr
legt, in den von der Kugeloberfläche, oder — falls der
12 Erster Abschnitt.
Punkt auf der Oberfläche der Masse liegt — von der
Kugeloberfläche und einem Stück der Massenoberfläche be-
grenzten, und den übrigen. Das
^'- .l' ^ — ^ Potential des ersten Theiles sei v^,
äes zweiten v^? so dass v = v^-^- V2
und
dv dv^ . dv^
dx dx ' äu;
Nun ist -T^ stetig, weil der Punkt
^ dx
für die Masse, deren Potential v^
ist, ein äusserer ist. Setzt man dT = r^dodr {%.^)j so ist
Dies Integral ist, wie leicht zu sehen, kleiner als AnKd^
wenn K Jen grössten Werth des Productes ~ Je inner-
halb des Integrationsgebietes bezeichnet. Denn schreibe ich
^n dem Integral statt Je in jedem Element den Werth
K, so vergrössere ich; es ist also
Da, f dr = S ist, und fda gleich der -ganzen oder der
halben Oberfläche jener Hilfskugel mit dem Radius 1 (§. 3.),
d. i. 4yt oder 2ä, je nachdem der Punkt im Innern oder
auf der Oberfläche der Masse liegt, so ist jedenfalls
dx
Die Grösse 4:7cKS ka,iin aber, wenn wir d abnehmen lassen,
beliebig klein gemacht werden; dies gilt also um so mehr •
von der Grösse -r-^ . Mithin ist 3- stetiff.
dx dx ^
Fassen wir Alles zusammen, so können wir also sagen:
Das Potential v und seine ersten Derivirten nach Xj y, z
ändern sich im ganzen unendlichen Raum nach der Stetigkeit.
Anders verhält es sich, wie wir in der Folge sehen
werden, mit den höheren Derivirten.
Das Potential einer einen Raum erfüllenden Masse. 13
§.5.
Für äussere Punkte war
^^ • dx^'^ dp'^ dz''~ ' _
Es entsteht die Frage, welcher Werth dieser Summe für
innere Pifnkte zukomme. Ehe wir diese Untersuchung in
ihrer Allgemeinheit vornehmen, wird es gut sein, erst einei^
speciellen einfachen Fall zu betrachten. Die wirkende Masse
soll die Kugelform und eine constante Dichtigkeit besitzen.
Wir stellen uns zunächst eine von zwei concentrischen
Kugelflächen begrenzte Hohlkugel vor; dieselbe braucht vor-
läufig nicht homogen zu sein, aber es soll doch die Dichtig-
keit irgend eines Elementes eine blosse Function seiner Ent-
fernung vom Mittelpunkt der Hohlkugel sein. Dann wird
das Potential derselben, wie aus der Definition des Poten-
tials hervoi:geht, nur eine Function der Entfernung des
Punktes vom Mittelpunkt der Hohlkugel sein. Bezeichnen
wir diese Entfernung durch p, so ist also
dv dv dg d^v d^v (dg^ i^ ^^ ä^Q .
dx dg dx' d^^ dg^ \dx/ ■" dg dx^ '
da femer
Q^^x^ + y^ + 0\
und folglich •
dg x d^ g 1 x^ '
dx g ' dx^ g g^ '
o hat man
d^v _dHx^ .dv /l ^\
, dx^ dg^ g^ "^dgXg g^ 1 \ ,
d^v
Schreibt man die entsprechenden Gleichungen für ^-^ und
d^v
-T-^ auf, so entsteht durch Addition:
d^v
dx^
, (?^t? . d^v _ß^v , dv (Z g^\_d^v . 2 dv
"•" dy^ "•" dz^ ~ dg^'^ dg\g g^l ~ d^« "•" g dg'
Bezieht sich v auf einen äusseren, d. h. nicht in der
Mas^e selbst liegenden Punkt, so hat man, wegen (1), .für
V diese Differentialgleichung:
d^v _, 2 fiv ^
dg^ "^ g dg
14 Erster Abschnitt.
Dieselbe ist sehr leicht zu integriren; man setze j- = ^;
so wird:
oder
'1^ + ^ =
^ + 2-^ = 0.
S ' Q
Is + 2Z() = Ic
dv c
' — dQ — Q^^
Hieraus ergiebt sich:
oder
also
und daraus
(2) v=J'-^dQ = ^ + c.
Es sind noch die Constanten c und c zu bestimmen. Hierbei
sind die beiden Fälle zu unterscheiden, ob der Punkt
innerhalb der inneren, oder ausserhalb der äusseren Be-
grenzungsfläche liegt.
Im ersten Fall ist c == O5 denn sonst würde das Po-
tential im Mittelpunkt der Hohlkugel, wo p = ist, un-
endlich werden, während doch das Potential -überall einen
endlichen Werth' hat. Innerhalb der Hohlkugel ist also das
Potential coristant, = c , woraus man schliesst, dass die An-
ziehung selbst verschwindet. Die Hohlhugel übt also auf
einen Funkt ^ der innerhalb ihrer inneren, Begrenzung liegt, gar
keine Anziehung aus. Um den constariten Werth c', den das
Potential in diesem Falle hat, zu bestimmen, lege man den
Punkt in den Mittelpunkt der Hohlkugel. Man zerlege
femer die ganze Kugelschale in unendlich dünne, concen-
trische, homogene Schichten, so erhält man zunächst das
Potential einer dieser Schichten, wenn man ihre Masse durch
ihren Radius dividirt. Bezeichnen wir diesen Radius mit r,
so • ist das Volumen der ScKicht Anr^dr, also ihre Masse
A^r^kdr, und ihr Potential Aicrkdr. Mithin ist das Poten-
tial der ganzen Hohlkugel, wenn man die Radien der äusseren
und inneren Begrenzungsfläche resp. durch a und ß bezeichnet,
Das Potential einer einen Raum erfüllenden Masse.
15
c = Ave J rndr,
(i
Dies ist also das constante Potential in der ganzen Höhlung,
und zwar, weil das Potential nach §. 5. sich überall stetig
ändert, mit Einschluss der Oberfläche des inneren Raumes.
Während in der Höhlung die Constante c der Gleichung
(1) gleich ist, so muss im äusseren Raum die Constante
c gleich Ö sein, da das Potential für wachsende q sich offen-
bar der Grenze nähert; Im äusseren Raum ist also:
(3)
Q
Die Constante c ist gleich der Masse der Hohlkugel. Es
findet nämlich der folgende ganz allgemein gültige Satz statt:
Hat man eine irgend wie begrenzte Masse, deren Po-
tential in Bezug auf irgend einen äusseren Punkt gleich v
sei, und bezeichnet man durch p die Entfernung des letzteren
von irgend einem festen im Innern der Masse liegenden
Punkt, so ist vq ein Produdt, welches, wenn jener Funkt
immer weiter von ch] Masse fortrückt, sich der constanten
Grenze M nähert.
Um dies Theorem, von dem wir auch später wiederholt
Gebrauch machen werden,, zu beweisen, zerlegen wir die
Masse M in zwei Theile, von denen der
eine M die positiven, der andere
— M" die negativen Massentheile um-
fasst. Die kleinste Entfernung des Punk-
tes von der Masse sei p^, die grösste
Pg (Fig. 4.). Der Theil des Potentials
V, der von der Masse M' herrührt, sei
v\ der, welcher von der Masse — M"
herrührt, i
Dann ist:
Fig. 4.
so dass V = v' -{- v"
(4)
(6)
M' ^ ,
- M" ^ „
(5)
(7)
- M'
Qi
>v
Addirt man (4) und (7), und auch (5) und (6), und multi-
plicirt mit q,.so entsteht:
16 Erster Abschnitt.
Q2 Qi ^
Hieraus folgt, da, für wachsende p, lim — = 1 == lim — ist:
Die Constante c der Gleichung (3) ist also M, so dass
man hat
Hieraus folgt weiter, durch Differentiation:
y dv M X
dx 9* 9 '
Y== — = — ^ ^
dy Q^ 9 ' '
y d^ M z ^
dz ^^ ^ '
woraus sich für die ganze in dem Punkt stattfindende
Kraft jR folgende Gleichung ergiebt:
M
R = -/(Z^ + r« _^ ^2) _ ^
Daraus der Satz: * •
Eine Hohlkugel y die aus lauter homogenen concentrischen
Schichten besteht; wirkt auf einen Funkt des äusseren Baumes
so, als wenn ihre ganze Masse im Mittelpunkt läge.
Für den äusseren Raum ist also:
(1) . = f = ^/VM,;
und in der ganzen Höhlung:
a
(2) v = 4jr f QkdQ.
i ■
Pur den Fall, wo k constant ist, hat man demnach:
(1) . ^ = ^— T^^
bis an die Oberfläche, d, h. bis q = a incl,, weil das Poten-
tial überall stetig ist;
Das Potenitial einer einen Baum erfüllenden Masse. 17
2) v = 2nh{a^ — ß''),
mit Einschluss der Oberfläche des inneren Baumes.
Wir können jetzt das Potential einer homogenen Voll-
hagel überall bestimmen. Der Kugelradius sei d.
1) Der Punkt liege im äussern Raum. Da ist die
letzte Formel 1) anwendbar, worin wir nur ^ = zu setzen
brauchen:
. 1) ^ = -3--7-
2) Der Punkt liege im Innern der Masse. Wir brau-
chen nur die Vollkugel durch eine' mit ihr concentrische
durch gelegte Kugelfläche in zwei Theile zu zerlegen, so
ist das gesuchte Potential gleich der Summe aus dem Po-
tential einer Vollkugel in Bezug auf einen ^uf deren Ober-
fläche liegenden Punkt und dem Potential einer Hohlkugel
in Bezug auf einen auf ihrer inneren Oberfläche liegenden
Punkt:
= 2jt1ca^ — f jTÄpl
Das Potential hat also einen ganz verschiedenen Charakter,
je nachdem der Punkt ausserhalb oder innerhalb der Kugel
liegt: im äusseren Raum wäre die Curve, welche das Poten-
tial als Function von q darstellt, eine Hyperbel, im Innern
eine Parabel. Setzt man aber in den beiden letzten Glei-
chungen 1) 'und 2) Q = a, so müssen ihre beiden rechten
Seiten, weil v stetig ist, zusammenfallen, was sie auch thun.
Bilden wir jetzt die Derivirte erster und zweiter Ord-
nung von Vy so wissen wir schon, dass die erster Ordnung
stetig ist:
dv 4:nka^ X
1)
dx 3
An der Oberfläche , fallen auch diese zwei Ausdrücke zu-
sammen. Das Potential und seine erste Derivirte bieten also
beide die merkwürdige Erscheinung dar, dass sie beim üeber-
gang vom innern in den äussern Raum stetig sind, ob-
Dirichlet, Fotentialtheorie. 2
18 Erster Abschnitt.
gleich für beide die sie im innem und äussern Raum dar-
stellenden Ausdrücke wesentlich verschieden sind.
Anders verhält es sich aber mit der zweiten Derivirten.
Im äussern üaum haben wir:
1) äp = — 3-r» + ^''*''V''
im innem Raum hingegen:
^^ ä^ ~ "3" •
Auf der Oberfläche fällt der zweite Werth nicht mit dem
ersten zusammen, sondern ist um 4jrÄ -r kleiner. Es ändert
sich daher die zweite Derivirte zwar nach der Stetigkeit im
ganzen Innern und im ganzen äussern Raum^ aber beim
Uebergang voft dem einen in den andern findet ein Sprung
d^ V . "
statt: ^2 hat an der Oberfläche zwei Werthe. Ebenso ist
es mit den beiden anderen zweiten Derivirten :=— « und 3-^ .
. . dy^ dz*
Für eine homogene kugelförmige Masse ist also im
innem Raum
d^v d^v d^v 4:nk
' dx*~df~dz^~ 3~'
folglich die Summe
d"^ ^ _i_ d'^ '^ _\ <^*«^ A V
Für den äussern Raum hat diese Summe den Werth 0.
Was ist diese Summe an der Oberfläche? Sie ist nichts
Bestimmtes, denn es gilt der eine wiQ der andere Werth.
§. 6.
Das für die homogene Kugel gefundene Resultat gilt für
jede Form der wirkenden Masse, auch wenn letztere nicht
homogen ist. Es findet nämlich folgender allgemeine Satz statt:
Wenn der Ihmht sich im Innern der tvirJcefiden Masse
d* 13 d* V d v
befindet, so ist immer der iJomplex j— 2 + ^ + ^^ gleich dem
Product am — 4ä in die m stattfindende Dichtigkeit
Um dies nachzuweisen, müssen wir uns nach einem
Mittel umsehen, die zweiten Derivirten von v im Allge-
Das Potential einer einen Raum erfüllenden Masse.
19
meinen zu bilden, ohne die Integralform zu verlassen; denn
das kann man nicht immer, wie in dem speciellen Beispiel'
einer homogenen kugelförmigen Masse. Es war
dx
k-ß
IdT-
Flg. 6.
Wenn man ein Integral hat, das, wie das vorstehende, einen
bestimmten endlichen Werth hat, diflferenzirt aber sinnlos
wird, kann man oft diesem üebelstande dadurch vorbeugen,
dass man das Integral vor dem Differenziren umformt durch
theilweises Integriren.
Wir theilen die ganze Masse in unendlich dünne Cylinder,
die alle der X-Axe parallel sind (Pig^ö.). Der Querschnitt
irgend eines Cylin-
ders sei dö. Um den
Cylinder in .wirk-
liche Elemente zu
zerschneiden , legen
wir durch die ganze
Masse lauter der
ZZ- Ebene parallele
Ebenen in unendlich-
kleinen Entfernun-
gen da von einander.
Dann ist das Raumelement dT = döda^ also
-j
hdöda ■
r^^(a-xy + (b-yy + (c^0y.
Man integrire zunächst nach a, fasse also alles zusammen,
was in denselben Cylinder fällt, dass man hat:
X=fdöfjc~^da.
Das auf a bezügliche Integral kann man nun theilweise inte
1 a
griren,
da
dass also
-5— die Derivirte nach a von ist, so
X
' I da I h — j_ ^ da.
da
20
Erster Abschnitt.
Wir nehmen zunächst, an, der Punkt liege ausserhalb der
Masse; dann wird der Factor — in keinem Cy linder unend-
lich. Die theilweise Integration giebt folgende Gleichung,
in welcher die Integrale unbestimmte Integrale sind:
da r ' ey t da
da.
Die theilweise Integration darf nur dann für die Umformung
eines bestimmten Integrals angewandt werden, wenn das
vor das Integralzeichen tretende Glied eine stetige Function
ist. Wir müssen also jetzt voraussetzen, dass die Dichtig-
keit h eine stetige Function nicht nur von a, sondern weil
hernach die Integrale für Y und Z in ähnlicher Weise zu
behandeln sind, auch von h und c ist. Geht man zu dem
bestimmten Integral über, so muss man berücksichtigen, wo
der Cylinder in die Masse eintritt und wo er wieder aus-
tritt. Wenn der Cylinder mehrfach ein- und austritt (Fig. 6.),
Fig. '6.
seien die Werthe von r und Tc an den Ein- und Austritts-
stellen r', fe'; r\ W u. s. w. Dann ist:
I ^\~r) (h' h" Je" \
de f h — -^ da = dö (-7 jt 4- -fh — . . ,)
e/ da \r r * r /
4- da I — ^ da,
' J r da
Die beiden in dieser Gleichung enthaltenen Integrale sind
bestimmte Integrale und auf alle Elemente eines Cylinders
auszudehnen. Das erste Glied der rechten Seite lässt sich
Das Potential einer einen Raum erfüllenden Masse. 21
umformen durch Einführung der Elemente der Oberfläche
an die Stelle des Cylinderquerschnitts dö. Irgend ein Ele-
ment der Oberfläche, welches ein Cylinder aus letzterer
herausschneidet, sei ds, (In der Figur ist ab = dö, ac = ds.)
Dann ist klar, dass
dö = ds cos hac,
wo hac den Neigungswinkel bezeichnen soll, den die in ds
an die Oberfläche gelegte Tangentialebene mit der FZ- Ebene
bildet. Der Winkel zwischen zwei Ebenen ist der spitze
Winkel zwischen den zwei auf ihnen errichteten Normalen.
Der Winkel a, welchen die nach aussen errichtete Normale
ap mit der positiven Richtung der X-Äxe bildet, ist offen-
bar an der Eintrittsstelle stumpf, an der Austrittsstelle spitz.
Bezeichnen wir also die durch den Cylinder aus der Ober-
fläche ausgeschiedenen Elemente der Reihe nach mit ds\ d$\..
und die daselbst stattfindenden Werthe von a mit «', «"...,
so wird
da = — ds cos «' = -}- ds" cos a = — ds' cos d" = . . .,
und folglich
J / fe — T"""" ^ö^ = — (— COS d ds -f- -TT cos a ds" + . . .)
da
/ aa \r
dk 7
^-da.
da
Dies ist der Beitrag zur Componente X, welchen einer der
Cylinder liefert: um die ganze Componente zu erhalten, ist
der vorstehende Ausdruck noch doppelt zu integriren. Die
Je Je" *
Glieder des Aggregates — cos d ds' + — cos a" ds" + . . . be-
ziehen sich auf die Oberflächenstücke, die von dem einen
Cylinder herausgeschnitten sind; addire ich die Beiträge
sämmtlicher Cylinder, so erhalte ich statt jenes Aggregates
das doppelte Integral ff cos a — ds^ welches über alle Ele-
mente der Oberfläche auszudehnen ist, und es wird:
jMT^-^ = -Jj\o.a'-ds+JJfd.da'-f^. (1)
Also unser dreifaches Integral ist umgeformt in die Diflfe-
22 Erster 'Abschnitt.
renz von zwei Integralen^ von denen das eine ein doppeltes
Integral ist, das sich über die ganze Oberfläche der wirken-
den Masse erstreckt, während das andere ein dreifaches von
demselben Umfang wie das ursprüngliche ist (indem es sich
über den ganzien von der Masse erfüllten Raum erstreckt),
in welchem aber nur die erste Potenz von r als Divisor
erscheint.
Bis jetzt ist die Richtigkeit der Gleichung (1) nur für
den Fall bewiesen, dass der Punkt ausserhalb der Masse
liegt. Um ihre Gültigkeit auch für innere Punkte nachzu-
weisen, wollen wir noch eine zweite Beschränkung machen,
dass nämlich innerhalb der Masse, wo ja i stetig sein soll,
dh dk dk
die Derivirten von Ä, nämlich J- } JX) t' nirgends unendlich
werden. Wir beschreiben um den Punkt 0, der jetzt im
Innern liegen soll, eine Kugelfläche mit dem Radius d, und
zerlegen die Componente X in zwei Theile, von denen der
eine, den wir mit C bezeichnen wollen, von dem Stück der
Masse, welches von dieser Kugelfläche eingeschlossen ist,
herrührt. Für den andern ist offenbar die Gleichung (1)
ohne Bedenken anwendbar, weil der Punkt ausserhalb
derjenigen Masse liegt, von welcher dieser andere Theil der
Componente herrührt; das Doppelintegral der Gleichung (1)
bekommt aber einen Zuwachs, herrührend von der Kugel-
oberfläche, während das dreifache Integral sich nicht mehr
auf die ganze ursprüngliche Masse ' erstreckt, sondern nur
auf dieselbe mit Ausschluss des innerhalb der Kugelfläche
enthaltenen Stückes. Demnach ist jetzt
X==-fH^ds+ff;^^dT-A-B+C. (2)
Die einzelnen Glieder der rechten Seite der vorstehenden
Gleichung haben folgende Bedeutung. Das erste Integral
ist ein Flächenintegral und ist auszudehnen auf die ganze
Oberfläche der ursprünglichen Masse. Das zweite Integral
ist ein dreifaches, und erstreckt sich über die ganze ur-
sprüngliche Masse. Beide Integrale sind also unabhängig
von S% Ferner ist Ä das Flächenintegral / — — ds, aus-
Das Potential einer einen Kaum erfüllenden «Nf aase. 23
gedehnt über die um beschriebene Kügelfläche mit dem
Radius d; J? ist das dreifache Integral I ^ dT ausgedehnt
über den ganzen Baum jener Kugel; C endlich ist das drei-
fache Integral jh^^—^—dT, und erstreckt sich gleichfalls
über den ganzen kugelförmigen Raum. Da X offenbar von
S unabhängig ist, und gleichfalls die beiden ersten Integrale
der zweiten Seite der Gleichung (2), so muss auch das Ag-
gregat — A — J? + (7 in Bezug auf 8 eine Constante sein.
Diese Constante kann aber nicht von verschieden sein, da
— wie wir sogleich zeigen werden — jenes Aggregat für
abnehmende Werthe von 8 verschwindet. Mithin ist der in
der Gleichung (2) enthaltene Ausdruck für die Componente
in Bezug auf einen innern Punkt identisch mit dem in der
Gleichung (1) enthaltenen, und letztere gilt allgemein.
Es ergiebt sich nämlich leicht, dass jedes einzelne der
drei Glieder A, B^ C, wenn man 8 abnehmen lässt, sich
der Grenze Null nähert. In dem Flächenintegral A ist r
constant und gleich d; setzen wir für cos a den Werth 1,
und für Ä den grössten Werth Tcq, den ft auf der Kugelober-
fläche hat,, so vergrössern wir: folglich ist:
oder, da Jds = Ajti
^<j'fds>
A<ijtJcQ8.
dk
In B setzen wir statt ^ den absolut grössten Werth l, den
die dk
j- in der Kugel annimmt (ein solcher existirt, da j- nirgends
unendlich werden soll): dadurch wird B jedenfalls nicht
verkleinert; femer setzen wir statt dT den Werth r^dödr,
und erhalten:
B^lfdöfrdr,
oder, wegen frdr = ^ 8^, und fdö = 43r,
B^27cl8\
Was endlich C betrifft, so ist schon in §. 4. nachgewiesen^
24 Erster Abschnitt.
dass es die Grenze Null hat. Man kann also den Radius
d so klein annehmen, dass jede der Grössen Ä, B, C etwas
beliebig Kleines nicht erreicht. Dasselbe gilt, wenn der ••
Punkt statt im Innern auf der Oberfläche liegt (nach §. 4.).
Mithin ist in aller Strenge nachgewiesen, dass auch für
innere oder auf der Oberfläche liegende Punkte die Gleichung
^ /'ä; cos a , , rdk 1 ,«,
stattfindet.
Wir bilden jetzt die Derivirte nach x. Den Fall, wo
der Punkt auf der Oberfläche liegt, schliessen wir aus;
an der Oberfläche hat j— auch keinen bestimmten Sinn. Die
Differentiation unter dem Integralzeichen auf der rechten Seite
der vorstehenden Gleichung wird zulässig sein; denn in dem
ersten Integral wird r nie Null, da r nicht auf der Ober-
fläche liegen soll, und das zweite Integral hat ganz die Form
dk
eines Potentialintegrals (wenn wir j- als Dichtigkeit betrachten),
wird also, wie wir schon wissen, nicht sinnlos nach der
Differentiation. Es wird:
d^v ^X Ck cos et a — x , _i_ C^^ ^ -*- ^ j rp ^
dx^ — dF~ J~y^ r ^^'^Jd~a~V^~^^'
Schreiben wir die entsprechenden Gleichungen für j-^ und
;=-5 auf, so erhalten wir durch Addition:
dz
d^v , d^v , d^v rkdsla—x . h — y ^ . c—z \
* CdT ia — X dk .h — y dk _.c — z dk\ ,o\
"V "^ V r~~ d~a "T 7~ db "^ 7~ d~cl ' . ^^^
Der Punkt soll jetzt im Innern der Masse liegen.
Dann können wir, der Allgemeinheit unbeschadet, die Masse
kugelförmig annehmen und in den Mittelpunkt der Masse
legen (Fig. 3.), weil wir jede Masse in zwei Theile zerlegen
können, so dass für . den einen der Punkt ein äusserer
und deshalb ^ + ^ + 5^» ^^ ^ ^^*- Wenn die Masse aber
kugelförmig ist und in ihrem Mittelpunkt liegt, so fällt
Das Potential einer einen Raum erfüllenden Masse. 25
die von dem Punkt oder (x, y, z) nach irgend einem Punkt
(a, hy c) der Oberfläche gezogene Gerade mit der in letzte-
X
rem Punkt errichteten Normale zusammen; da ferner
der Cosinus des Winkels ist, den jene Gerade mit der X-Axe
bildet, so ist = cos a, und ebenso ^ = cos ß,
= cos y; also in dem ersten Integral der Gleichung (3)
cos a -j -^ cos p -| cos y = 1.
Ferner ist in detaselben Integral r constant und gleich dem
Radius R der Kugel. Polglich hat manc
da"« "• 5p + dp ~
bJ^^^^J r^ \ r da^ r db^ r de)' W
Es ist leicht zu sehen, dass in dem zweiten Integral dieser
Gleichimg der Factor von —^ als ein partieller Diflferential-
quotient geschrieben werden kann, wenn man sich die Dichtig-
Ikeit ausgedrückt denkt als Function der Entfernung vom
Mittelpunkt und zweier Winkel, welche die Lage des radius
vector bestimmen. Geht man nämlich von einem Punkt
(a, 6, c) zu irgend einem andern ihm benachbarten über,
dessen Goordinaten a + da, h + dh, c -{- de seien, so er-
leidet die Dichtigkeit eine Aenderung
^^-?a^'' + f,^^ + fo^^: (5)
Bezeichnen wir den Winkel, den r mit der X-Axe bildet,
durch A, so ist
a — X = r cos L (6),
Rückt nun der Punkt (a, 6, c) auf der Jjinie r um dr fort,
und ändert sich a dabei um dra, so ist auch
a + drü — x = (r -{- dr) cos A. (7)
Subtrahirt man (6) von (7), so entsteht:
^r^ , a — X
-T— = COS A = .
dr r
26 Erster Abschnitt.
Ebenso ist natürlich:
^r^ h — y ^r^ c
dr r ^ dr r ' •
Substituirt man in (5) für rfa, dh, de die Werthe drü, drh, drC,
d. h. also die Aenderungen, die a, h, c erleiden, wenn man
auf der Linie r bleibt, und dividirt beide Seiten der Glei-
chung durch dr^ so entsteht:
dk a — xdk.h — ydk.c — z dk
dr r c?a ' r dft ' r de'
Substituiren wir diesen Werth in (4), und setzen zuglQich
r^drdö statt dT, so haben wir:
d^v , d'v . d^v 1 A^ , A^ Cdk .
In dem zweiten Integral der vorstehenden Gleichung lässt
sich die Integration nach r ausführen, da das unbestimmte
Integral
dr = k -\- const
ß
dr
ist. Wir haben von r = bis r = R zu integriren. Be-
zeichnen wir die Werthe des Ä, die diesen Werthen des r
entsprechen, mit k^ und K, so wird das zweite Integral
fdö(K-k,\
und da Ä^, die Dichtigkeit im Punkt 0, eine Constante ist,
so kann man hierfür schreiben
fKdö — k^Jda
oder, da Jdö = 4^%, und de = ^a ist,
^ / Kds — Atc V
Mithin hat man:
Bedenkt man, dass das K des zweiten Integrals dieser Glei-
chung gleich dem k des ersten Integrals ist, nämlich die
Dichtigkeit an jeder Stelle der Oberfläche, so hat man'
schliesslich:
Das Potential eicer einen Baum erfüllenden Masse. 27
Haben wir also eine kugelförmige Masse, innerhalb
dk dk dk
welcher h stetig ist, und t^ j Tk> J~ nirgends unendlich werden,
und bilden den Complex 5-1 + 5^ + 5^ ^^^ ^®^ FM, dass
der Punkt im Mittelpunkt dei: Masse liegt, so ist derselbe
gleich dem Product aus — 4x in die im Mittelpunkt statt-
findende Dichtigkeit. Daraus folgt aber weiter, dass die-
selbe Behauptung gültig bleibt für eine beliebig geformte
Masse, wo auch die Dichtigkeit nicht stetig zu sein braucht,
dk
auch j- u. s. w. gerne unendlich werden ksenn, wenn nur
keins von beiden um den Punkt herum stattfindet. Be-
schreiben wir nämlich um den Punkt herum eine Kugel-
fläche, so dass innerhalb derselben weder ünstetigkeit von k
noch ünendlichwerden der Derivirten von U stattfin^det, und
nennen den Theil des Potentials v, der von der innerhalb
der Kugelfläche enthaltenen Masse herrührt, Vy den übrigen
v\ so dass V = V -{- v\ mithin
d^v d^v , d^v' j . ,
d^v . d^v ^^ d^v ^ ,
folglich
dx^ "+■ dp" ■+■ dz^ ~ ^'
d^v ^^d^ ^^d^v " . ,
Unser Satz gilt demnach 'für jede Masse, mit Ausnahme der
Punkte, um welche herum nicht ein wenn auch noch- so
kleiner, Raum abgegrenzt werden kann, wo Stetigkeit der
Dichtigkeit und kein UnendKchwerden ihrer Derivirten statt-
findet. Diese Punkte können keine räumliche Ausdehnung
haben, das ist durch die physische Bedeutung ei&er Masse
ausgeschlossen; es können nur einzelne discrete Punkte, Linien
oder Flächen sein, für welche unser Satz nicht gültig ist. '
Wejiu wir bedepken^ dei»ss die Dichtigkeit überall im
28 E^'ster Abschnitt.
äussern Raum gleich Null ist, können wir die beiden Sätze
d^ 1) d^ V d^ v
Über den Werth des Complexes ^7, + t-j + j-^ im innem
und äussern Raum in diesen Einen Satz zusammenfassen:
Es ist im ganzen unendlichen ^Baurnj mit Ausnahme ge-
wisser Punhtey Curven, Flächen,
d^v ^^d^v j^ d^v ^ j
^+ df '^ d?~~' ^^''^ '
miter k^ die Dichtigheit an der Stelle {x, y, z) verstanden.
Es ist immer wenigstens eine Ausnahmefläche vorhanden,
nämlich die Oberfläche der wirkenden Masse, da die Dichtig-
keit sich, so wie man von der Oberfläche nach aussen geht,
sprungsweise ändert^ um den Werth Null anzunehmen.
§. 7.
Das Potential v einer einen Raum stetig erfüllenden
Masse,* welche ein zusammenhängendes Ganzes bildet, oder
aus mehreren getrennten Theilen besteht, besitzt nach dem
Vorhergehenden folgende Eigenschaften:
1) Sowohl V als auch ^9 j-f t~ ^^^ ^^"^ ganzen Raum
stetige Functionen.
2) Mit Ausnahme von gewissen Punkten, Linien, Flächen
ist im ganzeü Raum
dH , dH idH_ " ,
wo fe die Dichtigkeit im Punkte (x, y, js) bezeichnet.
Diesen beiden Eigenschaften fügen wir noch eine dritte
hinzu. Wir sahen, dass, wenn der Punkt (x, y, z) immer
weiter fortrückt, das Product aus dem Potential und der
Entfernung q dieses Punktes von einem festen Punkt sich
der Constanten Grenze M nähert (§. 5.). Darin liegt, dass
das Potential sich der Grenze Null nähert, wenn die Ent-
fernung des Punktes von der Masse wächst. Dies wäre
die dritte Eigenschaft des Potentials. Wir müssen dieselbe
aber noch mehr specialisiren. Wir können sagen, dass die
drei Producte xv, yv, zv nicht über alle Grenzen hinaus
. , d
ist T
a
Das Potential einer einen Raum erfüllenden Masse. 29
wachsen können, weil qv nicht unendlich wächst, und x, y, z
nicht grösser sind als q.
In Bezug auf die Derivirten ergiebt sich folgendes. Es
r7 j« I Je CL ' OC CL OC *
3-= I -T dT. Wenn wir statt in iedem Ele-
ix J r^ r r «^
ment des vorstehenden Integrals 1 setzen, so vergrössem
wir, oder es ist
Es bezeichnet T die Entfernung eines jeden Elementes der
Masse von dem Punkt {x, y, z):^ setzen wir statt r überall
den kleinsten Werth r^ sämmtlicher r, so vergrössem wir
das Integral abermals, so dass
dx ^ ri V
Es ist aber fkdT gleich der gesammten wirkenden Masse
M, also
dv ^ M , 9 dv ^ Q^ j.^
Wenn der Punkt sich immer weiter entfernt, nähert sich
— der Grenze 1; daraus folgt, dass Q^ j- nicht über alle
t*j UiX
Frenzen hinaus wachsen kann. Da mm q^ = x^ -{- y^ -{- z^
ist, so kann o^ ^ a fortiori nicht unendlich wachsen.
Demnach stellen wir Folgendes als dritte Eigenschaft
des Potentials auf:
3) XV ^ yv, ZV, ^^ 3- > y^ T~ 9 ^^ T' ^^^ überall endliche
Werthe.
Diese drei Eigenschaften sind charakteristisch für das
Potential: sie kommen dem Potential zu, dt)er es ist auch
umgekehrt jede für den ganzen Baum gegebene Function, welche
jene drei Eigenschaften besitzt, das Potential des durch Je ge-
gebenen Jifassensystems. Also dies ist jetzt die Behauptung:
Ist irgend ein Massensystem gegeben,, und ist ferner v
eine im ganzen Raum (durch eine oder mehröre Formeln)
30 Erster Abschnitt.
gegebene Function von x, y, z, welche folgenden drei Be-
dingungen genügt:
1) V und seine ersten Derivirten nach Xy y, z sind
überall stetig.;
2) mit Ausnahme gewisser Stellen (die aber keine räum-
liche Ausdehnimg haben) ist im ganzen Raum
dx' ^ dy' ^ dz^ T ^^'^^
wo h die Dichtigkeit des Massensystems im Punkte Xj y, z
bezeichnet;
3) die Producte
werden nirgends unendlich;
so ist V das Potential des Massensystems in Bezug auf den
Punkt (Xf y, z).
Der Beweis dieses Satzes beruht auf folgendem
Hilfssatz.
Sind u und w zwei Functionen von x, y, z-, welche nebst
ihren ersten Derivirten nach x, y, z innerhalb eines be-
grenzten Baumes gegeben und stetig sind; bezeichnet man
die Elemente dieses Raumes durch dT, und die Elemente
seiner Oberfläche durch rfs; sind endlich a, ß, y die Winkel,
welche die auf ds nach aussen errichtete' Normale mit der
X-, Y-j Z-Axe bildet, so ist
f/d^u , d^u , d^u\ j m r/du .du o i du \ -,
f/du dw , du dw j^du dw\ -. rp (1)
J \dx dx dy dy dz dz) '
wenn das erste Integral auf der rechten Seite dieser Glei-
chung über die ganze Oberfläche, die beiden anderen Inte-
grale durch den ganzen Raum ausgedehnt werden^).
Beweis. Wir zerlegen den ganzen Raum in Elemente
in derselben Weise wie in §. 6., so dass also dT = dcdx
wird, und erhalten für den ersten Bestandtheil / j-^ wdT
Das Potijßntial einer einen Kaum erfüllenden Masse. 31
des Integrals auf der linken Seite den Ausdruck f dö 1 j—^wdx.
Die theilweise Integration auf das Integral / ^^ wdx ange-
wandt, ergiebt
/du dw
dx dx^
tv , f 3t: 3^. dx.
du
Da «<^ 3- nach der Annahme stetig ist, so dürfen wir zum
bestimmten Integral übergehen. Der Werth von m; ^ an der
Stelle, wo der Elementarcylinder zuerst eintritt, werde durch
\w j-j ,wo er zuerst austritt, durch (^ j-) bezeichnet, u. s. w.;
dann ist,
dö I -T^wdx=
-^'^(«'1)'+ '^^ («'S)"- • • • • -^''Jtx Tx '^*-
Führen wir, wie in §. 6., wieder die nach aussen gerichtete
Normale ein, so wird
de ^= — ds cos a = -\- ds' cos «" = ....,
folglich
■3 f ff duV , , // // / duV' . j^ Cdu dw ,
ds co^a [w^j -f-ds cos« v^'r) +••• — ^^ I d~ d~ '^
und wenn wir schliesslich über sämmtliche dö integriren, so
erhalten wir
/*^*^ jrr r ^^ j Cdudw-jrr
WO das erste Integral auf der rechten Seite wieder ein Ober-
flächenintegral ist Behandeln wir die beiden andern Inte-
grale / ^ wdT, I —^ wdT in derselben Weise und addiren,
so entsteht die Behauptimg.
Setzeh wir in (1). w = Uy so haben wir die Gleichung
32 Erster Abschnitt
Ist ausserdem die Function u so beschaffen, dass die Summe
ihrer zweiten Derivirten gleich Null ist, so wird
Nehmen wir mm an, ausser dem Potential v existire
noch eine zweite Function v', die auch jenen drei Bedingungen
genüge. Dann ist klar, dass auch die Diflferenz u = v — v
der ersten und dritten Bedingung genügen muss. Die zweite
Eigenschaft des Potentials lautete: Es ist überall (mit Aus-
nahme gewisser Stellen, die aber keine rämnliche Ausdehnung
haben können^
d^v ." d^v . d^v . , ,Q\
da nun aber auch
c?a;« + dy^ + dz^ — ^^^ W
(gleichfalls vielleicht mit Ausnahme gewisser Stellen, die
aber keine räumliche Ausdehnung haben können), so folgt '
für u\ dass überall
d^u . d^u . d^ ^ /e\
dsc^'^dY'^dz^~^ ^^^
ist, ausgenommen erstens diejenigen Stellen, für welche die
Gleichung (3), zweitens diejenigen, für welche die Gleichung
(4) nicht gilt. Die Ausnahmestellen für Gleichimg (5) können
demnach auch nur aus einzelnen Punkten oder Curyen oder
Flächen bestehen. Zu diesen Ausnahmestellen gehören jeden-
falls sämmtliche Oberflächen des Massensystems, also wenigstens
eine Fläche, Jetzt ist nachzuweisen, dass die Function m,
die diese Eigenschaften betitzt, überall gleich Null sein muss]
denn dann würde überall v >= v sein.
Wir beschreiben zu diesem Zwecke einen Cubus, der
zum Mittelpunkt den Coordinatenanfangspunkt hat, und dessen
Seitenflächen den Axen parallel sind; die Kante des Cubus
Das Potential einer einen Baum erfüllenden Masse. 33
sei 2h. Lassen wir. diesen Cubus wachsen, s^ wird es bald
geschehen, dass er alle Ausnahmestellen umfasst. Jetzt iso-
liren wir alle Ausnahmestellen, indem wir sie in folgender
Weise durch Flächen umschliessen. Besteht die Ausnahme-
stelle in einem Punkt, so legen wir um den Punkt herum
eine Kugelfläche; eine Curve isoliren wir durch eine Ring-
fläche (Fig. 7.); hat man endlich eine Fläche als Ausnahme-
stelle, so errichte man in allen Punkten derselben nach beiden
Seiten Normalen von gleicher Länge: ^-^ ^
die Endpunkte der Normalen sollen
die Isolirungsflächen bilden. So wird
der Cubus in eine Reihe wenigstens
zweier zusammenhängender Räume zer-
legt, in denen keine Ausnahmestellen vorkommen. Auf jeden
dieser Räume wenden wir die Gleichung (2) an; dies ist
statthaft, weil u, 3-, -,— , 3- überall stetig sind, und inner-
' ^ dx^ dy' dz ° ^
halb eines jeden Raumes an jeder Stelle,
ist. So entsteht eine Reihe von (wenigstens zwei) Gleichungen
von der Form (2); addiren wir alle diese Gleichungen, so
haben wir;
^Tt r (du .du ^ , (?w \ ,
=^ J "te «°« "^ + d^ ^'^^ ^ + d^ <^«« yj ''*•
Die rechte Seite der vorstehenden Gleichung besteht aus
lauter Flächenintegralen: was wird aus denselben, wenn die
Abschliessungsflächen immer näher an die Ausnahmestellen
rücken, und zugleich der Cubus immer grösser wird? Jedes
Integral, das sich auf eine um einen Ausnahmepunkt herum
gelegte Kugelfläche und auf eine eine Curve abschliessende
Ringfläche bezieht, hat die Grenze Null, weil die Kugel-
imd Ringfläche selbst gegen Null convergiren. Li Bezug auf
die Integrale, welche sich auf Flächen beziehen, die eine
Aüsnahmefläche ausschliessen, gilt Folgendes: Die Seiten-
Dirichlet, Potentialtheorie. 3
34 Erster Abschnitt.
begrenzung der Ausnahmeflächen wird auch unendlich klein;
anders ist es mit den beiden parallelen Flächen selbst: die
bleiben endlich, wenn auch ihr Abstand von der Ausnahme-
fläche abnimmt. Deshalb nähern sich auch die zwei Inte-
grale, die sich auf jene zwei parallelen Flächen beziehen,
nicht nothwendiger weise der Null, wohl aber, wie leicht zu
sehen, entgegengesetzten Werthen, so dass sich die Summe
beider der Null nähert. Es bleibt noch das Flächenintegral
übrig, welches sich auf die Oberfläche des Cubus bezieht.
