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UNIVERSITY OF CALIFORNIA 

BERKELEY 4, CALIFORNIA 



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VORLESUNGEN ÜBER GEOMETRIE. 

VON 

* 

ALFRED CLEBSCH. 

BEARBEITET UND HERAUSGEGEBEN 

VON 

Dh. FERDINAND LINDEMANN. 

Mlt EINEM VORWORTE VON FELIX KLEIN. 
ERSTER BAND. 

(lEOMETRIE DER EBENE. 

MIT 78 HOLZSCHNITTEN. 



LEIPZIG, 

DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEÜBNER. 
1876. 



^ U^ MdH. -^:Mr 



MATH-STAT. 



QACol 

V, 1 



Vorrede. 



MATH.- 

STAT. 

UBRARY 



Als Clebsch vor nunmehr drei Jahren, auf der Höhe seiner 
Wirksamkeit, durch einen plötzlichen Tod dahingerafft wurde, entstand 
im Kreise seiner Freunde und Schüler alsbald der Plan, eine Heraus- 
gabe wenigstens seiner geometrischen Vorlesungen zu veranstalten. 
Waren sie doch das hauptsächliche Mittel gewesen, durch welches er 
einen immer wachsenden Kreis von Zuhörern um sich gesammelt hatte. 

Aber die Aufgabe erwies sich grösser und umfassender, als man 
zu Anfang hatte glauben können. Die Vorlesungen Clebsch 's ent- 
halten in der Form, in welcher sie in verschiedenen nachgeschrie- 
benen Heften vorliegen, nicht eigentlich Abgeschlossenes; Clebsch 
hatte wechselnd bald diesen, bald jenen Gegenstand berührt, ohne 
systematische Vollständigkeit anzustreben. Bei einem Werke, das 
zugleich ein Lehrbuch sein sollte, musste der Stoff nach einheitlichen 
Principien durchgearbeitet, es musste manche Lücke ergänzt werden; 
es konnte endlich nur in Clebsch's eigenem Sinne liegen, wenn 
der Versuch gemacht wurde, die Darstellung bis zu dem neuesten, 
von der Wissenschaft in den letzten Jahren gewonnenen Standpunkte 
durchzuführen. 

Man wird Herrn Dr. Linde mann hohen Dank wissen, dass er 
diese umfangreiche und schwierige Aufgabe mit ebensoviel Hingebung 
als Verständniss in Angriff genommen hat. Es ist das Werk dadurch, 
zumal in den späteren Partieen, namentlich auch sein eigen gewor- 
den; verschiedene Abschnitte mussten von ihm, auf Grund der Original- 
arbeiten, überhaupt erst entworfen werden. Aber der Name Clebsch 
durfte voranstehen — nicht bloss, weil Clebsch die Veranlassung 
zum Entstehen des Buches abgegeben, und weil die ümgränzung des 



IV Vorrede. 

Stoffes doch immer seinen Vorlesungen conforra bemessen wurde — 
sondern weil der innere Gehalt des Buches durchaus auf ihn zurück- 
geht: sein ist die Art der Darstellung, die durchgehends angestrebt 
wurde, — von ihm lernten wir Anderen die Tendenz, auch fremde 
Untersuchungen umfassend in Betracht zx} ziehen und mit den eigenen 
zu verweben, — aus Dankbarkeit gegen ihn entstand der Plan des 
Werkes und gelang die seitherige Durchführung. 

München, Februar 1876. 

Felix Klein. 



Vorbemer klingen des Herausgebers. 



Die nachstehenden Bemerkungen sollen dazu dienen, die Ent- 
stehungsweise des vorliegenden Bandes und die bei Abfassung desselben 
befolgten Gesichtspunkte darzulegen; insbesondere muss ich dabei an- 
heben, in wie weit der Inhalt desselben den Vorlesungen und nach- 
gelassenen Manuscripten meines hochverehrten Lehrers entnommen ist, 
in wie weit ich entsprechend dem für das Ganze angenommenen Plane 
genöthigt war, das vorhandene Material, sei es durch Darstellung frem- 
der, sei es durch Einschaltung eigener Untersuchungen zu ergänzen. 

Die folgenden Vorlesungen von Clebsch bilden die Grundlage 
des Buches: 

1) Analytische Geometrie der Kegelschnitte. Sommer 1871. 

2) Theorie der algebraischen Curven. Winter 1871/72. 

3) Theorie der algebraischen Formen. Sommer 1872. 

Für die Bearbeitung derselben sind mir neben eigenen Auf- 
zeichnungen besonders die Hefte der Herren Ahlboru und Godt von 
Nutzen gewesen. Ausserdem standen mir für die in früheren Jahren von 
Clebsch gehaltenen Vorlesungen Hefte der Herren Baule, Dieck- 
mann, Klein und Riecke zu Gebote; letztere behandeln ebenfalls 
die genannten Gegenstände, jedoch in gedrängterer Fassung, überdies 
die Theorie der AbeFschen Integrale. Ferner konnte ich für die 
Vorlesungen 1) und 2) ein kurz gehaltenes Manuscript von Clebsch 
benutzen, welches zunächst für die letzterwähnten früheren Vorträge 
entworfen zu sein scheint und wohl mit demjenigen identisch ist, aui 
das sich Herr Fiedler für einige Stellen seiner Bearbeitung von 
Salmon's Kegelschnitttheorie bezieht (vgl. die Vorrede zu diesem 
Buche). Endlich wurde der Inhalt eines Manuscriptes über die Theorie 
der Connexe, welches von Clebsch unvollendet hinterlassen wurde, 
möglichst verwerthet. 

Um diesen reichen, doch mannigfach getheilten Stoff zu einem 
Ganzen zusammenzufügen, waren selbstverständlich manche Aende- 
rungen in Anordnung desselben, sowie gelegentliche Ergänzungen 
nothwendig. Ueberdies aber erweiterte sich mir während der Arbeit 
allmälig der Plan des Werkes; immer mehr erschien es wünschens- 



VI Vorbemerkungen. 

werth, auch neuere Untersuchungen unter die algebraischen Gesichts- 
punkte einzuordnen, von denen der Gedankengang in Olebsch's 
Vorträgen beherrscht ward, insbesondere solche Theorien in ihrer 
neueren Entwickhmg zu verfolgen, deren Ausbildung auch eine natur- 
gemässe Erweiterung des in jenen Vorlesungen gebotenen Stoffes zu 
fordern schien, und so iin Anschlüsse an Clebsch einen in gewisser 
Richtung vollständigen Ueberblick über die heutige geometrisch -alo-e- 
braische P'orschung zu geben. Eben diese allmälige Verrückung des 
gesteckten Zieles bezeichnet zum grossen Theile den Charakter des 
vorliegenden Buches und damit auch manche Mängel desselben. Es 
ist keineswegs ein in sich vollendetes Werk , an welchem alle Uneben- 
heiten mit sorgfältig bessernder Hand vermieden wären ; vielleicht war 
bei Auswahl des Stoffes in den zugefügten Ergänzungen die Richtung 
meines Interesses und des Fortschreitens meiner Entwicklung von 
grösserem Einflüsse, als eine rein objective Beurtheilung des Ganzen 
für zulässig halten dürfte. Immerhin hoffe ich jedoch, gewisse An- 
schauungen und Methoden, die sonst nur in dem engeren Kreise von 
Clebsch's Freunden und Schülern gekannt und benutzt wurden, all- 
gemeiner zugänglich gemacht zu haben; und dies um so mehr, als 
diejenigen Gebiete, in denen sie am meisten zum Ausdrucke gelangen, 
in den seitherigen Lehrbüchern nicht behandelt oder doch nur kurz 
berührt sind. 

Sollte es mir schliesslich gelungen sein, mich dem bezeichneten 
Ziele eihigermassen zu nähern, so habe ich dies zu nicht geringem 
Theile der freundschaftlichen und stets bereitwilligen Unterstützung 
des Herrn Klein zu verdanken, mit welchem mich sowohl während 
meines Aufenthaltes in Erlangen (Ostern 1873 bis dahin 1875), als 
nachher in München (bis Ostern 1876) ein reger wissenschaftlicher 
Verkehr immer enger verband, und dessen wohlthätiger Einfluss auf 
meine Arbeiten daher wohl grösser ist, als dass er sich mit Worten, 
durch Anführung von Einzelheiten, würde schildern lassen. Ich be- 
schränke mich darauf, dankbar hervorzuheben, dass es vor Allem sein 
Bestreben war, mir bei Anordnung und Sichtung des reichen Stoffes 
und beim Zusammenfassen verschiedenartiger Untersuchungen unter 
einheitliche Gesichtspunkte fördernd zur Seite zu stehen. In München 
hat Herr Brill sich mit gleicher Bereitwilligkeit um die Förderung 
meines Unternehmens bemüht (besonders für einzelne Abschnitte der 
vierten und sechsten Abtheilung); auch ihm spreche ich daher meinen 
lebhaft gefühlten Dank aus. Im Winter 1874/75 hatte ich überdies 
Gelegenheit, mit Herrn Gordan in persönlichen Verkehr zu treten, 
und so verdanke ich ihm ebenfalls manch' schätzenswerthe Bemer- 
kung, wie auch an einzelnen Stellen des Buches besonders hervor- 
gehoben ist. — 



Vorbemerkungen. VII 

Im Folgenden möge noch kurz geschildert werden, wie der 
gegebene Stoff geordnet und verarbeitet wurde; diejenigen Gegen- 
stände , welche nicht den Vorlesungen von C 1 e b s c h oder den 
betreffenden Originalaufsätzen desselben entnommen wurden, will ich 
kurz als „hinzugefügt" bezeichnen. 

Die ersten beiden Abtheihmgen sind eine Wiedergabe der oben 
unter 1) genannten Vorlesung von Clebsch. 

In der dritten Abtheilung findet man im Grossen und Ganzen den 
Inhalt der Vorlesung 3) wieder, insoweit letztere die Theorie der 
binären Formen, der ternären Formen im Allgemeinen und der ter- 
nären quadratischen Formen behandelte. Es mussten indess verschie- 
dene Umstellungen, Abkürzungen und Erweiterungen vorgenommen 
werden, um den geometrischen Inhalt der algebraischen Theorien mehr 
hervortreten zu lassen; und dies konnte um so eher geschehen, als die 
Algebra der binären Formen von Clebsch selbst in einem grösseren 
Werke behandelt ist. Die Theorie der Polaren binärer Formen und 
der Involutionen (p. 203 ff.) ist einem besonderen Manuscripte von 
Clebsch entnommen. Der Abschnitt über Collineationen im ternären 
Gebiete (p. 250 — 264) bildete ursprünglich die Einleitung zu den oben 
unter 2) genannten Vorträgen, Die Theorie der algebraischen Formen 
habe ich, abweichend von der zeitlichen Aufeinanderfolge obiger Vor- 
träge, vor die der algebraischen Curven gestellt, um mich in letzterer 
gelegentlich der durch erstere gewonnenen Vorstellungen, Bezeichnungs- 
weisen und Rechnungsmethoden bedienen zu können. Hinzugefügt 
sind (p. 272 f.) in etwas modificirter Form die Untersuchungen über 
die Darstellung invarianter Eigenschaften durch Verschwinden von 
Functionalinvarianten und (p. 288 ff.) die Ableitung des vollständigen 
Systems zweier ternären quadratischen Formen (nach einer Mit- 
theilung des Herrn Gordan), ferner die Aufstellung der Invarianten- 
relationen, durch welche die- besonderen Lagen zweier Kegelschnitte 
gegen einander charakterisirt werden. Die Berechnung der Relationen 
zwischen ihren verschiedenen quadratischen Covarianten dagegen ist 
wieder den Vorträgen von Clebsch entnommen. 

In der vierten Äbtheilung sind die ersten vier Abschnitte (p. 305 
— 372) eine Bearbeitung der ersten Hälfte der Vorlesung 2), an 
einzelnen Stellen modificirt in Folge der voraufgeschickten Theorie 
der algebraischen Formen, zum grösseren Theile aber wohl ohne 
Kenntniss der letzteren verständlich. Es sind hinzugefügt die Sätze 
von Nöther über die Gleichung /"=- Ag) -\- ßt (p- 338 ff.), die 
mittelst symbolischer Rechnung geführten Beweise für das Verhalten 
der Hesse'schen Curve in den singulären Funkten der Grundcurve 
(p. 354), die directe Bestimmung der Wendetangenten der Steiner- 



Vlll VorbemerTtnngen. 

sehen Curve (p. 365) und eine Erweiterung des Satzes über die Spitzen 
der letzteren. Die Abschnitte über Systeme von Curven, über das 
erweiterte Correspondenzprincip und über die eindeutige Abbildung 
zweier Ebenen auf einander sind ihrem ganzen Umfange nach auf 
Grund der betreffenden Originalaufsätze ausgearbeitet; nur die alge- 
braische Behandlung der Elementarsysteme von Kegelschnitten (p. 393 
— 395) ist einem Seminarvortrage von Clebsch aus dem Winter 
1870/71 entnommen; über die Crenio na 'sehen Transformationen gab 
derselbe eine kurze Uebersicht in seinen Vorlesungen über AbeTsclie 
Functionen (Winter 1870/71) und über Raumgeometrie (Winter 
1868/69). In den genannten Abschnitten wird man vielleicht, wenn 
nicht in den Resultaten , doch in den Beweisen einiges Neue finden; 
ich darf hier erwähnen: die Bestimmung des Verhaltens der Jacobi- 
schen Curve in gemeinsamen Punkten der drei Grundcurven (p. 377), 
die Beweise für die Sätze von Chasles und Cremona über Kegel- 
schnittsysteme (p. 398 ff.), die algebraischen Erörterungen über 
Zeuthen's Theorie der Curvensysteme (p. 419 ff.), die Berechnung 
der Coincidenzcurve für die einfachsten Fälle der Correspondenz auf 
einer Curve beliebigen Geschlechts (p.* 446 ff'.), die Untersuchungen 
über Schaaren von Curven , welche dieselbe feste Curve berühren 
(p. 454 ff.) und die Ableitung des BriH'schen Reciprocitätsgesetzes 
für solche Schaaren mit Hülfe des erweiterten Correspondenzprincips. 

Die fünfte Abtheiluny enthält in ihren ersten drei Abschnitten 
die Fortsetzung der Vorlesung 2); hinzugefügt habe ich die Unter- 
suchungen über Kegelschnitt -Netze und -Gewebe (p. 519 ff', nach 
R OS an es) und die Bemerkungen über den Zusammenhang der 
Grassmann'schen Erzeugungsweise mit der Chasles'schen. Die 
Theorie der ternären cubischen Formen ist eine Darstellung des be- 
treffenden Theiles von Vorlesung 3), doch über die Grenzen der 
letzteren hinaus fortgeführt und durch- Einschaltung geometrischer 
Ueberlegungen erweitert. Der sechste Abschnitt bildete seinem geo- 
metrischen Inhalte nach den Schluss der Vorlesung 2). Die Abschnitte 
über die Anwendung der elliptischen Functionen und über die Para- 
meterdarstellung sind selbstständig von mir ausgearbeitet. Erstere 
berührte Clebsch nur kurz am Schlüsse seiner Vorlesung über ellip- 
tische Functionen (Sommer 1872); der letzteren ist die Einführung der 
Hermite 'sehen H- Functionen direct entnommen (p. 627). Ich hebe 
noch den Versuch hervor, gewisse algebraische Eliminationsaufgaben 
durch Benutzung der Theilungsgleichungen für elliptische Functionen 
zu lösen (p. 652 ff.). 

Die sechste Abtheilung ist eine vollständig selbstständige Bearbei- 
tung des in ihr gegebenen Stoffes; eine solche glaubte ich um so 



Vorbemerkungen. IX 

mehr untenjehmen zu dürfen, als der Zusammenhang der Theorie der 
Abel'schen Functionen mit der Geometrie eine der schönsten Ent- 
deckungen ist, welche wir Clebsch verdanken, und als diese An- 
Wendungen in dem Werke von Clebsch und Gordan über Abel 'sehe 
Functionen nur beiläufig berücksichtigt werden. Die rein alge- 
braischen Untersuchungen sind zum Theile als Ergänzungen der 
betreffenden Abschnitte in der vierten Abtheilung aufzufassen. Man 
findet auch hier einige vielleicht neue Gesichtspunkte und Beweise; 
ich nenne: die Darstellung des directen Beweises für die Erhaltung 
des Geschlechts bei eindeutiger Transformation (p. 662 ff.), die Ab- 
leitung der Brill'schen Formeln für simultane Correspondenzen auf 
einer Curve (p. 720 ff.), die Zerlegung algebraischer Differentialaus- 
drücke in Summen von Normaldifferentialen (p. 778 ff.), die Ableitung 
des J a CO bi 'sehen Satzes und des AbeTschen Theorems aus ihm 
(p. 818 ff.), die Erledigung des erweiterten Umkehrproblems für den 
Fall p = 2 auf Grund Rie mann 'scher Principien (p. 867 ff.) und 
die Behandlung der Curveu vom Geschlechte Null (p. 889 ff.). 

In der siebenten Abtheitung ist auf Grund des Schlusses der Vor- 
lesung 3) und des oben erwähnten Manuscriptes von Clebsch die 
Tlieorie der Connexe dargestellt; da letztere noch durchaus in ihren 
Anfängen steht, ist die ganze Abtheilung mehr als Anhang zu be- 
trachten. Hinzugefügt habe ich einige Abzahlungen auf p. 940 und 
957, die Ableitung der Eigenschaften der durch F = und = 
bezeichneten Curven (p. 969), die Beispiele für die Bestimmung von 
Hauptcoincidenzcurven (p. 978 ff.), eine avisführlichere Behandlung des 
Connexes (1, 1) auf Grund der im Texte genannten Aufsätze, die 
allgemeinen Sätze über den Connex (1, n) und Godt's Untersuchun- 
gen über den Connex (1, 2). Dem Manuscripte von Clebsch sind 
insbesondere entnommen: Die Berechnung des coujugirten Connexes 
eines Connexes (2, 2), die Bemerkungen über die Differentiale mehr- 
facher algebraischen Integrale und die Entwicklung auf p. 977. Den 
begrifflichen Entwicklungen über die Integration einer Differential- 
gleichung, sowie der Behandlung der Lie 'sehen Berührungstrans- 
formationen liegt ein schriftlicher Entwurf des Herrn Klein zu 
Grunde, welchen mir derselbe gütigst zur Benutzung überliess. 

Endlich muss ich hier noch einige Worte über die Liieralur- 
nachweise anschliessen. Clebsch pflegte in seinen Vorträgen nur die 
allerwich tigsten Originalaufsätze zu erwähnen, und demgemäss habe 
ich mich in den betreffenden Theilen dieses Werkes auf nur kurze 
historische Notizen beschränkt, die durchaus nicht den Anspruch auf 
Vollständigkeit machen, die aber hinreichen werden, um den Leser 
in die Literatur einzuführen. In den von mir selbstständiger bearbei- 
teten Abschnitten dagegen hielt ich es für meine Pflicht, die benutzten 



X Vorbemerkungen. 

Quellen vollständig anzugeben; und so musste in den Citaten hin- 
sichtlich ihrer Vertheilung auf die letztgenannten und die ersteren Ab- 
schnitte nothwendig eine gewisse Ungleichmässigkeit entstehen. Einige 
derselben habe ich in den ,, Verbesserungen und Zusätzen" noch ver- 
vollständigen können. Diese Verbesserungen wurden leider in grösserer 
Zahl nöthig; manche derselben verdanke ich den gütigen Mittheilun- 
gen der Herren Nöther, Wedekind und Zeuthen. 

Dem Herrn Verleger bin ich für die Bereitwilligkeit, ipit welcher 
derselbe meinen Wünschen stets entgegengekommen ist, in ausser- 
ordentlicher Weise verpflichtet, um so mehr, als der seit October 
1873 begonnene Druck in Folge der Entstehungsweise des Werkes, 
und in letzterer Zeit durch störende Ortsveränderungen meinerseits, 
wiederholt für längere Zeit unterbrochen werden musste. 

Seedorf in Lauenburg, 10. Septb. 1876. 

F. Lindemann. 



Inhalt. 



Seite 

Erste Abtheiluiig: Einleitende Betrachtungen. — Punktreihen 
und Strahlbüschel, 

I. Darstellung geometrischer Oerter durch Gleichungen. — Vorberei- 
tende Aufgaben 1 

II. Die Curve erster Ordnung; die gerade Linie 20 

III. Liniencoordinaten. Punktreihen und Strahlbüschel 27 

IV. Die Grundlagen der synthetischen Geometrie 36 

V. Erzeugnisse projectivischer Punktreihen und Strahlbüschel 46 

VI. Harmonische Theilung ^^ 

VII. Natur des Coordinatensystems 59 

Zweite Abtlieilung: Die Curven zweiter Ordnung und zweiter 

Klasse. 

I. Schnittpunkte mit einer Geraden. — Polarentheorie 72 

II. Beziehungen zur unendlich fernen Geraden. Polardreiecke 79 

III. Das Linienpaar ^^ 

IV. Dualistisches Jl^ 

. V. Beziehungen zwischen zwei Kegelschnitten '20 

VI. Besondere Lagen zweier Kegelschnitte gegen einander 135 

VII. Der Kreis. 14J 

VIII. Die Brennpunkte der Kegelschnitte '61 

Dritte Abtheilung: Einleitung in die Theorie der algebraischen 

Formen. 

I. Vorbemerkungen. — Resultanten und Discriminanten 167 

II. Die symbolische Darstellung der binären Formen 183 

III. Projectivische Punktreihen. Polarentheorie. Involutionen 195 

IV. Die binären quadratischen und cubischen Formen. 210 

V. Die binären biquadratischen Formen. — Schlussbemerkungeii ,228 

VI. Die CoUineationen im ternären Gebiete 250 

VII. Die ternären Formen im Allgemeinen 265 

VII I. Die ternären quadratischen Formen 284 

Vierte Abtlieiluug: Allgemeine Theorie der algebraischen 

Curven. 

I. Die Polaren eines Punktes in Bezug auf eine Curve. 305 

II. Die singulären Punkte ^^^ 

III. Dualistisches. — Die Plücker 'sehen Formeln 341 

IV. Ueber einige covariante Curven 359 

V. Ueber Systeme von Curven ^^^^ 

VI. Fortsetzung. — Die Methode der Charakteristiken 390 

VII. Die Geometrie auf einer algebraischen Curve 425 

VIII. Fortsetzung. Das erweiterte Correspondenzprincip 441 

IX. Eindeutige Abbildung zweier Ebenen auf einander 474 



XTT Inhalt. 

Fiinfte Abtlieiliiiig: Die Curven dritter Ordnung und dritter 

Klasse. 

I. Das System der Wendepunkte 497 

II. Die zugehörigen Curven dritter Klasse 513 

III. Zur Geometrie auf einer Curve dritter Ordnung. — Erzeufuno-sweiseii 
derselben * "^ ^27 

IV. Die ternären cubischen Formen 542 

V. Fortsetzung. — Anwendungen der Formentheorie. ". '. .'..'.'.' 562 

VI. Curven dritter Ordnung mit Doppel- oder Rückkehrpunkt." — Aus- 
artungen derselben 5gQ 

Vir. Die Verwerthung der Theorie der elliptischen Functionen für die 

Geometrie auf einer Curve dritter Ordnung 602 

VIII. Die typische Darstellung einer ternären cubischen Form* und die all- 

gememe Parameterdarstellung der Curve dritter Ordnung 631 

Sechste Abtheilung: Die Geometrie auf einer algebraischen 
Curve und deren Zusammenhang mit der Theorie der Abel'- 

schen Integrale. 

I. Die eindeutigen Transformationen einer algebraischen Curve 661 

II. Schnittpunktsysteme adjungirter Curven (n — 3)ter Ordnung mit der 

Grundeurve. — Specialschaaren 685 

III. Die Transformation auf Normalcurveu. — Moduln. ........ 709 

IV. Verallgemeinerungen der Correspondenzformeln. — Bestimmung einiger 
Specialschaaren Y2o 

V. Ueber Schnittpunktsysteme algebraischer Curven.. . .' .' . .' .' ,' . ', 753 
irif H^^ ^" ^^^^^ Curve gehörigen algebraischen Integrale. . . . ' ' ' ' 764 

xml" T^^*^ "^^^"^*^^"^"''^® ^^^^^''' ^'^^^*^'' ""^ '^^t*^^" ^^**"iig • • • 789 

V 11. Das Abel'sehe Theorem und das Jacobi'sche Umkehrproblem ... 808 

lÄ. ^eruhrungscurven. — Die Doppeltangenten der Curven vierter Ordnung. 838 
i^as Verschwmden der ©-Function. — Beziehungen zum liiemann- 

Jtioch sehen Satze grc 

Xr. Schnittpunktsysteme nicht adjungirter Curven mit der Grundeurve — 

Das erweiterte Umkehrproblem ' §66 

XII. Die Curven vom Geschlechte ;j = . §83 

XIII. Die Curven vom Geschlechte p = 1. 903 

XIV. Die Curven vom Geschlechte p = 2 915 

Siebente Abtheiluiig: Die Connexe. 

J. Ternäre algebraische Formen mit • mehreren Reihen von Veränder- 
lichen. — Aequivalente Systeme 924 

1. Connexe. — Coincidenzen. — Curvenpaare. 936 

\\f n?"^ conjugirte Connex. — Eindeutige Transformationen eines Connexes." 944 

IV. Die Hauptcoincidenz ^^2 

V. Beispiele für die Bestimmung von Hauptcoincidenzcurveii. . ' .* ' 97*8 

aAt ttT ^^""^^ erster Ordnung und erster Klasse '988 

VI ■ V ^mu >^?"ß^«.I"'' 1) oder (1, «). insbesondere für den Fall « == 2" 1001 
VIII. Zur Theorie der Differentialgleichungen .' 1014 



Erste Abtheilung. 

Einleitende Betraclitungen. — Punktreihen und Strahlbüscliel. 

I. Darstellung geometrisclier Oerter durch Gleicliungeii. 
— Vorbereitende Aufgaben. 

Die analytische Geometrie, mit der wir uns vorwiegend beschäftigen 
werden, basirt auf der geregelten Benutzung gewisser einfacher 
Hülfsmittel, durch welche es gelingt, geometrische Probleme in eine 
algebraische Form einzukleiden, ja geradezu alle krummen Linien und 
Flächen durch Gleichungen darzustellen. Diese Behandlungsweise der 
Geometrie unterscheidet sich wesentlich von der Anwendung der Rech- 
nung, wie sie z. B. in der Lehre von den Proportionen üblich ist. 
Während letztere schon sehr alt ist, datirt die eigentliche analytische 
Geometrie aus der Mitte des 17. Jahrhunderts: es ist Descartes, welcher 
sich das ausserordentliche Verdienst erworben hat, die Wissenschaft 
um die von uns bezeichnete Disciplin bereichert zu haben, um so für 
alle Zeiten die Schranken" der alten Geometrie zu brechen. Durch 
Einführung der sogenannten Coordinaten"^) schuf er ein Werkzeug, 
durch welches, wie er sich ausdrückte, die Möglichkeit gegeben war, 
eine jede geometrische Aufgabe zu lösen, d. h. für jede den Anzatz 
zu machen, sie in bestimmter Weise zu formuliren. Und in der That 
ist noch immer durch diese Form der Fragestelluno; der Charakter 

O TD 

analytisch - geometrischer Untersuchungen bedingt, hauptsächlich auch 
gegenüber den Methoden der neueren synthetischen Geometrie, die wir 
später berühren werden. 

Die Grundlage der analytischen Geometrie bildet demnach die 
Auffindung eines Mittels, welches uns in den Stand setzt, jeden Punkt 
der Ebene durch Zahlen zu charakterisiren ; und diese Aufgabe löst 
sich einfach durch Analogie mit der Trigonometrie. In letzterer be- 
stimmen wir jeden Punkt eines mit dem Halbmesser Eins beschriebenen 
Kreises durch zwei Strecken, den sinus und den cosinus, welche stets 
der Bedingung genügen müssen, dass die Summe ihrer Quadrate gleich 

*) Das grundlegende Werk von Descartes erschien 1637 unter dem Titel: 
Geometrie. 

Clebsch, Vorlesungen. ' 1 



Erste Abtheilunn:. 



der Einheit ist. Lassen wir dagegen diese ßedingungsgleichung bei 
Seite, so können wir ebenso jeden Punkt der Ebene durch zwei 
Strecken charakterisiren : seinen Abstand von einer festen Geraden, 
der Ordinale, und das Stück, welches auf dieser festen Geraden 
von einem festen Punkte derselben aus gerechnet, durch den Fuss- 
punkt der Ordinate abgeschnitten wird, die Abscisse. Lässt man dann 
zwischen diesen beiden Grössen wieder die Bedingung bestehen, dass 
die Summe ihrer Quadrate gleich der Einheit sei, so erhält man alle 
Punkte eines mit dem Radius 1 um jenen festen Punkt beschriebenen 
Kreises. Der augenscheinlichen Gleichberechtigung zwischen Ordinate 
und Abscisse entsprechend nahm man später zwei in einem willkühr- 
lich gewählten Punkte der Ebene, dem Anfangspunkte , sich senkrecht 
durchschneidende Gerade als Coordinatenaxcn , und charakterisirte 
einen Punkt durch seine Abstände von diesen Axen: seine Coordinaten. 
In Folge dieser Festsetzungen gehört nun zwar zu jedem Punkte ein 
bestimmtes Paar von Coordinaten; es ist aber nicht umgekehrt durch 
Angabe zweier Coordinaten ein Punkt eindeutig bestimmt; sondern 
es gibt je vier Punkte, deren Coordinaten dieselben Grössen sind, ent- 
sprechend den vier Quadranten, in welche die Ebene durch die Coordi- 
natenaxen getheilt wird. Es muss also noch ein Mittel hinzutreten, 
diese vier Punkte zu trennen; und dies geschieht wieder analog, wie in 
der Trigonometrie, durch Vorsetzen verschiedener Vorzeichen. Man 
unterscheidet nämlich die beiden Erstreckungen jeder Coordinatenaxe 
zu beiden Seiten des Anfangspunktes als die positive und die negative 
und bezeichnet eine Coordinate als positiv oder negativ, jenachdem 
j-ig 1 das betreffende Loth sich auf der 

Seite der positiven oder der nega- 
tiven Erstreckung der parallelen 
Axe befindet. Die beiden Axen 
unterscheidet man als A'- und F-Axe; 
die von dem zu bestimmenden 
''Jl Punkte aus auf sie gefällten Lothe 
werden dann die Y- und JT- Coor- 
dinate genannt und in der Regel 
durch ij und x bezeichnet (vergl. 
Fig. 1). Das somit aufgestellte 
Coordinatensystem, in dem nun- 
mehr jedes Coordinatenpaar einschliesslich des Vorzeichens nur einen 
Punkt der Ebene definirt, wird in neuerer Zeit nur in den angewandten 
Zweigen der Mathematik, besonders also in der Mechanik, noch aus- 
schliesslich verwendet; für unsere rein geometrischen Speculationen 
dagegen werden wir uns später eines allgemeineren Coordinatensystems 
bedienen. Es ist überhaupt nicht schwer, eine unbegrenzte Reihe 





-a 


1 

■i-a 




y^ 






i7> 




i 


/-■ 




-J 






-h 




-a- 


■fO. 






- 


Y 





Einleitende BetrPtchtiingen. — Punktreihen und Strahlbüschel. 3 

verschiedener Systeme der Art aufzustellen; es kommt nur darauf an, 
für die jedesmal vorliegenden Probleme das möglichst passende zu 
wählen. 

An die hier gegebene Coordinatenbestimmung schliesst sich sofort 
eine andere, in der ein Punkt nicht durch die beiden Grössen x und 
y, sondern durch seine Entfernung r von einem festen Punkte, dem 
Anfangspunkte , und den Winkel a dieser Strecke gegen eine durch 
den Anfangspunkt gehende feste Gerade bestimmt wird. Dabei wird 
man freilich r mit einem bestimmten Vorzeichen und a zwischen 
und 360*^ nehmen müssen, wenn man will, dass zu jedem Punkte nur 
ein Coordinatenpaar gehört. Der Uebergang von diesem sogenannten 
Polarcooräinatensysteme zu unserem rechtwinkligen ist einfach gegeben; 
es ist nämlich die Entfernung eines Punktes x, y vom Anfangspunkte : 



(1) r = ^a;2 + y^ . 

und der Winkel dieser Linie gegen die X- Axe bestimmt durch 

(2) r cos OL = x , r sin a = y , tang a = — , 

Gleichungen, welche uns die Coordinaten x, y durch die Polarcoor- 
dinaten r, a ausdrücken lehren, und umgekehrt. 

Welches Coordinatensystem wir aber auch wählen mögen, immer 
sind zwei Grössen nöthig, um einen einzelnen Punkt zu bestimmen; 
ist nur eine solche- Grösse, nur eine Bedingung für einen Punkt ge- 
geben , so gibt es eine unendliche Anzahl von Punkten , die alle 
dieser Bedingung genügen und in ihrer Gesammtheit einen geometri- 
schen Ort, eine Cvrve, darstellen. Halten wir z. B. die Richtung a fest 
und lassen die Entfernung r unbestimmt, so beschreibt der Punkt, dessen 
Coordinaten der letzten Gleichung (2) genügen, eine Gerade, die durch 
den Anfangspunkt geht; halten wir dagegen die Entfernung r fest 
und lassen a unbestimmt, so stellt die Gleichung (1) einen Kreis dar, 
dessen Mittelpunkt im Anfangspunkte liegt und dessen Radius gleich 
r ist, es ist die Gleichung des Kreises, wie (2) die Gleichung einer 
durch den Anfangspunkt gehenden geraden Linie. ' Ebenso stellen die 
Gleichungen 

x = 0, y = , 

wo das eine Mal y das andere Mal x unbestimmt bleibt, die Y- resp. 
A''-Axe dar, während 

X = a 
die Gleichung einer in der Entfernung a zur F-Axe gezogenen Paral- 
lelen ist. 

Der Begriff des geometrischen Ortes, für welchen wir soeben einige 
Beispiele betrachteten, ist für die analytische Geometrie fundamental: 
das Studium dieser Oerter, d. h., für die Ebene, der Curven und ihrer 



4 Erste Abtheilung, 

Eigenschaften, können wir geradezu als Aufgabe derselben bezeiclmen. 
Eine Curve wird also gebildet von allen Punkten, die nur einer Be- 
dingung genügen, welche wir durch eine Beziehung zwischen ihren 
Coordinaten gegeben denken. Der fundamentale Begriff des geome- 
trischen Ortes fällt sonach zusammen mit dem Begriffe einer Glei- 
chung zwischen den Coordinaten x, ?/; d. h. eine Gleichung 

stellt eine Linie in der Ebene dar, und die Eintheilung der Curven 
kommt zurück auf die der Gleichungen. Die heutige ' Geometrie der 
Ebene beschränkt sich jedoch wesentlich auf die Untersuchung der 
algebraischen Curven, d. h. derjenigen, in deren Gleichungen nur 
positive und ganze Potenzen von x und ij vorkommen. So interessant 
nämlich auch gewisse andere, transcendente Curven in ihren Eigen- 
schaften sind, so wichtig dieselben auch für gewisse Anwendungen 
erscheinen, so ist uns die wahre Natur der transcendenten Functionen 
noch zu sehr verschlossen, als dass wir die durch sie darstellbaren 
Curven in ihrem inneren Zusammenhange behandeln könnten, während 
besonders durch neuere Untersuchungen in der Kenntniss der alge- 
braischen Functionen wesentliche Fortschritte gemacht sind, so dass 
hier der rein geometrischen Speculation ein weites, aber durch allge- 
meine Principien übersichtliches Gebiet eröffnet ist. 

Man theilt die algebraischen Curven zunächst ein nach ihrer 
Ordnung, d. h. nach der grössten Anzahl von Factoren x oder ?/, 
welche in der Gleichung der Curve mit einander multiplicirt vor- 
kommen (höchste vorkommende Dimension). Bei dieser Abzahlung richten 
wir zuvor die Gleichung durch passende Multiplication so ein, dass 
eine ganze, rationale Function von x und y gleich Null gesetzt wird. 
So ist also z. B. nach (1) der Kreis eine Curve der zweiten, nach (2) 
die gerade Linie eine Curve von der ersten Ordnung. Die Curven 
der ersten und zweiten Ordnung werden uns zunächst vorwiegend be- 
schäftigen ; wir werden auf die Theorie derselben aber erst dann aus- 
führlicher eingehen, nachdem wir im Folgenden durch einige vorbe- 
bereitende Aufgaben mit den wichtigsten bei ihnen auftretenden 
Gestalten bekannt geworden sind. Von ganz anderem, allgemeinerem 
Gesichtspunkte werden wir später auf dieselben zurückkommen. 

/. Es sind zwei Punkte (1 und 2) gegeben, es soll ihre Entfernung 
(r) und die Richtung ihrer Verbindungslinie bestimmt icerden. 

Wir unterscheiden die Coordinaten der beiden Punkte durch bei- 
gefügte Indices; sie seien also x^, y, und x.^, y.^ Die Lösung der 
Aufgabe folgt dann unmittelbar aus beistehender Fig. 2; es ist 



r = y {x^ — XiY + (?/2 — tJi)'' ; 
und zwar überzeugt man sich leicht, dass diese Formel ungeändert 



Einleitende Betrachtungen. — Punktrcilien und Stralilbüschel." 



T 



bleibt; wenn auch die beiden Punkte nicht, wie in der Zeichnung, in 
dem positiven Quadranten des Coordinatensystems liegen. 

Die Richtung der Strecke 1-2*) da- *''^" ^• 

gegen, d. h. ihr Winkel gegen die ^V-Axe 
ist bestimmt durch: 



also 



0-2 - 


^1 


= r 


COS 


9^ 


2/2 - 


-2/1 


= r 


sin 


^ ; 


tang 


cp-- 


Ih 


— ?/ 






^, 





Ist der Punkt 2 nicht selbst gegeben, 








sondern nur seine Entfernung von 1, so 
haben wir für ihn nur eine Bedingung, er beschreibt also einen geo- 
metrischen Ort, den mit dem Halbmesser r um 1 beschriebenen Kreis. 
Die Gleichung des letzteren ist demnach, wenn wir die Coordinaten des 
beweglichen Punktes ohne Index schreiben: 

Es sei zweitens die Richtung der Linie 1 - 2 gegeben , aber nicht 
die Entfernung r; dann muss, wenn 1 fest angenommen wird, der 
Punkt 2 immer auf einer bestimmten durch 1 gehenden Geraden 
bleiben, die unter dem Winkel (p gegen die Z-Axe geneigt ist, und 
es ist also 

(y — Vi) cos cp — {x — .Tj) sin g) =^ 

die Gleichung dieser Geraden. 

2. Es seien zwei Punkte (1 und 2) gegeben, es soll der geometrische 
Ort eines Punktes bestimmt werden, für ivclclicn die Summe der Abstände 
von den beiden gegebenen Punkten cotistcmi ist. 

Bei Lösung dieser Aufgabe machen wir von dem besonderen 
Ilülfsmittel Gebrauch, welches die analytische Geometrie mit Rück- 
sicht auf die Wahl des Coordinatensystems bietet, und dessen geschickte 
Anwendung nicht selten die Lösung gestellter Probleme wesentlich 
vereinfacht. Hier nehmen wir die Verbindungslinie der gegebenen 
Punkte zur A'-Axe, und die F-Axe legen wir der Symmetrie 
Avegen durch den Mittelpunkt dieser Verbindungslinie. Die Entfernung 
eines jeden der beiden Punkte vom Anfangspunkte sei e, die constante 
Summe ihrer Entfernungen von dem beweglichen Punkte sei 2 a. Be- 
zeichnen wir ferner die letzteren Entfernungen selbst mit r^ und r^, 
so ist für den dritten Punkt: 



*) Wir unterscheiden die Strecke 1 - 2 von der Strecke 2-1, je nach der 
Richtung, in welcher wir sie durchlaufen denken. 



Fig. 3. 

r 



Erste Abtheilung. 

(1) ri + r2 = 2a, 

jx.y} WO : rj = y{x — eY~-\^'tß 

\ — -^ — j; Diese Gleichung 

Vy ■\- 1\ — 2 a = 

können wir aber durch Multiplication mit geeigneten Factoren von 
den in i\ und rj enthaltenen Irrationalitäten befreien. Multipliciren 
wir nämlich zunächst mit 

rj —r.^ — 2a, 

so verschwindet die Irrationalität von r^ ; die von i\ wird aufgehoben, 
wenn wir weiter mit "^ '><^ 

{r,-r, + 2a){r,-^r,^2a) 
multipliciren. 

Wir setzen also an Stelle von (1) die Gleichung: 

(2) \r, + r^ -2(1) {r, -r^~ 2a) (r, - r^ + 2a) {r, + r^ + 2«) = 0, 
oder ausgerechnet: 

(3) = 16«' - 8a^ (rj2 + ^.,2) + (rj2 _ ,.^2)2 _ 

Diese Gleichung ist aber nicht mehr die ursprüngliche, sondern 
sie ist noch mit Factoren multiplicirt. Es kann daher die Frage ent- 
stehen, ob "die neue Glei&hung auch stets die Bedingung der Auf- 
gabe darstellt; und das ist in der That nicht immer der Fall. Der 
durch die Gleichung (2) dargestellte geometrische Ort sagt nur aus, 
dass das Product der vier Factoren Null ist, dass also einer von ihnen 
verschwindet, Avobei aber keineswegs der erste Factor ausgezeichnet 
ist; und nur seiji Verschwinden wird ja in unserer Aufgabe gefordert. 
Der letzte Factor kann nicht verschwinden, da r^ und r^ wesentlich 
positiv sind. Es ist also entweder 

^'1 + r^ = 2a, 

oder es verschwindet einer der beiden anderen Factoren, d. h. es ist: 

^1 — r.^ == 2 a oder r^ — r^=2a , 

was nicht wesentlich verschieden ist. Unser- geometrischer Ort stellt also 
eine Curve dar, bei der entweder die Summe oder die Differenz der Ent- 
fernungen des beschreibenden Punktes von zwei festen Punkten constant, 
= 2a, ist; und wir haben somit diese beiden Aufgaben gleichzeitig be- 
handelt. Welcher dieser beiden Fälle eintritt, entscheidet sich aus dem 
Grössenverhältnisse von 2a zu 2c mit Hülfe der Sätze über Summe und 
Differenz zweier Seiten im Dreieck. Ist uämlicli a > e, so ist in dem 
durch den beweglichen und die beiden festen Punkte bestimmten 



Einleiteude Betraclitungen. ^ Puuktreihon und Strahlbüscliel. 7 

Dreieck 2 a nothwendig die Summe der Seiten, da ihre Differenz nicht 
grösser, als die dritte sein darf; ist aber a < e, so kann 2a nur die 
Differenz der beiden Entfernungen sein, da sonst die Summe zweier 
Seiten kleiner, als die dritte wäre. Die Gleichung (3) stellt also eine 
Curve dar, für deren Punkte die Summe oder Differenz der Abstände 
von zwei festen Punkten constant ist, je nachdem « > ^ oder « < e ist. 
Drücken wir r^ , r.^ wieder durch x, y und e aus, so Avird diese 
Gleichung (3) : 

^' _!_ ^JJL 1=0. 

a^ ' a^ — e^ 
Ist hier a > e, so wird a~ — e"^ positiv, = 6% also: 

eine Curve, die den Namen Ellipse führt. Im zweiten Falle, d. h. für 
a < e, ist ß- — e^ negativ, = — IP-, und unsere Gleichung wird : 

eine Curve, welche man als Hyperbel zu bezeichnen pflegt. Was die 
Gestalt beider Curven angeht, so erhellt aus ihren Gleichungen, welche 
nur die Quadrate der Veränderlichen enthalten, sofort, dass immer 4 
symmetrisch gegen die Coordinatenaxen liegende Punkte ihnen ge- 
nüsren, d. h. 4 Punkte, deren Coordinaten sich nur durch die Vor- 
zeichen unterscheiden. Jede der Curven besteht also aus vier con- 
üTuenten Theilen, und wir brauchen dieselben nur in einem Quadranten 
des Coordinatensystems zu untersuchen. 

Bei der Ellipse sehen wir ferner, dass x nie grösser als a, y nie 
grösser als b w^erden kann, dass also die Curve ganz im Endlichen 
liegt, begrenzt von vier Geraden, die wir in den Abständen a und b 
respective zur V- und X-Axe parallel zu ziehen haben. Punkt für 
Punkt können wir die Ellipse auch einfach construiren, wenn wir die 
Aehnlichkeit ihrer Gleichung mit der Identität: 

cos^ (p -f- sin'^ cp = 1 
beachten. Setzen wir nämlich 

X = a cos cp 
(6) / • 

so wird die Gleichung* (4) unabhängig von cp erfüllt, und wir erhalten 
alle Punkte der Curve, wenn wir g) von bis 27t variiren lassen. 
Diese Darstellungsweise eines Punktes, bei welcher seine Coordinaten 
von einer dritten Variabein, einefn Parameter, abhängig gemacht werden, 
ist der Darstellung der von dem Punkte beschriebenen Curve durch 
eine Gleichung völlig gleichberechtigt; die letztere ergiebt sich wieder 
durch Elimination des Parameters. Diese neue Form, in der ein geome- 



Erste Abtheilansr. 



irischer Ort hier auftritt, wird uns später sogar ein wichtio-es Hülfs- 
mittel zur Eintheilung der Curven höherer Ordnung sein indem wir 
dabei auf die Natur der Functionen, welche den Parameter mit den 
Coordinaten verknüpfen, Gewicht legen. 

Unsere Gleichungen (6) ergeben nun unmittelbar folgende Con- 
struction für die Ellipse: wir beschreiben um den Anfangspunkt einen 
Kreis mit dem Radius a, einen zweiten mit dem Radius h und ziehen 

von aus einen unter beliebigem 
Winkel g) gegen die A'-Axe geneigten. 
Strahl; alsdann ist (vergl. Fig. 4): 
OA = x = a cos (p 
B C = y = b Bm (p , 
und also ist D ein Punkt der Ellipse, 
~* und in dieser Weise ist die Curve nach 
ihrer ganzen Erstreckung zu zeichnen. 
Die Construction der Brennpunkte, d. h. 
der beiden festen Punkte, von denen ans 
wir ursprünglich zu der Ellipse geführt 
wurden, ergibt sich aus der Relation 




a- 



F-, 



sie werden also durch einen mit dem Radius a um den Punkt E be- 
schriebenen Kreis auf der A-Axe ausgeschnitten. Die Entfernung 
e eines Brennpunktes vom Anfangspunkte wird ExcentvlcHät der Ellipse 
genannl', verschwindet dieselbe, ist also a-^h, so geht die Gleichung 
in die des Kreises 

X- + y- = (C- 
über. Die Grossen a und h werden bezüglich als grosse und kleine 
halbe Axe der Ellipse bezeichnet. 

Bei der Hyperbel haben wir ebenfalls vier congruente Theile; es 
kann ferner, wie der Anblick der Gleichung zeigt, x nie kleiner als a 
werden, während wir für das Wachsthum von y keine Grenze angeben 
können. In dem Streifen, den wir erhalten, wenn wir zur J-Axe 
im Abstände + a von ihr Parallele ziehen, befindet sich folglich kein 
Punkt der Curve. Im Uebrigen wird x und y in Betreff der Grösse 
nicht beschränkt; die Hyperbel erstreckt sich demnach ins Unendliche. 

Um ihren Verlauf näher kennen zu lernen, ziehen wir durch den 
Anfangspunkt, unter irgend einem Winkel cp gegen die A-Axe ge- 
neigt, eine Linie und suchen die auf ihr befindlichen Punkte der Curve. 
Bezeichnen wir die Entfernung eines solchen Punktes vom Anfan^rs- 
punkte mit r, setzen also 

X = r cos (p 
y ^-= r sin cp , 



Einleitende Betrachtungen, — rupktreihen und Strahlbüscliel. 



SO ergibt die Gleicliimg der Curve (5) für ;• eine quadratische Gleichung 

1 






sm'* qp 



und auf jedem solchen Strahle liegen also im Allgemeinen 2 Punkte. 
Lassen wir cp von an wachsen, so Avird im Nenner das erste Glied 
immer kleiner, das zweite immer grösser, d. h. r wächst von a an 
constinuirlich und erreicht für 

cos- (p sin^ qp 

einen unendlich grossen Werth, während r für noch grössere Werthe 
von cp imaginär wird. Nennen Avir diesen Winkel, der die Richtung 
der unendlich fernen Punkte der Hyperbel gibt, a, so ist 

fang a = -\ • 

Es gibt somit zwei symmetrisch gegen die Coordinatenaxen liegende 
Linien, denen sich die Curve unbegrenzt nähert, ohne sie jemals zu 
erreichen, zwei Linien, Avelche aus diesem Grunde J'si/mplo/en der 
Hyperbel genannt Averden. Ihr 
geometrischer Zusammenhangmit 
den beiden Brain'pimkten^ Avie wir 
Avieder unsere festen Ausgangs- 
l)unkte nennen, ergibt sich aus 
der Gleichung: 

mit deren Hülfe Avir die Asym- 
ptoten einfach construiren kön- 
nen (vergl. Fig. 5). 

Nehmen wir a =^ b au, so erhalten Avir eine Curve, die gleich- 
seitige Hijperbel, Avelche zu der Hyperbel in ähnlicher Beziehung steht, 
Avie der Kreis zur Ellipse; sie ist besonders dadurch ausgezeichnet, 
dass ihre beiden Asymptoten zu einander rechtAvinklig sind. 

3. Es soll der geometrische Ort eines Pimktes 
gefunden werden^ für tvelchen der Quotient sei- 
ner Abstände von einem gegebenen festen Punkte 
und einer gegebenen festen Geraden constanl ist. 

Wir legen zunächst Avieder das Coordi- 
natensystem so, dass die analytischen Ope- 
rationen eine möglichst einfache Gestalt ge- 
Avinnen: Zur X-Axe Avählen Avir die von 
dem gegebenen Punkte auf die gegebene 
Gerade gefällte Senkrechte, deren Länge p 
sein möge; den Anfangspunkt nehmen wir, 




Fig. 6. 



>,yy 



•y 



X-p-i 



10 Erste Abtheilung. 

um gleichzeitig alle hier möglichen Fälle zu erhalten, zunächst noch 
beliebig, etwa im Abstände a von der Geraden, an; für den constan- 
ten Quotienten sei der Werth fn gegeben. Alsdann wird die Glei- 
chung unseres geometrischen Ortes (vergl. Fig. G): 

?• = ]/(x — p — af + 1/ = m {x — a) , 
oder, wenn wir das Wurzelzeichen fortschaffen: 

= (nf- - 1) a;2 — 2 {{m' - l) a — p) x + ni'a^ — (p + ay — y\ 
eine Gleichung, welche in ihrer Ordnung mit der obigen für Ellipse 
und Hyperbel übereinstimmt, auch, abgesehen von dem Gliede mit x, 
ihnen ganz analog gebaut ist. Dies Glied aber lässt sich, wenn nicht 
m = 1 ist, welchen Fall wir nachher behandeln werden, durch passende 
Wahl von a herausschaffen. In der That brauchen wir nur 



in^ — 1 

ZU setzen, um die Gleichung des Ortes in der uns bekannten Form 

(1 — ;««)2'' r=V2^ • 

zu erhalten: es ist die Gleichung der Ellipse für ;;? < 1, der Hyperbel 
für m > \. Es folgt also: 

ht ein Punkt und eine Gerade gegeben^ und ein ziveUer Punkt he- 
ivegl sich so, dass der Ouotient seiner Abstände von jenem Punkte und 
jener Geraden constant bleibt, so beschreibt der Punkt eine Ellipse, wenn 
er immer dem gegebenen Punkte, eine Hyperbel, ivenn er immer der ge- 
gebenen Geraden näher bleibt. 

Wir sehen hier einen gewissen Punkt und eine gewisse Gerade 
m enger Beziehung zu unseren beiden Curven zweiter Ordnung, und 
eine kleine Rechnung wird zeigen, dass der Punkt einer der uns 
schon bekannten Brennpunkte ist. Es sei zuerst )n < l (Ellipse) ; 
dann sind die Quadrate der halben grossen und der halben kleinen 
Axe gegeben durch 

und es ist also: 



oder: 



'-1 



Ferner ist die Entfernung des gegebenen festen Punktes vom 
Anfangspunkte 



Einleitende Betrachtungen. — Punktreihen und Strahlbüschel, 



11 



also gleich der Entfernung des Brennpunktes vom Anfangspunkte; 
beide Punkte sind folglich identisch. Ebenso steht natürlich eine 
zweite Gerade zu dem andern Brennpunkte in derselben Beziehung, 
wie es die Symmetrie der Curve gegen die F-Axe erfordert; beide 
Linien werden als Directrice^i der Ellipse bezeichnet. Die Berechnung 
des Abstandes / einer solchen vom Mülelpunkte der FMipsc (d. h. dem 
Anfangspunkte bei unserer Coordinatenbestimmung) führt zu einer 
einfachen Construction der Directrix. Es ist nämlich 

J2 = ßp^ folglich: 



d. h. die halbe grosse Axe ist mittlere Proportionale zwischen der Excen- 
triciiäl und der Entfernung der Directrix vom Mittelpunkte. Zur Con- 
struction errichtet man also 
(vergl. Fig. 7) in einem 
Brennpunkte (1) ein Loth 
auf der X-Axq, schneidet 
dies in A mit einem um 
mit dem Radius a beschrie- 
benen Kreise, und errichtet 
auf OA ein Loth, welches 
in B den Schnittpunkt der 
Directrix mit der .Y-Axe 
bestimmt. Die zweite Linie 
der Art ist parallel zu 
dieser in gleicher Entfernung vom Mittelpunkte; beide nehmen die 
Curve in ihre Mitte {C0 = OB). 

