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Full text of "Vorlesunger ub̈er geschichte der mathematik"

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THE LIBRARY 

OF 

THE UNIVERSITY 

OF CALIFORNIA 

DAVIS 



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VORLESUNGEN 



ÜBER 



GESCHICHTE DER MATHEMATIK 



VON 



MOBITZ CANTOR. 



ERSTER BAND. 

VON DEN ÄLTESTEN ZEITEN BIS ZUM JAHRK 1200 N. CHR. 
MIT 114 FIOUREN IM TEXT UND 1 LITHOGR. TAFEL. 

DRITTE AUPLAGB. 



LEIPZIG, 
DKUCK UND VERLAG VON B. G. TEÜBNER. 

1907. 



LIBRARY 

UWIVEkSITY OF CAUFORNIA 
iXAVJUI 



ALLE RECHTE, BINSOHLIESSIiIGH DES ÜBKR9ETZÜNGSBECHTS, VOBBEECALTEN. 



i 



VorTv^ort. 

Als ich im Dezember 1893 der zweiten Auflage dieses 1. Bandes 
meiner Vorlesungen über Geschichte der Mathematik ein Vorwort zur 
Begleitung gab, äußerte ich mich in einer Weise, die heute Wieder- 
holung finden könnte. Abermals liegt ein Zwischenraum yon 13 Jahren 
zwischen dem Erscheinen der vorigen und der neuen Auflage. Ab^- 
mals habe ich gesucht^ die Ergebnisse zu verwerten, welche neue Be- 
arbeiter des geschichtlichen Bodens, die sich yon Jahr zu Jahr mehren, 
gewonnen haben oder gewonnen zu haben wähnen. Abermals spreche 
ich die Überzeugung aus, daß jener Boden noch lange nicht erschöpft 
ist, daß es immer noch offene Fragen gibt, über deren Beantwortung 
man uneinig sein kann, und daß es die Pflicht des gewissenhaften 
Geschichtschreibers ist, seine Leser auf die Streitpunkte aufmerksam 
zu machen. Ich hoffe dieser Pflicht genügt zu haben. 

Heidelberg, Dezember 1906. 

Moritz Cantor. 



Inhaltsverzeichnis. 



Seite 

Einleitung 1—16 

I. Babylonier 17—62 

1. Kapitel. Die Babylonier 19 

n. Ägypter 68—114 

2. Kapitel. Die Ägypter. Arithmetisches 66 

3. Kapitel. Die Ägypter. Geometrisches 90 

m. GriecheA 116—618 

4. Kapitel. Zahlseichen. Fingerrechnen. Rechenbrett .... 117 
6. Kapitel. Thaies und die älteste griechische Geometrie ... 134 

6. Kapitel. Pythagoras und die Pythagoräer. Arithmetik. . . .147 

7. Kapitel. Pythagoras und die Pythagoräer. Geometrie ... 170 

8. Kapitel. Mathematiker außerhalb der pythagoräischen Schule 188 

9. Kapitel. Mathematiker außerhalb der pythagoräischen Schule. 

(Fortsetzung) Hippokrates von Chios 201 

10. Kapitel. Piaton 213 

11. Kapitel. Die Akademie. Aristoteles 234 

12. Kapitel. Die Elemente des Euklid 268 

13. Kapitel. Die übrigen Schriften des Euklid 278 

14. Kapitel. Archimedes und seine geometrischen Leistungen . 296 
16. Kapitel. Die übrigen Leistungen des Archimedes 310 

16. Kapitel. Eratosthenes. Apollonius von Pergä 327 

17. Kapitel. Die Epigonen der großen Mathematiker 349 

18. Kapitel. Heron von Alexandria 368 

19. Kapitel. Heron von Alexandria (Fortsetzung) 386 

20. Kapitel. Geometrie und Trigonometrie bis zu Ptolemäus . . 406 

21. Kapitel. Neupythagoräische Arithmetiker. Nikomachus. Theon 426 

22. Kapitel. Sextus Julius Africanus. Pappus von Alexandria . 488 

23. Kapitel. Die Neuplatoniker. Diophantus von Alexandria. . 466 

24. Kapitel. Die griechische Mathematik in ihrer Entartung . . 488 
IV. Römer 619—692 

26. Kapitel. Älteste Rechenkunst und Feldmessung 621 

26. Kapitel. Die Blütezeit der römischen Geometrie. Die Agri- 

mensoren 638 

27. Kapitel. Die spätere mathematische Literatur der Römer. . 661 
V. Inder 698—660 

28. Kapitel. Einleitendes. Elementare Rechenkunst 696 

29. Kapitel. Höhere Rechenkunst. Algebra 613 

80. Kapitel. Geometrie und Trigonometrie 686 



VI InhalteverzeichnlB. 

Seit« 

VI. Chinesen 661— 690 

81. Kapitel. Die Mathematik der Chinesen 66S 

Vn. Araber 691—817 

82. Kapitel. Einleitendes. Arabische Übersetzer 698 

:^3. Kapitel. Arabische Zahlzeichen. Mahammed ihn Müb& 

Alchwarizm! 707 

34. Kapitel. Die Mathematiker nnter den Abbasiden. Die 

Geometer unter den Bnjiden 738 

35. Kapitel. Zahlentheoretiker, Rechner, geometrische Alge- 

braiker von 960 etwa bis 1100 761 

36. Kapitel. Der Niedergang der ostarabischen Mathematik. 

Ägyptische Mathematiker 777 

37. Kapitel. Die Mathematik der Westaraber. 798 

Yin. Klostergelehrsamkeit des Mittelalters 819—911 

38. Kapitel. Klostergelehrsamkeit bis zum Aasgange des X.Jahr- 

hunderts 821 

39. Kapitel. Gerbert 847 

40. Kapitel. Abacisten und Algorithmiker 879 

Ergänzungen und Verbesserungen 912 — 918 

Register 914—941 



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Einleitung. 



"OB, 0«soliloht« der Mathematik L 3. Aufl. 



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Cöl 



^ 






Längst war der Erdball so weit erkaltet, daß auf der fesi^e- 
wordenen Oberfläche Organismen sich entwickeln konnten. In Zeit- 
räumen, deren jeder weitaus die Spanne übertrifft; welche wir mit 
dem stolzen Namen der Geschichte belegen — als ob nur durch den 
Manschen etwas geschehen könnte! — hatten neue und neue Arten 
lebender Wesen sich abgelöst. Jetzt erschien der Mensch, ausge- 
zeichnet durch Entwicklungsföhigkeit yor allen anderen Geschöpfen, 
hilflos wie keines in das Leben tretend, mächtig wie keines auf dem 
Gipfel seiner Ausbildung. 

Der einzelne Mensch liefert nur das verkleinerte Bild des Menschen- 
geschlechtes. Die Entwicklung des Menschengeistes hat in den, Völker 
genannten, Gesamtheiten stattgefunden, und ihre aufeinanderfolgenden 
Stufen zu vergleichen ist von spannender Anziehung. 

Eines dürfen wir freilich bei Anerkennung der Ähnlichkeit der 
Entwicklung des Einzelmenschen mit der des Menschengeschlechtes 
nicht außer Augen lassen. Das Kind lernt vom Tage seiner Geburt 
an durch Menschen. Das Menschengeschlecht begann damit, von 
niedrigeren Geschöpfen lernen zu müssen. Werden doch wohl Tiere 
sein Vorbild gewesen sein, aus deren Beispiel er entnahm, wie man 
den Durst, den Hunger stille, wie man in Höhlen Schutz suche vor 
der Unbill der Witterung, wie man zur Wehr sich setze gegen feind- 
lichen Angriff. Aber der Mensch war schwächeren Körpers als seine 
Lehrmeister. Ihm war nicht eine dichtere Behaarung während der 
kälteren Jahreszeiten gegeben. Er konnte nicht mit Händen und 
Zähnen des Bären oder der Hyäne Herr werden, denen er, die ihm 
den Aufenthalt streitig machten. Und seine Schwäche wurde seine 
Stärke. Er mußte denken! Er mußte erfinden, wenn er leben wollte. 
Er mußte von der ihm äußerlich gebotenen Erfahrung weiter schreiten. 
Das Tier führte ihn zum Baume der Erkenntnis, die Frucht des- 
selben pflückte er selbst. 

Mit dem Gedanken war das Bedürfiods der Mitteilung desselben 
erwacht, die Sprache entstand. Der Mensch lernte den Menschen 
verstehen, nicht nur in dem Sinne wie das Tier das Tier versteht, 
nicht nur, wo es den Ausdruck besonders starker Empfindungen durch 
Tonbildung galt, sondern wo bestimmte Ereignisse oder gar Begriffe 



4 Einleitung. 

zur Eenntnis des anderen gebracht werden sollten. Freilich begann 
die Sprachbildung nicht erst, als die Begriffsbildong abgeschlossen 
war. Ist doch erstere wie letztere bis auf den heutigen T^ noch 
im Flusse. Die beiden Tätigkeiten gingen offenbar nebeneinander 
einher, und selbst Begriffe, welche einer und derselben Gedanken- 
reihe entstammen, sind mit ihrer lautlichen Versinnlichung als zu 
yerschiedenen Zeiten entstanden zu denken. Für das Sprachliche an 
dieser Behauptung ist es nicht schwer den Beweis zu fahren, auch 
nur unter Zuziehung solcher Wörter, die dem Mathematiker von 
ältester und hervorragendster Wichtigkeit sind; wir meinen die 
Zahlwörter. 

Zählen, insofern damit nur das bewußte Zusammenfassen be- 
stimmter Einzelwesen gemeint ist, bildet, wie scharfsinnig hervor- 
gehoben worden ist^), keine menschliche Eigentümlichkeit; auch die 
Ente zählt ihre Jungen. Diesem niedersten Standpunkte ziemlich 
nahe bleibt das, was von einem südafrikanischen Stamme berichtet 
wird'), daß während wenige weiter zählen können als zehn, dessen- 
ungeachtet ihre Vorstellung von der Größe einer Herde Vieh so 
bestimmt ist, daß nicht ein Stück daran fehlen darf, ohne daß sie es 
sogleich merkten. „Wenn Herden von 400 bis 500 Rindern zu Hause 
getrieben werden, sieht der Besitzer sie hereinkommen und weiß be- 
stimmt ob einige fehlen, wieviel und sogar welche. Wahrscheinlich 
haben sie eine Art zu zählen, bei welcher sie keine Worte brauchen 
und wovon sie nicht Rechenschaft zu geben wissen, oder ihr Gedächt- 
nis erlangt fiir diesen einzelnen Gegenstand durch die Übung eine 
so ungemeine Stärke.^ Ohne nach so fernen Gegenden unseren Blick 
zu richten, können wir ähnliche Erfahrungen täglich an ganz kleinen 
Kindern machen, welche sofort wissen, wenn von Dominosteinen etwa, 
mit denen sie zu spielen gewohnt sind, ein einzelner fehlt, während 
sie sich und anderen über die Anzahl ihrer Steine noch nicht Rechen- 
schaft zu geben wissen. Sie kennen eben die Einzel-Individuen als 
einzelne, nicht als Teile einer Gesamtheit, und ihr Gedächtnis ist 



^) H. Hankel, Zur Geschichte der Mathematik im Alterthum und Mittel- 
alter. Leipzig 1874. S. 7. Wir zitieren dieses Buch künftig immer als Hankel. 
Einen ganz ähnlichen Gedanken hat (nach Eaestner, Geschichte der Mathe- 
matik I, 242) anch schon Pietro Bongo (oder Bangus) in seinem Werke 
Numerarum tnysteria (1699, 11. Auflage 1618) ausgesprochen. ') Pott, Die 
quinäre und vigesimale Zählmethode bei Völkern aller Welttheile, Halle 1847. S. 17. 
Dieses Buch zitieren wir in der ganzen Einleitung als Pott I, während Pott U 
die Schrift desselben Verfassers: Pott, Die Sprachverschiedenheit in Europa 
an den Zahlwörtern nachgewiesen, sowie die quinäre und yigesimale Zähl- 
methode. Halle 1868, bedeuten soll. 



Einleitung. 5 

für die £rinnerang au Angeschautes um so treuer, je weniger andere 
Eindrücke es zu bewahren hat. In der Sprache drückt sich diese 
Individualisierung nicht selten dadurch aus^ daß dieselbe Anzahl je nach 
den gezählten Dingen einen anderen Namen führt, wie es bei manchen 
ozeanischen Volkerstämmen, aber auch für Sammelwörter im Deutschen 
vorkommt, wenn man von einem Koppel Hunde oder, wenn deren 
mehrere sind, von einer Meute Hunde, von einer Herde Schafe, von 
einem Rudel Hirsche, von einer Flucht Tauben, von einer Kette 
Feldhühner, von einem Zug Schnepfen, von einem Schwärm Bienen 
zu reden pflegt^). 

Das eigentliche Zählen, das menschliche Zählen, wenn man so 
sagen darf, setzt voraus, daß die Gegenstände als solche gleichgültig 
geworden sind, daß nur das getrennte Vorhandensein unterschiedener 
Dinge begrifflich erfaßt, dann sprachlich bezeichnet werden solL Es 
liegt darin bereits eine keineswegs unbedeutende Äußerung der Fähig- 
keit zu verallgemeinem, zugleich auch eine ihrer frühesten Äuße- 
rungen, denn die Zahlwörter gehören zu den ältesten Teilen des 
menschlichen Sprachschatzes. In ihnen lassen sich oft noch Ähnlich- 
keiten, mithin Beweise alter Stammesgemeinschaft später getrennter 
Völker auffinden, während kaum andere Wörter auf die gleiche Zeit 
eines gemeinsamen Ursprunges zurückdeuten. Und was war nun der 
ursprüngliche Sinn dieser ältesten, der Entstehungszeit wie dem Inhalte 
nach ersten Zahlwörter? Die Annahme hat gewiß viel für sich, daß 
sie anfänglich nicht Zahlen, sondern ganz bestimmte Gegenstände be- 
deuteten, sei es nun, daß man von der eigenen, von der angeredeten, 
von der besprochenen Persönlichkeit, also von den Wörtern: ich, du, 
er ausging, um aus ihnen den Urklang für: eins, zwei, drei zu ge- 
winnen^), sei es, daß man von Gliedmaßen seines Körpers deren 
Anzahl entnahm'): „Es war dem Menschen ohne Zweifel ein eben 
so interessantes Bewußtsein fünf Finger als zwei Hände oder zwei 
Augen zu haben; und das Interesse an dieser Kenntnis, welche ein- 
mal einer Entdeckung bedurfte, war ihm dft Schöpfung eines zu deren 
Zählung eigens verwendbaren Ausdruckes wohl wert; von hier aus 
mag der Gebrauch auf andere zu zählende Dinge übertragen worden 
sein, zunächst auf solche, bei denen es auffallen mochte, daß sie in 
ebenso großer Zahl vorhanden waren, als die Hand Finger hat." Wir 
wiederholen es, solche Annahmen haben viel für sich, sie tragen ihre 
beste Empfehlung in sich selbst, aber leider auch ihre einzige. Die 
Sprachforschung hat nicht vermocht deren Bestätigung zu liefern^' 



») Pott I, S. 126. -) Pott I, S. 119. ») L. Geiger, Ursprung und Ent- 
Wickelung der menschlichen Sprache und Vernunft. 1868. Bd. 1, S. 319. 



6 Einleitung. 

oder vielmehr jeder, der mit der Deutung der Zahlwörter sich be- 
faßte, hat aus ihnen diejenigen Zusammenhänge zu erkennen gewußt, 
welche seiner Annahme entsprachen, lauter vollgelungene Beweise, 
wenn man den einen hört, sich gegenseitig vernichtend, wenn man 
bei mehreren sich Rat holt, und dieser mehreren sind obendrein 
recht viele. Sind demnach die eigentlichen Fachmänner über Ursprung 
der ältesten einfachen Zahlwörter im Hader, so müssen wir um so 
mehr darauf verzichten, auf die noch keineswegs erledigten Fragen 
hier einzugehen. Einige Sicherheit tritt erst bei Besprechung der 
abgeleiteten, also jüngeren Zahlwörter hervor. 

Es ist leicht begreiflich, daß auch die regste Einbildungskraft, 
das stärkste Gedächtnis es nicht vermochten, ftir alle aufeinander 
folgenden Zahlen immer neue Wörter zu bilden, zu behalten. Man 
mußte mit Notwendigkeit sehr bald zu gewissen Zusammensetzungen 
schreiten, welchen die Entstehungsweise einer Zahl aus anderen zu- 
grunde liegt, welche uns aber damit auch schon einen unumstöß- 
lichen Beweis für die hochwichtige Tatsache liefern: daß zur Zeit, 
als die meisten Zahlwörter erfunden wurden, der Mensch von dem 
einfachsten Zahlen bereits zum Rechnen vorgeschritten war. 

Das älteste Rechnen dürfte durch ein gewisses Anordnen ver- 
mittelt worden sein, sei es der Gegenstände selbst, denen zuliebe 
man die Rechnung anstellte, sei es anderer leichter zu handhabender 
Dinge. Kleine Steinchen, kleine Muscheln können die Vertretung 
übernommen haben, wie sie es noch heute bei manchen Völkerschaften 
tun, und diese Marken, diese Rechenpfennige würde man heute sagen, 
werden in kleinere oder größere Häufchen gebracht, in Reihen ge- 
legt das Zusammenzählen ebenso wie das Teilen einer gegebenen 
Menge wesentlich erleichtert haben. So lange man es nur mit kleinen 
Zahlen zu tun hatte, trug man sogar das leichteste Versinnlichungs- 
mittel stets bei sich: die Finger der Hände, die Zehen der Füße. 
Man reichte freilich unmittelbar damit nicht weit, und Völkerschaften 
des südlichen Afrika zei^n uns gegenwärtig noch, wie genossen- 
schaftliches Zusammenwirken die Schwierigkeit besiegt, mit nur zehn 
Fingern größere Anzahlen sich zu versinnlichen ^) : „Beim Aufzählen, 
wenn es über Hundert geht, müssen in der Regel immer drei Mann 
zusammen diese schwere Arbeit verrichten. Einer zählt dann an den 
Fingern, welche er einen nach dem andern aufhebt und damit den 
zu zählenden Gegenstand andeutet oder womöglich berührt, die Ein- 
heiten. Der zweite hebt seine Finger auf (immer mit dem kleinen 



*) Schrumpf in der Zeitschrift der deutschen morgenländischen Gesell- 
schaft XVI, 463. 



Einleitung. 7 

Finger der linken Hand beginnend und fortlaufend bis zum 
kleinen Finger der Rechten) für die Zehner, so wie sie voll 
werden. Der dritte figuriert für die Hunderte." 

Die hierbei festgehaltene Ordnung der Finger mag man nun er- 
klären wollen, wie es auch sei^), sie findet statt und wird uns im Ver- 
laufe der Untersuchungen als Grundlage des sogen. Fingerrechnens 
noch mehr als einmal begegnen. Sie wird sogar abwechselnd mit 
der entgegengesetzten Ordnung benutzt, um einem einzelnen zu 
ermöglichen beliebig viele Gegenstande abzuzählen. Ist nämlich mit 
dem kleinen Finger der rechten Hand die Zehn erfüllt worden, so 
beginnt mit eben demselben allein aufgehoben die nächste Zehnzahl, 
um' dieses Mal nach links sich fortzusetzen, d. h. der kleine Finger 
der linken Hand vollendet die Zwanzig und wird zugleich auch 
wieder Anfang der nächsten Zehnzahl usf. Natürlich muß bei dieser 
Zahlenangabe, wenn es nicht um ein allmähliches Entstehen, sondern 
um ein einmaliges Ausdrücken einer Zahl sich handelt, besonders an- 
gedeutet werden, daß und wie oft Zehn vollendet wurde, was etwa 
so geschehen kann wie bei den Zulukaffem^), die in solchem Falle beide 
Hände mit ausgestreckten Fingern wiederholt zusammenschlagen. 

Es ist wohl zu beachten, daß diese letztere Methode der Ver- 
sinnlichung einer Zahl, einfacher insoweit als sie nur die Hände 
«ines einzigen beschäftigt, begrifflich weit unter jener anderen 
Methode steht, die unmittelbar vorher gekennzeichnet wurde und drei 
oder gar noch mehrere Darsteller einer Zahl erfordert. Der einzelne 
kommt durch die Zehnzahl der menschlichen Finger allerdings dazu, 
die Gruppe Zehn als eine besonders hervortretende zu erkennen, aber 
wie oft diese Gruppe selbst auch erzeugt werde, jede Neuerzeugung 
ist für ihn der anderen ebenbürtig. Ganz anders bei der Methode 
stufenmäßiger Darstellung durch mehrere Personen. Wie der Erste 
so hat der Zweite, der Dritte nur je zehn Finger, und so erscheint 
die Gruppierung von zehn Einem zwar zunächst, aber in gleicher 
Weise auch die von zehn Zehnem, von zehn Hundertern. Das schein- 
bar umständlichere Verfahren führt zu dem einfacheren Gedanken, 
zum Zahlensystem. Wenn von einem Schriftsteller*) darauf hin- 
gewiesen worden ist, daß die Wiederholung der Zehnzahl bis zu 

10 mal 10 sich bei Erfüllung der nächsten 10 ebensowohl zu 

11 mal 10 als zu 10 mal 10 und 10, in Worten ebensowohl zu 
«Ifzig als zu hundertzehn fortsetzen konnte, und daß es ein besonders 
glücklicher Griff war, der fast allen Völkern der Erde gelang, soweit 



>) Pott II, S. 46, aber auch S. 81 und 42. *) Pott II, S. 47. ') Hankel, 
ä. 10—11. 



8 Einleitung. 

ihre Fassungskraft überhaupt bis zum Bewußtwerden bestimmter 
höherer Zahlen ausreicht^ gerade die Wahl zu treffen, welche dem 
Zahlensystem seine Grundlage gab, so ist diese feine Bemerkung 
yielleicht dahin zu ergänzen, daß auf eine der hier erörterten nahe- 
stehende Weise jene glückliche Wahl eingeleitet worden sein mag. 

Über die Grundzahlen solcher Zahlensysteme werden wir so- 
gleich noch reden. Fürs erste halten wir daran fest, daß Zahlen- 
systeme eine allgemein menschliche Erfindung darstellen, in allen 
bekannt gewordenen Sprachen zu einer Grundlage der Bildung von 
bald mehr bald weniger Zahlwörtern benutzt, indem höhere Zahlen 
durch Yerrielfältigung von niedrigeren zusammengesetzt werden und 
bei Benennung der Zwischenzahlen auch Hinzufügungen noch not- 
wendig erscheinen. Multiplikation und Addition sind also 
zwei Rechnungsverfahren so alt wie die Bildung der Zahl- 
wörter. 

Das Zahlensystem, welches wir in seinem Entstehen uns zu ver- 
gegenwärtigen suchten, wurde, sofern es auf der Grundzahl Zehn 
fußte, zum Dezimalsystem, heute wie unserem Zifferrechnen so 
auch in unseren Maßen, Gewichten, Münzen fast der ganzen gebil- 
deten Erdbevölkerung unentbehrlich. Wir haben als wahrscheinlich 
erkannt, daß es nach der Zahl der Finger sich bildete, aber eben 
vermöge dieses Ursprunges war es nicht das allein mögliche. Wie 
man sämtliche Finger durchzählen konnte, um eine Einheit höheren 
Ranges zu gewinnen, so konnte man Halt machen nach den Fingern 
nur einer Hand, man konnte neben den Fingern der Hände die Zehen 
der Füße benutzen. In dem einen Falle blieb man beim Quinar- 
Systeme, in dem anderen ging man zum Yigesimalsystem über. 

Ein strenges Quinarsystem würde, wie leicht ersichtlich, 5 mal 
5 oder 25, 5 mal 5 mal 5 oder 125 usw. als Einheiten höheren 
Ranges nächst der 5 selbst besitzen müssen, welche durch einfach» 
oder auch zusammengesetzte Namen bezeichnet mit den Namen der 
Zahlen 1, 2, 3, 4 sich vereinigen, um so alle zwischenliegende Zahlen 
zu benennen. Ein solches strenges Quinarsystem gibt es nicht ^). 
Dagegen gibt es Quinarsysteme in beschränkterem Sinne des Wortes^ 
wenn zur Benutzung dieses Wortes schon der Umstand als genügend 
erachtet wird, daß die Fünf bei allmählicher Zahlenbildung einen Ruhe- 
punkt gewähre, von dem aus eine weitere Zählung wieder anhebt. 

Was dementsprechend von einem strengen Vigesimalsysteme zu 
verlangen ist, leuchtet gleichfalls ein: ein solches muß die Grund- 
zahl 20 durchhören lassen, muß die Einheit höheren Ranges 20 mal 

*) Pott II, S. 35 und 46 in den Anmerkungen. 



Einleitung. 9 

20 oder 400, vielleicht auch noch höhere Einheiten unter besonderen 
Namen besitzen. Sprachen, in welchen dieses System maßgebend 
ist^ hat man mehrfach gefunden. Die Mayas in Yukatan^) haben 
eigene Wörter für 20, 400, 8000, 160000. Die Azteken in Mexiko«) 
hatten wenigstens besondere Wörter für 20, 400, 8000 mit der Ur- 
bedeutung: das Gezahlte, das Haar, der Beutel, wobei auffallend er- 
scheinen mag, daß das Haar eine verhältnismäßig niedrige Zahlen- 
bedeutung hat, während es in karaibischen Sprachen^) weit überein- 
stimmender mit der Wirklichkeit eine sehr große Zahl auszudrücken 
bestimmt ist. Noch andere Beispiele eines bemerkbaren mehr oder 
minder durchgeführten Yigesimalsystems hat vornehmlich Pott, dem 
wir hier fast durchweg folgen, in Fülle gesammelt. Wir erwähnen 
davon nur als den meisten unserer Leser zweifellos bekannt die 
Überreste eines keltischen Yigesimalsystems in der französischen 
Sprache in Wörtern wie quatrevingtSy sixvingts^ quinjsevingts^). Von 
dänischen Überresten eines Systems, in welchem Vielfache von 20 
eine Rolle spielen, ist weiter unten in etwas anderem Zusammenhange 
die Rede. 

Den Ursprung der drei Systeme, deren Grundzahlen 5, 10, 20 
heißen, haben wir oben in die Finger und Zehen des Menschen ver- 
legt. Auch dafür sind sprachliche Anklänge vorhanden. Zwischen 
den Wörtern für 5 und für Hand ist in manchen Sprachen völlige 
Gleichheit, in anderen nahe Verwandtschaft^). Alsdann darf man 
aber wohl annehmen, daß es früher wünschenswert war die Glieder 
des eigenen Körpers zu benennen, als Zahlwörter zu bilden, daß also 
5 von Hand abgeleitet wurde, nicht umgekehrt. Das Wort für 10 
heißt in der Eorasprache ^) (einem amerikanischen Idiome) so viel 
wie Darreichung der Hände, und daß ein und dasselbe Wort 20 und 
Mensch bedeutet kommt mehrfach vor^). Ob freilich, wie manche 
wollen, auch das deutsche zehn mit den Zehen, das lateinische decem 
mit digiti in Verbindung gebracht werden darf, darüber gehen die 
Meinungen weit auseinander, und Pott, unser Gewährsmann, steht 
auf der Seite der Verneinenden. Jedenfalls ist aber schon durch die 
erwähnten Beispiele ein innerer Zusammenhang der drei genannten 
Systeme untereinander und mit den menschlichen Extremitäten hin- 
länglich unterstützt. Gibt es nun Sprachen, in welchen auch andere 
Grundzahlen als 5, 10 oder 20 sich nachweisen lassen? 

») Pott I, S. 98. *) Pott I, S. 97—98. ») Pott U, S. 68. *) Pott I, S. 88. 
^) Pottl, S. 27 fLgg. and S. 128 flgg. fuhrt Beispiele aus ozeanischen Spnvchen, 
aus dem Sanskrit und dem Hebi&ischen an, wenn er auch den letzteren gegen- 
über, die von Benary und Ewald herrühren, sich ziemlich skeptisch verhält. 
«) Pott I, S. 90. ') Pott I, S. 92. 



10 Einleitung. 

Wenn man gesagt hat^)^ daß kein Volk auf der ganzen £rde 
je von einer anderen Grundzahl, als einer der genannten ans, sein 
Zahlensystem mit einiger Konsequenz ausgebildet habe, so ist dieser 
Ausspruch entschieden allzu verneinend, selbst wenn man einen be- 
sonderen Nachdruck auf das Wort Konsequenz legt, dem gegenüber 
die Frage erhoben werden möchte, wo denn folgerichtige Anwendung 
des Quinarsystems sich finde? 

Allerdings hat man einige Gattungen von Zahlensystemen nur 
mit Unrecht nachweisen zu können geglaubt. Falsch war es, wenn 
Leibniz bei den Chinesen ein Binarsystem annahm*). Falsch scheint 
Kohl den Osseten im Kaukasus ein Oktodezimalsystem zugeschrieben 
zu haben ^). Dagegen sind andere Angaben doch zu wohl beglaubigt, 
um sie ohne weiteres leugnen oder totschweigen zu dürfen. Die 
Neuseeländer mit ihrem merkwüi'digen Undezimalsysteme*), welches 
besondere Wörter filr 11, für 11 mal 11 oder 121, für 11 mal 11 mal 

11 oder 1331 besitzt, welches 12 durch 11 mit 1, 13 durch 11 mit 2, 
22 durch 2 mal 11, 33 durch 3 mal 11 usw. ausdrückt, lassen 
sich nicht vornehm beiseite schieben. Ob der Zeitraum von 110 
Jahren, nach welchen, wie Horaz im 21. und 22. Verse seines Carmen 
saeculare berichtet, die römische Erinnerungsfeier wiederkehrte, der 
man den Namen der saecularen beilegte, mit einer Vermengung dezi- 
maler und undezimaler Zählweise zusammenhängt, bleibe dahingestellt. 
Das Wort triouech oder 3 mal 6 für 18 in der Sprache der Nieder- 
bretagner ist neben dem deunaw oder 2 mal 9 der Welschen^) für 
eben dieselbe Zahl nun einmal vorhanden. Die Bolaner oder Bura- 
maner an der Westküste Afrikas*) lassen, wenn sie 6 und 1 für 7, 
wenn sie 2 mal 6 für 12, wenn sie 4 mal 6 für 24 sagen, die Grund- 
zahl 6 gleichfalls durchhören. Einige assyrische Zahlwörter (7 und 8), 
auf welche wir im 1. Kapitel zurückkommen werden, zeigen dieselbe 
Abhängigkeit von 6. Und wenn der Altfriese 120 mit dem Worte 
iolftich benannte^), so ist das sogar ein Hinweis darauf, daß auch 
das vorhin als menschlichem Geiste im allgemeinen fremdverpönte 
elfzig seine Analogien besitzt, ist es zugleich ein Beispiel für ein 
eigentümlich gemischtes System mit Dezimal- und Duodezimalstufen 
wie äkandinaven und Angelsachsen es teilweise besaßen*), wie eine 
verhältnismäßig spätere Wissenschaft es in Babylon einbürgeiie, 
von wo es als Sexagesimalsystem das astronomische Rechnen aller 



*) Hankel, S. 19. *) M. Cantor, Mathematische Beiträge zum Kultur- 
leben der Völker. Halle 1863. S. 48 flgg., auch S. 44. Wir zitieren dieses 
Buch künftig immer als: Math. Beitr. Eulturl. ') Kohl, Reisen in Südrußland. 
Bd. n, S. 216 und Pott I, S. 81. *) Pott I, S. 76 flgg. *) Pott II, S. 33, 
«) Pott n, S. 30. ^ Pott n, S. 38. ») Math. Beitr. Kulturl. S. 147. 



Einleitung. 1 1 

Völker durch Jahrhunderte beherrscht. Die Vermengung dezimalen 
und duodezimalen Zählens könnte auch als Stütze der Möglichkeit 
dienen, welche oben für dezimale und undezimale Zahlen beansprucht 
wurde. 

Das Vorhandensein von Zahlensystemen, deren Grundzahl nicht 
5 oder Vielfaches von 5 ist, dürfte damit nachgewiesen sein. Aber 
allerdings bilden dieselben nur Ausnahmen von seltenem vereinzeltem 
Vorkommen. Auch eine andere Gattung von Ausnahmen gegen 
früher Erwähntes müssen wir kurz berühren. Wir haben hervor- 
gehoben, daß die Zwischenzahlen zwischen den Einheiten aufein- 
anderfolgenden Ranges multiplikativ und additiv gebildet werden-, 
wir haben daraus auf das hohe Alter dieser ßechnungsverfahren 
geschlossen. Es gibt nun Sprachen, welche die Bildung der Zahl- 
wörter auf Subtraktionen und Divisionen stützen, wodurch das 
hohe Alter auch dieser Rechnungsverfahren wenigstens bei den 
Völkern, denen jene Sprachen angehören, gleichfalls zur Möglichkeit 
gelangt. 

Die Subtraktion wird am häufigsten bezüglich der Zahlwörter 
eins und zwei geübt ^). Dieses entspricht z. B. in der lateinischen 
Sprache durchweg dem Gebrauch bei den Zehnern. Man sagt duode- 
vigintij d. h. 2 von 20 für 18, ebenso undecentum 1 von 100 für 99 usw. 
Auch im Griechischen werden 1 und 2 bei den Zehnem zuweilen ab- 
gezogen, wozu das Zeitwort dalv in seiner transitiven wie in seiner 
intransitiven Bedeutung als bedürfen und als fehlen angewandt 
wird. So drückt man 58 aus durch dvotv öiovzeg a^7}xovra = 60 
welche 2 bedürfen, 49 durch ivbg deovrog ^Bvnf^xovza =» 50 woran 
1 fehlt, und ein vereinzeltes Vorkommen von 9700 = 10000, welche 
300 bedürfen xQvaxoömv änoHiovra ^vgia wird aus den Schriften des 
Thukydides angeführt*). Auch im Gotischen findet subtraktive Bil- 
dung von Zahlwörtern statt. In der gemeinsamen Stammsprache, im 
Sanskrit, ist gleichfalls eine Subtraktion mittels des Wortes una 
(vermindert, weniger) im Gebrauch. Sei es nun, daß das una selbst 
allein einem Zahlwort vorgesetzt wird, und man im Gedanken eka 
eins hinzuhören muß, z. B. unavingscUiy vermindertes 20 statt 19, 
oder daß das eka wirklich ausgesprochen wird und sich dabei mit 
ufia zu ekona zusammensetzt, z. B. ekonaschaschta, um 1 vermindertes 
60 statt 59, oder daß andere Zahlen als 1 abgezogen werden, z. B. 
pantschonangsoilamy um 5 vermindertes 100 statt 95. Ob die baby- 
lonische Benutzung von lal = weniger hierher gehört^) oder als 
eigentliche Subtraktion aufzufassen ist, sei dahingestellt. 

») Math. Beifer. Kulturl. S. 157. *) Pott I, S. 181, Anmerkung. ») Reisner 
in Berl, Akad. Her. 1896, S. 426—426 mit Berufung auf Tontafeln von ür. 



12 Einleitang. 

Am seltensten dient die Division zur sprachlichen Bildung der 
Zahlwörter. Hier kommen neben den sofort verständlichen Teilungen: 
ein viertel Hundert^ ein halbes Tausend usw.^ namentlich solche 
Wörter in Betracht, welche eine nicht voll vorhandene Einheit zur 
Teilung bringen. Anderthalb; dritthalb, sechsthalb besagen, daß das 
Andere, d. h. Zweite, daß das Dritte, daß das Sechste halb zu 
nehmen sei, die Existenz des Ersten, der 2, der 5 Vorhergehenden 
als selbstverstanden vorausgesetzt. Verwandte Bildungen sind in latei- 
nischer und in griechischer Sprache sesquidlter « ijcidsvreQog — V/^} 
sesquitertius = kitCxQixog = IVs; sesquiodavus =» k3t6'y6oog = IVg usw. 
Besonderer Hervorhebung scheint es wert, daß die dänische Sprache 
in Europa und im fernen Süden und Osten die Sprache der Dajacken 
und Malaien auf den nächsten Zwanziger beziehungsweise Zehner 
übergreift, um ihn hälftig vorweg zu nehmen ^). Ein altes Vigesimal- 
system in deutlichen Spuren verratend (S. 9) sagt die' dänische 
Sprache nicht bloß tresindstyve oder 3 mal 20 für 60, firesindstyve 
oder 4 mal 20 für 80, sondern auch halvtredsindstyve, halvfirdsindstfjve 
für 50 und 70, d. h, der dritte, der vierte Zwanziger, welcher bei GO, 
bei 80 voll vorhanden ist, kommt hier nur zur Hälfte in Rechnung. 
Ja man hat sogar halvfeinsindstyve oder fünfthalb Zwanziger für 90, 
während 100 nur durch hundredc und nie durch femsifidstyve aus- 
gedrückt wird. Bei den Malaien heißt halb dreißig, halb sechzig es 
solle von dem letzten, also hier von dem dritten, sechsten Zehner 
nur die HäKte genommen werden, man meine also 25, 55. Im Alt- 
türkischen wird das Vorgreifen auf den nächsten Zehner noch weiter 
ausgedehnt*). „Vier dreißig^' bedeutet „vier von dem dritten Zehner'' 
also 24. Endlich im Äthiopischen findet sich ein merkwürdiger Aus- 
nahmefall^). Die Athiopen besitzen besondere Zeichen für die Einer, die 
Zehner, die Hunderter, mittels deren sie die Zwischenzahlen zusammen- 
setzen. Sie schreiben also z. B. 59 durch die Zeichen „fiinfzig neun". 
Einzig und allein. 99 wird anders geschrieben, nämlich nicht ,pieunzig 
neun*', sondern „neunzig hundert", d. h. also etwa „ein Neunziger 
nahe bei Hundert". Der Grund dieser Ausnahme ist unermittelt. 

Alle diese Teilungen in sich schließende Ausdrücke sind gewiß 
merkwürdig, eine genaue Einsicht in das Alter der Division ver- 
glichen mit dem Alter der Sprachbildung geben sie uns deshalb doch 
nicht. Es sind eben Wörter mit Zahlenbedeutung, aber es sind nicht 
die Zahlwörter! Neben ihnen und statt ihrer sind auch andere mög- 



*) Pottl, S. 103 und II, S. 88. *) J. Marquart, Die Chronologie der alt- 
türkischen Inschriften. Leipzig 1898. ^ C. Bezold, Kebra Nagast. München 
1906. S. XV, Note 3. 



Einleitung. 13 

licherweise viel ältere Ausdrücke in Gebrauch und lassen die Ent- 
stehungszeit der jüngeren Benennung im dichtesten Dunkel. Nicht 
anders verhält es sich mit den vorerwähnten subtraktiven Bildungen, 
zu welchen als weiteres Beispiel bestimmter Grenzpunkte, auf welche 
Vorhergehendes ebenso wie Folgendes bezogen wird, die Kalender- 
bezeichnung der Römer mit ihren Calenden, Nonen und Iden treten 
mag. Entscheidend dagegen sind die subtraktiven Zahlwörter einiger 
Sprachen, z. B. der Krähenindianer in Nordamerika^). Bei ihnen 
heißen 8 und 9 nie anders als nöpape, amätape, d. h. wörtlich 2 da- 
von, 1 davon, und das Wort Zehn, d. h. die Anzahl, von welcher 2, 
beziehungsweise 1 weggenommen werden sollen, ist als selbstverständ- 
lich weggelassen. Hier kann ein Zweifel kaum walten: die Namen 
der 8 und 9 sind erst entstanden, nachdem der Begriff der 10 sich 
gebildet hatte, nachdem das Rechnungsverfahren der Subtraktion er- 
fanden war. Mit dieser Bemerkung kehren wir zu unserer früheren 
Behauptung zurück (8. 4), zu deren Begründung wir die ganze Er- 
örterung über Zahlwörter und über die ersten Anfänge des Rechnens 
gleich hier anknüpfen durften. Die Sprache hielt in ihrer Entstehung 
nicht immer gleichen Schritt mit der Entstehung der Begriffe. Das 
aufeinanderfolgende Zählen wurde unterbrochen durch das Bewußt- 
sein notwendiger Zahlenverknüpfungen, Sprünge in der Erfindung der 
Zahlwörter sind nahezu sicher. 

Und wieder machte der menschliche Erfindungsgeist einen Schritt 
vorwärts, einen Schritt, zu welchem er auch nicht die geringste An- 
regung von außen erhielt, der ganz aus eigenem Antriebe erfolgend 
mindestens ebenso sehr wie die künstliche Entfachung des Feuers als 
wesentlich menschlich, als keinem anderen Geschöpfe möglich aner- 
kannt werden muß: er erfand die Schrift. Bilderschrift, so nimmt 
man gegenwärtig wohl ziemlich allgemein an, war die erste, welche 
dem Spiegel der Rede (wie bei einem Negervolke das Geschriebene 
heißt) *) den Ursprung gab. Aber mit Bildern allein kam man nicht 
aus. Neben wirklichen Gegenständen mußten Tätigkeiten, Eigen- 
schaften, Empfindungen dem künftigen Wissen aufbewahrt werden. 
Die Notwendigkeit symbolischer oder willkürlich eingeführter Zeichen 
für diese nicht gegenständlichen Begriffe zwang zur Abhilfe. So 
müssen Begriffszeichen entstanden sein, gemeinsam mit den früheren 
Bildern eine Wortschrift herstellend. Jetzt erst — aber wer weiß 
in wie langer Zeit? — konnte man dahin gelangen in dem Ge- 
sprochenen nicht nur den ganzen Klang, sondern die einzelnen Laute, 
aus welchen er sich zusammensetzt, zu verstehen, und diese Einzel- 



*) Pott II, S. 66. *) Pott I, S. 18. 



14 Einleitung. 

laute dem Auge zu versinnlichen. Die Silben- und Buchstabenschrift 
entstand. Für die Zahlen behielt man allgemein das Verfahren bei^ 
welches in anderer Beziehung sich überlebt hatte. Inmitten dor 
Silben-, der Buchstabenschrift, treten Zahlzeichen, d. h. Wort- 
zeichen auf, und wer ein Freund philosophischen Grübelns ist, mag 
darüber sinnen, warum gerade hier eine Ausnahme sich aufdrängte. 
Warum hat gerade das mathematische Denken von jeher durch Wort- 
zeichen, sei es durch Zahlzeichen, sei es durch andere sogenannte 
mathematische Zeichen, Unterstützung, Erleichterung und Förderung 
gefunden? Wir stellen die Frage, wir wagen nicht sie zu beant- 
worten. Aber die Tatsache, an welche wir die Frage knüpften, steht 
fest, ebenso wie es feststeht, daß ein Zahlenschreiben in älteste 
Eulturzeiten hinaufreicht, wo dessen Zeichen inmitten geschichtlicher 
Inschriften vorkommen. 

Die Verschiedenheit der Zahlzeichen ist eine gewaltige. Wir 
werden in mannigfachen Kapiteln dieses Bandes von solchen zu reden 
haben und wünschen nicht vorzugreifen. Aber ein Prinzip der Zahlen- 
schreibung hat sich fast überall Bahn gebrochen, dessen Entdeckung 
dem Scharfsinne Hankels^) um so größere Ehre macht, als es trotz 
seiner großen Einfachheit stets übersehen worden war. Es ist das 
Gesetz der Größenfolge, wie wir, um eine kürzere Redeweise zu 
besitzen, es künftig nennen wollen, und besteht darin, daß bei allen 
additiv vereinigten Zahlen das Mehr stets dem Weniger 
vorausgeht*). Natürlich ist die Richtung der Schrift bei Prüfung 
dieses Gesetzes wohl zu beachten, und wenn bei der von links nach 
rechts gehenden Schrift des Abendlandes der Hauptteil der Zahl links 
auftreten muß, so ist die Stellung bei Zahlendarstellungen semitischen 
Ursprunges entgegengesetzt, und wieder eine andere, wenn, wie bei 
den Chinesen, die Schrift in von oben nach unten gerichteten Reihen 
verläuft. 

Die mathematischen Begriffe, bei denen wir in unserer flüchtigen 
Betrachtung der Anfänge menschlicher Eulturentwicklung, Anfänge, 
welche selbst Jahrtausende in Anspruch genommen haben mögen, zu 
verweilen Gelegenheit nahmen, gehören sämtlich dem einen Zweige 
der Größenlehre an, welcher über das Wieviel? der nebeneinander 
auftretenden Dinge das Was? derselben vernachlässigt. Es ist aber 
wohl keinem Zweifel unterworfen, daß neben Kenntnis und einfachster 
Verbindung der Zahlen einfache astronomische wie geometrische Be- 
griffe wach geworden sein müssen. 



*) Hankel, S. 32. *) Über Abweichungen von diesem Gesetze vergl. 
Kapitel 4. 



Einleitung. 15 

Wir werden der Geschichte der Astronomie grundsätzlich fem 
bleiben, um nicht den schon so für uns fast unbezwingbar sich ge- 
staltenden Gegenstand unserer Darstellung ohne Not zu vergröflem^ 
aber zwei Bemerkungen können wir hier nicht unterdrücken. Auf- 
gang und Untergang der Sonne waren gewiß schon in den Zeiten 
nomadischen Wandems die beiden Marksteine, die Zeit und Raum 
in Grenzen schlössen. Morgen und Abend, Ost und West waren 
Begriffepaare, deren Entstehung wohl nicht früh genug angenommen 
werden können. Und als beim Ansässigwerden der Völker die Sonne 
zwar immer noch ihre Uhr, aber nicht ihren täglichen Wegweiser 
bildete, nach deren Stande sie sich zu richten pflegten, war das 
Orientierungsgefühl doch noch geblieben, hatte womöglich an Genauig- 
keit noch zugenommen. Am Südende des Pf äffiker-Sees in der Schweiz 
sind Pfahlbauten beobachtet worden, welche genau nach den Himmels- 
gegenden gerichtet sind ^), und jene Bauten reichen jenseits der soge- 
nannten Bronzezeit in eine Periode hinauf, welche nach geologischer 
Schätzung etwa 4000 Jahre vor Christi Geburt lag. Wir stellen in 
keiner Weise in Abrede, daß man bei der Orientierung der Wohn- 
häuser an praktische Rücksichten, an Besonnung, Wind und Wetter 
dachte, aber man dachte doch, man übte nicht Zufälliges und Un- 
beabsichtigtes. Von ähnlichen Orientierungen werden wir verschiedent- 
lich zu reden haben. Die Richtung nach den Himmelsgegenden 
selbst wird uns niemals als Beweis der Übertragung von Begriffen 
von einem Volke zum andern gelten dürfen. Nur die Ermittlungs- 
weise dieser Richtung wird zum genannten Zweck tauglich erscheinen. 

Auch geometrische Begriffe, sagten wir, müssen frühzeitig ent- 
standen sein. Körper und Figuren mit geradliniger, mit krummliniger 
Begrenzung müssen dem Auge des Menschen aufgefallen sein, sobald 
er anfing nicht bloß zu sehen, sondern um sich zu schauen. Die 
Zahl der Ecken, in welchen jene Flächen, jene Linien aneinander- 
stoßen, wird ihm der Bemerkung wert gewesen sein, wird ihn heraus- 
gefordert haben jenen Gebilden Namen zu geben. Vielleicht ist auch 
in ältesten Zeiten und in gegenseitiger Unabhängigkeit an vielen 
Orten zugleich beachtet worden, daß der Arm beim Biegen am Ellen- 
bogen, das Bern beim Biegen am Knie, daß die beiden Beine beim 
Ausschreiten einen Winkel bilden, und der Name jeder von zwei 
einen Winkel bildenden Linien als öxekog bei den Griechen, crus bei 
den Römern, Schenkel bei den Deutschen, leg bei den Engländern^ 
Jambe bei den Franzosen, &äAu, d. h. Arm bei den Indem, kou, d. h. 

^) Diese Beobachtung rührt von Professor Quincke her, der xms frexmd- 
liehst gestattete, von dieser seiner mündlichen Mitteilung Gebrauch zu machen. 



16 Einleitung. 

Hüfte bei den Chinesen^ der Zusammenhang y&vog Winkel mit yöw 
Knie, dieses und ähnliches braucht nicht in allen Fällen Übertragung 
zu sein. Die genannten modernen Namen werden allerdings kaum 
anders als durch Übersetzung aus dem Lateinischen^ wenn nicht aus 
dem Griechischen entstanden sein, aber die antiken Wörter können 
sehr wohl uraltes Ergebnis mehrfacher Selbstbeobachtung sein, uraltes 
Wissen. 

Ist nun uraltes Wissen auch uralte Wissenschaft? Muß eine 
Geschichte der Mathematik so weit zurückgreifen, als sie noch hoffen 
darf mathematischen Begriffen zu begegnen? 

Wir haben unsere Auffassung, unsere Beantwortung dieser Fragen 
darzulegen geglaubt, indem wir diese Einleitung vorausschickten. 
Kein Erzähler hat das Recht das Brechen, das Zusammentragen der 
ersten Bausteine, aus welchen Jahrhunderte dann ein stolzes Gebäude 
aufgerichtet haben, ganz unbeachtet zu lassen; aber die Bausteine 
sind noch nicht das Gebäude. Die Wissenschaft beginnt erzählbar 
erst dann zu werden, wenn sie Wissenschaftslehre geworden ist. Erst 
von diesem Zeitpunkte an kann man hoffen wirkliche Überreste von 
Regeln und Vorschriften zu finden, welche es erlauben mit einiger 
Sicherheit und nicht in allem und jedem dem eigenen Gedankenfluge 
vertrauend Bericht zu erstatten. Mögen Schriftsteller früherer Jahr- 
hunderte ihre eigentlichen historisch-mathematischen Untersuchungen 
mit der Schöpfung begonnen haben den Worten der Schrift folgend: 
Aber du hast alles geordnet mit Maß, Zahl und Gewicht^). Uns be- 
ginnt eine wirkliche Geschichte der Mathematik mit dem ersten 
Schriftdenkmal, welches auf Rechnung und Figurenvergleichung Be- 
zug hat. 



*) Weißheit SalomoB XI, 22. 



I. Babylonier. 



Caktob, Oeeehicht« der Mftthemfttik I. S. Aufl. 



1. Kapitel. 
Die Babylonier. 

Es wird die älteste menschliche Erfahrang sein^ welche sich zur- 
zeit an das vorderasiatische Zweistromland knüpft^ in welchem be- 
stimmte Eönigsnamen bis auf eine Zeit zurückweisen , die fünfthalb- 
tausend Jahre Yor dem Beginne der christlichen Zeitrechnung liegt ^). 
Wenn wir auch von der politischen Geschichte der^ wie wir gleich 
sehen werden^ sich dort ablösenden Reiche nicht genauer berichten 
dürfen^ so ist uns die Oeschichte ihrer £ulturentwicklung um so 
wichtiger, insoweit sie Mathematisches betrifft, und diese wieder nötigt 
uns weniges von den mindestens zwei Volksstammen vorauszuschicken^ 
die dort in engste Verbindung traten und zu einem Mischvolke sich 
vereinigten, dessen Bildung nur Wahrscheinlichkeitsschlüsse dafür ge- 
stattet, welchem der Urstamme wir diesen oder jenen Bestandteil des 
später gemeinsamen Wissens gutschreiben sollen. 

Neuere Völkerkunde hat die Gegend der Hochebene Pamir*), 
etwa unter dem 38. Ghrade nördlicher Breite und dem 90. Grade öst- 
licher Länge gelegen, als das in Wirklichkeit freilich nichts weniger 
als paradiesische Paradies der orientalischen Sagen erkannt. Vier 
Gewässer fließen von ihr nach den vier Himmelsrichtungen ab, der 
Indus, der Heimund, der Ozus, der Yaxartes. Von dort zunächst, 
mutmaßlich noch weiter von Nordosten, von den Abhängen des 
erzreichen Altaigebirges, drangen Skythenvölker turanischen Stammes, 
ihrem Hauptbestandteile nach S um er i er"), herab, eine bereits ziem- 
lich entwickelte mathematische Bildung mit sich bringend, wie wir 
nachher sehen wollen. Sie setzten sich fest auf dem Hochlande von 
Iran, besonders in dem nördlichsten Teile, der später Medien genannt 



^) G. Maspero, Geschichte der morgenländischen Völker ita. Alterthmn 
nach der 2. Auflage des OriginalB und nnter Mitwirkung des VezfaBserB über- 
setzt von Dr. Rieh. Pietschmann. Leipzig 1877. C. Bezold, Niniteh und 
Babylon. Bielefeld und Leipzig 1908. *) Maspero-Pietschmann S. 128. 
^ Diesen Namen erkannt zu haben gehört zu den zahlreichen Verdiensten von 
J. Oppert. Über die Wanderung der Sumerier vergl. Maspero-Pietsch- 
mann S. 131. 

9* 



20 1- Kapitel. 

wurde. Die Sumerier drangen dann weiter südlich bis nach Chaldäa 
vor. Und ein zweites Volk kam ebendahin^). Es war, wie man 
früher ann^ahm, aus dem Lande Kusch aufgebrochen, welches man 
gleichfalls im Osten aber weiter südlich, etwa in Baktrien, suchte. 
Yon seiner Heimat führte es den Namen der Kuschiten und hatte, 
wie man glaubte, den eigenen Namen bei seiner Wanderung auf das 
Gebirge des Hindukusch übertragen, welches das Hochland von Iran, 
wo wir die Turanier Niederlassungen gründend fanden, von den Ebenen 
der Bucharei trennt. Heute ist man bezüglich der Wanderrichtung 
der Kuschiten der entgegengesetzten Meinung. Man nimmt an, sie 
seien von Westen gekommen und hätten ihre Heimat in Afrika, ge- 
nauer gesprochen in Ägypten, gehabt. Die Sumerier sprachen eine 
jener sogenannten agglutinativen Sprachen, in welchen alle möglichen 
Beziehungen vermittels neuer Bestandteile bezeichnet werden, die 
sich mit den Wurzeln nie verschmelzen, also nie das hervorbringen, 
was man Beugung zu nennen pflegt. Die Sprache der Kuschiten 
dagegen war dem Hebräischen und Arabischen sehr nahe ver^^andt, 
sie war eine semitische Sprache, und die meisten nehmen auch ge- 
radezu an, Semiten und Kuschiten seien nur zwei zu verschiedenen 
Zeiträumen zur Gesittung gelangte Teile ein und derselben Rasse. 

Die erste Begegnung von Sumeriem und Kuschiten auf chaldäi- 
schem Boden gehört in die vorgeschichtliche Zeit, ein Wort, dessen 
Geltungsgebiet gegen früher weit zurückverlegt ist, seitdem die Ent- 
zifferungskunde alter Denkmäler gestattet hat, selbst als mythisch 
geltende Zustände und Ereignisse näher zu beleuchten. Aber so weit 
man auch die Ziele der Geschichtswissenschaften stecken mag, sie 
reichen nicht weiter als schriftliche Aufzeichnung, und solche sind 
uns in Chaldäa nur aus der Zeit der erfolgten Vereinigung jener 
Volkselemente erhalten, geben über die Vereinigung selbst keinen 
Aufschluß. Dagegen wissen wir aus einheimischen und fremden 
schriftlichen Denkmälern mancherlei über die Schicksale des Misch- 
volkes. Sein staatlicher Verband blieb keineswegs unverändert, Haupt- 
städte und Pürstengeschlechter wechselten. Auf Ninive folgte Ba- 
bylon, auf dieses wieder Ninive als Herrschersitz. Das altassyrische, 
das babylonische, das zweite assyrische Reich lösten einander in ge- 
schichtlicher Bedeutung ab, in bald siegreichen, bald ungünstig ver- 
laufenden Kämpfen untereinander und mit den Nachbarvölkern, den 
Hebräern, den Phönikem, den Ägyptern, bis endlich das Perserreich 
alles verschlang. 

Wir haben einheimische Schriftdenkmäler erwähnt. Deren Schrift 



*) Maspero-Pietschmann S. 141 flgg. Bezold S. 22—23. 



Die Babylonier. 21 

war^ wie man annimmt, ursprünglich eine Bilderschrifl;, welche aber 
vermöge der gewählten Unterlage eine eigentümliche Umbildung er- 
fuhr. Man ritzte die Schriftzüge mittels eines Griffels in eine gleich- 
viel wie zur nachtraglichen Erhärtung gebrachte Tonmasse ein, und 
dadurch entstanden in Winkeln aneinander stoßende Eindrücke, welche 
man bei der Wiederauffindung nicht unglücklich als keilförmig be- 
zeichnet hat; es entstand die Keilschrift. Die meisten Fach- 
gelehrten glauben, die Keilschrift sei bereits den Sumeriem eigen- 
tümlich gewesen, doch mag sie entstanden sein, wo sie wolle, darüber 
ist kein Zweifel, daß sie in Chaldäa einer semitischen Sprache dienst- 
bar wurde, die somit wundersam genug von links nach rechts, statt 
wie in allen anderen Fällen von rechts nach links zu lesen ist, eine 
Erscheinung, auf welche wir gleich jetzt bei Erörterung der Zahl- 
zeichen der Keilschrift hinweisen müssen ^). Das Prinzip der Größen- 
folge wird nämlich ihr entsprechend, wo es zur Geltung kommt, ver- 
anlassen, daß wir die Zahlzeichen, welche den höheren Wert be- 
sitzen, stets links von denen zu suchen haben, welche mit niedrigerem 
Werte behaftet durch Addition mit jenen verbunden sind. 

Unter den vielfältigen Vereinigungen, welche aus keilförmigen 
Eindrücken sich bilden lassen, sind es vornehmlich drei, welche beim 
Anschreiben ganzer Zahlen benutzt wurden, der Yertikalkeil y, der 
Horizontalkeil »-, der aus zwei mit dem breiten Ende verschmolzenen^ 
die Spitzen nach rechts oben und unten neigenden Keilen zusammen- 
gesetzte Winkelhaken ^. Der Yertikalkeil stellt die Einheit, der 
Winkelhaken die Zehnzahl dar, and diese Elemente addierten sich 
durch Nebeneinanderstellung. Teils aus Gründen der Raumersparung, 
teils aus solchen der besseren Übersehbarkeit wurden oft mehrere 
Keile oder Winkelhaken übereinander in zwei bis drei Reihen ab- 
gebildet, stets höchstens drei Zeichen in einer Reihe. Blieb bei dieser 
Art der Zerlegung ein einzelnes Element übrig, so wurde dasselbe 
meistens in breiterer Form unter den übrigen beigefügt. Vielleicht 
kam auch die Beifügung eines solchen einzelnen Zeichens rechts von 
den übrigen vor, wie es durch das Gesetz der Größenfolge gestattet 
war, während ein additives Einzelelement links neben anderen in 
Reihen verbundenen gleichartigen Elementen jenem Gesetze wider- 



*) Wir haben diesen Gegenstand ausführlich und mit Verweisung auf 
Quellenschriften schon früher behandelt: Math. Beitr. Eulturl. S. 28flgg. Unsere 
gegenwärtige teilweise wörtlich übereinstimmende Darstellung dürfte dem 
heutigen etwas veränderten Standpunkte des Wissens über diese Dinge ent- 
sprechen. Mit den assyrischen Zahlwörtern beschäftigt sich George Bertin^ 
The Assyrian Numerais, abgedruckt in den Transactions of the Society of 
Biblical Archaeology Vol. VIT, pag. 370— 389. 



22 1. Kapitel. 

sprochen haben würde. Mit diesen Bemerkungen erledigt sich die 
schrifUiche Wiedergabe sämtlicher ganzer Zahlen unter 100, aber 
von dieser Zahl an, deren Zeichen ein Yertikalkeil mit rechts folgen- 
dem Horizontalkeile J^ ist, tritt eine wesentliche Veränderung ein. 
Zwar die Richtung der Zeichen im großen und ganzen, also der 
Hunderter, Zehner, Einer, bleibt wie vorher von links nach rechts 
abnehmend, aber neben der Juztaposition der Zahlteile Terschiedener 
Ordnung erscheint plötzlich ein vervielfachendes Verfahren, indem 
links vor das Zeichen von 100 die kleinere Zahl gesetzt wird, welche 
andeutet, wie viele Hundert gemeint sind. Die Vermutung wird da- 
durch sehr nahe gelegt, es sei infolge dieses multiplikativen Ge- 
dankens, daß 1000 durch Vereinigung des Winkelhakens, des Ver- 
tikal- und Horizontalkeils ^y^- als 10 mal 100 dargestellt werde. 
Aber dieses 1000 wird dann selbst wieder als neue Einheit benutzt, 
welche kleinere multiplizierende Koeffizienten links vor sich nimmt. 
Gemäß der Deutung unserer Assyriologen kam sogar „ein mal tausend^ 
vor, d. h. multiplikatives Vorsetzen eines einzelnen Vertikalkeils 
links von dem Zeichen für 1000, und jedenfalls erscheint 10 mal 
1000 als die gesicherte Bedeutung von ^^y>^, welches man nicht 
etwa 20 mal 100, d. i. 2000 lesen darf. Vielfache von 10000 werden 
als Tausender bezeichnet, mithin 30000 als 30 mal 1000, 100000 als 
100 mal 1000, indem 30, beziehungsweise 100 links von 1000 ge- 
schrieben sind. Eine höchst bedeutsame Tatsache tritt dabei zutage, 
diejenige nämlich, daß die Babylonier das Bewußtsein der Einheiten 
verschiedener dekadischer Ordnungen in viel höherem Maße hatten, 
als ihre Bezeichnungsweise der Zehntausender vermuten läßt. Wer be- 
sondere Zeichen für 10000, für 100000 zur Verfügung hat, wird 
natürlich 127000 in 100000 + 2 • 10000 + 7 • 1000 zerlegen, von 
den Babyloniem dagegen, denen solche besondere Zeichen fehlten, 
wäre mit höherer Wahrscheinlichkeit ein Anschreiben in der Form 
127 • 1000 zu erwarten. Nichtsdestoweniger bedienten sie sich jener 
für sie viel umständlicheren, aber mathematisch durchsichtigeren 
Schreibweise. Wenigstens ist 36000 in der Form 30 • 1000 + 6 • 1000 
wahrscheinlich gemacht und 120000 in der Form 100 • 1000 + 20 • 1000 
sichei^estellt. Bis zur Million scheint die Zahlenschreibung der 
Keilschrift sich nicht erstreckt zu haben; zum mindesten sind keine 
Beispiele davon bekannt^). 

Von Brüchen ist eine Bezeichnung der verschiedenen Sechstel, 



^) Man an t, Expose des eUments de la grammaire assyrienne. Paris 1868, 
pag. 81: Les inscriptions ne naus ont pas donne, jusqu'id du moins, de nombre 
superieur aux centaines de mille; le signe qui reprisente un mülum naits est 
encore inconnu. 



Die Babjlonier. 23 

^^^ T' Y' Y^ T' T ^lÄchgewießen worden, deren Entstehung nicht 
ersichtlich ist ^). Von den wichtigen Sexagesimalbrüchen müssen wir 
nachher in anderem Zusammenhange reden. 

Wir haben soeben gesagt, die Million sei bisher noch nicht auf- 
gefunden worden. Müssen wir bei diesem Ausspruche das Wort „bis- 
her'^ besonders betonen oder dürfen wir in der Tat eine solche Be- 
schränkung des Zahlbegriffes annehmen? Für die große Menge 
•der Bevölkerung scheint uns die letztere Annahme nicht bloß keine 
Schwierigkeit zu haben, sondern allgemein verbreitete Notwendigkeit 
zu sein. Bis auf den heutigen Tag, wo doch mit den Wörtern 
Million und sogar Milliarde nicht gerade haushälterisch umgegangen 
wird, ist der Begriff, wie viele Einheiten zu einer Million gehören, 
keineswegs vielen Menschen geläufig. Mancherlei Verdeutlichungen 
müssen diesen Begriff erst klarstellen. So hat z. B. am 13. Juni 
1864 die Direktion des Londoner Eristallpalastes den 10jährigen Be- 
stand jenes Gebäudes feierlich begangen. Damals wurde bekannt ge- 
macht, daß in jenem ersten Jahrzehnt der Palast von 15266882 
Menschen besucht worden war, und um eine Yeranschaulichung der 
Massenhaftigkeit der Zahl zu gewähren, ließ man auf weißes Baum- 
wollzeug eine Million schwarzer Punkte drucken. Jeder Punkt war 

Q 1 

TT Zoll breit und nur -^ Zoll von dem nächsten Punkte entfernt und 

doch bedeckten jene Punkte einen Flächenraum von 225 Fuß Länge 
auf 3 Fuß Breite, den Fuß zu 12 Zoll gerechnet. Daß in den jeden- 
falls weit geringfügigeren Yerkehrsverhältnissen einer um Jahrtausende 
isurückliegenden Zeit die Höhe der Zahlen noch viel früher zu einer 
Yergleichungslosigkeit verschwimmen mußte, welche wir eine dunkle 
Ahnung des mathematischen Unendlichgroßen nennen würden, 
wenn wir nicht befürchteten dadurch die Meinung zu erwecken, als 
«olle dadurch diesem Unendlichgroßen selbst ein solches Uralter ver- 
schafft werden, ist nur selbstverständlich. 

Vielfache Stellen biblischer Schriften, die nach dem Exile unter 
•der Einwirkung babylonischer Kultur entstanden zu sein scheinen, 
geben der Vermutung Raum, daß nur die beiden großen Zahlen 
1000 und 10000, sowie deren Vervielfältigung zur Schätzung aller- 
größter Vielheiten benutzt wurden. Saul hat Tausend geschlagen, 
David aber Zehntausend ^), heißt es in bewußter Steigerung. Tausend 
mal tausend dieneten ihm, und Zehntausend mal zehntausend standen 
vor ihm'), heißt es an anderer Stelle, und noch auffallender bei dem 



*) Oppert, Etalon des meaures asst^ennes. Pari« 1876, p. 35. •) I. Samuel 
18, 7. «) Daniel 7, 10. 



24 1. Kapitel. 

Psalmisten: Der Wagen Gottes ist Zehntausend mal tausend^). Auch 
steht nicht im Widerspruche, wenn der sterbende König David seine 
Schätze aufzählend erklärt: Siehe ich habe in meiner Armut ver- 
schafFt zum Hause des Herrn hunderttausend Zentner Goldes und 
tausend mal tausend Zentner Silbers ^), denn die Unmöglichkeit diese 
konkreten Zahlen buchstäblich zu nehmen, zwingt zur Auffassung, 
nur das unfaßbar Große seines Reichtums sei gemeint. Sollte eine 
noch größere Zahl bezeichnet werden, so mußten Vergleichungs- 
wörter dienen. Ich will Deinen Samen machen wie den Staub auf 
Erden; kann ein Mensch den Staub auf Erden zählen, der wird auch 
Deinen Samen zählen'). Oder: Wer kann zählen den Staub Jakobs?*) 
Und unter Anwendung eines anderen Bildes: Siehe gen Himmel und 
zähle die Sterne, kannst Du sie zählen? Also soll Dein Same 
werden^). Ja es wird unter Anwendung desselben Gedankens die 
Vollführung der unmöglichen Aufgabe nur dem Höchsten vorbehalten: 
Er zählet die Sterne und nennet sie alle mit Namen*). 

Auch anderswo finden wir, wenn wir Umfrage halten, außer- 
gewöhnliche Vielheiten durch die dritte und vierte Einheit des deka- 
dischen Zahlensystems angedeutet. In China wünscht das Volk, wenn 
es einen Großen des Reiches leben läßt, ihm 1000 Jahre, während 
der dem Kaiser allein zukommende Heilruf sich auf 10000 Jahre 
erstreckt^. Das altslavische Wort tma bedeutete sowohl 10000 als 
dunkel, während es im Russischen nur die letztere Bedeutung noch 
beibehalten hat^). 

Jedenfalls gehör^i Zahlzeichen, mag ihre Anwendung sich er- 
strecken so weit oder so wenig weit als sie will, zu Zeichen, welche^ 
niemals ganz entbehrt werden konnten, welche sicherlich dem Volke 
bekannt gewesen sein müssen, das die betreffende Schrift, hier die 
Keilschrift, überhaupt erfand. War dieses, wie man annimmt, das 
Volk der Sumerier, so mußte demnach ihm diejenige Bezeichnung 
der Zahlen, von der wir gesprochen haben, und die, wie wir noch- 
mals hervorheben, einen durchaus dezimalen Charakter trägt, bekannt 
gewesen sein. Um so auffallender ist es, daß in sumerischen Schrift- 
denkmälern, die von eigentlichen Mathematikern und Astronomen 
herzurühren scheinen, mit der dezimalen Schreibweise eine andere 
wechselt, beruhend auf dem Sexagesimalsysteme. 

Es wurde von einem englischen Assyriologen Hincks entdeckt*). 

^) Psalm 68, 18. *) I. Chronik 23, 14. «) I. Mose 13, 16. *) IV. Mose 
28, 10. *) I. Mose 15, ö. «) Psalm 147, 4. "*) De Paravey, Essai sur Vorigine 
unique et hieroglyphique des cht ff res et des lettres de tous les peuples. Paris 1826,. 
pag. 111. ®) Mündliche Mitteilung von H. Schapira. ^ E. Hincks in den 
Transactions of the B. Irish Academy. Polite Litterature XXII 6. pag. 406 flgg. 



Die Babylonier. 25 

In dem von ihm entzifferten Denkmale handelt es sich darum anzn- 
geben, wieviele Mondteile an jedem der 15 Monatstage, die vom be- 
ginnenden Mondscheine bis zum Vollmonde verlaufen^ beleuchtet seien. 
Es seien^ heißt es, an diesen 15 Tagen der Reihe nach sichtbar: 
5 10 20 40 1.20 

1.36 1.52 2. 8 2.24 2.40 
2.56 3.12 3.28 3.44 4 
Hincks erläuterte die rätselhaften Zahlen mit Hilfe der Annahme, 
die Mondscheibe sei als aus 240 Teilen bestehend gedacht worden, 
es bedeuten die weiter nach links gerückten Zeichen fQr 1, 2, 3, 4 
je 60 der Einheiten, denen die rechts davon stehenden Zahlen ange- 
hören, und die Beleuchtungszunahme folge nach Angabe der Tabelle 
an den fünf ersten Tagen einer geometrischen, an den folgenden 
Tagen einer arithmetischen Reihe. 

Daß diese Erklärung Licht über die betreffende Tabelle ver- 
breitet, ist unzweifelhaft. Unzweifelhaft ist es auch, daß sie dem 
Gesetze der Größenfolge Rechnung trägt, denn eine 60 bedeutende 
1 kann links von 20, von 36, von 52 auftreten, während eine Eins 
gleichen Ranges mit jenen Zahlen zu ihrer Linken nicht geschrieben 
werden durfte. Gleichwohl bedurfte es zur vollen Bestätigung der 
Auffindung neuer Denkmäler, und solche sind die Tafeln von 
Senkereh. Ein Geologe W. E. Loftus fand 1854 bei Senkereh 
am Euphrat, dem alten Larsam, zwei kleine auf beiden Seiten mit 
Keilschriftzeichen bedeckte leider nicht ganz vollständige Täfelchen ^). 
Solche Täfelchen sind, allerdings nicht entfernt vei^leichbaren In- 
haltes, vielfach gesammelt worden. Die eine konkave Seite ist immer 
als Vorderseite, die andere konvexe als Rückseite zu betrachten. 
Läuft der Text auf beiden Seiten fort, so muß zum Weiterlesen ein 
Umwenden über Kopf stattfinden. Die Täfelchen, aus Ton gebildet, 
wie fast überflüssigerweise bemerkt sein soll, sind in der Mitte am 
stärksten und verdünnen sich alsdann gleichmäßig gegen die Ecken. 
Diese Eigenschaft, vereinigt mit dem Umstände, daß der Rand bei 
der Zerbrechbarkeit des Stoffes nicht unter einen gewissen (Jrad von 
Dünne abnehmen durfte, gestattet bei Bruchstücken von einiger Be- 
trächtlichkeit, wie z. B. die erste der beiden Täfelchen von Senkereh 
uns darstellt, Schlüsse auf die Größe des abgebrochenen und ver- 



') Eine photographische Abbildung des einen Täfelchens ist der Abhand- 
lung von R. Lepsin 8, Die babylonisch-assyrischen Längenmaße nach der Tafel 
Yon Senkereh (Abhandlungen der Berliner Akademie für 1877) beigegeben. Li 
eben dieser Abhandlung finden sich genaue Zitate der verschiedenen Gelehrten, 
welche bei der Entzifferung beteiligt waren. Ebendort S. 111—112 Bemerkungen 
von Fr. Delitzsch über Gestalt und Anordnung solcher Täfelchen. 



26 1. Kapitel. 

mntlich nicht wieder aufzufindenden Teiles zu ziehen ^ welche zur 
Er^Lnzung des Inhaltes yon erheblichem Nutzen sein können. Das 
eine Täfelchen, und zwar das zweite nach der Bezeichnung, welche 
den Täfelchen bei der Veröffentlichung beigelegt wurde, enthielt auf 
Vorder- und Rückseite zusammen 60 Zeilen, die ein fortlaufendes 
Ganzes bilden. Jede einzelne Zeile enthält links und rechts Zahlen, 
zwischen denselben sumerische Wörter, unter welchen eines ibdi zu 
lesen ist. Rawlinson erkannte zuerst, daß hier die Tabelle der 
ersten 60 Quadratzahlen vorliegt, und daß ibdi Quadrat bedeutet. 
Die Anordnung ist eine solche, daß es zu Anfang heißt: 
1 ist das Quadrat von 1 
4 ist das Quadrat von 2 
9 ist das Quadrat von 3 
16 ist das Quadrat von 4 
25 ist das Quadrat von 5 
36 ist das Quadrat von 6 
49 ist das Quadrat von 7. 
Diese sieben Zeilen waren vermöge der schon früher erworbenen 
Kenntnis der Zahlzeichen der Keilschrift verhältnismäßig leicht zu 
lesen und aus ihnen der Inhalt der Tabelle zu entnehmen. Nun war 
selbstverständlich als folgende Zeile zu erwarten: 

64 ist das Quadrat von 8. 
Aber so fand es sich nicht, sondern statt dessen 

1-4 ist das Quadrat von 8 
und dann setzten sich die weiteren Zeilen fort 
1 • 21 ist das Quadrat von 9 
1 • 40 ist das Quadrat von 10 



58 • 1 ist das Quadrat von 59 
1 ist das Quadrat von 1. 
Diese ganze Fortsetzung konnte nur verstanden werden, wenn man 
den vereinzelt links auftretenden Zahlen eine sexagesimale Wert- 
steigerung beilegte, mithin 1-4 als 60 + 4, 1 • 21 als 60 + 21, 
58 . 1 als 58 X 60 + 1 las und die letzte Zeile als 1 x 60* ist das 
Quadrat von 1 X 60. So war die Vermutung von Hincks be- 
stätigt. Zur vollen Gewißheit wurde sie bei Entzifferung des ersten 
Täfelchens von Senkereh erhoben. Dessen Vorderseite ist für die 
Geschichte der Metrologie von imschätzbarer Wichtigkeit, indem sie 
eine freilich lückenhafte Vergleichung zweier Maßsysteme enthält, 
deren eines jedenfalls vollständig nach dem Sexagesimalsysteme ein- 
geteilt ist. Die Rückseite gibt uns in ihrem erhaltenen Teile die 
Kubikzahlen der aufeinanderfolgenden Zahlen von 1 bis 32, und 



Die Babylonier. 27 

es ist mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit anzunehmen, 
daß auf dem seitlich fehlenden Stücke der Tafel auch die Kuben der 
Zahlen 33 bis 60 gestanden haben werden. Die Anordnung ist durch- 
aus der der Quadratzahlentabelle nachgebildet. Auch hier treten regel- 
mäßig wiederkehrende Wörter in jeder Zeile auf, deren eines badie 
gelesen und Kubus übersetzt worden ist. Auch hier stehen am linken 
Anfang jeder Zeile höhere Werte als nach rechts zu, und zwar in 
den drei ersten Zeilen 1, 8, 27 links neben 1, 2, 3 rechts, von yom- 
herein die Vermutung erweckend, daß man es mit einer Kubik- 
zahlentabelle zu tun habe. Auch hier ist die Schreibweise eine sexa- 
gesimale, indem gleich die vierte Zeile 64 oder den Kubus von 4 durch 
1 • 4 darstellt. Von der 16. Zeile an geht diese Tabelle noch über 
die Sechziger hinaus. Ist doch 16« - 4096 = 1 X 60« + 8 X 60 + 16, 
und so steht zu erwarten, daß in dieser Zeile 1 • 8 • 16 als Kubus 
Ton 16 angegeben sein werde, eine Erwartung, die sich vollständig 
erfüllt. Die weiteren Zeilen liefern die Kubikzahlen der folgenden 
Zahlen bis dahin, wo es heißt: 7 • 30 ist der Kubus von 30, womit 
gemeint ist: 7 x 60* + 30 X 60 — 30«. Dann stehen noch in zwei 
aufeinanderfolgenden Zeilen rechts erhalten 31 und 32, während 
deren links zu suchende Kuben und alles weitere fehlt. Oanz ähn- 
liche Tafeln wurden in Kujundschik aufgefunden^). Die Schreiber 
der Tafeln von Senkereh und Kujundschik waren demnach im Besitz 
der an sich bedeutsamen Kenntnis von Quadrat- und Kubikzahlen, 
waren zugleich im Besitz eines folgerichtig ausgebildeten Sexagesimal- 
Systems mit wahrem Stellungswerte der einzelnen Rangordnungen, 
da die Punkte, welche wir zur größeren Deutlichkeit zwischen Einem 
und Sechzigern anbrachten, in der Urschrift; nicht vorhanden sind. 
Welcher Stufe des Sexagesimalsystems die geschriebenen Zahlen an- 
gehörten, wurde in den uns bekannt gewordenen Beispielen dem 
Sinne entnommen. Dem Sinne nach verstand man offenbar, daß 

1 ist das Quadrat von 1 
gelesen werden wollte: 1x60^ ist das Quadrat von 1x60; dem 
Sinne nach, daß 

7 . 30 ist der Kubus von 30 
heißen sollte: 7 x 60* + 30 X 60 ist der Kubus von 30 Einheiten. 
Wir müssen hier einen Augenblick verweilen. Die Wörter ibdi 
und badie bedeuten, sagten wir mit Rawlinson, Quadrat und Kubus. 
Damit ist die Beziehung gemeint, welche zwischen den rechts und 
links von diesen Wörtern stehenden Zahlen obwaltet. An und für 
sich könnte also 
81 ibdi 9 

») Bezold S. 96. 



28 1. Kapitel 

ebenso wie 

81 ist das Quadrat von 9 
auch bedeuten 

81 die Quadratwurzel davon ist 9^ 
und vielleicht wäre diese Übersetzung vorzuziehen. Die wörtliche 
Bedeutung des Stammes di, welcher sowohl dem ibdi als dem badie 
zugrunde liegt, ist unbekannt. Man weiß bis jetzt nur, daß di auf 
anderen Tafeln in Verbindung mit der bei Tieropfem wichtigen Unter- 
suchung der Leber des geschlachteten Tieres vorkommt^ dort also 
einer mathematischen Bedeutung entbehrt ^). Dort kann nur von dem 
die Bede sein, was in dem Tiere steckt, und erwägen wir, daß die 
Quadratwurzel in der Zahl steckt, so wäre damit ein Vergleichungs- 
punkt der beiden Arten des Vorkommens gefunden. 

Eine fernere Frage ist die nach dem Zwecke, welchen die bereits 
in zwei Exemplaren bekannten Zahlentafeln erfüllen sollten. Man hat 
sie Hilfstafeln bei der Vermessung von Feldern und Grundstücken 
genannt. Das mag ja zutreffen, aber in welchem Sinne? Quadrat- 
zahlen und Kubikzahlen eine unmittelbare Brauchbarkeit bei Ver- 
messungen zuzuweisen, fällt schwer. Felder in Gestalt von Quadraten 
gab es nur in den seltensten Fällen. Nicht der menschliche Wille 
allein gibt den Grundstücken ihre ümgrenzimg, die Bodenbeschaffen- 
heit tut dazu das meiste. Wir können diese an sich schon einleuch- 
tende Behauptung noch näher belegen. Pater Scheil hat einen 
Felderplan veröffentlicht, welcher aus der Zeit des Königs Ine Sin 
aus der zweiten Dynastie von ür etwa 2400 v. Chr. stammt. Kein 
einziges von den dort gezeichneten Feldern ist quadratisch, und wenn 
auch über die genaue Erklärung der auf dem Plane vorkommenden 
Zahlenangaben eine ziemlich weitgehende Meinungsverschiedenheit ob- 
waltet*), soviel ist doch gesichert, daß die Felder bald dreieckig, 
bald unregelmäßig viereckig aussehen, daß man deren Flächeninhalt 
durch Vervielfachimg von untereinander verschiedenen Zahlen zu er- 
mitteln suchte. 

Solche Vervielfachungen wurden ebenfalls um 2400 v. Chr. durch 
damals vorhandene Tabellen unterstützt. Professor H. V. Hilprecht*) 
hat bei den unter seiner Leitung vorgenommenen Ausgrabungen in 



') Mündliche Mitteilung von Herrn Bezold. *) Aug. Eisenlohr, Ein 
altbabyloniecher Felderplan nach Mitteilungen von F. V. Scheil. Leipzig 1896. 
Jul. Oppert, L'administration des domaineB, les comptes exacts et lea faux au 
cinquüme mülenium avant Vere chretienne. Paris 1899. Comptes Bendm des 
seances de l'Academie des inscriptions et des helles-kttres. ") Die Ausgrabungen 
der Universität von Pennsylvania im B^ltempel zu Nippur. Ein Vortrag von H. 
V. Hilprecht. Leipzig 1903. Vergl. besonders S. 59—60. 



Die Babjlonier. 29 

Nippur außer dem Stufentempel des Bä (dem babylonischen Turm) 
auch das damit verbundene Schulgebäude und die Bibliothek der 
Priesterschule bloßgelegt, welche letztere viele Tau sende von Tafeln 
enthielt In Beziehung auf diese heißt es: ^^Besondere Aufmerksam- 
keit wandte man dem Gebiete der Arithmetik, Mathematik und Astro- 
nomie zu. Zunächst wurde der Schüler im Gebrauche des Sexagesi- 
malsystems eingedrillt. Da heißt es 60 + 7 x 10 =- 2 x 60 + 10, 
60 + 8 X 10 — 2 X 60 + 20 usw. In geradezu phänomenaler Weise 
wurde das Einmaleins geübt. Wir haben eine ganze Menge dieser 
nach Serien eingeteilten Multiplikationstafeln, darunter mehrere Dupli- 
kate. Eine Tafel enthält das Einmalsechs (bis 60), eine zweite das 
Einmalneun. Ich habe derartige Tafeln bis 1 mal 1350 in den Händen 
gehabt.^' Wenn solche umfassende Rechenknechte, wie wir unter 
Benutzung eines unserer Gegenwart angehörenden Wortes uns aus- 
drücken wollen, vorhanden waren, dann muß eine nur Quadratzahlen, 
nur Kubikzahlen enthaltende gleichfalls in Duplikaten vorhandene 
Tafel ganz besonderer Zwecke wegen hergestellt worden sein, und 
als einen solchen Zweck glauben wir die Erkennung einer 21ahl als 
Quadratzahl, als Eubikzahl uns denken zu dürfen. 

Man hatte beispielsweise durch Vervielfachung 9 x 361 » 3249 
gewonnen und fand nun in der Tafel von Senkereh, das Quadrat von 
57 sei gleichfalls 3249. Damit wäre die vorhin von uns vorgeschlagene 



3249 die Quadratwurzel davon ist 57 
in zweckentsprechender Übereinstimmung. 

Jene gewünschte Verwandlung einer anders beschaffenen Figur 
in ein Quadrat, denn das ist doch am letzten Ende das hier vpraus- 
gesetzte Verfahren, konnte möglicherweise darin begründet sein, daß 
irgend eine Besteuerung von Feldern nicht nach Maßstab ihrer Flache, 
sondern nach Maßstab der Seite des flächengleichen Quadrates vor- 
genommen worden wäre, eine Vermutung, welche wir allerdings vor- 
läufig nicht zu stützen imstande sind. 

Hatten die Zahlentafeln von Senkereh den hier als denkbar ge- 
schilderten arithmetischen Zweck, dann konnten sie auch zu einer 
Interpolation dienen. Man sah, daß 3249 der Wurzelzahl 57, daß 
3364 der Wurzelzahl 58 entsprach, also mußte z. B. der Feldinhalt 
3300 einer Wurzelzahl entsprechen, welche zwischen 57 und 58 
lag. Im Verlaufe von Jahrhunderten konnte sich dieses Wissen 
zu immer genauerer Abschätzung irrationaler Quadratwurzeln ent- 
wickeln. 

Die andere Tafel von Senkereh stand aber, wir sind wohl oder 
übel zu dieser unausweichlichen Folgerung gezwungen, in ahn- 



30 1- Kapitel. 

lieber Beziehung zu der Lehre Yon den Kubikwurzeln wie die erste 
zu der von den Quadratwurzeln. 

Wir kommen noch zu einer dritten Frage. Wir sagten oben^ 
man habe 

7.30 badie 30 

so gedeutet^ daß 7 x 60^ + 30 x 60^ als Kubus von 30 erscheine, 
daß man dem Sinne nach verstand, daß so und nicht etwa 
7 X 60^ + 30 = 30* zu lesen war. Grenügte der Sinn auch zum Ver- 
ständnis, wenn Einheiten irgend einer Stufe zwischen den anzuschrei- 
benden fehlten? Wurde z. B. 7248 = 2 x 60« -h 48 nur 2 • 48 ge- 
schrieben und überließ man es dem Leser aus dem Sinne zu ent- 
nehmen, daß in der Tat 7248 und nicht 168 » 2'X 60 + 48 gemeint 
war? Die Tafeln beantworten uns diese Frage nicht, würden sie 
auch nicht beantworten, wenn die ganze erste Tafel unzerbrochen 
auf uns gekommen wäre, da unter sämtlichen Kubikzahlen bis zu 
59« ■= 57 X 60* + 2 X 60 + 59 keine einzige vorkommt, welche sich 
nur aus Einheiten der ersten und der dritten Stufe zusammensetzte. 
Und doch leuchtet die hohe geschichtliche Wichtigkeit dieser Frage, 
ob man das Fehlen von Einheiten einer mittleren Stufe besonders 
andeutete, sofort ein, wenn man ihr die nur der Form nach ver- 
schiedene Fassung gibt, ob, als die Tafeln von Senkereh entstanden, 
die Babylonier eine Null besaßen? Eine Null, das ist ja ein 
Symbol fehlender Einheiten! Ohne ein solches besaßen die Baby- 
lonier eine immerhin interessante, aber vereinzelte systemlose Be* 
nutzung des Stellenwertes. Mit einem solchen war von ihnen schon 
eine ausgebildete Stellungsarithmetik erfunden. Yon dem einen zu 
dem «ndem führt ein dem Anscheine nach kleiner, in Wahrheit un- 
ermeßlicher Schritt. Schon der Wunsch auf diese eine Frage eine 
Antwort zu erhalten, läßt die Veranstaltung weiterer Ausgrabungen 
in Senkereh zu einem wissenschaftlichen Bedürfhisse heranwachsen. 
Dort war allem Anscheine nach eine größere Bibliothek. Dort ver- 
muten Assyriologen wie A. H. Sayce eine erhebliche Menge von 
Tontafeln mathematischen Inhaltes ^). Dort würde die Geschichte der 
Mathematik möglicherweise wertvolle Ausbeute gewinnen. Fast mit 
Sicherheit läßt sich mindestens das Eine erwarten, daß Ausgrabungen 
zu Senkereh Datierungen liefern würden, welche es möglich machten, 
den Zeitpunkt, dem die Anfertigung jener Täfelchen entspricht, an- 
nähernd zu bestimmen. Gegenwärtig ist nur aus den Wörtern für 
Quadrat und fiir Kubus der Schluß zu ziehen, daß diese Werte, daß 
auch das Sexagesimalsystem den Sumeriem bekannt gewesen sein 



^) Briefliche Mitteilung des genannten Grelehrten. 



Die Babylonier. 31 

muß ^). Es ist dann weiter vielleicht die Folgerung erlaubt, daß jene 
Täfelchen vor der Regierung des Königs Sargon I. entstanden, weil 
damals das Sumerische bereits außer Übung geraten war. Sargon 
selbst ist ,,Saryukin, der mächtige König von Agana^^ nach inschrift- 
lich erhaltenem Titel *). Auf ihn folgte sein Sohn Naramsin, auf 
diesen die Königin Ellatbau und diese wurde durch Ghammuragas, 
König der Kassi im Lande Elam, entthront, von welchem die Kassiter- 
dynastie gestiftet wurde. Hier gewinnt die Forschung soweit festeren 
Boden, als es unter den Assyriologen sicher scheint, daß die Kassiter- 
dynastie bis etwa zu dem Jahre 1700 y. Chr. zurückgeht Sayce 
folgert auf diese Wahrscheinlichkeitsrechnung gestützt, daß die ISfel- 
chen von Senkereh etwa zwischea 2S00 und 1600 v. Chr. entstanden 
sein dürften*). 

Für eine wesentlich spätere Zeit können wir die Frage, ob die 
Babylonier eine Null in dem angegebenen Sinne, d. h. ein Mittel 
zur Kenntlichmachung einer Lücke in einer sexagesimal geschriebenen 
Zahl besaßen, allerdings bejahen. In astronomischen Schriften^ 
welche den drei letzten vorchristlichen Jahrhunderten entstammen, 
und in welchen fast Zeile für Zeile sexagesimal mit Stellungswert 
versehene Zahlenangaben vorkommen, findet man häufig Beispiele wie 

10 ± iL i?_. 

60 60» 60* 

Mitunter wird die Tatsache, daß der Bruch, welcher 60* im Nenner 
hätte, fehlt, dadurch angedeutet, daß, wie wir es in unserer Nachbildung 

nachahmten, die Brüche ^r und -^ etwas weiter voneinander entfernt 

abgebildet sind, als es der Fall wäre, wenn keine Lücke in den Sexa- 
gesimalbrüchen anzudeuten gewesen wäre. Mitunter ist aber ein die 
Lücke ausfüllendes aus zwei kleinen Winkelhaken bestehendes 
Zeichen % vorhanden^), ein Zeichen, welches auch in nicht mathe- 
matischen Texten vorkommt und dort mancherlei Zwecken dient, 
z. B. andeutet, ein Wort, welches auf einer Zeile nicht vollständig 
angeschrieben werden kann, setze sich auf der nachfolgenden Zeile fort 
Die soeben erwähnten Beispiele bestätigen, daß, wie Oppert schon 
früher gezeigt hat, das Sexagesimalsystem auch nach abwärts fOhrte, 
daß es Sezagesimalbrüche eneugte, deren Nenner durch die nach 
rechts vorrückende Stellung der allein geschriebenen Zähler erkenn- 



^) Delitzsch, Sobs, Ner und Sar. ZeitBcbi. Ägypt. 1878. *) Maspero- 
PietBchmann S. 194. *) Briefliche Mitteilung. *) Fr. Xav. Kugler, Die 
Babylonische Mondrechnnng. Eeilinschriftliche Beüagen Tafel IV und öfter 
(Freibnrg i. Br. 1900). 



32 1. Kapitel. 

bar sind. Dahin gehören die Unterabteilungen des sexagesimalen 
Maßsystems auf der Vorderseite des ersten Täfelchens von Senkereh, 
Yon welchem oben im Vorbeigehen die Bede war. 

Solchen Tatsachen gegenüber gehörte ein gewisser Mut dazu, 
die auf keinerlei urkundlicher Grundlage beruhende Meinung aus- 
zusprechen^), die Sumerier hätten ursprünglich ein Siebenersystem 
besessen und nachtraglich das Sechzigersystem hinzuerfunden, weil 
60 vielfach teilbar, 7 dagegen teilerlos war. Weit anmutender ist die 
Annahme^, es habe von den beiden großen Volksbestandteilen, welche 
in dem Zweistromlande ihre schon weit entwickelte Oeistesbildung 
yermischten, der eine ursprünglich ein Zehnersystem, der andere ein 
Sechsersystem besessen, und bei dem Zusammenwachsen beider Stamme 
habe sich das Sechzigersystem bilden können, welches ei^e Bezie- 
hungen zu beiden Grundzahlen, zu 10 und zu 6, an den Tag lege. Manches 
bleibt allerdings auch bei dieser Annahme recht rätselhaft, z. B. welchem 
Volke man die Erfindung des Sechsersystems zuschreiben und wie 
man diese Erfindung sich denken soll. Die von dem Urheber der 
Vermischimgstheorie (60 — 10 X 6) vorgeschlagene Erklärung, man 
habe an den Fingern gezählt und nach Erschöpfung der Finger einer 
Hand diese Hand zum Zeichen eines Ruhepunktes im Zählen ge- 
schlossen, führt unseres Ermessens zum Fünfersysteme (S. 8) und 
nicht zum Sechsersyst^me. 

Weitere Bestätigung durch die Überlieferung ist zwar nicht 
erforderlich, wo bestimmte Inschriften so deutlich reden. Gleichwohl 
lohnt es bei ihr Umfrage zu halten, was sie bezüglich babylonischen 
Rechnens überhaupt, was sie über das babylonische Sexagesimalsystem 
insbesondere uns zu sagen weiß. 

Strabo läßt in Phönikien die Rechenkunst entstehen'); Josephus 
hat deren Erfindusg den Chaldäern zugewiesen^), von welchen sie 
durch Abraham den Weg nach Ägypten gefunden habe, und Cedrenus, 
ein byzantinischer Geschichtsschreiber der Mitte des XI. S., nennt sogar 
Phönix, den Sohn des Agenor, der selbst Sohn des Neptun war, als 
Verfasser des ersten Buches über Philosophie der Zahlen (xegl tijv 
iQid'iirjtix'^v q>iXo6oq)Cav) in phönikischer Sprache^). Theon von 
Smyma im II. S. n. Chr. lebend sagt: bei Untersuchung der Planeten- 
bewegung hätten sich die Ägypter konstruktiver Methoden bedient. 



') H. von Jacobs, Das Volk der Siebener-Z&hler. Berlin 1896. 
^6. Eewitsch, Zweifel an der astronomischen und geometrischen Grundlage 
des 60 -Systems. Zeitschrift für Assyriologie XYIII, 73—96. Straßburg 1904. 
«) Strabon XVI, 24 und XVII, 3 (ed. Meineke pag. 1066 und 1099). 
^) Josephus, Antiquit. I cap. 8 § 2. ^) Cedrenus, Compendium Historiarum 
(ed. Xylander). Paris 1647, pag. 19. 



Die Babylonier. 33 

hätten gezeichnet, während die Ghalc^ler zu rechnen vorzogen, und 
Yon diesen beiden Völkern hätten die griechischen Astronomen die 
Anfänge ihrer Kenntnisse geschöpft^). Porphyrius, selbst in Syrien 
geboren und am Ende des III. S. schreibend, erzählt: von alters her 
hätten die Ägypter mit Geometrie sich beschäftigt, die Phönikier 
xQit Zahlen und Rechnungen, die Chaldäer mit den Lehrsätzen, die 
sich auf den Himmel beziehen^). 

Diese Überlieferungen bezeugen, daß man Ton einem hohen Alter 
der Rechenkunst in Yorderasien die Erinnerung bewahrt hatte. Ein 
Widerspruch gegen eine andere Sage, die neben der Geometrie auch 
die Rechenkunst in Ägypten entstehen ließ, kann uns in der Bedeutung, 
die wir solchen Überlieferungen beilegen, nicht irre machen. War 
doch in der Tat auch dort eine Rechenkunst vielleicht gleich hohen 
Alters zu Hause, und steht doch der Sage, Abraham habe Rechen- 
kunst und Astronomie aus Chaldäa nach Ägypten gebracht, die andere 
gegenüber, Belos, der Ahne eines lydischen Königsgeschlechtes, sei 
Führer ägyptischer Einwanderer gewesen^). Beide Bildungen, die des 
Nillandes, die des Enphratlandea, waren uralt; beide standen in ur- 
alter Berührung; beide beeinflußten das spätere Griechentum sei es 
unmittelbar, sei es mittelbar, und das Erfinderrecht, welches griechische 
Schriftsteller, je weiter wir aufwärts gehen, um so ausschließlicher 
den Ägyptern zuweisen, hängt wohl damit zusammen, daß Griechen 
in größerer Zahl weit früher nach den Hauptstädten von Ägypten, 
als nach denen von Yorderasien gelangten. Diese letztere Gegend 
kann kaum vor dem Alexanderzuge als genügend bekannt betrachtet 
werden. 

Spuren des babylonischen Sexagesimalsjstems in den Überliefe- 
rungen aufzufinden, wird uns gleichfalls gelingen, wenn wir nur richtig 
suchen. Wir werden nämlich hier nicht auf Äußerungen ganz 
bestimmter Natur fahnden dürfen, die Babylonier oder die Phönikier 
oder dieses oder jenes dritte Nachbarvolk seien Erfinder eines Zahlen- 
systems gewesen, welches nach der Grundzahl 60 fortschritt; wir 
werden uns begnügen müssen, der Zahl 60 und ihren Yielfachen als 
Zahlen unbestimmter Yielheit zu begegnen. Yon Sammelwörtem 
zur Bezeichnung unbestimmter Yielheiten war in der Einleitung (S. 5), 
Ton gewissen Zahlen als Yertretem einer unübersehbar großen Yiel- 
heit in diesem Kapitel (S. 23 — 24) schon die Rede. Allein neben 
den Ausdrücken unbestimmter Zusammenfassung, neben den Zahlen 



*) Theo Smyrnaeus (ed. Ed. Hiller). Leipzig 1878, pag. 177. ') Por- 
phyrius, De vüa Pythctgorica s. 6 (ed. Kiessliiig, pag. 12). ^ Diodor I, 
28, 29. 

Oahtob, Oetchichte der Mathematik I. 3. Aufl. 3 



34 ^' Kapitel. 

außergewöhnlicher Vielheit bilden kleinere ganz bestimmte Zahlen in 
dem Sinne einer nicht genan abgezählten oder abzuzahlenden Menge 
ein ganz regelmäßiges Vorkommen^). 

Die Zahlen 5^ 10, 20 als in den menschlichen Gliedmaßen be- 
gründet yertreten oftmals solche nnbestinmite Vielheiten. Die Zahl 3 
ist unbestimmte Vielheit in tQLöd^liog sowie in ter fdix (dreifach 
unglücklich, dreifach glücklich). Eben dahin gehört es, wenn der 
Chinese „die vier Meere'' statt alle Meere sagt, wenn wir Ton „unseren 
sieben Sachen^' statt von allen unseren Sachen reden, indem dort die 
vier Weltgegenden den Vergleichungspunkt zeigten^ hier die weit 
und breit besonders geachtete Zahl 7 mutmaßlich den 7 Tagen der 
Schöpfungswoche, die selbst mit den 7 Wandelsternen der alten 
Babylonier zusammenhängen dürften, ihre Heiligkeit und ihre häufige 
Anwendung verdankt An diesen wenigen Beispielen erkennen wir 
bereits, daß nicht jede beliebige Zahl als unbestimmte Vielheit gewählt 
wird, sondern, daß Gründe, die freilich nicht immer am Ti^e liegen, 
den Anlaß gaben, bald dieser bald jener Zahl die genannte Rolle 
zuzuweisen. So bildet 40 die unbestimmte Vielheit sämtlicher Völker 
ural-altaischer Abkunft^) bis auf den heutigen Tag. So waren es 
40 Amazonen, von denen die skjthische Sage berichtet. So ist im 
Märchen Ali Baba mit 40 Bäubem zusammengetroffen. So brachten 
die Hebräer 40 Jahre in der Wüste, Mose 40 Tage und 40 Nächte 
auf dem Berge Sinai zu. So dauerte der Regen, der die Sintflut ein- 
leitete, 40 Tage und 40 Nächte, und so sind noch viele andere 
biblische Stellen des alten wie des neuen Bundes, letztere wohl meistens 
bewußte Nachahmungen der ersteren, durch die Annahme zu erklären^ 
die in ihnen vorkommende Zahl 40 sei eine unbestimmte Vielheit. 
Wie aber 40 zu dieser Rolle kam, und zwar in ältester Zeit kam^ 
denn es sind gerade die ältesten Bibelstellen, welche ein unbestimmtes 
40 benutzen, das ist heute nicht bekannt. 

Ähnlicherweise kommt nun 60 mit seinen Vielfachen und einigen 
in ihm enthaltenen kleineren Zahlen als unbestimmte Vielheit vor^ 
aber immer und ausschließlich in solchen Verhältnissen, wo eine 
Beeinflussung von Babylon aus nachweisbar oder wenigstens möglich 
ist. Wir haben vor wenigen Zeilen von ältesten Bibelstellen ge- 
sprochen. Theologische Kritik hat nämlich aus Eigentümlichkeiten 



^) Über solche unbestimmte Vielheiten vergl. Math. Beitr. Knltorl. 146—148 
imd 861 — 362, wo anf verschiedene Quellen hingewiesen ist. Zu diesen kommt 
noch: Pott I, 119; dann Himly, Einige rätselhafte Zahlwörter (Zeitschr. d. 
morgenl. Gesellsch. XYIU, 292 und 381); Kaempf, Die runden Zahlen im 
Hohenliede (ebenda XXIX, 629—632) imd der Artikel: Zahlen von Kneucker 
in Schenkels Bibellexikon. *) Briefliche Mitteilung von Herrn Berth. Laufer. 



Die Babylonier. 35 

der Sprache^ der Glaubenssätze^ der Vorschriften usw. ein yerschie- 
denes Alter der in den 5 Büchern Mose vereinigten Erzählungen 
nachzuweisen gewußt. Sie hat beispielsweise festgestellt, daß der 
Sintflutsbericht der Bibel ein doppelter ist. Der älteren Erzählung 
gehört der Torerwähnte 40tägige Regen an. In dem jüngeren Berichte, 
der erst nach 535, d. h. nach der Rückkehr aus der babylonischen 
Oefangenschaft niedei^eschrieben sein soll, sind die Maße der Arche 
angegeben, 300 Ellen sei die Länge, 50 Ellen die Weite und 30 
Ellen die Höhe^). Die Länge und Weite der Arche in Berichten der 
Keilschrift scheinen auf 600 und auf 60 zu lauten^). Das goldene Götter- 
bild, welches König Nebukadnezar errichten ließ, war 60 Ellen hoch 
und 6 Ellen breit'). Um das Bett Salomos her stehen 60 Starke aus 
den Starken in Israel, und 60 ist die Zahl der Königinnen^). Ander- 
weitige ParallelsteUen gewährt die außerbiblische hebräische und 
chaldäische Literatur, von welchen wir nur der Reimzeile: „In des 
einen Hause 60 Hochzeitbälle, in des andern Kreise 60 Sterbefälle^^^) 
gedenken. Auch die griechische Literatur läßt uns keineswegs im 
Stiche. Den ionischen Truppen wird Ton dem Perserkönige der Befehl 
erteilt, an der Brücke über den Ister 60 Tage zu warten; Xerxes 
läßt dem Hellesponte 300 Rutenstreiche geben; Kyrus läßt den Fluß 
Gyndes, in welchem eines seiner heiligen Rosse ertrunken war, zur 
Strafe in 360 Rinsel abgraben. So nach Herodot*). Entsprechend 
berichtet Strabo: Man sagt, es gebe ein persisches Lied, in welchem 
die 360 Nutzanwendungen der Palme besungen würden^. Stobäus 
läßt durch Oinopides und Pythagoras ein großes Jahr von 60 Jahren 
einrichten^), und wir werden später sehen, daß diese Philosophen als 
Schüler morgenländischer Weisheit betrachtet wurden. Vielleicht ist 
damit die freilich von unserem Berichterstatter, Pausanias, anders 
begründete Sitte in Zusammenhang zu bringen, daß das Fest der 
großen Dädala mit den Platäem auch von den übrigen Böotem alle 
60 Jahre gefeiert wurde: denn so lange war nach der Sage das Fest 
zur Zeit der Vertreibung der Platäer eingestellt*). 



^) I. Mose 6, 5. *) Le po^me Chaldäen du däluge traduit de raBsjrien par 
Jules Oppert (Paris 1885) pag. 8: Le navire que tu bätiras, xnesurera un ner 
d'empans en longueur, un sass d'empans sera le compte de sa hauteur et de sa 
largeur. Es ist nicht ohne Interesse, daß diese Angaben mit denen der Bibel 
zusammentreffen, sobald man annimmt, die babylonische Einheit sei die Hälfte 
der biblischen Elle gewesen. ') Daniel 8, 1. *) Hohes Lied 8, 7 und 6, 8. 
') Dieses Beispiel und mehrere andere namentlich bei Kaempf in dem oben- 
erwähnten Aufsatze Zeitschr. d. morgenl. Gesellsch. XXIX. ') Herodot lY, 98; 
Vn, 86; I, 189 und 202. ') Strabo XVII, 1, 14. «) Stobaeus, Eclog. Phys. I, 
9, 2. ^) Pausanias, IX, 8. 



36 1- Kapitel. 

Endlich gehört sicherlich eine Stelle des Hesjchios hierher, Saros 
sei eine Zahl bei den Babyloniem ^). Mit dieser Stelle haben wir den 
Bückweg zu den Schriftdenkmälern der Babylonier gewonnen, aus 
welchen unser Oewährsmann unmittelbar oder mittelbar geschöpft haben 
muß. Die Sprache der Babylonier enthielt nämlich nicht bloß das 
Wort Sar mit einer Zahlenbedeutung, welche allseitig als 3600 y er- 
standen wird, sondern auch noch Ner mit der Bedeutung 600 und 
So SS mit der Bedeutung 60. 

Wir si^en ausdrücklich Soss, Ner, Sar haben diese Zahlenbedeu- 
tung, weil wir vermeiden wollen sie Zahlwörter zu nennen. Sie 
gehören eben zu den Wortformen, deren es in anderen Sprachen auch 
gibt, welche mit Zahlenwert yersehene Nennwörter sind, wie unser 
Dutzend » eine Anzahl von 12, Mandel = eine Anzahl von 15, 
Schock =» eine Anzahl von 60, aber beim eigentlichen Zählen, ins- 
besondere beim Bilden größerer Zahlen, nicht anderen Zahlwörtern 
gleich benutzt werden. Oanz in derselben Weise wie das wohl nur 
zufällig lautverwandte Schock bezeichnet Soss eine Anzahl von 60 
irgendwelcher als Einheit gewählter Gegenstände. Das Ner ist so 
viel wie 10 Soss, der Sar so viel wie 60 Soss, aber immer unter 
Voraussetzung konkreter Einheiten. So stellt ims der Soss, der Sar 
die nächsthöheren Stufen des aufsteigenden Sexagesimalsystems vor, 
welche auf die Einheiten folgen, und die Frage bleibt eine offene, 
ob es noch Namen über diese hinausgab, ob es etwa ein Wort gab 
für 60 Sar, d. h. für eine Anzahl von 216 000. Was über die den 
Babyloniem in ihrer Allgemeinheit wohl anhaftende Beschrankung des 
Zahlenbegriffes S. 23 gesagt wurde, genügt keineswegs diese Frage 
beiseite zu schieben, denn wir stellen sie nicht mit Bezug auf 
bürgerliche, sondern auf wissenschaftliche Rechenkunst. Der Soss 
freilich, und wohl auch der Ner, sind zum gemeinsamen Volkseigen- 
tume geworden.. Ersterer in mathematischen Schriften, wie z. B. in 
den Tafeln von Senkereh, durch einen Einheitskeil bezeichnet, wel- 
chem die Stellimg den Bang erteilte, scheint auch sonstigen Inschriften 
in der Weise sich eingefügt zu haben, daß der Vertikalkeil links von 
Winkelhaken stehend, zu welchen er dem Gesetze der Größenfolge 
halber nicht einfach addiert werden konnte, und welche er als Einheit 
vervielfachen zu sollen keine Veranlassung besaß, die Bedeutung von 



') Auf diese Stelle hat J. Brandis in seinem yortreff liehen Werke: Das 
Münz-, Maß- und Gewichtswesen in Yorderasien bis auf Alexander d. Großen, 
Berlin 1866, aufmerksam gemacht. Für den Mathematiker von besonderem 
Interesse sind S. 9, 15, 595. Parallelstellen zu Hesychios bei Suidas und Syn- 
kellos vergl. in dem Aufsatze von Fr. Delitzsch, Soss, Ner, Sar. Zeitschr. 
Ägypt. 1878, S. 56—70. 



Die Babylonier. 37 

SoBS, d. i. also von 60 gewann^ wie in mathematischen Schriften ond 
80 sich addierte^). Freilich ist auch diese Behauptung, wie so manche 
andere, die sich auf Entzifferung Ton Keilschrift bezieht, noch 
bestritten, und der einzelne links ron Winkelhaken befindliche 
Vertikalkeil wurde Ton Oppert und Lenormant als 50 gelesen, eine 
Auffassung, an welcher aber Oppert jedenfalls nicht mehr hartnackig 
festgehalten hat. 

Wir haben oben (S. 32) uns der Ansicht angeschlossen, das 
Sezagesimalsystem sei aus der Vermischung eines Sechsersjstems 
mit einem Zehnersystem entstanden, welche beide dem Sechziger- 
systeme sich ein- und unterordnen konnten. Damit fallt die Annahme, 
der wir selbst früher huldigten, die Grundzahl 60 sei durch Sechs- 
teilung der 360 Orade des Kreises entstanden, und diese hatten den 
360 Tagen eines alten Sonnenjahres entsprochen. Man hat den sehr 
richtigen Einwand erhoben'), man habe doch das Zählen und An- 
schreiben der kleineren Zahlen gekannt und benutzt, bevor man zu 
360 gelangte, man bilde kein Zahlensystem durch Verkleinerung, 
sondern allenMls durch Vergrößerung einer rorhandenen Ghnmdzahl, 
man könne also nicht den Gedankengang eingeschlagen haben, daß 
man zuerst 360 und dann 60 als rechnerischen Buhepunkt benutzte. 
Man hat den ferneren Einwand erhoben, die Mangelhaftigkeit einer 
Sonnenbahn ron nur 360 Tagen müsse sehr frühzeitig erkannt worden 
sein und müsse die Notwendigkeit von mindestens 5 Zusatztagen er- 
zeugt haben; das Jahr yon 360 Ti^en sei nur ein Rechnungsjahr 
gewesen, und zwar deshalb gewesen, weil man 6 X 10 » 60 als Grund- 
zahl besaß, wodurch ebensowohl 6« X 10 = 360 als 6 x 10* = 600 
in den Vordergrund arithmetischen Denkens treten mußten. 

Damit fallen auch die anderen Versuche, welche gemacht worden 
sind^) das Sexagesimalsystem astronomisch herzuleiten. Aber nicht 
als hinfällig können wir betrachten, was wir ein Eindringen des 
Sexagesimalsystems in die Astronomie und Geometrie der Babylonier 
nennen möchten. 

Das Sexagesimalsystem der Babylonier hängt, glauben wir, mit 
astronomisch-geometrischen Dingen zusammen. So ungern wir ron 
unserer Absicht der Geschichte der Astronomie in diesem Werke fem 
zu bleiben abweichen, hier müssen wir eine kleine Ausnahme inso- 
weit eintreten lassen, als wir von dem Altertum babylonischer Stem- 



')LepBiu8, Babylonisch-assyrische Längeimiaße (Abhandl. Berlin. Akademie 
1877) S. 142—148. *) Kewitsch in der Zeitechxift für Assyriologie Bd. XYm. 
Strafibnrg 1904. ^ F. Ginzel, C. Lehmann, H. Zimmern haben solche 
Versuche angestellt. 



38 1. Kapitel. 

künde wenigstens einiges berichten^). Mag man die Hunderttausende 
Yon Jahren, durch welche hindurch Plinius anderen Berichterstattern 
folgend babylonische Beobachtungen ai^estellt sein läßt^ belächeln; 
mag man zunächst auch den 31000 Jahren ror Alexander dem Großen 
mit ungläubigster Abwehr gegenüberstehen, aus welchen nach Por- 
phyrius eine Beobachtungsreihe durch Eallisthenes an Aristoteles 
gelangte; folgende Dinge stehen fest: Elaudius Ptolemäus, der Verfasser 
des Almagesty wußte von einer babylonischen Liste von Mondfinster- 
nissen seit 747. Die Sonnenfinsternis yom 15. Juni 763 ist in den 
assyrischen Reichsarchiven angegeben. Für König Saigon, der etwa 
3700 y. Chr. gelebt haben mag, ist ein astrologisches Werk yerfaßt, 
welches der englische Assyriologe Sayce entziffert und übersetzt hat. 
Für eine sehr bedeutende Anzahl yon Jahrestagen ist in diesem 
Werke, welches wir am deutlichsten als Vorbedeutungskalender be- 
zeichnen, erörtert, welche Folge eine gerade an diesem Tage eintretende 
Verfinsterung haben werde. Man überlege nun, welches statistische 
Material an Verfinsterungen und ihnen folgenden Ereignissen nötig 
war, um ein solches Wahrscheinlichkeitsgesetz, welches man selbst- 
yerständlich für unfehlbare Wahrheit hielt, herzustellen; selbst wenn 
manche Ereignisse nicht der Erfahrung sondern der Einbildungskraft 
des Verfassers des Kalenders entstammten, so wird man so yiel 
zuzugeben geneigt sein, daß wahrscheinlich mehrere tausend Jahre 
yor Alexander eine babylonische Astronomie bestand, daß es unter 
allen Umständen zur Zeit yon König Sargon eine beobachtende Stern- 
kunde der Babylonier gab, die damals das Kalenderjahr längst besaßen. 
Babylonisch und zwar aus ähnlich alter Zeit dürfte auch die 7tägige 
Woche sein, welche, wie wir schon gelegentlich bemerkt haben, in 
der biblischen Schöpf ungswoche sich widerspiegelt, während sie der 
Anzahl der bekannten Wandelsterne ihren eigentlichen Ursprung yer- 
dankt. Auf die babylonische Heimat weisen die 7 Stufen yerschiedenen 
Materials hin, welche den Tempel des Nebukadnezar bildeten, dessen 
Trümmer in Birs Nimrud begraben wurden, und der, wie manche 
glauben, der Sprachenturm der Bibel war. Ebendahin weisen uns die 
7 Wälle yon Ekbatana^), und die Macht der Planetengötter über das 
menschliche Geschlecht und dessen Schicksale bildete einen Teil der 
babylonischen Vorbedeutungswissenschaft*). Babylonisch ist dann 
weiter die Einteilung des Tages in Stunden. Hier freilich ist eine ganz 

') Eine sehr übersichtliche Zusammenstellung aller Quellen bei A. H. Sayce, 
21te (Mtranomy and astrology of the Babylonians witÄ translations of tlie tableis 
relating to these suijeets in den Transactions of the society of biblical Ärchaeology, 
VoL III, Part. 1. London 1874. Vergl. auch das Programm von A. Häbler, 
Astrologie im Alterthum, 1879. *) Herodot I, 98. ») Diodor II, 80. 



Die Babylonier. 39 

bestimmte Kemituis des SachTerkaltes nicht yorhanden, deim wenn 
Herodot uns ausdrücklich sagt^ die Babylonier hatten den Tag in 
, zwölf Teile geteilt^), so sprechen andere Gründe für eine Teilung 
des Tages in 60 Stunden, und man hat versucht sich damit zu hei- 
fen, dafi man die 12 büi^rlichen Stunden, welche den Tag ohne die 
Nacht ausfüllten, von einer wissenschaftlichen Einteilung zu astro- 
nomischen Zwecken unterschied^). Die Vermutung, man habe in 
Babylon den Tag in 60 Stunden geteilt, beruht yomehmlich auf zwei 
Oründen. Erstlich wendet Ptolemäus bei der auf Hipparch und auf 
die Ghaldäer Bezug nehmenden Berechnung der Mondumläufe die 
Sechzigteüung des Tages an^), und zweitens teilten die Yedakalender 
•der alten Inder gleichfalls den Tag in 30 muhürta, deren jeder aus 
2 nddikä bestand, so daß 60 Teile gebildet wurden^). Indische 
Astronomie weist aber vielfach mit zwingender Notwendigkeit auf 
babylonische Beeinflussung zurück. Die Dauer des ^.ngsten Tages 

-z. B. wurde in dem Yedakalender auf 18 muhüriaf d. h. also auf 

18 

ÖQ Tageslängen oder 14^24°^ angegeben. Ptolemäus in seiner Geographie 

bezeichnet sie zu 14^25" für Babylon. In chinesischen Quellen er- 
scheint dieselbe Dauer in Gestalt von 60 KliCy deren jeder 14" 24* 
betragt^). Die Dauer des längsten Tages ist aber selbstverständlich 
als von der Polhöhe abhängig nicht aller Orten gleich; femer waren 
in so* weit zurückliegenden Zeiten die Beobachtungen wie die daran 
.sich knüpfenden Rechnungen nicht so feiner Natur, daß fast identische 
Ei^ebnisse an verschiedenen Orten zu erwarten wären. Die Wahr- 
scheinlichkeit ist daher nicht zu unterschätzen, daß die Zahlenangabe 
für den längsten Tag sich von einem der drei Pimkte nach den 
beiden anderen verbreitet haben werde und zwar so, daß Babylon als 
Verbreitungsmittelpunkt zu gelten hätte ^). In Indien haben übrigens 
Zeitmesser, welche auf der Einteilung des Tages in 60 Teile beruhen, 
bis auf die heutige Zeit sich erhalten, und der deutsche Reisende 
Herm. Schlagintweit war in der Lage der Münchner Akademie 
•eine solche Uhr vorzuzeigen. Sie besteht aus einem Abschnitte einer 
Hohlkugel aus dünnem Kupferblech, welcher unten fein wie mit einem 



*) Herodot U, 109. *) Lepsius, Chronologie der Ägypter S. 129, Note 1. 
') Ptolem&ns, Almagestnm lY, 2. ^) Lassen, Indische Altertumskunde pag. 823. 
A. Weber, Über den Yeda-Kalender genannt Jyotischam (Abhandl. Berlin. Akad. 
1862), S. 106. ^) Biot, PrMa de Vastranomie Chinoise. Paris 1861, pag. 29. 
*) A. Weber in den Monatsber. Berlin, Akad. 1862, S. 222 und in der vorzitier- 
ten Abhandlung S. 14 — 16 und 29 — 30. Yergl. auch desselben Verfassers: Vedische 
Kachrichten von den Nazatra ü. Teil (Abhandl. Berlin. Akad. 1862), S. 362. 
Entgegengesetzter Meinung sind Whitney und G.«Thibaut. Yergl. des letz- 
teren: Contr%buti(m8 to the explancUion of the Jyotisha-Veddnga, pag. 13. 



40 1. Kapitel. 

Nadelstich durchlöchert ist. Setzt man diese Vorrichtung auf Wasser, 
80 füllt sich die Kugelschale allmählich an und sinkt nach bestimmter 
Zeity-etwa nach anderthalb mühurta, unter hörbarem Zusammenklappen 
des Wassers über ihr, unter ^). 

Aus dieser ganzen Erörterung geht soviel henror, daß die 
Astronomen Babylons die Zahl 60 mehrfach benutzten, und daß, wenn 
ihnen eine Einteilung des Kreises in 360 Ghrade geläufig war, diese 
Einteilung von Laien so gedeutet werden konnte, daß jeder Grad den 
Weg zu TersinnHchen bestimmt war, welchen die Sonne bei ihrem 
vermeintlichen Umlaufe um die Erde jeden Tag zurücklegte'). Wollte 
man nun von dieser Kreisteilung, von diesen Graden, wieder größere 
Mengen zusammenfassen, so lag es nahe, den Halbmesser auf dem 
Kreisumfang herumzutrf^en. Man erkannte, wie wir fürs erste uns 
zu glauben bitten, die Begründung uns bis zum Schlüsse des Kapitels 
versparend, wo wir uns mit baylonischer Geometrie beschäftigen 
müssen, daß ein sechsmaliges Herumtragen des Halbmessers als Sehne 
den Kreis vollständig bespannte und zum Ausgangspunkte zurück- 
führend dem regelmäßigen Sechsecke den Ursprung gab. Dann aber 
enthielt jeder dieser größeren von einem Halbmesser bespannten 
Bögen genau 60 Teile und faßte man sie besonders ins Auge, so war 
damit wieder die Sechzigteilung, war zugleich die Sechsteilung ge- 
wonnen. Letztere klingt in den Wörtern siba großes sechs = 7 und 
samrna = 6 -f 2 -- 8 wieder") und könnte auch in den so häufig 
wiederkehrenden Sechsteln (S. 23) sich erhalten haben. Der Ursprung 
der Sechzigteilung kann dabei sehr leicht in Vergessenheit geraten 
sein, so daß man beispielsweise in jener Mondbeleuchtungstheorie (S.25) 
den vierten Teil der Mondscheibe in 60 Teile zerlegte, während man 
den Graden entsprechend 90 solcher Teile im Quadranten ange- 
nommen hätte, wenn nicht, wie wir sagten, der Ursprung der Sech- 
zigteilung bereits vergesöen gewesen wäre. 

Wir haben (S. 37) angedeutet, das Ner von 600 = 6 X 10^ habe 
leicht in das Sexagesimalsystem der Babylonier Eingang finden können. 
Wie mag man sich seiner bedient haben? Wollen wir unsere Ver- 
mutung über diesen Gegenstand erörtern, so müssen wir über das 
Rechne der Babylonier einiges vorausschicken. Daß sie rechneten, 
viel und gut rechneten, wissen wir bereits. Daß die Ergebnisse ihres 

») Sitzungsbericht der math. phys. Klasse d. bair. Akad. d. Wissenschaft, 
in München für 1871, S. 128 ^gg, *) Diese Hypothese über den Ursprung der 
Eieiseinteilung in 360 Grade ist zuerst von Formal eoni, Saggio suUa nantica 
antica dei Veneziani (Venedig 1788) ausgesprochen worden, wie S. Günther» 
Handbuch der mathematischen Geographie (Stuttgart 1890), S. 178, Note 1 
berichtet. *) Bertin 1. c. p. S83. 



Die Babylonier. 41 

wissenschaftlichen Rechnens im Sexagesimalsysteme niedei^eschrieben 
wurden, wissen wir gleichfalls. Aber wie gelangte man zu diesen 
Ergebnissen? Nach dem, was wir in der Einleitung (S. 6) auseinan- 
dergesetzt haben, werden unsere Leser sich nicht erstaunen, wenn wir 
für die vorderasiatischen Völker der alten Zeiten ein Fingerrechnen 
tmd ein instrumentales Rechnen in Anspruch nehmen, allerdings mehr 
auf allgemeine Notwendigkeit als auf besondere Zeugnisse uns stützend. 
Für das Fingerrechnen steht eine vereinzelte Notiz zu Gebote, der 
Perser Orontes behaupte, der kleine Finger bedeute sowohl eine 
Myriade als Eins^), sowie die Erwähnung dieses Verfahrens bei Schrift- 
stellern, welche mit der Geschichte jüdischer Wissenschaft sich be- 
schäftigt haben ^. Noch schlimmer vollends steht es mit der äußeren 
Begründung des babylonischen Rechenbrettes, für welches nur 
der einzige umstand geltend gemacht werden kann, daß bei den 
Stämmen Mittelasiens bis nach China hinüber ein Rechenbrett mit 
Schnüren zu allen Zeiten in Übung gewesen zu sein scheint, während 
gerade in jener Gegend eine Veränderung der Sitten und Gebräuche 
wenigstens in geschichtlich genauer bekannter Zeit so gut wie nicht 
vorgekommen ist, während andererseits für babylonisch-chinesische 
Beziehungen ältester Vergangenheit neben dem, was vorher von der 
Dauer des längsten Tages gesagt wurde, noch eine andere bedeutungs- 
volle Ähnlichkeit uns nachher bescl^ftigen wird. Gibt man uns auf 
diese ziemlich unsichere Begründung, deren einzige Unterstützung wir 
im 4. Kapitel in einem griechischen Vasengemälde erlangen werden, 
zu, daß die Babylonier eines Rechenbrettes sich bedient haben müssen, 
weil diese Annahme schließlich immer noch naturgemäßer ist, als 
wenn man voraussetzen wollte, es seien alle Rechnungen von ihnen 
ohne dergleichen Hilfsmittel vollzogen worden, so schließen wir 
folgendermaßen weiter^). Das Rechenbrett, auf dessen Schilderung 
wir im 2. Kapitel zurückkommen werden, muß naturgemäß dem 
herrschenden Zahlensystem sich anschließen, und wo es zwei Zahlen- 
systeme gibt, ein Dezimal- und ein Sexagesimalsystem, da müssen 
auch zweierlei Bretter existiert haben, oder aber es muß die Möglich- 
keit geboten worden sein auf demselben Brette bald so, bald so zu 
rechnen. Die Veränderung bestand im letzteren Falle z. B. darin, 
daß man bald mehrerer bald weniger Rechenmarken sich bediente. 
So forderte das Rechenbrett des Dezimalsystems für jede Rangord- 
nung höchstens 9 Marken, während dasjenige des Sexagesimalsystems 



*) Pott n, 86 nach Suidaa. *) Friedlein in der Zeitßchr. Mathem. Phys. 
IX, 329. ') Vergl. uuBere Rezension von Opperts Etaion des mesures assyriennes 
in der Zeitschr. Math. Phys. XX, Histor. literar. Abtlg. 161. 



42 1. Kapitel. 

die Notwendigkeit in sich schloß bis zu 59 Einheiten jeder Rang- 
ordnung anlegen zu können. Ebenso.yiele Marken auf dem Baume, 
welcher für je eine Rangordnung bestimmt war, unmittelbar zur An- 
schauung zu bringen ist geradezu unmöglich. Alle Übersichtlichkeit 
und mit ihr die Brauchbarkeit des Rechenbrettes ging verloren, wenn 
nicht auf ihm in diesem Falle innerhalb des Sexagesimalsjstems das 
Dezimalsystem zu Hilfe gezogen wurde. Das aber hatte so wenig 
Schwierigkeit, daß ähnliche Vorrichtungen, wie wir sie jetzt beschrei- 
ben wollen, nur in etwas veränderter Anwendung uns wiederholt 
begegnen werden. Wir denken uns in jeder Stufenabteilung des 
Rechenbrettes zwei Unterabteilungen, eine obere und eine untere. 
Jene etwa sei für die Einer, diese für die Zehner der betreffenden 
Ordnung bestimmt. Jene bedarf zur Bezeichnung aller vorkommen- 
den Zahlen 9, diese 5 Marken. Um nun die obere Abteilung der 
ersten Stufe von der unteren in der Sprache zu unterscheiden, hatte 
man die althergebrachten Namen Einer und Zehner. In der folgen- 
den Stufe stand für die Marken der oberen Abteilung der Naipe Soss, 
für die der unteren der Name Ner zur Verfügung, beziehungsweise 
diese Namen wurden zum Zwecke der Benennung der Abteilungen 
erfunden. In der dritten Stufe ist uns nur Sar als Name der oberen 
Abteilung bekannt. Für die untere Abteilung, deren Einheit 10 Sar 
oder 36000 betrug, müßte, wenn unsere Annahmen richtig sind, 
gleichfalls ein Wort erfunden worden sein. Freilich ist ein solches 
noch nicht bekannt geworden^ aber auch Rechnungen sind noch nicht 
bekannt geworden, in welchen innerhalb des Rahmens des Sexagesi- 
malsjstems Zahlen über 36 000 sich ergaben und schriftlich aufge- 
zeichnet werden mußten; solche Rechnungen dürften überhaupt zu 
den Seltenheiten gehöi*t haben. Eine Zeitdauer von 36000 Jahren 
scheint Berosus allerdings den Babyloniern als besonders hervorge- 
hobenen Zeitraum zuzuschreiben^). 

Wir haben die Besprechung einer bedeutungsvollen Ähnlichkeit 
zugesagt, welche auf babylonisch -chinesische Beziehungen deute. 
Eigentlich ist es eine Ähnlichkeit zwischen Zahlenträumereien der 
Griechen und der Chinesen. Bei Plutarch wird den Pythagoräem 
nacherzählt, die sogenannte* Tetraktys oder 36 sei, wie ausgeplaudert 
worden ist, ihr höchster Schwur gewesen; man habe dieselbe auch 
das Weltall genannt als Vereinigung der vier ersten Geraden und 
Ungeraden «), d. h. 36 « 2 -h 4 + 6 -|- 8 -f- 1 -f 3 -f 5 + 7. Diese 
heilige Vierzahl läßt Plutarch an einer zweiten Stelle durch Piaton 



^) Biandis, Das Münz-, Maß- und Gewichtssyetem in Yorderasien S. 11. 
*) Plutarch, De Iside et Osiride. 75. 



Die Babjlonier. 43 

zu 40 er^Lnzt werden^). Gewiß ist dieses eine onfrachtbare und 
darum nicht naturgemäß sich wiederholende Spielerei. TJm so auf- 
fallender muß es erscheinen^ wenn in China das erstere System dem 
Kaiser Fu hi, das zweite yoUkommenere dem Oü wang, dem Vater 
des Kaisers Oü wäng^ der um 1200 y. Chr. regiert haben soll; als 
Erfinder zugewiesen wird ^). Chinesische Bückdatiemngen sind zwar, 
wie wir seinerzeit erörtern müssen, yon Zuyerlässigkeit weit ent- 
fernt. Wir legen den Jahreszahlen als solchen deshalb hier keinen 
sonderlichen Wert bei, aber um so mehr der Übereinstimmung sinn- 
loser Traumereien in so weit entlegener Oegend. Selbst die nicht zu 
yemachlässigende Tatsache, daß die vervollkommnete Tetraktjs mit 
jener runden Zahl 40 übereinstimmt (S. 34), die den ältesten hebräi- 
schen Si^en vorzugsweise anzugehören schien, kann uns in der Ver- 
mutung nicht irre machen, daß wir es hier mit einem Stücke baby- 
lonischer Zahlensymbolik zu tun haben, welches nach Westen 
und nach Osten sich fortgepflanzt hat. 

Babylonische Zahlensymbolik selbst ist über allen Zweifel ge- 
sichert. Träumereien über den Wert der Zahlen nahmen unter den 
religions- philosophischen Begriffen der Chaldäer einen bedeutsamen 
Platz ein. Jeder Oott wurde durch eine der ganzen Zahlen 
zwischen 1 und 60 bezeichnet, welche seinem Range in der 
himmlischen Hierarchie entsprach. Eine Tafel aus der Bibliothek 
von Ninive hat uns die Liste der hauptsächlichsten Götter nebst 
ihren geheimnisvollen Zahlen aufbewahrt. Es scheint sogar, als sei 
gegenüber dieser Stufenleiter ganzer Zahlen, die den Göttern beigelegt 
wurden, eine andere von Brüchen vorhanden gewesen, welche sich 
auf die Geister bezogen und gleichfalls ihrem jeweiligen Range ent- 
sprachen *). 

Als weitere Stütze mögen die zahlensymbolischen Träumereien 
im VU. und VIII. Kapitel des Buches Daniel angeführt sein, eines 
Buches, das unter dem ersichtlichen Einflüsse babylonischer Denk- 
art geschrieben ist. Ähnliches erhielt sich auf dem Boden Palästinas 
Jahrhunderte lang, wobei wir nur auf die Offenbarung Johannes 
als Beispiel hinweisen wollen. Wir könnten aber auch auf die jüdische 
Kabbala einen Fingerzeig uns gestatten, die, so spät auch das Buch 
Jezirah und andere kabbalistische Schriften verfaßt sein mögen, der 
Überlieferung nach bis in die Zeit des Exils hinaufzureichen scheint. 
Kabbalistisch ist die sogenannte Gematria, wenn ein Wort durch 

^) Plutarch, De animae procreatione in Timaeo Piatonis 14. •) Mon- 
tucla, Hiataire des matfUmatiques I, 124, wo anch auf die Ähnlichkeit mit den 
Stellen bei Plutarch aufinerksam gemacht ist. ') F. Lenormant, La magie 
chez les ChaUeem. Paris 1874, pag. 24. 



44 1. Kapitel. 

das andere ersetzt wurde unter der Voraussetzung^ daß die Buchstaben 
des einen Wortes als Zahlzeichen betrachtet dieselbe Summe gaben^ 
wie die des anderen Wortes. Über diese Zahlenbedeutung hebräischer 
Buchstaben und ihr vermutliches Alter werden wir zwar erst im 
vierten Kapitel im Zusammenhange mit ahnlichem Gebrauche der 
Syrer, der Ghriechen handehi und können um einiger Beispiele willen 
unseren Gang nicht unterbrechen; es sei trotzdem gestattet hier die 
Kenntnis jener Bezeichnungsart fär einen Augenblick vorauszusetzen. 
Gematrie ist es, wenn das jüdische Jahr 355 Tage zählte und damit 
in Verbindung gebracht wurde, daß die Buchstaben des uralten ursprüng- 
lich eine Wiederholung bedeutenden Wortes Jahr JiDID «= 5 + 50 + 300 
genau 355 ausmachen. Gematrie macht sich in den Bibelkommen- 
taren breit. Als nun Abram hörte, heißt es in der Heiligen Schrift^ 
daß sein Bruder gefangen war, wappnete er seine Knechte, 318 in 
seinem Hause geboren und jagte ihnen nach bis gen Dan^). Die 
Erklärer wollen, der Überlieferung folgend, 318 sei hier statt des 
Namens Elieser gesetzt, der in der Tat ntr^bK «200+7 + 70+10 
+ 30 + 1 = 318 gibt, wenn man von dem Gesetze der Größenfolge 
Umgang nimmt und nur den Zahlenwert der einzelnen Buchstaben, 
wie sie auch durcheinander gewürfelt erscheinen mögen, beachtet. 
Im Propheten Jesaias verkündet der Löwe den Fall Babels*). Die 
Erklärer haben wieder die Buchstaben des Wortes Löwe ST^I» = 
5 + 10 + 200 + 1 = 216 addiert. Die gleiche Summe geben die 
Buchstaben pipnn = 100 + 6 + 100 + 2 + 8 = 216 und somit sei 
Habakuk mit diesem Löwen gemeint. Ja eine Spur solcher Gematrie 
wiU man bereits in einer Stelle des Propheten Sacharja erkannt 
haben '), und wäre die uns einigeimaßen gekünstelt vorkommende Er- 
klärung richtig, so wäre damit schon im VH. vorchristlichen Jahr- 
hundert ein arithmetisches Experimentieren, wäre zugleich, was viel- 
leicht noch wichtiger ist, für eben jene Zeit die Benutzung der hebräi- 
schen Buchstaben in Zahlenbedeutung nachgewiesen. Wir ziehen zu- 
nächst nur den Schluß, um dessenwillen wir alle diese Dinge vereinigt 
haben, daß die Babylonier in ältester Zeit Zahlenspielereien sich hinzu- 
geben liebten, die bei ihnen einen allerdings ernsten mi^schen Cha- 
rakter trugen, und daß von ihnen ähnliches zu anderen Völkern 
übergegangen ist. 

Es ist keineswegs unmöglich, daß aus den magischen Anfangen 
sich die Beachtung von merkwürdigen Eigenschaften der Zahlen ent- 
wickelte, daß eine Vorbedeutungsarithmetik bei ihnen sich zur Kennt- 



») I. Mose 14, 14. *) Jesaias 21, 8. ») Vgl. Hitzig, Die zwölf kleinen 
Propheten S. 378 flgg. zu Sacharja 12, 10. 



Die Babylonier. 45 

nis zahlentheoretißcher Gesetze erhob. Wissen wir doch, woran wir 
hier zusammenfassend erinnern wollen, von dem Vorkommen eines 
aasgebildeten Sexagesimalsystems, von der Benutzung arithmetischer 
und geometrischer Reihen, Ton der Bekanntschaft mit Quadrat- und 
Eubikzahlen in alt-babylonischer Zeit, und auch gewisse Teile der 
Proportionenlehre sollen, wie wir yorgreifend erwähnen, griechischer 
Überlieferung gemäß aus Babylon stammen. 

Mit der Lehre Yon den Vorbedeutungen ist überhaupt die baby- 
lonische Wissenschaft aufs engste rerknüpft gewesen. Vorbedeutungen 
zu suchen war, wie wir an jenem zu König Sargons Zeiten ver- 
fertigten Kalender gesehen haben, ein wesentlicher Zweck der Be- 
obachtungen Yon HimmelsYoi^ngen. Neben dem Aufsuchen yon 
Vorbedeutungen widmete sich die Priesterschaft des Landes dem Her- 
Torbringen yon Ereignissen; sie trachtete das Böse abzuwenden und 
teils durch Reinigungen, teils durch Opfer oder Zauberei zum Outen 
zu verhelfen ^). Die Priesterschaft des medischen Nachbarvolkes be- 
stand ebenfalls aus gewerbmäßigen Hexenmeistern, und sie, die 
Magusch, vererbten ihren Namen auf die Mi^ie'), wie in Rom der 
Name Chaldäer gleichbedeutend war mit Sterndeuter, Wahrsager, ge- 
legentlich auch mit Giftmischer. Schon im Jahre 139 v. Chr. wurden 
deshalb nach der genauen Angabe des Valerius Maximus die Chal- 
däer aus Rom verwiesen'). Die Wahrsagung beschränkte sich keines- 
wegs auf die Beobachtung der Gestirne, deren Einfluß auf das 
menschliche Geschick man zu kennen wähnte. Die Punktierkunst^) 
der persischen Zauberer, vielfach erwähnt in den Märchen der Tausend 
und eine Nacht und darin bestehend^ daß auf ein mit Sand über- 
decktes Brett Punkte und Striche gezeichnet wurden, deren Ver- 
schiebungen und Veränderungen infolge eines Anstoßes an den Rand 
des Brettes beobachtet wurden, diese Kunst, die sich erhalten hat in 
dem Wahrsagen aus dem Kaffeesatze, die verwandt ist dem Bleigießen 
in der Neujahrsnacht, welches da und dort noch heute geübt wird, 
sie dürfte selbst bis in die babylonische Zeit hinaufragen. Wenig- 
stens ist es sicher, daß es eine Vorbedeutungsgeometrie in Ba- 
bylon gab. Wir besitzen die Übersetzung einer solchen^), und wenn 

*) Diodor II, 29, 3. •) Maßpero-Pietschmann, S. 466. ■) Fischer, 
Römische Zeittafeln (Altona 1846) S. 134 mit Beziehung auf Yalerius Maximas 
lib. I, cap. 3, §2. ^) Alex, von Humboldt in seinem Aufsätze über Zahl- 
zeichen nsw. (Crelles Journal lY, 216 Note) nennt diese Kunst raml und ver- 
weist dafür auf Richardson und Wilkins, Dictum. Persian and Arahic 1806, 
T. I, pag. 482. Vgl. über die Punktierkunst auch Steinschneider, Zeitschr. d. 
morgen]. Gesellsch. XXV, 396 u. XXXI, 762 flgg. ^) Babylonüm augury hy meam 
of geometricdl figurea by A. R. Sajce in den Transaetions ofthe soeiety of bibliccU 
ar^haeology IV, 302—314. 



46 1. Kapitel. 

uns schon die Neigung bemerkenswert erscheint Vorbedeutungen 
aus allem zu entnehmen^ was in irgendwie wechsehiden Verbindungen 
auftritt^ so müssen wir andererseits auch die vorkommenden Figuren 
prüfen, deren Kenntnis die Babylonier somit sicherlich besaßen, eine 
Kenntnis, die als Anfang der Geometrie gelten darf, so wie wir bei 
den Ägyptern zu ähnlichem Zwecke alte Wandzeichnungen durch- 

mustern werden. In jener Vorbedeutungsgeometrie 

sind insbesondere folgende Figuren hervorzuheben. 

Fig. 1. Ein Paar Parallellinien (Fig. 1), welche als dop- 

pelte Linien benannt werden; ein Quadrat (Fig. 2); 





Fig. 2. Fig. 3. Fig. 4. 

eine Figur mit einspringendem Winkel (Fig. 3); eine nicht ganz voll- 
standig vorhandene Figur, welche der Übersetzer zu drei einander 
umschließenden Dreiecken (Fig. 4) zu ergänzen vorschlägt ^). Ob 
auch ein rechtwinkliges Dreieck vorkommt, ist nicht mit ganzer 
Sicherheit zu erkennen, aber wahrscheinlich. Von Interesse ist im 
verbindenden Texte das sumerische Wort tim, welches Linie, ursprüng- 
lich aber Seil bedeutete, so daß es nicht zu dem Unmöglichkeiten gehört, 
es habe eine Art von Seilspannung, vielleicht freilich nur ein Messen 
mittels des Seiles, wofür Vermutungsgründe uns sogleich bekannt 
werden sollen, in Babylon stattgefunden. Von hoher Wichtigkeit ist 
femer ein in jenem Texte benutztes, aus drei sich symmetrisch durch- 
kreuzenden Linien bestehendes Zeichen >|<, welches der Herausgeber 
durch „Winkelgrad" übersetzt hat. Diese Übersetzung ist gerecht- 
fertigt durch anderweitiges Vorkommen und gestattet selbst weit- 
gehende Folgerungen. 

Im britischen Museum befindet sich ein als K 162 bezeichnetes 
Bruchstück, welches einem babylonischen Astrolabium oder ähn- 
lichem angehört hat und welches in vier Fächern mit Inschriften in 
Keilschrift bedeckt ist. Die Bedeutung dieser Inschriften kann nicht 
anders lauten ^) als daß in zwei Monaten, deren Name angegeben ist, 
der Ort von vier Sternen, zwei Sterne in dem einen, zwei in dem 
anderen Monate, aufgezeichnet ist, und diese Örter heißen 140 Grad, 
70 Grad, 120 Grad, 60 Grad nach Sayces Übersetzung. Der Grad 
ist auch hier in allen vier Fällen durch das Zeichen der drei ein- 



^) Privatmitteilung yon H. Sayce ebenso wie die nachfolgende Bemerkung 
über das rechtwinklige Dreieck. •) Privatmitteilung von H. Sayce. 



Die Babylonier. 47 

ander schneidenden Linien ausgedrückt Nehmen wir aber diese Über- 
setzung einmal als richtig an, so ist in ihr eine Bestätigung unserer 
Meinung über geometrische Benutzung des Sexagesimalsjstems enthalten. 
Bei der Zählung der Winkelgrade, deren 360 auf der Kreisperipherie 
zu unterscheiden sind, faßte man, meinen wir, je 60 in eine neue 
Bogeneinheit zusammen, welche m&n erhielt, indem man den Halb- 
messer sechsmal auf dem Umkreise herumtrug. Für die erste Hälfiie 
unserer Behauptung gibt es keine bessere Stütze als jenes Grad- 
zeichen. Die drei symmetrisch gezeichneten Linien teilen ja d^n um 
den gemeinsamen Schnittpunkt befindlichen Raum in sechs gleiche 
Teile und lassen damit jeden dieser sechs Teile als besonders wichtig 
hervortreten! 

Auch an weiterer Bestätigung dafür, daß den Babyloniem die 
Sechsteilung des Kreises bekannt war, fehlt es nicht. Wir werden 
im 3. E^apitel sehen, daß auf ägyptischen Wandgemälden es gerade 
asiatische Tributpflichtige sind, welche auf ihren überbrachten Ge- 
fäßen Zeichnungen haben, bei welchen der Kreis durch sechs Durch- 
messer in zwölf Teile geteilt ist. Übereinstimmend zeigen niniyi- 
tische Denkmäler in ihren Abbildungen des Königswagens dessen 
Bäder mit sechs Speichen versehen ^) (Fig. 5). Endlich ist damit in 
Einklang die Dreiteilung eines rechten Winkels, 
welche auf einer assyrischen Tontafel geometrischen 
Inhaltes durch G. Smith entdeckt worden ist, bevor 
er seine letzte Reise, von welcher er nicht mehr heim- 
kehren sollte, nach den Euphratländem antrat; eine 
Entdeckung, aus welcher weitere Folgerungen zu 
ziehen nicht gestattet ist, bevor der ganze Text der ^^^' ** 

Öffentlichkeit übergeben ist. Darauf aber wird man, wie zu befürchten 
steht, noch lange warten müssen, da die betreffende Tafel seit der 
Abreise ihres Entdeckers nicht wieder gesehen worden ist, also ver- 
mutlich durch ihn in irgend eine Ecke für künftiges Studium bei- 
seite gestellt, eines Zufalles harret, der gerade auf sie unter den 
zahllos vorhandenen Tafeln die Aufmerksamkeit lenkt. 

Ist aber nunmehr die Sechsteilung des Kreises als bewußte geo- 
metrische Arbeit der Babylonier außer Zweifel gesetzt, so wird man 
auch unsere Behauptung, die Sechsteilung sei durch Herumtragen 
des Halbmessers erfolgt, habe also die Kenntnis des Satzes von der 
Seite des regelmäßigen Sechsecks mit eingeschlossen, in den Kauf 




*) Niniveh and ite remayns hy A. H. Layard. London 1849. I, 387. 
Weitere Abbildungen von sechsspeichigen Rädern bei Bezold, Ninive und Ba- 
bylon Fig. 17, 46, 62, 98 anf Seite 22, Ö8, 66, 128. 



48 1. Kapitel. 

nehmen müssen. Es ist nun einmal, außer im Zusammenhang mit 
diesem Satze^ ein Grund zur geometrischen Sechsteilung des Kreises 
nicht vorhanden. Außerdem sind wir imstande eine Bestätigung aus 
biblischer Nachahmung anzuführen. Wenn man, ohne mathematische 
Kenntnisse zu besitzen, sah, daß der Halbmesser 6 mal auf dem 
Kreisumfange als Sehne herumgetragen nach dem Ausgangspunkte 
zurückftihrty so lag es sehr nahe Sehne und Bogen zu yerwechseln 
und zur Annahme zu gelangen, der Kreisumfang selbst sei 6 mal der 
Halbmesser, beziehungsweise 3 mal der Durchmesser. Das gab die 
erste, freilich sehr ungenaue Rektifikation einer krummen Linie, 
mit sr » 3. 

Diese Formel findet sich nun angewandt bei der Schilderung des 
großen Waschgefaßes, das unter dem Namen des ehernen Meeres 
bekannt eine Zierde des Tempels bildete, welchen Salomo von 1014 
bis 1007 erbauen ließ ^). Von diesem Gefäße heißt es: Und er 
machte ein Meer, gegossen, 10 Ellen weit yon einem Rande zum 
andern, rund umher, und 5 EUen hoch, imd eine Schnur 30 Ellen 
lang war das Maß ringsum *). Dabei ist oflfenbar 30 = 3 x 10. 
Mögen nun die Bücher der Könige erst um das Jahr 500 y. Chr. ab- 
geschlossen worden sein, so ist doch unbestritten, daß in dieselben 
ältere Erinnerungen, wohl auch ältere Aufzeichnungen Au&ahme 
fanden, und so kann insbesondere die Erinnerung an eine Schnur, mit 
deren Hilfe Längenmessungen vorgenommen wurden, kann die Erinne- 
rung an die Maße des ehernen Meeres, ^n den Durchmesser 10 bei 
einem Kreisumfange 30, eine sehr alte sein. Die letztere hat sich 
auch nach abwärts durch yiele Jahrhunderte fortgeerbt, und der Tal- 
mud wendet in der Mischna die Regel an: Was im Umfang 3 Hand- 
breiten hat, ist 1 Hand breit *). Zugleich aber liefert die angeführte 
Bibelstelle den Beweis, daß der Umfang von 30 Ellen wirklich aus 
3 mal 10 berechnet und nicht etwa infolge ungenauer Messung 
gefunden worden ist. Eine messende Schnur mußte jedenfalls um 
den äußeren Rand des ehernen Meeres herumgelegt werden und wäre 
etwa 31 Vj Ellen lang gewesen, wenn der Durchmesser von 10 Ellen 
sich gleichfalls auf die Ausdehnung bis zur äußeren Randgrenze be- 
zog. War aber, was bei tatsächlicher Messung fast wahrscheinlicher 
ist, der innere Durchmesser 10 Ellen lang, so konnte eine Meßschnur 
ringsherum leicht eine Länge von 32 Ellen und mehr erfordern. 



') Die Datierung nach Oppert: Salomon et ses successeurs in den ÄnnaUs 
de phäosophie chritienne T. XI u. XÜ 1876. *) I. Könige 7, 23 und ü. Chronik 4, 2. 
■) Zuerst berücksichtigt in unserer Besprechung von Oppert, Etahn des mesurea 
assyriennes in der Zeitschr. Math. Phys. XX, histor.-literar. Abtlg. 164. 



Die Babylonier. 49 

Es ist daher unmöglich, daß es dann 30 Ellen hieße, wie es der 
FaU ist. 

Nachdem wir för die geometrischen Kenntnisse der Babylonier auf 
Schriftsteller zweiter Überlieferung einmal eingegangen sind, wollen 
wir noch einige ähnlich yerwertbare Stellen auüsuchen. Eine solche 
Stelle fQhren wir nur an, um sie sogleich zu rerwerfen. Bei der Be- 
schreibung des Salomonischen Tempelbaues heißt es nach Luthers 
Übersetzung: Und am Eingange des Chors machte er zwei Türen 
Yon Ölbaumholz mit fünfeckigen Pfosten^). Danach wäre an 
eine Kenntnis des Fünfecks, mutmaßlich des regelmäßigen Fünfecks 
in Yorderasien in sehr alter Zeit zu denken. Da die Konstruktion 
des regelmäßigen Fünfecks eine yerhältnismäßig bedeutende Summe 
geometrischer Sätze als Vorbedingung enthält, so wäre diese Tatsache 
um so überraschender, als nirgend auf asiatischen Denkmälern bei 
eifrigstem Suchen in den betreffenden Kupferwerken ein Fünfeck yon 
uns aufgefmiden worden ist. Die Stelle selbst ist aber von Luther 
falsch übersetzt, und so dunkel ihr Sinn ist, die Bedeutung, daß yon 
einem Fünfecke irgendwie die Bede sei, hat sie sicherlich nicht'). 

Um so häufiger ist yon yiereckigen Figuren in der Bibel die 
Rede und zwar yon Quadraten sowie yon Rechtecken. Es ist yiel- 
leicht zum Vergleiche mit noch zu erwartenden Entzifferungen baby- 
lonischer Texte nützlich das Augenmerk auf die Maßzahlen dieser 
biblischen Rechtecke *) zu richten. Das Verhältnis 3 zu 4 für zwei 
senkrecht zueinander zu denkende Abmessungen, oder auch 10 mal 3 
zu 4, 3 zu 5 mal 4 kommt wiederholt yor, und wenn wir nicht yer- 
schweigen wollen noch dürfen, daß ein Rechteck yon 3 zu 5 ebenfalls 
an häufigeren Stellen sich bemerklich macht, so ist doch nicht aus- 
geschlossen, daß jene ersterwähnten Maßzahlen 3 zu 4 dazu dienten, 
einen rechten Winkel mittels des Dreiecks yon den Seiten 3, 4, 5 zu 
sichern. Wenigstens wird die Kenntnis dieses letzteren Dreiecks in 
China yon uns nachgewiesen werden. 

Dafür aber, daß die Babylonier den rechten Winkel kannten, 
und zwar nicht bloß als in der Baukunst zur Anwendung kommend, 
sondern als der Geometrie, der Astronomie dienstbar, sind Beweis- 
gründe zur Genüge yorhanden. Wir erinnern an das wahrscheinlich 
gemachte Vorkommen des rechten Winkels in jener yon Sayce über- 



') I. Könige 6, 81. *) Wir berufen nns für diese Behauptung auf münd- 
liche Mitteilungen von Prof. Dr. A. Merx. Allioli hat die Stelle übersetzt 
,,mit Pfosten von fünf Ecken" und die Erklärung beigefügt, die Tüipfbsten bil- 
deten dadurch fünf Ecken, dafl über der viereckigen Türe noch ein dreieckiger 
Giebel angebracht war. ') U. Mose 86, 16 und 21; 37, 10; 39, 9—10. I. Könige 
7, 27 und häufiger. 

Gaktor, Geschichte der Mathematik I. S. Aufl. 4 



50 1- Kapitel. 

setzten Yorbedeutungsgeometrie. Wir erinnern an die den rechten 
Winkel selbst voraussetzende Dreiteilung desselben. Wir haben 
femer den ausdrücklichen Bericht Herodots, daß von Babylon her 
die Hellenen mit dem Polos und dem Gnomon bekannt geworden 
seien ^). Mag man auch nicht mit aller Sicherheit wissen, welcherlei 
Vorrichtungen unter diesen Namen yerstanden wurden, soviel ist 
gewiß, daß es bei ihnen um Zeiteinteilung mittels der Länge des 
von der Sonne erzeugten Schattens sich handelte, daß also ein Stab 
senkrecht zu einer Grundfläche aufgerichtet werden mußte. Der 
Übergang des Gnomon zu den Griechen fand von Babylon aus statt, 
wann, ist zweifelhaft. Ein Berichterstatter nennt Anaximander als 
den, der um 550 den Gnomon einführte'); ein anderer nennt uns 
dafür Anaximenes^); ein dritter nennt gar erst Berosus als Er- 
finder der Sonnenuhr ^), womit nur jener Chaldäer gemeint sein kann, 
welcher unter Alexander dem Großen geboren um 280 v. Chr. seine 
Blütezeit hatte und als Historiker am bekanntesten ist, wenn auch 
das Altertum ihn vorzüglich als Astrologen und um seiner auf der 
Insel Kos gegenüber von Milet gegründeten und stark besuchten 
Schule w^en rühmte^). Älterer Zeit als diese Angaben gehört der 
biblische Bericht an, welcher von einer Sonnenuhr zu erzählen weiß. 
Er geht hinauf bis auf König Ahas von Juda, dessen Regierung von 
743 — 727 währte *). Wenn in jenem Berichte der Schatten am Zeiger 
Ahas 10 Stufen (oder Gh*ade) hinter sich zurückging, die er war 
niederwärts gegangen, so ist diese Beschreibung von größter Deut- 
lichkeit, mag man über das beschriebene Ereignis selbst denken, wie 
man will. Wir könnten auf eben diese Stelle zum Überflusse noch 
hinweisen, um sie als Beleg altasiatischer Kreiseinteilung zu ];)enutzen, 
wenn ein solcher Beleg noch irgend erwünscht scheinen soUte. 