Jede Seitenfläche des Cubüs ist ein Quadrat von der Grösse
4Ä^. Dehnen wir das Integral zunächst über eine der Seiten-
flächen aus, so sind die drei in demselben vorkommenden
Cosinus constant, und zwar Ist einer derselben +1, die
beiden andern 0; denn die Normale bücket mit einer der
Axen den Winkel oder 180^, mit den beiden andern rechte
Winkel. Das Flächenintegral reducirt sich also, abgesehen
vom Zeichen, unf j u j- ds. Dies Integral ist kleiner als die
ganze Oberfläche, d. i. 4A^, multiplicirt mit dem grössten
Werth, den das Product.w^ auf derselben annimmt. Da
XU, und ebenfalls oc'^ -j- eine. bestimmte endliche Grenze nicht
überschreiten kann, so bleibt auch oc^u -j- überall unterhalb
einer gewissen Grenze x, d. h. es ist
oder
mithin
x^u -r- <oc, also auch w^A^<3c,
du ^ 71
/* du ^ . 4c%
Hieraus ist ersichtlich, dass wenn wir h wachsen lassen,
jenes Integral sich der Grenze Null nähern wird, wenn es
nicht etwa von vorne herein schon Null ist. Dasselbe gilt
von den auf die fünf übrigen Seiten des Cubus bezüglichen
Integralen. Also die zweite Seite der Gleichung (6) wird,
Das Potential einer einen Raum erfüllenden Masse. 35
wenn die isolirenden Flächen den Ausnahmestellen immer
näher rücken, und die den Cubus begrenzenden Flächen
immer weiter rücken, sich der Grenze Null nähern, wenn
sie nicht überhaupt schon Null ist. Daraus folgt in aller
Strenge, dass (^)' + (^)' -f (|^)' in jedem Punkt a, der
keiner Ausnahmestelle angehört. Null ist. Denn nehmen
wir an, diese Summe wäre in a von Null verschieden, so
T .. . . ... . . -, ^ du du du j
konnte sie nur positiv sein; nun smd aber ~r~j ~ß~ }-ß~ ^ ^^d
deshalb \-~\ + (^) 4" (^) stetig; es muss also auch in
einem, wenn auch noch so kleinen um a herum liegenden
Raum g jene Summe noch positiv sein. Mithin ist der
Theil des Integrals
/(er+eir+i^)')"^.
der sich auf den Raum g erstreckt, positiv, und zwar jeden-
falls nicht kleiner als g^, wenn K das Minimum von
innerhalb des Raumes g bezeichnet. Alle übrigen Theile
dieses und der auf die anderen Räume, in die der Cubus
zerlegt ist, bezüglichen Integrale können nie negativ werden.
Also hätten wir auf der einen Seite der Gleichung (6) etwas,
das nie unter einen gewissen Werth qi'N herabsinken kann,
auf der andern Seite etwas, das entweder schon Null ist,
oder doch der Null beliebig nahe gebracht werden kann.
Deshalb ist es unmöglich, dass irgendwo ausserhalb der
Ausnahmestellen [-rA + Vr-) -f- (3-) von verschieden
sei. Dieser Complex ist also auch in den Ausnahmestellen,
denn er ist überall stetig. Daraus folgt, dass im ganzen un-
endlichen Raum ohne irgend eine Ausnahme
e)"+a'+a'-o
\dy.
ist. Folglich ist auch überall
36 Erster Abschnitt.
du ^ du ^ du ^
dx ^ dy '^ dz
Daraus ergiebt sich weiter, dass u im ganzen unendlichen
Raum constant sein muss; und daraus, dass xu nicht zu
wachsen im Stande ist, ergiebt sich endlich, dass der con-
stante Werth des u kein anderer als sein kann.
Den eben bewiesenen Satz werden wir im folgenden
Abschnitt anwenden, um die Richtigkeit der als bekannt
vorauszusetzenden Formel für das Potential eines homogenen
EUipsoides nachzuweisen.
Zweiter Abschnitt.
Potential und Anziehung eines homogenen Ellipsoides.
§.8.
Die Aufgabe, die Anziehung, welche ein homogenes
EUipsoid auf einen innern' Punkt ausübt, zu finden, hat
schon Newton behandelt. Derselbe hat die ^Aufgabe aber
nicht vollständig gelöst: er hat sich auf den Fall eines Um-
drehungsellipsoides beschränkt und gefunden, dass die Rich-
tung der Anziehung für alle auf demselben Durchmesser
liegenden Punkte dieselbe ist, und die Grösse der Anziehung
proportiona;l der Entfernung des angezogenen Punktes vom
Mittelpunkt (Fig. 8.). Dem-
nach kam das ganze Problem
darauf hinaus, die Anziehung
für einen Punkt der Oberfläche
zu bestimmen nach Richtung
und Intensität. Newton hat
dies bloss für die am Ende der
Umdrehungsaxe und auf dem
Aequator liegenden Punkte ge-
than.^) Erst Mac Laurin hat
die Aufgabe vollständig gelöst.*) Mac Laurin ging aber
weiter und beschäftigte sich mit der Bestimmung der At-
traction für einen äussern Punkt; es gelang ihm dies freilich
nur für äussere Punkte, die auf der verlängerten Rotations-
axe und in der Ebene des Aequators liegen.^) Diese Re-
sultate wären auf gemischtem Wege gefunden: theils durch
Construction, theils durch Rechnung. Seine Arbeiten fielen
in eine Zeit, wo die Analysis grosses üebergewicht hatte,
und man es unangenehm empfand, dass man nicht rein
durch Rechnung zum Resultat gelangen konnte. Lagrange
38 Zweiter Abschnitt.
hat die Mac iawrm'schen Resultate durch blossen Calcül
erhalten^), hat aber die Lösung nicht weiter gefördert.
IfAlembert bemerkt, dass sämmtliche Schlüsse Mac Laurin's
auch für ein ungleichaxiges Ellipsoid gelten.') Der nächste
bedeutende Schritt ist von Legendre^) gemacht. Legendre
hat die merkwürdige Ezitdeckung gemacht, dass wenn man
überhaupt irgend einen Umdrehimgskörper hat und die At-
traction für die auf der Umdrehungsaxe befindlichen Punkte
kennt, man daraus die Attraction für jeden beliebigen andern
Punkt finden kann. Mit Hilfe dieses Satzes hat Legendre
die Aufgabe für den äusseren Punkt vollständig gelöst, für
ein Umdrehungsellipsoid. Auch hat Legendre gleichzeitig
den nach Mac Latmn benannten Satz bestimmt ausgesprochen
(bewiesen hat er ihn erst' später), der sich bei Mac Laurin
nur angedeutet findet.^) Der Ma^ Laurin' sehe Satz lautet:
Wenn die drei Hav/ptschnitte zweier Ellipsoide resp. die-
selben Brennpunkte haben, so haben die Kräfte, mit denen sie
denselben äusseren Punkt anziehen, dieselbe Richtung und ver-
halten sich zu einander wie die Massen der Ellipsoide.
Da die Massen zweier Ellipsoide den Producten ihrer
Halbaxen proportional sind, so kann man auch sagen, die
Kräfte seien den Producten der Halbaxen proportional. Dieser
Satz war ungemein wichtig, weil man damit, auch für das
ungleichaxige Ellipsoid, die Aufgabe für den äussern Punkt
völlig absolviren konnte, nachdem sie für die im Innern
und auf der Oberfiäche gelegenen Punkte gelöst war. Denn
man durfte ja nur das gegebene Ellipsoid so anwachsen
lassen, bis der angezogene Punkt auf der Oberfläche lag.
Aber jener Satz war sehr schwierig zu beweisen, war ein
blosses Inductionsresultat. Um den Nachweis desselben
haben sich die Bemühungen der Mathematiker lange ge-
dreht. Laplace hat ihn zuerst allgemein bewiesen, durch
Reihenentwicklimg.^^) Einen anderen, aber auch höchst com-
plicirten Beweis hat Legendre gegeben. ^^) Später ist die
Sache sehr vereinfacht. Wir beweisen nur die Richtigkeit
der für das Potential gefundenen Ausdrücke.
Es findet in Bezug auf das Potential eines homogenen
EUipsoides
Potential und Anziehung eines homogenen EUipsoides. 39
„2-r p2-|-y2 — A
eine ganz andere Formel statt, wenn der angezogene Punkt
ein innerer und wenn er ein äusserer ist, wie dies auch
schon bei der Kugel der Fall war. Das Potential einer
Kugel hatte (für Je = 1) im Innern die Form 27t a^ ^ q^^
im Aeussern dagegen — . Also im Innern ist das Poten-
tial ein Ausdruck- zweiten Grades in Bezug auf x, y, z:
27ta^ 3" ^ "3" ^ "3" ^ •
Dieselbe Form findet auch beim Potential des Ellipsoids
statt. Die Rechnungen ergeben
Gy L, Mj ^hängen von elliptischen Integralen ab. Ist die
Dichtigkeit gleich 1, so ist, wenn man zur Abkürzung
setzt;
^-y'((i+^)(i+p)(i+|.))
ds j. Cds
s + a*
00 00
n/r Cds 1 ,^ Cds
Für einen innem Punkt ist also:
+ V'
1) ^ = ^{ft-dn^-^'fwm-dwi^)-
Hieraus wollen wir jetzt selbst, mit BenutzuDfg des Mac
Laurin' sehen Satzes, den Ausdruck des Potentials für äussere
Punkte entwickeln.
§.9.
*^ Dufch den angezogenen Punkt (Xj y, z) legen wir ein
dem ursprünglichen confocales EUipsoid, dessen Halbaxen
wir «', ß\ y nennen. Ist v das Potential des neuen Ellipsoids,
so hat man nach dem Mac iawrm'schen Satze
40 Zweiter Abschnitt.
v\v =■ aßy : cc ß'y\
oder
aßy ,
aßy
Die Halbaxen «', ß\ y finden wir durch Auflösung einer
cubischen Gleichung. Da der Punkt {x^ j/, z) nämlich auf
der Oberfläche des. neuen EUipsoides liegen soll, so muss
^j+|^« + 75=l (a)
sein; da femer das neue EUipsoid dem alten confocal sein
soll, so muss
«'2 - «2 = ^2 _ ^2 _ y'2 _ y2
sein, so dass wir
«'2 _ «2 + <y, p = ^2 ^ ^^ y'2 = y2 + (,
setzen können: durch Substitution dieser Werthe in (a) entsteht
Durch diese cubische Gleichung ist ö völlig bestimmt; denn
dieselbe hat nur eine positive Wurzel, weil es nur ein dem
ursprünglichen confocales EUipsoid giebt, das durch den
Punkt (Xy y, 0) geht. Sind «', ß\ y auf diese Weise ge-
funden, sp bestimmt sich der Werth des v aus der Glei-
chung 1) des vorigen Paragraphen, die ja bis zur Oberfläche
incl. gültig ist. Demnach wird
• 00 00
00 00
2 r ds 2 r ^* ^
wo
Die vorstehenden Integrale können wir auf dieselbe Form
bringen, welche die in dem für innere Punkte gültigen Po-
tentialausdruck vorkommenden haben, weün wir s = s —
setzen. Dadurch wird
Poteotaal und Anziehung eines homogenön Ellipsoides. 41
oder, da ^
ist, IX = ^pn D, und folglich
flO OO 00 oo
a a ' a a
Also haben wir einen ganz ähnlichen Ausdruck für den
äusseren Punkt, wie für den inneren, nur dass die Integrale
jetzt nicht von sondern von 6 anfangen: 6 hängt, als die
positive Wurzel der Gleichung (b), von der Lage des ange-
zogenen Punktes ah. '
§. 10.
Um nachzuweisen, dass die rechten Seiten der Glei-
chungen 1) in §. 8. und 2) in §. 9. das Potential eines
homogenen Ellipsoides, resp. für innere und äussere Punkte,
darstellen, haben wir nach §. 7. nur zu zeigen, dass sie
jenen drei Bedingungen genügen. Der Ausdruck auf der
rechten Seite in 1) ist offenbar stetig. Da femer 6 sich
stetig ändert, wenn sich der Punkt {x^ y, z) im äussern
Baum bewegt, so ist auch der Ausdruck auf der rechten
Seite in 2) stetig. Da an der Oberfläche <y = ist, so geht
dort der zweite Ausdruck in den ersten über; mithin ändert
sich die durch 1) und 2) gegebene Function auch stetig
beim üebergang vom äussern Raum in den inneren.
Wir haben jetzt die Derivirten von v im innem und
äussern Raum zu bilden. Wir suchen zunächst die Deri-
yirte von 6 nach x aus der Gleichimg
_i^*4_ _l!_ 4_ __f!_ _ 1
«2 + ö "^ |32 + ff "• y2-|. <y — ^•
Die Regel für die Derivirte einer impliciten Function ergiebt:
2a; x^ da y^ da z^ do
«a -|_ ff («8 + ff)2 dx (j32 + ff)2 dx (y2 + ff)2 dx
woraus
da 2x 1
dx a^ -\- a l
= 0,
42 Zweiter Abschnitt,
folgt; wo zur Abkürzung
y
'i I ^/?2 I «^2 \ /-,2 I /r^2 "
gesetzt ist. Es ist klar, dass l nicht Null wenden kann.
Denn dann müssten gleichzeitig x^ y, z gleich sein, was
nur im Mittelpunkt des EUipsoides der Fall ist: j- bleibt
also immer endlich und ändert sich stetig. Berücksichtigt
man für die DiflFerentiation von v im äussern Raum den be-
kannten Satz:
d_
und setzt
ff
l/(('+ä(i+r.)0+p))-^.
SO erhält man leicht:
00
^ dx J D {8 + a^)
rt\ dv / Ida ^^x^dc 1 ^^y^da 1 ^.z^ da i \
^ dx~^\ddx'^d dxä+^^'^Jdxa+ß^'^2dx6+p)
— 27CX I TW — r 2^ = — 27tX I 777-4 KZ .
a a
Es ist klar, dass beide Ausdrücke stetig sind. An der
Oberfläche, wo i? = ist, fallen sie zusammen. Also auch
-j- (ebenso j- , j-j ist im innern und äussern Raum stetig,
und auch stetig beim üebergang vom ersten in den zweiten.
Durch nochmalige Differentiation erhält man:
.X d'v o r
1) ^,= ~2;rj^
ds.
2) di=' — ^''jD(.s + a') +
2nx 1 da
A e •\- a.^ dx
_ n C dß , g / 2a; \«1
Potential und Anziehung eines homogenen Ellipsoides. 43
Diese beiden Ausdrücke fallen au der Oberfläche nicht zu-
samnien. Schreibt nian hiernach die entsprechenden Aus-
drücke für 3-ä und 3-5 auf und addirt, so entsteht:
^^ dP'^dy^'^dz^~ . "^^J D \s+a^'^ s+ß^'^s+yV
QO
d^v , d^v _, d^v ^ i ds / 1 . 1 . 1 \ . 47g
a
Die vorstehenden Integrale lassen sich leicht angeben. Es ist
d8( \ 1 , 1 \_ds d{{8+^'^is-\-ß^){8+y ^)) 1
j)\s+a'''^s+ß'^~^8+yV B ds (s+a«)(s+|3«)(s+y»)
ds d{D^ 1 _ „ .^, ,
D "dT Di -~ "~ ^~3i~ "*'
folglich
/^•c-
'ds ( 1 , 1 , 1 \ _ _ ^
+ a2-rg_^|32-rg^y2
Für den inneren Punkt sind die Grenzen 00 und 0: für
5 == 00 wird das unbestimmte Integral 0, und für 5 =
wird es — 2. Also haben wir
^v d^v _. d^v _nd^v .
wie es, der zweiten Bedingung gemäss, sein muss. Für den
äussern Punkt ist die untere Grenze (?: für s = 6 wird das
2
unbestimmte Integral — —, folglich das mit — 2ä multipli-
cirte bestimmte Integral — , was sich gegen + -r hebt.
Also im äussern Raum wird, gleichfalls in üebereinstimmung
mit der zweiten Bedingung:
^v. d^v yd'^v j. d^v ^
Es ist noch nachzuweisen, dass unsere Ausdrücke auch der
dritten Bedingung genügen, der zufolge vx und x^ -j- überall
endlich bleiben müssen. Dies braucht übrigens nur für den
äussern Raum nachgewiesen zu werden. Im äussern Baum ist
'44 Zweiter Abschnitt.
/|s /- x^ _ _y^ z^\
I)V s + a» s + p« s + yV'
a
r ds
dv ^
dx
Wenn wir ein Integral haben, dessen Elemente alle dasselbe
Zeichen haben, so können wir alle Elemente desselben ver-
grössern, und vergrössern so das Ganze. Der Factor
^ x^ y^ z^
in dem ersten Integral liegt zwischen und 1: schreiben
wir also dafür 1, so vergrössern wir das Integral. Wir
hätten also nachzuweisen, dass ^/ w nicht wächst, und dass
a
00
x^ I ^pTT — i — öT nicht wächst. Es ist
a
1 a|3y
J> y{{s + a')\s + ^^{8 + y^) •
Bezjeichnet man die kleinste der drei Halbaxen mit A, dann ist
V{{s + a^) {s + ß^) (s + f)) >(s + k^i ,
folglich
<
Da nun
r^ ds ^ 2^
J\s + x')i~ Vi8-+x') '
und deshalb
d8
so ist
00
. J i) < ^/(„ + ;.) • W
O
/y»2 «y2 5>2 /p2
Es war -^-^ 1- ö/i h nr- i — = 1 : es ist also -ä~i — ent-
weder ein echter Bruch oder gleich 1, und deshalb
Potential and Anziehung eines homogenen EllipBoides. 45
00
Hieraus in Verbindung mit (a) folgt, dass oo 1 ^ kleiner ist als
was nicht wächst. Ebenso findet man, dass das zweite Inte-
ds
gralÄ^y ^
(8 + a^)
kleiner ist als
i'frmy,
was auch nicht wächst.
§. 11.
Für die Componente der Anziehung, die eine homogene
ellipsoidische Masse auf einen Punkt im Innern ausübt, gilt
nach dem vorigen Paragraphen die Gleichung:
Dies Integral hängt nur von dem Verhältniss der A:ren ab,
d. h. es ändert sich nicht, wenn man die Axen in demselben
Verhältniss zu- oder abnehmen lässt. Dies ist auf der
Stelle klar, wenn man statt s die neue Integrationsvariable
^ = -2 einführt, wodurch jenes Integral übergeht in das
folgende
00
dt 1
/» dt
1+t'
Hierin kommt nur das Verhältniss von « zu /S, und von a
zu y vor: also das Integral bleibt dasselbe, wenn auch
a, /3, y sich ändern, so lange nur -^ ^^^ "~ constant bleiben.
Die X-Componente ist also dieselbe für zwei Ellipsoide, die
beide den angezogenen Punkt umschliessen und in ihren
46 Zweiter Abschnitt
Axen ein constautes Verhältniss haben, während die Axen
des einen mit denen des andern in dieselbe Richtung fallen;
dasselbe gilt von den beiden anderen Componenten Y und
Z, Daraus folgt:
Eine homogene ellipsoidische Schale^ die von zwei concen-
irischen, ähnlichen und ähnlich liegenden Flächen begrenzt wird,
übt auf einen beliebigen innerhalb der Höhlung liegenden Punkt
keine Wirkung aus.
Es findet also auch Gleichgewicht statt für einen Punkt,
auf den lauter unendlich dünne, homogene, von ähnlichen
Flächen begrenzte Schichten wirken, wenn auch die Dichtig-
keiten der einzelnen Schienten verschieden sind. Dies Re-
sultat kennt man seit Newton-^ es ist Niemandem eingefallen
zu untersuchen, wie es mit der Wirkung einer solchen Schale
nach aussen beschaffen ist.
Für den äussern Punkt ist
00
a
Jetzt wollen wir das EUipsoid sich ändern lassen, so aber
dass die Axen dasselbe Verhältniss zu einander behalten.
Setzen wir zunächst wieder s = a^t, so erhalten wir
X == — 27CX / — ; . , . ;
y !/((! + <)(. + ;-:«)(: + =,' .))' + *
ist die positive Wurzel der Gleichung
_^ I yl_ I _i!_ _ 1
oder, wenn wir letztere mit «^ multipliciren, der Gleichung
j r L
"T fl2 rt "T
^"^«2 a2-r^2 a^T^^
Das Integral, auf welches wir hier kommen, hängt also,
wegen der unteren Grenze, allerdings von dem absoluten Werth
der Axen ab: es findet aber doch etwas Einfaches statt,
wenigstens in Bezug auf die Anziehung einer unendlich-
Potential und Anziehung eines homogenen Ellipsoides. 47
dünnen Schale, deren äussere Fläche der inneren ähnlich ist.
Die äussere Fläche soll die Halbaxen a, ß, y haben; damit
die innere Fläche der äusseren ähnlich sei, setzen wir deren
Halbaxen gleich a (1 — f), ß {1 — a), y (1 — e). Die Com-
ponente des äusseren Ellipsoides sei X, die des inneren X':
dann wird X — X' die Componente der Schale sein. Setzen
wir für den Augenblick — = m, — = w, so haben wir
'J:
]/((! + (1 + mH) {I + nH)) 1 + « '
WO (? die positive Wurzel der Gleichung
-^^— + T-^— + T-^- = «'• (a)
1+- -+--+-
Hieraus sieht man, dass die Formel für X' aus der* für X
erhalten wird, wenn man in letzterer nur statt a setzt
a — «f , denn m und n sind für X' dieselben wie für X.
Für ein unendlich kleines s ist demnach
Z, ^ dX
da '
und folglich die Componente einer unendlich dünnen Schale
X-rrr dJL
— A = -3— £tt.
da
Es ist aber
dX 27CX 1 ^\o^/ ,,.
:j— £« = £« ; ^ . (b)
'+f.l/((i+:.)(.+;-.)(i+,^)) ^'
Sehen wir -0 als Function von a an imd difiPerenÄiren die
Gleichung (a), so entsteht:
_ / x^ _. y^ , ^ _\ ^WV
(('+„^) (i.+i.)"^(i+ä') ^"
Es wii:d gut sein, zur Abkürzung a^ + ö, /3^ + <y, y^ + <^
zu nennen a'^, /3'^, y'^; «', /3', / werden dann die Halbaxen
= 2«.
48 Zweiter Abschnitt.
des durch den äusseren Punkt {x, y, z) gelegten confocalen
Ellipsoides sein. Setzt man gleichzeitig für m^ und n^ wieder
ihre Werthe, und dividirt beide Seiten der letzten Gleichung
durch a^y so erhält man
oder, wenn wir
setzen,
^^ \ y^ \ ^ i_
^fe)
2p2
da a* '
Substituiren wir diesen Werth statt — ^ — in (6), und be-
zeichnen die Componenten der Schale, die resp. der X-, Y-j Z-
Axe parallel sind, durch X, Y, Z, so haben wir
X = 4.B7ip^ A-J^, -?2
-^ a ß y a^
■^ a p y y^
Für die Resultante R = Y^X^ -^ Y" + Z^) findet man einen
noch einfacheren Ausdruck, nämlich ^^)
R = 4tS7t ?f/. i).
a p y ^
Das Volumen des äusseren Ellipsoides ist ^Ttäßy, das des
inneren ^Ttaßy (1 — f)^ = 4^:7ra/3y (1 — Sc); also ist das Vo-
lumen der Schale Aitaßys, und da die Dichtigkeit Ä = 1
ist, so ist auch die Masse der Schale Aitaßys, Bezeichnen
wir diese Masse durch Jtf, so haben wir
« Py
Es ist noch die Richtung der Resultante zu bestimmen, d. h.
die drei Winkel, welche sie- mit den drei Coordinatenaxen
bildet. Nennen wir diese Winkel A, ft, v, so ist
Potential und Anziehung eines homogenen EUipsoides. 49 '
COS A = ^ = — ^ai), cos (l = — pP, C08 V = — pp.
Die^ hier vorkommenden Grössen, sowohl die drei Cosinus,
ab das p, haben eine einfache geometrische Bedeutung. Die
Gleichung des EUipsoides, dessen drei Halbaxen a, ß', y
sind, lautet:
Legt man an einen Punkt (^, y, z) dieser Fläche die Tangential-
ebene, und nennt die laufenden Coordinaten der letztem tj w, «?,
so ist, da die Gleichung der an den Punkt {Xy y, z) der
Fläche i = gelegten Tangentialebene diese ist :
in unserem Fall die Gleichung der Tangentialebene
„'2 -r pi- y'2— A. w
Wenn man die Gleichung einer Ebene in die Form gebracht
hat, dass das constante Glied auf der zweiten Seite positiv
und die Summe der Quadrate der drei Coefficienten von t, w, v
gleich 1 ist, so gind diese drei Coefficienten bekanntlich die
Cosinus der Winkel, welche das vom Anfangspunkt auf die
Ebene herabgelassene Perpendikel mit den drei Axen. bildet,
und die zweite Seite die Länge des Perpendikels. Multipli-
ciren wir die Gleichung (c) mit p, so entsteht
^^'+^" + ^=2>, (d)
und in dieser Gleichung haben die Coefficienten von t, w, v
die Eigenschaft, dass die Summe ihrer Quadrate gleich 1 ist.
Nennen wir also die drei Winkel, die das vom Anfangs-
punkt, d. i. vom Mittelpunkt des Ellipsoids, auf die in dem
Punkt (x, y, ^) an das confocale EUipsoid gelegte Tangential-
ebene gefällte Perpendikel mit den drei Axen bildet, A', ft', v:
so ist cos X' =^ u. s. w. Also A und k\ fi und fi', v und
V sind Nebenwinkel. Daraus folgt, dass die von der Schale
auf den Punkt (rr, y, z) ausgeübte Kraft senkrecht gegen
Diriclilet, Potentialtheorie. 4
50 Zweiter Abschnitt.
das durch diesen Punkt gelegte confocale EUipsoid gerichtet
ist^^). Femer ergiebt sich aus (d), dass die in der Gleichung
a'ß'y ^
vorkommende Grösse p die Länge jenes Perpendikels ist.
Hat man also eine von zwei concentrischen ähnlichen
Ellipsoiden begrenzte unendlich dünne Schale, so ist die
Gesammtwirkung, die dieselbe auf einen äussern Punkt aus-
übt, gleich dem Product aus der Masse der Schale in das
vom Mittelpunkt auf die in diesem Punkt an das confocale
Ellipsoid gelegte Tangentialebene gefällte Perpendikel, divi-
dirt durch das Product aus den drei Halbaxen des confo-
calen Ellipsoides; die Richtung der Gesammtwirkung ist
senkrecht gegen das confocale Ellipsoid. Sämmtliche Data
hängen also von dem confocalen Ellipsoid ab.
Ist die Schale kugelförmig, so ist das confocale Ellipsoid
auch eine Kugel; das Perpendikel p ist dann dem Radius q
dieser Kugel gleich, und die drei Halba:s^en sind auch einzeln
gleich Q. Unsere Formel liefert also in diesem Falle das
schon bekannte Resultat
Wir wollen jetzt den äusseren Punkt an die Oberfläche
der Schale bringen. In diesem Fall ist das durch den Punkt
gelegte, der äusseren Begrenzung der Schale confocale Ellipsoid
die äussere Begrenzung selbst: «', /?', y fallen mit a, ß, y
resp. zusammen, und es wird:
B> = A:%Bpk^ (e)
•während die Richtung der Kraft B, senkrecht gegen die
äussere Begrenzung ist. Lässt man nun den angezogenen
Punkt auf der Oberfläche der Schale sich bewegen, so ändert
sich in der Formel für JR nichts als p, so dass also die An-
ziehung dem Perpendikel p proportional ist. Wir werden
flnden, dass die Anziehung der Dicke der Schale proportional
ist, indem p der Dicke proportional ist. In Figur 9. sei o
der Mittelpunkt der Schale, m ein beliebiger Punkt der
äusseren Grenzfläche, os das von o auf die durch m gehende
Tangentialebene gefällte Perpendikel p. Die durch om und
Potential und Anziehung eines homogenen Ellipsoides. 51
OS gelegte Ebene wird die Schale in zwei Curven (Ellipsen)
schneiden; r sei del Punkt, wo die Gerade om die innere
Ellipse schneidet. In m er-
richte man auf der äusseren
Grenzfläche das Loth, und
nenne das Stück mq desselben,
welches zwischen beiden
Grenzflächen enthalten ist,
d: dann ist d die Dicke der
Schale in dem Punkt m. Da
wir mq als senkrecht gegen
rq ansehen können, so haben
wir zwei ähnliche rech^
winklige Dreiecke oms und
mrq] folglich findet diese
Proportion statt:
OS : om = mq: mr. . (f)
Sind X, y, z die Coordinaten des Punktes m, so sind, wie
leicht zu sehen, x(l — s\ y (l — a), z (l — e) die des Punktes
r, so dass man hat
om : or = 1 : 1 ^ £,
oder .
rm : om = e : 1.
Hieraus folgt, dass rm = e --om ist. Substituirt man diesen
Werth statt rm, und zugleich p und d statt os und mg in
(f), so entsteht:
p : om =: d : € - om,
folglich ist d = e ' p. Statt (e) können wir also schreiben
Wir können demnach sagen: Die Anziehung, welche eine
unendlich dünne von zwei concentrischen, ähnlichen und ähn-
lich liegenden Flächen begrenzte ellipsoidische Schale auf
einen Punkt ihrer äusseren Oberfläche ausübt, ist
1) normal gegen die Oberfläche gerichtet,
2) der Dicke der Schale proportional,
während sie auf die in der Höhlung und auf der inneren Ober-
fläche liegenden Punkte gar keine Wirkung ausübt.
Dritter Abschnitt.
Das Fläclienpotential.
§. 12.
Letztere Eigenschaft der unendlich dünnen ellipsoidischen
Schale ist einer grossen Verallgemeinerung fähig. Coulomb,
der Erste, der die Elektricitätsl^e experimentell genau be-
handelte, bemerkt, dass die Elektricität sich an der Ober-
fläche der Leiter, wie ein incompressibles Fluidum, in einer
homogenen Schicht ansetzt, die man als unendlich dünn an-
sehen kann: Wirkung nach innen hat nicht statt, denn sonst
würde eine weitere Zersetzung der Elektricität im Innern,
des Leiters stattfinden, und wir hätten kein Gleichgewicht.
Coulomb fand experfmentell, dass die Wirkung einer solchen
Schicht an der äussern Oberfläche überall normal gegen
letztere und der Dicke der elektrischen Schicht proportional
ist. Das Couloml/ sehe Resultat lautet denmach so: Ist eine
sehr dünne homogene Massenschicht so beschaffen, dass ihre
Wirkung im Innern überall Null ist, so ist ihre Wirkung
an der äusseren Oberfläche normal gegen letztere gerichtet
und der Dicke proportional. Man sieht, dass der im vorigen
Paragraphen gefundene Satz nur ein specieller Fall dieses
allgemeinen Theorems ist. Aber auch letzteres ist später,
.und zwar von Laplace, sehr erweitert. Laplace selbst hat
freilich nichts hierüber veröffentlicht, aber Poisson führt an,
dass Laplace ihm folgenden Satz mitgetheilt habe^*):
Man denke sich eine schalenförmige Masse, die von
zwei geschlossenen Flächen begrenzt wird. In irgend einem
Punkt der äussern Fläche errichte man auf derselben die
Normale, welche die innere Fläche in 0' treffe. Dann zer-
lege man die ganzen in und 0' stattfindenden Kräfte (die
von der schalenförmigen Masse herrühren) nach der Nor-
Dritter Abschnitt. Das Flächenpotential. 53
male, und nenne die in die Richtung der Normale fallenden
Kräfte P und Q, und zwar betrachte man jede einzelne der-
selben als positiv oder negativ, je nachdem sie in die nach
aussen oder nach innen gerichtete Normale fällt. Ist nun
die Dicke d der Schale unendlich klein, dann ist die Summe
jener beiden Componenten, die auch unendlich klein sein
werden,
P+ g= — 4;nrdÄJ,
wo k die in und 0' stattfindende Dichtigkeit bezeichnet,
die auch veränderlich sein kann von Normale zu Normale,
t4fenn sie sich nur stetig ändert.
Ist s die Dicke an einer bestimmten Stelle, so können
wir immer die Dicke an irgend einer Stelle gleich £% setzen,
wo X ^^^^ Function von x, y, z isf^^), so dass wir haben:
P + Q = — 4.7cexh.
Dies ist eine Gleichung zwischen unendlich kleinen
Grössen erster Ordnung: wir wollen sie so umformen, dass
das unendlich Kleine verschwindet. Für ein endliches s
würde die Gleichung so lauten:
P-{-Q-\-o=-4.nBxl, (1)
WO eine, freilich unbekannte, Function von x, y, 0, Je, s
ist, von der wir aber wissen, dass sie schneller abnimmt als
a, oder dass lim — = ist. Statt der von Normale zu Nor-
male veränderlichen Dichtigkeit k (sie kann auch constant
sein) setzen wir jetzt ö^ine andere, die überall in demselben
Verhältniss grösser sein soll als jene, nämlich — , während
die Dicke 6 ;^ vorläufig dieselbe bleiben soll: dann ist klär,
dass auch Potential und Componenten der Schale in dem-
selben Verhältniss wie die Dichtigkeit grösser werden. Nennen
wir also (Jie für die neue Dichtigkeit — stattfindenden Werthe
der nach der Normale zerlegten Componenten P^ und ^j,
so haben wir P^ = — , Qi = -^- Dividirt man andrerseits
die Gleichung (1) durch «, so entsteht
T + f + T=-4«;tÄ' •
54 Dritter Abschnitt,
folglich ist
-Pi + <2i + T = - ^'^z*-
Lassen wir in dieser Gleicljung s abnehmen, so lassen wir
die Dicke abnehmen und gleichzeitig die Dichtigkeit zu-
nehmen,* und zwar findet dabei Folgendes statt: jeder Ele-
mentarcy linder der Schale von der Dicke €%, der dem Flächen-
element o entspricht, behält bei der Abnahme des e dieselbe
Masse, da seine Masse oxs — = cux^ von € unabhängig
ist; die Schale selbst nähert sich dem Zustand einer mit
Masse belegten Fläche, wo auf das Flächenelement cd die
Masse axJc kommt. Damit wir wieder sagen können, die
auf einem Flächenelement enthaltene Masse ist gleich dem
Product aus diesem Flächenelement in die daselbst statt-
findende Dichtigkeit, wollen wir das Product xJc jetzt Dichtig-
keit nennen und auch wieder mit dem Buchstaben Je be-
zeichnen. Die Grenzen, denen P^ und Q^ zustreben, wenn
der Process des Abnehmens von s ins Unendliche fortgesetzt
wird, wollen wir p und q nennen; da gleichzeitig der Quo-
tient — sich der Grenze Null nähert, so haben wir
p -^ q = — 4:7t]c,
Diese Gleichung ist nur eine andere Form des Lapldce' sehen
Satzes, in welcher das unendlich Kleine verschwunden ist,
und sagt Folgendes aus:
Hat man eine, mit Masse belegte Fläche und versteht
unter der Dichtigkeit k an jeder Stelle den Factor, mit dem
man das Flächenelement zu multipliciren hat, um die darauf
befindliche Masse zu erhalten, so übt jene Fläche an jeder
Stelle nach beiden Seiten hin Wirkungen von der Beschaffen-
heit aus, dass die Summe dieser beiden nach der Normale
zerlegten Wirkungen gleich — 4:7t Je ist.^^)
§. 13.
Bezeichnet man mit a, 6, c die Coordinaten irgend
eines Punktes einer mit Masse belegten Fläche; mit ds das
bei (a, 6, c) liegende Element derselben, mit Je die Dichtig-
Das Flächenpotential. 55
•
keit in ds] piit r die Entfernung des Punktes (a, b, c) von
einem Punkte 0, dessen Coordinaten x, y, sind, und mit
V den Werth des Potentials der in der Fläche vertheilten
Masse in dem Punkt 0: dann ist t;-= / — , durch die ganze
Fläche ausgedehnt. Nennen wir die in die Richtung der
X-Axe fallende Componente der Kraft, welche jene Masse
auf ausübt, X, so ist X = / — g-^' — , gleichfalls durch
die ganze Fläche ausgedehnt. So lange der Punkt ausser-
halb der Fläche liegt, ist ^— unbedingt einerlei mit X.
Wir zeigen zunächst, dass das Potential v auch jetzt
wieder, wie früher, überall stetig ist. Dass v und alle Diflfe-
rentialquotienten von v in allen Punkten, die nicht auf die
Fläche selbst fallen, stetig sind, leuchtet auf der Stelle ein.
Denn wenn ich von einer Function nachweisen will, dass
sie sich stetig ändert, brauche ich nur nachzuweisen, dass
ihre ersten Derivirten endlich sind: die Endlichkeit von v
und irgend einem seiner DiflFerentialquotienten liegt aber
auf der Hand. Dass, wenn der Punkt (Xy y, z) auf die
Fläche tritt, oder auf der Fläche sich bewegt, das Potential
nicht blos endlich-, sondern auch stetig bleibt, bedarf eines
Beweises. Es sei m die Stelle, wo der Punkt auf die Fläche
tritt, oder von wo aus er sich auf der Fläche bewegt, und
a ein dem Punkt m unendlich nahe liegender Punkt ausser-
halb der Fläche. Die Potentialwerthe in a und m seien Ä
uüd M. Wir zeigen zunächst, dass Ä unendlich wenig von
M verschieden ist. Wäre ein endlicher HJnterschled vor-
handen, s^o könnte der nur herrühren von den Theilen der
Fläche, die dem Punkt m unendlich nahe sind; denn für
den übrigeii Theil der Fläche ist nicht nur a sondern auch
m ein äusserer Punkt, mithin ändert sich das von diesem
Theil herrührende Potential gewiss stetig beim Uebergang
von a nach m. Nun lässt sich aber zeigen, dass die Flächen-
theile, die dem Punkt m unendlich nahe liegen, erstens zu
Aj zweitens zu M nur unendlich wenig beitragen. Die erste
Behauptung leuchtet unmittelbar ein, da in 1 kein Ele-
56 Dritter Abschnitt,
ment unendlich gross wird, und gleichzeitig die Fläche,
über welche sich das Integral erstreckt, unendlich klein ist.
Die zweite Behauptung lässt sich folgendermassen beweisen.
In m legen wir die Tangentialebene au die Fläche; in der-
selben beschreiben wir um m einen Kreis mit dem Radius ö
(Fig. 10.), und errichten dann in allen Punkten der Peripherie
dieses Kreises Perpendikel auf der Tangentialebene. Alle
diese Perpendikel bilden eine Cylinderfläche, dte von der
Fläche ein Stück S ab-
schneidet. Wie gross kann
das von diesem Flächen-
stück herrührende Poten-
tial höchstens sein? Die
Neigung zwischen der Tan-
gentialebene und irgend
einem Element ds der
Fläche Ä sei ^, die Pro-
tection von ds auf letztere sei dö: dann ist dö = cos ^ ds.
Der grösste Winkel i^, der vorkommt, sei €] dann ist do^ds cos«,
oder ds< . Wir dürfen voraussetzen, dass £ < 90^ ist,
^^ cos € ; ^ >
da wir das Stück ä . beliebig klein annehmen können. Setzen
— , statt
r ^ cos s
ds, für Je den gröbsten Werth K, und für — den Werth — ,
wo Q die Projection von r ist, die ja nie grösser ist als r,
so hab^ wir — - — / —^ / — r • Das Integral / — ist über
den Kreis mit dem Radius ä auszudehnen; q ist die Distanz
des festen Punktes m von dem Kreiselement, dö. Theilen
wir den Kreis durch Polarcoordinaten, so ist dö = Qdgd^]
/*,
setzen wir letzteren Werth statt dö in 1 — ein, so entstellt
jd^dg. Integriren wir zunächst nach q, so ist das unbe-
. stimmte Integral /k(> = q, und da wir von bis 8 zu inte-
griren haben, so ist Jd^dQ = 8 Jd^ = 2x8. Mithin ist
I — -< - — '2n8. Dies nähert sich aber mit abnehmendem
^/ r = tos «
Das Flächenpotential. 57
S der Grenze Null. Also ist A von M unendlich wenig
verscbieden, oder das Potential ändert sich beim üebergang
von a nach m nach der Stetigkeit. Ist nun femer n ein
dem Punkt m unendlich nahe liegender Punkt auf der Fläche,
und der Werth des Potentials in n gleich^, so sind A und
N gleichfalls unendlich wenig verschieden, also auch N und
M, d. h. auch auf der Fläche ändert sich das Potential
st^ig. Das Potential v einer auf einer Fläche vertheilten
Masse ist folglich überall stetig. Aber ganz anders verhält
es sich mit der Derivirten ^- .