Ganz ähnlich gestalten sich diese Verhältnisse bei der Hyperbel 
{m> 1), nur liegen die Directricen hier in dem inneren Räume so, 
dass sie die Curve ebenfalls nicht treffen. In der That, setzen wir, 
um zur Hyperbel überzugehen, in den für die Ellipse geltenden Glei- 
chungen — h"^ statt ^>2, so erhalten wir für den Abstand der Directrix 
vom Anfangspunkte: 

f = 




die halbe grosse Axe ist also ivieder mittlere Proportionale zwischen der 
Entfernung des Brennpunktes und der Entfernung der Directrix vom 
Mittelpunkte, und daraus ergibt sich eine einfache Construction der 
letzteren, ähnlich wie bei der Ellipse. 

Es bleibt uns noch übrig, den Fall //^ = 1 zu untersuchen, wo 



12 



Purste Abtlieilum 



also der bewegliche Piinkl von dem festen Punkte und der festen Geraden 
(jleiclt weil entfernt bleibt. Unsere ursprüngliche Gleichung wird dann: 



setzt man also 



so geht sie über in: 



a == 



p 

2 ' 



= 2 px , 



ebenfalls eine Curve zweiter Ordnung, die Parabel, deren Gleichung 
X nicht im Quadrate enthält. Ferner zeigt die Form der Gleichung, 

dass X nie negativ werden kann; die 
Curve liegt also ganz auf einer Seite der 
Y-Axe und erstreckt sich auf dieser, 
vom Anfangspunkte als Scheitel begin- 
nend, in's Unendliche. Die Eigenschaft 
der Parabel, von welcher wir ausgingen, 
ergibt eine einfache Construction der- 
^ selben : Man beschreibt um den festen 
Punkt, den Brennpunkt der Parabel^ mit 
beliebigem Radius (r) einen Kreis und 
schneidet diesen mit einer Parallelen 
zur y-Axe, welche von der festen Ge- 
raden, der Direcirix der Parabel, um 
die Länge jenes Radius entfernt ist: 
die beiden Schnittpunkte sind dann Punkte der Curve (vergl. Fig. 8). 
•/. Es soll der Flächeninhalt des durch drei gegebene Punkte be- 
stimmten Preiecks berechnet iverden. 

Nehmen wir zunächst den Anfangspunkt der Coordinaten als in 
einem der Punkte gelegen an. Ziehen wir durch jeden der beiden 
anderen (1 und 2) eine Parallele zur X- und F-Axe (vgl. Fig. 9), so 
i"ig »• flieht man sofort, dass der Inhalt des fraglichen 

durch : 

k^\ y 1 — -i (^'i — ^'^2) (2/2 ~y\) 





Dreiecks gegeben ist durch 



/1 



= k (^1 Vi — V^ ^^2) • 

Ertheilen Avir nunmehr dem dritten Punkte 
die Coordinaten x^, y^, so haben wir in diesem 
- Ausdrucke nur x, — x^, x, — x, , ?/, — y,, y^ - y, 

statt a-, , x^, j/,, y., emzusetzen, wodurch wir erhaltene 

^ = i [G-^i - ^-^^o) {y'z - 2/0) - (^2 - ^0) (yi - ^o)] 

Der vor uns stehende Ausdruck ist wegen der Anordnung seiner Glie- 



Einleitende Betrachtimpfen. — Punktreihen und Strahlbüschel. 



13 



der besonders beachtenswerth , es ist eine sogenannte Determinante. 
Man versteht hierunter im Allgemeinen eine nach gewissem Gesetze 
aufgebaute ; algebraische Combination einer quadratischen Anzahl von 
Elementen; deren Natur am besten an Beispielen zu erläutern sein 
wird. Das einfachste Beispiel liefert die zweigliedrige Determinante aus 
vier Elementen: 

ah' — h a , 
wofür man zur Abkürzung 



schreibt; und auf diese werden alle mehrgliedrigen Determinanten 
durch ein recurrirendes Verfahren zurückgeführt. Die nächst höhere 
Stufe würde die aus Ele?nenten zu bildende dreigliedrige Determinante: 



a 


h 


c 


d 


h' 


c 


a" 


b" 


c 



ergeben. Der Uebersichtlichkeit wegen gebraucht man jedoch in einer 
Determinante, d. h. in einem Schema der vor uns stehenden Art, für 
die einzelnen Elemente besser denselben Buchstaben und unterscheidet 
sie durch obere, und untere Indices, von denen der eine die Vertical- 
reihe, der andere die Horizontalreihe angibt, welcher das Glied in 
unserem Schema angehört. Man schreibt also eine dreigliedrige Deter- 
minante in der Form: 



a. 



«,// «/.," (',>, : 

Die Bildung des hierdurch repräsentirten algebraischen Ausdruckes 
lässt sich nunmehr in folgender Weise aussprechen: 

Die Determinante ist gleich dem Aggregate der Glieder, welche aus 
dem Diagonalgliede obigen Schemas durch Perjnutation der oberen (oder 
unteren) Indices entstehen, ivenn man bei jeder Vertauschung ziveier In- 
dices das Vorzeichen des betreffenden Gliedes ändert] es darf dabei 
natürlich kein Glied zweimal vorkommen. Wir haben hiernach: 



a, 


a, 


a, 
















< 


< 


«//" 


= 


a'/' 


('/,' 


(hu 


' — (',i 


<' 


a,u 


ci„', 


(hn 


'II 




— f^'i 




",',' 


— (t,n 


a,:' 


«'," 



Analoges gilt für w-gliedrige Determinanten, bei denen n . (n — 1) 
. („ _ 2) . . . 3 . 2 . 1 Permutationen nöthig sein werden ; eine einfache 
Ueberlegung zeigt, dass dabei immer gleich viel positive und negative 



14 Erste Abtheilung. 

Glieder vorkommen müssen. Doch wollen wir hier auf die allgemeine 
Determinantentheorie nicht näher eingehen*), wir beschränken uns 
auf die Angabe einiger Sätze, welche wir im Folgenden wiederholt 
gebrauchen werden. 

Zunächst bemerkt man, dass unsere Entwicklung der Determinante 
sich nicht ändert, wenn wir obere und untere Indices vertauschen, d. h. 
die Determinante behält denselben Werth, ivenn man Horizontal- und 
Verticalreihcn vertauscht : 



R 



a, 


^^ 


a, 


< 


<' 


a, 


«„/ 


a'' 


a, 



f, f'n «„ 

\a'," a'" a. 



Ferner ist es charakteristisch für die Entwicklung der Determi- 
nante, dass in jedem Gliede nur ein Element aus jeder Horizontal - oder 
Vertical-Beihe vorkommt-^ wir können demnach diese Glieder nach den 
Elementen einer Reihe ordnen, also z. B. schreiben: 

R = a; {a,:'a„:" — a,'," a,,',') + a',' {et,;" a,,', - a,', a,,',") 

+ <' {a,;a„;' — a,;'a„;) . 

Ein Blick auf diese Entwicklung zeigt, dass. der (untere) Index der 
Glieder der bevorzugten Reihe in ihren Factoren nicht vorkommt, dass 
ferner die letzteren selbst wieder zweigliedrige Determinanten sind; 
und analog gelingt bei mehrgliedrigen Determinanten durch Wieder- 
holung des Verfahrens die Zurückführung auf Determinanten von 
weniger Gliedern, die man dann selbst wieder in ähnlicher Weise zer- 
legen kann. Diese niederen Determinanten werden in ihrer Stellung 
zu der gegebenen Determinante als Unterdeterminanten bezeichnet; 
einem jeden Elemente von 7? entspricht eine solche: sie ist der Factor; 
mit welchem dasselbe in der Entwicklung von R multiplicirt erscheint. 
Wir bezeichnen sie mit einem grossen Buchstaben und setzen- diesem die- 
selben Indices bei, welche dem entsprechenden Elemente zukommen. Die 
so resultireuden 9 Unterdeterminanten können wir dann in dem Schema: 

< A'; a;" 
^fn A,;; A,;;' 

*) Die Determinantentheorie ist in neuerer Zeit, auch in elementarer Weise 
80 Vielfach behandelt, dass es wohl überflüssig ist, sie nochmals zu wiederholen '• 
es kann daher für die späteren Abtheilungen dieser Vorlesungen auf die be- 
züglichen Lehrbücher verwiesen werden. Vgl. besonders: 

Hesse: Die Determinanten, elementar behandelt. Leipzig 1871. 

Hattendorf: Einleitung in die Lehre von den Determinanten. Hannover 1872 
und das ausführlichere Werk von Baltzer: Theorie und Anwendung der Deter- 
mmanten, Leipzig 1870. Im Texte sind nur die in der ersten Abtheilung ge- 
brauchten Sätze angegeben. 



Einleitende Betrachtungen. — Pnnktreihen und Stralilbüseliel. 



15 



zusammeD stellen; wo z. B. 

\a.. a.. 



a: = 



a.. 



a. 



A'" = 



,1 , u. s. w. 



Zufolge unserer Definition der Unterdeterminanten können wir R aus 
ihnen erzeugen, indem ivir eine Reihe von Elementen resp. mit den Unier- 
de tenninanten der entsprechenden Reihe mullipliciren und diese Producte 
addiren. Wir erhalten so, wenn wir nach den Horizontalreihen 
ordnen : 

R = «; a; + «/' A," + a;" a;" 
= «// a;, + a;; a;; + «,/" a,;" 

=" ^w ^in "r ^111 -^111 ~r ^111 -^in J 

oder wenn wir nach den Vertiealreihen ordnen: 

R = a', a; + a,; A,; + a„; A„; 
= «/' a;' 4- «,/' A,;' -{- a,,;' a,,'; 
= a'," a;" + a,;"A„" + a,,;" A,,;" . 

Für dreigliedrige Determinanten iLisst sich ein einfaches mechani- 
sches Gesetz angeben, um die Bildung der Unterdeterminanten, und 
somit die Entwicklung der Determinante seihst zu erleichtern; man 
schreibe nämlich die ersten beiden Vertiealreihen noch einmal rechts 
neben die Determinante, also: 



a, a, 


c, 


a, 


a 


\ 


X > 


< 


X 


«,; a, 


r a,;" 


"„ 


a 


^ 


X > 


< 


\ 


('„', (1, 


,." et,,!" 


(t,, 


' (1 



,11 ,11 



und verbinde die Elemente durch schräg durchlaufende Linien, wie es 
hier geschehen ist. Je drei auf einer solchen Linie stehende Glieder 
geben dann, mit einander multiplicirt, ein Glied der Determinante, 
und zwar ist es positiv, wenn die .betreffende Linie von links oben 
nach rechts unten, negativ, wenn sie von rechts oben nach links 
unten läuft. Dies lässt uns sofort die Richtigkeit des Satzes erkennen: 
Wenn zwei Horizontal - oder Vertical- Reihen mit einander vertauscht 
werden, so ändert die Determinante ihr Forzeichen; also ist: 



R' = 






= — R 



Man erkennt nämlich bei Anwendung der eben angegebenen Regel 
zur Entwickelung von R' sofort, dass ein Glied, welches früher auf 
einer von links nach rechts laufenden Linie stand^ nunmehr auf einer 
von rechts nach links laufenden steht und umgekehrt. Eine unmittel- 
bare Folge dieses Satzes ist der andere: 



IG 



Erste Abtlieilun<r. 



Wenn in einer Determinante zwei parallele Reihen Glied fiir Glied 
einander gleich sind, so verschivindet dieselbe; eine Vertauschuii<y der 
beiden Reihen nämlich würde eine Vorzeichenänderung erfordern, 
ohne dass die Determinante selbst doch verändert wird. Hieraus folo-t 
unmittelbar: Multiplicirt man die Unter determinanten einer Reilic respeclive 
mit den Elementen einer zu der entsprechenden Elementenreilie pqrallelen 
Reihe, so ist die Summe der Productc stets Null. Also z. B.: 

= a;A,; + a," A,;' + a;"A,;", oder: 

Und als eine Folge dieses Satzes erscheint der folgende^ welcher zur 
Berechnung einer Determinante oft von Wichtigkeit wird: Der Werth 
einer Determinante wird nicht geändert, wenn man die Elemente einer 
Reihe um ein Vielfaches der Elemente einer parallelen Reihe vermehrt 
oder vermindert , d. h. es ist z. B, 

a', + ma'/' a'/ a,' 
= a,; 4- ma,;" a,',' a,; 
\a„; 4- m a,,;" a,,," a„ 
Denn entwickelt man nach den Gliedern der ersten Verticalreihe 
und ihren Unterdeterminanten, so liefern die mit 7n nmltiplicirten 
Glieder einen verschwindenden Beitrag. 

Eine der wichtigsten Anwendungen für die Deterrainantentheorie 
bietet die Auflösung eines Systems von linearen Gleichungen, welche durch 
sie in einfacher Weise ermöglicht wird. Wir beschränken uns auch 
hier auf die Behandlung von drei linearen Gleichungen mit drei Un- 
bekannten: x^, X.,, x^. Diese Gleichungen seien in der Form o-e- 
gebeu : 

a; x^ + a^; X, + a,,; x.^ = tj' 
a," X, + a,;' X, + a,,;' x, = g" 



und wir setzen: 



«/"a-, + a,;"x., + a,,;'\r. 



y 



R = 



a. 



a. 



a. 



a. 



Die Lösung obiger Gleichungen erhalten wir dann unmittelbar 
in folgender Weise: wir multipliciren dieselben bezüglich mit den 
Unterdeterminanten A',, A',' , A,"' und addiren ; alsdann fallen nach 
einem früheren Satze alle anderen Glieder fort, und es bleibt nur: 

Rx,=^a;ij' -\- A;'y"J^ A;"y'\ 
Ebenso erhält man durch Multiplication mit A,;, A,", A,"' und 
^///j ^///"; A,,,'" respective: 



Einleitende Betrachtungen. — Punktreihen und Strahlbüschel. ]'J 

Rx^== A,: y -^r A,;' y" J^ A,:" y" 

^^3 = ^.nV + An','y" + A„;"y"\ 

und damit ist unsere Aufgabe gelöst. Die Bildung der rechts stehen- 
den Ausdrücke geschieht demnach dadurch, dass man in R die Ele- 
mente der ersten, zweiten, dritten Verticalreihe durch y , y" y" 
ersetzt. 

Ist insbesondere y' = und y" = gegeben, so haben wir: 

X — ^- A '" 

r =^— A '" 
und daraus ergibt sich: 



tn 1 



eine Gleichung, welche unabhängig von dem Werthe von ij" besteht. 
Sind uns demnach nur zwei homogene lineare Gleichungen mit drei 
Unbekannten gegeben: 

«; x^ + a,; x^ -f a„; x^ = 

" I " I '" o 

U> M VU< ■' j" " ^ff vCty ' \" ^ftf *vq • — '" \J • 

so können wir diese selbst zwar nicht daraus bestimmen, wohl aber 
ihre Verhältnisse; dieselben sind nach wie vor gleich den belr. Unter- 
determinanten, wie man auch finden würde, wenn man die gegebenen 

Gleichungen als zwei nicht homogene mit den Unbekannten — , — 

ansehen wollte. Die Unterdeterminanten mit 3 oberen Indices hängen 
ja auch nur von den in den beiden ersten Gleichungen vorkommenden 
Constanten ab. 

Verschwindet endlich auch y", so haben wir nach der Division 
mit x-^ drei- Gleichungen mit zwei Unbekannten, die im Allgemeinen 
nicht gleichzeitig zu befriedigen sein werden; sondern es muss, damit 
sie zusammen bestehen können, den Coefficienten eine Bedingung auf- 
erlegt werden: es muss eine gewisse Function derselben, ihre Resultante, 
verschwinden, eine Gleichung, welche man aus den 3 Gleichungen 
durch Elimination der Unbekannten erhält. Ist nämlich gegeben: 

«/ x^ + a,; x^ + a„; 0:3 = 
«/' x^ -f a," x.^ + a,,'; a^3 = 

SO finden wir durch unsere allgemeine Lösung für Kneare Gleichungen : 
, i?.T, =0, ßiC2 = 0, Rx^ = ^ . 

Clebsch, Vorlesungen. 2 



18 Erste Abtheilung. 

Es muss also entweder 

tV4 — ' •" «^9 JLft - • - \J 

sein, eine Lösung, durch die alle homogenen Gleichungen unserer Art 
selbstverständlich erfüllt sind, oder es muss die Gleichung 

E = 
bestehen; und diese ist das Resultat der Elimination der Unbekannten 
aus den gegebenen Gleichungen. Ganz Analoges gilt für n Variable 
und n-gliedrige Determinanten; wir haben: 

Wenn n homogene lineare Gleichungen zusammen bestehen sollen, so 
muss die Determinante ihrer Coe/ftcienten verschwindeil. 

Aus der allgemeinen Lösung, welche wir für die 3 nicht homo- 
genen Gleichungen fanden, indem wir die x durch die y ausdrückten, 
müssen wir natürlich rückwärts die y wieder aus den x berechnen 
können, und zwar durch ein ganz analoges Verfahren. Statt der 
Determinante B werden wir dabei die aus den Unterdeterminanten J 
zu bildende Determinante nöthig haben , nämlich : 

Af A, Af 

// ' /l " A "'\ 
^in "tu ^ttt 1 

die Determinante des adjungirten Systems'^ denn mit diesem Ausdrucke 
bezeichnet man das System der Unterdeterminanten A gegenüber dem 
der ursprünglichen Elemente a. Bezeichnen wir ferner die Unter- 
determinanten von S durch obere und untere Indices, setzen also z. ß. 

' ^^A " A 
so erhalten wir als Auflösung die Gleichungen: 

Sy = R {s; x^ -f- s,; x^ + s„; x.;) 

Sy" = R {S'; X, + S,:' x, -f SJ X,) 
Sy- = R {Srx, + S,rx, + S,rx,) . 

Da diese wieder mit den ursprünglich gegebenen identisch sein müssen, 

so folgt: 

a, — s ' '> ^" "^ 's " ' "'" ^^ S '" ' ^* ^' 
Nun ist aber nach dem sogleich zu erwähnenden Multiplicationssatze 
der Determinanten: 

S = R-^, 
und somit erhalten wir die Relationen: 

s; = Ra; , s,; = Ra,; , SJ = Ra„: 
s;' = Ra," , s,;' = Ra,;' , s,,;' = /?«,,/' 

sr = Rar, s,r = Ra,r , s„r = Ra,- . 



Einleitende Betrachtungen. — Punktreihen und Strahlbüschel. 



19 



Das soeben benutzte MultipUcationstheorem besteht aber in Folgendem: 
Sind zwei Determinanten mit den Elementen a und h gegeben, so ist 
ihr Product: 



«; 


«,/ 


«/,/ 




^' 


K 


k: 


< 


«//' 


('„," 




K 


K" 


K," 


a,'" 


<" 


ftf 




K' 


h,r 


K'" 



selbst* eine Determinante, nämlich: 

«/ v+«;' K'+<' K', < ^.;+< K"+<" K'", < k:+< k:'+<" k:' 
< K+ <' K-\-<" w", <K'+< b,r + a,r b,;% a,: h„; + «,; &,,/'+«,/" h„: 
^^;^' + «./'*/' + a„:"K\ «.;^;+ «./'^z' + «./"*,/", «./^,/+ <,'h„: + a„:"h„; 

wobei die Elemente der resultirenden Determinante gebildet werden 
aus den Suramen der Produete der Elemente irgend einer Reihe der 
einen Determinante in die entsprechenden Elemente irgend einer Reihe 
der andern. Ber Beweis dafür ergibt sich durch Zerlegung der 
grossen Determinante in eine Summe von lauter einzelnen, einfacher 
gebildeten, und zwar in folgender Weise. Entwickeln wir zunächst 
nach den Elementen einer Verticalreihe, so erhalten wir ersichtlich, 
da jedes der drei Elemente aus einer Summe von drei Grössen besteht, 
eine Summe von 9 Gliedern, die wir auch als Summe von drei Deter- 
minanten schreiben können, der Art, dass in ihnen jedesmal die erste 
Vertic^^lreihe aus drei in der ersten Verticalreihe der grossen Deter- 
minante unter einander stehenden Elementen besteht, während die 
beiden andern Verticalreihen ungeändert bleiben. Lösen wir weiter 
auch diese nach einander in Summen neuer Determinanten auf, so 
erhalten wir schliesslich ein Aggregat von 27 einzelnen dreigliedrigen 
Determinanten: Wir können uns dieselben entstanden denken, indem 
wir jede der 9 Verticalreihen der grossen Determinante mit je zwei 
anderen dieser Reihen, welche überhaupt mit ihr multiplicirt vor- 
kommen können, zu einer Determinante vereinigen. Man überzeugt 
sich nun leicht, dass all« diese Partialdeterminanten bis auf sechs 
verschwinden, indem in den übrigen je zwei identische Elementen- 
reihen vorkommen. Diese sechs Determinanten entstehen, inden man 
aus den drei Verticalreihen der grossen Determinante je eine erste, 
eine zweite und eine dritte (nur noch einfache Produete ah enthaltende) 
Verticalreihe zu einer Determinante vereinigt. Eine solche ist z. B. : 



a; hl a'; h,;' a," h,,;' 

a,; h', a,;' h,;' a,;" h„; 



= b>'b,;'h„; 



a,;' a, 
a,„ a,„" a, 



a,; 



Ebenso wie in diesem Gliede erkennt man in den übrigen fünf sofort 
die eine ursprünglich gegebene Determinante der a als Factor; dass 



20 



Erste Abtheiluner. 



das Aggregat der anderen Factoren dann nichts anderes, als die Deter- 
minante der b in entwickelter Gestalt ist, sieht man am einfachsten, 
wenn man insbesondere setzt: 

a; = 1 «/' = «;" = 

a,; =0 <' =1 a,;" =0 

a„; = a,,;' = a,,;" = 1 . 
Dadurch wird die Determinante der a gleich der Einheit und obige 
grosse Determinante geht direct in die der b über, womit unser Mul- 
tiplicationssatz bewiesen ist. — 

Setzen wir nun, um das Theorem zum Beweise der obigen Be- 
hauptung zu verwerthen, für die Elemente b die Unterdeterminanten A 
von R, so erhalten wir: 

\B Ol 

B. S=^ R O] = ß3; 

r\ 
denn alle anderen Glieder der resultirenden Determinante verschwinden 
nach einem früheren Satze, und somit folgt in der That: 

S=RK 



II. Die Curve erster Ordnung: die gerade Linie. 

Wir kehren nunmehr zu dem Ausdrucke zurück, welchen wir für 
den Flächeninhalt eines durch 3 Ecken gegebenen Dreiecks gefunden 
hatten, und erkennen, dass er sich in der That in Form einer Deter- 
minante schreiben lässt. Es ist nämlich: 

Xn Vn 1 



1 



X, 



Vi 



■^viVt ^1^0 "^iVv • 



Die Bedingung nun, dass der Inhalt des Dreiecks verschwinde, 
ist offenbar identisch mit der anderen, dass die drei gegebenen Punkte 
in einer geraden Linie liegen. Lassen wir daher den Punkt x^, y^ 
unbestimmt, so wird uns das Verschwindeil der Determinante die Glei- 
chung der durch die Punkte 1 und 2 bestimmten Geraden geben, nämlich : 

X y \ 
(1) 



y 

Vi 



= 



sie ist wieder vom ersten Grade, wie die oben in anderer Weise ge- 
wonnene Form. Dass die Linie durch die gegebenen Punkte geht, 
erhellt sofort aus einem der obigen Determinantensätze, wenn man 
die Coordinaten derselben für x und y einsetzt. 







Einleitende Betrachtungen. — Punktreihen und Strahlbüschel. 21 

Statt durch zwei beliebige Punkte können wir die Gerade auch 
durch die Strecken a, h bestimmen, welche sie auf den Coordinaten- 
axen vom Anfangspunkte aus abschneidet; wir haben zu dem Zwecke 
die Coordinaten ihrer Schnittpunkte mit diesen Axen a, und 0, b 
in (1) einzusetzen ; wodurch wir erhalten: 



== ab — bx — ay , 



1=0, 

eine Gleichung, welche für die Theorie der Geraden und insbesondere 
für unsere späteren allgemeineren Erörterungen von hoher Bedeutung 
ist. Indem wir nämlich die Gleichung einer jeden Geraden auf diese 
Form bringen können, sind uns bei jeder auch sofort ihre Abschnitte 
auf den Axen gegeben. Die Gleichung (1) z. B. in dieser Weise um- 
geformt, ergibt: 

-\ 1 1=0. 





X y l 




0= a 1 




b 1 


oder: 




(2) 


- + 

a ' 



Vi — Vi ' ^2 — ^1 

Eine durch die Punkte 1 und 2 gegebene Gerade schneidet also auf 
den Coordinatenaxen Stücke ab, bestimmt durch: 

i/i — yt' Xf — xi ' 

Besonders ausgezeichnet sind durch diese Darstellung die Fälle, 
wo die Linie durch den Anfangspunkt geht oder parallel zu einer der 
Coordinatenaxen verläuft. Im letzteren Falle haben wir a, respective 
b unendlich gross anzunehmen, je nachdem die Gerade der X- oder 
der V-Axe parallel ist, und erhalten dann für sie, wie schon oben 
bemerkt, bezüglich die Gleichungen: 

y = b, 

X = a. 
Geht endlich die Gerade durch den Anfangspunkt, so können wir sie 
nur durch ihre Richtung, d. h. durch eine ihr parallele Linie be- 
stimmen. Eine solche, zu einer Geraden, welche in der Form (2) 
gegeben ist, gezogen, schneidet auf den Axen wegen der Aehnlichkeit 
der auftretenden Dreiecke Stücke von. der Grösse ma, mb ab, und 
wir erhalten also alle Parallellinien zu (2), wenn wir in der Gleichung 



22 Erste Abtheilung. 

die Grösse m als Parameter auffassen, d. h. ihr successive alle mög- 
lichen Werthe beilegen: eine Darstellung eines Systems von Geraden, 
wie wir sie in der Folge öfter anwenden werden. Ist m = 0, so er- 
halten wir hieraus die durch den Anfangspunkt gehende Gerade, 
welche nunmehr durch die Richtung des Parallelensystems völlig 
bestimmt ist. 

Zur Feststellung dieser Richtung können wir uns natürlich auch, 
wie früher schon einmal, statt der Abschnitte a, h des von der Linie 
mit der J'-Axe gebildeten Winkels bedienen, den wir mit a bezeichnen 
wollen. Es kommt dies darauf hieraus, dass wir die Coordinaten eines 
zweiten, der Geraden angehörigen Punktes angeben, nämlich des 
unendlich fernen Punktes , in welchem sich alle Parallellinien der 
betr. Richtung schneiden. Diese Coordinaten sind aber r cos a und 
r sin a für r = oo, wenn r den Abstand des Punktes vom Anfangs- 
punkte bedeutet; also nur ihr Verhältniss hat einen endlichen Werth. 
Setzen wir diese Werthe in die Gleichung (1) für x^, y^ ein, dividiren 
durch r und nehmen dann r unendlich gross, so erhalten wir: 

X y 1 

(3) a^i ?/i 1 =0, 

cos « sin a. 

oder entwickelt: 

(4) {x — x^ sin a — (j/ — ?/ J cos a = : 

unsere erste Form für die Gleichung einer Geraden, die wir in die 
beiden anderen: 

,_. X = X, -4- r cos a 

(5) ' 

y = i/i -\- r sm a 

zerlegt hatten, wo r ein Parameter ist (p. 5). 

Die Gleichungen (1) bis (5) geben uns die verschiedenen Formen, 
in denen die Gleichung einer Geraden je nach der Wahl ihrer Be- 
stimmungsstücke aufzutreten pflegt. Ihnen allen gemeinsam ist die 
Dimension, in welcher die Variabein vorkommen; alle sind von der 
ersten Ordnung, und es drängt sich daher die Frage auf, ob auch 
jede Gleichung erster Ordnung uns eine Gerade darstellt. Wir werden 
sehen, dass dies in der That der Fall ist. Hat man nämlich die all- 
gemeinste Form einer linearen Gleichung: 

(6) Ax-\- By -{-C = 0, 

so kann man dieselbe auch in folgender Weise schreiben: 

y 



+ -S-i = o, 



A B 



Einleitende Betrachtungen. — Punktreihen und Strahlbüschel. 23 

und dies ist nach (2) die Gleichung einer Geraden, welche auf den 

c c 

Coordinatenaxen bezüglich die Stücke ^ und — ^r abschneidet: also: 

° A B ^ 

Jede Gleichung ersten Grades zwischen x und y stellt eine gerade 
Linie dar. 

Soll die durch unsere allgemeine Form (6) dargestellte Gerade 
insbesondere durch den Anfangspunkt gehen, so haben wir 

C = 

zu setzen; soll sie zur X- oder F- Achse parallel sein, so müssen wir 
A^ respective B verschwinden lassen. — 

Während wir bisher zwei Punkte zur Bestimmung einer Geraden 
benutzten, sei es, dass dieselben beliebig waren, oder besondere Lagen 
hatten (z. B. auf den Axen, oder im Unendlichen), können wir eine 
gerade Linie auch durch zwei andere Stücke charakterisiren. Auf eine 
besonders wichtige Gleichungsform werden wir noch geführt, wenn 
wir dazu den Jbsta?id p der Geraden vom Anfangspunkte und die Rich- 
tung ihrer Normalen^ d. h. deren Winkel a gegen die ^-Axe wählen. 
Die Abschnitte auf den Axen sind dann, wie man leicht aus einer 
Figur ersieht: 



und somit ist nach (2) die Gleichung der Geraden: 

(7) X cos a -\- y ^\n a — j9 = 0, 

die sogenannte Hess e'^cÄe iVorm«//brOT*), deren weitere Bedeutung wir 
sogleich an einem Beispiele erkennen werden. 

Die Vergleichung dieser Form mit der allgemeinen Form (6) 
legt die Frage nach Zurückführung der einen auf die andere nahe. 
Die Gleichung (7) ist aber besonders dadurch charakterisirt, dass die 
Quadratsumme der beiden ersten Coefficienten gleich der Einheit ist; 
wir werden daher (6) mit einem solchen Factoi: multipliciren , dass 

dies auch hier der Fall ist, d. h. mit .,■ ^ = , wo das Vorzeichen 

der Wurzel so zu wählen ist, dass das letzte Glied (wie in (7)) 
negativ wird. Hieraus ergeben sich für die verlangte Umformung die 
Gleichungen : 

(8) cos a = — ,, — , sm a = — -—rzr:,^-^^ , 

(9) p=---;^^=. 



*) Vgl. hier, wie für diesen ganzen Abschnitt; Hesse, Vorlesungen aus der 
analytischen Geometrie der geraden Linie, des Punktes und des Kreises in der 
Ebene. Leipzig 1865. 



24 Erste Abtheilung. 

Je nach der Natur eines gestellten Problems werden wir nun 
eme der jetzt entwickelten Gleichungsformen der geraden Linie be- 
nutzen, um die Lösung möglichst einfach zu erhalten; ^im^^ Aufgalen 
werden uns dies erkennen lassen: 

1. Es soll der Abstand eines Punktes (x„ y^) von einer Geraden 
gefunden tcerden; die letztere sei in der Normalform (7) cregeben Ist 
dann P die gesuchte Entfernung, so ist ist die Gleichung'' einer durch 
den gegebenen Punkt gehenden Parallelen zu der Geraden: 

X coB a -\- y sin a — p — P=Q 
wenn wir voraussetzen, dass der Punkt auf der dem Anfangspunkte 
abgewandten Seite der Linie liegt. Da die Gerade aber durch ihn 
gehen soll, so folgt: 

a:o cos « -f ?/^ sin « — p — /> = , 
also : 

/• = 0^0 cos « -f- y^ sin a — p. 
Das Resultat können wir folgendermassen aussprechen- 

^^enn man in die Normalform der Gleichung einer Geraden die 
Coo'^dinaten eines beliebigen Punktes einsetzt, so gibt die linke Seite den 
Abstand des Punktes von der Geraden an, und zwar unmittelbar, wenn 
der Punkt auf der dem Anfangspunkte abgewandten Seite der Geraden 
liegt; sonst ist das Vorzeichen zu ändern.. Letzteres wird nur unbe 
stimmt, wenn die Linie durch den Anfangspunkt geht, (d h p = Q^ 
weil dann die Richtung der Normale zweideutig wird. 

Ist die Gleichung der Geraden in der allgemeinen Form gegeben 
so hat man, um den Abstand zu finden, wieder durch die Wurzel aus 
der Quadratsumme der ersten Coefficienten zu dividiren und die Coor- 
dmaten des Punktes einzusetzen; man erhält also: 

2. Es sollen die Coordinaten des Schnittpunktes zweier Geraden 
bestimmt tcerden. Die Gleichungen derselben seien: 
Ax -\- By -^ C={) 
A'x + B'y + <7'= , 
aus ihnen haben wir x und y zu berechnen. Um dem Resultate eine 
symmetrische lorm zu geben, werden wir die Gleichungen homogen 
schreiben; wir fügen daher dem dritten Coefficienten noch einen 
l-actor, den wir gleich der Einheit setzen, hinzu: 
Ax'-^ By J^ C '1 = 
A'x-\- B'y ^C' '1=0, 

und berechnen nunuiehr hieraus die Verhältnisse von x, y, 1 Es 
wird dann: > y > ^' ^^ 



Einleitende Betrachtungen. — Punktreihen und Strahlbüschel. 25 

x:t/ :l = BC' — CB' : CA' — AC : AB' — BA', 

also: 

^^ BC — CB' CA' — AC 

^~AB'-^BA'^ y ~ AR'— BA'' 

Verschwindet der Nenner, so können nicht beide Zähler verschwinden, 
denn sonst wären die gegebenen Gleichungen identisch; daher liegt 
dann der Schnittpunkt im Unendlichen: die Linien sind parallel. Bie 
Bedingung des Parallelismus ist also: 

AB' — BA' = 0. 

3. Es soll die Gleichung einer durch zivei gegebene Punkte gehenden 
Geraden gefunden iverden. Wir können dieselbe nach der ersten Form 
(1) unserer Gleichungen sofort hinschreiben; sie mag aber noch einmal 
in anderer Weise abgeleitet werden, um ein Beispiel zu geben, wie 
das Homogenmacheu der Gleichungen durch Hinzufügen eines gleich 
der Einheit gesetzten Factors den Eliminationsprocess erleichtert. Die 
Gleichung der Geraden ist die Bedingung, dass ein beweglicher Punkt 
(x, y) mit den beiden festen {x^, y^ und {x^, y^) auf derselben 
Geraden liege. Es müssen also zugleich die Gleichungen bestehen: 

Ax -{- By + C- 1 = 

Ax^ + By^-\- C '1 = 

Ax, + By,-i-C- 1 = 0, 
daher erhalten wir durch Elimination von A, B, C wieder: 

jx y 1| 
U)c^ y^ 1| = . 

Wir können diese Gleichung nun umgekehrt benutzen, um den 
Inhalt des von drei Punkten gebildeten Dreiecks zu linden, wovon 
wir ursprünglich ausgingen: wir fällen von dem einem Eckpunkte 
i^oy !/o) ^uf die Verbindungslinie der beiden andern, deren Länge r 
sei, ein Loth h, so ist der gesuchte Inhalt: 

^ = ^rh, 



wo r = l/{Xi— x^y + {y, — y^f . 

Das Loth h aber bestimmt sich nach Früherem, indem wir unsere 
Gleichung der Geraden auf die Normalform bringen und die Coor- 
dinaten x^, y^ einsetzen; es ist also: 



l'^'ü 


yo 


1 


^1 


y\ 


1 


X, 


Vi 


] 



]/{x, — 0:2)2 + (yi - 2/2)2 ' 



26 



Erste Abtheilung. 



und daher^ wie oben: 

4. ^5 50// <?er von zwei geraden Linien eingeschlossene Winkel v 
bestimmt werden. Sind beide Gerade in der Normalform gegeben: 

X cos ß -\- y sm ß — p =0 
X cos ß' -\- y Bva. ß' — ^ := 

so sind ß, ß' die Winkel ihrer Normalen mit der Z-Axe; diese 
schliessen aber denselben Winkel ein, wie die gegebenen Linien, und 
es ist daher: 

v==ß'-^. 

Wie sich dieser Winkel aus den Coefficienten der allgemeinen Form 
berechnet, folgt unmittelbar aus den Gleichungen (8) ; es wird nämlich : 

AB' — BÄ 



sin V = sin (ß' — ß) 



cos V 



cos iß' -ß) = -~^ 



y A^ -\- B^ .y Ä^ -{- B'^ 

AÄ-\-BB' 



yA^ + ip~. y^i^B"^ * 

Für den Parallelismus beider Linien (sin'y = 0) folgt also wieder 

AB' ~ BA' = , 
während sie zu einander senkrecht sind (cos y = 0), wenn: 

AA'-\-BB' = 0. 

5. Diese Bemerkungen erlauben uns, die Gleichung einer Geraden 
anzugehen, welche durch einen Punkt (x^, y^) parallel oder senkrecht zu 
einer gegebenen gezogen iverden kann. Diese - letztere sei: 

Ax-\- By -[- C = , 

dann müssen im ersten Falle die Gleichungen zusammen bestehen: 

A'x -\- B'y + C" = 

A'x,-\-B'y,^C' = ^ 

A' B —B'Ä =0, 

also durch Elimination von A' , B\ C wird die Gleichung der ge- 
suchten Parallelen: 



oder: 



X 


V 


1 


a^Q 


2/0 


1 


B 


— A 






= 0, 

A {x -x,) + B{y- y,) = 



Einleitende Betrachtungen. — Punktreihen und Strahlbüschel. 27 

Um die Normale zu linden, haben wir in der dritten Bedingungs- 
gleichung nur B mit A und A mit — B zw. vertauschen, wodurch 
wir erhalten: 

B {x — a'o) — A {y — y^) = 0. 

III. Liniencoordinaten. Punktreihen und Strahlbiiscliel. 

Bei unsern bisherigen Betrachtungen war ein Punkt stets durch 
zwei von einander unabhängige Stücke (seine Coordinaten) bestimmt; 
ebenso aber auch die Gerade, sei es, dass wir sie durch ihre Abschnitte 
auf den Coordinatenaxen oder durch ihre Entfernung vom Anfangs- 
punkte und die Richtung ihrer Normalen gegeben annahmen. 

Ist für den Punkt nur eine Bedingung gegeben, so kann derselbe 
noch unendlich viele Lagen annehmen : er beschreibt bei seiner Bewe- 
gung eine Curve, und auf diesen Ortsbegriff gründeten sich unsere 
obigen Untersuchungen. Ebenso bei der Geraden: wenn zwischen 
ihren Bestimmungsstücken eine Gleichung gegeben ist, so gibt es 
noch unendlich viele Geraden, die derselben genügen; als geometri- 
schen Ort derselben fassen wir die Curve auf, welche von der Geraden 
in allen ihren Lagen berührt wird. Wir können somit jede Curve in 
verschiedener Weise entstanden denken, einerseits als beschrieben durch 
unendlich viele Lagen eines Punktes, anderseits als umhüllt (vgl. z. B. 
unten Fig. 13, j) durch unendlich viele Lagen einer Geraden. Je 
zwei unendlich benachbarte Geraden dieses Systems (Tangenten der 
Curve) schneiden sich dann auf der Curve, so dass bei letzterer An- 
schauung die Curve als Punktgebilde entsteht durch die Aufeinander- 
folge der Schnittpunkte benachbarter Tangenten. Umgekehrt ist die 
Tangente einer Curve in Punktcoordinaten definirt als die Verbin- 
dungslinie zweier benachbarter Punkte der Curve. Um dieser dop- 
pelten Erzeugungsweise ebener geometrischer Gebilde auch einen 
analytischen Ausdruck zu geben, um eine Curve als Enveloppe ihrer 
Tangenten durch eine Gleichung darzustellen, müssen wir die beiden 
Bestimmungsstücke einer Geraden ebenso als veränderlich betrachten, 
wie bisher die Coordinaten eines Punktes; wir sprechen daher eben- 
sowohl von den Coordinaten einer geraden Linie, als von denen eines 
Punktes: eine Gleichung zwischen den letzteren stellt eine Curve als 
Ort ihrer Punkte, eine solche zwischen den ersteren als Enveloppe 
ihrer Tangenten dar. Welche Bestimmungsstücke der Geraden man 
dabei benutzen will, ist zunächst gleichgültig, aber unsere weiteren 
Betrachtungen werden die folgende Wahl als die zweckmässigste er- 
scheinen lassen: 

Wir verstehen unter den Coordinaten u, v einer Geraden die nega- 



28 Erste Abtheilung. 

tiven reciproken Werthe ihrer Abschnitte auf den Coordinatenaxen; es 
ist also nach unserer obigen Bezeichnung : . 

1 1 

a ' h 

Die Einführung gerade dieser Bestimmungsstücke der Geraden 
hängt mit einem der wichtigsten Principien der analytischen Geome- 
trie zusammen, dem Principe der Dualität*), zu welchem jene doppelte 
Auffassung der Curven hinführt. Zuvörderst: es gibt doppelt unend- 
lich viele**) Punkte und doppelt unendlich viele Gerade in der Ebene; 
sieht man dann einmal die Punkte, einmal die Geraden derselben als 
die Grundelemente an, aus denen man die zu betrachtenden Gebilde 
erzeugt, so zeigt sich auch im Einzelnen eine gewisse Gleichartigkeit 
beider Anschauungen. Zwischen beiden Entwicklungen der Geometrie, 
der nach der Geraden und der nach dem Punkte, besteht aber neben 
der Analogie auch bis ins Einzelne eine vollständige Wechselbe- 
ziehung. Dieselbe findet ihren Ausdruck in Folgendem: gehen wir voju 
Punkte aus, so entsteht die Gerade durch Verbindung zweier Punkte; 
gehen wir von der Geraden aus, so entsteht der Punkt durch den 
Schnitt zweier Geraden. Der einfachste geometrische Ort für den 
Punkt ist die Gerade, beschrieben von dem sie durchlaufenden Punkte, 
für die Gerade der Punkt, den sie bei einer Drehung um ihn umhüllt. ' 
Durch Bewegung eines Punktes jedoch können wir keinen Punkt, 
durch Bewegung einer Geraden keine Gerade erzeugen. Alle diese 
Relationen fassen wir in dem Principe der Dualität zusammen; dasselbe 
sagt uns, dass gewisse Sätze, welche für Punktgebilde gelten, sich auf 
Liniengcbilde übertragen lassen; diese Uebertragung gibt die Verbindung 
zweier Punkte und den Schnitt zweier Geraden, sowie für alle Construc- 
tionen, die sich aus solchen Operationen zusammensetzen lassen, sie gilt 
nicht mehr, wenn andere Hülfsmittel verwandt werden, also z. B. 
nicht, sobald eine Massbestimmung in die Aufgabe eintritt. Aber 
deshalb ist das Princip keineswegs als ein beschränktes aufzufassen; 

*) Auf dieses Princip wurden zuerst Poncelet (Traite des propriätes projeetives 
des figures; 1822) und Gergonne (Sur la theorie des surfaces reciproques; Annales 
de mathematiques, VIII, 1817 — 18, Crelle's Journal Bd. IV.), ausgehend von der 
unten zu besprechenden Polarentheorie bei Kegelschnitten , geführt. Unabhängig 
von der Kegelschnitttheorie wurde dasselbe aufgestellt von Gergonne und Möbius 
(Barycentrischer Calcul, 1827); die Coordinaten der Geraden benutzte zuerst 
Plücker (Crelle's Jojimal Bd. 5, 1829 und Analytisch - geometrische Entwicklungen 
2. Bd., 1831). In iVankreich wurde dasselbe beinahe gleichzeitig von Chasles 
entwickelt: Aper9u historique sur l'origine et le developpement des methodes en 
geometrie, 1837. 

**) Mit einer solchen Ausdrucksweise ist gemeint, dass der Punkt und die 
Gerade von je zwei Bestimmungsstücken abhängen, deren jedes unabhängig vom 
andern alle möglichen Werthe. durchlaufen kann. 



Einleitende Betrachtungen. — Punktreihen und Strahlbüschel. 29 

wir werden vielmehr Mittel kennen lernen, auch solche metrische 
Relationen auf jene einfachsten zurückzuführen. — 

Führen wir nunmehr die Coordinaten der Geraden in ihre Glei- 
chung ein, so wird dieselbe: 
(1) ux -{- vy -\- 1 = 0. 

Die Bedeutung dieser Gleichung können wir jetzt besser so aus- 
drücken, dass sie die vereinigte Lage des Punktes x, y mit der Geraden 
Uj V anzeigt, d. h. die Lage, bei welcher der Punkt auf der Geraden 
liegt, die Gerade durch den Punkt geht, wobei wir dann nach Be- 
lieben die Coordinaten des Punktes oder die der Geraden als ver- 
änderlich denken. Im ersteren Falle haben wir in (1) die • Gleichung 
einer Geraden, im andern die Gleichung eines Punktes vor uns, d. h. 
die Bedingung, welcher die Coordinaten einer Geraden genügen 
müssen, damit dieselbe durch einen gegebenen Punkt {x, y) geht. Die 
Gleichung ändert ihre Form nicht, wenn man u, v mit x, y vertauscht; 
durch passende Wahl der Coordinaten einer Geraden hat man also 
erreicht, dass in der Gleichung, welche die vereinigte Lage des Grund- 
elementes der einen und des Grundelementes der andern Anschauung 
angibt, diese Grundelemente symmetrisch auftreten.*) Der Punkt nimmt 
somit in der Geometrie der Geraden dieselbe Stelle ein, wie die Ge- 
rade in der Geometrie des Punktes: 

Eine lineare Gleichung in \ Eine lineare Gleichung in 

Punktcoordinaten x, y stellt eine \ Liniencoordinaten u , v stellt einen 
gerade Linie dar, Punkt dar. 

In der Gleichung (1) waren jedesmal die constanten Coefficienten 
zugleich die Coordinaten des durch sie dargestellten Gebildes; legen 
wir dagegen eine allgemeine lineare Gleichung zu Grunde: 

Gleichung des Punktes 

Au-\- Bv + C==0 , 

Coordinaten des Punktes: 

_A _B 

X — ^ , y — Q ) 

eine Reciprocität, welche nicht stattfinden würde, wenn wir direct die 
Abschnitte auf den Axen als Coordinaten der Geraden genommen 
hätten. 

Versuchen wir nunmehr die in der Theorie der geraden Linie 





Gleichung der 


Geraden 




Ax-{-By-{- 


6^ = 0, 


so 


sind die 






Coordinaten der 


Geraden : 


(^) 


A 

U = -^, V 


B 



*) Dadurch ist es noch nicht begründet, dass wir die negativen reciproken Ab- 
schnitte als Coordinaten wählten; dies wird erst im folgenden Abschnitte seine 
Erklärung finden. 



30 



Erste Abtheilung. 



gefundenen Sätze dualistisch auf die des Punktes zu übertragen, so 
gelingt dies nur mit einer der dort gelösten Aufgaben. 
Es seien nämlich gegeben: 



zwei Punkte 

dann ist die Gleichung 

ih?'er Verbindungslinie : 
X y l 
(3) ^0 «/o 1=0 

2/1 1 



zwei Gerade 

ihres Schnittpunktes: 
u V \ 
Wo y,) 1=0. 

U, V, 1 



Das analytische Resultat und die dazu führenden Operationen 
sind also in beiden Fällen dieselben, nur die Bedeutung der Variabein 
ist eine* andere. Die übrigen Formen der Gleichung der Geraden 
können wir hier nicht unmittelbar umformen, da dieselben von 
Winkel- und Streckengrössen abhängen. Wir wollen indess die sich 
daran schliessenden Aufgaben mit Hülfe der Gleichungen (2) in ihrer 
Abhängigkeit von den Coordinaten der betreffenden Linien darstellen, 
um so Beispiele für den Gebrauch von Liniencoordinaten zu haben. 
Es wird nämlich der Abstand eines Punktes von einer Geraden: 



(4) 



ux -\- vy -\- 1 



der von zwei Geraden eingeschlossene Winkel: 



arc cos 



K«o'' + V K«,« -f V ' 



die Bedingung des Parallelismus: 

«1 Vfl — y, Wo = 
und die Bedingung des Senkrechtstehens: 

WoWi + Vo«'i = 0. 

Der Ausdruck für r gibt uns ein einfaches Beispiel zur Darstel- 
lung einer Curve als Enveloppe ihrer Tangenten, wenn wir u und v 
als variabel betrachten, a;, y und r dagegen als constant; dann stellt 
nämlich (4) die Bedingung dar, dass eine Linie (m, v) von einem 
festen Punkte (x, y) die constante Entfernung r habe. Die Gesammt- 
heit dieser Geraden umhüllt aber bekanntlich einen Kreis mit dem 
Radius rund dem Mittelpunkte (x, y); legen wir letzterem, wie schon 
früher, die Coordinaten a, b bei, so wird also die Gleichung des Kreises 
in Liniencoordinaten, d. h. die Bedingung, welcher alle seine Tangenten 
genügen müssen: 



Einleitende Betrachtungen. — Punktreihen und Strahlbüschel. 31 

während die Gleichung desselben Kreises in Punktcoordinaten ist: 
(^ _ af +{t/- by = r\ 

Beide sind vom zweiten Grade, die letztere trägt aber einen wesent- 
lich anderen Charakter, als die Gleichung in Liniencoordinaten, was 
wieder in den metrischen Eigenschaften des Kreises seinen Grund hat. 
In ähnlicher Weise gibt es für jede Curve zwei Darstellungsweisen: 
ihre Gleichung in Punktcoordinaten: 

f{x,y)=0, 
und ihre Gleichung in Liniencoordinaten : 

(p (uy v) =0; 

und zwar sind beide Gleichungen im Allgemeinen verschieden, sowohl, 
wie beim Kreise, hinsichtlich ihrer Form, als auch hinsichtlich des 
Grades in Bezug auf die Variabein. Daraus ergibt sich eine zwie- 
fache Eintheilung der algebraischen Curven, einmal nach dem Grade 
ihrer Gleichung in Punktcoordinaten, das andere Mal nach dem ihrer 
Gleichung in Liniencoordinaten, und zwar 



nennt man die höchste Bimension, 
in ivelcher die Fariabeln x, y in 
der Gleichung in Punktcoordinaten 
vorkommen, die Ordnung der Curve. 
Die Curven erster Ordnung sind 



nennt man die höchste Dimension, 
in welcher die Variabein u, v in 
der Gleichung in Liniencoordinaten 
vorkommen, die Klasse der Curve. 
Die Curven erster Klasse sind 



also Gerade; eine Curve erster | also Punkte; eine Curve erster 
Ordnung ist daher nie als Klassen- Klasse ist daher nie als Ordnungs- 
curve darstellbar; die Gerade stellt j curve darstellbar; der Punkt stellt 
sich in Punktcoordinaten durch sich in Liniencoordinaten durch 
eine, in Liniencoordinaten durch 1 eine, in Punktcoordinaten durch 
zwe'i Gleichungen dar. | zwei Gleichungen dar. 

— Die fundamentale Bedeutung des hier entwickelten Princips 
wird sogleich in den folgenden Betrachtungen hervortreten, welche 
von um so grösserer Wichtigkeit werden, als sie den Zusammenhang der 
neueren synthetischen und analytischen Geometrie zu vermitteln be- 
stimmt sind. Wir untersuchen nämlich zunächst Beziehungen zwi- 
schen verschiedenen Punkten auf einer Geraden und entsprechend 
zwischen verschiedenen Strahlen durch einen Punkt: wir beschränken 
•uns so zu sagen auf die Geometrie auf einer Geraden und die in 
einem Punkte. Wir lösen dabei die Gerade in die Reihe von Punkten 
auf, welche auf ihr liegen, den Punkt in die Schaar von Geraden, 
welche sich in ihm schneiden, und bezeichnen in dieser Auffassung 
die Gesammtheit der Punkte auf einer Geraden als Punktreihe, die der 
Geraden durch einen Punkt als Strahlbüschel. Es ist dann unsere 



32 



Erste Abtheilung. 



Aufgabe^ jeden Punkt einer Reihe, d. h. , welcher mit zwei gegebenen 
auf einer Geraden liegt, individuell darzustellen, ebenso jeden Strahl 
eines Büschels, d. h. welcher mit zwei gegebenen Strahlen durch 
einen Punkt geht., Die erstere dieser Aufgaben wurde schon oben 
gelöst, indem wir die Punkte einer Reihe darstellten durch die Glei- 
chungen (vgl. p. 5): 

X == Xq -\- r cos a 

y = yo + r sin a ; 
in ihnen ist die Punktreihe, wenn r einen Parameter bedeutet, durch 
einen Punkt (x^, ?/„) und ihre Richtung '(d. h. einen unendlich fernen 
Punkt) bestimmt. Analog wollen wir nun allgemein jeden Punkt der 
Reihe durch zwei feste Punkte derselben mit Hülfe eines Parameters 
ausdrücken. Die Gleichung einer Geraden durch die Punkte 0, 1 war : 



= 0, 



dieselbe wird nach einem bekannten Determinantensatze identisch er- 
füllt, wenn wir setzen (vergl. p. 16): 

X == pX(^ -\- qx^ 

(5) y = py(i-\- QVi 

1 =;> +^ ; 

jene Determinante ist dann das Resultat der Elimination von p, q, \ 
aus diesen Gleichungen. Dividiren wir mit der letzten Gleichung in 



X 


x^ 


0^1 


y 


yo 


Vi 


i 


1 


1 



die beiden ersten und führen einen Parameter A 



ein, so erhalten 



wir, indem wir einmal die Punktcoordinaten durch Liuiencoordinaten 
ersetzt denken, die Resultate: 



X = 



Xq-\- Xx\ 



(6) 



y 



Po + ^yi 

zwei Gleichungen, welche die Coor- 
dinaten eines Punktes der Reihe 
darstellen, ausgedrückt durch die 
Coordinaten zweier Punkte der- 
selben und den Parameter l. Es 
ts( dies die allgemeinste Darstellung 
der Geraden als Träger der Punkt- 
reihe. 



^~ l + X ' 

zwei Gleichungen, welche die Coor- 
dinaten eines Strahles des Büschels 
darstellen, ausgedrückt durch die 
Coordinaten zweier Strahlen des- 
selben und den Parameter A. Es 
ist dies die allgefneinste Darstellung 
des Punktes als Mittelpunkt des 
Strahlbüschels. 