Fassen wir wieder zusammen, was auf geometrischem Gebiete 
den Babyloniem bekannt gewesen ist, so haben wir Gewißheit für 
die Teilimg des Kreises in 6 Teile, dann in 360 Grade, Gewißheit 
für die Kenntnis von Parallellinien, von Dreiecken, Vierecken, Ge- 
wißheit für die Herstellung rechter Winkel. Wahrscheinlich ist die 
Kenntnis der Gleichheit zwischen Halbmesser und Seite des dem 
Kreise eingeschriebenen regelmäßigen Sechsecks, wahrscheinlich die 



') Herodot ü, 109. *) Suidas b. v. 'Avcc^ifiavdQog. ») PliniuB Historta 
naturalia II, 76. *) Vitrnvius IX, 9. *) Die von Bailly, Histoire de Vastro- 
namie ancienne. Paris 1775, Livre IV, § 35 und 36 ausgehende Meinung, als 
seien zwei Berosus zu unterscheiden, der von Eos und der Historiker, ist von 
neueren Fachgelehrten entschieden verworfen. Vgl. Häbler, Astrologie im 
Alterthum (1879), S. 14—16. ^) Jesaia 38, 8 und II. Könige 20, 11. Die Datie- 
rung nach Oppert, Salamon et aes succesaeurs. 



Die Babylonier. 51 

Benntzung des Näherangswertes ;r « 3 bei Bemessung des Kreis- 
timfanges. Möglich endlich ist die Prüfung rechter Winkel durch 
die Seitenlangen des ein für allemal bekannten Dreiecks 3^ 4, 5. 

Die Hoffnung bleibt für Babylon wie für Ägypten nicht aus- 
geschlossen, daB Aufündung und Entzifferung neuer Denkmäler es 
noch gestatten werden, die kaum erst seit wenigen Jahrzehnten fester 
gestützte Geschichte der Geistesbildung jener Länder umfassender zu 
gestalten. Für die Geschichte der Mathematik in den Euphratländem 
bergen, wie wir schon gesagt haben, yielleicht die Schutthügel von 
Senkereh noch unschätzbares. Es muß wohl die Mathematik dort 
eine erzählenswerte Geschichte erlebt haben, wenn wir auch nur 
daraus schließen, daß sie alten Schriftstellern würdig däuchte sich 
mit ihr zu beschäftigen. So wird berichtet, ein gewisser Perigenes 
habe über die Mathematiker Ton Chaldäa geschrieben^), wenn diese 
Lesart der an sich viel weniger wahrscheinlichen „über die Mathe- 
matiker Ton Ghalcidien'^ Torzuziehen ist, und Mathematisches enthielt 
jedenfalls auch das umfassende Werk des Jamblichus Ton Chalcis 
über Chaldäisches, aus dessen 28. Buche eine Notiz sich erhalten 
hat*). Nur um Mißyerständnissen vorzubeugen, welche auch bei 
sonst zuverlässigen Schriftstellern sich Torfinden, sei hier bemerkt, 
daß mit diesem wissenschaftlichen Werke des Jamblichus Ton Chalcis 
über Chaldäisches, welches gegen Ende des lY. S. n. Chr. geschrieben 
«ein muß, der Roman, welcher unter dem Titel „Babylonisches^' in 
der zweiten Hälfte des II. S. n. Chr. auch Ton einem Jamblichus') 
verfaßt worden ist, ja nicht verwechselt werden darf. 



*) NesBelmann, Die Algebra der Griechen, S. 1—2. •) Zeller, Die Phi- 
losophie der Oriechen in ihrer geschichtlichen Entwicklung, in. Teil, 2. Abtlg. 
2. Anfl. Leipzig 1868, S. 616. ')Erw. Rohde, Der griechische Boman und 
seine Vorläufer. Leipzig 1876, S. 364 figg. 



4* 



n. Ägypter. 



2. Kapitel. 
Die Ägypter. Arithmetisches. 

Die älteste einigermaßen ausgiebige mathematische Literatur, über 
welche man zurzeit verfügt, ist die ägyptische. Mag man die Tor- 
handenen Schriften als Handbücher oder als Schülerhefte betrachten, 
fQr den Nutzen, den sie uns gewähren, gilt das gleich. Sie sind ein- 
mal vorhanden, und wir haben uns mit ihnen zu beschäftigen, haben 
vorher weniges über ägyptische Kultur vorauszuschicken. Ägypten 
sei ein GFeschenk des Nils, sagt Herodot ^), und derselbe Schriftsteller 
leitet an einer anderen Stelle'), die uns noch beschäftigen wird, die 
Erfindung der Geometrie aus der Notwendigkeit her, die infolge der 
Nilüberschwemmungen verloren gegangenen Begrenzungen wieder her- 
zustellen. Wirklich ist die Kultur des Landes, wie das Land selbst 
ohne jenen Strom, der das Erdreich herabgeschwemmt hat aus den 
Hochlanden des inneren Afrikas, nicht denkbar. Die alljährlich wieder- 
kehrende Wasserfülle bringt in gleicher Regelmäßigkeit große Schlamm- 
massen mit sich, die sie dort, wo der Absturz des Stromes an Steil- 
heit abnimmt, wo das Bett der Überflutung offener ist, fallen läßt. 
Die Wasser verlaufen sich, und die Sonne Afrikas hilrtet den neuen 
Boden. Auf das mögliche Altertum des bewohnten und angebauten 
Schwemmlandes wirft es ein gewisses Licht, daß man aus dem gegen- 
wärtig noch wahrnehmbaren und meßbaren Schlammabsatze berechnet 
haty daß unter gleichen Bedingungen weit über 70 Jahrtausende not- 
wendig wären, um die Entstehung Ägyptens in seiner jetzigen Aus- 
dehnung zu erklären^. Nehme man immerhin an, daß ehemals eine 
viel schnellere Vergrößerung stattfand, es bleibt unter allen Um- 
ständen eine Zahl übrig, welche nur mit der sagenmäßigen Ver- 
gangenheit chaldäischer und chinesischer Astronomie in Vergleich zu 
bringen ist. 

Das so alte Land gewann seine Bevölkerui^ nach der durch 
Diodor*) überlieferten Meinung von Süden her aus Äthiopien, wäh- 



*) Herodot II, 5. *) Herodot H, 109. *) Maspero-PietBchmann S. 7. 
*) Diodor m, 8—8. 



56 2. Kapitel. 

rend der biblische Berichterstatter Mizraim^) den Stammvater der 
Ägypter y einen Enkel Noahs, aus Chaldäa einwandern läßt. Die 
neuere Forschung ^), welche ihre wesentliche (Grundlage in ägyptischen 
Denkmälern besitzt^ hat noch immer keine Entscheidung gebracht, 
ob die eine oder die andere Sage mehr Glauben verdient. Sicher- 
gestellt ist nur, daB in ältesten Zeiten in Ägypten ein Südland von 
einem Nordlande sich unterschied. Vielleicht kam dann von Süden 
her der erste Eonig, der die beiden Gebiete beherrschend die weiße 
Krone des Südens mit der roten Erone des Nordens auf seinem Haupte 
vereinigte. Bildung, Kunst und Wissenschaft dagegen sind jedenfalls 
in nördsüdlicher Richtung vorgedrungen. Die ägyptische Sprache 
hält man gegenwärtig für eine ältere Schwester der semitischen 
Sprachen. Freilich muß die Trennung erfolgt sein, als beide in ihrer 
Entwicklung noch sehr zurück waren, und der semitische Stamm muß 
als der für Sprachbildung befähigtere angesehen werden. 

Das ägyptische Reich wurde durch XXX aufeinanderfolgende 
Dynastien beherrscht. Der Gründer der I. Dynastie Mena, Menes 
der Griechen, wird auf das Jahr 4455 vor Christi Gteburt etwa ge- 
setzt, wobei allerdings nicht unbemerkt bleiben darf, daß bei diesen 
ältesten Datierungen eine Unsicherheit von 100, auch von 200 Jahren 
als selbstverständlich gilt und als Abweichung in den Angaben der 
verschiedenen Gelehrten, welche sich daran versucht haben, kenntlich 
wird. Menas Sohn Teta wird schon als Gelehrter, als Verfasser ana- 
tomischer Schriften*), genannt, und Nebka, griechisch Tosorthros, 
der zweite Eönig der III. Dynastie um 3800, trat in Tetas Fußstapfen 
und verfaßte medizinische Abhandlungen, welche vier Jahrtausende 
nach seiner Regierung noch bekannt waren und ihn mit dem grie- 
chischen Gotte der Heilkunst, mit Asklepios, in eine Persönlichkeit 
vereinigen ließen *). Die Eönige der IV. Dynastie, seit 3686 am Ruder, 
sind die bekannten Pyramidenbauer Chufu, Ghafrä, Menkarä. 
Schon in ihrer Zeit muß es Baumeister gegeben haben, deren Aus- 
bilduz^ nicht zu unterschätzen ist. Wie in den ältesten monumen- 
talen Grabesräumen der Ägypter stets nach Osten zu eine Denksäule 
steht ^), so sind insbesondere die Pyramiden so scharf orientiert, daß 
man unter den mannigfachen Vermutungen, welche frühere und 
spätere Schriftsteller über diese riesigen EönigsgnLber auszusprechen 
sich bemüßigt fanden, auch derjenigen begegnet, die Pyramiden seien 
in der Absicht erbaut worden mittels ihrer Grundlinien die Himmels- 



^) I. Moses 10, 6. *) Maspero-Pietschmann S. 13 und 16. Stein- 
dorff, Die Blüiezeit des Pharaonexireichs S. 7. •) Maspero-Pietschmann 
S. 64. ") Ebenda S. 69. ^) Ebenda S. 60. 



Die Ägypter. ArithmetiBches. 57 

richtangen festzuhalten. Zufall ist es jedenfalls nicht gewesen, wenn 
der Orientierungsgedanke damals bereits so genau zur Ausführung 
gebracht wurde. Zufall mochten wir ebensowenig in dem Umstände 
erkennen, daß in fast allen alten Pyramiden der Winkel, welchen 
die Seitenwand der Pyramide mit der Grundfläche bildet^ wenig oder 
gar nicht Ton 52^ abweicht^). Das setzt, wie gesagt, ausgebildete 
Baumeister, das setzt mathematische Hilfswissenschaften der Baukunst 
Toraus, sei es, daß die Regeln Ton Mund zu Mund sich fortpflanzten, 
sei es sogar, daß man sie niederschrieb. Steht es doch fest, daß die 
Aufbewahrung vererbten Wissens, daß das Sammeln von Bücherrollen 
zu den Sitten der ältesten Dynastien gehört haben muß, wenn be- 
reits am Anfange der VI. Dynastie eigene Beamten ernannt wurden, 
deren Titel „Verwalter des Bücherhauses'' in ihren Grabschriften sich 
erhalten hat '). Ein Jahrtausend etwa überspringend, nennen wir aus 
der XII. Dynastie Amenemhat III., einen Fürsten, von 42jähriger 
wohlbeglaubigter Regierung, wenn auch ihre Datierung weniger ge- 
sichert ist als ihre Dauer*). Er war der Erbauer des großartigen 
Tempelpalastes unweit vom Mörissee, aus dessen Namen Lope-ro-hunt 
» Tempel am Eingang zum See das Wort Labyrinth entstand. Man 
hat für Amenemhat IQ. verschiedene Beinamen in Anspruch ge- 
nommen ^), nämlich Petesuchet = Qahe der Suchet, Aasuchet » Spröß- 
ling der Suchet und Sasuchet = Sohn der Suchet. Wäre diese An- 
nahme gesichert, so könnte man in ihm die Persönlichkeiten er- 
kennen, welche unter verwandten Namen bei mehreren SchriftsteUem 
auftretend bei anderen Agyptologen als unserem Gewährsmanne nicht 
verschmolzen zu werden pflegten.- Amenemhat UI. wäre alsdann der 
Gesetzgeber Asychis des Herodot*), der König Petesuchis, der 
das Labyrinth erbaute, des Plinius •), endlich der durch Verstand her- 
vorragende König Sasyches, der die Geometrie erfand, des Diodor^). 
Bereits während der XIL Dynastie begannen von Osten über die 
Landenge von Suez her die Einfälle plünderungssüchtiger Wüsten- 
stämme, welche sich selbst als Shus, Shasu bezeichneten. Aber 200 
Jahre und mehr waren nötig bis Asses, ein Hik-Shus, d. h. ein Fürst 

*) Ein mathematisches Handbuch der alten Ägypter (Papyrus Bhind des 
British Museum), übersetzt und erklärt von Aug. Eisen lohr. Leipzig 1877, 
S. 187. Wir zitieren künftig diese Hauptquelle für Ägyptische Mathematik als 
Eisenlohr, Papyrus. •) Maspero-Pietschmann S. 74. ') Nach Lepsius 
regierte Amenemhat IE. yon 2221 bis 2179; nach Lauth dagegen (vgl. dessen 
Aufsatz ,,Der geometrische Papyrus^^ in der Beilage zur Allgemeinen Zeitung 
vom 20. September 1877, Nr. 263) von 2425 bis 2388. Nach Steindorff fällte 
die ganze XH. Dynastie die Zeit von 1996 bis 1788. *) Vgl. Lauth 1. c. Seine 
Gründe hängen mit seinen chronologischen Annahmen aufs engste zusammen. 
») Herodotn, 186. •) Plinius, Histor. natur. XXXVI, 18. ^ Diodor I, 94. 



58 2. Kapitel. 

jener Shus genannten Wüstensiämme, die XY. ägyptische Dynastie 
stürzen und sich an deren Stelle setzen konnte. Die zwei folgenden 
Dynastien gehören gewissermaßen den Hiksoskonigen an, wie man in 
Nachbildung jenes eben erläuterten Titels zu sagen sich gewöhnt hat, 
und erst mit Ahmes, dem Gründer der XVill. Dynastie um 1600, 
gelang es einem Sohne uralter ägyptischer Abstammung die Ein- 
dringlinge zu vertreiben, unter den Hiksoskonigen war es, daß das 
mathematische Handbuch niedergeschrieben wurde, zu dessen ge- 
nauer Inhaltsangabe wir uns nun wenden müssen. 

Die Anfangsworte lauten^): „Yorschrifb zu gelangen zur Kenntnis 
aller dunklen Dinge .... aller Geheimnisse, welche enthalten sind in 
den Gegenständen. Verfaßt wurde dieses Buch im Jahre 33, Mesori 
Tag . . unter dem König von Ober- und Unterilgypten Ra-ä-us Leben 
gebend, nach dem Vorbild von alten Schriften, die verfertigt wurden 
in den Zeiten des Königs [Ra-en-m]at' durch den Schreiber Ahmes 
verfaßt diese Schrift." 

Aus dieser Angabe, daß an einem ursprünglich angegebenen, 
jetzt durch einen Riß verloren gegangenen Tage des Monats Mesori 
des 33. Regierungsjahres Königs Ra-ä-us' der Schreiber Ahmes das 
Buch verfaßt habe, ist eine so bestimmte Datierung möglich, als sie 
überhaupt für so weit zurückliegende Zeiten tunlich ist. Ra-ä-us ist 
nämlich, wie aus einem dem ägyptischen Süden, dem sogenannten 
Fayum, entstammenden Holz&agmente des Berliner ägyptischen Mu- 
seums erkannt worden ist^), niemand anders als der Hiksoskönig 
Apepa, der Apophis der Griechen Alle Zweifel, welche an die Zeit 
und Dauer der Hiksosherrschaft sich knüpfen, in Rechnung gebracht 
irrt man gewiß nicht, wenn man Rarä-us zwischen die Jahre 2000 
und 1700 V. Chr. setzt, und da überdies das Äußere des Papyrus, 
die Schrift usw. dieser Zeit genau entspricht, so ist damit eine Ver- 
mutung über dessen Alter gewonnen, in welcher die sonst nicht 
immer übereinstimmenden Kenner ägyptischer Sprache sich sämtlich 
begegnen. Wenn auch nicht ganz das Gleiche mit Bezug auf den 
Namen jenes Königs stattfindet, unter welchem die alten als Vorbild 
dienenden Schriften verfaßt worden waren, so ergänzt man doch 
meistens diese Lücke durch Raenmat^), und das ist kein anderer 



') Eisenlohr, Papyrus S. 27 — 29. *) Die Entdeckung stammt von Herrn 
Dr. Ludwig Stern, dessen brieflichen Mitteilungen wir diese Tatsache ent- 
nehmen. ') G. Ebers in einer Rezension von Eisenlohr, Papyrus im Lite- 
rarischen Zentralblatt vom 12. Oktober 1878 halt diese Ergänzung für zweifel- 
haft. Dagegen stimmt er durchaus damit überein, der Papyrus könne nach 
allen äußeren Anzeichen nur in der Zeit zwischen der XVII. und der XVIII. 
Dynastie geschrieben sein. 



Die Ägypter. ArithmetiBcheB. 59 

als Konig Amenemhat IH Ist diese Er^Lnzang richtige und hat 
man in Amenemliat wirklich auch Sasjches zu erkennen, so könnte 
Diodors Angabe über den Erfinder der Geometrie in Beziehung auf 
unsem Papyrus gedeutet werden. Das Original zu der Bearbeitung 
des Ahmes würde dann viele Jahrhunderte hindurch in der Über- 
lieferung fortlebend sich mythisch mit der Erfindung der Geometrie 
Tereinigt haben ^). Und wenn diese genaue Beziehung sich nicht fest- 
halten ließe, so ist doch merkwürdigerweise die Zeit der XIT. Dy- 
nastie auch durch ein anderes Schriftstück als Blütezeit ägyptischer 
Rechenkunst bestätigt. In Eahun, südlich von der Pyramide von 
Qlahun, die auf Usertesen U. aus der XU. Dynastie zurückgeht, 
wurden 1889 und 1890 zwei mathematische Papyri aufgefunden^), 
welche, ohne mit dem Papyrus des Ahmes übereinzustimmen, hoch- 
bedeutsame Ähnlichkeiten mit demselben aufweisen. So ist dort eine 

2 111 

Anzahl Ton Bruchzerlegungen vorhanden, wie z. B. Tg — jö + yä + ttt 

und ähnliche, von denen wir gleich zu reden haben werden. Auf 
andere Bestandteile zurückzugreifen werden wir da und dort in der 
Lage sein. 

Ein weiterer mathematischer Papyrus, von dessen Inhalt leider 
nicht einmal Andeutungen bekannt sind, gehört Herrn Wladimir 
Oolenischefi an, Konservator der kaiserlichen Sammlung in der Eremi- 
tage in Petersburg. Unbedeutende Papyrusteile mit Hau-Rechnungen 
— wir werden bald sehen, was das ist — sind im Besitze des Agyj)- 
tischen Museums in Berlin^). 

Über einen in einem koptischen Orabe aufgefiindenen Papyrus 
in griechischer Sprache berichten wir im 24. Kapitel. Von vollstän- 
digen alten Schriften ist bisher nur das Rechenbuch des Ahmes 
der Öffentlichkeit übergeben, und zu ihm kehren wir zurück. 

„Vorschrift zu gelangen zur Kenntnis aller dimklen Dinge'', so 
lauten die Anfangsworte des Papyrus. Später spricht Ahmes von 
einer „Vorschrift der Ergänzung'', von einer „Vorschrift zu berechnen 
ein rundes Pruchthaus", von einer „Vorschrift zu berechnen Felder", 
von einer „Vorschrift zu machen einen Schmuck" und dergleichen 
mehr. Wer aber aus diesen Überschriften den Schluß ziehen wollte, 
es seien hier überall wirkliche Vorschriften gegeben, Regeln gelehrt, 



*) Vgl. Lauth 1. c. «) W. M. Flinders Petrie, Illahun, Kahua and 
Gnrob. London 1891, pag. 486. Die Herausgabe der Fragmente erfolgte 1897 
in London durch F. LI. Griffith. Über einzelne Stellen vgl. Cantor, Die 
xnathematiBchen Papyrusfragmente von Kahun in der Orientalischen Literatur- 
zeitung 1898, Nr. 10. *) Alle Notizen über mathematische Papyri verdanken 
wir Herrn Prof August Eisenlohr. 



60 2. Kapitel. 

wie man zu yerfahren habe^ der würde in einem gewaltigen Irrtume 
befangen sein. Einzelne Vorschriften in unserem heutigen Sinne des 
Wortes kommen allerdings Tor, aber weitaus in einer überwiegenden 
Zahl von Fällen begnügt sich Ahmes damit mehrere Angaben gleicher 
Gattung nacheinander zu behandebi. Eine Induktion aus diesen Auf- 
gaben und ihrer Lösung auf allgemeine Regeln ist nicht gerade 
schwierig^ allein Ahmes vollzieht sie nicht. Er überlaßt diese Folge- 
rungen dem Leser oder dem mündlichen Unterrichte des Lehrers, 
ohne welchen die Benutzung des Handbuches kaum gedacht werden 
kann. Das häufige Auftreten des Wortes ^yVorschrifb'' entspricht nur 
der ägyptischen Gewohnheit der Gedächtnisübung, wie sie geradezu 
als Ghrundlage jeder Unterweisung beigeblieben ist^). Lassen sich 
doch regelmäßig wiederkehrende Ausdrücke am leichtesten einprägen. 
Gewiß entstammen noch andere gleichfalls unaufhörlich sich wieder- 
holende Redensarten bei Ahmes derselben Rücksicht auf das Gedächt- 
nis des Schülers. So heißt es bei ihm: ,,gesagt ist dir^', oder ,,wenn 
dir sagt der Schreiber'*, oder „wenn dir gegeben ist*' und „mache, 
wie geschieht*', oder „mache es also% wo ein Schriftsteller unserer 
Zeit: Aufgabe und Auflösung sagen würde. 

Wir haben den sogleich genauer zu besprechenden Papyrus das 
Rechenbuch des Ahmes genannt. Andere') sind, wie wir in den 
ersten Worten dieses Kapitels andeuteten, der Meinung, man dürfe 
nicht von einem Rechenbuche reden, es sei nur das Heft eines 
Schülers, und zwar eines sich mitunter recht ui^eschickt anstellenden 
Schülers; welches sich erhalten habe. Für unsere Kenntnis der ägyp- 
tischen Mathematik ist es gleichgültig, ob die eine, ob die andere 
Bezeichnung für richtig gehalten wird, wir möchten jedoch auf die 
seinerzeit Ton uns nach reiflicher Überlegung in Gemeinschaft mit dem 
Übersetzer des Papyrus gewählte Bezeichnung nicht verzichten. Wir 
geben zu, daß in den Rechnungen L-rtümer vorkommen, daß manch- 
mal Verbesserungen angebracht sind, allein wir sehen nicht ein, daß 
ein solches Vorkommen den Papyrus zu einem Schülerhefte stemple. 
Irrtümer kommen vermutlich in jedem Manuskripte vor und gehen 
nicht selten als Druckfehler in die vollendetsten Werke der berühm- 
testen Verfasser über. Um so weniger kann man Anstoß daran 
nehmen, wenn ein Abschreiber sich einen Irrtum zuschulden kommen 
läßt. Zudem sind keineswegs alle Irrtümer verbessert, der Vorwurf 
der Minderwertigkeit würde also von dem Schüler auf den Lehrer 

*) Herodot 11, 77. *) Max Simon, ül)er die Mathematik der Ägypter 
(Yerhimdlungen des III. internationalen MathematikerkongresBes in Heidelberg 
1904, S. 626— 635) im Anschluß an eine früher von Eugäne Bevillout ausge- 
sprochene Meinung. 



Die Ägypter. Arithmetisches. 61 

übergehen. Ferner sind die Anfangs worte des Papyrus , welche wir 
S. 59 zum Abdruck gebracht haben^ weit ungezwungener auf ein sorg- 
fältig oder nicht niedergeschriebenes oder abgeschriebenes Buch als 
auf ein Schülerheffc zu deuten. Endlich berufen wir uns auf die Frag- 
mente von Eahun^ welche mit dem^ was wir nicht aufhören das 
Rechenbuch des Ahmes zu nennen^ in vielen Beziehungen so sehr 
übereinstimmen, daB wir anzunehmen genötigt wären, auch jene seien 
die Überreste eines um Jahrhunderte älteren Rechenheftes eines 
Schülers, wozu wir uns nicht entschließen können. 

Die Zahlen, mit welchen gerechnet wird, sind teils ganze Zahlen, 
teils und zwar größtenteils Brüche, woraus sich von selbst ergibt^ 
daß der Leserkreis, für welchen Ahmes schrieb, als ein in der Rechen- 
kunst schon Yoi^eschrittener gedacht werden muß. Ein Handbuch 
für Anfiinger müßte und mußte zu allen Zeiten sich namentlich am 
Anfange auf den Gebrauch ganzer Zahlen beschränken. Über die 
Zeichen, deren Ahmes sich für ganze und für gebrochene Zahlen be- 
dient, werden wir zwar noch in diesem Kapitel aber in einem anderen 
Zusammenhange reden. Für jetzt muß eine Bemerkung über die Art 
der vorkommenden Brüche und über deren Bezeichnung unter Voraus- 
setzung gegebener Zeichen für ganze Zahlen genügen. Ahmes benutzt 
nämlich nicht Brüche in dem allgemeinsten Sinne des Wortes, d. h. 
angedeutete Teilungen, wobei der Zähler wie der Nenner von be- 
liebiger Größe sein können, sondern nur Stammbrüche, d. h. solche, 
die bei ganzzahligem Nenner die Einheit als Zähler haben und die 
er dadurch anzeigte, daß er die Zahl des Nenners hinschrieb 
und ein Pünktchen darüber setzte. Brüche mit anderem Zähler 
konnte er wohl denken, wie aus dem ganzen Charakter seiner Auf- 
gaben zur Genüge hervorgeht, er konnte sie aber nur dann schreiben, 
wenn mehrere derselben mit gemeinsamem Nenner in Zwischenrech- 
nungen auftraten. Er begnügte sich sonst jeden beliebigen Bruch 

als Summe von Stammbrüchen anzuschreiben, z. B. ~ — statt — » 

' o lo o '^ 

wenn das bloße Nebeneinandersetzen zweier Stammbrüche deren addi- 
tive Zusammenfassung bezeichnen soIL Eine einzige Ausnahme bildet 

2 

von dem hier Ausgesprochenen der Bruch -^. Ahmes weiß gan^ 

genau, daß derselbe eigentlich y y ist und versteht diese Zerlegung 

vortrefflich zu benutzen, aber daneben hat er ein eigenes Zeichen 

ftir y , so daß auch dieser Bruch in seinen Rechnungen mitten unter 

Stammbrüchen vielfältig vorkommt und uneigentlich zu denselben 
gezählt werden m^. 



62 



2. Kapitel. 



Nach dieser Bemerkung laßt sich sofort erkennen, daß es eine 
Aufgabe gab, welche Ahmes unbedingt an die Spitze stellen mußte, 
mit deren Lösung der Schüler vertraut sein mußte, bevor er an irgend 
eine andere Rechnung ging, die Aufgabe: einen beliebigen Bruch 
als Summe von Stammbrüchen darzustellen. Das scheint xms 
denn auch die Bedeutung einer Tabelle zu sein, deren Entwicklung 
die ersten Blätter des Papyrus füllt. Allerdings ist diese Bedeutung 
nicht unmittelbar aus dem Wortlaute zu erkennen. Dieser heißt viel- 
mehr zuerst^): „Teile 2 durch 3" dann „durch 5*', später wieder z. B. 
„teile 2 durch 17'', kurzum es handelt sich um die Darstellung von 

2 
2n + l 

(wo n der Reihe nach die ganzen Zahlen von 1 bis 49 bedeutet, als 
Divisoren mithin alle ungeraden Zahlen von 3 bis 99 erscheinen), als 
Summe von 2, 3 oder gar 4 Stammbrüchen. Tabellarisch geordnet 
unter Weglassung aller Zwischenrechnungen gewinnt Ahmes folgende 
Zerlegungen*): 



2 2 






2 1 


1 


1 1 


8 "" 3 






29 ™ 24 


58 


174 232 


2 1 


1 




2 1 


1 


1 


6 "" 3 


16 




31 ""20 


124 


156 


2 1 


1 




2 1 


1 




7^4 


28 




33 22 


66 




2 1 


1 




2 _ 1 


1 




9 ■*" 6 


18" 




36 ""3Ö 


42 




2 1 


1 




2 1 


1 


1 


11 "" 6 


66 




37"" 24 


111 


296 


2 1 


1 


1 


2 1 


1 




13 ■" 8 


62 


104 


39 ""26 


78 




2 1 


1 




2 1 


1 


1 


15 "" 10 


:^0 




41 ~24 


246 


328 


2 1 


1 


1 


2 1 


1 


1 1 


17 12 


61 


68 


43 ^ 42 


86 


129 801 


2 1 


1 


1 


2 1 


1 




19 "" 12 


76 


114 


46 ~ 80 


90 




2 1 


1 




2 1 


1 


1 


21 ~" 14 


42 




47 ""30 


141 


47Ö 


2 1 


1 




2 1 


1 




23 ■" 12 


276 




49 ""28 


r96 




2 1 


1 




2 1 


1 




26 ^ 16 


76 




61 "34 


102 




2 1 


1 




2 _ 1 


1 


1 


27 ^ 18 


64 
, PapyruB S. 36—4 


63 ~ 3^ 318 
6. •) Ebenda S. 4 


795 


^) Eisenlohi 


t6— 48. 



Die Ägypter. Arithmetischea. 



63 



2 1 
55 30 


1 
330 






2 1 

79 60 


1 
287 


1 
316 


1 
790 


2 1 

67 38 


1 
114 






2 _ 1 

81 54 


1 
162 






2 1 
69 "" 36 


1 
236 


1 
531 




2 _ 1 
83 60 


1 
382 


1 
415 


1 
498 


2 1 

61 40 


1 
244 


1 
448 


1 
610 


2 _ 1 
85 51 


1 
255 






2 1 
63 ""42 


1 
126 






2 1 

87 "" 58 


1 
174 






2 ^ 1 

65 ^ 39 


1 
195 






2 _ 1 
89 ^ 60 


1 
856 


1 
534 


1 
890 


2 1 
67 40 


1 
335 


1 
586 




2 1 

91 ""tÖ 


1 
130 






2 1 
69 ""4^ 


1 
138 






2 _ 1 
98 62 


1 
186 






2 1 
71 ^^40 


1 
568 


1 
710 




2 1 

95 60 


1 
380 


1 
570 




2 1 
73 60 


1 
219 


1 
292 


1 
365 


2 _ 1 
97 "" 56 


1 
679 


1 
776 




2^1 

76 '^ 50 


1 
150 






2 1 

99 ""66 


1 
198 






2 1 


1 















77 44 808 I 

Es ist einleuchtend^ daB unter wiederholter Anwendung dieser 
Tabelle ein Bruch^ dessen Zähler auch die 2 übersteigt, wenn er nur 
seinem Nenner nach in der Tabelle sich findet^ in Stammbrüche zer- 

legt werden kann. Zeigen wir versuchsweise an ^, wie wir dieses 

Verfahren uns denken. Zunächst ist 7 = 1+2 + 2 + 2, 

^^^ 29 29 ''' \U 68 174 282/ "^ V24 68 174 282/ "^ \24 68 174 282/ 



1 


1 


1 


1 


1 


+fö 


2 


2 2 \ 
174 232/ 


29 


24 


58 


174 


232 


68 


1 


1 


1 


1 


1 


1 


1 


1 1 


29 


24 


58 


174 


282 


12 


29 


87 116 


2 


1 


1 


1 


1 


1 


1 


1 


29 


24 


58 


174 


232 


12 


87 


116 


1 


1 


1 


1 


1 


1 


1 


1111 



24 58 174 232 24 58 174 232 12 87 116 

A A _A A_ A A ^ 

24 68 174 232 12 87 116 

1111111 

12 29 87 116 12 87 116 

2 2 2 1 

'' 12 87 116 29 



64 2- Kapitel. 



1 




1 


1 


1 




6 


68 


174 


58 


29 




2 




1 


1 






58 


T 


174 


29 






1 




1 


1 






29 


T 


174 


29 






2 




1 








29 


T 


174 








1 




1 


1 


1 


1 


24 


68 


174 


282 


6 


174 


2 


1 


1 


1 


1 




174 


24 


58 


232 


6" 




1 


1 


1 


1 


1 





87 24 58 232 6 

oder besser geordnet 39 ^ "e" 24 68 87 232 ' Niemand wird behaupten 
wollen, diese Zerlegongsweise sei besonders elegant, oder sie führe 
besonders schnell zum Ziele. Aber sie führt doch dazu, sie ist aus- 
reichend, vorausgesetzt wenigstens, daß im Verlaufe der Rechnung 
kein mit dem Zähler 2 versehener Bruch auftrete, dessen ungerader 
Nenner die Zahl 100 überschreitet, widrigenfalls von einer größeren 
Ausdehnung der Tabelle nicht abgesehen werden könnte. 

Drei Bemerkungen drängen sich von selbst auf. Die eine geht 
dahin, daß es nicht bloß eine Zerlegung eines Bruches gibt, sondern 
daß man die Auswahl zwischen man kann fast sagen beliebig vielen 

7 111 
Zerlegungen hat. So ist z. B. auch 29 ^ y 29 145 ^®^®^ ^®^ ^^®^ 

erhaltenen Zerlegung. So ist I9 = Ä 4J5 = iWl2 iL ^®^^^ ^^"^ ^ 
der Tabelle angegebenen Werte usw. Daran knüpft sich die zweite 
Bemerkung, daß für die komplizierteren FäUe allmählicher Zerlegung, 

deren wir einen (^ behandelt haben, es sich als zweckdienlich er- 
weist, wenn die Nenner der in der Tabelle als erste Zerlegungsergeb- 
nisse vorhandenen Stammbrüche gerade Zahlen sind, weil dadurch 
ein Aufheben durch 2 vielfach ermöglicht wird. Der ägyptische 
Rechner war nämlich, und das ist unsere dritte Bemerkung, gewöhnt 
wenn auch mutmaßlich nicht die Teilbarkeit einer Zahl durch irgend 
eine andere, doch jedenfalls ihre Teilbarkeit durch 2 sofort zu 
erkennen. Das geht ohne die Möglichkeit eines Zweifels aus der 

212 1 
Tabelle selbst hervor. Nur wenn die Verwandlungen ^«y, y^y? 

= — usw. von vornherein klar waren, ist deren folgerichtige Aus- 
4 

Schließung aus der Tabelle erklärlich. 



Die Ägypter. ArithmetischeB. 65 

Aber auch eine Frage drangt sich auf: wie ist die Tabelle 
entstanden*)? Wie wäre ihre Fortsetzung zu beschaffen, welche doch, 
wie wir sahen, bei Zerlegung von Brüchen, deren Zähler die 2 über- 
steigen, unter Umständen notwendig wird? Die Vermutung dürfte 
eine nicht allzugewagte sein, daß die Tabelle, ein altes Erbstück 
schon zur Zeit des Ahmes, wohl niemals auf einen Schlag gebildet 
worden ist. Eine allmähliche Entstehung, so daß die Zerlegung bald 
dieses bald jenes Bruches, bald dieser bald jener Ghruppe von Brüchen 
gelang, daß die gewonnenen Erfahrungen aufbewahrt und gesammelt 
wurden, dürfte der Wahrheit so nahe kommen, daß man sich berech- 
tigt fühlen möchte, die Mathematik ihrem geschichtlichen Ursprünge 
nach und ohne in die Streitfragen nach der philosophischen Begrün- 
dung ihrer einfachsten Begriffe einzutreten eine Erfahrungswissen- 
schaft zu nennen. Wie wir oben (S. 59) sagten, sind die Zerlegungen 
des Ahmes schon in den Frs^pnenten Ton Eahun vorhanden, oder, 
um uns deutlicher auszudrücken, wo in den Fragmenten von Kahun 
richtige Zerlegungen vorkommen — einige wenige sind irrig oder 
lückenhaft — stimmen sie Zahl für Zahl mit Ahmes überein. Jeden- 
falls kann man auch mit Bezug auf die uns gegenwärtig beschäfti- 
gende Tabelle nicht Vorsicht genug gegen die Versuchung üben, 
allgemeine Methoden aus gegebenen Fällen herauszudeuten, damit man 
sie nicht vielmehr hineindeute. 

Eine allgemeine Methode weist allerdings der Text des Papyrus 
selbst durch eine der seltenen Stellen, in welchen eine wirkliche 
Vorschrift gegeben ist, auf Wir meinen die Aufgabe 61 nach der 
Numerierung, mit welcher der Herausgeber des Papyrus die auf die 

2 

Tabelle folgenden Aufgaben versehen hat. Dort heißt es'): „— zu 

. . 2 1 

machen von einem Bruch. Wenn dir gesagt ist: was ist ^ ^^^ Y^ 

so mache du sein Doppeltes und sein Sechsfaches, das ist sein zwei 
Drittel. Also ist es zu machen in gleicher Weise für jeden gebro- 
chenen Teil, welcher vorkommt." 

Um diese Vorschrift zu verstehen, müssen wir uns erinnern, daß 
zum Anschreiben eines Stammbruches (S. 61) der mit einem Pünkt- 
chen versehene Nenner genügte. „Sein Doppeltes" von einem Bruche 
gesagt heißt demnach: der doppelte Nenner, selbst mit einem Punkte 
darüber, und ist dem Werte nach nicht ein Doppeltes sondern ein 



*)EiBeiilohr, Papyrus S. 30—34 hat sich eingehend mit dieser Frage 
beschäftigt. Unsere Auseinandersetzung trifft in vielen Punkten nut der dort 
gegebenen überein, weicht aber auch in einigen nicht ganz nebensächlichen 
Dingen davon ab. *) Ebenda S. 150. 

Caxtob, OMchicht« der Mathematik L 3. Aufl. ^ 5 



66 2- Kapitel. 

Halbes. Die erwähnte Yorschrift zeigt also erstlich, dafi, wie wir 

2 11 

früher vorgreifend gesagt haben, die" Zerlegung y^YT ^®^*""^* 
war, wenn sie auch in der Tabelle nicht enthalten ist Sie zeigt 
femer, daß man „für jeden gebrochenen Teil, welcher Torkommt^', 

für jedes — in gleicher Weise ,r X - =• ö ä rechnete. Aber ein 

2 1 

anderes ist immerhin y Ton - - zu nehmen, ein anderes 2 durch 3 a 

zu teilen! Wir sind nicht berechtigt ohne weiteres Torauszusetzen, daß 

man gewußt habe, es sei -, X — =- 5—, also auch r- =• 5— x-. Die 

® ' 8 a8a' 8a2a6a 

Tabelle beweist uns das Vorhandensein dieser Kenntnis, denn sie 
liefert ausnahmslos bei jedem durch 3 teilbaren Nenner gerade diese 

„ . 2 112 112 11 

Zerlegung y ----,-=- -, ^^ - ^-^ — usw. 

Bezieht sich etwa das „also ist es zu machen für jeden ge- 
brochenen Teil, welcher vorkommt'* wie auf den Bruch — so auch 

2 
auf -', oder mit anderen Worten ist auch, wenn p eine Ton 3 yer- 

schiedene Primzahl bedeutet, in der Tabelle eine Verwertung der 

2 2 

Zerlegung von — bei der Zerlegung von — ersichtlich? Gibt es 

2 2 11 

femer eine Zerlegung von -- selbst, welche zur Zerlegung y =" y-g 

eine geistige Verwandtschaft besitzt? 

Die zweite dieser Fragen laßt sich sofort bejahend beantworten. 
Wenn p eine Primzahl ist (und zwar selbstverständlich eine von 2 

verschiedene Primzahl), so muß ^-y— eine ganze Zahl sein. Nun 

21 1 
ist ~ = ■ ^ + -"xi f ^^^ dieser Zerlegungsformel, deren ge- 

^r- - 2 x^ 

Bchichtliche Berechtigung freilich erst im 41. Kapitel im folgenden 

2 11 
Bande dieses Werkes zur Sprache kommen kann, entspricht y = ~oy 

Ihr folgen ebenso die Zerlegungen der Tabelle unter Annahme von 

*if;7ii9Q-4.2 112 112 112 11 
i> - O, (, ii, Zö mit y - -3 jg, y = y 28' iT = T 66' 23 "^ 12 276' 

aber i> » 13, 17, 19, 29, 13, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 
83, 89, 97, oder eine Mehrheit von neunzehn Primzahlen gegen fOnf 
beweist, daß es irrig wäre anzunehmen, diese Zerlegungsart sei als 
Gesetz vorhanden gewesen. Noch weniger fiigfc sich die Zerlegung 

2 . 211 211 

der Brüche — einem Gesetze. Wie o— = ^;— « , hätte maur— =»t— 7^- 
pa 3a2a6a' 5a da 16a 

ZU erwarten. Diese Erwartung erfüllt sich nur bei a = 5, 13, 17. 



Die Ägypter. AritbmetiBcheB. 67 

2 11 

Die Zerlegang y- "" r" öö- fii^d«* ii^r »*»** bei a = 7, 11. Die 

2 11 

Zerlegung if "=■ ä~ äa~> sollte man vermuten, könne nur bei a>ll 

eintreten, also die Ausdehnung der Tabelle überschreiten. Statt dessen 
gilt sie für a » 5, so daß 55 als Vielfaches seines größeren Faktors 
11, nicht seines kleineren Faktors 5 behandelt ist. Noch auffallender 

2 11 2 11 

ist die Ausnahmestellung, welche ^^ =• ^^ ^^ ^^^ 91 '"' 70 iäö ö""^^^™®^^ 
Die erstere Zerlegung kümmert sich, nach unserer bisherigen Auf- 
fassung betrachtet, weder um den Faktor 5 noch um den Faktor 7 
von 35, die letztere um keinen der Faktoren 7 oder 13 yon 91. Und 
doch lassen sich diese Zerlegungen in unter sich gleicher Weise aus 
jenen Faktoren herleiten. Wenn p und q zwei ungerade Zahlen sind, 

^"T^ demnach ganzzahlig ausfallen muß, so ist = i — 

^ 2 

H -T— , und setzt man nun p = 7, g =- 5 beziehungsweise p =- 13, 

^ 2 
4 » 7, so erhält man obige Zerlegungen. Und dieses Zusammen- 
treffen scheint kein Zufall zu sein. Wen^^stens läßt ^ich in byzan- 
tinischer Zeit die hier ausgesprochene Entstehung mit aller Bestimmt- 
heit nachweisen, wie im 24. Kapitel sich zeigen wird. 

Aber gerade das Yorhandengein der beiden Zerlegungsformeln, 
welche wir mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit zu ent- 
hüllen imstande waren, nötigt uns die gleiche Folgerung wiederholt 
auszusprechen, die Torgreifend an die Spitze gestellt ward. Nur eine 
allmähliche Entstehung der Tabelle läßt sich denken! Es will nicht 
in Abrede gestellt werden, daß an einem guten Teile der Zerlegungen 
mehr oder weniger bewußt gewisse Regeln zur Ausübung gelangten, 
aber gerade deren ebenmäßiges, gleichberechtigtes Vorhandensein 
schließt wieder rückwärts jede Möglichkeit eines einheitlichen Grund- 
gedankens aus, und sei es nur auch eines solchen wie der, daß wenn 
tunlich Stammbrüche mit geradem Nenner erscheinen sollen^). 

Wir schalten noch eine Bemerkung ein, deren Bedeutung erst im 
33. Kapitel uns hervortreten wird. Die Aufgabe „teile 2 durch 3" 
beziehungsweise durch 5, durch 17 usw. lautet ägjptsich nas 2 %eni 3, 



^) Wenn Herr Gino Loria in der Bibliotheca mathematica 1892 pag. 97 
bis 109 sich in scharfsinnigen Vermatangen ergeht, wie die ZerfäUnng in 2, 
8, 4 Stammbrüche stattgefunden haben möge, so bleibt er doch jede Antwort 
auf die Frage schuldig, an welcher wir auch gescheitert sind, und die wir für 
die wichtigste halten: warum im Einzelfalle die Zerlegung gerade in diese An- 
zahl yon Stammbruchen stattfand? 

6* 



68 2- Kapitel. 

oder wie der Divisor heißen mag. Von den beiden Eunstwörtem ^) 
nas und x^ bedeutet das letztere so viel wie in, unter, zwischen. 
Das erstere nas mit dem Determinativ eines die Hand ausstreckenden 
Mannes bedeutet anrufen, beten. Ahmes hat aber als Determinativ 
einen den Finger an den Mund legenden Mann benutzt Dadurch 
könnte die Bedeutung „aussprechbar machen^' gerechtfertigt werden 
und es hieße nas 2 x^^ 1-^ soviel wie „mache 2 aussprechbar in 17^^ 
Damit wäre mittelbar behauptet, der Ägypter habe leicht aussprech- 
bare Formen nur ftir Stammbrüche besessen, während ein Bruch wie 

oder allgemeiner ihm Schwierigkeiten sogar grammatikalischer 

Natur bereitete; eine Vermutung, welche noch ihrer Bestätigung 
harret. 

Wir haben die Anwendung der Tabelle zur Zerlegung von Brüchen, 
deren Zähler größer als 2 sind, deutlich zu machen gesucht, haben 
erkannt, daß diese Anwendung begrifflich leicht in der Ausführung 
mißlich ist. Um so wünschenswerter mußte es sein, die Zerlegung 
von Brüchen mit einem besonders oft vorkommenden Nenner ein für 
allemal vorrätig zu haben. Ein solcher Nenner war die bei den 
Fruchtmaßen und der Feldereinteilung der Ägypter sehr beliebte Zahl 
10, und deshalb wohl ist der großen Tabelle eine zweite kleinere 
angeschlossen gewesen, aus deren allerdings sehr lückenhaften Über- 
resten^) man die Zerlegung der verschiedenen Zehntel in Stammbrüche 
entziffert hat. 

Wir kehren nochmals zur großen Tabelle zurück. Wenngleich 
eine Anleitung zu ihrer Herstellung von uns vermißt wurde, so ist 
doch ein Beweis der Richtigkeit der einzelnen angegebenen Zer- 
legungen unter dem Namen Smot, Ausrechnung, geführt. Ist etwa 

die Zerlegung von - - in die beiden Stammbrüche - angegeben, so 

zeigt die Ausrechnung, daß —. Ä + - . Ä oder mit anderen Worten 

der «ite und der Ogte Teil von Ä zusammen die 2 geben. Der Grund- 
gedanke von dieser Ausführung besteht darin, daß zuerst allmählich 
die immer kleineren aliquoten Teile von Ä ermittelt werden, und 
daß ein kleiner Strich, im Drucke durch den Herausgeber übersicht- 
licher durch ein Sternchen ersetzt, diejenigen Zahlen hervorhebt, 
welche zusammen die 2 liefern sollen. 



*) Die hier ausgesprochene Vermutung ist Eigentum des Herrn Läon 
K d e t , der sie uns brieflich unter dem 10. Juli 1879 mitteilte und deren 
Benutzung in diesem Werke gütigst gestattet hat. *) Eisenlohr, Papyrus 
S. 49—63. 



J 



Die Ägypter. Arithmetisches. 69 

So heißt z. B. bei y "" "r 28 ^^® Ausrechnung^): 

. 4 28 4- 4 28. 
Der Sinn dieser Ausrechnung besteht darin^ daß man mit dem Um- 
wege über die Erkenntnis, daß die EQUfte von sieben Sy betrat, zu 

-j-x7=»1y-j- gelangt. Nicht als ob der Ägypter nicht imstande 

gewesen wäre sofort den vierten Teil Ton 7 zu erkennen, aber 
-die Absicht war offenbar in erster Linie zu zeigen, daß die Hälfte 

von 7 mehr als 2 betragt, daß also der Stammbruch — bei 

2 

-der Zerlegung von y nicht vorkommen kann. Dagegen liefert 
— X 7 nicht die ganzen 2, sondern nur 1 yv • Im Kopfe wird jetzt 

die Subtraktion 2 — 1 g^- = ^ vollzogen und erwogen, daß dieser 

Best durch 7 mal einem zweiten Stammbruche erzeugt werden muß, 
dessen Nenner folglich 7 mal 4 oder 4 mal 7 sein muß. Das ist 
die Bedeutung der an zweiter Stelle auftretenden Multiplikation 
1x7 = 7, 2 X 7 == 14, 4 X 7 = 28. 

Man könnte freilich, namentlich mit Beziehung auf die von uns 

aLb im Kopfe ausgeführt behauptete Subtraktion 2 — ly .- zweifel- 
haft sein, ob wir hier nicht Dinge hineinlesen, an welche Ahmes 

2 2 2 2 2 

nicht dachte, wenn nicht die Zerlegungen von j? > tö ; 37 > tt ' sä ^^ 
Bestätigungen unserer Darstellung erschienen. Dort wo die Zer- 
legung der Tabelle drei Stammbn'iche gibt, enthält die Ausrechnung 
ganz ähnliche Subtraktionen mit ausdrücklicher Erwähnung derselben. 
M 2 111 

überzeugen wir uns bei T7 = 12 01 68* ^^^ Ausrechnung hat folgende 

Oestalt«): 

1 17 1 ;, 

A 11^ 2 ' 

3 ^^ 8 34 

1-2 a 1 ^ 

T ^'3 * ^ 61 3 



') Eisenlohr, Papyrus S. 86. ") Ebenda 8. 87. 



70 2. Kapitel. 

1 2-li- * 4 -i -1 

6^28 68 4 

* 12 h 6 ^^^* 3 4' 

WO die Worte ^^Reet y ^" bedeuten, daß jö -^ ^^ ^^^ ^^^ Terlangten 

2 abgezogen noch - - -j- zum Reste lassen. 

Statt des so beseitigten Einwurfes droht uns ein zweiter, der 
die Ausrechnung selbst, den auftretenden Rest, die durch denselben 
erzwungenen ergänzenden Stammbrüche in Widerspruch setzen möchte 
gegen, unsere Behauptung, eine Ableitungsmethode der Tabelle sei 
nicht ersichtlich, und dennoch können wir diese Behauptung auf-- 
recht erhalten. Mag immerhin, wenn der erste Teilbruoh der Zer- 
legung gegeben war, auf den oder die anderen Teilbrüche durch 
eine Restrechnung geschlossen worden sein, die Wahl des ersten 
Teilbruches selbst war davon unbeeinflußt, und auf sie kam alles an. 

So gibt z. B. die Tabelle 43 =- 42 86 129 äöi * Wollte man zum ersten 
Teilbruche nur einen solchen wählen, dessen 43faches unterhalb der 
2, aber nahe bei ihr lag, so hinderte nichts folgende Rechnung an- 
zustellen, der wir zum Vergleiche mit den übrigen eine ganz ägyp- 
tische Anordnung geben: 

1 43 

3 ^^S 
1 14^ 

6 6 

1 .. J^ 1 

12 ^ 2 12 

* 24 1 2 T 24 ^^'* 6- 24 

und man hätte -^3 = ^g -gls lÄl 8^^^^®°" ^®^ Rechner muß doch 
irgend eine Veranlassung gehabt haben mit ^^ statt etwa, wie es hier 
gezeigt wurde, mit ^- zu beginnen, und welches diese Veranlassung 
war, wissen wir eben nicht. Das heißt wir kennen nicht die Ablei- 
tung der Tabelle. 

• Man fasse übrigens die Ausrechnung auf, wie immer man wolle,, 
der umstand bleibt jedenfalls bemerkenswert, daß ein Rest bei ihr 



1 


43 


2 


86 


3 


129 


6 


258 


12 


516 


24 


1032 



Die Ägypter. ArithmetischeB. 71 

zur Rede kommt, daß also eine gegebene Zahl von einer ^ anderen 
(hier von der Zahl 2) abgezogen wurde, daß man diesem Rest ent- 
sprechend eine Erg^Lnzung durch Vervielfachung wieder einer gege- 
benen Zahl (des Nenners des zu zerlegenden Bruches -^-j mit zu 

suchenden Stammbrüchen zu beschaffen hatte. So sehen wir die 
Möglichkeit, wenn nicht die Notwendigkeit einer eigentlichen Er- 
ganzungs- oder Vollen dungsrechnung, und eine solche unter 
dem ägyptischen Namen Seqem schlie^ßt sich mit 17 Beispielen un- 
mittelbar an die große und die auf letztere folgende kleine Zer- 
legungstabelle an^). Die Seqemrechnung hat es mit multiplikatiTen 
und additiven Ergänzungen zu tun, d. h. es wird in den ersten Bei- 
spielen gelehrt, womit eine bald aus Brüchen allein, bald aus mit 
Brüchen verbundenen Ganzen bestehende gegebene Zahl vervielfacht 
werden muß, es wird in späteren Beispielen gelehrt, wieviel zu einer 
ähnlichen gegebenen Zahl hinzugefügt werden muß, um einen ge- 
gebenen Wert hervorzubringen. Wir könnten kürzer sagen: es wird 
mit einer gegebenen Zahl in eine andere dividiert, oder aber sie wird 
von einer anderen subtrahiert, wenn nicht dadurch der Zweck wie 
die Verfahrungsweise des Ägypters durchaus verwischt würde. 

Das Verfahren besteht wesentlich in einer Zurückführung der 
gegebenen Brüche auf einen gemeinsamen Nenner, die als 
Hilfsrechnung durch andersfarbige (rote) Schriftzüge sich hervorhebt^ 
und wobei gewissermaßen über unsere moderne Anwendung von 
Generalnennern hinausgegangen wird, indem man sich nicht versagt, 
auch solche gemeinsame Nenner zu wählen, in welchen die Nenner 
der gegebenen Stammbrüche nicht eine ganzzahlige Anzahl von Malen 
enthalten sind. Maßgebend ist nur, daß jener Generalnenner zur 
Aufgabe selbst oder zu der bis dahin geführten Rechnung in Be- 
ziehung stehe, und nicht etwa Scheu vor zu großen Generalnennern 
bestimmt die Wahl desselben. Eine solche Scheu kannte man tat- 
sächlich nicht, wie Aufgabe No. 33 beweist, in welcher 6432 als 
Generalnenner vorkommt*). Zwei von den Seqemrechnungen, No. 23. 
und No. 13., mögen jene die additive, diese die multiplikative Er- 
gänzung erkennen lassen. 

In No. 23. soll t "s" iö 3Ö 46 '^^^*^^ ^^ ^ ergänzt werden. General- 
nenner wird 45, allerdings ohne daß ein Wort davon verlautete. Es 
werden eben nur die genannten Stammbrüche durch die Zahlen 

11-j^, öyy; 4y, lg, 1 ersetzt, und damit ist fttr den Sachkundigen 



») Eisenlohr, Papyrus S. 63—60.. *) Ebenda S. 73. 



72 2. Kapitel. 

hinlänglich erkUlrt^ daß Fünfundyierzigstel gemeint sind. Deren 

8 



111 9 

Summe 23 y — -g- Fünfundvierzigstel bedarf zur Ergänzung auf 



noch 45 "^ 45 45 =* y 40» ^^^ ^^^^ ^^^^ 3 y Diithin ist die ganze 
Ergänzung -J-|i. 

In No. 13. soll jg JJ2 multiplikatiT zu y ergänzt werden. Wohl 
mit Rücksicht darauf^ dafi 112 = 7 x 16, wird ein gerades Vielfaches 
von 7, nämlich 28, zum Generalnenner gewählt, also --^= oa^ 

IX 9 1 9LX. 

— = ^ und deren Summe « ^ gesetzt. Diese soll zu y = .^* ge- 
macht werden, und das geschieht, indem man die ^o selbst, deren 
Hälfte g und die Hälfte dieser Hälfte ,jg vereinigt. Mit anderen 

Worten -r tj^ wird durch Vervielfachung mit 1 ^ 4 zu y vollendet. 

Unsere Darstellung des letzten Beispieles gibt uns nicht bloß 
einen Einblick in eine Seqemaufgabe, sondern in das Dividieren der 
Ägypter überhaupt, wie es im ganzen Papyrus an den verschieden- 
sten Stellen wiederkehrt, stets den Weg mittelbarer Vervielfältigung 
wählend, in verwickeiteren Fällen zunächst mit einem angenäherten 
Ergebnisse sich begnügend, welches dann selbst noch nachträglich 
eine Er^nzung notwendig macht. 

Wenn es in No. 58. heißt ^): „Mache du vervielfältigen die Zahl 
93y um zu finden 70. Vervielfältige die Zahl 93 J-, ihre Hälfte 46y, 

ihr Viertel 234". Mache du l j ", so ist die Meinung keine andere, 
als die, daß jene Hälfte mit 46 y und jenes Viertel mit 23 y zu- 
sammen die verlangten 70 geben. 

Wenn No. 32. verlangt 1 y . zu 2 zu machen*), so vervielfältigt 
Ahmes die gegebene Zahl zunächst mit g- -3 ^ ^^ (wobei der Umweg 
erst ^ und dann noch l der Zahl statt dieser selbst zu nehmen nur 

8 3 

durch den Wunsch erklart werden kann, bei der weiteren Arbeit 
möglich Tiele Multiplikationaergebnisse von ly ^ zu kennen) und 
bringt die Summe aller dieser Teüprodukte in die Form 1 ^ j^ X 1 J J 
•) Eieenlohr, Papyru« S. 144. *) Ebenda S. 70. 



Die Ägypter. ArithmetiBches. . 73 

— — j. Er will aber 2 = tjj erhalten, zu deren Ergänzung noch 

Sil 

--_ B -- -- - erforderlich sind. Nun war bei der Gewinnung des an- 

1 1 228 

genäherten Produktes 1--- ^ in die Form — gebracht worden. Dar- 
aus geht hervor, daß 228 ^ ^T T "" 144 ®®"^ ^^ ^^^ ni ^ ^T 4 
= ^g. Der gesamte gesuchte Quotient ist daher —-^ = 1 g jg 114 228' 

Wir sind fast unyerantworÜich ausführlich in der Darstellung 
dieser Bechnungsverfahren und ihrer tabellarischen Hilfsmittel ge- 
wesen. Möge es uns gelungen sein dem Leser die Denkweise eines 
ägyptischen Rechners einigermaßen zu yergegenwärtigen. Das wäre 
freilich unmöglich, wenn unsere Auffassung eine so durchaus irrige 
wäre, als behauptet worden ist^). Zunächst soll in den Seqemrech- 
nungen von einem gemeinschaftlichen Nenner keine Rede sein. Das 
ist Yollständig wahr, wenn man den Nachdruck auf das Wort selbst 
legt. Ahmes hat dem Nenner, auf welchen die yorkommenden 
Brüche zurückgeführt werden, keinen Namen gegeben. Die Operation 
der Zurückführung als solche ist auch nicht geschildert. Aber als 
Mittel zur Hauptrechnung, welche Seqem heißt, wird sie fortwährend 
geübt, wie wir an der Hand der Beispiele gezeigt haben. 

Ferner soll auch der Zweck der Seqemrechnungen nicht der von 
uns angegebene sein. Ahmes beweise vielmehr unter dem Namen 
Seqem den Satz, daß wenn man verschiedene Zahlengrößen dem 
gleichen Rechnungsverfahren unterwerfe, die Ergebnisse im gleichen 
Verhältnisse sich ändern, wie die Zahlengrößen, von denen man 
ausging. Indem wir unsere Leser auch mit dieser Auffassung be- 
kannt machen, verschweigen wir allerdings nicht, daß unserer Mei- 
nung nach hier Dinge in Ahmes hineingelesen werden, an die er nie 
dachte. Ein Wort, welches mit Verhältnis übersetzt werden 
könnte, kommt überhaupt nicht vor. Richtig ist nur das eine, und 
das war übersehen worden, bis unser Herr Gegner darauf aufmerk- 
sam machte, daß in den Seqemrechnungen die zu erreichende Zahl 
meistens das Siebenviertelfache der Ausgangszahl ist, so daß diese 
ganz, zur Hälfte und zum Viertel genommen und so vereinigt 
werden muß. 

Wir sind sogar in der Lage ähnliches aus weit älterer Zeit an- 
zugeben. H. Brugsch hat 1891 im Museum von Gizeh zwei mit 



^) Lee pr^tenduB problämes d'algebre du manuel da calculateur ägjptien 
(Papjras Bhind) pai M. Läon Rodet im Journal Asiatique für 1882. Die 
122 Seiten starke Abhandlong ist auch im Separatabdruck erschienen. 



74 2. Kapitel. 

Gips überzogene Tafeln entdeckt ^)y welche znm Rechnen benutzt 
wurden und noch mit Zahlzeichen bedeckt sind. Schriftcharakter und 
beigef&gte Namen wie Amenemhat, üsertesen weisen auf die XII.^ 
wenn nicht auf die XI. Dynastie hin. Die vollzogenen Rechnungen 
bestehen darin^ daß Zahlen angegeben werden, deren erste das 7 fache, 
lOfache, 11 fache, 13 fache der zweiten sind. Das 7 fache ist beispiels- 
weise durch die Zahlenreihe erläutert 

7 1 

1 1 

4 28 

2 14 

1 • 40 5 1 

320 820 640 

USW., WO allerdings die letzte Angabe nur näherungsweise richtig ist, 

1 . 91 . Ol-ä- 1 

da Y nicht -^^ ist, sondern -J, also etwa ^^ mindestens fehlt. 

Sei aber bei dem Umstände, daß Ahmes nur das Wort Seqem 
gebraucht, ohne es irgend zu erklären, ein Zweifel über Sinn und 
Absicht gestattet, sei darum die eine oder die andere Deutung vor- 
zuziehen, oder gar eine dritte, deren Enthüllung die Zukunft bringen 
könnte, die eine Wahrheit wird wohl sicherlich genügend zutage 
getreten sein, daß Ahmes dieses Handbuch nicht für den ersten 
besten, sondern nur fUr die ersten und besten der Rechnungsver- 
ständigen seiner Zeit schrieb. Sein Werk setzt das gemeine Rech- 
nen mit ganzen Zahlen durchaus voraus. Es schließt nicht aus, 
daß die Zwischenrechnungen unter Anwendung von Hilfsmittehi aus- 
geführt wurden, von welchen Ahmes nicht redet. Wenden wir 
ans nunmehr zu den eigentlichen Aufgaben des Papyrus, welchen 
wir gleichfalls den Stempel eines verhältnismäßig höheren Wissen» 
aufgeprägt finden. 

An der Spitze dieser Aufgaben stehen die JETaw-Rechnungen*), 
die dem Inhalte nach nichts anderes sind, als was die heutige Algebra 
Gleichungen ersten Grades mit einer Unbekannten nennt. 
Die unbekannte Größe heißt Hau, der Haufen, und mit diesem 
Worte wird nicht bloß bis zu einem gewissen Grade gerechnet, es- 
kommen sogar mathematische Zeichen vor, welche von den gegen- 
wärtig gebräuchlichen sich nur insoweit unterscheiden, als sie ohne 
Anwendung von zugleich mit ihnen auftretenden Wörtern nicht aus- 
reichen einen nicht mißzuverstehenden Sinn herzustellen. Als solche 



') H. Brugsch-Pascha, Ans dem Morgenlande (Beclams Universal- 
Bibliothek No. 3161 und 3162) S. 86—40. *) Bieenlohr, Papyrns 8. 60—88. 



Die Ägypter. AxifhinetischeB. 75 

mathematische Hieroglyphen dürfen wir ausschreitende Beine fQr 
Addition und Subtraktion nennen. Die Addition wird durch dieselben 
bezeichnet, wenn die Beine der Zeichnung der Füße gemäß eben 
nach der Richtung gehen, wohin auch die Köpfe der Vogel, der 
Menschen usw. in den dergleichen darstellenden Hieroglyphen schauen, 
die Subtraktion im entgegengesetzten Falle. Wir nennen femer ein 
aus drei horizontalen parallelen Pfeilen bestehendes Zeichen für 
Differenz. Wir nennen endlich das Zeichen ^ in der Bedeutung „das 
macht zusammen'^ oder „gleich'^ Stellen wir einige dieser Aufgaben 
in ihrem Wortlaute zusammen, welchen wir die Schreibweise als 
Gleichungen folgen lassen. 

No. 24. Haufen, sein- Siebentel, sein Ganzes, es macht 19. 
D. h. y + a; - 19. 

No. 28. g- hinzu, y hinweg bleibt 10 übrig. D. h. (^ + y ^) 
2 12 

No. 29. -z- hinzu, -j hinzu, -- hinweg (?) bleibt 10 flbrig. D.h. 



10. 



No. 31. Haufen, sein y, sein , sein y, sein Ganzes, es be- 
trägt 33. D. h. |a: + y + -7 +a:-33. 

Das Wesen einer Gleichung besteht nun allerdings weit weniger 
in dem Wortlaute als in der Auflösung, und so müssen wir, um die 
Berechtigung unseres Vergleichs zu prüfen, zusehen, wie Ahmes seine 
Haurechnungen vollzieht. Er geht dabei ganz methodisch zu Werke, 
indem er die Glieder, welche, wie man heute sagen würde, links vom 
Gleichheitszeichen stehen, zunächst in eins vereinigt. Freilich tut 
er das in doppelter Weise, bald so, daß die Vereinigung im Neben- 
einanderschreiben der betreffenden Stammbrüche bestehend nur eine 

2 11 

formelle ist, z. B. No. 31.: 1 ^ --Ya;=»33; bald so, daß durch 
Zurückführung auf einen Generalnenner wirkliche Addition vorge- 
nommen ist, z. B. No. 24: y x = 10; No. 28.: ^ x = 10; No. 29.: 

20 

X « 10. Im erstgenannten Falle wird sofort durch den Koeffi- 
zienten der unbekannten Größe in die gegebene Zahl dividiert, wie 
eben der Ägypter zu dividieren pflegt, d. h. bei No. 31. man verviel- 

2 11 

fältigt 1^ o w solange bis 33 herauskommen und findet so den 



76 8. Kapitel. 

freilich nichts weniger als übersichtlichem Wert des Haufens 
^^4"^ öS 679 7^19-4 888' ^^^ welchem wir nur zu bemerken geben, 
daß — — ^^g der aus der Tabelle herrührende Wert von ^^ ist. Der 
zweite Fall eröffiiet wieder zwei Möglichkeiten. Entweder man löst 
, a: = C indem die Division - yollzogen und deren Quotient mit b 

vervielfacht wird; so in No. 24, wo zuerst 8 in 19 als 2 —mal 

enthalten und dann 7 mal 2 - — als löy g gefunden wird. Oder aber 

man dividiert mit i^ i^i 1 ^md vervielfacht diesen Quotienten mit C; 
80 wahrscheinlich in den Aufgaben No. 28. und 29. In No. 28. wird 
nämlich -r von 10 gesucht und von 10 abgezogen um den Haufen 9 

19 1 

ZU finden; wir fassen das so auf, es sei — = - = 1 — - - gewonnen 

9 
und dann 1 — £ö ^^^ ^^ ermittelt worden. Bei No. 29. wird ^ oder 

27 
27 11 

-^ im Werte von 1 — .^ berechnet und dieses 10 mal genommen, so 
daß 13^- ab der Haufen erscheint. 

2 

Auch hier sollen wir^) eine durchaus irrige Darstellung gegeben 
haben. Nicht als Gleichungen seien die Haurechnungen au&ufassen, 
sondern als Anwendungen der hier erstmalig auftretenden Methode 
des falschen Ansatzes. Ahmes wähle, wenn eine Aufgabe von der 

Form -^a: = (7 vorgelegt sei, für x zunächst den bequemen, wenn 

auch falschen Wert 6. Durch ihn wird freilich -^x nicht C, son- 
dern a, und der richtige Wert von x wird sodann gefunden, indem 
man von b zu ihm dasselbe Verhältnis obwalten läßt, wie von a 
zu C. Der Sache nach stimmt diese Methode des falschen Ansatzes 
und die der Gleichungsauflösung offenbar überein, und bei fehlendem 
Zwischentexte ist es beinahe Geschmackssache, ob man das eine, ob 
man das andere erkennen will. 

Daß die Vorstellung eines Hindurchgehens durch einen falschen 
Ansatz den Ägyptern nicht fremd war, haben wir immer behauptet, 
wie sich bei der Besprechung der Aufgabe No. 40. zeigen wird. 



*) Kodet, Les pr^tenduB probl^mea d'algäbre du manuel du calculateur 
£g7ptien. 



Die Ägypter. Arithmetisches. 77 

Dafi aber die Ägypter auch mit dem Gleichnngsbegriffe vertraut 
waren ^ und daß ihnen also Fremdartiges nicht untei^eschoben wird^ 
wenn man^ wie wir es getan haben^ die Haurechnungen Gleichungs- 
auflösungen nennt und als solche behandelt, das zeigen vorzugsweise 
andere Aufgaben, welche im Papyrus raumlich Ton den Haurech- 
nungen getreimt von No. 62. an auftreten ^). Diese Au%iben würden 
in modernen Übimgsbüchem, in welchen sich regelmäßig verwandte 
Dinge behandelt finden, unter dem Namen der Oesellschafts- 
rechnungen erscheinen. Die deutlichste derselben, No. 63., hat 
nach zweifellos richtig hergestelltem Text folgenden WorÜaut: „Yor- 

2 

Schrift zu verteilen 700 Brote unter vier Personen, - für einen, 

— filr den zweiten, ~ fQr den dritten, — für den vierten**. Als 

2 111 

Gleichung geschrieben wäre hier Y^ + y^ + y^ + Y^"" '^^ 

oder 1 Y T ^ ■= '^^0. Nun wird zwar nicht in ägyptischer Weise 

mit 1 Y T ^ ^ dividiert, aber doch das Ergebnis y — sofort hin- 
geschrieben, ein Ergebnis, welches der Seqemaufgabe No. 9. ent- 
nommen sein kann^), woraus «zugleich ein weiterer Nutzen dieser 
Ergänzungsrechnui^en und damit eine weitere Begründung der Not- 
wendigkeit ihrer besonderen frühzeitigen Einübung hervorgeht. Der 
Wortlaut ist nämlich anknüpfend an den der Aufgabe: „Addiere du 

- YYT' ^^ ^^* °^^ ^YT" ^^^^ ^^ 1 durch 1 ^ Y' ^** 
gibt nun y jg • Mache du y jr ^on 700, das ist 400." Wie könnte 
man bei dieser Rechnung von einem falschen Ansätze reden? Nein, 
es ist vollständige Gleichungsauflösung. Von y a; — C ist weiter ge- 
schlossen auf X =» (l : yj (7, genau so wie wir oben es auch für die 

Aufgaben No. 28. und 29. wahrscheinlich zu machen versuchten. 

Unter den Aufgaben der letzterwähnten Gruppe ist No. 66. nicht 
ohne sachliches Interesse, wo aus dem Fettertrage eines Jahres der 
tägliche Durchschnittsertrag mit Hilfe der Teilung durch 365 er- 
mittelt wird. Die Länge des Jahres zu 365 Tagen führt in Ägypten 
auf eine sagenhafte Urzeit noch vor König Mena zurück '). Der Gott 
Thot soll der Mondgöttin im Brettspiele 5 Tage abgewonnen haben. 



^) Eisenlohr, Papyrus S. 161 — 174; insbesondere S. 169 für die Aufgabe 
No. 68. und S. 166—166 für die Aufgabe No. 66. *) Ebenda S. 66. ') Maspero- 
Pietschmann S. 76 — 77. 



78 2. Kapitel. 

die er den bis dahin in der Zahl von 360 üblichen Tagen des Jahres 
zulegte. Und wie die Ägypter mindestens als Mitbewerber zu anderen 
ältesten Eulturrolkem um den Vorrang der Kenntnis der Jahres- 
lange von 365 Tagen auftreten, so gebührt ihnen ganz gewiß das 
Erstlingsrecht in der Einführung des Schaltjahres Ton 366 Tagen, 
welches je nach drei gewöhnlichen Jahren eintretend eine Ausglei- 
chung der Jahresdaten mit den wirklichen Jahreszeiten zum Zwecke 
hat. Das Edikt von Eanopus vom 7. März 238 v. Chr. führte diese 
Einrichtung ein, wenn sie auch bald wieder in Vergessenheit geriet^). 
Dem Inhalte und der Art des Auftretens nach hochbedeutsam 
sind die Aufgaben No. 40., 64., 79. des Papyrus. Ihr getrenntes Vor- 
kommen scheint darauf hinzuweisen, daß der mathematische Zusammen- 
hang derselben für Ahmes nicht deutlich, oder nicht erheblich genug 
war um die Anordnung der Aufgaben zu beeinflussen. Ihr Gegen- 
stand ist der Lehre Ton den arithmetischen und den geometri- 
schen Reihen entnommen. 

No. 40. „Brote 100 an Personen 5; y von 3 ersten das von 

Personen 2 letzten. Was ist der Unterschied?^**) Ahmes will eine 
arithmetische Reihe von 5 Gliedern gebildet haben, deren größtes 
Anfangsglied a, deren negative Differenz — d sei, und welche der Be- 
dingung entspricht, daß ?_ +(a~d)^+(a-2(g) _ (,^ _ 3 ^^ ^ ^^ _ 4 ^^ 

oder 11 (a — 4d) = 2d, beziehungsweise rf =• 5 y x (a — 4d) sei. Mit 
anderen Worten: der Unterschied der Glieder muß das 5 v^ fache 

des niedersten Gliedes betragen, damit der einen ausgesprochenen 
Bedingung genügt werde, und Ahmes kleidet dieses ohne jede Be- 
gründung in die Worte: „Mache wie geschieht, der Unterschied 5--**, 
worauf er die Reihe hinschreibt, welche die 1 als letztes Glied be- 
sitzt: 23, 17 — , 12, 6. , 1. Allein die Summe 8 dieser Reihe ist 
nur 60, während sie nach der anderen ausgesprochenen Bedingung 
100 sein soll. Nun ist 100 das ly fache von 60, man braucht also 

2 

nur jedes Reihenglied l^mal zu nehmen um beiden Bedingungen 
zugleich gerecht zu werden. Bei Ahmes heißt dieses wieder ohne 
weitere Begründung „mache du vervielfältigen die Zahl 1— mal", wo- 



^) Über das im April 1866 aufgefundene Edikt von Eanopus vgl. B. Lep- 
siuB, Das bilingue Dekret von Eanopus. Berlin 1866. Bd. I. *) Eisenlohr^ 
Papyrus S. 90— 92. 



Die Ägypter. Arithmetisches. 79 

11 2 12 

durch er zu der richtigen Reihe 38y , 29 g-, 20, lOy y, ly gelangt. 

Hier hat Ahmes in der Tat zuerst einen falschen Ansatz versucht, 
um ihn nachtraglich zu yerbesseni; und wir werden uns dieses Ver- 
fahren ftir später zu merken haben. 

No. 64. yyVorschrift des Abteilens Unterschiede. Wenn gesagt 
dir Getreide Maß 10 an Personen 10. Der Unterschied von Person 

jeder zu ihrer zweiten beträgt an Getreide Maß y, ist er.*'^) Hier 

ist aus der Summe 8, der wieder negativ gewählten Differenz —,d 
und der Gliederzahl n das Anfangsglied a der fallenden arithmeti- 
schen Reihe zu suchen. Nim ist a + (a — d) H f- (» — (w — l)d) = 

5 =- wa — Z' d und daraus a =» — + (w — 1) • ^ und genau nach 

dieser Formel läßt Ahmes rechnen. Der Wortlaut mag diese Be- 
hauptung begründen. Ahmes schreibt vor: ^^Ich teile in der Mitte 

jd. h. ich bilde den mittleren Durchschnitt —1 d. i. 1 Maß. Ziehe 

ab 1 von 10 Rest 9 [d. h. bilde n — 1]. Mache die Hälfte des 

Unterschiedes fd. h. mache ^1 d. i. — . Nimm es mal 9 fd. i. nimm 

Y X (n — 1)1, das gibt bei dir y ^g. Lege es hinzu zur Teilung 

mittleren fd. h. vollziehe die Addition — + y X (n + 1)1 . Ziehe ab 

du Maß g für Person jede um zu erreichen das Ende." 

Eine höchst merkwürdige Parallelstelle findet sich in den Frag- 
menten von Eahun, nämlich: 

110 

< 

"I 

10-^ 

12 

»,; 

4 



^ Eisenlohr, Papyrns S. 169— 162. 



80 2. Kapitel. 



6|: 



Die 10 letzten Zahlenangaben bilden eine fallende arithmetische Reihe 

mit der Differenz -^ und der Summe 100. Mit der als Überschrift die- 

nenden Zahl 110 ist nichts anzufangen, es sei denn daß man annähme, 
zwischen dem Zeichen für 10 und dem für 100 sei beim Schreiben 
irgend etwas yergessen worden. Man hätte alsdann als Überschrift 
zu denken: 100 m 10 Glieder zu zerlegen, und nach dieser Über- 
schrift fände sich die Auflösung der Aufgabe. 

In den beiden Aufgaben No. 40. und No. 64. bedurfte es von uns der 
Erläuterungen, um die betreffenden Auflösungsmethoden zu rechtfer- 
tigen. Ahmes setzt kein Wort von dieser Art hinzu. Das beweist 
doch mit aller Bestimmtheit, da£ die notwendigen Formeln aus einem 
anderen Lehrbuche hergenommen sein mußten, oder aber, daß der 
mündliche Unterricht für die nötige Erklärung bei solchen Schülern 
sorgte, die zur Fri^^e: warum macht man das so? reif waren. Eeinen- 
falls konnte der ägyptische Mathematiker, wenn die Anwendung dieses 
Wortes gestattet ist, in seinem Wissen von arithmetischen Reihen 
auf die unbewiesenen, ungerechtfertigten Formeln beschränkt gewesen 
sein, von denen in No. 40. und 64. Gebrauch gemacht ist. Dafür 
spricht noch weiter das Vorhandensein eines besonderen Ausdruckes 
Tunnu, die Erhebung, für den Unterschied zweier aufeinander 
folgender Glieder der Reihe. 

Wir haben uns auch noch auf die Aufgabe No. 79. für Kennt- 
nisse in der Lehre von den geometrischen Reihen bezogen. Wie 
weit sich diese erstreckten, ist freilich viel zweifelhafter als bei den 
arithmetischen Reihen. In der genannten Aufgabe^) ist von einer 
Leiter, Sutek, die Rede, welche aus den Gliedern 7, 49, 343, 2401, 
16807 bestehe. Neben diesen Zahlen, offenbar neben den 5 ersten 
Potenzen von 7, stehen Wörter, die auf deutsch Bild, Katze, Maus, 
Gerste, Maß heißen. Der Sinn dieser Aufgabe war durch die mehr- 
erwähnte Eigentümlichkeit des Handbuches, nirgend verbindende oder 
erklärende Worte zwischen die Zahlenangaben einzuschieben, unver- 
ständlich und mußte es bleiben, bis es gelang bei einem Schriftsteller, 
der fast 3000 Jahre nach Ahmes lebte, eine Aufgabe aufzufinden, 
von welcher im 41. Kapitel im folgenden Bande die Rede sein wird. 



') Eisenlohr, Papyrus S. 202— 204. 



Die Ägypter. Aritbmetischeä. 81 

und welche den Schlüssel lieferte^). Der fehlende Wortlaut der 
Aufgabe No. 79. ist demnach folgendermaßen herzustellen: 7 Per- 
sonen besitzen je 7 Katzen; jede Katze vertilgt 7 Mäuse; jede Maus 
frißt 7 Ähren Gerste; aus jeder Ähre können 7 Maß Getreidekömer 
entstehen; wie heißen die Glieder der nach diesen Angaben zu bil- 
denden Zahlenreihe, und wie groß ist ihre Summe? Ahmes bildet 
die Glieder wirklich. Er addiert sie zu 19607 und findet in einer 
Nebenrechnung die gleiche Zahl 19607 als Produkt von 7 mal 2801. 
Allerdings ist nicht gesagt, wie Ahmes gerade zu dem Faktor 2801 
gelangte, aber andererseits ist auch nicht in Abrede zu stellen, daß 

2801 = ~'7ZIT~' ^^^ ^^^ möglicherweise, vielleicht wahrscheinlicher- 
weise hier die Kenntnis der Summierungsformel für die geometrische 
Reihe a + a* -f- • • • + a"^ = -_^- X a durchschimmert, wenn auch 

von einer Gewißheit keine Rede sein kann. 

Das wäre etwa der Inhalt des Übungsbuches des Ahmes, soweit 
er für die Rechenkunst von Wichtigkeit ist. Bevor wir den geome- 
trischen Teil der Aufgaben zur Sprache bringen und des Metrolo- 
gischen im Vorbeigehen gedenken, schalten wir hier Erörterungen 
ein, die sich auf die schriftliche Bezeichnung der Zahlen bei den 
Ägyptern und auf das Rechnen derselben beziehen. 

Daß die Schrift der Ägypter ihren ursprünglichen Charakter als 
Bilderschrift in den Zeichen, welche zur monumentalen Anwendung 
kamen, am reinsten bewahrt hat, braucht gewiß kaum gesagt zu 
werden. Die Hieroglyphen, eingehauen in die Obelisken und Ge- 
denksteine, aufgemalt auf die Wände der Tempel und der Grabes- 
kammem, lassen auf den ersten Blick sich als Zeichnungen von 
Menschen, von Tieren, von Gliedmaßen, von Gegenständen des täg- 
lichen Gebrauches erkennen, wenn sie auch allmählich mit Silben- 
oder Buchstabenaussprache versehen wurden, welche mit dem dar- 
gestellten Bilde oft nur lautlich zusammenhängen. Bei rascherem 
Schreiben veränderten sich selbstverständlich die Zeichen. Absicht- 
lich oder zufällig abgerundet verschwammen sie bis zur ünerkenn- 
barkeit ihres Ursprunges in rasch hinzuwerfende Züge der hiera- 
tischen Schrift. Endlich ist als letzte Erscheinungsweise dieses 
Abhandenkommens der ersten Umrisse die demotische Schrift zu 
erwähnen, heute noch die meisten Schwierigkeiten bereitend, bei 
denen wir uns glücklicherweise nicht aufzuhalten brauchen, da die- 
jenigen Schriftstücke, von denen allein die Rede sein muß, teils in 



') Rodet, Les pr^tendos problämes d'algäbre du manael da calcalateur 
ßgyptien pag. 111—113 der SonderauBgabe. 

Caiitob, Geschichte der Methematik I. 9. Aafl. 6 



82 2. Kapitel. 

Hieroglyphen an verschiedenen noch zu nennenden Tempelwäaden, 
teils in hieratischer Schrift — so besonders das bisher besprochene 
Werk des Ahmes — erhalten sind. 

Die Richtung der Schrift ist bei Hieroglyphen wechselnd. 
Man pflegte nämlich auf die Richtung, in welcher der Lesende vor- 
überschreitend gedacht war, Rücksicht zu nehmen, und so mufite bei 
Inschriften auf zwei Parallelwänden notwendigerweise auf der Wand 
zur Rechten des Hindurchgehenden die Schrift Ton rechts nach links 
fortschreiten, auf der anderen Wand yon links nach rechts. Sämt- 
liche Hieroglyphen kommen daher bald in einer Form Tor, bald in 
der durch Spiegelimg aus jener entstehenden zweiten Form. Man 
hat sich gewöhnt bei der Wiedergabe der Hieroglyphen im Drucke 
stets die Form anzuwenden, welche dem Lesen von links nach rechts 
entspricht. Die hieratische Schrift dagegen führt immer yon rechts 
nach links ^). 

Sollten in hieroglyphischen Inschriften Zahlen dargestellt werden, 
so standen dazu verschiedene Mittel zu Gebote^). Bald wiederholte 
man das zu Zählende, wie z. B. in einer Inschrift von Kamak, wo 
„9 Götter" in der Weise geschrieben ist, daß das Zeichen für Gott 
neunfach nebeneinander abgebildet ist. Bald schrieb man die Zahl- 
wörter alphabetisch aus, ein höchst wichtiges Vorkommen, da hieraus 
die Kenntnis des Wortlautes wenigstens in einigen Fällen zu ge- 
winnen war, wozu alsdann Ergänzungen teils aus der Benutzung von 
Zahlzeichen in Silbenbedeutung, teils aus der koptischen Sprache usw. 
kamen, so daß man gegenwärtig über eine ziemliche Menge von 
ägyptischen Zahlwörtern verfügt^). Bei weitem am häufigsten ge- 
brauchten aber die Ägypter bestimmte Zahlzeichen, denen der 
Franzose Jomard schon während der ägyptischen Expedition 1799 
auf die Spur kam, und die er 1812 bekannt machte. Sie stammen 
meistens aus dem sogenannten „Grabe der Zahlen'^, das Champollion 
unweit der Pyramiden von Gizeh auffand, und in welchem dem reichen 
Besitzer seine Herden mit Angabe der einzelnen Tiergattungen vor- 
gezahlt werden, als 834 Ochsen, 220 Kühe, 3234 Ziegen, 760 Esel, 
974 Schafe. 

Die Zeichen sind ihrer Bedeutung nach 1 (I), 10 ( H )> ^^ (^)> 

1000 C^V 10000 /'h; auch eio Zeichen für 100000 (^ ), für 
Million ( Wy sogar ftlr 10 Million (Q) ist bekannt geworden*). Was 

^) Maspero-PietBchmann S. 590. *) Mathem. Beitr. KulturL S. 16. 
*) Eisenlohr, Papyrus S. 18—21. *) Hieroglyphißche Gtammatik von 
H. Biugsch. Leipzig 1872, S. 33. 



Die Ägypter. Arithmetisches. 83 

die Speichen darstellen^ ist nicht bis zur vollen Sicherheit klar. Daß 
1 durch einen senkrechten Stab^ 10000 durch einen deutenden Finger, 
100000 durch eine Kaulquappe, Million durch einen sich yerwundem- 
den Mann zu erklären sei, darin mögen wohl alle einig sein. Die 
Tier übrigen Zeichen dagegen für 10, 100, 1000, 10 Million sind bald 
so, bald so gedeutet worden. So hat man beispielsweise in dem 
Zeichen für 100 bald einen Palmstengel, bald einen Priesterstab, in 
dem für 1000 bald eine Lotusblume, bald eine Lampe erkennen 
wollen. Wir sehen von dieser Einzeldeutung als uns nicht berührend 
ab und schildern nur die Methode, nach welcher mittels dieser Zeichen 
die Zahlen geschrieben wurden. 

Sie ist eine rein additive durch Nebeneinanderstellung oder 
Juxtaposition, indem das Zeichen der Einheit einer jeden Ordnung 
so oft wiederholt wird als sie vorkommen sollte. Der leichteren 
Übersicht wird dadurch Vorschub geleistet, daß Zeichen derselben 
Art, wenn mehr als vier derselben auftreten sollten, in Gfruppen zer- 
legt zu werden pflegten, so daß nicht mehr als höchstens vier Zeichen 
derselben Art dicht nebeneinander geschrieben wurden. Eine der- 
artige Gruppierung scheint übrigens fast allerorten sich frühzeitig 
eingebürgert zu haben, selbst bei solchen Völkern, die in ihren mit 
lauter einfachen Strichen versehenen Kerbhölzern zu der niedrigsten 
Form eines schriftlichen Festhaltens einer Zahl allein sich aufzu- 
schwingen vermochten^). Die Reihenfolge der Zeichen überhaupt 
und, bei Zeichen derselben Art, der Gruppen gehorcht dem Gesetze 
der Größenfolge, welches wir in der Einleitung erläutert haben. Bei 
den von *links nach rechts verlaufenden Hieroglyphentexten steht 
demnach das Zeichen, beziehungsweise die Gruppe höchster Zahlen- 
bedeutung immer links von den anderen, und umgekehrt verhalt es 
sich bei den Texten entgegengesetzten Verlaufs. Kamen neben den 
Ganzen auch Brüche vor, so wurden diese selbstverständlich nach 
den Ganzen geschrieben. Die Bezeichnung der Stammbrüche findet 
so statt, daß der Nenner in gewöhnlicher Weise geschrieben wird, 
darüber aber das Zeichen <=> Platz findet, welches ro ausgesprochen 

wird. Nur statt y schreibt man / und statt des uneigentlichen 

Stammbruches y "^ oder <ö> • 

Die hieratischen Zahlzeichen wurden fast ebenso frühzeitig wie 
die hieroglyphischen bekannt, indem ChampoUion zwischen 1824 und 
1826 aus der überaus reichen ägyptischen Sammlung zu Turin und 
den Papyrusrollen des Vatikan die Grundlage zu ihrer Entzifferung 

») Pott I, 8.8—9; n, S.68. 



84 2. Kapitel. 

gewann. Daß auch hier das Gesetz der Größenfolge für ganze Zahlen 
wie für Brüche maßgebend ist, daß der Richtung der hieratischen 
Schrift entsprechend das Größere ausnahmslos rechts von dem Klei- 
neren steht; braucht kaum gesagt zu werden. Zum Schreiben der 
ganzen Zahlen benutzt die hieratische Schrift beträchtlich mehr 
Zeichen als die hieroglyphische, weil sie von der Juxtaposition unter 
sich gleicher Zeichen Abstand nimmt, vielmehr für die neun mög- 
lichen Einer, für die ebensovielen Zehner, Hunderter, Tausender sich 
lauter besonderer voneinander leicht unterscheidbarer Zeichen bedient. 
Sie spart an Raum und stellt dafür höhere Anforderungen an das 
Wissen des Schreibenden oder Lesenden. Nicht als ob jene Zeichen 
insgesamt voneinander unabhängig wären. Ein Blick auf die Tafel 
am Schlüsse dieses Bandes genügt, um zu erkennen, daß die Einer- 
mit geringen Ausnahmen sich aus der Vereinigung der betreffenden 
Anzahl von Punkten zu Strichen und aus der Verbindung solcher 
Striche zusammengesetzt haben ^), daß die Hunderter und Tausender 
aus den Zeichen für 100 und 1000 mit den sie vervielfachenden 
Einem entstanden sind, daß jene Zeichen für 1000, für 100, auch für 
10 den Hieroglyphen entstammen, unter Beachtung des Gegensatzes 
zwischen einer rechtsläufigen und einer linksläufigen Schrift. Die 
übrigen Zehner fordern jedoch den Scharfsinn des Erklärers so weit 
heraus, daß wir darauf verzichten auch nur einen Versuch in dieser 
Beziehung anzustellen. 

Die Hieroglyphe für 10 hat sich, wie man bemerken wird, bei 
der hieratischen Schrift oben zugespitzt, und so bestätigt sich der 
Bericht eines wahrscheinlich in Ägypten geborenen griechiscfien Schrift- 
stellers aus dem Anfange des V. Jahrhunderts n. Chr., Horapollon, 
welcher mitteilt^), die 10 werde durch eine gerade Linie dargestellt, 
an welche eine zweite sich anlehne. Derselbe Schriftsteller sagt 
auch'), die 5 werde durch einen Stern dargestellt, wie gleichfalls 
von der neueren Forschung bestätigt worden ist, wenn auch dieses 
Zeichen weniger Zahlzeichen als eigentliche Worthieroglyphe gewesen 
zu sein scheint. 

Bei der hieratischen Schreibweise der Brüche hat das hierogly- 
phische ro sich zu dem Punkte verdichtet, der, wie wir schon wissen, 
über die ganze Zahl des Nenners gesetzt den Stammbruch erkennen 

2 1 

ließ. (S. 61.) Den Hieroglyphen von - und ~ entsprechen gleich- 
falls aus ihnen abgeleitete Zeichen. Außerdem gibt es noch beson- 



') R. Lepsius, Die altägyptische Elle nnd ihre Eintheilang (Abhandlungen 
der Berliner Akademie 1866) S. 42. *) Horapollon, Hieroglyphica Lih. II, 
cap. 30. *) Horapollon, Hieroglyphica Lib. I, cap. 13. 



Die Ägypter. Arithmetisches. 8Ö 

dere hieratische Zeichen für und , deren Ursprung nicht wohl 

ersichtlich ist, es müßte denn bei dem Zeichen für - an die Vier- 

teilung der Ebene durch zwei sich kreuzende Linien gedacht 
worden sein? 

Die hieratische Schreibweise der ganzen Zahlen insbesondere war 
nicht systemlos. Sie konnte das Rechnen, namentlich das Multipli- 
zieren bedeutend unterstützen, vorausgesetzt, daß man nur eine Kennt- 
nis dessen besaß, was als Ergebnis der Vervielfachung der Einer 
untereinander und der Einheiten verschiedener Ordnung erscheint. 
Aber eine solche Einmaleinstabelle haben die Ägypter 
mutmaßlich nie besessen. Der Beweis dafür liegt in der Tat- 
sache, daß sie Multiplikationen so gut wie nie auf einen Schlag voll- 
zogen und auch bei der Ermittlung der Teilprodukte den Multipli- 
kator keineswegs nach dekadisch unterschiedenen Teilen zu zerlegen 
pflegten. Wollte man z. B. das ISfache einer Zahl bilden, so suchte 
man nicht etwa das 3 fache und 10 fache, sondern das 1 fache, 2 fache, 
4 fache, 8 fache durch wiederholte Verdopplung und vereinigte dann 
das 1 fache, 4 fache, 8 fache zum gewünschten Produkte. Der gleiche 
Kunstgriff reichte aus, wenn Stammbrüche mit Stammbrüchen ver- 
vielfacht werden sollten, da vermöge der Schreibart der Brüche hier 
die Gleichartigkeit mit der Vervielfachung ganzer Zahlen untereinander 
auf der Hand lag, so daß wir in dieser Bezeichnung der Brüche 
selbst entweder eine geniale Erfindung oder einen glücklichen GriflF, 
wahrscheinlich das letztere, zu rühmen haben. 

Wir haben an den früher besprochenen Beispielen die Methoden 
allmählicher Vervielfachung ganzer und gebrochener Zahlen sowohl 
zum Zwecke eigentlicher Multiplikation, als indirekter Division zur 
Genüge kennen gelernt. Wir haben (S. 74) hervorgehoben, daß das 
Handbuch des Ahmes nur für Geübtere geschrieben sein kann, und 
mögen auch seine Schlußworte^): „Fange Ungeziefer, Mäuse, Unkraut 
frisches, Spinnen zahlreiche. Bitte Ra um Wärme, Wind, Wasser 
hohes" sich an einen Landmann wenden, mögen die Aufgaben selbst 
vielfach an die Beschäftigungen eines Landmannes erinnern, niemand 
wird deshalb glauben wollen, daß ein gewöhnlicher Landmann Hau- 
und Tunnurechnungen zu bewältigen imstande gewesen sei. Neben 
dem höheren, dem wissenschaftlichen Rechnen kann daher und muß 
vielleicht an ein Elementarrechnen gedacht werden, dessen Spuren 
wir anderwärts als in dem Papyrus des Ahmes aufzusuchen haben. 
Das meiste, was die Wissenschaft erfand, sickert im Laufe der Jahre, 

^) Eisenlohr, Papyrus S. 223— 225. 



86 2. Kapitel. 

wenn nicht der Jahrhunderte durch die verschiedenen Yolksklassen 
hindurch, allgemeine Verbreitung erst dann erlangend, wenn höhere 
Bildung schon weit darüber hinaus gegangen ist, oder gar es als 
falsch erkannt hat. So muß es auch mit dem Bechnen gegangen 
sein in dem Lande, wo es vielleicht zuhause war. 

Auf die ägyptische Herkunft der Rechenkunst weisen 
Volkssagen hin, welche von griechischen Schriftstellern uns aufbewahrt 
wurden. „Die Ägypter'^, so sagt uns der eine^), „erzählen, sie hätten 
das Feldmessen, die Sternkunde und die Arithmetik erfunden.^^ Ein 
anderer hat gehört*), der Gott Thot der Ägypter habe zuerst die 
Zahl und das Rechnen und Geometrie und Astronomie erfunden. Ein 
dritter ') führt die ganze Mathematik auf Ägypten zurück, denn dort, 
meint er, war es dem Priesterstande vergönnt Muße zu haben. Und 
wenn Josephus, sei es seinem Nationalstolze eine Genugtuung ver- 
schaflfend, sei es zum Teil wenigstens der Wahrheit die Ehre gebend, 
behauptet, die Ägypter hätten die Arithmetik von Abraham erlernt, 
der sie gleich der Astronomie aus Chaldäa nach Ägypten mit- 
brachte, so fügt er doch hinzu, die Ägypter seien die Lehrer der 
Hellenen in dieser Wissenschaft gewesen*). 

Die Frage ist nun, wie das älteste elementare Bechnen der Ägypter 
beschaffen war, dasjenige, welches nach unserer Auffassung auch zur 
Zeit des Ahmes und später noch das allgemein übliche war? Zur 
Beantwortung dieser Frage stehen uns teils Vermutungen, teils eine 
bestimmte Aussage eines zuverlässigen Berichterstatters zu Gebote, 
und bald auf die einen, bald auf die andere uns stützend glauben 
wir an ein Pingerrechnen, wissen wir von einem instrumentalen 
Bechnen der Ägypter. 

Das Bechnen an den Fingern, nicht nur so wie es unwill- 
kürlich das Kind schon ausführt, welches zu addierende Zahlen durch 
ebensoviele ausgestreckte Finger sich versinnlicht, um die Summe vor 
Augen zu haben, sondern unter einigermaßen künstlicher Ausbildung 
mit bestimmtem Werte der einzelnen Finger ist (S. 6 — 7) bei Völkern 
nachgewiesen worden, für die wir kaum mehr als die ersten Anfänge 
von Bildung in Anspruch nehmen dürfen. Wir wollen keinerlei Ge- 
wicht darauf legen, daß die Völker, von denen an jener Stelle die 
Bede war, dem Lineren und dem Süden Afrikas angehören, daß so- 
mit bei der nordsüdlichen Bichtung, welche auf jenem Erdteile die 
Bildung eingehalten zu haben scheint, bei der geringen geistigen Be- 
gabung der Negerrassen hier ein solches Durchsickern altägyptischer 



*) Diogenes Laertius prooem. s. 11. *) Piaton, Phaedros pag. 274ni. 
') Aristoteles, Metaphys. I, 1 in fine. *) Josephos, Antiquit. I, cap. 8, §2. 



Die Ägypter. AxithmetischeB. 87 

Methoden^ wie wir es eben als naturgemäß schilderten^ so langsam 
YonstatteD gegangen sein könnte, daß sie erst nach Jahrtausenden 
in sehr yiel südlicheren Breiten ankamen. Derartige Vermutungen 
auszusprechen, ist nicht ohne Beiz, sie können ein vereinzeltes Mal 
glücken, aber sie haben darum noch keine Berechtigung. Dagegen 
war in Ägypten selbst in der ersten Hälfte des V. nachchristlichen 
Jahrhunderts die Überlieferung von einer Zahlenbedeutung des 
Ringfingers noch yorhanden. Allein umgebogen, während alle 
anderen Finger gestreckt blieben, habe er den Wert 6 dargestellt, 
die erste vollkommene Zahl ^), sei darum auch selbst der Vollkommen- 
heit teilhaftig worden und habe das Vorrecht erhalten, Ringe zu 
tragen^). Zu dieser Sage kommen noch alterhaltene Denkmäler. In 
einer Pariser Sammlung ägyptischer Altertümer^) findet sich eine 
rechte Hand, an welcher die zwei letzten Finger umgelegt sind. 
Das kann wenigstens eine Zahlenbedeutung gehabt haben. Über die 
Möglichkeit hinaus bis beinahe zur Gewißheit fuhren aber Bezeich- 
nungen alt ägyptischer Ellen ^), welche in mehreren Exemplaren 
vorhanden sind. Die Zahlen von 1 bis 5 sind durch die fünf Finger 
der linken Hand, welche allmählich vom kleinen Finger anfangend 
ausgestreckt werden — wenigstens wird der Daumen zuletzt aus- 
gestreckt — dargestellt. Zur Bezeichnung der Zahl 6 dient alsdann 
die rechte Hand mit ausgestrecktem Daumen bei im übrigen ge- 
schlossenen Fingern, allerdings eine fast überraschende Übereinstim- 
mung mit der oben berührten Sitte jener von links nach rechts an 
den Fingern zählenden Negerstämme. Dagegen dürfen wir nicht ver- 
schweigen, daß nach diesen sechs Bildern, die an Deutlichkeit nichts 
zu wünschen übrig lassen, wieder an verschiedenen Exemplaren sich 
bestätigend zwei weitere Bilder auftreten, jedes 4 ausgestreckte Finger . 
ohne Daumen darstellend, welche unserer Deutung nicht ferner zu 
Hilfe kommen, wenn sie derselben auch nicht geradezu widersprechen. 
Dieser letzten Bilder wegen sahen wir uns zu dem behutsameren 
„beinahe^^ veranlaßt, welches die Gewißheit des Fingerrechnens als 
durch die Fingerzahlen auf den EUen bezeugt einschränken mußte. 
Mit aller Gewißheit ist uns von dem instrumentalen Rechnen 
der Ägypter Nachricht zugegangen. „Die Ägypter^^, so erzählt uns 



^) Über den Begriff der vollkommenen Zahl vgl. im 6. Kapitel *) Macro- 
bius, Convivia Saturnalia Lib. VII, cap. 18. ') Claude du Molinet, le 
cabinet de Ja bibliotheque de St Genevteve. Pariß 1692. Tab. 9 p. 16. Auf diese 
sehr interessante Andeutung hat Heinr. Stoy, Zur Geschichte des Bechenunter- 
richtes 1, Teil, S. 40, Note 3 (Jenaer Habilitationsschrift von 1876) zuerst hin- 
gewiesen. *) Die Abbildungen bei B. Lepsius, Die altägyptische Elle und ihre 
Eintheilung (Abhandlungen der Berliner Akademie 1866). 



88 2. Kapitel. 

Herodot ^\ der Land und Leute aus eigener Anschauung genau kannte^ 
und der stets unterscheidet, wenn er nur ihm selbst Berichtetes und 
nicht Erlebtes mitteilt, „schreiben Schriftzüge und rechnen mit Steinen, 
indem sie die Hand Ton rechts nach links bringen, während die Hel- 
lenen sie von links nach rechts führen." Diese Erzählung ist nicht 
mißzuTerstehen. Als richtig von uns erkennbar, wo sie der hiera- 
tischen Schriftfolge der Ägypter von rechts nach links gedenkt, ge- 
währleistet sie ein Rechnen mit Steinen mutmaßlich auf einem Rechen- 
brette etwa für das Jahr 460 v. Chr. Sie gewährleistet es, was wir 
in einem späteren Kapitel in Erinnerung bringen werden, für die 
Griechen mit derselben Sicherheit wie für die Ägypter. 

Der Begriff des Rechenbrettes, auf welchem mit Steinen ge- 
rechnet wird, ist, wenn auch unter bedeutsamen Veränderungen, ein 
räumlich und zeitlich ungemein verbreiteter. Man kann das Gemein- 
same desselben darin finden, daß auf irgend eine Weise unterschiedene 
Räume hergestellt werden, welche euf irgend eine Weise bezeichnet 
werden, worauf jedes Zeichen einen Erinnerungswert erhält, abhängig 
sowohl von dem Zeichen selbst als von dem Orte, wo es sich findet. 
Es ist, kann man sagen, ein mnemonisches Benutzen zweier Dimen- 
sionen. 

In dieser weitesten Bedeutung kann man schon die Quipu oder 
Knotenschnüre der alten Peruaner^) dem Begriffe unterordnen. Die 
Schnüre waren oft von verschiedener Farbe. Die rote Schnur be- 
deutete alsdann Soldaten, die weiße Silber, die grüne Getreide usw., 
und die Knoten an den Schnüren bedeuteten, je nachdem sie einfach, 
doppelt, oder noch mehrfach verschlungen waren, 10, 100, 1000 usw. 
Mehrere Knoten nebeneinander auf derselben Schnur wurden addiert. 
.Ähnlicher Knotenschnüre bedienten sich die Chinesen, und ihre durch 
Zeichnung auf Papier übertragene Gestalt bildete die oft mißverstan- 
denen Kua*s*). Sollen wir alten Einrichtungen, in welchen das ge- 
nannte Prinzip zur Erscheinung kam, ganz neue an die Seite stellen, 
so haben wohl manche unserer Leser eigentümlich zurechtgeschnittene 
Kärtchen oder Holztäfelchen gesehen, deren man besonders in Frank- 
reich sich bedient, um bei gewissen Spielen, die auf einem Zählen 
beruhen und folglich voraussetzen, daß die bei jeder einzelnen Tour 
erlangten Zahlen aufgeschrieben (markiert) werden, dieses Geschäft 



1) Herodot II, 86. *) Pott II, S. 54. ») Duhalde, Ausföhrliche Be- 
Bchreibnng des chinesischen Reiches und der großen Tartarei; übersetzt von 
Mosheim. Rostock 1747 Bd. II, S. 338. Femer vgl. Le Chouking un des Hvres 
sacres chinois traduit par le P. Gaubil revu et corrtge par M. d£ Chiign^s. Paris 
1770, an sehr verschiedenen Stellen, die im Register s. v. Eoua zu entnehmen 
sind; die Abbildung S. 352. 



Die Ägypter. AhthmetischeB. 89 

durch Umklappen betreffender Abteilungen zu besorgen ^). Wirkliche 
Rechenbretter sind freilich jene Schnüre und Kartchen noch nicht. 

Das Rechenbrett im engeren Sinne des Wortes setzt voraus^ daß 
der Wert; welchen eine einheitliche Bezeichnung, sei es ein Strich 
oder ein Steinchen oder was auch immer, an unterschiedenen leicht 
erkennbaren Stellen erhält, sich nach den aufeinanderfolgenden Stufen 
des zugrunde gelegten Zahlensystems verändert, daß also im Dezimal- 
systeme bei wagrechter oder senkrechter Anordnung der Reihen, in 
welchen die Steinchen gelegt werden, jedes solches Steinchen einer 
Yerzehnfachung unterworfen wird, sofern es Ton einer Horizontalreihe, 
beziehungsweise von einer Yertikalreihe, in die benachbarte Reihe 
gleicher Art verschoben wird Nur bei Horizontalreihen kann ein 
Hinauf- oder Herunterrücken, nur bei Vertikalreihen eine Verrückung 
nach rechts oder nach links diese Wirkung üben, und diese auf der 
Hand liegende Notwendigkeit lehrt uns der erwähnten Äußerung 
Herodots den Beweis entnehmen, daß die Griechen wie die 
Ägypter sich Rechenbretter mit senkrechten Reihen be- 
dienten. Wie wir die Wertfolge dieser senkrechten Reihen uns zu 
denken haben, ob in dem Ausspruche Herodots auch darüber nicht 
mißzuverstehende Andeutungen enthalten sind oder nicht, das ist eine 
Frage höchst untergeordneter Bedeutung gegenüber von der gegen 
den Rechner senkrechten Gestalt der Reihen, die von geschichtlich 
großer Tragweite sich erweisen wird. Es ist klar, daß bei einem 
eigentlichen Rechenbrette auf dekadischer Grundlage in jeder Reihe 
höchstens 9 Steinchen Platz finden können, da deren 10 durch 
1 Steinchen in der folgenden Reihe ersetzt werden mußten. Danach 
ist wohl nicht ganz mit Recht zur festeren Begründung der Tatsache, 
daß die Ägypter eines Rechenbrettes sich bedienten, auf eine alte 
Zeichnung Bezug genommen worden. Auf einem bekannten Papyrus 
hat sich eine Rechnung aus der Zeit des Königs Menephtah I.') 
erhalten, bei welcher die nachfolgende Fig. 6 abgebildet ist^). Der 
erste Anblick scheint ja dafür zu sprechen, daß ein Rechenbrett mit 
seinen Steinchen dargestellt werden sollte, wenn nicht der Umstand, 
daß wiederholt 10 Pünktchen in einer Vertikalreihe (ebenso wie auch 



^) Auf die Analogie solcher Zählkärtcben zu Rechenbrettern hat wohl zu- 
erst Vincent in der Revue archeologique lU, 204 hingewiesen. *) Er gehörte 
der XIX. Dynastie an und regierte Lepsius zufolge 1341 bis 1321. Nach Stein- 
dorff umfaßte die ganze XIX. Dynastie die Zeit von 1350 bis 1200. ^ Die 
Figur stammt von der Rückseite des Papyrus Sallier IV. Aufsätze über den 
begleitenden Text von Goodwin (Zeitschrift für ägyptische Sprache und Alter- 
thumskunde, Jahrgang 1867 S. 67 flgg.) und von De Rougä (ebenda Jahrgang 
1868 S. 129 flgg.) enthalten kein Wort über die Figur. 



90 3. Kapitel. 

in einer Horizontalreihe) auftreten, die bedenklichsten Zweifel wach- 
rufen müßte. Abbildungen Ton Rechnern finden sich unter den fast 
unzähligen ägyptischen Wandgemälden unseres Wissens nicht. Man 
stößt wiederholt auf Leute, die sich mit dem Moraspiele beschäf- 




oo 

qO OoOo ^O 



tigen*) und zu diesem Zwecke Finger beider Hände in die Höhe 
heben, aber weder das Fingerrechnen, noch das Tafelrechnen scheint 
Teröffentlichende Wiedergabe gefunden zu haben, dürfte abo wohl 
kaum auf bisher entdeckten Gemälden erkannt worden sein. 



3. Kapitel. 
Die Ägypter. Geometrisclies. 

Wir kehren zu dem Papyrus des Ahmes zurück. Er hat sich 
als unschätzbare Fundgrube nicht bloß für die Kenntnis des alge- 
braischen Wissens der Ägypter bewährt, auch vieles andere hat aus 
ihm geschöpft werden können, worüber hier, wenn auch nicht in 
gleicher Ausführlichkeit aller Berichte, gesprochen werden muß. Nur 
mit kurzen Worten können wir das Metrologische berühren. Die 
vergleichende Untersuchung der Maßsysteme, welche den einzelnen 
Völkern des Altertums gedient haben, ist gewiß ein Gegenstand von 
hoher Wichtigkeit und auch dem Mathematiker bis zu einem gewissen 
Grade sympathisch, allein wie wir Astronomisches von unserer Auf- 
gabe ausgeschlossen haben, so auch verwahren wir uns gegen die 
Verpflichtung Metrologisches aufzunehmen. Wir müssen* uns daran 
genügen lassen im Vorübergehen zu bemerken, daß nicht bloß die 
Rechnungsbeispiele vielfache Angaben enthalten, aus welchen das Ver- 



*) Wilkinson, Manners and customs of tJie ancient Egyptians. London 
1837. Vol. I pag. 44 fig. 3 und Vol. 11 pag. 417 fig. 292. 



Die Ägypter. Geometrisches. 91 

hältnis der ägyptischen Maße in nicht anzuzweifehider weil durch allzu 
zahlreiche Beispiele zu prüfender Gewißheit sich ergeben hat, daß 
sogar in zwei aufeinanderfolgenden Paragraphen, Nr. 80 und 81, die 
Umrechnung von einem Maßsysteme in ein anderes geradezu gelehrt 
wird^). Die späteren Nachahmer des Ahmes haben, wie wir sehen 
werden, ähnliche Maßvergleichungen jederzeit in ihre Schriften auf- 
genommen. 

Unsere eingehendste Beachtung gebührt dagegen den geome- 
trischen Aufgaben des Ahmes, deren Erörterung wir eine vielleicht 
überflüssige, jedenfalls nicht unwichtige Bemerkung vorausschicken. 
Übungsbücher der höheren Rechenkunst von der ältesten bis auf die 
neueste Zeit herab enthalten fast ausnahmslos neben anderen mannig- 
fachen Beispielen auch solche aus der Geometrie und Stereometrie. 
Diese erheischen zu ihrer Berechnung gewisse Formeln, und diese 
Formeln sind als gegeben zu betrachten. An eine Ableitung derselben 
zu denken, oder gar weil die Ableitung nicht mitgeteilt ist zu arg- 
wöhnen, es habe eine solche überhaupt nicht gegeben, als das Übungs- 
buch verfaßt wurde, fällt niemand ein. Wir dürfen dem Handbuche 
des Ahmes mit keiner Anforderung gegenübertreten, die wir sonst 
xmbillig fänden. Wenn Ahmes sich geometrischer Regeln bedient, 
so müssen wir auch zu ihm das Zutrauen haben, er werde sie irgend- 
woher genommen haben, wo auch seine Schüler sich Rats erholen 
konnten, wir werden also an ein anderes geometrisches Buch glauben, 
das uns unmittelbar nicht bekannt ist, dessen einstmaliges Vorhanden- 
sein aber gerade durch jene Formeln mittelbar erwiesen ist, gleichwie 
die Formeln für Summierung arithmetischer und vielleicht geome- 
trischer Reihen, deren Ahmes sich bedient, uns einen Rückschluß 
auf in seinem Papyrus übergangene Ableitungsverfahren gestatteten. 

Die geometrischen Beispiele des Ahmes lassen zunächst den 
Flächenraum von Feldstücken finden, deren einschließende Seiten 
gegeben sind. Solcher Aufgaben konnte man am ersten von einem 
ägyptischen Schriftsteller sich versehen, da, wie wir weiter unten zu 
zeigen haben, gerade die eigentliche Feldmessung in Ägypten zu- 
hause gewesen sein soll. Damit ist aber freilich nicht gesagt, daß 
jede Feldmessung von vornherein eine geometrische gewesen sein muß. 

Mag die Notwendigkeit die Gleichwertigkeit oder Ungleichwertig- 
keit von Feldstücken zu schätzen mit den ersten Streitigkeiten über 
.das Mein und Dein des urbar gemachten Bodens, also mit der Ein- 
führung individuellen Gnmdbesitzes sich ergeben haben, diese Wert- 
vergleichimg konnte in mannigfacher Weise erfolgen. Man konnte 



*) Eisenlohr, Papyrus S. 204—211. 



92 3. Kapitel. 

die Zeit messen, welche zur Bebauung eines Feldstückes nötig war, 
das Getreide wägen, welches auf demselben wuchs oder zur Einsaat 
in dasselbe zu verwenden war, und unsere deutschen Benennungen 
Morgen^) und Scheffel') als Feldmaße sind Zeugnisse dafür, daß 
man solche Methoden nicht immer verschmäht hat. Dem Wunsche 
einer Feldervergleichung mag in anderen Gegenden die Sitte ent- 
sprungen sein, den einzelnen Ackern stets die gleiche Form, die 
gleiche Größe zu geben, und ein weiterer Schritt auf diesem Wege 
der Geistesentwicklung war es, wenn man der Gestalt der Äcker ent- 
sprechend Flächenmaße einführte, die, soviel uns bekannt ist, nirgend 
eine andere Figur darstellten als die eines Vierecks mit vier rechten 
Winkeln und in einem einfachen Zahlenverhältnisse zueinander stehen- 
den, wenn auch nicht notwendig gleichen Seiten, wiewohl an sich 
ein dreieckiges Maß z. B. ebensogut zu denken war. Auch aus 
Ägypten wird uns allerdings aus der verhältnismäßig späten Zeit 
von mindestens drei Jahrhunderten nach Ahmes ähnliches gemeldet. 
Herodot erzählt*), der König Sesostris habe die Äcker verteilt und 
jedem ein gleich großes Viereck überwiesen, auch danach die jähr- 
liche Abgabe bestimmt. Sesostris ist niemand anders als König 
Ramses II. aus der XIX. Dynastie, der etwa 1324 bis 1258 lebte. 

Aber eine irgendwie gestaltete Bodenfläche als Raumgebilde zu 
betrachten, sie unmittelbar aus ihren Grenzlinien messen zu wollen, 
das setzte schon geradezu mathematische Gedanken voraus, das war 
selbst eine mathematische Tat. In Ägypten hat man diese Tat voll- 
zogen, wenn nicht zuerst vollzogen, und im Gefolge dieser Tat muß 
notwendig eine mehr oder weniger entwickelte Kenntnis der Eigen- 
schaften der verschiedenartigen Figuren, gewissermaßen eine theore- 
tische Geometrie, entstanden sein, mag auch für lange Zeit nur die 
praktische Feldmessung ihr eigentliches Endziel gewesen sein. 

Die Feldstücke, welche Ahmes ausmessen läßt, sind geradlinig 
oder kreisförmig begrenzt, und die ihrer Genauigkeit nach nicht ganz 
aus freier Hand, sondern mit Benutzung eines Lineals aber 
ohne Zirkel angefertigten Figuren lassen deutlich erkennen, daß an 
geradlinigen Figuren nur gleichschenklige Dreiecke, Rechtecke und 
gleichschenklige Paralleltrapeze in Betracht gezogen werden sollen. 

Das Rechteck bietet in seiner Ausrechnung am wenigsten Aus- 
beute. Es ist mehr als nur wahrscheinlich, daß, wie die Fläche des 
Quadrates von 10 Einheiten im Beispiele No. 44. zu 100 Flächen-* 



*) Pott I, S. 124. *) R. Lepsius, Ueber eine hieroglyphische Inschrift 
am Tempel von Edfu (Abhandlungen der Berliner Akademie 1855) S. 77. 
») Herodot 11, 109. 



Die Ägypter. Geometrisches. 93 

einheiten erkannt war^), auch bei ungleichen Seiten des Rechtecks 
eine Vervielfältigung der beiden Ausmessungen stattfinden muBte^ 
aber das Beispiel No. 49., welches auf ein Rechteck von 10 Ruten zu 
2 Ruten Bezug hat, läßt solches nicht erkennen, da wie es scheint 
durch ein Versehen des Ahmes zu dieser Aufgabe die Auflösung einer 
ganz anderen sich gesellt hat^). 

Ein gleichschenkliges Dreieck von 10 Ruten an seinem 
Merit, von 4 Ruten an seinem Tepro bildet den Gegenstand des 
Beispiels No. 51. Die Hälfte von 4 oder 2 wird mit 10 vervielfältigt. 
„Sein Flächeninhalt ist es^'^). Auffallend ist hier die Lage des bei- 
gezeichneten gleichschenkligen Dreiecks, auffallend sind die gebrauchten 
Eunstausdrücke, nicht am wenigsten auffallend ist die Rechnung. 
Während wir die Gewohnheit haben die Figuren dem sie Anschauen- 
den so symmetrisch als möglich vorzulegen, also bei einem gleich- 
schenkligen Dreiecke die eine ungleiche Seite als Grundlinie unten, 
die beiden gleichen Schenkel nach aufwärts gerichtet zu zeichnen, 
hat Ahmes die Strecke 4 vertikal gezeichnet und von deren End- 
punkten aus die beiden gleichen Schenkel in der Länge 10 gegen die 
Richtung der Schriftzeilen, also mit der Spitze nach rechts, zu- 
sammentreffen lassen. Die Seite von 4 Ruten heißt ihm, wie schon 
angeführt, Tepro, die von 10 Ruten Merit. Tepro oder der Mund 
für die Weite der Entfernung der Endpunkte zweier an der Feder 
des Schreibenden vereinigten, von da aus sich ö&enden Geraden ist 
einleuchtend. Ob aber der Name Merit oder der Hafen auf die 
Gleichheit der beiden anderen Schenkel, ob er auf die durch die 
Zeichnung gegebene Lage als obere Linie der Figur, als Scheitel- 
linie sich beziehen soll, kann als ausgemacht hier wenigstens nicht 
gelten, da weder die eine noch die andere Beziehung eine Erklärung 
der Wahl gerade dieses Wortes liefert. Wir werden indessen später 
sehen, daß vermutlich die Scheitellage mit Merit bezeichnet werden 
soll. Rücksichtlich der Figur haben wir noch zu bemerken, daß in 
No. 51. wie in anderen Aufgaben die Zahlen, welche die Längen der 
auftretenden Strecken messen, an diese, der Inhalt mitunter in die 
Figur geschrieben erscheint. Das Rechnungsverfahren besteht darin, 
daß, wenn wir den Dreiecksinhalt A, die Dreiecksseiten a, a, b 
nennen wollen, hier 

A-Ixa 

gesetzt ist. Das ist nun allerdings nicht richtig; es müßte vielmehr 



A-|xl/.'-^- 



i)EiBenlohr, PapjruB S. 110. *) Ebenda S. 122 bis 123. ') Ebenda S. 125. 



94 3. Kapitel. 

heißen; aber mehrere Dinge fordern unsere Überlegung heraus. Einmal 
hat man unter der Annahme, die Figuren seien grundfalsch gezeichnet, 
und die Dreiecke seien nicht als gleichschenklige, sondern als recht- 
winklige aufzufassen^), die bei Ahmes geführte Rechnung in Schutz 
genommen; der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks sei in der 
Tat das halbe Produkt der beiden Katheten. Kann man sich mit 
uns nicht entschließen, die mit dem Lineal gezeichneten Figuren für 
so falsch zu halten, so ist erstlich zu erwägen, daß die Ausziehung 
einer Quadratwurzel bei Ahmes nirgend vorkommt; zweitens dann 
auch, daß der Fehler, welcher begangen wird, sofern b gegen a nur 
einigermaßen klein ist> kaum in Anschlag kommt. Im Beispiele No. 51. 
ist die Dreiecksfläche mit 20 Quadratruten angesetzt. Der richtige 
Wert ist fast genau 19,6 Quadratruten. Der Fehler beträgt nicht 
mehr als 2 Prozent. Dieses dürfte, natürlich nicht dem Ahmes und 
seiner Zeit, aber einer späteren Nachkommenschaft; wohl als genügende 
Entschuldigung erschienen sein an einem Verfahren festzuhalten, 
welches in der Rechnung so ungemein bequem und leicht, im Er- 
gebnis kaum als falsch zu bezeichnen war. Wenn der ägyptische 
Feldmesser, wie wir in diesem Kapitel noch sehen werden, selbst 
anderthalb Jahrtausende nach Ahmes sich der altfiunkische Flächen- 
formel fortwährend bediente, so konnte er der nicht ganz unbegrün- 
deten Meinung sein sich ihrer bedienen zu dürfen. 

Die Torhin ausgesprochene Behauptung, eine Quadratwurzel 
komme bei Ahmes nicht vor, ist nicht in dem Sinne zu verstehen, 
als sei der Begriff der Quadratwurzel den Ägyptern überhaupt 
fremd gewesen. Höchstens kann man Zweifel darein setzen, ob die 
Ägypter mit irrationalen Quadratwurzeln umzugehen wußten. 
Die erste ägyptische Quadratwurzel ist in den in London befindlichen 
Fragmenten von Kahun aufgefunden worden. Ihr Zeichen ist ein 
rechter Winkel, dessen horizontaler Schenkel beträchtlich länger als 
der links vertikal nach unten sich erstreckende Schenkel ist. Wie 
das Zeichen auszusprechen ist, erscheint fraglich. Während einige 
Ägyptologen die Aussprache im für richtig halten, entscheiden sich 
andere für knb, beidemal unter Verzicht auf die Bestimmung der noch 
einzuschaltenden Selbstlaute. Für knh spricht, daß dieses Wort durch 
„Winkel^^ oder „Ecke" zu übersetzen ist, was mit der Gestalt des 
Zeichens im Einklang steht'). Benutzen wir diese Lesung, so ist 
die von der Zahl 40 ausgehende und ihrem mathematischen Zwecke 
nach noch unverstandene Rechnung folgende: 3x40=120, 120:10=»12, 



^) M. Simon, Über die Maibematik der Ägypter im Anschlnsse an £. Be- 
villont. *) Briefliebe Mitteilung deg Grafen H. Schack-Scbackenburg. 



Die Ägypter. GeometriBclies. 95 

1 : - « 1 -, 12 X 1- =» 16; suche davon den knb, er ist 4. Man 

4 3 «J 

sieht deutlich, daß knb oder wie das Wort ausgesprochen worden sein 
mag; nur Quadratwurzel bedeuten kann. 

Eine willkommene Bestätigung lieferte der Papyrus 6619 des 
Berliner Museums^), welcher gleichfalls in Eahun gefunden worden 
ist und der Zeit nach dem mittleren Reiche entstammt, zu welchem 
auch die Regierung der Amenemhate gehört. In ihm ist der knb von 

1— als 1 , der knb von 6~ als 2 - angegeben, während 1/ ^ = -- , 

f Y =* Y ist. Die Berliner Fragmente haben vor den Londoner 

Fragmenten den großen Vorzug, daß man in ihnen deutlich erkennt, 
was der Sinn der angestellten Rechnung war. Eine gegebene Fläche, 
etwa von- der Größe von 100 Flächeneinheiten, soll als Summe 
zweier Quadrate dargestellt werden, deren Seiten sich wie 1 zu 

-^ verhalten. In Buchstaben lautet also die Aufgabe: 

X« + y« « 100 

x:y ^ 1 : - oder y = — - a:. 

Die Auflösung erfolgt nach der Methode des falschen Ansatzes 
und bestätigt mithin was wir (S. 79) zu No. 40. des Handbuches des 
Ahmes über die Bekanntschaft der Ägypter mit dieser Methode g&- 

sagt haben. Versuchsweise wird 2; » 1, y = -r- gesetzt , wodurch 
x^ + y^^^ entsteht, und ]/?^ = A. Aber ^100=- 10 und 10:^ 
» 8. Die nicht mehr zu entziffernde Fortsetzung wird vermutlich 
gelautet haben: also ist richtig a;«=8xl — 8, y«-8x-^ = 6. 

Eine andere Au%abe auf einem kleineren Fragmente des Ber- 
liner Papyrus läßt mit Sicherheit die Gleichung y 6— « 2^ erkennen. 

Aus anderen auf diesem kleinen Fragmente vorkommenden Zahlen hat 
man geschlossen, hier sei die Aufgabe gestellt gewesen, 400 in zwei 

Quadrate zu zerlegen, deren Seiten sich wie 2 zu 1-^ verhalten. In 
Buchstaben lautet diese Aufgabe: 

X» + y« = 400 

x:y — 2:1^- 

*) H. Schack-Sohackenbuig, Der Berliner Papyras 6619. ZeitBchrift 
fOr ägyptische Sprache Bd XXXVm (1900) und XL (1902). 



96 3. Kapitel. 

Danach wird a;* : j/* « 4 : 2 , und mittels des versuchsweisen An- 
satzes x^ = 4, y* = 2 J- entsteht a:« + y> = 6|. Aber ]/6 J = 2^ 
und yiOO =- 20 nebst 20 : 2y = 8 . Mithin ist x == 8 x 2 = 16, 

y = 8 X 1 2 = 12 und 16« + 12« = 201 

Sind alle diese Vermutungen richtig, worauf ihr geistiger Zu- 
sammenhang schUeBen läßt, so enthüllen sich als den Ägyptern des 
mittleren Reiches bekannt die beiden Gleichungspaare 

12 + (iy_(l.J)' und 8« + 6« =10« 

22 + (l V)' = (2y)' und 16« + 12« -- 20«. 

Es ist unverkennbar, daß hier 

4« + 3« = 5« 

zugrunde liegt, wenn auch diese Gleichung selbst nicht vorkommt. 
Es ist möglich, daß sie auf einem verlorengegangenen Papyrusfrag- 
roente stand, es ist auch möglich, daß sie so allgemein bekannt war, 
daß man sich damit begnügte, nur solche Fälle zur Rede zu bringen, 
die aus der als selbstverständlich vorausgesetzten Grundformel sich 
herleiteten. Wir möchten bitten diese ganze Untersuchung, welche 
ihrem algebraischen Inhalte nach schon in das vorige Kapital ge- 
hören könnte, nicht als hier an unrichtigem Platze stehend bemängeln 
zu woUen. Sind doch die behandelten quadratischen Gleichungen aus 
geometrischen Aufgaben entsprungen. 

Die Dreiecksformel A = o- X a einmal vorausgesetzt ließ mit 

mathematischer Strenge eine zweite Formel für die Fläche eines 
gleichschenkligen Paralleltrapezes folgen, welche Figur aller- 
dings von anderen als rechtwinkliges Paralleltrapez gedeutet wird. 
Waren dessen beide unter sich gleiche nicht parallele Seiten je a, 
die parallelen Seiten \ und 6j, so mußte die Fläche 

sein, und dies ist die Formel, nach welcher in No. 52. die Rechnung 
geführt ist^). Sie setzt nur voraus, daß das Trapez als abgeschnittenes 
Dreieck beziehungsweise als Unterschied zweier Dreiecke entstanden 
gedacht ist, und mit dieser Entstehungsweise stimmt die Zeichnung 
wie die Benennung der einzelnen Strecken überein. Wieder liegt 

») Eisenlohr, Papyrus 8. 127—128. 



Die Ägypter. Geometrisches. 97 

das Trapez so, daß ein a Scheitellinie ist und den Namen Merit 
fQhrt; wieder heißt die größere links befindliche Parallele Tepro; 
und die kleinere Parallele, welche r^hts vertikal die Figur abschließt, 
führt den unsere Voraussetzung bestätigenden Namen Hak oder 
Abschnitt. 

Wir müssen, um nicht mißverstanden zu werden, hier eine kleine 
Bemerkung einschalten. Wir sagten, die Formel für die Flache des 
gleichschenkligen Paralleltrapezes folge mit mathematischer Strenge 

aus A =» ^ X a. Wir meinen das nicht etwa so, daß wir Ahmes 

das Bewußtsein dieser Folgerung zutrauten. Die alten Ägypter 
werden wohl eine vollständige Lehre von der Ähnlichkeit der Figuren, 
welche zur Führung des Beweises für den Zusammenhang der beiden 
Inhaltsformeln unentbehrlich ist, kaum besessen haben. Ihnen war 
vielleicht ein enger Zusammenhang der beiden Formeln, welche sie 
selbständig für richtig hielten, nie in Gedanken gekommen. Nur 
den späten Nachkommen soll mit jener Ableitbarkeit der Trapez- 
formel aus der Dreiecksformel wieder eine Entschuldigung dafür ver- 
schafft werden, daß sie im einen Falle so wenig als im anderen von 
der Gewohnheit der Väter abwichen. 

Die im Papyrus sich nun anschließenden Aufgaben^) No, 53., 54., 
55. beziehen sich auf die Teilung von Feldern, stimmen aber mit der 
einzigen beigegebenen Figur so absolut nicht überein, daß wir ein 
Erraten der eigentlichen Meinung des Verfassers für ein sehr schwie- 
riges Problem halten, dessen Lösung noch nicht gelungen ist. Von 
Interesse dürfte, falls die Enträtselung überhaupt möglich ist, die 
Richtung des in der Figur gezeichneten Dreiecks sein, dessen Spitze 
nach links hin steht, während sie in den früheren Beispielen rechts 
war. Außerdem werden sicherlich die zwei vertikal gezogenen Paral- 
lelen von Wichtigkeit sein, welche das ursprüngliche Dreieck in ein 
Dreieck und zwei Paralleltrapeze zerlegen. 

Die Ausmessung des Kreises wird schon in No. 50. vorge- 
nommen'). Sie ist eine wirkliche Quadratur zu nennen, indem sie 
• lehrt ein Quadrat zu finden, welches dem Kreise flächengleich sei, 

und zwar wird als Seite des Quadrates der um - seiner Länge ver- 
minderte Kreisdurchmesser gewählt. Wie man zu dieser Vorschrift 
gekommen sein mag ist nicht entfernt zu erraten. Gesichert ist sie 
durch wiederholtes Auftreten, gesichert ist auch ihre ziemlich gute 
Anwendbarkeit, denn sie entspricht einem Werte 



') Eisenlohr, PapyruB S. 130—133. *) Ebenda S. 124, vgl. aber auch 
die Aufgaben No. 41., 42., vielleicht 48., endlich 4S. auf S. 100—109 und S. 117. 

Ci^KTom, 0«ichichte der Mathematik I. 3. Aufl. 7 



98 d. Kapitel. 



^»(y) =3,1604.... 



fQr die Yerhältniszahl der Ereisperiplierie zum DurchmesBer, der 
weitaus nicht der schlechteste ist, dessen Mathematiker sich bedient 
haben. 

Neben den geometrischen Aufgaben hat Ahmes seinen Lesern 
auch stereometrische Torgelegt. Es handelt sich dabei um den Raum- 
inhalt von Fruchtspeichern und deren Fassungsvermögen fiir 
Getreide^). Diese Aufgaben stehen noch vor den eben besprochenen 
geometrischen und geben dadurch deutlich zu erkennen, was wir ein- 
leitend in diesem Kapitel berührt haben: daß das Geometrische im 
Übungsbuche des Ahmes niemalä selbst Zweck der Darstellung, 
sondern nur Einkleidungsform von Rechenaufgaben ist, denn sonst 
würde unmöglich die Flächenausmessung des Kreises später erscheinen 
als die Berechnung des Rauminhaltes eines runden Fruchthauses, bei 
welcher jene bereits Anwendung findet. In diesen körperlichen In- 
haltsaufgaben ist manches noch unklar. Die eigentliche Gestalt der 
Fruchthäuser, welche der Berechnung unterworfen werden, ist nichts 
weniger als genau bekannt, und wenn auch bienenkorbartige Zeich- 
nungen von Fruchthäusem in ägyptischen Wandgemälden etwas zur 
Verdeutlichung beitragen, sie genügen keineswegs, so lange eine geo- 
metrische Interpretation jener Zeichnungen fehlt. Soll der Bienen- 
korb als Halbkugel auf einen Zylinder aufgesetzt, soll er als eine 
Art von Umdrehungsparaboloid gedacht sein? Ist seine Grundfläche 
überhaupt kein Kreis sondern eine Ellipse? Das sind Fragen, deren 
Beantwortung aus den genannten Abbildungen nicht entnommen 
werden kann und doch auf die Rechnungs weise einen entscheidenden 
Einfluß ausüben muß. Hier ist also wieder zukünftiger Forschung 
noch manches Rätsel aufbewahrt, kaum zu lösen, wenn es nicht ge- 
lingt, weiteres Material aufzufinden. Bis dahin besteht der Vorteil, 
den wir aus diesen Beispielen zu ziehen vermögen, nur in den von 
uns schon angerufenen BesiÄtigungen der gewonnenen Ansichten über 
Inhaltsbestimmung des Rechteckes und des Kreises und in der 
Kenntnisnahme von Wörtern, welche den Agyptologen auch sonst 
mannigfach begegnet sind. Eine der Abmessungen, welche bei den 
Fruchthäusem in Rechnung treten, heißt nämlich Qa, eigentlich die 
Höhe, wofür auch die EUeroglyphe — ein den Arm hochstreckender 
Mann — zeugt, dann aber in zweiter abgeleiteter Bedeutung die 
Richtung größter Ausdehnung^); die Breite, beziehungsweise die 



*) Eisenlohr, Papyrus S. 101— 116. *) Diese abgeleitete Bedeutung hat 
•ßrugsch erkannt: Hieroglyphisch-demotisches Wörterbuch S. 1435 und deutlicher 



Die Ägypter. Geometrisches. 99 

kleinere Abmessung, heißt Use^. Nennen wir diese beiden Ab- 
messnngen q und Uj so erfolgt in No. 43. die Berechnung des Inhaltes 

nach der Regel, daß erst ein ö'i "= (l — y/S g6l>ildet wird und dann 

(y ^i) "3 ^- A.uch hier ist wieder eine interessante Übereinstimmung 

mit den Fragmenten von Eahun nachzuweisen. Dort ist nämlich 
ausgehend von bestimmten Zahlen ^i(= 12) und ii(» 8) die Rechnung 

(4gi)'-|«*=(5 •12)'.|.8-256.5j-«1365| vollzogen, und 

letztere Zahl steht im Inneren einer gezeichneten Rundung, über 
welcher die Zahlen 8 und 12 angebracht sind. Wenn man rersucht 
hat^), in der Rechnung des Eahuner Fragmentes die Inhaltsberech- 
nung einer Halbkugel Tom Durchmesser 8 zu erkennen und dabei 
eine Anwendung des Wertes n = 3,2 fand, so kann schon diese 
letztere Behauptung als Oegengrund gegen den jeder unmittelbaren 
Stütze entbehrenden Versuch genügen. Bei der soeben nachgewiesenen 
wenigstens teilweisen Übereinstimmung mit No. 43. des Ahmes müßte 
auch von diesem einmal tc — 3,2 in Anwendung gebracht worden 

sein, während alle anderen Beispiele % = l-~\ benutzen, und das er- 
scheint durchaus unglaublich. 

Endlich bietet der Papyrus noch eine Gruppe von 5 geometrischen 
Aufgaben*), No. 56. bis 60., welche dem heutigen Leser am über- 
raschendsten sein dürften, wenn er in ihnen die Yergleichung von 
Liniengrößen erkennt, soweit sie zu einem und demselben Winkel 
gehören, also eine Art von Ähnlichkeitslehre, wenn nicht ein 
Kapitel aus der Trigonometrie. Es handelt sich um Pyramiden, aber 
keineswegs um deren körperlichen Inhalt, sondern um den Quotienten 
der Hälfte einer an der Pyramide vorgenommenen Abmessung geteilt 
durch eine zweite, und dieser Quotient heißt Seqt, nach aller Wahr- 
scheinlichkeit eine kausative Ableitung von Qet, Ähnlichkeit, also 
wohl Ähnlichmachung. Was das aber fär Abmessungen an den Pyra- 
miden waren, die so in Rechnung gezogen wurden, war von vorn- 
herein aus den bloßen Namen Uchatebt, Suchen der Fußsohle, und 
Piremus, Herausgehen aus der Säge, keineswegs klar. Der Ucha- 
tebt mußte zwar offenbar irgendwo am Boden, der Piremus (dessen 
Name augenscheinlich in dem Munde der Griechen zum Namen des 
ganzen Körpers wurde)'), irgendwo ansteigend gesucht werden, aber 



betont in der Zeitschrift för '^fCTV^- Sp- u. Alterth. (Jahrgang 1870) Bd. VIII, S. 160. 
Vgl. auch Eieenlohr, Papyrus S. 280. ') L. Borchardt in der Zeitschr. für 
ägypt. Sprache Bd. XXXV, S. 160 (1897). «) Eisenlohr, Papyrus S. 184—149. 
•) Eigentlich sollte man daher die Orthographie „Piramide" der „Pyramide" vor- 

7* 



100 3. Kapitel. 

dabei gab es noch immer eine gewisse Auswahl. Die richtige Wahl 
zu treffen gelang dem Herausgeber des Papyrus, nachdem er den glück- 
lichen Gedanken gefaßt hatte, den Umstand zu berücksichtigen, daB 
die noch erhaltenen großen ägyptischen Pyramiden wesentlich gleiche 
Winkel besitzen (S. 57), und daß Ahmes wohl auch ihnen ähnliche 
Körper bei seinen Rechnungen gemeint haben muß. Der von Ahmes 
errechnete Seqt muß also einem Winkel von etwa 52^ zwischen der 
Seitenwand und der Orundfläche des Körpers entsprechen, und das 
findet nur dann statt, wenn der Piremus die ICante der Pyramide, der 
Uchatebt die Diagonale der quadratischen Grundfläche bedeutet, wenn 
also der Seqt das war, was wir gegenwärtig den Kosinus des Winkels 
nennen, den jene beiden Linien miteinander bUden. War die Größe 
dieses Verhältnisses Seqt bekannt, so kannte man damit auch die 
Winkel, welche an der Pyramide sich zeigen. Man kannte sie frei- 
lich nur mittelbar, aber mittelbar ist auch jede andere Ausmessung 
von Winkeln, ist auch die nach Graden und Minuten, welche zunächst 
nicht dem Winkel selbst, sondern dem Kreisbogen gilt, der ihn als 
Mittelpunktswinkel gedacht bespannt. Diese bisherige Auseinander- 
setzung gilt allerdings nur für die 4 ersten Aufgaben der Gruppe. 
In der 5. Aufgabe, No. 60., ist nicht von einer Pyramide, sondern von 
einem Grabmale die Rede, welches viel steiler als die Pyramide, mit 
der es die quadratische Gestalt der Grundfläche übrigens teilt, sich 
zuspitzt. Die durcheinander zu teilenden Strecken heißen hier ganz 
anders. Als Zähler ist Qaienharu, als Nenner die Hälfte des Senti 
angegeben, und das müssen doch wohl andere Linien sein als die- 
jenigen, welche die Namen Uchatebt und Piremus führten. Ins- 
besondere die Verwandtschaft zwischen Qaienharu und dem (S. 98) 
erwähnten Qa nötigt dazu, diesen Zähler als die senkrechte Höhe 
der Pyramide zu deuten. Vielleicht ist folgender Erklärungsversuch 
gestattet. 

Man weiß, daß die ägyptischen Pyramiden zunächst staffelformig 
mit parallelepipedischen, aufeinander ruhenden, sich verjüngenden 
Stockwerken angelegt wurden, und daß dann erst die Ausfüllung der 
Winkelräume bis zur Herstellung einer glatten Oberfläche erfolgte. 
Dem Arbeiter machte die Herstellung dieser Ausfüllsteine zuverlässig 
am meisten Schwierigkeit, und es wäre keineswegs unmöglich, daß 
der Baumeister, um seinem Arbeiter die Aufgabe zu erleichtern, Mo- 



ziehen, und wir bedienen uns in diesem Werke der landläufigen Schreibart nur 
mit dem Bewußtsein ihrer Mangelhaftigkeit. Beiläufig sei bemerkt, daß Piremus 
von anderen Ägyptologen, z. B. B rüg seh als Heraustreten aus der Breite über- 
setzt worden ist. uns steht ein Urteil über die Richtigkeit der einen oder der 
anderen Übersetzung nicht zu. 



Die Ägypter. GeometriBches. 



101 




Fig. 7 a. 



delle hätte anfertigen lassen. Deren brauchte man aber zwei, von 
der in Fig. 7 a und 7 b gezeichneten Gestalt. Das einfachere Modell 
(Fig. 7 a) diente zur AusfUlung der Breitseiten, das andere (Fig. 7 b), 
an der Ebene DCF mit einem symmetrisch gleichen zusammen^ 
treffend, diente die Ecken zu bilden, beide Modelle paßten mit der Ebene 
DCE aneinander. Das zweite Modell stellt sich als achter Teil einer 
der großen Pyramide ähnlichen Modellpyramide dar; dabei ist DF 
die Kante, DC die senkrecht von der Spitze auf die Grundfläche ge- 
fällte Hohe, CF die halbe Diagonale der Grundfläche, EF und die 
ihr gleiche GE [^ CEF^ 90^ ^ CFE^ 45^ also auch ^ ECF-^ 45» 
und EF = CE] die halbe Seite der quadratischen Grundfläche. Bei 
dem ersten Modell kommt es 
wesentlich auf ^ DEC an, 
bei dem zweiten auf eben 
diesen und auf ^ DFG\ folg- 
lich genügte auch das zweite 
Modell allein, um beide 
Arten von Ausfüllsteinen nach 
ihm behauen zu können. Nennen wir nun die yier erwähnten Längen, 
beziehungsweise ihre Verdoppelung, DF^pir em us, DC ^ qai en 
haru, 2CF^u%a tebt, 2CE ^ senti, so treten alle vier an einem 
Raumgebilde auf und müssen naturgemäß selbständige Namen 
führen. Seqt aber „die Yerhältniszahl'^ ist in der einen Ebene 

1 uva übt CF -p. ^^ . j , Tj,v qai en haru CD 

^-A = Ti rt = COS DFC, in der anderen Ebene = - , — ^.— ^ ri^ 

ptremtis DF ' ^sentt CE 

^ tng DEC. Allerdings würde diese Hypothese die zweite in sich 
schließen, daß das gleichschenklig -rechtwinklige Dreieck CEF als 
solches erkannt gewesen wäre. 

Auch hier hat man eine andere 
Erklärung vorgeschlagen^) und den 
seqt als Eotangente des Böschungs- 
winkels DEC (Fig. 7c), also als 

j^vy aufgefaßt, indem die Höhe DC 

bald pir em us bald qai en haru und 
die Grundlinie AB ^-^ 2CE bald ucha 
lebt bald senti genannt worden sei. 

Haben wir nun die Geometrie der Ägypter, soweit sie aus den 
Rechnungsbeispielen des Ahmes rückwärts erschlossen werden kann, 




Fig. 7 c. 



*) Bevillout in der Revue ^gypt. II, 808 flgg. und G. Borcliardt,*Wie 
wurden die Böschungen der Pyramiden bestimmt? in der Zeitschr. f. ägypt. 
Sprache XXXI, 9—17 (1893). 



102 8. Kapitel. 

erörtert, so beabsichtigen wir in ähnlicher Weise, wie es för die 
Rechenkunst geschehen ist, zu sammeki, was die Überlieferang ins- 
besondere griechischer Schriftsteller, was auch sonstige Denkmäler 
zur Ergänzung uns bieten. Herodot erzählt^), wie schon oben teil- 
weise verwertet worden ist, Sesostris (also Ramses IL) habe das Land 
unter alle Ägypter so veiieilt, daß er jedem ein gleich großes Viereck 
gegeben und von diesem seine Einkünfte bezogen habe, indem er 
eine jährlich zu entrichtende Steuer auflegte. Wem aber der Fluß 
Ton seinem Teile etwas wegriß, der mußte zu ihm kommen, und das 
Geschehene anzeigen; er schickte dann die Aufseher, die auszumessen 
hatten, um wieviel das Landstück kleiner geworden war, damit der 
Lihaber von dem übrigen nach Verhältnis der angelegten Abgabe 
steuere. Hieraus^ meint Herodot, scheint mir {doxdsi öd f&ot) die 
Geometrie entstanden zu sein, die von da nach Hellas kam. Iso- 
krates gibt an"), die Ägypter hätten die älteren unter ihren Priestern 
über die wichtigsten Angelegenheiten gesetzt, die jüngeren dagegen 
überredeten sie mit Hintansetzung des Vergnügens, sich mit Stern- 
kunde, Rechenkunst und Geometrie zu beschäftigen. Piaton hat 
häufig von der Mathematik der Ägypter gesprochen und einmal ') be- 
sonders hervorgehoben, daß bei jenem Volke schon die £inder in 
den Messungen unterrichtet würden zur Bestimmung von Länge, 
Breite und Tiefe. Eine andere platonische Stelle^), in welcher gleich- 
zeitig der Rechenkunst gedacht ist, und einen allgemein gehaltenen 
Ausspruch des Aristoteles ^) haben wir im vorigen E^pitel unter den 
Belegen fUr das hohe Alter ägyptischer Rechenkunst angefahrt. Heron 
von Alezandria läßt, was Herodot als ihm eigentümliche Vermutung 
äußert, vielleicht im Hinblick auf eben diesen damals schon seit etwa 
vier Jahrhunderten verstorbenen Schriftsteller zur alten Überlieferung 
werden®): Die früheste Geometrie beschäftigt sich, wie uns die alte 
Überlieferung lehrt, mit der Messung und Verteilung der Ländereien, 
woher sie Feldmessung genannt ward. Der Gedanke einer Messung 
nämlich ward den Ägyptern an die Hand gegeben durch die Über- 
schwemmung des Nil. Denn viele Grundstücke, die vor der Fluß- 
schwelle offen dalagen, verschwanden beim Steigen des Flusses und 
kamen erst nach dem Sinken desselben wieder zum Vorschein, und 
es war nicht mehr möglich über das Eigentum eines jeden zu ent- 
scheiden. Dadurch kamen die Ägypter auf den Gedanken der Mes- 
sung des vom Nil bloßgelegten Landes. Diodor stimmt gleichfalls 



*) Herodot 11, 109. ») Isokrates, Buairis cap. 9. ») Piaton, Gesetze 
pag. 819. *) Piaton, Phaedros pag. 274. ^) Aristoteles, Metaphys. I, 1 
in fine. *) Heron Alexandrinus (ed. Hultsch). Berlin 1864, pag. 138. 



Die Ägypter. Geometrisches. 103 

überein^). Die Ägypter, sagt er, behaupten, von ihnen sei die Erfindung 
der Buchstabenschrift und die Beobachtung der Gestirne ausgegangen; 
ebenso seien Ton ihnen die Theoreme der Geometrie und die meisten 
Wissenschaften und Künste erfunden worden. An einer etwas späteren 
ausführlicheren Stelle fährt er fort: Die Priester lehren ihre Söhne 
zweierlei Schrift, die sogenannte heilige und die, welche man ge- 
wöhnlich lemi Mit Geometrie und Arithmetik beschäftigen sie sich 
eifrig. Denn indem der Fluß jährlich das Land vielfach verändert, 
veranlaßt er viele und mannigfache Streitigkeiten über die Grenzen 
zwischen den Nachbarn; diese können nun nicht leicht ausgeglichen 
werden, wenn nicht ein Geometer den wahren Sachverhalt durch 
direkte Messung ermittelt. Die Arithmetik dient ihnen in Haus- 
haltungsangelegenheiten und bei den Lehrsätzen der Geometrie; auch 
ist sie denen von nicht geringem Vorteile, die sich mit Sternkunde 
beschäftigen. Denn wenn bei irgend einem Volke die Stellungen 
und Bewegungen der Gestirne sorgfältig beobachtet worden sind, so 
ist es bei den Ägyptern geschehen; sie verwahren Au£&eichnungen 
der einzelnen Beobachtungen seit einer unglaublich langen Reihe von 
Jahren, da bei ihnen von alten Zeiten her die größte Sorgfalt hierauf 
verwendet worden ist. Die Bewegungen und Umlaufszeiten und Still- 
stände der Planeten, auch den Einfluß eines jeden auf die Entstehung 
lebender Wesen und alle ihre guten und schädlichen Einwirkungen 
haben sie sehr sorgfältig beachtet. Die gleiche Überlieferung finden wir 
bei Strabon^). Es bedurfte aber einer sorgfältigen und bis auf das 
genaueste gehenden Einteilung der Ländereien wegen der beständigen 
Verwischung der Grenzen, die der Nil bei seinen Überschwemmungen 
veranlaßt, indem er Land wegnimmt und zusetzt und die Gestalt ver- 
ändert und die anderen Zeichen unkenntlich macht, wodurch das 
fremde und eigene Besitztum unterschieden wird. Man muß daher 
immer und immer wieder messen. Hieraus soll die Geometrie ent- 
standen sein. 

Wir haben unsere Gewährsmänner, deren Lebenszeit etwa von 
460 V. Chr. bis auf Christi Geburt sich erstreckt, chronologisch ge- 
ordnet, woraus erschlossen werden kann, wieviel etwa die späteren 
derselben von ihren Vorgängern entnommen haben mögen ohne aus 
dem lebenden Quell fortdauernder volkstümlicher Sage zu schöpfen. 
Anderen späteren Schriftstellern werden wir an anderer Stelle das 
Wort geben, wo es um die Übertragung der Geometrie nach Griechen- 
land sich handeln wird. Nur einen der frühesten griechischen Zeugen 
für das Alter und für die Bedeutsamkeit ägyptischer Geometrie müssen 



^) Diodor I, 69 und die Hauptstelle I, 81. *) Strabon Lib. XVn, cap. 8. 



104 8. Kapitel. 

wir jetzt nooh nachtrilglich hören^ den wir oben zwischen Herodot 
und Isokrates^ wohin er seiner Lebenszeit nach gehörte, absichtlich 
zurückstellten, weil seine Aussage von so hervorragender geschicht- 
licher Wichtigkeit ist, daß sie einer besonderen Erörterung bedarf. 

Demokrit sagt^) nämlich um das Jahr 420: „Im Konstruieren 
Yon Linien nach Maßgabe der aus den Voraussetzungen zu ziehen- 
den Schlüsse hat mich keiner je übertroffen, selbst nicht die soge- 
nannten Harpedonapten der Ägypter/' 

Daß Harpedonapten ein griechisches Wort mit der Bedeutung 
Seilspanher oder wörtlicher übersetzt Seilknüpfer sei, ist merkwür- 
digerweise Ton dem Verfasser des besten griechischen Wörterbuches 
übersehen worden'). Allein auch die richtige Übersetzung reicht 
zum Verstehen jenes Satzes nicht aus, wenn man nicht weiß, wer 
jene Seilspanner waren, denen Demokrit in seinem ruhmredigen Ver- 
gleiche ein hochehrendes Zeugnis geometrischer Gewandtheit ausstellt, 
und worin ihre Obliegenheiten bestanden. Beides ist bis zu einem 
gewissen Grade aus ägyptischen Tempelinschriften zu erkennen, welche 
Ton geschätzten Ägyptologen veröffentlicht worden sind'). Die 
Tempel mußten in gleicher Weise wie die Pyramiden orientiert werden, 
und die Richtung nach Norden, deutlicher ausgedrückt nach dem 
Eintrittspunkte des Siebengestimes um eine gegebene Zeit wurde be- 
obachtungsweise festgestellt. „Ich habe gefaßt den Holzpflock '(nebi) 
und den Stiel des Schlägels (semes), ich halte den Strick (xa) ge- 
meinschaftlich mit der Göttin Safech. Mein Blick folgt dem Gange 
der Gestirne. Wenn mein Auge an dem Stembilde des großen 
Bären angekommen ist und erfüllt; ist der mir bestimmte Zeitabschnitt 



*) Clemens Alexandrinus, Stromata ed. Potter I, 867: y^ccfifiimv evv- 
mitflog iiexä ÄnoösL^iog o'bÖBlg %m (is nagi^lXa^Bv , O'bd* ol Alyvnxioiv %oi'k£6{LBVOi 
'AQ%BSovdntai. *) C a n t o r , Gräkoindische Studien (Zeitschr. Math. Phys. Bd. XXII . 
Jahrgang 1877. Histor.-literar. Abteilung S. 18 und Note 68). ") Brugsch, 
Ueber Bau und Maasse des Tempels, von Edfu (Zeitschr. f. ägypt. Spr. u. Alterth. 
Bd. Vni) und hieroglyphisch-demotisches Wörterbuch S. 827 und 967. An letz- 
terer Stelle ist übrigens nur bemerkt, daß das ägyptische hunu :» Feldmesser, 
Greometer sei. Yon einem Seilspannen oder gar von einer Erinnerung an das 
griechische agnsdovanxcLi ist dabei keine Bede. Femer vgl. Dümichen in der 
Zeitschr. f. ägypt. Spr. u. Alterth. Bd. VIII und besonders dessen umfangreiche 
Schrift: Baugeschichte des Denderatempels und Beschreibung der einzelnen Theile 
des Bauwerkes nach den an seinen Mauern befindlichen Inschriften. Straßburg 
1877. Endlich vgl. Brugsch, Steininschrift und Bibelwort (Berlin 1891), wo 
ausdrücklich darauf hingewiesen ist, daß in allen bildlichen Darstellungen der 
Grundsteinlegung eines Tempels die neben dem Könige auftretende Göttin stets 
den Meßstrick halte und durch eingeschlagene Pflöcke die Endpunkte des Heilig- 
tums festlege. Die Endpunkte Brugschs sind jedenfalls als die Eckpimkte zu 
verstehen. 