Wir wollen das Verhalten von -^ oder X nur für den
dx
Fall untersuchen, dass -der Punkt sich auf der in irgend
einem Punkte der Fläche auf derselben errichteten Normale
von der einen Seite der Fläche auf die andere bewegt. Wir
richten uns so ein, dass die A-Axe mit dieser Normale zu-
sammenfällt, und der Anfangspunkt mit dem »Punkt m der
Fläche, in welchem die Normale errichtet ist. Da der
Pimkt in der A-Axe bleiben soll, so ist y = ^ = 0, folg-
lich hat in dem Integral
X = — = f—
~ dx J
— x) Teds
r^ den WertL(a — xy + ^^ + ^'^- Wir wollen also die beiden
Werthe, die das vorstehende Integral für ein unendlich
kleines positives x und für ein unendlich kleines negatives
X annimmt, mit einander vergleichen, indem wir ihre Diffe-
renz zu ermitteln suchen. Für diesen Zweck genügt . es
offenbar, einen beliebig kleinen den Punkt m einschliessen-
den Theil der Fläche zu betrachten, da der Beitrag des
übrigen Theiles der Fläche zu dem Werth von ^, sich stetig
ändert: wir werden daher den Werth von -^ blos in Bezug
(t X
auf das Stück S der Fläche betrachten ^4J^elches durch den
im vorigen Paragraphen construirten Cylinder ausgeschieden
wird (Fig. 10.). Auch führen wir statt jedes Flächenelementes
58
Dritter Abschnitt.
ds wieder seine Projection (?(? = dfs cos ^ ein: dadurch wird
X
{ k a
J cost/;
da, auszudehnen durch die ganze um den
Punkt m beschriebene Kreisfläche, Den- Racfius der letzte-
ren, den wir im vorigen Pafagraphen S nannten, wollen wir
letzt durch iJ belfeichnen. Von der Grösse dürfen wir
"^ cos t^ ,
voraussetzen, dass sie sich auf dem Flächenstück S überall
stetig ändert, mit andern Worten, dass der im Divisor vor-
kommende Winkel ^ überall kleiner als 90^ ist, insofern
wir S beliebig klein annehmen können. Schreiben wir zur
Abkürzung h statt — -, so haben ^ir
X
da.
Fig. 11.
Da a, 6, c die Coordinaten einer Fläche sind, so ist a eine
stetige Function von b und c. Statt b und c wollen wir
Polarcoordinaten einführen (Fig. 11.), indem wir setzen:
b = Q cos ^,c = Q sin -O". Der Winkel d' erstreckt sich von bis
27tj der radius vector q von bis Rj das Flächenelement da
wird (»rf-O-rf^);^ ferner wird
Der Winkel d' ist bei
der ersten Integration
(nach q) constant. Ist
a = (p (bj c), so ist
a = (p {q cos 0", Q sin d)
die Gleichung des
Schnittes der Fläche
mit derjenigen Ebene,
welche durch die Ä-Axe
geht jand mit der Ebene
AmB den Winkel 0*
bildet,in rechtwinkligen
Coordinaten a und q.
Der Schnitt wird nur
auf der Seite von m
^ aus betrachtet, wo q
Fig. 12.
A
/
J^^^
a
7fl
Das Flächenpotential. 59
positiv ist, weil der audere Theil, wo q negativ ist, später
berücksichtigt wird, wenii wir zu dem Winkel n-^d' kommen.
Der Schnitt ist eine Curve, welche q in dem Punkte m be-
rührt (Fig. 12.), weil q in der Tangentialebene liegt. Daraus
folgt, dass — für jeden Schnitt ein
Quotient ist, der sich der Grenze
nähert, wenn q, und damit a unend-
lich abnimmt, oder dass lim(— j =0 ist.
R
Das Integral / ,3 — qcIq zerfällt in diese beiden:
R R
/hagdg / hgdg . . n
—'—>-^J^> (A)
ü
von denen wir zunächst das zweite bejjbrachten. Wir können
demselben nicht anders beikommen, als wenn wir dasselbe
in zwei Theile zerlegen, indem wir zwischen und R eine
Zwischengrösse s einführen; aber diesen Zwischenwerth halten
wir nicht fest, sondern derselbe soll mit abnehmendem x
auch abnekmen, jedoch so, dass wir ein gewisses Verhält-
niss in der Abnahme stattfinden lassen, das wir nach unserem
Gutdünken reguliren. Wir setzen also
R e R
e
In dem Intervall zwischen und dem jedesmaligen e sei S
der absolut grösste Werth von - -. Von diesem d kann man
voraussagen, dass es mit abnehmendem- s selbst unendlich
klein wird; auch ist leicht einzusehen, dass wenn £ unendlich
abnimmt, sich d stetig verändert (es kann auch stellenweise
constant bleiben). Man betrachte die Sache erst von deip
Augenblicke an, wo d schon ein echter Bruch ist. Für den
absoluten Werth von x, den wir durch [x] bezeichnen wollen,
nehmen wir die Grösse £]/d, also eine Grösse, die sich stetig
ändert. Da d der absolut grösste Werth von — sein sollte,
so haben wir
60 Dritter Abschnitt.
— <Cd (d. h. in dem Intervall von bis «),
oder \ä] ^qS^ folglich ist a fortiori
Auf das erste Integral der rechten Seite der Gleichung (1)
-j
hgdg
wenden wir den Satz an, dass wenn unter dem Integral-
zeichen zwei Factoren vorkommen, von denen der eine /hier -^ j
sein Zeichen nicht ändert, dann das Integral gleich ist einem
Product aus dem Integral von dem Factor unveränderlichen
Zeichens in einen Werth, der zwischen dem Maximum und
Minimum des andern Factors liegt Demnach ist
X
ü
WO H zwischen dem gröbsten und kleinsten Werth liegt, den
das h innerhalb des Intervalles von bis b annimmt. Das
Integral
c e
/ Qdg ^ r gdg
besteht aus lauter positiven Elementen. Von einem solchen
Integral lassen sich zwei Grenzen angeben, indem man alle
Elemente desselben einmal vergrössert und dann verkleinert.
Es- ist
[x\ = £y*, und M^df;
da nun von dem Augenblicke an, wo wir die Sache be-
trachten, d ein echter Bruch ist und bleibt, so folgt aus
den vorstehenden beiden Gleichungen, dass
[x] > 8 8 > [ä]
ist. Aus dieser Ungleichheit folgt erstens, dass x -^ de und
X — Ss immer dasselbe Zeichen haben, und zweitens, dass
X — a immer zwischen den beiden Grenzen x -^ ds und
Das Flächenpotential. 61
X — ds liegt, wofür wir der Kürze halber sagen wollen,
dass X — a zwischen den Grenzen x + Ss liegt. Haben wir
aber eine Grösse, die zwischen zwei Grenzen liegt, welche
einerlei Zeichen haben, so muss auch das Quadrat jener
Grösse zwischen den Quadraten derselben beiden Grenzen
liegen; es muss demnach (x — aY zwischen (x + öaY liegen.
Hieraus folgt weiter, dass
» e c
^— ^ r zwischen / ^— ^ r
liegt In diesen beiden Grenzen kommt a, welches eine
Function von q war, gar nicht vor; x + $€ ist bei der Inte-
gration constant. Jene beiden Grenzen sind demnach von
«
der Form i — '^ ^ ^. wo m eine Constante ist. Es ist aber
mithin
e
^^ = ^— j + Const.,
Qdg 1
(w* + Q^)i ^'* (w2 + «2)i '
Hieraus ergiebt sich, dass — xH 1 ^— ^ r zwischen
den Grenzen
tt/ ^ I — \
liegt. Der Factor H geht zuletzt über in den Werth von
h im Anfangspunkt, d. h. in die Dichtigkeit im Anfangs-
punkt, die wir mit Jcq bezeichnen wollen. Das erste Glied
des andern Factors, r T i S> nähert sich für beide Grenzen
—~ X
dem*Werthe 7-^, d. h. dem Werthe -— 1, wenn x positiv,
\x\
und dem Werthe + 1, wenn x negativ ist, während sich
das zweite Glied r sowohl für positive als ne-
{{X ± dsy + f 2)i ^
gative Werthe des x der Null nähert. Mithin ist für ab-
nehmende X
62 Dritter Abschnitt.
e
lim - X f- ^'^^^ = + *o ;
wo das obere oder untere Zeichen gilt, je nachdem x beim
Abnehmen positiv oder negativ ist.
Wir untersuchen jetzt das zweite Integral auf der rechten
Seite der Gleichung (1)
J {{X - ar + Q')i '
X
Bezeichnen wir den absolut grössten Werth des h in dem
Intervall von s bis i? durch H^ so ist dies Integral, abge- ^
R
sehen vom Zeichen, kleiner als xHi ^— ^ r, also
c
R
auch kleiner als xH J^^^ d. h. kleiner als h{j-- |-) .
Es ist aber, nach der Annahme, lim — = 0, und selbstver-
ständlich lim ^ = 0. Also ist die Grenze dieses Integrals 0,
und mithin die Grenze des ganzen von bis JR ausgedehnten
R
Integrals - x fhlp. gleich + k,-.
Es bleibt das erste der beiden Integrale unter ( J.), nämlich
R
hagdg
J\
zu untersuchen für den Fall, dass x unendlich abnimmt.
Für diesen Fall müssen wir eine Beschränkung machen.
Der für die Grenze des zweiten Integrals unter {Ä) gefundene
Werth + k^ beruhte darauf, dass die Function — sich der
Grenze näherte. Gewöhnlich, wenn eine Function einer
Veränderlichen q sich der Grenze Null nähert, geschieht dies
so, dass ^ich aus der Function ein Factor herausziehen lässt,
der die Form einer Potenz von q hat, wähtend der andere Factor
Das Plächenpotential. 63
endlich ist; und dass dies stattfindet in Bezug auf — , oder
dass — = Q^a (A>0) , wollen wir annehmen. Wäre dies nicht
der Fall (wie z. B. bei dem Ausdruck , der zwar Null
log —
Q
wird für 9 = 0, aber sich nicht in die Form q^0 bringen
lässt), so Hesse sich leicht nachweisen, dass das erste Inte-
gral, während x unendlich abnimmt, über alle Grenzen
hinaus wachsen würde. Ist jene Bedingung aber erfüllt, so
bleibt das erste Integral immer endlich und hat nicht die
Unstetigkeit des zweiten Integrals. Um dies zu zeigen, zer-
legen wir das erste Integral in zwei Theile:
d R ,
Wir können d so einrichten, dass der erste Theil für jedes
X kleiner wird als etwas beliebig Kleines, und der zweite
Theil endlich und stetig ist. Setzen wir nämlich für — das
d
Product (?p^, so wird der erste Theil / — — x . Wir
vergrössern wieder, indem wir statt der Grösse ha den grössten
Werth A setzen, den dieselbe in dem Intervall von bis d
annimmt. Lassen wir {x — ay im Divisor fort, so ver-
grössern wir abermals. Das vorstehende Integral wird folg-
et
lieh kleiner sein als AJq^-'^Sq] dies nähert sich aber mit
abnehmendem ä der Grenze Null. Der zweite Theil
/
ahgdQ
i(x - ay + Q')i
ist offenbar für jedes x endlich und stetig: endlich, weil
keins der Elemente des Integrals unendlich gross wird, und
stetig, weil seine erste Derivirte nach x endlich ist. Das
ganze erste Integral unter (A) bleibt also für jedes x endlich
und stetig. Nennen wir die Grenze, der dasselbe für ab-
64 Dritter Abgchnitt.
nehmende x zustrebt, M^j so wird die Summe des ersten
und zweiten Integrals, d. i. unser ursprüngliches Integral
R
J ((« - ^r + Q')i
Mq — Icq oder J!fo*+ K nähern,- je nachdem a: beim Abnehmen
als positiv oder negativ vorausgesetzt wird. Dies lässt sich
auch so ausdrücken, dass man sagt, es ist
R
(a — x) hgäg
— - ^. , wenn x unendlich abnimmt, sich der Grenze
Si
= H-Äo + Jlfo + <y,
((a - xY + 9«)l
Ö
WO a eine Function von x ist, die für ein unendlich kleines
positives oder negatives x selbst unendlich klein wird. Um
^ zu erhalten, integriren wir nun noch nach %:
V \/ V
Bezeichnen wir das von x unabhängige Integral jM^dd"
durch N, und gehen zur Grenze über, so wird
Wir wollen den Grenzwerth von -p bei unendlich abnehmen-
dem positiven x durch l^j , bei unendlich abnehmendem
negativen x durch vt) bezeichnen; dann haben wir
mithin
• (55)+.- ©-. = -4'^*'
wo 1c die Dichtigkeit an der Stelle, wo die Normale die
dv
äx
Fläche trifft, bezeichnet.^'') Die Derivirte -r- ändert sich
Das Flächenpotential.
65
also auf der Normale beim üebergang von der einen Seite
der Fläche auf die andere sprungsweise, und zwar um AtcIc,
Dieser Satz ist unendlich wichtig; fast alle Unter-
suchungen beruhen darauf. Wir können demselben eine
etwas andere Form geben. Sei m (Fig. 13.) ein Punkt der
Fläche; durch m ziehe man die Normale Pmw; P sei ein
fester Punkt auf derselben. Die Distanz irgend eines festen
Punktes n auf der Normale von P sei p, und die des Punktes
m von P sei a:
Pn = p , Pm = a.
Der Punkt m sei auch ein Anfangspunkt,
nämlich für die Distanzen mn^ die wir x
nennen, so dass _p = a + rc. Auf der Nor-
male hat das Potential an jeder Stelle einen
durch p oder x bestimmten Werth; wir
können also anstatt v nach x zu diflferen-
, , !•/« . dv dv
ziren, auch nach p dmerenziren: ir "== 'T'-
Da ferner, für a: = + £, p = a + £ ist,
so ist
Fig. 13.
\dp/a-{-s \dp/a—i '
h ist die Dichtigkeit an der Stelle, wo die Normale die
Fläche trifft.
§. 15.
Dem Potential v einer über eine oder mehrere von einander
getrennte Flächen verbreiteten Masse kommen nach dem Vor-
hergehenden folgende Eigenschaften zu:
1) Das Potential v ist überall stetig. (§. 13.)
2) Ausserhalb der Fläche, resp. Flächen, sind alle Deri-
virten von v stetig (§. 13.), und (§. 3.)
d^v . d^v . dH_^
dx
3) Auf der in irgend einem Punkt einer der Flächen
auf letzterer errichteten Normale ist v eine blosse Function
der Distanz p, und j- beim Üebergang von der einen Seite
der Fläche auf die andere unstetig, indem
Dirichlet, Potentialtheorie. 5
66 Dritter Abschnitt.
\dp/tt+i \dp/a—i
ist. (§. 14.)
4) XV, yVy 0Vj ^ J-; y d^ T ^ immer endliche
Werthe, d. h. sie wachsen nicht mit wachsendem x, y oder
z. (§. 7.)
Ebenso wie die drei in §. 7. enthaltenen Eigenschaften
des Raumpotentials (d. h. des Potentials einer einen Raum
erfüllenden Masse) für dasselbe charakteristisch waren, so
sind es auch diese vier Eigenschaften für das Flächenpoten-
tial, d. h. es giebt nicht noch eine zweite Function v^, die
alle diese Bedingungen erfüllt: alle vier Eigenschaften ver-
einigt besitzt nur das Flächenpotential. Dies lässt sich ganz
ähnlich beweisen, wie jener Satz über das Raumpotential
bewiesen ist.
Existirte also ausser dem Flächenpotential noch eine
zweite Function v^, der jene vier Eigenschaften gleichfalls
zukämen, so würde die Differenz
u ^=v — v^
folgenden Bedingungen genügen müssen:
1) u ist überall stetig.
2) Ausserhalb der Fläche sind T" ? ^ ; j~ überall stetig,
j d^u , d^u , d^u f.
3)(5i)«+.-(5^)„_.= ^5 ^-^-Tp "* '^''^^ "°«*«*^g
beim Uebergang von der einen Seite der mit Masse belegten
Fläche auf die andere.
4) XU, yti, zu, ^^ -ß-y y^ ~ß~y ^^ d~ ^^^i^®^ immer endlich.
Um nun zu zeigen, dass ein u, welches diesen vier Be-
dingungen genügt, nur sein kann, beschreiben wir wieder
einen CubusJ in den sämmtliche Flächen fallen, und legen
dann an jede Fläche wieder zwei benachbarte Flächen. Dann
werden in dem Cubus entweder eine Anzahl zusammen-
hängender Räume entstehen, oder derselbe wird nur einen
einzigen zusammenhängenden Raum bilden, jenachdem unter
Das Flächenpotential. 67
den Flächen wenigstens eine in sich zurückkehrende sich
befindet oder nicht. Wir machen wieder von diesem Lemma
Gebrauch:
c^. T . ^ du du du . 1. IT. • 1
Sind erstens ii und 75-, t^-; 3- innerhalb eines begrenz-
ten Raumes gegeben und stetig, und ist zweitens innerhalb
des begrenzten Raumes überall j—^ + ^~2 + 7~2 = 0, so ist
[§. 7. Gleichung (2)]:
/({£)■ +(sr+(S)>^ .
//du .du o i du V ,
(1)
das erste Integral durch den ganzen begrenzten Raum, das
zweite über die ganze Oberfläche desselben ausgedehnt; a, ß^y
t)ezeichnen die Winkel, welche die auf dem jedesmaligen
Flächenelement nach aussen errichtete Normale mit den drei
Coordinatenaxen bildet.
Der Complex
du , du a I du
hat eine einfache Bedeutung. Ist nämlich irgend eine Func-
tion von den drei rechtwinkligen Coordinaten, also eine
Function des Ortes, ^ {x^ y, z), gegeben, und zieht man
von einem bestimmten Punkt {x, y, z) aus nach irgend einer
Richtung irgend eine gerade Linie, so wird die Function ^
sich ändern, wenn man von dem Punkt (a:, y, z) aus auf
dieser Linie fortgeht; der Werth der Function ^ in dem um
£ von dem ersten Punkt entfernten und auf jener Linie lie-
genden Punkt sei ^': dann nennt man die Grenze des Quo-
tienten - für ein abnehmendes £ die Derivirte der Function
^ in der liichtung jener Linie, Wie aus §. 6. hervorgeht,
wird diese Derivirte an irgend einer Stelle gefunden, wenn
man die drei Differentialquotienten der gegebenen Function
nach den drei rechtwinkligen Coordinaten resp. mit den drei
Cosinus der Winkel -multiplicirt, die diese Richtung mit den
drei Axen bildet^ und diese drei Producte addirt. Jener
68 Dritter Abschnitt. Das Flü,cbenpotentiaI.
Complex ist also die Derivirte von u in der Richtung der
nach amsm errichteten Normale, oder ^. Die Gleichung
(1) lässt sich demnach auch so schreiben:
/(öl)'+C^)'+©>^-/«g^.'-
Letztere Gleichung wenden wir auf alle jene zusammenhängen-
den Räume an, und erhalten so die Gleichung:
Lässt man je zwei benachbarte Abschliessungsflächen einander
immer näher rücken, und den Cubus immer grösser werden,
so nähert sich die rechte Seite wieder der Null (vgl. §."7.
und die Bedingung 3) für w), wenn sie nicht überhaupt
schon Null ist. Deshalb kann nirgends, ausserhalb der
Flächen, (||)' + (^) + (J^) von verschieden sein; folg-
lich haben wir u = const, zunächst in den einzelnen Räumen,
da aber die Function xi stetig ist, auch in allen Räumen.
Weil aber rrt< nicht wachsen kann, somuss xi = const =^ sein.
Vierter Abschnitt.
Potential und Eugelfunctionen.
§. 16.
Wir wollen den in §. 14. bewiesenen Satz von Laplace
anwenden auf den Fe^ll einer Kugelfläche. Dazu ist es je-
doch erforderlich, das Potential einer über eine Kugelfläche
vertheilten Masse in eine »Reihe zu entwickeln. Bei der Kugel-
fläche sind Polarcoordinaten die zweckmässigsten. Die Polar-
coordinaten, welche sich auf Punkte der Fläche bezieben,
bezeichnßn wir durch accentuirte Buchstaben, die des Punktes
durch unaccentuirte. In dem Potentialintegral
v^f^, r = yi(a-xf-{-{b-yf + {c-,y)
setzen wir also, indem wir den ßadius der Kugel R nennen,
a = R cos '^' X = Q cos d"
h = R sin '^' cos tp y = q sind' cos q)
c = R sin d^' sin q)' = q sin d' sin 9.
Für das Flächenelement ds bekommen wir den Ausdruck
R^ sin d'' dd"' d(p' ] ferner wird
r=y(jR2-|-^2-_2E(>(cos'9'CoS'9''-|-sin'9'sin'^'cos(9--9'))). (1)
Der Coefficient von 2Rq in diesem Ausdruck für r ist auch
ein Cosinus von einer einfachen Bedeutung, nämlich der Co-
sinus des Winkels, den die vom Mittelpunkt der Kugel nach
einem Punkt irgend eines Flächenelements ds und nach
gezogenen Linien R und q mit einander bilden. Denn nennen
wir diesen Winkel co (Fig. 14.), so hat man offenbar r^ = R^
-j- 9^ — 2Rq cos d. Vergleicht man' dies mit (1), so leuchtet
eiu; dass
cos d' cos d'' + sin d' sin d'' cos (9 — 9') = cos (O
70
Vierter Abschnitt.
ist. Demnach wird
„_ü.yv/j
^*' sin ^'dd^'
y{R^ — 2Rq cos OD + Q^)
Die reciproke Wurzel, welche in diesem Integral vorkommt,
lässt sich in eine Reihe entwickeln; es ist
1
1
V^Rq cos £0 -\- Q^)
Bl/(l - 2 l-oos „ + (!)■) ,-)/(l-2f«,s„,+ (f)-)
Wir können es also immer so einrichten, dass der Coeffi-
cient von 2 cos © kleiner als 1 ist. Demnach ist zu ent-
wickeln — ' , wo cc kleiner als 1 ist. Diese
1/(1 — 2a cos y + «2)
reciproke Wurzel bietet sich häufig in der angewandten
Mathematik dar; hier ist sie nach Potenzen von «,• bei an-
FJg. 14.
deren Gelegenheiten nach den Cosinus der Vielfachen von y
zu entwickeln. Es ist zunächst (l — (2 a cos y — a^))"~^ gleich
einer Reihe, deren allgemeines Glied ist
an (2a cos y — a^Y = anCt^(2 cos y — a)";
1-3 2w — 1
an =
2 . 4
2n
Indem man alle Glieder dieser Reihe, welche «** enthalten,
sammelt, findet man als Coefßcienten von a'* in der Ent-
wicklung jener Wurzelgrösse :
Potential und Kugelfunctionen. 71
ün (2 cos yY — «n-i ^^ (2 cos yy-^ + an_2 ^""^ '^"" (2 cos y)»-*
- ün^z V^TT^ (^ ^^® ^) "^
Also unser Entwicklungscoefficient ist eine ganze Function
w*®° Grades von cos y. Derselbe spielt eine so grosse Rolle,
dass man ihn mit einem besonderen Buchstaben, P, bezeichnet.
Demnach ist
+ Fn (cos y) «^ +
y{l — 2 a cos y + «*)
P« (cos y) = ^^.'2^ ((2 cos yy - ~j "^^ (2 cosy)—^
+ 2n-1.2n-3 1-2 i^ COS yj -...^
l.ä-2n — 1/ « n-n — 1
1
— (cos y" — j^^^^^ ^ cos r'*— 2
W'W — 1 ' n — 2'W — 3 „4 \
cos y**"* — ... .1
' 2 . 4 . 2n — 1 • 2n — 3
Sämmtliche Coefficienten P liegen immer zwischen — 1 und
+ 1. Das kann man aus dieser Form nicht sehen. Giebt
man der negativen Potenz (1 — 2 a cos y + a^)~i die Form
(1 — ccey')-i (1 — ae-y')~^ =
so überzeugt man sich leicht, dass
P„ = ane'^y' + a„_iaje(«-2)y» ^ an-^a^e^""-^^ y' -\
ist. Je zwei Glieder der vorstehenden Reihe, die vom An-
fang imd Ende gleich weit abstehen, unterscheiden sich nur
dadurch von einander, dass da, wo das erste i hat, im
zweiten — i steht. Denn das allgemeine Glied ista^^n— «e^"~^*^^';
nimmt man nun statt 5 den Werth, der s zu w ergänzt,
nämlich n — s, so ändert sich blos der Exponent, indem
man jetzt erhält «,««_, eH'*-^*)»'*. Vereinigt man also die
zwei Glieder, so giebt ihre Summe etwas Reelles, nämlich
2a^an^B cos (n — 2s) y. Demnach ist
n'
P„ = 2 Za^üa-s cos (n — 26") y ,
72 Vierter Abschnitt.
wo n = — oder — r — ist, je nachdem n gerade oder un-
gerade ist; im ersten Fall ist aber von dem Gliede, welches
5 = Y entspricht, nur die Hälfte zu nehmen.
Also unter allen Umständen ist Fn gleich einer Cosinus-
reihe mit lauter positiven Coefficienten. Daraus folgt, dass
der absolut grösste Werth, den P« annehmen kann, erhalten
wird, wenn alle Cosinus gleich 1 sind, oder y = ist. Für
y = ist P« aber der Coefficient der Entwicklung von
_ . Folglich liegt P„ immer zwischen + 1 und — 1.
Damit ist zugleich strenge bewiesen, dass unsere Entwicklung
convergirt.
Nach dem Obigen hat man
P,= l P, = I (cos y* - i) •
Pj = COS y P3 = "l" (cos y^ — f cos y) u. s. w.
Wir bemerken noch beiläufig, dass P« sich auch so
schreiben lässt^®):
T^ y2» (ny y2n-2 . y2 (n-n—iy y2«-4 . y*
P„=cos| - (jj COS-, sm- + (-^-^) cos^ sm|
Es war
k' sin 0"* dO"* d(p'
"" ~ ^jj Viß' - 2i?9 cos ß, + 9«) •
Liegt nun der Punkt itn innem Raum, oder ist q < R,
so setzen wir:
ist aber der Punkt im äussern ßaum, oder p > iJ:
V =
9
yyi/(i-2fc».„+(f)')-
Im ersten Fall giebt die Wurzelgrösse entwickelt:
^(|)"P,(cosa,).
Das Summenzeichen, so wie i^ kann man vor das Integral-
zeichen setzen, so dass für den inneren Punkt die Gleichung
Potential uod Kugelfunctionen. 73
gilt. Für den äusseren Punkt findet man in derselben Weise
die Gleichung:
Diese Reihen convergiren, so lange h endlich ist und ~ oder
— echte Brüche sind.
Q
§. 17.
Wir wenden jetzt unsern allgemeinen Satz über das
Potential einer mit Masse belegten Fläche an, nach wel-
chem (-3^) — (^) = — 4:7tk ist. Bei unserer Fläche, die
eine Kugelfläche ist, wollen wir zum Anfangspunkt der p
den Mittelpunkt der Kugel nehmen. Dann wird a^= Ey
während p mit dem radius vector q zusammenfallt, so dass
man hat:
k ist die Dichtigkeit an der Stelle, wo der Radius R, wel-
cher den Winkeln d', cp entspricht, die Fläche trifft. Der
Ausdruck \-^] muss der Reihe entnommen werden, die
für Q>Il gilt, der Ausdruck f^-j der anderen Reihe, die
für Q <B gilt. Zunächst hat man
wenn q <. R ist:
dg
- = ^ n (^ I I IcPn (cos o) sin d''dd''d<p'
wenn q> R ist:
dv
dQ
(1)
= ^C^+l) (jy'^^f'ß'Pn(cosco)sm»'d»'d<p\
Es entsteht die Frage, ob diese Reihen convergiren. Wir
wissen, dass die Reihen fttr v, aus denen diese durch DifiPe-
74 Vierter Abschnitt.
rentiation entstanden sind, eonvergiren, so lange in der
einen q <.Ry in der anderen q> R ist. Nun lässt sich
leicht zeigen, dass eine solche Reihe auch convergirend bleibt,
wenn sie beliebig viele Male diflferenzirt wird. Die Eeihe
«0 + ö^i^ + + öt«a?« H
convergire, so lange rr < 1 : dann convergirt auch ihr Diffe-
rentialquotient
a^ + 2a2X + + nanX"^—^ +
so lange a: < 1. Die Coefficienten werden freilich sehy ver-
grössert, aber das hindert nicht, dass die Reihe dennoch
convergirt./^) Mit der Convergenz unserer Reihen (1) für
den Fall, dass q resp. kleiner oder grösser als R ist, ist
uns aber wenig geholfen; wir wollen ausmitteln, welchen
Grenzen sich die beiden Ausdrücke (1) für ^ nähern, wenn
sich Q dem R nähert. Würden unsere beiden Reihen noch
eonvergiren, wenn man in beiden q = R setzt? Das ist
schwer einzusehen. Aber wenn das auch nachgewiesen
wäre, so bliebe noch eine andere Frage, ob nämlich eine
nach Potenzen von a fortschreitende Reihe, die convergirt
für a = 1, bis a = 1 stetig ist.
Als Beispiel dafür, dass nicht jede Reihe, die convergent
ist, so lange cc ein echter Bruch ist, auch bis cc = 1 incU
convergirt, diene die durch Entwicklung des Quotienten ,
entstandene Reihe 1 — a + a* — «^ + a* Dieselbe
convergirt, so lange a ein, wenn auch noch so wenig, von
1 verschiedener echter Bruch ist; für a = 1 würde die Reihe
werden 1 — 1 + 1 — 1 + ''', convergirt also nicht mehr.
Um die zweite Frage zu erläutern, nehmen wir die Reihe
Dieselbe convergirt bis a = 1 incl. Hätten wir die Grenze
auszumitteln, der sich diese Reihe nähert, wenn a sich der
Einheit nähert, wären wir da berechtigt, den Werth zu
nehmen, den wir bekämen, wenn wir a = 1 setzten? Es
wäre doch noch nöthig nachzuweisen, dass sie stetig ist bis
Potential und Kugelfunctionen. 75
a = 1. Denn es giebt in der That Reihen, die unstetige
Functionen sind, z. B. die Eeihe
sin X sin 2 a; , sin 3 a?
"""Ij ä I ö ....
Der Werth derselben ist gleich 4^Xj so lange a? zwischen — x
und 7t excl. liegt. Der Werth, dem diese Reihe sich nähert,
während sich x der Zahl tc nähert, ist somit ^tc, während
die Reihe, wenn ich für x geradezu die Zahl tc setzen wollte,
den Werth annehmen würde. Doch etwas Aehnliches kann
sich niemals ereignen bei Reihen, die nach Potenzen geordnet
sind: solche Reihen bleiben stetig, so lange sie convergent
bleiben, wie AbeP^) zuerst nachgewiesen hat. Wir lassen
den Beweis dieser Behauptung folgen.
Behauptet wird also Folgendes:
Wenn die Reihe "
^=0^0 + ö^i« + «2«^ H + ö^n«** H
noch für a = 1 convergirt, d. h. wenn die Summe
Sn = «0 + ö^i H h öf«
mit wachsendem n sich einem festen Werth B nähert
(lim Sn = B), so sind wir gewiss, dass der Werth, den die
Reihe T annimmt für ein «, welches unendlich wenig unter
1 .liegt, von jenem festen Werth B unendlich wenig ver-
schieden ist.
Beweis. Da offenbar
a^ = 5o , ö^i = Sj — 5o , «2 = ^2 -- ^1 ^- S. W.,
so ist
T=So + {Si — SQ)cc + (s^ — s^)a^'\ t-(5n_i — s»-2)«"-^H
Um sich zu überzeugen, dass letztere Umformung erlaubt
ist, muss man nachweisen, dass diese beiden Summen um
etwas verschieden sind, das im Unendlichen Null wird. Die
Summe der n ersten Glieder ist bei der zweiten Reihe um
— 5»_ia" grösser als bei der ersten; dies ist aber ein Aus-
druck, der mit wachsendem n verschwindet: mithin ist die
Umformung legitim. Hat man eine nach Potenzen von a
geordnete Reihe, die ws unendlich vielen Gliedern besteht,
76 Vierter Abschnitt.
und will wissen, was daraus wird, wenn sich a der Einheit
nähert, so kann man das erreichen, indem man die Reihe
in zwei Theile zerlegt, so aber dass der Einschnitt selbst
sich immer ändert, während « der Einheit näher rückt.
Wir schneiden die Reihe für T beim «**° Gliede ein, nennen
den ersten Abschnitt ?/, den zweiten F, so haben wir
T = TJ -^ V, Wir können uns so einrichten, dass das U
sich der Null nähert, und V einer leicht zu übersehenden
Grenze. Dem U lässt sich diese Form geben:
U= (1 - «) (^0 + Si« H h Sn-ia^-").
Da Sn sich einer festen Grenze B nähert, so muss das grösste
der Glieder Sq, s^' - > Sn sich schliesslich einer festen Con-
stanten nähern: nennen wir letztere Ä, so ist
Wir richten \ins so ein mit dem Einschneiden, dass TJ sich
der Null nähert; 1 — a = s soll unendlich klein werden;
da nun IKnslc, so nähert sich U der Null, wenn wir n,
während € abnimmt, so langsam wachsen lassen, dass ne
unendlich abnimmt (das kann auf 100000 Arten geschehen).
Es bleibt V zu untersuchen. Es ist
F= (1 — a) a»* {Sn + a5n+i + a^Sn+2 H ).
Offenbar liegt die Summe
Sn + CCSn+1 + CC^Sn+2 H
zwischen dem Product aus dem grössten s in die Summe
1 + « + ßf^ + * • • ^^<i dem Product aus dem kleinsten s in
dieselbe Summe; wir können daher sagen, jene Summe sei
gleich ^ (1 + « + «^ + • • • )> ^^ ^ enthalten ist zwischen
dem Maximum und Minimum der Werthe 5«, Sn-\^i • • • •
Wächst w, so fallen Mai^imum und Minimum, also auch ö
mit B zusammen. Also ist
lim F= JB lim [«»(1 — a) (1 + a + a^ ^ )] = ^ lim a\
Bezeichnen wir das Product n€ durch %, so ist
mithin
/ ■l_\ Um X
lim «»» = \^lim (1 — c) * j
Potentiaf und Kugelf unctionen. 77
'. . - 1
Da nun* bekanntlich lim (1 — f ) * = — ^ wo e die Basis des
natürlichen Logarithmensystems, d. i. die Zahl 2,718 •••,
bedeutet, und lim % nach der Voraussetzung ist, so hat
man lim «** = (— ) =1; und folglich lim F, also auch
lim r = JB.
Wären wir also sicher, dass die Reihen
»>''4:--2(«+')(frv.,
wo der Kürze wegen
jj}i^n (cos cj) sin h'd^'dq! = JJn
gesetzt ist, noch convergireii für ^ = JB, so wäre die Grenze
von T- für ein p, das sich vom Mittelpunkt her dem J?
nähert,
und für ein p, das sich von aussen her dem J? nähert,
Nun wissen wir aber, äass
ist: es wäre dann also
2 (2n + 1) Un = 4xJc,
oder
k =
4«
Hier ist Je die für die ganze Oberfläche der Kugel gegebene
Dichtigkeit: diese Function hätten wir dargestellt in Form
einer unendlichen Eeihe, oder: wir hätten eine Formel für
die Darstellung einer beliebigen Function, die für alle Punkte
einer Kugeloberfläche gegeben ist, in Form einer unendlichen
Reihe:
78 Vierter Abschnitt.
00 27t 7t
f{^^ 9) = j^ 2 (2** + ^)J^'pJf(P''^ 'P)^n (cosö) sin^VZ^'.
Dass man solche Reihen Kugelfunctionreihen nennt, da die
einzelnen Glieder derselben sogenannte Kugelfunctionen sind,
mag gleich hier bemerkt werden: die genaue Definition der
Kugelfunctionen erfolgt erst später. Die Kugelfunctionreihen
sind in der mathematischen Physik von der grössten Wichtig-
keit. (Den Beweis*^) der Convergenz der Reihen für t-, wenn
Q = Bj siehe Crelle's Journal, Bd. 17.)
Was den Bau der einzelnen Glieder der Entwicklung
von f{d'y q)) in eine Kugelfunctionreihe betriflpfc, so ist das
allgemeine Glied eine ganze Function von cos '^, sin d" cos 9,
sin «d- sin 9), in deren einzelnen Summanden die Summe der
Exponenten n, n — 2, n^— 4.... ist. Denn es war
Fn (cos co) = -4 cos oü** + -B cos o*»-^ + ,
und
cos o = cos d" cos -d-' + sin «d- sin d'' cos (y — 9?')
= cos '^' cos «d- + sin'9''cos9?'sinO'cos9? + sin #' sin 9' sin «d- sin 9.
Der letzte Ausdruck ist eine lineare Function von cos d',
sin d" cos (p, sin # sin 9, in welcher cos -d-', sin d'' cos (p',
sin d'' sin 9?' Coefficienten sind; von demselben ist die n*®,
{h — 2)*® • • • • Potenz zu bilden. Wir bekommen also für P
einen Complex von Gliedern von der Form
L cos d^ (sin d' cos 9?)/* (sin d' sin 9)^,
wo a + /3 -f- y entweder w, oder n — 2, oder n — 4 ist.
Um hieraus die Entwicklung von f{d', 9?) zu erhalten, ist jedes
dieser Glieder noch zu multipliciren mit sin %'f{%'\(p)d%''d(py
und darauf nach %•' und (p zu integriren, wodurch nur die
Coefficienten L jenes Gomplexes geändert werden.
§. 18.
Die wichtigsten Eigenschaften der Kugelfunctionen hängen
mit der Gleichung j-j + -r-^ + ^ = zusammen, in wel-
cher V das Potential ausserhalb der wirkenden Masse be-
Potential und Kugelf unctionen. -79
zeichnet. Es ist von Wichtigkeit, diese Gleichung auf Polar-
coordinäten zu beziehen, was zwar auf dem gewöhnlichen
Wege geschehen kann, aber eine lästige Rechnung erfordert..
Um letztere zu vermeiden, wollen wir uns eines anderen
Princips bedienen. Wir machen wieder von dem in §. 7.
bewiesenen Hilfssatz Gebrauch. Hat man einen zusammen-
hängenden Raum, in welchem u und w, so wie ihre Differ
rentialquotienten stetige Functionen der drei rechtwinkligen
Coordinaten sind, so ^ar:
/(du .du o , du \ ^ r/du dw . dudw . du dw\ , ^
Wir setzen w= 1, und machen die Annahme, dass u inner-
halb des zusammenhängenden Raumes so beschaffen ist, dass
das Trinom ^-g -f- j—^ -f- j—^ gleich Null ist: dadurch geht
die vorstehende Gleichung in die folgende einfachere über
r/du I du ^ I du \ j ^
Für das Potential v einer beliebigen Masse findet die eben
gemachte Annahme statt innerhalb eines beliebigen Raumes,
der ganz ausserhalb jener Masse liegt; es ist demnach
Dies Integral ist auszudehnen über eine beliebige in sich
zurückkehrende Fläche, die ganz ausserhalb jener Masse
liegt; u, ß, y sind die Winkel, welche die auf dem jedes-
maligen Flächenelement ds nach aussen errichtete Normale
mit den Coordinatenaxen bildet. Der Complex
dv . dv a t dv
_cos« + ^cos^ + ^cosy
ist also nach §. 15. die Derivirte des Potentials in irgend
einem Punkt der Fläche in der Richtung der Normale'^ be-
zeichnen wir diese Derivirte durch (^ , so lässt sich die
Gleichung (1) auch so schreiben:
80 Vierter Abscbnitt.
Die Gleichung (2) ist nichts anderes als die Gleichung
in einer geschmeidigeren Form, und lässt sich auf jedes '
Coordinatensystem transformiren.