In den Gleichungen (6) ist der Begriff der Punktreihe, bez. des 
Strahlbüschels deutlich ausgesprochen: legen wir A nach einander alle 



Einleitende Betrachtungen. — Punktreihen und Strahlbüschel. 33 

Werthe von — c» bis -|- oo bei, so erhalten wir successive alle Punkte 
der Reihe, bez. alle Strahlen des Büschels. 

Die Zahl A hat aber auch eine einfache geometrische Bedeutung. 
Aus den Gleichungen (5) folgt nämlich: 

Q = ^~^ o = y — y o p ^^ fLzL^» = y ~y i 

x^ — xq y, — yo' xq — xi yo — yi' 

oder wenn wir durch r, s die Entfernungen der Punkte (x^, ?/„), 
(a;j, y,) von (x, y) bezeichnen und beide positiv nehmen, so lange 
{x, y) zwischen den festen Punkten 0, 1 liegt: 

P = 



r ~\- s^ r -j- 



Es ist also l der Quotient der Abstände des beweglichen Punktes von zwei 
festen Punkten der Reihe, eine Deutung, welche wir nicht unmittelbar 
auf Strahlbüschel übertragen können, da sie wesentlich auf metrischen 
Begriffen beruht. Man sieht hieraus auch leicht, dass jedem Punkte 
der Geraden nur ein Werth von A zukommt, und wie sich diese 
Werthe auf die ganze Gerade vertheilen. Zwischen den festen Punkten 
sind r und s, also auch X positiv ; bewegt sich der Punkt von nach 
1, so geht A .von bis oo, und hat für den Mittelpunkt dieser Strecke 
{r = s) den Werth 1. Ausserhalb der Fig. lo. 

festen Punkte dagegen wird links r, rechts \ iL ■^ \ 

s negativ, folglich in beiden Fällen auch A o ^y x ■ 

(vgl, Fig. 10). Während der Punkt von bis in's Unendliche fort- 
schreitet, geht A von bis — 1, im Unendlichen ist A == — 1, und 
während der Punkt sich vom Unendlichen nach 1 bewegt, geht A von 
— 1 bis — oo, wodurch dann der Kreis von Werthen geschlossen ist. 
Besonders bemerkenswerth ist es, dass A im Unendlichen nur den einen 
Werth -r 1 hat; man spricht deshalb von einem unendlich fernen Punkte 
der Geraden; d, h. jede gerade Linie verhält sich analytisch so, als 
wenn sie nur einen unendlich fernen Punkt habe. 

Die Gleichungen (6) dienten uns dazu, die Coordinaten eines 
beliebigen Elementes einer Punktreihe oder eines Strahlbüschels durch 
die von zwei festen Elementen darzustellen. Um die Gleichung eines 
solchen Elementes zu erhalten, müssen wir diese Coordinaten in die 
Gleichung : 

ux -\- vy ■\- \ =^ 
einsetzen, wodurch wir finden: 



Punkt der Reihe: 



{ux^-\-vy^^-V)-^l{llx^-\-vy^-^\)=^ 



Strahl des Büschels: 

(:u^x-\-v^y-[-l)-\-l{u^x-]-v^y-]r\)^0. 



C leb ach, Vorlesungen, H 



34 



Erste Abtheilung. 



fFir erhalten also die Gleichung des beweglichen Elementes, indem 
wir die des einen festen Elementes mit einem Parameter X mvltipUcirt zu 
der des andern addiren. Dabei haben wir jedoch die Gleichung der 
festen Gebilde in der besonderen Form vorausgesetzt, wo das constante 
Glied gleich der Einheit ist; dies ist im Allgemeinen nicht nöthig. 
Sind uns nämlich die Grundelemente (d. h. die Punkte 0, 1) gegeben 
durch 

zwei Punkte: zwei Strahlen: 



A x-{- B y -{- C =0 



Au-\- B V -\- C =0 
A^u-\- B^v -\- Ci =0 
so stellen die Gleichungen: 

Au-\- Bv -\- C -\- ii {A^u -\- B^v -\- C^) = , 
Ax-^By + C + ii {A,x + B,y + C,) = 

wieder ein beliebiges Element der Reihe, bez. des Büschels dar, nur 
die Bedeutung des Parameters fi ist eine andere geworden; denn 
setzen wir 

c 



^ 



Ci' 



so erhalten wir wieder die frühere Form. Der Parameter fi ist also 
nicht obiges Abstandsverhältniss selbst, sondern das Product dessel- 
ben in eine von der Lage des beweglichen Punktes unabhängige Con- 
stante, wodurch im Wesen der Sache nichts geändert wird. 

Die letztere Bedeutung von ft lässt sich auch dualistisch für den 
Strahl eines Büschels übertragen. Fällen wir nämlich von einem 

Fig. 11. Punkte des beweglichen Strahls Lothe auf die beiden 

festen von der Länge r und s (vergl. Fig. 11), so ist das 

Verhältniss - für alle Punkte des beweglichen Strahls 

dasselbe, und wir wollen es als das Abstandsverhältniss 
des beweglichen Strahls von den beiden festen be- 
zeichnen; von ihm ist dann wieder der Parameter A 
nur um einen constanten Factor verschieden, wie jetzt 
I gezeigt werden soll. Sei x, y irgend ein Punkt der 

^2 (u,v) o- o Geraden u, v, welche dem Büschel angehört, das 
durch die beiden Geraden i/^, Vq und Wj, v, bestimmt wird; dann ist 
nach einer oben gegebenen Regel (vgl. p. 30): 

^, ^^ Uqx -f Vpy + 1 

s = "i ^ + «iy+ 1 
und die Gleichung des Strahles selbst: 




Einleitende Betrachtungen. — Punktreihen und Strahlbüschel. 35 

ux -\- vtj -\- 1 = 
geht über in: 

also wird 






y^o' + v„^ 



Der Werth von A variirt ganz analog, wie bei der Punktreihe, und 
es entspricht wieder jedem Strahle nur ein Werth von A. Nehmen wir 
die Strecken r und s für einen Strahl in einem Winkel der Grund- 
strahlen positiv, so werden sie im Scheitelwinkel beide negativ, wäh- 
rend sie in den beiden Nebenwinkeln verschiedene Zeichen annehmen. 
Für die festen Elemente ist A" wieder einmal Null, einmal unendlich, und 
'für die zwischen diesen beiden Grenzen liegenden Strahlen hat A 
einen zwischen Null und + oo oder — oo liegenden Werth, Ein Unter- 
schied gegenüber der Vertheilung der Werthe des Parameters auf der 
Punktreihe zeigt sich jedoch darin, dass wir im Büschel von einem 
uneigentlichen, unendlich fernen Elemente nicht reden können. — Als 
wesentliches Resultat dieser Betrachtung erkennen wir also, dass im 
Strahlbüschel der Parameter schon, wenn die beiden Grundelemente 
in der Form 

Wo^r -f y^y + 1 = 
u^x + Vj y + 1 = 

gegeben sind, sich um einen constanten Factor von dem Abstands- 
verhältnisse unterscheidet , so dass bei der allgemeinen Form noch ein 

c 
zweiter constanter Factor ^ hinzutritt. 

Die Darstellung dieser Verhältnisse können wir sehr vereinfachen, 
wenn wir eine abgekürzte Bezeichnung beim Schreiben der Gleichungen 
einführen. Wir werden nändich die linke Seite einer linearen Glei- 
chung durch einen einzigen Buchstaben ersetzen, ein Verfahren, von 
dessen Fruchtbarkeit wir uns noch wiederholt werden überzeugen 
können.*) Wir wollen demnach in der Folge durch G, H, . . . lineare 
Ausdrücke in x, y, durch P, Q , . . . solche in u , v bezeichnen, d. h. 
wir setzen z. B.: 

P= A u-\- B V -{- C 



G = A x-\- B y -^ C 
H = A,x + B,y^C,, 

Es sind dann 



Q = A,v,-^B,v + C, 



*) Diese Methode wurde von Plücker zuerst principiell angewandt und aus- 
gebildet, vgl. dessen Analytisch -geometrische Entwicklungen, 1. Th. 1828; gleich- 
zeitig auch von Bobillier aufgestellt: Gergonne, Annales, t. 18, 1827-28. 

3* 



36 Erste Abtheilung. 



die Gleichungen zweier Geraden: 

und die eines Strahles durch ihren 
Schnittpunkt: 



die Gleichungen zweier Punkte: 

P = 0, = 0, 

und die eines Punktes auf ihrer 
Verbindungslinie : 



Es ist natürlich wieder ft in beiden Fällen bis auf einen constan- 
ten Factor, welcher von der zufälligen Form der Gleichungen der 
Grundelemente abhängt, gleich dem erwähnten Abstandsverhältnisse. 

VI. Die (rrundlagen der synthetischen Geometrie.*) 

Auf das Studium der Punktreihen und S-trahlbüschel stützt sich 
die sogenannte neuere synthetische Geometrie; diese einfachsten Ge- 
bilde geben für sie insbesondere die Grundlage für eine rein geome- 
trische Erzeugung der algebraischen Curven, sei es dass man sie von 
ihren Punkten beschrieben oder von ihren Tangenten umhüllt denkt. 
Wir werden diese Verhältnisse auch in unserer analytischen Darstel- 
lung erkennen ; wenn wir eine Function des eben benutzten Para- 
meters IL herstellen, welche von dem in ihm enthaltenen constanten 
Factor unabhängig ist und demnach eine rein geometrische Bedeu- 
tung hat. Eine solche Function ergibt sich aber sofort, wenn wir 
ausser den beiden Grundelementen der Punktreihe, bez. des Strahl- 
büschels gleichzeitig noch zwei andere Elemente betrachten; in der 
That wird der Quotient der beiden ihnen entsprechenden Werthe des 
Parameters ft von jener Constanten unabhängig. 

Sind uns zwei Punkte 

gegeben, und nehmen wir auf ihrer Verbindungslinie zwei beliebige 
andere Punkte: 

so sind nach dem Früheren ihre Abstandsverhältnisse von den Grund- 
punkten : 

wo C eine Constante bedeutet; also wird 

r • • 

^ __ _s_ 
jti' r 

s' 

unabhängig von C, eine rein geometrische Grösse, die wir als das 

*) "Vgl. für die Darstellung im Folgenden: Clebsch, Theorie der binären 
lagebraischen Formen, Leipzig. 1872 p. 58 ft". 



Einleitende Betrachtungen. — Punktreihen und Strahlbüschel. 37 

Doppelverhältniss der gewählten vier Punkte*) bezeichnen. Aus letzteren 
lassen sich auch noch andere Doppelverhältnisse ableiten, denn bei 
unserer Darstellung sind nicht alle 4 Punkte gleichmässig benutzt; 
sondern zwei sind dadurch ausgezeichnet, dass wir sie als Grund- 
elemente der Reihe annahmen, und dieselben treten wieder verschieden 
in die Rechnung ein, da wir die beiden andern Punkte ebensowohl 
in der Form 

hätten voraussetzen und dann — > als Doppelverhältniss bezeichnen 

dürfen. Wir können aber das Doppelverhältniss auch für irgend vier 
Punkte der Reihe ohne Rücksicht auf die Grundpunkte bilden. Es 
seien dieselben bestimmt durch: 

P+it,Q=0 P-\-^,Q = 

man kann dann die i\.ufgabe auf den vorigen Fall reduciren, indem 
man gewissermassen zwei der Punkte als neue Fundamentalpunkte 
einführt, d. h. indem man für den Augenblick setzt: 

R = P+ii^Q, S=P-^rHQ- 
Wir finden hieraus: 

(^1 — V2) ^ = ^ — -^ j (^2 — f^i) ^ = ^2 ^ — ;*i ^ > 
also sind die vier Punkte dargestellt durch: 

i? = -S = 

' f^s — H (^i — (^» 

und dies ist wieder die frühere Form, wenn wir die mit S multipli- 
cirten Grössen als Werthe eines neuen Parameters betrachten. Es 
wird demnach das Doppelve?^fiältniss der vier Punkte: 

H — H 
„ — ^3 — ^ 8 

H — (^i 

also eine Function der vier Parameter, ganz unabhängig von den 
Fundamentalpunkten. 

Genau auf denselben Ausdruck wären wir gekommen, wenn wir 
vier Strahlen eines Büschels: 



*) Doppelverhältnisse finden sich in ihrer Bedeutung für projectivische Be- 
ziehungen schon gelegentlich in Poncelet's Traite' des proprie'te's projectives des 
tigures (z. B. p. 11). Principiell eingeführt wurde das Doppelverhältniss von 
Möbius (1827, in dessen barycentrischem Calcul), und in Frankreich (als anharmo- 
nisches Verhältniss) von Chasles (1837, in dessen Apercu historique sur l'origine 
et le developpement des methodes en g^omätrie). 



38 Erste Abtheilung. 

zu Grunde gelegt hätten; auch hier wird das DoppelverliäUniss der vier 
Strahlen unabhängig von der Lage der Fundamentalstrahlen und un- 
abhängig von den in dem Parameter enthaltenen Constanten, es ist 
ebenfalls eine rein geometrische Grösse. 

In dem Werthe von a sind aber die Parameter der vier Elemente 
(seien es Punkte oder Strahlen) verschieden benutzt; ändern wir ihre 
Eeihenfolge, so kann auch a sich ändern ; und wir erhalten alle mög- 
lichen Werthe von a, wenn wir die 4 Indices auf alle möglichen Weisen 
permutiren. Die dadurch entstehenden 24 Permutationen würden 
somit auf 24 verschiedene Werthe des aus denselben 4 Elementen zu 
bildenden Doppelverhältnisses führen, während sich dieselben that- 
sächlich, wie eine nähere üeberlegung zeigt, auf nur 6 verschiedene 
Werthe reduciren. 

Setzen wir nämlich fest, dass zur Aufstellung des obigen Werthes : 
a == ^1 ~ ^3 f^4 — it'i 

ftg — ft2 • fi, — ft4 

die Indices in der Ordnung 1, 2, 3, 4 benutzt worden seien, so sieht 
man, dass a dasselbe bleibt für die Anordnungen 

1234, 2143, 3412, 4321; 
d. h. das Doppelverhältniss ändert sich nicht, wenn man gleichzeitig 
die Indices des ersten und des zweiten Paares je unter sich vertauscht, 
und wenn man die beiden Paare vertauscht. Dies gilt, von welchem 
Werthe man auch ausgehen mag; immer vier Permutationen geben 
also dasselbe Doppelverhältniss, es bleiben folglich nur noch 6 ver- 
schiedene Werthe desselben übrig, und diese lassen sich alle einfach 
durch eines derselben ausdrücken. Wir erhalten sie alle, wenn wir einen 
Index, etwa 4, ungeändert lassen und die übrigen drei unter einander 
permutiren, und zwar findet man durch leichte Rechnuno-: 

für die Anordnung 12 3 4:« = ^l^Ji ^ • »^4 - f^g 

fi3 — ft2 • /A, — /[i4 

„ „ „ 2 1 3 4 : a' = ^'izUhlJt±rzJh == 1 

f*3 ~ ^1 • fi2 — f«4 a 

;, „ „ 13 2 4:«"= ^J_-Ji2^/^i_-ZZ3 _ 1 _ ^ 

^8 — ;t3 • /i, — /a.4 

« „ „ 2 3 14: a" = 1 _ «' = "LZll 

a 

V „ „ 3 12 4: «(4) ^ 4 _ _L_ 

cc 1 — a 



3 2 14; a(^) = 



a — 1 



Einleitende Betrachtungen. - - Punktreihen und Strahlbüschel. 39 

Es ist hier a aus a durch Vertauschung von ^^ mit fij; "" ^^^ " 
durch Versauschung von ^.^ mit ^«.3 gebildet. Vertauscht man ferner 
in a fii und ^^3, in a" ^^ und ^2, in a" ^^ ^^^ i^3J ^o entstehen 
bez. die Werthe a", «(** und a^^h 

Die sechs zusammengehörigen Werthe eines Doppelverhältnisses sind 
also, wenn einer derselben a genannt wird: 

1 ^ 1 a — 1 a 

' a '1 — CC ' a CC — 1 

Während dieselben im Allgemeinen sämmtlich von einander verschie- 
den sind, kann es in Folge besonderer Lagen der vier Elemente gegen 
einander eintreten, dass einige unter ihnen identisch werden. Da- 
durch sind, jenen Lagen entsprechend, ausgezeichnete Werthe des 
Doppelverhältnisses bedingt. Es können hier folgende Fälle vorkommen: 

1 . a = a == — , oder a = -\- 1 

a — 

2. a == a" =1 — CC , oder « == ^ 

3. « _ a'" = ^^-^ , oder a"" — a -^ \ = 

CC 

4. a = «(■^* = , oder a^ — «-4-1 = 1 

1 — a 

■5. a == a<5> = — ^- , oder a^ — 2« = , d. h. « = oder « = 2 . 

CC — 1 ' 

Aber diese Fälle sind nur zum Theil verschieden. Zunächst be- 
merken wir, dass die Fälle 3. und 4. identisch sind: die eine Bedin- 
gung ist eine Folge der andern. Die übrigen Fälle geben noch zu 
zivei ausgezeichneten Lagenbeziehungen der vier Elemente Veran- 
lassung. Setzen wir nämlich « = 1, so sind die 6 Werthe des Doppel- 
verhältnisses : 

1, 1, 0, 00, 0, 00; 

hier ist also a" == a^*\ gleich dem einen Werthe von a im 5. Falle, 
und in der That erhalten wir von dem letzteren ausgehend, dieselben 
sechs Werthe für das Doppelverhältniss, nur in anderer Reihenfolge, 
nämlich : 

0, 00, 1, 1, CO, 0; 

beide Fälle geben daher geometrisch dasselbe Resultat. 

Setzen wir ferner « = — 1 , so erhalten wir für die 6 Werthe 
des Doppelverhältnisses : 

-1, - 1, 2, i, 2, i; 

dieselbe Reihe, nur anders geordnet erhält man aber auch, wenn man 
vom Falle 2. oder dem zweiten Werthe von a im Falle 5. ausgeht, 
auch diese geben daher wesentlich dasselbe Resultat. Wir haben somit 



40 Erste Abtlieilung. 

nur drei ausgezeichnete Lagen der vier Punkte oder Strahlen zu unter- 
scheiden; die geometrische Bedeutung derselben ergibt sich in folgen- 
der Weise: 

1) a = \. Hier müssen zwei Elemente den andern beiden gegen- 
über dasselbe Abstandsverhältniss haben, d. h. sie fallen in eitis zu- 
sammen. 

2) « = — 1. Die Abstandsverhältnisse zweier Elemente gegen die 
beiden andern sind entgegengesetzt gleich: die harm,onische Lage der 
vier Elemente'., es ist dies der wichtigste Fall, wir werden auf diese 
Lagenbeziehung im Folgenden bei den verschiedensten Untersuchungen 
geführt werden, so dass noch einige Erläuterungen hier ihre Stelle finden 
mögen. Unter den möglichen Theilungen der vier Elemente in Paare 
ist diejenige ausgezeichnet, welche bei der Bildung des Doppelverhält- 
nisses den Werth — 1 liefert; die Glieder der beiden Paare heissen 
dann zugeordnete Elemente und das negative Vorzeichen von a zeigt, 
dass, wenn ein Element eines Paares zwischen den zwei Elementen 
des andern Paares liegt, das andere Element ausserhalb dieser beiden 
liegen muss; die zugeordneten Elemente der beiden Paare trennen sich 
also gegenseitig von einander. Diese Anordnung der Elemente ist 
auch noch dadurch charakterisirt, dass die Vertauschung der Elemente 
eines Paares den Werth von a ungeändert lässt. 

Liegt insbesondere auf einer Punktreihe der dritte Punkt in der 
Mitte zwischen den beiden andern, so liegt der vierte im Unendlichen, 
und ivir können somit die Halbirung einer Strecke als eine blosse Doppel- 
verhältnissrelation auffassen. Rückt der dritte an einen der beiden 
ersten unendlich nahe heran, so rückt auch der vierte an denselben- 
Dasselbe gilt auch für Strahl büschel, nur der metrische Satz über den 
Mittelpunkt der durch ein Paar bestimmten Strecke wird geändert; 
man weist nämlich leicht nach, dass, wenn der dritte Strahl den 
Winkel zwischen den beiden ersten halbirt, der vierte den Neben- 
winkel in zwei gleiche Theile theilt; beide Strahlen stehen dann zu 
einander senkrecht. 

3) a^-. a-{-\^{), oder a = \±1^1 , folglich a^ = — \. In 

diesem Falle ist a eine imaginäre dritte Wurzel aus — 1 , und die drei 
anderen Werthe des Doppelverhältnisses sind gleich der conjugirt 
imaginären dritten Wurzel aus — 1. Es werden hier also zweimal 
drei Werthe des Doppelverhältnisses einander gleich, während in den 
vorigen Fällen dreimal zwei Werthe dieselben waren. Die durch 
diesen Fall charakterisirte Lage der vier Punkte pflegt man, nach dem 
Vorgange von Cremona*), als die äquianharmonische zu bezeichnen. 

*) Vergl. dessen „Eiuleitung in die Theorie der algebraischen Curven", deutsch 
von Curtze, Greifswald 1865. 



Einleitende Betrachtungen. — Punktreihen und Strahlbüschel. 41 

Wegen der vorkommenden imaginären Grössen ist die geometrische 
Bedeutung derselben jedoch nicht so evident; man kann nämlich 
keine vier Elemente mit reellen Coordinaten angeben, welche der ge- 
stellten Forderung genügen, und folglich lassen sich vier solche Punkte 
auch nicht constructiv auf einer Geraden bestimmen. Wir werden 
so zuerst darauf geführt auch imaginäre Werthe der Veränderlichen 
und Coefficienten in geometrischen LFntersuchungen zu berücksichtigen, 
und in der That hat man sich in neuerer Zeit genöthigt gesehen, diese 
grundsätzlich, ebenso wie die reellen in das Gebiet der geometrischen 
Betrachtung hineinzuziehen. Wenn sie selbst sich auch der unmittel- 
baren Anschauung entziehen, so kann man doch analytisch alle Ope- 
rationen so durchführen, als wenn man mit wirklichen Punkten oder 
Geraden zu thun hätte, ja, durch Vereinigung verschiedener imaginärer 
Elemente können reelle erzeugt werden, deren Bedeutung ohne Be- 
trachtung jener uns verschlossen bliebe. Von den vier Punkten eines 
äquianharmonischen Systems können höchstens 3 reell sein, so dass 
nur der vierte imaginär wird. Denn sind durch die Gleichungen 

p=0, = 

zwei reelle Punkte vorgestellt, so bilden sie mit den Punkten: 

P-^^iQ = 0, P-^fi'0 = 

ein äquianharmonisches Quadrupel, wenn 

(i' 2 ' 

und daraus ergibt sich für ^' immer ein imaginärer Werth, wenn ^ 
reell ist. Gleichzeitig folgt aus dem doppelten Vorzeichen: Es gibt 
zwei Punkte, welche zu drei gegebenen äquianharmonisch liegen"^). Sind 
dagegen zwei der drei Punkte conjungirt imaginär, so können die bei- 
den andern reell sein. Sind nämlich dann 

pj^cY^^l Q = 0, P—c]/^^Q = 0, 
pj^ fiO^O, P-\- . ii'0 = 0, 
so bestimmt sich für ein reelles ft der Werth von /i' aus der Glei- 
chung : 



Also wird: 



, ^ 2 + fi (V— 3 + c)yi 

^ — QT^s + c) n - 2^ 



und dies ist eine reelle Grösse für c = c'±j/-S, wenn ^ reell ist. 

*) Vergl. die Theorie der binären cubischen Formen in der dritten Abthei- 
lung dieser Vorlesungen. 



42 Erste Abtheilung. 

Liegen dagegen vier Elemente harmonisch, so können nur ent- 
weder zwei imaginär oder alle vier gleichzeitig imaginär sein; und 
zwar wird im ersten Falle das eine der beiden zugeordneten Paare 
von den reellen, das andere von den imaginären Elementen gebildet. 
Man kann vier solche Punkte alsdann darstellen durch die Glei- 
chungen : 

Die Theorie des Doppel Verhältnisses, wie wir sie hier durchge- 
führt haben, führt von selbst auf die Untersuchung gewisser Gebilde, 
welche für die Geometrie von fundamentaler Wichtigkeit sind. Be- 
trachten wir nämlich gleichzeitig zwei Reihen von Elementen, gegeben 
durch die Gleichungen: 

P+iiO=0, P' +^£)' = 
oder: G + iiH^O, g' -\- ^iH' = 0, 

jenachdem wir von Punktreihen oder Strahlbüscheln ausgehen, so wird 
durch denselben Werth von ;* in beiden Gebilden je ein Element be- 
stimmt. Bezeichnen wir zwei solche Elemente als einander entsprechend, 
so sind beide Gebilde eindeutig auf einander bezogen: jedem Punkte 
oder Strahle des einen ist ein Punkt oder Strahl des andern zuge- 
ordnet, und umgekehrt. Beide Gebilde heissen dann projectivisch auf 
einander bezogen, die eine Piinktreihe ist der anderen^ der eine Sirahl- 
büschel dem andern projectivisch. Da nun das Doppelverhältniss von 
vier Elementen eines Gebildes allein von dem Parameter y, abhängt, 
so folgt aus dieser Definition der Projectivität unmittelbar der für 
diese Beziehung geltende Hauptsatz: 

Bei projectivischen Gebilden haben vier Elemente des einen und die 
vier entspsechenden des andern dasselbe Doppelverhältniss (vorausgesetzt, 
dass bei Bildung desselben entsprechende Elemente gleichmässig be- 
nutzt werden; sonst können zwei verschiedene, aber demselben Sy- 
steme von 6 Werthen angehörige Doppelverhältnisse auftreten). 

Dass man auch mehr als zwei Punktreihen oder Strahlbüschel 
auf einander projectivisch beziehen kann, dass zwei Gebilde projecti- 
visch sind, wenn sie in dieser Beziehung zu demselben dritten stehen, 
braucht wohl kaum erwähnt zu werden. Man nennt aber auch eine 
Punktreihe 

P+iiQ = 
zu einem Strahlbüschel 

G -{- iiH=() 

projectivisch, indem man wieder einem Punkte der Reihe einen Strahl . 
des Büschels entsprechen lässt, wenn beiden derselbe Werth des Para- 



Einleitende Betrachtungen. — Punktreiheu und Stralilbüschel. 43 

meters ft zukommt; auch für zwei solche Gebilde gilt dann natürlich 
der Satz von der Gleichheit des Doppelverhältnisses. 

Gerade diese letztere Beziehung einander dualistisch gegenüber- 
stehender linearer Erzeugnisse soll uns zur geometrischen Construction 
von projectivi^chen Gebilden überhaupt dienen. Wir brauchen zu dem 
Zwecke nur die folgenden Sätze zu beweisen. 

1, Man kann drei Elemente eines Gebildes (Piinktreihe oder Strahl- 
büschelj dreien beliebigen Elementen des anderen entsprechend setzen; 
dann ist jedem vierten des ersten ein viertes Element des zweiten zuge- 
ordnet, d. h. dann ist die Projectivität festgelegt. Nehmen wir nämlich 
in einem Gebilde zwei Elemente 

M =0, N =0 

und lassen ihnen in einem anderen zwei Elemente 

M' = 0, N' = 

entsprechen, so muss in der Gleichung des Elementes, welches einem 
beweglichen 

M -\- iiN = 

des ersten Gebildes zugehört, ft ebenfalls linear vorkommen, sie muss 
also die Form haben: 

(a + ^/i).r + (y + ^^);V'=0, 

wo a, ß, y, d Constante sind. Da aber für ^ = das Element im 
ersten Gebilde ^/ = wird und diesem im zweiten für denselben 
Werth von ^ AJ' = entsprechen muss, so ist y = zu nehmen; und 
ebenso muss, da N = 0, A" = sich entsprechen (/[i = cc), auch 
ß = sein. Es bleibt also für die Elemente des zweiten Gebildes 
die Form: 

aM' -\- dfiiY = 0. 

Nun setzen wir fest, dass irgend einem dritten Elemente 

M-{-lN=0 
ein bestimmtes, beliebig gewähltes Element 

3J' -\- mN' = 
entspreche; dann muss für ^ == l: 

-^ = m 
a 

sein , also - = - • Es erscheint demnach N' im zweiten Gebilde noch 

^ a l 

in die Constante j multiplicirt , wodurch die Bedeutung der Gleichung 

r = 



44 



Erste Abtheilung. 



nicht afficirt wird; wir können daher statt ^ iV' wieder N' schreiben 
(wodurch nur die Bezeichnung geändert ist), und dann sind die Ge- 
bilde in ihrer projecti vischen Beziehung zu einander analytisch voll- 
ständig gegeben. Wir dürfen also einem dritten Elemente des einen 
noch ein beliebiges drittes Element des andern zuordiren; aber dies 
geht nicht mehr mit einem vierten, denn vier Elemente geben ein 
bestimmtes Doppelverhältniss, welches dem aus den vier entsprechen- 
den gebildeten gleich sein muss ; und dies ist nur noch für einen 
Punkt im zweiten Gebilde möglich, wenn ein vierter des ersten ge- 
geben ist. — Den hier bewiesenen Satz können wir noch in einer 
anderen Form aussprechen, in welcher er in unseren weiteren Unter- 
suchungen besonders zur Anwendung kommt, nämlich: 

Vereinigt gelegene projectiviscfie Gebilde (d. h. zwei Punktreihen auf 
derselben Geraden oder zivei Strahlbüschel durch denselben Punkt) sind 
congruent, sobald drei entsprechende Elementenpaare sich decken. 



2. Verbindet man die Punkte 
einer Reihe: 

mit einem nicht auf ihr liegenden 
Punkte {xq, y^), so bilden die Ver- 
bindungslinien einen der Reihe pro- 
jectivischen Rüschel , wenn man je- 
dem Punkte den durch ihn gehen- 
den Strahl entsprechen lässt. 



Schneidet man die Strahlen 
eines Büschels: 

G-{- [iff=0 

mit einer nicht zu ihtn gehörigen 
Geraden {uq, Vq), so bilden die 
Schnittpunkte eine dem Büschel pro- 
jectivische Reihe, wenn man jedem 
Strahle den auf ihm liegenden 
Punkt entsprechen lässt. 



Zum Beweise genügt es, die Gleichung des so erzeugten Büschels, 
bez. der Punktreihe aufstellen. Setzen wir: 

P = au -\- bv -\- c 
Q z= au -\- ßv -\- y 
so ist die Gleichung 
der Verbindungslinie mit x^^ y^: 
X Xq a -{- fial 

1 1 c -\- ftyl 
oder durch Zerlegung: 



G = ax -\- by -{- c 
B=ax-{- ßy -{-y, 

des Schnittpunktes mit u^, v^^ 



a -j- ^a\ 

b + iiß^^ = 

c-i- (iy\ 



X 


a^o 


a 


X 


Xq 


cc 




w 


Wo 


a 


u 


«0 


a 


y 


yo 


b 


+ ^ \y 


Uo 


ß 


= 


V 


^0 


b -f ^ 


V 


^0 


ß 


i 


' 1 


c 


i 


1 


V 




1 


1 


c\ 


1 


1 


V 



= 0. 



In der That kommt dem so erzeugten Elemente also derselbe Werth 



Einleitende Betrachtungen. — Punktreilien und Strahlbüschel. 



45 



von fi zu, wie in dem gegebenen Gebide, und darin beruht jedesmal 
die Projectivität von Reihe und Büschel. In diesem Falle, wo jeder 
Strahl durch den ihm entsprechenden Punkt geht, sagt man: die pro- 
jectivischen Gebilde sind in perspectivischer Lage. 

3. Punktreiheri und Strahlbüschel , welche projectivisch sind, lassen 
sich immer in perspectivische Lage bringen. 

Sind nämlich a, b , c drei Punkte einer Reihe, a, ß, y die ihnen 
entsprechenden Strahlen eines Büschels, so kann man den letzteren 
sich selbst congruent so verlegen, dass a durch «, ß durch b, y durch 
c geht-, man braucht, um dies zu erreichen, nur über ab einen Kreis- 
bogen, der den Winkel a/3, über bc einen solchen, der den Winkel 
^ fasst, zu construiren und den Schnittpunkt beider zum ßüschel- 
scheitel zu nehmen. Durch diesen Büschel wird dann auf der Geraden 
eine zweite Punktreihe ausgeschnitten, diese und die gegebene sind 
beide zu dem Strahlbüschel, also auch zu einander projectivisch. Sie 
haben aber zufolge der Construction drei Elementenpaare entsprechend 
gemein-, sie fallen daher nach einem soeben bewiesenen Satze ganz 
zusammen; und die gegebene Punktreihe liegt in der That zu dem 
• Strahlbüschel perspectivisch. 

Projectivische Gebilde verschiedener Art kann man also geometrisch 
als aus der perspectivischen Lage hervorgegangen definiren; gleiches gilt 
aber auch bei projectivischen Gebilden derselben Art. 

Proj ectivische Punktreihen näm- | Proj ectivische Strahlbüschel näm- 
lich heissen perspectivisch, wenn | lieh heissen perspectivisch, wenn 



die Verbindungslinien entsprechen- 
der Punkte durch einen Punkt, 
das Centrum der Perspectiviiät , ge- 
hen. Man kann diese Lage immer 
hervorrufen, indem man die eine 
Reihe, sich selbst congruent, so 
verschiebt, dass ein Punkt dersel- 
ben mit dem ihm entsprechenden 
der andern Reihe zusammenfällt. 
Denn verbindet man dann zwei 
Punkte der einen Reihe bez. mit 
den beiden entsprechenden der an- 
dern und den Schnittpunkt dieser 
Linien mit dem gemeinsamen Punkte 
der beiden Reihen, so bestimmt 
jeder vierte Strahl dieses Büschels 
mit den drei Strahlen ein Doppel- 



die Schnittpunkte entsprechender 
Strahlen auf einer Geraden, dem 
perspectivischen Durchschnitte, lie- 
gen. Man kann diese Lage immer 
hervorrufen, indem man das eine 
Büschel, sich selbst congruent, so 
verschiebt, dass ein Strahl dessel- 
ben mit dem ihm entsprechenden 
des andern Büschels zusammenfällt. 
Denn nimmt man dann die Schnitt- 
punkte von zwei Strahlen des einen 
Büschels bez. mit den zwei ent- 
sprechenden des andern und schnei- 
det ihre Verbindungslinie mit der 
Verbindungslinie derBüschelcentra, 
so bestimmt jeder vierte Punkt jener 
Geraden mit diesen drei Punkten 



46 



Erste Abtlieilung. 



verhältniss, gleich dem der vier 
Punkte, in denen die vier Strahlen 
eine der beiden Punktreihen sehnei- 



ein Doppelverhältniss, gleich dem 
der vier Strahlen, welche die vier 
Punkte mit einem der beiden Bu- 



den. Also schneidet in der That schelcentren verbinden, also gehen 
jeder Strahl des Büschels auf den in der That durch jeden Punkt 
beiden Pnnktreihen zwei zugeord- der Geraden zwei zugeordnete 
nete Punkte aus. | Strahlen der beiden Büschel. 

Diese Betrachtungen haben uns vom Begriffe des Doppelverhält- 
nisses aus auf die Grundlagen der neueren synthetischen Geometrie 
geführt, denn diese gründet sich, hauptsächlich seit Steiner*), wesent- 
lich auf die Auffassung der Geraden als Punktreihe, des Punktes als 
Strahlbüschel und auf die projectivische Beziehung verschiedener 
solcher Grundgebilde zu einander, welche dann zunächst durch die 
perspectivische Lage vermittelt wird. Durch Einführung der Linien- 
coordinaten und des Princips der Dualität ist aber auch in unseren 
analytischen Untersuchungen dieser Gedanke mit völliger Klarheit 
eingeführt, und es ist daher der Unterschied zwischen neuerer ana- 
lytischer und synthetischer Geometrie nicht mehr als ein wesentlicher zu 
betrachten; beide Disciplinen operiren genau mit denselben Begriffen, 
und die erstere gibt eine präcise Ausdrucksform der letzteren. Wir 
wollen noch kurz die Grundzüge einer synthetischen Behandlung der 
Curven zweiter Ordnung und zweiter Klasse verfolgen, um auch hier 
die üebereinstimmung mit den analytischen Operationen zu erkennen. 



V. Erzeugnisse projectivischer Punktreihen und Strahlbüschel. 

An die Theorie projectivischer Gebilde knüpft sich eine rein geo- 
metrische Erzeugungsweise der Curven zweiter Ordnung und der 
Curven zweiter Kiasse, auf welche dann die weitere Untersuchung 
dieser Curven gegründet wird. Es gelten nämlich die folgenden 
beiden fundamentalen Sätze, die sich dualistisch gegenüberstehen: 



Zwei projectivische Büschel, die 
nicht in perspeclivischer Lage sind, 
bestimmen durch die Schnittpunkte 
entsprechender Strahlen eine Örts- 
curve von der zweiten Ordnung. 



Zwei projectivische Reihen, die 
nicht in perspectivischer Lage sind, 
bestimmen durch die V erhindungs- 
linien entsprechender Punkte eine Um- 
hüllungscurve von der zweiten Klasse. 



*) Steiner: Systematische Entwicklung der Abhängigkeit geometrischer 
Gestalten von einander. Berlin 1832. Noch in sich consequenter ist die Dar- 
stellung von V. Stau dt: Geometrie der Lage, Nürnberg 1847. Ebenso bildet 
das Doppelverhältniss die Grundlage für die beiden Werke von Chasles: 
Traitd de geometrie supörieure, 1852, und: Traite des sections coniques, premiere 
partie. 1865. 



Einleitende Betrachtungen. — Punktreihen und Strahlbüschel. 



47 



Der einfachste Fall für die Erzeugung einer Orts- 
curve ist hier der, wo die beiden projeetivischen Büschel 
(mit den Centren und 0'; vergl. Fig. 12) congruent 
sind; die Curve ist dann ein Kreis, wie aus der 
Gleichheit der Peripheriewinkel 102 und 10'2, etc. 
folgt. Allgemein beweisen wir die angeführten Sätze 
analytisch folgendermassen : 



Fig. 12. 




(1) 



Die beiden Strahlbüschel seien : 
G -\- ^H =0 
G'-\-iiH' = 0. 

Für den Schnitt je zweier Strahlen, 
denen derselbe Werth von ^ ent- 
spricht, müssen beide Gleichungen 
zusammenbestehen. Eliminiren wir 
fi, so erhalten wir eine von fi un- 
abhängige Gleichung, welche also 
für alle Schnittpunkte entsprechen- 
der Strahlen gilt, nämlich: 



(2) 



G H 
G' H' 



= GH' — HG' ^0 



Flg. 13, a. 




Ö^fiS'O 



Hier sind G, H, G', H' lineare 
Functionen von x, y\ die Glei- 
chung stellt also in der That eine 
Curve zweiter Ordnung dar; und 
zwar geht dieselbe durch die Schei- 
tel der beiden Büschel, denn (2) 
ist erfüllt, wenn gleichzeitig 

G = und H =0 
oder 

6f' = und ^' == . 



Die beiden Punktreihen seien : 
/> +^9 =0 

Für die Verbindungslinie je zweier 
Punkte, denen derselbe Werth von ft 
entspricht, müssen beide Gleichun- 
gen zusammenbestehen. Eliminiren 
wir |Lt, so erhalten wir eine von ft 
unabhängige Gleichung, welche also 
für alle Verbindungslinien entspre- 
chender Punkte gilt, nämlich: 



= P0' — QP' ^0. 



Fig. 13, b. 




Hier sind P, Q, P', Q' lineare 

Functionen von ii, v; die Glei- 
chung stellt also in der That eine 
Curve zweiter Klasse dar ; und zwar 
berührt diese die Träger der beiden 
Punktreihen, denn (2) ist erfüllt, 
wenn gleichzeitig 

i> = und ^ =0 
oder 

/>' = und r/ = 0. 



48 Erste Abtheilung. 

Wenn wir die so gewonnene Erzeugungsweise als eine fundamen- 
tale auffassen wollen, haben wir noch zu zeigen, dass jede Curve 
zweiter Ordnung, bez. zweiter Klasse in der Weise erzeugt werden 
kann. Wir führen dies nur für Punktcoordinaten durch und stellen 
den gefundenen Resultaten die entsprechenden für Liniencoordinaten 
sofort gegenüber; denn darin beruht der grosse Nutzen des Princips 
der Dualität, dass man jede analytische Operation geometrisch auf 
zwei Weisen deuten kann, und so durch eine Entwicklung zivei Sätze 
erhält*). Wir gehen dabei von der folgenden Bemerkung aus: 

Es ist immer möglich, durch 
5 Punkte, von denen keine 3 auf 
einer Geraden liegen, eine Curve 



zweiter Ordnung zu legen. 



Es ist immer möglich^ an 5 
Gerade, von denen keine 3 durch 
einen Punkt gehen, eine Curve zwei- 
ter Klasse zu legen. 



Zwei der fünf Punkte nämlich kann man als Scheitel von Strahl- 
büscheln betrachten und diese projectivisch auf einander beziehen, 
indem man je zwei Strahlen sich entsprechen lässt, welche durch einen 
der drei anderen gegebenen Punkte geht. Dadurch ist dann die Pro- 
jectivität völlig festgelegt, und die beiden Büschel bestimmen durch 
die Schnittpunkte entsprechender Strahlen eine Curve zweiter Ord- 
nung, welche durch die gegebenen fünf Punkte geht. 

Nachdem wir so die Möglichkeit der Aufgabe, durch fünf gege- 
bene Punkte eine Curve zweiter Ordnung zu legen, erkannt haben, 
können wir die Frage nach der Gleichung dieser Curve stellen. 
Diese muss vom zweiten Grade in x, y sein, also die Form haben: 

ax^ -{-hxy -\- ci/ -\- dx-\- ey -^ f = {)-^ 
sie muss ferner erfüllt sein, wenn man für x, y die Coordinaten eines 
gegebenen Punktes einsetzt; unterscheiden wir letztere durch beigefügte 
Indices, so müssen also noch die fünf Gleichungen bestehen: 

aoc^^ -\-hXyy^-\-cy^^ -\- dx^-{- cy^-\-f=0 

ax^^ + ^^2^2 + cy^ + f/a:^ + ^^2 + /■= 

«V + ^x-iVT^ + cy^ -\- dx^ 4- cyg + / = 

ax^' + hx^y^ -f cy/ -{. dx^-^ cy^ ^ f ==Q 

ax,^ + bx,y, + cy,^ -f dx, -j- cy, -\- f = 0. 

Dies sind aber fünf lineare Gleichungen für die 6 homogenen 

Unbekannten a, b, c, d, e, f, wir können daher letztere aus ihnen 

eindeutig berechnen, und unsere Aufgabe ergibt nur eine einzige 

Lösung, also: 

•) Wenn wir bisher die Beweise in doppelter Form gaben, so geschah dies, 
um die ungewohntere Auffassung einer Curve als Erzeugniss es ihrer Tangenten 
geläufiger zu machen; auch im Folgenden werden wir deshalb noch öfter beide 
Betrachtungen durchführen. 



Einleitende Betrachtungen. — Punktreihen und Strahlbüschel. 



49 



Eine Curve zweiter Ordnung ist \ Eine Curve zweiter Klasse ist 

vollkommen bestimmt, wenn fünf \ vollkommen bestimmt, wenn fünf 
ihrer Punkte gegeben sind. I ihrer Tangenten gegeben sind, 

Ist nun eine Curve zweiter Ordnung gegeben, so kann man fünf 
Punkte derselben beliebig wählen, und indem man zwei von ihnen 
als Büschelscheitel annimmt, die drei anderen aber zur Festlegung 
der projecti vischen Beziehung zwischen beiden Büscheln benutzt, eine 
durch die 5 Punkte gehende Curve zweiter Ordnung als Ort der 
Schnittpunkte entsprechenden Strahlen construiren. Diese Curve muss 
dann mit der gegebenen zusammenfallen, da durch fünf Punkte nur 
eine solche Curve 'geht; es folgt also: 



Eine jede Curve zweiter Klasse 
kann durch zivei projectivische 
Punktreihen in obiger Weise ent- 
standen gedacht werden. 



Eine jede Curve zweiter Ord- 
nung kann durch zwei projectivische 
Strahlbüschel in obiger Weise ent- 
stafiden gedacht iverden. 

Da man hiernach fünf ganz beliebige Punkte einer Curve zweiter 
Ordnung wählen kann, um auf sie eine Erzeugungsweise unserer Art 
zu begründen, so folgt, dass die Scheitel der benutzten Büschel (bez. 
die Träger der Punktreihen) in keiner Weise ausgezeichnet sind; und 
hieraus ergeben sich weiter die folgenden Sätze, welche eigentlich nur 
verschiedene Ausdrucksweisen dieser Bemerkung sind : 



Die Verbindungslinien von ir- 
gend zwei Punkten einer Curve 
zweiter Ordnung mit den übrigen 



Auf irgend zwei Tangenten 
einer Curve zweiter Klasse be- 
stimmen die übrigen Tangenten 



Punkten derselben ergeben zwei der Curve durch ihre Schnittpunkte 



projectivische Strahlbüschel. 

Bewegt sich ein Punkt auf 
einer Curve zweiter Ordnung, so 
bleibt der Büschel der Strahlen, 
welche ihn mit den andern festen 
Punkten der Curve verbinden, stets 
sich selbst projecti visch. 

Wie man auch vier feste Punkte 
einer Curve zweiter Ordnung mit 
einem fünften Punkte derselben ver- 



zwei projectivische Punktreihen. 

Bewegt sich eine Tangente 
einer Curve zweiter Klasse um 
diese, so bleibt die auf ihr durch 
die übrigen Tangenten ausgeschnit- 
tene Punktreihe stets sich selbst 
projecti visch. 

Wie man auch vier feste Tan- 
genten einer Curve zweiler Klasse 
durch eine fünfte Tangente derselben 



bindet, das Doppelverhältniss der j schneidet, das Doppelverhältniss der 
vier Strahlen ist immer dasselbe. \ vier Schnittpunkte ist immer dasselbe. 

Diese Sätze geben gewissermassen die Grundlage für eine Geo- 
metrie auf der Curve zweiter Ordnung, wie wir sie oben auf einer 
Punktreihe und in einem Strahlbüschel studirt haben ; sie können aber 
auch zur Ableitung der meisten über Curven unserer Art geltenden 

Clebsoh, Vorlesungen. 4 



50 



Erste Abtheilung. 



Relationen dienen. Ein Beispiel für ihre Fruchtbarkeit mögen die 
folgenden wichtigen Sätze geben, welche als der Pascal 'sehe und der 
Brianchon'sche Satz*) bekannt sind: 



Die gegenüberliegenden Seiten 
eines einer Cnrve ziveiter Ordnung 
eingesehriebenen Sechsecks (d. h. des- 
sen Ecken auf ihr liegen) schnei- 
den sich in drei Punkten einer ge- 
raden Linie (vgl. Fig. 14, a). 

Fig. 14, a. , 




Die Verbindungslinien der gegen- 
ilberliegendcn Ecken eines einer 
Curve zweiter Klasse umgeschriebenen 
Sechsseits (d. h. dessen Seiten sie be- 
rühren) gehen durch einen Punkt 
(vgl. Fig. U,i,). 

Fig. 14, h. 




Bezeichnen wir nämlich die Ecken des Sechsecks durch Zahlen 
und betrachten diejenigen Seiten als gegenüberliegende (die Anordnung 
ist übrigens gleichgültig), welche in dem Schema: 

12 45 I 
23r 5G II 
34 61 III 

neben einander stehen, wo 12 die Verbindungslinie der Punkte 1 und 
2 bedeutet, etc. und sind I, II, III bez. die fraglichen drei Schnitt- 
punkte, so werden z. B. auf den Linien 34 und 45 beziehungsweise 
von den zu einander projectivischen Büscheln mit den Scheiteln 6 
und 2 zwei projectivische Punktreihen ausgeschnitten, welche perspecti- 
visch liegen, da sie den Punkt 4 entsprechend gemein haben: die 
Verbindungslinien entsprechender Punkte also, d. h. die Linien I III, 
23, 56 schneiden sich in einem Punkte II, q. e. d. 

Mit Hülfe des Pascal'schen Satzes ist es leicht, beliebig viele 
Punkte einer Curve zweiter Ordnung, von der fünf Punkte (1, 3, 2, 4, 5) 
gegeben sind, zu construiren: Man lege durch einen der gegebenen 
Punkte (etwa 5) eine beliebige Gerade (etwa ölT); alsdann ist die 
Construction ihres zweiten Schnittpunktes (6) mit der Curve unmittel- 



*) Pa.scal: Essai pour les coniques, 1630; in der Gesammtausgabe seiner 
Werke. — Brianchon: Journal de l'ecole polytechnique, eahier 13, 1806. 



Einleitende Betrachtungen. — Piinktreilien und Strahlbüschel. 



51 



bar aus Fig. U,a ersichtlich. Ebenso gibt der Brianchon'sche SatzT ein 
Mittel, beliebig viele Tangenten einer durch fünf ihrer Tangenten ge- 
gebenen Curve zweiter Klasse zu finden. 

Unsere geometrische Erzeugungsweise der Curven zweiter Ord- 
nung und Klasse gibt ferner die Lösung der Aufgabe: Es sollen die 
beiden Schniltpunkle einer Geraden mit einer durch fünf ihrer Punkte 
gegebenen Curve zweiter Ordnung construirt werden. Bezeichnen wir 
nämlich die fünf gegebenen Punkte mit 1, 2, 3, A, 5, und legen durch 
zwei von ihnen, etwa 1 und 2, Strahlen nach den drei andern: 3, 4, 5, 
so sind dadurch zwei projectivische Strahlbüschel mit den Scheiteln 
1 und 2 bestimmt, welche den Kegelschnitt in bekannter Weise er- 
zeugen. Die beiden Büschel schneiden auf der gegebenen Geraden zwei 
projectivische Punktreihen aus. Ein Punkt der Geraden wird nun 
gleichzeitig auf der Curve zweiter Ordnung liegen, wenn in ihm zwei 
entsprechende Strahlen der Büschel sich schneiden, d. h. zwei ent- 
sprechende Punkte der Reihen zusammenfallen. Da es immer zwei 
reelle oder imaginäre Schnittpunkte geben muss (die für eine Tangente 
nur zusammenfallen), so folgt beiläufig der Satz: In zwei vereinigt 
gelegenen, projectivischen Punktreilien gibt es immer zwei Punkte, tvelche 
mit iliren entsprechenden zusammenfallen^: die sogenannten Doppelpunkte 
der beiden Reihen*). Unsere Aufgabe ist somit auf die andere zurück- 
geführt, die Doppelpunkte zweier vereinigt gelegenen projectivischen 
Punktreihen zu construiren. 

Es seien nun die beiden Reihen durch drei ihrer Punkte \ A, B, C 
und «, b, c gegeben, welche bez. einander entsprechen sollen (vgl. 
Fig. 15). Wir nehmen dann eine beliebige Curve zweiter Ordnung, 
am einfachsten einen 
Kreis K, als gezeich- 
net gegeben an. Von 
einem Punkte M des 
Kreises ziehen wir 
Strahlen nach den 
Punkten A, B, C, 
a, b, c, welche den 
Kreis noch bez. in 
den Punkten A\ B\ C , 

a , b' , c treffen mö- ^ 

gen. Betrachten wir ^-^ ""^7 \b o\ Tr \h :TV o^ 

dann einmal den Punkt M , einmal einen der drei zuletzt erwähnten 
Punkte, z. B. A' als Scheitel eines Strahlbüschels, so ist 




*) Es lässt sich dies übrigens auch leicht direct nachweisen. Vgl. darüber 
die dritte Abtheilung dieser Vorlesungen. 



52 Erste Abtheiluiig. 

das Büschel M (A' ß'C) projectivisch zu d {A' B' C) 
und ebenso / 

das Büschel M{a',h',c) „ „ A' {d, b', c) . 

Da nun der Annahme nach M {A' B'C') und M {a , b', c) einander 
projectivisch sind, so ist auch 

d {A' B' C) projectivisch zu A' (a', b', c) . 
Die beiden Büschel sind aber in perspectivischer Lage, weil sie den 
Strahl A ' d entsprechend gemein haben ; sie erzeugen also als per- 
spectivischen Durchschnitt eine Gerade, welche den Kreis in den bei- 
den Punkten P, P' treffen möge. Die Strahlen MP, M P' sind dann 
die Doppelstrahlen der beiden projecti vischen Büschel 

.V {A' B'C) und M {d, . b' , c) , 
oder, was dasselbe ist, der Büschel: 

M{ABC) und M{a,b,c). 

Ihre Schnittpunkte mit der gegebenen Geraden {0 und 0') bestim- 
men daher die beiden gesuchten Doppelpunkte der auf ihr gegebenen 
projecti vischen Punktreihen; und damit ist unsere Aufgabe gelöst.*) 

— Die ausdrückliche Voraussetzung für die Gültigkeit - unserer 
letzten Betrachtungen war, dass die zur Erzeugung benutzten projecti- 
vischen Gebilde nicht perspectivisch liegen dürfen. Ist dies dagegen 
der Fall, so sind die erzeugten Gebilde keine eigentlichen Curven 
unserer Art mehr. Sind nämlich die beiden Strahlbüschel in perspec- 
tivischer Lage, so besteht die durch sie erzeugte Curve zweiter Ord- 
nung aus zwei Geraden: dem perspectivischen Durchschnitte beider 
Büschel und der Verbindungslinie ihrer Scheitelpunkte. Ebenso be- 
steht die Curve zweiter Klasse aus zwei einzelnen Punkten, wenn die 
beiden zu ihrer Erzeugung benutzten Punktreihen perspectivisch liegen : 
dem Schnittpunkte beider und dem Centrum der Perspectivität. Dies 
erhellt auch analytisch sofort; denn die projecti vischen Gebilde haben 
bei perspectivischer Lage ein Element entsprechend gemein, und wir 
können die Gleichungen daher in der Form annehmen ; 

zwei Strahlbüschel: zwei Punktreihen: 

G -{- ^H =i) P+ (iQ =0 

6'4-^//' = 0, P-\-(iQ' = 0, 

wo dann die Elimination von ft ergibt: 

G{H'-H) = Q, i 7>(0'_^) = 0, 

d. h. die Curve zerfällt, wie es sein muss, 

*) Ebenso kann man alle Gleichungen zweiten Grades constructiv lösen, wenn 
man einen gezeichnet gegebenen Kreis zu Hülfe nimmt. Vergl. Steiner: Die 
geometrischen Constructionen ; Berlin 1833. 