Die Ägypter. Geometrisches. 105 

der Zahl der Uhr, so stelle ich auf die Eckpunkte Deines Gottes- 
hauses/^ Das sind die Worte, unter denen der König auf den In- 
schriften der Tempel die genannte Handlung ToUziehi Er schlägt 
mit der in seiner rechten Hand befindlichen Keule einen langen Pflock 
in den Erdboden und ein gleiches tut ihm gegenüber Sqfech, die 
Bibliotheksgöttin, die Herrin der Grundsteinlegung. Es ist klar, daß 
die diese beiden Pflöcke verbindende Gerade die Richtung nach 
Norden, den Meridian des Tempels, bezeichnet, daß durch sie die ge- 
wünschte Orientierung des Grundrisses zur Hälfte vollzogen ist. Aller- 
dings nur zur Hälfte! Die Wandungen des Tempels sollen senkrecht 
zueinander stehen^ und demgemäß ist es nicht weniger notwendig in 
einer zweiten Handlung diese mehr geometrische als astronomische 
Bestimmung zu treffen. 

Man kann nun leicht mit der Antwort bereit sein, die ägypti- 
schen Zimmerleute hätten gleich ihren heutigen Haudwerksgenossen 
massive rechte Winkel besessen. Ein solcher ist z. B. auf einem 
Wandgemälde eine Schreinerwerkstätte darstellend^) deutlich ^ 
abgebildet. Wohl. Aber die Richtigkeit dieses Werkzeuges ^ 
mußte doch selbst verbürgt, mußte ii^end einmal irgendwie ^9* ^• 
geprüft sein, und das scheint immerhin in letzter Linie eine geome- 
trische Konstruktion vorauszusetzen, die vermutlich bei so feierlichen 
Gelegenheiten wie die Gründung eines Tempels stets aufs neue voll- 
zogen wurde. Daß es so geschah liegt vielleicht in der Mehrzahl 
„die Eckpunkte Deines Gotteshauses^ angedeutet, welche der König, 
wie wir gehört haben, aufstellt. Die Art der Bestimmung freilich 
verschweigt, soviel wir wissen, die Gründungsformel. Gerade dazu 
diente nun, wenn uns ein Analogieschluß, dessen Ausführung wir 
auf einige ziemlich späte Kapitel dieses Bandes verschieben müssen, 
nicht irre leitet, das Seil, das um die Pflöcke gezogen war, das das 
eigentliche Geschäft der Seilspänner bezeichnend ihnen den Namen 
verlieh und an welches wir dachten, als wir im 1. Kapitel (S. 4&) 
auf die Möglichkeit einer Seilspannung bei den Babyloniem hin- 
wiesen. 

Denken wir uns, gegenwärtig allerdings noch ohne jede Be- 
gründung, den Ägyptern sei bekannt gewesen, daß die drei Seiten 
von der Länge 3, 4, 5, deren grundlegende Eigenschaft 4* + 3* =» 5' 
ihnen (S. 96) nicht entgangen war, zu einem Dreiecke verbunden ein 
solches mit einem rechten Winkel zwischen den beiden kleineren 
Seiten bilden, und denken wir uns die Pflöcke auf dem Meridian um 



*) Wilkinson, Manners and custams of the ancient Egyptians. Vol. HI, 
pag. 144. 




106 8. Kapitel. 

4 Längeneinheiten Toneinander entfernt. Denken wir uns femer das 
Seil von der Länge 12 und durch Knoten in die entsprechenden Ab- 
teilungen 3^ 4, 5 geteilt, so leuchtet ein (Fig. 9), daß das Seil an 

dem einen Knoten gespannt, während die 
beiden anderen an den Pflöcken anlagen, not- 
wendigerweise einen genauen rechten Winkel 
zum Meridiane an dem einen Pflocke hervor- 
bringen mußte. 

War dieses die Hauptaufgabe der Harpe- 
donapten, zu deren Amtsgeheimnis es gehören 
mochte, die Pflöcke wie die Knoten an den 
richtigen Stellen anzubringen, wodurch wenigstens eine zweckdien- 
liche Erklärung für das Stillschweigen der Inschriften über ihre Ver- 
fahrungsweise gegeben wäre, so konnte in der Tat ihnen der Ruhm 
„der Konstruktion Ton Linien'^ zugesprochen werden, so waren sie im 
Besitz der Mysterien der Geometrie, die nicht jedem sich enthüllten, 
so wird es begreiflich, wie ihre Handlungen in den Wandgemälden 
dem Könige selbst in Verbindung mit einer Göttin beigelegt wurden. 
Die Operation des Seilspannens ist eine ungemein alte. Man 
hat deren Erwähnung auf einer auf Leder geschriebenen Urkunde 
des Berliner Museums gefunden, wonach sie bereits unter Ame- 
nemhat L stattfand^). Vielleicht ist es gestattet, hier nochmals 
daran (S. 58) zu erinnern, daß Ahmes in den einleitenden Worten 
seines Papyrus sich darauf beruft, er arbeite nach dem Muster älterer 
Schriften, und daß es yieUeicht König Amenemhat lU. war, unter 
dessen Regierung jene älteren Schriften verfaßt wurden. Ist diese 
Annahme wirklich richtig, so würden wir wenigstens keinen Anstand 
nehmen die Möglichkeit solcher Kenntnisse, wie wir sie soeben für 
die Harpedonapten in Anspruch nahmen, schon in der XH. Dynastie, 
welcher die Amenemhat angehörten, zuzugestehen. Einer Zeit, welche 
die Winkellehre so weit ausgebildet hatte, daß sie den Seqt be- 
rechnete, können wir auch die Kenntnis des rechtwinkligen Dreiecks 
Ton den Seiten 3, 4, 5 zutrauen, die wesentlich erfahrungsmäßig 
gewonnen worden sein wird, ohne daß irgendwie an einen strengen 
geometrischen Beweis in unserem heutigen Sinne des Wortes gedacht 
werden müßte. 

Überhaupt zerfällt, wie wir meinen, gerade dem Seqt gegenüber 
jeder Versuch, die Geometrie der Ägypter auf eine bloße Flächen- 
abschätzung zurückzuführen, während Winkeleigenschaften oder Ver- 
hältnisse Ton Strecken ihr fremd gewesen seien, von selbst, ohne daß 

*) Dümichen, Denderatempel S. 33. 



Die Ägypter. Oeometrisches. 107 

es mehr nötig wäre^ gegen diese Zweifbi eines überwundenen Wissens- 
standpunktes mit eingehender Widerlegung sich zu wenden. Dagegen 
ist um so erklärlicher, was ein später griechischer Schriftsteller Ton 
den Schülern des Pythagoras sagt^), was aber gewiß richtig auch auf 
seine Lehrer^ die Ägypter gedeutet worden ist, daß sie die Winkel 
als bestimmten Göttern geweiht ansahen, und daß der dreiartige Gott 
die erste Ursache zur Reihe der geradlinigen Figuren in sich be- 
greife. 

Eine mindestens nicht ganz zu rerwerfende Beseitigung uralter 
geometrischer Kenntnisse bei den Ägyptern können wir noch bei- 
fügen'). Wenn aus den ältesten Zeiten auf WandgemäMen Figuren 
von geometrischer Entstehung sich erhalten haben, so spricht deren 
Vorhandensein gewiß daffir, daß man mit solchen Zeichnungen sich 
damals beschäftigte. Ja man kann es wohl einleuchtend nennen, 
daß ein wirklicher Mathematiker, welcher dieselben, yielleicht Jahr- 
hunderte nach ihrer Anfertigung, häufig, töglich zu Gesicht bekam, 
fast notwendig darauf hingewiesen werden mußte, über Eigenschaften 
dieser Figuren, die ihm noch nicht bekannt waren, nachzudenken. 
Glücklicherweise besitzen wir nun in einem mit Recht wegen seiner 
Treue und Zuverlässigkeit berühmten Bilderwerke ") eine überreiche 
Menge Ton Figuren der genannten Art, von denen nur einige wenige, 
und zwar der leichteren Herstellung wegen ohne die bunten Farben 
des Originals und in anderem Maßstabe, hier wiedergegeben werden 
mögen. Schon zur Zeit der Y. Dynastie, der unmittelbaren Nach- 
folger der Pyramidenkönige, wurde in der Totenstadt von Memphis 
eine aus ineinander gezeichneten verschobenen Quadraten (Fig. 10) 
gebildete Verzierung angewandt. Das Quadrat mit seinen zu Blättern 
ergänzten Diagonalen (Fig. 11) findet sich von der XII. bis zur 
XXVI. Dynastie vielfach. Das gleichschenklige Paralleltrapez kommt 
in Varianten, welche auf die Zerlegung in anderweitige Figuren sich 



') Proclus DiadochuB, Commentar zum I. Buche der euklidischen Ele- 
mente ed. Friedlein. Leipzig 187S, pag. 180 und 156. Auf diese Stellen hat 
allerdings in der Absicht sie gegen eiae wissenschaftliche Geometrie der 
Ägypter zu verwerten Friedlein aufmerksam gemacht: Beiträge zur Geschichte 
der Mathematik U. Hof 1872, S. 6. *) Zur Anstellung der hier folgenden 
Untersuchung regten uns einige Bemerkungen von G. J. All man an: Gretk 
Geometry from Thaies to JSuclid im V. Bd. der Hermathena. Dublin 1877, 
pag. 169, Note 20 und pag. 186, Note 81. Diese Abhandlung ist mit anderen, 
die gleichfalls ursprünglich in der Hermathena erschienen, 1889 zu einem Bande 
vereinigt worden. Dort finden sich die betreffenden Stellen pag. 12, Note 16 
und pag. 29, Note 47. «) Prisse d'Avennes, Histoire de Vart Egyptien d'apres 
les monuments. 



108 



8. Kapitel. 



beziehen (Fig. 12 und 13)^ als Zeicliniing von unteren Teilen eines Standers 
für Waschgefäße und dergleichen fast zu allen Zeiten vor. Ein höchst 





/ 


/ 


\ 


Fig. 12. 


\ 







Fig. 1^ 



Fig. U. 



Flg. 18. 



> 



merkwürdiges Gewebemuster (Fig. 14) kann als Ver- 
einigung zweier sich symmetrisch durchsetzender 
Quadrate definiert werden. Unterbrechen wir hier 
die Angabe geometrischer Figuren aus ägyptischen 
Wandgemälden und schalten wir zunächst den 
' ^syy Bericht über eine für uns ungemein wertvolle 

yjg 14 Entdeckung ein. 

Die Ägypter pflegten die Wände, auf welchen 
sie Beliefarbeiten anbringen wollten, in lauter einander gleiche 
Quadrate zu zerlegen und mit deren Hilfe die Umrisse des Ein- 
zuhauenden zu zeichnen. Eine unvollendet gebliebene Kammer in 
dem sogenannten Orabe Belzoni, das ist in dem Gh-abe Seti I., des 
Vaters Ramses IL aus der XIX. Dynastie, zeigt dieses ganz deutlich^). 
Es wäre töricht hierin bewußte Anfänge eines Koordinatensystems 
erkennen zu wollen, aber ebenso töricht wäre es zu verkennen, daß in 
dieser ausgeprägten Gewohnheit eine geometrische Proportionen- 
lehre so weit enthalten ist, daß wir den verkleinernden, unter Um- 
ständen, wo es um Götterfiguren sich handelte, auch den vergrößern- 
den Maßstab angewandt finden. Es kann fast auffallen, daß die 
Ägypter nicht noch einen Schritt weitergingen und die Perspek- 
tive erfanden. Bekanntlich ist von dieser bei ägyptischen Gemälden 
keine Spur vorhanden, und mag man religiöse oder was immer sonst 
für Gründe dafür in Anspruch nehmen, immer bleibt geometrisch aus- 
gedrückt die Tatsache: die Ägypter übten nicht die Kunstfertigkeit 
die zu bemalende Wand als zwischen dem sehenden Auge und dem 
abzubildenden Gegenstande eingeschaltet zu denken und deren Durch- 
schnittspunkte mit den Sehstrahlen nach jenem Gegenstande durch 
Linien zu vereinigen. 

') Wilkinson, Manners and customs III, pag. 318 und ebendesselben Thebes 
and Egypt pag. 107. 



Die Ägypter. Geometrisches. 109 

Gehen wir in der Zeit tief herunter bis zur Regierung des Königs 
Ptolemaeus IX. (um 150 y. Chr. Q,), so finden wir auf dem großen 
Pylon vor dem auf der Insel Phylae von jenem Könige errichteten 
Isistempel eine erhaltene in den Stein eingeritzte Zeichnung, welche 
allerdings das Recht hat uns in Staunen zu versetzen, und welche 
wir am besten an dieser Stelle erwähnen. Es ist^) der Grundriß 
einer bei Erbauung des Isistempels zur Verwendung gelangten Säule, 
und weitere Nachforschungen haben ergeben, daß die hier entgegen- 
tretende Art des Einritzens Ton Zeichnungen in natürlicher Größe 
dem ägyptischen Baumeister auf Phylae regelmäßige Gewohnheit war. 
Er hat, wie die Ausgrabungen zeigen, vor dem Beginne des Baues 
alle seine Grundrisse in Naturgröße auf dem Pflaster, da wo die 
Mauer k;inkommen sollte, aufgerissen. 

Wir kehren zu den Figuren geometrischer Art zurück, und zwar 
zu solchen, bei welchen die Kreislinie yorkommt. Durch Durchmesser 
in gleiche Kreisausschnitte geteilte Kreise kommen vielfach vor, und 
zwar ist bei Zieraten die häufigste Teilung die durch 2 oder 4 
Durchmesser in 4 oder 8 Teile, während, wie wir im 1. Kapitel 
(S. 47) erwähnt haben, auf Gefäßen, welche von asiatischen Tribut- 
pflichtigen Königen der XVIII. Dynastie, etwa den Zeitgenossen des 
Schreibers Ahmes, überbracht werden, die Teilung des 
Kreises durch 6 Durchmesser in 12 Teile (Fig. 15) 
ausnahmslose Regel ist. Wagenräder haben insbeson- ^ 
dere seit Ramses 11. aus der XIX. Dynastie fast regel- 
mäßig 6 Speichen, und Räder mit 4 Speichen kommen 
ganz selten vor. Ergänzend ist zu erwähnen, daß den 
Ägyptern des alten und des mittleren Reiches Wagen 
und Pferde noch unbekannt waren. Beide wurden erst unter den 
Hyksoskönigen von Syrien her eingeführt*). Damit ist aber zugleich 
wahrscheinlich gemacht, daß den Ägyptern vor der Zeit der Hyksos- 
könige z. B. unter den Amenemhats, unter welchen das Muster zum 
Handbuche des Ahmes entstand, die mit den 6 speichigen Rädern und 
dem regelmäßigen Sechsecke in enger Verbindung stehende Verhältnis- 
zahl ;r =» 3 nicht bekannt wurde, und daß diese auch späterhin trotz 
anhaltend enger Beziehungen zu Vorderasien sich nicht einbürgern 

konnte, weil die Ägypter damals schon mit 7t « (- - j zu reebnen ge- 
wohnt waren. Eine Teilung des Kreises in 10 gleiche Teile durch 
5 Durchmesser oder in 5 Teile durch 5 vom Mittelpunkte ausgehende 
Strahlen ist unserem danach suchenden Auge nicht begegnet. Der 

^) L. Borchardt, Altägyptische Werkzeichnungen. Zeitschr. f. ägypt. 
Spr. XXXIV, 69—76 (1896). *) Steindorff, Die Blütezeit der Pharaonen S.44. 




110 3. Kapitel. 

Ton Horapollon als Zeichen für 5 beschriebene fOnfstrahlige Stern 
(S. 84) kann kaum als Gegenbeispiel aufgefaßt werd^n^ so auf&llend 
er sein mag. 

Wollen wir über wirklich geometrische Überbleibsel in ägypti- 
scher Spruche, nicht über Zeichnungen, aus welchen mehr oder minder 
gewagte Rückschlüsse auf geometrisches Wissen gezogen werden 
müssen, berichten, so haben wir plötzlich ungemein tief in die Zeit- 
folge hinabzugreifen bis zu den Inschriften des Tempels des 
Horus zu Edfu in Oberägypten ^), in welchen der Grundbesitz der 
Priesterschaft dieses Tempels vermessen und angegeben ist. Die 
Pflocklegung dieses Tempels wurde nach altertümlicher Sitte am 
23. August 237 v. Chr. vollzogen*). Die aufgezeichneten Grundstücke 
und deren Schenkung beziehen sich auf König Ptolemäus XI., Ale- 
xander L, dessen Regierung durch Gewalttätigkeiten an Bruder und 
Mutter errungen und bewahrt von 107 bis 88 dauerte, in welch letz- 
terem Jahre er selbst durch den mit Waffengewalt zurückkehrenden 
Bruder zur Flucht genötigt wurde. Um das Jahr 100 v. Chr. wurden 
also die betreffenden Messungen angestellt, nicht weniger als 200 
Jahre nachdem in Alexandria auf ägyptischem Boden und unter dem 
Schutze eines Königs von Ägypten Euklid gelebt und gelehrt hatte, 
dessen Name jedem Gebildeten bis zu einem Grade bekannt ist, der 
uns verstattet seiner als Maßstab für das mathematische Wissen 
seiner Zeit auch in diesem Kapitel schon uns zu bedienen. Damals 
gab es unzweifelhaft eine weit vorgeschrittene theoretische Geometrie, 
aber die Praxis der Feldmessung ließ sich an den altherkömmlichen 
Formeln genügen. Wir haben dieses Festhalten an gewohnten, be- 
quemen, eine Wurzelausziehung vermeidenden Methoden schon früher 
(S. 94) angekündigt. Wir haben es bis zu einem gewissen Grade 
gerechtfertigt und die Unbedeutendheit des begangenen Fehlers in 
Betracht gezogen. Es ist möglich gewesen aus den sich aneinander 
anschließenden Maßen der Edfu-Inschrift eine sehr wahrscheinliche 
Zeichnung der dort beschriebenen Ländereien anzufertigen*), und 
dieser Plan läßt erkennen, wie wenig die durch Hilfslinien hergestellten 
viereckigen Abteilungen von Rechtecken sich unterscheiden, bis zu 
welchem Grade der Genauigkeit trotz Anwendung der alten Formeln 
man gelangte. In der Häufung jener Hilfslinien, in der Zerlegung 
des zu messenden Feldes in immer zahlreichere, immer kleinere Teile 
lag die Verbesserung, welche ein Festhalten der Regeln der Urahnen 



*) R. Lepeius, lieber eine hieroglyphische Inschrift am Tempel von Edfu 
(Abhandlungen der Berliner Akademie 1855, S. 6ü— 114). *) Dümichen in der 
Zeitschr. f Sgypt. Spr. u. Alterth. Bd. Vm, S. 7. ') R. Lepsius 1. c. Tafel VI. 



Die Ägypter. Geometrisches. 111 

gestattete, und diese Verbesserung war selbst keine Neuerung, sie 
hatte ihr Vorbild schon in dem Werke des Ahmes. Wir können die 
Ehrenrettung der Feldmesser zur Zeit von Ptolemäus XI. gewissermaßen 
vollenden, indem wir an die Scheu vor Wurzelausziehungen erinnern, 
welche heute noch untergeordneten Beamten des Eatasterwesens an- 
zuhaften pflegt und sie wenigstens für vorläufige Flächenschätzung 
die sogenannten verglichen abgenommenen Maße anwenden läßt, 
d. i. eben das altägyptische Verfahren seinem Haupigedanken nach. 
Wenn wir sagten, in den Edfu-Inschriften seien die Formeln an- 
gewandt, welche uns aus dem Übungsbuche des Ahmes bereits be- 
kannt sind, so müssen wir diese Aussage dahin ergänzen, daß eine 
weitere theoretisch noch mißbräuchlichere Ausdehnung jener Formeln 
hinzugekommen und eine nicht ganz unbedeutende Gedankenverschie- 
bung bei ihnen eingetreten ist. 

Die Formeln des Ahmes waren — X a und --—- * X a für die 

Flächeninhalte des gleichschenkligen Dreiecks und des gleichschenk- 
ligen Paralleltrapezes. Die erstere Formel blieb in Geltung, und 
wenigstens in den im Drucke veröffentlichten Edfu-Inschriften sind 
andere als gleichschenklige Dreiecke nicht genannt. Bei den Vier- 
ecken aber ist die Bedingung, daß es gleichschenklige Paralleltrapeze 
seien, deren Fläche man berechnen wolle, abhanden gekommen. Die 
Anzahl so gestalteter Vierecke überwiegt allerdings auch in Edfn, 
aber neben ihnen kommen ganz willkürliche Vierecke mit den Seiten 
a^, Oj, fei, 62 ^^h wo dJ® beiden durch a und desgleichen die beiden 
durch b benannten Seiten einander gegenüberliegen sollen, und deren 
Fläche berechnet sich auf 

2 ^ 2 * 

So z. B. 16 zu 15 und 4 zu 3^ macht 58^ ; 45 ]-z\i 33 v ! und 17 zu 

15 macht 632; 9^- zn lO^- und 244^-^- zu 22^ l macht 236^ usw. 

Die angekündigte Gedankenverschiebung besteht aber in folgen- 
dem. Ahmes, das suchten wir aus der mutmaßlichen Entstehung der 
Formeln, aus dem beim Vierecke gebrauchten Namen Hak, Abschnitt, 
für die eine Seite zu begründen, ging aus vom Dreiecke und ließ 
das Trapez durch Abstumpfung jener ursprünglichen Figur entstehen. 
Jetzt hat die Sache sich umgekehrt. Das Viereck ist die zugrunde 
liegende Figur geworden, das Dreieck entsteht aus ihm als besonderer 
Fall, indem eine Vierecksseite verschwindet. Nicht von Dreiecken 
mit den Seiten 5, 17, 17 oder 2, 3, 3 ist in Edfu die Bede, sondern 
von Figuren mit den Seiten zu 5 und 17 zu 17, beziehungsweise 



112 8. Kapitel 

zu 2 und 3 zu 3, deren Flächen alsdann 42^ und 3 sind^). Das 

Wort Null wird, wie wir wohl zum Überflusse bemerken, nicht etwa 
durch ein besonderes Zahlzeichen, sondern durch eine aus zwei Bild- 
chen sich zusammensetzende hieroglyphische Gruppe mit der Aus- 
sprache Neu dargestellt, welche gewöhnlich verneinende Beziehungen 
ausdrückt, hier die als Dingwort ausgesprochene Verneinung, das 
Nichts. An eine Zahl Null ist in keiner Weise zu denken. 

Passen wir in eine ganz kurze Übersicht den Hauptinhalt der 
beiden von ägyptischer Mathematik handelnden Kapitel zusammen. 
Die Ägypter besaßen, wie wir quellenmäßig belegen konnten, schon 
im Jahre 1700 v. Chr., wahrscheinlich sogar bereits ein halbes Jahr- 
tausend früher eine ausgebildete Rechenkunst mit ganzen Zahlen und 
Brüchen, wobei letztere stets als Stammbrüche geschrieben wurden, 
wenn auch der BegriflF gewöhnlicher Brüche, wie aus der Zurück- 
führung auf Generalnenner herrorgeht, nicht fremd war. Die Auf- 
gaben, welche so der Rechnung unterbreitet wurden, gehören dem 
Gebiete der Gleichungen vom ersten Grade mit einer Unbekannten 
an, wobei die Worteinkleidung eine yon einer Aufgabengruppe zur 
anderen wechselnde ist. Als Gipfelpunkte erscheinen nach modemer 
Auffassung Beispiele aus dem Gebiete der arithmetischen, vielleicht 
der geometrischen Reihen. Beispiele aus der Geometrie und Stereo- 
metrie gewählt lassen erkennen, daß in jener frühen Zeit die Ägypter 
einen nicht ganz unglücklichen Versuch gemacht hatten den Kreis 
in ein Quadrat za verwandeln, daß ihre Berechnung des Flächeninhalts 
von gleichschenkligen Dreiecken und von als Abschnitte von ersteren 
erhaltenen gleichschenkligen Paralleltrapezen von Näherungsformeln 
Gebrauch machte, ohne daß wir freilich irgend eine Auskunft darüber 
zu geben vermochten, ob man beim Kreise, ob man bei jenen gerad- 
linig begrenzten Figuren sich bewußt war nur Angenähertes zu er- 
halten, oder ob man an die genaue Richtigkeit der Ergebnisse glaubte, 
und wie man zu denselben gelangt war. Zur weiteren Untersuchung 
dieser hochwichtigen Frage wird es imentbehrlich sein die Tatsache 
zu berücksichtigen, daß rationale Quadratwurzeln den Ägyptern in 
sehr alter Zeit bekannt waren. Des weiteren haben wir gesehen, daß 
man es liebte, wohl auch für notwendig hielt, gegebene Figuren zum 
Zwecke der Ausmessung durch Hilfslinien in andere Figuren von ein- 
facherer Begrenzung zu zerlegen, und diese Übung zu allen Zeiten 
beibehielt, gleichwie es mit den alten Näherungsformeln für die 
Flächen von Dreiecken und Vierecken der Fall war. Endlich ist 

*) Die hier erwähnten Beiapiele vgl. bei Lepsius 1. c. S. 76, 79, 82. Auf 
-letzterer Seite findet sich die Rechtfertigung der Null. 



Die Ägypier. GeometriBchea. 113 

festgestellt, daß in gleich granem Altertume, bis zu welchem aufwärts 
wir die Plachenberechnung verfolgen können, auch eine Vergleichung 
von Strecken zum Zwecke des Ahnlichmachens, d. L zur Wieder- 
holung desselben Winkels an verschiedenen Raumgebilden stattfand. 
Neben dieser quellenmäßig gesicherten Wissenschaft lernten wir die 
Überlieferung kennen, welche Geometrie und Rechenkunst heimatlich 
auf Ägypten zurückfährt, welche das bürgerliche Rechnen der Ägypter 
uns mutmaßlich als Fingerrechnen, mit aller Bestimmtheit als Rechnen 
mit Steinchen kennen lehrt. Auch aus Figuren des täglichen Ge- 
brauches durften wir geometrische Schlüsse ziehen, Handlungen die 
mit der Tempelerbauung verbunden waren, durften wir erörtern und 
gelangten so zu der wahrscheinlichen Folgerung, daß neben jenen 
geometrischen Vorschriften, welche den Rechnungen dienten, auch 
solche bestanden, die auf Konstruktionen sich bezogen und nament- 
lich die Zeichnung eines rechtwinkligen Dreiecks durch die gegebenen 
Längen seiner drei Seiten ermöglichten. Eine deutliche Darlegung 
dieser von uns vermuteten Vorschriften ist ebensowenig bekannt 
wie die vorher vermißte Ableitung der Flächenformeln, ebensowenig 
wie die Begründung der von Ahmes angewandten Formel für Auf- 
findung des Anfangsgliedes einer arithmetischen Reihe aus ihrer 
Summe, ihrer Gliederzahl und ihrer Differenz. So kommt man un- 
abweislich zur Annahme eines noch nicht wieder aufgefundenen theo- 
retischen Lehi'buches des Ägypter neben dem neuerdings bekannt ge- 
wordenen tJbungsbuche. Nicht als ob wir an eine Theorie im mo- 
dernen Sinne dächten. Beweise werden meistens induktiv, wohl auch 
auf Grund sehr ungenügender Induktion geführt worden sein, wenn 
man nicht gar den Augenschein für hinreichend hielt jeglichen Be- 
weis zu ersetzen. Dagegen vermuten wir, wie hier vorgreifend be- 
merkt werde, eine regelmäßig wiederkehrende Form des Lehrbuches, 
unterschieden von der des Übungsbuches und nur darin mit letzterer 
zusammentreffend, daß auch sie sich forterbte, gleichwie die Form 
des Übungsbuches so gut wie ohne jede Veränderung in griechischer 
Nachbildung sich erhielt. Wir werden in späteren Kapiteln auf diese 
Meinung, auf diese Behauptung zurückkommen müssen, um die letz- 
tere zu beweisen und dadurch der ersteren eine Stütze zu verleihen. 



Gaxtor, OMohichte der Mathematik I. 3. Aufl. 



m. Griechen. 



8» 



4. Kapitel. 
Die Clrieehen. ZaUzeichen. Fingerrechnen. Rechenbrett. 

Wir verlassen die linder ältester, aber bis vor kurzem und teilweise 
bis auf den heutigen Tag weniger bekannter Kulturentwicklui^. Wir 
gehen über zu dem Yolke^ von dessen Bildung wir selbst, der Schreiber 
wie der Leser, bewußt oder unbewußt; unmittelbar oder mittelbar die 
merkbarsten Spuren in uns tragen, dessen Schriftsteller uns schon 
wiederholt als willkommene Ergänzungen dienten, wenn für andere 
Lander die einheimischen Quellen allzu spärlich flössen, und wir sind 
geneigt zu erwarten, hier werde geschichtliche Gewißheit uns ent- 
gegentreten, jede bloße Vermutung überflüssig machend und darum 
ersparend. Aber diese Erwartung wird getäuscht. Die Geschichte 
der griechischen Mathematik, allerdings durch Schriften einzelner her- 
vorragender griechischer Mathematiker selbst unserem Erkennen näher 
gerückt, ist doch nichts weniger als durchsichtig, als vollständig. 
Bald, und nicht bloß bei den ersten Anfängen, stehen wir an Lücken, 
an unvermittelten Übergängen, welche uns nötigen, um nur einiger- 
maßen Bescheid zu erhalten, Schriftsteller zu befragen, deren Glaub- 
würdigkeit uns selbst nicht gegen jeden Zweifel geschützt ist, oder 
gar zu eigenen Vermutungen unsere Zuflucht zu nehmen, welche die 
gähnende Spalte uns überbrücken müssen. Wir glauben unter der 
Bedingung, daß wir unseren Lesern sagen, was gewiß, was nur mög- 
lich sei, eine solche hypothetische Darstellung nicht vermeiden zu 
sollen, wo der Mangel an sicherer Überlieferung uns dazu nötigt. 

Einst flössen die Quellen ergiebiger. Es war eine Eigentümlich- 
keit der durch Aristoteles gegründeten peripatetischen Schule 
einen Urheber für jeden Gedanken ausfindig machen zu wollen. Dieser 
Hang verblieb auch den in Alexandria heimisch gewordenen, dort mit 
fremdartigen Elementen sich mengenden Peripatetikern. Man suchte 
allerdings von hier aus mit einer gewissen Vorliebe die Lehren grie- 
chischer Philosophen auf einen nichtgriechischen Ursprung zurück- 
zuführen ^), und mit dieser Neigung nimmt die Zuverlässigkeit solcher 

*) NietzBche, De Laertii Biogenis fontibus im Rheinischen Museum XXIV, 
205. Frankfurt a. M. 1869. 



118 4. Kapitel. 

Angaben wesentlicli ab, sofern nicht andere Gründe obwalten, den 
Glauben an jene Aussagen wieder zu yerstärken. Wir rechnen dazu 
Yomehmlich zweierlei. Erstens erhöht es für uns die Bedeutung eines 
Ursprungszeugnisses aus fremdem Lande, wenn wir selbst dort Er- 
zeugnissen begegnet sind, die dem, was als eingeführt bezeichnet 
wird, wesentlich gleichen. Zweitens vertrauen wir mit rückhaltloserer 
Hingebung den Aussprüchen eines Mannes, der als Sachverständiger, 
als Fachmann redet; ja wir benutzen lieber einen der Zeit nach 
späteren Mathematiker als Gewährsmann für fr^er Erdachtes als 
einen dem Ursprünge gleichaltrigen Laien, der die Jahre, um welche 
er den Ereignissen näher lebte, dadur<;h unwirksam macht, daß er 
dem Lihalte derselben fem stand. 

Mit vollstem Vertrauen würden wir daher die Geschichte der 
Geometrie, der Sternkunde, der Arithmetik als Quelle benutzen, 
welche Theophrastus von Lesbos, der Schüler des Aristoteles, 
verfaßt haben soll^), wenn dieselben uns auch nur in Spuren erhalten 
wären. Gern würden wir den gleichaltrigen Xenokrates in seinen 
Büchern über die Geometer*) als Führer wählen — vorausgesetzt, 
daß dieser Titel und nicht der „über Geometrisches^^ die richtige 
Lesart bildet — wenn nicht auch sie durchaus verschollen wären. 
Mit Freuden bedienen wir uns der Bruchstücke historischer Schriften 
über (Geometrie und Astronomie, die ein dritter Schriftsteller aus der 
Zeit der immittelbarsten aristotelischen Schule verfaßt hat: Eude- 
mus von Rhodos^). Es sind, wie wir es ausgesprochen haben, nur 
Bruchstücke dieser Bücher bekannt, welche von anderen Schriftstellern 
abgeschrieben imd gelegentlich, teils mit Nennung des Verfassers, 
teils mit bloßer Andeutung desselben, ihren Werken einverleibt 
wurden, aber jedes einzelne Stückchen läßt den Wert des Verlorenen 
ermessen, seinen Verlust bedauern. 

Neben diesen eigentlichen Geschichtsschreibern der Mathematik 
haben auch andere Fachmänner, Kompilatoren und Kommentatoren 
mathematischer Schriften, uns manche wertvolle Bemerkung hinter- 
lassen, die wir dankbarst benutzen werden. Geminus von Rhodos, 
Theon von Smyrna, Porphyrius, Jamblichus,Pappus,Proklus, 
Eutokius sind die Namen solcher Verfasser, von denen wir mehr 
als nur einmal zu reden haben werden. 

Die Überlieferungen nun in dem Siime und Umfange benutzt, 
wie wir es vorausschickend erläutert haben, und unter fernerer Zu- 
ziehung auch nichtmathematischer Schriftsteller, wenn keine andere 

*) Diogenes Laertius V, 48—50. *) Diogenes Laertius 17, 13. 
^ Eudemi Rhodii Peripatetici fragmenta quae supersunt ed. L. Spengel. Berlin 
1870. Die mathematischen Bruchstücke S. 111—148. 



Die Griechen. Zahlzeichen. Fingerrechnen. Rechenbrett. 119 

Wahl uns bleibt, belehren uns darüber, daß in dem weiten Ländei> 
gebiete, in welchem griechisch gesprochen und griechisch gedacht 
wurde, und welches deshalb für die Kulturgeschichte Griechenland 
heißt, wenn es auch keineswegs geographisch mit dem Königreiche 
Griechenland unseres Jahrhunderts sich deckt, die Mathematik weder 
gleichzeitig auftrat noch ebenmäßig sich entwickelte. Die kleinasia- 
tische Küstengegend südlich von Smyma und die davor liegende 
Inselwelt waren der Schauplatz der ältesten ionischen Entwicklung. 
Süditalien und Sizilien mit ihrer dorischen Bevölkerung nahmen so- 
dann in weit stärkerem Maßstabe an der Fortbildung Anteil. Jetzt 
erst als dritter Boden, auf welchem eine dritte Stufe erreicht ward, 
erscheint das eigentlich griechische Festland, erscheint namentlich 
Athen in der Geschichte der Mathematik. Aber auch von dort ent- 
fernt sich die Schule der vorzüglichsten Mathematiker. Auf ägypti- 
schem Boden entsteht eine griechische Stadt, Alexandria, und dort 
blühen oder lernen doch wenigstens die großen Geometer eines Jahr- 
hunderts, welchem an Bedeutsamkeit für die Entwicklung der Mathe- 
matik nur ein einziges an die Seite gestellt werden kann, sofern 
unsere Gegenwart geschichtlicher Betrachtung sich noch entzieht: 
das Jahrhundert von der Mitte des XVI. bis zur Mitte des XVIL S., 
das Jahrhundert der beginnenden Infinitesimalrechnung. Die großen 
Geisteshelden des euklidischen Zeitalters hatten ihre Epigonen, die, 
wenn sie teilweise auch an anderen Orten aufgesucht werden müssen, 
noch immer in Alexandria wurzeln. Dort zeigt sich in verschiedenen 
Jahrhunderten wiederholt eine Nachblüte unserer Wissenschaft, die 
edle Früchte hervorzubringen imstande ist. Männer wie Heron, wie 
Klaudius Ptolemäus, wie Pappus stehen keinem Mathematiker der 
euklidischen Zeit an persönlicher Geistesgröße nach, nur die Dichtig- 
keit ihres Auftretens in einander nahe liegenden Zeiträumen fehlt, 
und damit das eigentlich kennzeichnende Merkmal der großen alexan- 
drinischen Epoche. Endlich kehrt die griechische Mathematik matt 
und absterbend nach Hellas zurück. Athen und die im ehemaligen 
Thrakien entstandene Welthauptstadt Bjzanz sehen den Untergang 
unserer Wissenschaft, den Untergang derselben für die dortige Gegend. 
Weiter westlish wohnenden Völkern geht sie zur gleichen Zeit neu 
und strahlend auf ^). 

Wir haben mit wenigen Strichen den Rahmen uns entworfen, in 
welchen wir das Bild der griechischen Mathematik einzuzeichnen ge- 
denken. Wir müssen mit dieser Einzelarbeit beginnen. Wir sind 



^) Eine sehr umfassende Zusammenstellnng gah 6. Loria, Le scienze esatte 
neir antica Grecia. Modena 1893—1902. 



120 4. Kapitel. 

bei Babyloniem und Ägyptern von den niedrigBten Rechnungsver- 
fahren und von der Bezeichnung der Zahlen ausgegangen als von 
Dingen, welche kein Volk auch nur in den Anfängen seiner geistigen 
Entwicklung entbehren kann, und welche die Vorstufe zu jedem 
mathematischen Denken bilden. Ahnlich werden wir hier verfahren. 
Wir werden das Zahlenschreiben, wir werden bis zu einem gewissen 
Grade das Rechnen der Griechen vorwegnehmen müssen. 

Ob wir es eine Zahlenbezeichnung^) zu nennen haben, wenn 
in griechischen Inschriften die Zahlwörter ausgeschrieben gefunden 
werden, dürfte dahingestellt sein. Ebenso kann die Auflösung einer 
Zahl in lauter einzelne nebeneinander befindliche Striche, wie sie 
z. B. für die Zahl sieben noch in einer Inschrift von Tralles in Earien 
aus dem IV. vorchristlichen Jahrhunderte nachgewiesen ist, wie sie 
aber naturgemäß für eine nur noch etwas größere Zahl gar nicht 
denkbar ist, kaum als Zahlenbezeichnung gelten. Die älteste wirk- 
•liehe Bezeichnung erfolgte durch Anfangsbuchstaben der Zahl- 
wörter^. Ihre Spuren sollen hinaufrücken bis in die Zeit Solons, 
also etwa bis zum Jahre 600, während als untere Grenze das peri- 
kleische und nachperikleische Jahrhundert genannt wird, ja während 
Spuren bis auf die Zeit Ciceros hinabführen. Die benutzten Buch- 
staben sind folgende. Man schrieb Jota I für die Einheit, sei es 
nun, daß an eine altertümliche Form des Wortes für eins gedacht 
werden muß, sei es, daß nur ein gerader Strich gemacht wurde, der 
zufällig auch als Jota gedeutet werden kann. Für fünf wurde ein 
Pi n geschrieben wegen Ttsvrs, für zehn ein Delta ^ wegen dexa. 
Hundert, ixazöv, bezeichnete man durch Eta H, welches ursprünglich 
kein e-Laut, sondern wie später bei den Römern Aspirationszeichen 
war. Tausend ;^tAta und zehntausend [ivQia endlich schrieb man mit 
Chi X und My M. Außerdem waren ebendieselben Buchstaben in- 
und aneinander geschrieben als Zusammensetzungen, durch welche 
die Produkte von fünf in Einheiten verschiedenen Ranges dargestellt 
werden sollten, in Gebrauch, und auch ein als „zehn mal tausend" 
zusammengesetztes Zehntausend wird überliefert. Daß das Gesetz 
der Größenfolge stets gewahrt blieb, sei der Vollständigkeit wegen 
bemerkt. Wir bemerken ferner, daß diese Zeichen von Herodianus^), 
einem byzantinischen Grammatiker, der etwa 200 n. Chr. lebte, ge- 



*) Ausführliches über Zahlenbezeichnung der Griechen in den Math. Beitr. 
Kulturl. 111 — 126. *) Außer den in den Math. Beitr. Kulturl. angeführten 
Quellen vgl. Koehler in den Monatsberichten der Berliner Akademie für 1865, 
S. 641 flgg. und Friedlein, Die Zahlzeichen und das elementare Rechnen der 
Griechen und Romer und des christlichen Abendlandes vom 7. bis 18. Jahrhundert. 
Erlangen 1869, S. 9. *) Math. Beitr. Kulturl. 113. 



Die Griechen. Zahlzeichen. Fingerrechnen. Rechenbrett. 121 

schildert wurden und daß sie deshalb nicht selten herodianische 
Zeichen heißen. 

Noch während der Jahrhunderte^ durch welche jene Bezeichnung 
der Hauptsache nach verfolgt worden ist, bildeten sich zwei neue 
Methoden aus, beide zuverlässig nicht vor der sogenannten ionischen 
Schrift auftretend, deren sie sich bedienen, somit nicht vor 500. 
Näheres bringen wir weiter unten. Die eine dieser Methoden benutzt 
die 24 Buchstaben des ionischen Alphabets um die Zahlen 
1 bis 24 dadurch auszudrücken. Nach ihr wurden die zehn Phjlai 
der athenischen Richter mit fortlaufender Nummer versehen. Nach 
ihr gaben später die Alexandriner den Gesängen des Homer ihre 
Ordnungszahlen. Diese Methode so wenig wie die zweite Methode, 
welche wir dahin kurz erklären können, daß den einzelnen Buch- 
staben untereinander verschiedene aber in der natürlichen Zahlenreihe 
nicht immer unmittelbar sondern sprungweise aufeinanderfolgende 
Werte beigelegt werden, gehört den Griechen allein an. Wir müssen 
ihre Spuren auch anderwärts verfolgen und zu diesem Zwecke ein- 
schaltend von phönikischer, syrischer, hebräischer Zahlenbezeichnung 
reden. 

Das eigentliche Handelsvolk der alten Welt waren die Phönikier, 
vielleicht die Fenchu ägyptischer Schriften. Sie durchfurchten als 
kühne Seefahrer und Seeräuber von ihren dicht an der Küste ge- 
gründeten Städten aus das Mittelmeer, welches ihnen Yerkehrsstraße 
und Jagdgebiet war, überall Beziehungen unterhaltend , für welche 
Zahlenbekanntschaft unentbehrlich war. Dieselben Phönikier werden 
als Erfinder der eigentlichen reinen Buchstabenschrift gerühmt. Sie 
gingen mit dieser Erfindung weit hinaus über die Silben darstellenden 
Zeichen der Keilschrift wie auch über die Hieroglyphen, unter welchen 
eine Einheit der Bedeutung nicht herrschte, da unter ihnen wirkliche 
Buchstaben mit Silbenzeichen, mit Wortzeichen, ja mit solchen 
Zeichen wechselten, die selbst gar nicht ausgesprochen wurden, son- 
dern als sogenannte Determinative die Aussprache anderer daneben 
geschriebener Zeichen regelten. Die phönikischen Buchstaben, 22 an 
der Zahl, sind aus hieratischen Zeichen der Ägypter, also ursprüng- 
lich aus Hieroglyphenbildern entstanden In dieser Annahme sind 
alle Sachkundige einig, höchstens daß einer den Durchgang durch 
hieratische Zeichen in Abrede stellend die phönikischen Buchstaben 
unmittelbar aus Hieroglyphen ableiten möchte. War nun diese Be- 
schränkung auf einfachste Lautelemente in so geringer Anzahl schon 
ein ganz gewaltiger Schritt, so war es eine zweite wissenschaftliche 
Tat, wie man wohl sagen darf, den Buchstaben eine bestimmte 
Reihenfolge zu geben, aus ihnen ein Alphabet zu bilden. Die Ägypter 



122 4. Kapitel. 

scheinen allerdings auch hierin ein Vorbild gewesen zu sein^). Mariette 
hat versucht aus Inschriftsanfängen eine Reihenfolge ägyptischer Buch- 
staben herzustellen, aber wenn seinem Versuche mehr als bloße Ver- 
mutung zugrunde liegt, so war diese ägyptische Anordnung sicherlich 
eine andere als die der Phönikier und derjenigen Völker, die mit 
ihnen ein Alphabet besaßen. Phönikische Buchstaben in der späteren 
Ordnung scheinen bereits auf Tontafeln aus der Bibliothek des 
Assurbanipal (668 — 625) in Ninive Yorzukommen. Bei den He- 
bräern ist die Ordnung für die Zeiten, in welchen yerschiedene Psal- 
men^) gedichtet wurden, festgesichert, denn wenn auch nur eine nach 
unseren Begriffen zwecklose Spielerei mit Schwierigkeiten, Zufall 
kann es doch nicht sein, daß die Verse dieser Lieder der Reihe nach 
mit den Buchstaben des Alphabets beginnen, darin eine entfernte 
Ähnlichkeit mit der ersten Verwendung des griechischen Alphabets 
zur Numerierung der homerischen Gesänge bietend, auf welche wir 
oben anspielten. Noch eine andere Sicherung der Reihenfolge des 
hebräischen Alphabets gibt das sogenannte Athbasch, welches sicher- 
lich der babylonischen Gefangenschaft angehört'). Es besteht darin, 
daß die 22 Buchstaben in zwei Reihen geordnet übereinander stehen, 
der letzte Buchstabe n über dem ersten S, der vorletzte TD über dem 
zweiten 2 usw. Diese vier Buchstaben je zwei und zwei zusammen- 
gelesen lauten eben Athbasch. Der Zweck dieser Anordnung war 
eine Geheimschrift zu liefern, indem jedesmal statt eines eigentlich 
anzuschreibenden Buchstabens der im Athbasch über beziehungsweise 
unter ihm stehende gesetzt wurde. Jedenfalls mußte also damals 
auch schon die gewöhnliche Ordnung der nämlichen Buchstaben er- 
funden sein. Wir sagen „erfunden", denn bei der vollendeten Prinzip- 
losigkeit der Anordnung ist von einem inneren Gesetze derselben, 
welches nur entdeckt zu werden brauchte, gewiß keine Rede. Grie- 
chische Grammatiker haben sich zwar abgequält, Gründe dafür bei- 
zubringen, warum man die Buchstaben so, wie es geschah, und nicht 
anders ordnete, aber nur einer, Cheroboskos, dürfte das Richtige ge- 
troffen haben, wenn er sagt, niemand kenne den Grund der Anord- 
nung*). War die Buchstabenfolge eine willkürliche, eine vielleicht 



^) Für das Folgende vgl. insbesondere F. Lenormant, Essai sur la pro- 
pagation de Vdlphahet phenicien. Paris 1872. I, 101 ügg. *) Psalm 111, 112, 
119, auch die Klagelieder des Jeremias fangen in aufeinanderfolgenden Versen 
Dut den aufeinanderfolgenden Buchstaben des Alphabets an. ") Herzogs 
Bealenzjklopädie für protestantische Theologie und Kirche VII, 206 und XIV, 17. 
*) Grammatici Graeci III (Scholia in Dionysii Thracis Artem Grammaticam ed. 
Alfred Hilgard. Leipzig 1901) pag. 485, 2 sqq. 492, 10 sqq. 496, 17 sqq. Die 
Stelle des Cheroboskos pag. 317, lö: Alxiav 9h xfis xd^sfos oidfv 6vde elg. 



Die Griechen. Zahlzeichen. Fingerrechnen. Rechenbrett. 123 

erst nachträglich eingeführte^ nachdem die Buchstaben als solche 
bereits bestanden^ so ist yermutlich wieder ein besonderer Akt der 
Erfindung notwendig gewesen^ um die geordneten Buchstaben mit 
Zahlenwerten zu versehen. Zwei Tatsachen stimmen namentlich zu 
dieser Vermutung. Die eine^ daß auf keiner der zahlreichen phöni- 
kischen oder punischen Inschriften, auf keiner Papyrushandschrift sich 
eine Spur einer alphabetischen Zifferrechnung gefunden hat^); die 
andere^ das notwendige Seitenstück zur ersten bildend^ daß eine nicht- 
alphabetische Zahlenbezeichnung der Phönikier bekannt ist. 

Die Phönikier schrieben entweder die Zahlwörter aus, oder sie 
bedienten sich gewisser Zeichen, die den Grundgedanken der Juxta- 
position, vielleicht wechselnd mit dem der Multiplikation, zur An- 
wendung brachten^). Eins bis neun wurde nämlich durch ebenso- 
viele senkrechte Striche dargestellt. Zehn war meistens ein wagrechter 
Strich, der aber auch in mehr oder weniger nach oben gekrümmter 
oder einen Winkel bildender Form vorkommt. Die Zahlen 11 bis 19 
wurden durch Juxtaposition eines Horizontalstriches mit Vertikal- 
strichen geschrieben, von welchen gemäß der von rechts nach links 
zu lesenden phönikischen Schrift dem Gesetze der Größenfolge ge- 
horchend der Horizontalstrich am weitesten rechts sich befindet. Das 
nun folgende 20 ist durch zwei Horizontalstriche darzustellen, die 
aber nicht bloß parallel übereinander gezeichnet wurden, sondern 
auch schrägliegend und verbunden *^, oder gar zu einer Gestalt N 
oder A sich veränderten. Jedenfalls trat es jetzt als einfaches neues 
Zeichen in Gebrauch, ein Vigesimalsystem in der Schrift einleitend. 
Ein letztes neues Zeichen kam, soweit die Inschriften bis jetzt er- 
geben haben, durch 100 hinzu i<| oder |}0|, was wohl als liegende 
Zehn zwischen zwei Einem zu denken ist, die in dieser Vereinigung 
eine verzehnfachende Wirkung üben, eine auffallende Erscheinung, 
welche aber auch nicht ganz vereinzelt dasteht, vielmehr in der 
römischen Zahlenbezeichnung ein Analogon besitzt. 

Die phönikischen Inschriften, welchen diese Zeichen entnommen 
sind, reichen bis auf viele Jahrhunderte vor Christi Geburt zurück. 
Die Zeichen unterscheiden sich aber nicht sehr von anderen, welche 
vom Jahre 2 an bis zur Mitte des HI. S. in Palmyra, dem heutigen 
Tadmor mitten in der syrischen Wüste, in Gebrauch waren*). Die 

*) Diese Tatsache ist für Mathematiker zuerst bei Hankel S. 34 hervor- 
gehoben und damit ein iangezeit fortgeschleppter Irrtum beseitigt. *) Adalb. 
Merx, Crrammatica Syriaca. Heft 1. Halle 1867. Tabelle zu pag. 17. *) Über 
palmyrenische Zahlzeichen vgl. Math. Beitr. Eulturl. S. 254. Zu den dort ange- 
gebenen Quellen tritt hinzu ein Aufsatz aus dem Nachlasse von E. F. F. Beer 
mit Erläuterungen von M. A. Levy in der Zeitschr. d. morgenl. Gesellsch. XYIU, 
66—117, besonders S. 116. 



124 4. Kapitel. 

Hauptverschiedeuheit, abgesehen von AbweichuDgen in den Formen 
für 10 und 20, besteht darin, daß ein Zeichen für fünf in der Ge- 
stalt Y hinzugekommen ist und daß bei den Hunderten das multi- 
plikative Verfahren durchgeführt ist. Das Zeichen für 10 wird nämlich 
hier zu 100, indem nur einseitig, und zwar rechts ein nach dem Ge- 
setze der Größenfolge sonst unverständlicher Einheitsstrich ihm bei- 
gegeben ist, und gleicherweise werden 200, 300 usw. geschrieben, 
indem die Zeichen 2, 3 usw. sich rechts von dem für 10 befinden. 
Das eben beschriebene Zeichen von 100 nebst links folgendem 10 
heißt dann natürlich 110, wird aber zum Zeichen von 1000, wenn 
noch ein horizontaler Deckstrich darüber kommt. 

Wieder als Varianten der palmyrenischen Zeichen sind solche zu 
betrachten, welche in syrischen Handschriften des VI. und VH. S. 
aufgefunden worden sind '). Eine kleine Merkwürdigkeit bieten sie 
insofern dar, als hier eine Abweichung vom Gesetze der Größen- 
folge vorkommt. Während nämlich 1 durch einen Vertikalstrich, 
2 durch zwei unten im Bogen zusammenhängende Vertikalstriche jn 
dargestellt wird, sollte 3 von rechts nach links so geschrieben werden, 
daß an die 2 eine 1 sich anfügte. Statt dessen steht rechts die 1 
und links davon die 2, während im übrigen das oft genannte Gesetz 
befolgt wird. 

Der Regel nach benutzten die Syrer allerdings die (S. 121) kurz 
erläuterte Buchstabenbezeichnung*). In einer freilich verhältnismäßig 
späten, jedenfalls so späten Zeit, daß von Anfängen einer Bezeich- 
nungsweise unter keiner Bedingung die Rede sein kann, bedienten 
sie sich der 22 Buchstaben ihres Alphabetes, um der Reihe nach die 
neun Einer (1 bis 9), die neun Zehner (10 bis 90) und die vier 
ersten Hunderter (100 bis 400) zu bezeichnen. Die folgenden Hunderter 
wurden durch Juxtaposition gewonnen: 500 = 400-1-100, 600 = 
400-f 200, 700 == 400 -f 300, 800 = 400 -f 400, 900 = 400 -F 400 -f 100 
oder durch die Buchstaben, welche vorher schon 50 bis 90 bezeichnet 
hatten und über die man zur Verzehnfachung ein Pünktchen setzte. 
Tausende schrieb man durch Einer mit unten rechts angefügtem 
Komma. Zehntausendfachen Wert erteüte den Einem und Zehnern 
ein kleiner darunter verlaufender Horizontalstrich. Vermillionfacht 
endlich wurde der Wert eines Buchstaben durch doppeltes Komma, 
d. h. also durch Vertausendfachung des schon Tausendfachen. Zur 
größeren Deutlichkeit pflegte man von diesen beiden Komma das 
eine von links nach rechts, das andere von rechts nach links zu 



*) Auch diese Zeichen sind besprochen Math. Beitr. Kulturl. 256. *) Merx, 
Grammatica Syriaca pag. 14 ügg. 



Die Griechen. Zahlzeichen. Fingerrechnen. Rechenbrett. 125 

neigen. Auch Brüche kommen bei dieser Bezeichnung vor und zwar, 
wie es scheint, Stammbrüche, welche ahnlich wie bei den Ägyptern 
nur durch die Zahl des Nenners geschrieben wurden, während ein 
Yon links nach rechts geneigtes akzentartiges Strichelchen darüber 
sie als Brüche kenntlich machte. 

Der syrischen Buchstabenbezeichnung der Zahlen ist wieder die 
der Hebräer sehr nahe verwandt. Wann dieselbe entstand, ist eine 
noch ziemlich offene Frage. Auf hebräisch geprägten Münzen ist 
nicht früher als 137 v. Chr. alphabetische Bezeichnung der Zahlen 
nachweisbar^). Eine derartige Zahlendarstellung findet sich ebenso 
wenig unmittelbar in den Büchern des Alten Testamentes. Nur ihre 
Anwendung zur Gematria bezeugt ihr Vorhandensein, und wenn diese 
wirklich bis zum VII. Jahrhundert hinaufreicht (S. 44), so ist das 
hebräische Volk dasjenige, bei welchem die älteste Spur des Zahlen- 
alphabetes vorkommt, während im entgegengesetzten Falle Griechen 
auf die Priorität die gerechtesten Ansprüche haben und man alsdann 
anzunehmen hätte, es sei von den Griechen wieder nach Osten die 
Erfindung zurückgekehrt. So sehr diese Annahme der landläufigen 
vielleicht aus dem Alter der biblischen Schriften entstandenen Mei- 
nung widerspricht, wird man sich doch zu ihr bequemen müssen*). 
An jene durch Gematria zu erklärende Stelle bei Sacharja zu glauben, 
haben wir schon, als wir sie im 1. Kapitel erwähnten. Bedenken ge- 
tragen. Gesicherte Spuren von Gematria finden sich nicht vor Philo 
von Alexandrien im ersten nachchristlichen Jahrhunderte. Das 
Wort Gematria ist kaum anders zu erklären als durch Buchstaben- 
verstellung aus ygafifiarsia, und damit wäre der griechische Ursprung 
des Namens wenigstens gesichert. Benutzung des griechischen Zahlen- 
alphabetes auf Münzen von Ptolemaeus II Philadelphus geht zurück 
bis 266 V. Chr., ist also um 130 Jahre älter als das älteste hebrä- 
ische Vorkommen. Diese Umstände vereinigt sprechen dafür, die 
Erfindung des eigentlichen Zahlenalphabetes den Griechen 
zuzuschreiben. In der Tat wird als Ort dieser Erfindung von 
manchen Milet angenommen und als deren Zeitpunkt schon das 
Vin. vorchristliche Jahrhundert, weil damals in Milet gewisse nach- 
mals außer Übimg gekommene Buchstaben, deren später nur die Zahlen- 
schreibung sich bediente (z. B. das Bau) in regelmäßigem Gebrauch 
waren. Jedenfalls sind beide Schreibweisen von Zahlen, die alphabe- 
tische und die herodianische, in einer Inschrift von Halikarnaß vor- 

*) Nach einer Mitteilung von Dr. Euting an Hankel, die dieser S. 34 
seines GescMclitswerkes angeführt hat. *) Gow, A short history of greek 
mathematics. Cambridge 1884, pag. 43—48, hat die Beweisgründe zusammen- 
gestellt. 



126 4. Kapitel. 

handen, welche um 450 entstanden sein soll, wenn man sich mit 
diesem Zeitpunkt als ältest gesichertem befriedigt erklärt^). Das 
hebräische Alphabet Yon 22 Buchstaben reichte gleich dem syrischen 
bis zur Bezeichnung von 400. Für die höheren Hunderte half man 
sich wieder durch Zusammensetzungen. Später kam man auf eine 
andere Aushilfe. Fünf Buchstaben des hebräischen Alphabetes, die- 
jenigen nämlich, welche den Zahlenwerten 20, 40, 50, 80, 90 ent- 
sprechen, besitzen zweierlei Gestalt, je nachdem sie am Anfange be- 
ziehungsweise in der Mitte eines Wortes auftreten, oder an dessen 
Ende, eine Eigentümlichkeit, welche mehrere orientalische Schriftarten 
mit der hebräischen teilen und woYon auch die sogenannte gotische 
Schrift in f und $ ein Beispiel aufweist. Die fünf Finalbuchstaben 
nun benutzte man, um die Hunderte yon 500 bis 900 darzustellen 
und hatte nun die Möglichkeit der Darstellung sämtlicher Zahlen 
bis zu 999. Bei einer Zahl, bei 15, benutzte man nicht die natur- 
gemäße Bezeichnung 10 + 5, sondern schrieb statt ihrer 9 + 6. Der 
Grund dayon war, daß die Buchstaben für 10 und 5 H"^ den Anfang 
des heiligen Namen Jehoya bilden, der nicht entweiht werden darf 
durch unnötiges Aussprechen oder Schreiben^. Um die Tausende zu 
bezeichnen kehrte man wieder zum Anfange des Alphabetes zurück, 
indem jeder Buchstabe durch zwei über ihn gesetzte Punkte den 
tausendfachen Wert erhielt, und so war es möglich alle Zahlen unter- 
halb einer Million zu schreiben, womit die Schreibart in Zeichen über- 
haupt abschließen mochte, wie es unseren früheren Bemerkungen 
(S. 23) entsprechend auch mit dem genauen Zahlenbegriff der Fall 
war. Daß die Hebräer yon rechts nach links schrieben, daß ab- 
gesehen yon dem Falle geheimnisyoll erscheinen wollender Gematria^ 
welche als Zahlenschreiben im eigentlichen Sinne des Wortes kaum 
betrachtet werden kann, das Gesetz der Größenfolge eingehalten 
wurde, braucht kaum gesagt zu werden. Eben dieses Gesetz ge- 
stattete die yertausendfachenden Pünktchen oft wegzulassen, wenn die 
Reihenfolge der Zahlen die Bedeutimg derselben schon außer Zweifel 
stellte. Der Buchstabe für 1 K z. B. konnte dem f&r 5 n in regel- 
mäßiger Zahlenbezeichnung nicht yorhergehen, wohl aber umgekehrt. 
Deshalb schrieb man 5001 nur durch KT^, dagegen 1005 durch nä oder 
durch HK. Da ferner ü =• 40, q «= 800 war, so konnte 5845 = JTaqn 
geschrieben werden. Die letztere Zahl, die Anzahl der Verse im 
ganzen Gesetze, wurde yon den Masoreten, deren Tätigkeit freilich 

*) Handbuch der klaBsischen Altertums- Wissenschaft herausgeg. t. Iwan yon 
Müller. Bandl: Griech. Epigraphik von Wilhelm Larfeld S. 641— 647 (München 
1891). *) Ist in dieser Schreibart von 16 die Veranlassung zur Gematria bei 
Alezandrinischen Juden, oder nur das einfachste Beispiel derselben eu erkennen? 



Die Griechen. Zahlzeichen. Fingerrechnen. Rechenbrett. 127 

erst im VIII. S. n. Chr. abschloß, sogar mann geschrieben*), indem 
n, das Zeichen für 8, einen höheren Rang als das nachfolgende )2, 
zugleich einen niedrigeren als das yorhorgehende dnrch die Stellung 
selbst yertausendfachte n besitzen mußte und daher nur 800 bedeuten 
konnte. Die Verwechslung von Zahlen mit Wörtern war in der 
hebräischen Schrift, die fast regelmäßig die Vokale wegließ und deren 
Er^Lnzung dem Leser übertrug, ungemein leicht. Sollte also eine 
Zahl als solche sofort erscheinen, so war ein ünterscheidimgszeichen 
notwendig. Dasselbe bestand darin, daß man über den letzten Zahl- 
buchstaben zwei Häkchen machte, oder auch diese Häkchen zwischen 
dem letzten und vorletzten Zahlbuchstaben anbrachte. Bei vier- oder 
gar mehrstelligen Zahlen wurden die Häkchen öfter wiederholt. 

Wir kehren nach diesen Einschaltungen nach Griechenland zurück, 
bei dieser Rückkehr beiläufig erwähnend, daß die Gematria, die sym- 
bolisierende BuchstabenTerbindung zu Wörtern mit Zahlenwert, sich 
auch bei späteren Griechen einheimisch machte. Die Zahl 666 der 
Apokalypse z. B., welche, wie jetzt wohl kein Fachmann mehr be- 
zweifelt, aus dem Hebräischen stammt und noß "(ins (Nerun Kesar) 
bedeutet, wurde von Irenäus, dem berühmten Eorchenlehrer des H. S., 
als AaxBivog gelesen und erklärt. 

Die Zahlenwerte der griechischen Buchstaben hier genauer 
zu erörtern, möchte so ziemlich allen unseren Lesern gegenüber über- 
flüssig sein. Wir begnügen uns daran zu erinnern (S. 125), daß in 
dem zur Zahlenschreibung dienenden Alphabet altertümliche Buch- 
staben, die sogenannten Episemen, noch einen Platz einehmen, welche 
unter den Buchstaben der Griechen als solchen abhanden gekommen 
waren'). Die Buchstaben alpha bis sanpi genügten in ihrer Ver- 
bindung zur Darstellung der Zahlen 1 bis 999, wobei ein darüber 
befindlicher Horizontalstrich die Zahlen als solche kennzeichnete und 
der Verwechslung mit Wörtern Yorbeugen sollte. Die Tausende schrieb 
man mittels der 9 Einheitsbuchstaben, a bis ^, denen man zur Linken 
einen in Kommagestalt geneigten Strich beifüg^. Mitunter wurde, 
ähnlich wie der vertausendfachende Punkt der Hebräer, das den 
gleichen Zweck erfüllende Komma der Griechen unter gleichen Voraus- 
setzungen weggelassen, nämlich wenn die Stellung yor einem Buch- 
staben, dem an und für sich ein höherer Zahlenwert eigentümlich 
war, die Notwendigkeit ergab um des Gesetzes der Größenfolge willen 
das betreffende Zahlzeichen tausendfach zu lesen. Allerdings ist auch 
bei den Griechen ein Abweichen yon dem Gesetze der Größenfolge 

') NeBselmann, Die Algebra der Griechen. Berlin 1842, S. 494. *) Vgl. 
A. Eirchhoff, Studien zur Geschichte des griechischen Alphabete. 8. Aufl. 
Berlin 1877. 



128 4. Kapitel. 

nachgewiesen worden*). Nicht bloß daß in Sizilien der Sprach- 
gebrauch die kleinere Zahl der größeren yorausgehen ließ [z. B. 
xiööaQa xBtQaxööva B^axiöxikia 3Cevraxi6^vQia rdXavta = 56404 Ta- 
lente], daß bei asiatischen Griechen die gleiche Übung herrschte, daß 
auf Münzen von Seleucidenkönigen der Berliner und Londoner Samm- 
lungen, deren Prägung innerhalb 210 und 144 v. Chr. Geburt fallt, 
die Jahreszahlen TP- 103, ^5?P= 161, BSP-- 162, Ö^P« 169 
vorkommen*), man hat sogar Inschriften gefunden, bei welchen 
Größenfolge nach beiden Richtungen miteinander wechselt'), z. B. 
exovg Ivip vneQßsQBzaiov va = am 15. des Monats Hyperberetaion im 
seleucidischen Jahre 557. Zehntausend wurde als Myriade durch Mv, 
oder durch M bezeichnet. Bei Vielfachen von 10000 konnte der 
vervielfachende Koeffizient eine dreifache Stellung einnehmen, links 
vor, rechts nach oder über dem M Im ersten Falle wurde M. auch 
wohl durch einen einfachen Punkt vertreten, welcher aber nicht weg- 
gelassen werden durfte, weil die bloße Stellung, wie wir erst bemerkt 
haben, nur vertausendfachte. Es bedeutete demnach ßola stets 2831, 
ß,(oka dagegen 20831. 

Man hat verschiedentlich die Behauptung aufzustellen versucht, 
den Griechen sei, und zwar in alter Zeit, ein Zahlzeichen für Nichts, 
mithin eine wirkliche NuU zu eigen gewesen. Man hat zu diesem 
Zwecke auf astronomische Werke des Ptolemäus und des Theon von 
Alexandria, man hat auf eine Steininschrift der Akropolis zu Athen, 
man hat auf einen Palimpsest im Vatikan hingewiesen. Aber alle 
diese Hinweise sind durchaus nichtig; von einer Null ist an 
keiner dieser Stellen die Rede*). 

Brüche kommen bei griechischen Schriftstellern, insbesondere 
bei Mathematikern, häufig vor. Die Bezeichnung erfolgt im all- 
gemeinen so, daß man zuerst die Zähler hinschrieb und dieselben 
mit einem Akzente rechts oben versah, dann die Nenner, denen ein 
doppelter Akzent beigefügt wurde und die zweimal geschrieben wurden. 

17 
Z. B. i^ %a' %a' = - . Hatte man es mit Stammbrüchen zu tun, so 

blieb der Zähler a als selbstverständlich weg, und die einmalige 
Schreibung des Nenners genügte. Ohne weitere Bemerkung neben- 
einander geschriebene Stammbrüche sollten durch Addition vereinigt 

*) J. Woisin, De Graecorum notis numeralibus (Leipziger Doktordisser- 
tation in Kiel 1886) pag. 15— 16. *) Briefliche Mitteilung des Herrn Adolf 
Richter in Riga. *) Corpus Inscriptionum Graecorum (ed. Boeckh) Vol. III. 
(Berlin 1868) No. 4516. Vgl. auch No. 4503, 4518, 4519. *) Math. Beitr. Kulturl. 
S. 121 flgg. Wichtige Ergänzungen zu unseren Angaben über den Palimpsest bei 
Hultsch, Scriptores metrologici Graeci. Leipzig 1864. Vorrede pag. V— VL 



Die Griechen. Zahlzeichen. Fingeriechnen. Rechenbrett. 129 

werden. Z. B. d" « ^ und £" x^" Qiß' öxd" — ^ + 28 "^ m "^ 224 

4.3 1 

= ^— . Zwei besondere Bezeichnungen sind bemerkenswert: ^ oder 

Vifivöv wurde nicht durch ß" sondern durch das altertümliche 

sigma c angedeutet und dieses vereinigt sich mit g" => y zu einem 

112 
neuen dem omega ähnlichen Zeichen uj" um y + ^ ^ 3 anzu- 
schreiben *). 

Die Frage^ wie man dazu kam an Stelle einer anderen schon 
vorhandenen Bezeichnungsweise von Zahlen die neue alphabetische 
Methode einzuführen, verdient wohl gestellt zu werden und ist auch, 
wenngleich nicht häufig, gestellt worden'). So mächtig wirkt bei 
den meisten Geschichtsschreibern die Gewohnheit das geschichtlich 
nacheinander Auftretende als Fortschritt au&ufassen, daß man auch 
hier einem Fortschritte gegenüberzustehen wähnte, und die Einfuhrung 
eines solchen bedarf keiner besonderen Erklärung. Statt eines Port- 
schrittes haben wir es aber hier mit einem entschiedenen Bück- 
schritte zu tun, insbesondere was die Fortbildungsfähigkeit der 
Ziffernschrift betrifft. Vergleichen wir die älteren herodianischen 
Zahlzeichen mit den späteren, für welche wir schon wiederholt den 
Namen alphabetischer Zahlzeichen gebraucht haben, so erkennen wir 
bei letzteren zwei Übelstände, die den ersteren nicht anhaften. Es 
mußten jetzt mehr Zeichen und deren Wert dem Gedächtnisse an- 
vertraut werden, es mußte auch das Rechnen eine viel angespanntere 
Gedächtnistätigkeit in Anspruch nehmen. Die Addition AA^ + 
AAAA«riAA(30 + 40«70) konnte mit der HHH + HHHH = 
51 HH (300 + 400 «700) in einen Gedächtnisakt zusammenschmelzen, 
sofern drei und vier Einheiten derselben Art zu fünf und zwei Ein- 
heiten gleicher Art sich vereinigten. Dagegen war mit X + |i =* o 
noch keineswegs t -{- u =» ij; sofort mitgegeben! Nur einen einzigen 
Vorzug bot die neue Schreibweise der alten gegenüber, der sich 
zeigt, wenn man die schriftliche Darstellung nach ihrer Raumaus- 
dehnung vergleicht. Man beachte z. B. 849, welches herodianisch 
PHHHAAAAPIIII, alphabetisch uJ^e aussieht. Jenes ist durch- 
sichtiger, gewährt beim Rechnen die wichtigsten Vorteile; dieses ist 
unverhältnismäßig viel kürzer, und so werden wir auf diesem den 
Vermutungen allein preisgegebenen dunkeln Gebiete wohl kaum einen 
Fehlgriff tun, wenn wir die Meinung aussprechen, nicht Rechner, 

>) tJhei Brüche vgl. Hultsch, L c, pag. 173—176. *) Heinr. Stoy, 
Zur Geschichte des Bechenontemchtes I. Teil. Jenaer Inauguraldissertation 1876, 
S. 25. 

Gaktob, Gesohichte der Mathematik L 3. Aufl. 9 



130 4. Kapitel. 

sondern Schreiber haben die alte breite Zahlenbezeichnung um der 
neuen willen im Stich gelassen, und weil es in der großen Menge 
der Bevölkerung mehr Schreiber gab als Rechner, die zugleich auch 
Schreiber waren, hat die neue alphabetische Methode so rasch und 
allgemein sich Eingang verschafft. 

Wir sind mit diesen Bemerkungen bereits über die Besprechung 
des Zahlenschreibens bei den Griechen hinausgegangen und zu deren 
Zahlenrechnen gelangt. Wieder begegnen uns hier die beiden 
Rechnungs verfahren, denen wir allgemein menschliche Verbreitung 
zuerkannt haben: das Fingerrechnen und das Rechnen auf einem 
Rechenbrette. 

Spuren des ersteren sind mancherlei vorhanden^). Es mag ja 
zu weit gegangen sein für dasselbe auf eine Stelle des Herodot sich 
zu beziehen, wo einer an den Fingern die Monate abrechnet*). Auch 
daß in homerischer Sprache Rechnen Ttefixä^Biv, d. h. wörtlich „ab- 
fünfen" heißt, mag von geringerer Tragweite erscheinen. Aber eine 
Stelle der Wespen des Aristophanes') bezeugt, daß man Überschlags- 
rechnungen an den Fingern auszuführen pflegte. Wie die Griechen 
alter Zeit dabei verfuhren, ist nicht bekannt. Die Wahrscheinlichkeit 
spricht dafür, daß ähnliche Grundsätze der Fingerbedeutung gegolten 
haben mögen wie in späterer Zeit, aber eine Sicherheit liegt keines- 
wegs vor. Wir wünschen daher nicht durch Vorgreifen den An- 
schein einer solchen Sicherheit hervorzurufen, und versparen uns die 
Darstellung spätgriechischer Fingerrechnung bis zum Schlüsse dieses 
ganzen griechischen Abschnittes, wo eine erhaltene byzantinische 
Schrift über den Gegenstand ims nötigende Veranlassung geben wird 
darauf einzugehen. 

Das Rechnen auf einem Rechenbrette in Griechenland bezeugt 
uns Herodot durch dieselbe Stelle*), deren wir uns zum Beweise des 
gleichen Verfahrens in Ägypten schon bedient haben (S. 88). Wir 
hoben dort bereits hervor, daß die Kolumnen des Brettes gegen den 
Rechner senkrecht gezogen sein mußten und werden dafür noch 
anderweitige Gründe weiter unten angeben. Die auf dem Rechenbrette 
Verwendung findenden Steinchen hießen ifYjq)ot. Sie wurden, wie aus 
der Stelle in den Wespen des Aristophanes hervorgeht, auch in dessen 
Zeit zum genauen Rechnen benutzt, und die Verbreitung dieses Ver- 
fahrens wird ersichtlich aus dem Worte rlfrjq)£i£vVj mit Steinchen han- 
tieren, welches allgemein für das Rechnen eintritt. Auch das Brett, 
auf welchem gerechnet wurde, bekam einen besonderen Namen &ßal. 



*) Stoy, 1. c, S. 86 Anmerkg. 4, S.44 Aninerkg. 8. *) Herodot VI, 68 
und 66. *) Ariatophaniß Yespae 666. *) Herodot H, 86. 



Die Griechen. Zahlzeichen. Fingerrechnen. Rechenbrett. 131 

Allein gleich bei diesem Namen Abaz beginnen die Streitfragen, 
welche sich mehr und mehr häufen, je weiter die Geschichte der 
Entwicklung des Rechenbrettes fortschreitet. Man hat nämlich das 
Wort &ßa^ bald dem semitischen p3fe( Staub yerglichen und Staub- 
brett übersetzt, bald hat man den Stamm ßax mit verneinendem a zu 
einem Worte yereinigt, dem die Bedeutung des Nichtgehenkönnens, 
des FußloBseins innewohnt^). Die letztere Ableitung stützt sich 
vorwiegend auf die nicht in Zweifel zu stellende Anwendung des 
Wortes äßcci und ähnlich klingender Wörter in Bedeutungen, welche 
an Staub in keiner Weise zu denken gestatten. So hieß eine Art 
von Würfelbrett, ein rundes Körbchen ohne Untergestell, eine runde 
Platte ßßal^ und dergleichen mehr. Noch eine dritte Ableitung läßt 
&ßa^ durch verneinendes a von ßd^o (ich spreche) abstammen; es 
sei ein Rechnen, bei welchem nicht gesprochen wird'). Die erste 
Ableitung dagegen weiß nur einen Grund für sich anzugeben, der 
durch ein Spiel sprachlichen Zufalles sich sehr wohl erklären läßt: 
der griechische Abax als Rechenbrett war nämlich, wenigstens in 
einer Form, ein wirkliches Staubbrett'). Wir wissen dieses aus einer 
Stelle des Jamblichus, in welcher dieser späte Pyihagoiuer erzählt, 
daß der Gründer ihrer Schule die Beweise der Arithmetik wie der 
Geometrie auf dem Abaz geführt habe, was nur dann verständlich 
ist, wenn auf dem Abax Zahlzeichen und Linien leicht gezeichnet, 
leicht verwischt werden konnten; wir wissen es deutlicher aus einer 
zweiten Stelle desselben Jamblichus, die uns ausdrücklich sagt, der 
Abax der Pythagoräer sei ein mit Staub bedecktes Brett gewesen^). 
Auch eine Stelle des Eustathius ist damit in Übereinstimmung, welche 
den Abax als den Philosophen, die Figuren auf denselben zeichneten, 
nützlich rühmt ^). Das letztere Zeugnis gehört freilich erst dem Ende 
des XIL S. an, aber bei der berühmten Gelehrsamkeit des Bischofs 
von Thessalonike, der sie niederschrieb und dem sicherlich noch Quellen 



^) Für die erste Ableitung Nesselmann, Algebra der Griechen S. 107, 
Anmerkg. 5 und Vincent in Liouyille's Journal des Mfxth^matiques IV, 275 Note 
mit Berufung auf Etienne Guichart, Harmonie des lan^ues. Für die letztere 
Th. H. Martin, Les siffnes numeraux et VarithmStique chez lea peitples de Vanti- 
quiU et du moyen-ctge. Rome 1864, pag. S4 — 35 mit zahlreichen Quellenangaben. 
*) E. Clive Bayley im Journal of the Royal Asiatic Society, new series, XIV, 
869 (London 1882). *) Als Beispiel sprachlicher Zufälligkeiten erinnern wir an 
das englische degree und das arabische daraga. Beide bedeuten Grad (Winkel- 
einteilung), sind aber nicht entfernt verwandten Stammes trotz Gleichlautes und 
Bedeutungsgleichheit. *) Jamblichus, De vita Pythagorica cap. V, § 22 und 
desselben Exhortatio ad phtlosophiam Symbol. XXXI V. *) Eustathius in Odys- 
seam zu Gesang I, vers. 107. Vgl. die römische Ausgabe dieses Kommentators 
pag. 1897 lin. 50. 



132 4. Kapitel. 

zugänglich waren^ die wir nicht mehr kennen^ nehmen wir ebenso- 
wenig Anstand dasselbe zu verwerten, wie die oft angerufenen Zeug- 
nisse späterer Lexikographen. 

Sollte auf dem Abax gerechnet werden, so mußten, wie wir 
wissen, auf demselben Abteilungen gebildet werden, deren jede zwischen 
zwei Strichen verlief, oder durch einen einzelnen Strich sich darstellte. 
Die Abteilungen, Kolumnen nennt man sie gemeiniglich, und auch 
wir werden uns dieses Ausdruckes von jetzt an ausschließlich be- 
dienen, waren gegen den Rechner senkrecht gezeichnet. Das geht 
nächst der Stelle bei Herodot, welche wir so deuteten, aus einem 
Vasengemälde hervor, das aus griechischer Vorzeit auf uns gekommen 
ist. Wir meinen diejenige Vase, welche den Altertumsfreunden als 
die große Dariusvase in Neapel wohl bekannt ist^). Auf dieser 
Vase ist ein Rechner gut erkennbar, der auf einer Tafel den Tribut 
zu buchen scheint, welcher dem Darius dargebracht wird. Die Tafel 
ist in zu dem Rechner senkrechte mit Überschriften versehene Ko- 
lumnen eingeteilt, und die Überschriften bestehen aus herodianischen 
Zahlzeichen. Eben dieses Vasengemälde ist es, welches einen zuver- 
lässigen Beweis persischen, mithin mutmaßlich auch babylonischen 
Kolumnenrechnens uns liefern würde, wenn wir der Gewißheit uns 
hingeben dürften, daß der Künstler nicht aus freier Phantasie arbeitend 
griechische Gewohnheiten ins Ausland übertrug, ohne sich darum zu 
kümmern, ob er damit der Wahrheit widersprach. 

Die Kolumnen hatten den Zweck, den zum Rechnen dienenden 
Marken einen in verschiedenen Kolumnen verschiedenen Stellungswert 
zu verleihen. Zwei Schriftsteller bezeugen uns dieses. Von Solon 
wird uns der Vergleich mitgeteilt, wer bei Tyrannen Ansehen besitze, 
sei wie der Stein bei der Rechnung; bald bedeute dieser mehr, bald 
weniger, und so achte der Tyrann jenen bald hoch, bald gar nicht*). 
Desselben Vergleiches bedient sich Polybios, der arkadische Geschichts- 
schreiber, welcher 203 — 121 lebte, und gebraucht dabei einen nicht 
unwichtigen Ausdruck. Er sagt nämlich, die Marken auf dem Abax 
gelten nach dem Willen des Rechnenden bald einen Chalkus, bald 
ein Talent»). 

Die Bedeutsamkeit gerade dieser von Polybios genannten gegen- 
sätzlichen Werte erkennen wir in ihrer Übereinstimmung mit den 
End werten niedersten und höchsten Ranges, welche auf einem grie- 



^) Vgl. eine Abhandlung von F. G. Welckerin dessen Alte Denkmäler V, 
Z4t9 ügg. nebst Tafel XXIII. Der erste Abdruck in Gerhards Archäologischer 
Zeitung 1867, 8. 49—55, Tafel 108. *) Diogenes Laertius I, 69. «) Poly- 
bios V, 26, 13. 



Die Griechen. Zahlzeichen. Fingerrechnen. Rechenbrett. 133 

chischen Denkmale, auf der Tafel yon Salamis angegeben waren. 
Damit ist nämlich entweder eine annähernde Datierung jener ihrem 
Alter nach bis jetzt ganz unbestimmbaren Marmortafel, welche sich 
gegenwärtig im Nationalmuseum (Ethnikon) zu Athen befindet, er- 
möglicht oder man hat die für langdauernde Übung Zeugnis ablegende 
Erhaltung genau derselben Abteilungszahl yor sich. Die salaminische 
Tafel ^) von Marmor 1,5 m lang, 0,75 m breit wurde zu Anfang des 
Jahres 1846 auf der Insel, deren Namen sie führt, au^efanden. Sie 
war der Größe ihrer Abmessungen, dem Gewichte des Materials, der 
durch beide yereinigten Umstände erhöhten Unbeweglichkeit zufolge, 
sicherlich keine gewöhnliche Rechentafel. Wir haben yielmehr ent- 
weder an den Geschäftstisch eines öffentlichen Wechslers zu denken, 
deren es in Griechenland bereits gab, oder an eine Art yon Spielbrett 
mit zur Verrechnung yon Gewinn und Verlust vorgerichteten Kolumnen. 
Die Einrichtung war nämlich allem Anscheine nach die, daß jedem 
der beiden Spieler, beziehungsweise Rechner, fünf Hauptkolumnen, je 
zwischen zwei Striche eingeschlossen, und yier Nebenkolumnen zur 
Verfügung standen. Erstere dienten yon links nach rechts im Werte 
abnehmend für Talente (6000 Drachmen), 1000, 100, 10 und 1 Drachmen, 

letztere für die Bruchteile der Drachmen Obolus ( -Drachme], halber 

Obolus, viertel Obolus und achtel Obolus oder Chalkus*). Jede der 
Hauptkolumnen war durch einen durch alle Abteilungen gemeinschaftr 
lieh durchlaufenden Querstrich in zwei Hälften geteilt, deren eine, sei 
es die obere, sei es die untere, den eingelegten Marken den fünffachen 
Wert gab wie die anderen. Es ist dies ein tatsächlich vorhandenes 
Beispiel dessen, was wir (S. 42) bei den Babyloniern vermutungsweise 
annahmen, um die Entstehung des Wortes Ner uns zu verdeutlichen. 
Wir dürfen zugleich hervorheben, daß die 5 Hauptkolumnen ihrer 
Anzahl nach mit den fünf einfachen Grundzahlwörtern der Griechen 
von der Monas bis zur Myrias übereinstimmen, dürfen zugleich an das 
früher über Beschränkung volkstümlicher Zahlenbegriffe Gesagte er- 
innern. Daß unsere in allen wesentlichen Punkten von Letronne her- 
stammende Erklärung der salaminischen Tafel richtig sein muß, be- 
weisen insbesondere die auf der Tafel befindlichen selbst 13 mm hohen 
Zahlzeichen. Sie sind herodianische Zeichen, und es ist eben so fein 

^) Math Beitr. Ktdtarl. S. 182 und 186 flgg. die gSDaneren Quellenangaben. 
Vgl. femer A. Nagl, Die Rechenmethoden auf dem griechischen Abakus in 
Abhndlgen. z. Gesch. d. Math. IX, 837—367. Kubitschek, Die salaminische 
Rechentafel in Numismatische Zeitschrift (Wien 1900) XXXI, 893—398. A. Nagl, 
Der griechische Abakus in Numism. Zeitschr. (Wien 1908) XXXV, 131—143. *) Der 
attische Obolus hatte 8 Chalkus. Vgl. Hultsch, Metrologie (2. Aufl.) S. 133. 



134 5. Kapitel. 

als richtig hervorgehoben worden, es sei kein Zufall, wenn diese Be- 
zeichnung, welche neben den einzelnen Grundzahlen auch deren Fünf- 
fache kürzer zu schreiben gestatte, auf einem nach demselben Gbdanken 
abgeteilten Rechentische sich finde ^). Ein Bruchstück einer der sala- 
minischen vielleicht ähnlichen Tafel ist dann später (1886) auch in 
Akamanien aufgefunden worden^. 

Dürfen wir vielleicht den Rückschluß ziehen, das Rechenbrett 
ähnlicher Art müsse bei den Griechen mindestens so alt wie jene 
Zeichen gewesen sein? Dürfen wir das in einer Quelle berichtete 
Vorkommen herodianischer Zeichen in solonischer Zeit mit dem eben 
angeführten Ausspruche Solons, der für das Vorhandensein eines 
Rechenbrettes zwingend wäre, wenn er selbst als beglaubigt betrachtet 
werden könnte, in Verbindung bringen? Dürfen wir beide als gegen- 
seitige Stützen betrachten und somit um 600 ein schon ziemlich aus- 
gebildetes Rechnen auf dem Rechenbrett in Griechenland annehmen? 

Wir wollen uns nicht soweit in Vermutungen einlassen, daß wir 
alle diese Möglichkeiten als Wahrheiten behaupteten. Nur eines sei 
bemerkt, daß auf dem Sandbrette sehr leicht mittels eines Stiftes 
Kolumnen bildende Linien gezogen werden konnten, daß somit durch- 
aus kein Ghrund vorliegt einen Zweifel zu hegen, ob gleichzeitig mit 
der Herstellung der salaminischen Tafel und ähnlicher Tische auch 
die pythagoräische Benutzung des Sandbrettes zum Rechnen in Übung 
gewesen sei. Das Rechnen selbst beschränkte sich anfangs gewiß auf 
die einfachsten Grundverfahren des Zusammenzählens und Abziehens. 
Ein mathematisches Rechnen kam erst in Frage, als eine wirkliche 
Mathematik in Griechenland sich gebildet hatte, und wird erst in jener 
Zeit von uns behandelt werden dürfen. 

Das mathematische Denken war in Griechenland vorzugsweise ein 
geometrisches. Der Geometrie gehören auch die Anfänge der Mathe- 
matik an, zu welchen wir uns jetzt wenden. 



5. Kapitel. 
Thaies and die älteste griechische Cleometrie. 

Ein gelehrter Philosoph des *^. S. Proklus Diadochus hat uns 
ein ungemein wertvolles Bruchstück eines älteren Schriftstellers auf- 
bewahrt, welches uns ein Bild der ältesten griechischen Mathematik 

') Stoy, 1. c, S. 26. ") Wo i Bin, De Graecorum notia numeralibua 
pag. 4 mit Berufang auf Bulletin de Correspondence Hell^nique, ann^e X (1886) 
pag. 179. 



Thaies und die älteste griechisohe Geometrie. 135 

in lonien, in Unteritalien und in Athen den Umrissen nach erkennen 
laßt. Es stammt nach Proklns' Anssage von denen her, ,,die die Ge- 
schichte geschriehen habend nnd man ist allgemein darin einig hier 
ein Fragment desEudemns, oder wenigstens einen Anszng aus dessen 
historisch -geometrischen Schriften zu erkeimen^). Wir werden das- 
selbe häufig zu nennen haben und ihm zu diesem Zwecke den seinem 
Inhalte wohl am meisten entsprechenden Namen des alten Mathe- 
matikeryerzeichnisses beilegen. Chronologisch teilt es uns näm- 
lich nach kurzer Einleitung die Namen derjenigen Männer mit, die 
nach der Meinung des Verfassers die Entwicklung der Mathematik 
vorzugsweise gefordert haben. Chronologisch, wie wir sie brauchen, 
werden wir die einzelnen Sätze abdrucken. Sie bilden gewissermaßen 
die Überschrift einzelner Paragraphen, in welche wir unterzubringen 
haben werden, was in bezug auf die einzelnen Persönlichkeiten aus 
anderen Quellen bekannt geworden ist. Die einleitenden Worte lauten 
folgendermaßen: 

„Da es nun notwendig ist, auch die Auffinge der Künste und 
Wissenschaften in der gegenwärtigen Periode zu betrachten, so be- 
richten wir, daß zuerst von den Ägyptern der Angabe der meisten 
zufolge die Geometrie erfanden ward, welche ihren Ursprung aus der 
Vermessung der Ländereien nahm. Denn letztere war ihnen nötig 
wegen der Überschwemmung des Nil, der die einem jeden zugehörigen 
Ghrenzen yerwischte. Es hat aber nichts Wunderbares, daß die Er- 
findung dieser sowie der anderen Wissenschaften Yom Bedürfnis aus- 
gegangen ist, da doch alles im Entstehen Begriffene vom Unvoll- 
kommenen zum Vollkommenen Torwärtsschreitet. Es findet von der 
sinnlichen Wahrnehmung zur denkenden Betrachtung, yon dieser zur 
yemünftigen Erkenntnis ein geziemender Übergang statt Sowie nun 
bei den Phönikiem des Handels imd des Verkehrs halber eine genaue 
Kenntnis der Zahlen ihren Anfang nahm, so ward bei den Ägyptern 
aus dem erwähnten Grunde die Geometrie erfunden.^' 

Wir begnügen uns unter Abdruck dieser Sätze darauf aufinerk- 
sam zu machen, daß hier über die Erfindung der Geometrie dasselbe 
behauptet wird, was wir früher (S. 102 — 103) nach anderen Quellen als 



^) Diese Stelle ist abgedruckt in Prodi Dictdochi in primum Euclidis ele- 
mentarum librutn commentarii (ed. Friedlein). Leipzig 1873, pag. 64 lin. 
16 — 68 lin. 6. Der Urtext mit*gegenüberstehender deutscher Übersetzung bei 
Bretschneider, Die Geometrie und die Geometer vor Euklides. Leipzig 1870, 
S. 27—30. Wir zitieren dieses Werk künftig kurz als Bretschneider. Wir be- 
dienen uns der Hauptsache nach der dort mitgeteilten Übersetzung, yon der 
wir nur in wenigen Punkten, wo wir B*s Auffassung nicht teilen können, uns 
entfernen. 



136 ö. Kapitel. 

die weoigsteDS in bezug auf den ägyptischen Ursprung wohlbegründete 
Meinung des griechischen Altertums mitgeteilt haben. Die Geometrie 
kam aus Ägypten nach Griechenland. Wie und durch wen, darüber 
belehrt uns das Mathematikerverzeichnis, wenn es fortfahrt: 

„Thaies, der nach Ägypten ging, brachte zuerst diese Wissen- 
Bchafb nach Hellas hinüber und vieles entdeckte er selbst, von vielem 
aber überlieferte er die Anfange seinem Nachfolger; das eine machte 
er allgemeiner, das andere sinnlich faBbarer/' 

Thaies von Milet^), Sohn des Ezamios und der Kleobuline, 
aus einem ursprünglich phönikischen Geschlechte stammend, wurde 
um das 1. Jahr der 39. Olympiade'), also um 624, geboren und lebte 
noch im 1. Jahre der 58. Olympiade, d. h. 548. Er wurde also über 
76 Jahre alt, eine Berechnung, welche in vollem Einklang mit anderen 
Angaben ist, die ohne genaue Jahrgänge festzustellen ihn ein hohes 
Alter erreichen lassen. Eine ganze Menge von mehr unterhaltenden 
als wichtigen Geschichten knüpfen sich an seinen Namen. Aus den- 
selben scheint hervorzugehen, daß Thaies Kaufmann war, bald einen 
Salzhandel trieb, bald in Ölgeschafke sich einließ, und daß er vermut- 
lich auf diese Weise nach Ägypten kam. Einen ägyptischen Aufent- 
halt bezeugt femer die Bemerkung, niemand sei dem Thaies Lehrer 
gewesen, nur während seines Verweilens in Ägypten habe er mit den 
Priestern verkehrt'). Ein drittes Zeugnis ist das der Pamphile, einer 
Geschichtsschreiberin zur Zeit Neros, welche weiß, daß Thaies in 
Ägypten Geometrie erlernte*). Die Belege könnten noch weiter bis 
zu fast beliebiger Anzahl vermehrt werden, so daß an der Tatsache, 
Thaies sei in Ägypten gewesen, und dort mit Geometrie bekannt ge- 
worden, nicht wohl zu zweifeln ist^), wenn auch zugegeben werden 



') Bretachneider S. 86— ö6. AUman, Greek geometry from Thaies to 
Euelid (1889) pag. 7—17. Eine Monographie von Decker, De Thalete Milesio, 
Halle 1865, ist nnB nur dem Titel nach bekannt. Haaptquelle ist Diogenes 
LaertiuB. Die Familie des Thaies I, 1 nach Herodot, Duris und Demokrit; 
seine Lebenszeit I, 10 nach ApoUodor und Sosikrates und 1, 3, wo bezeugt ist, 
daß Thaies beim Ausbruche des Yemichtungskampfes zwischen Krösus und 
Eyrus (548) noch lebte. *) Vgl. Diels im Rheinischen Museum für Philologie, 
Neue Folge XXXI, 16 (1876). ») Diogenes Laertius I, 27. *) Diogenes 
Laertius I, 24. ^) Eine vortreffliche Zusammenstellung der Beweisstellen bei 
Zell er, Die Philosophie der Griechen in ihrer geschichtlichen Entwicklung I, 169, 
Anmerkung 1 (3. Auflage, Leipzig 1869). Wenn in diesem Werke — wir werden 
es künftig nur als Zeller I zitieren — dessen scharfe, mitunter vielleicht allzu 
skeptische Kritik mit Recht anerkannt ist, aus allen diesen Stellen die Über- 
zeugung gewonnen wird, der ägyptische Aufenthalt des Thaies sei möglich, so- 
gar wahrscheinlich, aber allerdings nicht vollständig erwiesen, so dürfen wir 
diesen Ausspruch für unsere Meinung deuten. 



Thaies und die älteste griechische Geometrie. 137 

muß; daß keines der Zeugnisse älter als das Mathematikerrerzeiclinis 
zu sein scheint, und dieses eine höher liegende Quelle außer für eine 
einzige Angabe überhaupt nicht angibt. Nach seiner Heimat Milet 
kehrte Thaies in vorgeschrittenen Jahren zurück. ^^Er befaßte sich 
erst später und gegen das Ghreisenalter hin mit Naturkunde^ beobachtete 
den Himmel; musterte die Sterne und sagte öffentlich allen Miletem 
TOraus, daß am Tage Nacht eintreten , die Sonne sich yerbergen und 
der Mond sich davor legen werde, so daß ihr Glanz und ihre Licht- 
strahlen aufgefangen werden würden/' So der wörtliche Bericht eines 
Schriftstellers, welcher in seiner Einfachheit sehr glaubwürdig er- 
scheint^). Offenbar ist in ihm von derselben Sonnenfinsternis die 
Rede, von der neben anderen auch Herodot weiß, daß Thaies sie den 
loniem angesagt hatte mit Vorausbestimmung des Jahres, in welchem 
die Umwandlung von Ti^ in Nacht erfolgen sollte*). Nur im Vor- 
beigehen bemerken wir, auf die Aussage eines unverwerfbaren Fach- 
gelehrten gestützt *), daß in so weiten Grenzen wie die eines Jahres 
die Verkündigung einer Sonnenfinsternis unter aUen Umstanden mög- 
lich war. Trat nun gar diese Finsternis zur Zeit einer Schlacht 
zwischen Modem und Lydem — wie man jetzt ziemlich allgemein 
annimmt am 28. Mai 585*) — ein und erhielt dadurch eine gewisse 
erhöhte historische Bedeutung, so begreift man, wie damit zugleich 
der Ruhm des Verkündigers unter seinen Landsleuten steigen mußte. 
Um so glaublicher wird der von der Erzählung der Sonnenfinstemis- 
voraussagung unabhängige Bericht, Thaies habe unter dem Archontat 
des Damasias (zwischen 585 und 583) den Beinamen des „Weisen^' 
erhalten^). Mit ihm zugleich erhielten denselben Beinamen bekannt- 
lich noch 6 andere Männer, die uns aber insgesamt hier gleichgültig 
sein können, weil nur eine politische Bedeutung der 7 Männer, eine 
Staatsweisheit, durch jene ehrende Bezeichnung anerkannt wurde, worin 
wir rückwärts eine Bestätigung dafür finden können, daß die Sonnen- 
finsternis von 585 und deren Verkündigung erst nachträglich zur 
Bedeutung wuchs, als die leichtgläubige Bevölkerung in ihr eine Vor- 
bedeutung erkennen mochte. Wir übergehen Einmengungen in das 
Staatsleben Milets, welche von Thaies berichtet werden. Wir über- 
gehen die ihm zugeschriebenen Ansichten über das Weltall und über 
vorzugsweise astronomische Dinge. Es muß uns genügen, Thaies als 



^) Themistios Orat. XXVI, pag. 317. *) Herodot I, 74. «) Rud. Wolf, 
Geschichte der Astronomie. München 1877, S. 10. *) Vgl. G. Hof mann, Die 
Sonnenfinstemiss des Thaies vom 28. Mai 585 t. Chr. (Triest 1870). Geizer im 
Rheinischen Mnseum fOr Philologie, Neue Folge XXX, 264 (1875). Ed. Mahl er 
in Sita^ongsber. d. Wiener Akad. d. Wissensch. 4. Hl. 1886. Mathem.-natorw. 
Klasse, H. Abtlg., Bd. XCHI, S. 455—469. ^) Diogenes Laertius I, 1. 



138 6. Kapitel. 

der Zeit nach ersten ionischen Natorphilosophen zu kennzeichnen. 
Wir gelangen zu den mathematiscl^n Dingen, mit welchen der Name 
des Thaies in Verbindung gebracht wird. 

Proklns nennt Thaies^ abgesehen Yon jener dem Mathematiker- 
Verzeichnisse angehörenden Stelle, viermal^). Dem alten Thaies ge- 
bührt, so lautet die erste Stelle, wie für die Erfindung so vieles anderen, 
so auch für die dieses Theorems Dank; er soll nämlich zuerst gewußt 
und gesagt haben, daß die Winkel an der Basis eines gleich- 
schenkligen Dreiecks gleich seien, die gleichen Winkel nach 
altertümlicher Ausdrucksweise als ähnliche benennend 

Die zweite Stelle besagt: Dieser Satz lehrt, daß, wenn zwei 
Gerade sich schneiden, die am Scheitel liegenden Winkel gleich 
sind. Erfunden ist dieses Theorem, wie Eudemus angibt, zuerst von 
Thaies. Eines wissenschaftlichen Beweises aber achtete der Verfasser 
der Elemente (Euklid) es wert. 

Zum dritten sagt Proklus bei Erörterung des Bestimmtseins 
eines Dreiecks durch eine Seite und die beiden ihr anliegen- 
den Winkel: Eudemus führt in seiner Geschichte der Geometrie 
diesen Lehrsatz auf Thaies zurück. Denn bei der Art, auf welche er 
die Entfernung der Schiffe auf dem Meere gefanden haben soll, sagt 
er, bedürfe er dieses Theorems ganz notwendig. 

Die vierte Erwähnung ist die Angabe: daß die Kreisfläche 
von dem Durchmesser halbiert wird, soll zuerst jener Thaies be- 
wiesen haben. 

Zu diesen vier Erwähnungen bei einem und demselben mathe- 
matischen Schriftsteller kommen noch zwei andere. Pamphile erzählt, 
daß als Thaies bei den Ägyptern Geometrie erlernte, er zuerst dem 
Kreise das rechtwinklige Dreieck eingeschrieben und des- 
halb einen Stier geopfert habe^). Endlich ist es die sogenaimte 
Schattenmessung, welche auf Thaies zurückgeführt zu werden 
pflegt. Hieronymus von Rhodos, ein Schüler des Aristoteles, erzählt, 
Thaies habe die Pyramiden mittels des Schattens gemessen, indem er 
zur Zeit, wenn der unsrige mit uns von gleicher Größe ist, beobachtete^). 
Entsprechend berichtet auch Plinius: das Höhenmaß der Pyramiden 
und aller ähnlichen Körper zu gewinnen erfand Thaies von Müet, in- 
dem er den Schatten maß zur Stunde, wo er dem Körper gleich isi^). 
Etwas darüber hinausgehend ist die Erzählung des Plutarch, der in 
seinem Gastmahle Thaies mit anderen über den König Amasis von 



*) Proklus (ed. Priedlein) 260, 299, 362, 167. *) Diogenes Lae^tius I, 
i4— 26. 8) Diogenes Laertius I, 27. *) Plinius, Histona naturalis XXXVI, 
12, 17. 



Thaies und die älteste griechische Geometrie. 139 

Ägypten sich unterhalten läßt. Nilozenus äußert sich bei dieser 
Gelegenheit: Obschon er auch um anderer Dinge willen Dich be- 
wundert^ so schätzt er doch über alles die Messung der Pyramiden, 
daß Du nämlich ohne alle Mühe und ohne eines Instrumentes zu 
bedürfen, sondern indem Du nur den Stock in den Endpunkt des 
Schatten stellst, den die Pyramide wirft, aus den durch die Berührung 
des Sonnenstrahls entstehenden zwei Dreiecken zeigest, daß der eine 
Schatten zum andern dasselbe Verhältnis hat wie die Pyramide zum 
Stock 1). 

Aus diesen der Zahl und der unmittelbaren Bedeutung nach ge- 
ringfügigen Angaben ein yollständiges Bild von dem, was Thaies aus 
Ägypten mitbrachte, yon dem, was er selbst dazu erfunden hat, zu 
gewinnen ist schwer, und war doppelt schwer, solange die ägyptische 
Mathematik in tiefes Dunkel gehüllt war. So kam es, daß dem einen 
bewiesen schien, die Ägypter hätten yon Winkeln nichts gewußt, und 
Thaies sei der Erste gewesen, der eine Winkelgeometrie ersann; daß 
ein zweiter ein Verdienst des Thaies darin fand, daß er eine Linien- 
geometrie in dem Sinne schuf, daß er das Verluiltnis der Linien einer 
Figur ins Auge faßte, während den Ägyptern nur die praktische 
Geometrie der Flächenausmessung bekannt gewesen sei; daß ein dritter 
nicht Anstand nahm Thaies und die älteren Griechen überhaupt fast 
jeden Erfinderrechtes fQr yerlustig zu erklären und ihr ganzes geome- 
trisches Wissen für Ägypten zurückzufordern; daß ein yierter an die 
entgegengesetzte Grenze streifend es für gleichgültig hielt, ob Thaies 
überhaupt Ägypten besucht habe oder nicht, weil er Geometrisches 
in nennenswerter Menge yon dort nicht habe mitbringen können. 
Diese eine weite Kluft zwischen den Streitenden offen lassenden Gegen- 
sätze, welche wir hier erwähnen, welche aber nicht bei den Unter- 
suchungen über Thaies allein sich zeigten, sondern überall, wo es um 
durch bestimmte Persönlichkeiten yermittelte Übertragung orienta- 
lischer Wissenschaft nach Griechenland sich handelte, müssen gegen- 
wärtig sich einander wesentlich nähern, nachdem das Übungsbuch des 
Ahmes uns zu^Lnglich gemacht ist. Man wird nicht mehr leugnen 
wollen, daß yieles yon dem, was die Anfänge der griechischen Geometrie 
bildet, ägyptischen Lehren yerdankt sein kann; man wird yon der 
anderen Seite des gewaltigen Unterschiedes sich bewußt bleiben, der 
zwischen ägyptischem und griechischem Denken auch bei Gleichheit 
des Gegenstandes des Denkens obwaltete. 

Wird z. B. irgendwer, der an das Seqt genannte Verhältnis, an 
das Ähnlichmachen der Ägypter (S. 99) sich erinnert, der dieses selbe 

') Plutarch Vol. 2, m, pag. 174 ed. Didot. 



140 6. Kapitel. 

Yerhäliiiiis mit Notwendigkeit in gleicher Größe entstehen sieht ^ ob 
man von dem einen Endpunkte der Grundfläche^ ob yon dem ent- 
gegengesetzten aus die betreffenden Messungen yomimmt^ wird ein 
solcher zweifeln können, daß die Gleichheit der Winkel an der Grund- 
linie des gleichschenkligen Dreiecks den Schülern des Ahmes bekannt 
sein konnte, wenn nicht bekannt sein mußte? Thaies wußte und 
sagte es zuerst, d. h. er zuerst sagte es seinen Landsleuten, und mutet 
uns die altertümliche Ausdrucksweise „ähnliche Winker^ statt gleicher 
Winkel, deren er sich dabei bediente, nicht an wie eine Übersetzung 
von Seqt? 

Wir fragen weiter: £ann nach Betrachtung der vielfach ge- 
teilten Kreise auf ägyptischen Wandgemälden ein Zweifel daran ob- 
walten, daß auch die Wahrheit, daß der Durchmesser die Kreisfläche 
zu Hälften teile, in Ägypten gelernt werden konnte? Ja sogar einen 
Beweis dieser Wahrheit, der, wie uns gerühmt wird, von Thaies zu- 
erst geführt worden sei, möchten wir den Ägyptern nicht gerade ab- 
sprechen, wenn auch die Art des Beweises dort eine andere gewesen 
sein mag als in dem Munde von Thaies. 

Wir stehen hier an dem Pimkte, von welchem aus die Ver- 
schiedenheit ägyptischen und griechischen Denkens, welche wir oben 
betonten, uns deutlicher bemerkbar wird. Das Mathematikerverzeichnis 
sagt uns von Thaies, das eine habe er allgemeiner, das andere sinn- 
lich faßbarer gemacht. Es will uns scheinen, als sei damit gerade die 
griechische und zugleich ägyptisierende Form seiner Leistungen ge- 
kennzeichnet. Als Grieche hat er verallgemeinert, als Schüler Ägyptens 
sinnlich erfaßt, was er dann den Griechen wieder faßbar gemacht hat. 
Es war eine griechische Stammeseigentümlichkeit den Dingen auf den 
Grund zu gehen, vom praktischen Bedürfnisse zu spekulativen Er- 
örterungen zu gelangen. Nicht so den Ägyptern. Wir glauben zwar 
nicht, daß die Ägypter jegliche Theorie entbehrten, wir haben schon 
früher (S. 113) das Gegenteil dieser Annahme ausgesprochen; aber wir 
haben dort auch gesagt, wie wir ägyptische Theorie uns denken: als 
wesentlich induktive, während die Geometrie der Griechen deduktiver 
Natur ist. Der Ägypter könnte einen Beweis des Satzes, daß der 
Durchmesser den Kreis halbiere durch die bloße Figur, oder vielleicht 
durch Berechnung der Flächen beider Halbkreise nach derselben mög- 
licherweise unverstandenen Vorschrift als vollständig geführt erachtet 
haben. Der Grieche würde sich allenfalls mit der Figur begnügt 
haben, wenn auch der Beweis des Thaies uns in keiner Andeutung 
bekannt ist So zeigt sich, auch in den Beweisen, eine Abhängigkeit 
der griechischen Geometrie von der ägyptischen, die sich lange erhielt. 
Die griechische Deduktion war bei ihrem Beginne selbst induktiv. Sie 



Thaies und die älteste griechische Geometrie. 141 

war gewohnt von dem Vielen zum Einen, von der Unterscheidung zahl- 
reicher Falle zum allgemein gültigen Satze überzugehen. Sie blieb 
deduktiv, sofern sie nicht unterließ jeden Einzelfall aus sich heraus 
zu gestalten, ihn nicht der Erfahrung, der sinnlichen Anschauung zu 
entnehmen. 

Fassen wir mit Bezug auf Thaies zusammen, was wir hier in 
allgemeinerer Erörterung, deren nur persönliche Gültigkeit wir be- 
haupten, die also Andersmeinenden eine eigentliche Beweiskraft kaum 
besitzen dürften, zu begründen suchten, so gelangen wir dahin, die 
wissenschaftliche Bedeutung des Thaies nicht in der Anzahl der Sätze 
zu finden, welche er selbst entdeckte, sondern in dem Anstoß zu 
geometrischen Studien, den er gab, nebst den Anfangen deduktiver 
Behandlung, welche er lehrte. Daß wir übrigens von so wenigen 
Sätzen nur wissen, deren Urheberschaft in mehr oder weniger be- 
stimmter Weise auf Thaies zurückgeführt wird, kann auf zwei ver- 
schiedenen Umständen beruhen. Einmal ist nur über das erste Buch 
der euklidischen Elemente ein fortlaufender Kommentar des Proklus 
auf uns gekommen. Wir können also nur erwarten durch denselben 
über die Urheberschaft von Sätzen jenes ersten Buches mit Bestimmt- 
heit aufgeklärt zu werden, während Thaies gar wohl Sätze der fol- 
genden Bücher gekannt haben könnte, ohne daß wir berechtigt wären 
Proklus das Stillschweigen darüber in dem auf uns gelangten Kom- 
mentare zu verübeln. Zweitens aber msg in der Tat das, was Thaies 
in Ägypten sich anzueignen imstande war, nicht alles umfaßt haben, 
was die Ägypter selbst wußten, er, dem, wie die Berichte uns sagten^), 
niemand Lehrer war, bevor er mit den ägyptischen Priestern verkehrte, 
der sich erst später und gegen das Greisenalter hin mit Naturkunde 
befaßte. 

Man hat aus den Sätzen, welche als thaletisch überliefert sind, 
Schlußfolgerungen auf solche, die Thaies bekannt gewesen sein müssen, 
gezogen. Der letzte Forscher auf diesem Gebiete*) insbesondere hat 
mit großem Aufwände von Scharfsinn entwickelt, die Summe der 
Dreieckswinkel müsse dem Thaies bekannt gewesen sein. Wenn 
nämlich Thaies den Satz von den Winkeln eines gleichschenkligen 
Dreiecks und den vom rechtwinkligen Dreiecke im Kreise kannte, 
wenn ihm, wie dieser selbe Satz und der von der Halbierung des 
Kreises durch den Durchmesser bezeugen, die Definition des Kreises 
bekannt war, so mußte ihm, meint AUman, etwa folgende Betrachtung 
gelingen. Er werde von dem Kreismittelpunkt aus (Fig. 16) eine 



*) Diogenes Laertins I, 27 und Themistios, Orat. XXVI, pag. 317. 
^ G. J. Allman, Greek geometry from Thaies to Euclid (1889) pag. 11. 




142 5. Kapitel. 

Linie OC nach der Spitze des rechten Winkele im Halbkreise ge- 
zogen haben. Aus den beiden gleichschenkligen Dreiecken ÄCO und 
BCO sei die Gleichheit der Winkel CäO^ ACO und CBO - BCO, 
mithin auch der Summe CAO + CBO -^ ÄCO + BCO -^ ACB her- 
vorgegangen; er habe aber gewußt^ daß ACB 
ein rechter Winkel sei und demgemäß die 
Summe der Winkel bei A, bei B und bei C 
als zwei Rechten gleich gefanden. Wir haben 
dem Scharfsinne des Wiederherstellers unsere 
Anerkennung gezollt, wir sind auch geneigt 
von seinen Schlüssen einige uns anzueignen, 
allein wit möchten die umgekehrte Reihenfolge ftir richtiger halten. 
Wir nehmen an und wollen nachher begründen, auf welche Über- 
lieferung hin wir zu dieser Annahme uns bekennen, Thaies habe 
gewußt, daß die Dreieckswinkel zusammen zwei Rechte betragen, er 
habe auch gewußt, daß die Winkel an der Grrundlinie des gleich- 
schenkligen Dreiecks einander gleich sind, dann mag ihn höchst wahr- 
scheinlich eine Zeichnung wie Figur 16 zur Erkenntnis geführt haben, 
daß der Winkel bei C so groß sein müsse als die Summe der Winkel 
bei A und J3, mithin so groß als die halbe Winkelsumme des Dreiecks 
ABCy oder gleich einem rechten Winkel. 

unsere Beweggründe sind folgende. An und für sich sind beide 
Sätze, der von der Winkelsumme des Dreiecks, der vom rechten Winkel 
im Halbkreise, schon ziemlich künstlicher Natur, nicht auf den ersten 
Anblick einleuchtend. Der eine wie der andere bedurfte einer wirk- 
lichen Entdeckung und eines Beweises; wenn also eine gegenseitige 
Abhängigkeit beider Sätze stattzufinden scheint, so ist es von vorn- 
herein ebensogut möglich dem einen als dem andern das höhere Alter 
zuzuschreiben. Nun findet sich aber ein Beweis des Satzes vom 
rechten Winkel im Halbkreise bei Euklid Buch IH Satz 31 vor, 
welcher dem von uns vermuteten sehr ähnlich ist. Eine Zusammen- 
stellung wie die euklidischen Elemente ist aber, so genial, so ge- 
dankenreich ihr Verfasser sein mag, durch ihren Inhalt selbst darauf 
hingewiesen wesentlich kompilatorisch zu sein, und so ist es gar nicht 
unmöglich, daß auch bei diesem Satze Euklid der altertümlichen Be- 
weisführung treu blieb, ohne daß wir davon unterrichtet sind, weil 
ein alter Kommentar zum IH. Buche nicht vorhanden ist. Dazu 
kommt als weitere Tatsache, daß wir über die älteste Beweisführung 
des Satzes von der Winkelsumme im Dreiecke Bescheid wissen, und 
daß diese auch nicht entfernt den Schlußfolgerungen gleicht, welche 
nach AUmans Meinung Thaies gezogen haben soU. 

öeminus, ein Mathematiker des letzten Jahrhunderts vor Christus, 



Thaies und die älteste griecliische Geometrie. 143 

erzaMt in einem bei einem noch späteren Schriftsteller^ Eutokins von 
Askalon^ erhaltenen Brachstücke^ daß „von den Alten für jede be- 
sondere Form des Dreiecks das Theorem der zwei Rechten besonders 
bewiesen ward, zuerst f&r das gleichseitige, sodann f&r das gleich- 
schenklige, nnd endlich f£Lr das ungleichseitige, während die Späteren 
das allgemeine Theorem bewiesen: die drei Innenwinkel jedes Dreiecks 
sind zweien Bechten gleich''^). 

Wir werden nun bald sehen/ daß die Späteren, von welchen 
Geminus redet, nicht gar lange nach Thaies gelebt haben, daß also 
die Alten im Gegensatze zu jenen auf die thaletische Zeit, wenn nicht 
gar auf die ägyptischen Lehrer des Thaies gedeutet werden müssen. 
Die' Andeutungen des Geminus über diesen ältesten Beweis haben 
dem Scharfblicke Hankels die Möglichkeit gegeben, den älteren Beweis 
wiederherzustellen*). Seine Gedanken darüber sind, nur wenig abge- 
ändert, folgende. Den Figuren gemäß, welche wir bei den Ägyptern 
fanden, war dort, vielleicht aus asiatischer Quelle, seit dem XVII. S. 
y. Chr. die Zerlegung der Ej-eisfiäche in sechs gleiche Ausschnitte be- 
kannt. An diese Figur dachten wir oben, als wir die Kenntnis des 
Satzes, daß ein Durchmesser den Kreis halbiere, für die Ägypter in 
Anspruch nahmen und die Figur selbst als Beweis dienen Ueßen. 
Verband man die Endpunkte der Halbmesser miteinander, so entstand 
das regelmäßige Sechseck, oder vielmehr sechs um den Mittelpunkt 
geordnete gleichseitige Dreiecke, die den ebenen • Baum um jenen 
Mittelpunkt herum vollständig ausfüllten. Drei dieser Winkel bildeten 
vereinigt einen gestreckten Winkel, wie der Augenschein lehrte, und 
vertraute man weiter dem Augenscheine für die Tatsache, daß jeder 
Winkel des gleichseitigen Dreiecks dem anderen gleich 
war, so hatte man jetzt den ersten Fall des Berichtes 
von Geminus erledigt: die Winkel des gleichseitigen 
Dreiecks betragen zusammen zwei Bechte. Demnächst 
mochte man (Fig. 17) die Zerlegbarkeit des gleich- 
schenkligen Dreiecks in zwei Hälften, welche zu einem ^^- ^^- 
Bechtecke sich ergänzen, erkennen und wieder lehrte der Augen- 
schein, daß bei einem derartigen Vereinigen der zwei Dreieckshälften 
vier rechte Winkel erschienen, von welchen zwei aus den ursprüng- 
lichen Winkeln des gleichschenkligen Dreiecks, von denen nur einer 
in Gestalt zweier Hälften auftrat, sich zusammensetzten. Jetzt fehlte 
nur noch der dritte und letzte Schritt. Ein beliebiges Dreieck wurde 
(Fig. 18) als Summe der Hälften zweier Rechtecke gezeichnet, so 




*) Apollonii Pergaei Conica (ed. Halley), Oxford 1710, pag. 9. 
*) Hankel S. 96—96. 




144 5. Kapitel. 

erschienen drei den ursprünglichen Dreieckswinkeln gleiche Winkel 
an der Spitze des Dreiecks zu einem gestreckten Winkel vereinigt. 

Eine Spur dieses ältesten BeweisyerfahrenS; wie es Geminus uns 
schildert, hat sich auf griechischem Boden bei einem sehr späten 
Praktiker erhalten. Ein anonymer Feldmesser des X. S., der nachweis- 
lich sein Buch aus ungefähr 1000 Jahre alten Musterwerken zusam- 
menschrieby sagt ausdrücklich: Daß aber jedes durch Einbildung oder 
Wahrnehmung zugängliche Dreieck die drei Winkel in der Größe 
von zwei Rechten besitzt, ist daher offenbar, daß jedes Viereck 

seine Winkel rier Rechten gleich besitzt und 
durch die Diagonale in zwei Dreiecke mit 
sechs Winkeln geschieden wird^). 

Eigentliche Beweisführung wird man solche 
^*" *^" Zeichnungen gewiß nicht nennen. Sie bewirkten 

nichts, als daß der Augenschein induktiv wirkend eine Überzeugung 
herbeiführte. War die Überzeugung gebildet, so begnügte sich damit 
die ältere Zeit, die spätere suchte nach weiterer Begründung. Noch 
für andere Sätze, welche in Verbindung mit dem Namen des Thaies 
auftreten, möchten wir den Augenschein als damals einzigen Beweis 
auffassen. Der Augenschein wird dem Satze von den Winkeln an 
der Grundlinie des gleichschenkligen Dreiecks, wird dem von den 
Scheitelwinkeln den Ursprung gegeben haben; und eine Unterstützung 
dieser Behauptung dürfte in der Angabe des Eudemus liegen, daß 
Thaies den Satz von den Scheitelwinkeln erkannt, Euklid ihn eines 
Beweises wert geachtet habe*). 

Wir gehen in der Durchsprechung der Dinge, welche aus den 
Überlieferungen der thaletischen Geometrie zu folgern sind, weiter. 
Man hat^) aus der Kenntnis des Satzes vom rechten Winkel im 
Halbkreise auf das damals schon vorhandene Bewußtsein dessen, was 
man später geometrischen Ort nannte, geschlossen. Wir begnügen 
uns solches zu erwähnen, ohne es uns aneignen zu können. Wir 
verbinden dagegen zu einem einheitlichen Gedanken die Schatten- 
messung und die Bestimmung eines Dreiecks durch eine Seite 
und die beiden anliegenden Winkel. Beides waren praktische 
Ausführungen, sofern das Dreieck, wie uns gesagt ist, zur Bestimmung 
von Schiffsentfemungen dient. Beide beruhten auf der Anwendung 
eines rechtwinkligen Dreiecks. Das eine Mal wurden die Katheten 
jenes Dreiecks gebildet durch den Stab und seinen Schatten, das 



^ Notices et extraits des manuscrits de la hiblioth^ue Imp&idU de PariSj 
Tom. XEX, Partie 2, pag. 868. *) Proklus (ed. Friedlein), pag. 299. ») AUman, 
1. c, pag. 13->14. 




Thaies und die älteste griechische Geometrie. 14Ö 

andere Mal (Fig. 19) durch die Warte, von welcher aus die Beob- 
achtung angestellt wurde, und die Entfernung des Schiffes ^). Trennend 
ist zwischen beiden Aufgaben der Umstand, daß in dem einen Falle 
die Schattenlänge selbst gemessen, in dem anderen die Schififsentfer- 
nung aus dem beobachteten Winkel erschlossen werden mußte. Beide 
Aufgaben waren einem Schüler ägyptischer Geometrie zugänglich. Sie 
sind nahe verwandt dem Finden des Seqt aus gegebenen Seiten, dem 
Finden der einen Seite aus der anderen mit Hilfe des Seqt. 

Zu einer Früheres ergänzenden notwendigen Bemerkung gibt 
übrigens die Schattenmessung des Thaies, welche ihm in zu wieder- 
holter Beglaubigung zugeschrieben wird, als daR wir Zweifel in sie 
setzen könnten, Anlaß. Mag 
die Schattenmessung nach 
der einfacheren oder nach 
der dem Gedanken nach 
zusammengesetzteren von 
den beiden berichteten 
Methoden erfolgt sein, mag 
sie ein bloßes Messen der ^*« ^^• 

der gesuchten Höhe gleichen Schattenlange oder das Berechnen eines 
Verhältnisses gegebener Zahlen nötig gemacht haben, eines setzt sie 
unter allen Umständen voraus: die Übung, den von einem senkrecht 
aufgestellten Gegenstande geworfenen Schatten wirklich abzumessen. 
Damit vervollständigen sich unsere früheren Mitteilungen (S. 50) 
über den Gnomon, seine Erfindung und Übertragung. Wir haben da- 
mals erwähnt, daß der eigentliche Gnomon nach Herodot in Babylon 
zu Hause war, daß gleichfalls nach Osten der Name des Berosus hin- 
weist, daß die Bekanntschaft der Hebräer mit dem Stundenzeiger alt 
verbürgt ist. Neu tritt jetzt hinzu, daß auch in Ägypten Schatten 
gemessen wurden, eine Überlieferung, welche mit jener ersteren keines- 
wegs in Widerspruch steht. Wir haben mehrfach schon mathematische 
Zeugnisse alter Verbindungen zwischen Nil- und Euphratländern an- 
führen dürfen; hier ist vielleicht wieder ein solches, und überdies ist 
es noch immer nicht das Gleiche, wenn an einem Orte der Schatten 
zu geometrischen Zwecken gemessen wurde, am anderen zu Herstellung 
einer Schattenuhr diente. 

Wir haben auch schon den Mann genannt, der die Schattenuhr 
den Griechen bekannt machte. Anaximander von Milet war es, 
welcher Favorinus zufolge^ zuerst eine solche in Lakedämon auf- 
stellte; während wohl durch ein Mißverstöndnis genau dasselbe durch 

*) Bretschneider S. 43—46. *) Diogenes Laertius II, 1. 

Cahtor, Geschichte der Mathematik I. 3. Aufl. 10 



146 6- Kapitel. Thaies und die älteste griechische Geometrie. 

Plinius^) dem Anazimenes, dem Schüler des Anaximander nachge- 
rühmt wird. Anaximander war 611 geboren und wnrde Schüler des 
Thaies, als dieser in der Heimat sich niederließ, wofür wir etwa das 
Jahr 586 anzunehmen durch die vorausgesagte Sonnenfinsternis Ver- 
anlassung haben. Anaximander starb kurz nachdem er 64 Jahre alt 
geworden war, also etwa 545. Ein Lexikograph Suidas berichtet von 
ihm, er habe nächst der Einführung des Gnomon vollständig eine 
Hypotyposis der Geometrie gezeigt*). Wir begnügen uns mit 
der Wiedergabe des griechischen Wortes, mit welchem wir bei dem 
Fehlen jeder deutlicheren Angabe nichts anzufangen wissen. Es ist 
ja richtig, daß Hypotyposis durch „bildliche Darstellung'' übersetzt 
werden darf, ohne daß eine sprachliche Einrede erhoben würde; es 
ist auch möglich, daß die Meinung sei, Anaximander habe eine „Reiß- 
kunst'' geschrieben, d. h. eine Angabe geometrischer Konstruktionen 
ohne Begründung derselben *); aber mehr als eine schwache Möglich- 
keit liegt nicht vor. Am wahrscheinlichsten klingt die Übersetzung 
Hypotyposis -=» Abriß, Grundzüge, in welcher Bedeutung das Wort 
auch anderwärts vorkommt*). 

Jedenfalls hat das alte Mathematikerverzeichnis von dieser geo- 
metrischen Tätigkeit des zweiten ionischen Naturphilosophen nicht 
Notiz genommen. Es fährt nämlich fort: 

„Nach ihm (Thaies) wird Mamerkus, der Bruder des Dichters 
Stesichorus, als ein eifriger Geometer erwähnt; auch berichtet Hippias 
der Eleer von ihm, daß er sich als Geometer Ruhm erworben habe.'^ 

Diese Persönlichkeit ist ein so untrügliches Zeugnis für die Ver- 
gänglichkeit irdischen Ruhmes, wie kaum eine zweite, denn wir kennen 
heute von dem gerühmten Geometer nicht einmal mehr den Namen 
mit einiger Sicherheit. Wir haben hier Mamerkus nach der Lesart 
der gegenwärtig allgemein benutzten letzten Ausgabe des Proklus 
geschrieben^). Andere nennen den Bruder des Stesichorus Mamer- 
tinus, noch andere Ameristus. Ein wegen seiner Ungenauigkeit 
berüchtigter mathematischer Historiker des XVH. S., Milliet Dechales, 
macht sogar zwei berühmte Geometer aus ihm, einen Mamertinus 
imd einen Amethistus. Wir begnügen uns mit dem Eingeständnisse 

*) Plinius, Historia naturalis 11, 76. ") Suidas s. v. Anaximandros: 
yvd}y,ovd X slai^Yocys xal oXqds ycm^rpiaff inotweaaiv iiti^ev. ') Bretschneider 
S. 62 teilweise nach Roth, Geschichte der abendländischen Philosophie 11, 182. 
Friedlein, Beiträge zur Geschichte der Mathematik II, Hof 1872, S. 16, über- 
setzt : er gab eine bildliche Darstellung der ganzen Geometrie heraus. *) W. S c h m i d t 
(Bericht über griechische Mathematiker und Mechaniker 1890—1901) yerweist dafür 
auf Pro kl OS {vTtoxvnataig xoiv ccargovotiixätv ino^iffsoov = Abriß der astronomischen 
Voraussetzungen) und auf SextusEmpiricus {IIvQQmvHoi (>norv7cmaeig = Grund- 
züge des Pyrro). *) Proklus (ed. Friedlein) p. 65, lin. 12. 



6. Kapitel. Pythagoras und die Pythagoräer. Arithmetik. 147 

gar nichts von ihm zn wissen. Der Bruder Stesichorus ist eine be- 
kanntere Persönlichkeit. Er starb um 560 im Alter von 85 Jahren 
und stammte aus Himera in Sizilien. Jedenfalls weist also die geo- 
metrische Tätigkeit des Bruders des Dichters uns darauf hin^ daß der 
Oeschmack an Wissenschaft, an Geometrie insbesondere, seit Thaies 
die Anfänge aus Ägypten mitgebracht hatte, weitere Verbreitung ge- 
wann, daß die Zeit jetzt nahte, wo in Sizilien und in ünteritalien 
eine schulmäßige Beschäftigung mit unserer Wissenschaft ihre gedeih- 
liche Wirkung äußern konnte unter der Leitung eines Mannes, der 
eben dort seine Studien machte, wo auch Thaies in die Geometrie 
eingeweiht worden war. 

Thaies hat also nebst seinen nächsten ionischen Nachfolgern für 
uns die Bedeutung, daß man durch ihn in Erfahrung gebracht hatte, 
wo Geometrie zu Hause sei; daß von ihm die ersten der Zahl nach 
geringen, der Anwendung nach schon wertvollen Sätze der Geometrie 
bekannt gemacht wurden; daß von ihm eine etwas strengere Beweis- 
führung ausging; daß er endlich eine Schule gründete, die der Wissen- 
schaft diente und nicht Staatsleben und Geldverdienst allein als die 
Dinge ehrte, denen ein Mann seine Kräfte widmen konnte. In allen 
diesen Richtungen können wir den Mann als seinen Nachfolger be- 
trachten, dem wir jetzt uns zuwenden: Pythagoras von Samos. 



6. Kapitel. 
Pythagoras und die Pythagoräer. Arithmetik. 

„Nach diesen yerwandelte Pythagoras die Beschäftigung mit 
diesem Wissenszweige in eine wirkliche Wissenschaft, indem er die 
Grundlage derselben von höherem Gesichtspunkte aus betrachtete und 
die Theoreme derselben immaterieller und intellektueller erforschte. 
Er ist es auch, der die Theorie des Irrationalen und die Konstruktion 
der kosmischen Körper erfand." 

Pythagoras von Samos, über welchen wir soeben das alte 
Mathematikerverzeichnis haben reden lassen, war Sohn des Mnesarchus. 
Er gründete in den dorisch bevölkerten Städten von Süditalien, in 
dem sogenannten Großgriechenland, eine Schule, die zahlreiche An- 
hänger versammelte und so geschlossen auftrat, eine solche auch 
politische Bedeutung gewann, daß sie die Feindschaft der außerhalb 
der Schule Stehenden auf sich zog und gewaltsam zersprengt wurde. 

Diese Tatsachen stehen nach den Aussprüchen säAtlicher alten 
Berichterstatter allzu fest, als daß sie auch nur von einem einzigen 

10* 



148 6. Kapitel. 

neueren Geschichtsschreiber angefochten würden. In jeder anderen 
Beziehung aber herrschen über das Leben des Pythagoras, über seine 
Lehre, über das was man ihm, was man seinen Schülern zuzuschreiben 
habe, die allergrößten Meinungsverschiedenheiten. Greifen wir nur 
einige gewiß wichtige Punkte heraus: das Geburtsjahr des Pytha- 
goras, das Jahr seiner Ankunft in Italien, sein Todesjahr, die Zeit, 
zu welcher die Schule zersprengt wurde, das alles liegt im Wider- 
streite der Meinungen. Wenn ein Forscher*) Pythi^oras 569 ge- 
boren, 510 in Italien aufgetreten, 470 bei dem gegen die Schule ent- 
brannten Aufstande umgekommen sein läßt, sagt uns ein anderer 
Forscher*), die Geburt habe um 580, die Ankunft in Italien um 540 
stattgefunden, Pythagoras sei um 500 gestorben, die Schule erst ein 
halbes Jahrhundert später zersprengt worden. Ahnliche Gegensätze 
treten in allen Äußerungen derselben Gelehrten über Pythagoras und 
die Pythagoräer hervor, und wir können diese Gegensätze so ziem- 
lich auf einen einzigen grundsätzlichen zurückführen. Der erste Ge- 
lehrte, dessen Datierungen wir angaben, ging von dem Bestreben aus, 
die überreichen Mitteilungen, welche erst in nachchristlichen Jahr- 
hunderten von griechischen Schriftstellern in Form spannender aber 
romanartiger mit Wundergeschichten reichlich durchsetzter Bücher 
zusammengestellt wurden, nach Ausscheidung dessen, was augenschein- 
lich sagenhafte Erfindung war, zu benutzen. Der zweite verwirft 
jene Romane ganz und gar, läßt höchstens die Benutzung einiger 
weniger Stellen derselben zu, wo die Gewährsmänner ausdrücklich 
genannt sind und ihre Nennung selbst Vertrauen verdient. Beide 
gehen wohl in ihren polemisch erprobten und dadurch nur um so 
stärker befestigten Meinungen zu weit, wenn wir auch heute gern 
erklären, daß wir uns in den meisten Punkten den Ansichten des 
Vertreters derjenigen Auffassung, die man als skeptische bezeichnen 
könnte, nähern, wenn nicht anschließen. Für uns gibt es aber noch 
einen Mittelweg, den wir vielfach an der Hand des letzten Bearbeiters*) 
unseres Gegenstandes zu gehen lieben, so weit überhaupt die Ge- 
schichte der Mathematik uns die Pflicht auferlegt über die Streit- 
punkte ein Urteil auszusprechen. 

Ein derartiger Streitpunkt ist der Aufenthalt des Pythagoras 
in Ägypten, der von größter Bedeutung für die ganze Entwick- 
lungsgeschichte der griechischen Mathematik ist, wenn man an ihn 
glaubt, jene Geschichte noch rätselhafter macht, als sie vielfach be- 

*) Roth, Geschichte der abendländischen Philosophie. Bd. 11. •) Zell er I. 
•) A. Ed. Ghaignet, Pyihctgore et la phÜosophie Pythagoricienne contenant les 
fragments de 4PhilolaiM et d*Archytas. Ouvrage cowronn4 par VinstütU. Paris 
1878. Wir zitieren dieses Werk kurz als Chaignet. 



Pythagorss und die Pythagoräer. Arithmetik. 149 

reits erscheint, wenn man ihn verwirft. Der älteste Bericht über 
diesen Aufenthalt, um dessen Glaubwürdigkeit oder Unglaubwürdigkeit 
es sich begreiflicherweise in erster Linie handelt, stammt von dem 
Redner Isokrates, dessen schriftstellerische Tätigkeit auf 393, also 
höchstens etwa 100 Jahre nach dem Tode des Pythagoras und bevor 
die Mythenbildung sich seiner Persönlichkeit bemächtigt hatte, fäUt. 
Isokrates sagt von den ägyptischen Priestern^): Man könnte, wenn 
man nicht eilen wollte, viel Bewunderungswürdiges von ihrer Heilig- 
keit anführen, welche ich weder allein noch zuerst erkannt habe, 
sondern viele der jetzt Lebenden und der Früheren, unter denen auch' 
Pythagoras der Samier ist, der nach Ägypten kam und ihr Schüler 
wurde und die fremde Philosophie zuerst zu den Griechen verpflanzte. 
Dieser Stelle ist mit entschiedenem Zweifel begegnet worden*), der 
auf den Inhalt der Rede des Isokrates sich gründet. Busiris war 
eine ägyptische Stadt mitten im Nildelta, in der große Isisfeste ge- 
feiert wurden. In Erinnerung an die frühere Abgeschlossenheit 
Ägyptens Fremden gegenüber hatte die griechische Sage aber auch 
einen König gleichen Namens mit der Stadt erdacht, der jeden 
Fremden schlachten ließ. Zur Zeit der Sophisten liebten die griechi- 
schen Rhetoren sich mit Redestückchen gegenseitig zu überbieten, 
Lobreden auf Tadelnswerte, Anklagen gegen Vortreffliche zu verfassen. 
So hatte Polykrates eine Apologie jenes Busiris geschrieben, und nun 
wollte Isokrates dem Nebenbuhler zeigen, wie er sein Thema eigent- 
lich hätte behandeln müssen. Polykrates, meint er, habe darin ge- 
fehlt, daß er dem Busiris ganz unglaubliche Dinge zugeschrieben 
habe, einerseits die Ableitung des Nils, andererseits das Auffressen 
der Fremden; dergleichen werde man bei ihm nicht finden. Wir 
lügen zwar beide, sagt er aufrichtig genug, aber ich mit Worten, 
welche einem Lobenden, Du mit solchen, welche einem Scheltenden 
geziemen. Aus diesem Geständnisse hat man die Folgerung gezogen, 
daß Angäben, die sich selbst als rednerische Erfindung geben, nicht 
den geringsten Wert haben. Diese Folgerung ist aber nur da richtig, 
wo es um rednerische Erfindung sich überhaupt handeln kann. Hätte 
also Busiris, dem Isokrates lobend nachlügt, er sei der Urheber der 
ganzen ägyptischen Kultur gewesen, wirklich gelebt, wir würden doch 
von jenem Lobe nichts halten. Sind wir deshalb berechtigt, auch 
von der ägyptischen Kultur nichts zu halten, nichts von den ägyp- 
tischen Priestern als Trägem dieser Kultur? Das wünscht wohl der 
Zweifelsüchtigste nicht. Und wenn die allgemein anerkannte Tat- 



*) Isokrates, Bueiris cap. 11. *) Die Zweifel sind hier teilweise wört- 
lich aus Zell er I, 259 Note 1 entnommen. 



150 6. Kapitel. 

saehe ägyptischer hoher Bildung nur den unwahren Zwecken des 
Isokrates mittelbar dienen soU^ so hat es für ihn auch nur mittelbare 
Bedeutung^ wenn er jener Tatsache eine Stütze gibt^ wenn er sich 
darauf beruft , Pjthagoras sei Schüler dieser hochgebildeten Priester 
gewesen. Der falsche Satz: Busiris sei der Urheber aller Bildung^ 
wird dadurch in keiner Weise wahr, wenn die Bildung vorhanden 
war, wenn sie auf fremde Persönlichkeiten sich übertrug. Überdies 
bedurfte Isokrates zu diesem letzteren Erweise keiner Unwahrheit. 
Er konnte auf die Reisen, auf die Berichte anderer Männer sich be- 
ziehen, eines Thaies, eines Herodot, eines Demokritos. Wenn er es 
vorzog, statt ihrer nur Pythagoras zu nennen, so wird man das da- 
durch erklären müssen, daß das Ansehen, in welchem Pjthagoras 
schon zur Zeit des Isokrates stand, doch ein anderes war, als das der 
eben genannten wenn auch berühmten Persönlichkeiten. Isokrates, 
wir können es nur immer stärker betonen, log nicht um zu lügen, 
er log nur in den Lobsprüchen, die er seinem um jeden Preis zu er- 
hebenden Helden zollte, und die erfundenen Verdienste des Busiris 
konnten eine gewisse Scheinbarkeity auf deren Erlangung es bei dem 
rednerischen Kunststücken allein ankam, nur dann gewinnen, wenn 
alles Beiwerk der Wahrheit entsprach, wenn nicht auch nebensäch- 
liche Dinge den Hörer sofort kopfecheu machten. Wir zweifeln daher 
keinen Augenblick, daß der Aufenthalt des Pythagoras in Ägypten, 
daß der Unterricht, welchen er bei den dortigen Priestern genoß, zu 
den Dingen gehört, die landläufige Wahrheit waren, als Isokrates sie 
aussprach, die niemand neu, niemand absonderlich oder gar unwahr- 
scheinlich vorkamen \). 

Der Aufenthalt des Pythagoras in Ägypten, den wir jetzt schon 
für durchaus gesichert halten, wird weiter durch eine Menge anderer 
SchrStsteller behauptet. Freilich sind es Schriftsteller, die insgesamt 
später, teilweise viel später als Isokrates gelebt haben. Strabon 
meldet uns in nüchternem, einfachem und dadurch um so glaub- 
würdigerem Tone: Die Geschichtsschreiber teilen mit, Pythagoras sei 
aus Liebe zur Wissenschaft nach Ägypten und Babylon gegangen^). 
Antiphon, allerdings der Lebenszeit nach nicht genauer bestimmt, aber 
von späteren Schriftstellern unter Namensnennung mit großer Zuver- 
sicht benutzt, hat in seinen Lebensbeschreibungen von durch Tugend 
sich auszeichnenden Männern Ausführliches über den ägyptischen 

') Chaignet pag. 48 hält die ägyptische Beise auch für erwiesen, läßt 
sich aber auf eine Verteidigung des Ausspruches des Isokrates, wie wir sie ge- 
liefert haben, nicht ein. Dagegen sind bei ihm die Zitate anderer Schriftsteller, 
welche über jene Reise berichten, in großer Vollständigkeit gesammelt 
*) Strabo, XIV, 1, 16. 



Pythagoras und die Pjtiiagoräer. Arithmetik. 151 

Aufenthalt des Pythagoras erzählt^). Viel weniger Gewicht legen 
wir — von anderen Zeugnissen zu schweigen — dem bei, was ägyp- 
tische Priester ruhmredig dem Diodor erzählten und was er uns mit 
folgenden Worten wiederholt: Die ägyptischen Priester nennen unter 
den Fremden, welche nach den Verzeichnissen in den heiligen Büchern 
vormals zu ihnen gekommen seien, den Orpheus, Musäus, Melampus 
und Dädalus, nach diesen den Dichter Homer und den Spartaner 
Lykurg, ingleichen den Athener Solon und den Philosophen Piaton. 
Gekommen sei zu ihnen auch der Samier Pythagoras und der Mathe- 
matiker Eudoxus, ingleichen Demokritos von Abdera und Oinopides 
von Chios. Von allen diesen weisen sie noch Spuren auf*). Diese 
altagyptischen Matrikellisten mitsamt den aufgewiesenen Spuren 
sind an sich recht sehr verdächtig, doppelt verdächtig durch Namen 
wie Orpheus und Homer, die dort eingetragen sein sollen. Wir haben 
die Stelle überhaupt nur aus einem, wie uns scheint, erheblichen 
Grrunde mitgeteilt. Sie beweist nämlich, daß zu Diodors Zeiten um 
die dort genannten Männer ein ziemlich gleicher Strahlenkranz von 
Berühmtheit sich gebildet hatte, der von ihnen auf die Lehrer, die sie 
hatten oder gehabt haben sollten, zurückstrahlt. 

. Die von uns angeführte Stelle des Strabon gibt auch Auskunft 
über eine Studienreise des Pythagoras nach Babylon. OfiEen- 
bar genoß diese zur Zeit von Christi Geburt, das ist zur Zeit Strabons, 
einer hinreichend guten Beglaubigung, um als geschichtliche Tatsache 
kurz erwähnt zu werden. Als sichergestellt erscheint uns damit so 
viel, daß Pythagoras in Babylon hätte gewesen sein können. Drücken 
wir uns deutlicher aus. Wir meinen, es müssen innerhalb der pytha- 
gomschen Schule Lehren vorgetragen worden sein, welche über- 
raschende Ähnlichkeit mit solchen Dingen besaßen, denen das Griechen- 
tum seit dem Alexanderzuge an dem zweiten Mittelpunkte ältester 
Kulturverbreitung neben Ägypten, in Babylon wiederbegegnete. Eine 
gegenteilige Annahme würde das Entstehen des Glaubens an die Sage 
von dem Aufenthalte bei den Chaldäem jeder Grundlage berauben. 
Wir nennen den Aufenthalt eine Sage, weil auch uns jetzt ein erstes 
Zeugnis Strabons ohne Kenntnis des Alters seiner Quellen zur vollen 
geschichtlichen Wahrheit nicht ausreicht. Immerhin bleibt die Art^ 
wie babylonische Elemente, deren wir auf mathematischem Gebiete 
einige erkennen werden, in die pythagoraische Lehre eindrangen, und 
die Rolle, welche sie darin spielten, in hohem Grade rätselhaft, wenn 
wir ganz verwerfen wollten, Pythagoras selbst oder einer seiner 



') Als BrQchßtück erhalten bei Porphyrius, De vita Pythagorae cap. 7, 
auch bei Diogenes Laertius VIII, 8. *) Diodor I, 96. 



152 6. Kapitel. 

nächsten Schüler sei unmittelbar an die Quelle geraten, aus welcher 
dieselben zu schöpfen waren. 

Mit dem Ausdrucke Pythagoras selbst oder einer seiner nächsten 
Schüler haben wir eine unleugbare Schwierigkeit bezeichnet, einen 
Gegenstand wissenschaftlichen Zweifels berührt, welcher hier im Wege 
liegt und zu dessen Wegräumung uns keine Mittel gegeben sind. 
Die pythagoräische Schule war, wie schon oben erwähnt wurde, 
eine eng geschlossene. Mag es Wahrheit oder Übertreibung genannt 
werden, daß unverbrüchliches Stillschweigen überhaupt den Pythago- 
räem zur Pflicht gemacht war, daß ihnen unter allen Umständen 
das verboten war, was wir sprichwörtlich aus der Schule schwatzen 
nennen, sicher ist, daß über den oder die Urheber der meisten pytha- 
goräischen Lehren kaum irgendwelche Gewißheit vorliegt. 'Exslvog 
€q>a oder Airbg iq>a, ER, der Meister, hat's gesagt, war die viel- 
benutzte Redensart, und welcher Zeit dieselbe auch angehört, sie läßt, 
je später sie aufgekommen sein mag, um so deutlicher die ganz un- 
gewöhnliche, durch viele Jahrhunderte in der Überliefenmg sich er- 
haltende geistige Überlegenheit des Pythagoras, der alles, was von 
Wert war, selbst gefunden und gelehrt haben sollte, läßt aber auch 
die Unmöglichkeit erkennen scharf zu sondern, was wirklich von 
Pythagoras selbst, was von seinen Schülern herrührte. Vielleicht ist 
es dabei gestattet aus den erwähnten inneren Gründen anzunehmen, 
daß, wo ein Pyths^oräer als Entdecker bestimmt genannt ist, die 
Richtigkeit der Angabe nicht leicht zu bestreiten sei, daß dagegen, 
wo Pythagoras selbst der Urheber gewesen sein soll, sehr wohl eine 
Namensverschiebung stattgefunden haben könne. 

Einige von den Dingen, welche ganz besonders der Geschichte 
der Mathematik angehören, werden wir allerdings nicht verzichten 
Pythagoras selbst zuzuschreiben. Dazu gehört der pythagoräische 
Lehrsatz, den wir unter allen Umständen ihm erhalten wissen 
wollen. Sei es darum, daß man den Zeugnissen des Vitruvius, des 
Plutarch, des Diogenes Laertius, des Proklus, so bestimmt sie auch 
lauten ^), wegen ihres späten Datums kein Gewicht beilegen dürfe. 
Schwerer fallen doch die in die Wagschale, welche Proklus als seine 
Gewährsmänner anführt: „Die welche Altertümliches erkunden wollen"*), 
sei damit, wie man gewöhnlich annimmt, Eudemus gemeint oder 
nicht. Am überzeugendsten vollends ist uns die mittelbare Bestäti- 

*) Diese Zeugniese zusammengestellt bei A lim an 1. c. pag. 26. k. 
*) Proklus ed. Friedlein 426 x&v ftfv IcxoqeIv za &g%aloi ßovXotiivtav. Das 
Wort latoQBtv besitzt bei Proklus nirgend eine spöttische Nebenbedeutung, man 
darf also nicht, wie es geschehen ist, übersetzen „die alte Geschichten erzählen 
wollen". 



PythagoraB'Und die Pythagoräer. Arithmetik. 153 

gung in dem alten Mathematikerverzeicknisse. Pythagoras^ heißt es 
dort ansdrücklich, erfand die Theorie des Irrationalen. Eine solche 
Theorie war aber ganz unmöglich^ eine Beschäftigong mit dem Irra- 
tionalen undenkbar^ wenn nicht der Satz von den Quadraten der drei 
Seiten des rechtwinkligen Dreiecks vorher bekannt war, und man 
würde, wollte man Pythagoras nicht als seinen Urheber gelten lassen, 
in die noch schwierigere Lage versetzt, ihn älter als Pythagoras an- 
nehmen zu müssen. 

Auf Grundlage des Mathematikerverzeichnisses sehen wir femer 
in Pythagoras selbst wirklich den Erfinder der Konstruktion der kos- 
mischen Körper, d. h. der regelmäßigen Vielflächner in einem 
Sinne, der nachher noch auseinandergesetzt werden soll. 

Glaubwürdig ist uns auch, was der bekannte Musikschriftsteller 
Aristoxenus, einer der zuverlässigsten Gelehrten der peripatetischen 
Schule, berichtet, daß Pythagoras vor allen die Zahlenlehre^) in 
Achtung gehabt und dadurch gefordert habe, daß er von dem Be- 
dürfnisse des Handels weiter schritt alle Dinge den Zahlen vergleichend^). 
Wir glauben an die Berechtigung der Verbindung des Namens des 
Pythagoras mit der musikalischen Zahlenlehre, mag das Mono- 
chord von ihm herrühren oder nicht, wir glauben, daß er hauptsäch- 
lich um die arithmetische Unterabteilung der Geometrie sich 
bemüht habe^). 

Ja wir gehen noch weiter und schreiben dem Pythagoras den 
Besitz einer mathematischen Erfindungsmethode zu, des mathemati- 
schen Experimentes, wie wir dieses Verfahren anderwärts genannt 
haben*), womit freilich ebensowenig gesi^t sein soll, daß das Be- 
wußtsein ihm innewohnte darin eine wirkliche Methode zu besitzen, 
als daß er ihr Erfinder war, die er aus den in Ägypten gewonnenen An- 
schauungen jedenfalls leicht abstrahieren konnte, wenn er sie nicht 
fertig von dort mitbrachte. 

Auf die persönliche Zuweisung sonstiger Dinge verzichten wir 
und werden im folgenden von der Mathematik der Pythagoräer, 
nicht des Pythagoras reden. Freilich vergrößert sich dadurch der 
Zeitraum, dessen wissenschaftliches Bild wir zu gewinnen trachten, 
erheblich. Wenn auch nicht bis zu den letzten eigentlichen Pytha- 
goräem, deren Tätigkeit auf 366 angesetzt wird*), so doch bis vor 
Piaton, etwa bis zum Jahre 400 erstreckt sich unserer Meinung nach 
die mathematische Tätigkeit des Pythagoräismus als solchem. Von 

*) Diogenes Laertius VIII, 14. *) Stobaeus, Ecloga phye. I, 1, 6. 
^ Diogenes Laertius VIII, 12: \uxXiaxct dl iS%oXdiSai xhv JTv^ayö^ttv nBgl tb 
6LQi^\Lrixi%bv sldog aiftilg (sc. YBtonBXQiag) x6v xs xdvovtt xbv i% fu&g XOQd^g s^gstv, 
*) Math. Beitr. Kulturl. 92. *) Zeller I, 288, Note 6. 



154 6. Kapitel. 

seinen meistens namenlosen^ mitunter an bestimmte Persönlichkeiten 
geknüpften Leistungen wissen wir aus verschiedenen teilweise späten^ 
uns jedoch in den Dingen, fttr welche wir sie gebrauchen wollen, als 
zuverlässig geltenden Quellen. 

Als solche Quelle betrachten wir vor allen Dingen den „Timäus" 
überschriebenen Dialog des Piaton. Timäus von Lokri war ein 
echter Pythi^oräer, Piaton dessen Schüler. Soll man nun annehmen, 
Piaton habe diesem seinem Lehrer wissenschaftliche Äußerungen in 
den Mund gelegt, die er nicht ganz ähnlich von ihm gehört hatte, 
er habe ihm insbesondere Mathematisches untergeschoben? Wir 
können einem solchen Gedanken uns nicht hingeben, können es um 
so weniger, als Platons eigene Abhängigkeit von den Pythagoräem 
in vielen Dingen durch einen so unverdächtigen Zeugen wie Aristo- 
teles bestätigt wird. Die Philosophie Platons, sagt er^), kam nach 
der pythi^oräischen, in vielem ihr folgend, anderes eigentümlich be- 
sitzend. Eine zweite wichtige Quelle liefert uns ein Werk des Theon 
von Smyrna*). Dieser Schriftsteller lebte zwar erst um 130 n. Chr., 
also in einer Zeit, wo die Mythenbildung, die Pythagorsssage, wie 
man einigermaßen schroff sich ausgedrückt hat, in dem Leben des 
Pythagoras von Apollonius von Tyana, in den unglaublichen 
Dingen jenseits Thule von Antonius Diogenes, schon romanhafte 
Gestalt gewonnen hatte. Aber für die Dinge, für welche wir Theon 
gebrauchen wollen, war in einem Roman blutwenig zu schöpfen. 
Man lese doch das Leben des Pythagoras von Porphyrius, das 
ähnliche teilweise daran sich anlehnende Buch von Jamblichus, 
man lese was Diogenes Laertius von dem Leben des Pythagoras 
aufgespeichert hat, und man wird zwar unterhaltende Geschichtchen 
genug finden, Mathematisches aber nur insoweit als Laien mit mathe- 
matischen Wörtern um sich zu werfen imstande sind, es sei denn, 
daß ältere Fachleute wie der Musiker Aristoxenus, der Rechen- 
meister Apollodorus als Gewährsmänner auftreten, zu welchen als 
Fachmann Jamblichus selbst hinzutritt, der uns in dieser Gestalt im 
23. Kapitel begegnen wird. Was also Theon von Smyma als pytha- 
goräische mathematische Lehren hervorhebt, das muß aus ganz 
anderen nicht mythischen Schriften geschöpft sein, von welchen Por- 
phyrius, Jamblichus in ihren Biographien des Pythagoras wenigstens 
in diesem Sinne keinen Gebrauch gemacht haben. 

Wer freilich solche Schriften verfaßte, und wie sie hießen, das 
dürfte ein unlösbares Rätsel bleiben, wenn man auch versucht hat 

*) AriatotelBB Metaphys. I, 6. *) Theanis Smymaei phihsophi Platonid 
expositio rerum mathematicarum ad legendum PlaUmem utilium. £did. £d. Hill er. 
Leipzig 1878. 



Pythagoras und die Pythagoräer. Arithmetik. 155 

die zweite Frage zu beantworten^). Bei Jamblichus findet sich fol- 
gendes^): ^yDie Pythagoräer erzählen^ die Geometrie sei so in die 
Öffentlichkeit gelangt. Einer von den Pythagoräern habe sein Ver- 
mögen verloren, und da habe man ihm gestattet^ die Geometrie als 
Erwerbszweig zu benutzen.'^ Daran schließt sich die fast unverständ- 
liche Stelle: 'ExaXslro dh fi ysmiistgCa ngbg TIv^ayÖQOv lörogtOy 
welche unser Gewährsmann übersetzt: ,^ie Geometrie wurde aber 
Überlieferung von Pythagoras genannt So ansprechend die 
Vermutung an sich klingt, wobei an dem fehlenden zu lötogCa ge- 
hörenden Artikel kein Anstoß genommen zu werden braucht, da Plato 
eine ganz ähnliche Wendung benutzt hat^), so ist doch vielleicht die 
Übersetzung löxogCa » Forschung noch richtiger. Der Satz hieße 
dann auf deutsch: ,,Es wurde aber die Geometrie Forschung von 
Seiten des Pythagoras genaimt^'^). 