Um die Gleichung (3) auf Polarcoordinaten zu trans-
formiren, wenden wir die Gleichung (2) auf den Fall an,
dass die in sich zurückkehrende Fläche, über welche die
Integration in (2) auszudehnen ist, die Oberfläche irgend
eines auf Polarcoordinaten bezogenen Raumelementes sei,
welches ganz ausserhalb der wirkenden Masse liegt. Die
drei unendlich kleinen Linien, welche die in einer Ecke
zusammenstossenden Kanten desselben bilden, sind dg, gdd'j
QQind'dq), und stehen senkrecht auf einander. Wir bilden
zunächst die Derivirten von v in dem Punkt ((>, d', qi) nach
den Richtungen dieser drei Linien. Die Derivirte in der
Richtung des radivs vector ist ^ ; in der Richtung, wo bloss ^
^~^d9
sich ändert, — ^^ "^ ~rf5' ^^^ ^^ ^®^ dritten Richtung, wo
dv ,
3~dq) \ d
bloss cp sich ändert: — . ^.^ = — • — e y • Das auf der
^ 9 sin^ag) q sin ^ dtp
linken Seite der Gleichung (2) stehende Integral / \^J ds
besteht in unserem Fall nur aus sechs Elementen, die den
sechs rechteckigen Flächenelementen ds entsprechen, welche
das Raumelement begrenzen; je zwei derselben liegen einander
gegenüber. Eins derselben ist das aus den Seiten gdd" und
Q sin.d'dq) gebildete Rechteck, wird also ausgedrückt durch
qI^ sin.d'dd'dip] dasselbe ist äu multipliciren mit der Deri-
virten von V in der Richtung der nach aicssen auf demselben
errichteten Normale, d. i. mit —^-. Eins der sechs Ele-
mente des Integrals (2) ist mithin — ^ p^ sin d'dd'dq). Das-
jenige, welches dem gegenüberliegenden Flächenelement ent-
Potential und Kugelfonctionen. 81
spricht, wird sich von dem vorigen erstens dadurch unter-
scheiden, dass statt q zu setzen ist q -\- dQ, indem d' und
q) unverändert bleiben; dann aber auch dadurch, dass es
statt des negativen Vorzeichens das positive hat, indem das
Flächenelement immer mit der Derivirten in der Richtung
der nach av^sen gerichteten Normale zu multipliciren ist.
Die Summe dieser beiden Elemente des. Integrals wird also
das partielle Differential nach 9 von j- q^ sin d'dd'dq) sein,
d. i. sin d'dd'dq)dQ — d~~^ ' ^^^^ ähnlich ist es mit den
beiden anderen Paaren von Elementen, die gegenüberliegenden
Flächen entsprechen. Das Flächenelement Qdd'dg ist zu
multipliciren mii? r—^ -^ , woraus das Integralelement
-, — ^j—d^^dg entsteht: bei dem Element, welches der
sin 'S- dqo ^ ' '
igegenüberliegenden Fläche entspricht, ändert sich bloss q>
um d(pj und das Vorzeichen, so dass die Summe dieser
beiden Elemente das partielle Differential von -7-*^ ^ dd'dg
nach (p ist, d. i. -r—^dd'dQdg)^-^. Auf ähnliche Weise
erhält man als Beitrag, den das dritte Elementenpaar zum
Integral .(2) liefert: ^ {^ sin d^j dd'dipdQ, Durct Addition
entsteht, wenn man den gemeinsamen Factor dd'd^dQ fort-
lässt, gjijis (2) die Gleichung:
Dies ist die transformirte Gleichung, die man auch auf dem
gewöhnlichen Wege bekommen kann, indem man in (3) statt
der rechtwinkligen Coordinaten Polarcoordinaten einführt.
Das erste Glied der transformirten Gleichung kann man
anders schreiben; es ist nämlich
d ( 2dv\ ^d^v i n dv ( d^v , ci drX d^iov)
Substituirt man den letzten Werth statt ^ \q^ ^j in der
vorigen Gleichung, so hat man:
Diriohlet, Potentialtheorie. 6 ..
82 Vierter Abschnitt.
. ^ d^Qv) i d (dv . A i 1 d'v ^
In dieser Gleichung liegt das eigentliche Fundament der
Theorie der Kugelfunctionen.
§. 19.
Ein Massenelement irgend einer Masse M sei ft'; den
Ort desselben bestimmen wir durch Polarcoordinaten q\ ^', q)\
Der Punkt, für den das Potential genommen werden soll,
sei (qj -d", 9?)-, wir setzen voraus, dass derselbe ausserhalb
der Masse liege. Der Beitrag zum Potential, den jenes
Element ft' liefert, ist das Massenelement ft' dividirt durch
seine Entfernung r vom Punkt (p, d; w\ also : -r-- -, ,
mithin ist
ViQ^ — ^QQ COS CO +9*) '
WO sich das Summenzeichen S auf sämmtliche Massenelemente
bezieht Der Pol, d. i. der Punkt, von wo die q gezählt
werden, s(Tll nicht in der Masse liegen. Nennen wir die
Entfernung des dem ^ Pol am nächsten liegenden Massen-
theilchens vom Pol iJ, so wird JB > sein, und jedes p'>JB;
nennen wir ferner die Entfernung des entferntesten Massen-
theilchen» vom Pol i?, dann wird jedes (>' < i? sein. Ist
nun p < iJ, so lässt sich v in eine nach positiven Potenzen
des raditts vector q fortschreitende Reihe entwickeln, und
ist p > i?, in eine nach negativen Potenzen fortschreitende
Reihe.
I. 9 < JB. In diesem Fall ist nach §. 16.
t.=, !L ^^= yP„icosa>)(^y^,,
— ^ ^= yp,{cos<o)(^y
mithin
S^^^Q^SPnioOS^)^
^ M-1 •
Um sich zu überzeugen, dass diese Reihe convergirt, setze
man in dem Coefficienten von q^ statt P« (cos (o) die Ein-
heit und B statt (>', ' ^^^^^^^^ derselbe vergrössert wird und
übergeht in — ^ = — ^^ ; das allgemeine Glied unserer Reihe
ist folglich kleiner als ^ (^ , also unsere Reihe convergirt.
Bezeichnen wir die zweite Summe /§/ Pn (cos g)) -j^ durch
Potential und Eugelfunctionen. 83
M /9>
Xn, so haben wir
Der Ausdruck Xn ist ofiEenbar eine ganze rationale Function
von cos -d", sin -d* cos 9?, sin -d* sin g); und zwar ist die Summe
der Exponenten von cos d", sin d' cos (p, sin 'd* sin 9? in den
einzelnen Gliedern dieser Function ^, w — 2 u. s. w. Statt
V wollen wir die Reihe 2JXnQ^ in der Gleichung
• Q. (i^ (Q^) I d (dv . Q.\ , 1 d^v ^ ,^x
su,^p_L_i + _^_sin»j + ^j^j^ = . (1)
substituiren. Zunächst ist 9«; == UXnQ^'^^y folglich
^-i^ = 2:(n + 1) Z,p., «nd^ == 2;«(« + 1) Z,p-».
Mithin ist das erste Glied der ersten Seite der Gleichung (1)
sin d^Q ^^P = 2; w (n + 1) Xn sin d'Q^
Femer ist % = Zq^ ^ , folglich sin ^ ^ = U^^^ sin ^,
mifhin das zweite Glied der ersten Seite der Gleichung (1)
Das dritte Glied, nämlich -: — s 3— 0, wird ^, -t-t - — 5: P" •
Der Coefficient von q^ j den man erhält, wenn man diese
drei Werthe in der Gleichung (1) substituirt, muss gleich
Null sein; es genügt mithin der Coefficient X« in der Ent-
wicklung des Poteutials nach positiven Potenzen von q dieser
partiellen Differentialgleichung:
«(n + l)8ixi*X. + A(sin^^-) + ^-jA^^- = 0. (2)
II. Q> R. Es war
v = s^ = SI ^ .
^ r ^ ^^(^2 _ 2 (f(f' C08 CO + ^'»)
6*
84 Vierter Abschnitt.
Jetzt ist diese Wurzel nach negativen Potenzen entwickelbar:
Setzen wir 1 statt P« (cos o) und K statt q\ so vergrössern
wir; die Summe S^' Q'^Pn (cos o) ist also kleiner als JfJ?'**,
folglich das allgemeine Glied unserer Entwicklung von v
kleiner als — [— ) , mithin die Entwicklung convergent.
Nennen wir jene Summe wieder X„, so ist
wo Xn wieder eine ganze rationale Function von cos ^^
sin -d" cos q>, sin -ö* sin (p ist, in deren einzelnen Gliedern die
Summe der Exponenten dieser Grössen w, n — 2 • • • • ist.
Das Merkwürdige ist nun, dass dieser Coefficient X« wieder
denselben Charakter hat wie der Coefficient X„ der vorigen
Entwicklung. Denn wenn wir für v jetzt die Reihe > _ —
in der Gleichung (1) substituiren , so entsteht genau dieselbe
Differentialgleichung wie vorhin, indem das erste Glied jetzt
w (n + 1) sin -ö" X„ -^^i
wird. Also jene Differentialgleichung (2) gilt sowohl für '
den Fall einer Entwicklung nach positiven wie nach nega-
tiven Potenzen des q.
Die Gleichung (2) stellen wir als Definition der Kugel-
functionen auf:
Jede gaii^e, rationale^ geschlossene Functioi% von cos d',
sin d- cos 9, sin «d* sin cp, die dieser parHellen JDifferentidlgleichung
genügt
n(n + t)siu^X, + ^(8in^^) + ^'^- = 0,
soll eine Ktigelfunction n^^ Ordnung genannt werden.
Demnach sind die Coefficienten einer Potentialentwicklung
immer Kugelf unctionen, mag die Entwicklung nach positiven
oder nach negativen Potenzen des radius vector fortschreiten.
Wir wollen eine Kugelfunction irgend einer Ordnung
Potential und Kug^unctioneu. 85 x
immer mit einem der Buchstaben X, F, Z, T, U bezeichnen,
denen wir, wenn Kugelfunctionen verschiedener Ordnung zu
unterscheiden sind, einen Index anhängen, der die Ordnung
angiebt, so dass z. B. Xn irgend eine Kugelf unction w*®',
Ym irgend eine m*®' Ordnung bezeichnet.
§. 20.
Die Kugelfunctionen hiaben ihren Namen mit vollem
Recht, weil sie die grösste Aehnlichkeit haben mit den
Kreisfunctionen; d. h. mit Functionen einer Veränderlichen
(p, deren allgemeines Glied ist
s = a cos n 9 + ^ sin nq). ^ »-o^fw^i»
Dieser Ausdruck genügt z. B. der Differentialgleichung ^2i-».ÄiÄ«ftNf-<
ähnlich wie eine Kugelfunction der Differentialgleichung (2) ja'
§. 19. genügt. Man kann ferner sagen: so wie sin w 9 und
cos ng) eine ganze Function von sin (p und cos cp ist, wäh-
rend sin <p und cos 9 die rechtwinkligen Coordinaten irgend
eines Punktes der Peripherie eines Kreises mit dem Radius 1
sind, ist eine Kugelfunction eine ganze Function der Grössen
cos d'f sin -ö" cos 9, sin -d* sin g), welche die rechtwinkligen
Coordinaten eines Punktes einer Kugeloberfläche mit dem
Radius 1 sind. Eine dritte Analogie zwischen den Kreis-
functionen und Kugelfunctionen ist folgende. Wenn man
das Product zweier Kreisfunctionen verschiedener Ordnung,
z. B. a cos W9 -f- 6 sin wg), c cos mg? -f- c? sin mg? mit dem
Element d(p der Kreisperipherie multiplicirt, .und daiin über
die ganze Kreisperipherie integrirt, so ist der Werth des In-
tegrals stets gleich Null. Eine ganz ähnliche Eigenschaft
besitzen die Kugelfunctionen; dieselbe lautet:
1. Wenn man das Produkt zweier Kugelfunctionen ver-
schiedener Ordnung mit dem Element der Kugelfläche mul-
tiplicirt, und dann über die ganze Kugelfläche integrirt, so
ist der Werth des Integrals stets gleich Null.
Diese Fundamentaleigeiischaft der Kugelfunctionen, die
auch durch folgende Gleichung ausgedrückt werden kanu:
86 Vierter Abschnitt.
7t 27t
ff Xn Y„t sin d^dd^dq) = ,
lässt sich beweisen, indem man bloss auf die Definition der
Kugelfunctionen Rücksiclit nimmt, welcher zufolge
'o = n(n+ -1) sin^X + ^ (sin d-g) + -^ |^ (1)
o=m(m+l)sin^r+A(3in^g)+^|^ (2)^
ist. Es wird sich nämlich ergeben, dass jenes Doppel-
integral gleich ist dem Product aus sich selbst in eine von
1 verschiedene Constante; daraus wird dann freilich folgen,
dass dasselbe nur den Werth Null habei^ kann.
Aus (1) folgt
7t 27t
27t
^(w+ r)ffXYamd'dd'dq> =
7t 27t
U
Man beachte, dass -7-0- den Factor sin -O* hat, so dass- — ^ ^-^
für %• = nicht unendlich wird. Den ersten Ausdruck der
zweiten Seite integriren wir theilweise nach %•, den zweiten
nach (p. Es ist •
folglich
7t 7t
/y Ä (-^ 5#) ^^ = -/-* fl M^^' (4)
Ferner ist
/V— rf =Y— — f— — d
J d(p^ ^ d(p J d(p dtp ^*
Das Glied vor dem Integralzeichen wird nicht, wie in (3),
für die beiden Grenzwerthe, y = und g) = 23r, gleich
Null, hat aber doch für beide densftlben Werth, weil es
eine ganze Function von cos <p und sin <p ist Folglich ist
Potential und Kugclfunctioncn. 87
Ü
Substituirt man in (1) die rechten Seiten der Gleichungen
(4) und (5) statt der linken, so entsteht
TT ift
w (w + 1) /P^ ^ sin ^dd'dip-^
JJd»M «'° ^^"^^f +JJ^»d^r^ ^^^'f-
»00
Behandelt man die Gleichung (2) ebenso , so bekommt man
eine Gleichung, deren erste Seite
n 27t
m{m+ l)ffXYsin d'dd^dq)
ist, während ihre zweite Seite genau mit der zweiten Seite
der vorstehenden Gleichung übereinstimmt. Wenn also m
und n verschieden sind, so muss
7t 27t
ffXn Ym sin d'dd'dg) = ,
oder, wenn man das Element sin d'dd'dtp einer Kugelfläche
mit dem S^dius 1 durch da bezeichnet^
fXnYmd0 = O
sein, das Integral über die ganze Eugelfläche ausgedehnt.
2. Es ist klar, dass eine Eugelfunction irgend einer
Ordnung eine derselben Ordnung bleibt, wenn man sie mit
einer Constanten multiplicirt.
. 3. Wenn man zwei Kugelfunctionen derselben Ordnung
addirt, so ist die Summe wieder eine Eugelfunction derselben
Ordnung.
4. Hat man eine Eugelfunction n*" Ordnung
X = + L cos -ö^ (sin -d- cos (pY (sin &• sin (py + ,
deren Coefficienten von irgend einer Grösse A abhängen, dann
kann Äan die Eugelfunction zwischen beliebigen festen
Grenzen, die nicht von d- und (p abhängen, nach X inte-
griren und erhält wieder eine Eugelfunction n*®' Ordnung.
88 Vierter Abschnitt.
Dies liegt auf der Hand; denn es ist
folglich ist auch der Ausdruck
j\ (« (« + 1) sin *X + A (,in.^ g) + ^ ^)
p
oder, was dasselbe ist
9
dlfXdl
1 P
/ "^ sin-O- dqp*
= 0,
Ueberall, wo früher X stand, steht jetzt JXrfA: das ist also
p
wieder eine Kugelfunction n*" Ordnung.
5. Es ist
Ym = ^J^J ^^' YmPm (cOS Gj) ,
das Integral über die ganze Kugeloberfläche ausgedehnt.
Diese wichtige Eigenschaft der Kugelfunctionen lässt
sich folgendermasöen beweisen. Wir fanden im vorher-
gehenden Paragraphen, dass jeder Coefficient einer Potential-
entwicklung eine Kugelfunction ist. Nun haben« j^ir aber
ein Potential, dessen Entwicklung wir kennen. Nehmen wir
nämlich nur Ein Massenelement, dessen Masse 1 sein soll,
. während seine Entfernung vom Pol 1 sei, dann ist das Po-
tential keine Summe, sondern nur ein Glied, welches, wenn
() < 1, nach positiven Potenzen von q entwickelbar ist,
nämlich:
-7 = y^Pn (cos (0)q\
>/(l— 29COSÖ) + 9^) ^ ^ ^'^
Also Pn (cos o) ist auch eine Kugelfunction, und zwar eine
Kugelfunction n*®' Ordnung (§. 19.), in deren Coefficienten
zwei willkürliche Grössen enthalten sind, die Winkel d'' und
(f'. Es ist daher nach 1., wenn Xm eine KugeJ^nction
m*®' Ordnung ist, und m nicht gleich n ist,
JXmPn (cos (O) d6 = 0.
Potential und Kugelfunctionen. '89
P„ (cos ßj) enthält die Winkel d-, q> und -ö"", (p auf eine
völlig symmetrische Weise, wegen
cos CO = cos 0* cos '9''+ sin ^ cos g? sin O-'cos g)'+ sin # sin 9 sin 6"' sin g?',
ist also auch eine Kugelfunction n*®' Ordnung in Bezug auf -ö*'
und g)'; folglich hat man auch
JXmPn (cos o) da' = 0. (a)
Nun fanden wir, dass eine beliebige Function zweier Ver-
änderlichen /*('&•, qi), wenn dieselbe für alle Punkte einer
Kugeloberfläche gegeben ist, in eine gewisse Reihe entwickelt
werden kann:
OD ft 2 7t
Es blieb freilich noch ein Zweifel in Bezug, auf die Richtig-
keit dieser Entwicklung, insofern der Nachweis ihrer Con-
vergenz fehlte. Dieser Zweifel verschwindet, wenn wir für
f(^) 9) ßi^® Kugelfunction setzen; denn in diesem Fall ist
unsere Reihe gar keine Reihe mehr, sondern reducirt sich
auf Ein Glied. . Ist nämlich f(d', (p) = Ym, so ist das all-
gemeine Glied
7t 27t
^^^ffd^'d(p' sin ^'p„ (cos «) r;,
Dieser Ausdruck ist nach (a) gleich Null, so lange n von
m verschieden ist, so dass nur das eine Glied bleibt, wo
n = m ist. Wir haben also
r„. = ^-!^±ljd</ nP,„ (cos «) ,
oder auch, wenn wir die gestrichenen Buchstaben mit den
ungestrichenen verwechseln, wodurch P dasselbe bleibt,
Tm = — 4^ / ^^Yfn Pm (cOS Cj).
6. Bisher haben wir von den Kugelfunctionen bloss
verlangt, dass sie eine ganze Function von den drei Aus-
drücken g, iy, g seien (zur Abkürzung setzen wir cos '9' ==' 6,
siü 0" cos 9 = ij, sin -^ sin 9> = J) und der Differentialgleichung
90 Vierter Abschnitt.
(2) §. 19. genügen. Jetzt können wir einsehen, dass jede
Kugelfunetion m*®° Grades, auch wenn sie ursprünglich anders
beschallen sein sollte, so umgeformt werden, kann, dass die
Summe der Exponenten von g, ri, ^ in keinem Gliede tn
überschreitet, und in den einzelnen Gliedern m, m — 2 • • •
ist. Diese Umformung kann mit Hilfe de* in 5. aufgestellten
Gleichung
2^37J Ym = / TmFm (cOS ßj) d^'
bewerkstelligt werden. Denn P ist eine rationale ganze
Function von 5, iy, g, in deren einzelnen Gliedern die Summe
der Exponenten m, m — 2 • • • ist (§. 17.), und neue Ex-
ponenten können durch die auf der zweiten Seite jener Glei-
chung angedeuteten Operationen nicht liineinkommen. Dabei
ist zu bemerken, dass eine Kugelfunetion sehr wohl Glieder
enthalten kann, in denen die Summe der Exponenten grösser
als m ist. Hiervon wird man sich leicht überzeugen, wenn
man bedenkt; dass |, i}, t, nichf unabhängig von einander
sind, da |2 + 1^2 ^ g2 _ 1 jg^.
Von den unter 1. bis 6. bewiesenen Eigenschaften der
Kugelfunctionen heben wir die beiden in 1^ und 5. enthaltenen
noch einmal besonders hervor, die durch die beiden Glei-
chungen
JXnYmdi5 =
ausgedrückt sind. Diese zwei Sätze sind fundamental.
§. 21.
Ist f{%'j tp) eine von d* = bis -9^ = », und von cp =
bis 9 = 2» willkürlich gegebene Function, und ist dieselbe
für alle unendlich kleinen Veränderungen von 0* und q) stetig,
so ist (§. 17. und Anmerkungen 21.):
f(». <P) = ^2 (^^+ ^)ffd»'d<p' sin»'fi»W) P»(cosa,).
Der Factor P„' (cos cd) in dem allgemeinen Glied
Potential und Kugelfunc,tionen. 91
1t 27t
—^fjd^'d^ sin^7(^>')-Pn (coscj)
Ü
dieser Reihe ist eine Kugelfunction «ter Ordnung (§. 20., 5.).
Folglich ist auch ^ "^ sin &•' f(d'\ (p) Pn (cos o) eine Kugel-
function derselben Ordnung (§. 20., 2.); daraus ergiebt sich
Tvißiter, dass auch jenes allgememe Glied selbst eine Kugel-
function n*®' Ordnung ist (§. 20., 4.). Wir können dßmnach
sagen:
Eine jede von -ö- = bis d^ = tc . und von (p = bis
(p = 2a willkürlich gegebene Function f(d', (p), die für alle
Aenderungen von %• und tp sich stetig ändert, ist immer in
eine Kugelf unctionreihe entwickelbar, und zwar ist
/•(^,9,) = Zo + Zi+Z, + ••••= 2^-' (1)
wo
(die Integration über die ganze Oberfläche einer Kugel mit
dem Radius 1 ausgedehnt) eine Kugelfunction w*®' Ordnung ist.
Für die Folge ist es wichtig nachzuweisen, dass eine
jede Function von der angegebenen BeschaflFenheit, nur auf
diese eine Art in eine Reihe von Kugelf unctionen entwickel-
bar ist. Existirte nämlich ausser jener Entwicklung von
t{^} g?) noch diese zweite
f(»,g,) = 2:U,, (2)
80 würden wir durch Subtraction der Gleichung (2) von der
Gleichung (1) eine Reihe erhalten, welche für alle Werthe
von &• und 9, von bis ä und von bis 2» resp.. Null wäre:
wo Xn nach §. 20., 3. wieder eine Kugelfunction w*®' Ord-
nung sein wür(fe. Wenn diese Gleichung für alle Werthe
d'j g), von bis tc und von bis 27C resp., besteht, und
wir die convergirende Reihe 2JXn mit irgend einem Factor
multipliciren, imd das Product von -ö* = bis -d* = ä, und
von (p = bis <p = 2jt integriren, so muss auch das Re-
92 Vierter Abschnitt.
sultat dieser doppelten Integration Null sein. Wir mul-
tipliciren also beide Seiten der Gleichung
• = Xo + X, + ... + X„ + ...
mit Xmdöj und integriren zwischen den angegebenen Grenzen,
so entsteht:
O=fX^Xmd0+fX,Xmdö + '''
Von allen Gliedern der zweiten Seite dieser Gleichung bleibt
nach §. 20., 1. nur das eine Glied, in welchem n = m ist;
folglich hat man
• 0=fX^dö.
Daraus folgt
X^ = 0, d. L Un = Zn.
§.22.
Jede Kugelfunction w*®" Grades Xn ist* ein particuläres
Integral der partiellen Dififerentialgleichung (2) §. 19.
j / dX \ 1 d^X
n(»+l)sin^X„ + ^(sin*-^-) + 4^^» = 0. (1)
Deshalb -genügt das Product X»^" der Gleichung (§. 18.):
Letztere Gleichung ist aber durch Transformation der Glei-
chung
^ + ^ + ^ = (2)
dx^ ' dy^ ' dz^ ^ ^
entstanden, indem man statt der rechtwinkligen Coordinaten
Xj y, z Polarcoordinaten (), %', (p einführte. Wenn wir also
in Q'^Xn die Polarcoordinaten durch rechtwinklige ersetzen,
so werden wir ein particuläres Integral der Dififerential-
gleichung (2) erhalten. E« ist aber
Diese Summe ist offenbar eine homogene Function der recht-
winkligen Coordinaten n^^ Grades, d. h. von der Beschaffen-
heit, dass die Summe der Exponenten von x, y, z in allen
Gliedern n ist. Denn in den einzelnen Gliedern jener Summe
ist (§. 20., 6.)
Potential und Eugelfanctionen. 93
Diejenigen Glieder nun^'in welchen a -\- ß -{- y = n — 2 ist,
können wir, ohne ihren Werth zu verändern, mit S* + i?^ + &^
multipliciren, da dieses Aggregat =1 ist; dadurch gehen
dieselben aber in solche über, in welchen die Summe der
Exponenten n ist. Ebenso multipliciren wir diejenigen
Glieder jener Summe, in welchen a -{- ß -\- y = n — 4 ist
mit dem entwickelten Quadrate (S^ + rj^ + i^Y u. s. w. Wenn
wir in der so transformirten Summe ULQ^^^ril^^y, wofür
wir auch schreiben können U L(Q^y(Qriy(Qty sia,it q^, qij, q^
resp. oCj yy z setzen, so erhalten wir oiBFenhar eine homogene
Function von x, y, z. Wir können demnach sagen: Wenn
wir eine Kugelfunction n*®' Ordnung mit q^ multipliciren,
und alle Glieder dieses Productes durch rechtwinklige Coordi-
naten ausdrücken, so bekommen wir eine homogene Function
^ten (Jrades, die der Gleichung
genügt. Umgekehrt haben wir eine homogene Function von
Xj y, z, welche ein particuläres Integral dieser Gleichung
ist, so bilden wir daraus eine Kugelfunction, wenn wir statt
Xy yjß setzen pS, 91?, p& Wir haben demnach die Auf-
suchung der allgemeinsten Form einer Kugelfunctioii er-
leichtert: wir suchen die allgemeinste homogene Function Q
von X, y, z auf, die der Gleichung ^ + ^, + ^ =
genügt. Das Resultat ist auf der Stelle da; aber es ist
wohl zu überlegen, wie man auf die einfachste Weise zum
Ziel gelangt. Q kann so geschrieben werden:
^Q = Bo + B^x + B^x" + • • • + Bnx%
wo Bq, B^ — Bn Functionen von y, z vom Grade w, w— 1 , • • •
sind. Setzt man diesen Werth für Q in die DiflFerential-
gleichung (2) ein, so wird man leicht finden, dass das erste
und zweite Polynom B^ und B^ beliebig bleiben, und dass
die übrigen sich daraus mit Hilfe dieser Gleichungen be-
stimmen: • *
94 Vierter Abschnitt.
^^ 3'4\dy^ '^ dz^l 2 • 3 • 4 \ %* '^'^dy^dz^'^ dz^ /
u. s. f.
Wir müssen darauf sinnen^ dass sich nicht solche re-
d^B.
currirenden Beziehungen ergeben, wo zwei Glieder, -^-^ und
-J-T7 nöthig sind. Man kann statt der Variabein y, z zwei
andere einführen, so dass man statt der zwei Glieder nur
eins bekommt. Statt x, y, ß führen wir ein x^ ty u, wo
t = ay + ßz, u = yy + dz:
Die vier Constanten lassen sich so bestimmen, dass die
Summe der zweiten Derivirten nur eine Constante enthält.
Man denke sich Q einmal durch y, z, dann durch f , u aus-
gedrückt; es ist
folglich
ä^^d^d^.dQdu^^dQ. dQ
dy dt dy'^ dudy ^ dt '^ '^ du^
p-i;?«*+ä.^.«^+£s^-
Durch Vertauschung von a, y mit ß, d resp. erhält man
hieraus:
dz^ — dt^ P ^"^ dtduP^^du^^-
M.^.ii setze also
a^^ß^ = 0, und / + d"^ =
oder
/3 == + ^^; d = + ^y»
Die Zeichen darf man nicht gleich nehmen; denn dann fände
zwischen t und u ein constantes Verhältniss statt, da sie
doch von einander unabhängig sein sollen. Wir setzen also
t=^cc{y + zi)y u = y(y — zi).
Setzen wir noch
4ay= 1, a = ^, y = ^,
wodurch
Potential upd Kugelftinctionen. 95
wird, so verwandelt sich die ursprüngliche Differentialgleichung
c
c
in diese einfachere
dx* ' dtdu
Q ist jetzt eine homogene Function von x, tj u. Setzen
wir also - • *
Q=^Il^ + B,x + R,x^-\ h Bn^iX—^'+ BnX^ ,
so ist Bq ein Polynom w*®° Grades von t, U] B^ eins (w— 1)*®"
Grades u. s. f. Da mm
d«dt* "^ dtdu "*" (««du ^ "•" dtdu ^ "* '
= 1 . 2 Eg + 2 . 3 JBsO: 4- 3 . 4 ü.o:* + • • •
ist, so folgt:
3.4iJ, + |;|i = 0«,s.f.
Also die B mit geradem Index hängen von Bq ab, die ande-
ren von B^y und es wird:
'»^ ^0 1.2 (««du ^^1.23.4 dt^du^ ^ I
1 d^B, 3 1 d^Jg, /)
^^1^ 2.3d«du^ ^^2.3.4.6dt*<«u«^ )
jRo enthält (w+ 1), l?i w von einander unabhängige Con-
stante; mithin enthält der vorstehende Ausdruck für ^ 2w + 1
von einander unabhängige Constante. Bq ist ein Polynom,
von welchem irgend ein Glied ist ci^u^y wo a -{- ß = n ist.
Jedes^ Glied zieht sich durch die ganze erste Horizontallinie
in dem Ausdruck (I) für ^ hindurch, mit derselben Con-
stanten. Also ein Bestandtheit von JJq, wie ct^ttfi, liefert,
mit Weglassung des constanten Factors c, folgenden Bei-
trag M zum ersten Theil des Q:
\^ 1 ■ 2 «M ' , 1 • 2 • 3 • 4 \tu] J '
96 Vierter Abschnitt.
Wir müssen ty u durch y, b ausdrücken, und dann ic = 9 cos -ö*,
3/ = 9 sin -ö" cos 9; jSf == () sin ^ sin 9 setzen^ wodurch wir er-
halten
X = Q cos %•
^ . ^ l ^M^isin-Ö^o^
M=isin^c^-y»(>J
Subätituiren wir diese Werthe in dem obigen Ausdruck für
Mj so wird
M= \ sin ^e(«-/*)y'oYl — ^ • 4 • ^?^, + • • • V
2« ^ \^ 12 sin ^* ' J
Der Factor — kann fortbleiben, da doch noch ein willkür-
lieber constanter Factor hinzuzufügen ist, und der übrige
Ausdruck lässt sich so schreiben:
^a-/?)y.-^« ^gin ^» _ '^^^l sin 'ö'"-^ cos ^^
. 2a(2a — 2)2(5 (2Ö — 2) . ^^. ^ \
H ^ 1 2 . 3-4 ^^ COS 'ö^ I .
Es ist a -\- ß =^n] setzen ifrir a — ß =^ s, so ist
« = — 2~^ ^ = "~2~'
und der vorstehende Ausdruck geht durch Substitution dieser
Werthe für a, /S über in:
^'q- (sin ^« - (w^+^)_(n-^ ^.^ ^„^2 ^^^ ^2
_^ (n + .) (n + . - 2) (n - sl(n--_s -^) ^j^ ^n-4 eos ^^ - > > 1
Dies ist der Beitrag, der aus irgend einer Gombination a, /3
entsteht, für welche a + j3 = n ist. Wir haben alle diese
Combinationen zu berücksichtigen. Nehmen wir zunächst
diejenige, welche durch Vertauschung der vorigen Werthe
a, ß erhalten wird, so geht s über in — s; in dem letzten
Ausdruck ändert sich daher nur der erste Factor e^% indem
dieser übergeht in er'^. Diese zwei Combinationen liefern
also, indem wir zugleich die noch fehlenden beliebigen con-
stanten Factoren beifügen^ folgenden Beitrag:
(Ce^* + De-^) (>« (sin^« — (^LM^-zJI sin^«-*cos^» + ..•),
Potential und Eugelfunctionen. 97
oder, da wir
Ce'vi + Der'f' = ^, cos s^ + JS, sin s^
setzen können,
iAsG0ssg)+BsSmsq))Q''fsmd'^ — - "'"f.^^"^ - sin^»-2eoS'9'2+...Y
wo As, Bs zwei beliebige Constante sind. Es ist s immer
eine positive ganze Zahl und gleichartig mit w, d. h. gerade
oder ungerade, jenachdem n gerade oder ungerade ist. Gehen
wir daher sämmtliche Combinationen a, ß durch, so haben
wir für s alle Werthe zu nehmen, welche positiv, kleiner
als n imd gleichartig mit n sind. Der erste Theil des Q,
welcher von der ersten Horizontallinie in (I) herrührt, wird
demnach
()»2:(^,cos59+5,sin59)/'sin'9'»— ^-^^i^^^
wo das Summenzeichen U sich auf die Werthe
s = n, n — 2, n — 4 , • • • • 1 oder
bezieht. Jedem dieser' Werthe, mit Ausnahme des Werthes
s = 0, entsprechen zwei willkürliche Constante As und JS,;
für 5 = bekommt man nur die eine Constante Aq. Die
Anzahl der Gonstanten, welche diese Summe involvirt, ist
demnach n + !•
Behandelt man den zweiten Theil des Q, nämlich
in derselben Weise, indem man beachtet, dass JR^ eine homo-
gene Function von t und u vom Grade n — 1 ist, so wird
man finden, dass derselbe gleich ist
Q^^U (As cos Sfp + Bs sin stp) X
(sin^^-^cos^— ^"^ - 1 -}- ,) (n -^ 1 - ^ sin ^«-^ cos -^^ + . . .) ,
wo s gleichartig ist mit n — 1, so dass man für s die Werthe
w— 1, n — 3, 1 oder
zu setzen hat. Jedem 5, mit Ausnahme von 5 == 0, ent-
sprechen wieder zwei Constante, und für s = schmelzen
Diriohlet, Fotentialtheorie. 7
98 Vierter Abschnitt.
die zwei Constanten wieder in eine zusammen. Diese Summe
enthält folglich n Constante.
Addirt man diese zwei Bestandtheile des Q und lässt
den Factor (>" fort, so erhält man schliesslich als allgemeinste
Kugelfunction n^ Ordnung eine solche Summe:
Z„ = 2;(^,coss(p + 5,8in5(p)(sin^» -^^^^^^^^sin^^-^eos^^
-L. (n + g) (n 4- s - 2) (n - 8) {n - 8 - 2) . ^ ^^ , \
+2:(^,cos^y+^,singy)(sina'^-^cos^- ^''""^"'"y~^""^ ^sin>»»-»cos^^
Für s hat man sämmtliche Werthe von bis n zu setzen,
und zwar in der oberen Summe die mit n gleichartigen, in
der unteren die mit n ungleichartigen. Die obere Summe
enthält w + 1? die untere n Constante: Xn enthält folglich
2n -\- 1 Constante. Es ist leicht, sich zu überzeugen, dass
diese 2n -\- \ Constanten von einander unabhängig sind,
d. h. dass man die 2n -}- 1 Constanten nicht variiren kann',
ohne dass die resultirenden Werthe des X« verschieden sind.
Es sei also
(«)
27 {Äs cos Sff + Bs sin 59) (sin %^^ ) |
+ 2J {Ag cos 59 + Bs sin 59) (sin %^^—^ cos -ö" ) J
I =1
2 (a, cös Sfp + hs sin Sfp) (sin ^" — • •)
1+ 27 («« cos S(p + hs sin 59) (sin ^"""^ cos ^ • • •).
Setzt man hierin %' = 90®, so wird der zweite Theil auf
beiden Seiten ganz wegfallen, während im ersten der Factor
(sin ^" ) sich auf 1 reducirt. Es muss also
H {As Cös Sff + Bs sin 59?) = H (a, cos s<p + 6« sin sq))
sein, wo für s die Werthe n, w — 2, • • • zu setzen sind, was
oflFenbar unmöglich wäre, wenn die entsprechenden Con-
stanten As und a„ Bs und 6, verschieden wären. DiJfferenzirt
man (a) nach '9', und setzt nach der Differentiation ^ = 90^,
so wird der zweite Theil nicht verschwinden, wohl aber der
erste, woraus sich dann ergiebt, dass auch die Constanten
des zweiten Theils nicht verschieden sein können.
Potential und Eugelfunctionen. 99
Die allgemeinste Kugelfunction besteht also aus Glie-
dern, wo ganze Functionen von cos d' und sin ^ mit Cosi-
nus und Sinus von tp multiplicirt sind.
Soll der Ausdruck Xn von q> unabhängig sein, so müssen
die Constanten, die cos 59 und sin 59 multipliciren, gleich
Null sein, bis auf Äq. Ist also n gerade, so ist
J.0 (sin^« — ^ sin^»~2cos^+ "^^^"^^^^^^ sin-Ö«»-^ cos-^* ),
und ist n ungerade,
-4o (sin -ö""-^ cos d'
_ (^' in^n-3 cos»3 ^ (n-l)'(n-3 )^ ^.^ ^„_, ^^^^, _\
der allgemeinste Ausdruck für eine von (p unabhängige Kugel-
function. Da P» (cos cö), und deshalb auch P» (cos %•) eine
Kugelfunction n^ Grades ist, und da P« (cos %) von 9? im-
abhängig ist, so kann sich jede von (p unabhängige Kugel-
function n^^ Grades von P» (cos %^) nur durch einen con-
stanten Factor unterscheiden.
7*
Fünfter Abschnitt.
.Anwendungen der Theorie auf einige specielle Aufgaben
aus der Elektricitätslelire.
§. 23.
Die Anwendungen der bisher vorgetragenen Theorie, die
wir zu machen haben, zerfallen in zwei Classen: wir werden
zunächst eine Anzahl von bestimmten speciellen Problemen
lösen y und nachher allgemeine Probleme. Erstere gehören
der Elektrostatik an, und setzen die Kenntniss folgender
Erfahrungssätze und Hypothesen aus der Elektricitätslehre
voraus.
Man unterscheidet zwei Elektricitäten, die positive und
die negative, und zwei Gattungen von Körpern, Leiter und
Nichtleiter. In beiden denken wir uns ein wirkungsloses
Gemisch von positiver und negativer Elektricität, die sich
gegenseitig binden. Den Gegenstand der Betrachtung bildet
das Verhalten der Elektricität in einem Leiter, in dem sie
sich mit der grössten Leichtigkeit bewegen kann. In einem
Leiter befindet sich freie Elektricität immer nur an der
Oberfläche. Die Dicke der elektrischen Schicht kann nicht
gemessen werden, -so dass wir letztere als eine mit Masse
belegte Fläche betrachten können. Jeder Leiter kann be-
liebig viel neue Elektricität entwickeln, aber so, dass die
positive immer in demselben Quantum da ist wie die nega-
tive. Wird ein Leiter in die Nähe von schon elektrischen
Körpern gebracht, so tritt eine Decomposition des in ihm
enthaltenen Gemisches ein, es bildet sich augenblicklich eine
elektrische Schicht auf seiner Oberfläche. Wir haben es
nicht mit dem Act der Decomposition zu thun, es bildet
Fünfter Abschn. Anwendgn. der Theorie a. e. specielle Aufgaben etc. 101
sich augenblicklich eine Schicht, und wir stellen uns die
Aufgabe, die Dichtigkeit derselben an jeder Stelle der Ober-
fläche zu bestimmen, d. h. den Factor, mit welchem man
das Flächenelement zu multipliciren hat, um die darauf be-
findliche Elektricitätsmenge zu erhalten. Das Princip, wel-
ches der Lösung unserer Aufgabe zu Grunde liegt, lautet:
Die Resultante aller elektrische^i Kräfte , die ausgeübt
werden von den einzelnen Elementen der auf dem Leiter sich
bildenden Schicht und des Nichtleiters, der als gegeben an-
gesehen wird und sich, nicht ändert durch die Nähe des durch
ihn elektrisch werdenden Leiters, muss, wenn das Gleichgewicht
auf dem Leiter eingetreten ist, in allen im Innern des Leiters
liegenden Punkten Null sein.
So lange jene Resultante nämlich nicht Null ist, wird
ja eine weitere Decomposition im Innern des Leiters ein-
treten. Dies einfache Princip gilt auch da, wo man ein
System von getrennten Leitern hat. Aber schon die ein-
fachsten Fälle bieten grosse Schwierigkeiten dar.
§. 24.