Einleitende Betrachtungen. - Puuktreihen und Strahlbüschel. 53 



in die beiden Geraden: 
G = 
und: H'-H=0. 



in die beiden Punkte 
und: Q'—Q = 0. 



Analog kann eine jede Curve n**^'" Ordnung in n Gerade, eine Curve 
n*" Klasse in n Punkte zerfallen; und umgekehrt können wir stets die 
Gesammtheit von n Geraden als eine Curve n*^' Ordnung, die von n 
Punkten als eine Curve n^^"" Klasse auffassen. Wir vrerden später die 
allo"emeine Bedingung dafür kennen lernen, dass eine Curve zweiter 
Ordnung, bez. Klasse in dieser Weise ausartet. 

Wir haben oben gesehen, dass man eine Gerade nie als Enveloppe 
von Geraden, einen Punkt nie als Ort von Punkten darstellen kann, 
während im Allgemeinen jede Curve in doppelter Weise aufzufassen 
ist. Beim Zerfallen der Curven tragen also die entstehenden Gebilde 
einen wesentlichen verschiedenen Charakter, je nachdem man die Curve 
ursprünglich als Punkt- oder Tangentengebilde ansah; es ist dies hier 
um so bemerkenswerther, als sonst die Curven zweiter Ordnung mit 
denen zweiter Klasse identisch sind, wie wir sogleich zeigen wollen. 
Der Beweis knüpft sich an eine Definition von Ordnung und Klasse 
der Curven, wie man sie in der synthetischen Geometrie anzunehmen 
pflegt, nämlich: 

Eine Curve n'"' Ordnung wird • An eine Curve n'"" Klasse gehen 

von einer Geraden in n (reellen oder \ von einem Punkte aus n (reelle oder 
imaginären) Punkten geschnitten. imaginäre) Tangenten. 

Dies stimmt mit der früheren Definition; denn sei die Curve: 



und die Gerade: 

ax -\- htj -\- c = 0, 



f{u,v) = Q 
und der Punkt: 

au -\- bv -\- c = 0, 



so erhält man eine Gleichung n^^"" Grades 

für y, für y, • 

wenn man in f (x, y) setzt: wenn mau in f {u, v) setzt: 

x = — ^y + " . M = - ^^^^:^ • 

a ^ 

Hieran anknüpfend stellen wir zum Beweise unserer Behauptung 
die Gleichung einer in Punktcoordinaten gegebenen Curve 2. Ordnung 
wirklich in Liniencoordinaten auf, wobei sich dann in der That eme 
Gleichung zweiten Grades in u, v ergibt. 

Die Curve zweiter Ordnung sei gegeben durch die beiden Büschel : 

also ihre Gleichung 



54 Erste Abtheilung. 

Gir ~ G'H = (); 
die Gleichung der geraden Linie sei: 

IIX -\- VIJ -\- \ :=z 0. 

• Wir wollen den Werth von ^i bestimmen, welcher den nach den 
Schnittpunkten der Geraden mit der Curve gehenden Strahlen jener 
Büschel zukommt. Die Gleichungen der letzteren können wir aufge- 
löst in der Form schreiben: 

iOx + .it^i) X + {g, -f iih,) y -\-{g. + ^Äg) = 
[Uy + ^h;) X + (^2' + it*V) y + («73' + /iV) == 0. 
Diese Gleichungen müssen für die gesuchten Schnittpunkte mit der 
der gegebenen Geraden zusammenbestehen, d. h. es ist für sie: 

\di' + Hh^' g.; + iuÄ,' g^ + iw V = , 
\ u V \ 

eine in ,a quadratische, in u, v lineare Gleichung. Ordnen wir nach 
,u , so wird sie also von der Form : 

wo P, 0, R lineare Functionen von u und v sind, und darauf kommt 
es uns hier allein an. Betrachten wir u, v als Constante, so gibt die 
Auflösung dieser Gleichung die beiden gesuchten Werthe von ^it; 
nehmen wir jedoch ^ constant und u, v variabel an, so ist dies die 
Gleichung des Durchschnittspunktes der beiden Strahlen, welche dem 
gewählten Werthe von /i in den Büscheln entsprechen, d. h. die 
Gleichung eines Punktes der Curve zweiter Ordnung. Lassen wir pi 
nach einander alle möglichen Werthe durchlaufen, so erhalten wir 
alle Punkte der Curve; diese also erscheint durch unsere Darstellung 
mit Hülfe eines Parameters ^i in die Gesammtheit aller ihrer Punkte 
aufgelöst: sie ist so, da (li quadratisch vorkommt, gewissermassen als 
Pnnklreihe zweiler Ordnung aufgefasst, ebenso wie die Gerade in der 
Gleichung 

als lineare Punktreihe vorgestellt wird. 

Fügen wir noch die Bedingung hinzu, dass die Linie u, v eine 
Tangente der Curve ist, so erhalten wir die gesuchte Gleichung der- 
selben in Liniencoordinaten. In diesem Falle muss sie von der Gera- 
den in zwei zusammenfallenden Punkten geschnitten werden, d. . h. die 
beiden Wurzeln der quadratischen Gleichung in }i müssen einander 
gleich werden. Diese sind aber: 

^ 2H^ 2R > 



Einleitende Betrachtungen. — Punktreihen und Strahlbüschel. 55 

und die Bedingung für ihre Gleichheit ist: 

die Gleichung äer Ciirve in Liniencnordinaten. Hier sind P, Q, R linear 
in M, y, die Gleichung daher in ihnen quadratisch, also*): 

Jede eigentliche Curve zweiter Ordnung ist auch von der ztveilen Klasse. 

Durch eine ganz analoge Betrachtung wird auch der umgekehrte 
Satz bewiesen. Eine Curve zweiter Klasse sei durch die beiden pro- 
jectivischen Punktreihen: 

P -\-^0 =0 

p'-\-^Q' = 
gegeben. Die von einem durch die Gleichung: 

tfx -\- VI/ -\- 1 = 

o-eo-ebenen Punkte an dieselbe gehenden Tangenten werden durch die 
quadratische Gleichung: 

X y l I 

bestimmt, worin P, 0, P' , 0' durch ihre linearen Ausdrücke in x, y 
ersetzt sind. Nach ^ geordnet wird diese Gleichung von der Form: 

wo G, H, K in x, y lineare Ausdrücke bedeuten. Es ist dadurch die 
Curve, wenn wir x, y als variabel, fi als Parameter auffassen, darge- 
stellt in ihrer Entstehung durch die Schaar ihrer Tangenten: als 
Strahlbüschel ziveiter Klasse. Fallen die beiden diesem angehörigen 
Linien, welche durch einen Punkt gehen, zusammen, d. h. die beiden 
Tangenten an die Curve, so muss der Punkt auf der Curve liegen; 
die Bedingung dafür: 

H'i — AGK =^0 

gibt daher die Gleichung der Curve in Punktcoordinaten , und diese ist 
vom zweiten Grade in x, y\ also: 

Jede eigentliche Curve zweiter Klasse ist auch von der zweiten Ordtiung. 

Die Identität beider Arten von Curven berechtigt uns im Folgen- 
den, sie zunächst nur als Punktgebilde zu betrachten; auf die duali- 
stische Behandluugsweise werden wir dann von selbst geführt. Auch 
werden wir sie, unabhängig davon, wie wir sie gerade auffassen, kurz 
als Kegelschnitte bezeichnen. Sie können nämlich durch den Schnitt 
einer Ebene mit einem Kreiskegel erzeugt werden, und wurden unter 
diesem Gesichtspunkte schon im Alterthume behandelt. 



*) Auf das Verhalten zerfallender Curven kommen wir später zurück. 



56 



Erste Abtheilung. 




VI. Harmonisclie Theilung, 

Unter den ausgezeichneten Werthen, welche ein Doppel verhältniss 
annehmen kann, ist der für die harmonische Lage bereits oben be- 
sonders hervorgehoben. Schon die Betrachtung der einfachsten Ver- 
hältnisse zwischen vier beliebigen Punkten oder Geraden führt auf 
diese Lagenbeziehung ; und im Anschlüsse hieran ergibt sich eine ein- 
fache Construction des vierten harmonischen Elementes zu drei ge- 
^'^■^'^'"' gebeneu. Die Combination von 

vier beliebigen Geraden bezeichnen 
wir als vollständiges Vierseit; ein sol- 
ches hat 6 Ecken, welche einander 
paarweise gegenüberstehen (die 
Schnittpunkte von je 2 Seiten; die 
Punkte eines Paares sind in Fig. 16,« 
mit gleichen Zahlen bezeichnet) und 
3 Nebenseiten (in Fig. 16, a mit I, 
II, III bezeichnet), die Verbin- 
dungslinien der Punkte eines jener 
Paare. Für die letzteren gilt dann 
der Satz: 

Jede Nebenseite eines vollständigen Vierseits wird von den beiden 

andern Nehenseiten und den auf ihr liegenden Ecken harmonisch getheilt. 

Analoges gilt für das vollständige Viereck; dasselbe hat 6 Seiten, 

die einander paarweise zugehören, und 3 Nebenecken (in Fig. 16, i mit 

den Zahlen I, II, III bezeichnet): 
Die Verbindungslinien einer Neben- 
ecke mit den beiden andern Neben- 
ecken liegen harmonisch zu den bei- 
den durch dieselben gehenden Seiten. 
Dieser Satz steht dem vorher- 
gehenden nicht nur dualistisch 
gegenüber, sondern ist eine un- 
mittelbare Folge desselben, und 
umgekehrt, wie denn überhaupt 
die Figur des Vierecks mit der des 
Vierseits im Ganzen identisch ist: 
beide -sind nur verschieden aufge- 
fasst, indem man einmal von vier 

^ c^ ■, ' ^^^ ^ Ecken, einmal von vier der 

o beiten ausgeht. 

Der Beweis des angeführten Satzes ergibt sich wieder einfach 
durch Anwendung der abgekürzten Bezeichnungsweise. Es seien 




Einleitende Betrachtungen. — Prinktreihen und Strahlbüschcl. 



Ö7 



G = 0, 11=0, K^O, L = 
die Gleichungen der Seiten eines vollständigen Vierecks, wo: 

G = ffix -\' (j.,ij -\- g 
H == h^x -\- h^y -\- h 
A' = A-jO; -j- k.^y -\- k 
l =l^x -\- l^y -\- l. 

Man kann dann immer vier Grössen a, ß, y, d so bestimmen, dass 
die Gleichungen: 

ag +/3Ä +yÄ- -\- 81 =0 

erfüllt werden, denn durch diese drei Gleichungen sind die Verhält- 
nisse von a, ß, y, 8 völlig bestimmt; multiplicireu wir sie bez. mit 
X, y, 1 und addiren, so ergibt sich identisch: 

aG-\- ßff-{-yK-^dL = , 

oder wenn wir G statt aG, H statt ßH, K statt yK, L statt öL 
schreiben, wodurch die geometrische Bedeutung nicht geändert wird: 

G-ir ff+ Ä'-f Z = 

Gleiches ergibt sich für vier lineare Functionen in u, v: 

i>=0, ^ = 0, B = 0, S = 0. 

Also zivischen vier Geraden, bez. vier Punkten besteht immer eine Iden- 
tität, d. h. eine Gleichung, die von den Coordinaten aller Punkte, bez. 
Geraden erfüllt wird; Avir können ihr, wenn die vier Geraden nicht 
demselben Büschel, die vier Punkte nicht derselben Reihe angehören, 
die Form geben: 



G + H -\- K ^ L = i) 

(vollständiges Vierseit). 

Die drei Nebenseiten sind dann 
gegeben durch: 

G-{-K=-{H-^L) = 
. G-{- L = ~ {H -\- K) = 0, 

denn die erste von ihnen z. B. 
geht wegen ihrer beiden Glei- 
chungsformen gleichzeitig durch 
den Schnitt von C = 0, H = 
und durch den von A' = 0, Z = 0. 



pj^QJ[-RJ^S=0 

(vollständiges Viereck). 

Die drei Nebenecken sind dann 
gegeben durch: 

P+ Q = — {R + S) = i) 

P+ R — — {Q-\-S) = 
P^S--{Q-^R) = 0, 

denn die erste von ihnen z. B. liegt 
wegen ihrer beiden Gleichungs- 
formen gleichzeitig auf der Ver- 
bindungslinie von P = 0, Q = 
und auf der von R = 0, S =■ 0, 



58 Erste Abtheilung. 

Der vierte harmonische Strahl ! Der vierte harmonische Punkt 

zu 6^ = ü, // = und G -^ H ^ zvi P =^ 0, = und P -\- Q = 
ist daher: ist daher: 

G—B^(G-\-A')-{/J-{-A')=^0, P- 0-^{P-\-B)~{n-^R) = 0, 

d. h. Zu zwei Seiten und der durch d.h. Zu zweiEcken und der auf ihrer 

ihren Schnittpunkt gehenden Ne- Verbindungslinie liegenden Neben- 

benseite geht der vierte harmonische ecke liegt der vierte harmonische 

Strahl durch den Schnittpunkt der Punkt auf der Verbindungslinie der 

beiden andern Nebenseiten, oder: beiden andern Nebenecken, oder: 
Jn einem volMändigen Vier seit In einem vollständigen Viereck 

liegen je zivei Schnittpunkte der iverden die Verbindungslinien je 

Nebenseiten harmonisch zu je zwei zweier Nebenecken von je zwei Sei- 

Ecken des Vierseits; q. e. d. ten harmonisch getheilt; q. e. d. 

Es ergibt sich hieraus die Construction des vierten harmonischen 
Elementes zu drei gegebenen von selbst. Seien nämlich auf einer 
Geraden drei Punkte: 1, 2, 3 gegeben, und soll ein Punkt 4, der zu 
ihnen harmonisch liegt und mit 2 das dem Paare 1, 3 zugeordnete 
Paar bildet, construirt vrerden, so ziehe man durch 1 und 3 zwei be- 
liebige Gerade, verbinde deren Schnittpunkt mit 2 und ziehe durch 1 
und 3 zwei andere Gerade, welche sich auf dieser Verbindungslinie 
schneiden. Letztere trejffen die zuerst gezogenen Linien in zwei Punkten, 
und die Verbindungslinie dieser schneidet auf der gegebenen Geraden 
den gesuchten Punkt 4 aus. Die Richtigkeit der Construction erhellt 
sofort aus der Fundamentaleigenschaft des vollständigen Vierseits, 
welches hier von den vier durch 1 und 3 gezogenen Strahlen gebildet 
wird. Ebenso findet man zu drei gegebenen Strahlen den vierten 
harmonischen; man braucht dieselben nur durch eine vierte Gerade 
zu schneiden und zu den drei auf diesen so bestimmten Schnittpunkten 
in angegebener Weise den vierten harmonischen Punkt zu suchen, 
wobei man die drei Strahlen selbst sofort benutzen kann. 

Das principielle Interesse, welches diese Constructionen bieten, 
liegt darin, dass wir allein durch Ziehen von geraden Linien, ohne 
Anwendung des Cirkels, zum Ziele gelangen. Eine jede Aufgabe, 
welche nur eine Lösung zulässt, muss sich in dieser Weise lösen lassen; 
erst wenn dies gelungen ist, dürfen wir sie als vollständig gelöst be- 
trachten. Dabei ist jede Anwendung anderer Hülfsmittel, als der durch 
das Verbinden von Punkten oder durch das Schneiden von Geraden 
gegebenen, zu vermeiden, zumal jede Benutzung von Strecken und 
Winkelgrössen, wo es sich nur um Lagen beziehungen handelt. Eine 
solche bringt in die Lösung Elemente hinein, welche der Natur der 
Aufgabe nicht entsprechen. 



Einleitende Betrachtungen, — riinktioihoii iiiul Strahlbüschel. 



59 



, VII. Natur des Coordinatensystems. 

Das Cartesische Coordinatensystem ist ein willkürlich gewähltes 
Werkzeug zur Behandlung von Aufgaben ; die Wahl derselben , d. h. 
die Lage der Coordinatenaxen in der Ebene, ist an und für sich gleich- 
gültig, die geometrischen Eigenschaften der behandelten Figuren 
müssen unabhängig von ihr bestehen. In der That fanden wir bisher 
in der abgekürzten Bezeichnungsweise ein Mittel, um unsere Unter- 
suchungen ohne Rücksicht auf die Lage des Coordinatensystems durch- 
zuführen. Gleichwohl wird im Folgenden die Betrachtung oft durch 
geschickte Wahl desselben wesentlich erleichtert, und es bietet sich 
dadurch die Aufgabe, zu untersuchen, wie man aus einer Lage des 
Coordinatensystems zu einer anderen übergehen kann, wie 'sich die 
vorliegenden Gleichungen durch Einführung neuer Coordinatenaxen 
ändern; wir werden dadurch zur Lehre von der sogenannten Coordi- 
natentrctnsformation geführt. Gleichzeitig werden wir eine wesentliche 
Verallgemeinerung unseres Coordinatensystems kennen lernen, wie die- 
selbe später von uns fast ausschliesslich gebraucht werden soll. 

Verrücken wir die Axen des Coordinatensystems nur parallel zu 
sich selbst und bezeichnen die Coordinaten eines Punktes x, ij in Be- 
zug auf die neuen Axen durch x, ij, so ergeben sich für Einführung 
dieser neuen Veränderlichen unmittelbar die Gleichungen: 



X == X -\- a 



oder aufgelöst: 

x = X — a 

wo rt, h die Coordinaten des neuen Anfangspunktes in Bezug auf das 
alte System sind. 

Drehen wir dagegen die Axen nur 
um den Anfangspunkt und bezeichnet a 
den Winkel der neuen ^if-Axe gegen die 
alte, so ist (vgl. Fig. 17) 



Fig. 17. 



oder aufofelöst: 



X = X cos u — y sin a 
IJ == x sin a -\- y cos er , 



> 




a;' = X cos fi -\- y sin a 
y' = — X sin a -\- y cos a . 
Führen wir endlich beide Bewegungen zusammen aus, so ergibt 
die Combination der Gleichungen (l) und (2): 



60 Erste Abtheiluiig. 

X = a -{- X cos a — y sin a 

// = ö -|- a;' sin a -{- y' cos a 
oder umgekehrt: * 

X = [x — a) cos a -\- (y — b) sin a 
y = — ix — d) sin « + (y — T)) cos « 

Diesen Gleichungen gemeinsam ist ihr linearer Charakter, und das 
ist für uns wesentlich; die alten Coordinaten drücken sich linear und 
ohne Nenner durch die neuen aus, und ebenso diese durch jene. 
Einen gleichen Charakter würde das Princip der Dualität für die 
Transformationsgleichungen der Liniencoordinaten fordern; thatsäch- 
lich erscheinen diese jedoch zunächst in anderer Form, und dieser 
Umstand wird uns das Cartesische Coordinatensystem als für unsere 
Forderungen ungenügend erscheinen lassen, wir werden es deshalb 
durch ein allgemeineres ersetzen. 

Als Liniencoordinaten werden die Coefficienten von x, y in dem 
Ausdrucke 

ux -\- vy -\- 1 

bezeichnet; geht dieser also durch eine Transformation mittelst der 
Gleichungen (1), (2) oder (3) in die Form: 

px -{- qy -\- r 
über, so sind 

P^ , ' g ' 

die neuen Liniencoordinaten. Wenden wir zunächst die Gleichungen 
(1) an, so wird 

nx -\- vy -\- l = ux + vy' ~\- {au -\- bv -j- 1) , 

also sind die Transformationsgleichungen für eine Parallelverschiebung 
des Coordinatensysteras: 

' u 

u = -— ~ — ^_ 



ati -\- bv -{■ 1 
Die umgekehrte Substitution ergibt: 

ux 4- v'y -\- l = ux -{- vy + (— au — bv + 1) , 
also : 



— au — bv -\- 1 

n 

V = 



— au — Aw-f-l 

Für eine Drehung der Coordinatenaxen (Gleichung (2)) er- 
halten wir: 



Einleitende Betrachtungen. — Punktreihen und Strahlbüschel. 



61 



nx-\-V!/-\-l = {u cos a -{- V sin a) x + ( — u sin a -j^ v cos a) y -4- 1, 

also: 

u = u cos a -\- V sin a 

(5) ' • T 

^ V = — u sm a -\- V cos a 

oder aufgelöst: 

u = u cos a — v sin a 

t; = li sin a 4" ^' ^^s a . 
Die Zusammensetzung beider Transformationen endlich ergibt: 
ux-\-vy-\-\=-{ii cosa + y sin a)x -{- (— ?/sin a + t; cos«) y'-f- (öw-|-&y-f- !)■ 
also: 

u 



y = 



u cos or -f- »^ sin a 
au -\- hv -\- ^ 

— u sin a -f" i* C^s a 



oder aufgelöst: 



?/ = 



V = 



au -{- hv -\- 1 



u COS a — w sm a 



— ('I cos a -\- h sin a) ?«' -f- (« sin a -}~ * ^^^ "') ^' 
v' sin cc -\- v cos a 



— (rt cos a -\- b sin et) m' + (« sin a + * cos a) d' 



Die so für die Transformation der Liniencoordinaten aufgestellten 
Formeln tragen zunächst einen anderen Charakter, als die für Punkt- 
coordinaten gefundenen, denn in ersteren tritt rechts ein Nenner auf, 
welcher gleich Null gesetzt, die Gleichung des neuen Anfangspunktes 
gibt, während in letzteren ein solcher Nenner nicht vorkommt. Diese 
Formeln sind daher dem Principe der Dualität, welches gleichmässige 
Umformung der Punkt- und Liniencoordinaten fordert, nicht ent- 
sprechend, und es liegt dies daran, dass das Cartesische Coordinatensystem 
ein undualistisch particularisirter Fall eines allgemeineren ist. Der erste 
Versuch, dasselbe zu erweitern, bestand in der Einführung schiefwink- 
liger Coordinaten, welche parallel zu zwei beliebigen, sich unter 
irgend welchem Winkel schneidenden Axen gemes- 
sen werden. Man gelangt zu ihnen (vgl. Fig. 18), 
von rechtwinkligen Coordinaten x, y ausgehend, 
unmittelbar durch die Gleichungen: 
X == x cos ci -\- y cos ß 
y = x sin a -\- y sin ß , 
wo {ß — a) der von den neuen Axen eingeschlos- 
sene Winkel ist. Alle Formeln behalten jedoch 
durch Einführung dieser Coordinaten ganz den Typus der rechtwink- 
ligen, und es wird deshalb durch dieselben für unsere Anschauungs- 
weise nichts Neues gewonnen. Die Verallgemeinerung, welche uns 
zum Ziele führen wird, besteht vielmehr in Folgendem, 



Fig. 18. 




62 Erste Abtheilung. 

Wir legen drei beliebige Gerade, welche nicht durch einen Punkt 
gehen, zu Grunde und denken uns einen Punkt durch seine Abstände 
P\y Pi, P.\ Von den gewählten drei Linien definirt. Diese drei Be- 
stimmungsstücke sind nicht von einander unabhängig, schon zwei 
derselben genügen zur Festlegung eines Punktes. Jene drei Grössen 
sind aber nur zweien äquivalent, wenn wir nicht die Abstände selbst, 
sondern nur ihre Verhältnisse benutzen; in der That werden die drei 
Fundamentalgeraden dann gleichmässig angewandt, und wir können 
auch, wenn wir wollen, die Abstände selbst eindeutig bestimmen. Das 
letztere ist jedoch bei Anwendung dieser Coordinaten niemals erfor- 
derlich; wir brauchen sogar nicht die senkrechten Abstände zu wählen, 
sondern können diese in beliebiger Richtung von dem betreffenden 
Punkte aus messen, d. h. die senkrechten Abstände noch mit belie- 
bigen Constanten multipliciren. Wir geben daher die folgende Defi- 
nition für diese Dreieckscoordinaten: 

Die Coordinaten eines Punktes sind drei Zal\len, welche sich verhalten, 
wie die Abstände des Pmiktes von den Seiten eines Dreiecks, jeder Ab- 
stand muUiplicirt mit einer beliebig, aber fest geivählten Constanten. 

Bezeichnen wir die drei Coordinaten des Punktes durch x 
so haben wir also nach dieser Definition: 



\j ■^ly "^-i) 



ox.^ = ]>., ■ x^ 

QX^ = p.^ • X.^ 

wo x^, ^2, Xr^ die zunächst willkürlichen Constanten sind, der Pro- 
portionalitätsfactor q dagegen völlig unbestimmt bleibt, und nur an- 
deutet, dass die absoluten Werthe der 3 Coordinaten völlig gleich- 
gültig sind; wir können die Gleichungen deshalb auch in der Form 
schreiben : 

.T, : x^: x.^ = p^ X, : p.^ x^ : p.^ x.^ . 
Insbesondere sind die drei Coordinaten der drei Ecken des Fun- 
damentaldreiecks bez. gegeben durch: 

a:^ = ; ar.j = , 

oc^ ~ — yj j oc \ == u . 

.r, = , x.^ == , 

während in diesen drei Fällen bez. x^ , x.,, x,^ völlig unbestimmte Werthe 

haben, die nur nicht verschwinden dürfen. Die auf einer der drei 

Seiten liegenden Punkte genügen bez. den Bedingungen 

X, = 
x^ = 

«3 = 0, 

d. h. dies sind die Gleichungen der drei Seiten in Dreieckscoordinaten. 



Einleitende Betrachtungen. — Piuiktreihen und Strahlbüschel. 



63 



Ganz analog führen wir homogene Liniencoordinaten durch folgende 
Definition ein: 

Die Coordinaien einer Geraden sind drei Zahlen, welche sich ver- 
hallen, wie die Abstände der Geraden von den Ecken des Coordinaien- 
dreiecks, jeder Absland mulliplicirl mit einer beliebig, aber fest gewähllen 
Conslanlen. 

Die Gleichungen zur Definition der Liniencoordinaten sind also, 
wenn ^, , fj,, q-^ jene Abstände, A,, l.,, A3 die beliebigen Constanten 

bedeuten : 

öw, = ^,A, 

a w., = q-i A2 

(jM^ = q^h 
wo 6 der willkürliche Proportionalitätsfactor ist. Die Grössen A 
werden wir so wählen, dass sie von den m. in gewisser Abhängigkeit 
sind, nämlich so, dass die vereinigte Lage von Punkt und Gerade 
durch die Gleichung: 

7/,a:i + u.^x.^ 4- W3.r3 = 

angegeben wird; die Art dieser Abhängigkeit werden wir sogleich 
erkennen, wenn wir den Zusammenhang der Dreieckscoordinaten mit 
den rechtwinkligen untersuchen, wo dann die erwähnte Bedingung 

in der Form 

ux -\- vy -\- \ = 

auftreten muss. Es seien die Gleichungen der drei Seiten, bez. der 
drei Ecken des Fundamentaldreiecks in rechtwinkligen Coordinaten: 



«1^: + />,«/ + ^1 =0 
(1) a.,x-\-b.,y -\-c^ = 

a.,x-]r h.^y -\- c.^ =^ , 
wo die ./, D, C die Unterdeterminanten der Determinante 

b 



A,u + B,v -{- C, =0 
A.yU + B,v + 6^2 = 
A.,u-\- B,v^C, = 0, 



«., 



b, 
bo 



sind, z. B.: 

A^ = b^c.^ — c^b^ , i?, = ^2«3 — ^'2^3 ; ^1 = ^2^3 — h^'-^ 5 
die a, b, c hingegen sind ganz willkürlich; nur darf der Fall r = 
nicht eintreten, da dann die der Geraden durch einen Funkt gehen 
würden, was wir ausgeschlossen haben. Nach früheren Erörterungen 
ergeben die Gleichungen (1) für die Abstände eines Punktes ^o;, y von 
den drei Seiten, oder einer Geraden w, v von den drei Ecken die 
Ausdrücke (vergl. p. 24): 



64 



Erste Abtlieilung. 



Pi = 






^1 = 



_A^u + B^v + C, 



^2 = 






Die jö müssen wir mm mit beliebigen Constanten Xi, x^, x^ mul- 
tipliciren, um die Dreieckscoordinaten des betreffenden Punktes zu 
erlialten. Wir können aber, ohne eine specielle Annahme zu machen 
setzen : 

denn eine weitere Aenderung der Constanten a^, b^, c^ etc. um einen 
gemeinsamen 'Factor würde auf die Bedeutung der Gleichungen (1) 
doch ohne Einfluss bleiben. Um auch die Coordinaten einer Geraden 
in einfacher Gestalt zu erhalten, setzen wir: 

A, = C^j , X.^ = C.^ , A3 = C3 , 
wodurch auch die oben gestellte Forderung für die Abhängigkeit der A 
von den n erfüllt ist, und lassen den gemeinsamen Nenner j/u^~^V' 
in den Proportionalifätsfactor 6 eingehen. Dadurch ergibt sich: 



(2) Qx.^-^a.^x^h.^y -irc. 



6u^ = A^u-\- B.^v + 6^3 



Sowohl für Punkt als Gerade kann man also von rechtwinkligen 
zu Dreieckscoordinaten übergehen , indem man diese proportional setzt zu 
linearen Ausdrücken in jenen mit ganz beliebigen Coefficienten , deren 
Determinante nur nicht verschwindet. Um umgekehrt von Dreieckscoor- 
dinaten zu rechtwinkligen zu gelangen, haben wir die Gleichungen (2) 
für M, V, 1 aufzulösen, wodurch man findet: 



(3) 



y = 



Q^j + Cga?2 + ^8^3 

ßx JCy -j- ^2^2 "4" ^:i^3 



Ci^'i + C2X2 4- f's--^''. 



Ojl/f -f r,2"z + «'s "3 

r,«, + C2M2 + ''s "3 



In diesen Formeln findet sich keine Spur einer Verletzung des 
Dualitätsprincips; für Punkt und Gerade sind die rechtwinkligen Coor- 
dinaten gleich linearen Ausdrücken in den Dreieckscoordinaten mit ge- 
meinsamen Nenner. Aus den Gleichungen (2) ergibt sich nun: 

Q . O {u^x, + u,x, -f ^30-3) = U {a;x + b^y + c,) {A^u + B,v + d) , 

wo die Summe über den Index i von ? = 1 bis 2 = 3 zu nehmen ist, 
oder wegen der drei Gleichungen: 



Einleitende Betrachtungen. — Punktreilien und Strahlbüschel. G5 

ffiAi + b,B; + Cid = r , (/ = 1 , 2, 3) : 

Q ' ^ 0^1 ^-^'i + «'2 ^'2 + ^h ^-i) = r {ux J^vy -^Y). 

Die Bedingung für die vereinigte Lage von Punkt und Gerade wird 
also in der Thai durch 

(4) WjO;, -}- J/jXo -f~ ^3^3 = ^ 

ausgedrückt , und dies ist Folge der Bestimmung, welche wir für die 
Constanten A,, Aj, Ag oben getroffen haben. Hätten wir dieselben 
anders gewählt, so wären in diese Gleichung noch Coefficienten ein- 
getreten. Während also durch Aenderung der absoluten Werthe der 
a, l> , c die Grössen x^, x.^, x^ ganz willkührlich bestimmt werden 
können, sind die A damit zugleich völlig festgesetzt, denn es war 

Aj = «2^3 — ^2^3 "^^ ^1 

(5) A.^ = a.^b^ — b.,a^ = C^ 

A3 = </, />2 /^i ('2 ""^ ^3 • 

Um das rechtwinklige Coordinatensystem als besonderen Fall des 
hier eingeführten allgemeineren aufzufassen, nehmen wir, was stets 
erlaubt und durch eine einfache Transfor- ^^«- ^^- ■ 

TT 

mation zu erreichen ist, zwei der drei Coor- 
dinatenseiten zu einander rechtwinklig 
an. Sind dann x, y bez. die Abstände 
eines Punktes von diesen beiden Seiten 
(0:^ = 0, a:2 = 0), und p sein Abstand 
von der dritten Seite (vgl. Fig. 19), so 
haben wir: 

oder wenn wir 

setzen, wo q die Entfernung der Seite x^ = vom Anfangspunkte 
bedeutet: 

QX^=X 

Qx.^ = y 

Lassen wir nun die dritte Seite, parallel zu sich, in's Unendliche, 

fortrücken, so convergirt -^ gegen Eins, denn p unterscheidet sich 

von dem unbegrenzt wachsenden q immer nur um eine endliche Grösse 
so lange der betrachtete Punkt nicht selbst unendlich fern liegt. Es 
ist daher 

C 1 e b s c h , Vorlesungen. 5 




Gß Erste Abtheilnng. 

d. li. wir leiten ans Gleichungen in Dreieckscoordinaten solche in 
rechtwinkligen ab, indem wir eine der Coordinaten = 1 annehmen 
und die beiden anderen durch x, y ersetzen, wie auch aus den Glei- 
chungen (2) hervorgeht, wenn man a^ = b.^ = <?., nimmt und die 
übrigen Coefficienten verschwinden lässt. Der Ausdruck 

geht dabei bis auf einen Factor in 

über, d. h. wenn wir auch u^ = 1 setzen (und das ist bei blossen 
Verhültnisszahlen im Allgemeinen erlaubt) , so werden u^ , u., die 
rechtwinkligen Liniencoordinaten, Letzteres lässt sich auch o-oome- 
trisch in folgender Weise einsehen: verfügen wir über die (joeffi- 
cienten der Gleichungen (2) in angegebener Weise, so wird wegen (5) : 

A, : Aj : A3 = — 1 : — 1 : ex» 
also : 

u^ . iin . 11^ — — "~ • — — : oo • 

Uezeiehnen wir ferner mit /?,, p.^ die Abstände der Schnittpunkte 
der betreffenden Geraden mit den zu einander senkrechten Seiten 
^1 = ^, ^'2 = von den Ecken u^=0, u.^ = des Coordinatendrei- 
ecks, mit a, h die Abstände dieser Punkte von der Ecke w., == 0, 
so ist: 

qa a ' q^ h 

Rückt nun die dritte Seite 0:3 = wieder in's Unendliche, so 
wird in der Grenze 

und dann ergibt sich, wie bei rechtwinkligen Coordinaten: 
w, :«„:?/.> = — - : — -- ; 1 . 

^ -^ f> a b 

Durch specielle Wahl der willkürlichen Constanten können tvir also 
in einfacher Weise von Dreieckscoordinaten zu rechtwinkligen übergehen. *) 
Die Art dieser Bestimmung lässt uns nunmehr auch erkennen, wes- 
halb wir oben die negativen reciproken Abstände als Coordinaten 
einer Geraden einführten, denn nur dadurch geht die Gleichung (4), 
wenn man 



*) P]benso einfach kann man von Dreieckscoordinaten zu den oben berührten 
schiefwinkligen übergehen; man hat dann zu setzen: 

Ar, = /r2 = sin w, Aj = ^ , 
7 
wo w der von den Coordinatenaxen eingeschlossene Winkel ist. 



Einleitende Betrachtungen. — Punktreihen und Strahlbvischel. C7 



x^ = X Wj = II 

^2=1/ 11.2= V 



vx -{- vy -\- \ = 



setzt, unmittelbar iu 

über. 

Der umgekehrte Uebergang wurde durch die Gleichungen (3) ver- 
mittelt. Da hier die x, y und die n, v lineare, homogene Functionen 
mit gemeinsamen Nenner werden, so wird der Grad einer Gleichimg 
in den Veränderlichen durch Einführung der neuen Coordinaten niemals 
erhöht und niemals erniedrigt, der Charakter einer solchen aber inso- 
fern wesentlich geändert, als sie durch Multiplication mit einer be- 
treffenden Potenz des gemeinsamen Nenners in eine homogene Gleichung 
zwischen 3 Variahein iXbergeht.'^) Nur homogene Gleichungen derselben 
haben in der That eine geometrische Bedeutung, da nur die Verhält- 
nisse der x bestimmt sein dürfen. Insbesondere also ist die lineare 
homogene Gleichung: 

m^x^ -j- m^x^ -\- m.^x.^ = 

die Gleichung einer Geraden mit den Coordinaten m^, m,^, m.^, und 

m^u^ -\- m^Uc^ -\- m^u.^ = 

die eines Punktes mit den Coordinaten w, , m^, m.,-^ und von dieser 
Form ist die Gleichung jeder Geraden, bez. jedes Punktes. 

Unter den Gleichungen ersten Grades ist eine besonders ausge- 
zeichnet, nämlich die, deren linke Seite beim Uebergange zu Carle- 
sischen Coordinaten (Gl.(3)) den Nenner gibt: 

C^x^ -j- C2X2 -}- C's^s = 0. 

Für alle Punkte dieser Geraden und nur für diese wird a; = 00, 
y = 00; sie enthält also alle unendlich fernen Punkte der Ebene. 
Da somit die Gesammtheit dieser Punkte durch eine lineare Gleichung 
dargestellt wird, werden wir im Folgenden stets von einer uneiidlich 
fernen Geraden sprechen;**) es soll dadurch jedoch nur diese analytische 
Thatsache, aber keinerlei metaphysische Auffassung ausgedrückt werden. 
Die Einführung dieser Bezeichnung erlaubt uns dann, manche Sätze 
einfacher zu beweisen und auszusprechen, indem wir mit der unendlich 
fernen Geraden wie mit einer wirklich vorhandenen operiren. Es folgt 



*) Homogene Coordinaten finden sich zuerst bei Möbius (Barycentrischer 
Calcul, 1827); aber sie wurden für die Geometrie erst von wesentlicher Bedeu- 
tung durch Plücker (Crelle's Journal, Bd. 5, 1829), indem derselbe Anwendungen 
im Sinne der Theorie der homogenen Functionen gab. 

**) Diese so fruchtbare Ausdrucksweise wurde von Poncelet eingeführt: 
Traite des proprietes projectives des figures, Paris 1822; p. 49 und 53. 



G8 Erste Abtheilung, 

hieraus z. B. wieder der schon früher hervorgeliobene Satz , dass ei7ie 
gerade Linie nur einen unendlich fernen Punkt hat (vgl. p. 33), denn 
jede Gerade wird von einer anderen Geraden nur in einem Punkte 
geschnitten. Ebenso werden wir von zwei unendlich fernen Punkten 
einer Curve zweiter Ordnung, oder allgemein von n unendlich fernen 
Punkten einer Curve w*" Ordnung sprechen. 

Die oben erhaltenen Transformationsformeln waren sämmtlich 
linear in den neuen und in den alten Variabein, und dies war für 
dieselben charakteristisch. Da nun bereits der Uebergang vom recht- 
winkligen Coordinatensystem zum Dreieckssystem auf beliebige lineare 
Functionen führt, so können wir nichts Allgemeineres erhalten, wenn 
wir in den Ausdrücken (2) die rechtwinkligen Coordinaten mittelst 
Gleichungen von der Form (3) auf ein zweites Dreieckssystem beziehen 
und so den Uebergang von einem Dreieckssystem zu einem anderen 
vermitteln. Sind also x^, x.^, x.^; u^, Wj, u^ die Punkt- bez. Linien- 
coordinaten in dem einen System; y,, y^, y^\ v^, v.^, v^ die in dem 
andern, so werden die ersteren proportional zu linearen homogenen 
Functionen der letzteren, deren Determinante, nach Analogie mit Frü- 
herem, nur nicht verschwinden darf. Ferner muss 

1 1 ~i 2 2 ~r" ^^ Oßty 

bis auf einen Factor in 

i\ x^ ~r ^2 "^2 ~r ^3 *^3 
übergeben. Daher sind zusammengehörige Transformationsgleichungen 

für Punktcoordinaten : I für Liniencoordinaten : 

QVi == «11^1 + «12^2 + «13^3 ; I <^Wi = f'n^x + «21 "2 + ^'31 «^;p 

(G) p?/2 = «21^1 + «22^2 + «23^3 7 ! ^^'2 = «12^1 + «22«^2 + «32^3' 

QVi = a^^X^ -1- «32^2 4- «33^3 ; I <?^fj = «13^1 + «23^2 + ^^33 ^3 7 

(wo die Determinante der a,A- nicht verschwinden darf). Es enthalten 
hier die Gleichungen, welche die neuen Punktcoordinaten (y) durch 
die alten {x) ausdrücken, dieselben Coefficienten, wie die Gleichungen, 
welche die alten Liniencoordinaten {u) durch die neuen (y) darstellen, 
nur transponirt; d. h. aus der Determinante der links stehenden Glei- 
chungen erhält man die der rechts stehenden, wenn man die Horizon- 
talreihen mit den Verticalreihen vertauscht; beide Determinanten sind 
demnach identisch. Die Auflösung des Systems (6) ergibt 

für Punktcoordinaten: für Liniencoordinaten: 

iix^ = A^^y^ + A^^y^ +^3iJ'3 ^v^ = A^^u^ + A^^u^ +^13^3 

(7) ilX.^ = Ay^yi 4- ^22^2 + ^32^3 ^^2 = ^21 ^1 + ^22^2 + At «^3 

/ix, = A^^y^ -f- ^2:5^2 + ^3^3 • '»^^3 == ^ii ^1 + 42^2 + 4t3% • 
Es bedeuten hier die Aik die zweigliedrigen Unterdeterminanten 
von der Determinante der Substitution: 



Einleitende Betrachtungen. — Punktreihen und Strahlbüschel. 



69 



«12 



»21 



*23 



*3i '^hi '■h?, 

Aus diesen beiden Systemen von Gleichungen erkennt man sofort 
die geometrische Bedeutung der Substitutionscoefticienten. Da nämlich 

yi=0; ^2 = 0, ?/3 = 0, 
y, = , ^2 = , Vg = , 

bez. die Gleichungen der Seiten und Ecken des neuen Coordinaten- 
dreiecks darstellen, so sind bez. die Coordmaten der neuen 



Dreiecksseiten 



*ii 



'12 



13 



21 



a 



22 



a 



23 



a, 



32 



a 



33 ) 



Breiecksecken. 



h2 



As 



*21 
^31 



.^22 '^ 



■23 

^33 } 



und ebenso in Bezug auf das neue Breieck die Coordinaten der allen 



Breiecksseiten. 



Au 

^,3 



*21 



^23 



M 



*33 



Breiecksecken: 



*22 



'31 
'^32 



*33 



Das neue Coordinatensystem, welches wir soeben untersucht haben, 
'zeigt sich besonders geeignet zur Behandlung solcher Probleme, in denen 
von Massverhältnissen nicht die Rede ist, welche sich also nur auf 
Lagenbeziehungen ausdehnen. Wenn wir daher, wie es im Folgenden 
geschehen soll, unsere früheren Betrachtungen über Punkte und 
Strahlen kurz in Dreieckscoordinaten wiederholen sollen, so müssen 
wir uns dabei auf diejenigen beschränken, welche eine vollkommen 
dualistische Uebertragung gestatten. 

Bie Bedingung der vereinigten Lage von Punkt und Gerade ivar: 

Es ist dies nunmehr auch die allgemeinste Form für die Glei- 
chung eines Punktes oder einer Geraden, je nachdem man die x oder 
die u als constant ansieht; in rechtwinkHgen Coordinaten dagegen 
mussten wir neben der Bedingung für die vereinigte Lage: 

Mo; -j- y?/ -f- 1 = 
noch bez. die Gleichungen 

^.-c + ^y + C^O, Au-\- Bv-\- C = 
als die allgemeinsten für einen Punkt bez. eine Linie untersuchen. - 
Wir behandeln im Ausschlüsse hieran die folgende Aufgabe: 



70 



Erste Abtheilung. 



Es soll die Gleichung der Ver- j Es soll die Gleichung des Schnilt- 

bindungslinie u von zwei gegebenen \ punkles x von zivei gegebenen Gera- 
Punkten y und z aufgestellt iverden. den v und iv aufgestellt iverden. 



Ist X ein Punkt auf dieser 
Linie, so haben wir: 

• «1 x^ + v^x-i + u.^x^ = 

(8) Wi y^ + «2 ^2 + «3 2/3 = 
^/, e, + w, z, -j- Wg z.^ = 



Ist u ein Strahl durch diesen 
Punkt , so haben wir : 

Wj x^ -\- u^ x^ -f ^h ^3 = 
y, o;, -|- r, o:.^ + ^3 x.^ = 
IV ^x^ -f ?f;2r.^ -j- ^ügo-g = . 



Die Elimination von u bez. von x hieraus ergibt 



(Ö) 



als Gleichung des Punktes: 



w 



V., V,, 
1 ?^2 «'3 



0. 



als Gleichung der Geraden: 

jvTj X2 X^ j 
Z, ^2 ^3l 

Es sind also die Coordinaten 
der Verbindungslinie zweier Punkte 

y, z: 

liUy =^2?:, — ^2^3' 
(10) iiu.^ = V^Zx — %y, 

^u.^ =y^z.^ — z^tj.^. 

Die Gleichungen (9) kann man in die folgenden auflösen, welche 
uns die Coordinaten eines beweglichen Punktes der Geraden bez. eines 
beweglichen Strahles durch den Punkt darstellen: 



Es sind also die Coordinaten 
des Schnittpunktes zweier Geraden 
V, lu: 

(IXi = V^W^ — ^^2^3 
^0^2= V.^Wy — W^Vi 
fix, == V,W^ W, ^2 . 



Punktreihe 

(11) Qx^^g^-^ Xz.^ 

9 ^'^3 = ^3 + ^^3 



Strahlbüschel 
QU2 = V2 -\- X w.^ 

QU^ = ^3 + -^«^3- 



Hier ist A wieder ein Parameter. Multipliciren wir die Glei- 
chungen links bez. mit u^, u.^, u^, die rechts bez. mit .c,, x^, x,, 
und addiren auf beiden Seiten, so erhalten wir 

dui ^ Gleichung eines beweglichen \ die Gleichung eines beweglichen 

Strahles des Büschels: 



Punktes der Reihe: 

P+/l() = 0, 



G-\- ?iH=0, 



wo 



Q linear in den w^ G, H linear in den x sind, nämlich: 



= u^z^ -f u^z^ + u.^z^ 



G = v^ x^ -j- v^ X2 -\- v.^ x.^ 
H = w^ a;, + w.y x.^ + w^x.^ . 



In dieser Darstellung hat der Parameter A dieselbe Bedeutung^ 
wir früher A und ^ beim Gebrauche von rechtwinkligen Coordinaten; 



Einleitende Betrachtungen. — Punktreihen und Strahlbüschel. 71 

er gibt nämlich wieder bis auf einen coustanten Factor das Abstands- 
verliältniss des betreuenden Elementes von den beiden festen Griind- 
elementen. Man überzeugt sich hiervon leicht, indem man die Glei- 
chungen (11) und (3) combiuirt. Dadurch erhält man*): 

Z a,- ü,- -f- A, 2 a,- tu,- 



!/ = 



ZC.y. + XZCiZi 



S c^ v^ -(- XHc^w^ 



WO die Summen (die von / = 1 bis / = 3 zu nehmen sind) nur ge- 
gebene constante Grössen enthalten; daher wird die Gleichung des 
Punktes x, y bez. des Strahles u, v in rechtwinkligen Coordinateu 
von der Form: 

d. h. wie früher, linear in A, und dadurch ist unsere Behauptung 
bewiesen. Auch erhalten wir wieder für A = den Punkt y, resp. 
den Strahl v und für A = oo den Punkt z, resp. den Strahl w. Alle 
an die geometrische Bedeutung des Parameters angeknüpften Betrach- 
tungen bleiben somit auch unabhängig vom Coordinatensysteme be- 
stehen, d. h. alle Sätze über Doppelverhältnissc und über projectivische 
Beziehungen behalten denselben analytischen Ausdruck. Insbesondere 
also die Relationen zwischen projecti vischen Punktreihen und Strahl- 
büscheln und die Erzeugung der Kegelschnitte aus denselben. Wir 
wenden uns nunmehr zum genaueren Studium der letzteren Curven. 



*) Es wird kein Missverständniss möglich sein, wenn in diesen CUeichungen 
die Buchstaben y, v einmal als rechtwinklige Coordinaten, einmal (mit Indices 
versehen) als Dreieckscoordinaten auftreten. 



Zweite Abtheilung. 
Die Curven zweiter Ordmiug und zweiter Klasse. 

I. Sclinittpunkte mit einer Geraden. — Polarentheorie. 

Die Curven zweiter Ordnung und Klasse, deren geometrische Er- 
zeugungsweise uns schon früher beschäftigt hat, wollen wir nun 
untersuchen, indem wir nicht von dieser EntstehungsAveise , sondern 
von der allgemeinsten homogenen Gleichung zweiten Grades in 
Xi, X2, x.^ ausgehen. Wir werden dabei finden, dass es keine eigent- 
liche Curven zweiter Ordnung gibt ausser den schon in unseren 
einleitenden Aufgaben erwähnten, nämlich: Ellipse, Hypci-bel und 
Parabel, Es können aber, wie bereits bei Gelegenheit hervorgehoben, 
uneigentliche Curven auftreten, welche durch Zerfallen der Gleichung 
2. Grades in zwei lineare Factoren entstehen; dies führt dann wie- 
der zum Geraden- oder zum Punktepaar. 

Die allgemeinste Gleichung zweiten Grades werden wir erhalten, 
wenn wir die Quadrate und zweigliedrigen Producte der Veränder- 
lichen : 

X^ , X^ > X^ , X^X^ ) X^ X'^ , X^ X-^ 

mit beliebigen von einander unabhängigen Coefficienteu multiplicirt 
addiren. Diese Coefficienten setzen wir, wenn nicht ausdrücklich das 
Gegentheil bemerkt wird, als reelle Grössen voraus. Wir wählen für 
sie denselben Buchstaben und unterscheiden die Coefficienten der 
verschiedenen Glieder durch zugefügte Indices, welche den in sie 
multiplicirten Variabein entsprechen; wir fügen ihnen ferner noch 
den Factor 2 hinzu, wenn in dem betreffenden Gliede zwei verschie- 
dene Veränderliche mit einander multiplicirt sind. Wir schreiben also 
die Gleichung einer Curve zweiter Ordnung in der Form: 

(1) «11^1^ + tt-^^x.^ -f- «33^3^ + 2ay^x^ X2 + 2a^^x^x._^ -|- 2«23^2''*^3 ==" ^^• 

Die Vortheile dieser Schreibweise werden im Laufe unserer Dar- 
stellung von selbst klar werden. Das Hinzufügen der Zahlenfactoren 
empfiehlt sich besonders, da wir den Ausdruck (1) auch kürzer in 
der symbolischen Form: 

{a^x^ + a^x^ + a.^x^y = 



Die Curven zweiter Orcluuug und zweiter Klasse. 73 

schreibeu könneu; vf'iv müssen uns dann nur vorstellen, dass wir statt 
eines Productes r/,^//, den Coefiicienten rti/c (= ('k!) zu setzen haben, 
also «ij statt a^a^, «23 ^^^^^ ^'i^'a? u. s. f. 

Au die Spitze der Theorie stellen wir die Aufgabe, die Schnitt- 
punkte der Verbindungslinie ziveier Punkte y und z mit dem Kegelschnitte 

(1) zu bestimmen. Die Coordinaten eines Punktes dieser Linie sind 
nach dem Früheren: 

^i = J/i + ^Z\ 

•^3 ^= ^3 "T" ^ ^3 5 

und wir haben den Wertli des Parameters A zu suchen, für welchen 
die Coordinaten x^, x^, x-^ der Gleichung (1) genügen, d. h. wir 
müssen setzen: 

{Kyi + «2y2 + ^'3^3) + ^ (^'1-1 + «2^2 + ^-^3^3)}^ = ^ ? 
oder entwickelt: 

(2) A2ß + 2A()+ P = 0, 
wo nun P, Q, R bestimmt sind durch: 

^= («1^1 + «2y2 + '!'3y3? 
■ß=K-l + «2^2 + «3^3? 