Die Benutzbarkeit des Theon von Smyma gründet sich wesent- 
lich auf dem ausgesprochenen Zwecke seines Werkes. Er will die 
zum Verständnis Piatons und der Platoniker nötigen Vorkenntnisse 
mitteilen. Er will dabei der Reihe nach die Arithmetik mit Inbegriff 
der musikalischen Zahlenverhältnisse^ die Geometrie^ die Stereometrie, 
die Astronomie, die Musik der Welten behandeln. Hier finden wir 
also hauptsächlich dasjenige in der Sprache des II. nachchristlichen 
Jahrhunderts vorgetri^en, was von mathematischen Kenntnissen ftlr 
das Studium Piatons notwendig ist. Das können aber vermöge der 
selbstverständlichen Tatsache, daß wissenschaftliche Anspielungen eines 
früheren Jahrhunderts nicht mit Hilfe der Errungenschaften eines 
späteren Jahrhunderts sich erklären, nur solche Kenntnisse sein, die 
nach Theons bestem Wissen den platonischen Schriften selbst ge- 
schichtlich vorausgingen, in ihnen zur Verwertung kommen konnten. 
Da femer Theon von Piaton selbst sagt, er folge oft den Pythago- 
räern^), so wird seine Brauchbarkeit für uns hier vollends erhöht. 
Diese beiden Werke sind also unsere Hauptquellen. Wir werden zu 
ihnen auch noch aus anderen SchriftsteUem da und dort einen ge- 
ringen Zufluß erhalten, die sich, wie wir sehen wollen^ zu einem 
ganz stattlichen Ganzen vereinigen. 



' ^) La g^omätrie Grecque, comment son histoire nous est parvenne et ce 
que nouB en savons. Essai critique par Paul Tannery (Paris 1887) pag. 81. 
*) De pithagorica vita (ed. Eiessling) 89 und Ansse de Villoison, Anecdota 
Graeca II, 216, lin. 22 — 26, sowie Jamblichus, De communi mathematica (ed. 
Festa) 78, 1—6. ■) Pia ton, Ph&don 96» xfi9 ootplag ^v dt} tiocXovoi nsgl tp^ffemg 
latogiav ohne Artikel. *) So die Meinimg von W. Schmidt, der auch auf die 
Parallelstelle im Phädon hingewiesen hat. *) Theon Smyrnaeus (ed. Hill er), 
pag. 12. 



156 6. Kapitel. 

Theon hat, sagten wir, zuerst die Arithmetik behandelt. Damit 
ist uns Gelegenheit geboten, eine ungemein wichtige Zweispaltnng 
der Lehre von den Zahlen ins Auge zu fassen. Die ganze Mathematik 
zerfiel, nach Gerainus*), in zwei Hauptteile, deren Unterschied er 
darin erkannte, daB der eine Teil sich mit dem geistig Wahrnehm- 
baren, der andere sich mit dem sinnlich Wahrnehmbaren beschäftige. 
Geistigen Ursprungs ist ihm Arithmetik und Geometrie, sinnlichen 
Ursprungs dagegen Mechanik, Astronomie, Optik, Geodäsie, Musik, 
Logistik. Von den übrigen Teilen und dem, was Geminus des 
weiteren über sie bemerkt, sehen wir ab. Arithmetik und Logistik 
erklärt er dahin, daB die erstere die Gestaltungen der Zahl an und 
für sich betrachte, die letztere aber mit Bezug auf sinnliche Gegen- 
stände. Arithmetik ist ihm also eine theoretische, Logistik eine 
praktische Wissenschaft. Arithmetik ist ihm, um die heute gebräuch- 
lichen Wörter anzuwenden, das was seit Gauß höhere Arithmetik, seit 
Legendre Zahlentheorie genannt wird. Logistik ist ihm die eigent- 
liche Rechenkunst. 

Diese strenge Unterscheidung war allerdings in den Zeiten pytha- 
goräischer Mathematik noch nicht zum Durchbruch gelangt. Die 
Pythagoräer stellten die beiden Fragen: Wie viel? und Wie groß?*) 
In der Beantwortung beider trennten sie aufs neue. Das eine Mal 
wurde die Vielheit an sich in der Arithmetik, die Vielheit 
bezogen auf anderes in der Musik behandelt. Das andere Mal 
bildete die ruhende Größe den Gegenstand der Geometrie, die 
bewegte Größe den Gegenstand der Sphärik. 

Bei manchem Wechsel der sonstigen Systematik blieb die eigent- 
liche Arithmetik vom VL bis zum L vorchristlichen Jahrhundert, von 
den Pythagoräem bis zu Geminus fast mit gleichem Inhalte aus- 
gestattet, und dieser gleichartige Inhalt wahrte sich weiter, solange 
überhaupt in griechischer Sprache über diesen Teil der Mathematik 
geschrieben wurde. Einiges kam natürlich im Laufe der zeitlichen 
Entwicklung hinzu. In die griechische Arithmetik drang ein, was 
wir jetzt Algebra oder Lehre von den Gleichungen nennen, soviel 
davon bekannt war. Ihr gehörte die Lehre von den nach bestimmten 
Gesetzen gebildeten Reihen und deren Summierung, ihr die Propor- 
tionenlehre an, wie sie nach und nach in weiterem und weiterem 
Umfang sich bildeten, aber niemals begriflF die Arithmetik das eigent- 
liche Rechnen unter sich. 

Wir werden uns wohl der Wahrheit nähern, wenn wir annehmen, 



*) Proklus ed. Friedlein, pag. 88. Vgl. auch Nesselmann, Algebra 
der Griechen, S. 40flgg. *) Proklus ed. Friedlein, pag. 35— 36. 



Pythagoras nnd die Pythagoräer. Arithmetik. 157 

die Logistik, die Rechenkunst, sei erst allmählich als Gegenstand 
schriftlicher Unterweisung in Büchern behandelt worden. Sie ver- 
dankte vorher ihre unentbehrliche Verbreitung vorwiegend dem münd- 
lichen Unterricht. Sie war allgemeines Bedürfnis, nicht Wissenschaft, 
und es mag lange gedauert haben, bevor es einem Rechenmeister ein- 
fiel, über den Inhalt seines Unterrichts sich schriftlich auszusprechen. 
Zu dieser Annahme gelangen wir von der Erwägung aus, daß eine 
Logistik bestand und ims quellenmäßig gesichert ist, lange bevor wir 
von Büchern über dieselbe hören. Ihr Name kommt schon in einem 
platonischen Dialoge vor, wo die Logistik der Arithmetik gegenüber- 
gestellt ist^), und in einem anderen Dialoge des gleichen Verfassers 
ist von den Logistikem*) die Rede. 

Wenn wir bei der Betrachtung der pythagoräischen Mathematik 
von den arithmetischen Dingen ausgehen, so folgen wir nur der 
Aussage, welche in dieses Gebiet die wesentlichsten Leistungen des 
Pythagoras verlegt, und welche, selbst wenn ihr kein Gewährsmann 
von der Bedeutung des Aristoxenus Gewicht verliehe, in dem allge- 
meinen Bewußtsein, daß die der Arithmetik nächststehende Zahlen- 
symbolik so recht eigentlich altpythagoräisch war, ihre Rechtfertigung 
finden könnte. Wir haben ein Beispiel pythagoräischer Zahlenmystik 
an früherer Stelle (S. 42) verwertet. Ein anderes mag hier Platz 
finden, welches gleichfalls Plutarch ims aufbewahrt hat: Es haben 
sich aber wohl die Ägypter die Natur des Weltalls zunächst unter 
dem Bilde des schönsten Dreiecks gedacht; auch Piaton in der Schrift 
vom Staate scheint das Bild gebraucht zu haben, da wo er ein Ge- 
mälde des Ehestandes entwirft. Das Dreieck enthält eine senkrechte 
Seite von 3, eine Basis von 4 und eine Hypotenuse von 5 Teilen, 
deren Quadrat denen der Katheten gleich ist. Man kann nun die 
Senkrechte mit dem Männlichen, die Basis mit dem Weiblichen, die 
Hypotenuse mit dem aus beiden Geborenen vergleichen und somit 
den Osiris als Ursprung, die Isis als Empfängnis und den Horus als 
Erzeugnis denken^. Mit dem Vorbehalte auf diese nicht unwichtige 
Stelle zurückzukommen, benutzen wir sie hier nur als freilich spätes 
Beispiel pythagoräischer Zahlenspielerei, dem eine übergroße Menge 
ähnlicher Dinge, Vergleichungen von Zahlen mit einzelnen Gottheiten 
oder Vergleichungen von Zahlen mit gewissen sittlichen Eigenschaften 
usw. aus älterer und ältester Zeit zur Seite gestellt werden könnte*), 
wenn die Geschichte der Mathematik neben dem allgemeinen Ver- 
gleiche mit babylonischen Gedankenfolgen einen besonderen unmittel- 

*) Platon, Gorgias 461, B. •) Piaton, Euthydemus 290, B. ») Plu- 
tarch, De Iside et Osiride 56. *) Eine reiche Sammlang von Stellen bei 
Zeller I, 334 — 346, namentlich in den Anmerkungen. 



158 6. Kapitel. 

baren Nutzen daraus zu ziehen imstande wäre. Allenfalls könnte 
dieses für einen Satz zutreflFen, welcher, wie sich zeigen wird, durch 
Jahrhunderte sich forterbte, den Satz: daß die Einheit Ursprung 
und Anfang aller Zahlen, aber nicht selbst Zahl sei^). 

Wir werden bald sehen, daß die Pythagoräer es liebten auf 
Gegensätze ihr Augenmerk zu richten, und ein solcher Gegensatz war 
der zwischen Primzahlen und zusammengesetzten Zahlen. Ein 
alter Pythagoräer, Thymaridas von Paros^ war es vermutlich, 
der den Primzahlen den Namen der geradlinigen Zahlen, aQtd'fwl 
eöd^yQafifiixol^ beilegte'), jedenfalls im Gegensatze zu Flächen- 
zahlen, von welchen auch noch in diesem Kapitel die Rede sein 
wird. Derselbe Thymaridas aber hat sich ein außerordentlich viel 
größeres Verdienst dadurch erworben, daß er ein Verfahren zur Auf- 
lösung gewisser Aufgaben erfand, welches von hoher Tragweite ist, 
und welches wir nach Jamblichus auseinandersetzen^). Das Ver- 
fahren muß sehr verbreitet gewesen sein. Dafür bürgt außer Gründen, 
welche im 29. Kapitel auf indischem Boden sich ergeben werden, der 
doppelte Umstand, daß Jamblichus es geradezu als eine Methode, 
€q)odog^ bezeichnet und es mit einem bestimmten Namen nennt, 
welcher demselben schon früher eigentümlich gewesen zu sein scheint. 
Das Epanthem, d. h. die Nebenblüte des Thymaridas, besteht in 
folgendem^): „Wenn gegebene {d)Qi0iiava) und unbekannte Größen 
{aÖQiöta) sich in eine gegebene teilen und eine von ihnen mit jeder 
anderen zu einer Summe verbunden wird, so wird die Summe aller 
dieser Paare nach Subtraktion der ursprünglichen Summe bei drei 
Zahlen der zu den übrigen addierten ganz zuerkannt, bei vier deren 
Hälfte, bei fünf deren Drittel, bei sechs deren Viertel und so fort.'^ 
Damit ist gemeint, daß, wenn n Unbekannte o;^, x^, x^, - - -jX^ heißen, 
und wenn außer ihrer Gesamtsumme x^ + x^ + x^ + - - * + x^ ^ 8 
die Summe der ersten Unbekannten x^ mit jeder der folgenden Unbe- 
kannten einzeln gegeben ist, also x^ + x^^ a^, Xy+x^^a^y • • • a?! -f x^ 

«» a^ ,, daß alsdann x. =»— *" * "^ "u^ -i"^ gein muß. Das ist, 

^) Vgl. Aristoteles, Metaph. XUI, 8, femer Nicomachus, Eisagoge 
arithmet. II, 6, 8 (ed. Ho che pag. 84) und am deutlichsten bei Theon Smyr- 
naeus (ed. Hiller) pag. 24: oi^e Sb ii \LOvag Agid^fibg, &Uä &qxV ^Qt^^y^^- 
*) Paul Tanne ry, Pour Thistoire de la science Hellene (Paris 1887) pag. 382 
bis 886 über die Persönlichkeit des Thymaridas. *) Jamblichus Chalciden- 
sis in Nicomachi Geraseni arithmeticam introductionem (ed. Tennulius 1668) 
pag. 86, (ed. Pistelli 1894) pag. 27, 4. *) Ebenda (ed. Tennulius) pag. 89, 
(ed. Pistelli) pag. 62, 19. Diese verderbte und darum ungemein schwierige 
SteUe hat zuerst Nesselmann, Algebra der Griechen S. 232 flgg. richtig erklärt. 
^) Wir benutzen die Übersetzung Nesselmanns. 



Pythagoras und die Pjthagoräei. Arithmetik. 159 

wie man sieht^ YoUständig gesprochene Algebra, welcher nur Symbole 
fehlen, um mit einer modernen Oleichungsauflösung durchaus über- 
einzustimmen, und insbesondere ist mit Recht auf die beiden Eunst- 
ausdrücke der' gegebenen und unbekannten Große aufmerksam 
gemacht worden. 

Genug die Pythagoräer, seit Gh-ündung der Schule, beachteten 
die Zahlen und wußten yerschiedene Gattungen derselben, so nament- 
lich die geraden und ungeraden Zahlen, erstere als agrioL^ letztere 
als TtBQtööolf zu unterscheiden^). Diese Unterscheidung war so land- 
läufig, daß zu Piatons Zeit das Spiel „Grad oder Ungrad" schon in 
Übung war*). Wir erinnern uns, daß auch den Ägyptern dieser 
Unterschied nicht entgangen war, wie wir aus der Einrichtung ihrer 
Zerlegungstabelle für Brüche schließen durften (S. 64). Ob sie frei- 
lich bestimmte Namen für das Gerade und für das Ungerade hatten, 
was zum rollen Bewußtsein dieser Zahlengattungen gehört, das schwebt 
so lange im Dimkel, als nicht ein ägyptisches theoretisches Werk 
entdeckt ist, dessen Notwendigkeit zur Ergänzung des Übungsbuches 
wir eingesehen haben. Letzteres enthält jedenfalls solche Namen 
nicht. 

Die Pythagoräer sahen überdies in den geraden und ungeraden 
Zahlen Glieder von Reihen, nannten solche Reihen gl ieder Zqoi und 
besaßen vermutlich in dem Worte ixd^söig auch einen Namen ftlr den 
Begriff von Reihe selbst*). Auch diese Tatsache kann uns nicht in 
Erstaunen setzen, nachdem die Kenntnis der arithmetischen wie der 
geometrischen Reihe bei Ägyptern und Babyloniem, die Kenntnis 
der Summenformel für arithmetische Reihen mit Gewißheit, für geo- 
metrische Reihen als Möglichkeit bei den Ägyptern festgestellt werden 
konnte. 

Mit den Reihen der geraden und ungeraden Zahlen wurden bei 
den Grriechen — wir behaupten bei den Pythagoräem — nach den 
Zeugnissen des Theon von Smyma mannigfache Summierungen vor- 
genommen. Man addierte die sämtlichen aufeinanderfolgenden 
Zahlen der natürlichen Zahlenfolge von der 1 bis zu einem beliebig 

gewählten Endgliede und fand l-t-2 + 3H hw = ** ^--^ die 

Dreieckszahl^). Man addierte die ungeraden Zahlen für sich und 

*) ^ ye nav Agi^fibg ix^i Svo iikv tSsa BÜ&ri nsgiCübv %al '&Qttov heißt es 
in einem Fragmente des Philolans. Vgl. Zelle i 1, 299, Anmerkg. 1 und 
Chaignet I, 228. *) Pl'aton, Lysis pag. 206. *) Vgl. Bienaym^ in einer 
Notiz über zwei Stellen des Stobäus in den Camptes renalis der Pariser Aka- 
demie der Wissenschaften vom 3. Oktober 1870. *) Theon Smyrnaeus (ed. 
Hiller) 31. 



160 6. Kapitel. 

fand 1 + 3 + 5 H — • + (2w — 1) «- n* die Quadratzahl, zu deren 
Erklärung man eben diese Entstehungsweise benutzte^). Man addierte 

die geraden Zahlen für sich und fand 2 + 4 + 6 H h 2w = M(n + 1) 

die heteromeke Zahl*), d. h. das Produkt zweier Faktoren, deren 
einer um die Einheit größer ist als der andere, und welches eben 
dieses Größersein der einen Zahl in seinen Namen aufnahm. 

Wir haben hier arithmetische Erklärungen und Lehrsatze den 
Pjthagoraem überwiesen, welche trotz ihres Vorkommens bei Theon 
von Smyma, trotz der von uns Torausgeschickten allgemeinen Recht- 
fertigung der Benutzbarkeit seines Werkes für diese weit zurückliegende 
Zeit, einigermaßen stutzig machen könnten. Da wir in unseren Fol- 
gerungen noch weiter zu gehen gedenken, so dürfte es nicht unzweck- 
mäßig sein, andere Beweisgründe für die Richtigkeit unserer Annahme 
hier einzuschalten, welche ein bedeutend älterer Schriftsteller von all- 
seitig anerkannter Zuverlässigkeit, mit einem Worte, welche Aristo- 
teles uns liefert. In dessen Metaphysik^) finden wir die sogenannte 
pythagoräische Kategorientafel, in welcher zehn Paar ßrund- 
gegensätze aufgezählt werden, die der pythagoräischen Schule angehört 
haben. Diese heißen 1. Grenze und Unbegrenztes; 2. Ungerades und 
Gerades; 3. Eines und Vieles; 4. Rechtes und Linkes; 5. Männliches 
und Weibliches; 6. Ruhendes und Bewegtes; 7. Gerades und Krummes; 
8. Licht und Finsternis; 9. Gutes und Böses; 10. Quadrat und Hetero- 
mekie. Wir dürfen vielleicht annehmen, daß unter dem 3. Paare die 
Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen inbegriflFen sind. Wir er- 
kennen in den beiden mit 2. und 10. bezeichneten Paaren die Zu- 
sammengehörigkeit des Ungeraden mit dem Quadrat, des Geraden mit 
der Heteromekie, und sollte diese Zusammengehörigkeit nicht in der 
Entstehungsweise der Quadrate und der Heteromeken ihre vollgültige 
B^ründung finden? Allerdings hat man, wie wir sehen werden, eine 
andere Erklärung gesucht, weshalb das 10. Paar, dessen Vorhanden- 
sein unter allen Umständen einer Rechtfertigung bedarf, weil seine Gegen- 
sätze nicht so scharf und natürlich sind, wie die der neun anderen 
Paare, Aufiiahme gefunden habe. Wir sind nicht gewiUt, jene andere 
Erklärung schon jetzt geradezu zu verwerfen, aber noch weniger auf 
die unsrige zu verzichten. Konnte es doch in der Tafel der Grund- 
gegensätze, auf welche alle Erscheinungen zurückzuführen sind, nur 
erwünscht sein, durch ein Paar sofort zwei wesentlich verschiedene 
Beziehungen dargestellt zu wissen. Ist doch überdies mindestens die 
Entstehung des Quadrats als Summe der mit der Einheit beginnen- 



*) Theon Smyrnaeus (ed. Hiller) 28. *) Ebenda 27 und 31. *) Ari- 
stoteles, Metaphys. I, 6, 6, vgl. Zeller, 5. Aufl. I, 854, Anmerkg. 8. 



Pjthagoras und die Pythagoräer. Arithmetik. 161 

den ungeraden Zahlen wieder durch Aristoteles als echt pythago- 
raisch bezeugt^). 

Aristoteles bedient sich dabei eines Wortes, welches für uns 
von großer und vielfacher Wichtigkeit ist, des Wortes Gnomon. 
Was ist ein Gnomon? Wörtlich genommen ein Erkenner^ und 
zwar bedeutete es zunächst einen Erkenner der Zeit, dann der senk- 
rechten Stellung, welche der Stab, um als Schattenwerfer und Stunden- 
zeiger Anwendung finden zu können^ einnehmen mußte. So wurde 
das Wort allmählich aus einem Kunstausdrucke der praktischen Astro- 
nomie zu einem solchen der Geometrie, und man sagte „die nach dem 
Gnomon gerichtete Linie*'*), wenn man von einer Senkrechten reden 
wollte. Der Sinn des Wortes veränderte sich aber nun noch weiter. 
Ein mechanisch herzustellender rechter Winkel 
(Fig. 20) wurde so genannt oder geometrisch aus- 
gedrückt: Gnomon war das, was von einem Qua- 
drat übrig blieb, wenn aus dessen einer Ecke ein 
kleineres Quadrat herausgeschnitten wurde. Diese 
Bedeutung des Wortes war bei den Pythago- 
nlem gang und gebe. Den untrüglichen Beweis 



dafür liefert ein erhaltenes Bruchstück des Phi- ^*' ^* 

lolaus^, eines Pythagoräers, dessen Lebenszeit so ziemlich gleich- 
mäßig von den Grenzen des Jahrhunderts zwischen 500 und 400 
abstehen möchte. Ebendemselben Philolaus dürfte auch der Be- 
griff des zusammengesetzten Verhältnisses schon bekannt gewesen 
sein, welcher uns im 12. Kapitel begegnen wird. In noch späterer Zeit 
verschob sich die Bedeutung des Wortes Gnomon noch weiter. Euklid 
stellte um 300 die Definition auf, in einem Parallelogramme heiße ein 
jedes der um die Diagonale herumliegenden Parallelogramme mit den 
beiden Ergänzungen zusammen ein Gnomon^). Der Sinn dieser im 
Wortlaute nicht allzu deutlichen Erklärung ist folgender. Werden in 
einem Parallelogramme durch einen und denselben Punkt der Diagonale 
Parallellinien zu den beiden Seiten gezogen, 
so entstehen (Fig. 21) zwei in unserer Figur 
wagerecht schraffierte Parallelogramme, und 
zwei in unserer Figur schräg schraffierte 
Er^nzungsdreieckchen. Diese vier kleinen ng 21 




^) Aristoteles, Physic. m, 4. Vgl. Zeller I, 800, Anmerkung und 
Chaignet ü, 61—62. *) Proklus ed. Friedlein 283, 9. ') Philolans, des 
Pythagoreers Lehren nebst den Bruchstücken seines Werkes von Aug. BOckh. 
Berlin 1819, Fragment 18, S. 141. — Chaignet I, 240. — Wm. Romaine 
Newbold, Philolaus. Archiv fOr Geschichte der Philosophie XTX, 176 — 217 
(Berlin 1906). *) Euklid, Elemente II, Definition 2. 

Oaittob, Oetohlohte der Mathematik L 8. Aufl. 11 



162 



6. Kapitel. 



Figuren zasammeii bilden das euklidische Gnomon^ eine Verallgemeine- 
rung des älteren Begriffes insofern^ als ein Stück aus einem Parallelo- 
gramme statt aus einem Quadrate herausgeschnitten wird^ um es her- 
vorzubringen. Noch etwas allgemeiner wird die Erklärung, welche 
nachmals Her on ron Alexandria gab: Alles was zu einer Zahl oder 
Figur hinzugefügt das Oanze dem ähnlich macht, zu welchem hinzugefügt 
worden war, heißt Gnomon^). Doch auch diese letzte Verallgemei- 
nerung knüpft wieder an alte Begriffe an, indem schon Aristoteles 
sagt, wenn man ein Gnomon um ein Quadrat herumlege, werde zwar 
die Größe, aber nicht die Art der Figur verändert^. 

Nachdem wir erörtert haben, was ein Gnomon in der Geometrie 
bedeute, ist der Zusatz wohl leicht yerständlich, daß in alten Zeiten 
die ungerade Zahl auch wohl Gnomonzahl genannt wurde. Denken 
wir uns nämlich ein Quadrat, dessen Seite n Längeneinheiten mißt, 
und beabsichtigen wir dieses Quadrat zum nächstgrößeren mit der 
Seite von n + 1 Längeneinheiten durch Hinzufügung eines Gnomon 
zu ergänzen, so ist klar, daß dieses Gnomon bestehen wird aus einem 
Quadratchen yon der Seite 1 und aus zwei Rechtecken von den Seiten 1 
und n, daß es also 1 +2 xn Flächeneinheiten besitzen wird, 
welche in der Tat die vorhandenen n^ Flächeneinheiten des früheren 
Quadrates zu den (n + ly Flächeneinheiten des neuen Quadrates er- 
gänzen. Das heißt in Zahlen: die Quadratzahl n^ wird zur imchsten 
Quadratzahl (w + 1)*, wenn man ihr die Gnomonzahl 2n -f 1 bei- 
fügt So sind wir zum Verständnis der vorher angedeuteten Stelle 
der aristotelischen Physik gelangt^), einem Verständnis, in welchem 
wir uns mit allen alten und neuen Erklärem zusammenfinden. Die 
Pythagoräer, sagt dort Aristoteles, hätten die Quadratzahlen ge- 
bildet, indem sie die Gnomonen allmäh- 
lich zur Einheit hinzufügten. Das will 
eben nichts anderes heißen als (Fig. 22) 
die Pythagoräer haben die Summierung 
1 -j- 3 -f- 5 + • • • + (2n-- 1) « w* vollzogen, 
haben dieses Verfahren mit klarer Ein- 
sicht in den dann zutage tretenden Ge- 
danken ausgeübt. 

Sehen wir einen Augenblick von der 
arithmetischen Wichtigkeit des Satzes, der 
uns beschäftigt hat^ ab, so ist er uns auch 
für die älteste Geometrie ein später noch zu verwertendes Zeugnis. 

^) Heron Alexandrinus (ed. Hultsch) Definit. 69, pag. 21. *) Aristo- 
teles, Categor. XIV, 6 und XI, 4. Vgl. Chaignet 11, 62, Note 2. •) Aristo- 
teles, Physic. m, 4. 



Fig. 22. 



Pythagoras und die Pythagoräer. Arithmetik. 163 

Er läßt uns erkennen^ daß die Pythagoräer den Zusammenliang, 
welcher zwischen den Seiten eines Quadrates ^ eines Rechteckes und 
deren Flächeninhalt stattfindet^ mehr als nnr ahnten^ was freilich bei 
Schülern einer aus Ägypten eingewanderten Geometrie nicht ver- 
wundern kann. Er läßt uns femer die Kenntnis der eigentümlichen 
Figur des Gnomon beachten. Einen mechanisch herzustellenden 
rechten Winkel nannten wir oben diese Figur^ und in der Tat ist 
das Alter dieses Werkzeugs geradezu sagenhaft. In Ägypten sind 
wir ihm (S. 105) auf der bildlichen Darstellung einer Schreinerwerk- 
stätte begegnet; und bei Plinius hat sich die Überlieferung erhalten, 
die Werkzeuge der Architekten, wie Axt, Säge, Bohrer, Setzwage 
rührten von Dädalus xmd dessen Neffen Talus her, welche vor dem 
trojanischen Kriege lebten, der rechte Winkel von Theodorus von 
Samos, einem der Erbauer des Tempels von Ephesus um das Jahr 
600 etwa^). 

Und noch etwas lernen wir aus der pythagoräischen Begründimg 
des Satzes von der Entstehung der Quadratzahlen: die Neigung 
zur geometrischen Versinnlichung von Zahlengrößen und 
deren Verknüpfungen, welche wir für griechische Eigentümlich- 
keit halten, entsprechend dem viel und mit Recht gerühmten plasti- 
schen Sinne der Hellenen. Der erste Anstoß könnte ja, wenn man 
für aUes eine äußere Veranlassung suchen wollte, in der ägyptischen 
uns aus dem Übimgsbuche des Ahmes bekannten Gewohnheit den 
Figuren die Maßzahlen ihrer Längen, ihrer Flächen beizuschreiben 
gefunden werden, aber immerhin läßt das griechische Verfahren sich 
als einen Gegensatz zu diesem ägyptischen bezeichnen. Bei dem 
einen handelt es sich um die Möglichkeit geometrische Gebilde in 
Rechnung zu bringen, bei dem anderen um die Möglichkeit das Er- 
gebnis rechnender Überlegung den Sinnen erfaßbar zu machen. Die 
Gnomonzahlen waren unter den bis hierher besprochenen nicht die 
einzigen, deren Versinnlichung die Pythagoräer sich angelegen sein 
ließen. Die Quadratzahlen selbst bilden ein anderes Beispiel, ein 
anderes die Heteromeken. Auf die Versinnlichung führen auch die 
Namen Flächen- und Körperzahlen zurück, zu deren pythago- 
räischem Vorkommen wir uns nunmehr wenden. 

Im platonischen Timäus findet sich eine Stelle, welche etwa 
folgendermaßen heißt: Um mit zwei Flächen eine geometrische Pro- 
portion zu bilden, deren äußere Glieder sie sein sollen, genüge es eine 
dritte Fläche als geometrisches Mittel anzusetzen; sollen aber zwei 
Körper die äußeren Glieder einer geometrischen Proportion sein, so 



^) Plinius, Histor. natural. VII, 66. 

11* 



164 6. Kapitel. 

müsse man zwei Yoneinander yerschiedene innere Glieder annehmen, 
weil ein geometrisches Mittel nicht vorhanden sei^). 

Flächen und Körper können hier nur als Zahlen und zwar als Pro- 
dukte von zwei beziehungsweise von drei Faktoren angesehen werden. 
Das heißt man wußte damals , daß im allgemeinen das Maß einer 
Flache, eines Körpers gefunden werde, indem man zwei, drei Ab- 
messungen miteinander vervielfältigte. Die Erklärung von Flächen- 
und Körperzahlen als solcher Produkte ist ausgesprochen bei Euklid*), 
sie ist ausgesprochen bei Theon von Smyma*). Beide bedienen sich 
der Namen aQtd'fiol hnlnsSoi ftlr die Flächen-, ägi^yLol öxbqboC för 
die Körperzahlen, und der pythagoräische Ursprung derselben beweist 
sich aus der eben hervorgehobenen Tatsache, daß nur mit ihrer 
Hilfe die Timäusstelle zur Klarheit gelangt. Denken wir uns PiP^p^ 
QiQi^i ^ sechs Primzahlen und jedenfalls keine von den Primzahlen p 
einer Primzahl q gleich. Nun ist p^p^ eine Flächenzahl, q^^q^ eine 
zweite. Deren geometrisches Mittel läßt sich bilden, d. h. j/pift^ift 
ist rational ausziehbar, sofern p^ =^ P% ^i^d zugleich q^ =&• Die 
gefundene Proportion heißt unter Weglassung der in diesem Falle 
unnötig gewordenen Indices p^ : pq ^ pq: 3* und es genügte wirk- 
lich eine dritte Fläche als geometrisches Mittel anzusetzen, um mit 
den angegebenen beiden Flächen eine geometrische Proportion zu 
bilden, deren äußere Glieder sie sein sollten. Körperzahlen werden 
femer sowohl Pi - p^ - P^ ^ 9i * & ' 9s- Deren geometrisches Mittel 
VPiPiPiii^iQz IS* Ä^ör ^i® rational, wenn die Vorschrift; kein p einem 
q gleich werden zu lassen eingeb alten wird, mögen die p und die q 
je unter sich gleich oder verschieden sein. Durch zwei Mittelglieder 
dagegen läßt sich die Proportion in mannigfaltiger Weise ergänzen 
z.B. fti>,i)8 iPtP^qi = &28P8:9i92?8 odeTp^p^pj^:p^p^q^=q^q^p^:q^q^q^ 
usw. Im Timäus heißt das so: Sollten zwei Körper die äußeren Glieder 
einer geometrischen Proportion sein, so mußte man zwei voneinander 
verschiedene innere Glieder annehmen, weil ein geometrisches Mittel 
nicht vorhanden ist Werden hier die p und die q wieder alle als 
unter sich gleich betrachtet und läßt man deshalb die Indices wieder 
weg, so entsteht p^ : p^q «= pq^ : q^ oder p' : pq^ = p^q : q\ Eine andere 
Auswahl von Mittelgliedern gibt es in diesem besonderen Falle nicht. 
Gerade er hat sich auch anderweitig erhalten. Euklid beweist, daß 
zwischen zwei Quadratzahlen eine, zwischen zwei Kubikzahlen zwei 



*) iJtudes sur U Timee de PkUan par Th. H. Martin I, 91 und 837—846 
und Hnltsoh in Fleckeisen und Masius, Neue Jahrbücher für Philologie 
und Pädagogik. Jahrgang 1878. Bd. 107, 498—601. •) Euklid VII, Defini- 
tionen 16 und 17. *) Theon Smjrnaeus (ed. Hiller), pag. 36—37 und 
häufiger. 



Pythagoras und die Pythagorfter. Arithmetik. 165 

mittlere Proportionalen fallen^) und Nikomachns nennt diese beiden 
Sätze ausdrücklich platonisch')^ ohne Zweifel in Berücksichtigung 
der damals allgemein bekannten Timäusstelle. 

Eben diese Stelle hat bei der ausführlicheren Besprechung noch 
erhöhte Bedeutsamkeit für uns gewonnen. Zwei wichtige Tatsachen 
gelangten dadurch zu unserem Bewußtsein^ die eine daß der Begriff 
des Irrationalen der Schule des Pythagoras angehörte, die andere daß 
dieselbe Schule sich viel mit Verhältnissen beschäftigte. Auf den 
ersteren Gegenstand kommen wir im nächsten E^apitel bei Gelegenheit 
des pythagoräischen Lehrsatzes zu reden. Von den Verhältnissen 
handeln wir sogleich. 

Schon die Beziehung zwischen zwei Zahlen, welche wir heute als 
einen Bruch bezeichnen, gehört hierher. Die Griechen hatten für 

solche Beziehungen die yerschiedensten Namen. Jedes -r{ ^^^ 
z. B. ktifiÖQLOv, und Archytas hat schon den Satz ausgesprochen 
und bewiesen*), daß wenn ein Epimorion ^ auf seine kleinste Be- 
nennung gebracht werde, welche etwa — heiße, immer v — ^ + 1 sei^ 
müsse. Da nämlich a : /3 » fi : i/, so ist a^ y(i, ß '=' yv. Femer folgt 
aus ^ : V =» n : (w + 1), daß v — ft + - und bei - «= d, daß fi ==« nd, 

V = (n + l)d. Nun kann - = , ^ ., . nur dann als auf die kleinste 

Benennung gebracht erscheinen, wenn d « 1, d. h. wenn /iA = n,v — n+1 
oder V = ft + 1 ist. Satz und Beweis haben sich in musikalischen 
Schriften von Euklid {Karatoiiij Tcavövog) und Boethius, von 
welchen im 13. und im 27. Kapitel die Rede sein wird, erhalten, doch 
ist dort der Beweis für heutige Leser vielleicht nicht ganz so durch- 
sichtig wie in unserer Wiedergabe, weil er nach griechischer Gewohn- 
heit an Strecken geführt ist, welche bald durch einen einfachen Buch- 
staben, bald durch zwei Buchstaben (den Endpunkten der betreffenden 
Strecken zugehörend) bezeichnet sind. Bei Boethius ist auch beach- 
tenswert, daß er, dem die Einheit keine Zahl war, zwischen Zahl und 
Einheit unterscheidet. 

Wir sind nicht auf die Timäusstelle allein angewiesen, um die 
Analogien und Mesotäten, das sind die griechischen Namen für 
Verhältnisse und dabei auftretende Mittel, für die Pythagoräer in 



') Enklid YIII, 11 und 12. *) Nicomachns, Eisagoge arithm. II, 24, 6 
(ed. Hoche), pag. 129. ") P. Tannery in der Bibliotheca Mathematica 8. Folge, 
Bd. VI, 225—229 unter Benxfang anf Musici Scriptores (ed. ▼. Jan pag. 162) 
und Boethius, De institutione musica m, 11 (ed. Friedlein pag. 286). 



166 6. Kapitel. 

Ansprucli zu neHmen. Ein bei Nikomachus aufbewahrtes Bruchstück 
des PhilolauB*) läßt den Würfel die geometrische Harmonie 
genannt werden^ weil seine sämtlichen Abmessungen yöllig gleich unter- 
einander und somit in vollständigem Einklänge seien. Dementsprechend 
habe man den Namen harmonisches Verhältnis wegen der Ähn- 
lichkeit mit der geometrischen Harmonie eingeführt. In der Tat 
spiegle sich dieses Verhältnis in jedem Würfel mit seinen 12 Kanten, 
8 Ecken und 6 Flächen ab. Wir haben kaum notwendig diese Stelle 
noch zu erläutern und zu bemerken, daß 6, 8, 12 in stetigem harmo- 
nischen Verhältnisse stehen, weil -z- "" v =" y"" 12* 

Ein bei Porphyrius erhaltenes Bruchstück des soeben erwähnten 
Pythagoräers Archytas^) spricht nicht nur von dem arithmetischen, 
dem geometrischen und dem harmonischen Mittel, er definiert 
sie geradezu, und zwar die beiden ersten in der heute noch gebräuch- 
lichen Weise. Bei dem harmonischen Verhältnisse, fährt er fort, über- 
tri£Pt das erste Glied das zweite um den gleichen Teil seiner selbst, 
wie dieses mittlere Glied das dritte um den Teil des dritten. In 
Buchstaben geschrieben heißt das: b ist harmonisches Mittel zwischen 

a und c, wenn a ^ b -\ — - und zugleich 6 « c + — Wirklich 
folgt aus diesen beiden Gleichungen , "^ = — und daraus ^ 

JL — JL 

"6 a' 

Jamblichus') führt die Kenntnis der drei stetigen Proportionen, 
der arithmetischen, geometrischen und harmonischen, auf Pythagoras 
und seine Schule zurück und läßt die musikalische Proportion, 
welche aus zwei Zahlen, deren arithmetischem und harmonischem 

Mittel sich bilde (a : ^^ = ^^ : 6, z. B. 6 : 9 - 8 : 12), durch 

Pythagoras aus Babylon, wo sie erfunden worden sei, zu den Hellenen 
bringen. 

Es fallt nicht schwer das Auftreten der harmonischen Proportion 
auch von ägyptischen Anfängen aus zu erklären. War doch in der 
Bezeichnung der Stammbrüche durch ein Pünktchen über der den 
Nenner bildenden Zahl die Zumutung, möchten wir sagen, mit ent- 
halten, neben solchen Zahlen a, b, c, welche eine arithmetische Reihe 



^) Nicomachus, Eisagoge arithm. II, 26, 2 (ed. Hoche), pag. 135. Vgl. 
Boeckh, Philolaus fragm. 9, S. 87. Chaignet I, 238. *) Porphyrina ad 
Ptolemaei Harmonica. Vgl. Gruppe, üeber die Fragmente des Arohytas und 
der aiteien Pythagoreer. Berlin 1840, S. 94. Chaignet I, 282^283. ") Jam- 
blichuB, Introductio in Nicomachi arithmeticam (ed. Tennulius), Am- 
heim 1668, pag. 141—142 und 168 (ed. Pistelli) pag. 100 und 118. 



Pjthagoras und die Pjtbagoräer. Arithmetik. 167 

darstellen y auch eben dieselben punktiert zu betrachten, und dann 
hatte man die harmonische Reihe, deren musikalische Bedeutung bei 
der Entstehung der Töne auf dem Monochorde wohl erst in zweiter 
Linie bemerkt worden sein mag. Allerdings ist andererseits nicht zu 
rergessen, daß im alten Ägypten eine Froportionenlehre noch nicht 
nachgewiesen hat werden können, daß arithmetische und geometrische 
Reihen wie in Ägypten so auch in Babylon bekannt waren, daß nach 
dem letzteren Orte Quadratzahlen und Eubikzahlen hinweisen. Wir 
erinnern femer daran, daß Jamblichus sich genauer mit Ghaldäischem 
beschäftigte (S. 51) und sind darum trotz der späten Zeit, in welche 
seine schriftstellerische Tätigkeit fällt, sehr geneigt diesen seinen 
Worten soweit Glauben zu schenken, als sie alte gräkobabylonische 
Beziehungen betreffen. Auch mehr oder weniger auf Zahlenspielerei 
herauskommende Zahlenyerknüpfungen, Yergleichung von Zahlen mit 
einzelnen Götterfiguren, das sind lauter Dinge, die den Babyloniem, die 
den Pythagoräem eigen sind. DafHr aber, daß wir alles in der pytha- 
goräischen Schule von solchen Dingen Vorgetragene auch in ihr er- 
funden lassen sein sollten — der einzige Ausweg, wenn jede Verbin- 
dung mit Babylon verworfen wird — dafQr erscheinen uns dieselben 
zu entwickelt. Solche arithmetische Kenntnisse setzen eine ganze 
lange Vorgeschichte voraus. Die Überzeugung davon würde nun 
ungemein befestigt, wenn es wahr sein sollte, daß auch die befreun- 
deten und vollkommenen Zahlen bereits der pythagoräischen Schule 
angehörten. 

Befreundete Zahlen sind solche, wie 220 und 284, von welchen 
jede gleich der Summe der aliquoten Teile der anderen ist: 220 » 1 
+ 2 -f 4 -f 71 + 142 und 284 - 1 + 2 + 4 + 5 -f 10 + 11 + 20 + 22 
+ 44 + 55 + 110. Jamblichus führt deren Kenntnis auf Pythagoras 
selbst zurück^). Man habe ihn befragt, was ein Freund sei, und er 
habe geantwortet: „Einer der ein anderes Ich ist, wie 220 und 284.^' 
Wir möchten freilich auf diese Behauptung wenig Gewicht legen und 
kein größeres darauf, daß im IX. S. ein arabischer Gelehrter Täbit 
ihn Eurra ftlr die Kenntnis der befreundeten Zahlen auf die Pytha- 
goräer verwies^. Letzterer kann sehr wohl seine Wissenschaft dieses 
XJmstandes aus Jamblichus geschöpft haben, ersterem kann vorge- 
schwebt haben, daß die Innigkeit der Freundschaften unter den Pytha- 
gorilern von jeher als kennzeichnend fOr diese Schule galt'). 

Vollkommene Zahlen sind solche, welche wie 6, 28, 496 der 



') Jamblichus in Nicomach, arithm. ed. Tennulias pag. 47 — 48 ed. 
Pietelli pag. 86. *) Vgl. Woepke im JaumcU Aßiatique, lY. S^rie, T. 20 (Jahr- 
gang 1862), pag.420. *) Vgl. Zeller I, 271, Anmerkung 8. 



168 6. Kapitel. 

Summe ihrer aliquoten Teile gleich sind: 6=«l + 2 + 3; 28 = 1 
+ 2 + 4 + 7 + 14; 496 « 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 
+ 248. Daneben unterscheidet man überschießende und mangel- 
hafte Zahlen^ wenn die aliquoten Teile eine zu große beziehungs- 
weise zu kleine Summe liefern, wie z. B. 12 < 1 + 2 + 3 + 4 + 6; 
8 > 1 + 2 + 4. Euklid hat sich ausführlich mit den vollkommenen 
Zahlen beschäftigt^). Theon yon Smyma bat den drei verschiedenen 
Gattungen seine AufoLerksamkeit zugewandt und dieselben als ägid-fiol 
relatoi^ ixsQtdkaiov^ iXhxstg benannt'). Man könnte demzufolge 
geneigt sein diese Begriffe als vorplatonische anzuerkennen, wenn nicht 
ein kaum zu beseitigender Gegengrund vorhanden wäre. Plato ver- 
steht nämlich in einer berühmten Stelle seines Staates den Ausdruck 
vollkommene Zahl ganz anders") und Aristoteles bezeichnet mutmaß- 
lich aus pythagoräischer Quelle die Zehn als vollkommene Zahl^) 
wiederum notwendig von einer ganz anderen Erklärung ausgehend. 
Diese beiden Gegensiände arithmetischer Gh-übelei werden wir daher 
am sichersten zwar Fythagoräem aber nicht solchen der alten 
Schule zuschreiben, sondern solchen, die in viel späterer Zeit 
den Namen und zum Teil auch die Forschungsweise derselben er- 
neuerten. 

Die Dreieckszahlen, sagten wir (S. 159) gestützt auf Theon 
von Smyma, wurden von den Fythagoräem gebildet, indem sie ver- 
suchsweise die aufeinanderfolgenden Zahlen der mit 1 beginnenden 
natürlichen Zahlenreihe addierten. In diesem Namen Dreieckszahl 
zeigt sich aufs neue der Hang zur figürlichen Yersinnlichung der 
nach unserer heutigen Auffassung abstrakten Zahlenbegriffe. Die auf- 
einanderfolgenden Zahlen nämlich durch gleich weit voneinander ent- 
fernte Funkte reihenweise unteremander zur Darstellung gebracht 
bildeten Dreiecke, und daß man diese Yersinnlichung wirklich vor- 
nahm, mag man zu ihr gelangt sein wie man wolle, dafür bürgt eben 
der Name Dreieckszahl, &QL&iibg tglytovog. Es ist vielleicht wün- 
schenswert noch von anderer Seite her zu bestätigen, daß wir hier 
wirklich Altertümliches vor uns haben, imd dazu sind wir in der 
Lage. Wenig Gewicht freilich legen wir filr diese Rückdatierung auf 
den an sich interessanten von Flutarch uns erhaltenen Lehrsatz, daß 
die mit 8 vervielfachten und um 1 vermehrten Dreieckszahlen Quadrat- 
zahlen gaben '^) d. h. daß 8 • !^^!^ii^ + 1 = (2n + 1)«. ErhebUcher 



») Euklid IX, 86. •) Theon Smyrnaeus (ed. Hiller) 46. •) Plato 
Bepnbl. YIU, pag. 546. Vgl. einen Aufsatz von Th. H. Martin in der Bevue 
Jrehdologique T.XIU. *) AristoteleB, Metaphys. I, 5. ^ Plutarch, Plato- 
nicae Quaestion. V, 2, 4. 



Pythagoras und die Pythagoräer. Arithmetik. 169 

ist Bchon daB; was Lucian uns erzählt^). Pythagoras Habe einen 
zahlen lassen. Dieser sagte: „1, 2, 3^ 4''^ worauf Pythagoras da- 
zwischen fuhr: Siehst du? Was du für 4 hältst, das ist 10 und ein 
Yollstandiges Dreieck und unser Eidschwur! Hierin ist die Kenntnis 
der Dreieckszahl 10 mit echt pythagoräischen Dingen in Verbindung 
gesetzt. Weit älter und dadurch noch überzeugender ist das Vor- 
kommen des Begriffes wenn nicht des Wortes bei Aristoteles: Die 
einen führen die Zahlen auf Figuren wie das Dreieck und Viereck 
zurück^). Kommt nun endlich noch hinzu , daß einem Schüler des 
Sokrates und des Platon^ dem Philippus Opuntius^ bereits eine 
Schrift über vieleckige Zahlen zugeschrieben wird^ welche er nebst 
einer anderen über Arithmetik bei Philipp von Mazedonien rerfaßt 
haben soll^^ so scheint uns damit der Beweis geliefert , daß wie die 
Quadratzahl und ihre Entstehung aus den ungeraden, wie die hetero- 
meke Zahl und ihre Entstehung aus den geraden^ so auch die Dreiecks- 
zahl und ihre Entstehung aus den unmittelbar aufeinander folgenden 
Zahlen bereits pythagoräisch gewesen sein müsse. 

Bei diesen drei Summierungen von nach einfachen Gesetzen fort- 
schreitenden Zahlen blieb man aber, wie uns berichtet wird, nicht 
stehen. Man schrieb die Reihe der Quadratzahlen, von der 1 an, man 
schrieb darunter aber erst von der 3 anfangend die ungeraden Zahlen, 
und wenn man nun jede solche ungerade Zahl der zugehörigen Quadrat- 
zahl als Gfnomon zufügte, so entstanden wieder QuadratzaJilen^). Für 
uns heute fällt freilich diese Entstehungsweise: 
1 4 9....»« 

3 5 7....2n+l 

4 9 16....(n + l)« 

mit der ersterlauterten Bildung der Quadratzahlen zusammen, aber 
den Alten war sie besonderer Hervorhebung wert. Nikomachus, 
ungefähr Zeitgenosse des Theon von Smyma, und ihm geistes- 
verwandt, hat ein Beispiel ähnlichen Verfahrens bei Dreieckszahlen 
uns bewahrt^). Jede Dreieckszahl, sagt er, mit der nächstfolgenden 
Dreieckszahl vereinigt gibt eine Quadratzahl, und wirklich ist 

^ ~Z — h g = n*. Hier wagen wir nun, gestützt auf alle diese 

einander ähnlichen Verfahren, eine unmittelbar nicht auf Überlieferung 
sich stützende Vermutung^). Wir nehmen an, es sei auch die Addi- 

*) Lncian Bimv ytg&ais^ 4. Vgl. AUman, Greek Geometry from Thalea 
to Euclid pag. 28r. *) Aristoteles, Metaphys. XIV, 4. ") Btoyi^tpoC, vitarum 
»criptares Oraeci minores edit. West ermann. Biannschweig 1846, pag. 446. 
*) Theon SmyrnaeuB (ed. Hiller) 82. ^) Nicomachus, Eisagog. ariüim. 11,12 
(ed. Ho che), pag. 96. •) Math. Beitr. Kulturl. 106—107. 



170 7. Kapitel. 

tion von je zwei aufeinander folgenden Qnadratzahlen Yorgenommen 
worden, um wie in den yorher erwähnten Beispielen einmal zuzu- 
sehen, ob dabei etwas Bemerkenswertes sich enthülle. In der Tat 
fand sich ein höchst auffallendes Ergebnis: Die Quadratzahlen 9 
und 16 lieferten als Summe die nächste Quadratzahl 25, und 
nur bei ihnen zeigte sich diese Erscheinung. Dem heutigen Mathe- 
matiker ist solches freilich nicht auffallend. Wir erkennen sofort, 
daß die Gleichung {x — ly + n?* = (a? + 1)* nur die Wurzeln a: = 4 
und 5? «= besitzt, daß also nur 3* + 4* — 5* auftreten kann, wenn 
man (— 1)* + 0^ = 1* oder anders geschrieben + 1 = 1 nicht be- 
achten will. Aber der Grieche jener alten Zeit konnte diese Über- 
legung nicht anstellen, konnte, wenn sie ihm möglich gewesen wäre, 
die zweite Gleichung nicht denken. Wir kommen auf den Zahlen- 
begriff der Griechen noch zurück. Gegenwärtig wissen wir nur, daß 
die Null, für welche sie kein Zeichen hatten, ihnen auch keine Zahl 
war. Wir sind darüber aufs deutlichste durch einen der schon ge- 
nannten Arithmetiker unterrichtet. Nikomachus sagt uns, jede Zahl 
sei die halbe Summe der zu beiden Seiten gleich weit von ihr ab- 
stehenden Zahlen; nur die Einheit bilde eine Ausnahme, weil sie keine 
zwei Nachbarzahlen besitze; sie sei darum die Hälfte der einen im- 
mittelbar benachbarten Zahl^). 

So mußten die Zahlen 9, 16, 25 und mit ihnen die Zahlen 3, 4, 
5, deren Quadrate sie waren, welche ihre Ordnimgszahlen in der Reihe 
der Quadratzahlen bildeten, der Aufinerksamkeit empfohlen sein, um 
so dringender empfohlen sein, wenn dieselben Zahlen schon ander- 
weitig als mit merkwürdigen Eigenschaften rersehen bekannt waren. 
Daß dem so war, darüber müssen wir uns jetzt zu rergewissem 
suchen, ohne zu rergessen, daß 3' -f 4^ » 5^ den Ägyptern bekannt war. 



7. Kapitel. 
Pythagoras und die Pythagoräer. Geometrie. 

Wir sind an dem Punkte angelangt, wo wir die nur im Bilde 
geometrische Arithmetik der Pythagoräer mit ihrer eigentlichen Geo- 
metrie in Verbindung treten sehen. Wir haben demgemäß auch auf 
diesem Gebiete abzusuchen, was unmittelbare oder mittelbare Über- 
lieferung dem Pythagoras und seiner Schule zuweist. 

Zunächst können wir eine ganze Gruppe von geometrischen 
Kenntnissen zusammenfassen unter dem gemeinsamen Namen der An- 

^) Nicomachus, Eisagog. arithm. I, 8 (ed. Hoche), pag. 14. 



Pjthagoraa und die Pjthagoräer. Geometrie. 171 

legung der Flächen. ^^Altertümlicli, so sagen die Schüler des 
Eudemus, und Erfindungen der pythagoreischen Muse sind diese Sätze, 
die Anlegung der Flächen, ihr Überschießen, ihr Zurückbleiben," ^' rs 
^agaßoXii t&v xcagCmv xai ^ v^SQßoXii xal i^ iJiXsiil^ig^). So lautet 
der erläuternde Bericht des Proklus zu der euklidischen Aufgabe an 
einer gegebenen Geraden unter gegebenem Winkel ein Parallelogramm 
zu entwerfen, welches einem gegebenen Dreieck gleich sei. Desselben 
Wortes ikXsCxctv bei Anlegung von Flächen bedient sich Piaton in 
seinem Menon^, und Plutarch läßt an einer Stelle das Anlegen Yon 
Flächen, itaQaßdXkBiv tov xaglov^ von Pythagoras selbst herstammen'), 
während er an einer anderen Stelle sich folgendermaßen ausdrückt: 
„Eines der geometrischsten Theoreme oder vielmehr Probleme ist das, 
zu zwei gegebenen Figuren eine dritte anzulegen — nagaßakksiv — , 
die der einen gleich und der anderen ähnlich ist. Pythagoras soU, 
als er die Lösung gefunden, ein Opfer gebracht haben. Und wirk- 
lich ist es auch feiner und wissenschaftlicher als das, daß das Quadrat 
der Hypotenuse denen der beiden Katheten gleich isf^*). Über die 
genauere Bedeutung der drei Wörter Parabel, Ellipse, Hyperbel 
bei Flächenanlegungen werden wir bei Besprechung der euklidischen 
Geometrie im 13. Kapitel zu reden haben. Fürs erste genügt die 
allgemeine aus den angeführten Stellen leicht zu schöpfende Über- 
zeugung, daß es um die Zeichnung von Figuren gegebener Art und 
gegebener Größe sich handelt. Solche Zeichnung ist aber unmöglich, 
wofern man nicht mit den Haupteigenschaften der Parallellinien 
und ihrer Transversalen, mit den hauptsächlichen Winkelsätzen 
der Planimetrie vertraut ist, wofern man nicht die Auffindung von 
Flächeninhalten, deren Abhängigkeit von den die betreffende Figur 
bildenden Seiten in richtiger Weise kennt. 

In der ersteren Beziehung sind wir wieder in der günstigen Lage, 
unsere Behauptung bestätigen zu können. Die Pythagoräer ver- 
wandten die Parallellinien zum Beweise des Satzes von der 
Winkelsumme des Dreiecks. Wir sahen (S. 143), daß die tha- 
letische Zeit, vielleicht Thaies selbst, den Satz von der Winkelsumme 
in dreifacher Abstufung an dem gleichseitigen, an dem gleichschenk- 
ligen, an dem unregelmäßigen Dreiecke behandelte. Eudemus läßt 
durch die Pythagoräer den Satz für jedes beliebige Dreieck so be- 
wiesen werden, daß durch die Spitze des Dreiecks die Parallele zur 
Grundlinie gezogen und daraus die Gleichheit der Winkel an der 



») Proklus (ed. Friedlein) 419. *) Piaton, Menon pag. 87. ») Plu- 
tarch, Non passe suavüer vivi secundum Epicur. cap. 11. *) Plutarch, Con- 
vivium Vin, cap. 4. 



172 7. Kapitel. 

Grundlinie mit ihren an jener Parallelen hervortretenden Wechsel^ 
winkeln gefolgert wurde. Einer jener Wechselwinkel wurde sodann 
mit dem ursprünglichen Dreieckswinkel an der Spitze zu einem ein- 
zigen Winkel vereinigt, welcher selbst wieder den anderen Wechsel- 
winkel als Nebenwinkel besaß und mit ihm zusammen zwei Rechte 
ergab *). 

Aus dieser Darstellung zeigt sich so recht deutlich an einem 
besonders merkwürdigen, in der Stufenfolge der Beweisführungen uns 
glücklich erhaltenen Beispiele, wie die Wissenschaft der Geometrie 
sich entwickelte. Von dem Zerlegen des Satzes in drei Falle stieg 
man auf zur Behandlung des allgemeinen Falls, aber in diesem Auf- 
wärtsstreben hielt man wieder ein. Man erhob sich noch nicht zu 
dem Ausspruche, die drei Winkel ah der früheren Dreiecksspitze be- 
säßen als Winkel, die je einen Schenkel gemeinsam für zweie haben, 
und die einfach auftretenden äußersten Schenkel zu eioar und der- 
selben Geraden sich verlängern lassen, die Winkelsumme von zwei 
Rechten. Man mußte vielmehr erst zwei Winkel zu einem neuen, 
diesen alsdann mit dem dritten verbinden. Freilich ist der letzt- 
erwähnte Fortschritt, den man noch nicht wagte, nach unserem Ge- 
fühle, auch wohl nach dem Gefühle des Proklus, welcher wenigstens 
von dessen Urheber uns nichts sagt, ein weit geringerer, als der, 
den man wirklich vollzog, und wir erkennen hier bewundernd den 
„höheren Gesichtspunkt, von welchem aus Pythagoras, dem Mathe- 
matikerverzeichnisse (S. 147) zufolge, die Grundlage unserer Wissen- 
schaft betrachtete'^. 

Wir haben auch die Notwendigkeit betont, den Flächeninhalt 
einer Figur aus den dieselbe bildenden Seiten in richtiger Weise 
finden zu können. Unseren mathematischen Lesern dürfte diese Be- 
tonung überflüssig erscheinen, aber sie ist es nicht so ganz. Bei 
einem Volke von überwiegend geometrischer Begabung, wie es un- 
streitig das griechische war, konnte noch um das Jahr 400 v. Chr., 
also zur Zeit Plsctons, einer der geistreichsten, tiefsten Geschichts- 
schreiber aller Jahrhunderte, konnte noch ein Thukydides so wenig 
Bescheid wissen, daß er Inhalt und Umfang als proportional dachte, 
daß er infolgedessen die Fläche der Insel nach der zum Umfahren 
nötigen Zeit abschätzte^. Diese Unkenntnis auch hochgebildeter 
Laien in einem theoretisch so einfachen, praktisch so wichtigen 
Kapitel der Planimetrie läßt sich dann weiter und weiter verfolgen. 
Um 130 V. Chr. erzählt Polybius, daß es Leute gebe, die nicht be- 



>) ProkluB (ed. Friedlein) 879. «) Thukydides VI, 1 (ed. Rothe), 
pag. 96. 



Pjthagoras und die Pjthagoräer. Geometrie. 173 

greifen könnten, daß Lager bei gleicher Umwallungslänge yerschie- 
denes Fassungsvermögen besitzen^). Qnintilian, der römische Schrift- 
steller über Beredsamkeit in der zweiten Hälfte des ersten nach- 
christlichen Jahrhunderts, gibt als dem Laien leicht aufzudrängenden 
Trugschluß den an, daß gleicher Umfang auch gleichen Inhalt be- 
weise*). Vielleicht hatte Quintilian bei diesem Vorwurfe seinen Zeit- 
genossen Plinius im Auge^ welcher die Größenyerhältnisse der Erd- 
teile durch Addieren ihrer Länge zu ihrer Breite verglich*). Proklus 
erzählt mit offenbarer Beziehung auf Vorkommnisse seiner Zeit, also 
des V. S., daß manche schon bei der Teilung von Flächen ihre Ge- 
sellschafter übers Ohr gehauen haben, indem sie eine größere Fläche 
mit Bezugnahme auf die Gleichheit des Umfanges ffir sich be- 
anspruchten^). Steuerbeamte in Palästina ließen sich gleichfalls 
um das V. S. in solcher Weise täuschen, indem sie einem Gemeinde- 
vorsteher, welchem als Steuer der Ertrag einer mit Weizen zu be- 
säenden Fläche von 40 Ellen im Quadrat auferlegt war, verwilligten, 
er könne in zwei Abteilungen jedesmal eine F^rche von 20 Ellen im 
Quadrat besäen, in der Meinung, dann sei er seiner Verpflichtung 
nachgekommen^), und ganz Ahnliches wird von einem Araber des 
X. S. erzählt^). Wir haben diese fehlerhafte Auffasstmg absichtlich 
durch einen längeren Zeitraum und durch Völker hindurch verfolgt, 
welche einer Stetigkeit der Geistesrichtung als Beispiel dienen können, 
denn das mathematische, insonderheit das geometrische Denken der 
Römer, der späteren Juden, der Araber war nicht anders als grie- 
chisch. Wir haben sie verfolgt, um uns über einen allgemeinen ge- 
schichtlichen Lehrsatz klar zu werden, dem wir eine nicht geringe 
Tragweite besonders bei geschichtlich vergleichenden Forschungen 
beilegen. Die Unwissenheit, so lautet unser Satz, und das noch 
schlimmere falsche Wissen sind erblich, es gibt eine konservative 
Kraft der Unwissenheit. Was an unrichtigen Ergebnissen einmal 
gewonnen ist, das wird so leicht nicht zerstört, das wird mit um so 
größerer Zähigkeit festgehalten, je mehr es unverstanden ist. Nur 
die Menge der Unwissenden und Halbwissenden wechselt, und in 
ihrer Beschränkung liegt das, was man Fortschritt der Durchschnitts- 
bildung nennt. 



>) Polybins IX, 21 (ed. Hnltscb), pag. 686. *) Quintilianus, Instüutio 
oratoria I, 10, 89flgg. (ed. Halm) pag. 62. *) Detlefsen, Die Maasse der Erd- 
theile nach Plinius. Programm des Glückstädter Gymnasinms fOx 1888, S. 6—7 
mit Berufting anf Plinius, Histor. natnr. VI, 208. *) Proklns (ed. Fried- 
lein), pag. 237. ^) Jerusalem. Talmud Sota 20a nach Zuckermann, Das 
Mathematische im Talmud. Breslau 1878, S. 48, Note 68. *) Dieterici, Die 
Propädeutik der Araber im X. Jahrhundert, S. 86. 



174 7. Kapitel. 

Der Flächenanlegung nahe verwandt und mit ihr den Pytha- 
goiuem eigen ist die Lehre von den regelmäßigen Yielflächnern» 
angedeutet in den Worten des Mathematikerverzeichnisses: „Pytha- 
goras ist es auch, der die Konstruktion der kosmischen Körper er- 
fand.^' Der Name der kosmischen Körper bedarf der Erklärung. Wie 
Aristoteles uns berichtet, war Empedokles ron Agrigent in 
Sizilien, ein Philosoph, der um 440, jedenfalls später als Pythagoras 
lebte, der erste, der vier Elemente, Erde, Wasser, Luft und Feuer, 
annahm, aus denen alles zusammengesetzt sei^). Vitruyius und andere 
Gewährsmänner wollen, Pythagoras habe schon vorher das Gleiche 
ausgesprochen'). Wir haben eine Wahl zwischen beiden Meinungen 
hier nicht zu treffen. Jedenfalls übernahm Timäus von Lokri aus 
der einen oder anderen Quelle die Lehre, wie der nach ihm benannte 
platonische Dialog erkennen läßt. Timäus erläutert die Entstehung 
der Welt, setzt das Vorhandensein der vier Grundstoffe auseinander, 
gibt denselben besondere Gestalten'). Das Feuer trete als Tetraeder 
auf, die Luft bestehe aus Oktaedern, das Wasser aus Ikosaedem, die 
Erde aus Würfeln, und da noch eine fünfte Gestaltung möglich war, 
so habe Gott diese, das Pentagondodekaeder benutzt, um als Umriß 
des Weltganzen zu dienen*). Diese fünf Körper heißen dem ent- 
sprechend kosmische Körper als zum Kosmos in notwendiger Be- 
ziehung stehend. 

Die Geschichte der Mathematik entnimmt den atomistischen Ver- 
suchen jener ältesten Lehren dieser Art die wichtige Wahrheit, daß 
Timäus die fünf regelmäßigen Körper kannte. Ob er ahnte, daß 
es wirklich keinen sechsten regelmäßigen Körper gebe, ob er ohne 
auch nur die Frage nach einem solchen zu erheben sich mit Ver- 
wertung der nun einmal bekannten Körperformen begnügte, wissen 
wir nicht. Wahrscheinlicher deucht uns das letztere, und nun gar 
einen Beweis der Unmöglichkeit eines sechsten regelmäßigen Körpers 
in so früher Zeit anzunehmen, würden wir aufs entschiedenste ab- 
lehnen müssen. Dagegen hat es keine Schwierigkeit diejenigen Kennt- 
nisse, welche wir als Timäus geläufig bezeichneten, d. h. die Gestalt 
der fünf regelmäßigen Körper bis in jene Zeit, auch wohl darüber 
hinaus zu verfolgen*). 

Körper wie der Würfel, das Tetraeder, welches nichts anderes 



*) Aristoteles, Metaphys. I, 4. ") Vgl. Chaignetn, 164flgg. »)Vgl. 
Th. H. Martin, Etudes sur U Timee de Piaton I, llbügg. und U, 284—250. 
^) Zellerl, 360, Anmerkung 1 nimmt an, das Dodekaeder sei nicht die Gestalt 
des Weltganzen, sondern des Ätheratoms, d. h. des kleinsten Teiles der das 
Weltganze umgebenden äußeren Schichten. ') Das hier Folgende wesentlich 
nach Bretschneider S. 86 und 88. 



PythagoraB und die Pythagoräer. Geometaie. 175 

alB eine Pyramide mit dreieckiger Grundfläche, das Oktaeder, welches 
eine Doppelpjramide mit quadratischer Grundfläche ist, müssen noch 
weit über das Zeitalter des Pjthagoras zurück sich als den Ägyptern 
bekannt vermuten lassen. Wer bei ihnen jahrelang verweilte, ja wer 
nur kurze Zeit die Baudenkmäler ihres Landes in Augenschein nahm, 
dem ist die Kenntnis auch jener Körper mit Notwendigkeit zuzu- 
sprechen, und daß die Pythagoräer kein Bedenken trugen, was ihr 
Lehrer wußte, als seine Erfindung zu verehren, wurde schon erwähnt. 
Auch das Ikosaeder und nicht minder das Dodekaeder muß wohl 
oder übel den Pythagoräem bekannt gewesen sein. Sonst konnte 
nicht Philolaus schon von den fünf Körpern in der Kugel reden ^), 
sonst würde nicht das alte Mathematikerverzeichnis nebst anderen 
übereinstimmenden Berichten^ so deutlich sämtliche kosmische oder 
regelmäßige Körper als pythagoräisch bezeichnen. Möglicherweise 
haben wir den Verlauf der Entdeckung jener Körper so zu denken, 
daß man zuerst nur von Würfel, Tetraeder, Oktaeder wußte, daß dann 
das Ikosaeder, zuletzt erst, wenn auch jedenfalls noch vor Timäus, 
das Dodekaeder hinzutrat. Mit dieser Annahme würde die Schwierig- 
keit sich lösen, daß die ursprünglich jedenfalls in Yierzahl angenom- 
menen Grundstoffe mit den fünf Körpern nur sehr künstlich in Ver- 
bindung zu bringen sind. Es würden nämlich zunächst vier Körper 
mit vier Elementen durch einen naturgemäßen Gedanken sich gepaart 
haben, und zu dem nachträglich gefundenen fünften Körper würde 
dann eine kosmische Bedeutung erst gesucht worden sein. 

Mit dieser Annahme würde auch die Erzählung des Jamblichus') 
sich decken, daß Hippasus, ein Pythagoräer, der das Pentagon- 
dodekaeder der Kugel zuerst einschrieb und veröffentlichte, wegen 
dieser Gottlosigkeit im Meer umgekommen sei. Er habe den Ruhm 
der Entdeckung davongetragen, „aber es sei das Eigentum JENES, 
so bezeichnen sie nämlich den Pythagoras und nennen ihn nicht bei 
Namen*^ 

Man würde vielleicht eine größere Sicherheit in der Beantwortung 
dieser Fragen erlangen, wenn man Alter und Herkunft eines noch 
vorhandenen Bronzedodekaeders zu bestimmen imstande wäre^). Dabei 
sind zahlreiche andere Dodekaeder zu vergleichen, welche auf kel- 
tischem Boden ^), welche auch in Oberitalien ^ aufgefunden worden sind. 



») Boeckh, PhilolauB fragm. 21, 8. 160. Chaignet I, 248. *) Vgl. 
Wyttenbacli, Ausgabe von Platons Ph&don. Leiden 1810, pag. 804—807. 
*) JamblichuB, Vita Fythagoriea 88. ^) Vgl. verschiedene Notizen von Graf 
Leopold Hugo in den Comptea rendus der Pariser Akademie der Wissen- 
schaften. Bd. LXXYU. ^) Gonze, Über ein Bronzegerät in Dodekaederform. 
Westdeutsche Zeitschrift für Geschichte und Kunst (1892) XI, 204. ^) F. Linde- 



176 7. Kapitel. 

Man hat diese Funde für sehr alt nnd um Jahrhunderte über 
Pythagoras hinausreichend erklärt, und, wenn diese Zeitbestimmung 
richtig sein sollte, so dürfte auch gegen gewisnie Folgerungen aus 
denselben^) wenig einzuwenden sein. Unter den Eisenerzen kommt 
der Pyrit (Schwefelkies) auf Elba und in den südlichen nach dem 
Piemont ausmündenden Alpentalem, sonst aber nirgend, in Kristallen 
vor, welche von 20 Dreiecken, und in anderen, welche von 12 Fünf- 
ecken begrenzt sind. Regelmäßige Ikosaeder und Dodekaeder sind 
das nicht, ähneln denselben aber, und als in der anfangenden Eisen- 
zeit jenes Metall an Wichtigkeit gewann, können jene EristaUformen 
Verehrung und Nachbildung gefunden haben. Wenn nun*) berichtet 
wird, Pythagoras habe auch von den Ghdliem gelernt, ein Bericht, 
den wir, weil wir ihm nicht zu sehr trauen, bei unseren Angaben 
über das Leben des Pythagoras übergingen, so könnte das auf das 
Kennenlernen jener Körperformen von Norden her sich beziehen. 
Pythagoras hätte dann in der Tat alle regelmäßigen Körper oder 
denselben einigermaßen ähnelnde gekannt, und dem Hippasus blieb 
als lohnende Aufgabe das mathematische Erkennen des vor ihm nur 
erfahrungsmäßig Vorhandenen. 

Mit den Angaben über die fünf Körper im engsten Zusammen- 
hange stehen die über die Kugel, in welche jene beschrieben ge- 
dacht sind, und welche demzufolge nebst einigen ihrer Eigenschaften 
gleichfalls den Pythagoräem bekannt gewesen sein muß. 

In demselben Zusammenhange erscheinen Angaben, welche sich 
auf die Grenzflächen jener Körper, auf die regelmäßigen Viel- 
ecke, als Dreiecke, Vierecke, Fünfecke beziehen, und denen wir uns 
nunmehr zuzuwenden haben. Wir kehren damit zur Flächenanlegung 
zurück, deren Verwandtschaft zur Lehre von den Vielfiächnem wir 
oben zunächst unerwiesen behauptet haben. Piaton läßt seinen Timäus 
über die Entstehung der regelmäßigen Dreiec|:e und Vier- 
ecke sich aussprechen. Er sagt'), diese Figuren setzten ihre Fläche 
immer aus rechtwinkligen Dreiecken zusammen, und zwar entweder 
aus solchen, welche zugleich gleichschenklig sind, oder aus solchen, 
deren spitze Winkel, der eine einem Dritteil, der andere zwei Dritt- 
teilen des rechten Winkels gleich sind. 
Das hat nun offenbar seine Richtigkeit, 
indem das Quadrat in zwei oder vier 
Dreiecke der ersten Art (Fig. 23), das 
^8- *'• gleichseitige Dreieck in zwei oder sechs 

mann, Zur GeBchichte der Polyeder und der Zahlzeichen. Sitzungsberichte der 

mathem. physik. Blasse der k. bayer. Akad. der Wissensch. (1897) XXVI, 626—768. 

^) Lindemann 1. c. *) Zeller I, 277. ") Pia ton, Timaens 64 Bund 64 D. 







Pjthagoras nnd die Pythagoriler. Geometrie. 177 

Dreiecke der zweiten Art (Fig. 24) zerlegt werden kann. Überein- 
stimmend damit, aber sicherlich einer anderen Quelle als dem plato- 
nischen Timäus^ über dessen Angaben er 
hinausgeht; folgend sagt Proklus, es sei 
ein pythagoräischer Lehrsatz ^ daß die 
Ebene um einen Punkt herum durch 
sechs gleichseitige Dreiecke, vier rtg. «4- 

Quadrate oder drei regelmäßige Sechsecke vollständig er- 
füllt werde, so daß nur diese Figurengattungen zur gänzlichen 
Zerlegung einer Ebene in lauter identische Stücke Benutzung finden^). 
Wir wollen daran anknüpfend nur erinnern, daß wir schon (S. 143) 
die Kenntnis solcher um einen Punkt herumliegenden sechs gleich- 
seitigen Dreiecke wahrscheinlich zu machen suchen mußten, und daß 
folglich rückwärts die Angabe des Proklus unsere dortigen Behaup- 
tungen zu stärken imstande ist. 

Wie verhält es sich abei* gegenüber der Zerf ällung der Gfrenz- 
flächen der vier ersten Körper mit der Grenzfläche des fünften und 
letzten, mit dem regelmäßigen Fünfecke? Das Fünfeck ist, wie 
leicht ersichtlich, mittels der beiden rechtwinkligen Dreieckchen, die 
wir nach der Vorschrift des Timäus für die Herstellung von Dreieck 
und Viereck benutzten, nicht zusammenzusetzen, eine Zerlegung in 
eben solche kann mithin nie gelungen sein. Wohl aber dürfen wir 
erwarten, Spuren verfehlter Versuche anzutreffen, und diese fehlen 
nicht. Plutarch hat an zwei Stellen von der Zerleg^g der das 
Dodekaeder begrenzenden Fläche in 30 Elementardreiecke gesprochen, 
hat das eine Mal hervorgehoben, daß somit aUe 12 Flächen 360 Drei- 
eckchen liefern, gleich an Zahl mit den Zeichen des Tierkreises'), 
hat das andere Mal bemerkt, es solle, wie man sage, das Elementar- 
dreieckchen des Dodekaeders von dem des Tetraeders, Oktaeders, Iko- 
saeders verschieden sein'). Ein anderer Schriftsteller des 11. S., Alki- 
nous, hat in seiner Einleitung zum Studium des Piaton gleichfalls von 
den 360 Elementen gesprochen, welche 
erzeugt werden, indem jedes Fünfeck in 
5 gleichseitige Dreiecke, jedes von diesen 
in 6 ungleichseitige zerfalle^). Nimmt 
man nun diese Zerlegung wirklich vor 
(Fig. 25), so tritt aus dem Gewirre der fi^ 25. Fig. w. 




*) Proklns (ed. Priedlein) 804—306. Vgl. auch Heron (ed. Hnltsch) 
pag. 32 Definitio 74. *) Plutarchus, Qnaeat. Piaton. V. «) Plutarchue, 
De siUntio aracul, cap. 83. *) Alcinons, De docPrina Platanis (ed. Lambinua). 
Paris 1667, cap. 11. 

O^iTTOB, GMGhlohte der Mathematik L 8. Aufl. 12 



178 7. Kapitel. 

Linien am deutlichsten das Stemfünfeck heraus, welches demnach für 
sich schon ein Zeugnis der versuchten Zerlegung des Fünfecks in Ele- 
mentardreiecke ablegt. Das Stemfünfeck (Fig. 26) soU aber den Pythar 
gonlem Erkennungszeichen gewesen sein. Lucian und der Scholiast 
zu den Wolken des Aristophanes berichten darüber gleichmäßig*). 
Briefe pflegten mit irgend einer ständigen Anfangsformel eingeleitet 
zu werden. Die einen schrieben: Freue Dich, xaiQELV, die anderen 
mit Piaton: Sei glücklich in Deinen Handlungen, ev ngdzTeiv, die 
Pythagoräer: Sei gesund, iyiaCvsiv. Gesimdheit heißt auch bei ihnen 
das dreifache Dreieck, das durch gegenseitige Yerschlingung das 
Fünfeck erzeugt, das sogenannte Pentagramm, dessen sich die Glieder 
des Bundes als Erkennungszeichen bedienen. Freilich kommt das 
Pentagramm auf der sogenannten Aristonophosvase aus Caere, welche 
dem 7. vorchristlichen Jahrhunderte angehören soll, kommen fünf- 
eckige Ornamente in mykenischen Funden, kommen f&nfspeichige 
Räder auf oberitalienischen Fundstücken vor*), und wieder unter der 
Annahme richtiger Zeitbestimmung für die Entstehung hätten wir 
alsdann das Fünfeck als vorpythagoräisch anzuerkennen, und nur die 
mathematische Betrachtung desselben gehorte der Schule an. 

Unt«r allen Umständen ist die seltsame Bedeutung, welche die 
freilich auch seltsame Figur des StemfÜnfecks bei den Pythagoräem 
besaß, eine Unterstützung der kaum mehr bestrittenen Vermutung, 
daß das regelmäßige Fünfeck von den Pythagoräem der Beachtung 
unterzogen, wenn nicht erfunden worden sei. Daß diejenigen, welche 
dasselbe als Grenzfläche eines Körpers verwerteten, es gekannt haben 
müssen, bedarf keines Beweises, aber woher sollten sie es entnommen 
haben? Wir erinnern daran, daß wenigstens unter den Abbildungen 
aus chaldäischer, wie aus ägyptischer Vorzeit, welche wir vergleichen 
konnten, ein regelmäßiges Fünf- oder Zehneck, eine Zerlegung der 
Kreisfläche in Ausschnitte nach irgend einer durch fünf teilbaren An- 
zahl nicht vorkommt (S. 49 und 109). Wir machen femer darauf 
aufmerksam"), daß die Einzeichnung des Fünfecks in den Kreis geo- 
metrisch genau erst dann erfolgen konnte^ als der Satz von den Qusr 
draten der Seiten des rechtwinkligen Dreiecks, als zugleich auch der 
goldne Schnitt bekannt geworden war. 

Der goldne Schnitt spielte in der griechischen Baukunst der 
perikleischen Zeit eine nicht zu verkennende Bolle. Das ästhetisch 
wirksamste Verhältnis, und das ist das stetige, ist in den athenischen 



^) Beide Stellen sind vielfach abgedruckt, z. B. bei Bretschneider S. 86 
bie 86. *) Lindemann 1. c. S. 780—783. ") Bretschneider S. 87 hat diese 
gewiß richtige Bemerknng mutmaßlich znerst gemacht. 



Pythagoras und die Pythagoräer. Geometrie. 179 

Bauten aus den Jahren 450 — 430 aufs schönste verwertet^). Wir 
können bei solcher Regehnäßigkeit des Auftretens nicht an ein in- 
stinktives Zutreffen glauben, am wenigsten, wenn wir des eben be- 
rührten geistigen Zusammenhangs zwischen goldnem Schnitte, regel- 
mäßigem Fünfecke und pythagoräischem Lehrsatze gedenken. 

Bevor wir zu diesem letzteren uns wenden, müssen wir*) noch 
einem längere Zeit viel verbreiteten Irrtume begegnen. Diogenes 
Laertius berichtet: „Unter den körperlichen Gebilden, sagen die Pytha- 
goräer, sei die Kugel, unter den ebenen der Kreis am schönsten^''). 
Man hat daraus entnehmen wollen, Pjthagoras oder doch seine Schule 
hätten auch die Grundlage zu der Lehre von den isoperimetrischen 
Raumgebilden gelegt. Man ist dabei gewiß von der richtigen Deutung 
jenes Satzes abgewichen. Es sollte damit ein eigentlicher geome- 
trischer Lehrsatz überhaupt nicht ausgesprochen werden. Nur die 
gleichmäßige Rundung erhielt in den gemeldeten Worten das ge- 
bührende Lob. 

Den gemeinsamen, für Arithmetik und Geometrie gleichmäßig 
bedeutsamen Schlußstein unserer Untersuchungen über Pythagoras 
und seine Schule bildet nunmehr der nach dem Lehrer selbst be- 
nannte Satz vom rechtwinkligen Dreiecke. Nicht als ob wir in ihm 
auch den Schlußstein des von den Pjthagoräem aufgeführten mathe- 
matischen Gebäudes vermuteten. Keineswegs. Wir haben vielmehr 
schon gesehen und werden noch weiter sehen, daß unter den schon 
besprochenen geometrischen Dingen einige nicht gut anders als in- 
folge des Satzes vom rechtwinkligen Dreieck aufgetreten sein können. 
Die Beziehung des regelmäßigen Fünfecks zu diesem Satze ist erst 
erwähnt. Die ElementArdreieckchen des Timäus dienen als Beweis, 
daß die Pythagoräer denjenigen sonderbaren rechtwinkligen Dreiecken 
ihre Aufmerksamkeit zuwandten, welche in dieser physikalisch-geome- 
trischen Eigenschaft Verwertung fanden. Das war einmal dasjenige 
Dreieck, dessen beide Katheten je eine Längeneinheit als Maß be- 
sitzen, das war zweitens dasjenige, dessen Hypotenuse doppelt so groß 
ist, als die kleinere Kathete, so daß also 1 und 2 die Maße dieser 
beiden Seiten bezeichnen. 

Wir haben uns (S. 152) schon darüber ausgesprochen, daß wir 
für den Satz vom rechtwinkligen Dreieck Pythagoras selbst als den 
Entdecker betrachten, und uns wesentlich auf den Bericht bezogen, 

^ Vgl. Zeisings verschiedene Schriften, über welche mit ftbr den mathe- 
matischen Leser genügender AusfQhrlichkeit S. Günther in der Zeitschr. Math. 
Phys. XXI, histor.-literax. AbÜg. S. 167—166 berichtet hat. >) Anch hier rührt 
die richtige Ansicht von Bretschneider S. 89 — 90 her. ") Diogenes Laer- 
tins Vm, 19. 

12* 



180 7. Kapitel, 

diejenigen, welche Altertümliches erkunden wollten, führten den Satz 
auf Pythagoras zurück^). Der in Euklids Elementen vorgetragene 
Beweis dagegen, derselbe Beweis, der auch heute noch der bekannteste 
ist, bei welchem die Quadrate über die drei Dreiecksseiten nach 
außen hin gezeichnet werden und das Quadrat der Hypotenuse durch 
eine von der Spitze des rechten Dreieckswinkels auf die Hypotenuse 
gefällte gehörig verlängerte Senkrechte in zwei Rechtecke zerfällt, 
von denen jedes dem ihm benachbarten Kathetenquadrate flächen- 
gleich ist, dieser Beweis rührt nach Proklus' ausdrQcklicher Aussage 
von Euklid selbst her. Dafi Plutarch^) den Satz vom rechtwink- 
ligen Dreieck als Satz des Pythagoras kennt, wissen wir (S. 171). 
Der Rechenmeister Apollodotus oder Apollodorus, wie Diogenes 
Laertius denselben nennt*), erzählt in Versen von dem Stieropfer, 
welches Pythagoras gebracht habe, als er den Satz von den Quadraten 
der Hypotenuse und der Katheten entdeckt hatte. Nicht wenige 
Schriftsteller sind in ihren Angaben bezüglich des Satzes in einer 
wesentlichen Beziehung genauer, indem sie den Namen des Pytha- 
goras mit demjenigen rechtwinkligen Dreiecke in Verbindung bringen, 
dessen Seiten die Maßzahlen 3, 4, 5 besitzen. Am deutlichsten ist 
in dieser Beziehung Vitruvius, in dessen im Jahre 14 n. Chr. ver- 
faßter Architektur ausdrücklich berichtet wird, daß Pythagoras einen 
rechten Winkel mit Hilfe der drei Längenmaße 3, 4, 5 zu kon- 
struieren lehrte, und daß eben derselbe erkannte, daß die Quadrate 
von 3 und von 4 dem von 5 gleich seien*). Eine Plutarchstelle, in 
welcher dasselbe Dreieck besprochen wird*), ist uns (S. 157) schon 
vorgekommen. Dasselbe Dreieck spielt in Piatons Staate eine Rolle. 
Und wenn wir auf ganz späte Zeiten zu dem Zwecke herabgehen 
dürfen, um mindestens zu zeigen, daß die Überlieferung der Über- 
lieferung sich erhalten hat, so möchten wir als letzten Gewährsmann 
einen Glossator vom Anfange des XII. S. nennen, der vom pythago- 
räischen Dreiecke redend das mit den Seiten 3, 4, 5 unter diesem 
Namen versteht*). 

Wir glauben nun, daß die Wahrheit, welche jener Überlieferung 
zugrunde liegt, darin besteht, daß Pythagoras an dem Dreiecke 3, 4, 5 
seinen Satz kennen lernte. „Schwerlich leitete den Pythagoras das 
nach ihm benannte geometrische Theorem auf seine arithmetischen 
Sätze, sondern umgekehrt mögen ihn die Beispiele zweier Quadrat- 

^) Proklufl (ed. Friedlein) 426. ') Plutarchua, Convivium YIII, 4. 
») Diogenes LaertiuB VIÜ, 12. *) Vitruvius IX, 2. *) Pintarchus, De 
Iside et Osiride 66. ') Gantor, Die römischen Agrimensoren und ihre Stellung 
in der Geschichte der Feldmeßknnst. Leipzig 1876, S. 166 und Note 288. Wir 
Terweisen künftig auf dieses Buch unter dem Titel „Agrimensoren^^ 



Pythagoras xind die Pythagoräer. Geometrie. 181 

zahlen, deren Summe wieder eine Quadratzahl ist, auf die Relation 
zwischen den Quadraten der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks auf- 
merksam gemacht haben^'^). So drückte sich ein deutscher Gelehrter 
bereits 1833 aus, welcher aber keineswegs zuerst diese, wie wir 
glauben, richtige Anschauung von dem Entwicklungsgange sich an- 
eignete. Die gleiche Ansicht ist schon in der Euklidausgabe des 
Clayias (1574) ausgesprochen mit dem Zusätze, es sei dieses die 
Meinung verschiedener*). Pythagoras bemerkte, meinen wir, daß 
Yon aufeinanderfolgenden Quadratzahlen ausschließlich 9 -f 16 » 25 
(S. 170). Als er diese unter allen umständen interessante Bemerkung 
machte, kannte er bereits, gleichviel aus welcher Quelle, die Er- 
fahrungstatsache, daß ein rechter Winkel durch Annahme der Maß- 
zahlen 3, 4, 5 für die Längen der beiden Schenkel und für die Ent- 
fernung der Endpunkte derselben konstruiert werde. Wir haben 
(S. 105) darauf hingewiesen, daß die Ägypter, (S. 49) daß die Baby- 
lonier vielleicht die gleiche Kenntnis besaßen, daß die Chinesen ihrer 
sicherlich teilhaftig waren. Ein chinesischer Schriftsteller hat näm- 
lich gesagt: „Zerlegt man einen rechten Winkel in seine Bestandteile, 
so ist eine die Endpunkte seiner Schenkel verbindende Linie 5, wenn 
die Grundlinie 3 und die Höhe 4 ist"*). Die geometrische und die 
arithmetische Wahrheit vereinigten sich nun in dem Bewußtsein des 
Pythagoras zu einem gemeinschaftlichen Satze. Der Wunsch lag 
nahe zu prüfen, ob auch bei anderen rechtwinkligen Dreiecken die 
Maße der Seiten zu Quadratzahlen erhöht das gleiche Verhalten 
bieten. Die einfachste Voraussetzung war die des gleichschenklig 
rechtwinkligen Dreiecks, wo Höhe und Grundlinie gleich der Längen- 
einheit waren. Die Hypotenuse wurde gemessen. Sie war größer 
als eine, kleiner als zwei Längeneinheiten. Die mannigfaltigsten Ver- 
suche mögen darauf angestellt, andere und andere Zahlenwerte für 
die gleichen Katheten eingesetzt worden sein, um eine Zahl für die 
Hypotenuse zu erhalten. Vergebens. Man erhielt wahrscheinlich 
Zahlen, die dem gesuchten Maße der Hypotenuse nahe kamen, Nähe- 
rungswerte von l/2 würden wir heute sagen, aber es war noch 
ein Biesenschritt, von der Fruchtlosigkeit der angestellten Versuche 
auf die aller Versuche überhaupt zu schließen, und diesen Schritt 
vollzog Pythagoras. 

Er fand, daß die Hypotenuse des gleichschenkligen rechtwinkligen 

^) So Jul. Fr. Wurm schon 1833 in Jahns Jahrbüchern IX, 62. Meine 
denselben Grundgedanken einzeln durchführende Darstellnng in den Math. Beitr. 
Kultnrl. ist 1868 entstanden, ohne daß ich Wurms Aufsatz oder die Stelle bei 
Clayius kannte. *) nt nonnalli volunt. ') Vgl. Biernatzki, Die Arithmetik 
der Chinesen in Grelles Jonmal. Bd. 62. 



182 7. Kapitel. 

Dreiecks mit meßbaren Katheten selbst unmeßbar sei, daß sie durch 
keine Zahl benennbar, durch keine aussprechbar sei^); er ent- 
deckte das Irrationale, worauf das alte Mathematikerverzeichnis 
ein so sehr berechtigtes Gewicht legt. Er entdeckte es gerade an der 
Hypotenuse des gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks, wie aus 
mehr als nur einem Umstände wahrscheinlich gemacht werden kann. 
So erzählt uns Piaton, der Pythagoraer Theodorus von Kyrene, 
der ihn selbst in der Mathematik unterrichtet hatte, habe bewiesen, 
daß die Quadratwurzel aus 3, aus 5 und anderen Zahlen bis zu 17 
irrational sei^). Von der Irrationalität der Quadratwurzel aus 2 ist 
dabei keine Bede; diese muß also vorher bekannt gewesen sein. 
Aristoteles weiß dagegen an vielen Stellen von der Irrationalität der 
Diagonale des Quadrates von der Seite 1 zu reden, und sagt einmal 
geradezu, der Grund dieser Irrationalität liege darin, weil sonst Ge- 
rades und Ungerades gleich sein müßte*). Den Sinn dieser Worte er- 
läutert aber Euklid. Er gibt nämlich folgenden Beweis, den wir nur 
so weit abgeändert haben, daß wir Euklids Worte in moderne Zeichen- 
sprache umsetzten*). Es sei AT zu JB (Fig. 27) kommensurabel 
^ jg und verhalte sich in kleinsten Zahlen wie et zu /3; 

folglich muß wegen Ar> AB auch a> ß und 
sicherlich > 1 sein. Weiter folgt AT^: AB^ ^ a^iß- 
und wegen ^F* « 2^ß* auch a« = 2ß\ folglich a* 
und mit dieser Zahl zugleich auch a eine gerade 
r Zahl. Die zu a teilerfremde ß muß daher ungerade 
^* *^' sein. Die gerade a sei = 2y, so folgt a* «= 4y*. Es 

war a* = 2/J*, mithin ist 2/3* = 4y*, /3* = 2y* gerad und auch ß ge- 
rad, was mit dem eben bewiesenen Gegenteil einen Widerspruch 
bildet, der zur Aufhebung der Annahme führt, als könne die Diago- 
nale mit der Quadratseite in einem rationalen Zahlenverhältnisse stehen. 
Man sieht, das muß der Beweis gewesen sein, an welchen Aristoteles 
bei seiner Äußerung dachte. Es ist also ein Beweis, dessen Alter- 
tum über Aristoteles hinaufreicht, imd der, nach der kurzen Weise, in 
welcher dieser ihn andeutet, zu schließen, den Lesern des Aristoteles 
zur Genüge bekannt sein mußte. Wir gehen deshalb vielleicht nicht 
zu weit, wenn wir gerade diesen Beweis als einen hergebrachten an- 
sehen, als denjenigen, der in der alten pythagoräischen Schule ge- 
führt wurde, mag ihn Pythagoras selbst oder einer seiner unmittel- 
baren Schüler und Nachfolger ersonnen haben. 

^) fritSv und &koYOv Bind die griechiBchen Namen für Rational/ahl und 
Irrationalzahl; äXoyov heißt sowohl ohne Verhältnis als ohne Wort d. h. nicht 
aussprechhar. *) Piaton, Theaetet 147, D. ^ Aristoteles, Analytica 
prot. I, 28, 11. *) Euklid X, 117. 




Pythagoras und die Pythagoräer. Geometrie. 183 

War in der Tat die Diagonale des Quadrates als irrational^ 
die Diagonale des Rechteckes mit den um eine Längeneinheit ver- 
schiedenen Seiten 3 und 4 als rational ^ nämlich mit der Länge 5, 
bekannt, dann war es möglich, daß man auch Quadrat und Hete- 
romekie als diejenigen Gegensätze in die pythagoräische Kategorien- 
tafel; welche uns durch Aristoteles bekannt geworden ist, au&ahm, 
die den sonst dort fehlenden Gegensatz des Rationalen und Lrationalen 
ersetzen sollten^). Wir haben eine solche von der unsrigen zunächst 
abweichende Erklärung angekündigt (S. 160) und nicht ganz yon 
der Hand gewiesen. Allein sie vollkommen uns anzueignen, auch in 
der Verbindung mit unserer eigenen Vermutung, die wir dort als 
notwendig betonten, vermögen wir trotz eines unterstützenden Grundes, 
auf welchen wir im 11. Kapitel zu reden kommen, doch nicht. Es 
könnte nämlich gerade das Fehlen des Gegensatzes des Rationalen und 
des Irrationalen in der Kategorientafel als bezeichnend betrachtet 
werden müssen. 

Nach einem alten Scholion zum X. Buche der euklidischen Ele- 
mente, welches man in neuerer Zeit dem Proklus zuzuschreiben 
pflegt^), dürfte diese Annahme eine nicht ungerechtfertigte sein. 
„Man sagt, daß derjenige, welcher zuerst die Betrachtung des Lra- 
tionalen aus dem Verborgenen in die Öffentlichkeit brachte, durch 
einen Schiffbruch umgekommen sei, und zwar weil das unaussprech- 
liche und Bildlose immer verborgen werden sollte, und daß der, 
welcher von ungefähr dieses Bild des Lebens berührte und aufdeckte, 
an den Ort der Entstehung') versetzt und dort von ewigen Fluten 
umspült wurde. Solche Ehrfurcht hatten diese Männer vor der 
Theorie des Lrationalen." 

Das Mystische dieser Erklärungen stimmt allerdings durchaus zu 
den übrigen philosophischen Floskeln des Proklus und sie sind offen- 
bar pythagoräischer Überlieferung entnommen. Mystisch war, das 
ist wieder einer der allseitig anerkannten Punkte, der ganze Pytha- 
goräismus, und wir dürfen vielleicht hier als an dem geeignetsten 
Orte darauf hinweisen, daß Philolaus schon die Winkel von 



*) So die Meinung Hankels S. 110, Anmerkung. *) Enoche, Unter- 
suchungen über die neu aufgefundenen Scholien des Proklus Diadochus zu 
Euklids Elementen. Herford 1865, 8. 17—28, besonders S. 23. ») Dr. P. 
Hohlfeld machte uns brieflich aufmerksam, die griechische Stelle heiße £/; 
tbv tfjg ysviafmg t6nov »> an den Ort der Entstehung, womit die Übersetzung 
des CommandinuB in gener atUmis hoc est profundi locum übereinstimme; wenn 
Haukel übersetze „in den Ort der Mütter*', so beruhe dieses wahrschein- 
lich auf unbewußter Erinnerung an eine bekannte Stelle in Goethes Faust, 
zweiter Teil. 



184 7. Kapitel. 

Figuren bestimmten Göttern weihte^); daß Piaton umgekehrt 
die Gottheit immer geometrisch zu Werke gehen ließ*). 

War einmal die Irrationalität als solche , und zwar an der Dia- 
gonale des Quadrates erkannt, war man sich bewußt geworden, daß 
die Diagonale des Rechtecks yon den Seiten 3 und 4 genau in 5 
Einheiten sich darstellte, die des Rechtecks von gleichen Seiten 
aber nicht angebbar war, welche Länge man auch den beiden Seiten 
beilegte, so mußte man wohl auch andere Rechtecke' prüfen, z. B. 
von der Voraussetzung ausgehen, daß die Diagonale zur einen Seite 
im einfachsten Zahlenverhältnisse von 2 zu 1 stehe, und nun die 
andere Rechtecksseite zu messen suchen. Wir sehen hier das zweite 
Elementardreieckchen vor uns, dessen Benutzung neben dem gleich- 
schenkligen rechtwinkligen Dreiecke zur Flächenbildung wir aus 
Piatons Timäus kennen, und dessen somit nachgewiesener pytha- 
goräischer Ursprung den hier ausgesprochenen Vermutungen eine 
immer breitere Grundlage gewähren dürfte. 

Wieder weiterschließend war die Untersuchung an einem Punkte 
angelangt, wo der Weg sich spaltete. Man konnte, wo die Zahl ihren 
Dienst versagte, geometrische Beweise für den Satz yon den Quadraten 
über den Seiten rechtwinkliger Dreiecke suchen. Man konnte solche 
Zahlen suchen, die als Seiten rechtwinkliger Dreiecke auftreten 
konnten. Man schlug beide W^e ein. ^ 

Hier ist vielleicht der geeignete Ort, auf die Bedeutung des 
Wortes Hypotenuse (imoxeCvovöa) einzugehen'). Man hai xogäily 
die Saite, als zu ergänzendes Hauptwort vermutet, also die von unten 
nach oben gespannte Saite. Die Meinung ist durch ägyptische Ab- 
bildungen von Harfen dreieckiger Gestalt gestützt. Ob der der Hypo- 
tenuse gegenüberliegende Winkel ein rechter ist oder nicht, darauf 
kommt es nicht an. Musikalische Versuche werden Pythagoras ohne- 
hin nacherzählt, und mit diesen in VerbinduDg könnte die Beachtung 
der dreieckigen Harfe an Wahrscheinlichkeit gewinnen. 

Wir haben oben gesagt, daß der heute gebräuchlichste Beweis des 
pythagoräischen Lehrsatzes von Euklid herrühre. Der in der pytha- 
goräischen Schule selbst geführte muß von diesem verschieden ge- 



») Böckh, Phüolaus S. 165. Chaignet I, 246 — 247. «) Plutarchus, 
Co n vi via VUi, 2 II&s IlXdrtov ilsye rbv ßebv &il y sankst gslv. Die Stelle bei 
Piaton selbst ist nicht bekannt. Wenn Yossius in seiner Geschichte der Mathe- 
matik dafnr auf den Dialog ,^hilebus^' verweist, so dürfte dieses Zitat auf einem 
Irrtum beruhen; sagt doch schon Plutarch an der angegebenen Stelle ausdrück- 
lich, jener Ausspruch finde sich nicht in Piatons Schriften, könne aber ganz 
wohl platonisch sein. ') Max C. P. Schmidt, Philologische Beiträge, zweites 
Heft. Terminologische Studien. ^TTtotBivovaa pag. 9 — 46 (Leipzig 1906). 




Pythagoras und die Pythagoräer. Geometrie. 185 

wesen sein. Er dürfte seiner Altertümlichkeit entsprechend viele 
Unterfälle unterschieden haben und gerade vermöge dieser Weitläufig- 
keit aufs gründlichste beseitigt worden sein, wie wir daraus schließen 
dürfen, daß Proklus auch mit keiner Silbe des Ganges des voreukli- 
dischen Beweises gedenkt. Waren Unterfälle unterschieden, so ist die 
Wahrscheinlichkeit vorhanden, die Beweisführung 
sei von dem gleichschenkligen rechtwinkligen Drei- 
ecke ausgegangen^) und habe die Zerlegung des 
Quadrates durch seine Diagonalen (Fig. 28) zur 
Grundlage gehabt'), wenigstens hat sich in Piatons 
Menon dieser Beweis des Sonderfalles erhalten. 
Wie der weitere Fortschritt zum Beweise des all- 
gemeinen Satzes vollzogen wurde, darüber ist man ^^' ^^' 
in keiner Art unterrichtet. Die verschiedenen Wiederherstellungs- 
versuche, so geistreich manche derselben sind, schweben alle so 
ziemlich in der Luft^). 

Die arithmetische Aufgabe Zahlen zu finden, welche als 
Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks gezeichnet werden 
können, löste Pythagoras gleichfalls, und hier sind wir in der 
günstigen Lage, daß Proklus uns seine Auflösungsmethode aufbe- 
wahrt hat*). Er sei von irgend einer ungeraden Zahl 2 a + 1 aus- 
gegangen, welche er als kleinere Kathete betrachtete. Die Hälfte 
des um 1 verminderten Quadrates derselben gab die größere Eiithete 
2a* + 2a, diese wieder um 1 vermehrt die Hypotenuse 2a* -|- 2a + 1. 
Wie kam Pythagoras zu dieser Auflösung? Ein möglicher Weg ist 
folgender, welchen wir nur wenig gegen die Art, wie er zuerst ver- 
mutungsweise geschildert worden ist^), verändert der Prüfung unter- 
breiten. Ist a* =- 6* 4- c*, so ist c* = a* — 6* — (a -|- b) (a — b). Die 
Aufgabe der erstgeschriebenen Gleichung zu genügen läßt sich also 
erfüllen, wenn nur a + b und a — b beide gerad oder beide ungerad 
und zudem solche Zahlen sind, welche miteinander vervielfacht eine 
Quadratzahl liefern. Solche Zahlen kannte höchstwahrscheinlich be- 
reits die vorplatonische Zeit, da sie unter dem Namen ähnlicher 
Zahlen bei Theon von Smyma erklärt sind*). Die andere von uns 



») Hankel S. 98. *) Allman 1. c. S. 29. ») Vgl. Camerers Euklid- 
ansgabe I, 444 mit Bret8chneider82, sowie Zeuthen, Geschichte der Mathe- 
matik in Altertum und Mittelalter (Kopenhagen 1896) S. 60, wo die Meinung 
ausgesprochen ist, der alte Beweis sei mittels Ähnlichkeit von Dreiecken, also 
unter Ziehung der Senkrechten von der Spitse des rechten Winkels auf die 
Hypotenuse gefuhrt worden. *) Proklus (ed. Friedlein) 428. *) Roth, Ge- 
schichte der abendländischen Philosophie U, 627. ^ Theon Smyrnaeus (ed. 
Hiller) 36. 



186 7. Kapitel. 

heryorgehobene Bedingung beruht darauf, daß a und b ganzzahlig zu 
erhalten nur dann möglich ist, wenn Summe und Differenz von 
a -{-b und a — b beide gerad sind. Der einfachste Fall ähnlicher 
Zahlen ist nun selbstverständlich der der Einheit und einer Quadratzahl 
(^, und weil 1 ungerad ist, muß hier auch (^ und somit c selbst un- 
gerad sein, etwa c =» 2a + 1. So kam die Formel des Pythagoras 
darauf hinaus (2 a + 1)* =» (2a + 1)* . 1 zu setzen, und danach aus 
{2a + ly^a + b und 1 - a - 6 die Werte b = (g «+^i)'- i ^^^ 

Q B= ^ " ' ^^ ~ 1- 1 ZU ermitteln, welche zusammen mit c =« 2a + 1 

die gestellte Aufgabe lösen. Die Formen, in welchen b und a auf- 
treten, entsprechen, wie man sofort erkennt, genau dem Wortlaute 
der Angabe des Proklus, was immer ein günstiges Vorurteil für die 
Richtigkeit eines Wiederherstellungsversuches gewährt, und da über- 
dies in Ägypten, wie wir aus dem Übungsbuche des Ahmes wissen, 
Aufgaben von algebraischer Natur zu lösen nicht ungebräuchlich war, 
80 scheitert der Versuch auch nicht an der Frage, ob es für Pytha- 
goras möglich gewesen sei, schon derartige Schlüsse zu ziehen, wie 
sie hier verlangt wurden. 

Fassen wir den Inhalt dieses und des zunächst vorhergehenden 
Kapitels in Kürze zusammen. Pythagoras hat, so suchten wir zu 
erweisen, sicherlich in Ägypten, vielleicht in den Euphratländem 
mathematisches Wissen sich angeeignet. Ersteres geht wie aus den 
ausdrücklichen Überlieferungen, so auch aus dem ägyptischen Gepräge 
mancher geometrischer Entwicklungen, letzteres aus den babylonisch 
anmutenden Zahlehdifteleien der Pythagoräer hervor. Die Summe 
des geometrischen Wissens, welches von Pythagoras und seiner Schule 
den Griechen vor dem Jahre 400 zugänglich gemacht wurde, ist eine 
nicht ganz geringfügige. Sie umfaßte die Kenntnis von den Parallel- 
linien und den durch dieselben beweisbaren Winkelsätzen, insbesondere 
den Satz von der Summe der Dreieckswinkel, Sie umfaßte Kon- 
gruenzsätze des Dreiecks und Sätze über Flächengleichheit, deren 
Anwendung die sogenannte Anlegung von Flächen bildete. Sie ließ 
umgekehrt Figuren als Summe anderer Figuren entstehen, wobei 
vielleicht das Stemfünfeck entdeckt wurde, wenn wir auch für dieses 
nicht mit gleicher Sicherheit wie für die anderen Dinge die alten 
Pythagoräer als Urheber behaupten möchten. Sie umfaßte den pytha- 
goräischen Lehrsatz und den goldnen Schnitt. Sie enthielt endlich 
auch Anfänge einer Stereometrie, insbesondere die Kenntnis der fünf 
regelmäßigen Körper und der Kugel, welche dieselben umfaßt. Die 
Sätze waren mit Beweisen versehen. Allerdings ließen die Beweise 
vermutlich nicht gleich die Strenge erkennen, welche man geradezu 



Pjthagoras und die Pythagoräer. Geometrie. 187 

geometrische Strenge zu nennen pflegt^ und legten erst nach und 
nach den Charakter eines Erfahrungsbeweises ab, nahmen noch später 
jene allgemeineren Fassungen an^ welche in einheitlicher Betrachtung 
die Notwendigkeit der Unterscheidung von Sonderfällen verbannt. 
Noch unvergleichbar mehr leistete die pythagoräische Schule in der 
Arithmetik^ gerade durch die Große der Leistungen die Wahrschein- 
lichkeit fremden Ursprunges auch für diesen Zweig griechischer 
Mathematik bezeugend. Arithmetische^ geometrische, harmonische 
Verhältnisse und Reihen, unter den arithmetischen Reihen auch solche, 
welche die Sprache heutiger Wissenschaft arithmetische Reihen 
höherer Ordnung nennt, sind Dinge, die man am Anfange einer 
Entwicklung nicht zu finden erwarten darf, noch weniger die freilich 
auch weniger gut beglaubigten befreundeten und vollkommenen 
Zahlen. Die Überlieferung läßt wirklich einige dieser Gegenstände 
aus Babylon eingeführt sein. Fremdländisch war vielleicht auch die 
Methode des mathematischen Experimentes d. h. der Zerlegung von 
Figuren in andersgestaltete, der Vereinigung von Reihengliedem 
derselben oder verschiedener Reihen zu Summen, zunächst nur in der 
unbestimmten Absicht zu versuchen, ob dabei etwas geometrisch, 
etwas arithmetisch Merkwürdiges sich offenbaren möchte. Für grie- 
chisch dagegen hielten wir die eigentümliche Verquickung von Geo- 
metrie und Arithmetik, die geometrische Versinnlichung der Zahlen- 
lehre, wie sie ip der Ebenen- und Eörperzahl, in der Dreiecks- und 
Quadratzahl, in der Vielecks- und Gnomonzahl zutage tritt. Pytha- 
goräisch war nach unserer durch mannigfache Überlieferung gestützten 
Darstellung die Erfindung des Satzes von den Quadraten der Seiten 
des rechtwinkligen Dreiecks als eines arithmetischen ausgehend von 
dem bestimmten Zahlenbeispiele 3^ + 4* = 5*. Pythagoräisch war 
endlich eine Regel zur Ermittelung anderer Zahlen als 3, 4, 5, welche 
als Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks dienen können, pythagoräisch 
die Lehre vom Irrationalen. Vom Irrationalen sagen wir und müssen 
wir sagen, nicht von der Irrationalzahl, denn das Irrationale war den 
Griechen keine Zahl. War den Pythagoräem doch sogar die Einheit 
noch keine Zahl, sondern erst eine Vielheit von Einheiten. Brüche 
mögen dem Rechner vorgekommen sein, sei es als wirkliche Brüche 
mit Zähler und Nenner, sei es als Unterabteilungen von Münzen, 
von Gewichten, von Feldmaßen, jedenfalls immer als konkrete Brüche. 
Der abstrakte Bruch war für den Arithmetiker nicht vorhanden. 
Er kannte Brüche nur mittelbar als Verhältnis zweier Zahlen. Um 
so weniger konnte ihm das Irrationale eine Zahl sein, welchem nicht 
einmal ein aussprechbares Verhältnis den Eintritt in die Zahlenreihe 
gestattete. Diese wichtige Beschränkung des Begriffes der Zahl er- 



188 8. Kapitel. 

hielt sich über die Zeit der Pythagoräer weit hinaus. Sie blieb, was 
den Ausschluß der Irrationalen betrifiFt, so lange, als überhaupt von 
griechischer Arithmetik die Rede ist. 

8. Kapitel. 
Mathematiker außerhalb der pythagoräischen Sehale. 

Die Mathematik nahm, wie wir weitläufig gesehen hahen, einen 
mächtigen Aufschwung durch die pythagoräische Schule. Es war 
wohl eng damit verbunden, sei es als Ursache, sei es als Folge, daß, 
wie uns berichtet wird, die Mathematik den Pythagoräem als erstes 
und wichtigstes Lehrelement diente^). Damit ist aber nicht aus- 
geschlossen, daß auch andere Schriftsteller sich noch verdient machten. 
Hören wir, wie das alte Mathematikerverzeichnis fortfahrt: 

„Nach ihm (dem Pythagoras) lieferte der Elazomenier Anazagoras 
vieles über Geometrie, ingleichen Oinopides von Chios, der etwas 
jünger ist als Anaxagoras. Beider gedenkt Piaton in den Neben- 
buhlern als berühmter Geometer." 

Anaxagoras von Elazomene^) wurde vermutlich 500 geboren 
und starb 72 Jahre alt 428. Er gehörte einem vornehmen und 
reichen Hause an, achtete aber aus Liebe zur Wissenschaft weder auf 
die Verwaltung seines Vermögens, noch auf eine ihm leicht en-ing- 
bare politische Stellung. Seinen verwahrlosten Besitz soll er schließ- 
lich seinen Angehörigen überlassen, die Nichteinmengung in staat- 
liche Verhältnisse aber damit erklärt haben, daß ihm der Himmel 
Vaterland und die Beobachtung der Gestirne seine Bestimmung sei. 
Um 464 etwa dürfte er nach Athen gekommen sein, wenn anders 
der Bericht der Wahrheit entspricht, daß sein dortiger Aufenthalt 
30 Jahre gedauert habe. Er verließ nämlich diese Stadt um 434, 
wenige Jahre vor dem Beginne des peloponnesischen Krieges. Anaxa- 
goras lehrte in Athen als einer der ersten Philosophie, und unter 
seinen Schülern waren zwei Männer von verschieden begründetem, 
aber gleich hohem Ruhme: Euripides und Perikles. Perikles insbe- 
sondere blieb zu seinem Lehrer in fortwährend freundschaftlichem 
Verhältnisse, und als in der angegebenen Epoche, wenige Jahre vor 
431, die Gegner des großen athenischen Staatsmannes ihrer Feind- 
schaft gegen ihn in Gestalt von Verfolgung seiner Freunde Luft zu 
machen begannen, war gerade Anaxagoras eine zur Eröffiiung des 

^) Porphyrins, De vita Pffihagor. 47. Jamblichns, De philosophia 
Pythagor. lib. HI, abgedrackt bei Ansse de Villoison, Anecdota Oraeca. 
Venedig 1781, pag. 216. *) Schaubach, Fragmenta Änaxagorae. Leipzig 1827. 
Zeller I, 788—791. 



Mathematiker außerhalb der pythagorftischen Schale. 189 

Angrifies geeignete Persönlichkeit. Lehren eines Philosophen zu ver- 
dächtigen^ eines Denkers, welchen nicht jeder aus dem großen Haufen 
versteht, ist hei einigem guten Willen niemals unmöglich, und das 
mußte Anaxagoras erfahren. Er wurde ins Gefängnis gebracht und 
entkam diesem, sowie der Stadt Athen, man weiß nicht genau wie. 
Die einen berichten von Flucht aus dem Gefängnisse, die anderen 
Ton Verbannung, die dritten von Freisprechung und darauf folgendem 
nichterzwungenem Verlassen der ihm zuwider gewordenen Stadt 
Sicher ist, daß Anaxagoras die letzte Zeit seines Lebens in Lampsa- 
kus zubrachte. Wir haben über den eigenen Bildungsgang des 
Anaxagoras nichts gesagt. Die Nachrichten aus dem Altertume 
schweigen entweder über einen Lehrer, dem er gefolgt wäre, oder 
sie nennen ihn Schüler des Anaximenes. Wieder andere wissen von 
einer Studienreise nach Ägypten zu erzählen. Die erstere Angabe 
läßt sich mit dem gemeiniglich auf 499 angesetzten Todesjahr des 
Anaximenes nicht vereinigen. Die zweite ist an sich nicht unwahr- 
scheinlich, da, wie wir bei Thaies und Pythagoras gezeigt haben, ein 
Handelsverkehr zwischen den ionischen Städten und Ägypten statt- 
fand und selbst Studienreisen wohl beglaubigt sind. 

Von dem, was Anaxagoras als Mathematiker leistete, sind wir 
80 ziemlich, davon, wie er es leistete, gar nicht unterrichtet. Daß es 
etwas Hervorragendes gewesen sein muß, läßt sich zum voraus er- 
warten. Da in den Nebenbuhlern, einem Gespräche in Piatons Art, 
wenn auch nach heutiger Annahme nicht von Piaton verfaßt, ein 
Streit über astronomische und mathematische Dinge kurzweg als Streit 
über Anaxagoras oder über Oinopides bezeichnet wird^), so geht schon 
aus dieser Redeweise hervor, daß zur Zeit, als jenes Gespräch ent- 
stand, beide hochberühmt in ihrem Fache waren. 

Plutarch erzählt, Anaxagoras habe im Gefängnisse, das wäre 
also um 434, die Quadratur des Kreises gezeichnet^). So 
fraglich dieser Bericht früher erscheinen mochte, jetzt ist er sehr 
glaubwürdig geworden, nachdem wir wissen, daß die Ägypter mehr 
als ein Jahrtausend vor Anaxagoras die Quadratur des Kreises zeich- 
neten, d. h. eine Figur konstruierten, welche als Quadrat die Fläche 
des Kreises mehr oder weniger genau darstellte. Daß Anaxagoras 
der mangelnden Genauigkeit sich voll bewußt gewesen sein sollte, ist 
nicht anzunehmen. Er wird wohl, wie viele nach ihm, die volle 
Quadratur zu erreichen gesucht haben. Aber auch darin liegt ein 
Verdienst, eine Aufgabe an die Tagesordnung gebracht zu haben, 
welche später als fruchtbringend sich erwies. 

") Piaton, Rivalea 132 A. «) Plutarchua, De exilio cap. 17 &XX' 'Avct- 



190 8. Kapitel. 

Ein anderes Verdienst schreibt Vitnivius dem Anaxagoras zn. 
Als Aeschylus in Athen Dramen aufführen ließ^ also um etwa 470, 
habe ein gewisser A^atharchus die Schaubühne hergerichtet und 
eine Abhandlung darüber geschrieben. Daraus haben sodann Anaxa- 
goras und Demokrit Veranlassung genommen den gleichen Gegen- 
stand zu erörtern, wie man die gezogenen Linien den aus den Augen 
kommenden Sehstrahlen bei Annahme eines bestimmten Mittelpunktes 
entsprechend ziehe, so daß z. B. Gebäude auf Dekorationen dar- 
gestellt werden konnten, und was in einer Ebene gezeichnet war bald 
zurückzutreten, bald vorzurücken schien^). Das ist wenn auch in 
ungenügender so doch in nicht mißzuverstehender Weise beschrieben 
eine Perspektive. Deren Erfindung oder Ausbildung ist sicherlich 
nicht ohne Bedeutung, namentlich wenn die Reise des Anaxagoras 
nach Ägypten als wahr gelten darf, da er dort sein Auge nur an 
unperspektivisch entworfene Gemälde zu gewöhnen imstande war, und 
die gewohnte Darstellung ihn ebensowenig gehindert haben wird als 
Tausende, die vor ihm, die nach ihm bewundernd die bemalten 
Tempelwände anstaunten. 

Der andere durch die erwähnte Stelle in den Nebenbuhlern als 
allbekannt erwiesene Geometer war Oinopides von Chios. Er sei 
etwas jünger als Anaxagoras, meldet das uns in jeder Beziehung 
glaubwürdige Mathematikerverzeichnis. Eine annähernde Gleichaltrig- 
keit beider bestätigt Diogenes Laertius^. Oinopides soll gleichfalls 
in Ägypten gewesen sein. Gekommen sei zu ihnen ingleichen Demo- 
kritos von Abdera und Oinopides von Chios'), meldet Diodor an 
einer früher (S. 151) von uns angeführten Stelle. Geometrisches 
wissen wir von Oinopides nur, was Proklus in seinem Kommentare 
zum ersten Buche der euklidischen Elemente ihm zuschreibt^), daß 
er nämlich die beiden Aufgaben gelöst habe^), von einem Punkte 
außerhalb einer unbegrenzten Geraden ein Lot auf letztere zu 
fällen und an einem in einer Geraden gegebenen Punkte einen 
Winkel anzulegen, der einem gegebenen Winkel gleich seL Bei 
ersterer Aufgabe bedient sich Oinopides des „altertümlichen^ Wortes 
(S. 161) einer nach dem Gnomon gerichteten Linie. Aus dem un- 
gemein elementaren Gegenstande der ihm zugeschriebenen Aufgaben 
einen Schluß auf die Verdienste des Oinopides ziehen zu wollen, 
hieße seinen griechischen Verehrern jede Urteilsfähigkeit absprechen. 
Er muß noch Anderes und Bedeutenderes geleistet haben, was wir 



*) Vitruvins VII, praefat. 11. •) Diogenes Laertius EX, 37 und 41. 
<) Diodor I, 96. *) Proklus (ed. Friedlein) 888 und 838. «) Euklid I, 12 
nnd 23. 



Mathematiker außerhalb der pjthagoräischeu Schnle. 191 

aber nicht kennen. Seine Beziehung zu den beiden Aufgaben des 
Lotes und der Winkelanlegung ist gewiß dahin richtig gedeutet 
worden^), Proklus wolle nur sagen, die bei Euklid gelehrten Auf- 
lösungen rührten von Oinopides her^ während andere Auflösungen 
derselben dem Praktiker auf Weg und Steg vorkommenden Aufgaben 
längst vorher in Ägypten wie in Griechenland bekannt gewesen 
sein müssen. 

Im Zusammenhang mit beiden Geometem, mit Anax^oras wie 
mit Oinopides^ haben wir einen dritten genannt: Demokritus. Ab- 
dera^ jenes thrakische Krähwinkel des Altertums, von dessen Be- 
wohnern die schnurrigsten Geschichten erzählt werden, war die Heimat 
des Demokritus, dessen Ruhm, so bedeutend er war, nicht hinreichte, 
das Abderitentum in Schutz zu nehmen. Nach eigener Aussage 
40 Jahre jünger als Anaxagoras^) muß er um 460 geboren sein. 
Nach Diodor sei er dagegen im 1. Jahre der 94. Olympiade, das ist 
404 auf 403, im Alter von 90 Jahren gestorben*), was einen unlös- 
baren Widerspruch herstellt. Beglaubigt ist, daß * Demokritus ein 
hohes Alter von mindestens 90 Jahren erreichte; manche Berichte 
lassen ihn sein Leben sogar auf 100, auf mehr als 100, auf 109 Jahre 
bringen^). Vereinigen wir seine Geburtsangabe als mutmaßlich glaub- 
würdigste mit dieser Lebensdauer, so wird der Irrtum keinesfalls sehr 
groß sein, wenn man sein Leben etwa von 460 — 370 ansetzt, den 
Mittelpunkt seiner Tätigkeit in die Jahre 420 — 400 verlegt. Demo- 
kritus gehörte^ wie aus der Diodorstelle hervorgeht, zu den Fremden, 
deren Namen in den Matrikellisten der ägyptischen Priester aufge- 
führt wurden. Nach einem weiteren Berichte des Diodor verweilte 
er fünf Jahre in Ägypten*), und wenn in einem bei Clemens von 
Alexandria erhaltenen Bruchstücke des Demokrit selbst von 80jäh- 
rigem Aufenthalte die Rede ist^), so dürfte die Erklärung stichhaltig 
sein, hier habe einfach eine Verwechslung der älteren Zahlbezeich- 
nung iJ « 5 mit der jüngeren n == 80 stattgefunden. Auch Vorder- 
üsien und Persien bereiste Demokrit, wie allgemein berichtet und 
geglaubt wird'). Wir glauben diesen Umstand betonen zu sollen, 
' da er je nach den persönlichen Ansichten des einen oder des andern 
entweder dazu führen kann ähnlichen Reisen, welche Pythagoras etwa 
100 Jahre früher unternommen haben soll, einen gewissen Wahr- 
scheinlichkeitshalt zu gewähren, oder eine Erklärung uns darbietet, 
auf welche Weise ungefähr durch andere Reisende schon im Y. S. 



^) Bretschneider S. 66. ') Diogenes Laertius IX, 41. ") Diodor 
XIV, 11. *) Vgl. Zeller I, 686. ») Diodor I, 98. •) Clemena Alexandr. 
Stromata I, 804 A. ^ Zeller I, 688. 



192 8. Kapitel. 

YorchrisÜicher Zeitrechnung babylonische Lehren in das fast Tollendete 
Gebäude pythagoraischer Schulweisheit Eingang finden konnten. 

In Erinnerung an seinen ägyptischen Aufenthalt gebrauchte 
Demokrit das stolze Wort: ^Jm Konstruieren von Linien nach Maß- 
gabe der aus den Voraussetzungen zu ziehenden Schlüsse hat mich 
keiner je übertrofiPen^ selbst nicht die sogenannten Harpedonapten der 
Ägypter*', dessen wir (S. 104) gedachten; als von jenen Seilspannern 
die Rede war. Auch Cicero rühmt Demokrit als gelehrten, in der 
Geometrie vollkommenen Mann^). Mathematische Schriften des Demo- 
krit nennt uns Diogenes Laertius^), doch ist es leider nicht möglich, 
aus diesen Büchertiteln mehr als nur allgemeinste Kenntnis ihres 
Inhalts; und das nicht immer, zu gewinnen. Über aeometrie; Zahlen, 
das sind Titel allgemeinster Art, und ob wir unter der Geometrie 
etwa Feldmessung in unmittelbarer Beziehung zur Tätigkeit jener 
Harpedonapten zu verstehen haben, wagen wir kaum in Gestalt einer 
Frage zu äußern. Was mag aber der Titel xsqI diaq>0Q7}g yvAfiovog 
7j yc€Ql ipavöiog xvxXov tucI 6(pccCQrig (wörtlich: über den unterschied 
des Gnomon oder über die Berührung des Kreises und der Kugel) 
bedeuten? Als mögliche Erklärung ist vorgeschlagen worden*), Demo- 
krit habe einen rechten Winkel so mit dem Kreise beziehungsweise 
der Kugel in Verbindung gesetzt, daß der eine Schenkel durch den 
Mittelpunkt ging, die Spitze des Winkels auf die Ejreislinie (Kugel- 
oberfläche) fiel, weil alsdann der andere Schenkel zur Berührungs- 
linie wurde. Besser sagt uns die Erklärung zu^), welche auf ältere 
Handschriften des Diogenes Laertius zurückgreifend den Titel tccqI 
dtatpoQfjg yvAfirig x. r. X, liest, d. h. über einen Meinungsunterschied 
oder über die Berührung des Kreises und der Kugel. Der Meinungs- 
unterschied beziehe sich auf den Winkel, welchen die Berührungs- 
linie mit dem Kreise bilde, einen Winkel, von welchem, wie wir im 
12. Kapitel sehen werden, Euklid im HL Buche seiner Elemente 
handelte, und bestehe in der Größenvergleichung dieses Winkels mit 
geradlinigen Winkeln. Ein weiterer durch Diogenes Laertius über- 
lieferter Titel ist: tcbqI iXöymv yQanfLGiv xa£ va(ft&v fi (zwei Bücher 
von irrationalen Linien und den dichten Dingen)?^). Auch dafür ist 
eine Erklärung versucht worden®). Der Titel sei nämlich verderbt 
aus ytsql äköyov yQccfifi&v xhxtftcbv d. h. über irrationale gebrochene 



^) Cicero, De finibus hanürum et malorum l, 6, 20. *) Diogenes Laer- 
tius IX, 47. ') All man, Greek geometry from Thaies to £uclid, pag. 80. 
*) Briefliche Mitteilung von T. L. Heath. ') Daß yffaniuxl äXoyat nicht Asymp- 
toten bedeuten kann, wie in einer sonst brauchbaren Programmabhandlung ge- 
sagt ist, versteht sich von selbst. *) Hultsch in den Neuen Jahrbüchern för 
Philol. u. P&dagog. (1881) Bd. 128, S. 678—679. 



Mathematiker außerhalb der pythagoräischen Schale. 193 

Linien, und unter dieser Überschrift habe die Untersuchung sich 
teils mit solchen Irrationalii»ten beschäftigen können, welche Summen 
von rationalen und irrationalen Teilen waren, teils mit Zerbrechung, 
d. h. Teilung yon irrationalen Linien nach gegebenen Verhältnissen. 
Jedenfalls können wir, mag das letzte Wort des Titels geheißen 
haben, wie es will, seinen ersten Worten die nicht unwichtige Tat- 
sache entnehmen, daß Name und vermutlich auch BegrifiP des Irra- 
tionalen trotz der mystischen Scheu der Pythagoräer yerhältnismäßig 
frühzeitig außerhalb der Schule in Anwendung kam. Wichtig wäre 
uns vielleicht noch ganz besonders eine Stelle hei Plutarch, Demokrit 
habe den Kegel parallel zur Grundfläche geschnitten^), wenn über 
Art und Zweck der Schnittführung nur irgend Genaues gesagt wäre. 
Wir würden Einzelangaben etwa im Mathematikerverzeichnisse oder 
bei Proklus mit Freuden begrüßen. Da wie dort kommt der Name 
des Demokrit nicht einmal vor! 

Das Schweigen des Proklus läßt allerdings als absichtliches sich 
auffassen. Proklus gehörte zu den begeistertsten Spätplatonikem. 
Piaton war Gegner des Demokritus, dessen Werke er vernichtet wissen 
wollte, dessen Namen er in seinen zahlreichen Schriften niemals nennt ^. 
Proklus mochte nach Piatons Beispiel handeln. Aber das Mathe- 
matikerverzeichnis? Aristoteles, Theophrastus, Eudemus schätzten 
Demokritus und beschäftigten sich eingehend mit ihm. Daß das 
Mathematikerverzeichnis ihn, den vielgerühmten Geometer, nicht nennt, 
kann nur in doppelter Weise erklärt werden. Entweder ließ Proklus 
aus dem Verzeichnisse den ihm mißliebigen Namen weg, oder der 
Verfasser des Verzeichnisses hat ihn mit Unrecht vergessen, eine 
Vergeßlichkeit, welche uns einen der zahlreichen Belege für den Satz 
liefert, daß aus dem zufälligen Schweigen eines Schriftstellers Schlüsse 
nicht gezogen werden dürfen*). 

Der Vollständigkeit entbehrt das Mathematikerverzeichnis auch 
in einer anderen Beziehung, indem es über die Sophisten, welche 
der Mathematik sich befleißigten, insbesondere über Hippias von 
Elis in halbes Schweigen sich hüllt. Wir nennen es ein halbes 
Schweigen, weil der Name dieses Mannes, wie wir uns erinnern 
(S. 146), einmal bereits vorkam. Es handelte sich um den geometri- 
schen Ruhm des Mamerkus, für weichen Hippias von Elis als Ge- 
währsmann angerufen wurde, und diese Anrufung selbst genügt zum 
Nachweise, daß Hippias nach der Meinung des Verfassers des Ver- 
zeichnisses wohl fähig war über geometrische Tüchtigkeit ein Urteil 



*) Platarchns, De commimibus notitiis adversus Stoicos cap. 39, § 3. 
*) Diogenes Laertius IX, 40. ^ Vgl. Zeller I, 690. 

Oaittoii, GMchiohte der Mathematik I. S. Aufl. 13 



194 8. Kapitel. 

zu fällen. Allein der eigentliche Ort, des Hippias von Elis und seiner 
Verdienste um die Mathematik zu gedenken, würde doch erst neben 
oder nach Anaxagoras und Oinopides gewesen sein, und hier ver- 
missen wir seine Erwähnung. 

Proklus spricht dafür von ihm an zwei anderen Stellen^). Man 
bat freilich mehrfach Zweifel dagegen erhoben, daß der bei Proklus 
genannte Hippias wirklich Hippias von Elis sei^, aber sicherlich mit 
Unrecht. Proklus besitzt nämlich in seinem Kommentare eine Ge- 
wohnheit, von der er nie abgeht. Er schildert einen Schriftsteller, 
welchen er anführt, sofern Mißverständnisse möglich wären, mit 
deutUcher Benennung, läßt aber später die Beinamen weg, wenn er 
es unbeschadet der Deutlichkeit tun darf. So nennt er einen Zenon 
von Sidon später nur Zenon den früher erwähnten oder kurzweg 
Zenon; Leodamas heißt beim ersten Vorkommen von Thasos, später 
nur Leodamas; Oinopides von Chios wird später zum einfachen Oino- 
pides, Theätet von Athen zum Theätet usw. Hippokrates der Arzt 
wird an einer Stelle, Hippokrates von Chios an einer späteren ge- 
nannt, und wo noch später der letztere wieder auftritt, heißt er 
wieder Hippokrates von Chios, weil eben vorher zwei des Namens 
genannt waren, und damit zum Mißverständnisse Gelegenheit geboten 
war. Wenn also Proklus uns einen Hippias schlechtweg nennt, so 
muß das Hippias von Elis sein, der schon vorher einmal in dem- 
selben Kommentare deutlich bezeichnet war. Aber sehen wir sogar 
von dieser Gewohnheit des Proklus ab. Bei jedem Schriftsteller, ins- 
besondere bei jedem, der den Werken Piatons ein eingehendes Studium 
gewidmet hatte, konnte Hippias ohne jedwede andere Bezeichnung 
nur Hippias von Elis sein, eine viele Jahrhunderte lang teils um 
seiner Persönlichkeit willen, teils um seines mit zwei Dialogen ver- 
knüpften Namens wegen weit und breit bekannte Figur. Hippias 
von Elis war ein wegen seiner Eitelkeit, die selbst für einen Sophisten 
etwas hochgradig gewesen zu sein scheint, berüchtigter älterer Zeit- 
genosse des Sokrates. Seine Geburt dürfte auf 460 etwa anzusetzen 
sein*). Die Geistesrichtung und die Tätigkeit der Sophisten ist 
bekannt. Den eignen Vorteil über alles stellend lehrten sie *auch 
andere gegen mitunter recht hohe Bezahlung ihres Vorteils wahr- 
nehmen und durch Künste der Beredsamkeit, durch Schlüsse, welche 
Trugschlüsse sein durften, wenn sie nur wirksam sich erwiesen, im 

») Proklus (ed. Friedlein) 272 und 856. ^ F. Blaß in den Neuen Jahr- 
büchern für Philologie und Pädagogik Bd. 106 in einem Referate über Bret- 
Bchneiders Geometrie und Geometer vor Euklid. Hankel S. 161; aber auch 
schon im Bulletino Boncompagni 1872, pag. 297. Friedlein, Beiträge III, S. 8 
(Programm für 1878). «) Zeller 1,876. 



Mathematiker außerhalb der pythagoräischen Schale. 195 

Staatswesen und vor Gericht Einfluß und Geltung sich erwerben. 
Sittlichkeit kann die berufsmäßigen Rechthaber nicht ausgezeichnet 
haben y aber Scharfsinn , Schlagfertigkeit ^ umfassendes Wissen den 
Sophisten im allgemeinen und dem Hippias als einem ihrer Haupt- 
yertreter insbesondere abzusprechen ist man in keiner Weise befugt. 
So darf es gewiß nicht als Ironie aufgefaßt werden , wenn der Ver- 
fasser eines gleichviel ob mit Recht oder Unrecht Piaton zugeschrie- 
benen Gespräches sich zu den Worten veranlaßt sieht: Was du am 
besten verstehst, was die Sterne betri£Ft und was am Himmel sich 
zuträgt? . . . Aber etwas über Geometrie hören sie gem^). Ironisch 
klingt es auch nicht, wenn gesagt wird: Hippias sei des Rechnens 
und der Rechenkunst kundig vor allen anderen und kundig auch 
der Meßkunst ^). Am allerwenigsten vollends kann ein solcher Bei- 
schmack in der Rede gefunden werden, welche Piaton dem Protagoras 
in den Mund legt: Die anderen Sophisten beeinträchtigen die Jüng- 
linge. Sie führen dieselben, die von den Künsten sich abwendeten, 
den Künsten wider deren Willen zu, indem sie Rechenkunst und 
Sternkunde und Meßkunst und Musik sie lehren — und dabei warf 
er einen Blick auf Hippias — kommt er aber zu mir, wird er über 
nichts anderes Etwas lernen, als weshalb er zu mir kam^). Nach 
allen diesen Äußerungen glauben wir uns berechtigt anzunehmen, 
daß Hippias von Elis als Lehrer der Mathematik mindestens in 
gleichem Range wie als eigentlicher Sophist gestanden haben muß, 
daß er in naturwissenschaftlichem, mathematischem und astrono- 
mischem Wissen auf der Höhe der Bildung seiner Zeit sich befand^). 
Damit stimmt nun vollkommen überein, was von Hippias als 
Mathematiker uns mitgeteilt wird. Proklus spricht, wie erwähnt, 
zweimal von ihm. Die erste Stelle heißt: Nikomedes hat jeden gerad- 
linigen Winkel gedritteilt mittels der konchoidischen Linien, deren 
eigentümlicher Natur Entdecker er ist, und von denen er Entstehung, 
Konstruktion und Eigenschaften auseinandergesetzt hat. Andere haben 
dieselbe Aufgabe mittels der Quadratricen des Hippias und Nikomedes 
gelöst, indem sie sich der gemischten Kurvren bedienten, die eben den 
Namen Quadratrix (rstQayioviiovöa) führten; wieder andere teilten 
einen Winkel nach gegebenem Verhältnisse, indem sie von den Archi- 
medischen Spirallinien ausgingen^). Die zweite Stelle lautet: Ganz 
auf die nämliche Weise pflegen auch die übrigen Mathematiker die 
Kurven zu behandeln, indem sie das jeder Eigentümliche ausein- 



') Piaton, Hippias major 286. ■) Hippias minor 367—368. ■) Pia ton, 
Protagoras 318. *) So Karl Steinhart in seiner Einleitung zum größeren 
Hippias. *) Proklus (ed. Friedlein) 272. 

13* 



196 d. Kapitel. 

andersetzen. So zeigt ApoUonius das Eigentümliche jedes Kegel- 
schnittes, Nikomedes dasselbe für die Eonchoiden, Hippias für die 
Quadratrix, Persens für die Spiren^). Eine dritte Stelle eines anderen 
mathematischen Gewährsmannes allerersten Banges , des Pappus von 
Alexandria, sagt nns dagegen: Zur Qnadrator des Kreises wurde von 
DinostratuSy Nikomedes und einigen anderen Neueren eine Linie be- 
nutzt, welche eben von dieser Eigenschaft den Namen erhielt. Sie 
wird nämlich von ihnen Quadratrix genannt^). 

Aus der Zusammenfassung dieser drei Stellen') dürfte kaum ein 
anderer Sinn zu entnehmen sein, als der folgende. Hippias, und 
zwar Hippias von Elis, hat um 420 etwa eine Eurye er- 
funden, welche zu doppeltem Zwecke dienen konnte, zur 
Dreiteilung eines Winkels und zur Quadratur des Kreises. 
Von letzterer Anwendung erhielt sie ihren Namen, Quadratrix, wie er 
in lateinischer Übersetzung zu lauten pflegt, aber dieser Name scheint 
nicht über Dinostratus hinau&ureichen, dessen Zeitalter als Bruder 
des Menächmus, eines Schülers des Eudoxus Yon Knidos, etwa 
in die zweite Hälfte des lY. S. gesetzt werden muß. Ob die Kurve 
früher einen anderen Namen führte, ob sie überhaupt mit Namen 
genannt wurde, wissen wir nicht. Der erste ganz gesicherte Name 
einer von der Kreislinie verschiedenen krummen Linie wird uns am 
Anfang des zweiten Drittels des IV. S., annähernd 20 bis 30 Jahre 
vor Dinostratus begegnen, wo Eudoxus seine Hippopede erfand. Ist 
aber der Name Quadratrix erst nachträglich der Kurve des Hippias 
beigelegt worden, so schwindet die Notwendigkeit anzunehmen, sie 
sei zum Zwecke der Kreisquadratur erfunden worden, und man darf 
ihren ursprünglichen Zweck in dem suchen, was nach Proklus durch 
sie zu verwirklichen war, in der Dreiteilung des Winkels. 

Daß diese Aufgabe selbst auftauchte, kann uns nicht in Ver- 
wunderung setzen. Wir haben im vorigen Kapitel gesehen, daß die 
Konstruktion regelmäßiger Vielecke eines der geometrischen Lieb- 
lingsgebiete der Pythagoräer bildete. Die Teilung des ganzen Kreis- 
umfanges in sechs, in vier, in fünf gleiche Teile wurde gelehrt, und 
namentlich letztere als bedeutend schwieriger erkannt als die anderen 
längst bekannten Teilungen. Eine überwundene Schwierigkeit reizt 
zur Besiegung anderer, und so mag das Verlangen wach geworden 
sein nicht mehr den ganzen Kreis, sondern einen beliebigen Kreis- 
bogen in eine beliebige Anzahl gleicher Teile zu teilen. Schon bei 



») ProkluB (ed. Fr i edlein) 866. «) Pappua, Collectio Lib. IV, cap. XXX 
(ed. HultBch). Berlin 1876-1878, pag. 250. ') Vgl. Bretschneider 96 und 
168—164. 



Mathematiker außerhalb der pythagoreischen Schule. 197 

der Dreiteilung traten unbesiegbare Schwierigkeiten auf. Versuche 
diese Aufgaben mit Hilfe des Zirkels und des Lineals zu lösen 
mögen angestellt worden sein. Es ist uns nichts von ihnen bekannt 
geworden. Sie mußten erfolglos bleiben. Aber das zweite große 
Problem der Geometrie des Altertums neben der Quadratur des 
Kreises ; deren wir bei Anaxagoras gedenken mußten, war gestellt, 
und wie in der Geschichte der Mathematik fast regelmäßig zu- 
nächst unlösbaren Aufgaben zuliebe neue Methoden sich entwickelten 
und kräftigten, so fQhrte die Dreiteilung des Winkels, rgi^xoröfiia 
yorulag, die Trisektion, wie man gewöhnlich sagt, zur Erfindung 
der ersten von der Kreislinie yerschiedenen, durch bestimmte Eigen- 
schaften gekennzeichneten und in ihrer Entstehung verfolgbaren 
krummen Linie. 

Die Linie des Hippias entsteht durch Verbindung zweier Be- 
wegungen, einer drehenden und einer fort- j^ y 

schreitenden. „In ein Quadrat aß yd 
(Fig. 29) ist um a als Mittelpunkt und mit 
der Seite des Quadrats aß als Halbmesser 
ein Kreisquadrant ßsd beschrieben. Die Ge- 
rade aß bewegt sich dabei so, daß ihr einer 
Endpunkt a fest bleibt, der andere ß längs 
des Bogens ßsS fortschreitet. Andererseits 
soll die ßy immer der ad parallel bleibend 
mit dem Endpunkte ß auf der ßa fortrücken, und zwar sollen die 
beiden selbst gleichmäßigen Bewegungen der Zeit nach so erfolgen, 
daß sie zugleich beginnen und zugleich endigen, daß also a/S in 
seiner Drehung, ßy m seinem Fortgleiten im selben Moment in der 
Lage ad eintreffen. Die beiden bewegten Geraden werden in jedem 
Augenblicke einen Durchschnittspunkt gemein haben, der selbst im 
Fortrücken begriffen eine gegen ßsS hin gewölbte krumme Linie 
ß%ri erzeugt, welche geeignet erscheint ein der gegebenen Kreisfläche 
gleiches Quadrat finden zu lassen. Ihre beherrschende Eigenschaft 
besteht jedoch darin, daß eine beliebige Gerade a^s bis zum Kreis- 
quadranten gezogen das Verhältnis dieses Quadranten zum Bogen 
bS gleich dem Verhältnisse der beiden Geraden ßa und ^6 zuein- 
ander macht. Das ist nämlich klar aus der Entstehung der krummen 
Linie.'' So Pappus, der hier getreuer Berichterstatter über die alte 
Erfindung zu sein scheint. Die Kreisquadratur mit Hilfe der Quadratrix 
schließt sich bei Pappus unmittelbar an. Wir werden diese Anwendung 
erst in Verbindung mit dem Namen Dinostratus zur Rede bringen^). 




^) Diese ganze Stelle schließt sich eng an Bretschneider 1. c. an. 



198 8. Kapitel. 

Noch von einer anderen Persönlichkeit müssen wir hier ein- 
schaltend einiges sagen ^ von Zenon von Elea. Dieser Erfinder^) 
der eigentlichen Dialektik dürfte noch um 20 Jahre älter als Demo- 
kritns, um 30 bis 40 Jahre älter als Hippias gewesen sein und seine 
geistige Blüte in der Zeit gefeiert haben^ als letzterer kaum geboren 
war. Nach der als Stoa bezeichneten Halle ^ in welcher Zenon in 
Athen seine Vorträge hielt, nannte man seine Schüler die Stoiker. 
Zu diesen unmittelbaren Schülern gehörte Posidonius von Alexan- 
dria. Würde Zenon als Mathematiker eine Bedeutung haben, so 
könnte man uns mit Recht den Vorwurf machen, seiner hier an 
unrichtiger Stelle zu gedenken, der weiter oben behandelt werden 
mußte. Aber Zenon war nicht Mathematiker. Man wäre fast ver- 
sucht, ihn das Gegenteil eines solchen zu nennen. Wenigstens ver- 
suchte er mit philosophischem Scharfsinne die mathematischen Mei- 
nungen zu stürzen statt sie zu stützen. Die Zeit brachte das so 
mit sich. Die Atomistiker hatten die Teilbarkeit der Körperwelt in 
Frage gestellt, indem sie unteilbar kleine Urteilchen annahmen. Noch 
ungeheuerlicher war der Bruch mit dem Gewohnten als die Pytha- 
goräer den Begriff des Irrationalen unter die Denker warfen. Beab- 
sichtigt oder nicht, dieser Begriff drang, wie wir bei Demokritus 
(S. 193) gesehen haben, in weitere und weitere Kreise. Das Unaus- 
sprechliche war ausgesprochen, das Undenkbare in Worte gekleidet, 
das UnenthüUbare den Augen preisgegeben. Und wer nüchternerer 
Auffassung diese pythagoräische Scheu nicht teilte, dem war wenig- 
stens eine ganz neue Schwierigkeit unterbreitet, welche strengen 
Schlüssen nicht standhielt. Zahl und Raumgröße, bisher als zur 
gegenseitigen Messung oder Versinnlichung als unbedingt tauglich 
erachtet, zeigten plötzlich einen Widerspruch. Jeder Zahl entsprach 
noch immer eine Länge, aber nicht jeder Länge entsprach eine Zahl. 
Stetigkeit und Unstetigkeit waren damit entdeckt und den Philo- 
sophen als neues Denkobjekt vorgelegt. Kann man sich wundem, 
wenn letztere, um des Widerspruches, der in jenem Gegensatze ent- 
halten ist, sich zu erwehren, zu weit gingen, wenn sie dabei zur 
Leugnung der Vielheit, zur Leugnung der Bewegung gelangten? 

Man kennt ja die eigentümlichen Schlüsse Zenons^). Jede Viel- 



*) Diogenes Laertins XI, 26 q>rial d* 'AQLfftotilrig iv ta JSocpiöty evgeTriv 
ai)tbv ysviod'cci du(XsyiTi%ijg. Ebenso derselbe VIII, 57. *) Vgl. Zell er I, 497 
bis 607, woher wir unsere Anszüge meistens wörtlich entnehmen. Ferner G er- 
lin g, Ueber Zeno des Eleaten Paradoxen über die Bewegung (Marburg 1846). 
£. Raab, Die Zenonischen Beweise (Schweinfurt 1880) und P. Tannerj, Le 
concept scientifique du continu: Zänon d'^ll^e et 6. Cantor, im Oktoberheft 1885 
der Revue philosophique pag. 385—410. 



Mathematiker außerhalb der pythagoräischen Schule. 199 

heit ist eine Anzahl von Einheiten, eine wirkliche Einheit aber nur 
da^s Unteilbare. Jedes von den vielen muß also selbst eine unteil- 
bare Einheit sein, oder aus solchen Einheiten bestehen. Was aber 
unteilbar ist, das kann keine Größe haben, denn alles, was eine Größe 
hat, ist ins Unendliche teilbar. Die einzelnen Teile, aus denen das 
Viele besteht, haben mithin keine Größe. Es wird also auch 
nichts dadurch größer werden, daß sie zu ihm hinzutreten, und 
nichts dadurch kleiner, daß sie von ihm hinweggenommen werden. 
Was aber zu anderem hinzukommend dieses nicht vergrößert, und 
von ihm weggenommen es nicht verkleinert, das ist nichts. Das 
Viele ist mithin unendlich klein, denn jeder seiner Bestandteile ist so 
klein, daß er nichts ist. Andererseits aber müssen diese Teile auch 
unendlich groß sein. Denn da dasjenige, was keine Größe hat, nicht 
ist, so müssen die Vielen, um zu sein, eine Größe haben, ihre Teile 
müssen mithin voneinander entfernt sein, d. h. es müssen andere Teile 
zwischen ihnen liegen. Von diesen gilt aber das Gleiche: auch sie 
müssen eine Größe haben und durch weitere von den anderen ge- 
trennt sein, und so fort ins Unendliche, so daß wir demnach unend- 
lich viele Größen, oder eine unendliche Größe erhalten. Man kennt 
den Ausspruch des Zenon gegen Protagoras, ein Scheffel Frucht könne 
beim Ausschütten ein Geräusch nicht hervorbringen, wenn nicht jedes 
einzelne Korn und jeder kleinste Teil eines Kornes ein Geräusch her- 
vorbrächte. Man kennt seine Beweise für die Unmöglichkeit einer 
Bewegung. Ehe der bewegte Körper am Ziele ankommen kann, muß 
er erst in der Mitte des Weges angekommen sein, ehe er an dieser 
ankommt in der Mitte seiner ersten Hälfte, ehe er dahin kommt in 
der Mitte des ersten Viertels, und so fort ins Unendliche. Jeder 
Körper müßte daher, um von einem Punkte zum anderen zu gelangen, 
unendlich viele Räume durchlaufen. Es ist mithin unmöglich von einem 
Punkte zu einem anderen zu gelangen, die Bewegung ist unmöglich. 
Ebenso folgt die Unmöglichkeit, daß die Schildkröte, wenn sie nur einen 
Vorsprung hat, durch den schnellen Achilleus eingeholt werden könne, 
weil während Achilleus den ersten Vorsprung durchläuft, die Schildkröte 
bereits einen zweiten Vorsprung gewonnen hat, und so fort ins Unendliche. 
Der mathematisch sein sollenden Form wegen ist ein letzter Ein- 
wurf Zenons gegen die Bewegungslehre erwähnenswert. Eine Reihe 
von Gegenständen a^, Oj, «3, «^ ist räumlich mit zwei anderen 
Reihen von Gegenständen ß^, ß^, ß^, ß^ tmd y^, y^, ^g, y^ in Be- 
ziehung gesetzt, so daß sie nachfolgende gegenseitige Lage besitzen: 

«1 «2 «8 «4 
ßi A ßi ßi 



200 8- Kapitel. 

Die cc sind in Ruhe, die ß und die y sind in entgegengesetzter Be- 
wegung, jene von links nach rechts, diese von rechts nach links. 
Wenn ß^ bei a^ angelangt ist, ist y^ bei cc^ angelangt, und zu der- 
selben Zeit ß^ bei c^, y^ bei cc^. Demgemäß ist ß^ sowohl an Og 
und a^ als an yj, y,, y^, y^ vorbeigekommen, hat in einer und der- 
selben Zeit an zwei und an yier Gegenständen von genau gleicher 
Entfernung sich vorbeibewegen können und folglich zugleich eine 
einfache und eine doppelte Geschwindigkeit besessen, was unmög- 
lich ist. 

Wir haben dem Zenon weiter oben die Eigenschaft; als Mathe- 
matiker abgesprochen. Gerade dieser letzte Trugschluß rechtfertigt 
uns, denn hier sind irrigerweise absolute und relative Bewegungs- 
größen einander gleichgesetzt, was einem Mathematiker kaum be- 
gegnet wäre. Anders dagegen verhält es sich mit den vorher her- 
vorgehobenen Schlüssen und ihren sich widersprechenden Ergebnissen. 
Zenon suchte darzutun, daß ein Körper nicht eine Summe von 
Punkten, ein Zeitraum nicht eine Summe von Augenblicken, eine 
Bewegung nicht eine Summe einfacher Überg^ge von einem Punkte 
des Raumes zum anderen sei. Dieser ganze in geistreich erfundenen 
Widersprüchen geführte Streit richtete sich gegen die Pythagoräer *), 
welchen der Punkt eine fioväg ixovöa d'döiv, eine Einheit an be- 
stimmtem Platze hieß. War diese Erklärung richtig, dann war der 
Körper als Vielheit eine Summe von Einheiten, d. h. von Punkten, 
und dagegen erhob Zenon seine Stimme. Er sah hier, was vor ihm 
vielleicht noch nicht gesehen, jedenfalls nicht in gleich scharfer Be- 
tonung bemerklich gemacht worden war: Schwierigkeiten, denen in 
der Tat weder der Philosoph noch der Mathematiker in aller Strenge 
gerecht werden kann, wenn auch der Mathematiker dazu gelangte 
durch Einführung bestimmter Zeichen die Stetigkeit zu einer definier- 
baren Eigenschaft zu machen, und mit den Grenzen zugleich den 
Übergang zu den Grenzen der Untersuchung zu unterwerfen. Zwei 
Jahrtausende und mehr haben an dieser zähen Speise gekaut, und 
es wäre unbillig von den Griechen des fünften vorchristlichen Jahr- 
hunderts zu verlangen, daß sie in Klarheit gewesen seien über Dinge, 
welche, freilich anders ausgesprochen, noch Streitfragen unserer Gegen- 
wart bilden. 



*) Die Gegnerschaft Zenons gegen die Pythagoräer ist von Tannery 1. c. 
hervorgehoben worden. 



Maihem. außerhalb d. pjthagor. Schule. Hippokrates von Chios. 201 

9. Kapitel. 

Mathematiker anfierlialb der pythagorälsclien Sehnle. 
Hippokrates Ton Chios. 

Den Mathematikern scheint nächst dem Irrationalen bei Gelegen- 
heit der Ereisquadratur der erste Anlaß geboten worden zu sein, 
Fragen des stetigen Überganges zu behandeln, und dieses führt uns 
zurück zu dem Mathematikerverzeichnisse, welches mit den Worten 
fortfahrt: 

,,Nach diesen wurde Hippokrates von Chios, der die Quadratur 
des Mondes fand, und Theodorus von Kyrene in der Geometrie be- 
rühmt, unter den hier Genannten hat zuerst Hippokrates Elemente 
— ötoixela — geschrieben." 

Von dem Leben des Hippokrates von Chios sind uns nur 
wenige Züge bekannt^). Ursprünglich Kaufmann kam er durch einen 
unglücklichen Zufall um sein Vermögen. Die einen erzählen, die 
Zolleinnehmer von Byzanz, gegen welche er sich leichtgläubig er- 
wies, hätten ihn darum geprellt, die anderen lassen ihn durch See- 
räuber geplündert worden sein. Man hat beide Angaben so zu ver- 
einigen gesucht, daß man mutmaßte, athenische Seeräuber hätten aus 
Veranlassung eines Krieges gegen Byzanz das Schiff des Hippokrates 
weggenommen. Jener Krieg sei der sogenannte Samische Krieg um 
das Jahr 440 gewesen, an welchem tatsächlich die Byzantiner gegen 
die Athener teilnahmen, und um diese Zeit sei also Hippokrates nach 
Athen gekommen. Ohne die Möglichkeit in Abrede zu stellen, daß 
es sich so verhalten haben könne, bedürfen wir jedoch dieser Ver- 
mutung nicht, um die wichtigste Folgerung zu ziehen, welche sie für 
uns enthält, nämlich den Aufenthalt des Hippokrates in Athen zu 
begründen und zeitlich zu bestimmen. Die ungefähre Lebenszeit des 
Hippokrates geht schon aus seiner Stellung innerhalb des Mathema- 
tikerverzeichnisses hervor, sein Aufenthalt in Athen, der Stadt, welche 
gerade damals mit Recht begann als erste Stadt Griechenlands zu 
gelten, hat eine besondere Veranlassung nicht notwendig gehabt. 
Jedenfalls war Hippokrates von Chios in der zweiten Hälfte des 
V. S. in Athen und kam dort mit Pythagoräem, d. h. offenbar mit 
versprengten Mitgliedern der italischen Schule zusammen, in deren 



^) Die betreffenden Stellen des Aristoteles (Ethic. ad Eudem. YR, 14) und 
des Johannes Philoponus {Comment in Äristotel phya. auscuU, f. 18) sind abge- 
druckt bei Bretschneider 97, wo die im Texte dargestellte Vereinigung der 
beiden Angaben versucht ist. 



202 9. Kapitel. 

Gesellscliaft er geometrisches Wissen sich aneignete. Es wird sogar 
erzählt, er habe es sehr bald dahin gebracht, selbst Unterricht in der 
Mathematik erteilen zu können und habe dafQr Bezahlung ange- 
nommen. Von da an hätten die Pythagoräer ihn gemieden^). 