Wir fangen mit Einem Leiter an, der die Form einer
Kugel hat, und mit einem beliebigen Nichtleiter. Der
Radius der Kugel sei a. Wir entwickeln zunächst das Po-
tential der elektrischen Schicht, die sich auf dem kugel-
förmigen Leiter bildet, in eine Reihe, indem wir die nocL
unbekannte Dichtigkeit der Schicht durch k bezeichnen. Das
Fläch enelement der Kugeloberfläche ist a^ sin d-'dd'^dq/ = a^dö^,
und das Potential der Kugelschicht in Bezug auf einen be-
liebigen Punkt, der durch q, d", q> gegeben ist,
/Jcda
— .
y(a* — 2 a^ cos CO + q*)
Wir brauchen das Potential bloss für innere Punkte zu
entwickeln; für diese hat man (§. 16.):
Was auch immer die Dichtigkeit k sei, so können wir uns
102 Fünfter Abschnitt. Anwendungen der Theorie
dieselbe; als Function zweier Veränderlichen %'\ 9', in eine
Kugelfunctionreihe entwickelt denken. Wir setzen also
h = X, + X, + X, + ^Xm,
wodurch wir erhalten
V = ajd0' 2 ^m 2©" ^^ (<^o« «»)
neirO TWsssO
Dies Integral ist 0, wenn die Indices m und n verschieden
sind (§. 20., 5.); für m = w fanden wir
/X;P.(cosa,)t?(/ = ^;^X».
Mithin ist
Dies ist eine einfache Summe.
Sollte man die Entwicklung für einen äusseren Punkt
machen, so hätte man:
Die gesuchte Dichtigkeit Ä muss also so beschaflfen sein,
dass die Schicht, für welche Iz die Dichtigkeit ist, sammt
dem äusseren Nichtleiter, im Innern des Leiters keine Wir-
kung hervorbringt. Das gegebene Potential für den Nicht-
leiter, welches wir V nennen wollen, lässt sich auch ent-
wickeln, und zwar, in unserem Fall, nach positiven Potenzen
von q (§. 19.). Es sei
WO Zn eine Kugelfunction und als gegeben zu betrachten ist.
Soll im Innern des Leiters keine Wirkung ausgeübt werden,
so muss die Summe der Potentiale V und v gleich einer
Constanten C sein:
oder
auf einige specielle Aufgaben aus der Elektricitätslehre. 103
c=i:r{z. + ^^^x„), (1)
was auch 9, -ö", 9 sei. Hieraus bestimmen sich alle X von
selbst, bis auf X^. Denn die Gleichung (1) ist nicht anders
zu erfüllen, als dass die Coefficienten von 9, q^^ 9^ • • • ein-
zeln gleich Null sind. Wir haben also
für n>0. Es kann aber doch nichts unbestimmt bleiben;
Xq bestimmt sich aus dem Quantum Elektricität, welches
der Kugel ursprünglich mitgetheilt worden ist, ehe sie in
die Nähe des Nichtleiters gebracht wurde. Da nämlich all-
gemein (§. 21.)
X« = ^J^J^Jjc'Fn (cos (d) da'
ist, so folgt für n = 0, indem Pq (cos co) = 1 ist.
Es ist aber Jh'ia^dc^) das auf der Kugeloberfläche befind-
liche Quantum Elektricität; da aber durch den Nichtleiter
gleiche Mengen positiver und negativer Elektricität ent-
wickelt sind, so muss jenes Quantum genau gleich dem der
Kugel ursprünglich mitgetheilten Elektricitätsquantum A sein.
Mithin ist
oder Xq ist die mittlere Dichtigkeit der Kugel, insofern
4:7ca^ die Gesammtoberfläche der Kugel ist. Somit wird das
Resultat unserer Untersuchung durch folgende Gleichung aus-
gedrückt:
1
A
Wäre also der Nichtleiter gar nicht da, so würde h = -, — 5
sein, was sich übrigens auch von selbst versteht, und wäre
der Kugel ursprünglich keine Elektricität mitgetheilt, d. h.
A = 0, so würde das erste Glied fortfallen. Was also im
104 Fünfter Abschnitt. Anwendungen der Theorie
Allgemeinen stattfindet, ist eine Art Superposition , das soll
heissen: die Dichtigkeit, welche stattfindet, wenn Beides vor-
handen ist, nämlich ein Nichtleiter und ein der Kugel mit-
♦ getheiltes Quantum Elektricität, ist gleich der Summe der
beiden Dichtigkeiten, die stattfinden würden in den beiden
Fällen, wo nur eins vorhanden ist. Dies ist ein ganz all-
gemeines Princip, insofern es nicht bloss für die Kugel gilt,
sondern für jeden beliebig gestalteten Leiter.
§. 25.
Lässt man den Nichtleiter in beliebiger Gestalt, so
findet nichts einfaches statt. Es reducire sich also der Nicht-
leiter auf einen blossen Punkt. Diesen Pimkt legen wir in
die feste Linie, von wo die Winkel -ö" gezählt werden. Seine
Entfernung vom Mittelpunkt der Kugel sei C] die in ihm
enthaltene Elektricitätsmenge /x; seine Polarcoordinaten wer-
den sein
9' = c , .'&•' = 0, 9?' ad libitum.
Demnach ist cos gj = cos -ö", und
folglich
Zn =^,Pn (cos d-).
Wir wollen annehmen, dass der Kugel ursprünglich keine
Elektricität mitgetheilt sei; dann haben wir
(1)
= 4-^(l-2'(2«+l)$i^n(cos^)).
Diese Reihe, lässt sich leicht summiren: setzen wir — =a,
' • c *
00
so ist ^ (2n + 1)P» (cos '&•)«'» zu summiren, wo a < 1 ist.
Es ist
auf einige specielle Aufgaben ans der Elektricitätslehre. 105
OD
y, Pn (cos d') a- = . (2)
-^ ^ ^. 1/(1 —2a CO-*" ' -"^ ^ ^
cos ^ + «*)
Diflferenziren wir beide Seiten dieser Gleichung nach a, so
haben wir:
'^TT Tk / ä\ 1 cos d" — a
ynPn (cos d') a^-^ = 3 ,
woraus durch Multiplication mit 2 a die Gleichung
'V^ o 7> / Q.\ » 2acos^ — 2a*
/, 2n Pn (cos -9") a"" = ^
(3)
entsteht. Aus (2) und (3) erhalten wir schliesslich durch
Addition
00
V(2n+ l)P„(coS'9")a« = - » ^ ~ "' ,,^ -
^^ I / »V / (1 — 2a coa'9'+ a*)i
Substituiren wir die
zweite Seite der vor-
stehenden Gleichung
statt der ersten in (1),
so erhalten wir für die ^
Dichtigkeit in allen
Elementen der Kugel-
fläche, die auf einem
auf c senkrechten Kreise pq liegen (Fig. 15.), den Ausdruck
4:7ta \ c s^ / ^
wo s = y(a^ — 2ac cos^ + ^^) ^^^ Entfernung des elektrischen .
Punktes fi von irgend einem jener Elemente bezeichnet, und
^ den Winkel, den der nach irgend einem derselben ge-
zogene Radius mit der nach ^ gerichteten Linie c bildet.
In dem Punkt Ä der Kugel, welcher die kleinste Entfernung
von n hat (für welchen '9' = 0, s = c — a ist), wird
4t7ta \ c (c — a)V '
und in dem Punkt JB, welcher am weitesten vom (i entfernt
liegt (-ö* = TT, s = c -{- a)y wird
106 Fünfter Abschnitt. Anwendungen der Theorie
Ä = -^ (— — ^- ^ ]
i:na \c (c + o)v '
Hieraus geht hervor, dass die um ersteren Punkt herum be-
findliche Elektricität mit ft ungleichartig ist, während die
um letzteren herum befindliche mit ft gleichartig ist. Zwischen
diesen beiden Punkten giebt es einen gewissen auf c senk-
recht stehenden Kreis, in dessen Peripherie Ä = ist; der
nach irgend einem Punkte seiner Peripherie gezogene Kugel-
radius bildet mit c den Winkel ^q, dessen Cosinus, gleich
ist. 22)
«2 -^ (.2 — (c» — a^c)i
§. 26.
Wir wollen jetzt als Leiter eine Hohlkugel nehmen und
einen Nichtleiter in die Höhlung bringen. Es bildet sich
an der inneren und äusseren Fläche eine Schicht; es sind
also zwei Schichten zu bestimmen. Die Dichtigkeit der
äusseren Schicht sei'Ä, der inneren i; es sei wieder
Hier weiss man noch nicht, wie das Quantum der mitgetheilten
Elektricität sich über die beiden Schichten vertheilt. Das
Potential von sämmtlichen wirkenden Massenelementen muss
innerhalb der Schale constant sein. Dies Potential besteht
aus drei Potentialen, aus denen der beiden Schichten und
dem des Nichtleiters. Die Potentiale der äusseren und inneren
Schicht seien resp. v und v^, das
des Nichtleiters F. Letzteres, wel-
ches als gegeben zu betrachten ist,
muss in diesem Fall nach nega-
tiven Potenzen von q entwickelt
werden, ebenso v^, v hingegen nach
positiven. Nennen wir die Radien
der äusseren und inneren Fläche
resp. a und 6 (Fig. 16.), ßo ist
nach §. 24.
und nach §. 19.
Fig. 16.
auf einige specielle, Aufgabe» au^ der Elektricitätslehre. 107
Bei der Entwicklung des Potentials irgend einer Masse nach
negativen Potenzen des radius vector des Punktes, auf den
die Masse wirkt, ist der erste Coefficient immer gleich der
Masse. Denn das Product aus dem Potential irgend einer
Masse in jenen radius Victor nähert sich bei wachsender Ent-
fernung jenes Punktes von der Masse einer Grenze, und
diese Grenze ist die Masse (§. 5.). Demnach ist Zq die Menge
der auf dem Nichtleiter vorhandenen Elektricität, die wir
M nennen wollen. Die Summe jener drei Potentiale inner-
halb der Kugelschale ist eine Constante, oder es ist
Const = v-{'V^-}-V.
Fasst man die drei Reihen für i;, v^, V zusammen, so be-
kommt man eine Reihe, die nach positiven, und eine zweite
Reihe, die nach negativen Potenzen von q fortschreitet,
und die Summe beider muss eine Constante sein. Nun
lässt sich beweisen, dass wenn man eine innerhalb eines ge-
wissen Intervalles (von h bis a) convergirende Reihe hat,
die theils positive, theils negative Potenzen enthält, und diese
Reihe Null sein soll, dass dann alle einzelnen Glieder Null
sein müssen; und dass wenn diese Reihe constant sein soll,
das constante Glied schon da sein muss, während alle übrigen
Glieder' wieder Null sind. Es würde aber schon Umstände
machen, dies zu beweisen. Wir wollen uns also nicht auf
dies Princip stützen, sondern darauf, dass jede Grösse nur
auf eine Weise nach Kugelfunctionen entwickelt werden kann.
Hat man eine nach Kugelfunctionen geordnete Reihe, und
weiss, dass dieselbe constant ist, so kann man daraus den
Schluss ziehen, dass die Kugelfunctionen erster, zweiter,
dritter • • • Ordnung nicht da sind, oder gleich sind. ' Denn
eine Entwicklung einer Constanten K nach Kugelfunctionen
ist jedenfalls diese:
K=K+0 + + 0'] ,
wenn man bedenkt, dass das erste Glied K der zweiten Seite
eine Kugelf unction nullter Ordnung, das zweite Glied eine
108 Fünfter Abschnitt. Anwendungen der Theorie
erster, das dritte Glied eine zweiter Ordnung ist u. s. w.
Hat man also auch
• K=T, + T, + T, + ...,
SO ist
T, = K,T,==T, 0.
Man addire also die drei allgemeinen Glieder jener drei Po-
tentialentwicklungen, und bemerke, dass die daraus ent-
stehende Summe eine Kugelfunction n*®'. Ordnung ist, weil
jene Glieder einzeln Kugelfunctionen w*®' Ordnung sind (§. 20.,
2. und 3.) 5 diese Summe muss also sein, ausgenommen,
wenn w = war. Also bekommen wir jetzt folgende Be-
dingung, für w > 0:
Diese Gleichung findet statt, was auch q sei, folglich muss
jedes der zwei Glieder der ersten Seite für sich gleich
sein, d. h.
1) x„ =
2)2^^"*''+' + ^n=0|
wenn n > 0.
Aus 1) folgt k == Xq, Also die äussere Schicht ist eine
constante Schicht, d. h. ihre Dichtigkeit ist überall die-
selbe, gerade wie wenn der Nichtleiter gar nicht da wäre.
Aus 2) bestimmen sich alle Y von Y^ an, indem
ist. (Wir werden sogleich sehen, dass diese Gleichung auch
für Fo gilt.)
Unser Problem wäre also gelöst, wenn wir Xq und Yq
hätten. Xq und Yq sind die constanten Glieder in den Ent-
wicklungen der Dichtigkeiten 1c und l nach Kugelfunctionen.
Nennen wir die in der äusseren und inneren Schicht ent-
haltenen Elektricitätsmengen resp. Ä und B, so ist nach §. 24.
-^"T^^ ■^o = -4^52. (2)
Wir kennen aber, wie schon oben bemerkt, weder A noch
B, sondern nur ihre Summe
auf einige specielle Aufgaben aus der Elektricitätslehre. 109
Ä + B^C, (3)
wo C die der Hohlkugel mitgetheilte Elektricitätsmenge be-
deutet. Aus (2) und (3) folgt
4jra2Xo + 4jrfe2Fo = C. (4)
Setzen wir in der Gleichung
Const = V + ^1 + ^
für Vj Vj^y V ihre Entwicklungen, so reducirt sieh die zweite
Seite derselben, wegen (1), auf das erste Glied, welches
w = entspricht, und wir haben
Const = 4jra2Xo + {Anb' Y^ + ^o) - •
Diese Gleichung kann oflFenbar nicht bestehen, wenn nicht
4:nh^Y^ + Zo =
is<4 woraus* sich ergiebt
Y ^ ^ M^
47r6« 47rf
Substituiren wir diesen Werth für Yq in (4), so erhalten wir
auch X^; es wird
C+ M
X,=
Somit ist
0+ M
1 — __:^_ ^2«_+l y
^— 4^6« ^ ^nh^+^ ""'
1
An der äusseren Fläche bildet sich also eine constante Schicht,
und die in derselben enthaltene Elektricitätsmenge ist C -{- M,
d. h. die Summe aus der der Hohlkugel mitgetheilten und
der des Nichtleiters. Die innere Schicht hat also die Masse — M.
Wenn nun Gleichgewicht eingetreten ist, wie wirkt das
Ganze, d. h. die beiden Schichten und der Nichtleiter, nach
aussen? Aus dem Vorhergehenden ist klar, dass F+ ^i =
ist, und zwar nicht bloss in der Kugelschale, sondern für
jedes Q, welches grösser als b isi Wenn wir also das Po-
tential des Ganzen für den äusseren Raum entwickeln (nach
negativen Potenzen von 9), so wird bloss das Potential der
110 Fünfter Abschnitt. Anwendungen der Theorie
äusseren Schicht bleiben. Letztere ist aber eine constante
Schicht, mit der Elektricitätsmenge C -{- M. Würde also
der Nichtleiter im Innern bewegt, oder würde eine andere
Vertheilung seiner Elektricitätsmenge in ihm vorgenommen,
so würde die Wirkung nach aussen dieselbe bleiben. Durch
eine Umhüllung eines Nichtleiters mit einer leitenden Hohl-
kugel wird folglich alle Individualität desselben eliminirt;
nur die^ in ihm enthaltene Menge von Elektricität kommt in
Betiucht.^) Dies ist ein ganz allgemeines Phänomen, wie
später gezeigt werden wird.
§. 27.
Es seien zwei von einander völlig getrennte Leiter ge-
geben, die beide kugelförmig sind; man theilt beiden Elektrici-
tät mit: es sollen die Schichten, die sich auf briden Kugeln
bilden, bestimmt werden.^*) *
Die beiden kugelförmigen Leiter wollen wir Ä und B
nennen (Fig. 17.), ihre Ra-
dien a und 6, die Dichtig-
keiten der auf ihnen sich bil-
denden Schichten k und Z,
das Stück der Centrallinie,
welches zwischen ihren Mittel-
punkten liegt, c. Da die
Leiter völlig getrennt sein
sollen, wird c jedenfalls grösser
als a -f- 6 sein. Die Lage irgend eines Punktes bestimmen
wir wieder durch Polarcoordinaten. Als feste Linie, von
der aus wir die Winkel zählen, welche die Lage von be-
stimmen, wählen wir die Centrallinie. Den melius vector
von nennen wir q oder 0, jenachdem der Mittelpunkt von
A oder B als Pol angenommen wird; den Winkel, den q
mit der von J. nach B gerichteten Centrallinie bildet, nennen
wir 9', und den Winkel, den 6 mit der von B nach Ä ge-
richteten Centrallinie bildet, i]. Dann ist offenbar
C = 9 cos '§•-[-(? cos Tj.
Wir setzen wieder
auf einige specielle Aufgaben aus der Elektricitätslehre. 111
Die Schichten, die sich bilden, werden um die Centrallinie
symmetrisch liegen, so dass Iz nur von dem Winkel -ö* ab-
hängt, und l nur von dem Winkel iy. Zufolge der am
Schluss des §. 22. gemachten Bemerkung kSnnen wir daher
für Xn und F„ unmittelbar annehmen of„P„ (cos-ö") und
ßnPn (oosrj)j und mithin '
k = 2 an Pn (cos -d-)-, 1 = Zßn Pn (cOS ^)
setzen. Diö Lösung unseres Problems kommt demnach darauf
hinaus, die constanten Coefficienten «o» ^i; ^2 ' ' ' 5 ^o? /^i; ^2 ' ' *
zu bestimmen.
Wir müssen jetzt die Potentiale der beiden Schichten
bilden; denn wir haben auszudrücken, dass das Gesammt-
potential innerhalb der ersten Kugel Ä, und ebenfalls inner-
halb der zweiten JS constant isfc. Es sei v die Entwicklung
des Potentials der ersten Schicht innerhalb, v^ ausserhalb
der ersten Kugel; und w die Entwicklung des Potentials der
zweiten Schicht innerhalb, w^^ ausserhalb der zweiten Kugel.
Dann hat man (§. 24):
w
ferner
oder
= 4^62/ W 2n + l '"^^-^ZyVj 2n+l ^
V '■\- w^=s Const , v^ -{- w = const
i2j[j)- 2n+l +^^\h) 2n+l °^^ ^^^
WO P und ö constante Grossen bezeichnen, und zwischen
den vier Grössen q, 6, -9", ri die Gleichung
c = 9 cos -d- + <y cos iy
stattfindet. Die Gleichung (1) gilt für alle Werthe von -Ö-,
die zwischen und 2% liegen, und für alle Werthe von 9,
die zwischen und a liegen; die Gleichung (2) für alle
Werthe von ly, die zwischen und 2jr liegen, und für alle
Werthe von <y, die zwischen und 6 liegen.
112 Fünfter Abschnitt. Anwendungen der Theorie
Erfüllt man die zwei Bedingungen (1) und (2), indem
man sich auf die Punkte beschränkt, die auf der Linie c
resp. in der ersten und zweiten Kugel liegen, so sind sie
von selbst für « alle übrigen Punkte resp. der ersten und
zweiten Kugel erfüllt. Es findet nämlich folgender allge-
meine Satz statt: Hat man ein Massensystem, welches sym-
metrisch um eine Axe liegt, und umschliesst das ganze Massen-
system, oder ein Theil A desselben, einen mas'senleeren Raum,
so braucht das Potential des Massensystems nur constant zu sein
auf einem beliebig kleinen Theil der Axe, welcher in jenen
Raum hineinfällt, um überall in jenem Raum constant zu
sein.^*) Wenn wir uns also auf die Punkte beschränken, die
auf der Axe liegen, so ist in (1) -ö" entweder oder jr, folg-
lich cos 'S* = + 1; während ly immer Null, folglich cosiy = 1
ist, und die Gleichung c = q cos -§• + (? cos ly geht über in
^ = + 9 + <^-
Es war
Pn (cos %) «»» = ^- ;
^ ^ 1/(1 —2a cos -^-fa*)'
folglich ist
Fn (1) = 1 , und Pn (- 1) = (- \Y . oder Pn (± 1) = (+ 1)~.
Für die auf der Axe liegenden Punkte geht die Gleichung
(1) demnach über in die folgende:
Auf dieselbe Weise findet man, dass die Gleichung (2) für
die auf der Axe liegenden Punkte sich in die folgende ver-
wandelt: ^ "•
Wir suchen die Grössen a und ß, welche den Gleichungen
(3) und (4) genügen; dieselben Grössen werden, jenem all-
gemeinen Satz zufolge, den Gleichungen (1) und (2) genügen.
Setzen wir
so liegen x und y zwischen — 1 und +1, da q zwischen
auf einige specielle Aufgaben aus der Elektricitätslehre. 113
und a, zwischen und b liegt Drücken wir in (3) und
(4) Q \md a resp. durch x und y aus, so erhalten wir:
p=a y "- X- 4- -^- y ^n ( b y
^ 2n + 1 ~ c — axj^ 2n + l\c — axj
Wir setzen
S^i'^'- f(^)' 2 Ji-rr = -P'Cy). (5)
wodurch die vorhergehenden beiden Gleichungen übergehen in
P--n-) + 7^.F,(^) (6)
Dies sind zwei sogenannte Functionalgleichungen. Es ist
leicht daraus eine dritte Functionalgleichung zu bilden, worin
nur eine der beiden Functionen f und F, z. B. f, vorkommt.
Zu diesem Zweck geben wir in der zweiten Gleichung dem
y den Werth —^ — , der zwischen iind 1 liegt, und als
Argument der Function F in der ersten Gleichung erscheint;
setzen wir zugleich
/.2 7)2
=k,
so erhalten wir die Gleichung
^ \c — ax/ ' k — ex * \k — ex/
Combiniren wir diese mit der Gleichung (6), so entsteht
durch Elimination der Function F folgende Functional-
gleichung für f(x) :
f(^) — jc-cxf U^^/ "" "^ (^ ~ T^^alc ^) •
Aus dieser Gleichung ist die Function f{x) zu bestimmen.
Ist das geschehen, so ist f(x) in eine nach Potenzen von
X fortschreitende Reihe zu entwickeln; dann werden sich die
Grössen a durch Vergleichung dieser Reihe mit der ersten
Seite der Gleichung (5) ergeben.
Diriohlet, Potentialtheorie. 9
114 Fünfter Abschaitt. Anwendungen der Theorie
§. 28.
Gesetzt man hätte für eine Function q)(x) folgende
Functionalgleichung
ipi2ai) = 2<pix), (1)
woraus man die Function q)(x) bestimmen sollte. Die Glei-
chung besagt, dass wenn wir das Argument verdoppeln,
aus dem ersten Werth der Function der neue, dem doppelten
Argument entsprechende, bestimmt ist. Gar kein anderer
Zusammenhang ist durch die Gleichung ausgesprochen. Daraus
folgt, däss die Curve y ^= ffi^x) vollkommen willkürlich bleibt
von irgend einer Abscisse a bis zur doppelten 2 a, nur dass
die letzte Ordinate das Doppelte von der ersten ist. Solche
Functionalgleichung involvirt also eine beliebige Function
(Fig. 18.). Wenn aber zu einer solchen Gleichung noch
Nebenbedingungen hinzukommen, so kann sich Alles be-
Fig. 18.
a za
stimmen. Soll jene Curve z. B. so beschaffen sein, dass sie
im Anfangspunkt eine Tangente hat, so ist Alles bestimmt.
Denn 'man hat
oder
<)f>(^) = 2<;p(|-),
X
VV
: V2V
•
X
2
X
2«
Die Derivirte ist
«
lim »('"
>
(2)
auf einige specieHe Aufgaben ans der Elektricitätslehre. 115
also im Anfangspunkt ist dieselbe, da q>{0) wegen (1) gleich
Null ist,
lim2p,far ein abnehmendes h,
wofür wir auch sagen können
lim -^^- , für ein wachsendes n.
Es ist aber, nach (2), für jedes n
<^
qpW,
X
mithin ist auch die Grenze der ersten Seite dieser Gleichung
für ein wachsendes n gleich ^^ , Hat nun die Derivirte
im Anfangspunkt einen bestimmten Werth c, so ist folglich
^— =Cy oder q){x) = cXj d. h. die Curve ist eine gerade
Linie.
Zu demselben Resultat käme man durch diese andere
Nebenbedingung, dass q){x) sich nach Potenzen von x in
eine convergirende Reihe entwickeln liesse. Denn wäre
q> (x) == a^x + a^x^ + %^^ + *•••;
und folglich
q> (2x) = 2aj^x + ^la^x^ + ^(^s^ H ?
so würde aus (1) folgen, dass
2aiX + 2a2^ + 2aQX^ -}-...= 2a^^x + 4^2^^ + Sa^x^
sein müsste. Daraus würde weiter folgen:
«2 = «3 = = 0,
also q>(x) = a^x.
Bei unserer Aufgabe findet die zweite Nebenbedingung
immer statt: wir wissen, dass f(x) sich in eine conver-
girende, nach Potenzen von x fortschreitende Reihe ent-
wickeln lässt.
116 Fünfter Abschnitt. Anwendungen der Theorie
§. 29.
Da die in §. 27. mit x bezeichnete Grösse zwischen — 1
und + 1 liegt, so liegt auch
c — ax a
k — ex - b
c —
c—ax
zwischen — 1 und + 1 (sogar zwischen und + 1). Es sei
c — ax c — aXi c — ax^ «
• 1 Ä; — crc ' 2 ^ _ caji ' 3 h — cx^
Gehen wir von einem beliebigen x aus, das zwischen — 1
und + 1 liegt, und bilden die Reihe x^^ x^ ; wohin ver-
läuft sich diese Reihe?
1. Der Ausdruck
, V c — ax a . b^ 1
W(X) = ^ = ^
^^ ^ k — ex c ' c k — ex
k
ändert sich offenbar , während x von — oo bis — wächst.
' e '
immer in demselben Sinn, d. h. er ist, so lange x zwischen
k
— oo und — • liegt, um so grosser, je grösser x ist. Für
k
den Werth x = —, der, wie leicht zu sehen, grösser als 1
ist, findet der Uebergang von oo nach — oo statt.
2. Ist 5 die zwischen und 1 liegende Wurzel der
Gleichung
c — (a + lc)x -^ cx^ = ,
So ist
Es ist nämlich
X
=
X,,
wenn
x = i
ist
X
<^1,
;?
x<^
79
X
>
X,,
• ;?
x>^
n •
- ^
c
-(«
+ k)x-^
■ cx^
ex
Der Divisor dieses Quotienten ist positiv, mithin hängt das
Zeichen von x^ — x nur vom Dividendus ab. Letzterer hat
zwei reelle Wurzeln, wie sofort einleuchtet, wenn man in
c — {a •\'h)x '\' cx^ für x die Werthe und 1 setzt. Für
x = wird der Ausdruck gleich c, also positiv; für a; = 1
wird er
auf einige specielle Aufgaben aus der Elektricitätslebre. 117
2c —• (a -\- Je) = 2c — a
7
also negativ. Zwischen und 1 liegt folglich die eine
Wurzel der Gleichung
c — (« + 'k)x + cx^ = 0.
Die andere Wurzel ist grösser als 1, da das Product beider
Wurzeln 1 ist. Die zwischen und 1 liegende W.urzel
nennen wir 5; die andere ist dann ^ . Also unter der Grenze
1 giebt es einen ^ und nur einen Werth, nämlich' 5, für den
x^= X ist. Da a;^ — x für x = positiv war, so ist x^ > x,
wenn a; < 1, und x^ < x, wenn x> ^.
3. Geht man nun erstens von einem x aus, welches
zwischen — 1 und 5 liegt, und bildet die Reihe x^, iCg • • • ,
so lässt sich zeigen, dass sich die Glieder derselben dem
Werth I als Grenze nähern. Denn bildet man die Function
9 mit den Argumenten x und ^, so ist, da x und | unter
1 liegen, und ^> x ist, nach 1.
Es ist aber*9(|) = §, fp(x) = x^ Mithin haben wir
6 > o^r
Nach 2. ist ferner x<.Xiy da x <d ist. Gehen wir also
von einem x aus, das unter g liegt, so ist
x<Xi<t
Da Xi also auch unter g liegt, so ist aus denselben Grün-
den auch
^1 "*C ^2 "^^ 6 ;
und ebenso
^2 ""^ *^3 ^ »
u. s. f. Wir haben also
X<Xi<X2<X3 <t
Die Reihe der x wächst mithin nach dem g zu. Mit wach-
sendem n wird also Xn entweder den Werth | als Grenze
haben, oder einen anderen Werth L Wäre letzteres der
Fall, also lim a^n = ^, so wäre auch lim Xn+i = L Da aber
c — ax^
cx„
118 Fünfter Abschnitt. Anwendungen der Theorie
und folglich
c — ax^
• lim a?n+i = lim j^__cx '
so hätten wir
- c — gl
^ — k — cl'
d. h. l wäre ein Argument, für das die Fimction (p dem Ar-
gumente gleich ist, d. h. l müsste mit g zusammenfallen.
Nehmen wir zweitens ein x über |, aber unter 1, so
dass 1 > oj > S ist. In diesem Fall ist nach 2, x> x^^ und
nach 1. <p(x) > 9>(S), d. h. x^ > §. Mithin werden wir jetzt
haben
X>Xi>X2 > g.
Hieraus folgt wieder, durch dieselben Schlüsse wie vorhin,
dass lim Xn = ^ sein muss.
Also, ob das x^ mit welchem wir die Reihe ^i, iCg • • • •
bilden, unter oder über g liegt, immer ist, so lange nur
— 1 <x<l:
limxn = i,
wo I die zwischen und 1 liegende Wurzel ^dieser Glei-
chung ist:
c — * (a + k)x + cx^ = 0.
§. 30.
Man setze nun in der Gleichung
zur Abkürzung
F^c-5 = ^'' i (^ - c-^«-s «) = * ;
man bezeichne ferner die Werthe von g und Ä, welche den
Argumenten a^i, iCg • • • entsprechen, durch <7i, <72 * * ' 5 ^i> ^2 ' ' *•
dann hat man
A^») — 9nf(^n+l) = An.
anf einige epecielle Aufgaben aus der ElektricitätBlehre. 119
Durch Multiplication der zweiten, dritten • • • (n + 1)*®*^ dieser
Gleichungen resp. mit g, gg^ • • • • {gg^ • • • r/n— i) , und nach-
herige Addition erhält man:
f{^) — {99i'"9n-i)f{xn+i)=-h+g\ +gg^\ + - + {ggr'9n-i)hn.
Mit wachsendem n nähert sich das zweite Glied der ersten
Seite dieser Gleichung der Null. Denn der Factor f(xn+i)
wird nicht unendlich, weil sich Xn+i dem §, welches ja
zwischen und 1 liegt, nähert, und die Function f(x)j so
lange x zwischen — 1 und + 1 liegt, sich in eine conver-
girende Reihe entwickeln lässt. Der andere Factor ^^^ • • *gn—i
nähert sich aber, wie leicht zu sehen, der Null, da
lim Qn = 1 T.
kleiner als 1 ist; denn es war
c-{a + h)l + cl^ = 0,
oder •
folglich ist
also
Ä-.g = £ZL.«i^
H
k — c^ c — a\'
Der letzte Ausdruck ist oflFenbar kleiner als 1, weil | kleiner
als 1, und c — ag grosser als 6 ist. Es ist demnach
f{x) =h + g\'\- ggjh^ H in inf.
Diese Reihe ist so gebildet, dass man jedes Glied, vom zwei-
ten an, aus dem vorhergehenden erhält, wenn man darin
x^ statt X schreibt, und das Resultat mit g multiplicirt.
Zerlegt man
a a c — ax
in die zwei Bestandtheile
n. *^
a a ^ c — ax '
so kann man die Reihe für f(x) aus zwei Bestandtheilen
zusammensetzen, weil h nur linear vorkommt. Wir bilden
also die Reihe
Ä^h+ghi+gg^h^-]
120 Fünfter Abschnitt. Anwendungen der Theorie
für den Fall h = , und setzen dann erstens p = 1,
q = 0, zweitens p = c, q == df woraus wir die zwei Be-
stand theile unserer Reihe, abgesehen von den constanten
Factoren - und 0, erhalten werden.
Das erste Glied der Reihe Ä ist also
1
p — qx'
Hierin sollen wir, um das zweite Glied gh^ zu erhalten,
etatt X setzen x^ = j^ — , und das Resultat mit g = r
h/ ~~~ CX K —~ CX
multipliciren. Es wird also
,61 1.
gli = = ' = ,
•^ * K — CX c — ax Pi — q^x
wo Pi und qi sich aus den Gleichungen
• hpi =Jcp — cq
bq^ = cp — aq
bestimmen. Da das dritte Glied ebenso aus dem zweiten
entsteht, wie das zweite aus dem ersten, so können wir
unmittelbar für das dritte Glied ansetzen
1
P» — q,a
; >
WC
)
bp^ = ÄÄ •
-CQi
'
bq^ = cpi -
-aQi
u.
s. f.
Wir haben demnach
A =
p—qx
1 1 1 1
+ •••
' Pi-Si« ' !>»—«»«
J ^_ J
wo die Grössen i>i;i>2 • • • 5 ffi ? 9'2 ' ' ' ^^^ folgenden Gleichungen
zu bestimmen sind:
fejpj == jfcp — cq, bq^ == cp — aq \
(1)
bpn+i = Tcpn — Cqn , ft^n+l = Cpn — aq^^ J
Für die Constanten p imd q im ersten Gliede dieser Ent-
wicklung haben wir, wie schon bemerkt, das eine Mal resp.
auf einige specielle Aufgaben aus der ElektricitÄtslehre. 121
1 und 0, das andere Mal c und a zu setzen, so dass in
jedem Fall
ist. Ueber die Constanten jp«, g„ in dem allgemeinen Gliede
machen wir noch folgende Bemerkungen.
1. Es ist immer pn > g.n- Wir zeigen zunächst, dass
P\ > Ö'i ^s^- ^i®s wird dann der Fall sein, wenn
hp — cq> cp ^ aq
oder
Qc-- c)p>(c ~ a)q
ist. Das ist wirklich der Fall, da jp > g und Je — c.>c — a
ist. Da nun p^ > q^^ ist, so lässt sich eben so zeigen,
dass auch
i>2 > Q27 Ps > & ^' s. f.
ist. Alle Glieder der Entwicklung von Ä lassen sich daher
in eine convergirende, nach Potenzen von x fortschreitende
Reihe entwickeln.
2. Es ist immer g„ > 0, wenn w > ist. Denn ist
irgend ein g, etwa qn = 0, so ist das folgende q, also
g'n+i, schon positiv, da
Hn+l = CPn — aqn
und c> a, pn> qn ist.
3. Die Grössen pn und qn lassen sich beide als die
Summe von zwei allgemeinen Gliedern zweier geometrischen
Reihen darstellen.
Wir setzen an
Pn = QCO''y qn^öfo""
und sehen zu, ob Ausdrücke von dieser Form den Glei-
chungen (1) genügen: Es müsste also sein:
oder
lQG} = hQ~ca \ ■•
b0c3 = CQ — aö.] ^ ^
Hieraus bestimmt sich die Constante o als Wurzel einer
quadratischen Gleichung, während von den beiden anderen
122 Fünfter Abschnitt. Anwendungen der Theorie
Constanten q und a nur das Verhältniss zu einander ^ be-
stimmt ist. Aus (2) folgt nämlich
C0 = qQc — 60)
CQ =*= a(a + 6aj),
woraus wir weiter schliessen, dass
<f k — bm c ,n\
Q c a + ftco ^ ^
und folglich
c^ = (k- — hc3) (a + 6gj) '
oder
62^2 ^-^(^ _ ^)^ + c2 _. ^j _ 0,
oder, wegen c^ — ak = b^,
6a>2 + (a — Ä;)(» + 6 =
sein muss. Diese Gleichung hat eine positive reelle Wurzel,
die zwischen und 1 liegt, und da die Gleichung reciprok
ist, so muss, wenn die eine co ist, die andere — sein. Aus
(3) ist ersichtlich, dass das Verhältniss — mit dem C3 völlig
bestimmt ist. Also es bleibt bloss q willkürlich. Eine par-
ticuläre Auflösimg der Gleichungen (1) wäre also diese:
k — hoa „
und eine aitdere diese:
Ä-A
Pn = Q «—, 2, = p — CO-".
Die Summe dieser beiden particulären Auflösungen, nämlich
Pn = 90» + 9'a»-»
qn=-Q —j— o*» + 9 1 ^ y
muss also' auch den Gleichungen (1) genügen. In dieser
Auflösung ist aber alles bestimmt: denn für n = Q hat man
k — —
k — bat t , (o
«0 = ? — c— + Q —j— ■
Durch diese beiden Gleichungen sind auch 9 und q in beiden
auf einige specielle Aufgaben aus der filektricitätslehre. 123
Fällen bestimmt; deim Pq und g^ sind ja gegeben. In dem
einen Fall ist j)q = 1 , g^^ = 0, in dem anderen ^^^ = c, Ö'o = öj.
Für f(x) ergiebt sich nunmehr folgender Ausdruck:
f(x) = ^ V ^ -. ^ V —— fA^
wo
i>o=l;^o =
2. == 9 — ^ — ß>" + 9 — ^— c-
a
6oj* + (a T- Ä;)oj + fc =
CO ^ Ott) — K
.Po' = c, 2o' = a
2n = 9i — 3— o'* + 9x — V~ ^"
c (* — a ) ,, 1 , N
\ CO / / c(6a> — Ä; + a) •
Die beiden Reihen
00 00
sind convergent, wie leicht zu sehen.
Die Formel für F{\j) erhält man oflFenbar aus der für
f{p^ durch Vertauschung von T mit Qj und a mit 6. Dem-
nach ist
'n
WO
124 Fünfter Abschnitt. Anwendungen der Theorie
»•o
= 1, s,
) =
rn
— am.
ö
c 1
-n
c
(0,-
-n
K
c«-
a»
"^ b
aa)\ + (b
~*i)g>i
+ « =
=
k — —
X 0»; . / «OD, — fc,
y„' = «, ojj + tf,'aj,~"
ö, =
«(*>-^-^) ,
^ c(fla,t—ki + b) 2«)
Es ist noch nachzusehen, wie sich die Conätanten P
und Q bestimmen. Es war
und
JC = 2J CCmPm (COS-Ö").
Wenn es sich um eine Kugeloberfläche handelt, und die
Dichtigkeit auf derselben nach . Kugelf unctionen entwickelt
ist, so ist das erste Glied a^ (§. 24.) gleich dem Quotienten
E lektricitäts menge
% Eugeloberfläche
Bezeichnen wir also die der Kugel Ä mitgetheilte Elektrici-
täts menge durch A, so ist
"0 4tna^'
Andererseits ist aber [wegen- (5)]
Hieraus folgt
' ^ ^ 4tna
aus (4) folgt aber
auf einige specielle Aufgaben ans der Elektricitätelehre. 125
mithin ist
4.na ^ Pn ^ Pn
Auf dieselbe Weise, oder auch unmittelbar durch eine Ver-
tauschung der Buchstaben, findet man:
wenn man mit B die der Kugel B mitgetheilte Elektrici-
tätsmenge bezeichnet. Aus den beiden letzten Gleichungen
erhält man schliesslich:
\ Pn ^n Pn ^«7
Q^ ^ Pn^ ^n'
\ P-n ^n Pn ^nj
Also die Constanten P und Q bestimmen, sich aus den
Elektricitätsmengen, welche den Kugeln ursprünglich mit-
getheilt sind.
§. 31.
Wir müssen jetzt, um die Grossen cc zu bestimmen, f(x)
nach Potenzen von x entwickeln. Es ist
^ =^y(hYafn
Pn — %^ Pn^^yPj
mssO
Also der eine Bestandtheil von dem Coefficienten der Po-
tenz QiS^ in der Entwicklung der Function /"(a:) oder von
""• ist
2»» + l
p-CT «:
der zweite ist
9|sbO
1 26 Fünfter Abschn. Anwendgn. d. Theorie auf e. specielle Aufgaben etc.
Mithin ist P^ (cos d) am =
Dies ist das allgemeine Glied der Entwicklung der Dichtig-
keit k auf der Kugel A] folglich ist
. - ^ (2. + 1) (i2ßr - ¥2 jS)p.(eo=»).
Wir können die auf n und m bezüglichen Summationen um-
kehren, wodurch* wir erhalten: .
- T i 2 (2«» + 1) p- («««*) ©"")
■^'» »1 =
Die beiden auf m • bezüglichen Summen lassen sich in ge-
schlossener Form angeben; wir fanden früher (§. 25.):
oo
^(2»» + 1) Pm (C0S#) «"" = ^-=^ -5 ,
WO a < 1 isi Polglich ist
2
»n=
•* (2m + 1) P«(cos^) f^)" = ^' ^"^'' 3
Demnach erhält man schliesslich
k =
Also unsere Dichtigkeit ist durch zwei unendliche Reihen
ausgedrückt, in denen der Nenner des allgemeinen Gliedes
die (f)*® Potenz von einem Trinom ist, die p und q aber
die Summe von zwei allgemeinen Gliedern geometrischer
Reihen sind.^')
Die auf der Kugel B stattfindende Dichtigkeit l findet
man hieraus durch blosse Vertauschung von P mit Q, und
von a mit 6. Diese Vertauschung involvirt natürlich eine
Vertauschung der p und q mit den entsprechenden r und s.