(3) Q = («,yi + «2^2 + «32/3) («1^1 + <^2^2 + ^^3^3) 

= 2ri («,1^1 + ^12^2 + «13^3) 

+ 2^2 («21^1 + «22^2 + ^^232/3) 
H- ^3 Kl 2/1 + «32^2 + «332/3) ; 

oder wenn wir uns der Bezeichnungs weise der Differentialrechnung 
bedienen wollen: 






iif^n j-^j^u -L^^^, \ 



P und E entstehen also, wenn man in die linke »Seite der Glei- 
chung des Kegelschnitts (1) die Coordinaten y bez. z statt x einsetzt; 
dagegen ist aus den ij und z symmetrisch zusammengesetzt und in 
beiden linear. Die Auflösung der quadratischen Gleichung (2) nach 
A ergibt: 

j q: J/o^ — PR 
^== 7? ' 

und daher sind die Coordinaten der beiden Schnittpunkte , wenn wir 
den gemeinsamen Nenner R in den Propörtionalitätsfactor q ein- 
gehen lassen: 



74 Zweite Abtheilung. 

().r, -= /?y, — (() --f /(>•-' _I7v/) j^ 
QX, = liy., — (() =jl /()-' — Pr) z^ 
■ - QX-i = Ry., — {Q + yo^^ZTpji) ^_^._ 

Wir haben somit auf der Geraden yz vier Punkte: die gegebenen 
mit den Coordinaten y,- und zi und die soeben gefundenen Schnitt- 
punkte mit dem Kegelschnitte, deren Coordinaten yi -f kzi und 
yi + iizi sein mögen, wo X und ^ die Wurzeln der quadratischen 
Gleichung (2) sind. Diese Punkte werden ein bestimmtes Doppelver- 
hältniss besitzen. Theilen wir zur Bildung desselben die Punkte, ent- 
sprechend der Natur unserer Aufgabe, in zwei Paare, so erhalten wir 
für dies Doppelverhältniss nur zwei verschiedene Werthe, nämlich 
entweder : 

X 
a = - 

oder fy' —. R 

l • 

Nun ist, da A, ft die Wurzeln von (2) sind: 
3 1 -C' 1 P 



daher auch; 



' >.fi Pli 



Also sind (wegen aa =1) a, a die Wurzeln der quadratischen 
Gleichung: 



„._li^--„+l = 0, 



4 C>2 - 2 Pli 
^ PR 

oder: 

(4) (« + 1)'^ PR — 4,Q2a = {), 

und die Auflösung dieser Gleichung ■ gibt unmittelbar das Doppelver- 
hältniss der vier Punkte. Wie müssen letztere nun liegen, damit die 
Gleichung besondere Eigenschaften hat, damit also besondere Werthe 
des Doppelverhältnisses entstehen ? Einen der gegebenen Punkte, z. B. 
y, können wir beliebig wählen; durch ihn ziehen wir alle möglichen 
Strahlen und fragen nach den Punkten z, welche mit y und den bei- 
den Schnittpunkten des betreffenden Strahles ein gegebenes Doppel- 
verhältniss a bilden. Ist y constant, so ist die Gleichung (4) homo- 
gen vom zweiten Grade in z ; dieser Punkt liegt also wieder auf einer 
Curve ziveiler Ordnung. Lassen wir a variiren, so ist demnach jedem 
Punkte durch den gegebenen Kegelschnitt ein System von Curven 
zweiter Ordnung zugeordnet. Unter diesen ist aber eine, icclche in 
eine doppelt zählende Gerade zerfällt; und diese wird für uns von be- 



Die Curven zweiter Ordnung und zweiter Klasse. 75 

sonderer Wichtigkeit. Mit ihr werden wir uns zunächst ausschliess- 
lich beschäftigen, die Beziehung der anderen hier gefundenen Kegel- 
schnitte zur Grundcurve dagegen erst später kennen lernen. 
Setzen wir: 

« = - 1 ; 

so reducirt sich (4) in der That auf (/- = 0, d. h, auf die Linie 

Soll also die Gerade tjz die Curve harmonisch schneiden, so muss 
z auf der geraden Linie (> = liegen, der ,, Polaren des Punktes y in 
Bezug auf den Kegelschnitt"; y dagegen wird der Pol der Geraden 
() = genannt. Wir sprechen diese wichtige Beziehung als Satz in 
der Form aus: 

Wenn man durch einen Punkt alle möglichen Strahlen legt und auf 
jedem den vierten harmonischen Punkt zu y und seinen Schnittpunkten 
mit einem /Kegelschnitte sucht, so liegen alle diese Punkte auf einer Ge- 
raden, ,,der Polare des Poles y." 

Unter diesen Strahlen sind solche, welche die Curve gar nicht, 
oder vielmehr in zwei imaginären Punkten schneiden; dies tritt ein, 
wenn die beiden Wurzeln der Gleichung (2) imaginär werden. Dem 
ungeachtet bleibt der vierte harmonische Punkt reell, denn die ge- 
nannten Wurzeln sind dann immer conjugirt imaginär, und die Glei- 
chungen der vier Punkte haben daher die schon früher erwähnte 
Form (vgl. p. 42): 



Von besonderer Wichtigkeit ist die symmetrische Form der Glei- 
chung (3): 

= 0. 

Da sich dieselbe nicht ändert, wenn man y und z vertauscht, so 
folgt unmittelbar: 

Liegt y auf der Polare von z, so geht die Polare von y durch 
z\ also: 

Beiücgt sich z auf der Polare von y, so dreht sich die Polare von 
z um y; und umgekehrt: 

Dreht sich eine Gerade um einen ihrer Punkte, so bewegt sich ihr 
Pol auf der Polatx dieses Punktes. 

Die Polare schneidet den Kegelschnitt in zwei Punkten. Ver- 
bindet man einen derselben mit dem Pole, so muss auf dieser Geraden 
eine Gruppe von vier harmonischen Punkten 1, 2, 3, 4 liegen (wo 
1, 2 und 3, 4 die zugeordneten Paare seien), von denen zwei Punkte 
(2 und 3) zusammenfallen. Dann fällt aber (vgl. p. 40) auch 4 in 



76 Zweite Abtheiluug. 

dieseu Punkt, d. li. die Sclmittpunkte (3, 4) der Geraden mit der 
Curve fallen zusammen, und somit folgt: 

Die Polare eines Punktes gehl durch die Berührungspunk le der beiden 
von ihm an die Curve gezogenen Tangenlen. (Dass es zwei solche 
Taugenten gibt, haben wir oben gesehen, da jede allgemeine Curve 
2. Ordnung auch 2, Klasse ist.) 

Bewegt sich also ein Punkt auf einer Tangente, so geht seine 
Polare immer durch den Berührungspunkt derselben. Daher ist der 
Berührungspunkt der Pol der Tangente, d. h. die Polare eines Punktes 
der Curve ist die in ihm an die Curve gelegte Tangente. 

Die hier ausgesprochenen Sätze führen auch unmittelbar zur 
Construclion der Polare, wenn der Kegelschnitt gezeichnet vorliegt und 
ausser ihm ein Punkt als Pol gegeben ist. Man braucht nur durch 
den letzteren zwei beliebige Gerade zu ziehen, und auf ihnen den 
vierten harmonischen Punkt zu dem gegebenen Punkte und ihren 
Schnittpunkten mit der Curve zu construiren, was ja mit Hülfe der 
Sätze über das vollständige Viereck geschieht: Betrachtet man die 
vier Schnittpunkte der beiden Hülfsgeraden mit der Curve (1, 2, 3, 4 
in Fig. 20) als Ecken des Vierecks, so ist die eine Nebenecke der ge- 
gebene Pol y, und die Verbindungslinie der beiden andern Nebenecken 
seine Polare v. Diese Construction liefert aber nach dem Obigen 
j,j 2y auch zugleich die Berührungspunkte der beiden 

durch den gegebenen Punkt gehenden Tan- 
genten, also auch diese Tangenten selbst. Ins- 
besondere können wir in dieser Weise die von 
einem Punkte an einen Kreis zu legenden Tan- 
genten finden, und diese Construction verdient 
von unserem Standpunkte aus den Vorzug vor 
der bekannten, welche mit Hülfe eines anderen 
Kreises ausgeführt wird. Denn .wir brauchen 
nur sechs Hülfslinien zu ziehen, um. die Auf- 
gabe in allgemeinster Weise zu lösen; diese 
Construction ist also auch praktisch ebenso 
einfach als jene andere. Beim Kreise steht die Polare eines Punktes 
überdies, als Verbindungslinie der Berührungspunkte der beiden Tau- 
genten, senkrecht gegen die Verbindungslinie des Mittelpunktes mit 
dem Pole. Liegt der Punkt innerhalb des Kreises, so werden die 
beiden Tangenten imaginär, die Polare verläuft also ganz ausserhalb 
desselben, d. h. ohne ihn in reellen Punkten zu treffen. Ebenso wird 
durch jede reelle Curve zweiter Ordnung die Ebene in zwei Theile 
getrennt: in dem einen liegen die Punkte, von denen reelle, in dem 
andern diejenigen, von denen imaginäre Tangenten an die Curve 
gehen. Die Punkte der letzteren selbst dagegen vermitteln den Ueber- 




Die Curven zweiter Ordnung nnd zweiter Klasse. 77 

gaug zwischen beiden Theilen der Ebene, indem für sie die beiden 
Tangenten in eine zusammenfallen. 

Ist der Kegelschnitt nicht ganz gezeichnet gegeben, sondern nur 
durch fünf seiner Punkte bestimmt, so kann man gleichwohl die 
Polare eines beliebigen Punktes constructiv angeben. Diese Aufgabe 
kommt nämlich offenbar auf die andere zurück: Man soll den zweiten 
Schnittpunkt einer durch einen jener fünf Punkte gehenden Geraden 
mit dem Kegelschnitte finden; und die Lösung der letzteren haben 
wir schon früher mit Hülfe des Pascal 'sehen Satzes bewerkstelligt. 
Wir haben die betreffende Construction nur für zwei Linien auszu- 
führen, die durch den gegebenen Pol und je einen der fünf Punkte 
o-ehen: und können dann die Polare wieder mit Hülfe der Sätze über 
das vollständige Viereck finden. — 

Bei diesen Constructioneu ist vorausgesetzt, dass Jede Gerade der 
Ebene Polare eines Punktes ist. Zum Beweise hierfür schreiben wir 
die Gleichung der Polare eines Punktes y {Q == 0) in der Form: 

so sind Vi die Coordinaten dieser Polare; sie werden wegen (3) ge- 
geben durch: 

(5) 0V.^ = a^^y^ -f «22^2 + «23^3 

<?l^3 = «312/1 + «32^2 + «33^3- 

Durch Auflösung dieser Gleichungen nach y,, f/27 2/3 wird man daher 
in der That auch zu jeder Geraden v einen Pol y bestimmen können, 
sobald die Determinante der Gleichungen (5) nicht verschwindet. 
Diesen letzteren Fall schliessen wir vorläufig von der Betrachtung aus 
und werden ihn später eingehend behandeln: wir setzen zunächst stets 
voraus, dass 



"11 "12 "13 



$" 



»21 "22 "23 

i j 

jögj «32 «33 1 

Diese ßeierminante des KegelscMitts ist von ausserordentlicher 
Wichtigkeit; sie ist symmetrisch, d, h. die symmetrisch gegen die 
Diagonalreihe stehe-nden Elemente sind einander gleich, und ihre 
Unterdeterminanten sind: 

^23 = ^32 = «12^^13 ~" «II «23 i 
= -^13 ^^ «21 «23 «22«13 > 

= //.„ = ft.„r/.,2 — «;j3«12 • 

A 
Die Auflösung der Gleichungen (5) ergibt nun, wenn wir q für - 

setzen : 



^11 «22 «33 ~ 


"23 > 


^23 


^22 = «;,3«11 - 


- «31'. 


^31 


>433 = «11«22- 


— «,2 , 


^.2 



78 Zweite Abüieihing. 

wodurch der Pol y einer Geraden v bestimmt ist. Um diesen Punkt 
auch zu construiren. haben wir in obiger Weise nur die Polaren von 
zwei Punkten der gegebenen Geraden zu suchen; der Pol der letzteren 
ist dann als Schnittpunkt jener beiden Polaren nach den oben ausge- 
sprochenen Sätzen bestimmt. Die Gleichungen (6) können uns dazu 
dienen, den gegebenen Kegelschnitt als Curve zweiter Klasse, d. h. 
in Liniencoordiuaten darzustellen. Wir haben oben gesehen, dass ein 
Punkt der Curve selbst auf seiner Polare liegt, und dass diese dann 
Tangente wird; die Gleichungen (5) zeigen uns nunmehr, dass dies auch 
nur für Punkte der Curve eintreten kann, denn die Bedino-uno-- 

(7) ^1^1 +«^2^2 + ^32/3 = 0. 

welche man erhält, wenn man die Gleichungen (5) bez. mit y,, ?/.,,//, 
multiplicirt und addirt, gibt wieder: 

«nyi' + «22^2' + %3y3' + 2 a,,y, t/., + 2 a,^y,y^ + 2 a.r,y,y.^ = , 
d. h. der Punkt y liegt in der That auf dem Kegelschnitte. Bilden 
wir ebenso aus (6) die Bedingung für die vereinigte Lage von Pol 
und Polare, so erhalten wir eine Gleichung für die Coordinaten der 
letzteren; und dies ist, da die Polare, wenn die Bedingung erfüllt ist, 
zur Tangente wird, die Gleichung der Curve zweiter Ordnung in 
Liniencoordinaten ; sie wird: 

^n<+ ^22 «2^ + ^33 V + "'iJy.UiU^ + 2^13?/,M3 -f 2^23^2^., =0. 

Man erhält also die Gleichung des Kegelschnitts in Liniencoordinaten, 
wenn man in seiner Gleichung in Punktcoordinaten die Xi hez. mit den 
Ui und die Coefficienten mit den Unterdeterminanten der Determinante des 
Kegelschnitts vertauscht. 

Wir klnmen diese Gleichung übersichtlicher darstellen durch das 
Verschwinden der ,,mit den ui geränderten" Determinante*) A des Kegel- 
schnittes: 



M2 "13 



a. 



a. 



32 



23 -.,_^^^ 

eine Gleichungsform, welche man direct erhalten kann, wenn man 

*) Die geränderton Determinanten, welche für die symmetrisclie Durch- 
führung mancher Reclinungen sehr wiclitig sind, wurden von ITosse in die ana- 
lytische Geometrie eingeführt. 



Die Curvon zweiter Ordnunof und zweiter Klasse. 



79 



die Gleichungen (5) zusammen mit (7) als ein System von vier in 
den Grössen Q, y^, y-i, y>, homogenen , linearen Gleichungen auffasst, 
und aus ihnen letztere Grössen eliminirt. 

Die Anwendung des Satzes auf die uns bekannten einfachen 
Gleichungsformen für Ellipse und Hyperbel: 



^ 4- ^ _ 1 







ergibt : 



also 



0| 

I 

; 

- 1| 

y^lQ ^O'l '-' 



+i- 



■^11 h A2 > 



12 ^13 



'2:i 
2 



A. = 4- 



Es wird daher, nach Multiplication mit (t^h-, die Gleichung der 
Ellipse in Liniencoordinaten: 

«2^2 _|_ ^,2y2 _ 1=0, 

und die der Hyperbel in Litiicncoordinaten : 

(r-u"- — h'^'v"' —1=0. 



Dascegen filr die Parabel 



wird; 



also; 



r 



2px = 



I —p 
A=\ 1 
\—pO 



■^11 = ^;{;i ==^ ^12 ^^^ ^23 ""^ ^' 7 

und es ist die Gleichung der Parabel in Liniencoordinaten: 



II. Beziehungen zur unendlich feraen Greraden. — Polardreiecke. 

Sehen wir nunmehr, zu welchen Fragen die soeben durchgeführten 
Untersuchungen Veranlassung geben, wenn wir statt einer beliebigen 
Geraden der Ebene die unendlich ferne Gerade in ihren Beziehungen zu 
einem Kegelschnitte betrachten (vgl. p. G7). Indem wir dabei gleichzeitig 
das Gebiet unserer bisherigen Ueberlegungen erweitern, werden wir 



80 



Zweite Abtheilung. 



Gelegenheit haben, allgemeinere, von dieser ausgezeichneten Geraden 
unabhängige Verhältnisse von fundamentaler Wichtigkeit zu berühren. 

Es bietet sich zunächst von selbst eine Eintheilung der Curven zwei- 
ter Ordnung, für die ^^ .^ ist, je nachdem sie von der unendlich fernen 
Geraden in zwei rellen, in zwei imaginären oder in zwei zusammen- 
fallenden Punkten geschnitten werden. Andere Fälle sind nicht mÖ2- 
lieh; und die angeführten werden uns dieselben Haupttypen dieser 
Curven wiedererkennen lassen, auf welche wir durch die einleitenden 
Aufgaben geführt wurden. Wir bezeichnen unter diesem Gesichtspunkte: 

als Ellipse eine Curve, welche von der unendlich fernen Geraden 
in zwei imaginären Punkten geschnitten wird, 

als Hyperbel eine Curve, welche von der unendlich fernen Geraden 
in zwei reellen Punkten geschnitten Avird, 

als Parabel eine Curve, welche von der unendlich fernen Geraden 
berührt wird. 

Zu einer weiteren Eintheilung gibt die Frage nach dem Pole der 
unendlich fernen Geraden Veranlassung. Zieht man durch ihn eine 
beliebige Gerade, so muss diese durch den Kegelschnitt und die un- 
endlich ferne Gerade harmonisch getheilt werden; der erwähnte Pol 
liegt also in der Mitte zwischen den beiden Schnittpunkten der Gera- 
den mit der Curve, d. h. der Pol der unendlich fernen Geraden halbirt 
alle durch ihn gehenden Sehnen. Man nennt ihn deshalb den Miiiel- 
piinkt der Curve zweiter Ordnung, die durch ihn gehenden Sehnen 
heissen Durchmesser der Curve. Ist die unendlich ferne Gerade Tan- 
gente des Kegelschnittes, so liegt der Pol auf ihr, also auch unendlich 
fern. Wir unterscheiden demgemäss: 

Curven mit Mittelpunkt: Ellipse und 
Hyperbel. 

Curven ohne Mittelpunkt: Parabel. 

Im Folgenden beschränken wir uns 
zunächst auf die Curven mit Mittelpunkt. 
Um hier weitere Relationen zwischen den 
Durchmessern zu erhalten, betrachten wir 
die unendlich ferne Gerade, als wenn sie 
im Endlichen läge, und übertragen dann 
nur die so erhaltenen Sätze. Es sei y 
diese Gerade (vergl. Fig. 21) und c ihr 
Pol in Bezug auf die vorliegende Curve. 
Ist dann a ein Punkt auf y, so liegt der 
Pol b der Linie ac ebenfalls auf y und a 
ist der Pol der Linie bc. Ein solches 
Dreieck, in welchem jede Ecke {a, b, c) 



Fig. 21. 




Die Curven zweiter Ordnung und zweiter Klasse. 81 

der Pol der gegenüberliegenden Seite («, /3, y) ist, nennen wir ein Polar- 
dreieck. Dasselbe enthält drei Willkürlichkeiten ; nämlich die Wahl 
der ersten Ecke hängt von der Bestimmung zweier Constanten (der 
Coordinaten) ab; sind diese beliebig angenommen, so kann die zweite 
Ecke noch auf der Polare 'der ersten willkürlich gewählt werden, 
wird also durch eine weitere Constante bestimmt. Wir sprechen dies 
kürzer so aus: Es gibt drei facti nnendlicli viele Polardreiecke zu einem 
gegebenen Kegelsclinitte. Um ein wirkliches Polardreieck zu erhalten, 
darf man nur niemals eine Ecke auf der Curve liegen oder eine Seite 
sie berühren lassen. Aus der Definition des Polardreiecks folgt nun 
unmittelbar: 

Die von einer Ecke eines Polardreiecks ausgehenden Strahlen werden 
durch den Kegelsclinitt und die gegenüberliegende Seile harmonisch getheilt; 
und dualistisch entsprechend: Zieht 7nan von einem Punkte der Seite 
eines Polardreiecks die beiden Tangenten an den Kegelschnitt , so sind 
diese harmonisch zu der Seile selbst und der Verbindungslinie des Punktes 
mit der gegenüberliegenden Ecke. Unter diesen Strahlen sind auch 
jedesmal die durch die betreffende Ecke gehenden Seiten des Dreiecks 
selbst und die von ihr an die Curve gelegten Tangenten. Zwei Seiten 
des Dreiecks stehen zu einander also in ganz reciproker Beziehung: 
die eine (a) theilt die Strahlen durch b, die andere (/3) die durch a 
harmonisch. Mail nennt daher zivei solche Geraden, bei denen der Pol 
der einen auf der andern liegt, conjugirte Polaren in Bezug auf den 
Kegelschnitt. 

Nehmen wir nun als eine Seite y eines Polardreiecks die unend- 
lich ferne Gerade, so gehen die andern beiden durch den Mittelpunkt 
c der Curve; sie sind dann conjugirte Durchmesser derselben. Man 
versteht darunter überhaupt zwei Gerade, bei denen der unendlich ferne 
Punkt der einen der Pol der andern ist. An Stelle der harmonischen 
Theilung tritt dann die Halbirung der betreffenden Sehnen, an Stelle 
der Strahlen durch a die Gesammtheit der zu ß parallelen Geraden. 
Obigen Satz können wir daher folgendermassen aussprechen: Von 
zwei einander conjugirten Durchmessern halbirt jeder die zu dem andern 
parallelen Sehnen, und die Tangenten in den Endpunkten eines jeden 
sind parallel zu den Sehnen, welche er halbirl. 

Zwei conjugirte Polaren sind immer harmonisch zu den beiden 
von ihrem Schnittpunkte an die Curve gelegten Tangenten, denn die 
Berührungspunkte der letzteren liegen harmonisch zu den Polen der 
beiden Polaren. In jedem Strahlbüschel kann man unter Benutzung 
dieser Bemerkung zu einer beliebigen Geraden die conjugirte Polare 
construiren. Ist der Punkt insbesondere der Mittelpunkt der Curve, 
so folgt: 

C leb seil, Vorlesungen. 6 



32 . Zweite Abtheilung. 

Alle Paare conjugirler Durchmesser liegen harmonisch zu den beiden 
„Asijmptoten" der Curve, d. h. zu den beiden Tangenten derselben in 
ihren SchniUpunklen mit der unendlich fernen Geraden. 

Jedem Kegelschnitte, der einen Mittelpunkt hat, kommen zwei 
solche Asymptoten zu, die Verbindungslinien des Mittelpunktes c (vergl. 
Fig. 21 auf p. 80) mit den beiden unendlich fernen Punkten o und o. 
Je nachdem die letzteren reell oder imaginär sind, sind es auch die 
Asymptoten; also nur bei der Hyperbel sind diese Linien wirklich zu 
zeichnen (vergl. p. 9). Für die Ellipse ist dies nicht der Fall; die 
angeführten Sätze gelten hier jedoch ebenso, da die analytischen Ope- 
rationen dieselben sind. Lassen wir insbesondere den einen Durch- 
messer eines Paares in eine Asymptote hineinfallen, so fällt nach den 
Gesetzen der harmonischen Theilung auch der conjugirte Durchmesser 
in dieselbe Gerade ; also : Jede Asymptote ist ein sich selbst conjugirter 
Durchmesser. Halbirt dagegen der eine Durchmesser den Winkel zwi- 
schen den beiden Asymptoten, so halbirt der andere als vierter har- 
monischer Strahl den Nebenwinkel, d. h. Jede Curve zweiter Ordnung 
hat zwei zu einander rechtwinklige conjugirte Durchmesser^ „die Haupt- 
axen der Curve." 

Die soeben angestellten Ueberlegungen zeigen deutlich, wie vor- 
theilhaft die Einführung der unendlich fernen Geraden für die geome- 
trische Betrachtung ist, indem wir gewisse metrische Beziehungen als 
besondere Fälle allgemeinerer Relationen erkannten. Auch in der 
analytischen Behandlung dieser Dinge werden uns im Folgenden die 
Vortheile der erwähnten Anschauungsweise entgegentreten. Um die 
gefundenen Beziehungen auch hier zu verwerthen, kehren wir zu 
rechtwinkligen Coordinaten zurück, bei denen ja die unendlich ferne 
Gerade eine ausgezeichnete Stellung einnimmt. Wir setzen also 

JL/4 " %J0 • %jU(y — — U m vLi^ ■'-"■■'' i- 

U^= U , U^ = V , My == 1 . 

Alsdann werden die Gleichungen zwischen Pol und Polare: 

(1) QV = «21^ "H ^22^ H" ^23 ^y = ^21^ H" ^22^ ~l~ ^23 

q\= a.^^X + «32?/ + «;;3 (? 1 = 4i W -f ^32«; + 4j3 , 

WO aiu = aki, Aik= A/^i, und wo vorausgesetzt wird, dass die Deter- 
minante der üik nicht verschwindet. 

Die Abschnitte der unendlich fernen Geraden auf den Coordi- 
natenaxen sind unendlich gross; daher verschwinden die negativen 
reciproken Werthe derselben, d. h. für die unendlich ferne Ge- 
rade ist: 

w = 0, y==0. 



Die Curven zweiter Ordnung und zweiter Klasse. 83 

. Wegen (1) werden demnach die Coordinalen ihres Poles, des Mittel- 
punktes der Curve: 

t __ fll3 __ «12 «32 On^M 

/2\ ^33 «11 «22 — «12^ ' 

-JJ = ^?? = ^12^ 13 ~ « 11 «23 . 
^33 «11 «22 — «12^ 

Sollten y^j.,, ^23? ^33 sämmtlicli verschwinden, so würde auch 
^ = sein , was wir ausgeschlossen haben. Der Mittelpunkt ist also 
immer bestimmt; nur rückt er, wenn 

(B.) ^33 = 

ist, in's Unendliche; dies ist also die Bedingung für die Parabel. 

Dieselbe Bedingung erhält man direct, indem man das Verhalten 
der unendlich fernen Geraden zur Curve untersucht; es ergeben sich 
so die analytischen Criterien zur Unterscheidung von Ellipse, Hyperbel 
und Parabel. Wir legen durch den Anfangspunkt eine beliebige 
Gerade, welche den Winkel a gegen die .Y-Axe bilden möge, Sie 
schneide die Curve in der Entfernung r vom Anfangspunkte; dann 
ist für diesen Schnittpunkt: 

x = r cos a , y = r sin er . 

Die zugehörigen beiden Werthe von r ergeben sich, wenn wir 
mittelst dieser Gleichungen die Gleichung des Kegelschnittes: 

a^^x^ + «22^^ + «^33 + ^«i2^y + 2«)3a; + 2a^^y -fj =0 
umformen. Es wird dadurch: 

, . r- («jj cos^ a -\- «22 sin^ cc -j- 2 «,2 sin a cos a) 

-\- 2r (aj3 cos a -j- «.^3 sin a) -f- ö'ns = 0. 

Legen wir umgekehrt r einen bestimmten Werth bei, so ergibt 
sich hieraus der zugehörige Winkel a, welcher übrigens reell oder 
imaginär ausfallen kann. Jedenfalls hat die Curve aber zwei unend- 
lich ferne Punkte, und wir erhalten daher die nach ihnen gehenden 
Strahlen, d. h. die Asymptoten der Curve, wenn wir r = 00 setzen. 
Dadurch wird die Gleichung (4): • 

«jj cos- a -\- 2a,2 sin a cos a -\- «22 sin^ « = , 
also 

(5) tancr « = - "it ± y^ii" - zJ^iJhi _ ^'hL±Imhi ■ 

9 «22 «22 

Die beiden Asymptoten sind demnach reell, imaginär oder zu- 
sammenfallend, je nachem ^^33 negativ, positiv oder Null ist. Wir 
Ilaben also die folgenden Kennzeichen für die uns bekannten Kegel- 
schnitte: 

6* 



34 Zweite Abtheilung. 



'3;^ 



> : Ellipse, 
^gg = : Parabel, 



^33 < : Hyperbel. 
Die Bedingung für die Parabel ist somit in der That mit der 
oben gefundenen identisch; man erhält dieselbe endlich auch, wenn 
man von der Gleichung des Kegelschnittes in Liniencoordinaten aus- 
cfeht. Diese ist: 

A^^u^ + A^^ii^ -\- 2 A^^ UV -\- 2 A^^u -{- 2 A.^^v -\- A^^ = 

Soll die Curve von der unendlich fernen Geraden berührt werden, so 
muss diese Gleichung für w = und y = erfüllt sein, und wir er- 
halten wieder die Bedingung: 

• ^33 = 0. 

Durch (5) sind uns zunächst nur die Richtungen der Asymptoten 
gegeben; da dieselben aber durch den Mittelpunkt gehen müssen, so 
sind sie dadurch völlig bestimmt. Wir können also auch ihre Glei- 
chungen unmittelbar aufstellen. Um die beiden ihnen parallelen Geraden 
durch den Anfangspunkt zu finden, brauchen wir nur die höchsten 
Tenne der Gleichung in Punktcoordinaten gleich Null zu setzen : 

(G) tfi,x2 + 2a,2«^2/ + «22?/^ = ^; 

denn es folgt daraus wieder: 

(7) ^^^-''-^i-^-^^tang«, 

und dies sind dann die Gleichungen der beiden Linien. Diese Be- 
stimmung kommt darauuf hinaus, dass man die Verhältnisse der 
Coordinaten ihrer unendlich fernen Punkte aufsucht. Machen wir 
nämlich die Gleichung der Curve für den Augenblick wieder homogen, 

indem wir — , -- statt x, y setzen, so erhalten wir die Schnittpunkte 

des Kegelschnittes mit der unendlich fernen Geraden, wenn wir 0:3 = 
nehmen; dies gibt aber gerade die Gleichung (6). Die Asymptoten 
selbst ergeben sich, wenn man die Gleichung der zu den Geraden (7) 
parallelen Linien sucht, die durch den Mittelpunkt |, ri gehen, eine 
Aufgabe, welche wir früher gelöst haben (vergl. p. 26). Unmittelbar 
werden sie durch (7) dargestellt, wenn der Mittelpunkt mit dem 
Coordinatenanfangspunkte zusammenfällt. Letzteres ist der Fall bei 
den Gleicliungsformen der Kegelschnitte, auf die wir bei Behandlung 
der einleitenden Aufgaben geführt wurden, und die wir dort als 
Ellipse und Hyperbel bezeichnet haben, nämlich: 

^ 4- ?^i _ ] = 
^ _ ?/' _ 1 == 



Die Ciirven zweiter Ordnung und zweiter Klasse. 85 

Es ist liier für die Ellipse; 

^33 = ^ . also > 
für die Hyperbel: 

4,3 = — ^; also < 0. 

Unter den nach ihren Beziehungen zur unendlich fernen Geraden 
als Ellipse und Hyperbel bezeichneten Curven sind also jedenfalls die 
früher so genatinten enthalten.'^) Die Gleichung (6), welche das Pro- 
duct der Asymptoten darstellte, zerfällt hier unmittelbar in zAvei 
lineare Factoreu; wir erhalten für die Asymptoten der Ellipse: 

für die der Hyperbel: 

. (f + f)(f -!)="• 

Für die früher als. Parabel bezeichnete Curve 

iß = 2px = 
haben wir: 

^33 = , 

wie es auch nach unserer neuen Definition sein mus!s. Dieselbe hat 
keinen Mittelpunkt und in Folge dessen auch keine eigentlichen 
Asymptoten. Die Gleichung (6) gibt uns vielmehr nur die doppelt 
zählende Richtung nach dem einen unendlich fernen Punkte, indem 
sie übergeht in 

y' = 0. 

Wir wollen nun im allgemeinen Falle ebenfalls den Mittelpunkt 
als Anfangspunkt einführen und dann insbesondere zwei conjugirte 
Durchmesser zu Coordinatenaxen wählen, lieber die Form der so 
entstehenden Kegelschnittgleichung können wir uns im Voraus eine 
Vorstellung machen, wenn wir von einem beliebig gelegenen Polar- 
dreiecke ausgehen. Ein solches haben wir dadurch charakterisirt, dass 
jede Seite Polare der gegenüberliegenden Ecke sein soll. 

Setzen wir nun in der allgemeinen Gleichung: 

EüikXiXk == 
etwa 0:3 = 0, so gibt der übrig bleibende Theil derselben: 

das Product der beiden Geraden, welche die Schnittpunkte der Curve 

*) DasB beide Definitionen auch völlig identisch sind, wird sich im Folgen- 
den ergeben. , 



86 Zweite Abtheilung. 

und der Seite x-^ = mit der gegenüberliegenden Ecke verbinden. 
Diese Gleichung wird dann in zwei lineare Factoren von der Form 

vTj — Ix^ = 
und ^j — mx^ = 

zerfallen. Soll nun das Coordinatendreieck ein Polardreieck sein, so 
müssen diese Linien, welche den Pol mit den Schnittpunkten von 
Curve und Polare verbinden, Tangenten des Kegelschnittes sein, also 
harmonisch gegen die durch ihren Schnittpunkt gehenden Seiten des 
Coordinatendreiecks liegen. Es folgt daraus: 

m = — t , 

so dass die Gleichung des Productes der beiden Strahlen von der 
Form wird: 

a;,2 — fix.^^ = 0. 
Soll letztere nun mit der Gleichunsf: 

(/^^x^'^ -f- 2 üy^x^x., -j- a^^x^' 
identisch sein, so darf also in der Kegelschnittgleichung bei dieser Coor- 
dinatenbestimmung ein Glied 2a^2^^X2 nicht vorkommen. Genau die- 
selben Ueberlegungen lassen sich für die andern beiden Ecken des Drei- 
ecks anstellen; auch die Glieder mit x^x^ und x^x^ müssen fortfallen: 
die Gleichung des Kegelschnitts enthält nur noch die Quadrate, Sie wird: 
(^) «1 x^~ -\- a.,x^^ + ^H^'A^ = ^ > 

und in diese Form ist sie auf dreifach unendlich viele Arten zu 
bringen, da die Wahl des Polardreicks von drei Willkürlichkeiten 
abhängt. Dieselbe Gestalt muss auch übrig bleiben, wenn x.^ =- die 
unendlich ferne Gerade wird, und die beiden anderen Seiten demnach 
zu conjugirten Durchmessern werden. Wir haben dann nur zu setzen: 
x^ =■ X y x.^ = y , ^3 == 1 . 

Um den Uebergang von der allgemeinen Gleichungsform zu der 
eben erwähnten wirklich durchzuführen, verlegen wir zunächst den 
Anfangspunkt in den Mittelpunkt. Alsdann werden die X- und 
F-Axe harmonisch von der Curve und der unendlich fernen Geraden 
geschnitten; es fallen also die Glieder mit x^x. und x.yX,^ oder mit 
X und y schon heraus, und es bedarf nachher nur noch einer Dre-" 
hung des Coordinatensystems, 

Setzen wir zu dem Zwecke: 

X'i^y = y + n 



x.^ = 1 
wo 



J — :^ K) — ^J 

■^33 ^3 



Die Ciu-veu zweiter Ürdiuuig und zweiter Klasse. 87 

die Coordinaten des Mittelpunktes sind, so wird nach den Gesetzen 
der Determinantentheorie : 

«11^ + «12»? + «13 = 
(9) «21^ + «22>? + «23 = 

- «3 J + «32 ri + «33 = "^- '-^3. + ^^3» ^32 +^33 ^33 " 

■^33 

/} 

^33 

Daher hat man: 

rtjja: + «12?/ + «13 = «11^' + «12?/' 

«21^ + «22^/ + «23 = «21'''^' + «22^' 

«310: + «32?/ + «33 = «31^' + «32 ?/ + 7" ' 



33 



Multipliciren wir diese Gleichungen nun links bez. mit x, (/, 1, 
rechts mit o;' + |, y' -\- Vj 1 ^^^ addiren, so erhalten Avir unter 
Benutzung der Gleichungen (9) zwei verschiedene Ausdrücke für die 
linke Seite der Curvengleichung, und diese selbst wird (x^ = x, 

X2 == y } ^3 ^^^ ■•■)• 

(10) 0= E UikXiXk = «11 ^'- + «22?/"^ + 2 «12^ y' + j^^ • 

Es sind die Terme mit x , y fortgefallen, während die ersten 
Glieder sich nicht geändert haben. Natürlich müssen wir hier den 
Fall der Parabel (^33 = 0), wie es ja auch oben geschah, ausschliessen, 
da für sie das letzte Glied unendlich gross wird und (geometrisch) ihr 
Mittelpunkt unendlich weit liegt. Das Verschwinden der Determinante 
Ä dagegen würde uns nicht hindern, die analytischen Operationen in 
derselben Weise durchzuführen; nur die geometrische Bedeutung der- 
selben wird eine andere; wir werden darauf später zurückkommen. 

Zur Vereinfachung unserer Gleichung geben die conjugirten 
Durchmesser naturgemässe schiefwinklige Coordinatensysteme. Wir 
wollen daher zunächst die analytische Bedingung für ein solches 
Durchmesserpaar aufstellen. Nehmen wir die Gleichung der Curve in 
der reducirten Form: 
(10) «11«:'' + 2012«;?/ + «22^- + 2;^ = 

an, so wird die Bedingung, dass ein Punkt x, y auf der Polare eines 
Punktes x',y' liegt, ausgedrückt durch: 

Ana 



= a^^xx' + a^^yy' + «12 (^y + y^') + ^ = 0- 



Solleu diese Punkte unendlich fern liegen und so die Richtungen 
zweier conjugirter Durchmesser angeben, so müssen r, r unendlich 
gross werden, wenn man setzt: 



S8 Zweite Abtheilung. 

X = /• COS « , X = /•' cos Ci 

U =^ r sin « ^ V = r sin a . 

Die Gleichung (10) geht dadurch für r = r = c» über in: 

= rt!,j cos « cos a' + rt,2 (cos a sin «' + sin a cos «') + a^., sin « sin d. 

Zwischen den Richtungswinkeln a, a von zwei conjugirten Durch- 
messern besteht also die Gleichuns;: 

(11) tang «' = - ^+«L^*^gL^ . 

^^12 + ('iz tang a 

Für a = a geht hieraus wieder die Bedingung (5) für den Win- 
kel einer Asymptote gegen die JT-Axe hervor; und in der That haben 
wir gesehen, dass eine Asymptote als sich selbst conjugirter Durch- 
messer aufgefasst werden kann. 

Zunächst liegt die schon früher berührte Frage nahe, ob es unter 
den Paaren conjugirter Durchmesser ein solches giebt, in welchem der 
eine zum andern rechtwinklig ist. Die Möglichkeit dieses Falles haben 
wir schon oben erkannt; wir werden aber auch nachweisen, dass es 
immer nur ein reelles System der Art gibt. 

Da dann a = 90" -f « sein muss, wird die Gleichung (11): 

(1^) tang 2 « = _l^l?_ . 

«11 — ('22 

Die Werthe von a, welche sich hieraus ergeben: 

) 

f/3= artg~A«.?^V 
« = £-f_180« « = |_j_270o^ «11 -«22/ 

unterscheiden sich nur um rechte Winkel; sie geben also immer 
dasselbe System, nur in seineu verschiedenen Beziehungs weisen ; d. h. 
es gibt immer ein und nur ein System zu ei?iander rechtwinkliger con- 
jugirter Durchmesser. Wir bezeichnen sie als die Hauptaxen des 
Kegelschnitts. 

Der einzige, hier mögliche Ausnahmefall tritt ein, wenn gleich- 
zeitig 

und 

a,2 = 
ist. Die Gleichung (10) des Kegelschnittes hat dann die Form: 

X- -\- y"^ = Const. ; 
sie stellt also einen Kreis dar. Für ihn wird der Winkel a unbestimmt; 
es gibt also unendlich viele Paare conjugirter Durchmesser, welche zu 
einander rechtwinklig stehen, und in der That tritt dies beim Kreise 
immer ein. 



« = f « = I + 90« 



Die Curven zweiter Ordnung und zweiter Klasse. 89 

Um die diircli (12) bestimmten conjngirten Durchmesser nun- 
mehr wirklich als Coordinatenaxen einzuführen, setzen wir (vgl. p. 61) : 

X = x' cos a — v' sin « 

(13) , . ,, 

^ ^ y = X sm ci -f- y cos a. 

Durch diese Substitution muss die Gleichung der Curve nach 
unseren obigen Bemerkungen von der Form (8) werden, wenn man 
darin a-, == x, x^^ y, x^= l setzt. Es muss also in der reducirten 
Form 
(10) «11^* + «22«/^ + 2rti2a:?/ + -^^ = 

auch das Glied mit xy herausfallen, und dies ist in der That der 
Fall. Führen wir nämlich die Substitution (13) aus, so wird der 
Coeflicient von xy va. der neuen Gleichung: 

cos a («22 sin a + a^^ cos a) — sin a (rt,i cos a -f- (ly^ sin «) , 
und dies verschwindet wegen (11), wo wir a = n -j- 90" zu setzen 
haben. Wir können also setzen: 



(14) 



0,1 cos a -{- «12 sin " «i2 cos a + » 22 sm a , 

cos a sin a ' 

oder: 

{f/^^ — X) cos a + «12 sin « = 

«12 cos a -\- («12 — A) sin a = . 
Wenn wir aus diesen Gleichungen cos cc und sin « eliminiren, so 
werden wir auf eine sehr wichtige quadratische Gleichung für A ge- 
führt, deren Wurzeln unmittelbar die Coefficienten von x"^ und y'^ in 
der transformirten Gleichung darstellen. Die erwähnte Elimination 
erffibt nämlich: 



ßti — A «12 



«00 — A 



= 0, 



(15) 

oder entwickelt: 

r — («,, + «2.) ^ + «^11 «22 - f'v' = 0. 
Sind A,/x die Wurzeln dieser Gleichung, so entspricht einer jeden 
von ihnen nach (14) ein Werth von a; und beide Werthe können 
sich nur um 90" von einander unterscheiden, wenn das Glied mit xy 
fortfallen soll. Für ^ haben wir daher die Relationen: 
«1, sin a — «,2 cos a = fi sin a 
«12 sin a — «22 cos a = —-;«■ cos a . 
Diese Gleichungen liefern zusammen mit den Gleichungen (14): 
«,, cos a -\- «12 sin a == A cos a 
«12 cos a -f- «22 sin « = A sin cc 



90 Zweite Abtheilung. 

die zur Ausführung der Transformation nötliigen liülfsmittel. Wir 
multipliciren die erste und zweite bez. mit x und y und addiren; dies 
gibt wegen (13): 

(rtji sin « — «j2 cos a) x -\- (üy^ sin a — a.,^ cos a) y = — ny'-^ 

und wenn man ebenso mit der dritten und vierten Gleichung verfährt, 
erhält man: 

(«11 cos a -{- (1^2 sin a) x -\- («jj cos a -f- (i^i ^^^^ oc) y = Xx . 

Multipliciren wir weiter die erste der beiden letzten Gleichungen mit 

y = — X sin a -\- y cos a, 
die zweite mit 

x == X cos a -^ y &m a , 

so findet man durch Subtraction beider: 

a^x'^ -f- 2ai^xy + a.^.,y^ = Xx"- + fiy'--, 

und also ist die Gleichung des Kegelschnitts in der trausformirten 
Form : 

(16) ^Xx^ + ^y'^-i--j-^=0. 

Li der That gehen uns demnach die Wurzeln der Gleichung (15) 
die Coefficienten der neuen Gleichung. Diese Bestimmung derselben 
bleibt auch noch für den oben erwähnten Ausnahmefall gültig, wo 

^W =^ ^22 ^^^ ^'i2 = '-^• 

Die beiden Wurzeln X , ft müssen aber auch immer reell sein ; 
denn wir haben oben gesehen, dass es, so lange nicht A = 0, oder 
^33 = ist, immer ein Paar reeller Hauptaxen gibt. Wir können 
dies auch einfach in folgender Weise nachweisen: Die Auflösung der 
Gleichung (15) gibt: 



X = "'' + " ^ -1- 7//'"ll — 'h zV _j_ ^ 



2 
12 



Hier steht unter dem Wurzelzeichen die Summe von zwei Quadraten, 
also stets ein positiver Ausdruck, so lange wir die Coefficienten der 
Kegelschnittgleichung als reelle Grössen voraussetzen. 

Untersuchen wir nunmehr näher, welche Curven in der Glei- 
chungsform (16) enthalten sind. Wir können dieselbe in der Form: 



/2 y'2 



+ 



schreiben, und erhalten dann unmittelbar eine Eintheilung der be- 
treffenden Curven, welche im Wesentlichen mit unserer früheren 
übereinstimmt (vergl. p. 85). Das Product der Nenner: 



Die Curven zweiter Ordnung und zweiter Klasse. „ 91 

hat nämlich immer dasselbe Vorzeichen, wie das Product A/w,. Das 
letztere ist nun identisch mit ^33, denn A, /w, sind die Wurzeln der 
Gleichung (15); d. h. es ist 

X\x. = «11 «22 — ^v>^ ""= ^33 • 
Theilen wir also die Curven nach dem Vorzeichen des Products 
der Coefficienten von x- und y- ein, so ist dies dasselbe, als ob wir, 
wie oben, nach dem Vorzeichen von ^^33 eintheilten. Die hier mög- 
lichen Fälle sind im Folgenden zusammengestellt: 

I) ^33 > 0; A, fi haben gleiche Zeichen. 
1) — _4-= tt-, 4"= b"^: Ellipse, 

2) — - = — a^ , ^-7- = — ö- : Imaginäre Ellipse. 

^ IA33 (i ^33 

II) .1/33 < 0; l, ^ haben ungleiche Zeichen. 

1) — = a-, j- == — &■': Hyperbel, welche von der A'-Axe 

* '^ ^' in reellen Punkten getroffen 

wird, 

2) '— = — d-, -j- = b- : Hyperbel, welche von derT-Axe 

^' ' ^* in reellen Punkten getrotfer 

wird. 

Die beiden letzteren Curven sind nur durch die Bezeichnung der 
Cüordinatenaxen von einander verschieden. Wir haben also nur drei 
Fälle zu unterscheiden, von denen uns die der beiden reellen Curven 
schon bekannt waren, und es gibt keine anderen KegelschniUe mit 
Mittelpunkt. Auf die imaginäre Ellipse werden wir im Folgenden nicht 
weiter eingehen; es mag hier nur darauf hingewiesen werden, dass 
ihr Mittelpunkt sowohl, wie ihre Hauptaxen reell sind, dass sie hin- 
gegen keinen reellen Punkt hat; die Polare, welche sie einem reellen 
Punkte zugeordnet, ist aber jedesmal reell. 

Die Hauptaxen, auf welche sich in den letzten Untersuchungen 
unser Interesse vorwiegend richtete, sind nur ein besonders ausge- 
zeichnetes Paar von conjugirten Durchmessern; es liegt daher nahe, 
das behandelte Problem zu dem folgenden zu erweitern: Es sollen mit 
Hülfe solcher conjugirter Durchmesser derartig schiefwinklige (nicht homo- 
gene) Coordinaten eingeführt werden, dass die Ciirvengleichung eine mög- 
lichst einfache wird. Als Ausgangspunkt dient uns dabei die nunmehr 
gewonnene einfache Gleichungsform: 

(1) r^+g-i=o, 



92 Zweite Abtheilung. 

welche zunächst allerdings nur eine reelle Ellipse darstellt. Wir 
brauchen aber die folgenden Erörterungen nur für diese durchzuführen • 
die entsprechenden Resultate für die Hyperbel ergeben sich dann ein- 
fach, wenn wir b durch b •]/ — \ ersetzen. 

Da ein Paar conjugirter Durchmesser immer mit der unendlich 
fernen Geraden zusammen ein Polardreieck in Bezug auf den Kegel- 
schnitt bildet, so kann durch Einführung derselben als Axen eines 
schiefwinkligen Coordinatensystems die Form der Gleichung (l) nicht 
geändert werden. Wir führen die neuen Coordinaten nach früheren 
Ausführungen (vergl. p. 61) ein mittelst der Gleichungen: 

-gx X = X cos a -f- ?/' cos /3 

y = X sin « -|- y sin ^ , 
wo 

(3) ß-cc = u 

gleich dem Winkel ist, welchen die betreffenden conjugirten Durch- 
messer einschliessen. Die Gleichung (1) geht durch diese Substitution' 
über in: 

denn der Coefficient von x'y' muss nach einer oben gemachten Be- 
merkung verschwinden, d. h. es ist: 

- V Cos cc cos ß , sin a sin |3 .-, 

Die Grössen p und q in (4) dagegen sind definirt durch die Gleichungen : 

1 cos* a f^ sin* a 

(6) p^-~^-^-W~ 

1 cos* ß . sin* ß 



9* a* ' A* 

Ihre geometrische Bedeutung ist unmittelbar klar: p und q sind 
die Längen der beiden conjugirten Durchmesser (gemessen vom Anfangs- 
punkte bis zum Schnittpunkte mit dem Kegelschnitte). Setzen wir 
nämlich a;' = 0, so wird 

t/'2 = q^ 
und ebenso für ?/' = 0: 

x"^ = p^. 

Die Gleichungen (5) und (6) lassen uns also diese Längen aus 
denen der Hauptaxen berechnen; (5) dagegen ist die Form, welche 
die zwischen zwei conjugirten Durchmessern bestehende Relation 
(Gleichung (11) auf p. 88) bei unserer Coordinatenwahl annimmt. Die 
Winkel a, ß sind durch (.3) an den von den conjugirten Durchmessern 
eingeschlossenen Winkel gebunden ; um sie bei gegebenem u direct zu 



Die Curven zweiter Ordnung und zweiter Klasse. 93 

berechnen, verfahren wir folgendermassen. Wir haben die Glei- 
chungen : 

cos a cos ß -\- sin a sin /3 = cos u 



cos a cos ß , sin k sin ß ,. 

Ti 1 iJ ^ ' 



b^ 



und daraus folgt: 



COS a cos /3 = -TZTi^i ^^^ " 

. ^ — 62 

sm a sm p = ^^ _ ^^ cos u ^ 

also, wenn man subtrahirt: 

(7) cos (« + /3) = ^p cos M. 

Diese Gleichung gibt zwei gleiche und entgegengesetzte Werthe 
+ V für a + /3; und daraus folgt wegen (o): 

— u-\- V 

a = ^-2— 

^ 2 * 

Wir erhalten demnach, wie es bei der Symmetrie der Curve gegen 
die Hauptaxen zu erwarten war, zwei Systeme von conjugirten Durch- 
messern, deren eines das Spiegelbild des andern in Bezug auf die 
Hauptaxen ist, denn der zweite Werth von ß ist dem ersten von a, 
der zweite von a dem ersten von ß gleich und entgegengesetzt. 

Bei der Ellipse sind diese Lösungen jedoch nur reell, so lange: 

^ ö^ _ ^2 

cos U < -^j-j, ' 

Wir erhalten hier also eine Grenze für den Winkel u: der kleinste 
Winkel, welchen die conjugirten Durchmesser bilden können, ist be- 
stimmt durch: 

cos u = ^_py, , 



woraus man findet 

+51 n (T 

2 a 



. u b 

tang TT = - 



Die beiden conjugirten Durchmesser sind dabei in diesem Falle die 
Diagonalen dos der Ellipse parallel zu den Hauptaxen umgeschriebenen 
Rechtecks; ihr Winkel wird von den Hauptaxen halbirt. Es ist hier 
ferner : 

cos (« + /5) = ^ ; 

also : 

d. h. die beiden so bestimmten Durchmesser sind zu sich selbst symme- 
trisch gegen die Hauptaxen. 



94 Zweite Abtheilung. 

Bei der Hyperbel findet sich ein derartiger Grenzfall nicht. Hier 
wird : 

cos (a-\- ß)^ ^ -, cos u , 

es tritt also keinerlei Beschränkung ein, denn es ist stets h- < a^. 
Wir wissen, dass sogar der Werth für u vorkommen kann, denn 
eine jede Asymptote ist ja ein sich selbst conjugirter Durchmesser, 

Ein eleganter zweiter Weg zur Lösung der behandelten Aufgabe, 
analog dem bei den Hauptaxen eingeschlagenen, besteht in der directen 
Aufsuchung von p"- und ff, indem wir für sie eine quadratische Glei- 
chung aufstellen. Für p, q, a, ß hatten wir die Gleichungen (5) 
und (6): 

1 cos^ a 1^ sin* a 

p. cos cc cos ß |_ sin a sin ß 

U_ ^^ |_ ^^ 

1 cos« ß . sin« ß 

Multipliciren wir die erste und zweite Gleichung einmal bez. mit 
sin ßj — sin a, und ein zweites Mal bez. mit — cos ß, cos cc und addiren, 
so erhalten wir die beiden Gleichungen: 

sin ß cos a 



cos ß sin a 



sm U 



sm u 



Ebenso ergibt sich aus der zweiten und dritten Gleichung, wenn 

man dieselben bez. mit sin ß, — sin a und dann bez. mit — cos /i, 

cos a multiplicirt und addirt: 

sin a cos ß . 
^— = — — Sin u 

cos cc sin ß . 
q^ 0^ 

Bildet man ferner aus den letzten vier Gleichungen das Product der 
ersten und vierten, sowie das der zweiten und dritten und subtrahirt 
diese Producte von einander, so findet man: 

(8) p^ g"^ shi^ u = a"^ b"^ . ■ 

Wir können dieser Formel eine einfache geometrische Deutung 
geben. Es ist nämlich Aab gleich dem Inhalte des Rechteckes, welches 
parallel zu den Hauptaxen, der Ellipse umgeschrieben werden kann; 
4:pg sin n dagegen der Inhalt des der Curve, parallel zu den Durch- 
messern p, q umgeschriebenen Parallelogramms. Die Gleichung (8) 
sagt demnach aus: 



Die Curven zweiter Ordnung und zweiter Klasse. 95 

Ein dem Kegelschnitte umgeschriebenes Parallelogramm, dessen Seiten 
zu zwei conjxigirten Durchmessern parallel sind, hat constanten Inhalt. 

Schreiben wir nun die aus (5) und (6) abgeleiteten Gleichungen 
in der Form: 

ti^ sin /3 = p^ cos a sin w, h"^ cos /3 = — p^ sin a sin w, 
d^ sin a = — q^ cos /3 sin u , b"^ cos a = q^~ sin /3 sin m, 

und raultipliciren wir die links stehenden bez. mit cos a, — cos /3 
und die rechts stehenden bez. mit — sin «, sin /5, so ergibt sich durch 
Addition : 

«2 -_ p1 cos^ «4-0'' cos'^ /3 

(9) f \ ^ r 

^ ' &2 __ jp2 gjjj2 ß, _|_ ^2 gjjj2 |3 _ 

Und hieraus folgt unmittelbar: 

(10) f^J^q^^a-^J^b^ 

(f. h. die Quadratsumme der Längen von zwei conjugirfen Durchmessern 
ist conslant. Die Gleichungen (8) und (9) lassen uns />^ und (f als 
die Wurzeln einer quadratischen Gleichung erkennen, und zwar der 
folgenden : 



ß2 62 



(11) ,2_(„, + ,.), + ^^ = 0. 