Diese Geschichte erscheint, insbesondere was den durch Hippo- 
krates gewohnheitsmäßig erteilten mathematischen Unterricht betrifft, 
sehr glaubwürdig. Damit stimmt nämlich vortreflflich überein, was 
das Mathematikerverzeichnis uns meldet, daß Hippokrates das 
erste Elementarlehrbuch der Mathematik verfaßt habe. 
Weit hervorragender aber sind die eigentlichen geometrischen Erfin- 
dungen des Hippokrates, welche auf zwei Probleme sich beziehen: 
auf die Quadratur des Kreises und auf die Verdoppelung des Würfels. 

Die Quadratur des Kreises, von Anaxagoras zuerst versucht, hat 
auch unter den Sophisten wenige Jahrzehnte vor Hippokrates wenn 
nicht bis zu seiner Zeit herab Bearbeiter gefunden. Es ist kaum 
wahrscheinlich, daß die Wortklauberei so alt sei, mit welcher man 
nach einer Quadratzahl suchte, die zugleich zyklisch sei*), d. h. mit 
derselben Endziffer schließe wie ihre Wurzel z. B. 25 = 5*, 36 = 61 
Diese Spitzfindigkeit ist erst bei Alexander von Aphrodisias (um 200 
nach Christus) nachweisbar'). Aber die Versuche von Antiphon und 
Bryson sind sehr bemerkenswert. 

Antiphon, ein Zeitgenosse des Sokrates, mit welchem er über 
verschiedene Dinge in Hader lag*), schlug den Weg ein, daß er in 
den Kreis ein regelmäßiges Vieleck, etwa ein Quadrat oder ein regel- 
mäßiges Dreieck, einzeichnete*). Von diesem ging er zu dem Viel- 
ecke doppelter Seitenzahl über. So soll man fortschreiten bis dem 
Kreise ein Vieleck werde eingeschrieben werden, dessen Seiten ihrer 
Kleinheit halber mit dem Kreise zusammenfallen würden. Nun könne 



*) Jamblichus, De philosoph. Pythagor. lib. m, bei Ansse de Villoi- 
Bon, Anecdota Graeca^ pag. 216. *) So berichtet Simplicius in einer unter 
anderen bei Bretschn eider 106—107 abgedrackten Stelle. *) Vgl. über das 
Alter der Stelle P. Tannery in der Bibliotheca Mathematica 1900 (3. Folge 
1,266). *) Diogenes Laertius II, 46. '^) Der Bericht des Simplicius abgedruckt 
bei Bretschneider, der das große Verdienst sich erworben hat, diese sämt- 
lichen Untersuchungen zuerst für die Geschichte der Mathematik nutzbringend 
gemacht zu haben. Bedeutend vertieft haben sich die Forschungen über das, 
was Simplicius berichtet, seit der Ausgabe von Simplicii in Aristotelis phjsico- 
mm libros quatuor priores durch Herm. Diels (Berlin 1882), in deren Vorrede 
auch Arbeiten von üsener und P. Tannery verwertet sind. Noch neuer ist 
Tannery, Le fragment d'Eud^me sur la quadrature des lunules (Mämoires de 
la Sociät<§ de sciences physiques et naturelles de Bordeaux. 2* S^rie T. V und 
Heiberg im Philologus XLin, :SS6— 344. Abschliefiend ist Ferd. Rudio, Der 
Bericht des Simplicius über die Quadraturen des Antiphon und des Hippokrates 
in der Bibliotheca Mathematica 1902 (3. Folge III, 7—62). 



Mathem. außerhalb d. pytbagor. Schule. Hippokxates von Chioe. 208 

man, wie man in den Elementen gelernt habe, za jedem Vielecke ein 
gleichflächiges Quadrat zeichnen, folglich aach zu dem Kreise mittels 
des Vielecks, welches an seine Stelle getreten sei. So der Bericht 
des Simplicius, eines Erklärers des Aristoteles aus dem VI. S., in 
seinem Kommentare zur Physik des Stagiriten als Einleitung in den 
selbst aus Eudemus geschöpften Bericht über den Quadrierungsver- 
such des Hippokrates, der uns nachher zu beschäftigen hat. Ein 
anderer Kommentator des Aristoteles, Themistius (ungefähr 317 — 387), 
weiß die Sache ganz ähnlich^). Die Übereinstimmung beider Berichte 
spricht für eine gleiche Quelle, wahrscheinlich den Eudemus. 

Ein anderer Geometer der gleichen Zeit etwa wie Antiphon war 
der Sophist Bryson aus Herakläa, der Sohn des Herodorus. Er 
wird auch wohl als Pythagoräer bezeichnet. Er ging in seinem Ver- 
suche die Quadratur des Kreises zu finden, von welchem wir wieder 
durch einen anderen Erklärer des Aristoteles, durch Johannes Philo- 
ponus unterrichtet sind*), um einen sehr bedeutsamen Schritt über 
Antiphon hinaus. Er begnügte sich nicht damit ein Kleineres als 
den Kreis zu finden, welches sich nur wenig von ihm unterschied, 
er verschaffte sich auch ein der gleichen Forderung genügendes 
Größeres. Er zeichnete neben den eingeschriebenen Vielecken auch 
umschriebene Vielecke von immer größerer Seitenzahl und beging 
bei Ausführung dieses vollständig richtigen Gedankens nur einen da- 
mals freilich verzeihlichen Fehler, indem er meinte, die Kreisfläche 
sei das arithmetische Mittel zwischen einem eingeschriebenen und 
einem umschriebenen Vielecke. Es ist nicht wahr, sagte später Pro- 
klus diesen Versuch vornehm zurückweisend, daß die Stücke, um 
welche jene Vielecke größer und kleiner als der Kreis sind, sich 
gleichen. Aber auch welche Entwicklung der Geometrie zwischen 
Bryson und Proklus! Wir glauben über das Irrige an Brysons 
Folgerung hinweggehen zu dürfen, den Tadel irgend einen Mittelwert 
mit dem arithmetischen Mittel verwechselt zu haben, ersticken zu 
müssen unter dem Lobe in der Erkenntnis des Grenzbegriffes weiter 
gekommen zu sein als alle Vorgänger. 

So weit freilich wie Aristoteles, wenn wir dieses vorgreifend 
hier erwähnen dürfen, ist auch Bryson nicht gegangen. Aristoteles 
wußte und sagte *•) in Worten, deren wir heute uns noch vielfach 



*) Themistii in Aristotelia physica paraphrasig (ed. H. Schenkl, Berlin 
1900). *) Bretschneider 126. ») Aristoteles, Physic. III, 4. Die Zusammen- 
stellung der auf den Grenzbegriff und auf das Unendliche bezüglichen Stellen 
des Aristoteles usw. bildet eines der schönsten Kapitel bei Hankel 115 — 127. 
Vgl. auch Görland, Aristoteles und die Mathematik (Marburg 1899) S. 162 
bis 183. 



204 9. Kapitel. 

bedienen ; ohne das Bewußtsein zu haben seine Schüler zu sein: 
„Stetig — 6vvB%iq — sei ein Ding^ wenn die Grenze eines jeden 
zweier nächstfolgender Teile ^ mit der dieselben sich berühren^ eine 
und die nämliche wird und, wie es auch das Wort bezeichnet, zu- 
sammengehalten wird/' Aristoteles wußte, daß es ein anderes ist 
unendlich vieles zu zählen, oder durch unendlich viele nicht vonein- 
ander zu scheidende Punkte sich bewegen. Er löste das Paradoxon 
der Durchlaufung dieser unendlich vielen Raumpunkte in endlicher 
Zeit durch das neue Paradoxon, daß innerhalb der endlichen Zeit 
unendlich viele Zeitteile von unendlich kleiner Dauer anzunehmen 
seien. Es gibt für ihn kein reales Unendliches in zusammenhangloser 
ünbeschränktheit des Begriffes, so daß Größeres oder Kleineres nicht 
möglich ist, sondern nur Endliches von beliebiger Größe, von be- 
liebiger Kleinheit. Das unendliche bleibt nicht, es wird.^) Aber 
man vergesse nicht, daß Aristoteles schon um ein weiteres Jahr- 
hundert nach der Zeit lebte, welche uns in diesem Augenblicke be- 
schäftigt, und daß er Aristoteles war, einer jener Geister, die für alle 
Zeiten lebend der eigenen Zeit meist unverstanden bleiben. 

Bis zu einem gewissen Grade darf man letzteres vielleicht auch 
für Antiphon und Bryson behaupten. Die Mitte des V. S. konnte 
sich mit Schlußfolgerungen, wie diese beiden Männer sie zogen, nicht 
befreunden. Sie konnte nicht über den Widerspruch hinaus, noch 
um den Widerspruch herum kommen, der darin liegt, die krumme 
Kreisfläche durch eine geradlinig begrenzte Yielecksfläche erschöpfen 
zu lassen. Eine mathematische Begründung irgendwelcher Art, am 
naturgemäßesten ein selbst auf einen Widerspruch gebauter Beweis 
der Unmöglichkeit der entgegengesetzten Annahme, mußte vorausgehen 
und das bilden, was man die geometrische Exhaustion nennt. 

Aller Wahrscheinlichkeit nach versuchte Hippokrates von 
Chi 08 zuerst oder als einer der Ersten eine solche Schlußfolgerung 
um zu dem Satze zu gelangen, daß Kreisflächen den Quadraten 
ihrer Durchmesser proportional seien, ein Satz, den er, wie 
Eudemus ausdrücklich sagt'), bewiesen hat. 

Die Wiederherstellung dessen, was in der Tat Hippokrates ange- 
hört, ist allerdings schwierig. Der Bericht im ganzen stammt, wie 
wir (S. 202) sagten, von Simplicius her. Manches hat dieser von 
Alexander von Aphrodisias entnommen, anderes und zwar wörtlich 
{xaxa Xiiiv) von Eudemus. Er selbst hat es an erUlutemden Be- 
merkungen auch nicht fehlen lassen, deren Erkennungszeichen zum 



>) Aristo telSB, Physic. III, 7 6v(i% iiivsi rj insigla ScXlcc ylyvetM, *) Eudemi 
fragmenta (ed. Spengel) pag. 128, lin. 29. 



Mathem. außerhalb d. pyÜiagor. Schule. Hippokrates von Chios. 205 

Teil ein plötzlicher Übergang der Redeweise ans der dritten in die 
erste Person bildet. Wie ist aus diesem Gemenge das herauszuschälen, 
was Eudemns sagte, wie daraus wieder was in der Abhandlung des 
Hippokrates stand? Wir folgen in unserer Darstellimg dem letzten 
Bearbeiter der Frage ^) und Yerweisen für die nähere Begründung auf 
dessen umfangreiche Studie. 

Zunächst ist yon der Form zu reden. Es ist wohl nicht daran 
zu zweifeln, daß Eudemus, daß yor ihm Hippokrates Figuren zeich- 
nete und an die einzelnen Punkte derselben Buchstaben schrieb. Wir 
haben früher gesehen, daß die Ägypter ihren Figuren teilweise die 
Längenmaße beischrieben, welche den Linien derselben zukamen. Wir 
haben darin yielleicht die Anregung gefunden, infolge deren Zahlen - 
großen durch Linien zur Yersinnlichung gebracht wurden (S. 168). 
Die Ägypter gingen über diese messende Bezeichnung hinaus. Eine 
gewisse Allgemeinheit gab sich kund, wenn die Scheitellinie mit 
merit, die Grundlinie der Pyramide mit uchtxkbt usw. bezeichnet wurde, 
indem hierdurch die yon Figur zu Figur unyeränderliche Lage gegen 
die jedesmal wechselnde Länge als das wichtigere in den Vordergrund 
trat. Aber Punkte nun gar durch Buchstaben zu benennen, welche 
nicht Zahlenwerte, nicht Abkürzungen yon Wörtern, welche etwa so 
anfingen, sein sollten, sondern nur Buchstaben als solche, damit die 
Möglichkeit zu geben eine Figur auch ziemlich yerwickelter Art nur 
zu denken und doch mit dem Texte in yerständlichen Einklang zu 
bringen: das ist eine Art yon allgemeiner Symbolik, ist die bei Geo- 
metem erkennbare Vorläuferin der algebraischen Bezeichnung der 
Unbekannten durch einen Buchstaben, oder wenigstens durch ein 
Wori Und innerhalb dieser Symbolik selbst ist ein Fortschritt nach- 
weisbar: die älteren Geometer, wie Eudemus, wie yor ihm yermutlich 
Hippokrates, sprechen yon einer Linie, „an welcher AB (steht)'', yon 
einem Punkte, „an welchem K (steht)'', während es bei den Späteren, 
bei Euklid usw. kurzweg heißt „die Linie jiB^ oder „der Punkt iC". 

Ob Hippokrates der erste war, welcher die geometrischen 
Figuren mit zur Bezeichnung dienenden Buchstaben yersah, 
das wissen wir nicht Wahrscheinlich ist es uns nicht, weil Eudemus 
sonst yermutlich in seinem Berichte auf diese Neuerung hingewiesen 
haben würde. Wir neigen weit eher der Meinung zu, Hippokrates 
werde die geometrische Anwendung der Buchstaben yon den Pytha- 
gorilem gelernt haben, denen er ja auch sein mathematisches Wissen 



^) F. Rudio in der Bibliotheca mathematica 1902, 8. Folge III, 7—62 und 
in der VierteljahrBchrift der Naturforachenden Gesellschaft in Zürich, Jahr- 
gang L (1906). 



206 d. Kapitel. 

überhaupt verdankt haben soll. Dafür spricht, daß das StemfÜnfeck, 
welches den Pythagoräem als Erkennungszeichen, auch wohl als Briet- 
überschrift diente (S. 178), an seinen Ecken die Buchstaben gefQhrt 
haben soll, welche das Wort Gesundheit bildeten. So wird wenig- 
stens allgemein die Stelle aufgefaßt, daß jene Figur Gesundheit ge- 
nannt worden sei. 

Bei Hippokrates bestand dagegen eine Sitte noch nicht, welche 
bei Euklid mit der Regelmäßigkeit eines Gesetzes herrschend geworden 
ist: die Sitte nämlich unter die zur Bezeichnung von Figuren be- 
nutzten Buchstaben niemals das I zu begreifen, sondern nach ® sofort 
zu K überzugehen. Offenbar wollte man dadurch der leicht mög- 
lichen Verwechslung des Buchstaben I mit einem einfachen Vertikal- 
striche vorbeugen^). Der Bericht des Eudemus über Hippokrates, 
also wahrscheinlich auch Hippokrates selbst, übersprang das I noch 
nicht*), und auch bei der eben erwähnten pythagoräischen Bezeich- 
nung der Ecken des Pentalpha spielt I eine Rolle. 

Wir kommen nach diesen die Form betreffenden Vorbemerkungen 
zu dem eigentlichen Inhalte der Abhandlung des Hippokrates, dessen 
Verständnis wesentlich davon beeinflußt ist, wie man das in dem Be- 
richte vorkommende Wort xfifiiia übersetzt, welches jedenfalls ein 
durch Schneiden aus dem Kreise hervorgegangenes Flächenstück be- 
deutet. Wie der erzeugende Schnitt beziehungsweise die erzeugenden 
Schnitte geführt werden, ist nicht gesagt. An und für sich kann 
also ebensogut das gemeint sein, was man nachmals einen Kreis- 
abschnitt, Segment, als das, was man nachmals einen Kreisausschnitt, 
Sektor, nannte. Der neueste Herausgeber^) ist der Ansicht^ man habe 
in früher Zeit bald das eine, bald das andere zfirifia genannt, und 
man müsse meistens Segment als Übersetzung gelten lassen, was aber 
nicht ausschließe, daß in vereinzelten Fällen die Übersetzung Sektor 
richtig sei. Ein anderes offenbar von Hippokrates eingeführtes Wort 
(irjVLöxog Mondchen (lateinisch lunula) bedarf kaum einer besonderen 
Erklärung; es ist eine Mondsichel gebildet durch zwei Kreisbögen, 
welche verschiedenen Kreisen angehörend nach der gleichen Richtung 
gekrümmt sind und mit ihren Endpunkten zusammentreffen. 

Grundlage der ganzen Untersuchung ist der Satz, daß ähnliche 
Segmente dasselbe Verhältnis zueinander haben wie die Grundlinien 
in der Potenz. Ähnliche Sektoren sind nämlich solche, welche gleiche 
UntervieKache der betreffenden Kreise sind, und wie die Kreise selbst 



*) Nach Professor Studemund. Vgl. Zeitschr. Math. Phys. XXI, ffisto- 
risch-literarische Abteilung S. 183. ') Rudio 1. c. S. 24. ») Rudio, Anmer- 
kung 67 auf S. 41—46. 



Uathem. anBerbalb d. pytliagor. Schule. Hippokratee von ChioB. 207 

den Potenzen ihrer Durchmesser oder auch ihrer Halbmesser pro- 
portional sind, so verhält es sich auch mit ähnlichen Sektoren der- 
selben. Der Sektor besteht aber aus einem Dreiecke und einem Seg- 
mente. Ähnlichen Sektoren entsprechen ähnliche Dreiecke, welche 
ebensogut den Potenzen der Halbmesser als der Grundlinien propor- 
tional sein müssen, und die ähnlichen Segmente werden wieder in dem 
gleichen Verhältnisse stehen müssen. Ähnliche Segmente nehmen 
gleiche Winkel auf, und zwar sind die aller Halbkreise Rechte 
und die der größeren kleiner als Rechte und die der klei- 
neren größer als Rechte. 

Wir halten einen Augenblick ein, um festzustellen, daß demnach 
Hippokrates mit der Gleichheit von auf demselben Bogen aufstehen- 
den Peripheriewinkeln bekannt war. 

Allein auch das von ihm benutzte Wort Svvayug^ Vermögen, 
lateinisch potentia gibt zu Bemerkungen Anlaß. Daß aus der latei- 
nischen Übersetzung nachmals unsere Potenzgrößen entstanden 
sind, liegt auf der Hand. Ursprünglich war unter Svvafits nur die 
zweite Potenz verstanden und das Vorkommen des Wortes als Kunst- 
ausdruck bei Hippokrates, den Eudemus hier wörtlich ausgenutzt 
haben dürfte, ist das erste nachweisbare. Später kommt das Wort 
sowohl in mathematischem als in nichtmathematischem Sinne ungemein 
häufig vor. Piaton hat es benutzt^), Aristoteles nicht minder an un- 
zähligen Stellen, wo auch von dem dynamischen Auftreten dieser 
oder jener Eigenschaft — wir sagen gewöhnlich in einer lateinischen 
Wortform deren virtuelles Auftreten — die Rede ist, der Kunstaus- 
druck der einen Wissenschaft zum Kunstausdrucke einer anderen 
wurde. Es scheint fast, als läge in den Wörtern övvaiiig und rsTQci- 
yopog ein ähnlicher Gegensatz wie in unseren Ausdrücken „zweite 
Potenz" und „Quadrat". Das eine Wort bezieht sich auf die arithme- 
tische Entstehung als Zahl, das andere auf die geometrische Deutung 
als Fläche, und somit wäre bei Hippokrates von einer rechnenden 
Vergleichung der Kreisflächen, wie sie aus ihi-en Durchmessern sich 
ermitteln lassen, die Rede. Damit soll freilich, wie wir im 11. Ka- 
pitel sehen werden, keineswegs gesagt sein, Hippokrates habe die 
Proportionalität von Kreisfläche und zweiter Potenz des Durchmessers 
rechnend erkannt. 

Das Verfahren des Hippokrates wird nun in der Weise geschil- 
dert, daß dessen erster Versuch dahin ging, die Quadratur eines 
Mondchen zustande zu bringen, dessen äußerer Bogen ein Halbki'eis 
wäre (Fig. 30). Zu diesem Zweck beschrieb er um ein sowohl recht- 



») Piaton, Theaefcet pag. 147. 




208 9. Kapitel. 

winkliges als gleichschenkliges Dreieck einen Halbkreis und über der 
Basis ein Kreissegment ähnlich denen^ die von den Seiten abge- 
schnitten werden. Das Segment über der 
Basis ist gleich den beiden über den ande- 
ren Dreiecksseiten und so wird, wenn der 
Teil des Dreiecks, der außerhalb des über 
der Basis beschriebenen Segmentes liegt, 
beiderseits hinzugefügt ist, das Mondchen 
gleich dem Dreiecke sein. 
Der zweite Versuch gilt einem Mondchen, dessen äußerer Bogen 
größer als ein Halbkreis ist (Fig. 31). Hippokrates beschreibt in das 

durch den erwähnten größeren 
Bogen und dessen Sehne gebildete 
Segment ein Paralleltrapez mit drei 
gleichen Seiten; er bestimmt dabei, 
daß das Quadrat der Gh-undlinie so 
groß sein solle wie die Summe der 
Quadrate der drei anderen Seiten ^). 
Wird alsdann über der Grundlinie 

Fig. 81. 

ein Segment ähnlich den drei an- 
deren gezeichnet, so ist das hierdurch entstehende Mondchen quadrier- 
bar'). Daß der äußere Bogen des Mondchen größer als ein Halbkreis 
sei, wird von Eudemus, vielleicht schon von Hippokrates, bewiesen 
und zwar mit Hilfe des Satzes, daß der Winkel, welchen eine Seite 
des Trapezes mit einer Diagonale desselben bildet, ein spitzer Winkel 
sei. Diese Tatsache folgt ihm aber selbst wieder daraus, daß das 
Quadrat der Grundlinie des Trapezes, dessen Beziehung zu den anderen 
Seiten des Trapezes bekannt ist, kleiner als die Summe des Quadrates 
einer kleinen Trapezseite und des Quadrates einer Trapezdiagonale ist, 
welches selbst, weil die Diagonale einem von zwei kleinen Trapez- 
seiten gebildeten stumpfen Winkel gegenüberliegt, größer als das 
doppelte Quadrat einer kleinen Trapezseite ist. 

Eine sprachliche und eine sachliche Bemerkung sei hier einge- 
schaltet. Was hier als Diagonale übersetzt wurde, heißt bei Eudemus 
und auch sonst häufig Diameter. In den beiden ersten Quadrierungs- 
versnchen ist der wichtige Satz benutzt, daß das Quadrat einer 




*) Das tritt ein, wenn die kleine Seite a = rV'a — ya. Vgl. über die 
Mondchen des Hippokrates einen Aufsatz von C lausen (Grelles Journal XXI, 
376) und Hankel 127. *) Das Mondchen ist, wie Simplicius beweist, gleich 
dem Trapeze, welches entsteht, wenn von dem grofien Segmente die drei kleinen 
Segmente abgezogen werden, während das Mondchen durch Abziehen jenes den 
drei kleinen Segmenten ähnlichen Segmentes über der Grundlinie übrig bleibt. 



Maihem. außerhalb i. pythagor. Schule, fiippokrates von Chios. 209 




Xlg. 88. 



Dreiecksseite gleich der Summe der Quadrate der beiden 
anderen Dreiecksseiten, größer als diese Summe, kleiner 
als diese Summe ist, je nachdem ihr ein rechter, ein stumpfer^ 
ein spitzer Winkel gegenüberliegt. 

Der dritte Versuch beschäftigt sich mit einem Mondchen, dessen 
äußerer Bogen kleiner als ein Halbkreis ist (Fig. 32). Hippokrates 
verschafft sich dasselbe 
folgendermaßen. UmüC 
als Mittelpunkt und mit 
AB als Durchmesser 
wird ein Halbkreis ge- 
zeichnet, femer die Ge- 
rade rj, welche die 
KB senkrecht halbiert 
Von B aus wird die 
BZE derartig gezeichnet, daß das Quadrat des zwischen der FjI und 
der Kreisperipherie liegenden Stückes ZE anderthalbmal so groß 
sei als das Quadrat von KA. Von E aus wird EH parallel zu AB 
bis zum Durchschnitt mit der yerlängerten KZ gezogen. Mittels 
der an Länge einander gleichen KE und BH entsteht das Trapez 
EKBHy um welches ein fijreis beschrieben wird^), der seinen Mittel- 
punkt in A besitzt. Auch um das Dreieck EZH wird ein Kreis be- 
schrieben und nun ist das Mondchen gebildet, dessen innerer Bogen 
EZHy dessen äußerer Bogen EKBH ist. Sein Flächeninhalt ist 
gleich dem der Summe der drei Dreiecke BZH, BZK^ EKZ, sein 
äußerer Bogen ist kleiner als der Halbkreis. Letzteres folgt aus der 
Stumpfheit des Winkels EKH, der Flächeninhalt aus der Ähnlich- 
keit der Kreisabschnitte über EZ, ZH, EK, KB, BH in Verbindung 
mit der Proportion EZ^ : EK^ = 3 : 2«). 

Wir möchten auf die Einzeichnung des Stückes ZE zwischen 
die Glerade FA und die Kreisperipherie AEB in vorgeschnebener 
Länge besonders hinweisen. Sie konnte nur empirisch erfolgen, in- 
dem man um B eine Gerade BZE in Drehung versetzte und mit 
dieser Drehung innehielt, sobald ZE die gewünschte Länge besaß. 
Das ist das erste Beispiel einer Bewegungsgeometrie, die in 
späteren Zeiten geradezu den Charakter einer Methode annahm^). 

Wir gelangen zu einem vierten Versuche, bei welchem es auf 
die Qiiadrierung eines Kreises zusammen mit einem Mondchen ankam 

^) SimpliciuB hat die Gleichheit von KE mit BH bewiesen und ebenso 
anch die Möglichkeit eines Umkreises um das Trapez EKBH. *) Auch hier 
hat Simplicius die notwendigen Beweise geliefert. *) WOpcke, L'alg^bre 
d'Omar Alkhayäm! (Paris 1861) pag. 120. 

Gaktok, Oeichiehte der Mathematik I. 3. Aufl. 14 



210 



9. Kapitel. 



(Fig. 33). Um K als Mittelpunkt sind zwei Kreise mit je einem 
eingeschriebenen regelmäßigen Sechsecke gezeichnet, die als kleiner 
und großer Kreis , als kleines und großes Sechseck unterschieden 
werden mögen. Dabei sind die Halbmesser so gewählt, daß HK*^ 
6AK\ Augenscheinlich folgt daraus HI^ = dHK^'^2HK* + 6AK^, 
indem HI Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks ist, dessen andere 
Kathete eine große Sechsecksseite und dessen Hypotenuse der große 
Durchmesser ist. Wird über HI mittels eines neugezeichneten Kreis- 
bogens ein kleineres Kreissegment hergestellt ähnlich sowohl dem über 
H@ als dem über AB, so muß es dreimal so groß wie das über H& 
sein, oder so groß wie das über if@, das über &I und die sechs 

Segmentchen im kleinen 
Kreise über den kleinen 
Sechsecksseiten. Das Mond- 
chen IG H ist aber gleich 
dem Dreiecke H&I und 
den Segmenten über H& 
und @I weniger dem klei- 
neren Kreissegment über 
HI Es ist leicht einzu- 
sehen, daß alsdann das 
Mondchen nebst dem 
kleinen Kreise dem Drei- 
ecke H&I nebst dem 
kleinen Sechsecke flächen- 
gleich sind, wodurch die 
Quadratur gegeben ist. 
Dieses sind die vier von Hippokrates gemachten Versuche krumm- 
linig begrenzte Figuren in ihnen flächengleiche Quadrate zu ver- 
wandeln, so wie sie von Eudemus berichtet werden, aus welchem 
dann später Simplicius seinen durch sachgemäße Erläuterungen er- 
^nzten Auszug veranstaltete. Man muß sicherlich zugestehen, daß 
Hippokrates bei der Auswahl der von ihm untersuchten Mondchen 
eine weit mehr als gewöhnliche Erfindungsgabe an den Tag legte, 
und daß er bereits über einen achtungswerten Vorrat an geometrischem 
Wissen verfügte. Hat er, wie vermutet worden ist*), beim Nieder- 
schreiben seiner ihrem Hauptinhalte nach sicherlich ganz neuen Ab- 
handlung die Überzeugung gewonnen, es sei an der Zeit ein E lerne n- 
tariehrbuch zusammenzustellen, auf welches man für notwendige 
Hilfssätze sich berufen könne, oder aber hatte er, als er die Abband- 




Fig. 83. 



^) Bretschneider 131. 



Mathem. außerhalb d. pythagor. Schale. Hippokratea von ChioB. 211 

Inng schrieb, sein Elementarwerk (S. 201) schon veröffentlicht und 
deswegen sich über manches weniger ausf&rlich verbreitet als es 
späteren Lesern und Erklärem wünschenswert erschien, das ist eine 
Frage, auf die wir keine endgültige Antwort zu geben vermögen. 

Hippokrates beschäftigte sich, wie wir (S. 202) ankündigend be- 
merkten, auch noch mit einem anderen mathematischen Probleme, 
mit der Würfelverdoppelung. Das ist die letzte uns hier be- 
gegnende von den drei großen Aufgaben der griechischen Mathe- 
matiker, welche ihnen Gelegenheit gaben ihre Kräfte zu üben und 
das zu erfinden, was man die höhere Mathematik jenes Zeitraumes 
zu nennen berechtigt ist. Über die Geschichte der Würfelverdoppe- 
lung sind wir durch namhafte Überbleibsel aus alter Zeit ziemlich 
gut berichtet, und selbst der sagenhafte Anstrich des Ursprungs der 
Aufgabe wird im 30. Kapitel sich als erheblich ausweisen. Ein 
griechischer Mathematiker Eratosthenes im IIL S. schrieb an Pto- 
lemäus Euergetes den ägyptischen König einen Brief über diesen 
Gegenstand, der sich bei Eutokius von Askalon, einem späten Kom- 
mentator des Archimed, erhalten hat und dessen Anfang wir hier 
beifügen^). Trotzdem er ziemlich weit jenseits der gegenwärtig allein 
zu behandelnden Zeit hinabführt, glaubten wir doch eine Trennung 
des zusammengehörigen Textes nicht vornehmen zu sollen und werden 
lieber später, wo es nötig ist, auf dieses Kapitel hier zurückverweisen. 

„Dem Könige Ptolemäus wünscht Eratosthenes Glück und Wohl- 
sein. Von den alten Tragödiendichtem, sagt man, habe einer den 
Minos, wie er dem Glaukos ein Grabmal errichten ließ, und hörte, 
daß es auf allen Seiten 100 Fuß haben werde, sagen lassen: 
Zu klein entwarfst Du mir die königliche Gb-uft, 
Verdopple sie; des Würfels doch verfehle nicht. 
Man unter8ucht.e aber auch von Seiten der Geometer, auf welche Weise 
man einen gegebenen Körper, ohne daß er seine Gestalt veränderte, 
verdoppeln könnte, und nannte die Aufgabe der Art des Würfels Ver- 
doppelung; denn einen Würfel zugrunde legend suchte man diesen 
zu verdoppeln. Während nun langezeit hindurch alle ratlos waren, 
entdeckte zuerst der Chier Hippokrates, daß, wenn man herausbrächte 



*) Zur Geschichte der Würfelverdoppelung vgl. N. T. Reimer, Historia 
probUmatis de eubi duplicatione. Göttingen 1798. J. H. Dresler, Eratosthenes 
von der Verdoppelung des Würfels. Osterprogramm 1828 für die herzogl. 
Nassauischen Pädagogien zu Dillenburg, Hadamar und Wiesbaden. Ch. H. 
Biering, Historia prohltmatia cubi duplicandi, Kopenhagen 1844. Teilweise 
Neues auch an Stellenmaterial in der Dissertation von C. Blass, De Flatone 
maihematico. Bonn 1861, pag. 22—30. Unsere Übersetzung des Briefes des 
Eratosthenes nach Dresler 1. c. S. 8 — 10. 

14* 



212 9. Kapitel. 

za zwei gegebenen geraden Linien, wo die größere der kleineren 
Doppelte wäre, zwei mittlere Proportionalen von stetigem Verhältnisse 
zu ziehen, der Würfel verdoppelt werden könnte; wonach er dann 
seine Ratlosigkeit in eine andere nicht geringere Ratlosigkeit ver- 
wandelte. Nach der Zeit, erzählt man, wären die Deiier, weil sie von 
einer Krankheit befallen waren, einem Orakel zufolge geheißen worden 
einen ihrer Altäre zu verdoppeln und in dieselbe Verlegenheit ge- 
raten. Sie hätten aber die bei Piaton in der Akademie gebildeten 
Geometer beschickt und gewünscht, sie möchten ihnen das Verlangte 
auffinden. Da sich nun diese mit Eifer der Sache unterzogen und zu 
zwei Gegebenen zwei Mittlere suchten, soll sie der Tarentiner Archjtas 
vermittelst der Halbzylinder aufgefunden haben, Eudoxus aber ver- 
mittelst der sogenannten Bogenlinien. Es widerfuhr ihnen aber 
insgesamt, daß sie zwar ihre Zeichnungen mit geometrischer Evidenz 
nachgewiesen hatten, sie aber nicht leicht mit der Hand ausführen 
und zur Anwendung bringen konnten, außer etwa einigermaßen die 
des Menächmus, doch auch nur mühsam.'^ 

Der alte Tragiker, auf dessen Verse Eratosthenes sich beruft, ist 
kein anderer als Euripides, in dessen verloren gegangenem Poleidos 
sie vorkommen, wie sehr wahrscheinlich gemacht worden ist^). Da 
nun Euripides 485—406 lebte, seine dichterische Wirksamkeit also 
etwa in die gleiche Zeit fällt, in die wir die wissenschaftliche Tätig- 
keit des Hippokrates verlegen, so geht hieraus hervor, daß eben da- 
mals die Sage von dem Grabmale des Glaukos bekannt war. Ob 
damals die Sage schon alt gewesen; ob Euripides ihrer gedachte, 
weil die Gelehrten des Tages sich bereits mit Würfelverdoppelung 
beschäftigten, die Anspielung also einen gewissen Eindruck auf die 
feiner gebildeten Zuhörer machen mußte; ob man den entgegen- 
gesetzten Tatbestand annehmen soll, daß die Volkstümlichkeit der 
Verse des Euripides die Mathematiker auf die eigentümlich gestellte 
Aufgabe aufmerksam machte; ob wir daran erinnern dürfen, daß 
Euripides der Dichter selbst ein Gelehrter, daß er ein Schüler des 
Anaxagoras war, das alles gehört in das Bereich gewagtester Ver- 
mutung, oder wenigstens noch imerledigter Forschung. Als gesichert 
ist gemäß dem Berichte des Eratosthenes nur so viel zu betrachten, 
daß nach fruchtlosen Versuchen anderer über die Aufgabe der Würfel- 
verdoppelung Herr zu werden, Hippokrates von Chios auf die Be- 
merkung fiel, daß die Aufgabe auch in anderer Gestalt sich aus- 
sprechen lasse. Findet die fortlaufende Proportion a:x==x:y^y:b 



') Yalkenarins, Diatribe de fragm. Eurip. pag. 208. Vgl. Reimer, De 
cubi duplicatione pag. 20. 



Piaton. 213 

statt, 80 ist x^ = ay, y* ^hx, mithin a^ = a*y* « a^bx und rc* «» a*6 
oder, wenn 6 = 2a, wie es bei der Würfel Verdoppelung notwendig 
erscheint, x^ «» 2a^. Die Seite des doppelten Würfels ist in der Tat 
die erste von zwei mittleren Proportionalen, welche zwischen der ein- 
fachen und der doppelten Seite des ursprünglichen Würfels einge- 
schaltet werden. Diese Erkenntnis, welche auch Proklus*) dem Hippo- 
krates nachrühmt, war ein Schritt weiter auf dem richtigen Wege, 
aber allerdings ein Yerhältnismäßig kleiner Schritt. Hippokrates ver- 
wandelte nur, wie Eratosthenes in fast scherzhaftem Tone sagt, seine 
Ratlosigkeit in eine andere nicht geringere Ratlosigkeit. Wie sollten 
jene beiden mittleren Proportionalen gefunden werden? Die Männer, 
welche der Lösung dieser Aufgabe sich gewachsen fühlten, sind es, 
die uns im folgenden entgegentreten werden. 

Auf ihre Gemeinschaft führt auch das Mathematikerverzeichnis 
uns hin, wenn es neben Hippokrates von Ghios noch Theodorus 
von Kyrene in der Geometrie berühmt nennt. Von diesem wissen 
wir an geometrischen Tatsachen nur, daß er die Irrationalität der 
Quadratwurzeln von Zahlen zwischen 3 und 17 bewies^ (S. 182). 
Wir wissen von ihm außerdem, daß er der Schule der Pythagoräer 
angehörte'), und daß er Lehrer des Piaton in mathematischen 
Dingen war*). 

Piaton und die Akademie nehmen jetzt, wie in der Geschichte 
der griechischen Philosophie, so in der Geschichte der griechischen 
Mathematik, die leitende Stellung ein. Mit ihnen müssen wir uns 
beschäftigen. 

10. Kapitel. 

Piaton. 

Zwei Kriege von schwerwiegender Bedeutung für die Gestaltung 
staatlicher Verhältnisse, wie für die Entwicklung der Wissenschaften 
wurden auf griechischem Boden innerhalb eines Menschenlebens ge- 
kämpft. Der peloponnesische Krieg, welcher die Macht Athens ver- 
nichtete, welcher den Staat des Perikles von seiner geistigen, wissen- 
schaftlichen wie künstlerischen Höhe herabstürzte, begann 431. Der 
sogenannte heilige Krieg, in welchem die Thebaner durch ein kurzes 
Übergewicht erschöpft^ König Philipp von Mazedonien zu Hilfe 
riefen und ihm so den ersten willkommenen Anlaß gaben in grie- 
chische Dinge sich einzumengen, endete 346. Dieselben Jahreszahlen 

>) ProkluB (ed. Friedlein) 213. *) Piaton, Theaetet 147, D. ») Jam- 
blichua, Vita Fythagor 267. *) Diogenes Laertius II, 103. 



214 10. Kapitel. 

begrenzen fast genau das Leben Piatons. Seine Geburt fallt in 
das Jahr 429^ in das Schreckensjahr, in welchem die durch die 
Schilderung des Thukjdides in gräßlicher Wahrheit bekannte Pest 
Athen in Trauer hüllte, in welchem Perikles starb. Sein Tod er- 
folgte 348 an demselben Tage, an welchem er 81 Jahre früher ge- 
boren war. 

In Piatons Lebenszeit fallen auch zwei Künstler, deren die Ge- 
schichte der Mathematik Erwähnung tun darf: Pheidias und Poly- 
klet, die Verfertiger des Olympischen Zeus, der Argi vischen Here. 
Von Pheidias erzahlt Lucian in dem Dialoge über die philosophischen 
Sekten^), er sei imstande gewesen aus der Klaue eines Löwen anzu- 
geben, wie groß der gan^e Löwe war, woher die griechische Redens- 
art ii övv%(av Xiovta^)y lateinisch ex ungue leonem stammt, welche 
sich bis zu unseren Tagen erhalten hat. Von Polyklet meldet Galen*), 
er habe in einer Schrift, die Kanon überschrieben war, die Lehre 
Yon allen Verhältnissen des Körpers aufgestellt. Wer denkt dabei 
nicht an die vorgezeichneten Quadrate im Grabmale Seti I (S. 108), 
wer nicht an die Notwendigkeit einer in weite Kreise eingedrungenen 
Lehre von der Ähnlichkeit der Figuren? 

Piaton gehörte einer der angesehensten athenischen Familien an. 
Bis auf König Kodrus führte der Stammbaum des Vaters, bis auf 
Solon der der Mutter zurück^). Piatons erste Jugend fiel, wie wir 
wissen, in eine für Athen trübe und bewegte Zeit, aber bald lächelte 
das Glück der Stadt, welche es liebgewonnen, aufs neue. Die Knaben- 
jahre Piatons fallen mit der Glanzzeit des Alkibiades zusammen, und 
der Freund des Alkibiades, Sokrates, war Piatons Lehrer. Im Ver- 
kehre mit den geistig bedeutendsten Männern seiner Vaterstadt ent- 
wickelte der Knabe sich zum Manne. Bei Sokrates insbesondere wird 
Piaton jene Methode erlernt haben, welche als eigentlich sokratische 
gerühmt wird, und welche darin bestand, durch fortgesetztes Fragen 
immer schärfer umgrenzte Definitionen, aber auch das Eingeständnis 
VQU Widersprüchen infolge ungenügender Begriffsbestimmungen her- 
Yorzalocken. Um das Jahr 400 etwa, nachdem Sokrates den Gift- 
becher hatte leeren müssen, verließ Piaton die Heimat, in welcher es 
für den nächsten Schüler des gleichviel ob gerechtem oder unge- 
rechtem Volkshasse zum Opfer Gefallenen nicht mehr sicher war, 
und verwandte eine längere Reihe von Jahren zu Reisen, welche 
seine wissenschaftliche Ausbildung vollendeten. Nach Kjrene, wo an 
der Nordküste Afrikas griechische Bildung schon eine Pflanzstätte 

^) Luoian, *E(f{i6tiiLog ^ Ttsgl atgiüBov cap. 66 pag. 147 ed. Sommerbiodt. 
*) Diogenes Laertius V, 16. ') Galen, Ilegl tav »a^* Vff^rox^arrjv %ccl 
nXatmva. *) Diogenes Laertins III, 1. 



Piaton. 215 

geschaffen hatte, lockte es ihn. War doch dort die Heimat jenes 
Theodorus, welcher, wie wir im Theatet erfahren, bei Lebzeiten des 
Sokrates in Athen verweilte, nnd welchen wir am Schlosse des Torigen 
Kapitels Piatons Lehrer in der Mathematik genannt haben. Ägypten 
sah ihn jedenfalls zn längerem Aufenthalte, wenn auch Strabons Be- 
richterstatter sehr übertrieben haben dürften. Bei der Beschreibung 
der alten Priesterstadt Heliopolis in Ägypten sagt nämlich dieser 
geographische Schriftsteller: Hier nun zeigt man die Häuser der 
Priester und auch die Wohnungen des Piaton und Eudozus. Denn 
letzterer kam mit Piaton hierher, und sie lebten daselbst mit den 
Priestern dreizehn Jahre zusammen, wie einige angeben.^) Daxm 
wird ein großes Gewicht auf einen Aufenthalt Piatons in Großgriechen- 
land zu legen sein, wo er mit Archytas yon Tarent und mit 
Timäus von Lokri im engsten Verkehre stand*). Weiter führte 
ihn sein Weg nach Sizilien, wo er im 40. Lebensjahre, also im 
Jahre 389 eintraf). Diese durch ihn selbst bezeugte Zeitangabe 
nötigt uns auf alle Reisen bis nach Sizilien etwa 11 Jahre zu ver- 
teilen und widerlegt somit die 13jährige Dauer des Aufenthalts in 
Ägypten. Piatons Freimütigkeit scheint bei dem Gewaltherm von 
Syrakus, bei Dionysius, Anstoß erregt zu haben, so daß dieser ihn 
gefangen nehmen ließ und ihn als Athener dem lakedämonischen Ab- 
gesandten auslieferte, welcher ihn als Sklaven nach Ägina verkaufte. 
Ein Eyrenaiker zahlte das erforderliche Lösegeld, um Piaton wieder 
frei zu machen, und nun kehrte dieser nach Athen zurück, wo er in 
den schattigen Spaziergängen der durch Kimon einst verschönerten 
Akademie nordwestlich vor der Stadt seine die Philosophie umge- 
staltenden Vorträge hielt, deren Bedeutung auch für die Geschichte 
der Mathematik nicht hoch genug angeschlagen werden kann^). 

Eigentlich mathematische Schriften hat Piaton zwar nicht ver- 
faßt, aber einiges wird doch auf ihn als Entdecker zurückgeführt, 
und vielleicht noch wichtiger ist seine Vorliebe für die Mathematik 
dadurch geworden, daß er auf fähige Schüler sie forterbte. Piaton 
war ja ein Schüler der Pythagoräer in vielen Dingen, in so vielen, . 
daß Aristoteles es ausdrücklich bezeugt hat ^), daß Asklepius zu dieser 
Stelle der aristotelischen Metaphysik jedenfalls übertreibend hinzu- 
fügte: nicht vieles, alles habe Piaton von den Pythagoräem ent- 

») Strabo XVII, ed. Meinicke pag. 1124. *) Cicero, De ßntbusY, 19, 60. 
Tusculan. I, 17, 39. De republica I, 10, 15. ") Platons Briefe: Episiola VII, 
324, a. *) Über Piaton in seinen Beziehungen znr Mathematik vergl. C. Blass, 
De Flatone mathemaUco. Bonn 1861, und B. Rothlanf, Die Mathematik zu 
Platons Zeiten nnd seine Beziehungen zu ihr. München 1878. ^) Aristoteles, 
Metaphys. I, 6. 



216 10. Kapitel. 

nommen. Wie nun die PythagoiiLer Mathematik als den ersten 
Gegenstand eines wirklich wissenschaftlichen Unterrichts betrachteten, 
wie die Ägypter ihre Kinder zugleich mit den Buchstaben in den 
Anfangsgründen der Lehre Yon den Zahlen, von den auszumessenden 
Räumen und von dem Umlaufe der Oestime unterrichteten, so wollte 
auch Piaton yerfahren haben ^). Kein Unkundiger der Geometrie trete 
unter mein Dach, fii^delg iysfofiir^ros slöircD (lov f^v tfr^yiyv, war 
die Ank{indigung, mit welcher der angehende Akademiker empfangen 
wurde ^), und Xenokrates, der nächst Speusippus als zweiter Nach- 
folger Piatons die Akademie leitete'), blieb ganz in den Fußstapfen 
seines Lehrers, wenn er einen Jüngling, der die verlangten geometri- 
schen Vorkenntnisse noch nicht besaß, mit den Worten zurückwies: 
Gehe, Du hast die Handhaben noch nicht zur Philosophie, ^oqsvov 
Xaßäg yäQ oix ixBig ^iko6ofpCag*). 

Piaton war in dieser Beziehung so sehr Pythagoiäer geworden, 
daß er den Gegensatz nicht scheute, in welchen er seinen ältesten 
und yerehrtesten Lehrer Sokrates scheinbar zu sich selbst setzte. 
Sokrates, wie Xenophon in seinen Erinnerungen ihn schildert^), 
wollte die Geometrie nur so weit getrieben wissen, bis man Land mit 
dem Maßstabe in Besitz nehmen oder übergeben könne. Der So- 
krates in Piatons Dialogen, dem dieser stets die Gesinnungen in den 
Mund zu legen liebt, die ihn selbst erfüllen, erklärt dagegen®), daß 
die ganze Wissenschaft doch nur der Erkenntnis wegen betrieben 
werde. Es ist bekanntlich, sagt er auch, in bezug auf jedes Lernen, 
um besser aufzufassen, ein himmelhoher Unterschied zwischen einem, 
der sich mit Geometrie befaßt hat, und dem, der es nicht getan hat. 

Wir verzichten darauf alle Stellen zu sammeln, an welchen Plato 
ähnliche Gesinnungen über die Mathematik äußert, und zu welchen 
auch der Ausspruch (S. 184) gehört, daß Gott allezeit geometrisch 
verfahre, nur eine Bemerkung über das Wort Mathematik wollen 
wir hier einschalten. Von einer Wissenschaft der Mathematik wußte 
Piaton so wenig wie seine Zeitgenossen^). Wohl besaßen sie das 
. Wort fiadilfiata (Lehrgegenstände), aber es umfaßte alles, was im 
wissenschaftlichen Unterrichte vorkam. Erst bei den Peripatetikem 
bekam das allgemeine Wort die besondere Bedeutung, welche wir 
ihm gegenwärtig noch beilegen und umfaßte fortan Rechenkunst und 
Arithmetik, Geometrie der Ebene und Stereometrie, Musik und Astro- 



^) Die bezüglichen Stellen ans Platons Staat vergl. bei Rothlauf 1. c. S. 12. 
*) Tzetzes, Chil. VUI, 972. ^ Diogenes LaertiuB I, 14. *) Diogenes 
LaertiuB IV, 10. *) Xenophon, Memorabil. IV, 7 und ihm folgend Dio- 
genes LaertiuB II, 32. ') Die Stellen aus Piatons Staat bei Bothlauf S. 2 
und 7. ') Rothlauf S. 18—19. 



Piaton. 



217 



nomie, i^Uurend zugleich auch der Name der Philosophie, welcher für 
Piaton erst die wörtliche Bedeutung der Weisheitsliebe besaß ^ einer 
besonderen Wissenschaft zuerteilt wurde. 

Die Vorliebe Piatons für mathematische Dinge äußert sich neben 
den schon berührten Vorschriften über Jugenderziehung in seinem 
idealen Staatswesen , wo ein Schulzwang innerhalb der einfachsten 
Lehrgegenstande obwalten, wo Lesen, Schreiben und Rechnen allen 
Mädchen wie Sjiaben beigebracht werden soll^), auch darin, daß er 
in vielen seiner in Gesprächsform geschriebenen Abhandlungen mathe- 
matische Beispiele zur Verdeutlichung philosophischer Gedanken be- 
nutzt. Meistens sind diese Beispiele für Laien berechnet und darum 
laienhaft einfach, so daß dieselben kaum ein Recht haben in einer 
Geschichte der Mathematik aufzutreten. Wir machen eine Ausnahme 
zugunsten der früher geradezu berüchtigten Kapitel des Menon'). 
Nicht als ob es sich mit deren Inhalt anders verhielte, aber weil wir 
früher (S. 185) auf diese Kapitel uns berufen haben. Sie blieben den 
Erklärem platonischer Gespräche solange unverstanden, als man in 
ihnen wunder welche tiefsinnige Dinge suchte. Sie wurden kinderleicht 
und klar^ sobald der Wortlaut mit den Figuren in Zusammenhang 
gebracht wurde, welche zwar in den Handschriften wie in den Druck- 
ausgaben fehlen, von welchen man aber dem Texte gemäß annehmen 
muß, daß sie im Laufe des Gespräches in den Sand gezeichnet worden 
waren. Diese Figuren dürften zwei an der Zahl gewesen sein, ein 
einfacher Kreis und eine einigermaßen zusammengesetzte Vereinigung 
mehrerer geradliniger Figuren in eine einzige (Fig. 34), die wir uns 
als nach und nach entstehend zu denken haben. 
Den Kreis zeichnet Sokrates, um als Beispiel 
des Runden zu dienen, welches eine Figur, 
aber nicht die Figur überhaupt sei'). Im 
weiteren Verlaufe des Gespräches^) zeichnet 
Sokrates, die leitende Persönlichkeit der Ab- 
handlung, ein Quadrat von der Seitenlänge 2 
mit seinen Mittellinien, welche die Mittelpunkte 
je gegenüberstehender Seiten verbinden. Er ^**- **• 

erweitert die Figur zur vierfachen Größe, d. h. zum Quadrat mit 




*) Piaton, Gesetze pag. 806. *) Vergl. Benecke, Ueber die geometrische 
Hypothesis in Piatons Menon. Elbing 1867 und unsere Besprechung Zeitschr. 
Math. Phys. XITT, Literatnrzeitung 9 — 13. Friedleins Programm von 1878: 
Beiträge zur (beschichte der Mathematik m pflichtet im ganzen denselben An- 
sichten bei. Rothlauf S. 64 huldigt, trotzdem er Beneckes Programm kennt, 
einer künstlichen, wie wir überzeugt sind, falschen Meinung. *) Piaton, 
Menon 78 £. *) Piaton, Menon 82 B bis 86 B. 



218 10. Kapitel. 

der Seitenlänge 4, und innerhalb dieses großen Quadrates zum 
Quadrat mit der Seitenlänge 3, das aus neun Feldern bestellt; 
endlich zeichnet er das Quadrat von der Fläche 8, dessen Seiten 
die Diagonalen^ oder, wie die Sophisten und mit ihnen Piaton 
immer sagten, die Diameter der vier kleineren Quadrate sind, 
in welche das größte Quadrat von der Seitenlänge 4 zerfällt. Dieses 
schrägliegende Quadrat von der Fläche 8 ist doppelt so groß, als 
das ursprünglich gegebene Quadrat von der Fläche 4, und es kam 
Piaton gerade darauf an zu zeigen, daß ein solches Quadrat von 
doppelter Größe als ein gegebenes genau und leicht gezeichnet werden 
könne. Es war, wie ganz richtig bemerkt worden ist^), der Beweis 
des pjthagoräischen Lehrsatzes ftlr den Fall des gleichschenklig recht- 
winkligen Dreiecks, der hier geliefert wurde, möglicherweise, wie wir 
(S. 185) andeuteten, der älteste von Pythagoras selbst herrührende 
Beweis dieses ersten und einfachsten Falles, vorausgesetzt daß wirk- 
lich beim Beweise des pythagoräischen Lehrsatzes ursprünglich ver- 
schiedene Fälle unterschieden wurden. Nachdem mit dieser ersten 
und zweiten geometrischen Exemplifikation vollständig abgeschlossen 
ist, kehrt Sokrates an einer späteren Stelle^) wieder zur Geometrie 
zurück, um ihr ein passendes in die Siime fallendes Beispiel für die 
eben zvnschen ihm und Menon erörterte Frage, ob Tugend lehrbar 
sei oder nicht, zu entnehmen. Er will erörtern, daß das Tunliche 
im allgemeinen sich selten behaupten lasse, daß es Fälle der Mög- 
lichkeit wie der Unmöglichkeit gebe. Er will ein recht zutreffendes 
Beispiel dafür wählen, und da bleibt sein ringsum suchendes Auge 
an den im Sande noch erkennbaren Figuren haften. Ist es, fragt er, 
möglich dieses Quadrat als gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck in 
diesen Kreis auf dem Durchmesser als Grundlinie genau einzuzeichnen? 
Unter diesem Quadrate versteht er das von der Seitenlänge 2, dessen 
Verwandlimg in ein gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck aus der 
Figur gleichfalls zu erkennen war, wo das gewünschte Dreieck als 
Hälfte des schräggezeichneten Quadrates erscheint. Sokrates hat die 
Frage gestellt, er gibt auch die Antwort. Sie lautet ja und nein! 
Es wird möglich sein, das Verlangte zu tun, wenn die Seite des 
Quadrates dem Ereishalbmesser gleich ist, oder, was dasselbe heißt, 
wenn sie auf dem Durchmesser aufgetragen ein ihr gleiches Stück 
übrig läßt, sonst nicht. Der Wortlaut ist freilich ein einigermaßen 



^) Bothlauf S. 61. Es ist nicht ohne Interesse, daß auch Leibniz den 
gleichen Beweis verwertet hat, um den algebraischen Zusammenhang zwischen 
der Seite und der Diagonale eines Quadrates zu erörtern. Vgl. dessen Nova 
cdgehrae promotio in der durch C. J. Gerhardt besorgten Ausgabe der mathe- 
matischen Schriften von Leibniz Tu, 165 (Halle 1863). ') Piaton, Menon 86. 



Piaton. 219 

dunkler, aber auch seine philologische Übereinstimmung mit diesem 
hier frei erläuterten Sinne hat nachgewiesen werden können. 

Die Stelle des Menon ihrer einstigen Schwierigkeit entkleidet 
enthält ireilich nicht mehr den Beweis , dafi Piaton mit dieser oder 
jener feinen geometrischen Theorie bekannt war^ aber sie enthüllt 
uns noch immer einen ungemein wichtigen methodischen Fortschritt ^)^ 
der um diese Zeit sich vollzog. Sokrates leitet die letzte Auseinander- 
setzung durch die Worte ein: „Unter der Untersuchung von einer 
Voraussetzung aus verstehe ich das Verfahren, welches die Geometer 
oft im Auge haben; wenn sie jemand fragt, z. B. über eine Fläche, 
ob in diesen Kreis die Fläche als Dreieck eingezeichnet werden 
könne usw.^ Es war mithin damals schon oft von Geometem ge- 
schehen, was, wie wir im vorigen Kapitel (S. 208) sahen, Hippokrates 
von Ghios noch unterließ. Es war die Frage aufgeworfen worden, 
ob eine Konstruktion möglich sei oder nicht. 

In der Akademie unter Piatons Leitung wurden sicherlich diese 
und ähnliche Fragen erörtert^). Die Philosophie der Mathe- 
matik ist in der Akademie entstanden, wenn ihre Wurzeln auch 
schon aus den Lehren des Sokrates Nahrung sogen. So führte nach 
Berichten bei Aristoteles, aber auch nach bestimmt nachweisbaren 
platonischen Stellen Piaton geometrische Definitionen ein, welche in 
dem von ihm gebrauchten Wortlaut ein Alter von mehr als zwei 
Jahrtausenden erreicht haben. Die Figur ist die Grenze des Körpers, 
heißt es im Menon ^). Gerade ist doch, wessen Mitte dem beider- 
seitigen Äußersten im Wege ist, heißt es im Parmenides ^), und ebenda 
wird der Kreis definiert: rund ist doch wohl das, dessen äußerste 
Teile nach allen Seiten hin gleichweit von der Mitte abstehen. Der 
Punkt sei die Grenze der Linie, die Linie die Grrenze der Fläche, die 
Fläche die Grenze des Körpers genannt worden, sagt uns Aristoteles ^ 
der Körper sei das, was drei Ausdehnungen besitze; die Linie sei 
Länge ohne Breite. Daß auch Grundsätze, wie der häufig bei Aristo- 
teles erwähnte, daß Gleiches von Gleichem abgezogen Gleiches übrig 
lasse, schon der Akademie angehört haben werden, ist nicht in 
Zweifel zu ziehen. Wohl aber dürfte es in ähnlicher Weise wie bei 



*) Blas 8 in seiner Dissertation De Piatone maihetnatico pag. 20 scheint 
zuerst die große methodische Bedeutung der Stelle Menon 86 erkannt zu haben. 
*) Zusammenstellungen bei Friedlein, Beiträge zur Geschichte der Mathema- 
tik m, 8. 9 flgg., bei Hankel S. 1S5— 136, bei Bothlauf 8. 61, von denen jede 
irgend etwas eigentümlich hat, was in den anderen fehlt. ^ Piaton, Menon 76. 
^ Piaton, Parmenides 137 E. Wie diese Stelle zu verstehen sei, kann man 
bei Proklus (ed. Friedlein) pag. 109 lin. 21 bis pag. 110 lin. 4 nachlesen. 
Vgl. Majers Programm des Kön. Gymnasiums in Stuttgart für 1880—81, S. 14. 



220 10. Kapitel. 

den Pythagoräem scliwer sein^ innerhalb der Akademie eine Sonde- 
rung des geistigen Besitzes von Platon und seinen Schülern yorzu- 
nehmen^ zu ermitteln, was von den Definitionen, Yon den Grundsätzen 
dem einen, was den anderen angehört. 

Auf dem Gebiete mathematischer Methodik ist es noch eine 
einen gewaltigen Fortschritt eröffiiende Erfindung, welche Platon zu- 
geschrieben wird: die Erfindung der analytischen Methode. Wir 
haben darüber eine ganz kurze Notiz des Diogenes Laertius: Platon 
führte zuerst die analytische Methode der Untersuchung für Leodamas 
von Tasos ein^), und eine ausführlichere des Proklus: Es werden 
auch Methoden angeführt, von denen die beste die analytische ist^ 
die das Gesuchte auf ein bereits zugestandenes Prinzip zurückfährt. 
Diese soll Platon dem Leodamas mitgeteilt haben, der dadurch zu 
yielen geometrischen Entdeckungen soll hingeleitet worden sein. Die 
zweite Methode ist die trennende, die, indem sie den vorgelegten 
Gegenstand in seine einzelnen Teile zerlegt, dem Beweise durch Ent- 
fernung alles der Konstruktion der Aufgabe Fremdartigen einen festen 
Ausgangspunkt gewährt; auch diese rühmte Platon sehr als eine für 
alle Wissenschafben forderliche. Die dritte Methode ist die der Zu- 
rückführung auf das Unmögliche, welche nicht das zu Findende selbst 
beweist, sondern das Gegenteil desselben bestreitet und so die Wahr- 
heit auf Seite des mit der Behauptung Übereinstimmenden findet^). 
Endlich gehören hierher die beiden bei Euklid erhaltenen Defini- 
tionen: Analysis ist die Annahme des Gesuchten als zugestanden 
durch Folgerungen bis zu einem als wahr Zugestandenen. Synthesis 
ist die Annahme des Zugestandenen durch Folgerungen bis zu dem 
Erschließen und Wahrnehmen des Gesuchten'^) und die dem Sinne 
nach damit übereinstimmenden im Wortlaute viel ausführlicheren Er- 
örterungen des Pappus^). 

Die Sache verhält sich folgendermaßen^). Soll die Wahrheit 
eines Satzes D bewiesen oder widerlegt werden — beides kann man 
verlangen — so sagt der Analytiker: Wenn D stattfindet ist C wahr; 
wenn C stattfindet ist B wahr; wenn B stattfindet ist A wahr; aus 
D folgt also endlich A] nun ist A wahr oder nicht wahr, also ist 



') Diogenes Laertius HI, 24. *) Proklus (ed. Friedlein) pag. 211, 
lin. 18 — pag. 212, lin. 4. A. Sturm in der Bibliotheca Mathematica 1903, 
8. Folge II, 283. «) Euklid XIII, 1. Anmerkung. *) Pappus, VE Praefatio 
(ed. Hultsch) pag. 634 flgg. ^) Hübsche Entwicklungen über die analytische 
Methode der Alten bei Oft erdinger, Beiträge zur Geschichte der griechischen 
Mathematik. Ulm 1860. Duhamel, Des mithodes dans les aciences de ratsonne- 
ment. Paris 1866 — 1866. Besonders T. I, chap. 10. De Vatwhfse et de la Syn- 
these chez les anciens. Hankel 137—160. 



Platon. 221 

auch D wahr oder ist es nicht. Der Synthetiker dagegen beginnt mit 
der Behauptung der Wahrheit von Ay welche ihm auf irgend eine 
Weise bekannt ist. Daran knüpft er die Folgerung, es werde B 
stattfinden, folglich sei auch G wahr, und folglich sei D wahr -- oder 
möglicherweise ein Satz, der das Gegenteil von B bezeichnet, und 
den man deshalb Nicht-D zu nennen pflegt. £s ist einleuchtend, 
daß der synthetische Beweis unter allen Umständen richtig 
ist, der analytische aber nicht. Zur Richtigkeit desselben ge- 
hört nämlich, daß die in dem analytischen Beweise aufgestellten 
gleichzeitigen Wahrheiten auch in umgekehrter Reihenfolge sich 
gegenseitig bedingen, mathematisch ausgedrückt, daß man lauter um- 
kehrbare Sätze aussprach. Von der Notwendigkeit diese Umkehrbar- 
keit selbst zu erweisen ist man nur in einem Falle befreit, wenn 
nämlich das aus D geschlossene A nicht wahr ist. Dann freilich 
kann D nun und nimmermehr stattfinden. Das heißt: die Beweisform 
der Zurückführung auf das Unmögliche ist eine immer gestattete 
Unterart des analytischen Beweises; der direkte analytische Beweis 
dagegen erfordert stets eine Ergänzung, welche rückwärts gehend die 
Sätze synthetisch auseinander ableitet, deren Behauptungen die vor- 
ausgehende analytische Methode kennen lehrte. Aus diesen Betrach- 
tungen gehen nun mehrere Folgerungen hervor. 

Erstlich die, daß die analytische Methode, vermöge der Not- 
wendigkeit ihr, falls sie direkt zu Werke ging, eine Synthese folgen 
zu lassen, weniger für die Beweisführung von Sätzen, dagegen vor* 
trefflich für die Auflösung von Aufgaben sich eignet, bei welchen 
die analytisch gefundene Auflösung meistens die notwendige Vor- 
aussetzung zur Entdeckung ihres synthetischen Beweises bUdet, und 
in der Tat spielt die Analysis ihre Hauptrolle in dem sogenannten 
aufgelösten Orte, d. h. bei Aufgaben, die einen geometrischen Ort 
oder eine Aufeinanderfolge von Punkten betreffen, deren jeder sich 
einer gewissen Eigenschaft erfreut, welche ihrerseits keinem anderen 
Punkte außerhalb des Ortes zukommt. 

Zweitens scheint die indirekte Methode der Zurückführung auf 
das Unmögliche, die sogenannte apagogische Beweisführung^) 
wegen ihrer unbedingten Gültigkeit vorzuziehen. In der Tat haben 
die Alten sich derselben wenn auch nicht gerade überwiegend doch 
viel häufiger als die modernen Geometer bedient. Namentlich bei 
den Sätzen, in welchen eine sogenannte Exhaustion vorgenommen 
wird, wo also der Grenzbegriff das unmittelbare Erreichen des Zieles 
ausschließt und nur die synthetische Hypothese des Unendlichkleinen 

') änayfoy^ slg &dvvaxoVy lateinisch reducHo ad absurdum oder demonstratio 
e contrario. 



222 10. Kapitel. 

als Ersatz zu dienen vermag; wird man bei griechischen Schrift- 
stellern stets Beweisen ans dem Gegenteil begegnen. Wir haben zu- 
gleich angedeutet; daß in neuerer Zeit die indirekten Beweise nicht 
beliebt sind. Der Grund liegt darin, daß bei aller zwingenden Strenge 
für den Verstand der indirekte Beweis der Einbildungskraft keine 
YoUständige Befriedigung zu gewähren pflegt. Ungezügelt umher- 
schweifend sucht sie noch immer dritte Fälle ausfindig zu machen, 
welche neben der Existenz Yon Nicht-D eine Koexistenz von B zu- 
lassen, und nur schwer gibt sie sich gefangen, daß wirklich die Ein- 
teilungsteile des Einteilungsganzen vollständig erschöpft wurden, daß 
wirklich zwei sich ausschließende Tatsachen vorliegen, die nicht gleich- 
zeitig gesetzt werden können. 

Drittens liegt, wie wir gesehen haben, jedem Beweise, werde er 
analytisch oder synthetisch, direkt oder indirekt geführt, die Wahr- 
heit eines gewissen Satzes A zugrunde, deren man sich versichert 
halten muß. In vielen Fällen wird dieses A Ergebnis früherer Lehr- 
sätze und gehörigen Ortes streng erwiesen sein. Allein immer ist 
dieses nicht der FaU und kann es nicht der Fall sein, da eine un- 
endliche Kette von Rückschlüssen nicht denkbar ist. Irgend einmal 
muß man stehen bleiben und eine Grundwahrheit als von selbst ein- 
leuchtend oder erfahrungsmäßig gegeben zum Ausgangspunkte der 
Beweisführung annehmen. Wer also wie Piaton auf das Wesen der 
Beweisführung selbst einging, mußte auf dem Wege dieser Unter- 
suchung das tun, was wir oben von Piaton berichtet haben. Er 
mußte Definitionen geben, welche der unendlichen Spaltung der 
Begriffe zugunsten einÜEU^her Begriffne ein Ziel setzten; er mußte auch 
Axiome, Grundsätze und Annahmen, anerkennen, welche man nicht 
weiter beweist, sei es daß sie als von unmittelbarer Gewißheit nicht 
mehr bewiesen zu werden brauchen, oder daß sie nicht bewiesen 
werden können. 

Wir kehren von dieser das Wesen antiker geometrischer Beweis- 
führung berührender Auseinandersetzung, zu welcher die mathema- 
tischen Kapitel im Menon uns fast mehr Gelegenheit als Veran- 
lassung boten zu einer anderen Schrift Platons und einer nicht 
minder übelberüchtigten Stelle derselben zurück. Wir meinen den 
Anfang des YIII. Buches Tom Staate^). Auch diese Stelle hat 
eine ganze Literatur hervorgerufen^), welche jedoch unserem Gefühle 

*) Piaton, Staat 546 B, C. *) Vgl. Th. Henri Martin, Le nombre nuptial 
et le nombre parfaü de Platan im XUI. Bande der Revue archeologique und Roth- 
lauf S. 29 ügg. Bei Martin insbesondere finden sich zahlreiche Verweisungen 
auf ältere Abhandlungen. Seitdem sind noch zahlreiche Arbeiten von Adam, 
Demme, Dupuis, Gow, Hultsch, Tannery veröffentlicht worden. 



Piaton. 228 

nach noch nicht vermochte, die Schwierigkeiten der sehr dunkeln 
Anspielungen, in welchen Piaton sich hier gefallt, endgültig zu lösen. 
Gehen doch die Ansichten so weit auseinander, daß nicht bloß über 
den Sinn der sogen, platonischen Zahl, sondern über ihre Größe selbst 
ein Einverständnis nicht herrscht. Nur ein wie beiläufig eingeschal- 
teter kleiner Satz dieser Stelle gibt uns Anlaß zu einer, wie wir 
glauben, geschichtlich wichtigen Bemerkung. Es ist unserer Meinung 
nach von der Länge der Diagonale des Quadrates über der Seite 5 
die Rede, welche rational ausfalle^ wenn 1 fehle, irrational wenn 2 
fehlen^), und wir können das nicht anders verstehen, als daß jene 
Diagonale oder y6Ö in den rationalen Wert 7 übergehe, wenn die 
Zahl 50 um 1 verringert werde, dagegen irrational "j/äS bleibe, wenn 
man 2 von den 50 abziehe. Wir haben, wo von der Entdeckung 
des Irrationalen durch Pythagoras (S. 181) die Rede war, hervor- 
gehoben, man werde wohl Versuche angestellt haben, die Diagonale 
eines Quadrates dadurch aussprechbar, also rational, zu machen, daß 
man andere und andere Seitenlängen wählte, man werde so zwar das 
wirklich angestrebte Ziel natürlich nicht erreicht, aber doch Nähe- 
rungswerte von y2 gefunden haben. Die eben angeführte platonische 
Stelle bringt uns diesen Gegenstand ins Gedächtnis zurück — Wir 
möchten einschalten, daß von Architekten bei Nachmessungen an den 
Bauwerken der Akropolis das häufige Vorkommen der Verhältnisse 
1 : 3 sowie 7 : 12 und 7* : 12* bemerkt worden ist *). Uns scheint 
das letztere dem ersten als gleichwertig gedacht worden zu sein, so 

12 /"' 

daß einen Näherungswert von y3 darstellte, und Piaton, meinen 

wir, hat auch gewußt, daß l/öO oder Sy^ nur wenig von 7 sich 
unterscheidet. Ist er so weit gegangen in der Praxis des Rechnens 

}/2 annähernd gleich -. zu setzen? Darüber fehlt uns die Sicher- 
heit, aber das steht fest, daß jenes Bewußtsein bei Piatonikern und 
deren Schülern sich fortwährend erhalten hat Proklus sagt uns aus- 
drücklich, es gebe keine Quadratzahl, welche das Doppelte einer Qua- 
dratzahl anders als nahezu sei; so sei das Quadrat von 7 das Doppelte 
des Quadrates von 5, an welchem nur 1 fehle*). Es wird uns später 

gelingen, den Näherungswert ]/2 = -- noch bestimmter nachzuweisen 

und damit die Wahrscheinlichkeit zu erhöhen, daß die Nutzbar- 
machung jener bei Platon nachgewiesenen Kenntnis in der Tat statt- 

^) äicb Sia^LixQfov qrix&v nsiiTtaöog, BBoyLivtov kvbg kxdctmv, &4(rjt€ov 8h dvtlv. 
*) HultBch in FleckeiBen u. Masius, Neue Jahrbücher für Philologie und 
P&dagogik Bd. 128, S. 586—687. ») Proklus (ed. Friedlein) pag. 427, 
lin. 21—24. 



224 10. Kapitel. 

gefunden habe. Daß nämlich Piaton sich mit rationalen und mit 
irrationalen Quadratwurzeln überhaupt beschäftigt hat, geht aus einer 
anderen Nachricht hervor, von der jetzt die Rede sein soll. 

Heron von Alexandria ^) und ebenso auch Proklus') teilen uns 
eine Methode zur Auffindung rationaler rechtwinkliger Drei- 
ecke mit, welche sie ausdrücklich als Erfindung des Piaton be- 
zeichnen, und wenn auch eine unter dem gefälschten Namen des 
BoethiuB umlaufende Geometrie von dieser Angabe abweichend einen 
Architas als Erfinder nennt'), so tragen wir doch kein Bedenken, 
dem älteren griechischen Berichterstatter den Vorzug der Glaubwür- 
digkeit vor dem jüngeren Schriftsteller zu gewähren. Schon Pytha- 
goras fand, wie wir uns erinuem (S. 185), rationale rechtwinklige 
Dreiecke, indem er wohl davon ausging, den Unterschied zwischen 
der Hypotenuse a und der größeren Kathete b der Einheit gleich zu 
setzen, wodurch er genötigt war die Summe der Hypotenuse und der- 
selben Kathete in Form einer sonst beliebigen ungeraden Quadratzahl 
zu wählen. War solches in der Tat der Weg, auf welchem Pytha- 
goras zu seinen Werten gelangte, so mußte ein nächster Versuch jene 
DifiTerenz a — b-=2 setzen, und die ihr ähnliche Flächenzahl a + 6 
mußte dann das Doppelte einer Quadratzahl oder 2 a* sein, beziehungs- 

weise die Hälffce einer geraden Quadratzahl ^-y~' Dann wurde von 

selbst c = 2a, 6 = «^ — 1, a = a* -t- 1, und genau so verfuhr Piaton. 
Proklus sagt uns mit einer Deutlichkeit, die nichts zu wünschen übrig 
läßt: Piatons Methode geht von der geraden Zahl aus; man nimmt 
nämlich eine gerade Zahl an und setzt sie gleich einer der beiden 
Katheten; wird diese halbiert, die Hälfte quadriert und zu diesem 
Quadrate die Einheit addiert, so ergibt sich die Hypotenuse; wird 
aber die Einheit vom Quadrate subtrahiert, so erhält man die andere 
Kathete. 

So dienen beide Methoden, die des Pythagoras und die des 
Piaton, einander zur Er^nzung und rechtfertigen gegenseitig die 
Vermutungen, welche wir darüber aussprachen, wie man dieselben 
gefunden haben mag. Piaton erscheint uns dabei nicht sowohl er- 
findungsreich, als daß er vorher betretene Wege umsichtig zu gehen 
wußte. Er muß jedenfalls auf der Höhe des mathematischen Wissens 
seiner Zeit gestanden haben, mag ihn im mathematischen Können 
dieser oder jener übertroflFen haben. Seine für die damalige Zeit 
große mathematische Gelehrsamkeit wird durch alles, was wir von 
ihm wissen, bestätigt. Wir erinnern uns des reichen für die Qe- 

^) Heron (ed. Hultsch) Geometria pag. 67. *) Proklus (ed. Friedlein) 
pag. 428. *) Boethins (ed. Friedlein) Geometria pag. 408. 



Piaton. 225 

schichte der Mathematik bei den Pythagoräem Ton uns ausgenutzten 
Inhaltes des platonischen Timäus. Die Zusammensetzung regelmäßiger 
ebener Figuren aus rechtwinkligen Dreiecken , die Bildung der fünf 
regelmäßigen Körper waren ihm bekannt. Wenn auch Pappus diese 
letzteren geradezu als solche bezeichnet, von denen bei Piaton die 
Rede sei^), so wissen wir doch, daß Piaton keineswegs der Erfinder 
war. Die eigentliche Stereometrie scheint übrigens, trotz der Kennt- 
nis der regelmäßigen Körper, damals noch recht im argen gelegen 
zu haben. ,,Hinsichtlich der Messungen von allem, was Länge, Breite 
und Tiefe hat, legen die Griechen eine in allen Menschen von Natur 
Yorhandene ebenso lächerliche als schmähliche Unwissenheit an den 
Tag^', sagt Piaton ^) und fährt in wenig gewählter Ausdrucksweise 
fort, es sei in dieser Beziehung bestellt „nicht wie es Menschen, 
sondern wie es Schweinen geziemt, und ich schämte mich daher 
nicht bloß über mich selbst, sondern für alle Griechen" Am wei- 
testen entwickelt war die Arithmetik. Daß Piaton über die Propor- 
tionenlehre, über die Begriffe von Flächenzahlen und Körperzahlen 
Herr war, wissen wir aus dem Timäus. Wir erinnern uns auch, daß 
(S. 165) ein besonderer Fall der pythagoräischen Sätze über geome- 
trische Mittel zwischen Flächenzahlen und zwischen Körperzahlen als 
platonisch genannt wird*). Wir können noch zwei andere Stellen 
platonischer Schriften anführen, welche für seine Kenntnisse in der 
Arithmetik von Wichtigkeit sind. Im Phädon sagt Piaton, die ganze 
eine Hälfbe der Zahlen sei gerad, die andere sei ungerad^). In den 
Gesetzen weiß er, daß die Zahl 5040 durch 59 verschiedene Zahlen 
teilbar ist, unter welchen sämtliche Zahlen von 1 bis 10 sich be- 
finden^). Das sind in der Tat ganz anständige Kenntnisse, wenn wir 
auch natürlich annehmen, daß die Teiler von 5040 empirisch gefunden 
und gezählt wurden. Vielleicht kann das Aufsuchen der Teiler doch 
in Zusammenhang mit einer Bekanntschaft mit befreundeten und mit 
Yollkommenen Zahlen gedeutet werden müssen, wenn wir auch (S. 168) 
uns sträubten, diese in so frühe Zeit zu verlegen. Aber wie kam 
man dazu, die Zahl 5040, das Produkt der aufeinander folgenden 
Zahlen von 1 bis 7, zur Untersuchung zu wählen? Auf diese Frage 
wissen wir keine Antwort. 

Eine Erfindung Piatons wird uns berichtet, welche ihm als 
Geometer alle Ehre macht, und welche somit den ersten Teil dessen, 
was das Mathematikerverzeichnis von Piaton zu sagen weiß, ebenso 



^) Pappus y, 19 (ed. Hultsch) pag. S52. ') Piaton, Gesetze pag. 805. 
") Nicomachus, Eisagoge arithm. 11, 24, 6 (ed.^Hoche) pag. 129. *) Fla- 
ton, Phaedon pag. 104. ^) Piaton, Gesetze pag. 737. 

Oaxtob, Oesohloht« der Mathematik I. 3. Aufl. 15 



226 10. Kapitel. 

Yoll bestätigt, wie der zweite Teil jener Charakteristik in unserer 
seitherigen Darstellung zur Geltung kam. Wir müssen nachholend 
diese Schilderung hier einschalten. 

„Piaton, der auf diese (Hippokrates und Theodorus) folgte, ver- 
schaffte sowohl den anderen Wissenschafken als auch der Geometrie 
einen sehr bedeutenden Zuwachs durch den großen Fleiß, den er 
bekanntlich auf sie verwandte. Seine Schriften füllte er stark mit 
mathematischen Betrachtungen und hob überall hervor, was von 
der Geometrie sich in bemerkenswerter Weise an die Philosophie 
anschließt." 

Vielleicht ist unter dem bedeutenden Zuwachse, der durch Pia- 
tons Fleiß der Geometrie verschafft wurde, seine Auflösung der Auf- 
gabe von der Würfelverdoppelung verstanden, welcher wir uns 
hiermit zuwenden. Freilich steht es schlimm mit derselben, wenn 
die Meinung derer sich als richtig erweisen sollte, welche den ganzen 
darüber uns zugekommenen Bericht anzweifeln. Wir wollen die 
schwerwiegenden Bedenken derselben nachtraglich erörtern und fürs 
erste dem Berichte selbst hier einen Platz einräumen. 

Eutokius von Askalon hat im VI. S. einen Kommentar zu 
des Archimed Schrift über Kugel und Zylinder verfaßt und in diesen 
Kommentar sehr wichtige Mitteilungen über die Aufgabe der Würfel- 
verdoppelung eingeflochten. Dorther kennen wir den Brief des Era- 
tosthenes über jenes Problem (S. 211), dorther eine ganze Anzahl 
von untereinander verschiedenen Auflösungen, darunter solche von 
Piaton, von Menächmus, von Archytas. Die Auflösung des 
Archytas hat Eutokius dem Eudemus entnommen, und bei der un- 
bedingten Zuverlässigkeit dieses Gewährsmannes ist an der Genauig- 
keit des Berichtes nie der leiseste Zweifel erhoben worden. Woher 
stammen die übrigen Auflösungen? Eutokius sagt es uns nicht, aber 
er leitet den ganzen Bericht damit ein, er wolle die Gedanken der 
Männer, welche auf uns gekommen sind, ersichtlich machen. Sollte 
in Zusammenhang mit dieser Erklärung sein Schweigen nicht beredt 
genug sein? Sollte es nicht zu verstehen geben, daß, wo eine zweite 
Quelle nicht genannt wurde, die Originalschriften selbst von Eutokius 
benutzt wurden, oder doch solche, welche er für die Originalschriften 
hielt? Sollte der Umstand, daß die Auflösungen als solche richtig 
sind und somit die ünverletztheit des Gehaltes der Schriften, von 
welchen Eutokius Gebrauch machte, verbürgen, nicht auch bei Prü- 
fung der Richtigkeit der Namen, unter welchen die Auflösungen 
mitgeteilt sind, von Gewicht sein? Unter den von Eutokius mit- 
geteilten Auflösungen steht die Piatons an der Spitze, mutmaßlich 
wegen der großen Berühmtheit des Verfassers. Jedenfalls ist eine 



Piaton. 



227 



Zeitfolge der Auflösungen aus der Anordnung^ in welcher sie bei 
Eutokius erscheinen, in keiner Weise zu entnehmen. Sie sind viel- 
mehr bunt durcheinander gewürfelt, und um nur solche Männer zu 
nennen, deren Zeitalter durch Jahrhunderte getrennt liegen, bei denen 
also ein Zweifel unmöglich ist, kommt Heron vor ApoUonius, Pappus 
vor Menächmus zu stehen. 

Das Verfahren des Piaton ^) beruht auf einer Vorrichtung, 
welche sich (Figur 35) als Rechteck A/IEZ mit zwei festen und 
zwei in paralleler Lage verschiebbaren 
Seiten EJ und A^ bezeichnen läßt. 
Mittels gehöriger Verschiebung der be- 
weglichen Seiten nebst entsprechender 
Drehung der ganzen Vorrichtung soll 
unter vorheriger Annahme der Länge 
von zwei zueinander senkrechten Linien 
AB = 6, BF — a folgendes bewirkt 
werden: A soll in den Durchschnitt der 
festen ZA mit der beweglichen A^, F 
auf die zweite feste Seite ZE, zugleich 
der Eckpunkt E des Rechtecks auf die 
Verringerung von AB und endlich der zweite Durchschnittspunk 
der beweglichen A^ mit der beweglichen E^ auf die Verlängerung 
von FB fallen. Nennen wir nun BE = a;, BJ^y^ so ist im recht- 
winkligen Dreiecke F^E die BE senkrecht aus der Spitze des rechten 
Winkels auf die Hypotenuse gefallt, und die gleiche Rolle spielt die 
JBz/ im rechtwinkligen Dreiecke A^E, Folglich ist a:x = x:y 
und X :y = y :b. Mithin sind x und y die beiden mittleren Pro- 
portionalen, welche zwischen a und b eingeschaltet werden mußten. 




Fig. S6. 



3 /T- 



X = a • y — und unter der Voraussetzung 6 = 2a endlich x = a y2. 

Wir bemerken*), daß dieses Verfahren, sofern es von Piaton her- 
rührt, uns ein Zeugnis dafür ist, daß damals griechische Geometer 
den Satz kannten, daß die Senkrechte aus der Spitze des rechten 
Winkels auf die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks das geo- 
metrische Mittel zwischen den Stücken ist, in welche sie die Hypo- 
tenuse zerlegt. Wir bemerken femer, daß hier ein Beispiel einer 
Bewegungsgeometrie vorliegt (S. 209). 

Wir stellen neben dieses Verfahren sofort dasjenige, welches 
Eutokius uns nach Eudemus von Archytas berichtet'). Es stimmt. 



*) Archimedis Opera ed. Heiberg. Leipzig 1880—81. HI, 66 sqq. 
*) Vgl. Bretschneider 142. ') Archimedes (ed. Heiberg) UI, 98 sqq. 

16* 



228 



10. Kapitel. 




Fig. S6. 



wie wir sehen werden, yoUkommen zu den Worten im Briefe des 
Eratosthenes: „Der Tarentiner Archytas soll sie vermittelst der Halb- 
zylinder aufgefunden haben.'^ Es seien 
(Fig. 36) A^-^h und ^5 - a die 
beiden Geraden, zwischen welche zwei 
mittlere Proportionalen einzuschalten 
sind. Die größere A^ wird als 
Durchmesser eines Halbkreises be- 
nutzt, in welchen die kleinere AB 
als Sehne eingezeichnet wird. Aber 
auch senkrecht zu diesem ersten Halb- 
kreise wird über A^ ein zweiter Halb- 
kreis errichtet, der in A befestigt 
über die Ebene ABA weggeschoben 
werden kann. Er bildet dabei auf 
dem über dem Halbkreis ABA errichteten Halbzjlinder eine krumme 
Linie. Andererseits ist das Dreieck AAU gegeben durch die AA^ die 
AB und die Berührungslinie All ^n den Halbkreis in A, Dieses 
Dreieck liefert um AA als Achse in Drehung versetzt eine Kegelober- 
fläche, welche gleichfalls den Halbzjlinder und die vorher auf ihm 
erzeugte Kurve schneidet, letztere in einem Punkte K, der als dem 
Halbzylinder angehörend senkrecht über einem Punkte J des Halb- 
kreisbogens ABA liegen muß. Während Ali die Kegeloberfläche 
beschreibt, beschreibt endlich auch das Stück AB dieser Geraden 
eine Fläche gleicher Art, beziehungsweise der Punkt B einen Halb- 
kreis BMZ, der senkrecht zur Horizontalebene ABAZ steht. Da 
zu dieser Ebene auch AKA' senkrecht steht, so ist zu ihr auch M® 
senkrecht, die Durchschnittsgerade der beiden genannten Ebenen, be- 
ziehungsweise M&A.BZ als Durchschnittsgeraden der BMZ mit 
der ABAZ, Daraus folgt mit Rücksicht auf die Eigenschaft von 
BMZ als Halbkreis und von BZ als dessen Durchmesser, daß 
M®^ = 50 X ®Z. Aber B®X&Z^AGx &I, weil BZ und AI 
zwei in ® sich schneidende Sehnen desselben E[reises sind. Also 
M®^ = A& X J, also der Winkel AMI ein Rechter, d. h. ebenso 
groß wie AKA\ welcher Winkel im Halbkreise ist, xmd folglich Ml 
parallel zu KA', Damit ist die Ähnlichkeit des Dreiecks A'AK mit 
lAM, aber auch mit KAI bewiesen, und damit die Proportion 
AM lAl-^ AI: AK ^AK: ATA. Setzt man endlich AM =AB^a, 
AfA =- AA = 6, AI = a;, AK = y, so ist wieder a:x = xiy '^yib, 
wie es verlangt wurde. Aus diesem Verfahren geht, was wir zu 
bemerken nicht versäumen wollen, die Kenntnis mehrerer wichtiger 
Sätze von Seiten des Erfinders hervor. Nicht bloß die beiden plani- 



Piaton. 229 

metrischen Lelirsätze, daß die Berührungslinie an den Kreis senk- 
recht zum Durchmesser steht und daß Kreissehnen einander in um- 
gekehrt proportionalen Stücken schneiden, mußten ihm geläufig sein, 
auch von der durch Piaton beklagten allgemeinen Unwissenheit auf 
stereometrischem Gebiete bildete er eine rühmliche Ausnahme. Ar- 
chytas wußte, daß die Durchschnittsgerade zweier zu einer dritten 
Ebene senkrechten Ebenen gleichfalls senkrecht auf dieser und ins- 
besondere senkrecht auf deren Durchschnittsgeraden mit einer der 
senkrechten Ebenen steht. Er besaß, was wir noch weit höher an- 
schlagen, über die Entstehung von Zylindern und Kegeln, über gegen- 
seitige Durchdringung von Körpern und dabei auf ihrer Oberfläche 
entstehenden Kurven vollständig klare Anschauungen. Sollte Archytas 
ein Modell sich angefertigt haben, an welchem er sein Verfahren sich 
ausbildete? Wir stellen die Frage, ohne eine Antwort darauf zu 
wissen und finden eine solche auch nicht in den Worten des Diogenes 
Laertius, der uns erzählt: „Archytas zuerst behandelte die Mechanik 
methodisch, indem er sich dabei geometrischer Gnmdsätze bediente; 
auch führte er zuerst die organische Bewegung in die Konstruktion 
geometrischer Figuren ein, indem er durch den Schnitt des Halb- 
zylinders zwei mittlere Proportionalen zur Verdoppelung des Würfels 
zu erhalten suchte^^^). In dem durch Eutokius überlieferten Text 
kommt auch das Wort röjcog vor*). Dieses Wort hat in späterer 
Zeit den Sinn „geometrischer Ort^' angenommen. Hier bedeutet es 
aber nur die Stelle'). Man kann also keinerlei Schlüsse aus dem 
Auftreten des Wortes ziehen, mag es selbst in dem Urtexte des 
Archytas schon vorgekommen sein, soviel derselbe sonst von Eude- 
mus im übrigen verändert worden zu sein scheint. Selbstverständlich 
nehmen wir aber nur an, Eudemus habe den Wortlaut des Archytas 
einigermaßen frei behandelt. Den Sinn muß er getreu wiedergegeben 
haben, und so bleiben die Folgerungen, welche wir auf stereometrische 
Kenntnisse des Archytas gezogen haben, unberührt. 

Wir lassen auch die Würfelverdoppelungen des Menächmus 
gleich folgen. Eutokius teilt uns zwei voneinander verschiedene Ver- 
fahren dieses Schriftstellers mit*). Das eine Mal wird die Auf- 
gabe durch eine Parabel in Verbindung mit einer Hyperbel gelöst, 
das andere Mal werden zwei Parabeln benutzt. Hier kann, wie wir 
betonen müssen, ein wörtlicher Auszug aus Menächmus unter keiner 
Bedingung vorliegen, da diese Namen Hyperbel und Parabel, wie wir 



*) Diogenes Laertius VIII, 88. •) Archimedes (ed. Heiberg) DI, 100 
lin. 10. •) Gow, A short history of Greek mathematies, pag. 187, Note 1. 
*) Archimedes (ed. Heiberg) IQ, 92 sqq. 



230 



10. Kapitel. 




noch sehen werden^ viel sp'äteren Ursprunges sind. Der Bericht des 
Eutokius über die Würfelyerdoppelungen des Menächmus unter- 
scheidet sich in wesentlicher Art yon dem über die Methode des 

Archytas. Während bei Archytas nur die 
Synthese mitgeteilt, die Analyse aber yer- 
schwiegen ist^), ist bei Menächmus über Ana- 
lyse und Synthese gleichmäßig berichtet und 
uns dadurch ein vortreffliches Beispiel zur 
Kenntnis jener beiden Schlußarten der Alten 
in die Hand gegeben. Mögen a, x, y, b wieder 
die Yorige Bedeutung haben, mithin 

a: X = x:y ^ y :b 
zu konstruieren sein. Weil a: x = x:y wird 
(Fig. 37) ein Punkt ©, yon dem aus die 
Senkrechte @Z-^x auf eine Gerade AH 
gefällt ist, auf der von einem gegebenen Anfangspunkte A aus die 
Länge AZ = y genannt wird, notwendig auf einer durch A hindurch- 
gehenden Parabel liegen. Zieht man ferner ÄK+ @Z und ® JT + AZ, 
so ist das Rechteck AK&Z gemessen durch xxy d.h. wegen 
a:x ^y :b, gemessen durch a X 6, oder gegeben. Demzufolge liegt 
auch auf einer Hyperbel, deren Asymptoten die AK und AZ sind. 
Das ist die Analyse. Sie geht aus von der Annahme, der Pimkt @, 
welcher durch die Linien x, y erst festgelegt werden soll, sei schon 
vorhanden, und zieht daraus Folgerungen, welche für die Lage von & 
anderweitige Merkmale liefern. Nun kommt die Synthese, d. h. hier 

die Konstruktion der genannten Kur- 
ven. In einem Punkte A läßt man 
zwei Senkrechte zusammentreffen. 
Dann zeichnet man eine Parabel mit 
A als Scheitelpunkt, der einen der ge- 
zogenen Geraden AH als Achse und 
a als Parameter. Femer zeichnet man 
zwischen die beiden Geraden A H und 
AK als Asymptoten eine Hyperbel 
unter der Bedingung, daß das Recht- 
eck der mit KA, AH bis zum Durch- 
schnitte mit diesen Geraden in umgekehrter Folge von jedem Hyperbel- 
punkte gezogenen Parallelen dem Rechtecke aus a und 6 gleich sei. 
Dann schneiden sich Parabel und Hyperbel in dem Punkte 0, 

*) Bretschneider 152 bat versucht, die Analyse des Archytas zu erraten 
und, wie uns scheint, mit ziemlichem Glück. Vgl. auch Flaut i, Geomeiria di sito. 
Neapel 1821, pag. 173—174. 




Piaton. 231 

dessen senkrechter Abstand Ton AH das gesuchte x ist. Die zweite 
Methode des Menächmus (Fig. 38) folgert wieder aus aix^xiyy 
daß der gesuchte Punkt auf einer Parabel liege^ ebenso aber aus 
x:y =^ y :b, daß er auf einer zweiten Parabel liege, deren beider- 
seitigä Achsen sich in dem beiden Parabeln gemeinschaftlichen 
Scheitelpunkte B senkrecht durchschneiden, was alsdann in der 
Synthese benutzt wird. Eutokius schließt den Bericht über die Auf- 
lösungen des Menächmus mit den Worten: ,,Die Parabel zeichnet man 
mittels eines Ton dem Mechaniker Isidorus yon Milet, unserem 
Lehrer, erfandenen Zirkels, der von ihm in seinem Kommentare zu 
der Gewölblehre des Heron beschrieben worden ist." Daß die von 
Eutokius angewandte Form nicht die des Menächmus selbst gewesen 
sein kann, haben wir berührt. Auf die Glaubwürdigkeit des Inhalts 
fällt dadurch kein Schatten. Menächmus muß also die Kurven ge- 
kannt haben, welche eine spätere Zeit Parabel und Hyperbel genannt 
hat; er muß die Asymptoten der Hyperbel gekannt haben, muß die- 
jenigen Grundeigenschaften beider Kurven gekannt haben, welche die 
analytische Geometrie durch die Gleichungen y* == ax und xy ^ c^ 
auszudrücken weiß. 

Im Briefe des Eratosthenes ist, wie wir uns erinnern, auch von 
einer Würfel Verdoppelung des Eudoxus mittels der sogenannten 
Bogenlinien (S. 212) die Rede. Über diese berichtet Eutokius ab- 
sichtlich gar nicht. Er setzt sich vielmehr in strengsten Gegensatz 
gegen eine unter diesem Titel überlieferte Arbeit^). Er habe, sagt 
er etwa, die dem Eudoxus zugeschriebene Abhandlung vernachlässigt, 
weil sie erstlich die Bogenlinien, von deren Benutzung er in der 
Einleitung rede, beim Beweise gar nicht anwende und zweitens eine 
unstetige Proportion gleich einer stetigen verwerte, was von jenem 
Schriftsteller nur zu denken nicht am Orte sei. Man hat hieraus, 
wie wir glauben berechtigterweise, den Schluß gezogen*), es werde 
dem Eutokius nur ein bis zur Unverständlichkeit verstümmelter Text 
des Eudoxus vorgelegen haben, da weder dem Eudoxus so grobe 
Fehler zuzutrauen seien, noch auch Eratosthenes eine durchaus ver- 
fehlte Lösung der Erwähnung würdig gefunden haben würde, jeden- 
falls nicht ohne auf das Irrige derselben hinzuweisen. Fügen wir 
diesen Schlüssen noch hinzu, daß das Verfahren des Eutokius diesem 
einen Schriftsteller gegenüber uns die Klarheit und Reinheit der 
Quellen, welche ihm für die Würfelverdoppelungen der anderen dienten, 
verbürgt. 

») Archimedea (ed. Heiberg) m, 66 lin. 11— 17. *) Bretachneider 166 
und beaondera Ambr. Stnrnif Daa Deliache Problem S. 33 Note 4 (Programm 
dea k. k. Gymnsaiuma zu Seitenatetten 1896). 



232 10. Kapitel. 

Wir haben bei dieser Aufzählnng von Würfelverdoppelungen 
nach Eutokius uns allzusehr von unserer Gewohnheit, die Schrift- 
steller, mit denen wir uns gerade beschäftigen, auch ihrer Persön- 
lichkeit nach wenigstens einigermaßen zu schildern, entfernt, um 
nicht schon hierdurch zu zeigen, daß wir mit Piaton noch nicht ab- 
geschlossen haben. Diese Einschaltungen — mögen wir auch später 
uns auf dieselben zu beziehen haben — bezwecken an dieser Stelle 
nur das Urteil bei Besprechung der Streitfrage zu leiten, ob das, 
was Eutokius als platonische Würfelverdoppelung gibt, wirklich echt 
sein kann. Stellen wir dazu die Einwendungen, welche man gemacht 
hat, zusammen. 

Wir haben aus dem Briefe des Eratosthenes ersehen, daß, nach- 
dem jene Aufgabe schon geraume Zeit die Geometer vergeblich be- 
schäftigt hatte, nachdem eine Ratlosigkeit an die Stelle einer anderen 
getreten war, eine neue Veranlassung neue Bemühungen hervorrief, 
indem die Delier, welche einem Orakelspruche folgend um einer 
Seuche ein Ziel zu setzen einen Altar verdoppeln sollten, sich an 
Piaton und seine Akademie um Rat wandten. Theon von Sm3rma 
berichtet nach einer uns unbekannten Schrift des Eratosthenes, welche 
den Titel „Der Platoniker" geführt zu haben scheint, ganz ähnlich^). 
Piaton habe den Deliem, welche der Seuche halber den Altar ihres 
Gottes verdoppeln sollten und die Ausführung zu betreiben ihn be- 
fragten, die Antwort erteilt: Nicht die Verdoppelung des Altars 
wünsche der Gott, er habe den Ausspruch nur als Tadel gegen die 
Hellenen verstanden, welche um die Wissenschaften sich nicht küm- 
merten und die Geometrie gering achteten. Plutarch ist ein dritter 
Schriftsteller, der in seinen Werken sogar zweimal auf den Gegen- 
stand zu reden kam^), ihn auch in einem Nebenumstande etwas ab- 
weichend angibt. Er fügt nämlich der Antwort Piatons, die Gottheit 
habe ihi'e Mißbilligung der allzu geringen Beschäftigung mit Geo- 
metrie bezeugen wollen, noch bei: um einen Körper so zu verdoppeln, 
daß er der ursprünglichen Gestalt durchaus ähnlich bleibe, bedürfe 
man der Auffindung zweier geometrischer Mittel, und das werde ilmen 
EudoxuB von Knidos oder Helikon der Kyzikener leisten, der 
letztere ein Schüler des Eudoxus, der in der Geschichte der Astro- 
nomie genannt zu werden pflegt. Johannes Philoponus endlich läßt 
diese Verweisung auf andere in der Antwort des Piaton an die Delier 
wieder weg, während er der Notwendigkeit zwei geometrische Mittel 

*) Theon Smyrnaens (ed. Hill er) pag. 2 'Eeaxoa^ivrig fikv yag iv xm 
iniYQatponivtp 'nXax(ovi%& x. r. X. *) PlutarchuB, De genio Socraiis csp. 7 und 
De bI aptid Delphos cap. 6. 



Piaton. 233 

zu finden gedenkt^). Aus allen diesen Angaben folgt^ daß über die 
Frage der Würfelverdoppelnng ein Meinungsaustausch zwischen De- 
liem und Piaton stattgefunden hat, und daher rührt der Name der 
deli sehen Aufgabe, unter welchem die der Würfelverdoppelung 
vielfach vorkommt. Aber auch einen anderen Umstand kann man 
mit einigem Erstaunen bemerken. Eratosthenes, der doch von den 
erfolgreichen Bemühungen zur Auffindung der Seite des verdoppelten 
Würfels besonders redet, erwähnt den Namen Piaton und erwähnt 
nicht, daß er das Vertrauen, welches die Delier in seine Geschick- 
lichkeit setzten, durch Lösung der Aufgabe rechtfertigte. Diesem 
Schweigen schließt sich Theon von Smjrma an, der freilich aus Era- 
tosthenes schöpfte, und Johannes Philoponus. Plutarch ergänzt es 
nun gar dadurch, daß Piaton von vornherein die Erwartung, als könne 
er die Frage lösen, unter Verweisung an andere Geometer von sich 
abzulenken wußte. Man muß zugeben, daß dieses Schweigen, daß 
dieser Zusatz sehr eigentümlich, sehr schwer zu verstehen sind, wenn 
jene Schriftsteller das Verfahren Piatons kannten, daß es noch 
staunenswerter wäre, wenn Piaton den Würfel verdoppelt hätte und 
jene Schriftsteller von seiner Abhandlung, die doch zur Kenntnis des 
Eutokius gelangt sein muß, nichts gewußt hätten. Es wäre danach 
möglich, daß die Quelle des Eutokius eine jener gefälschten Abhand- 
lungen gewesen wäre, wie sie zur Zeit des Neuplatonismus zu 
Dutzenden erschienen und auf Rechnung alter Lehrer gesetzt wurden. 
Dazu kommt eine ganz bedenkliche Notiz, welche Plutarch zwei- 
mal mitgeteilt hat^). Piaton, sagt er, tadelte den Eudoxus und Ar- 
chytas und Menächmus, welche die Verdoppelung des Körperraumes 
auf instrumentale und mechanische Verfahrungsweisen zurückführen, 
gleich als ob sie hierdurch zwei mittlere Proportionalen auf uner- 
laubte Weise zu erhalten versuchten. Denn auf solche Art werde 
der Vorzug der Geometrie aufgehoben und verdorben, sofern man sie 
wieder auf den sinnlichen Standpunkt zurückführt, sie, die in die 
Höhe gehoben werden und sich an ewige und körperlose Gedanken- 
bilder halten sollte, wie dies bei Gott der Fall ist, der deshalb immer 
Gott ist. So die eine Stelle Plutarchs. Wo er aber an einer zweiten 
Stelle die gleiche Angabe wiederholt, verbindet er damit die Be- 
merkung, infolge von Piatons Unwillen über die Würfelverdoppelung 
durch Werkzeuge sei die Mechanik von der Geometrie vollständig ge- 
trennt worden und dadurch auf lange Zeit zu einer bloßen Hilfs- 
wissenschaft der Kriegskunst herabgesunken. Konnte, sagt man, 
Piaton einen derartigen Tadel gegen Eudoxus, gegen Archytas, gegen 

*) Johannes Philoponus ad Aristotelis Analyt. post. 1,7. ") Plu- 
tarchus, Qu€t€8t. conviv. VIII, 92, 1 und Vita MarcelU 14, ö. 



234 11. Kapitel. 

Menächmus aussprechen, wenn er selbst ein mechanisches Verfahren 
zur Würfelverdoppelung erdachte? Ist damit nicht der Beweis ge- 
liefert, daß der Bericht des Eutokius soweit irrig sein muß, als ihm 
Piaton für den Erfinder einer Vorrichtung gilt, die von irgend einem 
anderen herrührte? 

Wir gestehen zu, daß diese Einwürfe sehr gefährlicher Natur 
sind, um so mehr als nicht zu bezweifeln ist, daß die Piaton durch 
Plutarch beigelegte Meinung mit dem ganzen philosophischen Cha- 
rakter dessen, der die Ideen einführte, im vollsten Einklänge steht. 
Es ist femer nicht zu bezweifeln, daß langezeit, ob auf Piatons 
Einfluß hin, wie behauptet worden ist^), lassen wir dahingestellt, nur 
die Geometrie des Zirkels und Lineals als eigentliche Geometrie be- 
trachtet worden ist. Die Nachricht in der Form, wie Plutarch sie 
mitteilt, lautet überdies so bestimmt, daß es doch wohl allzu gewagt 
wäre, ein Mißverständnis anzunehmen^). Es wird demnach nur die 
Wahl zwischen folgenden Möglichkeiten bleiben. Entweder, und das 
dürfte dem Vorwurfe der Eünstlichkeit ausgesetzt sein, wird man an- 
nehmen, Piaton habe, indem er jenen Tadel gegen Eudoxus, Archytas, 
Menächmus aussprach, zugleich beigefügt, es sei ja keine Kunst eine 
Würfelverdoppelung mechanisch vorzunehmen, dazu genüge eine ein- 
fache Vorrichtung, wie wir sie oben nach Eutokius geschildert haben, 
aber das sei keine Geometrie, denn diese öolle und müsse an ewige 
und körperlose Gedankenbilder sich halten. Oder aber, und das ist 
entschieden das Bequemste, man hält sich nur an die Notiz des Plu- 
tarch, an das Schweigen des Eratosthenes und schiebt die ganze Mit- 
teilung des Eutokius, wie oben bemerkt, vornehm beiseite, soweit 
sie wenigstens auf Piaton Bezug hat. Oder endlich, und das ist 
wenigstens das Ehrlichste, wenn kein anderer Vorzug noch Vorwurf 
an dieser Möglichkeit haftet, man gesteht zu, daß hier ein Wider- 
spruch vorliege, den aus dem Wege zu räumen gegenwärtig keine ge- 
nügenden Mittel zur Hand sind. 

11. Kapitel. 
Die Akademie. Aristoteles. 

Wir folgen weiter dem Mathematikerverzeichnisse, welches im 
nächsten Satze drei Namen vereinigt, indem es sagt: 

') Hankel S. 156 apricht mit apodiktischer Gewißheit, aber durch kein 
Zitat unterstützt den Satz aus: Wir verdanken Piaton die für die Geometrie so 
wichtige Beschränkung der geometrischen Instrumente auf Zirkel und Lineal. 
*) So haben wir selbst Zeitschr. Math. Phys XX, histor.-literar. Abteilung 183 
den Widerspruch zu beseitigen gesucht. 



Die Akademie. Aristoteles. 235 

,,In diese Zeit gehört auch Leodamas von Thasos und Archytas 
von Tarent und Theätet von Athen, durch welche die Theoreme ver- 
mehrt wurden und zu einer strengen wissenschaftlichen Darstellung 
gelangten.^' • 

Von Leodamas von Thasos haben wir im vorigen Kapitel er- 
zählt, was allein von ihm bekannt ist, nicht vieles aber ein Großes, 
daß für ihn (S. 220) Piaton die analytische Methode ersann, be- 
ziehungsweise sie ihm mitteilte. Nennt, wie man wohl annehmen 
darf, das Mathematikerverzeichnis die darin vorkommenden Namen 
ihrer Zeitfolge nach, so war Leodamas etwas älter als Archytas, 
mithin auch als Piaton, was aber einer Beeinflussung durch jenen 
keinen Abbruch tut^). 

Archytas von Tarent') mag etwa 430 — 365 gelebt haben, 
fast gleichzeitig mit Piaton geboren, an welchen ihn auch, wie wir 
wissen, während dessen Aufenthalt in Großgriechenland (S. 215) ein 
enges Freundschaftsverhältnis band. Archytas war seiner Heimat 
wie seinem Bildungsgange nach Pythagoräer. Er war Staatsmann 
und Feldherr und versah wiederholt die höchsten Amter in seiner 
Vaterstadt. Seinen Tod fand er, wie wir durch Horaz wissen*), 
durch Schiffbruch am Vorgebirge Matinum, vielleicht beim Antritt 
einer Reise nach Griechenland. Das Mathematikerverzeichnis nennt 
ihn, wie wir soeben gesagt haben, vermutlich aus Gründen der Zeit- 
folge gerade hier und nicht schon einige Zeilen früher. Möglicher- 
weise aber soll durch seine Stellung mitten unter Männern der Aka- 
demie der mittelbare Einfluß bezeugt werden, den er durch seine 
früheren nahen Beziehungen zu Piaton auf diese Schule ausübte. 
Über die Echtheit oder Unechtheit von Bruchstücken philosophischen, 
ethischen, musikalischen Inhaltes, welche unter dem Namen des Ar- 
chytas auf uns gekommen sind, herrschen die entgegengesetztesten 
uns glücklicherweise nicht kümmernden Meinungen. Während die 
einen jene Bruchstücke anerkennen, gehen die andern so weit, sie 
fast insgesamt für Fälschungen eines alexandrinischen Juden um 
das Jahr 39 n. Chr. zu halten^). Fast insgesamt, die mathematischen 
Bruchstücke nämlich bleiben vom Zweifel unbehelligt. Wir haben 



') Susemihlin dem Rheinisclien Mnseum für Philologie. Neue Folge LIU, 
626 Anmerkung 2 (1898). ') Jos. Nsvarro, Tentamen de Ärchytae Tarentini 
vüa atque operibus (Kopenhagener Doktordissertation 1819). Gruppe, Ueber die 
Fragmente des Archytas imd der älteren Pythagoräer (Preisschrifb der Berliner 
Akademie 1840). L. Boeckh, Ueber den Zusammenhang der Schriften, welche 
der Pythagoräer Archytas hinterlassen haben soll (Karlsruher Lyzeumsprogramm 
1841). Chaignet I, 266—381. ») Horatius, Lib. I, Ode 28. *) So besonders 
Gruppe, der diese These zuerst aufstellte. 



236 11. Kapitel. 

ihrer übrigens schon gedacht. Die Würfel Verdoppelung des Ar- 
chjtas und die wichtigen Folgerungen, welche aus ihr für seine 
stereometrischen Kenntnisse zu ziehen sind, haben uns im vorigen 
Kapitel, die Leistungen des Archytas auf dem Gebiete der Propor- 
tionenlehre schon früher (S. 166) beschäftigt, und auf letztere 
kommen wir gleich nachher noch einmal bei Gelegenheit des Eudoxus 
zu reden. Ein letztes, was, wiewohl oben (S. 229) gesagt, hier be- 
sonders betont werden mag, ist, daß Archytas die Mechanik zuerst 
methodisch behandelte, indem er sich dabei geometrischer Grundsätze 
bediente. 

Theätet von Athen, der Piaton nahe genug stand, daß dieser 
ihn zur namengebenden Persönlichkeit eines auch mathematisch lesens- 
werten Gespräches macht, ist seiner Lebenszeit nach nicht genauer 
zu bestimmen, als es durch diese eine Angabe geschieht. Seine Ar- 
beiten müssen der Lehre von dem Irrationalen gewidmet gewesen 
sein. Er teilte sämtliche Zahlen in zwei Klassen, in die der Quadrat- 
zahlen, welche durch Vervielfältigung einer Zahl mit einer ihr gleichen 
entstehen, und in die Rechteckszahlen, bei welchen die zu verviel- 
fältigenden Zahlen ungleich gewählt werden müssen^). Das ein- 
teilende Unterscheidungsmerkmal ist hier demnach Rationalität, be- 
ziehungsweise Irrationalität bei der Ausziehung der Quadratwurzel, 
und man kann hier eine früher (S. 183) von uns angekündigte Be- 
stätigung derjenigen Vermutung finden, welche Quadrat und Hete- 
romekie in der pjthagoräischen Kategorientafel des Aristoteles ein- 
fach als Ersatzwörter für Rationalität und Irrationalität erklärt. Wenn 
Theätet sodann fortfährt „in betreff der festen Körper machten wir 
es ähnlich", so ist der Sinn dieses Satzes verschiedener Deutung 
fähig. Es kann hier auf irrationale Kubikwurzeln angespielt sein*), 
möglicherweise auch auf die Ausziehbarkeit oder Nichtausziehbarkeit 
von Quadratwurzeln aus Produkten aus je drei Faktoren. Letzteres 
ist uns namentlich um deswillen wahrscheinlicher, als jede andere 
Notiz darüber, daß der Begriff der Kubikwurzel damals schon be- 
kannt gewesen sein sollte — die Aufgabe der Würfelverdoppelung 
schließt ihn noch keineswegs ein — uns fehlt, während von der Ein- 
schaltung eines oder zweier geometrischen Mittel zwischen Körper- 
zahlen im platonischen Timäus (S. 163) die Rede war. Eine weitere 
Bestätigung dieser imserer Ansicht liegt in einer mutmaßlich von 
Proklus herrührenden Anmerkung zum X. Buche des Euklid. Der 
9. Satz des X. Buches dieses Schriftstellers heißt; Quadrate kommen- 



») Piaton, Theaetet pag. 147— 148. Vgl. Rothlauf S. 24flgg. «) So die 
Meinung Both laufe 1. c. 



Die Akademie. ArisioteleB. 237 

surabler Linien verhalten sich wie Quadratzahlen, inkommensurabler 
Linien nicht wie Quadratzahlen und umgekehrt. Dazu bemerkt nun 
der Scholiast: ^^Dies Theorem ist eine Erfindung des Theatet, und 
Piaton gedenkt desselben in dem Dialoge Theätet; nur wird es dort« 
speziell auseinandergesetzt, hier aber allgemein''^). Noch eine letzte 
Angabe über Theätet liefert uns Suidas, er habe zuerst über die 
fünf Körper geschrieben^). Offenbar ist hier an ein zusammen- 
hängendes Ganzes zu denken, was nicht ausschließt, daß schon vorher 
EUppasos oder irgend ein anderer über das Dodekaeder besonders 
geschrieben haben könnte. Ob auch diese Schrift des Theätet, wie 
man behauptet hat^), den Untersuchungen über Lrationales verwandt 
war, ob insbesondere über das Verhältnis der Kanten dieser Körper 
zum Halbmesser der umschriebenen Kugel Betrachtungen von der 
Art, wie sie im XIII. Buche des Euklid vorkommen, angestellt wurden, 
überlassen wir einzelnem Ermessen. Bestimmtere Angaben gibt es 
darüber nicht. 

Unser Verzeichnis fährt fort: „Jünger als Leodamas ist Neo- 
kleides und dessen Schüler Leon, welche zu dem, was vor ihnen ge- 
leistet worden war^ vieles hinzufügten; es hat auch Leon Elemente 
geschrieben, die in bezug auf Umfang und das Bedürfiiis der An- 
wendung des Bewiesenen sorgfältiger verfaßt sind. Ebenso erfand 
er den Diorismus, wann das vorgelegte Problem möglich ist und 
wann unmöglich." 

Diese Sätze ergänzen früher (S. 208 und 219) von uns Erwähntes. 
In Piatons Akademie entstand die Frage, ob eine Aufgabe, welche 
gestellt war, überhaupt möglich sei, ob man nicht zuverlässig ver- 
gebliche blühe anwende, wenn man ihre Lösung versuche. Diese 
Frage mußte gestellt werden, sobald die analytische Me- 
thode entstand, die, wie wir gleichfalls sahen, nicht an sich zu 
jedesmal richtigen Ergebnissen führte, sondern erst einer Bestätigung 
durch die Synthesis bedurfte. Piaton hat im Menon eine derartige 
Frage gestellt und beantwortet. Leon dürfte die Notwendigkeit der 
Fragestellung' ein für allemal dargetan und vielleicht den Kunstaus- 
druck Diorismus eingeführt haben, dessen lateinische Übersetzung 
determinatio lautet. Über Neokleides wissen wir den Worten des 
Mathematikerverzeichnisses nichts hinzuzufügen. Höchstens können 
wir den Umstand als besonders bemerkenswert erachten, wonach er 
Leons Lehrer gewesen sei, dieser also nicht als ausschließlicher Schüler 
Piatons unmittelbar betrachtet werden darf. 



*) E noch 6, Untersuchungen über die neu aufgefundenen Schollen des 
Proklus DiadochuB zu Euklids Elementen. Herford 1865, S. 24—26. *) Suidas 
8. ▼. Beai^ijtos- *) Bretschneider S. 148. 



238 11. Kapitel. 

^^Eudoxus von Enidos um wenig jünger als Leon und ein Ge- 
nosse der Schule Piatons war der erste^ welcher die Menge der Lehr- 
sätze überhaupt yermehrte und zu den drei Proportionen noch drei 
hinzufügte; er führte auch weiter aus, was von Piaton über den 
Schnitt begonnen worden war, wobei er sich der Analyse bediente/' 

Eudoxus^) lebte um 390—337. Man weiß, daß er in Knidos 
geboren ist, daß er Schüler des Archytas, in seinem 23. Lebensjahre 
auch während zwei Monaten Schüler Piatons in Athen war. Zur 
Zeit des EönigS' Nectanabis 11 um 358 oder 357 verweilte Eudoxus 
ein Jahr und vier Monate in Ägypten, wo er mit Piaton verkehrte, 
wie Strabon nach ägyptischer Überlieferung uns erzählt. Wenig 
später stiftete Eudoxus selbst eine Schule in Kyzikus, dem heutigen 
Panorma am Marmarameere, kam er mit zahlreichen Schülern nach 
Athen, wo er wieder mit Piaton enge verkehrte. Dann aber kehrte 
er nach Knidos zurück und starb dort im Alter von 53 Jahren. 
Astronom, Geometer, Arzt, Gesetzgeber nennt ihn Diogenes Laertius, 
dem die wesentlichsten biographischen Angaben^) über Eudoxus ent- 
stammen. Wir haben es hier nur mit dem Geometer zu tun und 
wollen zunächst von den zwei bestimmten Tatsachen reden, welche 
das Mathematikerverzeichnis hervorhebt. 

Eudoxus fügte zu den drei Proportionen drei weitere hinzu. 
Wir haben (S. 165 — 166) die Analogien und Mesotäten für die Pytha- 
goräer in Anspruch genommen, wir haben gesehen, daß der Ursprung 
einer bestimmten Proportion nach Babylon verlegt wird, von wo 
Pythagoras sie mitgebracht habe, woraus für uns mindestens das folgt, 
daß man zur Zeit des Jamblichus wie in Griechenland, so in den 
Euphratländem jener sogenannten musikalischen Proportion Beach- 
tung schenkte. Wir wollen hier über den Unterschied von Ana- 
logie und Mesotät einiges einschalten. Die Erk^rungen der grie- 
chischen Schriftsteller gehen freilich einigermaßen auseinander, aber 
faßt man die verschiedenen Stellen alle zusammen, so kommt man zu 
folgender Auffassung'). Ursprünglich hieß die geometrische Pro- 

') Über Eudoxus vgl. die bahnbrechende Abhandlung von Ludw. Ideler 
in den Abhandlungen der»Berliner Akademie von 1828 (S. 189—212) und 1829 
(S. 49 — 88). Dann hauptsächlich Schiaparelli, Ueber die homocentrischen 
Sphären des Eudoxus, des Eallippus und des Aristoteles (Abhandig. des lombard. 
Instituts von 1874, deutsch von W. Hörn in dem Supplementheft zu Zeitschr. 
Math. Phys. Bd. XXII). Zwei Programmabhsndlungen der Realschule Dinkels- 
buhl für 1888 und 1890 von Hans Eünssberg geben eine erschöpfende Über- 
sicht Zuletzt beschäftigte sich mit Eudoxus Susemihl, Die Lebenszeit des 
Eudoxos von Enidos (Rheinisches Museum für Philologie. Neue Folge Lm^ 
626—628. 1898). ») Diogenes Laertius VIII, 86—90. ») Nesselmann^ 
Algebra der Griechen Seite 210, Anmerkung 49. 



Die Akademie. Aristoteles. 239 

portion ävakoyCa, die Proportion im allgemeinen ^ nämlich die arith- 
metische^ die geometrische, die harmonische und sämtliche noch dazu 
kommende hießen fisö&trjxsg. Der spätere Sprachgebrauch dagegen 
verwischte diesen Unterschied und ließ zuletzt unter Mesotät nur 
irgend etwas verstehen, was zwischen gegebenen Äußersten lag. 
Diese Darstellung schließt zugleich in sich, daß es ursprünglich nur 
drei solcher Proportionen gab, für welche wir die von Archytas ge- 
gebenen Definitionen kennen gelernt haben. Es war die arithmetische, 
die geometrische, die entgegengesetzte Proportion, welche diesen ihren 
Namen, vitevavtCa^ mit dem durch Archytas und Hippasos, wie wir 
von Jamblichus erfahren, eingeführten Namen der harmonischen ver- 
tauschte. Als selbstverständlich ist dabei zu bemerken, daß nur Pro- 
portionen, die aus drei Zahlen gebildet wurden, in Betracht kamen 
und mit jenen Namen belegt wurden, also nur stetige Propor- 
tionen sind Mesotäten. Zu den drei alten Mesotäten kamen drei 
neue. Das Mathematikerverzeichnis sagt uns Eudoxus habe dieselben 
erfunden. Jamblichus berichtet, Archytas und Hippasos hätten 
sie eingeführt, Eudoxus und seine Schüler nur die Namen verändert^). 
Endlich traten noch vier Mesotäten hinzu und brachten die Gesamt- 
zahl auf zehn, welche Nicomachus im IL S. n. Chr. gekannt hat. 
Durch die Einführung der vier letzten machten sich, wieder Jambli- 
chus zufolge, Temnonides und Euphranor verdient, Persönlich- 
keiten, die wir nur aus diesem einzigen Zitate kennen. An bestimmten 
Zahlenbeispielen können wir am deutlichsten mit dem Wesen der 
zehn Proportionen uns bekannt machen. Es bilden die drei Zeilen 



die 1. 


Proport 


ion a — ^ -= /5 — y 


wenn a = 3/5 = 2y = 1 


2. 




a:ß = ß:Y 


a = 4/5 = 2y = 1 


3. 




« : y = (a - /3) : (/5 - y) 


a = 6/J = 4y = 3 


4. 




a : y -= (/J - y) : (c - ^) 


«=.6/5 = 5y = 3 


5. 




ß:y^(ß-y):(a-ß) 


a = 5/i = 4y = 2 


6. 




a:ß = {ß-Y):{a-ß) 


a = 6j3 = 4y = l 


7. 




a:y~'(tt — y):(ß — y) 


a = 9/3 = 8y=.6 


8. 




a ; y = (a — y) : (a — /3) 


a = 9/S=7y = 6 


9. 




ß-y = i«-r)-iß — r) 


a = 7/J = 6y = 4 


10. 




ß:Y = (a-y):(a-ß) 


a = 8|3-5y = 3 


Beim erstell Anblick Termißt man in dieser Liste, so umfang- 


reich 


sie ist, 


zwei Proportionen, welche der 
chtiB in Nicomachi Ariihmeticam ed 


3. gegenüber eine ähn- 
. Tennnlins pag. lilflgg.. 


'] 


Jambli 


169, 168, ed. P 


istelli pag. 101, 113, 116. 





240 11. Kapitel. 

liehe Berechtigung zu haben scheinen^ wie 5. und 6. neben 4., 
nämlich 

3a. ß:y^(a-ß):(ß-Y) 

3b. a:ß^{u-ß):(ß-r). 

Bei näherem Zusehen ei^ibt sich aber, weshalb sie fortblieben. Sie 
werden erfüllt, sofern ay = ß^, sind also in 2. bereits mit einge- 
schlossen, beziehungsweise werden durch die gleichen Werte a^ ß, y 
erfüllt, welche 2. befriedigen. 

Andererseits erscheint es uns Neueren gar verwunderlich, daß 
die Griechen alle diese Fälle unterschieden, mit deren sieben letzten 
im großen und ganzen gar nichts geleistet ist, daß sie in der Er- 
findung derselben etwas hinlänglich Bedeutendes erkennen, um die 
Namen derer aufzubewahren, von welchen jene Leistung herrührt. 
Wir werden in die griechische Stufenleiter der Wertschätzung uns 
hineinfinden können, wenn wir zweierlei erwägen. Erstens, daß eine 
große Zahlengewandtheit dazu gehörte sämtliche zehn Verhältnisse 
ganzzahlig zu erfüllen, zweitens, daß die aus vier voneinander ver- 
schiedenen Zahlen gebildete geometrische Proportion mit den aus ihr 
abzuleitenden für die Griechen bis zu einem gewissen Grade die 
Gleichungen und deren Umformung ersetzte. Die Folgerung von 

a:ß^y:d auf (a + ß) : ß ^ (y + ä) : d 

z. B. spielt bei den Griechen fortdauernd die allerbedeutsamste Rolle. 
Stetige Proportionen hatten zur Kenntnis der arithmetischen, der geo- 
metrischen Reihen, jene wieder zur Kenntnis der vieleckigen Zahlen 
geführt. Was Wunder, daß man weiter experimentierte, daß man 
immer neue Verbindungen gleicher Verhältnisse zwischen Zahlen 
aufsuchte, welche selbst aus drei gegebenen Zahlen additiv oder sub- 
traktiv zusammengesetzt waren? Solche neue Proportionen konnten 
zu neuen wichtigen Entdeckungen Gelegenheit geben, und taten sie 
es nicht, so boten sie nur ein Beispiel, wie es deren in der Geschichte 
aller Wissenschaften gibt, daß Untersuchungen mit hochgespannten 
Hoffnungen und Erwartungen begonnen sich allmählich als unfrucht- 
bar erwiesen. 

Eudoxus, sagt uns das Verzeichnis noch, führte weiter aus, was 
von Piaton über den Schnitt begonnen worden war, wobei er sich 
der analytischen Methode bediente. Der Schnitt, ^ ^ofii^', über 
welchen Untersuchungen von Piaton begonnen worden waren, muß, 
wie in richtigem Verständnis dieses lange für ttnerklärbar dunkel 
gehaltenen Ausspruches erkannt worden ist^), ein ganz bestimmter 

*) Bretschneider S. 167— 168. 



Die Akademie. AristoteleB. 241 

gewesen sein, ein solcher^ dem die damalige Zeit die größte Bedeu- 
tung beilegte. Das aber war der Fall mit dem Schnitt der Geraden 
nach stetiger Proportion, mit dem sogenannten goldenen Schnitt, 
wie die spätere Zeit ihn genannt hat. Der goldene Schnitt tritt nun 
gerade in Verbindung mit Anwendung der analytischen Methode in 
den fünf ersten Sätzen des XIU. Buches der euklidischen Elemente 
auf, nachdem er schon im 11. Buche als Satz 11. gelehrt worden war. 
Die Annahme, jene fünf Sätze seien Eigentum des Eudoxus und von 
Euklid in ihrem Zusammenhange pietätsroll erhalten, hat sonach eine 
große Wahrscheinlichkeit fär sich. Es sei ergänzend nur hinzugefügt, 
daß Eudoxus bei Untersuchungen über die Proportionenlehre fast mit 
Notwendigkeit auch zu solchen Verhältnissen geführt werden mußte, 
für welche Zahlenbeispiele nicht möglich waren, und deren Behand- 
lung nur geometrisch gelang. Wir sagen, er mußte dahin geführt 
werden, weil, wie wir (S. 163) im Vorbeigehen bemerkt haben, der 
Grieche die Zahl vorzugsweise in räumlicher Versinnlichung zu be- 
trachten pflegte, und hat Eudoxus sie ebenso betrachtet, dann yer- 
stehen wir, warum das Mathematikerverzeichnis die Leistungen des 
Eudoxus in der Proportionenlehre und um den goldenen Schnitt in 
einem Atemzuge ausspricht. Auch das Letztgesagte läßt eine weitere 
Beglaubigung zu. Eudoxus hat die Proportionenlehre geometrisch 
betrachtet, denn ihm gehört nach der Behauptung eines yermutlich 
Ton Proklus verfaßten Scholion das ganze V. Buch des Euklid, das 
ist eben das der Proportionenlehre gewidmete, in allen seinen wesent- 
lichen Teilen an^). 

Eine ganz andere Gattung von Untersuchungen des Eudoxus, 
welche nicht minder gut verbürgt sind, hatte stereometrische Aus- 
messungen zum Gegenstande. Archimed sagt uns mit ausdrück- 
licher Bestimmtheit ^), Eudoxus habe gefunden, daß jede Pyramide der 
dritte Teil eines Prisma sei, welches mit ihr die gleiche Grundfläche 
und Höhe habe, femer, daß jeder Kegel der dritte Teil eines Zylinders 
von der Grundfläche und Höhe des Kegels sei. Archimed deutet 
dabei den Weg an, welchen Eudoxus bei den Beweisen einschlug. 
Die griechischen Philosophen nannten kfjfiiia, Einnahme, den Vorder- 
satz, von welchem der Dialektiker bei seinen Schlüssen ausgeht. Das- 
selbe Wort bedeutete dem Mathematiker einen zum Gebrauche für 
das Nächstfolgende notwendigen, aber den Zusammenhang einiger- 
maßen unterbrechenden Lehnsatz. Von einem Lemma, welches Eudoxus 



^) Enoche, Untersuchungen über die neu aufgefundenen Scholien des 
ProkluB Diadochus. Herford 1865, S. 10— 18. *) Archimedes (ed. Heiberg) 
I, 4 lin. 11—14 und II, 296 lin. 9—20. 

Gaxtob, Oescblehte der Mathematik I. 8. Aufl. 16 



242 11. Kapitel. 

hier anwandte^ sagt uns anch Archimed. Es lautet wie folgt: ,,Wenn 
zwei Flächenräume ungleich sind^ so ist es möglich, den Unterschied, 
um welchen der kleinere von, dem größeren übertroffen wird, so oft 
zu sich selbst zu setzen, daß dadurch jeder gegebene endliche Flächen- 
raum übertroffen wird." Archimed setzt hinzu, mit Hilfe des gleichen 
Lemma hätten auch die Alten die Proportionalität des Kreises zum 
Quadrat des Durchmessers bewiesen, so daß möglicherweise der Be- 
weis des Hippokrates von Chios schon dieses Lemma voraussetzte. 
Daran dachten wir (S. 207), als wir die Vermutung preisgaben, Hip- 
pokrates könne von rechnenden Betrachtungen Gebrauch gemacht 
haben, als er jene Proportionalität bewies. Jedenfalls war, wenn 
auch die erste Kenntnis des Lemma als solchem dem Eudoxus ent- 
rückt werden zu müssen scheint, seine Leistung eine sachlich wie 
methodisch hervorragende, und wir haben ihn als einen der ersten 
Bearbeiter des Exhaustionsverfahrens imter allen Umständen zu nennen. 
Noch eine dritte Gruppe von geometrischen Untersuchungen des 
Eudoxus darf nicht schweigend übergangen werden. Eudoxus ist Er- 
finder einer Kurve, welche zwar in der Astronomie ihre wesentliche 
Anwendung gefunden hat, aber darum nicht weniger der Geometrie 
angehört^). Sie wurde von ihm selbst Hippopede, das heißt Pferde- 
fessel, genannt, und Xenophon beschreibt sie in seinem Buche über 
die Reitkunst als die Art des Laufes, welche beide Seiten des Pferdes 
gleichmäßig ausbilde und jegliche Wendung zu machen gestatte. 
Auch heutigen Tages sucht man durch das sogenannte Achterreiten 
die gleiche Wirkung hervorzubringen, und so wird sehr wahrschein- 
lich, daß es eine schleifenartige Kurve war, welche Eudoxus so be- 
nannte. Damit stimmen Stellen des Proklus überein, welche die 
Hippopede eine spirische Linie nennen, imd welche bezeugen, 
daß sie einen Winkel bilde, indem sie sich selbst schneide^). Wir 
werden von dem Erfinder der spirischen Linien noch später zu reden 
haben. Jetzt dürfen wir aber schon bemerken, daß man unter Spire, 
öTcelQa, einen sogenannten Wulst versteht, d. h. einen ringförmigen 
Rotationskörper, welcher durch die Drehung eines Kreises um eine 
in seiner Ebene liegende aber nicht durch den Mittelpunkt gehende 
Gerade erzeugt wird'), einen Körper, dessen Hälfte in der Würfel- 



*) Über diese Kurve vgl. den V. Abschnitt des vorher erwähnten Aufsatzes 
TonSchiaparelli, deutsche Übersetzung S. 137 — 156 und KnocheundMaerker 
{Ex Prodi successoris in Euclidis elementa commentariis definitionis quartae ex- 
positionem quae de recta est linea et sectionilms spirids commenUUi sunt Knocke 
et Maerker). Herford 1866. *) Proklus (ed. Friedlein) pag. 127, 128, 112. 
") Proklus (ed. Friedlein) pag. 119. Heron Alexandrinus (ed. Hultsch) 
pag. 27, Definit. 98. 





Die Akademie. Aristoteles. 243 

yerdoppelnng des Archytas (S. 228) yorkommt^ erzeugt durch die 
Yerschiebung eines senkrechten Halbkreises über einem wagrechten. 
Schneidet man diesen Wulst durch eine der Drehungsachse parallele 
Ebene, so entsteht eine spirische Linie, deren Gestalt je nach der 
Entfernung der Schnittebene von der Drehungsachse eine dreifache 
sein kann (Fig. 39). Ist die schneidende 
Ebene von der Drehungsachse weiter 
entfernt als der Ereismittelpunkt, so 
entsteht eine ovale in sich zurücklaufende 
Linie, welche Proklus als in der Mitte 
am breitesten und gegen die Enden sich 
yerengemd schildert. Geht die Ebene 
von der Achse aus gesehen diesseits des 
Mittelpunktes des erzeugenden Kreises, 
aber immer noch durch den ganzen 
Wulst, so ist die Kurve nach den 
Worten desselben Schriftstellers läng- 
lich, in der Mitte eingedrückt und breiter ^* ^' 
an den beiden Enden. Die Schleifenlinie entsteht, wenn die Schnitt- 
ebene der Achse noch näher rückt, so daß sie den Wulst an einem 
inneren Punkte berührt, welcher alsdann der Doppelpunkt der Kurve 
ist. Die genaueren Eigenschaften der Hippopede des Eudoxus aus- 
einanderzusetzen ist hier um so weniger der Ort, als dieselben in den 
Quellen nicht angegeben sind, man also in vollständiger Ungewißheit 
sich befindet, wie viel oder wie wenig von dem, was man ausein- 
andersetzt, dem Eudoxus selbst bekannt gewesen sein kann. 

Das letzte, worüber wir noch zu berichten hätten, wären die 
Bogenlinien, xafinvkuL ygafiiialy mittels deren Eudoxus die Würfel- 
verdoppelung vollzog. Eudoxus den Gottähnlichen nennt ihn Era- 
tosthenes mit Rücksicht auf diese Leistung in einem Epigramm, welches 
den Schluß seines Briefes an König Ptolemäus über die Würfel- 
verdoppelung bildet. Es* muß also gewiß eine hervorragende Arbeit 
gewesen sein. Welcher Art aber jene Bogenlinien gewesen sein 
mögen, darüber fehlt auch die dürftigste Angabe, so daß wir keinerlei 
Vermutung Ausdruck zu geben imstande sind. 

Das Mathematikerverzeichnis vereinigt nun wieder drei Namen, 
von welchen zwei uns schon bekannt geworden sind: „Amyklas von 
Heraklea, einer von Piatons Gefährten, und Menächmus, der 
Schüler des Eudoxus und auch mit Piaton zusammenlebend, und 
sein Bruder Dinostratus machten die gesamte Geometrie noch voll- 
kommener." 

Über Amyklas und seine Verdienste wissen wir gar nichts. 

16* 



244 11- Kapitel. 

Menächmus^) war jener Würfelverdoppler, welcher Parabel und 
Hyperbel bei der Lösung seiner Aufgabe benutzte. Wir haben seine 
Auflösungen durch £utokius kennen gelernt (S. 230) und uns aus 
denselben klar zu machen gesucht, wieviel Kenntnisse aus der Lehre 
Ton den Kegelschnitten Menächmus bereits besessen haben muß. Wir 
erinnern uns aus demselben Berichte des Eutokius, daß Isidorus 
von Milet einen Parabelzirkel erfunden hat. Nun kommt allerdings 
in dem oft benutzten Briefe des Eratosthenes der Satz vor (S. 212), 
die Zeichnungen der verschiedenen Würfelverdoppler hätten sich nicht 
leicht mit der Hand ausführen und in Anwendung bringen lassen 
y^außer etwa einigermaßen die des Menächmus, doch auch nur müh- 
sam'^ Man hat daraus den Schluß gezogen, Menächmus habe bereits 
gewisse Vorrichtungen zur Zeichnung seiner Kurven gekannt, und un- 
möglich ist diese Deutung nicht. Einen eigentlichen Widerspruch 
gegen die bei Eutokius vorkommende Bemerkung bildet sie gewiß 
nicht, da erstens die Vorrichtungen des Menächmus keine Zirkel ge- 
wesen zu sein brauchen und zweitens Eutokius nicht sagt, daß man 
vor der Erfindung, die er seinem Lehrer nachrühmt, Parabel und 
Hyperbel nicht mechanisch habe zeichnen können. Daß die Namen 
Parabel und Hyperbel jüngeren Datums als Menächmus sind, haben 
wir betont. Sie gehören dem ApoUonius von Pergä an. Die 
Namen, welche vorher in Übung waren, gehen ebenso wie die Ent- 
stehung jener Kurven aus einer durch Eutokius in seinem Kommen- 
tare zu Apollonius uns erhaltenen Stelle des Geminus hervor*). Die 
Alten kannten nur gerade Kreiskegel und definierten dieselben als 
durch die Umdrehung eines rechtwinkligen Dreiecks um die eine 
seiner Katheten entstanden. Sie unterschieden aber drei Gattungen 
solcher Kegel, je nachdem die Umdrehungsachse mit der Hypotenuse 
des den Kegel erzeugenden Dreiecks einen Winkel machte, der kleiner, 
gleich oder größer als die Hälfte eines rechten Winkels war. Der 
Winkel an der Spitze des Kegels wurde natürlich doppelt so groß, 
also in den drei Fällen spitz, recht oder stumpf Nun schnitt man 
jeden Kegel durch eine zur Kegelseite, d. h. zur Hypotenuse des er- 
zeugenden Dreiecks senkrechte Ebene und erhielt so die dreierlei 
Kurven, welche .ihrer Hervorbringung gemäß Schnitt des spitz- 
winkligen, des rechtwinkligen und des stumpfwinkligen 
Kegels genannt wurden. Schon Demokritus von Abdera (S. 193) 
scheint Kegel durch dem Grundkreise parallele Ebenen durchschnitten 



^) Max C. P. Schmidt, Die Fragmente des Mathematikers Menächmus in 
der Zeitschrift „Philologus" (1882) Bd. 1, 2, S. 72—81. *) Apollonii Conica 
(ed. Heiberg). Leipzig 1891—1893. II, 168. 



Die Akademie. Aristoteles. 245 

zu haben. Die bei sonstigen Schnitten auf der Kegeloberfläche her- 
Tortretenden Kurven hat er indessen wohl kaum beobachtet^ da wieder 
öeminus in einer anderen durch Proklus uns aufbewahrten Stelle 
versichert, Menächmus habe die Kegelschnitte erfunden^). Eben das- 
selbe geht auch aus einer Bemerkung des Eratosthenes hervor. In 
jenem Epigramme nämlich, mit welchem er seinen Brief über die 
Würfelverdoppelung beschließt, und in welchem er Eudoxus den 
Göttlichen nennt, wie wir oben sagten, spricht er von den aus dem 
Kegel geschnittenen Triaden des Menächmus. 

Menächmus, der Entdecker der Kegelschnitte und einiger ihrer 
Haupteigenschaften, scheint aber nicht im Zusammenhange von den- 
selben gehandelt zu haben. Wenigstens sagt uns Pappus, daß ein 
gewisser Aristäus der Ältere zuerst über die Elemente der Kegel- 
schnitte fünf Bücher herausgab. An einer zweiten Stelle erzählt er 
uns, daß Euklid dem Aristäus nachgerühmt habe, daß er sich durch 
die Herausgabe der Kegelschnitte verdient gemacht habe. Eine dritte 
Stelle des Pappus bestätigt endlich, was wir vorher nach Geminus 
über die Namen sagten, indem es dort heißt, Aristäus und alle 
anderen Mathematiker vor Apollonius nannten die drei Kegelschnitt- 
linien den Schnitt des spitzwinkligen, rechtwinkligen und stumpf- 
winkligen Kegels*). Demselben Aristäus rühmt Pappus an der gleichen 
Stelle auch noch nach, daß er die bis jetzt einzig vorhandenen fünf 
Bücher körperlicher Orter in Zusammenhang mit den Kegel- 
schnitten verfaßt habe, und Hypsikles weiß im zweiten vorchrist- 
lichen Jahrhundert, daß er eine Vergleichung der fünf regel- 
mäßigen Körper verfaßte^). Das Zeitalter des Aristäus des Älteren 
läßt sich aus diesen Angaben ziemlich genau ableiten. Er muß mit 
seinem Werke über die regelmäßigen Körper später als Theaetet, der 
zuerst über diesen Gegenstand schrieb, mit seinem Werke über die 
Kegelschnitte später als Menächmus, der diese Kurven entdeckte, 
früher als Euklid, der das Werk lobte, aufgetreten sein. Man wird 
folglich keinenfaUs weit fehlgehen, wenn man die schriftstellerische 
Tätigkeit des Aristäus auf die Jahrzehnte um 320 bestimmt. Das 
Mathematikerverzeichnis schweigt auffallenderweise über diesen ohne 
allen Zweifel hervorragenden Mann, und auch die anderen Quellen 
lassen uns im Stiche, wenn wir die Frage aufwerfen, wer wohl der 
Aristäus der Jüngere war, in Gegensatz zu welchem Pappus von dem 
Älteren redet? 

Menächmus muß, wie wir soeben begründet haben, vor Aristäus 

») Proklus (ed. Friedlei n)pag. 111. »)Alle drei Stellen bei Pappus, VII, 
Praefatio (ed. Hultsch) 672, 676 und wieder 672. ») Hypsikles, Buch von 
den fClnf regelmäßigen Körpern, Satz 2. 



246 



11. Kapitel. 



gesetzt werden. Der Zeit nach könnte er mithin leicht Mathematik- 
lehrer Alexanders des Gfroßen gewesen sein, wie in einem allerdings 
an sich wenig glaubwürdigen Geschichtchen erzählt wird^). 

Dinostratas'), der Bruder des Menächmus, bediente sich Pappus 
zufolge zur Quadrierung des Kreises jener krummen Linie, deren Er- 
findung wir für Hippias von Elis in Anspruch nehmen mußten, und 
welche mutmaßlich nur von ihrer neuen Anwendung den Namen der 
Quadratrix erhielt (S. 197). Auch über das dabei eingeschlagene Ver- 
fahren gibt Pappus uns erwünschte Auskunft'). Es wird nämlich 
zunächst die Länge des Ereisquadranten gesucht imd alsdann 
der Inhalt des Kreises als Hälfte des Rechtecks berechnet, welches 
die Kreisperipherie, oder das. Vierfache des Quadranten, zur Grund- 
linie und den Kreishalbmesser zur Höhe hat. Jene Länge des Qua- 
dranten aber ist erstes Glied einer stetigen 
geometrischen Proportion, deren Mittelglied 
der Halbmesser und deren letztes Glied die 
Entfernung des Kreismittelpunktes von dem 
Endpunkte der Quadratrix ist (Fig. 40). 
Wäre nicht, wie behauptet wird, BEdiFd 
^ rj : r®, so wäre etwa BEJ : Fd 
=-r^:rK und rK> TS. Man be- 
schreibe mit r als Mittelpunkt und FK 
als Halbmesser einen zweiten Quadranten 
ZHKf welcher die Quadratrix in H schneidet. Da die Proportionalität 
der Quadranten und ihrer Halbmesser BEJ : ZHK^ Fd : FK zur 
Folge hat, so yerbindet sich dieses Verhältnis mit dem yorhergehen- 
den zu ZHK ^ Fzf ^ BF, Wegen der Grundeigenschaft der Qua- 
dratrix ist auch Bogen BE^ : Bogen JBz/ = BF: HA und, weil die 
konzentrischen Quadranten BE^d, ZHK durch 
den Halbmesser FHE geschnitten sind, ist femer 
Bögen BEJ : Bogen EzJ = Bogen ZHK: Bogen 
HK^BFiBogen HK Daraus folgt wieder 
durch Verbindung zweier Verhältnisse Bogen 
HK = HA, was unmöglich ist. Die Annahme, 
daß der Punkt K zwischen F und G fiele, mit- 
hin FK < F& wäre (Fig 41), führt gleichfaUs 
zu Widersprechendem. Man beschreibt wieder 
mit F als Mittelpunkt und FK als Halbmesser 
einen Quadranten, so muß wieder B EA:Z MK^ B F: FK sich verhalten. 
Voraussetzungsmäßig ist BEA :BF^ BF: FK, mithin ZMK^BF, 

') Vgl. Bretachneider 162—163. *) Hultsch in Pauly-Wisowa, Ency- 
klopädie IV, 2396-2898. ») Pappus IV, 26 (ed. Hnltßch) pag. 266. 





Die Akademie. Arifitoteles. 247 

Femer findet das Verhältnis statt Bogen ZMK: Bogen MK » Bogen 
Bß^ : Bogen E^ nnd, weil BH0 Quadratrix ist, anch Bogen 
^EJ: Bogen E^ ^ BT : HK, folglich Bogen Z MK : Bogen 
MK^ BF: HK In dieser Proportion ist, wie oben gezeigt wurde, 
das erste und dritte Glied übereinstimmend, also muß das Gleiche 
fiir das zweite und vierte Glied stattfinden, d. h. es muß Bogen 
MK =» HK sein, und das ist nicht möglich. Der Punkt JT, dessen 
Entfernung vom Mittelpunkte F das Schlußglied der Proportion bildet, 
deren Anfangsglied die Quadrantenlänge und deren Mittelglied der Halb- 
messer ist, kann also weder rechts noch links von ® fallen und muß 
deshalb & selbst sein. Warum arc MK = HK unmöglich sei, verrät 
ims der Berichterstatter Pappus nicht. Er sagt nur otcsq atoxov. 
Vielleicht ist der Beweis so zu denken, daß die Flächen des Ejreis- 
ausschnittes FMK und des größeren Dreiecks FHK sich wie arc 
MK : HK verhalten. Diese Beweisführung setzt freilich voraus, daß 
Dinostratus die Ausmessung des Kreises in Gestalt eines Rechtecks, 
welche, wie wir sagten, der Zielpunkt seiner Untersuchung war, schon 
als bekannt annahm. 

Dieser Beweis ist nächst dem (S. 182) angieführten auf Pytha- 
goras zurückgehenden Beweis der Irrationalität von |/2 der erste in- 
direkte Beweis, welchem wir begegnet sind, wenn wir auch keines- 
wegs annehmen, hier sei wirklich zuerst die Zurückführung auf Wider- 
sprüche vorgenommen worden. Die analytische Methode, das haben 
wir ja gesehen, mußte den Beweis aus dem Gegenteil bevorzugen, als 
denjenigen, der eine nachfolgende Synthese entbehrlich machte (S. 221), 
und so wird auch wohl spätestens mit dieser Methode der apagogische 
Beweis entstanden sein — spätestens, denn es ist keineswegs unmög- 
lich, daß er zum Zwecke der dem Hippokrates schon nicht fremden 
Exhaustion erfunden worden wäre. Zu dem bewiesenen Satze selbst 
wollen wir noch besonders hervorheben, was wir oben gelegentlich 
gesagt haben. Der Name der Quadratrix darf uns nicht irren, als ob 
es hier wirklich um eine Quadratur sich handelte. Diese folgt erst 
in zweiter Linie. Eine Rektifikation des Kreisquadranten ist viel- 
mehr vorgenommen, und zwar dürfte es das erste Mal gewesen sein, 
daß diese Aufgabe behandelt wurde, um welche von jetzt an die Zahl 
der großen Probleme der Geometrie vermehrt ist. 

„Theydius von Magnesia scheint sowohl in der Mathematik 
als auch in der übrigen Philosophie bedeutend zu sein; er schrieb 
auch sehr gute Elemente, wobei er vieles Spezielle verallgemeinerte. 
Ganz ebenso war Kyzikenus von Athen oder Athenaeus von 
Kyzikus, denn die griechische Form 6 KviiTtrivoq Hd^vaiog kann 
beide Bedeutungen haben und ist bald so, bald so übersetzt 



248 11. Kapitel. 

worden ^), um die nämliche Zeit lebend^ sowohl in den anderen Wissen- 
schaften als ganz besonders auch in der Geometrie berühmt. Alle 
diese verkehrten in der Akademie miteinander^ indem sie ihre Unter- 
suchungen gmneinschaftlich anstellten. Hermotimns von Kolo- 
phon führte das früher von Eudoxus und Theaetet Gefundene weiter 
aus, entdeckte vieles zu den Elementen Gehörige und schrieb einiges 
über die Örter. Philippus von Mende, des Piaton Schüler und 
von ihm den Wissenschafben zugeführt, stellte nach Piatons Anleitung 
Untersuchungen an und nahm sich das zur Bearbeitung, wovon er 
glaubte, daß es mit Piatons Philosophie zusammenhänge. Die nun 
die Geschichte geschrieben haben, führten bis zu diesem Punkte die 
Entwicklung der Wissenschaft fort." 

So der Schluß des alten Mathematikerverzeichnisses. Von den 
vier Männern, welche hier genannt sind, ist einer uns schon bekannt: 
Philippus von Mende. Es ist kaum einem Zweifel unterworfen, 
daß er derselbe ist, wie Philippus Opuntius (von Opus)*), daß 
er ein bedeutender Astronom war, zuerst wahrscheinlich mit optischen 
Untersuchungen sich beschäftigte und insbesondere den Regenbogen 
als Brechungserscheinung erkannte. Von den Arbeiten über Vielecks- 
zahlen war (S. 169) die Rede. Auch die Literaturgeschichte ist unserem 
Philippus zu Dank verpflichtet, als demjenigen, fler die 12 Bücher 
Gesetze des Piaton herausgab und ein 13. Buch, die sogenannte Epi- 
nomis, als Anhang verfaßte. Von den drei übrigen Persönlichkeiten 
dagegen wissen wir so gut wie nichts. Es ist freilich mit hoher 
Wahrscheinlichkeit vermutet worden, die elementargeometrischen Sätze, 
welche bei voreuklidischen Schriftstellern, z. B. bei Aristoteles, vor- 
kommen, müßten dem Elementenwerke des Theydius entnommen sein*). 
Von Hermotimus hieß es, er habe über die Örter geschrieben. Ein 
geometrischer Ort im allgemeinen ist der Inbegriff von Punkten, 
welche insgesamt gewisse Bedingungen erfüllen, die hinwiederum 
durch keinen Punkt außerhalb des geometrischen Ortes erfüllt werden. 
Pappus sagt uns weiter, daß man verschiedene Arten von Örtem 
unterschied*). Ebene Örter, xotcoi. ItcCtcböoi, wurden die genannt, 
welche gerade Linien oder Kreislinien sind; körperliche Örter, x6%oi 
etSQSol, die, welche Kegelschnitte sind; lineare Örter, TÖ;ro( yQafLfiixol, 
die weder gerade Linien, noch Kreislinien, noch Kegelschnitte sind. 



^) Bretschneider hat die erste, Friedlein die zweite tJhersetzung an- 
genommen. *) Aug. Böckh, lieber die vierjährigen Sonnenkreise der Alten 
(Berlin 1868) S. 84—40. ') Heiberg in den Abhandinngen zur Geschichte der 
Mathematik XVIÜ, 4 (Leipzig 1904). *) Pappns VII, Praefatio (ed.Hultsch) 
pag. 662 und 672. 



Die Akademie. Aristotelee. 249 

Es muß dabei einigermaßen auffallen, daß nach einer Nachricht, die 
wir ebendemselben Pappus yerdanken, Aristäus der Altere in zwei 
Terschiedenen Schriften über Kegelschnitte und über körperliche Orter 
geschrieben haben soll. Man muß wohl annehmen, daß das eine Mal 
sein Zweck dahin giug, Eigenschaften der Kegelschnitte auseinander- 
zusetzen, das andere Mal Aufgaben zu lösen, bei denen Kegelschnitte 
als Mittel zur Auflösung dienten. 

Wenn von allen zugleich behauptet wird, sie hätten in der Aka- 
demie verkehrt, so kann dieser Verkehr auch stattgefunden haben, 
nachdem der Stifter dieser Schule gestorben war. Piatons unmittel- 
barer Nachfolger war Speusippus, Sohn der Potone, der Schwester 
Piatons. Er schrieb über die pythagoräischen Zahlen, und ein Bruch- 
stück dieses artigen Büchleins — ßißkCÖLOV ykaq>vQ6v — hat sich 
nebst dieser lobenden Benennung bei einem späten Schriftsteller er- 
halten^). Es ist darin von linearen Zahlen, von vieleckigen Zahlen, 
von Dreiecken, von Pyramiden die Rede, so daß dadurch der alt- 
pythagoräische Ursprung aller dieser arithmetischen Begriffe immer 
unzweifelhafter wird. Zweiter Nachfolger Piatons war dann Xeno- 
krates (geboren um 397, gestorben um 314), der wahrscheinlich 339 
V. Chr. die Leitung der Akademie übernahm. Wir haben (S. 216) 
dessen bekannten Ausspruch über die Mathematik als Handhabe der 
Philosophie angeführt. Wir haben (S. 118) erwähnt, daß er mög- 
licherweise eine historische Schrift über die Oeometer verfaßt hat, 
welche, wie wir jetzt nach Diogenes Laertius ergänzen, aus fünf 
Büchern bestand. Noch andere vielleicht mathematische Schriften 
von ihm werden uns durch den gleichen Gewährsmann genannt^). 
Leider sind es nur Überschriften, die auf uns gelangt sind, ohne 
selbst die leiseste Andeutung über den Inhalt. Nur über eine Lei- 
stung des Xenokrates ist uns eine kurze Notiz erhalten, welche be- 
dauern läßt, daß sie so kurz ist. Er habe auch gezeigt, sagt Plu- 
tarch, daß die Anzahl der aus allen Buchstaben zusammensetzbaren 
Silben 1002000000000 betrage»). Die Frage ist eine wesentlich 
kombinatorische. Kombinatorisch ist, wenn man will, bis zu einem 
gewissen Grrade die Bemerkung Piatons von den 59 Teilern, welche 
in 5040 enthalten seien (S. 225). Allein dort schien es notwendig 
zuzugeben, daß eine empirische Zählung zu diesem Ergebnisse ge- 



*) Theologumena Arithmeticae (ed. Ast)*. Leipzig 1817, pag. 61—62. Eine 
mit Erläuterungen versehene Übersetzung der ganzen Stelle bei P. Tannery, 
Pour rhistoire de la science Helläne, pag. 386—390. *) Diogenes Laertius 
IV, 13. ■) Plutarchus, Quaest. Conviv. VIII, 9, 13: Ssvo^gdtrig dh tbv x&v 
avXXaß&v ScQid'nbv hv roc otoix^ta luyvvfisva ngbg aXXriXa itagiiii \LVQiddaiv imi- 
qnivsv Unoödnig xul iLVQid%ig uvgioav. 