Sechster Abschnitt.
Allgemeine Probleme und Sätze in Bezug auf eine mit Masse
belegte Pläclie.
§. 32.
Das Ziel der folgenden Untersuchungen ist, zu beweisen^
dass immer eine solche Belegung der Oberfläche eines ge-
schlossenen Raumes, oder der Oberflächen mehrerer ge-
schlossener Räume,, mit Masse möglich ist, dass das Po-
tential in jedem Punkt der Oberflächen einen vorgeschriebenen
Werth annimmt. Die Möglichkeit einer derartigen Belegung
beruht auf folgendem Satz:
Es giebt immer eine und nur eine Function u von x, y, is
für einen beliebigei;i begrenzten Raum, die selbst und deren
Diflferentialquotienten erster Ordnung stetig sind, die inner-
halb jenes ganzen Raumes die Gleichung
dx^'^dy^'^dz'^~
erfüllt, und sich in jedem Punkt der Oberfläche auf einen
gegebenen Werth redücirt.^®)
Die Aufgabe, jene Function u zu finden, lässt sich nicht
lösen: es kann nur von einem Existenznachweis derselben die
Rede sein. Letzterer hat keine Schwierigkeit
Es giebt offenbar für jeden begrenzten zusammenhängen-
den Raum T unendlich viele mit x, y, z stetige und auch
in ihrenDiflferentialquotienten erster Ordnung stetige Functionen
u, die sich auf der Oberfläche desselben auf einen gegebenen
Werth reduciren. Unter diesen Functionen wird wenigstens
eine sein, die das folgende, über den Raum T zu erstreckende
Integral
128 Sechster Abschnitt. Allgemeine Probleme nnd Sätze
auf ein Minimum reducirt; denn es liegt auf der Hand^ dass
dies Integral ein Minimum hat, da es nicht negativ werden
kann. Nun lässt sich Folgendes zeigen:
1. »Eine jede jener Functionen ti, welche U zu einem
Minimum macht, genügt überall in dem Raum T der Diffe-
rentialgleichung:
Damit wäre schon nachgewiesen, dass es immer eine Function
u von der verlangten Beschaffenheit giebt, nämlich eben
jene Function, für welche U ein Minimum wird.
2. Jede der Functionen n, welche etwa der Differential-
gleichung (1) innerhalb des Raumes T genügen sollte, macht
das Integral U zu einem Minimum.
3. Das Integral U kann nur Ein Minimum haben.
Aus 2. und 3. würde folgen, dass es nur eine Function
u von der verlangten Beschaffenheit giebt.
Eine jener Functionen u, für welche U einen Minimum-
werth hat, sei v. Jedes andere u wird sich in die Form
u =±= V -}- hw
bringen lassen, wo h eine beliebige Constante ist, und w
irgend eine Function bezeichnet, die auf der Oberfläche des
Raumes T überall ist und im Innern selbst und in ihren
ersten Differentialquotienten überall stetig ist. Bezeichnen
wir den Minimumwerth des Integrals, welcher stattfindet,
wenn man u gleich v setzt, durch F,- und den Werth, wel-
chen es für irgend ein anderes u = v -^ hw annimmt, durch
[T, so haben wir, wegen
du dv . r^ dw
dx dx ^ dx
du ^*^ i_ 1, ^^
dy ^y ' dy
du dv . , dw
dz dz * dz
folgende Gleichung
oder
U- V=2hM + h'N (2)
wo
in Bezug auf eine mit Masse belegte Fläche, 129
Tif __ Cfdv dw j^ dv dw j^ dv dw\ ^ji
J \dx dx T dy dy~^ dz dz / -
Da V ein Minimumwerth ist, so tann die zweite Seite der
Gleichung (2) nicht negativ sein. Daraus folgt, dass M
nothwendig gleich Null sein muss; denn sonst könnte man
das Zeichen von h so bestimmen, dass 2hM negativ würde,
und den absoluten Werth von h so bestimmen, dass h^N
kleiner würde als 2hM, Nun ist aber nach §. 7., wenn
man bedenkt, dass die Function w an der Oberfläche überall
den Werth Null hat,
d V d^ V * d^ V
Damit dies Null werde, muss der Complex j—^ + ^ "H'^rr
in dem Raum T überall gleich Null sein. Denn wäre er
nicht gleich Null, so könnte man w, welches ja im Innern
eine beliebige Function ist, so annehmen, dass es überall
mit jenem Complex dasselbe Zeichen hätte; dann würde man
ein Integral haben, das aus lauter Elementen gleichen Vor-
zeichens besteht, das also nicht Null sein könnte. Es könnte
freilich m isolirten Punkten, Linien oder Flächen das Trinom
nicht Null sein, denn dann würde das Integral doch Null
sein. Allein es lässt sich leicht zeigen, dass ein solcher
Ausdruck in einem zusammenhängenden Raum in Folge der
Stetigkeit nicht bloss in Punkten, Linien oder Flächen von
Null verschieden sein kann. Hiermit ist die Behauptung 1.
bewiesen.
Dass femer, wie in 2. behauptet wird, jedes ?7, welches
einem u entspricht, das der Gleichung (1) im ganzen Raum
T genügt, ein Minimum ist, leuchtet auf der Stelle ein.
Es bleibt noch zu beweisen, dass das Integral nur Ein
Minimum hat. Existirte also ausser der Function v noch
eine andere v -^ w, welche dasselbe zu einem Minimum
macht, dann würde der Werth F', den es für v -}- w an-
nimmt, nicht grösser sein als ü, d. i. der Werth, den es
Dirichlet, Potentialtheorie, 9
130 Sechster Abschnitt. Allgemeine Probleme und Sätze
für V + hw annimmt, wenrf h unendlich wenig von 1 ver-
schieden ist. Es ist aber nach (2), da Jf=0 ist,
folglich wenn wir hierin Ä = 1 setzen ,
so dass F+^^ V-}- h^N sein müsste, oder
Für ein Ä, welches grösser als 1 ist, kann dieser Bedingung
nur dadurch genügt werden, dass N=^0 gesetzt wird. Daraus
folgt aber, dass innerhalb des Raumes T überall
dw ^ dw ^ dw ^
dx~^^dy~^^dz~^^
d. h. t{; = Const. ist. Da w an der Oberfläche den Werth
Null hat, so kann diese Constante nur Null sein.
Des kürzeren Ausdruckes wegen setzen wir Folgendes fest:
üeberall, wo in der Folge von einem für einen be-
stimmten, endlichen oder unendlichen, Raum T gegebenen
oder zu bestimmenden u die Rede ist, soll darunter eine
Function verstanden werden, welche überall innerhalb jenes
Raumes T folgenden Bedingungen genügt:
^v du du du . j . ,.
^v d^u j, d^u j, d^u ^
§. 33.
Es lassen sich immer die Oberflächen beliebig vieler
begrenzter Räume so mit Masse belegen, dass das Poten-
tial der Masse an jeder Stelle einer jeden Oberfläche einen
vorgeschriebenen Werth hat; es- ist aber auch nur eine solche
Belegung möglich.
Hätte man etwa drei Flächen, also vier Räume, Ui, U^, ü^, U^
von denen einer, U^^y unendlich ist (Fig. 19), und sind die
Werthe, welche das Potential auf den Oberflächen der Räume
J7i, U^j U^ annehmen soll, resp. v^, v^^ v^, dann bestimme
man zunächst für die drei endlichen Räume ?7i, JJa, U^ die-
jenigen Functionen u, welche sich auf den Oberflächen jener
in Bezug auf eine mit Masse belegte Fläche. 131
drei Räume auf v^^ v^y v^ resp. reduciren: diese Bestimmung
ist immer möglich und zwar nur auf eine Weise (§. 32.).
Wir wollen jene drei Functionen durch %, Wg? % ^^sp. be-
zeichnen. Darauf bestimme man für den unendlichen Raum
t/4 eine 'Function u, wölche sich an den Oberflächen der
Räumei TJ^, U^y TJ^ auf v^, v^, v^ reducirt, und im Unend-
lichen verschwindet. Wir werden nachträglich zeigen, dass
immer eine und nur eine solche Function u für den unend-
lichen Raum existirt, und ^, ,^
; Fig. 19.
dass dieselbe den weiteren
Bedingungen genügt, dass
pw imd p2 3- nicht über
eme bestimmte Grenze V y '
hinaus wachsen. Wir wol-
len diese Function mit u^ ^^ \
bezeichnen. Die Dichtig- f C^ )
keit Je der über die drei ( y^
Flächen zu vertheilenden — -^^^
Masse richten wir so ein, dass dieselbe für die Oberflächen
der drei Räume ü^, J^g, ü^ resp. folgenden Gleichungen
genügt:
\dp /a-^9 \dp las
ip) _ Ip) = _ 4;rÄ
\dp /«-fe \dp la—i
\dp /a-^e \dp Ja-E
Dann werden die drei Flächen so mit Masse belegt sein, wie
es verlangt wurde, dass nämlich das Potential der Belegung
auf der ersten, zweiten, dritten Fläche sich auf v^, Vg, v^
resp. reducirt. Denn bezeichnen wir mit v diejenige für den
^aw;2fen unendlichen Raum (mit Einschluss 4er Räume CT^, üg, Ü3)
gegebene Function, welche in den einzelnen Räumen Ui, U^, Ü3, TJ^
die Werthe %, U2, M3, W4 hat, so besitzt dieselbe offenbar
die vier charakteristischen Eigenschaften des Potentials jener
Belegung (§. 15.):
1) Die Function v ist im ganzen unendlichen Raum stetig.
132 Sechster Abschnitt. Allgemeine Probleme und Sätze
Es sind nämlich erstens %, Wg? ^3? ^4 ^^' ^®^ einzelnen
Räumen stetig; da femer u^ und % beide auf der Oberfläche
des Raumes Ui denselben Werth v^ annehmen, so ändert
sich V auch stetig beim Uebergang vom Raum t/4 in den
Raum E/j u. s. w. •
2) Ausserhalb der Flächen sind alle Derivirten von v
stetig und
^. ^4.^ =
dx^ • dy^ • dz^
Denn dies gilt von den einzelnen Functionen w^, Wg? ^hf ^4
innerhalb der einzelnen Räume.
3) Es ist in jedem Punkt der mit Masse belegten Flächen
\dp/a^e \dp/a—6
Denn die Dichtigkeit Je ist überall dieser Gleichung ge-
mäss bestimmt.
4) VQy Q^ -f- sind immer endliche Werthe: weil nämlich
**4P; 9^ ^ immer endliche Werthe sind, wie ja nachträglich
gezeigt werden soll.
Mithin ist v nach §. 15. das Potential jener Belegung.
Die Function v nimmt aber andrerseits auf den Oberflächen
der einzelnen Räume die vorgeschriebenen Werthö t?i, ^2? ^3 ^^*
Man sieht zugleich, dass die Aufgabe nur eine Lösung
hat (wenn nämlich nachgewiesen ist, dass W4 sich nur auf
eine Weise den Bedingungen gemäss bestimmen lässt).
Zur Erläuterung diene folgendes Beispiel. Die zu be-
legende Fläche sei eine Eugelfläche mit dem Radius i2,
und der vorgeschriebene Potential werth sei aa:, wo a eine
Constante bedeutet, über die wir noch näher verfügen
werden. Die für den inneren Raum stattfindende Function
u hat offenbar den Werth ax] denn ax ist ein u, und redu-
cirt sich an der Oberfläche auf den vorgeschriebenen Werth,
der ja ax selbst ist. Für den unendlichen Raum genügt
X . 1
die Function -g, wenn wir die Constante (^ = ^ setzen:
X X T-v
denn an der Oberfläche nimmt -3 den Werth ^ ah. Da nun
in Bezug auf eine mit Masse belegte Fläche. " 133
X ■, X
tii = ^9 und ti2 = -j- zwei Ausdrücke sind, die resp. im
inneren und äusseren Raum genügen, so kann man aus den-
selben die gesuchte Belegung unmittelbar ableiten, deren
Potential an der Oberfläche den vorgeschriebenen Werth ^
annimmt. Da für die Kugelfläche die Normale p mit dem
radivs vector q zusammenfällt, so wird
-4«Ä.=g^) -m ^(p) -ip) ,
woraus man
3x
k =
findet
§. 34.
Jetzt kommen wir zu dem Nachweis, dass die Fimction
u für einen unendlichen Raum völlig bestimmt ist. Zu-
nächst haben wir zwei allgemeine Principien auszusprechen.
1. Hat man einen endliche^ von zwei geschlossenen
Flächen schalenförmig begrenzten Raum, für welchen man
•das ti sucht, welches an der einen Fläche den Werth D^,
an der anderen den Werth. CTg annimmt, so kann man das
Problem nach dem Princip der Superposition in zwei ein-
fachere Probleme verwandeln. Wir setzen nämlich
U, = U,' + U,"
U, = U,' + U,"
und suchen nun das w, welches auf der ersten Fläche den
Werth Ui , auf der zweiten den Werth U2 hat, und auch
das w, welches auf der ersten Fläche den Werth ?7/', auf
der zweiten den Werth f/"/' hat: addiren wir dann diese
zwer u, so ist die Summe ofl^enbar das gesuchte u.
2. Irgend eine Function u bat innerhalb eines zusammen-
hängenden Raumes T nur Werthe, welche zwischen den ex-
tremen an der Oberfläche stattfindenden Werthen liegen.
Der Beweis dieses Princips beruht auf folgendem Satz:
Wenn eine Function u in allen Punkten der Grenz-
fläche eines geschlossenen Raumes denselben Werth
c hat, so gilt derselbe Werth c auch für sämmtliche
Punkte des Raumes selbst.
134 Sechster Abschnitt. Allgemeine Probleme und Sätze
Eine jede Constante ist nämlich auch ein u (unter u immer
eine Function verstanden, wie sie am Schluss des §. 32. de-*
finirt ist). Wenn wir also für einen Raum ein u suchen,^
welches an der Oberfläche des Raumes den constanten Werth
c annimmt, so ist c selbst oflfenbar ein solches u. Ein u
existirt aber immer nur für jeden Raum, welches an der
Oberfläche den vorgeschriebenen Werth annimmt (§. 32.),
folglich kann das gesuchte u nur den Werth c haben.
Beiläufig sei hier noch Folgendes bemerkt. Da das Po-
tential von Massen, die ganz ausserhalb eines von einer ge-
schlossenen Fläche begrenzten Raumes liegen, auch ein u
ist, so hat man folgenden Satz, von dem wir später Ge-
brauch zu machen haben:
Wenn das Potential von Massen, die ganz ausserhalb
eines zusammenhängenden endlichen Raumes liegen,
überall auf der Oberfläche desselben constant ist, so
hat es auch überall im Innern denselben constanten
Werth.
Das unter 2. ausgesprochene Princip lässt sich nun
leicht beweisen. Das Maximum des u auf der Oberfläche
des Raumes T sei Ä. Nehmen wir an, es habe das u in
irgend einem Punkt innerhalb des Raumes T einen Werth
C, so dass A <CC ist. Es sei ferner B eine zwischen A
und C fallende Grösse. Lässt man von nach allen Rich-
tungen hin gerade Linien ausgehen (Fig. 20.), so wird es
auf jeder derselben einen Punkt 0'
Fig. 20.
geben, in welchem u = B wird.
Dies folgt unmittelbar aus der Ste-
tigkeit des u. Sämmtliche Pimkte
0' bilden dann eine geschlossene
Fläche. Da nun überall auf der-
selben u = B ist, so muss u nach
dem eben bewiesenen Satz auch
überall in dem von derselben ein-
geschlossenen Raum denselben Werth
B haben, während doch in der grössere Werth (7 statt-
findet. Die Voraussetzung führt also auf einen Widerspruch.
in Bezug auf eine mit Masse belegte Fläche. 135
Ebenso zeigt man, dass das u in keinem Punkt des Raumes
T einen Werth haben kann, der kleiner ist als das Mini-
mum des u auf der Oberfläche.
§. 35.
Mittelst dieser einfachen Principien ist es leicht nach-,
zuweisen, dass das u völlig bestimmt ist, welches für einen
unendlichen Raum stattfindet.
Die mit Masse zu belegenden geschlossenen Flächen
seien /Sj, S^-'*^ und die Werthe, welche das Potential auf
denselben annehmen soll, Z/j, U^'*- (Fig. 21.). Man be-
schreibe eine Hilfskugel von einem beliebigen Punkt, mit
einem beliebigen Radius a, aber so d9.ss sie sämmtliche von
Fig. 21.
den Flächen S^, S^* ' - begrenzten Räume in sich enthält.
Man beschreibe von demselben Punkte aus eine zweite Kifgel
mit einem beliebigen Radius jB. Ein u innerhalb des von
letzterer begrenzten Raumes (mit Ausschluss der von S^, 82**»
begrenzten Räume) ist völlig bestimmt, wenn es an den
Flächen /Sj, Äg • • • die Werthe JT^, üg • • •, und an der JB-Kugel-
oberfläche den Werth Null annehmen soll (§. 32.). Die Be-
hauptung ist nun diese: Lässt man JB wachsen, so wird sich
li an jeder Stelle einem vollständig bestimmten Werth
nähern, und die weiteren Bedingungen, dass qu und q^ j-
136 Sechster Abschnitt. Allgemeine Probleme und Sätze
nicht wachsen, erfüllen. Es ist oft schwer zu zeigen, dass
sich etwas einer Grenze nähert; wir werden nachweisen,
dass wenn B immer mehr wächst, sich u schliesslich nicht
mehr um etwas beliebig Kleines ändern kann. Ein ähnliches
Verfahren findet mitunter auch bei Reihen Anwendung, deren
Convergenz nachzuweisen ist.
Der kleinste Werth von R soll wenigstens 2 a sein. Sei
nun u an irgend einer Stelle innerhalb der JR- Kugel für
ein bestimmtes R bestimmt: was wird das ii an dieser Stelle
für eine Aenderiöig erleiden, wenn R grosser wird, wenn R
gleich R wird? Ist die iJ'-Kugelfläche die Begrenzungs-
fläche, auf welcher u den Werth Null annehmen soll, - so
hat u auf der JR-Kugelfläche einen bestimmten Werth, den
wir A • nennen wollen. Für die i2-Kugelfläche als Begren-
zungsfläche, auf der u den Werth haben soll, werde der
Werth des w in durch m^ bezeichnet; für die ü'^Kugel-
fläche als Begrenzungsfläche, auf welcher u den Werth
annehmen soll, werde der Werth des u in demselben Punkt
durch Uj^ bezeichnet. Es würde w^, bestimmt sein durch
A und die für die Flächen Äj , /S2 • • • vorgeschriebenen Werthe
E/j, C/g • • • Um das w^, zu finden, machen wir Gebrauch
von dem Princip der Superposition, indem wir üi, f/g • • •
in iTi + 0, Ug + ö • • •; "^^ umgekehrt A in + A zerlegen.
Den Werth desjenigen t« in 0, welches auf den Flächen
Si, 82* " die Werthe a, 6 • • • , und auf der E-Kugelfläche
den Werth Je annimmt, wollen wir der Kürze halber durch
(a, 6, • • • • , Ä) bezeichnen. Dann ist
Da nun nach dem Princip der Superposition
(c/-„ cr„...,A) = (cr„ c/-„...,o) + (o,o,...,A)
und folglich
% =«*Ä + (0;0,---,A)
ist, so wird der Zuwachs, den das u in dem Punkte er-
leidet, wenn der Raum, der ursprünglich durch die JB-Kugel-
fläche begrenzt war, durch die JJ'-Kugelfläche- begrenzt wird,
gleich (0, 0, •••, A) sein. Dieser letzte Werth liegt aber,
in Bezug auf eine mit Masse belegte Fläche. 137
da der Werth irgend eines u innerhalb eines zusammen-
hängenden Raumes, nach dem zweiten Prineip des §. 34.,
immer zwischen den extremen Werthen des' u an der Ober-
fläche jenes Raumes liegt, zwischen den extremen Werthen
des L Ist also l der absolut grösste Werth von A, so wird
der Zuwachs, den u in einem bestimmten Punkt erleidet,
der innerhalb der JB-Kugelfläche liegt, wenn der Raum erst
durch die JR-Kugelfläche begrenzt war und dann durch die
iJ'-Kugelfläche begrenzt wird, zwischen + ^ ^^^ — ^ liegen,
also nicht grösser sein als l. Es entsteht also die Frage:
Wie gross kann dieses l höchstens sein?
Wir brauchen jetzt jene Hilfskugel mit dem Radius a.
Soll u auf der JS'-Kugelfläche sein, so wird der absolut
grösste 'V^erth von u auf der Hilfskugel höchstens A sein,
wenn Ä den absolut grössten Werth der Grössen C/^ , iJg • • •
bezeichnet. Denn alle Werthe auf der Hilfskugel 'liegen
zwischen + A. Durch den auf der Hilfskugel stattfindenden
Werth, den wir mit [i bezeichnen wollen, ist das u bestimmt
von der flilfskugelfläche bis zur JB'-Kugelfläche. Mit Be-
nutzung der beiden Principien des vorhergehenden Paragraphen
zeigt man leicht, dass wenn man auf der einen Grenzfläche
eines schalenförmigen Raumes die Werthe des u nicht ändert,
sie auf der anderen Grenzfläche aber überall in demselben
Sinne ändert, dann auch überall im Innern das ti sich in dem-
selben Sinne ändert. ^^) Setzen wir auf der Hilfskugel überall
A statt ft, so vergrössern wir dort die Werthe des w, da-
durch vergrössem wir also auch alle Werthe im Raum;
setzen wir zweitens auf de» Hilfskugel überall — A statt ft,
so verringern wir sie alle. Die zwei w, von denen das eine
die Werthe A und 0, das andere die Werthe — A und
auf der Hilfskugel und der U'-Kugel resp. annimmt, schliessen
das wirklich stattfindende u an jeder Stelle ein. Suchen wir
jene zwei \i, so ist klar, dass jedes derselben eine blosse
Function vom radius vedor (r ist; für diesen Fall fanden wir
(§. 5.) als Integral der DiflFerentialgleichung
den Ausdrucl^
d^u . d*u , d^u ^
138 Sechster AbschDÜt. Allgemeine Probleme und Sätze
' Q
Die Gonstanten m und n bestimmen sich für das erste u
durch die Bedingungen, dass dasselbe die Werthe A und
für p = a und q = R resp. annehmen soll, und für das
zweite u durch die Bedingungen, dass dasselbe die Werthe
— A und för dieselben Werthe des q annehmen soll. Es
ist also
m -] = + A
»w + ^' = 0,
WO auf der zweiten Seite der ersten Gleichung das obere
Zeichen für das erste te, das untere für das zweite u gilt.
Bestimmt man hieraus m und n für jedes der beiden m, so
ergiebt sich, dass der an jeder Stelle wirklich stattfindende
Werth des u zwischen
a K
liegt, oder da JB ^ 2a vorausgesetzt ist, mithin w^^^
ist, zwischen
also a fortiori zwischen "
• ^ 2A.(i
Auf der Oberfläche der Ü-Kugel ist folglich — ^ obere, und
^ untere Grenze; 2 -4a ist eine Constante: wenn also
JB gross genug ist, so ist der absolut grösste Werth, den
A noch erreichen kann, beliebig klein.
Also in der That nähern wir uns an jeder Stelle einem
festen Werth, wenn R in infinitum wächst. Folglich existirt
ein w, das im Unendlichen gleich Null ist, und an jeder
Stelle der Oberflächen /S^, /Sg • • • einen vorgeschriebenen
Werth hat.
in Bezug auf eine mit Masse belegte Fläche. 139
Es giebt aber auch nur ein w, welches im Unendlichen
verschwindet, während es an den Oberflächen S'i , Sg • • • die
vorgeschriebenen Werthe U^, Dg * * * annimmt. Gäbe es näm-
lich zwei, u und w', so müsste doch zwischen diesen ein
Unterschied sein: u — u würde also an einer bestimmten
Stelle den Werth 8 haben! Weil jedes der beiden u im
Unendlichen verschwindet, lässt sich eine Kugeloberfläche
von einem so grossen Radius construiren, dass überall auf
derselben jedes u beliebig klein, und mithin auch der grösste
Unterschied beider beliebig klein, etwa kleiner als 8 ist.
Nun sind beide u doch so beschaffen, dass sie auf den
Flächen S^, S'g • • • dieselben Werthe haben; die Diflferenz
u — u genügt also der Bedingung, überall an den Flächen
^1? ^2 • • • gleich Null zu sein: mithin müsste nach dem
zweiten Princip u — u überall innerhalb jener Kugel kleiner
als 8 sein, was der Annahme widerstreitet.
Es ist nun noch nachzuweisen, dass die Werthe qu und
Q^ -^ mit wachsendem q sich einer bestimmten endlichen
Grenze näherrw Das u hat also an jeder Stelle einen be-
stimmten Werth: auf der Hilfskugel mit dem Radius a den
Werth ft, im Unendlichen Null. Entwickelt man ft nach
Kugelfunctionen: |t = ZT«, so ist
Denn dieser Ausdruck ist erstens überhaupt ein t«, weil er
stetig ist und der durch Transformation der rechtwinkligen
Coordinateu in Polarcoordinaten aus der Gleichung
entstehenden Gleichung
genügt (§. 18.); zweitens nimmt er auf der Hilfskugel den
Werth ft, im Unendlichen den Werth Null an. Aus (1) folgt:
140 Sechster Abschnitt. Allgemeine Probleme und Sätze
Dass dieser Ausdruck mit wachsendem q nicht wächst, liegt
auf der Hand. Ebenso nähert sich
mit wachsendem q einer festen Grenze.
Es giebt also in der That immer eine und nur eine Be-
legung der Oberflächen beliebig vieler begrenzter Räume mit
Masse, bei welcher das Potential der über sämmtliche Ober-
flächen vertheilten Masse an jeder Stelle einer jeden Ober-
fläche einen vorgeschriebenen Werth hat.
^Dieser Satz ist zuerst von Gauss aufgestellt^)
§. 36.
Die erste interessante Folgerung aus dem vorhergehenden
Satze ist diese:
Hat man eine geschlossene Fläche S und beliebige
Massen entweder bloss im Innern oder bloss im Aeussern,
so kann man statt dieser Massen eine unendlich dünne
Schicht auf jener Fläche substituiren, welche, im ersten
Falle, in allen Punkten des äusseren Räumte, im zweiten
Falle, in allen Punkten des inneren Raumes ebenso wirkt, wie
jene Massen.
I. Das Potential irgend einer bloss im Innern der Fläche
S befindlichen Masse M sei Vj das Potential irgend einer
auf der Fläche S befindlichen Schicht v. Soll nun die
Wirkung der Schicht dieselbe sein wie die der Masse M, so
dürfen die Potentialwerthe v und v nur um eine Constante
verschieden sein: i; == «;' -j- Const. Für den Fall, dass die
Wirkungen der Masse M und der Schicht in allen Punkten
des äusseren Raumes gleich sein sollen, muss die Constante
gleich Null sein; denn jedes Potential hat im Unendlichen
den Werth Null. Umgekehrt, ist v = v\ so sind auch die
Wirkungen der Schicht und der Masse M dieselben. Hat
nun das gegebene Potential von M auf der Fläche S den
Werth F, so bilden wir auf letzterer die Schicht, deren
Potential auf der Fläche den Werth V hat (eine solche
Schicht existirt immer, aber auch nur eine); dann ist aber
auch das Potential dieser Schicht, v\ überall im Aeussern
in Bezug auf eine mit Masse belegte Fläche. 141
gleich V, Denn es giebt nach dem vorhergehenden Paragraphen
nur ein u, welches auf einer geschlossenen Fläche einen vor-
geschriebenen Werth V annimmt; und überall im Unend-
lichen verschwindet; es ist aber sowohl v als auch v ein
solches u.
Es ergiebt sich leicht, dass die Masse der gebildeten
Schicht gleich der Masse M sein muss. Denn es ist nach
§. 5. lim QV ^= M, und, wenn wir die Masse der Schicht mit
M' bezeichnen, lim qv == M'] da nun v = v ist, so muss
auch M= M' sein.
Wir haben also den Satz:
Hat man eine beliebig innerhalb eines geschlossenen
Raumes vertheilte Masse Jf, so lässt sich, unbeschadet der
Wirkung nach aussen, dieselbe Masse über die Oberfläche
des Raumes, und zwar nur auf eine einzige Art vertheilen;
und umgekehrt, jeder auf der Oberfläche befindlichen Schicht,
welche dieselbe Wirkung nach aussen ausübt, wie die Masse
Jf, kommt eine Masse zu, welche gleich M ist.
IL Das Potential irgend einer bloss ausserhalb der ge-
schlossenen Fläche S befindlichen Masse sei v, das einer auf
der Fläche befindlichen Schicht v. Soll nun die Wirkung
dieser Schicht überall im Innern des von S begrenzten
Raumes gleich der Wirkung jener Masse sein, so muss
wieder v = v -^ a sein, wo a eine beliebige Constante be-
deutet; aber hier ist kein genügender Grund a = zu setzen.
Die Gleichung v =v -^ a muss auch an der . Oberfläche
stattfinden, oder es muss V'= V -^ a sein. Umgekehrt:
wenn F' = F + a ist, so findet auch die Gleichung v=v-^a
statt. Denn sowohl v als auch v ist ein m, mithin ist auch
die Differenz v — v eia u. Wenn also F' — V= a ist, so
ist V — V ein u, dessen Werth an der Oberfläche von S
constant ist; mithin ist auch v — v überall im Innern con-
stant, nach dem Satz (§. 34):
Ein w, welches an der Oberfläche eines zusammen-
hängenden Raumes einen constanten Werth hat, muss auch
überall im Innern denselben constanten Werth haben.
Hieraus folgt, dass die Schicht, deren Potential auf der
Fläche S überall den gegebenen Werth V •-\- a hat (und eine
142 Sechster Abschnitt. Allgemeine Probleme und Sätze
solche Schicht existirt immer, aber auch nur eine), überall
im Innern von S dieselbe Wirkung ausübt, wie jene inner-
halb des von der Fläche S begrenzten Raumes befindliche
Masse.
um diese Schicht zu bilden , bilden wir erst die Schicht
^, welche an der Oberfläche das Potential V hat, und dann
eine zweite Schicht JB, deren Potential an der Oberfläche
überall a ist: addiren wir diese zwei Schichten, so haben
wir offenbar diejenige Schicht, deren Potential an der Ober-
fläche F -}- a ist. Hieraus ergiebt sich, dass die Masse der
statt der gegebenen Masse zu substituirenden Schicht in
diesem Fall nicht, wie im ersten Fall, gleich der gegebenen
Masse zu sein braucht, sondern dass sie jeden verlangten
Werth annehmen kann. Es sei nämlich die völlig bestimmte
Masse der Schicht Ä gleich M. Um die Schicht B zu
bilden, suche man vorläufig die Schicht, deren Potential auf
der Oberfläche überall 1 ist, und nenne deren gleichfalls
völlig bestimmte Masse N] multiplicirt man die Dichtigkeit
der letzten Schicht überall mit a, so bekommt man die
Schicht JB, deren Masse folglich aN sein wird. Demnach
wäre M-^-aN die Masse der Schicht, deren Potential an
der Oberfläche F-f-a ist. Indem wir 'aber über a will-
kürlich verfügen können, lässt sich dieser Masse M-^-aN
jeder beliebige Werth ertheilen, wenn nicht etwa die Masse
N gleich Null ist. Kann also N=0 sein?
Bezeichnen wir den Potentialwerth der Schicht, deren
Masse wir N nannten, mit u, so ist u an der Oberfläche 1,
im unendlichen Null: folglich liegen alle Werthe des u im
äussern Raum zwischen und 1 incl.; im Jnnem hat u
überall den Werth 1. Hieraus folgt, dass die Dichtigkeit
der Schicht nicht an verschiedenen Stellen verschiedene Zei-
chen haben kann, sondern positiv ist (stellenweise kann sie
auch sein). Denn die Dichtigkeit wird ja bestimmt durch
die Gleichung:
i^j ist »aber Null, da u von der Oberfläche aus ins
in Bezug auf eine mit Masse belegte Fläche. 143
Innere hinein seinen Werth nicht ändert; Ij-J ist negativ
oder Null, da u im äusseren Raum von der Oberfläche aus
zunächst nicht zunehmen kann. Also an jeder Stelle ist Je
entweder positiv oder Null; Je kann aber auch nicht überall
Null sein, Senn in diesem Fall würden wir gar keine Schicht
mehr haben, das Potential könnte also auch an der Ober-
fläche nicht 1, sondern nur sein. Also die Gesammtmasse
N kann nicht Null sein: sie ist wesentlich positiv.
Wir können nunmehr folgenden Satz aufstellen:
Hat man irgend eine ganz ausserhalb einer geschlosse-
nen Fläche liegende Masse, so lässt sich aus jeder gegebe-
nen Masse auf dieser Fläche eine unendlich dünne Schicht
bilden, und zwar allemal nur auf eine einzige Art, welche
überall im Innern dieselbe Wirkung wie jene Masse ausübt.
§. 37.
Wir wollen jetzt untersuchen, ob bei einem beliebigen
System elektrischer Leiter, welche, abgesehen von dem Ein-
fluss den sie gegenseitig auf einander ausüben, noch dem
Einfluss beliebig vieler gegebener elektrischer Nichtleiter
ausgesetzt sind, immer elektrisches Gleichgewicht möglich
ist. Der Einfachheit wegeA nehmen wir eine bestimmte An-
zahl von elektrischen Leitern an, etwa drei, indem die fol-
gende Untersuchung sich in gleicher Weise auf eine beliebige
Anzahl von elektrischen Leitern ausdehnen lässt.
Jeder der drei Leiter besitzt eine bestimmte Elektricitäts-
masse. Das gegebene System der Nichtleiter hat überall ein
gegebenes Potential; letzteres habe Pig. 22.
auf den Oberflächen der Leiter die
WertheJ^i, K, ^3 (Fig. 22.). Soll
elektrisches Gleichgewicht möglich
sein, so werden sich an den drei
Oberflächen solche Schichten bilden
müssen, dass das Gesammtpotential — herrührend von den
Schichten und von den Nichtleitern -— überall im Innern
eines jeden Leiters eine Constante ist. Es genügt aber,
dass dasselbe an der Oberfläche eines jeden Leiters constant
ist; denn wenn das Potential an der Oberfläche eines zu-
144 Sechster Abschnitt. Allgemeine Probleme und Sätze
sammenhängenden Raumes, in dem sich keine Masse be-
findet, constant ist, so ist es eo ipso im Innern constant
(§. 34.). Bezeichnen wir die Werthe des Potentials voll allen
sich bildenden Schichten, welche an der Oberfläche der drei
Leiter stattfinden, mit f/j, C/g; ^3? ^^ ^^^^ ^^^ Potential-
werthe, die überhaupt daselbst stattfinden, die Summen V^ + i/j,
Fg + f/g, Fg + t/g. Jede dieser Summen muss also gleich einer
Constanten sein:
V, + U,=a,,r,+ U, = a„ Fa + Ü3 = «,.
Demnach sind die Oberflächen so mit Schichten zu belegen,
dass die Potential werthe aller dieser Schichten an den Ober-
flächen die Werthe
t/i = «1 — Fl, U^ = «2 — 1^2; ü's = «3 — ^3
annehmen. F^, F2, F3 sind vollständig gegeben; «i, «2? ^s
sind noch zu bestimmen. Durch Superposition tonnen wir
die Sache vereinfachen. , Wir bestimmen nämlich vorläufig
drei solche Schichten, deren Gesammtpotential auf der ersten
Oberfläche — Fj, auf der zweiten — Fg und auf der dritten
— Fg ist. Bildete man dann noch drei neue Schichten so,
dass ihr Gesammtpotential auf der ersten Oberfläche a^, auf
der zweiten* «g ^^^ ^^^ ^^^ dritten «g wäre, so erhielte man
durch Addition je zweier Schichten des ersten und zweiten
Systems die drei gesuchten Schichten, deren Gesammtpotential
auf den einzelnen Oberflächen die Werthe a, — F^ , «g — F2,
«3 — Fg hat. Das zweite Problem, jene drei neuen Schichten
zu bilden, kann man wieder durch Superposition in diese
drei einfacheren Probleme auflösen: die drei Systeme von
Belegungen zu finden, wo auf der
m ersten, zweiten, dritten Obeij^äche
1) das Potential 1, 0,
2) „ ■ 0, 1,
3) „ 0, 0, 1
stattfindet. Das sind drei völlig bestimmte Aufgaben: jeder
dieser drei Forderungen lässt sich immer genügen, und zwar
nur auf eine Weise. Die Massen, die jeder der drei Schichten
zukommen, seien für den ersten Fall w^, n^ p^] für den
zweiten Fall mg, Wg, p^] für den dritten Fall mg, Wg, jpg.
in Bezug auf eine mit Masse belegte Fläche. 145
Will man dann statt des Potentials 1 im ersten Fall irgend
ein anderes constantes Potential a haben ^ so hat man die
drei Massen mj, Wj, p^^ nur mit a zu multipliciren; dasselbe
gilt für den zweiten und dritten Fall. Durch Addition er-
hält man m^ccj^ + mgCCg + ^^s^s als völlig bestimmte Masse
auf der ersten Oberfläche, wenn die Potentialwerthe resp.
«1 , «2? "s sein sollen; auf der zweiten OberflächeWiai+n2a2+W3a3,
und auf der dritten 2>i«i +1^2 ^2 "f"i^3^3-
Die drei Massen, die auf den einzelnen Oberflächen er-
forderlich sind, um die drei Potentiale — F^, — F2, — Fg
zu haben, sind gleichfalls völlig bestimmt; sie seien Jf, ^, P.
Die Massen, die auf den einzelnen Oberflächen sich befinden,
wenn dieselben so belögt sind, dass das Gesammtpotential
auf ihnen die Werthe «i — F^, «g — ^2j ^3 — ^3 ^^^P* ^'^"
nimmt, sind dann folgende:
auf der ersten Oberfläche m^ai + mgOCa + ^^3^3 + -^
„ „ zweiten „ n^a^ + n^ a^ + n^a^ + N
„ „ dritten „ jpi «i + 2)2 «2 + Pz «3 + •?•
Diese drei Massen müssen aber gleich sein den Massen, die
den einzelnen Leitern ursprünglich mitgetheilt waren, da
durch die Decomposition des neutralen Gemisches in den
einzelnen Leitern immer gleiche Mengen positiver und nega-
tiver Elektricität auf ihren Oberflächen erzeugt werden.
Nennen wir daher die den einzelnen Leitern ursprünglich
mitgetheilten Massen M , N, P', so haben wir
m^a^ + m^a^ + ^3^3 -{' M= M
Wj «1 + n2 «2 + ^8 «3 + N = N'
JPl«l+JP2a2 +P3«3 +P =P'.
Aus diesen drei Gleichungen bestimmen sich die drei a; da
letztere linear in den Gleichungen enthalten sind, so lässt
sich die Behauptung aufstellen:
Es giebt immer ein und nur ein elektrisches Gleich-
gewicht.
§. 38.
Befand sich ein elektrischer Nichtleiter im Innern einer
leitenden elektrischen Hohlkugel (§. 26.) , so übten der Nicht-
leiter und die auf der inneren Oberfläche der Hohlkugel sich
Dirichlet, Potentialtheorie. ' 10
146 Sechster Abschnitt. Allgemeine Probleme und Sätze
bildende Schicht gar keine Wirkung nach aussen aus, und
auf der äusseren Oberfläche bildete sich eine eben solche
Schicht, wie sie sich bilden würde, wenn der Nichtleiter
und die Höhlung gar nicht vorhanden wären, und die der
Hohlkugel mitgetheilte Elektricitätsmasse gleich der Summe
aus der in dem Nichtleiter vorhandenen und der der Hohl-
kugel wirklich mitgetheilten Elektricitätsmasse wäre. Wir
werden jetzt zeigen, dass dies Resultat ganz allgemein für
jeden hohlen Körper gilt.
Es sei also ein hohler Körper und in dem hohlen Kaum
ein Nichtleiter gegeben (Fig. 23.). In dem Raum, den der
Hohlkörper einnimmt, muss das
Gesammtpotential v, welches von
den zwei sich bildenden Schichten
und von dem Nichtleiter herrührt,
constant sein; es genügt aber, dass
dasselbe an den zwei Oberflächen
des Hohlkörpers constant ist, und
zwar an beiden dieselbe Constante.