Kennt man also die Hauptaxen der Curve, so gibt diese Gleichung 
für jeden Werth von u die Quadrate der zugehörigen conjugirten 
Durchmesser. Es wird nämlich : 



««//^ 



«2 + ja _ /p^+ 62X2 ^fc^ _ 
*'~" '2 f V 2 / sin«?^ 

Diese Ausdrücke sind in dieser Form ganz ähnlich denen, welche 
wir aus der Gleichung 

(«11 — ^) («22 — Z)- «12^ == 

für die Quadrate der reciproken Werthe der Hauptaxen erhielten. 
Sind auf diesem Wege p^ und q"- bestimmt, so ergeben sich die Winkel 
« und ß aus (9) 5 man findet: 





1 1 


1 1 


cos'^ a = 


p2 6« 

1 1 ' 


cos^ /3 — ; ^ 




^ b^ 


^ ~Ä« 


sin- a = 


1 1 

ß^ ;b2 
1 1 ' 


1 1 

•9/3 '^^ 9'^ 

sin2 ß— \ 1 




"^ "P 


a^"~Ä^ 



Die Gleichung (11) lehrt, dass bei der Ellipse ;/' und q^, so lange sie 



96 Zweite Abtheilung. 

Überhaupt reell sind (d. h. so lange u die gegebene untere Grenze 
nicht überschreitet), stets positive Werthe haben. Bei der Hyperbel 
dagegen (— h"^ statt h"^) ist ein Werth immer negativ, der andere 
positiv; der eine Durchmesser schneidet also die Hyperbel in zwei 
imaginären, der conjugirte Durchmesser in zwei reellen Punkten. Ihre 
Richtungen hingegen, d. h. die Winkel a, ß sind immer reell, da u 
hier keiner Beschränkung unterworfen ist. Die Gleichung der Hyper- 
bel, bezogen auf ein Paar conjugirter Durchmesser, hat also die Form: 

^^_ _ ^ =, 1 
I P" 9^ ' 

Mithin gilt allgemein der Satz: Die Curvengleichung , bezogen auf 
conjugirte Durchmesser, ist immer von der Form der Hauptaxengleichung, 
d. h. die Vorzeichen der Coefficienten von x^ und t/ sind dieselben 
in beiden Gleichungsformen. — 

Bei der Hyperbel gibt es noch ein anderes, nahe liegendes, reelles 
Coordinatensystem, durch dessen Einführung ihre Gleichung sehr ein- 
fach wird, das der Asymptoten. Für die Ellipse ist die Einführung 
dieses Systems nicht so wichtig, da bei ihr die Asymptoten imaginär 
sind, wir also den Variabein complexe Werthe beilegen müssten, um 
reelle Punkte der Curve darzustellen. 

Sind a, /3, die Winkel der beiden Asymptoten gegen die J'-Axe, 
wo also /3 = 180" — «, und ist die Hyperbel durch die Gleichung 

^ ^ 1 

gegeben, so sind die anzuwendenden Transformationsformeln: 

X = X cos ß -\- IJ GOB a 

y = x sin /3 -f ?/' sin a . 
Nun ist aber 

tang a == — , 
ö a ' 

also : 

cos « = — cos ß == :rp=^L-r: , Sin OT = sin ß = '' — : 

wir müssen daher setzen: 

X = ^itz^f} 

Durch diese Substitution erhält die Curvengleichung die einfache Gestalt: 

4^V^ . 

a« -f Ä«, ~ -^ ' 

eine Gleichung, welche den folgenden Satz begründet: 



Die Curven zweiter Ordnung und zweiter Klasse. 97 

Zieht man durch einen Punkt der Hyperbel Parallele zu den beiden 
Asymptoten, so hat das von diesen Parallelen und den Asymptoten einge- 
schlossene Parallelogramm constanten Inhalt. — 

Es bleibt uns noch übrig, in ähnlicher Weise die Kegelschnitte, 
für welche ^33 = ist, d. h. diejenigen ohne Mittelpunkt, die 
Parabeln, zu behandeln. Ihre Gleichung nehmen wir in der allge- 
meinen Form: 

a^^x"^ -f 2a^^xy -f a.^^y"- -\- 2a^^x + 2^23^ + ^'33 =^ 
an, wo: 

^33 = «ll«'22 — «'l-i^^O. 

Es müssen nun, wenn wir nur reelle Elemente in Betracht 
ziehen, «jj und «.,2 dieselben Vorzeichen haben, damit ihr Product 
gleich einem Quadrate werde, und wir können setzen: 

,2 



«11 = ?n sm^ a 
a^.y = m cos- a 
äf^2 = — '^ sin a . cos a , 

wodurch die Bedingung ^33 = identisch erfüllt wird. Es ist hier 
a bis auf eine Periode n bestimmt durch: 

tang ß = , 

und fn ergibt sich dann aus den Substitutionsgleichungen. Durch 
Anwendung der letzteren geht die Gleichung der Parabel über in: 

(12) m {x sin a — y cos a)^ + 2a^r^x -\- 2 a^.^y -j- «33 = . 

In ihr bilden also die Glieder höchster Dimension das vollständige 
Quadrat eines linearen Ausdrucks; und dies ist charakteristisch für die 
Parabel. 

Um die geometrische Bedeutung der Richtung a zu erkennen, 
drehen wir das Coordinatensystem so, dass diese Richtung parallel zu 
einer Axe wird. Dazu dienen die folgenden Transformationsglei- 
chungen : 

X = x cos a — y sin a 
y = X sin a. -f- ij cos a . 

Die Gleichung der Curve geht dann über in: 

(13) ?ny'^ + 2px -i-2gy-\- a,, = , 
wo: 

p = «,g cos a -f- «23 si^ " 
q == — fl'j3 sin a -{- «03 cos a. 

Die Gleichung (13) können wir auch in der Form schreiben: 

Clebsch, Vorlesungen. ' 



98 Zweite Abtheilung. 



m 

Setzt man also: 



y +„— y , y +,^ = .^,-?/ , 

so erhält man die Gleichung der Parabel in der bekannten Form: 
(14) my'"' -{-2px" = 0, 

welche wir schon in den einleitenden Aufgaben betrachtet haben. Der 
neue Anfangspunkt liegt auf der Curve, und diese selbst liegt symme- 
trisch gegen die Axe y" = 0. Die Richtung a ist die dieser Axe, 
d. h. die Richtung nach dem einen unendlich fernen Punkte der 
Parabel. Wir sehen somit, dass jeder Kegelschnitt, welcher die unend- 
lich ferne Gerade berührt, eine Parabel in dem früheren Sinne ist. 

Zu dem soeben benutzten rechtwinkligen Coordinatensysteme steht 
ein anderes schiefwinkliges in ähnlicher Beziehung, wie das System 
eines Paares conjugirter Durchmesser zu den Hauptaxen bei den 
Kegelschnitten mit Mittelpunkt: Wir können den unendlich fernen 
Punkt der Parabel als ihren Mittelpunkt auffassen und wollen somit 
unter Durchmessern derselben alle durch diesen Punkt gehende Gera- 
den verstehen, d. h. alle Parallelen zur Axe der Parabel. Fixiren wir 
nun einen anderen Punkt der unendlich fernen Geraden und ziehen 
alle durch ihn gehende Parallellinien, so müssen diese durch die Polare 
jenes Punktes und durch die Parabel harmonisch getheilt werden. Die 
Polare konnten wir allgemein als die Verbindungslinie der beiden Be- 
rührungspunkte der von ihrem Pole an die Curve gehenden Tangenten 
definiren. In unserem Falle ist nun die eine Tangente die unendlich 
ferne Gerade selbst, und die andere läuft parallel zu dem Sehnen- 
systeme, welches wir durch den unendlich fernen Punkt gelegt hatten. 
Die Polare des letzteren ist somit diejenige Linie, welche durch den 
Berührungspunkt der letztgenannten Tangente parallel zur Axe der 
Curve (d. h. nach dem unendlich fernen Punkte der Parabel) gezogen 
werden kann; und der Satz von der harmonischen Theilung geht über 
in den folgenden: 

Jedes System paralleler Sehnen wird halbirt von einer Geraden, 
welche durch den Berührungspunkt der diesen Sehnen parallelen Tan- 
gente parallel zur Axe der Parabel verläuft. Ausgenommen sind dabei 
natürlich diejenigen Sehnen, welche selbst zur Axe parallel verlaufen. 
Wählen wir insbesondere die Richtung des parallelen Sehnensystems 
senkrecht zur Curvenaxe, so ist diese Axe selbst die halbirende Gerade. 
Führen wir nun ein neues Coordinatensystem ein, gebildet aus einer 
Tangente der Curve und einer durch ihren Berührungspunkt gezogenen 
Parallelen zur Axe (wobei die Linien den Winkel /3 einschliessen 



Die Curven zweiter Ordnung und zweiter Klasse. 99 

mögen), so wird dadurch die Form der Parabelgleichung ebensowenig 
geändert, wie die der Curven mit Mittelpunkt durch Einführung eines 
Paares conjugirter Durchmesser als Coordinatenaxen. Gehen wir näm- 
lich von der Gleichung 

y- = 2px 

aus, und ist a, b ein Punkt der Parabel, so sind die Transformations- 
gleichungen, welche diesen Punkt zum Anfangspunkte des neuen 
Coordinatensystems machen: 

X = x' -\- ij cos /3 -f- rt 

y == V sin ^ + Z/ . 

Nach Ausführung dieser Substitution geht die Gleichung der Curve 
wegen 

h"' = 2pa 
über in: 

ij"^ sin^ ß -f- 2yb sin ß — 2 px — 2 py' cos ß == 0. 

Diese Gleichung darf jedoch y' nur im Quadrate enthalten, denn 
jede zur F-Axe gezogene Parallele muss durch die A"-Axe und die 
Curve halbirt werden, wir müssen also ß so wählen, dass 

b sin ß = p cos ß 
oder tang /?=''• 

Dann wird aber die Gleichung der Parabel: 

'2 __ ^/L^' 

also in der That von derselben Form, wie unsere Normalgleichung für 
diese Curve. 

III. Das Llnienpaar. 

Die Transformation, durch welche wir die Parabelgleichung (1; 
auf die Form (14) zurückführten, hat in der Gestalt nur eine Bedeu- 
tung, so lange, 

p = rtj.j cos a -f- fl?23 sin a 

von Null verschieden ist. Ist dagegen 

. _ P = 0, 

so erhalten wir : 

(1) ;/iy'2 _|_ 2<7?/' -f ^/33 = 0, 

d. h. die Curve besteht aus zwei geraden Linien 

y' _ r = 
und y' — .s- = , 



100 Zweite Abtheilung. 

wo r und s die Wurzeln von (1) sind, und diese Linien sind der 
X'-kxQ parallel. Ist insbesondere r = s, so wird die Curve durch 
eine dopiielt zählende Gerade dargestellt. Der Fall /> = entspricht 
nun der Bedingung, dass die Determinante A des Kegelschnitts ver- 
schwinde. Die Gleichung des letzteren ist nämlich hier: 

771 {x sin a — ?/ cos a^ -{- 'la^^x + 2^23?/ + «33 = ; 
also wird: 

I '771 sin'^ a — 771 sin a cos a «jg 

A =^ — m sin « cos a 7n cos^ a «23 

«31 «32 «33 

und diese Determinante verschwindet in der That; denn multipliciren 
wir die erste Horizontalreihe mit cos a und addiren dazu die zweite, 
multiplicirt mit sin a, so verschwinden alle Glieder der ersten Reihe. 
Wir wollen nun zeigen, dass überhaupt ein Kegelschnüt, dessen Dete7^- 
minante vc7'schivindef, in ein Linienpaar ze7fäUt. Der Schnittpunkt der 
beiden Geraden des Paares wird jedoch im Allgemeinen im Endlichen 
liegen; wenn er in dem eben erwähnten Beispiele ein Punkt der 
unendlich fernen Geraden war, so lag dies daran, dass wir von der 
Parabel ausgingen, also 4„ = voraussetzten. Um dies einzusehen, 
gehen wir zunächst von der Mittelpunktsgleichung des allgemeinen 
Kegelschnittes aus. Diese war: 

«11^^ + «22?/^ + 2a^^xy -f -i- = 0. 

-^33 

Setzen wir hierin 

A = 

und nehmen wir an. dass ^33 nicht verschwindet, so zerfällt die 
Gleichung 

«1, a;2 -f a.^^iß + 2a^^xy = 
in zwei lineare Factoren. Denn setzen wir: 

y 
und sind X', k" die Wurzeln der quadratischen Gleichung: 

so ist 

— ^i? = A' + X" 

"''^ =r . r: 
«II ' 

und die Gleichung des Kegelschnittes wird 

{x — X'y) {x — l"y) = 0; 



Die Curven zweiter Ordnung und zweiter Klasse. 101 

derselbe zerfällt also in zwei durch de?i Anfangspunkt gehende Gerade. 
Je nach dem Vorzeiclien von ^33 können wir die Linienpaare in zwei 
Gruppen theilen, ebenso wie die Curven mit Mittelpunkt in Ellipsen 
und Hyperbel: 

1) Ay^ < 0: Reelles Linienpaar -^ dasselbe hat also auch zwei 
reelle, unendlich ferne Punkte, wie die Hyperbel. 

2) /I33 > 0: Imaginäres Linienpaar; dasselbe wird von der un- 
endlich fernen Geraden in zwei imaginären Punkten getroffen, wie 
die Ellipse. Nur der Schnittpunkt beider Linien ist reell, wie dies 
immer bei zwei conjugirt imaginären Geraden der Fall ist. Endlich 

gibt der Fall: 

3) ^gg = 0: Zwei parallele Linien; sie werden von der unend- 
lich fernen Geraden in zwei zusammenfallenden Punkten getroffen, wie 
die Parabel. Nach dieser vorläufigen Orientirung wollen wir den Fall 
A = ^ noch in allgemeinerer Weise, ohne besondere Annahme über die 
Lage des Coordinatensystems, behandeln. 

Die Gleichungen, welche einem Punkte x seine Polare « in Bezug 
auf den Kegelschnitt: 

21 an; Xi xi; =■ 
zuordnen, waren: 

Qii^ = a^^x^ + «10^2 + ^13^3 

(3) Q 1^2 = ff-2\ ^1 + «22 ^'^'2 + «23^3 
Q l'■^ = «3K^'l + «32^2 + «33^3 ^ 

und diese Gleichungen gelten auch noch, wenn A verschwindet. In 
diesem Falle sind sie jedoch nicht mehr auflösbar, d. h. einem Jeden 
Punkte entspricht noch eine bestimmte Polare, aber dieser Polare nicht 
mehr umgekehrt ein bestimmter Pol. Wir können ferner einen Punkt l 
bestimmen, dessen Coordinaten gleichzeitig den drei Gleichungen ge- 
nügen : 

«11^1 + «12^2+ «13^3 =ö 

(4) «21 ^1 + «'22^2 + «23^3 = ^ 
«31^1 + «32^2 + «33^3 = 0, 

denn die einzige Bedingung für das Zusammenbestehen dieser Glei- 
chungen ist eben: 

^ = 0. 
Für diesen Punkt l wird also die Polare unbestimmt (d. h. wir können 
in gewissem Sinne jede Linie der Ebene als seine Polare betrachten), 
während anderseits die Polare eines jeden anderen Punktes durch ihn 
hindurchgeht; denn multipliciren wir die Gleichungen (3) bez. mit 
l^,i,2y ^3 ^^^ addiren, so sehen wir, dass die Bedingung 

«lll + W2I2 + «3^3=^ 



102 Zweite Abtheilung. 

unabhängig von den Werthen der x, d. h. für die Polaren aller 
Punkte erfüllt wird (der zu der letzten Gleichung noch hinzutretende 
Factor q wird nur verschwinden, wenn die Uik sämmtlich gleich Null 
sind, was wir ausschliessen). Es können daher auch umgekehrt mir die- 
jenigen Geraden als Polaren von Punkten aufgefassl werden, welche durch 
i, hindurchgehen, ivenn man nicht eben alle anderen Geraden als Polaren 
von l selbst auffassen will. Einer jeden solchen Geraden u gehören 
dann aber unendlich viele Punkte als Pole zu; denn ist x ein solcher 
Punkt, welcher den Gleichungen (3) genügt, so werden diese Glei- 
chungen wegen (4) auch durch jeden Punkt x -\- ki, der Verbindungs- 
linie von X und § befriedigt. 

Um die Gestalt der Curve selbst zu erkennen, betrachten wir die 
Verbindungslinie von ^ mit irgend einem Punkte x derselben. Setzen 
wir X -^ l't, statt X in die Curvengleichung ein, so erhalten wir eine 
Gleichung 

P4-2AO + A2/? = 0, 
deren Coefficienten sämmtlich verschwinden, denn es ist nach (4): 

also ^ liegt auf der Curve; ferner ist nach der Annahme: 

R = EaikXiXi, = 0, 
und auch wegen (4): 

= ^(likli Xu = . 
Die Linie x -^ X^ gehört also ganz der Curve an, und diese kann 
daher nur aus zwei Geraden bestehen, ivelche sich in l schneiden; und 
zwar zwei solchen wegen des Grades der Kegelschnittgleichung. Die 
Coordinaten des Punktes ^ sind aus zwei der Gleichungen (4) zu be- 
stimmen; dieGleichung desselben können wir demnach in den 3 
Formen schreiben: 

A,,u, -]- A,.^u.,-\- A,^u^ = {), 

^^) ^21 ^1 + A,^,U, -f ^3 «3 = , 

von denen jede mit der Gleichung 
gleichbedeutend ist. Wir können deshalb setzen: 

^33=/^^3' ^23 = i^^o^3. 

Für einen zerfallenden Kegelschnitt iverden also die Unterdeterminanten 
seiner Determinante proportional zu den Quadraten und Producten dreier 
Grössen, der Coürdinaten seines „Doppelpunktes" (§). 



Die Curven zweiter Ordnung und zweiter Klasse. 103 

Auf anderem Wege werden wir zu der Gleichung dieses Doppel- 
punktes geführt, wenn wir die Gleichung des Kegelschnittes in Linien- 
coordinaten bilden. Dieselbe ist nämlich: 

Sie gab uns früher die Bedingung, welcher einer Linie u genügen 
musste, um den Kegelschnitt in zwei zusammenfallenden Punkten zu 
schneiden. Dies ist nun bei einem Linienpaare, so lange dasselbe 
nicht in eine Doppellinie ausartet, nur möglich, wenn die Gerade ii 
durch den Doppelpunkt desselben hindurchgeht ; und in der That geht 
die Gleichung in Liniencooräinaten wegen (6) über in: 

(^,^l+^2^^2 + ^3^'3)' = 0, 

d. h. sie (jiht doppelt zählend die Gleichung des Boppelpxmktes. 

Die Coordinaten (ß, und /3/) der beiden Geraden, in welche der 
Kegelschnitt zerfällt, bestimmen sich aus den Gleichungen: 

«] /^l = ^h 1 «2/^3 + «3 ^2 = 2 r/23 

(7) «2/^2 = «'22 «3/^1 + «1 h = 2 <^31 

Ö^3^3 = «33 «1/^2 + «2^1 =2fl'i2 5 

dieselben ergeben sich unmittelbar durch Vergleichung der Coefficien- 
ten gleicher Producte der x in der Bedingungsgleichung: 

Uaj/^x.X/, = (a^Xy + a.,x., + a.^x.^) ißlX^ + ^2 ^'2 + ß^^i) 

Die Gleichungen (7) ändern sich nicht, wenn man gleichzeitig die 
«,, «2- «3 J^i* ei^^r Grösse k multiplicirt und die ß^, ß^, ß.^ durch 
dieselbe Grösse Ä- dividirt; und da wir es nur mit Verhältniss - Grössen 
zu thun haben, ist eine solche Operation für ihre Bedeutung gleichgültig. 
Wir können daher eine der sechs Unbekannten a^, a^^. a.^, ßi, ß-^, ß^ 
gleich der Einheit setzen und haben dann 6 Gleichungen mit 5 Un- 
bekannten. Sie sind im Allgemeinen nicht auflösbar, sondern damit 
dies möglich ist, muss eine Bedingung zwischen den Coefficienten 0,7, 
bestehen. Eine solche ist uns bei unserer Voraussetzung aber durch 
die Gleichung 

A = 
gegeben, und wir werden später sehen, dass das Verschwinden von A 
die einzig mögliche Relation zwischen den «m- ist, welche zum Ziele 
führt. Um die Unbekannten selbst zu berechnen, kann man etwa 
mit a,|3i in a^ß.^ und a^ß.,-\-ß^a, dividiren; es ergeben sich dadurch 

Summe und Product von ^ , |^ , und diese Grössen sind also durch 

«1 pi 
eine quadratische Gleichung bestimmt; die übrigen findet man dann 

linear. 



104 Zweite Abtheilung. 

Symmetrischer und eleganter ist dagegen der folgende Weo-. Der 
Punkt g ist der Schnittpunkt der Linien a und /3 ; es bestehen daher 
die Gleichungen: 

folglich ist auch: 

2()^, = a,ß.^ — ß.^a^ 

(8) 2Ql, = a,ß,-ß^a^ 

2 qI^^ a^ß.,-~ ß^a.,. 

Man hat also, Avenn man die § aus (4) irgendwie bestimmt denkt, 
wegen (7) die folgenden 9 Gleichungen zur Berechnung der cc und ß : 

"^1^1 = ^'1 «2^1 = «21 - P^3 <^,ßi = «31 +9^2 

(9) a,ß, = a,,-]-Q^. a,ß,==a,, a,ß, = a,,-Q^^ 

«1 ß, = «13 — 9h «2/^3 = «23 + (>^1 «3/^3 = «33 • 

Es sind hiernach die Verhältnisse a, : a, : cc, und ^, : /^a : /53 unmittel- 
bar gegeben, sobald noch q bekannt ist. Dies q ist zwar zunächst 
nur als Proportionalitätsfactor eingeführt und würde als solcher voll- 
kommen willkürlich sein. Dasselbe ist jedoch hier wegen der Glei- 
chungen (6) von dem Proportionalitätsfactor ^ abhängig. Wir können 
nämlich wegen (7) die Unterdeterminanten A^, durch die a und ß aus- 
drücken und müssen dann zu denselben Ausdrücken kommen, wie sie 
die Quadrate und Producte der ^ aus (8) ergeben. Es ist so z. B. 

und also wegen (6): 



()2 = — fi 



wodurch p derartig bestimmt ist, dass in (9) auf den rechten Seiten 
nur noch die a,,, linear vorkommen. Wir haben für p zwei Werthe 

9 = + '/— (i, 9 = — //^; 
beide geben aber dasselbe Resultat, denn man erkennt leicht, dass 
sich die^Werthe der a und ß nur vertauschen, wenn man einmal 
+ /— ^; einmal — /_ ^ statt q setzt; und somit ist unsere Auf- 
gabe gelöst: Die Coordinaten der beiden Linien des zerfallenden Kegel- 
schnittes sind gegeben durch: 

ßr-ß,: ß, = a,, : a,, + V^^^T^,, : a,, - V^^A,, 

= «21 — Vi^Az '■ «22 : «23 + V^A^i 

= «3j -|_ j/_ ^ ^22 . fi^^ _ y_ ^J^^ .^^^. 

«, : «, : a, = a,, ; a,^ - V'^TJ'i;, : a,, + ?/^=^~ 

= «j, + ]/— /i^33 : «2-, : «32 — y— ^A~^ 

= «13 — V— iiA^^ : flf23 -f yZiyA^^ : ^ . 



Die Curven zweiter Ordnung und zweiter Klasse. 105 

Es gilt nun auch umgekehrt der Satz, dass immer A verschwinden 
muss, sohcdd der Kegehchnill ausartet; denn die Gleichungen (3) ver- 
wandeln sich alsdann wegen des Bestehens von (7) in: 

Qu^ = ß^ UaiXi -\- ßj HßiXi 

0U^== ß^ ^^i^i + ^■} ^ßiXi 

Qu^ = ß.^ HaiXi -\- «3 EßiXi , 
und alle drei Ausdrücke verschwinden für x = ^ identisch , da 

E Ui li = und E /3,- §,• = , 
d. h. es gelten wieder die Gleichungen (4), aus denen 

folgt. 

Den Ausgangspunkt unserer Betrachtungen über zerfallende 
Kegelschnitte bildete die Unbestimmtheit der Polarenbeziehung, welche 
dabei in gewisser Hinsicht eintritt. Nach unserer allgemeinen Be- 
handlung ist andererseits diese Gestaltung der Polarentheorie geome- 
trisch selbstverständlich. Denn es folgt unmittelbar aus der Theorie 
des vollständigen Vierseits, dass alle Strahlen eines Büschels die bei- 
den Geraden so treffen, dass der vierte harmonische Punkt stets auf 
einer durch den Doppelpunkt gehenden Geraden liegt. Und umgekehrt 
ist es klar, dass einer durch den Doppelpunkt gehenden Linie alle 
Punkte der vierten harmonischen Geraden zu ihr und dem Linienpaare 
als Pole zugeordnet sind. Man construirt demnach die Polare eines 
Punktes, indem man denselben mit dem Doppelpunkte verbindet, und 
zu dieser Verbindungslinie und den Geraden, aus welchen der Kegel- 
schnitt besteht, die vierte harmonische Gerade sucht. Diese zu den 
beiden Grundlinien harmonischen Linienpaare entsprechen den Paaren 
conjugirter Durchmesser bei nicht zerfallendem Kegelschnitte, insofern 
man den Doppelpunkt als Mittelpunkt auffassen kann. — 

Voraussetzung bei alle diesen Betrachtungen ist, dass die Glei- 
chungen (4) den Doppelpunkt §• wirklich bestimmen. Dies ist jedoch 
nicht mehr der Fall, wenn dieselben sich auf eine einzige Gleichung: 

Yi^\ + y-^l + 7;j^,3 =ö 
reduciren, von der sie dann nur durch constante Factoren {m,) ver- 
schieden sind. Wir können in dem Falle setzen: 

rtj, = Wjj/j a^.y = m^y. «,3 = m^ y^ 
(fn = ^2?! a.^r, = m.^y2 a^^ = m^y.^ 

^'31 = ^3^1 «23 = "hVi ^33 = "hV'i' 

Da aber au, = aki ist, so haben wir auch 

m^\m^:m.^ = y^:yi'. y^ 



«li = ^n^ 


^23 = ^y-2r'i 


«'22 = ^r2^ 


«3i.= ^r3yi 


^^33 = ^n~ 


«12 = /*yi72 



106 Zweite Abtheilung. 

und somit loerden die Coefficienten der KegeUclimttgleichung proportional 
zu den Quadraten und Producten dreier Grössen, d, h, es wird, wenn ^ 
ein Proportionalitätsfactor ist: 



(10) 



Es folgt so, dass die linke Seite der Curvengleichung das vollständige 
Quadrat eines linearen Ausdrucks wird: 

und der Kegelschnitt besteht aus einer Boppellinie : ein jeder Punkt der- 
selben ist nunmehr als Doppelpunkt zu betrachten. 

Die Gleichungen (10) zeigen das gleichzeitige Bestehen der fol- 
genden Relationen: 

^^i.=0 .4,3 = 

^22 = ^31 = 

^33 = ^j2 = 

Anderseits folgen aus dem Verschwinden dieser Unterdeterminanten 
wieder die Gleichungen (10), also: 

Wenn nicht nur die Determinante eines Kegelschnittes verschivindet, 
sondern auch alle Unterdeterminanten derselben, so besteht der Kegel- 
schnitt aus einer Doppellinie. In der That ist dann die Gleichung in 
Liniencoordinaten 

ZI AiuUiUk = 

von jeder Geraden u erfüllt, wie es sein muss, da eine jede Gerade 
eine doppelt zählende andere Gerade in zwei zusammenfallenden 
Punkten schneidet. — 

Die Betrachtungen dieser Ausartungen (Linienpaar und Doppel - 
Knie) kann für die Untersuchung der allgemeinen Kegelschnitte von 
grossem Nutzen werden. Es bietet sich hier nämlich die Aufgabe: 
das Prodnct der beiden von einem Punkte an die Curve zu legenden 
Tangenten zu bestimmen; und diese Aufgabe wollen wir als eine An- 
wendung der vorhergehenden Erörterungen noch durchführen. 

Ziehen wir durch einen Punkt alle möglichen Strahlen und be- 
stimmen auf ihnen Punkte z so, dass sie mit y und den beiden 
Schnittpunkten des Strahles mit der Curve ein bestimmtes Doppel- 
verhältniss a bilden, so liegen die Punkte z, wie wir am Eingang der 
allgemeinen Kegelschnitttheorie fanden, auf einer Curve zweiter Ord- 
nung, gegeben durch: 

(«+ l)2/>/?_4ap2_0, 



Die Curven zweiter Ordnung und zweiter Klasse. 107 

WO P, Q, R die folgende Bedeutung hatten. Es war^ wenn wir uns 
der symbolischen Bezeichnung bedienen: 

= («1^1 + «2^2 + ^/3^a) («i2/i + «22/2 + «3^3)- 
Hieraus erhielten wir für « = — 1 insbesondere eine Doppellinie : 

0' = 0, 

die Polare des Punktes y. Soll dagegen a = -|- 1 sein, so müssen 
nach unseren allgemeinen Betrachtungen über Doppelverhältnisse von 
den vier Punkten zwei, welche bei Bildung des Doppelverhältnisses 
als ein Paar benutzt werden, mit einem Punkte des andern Paares 
zusammenfallen, also in unserem Falle auf dem durch y gelegten Strahle : 
die Schnittpunkte des Kegelschnittes mit dem Punkte z (denn diese 
Punkte sind allein beweglich). Es muss daher die Linie t/z die Curve 
in zwei zusammenfallenden Punkten treffen, d. h. sie muss dieselbe be- 
rühren ; und die für a = -f- 1 resultirende Gleichung stellt uns das 
Produci der beiden von y an die Curve gehenden Tangenten dar, es ist: 

(11) PR-Q'^ = 0. 

Um diese Gleichung wirklich in ihre linearen Factoren zu zerfallen, 
verfahren wir folgendermassen. Es seien Vi die Coordinaten der Polare 
des Punktes y in Bezug auf den gegebenen Kegelschnitt: 

also die Coefficienten der z in. Q: 

(12) (7 Vi = «,-, ?/( 4- a,-2 ^2 + «/3 2/3 •> («■ = 1 ; 2, 3) . 

Alsdann haben wir in (9) an Stelle der «',/, nur die Coefficienten von 
Zi Zk in (11) zu setzen, d. h. die Grössen: 

ttih P — O"^ Vi Vi; . 

Die Coordinaten ai und ß; der beiden Tangenten bestimmen sich daher 
aus den Gleichungen: 

ci^ß.i^=^a^^P- ö'-'t;, V, -f()y;5, a.,ß^^a^^P-6^v.^^ , aiß,-^a,^.,P-G-v.^v.,-Qy^, 

«1^3 = ^13^- ö'-V,f 3 — ()y2, a2/53 = ^'23^--<^^^2^3 + Pyi; «3 Ar ^^33 ^- <^^ ^'3^ • 

Hierin sind die y unmittelbar gegeben, und wir haben nur noch q zu 
bestimmen, um dann die Verhältnisse der a und ß sofort angeben zu 
können. Diese Bestimmung geben wieder die Gleichungen (6), denn 
wegen (6) haben wir: 

(13) A'i,;^ — Q'^yiyu, 



108 



Zweite Abtheilung. 



wo die Aik aus den Äjk hervorgehen, wenn man in letzteren an Stelle 
der rtTj/, die Grössen «,/t • -P — ö-v.y/, setzt. Bilden wir nun die 6 
Gleichungen (13), multipliciren eine jede mit a'^ViVk und addiren alle, 
so erhalten wir wegen (12): 
(14) 6"^ EA 'iu Vi Vk = — Q^P^. 

Den hier links stehenden Ausdruck könoen wir noch passend um- 
formen, wenn wir die Liniencoordinatengleichung des Kegelschnittes 
in der früher (p. 78) gegebenen Determinantenform: 



«12 «13 

»m a 



^22 



"32 
Mo 



23 



= 



U, Mo ?/., 

zu Grunde legen. 

Wenden wir diese Darstellung auf unsern Fall an und schreiben 
statt der a ,/ wieder die Grössen «//, P ~ o^ vi vu , so geht die Glei- 
chung (14) über in: 



()2/>2 _ Ql 



oder indem wir die letzte Horizontalreihe der Determinante bez. mit 
a'h\, ö'^v.,, (?2y^ multiplicirt zu der ersten, zweiten und dritten Hori- 
zontalreihe addiren: 

i«ll^ «,,/> «13 /> 

a.^, P a-icP a.^P 



a^^P— a'^v^' 


ay,P — (i^v^v^ 


«J3P— (J^yj^g 


^i 


«21 -P— G'V^V^ 


a-iiP — o^v^ 


a^^P — o'^v.^v.^ 


^2 


a^^P- a'v-,i\ 


«32 P — 02 ^3 V^ 


«33^ -^'«^3' 


^3 


Vx 


^2 


V3 






()2P2_ 



'33 







= a''P^ 



«o 



*31 



"12 
«22 

«32 

V» 



*23 







Multipliciren wir hierin die ersten drei Verticalreihen bez. mity^^o? f/s 
und addiren sie zu der mit — 6 multiplicirten vierten Verticalreihe, 
so folgt ferner, da wegen (12) 

a Evitji = ZaikViVk = P: 

/-.rx o "21 -22 -23 , ^ ! 

(15) r = -cr ^ a... a.: =-^^5 



*31 



"33 



Die Curven zweiter Orduuug und zweiter Klasse. 109 

und somit haben wir in (13) für q die beiden Werthe : 

() = + /— PA nnd Q = — ]/— PA 

einzusetzen; eine Vertauschung beider Werthe hat nur eine Vertau- 
schung der beiden Linien a und ß zur Folge, ist also unwesentlich. — 
Das Vorzeichen von q^ gibt uns ein Criterium über die Lage des 
Punktes y gegen die Curve; wir haben für eine reelle Curve die fol- 
genden Fälle zu unterscheiden: 

1) Q- == — PA > 0: Die beiden Tangenten sind reell. 

2) Q- = — PA < 0: Die beiden Tangenten sind imaginär. 

3) q"^ = — PA = 0: Die beiden Tangenten fallen in eine zu- 

sammen {P = 0). 

Bie Ebene wird daher durch einen reellen Kegelschnilt in zwei 
Theile gelrennt: in dein einen {dem inneren Theile} liegen nur Punkte 
mit imaginärem Tangentenpaare; in dem andern (dem äusseren Theile) 
nur solche mit reellem Tangentenpaare. Für Punkte der Curve findet 
ein Uebergäng vom Reellen zum Imaginären Statt, indem beide Tan- 
genten in die des betreffenden Punktes zusammenfallen. 

Das Tangentenpaar vom Punkte y an die Curve erschien uns 
hier als die Ausartung eines Kegelschnittes von der Gleichungsform 
(vergl. p. 74): 

(16) {ci-\-\f PR — 4:aff' = 0. 

Fassen wir hierin a als einen veränderlichen Parameter auf, so stellt 
uns die Gleichung ein System von einfach uneüdlich vielen Kegel- 
schnitten dar, unter denen insbesondere die doppelt zählende Polare 
von y und das Tangentenpaar enthalten war. Dieselben beiden Curven 
erhält man aber auch, wenn man den Kegelschnitt 

i>=0 
durch irgend einen andern des Systems ersetzt, d. h. alle KegelschniUe 
des Systems haben dasselbe Tangentenpaar und dieselbe Polare für den 
Punkt y. Setzt man nämlich y -|- Az statt z, so erhält man: 

(ß + \f P {B -^ 2 XQ -^ P l>) — 4. a {Q -\- l Pf = , 

oder ' 'X^R' + 2 A(/ + />' = 0, 

wo nun: 

/>'=(«-!- 1)'^ PR = ^aff-, 

Q'=^(a-iyPO, 
■' R' = {a - \y P"' , 

und daher: 

P'R' — Q'-i = {a.-^ — 1)2 />2 ^pf^ „ ^2)_ 

Es sind also die Ausdrücke P' R' — Q"^ \xn^ Q"^, welche gleich Null 
gesetzt die Gleichungen des Tangentenpaares und der Polare für 



110 Zweite Abtkeilung. 

irgend eine Curve des Systems geben, nur um eonstante, nicht ver- 
schwindende Factoren verschieden von den entsprechenden Ausdrücken 
für die gegebene Curve; und damit ist unser Satz bewiesen: Alle 
Kegelschnitte des Systems (16) hernliren sich in zivei Punkten, und tj ist 
der Pol ihrer Beriihrtmyssehne. 

Wir wollen die Zerlegung der Gleichung des Tangentenpaares 
noch an einem einfachen Beispiele verfolgen. Es sei gegeben die 
Ellipse: 

""^ _J_ ^^ _ 1 =^ 

und man soll das vom Punkte l,y] an dieselbe gehende Tangentenpaar 
bestimmen. Es ist hier: 

P = ^- 4- ^ _ 1 
= i^ -4- "^Ä — 1 

^ = ^ + S — ^ • 

Die Gleichung des Linienpaares lässt sich dann in der Form schreiben : 

«2^,2 f^pj^ _ ^2) _ (-^^ _ y ^)2 _ (^ _ ^y. ^2 ._ (y _ ,,^y2 ,,2 _ Q. 

Um diesen Ausdruck in seine beiden linearen Factoren 

cc X -\- ß y -\- y =0, 
a'x -\- ß' y -\- y = 

zu zerlegen, haben wir uns der Gleichungen für aißk zu bedienen; 
dieselben nehmen hier die folgende Gestalt an (dieselben sind alle 
mit a^h"^ multiplicirt) : 

au = rf~ —Z/2 ßa'^ — lri —q ya = b"^^ + P>? 

aß' = -^rj -i-Q ßß'= ^2 -«2 ^ß'^ a'rj—Q^ 

ay' = b^ - Qrj ßy =- a^r] -\- qI yy = — b^h,"^ — a'^r]\ 
wo nun nach (15), wie man auch leicht direct nachweist: 

p2 = ^,2|2 _j_ ^2^2_ ^2^2_ 

Die Gleichungen der beiden gesuchten Tangenten sind also, wenn q 
eine der Wurzeln der Gleichung für q^ ist, gegeben durch: 

bmx—l)-{-a-^7]{y — 7])-j-Q{^y — xri) = 
und: 

bH (^ - ^) + a'v (y ~ n) - 9 {ly - xri) = 0. 

Aehnliche Betrachtungen lassen sich für Hyperbel und Parabel ein- 
fach durchführen. 



Die Curven zweiter Ordnung und zweiter Klasse. 



111 



IV. Dualistisches. 

Wenn wir in unseren bislierigen Untersueliimgen stets von der 
Gleiciiung des Kegelsclmittes in Punktcoordinaten : 

27 «,7, XiXic = 

ausgingen, so geschali dies nur, um uns der geläufigeren Vorstellung 
anzuschliessen , dass man den Punkt als erzeugendes Element für 
geometrische Gebilde betrachtet. Andererseits waren wir zu dieser ein- 
seitigen Betrachtung berechtigt, da wir bewiesen haben, dass im All- 
gemeinen eine Curve zweiter Ordnung auch von der zweiten Klasse 
ist, und umgekehrt. In der That würden wir unter Zugrundelegung 
der Gleichung des Kegelschnittes in Liniencoordinaten: 

(1) ■ 27 An, Ui lik = (^1 Wf + A^iL, -\- A^u-i)- == 

auf ganz dieselben Probleme geführt werden, die wir schon behandelt 
haben ; dieselben würden nur unter anderem Gesichtspunkte erscheinen. 
Es gilt dies jedoch nicht mehr für zerfallende Kegelschnitte, sondern 
es tritt hier an Stelle des Linienpaares das Punktepaar. Wir wollen 
den Gang, welchen die den vorigen entsprechenden Untersuchungen 
bei diesem Ausgangspunkte nehmen würden, im Folgenden allgemein 
andeuten. Wir stellen dabei die dualistisch entsprechenden Aufgaben 
und Sätze, wie wir sie früher behandelten, den nunmehr sich dar- 
bietenden der Uebersichtlichkeit wegen noch einmal (rechts) gegenüber. 
Den Anfangspunkt der Theorie bildet die Aufgabe, welche wir in 
der früheren Darstellung zuletzt behandelten: 



Es sollen die beiden durch den 
Schnittpunkt zweier Geraden v und 
lü an die Curve gehenden Tangenten 
bestimmt werden. 



Es sollen die beiden auf der 
Verbindungslinie zweier Punkte y 
und z liegenden Punkte der Curve 
bestimmt loerden (vgl. p. 73). 



Wir setzen hier in (1): 
(l) Ui = Vi + }iiVi , (/ = 1 , 2, 3) 

und erhalten dadurch eine quadratische Gleichung in ft: 
ii'-L + 2^// + 6^ = 0, 



wo 



L = (^,y, + A.,v^ -f Jgt'a)-, 
G= {A^iVi-\- A.yw^ + A^iv^y-, 
H={A^v^ -f A^v., + A^v.^ {A^iv^ -f A^w.^ + A.^w.;). 

Die den beiden Wurzeln entsprechenden Werthe der Ui geben dann 
die Coordinaten der beiden Tangenten. Dieselben sind 



112 



Zweite Abtheilung. 



reell für H''- > GL, 
imaginär für H"^ < GL, 
sie fallen zusammen für LI"^ = G T^ \ 
im letzten Falle liegt der Schnittpunkt der Linien v, w auf der 
Curve. 

Hieran schliesst.sich ferner die Frage: 

Wie muss die Linie rv liegen, 
damit sie mit v und den beiden Tan- 
genten ein bestimmtes Doppelverhält- 



Wie muss der Punkt z liegen, 
damit er mity und den Schnittpunkten 
der Verbindungslinie ein bestimmtes 
Doppelverhältniss bildet? (vgl. p. 74) 



niss a bildet? 

Es findet sich für rv die quadratische Gleichung: 

{a 4- lyGL — 4a^2^0; 

dieselbe stellt, wenn man a als veränderlich betrachtet, ein System 
von Kegelschnitten dar, welche von w umhüllt werden müssen. Ins- 
besondere ist darunter ein ausgezeichneter für c: = — 1 : ein doppelt 
zählender Punkt; also: 



Wenn man von allen Punkten 
einer Geraden v die Tangenten an 
den Kegelschnitt zieht und von jedem 
aus den vierten harmonischen Strahl 
zu V und den beiden Tangenten, so 
gehen die&e harmonischen Strahlen 
alle durch einen Punkt, den Pol der 
Geraden v. Seine Gleichung ist: 

//=0. 



Wenn man auf allen Strahlen 
durch einen Punkt z die Schnitt- 
punkte mit dem Kegelschnitte be- 
stimmt und auf jedem den vierten 
harmonischen Punkt zu y und den 
beiden Schnittpunkten, so liegen diese 
harmonischen Punkte alle auf einer 
Geraden, der Polare des Punktes y. 
Lhre Gleichung ist: 

= 0. 

Die Coordinaten des Poles sind die Coefficienten der Grössen wi 
in dem Ausdrucke //, also: 

(2) 6y^ = A^^ v^ + A^^.^ v^ -f A.^^^v^ , 

Gy^ = 4i ^1 + ^'ii'^h + ^:«^;! • 
Die Beziehung des Poles zur Linie v ist daher dieselbe, wie die früher 
gefundene, wenn wir unter den Au, die Unterdeterminanten der Deter- 
minante A eines als Punktgebilde gegebenen Kegelschnittes 

verstehen. Man sieht dies auch sofort, wenn man die Punkte betrachtet, 
in denen die Berührungssehne der von einem auf v gelegenen Punkte 
gezogenen Tangenten die Linie v selbst schneidet. Ein solcher Punkt 
ist immer der Pol einer zugehörigen Linie w. Diese Geraden 



Die Cnrveu zweiter Ordnung und zweiter Klasse. 



113 



müssen daher nach den bekannten Gesetzen über die Polarreciprocität 
den Pol von v umhüllen. Die Frage nach dem Orte, welcher von den 
harmonischen Strahlen zu einer Geraden und den von ihren Punkten 
ausgehenden Tangenten umhüllt wird, führt also hier auf nichts Neues : 
wir kommen auf die schon oben eingehend erörterten Polaritäts- 
gesetze zurück. Insbesondere haben wir daher die folgenden Sätze: 

Geht u durch den Pol von v, j Liegt x auf der Polare von y, 

so geht v durch den Pol von u. \ so liegt y auf der Polare von x. 



Der Pol einer Geraden ist der 
Schnittpunkt der Tangenten des 
Kegelschnittes in seinen Schnitt- 
punkten mit der Geraden. 

Der Pol einer Tangente des 
Kegelschnittes ist ihr Berührungs- 
punkt. 

Der letzte Satz gibt uns das Mittel, die Gleichung der Curve in 
Punktcoordinaten darzustellen, wie oben der entsprechende Satz zum 
umgekehrten Schritte. Bezeichnen wir nämlich durch A die Deter- 
minante 



Die Polare eines Punktes ist die 
Verbindungslinie der Berührungs- 
punkte der beiden von ihm an den 
Kegelschnitt gehenden Tangenten. 

Die Polare eines Punktes des 
Kegelschnittes ist seine Tangente. 



A=- 



A 



21 



12 

A 



22 



-^13 

A, 



23 



A, 



'31 ^32 ^33 

und durch kiu ihre zweigliedrigen Unterdeterminanten, so ergibt die 

A . 
a 



Auflösung der Gleichungen (2) für q 

QVl= Aii^i + Ai2?/2 + AigJ/g 
9^2 = Aoi?/i + ^02I/2 + ^23!h 
9^3= ^31?/! -f A32?/2 + A33?/3 

und die Bedingung , dass y auf y Hege, ergibt die Gleichung des Kegel- 
schnittes in Punktcoordinaten: 

AuZ/i" + Ao^yo^ + Aasya^ + 2^^^y^y., -\-2K^^y^y.^ + ^A23?/2y3 =0, 
eine Gleichung, welche wir in Determinantenform erhalten würden, 
wenn wir aus (2) und 

6 und die Vj eliminiren. Wir haben also: 

Ist die Gleichung eines Kegel- 
schnittes in Punktcoordinaten: 

(3)* 2:aikXiXk=()j 

so ist derselbe in Liniencoordinaten 



Ist die Gleichung eines Kegel- 
schnittes in Liniencoordinaten: 



(3) EAikUiUk = , 

so ist derselbe in Punktcoordinaten 
dargeslelll durch: 



dargestellt durch: 



C leb seil, Vorlesungen. 



114 



Zweite Abthellung. 



(4) Z ki,,XiX,: =^ , 

oder durch: 



(4)* EAiuUiU, 

oder durch: 



iP) 



'II 



^31 
X, 






n 



*33 



X., 




= 



(5)^ 



^1 



Mo 



an 
a,, 

Wo 



''3 




Setzen wir insbesondere voraus, dass die Gleichungen (4)* (5)* mit 
(3) identisch sind, so müssen die Gleichungen (4), (5) umgekehrt auf 
(3)* zurückführen; und es ist dies nach den in der Einleitung über 
adjungirte Systeme gegebenen Determinanten - Sätzen (vgl. p. 20) in der 
That der Fall. Nach diesen ist nämlich: 

(6) A = A'- 
und für die Unterdeterminanten: 

(7) A//, = A . oik . 

Die Gleichung (4) geht daher in der That über in: 

A ' 27 auc Xi xi: = , 
d. h. sie unterscheidet sich von (3) * nur durch einen constanten. nicht 
verschwindenden Factor; denn wir setzen bei allen diesen Betrachtungen 
nicht zerfallende Kegelschnitte voraus. 

Die Polarentheorie führte uns oben durch die Betrachtung söge- 
nannter Polardreiecke auf eine einfachste Form der Kegelschnittglei- 
chung; dasselbe gilt auch hier. Legen wir ein Polardreieck als Coor- 
dinatendreieck zu Grunde, so ist die Gleichung 

in Punktcoordinaten : 



in Liniencoordinaten : 



«."»''» (^',' + ?^ + f)="- 



Die Untersuchungen, welche wir an diese Gleichungsform knüpften, 
indem wir zu einer Dreiecksseite die unendlich ferne Gerade wählten, 
sowie überhaupt die Betrachtungen über die Beziehungen des Kegel- 
schnittes zu dieser Geraden fallen jedoch bei unseren jetzigen Dar- 
stellungen aus, denn es existirt kein einzelner entsprechend ausge- 
zeichneter Punkt in der Ebene. Wir werden dagegen später zwei 
ausgezeichnete imaginäre Punkte der Ebene kennen lernen, welche 
durch ihre Beziehungen zu einem Kegelschnitte metrische Sätze für 
denselben begründen; insbesondere werden wir dadurch auf die Brenn- 
punkte geführt werden. 

Wir haben zunächst noch zu erörtern, was das Verschwinden der 
Determinante A bedeutet. Die Gleichungen (2) sind dann nicht mehr 
auflösbar; man kann dagegen eine Linie a so bestimmen, dass gleich- 
zeitig die Gleichungen bestehen: 



Die Cnrven zweiter Ordnung und zweiter Klasse, 



na 



^•>I '^l ~f" ^22*^2 ~i~ ^23 '^:! ^^ ^ 

und es findet sich weiter, dass, wenn eine Linie v der Gleichung 

U AiU Vi Vi: = ' 

genügt, auch jede Linie des Büschels v -\- Xa diese Bedingung be- 
friedigt. Wir folgern daraus, indem wir zugleich weitere Sätze über 
das Linienpaar dualistisch übertragen: 



Verschwindet die Determinante 
A eines Kegelschnittes, so zerfällt 
derselbe in ein Punktepaar. Zu 
jeder Geraden gehört ein auf der 
Verbindungslinie der Punkte des 
Paares liegender Punkt als Pol; 
und jeder Punkt dieser Verbin- 
dungslinie hat alle Linien durch 
den vierten harmonischen Punkt 
zu Polaren. 

Die Gleichung des Kegel- 
schnittes in Punktcoordinaten stellt 
doppelt zählend die Verbindungs- 
linie der beiden Punkte dar; es ist: 

(cj^ x^ -f- öo x.^ -\- ojo x^'^= 2JA,7, XiXi,. 



Verschwindet die Detej^minante 
A eines Kegelschnittes, so zer füllt 
derselbe in ein Linienpaar. Zu 
jedem Punkte gehört eine durch 
den Schnittpunkt der Linien des 
Paares gehende Gerade als Po- 
lare; und jeder Strahl durch den 
Schnittpunkt hat alle Punkte des 
vierten harmonischen Strahles zu 
Polen. 

Die Gleichung des Kegel- 
schnittes in Liniencoordinaten stellt 
doppelt zählend den Schnittpunkt 
der beiden Linien dar; es ist: 



Um die Coordinaten der beiden Punkte a und b, in welche der 
Kegelschnitt zerfällt, zu bestimmen, haben wir hier die Gleichungen: 

a^ &j = ^H ffo&3 + *2% = ^ ^^23 



«0^2 



^22 «3^1 +^3 «1 =2^3, 



«3^3 = -^33 



«1&2 + ^1^2 =" ^ ^12 » 

und dieselben sind nur unter der Bedingung 

A = 
auflösbar. « 

Eine weitere Particularisation tritt ein, wenn auch die Unterdeter- 
minanten A,7t verschwinden; wir haben alsdann: 



Wenn sämmtliche Unterdeter- 
minanten von A verschwinden, so 
stellt die Gleichung: 

Z!Ai/(UiUk == 

einen doppelt zählenden Punkt dar. 



Wenn sämmtliche Unterdeter- 
minanten von A verschwinden, so 
stellt die Gleichung: 

EaikXiXu = 

eine doppelt zählende Gerade dar. 

g!: 



IIQ Zweite Abtheilung. 

Auch aus dem so gewonnenen Satze können wir erkennen, dass 
die Gleichung eines Kegelschnittes, U a,/c Xi x^ = , mit verschwinden- 
der Determinante A, in Liniencoordinaten, EAik ui «a= 0, den Doppel- 
punkt des Kegelschnittes gibt. Denn bilden wir für diese Gleichung 
die ünterdeterminanten ihrer Determinante A, so verschwinden diesel- 
ben wegen (7) sämmtlich. 

Die Gleichungen, welche uns eine Curve zweiter Klasse mit ver- 
schwindender Determinante in ihre linearen Factoren zerfallen lehrten, 
können wir insbesondere zur Lösung der folgenden Aufgabe benutzen. 

Es sollen die Schnittpunkte Es sollen die Tangenten von 

einer Geraden v mit einer Curye einem Punkte y an eine Curve zrvei- 
ztveiter Klasse bestimmt loerden. ter Ordnung bestimmt werden. 

Wir gehen dabei von dem Kegelschnittsysteme: 

(a + 1)2 GL — 4a/^2^0 . 

aus, welches für a == — 1 die Gleichung des Poles der Linie v: 

11=0 
ergab. Die beiden gesuchten Punkte erhalten wir für « = 1 ; denn 
für sie muss die vierte harmonische Gerade zu v und dem von einem 
der Punkte ausgehenden Tangentenpaare mit der Doppellinie, aus 
welcher dies Tangentenpaar besteht, zusammenfallen. Das Punktepaar 
ist also dargestellt durch: 

GL— //2=0; 

und die Zerlegung dieser Gleichung geschieht dann ganz, wie oben 
die der entsprechenden (vgl. p. 107) 

PR—0-i = 0. 
Im Anschlüsse hieran lässt sich weiter nachweisen, dass alle Cur- 
ven des Systems (8) (wenn wir a als Parameter ansehen) mit der 
Linie v dieselben Schnittpunkte und in ihnen dieselben Tangenten haben. 
Eine gleiche Eigenschaft hatten wir aber oben für das System 

(9) {a i-iy PB - ^aO'^ = 

abgeleitet; allen Curven des letzteren sind die von ij ausgehenden 
Tangenten und deren Berührungspunkte gemeinsam. Betrachten wir 
also V als die Polare des Punktes y, so stelle?! uns die Gleichungen (8) 
und (9) dasselbe Kegelschnittsystem dar, sobald wir unter den Am die 
Unterdeterminanten von A verstehen. Wir wollen weiter nachweisen, 
dass das eine System dem andern durch die auf den Kegelschnitt 
2Jai/,XiX/c =^ begründete Polarreciprocität zugeordnet ist, d. h. dass 
die Polare w einen /{egelschnilt von (8) umhüllt, wenn ihr Pol z die durch 
den gleichen Parameter a bestimmte Curve von (9) durchläuft. Zwischen 
IV und z bestehen die Eelationen: 



Die Curveu zweiter Ordnung und zweiter Klasse. 



117 



(10) Q ivi = an zi + ai2Z-i -f- «,3 23 , («==1,2,3). 