250 11. Kapitel. 

führt haben werde. Bei der Aufgabe des Xenokxates schließt die 
Oröße der Zahl jede Zählung, ihre Abweichung von einer runden 
Zahl jede allgemein hingeworfene Abschätzung aus. Xenokxates muß 
gerechnet; nach einer kombinatorischen Formel gerechnet haben, und 
wenn dieselbe auch offenbar unrichtig gewesen sein muß, so wäre 
es nicht weniger wissenswert, die Formel und ihre Ableitung zu 
kennen. Eine Wiederherstellung derselben aus jener Zahl ist uns 
nicht gelungen. 

Suchen wir ganz kurz zusammenfassend unserem Gedächtnisse 
einzuprägen, welcherlei Bedeutung Piaton, seine außerhalb des Pytha- 
goräismus stehenden Yor^nger und seine eigenen Schüler für die 
Entwicklung der Mathematik besaßen. Die Mathematik gewinnt in 
dieser Zeit an Umfang in einem zweifachen Sinne dieses Ausdrucks. 
Der Umfang nimmt zu durch neu entdeckte Sätze und Methoden. 
Der Umfang nimmt zu durch die Zahl der Persönlichkeiten, die mit 
Mathematik sich beschäftigen. Die letztere Zunahme begründet sich 
durch die Notwendigkeit, durch die Mathematik hindurch zur Philo- 
sophie zu gelangen. Die Neuentdeckungen gehören zu einem Teile 
den Elementen an, welche seit Hippokrates in wiederholter Aus- 
arbeitung durch Leon und durch Theydius sich wesentlich vervoll- 
kommnen. Die philosophisch begründenden Kapitel der Mathematik 
bilden sich. Definitionen werden ausgesprochen. Methoden werden 
erfunden. Fragen nach der Möglichkeit des Geforderten, an die man 
früher kaum dachte, bilden jetzt eine unbedingte Voraussetzung. Aber 
diese Methoden, vornehmlich die Analyse und der Diorismus, äußern 
ihre hauptsächliche Wichtigkeit in der Lehre von den Örtern, in der 
höheren Mathematik des Altertums, welcher der andere Teil der Neu- 
entdeckungen angehört. Es sind der Hauptsache nach drei Probleme, 
durch welche die höhere Mathematik, der Zirkel und Lineal nicht 
genügen, hervorgerufen wird: die Quadratur des Kreises, in der Form, 
wie Dinostratus sie behandelt, die Rektifikation mit einschließend, die 
Dreiteilung des Winkels, die Verdoppelung des Würfels. Die beiden 
letzten Probleme führen zur Erfindung mannigfacher Kurven, unter 
welchen die Kegelschnitte durch die später gewonnene Ausbildung 
ihrer Lehre an Wichtigkeit hervorragen. An sich aber sind sie kaum 
merkwürdiger als jene anderen krummen Linien, von denen eine, 
durch Archytas zum Zwecke der Würfelverdoppelung ersonnen, sogar 
eine Linie doppelter Krümmung ist. Die Kreisquadratur hat noch 
eine besondere Seite, mittels deren die höhere Mathematik des Alter- 
tums mit der der Neuzeit sich berührt. Sie erfordert Lifinitesimal- 
betrachtungen. Das Unendlichgroße wie das Unendlichkleine sind 
dem Altertume keineswegs iremd. Nur wagte man nicht — zunächst 



Die AJcademie. Aristoteles. 251 

yielleicht aus Scheu vor Angriffen^ wie die eleatische Schule sie ühte 
— eine unmittelbare Benutzung des Unendlichen sich zu gestatten. 
Die mittelbare Methode der Zurückführung auf das Unmögliche, später 
f&r diese Gattung von Aufgaben unter dem Namen der Exhaustion 
bekannt, diente zum Ersätze und zeigte sich als so wirksam, daß Yon 
nun an ein anderes Beweisverfahren gar nicht mehr gestattet worden 
wäre. So bleibt der Form nach die gesamte Mathematik einheitlich 
gestaltet als Geometrie, ohne daß ein äußerer Unterschied der Be- 
weisführung zwischen niederer und höherer Geometrie obwaltete. Auch 
die Arithmetik fugt sich diesem einheitlichen Zusammenhange, sie 
nimmt mehr und mehr ein geometrisches Gewand an, dessen sie auch 
in dem nun folgenden Jahrhunderte, in der Glanzperiode griechischer 
Mathematik, sich nicht entkleiden wird. 

Mit diesem Überblicke könnten wir füglich dieses Kapitel schließen. 
Wir sollten es vielleicht. Ganz äußerliche Gründe bestimmen uns 
einen kurzen Anhang nachzuschicken und in demselben Dinge zur 
Sprache zu bringen, die zur Bildung eines eigenen Kapitels stofflich 
nicht ausreichend den einheitlichen Charakter des folgenden Kapitels 
nur noch viel mehr entstellen würden, wenn wir vorzögen sie dort- 
hin zu verweisen. Wir meinen die mathematische Bedeutung von 
Aristoteles und seinen nächsten Schülern. 

Aristoteles^) ist 384 geboren, 322 gestorben. Seine Vater- 
stadt Stagira lag in der thrakischen, aber größtenteils von Griechen 
bewohnten Landschaft Chalkidike; sein Vater war Leibarzt des Königs 
Amyntas von Makedonien. Diese beiden Erbüberlieferungen beein- 
flußten sein Leben. Ghriechenland hat ihn gebildet, durch Makedo- 
niens Könige hat er einen wesentlichen Teil seiner großartigen Kul- 
turmission ausgeübt. Aristoteles war im 18. Jahre seines Lebens in 
die platonische Schule in Athen eingetreten, wo er Mitschüler des 
Xenokrates war, und verließ diese Stadt, in welcher er übrigens auch 
selbst eine Bednerschule im Gegensatze zur Akademie eröffnete, im 
Jahre 347 nach Piatons Tode. Von 343 bis 340 etwa war er als 
Erzieher Alexanders des Großen am makedonischen Hofe, verwandte 
dann die nächsten Jahre zur Abfassung von für seinen Zögling be- 
stimmten Schriften und eröffnete etwa 334 in Athen bei dem Tempel 
des Apollo Lykeios seine Vorträge. Lustwandelnd in den Baum- 
gängen des anstoßenden Gartens wurden die Peripatetiker die 
zahlreichste Philosophenschule. Die Beziehungen des Aristoteles zu 
Alexander blieben auch aus der Ferne die besten, bis 328 die Leiden- 
schaftlichkeit des aufbrausenden Fürsten einen unheilvollen Riß her- 



*) Vgl. Zeller, Die Philosophie der Griechen. Bd. II, 2, S. 1 ügg. 



252 11. Kapitel. 

vorbrachte. Das hindeiie freilich nicht ^ daß die nach Alezanders 
Tode 322 sich aufraffenden Athener Aristoteles mit ihrem Hasse be- 
drohten. Er floh nach Ghalkis nnd starb dort innerhalb Jahresfrist. 

Wir haben Yon den Leistungen des großen Stagihten hier nur 
einen kleinsten Bruchteil zu besprechen. Seine astronomischen, seine 
physikalischen, seine naturbeschreibenden Schriften kümmern uns als 
solche nicht. Seine eigentlich philosophischen Werke haben für uns 
nur mittelbare Bedeutung. So haben wir dessen, was er in seiner 
Physik über das Unendlichgroße und das ünendlichkleine sagt, schon 
früher (S. 204) gedacht, und mit Bewunderung bei ihm eine Auf- 
fassung erkannt, welche den Anschauungen unserer eigenen Zeit recht 
nahe kommt. 

Man könnte vielleicht erwarten, daß wir in den Schriften des 
Aristoteles die zahlreichen Beispiele absuchten, welche der Geometrie 
und der Arithmetik entnommen sind ^). Wir werden uns dieser Mühe 
nicht unterziehen, denn nur verhältnismäßig wenige dieser Stellen 
besitzen eine geschichtliche Bedeutsamkeit. Auf einiges durften wir 
hinweisen, als wir mit der Mathematik der Pythagoräer uns beschäf- 
tigten, so insbesondere auf die Erklärung des Gnomon (S. 162), auf 
das Vorkommen des Wortes Dreieckszahl (S. 168), auf den Beweis 
der Irrationalität von ]/2 (S. 182), welche uns wertvoll waren. Auf 
anderes wollen wir jetzt die Aufmerksamkeit lenken, an den viel 
häufigeren uns unwichtig scheinenden Stellen mit Schweigen vorüber- 
gehend. Wir erwähnen als aristotelisch den Satz, daß die Außen- 
winkel eines geradlinigen ebenen Vielecks die Winkelsumme von vier 
Rechten besitzen, wo die Außenwinkel so gemeint sind, daß jede 
Vielecksseite einseitig, und an jedem Eckpunkte nur eine Vielecks- 
seite verlängert ist*). Aus diesem Satze geht zweifellos hervor, daß 
über die Winkelsumme des Dreiecks hinaus jetzt auch die Winkel- 
summe des nach außen konvexen Vielecks von n Seiten bekannt ge- 
wesen sein muß. Wir erwähnen ferner, daß, während bei Piaton der 
Gegensatz der Rechenkunst und der Zahlenlehre, Logistik und Arith- 
metik, scharf und bestimmt vorhanden war, erst bei Aristoteles ein 
ähnlicher Gegensatz zwischen der Feldmeßkunst und der wissenschaft- 
lichen Raumlehre, Qeodäsie und Geometrie, nachweisbar ist*). Wir 



*) Eine derartige wenn auch nicht yollständige ZnaammensteHung hat ein 
bologneser, dem Jesuitenorden angehöriger Professor der Mathematik Bian- 
cani (Blancanus) unter dem Titel Aristotelia loca mathematica 1616 veröfifent- 
licht. Neuen Ursprungs sind Görland, Aristoteles und die Mathematik (Mar- 
burg 1899), sowie Heiberg, Mathematisches zu Aristoteles (Leipzig 1904 in den 
Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik XVIII, 1 — 49). *) Aristoteles, 
Analyt. post. y, 94, 8 und 9, 14, 9. Vgl. Blancanus 1. c. pag. 61—62. ') Ari- 



Die Akademie. AristoteleB. 253 

können anführen, daß Aristoteles weiß, daß eine zylindrische Rolle, 
welche durch eine Ebene parallel oder geneigt zur Endfläche ge- 
schnitten wird, im aufgerollten Zustande das eine Mal eine gerade 
Linie, das andere Mal eine Kurve zeigt ^), daß ihm somit der Zylinder- 
schnitt neben dem Kegelschnitte schon bis zu einem gewissen Grade 
merkwürdig war. Wir müssen wohl eines eigentümlichen, vielleicht 
aus dem Elementenwerke des Theydius (S. 247) stammenden Beweises 
der Winkelgleichheii an der Ghrundlinie eines gleichschenkligen Drei- 
ecks gedenken^). Aus der Spitze K des Dreiecks als Mittelpunkt 
(Fig. 41a) wird der Kreis AB^'B' beschrieben, der AA und BR 
als Durchmesser besitzt. Nun sind alle Winkel, welche ein Kreis- 
durchmesser mit der Peripherie bildet, einander gleich, also L.KAE 
« KBE, Femer sind die Winkel F, d (oder BAEy ABE) einander 
gleich, welche eine Sehne mit dem von ihr bespannten Bogen bilden. 
Zieht man diese beiden Gleichungen zwischen je zwei gemischtlinigen 
Winkeln voneinander ab, so bleibt die 
Gleichung zwischen den beiden geradlinigen 
Winkeln A, B übrig. Wir» können hinweisen 
auf Aristoteles als vermutlich den ersten, der 
die so bedeutsame Frage sich vorlegte, warum 
wohl nahezu alle Menschen nach der Grund- 
zahl 10 zählen, und der in der Fingerzahl 
unserer Hände den Grund erkannte*). Wir 
finden auch bei Aristoteles den Keim zu 
einem Gedanken, der der fruchtbarsten einer 
für die ganze Mathematik geworden ist. 
Aristoteles bezeichnete nämlich unbekannte Größen, und zwar nicht 
bloß Längen, durch einfache Buchstaben des Alphabetes^). Eine 
Stelle lautet z. B.: Wenn A das Bewegende, B das Bewegt werden de, 
r aber die Länge, in welcher es bewegt worden ist, und J die Zeit 
ist, in welcher es bewegt worden ist, so wird die gleiche Kraft wie 
A in der gleichen Zeit auch die Hälfte des B doppelt so weit als F 
bewegen, oder auch in der Hälfte der Zeit J gerade so weit als F. 
Man hat in diesen und ähnlichen Sätzen der Physik des Aristoteles 
die Ahnung des Prinzipes der virtuellen Geschwindigkeit 
gefunden ^). 




stoteles, Metaphys. II, 2 u^uc &h (ybSl to^to &Xri^ig, mg ij yBoadaioia xoiv 
alad"rit&v icti iLsys^&v Kai (pd'agr&v. 

*) Aristoteles Problem. XVI, 6. ") Blancanns 1. c. pag. 88. Hei- 
berg 1. c. S. 26—26. *) Aristoteles Problem. XV. *) Aristoteles, Physic. 
Vn und VIII passim z. B. Bd. I, pag. 240 bis 250 der Aristoteles-Ausgabe der Ber- 
liner Akademie. *) Poggendorff, Geschichte der Physik. Leipzig 1879, S. 242. 



254 11- Kapitel. 

Andere mechanische Betrachtungen hat Aristoteles in einem be- 
sonderen Werke ^) niedergelegt, bei welchem wir einen Augenblick 
yerweilen müssen. Die Echtheit der Mechanik des Aristoteles ist 
allerdings mehrfach geleugnet worden , und unter den Zweiflern be- 
finden sich Männer, die, wenn auch dem Inhalte jenes Werkes gegen- 
über Laien, jedenfalls mit der Ausdrucks weise des vermuteten Ver- 
fassers aufs genaueste bekannt waren ^). Wir besitzen selbst die 
sprachlichen Kenntnisse nicht in dem Maße, welches erforderlich 
wäre um über die Berechtigung oder Nichtberechtigung der Aus- 
scheidung der Mechanik zu entscheiden. Soviel dürfte indessen zu 
behaupten sein, daß die Mechanik im aristotelischen Qeiste verfaßt 
ist, daß ein innerer Widerspruch gegen andere Schriften des großen 
Gelehrten nicht nachgewiesen ist^). Behaupten darf man auch, daß 
die Möglichkeit einer aristotelischen Mechanik ebensowenig geleugnet 
werden kann als die geistige Bedeutsamkeit der unter diesem Titel 
auf uns gekommenen* Schrift. 

Eine Mechanik konnte Aristoteles schreiben. Es war zu seiner 
Zeit schon eine solche von Archytas* von Tarent vorhanden 
(S. 236), der sich bei dieser seiner methodischen Behandlung der 
Mechanik geometrischer Grundsätze bediente*). Es waren auch von 
der eleatischen Schule aus gegen die ganze Bewegungslehre An- 
griffe erfolgt (S. 199), die es nicht unwahrscheinlich machen, daß 
Aristoteles, der seine allgemeinen Abweisungen jener Zenonischen 
Lehren in einer besonderen Schrift über unteilbare Linien weitläufiger 
ausführte, ergänzend auf positive Weise zeigen wollte, wie die als 
möglich und als wirklich behauptete Bewegung vor sich gehe. Dazu 
kam aber ein anderer Zweck, welcher den mechanischen Problemen 
des Aristoteles — so lautet der eigentliche Titel der Schrift — eine 
besondere dialektische Bedeutung gibt und damit deren Echtheit 



^) Äristotelis Quaestiones tnechanicae ed. J. P. van Cap pelle. Amster- 
dam 1812. Vgl. auch eine Abhandlung von Burja, Sur les connaissances mathe- 
matiques d^Aristote in den Memoires de Vacademie de Berlin für 1790 und 1791 
und besonders Fr. Th Poselger: Ueber Aristoteles mechanische Probleme, eine 
in der Berliner Akademie am 9. April 1829 gelesene Abhandlung (Berlin 1831). 
*) Vgl. z. B. Brandis, Geschichte der Entwicklungen der griechischen Philo- 
sophie tmd ihrer Nachwirkungen im römischen Reiche. Berlin 1862. I, 896. 
•) Genau die gleiche Ansicht auch bei P. Duhem, Les origines de la statique I, 
6—9 (Paris 1906). Heiberg 1. c. S. 81 flg. bezweifelt die Echtheit des aristo- 
telischen Ursprunges aus sprachlichen Gründen, namentlich wegen des Vor- 
kommens des Wortes zBXQanXBVQOv für Viereck, welches erst Euklid eingeführt 
habe. Er gibt aber S. 32 selbst zu, daß diese S. 16 behauptete Einführung 
durch Euklid „nur eine Vermutung, wenn auch eine sehr wahrscheinliche^^ sei. 
*) Diogenes Laertius VIII, 83. 



Die Akademie. Aristoteles. 255 

gewährleistet. Es sollten Aporien aufgestellt werden, d. h. Fragen 
der Mechanik gesammelt werden, welche Widersprüche zu enthalten 
scheinen, und deren Behandlung erweisen sollte, wie solche schein- 
bare Widersprüche sich lösen lassen^). 

Die sogenannte Mechanik des Aristoteles würde, sagen wir, 
seineö Namens nicht unwürdig sein. Ein Schriftsteller des XVHL S. 
hat zwar darüber so ziemlich das entgegengesetzte Urteil gefällt*), 
dürfte jedoch damit vermutlich allein stehen. Ein Werk, in welchem 
die Zusammensetzung rechtwinklig zueinander wirkender Kräfte ge- 
lehrt ist^), in welchem ausdrücklich die an dem Hebel anzubringenden 
sich im Gleichgewicht haltenden Lasten den Längen der Hebelarme 
umgekehrt proportional gefunden werden^), in welchem als Orund 
dafür der größere Kreisbogen genannt ist, durch welchen die vom 
Stützpunkte des Hebels weiter entfernte Last sich bewegen muß: 
ein solches Werk ist wahrlich keines antiken Schriftstellers un- 
würdig, mögen auch einige Fragen in demselben nicht richtig beant- 
wortet sein. 

Zu diesen nicht richtig beantworteten Fragen gehört eine, welche 
schon überhaupt gestellt zu haben einen feinen mathematischen Oeist 
verrät. Es seien (Fig. 42) 
zwei konzentrische Kreise 
eßrj und *yg. Rollt der 
kleinere Kreis allein auf 
der Geraden rjd, so wird 
r^x seinem Quadranten 
gleich; mithin, wenn ß 
nach X gekommen ist, 
wird die ßa senkrecht 
auf rjd stehen. Rollt der 
größere Kreis allein auf 
der Geraden gt, so wird 

^L seinem Quadranten gleich; mithin steht die ya senkrecht auf g^, 
wenn y nach l gekommen ist. Nun seien die beiden konzentrischen 
Kreise zu einem Rade verbunden. Jetzt stellen aß und ay eine 
starre Linie vor, die nicht getrennt werden kann, und es muß folglich 



t y " 



*) Poselger 1. c. S. 6. *) Montucla, Histoire des tnathSmatiques (II. Edi- 
tion) I, 187. *) Der Satz von dem Parallelogramm der Kräfte in der hier an- 
gegebenen Beschränknng blieb bekannt. So führt ihn beispielsweise Proklus 
(ed. Friedlein pag. 106 lin. 8—6) an. Vgl. Major, Programm des Stuttgarter 
Gymnasiums für 1880—81, S. 13 und 24. *) Quaest, mechan. cap. IV, pag. 29. 
Burja hat 1. c. diese Stelle mißverstanden, wie van Cappelle in seinen An- 
merkungen S. 183 mit Recht bemerkte. 



256 11. Kapitel. 

beim Rollen des inneren Radkreises längs rjO schon, wenn ß in x 
angekommen ist, y in k angekommen sein, also der Bogen gy 
einmal der Strecke gt, einmal der Strecke gA gleich sein. Dieses Para- 
doxon wußte allerdings Aristoteles nicht zu lösen, und er hatte darin 
Nachfolger bis in das XVII. S. n. Chr. Erst rationelle Zerlegung 
der zusammengesetzten Kreisbewegung konnte zur richtigen Erkennt- 
nis führen, daß in der Tat das Wälzen einer Kurve auf einer Qeraden 
nicht immer die Gleichheit des krummlinigen und des geradlinigen 
Stückes zur Folge haben müsse, die nacheinander zur Deckung 
kommen ^). 

Bei Aristoteles sind wir auch wohl berechtigt Kenntnisse jenes Kapi- 
tels der allgemeinen Wissenschaftslehre yorauszusetzen, von welchem 
wir bei Xenokrates die ersten uns zur Kenntnis gekommenen Spuren 
bemerkten. Wir meinen die Kombinatorik. Aristoteles hat die 
Dialektik der Sophisten zur eigentlichen Syllogistik ausgebildet, und 
die verschiedenen Arten von Schlüssen, welche er in Auseinander- 
setzung dieser Lehre unterscheidet, erschöpfen in der Tat sämtliche 
Möglichkeiten. Es ist somit hier tatsächlich eine Aufzählung der 
Kombinationen gewisser Elemente in ihrer Vollständigkeit gegeben. 
Später zählte man auch die Gebilde logisch möglicher Begriffszusam- 
menstellungen. Der Stoiker Chrysippus, welcher 282 — 209 lebte, 
hat die Zahl der aus 10 Grundannahmen möglichen Vereinigungen 
auf über eine Million veranschlagt. Allerdings setzt Plutarch, der 
uns die Sache erzählt, hinzu, die Arithmetiker seien mit Chrysippus 
keineswegs einverstanden, und Hipparch, der zu den Arithmetiken! 
gehöre, habe gezeigt, daß, wenn man die Axiome bejahend ausspreche 
103049, wenn man sie verneinend benutze 310952 Verbindungen 
entstehen^). Wir stehen der Bedeutung dieser Zahlen gerade so ver- 
ständnislos gegenüber, wie früher bei Xenokrates seiner Zahl mög- 
licher Silben. Wir ziehen aber aus den Zahlen selbst die gleiche 
Folgerung, daß den Griechen kombinatorische Fragen nicht vollständig 
fremdartig waren, und daß sie auf irgend eine Weise Formeln, mit 
größter Wahrscheinlichkeit falsche Formeln, zu deren Beantwortung 
benutzten. 

Bei einem Schüler des Aristoteles begegnen wir gleichfalls prak- 
tischer Kombinatorik in der Gestalt einer voUsiändigen Aufzählung 
aller Möglichkeiten der Vereinigung gewisser Elemente. Wir denken 



^) Über das Bad des Aristoteles vgl. anck Heron, Mechanik I, 7 
(Opera II, 1 S. 16 ed. Nix). Femer s. Klügel, Mathematisches Wörterbuch 
(fortgesetzt von Mollweide) Bd. IV, S. 171 — 174 unter: Rad, aristotelisches. 
*) Plutarchus, Quaestton. Convivial. VIII, 9, 11 und 12 sowie auch De Stoi- 
corum repugnantiia XXIX, 3 und 5. 



Die Akademie. Aristoteles. 257 

dabei an Aristoxenus Yon Tarent, den Erfinder der ans Längen 
nnd Kürzen zusammengesetzten YersfOBe. 

Ein anderer Schüler des Aristoteles, Dikaearchus, hat sich 
möglicherweise schon der Dioptra bedient, einer feldmesserischen 
Vorrichtung, von welcher im 18. Kapitel ausführlich die Rede sein 
wird. Die Worte des Theon von Smyrna*): „Der Höhenunterschied 
der höchsten Berge von den tiefsten Orten der Erde betragt nach 
der Senkrechten 10 Stadien, wie Eratosthenes und Dikaearch ge- 
funden zu haben behaupten, und so bedeutende Größen werden durch 
Werkzeuge untersucht mit HiKe von Dioptern, welche aus den Ab- 
ständen die Größen messen''^)^ lassen wenigstens die Deutung zu, als 
ob die Bemerkung der zweiten Hälfte des Satzes auch schon auf die 
Zeit der genannten Geodäten, und nicht erst auf die Gegenwart des 
Schriftstellers sich bezöge. 

Unter den anderen ältesten Peripatetikem nennen wir Theo- 
phrastus von Lesbos und Eudemus von Rhodos, deren ersteren 
Aristoteles selbst zu seinem Nachfolger ernannte. Beide haben, wie 
im 4. Kapitel erzählt worden ist, historisch-mathematische Schrifken 
angefertigt, deren Inhalt wir jetzt annähernd schätzen können, da er 
gerade so weit reichen konnte, als wir in unseren bisherigen auf 
Griechenland bezüglichen Auseinandersetzungen erörtert haben. Mit 
der Schätzung dieses Inhaltes steigert sich das Bedauern über den 
Verlust jener umfangreichen Schriften. Theophrast und Eudemus 
waren für Jahrhunderte die Letzten, welche der Geschichte der 
Mathematik eigene Werke zuwandten, oder es haben doch ihre Nach- 
folger, wenn sie welche hatten, nicht gewagt weiter als sie in der 
Zeit des Berichteten hinabzusteigen. Das liegt in den Worten, die 
uns (S. 248) den Schluß des Mathematikerverzeichnisses bildeten: 
„Die nun die Geschichte geschrieben haben, führten bis zu diesem 
Punkte die Entwicklung der Wissenschaft fort." Mag dieser Aus- 
spruch dem Verfasser jenes Verzeichnisses angehören, mag er ein 
Zusatz des Proklus sein, jedenfalls nahm dieser ihn unverändert auf 
und bezeugt damit die Tatsache selbst. Zugleich hat man aber in 
jenen Worten einen Beweggrund gefunden das Mathematikerverzeich- 
nis als von Eudemus herrührend anzusehen, eine Meinung, zu welcher 
auch wir uns bekennen. 



^) Theo SmjrnaenB (ed. Hiller, Leipzig 1879) pag. 124^26. Ob die 
Zahlenangabe ,,10 Stadien'% welche auf einer Einfügung von Hiller beruht, 
richtig ist oder nicht, ist fflr unsere Verwendung des Satzes unerheblich. *) nal 
6Qyaviii&s dh taZg xa i^ Scnoüxrifidtoiv {uyi^ fietgovaaig didnxQaig xrili%avta 
^eopsiTori. Auf diese Stelle und die in ihr vielleicht enthaltene frühe Datierung 
der Dioptra hat P. Tannery aufmerksam gemacht. 

GAKTom, Getohiohte der Matbematlk I. 8. Aufl. 17 



258 12. KapiteL 

12. Kapitel. 
Alexandria. Die Elemente des Euklid. 

Athen sank von seiner Höhe. Der junge makedonische Fürst, 
der mit 18 Jahren in der Schlacht bei Chäronea den ersten Sieg 
erfocht, der mit 33 Jahren aus dem Leben schied den Beinamen des 
Großen hinterlassend, ein Bezwinger der damals bekannten Welt, 
hatte auch die Wissenschaft genötigt seinen Befehlen zu gehorchen. 
In der eigenen Heimat ihr einen Wohnsitz anzuweisen, daran dachte 
er nicht. Er mochte empfinden, daß die rauhe Natur des Landes 
und der Menschen nicht dazu angetan waren einen Bildungsmittel- 
punkt abzugeben. Dafür erwuchs ein solcher in der jungen Stadt, 
welche Alexander auf der Landzunge gründete, die zwischen dem 
Mittelmeere und dem mareotischen See bis zum Nilkanal Yon Eano- 
pus sich erstreckt. Als große ägyptische Hauptstadt sollte sie den 
Besitz des eben unterworfenen Ägyptens sichern. In Form eines 
ausgebreiteten makedonischen Beitermantels war der Plan der Stadt 
entworfen. Den Namen führte sie nach dem, dessen Machtgebot sie 
entstehen ließ, Alezandria^). 

Hauptstadt Ägyptens hatte Alexandria alle Anlage das zu werden, 
als was Alexander selbst sie vielleicht dachte, die Hauptstadt einer 
Weltmonarchie von kulturbringendem Charakter, einer Monarchie, 
welche die yerschiedenst gearteten Völker einander näher bringen, 
ihre Gegensätze ausgleichen, ihnen allen den Schliff griechischer Fein- 
heit gemeinsam machen sollte. Wir brauchen gewiß nicht ausein- 
anderzusetzen, wieso gerade in Ägypten der geeignete Ort für die 
Anlegung einer solchen Hauptstadt sich fand. Haben wir doch in 
der Wissenschaft;, auf deren Geschichte es uns alleia ankommt, 
Ägypten als ein Mutterland, wenn nicht als das Mutterland, er- 
kennen dürfen. Gereift und gekräftigt kehrte die Mathematik nach 
dem Lande ihres Entstehens zurück, und es war, als ob die Sage 
Yon dem Riesen, der die Muttererde berührend aus ihre neue Sförke 
zieht, zur Wahrheit werden sollte. Hier auf ägyptischem Boden er- 
probten sich Kräfte, wie sie bisher der Mathematik noch nicht zu- 
gewandt worden waren. 



^) Über die alezandrinische Entwicklung vgl. die Abhandlung „Alexan- 
driner^* von B. Volkmann in Pauljs Bealencjklop&die der klassischen Alter- 
tumswissenschaft (TL Auflage) mit reichen Quellenangaben alter und neuer Lite- 
ratur, und besonders Fr. Susemihl, Geschichte der griechischen Literatur in 
der Alezandrinerzeit (Leipzig 1891 — 92). 



Alezandria. Die Elemente des £aklid. 259 

Eine in der Weltgescliichte melir als einmal sich wiederholende 
Erfahmng lehrt^ daß es in der Wissenschaft eine Mode gibt. Sie 
pflegt nicht ohne Grund aufzutreten, sie entstammt nicht gerade den 
Launen eines unberechenbaren Geschmackes, aber sie ist Yorhanden, 
und ihrem Gesetze beugen sich die hervorragendsten Geister in dem 
Sinne, daß sie yorzugsweise der Modewissenschafb sich widmen. So 
gibt es Zeiten, in welchen theologische Geisteskampfe die großen 
Männer beschäftigen, und Zeiten, in welchen der Eriegsruhm nur die 
Wissenschaft des Krieges des Denkers würdig macht; Zeiten, in 
welchen vorzugsweise die Rechtsbildung gelingt, Zeiten, die zur Ent- 
wicklung des Schönen dem Gedanken und der Ausführung nach 
führen. Das war in dem Athen des Perikles der Fall gewesen, das 
hatte in der Schule Piatons nachgelebt. Aristoteles und die Peripa- 
tetiker verbreiteten ein vielfach gediegeneres, vielfach nüchterneres 
Wissen, und Nüchternheit um nicht zu sagen Trockenheit ist der 
Stempel, welcher der ganzen alexandrinischen Literaturperiode auf- 
gedrückt ist, einer Zeit, welche man etwa von den Jahrzehnten nach 
dem Tode Alezanders des Großen bis kurz vor die Einverleibung 
Alexandrias in das römische Reich, etwa von 300 bis 50 v. Chr., 
durch volle 250 Jahre isu rechnen hat. 

Ägypten war unter den Feldherren, die das Erbe des verstorbenen 
Weltbeherrschers untereinander teilten, dem geistig hervorragendsten, 
Ptolemäus, Sohn des Lagus, zugefallen, und er, der als Ptolemäus 
Soter 305 den Königstitel annahm, wie seine beiden Nachfolger 
Ptolemäus Philadelphus (285 — 247) und Ptolemäus Euergetes 
(247 — 222), welcher letztere durch die adulitische Inschrift wie durch 
das mit ihr in bestimmten Einzelheiten übereinstimmende Edikt von 
Kanopus (S. 78) als mächtiger Eroberer ebenso wie als Freund der 
Wissenschaften bezeugt wird, begründeten das Ptolemäerreich. Unter 
ihnen wurde Alezandria vollends, wozu die Anlage schon gegeben 
war, zum Sitze der exakten Wissenschaften und der Grammatik, zum 
Aufbewahrungsorte der großen alexandrinischen Bibliothek, zum Mittel- 
punkte, wohin alles strömte, wer nur in den Wissenschaften lernend 
oder lehrend, sich oder andere fördern wollte. Fand er doch dazu in 
Alexandria das sogenannte Museum, einen Verein gelehrter Männer, 
denen aus königlichen Mitteln ein ehrenvoller Unterhalt gewährt 
wurde. Die drei ersten Ptolemäer gaben, wie gesagt, den Anstoß zu 
dieser wissenschaftlichen Entwicklung. Ptolemäus Euergetes insbe- 
sondere vermehrte aufs bedeutsamste die Bibliothek, zu welcher er 
den ganzen Bücherschatz beifligte, der einst Aristoteles und Theo- 
phrastuB angehört hatte. Aber auch die späteren Ptolemäer ließen 
nicht von der Unterstützung der Gelehrten, welche in ihrem Hause 

17* 



260 12- Kapitel. 

ebenso herkömmlich geworden war, wie Unzucht und Verwandten- 
mord. 

Der erste der großen Mathematiker, welche uns in dem mit der 
ilegierung des Ptolemäus Soter anhebenden Jahrhunderte begegnen, 
und welche sämtlich in Alexandria blühten oder zu Alexandria in 
Beziehung traten, war Euklid^). Proklus erzählt an das Mathe- 
matikerverzeichnis anknüpfend sein Auftreten in der Wissenschaft: 

„Nicht viel jünger aber als diese ist Euklides, der die Elemente 
zusammenstellte, vieles von Eudoxus Herrührende zu einem Ghmzen 
ordnete und vieles von Theaetet Begonnene zu Ende fdhrte, überdies 
das von den Vorgängern nur leichthin Bewiesene auf unwiderlegliche 
Beweise stützte. Es lebte aber dieser Mann unter dem ersten Ptole- 
mäer. Archimed nämlich gedenkt beiläufig auch in seinem ersten 
Buche des Euklid, und man sagt femer, Ptolemäus habe ihn einmal 
gefragt, ob es nicht bei geometrischen Dingen einen abgekürzteren 
Weg als durch die Elemente gebe; er aber erteilte den Bescheid, 
zur Geometrie hin gebe es keinen geraden Pfad flir Könige. Er ist 
somit jünger als die Schüler Piatons, älter als Eratosthenes und 
Archimed; denn diese sind Zeitgenossen, wie Eratosthenes angibt. 
Seiner wissenschaftlichen Stellung nach ist er Platoniker und dieser 
Philosophie angehörig, daher er denn auch als Endziel seines ganzen 
Elementarwerkes die Konstruktion der sogenannten platonischen 
Körper hinstellte*). 

Viel mehr, als in diesen Sätzen ausgesprochen ist, wissen wir 
nicht über die Lebensumstände des Schriftstellers, dessen Elemente 
unmittelbar oder mittelbar die Grundlage der gesamten Geometrie 
bis auf unsere Zeit geworden sind. Nicht einmal das Vaterland des 
Euklid steht fest, wenn wir nicht der Angabe eines syrischen Be- 
richterstatters, des Abulpharagius , unbedingten Glauben schenken 
wollten, welcher ihn einen Tyrer nennt; das wird aber niemand mehr 
einfallen, seit nachgewiesen worden ist'), daß jene ganze Nachricht 
aus einer mißverstandenen Stelle einer Schrift des Hypsikles stammt, 



^) Über Euklid vgL David Gregorys Vorrede zu seiner großen Euklid- 
ausgabe (Oxford 1702). Fabricius, Bibliotheca Graeca edit. Harless (Ham- 
burg 1796) rV, 44—82. Gartz, De interpretibus et explanatoribus Euclidis 
Arabicis (Halle 1823). Der von Lacroix verfaßte Artikel Eticlide in der Bio- 
graphie universelle. M. Cantor, Euklid und sein Jahrhundert im Supplement- 
heft zu Bd. XII der Zeitschr. Math. Phys. (Leipzig 1867). Hankel 381—404. 
Heiberg, Literargeschichtliche Studien über Euklid (Leipzig 1882). Zur Ab- 
kürzung zitieren wir die letztgenannte Schrift künftig als Heiberg, Euklid- 
studien. Die letzte Ausgabe in sieben Bänden mit lateinischer Übersetzung von 
J. L. Heiberg und H. Menge (Leipzig 1883—1896). *) Proklus (ed. Fried- 
lein) 68. *) Heiberg, Euklidstudien S. 4. 



Alexandria. Die Elemente des Euklid. 261 

welche, wie im 17. Kapitel auseinandergesetzt werden wird, irriger- 
weise Eaklid zugewiesen wurde. Andere wollen Euklid in Ägypten 
geboren sein lassen. Noch andere, aber sicherlich mit unrecht, ver- 
wechseln ihn mit Euklides von Megara, dem Zeitgenossen Ratons, 
welcher rund 100 Jahre früher lebte. Auffallend genug findet sich 
dieser Irrtum schon bei einem Schriftsteller aus dem Zeitalter des 
Tiberius, bei Yalerius Maximus. Auch Geburts- und Todesjahr des 
Euklid sind durchaus unbekannt, und nur die Blütezeit^) um 300 
etwa wird durch den ersten Ptolemäer, unter welchen sie, wie wir 
durch Proklus erfahren haben, gefallen sein soll, bezeugt. Von seinem 
Charakter hat sich bei Pappus eine höchst liebenswürdige Schilderung 
erhalten. Er sei sanft und bescheiden, voll Wohlwollen gegen jeden, 
der die Mathematik ii^end zu fordern imstande war, gewesen und 
habe absichtlich an früheren Leistungen so wenig als möglich ge- 
ändert *). Pappus gibt auch ausdrücklich an, daß Euklid in Alexandria 
gelebt habe. 

Schriften des Euklid sind uns mehrfach erhalten. Das Haupt- 
werk bilden die Elemente, 6xoi%Bla. Wir müssen annehmen, daß 
es an Bedeutung allen früheren Elementenwerken weit überlegen war. 
So schildert es uns Proklus und die Bestätigung des Urteils liegt 
in der Tatsache, daß alle Bücher seiner Vorgänger in dem Kampfe 
um das Dasein untergegangen sind, daß von Elementen, die durch 
einen Griechen nach Euklid verfaßt worden wären, nirgends ein Wort 
gesagt ist, daß vielmehr er ausschließlich gemeint zu sein scheint, 
wo griechische Schriftsteller später von dem Elementenschreiber 
schlechtweg reden, ohne einen Namen zu nennen'). 

Die in 13 Bücher gegliederten Elemente des Euklid zerfallen in 
vier Hauptteile. Erstens behandeln sie Raumgebilde, welche auf 
einer Ebene gezeichnet sind und das Verhältnis ihrer gegenseitigen 
Größe, die teils gleich, teils ungleich ist. Im ersteren Falle genügt 
der Nachweis der Identität, im letzteren verlangt man etwas mehr: 
man will die Ungleichheit messen. Dazu aber dient die Zahl, das 
Maß einer jeden Größe, und folglich wird es Bedürfnis, Unter- 
suchungen über die Zahl anzustellen. Damit ist der zweite Haupt- 



*) riyovB heißt es bei Proklns und dieses bedeutet hier sicherlich ,,blühte** 
und nicht „ward geboren^\ Vgl. £. Roh de „nyops in den Biographica des 
Snidas'' BheinischeB Museum für Philologie XXXITT neuer Folge, 161—220 (187S). 
*) Pappus YH., prciefatio (ed. Hultsch) 676 ügg, •) So Archimed, De sphaera 
et cylindro I, 6 (ed. Heiberg I, 24) wahrscheinlich mit Beziehung auf Euklid 
Xn, 2. Diese Stelle dürfte Proklus im Auge gehabt haben, als er zum Beweis, 
daß Archimed später als Euklid lebte, sagte, daß dieser jenen in seinem ersten 
Buche erwähne. 



262 12. Kapitel. 

teil des Werkes erfüllt. Die vollstiLndig bestimmte Zahl reicht in- 
dessen nicht aus, um alle Gbrößen zu messen, welche der geometrischen 
Betrachtung unterworfen werden. Es gibt vielmehr Raumgebilde, 
seien es nun Längen oder Flächen, welche mit der Größeneinheit 
derselben Art kein genau angebbares gemeinsames Maß besitzen, ohne 
daß sie deshalb aufhören selbst Größen zu sein. Man nennt sie nur 
im Gegensatze zu dem genau Meßbaren mit der Einheit inkommen- 
surabeL Die Betrachtung solcher Inkommensurabiliiäten ist somit 
unerläßlich, sie bildet den dritten Hauptteil des Ganzen. Endlich 
im vierten Teile verläßt die Betrachtung das bisher eingehaltene 
Feld der Zeichnungsebene, die Verhältnisse des allgemeinen Raumes 
werden untersucht, die gegenseitige Lage und Größe von Flächen und 
Körpern werden besprochen. Das ist freilich nur der ganz allge- 
meine Inhalt des Werkes ^), es dürfte sich empfehlen näher auf die 
Einzelheiten desselben einzugehen. 

Ln L Buche handelt Euklid von den Grundbestandteilen gerad- 
liniger Figuren in der Ebene, von geraden Linien, welche sich ent- 
weder schneiden und mit eiuer dritten Linie ein Dreieck bilden, über 
dessen Bestimmtheit durch gewisse Stücke gesprochen wird — Kon- 
gruenz der Dreiecke — oder welche sich nicht treffen, so weit 
man sie verlängert — Parallel linieu. Der 32. Satz beweist mittels 
Ziehung einer Parallellinie durch einen Dreieckseckpunkt zu der ihm 
gegenüberliegenden Dreiecksseite die Gleichheit des Außenwinkels 
eines Dreiecks mit der Summe der beiden gegenüberliegenden inneren 
Winkel und läßt so die Summe der Dreieckswinkel erkennen. Von 
der schon Aristoteles (S. 252) bekannten Weiterführung des Satzes 
ist keine Rede. TJm mit Hilfe der Parallellinien eine Figur zu er- 
zielen bedarf es zweier schneidenden Geraden, und so entsteht das 
Viereck, insbesondere das Parallelogramm, sofern die Schneidenden 
selbst unter sich parallel sind. Die Eigenschaften der Parallelo- 
gramme vereinigt mit denen der Dreiecke führen zum Begriffe von 
Figuren, welche aus an und für sich identischen Teilen bestehen, 
aber nicht in identischer Weise zur gegenseitigen Deckung gebracht 
werden können, Gleichheit von nicht kongruenten Flächen- 
räumen. Bei solchen Flächen kommt es also darauf an die identi- 
schen Teile abzusondern, in anderer Weise zusammenzufügen, und so 
lehrt der 44. Satz an eine gegebene gerade Linie unter gegebenem 
Winkel ein Parallelogramm anzulegen, naQaßdXXciVy welches einem 
gegebenen Dreiecke gleich sei; es lehrt der 45. Satz die Verwandlung 



^) In diesen klaren UmriBsen hat ihn z. B. Gregory in der Vorrede seiner 
Enklidausgabe entworfen. 



Alexandiia. Die Elemente des Euklid. 263 

jeder geradlinigen Figur in ein Parallelogramm von gegebenen Winkeln, 
bis im 47. und 48. Satze das Buch mit dem interessantesten Falle 
einer derartigen Umwandlung , mit dem pjthagoraischen Lehrsatze 
und dessen ümkehrung abschließt. 

Das n. Buch ist gewissermaßen ein Zusatz zu dem pjthago- 
raischen Lehrsatze. In ihm wird die Herstellung eines Quadrates 
aus Quadraten und Rechtecken in den yerschiedensten Kombinationen ^ 
teils als Summe, teils als Differenz gelehrt, bis auch wieder eine 
Zusammenfassung in der Aufgabe erfolgt, ein jeder gegebenen 
geradlinigen Figur gleiches Quadrat zu zeichnen. Zugleich 
laßt aber dieses Buch eine andere Auffassung zu, welche mit der 
doppelten Bedeutung des pjthagoraischen Satzes in Verbindung steht. 
Wir wissen, daß dieser Satz, sofern er der Arithmetik angehört^ be- 
sagt, daß es zwei Zahlen bestimmter Art gebe, welche als Summe 
eine dritte Zahl liefern von gleicher Art wie die beiden Posten. Als 
Zusatz zu dem pythi^oraischen Lehrsatze in diesem Sinne lehrt das 
IL Buch die Rechnung insbesondere die Multiplikation mit additiv 
und subtraktiy zusammengesetzten Zahlen. In modemer Schreibweise 
heißen die 10 ersten Sätze alsdann: 

1) ab + ac + ad + ""-= a (b + c + d + •••) 2) ab + a(a — b) = a* 
3) a6 =- 6 (a - 6) + 6* 4) a> - fe« + (a - 6)» + 26 (a - b) 

6)(a-.6)6 + (|-6y=(|)^ 6)(a + 6)i + (|)'«(-;+6)^ 

7) a« + 6» = 2ab + (a - by 8) 4a6 + (a - 6)» - (a + 6)« 

10) (a + 6)» + 6»»2(|)' + 2(|- + 6)*. 

Als 11. Satz erscheint die Aufgabe des goldenen Schnittes. Ihre 
geometrische Beziehung zur Konstruktion des regelmäßigen Fünfecks 
haben wir früher (S. 178) besprochen. Arithmetisch, oder vielmehr 
algebraisch aufgefaßt ist die Tragweite der Aufgabe „eine gegebene 
Strecke so zu schneiden, daß das aus dem Ganzen und einem der 
beiden Abschnitte gebildete Rechteck dem Quadrate des übrigen Ab- 
schnittes gleich sei^^ dahin zu bestimmen, daß eine Auflosung der 
Gleichung a(a — x) = a^, beziehungsweise der Gleichung x^ + ax^ a^ 

gesucht wird*). Euklid findet x = r ^' "I" (t) """ T ^^^ beweist 
die Richtigkeit dieser Auflösung durch folgende Schlüsse, bei deren Dar- 

^) Diese Auffassang der Aufgabe II, 11 dürfte zuerst bei Arneth, Ge- 
Bohichte der reinen Mathematik (Stuttgart 1862) S. 102 zu finden sein. 



264 12. Kapitel. 

stellang wir uns die einzige Ändernng gestatten, daß wir die geo- 
metrisch klingenden Wörter in algebraische Buchstaben und Zeichen nm- 

setan. Wegen 6) ist (« + (}/«• + {})' - |)) (j/»' + (|)' - 1.) 

+ (I)'- (I + (l^^)' - 1))'- {V^^^')'-"+ (!)■ 

Man zieht auf beiden Seiten (|-j ab, so bleibt ( a + (Va* + (— ) "~ f)) 

( Vö* + (y) ~" Y ) = ^^ ^^<1 zieht man weiter a ( 1/a* + (|^) — |) 
auf beiden Seiten ab, so bleibt 

(l/^r^ -?)'-.(»- (j^^TIiT - D). 

Das III. Buch wendet sich zu der einzigen krummen Linie, 
welche der Behandlung unterzogen wird, zum Kreise und zu den 
Sätzen, welche auf Berührung zweier Kreise, oder eines Kreises 
und einer Geraden sich beziehen. Alsdann folgen Betrachtungen über 
die Größe von Winkeln und mit denselben irgendwie in Verbin- 
dung stehenden Kreisabschnitten. Insbesondere der 16. Satz ist im 
in. oder rV. S. schon Gegenstand beiläufiger Erörterung, in späteren 
Zeiten Ausgangspunkt interessanter Streitigkeiten zwischen Gelehrten 
des XYI. und XYU. S. geworden und dadurch, aber auch durch 
seinen Inhalt bemerkenswert. Er behauptet nämlich, vielleicht in 
Anschluß an Demokrit (S. 192), der Winkel, welchen der Kreisum- 
fang mit einer Berührungslinie bildet, sei kleiner als irgend ein gerad- 
liniger spitzer Winkel. Dieser gemischtlinige Winkel heißt bei 
Proklus*) homformiger Winkel, ycovia xegaroeLÖiig, ein Name, der 
bei Euklid noch nicht vorkommt. In den Definitionen, welche den 
einzelnen Büchern vorausgeschickt werden, ist sogar von ihm keine 
ausdrückliche Rede. Im ersten Buche heißen die 8. und 9. Defini- 
tion: „Ein ebener Winkel ist die Neigung zweier Linien gegenein- 
ander, wenn solche in einer Ebene zusammenlaufen ohne in einer 
geraden Linie zu liegen. Sind die Linien, die den Winkel ein- 
schließen, gerade, so heißt derselbe ein geradliniger Winkel.'^ Dazu 
ergänzt die 7. Definition des III. Buches : „Der Winkel des Abschnittes 
ist der vom Umkreise und der Grundlinie eingeschlossene Winkel^^, 
aber den Winkel, wenn man von einem solchen reden darf, auf der 
konvexen Bogenseite gegen die Berührungslinie hin erläutert der 
Verfasser nicht. Endlich schließt das III. Buch mit den einzeln be- 
trachteten Fällen zweier Geraden, die sich gegenseitig und 

^) PiokluB (edit. Friedlein) pag. 104 und öfters. 




Alexftndria. Die Elemente dee Euklid. 265 

ebenso einen Kreis schneiden^ und aus deren Abschnitten ge- 
wisse Rechtecke zusammengesetzt werden, welche Flächengleichheit 
besitzen. Mit Rücksicht darauf , daß im 16. Satze des III. Buches 
das erste Vorkommen des in späteren Zeiten so wichtigen Tangenten- 
problems sich zeigt, möge Euklids Betrachtung erörtert werden. Ist 
(Fig. 42 a) EA senkrecht zu BA, so liegt kein Punkt derselben inner- 
halb des Kreises. Wäre es nicht so, so müßte diese zum Kreisdurch- 
messer senkrechte Gerade einen zweiten Punkt F mit der Kreislinie 
gemein haben und das Dreieck jiF^ 
gebildet werden können, in welchem 
z/-^ — ^r, also auch die Winkel bei A 
und r einander gleich sein müßten, 
während ein Dreieck mit zwei rechten 
Winkeln unmöglich ist. Femer ist eine 
Gerade AZ zwischen AE und dem 
Kreise unmöglich. Gäbe es eine solche 
und z/H wäre senkrecht zu ihr, so 
müßte im Dreiecke A^H der Winkel 
bei H der größte sein und demnach 
AJ^JS>/dH sein, was unmöglich 
ist. Ein spitzer Winkel EAH<EA0 Fig. «•. 

existiert also nicht. 

Der Schüler wird nun im IV. Buche weiter mit den Figuren be- 
kannt gemacht, welche entstehen, wenn mehr als zwei Gerade mit 
dem Kreise in Verbindung treten. Er lernt die dem Kreise ein- 
und umschriebenen Vielecke insbesondere die regelmäßigen Viel- 
ecke kennen. Unter diesen ist das Fünfeck, und dessen Konstruktion 
macht die erste Anwendung des im 11. Buche, wie wir entwickelten, 
zu anderem Zwecke gelehrten goldenen Schnittes notwendig. Das 
IV. Buch kommt an den äußersten mit den bisherigen Mitteln er- 
reichbaren Zielpunkten an. Die Gleichheit von Strecken und Flächen- 
numen ist nach allen Seiten erörtert. 

Nun kommt die Ungleichheit in Betracht, insofern sie gemessen 
werden kann, und zwar ist diese Messung eine zweifache, eine geo- 
metrische und eine arithmetische. Beide beruhen auf der Lehre von 
den Proportionen, welche deshalb in dem V. Buche an dem Sinn- 
bilde gerader Linien in vollständiger Ausführlichkeit dargelegt wird. 
Die im Verhältnisse aufgefaßten Größen sind als Linien gezeichnet, 
damit nicht hier schon der Schwierigkeit zu begegnen sei, eine 
Unterscheidung zu treffen, je nachdem Kommensurables oder Inkom- 
mensurables auftritt. Die Linien sind aber nur nebeneinander ge- 
zeichnet^ ohne Figuren zu bilden, damit man einsehe, wie es sich 



266 12. Kapitel. 

hier um allgemeineres handle als um die Vergleichung geometrischer 
Gebilde. 

Erst das VI. Buch zieht die geometrischen Folgerungen aus dem 
im V.Buche Erlernten. Die Ähnlichkeit von Figuren geht aus 
der Proportionenlehre hervor und dient selbst wieder dazu Propor- 
tionen an geometrischen Figuren zur Anschauung zu bringen. Dabei 
kommt der Begriff des zusammengesetzten Verhältnisses vor, 
welcher vermutlich schon Philolaus (S. 161) bekannt war') und 
welcher später (vgl. 20. Kapitel) von großer Bedeutung wurde. Im 
23. Satze des VI. Buches ist von dem Verhältnisse je zweier gleich- 
liegenden Seiten zweier Parallelogramme mit gleichen Winkeln die 
Rede, und die Flächen der Parallelogramme, heißt es weiter, stehen 
in einem Verhältnisse, welches aus dem der Seiten zusammengesetzt 
ist^). Auch Archimed, wir wollen das gleich hier erwähnen, hat 
mehrfach mit zusammengesetzten Verhältnissen zu tun, wenn auch in 
von der euklidischen Redewendung etwas abweichendem Wortlaute'). 
Einen Satz und zwei Aufgaben dieses Buches, welche die Bezeichnung 
als Satz 27., 28., 29. führen, müssen wir besonders erwähnen. Satz 27. 
enthält das erste Maximum, welches in der Geschichte der Mathe- 
matik nachgewiesen worden ist, und welches als Funktion geschrieben 

besagen würde: a;(a — a:) erhalte seinen größten Wert durch rc=- y 

In den beiden darauf folgenden Aufgaben hat man die Auflösungen 
der beiden Gleichungen x(a — x) = b^ und x(a + x)='b* erkannt. 
Der 27. Satz erscheint bei der unmittelbaren Aufeinanderfolge von 
27. und 28. unzweifelhaft als der Diorismus des letzteren. Es darf 

eben b^ nicht größer sein als ( yj , wenn die Au%abe lösbar sein 

soll^). Geometrisch ausgesprochen haben die beiden Aufgaben in 
Satz 28. und 29. gleichfalls einen, wie spätere Erörterungen uns 
lehren sollen, hochwichtigen Inhalt. Es handelt sich um die An- 
legung eines einem gegebenen Parallelogramme gleichwinkligen Paral- 
lelogramms an eine gerade Linie, welches um so viel größer (kleiner) 
an Fläche als eine gleichfalls gegebene Figur sei, daß wenn so viel 
abgeschnitten (zugesetzt) wird, als nötig ist um Flächengleichheit zu 



^) Newbold in dem Archiv für Geachiohte der Philosophie Bd. XIX Heft 2 
(1905). ^ X6yos avyxBliuvog i% (r&v) z&v nUvQ&v {X&fmv). Ewilidis Elementa 
(ed. Heiberg, Leipzig 1888—88) H, 146 lin. 14. *) 6 Uyog rfjg A 71q6s Tr}v B 
6wf^(u %% ta toi), 8v ixti ij F nghg vriv d xcel ^ E nghg riiv Z. Archimedes 
(ed. Heiberg) I, 212 lin. 19—21 und häufiger. ^) Diese Aufifaesung zuerst ver- 
treten bei Matthiessen, Grundzüge der antiken und modernen Algebra der 
litteralen Gleichungen. Leipzig 1878, S. 926—981. 



Alexandria. Die Elemente des Euklid. 267 

erzielen^ dieses Stück selbst dem erstgegebenen Parallelogramme ähn- 
lich werde. Euklid drückt diese Forderung durch die Worte aus, 
der Macheninhalt F solle an der Linie jdB etwas übrig lassen, iXXcinsi^ 
oder darüber hinausfallen, xmeQßdkXBi. 

Das yU.y YIU. und IX. Buch beschäftigen sich mit der Lehre 
Ton den Zahlen. Der nächste Zweck ist das arithmetische Messen 
der Ungleichheit, also diejenigen Folgerungen aus der Proportionen- 
lehre zu ziehen, welche an Zahlengrößen hervortreten. Allein damit 
yerbindet Euklid, vielleicht weil nirgend eine passendere Gelegenheit 
sich finden wird, eine Zusammenstellung aller ihm bekannten Eigen- 
schaften der ganzen Zahlen. Rechnungsoperationen mit denselben 
hat er, wie wir uns erinnern, schon im U. Buche ausfähren lassen. 
Das Vn. Buch beginnt mit Definitionen, unter welchen wir die der 
Primzahl, TtQ&rog ägid-fiögy und der zusammengesetzten Zahl, 
övvd-STog igi^fiögy hervorheben wollen. Daran knüpft sich die Unter- 
scheidung von teilerfremden Zahlen, xg&toi xgbg aXki^Jiovg, und 
von solchen, welche ein gemeinsames Maß besitzen, övv^sroi 
jtgbg iXki^Xovgy sowie die Auffindung dieses letzteren. Euklid findet 
dasselbe voUständ^ in der heute noch üblichen Weise durch fort- 
gesetzte Teilung des letztmaligen Divisors durch den erhaltenen Rest, 
mithin, wenn wir es nicht scheuen auch moderne Namen zu ge- 
brauchen, wo moderne Verfahren angewandt sind, durch einen Ketten- 
bruchalgorithmus. Dann ist von Zahlen die Rede, welche dieselben 
Teile anderer Zahlen sind, wie wieder andere von vierten, und damit 
ist also die Zahlenproportion eingeführt. Abgesehen von den 
vielen neuen Proportionen, welche in der mannigfaltigsten Weise aus 
den erstgegebenen abgeleitet werden, führt der Satz von der Gleich- 
heit der Produkte der inneren und der äußeren Glieder einer Pro- 
portion auf die Teilbarkeit eines solchen Produktes durch einen der 
Faktoren des anderen Produktes und zur Teilbarkeit überhaupt. Der 
Rückweg zur Untersuchung teilerfremder Zahlen ist damit gewonnen, 
und den Schluß des Buches bildet die Auffindung des kleinsten ge- 
meinsamen Dividuums gegebener Zahlen. 

Das YIU. Buch setzt die Lehre von den Proportionen fort, indem 
es zu Gliedern der Proportion nur solche Zahlen wählt, welche selbst 
Produkte sind, und zwar zum Teil Produkte aus gleichen Faktoren. 
An die früheren geometrischen Lehren erinnern eben noch die Be- 
nennungen, welche in diesem Buche zur Anwendung gelangen: 
Flächenzahlen, ähnliche Flächenzahlen, Quadratzahlen, Eörperzahlen, 
Kubikzahlen, lauter Wörter, deren Erklärung wir in früheren Kapiteln 
zu geben Gelegenheit hatten. Vieleckszahlen anderer Art als die 
Quadratzahlen kommen bei Euklid nicht vor. 



268 12. Kapitel. 

Das IX. Buch setzt gleichfalls denselben Gegenstand fort. Im 
12. Satze findet sich, yermutlich zum ersten Male in der mathemati- 
schen Literatur, eine besondere Abart der apagogischen Beweisführung 
(S. 221). Aus der Annahme der Unwahrheit einer Tatsache 
wird ihre Wahrheit gefolgert. Der Satz selbst spricht aus, daß 
wenn 1, A, B, JT, z/ eine geometrische Reihe bilden und eine Prim- 
zahl E m J enthalten ist, die gleiche Primzahl auch in A enthalten 
sein muß. Ist E nicht in A enthalten, so muß, weil E Primzahl ist, 
E gegen A teilerfremd sein. Nun ist J durch E teilbar, etwa 
^ = E • Z, andererseits J ^ A • Fy mithin E- Z^ A - F und E : A 
= JT: Z. Danach muß Z ein Vielfaches Ton A und F ein Yielfeu^hes 
von E sein, etwa F« E- H. Daneben ist JT« A • JB, also E-H^AB 
und E: A '^ B : H. Daraus folgt H als Vielfaches von A, B eis 
Vielfaches von E, etwa B ^ E - &, Daneben ist B '^ A - A, abo 
E& ^ A ' A und Ei A ^ 4\ &. Daraus ergibt sich & als Vielfaches 
von A und A als Vielfaches von £. Etwas später geht das IX. Buch 
dadurch zu anderweitigen Betrachtungen über, daß es besoudere Rück- 
sicht auf etwa in einer Proportion vorkommende Primzahlen nimmt. 
Bei dieser Gelegenheit wird nämlich ziemlich außer allem Zusammen- 
hange als 20. Satz bewiesen, daß die Menge der Primzahlen 
größer sei als jede gegebene Menge derselben, wofür wir 
kürzer sagen, daß es unendlich viele Primzahlen gibt. Noch weniger 
Zusammenhang ist von dem 20. Satze zu den ihm nachfolgenden 
Sätzen wahrnehmbar. Mancherlei Eigenschaften gerader und un- 
gerader Zahlen, von deren Summen und deren Produkten werden er- 
örtert, bis der 35. Satz die Summierung der geometrischen 
Reihe lehrt und auf diejenige geometrische Reihe angewendet, welche 
von der Einheit beginnend durch Verdoppelung der Glieder weiter- 
schreitet, endlich im 36. Satze wieder zu den Primzahlen zurückführt 
imd so das Bewußtsein erweckt, wie Euklid bei scheinbarem Ab- 
springen von seinem Thema es immer unverrückt im Auge behält 
Jener 36. Satz gibt nämlich an, die Summe der Reihe 1 + 2 -f 4 + 8 • • • 
sei mitunter eine Primzahl. Dieses tritt z. B. ein, wenn die Reihe 
aus 2, aus 3, aus 5 Gliedern besteht. Werde diese die Summe dar 
stellende Primzahl mit dem letzten in Betracht gezogenen Gliede dei 
Reihe vervielfacht, so entstehe eine vollkommene Zahl (eine Zahl, 
welche der Summe aller ihrer Teiler gleich ist). 

Im X. Buche ist der dritte Hauptteil des euklidischen Werkes 
behandelt, die Lehre von den Inkommensurablen, und auf die 
große Bedeutung, die dem Umstände beizumessen ist, daß diesem 
G^enstande ein ganzes Buch gewidmet ist, kommen wir im folgen- 
den Kapitel zurück. An der Spitze des Buches steht der Satz, 



Alexandxia. Die Elemente des Euklid. 269 

welcher bei Euklid die Grundlage der Exhaustionsmethode bildet^ der 
Satz: ^ySind zwei ungleiche Größen gegeben, und nimmt man von der 
größeren mehr als die Hälfte weg, von dem Reste wieder mehr als 
die Hälfte und so immer fort, so kommt man irgend einmal zu 
einem Reste, welcher kleiner ist als die gegebene kleinere Größe/' 
Dieser Satz, wesentlich verschieden von dem, dessen sich (S. 242) 
Eudoxus und vielleicht schon Hippokrates zu ähnlichen Zwecken b^ 
diente, ist in dieser Form vielleicht Euklids Eigentum, vielleicht auch 
dessen, von welchem das X. Buch der Hauptsache nach herrührt. 
Fürs erste freilich zieht Euklid keine Folgerung aus ihm, nicht ein- 
mal die, welche man vor allen Dingen erwarten sollte, daß wenn 
zwei Größen inkommensurabel sind, man immer ein der ersten Größe 
Kommensurables bilden könne, welches von der zweiten Größe sich 
um beliebig Weniges unterscheide. Statt dessen sind zwar geistvolle 
aber doch nach unseren Begriffen maßlos weitläufige Untersuchungen^) 
darüber angestellt, imter welchen Voraussetzungen Größen sich wie 
gegebene Zahlen verhalten, also kommensurabel sind, und unter 
welchen Voraussetzungen keine solche Zahlen sich finden lassen, die 
Größen also inkommensurabel sind. Ein besonderes Gewicht legt 
Euklid auf die Irrationalzahlen, deren er vielfältig unterschiedene 
Formen aufzählt. Dabei ist zu beachten, daß das Inkommensurable, 
a6vfiii€TQ0Vy des Euklid sich mit unserem Begriffe der Irrationalzahl 
deckt, während sein Rationales, Qtixhv, und Irrationales, aXoyoVy von 
dem, was wir unter diesen Wörtern verstehen, abweicht. Rational 
ist ihm das an sich und das in der Potenz Meßbare, d. h. diejenigen 
Linien sind rational, welche selbst durch die Längeneinheit oder 
deren Quadratfläche durch die Flächeneinheit genau ausmeßbar sind, 
also a sowohl als Yä, während das Wort irrational für jeglichen 
mit Wurzelgrößen behafteten Ausdruck außer der einfachen Quadrat- 
wurzel yä Anwendung findet. Demgemäß ist das Produkt a mal 
Yb oder Yä mal Yb bei Euklid irrational, weil jedes dieser beiden 
Produkte als Produkt schon eine Fläche bedeutet, also nicht mehr „in 
der Potenz meßbar'' sein kann. Irrational ist um so mehr die Linie, 



^) Vgl. Nesselmann, Die Algebra der Griechen S. 165—182. Diesem 
Werke entnehmen wir auch die Übersetzungen der Namen der verschiedenen 
Formen TOn Irrationalzahlen. Wie schwer auch geistreiche Mathematiker sich 
oft in diesem X. Buche zurecht zu finden yermochten, dafür dient als Beispiel 
ein durch A. Favaro (Gralileo Galilei e lo studio di Fadova U, 267) yerö£fent- 
lichter Brief von Benedetto Castelli. Unter dem 1. April 1607 schrieb 
dieser an Galilei, er sei bei dem 40. Satze des X. Buches stecken geblieben 
suffocato daJla molHtudine de voc€tfjoU, profonditä deUe case e diffieoUä di demon- 
stratianL 



270 12. Kapitel. 

welche a - Yb oder "j/ä • Yb als Quadrat besitzt, d. h. ya Yb und 
Yab und diese Gattung von Irrationalitäten heißt iidörj, die Medial- 
linie. Addition und Subtraktion zweier Längen, von denen minde- 
stens eine inkommensurabel ist, gibt die Irrationalität von zwei Be- 
nennungen, ii ix d'öo dvoiidtmv, und die durch Abschnitt Entstandene, 
axotofiil, d. h. die Binomialen a + Y^ oder ]/a + ]/6^und die Apo- 
tomen a — Y^ oder ya — b oder "j/a — ]/6. Wir würden allzu weit- 
schweifig werden müssen, wenn wir alle Verbindungen zwischen diesen 
Medialen, Binomialen und Apotomen erörtern wollten, welche in dem 
X. Buche vorkommen. Statt dessen nur die Bemerkung, daß wir 
hier wieder ein Beispiel praktischer Kombinatorik vor uns haben, 
indem alle Verschiedenheiten berücksichtigt sind, die überhaupt ein- 
treten können. Eines freilich ist vorausgesetzt, daß nämlich nur 
Wiederholungen von Quadratwurzelausziehungen vorkommen, daß also 
sämtliche im X. Buche behandelten Irrationalitäten der Konstruktion 
mit Hilfe von Zirkel und Lineal unterworfen sind, und solche Irra- 
tionalitäten sollen uns von nun an euklidische Irrationalitäten 
heißen, wie sie tatsächlich in späterer Zeit genannt worden sind. 
Wir heben zwei Sätze des X. Buches besonders hervor, das erste 
Lemma, welches auf Satz 29. folgt, und welches zwei Quadratzahlen 
bilden lehrt, deren Summe wieder Quadratzahl ist, und den letzten 
Satz des Buches von der gegenseitigen Inkommensurabilität der Seite 
und der Diagonale eines Quadrates. Letzteren Satz haben wir nebst 
seinem mutmaßlich altpjthagoräischen Beweise daraus, daß sonst 
Gerades und Ungerades einander gleich wären, schon (S. 182) be- 
sprochen. Die Herstellung rationaler rechtwinkliger Dreiecke ist uns 
auch kein neuer Gegenstand. Methoden des Pythagoras (S. 186) und 
des Piaton (S. 224) sind uns bekannt geworden, jene von ungeraden, 
diese von geraden Zahlen ausgehend. War nämlich aus a^^V-\-c^ 
die Folgerung c* = (a -f- b){a — b) gezogen, und daraus die weitere 
Folgerung, daß a + b und a — b ähnliche Flächenzahlen sein müssen, 
so nahmen wir an, daß jene Männer die besonders einfachen Ver- 
suche angestellt hätten, einmal a~-b ^\ und einmal a — 6 «- 2 zu 
setzen. Das Verfahren des Euklid kann als Bestätigung unserer Ver- 
mutungen gelten. Nach der besonderen Annahme konnte und mußte 
man dazu übergehen fär a + 2) und a — b irgend welche ähnliche 
Flächenzahlen zu wählen, und dieses tat Euklid. Er läßt ähnliche 
Flächenzahlen, d. h. solche, welche proportionierte Seiten haben (De- 
finition 21. des VU. Buches), und deren Produkt eine Quadratzahl 
geben muß (Satz 1. des IX. Buches), bilden, etwa a • /S* und a - y\ 
und verlangt dabei, . daß beide gerade oder beide ungerade seien, 
damit ihr Unterschied halbierbar ausfalle. Unter dieser Voraussetzung 



Alezandria. Die Elemente des Euklid. 271 

wird sodann a/J* • ay^ + ( " T^^ j "^ ("^"2 / ' ^i*^'^ ^^^^ ^^® 
Seiten des rechtwinkligen Dreiecks a/Jy, " T "^ ; "^ T^"^ gefunden. 

Wir haben noch den Inhalt des letzten Hauptteiles der eukli- 
dischen Elemente anzugeben^ der in dem XL, XII. und XIII. Buche 
enthaltenen Stereometrie. Im XI. Buche beginnt diese Lehre genau 
in der Weise, wie sie auch heute noch behandelt zu werden pflegt, 
mit den Sätzen, welche auf parallele und senkrechte gerade Linien 
und Ebenen sich beziehen, woran Untersuchungen über Ecken sich 
schließen. Alsdann wendet sich der Verfasser zu einem besonderen 
Körper, dem Parallelepipedon und geht nur in dem letzten Satze 
des Buches zu dem allgemeineren Begriffe des Prisma über. 

Das XII. Buch enthält die Lehre von dem Maße des körper- 
lichen Inhaltes der Pyramide, des Prima, des Kegels, des Zylin- 
ders und endlich der Kugel. Eine wirkliche Berechnung findet sich 
allerdings bei Euklid nie, weder wo von Flächeninhalten noch wo 
Yon Körpermaßen die Rede ist, und namentlich bei solchen Raum- 
gebilden, zu deren Erzeugung Kreise oder Kreisstücke beitragen, ist 
nirgend angegeben, wie man eigentlich zu rechnen habe. Sollte die 
Ausrechnung des Kreisinhaltes von den Ägyptern bis zu Euklid ver- 
loren gegangen sein? Die Un Wahrscheinlichkeit dieser Annahme der 
mehrfachen Beschäftigung mit der Quadratur des Kreises bei Anaxa- 
goras, bei Antiphon, bei Bryson, bei Hippokrates gegenüber wird 
vollends für einen in Alexandria lebenden Mathematiker zur Unmög- 
lichkeit. Ägypten, welches das Althergebrachte mit Zähigkeit fest- 
hielt, welches ein Exemplar des Rechenbuches des Ahmes noch mehr 
als 2000 Jahre später als Euklid uns unversehrt überliefert hat, war 
nicht das Land, in welchem so unbedingt Notwendiges wie die Kreis- 
rechnung vergessen wurde, und ebensowenig läßt sich annehmen, daß 
die ägyptische Geometrie den griechischen Gelehrten, welche unter 
dem Schutze des ägyptischen Königs sich dort aufhielten, unbekannt 
hätte bleiben können. Wir stehen vielmehr hier vor einer absicht- 
lichen Weglassung, vor einem grundsätzlichen Widerstreite zwischen 
Geometrie und Geodäsie. Letztere, deren Vorhandensein zur Zeit 
de& Aristoteles wir (S. 252) hervorgehoben haben, war ihrem Wesen 
nach eine rechnende Geometrie. In der eigentlichen oder theore- 
tischen Geometrie war Rechnung als solche ausgeschlossen. Aristo- 
teles hat ausdrücklich gesagt: „Man kann nicht etwas beweisen, indem 
man von einem anderen Genus ausgeht^ z. B. nichts Geometrisches 
durch Arithmetik . . . Wo die Gegenstände so verschieden sind, wie 
Arithmetik und Geometrie, da kann man nicht die arithmetische Be- 
weisart auf das, was den Größen überhaupt zukommt, anwenden, 



272 12. Kapitel. 

wenn nicht die Größen Zahlen sind, was nur in gewissen Fällen vor- 
kommen kann^^). Der Ausdruck^ die Größen seien nnr in gewissen 
Fällen Zahlen, bezieht sich vermutlich auf irrationale Strecken, welche 
als Nichtzahlen galten, und dieser Ausnahme zuliebe dürfte das 
y. Buch der Elemente entstanden sein. Was aber von den Beweisen 
gesagt ist, scheint auch auf Rechnungsoperationen ausgedehnt worden 
zu sein. So zeigt also Euklid in diesem XU. Buche nur, daß Kreise 
wie die Quadrate ihrer Durchmesser sich verhalten, was Hippokrates 
von Chios schon wußte; er zeigt, daß, wie die Pyramide der dritte 
Teil des Prisma von gleicher Höhe und Grundfläche ist, ein ganz 
gleichlautender Satz für Kegel und Zylinder stattfindet, was Eudoxus 
von Knidos schon erkannt hatte; er schließt mit dem Satze, daß 
Kugeln im dreifachen Verhältnisse ihrer Durchmesser stehen. Euklid 
benutzt zum Beweise dieser Sätze den an der Spitze des X. Buches 
stehenden Satz von der Möglichkeit durch fortgesetzte Halbierung 
einen beliebigen Grad der Kleinheit zu erreichen. Geben wir als 
Beispiel seines Verfahrens den Satz vom Kreise, wobei wir, wie 
schon öfter, zur bequemeren Übersicht uns modemer Zeichen be- 
dienen, im übrigen aber uns genau an Satz 2. des XIT. Buches an> 
schließen. Vorausgeschickt ist der Satz, daß die Flächen ähnlicher 
in zwei Kreise eingeschriebener Vielecke sich wie die Quadrate der 
Durchmesser der betreffenden Kreise verhalten. Heißen nun K^ und 
K^ die beiden Kreisflächen, deren Durchmesser d^ und S^ sind, so sei 
angenommen, daß K^iK^ in kleinerem Verhältnisse stehen wie 8^^ : d,*. 
Sicherlich gibt es eine Oberfläche H, welche dem Verhältnisse 
üTj : a = *i* : dg* genügt, und weil K^ : K^<K^: Sl, so wird K^>Sl 
sein müssen. Dann ist es aber unmöglich, daß dasselbe Verhältnis 
dj* : d,* auch obwalte zwischen einer Fläche, die kleiner ist als Ä, 
und einer anderen, die größer ist als £1, und gleichwohl läßt sich 
das Vorhandensein eines solchen unmöglichen Verhältnisses unter 
der gemachten Voraussetzung nachweisen und damit die Unzulässig- 
keit der Voraussetzung selbst. Denn beschreibt man in K^ und JiT, 
einander ähnliche Vielecke O^ und O^, so ist jedenfalls O^ : O, » d^* : ä^* 
und zugleich O^ < K^, Es genügt also noch zu zeigen, daß es ein 
0^ gibt, welches größer als £1 und kleiner als K^ ist, und dazu wird 
die Exhaustion angewandt. Ein dem Kreis umschriebenes Quadrat 
ist offenbar größer als der Kreis und zugleich genau doppelt so groß 
als das dem Kreise eingeschriebene Quadrat. Mithin ist letzteres 
größer als die halbe Kreisfläche, oder unterscheidet sich von der 
Kreisfläche um weniger als deren Hälfte. Wird in jedem der vier 



^) Aristoteles, Analyt. post 1, 7. 76, a. 



Alexandria. Die Elemente dea Euklid. 273 

diesen Unterschied bildenden Kreisabschnitte der Bog^ti halbiert und 
mit dem Halbierongspunkte und den Endpunkten als Spitzen ein Drei- 
eck gebildet, so ist dieses die Hälfte eines Rechtecks, innerhalb 
welches der Kreisabschnitt eingeschlossen liegt, also größer als die 
Hälfte des Abschnittes. Das entstandene Achteck unterscheidet sich 
somit von dem Kreise um weniger als den vierten Teil desselben. 
Ebenso wird zu zeigen sein, daß der Unterschied zwischen dem regel- 
mäßigen Vielecke von 16 Seiten und seinem Umkreise geringer als 

Y der Kreisfläche ist. Bei jedesmaliger Verdoppelung der Seitenzahl 

des Vielecks wird der Flächenunterschied desselben gegen den Kreis 
mehr als nur halbiert, und schon immerwährende Halbierung genügt 
nach dem Satze der Exhaustion, um jede beliebige Grenze der Klein- 
heit zu erreichen. Es ist also damit sichergestellt, daß endlich ein 
Vieleck O^ erscheinen muß, dessen Fläche sich von der des Kreises 
um weniger als z/ unterscheidet, wenn jd ^ K^ — Sl ist, und das ihm 
ähnliche dem Kreise K^ eingeschriebene Vieleck ist jenes zugehörige 
0j, welches den ersten Widerspruch liefert. Der Beweis, daß auch 
nicht Äj : Äg > 6^ : 6^ sein kann, wird auf den früheren Fall zu- 
rückgeführt. Jene Annahme setzt nämlich zugleich voraus, daß 
ÜT, : Ülj < 8^ : Jj*, und die Unmöglichkeit dieser Voraussetzung zu 
beweisen hat man bereits gelernt. Keine dieser beiden Annahmen 
findet also statt, sondern nur die zwischen ihnen liegende K^ : K^ 
» 8^ : ^2^ Das ist der von Euklid eingeschlagene Weg, der in jedem 
einzelnen Falle mit aller Strenge in ermüdender Einförmigkeit ein- 
gehalten wird, ohne daß jemals eine Abkürzung des Verfahrens für 
statthaft; angesehen würde. 

Das Xni. Buch endlich kehrt zu einem Gegenstande zurück, dem 
das IV. Buch teilweise gewidmet war. Es handelt von den regel- 
mäßigen einem Kreise eingeschriebenen Vielecken, ins- 
besondere von den Fünfecken und Dreiecken. Dann aber benutzt es 
diese Figuren als Seitenflächen von Körpern, welche in eine Kugel 
eingeschrieben werden und schließt mit der wichtigen Bemerkung, 
daß es keine weiteren regelmäßigen Körper geben könne als 
die fünf zuletzt erwähnten, nämlich das Tetraeder, das Oktaeder, das 
Ikosaeder, die von Dreiecken begrenzt sind, der Würfel, dessen Seiten- 
flächen Quadrate sind, das Dodekaeder, welches von Fünfecken ein- 
geschlossen ist. 

Wir haben von diesem merkwürdigen Werke einen weit aus- 
führlicheren Auszug hier mii^eteUt als von den meisten der bisher 
besprochenen. Die Wichtigkeit des Werkes rechtfertigt unser Ver- 
fahren. Sie rechtfertigt zugleich die Frage nach dein Zwecke, welchen 

Caxtob, Oesohlofate der MAtheraatik L 8. Aufl. IS 



274 12. Kapitel. 

Euklid bei der Niederschrift im Aage hatte. Proklus si^ uns, wie 
wir oben (S. 260) erwähnten^ Euklid habe als Endzdel seines ganzen 
Elementenwerkes die Konstruktion der sogenannten platonischen Körper 
hingestellt^). Daß dieses unrichtig ist bedarf fQr den, der auch nur 
unseren Auszug mit einiger Aufinerksamkeit gelesen hat, keiner Aus- 
einandersetzung. Die künstlerisch vollendete Gliederung des Werkes 
machte es möglich, daß es in dem einen Gipfelpunkte abschloß, aber 
der Zweck des Werkes war nur durch dessen ganzen Verlauf gegeben 
und erfüllt. Die 13 Bücher der Elemente sind sich selbst 
Zweck. „Elemente werden die Dinge genannt, deren Theorie hin- 
durchdringt zum Verstehen der anderen, und von welchen aus die 
Lösung ihrer Schwierigkeiten uns gelingt^^^. So sagt derselbe Proklus 
an einer anderen Stelle mit viel treuerer Wiedergabe dessen, was be- 
absichtigt war. Euklid wollte, wie die übrigen Elementenschreiber 
Tor ihm es schon versucht hatten, eine vollständige Übersicht aller 
Teile der Mathematik geben, welche in den folgenden Teilen der 
Wissenschaft zur Anwendung kommen, wollte zugleich die enzyklo- 
pädisch zusammengestellten und geordneten Dinge auf strenge Be- 
weise stützen, welche einen Zweifel nicht aufkommen lassen, sondern 
vielmehr gestatten wie in eine Rüstkammer blindlings dorthin zu 
greifen mit der Gewißheit stets eine tadellose Waffe zu erfassen. 

Wieweit wir Euklid als selbständigen Verfasser seines Werkes 
zu bezeichnen haben, ist kaum zu sagen. Jeder Verfasser eines 
Handbuches irgend eines Teiles der Mathematik ist von seinen Vor- 
^mgem abhängig, und man muß die Schriften der letzteren kennen, 
um abzuschätzen, wieweit er von den vorgetretenen Bahnen sich ent- 
fernte. Euklid war ohne allen Zweifel ein großer Mathematiker. 
Dieses Urteil werden die übrigen Schriften, die er verfaßt hat, recht- 
fertigen. Damit stimmt auch die Bewunderung, welche alle Zeiten 
seinem vorzugsweise bekannt gewordenen Elementenwerkc entgegen- 
brachten, überein, und der von uns schon hervorgehobene Umstand, 
daß im Schatten dieses Riesenwerkes die früher vorhandenen ähn- 
lichen Erzeugnisse verkümmerten und zugrunde gingen, spätere nicht 
entstehen konnten. Auch die wenigen Beweise, deren Ursprung mit 
Bestimmtheit auf Euklid sich zurückführt — wir erinnern an den 
Schulbeweis des pythagoräischen Lehrsatzes — lassen in Euklid den 
feinen geometrischen Kopf erkennen. Ein großer Mathematiker wird 
auch da, wo er anderen folgt, seine Eigentümlichkeit nicht ganz 



^) Proklus (ed. Friedlein) 68 tfjg övpLndörig croix^^otcsmg riXog nQOBC- 
Ti^oato triv xSiv xcdoviiivmv IlXatovixtiv 6x;riitiit(OP 6v0taöip. *) Proklus (ed. 
Friedlein) 72, 3—6. 



Alexandria. Die Elemente des Euklid. 276 

yerlengnen, und so war es sicherlich auch bei Euklid. Aber wo 
haben wir dieso Eigentümlichkeit zu suchen? Das ist und bleibt wohl 
eine unbeantwortbare Frage, um so unbeantwortbarer als Pappus^ wie 
wir gleichfalls schon (S. 261) hervorgehaben haben^ den Euklid ge- 
radezu wegen seiner pietätvollen Anlehnung an ältere Schriftsteller 
lobt, und wenn Pappus dabei allerdings ein anderes Werk des Euklid 
im Auge hat^ so dürfte sich diese Charaktereigenschaft auch in den 
Elementen nicht yerleugnet haben. 

Wir sind sogar tatsächlich imstande einige und nicht unwesent- 
liche Stellen des großen Werkes anzugeben, in welchen, wie wir 
schon früher sahen, Euklid nicht selbständig gearbeitet hat. Das 
V. Buch gehört^ wie wir (S. 241) einem alten Scholiasten nacherzählt 
haben, dem Eudoxus an. Von ebendemselben stammen nach aller 
Wahrscheinlichkeit die fünf ersten Sätze des XTTT. Buches. Spuren 
von Vorarbeiten des Theaetet sind (S. 237) im X. Buche nicht zu 
verkennen. Das stimmt gleichfalls mit der Aussage des Proklus 
überein, daß Euklid „vieles von Eudoxus Herrührende zu einem 
Ganzen ordnete und vieles von Theaetet Begonnene zu Ende führte^^ 
(S. 260). Eben diese alten Spuren geben uns aber Veranlassung zur 
Untersuchung einer anderen Frage. 

•Die Form des V., des X., des XTTT. Buches ist von der der 
anderen Bücher nicht im mindesten verschieden. Höchstens könnte 
man betonen, daß, während sonst überall nur synthetisch verfahren 
ist, die fünf ersten Sätze des XIII. Buches Analyse und Synthese 
verbinden. Aber auch bei ihnen ist die Form, welche man eukli- 
dische Form zu nehnen pflegt, gewahrt. Der Lehrsatz ist aus- 
gesprochen, die Vorschrift was an der Figur vorgenommen werden 
soll ist erteilt, der Beweis schließt sich an. Und in anderen Fällen 
ist eine Aufgabe gestellt. Ihr folgt die Auflösung, dieser die zum 
Beweise der Richtigkeit der Auflösung nötigen Vorbereitungen durch 
Ziehen von Hilfslinien usw. und endlich der Beweis selbst. „Was zu 
beweisen war'', onsg ^dei äsl^a^ (quod erat demonstrandum) ist die 
Schlußformel des Lehrsatzes oder Theorems, bei welchem es sich 
um den Nachweis, iitödsi^Lv, des Behaupteten handelt. Die Aufgabe, 
das Problem, bei welchem es auf die Ausführung, xataöTUviiv^ des 
Geforderten ankommt, hat eine ganz ähnliche Schlußformel: „Was zu 
machen war,'' Sxsq sdei noifjöai (quod erat faciendum). Euklid habe 
diese Schlußformeln benutzt^ sagt uns Proklus^), und der Augenschein 
bestötigt es. Aber rühren diese Schlußworte, rührt die ganze Form 
von Euklid her? 



1) Proklus (ed. Friedlein) 81. 

18* 



276 12. Kapitel. 

Wir bezweifeln es aufs allerhöchste. Wir haben in dem Übungs- 
buche des Ahmes eine Sammlung von Beispielen kennen gelernt, 
deren griechische Nachbildung in Inhalt und Form^ insbesondere in 
letzterer^ uns auf alexandrinischem Boden begegnen wird, ^ache es 
so" heißen die regelmäßig wiederkehrenden Worte jener Übungsbücher. 
Wir haben (S. 80 und 113) davon gesprochen, daß ägyptische Lehr- 
bücher neben den Übungsbüchern vorhanden gewesen sein müssen. 
Werden sie weniger eine herkömmliche unabänderliche Form besessen 
haben als alles andere in dem Lande der sich stets gleichbleibenden 
Überlieferung«!? Und sind jene euklidischen Schlußworte für Lehr- 
sätze und Aufgaben nicht von anheimelnder Ähnlichkeit zu dem 
ägyptischen ,,Mache es so"? Ist es femer nicht in hohem Grade wahr- 
scheinlich, daß EudoxuS; von dem, wie wir sagten, das Y. Buch, daß 
Theaetet, von dem Teile des X. und des XIII. Buches teilweise wört- 
lich übernommen wurden, der gleichen Form sich schon bedienten? 
Ist endlich wohl anzunehmen, Euklid habe eine für den Unterricht, 
soweit er Gedächtnissache ist, ungemein zweckmäßige Form neu er- 
funden, und diese Form sei nur der Geometrie, keiner anderen Wissen- 
schaft zugute gekommen? Diese Gründe werden zwar noch nicht Ge- 
wißheit hervorbringen; noch immer wird von manchen behauptet 
werden, der Name euklidische Form sei durchaus gerechtfertigt, denn 
Euklid sei der selbständige Erfinder derselben; aber andere werden 
ebenso sicher mit uns der Überzeugung gewonnen sein, die ägyptische 
Form eines Lehrbuches der Geometrie, in Griechenland eingedrungen, 
seit überhaupt Geometrie dort gelehrt wurde, in Alexandria durch 
die neuerdings ermöglichte Kenntnisnahme ägyptischer Originalwerke 
aufgefrischt, habe bei Euklid nur ihre vollendete Abrundung erlangt. 

Eines haben wir bei Besprechung dieser Ursprungsfrage still- 
schweigend vorausgesetzt: daß nämlich dasjenige, was uns hand- 
schriftlich als die Elemente des Euklid überliefert wurde, in der Tat 
jenes Werk ist, wie es unter dem Griffel des Verfassers entstand. 
Zweifel daran wären, trotz der ungemeinen Verbreitung, deren die 
euklidischen Elemente im Altertum sich erfreuten, oder vielleicht 
eben wegen dieser Verbreitung nicht unmöglich, denn gerade häufig 
abgeschriebene Schriftstücke verderben leicht durch sich forterbende 
und durch bei jeder Abschrift neu hinzutretende Fehler, wenn nicht 
gar durch allmähliche Einschaltung von Randglossen, welche nach 
und nach in den Text eindrangen, dem sie als Fremdlinge nur ange- 
hören. Euklids Elemente sind in antiken Schriften nicht gar oft er- 
wähnt^), aber die Übereinstimmung der genannten Buchemummer mit 



*) Untersuchungen darüber von Ssvilius abgedruckt in Gregorys Vor- 



Alexftndria. Die Elemente des Enklid. 277 

der Ziffer^ welche sie in den Handschriften führt, ist meistenteils vor- 
handen. Uns wenigstens ist nur ein Beispiel des Gegenteils bekannt 
welches auf römischem Boden im 27. Kapitel zu besprechen sein wird. 
Fremde spätere Zusätze sind in dem, was man die Elemente des 
Euklid nennt, allerdings vorhanden. Eines solchen machte Theon 
von Alexandria in seiner Ausgabe, exSoöig, der euklidischen Ele- 
mente am Ende des VI. Buches sich schuldig, wie er selbst in seinem 
Kommentare zum I. Buche des ptolemäischen Almagestes erzählt^). 
Aus dieser ungemein wichtigen Stelle im Zusammenhange mit dem 
Umstände, daß jener Zusatz des Theon seinem Inhalte nach sich voll- 
ständig mit dem Zusätze zu Satz 33. des VI. Buches deckt, geht so- 
mit hervor, daß es eine theonische Textausgabe der euklidi- 
schen Elemente ist, deren wir uns bedienen, und daß wenn auch 
nicht gerade zahlreiche, doch einige Änderungen durch jenen Schrift- 
steller vom Ende des lY. S. stattgefunden haben mögen. 

Theon kann es vielleicht gewesen sein, welcher den berüchtigten 
11. Grundsatz des I. Buches: „Zwei Gerade, die von einer dritten ge- 
schnitten werden, so daß die beiden inneren an einerlei Seite liegen- 
den Winkel zusammen kleiner als zwei Rechte sind, treffen genugsam 
verlängert an eben der Seite zusammen'^ an diese unpassende Stelle 
brachte, während es gar kein Grundsatz, sondern die Umkehrung des 
Satzes 17. des I. Buches ist^), und dort als Folgerung ohne Beweis 
ausgesprochen immer noch frühzeitig genug stehen würde, um bei 
Satz 29. des I. Buches benutzt zu werden, wie es der Fall ist. 

Theon mag auch die Schuld einiger Definitionen des Y. und 
VI. Buches treffen, welche häufig angegriffen worden sind^). 

Eine Definition des V. Buches, nämlich die 5., hat freilich un- 
schuldigerweise solche Angriffe erlitten, veranlaßt, wie im folgenden 
Bande besprochen werden muß, durch Übersetzungsirrtümer zweier 
Sprachen. Diese Definition geht offenbar ursprünglich auf Zeiten 
zurück, die vor Euklid liegen. Sie will erklären, was es heiße, 
wenn man von vier Größen sage, daß sie in Proportion stehen. Da 
von Größen die Rede ist und nicht von Zahlen, so mußte die Defi- 
nition so weit gefaßt werden, daß auch Inkommensurables hinein- 
paßte, und dieses erreichte der Verfasser, sei es Endoxus oder wer 
sonst gewesen, indem er außer den Ghrößen A, B, F, ^ noch 
irgend zwei ganze Zahlen ft und v sich dachte und behauptete, es 



rede zn Beinei EnklidauBgabe. Die gleichen ünteranchimgen mit einigen neuen 
Zntaten bei Hankel 886—888. 

^) Cammentaire de Theon mtr la eomposiUan maiMmatique de Ptolemee ^dit. 
Halms I, 201. Paris 1821. *) Das erkannte schon Savilins. ') Ausfahrliches 
hierüber bei Hankel 889—401. 



278 13. Kapitel. 

sei AiB ^ r-, d, wofern immer wemi fiA~ivB zugleich auch 
fiF^v^. Der Wortlaut ist folgender: ,^ einerlei Verhältnis sind 

Größen A, B, F, ^, die erste zur zweiten und die dritte zur vierten, 
wenn von beliebigen Gleichvielfachen der ersten und dritten A, F 
und beliebigen Gleichvielfachen der zweiten und vierten B, ^ die 
Vielfachen der ersten und dritten zugleich entweder kleiner oder eben 
so groß oder größer sind als die Vielfachen der zweiten und vierten 
nach der Ordnung miteinander verglichen." 

13. Kapitel. 
Die ttbrigen Schriften des Euklid. 

Euklid hat neben und außer den Elementen noch mehrfache 
andere Schriften verfaßt, die uns leider nicht sämtlich vollständig 
erhalten sind. So ist uns von einem Werke, welches gewiß höchst 
interessant war, nur die fast mehr als notdürftige Schilderung übrig 
geblieben, die Proklus davon mit folgenden Worten gibt: Auch über- 
lieferte er Methoden des durchdringenden Verstandes mit deren Hilfe 
wir den Anfänger in dieser Lehre in der Aufsuchung der Fehlschlüsse 
üben und selbst unbetrogen bleiben können. Die Schrift, durch 
welche er uns diese Ausrüstung verschafR;, betitelt er Trugschlüsse, 
tlf^vädQia. Er zählt die verschiedenen Arten derselben der Reihe 
nach auf und übt bezüglich jeder unseren Verstand in allerlei Lehr- 
sätzen, indem er dem Falschen das Wahre gegenüberstellt und den 
Beweis des Truges mit der Erfahrung zusammenhält^). 

Verloren sind auch die drei Bücher der Porismen, welche 
Euklid verfaßte, deren Inhalt jedoch aus Spuren in genügender Weise 
erkannt werden konnte, um eine vermutlich in der Hauptsache 
richtige Wiederherstellung zu gestatten^). Mit den genannten Spuren 
hat es folgendes Bewandtnis. Pappus hat in seiner Mathematischen 
Sammlung, von welcher schon wiederholt die Bede war, neben eigenen 
Untersuchungen auch vielfach Auszüge aus fremden Schriften gegeben, 
welche gleichzeitig bis zu einem gewissen Grade erläutert werden. 



*) ProkluB (ed. Friedlein) 70. *) Les trois livres de Porismes d'Euclide 
retablia pour Ja premüre fais d'apr^ Ja notiee et Jes Jemmes de Pappus et can- 
formSment au sentiment de B, Simson sur Ja forme des enoncis de ces propositians 
par M. ChasleB. Paris 1860. Heiberg, Euklidstndien S. 66—79 sacht aller- 
dings die Behauptung zn begründen, die OhasleBsche Wiederherstellung der 
Porismen sei noch keineswegs als endgültig anzusehen. 



Die übrigen Schriften des Euklid. 279 

Unter diesen fremden Schriften befinden sich denn auch die eukli- 
dischen Porismen^ von welchen im YII. Buche der Sammlung die 
Rede ist, und zu deren Verständnis Pappus eine Anzahl von Lemmen 
mitteilt*). Freilich wäre der Gebrauch, welchen man von diesen Hilfs- 
sätzen allein machen könnte, um aus ihnen den Inhalt des Werkes, 
zu welchem sie erfunden sind, zu erschließen, kein unbedingter. Wir 
besitzen nämlich auch noch Lemmen des Pappus zu Werken, deren 
Urschrift nicht verloren gegangen ist, und an diesen zeigt sich, daß 
der geometrische Scharfsinn des Verfassers ihn nicht selten weit ab- 
seits führte, und daß er sich wohl gerade dadurch verleiten ließ etwas 
verschwenderisch mit der Benennung Lemma umzugehen. Es kommen 
Sätze bei Pappus vor, welche so gut wie in gar keiner Beziehung 
zu den Schriften stehen, als deren Hilfssätze sie bezeichnet werden, 
und wir haben zum voraus keinerlei Gewähr daf^Lr, daß es sich mit 
den Hilfssätzen zu den euklidischen Porismen nicht ebenso verhalte. 
Nachträglich scheint freilich die gelungene Wiederherstellung, von 
der wir sprachen, und welche für das tiefe Eindringen ihres Ver- 
fassers in den geometrischen Geist der Alten ein glänzendes Zeugnis 
ablegt, jene Gewähr zu liefern. Es ist schwer an einen ZuSeJI zu 
denken, wo die Ergebnisse vollste Übereinstimmung mit den 38 Lemmen 
des Pappus, mit der Inhaltsangabe der drei Bücher Porismen, wie sie 
bei ebendemselben sich findet, mit der Erklärung des Wortes Porisma 
bei Pappus und mit einer solchen bei Proklus^) zutage fördert. 

Der sprachliche Zusammenhang des Wortes Porisma, ytögi^öfiaj 
mit nslQtOy mit Pore, mit parare, mit forschen, mit dem Sanskrit- 
Worte pri TJ" läßt einen GrundbegriflF des Vorwärtsbringens wohl er- 
kennen, doch ist damit nur die eine Bedeutung von Porisma als 
Zusatz, corollarium, gegeben, welche gleichfalls durch das Vor- 
kommen in geometrischen Schriften bestätigt wird. Porisma als 
Eunstname einer besonderen für sich bestehenden Gkittung von Sätzen 
wird dadurch um nichts klarer. Von diesen sind dagegen ausdrück- 
liche Definitionen vorhanden. Pappus in der Einleitung zu seinem 
VII. Buche sagt, Porisma sei ein Ausspruch, bei welchem es sich 
um die Porismierung des Ausgesprochenen handle, und fügt dieser 
Erklärung durch ein fast gleiches Wort die Er^uterung bei: „Diese 
Definition des Porisma wurde von den Neueren verändert, welche 
nicht alles finden können, sondern auf die Elemente gestützt nur 
zeigen, daß das, was gesucht wird, vorhanden ist, nicht aber dieses 
selbst finden. So schrieben sie, obschon durch die Definition selbst 
und das Erlernte widerlegt, mit bezug auf einen Nebenumstand, ein 



^) PappuB (ed. Hultflch) 648 sqq. ') Proklus (ed. Fiiedlein) 801 sqq. 



280 18. Kapitel. 

Porisma sei das, was zur Hypothese eines Ortstheorems fehle/' Eine 
weitere Definition, sagten wir oben, gebe Proklus. Sie enthalt gleich- 
falls zweierlei^ wenn auch nicht dieselben beiden Unterscheidungen 
wie Pappus sie trennt. „Einmal nennt man es ein Porisma, wenn 
ein Satz aus dem Beweise eines anderen Satzes mit erhalten wird, als 
Fund oder gerade vorhandener Gewinn bei dem Gresuchten, zweitens 
aber auch, wenn etwas zwar gesucht wird, aber um von der Er- 
findung Gebrauch zu machen und nicht von der Entstehung oder der 
einfachen Anschauung .... Man hat es nicht mit der Entstehung 
des Gesuchten zu tun, sondern mit dessen Erfindung, und auch eine 
bloße Anschauung genügt nicht. Man mu6 das Gesuchte in das Ge- 
sichtsfeld bringen und vor den Augen ausfQhren. Von dieser Art 
sind auch die Porismen, welche Euklid schrieb, als er seine Bücher 
der Porismen verfaßte.'' Diese Erklärungen haben gewiß keinen An- 
spruch auf den Ruhm unbedingter Deutlichkeit, aber eines lassen sie 
erkennen: daß das Wort Porisma allmählich einen anderen Sinn an- 
nahm, als es ursprünglich besaß. Man versteht diese Begriffsver- 
schiebung jetzt gewöhnlich so, daß die verhältnismäßig jüngeren 
Schriftsteller — jünger im Sinne des Pappus gesagt für diejenigen, 
welche auftraten, seit es Elemente gab — dabei an einen Neben- 
umstand sich hielten, der von den Alten nicht berücksichtigt wurde, 
daß aber jedenfalls zu allen Zeiten das Merkmal untrüglich hervor- 
trat, daß ein Porisma gewissermaßen eine Verbindung von Theorem 
und Problem war, ein Theorem, welches ein Problem anregte 
und einschloß. Ein sehr allgemeines Beispiel davon bildet auf 
einem der Mathematik durchaus fremden Gebiete die ärztliche Dia- 
gnose. Sie ist ein wahres Porisma. Sie erhärtet als Theorem den 
gegenwärtigen Zustand des Ii[ranken, wobei sie ebensowohl die bei 
allen Individuen gemeinsamen Erscheinungen der bestimmten Krank- 
heitsform, als die von einem Menschen zum anderen veränderlichen 
Naturkundgebungen berücksichtigt. Sie schließt aber auch ein Problem 
in sich: die weitere Entwicklung des Krankheitsprozesses voraus- 
zusehen und womöglich zu leiten. Sie zeigt sich als unvollständig, 
so lange nicht eben dieses Problem seiner Lösung entgegengefahrt 
wird. Übersetzen wir nun eben diese Gedankenfolge in die Sprache 
der Mathematik, so können wir sagen: Ein Porisma ist jeder un- 
vollständige Satz, welcher Zusammenhänge zwischen nach 
bestimmten Gesetzen veränderlichen Dingen so ausspricht, 
daß eine nähere Erörterung und Auffindung sich noch 
daran knüpfen. Ein schon von Proklus angegebenes Beispiel liefert 
etwa der Satz, daß, wenn ein Kreis gegeben ist, der Mittelpunkt des- 
selben immer gefunden werden könne, denn an ihn knüpft sich die 



Die übrigen Schriften des Euklid. 281 

Aufgabe, die Konstruktion zu ermitteln , durcli welche man den 
Mittelpunkt wirklich erhält, mit Notwendigkeit an. Oder um ein 
zweites den Ghiechen noch durchaus unverständliches Beispiel zu 
wählen, so ist es ein Porisma, wenn man sagt: Jede rationale ganze 
algebraische Funktion einer Veränderlichen könne immer in einfachste 
reelle Faktoren zerlegt werden, denn an diesen Satz knüpft sich un- 
mittelbar die weitere Frage, von welchem Grade jene einfachsten 
Faktoren sein werden, sowie die mit den Mitteln gegenwärtiger Al- 
gebra nicht lösbare Aufgabe in jedem einzelnen FaUe die betreffen- 
den einfachsten Faktoren selbst aufzufinden. Wenn durch diese Aus- 
einandersetzung der Begriff des Porisma im älteren Sinne des Wortes 
zu einiger Klarheit gelangt sein dürfte, so können wir jetzt auch die 
spätere Bedeutung des Wortes ins Auge fassen. 

Nachdem man nämlich bemerkt hatte, daß die Veränderlichkeit 
mitunter in der Ortsveränderung von Punkten bestehe, so klammerte 
man sich an diesen Nebenumstand fest und setzte als Regel, daß das 
Veränderliche ausschließlich von der Art sein sollte, daß 
man es mit einem mangelhaften Ortstheoreme zu tun habe. 
Eines der berühmtesten Porismen in diesem Sinne, welches bei Pappus 
sich erhalten hat^), lautet in der Sprache heutiger Geometrie etwa 
so: Schneiden die Linien eines vollständigen Vierseits sich in sechs 
Punkten, von denen drei in einer Geraden liegende gegeben sind, 
und sind von den drei übrigen Punkten zwei der Bedingung unter- 
worfen je auf einer gegebenen Geraden zu bleiben, so wird auch der 
letzte Punkt eine Gerade zum geometrischen Orte haben, welche aus 
den vorhandenen Angaben bestimmt werden kann. Man sieht augen- 
blicklich, erstens daß es sich hier um einen geometrischen Ort 
handelt, zweitens daß in der Hypothese die Lage der von zwei 
Punkten beschriebenen Geraden nicht näher bezeichnet ist, daß also 
an der Hypothese etwas fehlt, drittens daß demgemäß auch die Fol- 
gerung an Bestimmtheit zu wünschen übrig läßt, daß aber viertens 
die Folgerung zu vollständiger Bestimmtheit ergänzt werden kann, 
indem man die Lage der dritten Geraden zu den gegebenen Raum- 
gebilden in Beziehung setzt, sie als eine darzustellende Funktion der- 
selben betrachtet. Mit anderen Worten: die Ortsveränderung eines 
Punktes ist in Abhängigkeit gebracht zu den Ortsveränderungen 
zweier Punkte, so daß sie der Art nach bestimmt ist^ der Lage nach 
aber erst bestimmt wird, wenn jene Ortsveränderungen der beiden 
anderen Punkte, sowie drei feste Punkte wirklich gegeben sind. 

Dieses vollständiger als die übrigen erhaltene Porisma wurde, 



') Pappus yn, piaefatio (ed. Hultsch) 662 sqq. 



282 13. Kapitel. 

wie wir gleichfalls durch Pappus wissen, in zehn einzelnen Fallen 
behandelt, je nach der Verschiedenheit der Lage der einzelnen Punkte 
und Geraden. Man erkennt an diesem einen Beispiele, welche ge- 
waltige Ausdehnung eine Sammlung von Porismen gewinnen konnte, 
wenn die teils als Bedingungen, teils als Ergebnisse in jedem Porisma 
vorkommenden geometrischen Orter jeder beliebigen Gattung von 
Raumgebilden angehören durften. Euklid legte sich die freiwillige 
Beschrankung auf, nur solche Orter zu benutzen, deren Lehre aus 
seinen Elementen zur Genüge bekannt war. In den beiden ersten 
Büchern seiner Porismen treten nur Gerade auf, in dem dritten Buche 
außer solchen auch Ereise. Trotz dieser engen Beschrankung waren 
171 Sätze in dem Werke enthalten, welche Pappus je nach den Er- 
gebnissen, also* abseits der Bedingungen, in 29 Gattungen abgeteilt 
hat. Eine Gattung war es z. B., wenn sich herausstellte, daß ein 
Punkt auf einer der Lage nach .bekannten Geraden liegen müsse; eine 
zweite, wenn man erfuhr, daß eine gewisse Gerade in allen ihren 
Lagen durch einen bestimmten Punkt gehen müsse; eine dritte, wenn 
wieder eine bewegliche Gerade auf zwei gegebenen Geraden Abschnitte 
von bestimmten Produkten bildete, während man bei der Aufstellung 
jener Gattungen als solcher zunächst davon absah, welcherlei Be- 
dingungen in jener ersten Gattung die Bewegung des Punktes, in den 
beiden anderen die Bewegung der Geraden regeln. Von dieser Auf- 
fassung ist wenigstens die von uns schon gerühmte Wiederherstellung 
der euklidischen Porismen ausgegangen, auf welche fär die genauere 
Kenntnis des Gegenstandes verwiesen werden muß. Er ist trotz des 
Scharfsinnes, welchen der neue Bearbeiter als Geometer wie als Histo- 
riker an den Tag legte, nicht so weit über allen und jeden Zweifel 
erhaben, daß wir es verantworten könnten über die Ergebnisse der 
Wiederherstellung unter dem Yerfassemamen des Euklid zu berichten. 
Nur Eines entnehmen wir ihr noch: die Verwandtschaft, welche Euklids 
Porismen nach zwei Seiten hin besaßen. Im Hinblicke auf ihren In- 
halt, auf die Lehre von der veränderlichen Lage grenzten sie an die 
sogenannten geometrischen Örter; in ihrer Form näherten sie sich 
einem anderen euklidischen Werke, den Daten. 

Die Daten^), dsdögiBvay des Euklid sind vollständig auf uns ge- 
kommen, versehen mit einer Vorrede des Marinus von Neapolis 
in Palästina, eines Schülers des Proklus, in ihrer Echtheit bestätigt 



') Eine deatsche Übersetzung hat J. F.Wurm (Berlin 1826) herauBgegeben, 
den griechischen Text der ersten 24 Sätze nach einem münchner Kodex 
Fr. Buchbinder in dem Programm der Landesschule Pforta fOr 1866: Euklids 
Porismen und Data. Die letzte Ausgabe ist die von H. Menge als 6. Band der 
Euklidausgabe (1896). 



Die übrigfen Schriften des Euklid. 283 

durch eine Beschreibung des Pappus^ welche wenn auch nicht in 
allen Punkten, doch der Hauptsache nach mit unserem Texte über- 
einstimmt^). Was man unter einem Gegebenen, dsdöfievov, zu ver- 
stehen habe, sagt Euklid in einer Reihe yon Definitionen, welche an 
der Spitze dieser Schrift stehen. Der Grröße nach gegeben heißen 
Räume, Linien und Winkel, wenn man solche, die ihnen gleich sind, 
finden kann. Ein Verhältnis heißt gegeben, wenn man ein Verhältnis, 
welches mit jenem einerlei ist, finden kann. Der Lage nach gegeben 
heißen Punkt^ Linien und Winkel, wenn sie immer an demselben 
Orte sind usw. Nach diesen Definitionen folgen 95 (Pappus zufolge 
nur 90) Sätze, in welchen nachgewiesen wird, daß, wenn gewisse 
Dinge gegeben sind, andere Dinge gleichzeitig mitgegeben sind. Zur 
besseren Einsicht in den Gegenstand heben wir einige Sätze aus den 
verschiedensten Teilen der Schrift hervor. 

Satz 1. Gegebene Gh*ößen haben zueinander ein gegebenes Ver- 
hältnis. 

Satz 3. Wenn gegebene Ghrößen, wie viele ihrer sein mögen, 
zusammengesetzt werden, so ist ihre Summe gegeben. 

Satz 25. Wenn zwei der Lage nach gegebene Linien einander 
schneiden, so ist ihr Durchschnittspunkt gegeben. 

Satz 40. Wenn in einem Dreiecke jeder Winkel der Größe 
nach gegeben ist, so ist das Dreieck der Art nach gegeben. 

Satz 41. Wenn in einem Dreiecke ein Winkel gegeben ist und 
die um diesen Winkel liegenden Seiten ein gegebenes Verhältnis zu- 
einander haben, so ist das Dreieck der Art nach gegeben. 

Satz 54. Wenn zwei der Art nach gegebene Figuren ein ge- 
gebenes Verhältnis zueinander haben, so haben auch ihre Seiten zu- 
einander ein gegebenes Verhältnis. 

Satz 58 imd 59. Wenn ein gegebener Raum einer gegebenen 
geraden Linie angefügt, aber um eine der Art nach gegebene Figur 
zu klein, skkHütov (zu groß, imiQßakXov) ist, so sind die Seiten der 
Ergänzung (des Überschusses) gegeben. 

Satz 84 und 85. Wenn zwei Grerade einen gegebenen Raum 
unter einem gegebenen Winkel einschließen und ihr Unterschied (ihre 
Summe) gegeben ist, so ist jede derselben gegeben. 

Satz 89. Wenn in einem der Größe nach gegebenen Kreise eine 
der Ghröße nach gegebene Gerade gegeben ist, so begrenzt sie einen 
Abschnitt, welcher einen gegebenen Winkel faßt. 

Die Vergleichung dieser Proben mit dem, was über Porismen 
gesagt wurde, läßt augenblicklich die angekündigte Formverwandt- 



*) PappuB VII (ed. Hnltach) pag. 638—640. 



284 13. Kapitel. 

schaffc erkennen. Auch hier scUießt das Theorem, in dessen Grewande 
die Sätze aufzutreten pflegen, ein künftiges Problem ein, und die 
Beweisführung erfolgt fEUst regelmäßig so, daß jenes Problem gelöst 
wird. So ist in dem oben angeführten Satz 3. die Aufgabe mit ein- 
geschlossen, die Summe der gegebenen Grrößen auch wirklich zu 
finden, und in der Tat wird der Satz dadurch als richtig erwiesen, 
daß man zwar nicht die Summe selbst, denn dieses würde nicht in 
dem Charakter des Buches der Gegebenen liegen, aber eine der Summe 
gleiche Größe darstellt. Aber auch dafür ist umgekehrt gesorgt, 
daß man nicht Daten und Porismen ganz verwechseln könne. Da- 
gegen schützt der gewaltige Unterschied des Inhaltes, der sich kurz 
dahin bezeichnen läßt, daß bei den Daten die Bedingung der ver- 
änderlichen Größe wegfällt, welche zum eigentlichen Wesen des 
Porisma gehört und dessen wissenschaftliche Stellung nach unseren 
heutigen Begriffen zu einer weit höheren macht als die der Daten, deren 
eigentliche Berechtigung uns fast zweifelhaft erscheint, weil in ihnen 
im Gnmde nichts steht, was nicht schon in anderer Form und anderer 
Reihenfolge in den Elementen steht oder wenigstens stehen könnte. 

Die Data, kann man sagen, sind Übungssätze zur Wiederauf- 
frischung der Elemente; die Porismen sind Anwendungen derselben 
von selbständigem Werte. Der Stoff, welcher dem, der die Daten 
auswendig weiß, zu Gebote steht, führt ihn doch nicht über die 
Elemente hinaus; der Stoff, welcher in den Porismen dem Gedächt- 
nisse sich einprägt, kommt in der Lehre von den Örtem, in der 
höheren Mathematik der Griechen, zur Geltung. Daten kann es in 
frühester Zeit gegeben haben, Porismen im euklidischen Sinne erst 
seitdem der Ortsbegriff entstand. 

Die nahen Beziehungen der Daten zu den Elementen lassen sich 
auch auf jenem Gebiete verfolgen, welches ein gemischtes ist, insofern 
dort Arithmetisches und Algebraisches geometrisch eingekleidet er- 
scheinen. Vergleichen wir z. B. Satz 58. und 59. mit den Aufgaben 
in Satz 28. und 29. des VI. Buches (S. 266), so liegt die Wechsel- 
verbindung auf der Hand ^). Satz 84. und 85. lehren aus xy « b* 
und x^ y ^ a die Wurzeln der beiden Gleichungen, oder, was auf 
dasselbe hinausläuft, die Wurzel der quadratischen Gleichung x* T- 6* 
» ax zu finden^). Wir erinnern dabei an den 11. Satz des IL Buches 



^) Matthiessen, Gnindzüge der antiken nnd modernen Algebra der 
litteralen Gleichungen S. 928—929 bat darauf hingewiesen. *) Darauf dürfte 
Chasles, Apercu historique sur Vorigine et U developpement des mähodes en 
g^ometrie, 2. Edition. Paris 1876, pag. 11, Note 2 oder deutf»che Übersetzung 
von Sohncke. Halle 1839, S. 9, Anmerkung 11 zuerst aufmerksam gemacht 
haben. Dieses Werk heißt bei uns künftig Ghasles, Apercu hist. 



Die übrigen Schriften des Eaklid. 285 

der Elemente (S. 263), in welchem die Gleichung x* + ax ^ a^ er- 
kannt wurde, ein besonderer Fall der Gleichung x* + ax =» fc* des 
29. Satzes des VI. Buches. Wir erinnern an die Gleichung x* + 6* 
» ax des 28. Satzes des VI. Buches, und haben jetzt hier in den 
Daten den einzigen noch übrigen Fall x' ^ ax + h^ der quadratischen 
Oleichung mit lauter positiven Gliedern vor uns. Die Daten sind 
hier die notwendige Ergänzung der Elemente. Der Schriftsteller, der 
heide verfaßte, war im Besitz der Mittel eine Wurzel jeder quadrati- 
schen Gleichung, welche überhaupt eine reelle Lösung zuläßt, zu 
tinden. Darf aber das Bewußtsein hier eine große Gruppe von Pro- 
blemen vor sich zu haben, deren Bedeutung nicht nur eine geometrische 
ist, bei Euklid vorausgesetzt werden? Die geometrische Form, in 
welcher jene Aufgaben bei Euklid erscheinen und welche man nicht 
unpassend eine geometrische Algebra^) genannt hat, würde nicht 
genügen, jedes algebraische Bewußtsein zu leugnen, denn jene Form 
werden wir, als Überbleibsel alter Übung, bei Schriftstellern und in 
Zeiten noch vorwalten sehen, denen man wohl eher umgekehrt das 
geometrische Bewußtsein absprechen darf. Ist aber diese kleine 
Schwierigkeit aus dem Wege geräumt, so nehmen wir keinen Anstand 
die gestallte Frage voll zu bejahen. Euklid muß mit numerischen 
<][uadratischen Gleichungen zu tun gehabt haben, denn nur daraus 
läßt sich das Entstehen des X. Buches seiner Elemente erklären^), 
und das ist die große Bedeutung, welche wir (S. 268) eben diesem 
Buche zum voraus beigelegt haben. 

Wie verhält es sich aber mit der Fähigkeit des Euklid auch 
solche Gleichungen zu lösen, welche in durchaus anderem Gewände 
erscheinen? In einer Sammlung griechischer Epigramme, von welcher 
im 23. Kapitel die Rede sein wird, kommt als euklidisches Problem 
«ines vor, welches in deutscher Übersetzung folgendermaßen lautet'): 

Esel und Maultier schritten einher beladen mit Säcken. 

Unter dem Drucke der Last schwer stöhnt* und seufzte der Esel. 

Jenes bemerkt es und sprach zu dem kummerbeladnen Gefährten: 

^, Alterchen, sprich, was weinst Du und jammerst schier wie ein Mägdlein? 

Doppelt so viel als Du grad* trüg' ich, gäbst Du ein Maß mir; 

Nähmst Du mir eines, so trügen wir dann erst beide dasselbe.'' 

Greometer, Du Kundiger, sprich, wieriel.sie getragen. 



') Den Namen der geometrischen Algebra hat H. Zeuthei^ eingeführt. 
^ Dieser feine und wichtige Gedanke ist zuerst ausgesprochen bei Zeuthen, 
Die Lehre von den Kegelschnitten im Alterthume (deutsche Ausgabe von ß. von 
Pischer-Benzon. Kopenhagen 1886), S. 24—26. S. A. Christensen, Ueber 
Gleichungen vierten Grades im X. Buch der Elemente Euklids. Zeitschr. Math. 
Phjs. XXXIV, Hi8t.-liter. Abtlg. S. 201—207 geht uns allerdings etwas zu weit. 
-*) Tgl. Nesselmann, Algebra der Griechen S. 480. 



286 13. Kapitel. 

Wie verhält es sich mit der Berechtigung dieser Aufgabe^ den ihr 
beigelegten Namen zu fuhren? Die meisten Schriftsteller leugnen 
diese Berechtigung vollständig. Jedenfalls muß man zwei Dinge hier 
unterscheiden, ob Euklid eine derartige Aufgabe lösen konnte und ob 
er sie so, wie sie überliefert ist, löste oder gar stellte. An der Mög- 
lichkeit der Lösung wird man nicht zweifeln. Schon Thymaridas 
hatte (S. 158) Gleichungen ersten Grades mit mehreren Unbekannten 
von einer gewissen Form lösen gelehrt, und Euklid dürfte, seiner 
Gewohnheit nach alles an Linien versinnlichend, gesagt haben, wenn 
man die Last des Maulesels durch eine Linie Ä darstellt, so wird, 
wenn die Längeneinheit abgeschnitten ist, Ä— l als übrige Last der 
bereits um die Einheit vergrößerten Last des Esels gleich sein; die 
ursprüngliche Last des Esels war also A — 2, oder um 2 geringer 
als die des Maultiers. Nimmt man zu A noch eine Längeneinheit 
hinzu, so ist ^ + 1 doppelt so groß wie das um die Einheit ver- 
minderte ^ — 2, oder wie -4 — 3, d. h. A+ l und 2-4 — 6 sind 
gleiche Längen; daraus folgt A + 7 ^ A + A und A ^ 7 nebst 
^ — 2 = 5. Solche Schlüsse, sagen wir, waren Euklid vollständig 
angemessen, und die Durchführung von Satz 11. des U. Buches der 
Elemente, die wir (S. 264) als Probe vorgenommen haben, dürfte 
jedem Zweifel in dieser Beziehung begegnen. Ein ganz andres ist es, 
ob die epigrammatische Form der Bätselfrage von Euklid herstamme. 
Ähnliche Fragen werden uns wiederholt begegnen, teilweise auch auf 
alte Quellen zurückgeführt. Jedenfalls dient die eine Aufgabe der 
anderen zur Bestätigung, oder zur vernichtenden Kritik. Ist die eine 
echt, dann kann auch die andere echt sein; ist die eine verhältnis- 
mäßig späte Unterschiebung unter den Namen eines Verfassers, der 
weniger als Verfasser, denn als Vertreter mathematischer Wissenschaft 
gemeint ist, so daß euklidisches Problem nur heißen soll: Problem, 
wie es Euklid zu lösen imstande war, dann dürfte das gleiche auch 
für die andere Aufgabe gelten. Wir müssen uns enthalten eine Ent- 
scheidung zu treffen, zu welcher dem Mathematiker so gut wie keine 
bestimmenden Gründe vorliegen. Nur die vollständige Verschiedenheit 
des Epigrammes von allen sonstigen euklidischen Schriften lassen wir 
als Gegengrund gegen die Echtheit nicht gelten. Ein Gedichtchen 
ist nun einmal keine Abhandlung. Beide müssen voneinander ab- 
weichen, und daß es dem Ernste des Mathematikers nicht widerspricht, 
auch einmal an die Scherzform der Poesie sich zu wagen, haben Bei- 
spiele aller Zeiten bewiesen. Zudem würde dieser Gegengrund vollends 
schwinden, wenn man zu der eben durch ein Wort angedeuteten Auf- 
fassung sich bekennen wollte, Euklid habe die Aufgabe nicht gestellt, 
sondern gelöst, und sie sei deshalb unter seinem Namen bekannt geblieben. 



Die übrigen Schriften des Euklid. 287 

Proklus berichtet*) noch von einer weiteren geometrischen Auf- 
gabensammlung; welche Euklid yerfaßte und welche den Namen des 
Buches von der Teilung der Figuren, tcbqI SiaiQBöearif ßcßkCov, 
führte^). Bis in die zweite Hälfte des XVI. S. war diese Schrift, 
abgesehen von den Auszügen aus derselben, von denen man nicht 
wußte, daß sie daher stammten, für das Abendland verschollen. Da 
fand John Dee um 1563 eine arabische Schrift gleichen Titels, welche 
er, wiewohl Mohammed Bagdadinus (so lautet der Name in der 
uns allein bekannten latinisierten Form) als Verfasser genannt war, 
far euklidisch hielt, und deren lateinische Übersetzung er anfertigte, 
die zuerst 1570 durch Dee in Gemeinschaft mit Commandino heraus- 
gegeben wurde, und die alsdann in die Oregorysche Euklidausgabe 
von 1702 Aufiiahme fand. Dees Vermutung hat an Wahrscheinlich- 
keit gewonnen, seit Woepcke in Paris ein zweites arabisches Bruch- 
stück auffand, welches mit dem Deeschen Manuskripte wenn auch 
nicht wörtlich doch dem Wesen nach übereinstimmend, namentlich 
eine Lücke jenes ersten Textes ergänzte. Proklus erwähnt nämlich 
ausdrücklich Sätze über die Teilung des Kreises, und diese fehlten in 
dem Deeschen, fanden sich in dem Woepckeschen Bruchstücke. Nimmt 
man hinzu, daß in letzterem Euklid als Verfasser geradezu genannt 
ist, so wird es fast zur Gewißheit, daß hier eine Bearbeitung des 
euklidischen Textes vorliegt Eine wörtliche Übersetzung anzunehmen 
hindern einige vorkommende mathematische Unrichtigkeiten, die einem 
Euklid nicht wohl entstammen können'). Einige Beispiele der uns 
erhaltenen Aufgaben sind folgende. Das Dreieck wie das Viereck 
werden durch eine einer gegebenen Geraden parallele Linie nach ge- 
gebenem Verhältnisse geteilt. Für das Fünfeck ist die Aufgabe nicht 
ganz so allgemein gestellt, aber immerhin wird die Teilung desselben 
nach gegebenem Verhältnisse verlangt, sei es von einem Punkte 
einer Fünfecksseite aus, sei es durch eine zu einer Fünfecksseite unter 
gewissen Voraussetzungen parallele Gerade. Endlich schließt die 
pariser Handschrift, wie bemerkt, die Aufgaben ein, eine von einem 
Kreisbogen und zwei einen Winkel bildenden Geraden gebildete Figur 
durch eine Gerade in zwei gleiche Teile zu teilen, und von einem 
gegebenen Kreise einen bestimmten Teil abzuschneiden, Aufgaben, 
zu deren Lösung ein ziemlicher Grad geometrischer Gewandtheit 



*) Proklus (ed. Friedlein) pag. 69 und 144. •) Vgl. Gregory in der 
Vorrede zu Beinez Euklidauagabe. Woepcke im Journal Asiatique far Sep- 
tember und Oktober 1851 und ganz besonders Ofterdinger, Beiträge zur Wie- 
derherstellung der Schrift des Euklid über die Theilung der Figuren. Ulm 1868. 
") Das bemerkte bereits Savilius, PraelecHones tresdeeim in principium EU- 
mentorum Euclidis. Oxford 1621, pag. 17. 




288 18- Kapitel. 

erforderlich ist, wenn auch die Grundlage derselben durchaus ele- 
mentarer Natur bleibt. Die Figur A B rd z. B. (Fig. 43) wird, wenn 

E die Mitte der Sehne B-J be- 
zeichnet, offenbar durch die ge- 
brochene Linie AEF halbiert. 
Wird alsdann j^Z parallel zxx AF 
gezogen, so haben die Dreiecke 
AZr und AET gleichen Inhalt, 
und mithin halbiert auch die Ge- 
rade rZ unsere Figur. 

Einige andere Schriften des 
Euklid können als die geistige Fort- 
setzung seiner Porismen betrachtet 
werden, indem sie sich zur höheren 
Mathematik ihrer Zeit ordnen lassen: Vier Bücher über die Kegel- 
schnitte und zwei Bücher über die Örter auf der Oberfläche. 
Das letztgenannte Werk, die rönoi Ttgbg iiCKpdvetav, hat als Spur 
außer seinem Titel nur vier Lemmen bei Pappus hinterlassen^). Wenn 
man daher gemeint hat, Euklid habe in diesen Örtem auf der Ober- 
fläche Umdrehungsflächen zweiten Ghrades behandelt *), so ist diese 
Vermutung nur mit äußerster Vorsicht zu wiederholen. Größere 
Wahrscheinlichkeit hat für uns die Auffassung'), jene Örter beträfen 
Kurven auf Zylinderflächen, vielleicht auch auf Kegelflächen. 

Das Werk über die Kegelschnitte ist gleichfalls bei Pappus er- 
wähnt, welcher sogar behauptet, die vier ersten Bücher des ApoUonius 
stützten sich wesentlich auf diese Vorarbeit des Euklid*). Man wird 
dadurch leicht verleitet den Inhalt der Kegelschnitte des Euklid 
einigermaßen zu überschätzen und insbesondere einen Zusammenhang 
mit dem 44. Satze des I. Buches, dem 28. und 29. Satze des VI. Buches 
der Elemente zu vermuten, der doch wohl nicht stattfindet. Wir 
haben diese Sätze (S. 262 und 266) schon erwähnt, wir haben vorher 
(S. 171) angekündigt, wir würden bei Gelegenheit der euklidischen 
Geometrie auf die Wörter Parabel, Ellipse, Hyperbel und deren 
Bedeutung eingehen, wir müssen jetzt diese Zusage einlösen. Wir 
nehmen dabei zur größeren Einfachheit der Betrachtung an, daß die 
Parallelogramme, von welchen in jenen drei Sätzen der Elemente die 
Bede ist, immer Rechtecke seien; bei schiefwinkligen Parallelogrammen 
wird die Behandlung jener Aufgaben langwieriger, aber keineswegs 
wesentlich schwieriger. 

') PappTiB YR propos. 286 sqq. (ed. Hultach) pag. 1004 sqq. *) Chasles, 
Äpergu JUst, 278. (Deutsch: 272.) *) Heiberg, Euklidstadien S. 81—83. 

^ PappaB VU Prooemium (ed. Hnltsch) pag. 672. 



Die übrigen Schriften des Euklid. 



289 



rsy 



\ 



^ 
^ 



B ^ 



Vig. 44. 



Es sei (Fig. 44) AE^p eine gegebene Länge senkrecht zu AS 
aufgetragen; ist nun femer AT gegeben, so gibt es immer einen ein- 
zigen Punkt ^y welcher zur Bildung des RecljLteckB ABZ^ führt, 
das einen bekannten Flächenraum, näm- 
lich den des Quadrates über AT, oder 
über der der AT gleichen ^E, besitzt. 
Wählt man umgekehrt bei bekanntem 
AB'^p auf der Geraden A S einen be- 
liebigen Punkt ^, so gibt es senkrecht 
über und unter ^ die Punkte E, E\ 
welche das Quadrat von z/£ {/^E') 
dem Rechtecke aus p und Ad gleich 
werden lassen. Werden verschiedene Punkte J gewählt, so nimmt 
auch E verschiedene Lagen an, aber immer ist das an ^^ angelegte, 
naQccßaXX6(i€vov , Rechteck dem Quadrate über ^fE genau gleich. 
Nennen wir nach heutigem Brauche Ad ^ x, dE = y, so spricht 
sich die letzte Bemerkung symbolisch y^=^px aus, d. h. der geome- 
trische Ort von Ey wenn wir einen solchen durch das Fortrücken 
von J auf AS erzeugt denken, ist eine Parabel. Da bei einer 
solcheli Anlegung (Tcagafiokif) das Produkt zweier Faktoren dem zweier 
anderer gleichgesetzt ist, so kann man dieselbe auch zur Division 
(fiBQKJiiög) einer Zahl durch eine andere verwenden, und in der Tat 
definiert sie ein alter Scholiast zum VI. Buche der Euklidischen 
Elemente geradezu in dieser Weise ^). 

Außer dem AB ^^p sei 
(Fig. 46) auf der dazu senk- | 
rechtend S ein Stück AA^a 
bekannt, so ist ABKA ein 
durchaus gegebenes Rechteck, 
welchem jedes andere Recht- 
eck ähnlich ist, dessen B gegen- 
überliegende Winkelspitze H 
auf der Diagonale BA des 
erstgenannten Rechtecks sich 
befindet. Ist nun wieder ein 
Flächenraum — das Quadrat über AF oder JE — gegeben, so wird 
es einen einzigen Punkt H der BA geben, mit dessen Hilfe das Recht- 
eck AJH& gleich jenem Flächenraum wird, oder mit anderen 

*) Heibergs Euklidsusgabe Bd. Y, 347 lin. 20 TeagaßoXi} nagä tolg na^ri- 
luttmolg Xiyerai {> iiSQiaiiog' naQußaXstv yccQ ägid'nbv nagcc Scgi^iiov iaxi th 
lugiöai xbv \Liilova hg xbv ilaxtova i]roi dd^ai, nocdnig 6 iXatTcav nsQiix^^^ 
vnb Tov luiiovog. 

Cautob, Geftchichte Abt Mathematik I. 3. Aufl. 19 




Flg. 4B. 



290 



13. Kapitel. 



Worten, welcher es möglicli macht, daß das an AB angelegte Recht- 
eck außer dem Teile A0 von AB^ welchen es mit dem dem Qua- 
drate von AT gleichen Flächenraume in Anspruch nimmt, noch ein 
Stückchen 0B übrig läßt, ikkslTCBi, über welchem das dem Rechtecke 
ABKA ähnliche kleine Rechteck &BZH steht. Denken wir uns 
auch hier die Aufgabe umgekehrt, so wird zu jedem Punkte A ein 
Punkt E senkrecht über ihm, ein Punkt E' senkrecht unter ihm ge- 
funden werden können, so daß das Quadrat von AE dem jetzt be- 
kannten Rechtecke AAHQ, dessen Eckpunkt H auf der Diagonale 
BA des vollständig gegebenen Rechtecks ABKA sich befindet, gleich 
sei. Auch hier ist der symbolische Ausdruck übersichtlicher. Ist 
nämlich 0B^ a - Py wo a eine Zahl bedeutet, so muß QH^a-a 

sein, und die Fläche ®BZH ist 
== a' • ap. Mit Hilfe von AA = x, 
AE = y werden wir also schi-ei- 
.ben y^ =- px — a^ ' ap, d. h. der 
geometrische Ort von JS, wenn 
wir einen solchen durch das 
Wechseln der Lage von A er- 
zeugt denken, ist eine Ellipse. 
Entsprechen (Fig. 46) die 
griechischen sowohl als die latei- 
nischen Buchstaben denen des 
vorigen Falles mit dem unter- 
schiede, daß AA^a jetzt auf 
der jenseitigen Verlängerung von 
AS aufgetragen, im übrigen aber der Punkt H wieder so gewählt 
wird, daß er auf der verlängerten Diagonale AB des Rechtecks ABKA 
aus den Seiten a und p liegt, daß also die Rechtecke ABKA und 
0BZH einander ähnlich sind, und das Rechteck AAH& denselben 
Flächenraum besitzt, wie das Quadrat über AT oder AEy so ist dabei 
die Forderung erfüllt, daß das vji AB angelegte Rechteck, um den 
ihm zugewiesenen Flächenraum zu erlangen, über AB hinausreicht, 
{)naQßikkeiy und zwar mit einem dem gegebenen Rechtecke ABKA 
ähnlichen Rechtecke. Es ist fast überflüssig aufs neue hervorzuheben, 
daß man auch diese Aufgabe so umzukehren imstande ist, daß nicht 
mehr H sondern E, beziehungsweise £', gesucht werden und die 
Gleichung y* =« jpa; -j- a* • ap sich erfüllen soll. Der geometrische Ort 
von Ej wenn wir einen solchen durch Wechsel der Lage von A er- 
zeugt denken, ist eine Hyperbel. 

Die Dinge, welche wir hier auseinandergesetzt haben, lassen sich 
in größter Kürze in die jetzt verständliche Ausdrucksweise zusammen- 



^ ^[ ^ ^ 

r ^V^f 

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JT 

Vig. 46. 



Die übrigen Schriften des Euklid. 291 

fassen, ,dafi es drei geometrische Aufgaben der Flächenanlegung gebe, 
sämtlich pythagoräischen Ursprunges, sämtlich in Euklids Elementen 
aufbewahrt, bei deren Ausspruch die drei Zeitworter Yorkommen, 
welche den Kamen der Parabel, Ellipse, Hyperbel zugrunde liegen. 
Bei ümkehrung dieser Aufgaben, eine ümkehrung aber, welche in 
den euklidischen Elementen nicht vorkommt, würden als geometrische 
Örter eben jene Kurven entstehen müssen. 

Jetzt sind wir imstande die Fragen genauer zu stellen, um deren 
Beantwortung willen wir gerade hier auf die Aufgaben pjthagoräischer 
Flächenanlegung näher einzugehen veranlaßt waren. Hat Euklid, von 
dem wir wissen, daß er über Kegelschnitte schrieb, die ümkehrung 
jener Aufgaben, für die der Natur der in ihnen vorkommenden Kurven 
nach in den Elementen kein Platz war, überhaupt gekannt? Haben 
schon vor Euklid die Pythagoräer das Auftreten dieser Kurven und 
ihre Eigenschaften bemerkt, die freilich nicht in Form der drei 
Gleichungen, deren wir uns bedienten, um kürzer sein zu dürfen, aber 
in einem geometrischen Wortlaute sehr wohl von einem Griechen ver- 
standen werden konnten? Hat EukUd erkannt, daß diese in der 
Ebene erzeugten Kurven dieselben seien, welche auf dem Mantel 
geschnittener Kegel entstehen? 

Man hat diese Fragen verschiedentlich beantwortet^). Uns 
scheinen sie insgesamt verneint werden zu müssen. Um mit der 
letzten anzufangen, so hat Euklid die Identifikation der Kurven von 
den genannten Eigenschafben, die sich auf Flächenanlegung bezogen, 
mit Kegelschnitten keinesfalls gekannt, weil nach des Pappus aus- 
drücklichem Zeugnisse Apollonius erst diese doppelte Entstehungs- 
weise entdeckte'). Die Bekanntschaft der Pjthagoiäer mit jenen 
Kurven werden wir gleichfalls leugnen dürfen, wenn wir nur zu be- 
gründen vermögen, daß auch die erste Frage nicht zu bejahen ist, 
daß vielmehr Euklid, als er die Elemente schrieb, von jener Umkehr, 
von den dabei entstehenden krummen Linien, ganz abgesehen von 
ihrer Übereinstimmung mit Kegelschnitten, nichts wußte. Das scheint 
uns daraus zu schließen gestattet, weil er sonst in den Elementen 
die drei Aufgaben, welche schon um ihres gemeinsamen Ursprungs 
bei den Pythagoräem willen bis zu einem gewissen Grade zusammen- 
gehörten, wenn sie eine weitere Zusammengehörigkeit dadurch an den 
Tag gelegt hätten, daß sie alle drei zu eigentümlichen Kurven führten, 
mutmaßlich nicht getrennt hätte. 

^) Ffir die Bejahung Arneth, Geschiclite der reinen Mathematik (Stutt- 
gart 1852) S. 92—93, an dessen Darstellung wir uns hier vielfach anlehnten 
ohne seine Folgerungen zu teilen und ganz besonders Zeuthen, Die Lehre von 
den Kegelschnitten im Alterthum. *) Pappus', VII Prooemium (ed. Hultsch) 67i. 

19* 



292 18. Kapitel. 

Es ist wohl richtig, daß die Sätze 28. und 29. des VI. Buches 
erst behandelt werden konnten, wo der Begriff der Ähnlichkeit be- 
kannt war; es ist eben so richtig, daB Satz 44. des I. Buches schon 
vor dem VI. Buche Verwertung fand; aber Euklid war nicht der 
Mann, dem eine kleine Umformung dieses 44. Satzes des I. Buches 
sonderliche Mühe verursacht hätte, so daß er den Sinn desselben in 
anderem Wortlaute im VI. Buche neuerdings neben den verwandten 
Aufgaben wiederholen konnte, wie er es mit dem goldenen Schnitte 
gemacht hat, von dem bei der Übersicht der Elemente die Rede war. 
Euklid lehrte ihn als 11. Satz des IL Buches; er wandte ihn im 
10. Satze des IV. Buches an; er brachte ihn um des Zusammen- 
hanges willen im 1. Satze des XIII. Buches in anderer Form noch 
einmal. Das Gleiche wäre für Satz 44. des I. Buches zu erwarten, 
wenn der Verfasser der Elemente die Parabel, die Ellipse, die Hyperbel 
als Kurven in der Ebene gekannt hätte. Daß sie als solche auch in 
den euklidischen Büchern von den Kegelschnitten nicht vorkommen 
konnten, ist durch den Titel jener Bücher festgestellt, und so scheint 
unser nach allen Seiten verneinendes Urteil auf ziemlich sicheren 
Füßen zu ruhen. 

Wenn wir so ausgeschlossen haben, was in den vier BQchem der 
Kegelschnitte nach unserem Dafürhalten nicht gestanden haben kann, 
so wissen wir doch von mancherlei Dingen, die dort ihren Platz 
finden mußten. Vor allem werden dort diejenigen Dinge gestanden 
haben, welche Menächmus schon kannte, insbesondere werden die 
Asymptoten vorgekommen sein, mit deren Eigenschaften Menächmus 
vertraut war. Vorgekommen wird auch sein, was in einer Stelle 
der Phaenomena wiederholt ist, daß der Schnitt, welcher einen Kegel 
oder einen Zylinder nicht parallel zur Basis (/ti) staga tijv ßaöiv) 
treffe, der Schnitt eines spitzwinkligen Kegels (vergl. S. 244) sei, 
welcher einem länglichen Schilde, Thyreos gleiche. Offenbar ist 
dieser Satz richtig für den Zylinderschnitt, nur bedingt richtig für 
den des Kegels, wenn nämlich der Schnitt beide Kegelseitön triff!;. 
Die Veimutung, Thyreos sei der älteste Name der Ellipse gewesen, 
wiederholen wir mit allem Vorbehalte^). Dafür spricht allerdings die 
wiederholte Anwendung des Namens bei Proklos ^). Ob Anwendungen 
der Kegelschnitte auf die Verdoppelung des Würfels bei Euklid ge- 
lehrt wurden, ist fraglich. Es wäre auffallend, wenn er an so wich- 



*) Sie rührt von Heiberg her, welcher auch auf die wichtige Stelle der 
Phaenomena zuerst aufmerksam machte. Vgl. Heiberg, Euklidstudien S. 88. 
■) Proklus (ed. Friedlein) pag. 103 lin. 6, pag. 111 lin. 6 und besonders 
pag. 126 lin. 19 sqq. Vgl. L. Majer, Proklos über die Definitionen bei Euklid. 
Stuttgart 1881. S. 12, Note 1. 



Die übrigen Schriften des Euklid. 293 

tigen älteren Dingen vorübergegangen wäre; es wäre aufMlender, wenn 
er sich dabei aufhielt nnd weder Eratosthenes noch Eutokius in ihrem 
historischen Berichte über das delische Problem den Namen des Euklid 
genannt hatten; von der auffallendsten Erscheinung zu schweigen, die 
darin wieder bestände, wenn Euklid sich keiner einzigen der antiken 
höheren Aufgaben zugewandt hätte, er der mitten in seiner Zeit lebend 
wie kaum je ein anderer ihre Gesamtergebnisse in sich vereinigte. 

Wir haben eine einzelne Stelle der Phaenomena^), einer astro- 
nomischen Schrift Euklids, angeführt Wichtiger ist diese Schrift 
noch dadurch, daß in ihr Sätze über die Eugellehre, die sogenannte 
Sphärik, gesammelt sind, welche zeigen, welchen Grad der Ent- 
wicklung dieser Teil der Stereometrie damals schon erreicht hatte. 
Euklid weiß, daß jede Ebene die Kugel in einem Kreise schneidet. 
Er weiß, was allerdings auch ein kurz vor ihm lebender Astronom, 
Autolykus von Pitane'), schon ähnlich aussprach, daß Kugelkreise, 
die sich halbieren, größte Kreise sind. Er kennt Eigenschaften von 
Kreisen, welche durch die Pole von anderen hindurchgehen. Er 
weiß, daß, wenn ein größter Kngelkreis zwei gleiche Parallelkreise 
schief schneidet, die Abschnitte der letzteren in umgekehrter Ordnung 
einander gleich sind usw. Die Frage ist von großem Belang, woher 
diese Kenntnisse des Autolykus, des Euklid stammen mögen? Man 
hat die Vermutung gewagt'), bedeutende Anfäil)ge einer Sphärik 
gingen bis auf Eudoxus zurück. Wir wollen keinen Widerspruch 
erheben, bemerken aber, daß eigentliche Beweisgründe ftir diese Ver- 
mutung nicht vorhanden sind. 

Von dem Gegensatze, welcher für die Griechen zwischen Geo- 
metrie und Geodäsie obwaltet, war (S. 252 und 271) die Rede. In 
Dikaearch haben wir (S. 257), mag er von der Dioptra Gebrauch 
gemacht haben oder nicht, einen wirklichen Geodäten kennen gelernt. 
Auch von Euklid ist uns Feldmesserisches in einer sogenannten 
Optik*) erhalten, und über die vier Kapitel 19, 20, 21, 22, welche 



') Die Phaenomena sind griechisch herausgegeben von Gregory in seiner 
Euklidausgabe, deutsch von A. Nokk in einer Freiburger Programmbeilage von 
1850. Über die Echtheit der Phaenomena vgl. insbesondere A. Nokk in seiner 
Bruchsaler Programmbeilage von 1847 üeber die Sphärik des Theodosius S. 17 flg. 
Neueste Untersuchungen in Heibergs Euklidstudien. *) Die erhaltenen Schriften 
des Autolykus hat Fr. Hultsch herausgegeben. Leipzig 1886. ") Hultsch in 
der Vorrede zu Autolykus pag. XII mit Berufung auf Heiberg und P. Tannery. 
*) Der griechische Text abgedruckt in Heibergs Euklidstudien S. 100—102, 
eine deutsche Überarbeitung bei H. Weissenborn, Gerbert. Berlin 1888. S. 96 
bis 98. Eine vollständige Ausgabe mit alter lateinischer Übersetzung, die sicher- 
lich schon im XIV. Jahrh. vorhanden war, hat Heiberg im 7. Bande von Euklids 
Werken (Leipzig 1895) besorgt. 



294 



13. Kapitel. 



dadurch von hohem Interesse geworden sind^ müssen wir berichten. 
Im 19. Kapitel ist die Höhemessung mittels des Schattens gelehrt, 
welche wir (S. 144) als die des Thaies beschrieben haben. Im 
20. Kapitel wird (Fig. 47) zur Messung der Höhe -^5 ein Spiegel 




z ö 




Flg. 47. 



Fig. 48. 




Flg. 49. 



jdZ benutzt, der auf der Erde liegt. Der Messende sieht, wenn F 
sein Auge ist, den Höhepimkt -^ in JEf ; wird sodann ^JEf, 5JEf, ÖF 
gemessen, so läBt AB vermöge der Ähnlichkeit der Dreiecke ABH 
und FBH sich leicht berechnen. Ähnlichkeit von Dreiecken führt 
im 21. Kapitel zur Messung einer Tiefe AA^ indem (Fig. 48) der 
Messende so weit sich entfernt, daß sein Auge 
E den Tiei^unkt A an dem Rande B des 
Brunnens, oder was es nun sein mag, vorüber 
erblickt Endlich wird wieder mittels Dreiecks- 
ähnlichkeit im 22. Kapitel eine entfernte Länge 
gemessen (Fig. 49). Die AE wird der zu 
messenden AB parallel gezogen (vielleicht auch 
vor die Augen gehalten?), so daß FAA und 
FEB Sehstrahlen sind, welche in A und B eintreffen. Alsdann ist 
FAiFA^AE: AB, 

Damit sind die hier genauer zu behandelnden Schriften des 
Euklid erschöpft. Ihm zugeschriebene Bücher über Musik nennen 
wir nur im vorübergehen; wir haben S. 165 ein Bruchstück der- 
selben erwähnt, welches von einem arithmetischen Satze des Archytas 
handelte. Überdies sind verschiedene Bruchstücke mechanischen 
Inhaltes^) teils in arabischer Sprache, teils in mittelalterlicher latei- 
nischer Übersetzung erhalten, für deren Echtheit oder ünechtheit wir 
uns nicht zu entscheiden brauchen, da sie dem Gegenstande unserer 
Untersuchungen doch nur sehr entfernt verwandt sind. So viel scheint 
gesichert, daß die Stücke in letzter Linie dem Griechischen ent- 
stammen, und daß sie einen tüchtigen Geometer der klassischen Zeit 
zum Verfasser hatten, der die Lehre vom Hebel beherrschte. 



*) P. Dnhem, Las Origines de la Statique I, 62—79. 



Archimedes und dessen geometrische Leistungen. 295 

14. Kapitel. 
Arehimedes und dessen geometrische Leistungen. 

Wir stehen an der Schilderang des Schriftstellers, welcher der 
Zeit nach unmittelbar auf Euklid folgt, dem Gehalte nach dagegen 
allen den Vorrang abgewann, die im Altertum mit Mathematik sich 
beschäftigt haben. Wir brauchen nach dieser in wenigen Worten 
enthaltenen Würdigung wohl kaum zu sagen, wen wir meinen. Archi- 
med es ist einer der wenigen Mathematiker des Altertums, welchen 
die Nachwelt zu allen Zeiten nach Gebühr ihre dankbare Erinnerung 
zuwandte. Er hat sogar einen eigenen Biographen in Heraklides 
gefunden, einem Schriftsteller Yon nicht näher zu bestimmender 
Lebenszeit, als daB er jedenfalls vor das VI. S. zu setzen ist, da 
Eutokios aus ihm geschöpft hat^), es sei denn, man wolle in Hera- 
klides einen Freund des Archimedes wiedererkennen, der diesen Namen 
führte, und von welchem in dem Buche über Schneckenlinien wieder- 
holt die Rede ist*). Sei dem, wie es wolle; das vermutlich wichtige 
Quellen werk über das Leben des Archimedes ist uns verloren, und 
so muß, was über seine persönlichen Verhältnisse zu sagen ist, aus 
den verschiedensten SchriftsteUem zusammengesucht werden*). Archi- 
med wurde in Syrakus wahrscheinlich 287 v. Chr. geboren. Eine 
Stelle aus einer Schrift des Archimedes Oeidia dh xov ' AxowtarQos% 
der man keinen guten Sinn abgewinnen konnte, und die man deshalb 
für verderbt hält, hat zur Vermutung*) geführt, es habe ursprünglich 
06idLa tov &ILOV TcatQÖs geheißen, und der Name von Archimedes' 
Vater sei demnach Pheidias gewesen, derselbe habe sich überdies 
als Astronom verdient gemacht. Allerdings ist damit der Zweifel 
nicht gehoben, ob Archimed, wie eine Nachricht meldet, dem Könige 
Hieron verwandt, ob er, nach einer anderen Nachricht, von niederer 
Geburt war. Sein nahes fast freundschaftliches Verhältnis zu dem 
Könige steht jedenfalls außer Zweifel. Wer die Lehrer des Archimed 
gewesen sind, ist nicht bekannt. So viel gibt Diodor an*), und ein 



^) Archimedes (ed. Heiberg) 111, 266 zitiert Entokius: 'HgaxXddrig iv 
TW 'Aqx'M^ovs ßl^. *) Archimedes (ed. Heiberg) ü, 2 und 6. ') Die Hanpt- 
(juellen sind Plutarch (vita Marcelli), Livius XXV, Cicero (Tuscnlan. 
und Verrin.), Diodor, Silius Italicus, Valerius Maximus, Tzetzes. 
Die neuesten Zusammenstellungen in Bunte, Ueber Archimedes (Programm der 
Realschule zu Leer, Ostern 1877) und in der Eopenhagner Doktordissertation 
von 1879: J. L. Heiberg, Quaestiones Archimedeae. *) Archimedes 
(ed. Heiberg) H, 248 lin. 8. '^) F. Blas s in den Astronomischen Nachrichten 
CIV, 256. •) Diodor V, 87. 



296 14. Kapitel. 

unbekannter arabischer Schriftsteller bestätigt es, daß er in Ägypten 
war, er wird daher jedenfalls zu den Alexandrinern in Beziehung ge- 
treten sein. Auch von einem Aufenthalte Archimeds in Spanien wird 
erzählt. Nach Syrakus zurückgekehrt lebte er dort der Wissenschaft, 
deren praktische Anwendung er jedoch so wenig verschmähte, daß 
gerade seine Leistungen in der Mechanik zu denen gehören, welche 
ihn am berühmtesten gemacht haben. Vor allem waren die Dienste, 
die er seiner Vaterstadt Syrakus im Kriege gegen Rom leistete, ge- 
eignet, seinem Namen Glanz zu verleihen. Die Bemühungen des 
Archimed waren es ganz allein, so erzählt Livius, welche die Angriffe 
des Marcellus auf die belagerte Stadt durch zwei Jahre vereitelten. 
Nur durch eine Überrumpelung von der Landseite aus gelang es 
212 V. Chr. Syrakus zu nehmen, und bei dieser Gelegenheit starb 
Archimed im Alter von 75 Jahren^), ein Opfer der Roheit eines 
römischen Soldaten, welcher ihn niedermachte, während er des Tumultes 
nicht achtend seine geometrischen Figuren in den Sand zeichnete. 
Ob er dabei die Worte aussprach: stagä x€q)alav xal ^ij xagä yga^- 
(läv, jener möge lieber den Kopf als die Linien ihm verletzen, oder 
nur um Schonung seiner Figuren bat, axötJrrj^i, & ävd'QCDTCs^ rov 
äiayQd^fucTÖg fiov, wie ein anderer Berichterstatter in jedenfalls un- 
richtigem Dialekte ihn ausrufen läßt'), ist ziemlich gleichgültig. Mar- 
cellus, der römische Feldherr, empfand große Trauer über den Tod 
des berühmten Gegners und ließ ihm ein Grabmal setzen mit einer 
mathematischen Figur als Inschrift, wie jener es einst selbst ange- 
ordnet hatte. Das Grabmal scheint indessen von Archimeds Lands^ 
leuten schmählich vernachlässigt worden zu sein, da Cicero, der es bei 
seinem Aufenthalte in Syrakus, wo er 75 v. Chr. als Quästor von 
Sizilien verweilte, aufsuchte, es nur mit Mühe unter dem über- 
wuchernden Gestrüppe entdeckte und an der Inschrift erkannte. Er 
ließ es darauf aufs neue instand setzen. 

Die Schriften Archimeds^) sind nur zum Teil auf uns gekommen 
und zudem nicht alle im reinen unverderbten griechischen Grund- 
texte. Die besterhalteneu tragen als besonderes Kennzeichen noch 
an sich, daß sie im dorischen Dialekte abgefaßt sind, wodurch sie 
auch sprachliche Wichtigkeit besitzen. Durch Vergleichung der 
Persönlichkeiten, welche in den einzelnen Schriften des Archimed 



^) Nach Tzetzes. Auf dieser Angabe beraht die Berechnung seines Ge- 
burtsjahres. ^ Die erste Redensart nach Zonaras, die zweite nach Tzetzes. 
") Die beste ältere Ausgabe des Textes und des Kommentars von Eutokius von 
Askalon, so viel davon vorhanden ist, war die von Tor eil i. Oxford 1792. Sie 
wurde weit überholt durch die Ausgabe von Heiberg in 8 Duodezbänden. 
Leipzig 1880 — 81. Die beste deutsche Übersetzung von Nizze. Stralsund 1824. 



Archimedes und dessen geometrische Leistungen. 297 

genannt sind^ nämlich des Eonon, des Zeuxippns, des Dositheus, 
des Königs Gelon, durch fernere Yergleichung der nicht allznseltenen 
Benutzung in späteren Schriften von Sätzen, welche in früheren be- 
wiesen worden waren, ist es gelungen folgende wahrscheinlich zu- 
treffende Anordnung der vorhandenen archimedischen Schriften nach 
ihrer Entstehungszeit zu erhalten: 1. Zwei Bücher vom Gleichgewichte 
der £benen, zwischen welche eine Abhandlung über die Quadratur 
der Parabel mitten eingeschoben ist 2. Zwei Bücher von der Kugel 
und Yon dem Zylinder. 3. Die Kreismessung. 4. Die Schnecken- 
linien oder Spiralen. 5. Das Buch von den Konoiden oder Sphäroiden. 
6. Die Sandeszahl. 7. Zwei Bücher von den schwimmenden Körpern. 
8. Wahlsätze. 