Die Elektricitätsmenge des Nicht-
leiters sei M, die der Schale A.
Wir können den Nichtleiter iu
anderer Form auftreten lassen; er wirkt über die innere
Fläche der Schale hinaus gerade wie eine gewisse Schicht,
die sich auf der inneren Fläche bilden lässt (§. 36. L). Wir
substituiren also statt des Nichtleiters an der inneren Ober-
fläche die Schicht, welche letzteren repräsentirt. Dann wird
das V im ganzen Hohlraum constant sein, da sich jetzt in
demselben keine Masse mehr befindet (§. 34,). Folglich ist
die Dichtigkeit der inneren Schicht, als. Differenz der Deri-
virten nach der Normale, überall gleich 0; diese Schicht be-
steht aber aus zwei Schichten: aus der sich bildenden und
aus der für den Nichtleiter substituirten. Mithin werden
diese beiden letzten Schichten überall die entgegengesetzte
Dichtigkeit haben, so dass also der Nichtleiter und die innere
sich bildende Schicht gar keine Wirkung nach aussen hin
ausüben. Femer besitzt die den Nichtleiter vertretende
Schicht dieselbe Masse, die der Nichtleiter besitzt (§. 36. L),
in Bezug auf eine mit Masse belegte Fläche. 147
d. i. die Masse M, Die Masse der inneren sich bildenden
Schicht ist folglich — M\ mithin hat die äussere Schicht
die Masse A + Jf, da beide zusammen die Masse A be-
besitzen müssen. Da die äussere Schicht ausserdem auf der
äusseren Oberfläche ein constantes Potential haben soll, so
ist dieselbe gleichfalls völlig bestimmt. Das ganze System,
d. h. der Nichtleiter und die an den beiden Oberflächen sich
bildenden Schichten, wirkt also nach aussen ebenso, als
wenn die Masse des Hohlkörpers A'\' M wäre, und der
Nichtleiter und die Höhlung gar nicht vorhanden wären.
10^
Siebenter Abschnitt.
Magnertismus.
§. 39.
Zur Erklärung der magnetischen Erscheinungen nehmen
wir zwei magnetische Fluida an, von denen das eine das
positive, das apdere. das negative heissen* möge. Zwei
magnetische Massentheilchen stossen sich ab, Wenn sie gleich-
artig sind, und ziehen sich an, wenn sie ungleichartig sind.
Die Erfahrung ^^) nöthigt zu der weiteren Annahme, dass in
jedem Körper, in welchem sich magnetisches Fluidum be-
findet, gleiche Quantitäten des positiven und des negativen
Fluidums vorhanden sind; dies gilt sogar von den einzelnen
beliebig kleinen Theilchen des Körpers, wenn sie nur noch
für unsere Sinne wahrnehmbar sind. Die in irgend einem
Körper enthaltenen magnetischen Flüssigkeiten können erst
dann eine Wirkung ausüben, wenn irgend eine Scheidung
derselben eingetreten ist; diese Scheidung kann sich indessen
nach dem Obigen offenbar mir auf für uns nicht jnehr mess-
bare Entfernungen erstrecken.
Das Magnetisirtsein eines Körpers stellen wir uns als
eine Scheidung der in ihm enthaltenen magnetischen Flüssig-
keiten vor. Bezeichnen wir das in einem Element eines
Magneten enthaltene Quantum freien magnetischen Fluidums
mit d^, so ist das Integral fd^j sowohl über den ganzen
Magneten als auch über einen beliebig kleinen aber für uns
noch messbaren Theil desselben erstreckt, gleich Null.
§. 40.
Man denke sich einen beliebigen Magneten in unendlich
kleine Elemente getheilt; a, h, c seien die rechtwinkligen
Siebenter Abschnitt. Magnetismus. 149
Coordinaten irgend eines Punktes irgend eines jener Ele-
mente; d^ die in letzterem enthaltene magnetische Masse;
sei irgend ein Punkt ausserhalb des Magneten, x^ y^ z
die rechtwinkligen Coordinaten von 0, r die Entfernung
irgend eines Massenelementes von 0. Setzen wir v = — / — ;
ausgedehnt über sämmtliche dyb^ dann sind die Derivirten
von V nach x, y, z die Componenten der nach den Rich-
tungen der drei Coordinatenaxen zerlegten Kraft, welche der
Magnet auf die im Punkte concentrirte positive Einheit
des Magnetismus ausübt. (§. 2. I.)
Wir führen Polarcoordinaten ein, und zwar bezeichnen
wir die irgend eines Punktes der Masse, wie früher, mit
accentuirten Buchstaben:
a = Q cos %•' X = Q cos d"
h = q' sin -O*' cos g)' y = q siad" cos g)
c = q' sin 'S"' sin g?' z = q sin %• sin q>.
Dann wird:
r = y(p2 _ 2qq cos o + Q^),
cos GJ = COS %• COS -O*' + sin 'S" sin %•' cos {tp — q>).
Wir entwickeln die Function «;, die wieder das Potential des
Magneten in Bezug auf den Punkt heissen möge, nach
negativen Potenzen von q , und erhalten:
«^ = -/f (l + ^ -PiXcos 0,) + (?:)' P, (cos 0,) + ...) .
Weil eben so viel positiver wie negativer Magnetismus in
dem Magneten enthalten ist, so fällt das erste Glied dieser
Entwicklung fort, und es bleibt:
V = 2 / dfiQ'P^ (cos coi) 1 f d^ Q^ P2 (cos oj)
Da Pi (cos (o) = cos o ist, so haben wir:
V = 2 1 clftQ' (cos d' cos'9''+ sin d" sin d"' cos (9?' — g))) •
= 2 (cos d'jQ cosd''dfi + sin 'S" cos (pJ^Q sin d'' cos (p'd[i
+ sin d' sin (pf^' sin d'' sin (p' dfij — • • •
= — ä(cos ^Jadfi + sin -O* cos q)fid^ + sin d^ sin (pjcdfi)
150 Siebenter Abschnitt.
Die drei Integrale, welche in dem Coefficienten von — ^ vor-
kommen;
fad^, fbdiij fcdiij
hängen natürlich von dem Magneten und von der Lage der
Axen ab; aber in Folge der Grundhypothese, dass die Summe
aller Massentheile Null ist, hängen sie bloss von der Rich-
tung der Axen ab, nicht von der Lage des Anfangspunktes:
man kann die Axen beliebig verschieben, wenn die neuen
Axen nur parallel zu den alten bleiben. Denn dadurch wird
nur eine Constante, etwa zu a, addirt: a = a + Const; die
Constg,nte wird mit Jdfi multiplicirt, der Theil, der zum
Integral hinzukommt, ist folglich Null. Wir wollen jene
drei Integrale der Kürze halber mit a, /3, y bezeichnen;
dann ist
V = j (a cos -O* + /3 sin '9' cos g? + y sin '9' sin g?j
Während also das Product aus q in das Potential irgend
einer Masse sich einer Grenze näherte (§. 5.), findet beim
magnetischen Potential etwas Aehnliches statt, wenn man
dasselbe mit q^ multiplicirt, so aber, dass die Grenze, wel-
cher sich das Product aus dem magnetischen Potential in
Q^ nähert, von der Richtung, in'welclier man den Punkt
fortrücken lässt, abhängt; denn es ist
lim ( — Q^v) = a cos 'S* + /3 sin 'S* cos (p -{- y sind' siu g).
Die zweite Seite der vorstehenden Gleichung nennt man das
magnetische Moment für die durch die Winkel d', (p be-
stimmte Richtung.
Wie hängt dies Moment nun von der Richtung ab?
Es giebt eine gewisse Richtung, für welche das magnetische
Moment eines bestimmten Magneten sein Maximum erreicht;
dieses Maximum nennt man das Hauptmoment des Magneten;
für alle anderen Richtungen kann das magnetische Moment
als Projection des Hauptmomentes auf die jedesmalige Rich-
tung angesehen werden. Hiervon überzeugt man sich leicht
durch die folgende Betrachtung. Die drei Factoren von
a, ß, y sind die Cosinus der drei Winkel, die die Richtung,
Magnetismus. 151
in welcher meuß q wachsen lässt, mit den drei Coordinaten-
axen macht; nennen wir diese Winkel A, ft, v, und das
magnetische Moment für diese Richtung K, so ist
^ K = a cos X -}- ß cos ft + y cos v.
Nun lassen sich«, ß, y ausdrücken als Producte einer , posi-
tiven Grösse in den Cosinus je eines Winkels. Setzen wir
nämlich
y(«* + /3* + y*) = *,
so lassen sich drei Winkel ?, m, n so bestimmen, dass
a == fc cos Z , /3 = Ä; cos m, y = Z; cos w (1)
wird, und es ist
K=Tc (cos Z cos A + cos m cos ft + cos n cos v).
Der Coefficient von Tz ist der Cosinus des Winkels, den die
beiden Richtungen mit einander bilden, die durch die Winkel
X, ft, V, und Z, m, n resp. bestimmt sind. Jede Linie, welche
mit den Coordinatenaxen die durch (1) bestimmten Winkel
l, m, n bildet, nennen wir die magnetische Axe des Magneten.
Letztere bleibt insofern unbestimmt, als sie durch jeden be-
liebigen Punkt gehen kann; sie ist nur der Richtung nach
bestimmt. Nennen wir den Winkel, den die Richtung der
magnetischen Axe mit der Richtung bildet, in welcher wir
den Punkt fortrücken lassen, %, so ist
Aus dieser Gleichung ergeben sich die über das magnetische
Moment aufgestellten Behauptungen; auch sieht man aus
derselben, dass das Maximum des magnetischen Momentes,
für diejenige Richtung stattfindet, welche mit der Richtung
der magnetischen Axe zusammenfallt, und dass dies Maxi-
mum oder das Hauptmoment
ist 32)
§. 41.
Aus der Gleichung
V = 2 Z; cos ir — • • •
folgt, dass alle Magnete in Bezug auf ihre Wirkung in die
152 Siebenter -Abschnitt.
Feme mit einander vergleichbar sind. Denn wenn die magne-
tischen Axen zweier Magnete parallel sind, so ist es nur
eine Constante, das Hauptmoment, welches den einen von
dem andern unterscheidet. Bezeichnen wir das Potential
und das Hauptmoment für zwei Magnete, deren Axen parallel
sind, resp. durch i?, jfc und v', Je, so ist
v = —pkco8x
1 jf
v = —pJc cosx
Hieraus folgt:
Wenn die Axen zweier Magnete parallel gestellt sind,
so verhalten sich ihre Wirkungen in die Feme wie ihre
Hauptmomente.
Wie verhält sich das Hauptmoment des aus zwei neben
einander befindlichen Magneten zusammengesetzten Magneten
zu den Hauptmomenten der einzelnen Magnete?
Um den ersten Magneten zu repräsentiren, ziehen wir
eine beliebige Linie (Fig. 24.), welche die magnetische Axe
Fig. 24. desselben darstellen soll, und geben
jener Linie eine bestimmte Länge k,
die das Hauptmoment darstellen
soll. Für den zweiten Magneten
ziehen wir von einem der beiden
Endpunkte jener Linie die zur Axe
desselben parallele Linie, und geben
ihr die Länge ifc', welche sich zu Je
verhält, wie das Hauptmoment des
zweiten Magneten zu dem des ersten.
Die Richtung der Verbindungslinie der nicht an einander
stossenden Endpunkte der Linien Je und ¥ giebt die Richtung
der Axe des zusammengesetzten Magneten an, und sein
Hauptmoment ist durch die Länge Je' der Verbindungs-
linie repräsentirt. Denn zieht man durch den Endpunkt der
Linie k, welchen letztere nicht mit k' gemeinsam hat, drei
auf eiilander senkrechte Linien, welche mit der Linie k die
Winkel l, m, n bilden mögen, und projicirt k auf dieselben,
so sind die drei Projectionen
Magnetismus.
153
Ä COS l =^ a^ h cos ni = ßy Tz cos n = y
die Momente des ersten Magneten für die ßichtuiigen jener
drei Linien; ebenso sind die Projectionen von ifc'
Tc cos X = a\ H cos m = ß\ Tz cos n = /
die Momente des zweiten Magneten für dieselben drei Rich-
tungen. Für den zusammengesetzten Magneten ist nun a + «'
das Moment für die erste, ß -{- ß für die zweite, y + / ^^^
die dritte Richtung; denn das Moment eines zusammen-
gesetzten Magneten für irgend eine Richtung ist offenbar
die Summe der Momente der beiden ihn zusammensetzenden
Magnete für dieselbe Richtung. Die Verbindungslinie Tc"
projicirt sich aber in den drei Linien « + «', /3 + /3', y + y.
Wir finden also in d^r That durch die angegebene Con-
struction Axe und Hauptmoment des zusammengesetzten
Magneten. Für die Zusammensetzung zweier Magnete dient
demnach dieselbe Construction, welche der Satz vom Parallelo-
gramm der Kräfte für die Zusammensetzu^ig zweier Kräfte
vorschreibt.
§. 42.
Zum Schluss wollen wir die Potentialtheorie auf den
Erdmagnetismus anwenden.
Wir führen Polarcoordinaten ein. Als festen Punkt
nehmen wir d'en Erdmittelpunkt M (Fig. 25.); die feste Linie
sei die von M nach dem ^j^ 25.
Nordpol gezogene Gerade
MN\ als feste Ebene nehmen
wir die Ebene des ersten
Meridians. Demnach ist,
wenn wir die Polarcoordi-
naten irgend eines Punktes
wieder q, %'y (p nennen,
Q seine Entfernung vom
Mittelpunkt der Erde; %' das
Complement der Breite desjenigen Punktes 0' der Erdober-
fläche, in welchem q letztere trifft; q) seine geographische
Länge, die- wir vom ersten Meridian östlich zählen wollen.
Die in dem Punkte stattfindende erdmagnetische Kraft zer-
154 Siebenter Abschnitt.
legen wir in drei Componenten, deren jede auf der Ebene
der beiden anderen senkrecht steht; und zwar soll die eine
Componente, die wir Z nennen wollen, vertical gerichtet
sein, die zweite, Y, soll parallel mit dem durch O gelegten
Parallelkreis, die dritte,, X, parallel mit dem durch 0' gelegten
Erdmeridian sein. Positiv wollen wir die Componente Z
nennen, wenn sie nach unten, dem Erdmittelpunkt zu, ge-
richtet ist, die Componente Y, wenn sie nach Westen, die
Componente X, wenn sie nach Norden gerichtet ist.
Das magnetische Potential v in dem Punkt wird eine
Function von ^, O", q> sein; aus demselben kann man die
Componente der Kraft für irgend eine Richtung ableiten,
indem z. B. die parallel der X-Axe gerichtete Componente
durch die Gleichung
^ dv
dx
bestimmt sein würde. Der in dieser Gleichung enthaltene
Satz lässt sich so aasdrücken:
Soll die Componente der Kraft für irgend eine Richtung
angegeben werden, so verschiebe man den Punkt 0, auf den
die Masse wirkt, in dieser Richtung um ein unendlich kleines
Stück, und dividire die daraus hervorgehende Veränderung
des Potentials durch den von dem Punkt zurückgelegten
unendlich kleinen Weg.
Wollen wir z. B. die Componente Y in der Richtung
des Parallelkreises haben, so verschieben wir den Punkt
in der mit derselben parallelen Richtung: der von dem
Punkt zurückgelegte Weg ist ^ sin '&• t?g?. Bei dieser Ver-
schiebung ändert sich nur g? um rfg?, 9 und %' bleiben die-
selben; die Aenderung des v ist folglich -^ ^9; "°^ mithin
r=
dv j
d^^f 1 dv
g sin d'dcp g ain d" d<p '
Dies wäre die Componente in der nach Osten genommenen
Richtung; da wir sie aber für die Richtung nach Westen
angeben wollen, haben wir den vorstehenden Ausdruck mit
Magnetismus. ' 155
dem Minuszeichen zu versehen. Durch ähnliche Betrachtungen
findet man die für X. und Z gültigen Ausdrücke. Es wird:
■y l^dv y. 1 dv y d^
^ d%^ ' 9 sin-ö" ciqp ' ~" (?9 '
§. 43.
Wir wollen den Werth'des Potentials an der Erdober-
fläche durch F bezeichnen; derselbe wird eine blosse Function
von %^ und q> sein. An der Erdoberfläche ist
^~ B dd'
•^ 7? ain ih dm' \^J
R siad" dq)
dV
dd-
d V
Integrirt man die Gleichung ^-^ = — -B^ ^on d" = 0, d. h.
vom Pol an, so entsteht
Z^^-fxd», (2)
wo Vq eine blosse Constante ist, nämlich der Potentialwerth
am Pol. Aus (1) und (2) folgt
8in &,/ d qp
Hieraus ergiebt- sich der merkwürdige Satz, dass die nach
Westen gerichtete Componente für jeden Punkt der Erd-
oberfläche vollständig bestimmt ist, wenn die nach Norden
gerichtete Componente für die ganze Erdoberfläche gegeben
wäre.^^) Die Frage, wo der Sitz der erdmagnetischen Kräfte
ist, kommt dabei gar nicht in Betracht.
§. 44.
Wollen wir auch die verticale Componente aus der nach
Norden gerichteten Componente bestimmen, so müssen wir
uns durchaus darüber entscheiden, wo der Magnetismus
sitzen soll. ^
Wäre die Componente X, also auch jenes Integral — fXd^
für alle Punkte der Erdoberfläche bestimmt, so könnte man
156 ^ Siebenter Abschnitt.
letzteres, als Function von •9' und gj, die für alle Werthe
von ^ und g) von bis ä und von bis 2 ä resp. gegeben
ist, und die wir Kürze halber durch f(ß'f g)) bezeichnen
wollen, nach Kugelfunctionen entwickeln. Setzen wir nämlich
-fXd»=fi», g>)=U, + T, + T, + -..,
WO Uq, l\y ^2 • • • Kugelfunctionen nuUter, erster, zweiter • • •
Ordnung sind, so ist
ü u
r„ = ^^!^fd(p'Jfi»',(p')Pn (cos cj) sin »'d»'.
?7q, T^j T2' ' ' sind also sämmtlich als gegeben anzusehen.
Y
Nach §. 43. (2) hätten wir dann, wenn wir 0^ + Uq = T^
setzen:
^ = T,-{-T, + T, + ..., .(1)
WO alle Glieder der zweiten Seite bis auf Tq bestimmt wären.
Lässt sich, wenn das Potential an der Oberfläche gegeben
ist, daraus das Potential ausserhalb derselben ableiten? Nur,
wenn wir uns entscheiden, wo die Kraft sitzt, und diese Ent-
scheidung entweder dahin ausfällt, dass die Kraft aus-
schliesslich in der Erde, oder dahin, dass sie ausschliesslich
ausserhalb derselben ihren Sitz hat.
Erste Hypothese:
Der Magnetismus sitzt ausschliesslich im Innern der Erde.
In diesem Fall ist es leicht, das Potential v auch ausser-
halb der Erde zu bestimmen. Denn es lässt sich v jetzt für
alle ausserhalb der Erde gelegenen Punkte nach negativen Po-
tenzen von Q entwickeb:
.= v
,-f.. (2)
wo Un eine Kugelfunction w*®' Ordnung ist (§. 19.). Für die
Oberfläche würde aus (2) folgen
Magnetismus. 157
Vergleicht man dies mit (1) und beachtet, dass eine Function
sich nur auf eine Art in eine Reihe von Kugelfunctionen
entwickehi lässt, so ergiebt sich
Uo = B^T^, U^^B'T, u. s. f.
Mithin ist nach (2)
= nf + 2;(f)' + ---- (3)
V
Hieraus ergiebt sich für die verticale Componente Z in irgend
einem Punkt ausserhalb der Erde der Werth:
und da letztere Gleichung in Folge der Stetigkeit von Z
auch an der Erdoberfläche gilt, so hat E' daselbst den Werth :^)
Tq wäre Null, wenn auch in der Erde ebenso viel positiver
wie negativer Magnetisjtnus wäre; denn es ist immer lim (vq)
gleich der wirkenden Masse (§. 5.); aus (3) ergiebt sich
aber lim (t;p) =B^Tq.
Zweite Hypothese:
Der Sitz des Magnetisrnm ist amserhalb der Erde,
In diesem Fall lässt sich v für alle Punkte innerhalb.
der Erde nach positiven Potenzen von q entwickeln:
V = UUnQ% (4)
wo wieder U» eine Kugelfunction w*®' Ordnung ist (§. 19.).
An der Oberfläche geht die Gleichung (4) über in
Vergleicht man diese Entwicklung wieder mit (1), so folgt
Uq = HTq, Ul = lly 6/2= jg^ , ^3 = ^ • • • ;
mithin ist
^ = ^0 + ^1 :r + ^2 (;r ) H ;
und folglich wäre jetzt:
158
Sieben
ter Abschnitt.
z=-r.
-2T,
R
-3^3(1)'
und
an
der Oberfläche**)
Z
1,-
2T^
-STa-
§. 45.
Wir stellen nun noch die Hypothese auf, dass die Ur-
sache des Erdmagnetismus theils im Innern der Erde, theils
ausserhalb derselben befindlich sei. In diesem Fall lässt
sich allerdings aus der blossen Kenntniss der nach Norden
gerichteten Componente die verticale Componente nicht mehr
entwickeln, indem die zwei Theile des Potentials, die von
dem innerhalb der Erde und von dem ausserhalb derselben
befindlichen Magnetismus herrühren, aus jener Kemutniss
allein sich nicht trennen lassen. Kennt man aber für alle
Punkte der Erdoberfläche sowohl die nach Norden gerichtete
als auch die verticale Componente, so lässt sich JBne Tren-
nung bewerkstelligen, und somit feststellen, der wievielste
Theil einer jeden der drei Componenten in irgend einem
Punkt der Erdoberfläche der einen und der anderen Ursache
zuzuschreiben ist.
Es sei nämlich V das Gesammtpotential auf der Erd-
oberfläche; femer seien V und V" die beiden Theile des-
selben, welche von dem im Innern und Aeussem resp. ent-
haltenen Magnetismus herrühren. Setzen wir nun
J = To + T, + T, + ..., (1)
WO Tq, Ti, T2 • • • wieder Kugelfun ctionen von der Ordnung
0, 1, 2 • • • sind, so lassen sich die Grössen Tj, Tg • • • aus
der blossen Kenntniss der nach Norden gerichteten Compo-
nente bestimmen; nur Tq bleibt unbestimmt. Setzen wir
femer
SO ist
^= r+.r:=(T;+To'')+(r/+T/')+(r2'+?'2'')+"" (2)
Magnetismus. 159
Die beiden Summanden eines jeden Gliedes dieser Summe,
z. B. des Gliedes T^ + T^' sind Kugelfun ctionen derselben
Ordnung. Während Tj, T^- * ^ als bekannt anzusehen sind,
werden sämmtliche T und T\ vorläufig wenigstens, als un-
bekannt zu betrachten sein.
Bezeichnen wir die beiden Beständtheile der verticalen
Componente Zj welche von dem im Innern und Aeussern ent-
haltenen Magnetismus herrühren, durch Z* und Z", so haben
wir nach dem vorhergehenden Paragraphen:
Z' =To' + 2T/ + 3r/ + ...
Z" = - T/' — 2T2" - 3^3"
Mithin ist die ganze verticale Componente
Z^Z' + Z" = To'+ (2^1'— TC) + (3T2'~2T2") + -- (3)
Die einzelnen Glieder einer jeden Differenz, wie 2T/ — 1\",
sind wieder Kugelfunctionen derselben Ordnung. Wenn man
nun auch noch die verticale Componente für jeden Ort der
Erde bestimmt hätte, so könnte man daraus eine Ent-
wicklung dieser Componente nach Kugelfunctionen ableiten;
dieselbe sei
Z=TJ^+ Cr,+ Er, + ..., (4)
wo t/o> ^1; C/2 • • • wieder als bekannt anzusehen sind.
Aus der Vergleichung von (1) und (2), sowie von (3)
und (4) ergeben sich folgende Gleichungen:
t; + r," = 2; 3 r^' — 2 r," = tj^
Hieraus lassen sich alle T und T" bestimmen; nur T^' bleibt
unbestimmt.
Anmerkungen.
^) M^moires de Mathdmatique et de Physique, tir^s des r^gistres
de rAcaddmie royale des sciences. Ann^e 1782: Theorie des attractiona
des spheroides et de la figure des planstes, par M. de la Place.
*) Dieser Satz ist von G. Green für die Potentialtheorie aufgestellt
und bewiesen. Crelle^Q Journal B. 44: An Essay on the Application
of mathematical Analysis to the theories of Electricity and Magnetism.
Art. 3.
^) Diese Angabe Dirichlefs ist nicht ganz genau: Newton hat die
Anziehung bestimmt für den Fall, dass der Punkt auf der Verlängerung
oder am Ende der Umdrehungsaxe liegt (im ersten Buch seiner Prin-
cipia philosophiae naturalis, Sectio XIII); ausserdem hat er (im dritten
Buch der Principien , . propositio 19) ein angenähertes Verhältniss der
Anziehung am Pol der Erde, also eines von der Kugel nur vftnig ab-
weichenden Ellipsoides, zur Anziehung am Aequator gefunden.
*) Mac Laurin hat seine Untersuchungen hierüber zuerst mit-
getheilt in seiner von der Pariser Akademie gekrönten Preisschrift: De
caussa physica fluxus et refluxus maris, 1740. Dieselbe befindet sich
abgedruckt im Recueil des pieces qui ont remportä les prix de l'acad.
roi. des sc. Tom. IV., und in der von le Seur und Jacquiers besorgten
Ausgabe von Newton's Principien. Uebrigens findet man das in der
genannten Abhandlung über das Attractionsproblem Enthaltene auch
in Mac Laurin^B Treatise of fluxions T. I. Chap. 14.
^) Treatise of fluxions a. a. 0.
^) Nouveaux M^moires de TAcad^mie royale ä Berlin. Ann^e 1773.
') Opuscules math^matiques par d'Alembert. Tome VI. 1773. Sur
la figure de la terre, art. 73—77.
®) Recherches sur Tattraction des Spheroides homogenes. Mämoires
de Math^matique et de Physique , pr^sent^s ä T Acad^mie par divers sa-
vans. Paris 1785.
®) Mac Laurin hat folgenden Satz aufgestellt und bewiesen: Die
Kräfte, mit denen zwei confocale ungleichaxige Ellipsoide denselben
auf einer ihrer Axen liegenden äusseren Punkt anziehen, sind ihren
Massen proportional (Treatise of fluxions Art. 653). Dass der Satz
allgemein gültig sei für jede Lage des angezogenen Punktes, ahnte
Mac Laurin noch nicht, wie aus Art. 654 deutlich hervorgeht. Vgl.
meine Notiz hierüber in Schlömilch's Zeitschrift, 14. Jahrgang S. 265.
^^) Histoire de l'Academie des Sciences de Paris 1782.
^^) Hist. de l'Ac. des Sc. de Paris 1788. Für Rotationsellipsoide
Anmerkungen. 161
hat Legendre den Satz schon in seiner unter 8) citirten Abhandlung
bewiesen.
**) Ganz denselben Ausdruck hat Poisson gefunden (M^moh*e sur
Tattraction d'un ellipsoide homogene in den M^moires de TAcad^mie
des sciences de l'Institut T. XIII. ann^e 1835, pag. 540), und Ghasles
(Memoire sur l'attr. des ellipsoides in den Comptes rendus des söances
de l'Acadömie T. VI. ann^e 1838, und im Journal de math^matiques
de Liouville, T. V. annee 1840). JDirichlefs Aeusserung, es sei Nie-
mandem eingefallen, die Wirkung einer ellipsoidischen Schicht nach
aussen zu untersuchen, ist daher sehr befremdend.
*^ Poisson findet (a. a. 0.), dass die Richtung der Kraft zusammen-
fällt mit der Axe des Kegels , dessen Spitze der angezogene Punkt ist,
und welcher der Schale umschrieben ist. Chasles zeigt (a. a. 0.), dass
die Axe dieses Kegels mit der im angezogenen Punkt auf dem con-
focalen Ellipsoid errichteten Normale zusammenfällt.
'*) Diese Darstellung beruht auf einem Irrthum. Die Sache ver-
hält sich so: Poisson sagt in seiner berühmten Abhandlung über die
Vertheilung der Elektricität auf der Oberfläche leitender Körper (M^-
moires de l'Institut T. XII. ann^e 1811), er habe auf analytischem
Wege gefanden, dass auf der Oberfläche eines nahezu kugelförmigen
Körpers die Anziehungskraft einer darauf verbreiteten Elektricitäts-
menge deren Dicke proportional sei, ebenso wie auf der Oberfläche
eines Rotationsellipsoides , welches auch das Verhältniss seiner Axen
sei. Es liege der Gedanke nahe, dass dies ein allgemeines Resultat
sei; aber, obgleich dieser Satz sehr einfach sei, so würde es doch sehr
schwer sein , ihn mit Hilfe der Formeln für die Anziehung zu beweisen.
Hier liege einer der Fälle vor, wo man der ünvollkommenheit der
Analysis durch directe Betrachtungen zu Hilfe kommen müsse. Laplace
habe ihm einen rein synthetischen Beweis des Satzes mitgetheilt, dass
auf der Oberfläche eines jeden elektrischen Körpers die Kraft des
elektrischen Fluidums der Dicke proportional sei; an einen späteren
Stelle werde er diesen Beweis mittheilen. Später sagt. Poisson^ dieser
Satz sei in einem anderen allgemeineren enthalten, den er beweisen
wolle. Nachdem er den Beweis gegeben, fügt er bei, dies sei der
anfangs angekündigte, von Laplace ihm mitgetheilte Beweis; er habe
ihn etwas verallgemeinert, indem er anfangs eine Massenschicht be-
trachtet habe, die nicht, wie die elektrische Schicht, der Bedingung
unterliege, keine Wirkung auf die Punkte ihrer inneren Oberfläche
auszuüben. Die betreffenden Stellen lauten wörtlich:
Pag. 5. En faisant usage de ces formules j'ai trouv^ qu'ä la surface
d'un sph^roide peu diff^rent d'une sphöre, la force r^pulsive du fluide
^lectrique est proportioneile ä son ^paisseur en chaque point; il en est
de möme ä la surface d'un ellipsoide de r^volution, quelque soit le
rapport de ses deux axes II est naturel de penser que ce
resultat est gdn^ral et qu'il a ^galement lieu ä la surface d'un corps
Diriohlet, Potentialtheorie. 11
162 Anmerkungen.
conducteur quelconque; mais quoique cette proposition paraisae tr^a-
aimple, il serait cependant tr^s-difficile de la demontier au moyen dea
formules de Tattraction dea aphärol'dea; et c'est un de cea caa oü Ton
doit auppl^er ä Timperfection de Tanalyae par quelque conaideration
directe. On trouvera dana la auite de ce Memoire, une d^monatraüon
purement aynthötique, que M Laplace a bien voulu me communiquer,
et qui prouve qu*ä, la aurface de toua lea corpa ^lectris^a, la force t4-
pulaive du fluide eat partout proportionelle ä aon ^paiaaeur.
Pag. 30. On d^montre auaai, aana aucun calcul, que la r^pulaion
dlectrique ä. la aurfe-ce d'un corpa quelconque eat proportionelle* k
IMpaiaaeur ou ä la quantitä d'^lectricitä , accumul^e en chaque point;
maia cette propoaition eat compriae dana une autre plua gdn^rale, dont
je vaia donner la d^monatration.
Je conaidere une couche inflnement mince, aolide ou fluide, et de
teile forme qu'on voudra; je auppoae que Ton prenne un point A aur
la aurface ext^rieure, et qu'on j ^lh\e une normale ä cette aurface,
qui aille couper la aurface int^rieure en un point que j'appelle a, je
d^aigne par y T^paiaaeur Äa de la couche, par B aon action aur le
point Ä, däcompoa^e auivant la normale Aa, et par JS' aon action aur
le point o, däcompoaee auivant la meme droite; je dia qu'on am-a
toujoura
B — IC = 4:ny.
Ea folgt der Beweia. Darauf fährt Poisson fort:
Cette d^monatration eat celle que nous avona anmonc^e au commen-
cement de ce Memoire, et qui noua a ^te communiquee par M. Laplace,
Noua Favona rendue un peu plua generale, en conaiddrant d'abord une
couche fluide ou aolide qui n'ätait paa aaauj^tie ä n'exercer aucune
action aur lea pointa de la aurface interieure.
Hiernach iat alao der von Birichlet Coulomb ala ein Reaultat der
Beobachtung zugeachriebene Satz zuerat von Poisson aufgeatellt ala
Ergebniaa. theoretiacher Betrachtungen, und von Laplace zuerat be-
wieaen (ob auch Laplace dieaen Satz aelbatändig gefunden, geht aua
Poisson's Bericht nicht klar hervor); der allgemeinere Satz, der erateren
ala apeciellen Fall umfaaat, der nach Dirichlet von Laplace herrühren
aoU, iat von Poisson aufgeatellt und auch — indem er den von La-
place ihm mitgetheilten Beweia dea eraten Satzea etvraa verallgemeinerte
— bewieaen.
Ich theile noch den von Poisson verallgemeinerten ia^'Zace'achen
Beweia mit.
Pag. 31 je dia qu'on aura toujoura
B — R' = 4:7ty.
Pour le prouver, menona par le point int^rieur a un plan perpendicu-
laire k- Aa; ce plan partagera la couche que noua conaid^rona, en
deux aegmena; celui qui repond ä la flache Aa aera infiniment petit
par rapport ä Tautre; mea lea actiona dea deux aegmena aur le point
Anmerkungen. 163
A, ou sur le point a, n'en seront pas moins comparables et du möme
ordre. Appellons S Taction que le grand segment exeree sur le point
a, suivant la normale Aa; soit aussi s Taction du petit segment sur
le meme point, et decomposde suivant la meme droite; pour fixer les
idäes, supposons que ces actions proviennent des attractions de tous
les points de la couche sur le point a, de sorte que ce point *soit tir^
de dehors en dedans, par Texces de la force S sur la force s, et qu'on
ait par cons^quent J?' = S—s, En n^gligeant les quantit^s du second
ordre par rapport ä T^paisseur de la couche, Tattraction du grand
segment est evidemmeht la meme sur les deux points A ei a; avec
un peu d'attention, on s*assura de mSme que Tattraction du petit seg-
ment sur le point A , ne peut diffdrer de celle qu'il exerce sur le point
o, que d'une quantitä infinement petite par rapport ä cette force; il
s^ensuit donc que le point A est tir^ de dehors en dedans suivant la
normale Aa^ par la sompie des deux m^mes forces S et 8^ qui agissent
en sens contraire Tune de Tautre sur le point a; par cons^quent on a
J? = 5 + s, et en retranchant la valeur pr^c^dente de JR', il vient
Ä — i?' = 2s.
II reste maintenant ä d^terminer la valeur de s, Or, si nous pre-
nons au-delä du point a, sur le prolongement de la normale Aa, un
point quelconque C, et que de ce point, comme centre, nous d^cri-
vions deux surfaces sphäriques passant par les points A et a^ nous
formerons une couche sph^rique d'une ^paisseur constante et ^gale ä, y;
son attraction sur le point int^rieur a sera nulle ; sur le point ext^rieur
A , eile sera la meme que si la couche enti^re ^tait r^unie ä son centre
0, ou, autrement dit, eile sera exprim^e par 4«^; relative ä. cette
couche, on aura donc 22' = 0, i2 = 4jr2/, et T^quation g^närale
It — Ä' = 2s deviendra 4«!/ == 2s', ou ^ny = s\ en repr^sentant par
s' l'attraction exerc^e sur le point A par le segment sph^rique qui x6-
pond a la flache Aa. Menons par la droite AC une suite de plans
qui partage ce segment en une infinite de parties, soit a Fangle
compris entre deux de ces plans: l'attraction normale de la partie
correspondante ä cet angle sera ä Tattraction s' du segment entier,
comme a est ä 2n; eile sera donc ^gale b, ay; et comme eile se
trouve independante du rayon AC, il en r^sulte que l'attraction s' du
segment sph^rique ne differe pas de Tattraction s du segment quel-
conque que nous avions d'abord consid^rä. En effet, en faisant varier
les rayons des diff^rentes parties du se^ent sph^rique, on fera comcider
chacune d'elles avec la partie correspondante de Tautre segment, et
leur somme exprimera Tattraction de ce segment; mais les attractions
partielles ^tant indäpendantes de ces changemens de rayon, leur
somme restera toujours egale ä, s'j par consdquent on aura s = s' =23r2/.
Substituant cette valeur dans F^quation pr^c^demment trouväe, il
vient It — jB' = 4«2/; ce qu'il fallait dämontrer.
De m6me, si Ton appelle T Taction de la couche entiöre sur le
11*
164 Anmerkungen.
point J-, däcomposde suivant le plan tangent, ou perpendicnlaire ä
Äa et que Ton däsigne par T son action sur le point a, aussi perpen-
diculaire a cette droite , on trouvera T = T\ en observant que dans
cette direcidon T action du petit segment peut 6tre* suppos^e nulle.
* S'il* s'agit d'une couche fluide r^pandue sur un^sph^roide de foipie
quelconque, et dispos^e de mani^re qu'elle n'exerce aucune action sur
les points int^rieurs, ce qui est le cas du fluide ^ectrique, on aura
r* = 0, i^ = 0; donc aussi T = 0, R = ^ny; d'oü ü suit 1® que la
force tangentielle est nulle ä la surface extärieure; 2° que la force
normale ä, cette surface est proportionelle ä T^paisseur de la couche
en chaque point.
") Für die ellipsoidische Schale z. B. ist, wenn s die Dicke am
Ende der Halbaxe a bezeichnet, nach §.11.
X =
'V^.+'i.+9
") §. 14. enthält den Beweis dieses Satzes.
^') Es wird gut sein, dies allgemein gültige Resultat an dem ein-
fachen Fall, dass die mit Masse belegte Fläche eine Kugelfläche, und
die Masse von constanter Dichtigkeit ist, zu prüfen. Bezeichnen wir
die constante Dichtigkeit der auf der Kugelfläche . befindlichen Masse
durch k, den Radius der Kugelfläche durch a, so erhält man leicht
mit Hilfe der in §. 5. für den Fall einer homogenen Vollkugel ent-
wickelten Potentialausdrücke folgende Ausdrücke für das Potential v
jener Masse. Liegt der Punkt im Innern, so wird v = 4«Ä;a = Const,
und liegt er im Aeussern, so wird v = — ; — , wo das obere oder
a + oj '
untere Zeichen gilt, jenachdem der Abstand x des Punktes von der
Kugelfläche als positiv oder negativ betrachtet wird. Hieraus erhält
man zunächst, für innere Punkte:
dv
nnd für äussere Punkte
/«N ^^ 43rÄ:a' _ .^. , ^ , x ^ • -,
(2) ^ "^ — / I xa , wenn x als positiv betrachtet wird
Sehen wir die ausserhalb der Fläche fallenden x als positiv an , so ist
nach (2) f— ) «= — - 4«Ä;, und nach (1) i-^j =0; sehen wir hin-
gegen die innerhalb der Fläche liegenden x als positiv an , so ist nach
Anmerkungen. 165
(1) \--\ = 0, und nach (3) l-^j == 4jrÄ;. Folglich ist in beiden
\dx/-\-s \dx/^e
*^) Diesen und andere Ausdrücke für Pn hat Dirichlet angegeben
in CreUe'Q Journal B. 17. S. 39.
^^) Dies ergiebt sich leicht aus dem bekannten Convergenzsatz:
Aus der Convergenz der aus lauter positiven Gliedern bestehenden
Reihe *o + *i + *2 + * * * folgt die Convergenz der gleichfalls aus lauter
positiven Gliedern bestehenden Reihe t*o + ^i + ^2 + * * • » sobald der
Quotient — ^ von irgend einer bestimmten Stelle an kleiner bleibt
als der entsprechende Quotient —r — . ,
Die Glieder der Reihe für v werden allerdings theils positiv, theils
negativ sein; allein dieselbe würde offenbar auch convergiren, wenn
alle ihre Glieder positiv wären. Die Reihen
«0 + ai a; + • • • + an«» + • • •
mögen durch Ä und B resp. bezeichnet werden. Aus der Convergenz
der Reihe Ä, wenn sie aus lauter positiven Gliedern bestände, folgt
zunächst, mit Hilfe des angeführten Satzes, die Convergenz der Reihe
B, wenn wir auch da sämmtliche Glieder als positiv betrachten; die-,
selbe wird also um so mehr convergiren, wenn ihre Glieder theils
positiv, theils negativ sind.