Nun ist nach der zweiten Form, welche wir der Gleichung eines Kegel- 
schnittes in Liniencoordinaten gegeben haben: 



G = 2JAi/;lü,tV/c == 



'12 "13 



IV, 



IV., 



i'i 



IV. 



IV.. 







a 



a,.. 



i;i 



J. 1 «'•.'1 
9 !«., 






'32 



13 



^11^1 "f" ^12^2 'T ^13^3 
«2,^1 + «22 2^2 + «23^3 
«'31^1 + «32^2 + «^33 ^3 
^ I 

Multipliciren wir in der rechts stehenden Determinante die erste, zweite 
und dritte Verticalreihe bez. mit z,, z^, z., und subtrahiren dieselben 
von der letzten, so erhalten wir wegen 

Q (t^l^) + ?^2^2 + '^3 2^3) = SttikZi Zu 

das Resultat: 



q'G 



a.. 



w. 



a.,. 



"32 



a. 



23 



«.. 







ZüikZiZk 



oder: 

(11) 



Q-^G^^Äß. 



Führen wir ebenso in den Ausdruck für L die Coordinaten des Pols y 
der Geraden v ein, so ergibt sich: 



(12) p^Z = 



Um endlich auch 



*31 



// 



a,., 



22 



*32 



a.y 



^'!3 



= A . P 



2J Alle Vi tvk 

entsprechend umzuformen, beachten wir, dass derselbe bis auf einen 
Factor ^ aus G entsteht, indem wir nach iv^, w^, w^ ordnen, d. h. G 
in der Form 

iViZctikiVk -\- w^^ctikiVk + iv^Za-^kW/c 
schreiben und in den Summen die w durch die v ersetzen, ein Process, 
den wir unter Benutzung der in der Differentialrechnung üblichen 
Bezeichnungsweise kurz in folgender Weise ausdrücken können ; es ist : 



118 Zweite Abtheiluiif'. 






Nehmen wir nun diese Operation mit der Determinante vor, durch 
welche wir G darstellten, so erhalten wir: 



// = 



[«11 «,2 «11 IL\ 

I «21 ^22 - ^^23 ^2 

«31 «32 «33 ^^3 

2^1 V., V.. 



Multipliciren Avir in dieser Determinante die erste, zweite und dritte 
Verticalreihe bez. mit — z,, ~ z^, — z.,, addiren dieselben zu der 
mit Q multiplicirten letzten Reihe und berücksichtigen die Gleichung: 

so linden wir: 



qII == — 



^21 «22 «23 'J 



'32 "33 

•'2 ^'3 



t; f., 



oder : 

Durch die Gleichungen (11), (12), (13) geht also in der That das 
Curven System 

(8) («+ l)2 6^Z-4f<://2 = 

bis auf den nicht verschwindenden Factor ~ in das andere über- 

(9) (a-\-iy PR — 4:aO'' = 0, 

und damit ist unsere Behauptung bewiesen. — 

Zum Schlüsse dieser Betrachtungen wollen wir die verschiedenen 
Arten von Curven zweiter Ordnung und Klasse, wie sie durch eine 
»luadratische Gleichung in Punkt- oder Liniencoordinaten dargestellt 
werden können, übersichtlich zusammenstellen. Wir fügen bei jeder 
Ourvenzahl die Zahl der Constanten hinzu, von welchen sie abhängt, 
d. h. die Zahl der Punkte bez. Tangenten, durch die eine Curve der 
Art bestimmt wird. So enthält eine allgemeine Curve 5, ein Linien- 
paar 4, eine Doppellinie 2 Constante. Eine von 3 Constanten abhän- 
gende Curve würde gegeben werden durch eine Doppellinie und einen 
mit ihr vereinigt gelegenen Doppelpunkt, wie sie aus dem Linienpaare 
oder dem Punktepaare entsteht, wenn man die beiden Linien oder 
Punkte allmähhch zusammenrücken lässt, ohne dass dabei ihr Durch- 
schnittspunkt resp. ihre Verbindungslinie unbestimmt wird. Eine solche 



Die Curven zweiter Ordnung und zweiter Klasse. 119 

Curve kann aber nicht durch eine Gleichung in Punkt- oder Linien- 
coordinaten dargestellt werden-, es sind dazu vielmehr zwei Glei- 
chungen erforderlich von der Form 

Z a ik Xi Xk = , Hh ik Ui uu = , 
wo sowohl die Unterdeterminanten der a,/c, wie die der bi^ ver- 
schwinden, und wo 

a^^ : «,,, : a^.^ == «21 • ^22 • ^23 """^ ^n • ^32 • ^33 
= li :|2 :i3 

^11 '■ *12 '• ^13 = *21 •■ ^22 : ^3 = ^31 ' ^32 '■ ^33 

= ca, : a., : co.^ 
und endlich: 

«1^1 + »2^2 + «3^3 = Ö. 

Der Vollständigkeit wegen führen wir auch diesen Fall in der folgen- 
den Tabelle mit auf, in der er dann gleichzeitig als Greuzfall zwischen 
Linienpaar und Doppellinie, und zwischen Punktepaar und Doppelpunkt 
auftritt. Wir haben somit für Curven zweiter Ordnung oder zweiter 
Klasse, deren Gleichungen nur reelle Coefficienten enthalten, folgende 
Tabelle: 

1. Curven zweiter Ordnung und zweiter Klasse {A ^ 0, A < 0). 

5 Constante. 

1) Ellipse, reell oder imaginär. 

2) Hyperbel. 

3) Parabel. 

IT. Curven zweiter Ordnung iH. Curven zweiter Klasse 

(A = 0). I (A = 0). 

1) Linienpaar. 1) Punktepaar. 

4 Constante: 4 Constante: 

zwei reelle oder conjugirt ima- ' zwei reelle oder coöjugirt ima- 
ginäre Linien. ginäre Punkte. 
(Als Klassencurve Doppelpunkt.) i (Als Ordnungscurve Doppellinie.) 
2) Doppellinie und Doppelpunkt in vereinigter Lage. 
3 Constante. 
3) Doppellinie.*) 1 3) Doppelpunkt.*) 
2 Constante. | 2 Constante. 
Wenn auch die Parabel in der Tabelle unter den Kegelschnitten mit 
5 Constanten aufgeführt wurde, so soll damit nur hervorgehoben wer- 
den, dass dieselbe der Ellipse und Hyperbel gleichberechtigt beizu- 

*) Diese Gebilde sind bei reellen Coefficienten a,y, in der Gleichung 2aii.XiX;^=0, 
bez. A-f. in S^-/. m-m/. = immer reell. 



120 Zweite Abtheilung. 

stellen ist, insofern eben ein nicht zerfallender Kegelschnitt noch ver- 
schieden gegen die unendlich ferne Gerade liegen kann. Die Parabel, 
als solche, dagegen hängt nur von 4 Willkürlichkeiten ab, indem 
durch das Wort „Parabel" schon eine Constante bestimmt, d. h. eine 
ihrer Tangenten, nämlich die unendlich ferne Gerade, gegeben ist. 
Eine Parabel ist schon völlig bestimmt durch drei ihrer Punkte 
und durch die Richtung ihrer Axe; denn letztere bestimmt den Punkt, 
in welchem die Curve von der unendlich fernen Geraden berührt wird, 
so dass uns ausser jenen drei noch zwei weitere unendlich ferne^ 
einander unendlich benachbarte Punkte gegeben sind. 

Der aufgestellten Tabelle gegenüber ist das Verhalten der Kegel- 
schnitte in dem Systeme, welches durch die Gleichung (8) oder (9) 
dargestellt wird, besonders interessant. Die Gleichung in Linien- 
coordinaten (8) gibt uns einen Doppelpunkt {H = 0) und ein Punkte- 
paar {GL — IP == 0); beide Curven werden dagegen durch eine 
Gleichung der Form (9) nicht dargestellt, und man erschliesst ihre 
Existenz in diesem Systeme nur, insofern dieselben durch einen Gränz- 
übergang aus den allgemeinen Curven des Systems bei Variation des 
Parameters a entstehen. Die Gleichung in Punktcoordinaten (9) gibt 
dagegen eine Doppellinie [Q == 0) und ein Linienpaar {PR — (v^ = 0); 
und beide sind durch eine Gleichung von der Form (8) nicht auszu- 
drücken. Dabei ist der Doppelpunkt in (8) gleichzeitig der Doppel- 
punkt des Linienpaares in (9), und die Doppellinie in (9) gleichzeitig 
die Verbindungslinie der Punkte des in (8) enthaltenen Punktpaares. 

V. Beziehungen zwischen zwei Kegelschnitten. 

Sind zwei Ivegelschnitte gegeben, so bietet sich naturgemäss zu- 
nächst die Frage nach der Zahl ihrer gemeinsamen Punkte, respective 
Tangenten und nach der analytischen Bestimmung dieser gemeinsamen 
Elemente. 

Die Gleichungen der beiden vorliegenden Kegelschnitte seien in 
Punktcoordinaten : 

f = 2J CliU Xi Xk = 

und: 

q) = 2Jbik Xi x/c == . 

Um die Schnittpunkte beider zu bestimmen, können wir folgender- 
massen verfahren. Wir ordnen die Ausdrücke links nach Potenzen 
einer Variabein, z. B. x^, schreiben also die Curvengleichungen in 
der Form: 

/• = ^ -f ^' 0^3 -f A" x,:^ 

<p = B+ B'x, + B"x,', 
wo A, B vom zweiten, A', B' vom ersten Grade in Xi, x.^ sind, und wo 



UNlVtRSlTY OF CALIFORNIA 

BERKELEY 4£){^^(fi.9||*'Ä?eiter Ordnung und zweiter Klasse. 121 

A", B" diese Grössen nicht mehr enthalten (also A" = 0^33 , B" = ^33). 
Aus den letzten Gleichungen können wir 0*3 eliminiren, indem Avir aus 
ihnen die Verhältnisse 

bestimmen. Wir erhalten dadurch: 

5, . 1 == A' B" — B' A" 
Q . X., = A"B — B"A 
Q . x.^ = A B' — B A' ', 

und hieraus folgt unmittelbar, dass das Product des ersten und letzten 
Ausdruckes gleich dem Quadrate des mittleren ist, d. h. dass: 

(iA' B' — B' A") {AB' - BA') = {A"B - B" Af . 
Es ist dies eine biquadratische Gleichung für die Unbekannte — • Ihre K 

vier Wurzeln geben also vier durch den Punkt a:, = 0, x-j = ge- 
hende Strahlen nach den Schnittpunkten beider Curven; und somit 
haben wir, da Entsprechendes auch für zwei Curven zweiter Klasse 
gilt, die Sätze: 



Zwei Kegelschnitte schneiden 
sich im Allgemeinen in 4 Punkten. 



Zwei Kegelschnitte haben im 
Allgemeinen 4 gemeinsame Tangenten. 



Es brauchen natürlich nicht alle vier Punkte oder Tangenten 
reell zu sein; sondern es können auch zwei imaginär und zwei reell, 
oder auch alle vier imaginär sein. Es können endlich auch von den 
vier Punkten mehrere einander unendlich nahe rücken, wo sich dann 
die Kegelschnitte berühren. Die letzteren Fälle schliessen wir jedoch 
zunächst ausdrücklich von unserer Betrachtung aus; Avir werden später 
genauer auf dieselben eingehen. Wir nehmen also an, dass vier ge- 
trennte reelle oder imaginäre Schnittpunkte, bez. gemeinsame Tan- 
genten vorhanden sind; wir werden uns jedoch im Folgenden zunächst 
auf die Bestimmung der gemeinsamen Punkte beschränken, die der 
Tangenten folgt dann durch dualistische üebertragung. 

Da erst fünf Punkte einen Kegelschnitt völlig bestimmen, so wird 
es noch unendlich viele Curven zweiter Ordnung geben, welche durch 
die vier Schnittpunkte von / = und g? = hindurchgehen ; und es 
lässt sich die Gleichung einer jeden Curve der Art in der Form 
(1) f-l^ = ^ 

schreiben, wo A ein Parameter ist, so dass jedem Werthe von A ein 
bestimmter, durch die 4 Punkte gehender Kegelschnitt entspricht. 
Denn die Gleichung ist erfüllt, sobald gleichzeitig / und tf verschwin- 
den, und anderseits muss jeder Kegelschnitt unserer Art die Form (1) 
haben, weil durch einen beliebigen fünften Punkt nur noch ein solcher 



122 Zweite Abtheilung. 

hindurchgeht, und sich unter den Kegelschnitten (1) eben ein solcher 
findet. Setzt man nämlich die Coordinaten dieses fünften Punktes in 
(1) ein, und sind /q, cp^ die Ausdrücke, welche dadurch aus /', cp ent- 
stehen, so kann man die Gleichung 

als eine Gleichung zur Bestimmung von X betrachten, und die Glei- 
chung des durch den betreffenden Punkt gehenden Kegelschnitts ist 
daher : 

/ — ^9^ = 0. 

Das System dieser Kegelschnitte mit vier gemeinsamen Punkten pflegt 
mg,n als ein KegelscJmittshüschel zu bezeichnen, die Gleichung (1) gibt 
dann einen beliebigen Kegelschnitt des Büschels, es ist die Gleichung 
des Büschels. 

Durch die vici- Grundpunkte dieses Büschels gehen nun insbesondere 
drei ausgezeichnete, uneigentliche Kegelschnitte, d. h. (da wir / und cp 
in Punktcoordinaten gegeben annehmen) solche, die in ein Linienpaar 
zerfallen ; es sind dies die Paare von Verbindungslinien der vier Punkte, 
d. h. die sechs Seiten des durch die vier Punkte bestimmten voll- 
ständigen Vierecks. Je zwei derselben, welche zusammen alle vier 
Punkte enthalten, bilden in der That einen Kegelschnitt unserer Art. 
Die drei in dieser Weise ausgezeichneten Curven müssen daher auch 
für besondere Werthe von X durch die Gleichung (1) .dargestellt sein. 
In der That führt die Bedingung, dass der Kegelschnitt / — Xcp = 
zerfalle, auf eine ciihische Gleichung für l, denn sie ist durch das 
Verschwinden der Determinante dieses Kegelschnittes gegeben, und 
jeder Coefficient seiner Gleichung enthält l linear. Bezeichnen Avir 
diese Determinante mit z/ (A), so erhalten wir also die Bedingung: 

^21 ^^21 ^'^■'2 ^^22 ^'^23 ^^23 ^^^^ ^ • 

«31 -- -^^31 %2 — ^^^32 «33 " ^^^33 ^ 

Sind A', A", A'" die Wurzeln dieser Gleichung, die zunächst verschieden 
sein mögen, so stellen die entsprechenden Curven unseres Büschels 
obige Linienpaare dar, und wir können setzen: 

f— X' rp = A' ■ B\ 
(3) f-X" q^ = A" .B", 

r-X"'tp=^A"'-B"', 

wo die A, B lineare Functionen der x bedeuten. Kennt man demnach 
die Wurzeln der cubischen Gleichung (2) und führt man bei zweien 
der Ausdrücke (3) die Zerlegung in lineare Factoren wirklich aus. 



(2) z/ (A) = 



Die Curven zweiter ürdimiig und zweiter Klasse. 123 

W07AI nach unseren früheren Betrachtungen jedesmal eine quadratische 
Gleichung erforderlich ist, so geben die Durchschnitte der beiden so 
gefundenen Paare von Geraden die vier Schnittpunkte der beiden 
Curven zweiter Ordnung auf lineare Weise. 

Wir wollen diese Aufgabe noch ausführlicher behandeln, indem 
wir von einem anderen Gesichtspunkte ausgehen; wir finden zugleich 
Gelegenheit, eine Reihe fundamentaler Beziehungen zwischen zwei 
Kegelschnitten zu erörtern. Wenn wir dabei scheinbar auf einem 
Umwege zum Ziele gelangen , indem die Lösung des Problems von 
der eines anderen mittelst einer cubischen Gleichung abhängig gemacht 
wird, so müssen wir bedenken, dass die wirkliche Lösung der direct I 
aufgestellten biquadratischen Gleichung* eben auch nur mit Hülfe einer \ h\fy j- 
cubischen, „ihrer Besolvenie^', erfolgen kann.*) ' 

Construiren wir zunächst die Nebenecken des von den vier 
Schnittpunkten bestimmten vollständigen Vierecks (vgl. unten Fig. 22), 
so folgt aus der Construction der Polare, dass jede der drei Ecken 
die Verbindungslinie der beiden andern für beide Curven zur Polare 
hat. Bas von den Nebenecken gebildete Dreieck ist daher ein gemein- 
sames Polar dreieck für beide Kegelsclmitte , und zwar ist dies das einzig 
mögliche Dreieck der Art. Letzteres ergibt sich, weil das Dreieck aus 
denselben Gründen auch für alle Kegelschnitte des Büschels 

Polardreieck ist, insbesondere also auch für die drei darin enthalteneu 
Linienpaare. Für diese geht aber die Polare eines beliebigen Punktes 
durch den Doppelpunkt des Linienpaares. Es müssen folglich die 
Verbindungslinien der drei Doppelpunkte der Paare die Seiten des 
Polardreiecks, und die Doppelpunkte selbst die Ecken desselben bilden. 

Die Aufsuchung dieses Polardreiecks bildet den Hauptgegenstand der 
folgenden Untersuchungen. Statt nämlich die drei Linienpaare des 
Büschels zu bestimmen, suchen wir die Doppelpunkte derselben, d. h. 
die Ecken des Polardreiecks, durch deren Auffindung dann unsere 
Aufgabe im Wesentlichen gelöst ist. 

Wir haben früher gesehen, dass in der Gleichung eines Kegel- 
schnittes nur noch die Quadrate der Veränderlichen vorkommen, sobald 
ein Polardreieck als Coordinatendreieck gewählt wird. Nehmen wir 
daher als solches das gemeinsame Polardreieck von f und 9?, so werden 
die Gleichungen dieser beiden Kegelschnitte von der Form: 

f = «i2/i- + «2^2' + ^32/3 ■•' = 0, 



*) Vgl. über die Lösung der biquadratischen Gleichungen die folgende Ab- 
theiluDg dieser Vorlesungen. 



124 Zweite Abtheilung. 

Die drei Coefficieiiten einer der beiden Functionen /' und g? kann man 
jedoch einfach gleich der Einheit annehmen, so dass z. B. 

wird. Denken wir uns nämlich die ij so als lineare Functionen der 
früheren Coordinaten x bestimmt, dass durch Einsetzung der letzteren 
/'und g) wieder die frühere Form Eüik'XiXh und EhiuXiXk anneh- 
men, so können wir durch Multiplication der drei Gleichungen, welche 
eine solche Transformation darstellen, mit passend gewählten Con- 
stanten die Definition der Coordinaten y so wählen, dass obige 
Factoren h^, b^, h^ mit in die ij eingehen.*) Freilich wird — und 
--^. N| das soll geschehen — dabei vorausgesetzt, dass cp nicht aus einem 
Linienpaarc besteht, wo dann einer der Coefficienten h gleich Null 
sein würde. In diesem Falle wäre 99 = selbst eines der gesuchten 
drei Linienpaare; und die Bestimmung der Schnittpunkte erforderte 
dann nur die Trennung der beiden Factoren von cp und das Aufsuchen 
der Schnittpunkte der so erhaltenen Geraden mit f = 0. Durch diese 
Festsetzung über die Coefficienten von (p sind die von /" auch völlig 
bestimmt. Denn damit die drei Gleichungen (3) bestehen können, 
dürfen in einem Ausdrucke f—Xcp nur noch die Quadrate von zwei 
Veränderlichen vorkommen; eine homogene lineare Function der 
Quadrate von drei Variabein kann man nicht in lineare Factoren zer- 
legenl+" Wir haben daher die a bez. gleich den Wurzeln der Gleichung 
(2) zu setzen^ und können dann unsere Aufgabe folgendermassen 
formuliren : 

Es soll eine lineare Substitution: 

y, =■■ «(' x^ + «.; x.^ + «3' a-3 

(^) ^2 = ^\" X\ + «2" ^2 + «3" ^3 

y; = a^"x^ -f a^"x^ + afx^ 

so hestinmt tverden, dass zwei gegebene Functionen f = 2: an, xixu, 
^ = ^bikXiXu durch dieselbe gleichzeitig in die Formen 

(5) f- ^'y' + ^'vi' + ^"y^ 

9^= yc+ 2/2'+ y,' 

übergeführl tverdcn ; wobei dann A', A", X'" die Wurzeln der cubischen 
Gleichung z/ (A) = werden. 

*) Eine Gleichung: 

?/l^ -f- .'/2^ + Z/3' = 

stellt zunächst nur einen imaginären Kegelschnitt dar, doch kann man auf diese 
Form auch die Gleichung 

^1^ ± ^2' ± ^3' = 
bringen, wenn man y, = a-,, y, = jZ+'i a:^, y^ ^ ^+ i ^.^ ^etzt. 



Die Curven zweiter Ordnung und zweiter Klasse. 125 

Nehmen wir diese Aufgabe zunächst als gelöst an, so sind die 
drei gesuchten Linienpaare dargestellt durch: 

/• - A' <p^ {X" - X ) y;~ + (A"' - r ) y.;^ = , 

/■ - r 9> = (A' - A" ) ?//-' + (A'" - A" ) .y,2 = , 
/•- A"> = (A' - A"') y,2 -f (A" - A'") y./ = ; 

und diese Ausdrücke sind sofort in ihre linearen Factoren zu zerfallen. 
So sind die Linien des ersten Paares z. B. gegeben durch: 

, \/ \f'f v> 

/A" - A' y, + J/^'^^-^ A^ ^3 = > -'^ 

und: 

//A" — X'y, — yrL.^W 2/3 = 0. /> - / ' 

t^w endlich die Schnittpunkte von f und (p selbst zu finden, brauchen 
wir nur die beiden Ausdrücke (5) gleichzeitig gleich Null zu setzen, 
wodurch wir zwei homogene lineare Grleichungen für y^-, ?/.,-_, y.^- er- — 
halten. Aus ihnen können wir die Verhältnisse dieser Quadrate dann 
nach bekannten Regeln berechnen, und zwar ergibt sich, wenn q ein 
Proportionalitätsfactor ist : 

QVx- = ^" — ^"' , / 

9^2' = ^" — ^' , "^ 

Qy,^ = 1! - k" . 

Für die Coordinaten der Schnittpunkte haben wir also, wenn wir a 
statt Yq schreiben: 



(6) 



<??/i = + V^" 


— A" 


öyo = + /A'" 


— X 


<iy-^ = ±. V^' 


— A" 



Die 8 Vorzeich encombinationen, welche hier möglich sind, führen 
in der That nur auf 4 verschiedene Werthsysteme der y ,- denn die- 
selben geben paarweise Coordinaten desselben Punktes, wenn sie sich 
nur um einen gemeinsamen Factor — 1 unterscheiden. 

Unsere Aufgabe der Bestimmung der vier Schnitt punkte ist also in 
allgemeinster Weise gelöst, sobald ivir die y als Functionen der x durch 
die Gleichungen (4) gegeben voraussetzen. Wir haben nun noch die 
Bestimmung der Transformationscoefficienten a wirklich durchzuführen. 
Ehe wir jedoch darauf eingehen, wollen wir die dualistisch entspre- 
chenden Erörterungen, zu welchen die Aufsuchung der vier gemein- 
samen Tangenten Veranlassung bietet, erwähnen; wir werden sehen, 
dass die Bestimmung dieser Tangenten durch dieselbe cubische Gleichung 
(2) und durch dieselbe Transformalion (4) geleistet iverden kann. "~ 

Verstehen wir unter den Aik, B ik die bez. aus den Grössen «/a, 



126 



Zweite Abtheiiung. 



h;i; zu bildenden zweigliedrigen Unterdeterminanten, so sind die Glei- 
chungen der Kegelschnitte f und cp in Liniencoordinaten : 

F = H Aik iii Uk = , 

= ZBi,,UiUu = 0. 
Ist ferner ^ ein Parameter, so stellt die Gleichung 
(7) F — ^(J^ = {) 

eine „Schaat^" vofi ein/ach imendl/ch vielen Kegelschnitten dar, welche 
alle mit F und dieselben vier Tangenten gemeinsam haben; und zwar 
sind unter dieser Gleichungsform alle Curven zweiter Klasse enthalten, 
welche diese vier Tangenten berühren. Insbesondere gibt es in der 
Schaar drei in ein Punktepaar zerfallende Curven; es sind dies die 
Paare der Schnittpunkte der vier Tangenten, d. h. die sechs Ecken 
des durch die letzteren bestimmten vollständigen Vierseits (vgl. Fig. 22) ; 
je zwei Punkte, durch welche zusammen die vier Tangenten alle hin- 
durchgehen, bilden eine Curve der Schaar. Die Construction des Poles 
einer Geraden lehrt ferner, dass die Verbindungslinie zweier Punkte 



Fig. 22. 




je eines Paares Polare des Schnittpunktes der durch die beiden anderen 
Paare bestimmten Geraden ist, dass also die Nebenseiten des von den 
gemeinsamen Tangenten gebildeten vollständigen Vierseits ein beideii Kegel- 
schnitten gemeinsames Polardreieck bilden. Da wir aber oben gezeigt 
haben, dass es für zwei Kegelschnitte nur ein solches Dreieck gibt, 
so muss das hier gefundene mit dem identisch sein, auf welches wir 
zuerst, von Punktcoordinaten ausgehend, geführt wurden. Man über- 
zeugt sich davon überdies sofort durch einen Blick auf die Construc- 
tion der beiden Dreiecke. Die ßestimmunsc der vier gemeinsamen 



Die Curven zweiter Ordnung und zweiter Klasse, 127 

Tangenten geschieht nun ebenso mit Hülfe dieses Dreiecks, wie oben 
die der gemeinsamen Punkte; und damit ist dies Problem auf das 
vorige zurückgeführt, denn auch die dazu nöthige cubische Gleichung 
ist durch die Gleichung (2) bereits gelöst. 

Legen wir nämlich das gemeinsame Polardreieck von f und g? 
wieder als Coordinatendreieck zu Grunde und nehnen wir diese Curven 
in der Form (5) an, so sind ihre Gleichungen in Liniencoordinaten : 

F = n"'v^- + ri'v:- + i'^v^- = o 

^^^ <5= y,-' -f 2'.2+ ?^,' = 0. 

Die Coefficienten hängen also in der That nur von den Wurzeln der 
Gleichung 

(2) z/ (A) = 

ab.*) Die Bestimmung der Punklepaare selbst, d. h. der Schnittpunkte 
der gemeinsamen Tangenten, geschieht nun, indem man in der Glei- 
chung 

F — ^(p = 

ft bez. gleich l" l"', X" X , X k" setzt. Man findet so die drei zer- 
fallenden Kegelschnitte der Schaar: 

F — r X" = X" (X — r ) V.-? + X' {x — x") v,} = o 
F — x"X o = X" (r — X) v,^ + X {X' — X") v.;- = o 
F— X X' = X' {X" — X) v^' 4- X {X" — r ) Wo- = , 

Für die Coordinaten der vier gemeinsamen Tangenten ergeben 
sich endlich aus den Gleichungen (8) die Werthe: 

p«;j = 4-/r'"(X"' — ry 
(9) Qv. = ± yrXx - x^ 

und die acht hier möglichen Vorzeichencombinationen geben wieder, 
wie bei den Gleichungen (6), in der That nur vier verschiedene Lagen 
der Tangenten. 

Wir haben nun noch die Bestimmung der Transformations - 
coefficienten a, die wir vorläufig als bekannt annahmen, wirklich aus- 
zuführen. 

Lösen wir die betreffenden Transformationsgleichungen: 

//j = a{ Xy + «2' ^2 + ^z ^3 
(4) y^ = «/' Xy -f «2" ^2 + ^^' ^3 

2/3 = «i"'^i + ^2'" ^2 + ß^3"'^3 

*) Man sieht aus den Gleichungen (8) , dass die Wurzeln der cubischen Glei- 
chung, welche durch das Verschwinden der aus den Grössen ^,/. — ft^j/.- "^^ ^^^' 
denden Determinante gegeben ist, die reciproken Werthe der Wurzeln von 
d {?.] ^ sind. 



128 Zweite Abtheilung. 

nach den x auf und bezeichnen die Unterdeterminante eines Ele- 
mentes a. der Determinante: 

I «/ a.,' a.^' 

r == \a." aS a.' 



dividirt durch diese Determinante selbst, mit /S'^'^ so erhalten wir nach 
bekannten Determinantensätzen die Gleichungen : 

(10) X, = /3,>, + ^,"y, + ^;"y, 

^3 = ß^i'fJi -h ßi"l/2-\- ß-rV'S' 

Nach den allgemeinen, früher über Coordinatentransformation gegebenen 
Regeln sind die entsprechenden Gleichungen für Liniencoordinaten 
dann durch die transponirten "Substitutionen gegeben, d. h. durch : 

^;, = ß^ w, -f- ß'i ^'2 + ßz ^3 ^1 = k{v^ -f- a^'v^ -\- «i"'t'3 

(11) fo = ß\' '^1 + ß-i' '^'•i + A3" % ^2 = ^2'^! H~ ^2" ^2 ~j~ «2 '^3 
^3 = ßi" ^i ~\~ ßi'^i '\'ß-i"'^':\ ''3 = ^s'^i + ^3" ^3 H~ ^3'"^3- 
Ferner haben wir uns früher auch die geometrische Bedeutung 

der Substitutionscoefficienten vergegenwärtigt; es sind darnach die 
Grössen (vgl, p. 69) 

«,' , «./ , <; 

'r I, II ^ 

Kj , «2 7 ^3 

bez. die Coordinaten der Seiten des neuen Fundamentaldreiecks in 
Bezug auf das alte Coordinatensystem der x, und die Grössen: 

ß; , ßi , ß,' ; 

ßr , ß-z', ß^'-. 
ßr, ßr> ßr 

bez. die Coordinaten der gegenüberliegenden Ecken des neuen Dreiecks 
in Bezug auf das frühere. Dies neue Coordinatendreieck ist aber in 
unserm Falle das den Kegelschnitten / und q) gemeinsame Polardreieck, 
und folglich hat jede Ecke desselben in Bezug auf beide Kegelschnitte 
dieselbe Polare ; d. h, die Coordinaten der letzteren, gebildet in Bezug 
auf / und cp müssen einander proportional sein. Dadurch erhalten wir 
die folgenden drei Systeme von je drei Gleichungen: 

«11 ß? + «12 ^2' + ^^.3 ^3' = h (^ . ß'' + K ßf + ^3 ß?) , 
«2. ß'^ + «22 ß^ + «23 ßf = f*,- {K ßf + *22 ßf + ^23 ß^) , 
«3. ß', + «32 ß^ + «33 ^f = f*, (^3, ß'I' + ^^32 ß'^ + *33 ßf) • 



Die Curven zweiter Ordnung uud zweiter Klasse. • 129 

Hierin haben wir für ß^^') bez. /3//, ß/,", ß,"' und für ^, bez. ^^, (i^, ^^ 
zu setzen, um die drei Systeme von Gleichungen zu erhalten. Ordnen 
wir noch nach den Grössen ß, so gehen dieselben über in: 

(12) («,, - ^,^,) ßf + («22 - ^i *>o) /3^' + («,, - ^i b,,) ß^ = , 

(«31 - Z^'-^Sl) ^i'' + («32 - ^.- ^^32) ß2 + («33 - i^/ ^33) ^3^ = , 

und hieraus erhalten wir durch Elimination der ß zur Bestimmung 
von ft wieder die cubische Gleichung (2): 

I «21 — ^ ^^21 «22 — ^^22 «23 — i^^23 ' = ^ • 

I «31 ^ ^31 «32 ~^ ^^32 «33 f*«33 

Die Grössen {i^, fi,,? 11^3 Jn den Gleichungen (12) sind also mit den 
eben auftretenden Wurzeln A', X", ■l"' dieser Gleichung identisch. Setzen 
wir einen dieser Werthe in (12) ein, so können wir aus je zweien der 
Gleichungen die Verhältnisse der ßf^ berechnen: für die beiden an- 
deren Systeme von je drei Gleichungen haben wir dann bez. die 
beiden andern Wurzeln von (2) zu verwerthen. Wir können 'somit 
die Werthe 

von /3,', /3./, ß^ bis auf einen Factor q 

von ß^' , ß.,", ß^" bis auf einen Factor q" 

von ß/", ß^" , ß.^" bis auf einen Factor q"' 

berechnen ; um diese Factoren selbst endlich noch zu bestimmen, setzen 

wir die gefundenen Werthe der ßf in die Gleichungen (10) ein; 

vermittelst dieser muss dann der Kegelschnitt (p auf die Form 

yr + 2/2"-' + ^3^ = ■ 

gebracht werden ; und gemäss dieser Forderung müssen wir q\ q\ q" ^ 
noch wählen, ivodurch dann unser Transformationsproblem vollständig 
gelöst ist. — 

Der Weg, welcher uns zum Ziele geführt hat, ist jedoch keines-^ 
wegs als ein algebraisch eleganter zu bezeichnen; wir haben das 
Problem allerdings gelöst, aber das Resultat erscheint als Ergebniss^ 
unübersichtlicher Rechnung. Wir haben dabei keinen tiefern Einblick 
in die Natur derartiger Transformationsprobleme überhaupt gethan, 
während gerade die vorliegende Aufgabe bei geschickter Behandlung 
mannigfache Gelegenheit zu allgemeinen Erörterungen, zur Vervoll- 
ständigung unserer BegrifiPsbildung überhaupt bietet. Wir wollen 
daher die Berechnung der Coefficienten ßf noch von einem anderen 
Gesichtspunkte aus durchführen, wobei wir dann von selbst zur Ent- 

Clebsch, Vorlesungeu. ^ 



130 'Zweite Abtheilung. 

Wicklung wichtiger und allgemeiner Principien Veranlassung finden 
werden. *) 

Transformiren wir eine quadratische Function von drei homogenen 
Variabein : 

/■= EttihXiXk 

durch die Substitution (10): 

^i = ßiy^ + ßi'y, + ßry, , ii = i, 2, 3), 
so geht dieselbe über in eine homogene quadratische Function der tj: 

f = ZaikViVu, 

in welcher, wie man leicht übersieht, die Coefficienten an,' vom ersten 
Grade in den «a, dagegen vom zweiten Grade in den Substitutions- 
coefficienten /3*.'* sind. Wir haben nun oben eine Function der «,/,, 
die aus ihnen zu bi^^€>ade Deteirminante , keimen gelernt^wüMie zu 
der Function / in einer-iBiifjehung stand, die durch Einführung eines 
neuen Coordinatensystems niclrt'--Äej^ört werden kann; denn ihr Ver- 
schwinden sagte aus, dass der durciTT^'^^^-ÖLdargestellte Kegelschnitt 
in ein Linienpaar zerfällt. Verschwindet daher diese"~öd5erminante A, 
so muss dies auch für die aus den au/ gebildete Determinante A' statl;- 
finden, damit auch die Function f in zwei lineare Factoren zerlegbar 
sei. Da demnach A' immer gleichzeitig mit A verschwindet und um- 
gekehrt, so können wir setzen: 

A' = m . A j 

wo m ein nicht verschwindender Factor ist. Dieser letztere kann dann 
aber die au, nicht mehr enthalten (denn Ä sowohl wie A sind von 
der 3. Dimension in denselben), sondern nur noch die /S'^*' , und zwar 
in der 6. Dimension, denn zu so hohem Grade kommen dieselben in 
A' vor, während A von ihnen unabhängig ist: m ist also eine nicht 
verschwindende Function 6. Grades der /3j'\ Nun sind diese aber 
vollkommen willkürlich, nur haben wir ausdrücklich vorausgesetzt, dass 
ihre Determinante R nicht verschwinde, denn sonst würden unsere 
Transformationsgleichungen (10) nicht auflösbar sein. Das Quadrat 
dieser Determinante ist daher die einzige Function 6. Grades in den 
/3^*, welche nicht verschwindet, und also muss 

m = c . R^ 

sein, wo c eine rein numerische Constante bedeutet. Wir bestimmen 
dieselbe durch Betrachtung einer speciellen linearen Transformation, 



*) Vgl. die Behandlung des Problems bei Aronhold: Ueber eine fundamen- 
tale Begründung der Invariantentheorie, Borchardt's Journal, Bd. 62. 



Die Curven zweiter Ordnung und zweiter Klasse. 131 

wodurch ihr Werth nicht geändert werden kann. Betrachten wir näm- 
lich die Anwendung der Gleichung 

A' ^c . K^A 

auf die identische Substitution: 

X\ = Vx , X.2 = 1/2 , Xj = y.j , 

so wird A' = A, R = \, und es folgt: 

c= 1. 

Wir haben deshalb auch im allgemeinen Falle*) 

(13) A' = R^.A. 

Dieselben Schlüsse gelten für beliebige andere Verbindungen der 
Coefficienten einer oder mehrerer Curven, sobald dieselben, gleich Null 
gesetzt, Eigenschaften angeben, welche zu den betreffeaden Curven in 
unzerstörbarer Beziehung stehen und deshalb von der Wahl des Coor- 
dinatendreiecks unabhängig sind. Solche Functionen der Coefficienten 
pflegt man als Invarianten zu bezeichnen; die Invarianten sind dann 
allgemein charakterisirt durch die Bedingung 

wo 1 die betreffende Function für das alte Coordinatendreieck, T die- 
selbe für das neue ist, und R die Substitutionsdeterminante bedeutet. 
Die Determinante eines Kegelschnittes bietet uns somit zum ersten 
Male ein Beispiel für einen äusserst fruchtbaren und für die weiteren 
Entwicklungen der Geometrie unentbehrlichen Begriff. In der That 
führt erst die systematische Untersuchung solcher invarianter Gebilde 
dazu, algebraische Rechnung und geometrische Ueberlegung als iden- 
tische Operationen hinzustellen. Wir werden daher im Folgenden 
auch noch ausführlich auf die sich hieran knüpfenden Theorien eingehen 
müssen. Für jetzt möge noch eine Anwendung unserer Schlussweise 
in folgendem Beispiele dargelegt werden, welches uns dann unmittelbar 
die Mittel zur Lösung unseres Transformationsproblems an die Hand 
geben wird. 

Die Bedingung, dass eine gerade Linie u den Kegelschnitt / = 
berührt, d. h. die Gleichung 

Z! Aik UiUk = 

drückt jedenfalls eine von der Lage des Coordinatendreiecks unabhän- 
gige Beziehung aus. Durch unsere lineare Substitution (10) hängen 
dann die neuen Liniencoordinaten v mit den u durch die Gleichungen 

*) Man erhält diese Gleichung direct durch zweimalige Anwendung des 
Multiplicationssatzes der Determinanten; vgl. Näheres hierüber am Schlüsse der 
folgenden Abtheilung dieser Vorlesungen. 



132 



Zweite Abtheilunff. 



(11) zusammen, und die erwähnte Schlussweise ergibt für die trans- 
formirte Gleichung: 

U Aik Vi Vi: = R'' ' 2; Aik ui ui; . 

Hier sind auf der linken Seite die Aik in den /3//') von der 2. Dimen- 
sion, die V dagegen linear; im Ganzen kommen also die /3/,('' links 
wieder in der 6. Dimension vor, und es folgt somit k = 2. Wir er- 
halten also für die Transformation der Curvengleichung in Liniencoordi- 
naten die Identität:'^) 

( 1 4) E Aik ' Vi Vk = R'^ 2: Aik Vi Uk . 

Setzen wir nun wieder 

«11 — '^^t 
J (A) = 



^^1 



h\ ~ ^^%\ 



(t \ 2 KU \cy 



a 



13 



Xl 



13 






^ v-^ + (^' 



^) y^ 







'32 "^32 "33 "•^33 

und wenden die Gleichungen (13), (14) auf einen Kegelschnitt unseres 
Büschels 

/■-A9) = (r-yi)y,2_|_(r- 

an, so ergibt sich: 

\l' — l 
-<15) i?2 z/ (A) =- 1 

i 





r — X 




r 



und: 

(16) /?2 ZJikV; Uk == (A" - A) (A' 



= (A' — A) (A" — A) (A'" — A) 

■A)i»i'+(A"'-A)(A'-A)i;,2-f (r-A)(A"-A)v3 



wo die z/,vt die Unterdeterminanten von zJ (A) sind. Aus der Glei- 
chung (15) folgt zunächst wieder, dass A', A", A'" die Wurzeln der 
schon mehrfach erwähnten Gleichung z/ (A) = sind, ferner aber 
durch Vergleichung der beiderseitigen Coefficienten von P: 



1 = ^2 



und also; 



/?'-' 



bn 


^2 


^3 


K 


^^22 


*23 


K 


*32 
1 


^^33 




B' 





*) Eine directe Bestätigung dieser Formel findet man wieder durch Anwen- 
dung des Multiplicitionssatzes der Determinanten, wenn man die linke Seite der 
Liniencoordinatengleichung in Form einer geränderten Determinante zu Grunde 
legt, und zwar am einfachsten, indem man die Transformation erst auf die in 
einem Rand stehenden u^ allein anwendet, worauf sich ein Factor R absondert, 
und dann mit dem andern Rande ebenso verfährt, worauf der zweite Factor R 
vortritt. 



Die Curven zweiter Ordnung und zweiter Klasse. 133 

wo,^-€He-4ieterminante des Kegelschnittes qp == bedeutet, von der 
wir überall angenommen haben, dass sie nicht verschwinde. Unter 
dieser Voraussetzung erhalten wir dann aus (16), indem wir nach 
einander l = A', k" , X" setzen, unter Berücksichtigung von (11) die 
Relationen : 

(1 7) V,' = (^," u, + ß.;' V, -f ß," u,y = TTi i-'-nn' -n ■ ^^'•''^^" ) "^'^^^ 

, V.;- = {ßr^t + ß^^^2 + Ar%)^ = mv -nir- o * ^'^'■^•(^">''-"^- 

Wir könnten hier auf beiden Seiten die Wurzeln ziehen und die /3j!^ 
aus den drei dann linearen Gleichungen berechnen. Direct ergeben 
sie sich jedoch aus der Vergleichung der Coefficienten von tu Uk, in 
(17), wodurch man die folgenden Bestimmungen erhält: 

(lo) P,- Pk — ß ^(h) 

Durch diese Gleichungen sind nun die Substitutionscoefficienten bis auf 
die noihwendig unbestimmt bleibenden Vorzeichen gegeben; in ihnen haben 
wir noch die mit dem obern Index h versehenen Buchstaben durch 
ein-, zwei-, oder dreimal gestrichene zu ersetzen, und es ist: 

ii = (r - A' ) {X" -X) I .. 

(19) ft" =(A"'-r)(r -A") /^ 

^" = (r - X") (A" - X") . I 

' Wir haben damit unser Transformationsproblem und also auch das 
der Bestimmung der vier gemeinsamen Punkte von f und cf in voll- 
ständiger und systematischer Weise gelöst; und zwar sahen wir, dass 
dadurch gleichzeitig das dualistisch entsprechende Problem, die Auf- 
suchung der vier gemeinsamen Tangenten von selbst mitgelöst wurde. 
— Wir wollen zunächst noch einige weitere Betrachtungen über diese 
Kegelschnittsysteme : 

/•_A9)==0 und Z'— A^ = 
hinzufügen, wobei wir den gefundenen Sätzen die ihnen dualistisch 
entsprechenden sofort gegenüberstellen. Wir fanden schon oben die 
folgenden Sätze: 

^ Burch jeden Punkt der Ebene i Jede Gerade der Ebene wird 

geht ein Kegelschnitt des Büschels von einem Kegelschnitte der Schaar 
f ~ Iq) mit 4 gemeinsamen Punkten. \ F — l^ mit 4 gemeinsamen Tan- 

I genten berührt. 

Die sich hieran anschliessende Frage nach der Zahl der Kegel- 



134 Zweite Abtheilung. 

schnitte des Büschels, welche eine gegebene Gerade berühren, wird 
durch Nullsetzen des Ausdruckes (16) beantwortet; denn die Gleichung 

U ^iu (A) Vi Uk = 

ist die Gleichung einer solchen Curve in Liniencoordinaten. Setzen 
wir hierin für die u die Coordinaten der gegebenen Geraden ein, so 
erhalten wir, da die ^iki^) vom zweiten Grade in k sind, eine qua- 
dratische Gleichung zur Bestimmung von A; und somit folgt der Satz; 

Jede Gerade wird von zwei j Durch jeden Punkt gehen ziuei 

Kegelschnitten des Büschels berührt. \ Kegelschnitte der Schaar. 

Von besonderem Interesse ist ferner die Lage der Schnittpunkte 
einer beliebigen Curve des Büschels mit der betrachteten Geraden 
gegen die Berührungspunkte der beiden soeben bestimmten Kegel- 
schnitte. Um diese zu untersuchen, nehmen wir die betr. Gerade zur 
Coordinatenseite 

a^i = 0. 
Setzen wir dann für einen diese Linien berührenden Kegelschnitt 
0:^ = 0, so muss eine in x.^, x^ quadratische Gleichung mit zwei 

gleichen Wurzeln für — übrig bleiben, d. h. das Quadrat eines in 

x^, Xn^ linearen Ausdruckes. Die Gleichungen der beiden berührenden 
Kegelschnitte sind daher von der Form: 

f=x^G -\- H' = 0, 
(p = x^G' -\- H"^ = 0, 

wo G, G' linear in x^, x.^, x-^ und H , IV linear in x~^y x.^ sind. Eine 
beliebige Curve des Büschels ist dann dargestellt durch die Gleichung: 

f - Itp = x^{G — IG') -\- m — l IV = ^) ', 

und die Schnittpunkte derselben mit der gegebenen Geraden bestimmen 
sich durch: 

X, = , 

die letzte Gleichung stellt ein von der Ecke x.^ = ^; •^is = ^ ^^^ 
Coordinatendreiecks nach den betreffenden Schnittpunkten gehendes 
Geradenpaar dar, gebildet aus den beiden Linien: 

Diese beiden Geraden sind aber harmonisch zu den von ihrem Schnitt- 
punkte nach den Berührungspunkten von f und 9? gehenden Linien, 
welche durch H=0, //' = gegeben sind; und also liegen die ge- 



Die Curven zweiter Ordnung und zweiter Klasse. 135 

suchten Schnittpunkte zu den beiden Berührungspunkten harmonisch. 
Ein solches System von Punktepaaren auf einer geraden Linie, wo 
jedes Paar zu denselben zwei bestimmten Punkten harmonisch liegt, 
nennt man nun eine Involution und die beiden ausgezeichneten Punkte 
die Doppelpunkte der Involution (ebenso spricht man auch von einer Invo- 
lution von Geradenpaaren in einem Strahlbüschel). Es sind dies im 
Grunde nichts weiter, als die Doppelpunkte zweier vereinigt gelegener 
projectivischer Punktreihen von speciellem Charakter (vgl. p. 51). 
Letztere erhält man in diesem Falle, wenn man jedem Punkte der Gera- 
den den vierten harmonischen in Bezug auf zwei feste Punkte (die 
beiden Doppelpunkte) zuordnet, also jedes Punktepaar der Involution in 
zwei entsprechende Punkte der beiden Reihen auflöst.*) Unter Be- 
nutzung dieses auch für andere Probleme äusserst wichtigen Begriffes 
der Involution können wir jetzt folgende Sätze aussprechen: 

Die Schnittpunkte der Kegel- \ Die von einem Punkte an die 

schnitte eines Büschels mit einer \ Kegelschnitte einer Schaar gehenden 

Tangenten bilden eine Involution. 
Die beiden Doppelstrahlen derselben 
werden in dem Punkte von je einer 
Curve der Schaar berührt. 



Geraden bilden auf dieser eine In- 
volution. In den beiden Doppel- 
punkten derselben wird die Gerade 
von Je einer Curve des Büschels 
berührt. 



VI. Besondere Lagen zweier Kegelschnitte gegen einander. 
Es gibt einige Fälle, in -denen die oben zur Bestimmung der 
Transformationscoefficienten /Sj^angewandte Methode nicht zum Ziele 
führt. Dieselbe ist nämlich nur so lange zulässig, als alle ^<^') (vgl. 
Gl. (18)) von Null verschieden sind. Die Grössen ft'^) verschwinden 
aber nur (vgl. (19)), wenn zwei Wurzeln der Gleichung ^ {X) = 
einander gleich werden. Bei der näheren Durchführung zeigt sich, 
dass noch immer besonders zu berücksichtigen ist, ob für eine mehr- 
fache Wurzel auch alle Unterdeterminanten von z/ verschwinden, oder 
nicht. Wir haben sonach die folgenden Ausnahmefälle zu unterscheiden. 

1. Zwei Wurzeln X sind gleich. 

2. Zwei Wurzeln l sind gleich, und die zugehörigen ünterdeter- 
minanten ^ik verschwinden sämmtlich. 

3. Alle Wurzeln l sind gleich. 

4. Alle Wurzeln X sind gleich, und die zugehörigen Aik verschwin- 
den sämmtlich. 

- 5. Alle drei Wurzeln sind gleich und Jedes einzebie Glied der Deter- 
minante /J (A) verschwindet für diesen Werth von l. 

*) Vgl. Näheres hierüber in der dritten Abtheilung dieser Vorlesungen. 



136 



Zweite Abtheilunjr. 



J\ 



Diese Fälle wollen wir im Folgenden der Reihe nach näher be- 
handeln; auf den zuletzt genannten brauchen wir jedoch nicht näher 
einzugehen; denn für denselben werden die äf,/, den b,/, proportional: 
Beide Kegelschnille sind identisch. 

1 . Wenn zwei der A*') einander gleich werden, so bedeutet dies im 
Allgemeinen, dass zwei Seiten, resp. Ecken des Polardreiecks einander 
unendlich nahe rücken. Daher ist dasselbe dann als Coordinaten- 
dreieck unbrauchbar, und unsere obige Transformation verliert ihre 
Bedeutung. Aus der früher gegebenen Constrnction des Polardreiecks 
folgt in diesem Falle, dass zwei der durch die Schnittpunkte der 
Curven gelegten Linienpaare unendlich wenig verschieden sind. Diese 
gehen aber noch nicht (was erst im zweiten Falle eintritt) in eine 
Doppellinie über; daher sind nothwendig zwei ihrer Schnittpunkte 
Fig. 2:!. unendlich benachbart zu den bei- 

den einander unendlich nahen 
Doppelpunkten der Paare (d. i. 
Ecken des Polardreiecks). Somit 
fallen in der Grenze zwei Schnitt- 
punkte der beiden Kegelschnitte 
zusammen in einen Punkt : die Cur- 
ven berühren sich in diesem Punkte 
P (vgl. Fig. 23), und in ihm lie- 
gen gleichzeitig zwei Ecken des 
Polardreiecks vereinigt. Letzteres 
geschieht aber so, dass die ge- 
meinsame Tangente der Curven 
in P mit der Verbindungslinie der 
unendlich nahen Dreiecksecken das Doppelpaar harmonisch theilt; wo- 
bei diese Linie als Polare des Schnittpunktes Q der Tangente mit der 
Verbindungslinie der beiden andern gemeinsamen Punkte der Kegel- 
schnitte construirt werden kann. Ebenso werden die Schnittpunkte der 
doppeltzählenden Tangente mit den beiden getrennt gebliebenen gemein- 
samen Tangenten durch die Punkte P und Q harmonisch getrennt. 

Es liegt nahe, hier neben den beiden noch verschiedenen Seiten 
des Polardreiecks als dritte Coordinatenseite die Verbindungslinie der 
beiden getrennten Schnittpunkte der Curven einzuführen. Sei also 
y, = die Gleichung der gemeinsamen Tangente des Berührungs- 
punktes, ^2 = die der einfachen Seite des Polardreiecks, J/y = die 
der erwähnten dritten Linie, so kann man die beiden Linienpaare, 
bei geeigneter Bestimmung der absoluten Werthe der Coefficienten, 
in der Form darstellen: 




f 



\ 



Die Curven zweiter Ordnung und zweiter Klasse. 137 

In der That werden dann die beiden Geraden des ersten Paares har- 
monisch von den Seiten y^ = 0, i/o "= ^ getrennt, während die des 
zweiten mit zwei Seiten des Coordinatendreiecks zusammenfallen. Die 
kanonische Form , in welche wir hier die Curven f = 2] an, XiXk und 
(p = l^biuXiXic zu transformiren haben, ist somit die folgende: 

Um die dazu nöthigen Substitutionscoefficienten zu berechnen, wenden 
wir wieder die Gleichungen (13) und (15) auf eine Curve des Sy- 
stems f — Arp = an. Alsdann ergibt sich: 

I /i" - A r — ;. 

\x' — X I 

Es ist also rjVie^/^pp peltef l" d ie einfache Wurzel der cubischen 
Gleichung z/(A) = 0; durch Vergleichung der beiderseitigen Coeffi- 
cienten von A'^ folgt: 

wo B wieder die Determinante von qp bedeutet. Die Anwendung von 
Gleichung (14) p. 132 auf die Curve /"— Aqp, ergibt ferner: 

/^^•2;^,A-(A)?/,M^= — (A'-A)i;,-'-f (r — A)t;.r'-2(A'--A)(r — A)v,y3, 

und hieraus folgt, wenn 

E^ihiiyiiUu = P - 2 A() + A25 
gesetzt wird: 

Ri .1>= — l"^~v.? + r''v^' - 2 A' A" V, V,, , . 
j(t .Q = — X v.^ + A" vi - (A' + A") y, v^ , 
ßi,S=- v^ - v^— 2v,v^. 

Multipliciren wir diese Gleichungen bez. einmal mit 1, — 2A", A'^ 
einmal mit 1 , — 2 A', X"\ und dann noch bez. mit 1 , — (A' -|- A"), A' A" 
und addiren dieselben jedesmal, so erhalten wir: 

/?'-' {P— 2 A" {> -f A" 2 S) = — (A' - A")- 1;,2 

7^2 (p _ 2 A' ^ + A'^5) = + (A' - A")2y32 

7^2 (/> _ (^' ^ X") Q _|_ A' A"5) = + (A' - A")-'?;i i/g . 