Es will nicht gut angehen wieder, wie wir es bei Euklid getan 
haben, den Inhalt dieser Schriften einzeln und der Reihe nach durch- 
zusprechen. Daß einer solchen Darstellung notwendigerweise die 
Übersichtlichkeit abgeht, wird der Leser gerade in den Euklid ge- 
widmeten Kapiteln bemerkt haben. Dort mußten wir aber diese 
sonst wesentliche Bedingung opfern, weil es darauf ankam zu zeigen, 
was alles unter dem Namen Elemente der Geometrie einbegriffen 
wurde. Eine ähnliche Notwendigkeit wird uns im 18. und 19. Kapitel 
noch zwingen, die für uns vielfach unzusammenhängenden Gegen- 
stände, die Herons großes feldmesserisches Werk behandelte, einzeln 
zu nennen. Archimed aber hat kein uns erhaltenes Sammelwerk ge- 
schrieben. Er verfaßte vorwiegend einzelne Abhandlungen, in denen 
er zumeist Neues, von ihm selbst Erdachtes mitteilte, und da wird es 
für die Würdigung der Größe der Entdeckungen sich als zweck- 
mäßiger empfehlen, die Gegenstände aus den einzelnen Abhandlungen 
herauszureißen und nach ihrem Inhalte zu neuen Gruppen zu ver- 
einigen. Wir werden zu reden haben von den Entdeckungen Archi- 
meds in der Geometrie der Ebene und des Raumes, in der Algebra 
und Arithmetik, endlich im Zahlenrechnen, wobei wir des griechischen 
Zahlenrechnens überhaupt gedenken müssen, wir werden auch nicht 
umhin können, seine mechanischen Leistungen ins Auge zu fassen. 

Vielleicht beginnen wir am besten mit einem geometrischen 
Spielwerke. Ein Metriker aus dem Jahre 500 etwa, Atilius Fortu- 
natianus, erzählt^) von dem loculus Archimedius. Ein elfen- 
beinernes Quadrat war in 14 Stücke von verschiedener vieleckiger 
Gestalt zerschnitten, und es handelte sich darum aus diesen Stücken 
das ursprüngliche Quadrat, aber auch sonst beliebige Figuren zu- 
sammenzulegen. Es bleibe dahingestellt, ob Archimed wirklich selbst 



*) Veteres Qrammatici (ed. PtitBcliius) pag. 2684. 



298 14. Kapitel. 

dieses Spiel erdachte^ oder ob man nur als archimedisch, d. h. als 
sehr schwierig bezeichnen wollte, die einzelnen Gestaltungen her- 
zustellen. 

Als archimedisch wird auch häufig die Definition genannt, die 
Gerade sei die kürzeste Entfernung zweier Punkte. Diese 
Behauptung ist richtig und unrichtig, je nachdem man den Nach- 
druck auf den Wortlaut des Satzes oder auf seine Eigenschaft als 
Definition legt. Archimed benutzt den Satz allerdings in seinen 
Büchern über Kugel und Zylinder, aber er beabsichtigt keineswegs 
durch ihn die Gerade zu erklären. Er nehme an, sagt er vielmehr 
ausdrücklich^), von den Linien, welche einerlei Endpunkte haben, sei 
die gerade Linie die kürzeste; er nehme femer an, von Linien in 
einer Ebene, die mit einerlei Endpunkten versehen nach einer Seite 
hin hohl seien, müsse die umschlossene die kürzere sein. 

Als geometrisch interessant bieten sich uns ferner einige Wahl- 
sätze. Das unter diesem Titel bekannte, aus 15 Sätzen der ebenen 
Geometrie bestehende Buch ist aus dem Arabischen ins Lateinische 
übertragen worden*). Daß es in der Form, wie wir es besitzen, 
keinenfalls von Archimed selbst herrühren kann, dessen Name im 
4. und 14. Satze genannt ist, während in anderen Sätzen andere 
Unzuträglichkeiten nicht zu verkennen sind, ist mit Recht bemerkt 
worden'). Einige Sätze scheinen uns gleichwohl archimedischen Ur- 
sprunges zu sein, unter welchen namentlich der 4., 5., 6., der 11., 
der 14., der 8. hier genannt seien. Satz 4. — 6. beschäftigen sich mit 

dem Arbelos (Fig. 50), einer 
in Gestalt eines Schusterkneifes 
gekrümmten Figur, bestehend 
aus einem Halbkreise, über dessen 
Durchmesser in zwei aneinander- 
stoßenden Abteilungen kleinere 
Halbkreise in das Linere des 
pj^ gQ umschließenden Halbkreises sich 

erstrecken. Daß Archimed sich 
mit dieöer Figur beschäftigt habe, ist einer Stelle des Pappus*) zu ent- 
nehmen, in welcher wenigstens von alten Untersuchungen über sie die 
Rede ist. Im 5. und im 6. Satze ist von dem gemeinsamen Durchschnitts- 
punkte der drei Höhen eines Dreiecks die Rede^). Der 11. Satz besagt. 




') Archimed (ed. Heiberg) I, 8—10, (ed. Nizze) 44. *) Liber assump- 
torum. Archimed (ed. Heiberg) II, 428—446, (ed. Nizze) 254—^62. ») Hei- 
berg, Quaestiones Archimedeae, 24. *) Pappus Buch IV, 19 (ed. Hultsch) 
Bd. I, pag. 208. ^) Archimed (ed. Heiberg) II, 484 und 436. 



Archimedea und dessen geometrische Leistongen. 



299 




daß wenn in einem Kreise zwei Sehnen sich senkrecht durchschneiden^ 
die Quadrate der vier so gebildeten Abschnitte zusammen dem Quadrate 
des Durchmessers gleich sein müssen. Der 14. Satz lehrt den Flächen- 
inhalt des Salinen messen, der Wogen- 
gestalt, wie mau den ausdrücklich als von 
Archimed herstammend bezeugten Namen 
vielleicht übersetzen darf^). Diese Figur 
entsteht (Fig. 51), wenn über und unter 
derselben Geraden als Richtung des Durch- 
messers Von demselben Mittelpunkte aus 
aber mit verschiedenen in beliebigem 
Verhältnisse zueinander stehenden Halb- 
messern Halbkreise beschrieben werden, 
zu welchen noch zwei Halbkreischen nach der Seite des großen Halb- 
kreises hin gerichtet über dem durch den nach der Jenseite sich 
wölbenden kleineren Halbkreis freigelassenen Stückchen des Durch- 
messers treten. Wird durch den Mittelpunkt der beiden erstgezeich- 
neten Halbkreise und senkrecht zu deren 
Durchmesser die Strecke AB gezeichnet, 
so ist der um dieselbe als Durchmesser 
beschriebene Kreis dem Salinon flächen- 
gleich. Der 8, Satz hat folgenden In- 
halt. Wenn (Fig. 52) eine willkürliche 
Sehne AB eines Kreises verlängert und 
die Verlängerung BF dem Halbmesser 
des Kreises gleich gemacht wird, wenn 
hiemächst F mit dem Mittelpunkte z/ des Kreises verbunden und 
diese Verbindungslinie bis zum abermaligen Durchschnitte des Kreises 
nach E verlängert wird, so ist der Bogen AE das Dreifache des 

*) Von adlog = das Schwanken des hohen Meeres? Heiberg in seiner 
Archimedausgabe II, 448 gibt die Ableitung aiXivov =* Eppich, mit dessen Blatt 
er in der Figur eine Ähnlichkeit erkennen will. Für diese Meinung fCLhrt 
P. Tanneiy (Bibliotheca Mathematica ä Folge I, 266. 1900) an, daß auf den 
Münzen von Selinunt Eppichblätter abgebildet seien, welche der archimedischen 
Figur ähneln. T. L. Heath (The works of Archimedes. Cambridge 1897. In- 
troduction pag. XXXIU) nimmt an, das Wort caXtvov sei erst in nacharchime- 
discher Zeit entstanden, als durch die römische Herrschaft lateinische Wörter in 
die Sprache Siziliens Eingang fanden, wie z. B. lihra zu XixQa wurde, mutuum zu 
pLOttov, carcer zu xa^xorpoi', arvina zu &Qßivri, patina zu ntctdvi\. Entsprechend 
sei cdUvov aus sdUnum^ das Salzfäßchen, entstanden. Silberne Salzfößchen waren 
als Familienerbstück schon zur Zeit der römischen Republik in jedem Haushalt 
Torhanden (Horaz Carmina ü, 16^ 18 und Livius XXYI, 86); die Salzfäßchen 
hatten aber einen der archimedischen Figur ähnlichen Durchschnitt, wenn man 
nach einem im British Museum Yorhandenen Exemplare urteilen darf. 




Pig. 58. 



300 14. Kapitel. 

Bogens BZ. Man ziehe EH parallel zu AB und die Halbmesser 
^B und JH, Der Parallelismus von AB und EH bringt <^ r= £ 
hervor; Gleichschenkligkeit von Dreiecken zeigt, daß ^ F^ BAT 
und ^E^H Ferner <^ r^H- 2^; = 2r = 25^r und ^BJH 
« 35-^ r, also arc. BH^AE^ 35 Z. 

Die beiden letzterwähnten Sätze haben, wie uns scheint, eine be- 
sondere Tragweite durch die Ziele, auf welche Archimed mit ihrer 
Hilfe hinsteuerte. Bei dem 8. Satze, glauben wir, dachte er an die 
zu vollziehende Dreiteilung des Bogens AE. Sie war vermöge 
seines Satzes gelungen, sobald man eine Sehne AB versuchsweise 
mittels Bewegungsgeometrie fand, deren Verlängerung bis zur Ver- 
bindungsgeraden von E mit dem Kreismittelpunkte ^ die Länge des 
Kreishalbmessers besaB. Die vorerwähnte Quadratur des Salinen im 
14. Satze wird wohl nicht minder richtig dahin aufzufassen sein, daß 
Archimed im Anschlüsse an die Arbeiten des Hippokrates von Chios 
geometrisch versuchte, den Flächeninhalt des Ejreises mit dem anderer 
Figuren in Gleichheit zu setzen. Nur war vielleicht die Absicht 
beider die entgegengesetzte. Hippokrates wollte zuverlässig aus den 
dem Kreise gleichen Figuren die Fläche des Kreises ermitteln. Ar- 
chimed beabsichtigte möglicherweise anderweitige krummlinig be- 
grenzte Figuren auf den als bekannt vorausgesetzten Kreis zurückzu- 
führen. 

Bekannt war ihm nämlich allerdings der Kreis durch seine 
Kreismessung. Diese merkwürdige Abhandlung ist nach ihrem 
geometrischen Gehalte wie mit Hinsicht auf die Geschichte des Zahlen- 
rechnens der höchsten Beachtung wert. Wir haben es fürs erste nur 
mit dem Geometrischen zu tun. Archimed geht davon aus, daß er 
beweist, der Kreis sei einem rechtwinkligen Dreiecke gleich, dessen 
eine Kathete die Länge des Halbmessers, die andere die des Kreis- 
umfangs besitzt. Wäre dieses Dreieck kleiner als der Kreis, so müßte 
irgend ein angebbarer Unterschied vorhanden sein, und es wäre mög- 
lich durch £inzeichnung eines Quadrates in den Kreis und fortgesetzte 
Halbierung der Bogen ein Vieleck zu erlangen, welches den Kreis 
bis auf gewisse kleine Abschnitte erfüllte, deren Summe endlich 
kleiner als jener Überschuß des Kreises über das Dreieck wäre. 
Nennt man etwa -BT, F, D die Inhalte des Kreises, des Vielecks, des 
Dreiecks, so wäre mithin Ä'>r>Z), zugleich aber U<P sofern 
U den Umfang des Vielecks, P die Kreisperipherie bedeutet, und zwar 
begründet sich diese letztere Ungleichung aus jener Annahme über 
die Gerade als kürzeste Entfernung zweier Punkte, von der oben die 
Rede war. Nun ist V gleich einem rechtwinkligen Dreiecke, welches 
als größere Kathete [7, als kleinere die Senkrechte h besitzt, die vom 



Arcliimedes und dessen geometrische Leistungen. 301 

Ereismittelpnnkte aus auf irgend eise Seite des Vielecks gefällt war, 
und die selbst kleiner als der Kreishalbmesser r sein muß. Mit 

anderen Worten V'=~y~' -^ ™ ~2~ "^^ wegen V>D auch 
U ' h> P • r, während jeder Faktor des größeren Produktes kleiner 
ist als ein ihm entsprechender Faktor des kleineren Produktes, und 
darin liegt ein Widerspruch. Zu einem ferneren Widerspruch fahrt 
auch die Annahme £* < D. Ausgehend von dem dem Kreise um- 
schriebenen Quadrate wird durch fortgesetzte Verdoppelung der 
Seitenzahl ein umschriebenes Vieleck gefunden werden können, dessen 
Inhalt V der Ungleichung JE" < F' < D genügen muß, während sein 
Umfang U' > P ist, und die Senkrechte h' vom Kreismittelpunkte 
auf die Seiten dieses Vielecks notwendig Ji ^ r sein muß. Trotzdem 

müßte hier —^ - < — — sein oder U' <C P und doch auch U' > P. 

r • P 
Es bleibt also nur die Annahme K^D^ -— übrig. Freilich hat 

man die an die Spitze gestellte Voraussetzung, es gebe eine Gerade 
von der Länge P, welche als Seite eines rechtwinkligen Dreiecks 
auftreten könne, bemängelt. Wir erinnern daran, daß Dinostratus die 
gleiche Annahme schon sich gestattet hatte (S. 247). Auch Eutokius 
nimmt Archimed gegen den angeführten Vorwui'f, welcher ihm damals 
schon gemacht worden war, in Schutz. Er habe nichts Unziemliches 
ausgesprochen. Die Kreislinie sei eine (xröße von bestimmter Ab- 
messung, der irgend eine Gerade gleich sein müsse und es sei keines- 
wegs unstatthaft; das Vorhandensein jener Geraden in einem Satze 
vorweg zu benutzen, noch bevor man sie finden gelehrt habe. Aller- 
dings ist nun diese Auffindung das nächste Problem und ihm geht 
jetzt Archimed rechnend zuleibe, nach einer Methode also, welche 
Euklid, wie wir (S. 271) besprochen haben, sich wahrscheinlich unter- 
sagt hätte, nicht geometrisch, sondern geodätisch. Archimed sucht 
zwei Grenzen, zwischen welche er das Verhältnis der Kreisperi- 
pherie P zum Durchmesser d einschließen will und findet 

P:d<3-J-:1 und P:rf>3}J:l. 

Wir bemerken, daß Archimed bei seinem früheren Beweise 

K =« —^ von den Quadraten ausging, welche dem Kreise ein- und 

umgeschrieben werden können, wie es (S. 272) Euklid im 12. Buche 
der Elemente getan hat um die Proportionalität von Kreisinhalt und 
Durchmesserquadrat festzustellen, wie es (S. 202) schon viel früher 
Antiphon getan hatte. Bei der Aufsuchung der Zahlengrenzen für 
das Verhältnis des Kreisumfanges zum Durchmesser ging Archimed 



302 



14. Eftpitel. 



dagegen von einem ganz anderen Versuche aus, welcher die gröBere 
Grenze ihm verschaffen sollte. Er benutzte dasjenige gleichseitige 
Dreieck; welches seine Spitze im Ereismittelpunkte besitzt, während 
die dritte dieser Spitze gegenüberliegende Seite Berührungslinie an 
den Kreis ist. Heißt die Seite dieses Dreiecks a, der Ereishalb- 



messer r. 



2r 



so ist leicht ersichtlich a = -= und r 

/3 



•7 
a 



= 1/3:1. Ar- 
chimed behauptet ohne weitere Begründung, es sei ^ ^ y > 265 : 153 



und wirklich ist r 



266\» 70225 



266\»^ 
168/ "^ 



23409 



= 3 



2 

^3409^ 



also 1/3 >|?^- Femer 




Fig. 63. 



ist a : -^ = 306 : 153. Die beiden Verhältnisse vereinigt geben folg- 
lieh (r + a) : - > 571 : 153. Nun kommt eine kleine geometrische 

Betrachtung. Wenn (Fig. 53) die j4^ den Winkel BAT halbiert, 
so ist JBiAF'^BJi^r, {AB + AF): Ar 

^ (BJ + ^r) : z/r oder {a + r):r^^i JF. 

Aus dieser Proportion folgt weiter ri/JF^ 

(^ + ») : Y > 571 : 153. Dieses Ergebnis zu 

nachheriger Benutzung aufsparend folgert Archi- 
med weiter r«:-^r«> 571«: 153* und (f + AF^) 
: AF^ > (57P + 163«) : 153» oder AA^:AF^> 

349450 : 153« und AA:AF> 591 ^ : 153. Auch diese Zahlen sind 
richtig gewählt, denn (591y)* = 349428JJ < 349450. Der Winkel 

/lAF wird durch, die AE halbiert. Dadurch gewinnt man neue 
Proportionen A J : AT =- J E : ET, dann {A^ + AF) : AT =■ 
(AE + Er) : Er und (AA + AF) : (AE + ET) = AT: ET, d. h. 
(r + AA) : AT — r : ET. Nun erinnern wir uns an 

r:^r> 571: 153 
nebst 

^zf:z/r> 591^:153. 

Die Vereinigung beider Verhältnisse gibt (r + AA) : ^/r> 1162-g-: 158 
oder auch 

r:j;r>1162y:153. 

Die gewonnenen Ergebnisse stellen wir übersichtlicher zusammen: 

r:Br> 265: 153 
r : Ar> 571 : 153 

r : Er> 1162-^ : 153. 



Archimedes und deasen geometriBche Leistungen. 303 

BF ist die halbe Sechsecksseite, z/JT die halbe Zwölfecksseite, ET 
die halbe Vierandzwanzigecksseite^ wenn immer die regelmäßigen dem 
Kreise umschriebenen Vielecke gemeint sind. Die Umfange U^, U^^ 
U^^ dieser Vielecke sind 

u;^i2Br, ü[^^2ABr, cr;^=485r 

und somit 

r:U^ > 265 : 1836 

r : U;^ > 571 : 3672 

r: tV4>1162|:7344. 

Archimed setzt nun das Verfahren mit Winkelhalbierung, Verbindung 
Yon Verhältnissen, Einsetzen von nahezu richtigen, aber immer etwas 
zu kleinen Quadratwurzelwerten fort bis zu 

r: [7,; > 4673^: 29376 

und schließt daraus umgekehrt 

U;^ : d < 14688 : 4673^ < 3 }- : 1, 

da aber P< U^ ist, so muß um so sicherer 

P:d<3~:r 
sein. 

Nun kommt die entgegengesetzte Aufgabe, eine untere Grenze 
für das Verhältnis des Kreisumfanges zum Durchmesser zu finden an 
die Reihe, und hierzu nimmt Archimed die dem Kreise eingeschriebenen 
Vielecke zu Hilfe, indem er, wie Antiphon bei einem seiner Versuche, 
das eingeschriebene gleichseitige Dreieck zum Ausgange wählt, dessen 
Seite sich zum Halbmesser verhält wie 1/3:1, d. h. < 1351 : 780. 
Winkelhalbierungen usw. fiihren hier zu 

U;^ : d > 6336 : 2017^ > 3^5 : 1 

und um so gewisser zu 

P:rf>3^J:l. 

Nächst dem Kreise beschäftigte sich Archimed bei seinen geo- 
metrischen Untersuchungen mit den Kegelschnitten. Man hat wohl 
angenommen, Archimed habe eine uns verloren gegangene Schrift 
Elemente der Kegelschnitte, 6xoi%Bla xovtxa, verfaßt. Man hat 
sich dabei auf zwei Stellen gestützt, die eine in der Abhandlung über 
die Quadratur der Parabel Satz 3.*), die andere in dem Buch von 



*) Archimed (ed. Heiberg) ü, 800, (ed. Nizze) IS. 



304 U. Kapitel. 

den Konoiden und Sphäroiden Satz 4.^), in welchen Archimed auf ein 
solches Werk verweist, ohne einen Verfasser zu nennen. Das tat, 
sagt man, Archimed nur, wo er auf eigene Arbeiten zurückgriff. So 
richtig diese Behauptung im allgemeinen ist, so erinnern wir uns doch 
einer Ausnahme. Archimed beruft sich, wie wir (S. 261) hervorge- 
hoben haben, im 6. Satze des ersten Buches über Kugel und Zylinder^) 
auf die Elemente und meint damit den Elementenschriftsteller, der 
vorzugsweise diesen Namen geführt hat, Euklid. Möglich, daß er 
denselben im Sinne hatte, als er von Elementen der Kegelschnitte 
sprach, da Euklid bekanntlich auch über diesen Gegenstand ein Werk 
verfaßt hat'). Vielleicht ist eine kleine Bestätigung dieser Vermutung 
folgendem Umstände zu entnehmen. Pappus gibt nämlich an, die 
vier ersten Bücher der Kegelschnitte des ApoUonius, mit wjbl^hen 
wir uns bald zu beschäftigen haben, stützten sich wesentlich auf die 
Vorarbeiten Euklids. Bei ApoUonius finden wir aber I, 20, 35, 46; 
II, 5; III, 17, 18, die Lehrsätze, welche Archimed als in den Elementen 
der Kegelschnitte enthalten benutzt. 

Mag dem sein, wie da wolle, jedenfalls rühren wertvolle Einzel- 
untersuchungen über Kegelschnitte von Archimed her. Wir legen 
nicht gerade großes Gewicht darauf, daß Archimed dem früher er- 
wähnten Satz von der Entstehung des Schnittes des spitzwinkligen 
Kegels den dort fehlenden Zusatz gab*), die gleiche Kurve könne auf 
dem Mantel eines jeden Kegels erzeugt werden, aber um so höher 
steht seine Quadratur der Parabel. Wir haben schon gesagt, daß 
diese Abhandlung zwischen die beiden Bücher vom Schwerpunkte 
und dem Gleichgewichte der Ebene eingeschaltet erscheint. Die Me- 
thode, deren Archimed sich bedient, um zu seinem Ziele zu gelangen, 
ist ihren Hauptzügen nach folgende*). Wird ein Parabelabschnitt 
durch eine durch die Mitte der denselben bildenden Sehne der Achse 
parallel gezogene Gerade geschnitten, so ist die Berühruugslinie an 
die Parabel in dem Schnittpunkte der Sehne selbst parallel. Somit 
ist die Senkrechte aus diesem Schnittpimkte auf die Sehne die größte 
Senkrechte, welche überhaupt aus einem Punkte innerhalb des ge- 
gebenen Parabelbogens auf die Sehne gefällt werden kann, oder dieser 
Punkt ist als höchster Punkt des Parabelabschnittes über seiner Sehne 
zu bezeichnen. Daraus folgt weiter, daß der Parabelabschnitt durch- 



') Archimed (ed. Heiberg) I, 802, (ed. Nizze) 168. *) Archimed (ed. 
Heiberg) I, 24, (ed. Nizze) 48. *) Diese Ansicht ist auch durch Heiberg, 
Die Kenntnisse des Archimedes über Kegelschnitte (Zeitschr Math. Phys. XXV, 
Histor.-literar. Abtlg. S. 42) ausgesprochen und teilweise anders begmndet worden. 
*) Archimed (ed. Heiberg) I, 288, (ed. Nizze) 164. *) Archimed (ed. Hei- 
berg) IT, 294—858, (ed. Nizze) 22—26. 



Aichimedes und dessen geometrische Leistungen. 305 

ans eingesclilossen ist in dem Rechtecke, welches jene Senkrechte als 
Höhe, die Sehne nebst der ihr parallelen Berühmngslinie als Grund- 
linie besitzt. Bildet man nun das Dreieck, welches die Sehne zur 
Grundlinie, den genannten Höhepunkt als Spitze besitzt, und welches 
folglich Yon dem ersten Parabelabschnitte um zwei neue kleinere 
Abschnitte sich unterscheidet, so muß dasselbe als Hälfte des Recht- 
ecks und als eingeschrieben in den Parabelabschnitt größer sein als 
die Hälfte des Abschnittes, kleiner als sein Ganzes. Man kann aber 
auch die umgekehrte Folgerung ziehen und die Flache des Abschnittes 
größer als das betreffende Dreieck, kleiner als das Doppelte desselben 
nennen. In jeden der beiden neuen kleineren Abschnitte wird nach 
ähnlicher Regel wieder ein Dreieck beschrieben, deren jedes mehr als 
die Hälfte des ihn enthaltenden Abschnittes einnimmt und genau den 
achten Teil des ersten Dreiecks als Flächeninhalt besitzt. Es ist das 
ein Verfahren, bei welchem dasjenige als Muster gedient haben mag, 
dessen Euklid sich bediente (S. 272), um zu beweisen, daß Kreis- 
flächen sich wie die Quadrate ihrer Durchmesser verhalten. Der 

Parabelabschnitt wird dadurch in zweiter Annäherung größer als 1 - , 

kleiner als 1 ^ des ersten Dreiecks, welches ihm eingezeichnet worden 

war. Nun werden in die neuen immer kleineren Parabelabschnitte 
wieder neue Dreiecke beschrieben und dem eben Behaupteten ähn- 
liche Folgerungen gezogen. Nach heutiger Schreibweise kommt die 
Reihenfolge der so zu gewinnenden Sätze auf die Summierung der 

unendlichen Reihe 1 + 4 + ( r ) + ( 4 ) + ' ' ' hinaus, deren An- 
fangsglied 1 den Flächeninhalt des ersten Dreiecks, deren Summe den 
Flächeninhalt des ganzen Parabelabschnittes darstellt. Archimed, frei- 
lich das Unendliche nur mittelbar in seine Betrachtungen einbegreifend, 
begnügt sich mit der Summierung der endlichen geometrischen Reihe, 

deren letztes Glied wir (A nennen wollen. Deren Summe sei, sagt 

4 

er, nur um den dritten Teil des niedersten Gliedes kleiner als -^ , 
d. h. also = — 3~ ' (4) * Daran schließt sich der apagogische Teil 

des Beweises, welchen wir wiederholt als Ersatz für Unendlichkeits- 
betrachtungen haben eintreten sehen. Aus der Möglichkeit den 

Unterschied zwischen dem Parabelabschnitte und des ersteingezeich- 
neten Dreiecks kleiner als irgend eine angegebene Größe werden zu 
lassen, folgt die doppelte Unmöglichkeit, daß der eine oder der andere 
Flächenraum der größere sei. 

Was die beiden anderen Kegelschnitte, die Hyperbel und die 

Gaktob, Geschichte der Mathematik L 3. Aufl. 20 



306 14. Kapitel. 

Ellipse betrifft^ so scheint Archimed der ersteren besondere Aufmerk- 
samkeit nicht zugewandt zu haben. Dagegen hat er die Quadratur 
der Ellipse gefunden und zwischen den Untersuchungen über Ko- 
noide und Sphäroide als Satz 5. und 6. eingeschaltet^). 

Die merkwürdigste uns erhaltene Schrift des Archimed über einen 
Gegenstand der ebenen Geometrie ist das Buch von den Schnecken- 
linie n, nsgl iXCxcjv. Die Schneckenlinie ist die erste krumme Linie, 
welche durch eine doppelte Gattung ron Bewegungen und von be- 
wegten Elementen zugleich erzengt worden ist. Die Quadratrix des 
Hippias benutzte freilich auch eine drehende und eine fortschreitende 
Bewegung zu ihrer Entstehung; aber die bewegten Elemente sind 
doch zwei gerade Linien , deren Durchschnittspunkt die genannte 
Kui-ve zum Orte hat. Wir halten es durchaus nicht für unmöglich, 
daß Archimed, der bei seinen Studien mit der Quadratrix und deren 
Anwendungen bekannt geworden sein muß, gerade durch die Ab- 
handlungen des Hippias und des Dinostratus über ihre Kurve mehr- 
fache Anregung gewann, die bei einem Archimed zu einem Fort- 
schritte för die Wissenschaft werden mußte. Ein Fortschritt war es, 
wenn Archimed nicht mehr wie Dinostratus einfach annahm, daß die 
Kreisfläche einem rechtwinkligen Dreiecke von den Katheten r und P 
gleich sei, sondern diese Gleichheit streng bewies. Eine nicht ge- 
ringere Bereicherung der Wissenschaft war es, als er, anstatt die fort- 
schreitende Bewegung einer Geraden mit der Drehung einer zweiten 
Geraden zu verbinden, wie Hippias es getan hatte, darauf verfiel jene 
fortschreitende Bewegung einem Punkte beizulegen. Die archime- 
dische Definition sagt ausdrücklich*): „Wenn eine gerade Linie in 
einer Ebene um einen ihrer Endpunkte, welcher unbeweglich bleibt, 
mit gleichförmiger Geschwindigkeit sich bewegt, bis sie wieder dahin 
gelangt, von wo die Bewegung ausging, und wenn zugleich in der 
bewegten Linie ein Punkt mit gleichförmiger Geschwindigkeit von 
dem unbewegten Endpunkte anfangend sich bewegt, so beschreibt 
dieser Punkt eine Schneckenlinie in der Ebene.'' 

Gehort diese Schneckenlinie, die archimedische Spirale, wie man 
sie gegenwärtig zu nennen pflegt^ wirklich Archimed als Erfinder 
an? Man hat mit sich forterbendem Irrtume lange behauptet, nicht 
Archimed, sondern sein Freund Konon habe die Spirale erfunden 
und die sich auf dieselben beziehenden Sätze entdeckt. Letzteres ist 
durchaus unrichtig^) und folglich ersteres nicht hinlänglich begründet. 



>) Archimed (ed. Heiberg) I, 312-316, (ed. Nizza) 160—161. *) Ar- 
chimed (ed. Heiberg) ü, 10, (ed. Nizze) 118. *) Das hat Nizze S. 281 in 
seinen kritischen Anmerkungen nachgewiesen. 



Archimedes und dessen geometrische Leistungen. 307 

Archimed hatte yielmehr jene Sätze an Eonon zum Beweise geschickt^ 
eine Sitte, welche in den aUerverschiedensten Jahrhunderten; aber 
stets in Zeiten reger mathematischer Arbeit uns wieder begegnen 
wird, und hatte, auch nach Eonons Tode noch viele Jahre gewartet 
,,ohne daß irgend jemand sich mit einer dieser Aufgaben beschäftigt 
hätte^^). Alsdann erst setzte er die Beweise in der Schrift über die 
Schneckenlinien auseinander. Wir können die Oedrungenheit der Be- 
weise in keinem wiederholt abkürzenden Berichte deutlich machen. 
Wir verweisen auf die Abhandlung selbst, in welcher gerade der 
moderne Leser, der gewohnt ist Eurven von der Natur der Spiral- 
linien nur mit Hilfe der Infinitesimalrechnung zu untersuchen, wäh- 
rend er in der Lehre von den Eegelschnitten noch heute häufiger 
von synthetisch geometrischen Anscfaauungsbe weisen Gebrauch macht, 
die beyirunderungswürdige Gewandtheit des Archimed in der Hand- 
habung einfachster Hilfsmittel staunend erkennen wird. Einige wenige 
leicht abzuleitende Proportionen und Ungleichheiten, letztere wieder 
unerläßlich für das apagogische Verfahren der altertümlichen Ex- 
haustion, die Zerlegung des Raumes der Schneckenlinie in Ausschnitte, 
deren jeder kleiner als ein äußerer, größer als ein innerer Ereisaus- 
schnitt ist, das ist der ganze wissenschaftliche Vorrat, mittels dessen 
die Quadratur der Schneckenlinie gefunden, die Berührungslinie an 
irgend einen Punkt derselben gezogen wird. 

Manche andere Schriften des Archimed würden au dieser Stelle 
noch zu besprechen sein, wenn sie nicht verloren gegangen wären. 
Eaum daß die Überschriften uns durch arabische Berichterstatter er- 
halten blieben^. Ihnen zufolge verfaßte Archimed ein Buch über 
das Siebeneck im Ereise; ein anderes beschäftigte sich mit der 
gegenseitigen Berührung von Ereisen; ein drittes war den 
Parallellinien, ein viertes den Dreiecken gewidmet, letzteres 
möglicherweise auch unter anderem Titel noch genannt. Auch Daten 
und Definitionen soll Archimed in einem Buche vereinigt haben. 

Unter dem, was der Verfasser für die Geometrie des Raumes 
leistete, ist zunächst eine Untersuchung zu erwähnen, von der wir 
nicht einmal wissen, bei welcher Gelegenheit und in welchem Zu- 
sammenhange er sie angestellt hat. Die Untersuchung selbst da- 
gegen ist von Pappus, dem einzigen Schriftsteller, der von ihr spricht, 
mit genügender Deutlichkeit geschildert'), daß man nach ihm darüber 
berichten kann. Euklid hatte die Lehre von den fünf einzigen regel- 
mäßigen Eörpem erschöpfend behandelt. Archimed erfand zu ihnen 



') Archimed (ed. Heiberg) II, 2, (ed. Nizze) 116. *) Heiberg, Quae- 
stianes Arehimedeae 29—80. *) Pappus V (ed. Hui t ach) 860 sqq. ' 

20 • 



308 14. Kapitel. 

13 halbregel mäßige Körper^ welche durch regelmäßige Vielecke 
von mehr als nur einer Gattung begrenzt werden. Der Anzahl nach 
können 8, 14, 26, 32, 38, 62 oder 92 Grenzflächen vorhanden sein. 
Der Art nach sind es Dreiecke, Vierecke, Fünfecke, Sechsecke, Acht- 
ecke, Zehnecke und Zwölf ecke, welche auftreten. Bei zehn von den 
archimedischen Körpern sind nur Flächen zweierlei Art, bei den drei 
übrigen dreierlei Flächen vorhanden. Kein geringerer Mathematiker 
als Kepler^) hat zuerst nach Archimed seine Aufmerksamkeit diesem 
Gegenstande wieder zugewandt, worauf aufs neue eine zweihundert- 
jährige Pause eintrat, bis seit Anfang des XIX. S. die halbregelmäßigen 
Vielflächner Eigentum der elementaren Stereometrie geworden sind. 

Archimed selbst stellte von allen seinen Entdeckungen diejenigen 
am höchsten, welche er in den zwei Büchern von der Kugel und 
dem Zylinder niedergelegt hat. Es handelt sich darin um den 
Beweis von drei neuen Sätzen-): 1. daß die Oberfläche einer Kugel 
dem Vierfachen ihres größten Kreises gleich sei; 2. daß die Ober- 
fläche eines Kugelabschnittes (die Kugelkalotte) so groß sei als ein 
Kreis, dessen Hallmiesser einer geraden Linie vom Scheitel des Ab- 
schnittes bis an den Umfang des Grundkreises gleich sei; 3. daß der 
Zylinder, welcher zur Grundfläche einen größten Kreis der Kugel 
habe, zur Höhe aber den Durchmesser der Kugel, mit anderen Worten 
der der Kugel umschriebene Zylinder, andertbalbmal so groß sei als 
die Kugel, und daß auch seine Oberfläche das Anderthalbfache der 
Kugeloberfläche sei. Ein gewisser Nikon hat in Pergamum eine 
Inschrift, welche diesen Sätzen galt, in Stein hauen lassen*). Daß 
Archimed gerade auf diese Sätze einen wohlberechtigten Stolz emp- 
fand, geht daraus hervor, daß er die Kugel mit dem sie umgebenden 
Zylinder auf seinen Grabstein eingemeißelt wünschte, und daß es ge- 
rade diese Figur war, an welcher Cicero die Begräbnisstätte des großen 
Mannes erkannte*). 

Archimed hat in demselben Werke über Kugel und Zylinder, im 
4. und 5. Satze des IL Buches^), noch zwei andere die Kugel be- 
treffende Aufgaben gestellt, welche ihn geraume Zeit ^ beschäftigten. 
Eine Kugel soll durch eine Ebene derart geschnitten 



*) In der Harmonice mundi. *) Archimed (ed. Heiberg) I, 2—4, (ed. 
Nizze) 42. ') Vgl. Ideler in v. Zache Monatlicher Correspondenz zur Be- 
förderung der Erd- und Himmel skunde XXIII, 267 und Buzengeiger ebenda 
XXIV, 672. *) Wir haben früher (wir wissen nicht mehr nach welchem Gewfthrs- 
manne) hier eingeschaltet, die Figur habe sich auf Münzen der Stadt Syrakus 
erhalten. H. Junge teilt uns mit, daß nach Erkundigungen, welche er im Münz- 
kabinette des Berliner Museums einzog, solche Münzen nicht bekannt sind. 
*) Archimed (ed. Heiberg) I, 210 sqq., (ed. Nizze) 91 flgg. 



Archimedes und dessen geometrische Leistungen. 309 

werden^ daß Oberflächen und Eörperinhalte der beiden 
so gebildeten Kugelabschnitte in gegebenem Verhältnisse 
stehen. Die erstere Aufgabe hat^ sofern die Berechnung der Eugel- 
kalotte vorher bekannt ist, wie es der Fall war, keine Schwierigkeit; 
sie führt alsdann auf eine rein quadratische Gleichung. Anders ver- 
hält es sich mit der zweiten Aufgabe. Sie ist nur dann lösbar, 
wenn, wie Archimed ausdrücklich sagt, eine Länge gefunden werden 
kann, welche in die Proportion sich einfügt, die in Buchstaben 
(a — rc): 6 = e' : a;* lauten würde, wenn also eine Lösung der kubi- 
schen Gleichung a? — nx^ + 'bc^ ^0 gefunden werden kann. Archi- 
med geht nun noch einen großen Schritt weiter, er gibt den Dio- 
rismus der Aufgabe. Sie sei, sagt er, nicht allgemein möglich, 
sondern unter der Voraussetzung c = 2(a — c) nur bei Anwendung 
eines a — c, welches selbst größer als 6 ist. Mit anderen Worten: 
er nennt die Gleichung x^ — ax^ + - a^h « lösbar, d. h. mit einer 

positiven Wurzel versehen, so lange & < « • Beides, so fährt Archi- 
med fort, d. h. die Notwendigkeit des Diorismus und zugleich die 
Konstruktion der Aufgabe unter der Annahme, daß jene Bedingung 
erfüllt sei, solle am Ende seine Analyse und Synthese finden. Es 
ist undenkbar, daß Archimed eine so bestimmte Zusage gegeben 
haben sollte, wenn er nicht -der gestellten Aufgabe in jeder Be- 
ziehung Herr gewesen wäre. Aber wo sind die versprochenen Er- 
gänzungen? Schon sehr bald nach Archimed zur Zeit des Diokles 
waren sie verloren, wie wir im 17. Kapitel sehen werden. Ob eine 
von Eutokius im VI S. aufgefundene alte Handschrift in dorischer 
Mundart wirklieh, wie er vermutete, der Originalarbeit des Archimed 
nachgebildet war, ist mit Bestimmtheit nicht zu behaupten noch zu 
leugnen. An Wahrscheinlichkeit fehlt es übrigens der Vermutung des 
Eutokius um so weniger, als jene Auflösung sich zur Konstruktion 
nur einer Parabel und einer Hyperbel bedient, mithin Kurven be- 
nutzt, welche zur Auflösung einer anderen räumlichen Aufgabe, der 
Würfelverdoppelung, ziemlich lange vor Archimed, wie wir wissen, 
bereits in Anwendung waren. 

Mit der Geometrie des Raumes hat es femer das Buch von 
den Konoiden und Sphäroiden zu tun. Archimed kennt unter 
diesen Namen die Körper, welche durch die Umdrehung einer Parabel, 
einer Ellipse, einer Hyperbel entstehen. Er teilt diese ümdrehungs- 
körper durch einander parallele gleich weit voneinander entfernte ebene 
Schnittflächen und erhält so zwischen je zwei Schnittebenen ein 
Körperelement, das von einem Zylinder eingeschlossen einen anderen 
Zylinder in sich enthält. Die Summierung sämtlicher größerer Zy- 



310 16. Kapitel. 

linder nebst der der sämtlichen kleineren Zylinder wird somit zwei 
Grenzen bilden^ zwischen welchen der Eörperinhalt des gegebenen 
ümdrehnngskörpers enthalten ist^ und welche bei gegenseitiger An- 
näherung der Schnittflächen selbst beliebig wenig yoneinander unter- 
schieden sind. Einige auf Widersprüche führende Yergleichungen 
vollenden wieder die Exhaustion, und so wird die Kubatur der ge- 
nannten Körper gefunden. 

Gelegentlich zeigt dabei Archimed im 8., 9. und 10. Satze ^), wie 
zu jeder Ellipse unendlich viele Kegel und Zylinder gefunden werden 
können, auf deren Mantel sie sich befindet , offenbar ein Anfang 
dessen, was man perspektivische Eigenschaften krummer Linien zu 
nennen pflegt. Wir bemerken femer, daß, wo von den Asymptoten 
der Hyperbel die Rede ist, diese den Namen der engstanschließenden 
Geraden, &i Syyiöta evd-siai^ führen^). 

Wir können die Entdeckungen Archimeds im Gebiete der Raum- 
geometrie nicht verlassen ohne zweier falscher Sätze zu gedenken, 
welche er absichtlich, wie er ausdrücklich sagt*), seinerzeit beweislos 
in die Öffentlichkeit gab „um eben solche Leute, die da alles zu 
finden behaupten, und doch nie einen Beweis vorbringen, zu über- 
führen, daß sie auch einmal etwas Unmögliches zu finden verheißen 
hätten'^ Es waren Sätze, die sich auf den Körperinhalt von Kugel- 
abschnitten bezogen und damit unsere Bemerkung bestätigen, daß Ar- 
chimed sich geraume Zeit mit Fragen, welche auf die Durchschneidung 
einer Kugel durch eine Ebene sich bezogen, beschäftigte. 



15. Kapitel. 
Die übrigen Leistungen des Arehimedes. 

Wir gehen zu Dingen über, welche einen algebraischen Charakter 
tragen. In erster Linie haben wir einer Gesellschaftsrechnung zu 
gedenken, welche Archimed anstellte, und welche nicht etwa der 
Methode des Rechnens halber, die schon den alten Ägyptern (S. 77) 
geläufig war, aber wegen des Verfahrens, durch welches Archimed 
die zur Rechnung notwendigen Zahlen sich verschaffte, zu großer 
Berühmtheit gelangt ist. Wir meinen die sogenannte Kronenrech- 
nung. Richtiger wäre vielleicht die Übersetzung Kranzrechnung, 



*) Archimed (ed. Heiberg) I, .S 18— 338 unter Bezeichnting der betreflFen- 
den Sätze als 7. 8. 9., (ed. Nizze) 162—168. *) Archimed (ed. Heiberg) I, 
278 lin. 1—2 und I, 436 lin. 1. ») Archimed (ed. Heiberg) H, 2—4, (ed. 
Nizze) 116. 



Die übrigen LeiBtungen dea Archimedes. 311 

da Corona dem (Stdfpavog entspricht^ einem aus Zweigen gewundenen 
Kranze, während die Fürstenkrone erst späteren Ursprunges ist^). 
Yitrnyius, der Schriftsteller über Architektur im augusteischen Zeit- 
alter, erzählt die Sache folgendermaßen^). König Hiero habe von 
einem Goldarbeiter eine Krone aus Gold anfertigen lassen und die- 
selbe alsdann dem Archimed übergeben, um zu ermitteln, ob nicht^ 
wie man zu vermuten Grund hatte, der Künstler nur Gold in Rech- 
nung gebracht, in Wirklichkeit aber teilweise Silber zur Masse hinzu- 
getan hatte. Zufällig sei nun Archimed in ein Badhaus getreten und 
habe beim Einsteigen in eine mit Wasser ganz angefällte Wanne be- 
merkt, daß ebensoviel Wasser auslief, als sein Körper verdrängte. 
Nun schloß Archimed so: die Menge des verdrängten Wassers hängt 
nur von der Ausdehnung, nicht von dem Gewichte des eingetauchten 
Körpers ab, das Gewicht dagegen verändert sich bei gleicher Aus- 
dehnung nach der Natur des Stoffes. Andere Stoffe werden bei 
gleicher Ausdehnung verschiedenes Gewicht, bei gleichem Gewichte 
verschiedene Ausdehnungen haben. Bildet man sonach eine reine 
Goldmasse und eine reine Silbermasse, beide von genau gleichem Ge- 
wichte mit der Krone, so wird das Silber am meisten Flüssigkeit aus 
einem bis zum Rande gefüllten Gefäße verdrängen, nächstdem die aus 
beiden Metallen gemischte Krone, das Gold endlich am wenigsten. 
Die Schlüsse, wenn auch noch nicht in der hier ausgeführten Deut- 
lichkeit, scheinen dem Geiste Archimeds sich plötzlich dargeboten zu 
haben. Die drei Wassermengen 6, x, y, welche durch das Silber, die 
Krone, das Gold verdrängt wurden, boten das Mittel die Mischungs- 
verhältnisse der Krone zu berechnen. Wog nämlich die Krone k Ge- 
wichtsteile, worunter s Gewichtsteile Silber und g Gewichtsteile Gold, 
so mußte erstlich 5 -f ^ » i sein. Zweitens verdrängte aber das 

Silber nur -^ X 6 Raumteile Wasser und das Gold ? Xy Raum teile 

derselben Flüssigkeit, die ganze Krone also ^^X^^ Raumteile, oder 

X Raumteile, demnach war auch S6 + gy ^ hx. Die beiden Angaben 

führten dann vereint in Betracht gezogen zu s = * ^- X k. In der 

Freude über diese Entdeckung sei Archimed unbekleidet ins Freie 
und nach seiner Wohnung gelaufen mit dem Rufe: ich habe es ge- 
funden, BVQrjxa svgrixa. Eine zweite Auffassung findet sich in einem 
Lehrgedichte „Ueber die Gewichte und Maasse", welches man wohl 
dem Grammatikei» Priscianus zuschrieb, eine Meinung, von welcher 
man aber allgemein zurückgekommen ist, um die Entstehung des Ge- 



*) Briefliche Mitteilung von H. Junge. ■)VitruviuBlX, 3. 



312 15. Kapitel. 

dichtes etwa auf das Jahr 500 zu yerlegen^). Dort ist nämlich die 
Auffindung des spezifischen Gewichtes eines Stoffes^ auf welche allein 
es ankommt, an eine doppelte Abwägung geknüpft. Wird die zu 
prüfende Substanz einmal im Freien und das zweite Mal in Wasser 
eingetaucht gewogen , so wird sie das zweite Mal so viel von ihrer 
Gewichtswirkung auf den Wagebalken, an welchem sie hängt, ein- 
büßen, als das Gewicht der durch sie verdrängten Flüssigkeitsmenge 
beträgt. Man wird folglich in dem Verhältnisse des ursprünglichen 
Gewichtes zu dem Gewichtsverluste das spezifische Gewicht des Stoffes 

besitzen, und man findet s = . _ -, x Ä:, wenn s', k', g' die Gewichts- 
verluste im Wasser der an Gewicht außerhalb des Wassers gleichen 
Mengen Silber, Kronenmetall und Gold bedeuten. Welche von den 
beiden Methoden also Archimed auch anwandte, und die Wahrschein- 
lichkeit für die eine wie für die andere zu erörtern gehört der Ge- 
schichte der Physik an, die Rechnung als solche war immer die 
gleiche, war, wie wir zum voraus bemerkten, eine Gesellschaftsrech- 
nung, dergleichen ähnliche wenn auch nicht völlig übereinstimmende 
im Übungsbuche des Ahmes erledigt sind. 

Dem Archimed wird femer eine unbestimmte Aufgabe zuge- 
schrieben, welche in Distichen abgefaßt unter dem Namen des Rinder- 
problems bekannt ist^). Es handelt sich um die Auffindung von vier 
Unbekannten in ganzen Zahlen mittels dreier zwischen ihnen gegebenen 
Gleichungen vom ersten Grade. Zu dieser ursprünglichen Form des 
Problems sind alsdann in späterer Überarbeitung, wie es scheint, noch 
anderweitige Zusätze getreten, welche zu ihrer Berücksichtigung 
Kenntnisse in der Lehre von den Quadratzahlen und von den Drei> 
eckszahlen voraussetzen, welche wir wohl berechtigt sind, einem Ar- 
chimed als zugänglich anzunehmen, wenn schon Philippus Opuntius 
(S. 169) über vieleckige Zahlen schreiben konnte. Bezüglich der 
Echtheit dieses Problems sind die Ansichten geteilt. Der letzte 
Schriftsteller, der in eingehender Weise mathematisch wie philologisch 
mit Archimed sich beschäftigt hat, steht nicht an, das Gedicht, wie 

*) Scriptores metrölogici Bomani (ed. Hultsch) pag. 88 sqq. Die auf die 
Kronenrechnung beziigliche Stelle v. 124 — 208. Über die Datierung vgl. 
Hultschs Proleg^mena § 118. *) Ältere Ansichten über das Rinderproblem bei 
Nesselmann, Algebra der Griechen 8. 481 — 491 wissen einen nur halbwegs 
erträglichen Sinn nicht herauszubringen. Dieses gelang Vincent in dem als 
Anhang zu den Nouvelles annales de mathematiques T. XV (Paris 1856) erschie- 
nenen Bulletin de bibliographie etc. I, 39 ügg. Einen anderen Sinn haben die 
Verfasser der neuesten Abhandlung Krumbiegel und Amthor „das BröbUma 
bovinum des Archimed" ermittelt. Vgl. Zeitschr. Math. Phys. Bd. XXV. Histor.> 
literar. Abteilung (1880). 



Die übrigen Leistungen des Archimedes. 313 

es erhalten ist, als arcliimediscli anzuerkennen^). Wir selbst ent- 
halten uns eines bestimmten Urteils, wie wir (S. 286) uns entschieden, 
die Frage nach der Echtheit des sogenannten euklidischen Problems 
als eine offene zu betrachten. Zu einem Ergebnisse kommen wir 
allerdings auch hier: daß nämlich ein Grund das Rinderproblem darum 
für untergeschoben zu erklären, weil Archimed es nicht habe lösen 
können, in keiner Weise vorliegt. 

Eine Beschäftigung mit Quadratzahlen ist Archimed jedenfalls 
nachzurühmen. Er hat jedenfalls in dem Buche von den Schnecken- 
linien die Summierung der aufeinander folgenden Quadrat- 
zahlen von 1 anfangend gelehrt und bewiesen. Er kleidet die 
Summenformel in folgenden Satz: „Wenn man eine willkürliche An- 
zahl von Linien annimmt, die nacheinander gleiche Unterschiede 
haben, so daß die kleinste dem Unterschiede selbst gleich ist, und 
wenn eine eben so große Anzahl anderer Linien angenommen wird, 
welche einzeln der größten von jenen gleich sind, so wird die 
Summe aller Quadrate von denen, welche der größten gleich sind, 
nebst dem Quadrate der größten selbst und dem Rechtecke unter 
der kleinsten und einer Linie, welche so groß ist als die Summe 
aller um gleiche Unterschiede verschiedener, dreimal so viel betragen 
als die Summe aller Quadrate der um gleiche Unterschiede verschie- 
denen Linien*'*). In Zeichen geschrieben heißt das 3[a* + (2a)* + 

(3a)* H h (wa)*] ^ (n + l)(na)* + a{a + 2a + 3a + - - + na). 

Da Archimed, wie aus dem Beweise sich ergeben wird, die Summeu- 
formel der arithmetischen Reihe anzuwenden wußte, so ist es 
einigermaßen auffallend, daß er nicht a-f2o-f3a-f-+wa zu 

-^-+ ^-^ vereinigte, um schließlich a* + (2ay -f (3a)* + • - • -f (nay 

= - — ^^^— ^ — zu erhalten. Wir erkennen daraus, daß ein so 

o 

lautender Satz bei Archimed nicht vorkommt, wie sehr man sich 
hüten muß den Schluß, dieser oder jener Schriftsteller konnte so 
oder so schließen, hat es also getan, anzuwenden, wenn nicht be- 
sondere anderweitige Gründe für jenen Schluß vorhanden sind. Noch 
eine Bemerkung drangt sich auf. Wir sagten Archimed habe die 
Summierung der Quadratzahlen vollzogen, und in dem Wortlaute 
seines Satzes, wie seines Beweises, kommen nur Linien vor. Allein 
es sind unzusammenhängende Linien, wie sie im V. Buche der eukli- 
dischen Elemente zur Versinnlichung von Zahlen dienen, und haben 
hier gleichfalls keine andere Bedeutung. Wir lassen nun den Be- 
weis folgen, an welchem wir keine andere Veränderung vornehmen, 

*) Heiberg, Quaestiones Ärchimedtae 26. *) Archimed (ed. Heiberg) 
n, 84—40, (ed. Nizze) 126—128 



314 15. Kapitel. 

als daß wir Archimeds Worte in Zeichen übersetzen. Es ist 

na^(n- l)a + lo = (n — 2)a + 2a « (n — 3)a + 3a ^ « la 

-f (n — l)a. Quadriert man alle diese nnter sich gleichwertigen Formen 
von nüj so erhält man ebenso viele verschiedene Formen von {nay, 
nämL'ch {nay « ((n ~ l)a)» + (la)* + 2 • (w — l)a • la - «n - 2)a)» 
+ (2a)« + 2 (n - 2)a . 2a « ((n - 3)a)» + (3a)« + 2 . (n - 3) a • 3a 

(la)» + ((« - l)a)« + 2 . 1 a . (n — i) a. Jede solche Form 

besteht aus zwei quadratischen Gliedern und einem doppelten Pro- 
dukte. Addiert man die sämtlichen Formen nebst 2(na)« » (na)« 
-f (nay und ordnet die quadratischen Glieder erst fallend dann steigend, 
und die doppelten Produkte nach fallendem erstem Faktor^ so entsteht 
(n + l){nay - (na)« + ((n- l)a)« + ((n~2)a)« + • - • + (la)«+ (la)« 
+ . . . + ((w - 2)a)« + ((n- l)a)« + (wa)« + 2[(n - l)a • la + (n-2)a 
• 2a + • • • + lö(w — l)a]. Addiert man femer auf beiden Seiten 

a(a + 2a -I — • + na), so erhält man (w + l)(na)« + a(a + 2a H 

+ na) = 2[a« + (2a)«+ ••• + (wa)«] + 2[(n - l)a • la + (n - 2)a.2a 
H — • + 1» • (w — l)a] + a[a + 2a + - - - + na]. Damit der zu An- 
fang ausgesprochene Satz bewiesen sei, bedarf es also nur noch Eines: 

es muß gezeigt werden, daß a« + (2a)« H h (na)*^2[(n — l)a • la 

+ (n — 2)a • 2a H + 1« • (n - l)a] + a[a + 2a + - -- + na] sei. 

Die beiden Ausdrücke rechts vom Gleichheitszeichen sind aber a • A 
und a ' B oder vereinigt a{A + B\ wobei 

^ - 2(w - l)a + 4(w - 2)a + . • . + (2» -- 2) • la 

J? = na + (« - l)a + (w - 2)a +' . • • + la 
^ + J? « 1 . na + 3 . (n - l)a + o • (n - 2)a + • • • + (2n — 1) • 1 a 
(^+-B)-a='a[l-wa+3.(n-l)a+5.(n-2)a+... + (2n— l).la] = jR. 
Von den n Quadraten, als deren Summe R zu beweisen ist, wird nun 
das höchste {nay umgeformt in a(l • na + (n — l)na). Aber die 
arithmetische Reihe (n — l)a + (n — 2)a + ••• + !» hat als Summe 

-^^' -^ , eine Formel, welche demnach, wie oben angekündigt, 
von Archimed benutzt wird. Demnach ist (n — l)na = 2[(n — l)a 
-h(n~2)a + -" + la] imd (na)«=»a[l •na + 2(n- l)a + 2(n-2)a 
+ • • • + 2 • la]. Ziehen wir diesen Wert von B ab, so bleibt ein 
Rest B^ ähnlicher Form wie U, nämlich a[l • (n — l)a + 3(n — 2)a 

+ |-(2n — 3) • la] =» iZj. Nun könnte ((n — l)a)« umgeformt und 

von B^ abgezogen werden, wodurch ein Rest B^ entstünde, dem 
gegenüber das Verfahren fortzusetzen ist. Schließlich bleibt nichts 
übrig, es ist also a« + (2 a)« + • • • + (wa)« = B, wie zu beweisen war. 
Wir haben vorher bei der archimedischen Aufgabe von der durch 
eine Ebene geschnittenen Kugel die kubische Gleichung x^ — ax^ 
+ - a«6 = angeschrieben (S. 309), zu welcher diese Aufgabe führt. 



Die übrigen LeiBtungen des Archimedes. 315 

Wir haben dieses zur deutlicheren Einsicht in die Frage für unsere 
an die Gleichungsform gewohnten Leser getan. Man muß sich 
jedoch wohl hüten das, was wir dort taten, als den gleichen Ge- 
sichtspunkten entsprechend zu betrachten, wie das, was uns bei 
unserer letzten Darstellung der Summierung aufeinanderfolgender 
Quadratzahlen leitete. Wir haben hier nur Zeichen statt der Worte 
gesetzt, den archimedischen Gedanken in keiner Weise yerändemd. 
Wir haben dort eine Gleichung aus einer -Proportion entwickelt. 
Archimed hätte eine solche Entwicklung dem ganzen Zustande der 
damaligen Wissenschaft gemäß, welche Körperzahlen kannte, vor- 
nehmen können, aber er hat es nicht getan. Er blieb bei der 

Proportion (a — a:) : 6 =» y a* : a;' stehen, und wir würden in ihn 

hineinlesen, was er nicht gewußt zu haben scheint, wenn wir auch 
nur annahmen, Archimed habe eine wesentliche Ähnlichkeit zwischen 
seiner Aufgabe und der Aufgabe der Würfelrerdoppelung, geschweige 
denn zwischen ihr und der Aufgabe der Winkeldreiteilung bemerkt. 
Die Würfelverdoppelung verlangte die Einschaltung zweier geome- 
trischer Mittelglieder zwischen gegebenen Ghrößen; von einer der- 
artigen Einschaltung ist bei der archimedischen Eugelteilung nicht 
die Rede, mag man auch, um die Unbekannte nach innen zu bringen, 

4a' 
die Proportion in der Form 6 : (a — a;) = x* : -r- oder in der Form 

ft : a;^ == (a — a;) : -g- schreiben. 

Wir müssen hier vielleicht einem Vorwurfe begegnen, den man 
uns darüber machen könnte, daß wir, als wir es mit Euklid und 
dessen durch quadratische Gleichungen darstellbaren Aufgaben zu 
tun hatten, nicht auch so streng an den Wortlaut des griechischen 
Schriftstellers uns halten zu müssen glaubten. Wahr ist es, es wäre 
vorsichtiger gewesen auch dort nicht als Gleichung zu schreiben, 
was nur eine Proportion war, allein wir können doch einiges hervor- 
heben, welches einen grundsätzlichen Unterschied zwischen der eukli- 
dischen und der archimedischen Aufgabe bedingt und dadurch auch 
eine formelle Verschiedenheit der Darstellung gestattet, ganz abgesehen 
davon, daß wir wenigstens nicht versäumt haben (S. 285), unsern 
Zweifel darüber zu äußern, ob Euklid eine Ahnung von dem alge- 
braischen Inhalte seiner Aufgaben gehabt habe. Quadratische und 
kubische Aufgaben — man gestatte uns diese leicht verständ- 
lichen, wenn auch sonst nicht gerade üblichen Benennungen — sind 
geometrisch gewaltig verschieden. Die quadratische Aufgabe gehört 
den Elementen in dem geometrischen Sinne des Wortes an. Sie 
läßt sich, sofern Nichtbeachtung des Diorismus nicht Größen als ge- 



316 16. Kapitel. 

geben wählen ließ; welche jede reelle positive Lösung ausschließen^ 
jedesmal durch Zirkel und Lineal bewältigen. Die kubische Aufgabe 
ist durch die Elemente nicht lösbar. Sie bedarf besonderer Kurren, 
deren Eigenschaften in besonderen Schriften erörtert zur Zeit^ als 
Archimed lebte^ überhaupt erst anfingen^ genau studiert zu werden 
und die höhere Geometrie bildeten. Man darf daher wohl einen 
Unterschied machen zwischen der Tiefe, bis zu welcher Euklid und 
Archimed in das eigentliche Wesen quadratischer und kubischer Auf- 
gaben einzudringen vermochten. Daneben ist auch für rechnendes 
Verfahren ein nicht minder gewaltiger Unterschied zwischen quadra- 
tischen und kubischen Aufgaben ; die einem Griechen gestellt waren. 
Die Ausziehung der Kubikwurzel durch Umkehrung des Verfahrens, 
welches zur Erhebung auf die dritte Potenz führt, also von der 
Formel (a + ßY « «• + 3a^ß + 3a/J' + ß^ ausgehend, hat, wie wir 
vorgreifend bemerken dürfen, kein griechischer Schriftsteller des Alter- 
tums oder des Mittelalters jemals gelehrt; ob ein anderes Rechnungs- 
verfahren zu dem gleichen Zwecke angewandt wurde, müssen wir 
hier noch dahingestellt sein lassen. Eine Ausziehung von Quadrat- 
wurzeln dagegen durch Rechnung, und zwar auch bei solchen Zahlen, 
welche nur eine Annäherung an den wahren Wert gestatten, hat die 
griechische Mathematik vielleicht, wie wir (S. 223) sahen, schon seit 
Piaton besessen, jedenfalls hat Archimed in seiner Kreismessung den 
Beweis geliefert, daß er im Besitze sehr vollkommener Methoden 
zur Auffindung solcher Wurzelwerte gewesen sein muß. Damit ist 
aber, wie zum Schlüsse dieser Ausführungen hingeworfen werden 
mag, zugleich auch die (S. 285) schon begründete Behauptung 
vollends gesichert, daß man in sehr früher Zeit bei den Griechen 
quadratische Aufgaben rechnend löste, d. h. tatsächlich mit quadra- 
tischen Gleichungen sich beschäftigte, denn wie wäre man sonst zu 
Methoden der Quadratwurzelausziehung gelangt, die das leisteten, was 
z. B. von Archimed, zu dessen Arbeiten wir so zurückkehren, geleistet 
worden ist? 

Archimed hat in seiner Kreismessung eine ganze Anzahl von 
angenäherten Quadratwurzeln berechnen müssen. Er hat da- 
bei erkannt, daß ^^g^o^ > V^ > ^ J^ , daß ]/34y450 > 591 g- , daß 



]/l 373 943g J > 1172 g , daß ")/5472132^^ > 2339 J. Wie hat er 

diese Zahlen gefunden? Die Frage ist vielfach aufgeworfen, ver- 
schiedentlich beantwortet worden^). Man kann wohl sagen, daß 

^) Zasammenstellungen der auf diesem Gebiete ansgesprochenen Meinungen 
bei S. Günther, Antike Nähemngsmethoden im Lichte modemer Mathematik 



Die übrigen Leistungen des Archimedes. 317 

Bämtliche Versuche in einem Punkte zusammentreffen, nämlicli in dem 
Bestreben, ein mehr oder weniger bewußtes Zusammentreffen der 
Methode des Archimedes mit dem modernen Eettenbruchyerfahren 
nachzuweisen, d. h. mit den Formeln 



i/«*+^=« + Ä+6 



2a +_5_ 

2a + 



und 



Yii^~b^a^ ^ 



2a — ft 

2a — h^ 

2a — 



Nun ist von vornherein zuzugeben, daß der Näherungswert 

2 + 1 

bei griechischen Schriftstellern mit aller Bestimmtheit auftritt, wie 
wir bei der näheren Betrachtung des Werkes des Theon von Smyrna 
im 21. Kapitel erkennen werden. Es ist ferner (S. 267) darauf hin- 
gewiesen worden, daß die Art und Weise, in welcher Euklid den 
größten gemeinschaftlichen Teiler zweier ganzer Zahlen aufsucht, 
einen vollständigen Kettenbruchalgorithmus darstellt, und dennoch 
können wir die Frage, wie eigentlich Archimed verfuhr, noch nicht 
als vollständig beantwortet erachten. Die Werte, welche Archimed 
als angenäherte Quadratwurzeln benutzt, andere Werte, die bei 
späteren griechischen Schriftstellern auftreten, entstehen nämlich, 
mit Ausnahme der von uns schon betonten }/2 und einer weiteren 
Ausnahme, nicht aus den obigen Kettenbruchformeln, es sei denn, 
daß man sie auf ein Prokrustesbett spannte, wie wir es nicht ver- 

(in den Abhandlungen der k. böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften 
VI. Folge, 9. Band, Prag 1878) und bei Heiberg, Quaestiones Ärchimedeae 60 
bis 66. Bei letzterem auch das bei dem ersteren fehlende Referat über Ab- 
handlungen von Mollweide (1808) und Oppermann (1876). Über die Ab- 
handlung Mollweides vgl. auch einen Bericht von Gauß in den Göttinger Ge- 
lehrten Anzeigen vom 9. Januar 1808. Spätere Arbeiten von Hunrath, Die 
Berechnung irrationaler Quadratwurzeln vor der Herrschaft der Dezimalbrüche 
(Kiel 1884) unter anderen haben unserer Ansicht nach die Frage immer noch 
nicht geklärt. Auch Hultsch, Über Archimeds Quadratwurzeln (Göttinger Ge- 
lehrte Anzeigen 1893) und Ebenderselbe, Zur Kreismessung des Archimedes 
(Zeitschrift für Mathematik und Physik XXXIX, Historisch-literarische Abteiig. 
1894) lassen noch zu manchem Zweifel Raum. 



318 16. Kapitel. 

antworten zu können glauben. Die erwähnten archimedischen Werte 
von )/3 z. B. entstehen nicht aus 1/4— 1 *" 2 — — __ , son- 

dem die aufeinanderfolgenden Näherungsbrüche dieses Kettenbruches 

. , ' 7 26 97 862 . , , -7 j 26 , 

Sind 2, -^ , -^, gg, -^Q • • •, unter welchen wir ~ und ^^ hervor- 
heben als die weitere Ausnahm« , von welcher soeben die Rede war^ 
da diese Werte fUr YS in der Tat geschichtlich nachweisbar bei 
Griechen vorkommen; wie das 18. und 19. Kapitel uns lehren werden. 
Wir lassen also die Frage nach der Art und Weise, in welcher Ar- 
chimed seine Quadratwurzeln fand, offen, soviel zugestehend, daB be- 
stimmte Beispiele auf Anwendung von Kettenbruchformeln bei anderen 
Schriftstellern hinweisen, die somit jener Formeln sich bedient haben 
werden, wenn auch natürlich nicht als Kettenbrüche, an deren Vor- 
handensein nicht zu denken ist, bevor eine Schreibweise der Brüche 
durch räumlich unterscheidbare Zähler und Nenner sich verbreitet 
hatte. 

Es ist nur ein unglücklicher Zufall, daß wir über die Wurzel- 
ausziehungsmethoden Archimeds im dunkeln tappen. Eutokins, der 
einen Kommentar zur archimedischen Kreismessung geschrieben hat, 
sagt, wo er an die Quadrat \\'urzelwerte kommt: „Wie man aber die 
Quadratwurzel, die einer gegebenen Zahl sehr nahe kommt, finden 
könne, ist von Heron in seinem metrischen Werke gezeigt worden, 
ebenso von Pappus, Theon und mehreren anderen Exegeten der 
großen Zusammenstellung des Klaudius Ptolemäus. Es ist daher 
nicht nötig Untersuchungen über diesen Gegenstand anzustellen, da 
Freunde der Mathematik bei jenen darüber nachlesen können''^). 
Was wir diesen Schriftstellern, soweit sie erhalten sind, entnehmen, 
müssen wir später im Zusammenhang mit ihren sonstigen Leistungen 
besprechen. 

Versagt uns der Kommentar des Eutokius den Dienst, wo wir 
seiner am dringendsten bedürfen, so läßt er uns doch nicht ganz 
ohne Ausbeute. Er vollzieht aufs ausführlichste mehrere Multi- 
plikationen, und diese Stellen gehören zu den bedeutsamsten für 
die Kenntnis griechischer Rechenkunst. Der Gebrauch der Stamm- 
brüche (S. 128) beim wirklichen Rechnen geht daraus aufs unzwei- 
deutigste hervor, dann aber auch, daß die Griechen bei ihren Multi- 
plikationen im wesentlichen der gleichen Methode sich bedienten, 
der wir noch heute folgen, nur daß sie bezüglich der Anordnung 



>) Archimed (ed. Heiberg) IH, 270. 



Die übngen LeiBtnngon des Archimedes 319 

der Teilmultiplikationen den entgegengesetzten Weg einschlagen. Sie 
fingen nämlich mit dem^ was wir die Ziffer höchsten Ranges im 
Multiplikator neimen, an und stiegen dann zu den niedrigeren Stellen 
herab y sie beobachteten die gleiche Reihenfolge innerhalb der Teile 

des Multiplikandus. So wird z. B. 2016-^- folgendermaßen quadriert. 

Es ist 2000.2000 = 4000000, 2000.10 = 20000, 2000.6 = 12000, 



2000 y- 333 J-; 10-2000-20000, 10 • 10 = 100, 10 


■6-60, 


10 . -J =. 1* -J ; 6 • 2000 - 12000, 6-10-60, 6 • 


6 - 36, 


6.|-l;|.2000-333j-, ;.10-li|,;-.6-l,-J 


1 1 

6" °" 36 



und alle diese Teilprodukte vereinigt geben 4064928 • 

Man könnte bei diesem Fortschreiten von den größeren Teilen 
der Zahlen zu immer kleineren an die mehrerwähnte Stelle des 
Herodot^) denken, daß die Hellenen beim Rechnen die Hand von 
links nach rechts bewegen. Links befand sich (S. 133) auf der 
Rechentafel mit gegen den Rechner senkrechten Kolumnen die höchste 
Rangstelle. Man dürfte auch die Vermutung aussprechen, die Ver- 
einigung der Teilprodukte, welche als vollzogen gedacht wird, ohne 
zu erklären, wie man dabei verfuhr, sei auf der Rechentafel erfolgt, 
deren Gebrauch zur Zeit des Polybius, mithin nur ein halbes Jahr- 
hundert nach Archimed (S. 132) wir uns ins Gedächtnis zurück- 
rufen. Jedenfalls ist dieses griechische Rechnen innerhalb und mit 
Benutzung des Zehnerzahlensystems ein ungeheurer Fortschritt gegen- 
über dem ägyptischen Verfahren der Multiplikation und Division, 
welches fast nur fortgesetzte Verdoppelungen und Halbierungen nebst 
additiver Vereinigung so gewonnener Ergebnisse benutzte. In Griechen- 
land selbst wurden übrigens nach Aussage eines Scholiasten zum 
Charmides des Piaton beide Methoden gelehrt, denn anders sind 
die Ausdrücke hellenische und ägyptische Methoden der Multiplikation 
und Division nicht zu verstehen*). Ihr Nebeneinanderbestehen läßt 
vermuten, daß bereits die Griechen die Erfahrung machten, die ägyp- 
tische Methode lasse sich im Handelsverkehre leichter als die helle- 
nische anwenden, eine Erfahrung, welche italienische Kaufleute um 
Jahrhunderte später erneuerten. 

Wir nannten die hier erwähnten Stellen des Eutokius als zu den 
bedeutsamsten für die Kenntnis griechischer Rechenkunst gehörend. 
Vieles ist leider verloren gegangen. Unter den Schriften des 



') Herodot II, 86. *) P. Tannery, La g^om^trie grecque etc. pag. 49 
hat zuerst auf diese wichtige Stelle hingewiesen. 



320 16- Kapitel. 

Xenokrates, welche wir nur dem Titel nach kennen^) (S. 249), soll 
eine Logistik gewesen sein. Ein Rechenmeister Apollodorus wird 
uns genannt (S. 180). Von der Logistik des Magnus erwähnt 
Eutokius Rühmendes am Schlüsse seines Kommentars zur archi- 
medischen Kreismessung*). Eine Schrift, welche in griechischer 
Sprache von dem Rechnen auf dem Rechenbrette handelte, war im 
XVIIL Jahrh. noch in der S. Marcusbibliothek in Venedig vorhanden, 
ist aber inzwischen abhanden gekommen oder verlegt, so daß sie in 
den Handschriftenverzeichnissen der genannten Bibliothek nicht mehr 
vorkommt'). Aber was läßt mit so dürftigen Angaben sich machen? 
Sogar die Lebenszeit dieser Schriftsteller mit Ausnahme des Xeno- 
krates ist in tiefstes Dunkel gehüllt. Es ist sehr wahrscheinlich, 
daß Archimed selbst ein Buch verfaßt hat, welches mit der Rechen- 
kunst sich beschäftigte. Zu dieser Vermutung geben wenigstens einige 
Bruchstücke und deren Titel Veranlassung. Die Schrift hieß die 
Grundzüge, &QxaCj und war dem Zeuxippus zugeeignet*). Archimed 
lehrte darin unter anderen das dekadische Zahlensystem in übersicht- 
licher Gliederung weit über die Grenzen derjenigen Zahlen aus- 
dehnen, mit welchen man insgemein zu tun hat. Archimed faßt 
nämlich acht aufeinander folgende Rangordnungen in eine Oktade 
zusammen^). Die erste Oktade geht also von der Einheit bis zur 
Myriade der Myriaden, d. h. bis zu 100000000, welche Zahl die Ein- 
heit der zweiten Oktade bildet. Die Einheit der dritten Oktade ist 
ihm folglich die Zahl, welche wir durch Eins mit 2 mal 8 oder mit 16 
Nullen schreiben. Die Einheit der 26. Oktade ist in unserer Schreib- 
weise 1 mit 25 mal 8, d. h. mit 200 Nullen. Diese Oktaden setzt 
Archimed fort bis zur 10000 mal lOOOOsten und sämtliche Zahlen 
bis zur höchsten dieser letzten Oktade bilden die erste Periode. 
An sie schließt sich aber eine neue zweite Periode, deren Einheit 
folglich nach unserer Zahlenschreibweise eine 1 mit 800 Millionen 
Nullen ist! Es schwindelt einem bei dem Gedanken, auch mit dieser 
zweiten Periode von 10000 mal 10000 Oktaden die Zahlenreihe nicht 
abgeschlossen zu finden, sondern vielmehr die Möglichkeit zugeben 
zu müssen, noch höhere Perioden oder gar höhere Gruppenordnungen 
als die Perioden selbst zu bilden. 

Für die Richtigkeit dieses Auszuges bürgt, daß er von Archimed 



*) Diogenes Laertius VIII, 12. •) Archimed (ed. Heiberg) m, 302. 
*) PrivatmitteiluDg des Grafen Soranzo in Venedig auf die Anfrage des Ver- 
fassers nach dem Äbacus in Graeco^ von welchem Bern, de Montfaucon, 
Bibliotheca bibliothecarom manuscriptarum I, 468 D spricht. *) Archimed 
(ed. Heiberg) 11, 242, 246, (ed. Nizze) 209, 212. •) Archimed (ed. Heiberg) 
n, 266 sqq., (ed. Nizze) 217. 



Die übrigen Leistungen des Archimedes. 321 

in eigener Person herrührt. Er gibt ihn uns in einer yoUständig 
erhaltenen Abhandlung, der Sandrechniing, tl;afifLLti]g (lateinisch: 
arenarius). In ihr ist die Aufgabe gestellt eine Zahl anzugeben, 
welche größer sei als die Zahl der Sandkörner, die eine Kugel fassen 
würde, deren Halbmesser die Entfernung des Erdmittelpunktes von 
dem Fixsternhimmel wäre. Vorausgesetzt nun, daß 10000 Sandkörner 
hinreichen ein Kömchen von der Größe eines Mohnkornes zu liefern, 
und daß der Durchmesser eines Mohnkornes nicht kleiner als der 
40. Teil einer Fingerbreite sei, vorausgesetzt ferner, daß der Welt- 
durchmesser kleiner als 10000 Erddurchmesser, der Erddurchmesser 
endlich kleiner als eine Million Stadien sei, findet Archimed eine 
Zahl, welche die Sandkömerzahl einer der Weltkugel gleich ge- 
dachten Sandkugel überschreitet in 1000 Einheiten der 7. Oktade 
der 1. Periode. Ja Archimed geht noch weiter. Er nimmt nach 
astronomischen Anschauungen des Aristarchus von Samos^) die 
Weltkugel, die er alsdann Fixstemkugel nennt, noch größer an und 
erkennt, daß Sandkörner 1000 Myriaden der 8. Oktade an Zahl 
mehr als nur ausreichen würden, selbst diese Fixsternkugel zu 
bilden^). 

Was ist die Bedeutung dieser eigentümlichen Aufgabe? Mannig- 
fache Vermutungen sind darüber ausgesprochen worden. Man hat 
vielleicht nicht ganz unglücklich versucht den Zweck der Schrift in 
jenem Bruchstücke der Grundzüge zu finden. Mit anderen Worten: 
man hat es als einzigen Zweck der Sandrechnung bezeichnet, ein 
Beispiel davon zu liefern, wie man die Aussprache der Zahlen von 
einer gewissen Höhe an bedeutend vereinfachen und dabei eine Ein- 
sicht in die Art ihres Wachstums gewähren könne. Neben diesem 
Zwecke hat man einen anderen wichtigeren zu erkennen geglaubt, 
die Sandrechnung sei dazu bestimmt, die arithmetische Ergänzung 
der geometrischen Exhaustionsmethode zu bilden. Dem Unendlich- 
kleinen gegenüber ist das ünendlichgroße der zweite Pol des Un- 
endlichkeitsbegriffes, wenn wir so sagen dürfen; um beide dreht sich 
die ganze Infinitesimalrechnung. Will man aber beide Gegensätze 
deutlicher hervortreten lassen, so eignen sich geometrische Betrach- 
tungen nahezu zusammenfallender Raumgebilde vorzugsweise dazu, 
das Unendlichkleine zu versinnlichen, während das Unendlichgroße 
unmöglich an Figuren zu begreifen ist, welche dem Auge innerhalb 
des Raumes begrenzt erscheinen. Nur durch die Zahl wird es dem 
Verständnisse näher gebracht. Man kann zeigen, daß jede noch so 



*) Vgl. über diesen Wolf, Geschichte der Astronomie 36—37. *) Archi- 
med (ed. Heiberg) II, 290, (ed. Nizze) 228. 

C AKTOR, OescMchte der Mathematik L 3. Aufl. 21 



322 16. Kapitel. 

große, aber gegebene Zahl durch eine im übrigen nicht näher be- 
stimmte Zahl überstiegen werden kann, man kann über jede noch so 
ferne Grenze dabei als zu nahe gelegen hinausgehen. Das gerade hat 
Archimed in seiner Sandrechnung geleistet. 

Ist die Frage nach dem Zwecke der Sandrechnung schon eine 
schwierige^ so ist die Frage nach ihrer Heimat womöglich noch 
weniger sicher zu beantworten. Auf der einen Seite ist unzweifelhaft 
die philosophische wie die mathematische Erkenntnis des Unend- 
lichen ein Gegenstand griechischer Forschung schon in einer Zeit 
gewesen, die um reichlich ein Jahrhundert vor Archimed liegt. Auf 
der anderen Seite ist die griechische Denkart im ganzen so über- 
trieben großer Zahlen nicht gewohnt. Nicht vor, nicht nach Archi- 
med finden wir ähnliches in griechischer Sprache. Man könnte 
erwidern, nicht vor, nicht nach Archimed finde man unter den grie- 
chischen SchriftsteUem einen Archimed! Allein auch eine andere Aus- 
kunft ist nicht unmöglich. Es könnte hier ein auswärtiges Problem 
vorliegen, welches Archimed irgendwie, irgendwo einmal zu Ohren 
gekommen wäre, welches er mit seinem allumfassenden Geiste auf- 
nahm und im Sinne seiner Absicht, die vielleicht von der des ur- 
sprünglichen Stellers der Aufgabe himmelweit verschieden war, be- 
handelte. Man möchte fast für diese Auffassung auf die einleitenden 
Sätze der Sandrechnung verweisen: „Manche Leute glauben, König 
Gelon, die Zahl des Sandes sei von unbegrenzter Größe. Ich meine 
nicht des um Syrakus und sonst noch in Sizilien befindlichen, son- 
dern auch dessen auf dem ganzen festen Lande, dem bewohnten und 
unbewohnten. Andere gibt es wieder, welche diese Zahl zwar nicht 
für unbegrenzt annehmen; sondern nur daß noch keine so große 
Zahl jemals genannt sei, welche seine Menge übertrifft. Wenn sich 
nun eben diese einen so großen Sandhaufen dächten, wie die Masse 
der ganzen Erde; dabei sämtliche Meere ausgefüllt und alle Ver- 
tiefungen der Erde so hoch wie die höchsten Berge, so würden sie 
gewiß um so mehr glauben, daß keine Zahl zur Hand sei, die Menge 
derselben noch zu überbieten. Ich aber will mittels geometrischer 
Beweise, denen Du beipflichten wirst, zu zeigen versuchen, daß unter 
den von mir benannten Zahlen, welche sich in meiner Schrift an den 
Zeuxippus befinden, einige nicht nur die Zahl eines Sandhaufens 
übertreffen, dessen Größe der Erde gleichkommt, wenn sie nach meiner 
Erklärung ausgefüllt ist, sondern auch die eines solchen, dessen Größe 
dem Weltalle gleich ist.'' So der Anfang der Abhandlung, und man 
wird zugeben müssen, daß Archimed in ihm die eigentümliche Grup- 
pierung und Benennung der großen Zahlen für sich in Anspruch 
nimmt, aber keineswegs den Gedanken eines der Erdkugel gleichen 



Die übrigen Leistungen des Archimedes. 323 

Sandhaufens selbst als einen neuen bezeichnet^ welchen noch niemand 
vor ihm geäußert habe. 

Wir haben (S. 297) zugesagt^ auch die Kenntnisse Archimeds 
im Gebiete der Mechanik in das Bereich unserer Darstellung zu 
begreifen. Bei Archimed war mehr als bei irgend früheren Schrift- 
stellern die Mechanik der Geometrie eng verschwistert. Geometrische 
Betrachtungen feinster Art standen ihm im Dienste der Mechanik, 
mechanische Lehren wurden aber auch zur Beweisführung geome- 
trischer Sätze Ton ihm angewandt. Wir haben wiederholt yon der 
Stellung der Abhandlung über die Quadratur der Parabel mitten 
zwischen den beiden Büchern yom Gleichgewicht der Ebenen 
gesprochen, und diese Stellung ist kennzeichnend nach beiden Seiten 
hin. Eine Stetigkeit des Inhaltes vom I. Buche zur Zwischenabhand- 
lung, yon dieser zum IL Buche ist imyerkennbar, so unverkennbar, 
daß es schwer wird zu sagen, welcher einzelne Satz für Archimed 
mit der Geltung eines mechanischen, welcher mit der eines geome- 
trischen Satzes versehen ist. Es handelt sich in der ganzen Schrift 
um Schwerpunktsbestimmungen, welche auf Grund des Satzes^) 
gefunden werden, daß der Schwerpunkt einer aus zwei gleich schweren 
nicht denselben Schwerpunkt besitzenden Größen zusammengesetzten 
Größe in der Mitte derjenigen geraden Linie liegen muß, welche die 
Schwerpunkte der beiden Teile verbindet, zu welchem der andere 
bereits in der aristotelischen Mechanik (S. 255) enthaltene Satz*) 
kommt, daß kommensurable wie inkommensurable Größen im Gleich- 
gewicht stehen, sobald sie ihren Entfernungen von dem Stützpunkte 
des Hebels, an welchem sie wirkend ge- 
dacht sind, umgekehrt proportioniert 
sind. So findet Archimed den Schwer- 
punkt eines Parallelogrammes , eines 
Dreiecks, eines Paralleltrapezes und hat 
damit das nötige Material, um nun end- _ 
lieh bis zum 17. Satze der Zwischen- ^-^ 
abhandlung mechanisch die Quadratur 
der Parabel abzuleiten'^), von deren sich 
alsdann noch anknüpfender geometri- 
schen Begründung wir im vorigen Kapitel gesprochen haben. Der 
Gang ist in aller Kürze folgender. Zuerst (Fig. 54) wird an dem 
gleicharmigen in B gestützten Hebel ABT ein Dreieck F^H mit 




*) Gleichgewicht der Ebenen Buch I, Satz 4 (ed. Heiberg) II, 146, (ed. 
Nizze) 2. *) Gleichgewicht der Ebenen Buch I, Satz 6 und 7 (ed. Heiberg) 
n, 162—160, (ed. Nizze) 8—6. ») Archimed (ed. Heiberg) H, 308—386, (ed. 
Nizzej 12—22. 

21' 



324 



16. Kapitel. 



den Befestigungspunkten B und F an dem Wagbalken B F aufgehängt 
gedacht. Es wird gezeigt, daß dieses Dreieck mit einer in ^ auf- 
gehängten Figur Z in Gleichgewicht ist, wenn Z der dritte Teil des 

Dreiecks F^H ist. Des weiteren 
A s J E IT JT wird (Fig. 55) ein Paralleltrapez auf- 

jrjx^ gehängt gedacht, dessen nicht parallele 
/-^Z Seiten sich in F schneiden, während 

/ / die parallelen Seiten senkrecht gegen 

/ den Wagbalken sind. Für die diesem 

/ Trapeze ^KPT bei A das Gleich- 

gewicht haltende Figur' Z wird be- 
wiesen, daß sie zwischen zwei Grenzen, 
BH 



Fig. 55. 



dem -^-^. 



und dem --fachen des 

n L 



Trapezes enthalten ist. Jetzt geht Archimed (Fig. 56) zur Aufhängung 
eines Parabelabschnittes über. Er hat schon im Eingange der Ab- 
handlung einige Eigenschaften dieser Kurve erwähnt. Er zeigt nun, 
daß wenn die den Abschnitt bildende Sehne BF m beliebig viele 
gleiche Teile geteilt wird, wenn aus jedem Teilpunkte eine Parallele 

zu Äz/ und aus den Schnittpunkten 
dieser Parallelen mit der Parabel Ver- 
bindungslinien nach F gezogen werden, 
welche man noch jenseits des Parabel- 
punktes bis zur nächsten Parallelen 
verlängert, der Parabelabschnitt als- 
dann als zwischen zwei Summen von 
trapezartigen Stücken enthalten sich 
kundgibt. Durch Aufsuchen der jedem 
Trapezchen in A das Gleichgewicht 
haltenden Figur, sowie durch Ver- 
bindung der beiden genannten Gleich- 
gewichtssätze für das Dreieck und das 
Trapez ergibt sich endlich der Parabel- 
abschnitt als Drittel des großen Dreiecks BFJ. Andrerseits ist unter 
der Voraussetzung, es sei EM& die der BF parallele Berührungs- 
linie an die Parabel, M die Mitte von HA, H die Mitte von BF und 

A die Mitte von FA, folglich HM^ ~, Daraus ergibt sich, daß 
der Parabelabschnitt - - des kleinen Dreiecks BMF ist, wie erwiesen 

werden sollte. Im IL Buche des Gleichgewichts der Ebenen geht 
dann Archimed dazu über, den Schwerpunkt des parabolischen 
Abschnittes zu finden. 




Die übrigen Leistmigeii des Archimedes. 325 

Noch gewaltiger förderte Archimed die Erkenntnis der Gesetze 
gegenseitigen Druckes flüssiger und fester Körper. Er entdeckte das 
nach ihm benannte hydrostatische Prinzip^), welches als Lehr> 
satz gekleidet von ihm folgendermaßen ausgesprochen wurde: Jeder 
feste Körper, welcher, leichter als eine Flüssigkeit, in diese eingetaucht 
wird, sinkt so tief, daß die Masse der Flüssigkeit, welche so groß 
ist als der eingesunkene Teil, ebensoviel wiegt, wie der ganze 
Körper*). Daraus folgt ein weiterer Satz: Wenn ein Körper, leichter 
als eine Flüssigkeit, in diese getaucht wird, so verhält sich sein Ge- 
wicht zu dem einer gleich großen Masse Flüssigkeit, wie der einge- 
sunkene Teil des Körpers zum ganzen Körper^). Dieser Satz bildet 
selbst die wissenschaftliche Definition des spezifischen Gewichtes für 
solche Stoße, die leichter als die zur Dichtigkeitseinheit gewählte 
Flüssigkeit sind. 

Das spezifische Gewicht dichterer Körper hatte Archimed, 
wie wir (S. 310 — 312) besprochen haben, bei seiner Kronenrechnung 
zu benutzen verstanden. Wir lehnten es dort ab, zu entscheiden, 
welcher von den beiden berichteten Methoden Archimed sich tat- 
sächlich bediente. Auch jetzt, wo der Zusammenhang mit den Büchern 
von den schwimmenden Körpern uns nahe legen würde, von jener 
unparteiischen Zwischenstellung uns zu entfernen, sprechen wir nur 
mit besonderem Vorbehalte unsere persönliche Meinung über jene 
Frage aus. Die Methode mehrfacher Abwägungen ließ jedenfalls ein 
genaueres Ergebnis finden als die Methode der Abmessung der aus- 
laufenden Flüssigkeit, und gerade deshalb scheint uns, da nun einmal 
beide Methoden berichtet werden, beide also mindestens zur Zeit, als 
der Berichterstatter lebte, wahrscheinlich aber viel früher, bekannt 
gewesen sein müssen, die letztgenannte Methode die ersterfundene 
gewesen zu sein*). Der Gedankengang ist doch wohl der natür- 
lichere, daß dem Archimed zuerst unmittelbare Messung des ver- 
drängten Wassers vorschwebte, und daß erst später, sei es durch ihn 
selbst, sei es durch Nachfolger, das mittelbare Verfahren erfunden 
wurde, nachdem die praktische ünausführbarkeit erkannt war, das 
verdrängte Wasser vollständig und genau aufzufangen und zu messen. 
Sei dem nun, wie da wolle, jedenfalls hat, wie wir schon andeuteten, 



') Über das hydrostatische Prinzip vgl Ch. Thurot, Eecherches historiqu^s 
8Ur 1e principe cVArvhimede in der Revue Ärcheolotjique 1H69. *) Archimed, 
Von schwimmenden Körpern Buch 1, Satz 5 (etl. Heiberg) IV, 867, (ed. Nizze) 
227. ^). Archimed, Von schwimmenden Körpern Buch II, Satz 1 (ed. Hei- 
berg) II, 375, (ed. Nizze) 232. *) Montucla, Histoire des Mathematiques I, 
229 vertritt die entgegengesetzte Ansicht und Thnrot scheint ihm zu t'oJgen, 
wenn er sich auch nicht so bestimmt ausspricht. 



326 16. Kapitel. 

die Kronenreclinung frühzeitig ein verdientes und ungewöhnliches Auf- 
sehen verursacht. Yitruvius nennt sie nehen der Inkommensurabilität 
der Diagonale eines Quadrates und neben dem pythagoräischen Drei- 
ecke aus den Seiten 3, 4, 5 in gleicher Linie. Sie stellen ihm ge- 
meinschaftlich die drei größten mathematischen Entdeckungen dar^). 
ProkluB erzählt, König Gelon habe im Hinblick auf die Kronen- 
rechnung gesagt, er werde hinfort nichts bezweifeln, was Archimed 
behaupte^). 

Dasselbe geflügelte Wort, erzählt Proklus weiter, werde auch auf 
König Hiero zurückgeführt, und knüpfe sich an eine andere mecha- 
nische Leistung, welche dem Laien noch wunderbarer vorkommen 
mußte, weil ihm selbst eine unbegreifliche Handlung ermöglicht 
wurde. Archimed habe nämlich mit Hilfe von eigentümlich zusammen- 
gesetzten Herrichtungen es fertig gebracht, daß König Hiero ganz allein 
ein schweres Schifl' von Stapel lassen konnte. Ob die Herrichtung 
der Hauptsache nach ein Flaschenzug ^), rQLöJcdörog, war, ob eine 
Spirale^), skL^^ sie darstellte, ist ziemlich gleichgültig. Jedenfalls 
ist der Name des Archimed für alle Zeiten mit dem einer dritten 
Gattung von Vorrichtungen, mit der Schraube^), xoxUaj verbunden 
geblieben, welche er als Wasserhebewerk benutzte, und das ihm inne- 
wohnende Bewußtsein der großen Leistimgsfähigkeit seiner Maschinen 
spiegelt sich in dem stolzen Worte: Gib mir wohin ich gehen kann, 
und ich setze die ganze Erde in Bewegung*), sta ß& xal xa^iörtovi 
räv yäv xlvii}6(o Ttäöav, oder gib mir wo ich stehe ^d ich bewege 
die Erde^) dög fiol %ov öra xal xivcb ri^v yrjv. 

Wir übergehen das, was von einem vielleicht durch eine Art 
Gebläse oder durch Wasserkraft in Bewegung gesetzten Himmels- 
globus^) des Archiqied erzählt wird, was sich auf ein fQr König 
Hiero erbautes großes Schiff mit 20 Ruderbänken^), was sich auf die 
Brennspiegel bezieht, mittels deren Archimed bei der Römer- 
belagerung die feindlichen Schiffe in Brand gesetzt haben soll^°). 
Das sind Gegensiände, die noch weniger als die zuletzt besprochenen 
der Geschichte der Mathematik angehören, und die, mag an ihnen 
wahr sein, was da wolle, die Verdienste Archimeds für unsere Zwecke 
weder erhöhen, noch beeinträchtigen. 

») Vitruvius IX, 1—8. *) Proklus (ed. Priedlein) 68. ^ Tzetzes II, 
85. *) Athenaeus V, p. 217. ^) Diodor I, 34 und V, 37. •) Tzetzes II, 
130. Pappus Vm, 11 (ed. Hultsch) 1060. ») Bunte, Leerer Gymnasial- 
programm von 1877, S. 15—18 und Hultsch, Ueber den Himmelsglobus des 
Archimedes. Zeitschr. Math. Phys. XXII, Histor.-literar. Abteilung 106 (1877). 
^ Athenaeus V, pag. 207. *^) Heiberg, Quaestionea Archimedeae 89—41. 



Eratosthenes. Apollonins von Pergä. 327 

16. Kapitel. 
Eratosthenes. ÄpoUoBius yon Pergä. 

Etwa 11 Jahre nach der Geburt des Archimedes^ im Jahre 276 
oder 275 wurde in Kyrene, der therischen Kolonie an der Nordküste 
Afrikas, Eratosthenes, Sohn des Eglaos geboren^). Er yerbrachte 
den größten Teil seines Lebens in Alexandria. Dort ward er er- 
zogen unter der Leitung seines Landsmannes Kallimachus, des 
gelehrten Vorstehers der großen Bibliothek, sowie eines anderen sonst 
unbekannten Philosophen Lysanias. Dann wandte er sieh nach Athen, 
wo er der Schule der Platoniker sich näherte, so daß er selbst als 
Platoniker bezeichnet wird, und wo er wahrscheinlich auch zuerst in 
das Studium der Mathematik eindrang. Ptolemaeus Euergetes — der 
dritte Ptolemäer, wie Suidas erzählt^ dem die Notizen für das Leben 
des Eratosthenes fast ausschließlich zu verdanken sind — berief Era- 
tosthenes wieder nach Alexandria zurück als Nachfolger seines Lehrers 
KaUimachus in der Vorstandsstellung bei der Bibliothek, und von da 
an scheint sein Verhältnis zu diesem Fürsten wie zur Fürstin Arsinoe 
ein besonders freundschaftliches geworden zu sein. Es ist folglich 
keinerlei Grund vorhanden anzunehmen, Eratosthenes sei in späteren 
Jahren von der Bibliothek entfernt ins Elend geraten, wenn auch 
andrerseits die Nachrichten aUzu übereinstimmend sind um sie zu 
verwerfen, daß Eratosthenes augenleidend, vielleicht sogar erblindet, 
seinem Leben ungefähr 194 v. Chr. durch freiwilligen Hungertod ein 
Ende machte. 

Die wissenschaftliche Bedeutung des Eratosthenes war eine 
mannigfaltige. Das Hauptgewicht scheint er selbst auf seine litera- 
rische und grammatische Tätigkeit gelegt zu haben, wenigstens gab 
er sich den Beinamen des Philologen. Allein auch in den meisten 
anderen Lehrgegenständen trat Eratosthenes als Schriftsteller auf, wie 
die erhaltenen Überschriften seiner Werke bezeugen, und sicherlich 
nicht mit Unrecht nannten ihn deshalb die Schüler des Museums 
Pentathlon, den Kämpfer in allen fünf Fechtweisen, welche bei den 
Kampfspielen in Gebrauch waren. Um diese Vielseitigkeit zu kenn- 
zeichnen mag nur der Schrift über das Gute und Böse neben der 
Erdmessung, des Werkes über die Komödie neben der Geo- 

*) Vgl. FabriciuB, Bibliotheca Graeca (ed. Harless) IV, 120—127. Era- 
tosthenis geographicorum fragmenta (ed. Seidel) Göttingen 1789. G. Bern- 
hardy, Eratosthenica. Berlin 1822 und desselben Verfassers Artikel Eratos- 
thenes in Ersch und Grubers Encyklopädie. Eratosihenis Carminum reltquiae 
(ed. Hiller) Leipzig 1872. 



328 16. Kapitel. 

graphie, der Chronologie neben dem Buche über die Würfel- 
verdoppelung gedacht sein. 

In der Erdmessung, mit welcher eine besondere Schrift üagl 
tfjg ävafiszQT^ascog rfig yfig sich beschäftigte, war zum ersten Male 
von einem Griechen der Versuch gemacht die Größe der Erde genau 
zu bestimmen. Er fand den Grad zu 126000 Meter, während die 
wahre Länge des Breitengrades in Ägypten 110802,6 Meter beträgt, 
so daß also Eratosthenes bei seiner Schätzung um fast 137^ Prozent 
irrte, ein Irrtum, den man aber nicht so beträchtlich finden wird, 
wenn man erwägt, daß dem Eratosthenes dabei höchstens bis zur 
zweiten Katarakte wirkliche Landesvermessungsergebnisse zu Gebote 
standen, während er für das obere Land bis zu den Nilkrümmungen 
und nach Meroe von den ganz unbestimmten Angaben der wenigen 
Reisenden abhängig war, welche die Hauptstationen und ihre Ent- 
fernungen in Tagesmärschen aufgezeichnet hatten^). 

Den erhaltenen Bruchstücken der Geographie hat man ent- 
nommen, daß Eratosthenes nicht nur eine klare Beschreibung des 
Vorhandenen lieferte, sondern auch allgemeine Betrachtungen über 
das Werden und die Ursachen der Veränderungen der Erdoberfläche 
mit Glftck gewagt hat*). 

Für die Chronologie ist seit Auffindung des Ediktes von 
Kanopus ein Inhalt bekannt geworden, an welchen niemand früher 
dachte, niemand denken konnte. Wir haben gelegentlich (S. 78) von 
dieser Verordnung gesprochen. Die in Kanopus, nur wenige Weg- 
stunden von Alexandria entfernt, versammelte Priesterschaft verkündete 
imter dem Datum des 19. Tybi des 9. Regierungsjahres Ptolemaeus III., 
Euergetes I. d. i. am 7. März 238 v. Chr. den BefehP), daß „damit 
auch die Jahreszeiten fortwährend nach der jetzigen Ordnung der 
Welt ihre Schuldigkeit tun und es nicht vorkomme, daß einige der 
öflfentlichen Feste, welche im Winter gefeiert werden, einstens im 
Sommer gefeiert werden, indem der Stern um einen Tag alle vier 
Jahre weiterschreitet, andere aber, die im Sommer gefeiert werden, 
in späterer Zeit im Winter gefeiert werden, wie das sowohl früher 
geschah, als auch jetzt wieder geschehen würde, wenn die Zusammen- 
setzung des Jahres aus den 360 Tagen und den 5 Tagen, welche 
später noch hinzuzufügen gebräuchlich wurde, so fortdauert, von 



^) Lepsius, Das Stadium und die Gradmessung des Eratostlienes auf 
Grundlage der ägyptischen Maße (in der Zeitschr. f. ägypt. Sprache und Alter- 
thumskunde lö77, 1. Heft). *) Alex. v. Humboldt, Kosmos H, 208 und zuge- 
hörige Anmerkung S. 435. Berger, Die geographischen Fragmente des Eratos- 
thenes neu gesammelt, geordnet und besprochen. Leipzig 1880. ^} Lepsius, 
Das bilingue Dekret von Kanopus. Berlin 186G. Bd. J. 



Eratoatheoes. ApoUonius von Perga. 329 

jetzt an 1 Tag als Fest der Götter Euerget^u alle 4 Jahre gefeiert 
werde hinter den 5 Epagomenen und vor dem Neuen Jahre, damit 
jedermann wisse, daB das, was früher in bezug auf die Einrichtung 
der Jahreszeiten und des Jahres und das hinsichtlich der ganzen 
Himraelsordnung Augenommene fehlte, durch die Götter Euergeten 
glücklich berichtigt und ergänzt worden ist." Ob Eratosthenes selbst 
diese wichtige chronologische Neuerung veranlaßte, ist unsicher. Kalli- 
machus soll nämlich um die CXXXV. oder CXXXVI. Olympiade ge- 
storben sein. Der Anfang der ersteren war 240, der der zweiten 236. 
Zwischen beide Anfänge fällt das Edikt von Kanopus. Da nun 
Eratosthenes erst nach dem Tode des Kallimachus wieder nach 
Alexandria zurückkehrte, so hängt es wesentlich von der genauen 
Bestimmung dieses Todesjahres ab, ob Eratosthenes bei Erlaß des 
Ediktes zur Stelle war oder nicht. Aber sei dem, wie da wolle, 
irgend eine Beziehung zwischen der Schaltjahreinrichtung und der 
Chronologie des Eratosthenes wird nicht wohl von der Hand zu 
weisen sein. Wir machen zugleich darauf aufmerksam, daß von 
dieser, merkwürdigen Tatsache des Vorhandenseins eines ägyptischen 
Schaltjahres in der frühen Ptolemäerzeit der Altertumsforschung vor 
Auffindung des Ediktes selbst nicht eine Silbe bekannt war. Nicht 
die leiseste Anspielung auf diese jetzt durchaus feststehende bedeut- 
same Reform kommt in uns erhaltenen alexandrinischen Schriften vor, 
ein Wink, nicht gar ^u viel auf das negative Zeugnis fehlender Be- 
lege für eine an sich wahrscheinliche Vermutung zu vertrauen. 

Über alle diese Schriften müssen kurze Andeutungen hier ge- 
nügen. Bevo? wir zum Briefe über die Würfelverdoppelung und 
damit zur mathematischen Seite der Tätigkeit des Eratosthenes über- 
gehen, wollen wir nur eines weiteren Beinamens noch gedenken,, 
unter welchem er mitunter vorkommt. Man nannte ihn nämlich 
Beta. Die Bedeutung dieses Beinamens ist sehr zweifelhaft. Die 
einen wollen, er habe ihn deshalb erhalten, weil er der zweite Vor- 
steher der großen Bibliothek gewesen sei. Allein dieses ist eines- 
teils unrichtig, wenn, wie sonst angenommen wird, Zenodotus der 
erste, Kallimachus der zweite, Eratosthenes also erst der dritte Vor- 
steher war, andemteils ist nirgends eine Spur zu finden, daß Zeno- 
dotus oder auch Kallimachus etwa Alpha, oder einer der Nachfolger 
des Eratosthenes Gamma oder Delta genannt worden wäre. Wahr- 
scheinlicher ist die andere Ableitung, wonach das Wort Beta ihn als 
zweiten Piaton kennzeichnen sollte, oder allgemeiner als denjenigen^ 
der überall den zweiten Rang wenigstens sich zu erobern wußte, 
wenn der erste Rang auch ehrfurchtsvoll den Altvordern eingeräumt 
werden muß. Endlich kommt noch in Betracht, daß Buchstaben als 



330 



16. Kapitel. 



Beinamen, und zwar unter den seltsamsten Begründungen^ auch ander- 
weitig bei den Griechen um das Jahr 200 v. Chr. vorkommen. So 
wird ein Astronom ApoUonius, der zur Zeit des Königs Ptolemaeus 
Philopator sich mit Untersuchungen über den Mond beschäftigte und 
dadurch sich weithin bekannt machte, als Epsilon bezeichnet; denn 
der Buchstabe € sehe der Gestalt des Mondes gleich^). 

Der Brief über die Würfelverdoppelung ist von uns be- 
reits mehrfach benutzt worden. Dem Anfange desselben entnahmen 
wir (S. 211) die Geschichte der Entstehung jenes Problems. Als 
wir von Eudoxus und Menächmus und ihren Würfelverdoppelungen 
redeten (S. 231 und 229), bezogen wir uns auf ein Epigramm^), 
welches den Schluß des Briefes bildet. Der Hauptteil des Briefes 
lehrt selbst eine Verdoppelung des Würfels unter Anwendung eines 
eigens dazu erfundenen Apparates, des Mesolabium, wie es genannt 
wurde, weil es dabei auf die Auffindung zweier geometrischer Mittel 
zwischen zwei gegebenen Größen und zwar durch Bewegungsgeo- 
metrie (S. 209) ankam ^). Das Mesolabium bestand aus drei einander 
gleichen rechtwinkligen Täfelchen von Holz, Elfenbein oder Metall, 
welche zwischen zwei mit je drei Rinnen versehenen Linealen ein- 
geklemmt in diesen Rinnen übereinander weg verschoben werden 

konnten. Die Anfangslage ist in 
der Figur, welche Eutokius in seinem 
Kommentare zu Archimeds Büchern 
von der Kugel und dem Zylinder, 
wo der ganze Brief des Eratosthenes 
eingeschaltet sich finÄet, beigibt, mit 
den Buchstaben (Fig. 57) AEZA, 
AZHI, IH0^ versehen, wobei, 
wie wir im vorübergehen bemerken, der Buchstabe I auffallen mag. 
Auch in der in dem gleichen Kommentare erhaltenen Figur zur 
Würfelverdoppelung des Archytas (S. 228 Fig. 36) kommt ein I vor, 
während Euklid diesen Buchstaben grundsätzlich vermieden hat, viel- 

*) Ptolemaeus Hephaestio bei Photius cod. CXC. *) Hiller in 
seiner Ausgabe der poetischen Fragmente des Eratosthenes hält aus sprach- 
lichen Gründen das Schlußepigramm sowie vielleicht den ganzen Brief für un- 
echt. Die sprachliche Form geben wir deshalb preis, da wir uns nicht be- 
rechtigt glauben auf diesem Gebiete zu widersprechen, den Inhalt aber halten 
wir der wesentlichen Übereinstimmung wegen mit allem, was wir wissen, nach 
wie vor für echt. *) Den Namen des M*esolabium kennen wir aus Vitruvius 
IX, 3 und aus Pappus III, 4 (ed. Hultsch) 64. Die Beschreibung des Appa- 
rates bei Pappus III, 5 (ed. Hultsch) 56 sq. weicht in Einzelheiten, aber nicht 
in dem Hauptgedanken von dem eratosthenischen Briefe ab und bestätigt so 
unsere in der vorigen Anmerkung ausgesprochene Meinung. 




Eratosthenes. ApoUonius von Pergä. 331 

mehr nach 6^ sofort zu K überging. Offenbar wollte man dadurch 
der leicht möglichen VerwechBlung des Buchstaben I mit einem ein- 
fachen Yertikalstriche vorbeugen. Aristoteles freilich und wohl aUe 
ihm vorhergehenden Schriftsteller vermieden das I noch nicht bei 
Figurenbezeichnungen ^). Wohl möglich, daß diese Sitte auch zur 
Zeit des Eudemus, dessen Au&eichnungen Eutokius das Verfahren 
des Archytas entnimmt; noch nicht aufgekommen war. Für das Vor- 
kommen des I in einer Figur des Eratosthenes wissen wir keine 
andere Erklärung, als daß an dem ursprünglichen Texte mancherlei, 
wenn auch den Inhalt wenig berührende Änderungen vorgenommen 
worden sein müssen, von denen unter anderen die Buchstaben der 
einen Figur betroffen wurden. War nun AE die größere, J6 die 
kleinere Linie, zwischen welche die 
beiden mittleren Proportionalen ein- 
zuschalten waren, so mußte man 
(Fig. 58) die Rechteckchen so ver- 
schieben, daß das erste einen Teil des 
zweiten, dieses einen Teil des dritten 
verbarg und zwar derart, daß die 
von A nach A gezogene Grade durch 
die Punkte B, F hindurchging, von welchen an die Diagonalen des 
zweiten und dritten Rechteckchens sichtbar waren; die BZ und FH 
sind alsdann, wie leicht zu beweisen ist, die beiden gesuchten mitt- 
leren Proportionallinien. Eratosthenes schlug diese seine Erfindung 
so hoch an, daß er zum ewigen Gedächtnisse derselben ein Exemplar 
als Weihgeschenk in einem Tempel aufhängen ließ. Die von ihm 
selbst entworfene Inschrift, welche die Gebrauchsanweisung enthielt, 
soll das mehrgenannte Schlußepigramm des eratosthenischen Briefes sein. 

Ob ein vonPappus an zwei Stellen*) erwähntes Werk des Eratos- 
thenes über Mittelgrößen, Jisgl ^66ori]r(ov oder rÖTtot Ttgbg fiBöö- 
xritagj sich gleichfalls auf die Würfelverdoppelung bezog, ist ungewiß. 
Wäre dem so, so würde daselbst möglicherweise eine geometrische 
Lösung gelehrt worden sein, da Pappus das eine Mal bemerkt, diese 
Schrift stehe mit den linearen Örtern ihrer ganzen Voraussetzung 
nach in Zusammenhang. 

Noch geringfügiger sind die Spuren eines weiteren Werkes des 
Eratosthenes, welche auf wenige unbedeutende Zitate bei Theon von 
Smyma*) sich beschränken. Wenn auch der Schluß gerechtfertigt 




^) Heibergin den Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik XYIU, 18. 
*) PappuB VII, Prooemium (ed. Hultsch) 686 und 662. ») Theon Smyr- 
naeus (ed. Hiller) 82, 107, 111. 



332 16. Kapitel. 

sein mag, in jenem Werke sei yon den Proportionen und sonstigen 
arithmetischen Fragen die Rede gewesen, so schwebt doch die Be- 
hauptung^) ganz in der Luft, sie habe den Titel Arithmetik geführt. 

Vielleicht gehört ebendahin ein Bruchstück, welches bei Niko- 
machus von Gerasa und in dem Kommentare zu dessen Arithmetik 
von Jamblichus sich vorfindet^). Vielleicht aber bildet auch dieses 
Bruchstück einen Teil einer besonderen Schrift, welche den Titel 
des Siebes führte. Das Sieb, xööxivov (lateinisch: crihrum Eratos- 
thenis) ist eine Methode zur Entdeckung sämtlicher Primzahlen. Man 
schreibt, so lautet die Regel, alle ungeraden Zahlen von der 3 an der 
Reihe nach auf. Man streicht nun jede dritte Zahl hinter der 3 
durch, so sind die Vielfachen der 3 entfernt. Dann geht man zur 
nächsten Zahl 5 über und streicht jede fünfte Zahl hinter ihr durch 
ohne Rücksicht darauf, ob sie schon durch einen früheren Strich 
vernichtet ist oder nicht, so sind die Vielfachen der 5 entfernt. Fährt 
man weiter so fort, indem man beim Abzählen und Durchstreichen 
die bereits durchstrichenen Zahlen den unberührten gleichachtet und 
nur den Unterschied macht, daß man keine durchstrichene Zahl als 
Ausgangspunkt einer neuen Aussiebung benutzt, so bleiben schließlich 
nur die Primzahlen übrig. Sämtliche zusammengesetzte Zahlen da- 
gegen sind vernichtet, und am Anfange fehlt auch noch die Prim- 
zahl 2, welche Jamblichus, weil sie gerad sei, nicht unter die Prim- 
zahlen gerechnet wissen will, trotzdem Euklid sie fehlerhafterweise 
dorthin verwiesen habe*). 

Die Siebmethode des Eratosthenes ist gerade keine solche, zu 
deren Ersinnung ein übermäßiger Scharfsinn gehörte. Trotz dessen 
glauben wir sie ihrer geschichtlichen Stellung wegen für einen ziem- 
lich bedeutenden Fortschritt in der Zahlentheorie halten zu müssen. 
Man erwäge nur, wie die Sache der Zeitfolge nach liegt. Zuerst 
unterschied man Primzahlen von zusammengesetzten Zahlen und leitete 
wohl manche Eigenschaften der letzteren aus den ersteren ab. Der 
zweite Schritt war der, daß Euklid zeigte, wie die Anzahl der Prim- 
zahlen unendlich sei, wie es folglich nicht möglich sei, alle Prim- 
zahlen zu untersuchen. Jetzt erst gewinnt es als dritter Schritt 
Bedeutung, wenn Eratosthenes zeigt, wie man wenigstens imstande 
sei, die Primzahlen, soweit man in der Zahlenreihe gehen will, zu 
entdecken, und somit der Unausführbarkeit der Darstellung sämtlicher 
Primzahlen eine von der Willkür des Rechners abhängende untere 

^) Fabricius, Bihliotheca graeca (ed. Harless) IV, 121. *) Nicomachus 
(ed. Ho che) 29 ügg. Jamblichus in Nicomachi ariihmeticam (ed. Tennulius) 
41, 42, (ed. Pia teil i) 29 sqq. *) Jamblichus in Nicomachi ariihmeticam (ed. 
Tennulius) 42, (ed. Pistelli) 30, 31. 



Eratosthenes. ApoUoniuB von Pergä. 333 

Grenze zu setzen. An und für sich hätte die Erfindung des Eratos- 
thenes ebensogut vor als nach Euklid gemacht werden können; nur, 
meinen wir, wäre ihr wissenschaftlicher Wert geringfügiger gewesen, 
wenn sie älter war. Damals hätte das Sieb ein yerunglückter Ver- 
such sein können die genaue Anzahl der Primzahlen zu ermitteln. 
Jetzt dagegen, nach Euklid, konnte es nur eine Methode sein, bei 
deren Aussinnung man von Anfang an gerade das beabsichtigte, was 
sie zu leisten imstande ist. Darin aber schon liegt ein Zeugnis höherer 
Vollkommenheit, wenn Methoden zu bestimmten Zwecken gesucht und 
auch wirklich gefunden werden. 

Das Jahrhundert von 300 bis 200 v. Chr., welches, weil am 
Anfang desselben Euklid blühte, das Jahrhundert des Euklid genannt 
werden kann, schloß würdig ab mit ApoUonius von Pergä^). Den 
Beinamen, der ihn von außerordentlich vielen bekannten Männern, 
welche gleichfalls ApoUonius heißen, unterscheiden soll, führt er nach 
seinem Heimatsorte, einer Stadt in Pamphilien. Ob er mit dem 
früher erwähnten Astronomen, dem der Beiname Epsilon beigelegt 
wurde, zusammenfällt oder nicht, steht in Zweifel. Die Lebenszeit 
der beiden ist allerdings übereinstimmend. ApoUonius von Pergä 
wurde während der Regierung des Ptolemaeus Euergetes geboren und 
hatte seine Blütezeit, gleich jenem Astronomen, während der bis 205 
dauernden Regierung des Ptolemaeus Philopator. Eine fernere Über- 
einstimmung könnte man darin finden, daß auch von ApoUonius von 
Pergä bekannt ist, daß er mit Sternkunde sich beschäftigte. Wenig- 
stens geht die beste Lesart einer SteUe des 1. Kapitels des XIL Buches 
des ptolemäischen Almagestes dahin, daß ApoUonius von Pergä über 
den Stillstand und die rückläufige Bewegung der Planeten geschrieben 
habe, und sie mit Hilfe der Epizyklen zu erklären suchte. Ein 
freUich nur negativer Gegengrund liegt darin, daß Ptolemäus von 
den Untersuchungen über den Mond gar nichts sagt, welche doch 
gerade die vorzüglichste Leistimg des ApoUonius Epsilon gebildet 
haben müssen. 



^) Das Material für die Biographie des ApoUonius von Pergä ist zusammen- 
gestellt in der Vorrede von Halleys Ausgabe der Kegelschnitte des ApoUonius 
{Oxford 1710). Vgl auch Fabricius, Bihlioth. Graeca (ed. Harless) IV, 192 
bis 203. Montucla, Histoire des mathematiques I, 246 — 253. Terquem, Kotice 
bibliographique siir ApoUonius in den Nouvelles annales des mathematiques (1844) 
in, 360-362 und 474—488, endlich die Vorrede von H. Balsam zu seiner 
deutschen Bearbeitung (nicht Obersetzung) der Kegelschnitte des ApoUonius von 
Pergä. Berlin 1861. Die neueste Ausgabe der vier ersten griechisch erhaltenen 
Bücher der Kegelschnitte des ApoUonius nebst ihren Kommentatoren ist die von 
Heiberg in 2 Duodezbänden. Leipzig 1891 — 93. W. Crönert (Sitzungsber. der 
Berliner Akad. 1900, S. 942—950) gibt das Jahr 170 als Todesjahr des ApoUonius. 



334 16. Kapitel. 

Von den LebensyerhältnisBen des ApoUonins von Perga ist nichts 
weiter bekannt, als daß er schon als Jüngling nach Alexandria kam, 
wo er seine mathematische Bildung von den Nachfolgern des Euklid 
erhielt. Ein bestimmter Lehrer wird nicht genannt. Später ist ein 
Aufenthalt in Pergamum gesichert , wo ApoUonius einem gewissen 
Eudemus befreundet war, welchem er mit Wachrufung der Erinne- 
rung an jenes Zusammenleben sein Hauptwerk, die acht Bücher 
der Kegelschnitte, xtovixä, widmete. 

Zeitgenossen und Nachkommen bewunderten dieses Werk und 
ehrten dessen Verfasser durch den Beinamen des großen Mathe- 
matikers. So erzählt ausdrücklich Geminus, dessen Bericht Eutokius 
in seinem Kommentare zu den vier ersten Büchern der Kegelschnitte 
des ApoUonius uns aufbewahrt hat^). Eutokius will damit den Un- 
grund des Vorwurfes darlegen, welchen Heraklides, der Biograph de» 
Archimed (S. 295) gegen ApoUonius ausspricht, als habe derselbe 
nur einen Uterarischen Raub an noch unyeröffentlicht gebliebenen 
Schriften des Archimed' begangen. Mit gleichem Rechte läßt der 
Bericht des Geminus sich gegen die früher (S. 288) erwähnte Be- 
hauptung des Pappus verwerten, als stützten sich die vier ersten 
Bücher des ApoUonius wesentlich auf die Kegelschnitte des Euklid^). 
ApoUonius wird gewiß so wenig wie ein SchriftsteUer irgend einer 
Zeit und irgend eines Volksstammes versäumt haben die Vorarbeiten 
auf dem Gebiete, welches er zu behandeln wünschte, kennen zu lernen. 
Er wird sicherUch von den Vorarbeiten, insbesondere wenn sie von 
einem EukUd, einem Archimed heirührten, Vorteü gezogen haben; 
er sagt auch nirgends in seinen Schriften, daß das Ganze seiner Kegel- 
schnitte sein ausschließUches Eigentum sei. Aber von der Benutzung 
fremder Vorarbeiten als Grundlage, als untere Voraussetzung eines 
Werkes zu unrechtmäßiger Aneignung fremder Entdeckungen ist doch 
eine unermeßUche Kluft, und es fäUt schwer einem Manne von der 
sonst allseitig anerkannten Bedeutung des ApoUonius letztere Hand- 
lung zuzutrauen. Zwei ganz grundlegende Neuerungen haben wir 
überdies unter aUen Umständen dem ApoUonius zuzuschreiben. 

Geminus sagt ausdrückUch, wie uns Eutokius an der oben er- 
wähnten SteUe berichtet, die Alten hätten nur gerade Kegel ge- 
schnitten und die Schnitte stets senkrecht zur Seite des Kegels 
geführt, worauf sie je nach dem Winkel an der Spitze des Kegels 
den Schnitt des spitzwinkUgen, des rechtwinkligen, des stumpfwink- 
ligen Kegels unterschieden (S. 244). ApoUonius dagegen habe ge- 

*) ApoUonius, Conica (ed. Heiberg) II, 170. •) Pappus, VU Pro- 
oemium (ed. Hultscfa) 672. 



Eratosthenes. Apollonias von Pergä. 335 

zeigt, daß alle diese Schnitte an einem einzigen Kegel hervor- 
gebracht werden können, und daß man zu diesem Schnitte ebenso 
wie den geraden Kegel auch den schiefstehenden verwenden 
könne. Wir sehen also, daß ApoUonius das vervollständigte, was 
Euklid (S. 292), was Archimed (S. 304) nur von der Ellipse wußten^ 
daß sie auf jedem — jetzt nachdem wir den Bericht des Geminus 
kennen, müssen wir mit einer weiteren Einschränkung sagen: auf 
jedem geraden — Kegel herausgeschnitten werden kann. Gegen 
Geminus anzunehmen, daß auch jene schon alle Kegelschnitte auf 
jedem Kegel hervorzubringen imstande gewesen seien, ist eine Be- 
hauptung, welche auf keinerlei alten Bericht sich stützt. 

Von der anderen Neuerung wissen wir durch Pappus^), der 
gleichzeitig auch das von Geminus Mitgeteilte bestätigt. ApoUonius 
habe, wie er die Herstellbarkeit jedes Kegelschnittes auf der Ober- 
fläche eines jeden Kegels erkannte, für dieselben neue Namen ein- 
geführt, und zwar die Namen Ellipse, Parabel, Hyperbel mit 
Rücksicht auf gewisse Eigenschaften der Flächenanlegung. 

Wir haben auf diese mit äußerster Bestimmtheit ausgesprochene 
Angabe uns gestützt, um (S. 291) Euklid die Kenntnis abzusprechen,, 
daß die pythagoräischen Sätze von Flächenanlegungen zu Kegel- 
schnitten als geometrischen Örtem führen konnten. Mit Rücksicht 
auf die gleiche Stelle hat man gewiß mit Recht die Zuverlässigkeit 
einiger archimedischen Handschriften in Zweifel gezogen'), in welchen 
die Wörter Parabel und Ellipse statt des Schnittes des rechtwinkligen 
und spitzwinkligen Kegels vorkommen. Der Name der Parabel ins- 
besondere erscheint nur in der Überschrift der Abhandlung über die 
Quadratur dieser Kurven, und auch wo der Name der Ellipse im 
fortlaufenden Texte der Abhandlung von den Konoiden und Sphäroiden 
dreimal sich vorfindet, dürfte eine späte Einschiebung durch Ab- 
schreiber, welche den Wortlaut ganz unbeschadet des Sinnes abkürzen 
zu dürfen meinten, anzunehmen sein. 

Hat aber ApoUonius zuerst die Entstehung aller Kegelschnitte 
an jedem Kegel, zuerst die Eigenschaften derselben erkannt, die wir 
heutigentages aus den Scheitelgleichungen der drei Kegelschnitte 
herauszulesen gewohnt sind, dann ist seine Bearbeitung der Kegel- 
schnitte unzweifelhaft ein Originalwerk, mögen auch noch so viele 
Lehrsätze in den vier ersten Büchern vorkommen, die von Euklid,, 
wenn nicht schon von Menächmus und Aristäus dem Alteren ge- 



*) Pappufl VU, Prooemium (ed. Hultsch) 674. ") Archimed (ed. 

Nizze) 285. Die entgegengesetzte Meinung bei ChasleB, Apergu hisL 17 in. 
der Anmerkung (Deutsch 16). 



336 16. Kapitel. 

kannt waren. Zwei andere Vorgänger nennt übrigens ApoUonins 
selbst in der Vorrede zum IV. Buche ^): Konon von Samos und 
Nikoteles von Kyrene, deren ersterer uns schon als geistreicher 
Freund des Archimed bekannt geworden ist, wenn auch der Umstand, 
daß seine Schriften uns sämtlich verloren sind, uns abhielt, ihm eine 
besondere Stelle ausführlicher Beachtung zu gewähren. Hätten wir 
doch nur berichten können, daß er in Samos geboren, in Alexandrien 
lebte, aber auch in Italien und Sizilien astronomische Beobachtungen 
anstellte, daß er um 246 das Haupthaar der Berenike, der Gemahlin 
des Ptolemaeus Euergetes, unter die Sterne versetzte^. 

Gehen wir nun mit raschen Schritten an dem Inhalte der Kegel- 
schnitte des ApoUonius vorüber^). Im I. Buche wird nach der all- 
gemeinen Definition des Kegels als der Oberfläche, die durch eine 
Gerade sich erzeugt, welche um eine Kreisperipherie herumgeführt 
wird, während sie zugleich durch einen festen, außerhalb der Ebene 
der Kreisperipherie liegenden Punkt geht, die so erhaltene Fläche 
durch Ebenen geschnitten. Jeder Schnitt durch den festen Punkt, 
d. h. durch die Spitze des Kegels, erzeugt ein Dreieck, und liegt in 
dieser Schnittebene auch die Achse des Kegels, die Verbindungsgerade 
der Spitze zum Mittelpunkte des bei der Erzeugung des Kegels mit- 
wirkenden Kreises, so entsteht das Achsendreieck. Nun wird vor- 
geschrieben, neue Schnittebenen zu fahren, deren Spuren in der Grund- 
fläche senkrecht auf der Spur des Achsendreiecks stehen, und Apol- 
lonius zeigt, wie je nach der Richtung dieser Schnitte zur Seite des 
Achsendreiecks die verschiedenen Kegelschnittskurven auf der Kegel- 
oberfläche erscheinen. Die Durchschnittslinie der Schnittebene mit 
dem Achsendreiecke ist jedesmal ein Durchmesser des Kegelschnittes, 
d. h. sie halbiert alle Sehnen des Kegelschnittes, welche unter sich 
und einer jedesmal bestimmten Geraden parallel gezogen werden. Der 
Punkt, in welchem der Durchmesser die Oberfläche des Kegels triffl, 
ist der Scheitel des Kegelschnittes. Durch diesen Scheitel wird nun 
in der Schnittebene, also senkrecht zum Achsendreiecke und parallel 
zu dem durch den Durchmesser halbierten Sehnensysteme eine Gerade 
«rrichtet, deren Länge durch gewisse Methoden geometrisch bestimmt 
wird, und welche jenes p darstellt, jene Länge, an welche nach unseren 
früheren Auseinandersetzungen (S. 289) ein gewisser Flächenraum in 
Gestalt eines Parallelogrammes angelegt werden soll. Diese Linie, 
welche man in modemer Sprache den Parameter des Kegelschnittes 

*) ApoUonius, Conica (ed. Heiberg) IT, 2. *) A. Böckh, üeber die 
Yierj ährigen Sonnenkreise der Alten S. 28—29. *) Eine sehr hübsche Zusammen- 
stellung von Housel in Liouvilles Journal des Maihematiqxies (1858) XXTIT, 
153—192. 



Eratosthenea. ApoUonius von Pergä. 337 

nennt, heißt bei ApoUonius schlechtweg die Errichtete, öQ^ia^ ein 
Name, der alsdann in den lateinischen Übersetzungen zum latus rectum 
geworden ist. Man sieht leicht ein, daß ApoUonius mittels dieser 
Vorschriften genau die gleichen Linien ziehen läßt, deren man noch 
heute bei Anwendung der Methoden der analytischen Geometrie sich 
bedient. Es ist ein formliches Koordinatensystem gezeichnet, dessen 
Anfangspunkt auf dem Kegelschnitte selbst liegt, dessen Abszissen- 
achse ein Durchmesser des Kegelschnittes, und dessen Ordinatenachse 
die jenem Durchmesser konjugierte Berührungslinie im Koordinaten- 
anfangspunkte ist. Die dabei gebrauchten Benennungen lauten TBxa- 
y(iiv(og xarrjy^dvat d. h. geordnet gezogen^) und aTtote^vö^evai^ 
d. h. abgeschnitten*). Von wirklichen Koordinaten sind diese Ge- 
raden dadurch wesentlich verschieden, daß sie nicht ein Liniensystem 
für sich bilden, sondern nur gleich anderen geometrischen Hilfslinien 
in Verbindung mit dem Kegelschnitte und hervorgerufen durch den 
jeweil zu beweisenden Lehrsatz auftreten. Diese gegebenen Elemente 
handhabt nun ApoUonius in griechischer Weise. Er rechnet natürlich 
nicht mit Formeln und Gleichungen, wie wir es tun, aber er ver- 
knüpft und verbindet Proportionen von Längen und von Flachen- 
räumen, welche nur einen anderen Ausdruck des in den Gleichungen 
der Kegelschnitte enthaltenen Gedankens darstellen, um zu den gleichen 
Folgerungen zu gelangen. Läuft der Schnitt der Seite des Kegels 
parallel, so kann nur von einem Scheitel der »Parabel die Bede sein. 
Im entgegengesetzten Falle wird außer dem einen Schenkel des Achsen- 
dreiecks auch der zweite entweder selbst oder in seiner Verlängerung 
über die Spitze des Kegels hinaus durch den Schnitt getroffen, und 
so entsteht ein zweiter Scheitel der Kurve bei der Ellipse, ein Scheitel 
der Gegenkurve bei der Hyperbel. Die Entfernung der beiden Scheitel 
1)egrenzt die Länge des Durchmessers. In der Mitte zwischen 
beiden ist der Mittelpunkt der Kurve, d.h. ein Punkt, in welchem 
aUe durch ihn gezogenen Sehnen halbiert sind. Mit dem Mittelpunkte 
tritt auch der Begriff des dem ersten Durchmesser konjugierten Durch- 
messers auf, der eine gleichfalls begrenzte Länge besitzt, wenn auch 
bei der Hyperbel die Begrenzung nicht äußerlich sichtbar ist. Zwei 
zueinander senkrechte konjugierte Durchmesser werden Achsen ge- 
nannt. ApoUonius knüpft daran femer Betrachtungen über die Be- 
rührungslinie an irgend einen Punkt eines Kegelschnittes und 
über die Vielheit von Paaren konjugierter Durchmesser, welche mög- 
lich sind. 

In dem IL Buche sind zunächst Eigenschaften der Asymptoten 



>) ApoUonius (ed. Heiberg) I, 70 lin. 15. *) Ebenda I, 72 lin. 10—11. 

Cahtob, Oeschiclito der M»thematik L S. Aufl. 22 



338 16. Kapitel. 

der Hyperbel auseinandergesetzt, d. h. der Linien^ welche den 
Hyperbelarmen sieb mehr und mehr nähern, ohne mit denselben zu- 
sammenzutreffen. Die geometrische Definition ist folgende: Man ziehe 
an einen Hyperbelpunkt eine Berührungslinie, trage auf derselben die 
Länge des ihr parallelen Durchmessers auf und verbinde den so ge- 
fundenen Punkt mit dem Mittelpunkt der Hyperbel geradlinig, diese 
Gerade wird eine Asymptote sein^). Aus den übrigen Sätzen des 
IL Buches mag noch hervorgehoben werden, daß die Gerade, welche 
den Durchschnittspunkt zweier Berührungslinien mit der Mitte der 
Berührungssehne verbindet, ein Durchmesser des Kegelschnittes ist, 
sowie der andere, daß in jedem Kegelschnitte nur ein einziges senk- 
rechtes Achsenpaar existiert. 

In dem IIL Buche bilden die ersten 44 Sätze einen besonderen 
Abschnitt, dessen Charakter schon in dem 1. Satze sich dahin aus- 
weist, daß hier Verhältnisse von Produkten aus Tangenten 
und Sekanten der Kegelschnitte auftreten. Jener erste Satz 
heißt etwa folgendermaßen: Es seien M^ und M^ zwei Punkte eines 
Kegelschnittes, dessen Mittelpunkt in liegt (bei der Parabel wäre 
unendlich entfernt, und somit die OM^ mit OM^ und mit der 
Achse der Parabel parallel); die Berührungslinien in beiden Punkten 
seien M^T^ und M^T^, indem T^ den Durchschnitt der Berührungs- 
linie an M^ mit der OM^ bezeichnet, und eine ähnliche Definition 
für Tg gilt; die M^T^ und die M^T^ schneiden einander in R. Als- 
dann sind die Dreiecke M^T^R und M^T^R flächengleich. Die fol- 
genden Sätze stützen sich auf diesen ersten, und lassen sich, in so 
vielfältiger Teilung sie auch im Originale ausgesprochen sind, in zwei 
Hauptsätze zusammenfassen. Der eine Satz, daß, wenn von einem 
Punkte zwei Sekanten gezogen werden, das Produkt der Entfernungen 
des Ausgangspunktes nach den beiden Schnittpunkten der einen 
Sekante dividiert durch dasselbe Produkt in bezug auf die zweite 
Sekante einen Quotienten gibt, der sich nicht verändert, wenn man 
von irgend einem anderen Ausgangspunkte ein den ersten Sekanten 
paralleles Sekantenpaar konstruiert. Der zweite Satz, daß eine Sekante^ 
aus deren einem Punkte man zwei Berührungslinien zieht, durch 
diesen Ausgangspunkt, den Durchschnitt mit der Berührungssehne 
und die beiden Durchschnittspunkte mit dem Kegelschnitte eine har- 
monische Teilung darbietet*). Noch einige auf Flächen bezügliche 
Wahrheiten schließen sich ziemlich naturgemäß an, wie z. B. daß die 
Dreiecke, welche durch die Asymptoten und irgend eine Berühnmgs- 

*) ApolloniuB (ed. Heiberg) I, 194 lin. 16 das erste Vorkommen des 
Namens äev^Lnxtxixai. ^ ApoUonius benutzt dabei allerdings noch nicht das 
Wort: harmonische Teilung, sondern schreibt den Satz als Proportion. 



Eratosthenes. Apollonius von Pergä. 339 

linie der Hyperbel gebildet werden^ einen konstanten Flächeninbalt 
haben, da derselbe Satz, anders aasgesprochen; dahin gehen würde, 
daß jede Berührungslinie der Hyperbel auf den Asymptoten Stücke 
von konstantem Produkte abschneide. Alsdann kommt der Verfasser 
in dem 45. Satze zu den Punkten, welche er örifisla ix t'^g nagaßokf^g 
nennt, eine Bezeichnung, welche schwierig zu verdeutschen ist, da 
Punkte, die bei der Anlegung entstehen, kaum den Anspruch 
erheben können, nur einigermaßen einen Begriff davon zu gewähren, 
welche Punkte gemeint sind; es sind aber die Brennpunkte der Ellipse 
und Hyperbel, während der Brennpunkt der Parabel in dieser Zeit- 
periode noch nicht vorkommt. Die Definition der Brennpunkte bei 
ApoUonius und die Eigenschaften, welche er besonders hervorhebt, 
sind folgende: ein Brennpunkt ist ein Punkt, der die große Achse in 
zwei Teile teilt, deren Rechteck einem Viertel der Figur gleich ist; 
unter Figur aber ist das Rechteck des Parameters mit der großen 
Achse zu verstehen, oder, was dem Werte nach gleichbedeutend ist, 
das Quadrat der kleinen Achse. Wenn man das Stück einer Berüh- 
rungslinie, welches zwischen den beiden Senkrechten zur großen Achse 
in den Endpunkten derselben abgegrenzt ist, zum Durchmesser eines 
Kreises nimmt, so schneidet dieser Kreis die große Achse in 
den Brennpunkten. Die 4 Punkte, welche derart bestimmt sind, 
nämlich 2 Brennpunkte und 2 Punkte einer Berührungslinie werden 
paarweise verbunden, je ein Punkt der Berührungslinie mit dem 
einen, der andere mit dem anderen Brennpunkte. Diese Verbindungs- 
geraden nennt man konjugierte Linien. Sie schneiden einander 
auf der Normallinie, d. h. auf der Senkrechten, welche zur Berüh- 
rungslinie im Berührungspunkte errichtet ist. Nun folgt der Satz 
über Winkelgleichheit für die Winkel, welche die Normallinie 
mit den beiden Brennstrahlen des Berührungspunktes bildet; femer 
der Satz, daß die Fußpunkte der Senkrechten von den Brennpunkten 
auf Berührungslinien sämtlich in einer um die große Achse als Durch- 
messer beschriebenen- Kreisperipherie liegen; endlich der Satz von der 
konstanten Summe, beziehungsweise Differenz der Brenn- 
strahlen. Alle diese Wahrheiten entwickelt ApoUonius der Reihe 
nach in dem HI. Buche, welches dadurch fast für sich allein den 
Charakter einer elementaren Kegelschnittslehre gewinnt. Man ist aller- 
dings in der Wertschätzung dieses HI. Buches viel weiter gegangen, 
als wir es taten. ApoUonius sagt in der Vorrede zum I. Buche seiner 
Kegelschnitte, von Euklid sei die Synthesis des Ortes zu drei und 
vier Geraden nicht gegeben, sondern nur ein Teil derselben, und dieser 
überdies nicht glücklich; es sei auch nicht möglich gewesen, diese 
Synthesis richtig zu vollenden ohne das, was er, ApoUonius, eben in 

22» 



340 16. Kapitel. 

dem ni. Buche neu gefunden habe^). Pappuß tadelt diese Ruhm- 
redigkeit, indem er gleichzeitig hervorhebt, daß ApoUonius seinen 
Vorgängern hätte dankbar sein müssen, ohne deren Vorarbeiten es 
ihm unmöglich gewesen wäre, das Neue hinzuzuentdecken. Der Ort 
zu drei oder vier Geraden sei aber folgender: Sind drei (vier) Gerade 
der Lage nach gegeben, und zieht man nach ihnen hin von einem 
gegebenen Punkte aus Gerade unter gegebenen Winkeln, ist alsdann 
das Verhältnis zwischen dem Rechtecke aus zwei der Verbindungs- 
geraden zu dem Quadrate der dritten (dem Rechtecke aus den beiden 
anderen) ein für allemal dasselbe, so liegt der Ausgangspunkt der 
Verbindungsgeraden auf einem Kegelschnitte*). Das ist alles, was 
aus alten Quellen bekannt ist. Wenn man nun versucht hat^), jenes 
Ortsproblem unter Zugrundelegung des III. Buches des ApoUonius 
vollständig zu erledigen, so kann man in diesem Wiederherstellungs- 
versuche die ganze geometrische Begabung seines Verfassers bewun- 
dern, aber ein geschichtliches Ergebnis ist es darum keineswegs. 

Waren die drei ersten Bücher dem Eudemus gewidmet, so be- 
ginnt das IV. Buch mit einem Sendschreiben an Attalus, in wel- 
chem der Tod jenes Freundes beklagt, nebenbei aber auch der Inhalt 
des beigefügten Buches kurz dahin bezeichnet wird, es beschäftige 
sich mit der Frage, wieviele Punkte Kegelschnitte mit Kreis- 
peripherien und mit anderen Kegelschnitten gemein haben 
können, ohne ganz und gar zusammenzufallen. ApoUonius weiß 
dabei sehr wohl eine Berührung von einer Durchschneidung zu unter- 
scheiden. Er hebt z. B. hervor, daß 2 Kegelschnitte 4 Durchschnitts- 
punkte haben können, oder 2 Durchschnittspunkte und 1 Berührungs- 
punkt oder 2 Berührungspunkte; ferner daß 2 Parabeln nur 1 Be- 
rührungspunkt haben können, ebenso Parabel und Hyperbel, wenn 
die Parabel die äußere Kurve ist, ebenso Parabel und Ellipse, wenn 
die EUipse die äußere Kurve ist usw. 

Es ist einleuchtend, daß die Sätze dieses IV. Buches für die 
Griechen eine viel höhere Bedeutung hatten als für neuere Mathe- 
matiker. Waren es doch gerade die Durchschnittspunkte der Kurven, 
deren zum Zwecke der Würfelverdoppelung notwendige Ermittelung 
die Kurven selbst hatten untersuchen oder gar erfinden lassen. Die 
Methode, nach welcher ApoUonius die Punkte bestimmt, welche zwei 
Kurven gemeinsam sind, kommt auf eine apagogische Beweisführung 
hinaus, die sich großenteils auf das Lemma des III. Buches bezüg- 



*) ApoUonius (ed. Heiberg) I, 4 lin. 18—17. ") Pappus (ed. Hultßch) 
n, 676 — 678. *) Zeuthen, Die Lehre von den Kegelschnitten im Alterthume, 
siebenter und achter Abschnitt. 



EratoBthenes. ApoUonius von Pergil. 341 

licli der harmonischen Teilung stützt. So maßte das IV. Buch der 
Form und dem ganzen Inhalte nach gleichmäßig Verbreitung mit 
den 3 ersten Büchern gewinnen, deren Abschluß es gewissermaßen 
für solche Mathematikstudierende bildete, welche von der damaligen 
höheren Mathematik gerade das in sich aufnehmen wollten, was bis 
zur Lösung der delischen Aufgabe, diese mit inbegriffen, notwendig 
war. Ja diese innere Zusammengehörigkeit engerer Art der 4 ersten 
Bücher bewährte sich geschichtlich auch dadurch, daß nur sie im 
griechischen Texte sich erhielten, während das V., VI. und VII. Buch 
erst in der Mitte des XVII. S. aus einer arabischen Übersetzung be- 
kannt wurden, das VIII. Buch sogar als ganz verloren wird betrachtet 
werden müssen. 

Das V. Buch läßt die vorhergehenden weit hinter sich. ApoUo- 
nius erhebt sich bewußtermaßen hoch über seine Zeit, indem er Sätze 
über die längsten und kürzesten Linien, die von einem Punkte 
an den Umfang eines Kegelschnittes gezogen werden können, hier 
vereinigt. Es hätten, so erklärt ApoUonius in einleiteiiden an Attalus 
gerichteten Worten, Mathematiker, welche vor ihm und zu seiner Zeit 
lebten, die Lehre von den kürzesten Linien gleichfalls behandelt, aber 
ihre Behandlungsweise muß nach Inhalt und Zweck eine andere als 
die des V. Buches der Kegelschnitte gewesen sein. Dem Inhalte nach 
begnügten sie sich mit einer geringeren Anzahl von Sätzen, und ihren 
Zweck fanden sie in dem Diorismus zu gesteUten Aufgaben. Wir 
haben bei Euklid, bei Archimed Beispiele solcher Maximal- und Mini- 
malwerte auftreten sehen, und die geringste Überlegung führt zum 
Bewußtsein, daß fast jeder Diorismus neben die Bedingung, unter 
welcher eine Aufgabe gelöst werden kann, den Grenzwert stellen wird, 
bis zu welchem eine in der Aufgabe vorkommende Größe wachsen 
oder abnehmen idarf, ohne die Ausführbarkeit zu gefährden. Auf- 
gaben größter und kleinster Werte mußten also vorkommen und 
wurden gelöst, ohne daß man darüber sich klar gewesen wäre, daß 
man hier eine eigenartige, auch außer ihrer zum Diorismus führenden 
Wirkung bedeutsame Gattung von Fragen behandelte. ApoUonius 
dagegen schließt jene Einleitung zum V. Buche mit den Worten: 
„Das so Behandelte ist für die dieser Wissenschaft Beflissenen be- 
sonders notwendig, sowohl zur Einteüung und zum Diorismus, als zur 
Konstruktion der Aufgaben, abgesehen davon, daß dieser Gegen- 
stand zu den Dingen gehört, welche würdig sind, um ihrer 
selbst willen betrachtet zu werden." Die Art voUends, in 
welcher ApoUonius Einzelfälle dieses Gebietes unterscheidet und durch 
deren Zusammenfassung die Gesamtheit der Möglichkeiten erschöpft, 
die merkwürdige Verschlungenheit, man kann fast sagen Unnatürlich- 



342 16. Kapitel. 

keit der Beweise sind bewnnderangswürdig nicht minder als wunder- 
licli. Man kann kaum umhin zu argwohnen ^ was zu glauben man 
doch nicht wagen darf; daß ApoUonius irgend geheime Methoden 
besaß, um diejenigen Sätze zu entdecken, deren künstliche Beweise 
er erst nachträglich aufsuchte. Was Apollonius aus der Lehre vom 
Größten und Kleinsten kennt, das sind, wie gesagt, insbesondere die 
längsten und kürzesten Linien, welche aus irgend einem Punkte der 
Ebene nach einem Kegelschnitte gezogen werden können, Linien, 
welche Apollonius zuerst für die Fälle bestimmt, in denen der ge- 
gebene Punkt auf der Achse liegt, und die Konstruktion durch Ab- 
schnitte erfolgen kann, die selbst auf der Achse des Kegelschnittes 
auftreten. Dann folgt eine Reihe von Sätzen, die etwa mit dem 
modernen Begriffe der Subnormalen sich beschäftigen. Die Konstanz 
dieser Strecke bei der Parabel wird bewiesen. Später gelangt Apol- 
lonius zu dem Nachweise, daß die am Anfange des Buches be- 
sprochenen größten und kleinsten Linien Normallinien zum Kegel- 
schnitte sind, daß also auch die Aufgabe im Früheren zur Lösung 
vorbereitet ist: von irgend einem Punkte einer Ebene Normalen zu 
einem in der Ebene befindlichen Kegelschnitte zu zeichnen. Er geht 
an die Aufgabe selbst heran und findet eine Konstruktion, bei welcher 
von Durchschnitten mit Hyperbeln Gebrauch gemacht ist. Indem er 
nun sich bewußt wird, daß in der Zahl der Senkrechten, welche von 
einem Punkte aus nach einem Kegelschnitte gezogen werden können, 
keine Willkür herrscht, daß dieselbe vielmehr einesteils von der Art 
des Kegelschnittes, andemteils von der Lage des gegebenen Aus- 
gangspunktes abhängt, findet er, daß in dieser Beziehimg gewisse 
Punkte eine Ausnahmestellung einnehmen. Diese Punkte, aus welchen 
man nach dem gegenüberliegenden Teil des Kegelschnittes nur eine 
Normale ziehen kann, sind die Krümmungsmittelpunkte, deren Vor- 
handensein somit Apollonius bekannt war, so fremd ihm der Begriff 
der Krümmung geblieben ist. Möglicherweise ist es sogar nicht zu 
weit gegangen, wenn man annimmt, Apollonius habe die stetige Auf- 
einanderfolge der Krümmungsmittelpunkte geahnt, d. h. jene Kurve 
geahnt, wenn auch nicht untersucht,| welche wegen anderer Eigen- 
schaften den Namen der Evolute erhalten hat. 

Das VI Buch handelt von gleichen und ähnlichen Kegel- 
schnitten, sofei*n dieselben auf geraden einander ähnlichen Kegeln 
auftreten. Am Schlüsse wird sogar die Aufgabe behandelt, durch 
einen gegebenen Kegel eine Schnittfläche zu legen, welche eine gleich- , 
falls gegebene Ellipse erzeugen soll. 

Zwischen dem VII. und dem VIII. Buche scheint wieder ein 
engerer Zusamntenhang stattgefunden zu haben, wie uns Apollonius 



EratoBthenes. Apollonins von Pergä. 343 

selbst versichert. In seiner Zuschrift sagt er, das VII. Buch be- 
schäftige sich mit Sätzen, welche zu Bestimmungen führen, das 
VIII. Buch enthalte wirklich bestimmte Aufgaben über Kegelschnitte. 
Auch aus Pappus läßt sich eine solche Zusammengehörigkeit der 
beiden Bücher folgern. Derselbe teilt nämlich eine ziemlich beträcht- 
liche Zahl von Lemmen zu den Kegelschnitten des Apollonins mit. 
Die Lemmen zu allen übrigen Büchern sind nach den Büchern ge- 
sondert; nur die Lemmen zum VII. und VUI. Buche sind yereinigt^). 
Auf diese Grundlage hin hat man sogar eine Wiederherstellung des 
verlorenen VIII. Buches versucht^), welche indessen doch zu unsicher 
scheint, um näher besprochen zu werden. Wir begnügen uns mit 
der Bezeichnung einiger interessanten Theorien aus dem erhaltenen 
VII. Buche. In ihm finden sich die Sätze über komplementäre 
Sehnen, welche konjugierten Durchmessern parallel laufen, in ihm 
die Sätze über die konstante Summe der Quadrate konjugierter 
Durchmesser, in ihm die Entwicklung des Flächenraumes jener 
Parallelogramme, deren zwei aneinanderstoßende Seiten die Hälften 
zweier konjugierter Durchmesser sind. Auch diese Sätze, begreif- 
licherweise geometrisch und nicht durch Rechnung abgeleitet, er- 
fordern bei Apollonins die Unterscheidung zahlreicher Einzelfälle, bei 
welcher er wiederholt die Gewandtheit an den Tag legt, welche man 
schon in den früheren Büchern bewunderte. 

Dieses in Kürze der Inhalt des merkwürdigen Werkes, wobei 
wir uns gegen die verlockende Versuchung, noch mehr hineinzulesen 
als Apollonins gesagt hat, zu wappnen gesucht haben. Auch der von 
uns angegebene nackte Inhalt ist sehr wohl geeignet, unsere Neugier 
anzuregen, inwieweit derselbe Mathematiker seinen erfinderischen Geist 
auch noch anderen Gebieten unserer Wissenschaft zuwandte. Leider 
können wir diese Neugier nicht vollauf befriedigen. Wir wissen von 
solchen anderen Arbeiten nur eben genug, um die Vielseitigkeit des 
Apollonins zu ahnen, aber bei weitem nicht so viel, um den Wert 
der Untersuchungen abschätzen zu können, deren Titel nur bei Pappus *) 
mehrenteils sich erhalten haben, und die Vermutung zu einer wahr- 
scheinlichen machen, daß Anwendungen der Kegelschnitte auf be- 
stimmte geometrische Aufgaben in denselben behandelt wurden. Die 
Titel dieser verloren gegangenen Schriften sind: Berührungen, äc^I 
ina(pa)v (de tactionibus)] ebene Örter, inCnsdoi tötcol (loci plani)'^ 
Neigungen, tcbqX vsvöecov (de indinationibus) -^ Raumschnitt, tcbqI 



^) Pappus VII, 298—811, (ed. Hultsch) 990—1004. *) Halley S. 187 
bis 169 der zweiten, mit dem Y. Buche anfangenden, Abteilang seiner Ausgabe 
der Kegelschnitte. •) Pappus VII, Prooemium, 



344 16. Kapitel. 

XOQtov &n:oToiirig (sectio spatii)] bestimmter Schnitt, tcsqI dLmQig- 
[idvrjg rofifjg (sectio determinata), Hypsikles führt außerdem, wie wir 
im nächsten Kapitel zu besprechen haben, eine Schrift des Apollonius 
über die in dieselbe Kugel eingeschriebenen Dodekaeder 
und Ikosaeder an, Proklus eine %£qi rov xox^Cov^) von gänzlich 
unbekanntem Inhalte und ein Schriftsteller, den wir im 24. Kapitel 
als Verfasser einer Schrift über Brennspiegel kennen lernen werden, 
nennt eine Abhandlung des Apollonius gleichen Titels^): Über 
Brennspiegel, stegl xvqvcov. Die Bedeutung einer solchen Schrift 
für die Geschichte der Geometrie ist nicht zu unterschätzen. Wir 
sahen (S. 339), daß Apollonius nur von den Brennpunkten derjenigen 
Kursen handelte, welche solche paarweise besitzen. Daß auch die 
Parabel einen Brennpunkt habe, konnte nicht wohl früher bemerkt 
werden, als bis man einer halben Ellipse, einer halben Hyperbel mit 
ihrem Brennpunkte ein gewisses Interesse abgewonnen hatte, und das 
war vielleicht bei Gelegenheit optischer Untersuchungen, d. h. eben 
in Abhandlungen über Brennspiegel. Damit soll freilich weder aus- 
gesprochen, noch schlechtweg geleugnet werden, daß Apollonius be- 
reits diesen Fortschritt vollzog. Gewiß ist vielmehr fürs erste nur, 
daß Pappus*) gegen Ende des III. nachchristlichen Jahrhunderts den 
Brennpunkt der Parabel kannte. 

Nur eine einzige Schrift, die zwei Bücher vom Verhältnis- 
schnitt, x€qI Xöyov inoTOfiijg (de sedimie rationis) ist in arabischer 
Sprache der Neuzeit überblieben und aus dieser übersetzt worden*). 
Die Aufgabe des Verhältnisschnittes ist folgende: Es sind zwei un- 
begrenzte Gerade in derselben Ebene der Lage nach gegeben, ent- 
weder gegenseitig parallel oder einander schneidend, und in jeder 
derselben ist ein Punkt gegeben, auch ist ein Verhältnis und über- 
dies ein Punkt außerhalb der Linien gegeben; man soll durch den 
gegebenen Punkt eine Gerade ziehen, welche von den der Lage nach 
gegebenen Geraden Stücke abschneide, deren Verhältnis dem gegebenen 
gleich sei. Man erkennt leicht, daß diese Aufgabe durch einen großen 
Reichtum an Fällen sich auszeichnet, je nach der Lage des Punktes 
außerhalb der beiden Geraden zu diesen Geraden selbst und zu der 



») ProkluB (ed. Friedlein) 105. «) Vgl. die Zeitschrift Hermes, Bd. XVI, 
S. 271—72. «) Pappus Vn, 818 (ed.Hultsch pag. 1012, lin. 24 sqq.). *) Edw. 
Bernard fand die ziemlich verderbte Handschrift am Ende des XVII. S. und 
begann dieselbe ins Lateinische zu übersetzen. Als er kaum den zehnten Teil 
bewältigt hatte, gab er die Arbeit auf. Nun vollendete der des Arabischen 
vorher unkundige Halley die Übersetzung, des von Bernard hinterlassenen 
Bruchstückes als Grammatik und Wörterbuch sich bedienend. Halleys Aus- 
gabe von 1706; eine deutsche Ausgabe von Aug. Richter. Elbing 1886. 



Eratosthenes. ApoUonius von Pergä. 345 

durch die beiden auf den Geraden gegebenen Punkten gezogenen 
Transversalen, und femer je nach der Richtung, in welcher jene in 
Verhältnis tretenden Stücke von den gegebenen Punkten aus liegen 
sollen. Das ist dem geometrischen Charakter des ApoUonius so recht 
angemessen. 

Wir nannten oben eine ganze Reihe von Schriften als verloren, 
ohne daß man erheblich mehr als deren Titel kenne. Bei dem Raum- 
schnitte war die Aufgabe dahin gestellt, daß während eben dieselben 
Geraden und derselbe Punkt wie beim Verhältnisschnitte gegeben 
waren, die zu ziehende Gerade Stücke absehneiden mußte, welche ein 
der Fläche nach gegebenes Rechteck bildeten^). Die allgemeinste 
Aufgabe der Neigungen^), von welcher ApoUonius die leichteren 
FäUe behandelte, bestand darin: zwischen zwei der Art und der Lage 
nach gegebenen Linien eine gegebene Strecke so einzuzeichnen, daß 
sie verlängert durch einen gegebenen Punkt ging. Eine geometrische 
Auflösung dieser Aufgabe ist mittels Anwendung von Kegelschnitten 
mögUch. Ihr Vorkommen bei Aristoteles, dem die Kegelschnittlehre 
sicherlich noch fremd war, führt zur Vermutung, man habe die Auf- 
gabe ursprünglich versuchsweise durch Bewegungsgeometrie gelöst"). 
Li den Berührungen war die sogenannte Berührungsaufgabe 
des ApoUonius behandelt, d. h. die Aufgabe, einen Kreis zu zeichnen, 
der drei Bedingungen genüge, deren jede darin bestehen kann, durch 
einen gegebenen Punkt zu gehen, oder eine gegebene Gerade, oder 
einen gegebenen Kreis zu berühren*). Aus der Schrift von den Be- 
rührungen kennen wir ferner mögUcherweise eine Tatsache, welche 
interessant genug ist, da sie das, was wir früher (S. 249 und 256) 
von Spuren kombinatorischer Betrachtungen bei griechischen Schrift- 
steUem anmerken durften, zu ergänzen geeignet ist. Bei der über 
den eigentlichen Urheber herrschenden Unsicherheit ziehen wir in- 
dessen vor, den Gegenstand im 22. Kapitel bei Pappus zur Rede zu 
bringen. 