**>) Crelle'8 Journal B. 1. S. 314.
**) Dirichlet: Sur les s^ries dont le terme g^ndral dopend des
deux angles, et qui servent a exprimer des fonctions arbitraires entre
des limites donndes. ereile's Journal, B. 17. Der in dieser Abhand-
lung enthaltene Beweis DiricMet'B soll hier im engsten Anschluss an
das Original mitgetheilt werden.
Zunächst müssen wir Pn durch ein bestimmtes Integral ausdrücken.
Zu dem Ende setzen wir in der Gleichung
^■-.77. ^ T^ = ^0 + ^•" + ^''^''+ . . . + P„„« + ...
y(l — 2a cos y -f «2)
e^pi statt a, wo t/> einen von y unabhängigen Winkel zwischen und
n bedeutet. Dadurch nimmt die rechte Seite dieser Gleichung die
Form G + Hi an, wo
(r = Po + A cos 1^ + P2 cos 21^ + . • . -f P« cos ni^ + . . .
Ä^= Pj sin ip -]- P 2 Bin 2 'tjf -]-''' -\- Pn BiD. ntp + • • •
Der reelle und imaginäre Theil der linken Seite hat eine verschiedene
Form, jenachdem ijf kleiner oder grösser als y ist. Der reelle Theil
166 Anmerkungen.
cos -1- tlf
ißt im ersten Fall —7 ^-^- r , nnd im zweiten Fall
y{2 (cos ij) — cos y))
sin ^ 1^
1/(2 (cos y — cos 1^))
es ist also auch
^ cos 4 "?/; j i^ sin -^ ^
G = —7 ^-^ X oder G = —= ^^ r ,
y(2 (cos t/> — cos y)) y{2 (cos y — cos i/>);
jenachdem '^ <Cy 1 ^^^^ '^^ Y- Ebenso findet man
1/(2 (cos t/> — COS y)) y (2 (cos y — cos 1^);
jenachdem 'V' < y > od^r 1^ > y. "
Nach der bekannten Theorie der Sinus- und Cosinüsreihen ist aber
7t 7t
Pn ^ — I G C08 n iff diff und Pn = — I If sin ni^fii^.
Zerlegt man jedeö dieser Integrale in zwei andere Theile zwischen den
Grenzen und y, y und «, und substituirt dann für G und H ihre
oben angegebenen Werthe, so wird
y 7t
p 2 / ^cos ntft cos i ^dilj . 2 /*cos ni/; sin ^ i/;t?i/>
'^ e/ VX^ (cos V> — cos y)) '^ ^ 1/(2 (cos y — cos i^)) '
Y
y 7t
p 2 /* sin «1^ sm ^ t/>dt/> ^^ 2 /* sin wt/> cos \ '^dip
^ J V(^ (cos tp — cos y)) 'f J "1/(2 (cos y — cos 1^) ) '
y
Hierbei ist es wesentlich zu bemerken, dass, nach der genannten
Theorie, für n = das zweite Glied der Gleichung 2. sich auf die
H*älfte reducirt, und dass die Gleichung 3. für diesen Fall ihre Gültig-
keit verliert, indem Pq gar nicht in der Beihe JET vorkommt.
Diese Entwicklung des doppelten Ausdruckes für P» ist nicht
strenge, weil wir nicht bewiesen haben, dass die Reihen G und H
convergiren. Diese Convergenz findet, mit Ausnahme von -^ = y, in
der That statt. Wir« ziehen es aber vor, a posteriori zu zeigen, dass
die vorstehenden Ausdijlcke wirklich die Coefficienten der Entwicklung
der Wurzelgrösse
1/(1 — 2ac08y + a2)•
sind. Bezeichnet man mit Qn das erste der zwei Integrale der Glei-
chung 2., so hat man
COS n'tp cos I ip
■)/(2(cos i(j — cos y) )
Anmerkungen. 167
und der numerische Werth des Qn ist offenbar kleiner als
y
""Jv
cos ^ 'tpäiff
1/(2 (cos ijj — cos y))
Die Reihe
iQo + ft« + &«' + ••• + Qncc^ + • • •,
in welcher a einen positiven oder negativen echten Bruch bezeichnet,
ist also convergent. Um ihre Summe zu erhalten, setzen wir an die
Stelle von Qq, Q^, Q2 ' ' ' ^^^t "^^.s diese Buchstaben bedeuten. So
erhält man
y
2 /* cos 4 ibdtb ,. . I 9 «. . I X
— / — ^-^^^-^ -;- (I + a cos 1^ + «2 cos 2i^ H ),
• ' ^J y (2 (cos ij) — cos y))
oder, wenn man die convergente Reihe unter dem Integralzeichen
1 1 — a^
durch ihren bekannten Werth — - • ; — ; — 5 ersetzt ,
2 1 — 2a cos "V^ + a^ *
1 — ci^ r
y
cos ^ 'tffdtff 1
2 •
y(2 (cos ip — cos y)) 1 — 2a cos t/; + a
Durch die Substitution s • sin -^ = sin -^ , geht dies Integral über in
2 a
1
~8
1 — a^ r ^
"^ Jvd-
J 1/(1 — s2) (1 _ a)2 _|. 4 a sin^ -|- s*
Führt man diese Integration nach den bekannten Methoden aus, so
erhält man
^ y(l — 2acosy + a2)
Aehnlich könnte man die Summe der Reihe
■i JRo + i?i a + JS, a2 H 1- JSna» H
erhalten, indem JSn das zweite Integral der Gleichung 2. bedeutet.
Aber einfacher erhält man diese Summe durch folgende Betrachtung.
Das allgemeine Glied
n
^ 2 /* cos n-ü» sin ^tpdib
2 /'
?;ja» = — a« I -
)/(2 (cos y — cos tp))
y
geht durch die Substitution -^ = sr — -^j wenn man beachtet, dass
cos n {tc — "V) = ( — 1)** cos niff , über in
7t— Y
2 /• cos Wi/> cos \ipdip
^ J y(2 (cosi/> — cos (« — y))) *
168 AnmerkungeiL
Dies allgemeine Glied resultirt aus dem der schon summirten Reihe,
nämlich aas «
2 C cos ni/>
= - -«« I -r. ~
« J )/(2 (cos
^ « i ^^^- "V cos V i/'fi'^
cos 1^ — cos y))
wenn man zugleich a mit — a und y mit n — y vertauscht. Man
findet also
•^ y(l — 2a cosy + a^
und durch Addition der zwei Reihen
— ^ ^^p^ + fi„ + p^„» + ...+ f„„n + ...,
y(l — 2a cos y + « )
wo Pn die Bedeutung des Ausdrucks 2. hat, was zu beweisen war.
Um die Gleichung 3. zu verificiren, welche nicht f ür w = gilt,
betrachten wir zuerst die Reihe, deren allgemeines Glied das Product
aus a^ und dem ersten der darin vorkommenden Integrale ist. Dies
allgemeine Glied ist
2 /* sin Mt/;
sin ^ ipd'il}
(coBxf) — cosy))
Es ist also folgende Summe zu bilden
2 r sin ^ 'tjfd'ilJ
r sir
^ JV(2 (CO
(a sin 1^ + <^* sin 2i/> + • • •)
^ J Vi^ (cos '^ — cos y))
sin ^ 'ipdip a sin i/;
X
^/
'^J K2 (cost/; — cos y)) 1 — 2 a cos i^ + a« *
Beachtet man, dass
a sin t/> sin i t/> ^ i «oa i -i, _ i (1 — a)«co8^ t/;
1 — 2a cost/; + a« t "» t ¥ * i _ 2a_cos i/; + a* '
so wird der vorstehende Ausdruck
y y
__ 1 / * cos ^'tpdip (1— g)^ / * cos ^ t/;(?t/; 1
Vy(2(cos'V;- cosy)) ^ J 1/(2(0081^ — cosy)) 1— 2acos'V;+a2-
Setzt man für diese beiden Integrale, von denen das erste schon bei
der Summirung der Reihe i Qo -\- QiU -^ • - - vorkam, ihre Werthe,
so erhält man
11 1 — a
2 2 1/(1 _ 2a cosy + «2)
Anmerkungen. 169
Betrachtet man zweitens die Reihe, deren allgemeines Glied das zweite
der Integrale 3. multiplicirt mit a» ist, so sieht man, wie oben, dass
diese Reihe aus der eben summirten resultirt, indem man gleichzeitig
a mit — tt und y mit n — y vertauscht. Die Summe dieser Reihe
ist also
1 I 1 1+^
2 2 y(i_2acosy + '
Vereinigt man diese beiden Resultate, so erhält man
y(l — 2acosy«+ a*)
wo P durch die Gleichung 3. gegeben ist, welche somit verificirt ist.
Wir können jetzt übergehen zur Betrachtung der Reihe
7t 27t
wo die Summe auszudehnen ist über alle Werthe von bis oo, und
die Function /'('9'', qp') willkürlich, d. h. ohne einem bestimmten ana-
lytischen Gesetz unterworfen zu sein, gegeben ist von ^' = 0, 9' = 0,
bis -9'' =3 TT, qp' = 27r. Es wird nur vorausgesetzt, dass diese Function
zwischen diesen Grenzen nicht unendlich wird. Es ist Pn der Coeffi-
cient von a» in der Entwicklung der WurzelgrÖsse
y{l — 2 a (cos-ö" cos 'S"' + sin-O" sin-O*' cos (qp' — qp)) + a^)
Man erhält diesen Coefficienten, wenn man in einem der für Pn er-
haltenen Ausdrücke cos d' cos -ö"' + sin '9' sin &' cos (qp' — qp) für cos y
setzt. Um die Reihe 4. zu^summiren, betrachten wir zunächst die
Summe ihrer (w + 1) ersten Glieder, und zeigen, dass diese Summe
gegen eine Grenze convergirt, wenn man n wachsen lässt. Wir setzen
zunächst ^ =» 0; auf diesen Fall lässt sich hernach leicht der Fall,
wo diese Variable irgend einen Werth hat, reduciren. Für -0- = hat
man cos y = cos -O"', und P» enthält die Variable qp' nicht. Setzt man
zur Abkürzung
27t
ö
und schreibt y statt d'', so wird die Summe der (w + 1) ersten Glieder
¥'
der Reihe
7t
^ = Y A^o + 3P, + 5P2 -f . . . -f (2n + 1) P„) i?^ (y) sin ydy,
Da der Buchstabe -0"' schon durch y ersetzt ist, so werden die Aus-
170 Anmerkungen.
drücke für P^, P^, P^ - - * diejenigen sein, welche aus den Gleichungen
2. und 3. resultiren, ohne dai*an irgend etwas zu ändern.
Die vorstehende Summe kann in diese beiden zerlegt werden
n
T = ^ CiP, + P, + P, + ■ ■ ■ + Pn) F (Y) sinrdy
1t
^^ = Aa + 2P, + . . . + nPn) F{y) sin ydy,
welche wir nach einander bestimmen werden. Wir ietzen in der ersten
für Pq, Pi ' ' ' Pn die durch die Gleichung 2. gegebenen Werthe, und
erhalten mit Rücksicht auf die bekannte Formel
1 + 2 cos 1^ + 2 cos 2t/> -| + 2 cos ni/; ==
sin(2n+l)|-
sm-
-i^fäyFMsinylJ-
\o
cos ^ sin(2w + l)^
dif)
y(2{coail, — coay)) ^^^f,
2
/sm^ sm(2n+l)^
: ^ — : — -dib
>/(2(cosy-cost/,)) gi„!^
y
Obgleich die auf i/> bezüglichen Integrationen zwischen Grenzen aus-
zuführen sind, die von der Variablen y abhängen, auf welche sich die
andere Integration bezieht, kann man doch die Reihenfolge der Inte-
grationen umkehren, mit Hilfe folgender Formel
a X a a
5. f^^ffp («» y) äy = J^yJ^ (^» y) ^^•
Q y
Die Richtigkeit dieser Formel ergiebt sich leicht aus folgender geo-
metrischen Betrachtung. Seien ä;, y, (p (x, y) die rechtwinkligen Coordi-
naten irgend eines Punktes einer krummen Oberfläche , so sieht man
auf der Stelle, dass jedes der vorstehenden Integrale den Raum dar-
stellt, der enthalten ist zwischen der Oberfläche, der Ebene der a;, y
und den drei auf dieser letzten senkrechten Ebenen, deren Gleichungen
sind t/ = 0, 0? = a und y = x.
Man transformirt den ersten Theil von T, indem man ihn ver-
gleicht mit der linken Seite der vorstehenden Gleichung, und diese
linke Seite durch die rechte ersetzt; umgekehrt verfährt man mit dem
zweiten Theil von T. So findet man:
Anmerkungen. 171
n
t/ 8in^
W^^,
wo
7t rp
TT/ N * r F(y)8mYdy ,.,./* F(y)8mydy
. J y (2 (cos i/> — cos y)) J y (2(c08y— cost/>) j
V
J7(i^) ist eine Function von t^, die für jeden Werth von i/> zwischen
und n endlich bleibt. Denn ist Jkf, abgesehen vom Zeichen, der
grösste Werth, den 2^(y) in dem Intervall von y = bis y = tt an-
nimmt, so, ist klar, dass der numerische Werth des Integrals
n
F{y) sin yrfy
/v
}/(2 (cos ip — cos y))
kleiner ist als
-^ r sin ydfy ^ , , \p
M I — '—^ ^ = 2 ilf cos ^
./ y(2(cos.i/> — (
V
■ cosy))
Das andere Integral ist kleiner als 2 Jkf sin ^ , und folglich ist J7 (t^)
2
kleiner als 2ilf.
Da die Function 11 ('^) nicht unendlich wird, so lässt sich leicht
die Grenze bestimmen, gegen welche T convergirt, vermittelst eines
Satzes aus der Theorie der Sinus- und Cosinusreihen, welcher lautet:
Wenn die Function /*(|3) endlich bleibt von p = bis p = Ä (wo
< Ä < ^ 3r), so convergirt das Integral
gegen - nfifi)^ wenn die positive Grösse h unendlich wird.
Es ist nöthig zu bemerken, und soll nachträglich bewiesen werden,
dass dieser Satz auch dann n<^h gilt, wenn /"(jS) für einen oder mehirere
Werthe von |3 zwischen und h unendlich wird, wenn dann nur
Jf{ß)dß == F{ß) zwischen und h endlich und stetig bleibt.
/'
Setzt man i/; == 2|3, so ist
-ip
2
sin(2n + 1) ß
sin ß
172 Anmerkungen.
und es ergiebt sich unmittelbar aus jenem Theorem, dass die Grenze
n
von T für wachsende n gleich ist ^ 21(0) , d. i. i fF(y) cos -^ dy.
S 2
Wir betrachten jetzt die Reihe U. Für Pj, P^ - • - Pn setzen wir
die Ausdrücke,* welche die Gleichung 3. giebt, und kehren dann die
Reihenfolge der Integrationen um mit Hilfe der Formel 5.; so er-
halten wir
n
& (tfi) (sin -^ + 2 sin 2t/> + • • • + w si^ ^'V') d'ip ,
wo
TT rff
^/ N . . r F(y) sin ydy , , P F (y)siny dy
J y{2 (cosif) — cosy)) J y (2 (cosy — cosi^);
1//
Da die beiden Integrale, welche 0(t/>) enthält, dieselben sind, welche
in TLi^fy vorkommen, so schliesst man wie vorhin, dass die Function
(i/;) nicht unendlich wird. Aber wir müssen auch noch beweisen,
dass die Function 6)(i^) von i^ = bis i/> = tt stetig ist. Diese Eigen-
schaft findet auch dann noch statt, wenn auch die Function i^(y),
welche in 0(i^) enthalten ist, unstetig sein sollte. Es ist immer fest-
zuhalten, dass F {y) endlich bleiben muss, was offenbar der Fall ist,
so lange die Function {{,^'\ qp') endlich bleibt. Uebrigens ist auch die
Function TK^) stetig, doch dies kam für die Reihe T nicht in Betracht.
Um die Stetigkeit von 0(i/>) nachzuweisen, ist es offenbar hin-
reichend, zu zeigen, dass jedes der beiden Integrale, die 0(t/>) ent-
hält, stetig ist. Wenn in dem zweiten dieser Integrale i/» um die
Grösse « wächst, so wächst das Integral um
/' F^y^Bvaydy r 2^(y)sinydy
>/(2 (cos y — cos (V> + 6))) J >/(2 (cos y — cos i^)) '
Dieser Differenz kann man folgende Form geben
V(y) r ?^5J: ?5J: 1 dy
y(2 (cos y — cos 1/»)) >/(2 (cos y — cos (i/» + «))) J
/• F(y)8iny«Zy
-!■
^/v
>/(2 (cos y — - cos (i^ + €)))
Da der Factor von F{y) in dem ersten dieser beiden Integrale inner-
halb der Integrationsgrenzen offenbar immer positiv bleibt, so ist das
Integral, abgesehen vom Zeichen, kleiner als das Integral dieses Factors
multiplicirt mit dem grössten Werth von F(y), welchen wir, wie
oben, durch M. bezeichnen. Führt man die letztere Integration aus,
Anmerkungen. 173
so findet man, dass der numerische Werth des Integrals nicht grösser
sein kann als
.M (^sin f - sin ^^ ^^{^^ \ sin(^ + 1))) •
Ebenso findet man, dass der numerische Werth des zweiten Integrals
kleiner ist als
2ilf
|/(^sin-|-sin(^+-J-)^
Da die vorstehenden Ausdrücke mit 8 verschwinden^ so ist das Integral
/' F{y) sin ye?y
}/(2 (cos y — cos t/>))
eine stetige Function von tp. Dasselbe lässt sich ebenso von dem
zweiten in S{^) vorkommenden Integral zeigen. Die Stetigkeit von
S{^) ist somit bewiesen.
Man sieht auf der Stelle, dass diese Function für die Werthe
i/> == und iff = n verschwindet, oder dass diese beiden Gleichungen
stattfinden
7. 6^(0) = 0, 0(7r) = O.
Wir setzen zur Abkürzung y^ = ©'(i^), und untersuchen, was
@\'tp) wird, wenn tp den Werth bekommt. Bezeichnen wir die beiden
in ©(tp) enthaltenen Integrale durch r und s, so ist
@{^) ==, — |. sin z_ _|. s cos ^ ,
mithin, durch Diflferentiation,
/-iv.N 1 '^ \ , tp dr . tp . äs ip
(i^)= — . |. cos ^ — s sm J- — 3— sm ^ + TT cos ^ .
^^^ 2- 2 2 2 dtp 2 * dip 2
Für i/> = ist offenbar
-/
F(y)co9-^dy, s=-0.
ü
Um -j— für 1^ s= zu bestimmen, beachte man, dass, wegen s = 0, j-
offenbar die Grenze des Verhältnisses
1 /• F(y) sinydy
*«/ Vi^ (<^ös 7 ~~ cos s))
ist, wenn die positive Grösse s abnimmt. Dieses Verhältniss ist ent-
halten zwischen
174 Anmerkungen.
g_ r ^inydy ^^^ h^ r sin ydy ^
*e/ V^ (cos y — cos f)) ^ J }/(2 (cos y — cos «)) '
ü ü
oder, was dasselbe sagt, zwischen
sin 4 € , . sin 4 e
wo g und Ä die äiweersten Werthe von F{y) in dem Integrationsintervall
bezeichnen. Da die vorstehenden Ausdrücke gegen die Grenze ■F(O)
convergiren, so ist -=— = 2^(0), für i/> = 0. Man findet in ganz ähn-
atp . •
dr
lieber Weise den Werth von 3— für i/> =» 0; es würde übrigens ge-
nügen, sich zu überzeugen, dass dieser Werth nicht unendlich werden
kann. Aus dem Vorstehenden schliesst man
8. ©'(0) ="1^(0) — i / J^ (y) cos i y dy.
Wir nehmen jetzt den Ausdruck 6. für U wieder auf. Giebt man
der Reihe
sin i/> + 2 sin 2-^» + • • • + w sin w^
die Form
^ .^ X I « . I X * ^ sin (2n + 1)41/»
— 3— (i + cos i/> + cos 2 li» -j h cos n'ü)) = — 4 -5 ^-^\ — <^^ ,
so wird
n *
TT 1 r^ / N <^ sin (2n + 1) ^'tp ^
u
und hieraus durch theilweise Integration
91
- ' ^^^ sm -^ 1/; ^ *
indem das vor das Integralzeichen tretende Glied
- 0(^) Bin(2n + l)-^t/>
verschwindet, weil 0(i/>) für die Integrationsgrenzen 1/; = und i/> = w
nach 7. verschwindet. Die theilweise Integration ist statthaft, weil
(«/>), wie gezeigt, innerhalb der Integrationsgrenzen stetig ißt. Nun
sieht man klar, mit Hilfe jenes schon für T benutzten Theorems , dass
U gegen die Grenze ©'(0), d. h., nach 8., gegen die Grenze
¥'
Anmerkungen. 175
convergirt, und zwar selbst dann, wenn die Function 0'(i/>) für gewisse
Werthe von tj) unendlich werden sollte; denn dieser Umstand nimmt
dem Satze, wie schon bemerkt, seine Gültigkeit nicht, so lange nur
das Integral y0'(i/>)(?i^ = 0(^) endlich und stetig bleibt, was in der
That der Fall ist.
Vereinigt man die erhaltenen Resultat«, so ist klar, dass die
Summe S = T -\- U Mr wachsende Werthe von n gegen die Grenze
F(0) convergirt. Hieraus folgt, dass die Reihe 4., wenn mau darin
ö" = setzt, convergent ist, und zur Summe F(0) hat; und da
27t
'hS>
5S7r
80 ist diese Summe das Integral
2n
Auf diesen speciellen Fall lässt sich der allgemeine Fall, wo man -0"
und 9? in der Reihe 4. beliebige Werthe beilegt, leicht durch eine
geometrische Betrachtung zurückführen. Man denke sich eine Eugel-
fläche mit dem Radius 1, und lege durch einen festen Punkt der-
selben einen Bogen eines grössten Kreises, der gleichfalls als fest be-
trachtet und nur nach einer Seite hin verlängert werden soll. Die
Lage irgend eines Punktes der Kugelfläche ist bestimmt durch den
zwischen diesem Punkt und dem festen Punkt enthaltenen Bogen
eines grössten Kreises und durch den Winkel, welchen dieser Bogen
mit jenem festen Bogen bildet. Durch diese beiden sphärischen Polar-
coordinaten, die wir -0"' und 9' nennen wollen, lässt sich offenbar die
Lage eines jeden Punktes der Kugelfläche bestimmen, wenn man •&'
alle Werthe zwischen und «, und 9' alle Werthe zwischen und
2 TT ertheilt; das auf diese Coordinaten bezogene Element der Kugel-
fläche hat zum Ausdruck sin ^' dO'' d(p\ Das Integral
27t
ist der mittlere Werth aus allen Werthen der Function /"(-O-', 9'), welche
den verschiedenen Punkten der Peripherie eines um den festen Punkt
als Mittelpunkt mit dem sphärischen Radius Q^' beschriebenen Kreises
entsprechen. Wenn die Function fifi'*, 9') für -0-' = unabhängig von
9' wird, so ist
■^(0) = -^ //•(0,<p')d9''=A0,<JP'),
hß
176 Anmerkungen.
und die Summe der Reihe 4. wird mit dem im Anfangspunkt der
Coordinaten stattfindenden Werth der Function f(^\ 9') zusammenfallen.
-In dem allgemeinen Fall hingegen, wo für -O*' = die Function {{&', 9')
nicht unabhängig von 9' wird, wird dieselbe in dem Coordinaten-
anfangspunkt unendlich viele verschiedene Werthe haben und rings
um denselben hemm unstetig sein. Da die Summe der Reihe 4. immer
den Werth — I /*(0, (p)d(p hat, so wird dieselbe in letzterem Falle
gleich dem mittleren Werth aus allen Werthen von f{Q'\ 9') sein,
welche auf der Peripherie eines unendlich kleinen Kreises, dessen
Centrum der Coordinatenanfangspunkt ist, stattfinden.
Um nun von dem Fall, ,wo -ö* = ist, überzugehen zu dem all-
gemeinen Fall , wo %• und 9 beliebige Werthe (die aber kleiner als n
und 2 TT sind) haben, betrachte man aufmerksam das allgemeine Glied
der Reihe 4. in jedem der beiden Fälle. In beiden Fällen ist dasselbe
ausgedrückt durch ein Doppelintegral, welches über die ganze Kugel-
fiäche auszudehnen ist, und dessen Element ein Product aus zwei
Factoren ist. Der erste Factor /'(-O'', 9') miO^dO^' d(p\ d. i. das Flächen-
element multiplicirt mit dem daselbst stattfindenden Werth von
f{Q'\ 9'), ist für beide Fälle derselbe; ein Unterschied findet nur in
Bezug auf den zweiten Factor Pn statt. In dem ersten Fall ist dieser
Factor Pn ein« gewisse Function von der sphärischen Entfernung Q''
des Oberflächenelements vom Coordinatenanfangspunkt, und im zweiten
Fall ist Pn dieselbe Function von y, wo y durch die Gleichung
cos y =3 cos Q' cos 0"' + ^^ ^ si^^ ^' ^^s (9' — 9)
gegeben ist, und da y, wie aus der Trigonometrie bekannt, die Ent-
fernung der beiden Punkte ist , welche die Coordinaten -0", 9 und -O*', 9'
haben, so ist klar, dass die beiden Fälle sich nur dadurch unter-
scheiden, dass der Anfangspunkt für die Entfernungen, welcher im
ersten Fall mit dem Coordinatenanfangspunkt zusammenfallt, sich im
zweiten Fall in irgend einem Punkt -O", 9 befindet. Die Natur der
Reihe 4. ist also in jedem der beiden Fälle dieselbe. Man kann daher
das oben gefondene Resultat auf den allgemeinen Fall übertragen, und
findet so, dass die Reihe 4. eine convergente Reihe ist und dass die
Summe derselben der mittlere Werth aller Werthe der Function ({%•', 9')
ist, welche stattfinden in den verschiedenen Punkten der Peripherie
eines unendlich kleinen Kreises, 'der den Punkt (-O", 9) zum Mittel-
punkt hat.
Wenn demnach um den Punkt (-O*, 9) herum die Function f{%'\ 9')
nicht unstetig ist, so fällt jener mittlere Werth mit /'(-O-, 9) zusammen,
welches dann die Summe der Reihe 4. ist.
Anmerkungen. 177
Nachtrag.
Es ist noch zu zeigen, dass der in diesem Beweis benutzte Satz
aus der Theorie der Sinus- und Cosinusreihen auch dann gilt, wenn
/*(|3) für einen oder mehrere Werthe von ß zwischen und h unendlich
wird, wenn dann nur F{ß) =:^Cf{ß)dß zwischen und h endlich und
stetig bleibt.
Aus der Theorie der Sinus- und Cosinusreihen ist auch dieser Satz
bekannt:
Wenn die Function f{ß) von (5 = ^ bis (3 == Ä endlich bleibt (wo
0<p<Ä^ \n), so verschwindet das Integral
h
/'
"^W^>
für k = <x>.
Nehmen wir nun an, dass f{ß) nur für |3 = c unendlich wird, in-
dem die folgenden Schlüsse leicht auszudehnen sind auf den Fall einer
grösseren Anzahl von Werthen. Sei « eine positive Grösse, welche
wir als unveränderlich voraussetzen , während k über jede Grenze hinaus
h
f* sin k ß
wächst; wir zerlegen das Integral I f(ß) - .-- ~ dß in vier andere, die
^ sinp
resp. folgende Grenzen haben:
und c — s; c — s und c; c und c + « ; c -\- s und h.
Da die Function f{ß) nicht unendlich wird innerhalb der Grenzen des
ersten und vierten dieser neuen Integrale, so werden diese beiden Inte-
grale, für Ä; == oo, resp. inf{0) und 0. Was die zwei anderen Inte-
grale anbetrifft, so kann die willkürliche Grösse s so klein gewählt
werden, dass f{ß) immer dasselbe Zeichen behält von (5 ='c — s bis
P =» c, und ebenfalls dasselbe Zeichen von j3 = cbi8(5 = c-ffi, indem
freilich das letzte Zeichen verschieden sein kann von dem ersten, da
ja f{ß) beim üebergang durch das Unendliche sein Zeichen wechseln
kann. Dann ist klar, dass das zweite und dritte Integral, abgesehen
vom Zeichen, imd was auch k sei, resp. kleiner sein werden als die
Grössen
F{c) — F{c — b) F{c + s) - F{c)
sin (c — s) ' sin c.
Da .F((5) nach der Annahme eine stetige Function von ß ist, und c von
und von jedem anderen Vielfachen von n verschieden ist (da ja
c <^^n), so ist klar, dass die vorstehenden Grössen kleiner als jede
gegebene Grösse weafen können, wenn man b hinreichend klein wählt.
Dir fehlet, Potentialtheorie. 12
178 Anmerkungen.
j
Folglich ist ^nf(O) die Grenze des Integrals //"( (3) ^^-^rfp für
wachsende Je.
**) Da dieser Ausdruck immer positiv ist, so ist der Winkel Q'q
spitz. Jener Kreis theilt die Kugelfläche also in zwei ungleiche Theile,
und zwar ist der dem Punkte fi zugewandte, auf dem sich die mit fi
ungleichartige Elektricität befindet, der kleinere. Das Verhältniss
jener beiden Theile nähert sich der Einheit mit wachsender Entfernung
des Punktes (i von der Kugel. Die auf jedem der beiden Theile be-
findliche Elektricitätsmenge ist, abgesehen vom Zeichen, gleich dem
Integral
a* fdcpjk sin d-dd:
Die Integration ergiebt
M
:(»('- (-9? -(=+(-')'))
*') Dieser Satz rührt von Poisson her. Die betreffende Abhand-
lung Poi88on*B findet sich im Bullet, de la soc. philom. 1824. 49; auch
im Bullet, univ. des sc. math. TL. 146; im Auszug in den Ann. de Ch.
et de Ph. 1824. F^vr.
^*) Dies Problem -hat Poisson in der schon unter **) citirten Ab-
handlung aufgestellt und gelöst. Die hier gegebene Lösung ist im
Wesentlichen die Pomon'sche.
*'^) Der Beweis beruht auf einem Satze von Legendre^ nach welchem
fPn (cos Co) d(p' = 2« Pn (COS-O-) Pn (COS^') (1)
ist, wo
cos (0 =s cos «d" COS ^' + sin -0" sin -0"' cos 9?'
ist. (S. JJeiney Handbuch der Kugelfunctionen 1861. §. 67.)
Das aus den einzelnen Massen A^ B . . . bestehende Massensystem
liege symmetrisch um irgend eine Aze. Die Masse A umschliesse
schalenförmig einen massenleeren Baum. Der Punkt gehöre dem
Stück der Axe innerhalb A an, auf welchem das Potential des Massen-
systems als constant vorausgesetzt wird. Wir nehmen diesen Punkt
als Pol eines Polarcoordinatensystems an, und die Axe als die feste
Linie , von welcher aus die Winkel gezählt werden sollen. * Die Po-
larcoordinaten irgend eines Punktes des Massensystems seien 9', -O-', 9';
der Punkt, auf welchen das Massensystem wirkt, habe die Coordinaten
^, ^, 0, indem man die Coordinate 9 desselben, der Allgemeinheit
unbeschadet, gleich Null setzen kann.
Wir wollen annehmen, doss sämmtliche Massen -ä, J? . . ., wie
es in unserem Problem der Fall ist, über Flächen ^rtheilt sind; sollten
Anmerkungen. 179
•
übrigens einige derselben, oder alle, einen Raum ausfüllen, so werden
die folgenden Schlüsse dadurch nicht wesentlich modificirt. Nennen
wir das Potential des Massensystems F, und den Factor, womit d^' d(p
zu multipliciren ist, um die auf irgend einem Flächenelement befind-
liche Masse zu erhalten, h\ so ist*)
y_ r k'dd''d(p'
J ViQ^ + Q^ — 299' cos ö)) '
cos (o = cos -O" cos %"' -\- sin ^ sin ^' cos qp'.
Die Integration erstreckt sich über sämmtliche Massenelemente. Die
kleinste Entfernung des Punktes von irgend einem Punkte der
Masse A sei i?, und r irgend eine Grösse, die kleiner als B ist ; dann
lässt sich die Grösse ; ; für alle Punkte , die
1/(9^ + 9^ — 299' cos Cö)
innerhalb der Kugel liegen , deren Mittelpunkt , und deren Radius r
ist, in diese convergirende, nach Potenzen von ^ fortschreitende Reihe
entwickeln:
- , Po (cos ©) + -^ Pj (cos cd) + ^ Pg (cos 09) + . . . .
Für alle jene Punkte ist demnach, da Tc und q der Voraussetzung zu-
folge von 9?' unabhängig sind,
n 2rr 2rf
V = l'd»- j ^ [y\ rP,{coaa>)dq>' + Q^ r|i1 Cp, (cos «,) d^'
00
+ 9^2 [?*"] f^' ^*'°' <o)dq>' + ■■■],
ü
wo das Summenzeichen 2 sich auf sämmtliche Massenelemente be-
zieht, die demselben Winkel &' entsprechen. Berücksichtigt man nun
die Gleichung (1), so lässt sich die vorstehende Gleichung auch so
schreiben:
V=cc + qP, (cos d-)ß + q^P^ (cos ^)y H (2)
wo a, |3, y . . . von & unabhängige Constante sind, nämlich
*) Bezeichnet ijf* den Winkel, den die auf dem Flächenelement
nach innen errichtete Normale mit g' bildet, und t die Dichtigkeit, so
ist k' == — ; — , da ja das Element einer Kugelfläche mit dem Ra-
dius Q gleich q^ sin %•' d%'' dtp ist.
12*
180 AninerkuDgen.
n
ß = 2n ('dd-'P, (C08<9"') V-4
ü
/• 7.'
y = 27t I dd-' P^ (cos -9-') ^-rj
U. 8. f.
In den auf der Axe liegenden Punkten innerhalb jener Kugel,
für welche '9' = ist, hat V mithin den Werth
« + 9ß + Q^'y -{
Auf der Axe, oder wenigstens auf einem, wenn auch noch so kleinen,
endlichen Stück der Axe, welches innerhalb der Kugel fällt, soll V
constant sein; dies kann nur dann der Fall sein, wenn die Coefficienten
|3, y . . . sämmtlich gleich Null sind. Folglich ist nach (2) für alle
Punkte innerhalb der Kugel mit dem Radius r, F = a, d. h. das
Potential constant. Nun hat Garns (Allgemeine Lehrsätze in Beziehimg
u, s. w. Art. 21.; Garns" Werke, herausgegeben von der K. Ges. d. W.
zu Göttingen, B. V. pag. 223) folgenden Satz bewiesen:
„Das Potential V von Massen, die sämmtlich ausserhalb eines
zusammenhängenden Baumes liegen, kann nicht in einem Theil
dieses Raumes einen constanten Werth und zugleich in einem
andern Theil desselben einen verschiedenen Werth haben."
Somit gilt jener constante Werth a für alle Punkte des von Ä ein-
geschlossenen Raumes.
2^) Es ist nicht schwer,» folgende Gleichungen zu verificiren:
Pn -''n =^^n
+1
»»
—
-^^'
«„'
=
bPn
»■«
=
a
Es genügt also , die Grössen jp^ , q^, q^' für jedes n mit Hilfe der auf-
gestellten Gleichungen zu berechnen; daraus ergeben sich die übrigen
Grössen, j?^', r^\ s^\ s^, r^ für jedes n durch Multiplication oder Di-
vision mit a oder b.
2') Für die numerische Berechnung der Dichtigkeit ist es von
Anmerkungen. / 181
Nutzen mit Poisson zu bemerken, dass die Glieder einer jeden der
beiden unendlichen Reihen, für ein hinreichend grosses n, als Glieder
einer geometrischen Reihe betrachtet und demgemäss summirt werden
können. Statt der Reihe
m "
Bcl)reiben wir /"!"/• Nun waren die Grössen p^ und q^ von
nc=0
7i=sm-|-l
der Form
q^ =z bco"^ + h'(o'
Nehmen wir für öd die Wurzel,* welche grösser als 1 ist, so wird ca—n
bald so klein werden, dass es gegen co^ vernachlässigt werden kann,
so dass wir haben
Pn = «»", ^n =&«^
oo
Setzen wir diese Werthe ein in ^^ , so geht diese Summe über in
a^ — b^
(a* — 2ab cos-O- + h^]
a^ — 6«
')tö)'" \^ "^(«) "^(«) "*"*")
(a* — 2a& cos -O- + h^)^ (o'^{(o - 1) '
^^) Dieser Satz ist bekannt unter dem Namen des DmcTiZe^^schen
Princips.
*^ Es bezeichne (a, ß) wieder den Werth desjenigen u in irgend
einem Punkt eines schalenförmigen Raumes, welches an der einen
Grenzfläche desselben den Werth a, an der anderen den Werth ß an-
nehmen soll. Behauptet wird, dass (a + d , ß) , in demselben Punkt
, grösser ist als (a , |3) , wenn d in allen Punkten der ersten Grenz-
fläche einen positiven Werth hat. Nach dem Princip der Super-
position ist nämlich
•(a + (J,P) = (a,P) + ((J,0).
Nach dem zweiten Princip liegt (^,0) in jedem Punkt des Raumes
zwischen den extremen Werthen des u an den beiden Grenzflächen;
mithin ist (d, 0) positiv, da der an der einen Grenzfläche stattfindende
Werth 8 überall positiv, der an der zweiten Grenzfläche stattfindende
überall ist. Folglich muss
182 Anmerkungen.
sein. Ebenso zeigt man, dass
ist.
*^) GaiLBs: Allgemeine Lehrsätze in Beziehimg auf die im verkehrten
Verhaltnisse des Quadrats der ErUfernung wirkenden Anziehungs- und
Abstossu/ngskräfte. Art. 31 bis 34. Gauss' Werke, B. V. Dirichlefs
Beweis ist wesentlich von dem G^awss'schen verschieden.
^*) Gau^s: Erdmagnetismus und Magnetometer. Garns* Werke,
B. V. S. 320 nnd 321.
**) Gauss: Intensitas vis magneticae terrestris ad menswram ahso-
lutam revocata, Art. 5. Gauss* Werke. B. V.
*') Gauss: Allgemeine Theorie des Erdmagnetismus, Art. 15. Gauss*
Werke, B. V.
**) Da bei der Hypothese, dass die erdmagnetische Kraft aus-
schliesslich im Innern der Erde ihrep Sitz habe, die Kenntniss des
Werthes der nach Norden gerichteten Componente in allen Punkten
der Erdoberfläche hinreichte, um den allgemeinen Ausdruck (3) von v
für den ganzen unendlichen Raum ausserhalb der Erdoberfläche daraus
abzuleiten, so kann man aus jener Kenntniss auch alle drei Compo-
nenten, nicht bloss auf der Erdoberfläche, sondern gleichfalls für den
ganzen unendlichen Raum ausserhalb derselben ableiten. Der Ueber-
sicht wegen stellen wir die vier Formeln für v, X, Y, Z zusammen.
Ist auf der Erdoberfläche
&
-JXd^=U, + T, + T,+ ".
wo sämmtliche Constanten der Kugelfunctionen C/q , Tj , Tj • • • als bekannt
anzusehen sind, so ist für irgend einen Punkt ausserhalb der Erdoberfläche
^ dQ' \q] \d^ ^ (^ d%' '^ \q} dO' '^ )
r =
z =
dv
9 sin %• d(p
V ^ / sin 'S" \^ c^qp "^ ^ dcp, \^ ) dq> '^ J
d,V /B\Vrr. . ^B
dg
To hat den Werth ^ + U^, wo V^ den Werth des V am Fdi be-
zeichnet. Vgl. Gauss a. a. 0. Art. 19. und 20.
Anmerkungen. 183
^'^) Gauss findet (a. a. 0. Art. 39. am Schluss), dass die nach der
ersten Formel
wenn^man darin T^ = setzt, berechneten Werthe von Z sehr gut
mit den Beobachtungen übereinstimmen, während letztere mit der
zweiten Formel
Z = — Ti — 2 T, — 3 Tj
ganz und gar unverträglich sein würden; deshalb sei „die Unstatt-
haftigkeit der Hypothese, die die Ursache des Erdmagnetismus in den
Raum ausserhalb der Erde stelle, als erwiesen anzusehen". Zu An-
fang des Art. 40. heisst es: „Indess darf hiemit die Möglichkeit, dass
ein TTieil der erdmagnetischen Kraft , wenn auch nur ein vergleichungs-
weise sehr kleiner, von oben her erzeugt werde, noch nicht als ent-
schieden widerlegt betrachtet werden".
Der Inhalt unseres folgenden Paragraphen 45. findet sich in diesem
Artikel 40. '
\-
^ WTH-COMP
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3 blOS DOS DbS 003
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