Auch dem rechnenden Teile der Mathematik hat ApoUonius, wie 
wir durch Eutokius wissen, seine Aufmerksamkeit zugewandt. Euto- 
kius sagt uns nämlich in dem mehrfach bereits benutzten Kommen- 
tare zur archimedischen Kreismessung: Soviel in meinen Kräften 
stand, habe ich nun die von Archimedes angegebenen Zahlen einiger- 
maßen erläutert. Wissenswert ist aber noch, daß auch ApoUonius 
von Pergä in seinem Okytokion dasselbe durch andere Zahlen be- 



») PappuB Vn ed. Hultsch p. 640. *) Ebenda p. 670. ») So die Bcharl- 
sinnige Vermutang von Opperznann. Vgl. Zeathen, Die Lehre von den Kegel- 
schnitten im Alterthum S. 262 Note 1 und Heiberg in den Abhandlungen zur 
Geachichte der Mathematik XVIII, 16. *) Pappna VE ed. Hultsch p. 611. 



346 16. Kapitel. 

wiesen hat, wodurch er sich der Sache noch mehr näherte"*). Wir 
haben hier die Lesart cjxvt^xlov aufgenommen, welche durch zwei 
Pariser Handschriften verbürgt auffallend genug lange Zeit durch 
das sprachlich ganz rätselhafte Wort axvrößoov verdrängt war. Voll- 
ständigen Einblick in die Art, wie Apollonius seine Ereismessung 
vollzog, die noch genauer als die des Archimed gewesen sein muß, 
•erhalten wir freilich auch durch den Namen Okytokion keineswegs. 
Dem Wortlaute nach übersetzt sich dieser Titel als Mittel zur 
Schnellgeburt, es handelte sich also höchst wahrscheinlich um 
raschere Rechnungsverfahren, aber wie dieselben zu dem oben ge-- 
nannten Ziele führten, darüber sind wir doch nicht besser aufgeklärt. 
Die Mutmaßung*), Apollonius habe den Näherungswert sc « 3,1416 
herausgerechnet, der, wie wir im 30. Kapitel sehen werden, in Indien 
bekannt war, schwebt ziemlich in der Luft. 

Eine dem gewöhnlichen griechischen Verfahren gegenüber ein- 
fachere und dadurch abgekürzte Multiplikation des Apollonius, 
welche daher möglicherweise einen Abschnitt des Okytokion bildete, 
kennen wir aus Pappus. In dem auf uns gekommenen Bruchstücke 
des zweiten Buches seiner Sammlung*) berichtet Pappus von zwei zu- 
sammenhängenden, aber doch begrifflich zu trennenden Gegenständen. 

Erstens entnehmen wir seinem Berichte, daß Apollonius in ähn- 
licher Weise wie Archimed die Zahlen in Gruppen zu teilen wußte, 
welche eine leichtere Aussprache und zugleich eine größere Über- 
sichtlichkeit gewährten, als sie ohne Gruppierung zu erreichen ge- 
wesen wäre. Es ist derselbe Gedanke, der beiden Schriftstellern 
gleichmäßig vorschwebte, ja es ist eigentlich dieselbe Gruppierung, 
welche wir von beiden gelehrt finden. Denn wenn auch Archimed 
(S. 320) Oktaden bildete, während Apollonius sich mit Tetraden 
begnügte, so ist doch die Gleichheit des Prinzips dadurch hergestellt, 
daß zwei Tetraden des Apollonius nebeneinander geschrieben nach 
moderner Bezeichnung der Zahlen einer Oktade des Archimed gleich- 
kommen, daß Archimed also nur eine höhere Gruppeneinheit annahm 
als Apollonius, aber eine Einheit, aus welcher die des Apollonius, als 
in jener enthalten, sich leicht ableiten ließ, ebenso wie es denkbar 
ist, daß beide Gruppierungen unabhängig voneinander aus dem 

*) Archimedea (ed. Torelli) 216 und 452, die Varianten der Pariser 
Handschriften. Torelli benutzte sie in seiner Übersetzung. Neuerdings wurde 
dann durch Enoche und Maerker im Herforder Gyninasialprogramm für 1864 
auf diese Lesart hingewiesen, sowie von M. Schmidt in Mützelid Zeitschrift 
für die Gymnasialwissensch. 1865, S. 805. Vgl. auch Archimedes (ed. Hei- 
berg) in, 300. *) Recherches sur Thistoire de Tastronomie ancienne par Paul* 
Tannery. Paris 1893, pag. 67—68. «) Pappus II (ed. Hultsch) 2— 2U. 



Eiatosthenes. Apollonins von Pergä. 347 

griechischen Sprachgebrauche hervorgehen konnten, welchem die 
Myriade das letzte unzusammengesetzte Zahlwort, die Myriade der 
Myriaden das letzte einfach zusammengesetzte Zahlwort war. Die 
Nameu, welche Apollonius für seine Tetraden benutzt, sind für die 
«rste Tetrade, welche von 1 bis 9999 sich erstreckt, der Name der 
Einheiten; dann folgt die Tetrade der Myriaden; auf diese die der 
doppelten Myriaden, der dreifachen, vierfachen usw. Myriaden, bis zur 
xten Myriade als allgemeine Bezeichnung einer beliebigen 
Höhe^), wobei wir freilich dahingestellt sein lassen müssen, ob diese 
an sich hochbedeutsame Allgemeinheit Apollonius oder dem Berichte 
des Pappus eigentümlich ist. 

Mit diesen Zahlen werden nun zweitens Multiplikationen aus- 
geführt, und dabei ist die Vorschrift gegeben, die Multiplikation 
irgend welcher Zahlen auf die ihrer Wurzelzahlen, Tcvd^fiavsg, zurück- 
zuführen. Das Wort Pythmen findet sich in einer arithmetischen 
Bedeutung schon bei Piaton'), ob aber genau in derselben wie bei 
Apollonius, ist bei dem vielbestrittenen Sinne der platonischen Stelle 
nicht zu erhärten. Bei Pappus*) bedeuten Pythmenes die kleinsten 
Zahlen, in welchen ein Verhältnis angegeben ist. Apollonius ver- 
stand unter der Wurzelzahl die Anzahl der Zehner oder der Hun- 
derter, die in einer nur aus Zehnem, beziehungsweise nur aus Hun- 
dertern bestehenden Zahl enthalten sind. So ist 5 der Pythmen von 
ÖO wie von 500, 7 der Pythmen von 70 wie von 700 usw. Wurzel- 
zahlen von Tausendern, Zelmtausendem usw. kommen wenigstens 
unter den miteinander zu vervielfachenden Zahlen nicht vor. Der 
Grund dafür, wie für das Hervorheben der anderen Pythmenes liegt 
in der uns bekannten griechischen alphabetischen Bezeichnung der 
Zahlen (S. 127). Die moderne Ziflfemschrift läßt sofort 3 als 
die Wurzelzahl von 30, von 300, von 3000 erkennen. Ebenso war 
dem Griechen ein leicht ersichtlicher Zusammenhang zwischen y und 
^y, nicht aber zwischen y und X, zwischen y und t geboten, letzterer 
mußte erst gezeigt werden. Vielleicht haben wir unseren Lesern 
durch die Wahl des Wortes zeigen einen Hinweis gegeben, wie der 
Gedanke an die Pythmenes bei einem Griechen entstehen konnte: 
nicht wenn er die schriftliche Aufzeichnung der Zahlen vor sich sah, 
wohl aber wenn er ihren Wortlaut hörte. Der Ahnlichklang von 
TQsls, rQtäxovra, xQiaxoöioi sagte ihm, was an p^, A, t erst gezeigt 
werden mußte, und so glauben wir nicht irre zu gehen, wenn wir 

*) Pappus (ed. Hultsch) 4. 9inlf^ (ivglag; 6. tQinXfj pivgLccs; 20. ivvanXfj 
(ivglag; 18. {ivgiddeg 6iiwvviloi tö> x, far die x fache (nicht die 20 fache) My- 
riade oder für 10 000 auf die xte Potenz. •) Piaton, Staat Vm, 646 C &v ixi- 
TpiTOff nvd'fi/i^v. •) PappuB lU (ed. Hui t ach) pag. 80. 



348 16. Kapitel. 

in den Pythmenes eine Frucht des mündliehen Rechenunterrichtes, 
nicht schriftlicher Erörterung erblicken. Sei dem, wie da wolle, 
jedenfalls vollzog Apollonius die Multiplikation nunmehr an den 
Pythmenes, und die Ordnung des jedesmaligen Produktes wird aus 
der Anzahl der Faktoren unter besonderer Berücksichtigung, wie viele 
derselben Zehner, wie viele Hunderter waren, abgeleitet. Eine Unter- 
scheidung ton zahlreichen Einzelfällen, die dabei vorkommen, kann 
uns bei Apollonius am wenigsten überraschen; wir bemerken sie auch 
nur mit der ausgesprochenen Absicht gelegentlich wieder daran zu 
erinnern. 

Endlich müssen wir noch einer Arbeit des Apollonius über 
Irrationalgrößen gedenken, von welcher schwache Spuren in 
einer arabischen Handschrift entdeckt worden sind*). Wir haben 
(S. 268—270) über das X. Buch der euklidischen Elemente und 
über die dort unterschiedenen Irrationalitäten, die Medialen, die 
Binomialen und die Apotomen berichtet. Zu diesem X. Buche hat 
ein griechischer Schriftsteller Erläuterungen geschrieben, deren Über- 
setzung in das Arabische aufgefunden worden ist. Wer der Ver- 
fasser war, darüber ist volle Bestimmtheit nicht vorhanden, wenn- 
gleich die Wahrscheinlichkeit dafür spricht, man habe es hier mit 
dem überliefertermaßen gleich dieser Übersetzung aus zwei Büchern 
bestehenden Kommentare zum X. Buche der Elemente von Vettius 
Valens, einem byzantinischen Astronomen aus dem II. S. n. Chr., 
zu tun. Dieser Kommentator erzählt, die Irrationalgrößen hätten 
ihren Ursprung in der Schule des Pythagoras gehabt. Theaetet habe, 
nach den Mitteilungen des Eudemus, die Lehre vervollkommnet, in- 
dem er Irrationalgrößen unterschied, die durch Multiplikation, durch 
Addition und durch Subtraktion untereinander verbunden eine ver- 
wickeitere Form besaßen. Euklid habe vollends Ordnung in den 
Gegenstand gebracht durch genaue Bestimmung und Scheidung der 
verschiedenen Gattungen der Irrationalitäten. Dieser Bericht stimmt 
soweit durchaus mit unseren aus anderen Quellen geschöpften Mit- 
teilungen überein und bestätigt dieselben, wie andererseits ihm selbst 
dadurch eine um so größere Glaubwürdigkeit erwächst. Der Kommen- 
tator fährt fort: „Apollonius war es, welcher neben den geordneten 
{rerayusvos des Proklus) Irrationalgrößen das Vorhandensein der 
ungeordneten (araxrog) nachwies und durch genaue Methoden 



*) Woepcke, Essai d'une restüution de travaux perdus d'ApdUonius sur 
les quantites irrationelles d'apris les indications tirees d'tm manuscrit arabe in 
den Memoires presentes ä racademie des sciences XIV, 658 — 720. Paris 1866. 
Vgl. auch den Bericht von Ghasles über diese Abhandlung in den Compt. 
Rend. XXXVII, 653—568 (17. Oktober 1858). 



Die Epigonen der großen Mathematiker. 349 

eine große Anzahl derselben herstellte/* Jetzt folgt der eigentliche 
Kommentar, dem freilich die Klarheit, welche man von einem der- 
artigen Werke zu fordern berechtigt ist, gar sehr abgeht. Selbst der 
Versuch aus ihm herauszulesen, worin die bedeutende Erweiterung 
bestand, welche ApoUonius zu verdanken ist, mit anderen Worten, 
was man unter ungeordneten Irrationalgrößen zu verstehen habe, ist 
trotz allen aufgewandten Scharfsinnes nur Versuch geblieben und 
hat eine bloße Vermutung zutage gefördert. Eine Erweiterung meint 
man demgemäß, könne nach zwei Richtungen hin stattgefunden 
haben; es könne statt der aus zwei Teilen bestehenden Binomialen 
oder Apotomen eine additive, beziehungsweise subtraktive Verbindung 
von mehr als zwei Quadratwurzeln in Untersuchung genommen 
worden sein; es könne auch um Ausziehimg von Wurzeln mit höheren 
Wurzelexponenten als 2 sich gehandelt haben, oder anders ausge- 
sprochen, um die Einschaltung von 2, 3, ... n mittleren geometrischen 
Proportionalen zwischen zwei gegebenen Größen, d. h. um Aufgaben, 
von welchen das delische Problem den einfachsten Fall darstellt. 



17. Kapitel. 

Die Epigonen der großen Mathematiker. 

In den fünf letzten Kapiteln haben wir uns mit den großen 
Mathematikern, welche das Jahrhundert von 300 bis 200 etwa durch 
ihre Tätigkeit erfüllten, bekannt zu machen gesucht. Zusammen- 
fassende Übersichten, wie wir sie anderen Kapiteln wohl als Schluß 
dienen ließen, waren hier nicht zu geben Haben wir doch überhaupt 
auf das Notwendigste und Wichtigste uns beschränken müssen, so 
daß unsere ganze Darstellung gewissermaßen als die vielleicht ver- 
mißte Zusammenfassung zu gelten hat. Nur das sei noch besonders 
hervorgehoben, daß Euklid, Archimed, Eratosthenes und Apol- 
lonius die Mathematik auf eine Stufe förderten, von welcher aus 
mit den alten Hilfsmitteln, insbesondere ohne Erweiterung der In- 
finitesimalbetrachtungen zu einer allgemeinen Methode, was die Ex- 
haustion nicht war, wenn sie es auch hätte sein können, ein Höher- 
steigen nicht möglich war. Zur Infinitesimalmethode, wie zur mathe- 
matischen Allgemeinheit überhaupt war der* griechische Geist mit 
vereinzelten Ausnahmen, zu welchen vermutlich ApoUonius gerechnet 
werden darf, nicht angetan. Das ist ein Erfahrungssatz, welcher 
wesentlich auf dem Fehlen allgemeiner Methoden beruht. War aber 
ohne sie ein weiteres Steigen nicht möglich, so war der erreichte 



350 17. Kapitel. 

Gipfel nach allen Richtungen hin gar bald durchforscht. Es blieb 
nur ein Abwärtsgehen und bei dem Abwärtsgehen ein Anhalten d& 
und dort; ein Umsichschauen nach Einzelheiten übrig, an welchen 
man beim jähen Aufwärtsklimmen vorher vorübergeeilt war. Damit 
ist die Zeit gekennzeichnet, zu deren Betrachtung wir in diesem 
Kapitel übergehen. 

Die Elemente der Planimetrie waren erschöpft. Sie blieben, was 
Euklid aus ihnen gemacht hatte, abgesehen von Zutaten, die der 
Lehre von den größten und kleinsten Werten entstammten. Auch 
die Lehre von den Kegelschnitten konnte nach Apollonius eine wesent- 
liche Ergänzung nicht finden. In der Stereometrie blieb dagegen nach 
Euklid und selbst nach Archimed noch manches zu tun. Am meisten 
war von theoretisch Neuem in der Lehre von den von Kegelschnitten 
verschiedenen Kurven zu finden, einem Gebiete, zu dessen Bearbeitung 
Archimeds Spiralen entschieden aneifem mußten. Und endlich war 
die rechnende Geometrie ein Gegenstand, an welchem Archimeds 
Kreisrechnung auch verwöhnten Geistern Geschmack beigebracht 
haben mochte. Das sind die Felder, auf denen die Epigonen sich 
tummelten, deren Bewegungen wir uns zu vergegenwärtigen haben. 

Die meisten Schriftsteller freilich, die wir hier nennen werden^ 
sind ihrer Lebenszeit nach höchst unbestimmt. Von einigen ist es^ 
wie wir selbst erklären, zweifelhaft, ob sie mit Recht gerade in diesem 
Kapitel zur Rede kommen. Am sichersten ist dieses wohl fiir Niko- 
medes und Diokles anzunehmen, die Erfinder der Konchoide und 
der Cissoide, mithin zweier Kurven, deren Namen Geminus um das 
Jahr 70 v. Chr. kannte*), die also zu dieser Zeit jedenfalls vorhanden 
waren, während andererseits Nikomedes nach dem Berichte des Euto- 
kius*) sich im Vergleiche zu Eratosthenes mit seiner Erfindung 
brüstete, also sicherlich auch nicht früher als um das Jahr 200 etwa 
gelebt haben kann. 

Die Konchoide oder Muschellinie des Nikomedes ist der 
geometrische Ort eines Punktes, dessen geradlinige Verbindung mit 
einem gegebenen Punkte durch eine gleichfalls gegebene Gerade so 
geschnitten wird, daß das Stück zwischen der Schneidenden und dem 
Orte eine gegebene Länge besitzt. Je nach dem Größenverhältnisse 
des Abstandes des gegebenen Punktes von der gegebenen Geraden 
und der Konchoide besitzt letztere drei verschiedene Formen, doch ist 
kaum anzunehmen, daß die Griechen diese Formen kannten, deren 
wesentlichste Verschiedenheit auf dem Zweige der Kurve beruht, 
welcher von der festen Schneidenden aus gesehen auf derselben Seite 



») ProkluB (ed. Friedlein) 177. *) Archimedes (ed. Heiberg) III, 114. 



Die EpigODen der großen Mathematiker. 



351 




Fig. 69. 



wie der feste Punkt liegt, und von diesem Zweige ist überhaupt nicht 
die Rede. Allerdings wird, falls diese Meinung als richtig gilt^ 
vollends unverständlich, was Pappus in seinem IV. Buche die zweite,, 
dritte und vierte Konchoide genannt haben mag, die zu anderen 
Zwecken als die erste benutzt worden seien*). Nikomedes nannte^ 
wie wir durch Eutokius und Pappus 
wissen, den festen Punkt Pol, 7t6kov. 
Er erfand auch, wie beide Bericht- 
erstatter uns melden, eine Vorrichtung 
zur Zeichnung der Konchoide, die aus 
der Figur sofort verständlich ist (Fig. 59). 
Sie bestand aus drei miteinander ver- 
bundenen Linealen. Zwei derselben 
waren senkrecht zueinander fest ver- 
einigt, und während das eine fast seiner 
ganzen Länge nach durch eine Ritze 
durchbrochen war, trug das andere ein kleines rundes Zäpfchen. Das 
durchbrochene Lineal stellte die feste Gerade, das Zäpfchen auf dem 
anderen stellte den Pol der Muschellinie vor. Das dritte Lineal trug 
unweit des spitzen Endes ein Zäpfchen ähnlich dem Pole, etwas 
weiter davon entfernt eine Ritze ähnlich der auf der festen Geraden^ 
die Entfernung des Zäpfchens von der Spitze stellte den gleichbleiben- 
den Abstand vor. Offenbar mußte nun die Spitze dieses dritten 
Lineals eine Muschellinie beschreiben, wenn das Lineal selbst alle 
möglichen Lagen annahm, deren es fähig war, während sein Zäpf- 
chen in der Ritze der festen Geraden sich befand und seine Ritze da& 
als Pol dienende Zäpfchen einschloß. 

Nikomedes hat gezeigt: 1. daß die Muschellinie der festen Ge- 
raden sich mehr und mehr nähert *j; 2. daß jede zwischen der festen 
Geraden und der Muschellinie gezogene Gerade die Muschellinie 
schneiden muß; 3. daß mittels der Muschellinie die Aufgabe der Würfel- 
verdoppelung gelöst werden kann. 

Den Ideengang seiner Auflösung und seines Beweises lassen wir 
hier folgen, wobei wir nur diejenigen geringfügigen Abänderungen, 
vornehmen, welche notwendig sind, um statt eines Rechnens mit 
Proportionen das uns geläufigere Rechnen mit Gleichungen einzuführen. 
Aus den Strecken «A == 2a und ccß ^2b wird (Fig. 60) das Rechteck 
aßyX gebildet und ßy um weitere 2a nach ri verlängert. Außerdem 
wird in der Mitte € von ßy die cg genkrecht za ßy errichtet und 



^) Pappus (ed. Hultsch) 244. x. pjo^^^® ^^^' ^i^iedlein) 177 ist 

geradezu von der Asymptote der Eoncbo* - "QaAö. 



'"H^ dve ^''- 



352 



17. Kapitel. 



deren Endpunkt g durch yi=' ßd = b bestimmt. Somit ist auch rjt 
gegeben, und ihr parallel wird durch y die yö gezogen Diese letztere 
wird als feste Gerade, g als Pol, b als Abstand benutzt und die Muschel- 
linie konstruiert, welche die Ver- 
längerung von ßy inx schneidet, 
d. h. welche öx ==» 6 werden läßt. 
Verbindet man nun endlich x 
mit l und verlängert xA bis zum 
Durchschnitte ft mit der ver- 
längerten aß, setzt man dabei 

a^ «a?, yx = y, 
so ist 

2a:x ^ X :y ^y:2b, 
und die Aufgabe, zwischen 2 a und 
2b zwei mittlere Proportionalen 
einzuschalten, ist gelöst. Aus den 
Dreiecken a>L/i, yxX folgt näm- 

Daraus erkennt man ^d^x und 




Fig. 60. 

lieh jr- = — uiid ^ 
2a 



4a • 6 riy 0% 
y y ^ 7^ ' 

folglich gx = a? + 6. Nun ist et, Kathete zweier rechtwinkliger Drei- 
ecke y^B und x%B. Das erstere hat yl^b als Hypotenuse, y£ = a 
als zweite Kathete. Das zweite hat xg»x-|-& als Hypotenuse, 
xe^y + a als zweite Kathete. Mithin ist 6*— a* = (a? + by — (y + a)* 

— = ^t Jt ' Man kennt ferner den- 
y x + 2b 

^ wegen der Ähnlichkeit der Drei- 



oder x(x + 2b) =- y(y + 2a) und 
selben Bruch ^^4? = p == ^ = 



2b 



ecke ßxfi und yxX. Man weiß also auch — = ^^; 2bX'- 



Diese 



Gleichung abgezogen von dem vorher gefundenen x(x + 2b) ^ y{y + 2a) 
läßt x^ » 2ay zum Reste, und die Umstellung der beiden Glei- 
chungen x^ « 2ay, y^ ^ 2bx in Proportionen liefert das verlangte 
2a : X ^ X : y ^ y : 2b. Auflösung und Beweis sind gleichmäßige 
Zeugnisse für den Scharfsinn des Erfinders, der schon um des oben 
beschriebenen Konchoidenzeichners willen einen rühmlichen Platz in 
der Geschichte der Mathematik verdient. 

Der Zirkel, als Hilfsmittel geometrischen Zeichnens wurde von 
den Alten auf den Neffen des Dädalus zurückgeführt^), wohl 
denselben Talus, auf welchen schon (S. 163) für andere Erfindungen 
verwiesen worden ist, d. h. auf einen mythischen Ursprung. Die 



*) Ovid, Metam. Vni, 247— 49: Primuß et ex uno duo ferrea brachia nodo 

Yinxit, ut, aeqnali epatio distantibus illis, 
Altera pars staret, pars altera duceret orbem. 



Die Epigonen der großen Mathematiker. 353 

Vorrichtungen des Piaton und des Eratosthenes zur Würfelver- 
doppelung beruhen auf Geschicklichkeit des Benutzers, der versuchs- 
weise gewisse Lagenverhältnisse der Teile der Apparate hervorbringen 
mußte. Etwaige Mittel die Kegelschnitte zu zeichnen sind, wenn 
Menächmus wirklich dergleichen besaß (S. 244), nicht zu unserer 
Kenntnis gelangt. Die Quadratrix, die Hippopede, die Spirale mecha- 
nisch zu zeichnen gab es kein Mittel. So ist die MuscheUinie des 
J^ikomedes neben der Geraden und dem Kreise die älteste Linie, von 
deren mechanischer Konstruktion in einem fortlaufenden Zuge wir 
genügenden Bericht besitzen. 

- Dieselbe Muschellinie hat auch zur Auflösung einer anderen Auf- 
gabe, nämlich zur Dreiteilung des Winkels Anwendung gefunden. 
Soll man den Worten des Pappus Glauben schenken, so hätte dieser 
sich jene Anwendung zuzuschreiben^). Dagegen sagt Proklus aus- 
drücklich, Nikomedes habe mit Hilfe der Muschellinie jeden Winkel 
in drei gleiche Teile zerlegt*), und so glauben wir es gerechtfertigt 
hier von dieser Anwendung zu reden. 

Wir wissen, daß Archimed (S. 300) die Dreiteilung des Winkels 
auf die Zeichnung einer Geraden von einem gegebenen Punkte aus 
zurückführte, welche einen Kreis und eine Gerade so schneiden sollte, 
daß die zwischen beiden Schnittpunkten liegende Strecke einer ge- 
gebenen gleich werde. Konnte man hier den Kreis durch noch eine 
Gerade ersetzen, so war die Aufgabe nur noch: von einem Punkte 
aus durch eine gegebene Gerade hindurch bis zum Durchschnitte mit 
einer zweiten gegebenen Geraden eine Gerade zu zeichnen, welche 
zwischen beiden Durchschnittspunkten einen bekannten Abstand zeige, 
und das gelingt mit Hilfe der Muschellinie, deren Pol der gegebene 
Punkt, deren feste Gerade die erste gegebene Gerade, deren gleich- 
bleibender Abstand die 

gegebene Strecke ist. C\ ^ 

Pappus hat uns eine der- 
artige Umformung über- 
liefert«). Essei(Fig61) 
aßy der in drei gleiche 
Teile zu teilende spitze Winkel. Von a aus wird ay senkrecht zu 
ßy gezogen und das Rechteck ayß^ vollendet. Die ßs dritteilt nun 
den gegebenen Winkel, wenn die Strecke äe zwischen ihren Durch- 
schnitten mit der ay und der Verlängerung der ga doppelt so groß 
ist wie aß. Weil nämlich aäa ein reehtwinkliges Dreieck, so wird. 




Flg. 61. 



^) Pappus IV, 27, (ed.HuItflch) 24^^ ^ yto^^^a (ed. ftiedlein) '2 
«) Pappus IV, 38, (ed. Hultsch) 274. ^^ ' 

Caktob, 0«8chiohte der Mathematik I. S. Auq "IZ 



272. 



354 17. Kapitel. 

wenn rj der Mittelpunkt der Hypotenuse Ss ist, =- diy = iy£ = lya 
sein. Polglich sind zwei gleichschenklige Dreiecke aßrj und ccrjs in 
der Figur vorhanden. Da überdies ^arjß Außenwinkel des Dreiecks 
ai]s ist, und ßs als Transversale mit den Parallelen g«, ßy gleiche 
Wechselwinkel bildet, so ist ^ccßs '^ ai]ß ^ rjea + rjas =^ 2r}ea 

Ist die Annahme wirklich gerechtfertigt, daß diese Auflösung, 
oder eine ihr alsdann jedenfalls sehr ähnliche, bereits dem Nikomedes 
zuzuschreiben sei, so bietet es ein eigentümliches Interesse, daß hier 
die Aufgabe der Würfelverdoppelung und die der Dreiteilung des 
Winkels mit Hilfe derselben Kurve bewältigt werden, wie sie, modern 
ausgedrückt, beide auf Gleichungen dritten Grades sich zurückführen 
lassen. Sollte ein dunkles Gefühl der Zusammengehörigkeit beider 
Probleme bei den griechischen Mathematikern nach Archimed zu den 
Möglichkeiten gehören? Müssen wir doch auch eine ideeUe Zusammen- 
gehörigkeit zwischen der allgemeinen Teilung des Kreisbogens und 
seiner Rektifikation zugestehen, welche beide, wie wir wissen, mittels 
der Quadratrix vollzogen wurden. 

Der Zeit nach nur wenig von Nikomedes entfernt dürfen wir 
Diokles setzen, den gleichfalls oben genannten Erfinder der Cissoide 
oder Efeulinie. Er muß früher gelebt haben als Geminus, der 
diese seine Kurve neben der Muschellinie nennt; er muß aber auch 
später als Archimed angesetzt werden, mit dessen Aufgabe von der 
Durchschneidung einer Kugel durch eine Ebene zu gegebenem Ver- 
hältnisse der beiden Kugelabschnitte er sich beschäftigte in der An- 
nahme, Archimed selbst habe sein auf diese Aufgabe bezügliches 
Versprechen nicht eingelöst^) (S. 309). Er hat die Aufgabe mit Hilfe 
zweier Kegelschnitte in seinem Werke ^sqI nvQBiiQv gelöst, aus 
welchem Eutokius sie entnahm^) und aus demselben Werke teilt der 
gleiche Berichterstatter die Definition der Cissoide und deren An- 
wendung zur Würfel Verdoppelung uns mit^). Der Name jenes 
Werkes läßt den Inhalt erkennen. Das Wort %vqiov bedeutet, wie 
wir (S. 344) gesehen haben, Brennspiegel, und in einem Buche über 
Brennspiegel konnte es auf die Größe sphärischer Abschnitte, sowie 
auf deren Vergrößerung unter Beibehaltung der Gestalt ankommen. 
Was über eine arabische Übersetzung des Werkes des Diokles in 
einer Handschrift des Escorial angegeben ist*), dürfte auf den Bericht 
des Eutokius sich beschränken*). 

*) Archimed (ed. Heiberg) lU, 162. *) Ebenda III, 188. «) Ebenda 
III, 78—80. *) W anrieh, De auctorum Gi'aecorum veisionihus et commentariis 
Syriacis, Ärahicis, Amienicis, Fersicisque. Leipzig 1842, pag. 197. *) Heiberg 



Die Epigonen der großen Mathematiker. 



355 




Diokles läßt seine Gissoide in durchaus anderer Weise entstehen, 
als es gegenwärtig gebrauchlich ist. Man soll (Fig. 62) in einem 
Kreise zwei zueinander senk- 
rechte Durchmesser ccß und yS 
ziehen. Werden symmetrisch zu 
aß zwei Gerade r^t, xc senk- 
recht auf yd errichtet und i 
mit dem Endpunkte e der einen 
Senkrechten verbunden, so liegt 
der Durchschnittspunkt dieser 
Verbindungslinie mit der anderen 
Senkrechten, gleichwie der ähn- 
lich ermittelte Punkt o usw. 
auf der Gissoide. Zugleich 
findet die fortlaufende Propor- 
tion statt yri : rji^ rj^irjd ^ 
rjd :r]d. 

Der erste Teil dieser Proportion ist augenscheinlich richtig, weil 
lyg als Senkrechte von einem Peripheriepunkt auf den Durchmesser 
.das geometrische Mittel der Teile, in welche sie den Durchmesser 
teilt, ist. Weil auch xe eine solche Senkrechte ist, muß ebenso 
yxixs ^xe :xd sein. Femer sind die Dreiecke xsd, rjdS ähnlich 
und darum xs : xd = rjO irjdf folglich auch yxixe ^ rid :rjd und 
nicht minder xsixy ^ rjS : rjd. Berücksichtigt man endlich xe ^ rjtf 
yx^'Tid, so nimmt die letztgeschriebene Proportion die Form 
rj^irjS ^ rjd : Tjd an, und die zu Anfang behauptete fortlaufende Pro- 
portion ist nachgewiesen, d. h. zwischen yiy und lyd, die in der Figur 
senkrecht zueinander gezogen erscheinen, sind die rj^ und 97 d als die 
beiden mittleren Proportionalen eingeschaltet. 

Nun kann man auch zwischen irgend zwei Strecken a, b zwei 
mittlere Proportionalen einschalten. Man zeichnet einen beliebigen 
Kreis mit zugehöriger Gissoide. Man sucht auf dem vertikalen Durch- 
messer aß den Punkt 7t nach Maßgabe der Proportion yl:Xn=^a:b 
und zieht die y«, welche bis zum Durchschnitte mit der Gissoide 
verlängert wird. Sofort zeigt sich, daß auch yrj : rjO => a :b iBt Es 
brauchen daher nur die Strecken rj^ und ijd, welche zwischen yiy, 
lyö als mittlere Proportionalen bekannt geworden sind, in dem Ver- 
hältnisse yrj : a verändert zu werden, um üe Lösung der Aufgabe zu 
erhalten. 



in Zeitschrift Math. Phya. XX Vm, Hi^*. , \iiwan8che Abteilung S. 128, 

Note, '^>^V^^^ 

23* 



^ 



356 17. Kapitel. 

Ein dritter Geometer der gleichen Zeit etwa dürfte Perseus 
gewesen sein. Wir werden ihn nicht leicht für älter als die alexan- 
drinische Schule halten, weil Proklus, der seiner gedenkt, dieses wohl 
irgend bemerkt haben würde, um die Lücke in dem alten Mathe- 
matikerverzeichnisse, in welchem sein Name nicht vorkommt, aus- 
zufüllen. Später als zwischen 200 und 100 kann er aber auch nicht 
gelebt haben, wie wir aus folgendem Umstände entnehmen. Eine 
Spire war, wie wir (S. 242) besprochen haben, eine wulstartige 
Oberfläche. Heron von Alexandria definiert sie, wie wir damals sahen, 
als Umdrehungsfläche erzeugt durch Drehung eines Kreises um eine 
nicht durch seinen Mittelpunkt hindurchgehende Achse ^) und setzt 
hinzu: „Aus den Schnitten derselben entstehen gewisse eigentümliche 
Kurven." Daraus geht hervor, daß zu Herons Zeit Schnitte jener 
Oberflächen bereits vorgenommen worden waren, und Geminus er- 
gänzt diese Mitteilung zur Brauchbarkeit für unseren gegenwärtigen 
Zweck durch die Angabe*), die spirischen Schnitte seien von 
Perseus erdacht. Es ist bis zu einem gewissen Grade wahrschein- 
lich, daß damit jene Schnitte gemeint sind, die wir an der oben an- 
geführten Stelle im Zusammenhange mit der Hippopede des Eudoxus 
beschrieben haben. Schnitte also, welche auf dem Wulste durch eine, 
der Durchgangsachse parallele Ebene hervorgebracht wurden, wobei 
die Entfernungen des Schnittes und des Mittelpunktes des die Spire 
erzeugenden Kreises von der Drehungsachse die unterscheidenden 
Merkmale für die einzelnen spirischen Kurven lieferten. Bemerken 
wir noch, daß eine Untersuchung solcher Kurven der Zeit, in welche 
wir Perseus setzen, angemessen erscheint, so ist damit das Wenige 
erschöpft, was wir über diesen Schriftsteller sagen können, dessen 
Heimat und sonstige persönliche Verhältnisse uns genau ebenso un- 
bekannt sind, wie die des Nikomedes, des Diokles. 

Ebenso verhält es sich mit Zenodorus'), dem Verfasser eines 
höchst interessanten Buches über Figuren gleichen Umfanges. 
Die Grenzen, in welche sein Leben eingeschlossen werden kann, sind 
als feststehende obere Grenze die Zeit des Archimed, dessen Name 



^) Heron, Definit. 98 (ed. Hultach) 27, bestätigt durch Proklus (ed. 
Friedlein) 119. *) Proklus (ed. Friedlein) 111—112. ») Vgl. Nokk, Pro- 
gramm des Freiburger Lyceums von 1860 und unsere Besprechung des 11. Bandes 
des Pappus (ed. flultsch) in der Zeitschr. Math. Phya. XXII (lö77), Histor.- 
literar. Abtlg. 173 — 174. Eine Verwechslung des Zenodorus mit einem bei 
Proklus genannten Zenodotus, welche, so lange die Fr ie dl einsehe Proklus- 
ausgabe noch nicht vorhanden war, zu entschuldigen gewesen sein dürfte, ver- 
anlaßte uns früher zu gegenwärtig ganz unhaltbaren Zeitbestimmungen für 
Zenodorus. 



Die Epigonen der großen Mathematiker. 357 

bei ihm vorkommt, als mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlich- 
keit anzugebende untere Grenze die Zeit des Qpintilian, der von den 
Dingen redet, welche in der Abhandlung des Zenodorus vorkommen, 
wenn auch ohne ihn selbst zu nennen. QuintiUan, mit welchem wir 
es im 26. Kapitel zu tun haben werden, lebte 35 — 95 n. Chr. Dem- 
gemäß würde die Tätigkeit des Zenodorus etwa zwischen 200 v.* Chr. 
und 90 n. Chr. fallen. Man hat aber wohl mit Recht darauf auf- 
merksam gemacht, daß seine etwas breite Schreibart ihn als nicht 
allzuweit nach Euklid lebend betrachten lasse ^), und demzufolge 
nehmen wir keinen Anstand ihn hier zu behandeln. Die Abhandlung 
des Zenodorus ist uns in mehrfacher Überlieferung erhalten. Ein- 
mal finden sich die Sätze über Figuren gleichen Umfanges ohne An- 
gabe ihres Erfinders bei Pappus im V. Buche seiner mathematischen 
Sammlung*), zweitens stehen dieselben in dem Kommentare des Theon 
von Alexandria ^ zum I. Buche des ptolemäischen Almagestes. Bei 
Theon ist ausdrücklich Zenodorus als Verfasser der auszugsweise mit- 
geteilten Abhandlung genannt, und Proklus bestätigt mittelbar diese 
Namensnennung. Er sagt uns nämlich, das Viereck mit einspringen- 
dem Winkel heiße hohlwinklig, xoikoyaviovy nach Zenodorus*), und 
dieses Wort in der angegebenen Bedeutung kommt wirklich in Theons 
Auszuge vor. Wir können drittens auf eine Abhandlung in grie- 
chischer Sprache über die Figuren gleichen Umfanges hinweisen, 
welche den Namen keines Verfassers als Überschrift trägt und in 
wesentlicher Übereinstimmung mit, wahrscheinlich in einem Ab- 
hängigkeitsverhältnisse zu Zenodorus steht ^), von Nachbildungen in 
anderen Sprachen zu schweigen. Von den vierzehn Sätzen des Zeno- 
dorus, welche fast gleichlautend bei Pappus und bei Theon sich er- 
halten haben, mögen der 1., 2., 6., 7. und 14. hier einen Platz finden: 
1. Unter regelmäßigen Vielecken von gleichem Umfange hat das- 
jenige den größeren Inhalt, welches mehr Winkel hat. 2. Der Kreis 
hat einen größeren Inhalt als jedes ihm isoperimetrische regelmäßige 
Vieleck, 6. Zwei ähnliche gleichschenklige Dreiecke auf ungleichen 
Grundlinien sind zusammen größer als zwei auf den nämlichen Grund- 
linien gleichschenklige Dreiecke zusammen, welche unter sich unähn- 
lich sind, aber mit jenen ähnlichen gleichen Gesamtumfang haben. 
7. Unter den isoperimetrischen n- Ecken hat das regelmäßige den 
größten Inhalt. 14. Unter den Kreisabschnitten, welche gleich große 



*) Pappus (ed. Hultach) 1190. *) Pappus V, pars 1 (ed. Hultsch), 
308 sqq. *) Theon d'Älexandrie (ed. Halma. PaiislöSl) 33 sqq. Zum besseren 
Vergleich mit der Wiedergabe durch Pappxj^ ^^Yi abgedruckt bei Pappus (ed. 
Hultsch) 1190—1211. *) Proklus (ecl. v, «edU^^^ ^^^' *) ^apP^a (ed. 
Hultsch) 1188—1166. ^ ^^ 



358 17. Kapitel. 

Bogen haben, ist der Halbkreis der größte. Im Räume hat die Kugel 
bei gleicher Oberfläche den größten Inhalt. Die theoretische Bedeut- 
samkeit dieser Sätze, welche einen durchaus neuen geometrischen 
Gegenstand behandeln, der nach rückwärts nur an die Vielecke wach- 
sender Seitenzahl in der Ereisrechnung des Archimed und an die 
Lehre von den größten und kleinsten Werten bei ApoUonius an- 
knüpft, liegt auf der Hand, und es ist nur um so mehr zu bedauern, 
daß unser Wissen von ihrem Erfinder so dürftig ist. 

Wir nennen weiter immer noch auf bloße Wahrscheinlichkeits- 
gründe uns stützend im Jahrhunderte zwischen 200 und 100: Hy- 
psikles von Alexandria^). Seine Leistungen liegen auf verschie- 
denen Gebieten. Die Handschriften des Euklid enthalten mehrfach 
nach den 13 Büchern der Elemente noch zwei Bücher stereometrischen 
Inhaltes, welche als XIV. und XV. Buch der Elemente, oder als die 
beiden Bücher des Hypsikles von den regelmäßigen Körpern be- 
nannt zu werden pflegen. Neuere Untersuchungen^) haben einen 
solchen Gegensatz im Wert und Inhalt der beiden Bücher aufgedeckt, 
daß sie notwendig verschiedenen Verfassern überwiesen werden müssen, 
und zwar das erste dem Hypsikles, das zweite einem mehrere 
Jahrhunderte n. Chr. lebenden Schriftsteller. Wir haben es dem- 
gemäß hier mit dem ersten Buch allein zu tun, welches aus folgen- 
den sechs Sätzen über die regelmäßigen Körper^) besteht: 1. Die 
vom Mittelpunkt eines Kreises auf die Seite des eingeschriebenen 
regelmäßigen Fünfecks gefällte Senkrechte ist die halbe Summe 
des Halbmessers und der Seite des eingeschriebenen regelmäßigen 
Zehnecks. 2. Einerlei Kreis faßt des in einerlei Kugel beschrie- 
benen Dodekaeders fünfseitige und Ikosaeders dreiseitige . Grenz- 
fläche. 3. Die Oberfläche des Dodekaeders sowie des Ikosaeders sind 
beide dem 30 fachen Rechtecke gleich, welches aus der Seite des 
Körpers und der aus dem Mittelpunkte einer Grenzfläche auf die 
Seite gefällten Senkrechten gebildet wird. 4. Die Oberfläche des 
Dodekaeders verhält sich zur Oberfläche des Ikosaeders, wie die Seite 
des Würfels zur Seite des Ikosaeders. 5. Die Seite des Würfels ver- 
hält sich zur Seite des Ikosaeders, wie sich die Hypotenusen zweier 

>) W. Crönert (Sitzungsber. der Berliner Akad. 1900 S. 942—950) setzt 
die Lebenszeit des Hypsikles auf 150 bis 120. *) Der Erste, welcher die Ver- 
schiedenheit beider Bücher erörternd sie zwei verschiedenen Autoren beilegte, 
war Friedlein im Bulletino Boncompagni 1878, 493—629. Ihm folgte Th. H. 
Martin ebenda 1874, 268 — 266. *) Gewöhnlich werden 7 Sätze angenommen, 
aber der 7. Satz (Zwei nach stetiger Proportion geschnittene Gerade verhalten 
sich wie ihre größeren Abschnitte) ist offenbar kein Satz für sich, sondern nur 
Teil des Beweises des 6. Satzes. 



Die Epigonen der großen Mathematiker. 359 

rechtwinkligen Dreiecke verhalten, welche eine Kathete gemeinschaft- 
lich und als andere Kathete den größeren beziehungsweise den 
kleineren Abschnitt besitzen, der entsteht, indem die gemeinschaft- 
liche Kathete nach stetiger Proportion geschnitten ist. 6. Der Körper 
des Dodekaeders verhält sich zum Körper des Ikosaeders wie die 
Seite des Würfels zur Seite des Ikosaeders. Diese Sätze, deren Wort- 
laut wir bei dem 1., 3., 5. Satze etwas mundgerechter sm fassen uns 
erlaubt haben als in den gewöhnlichen Übersetzungen, bilden ein ein- 
heitliches Ganzes, welches seinem Verfasser wohl Ehre macht, und 
lassen nicht zu, daß man jenes andere früher gleichfalls Hypsikles zu- 
geschriebene Buch damit in Verbindung setze, welches aus sieben 
Aufgaben besteht, die Konstruktion eines Tetraeders in einen Würfel, 
eines Oktaeders in ein Tetraeder, eines Oktaeders in einen Würfel, 
eines Würfels in ein Oktaeder, eines Dodekaeders in ein Ikosaeder 
zu vollziehen, die Zahl der Ecken und der Seiten, endlich die gegen- 
seitigen Neigungen der Grenzflächen in den fünf regelmäßigen Körpern 
zu finden. Über den Verfasser des ersten Buches gibt dessen Ein- 
leitung einige Auskunft. Ihr Wortlaut ist^): 

Basylides von Tyrus, mein lieber Protarch, kam einst nach Ale- 
xandria, war an meinen Vater wegen beider gemeinschaftlicher Liebe 
zur Mathematik empfohlen, und brachte die meiste Zeit seines Auf- 
enthaltes in dem Umgange mit ihm zu. Als sie eines Tages des 
Apollonius Schrift über Vergleichung des in eiuerlei Kugel be- 
schriebenen Dodekaeders und Ikosaeders und deren Verhältnisse zuein- 
ander durchgingen, so schien ihnen der Vortrag des Apollonius nicht 
ganz richtig zu sein, und sie schrieben, wie mir mein Vater gesagt 
hat, ihre Verbesserungen nieder. Nach der Zeit fiel mir jedoch eine 
andere von Apollonius herausgegebene Schrift in die Hände, welche 
eine richtige Auflösung der erwähnten Aufgabe enthält, deren Unter- 
suchung mir ein ausnehmendes Vergnügen gewährt hat. Das von 
Apollonius herausgegebene Werk kann jeder selbst nachsehen, da es 
überall zu haben ist, weil man es für eine sorgsame Arbeit hielt. 
Dasjenige aber, was ich nachher aufgesetzt habe, glaube ich Dir 
wegen Deiner vorzüglichen Einsicht in allen Wissenschaften, beson- 
ders aber in der Geometrie, als einem kundigen Beurteiler meines 
Voi*trags zuerst vorlegen zu müssen: in der gewissen Erwartung, daß 
Du sowohl aus Freundschaft für meinen Vater, als aus Wohlwollen 
gegen mich, geneigt sein wirst meinem Versuche Deine Aufmerksam- 
keit zu schenken. Doch es ist Zeit, daß ich meine Vorrede schließe 
und zur Sache sey)st komme. 

') Vgl. z. B. Euklid« Elemente fünfzehn Bücher aus dem GriechiBchen über- 
setzt von Jobann Friedrich Lorenz. Halle. S. 426 — 426. 



360 17. Kapitel. 

Es war oflFenbar eine Jugendarbeit, welche Hypsikles mit diesen 
Worten dem noch lebenden Freunde seines Vaters widmete. Seine 
Mitteilungen geben uns Auskunft über eine sonst unbekannte Schrift 
des Apollonius und wurden in diesem Sinne von uns (S. 344) be- 
nutzt. Araber haben, so lange das Buch noch als von Euklid her- 
rührend betrachtet wurde, aus den Anfangsworten herausgelesen, 
Euklid stamme aus Tyrus (S. 260). Man hat aber aus derselben Vor- 
rede auch, wie uns scheint, richtige Folgerungen auf die Lebenszeit 
des Hypsikles gezogen*). Der Vater des Hypsikles, welcher eine 
Abhandlung des Apollonius noch nicht kannte, welche dem Sohne 
nachher bekannt war und zu dessen Lebzeiten „überall zu haben^^ 
war, muß ein älterer Zeitgenosse des Apollonius gewesen und ge- 
storben sein, bevor dessen verbesserte zweite Abhandlung zur Ver- 
öffentlichung gelangte. Da nun Apollonius etwa 170 gestorben ist, 
so mag Hypsikles nicht vor dieser Zeit seine Abhandlung geschrieben 
haben, eine Zeitbestimmung, zu welcher uns gleich nachher noch eine 
kleine Bestätigung zugut kommen wird. 

Eine zweite Abhandlung des Hypsikles, welche sich erhalten hat^ 
ist das Buch von den Aufgängen der Gestirne, dvatpoQixög^). 
Auf den astronomischen Inhalt dieses äußerst dürftigen Werkchens 
von nur sechs Sätzen, auf dessen etwaige Verschlimmbesserung durch 
einen Astrologen haben wir nicht einzugehen, es sei denn um zu be- 
merken, daß die Methode desselben Berechtigung nur zu einer Zeit 
hatte, zu welcher trigonometrische Betrachtungsweisen noch nicht er- 
dacht waren, und daß andererseits als wichtige Neuerung in den 
Aufgängen des Hypsikles die Einteilung des Kreisumfanges 
in 360 Grade benutzt ist. Autolykus, ein astronomischer Schrift- 
steller kurz vor Euklid (S. 293), hat diese Gradeinteilung noch 
nicht. Ebensowenig scheint sie Eratosthenes gekannt zu haben, 
wenn es richtig ist'), daß er sich eines so unbequemen Ausdruckes 

wie „ des Kreisumfanges" bediente, während andererseits die Tat- 
sache seiner vollzogenen Gradmessung (S. 328) uns wieder stutzig 
machen kann. Starb nun Eratosthenes um 194 und ist seine Be- 
nutzung jener unbequemen ^ richtig auf das Jahr 220 bestimmt, 



*) Vossiuß, De scientiis mathematicis pag. 828 (Amsterdam 1660). Bret- 
schneider 182. Falsche Ansichten hei Fahricins, Bibliotheca Graeca (edit. 
Harless) IV, 20, bei Montucla, Histoire de math^matiqaes I, 315, bei Neseel- 
mann, Algebra der Griechen 246 flgg. *) Des Hypsikles Schrift Anaphorikos 
ist im Osterprogramm 1888 des Gymnasiums zum heiliges Kreuz in Dresden 
von K. Manitius herausgegeben worden. *) Montucla, Histoire de mathe- 
nuitiques I, 304. Wolf, Geschichte der Astronomie S. 130. 



Die Epigonen der großen Mathematiker. 361 

schrieb dann Hypsiklea um 170, so ist die Zeit der Einführung der 
Gradeinteilung des Kreises^ also mutmaßlich auch des davon untrenn- 
baren babylonischen Sexagesimalsjstems in Alexandria in sehr enge 
Grenzen gebracht. Von den sechs Sätzen des Anaphorikos sind die 
drei ersten arithmetischen Inhalts und rechtfertigen unser auch nur 
beiläufiges Verweilen bei dem Schriftchen. In moderner Aussprache 
sagen sie, daß in einer arithmetischen Reihe Ton gerader Glieder- 
zahl die Summe der zweiten Hälfte der Glieder die der ersten Hälfte 
um ein Vielfaches des Quadrates der halben Gliederzahl übertreffe*), 
daß die Summe einer arithmetischen Reihe bei ungerader Gliederzahl 
gleich dem Produkte der Gliederzahl in das mittlere Glied, bei ge- 
rader Gliederzahl gleich dem Produkte der halben Gliederzahl in die 
Summe der beiden mittleren Glieder sei. 

Bei so elementaren Kenntnissen blieb aber Hypsikles nicht 
stehen. Vielmehr war ihm die allgemeine Definition der Vielecks- 
zahlen bekannt, welche er in die Worte kleidete: „Wenn beliebig 
viele Zahlen von der Einheit an von gleichem Unterschiede sind, und 
dieser Unterschied 1 ist, so ist die Summe eine dreieckige Zahl; ist 
der Unterschied 2, so ist die Summe eine viereckige Zahl, für 3 eine 
fünfeckige; die Anzahl ihrer Winkel ist um 2 größer als der Unter- 
schied, und ihre Seiten sind der Anzahl der vorgelegten Zahlea 
gleich." So berichtet Diophant im 8. Satze seiner Schrift über die 
Polygonalzahlen, von welcher im 23. Kapitel die Rede sein wird. 
Diophant nennt als seine Quelle: Hypsikles iv oQp. Die Übersetzer 
dürften mit Recht diesen Ausdruck deutsch durch „in einer Definition'* 
übertragen haben, da oQog neben der Bedeutung Grenze (lateinisch: 
terminus oder limes) oder Reihenglied unzweifelhaft auch die Be- 
deutung der Begrenzung eines Begriffes, d. h. einer Definition besitzt; 
so bei Euklid z. B. und schon vor diesem bei Piaton heißen die Defini- 
tionen regelmäßig oqol, wobei vielleicht, wie bemerkt, an eine „Be- 
grenzung der Begriffe" zu denken ist. Bei welcher Gelegenheit 
Hypsikles sich jener Definition der Vieleckszahlen bedient haben mag^ 
wissen wir durchaus nicht. 

Wir schließen dieses Kapitel mit der Nennung des einzigen Schrift- 
stellers, für dessen Leben etwas genauere Angaben bekannt sind. 
Wir meinen Hipparch, der zwischen 161 und 126 v. Chr. astro- 
nomische Beobachtungen anstellte*). Er ist in Nicäa in Bithynien 



*) Ist a das erste Glied, d die Differenz, 2n die Gliederzahl, so sind die 
beiden Summen na-^- — -- — und na -{- ~- - — , deren Unterschied 
dn* ist. *) Wolf, Geschichte der Astronomie S. 45, Anmerkung 1. Das Werk 



362 17. Kapitel. 

geboren. Er beobachtete auf der losel Rhodos, vielleicht auch in 
Alexandria. Seine hervorragendsten Verdienste rühmt die Geschichte 
der Astronomie, welcher er al» Schöpfer einer wissenschaftlichen 
Sternkunde gilt. Er war aber auch der Urheber eines Teiles der 
Wissenschaft, welche das Grenzgebiet zwischen Astronomie und Geo- 
metrie bildet, der Trigonometrie, und berechnete eine Sehnen- 
tafel ^). Leider wissen wir von dieser Leistung nur durch Zitate des 
Heron von Alexandria, in welchen das Werk tcsqI tav iv xihckm 
E'öd'aL&i/j über die Geraden im Kreise, nicht aber dessen Verfasser ge- 
nannt ist, und durch ein berichtigendes Wort eines späten Schrift- 
stellers, des Theon von Alexandria, der um 365 schrieb, und können 
also dieses Kapitel griechischer Mathematik nicht in seinen Ursprüngen 
verfolgen. Wenn Hipparch in seinen erhaltenen Erläuterungen zu 
den Stembeschreibungen des Eudoxus und Aratus erklärt, er habe 
sich graphischer Methoden bedient — diä töv yQa^ii&v — so 
bot dieser Ausdruck zwar Anlaß zu geistreichen Vermutungen über 
die betrefiPenden Methoden^, welche aber gesicherter Stützen ent- 
behrend später Vorhandenes zurückdatieren. Was dagegen Hipparch 
mittels seiner Sehnentafel leistete, ist besser verbürgt, da uns von 
einer Art von Triangulation berichtet wird, die er zur Berechnung 
der Oberfläche der bewohnten Erde anwandte, und da Polybius (203 
bis 121), ein Zeitgenosse des Hipparch, die Möglichkeit erwähnt, die 
Höhe einer Mauer aus der Feme zu messen'). Jedenfalls stimmt 
die Erfindung trigonometrischer Betrachtungen etwa 150 v. Chr. mit 
der Notwendigkeit überein, zu welcher wir weiter oben aus anderen 
Gründen gelangt waren, dem Anaphorikos des Hjpsikles kein späteres 
Datum als das von 180 beilegen zu dürfen. Von Hipparchs Ver- 
diensten um Einführung der geographischen Länge und Breite*) 
reden wir im nächsten Kapitel^). 

Wir sind einem Hipparch „der zu den Arithmetikern gehörte*' 
begegnet (S. 256), von welchem kombinatorische Berechnungen 
uns mitgeteilt wurden. Wir haben keinen Grund in diesem Schrift- 
steller, der nach Chrysippus (282—209) lebte, einen anderen als den 
Astronomen zu vermuten. Wir glauben ebenso auch an die Richtig- 
keit arabischer Angaben, denen zufolge Hipparch als Schriftsteller 



des Hipparch: In Arati Phaenomena Commentaria hat K. Manitius mit deut- 
scher Übersetzung herausgegeben (Leipzig 1894). 

*) Wolf, Geschichte der Astrononiiie S. 111. *) Ad. v. Braun mühl, Vor- 
lesungen über Geschichte der Trigonometrie I, 10—14 (1900). *) G. Berger, 
Geschichte der wissenschaftlichen Erdkunde der Griechen 8. Abteiig. S. 186 flgg. 
und 4. Abteiig. S. 29—81. *) Wolf, Geschichte der Astronomie S. 168. 
^) G. Berg er, Die geographischen Fragmente des Hipparch. Leipzig 1870. 



Heron Ton Alezandria. 363 

über quadratische Gleichungen aufgetreten wäre ^). Eine 
Sehnentafel setzt zu ihrer Berechnung arithmetische wie algebraische 
Gewandtheit geradezu voraus. 

Wir haben dieses Kapitel mit Nennung der Gebiete begonnen^ 
auf welchen wir die Tätigkeit der Schriftsteller im Jahrhunderte von 
200 bis 100 ungefähr entfaltet sehen würden. Unsere Darstellung 
ist mit unserer Ankündigung in Einklang geblieben. Nikomedes, 
DiokleS; Ferseus waren für uns die Männer, welche der Kurvenlehre 
sich widmeten. Zenodorus widmete den planimotrischen Lehren vom 
Größten und Kleinsten seine Kräfte. Hypsikles vervollkommnete 
die Stereometrie und führte durch das, was wir aus der Arithmetik 
von ihm wissen, den Beweis, daB auch dieser Teil der Mathematik 
in dem Jahrhunderte, welches auf das des Euklid folgte, nicht ver- 
nachlässigt wurde. Hipparch bestätigte uns in dieser letzten Über- 
zeugung, ^er rechnende Astronom, welcher den naturgemäßen Über- 
gang zu dem rechnenden Feldmesser bildet, der nunmehr unsere Auf- 
merksamkeit auf sich zieht. 



18. Kapitel. 
Heron von Alexandria. 

In das erste vorchristliche Jahrhundert setzen wir Heron von 
Alexandria*). Die Form unserer Aussage läßt erkennen, daß wir 
in ihr keine allgemein als wahr angenommene Tatsache behaupten. 



*) Vgl. L'dlgibre d'Omar Älkhayydmi (ed. Woepcke)Pari8 1851, PrefaceXl 
und Journal Asiatique serie 5, T. V, pag. 261 — 263. Suter in den Abhand- 
lungen zur Geschichte der Mathematik VI, 64 (1892) und X, 71 und 213 An- 
merkung 36 (1900) hält allerdings das Zitat für unrichtig und durch falsche 
Lesung entstanden. •) Über Heron vgl. Venturi, Commentari sopra 1a storia 
e le teoi'ie delV ottica, tomo I. Bologna 1814. Th. H. Martin, Eecherches sur 
la vie et les ouvrages d* Heran d'Älexandrie etc. im IV. Bande der Memoires 
presentes par divers savants ä VAcademie des inscriptions et helles -lettres. 
S^rie I. Sujets divers d'eruditian. Paris 1854. W. Schmidt, Heron von Ale- 
xandria (in den Neuen Jahrbüchern f. d. klass. Altertum, Geschichte und deutsche 
Literatur. Leipzig 1899). K. Tittel, Heron und seine Fachgenossen (in Rhein. 
Museum für Philologie. Bd. LVI S. 404—416). Edm. Hoppe, Ein Beitrag zur 
Zeitbestimmung Herons von Alexandiien. Programmbeilage Nr. 816. Hamburg 
1902. Rudolf Meier, De Heranis aetate, Leipzig 1906. Die geometrischen 
griechischen Texte herausgegeben von Hultsch (Berlin 1864), teilweise auch von 
Vincent in den Natices et extraits des mantiscrits de la Bibliothiqiie imperiale. 
Tome XIX. Partie 2. (Paris 1868). Gesamtausgabe der Werke des Heron von 
W. Schmidt, L. Nix, Herm. Schöne in der Bibliotheca Teubneriana seit 
1899 mit deutschen Übersetzungen. 



364 18. Kapitel. 

Die Meinungen weichen vielmehr sehr erheblich voneinander ab, und 
man müßte, um allen gerecht zu werden, sich damit begnügen als 
mögliche Grenzen von Herons Wirksamkeit die Jahre 200 vor und 
200 nach dem Beginne der christlichen Zeitrechnung anzugeben. Die 
Heimat des berühmten Mathematikers und Physikers wird von nie- 
mand angezweifelt. Sie geht aus der Überschrift mehrerer seiner xms 
erhaltenen Abhandlungen hervor, wird auch durch Pappus und durch 
einen Anonymus, der um das Jahr 938 in Byzanz lebte, bestätigt,, 
welche beide von einem Heron von Alexandria zu reden wissen. 
Herons Lehrer war nach dem Berichte jenes Anonymus von Byzanz 
Ktesibius. Man hat eine Stütze dieses Berichtes darin gefunden,, 
daB Proklus den Heron zugleich mit Ktesibius als Erfinder wunder- 
barer auf Luftdruck beruhender Vorrichtungen rühmt und auch darin^ 
daß die beste Pariser Handschrift eines Buches des Heron die Über- 
schrift führt „Über Anfertigung von Geschützen des HeroJ;^ des Kte- 
sibius" ('HQtovog Kxrjötßt'ov BsloxoLVxd). Aber hier setzen schon 
Zweifel ein, ob bei fehlendem Artikel rov vor Kxri6ißCov die Über- 
setzung „Schüler des Ktesibius" berechtigt sei, ob der Vermutung,, 
jenes rot) sei bei Herstellung der Handschrift weggefallen, nicht dag 
Bedenken im Wege stehe, dann könne irgend ein anderes Wort 
z. B. -^ = oder weggefallen sein, wofür man sich auf eine jüngere 
Wiener Handschrift beruft, welche diesen Wortlaut aufzeigt. End- 
lich behauptet man, selbst wenn man Heron Schüler des Ktesibius 
nenne, sei damit nicht viel geholfen, weil das Zeitalter jenes Ktesi- 
bius keineswegs feststehe. Mit Gewißheit steht nur fest, daß Heron 
in einer seiner Schriften sich auf Philon von Byzanz beruft, wäh- 
rend dieser Ktesibius nennt, so daß die Zeitfolge: Ktesibius, Philon, 
Heron gesichert ist, ohne damit den Zeitraum festzulegen, der zwischen 
den Trägem dieser Namen liegt ^). Man hat also andere bei Heron 
auftretende Zitate zu suchen, welche seine Lebenszeit zu bestimmen 
sich eignen, und wir glauben dazu vorzugsweise eine mathematische 
Schrift „Die Vermessungslehre" {MexQiTia) benutzen zu sollen"). In 
ihr kommt Archimed vor, in ihr der Verfasser des Raumschnittes, in 
ihr der Verfasser der Geraden im Kreise, beide letztere ohne Namens- 
nennung, mithin als durch diese Bezeichnung für den Leser hinläng- 
lich deutlich gemacht. Der Raumschnitt rührt (S. 345) von Apollo- 
nius her, die Geraden im Kreise (S. 362) von Hipparch; folglich 
muß Heron nach der Mitte des H. vorchristlichen Jahrhunderts gelebt 



*) Wilh. Schmidt in der Einleitung zum I. Bande der Gesamtausgabe 
des Heron (Leipzig 1899). *) Herm. Schöne, Herons von Alezandria Yer- 
messungslehre und Dioptra. HL Band der Gesamtausgabe (Leipzig 1903). 



Heron von Alexandria. 365 

haben. Nun werden wir aber im 20. Kapitel erfahren, daß auch 
Menelaus von Alexandria um das Jahr 100 nachchristlicher Zeit 
Bücher unter dem Titel die Geraden im Kreise verfaßt hat. Wäre 
dieses vor Heron gewesen, so hätte die Nennung des Titels allein 
Mißverständnis erzeugen können, und darauf gestützt halten wir zu- 
nächst für erwiesen, daß Heron zwischen Hipparch und Menelaus 
fällt. Zur näheren Einschränkung der Zeitgrenzen führt ein anderes 
Werk des Heron, seine Mechanik, welche in arabischer Übersetzung 
des Kustä ihn Lüka (um 900) auf uns gekommen ist'). In dieser 
Mechanik kommt ein Posidonius vor, welchem eine physikalische 
Definition entnommen ist. Derselbe gehöre der Stoa an. Es ist 
nicht anzunehmen, daß Posidonius von Alexandria (S. 198) ein Werk 
verfaßt habe, in welchem jene Definition vorkommen konnte, dagegen 
ist dieses wohl möglich, wenn Heron den Stoiker Posidonius von 
Hhodos meinte^ den Lehrer Ciceros, den Freund des Pompejus, der 
frühestens um das Jahr 90 als Schriftsteller auftrat. Zu noch wei- 
terer Einschränkung der Grenzen, welche jetzt 90 vor und 100 nach 
€hristus heißen, hat man sich einer anderen Stelle der Mechanik be- 
dient*). Gegen Schluß des dritten Buches der Mechanik steht die 
Beschreibung einer kleinen einschraubigen Olivenpresse, und eben 
diese soll nach Plinius seit dem Jahre 55 n. Chr. die früher ge- 
bräuchlichen großen Pressen mit langen Hebeln verdrängt haben. 
Damit im Einklänge stehe*), daß bei römischen Schriftstellern, ins- 
besondere bei Vitruvius im Jahre 14 v. Chr., keine Einwirkung 
Herons nachweisbar sei. Heron müßte demzufolge zwischen 50 und 
100 nachchristlicher Zeitrechnung angesetzt werden. Das wäre nun 
«ehr schön, wenn es sich so, wie angegeben, verhielte. Aber der 
entgegengesetzte Nachweis ist geliefert worden*). Die von dem an 
und für sich durch vielfach mangelnde Sachkenntnis unzuverlässigen 
Plinius geschilderte kleine Olivenpresse ist keineswegs die von Heron 
beschriebene, dagegen hat Vitruvius Heron benutzt, wie aus zwei 
fehlerhaften Angaben hervorgeht, die jener von diesem, natürlich ohne 
ihn zu nennen, entlehnt. Wir werden im 26. Kapitel hierauf zurück- 
zukommen haben. 

Jetzt sehen wir Heron, wie wir am Anfange des Kapitels sagten. 



*) Curia de Vaux, Les mecaniques de Heron d'Älexandrie. Paris 1894 
und L. Nix, Herons von Alexandxia Mechanik. 11. Band der Gesamtausgabe 
(Leipzig lüOl). *) Wilh. Schmidt pag. XIX— XX der Einleitung zu Bd. I der 
Gesamtausgabe (Leipzig 18U9). ') Wilh. Schmidt, Haben Vitruv und die 
römischen Feldmesser aus Heron geschöpft? Bibliotheca Mathematica S.Folge, 
I, 2y7-— 818 (1900). *) Edm. Hoppe, Ein Beitrag zur Zeitbestimmung Herons 
Ton Alexandrien (Hamburg 1902). 



366 18. Kapitel. 

auf das erste yorchristliche Jahrhundert beschränkt^ und nun gewinnt 
eine vereinzelt dastehende späte Angabe erhöhten Wert. Wir werden 
im 26. Kapitel von einer Vermessung des Römischen Reiches er- 
fahren^ welche wahrscheinlich in den Jahren 37 — 20 v. Chr. statt- 
fand. Um das Jahr 500 n. Chr. erzählt Cassiodorius von dieser 
Vermessung und sagt dabei ^), ein Schriftsteller Heron metricus 
habe sich an ihrer Redaktion beteiligt. Nun ist allerdings richtige 
daß die Handschriften nicht Heron, sondern Iron oder Yron über- 
liefem, es ist auch richtig, daß Heron nirgend als metricus bezeichnet 
wird, wenn er auch, wie wir oben (S. 364) sagten, ein Werk nsrgixd 
verfaßt hat, aber auffallend und, was wir besonders zu bedenken 
geben, zu der von uns vorher erschlossenen Lebenszeit Herons nicht 
in Widerspruch stehend bleibt jene Stelle immerhin. Auf eine letzte 
Stelle möchten wir noch hinweisen, welche zur Festlegung von Herons 
Lebenszeit benutzt worden ist^). Sie steht in der Schrift über die 
Dioptra'). Dort sind Beobachtungen an zwei weit voneinander ent- 
legenen ihrer geographischen Länge nach sehr verschiedenen Stand- 
orten zu einem geodätischen Beispiele vereinigt, und als diese Stand- 
orte sind nicht etwa Alezandria und Athen, sondern Alexandria und 
Rom gewählt. Nun war aber Ptolemaeus XHI. Neos Dionysius der 
erste ägyptische König, welcher im Jahre 81 v. Chr. durch die Römer 
eingesetzt wurde. Von da an waren alle Augen in Alexandria nach 
Rom weit mehr als nach Athen gerichtet, und man darf die Ent- 
stehung der Abhandlung auf später als das Jahr 81 ansetzen. Dann 
werden auch die zahlreichen Latinismen erklärlich, welche das Grie- 
chisch des Heron entstellen. Wir wiederholen also, wir setzen Heron 
von Alexandria in das erste vorchristliche Jahrhundert, vielleicht 
sogar, wenn die Stelle des Cassiodorius für beweiskräftig gehalten 
werden sollte, in dessen letztes Drittel. Ein Grund läßt sich freilich 
für eine frühere Lebenszeit Herons beibringen, daß er nämlich, wenn 
von der Größe von Winkeln die Rede ist, sich niemals der Gradein- 
teilung (S. 360) bedient, sondern stets ausschließlich von Bruchteilen 
eines rechten Winkels spricht. Möglicherweise ist diesem Einwände 
damit zu begegnen, daß die Sexagesimalbrüche bei den Griechen dem 
gewöhnlichen Leben fremd blieben, daß sie von Anfang an waren, 
als was man sie später noch benannte, astronomische Brüche, 
daß überhaupt die Trigonometrie zunächst ein Kapitel der Astronomie 
bildete und keineswegs dazu diente, auch auf der Erde Dreiecke oder 

*) Wilh. Schmidt paj?. XVII— XVIII der Einleitung zu Bd. I der Gesamt- 
ausgabe (Leipzig 1899). ^Martin, Becherches sur la vie etc. pag. 91. •) Herm. 
Schöne, Herons von Alexandria Vermessungslehre und Dioptra. III. Band der 
Gesamtausgabe (Leipzig 1903). 



Heron von Alexandria. 367 

aus Dreiecken zusammengesetzte Figuren einer Bereclinung zu unter- 
werfen. Wir wollen schließlich nicht unterlassen zu bemerken, daß 
der Verfasser der letzten über Herons Zeitalter geführten Untersuchung^) 
nahezu zu der gleichen Zeitbestimmung des ersten vorchristlichen Jahr- 
hunderts wie wir gelangt ist. Er teilt unsere Überzeugung, die in 
den Metrica erwähnte Sehnentafel sei die des Hipparch, und die ähn- 
liche Tafel des Menelaus sei damals noch nicht vorhanden gewesen. 

Femer behauptet er Vürnvius habe später als Heron gelebt und 
stützt diese Behauptung darauf, daß die von Yitruyius beschriebene 
Wasserorgel wesentlich vollkommener als eine von Heron geschilderte 
sei; den von uns betonten Stellen der Mechanik legt er dagegen kein 
Gewicht bei. Ein weiter bei ihm verwerteter Umstand ist der, daß 
eine bei Froklus vorkommende Stelle, in welcher Archimed, Ktesi- 
bius, Heron als drei große Mechaniker genannt werden, für einen Aus- 
zug aus Geminus gilt, der, wie wir im 20. E^apiiel sehen werden, etwa 
im Jahre 70 vorchristlicher Zeitrechnung lebte. Beiläufig erwähnen 
wir noch, daß die sogenannte Definitionen Heröns, von welchen weiter 
unten die Rede sein wird, in der von uns hier erwähnten Abhandlung 
für unecht gehalten werden^), ebenso wie zahlreiche andere Fragmente. 

Dieser Heron war allem Anscheine nach der einzige seines 
Namens, welcher in der Geschichte der Mathematik einen Platz ver- 
dient Pappus, der an verschiedenen Stellen von Heron redet, nennt 
ihn Heron schlechtweg oder Heron von Alexandria. Proklus, pedan- 
tisch genau in Vermeidung der Verwechslungen von Schriftstellern, 
wo dieselben möglich wären, wie wir (S. 194) gesehen haben, redet 
zweimal von dem Mechaniker Heron, viermal vorher und nachher 
von Heron schlechtweg, und unter diesen vier Stellen ist gerade die- 
jenige, in welcher Heron mit Etesibius zusammen genannt ist, so 
daß Heron ohne Beinamen bei Proklus jedenfalls derselbe ist wie 
Heron der Mechaniker oder der dessen Leistungen sich mit Etesibius 
begegnen. Eutokius in seinen Erläuterungen zur archimedischen 
Ereismessung (S. 318) redet gleichfalls nur von Heron, als wenn 
es eben nur einen solchen allbekannten mathematischen Schrift- 
steller gäbe. 

Dazu kommt die Unmöglichkeit einen anderweitigen Mathematiker 
oder Mechaniker Heron irgendwie geschichtlich unterzubringen. Der 
Schriftsteller, welchen man ehedem als Heron den Jüngeren zu 
bezeichnen pflegte, ist der vorerwähnte Byzantiner des X. S., welcher 
selbst Heron von Alexandria zitiert, und dem den gleichen Namen 

*) Rudolf Meier, De Heronis aeiate. Leipzig 1906. *) Rud. Meier, 
De PseudO'Heronianis, Rhein. Mus. f. Philol. Neue Folge LXI, 178—184. 



368 18. Kapitel. 

beizalegen aach nicht der geringste Grund vorliegt. Heron, der 
Lehrer des Proklus, welcher in dem zweiten Viertel des V. S. 
lebte, hat überhaupt keine bekannt gewordene mathematische Schrift 
verfaßt; ihn hat Proklus insbesondere sicherlich bei keiner seiner 
Anführungen im Sinne gehabt, sonst würde der überaus pietätvolle 
Schüler für ihn eine andere Bezeichnung als das einfache Heron, 
oder Heron der Mechaniker gewählt haben. Heronas, der, wie 
Eutokius erzählt, einen Kommentar zu Nikomachus schrieb, mithin 
zwischen den von ihm erläuterten Schriftsteller und den, der seiner 
erwähnt, zwischen das 11. und VI. S., fällt, ist eine im übrigen 
durchaus unbekannte Persönlichkeit, so daß es eine leichtfertige Ver- 
mutung wäre in ihm den Verfasser solcher Schriften erkennen zu 
wollen, welche als von Heron verfaßt bezeichnet sind. 

So einfach sich demnach die sogenannte heronische Frage, 
d. h. die Frage nach dem Verfasser der mathematischen und physi- 
kalischen Schriften, welche einem Heron beigelegt werden, zu lösen 
scheint, so sind doch noch Schwierigkeiten vorhanden, wie nicht 
anders zu vermuten, da ja sonst wundernehmen dürfte, daß über- 
haupt jemals eine heronische Fri^e entstand. Die Handschriften der 
als heronisch bekannten Bücher sind ziemlich späten Ursprungs und 
yerschiedenen Inhaltes. Kaum eine ist mit einer anderen zur vollen 
Deckung zu bringen. Bald fehlt eine, bald eine andere Abhandlung, 
und zum Ersätze findet sich wieder in der zweiten Handschrift, was 
man in der ersten vergeblich suchte. Schon dadurch ist vollgültige 
Gewißheit über die Echtheit aller Stücke erheblich erschwert. Dazu 
kommt die sichere Unechtheit mancher Stücke. Ein alle Spuren des 
Verfalles der Literatur an sich tragendes Griechisch, Maße eines 
späten Zeitalters, Erwähnungen von Schriftstellern, die wie Modestus 
und Patrikius am Ende des IV. S. n. Chr. gelebt haben, können 
unmöglich dem Heron von Alexandria aus dem ersten yorchristlichen 
Jahrhunderte angehören. 

Wir möchten trotz mehrfachen Widerspruchs die Lösung der 
Schwierigkeit darin finden, daß wir die Schriften des Heron im 
großen und ganzen als echt in unserm Sinne, d. h. als dem früher 
aogenannten älteren Heron aus dem ersten vorchristlichen Jahr- 
hunderte angehörig erkennen, daß wir aber annehmen, diese Schriften 
seien wesentlich verderbt worden. Sie seien, behaupten wir, unge- 
mein verbreitet, in zahllosen Abschriften und Auszügen vorhanden 
gewesen. Nun habe bald dieser, bald jener Anfertiger später Exem- 
plare Randbemerkungen der mannigfachsten Art, wie sie seiner Lebens- 
zeit angemessen schienen, beigefügt und noch spätere unwissende 
Abschreiber haben bald solche Randbemerkungen in den Text her- 



Heron yon Alexandria. 369 

übergezogen, bald ihnen unverständlich gewordene Stellen weggelassen. 
So sei die gegenwärtige Gestalt der Schriften Herons entstanden. Man 
sei berechtigt alle als echt, wie alle als unecht zu bezeichnen, als 
echt dem Ursprünge nach, als unecht yermöge ihrer keineswegs un- 
bedeutenden Yerschlimmbesserungen. 

Die Schriften Herons sind teils physikalischen, teils mathemati- 
schen Inhaltes. Wenn wir uns auch bei Erörterung jener ersten 
Gruppe, soweit nicht Mathematisches in ihnen zur Bede kommt, 
hier grundsätzlich enthalten, so können wir doch nicht umhin auf 
eine schriftstellerische Eigentümlichkeit Herons hinzuweisen, welche 
in ihnen vorzüglich zutage tritt, und auch in den Schriften, welche 
unsere Auseinandersetzung fordern, sich nicht verleugnet Heron be- 
gnügt sich niemals mit bloß theoretischen Erörterungen. Er schreitet 
von der wissenschaftlichen Grundlage aus zur Anwendung, und zwar 
meistens zu einer doppelten Anwendung: neben dem Nutzen für die 
menschliche Gesellschaft erscheint auch das Vergnügen des einzelnen 
ihm wert die Fürsorge des Gelehrten in Anspruch zu nehmen. 

An der Grenze zwischen Physik und Mathematik liegen die drei 
mechanischen Bücher, welche Heron verfaßt hat, und welche, wie wir 
(S. 365) sahen, in arabischer Übersetzung erhalten sind. Pappus 
nennt in umfangreichen Auszügen, welche er davon gibt, jene Bücher 
bald Mechanik, bald Gewichtezieher, doch kann jetzt kein Zweifel 
mehr darüber herrschen, daß beide Namen nur das eine aus drei 
Büchern bestehende Werk bezeichnen. Das erste Buch ist vorzugs- 
weise allgemein mechanischen Lehren gewidmet, und in ihm findet sich 
eine geometrische Aufgabe mit ihrer Lösung^). Ebendieselbe Auf- 
gabe mit der gleichen Lösung hat aber Heron noch an einer anderen 
Stelle mitgeteilt, in einem Buche über angewandte Mechanik, welches 
den Titel führt: Von der Anfertigung von Geschützen*). Er 
lehrt, daß, wenn eine dreifach stärkere Kraft erzielt werden will, die 
den Geschossen ihre Bewegung erteilende Sehne dreifach stärkere 
Spannung erleiden muß. Diese ihr zu verschaffen, während die ganze 
Gestalt des Geschützes sich ähnlich bleibt, muß ein gewisser zylin- 
drischer Teil desselben unter der gleichen geometrischen Bedingung, 
die für das Ganze gilt, dreimal größer werden. Nun verhalten sich 
ähnliche Zylinder wie die Kuben einer Abmessung, z. B. des Durch- 
messers, also muß sich hier verhalten dj* : dj' =» 1 : 3 (allgemeiner wie 
1 : w). Das ist die delische Aufgabe der Würfelverdoppelung in ver- 
allgemeinerter Form. Heron löst deshalb hier in einem Buche prak- 

^) L. Nix, Herons von Alexandria Mechanik im 11. Bande der Gesamtaus- 
gabe S. 24. *) "Hgiovog KTfjßißiov ßsXoytouxot abgedruckt in dem von Thevenot 
herausgegebenen Bande: Veteres mathematici. Paris 1693. 

Caxtob, Geiohichie der Mathematik I. 8. Anfl. 24 



370 



18. Kapitel. 



tischen Inhaltes die theoretische Aufgabe, zwischen zwei gegebene 
Längen zwei mittlere geometrische Proportionalen einzuschalten. Seine 
Auflösung ist eine ToUkommen gesicherte, indem sie ausdrücklich als 
heronisch benannt und dessen Mechanik, wie wir jetzt wissen, ent- 
nommen, auch von Pappus aufbewahrt worden ist und an beiden 
Orten so genau zusammentrifft, daß sogar die Figur bei Pappus durch- 
aus mit der in der heronischen Mechanik übereinstimmt, während 
unsere Zeichnung (Fig. 63) der Anfertigung von Geschützen ent- 
nommen ist^). Der einzige Unterschied besteht darin, daß bei Pappus 
die Gerade di] fehlt und demzufolge der Punkt rj gar nicht und 
Herons Punkt durch i] als den im Alphabete auf i folgenden Buch- 
staben bezeichnet ist. In der Mechanik 
fehlt gleichfalls die Gerade Orj, nur 
sind andere Buchstaben vorhanden, 
vielleicht infolge des Durchgangs durch 
eine arabische Übersetzung. Die zwei 
mittleren geometrischen Proportionalen 
sollen zwischen die beiden Strecken aß, 
ßy eingeschaltet werden. Man bildet 
aus den gegebenen Strecken das Becht- 
eck ccßyä, dessen beide gleichen ein- 
ander in 6 halbierenden Diagonalen 
gezogen werden. Ein um die Ecke ß 
sich drehendes Lineal wird alsdann 
empirisch in die Lage gebracht, daß 
seine Durchschnitte mit den Verlänge- 
rungen von Sa und Sy, nämlich g und £, 
gleichweit von 6 abstehen, so ist aß : a^^^ a^iye ^ ye :yß. Die 
Zeichnung der Hilfslinien de, $i, dri (letztere senkrecht auf ad) läßt 
erkennen ög« =- Öi?« + (i?a + aiy « Öiy« + ria^ + ag(2??a -j- ag) -= 6«» 
+ ag • dg. Entsprechend dieser ersten Gleichung ög*«öa* + ag'dg 
muß zweitens Ö6* = öy* + yß-d€ sein. Nun ist ög = öc vorausge- 
setzt, es ist femer 6a — 6y, folglich muß auch ag • dg « y« • Sa sein 
und a g : yß — da : dg. Nun ist weiter a/3 : ag =» da : dg und Ss : dg 
— ys : ßy, also endlich a/S : ag = ag : y« = yeißy, was zu beweisen war. 
Wir gehen zu den eigentlich mathematischen Schriften des Heron 
über. An ihrer Spitze steht die Vermessungslehre, (istQixd, in 
3 Büchern, welche Jahrhunderte lang verschollen waren, bis man eine 
dem XI. Jahrhunderte entstammende sehr schöne Handschrift des 




Fig. 68. 



Vgl. Veteres mathematici pag. 142 mit Nix pag. 24 und mit Pappus 
(ed. Hultsch) 63. 



Heron von Alexandria. 371 

Werkes in Konstantinopel entdeckte; und nach ihr den Abdruck voll- 
zogt). An der wir mochten sagen fleckenlosen Reinheit der Über- 
lieferung kann kein Zweifel sein. Die unendlich klare Ausdrucksweise 
Herons, welche jeden Leser seiner physikalischen Schriften entzückt^ 
verleugnet sich keinen Augenblick^ und selbst die Überschrift^ (iBtQtTcd, 
ist durch Eutokius') beglaubigt. Bei der großen Wichtigkeit der 
Yermessungslehre fühlen wir uns gedrungen ^ deren Inhalt etwas ge- 
nauer anzugeben. 

Die Yermessungslehre gibt in ihrem 1. Buche Anweisungen^ wie 
man ebene aber auch wie man gekrümmte Oberflächen ausmessen 
solle. Das 2. Buch lehrt die Ausmessung von Eörpem^ das 3. Buch 
Teilung von Flächen und Körpern. Das Maß der Fläche ist ein 
Quadrat; dessen Seite die Längeneinheit ist; im gleichen Sinne ist 
das Körpermaß ein Würfel, dessen Kante die Längeneinheit ist; mag 
man als solche eine Elle oder einen Fuß wählen. 

Zuerst wird im 1. Buche ein Rechteck ausgemesseu; dann ein 
rechtwinkliges Dreieck als Hälfte eines RechteckS; und bei dieser 
Gelegenheit wird der Pjthagoräische Lehrsatz an dem Zahlenbeispiele 
3^ ^ 4s » 52 erläutert. Das gleichschenklige Dreieck mit den Seiten 
10; 10; 12 wird gleichfalls als Hälfte eines Rechtecks behandelt; dessen 

Höhe 8 aus 10^ — (yj = 8* gefolgert ist. Das sich anschließende 

un gleichschenklige Dreieck gibt Gelegenheit den Satz zu benutzen, 
daß ein Winkel bei j4 spitZ; recht oder stumpf sei; je nachdem 

Bn^j4B^ + Ar* (S. 209); und nun folgt die Berechnung der Höhe 

aus den Seiten bald unter Benutzung der Abschnitte, welche sie auf 
der Grundlinie hervorbringt, bald unter Benutzung der Verlängerung; 
welche die Grundlinie bis zum Eintreffen der Höhe erleidet. Aber 
auch ohne die Höhe läßt die Dreiecksfläche sich unmittelbar aus den 
Seiten herleiten; und nun folgt die heute als heronische Dreiecks- 
formel bekannte Rechnung 

y 0+6 + ^« + 6_t_c _ „) p +1 +i _ j) (« + 6 + c _ ^y 

Da hierbei Quadratwurzelausziehungen vorkommen; z. B. f[ir das Drei- 
eck 7; 8, 9 die Quadratwurzel ]/l2 • 5 • 4 • 3 - 1/720- 26^, so lehrt 
Heron einschaltungsweise die Ausziehung angenäherter Quadrat- 



^) Herrn. Schöne, Herons von Alexandria YennesBangslehre und Dioptra. 
Bd. III der GesamtauBgabe (Leipzig 1903). *) Archimed (ed. Heiberg) m, 
270 lin. 2 — 3 : stgrivai ii^v ^Hgoavi tv tots futgixolg. 

24 • 



372 18. Kapitel. 

wurzeln^); und das ist die Stelle, auf welche Eutokins (S. 318) 
hingewiesen hat. Das durch Heron gelehrte Verfahren besteht in 
folgendem. Sei a eine schon nahe Quadratwurzel der Zahl a' ± 6, 
so ist näherungsweise 

Man sieht sofort, daß dieser Wert der gleiche ist, welchen wir 

schreiben, und daß, wenn a ± g- = Oj mithin a* ± 6 = a^* ± 6^ ge- 
setzt wird, eine bessere Annäherung erzielt werden kann, was Heron 
auch ausdrücklich sagt. In seinem Beispiele ist 720 = 27* — 9, 

rf=» m- ~ i (27 + !J) - 1(27 + 26 1) - 26 i i mit (26 i i)' 

» 720—, und will man, sagt Heron, daß der Unterschied noch kleiner 

werde, so ersetze man das vorige 729 = 27* durch 720^ r — (262- -A . 
Man erhielte alsdann, was Heron allerdings nicht ausrechnet: 



y^-k{^^\^^Y^ 



1982 



Wir bemerken beiläufig, daß die io Arcbimeds ExeismeBBong vor- 
kommenden angenäherten Quadratwurzeln eni^gen dem, was Euto- 
kins zu Tersteben gibt, nicht alle nach Herons Vorschrift gefunden 

werden. Es gelingt z. B. nicht die Grenzwerte j-^ < )/3 < -^^ (S. 316) 

zu finden. Da ist nun ein sehr geistreicher Versuch gemacht worden, 
auf yS eine Methode anzuwenden, welche allerdings in viel späterer 
Zeit den Namen der Methode des doppelten falschen Ansatzes 
erhalten hat^). Wir werden im 33. E[apitel das Auftreten der Methode 
bei solchen Aufgaben kennen lernen, welche zu Gleichungen ersten 
Grades führen. Hier handelt es sich um eine quadratische Aufgabe, 
und Zweifel daran, ob bereits Archimed dieses Verfahren ersonnen 
haben kann, sind vollauf gerechtfertigt. Eine Stütze findet die Ver- 
mutung lediglich in der Tatsache, daß nur mit ihrer Hilfe die archi- 
medischen Näherungswerte für ^3 erhalten werden. 

Sei ya = Xy und seien x^ und x^ zwei Näherungswerte von der 
Art, daß x^<,x <, x^. Sei ferner x^ — x^ = d^, x^ — rc* — dg. Augen- 

Heron lU, 18—20. Vgl. P. Tannery, Zeitschr. Math. Phys. XXXTX, 
flist-liter. Abtlg. pag. 18—16 und Cnrtza, Zeitschr. Math. Phye. XLII, Hiat.- 
liter. Abtlg. pag. 113—120. *) G. Wertheim in Zeitschr. Math. Phye. XLIV, 
Hi8t.-liter. Abtlg. pag. 1—8. 



Heron von Alexandria. 373 

scheinlich ist (7^ + d^ =» a;,* — iCi* = (x^ — ^i)(^» + ^i) ^^^ d^a^ 
+ d^x^ =« x^oi^ — x^^x^ + x^x^^ -- x^x^ = (^ — ^i)(^* + ^i^j)- Daraus 
folgt j* "V 1 -— = ^-^^'— , ein Ausdruck, der sich wegen a;i*<a:* 

< iFj* als > x^ und < a:, erweist, welcher also als neuer Näherungs- 
wert für Y^ benutzt werden kann. 

Beispielsweise ist bei a = 3 leicht ersichtlich aj^ =» 1, d^ = 2; 

a^a = 2, dj =■ 1 und der daraus folgende neue Näherungswert: ^-^'ir ^*— 
^ 2^2 + r^ ^ 6 Zweitens sei a^i = g-, d^ - -^5 a:, = 2, (^ = 1. 

J-.2 + i.| 
Der neue Näherungswert wird « ^ . Drittens sei ^1 ™ ;7 , 

"9 +^ 

2 19 

2 121 "^ 11 

dj = r^; a;, « 2, (?, = !. Der neue Näherungswert ist 

— 4-1 
121^ 

71 71 2 

= 41 • Viertens endlich führt ^1 ™ ^j > ^ — ^egj 5 ^s = 2, d, = 1 zu 

2 71 

—=-2+1. 

dem archimedischen Näherungswerte 5 -= — • 



— X 



1681 ' 
Ist dagegen ]/a = x < a?! < a^, so kann unter der Annahme x^ 

* = dj, a?,* — 0? ^ i^ ein neuer Näherungswert für "[/a als ^ ^ j*^ 

«a "T^^ ^ ^ , ^ * d. h. < a:. < a;« ermittelt werden, von welchem 

man auch noch behaupten kann, er sei > x. Es ist nämlich »"^i^ 

> a; insofern a^^a^ — {x<^ + x^x -f- a:* = (iFj — a:)(a:, — a;) > 0, wovon 

die Wahrheit einleuchtet. Ist neuerdings a =» 3, a:, = 2, aber Xy^ = -^, 

so berechnen sich die vier aufeinanderfolgenden Näherungswerte folgen- 
dermaßen: 

^x- iy ^i'^ie' ^2-2, d,-l; 



26 j _ 1 
^1-^16^ «1-226' 



97 ^ 1 



56' ^1 8136' 



d,a?i-diÄ, 
d.-di 


- 


^ ' 4 16 ' ^ 26 

1__A lö 
16 




= 


1.??_.J_.2 

15 225 97 

1 56 

225 


d,-d. 


SS 


1.^^ ^ .2 

56 3186 862 

1 209 



3136 



374 18. Kapitel. 



862 



^ ^^^1 d ^-!—'T -2 /i -1. ««laJi-e^o:, _209__43681_ 1861 
^1 209'^l 43681' ^«~''^'"»~"^' "d,"^^ 1 """780 

^ 48681 

Der obere archimedische Näherungswert ist damit gleichfalls 
gefunden. 

Nun wird aber eine ähnliche Benutzung zweier falschen* Ansätze an- 
gewandt; um eine angenäherte Kubikwurzel zu finden. Sei Yä ^ x 
und seien x^ und x^ zwei Näherungswerte von der Eigenschaft x^ 
<x <x^. Hier nennen wir x^ — x^^ = d^, a:,* — a?' = dg. Alsdann 

ist * ^T^^ ^ öiii neuer Näherungswert. Soll f^lOO ermittelt werden, 

so ist a:i — 4, ;r, — 5, weil 64 < 100 < 125 und zugleich ist 100 
- 64 = 36 - («i, 125 - 100 - 25 - rfj. Da hier ic, = a^i + 1 ange- 
nommen ist, so wird der Näherungswert in die Gestalt x^ H ^^j/ a 

gebracht werden können, in Zahlen also 4 + ^ ,^^ ' ^ ^^ ■= 4 + r^ 

»-' O • OD -|- 4 • 20 5soü 

9 

== 4 + -^ und das Merkwürdige ist nun, daß genau dieser Wert genau 
nach der angegebenen Formel 4 + , auagerechnet im 3. Buche 

der Metrika vorkommt^). Da kann kaum mehr gezweifelt werden, 
Heron habe sich die gleichen Zahlen auch als Übersetzung der gleichen 
Buchstabenformel, welche hier vermutet worden ist, verschafit. 

Wir kehren nach dieser Zwischenbemerkung, welche dadurch 
veranlaßt wurde, daß wir die Ausziehung der Kubikwurzel bei Heron 
von der der Quadratwurzel nicht trennen wollten, zum 1. Buche der 
Yermessungslehre, und zwar zur heronischen Dreiecksformel zurücL 
Heron, sagten wir, wendet sie auf das Dreieck mit den Seiten 7, 8, 9 
an. Er läßt dem Zahlenbeispiele den Beweis der Formel folgen'). 
Das Dreieck ccßy erweist sich (Fig. 64) bei Einbeschreibung des 
Kreises mit dem Halbmesser rje als gleich dem Doppelten eines Drei- 
ecks mit diesem Halbmesser als Höhe und dem halben Umfang von 
aßy oder mit yO als Grundlinie (sofern ßO => aS genommen ist). 
Nun wird die Hilfskonstruktion i^A senkrecht zu rjy, ßk senkrecht zu 
ßy und yk von dem Durchschnittspunkte k jener beiden Senkrechten 
nach y vollzogen, nebst den Halbmessern 17 d, fj«, i]l des eingeschrie- 
benen Kreises und den Yerbindungsgeraden 170;, r^ßj r^y seines Mittel- 
punktes mit den Endpunkten des Dreiecks. Weil <:yrik^yßk^90% 
muß yk der Durchmesser des umschriebenen Kreises für die beiden 
Dreiecke yrjk und yßk sein, d. h. yrjßk ist ein Sehnen viereck und 
< rnß + Y^ß = 180«. Aber < ynß = yris + sriß = ^- + 'J- und 

») Heron lU, 178. «) Ebenda m, 20—26. 



Heron yon Alexandria. 



375 



addiert man dann noch arjd =« ^- und berücksichtigt ^tjs + erji 

+ drii = 360^, so zeigt sich auch < yrjß + ar^d =- 180^, folglich 
^ ylß = ai^d; ferner ist 

folglich sind die Dreiecke 
ßy^, dari ähnlich und ßy : ßX 
^daidrj oder, was dasselbe 
ist, ^ ßd :ij€, somit 

ße i2< 
Aus der leicht ersichtlichen 
Ähnlichkeit der Dreiecke ßkx, 
B7IX folgt auch 



ßX 

IJfi 



*ß 



mithin Jl = 



7ß _xß 



Durch Addition der Einheit 
auf beiden Seiten des Qleich- 
heitszeichens entsteht 

ße 




Fig. 64. 



und daraus folgt ^ ^n =* ^^ oder — — 






und 



daraus (yO » tjey ^ ys - eß - ßO - yO, Nun war der Flächeninhalt des 

Dreiecks aßy (als des Doppelten des Dreiecks yiyö) = 2 • ^ ^^^^ =» y ö • i^£, 

und somit ist^ wenn man die Fläche des Dreiecks aßy durch ^ be- 
zeichnet, ^ = ]/y« • £ß ' ßO • yö. Setzt man endlich aß = c, ay = 6, 
ßy =^ a, so lassen die Faktoren unter dem Wurzelzeichen sich leicht 
anders ordnen und schreiben, so daß 



zf = |/l±|±£ (?-+!+-« -a)(' 



a + h + c 
2 



»)(-±-r--«) 



entsteht, eben die Formel, die Herons Namen führt. Nach geliefertem 
Beweise erprobt Heron die Formel nochmals an dem Dreiecke mit 
den Seiten 13, 14, 15 und erhält ^ - ]/2lT8 • 7 • 6 =« 84 Noch 
ein weiteres Dreieck ist das aus den Seiten 8, 10, 12. Um dessen 
Fläche zu erhalten*) wird die Höhe auf die Seite /Jy = 10 von a aus 
gezogen und der an die kleinere Seite a/3 » 8 angrenzende Abschnitt 
ßd der Grundlinie dadurch gefanden, daß man von 2ßy* ßä = 20 aus- 
geht. Es ist nämlich ay^ + 2ßy ßd ^ aß^ + ßy\ also 2ßy - ßÖ 
« a/J* + /Jy« - ay> - 64 + 100 - 144 « 20, was allerdings nicht be- 
sonders ausgerechnet ist. Vermöge /Jy = 10 zeigt sich ßd^l, /3d*== 1 



^) Heron m, 26. 



376 18. Kapitel. 

und a*««a/3»-/3d«=»64-l-63, «d = -)/63 « 7y~Yi^7 ^as 
offenbar mittels y64 — 1 = 8 — t^ gefunden ist. Die Fläche ist aber 

^^-^- = 5 )/63 == 39y -g- jg , Wir können unseren Bericht unmöglich 

in gleicher Ausführlichkeit fortsetzen. Nach dem Dreiecke kommt 
das Viereck an die Reihe und zwar, da das Rechteck gleich am An- 
fange des Buches besprochen war, das rechtwinklige Paralleltrapez, 
dann das gleichschenklige, das spitzwinklige und das stumpfwinklige. 
Unter den letzteren beiden Namen wird verstanden, daß, wenn eine 
der beiden parallelen Seiten als Ghnindlinie dient, beide Winkel an 
der Grundlinie spitz, oder einer spitz und einer stumpf sein sollen. 
Als Rhombus wird das gleichseitige, als Rhomboid das ungleichseitige 
Parallelogramm bezeichnet Zu ihrer Berechnung ist die Kenntnis der 
Diagonale erforderlich, welche aber hier als Diameter benannt ist 
(S. 218), während nur wenig später das Wort Diagonale gebraucht 
ist^). Zuletzt erscheinen Vierecke, in welchen keine Seite einer anderen 
parallel läuft. Der nächste Gegenstand der Untersuchung ist der 
Flächeninhalt regelmäßiger Vielecke vom Dreieck bis zum Zwölfeck, 
welches letztere sich dem Kreise nähert'). Heißt a^ die Seite, F^ 
die Fläche des regelmäßigen Vielecks und c^ eine von einem Vieleck 
zum anderen sich ändernde Zahl, so findet Heron F^ » c^a^ und ins- 
besondere: 

Der Fünfecksinhalt stammt, wie Heron sagt, daher, daß 

gesetzt wurde. Ein genauerer Wert sei auffindbar, wenn ein genauerer 
Wert von "j/ö in Rechnung gezogen werde. 

weil das Sechseck das Sechsfache eines über a^ beschriebenen gleich- 
seitigen Dreiecks ist. 

Zur Auffindung der Siebeneoksseite führt der ausgesprochene aber 
unbewiesene Hilfssatz, sie sei nahezu gleich der Senkrechten vom Kreis- 
mittelpunkt auf die Sechsecksseite. Das entspricht rechnungsmäßig 
der Gleichung o^* = r* — ^ > ^ "^ T V^- ^*^ könnte auch r ys = Oj 

*) Vgl. Heron EI, 86 lin. 12 mit 46 lin. 10. «) Heron HI, 46 hif^g 9h 
ywvoVf iTtsi^i} toüTO evveyylSsi fi&llov t^ xoij nvxXov yttQupiQBi^. 



Heron yon Alexandria. 377 

benutzen und ^ » y ^s schreiben, eine, wie wir im 34. Kapitel sehen 
werden, den Arabern geläufige Ausdrucksweise, deren sich Heron 
jedoch nicht bedient. Da Heron die Naherungsformel Ö7 = y V^ 

nicht begründet, so muß sie vor ihm zur Oenüge bekannt gewesen 
sein. Wir weisen nur mit einiger Schüchternheit auf Archimeds 
Siebeneck im Kreise (S. 307) als mögliche Quelle hin. Rechnungs- 
mäßig kleidet sich der Satz, die o^ sei die Senkrechte aus dem Kreis- 
mittelpunkte auf ttg, wie wir schon sagten, in die Gleichung a^ « y^S« 
Heron schreibt dafür anj ^^^r, und dieses entspricht der Annahme 

)/3~2--|- =-~«]/|^. Dann wird weiter 1/207 = 14 J ange- 
nommen und daraus schließlich gefolgert 

^7 = 12^ 

Zur Auffindung von Fg bedient sich Heron der Fig. 64 a. £ ist 

der Mittelpunkt des Umkreises, KA ist senkrecht zu /JE gezogen 
und jdM büdet mit jdK einen Winkel von 

der Gfröße -7- Rechter. Ebenso groß ist 

A^^KA und mithin JLMAA = — Rechter 

nebst Z.MJd'-'l Rechter, woraus L.dMA 
- MdA und JA - AM, JM* - 2MA', 

JM^MA y2 folgt, wofür g M^ ge- 
setzt wird. Wegen der ßleichschenkligkeit 

TT Tl/T 

des Dreiecks ^MK hat man also ^rr- 

MA 
17 KM+MA KA _KA 17 + 12 29 . jr j 29 . . 29 

" 12' MÄ ^ MA'~'Ja i2~~ " 12 ™^ -'^^ =" 12 ^^ '^ 24 

VA . A _E 29 

^E. Femer sieht man ^ = ~ z^£? als Fläche des Dreiecks 

dEKy welches -~ ist Somit zeigt sich 

Die Berechnung von Fg geht von der der Schrift über die Ge- 
raden im Kreise, also EUpparch, entnommenen Formel aus, 3ag sei 
annähernd der Durchmesser des Umkreises. Daraus folgt unter aber- 

maliger Anwendung TOn y2 ~ -^, daB 

i^» - -5- Oj». 




378 



18. Kapitel. 



17 
12 



ist offenbar gewonnen, indem zuerst 



~ ^ — rö gesetzt wurde. 



Der Näherungswert y2 

1/2-1+4, dann t/2 - ^ ^^ 

Ausgehend von bei Berechnung von F^ gewonnenen Werten ge- 
langt Heron zu 

TP ^*., « 

Sei (Fig. 64b) ZH^a^^, ZS Durchmesser, NH Halbmesser des 
Umkreises. Die Dreiecke ZHN, SHN haben bei gleichen Grund- 
linien ZN, SN die gemeinschaftliche 
Spitze in H, sind also einander gleich, 
und ihre Summe ZHS ist das Doppelte 

des Dreiecks ZiVif, welches selbst --*- 

ist. Heron führt diesen Beweis nicht, 
zieht nicht einmal die Hilfslinie NH^ 
sondern setzt sofort das Dreieck ZHS 

=« jY -^11 ^^^ bemerkt, es sei rechtwink- 
lig, weil jLZHS ein Winkel im Halb- 
kreise sei. Nun entnimmt er wieder der 
Schrift über die Geraden im Kreise 




Fig. 64 b. 



ÄZ^yOn- Ist dieses richtig, so ist ÄH=]/(yöru.) ^ cl^ 



/676 24 



12 



— ö" =» Y a^j und das Dreieck ZHS ist — a^^ sowie 



•11 



OD , 

y (hl- 



Bei dem Nachweise von 



2^« = 



45 



*n 



ist wieder geometrisch verfahren ohne auf Hipparch zurückzugreifen. 
Die dabei auftretende ys ist ebenso wie bei der Aufsuchung von F^ 

7 

durch Y ^i^etzt. Wir erkennen also in dieser Gruppe von Sätzen 
die wiederholte Anwendung von 

Auf die geradlinig begrenzten Figuren folgen die mit gekrümmter 
Begrenzung, bei welchen Heron ausdrücklich erklärt, er bediene sich 

. . 22 

von Archimed herrührender Sätze; insbesondere wird ä = -- fort- 
während benutzt. Den Kreisabschnitt, welcher kleiner als ein Halb- 
kreis ist, und welcher die Sehne s als Grundlinie und Höhe h besitzt. 



Heron von Alexandria. 379 

maßen die Alten ziemlich ungenau^); indem sie seinen Inhalt als "^ - s 

angaben. Heron fägt hinzu, diese Formel sei richtig beim Halbkreise^ 
sofern n =«3, und davon hätten die Alten Grebrauch gemacht und die 
Formel auch noch yerallgemeinert. In der Tat ist bei ^ » 3 die 

Flache des Halbkreises — = — ~- - r, wahrend 2r ^ Sy r ^h ist. 

Ein etwas genaueres Ergebnis fand man^ fährt Heron fort, mittels der 

Formel ^— • « + jj (y) , ^uid diese passe auf den Halbkreis bei 

z—r* 

1 . . 7 

jt = 3- . In der Tat ist dann die Fläche des Halbkreises - 



« —Y— " ^ + 14 (y) • ^^ dritte genauere Methode lehrt Heron ein 

der archimedischen Farabelquadratur (S. 304) nachgebildetes Ver- 
fahren; welches dahin mündet ^ daß man dem Kreisabschnitte ein 
gleichschenkliges Dreieck einzeichnet, welches sich dann zu dem Ab- 
schnitte nahezu wie 3 : 4 verhält. Bei dieser Gelegenheit nennt Heron 
die Abhandlung Archimeds unter dem sonst nicht überlieferten Namen 
Ephodikon^. Ist der zu messende Kreisabschnitt größer als der 
Halbkreis, so wird er zum ganzen Kreise durch einen anderen Kreis- 
abschnitt ergänzt, der als kleiner als der Halbkreis nach dem soeben 
gelehrten Verfahren berechnet wird; die ganze Kreisfläche kennt man 
auch; man hat also das Gesuchte als Unterschied zweier bekannter 
Größen. Heron lehrt weiter unter fortwährender Nennung des Archi- 
med, als desjenigen, dem er folge, die Messung der Ellipse, der 
Parabel, der Oberfläche des Zylinders, des Kegels, der Kugel, des 
Kugelabschnittes. Er schließt das Buch mit der Vorschrift, eine un- 
regelmäßig begrenzte ebene Figur durch eine nahezu ihr gleiche gerad- 
linig begrenzte Figur zu ersetzen, deren Fläche man berechnen könne, 
eine unregelmäßig gekrümmte Oberfläche aber, wie z. B. die einer 
Statue, mit dünnem Papyrus zu belegen, welchen man loszulösen und 
eben auszustrecken vermöge, worauf er als unregelmäßig begrenzte 
ebene Figur gemessen werde. 

Das 2. Buch wendet sich dem Rauminhalte der Körper zu. Die 
in Anwendung tretenden Formeln sind zumeist als von Archimed 
herrührend bezeichnet. Es handelt sich um gerade Zylinder, um 
Kegel, um schiefe Zylinder, um parallelepipedische Körper, um Prismen, 
um Pyramiden, um Pyramidenstumpfe, um Kegelstumpfe, um Kugeln, 

^) Heron in, 72 %h 9h TufjfLa toD x6xXov to iXatrov inimvxXlov ol fikv 
äi^Xaloi ä^UetBQOv iy^ixQovv. *) Heron lU, 80 lin. 12. Vgl. auch W. Schmidt, 
Archimedes' Ephodikon in der Bibliotheca Mathematica 3. Folge Bd. I, 13 
bis li (1900). 



380 IB. Kapitel. 

nm Kugelabschnitte, um spirische Körper (S. 242), um Zylinderhufe, 
um die fünf regelmäßigen Körper Flatons. Bei Gelegenheit der spi- 
rischen Körper ist von einer Schrift des Dionysodor^) über die 
Spiren die Rede. Dieser aber ist, wie wir vermuten, Herons Zeit- 
genosse und wird uns im 20. Kapitel wieder begegnen. Den Schluß 
des 2. Buches bildet die Ausmessung des Körperinhaltes unregelmäßig 
begrenzter Gebilde nach einer Methode, welche, wie einige erzählen, 
von Archimed herrühre*). Bewegliche Körper werden in ein bis zum 
Rande mit Wasser gefülltes Gefäß geworfen, um Wasser zum Aus- 
laufen zu bringen, dessen Menge man an dem Höhenunterschied der 
nach Herausziehung des Körpers noch übrigen Flüssigkeit erkennt. 
Unbewegliches wird durch einen Überzug von Wachs oder Lehm in 
ausmeßbare parallelepipedische Gestalt gebracht, und ebenso verfährt 
man mit dem abgekratzten Überzug, um den Unterschied zweier be- 
kannter Körperinhalte als Antwort auf die gestellte Frage bilden zu 
können. 

Das 3. Buch ist das von den Teilungen. Wir wissen von einer 
fast genau ebenso betitelten Schrift des Euklid (S. 287), von welcher 
aber die Bearbeitung Herons wesentlich abweicht. Die Aufgaben 
sind zwar vielfach die gleichen, z. B. ein gegebenes Dreieck durch 
eine der Grundlinie parallele Gerade in einem gegebenen Verhältnisse 
zu teilen, aber während Euklid sich mit allgemeinen Konstruktions- 
vorschriften begnügte, ist Heron bestrebt, mit den zahlenmäßig ge- 
gebenen Längen der einzelnen Dreiecksseiten zu rechnen. Er sucht 
sogar wie weit von der Dreiecksspitze entfernt die gesuchten Durch- 
schnittspunkte der verlangten Parallelen mit beiden Dreiecksseiten 
sind, weil, wie er ausdrücklich hervorhebt^), es auf dem Felde wegen 
der Unregelmäßigkeiten des Bodens schwierig sei eine Parallele zu 
ziehen. Nur wo eine Rechnung anzustellen ihm nicht gelingt, begnügt 
er sich mit der Angabe von Konstruktionen teilweise auf andere 
Schriftsteller verweisend. In diesem Zusammenhange erscheint die 
oben (S. 364) von uns erwähnte Berufung auf den Raumschnitt*). 
Femer geht Heron auch in der Beziehung über Euklid hinaus, daß 
er nach den Teilungen ebener Figuren auch solche von gekrümmten 
Oberflächen und solche von Körpern behandelt. So soll z. B. eine 
Pyramide durch eine der Grundfläche parallele Ebene geteilt werden, 
so daß zwischen der an der Spitze losgetrennten kleineren Pyramide 
und der ursprünglichen ein gegebenes Zahlenverhältnis obwalte. Diese 
Aufgabe führt ^) zur näherungs weisen Ausziehung der >^100, von welcher 



*) Heron m, 128 lin. 8. *) Ebenda IE, 138. ») Ebenda III, 144 lin. 16 
bis 16. «) Ebenda m, 162 lin. 2 und 166 lin. 14. ^) Ebenda in, 178 lin. 8—16. 



Heron von Alexandria. 381 

wir oben (S. 374) geredet haben. Den Schluß des Baches bildet die 
archimedische Aufgabe der Teilong einer Engel bei gegebenem Ver- 
hältnisse der beiden durch den Schnitt gebildeten Kugelabschnitte. 
Wollen wir nach dieser Inhaltsangabe der Vermessungslehre noch 
in Kürze eine Kennzeichnung des Werkes geben^ so dürfen wir sagen^ 
es seien Elemente der rechnenden Geometrie dort gelehrt. Ver- 
fasser der ersten derartigen Schrift war Heron wohl kaum, so wenig 
als Euklid der Verfasser der ersten Elemente der konstruierenden 
Geometrie war. Nur hat Euklid einen Proklus gefunden, welcher 
uns über die Vorgeschichte seines Werkes belehrt, während wir von 
einem Kommentare zu Heron nichts wissen. Dagegen sagt uns die 
übereinstimmende Überlieferung aller Völker, daß die praktische Feld- 
messung der eigentlichen wissenschaftlichen Geometrie, der theoreti- 
schen Raumlehre, vorausging und diese erfinden ließ. Mag auch in 
den griechischen Staaten im engeren Sinne des Wortes die Geometrie 
häufiger ihrer theoretischen als ihrer praktischen Richtung nach be- 
handelt worden sein, wie schon daraus hervorgeht, daß das Wort 
Geodäsie überhaupt erst seit der Zeit des Aristoteles (S. 252) in der 
griechischen Literatur nachgewiesen werden kann, Herons Tätigkeit 
verweist nach Alexandria, auf ägyptischen Boden, wo seit Jahrtausenden 
die Kunst der Feldmessung blühte, wo die Harpedonapten, Seil- 
spanner, wie der alte Grieche sie nannte (S. 104), ihr Handwerk übten, 
an welches wir uns bald erinnern müssen. Auch Euklids Aufenthalt 
in Ägypten ist verbürgt, und eine Spur feldmesserischer Vorschriften 
fanden wir in seiner Optik (S. 294). Die ägyptischen Feldmesser 
müssen dem erhaltenden Wesen ägyptischer Bildung entsprechend 
gewisse Vorschriften, wie man zu verfahren habe, mündlich oder 
wahrscheinlicher schriftlich unter sich vererbt haben. Ihr Erbe muß 
auf Heron gelangt sein. Ohne Zweifel hat er es verstanden dieses 
Erbe wuchern zu lassen. Ihm, wenn er nicht in Dikaearch und Era- 
tosthenes Vorgänger hatte (S. 257), ist vielleicht die Erfindung der 
Dioptra zuzuschreiben, während man früher mit mangelhafteren Vor- 
richtungen sich begnügte, aber Vorrichtungen hatte man, z. B. den 
sogenannten Stern, und deren Gebrauch muß, wir wiederholen es, eine 
ältere mündlich oder schriftlich überlieferte Feldmeßkunst gelehrt 
haben. Der letzte geodätische Schriftsteller blieb Heron allerdings 
für lange Zeit. Euklid und Heron waren nachgerade ihrer Persön- 
lichkeit beinahe entkleidet worden. Sie waren Titel von Schulbüchern 
geworden, welche auch zu Völkern drangen, die in anderen Sprachen 
als in der griechischen dachten und redeten. Mochten in diesen „Euklid'^ 
der Theoretiker, in diesen „Heron'* der Praktiker Dinge eingedrungen sein, 
an welche der lebende Euklid, der lebende Heron nie gedacht hatte, 



382 18. Kapitel. 

für die Nachkommen blieb es der „Euklid'', der „Heron". Ja, es ist 
gar nicht unmöglich, daß bei derartigem nebeneinander hergehendem 
Gebrauche aus dem „Euklid'' dieses oder jenes, z. B. Definitionen, in 
den „Heron" überging; auch das Entgegengesetzte wäre möglich, wenn 
es gleich an Beispielen dafür uns fehlt, aber die heronische Dreiecks- 
formel etwa hätte samt ihrem Beweise ganz gut in eine Handschrift 
des Euklid eindringen können. 

Gehen wir nun zur Feldmeßkunst des Heron über, wie sie 
in der Abhandlung über die Dioptra^) beschrieben ist, und beginnen 
wir mit der Schilderung der Dioptra selbst. Sie bestand aus einem 
4 Ellen langen Lineal, welches an beiden Enden Plättchen zum Hin- 
durchvisieren, oder, wie man heute sagt, Dioptervorrichtungen trug. 
Sie ruhte auf einer kreisrunden Scheibe, auf welcher sie in Drehung 
versetzt werden konnte, und eine vertikale Drehung war mit der 
Scheibe auf einem die ganze Vorrichtung tragenden Fuße ermöglicht. 
Wir dürfen in der Dioptra den Keim des Theodoliths der neueren 
Feldmeßkunst erkennen. Sie diente zum Abstecken von Geraden in 
den mannigfachsten Richtungen, wenn auch eine Winkelmessung auf 
dem Felde nicht stattfand. Um eine Senkrechte zu einer gegebenen 
Richtung sich zu verschaffen, dienten senkrecht zueinander eingeritzte 
Gerade auf der Dioptrascheibe, von deren ersten bis zur zweiten die 
Dioptra gedreht werden mußte, um einen rechten Winkel zu 
erhalten. Den oben erwähnten vorheronischen Stern bildeten zwei 
in horizontaler Ebene sich rechtwinklig schneidende Lineale, also 
eine Art von Winkelkreuz. Die Vorrichtung zum Hindurchvisieren 
aber fehlte, und ebenso fehlten verschiedene Hilfsapparate, die mit 
der Dioptra in Verbindung standen. Bei ihr war die vertikale Stellung 
des Fußes verbürgt durch einen herabhängenden Bleisenkel, welcher 
längs einer auf dem Fuße eingeritzten Geraden seinen Verlauf nehmen 
mußte. Die Horizontalität der Scheibe entnahm man einer Wasser- 
wage. Statt beider mußten bei dem Sterne Bleisenkel dienen, welche 
an den 4 Enden des Winkelkreuzes hingen, welche aber, wie Heron 
tadelnd hervorhebt, namentlich bei einigermaßen stark gehendem 
Winde, nicht leicht zur Ruhe kamen und somit die Brauchbarkeit 
des Apparates, welche von der gesicherten richtigen Aufstellung un- 
trennbar ist, wesentlich verringerten. Mit Hilfe der Dioptra und ab- 
geteilter selbst mit Bleisenkel versehener Signalstangen wurden 
die wichtigsten Aufgaben auf dem Felde gelöst. Nivellierungen; Ab- 

') "^Hgoivos UXs^dv^gsajg tcbqI ^tOTCtgag abgedruckt mit firanzÖBischer Über- 
setzung von Vincent, mit den Anmerkungen von Venturi und Vincent in 
den Notices et extraits des manuscrits de la hihHoth^ae imperiale XIX, 2 (Paris 
1868) und mit deutscher Übersetzimg von Herm. Schöne in Heron III, 187 sqq. 



Heron von Alexandria. 383 

steckung einer Geraden zwischen zwei Punkten, deren keiner von dem 
anderen aus gesehen werden kann; Bestimmung der Entfernung eines 
sichtbaren aber unzugänglichen Punktes; Au£^dung der Breite eines 
Flusses, ohne ihn zu überschreiten; Auffindung der Entfernung zweier 
Punkte, die beide sichtbar, beide unzu^nglich sind; Absteckung einer 
Senkrechten zu einer unzu^mglichen Geraden in einem unzugäng- 
lichen Punkte derselben; Bestimmung der Höhe eines entfernten 
Punktes über dem Standorte des Beobachters; Aufnahme eines Feldes; 
Wiederherstellung der mit Ausnahme von 2 oder 3 durch Grenz- 
steine gesicherten Punkten verloren gegangenen Umfriedigung eines 
Feldstückes unter Anwendimg des vorhandenen Planes: das dürften 
etwa die interessantesten Aufgaben sein, welche Heron in seiner 
Schrift von der Dioptra behandelt hat, bei späteren Aufgaben stets 
früher gelehrte Operationen benutzend, wodurch das Einheitliche dieser 
Abhandlung sich erweist. 

Es würde zu weit führen, wollten wir genau schildern, in welcher 
Weise Heron jedesmal verfährt. Nur die beiden letztgenannten Auf- 
gaben müssen aus besonderen Gründen hier zur Rede kommen. Die 
Aufnahme eines Feldes erfolgt durch Absteckung eines Rechtecks, 
welches 3 seiner Eckpunkte auf der Umgrenzung selbst besitzt. Die 
Seiten dieses Rechtecks werden nun freilich mit den Grenzen des 
Feldes nicht zusammentreffen, aber die zwischenliegenden Grenz- 
strecken bestimmen sich durch die senkrechten Entfernungen ein- 
zelner Punkte derselben von den Rechtecksseiten unter genauer Be- 
merkung derjenigen Punkte der Rechtecksseiten, in welche jene meist 
kleinen Senkrechten eintreffen. Der geschickte Feldmesser wird, nach 
Herons ausdrücklicher Vorschrift, es so einzurichten wissen, daß die 
Grenze zwischen zwei zur Bestimmung ihrer Endpunkte dienenden 
Senkrechten leidlich geradlinig aussieht. Wenn wir noch so vorsichtig 
ans davor hüten wollen, neue Gedanken in alte Methoden hineinzu- 
lesen, hier müssen wir ein bewußtes Verfahren mit rechtwinkligen 
Koordinaten erkennen. Nicht als ob wir behaupten wollten, Heron 
habe nach einem gemeinsamen Gesetze gesucht, welchem die verti- 
kalen und horizontalen Entfernungen zu bestimmender Punkte von 
gegebenen Linien gehorchen, das tut nicht einmal die moderne Feld- 
meßkunst, welche sehr wohl empirische Linien von geometrischen 
Kurven zu unterscheiden weiß. Aber denken wir daran, daß Hipparch 
(S. 362) die Erde mit Koordinaten überzog, welche die Lage jedes 
Punktes derselben bestimmen sollten, daß dieser die Breite von dem 
Äquator, die Länge von dem Meridiane von Rhodos, mithin von ganz 
genau definierten Anfangslagen beginnen und messen ließ, so werden 
wir in Herons Verfahren die Wiederholung auf kleinerem Felde finden 



384 18, Kapitel. 

von dem, was sein etwas alterer Zeitgenosse für die Erde in ihrer 
Gesamtoberfläche gelehrt hat, beide yielleicht abhängig von uralten 
Vorbildern, aber über jene hinausgehend. Wir erinnern daran, daß 
um 1400 die ägyptischen Bildhauer unter König Seti I. die mit Bild- 
werk zu versehenden Wände zunächst mit einem Netze kleiner Quadrate 
überzogen (S. 108). Das waren auch Koordinaten. Aber ob und wie 
Linien der beabsichtigten Figuren in diese Quadratchen hineinfielen, 
dürfte an sich unerheblich gewesen sein. Vermutlich sollten nur bei 
der Ausführung im großen dieselben Verhältnisse beibehalten werden, 
welche der Künstler in seiner Handskizze dem Augenmaße oder der 
Übung nach sich vorgezeichnet hatte. Jetzt entwarf Heron kleinere 
rechtwinklige Figuren zu bestimmtem Zwecke und wählte Zahl und 
Entfernung der Senkrechten in bewußter Beliebigkeit Früher war 
es eine zufällige, jetzt eine absichtliche Bestimmung einzelner Punkte 
mittels senkrecht zueinander gezeichneter Strecken. 

Nicht minder lehrreich ist fär uns die Rückübertragung des 
gezeichneten Planes auf das Feld, wenn nur einige Punkte desselben 
gegeben sind. Erhalten seien (Fig. 65) die Grenzsteine a, /J, deren 

Inschriften gestatten, sie auf dem Plane 
zu identifizieren; gesucht werden die 
beiden Hauptrichtungen auf dem Felde, 
welche zueinander senkrecht dem ganzen 
Plane als Grundlage dienen, so daß 
wenn z. B. ay einer dieser Hauptlich- 
tungen gleichlaufend und ßS zu ihr 
senkrecht wäre, die Längen ad, ßd mit 
den Inschriften der beiden Grenzsteine 
in Einklang stehen. Jedenfalls kann man auf dem Felde aß ab- 
stecken und auf dieser Strecke einen Punkt b ziemlich nahe bei a 
sich genau bemerken. Nun ist auf dem Plane das Dreieck a/Sd be- 
kannt und vermöge der erfolgten Abmessung von aß auch das Ver- 
hältnis der Längen auf dem Plane zu denen auf dem Felde. Das 
Dreieckchen ae^ muß dem aßd ähnlich sein, aus der gemessenen 
Länge as folgen daher durch Rechnung die Längen von a^ und ^£, 
welche auf einem Seile Q6r durch Strichelchen angemerkt werden. 
Nun befestigt man dieses Seil mit q in a, mit r in £ und spannt es 
in 6 an, so wird bei 6 ein rechter Winkel entstehen und f gefunden 
sein und damit zugleich die Richtung a^dy. Das geschichtlich 
Bedeutsame bei diesem Verfahren besteht darin, daß der rechte 
Winkel durch Anspannung eines Seiles gewonnen wird, welches mit 
zwei durch Striche oder Knoten bezeichneten Stellen an zwei Pfiöcken 
im Boden befestigt wurde. Das ist ja nichts anderes als die ägjp- 




^ t 



Heron von Alezandria. 385 

tische Seilspannnng (S. 104 — 106) bei der Qrandsteinlegung der 
Tempel, ein Verfahren, welches, wie wir wissen, vielleicht schon zur 
Zeit des Königs Amenemhat I. um das Jahr 2300 nicht wesentlich 
anders geübt worden war ab 237 bei der Gründung des Tempels 
von Edfu. Damit gewinnt aber auch die Vermutung einigen Halt: 
im Jahre 237 werde man etwa so verfahren sein, wie im ersten vor- 
christlichen Jahrhunderte, und das letztere uns genau bekannte Ver- 
fahren sei mit einigen Abänderungen, wie wir früher auszusprechen 
wagten, in ältester Zeit bereits zur Erlangung rechter Winkel benutzt 
worden. Natürlich können die damals angenommenen Zahlen fßr die 
gegenseitigen Entfernungen der drei Knoten hier, wo es sich um 
Herstellung eines einem bestimmten rechtwinkligen Dreiecke ähnlichen 
Dreiecks handelt, nicht zur Bestätigung kommen. Noch eine Ver- 
änderung ergab sich, wie wir finden, im Laufe der Jahrhunderte. 
Demokritus nannte die Seilspanner Harpedonapten, das Seil selbst 
also Harpedon mit einem Worte, dessen Klang schon den ägypti- 
schen Ursprung verrat. Zu Herons Zeit führte das aus Binsen ge- 
flochtene Seil den griechischen Namen Schoinion und wurde, wie 
es in einer Heron zugeschriebenen Schhfk heifit ^), abwechselnd mit 
dem Rohre, Kalamos, zu Messungen benutzt. Wir bemerken hierzu 
beiläufig, daß Tcdkafiog und das dem 6%oivCov nahe verwandte 6%olvog 
neben der allgemeinen Bedeutung Meßstab und Mefischnur auch die 
besonderer und zwar untereinander verschiedener Maße besitzen. 

Wir haben noch bei einem Paragraphen der Schrift über die 
Dioptra zu verweilen, der den Beweis für die sogenannte heronische 
Dreiecksformel liefert und ganz genau mit der entsprechenden Stelle 
der Vermessungslehre*) übereinstimmt. Wir stehen hier einer ganz 
ähnlichen Erscheinung gegenüber wie bei der Einschaltung zweier 
mittleren geometrischen Proportionalen zwischen zwei gegebene 
Strecken. Heron hat sein Verfahren sowohl der Mechanik als der 
Vorschrift zur Anfertigung von Geschützen einverleibt, und Pappus 
hat uns sein Erfinderrecht ausdrücklich bestätigt. Für unser Gefiihl, 
das betonen wir jetzt nachträglich, war jene Bestätigung überflüssig. 
Man kann wohl einen wichtigen Satz in zwei verschiedenen Werken 
zur Anwendung bringen, aber man verbindet nicht an beiden Stellen 
mit dem Satze auch seinen Beweis, wenn nicht ein gewisses Selbst- 
gefühl uns dazu treibt. Ebenso beurteilen wir, wo uns zufällig keine 
Bestätigung durch einen Dritten vorliegt, die wiederholte Mitteilung 
der Formel für den Dreiecksinhalt samt ihrem Beweise. Sie ist und 
bleibt für uns die heronische Dreiecksformel, benannt nach ihrem 
geistvollen Erfinder. 

>) Heron (ed. Hultsch) n, 43. ") Vgl. Heron HI, 280 sqq. mit 20 sqq. 

Cavtob, Gasohloht« der Mathematik L S. Aufl. 26 



386 19. Kapitel. 

19. Kapitel. 
Heron von Alexandria. (Fortsetzang.) 

Von der Abhandlung über die Dioptra wenden wir uns zu einem 
raschen Überblick über anderes, was von Zeugen , deren Zuverlässig- 
ieit unbestritten ist, unserem Heron zugeschrieben wird. Der erste 
Zeuge ist Proklus, der in seinen Erläuterungen zu Euklids Ele- 
menten zwei Beweise als von Heron stammend anführt^), einen Be- 
weis des Satzes, daß in jedem Dreiecke die Summe zweier Seiten 
größer als die dritte Seite ist und einen solchen des Satzes, daß wenn 
zwei Dreiecke in zwei Seiten stückweise übereinstimmen, in der 
dritten aber nicht, der der dritten Seite gegenüberliegende Winkel in 
dem Dreiecke der größere sein wird, in welchem die genannte Seite 
die größere ist. Der zweite Zeuge ist AI Nairizi^, der gleichfalls 
Erläuterungen zu Euklids Elementen verfaßte und darin vielfach auf 
Heron sich beruft. Diese Berufung findet allerdings für die beiden 
durch Proklus tiberlieferten Beweise nicht statt*), deren ersten AI 
Nairizi ohne Urhebemamen wiedergibt und den zweiten mit der Be- 
merkung, er wisse nicht, von wem der Beweis herrühre, aber dadurch 
verlieren die anderen Zitate nicht an Wert. Es geht aus dem Mangel 
an Übereinstimmung, der sich vielfach auch darin äußert, daß Proklus 
keinen Urheber nennt, wo der Araber sich auf Heron beruft, nur 
hervor, daß beide nicht nach der gleichen Vorlage arbeiteten. Wir 
heben nur weniges hervor. Nach dem Berichte des AI Nairizi*) er- 
kannte Heron, daß bei dem Euklidischen Beweise des Pythagoräischen 
Lehrsatzes die Senkrechte aus der Spitze des rechten Winkels auf die 
Hypotenuse und die Verbindungsgeraden der beiden anderen Dreiecks- 
spitzen mit den gegenüberliegenden Eckpunkten der über den beiden 
Katheten nach außen gezeichneten Quadrate einen gemeinsamen 
Durchschnittspunkt besitzen. Heron bewies^), daß von jedem außer- 
halb eines Kreises gelegenen Punkte zwei gleiche Berührungslinien 
an den Kreis gezogen werden können. Heron dehnte den Satz, daß 
der Peripheriewinkel die Hälfte des Zentriwinkels auf gleichem Bogen 
sei, auf stumpfe Peripherie winkel aus*) und bewies mit dessen Hilfe 
den Satz, daß im Sehnenviereck je zwei einander gegenüberliegende 
Winkel sich zu zwei Rechten ergänzen. Heron hat den Satz aus- 



^) Proklus ed. Friedlein pag. 323 und 346. *) Anaritii in deeem libros 
priores Elementorum Euclidis ed. Max Curtze. Leipzig 1899. ^ Anaritius 
pag. 58 und 62. *) Ebenda pag. 78. ^) Ebenda pag. 130. *) Ebenda pag. 130 
bis 188. 



Heron von Aleza&dria. (Fortsetzung.) 387 

gesprochen^); jedes regelmäßige Vieleck besitze einen von allen Eck- 
punkten gleich weit entfernten Mittelpunkt^ der zugleich Mittelpunkt 
des Umkreises und des Innenkreises des Vielecks sei. Heron be- 
hauptet ^); die Halbierende eines Winkels eines regelmäßigen Vielecks 
halbiere zugleich auch den gegenüberliegenden Winkel, und alle diese 
Winkelhalbierenden schnitten sich im gleichen Punkte. Die damit 
ausgesprochene Abpaarung der Winkel zeigt, daß Heron ausschließ- 
lich Yom 2n-Eck redete, und diese Einschränkung bestätigt sich 
mittelbar dadurch, daß gleich darauf) der Satz Euklids erwähnt ist, 
im regelmäßigen 2n 4- 1 Eck^) ständen die Winkelhalbierenden auf 
den gegenüberliegenden Seiten senkrecht, und auch diese Winkel- 
halbierenden besäßen einen gemeinschaftlichen Durchschnittspunkt. 
Wo freilich dieser Euklidische Satz sich vorfand ist heute unbekannt. 
Ebensowenig weiß man, wo Euklid, wo Archimed eine Definition 
von homogenen Größen gegeben haben mögen» welche Heron 
dahin erläuterte^), homogene Größen seien Größen derselben Gattung, 
von denen die eine durch Vervielfachung über die andere hinaus- 
wachsen könne, während z. B. eine Strecke selbst ins Unendliche ver- 
vielfacht niemals größer als eine Fläche werden könne. Ganz be- 
sonders möchten wir aber hervorheben, daß Heron die Verfahren 
kannte, welche in lateinischer Übersetzung dissolutio und compositio 
heißen^), und welche wir Klammerauflösung und Absonderung 
nennen, d. h. daß er wußte, man sei berechtigt 6(2 + 3-f 5) =« 6 • 10 
= 60 und umgekehrt 10 • 10 = 10 • 3 + 10 • 7 = 30 + 70 zu setzen. 

Nächst diesen Sätzen erwähnen wir Definitionen, welche ein 
zusammenhängendes Ganzes darstellend als heronisch überliefert sind, 
allerdings aber von manchen Schriftstellern^) für ganz unecht, von 
anderen, darunter von uns selbst, für überarbeitet und mehrfach ent- 
stellt gehalten werden. Deren Kern aber sehen wir keinen Grund 
Heron als Sammler, wenn nicht als Urheber, abzusprechen. 

Eine hochwichtige Frage geht nun dahin, ob ursprünglich die 
hier erwähnten Sätze und Definitionen vereinigt oder getrennt vor- 
handen waren, und wenn vereinigt, in welcher Gestalt? Es dürfte 
wohl am meisten für sich haben die Vermutung auszusprechen, 
Heron habe einen Kommentar zu Euklids Elementen verfaßt, 
und in diesem seien auch diejenigen geometrischen Definitionen 
enthalten gewesen, welche Heron statt der von Euklid gegebenen an 
die Spitze der Geometrie gestellt wünschte. Wir wollen nicht ver- 
hehlen, daß dieser Vermutung Bedenken im Wege stehen, daß man 

') AnaritiuB pag. 162. *) Ebenda pag. 164. ») Ebenda pag. 166. *) Fi- 
gurarum quarum laterum numerus impar. ^) Anaritius pag. 162. ^ Ebenda 
pag. 89. ') Priedlein im Buüetino Boncompagni IV, 98—121 (1871). 

2b* 



388 19. Kapitel. 

Zweifel hegen kann^ ob schon im ersten yorchristlichen Jahrhunderte, 
an welchem wir, wie im vorigen Kapitel ausführlich begründet wurde, 
als Herons Lebenszeit festhalten, eine kommentierende Tätigkeit unter 
den Mathematikern Platz gegriffen hatte, daß man bei Proklus bei 
Erklärung der euklidischen Definitionen nirgend einer Erwähnung 
Herons begegnet, die doch, da sich Proklus für einige wenige Be- 
weise auf unseren Schriftsteller bezieht, mit einiger Wahrscheinlich- 
keit zu erwarten gewesen wäre, aber wir ziehen trotz dieser Schwierig- 
keiten die ausgesprochene Vermutung einer anderen vor, zu welcher 
der Keim in Herons Definitionen selbst enthalten liegt. In einer 
Art von Widmung an Dionysius, welche der Verfasser der Defini- 
tionen diesen vorausschickt, heißt es nämlich, er wolle eine wissen- 
schaftliche Darstellung der geometrischen Elemente^) geben, und 
später ist in ganz ähnlichen Worten von einer Einleitung in die 
arithmetischen Elemente *) die Bede. Man wäre dadurch versucht, 
an zwei mehr oder weniger selbständige Schriften mit diesen Titeln 
zu denken. Allein diese Ausdrücke lassen sich auch auf Kommen- 
tare zu den geometrischen und zu den arithmetischen Büchern Euklids 
deuten, so daß wir diese letztere Auffassung der gebrauchten Worte 
vorziehen. 

Unter den Definitionen wollen wir eine besonders hervorheben, 
die der Parallellinien^), in welcher es heißt, sie besäßen alle Senk- 
rechten, welche von irgend einem Punkte der einen Parallelen auf 
die andere gefällt werden, von gleicher Länge. Eben diese Definition 
in die Worte gekleidet, Parallellinien hätten gleichen Abstand von- 
einander, erscheint nämlich auch in einer als Geometrie Herons be- 
zeichneten Schrift*), von der wir gleich zu reden haben werden, er- 
scheint femer bei Proklus^), wo sie dem Posidonius, also jedenfalls 
dem Posidonius von Rhodos, zugeschrieben wird, der ja auch in 
Herons Mechanik vorkommt (S. 365), lauter Umstände, die einander 
gegenseitig als Stütze zu dienen geeignet sind. 

Wir gelangen weiter zu den Schriften, welche vor der Auffindung 
der Vermessungslehre als Hauptquellen für die Kenntnis heronischer 
Mathematik galten, und von welchen wir (S. 368) erörterten, in 
welchem Sinne wir sie alle als echt, alle zugleich ab unecht be- 
zeichnen möchten. Wir werden für sie mitunter den Ausdruck: hero- 
nische Sammlungen gebrauchen. 

') Heron (ed. Hultsch) pag. 7 lin. 1: r^g yBwiiBVQtxfjs etoixsuhaBas rsxvo- 
Xo^lieva. ') Ebenda pag. 34 lin. 12—13 und pag. 38 lin 1—2: iv tolg tcqo ti)g 
&QiS'ii8TL%^g öToix^uaasfog. ') Ebenda pag. 22 lin. 15 — 17. *) Ebenda pag. 44 
lin. 12—14. ■) ProkluB ed. Friedlein pag. 176 lin. 6— 10. Vgl. auchL. Majer, 
Proklos über die Petita und Axiomata bei Euklid S. 18 Note 3. Tübingen 1875. 



Heron von Alezandria. (ForUetzang.) 389 

Die erste ist das Buch der Geometrie. Geometrische Defini- 
tionen, zwischen welche eine historische Notiz über den Ursprung 
der Geometrie mit Hinblick auf den jährlichen Austritt des Nils ein- 
geschaltet ist, und eine Maßtabelle eröffiien dasselbe. Nach diesen 
kommt die Berechnung von Quadraten und Rechtecken, deren Fläche 
und deren Diagonale gesucht wird. Das rechtwinklige Dreieck folgt, 
auf dieses die aneinanderhängenden Dreiecke, das gleichseitige, das 
gleichschenklige, das beliebige Dreieck. Beim rechtwinkligen Drei- 
ecke werden die Methoden des Pythagoras und des Piaton zur Auf- 
findung rationaler Seitenlängen gelehrt; beim beliebigen Dreiecke 
wird die Senkrechte von der Spitze auf die Grundlinie gefällt und 
unterschieden, ob diese Senkrechte die Basis selbst trifiPt und Ab- 
schnitte auf ihr erzeugt, oder ob sie jenseits der Basis eintrefiPend 
eine Überragung her v^or bringt; es wird aber auch die heronische 
Formel unmittelbar angewandt, welche ohne Durchgang durch die 
Berechnung des Abschnittes, beziehungsweise der Überragung und der 
Höhe die Dreiecksfläche sofort aus den drei Seiten ableitet. Nun 
folgt die Rückkehr zum Vierecke und zu den mannigfaltigsten Zer- 
legungen einer Figur durch Hilfslinien. Quadrate in gleichschenklige 
Dreiecke eingezeichnet, Rhomben oder verschobene Quadrate, Recht- 
ecke, Parallelogramme, rechtwinklige Trapeze, gleichschenklige Tra- 
peze, beliebige Vierecke werden so der Berechnung unterzogen. Nach 
den geradlinig begrenzten Figuren wendet Heron sich zum Kreise 
und zu dessen Teilen. Durchmesser, Umfang, Inhalt des Kreises 
werden gegenseitig auseinander abgeleitet. Die Fläche eines Kreis- 
abschnittes und die Länge seines Bogens werden aus der Sehne und 
Höhe des Abschnittes ermittelt, und auch der Ring zwischen zwei 
konzentrischen Kreisen wird berechnet. Vom Kreise kehrt der Ver- 
fasser zu den regelmäßigen Vielecken zurück, indem er Formeln gibt, 
welche die Flächen dieser Vielecke vom Fünfecke bis zum Zwölf ecke 
aus der Seitenlänge finden lehren. Damit dürfte der richtige Text 
im ganzen abschließen, indem das noch folgende Stück (fünf Seiten 
der Druckausgabe füllend) ziemlich unzweifelhaft als unecht sich er- 
weist. Dort ist nämlich eine dem Patrikius, also einem sehr späten 
Schriftsteller, angehörende Vorschrift, dort die Wiederholung der 
Vorschriften für die Vielecksberechnung, die Wiederholung der ge- 
schichtlichen Bemerkung über den Ursprung der Geometrie mit kaum 
erwähnenswerten Varianten, dort am Schlüsse wieder eine Maßtabelle 
zu finden. 

Eine andere Schrift heißt Geodäsie. Auch sie beginnt mit 
Definitionen, mit einer historischen Notiz, mit Maßvergleichungen; 
auch sie berechnet den Flächeninhalt von Quadraten und Rechtecken, 



390 19. Kapitel. 

bevor sie zum Dreiecke sich wendet, und zwar wieder zum recht- 
winkligen Dreiecke, welches nach Pythagoras und Piaton aus ganz- 
zahligen Seiten bestehen kann, zu den aneinanderhängenden Drei- 
ecken, zu dem gleichseitigen, zu dem beliebigen Dreiecke, bei welchem 
die heronische Formel den Schluß bildet. 

Die sogenannte Stereometrie ist begreiflicherweise wesentlich 
anderen Inhaltes. Hier sind es Rauminhalte von Körpern und Körper- 
oberflächen, welche den Gegenstand der Berechnungen bilden. Die 
Kugel, der Kegel, der abgestumpfte Kegel, der in langgestreckter 
Form bald Obelisk, bald Säule heißt, der Zylinder geben Beispiele, 
bevor zu den allseitig eben abgegrenzten Körpern: Würfel, Parallel- 
epipedon, Keil übergegangen wird, als dessen nicht ganz deutlich be- 
schriebene Sonderfälle wohl der Huf, der Mäuseschwanz, der Ziegel 
zu betrachten sind. Fast eben diese, aber auch andere eben begrenzte 
Körper erscheinen sofort noch einmal als Pyramiden mit quadra- 
tischer, mit rechteckiger, gleichseitig dreieckiger, mit rechtwinklig 
dreieckiger Grundfläche, jede derselben sowohl ganz als abgestumpft 
der Untersuchung unterworfen. Dann kommen mancherlei der Praxis, 
aber nicht der eigentlichen Stereometrie angehörige Körperformen 
an die Reihe. Von dem Inhalt einer Muschel, einer Schale, von dem 
Umfange eines Amphitheaters und von der Menschenmenge, welche 
ein Zuschauerraum fassen kann unter der Annahme, daß die Bänke 
sich nach dem Gesetz einer arithmetischen Reihe verjüngen, von 
Speisesälen und Badezimmern, von Brunnen, von Kufen und Butten, 
von TransportschiflFen ist die Rede, und wo man bei der Berechnung 
über die aus den Namen nicht mit genügender Klarheit hervorgehende 
Gestalt sich Rats erholen will, läßt jene uns meistenteils erst recht 
im Stiche. 

Eine zweite Sammlung mit der Überschrift als Stereometrie 
und dem Yerfassernamen Herons gibt auch nur meist zweifelhafte 
Ergebnisse, bald mit denen der ersten Sammlung übereinstimmend, 
bald ihnen widersprechend. Die Reihenfolge ist dahin verändert, daß 
hier rätselhafte Körperformen, die selbst nicht durchweg die gleichen 
wie die der ersten Sammlung sind, die Reihe eröflFnen. Zwischen- 
drein ist die Messung der Höhe einer Säule mittels ihres Schattens 
angegeben, das erstmalige Auftreten dieser von Thaies (S. 138) her- 
rührenden Methode in einem geometrischen Werke. Die Schatten 
der Säule sowie eines seiner Länge nach bekannten Stabes werden 
gemessen, und dann wird die Proportion Stabschatten : Säulenschatten 
= Stab : Säule in Anwendung gebracht. Nun folgen erst Pyramiden, 
und zwar solche auf rechtwinklig dreieckiger oder gleichseitig drei- 
eckiger Grundlage und solche, deren Grundflächen regelmäßige Fünf- 



Heron von Alexandria. (Fortsetzung.) 391 

ecke^ Sechsecke und Achtecke sind. Nach einer unYerständlichen 
StnfeDpyramide kommt der Satz^ daß jede Pyramide der dritte Teil 
des Prisma von gleicher Grundfläche und Höhe ist^ worauf mit der 
Berechnung einer abgestumpften Pyramide auf rechteckiger Grundfläche 
unter dem Namen Altarstufe und mit der gegenseitigen Multipli- 
kation von Langenmaßen zu Flächenmaßen diese Stereometrie ab- 
schließt. 

Ausmessungen haben wir den Titel (lergrlöBig einer weiteren 
Schrift heronischen Namens übersetzt^ welche ungleich den vorigen, 
denen doch annähernd gleichartige Probleme zum Gegenstande dienen, 
bald Flächen, bald Körperinhalte durcheinander gewürfelt in zwei- 
maliger Abwechslung darbietet. Zuerst erscheinen nämlich Körper, 
dann Flächen, dann wieder Körper, zuletzt Flächen. Wir heben aus 
der wirren Sammlung nur hervor, daß auch hier wieder Körper 
eigener Art auftreten, zu deren Verständnis noch gar manches fehlt, 
und daß zwischen die Inhaltsberechnungen auch Brunnenaufgaben ein- 
geschaltet sind, d. h. Aufgaben, in welchen die Zeit gesucht wird, 
binnen welcher eine Zisterne durch mehrere Röhren gefUlt werden 
kann, wenn man weiß, wie lange die Füllung durch jede einzelne 
Eöhre dauern würde. 

Die letzte heronische Sammlung, das Buch des Landbaues, 
yarjxovixbv ßißklov, geht aus von Definitionen. Ihnen folgen Flächen- 
ausmessungen mancherlei Vierecke und Dreiecke, wobei die Vierecke 
den Dreiecken vorangehen, sowie rechnende Auflösung von Aufgaben, 
in welchen Kreise vorkommen. Nach Ausrechnung der Pyramiden 
auf quadratischer Grundfläche kehrt die Sammlung zu ebenen Auf- 
gaben, zu den Durchmessern der dem regelmäßigen Fünfecke und 
Sechsecke umschriebenen Kreise zurück. Wieder erscheinen Auf- 
gaben, welche, dem Gegenstande nach unerwartet, Einschaltungen 
sein könnten, und die sich auf die Auffindung von Rechtecken be- 
ziehen, deren Umfange sowie deren Inhalt in gegebenem Zahlenver- 
hältnisse stehen sollen, Aufgaben, welche also eigentlich zahlen- 
theoretischer Natur freilich in planimetrischer Einkleidung sind, so 
daß die Unterbrechung des Gedankenganges nicht allzu auffällig und 
die Rückkehr zu wirklich geometrischen Aufgaben vom Rhombus, 
vom Rechtecke, von regelmäßigen Vielecken, von Kreisen eine leichte 
ist. Nur einmal gegen das Ende der Sammlung kehren stereome- 
trische Aufgaben wieder, welche aber auf Fässer und Fruchtmaße 
eigentümlicher Gestalt bezüglich dem Buche des Landbaues nicht 
ganz unangemessen erscheinen. Den Schluß bilden Vergleichungen 
zwischen Kubikfußen und Fruchtmaßen. 

Das ist in dürftiger, keineswegs erschöpfender, aber eben deshalb 



392 19. Kapitel. 

vielleicbt übersichtlicher Zusammenstellung die Reihenfolge der Gegen- 
stände^ welche in den verschiedenen heronischen Sammlungen be- 
handelt sind. Die Geometrie und die Geodäsie lehnen sich^ insbeson- 
dere die Geometrie, eng an den Stoff des ersten Buches der Ver-- 
messungslehre, die beiden Bücher der Stereometrie an den von dessen 
zweitem Buch^ die Ausmessungen und das Buch des Landbaues an 
den der beiden ersten Bücher. Von dem dritten Buche der Ver- 
messungslehre ist nirgend eine Spur zu finden. Wenn wir eine An- 
lehnung an den Stoff der beiden ersten Bücher der Vermessungslehre 
behaupten, so will dieses keineswegs sagen, nur das dort Gelehrte 
und alles dort Gelehrte kehre wieder, vielmehr sind auch Dinge be- 
handelt, deren wir in unserer bisherigen Darstellung keine Erwähnung 
zu tun hatten weder als wir von der Vermessimgslehre, noch als wir 
von der Abhandlung über die Dioptra sprachen. 

Sollen wir aus diesen Ähnlichkeiten und Unähnlichkeiten die 
Folgerung ziehen, sämtliche soeben unter besonderen Titeln genannten 
Sammlungen seien nur späte byzantinische Überarbeitungen der Ver- 
messungslehre ^)? Überarbeitungen müssen uns allerdings vorliegen, 
denn die Ähnlichkeit mit dem Stoffe der Vermessungslehre ist zu 
groß, um von ihr durchaus unabhängige Schriften anzunehmen, und 
die Unähnlichkeit wieder zu groß, um an bei einer bloßen Abschrift 
mögliche Veränderungen zu denken. Aber die folgerichtige Dar- 
stellung, das ungezwungene Sicheinordnen des Neuen in das Alte 
nötigen uns nach unsefem persönlichen Gefühle an einen älteren und 
ebenbürtigeren Bearbeiter Herons zu denken als die byzantinische Zeit 
erzeugt hat. Jedenfalls möchten wir aus der erwähnten Vollwertig- 
keit der Einschaltungen den Schluß ziehen, der Bearbeiter habe Hero- 
nisches in Heronisches eingeschaltet. 

Woher dieses stammte? Wir wissen es vorläufig noch nicht. 
Wir wissen nur, daß an zwei nicht allzuweit voneinander entfernten 
Stellen der Geometrie*) von einem anderen Buche Herons — iv 
äkkcD ßißUm "Hgcivog — die Bede ist, und dieses andere Buch, mög- 
licherweise die Vermessungslehre, wird der Bearbeiter vor sich ge- 
habt haben neben seiner Hauptvorlage, die vielleicht, wie wir schüch- 
tern und zweifelnd hinzusetzen, aus einer neben der Vermessungs- 
lehre zu gebrauchenden Aufgabensammlung bestand. Für die anderen 
heronischen Sammlungen hat man wahrscheinlich andere Bearbeiter 
anzunehmen von geringerer mathematischer Befähigung, denen aber 



>} Heiberg, Mathematik, Mechanik und Astronomie (in Eroll, Die Alter- 
tumswissenschaft) S. 131 unten. ') Heron (ed. Hui t seh) pag. 131 lin. 14 und 
pag. 134 lin. 8 und 15. 



Heron von Alexandria. (Fortsetzting.) 393 

doch alte Vorlagen zu Gebote standen^ vielleicht noch solche^ welche 
älter als Heron waren. 

Wir müssen rechtfertigen^ warum wir in der Yermessungslehre 
ifiöglicherweise das andere Buch Herons vermuten. Wir berufen uns 
auf unseren Auszug aus der Yermessungslehre (S. 376). Dort sagten 

wir, Heron lehre Fr^^-^a^ mit der Zusatzbemerktmg, dieser Wert 

hänge von "j/ö = — ab; werde ein genauerer Wert von Yb in Rechnung 

gezogen, so könne man auch einen genaueren Wert von JPg ermitteln. 

Für JPg aber ist in der Vermessungslehre JPg = 6 • ^ a^* angegeben, 

weil das Sechseck das Sechsfache des über a^ beschriebenen gleich- 

seit^en Dreiecks sei. In der Geometrie wird in erster Linie F^ = - - a^ 

gesetzt, während das andere Buch JPg = -- a^^ vorschreibe, und für 

13 

das Sechseck lehrt die Geometrie jPg»-7-^6^' während das andere 

-ö + tk) rechnen^). Dieser letztere 

Wert ist ja an und für sich genau der gleiche wie der erste, aber 
er läßt die Versechsfachung deutlich hervortreten, die im ersten Werte 
verhüllt ist. Die andere Stelle, wo von dem anderen Buche Herons 
die Rede ist^), ist weniger beweiskräftig, denn sie benutzt zur Kreis- 

22 

messung ^ = -=-, während der gleiche Wert auch an solchen Stellen 

der Geometrie in Anwendung tritt, welche sich nicht auf das andere 
Buch berufen. 

Für beweiskräftig halten wir dagegen die Verschiedenheiten der 
Geometrie von der Vermessungslehre. Die Geometrie beginnt mit 
Definitionen, welche beiläufig bemerkt der Einführung in die Geo- 
metrie') entnommen sein wollen und mit dem Buche der Definitionen, 
von welchem am Anfange dieses Kapitels die Rede war, nicht überein- 
stimmen. Daim folgen Maßtabellen*). Von beidem ist in der Ver- 
messungslehre keine Spur zu finden. Die Vermessungslehre gibt Be- 
weise für die anzuwendenden Formeln, die Geometrie begnügt sich 
mit deutlich vollzogenen Rechnungen, aus welchen der Leser sich 
erst die benutzte, aber nicht bewiesene Formel herausschälen muß. 
Die Geometrie beginnt die Anweisung, wie man rechnen solle, mit 
den Worten^): noCsi ovrag, mache es so, in der Vermessungslehre 

^) Heron (ed. Hultsch) pag. 184. *) Ebenda pag. 131 ggog nv^Xov ivgs- 
&bIs iv &lX<p ßißUß) ro'D '^JfpcDvoff. ') Ebenda pag. 44 slgaytoyal t&v yBtoitstQov^ 
tiivcDv. *) Ebenda pag. 47—49. ') Ebenda pag. 61 Un. 28—52 lin. 1 und an 
vielen anderen Stellen. 



394 Id. Kapitel. 

sind für den gleichen Zweck zwei Redensarten in Gebrauch: fi dh 
(isdodög iöXLV axrcq^ folgendes ist die Methode, und övvxeBif^östM 
iaiokovdmg tf} ävalvöei omag, der Analyse gemäß wird so gerechnet, 
uns will scheinen^ daß diese Verschiedenheiten ausreichen, um die 
Behauptung