Aus den ersten beiden Gleichungen könnten wir nun v^, v.^, aus der 
letzten dann durch Division i\ berechnen. Durch Vergleichung der 
beiderseitigen Coefficienteu von m, «/, dagegen finden wir diröct die 
gesuchten Transformationscoefficienten durch die Gleichungen, welche 
an Stelle der Gleichungen (18) auf p. 133 treten: 



138 Zweite Abtheilung. 

ßrßk" == ß f^i^ry ^^'^'< - '^^ ^^'^ + ^''^^<^ 

ßlßk" + ßi'ßk = ßjf^y ^^^'^ - (^' + ^") Oik + XTSi,) . 

In ihnen haben die ßf dieselbe Bedeutung, wie in (11) p. 128 und es 
ist gesetzt: 

P= 2J PikUi Uk, = U Qik Ui Uk, S = U Sik ui Uk . 
2. Wenn ausser z/ (A) = für die Doppelwurzel auch alle Glei- 
chungen ^ik (A) =0 erfüllt sind'^), so werden die /Sj,'* nicht unendlich 
gross, sondern unbestimmt, die beiden Seiten des Polardreiecks, welche 
vorhin zusammenfielen, nehmen eine unbestimmte Eichtung an. Zugleich 
vereinigen sich die beiden unendlich nahen Linienpaare des vorigen 
Falles zu einer einzigen Doppellinie oder eigentlich vierfach zählenden 
Linie, denn die Bedingung dafür ist eben nach p. 106 das Verschwinden 
aller z/,vt. Sämmtliche Curven des Systems müssen sich daher in den 

Schnittpunkten der Doppellinie mit f=0 
oder (p = berühren (vgl. Fig. 24) ; d. h. 
es ist dies ein System der Art, wie wir 
es schon früher (vgl. p. 116) behandelt 
haben. Hierdurch erklärt es sich auch 
geometrisch, dass unendlich viele ge- 
meinsame Polardreiecke möglich sind; 
eine Seite eines solchen ist nämlich 
immer jene Doppellinie, die andern beiden 
Seiten gehen durch den Pol derselben und liegen harmonisch zu den 
beiden gemeinsamen Tangenten. 

Um auf ein bestimmtes, ausgezeichnetes Coordinatendreieck zu 
kommen, kann man dasjenige wählen, welches durch die Doppellinie 
und die in den beiden Berührungspunkten gezogenen Tangenten (die 
zusammen auch einen Kegelschnitt des Systems geben) gebildet wird. 
Sind y., = 0, y.^ = diese Tangenten, ist ferner y^=Q die Doppel- 
linie, X' die einfache, A" die Doppel- Wurzel von ^ (A) = 0, so hat 
man die Linienpaare: 

*) Dies Letztere kann auch nur bei einer Doppelwurzel eintreten, denn es ist 




dl 



~^^ikhk^ 



mit allen zf,,. verschwindet also auch immer —- , was die Bedingung einer Dop- 
pelwurzel ist. Ebenso würde ein Verschwinden der zweiten Unterdeterminanten 
nur bei einer dreifachen Wurzel eintreten können. 



Die Curven zweiter Ordnung und zweiter Klasse. 139 

/■_ A>^ tjC-{i' - r) 
/■ _ r (p =- — 2 //2J/3 (A' — i") , 

also: 

(p =^ ?/,2 + 2y,f/^. 

Zur Durchführung des betreffenden Transformationsproblems benutzen 
wir wieder die Gleichung: 

A' = R^'- A, 
welche jetzt übergeht in: 

\X - X i 

R^ . z]{X) =\ A" — A 

I X" — l 
und hieraus folgt wieder: 



- (A' - A) (A" — A)2; 



Ferner haben wir: 

R'-i: z/m- (A) UiUk = — (A" — A)2 t;,2 _ 2 (A' — A) (A" - A) ?;2?;3; 

und es ergeben sich die Coordinaten der Doppellinie v^ {ß^, ß.^, ß.^), 
wenn wir A = A' setzen und die Coefficienten gleicher Producte uiUk 
vergleichen. Wir finden so: 

o'-i ^11 (O _ 

a ' a ' ^12 V" ) 

Pl P2 —~B (i" - k'f ' 

a ' a I ■^13 (^ ) 

Pl Pi — B (r - A')2 ' 

Nachdem die Doppellinie gefunden, ist die Bestimmung der beiden 
Tangenten auf ein bestimmtes Problem, welches wir früher (vgl. p. 107) 
behandelten, zurückgeführt. 

3. Wenn alle drei Wurzeln von z/ (A) = gleich werden , ohne 
dass die Unterdeterminanten verschwinden, so rücken alle drei Linien- 
paare zusammen, ohne jedoch in Doppellinien überzugehen; denn das 
Auftreten von Doppellinien würde ein identisches Verschwinden der 
ünterdeterminanten zur Folge haben (vgl. den folgenden Fall). Von 
den beiden Schnittpunkten zweier unendlich naher Linienpaare, welche 
im ersten Falle sich nicht in der Nähe ihrer Doppelpunkte befanden, 
muss noch einer diesen ebenfalls unendlich nahe rücken, damit auch 
das dritte Linienpaar sich mit jenen vereinige. Die Curven berühren 
sich also in einem Punkte zweipunktig , was so zu verstehen ist, dass 
die eine Curve die andere in 3 benachbarten Punkten schneidet: sie 
tritt in dieselbe hinein, geht wieder heraus und tritt dann sofort 



140 



Zweite Abtheilung. 




wieder ein (vgl. Fig. 25) ; der vierte Sehüittpunkt bleibt dagegen isolirt, 
Fig. 25. und ebenso haben die Curven eine 

isolirte gemeinsame Tangente. Es exi- 
stirt kein eigentliches gemeinsames 
Polardreieck mehr; ein ausgezeich- 
netes Coordinatendreieck dagegen ist 
-^ys'O uns durch die folgenden Linien ge- 
geben: die gemeinschaftliche Tan- 
gente im Berührungspunkte (y, = 0), 
die Verbindungslinie dieses mit dem isolirten Schnittpunkte {y.^ = 0), 
und die durch den letztem gehende Linie, welche mit yo = ^ 
und den Tangenten der beiden Curven in dem Punkte harmonisch 
liegt (?/3 = 0). Da die Punkte y, = 0, ij^^^) und y.^ = 0, 2/3 = 
dann beiden- Curven angehören, so müssen in f und 9) die Glieder 
y/,2, y.^ fehlen; da ferner y, = Tangente ist, so müssen /, 9? für 
y, = in Quadrate übergehen, also müssen auch die Glieder mit y,, y.^ 
fehlen. Endlich müssen die mit y^ multiplicirten Theile, welche die 
Tangenten im isolirten Schnittpunkte darstellen, harmonisch zu y^ = 0, 
yg = sein, d. h. sich als Summe und Differenz darstellen. Wir 
können daher setzen: 

qp= 2y, (-^2 + ^3) + y-i^' 

In der That gibt dann die Gleichung / — A'95 = das einzige in dem 
Büschel noch vorhandene Linienpaar: ^/j == 0, y^ = 0. Zur Bestim- 
mung der Transformation von / und (p auf diese kanonische Form, 
welche aber nicht zu sich selbst dualistisch ist, haben wir: 

I X' -\- X X - X 
/?2 . ^ (A) = I A' -f A A' — A 

A' — A 



also: 



= -{X'~-xy, 



und ferner: 

i?2 2;z/,y,(A)w,w/,-^/?2(/>-2A(>»4-A'^6^)==-{(A'-A)y2~(A>A)y3}-'-2(A'--A)2e;,t, 

Setzt man hierin nach einander A = A', A = — A', A = , so findet 
man durch Combination der erhaltenen Gleichungen: 



/)_ 2A'(v-f X'^S = 



tf^ 



4yl' 



4X^^ 



y 






y 



^ 



Die Curven zweiter Ordnung vmd zweiter Klasse. 141 

und hieraus ergeben sich durch Vergleichung der Goefficienten gleicher 
Producte der ui die gesuchten Substitutionscoefficienten /3^5^- 

4. Der vierte Fall, wo alle Wurzeln von z/ (A) = einander gleich 
werden, und zugleich alle Unterdeterminanten z/,/.- v er sei nv in den, vereinigt 
den zweiten und dritten: die Curven berühren sich dreipunktig (d, h. 
schneiden sich in vier successiven Punkten) und haben demnach 
keinen weiteren Punkt gemein. Anhaltspunkte für ein besonders aus- 
gezeichnetes Coordinatensystem sind nicht mehr gegeben. Nehmen 
wir jedoch die gemeinsame Tangente im Berührungspunkte zur Gera- 
den y, = 0; und sei y-i^^ irgend eine durch diesen Punkt gehende 
Linie, so können wir die beiden Curven in der Form schreiben: 

^> = y^'-\- {.^yt -^ ßy\y2-\-yy\yi)^ 

denn die Gleichung f — X'cp = gibt dann in der That die einzige 
im System noch vorhandene Gerade 

— Während wir bisher die verschiedenen Lagen betrachteten, 
welche bei zwei Kegelschnitten durch verschiedenartiges Zusammen- 
rücken zweier oder mehrerer der 4 Schnittpunkte entstehen können, 
wollen wir jetzt noch einen Blick auf diejenigen Lagenbeziehungen 
werfen, welche dadurch bedingt werden, dass das Polardreieck eine 
besondere Lage gegen die unendlich ferne Gerade hat. Dies wird 
insbesondere eintreten, wenn eine Seite des Dreiecks mit der unendlich 
fernen Geraden zusammenfällt, woraus dann folgt, dass die beiden Kegel- 
schnitte einen gemeinsamen Mittelpunkt (den Pol der unendlich fernen 
Geraden) haben; und nach unseren früheren Erörterungen (vgl. p. 81) 
bilden die beiden andern Seiten des Polardreiecks ein Paar conjugirter 
Durchmesser in Bezug auf jeden der beiden gegebenen Kegelschnitte. 
Die Aufgabe, bei zwei Kegelschnitten mit demselben Mittelpunkte das 
ihnen gemeinsame Paar conjugirter Durchmesser zu finden, ist also 
durch unsere obigen allgemeineren Betrachtungen schon gelöst; wir 
wollen nur noch die Gestaltung der betreffenden Gleichungen unter 
Benutzung nicht homogener Coordinaten näher verfolgen. 

Nehmen wir an, dass der Anfangspunkt des Coordinatensystems 
bereits in den Mittelpunkt verlegt sei, so haben die beiden Kegel- 
schnittgleichungen die Form (vgl. p. 87) 

/= «11^'^ + ^a^^xy -f a.r,j/ —1=0, 
^ ^ (p=^ ^,,:f2 -{-2b,,xy + b,.,y' —1=0, 

und wir haben dieselben auf die Form: 



142 



Zweite Abtheilung. 



(2) 



^ p ^ q ^ 



ZU transformiren. Die letzteren Gleichungen zeigen, da sie nur die 
Quadrate der Veränderlichen enthalten, unmittelbar, tlass die vier 
Schnittpunkte von / und cp symmetrisch gegen die gemeinsamen con- 
jugirten Durchmesser liegen; und Gleiches folgt für die vier gemein- 
samen Tangenten, denn die Gleichungen in Liniencoordinaten werden : 

Wir können auch die Coordinaten der gemeinsamen Elemente vermöge 
der Gleichungen (6) auf p. 125 und (9) auf p. 127 leicht angeben; 
sie sind: 






q ^ — q 



2 „'2 



q 'q 

^" 2~ 



p q 



Fig. 26. 



Die Lage der Schnittpunkte ergibt sich auch aus unserer obigen 
allgemeinen Construction des Polardreiecks, wenn wir die Ausartung 

desselben näher verfolgen. Die drei 
Linienpaare des Büschels f~l gj == 
bestehen nämlich aus je zwei Pa- 
rallelen zu den gemeinsamen con- 
jugirten Durchmessern, und aus 
zwei Geraden, welche sich im Mittel- 
punkte schneiden. Ebenso sind die 
gemeinsamen Tangenten von /' und 
9^ zu zweien einander parallel und 
^ schneiden sich auf den beiden ge- 
meinsamen conjugirten Durchmes- 
:" Sern (vgl. Fig. 'ifo). 

Die betreifende Transformation 
möge nun durch die Gleichungen: 
.ON ^ = ^' cos « -+- y' cos /3 
X = X ^vü. a -\- y' sin /3 
geleistet werden; wir haben dann a, ß, p, q\ p" , q" zu bestimmen. 
Die Gleichung z/ (A) = gibt uns hier: 

'«11 — -^^11 «21 — ^^-n 




(4) 



Z/ (A) = I «,2 — hby 



^22 ^^22 







l - 1 



= 0; 



Die Curven zweiter Ordnung und zweiter Klasse. 143 

und es ist uns eine Wurzel X = 1 unmittelbar bekannt, was dem 
Umstände entspricht, dass wir die eine Ecke des Polardreiecks, den 
Mittelpunkt, als gegeben annehmen. Sind A', A" die beiden andern 
Wurzeln von (4), so können wir nach dem Früheren sofort eine 
Substitution angeben, wodurch die Ausdrücke /" und q) übergehen in: 

/•= A'a;"2 + r?/"2— 1 

^^^ (p = x"-^ + y"-^ — 1 

Von diesen Gleichungen gelangen wir dann zu der Form (2), wenn 
wir weiter setzen: 

Die Wurzeln von (4) geben uns also unmittelbar nur die Verhältnisse 
der Längen der conjugirten Durchmesser, d. h. es ist: 






Die Längen derselben selbst finden wir durch Benutzung der Glei- 
chungen (18) , p. 133: 

(6) ^,^,. =^^„_^,^^^,„^^^.^,u.s.f. 

An Steile der durch die Grössen /3['' bestimmten Substitution (Glei- 
chung (10), p. 128) tritt nun hier die folgende: 

X = p" cos a x" -\- q" cos ß y" , 
y = p" sin a x" -\- q" sin ß y" . 
Ferner ist: 

und also erhalten wir aus (G): 

p ^ cos^ a = -^, 7-,,- • -r—, r-2 , 

p 2 cos a sm a = — -,V — py^ • 7—7 — — 7— ^ , , 

p ^ sm' a = -{rr~±iir • jr^ 7— ' 

■* , ■"*" O11O22 '^12' 

Hieraus ergibt sich sofort: , / , 

„2 __ («22 — ^'^22) \- (<?ii — y^ \\) ^ / 

ebenso könnte man cos ß , cos /3 und «?" berechnen. Für p findet man : 
, 9 («22 — A' A22) -l" (ffir — "^^^ xx^ A./ 

^^ ' — "rTX'-n (^11*22 - *.2') ' 

und einen ähnlichen Ausdruck würde mau für q' erhalten. 



144 



Zweite Abtheilung. 



Fig. 27. 



Der hier eingeschlagene Weg wird wieder unmöglich, resp. un- 
bestimmt, wenn einer der soeben behandelten Ausnahmefälle eintritt, 
d. h. wenn sich die Kegelschnitte irgendwie berühren. Da uns hier 
aber immer eine isolirte Ecke (der Mittelpunkt) und eine isolirte Seite 
des Polardreiecks (die unendlich ferne Gerade) gegeben sind, so kön- 
nen nur die Fälle 1 . und 2. vorkommen, in denen sich die Curven auf 
einer Seite des Polardreiecks in einem, bez. in zwei Punkten berühren. 
Im Falle 2. gibt es unendlich viele gemeinsame Polardreiecke, deren 
eine Seite immer die Berührungssehne ist, während die beiden andern 
Seiten immer durch den Pol dieser Linie gehen. Die unendlich ferne 
Gerade wird daher Seite eines solchen Dreiecks sein können, wenn 
sie selbst Berührungssehne ist, oder wenn sich die beiden Kegelschnitte 
auf einem gemeinsamen Durchmesser berühren, wo dann der Pol der 
Berührungssehne auf der unendlich fernen Geraden liegt. Für unsere 
jetzige Betrachtung tritt also ein Ausnahmefall ein, wenn die Curven 
eine oder zwei gemeinsame Asymptoten haben, oder wenn die beiden ihtien 
gemeinsamen Durchmesser zusammenfallen. 

Im erstem Falle sind die beiden conjugirten Durchmesser in die 
Asymptote zusammengefallen, was damit übereinstimmt, dass eine jede 

Asymptote (vgl. p. 82) ein Paar 
conjugirter Durchmesser vertritt. 
Das bei unserer obigen Behandlung 
(p. 136) ausgezeichnete Coordinaten- 
dreieck wird durch die gemeinsame 
Asymptote (ic = 0), die Verbin- 
dungslinie der beiden noch getrennt 
^ liegenden Schnittpunkte {y = 0) und 
die unendlich ferne Gerade gegeben 
(vgl. W\^^. 27). Unter Zugrundelegung dieses Dreiecks werden die 
Gleichungen der beiden Kegelschnitte von der Form: 

/=« (a;2-(- 1) j^2bxy = ^ 
q) == a;"' -f- 1 -|- 2 xg = . 

Haben die Kegelschnitte beide Asymptoten gemeinsam, so wird 
unsere Aufgabe unbestimmt: die Curven haben alle Paare conjugirter 
Durchmesser gemein. Dieser letzte Satz gilt gleichmässig für ElHp- 
sen und Hyperbeln, nur dass bei ersteren die beiden Asymptoten ima- 
ginär sind. Man nennt in diesem Falle die Kegelschnitle ähnlich und ühn- 
iich gelegen. Zur Bestimmung der Asymptoten von f und <p dienen 
uns nämlich bez. die Gleichungen (p. 84): 

r/,1^^ + 2a^^xtj -\- a^.y = 0, 
Z/j, X-' -f- 2 by,xg -f b.^^y- = . 




Die Curven zweiter Ordnung und zweiter Klasse. 145 

Sollen nun die Asymptoten zusammenfallen, so können sich beide 
Gleichungen nur um einen constanten Factor unterscheiden, d. h. 
es ist: 

^11 • ^12 • ^hl ""^^ "\\ • ^12 • ^22 > 

und deshalb werden die Curven ähnlich genannt. Ihre Gleichungen 
haben alsdann die Form: 

f= a^^x- -^ 2 a^^xy -\- a^^y"^ — 1 = , 

(p = m («11 ^2 -|- 2a^.^xy + 0^22^^) — 1 = 0. 

Der erste oben genannte Fall dagegen kann bei zwei Ellipsen überall 

nicht vorkommen, weil die beiden Asymptoten einer solchen immer 

conjugirt imaginär sind. Fallen also zwei derselben zusammen , so 

muss dies auch mit den beiden andern der Fall sein. 

VII. Der Kreis. 

Wir haben in unseren bisherigen Betrachtungen immer zwischen 
metrischen und rein projectivischen Eigenschaften geometrischer 
Gebilde unterschieden. Die letzteren waren im Wesentlichen da- 
durch charakterisirt , dass bei ihnen von Winkeln und Entfernungen 
nicht die Rede war, dass vielmehr gewisse Doppelverhältnissrelationen *) 
(hauptsächlich harmonische Theilung bei der Polarentheorie) den 
Hauptgegenstand der Untersuchung bildeten. Wir werden jedoch nun- 
mehr im Anschlüsse an die Kreistheorie eine Methode entwickeln, 
durch welche es gelingt, alle auf Winkel bezüglichen Sätze als be- 
sondere Fälle allgemeinerer, auf den Begriff des Doppelverhältnisses 
gegründeter Beziehungen aufzufassen. Es führt dazu der folgende 
fundamentale Satz: Alle Kreise haben zwei imaginäre (bei allen Bewe- 
gungen der Ebene in sich absolut feste), auf der unendlich fernen Geraden 
gelegene Punkte gemein. 

Zwei Kreise können sich bekanntlich nur in zwei reellen Punkten 
schneiden; und in der That erhalten wir bei Benutzung Cartesischer 
Coordinaten zur Bestimmung der Schnittpunkte nur eine quadratische 
Gleichung. Als charakteristisch für die Kreisgleichung erkannten wir 
früher den Umstand, dass ihre höchsten Terme (bei rechtwinkligen 
Coordinaten) immer die Form x""- -f- y"^ haben und das Glied mit xy 
fehlt (vgl. p. 88). Die Gleichungen zweier Kreise sind also: 
x'^ + y'^-\-2ax-^2ly-\-c=0, 
^^ + y" + ^ «'^ -\-2b' X -\- c =0 . 
Aus ihnen ergibt sich durch Subtraction eine lineare Gleichung, die 
der Verbindungslinie der beiden Schnittpunkte. Die letzteren selbst 



*) In der That kann man nach v. St au dt (vgl. Geometrie der Lage. 1847.) 
auch ein Doppelverhältniss ohne Benutzung des Begriffs der Entfernung definiren. 

C leb seh, Vorlesungen. 10 



146 Zweite Abtheilung. 

sind also dann durch eine quadratische Gleichung bestimmt. Dass die 
Aufsuchung der Schnittpunkte hier in so einfacher Weise möglich ist, 
ist lediglich in der speciellen Beziehung des Kreises zum rechtwink- 
ligen Coordinatensysteme begründet. Führen wir nämlich mittelst der 
Substitution : 

^ ^_ K ia^i -f «2-^2 + 0^3 a?.^ __ A 

yi 3^1 + 72 •»'2 + 73^3 C 

y = ßl^l +^ 2 3^2+ ^3^3 ^ H 

yi^i + 72^2 + ys^'s c 
homogene Veränderliche ein, wo dann ^=0 die unendlich ferne Ge- 
rade darstellt, so werden die Gleichungen der beiden Kreise: 

A^ ^r B"- -^2a AC-^2h AC-\-cC~ = () 
J''- ^ ß-^ J^ 2 d AC -\- 2 b'AC -f cC = ; 

und zur Bestimmung der Schnittpunkte erhalten wir: 

C(2{a- a')Ä + 2{b — b') B J^ {c -- c) C) =0 , 

also ein Linienpaar. Der eine Factor desselben, C = 0, gibt die bei- 
den früher nicht berücksichtigten Schnittpunkte. Die biquadratische 
Gleichung, welche im Allgemeinen die vier Schnittpunkte von zwei 
Kegelschnitten bestimmt, ist also in unserem Falle durch zwei quadra- 
tische Gleichungen lösbar. Es liegt dies daran, dass sich die früher 
zur Lösung benutzte cubische Resolvente (z/ (A) = 0) auf eine qua- 
dratische Gleichung reducirt; denn wir werden sehen, dass eine Seite 
des zwei Kreisen gemeinsamen Polardreiecks immer mit ihrer Centrale 
zusammenfällt, und dem entsprechend ist eine Wurzel der cubischen 
Gleichung z/ (A) = von vornherein gegeben. Die durch C = o-e- 
gebenen Schnittpunkte sind durch den Schnitt der unendlich fernen 
Geraden mit dem imaginären, zerfallenden Kegelschnitte: 

^2 _j_ ^2 _, 
oder : x'^ -j- y2 ^ 

bestimmt, also unabhängig von den Coefficienten a, b, c, d , b', c in 
den Gleichungen der beiden Kreise. Wir haben somit den Satz: 

Alle Kreise der Ebene gehen durch dieselben beiden imaginären Punkte, 
die der unendlich fernen Geraden angehören. Wir wollen dieselben in 
der Folge kurz als die imaginären Kreispunkle der Ebene bezeichnen. 
Die Gleichung dieser Punkte in Liniencoordinaten ergibt sich durch 
Elimination von A, B, C aus den Gleichungen: 

A +iB =0 

C=0 

Au-\- Bv -\- C ^0 



Die Curven zweiter Ordnung und zweiter Klasse. 147 

in der Form: 

:1 +/ 0] 

li= + /w_y = 0, 

U V 1 I 

Es ist daher das Product der Kreispunkte dargestellt durch: 

Die Richtungen nach diesen ausgezeichneten Punkten, d. h. die der 
Asymptoten des Kreises, sind durch die Gleichung: 

tang^ a -|- 1 == 

also durch tang « =^ + V — 1 bestimmt. Wir können somit den er- 
wähnten Satz auch folgendermassen aussprechen: 

Die Asymptoten aller Kreise sind parallel^ wenn anders wir auch 
von parallelen imaginären Linien sprechen wollen. Die so bestimmten 
Richtungen haben noch andere merkwürdige und wichtige Eigen- 
schaften, von denen zunächst die folgenden beiden erwähnt sein mögen : 
1) Sie bilden mit allen anderen Richtungen denselben (unendlich 
• grossen) Winket. Ist nämlich tang a = i =^ }/ — 1, so ist: 

tanff (m — a)= tang gp — tang cc ^ tan g gp - i ^ ^ 
^ ^^ ^ 1 -f- tang qp . tang a 1 -j- « tang qp ' 

also von (p unabhängig; ebenso für tang a = — /. Der Grund hierfür 
liegt darin, dass der Winkel a , und also überhaupt der Winkel einer 
Linie, welche durch einen der Kreispunkte geht, mit einer beliebigen 
anderen Geraden als ein unendlich grosser aufzufassen ist. Wir haben 
nämlich : 



arctangß= /iT^'' 



und dies Integral wird unendlich für a: = + ^- Während also die 
Punkte, deren Entfernung von einem beliebigen Punkte unendlich 
gross ist, auf einer Geraden, der unendlich fernen Geraden, liegen, 
umhüllen die Linien^ welche mit einer beliebigen andern Linie einen un- 
endlich grossen Winkel bildeii, und die man daher als unendlich ferne 
Linien bezeichnen könnte, ein Punktepäar : die imaginären Kreispunkte. 
In diesem verschiedenen Verhalten der unendlich fernen Punkte und 
der unendlich fernen Linien ist weiterhin die Ungültigkeit des Prin- 
cips der Dualität bei metrischen Relationen begründet. 

2) Zivei auf einander senkrechte Linien sind harmonisch zu den 
von ihrem Schnittpunkte nach den beiden imaginären Kreispunklen gezo- 
genen Geraden. In der That sind dann die beiden letzteren Asymptoten 
für einen jeden Kreis, der seinen Mittelpunkt in ihrem Schnittpunkte 

10* 



148 Zweite Abtheilung. 

hat; und die beiden gegebenen Geraden sind eonjugirte' Durchmesser 
eines solchen Kreises, also nach früheren allgemeinen Sätzen harmo- 
nisch zu den Linien nach den imaginären Kreispunkteu, w. z. b. w. 

Diese beiden Sätze zeigen, in wie inniger Beziehung die beiden 
ausgezeichneten Punkte der Ebene zu allen Winkelrelationen stehen; 
insbesondere ist durch den zweiten Satz das Ziehen von senkrechten 
Linien auf die rein projectivische Aufgabe einer harmonischen Thei- 
lung zurückgeführt. Dieser Zusammenhang geht aber noch weiter. Die 
Theorie der Kreise muss zufolge unserer Definition des Kreises überein- 
stimmen mit derjenigen der Kegelschnitte mit 2 gemeinsamen Punkten. 
Die Untersuchung dieser letzteren erfordert aber nur rein projectivische 
Betrachtungen; und somit erscheint die gewöhnliche metrische Geometrie, 
insofern sie auf der Kreistheorie beruht, nur als Anwendung unserer frü- 
heren rein von Lagenverhältnissen abhängigen Erörterungen."^^ Insbe- 
sondere ist die Definition des Kreises selbst als eines die Kreispunkte 
enthaltenden Kegelschnittes jeder metrischen Gestalt entkleidet; und 
auch den Begriff des Winkels können wir, wie sogleich gezeigt 
werden soll, direct durch den eines Doppelverhältnisses ersetzen, welch' 
letzterer ja in unseren bisherigen Betrachtungen als fundamental für 
alle projecti vischen Untersuchungen auftrat. Der Winkel zweier Linien 
mit den Coordinaten w, v und m', v wird bekanntlich gegeben durch: 

Uli -V- vv' 

a = arc cos — ===r-v:;=^==-- ; 

und dies ist nach einer bekannten Formel der Analysis**): 



t 1 uu -{- vv' -\- V{uu -f- vv')^ — (?<* + v^) («'* -f" v'^) 

^ uu' -{- vv' — y\u'.i 4" vv')^ — (m* -j- v^) (u'^ -{- v'^) 

Hier haben wir den Logarithmus eines Ausdrucks vor uns, welchen 
wir sofort als den Quotienten der Wurzeln erkennen, die sich für X 
aus der Gleichung: 

i^2 _|_ y2 _|_ 2 A {uu' + vv') + P (w'2 + v"') = 

ergeben. Dies ist aber nach (1) die Gleichung des Productes der 
imaginären Kreispunkte (1), wenn man darin die Coordinaten m -j- A?', 
u -{- /iv' einsetzt; und somit haben wir den Satz: 

Der Winkel zweier Geraden ist gleich dem mit ~ multiplicirten Lo- 
garithmus des Doppelverhältnisses, welches dieselben mit den von ihren 
Schnittpunkten nach den imaginären Kreispunkten gehenden LAnien bilden, 
ein Satz, durch den die projectivische Auffassung der Winkel- 
Geometrie in jeder Weise durchgeführt werden kann: Man untersuche 



*) Als Begründer dieser Anschauungsweise ist besonders Chasles zu nennen. 
**) Diese Definition gab Laguerre: Nouvelles annales de math. 1853, p. 57. 



Die Curven zweiter Ordnung und zweiter Klasse. 149 

die zu betrachtenden Gebilde in ihrer Beziehung zu zwei beliebigen 
Punkten und zu deren Verbindungslinie, man ersetze diese Punkte 
dann durch die imaginären Kreispunkte, also ihre Verbindungslinie 
durch die unendlich ferne Gerade, und es ergeben sich aus den ge- 
fundenen projectivischen Sätzen metrische Relationen in ihrer ge- 
wöhnlichen Form. Als Beispiele mögen noch für den Kreis die fol- 
genden Beziehungen erwähnt werden: 

Ein Kreis ist durch drei Punkte der Ebene vollkommen bestimmt; 
denn er ist ein Kegelschnitt, der ausserdem noch durch die beiden 
Kreispunkte gehen muss, für den also fünf Punkte gegeben sind. 

Der Mittelpunkt eines Kreises, wie überhaupt eines Kegelschnittes, 
ist der Pol der unendlich fernen Geraden in Bezug auf denselben; in 
Folge dessen sind concentrische Kreise dadurch definirt, dass sie ge- 
meinsame Asymptoten haben. Sie berühren sich also in den beiden Kreis- 
punkten, können sich daher nicht mehr schneiden. Ein solches System 
von Kreisen wird dargestellt durch die Gleichung (vgl. p. 139) 

wo iCg = die unendlich ferne Gerade gibt, während x^ =0, x^ == 
die Gleichungen der beiden Asymptoten sind. Um auf rechtwinklige 
Coordinaten zu kommen, müssen wir setzen (/ = /— l): 

x^ = X -\- iy , X2 = x — iy, x. = l , 
und erhalten dann die gewöhnliche Form: 

a;2 _p y2 __ ;t = , 

wo nun der Parameter A das Quadrat des variirenden Radius ist. 

Auf demselben Bogen stehende Peripheriewinkel sind gleich, denn 
dies ist nur eine andere Form des bekannten Satzes, dass das Doppel- 
verhältniss der von einem Punkte des Kegelschnittes nach vier festen 
Punkten desselben gezogenen Strahlen constant ist. Diese vier Strahlen 
nämlich gehen in unserm Falle von dem Scheitel des betreffenden 
Winkels nach den Endpunkten des betrachteten Bogens und nach 
den beiden imaginären Kreispunkten. 

Je zwei conjugirte Durchmesser eines Kreises stehen auf einander 
senkrecht, denn zwei solche Linien sind der Definition nach harmonisch 
zu den beiden Kreisasymptoten (vgl. p. 82). Da wir nun früher 
gesehen haben, dass jede Asymptote eines Kegelschnittes als ein Paar 
zusammenfallender conjugirter Durchmesser zu betrachten ist, so könnte 
man den paradox scheinenden Satz aussprechen : Jede Kreisasymptote 
(jede unendlich ferne Gerade) steht zu sich selbst senkrecht. 

Durch die obigen Erörterungen ist nur der Begriff des Winkels 

durch den rein projectivischen eines Doppelverhältnisses ersetzt; m 

' ähnlicher Weise muss aber auch die Strecke definirbar sein, wenn 



150 Zweite Abtheilung. 

man alle metrischen Sätze in projectivische übertragen will. Letzteres 
gelingt jedoch nicht so immittelbar, denn zur Messung eines Winkels 
ist uns eine bestimmte Einheit (etwa der Winkel von 90") von vorn- 
herein gegeben; zur Messung einer Strecke dagegen müssen wir eine 
willkürlich zu wählende Einheit zu Grunde legen. Bezeichnen wir 
nun mit r, s, bez. r, s' die Entfernungen zweier Punkte A, C von 
zwei anderen Punkten B, B ihrer Verbindungslinie, die in demselben 
Sinne, wie früher, gemessen sein mögen (vgl. p. 33), so ist das Doppel- 

verhältniss der vier Punkte gleich - • -, , also gleich r für s = /, r'== 1. 

Nehmen wir insbesondere 5 = / = oo, so haben wir den Satz: Bie 
Entfernung zweier Punkte A und B ist (hei richtiger Wahl des Sinnes) 
gleich dem Boppelverhältnisse, ivelches mit ihnen der unendlich ferne Punkt 
und der um die Einheit von B entfernte Punkt bilden. Dieser Satz würde 
von Nutzen werden, wenn wir auch Streckenrelationen projectivisch 
auffassen wollten. Um dann auf verschiedenen Geraden gelegene 
Strecken zu vergleichen, muss man noch die Festsetzung machen, dass 
die Punkte eines Kreises von seinem Mittelpunkte gleich weit entfernt 
heissen sollen; wir gehen darauf im Folgenden jedoch nicht weiter ein.*) 

*) Zufolge dieser Ausführungen kann man die metrische Geometrie auffassen 
als die Theorie der Beziehungen ebener Figuren zu einem in ein Punktepaar 
zerfallenden Kegelschnitte. In ähnlicher Weise lassen sich auch alle projectivi- 
schen Beziehungen ebener Figuren zu einem allgemeinen Kegelschnitte in ein 
metrisches Gewand einkleiden, wodurch dann die betreffenden Sätze wesentlich 
kürzer und präciser auszusprechen sind: Man wird die Tangenten des auso-e- 
zeichneten ,. Fundamentalkegelschnittes" ebenso einführen, wie die unendlich 
fernen (durch die Kreispuukte gehenden) Geraden, die Punkte desselben, wie die 
unendlich fernen Punkte, und somit den (mit einer Constanten multiplicirten) 
Logarithmus des Doppelverhältnisses, welches zwei beliebige Linien mit den bei- 
den durch ihren Schnittpunkt gehenden Tangenten des Fundamentalkegelschnittes 
hilden, als Winkel der beiden Linien bezeichnen. Ist also Za^|. m- u^. = die Gleichung 
des Kegelschnittes in Liniencoordinaten, so ist der Winkel zweier Geraden «, v 

1 H + Vgl - m 

= c log 

// — Vgl — m 

wo ff, /., H die frühere Bedeutung haben (p. 111), und woraus für Za^,^ u- u,. — m'-|- d« 
und c = Y wieder die Definition der gewöhnlichen metrischen Geometrie folgt. 

Unter Benutzung eines allgemeinen Kegelschnittes ist aber auch das Princip der 
Dualität für metrische Relationen vollkommen gültig; man hat daher auch zur 
Messung von Strecken eine bestimmt gegebene Einheit und man wird die Ent- 
fernunq zweier Punkte definiren als den (mit einer Constanten multiplicirten) 
Logarithmus des Doppelverhältnisses , welches mit ihnen die Schnittpunkte ihrer 
Verbindungslinie mit dem Fundamentalkegelschnitte bilden. Die Entfernung 
zweier Punkte ar, y wird also 

= e'log^^±i:ZZiH^\ 



Die Curven zweiter Ordnung imd zweiter Klasse. 151 

Von besonderer Wichtigkeit ist die in den angeführten Sätzen 
ausgesprochene Beziehung der metrischen Geometrie zur projectivischen 
für eine systematische Behandlung geometrischer Aufgaben. Nur zu 
oft beruht die Lösung der letzteren, wenn man von den imaginären 
und unendlich fernen Elementen keinen Gebrauch macht, auf Kunst- 
griffen, deren Zweckmässigkeit eben nur der Erfolg lehrt. Mit Hülfe 
unserer Anschauungsweise gelingt es jedoch metrisc'he Aufgaben so- 
fort in ein allgemeineres Gewand einzukleiden und dann auf die- 
selben die allgemein gültigen, directen Methoden der projectivischen 
Geometrie anzuwenden. Andererseits können wir auch aus jedem 
bekannten metrischen Satze einen allgemeineren ableiten, wenn wir 
einfach die Kreispunkte durch zwei beliebige Punkte der Ebene er- 
setzen. Für beide Fälle werden uns im Folgenden noch verschiedene 
Beispiele begegnen. Wir wenden uns jedoch zunächst dazu, die Ge- 
staltung unserer allgemeinen Kegelschnitttheorie für die Kreise weiter 
zu verfolgen, indem wir die Beziehungen zwischen zwei Kreisen 

untersuchen. 

Dieselben können sich (ausser in den Kreispunkten) nur noch in 
zwei reellen, oder conjugirt imaginären Punkten schneiden. Jedenfalls 
ist daher die Verbindungslinie dieser Schnittpunkte stets reell. Wir 
wollen sie als die Chordale der beiden Kreise bezeichnen; für dieselbe 
gibt die folgende Betrachtung eine bemerkenswerthe Eigenschaft. 

Es sei die Gleichung des einen Kreises gegeben durch*): 
Ä'=(a;-ö)^ + (y-&)^- r2 = 0; 
alsdann hat der Ausdruck K in ähnlicher Weise, wie die Hesse 'sehe 
Normalform der Geraden (p. 23), für jeden bestimmten Pankt {x, y) 
eine geometrische Bedeutung. Bezeichnen wir nämlich die Entfernung 
des Punktes {xy) vom Mittelpunkte {a, b) mit q, so ist 

K = q' - r' = f , 
wenn t die Länge der von dem Punkte an den Kreis gezogenen Tan- 
gente bedeutet. Ist nun 

wo />7ö^V^die früher so genannten Ausdrücke bedeuten. Insbesondere sind 
hiernach zwei Linien zu einander rerhtwinklif/, wenn 7/ = (««' -}- vv' = für die 
crewöhnliche Metrik), also wenn die Linien harmonisch sind zu den von ihrem 
Schnittpunkte ausgehenden Tangenten. Mit den so als Winkel und Entfernungen 
definirten Grössen lässt sich weiterhin ebenso operiren, wie mit denen der ge- 
wöhnlichen Metrik. VgL Näheres hierüber bei Cayley: A sixth memoir upon 
quantics, Philos. Transactions, vol. 149, 1859 und Klein: Ueber die sogenannte 
Nicht- Euklidische Geometrie, Math. Annalen, Bd. IV und VI. 

*) VgL für die Darstellung des Folgenden Plücker: Analytisch - geometrische 
Entwicklungen, Bd. 1., und über die Eigenschaft der Chordale, Radicalaxe oder 
Potenzlinie: Steiner in Crelle's Journal, Bd. 1 und Gaultier: Journal de 
l'dcole polytechnique, cah. 16. 



152 Zweite Abtheilung. 

K' = {x- a'f + (y - by-r'^- = 

die Gleichung des zweiten Kreises, so ist die der ChorJale gegeben 
durch : 

K—K' = 

d. h. es ist für einen Punkt dieser Linie 

^2 = r- 

wenn t' die Länge der von dem Punkte an den zweiten Kreis gezo- 
genen Tangente ist. Also folgt: 

Die Chordale ist der geometrische Ort der Punkte, für welche die 
an die beiden Kreise gezogenen Tangenten einander gleich sind. 

Die Bestimmung der auf dieser Linie gelegenen Schnittpunkte 
geschieht nun durch eine quadratische Gleichung. Wir setzen: 

C = «2 _p ^^2 _ ^2^ g' ^ ^'2 _f_ ^'2 _ ^'2^ 

u = x'' + y2 
und haben dann für dieselben: 

u — 2ax — 2by-^c =0 

u — 2 ax — 2 b'y -j- c' =^0. 
Hieraus können wir x und y linear durch u ausdrücken und haben 
zur Bestimmung von u diese Werthe dann nur noch in die Gleichung 
u = x'^ -\^ y'^ einzusetzen. 

Hierdurch sind die vier gemeinschaftlichen Tangenten beider Kreise 
ebenfalls gegeben, denn sie hängen allein von der Lage des gemein- 
samen Polardreiecks ab, welches durch die vier Schnittpunkte völlig 
bestimmt ist. Die Ecken dieses Dreiecks sind die Doppelpunkte der 
drei in dem Kreisbüschel: 

K— kK' = 
enthaltenen Linienpaare. Von diesen ist nur eines reell: gebildet von 
der Chordale und der unendlich fernen Geraden; die beiden anderen 
sind immer imaginär, ihre Doppelpunkte aber ebenfalls reell, wenn 
sich die Kreise in zwei imaginären Punkten schneiden. Man erkennt 
dies daraus, dass dann die vier Tangenten reell sind, und somit auch . 
das Polardreieck. In diesem Falle sind zwei Seiten des Dreiecks 
{s^ und 6-2 in Fig. 28) parallel der Chordale (c) und die zwischen 
ihnen gelegene Strecke der Centrale (^3) wird von der Chordale halbirt; 
denn die Richtung der letzteren bestimmt die unendlich ferne Ecke 

*) Eine gerade Linie bildet also nach unserer Definition des Kreises zusam- 
men mit der unendlich fernen Geraden einen Kreis (mit unendlich grossem Ra- 
dius); ebenso bilden zwei conjugirt imaginäre Linien, z. B. x-\-iy = und 
x — iy=o, von denen jede durch je einen Kreispunkt geht, einen Kreis vom 
Radius Null: a;- -j- t/^ = 0. 



Die Curven zweiter Ordnung und zweiter Klasse. 



153 



des Polardreiecks, und die Centrale muss als ^^^- ^^• 

Polare dieses unendlich fernen Punktes die 
dritte Seite des Dreiecks sein. Eine jede 
solche Seite wird aber von den beiden andern 
und dem entsprechenden Linienpaare des 
Büschels /{ — XJ{' = harmonisch getheilt, 
woraus in der That, da die Chordale mit der 
unendlich fernen Geraden zusammen ein sol- 
ches Linienpaar bildet, die Halbirung der 
erwähnten Strecke folgt. Auch die beiden 
andern Seiten des Dreiecks (ausser der Cen- 
trale) sind leicht zu construiren, da sich 
die gemeinsamen Tangenten der Kreise auf 
den drei Seiten schneiden müssen. Durch 
diese Schnittpunkte sind dann die drei 
Punktepaare gegeben, welche in der durch 
die beiden Kreise bestimmten Kegelschnitt- 
schaar vorkommen. 

Insbesondere liegen zwei dieser Punkte ''•^ 

auf der Centrale : die Aehnlichkeitspunkte der beiden Kreise (/ und A 
Fig. 28). Analytisch kaiin man diese in folgender Weise erhalten. 
Die Gleichungen der Kreise in Liniencoordinaten sind (vgl. p. 31): 




ui 4- y2 _ 



p2 



p'2 



0, 



= 0, 



^' + ^^ — -2 

WO durch 

p =ua -{-vh -^\ =0, 
p' = ua -\- V h' -\- \ = i) 

bez. die Mittelpunkte der Kreise gegeben sind. Durch Subtraction der 
Kreisgleichungen erhalten wir dann das Punktepaar: 

^r _ ^'' == 



r r 

-^^ + ^ = 0, 



oder aufgelöst: 

(^) 

(3) 

In jedem dieser Punkte schneiden sich zufolge der Ableitung zwei 
der gemeinsamen Tangenten; (2) und (3) sind also die Gleiclmngen 

*) Vgl. z. B, Hesse: Vorlesungen aus der analytischen Geometrie der ge- 
raden Linie, etc. Leipzig 1873, 2. Auflage, 



154 Zweite Abtheilung. 

der beiden Aehnlichkeitspunkie. Sie liegen harmonisch gegen die Mittel- 
punkte der Kreise und theilen den Abstand dieser im Verhältnisse 
der Radien (daher der Name). Ersteres zeigt unmittelbar die Glei- 
chungsform; das andere folgt; weil die Abstände einer Linie {u,v) 
von den Mittelpunkten bez. gegeben sind durch: 

P P' 

und weil diese Abstände, wenn die Linie durch einen Aehnlichkeits- 
punkt geht, wegen (2) und (3) noch bez. den Bedingungen: 

y*) P' ,.' ' P' r' ' 

genügen müssen. Im ersten Falle sind beide Radien in derselben 
Richtung von der Centrale aus gemessen, dies gibt deii äusseren Aehn- 
lichkeitspimkt, im zweiten Falle in entgegengesetzter Richtung: innerer 
Äehnlichkeitspunkt. Für ersteren haben wir aus (2) die Coordinaten: 

a a b b 



y = 



1 ' 



für den innern Punkt dagegen aus (3): 



a . a b . h' 
H ; — -\ ; 




Mit Hülfe dieser Werthe können wir nunmehr die Coordinaten der 
gemeinsamen Tangenten unmittelbar berechnen, und zwar wie bei den 
Schnittpunkten mit Hülfe von nur quadratischen Gleichungen. Wir 
haben wegen (4) für 



den äussern Punkt: 
/^ = r z 
P = r z 

u^ -\- v"^ = z"^ , 



den innern Punkt: 

P =^r z 
P' = r' z 

11^ -\- v"^ = z- , 



woraus durch Elimination von u, v jedesmal eine quadratische Glei- 
chung für z resultirt. Die Coordinaten der beiden durch den betref- 
fenden Äehnlichkeitspunkt gehenden Tangenten sind dann linear be- 
stimmt. Sie werden für beide Punkte imaginär, wenn der eine Kreis 
innerhalb des andern liegt, nur für den innern, wenn sich die beiden 
Kreise in reellen Punkten schneiden. Die Aehnlichkeitspunkte sind 
jedoch immer reell vorhanden; der innere fällt bei äusserer, der äus- 
sere bei innerer Berührung mit dem Berührungspunkte zusammen. 
Der Satz von der Theilung der Centrale im Verhältnisse der Radien 
behält jedoch immer reelle Gültigkeit. — 



Die Ciirven zweiter Ordnung und zweiter Klasse. 155 

Betrachten ivir ein System von drei Kreisen: 

K =0, ir = 0, A"' = , 

so sind die Gleichungen der bez. durch je zwei derselben bestimmten 
Chordalen : 

Ä- _ Ä" = , /{' — /{" = , K" ^ /i' = ; 

und da die Summe dieser drei Gleichungen Null ist, so haben wir 
unter Berücksichtigung einer oben für die Punkte der Chordalen er- 
wähnten Eigenschaft den Satz: 

Die durch drei Kreise bestimmten drei Chordalen schneiden sich in 
einem Punkte, dem Mittelpunkte eines Kreises, welcher die drei gegebenen 
unter rechtem Winkel schneidet, des sogenannten Orthogonalkreises. In 
der That sind nämlich die Längen der Tangenten, welche man vom 
Mittelpunkte des letzteren an die drei Kreise legen kann, einander 
gleich. Bezeichnen wir die Längen dieser Taugenten mit q, die Coor- 
dinaten des Mittelpunktes mit a, ß, so haben wir zur Berechnung dieser 
Grössen die drei Gleichungen: 

(,, __ a y -^(ß-bf -r •-' = (>^ 

{a-aYi-(ß-b'y-r^' = Q\ 

(a-ay-i-(ß-by-r"^=^Q\ 

und dies sind, wenn man noch 

u = a"^ -\- ß~ — q"^ 

setzt, drei für a, ß, u lineare Gleichungen. 

Der zuletzt bewiesene Satz gilt, wie man leicht übersieht, nicht 
nur für die drei gegebenen Kreise, sondern für alle die einfach unend- 
lich vielen Kreise des Systems*): 

K -\- XK' -{- iiK" = 0, 

wo A, |u, veränderliche Parameter sind. Entsprechendes muss aber auch 
für Curven zweiter Ordnung überhaupt gelten, die zwei feste Punkte 
gemein haben. Uebertragen wir die für Kreise gewonnenen Sätze 
demnach in eine allgemeinere Form , indem wir die imaginären Kreis- 
punkte durch zwei beliebige Punkte ersetzen, so erhalten wir: 

Von allen Kegelschnitten, welche dieselben zwei Punkte enthalten, 
haben je zwei eine bewegliche Sehne gemein. Zieht man von einem 
Punkte derselben die vier Tangenten an die beiden Kegelschnitte, so 
liegen die vier Berührungspunkte mit den beiden festen Punkten auf 



*) Ein System von Kegelschnitten, in dem jede Curve von zwei linear vor- 
kommenden Parametern abhängt, wird als Kegelsctunilnelz bezeichnet. Auf die 
allgemeinen Kegelschnittnetze werden wir in der 3ten und 5te° Abtheilung die- 
ser Vorlesungen zurückkommen. 



156 



Zweite Abtheilung. 



einer Curve zweiter Ordnung. Nimmt man drei Curven des Systems, 
so schneiden ihre drei Sehnen sich in einem Punkte; die sechs von 
ihm an die Curven gelegten Tangenten berühren in sechs Punkten, 
die mit den beiden festen Punkten auf einem Kegelschnitte liegen. 
Der Pol der Verbindungslinie dieser beiden Punkte in Bezug auf 
letztere Curve ist der Schnittpunkt jener drei Sehnen. 

Von Interesse ist ferner in dem System der drei Kreise die Lage 
der durch je zwei bestimmten Aehnlichkeitspunkte. — Die drei äus- 
seren von ihnen (^oi ; ^12? ^20 ^^ Fig. 29) sind gegeben durch die 
Gleichungen : 

P p' (■ p' p" p" p 

r v ' r v" ' r" v ' 

und die drei inneren {I^^, 7,2, /20 i^ ^^ig- ^9) durch: 



^+^; 



0, 5: + ^=.o, z;; + z'_o. 



*^i»- ^^- Da sowohl die Diffe- 

renz je zweier Glei- 
chungen der zweiten 
Reihe, vermehrt um 
die nicht darüber 
stehende der ersten 
Reihe, als auch die 
Summe der drei 
ersten Gleichungen 
identisch verschwin- 
det, so haben wir 
den Satz: 

Die durch je 
zwei von drei ge- 
gebenen Kreisen be- 
stimmten sechs Aehnlichkeitspunkte bilden die Ecken eines vollständigen 
Vierseits. Eine Seite desselben enthält die drei äusseren, jede andere 
einen äusseren und die zwei mit ihnen nicht auf derselben Centrale lie- 
genden inneren Aehnlichkeitspunkte. Die drei Nebenseiten des Vierseits 
sind die Centralen der drei Kreise. — 

Wir wollen die gewonnenen Resultate noch zur Lösung einiger 
Aufgaben verwerthen. Unter Benutzung des Satzes, dass sich die 
durch drei Kreise bestimmten Chordalen in einem Punkte schneiden, 
kann man zunächst aucl;i für zwei sich nicht in reellen Punkten schnei- 
dende Kreise die Chordale construiren. Um einen Punkt dieser Linie 
zu finden, hat man nämlich nur den Schnittpunkt der Chordalen zu 
nehmen, welche ein beliebiger dritter, die ersten beiden in reellen 
Punkten treffender Kreis mit ihnen bestimmt. Wird der dritte Kreis 




Die Curven zweiter Ordnung und zweiter Klasse. 157 

SO gewählt, dass er die beiden gegebenen berührt, so schneiden sich 
die Taugenten desselben in den Berührungspunkten auf der gesuchten 
Chordale. Bei dieser Annahme des Hülfskreises fallen (bei äusserer 
Berührung) die beiden inneren Aehnlichkeitspunkte , welche er mit 
jedem der gegebenen Kreise bestimmt, mit den Berührungspunkten 
zusammen, und da dieselben zufolge unseres letzten Satzes auf einer Ge- 
raden mit dem äusseren Aehnlichkeitspunkte der gegebenen Kreise 
liegen müssen, so können, falls dieser Punkt bekannt ist, einfach zwei 
Punkte der Chordale gefunden werden, ohne dass man einen Hülfs- 
kreis zu zeichnen braucht. Man übersieht leicht, wie sich diese Be- 
trachtung ändert, wenn man vom inneren Aehnlichkeitspunkte der 
gegebenen Kreise ausgeht. Noch einfacher gestaltet sich die Con- 
struction mit Hülfe des folgenden, aus der Elementargeometrie be- 
kannten Satzes: 

Legt man durch einen Aehnlichkeitspunkt zweier Kreise irgend zwei 
Gerade, so liegen je zwei nicht homologe Schnittpunkte der einen Geraden 
mit den Kreisen und je zwei nicht homologe Schnittpunkte der anderen 
auf einem Kreise. Man hat also nur zwei solche Linien zu ziehen, 
von ihren 8 Schnittpunkten zwei Paare nicht homologer Punkte her- 
auszuwählen und je zwei auf demselben Kreise liegende Punkte der 
letzteren zu verbinden, um als Schnitt der Verbindungslinien einen 
Punkt der Chordale zu erhalten. 

Aus dem zuletzt erwähnten Satze folgt unmittelbar der folgende: 

Wenn zwei Kreise von zwei anderen herühi-t werden, so geht die 
Chordale eines jeden dieser Paare von Kreisen durch einen Aehnlichkeits- 
punkt des andern Paares, vorausgesetzt dass die beiden ersten Kreise 
von den beiden andern gleichartig berührt iverden."^) Denn die Berüh- 
rungspunkte eines jeden Kreises des einen Paares müssen als Aehn- 
lichkeitspunkte mit einem solchen des andern Paares auf gerader Linie 
liegen; und zwei solche Geraden müssen sich auf der Chordale des 
letztern Paares schneiden, da die vier Berührungspunkte nach dem 
vorigen Satze auf einem Kreise liegen. 

Durch diese Ueberlegungen sind wir in den Stand gesetzt, fol- 
gende, schon im Alterthume als Problem des Apoll onius behandelte, 

*) D. h. wir haben die folgenden Möglichkeiten: 
X) Beide Kreise berühren die gegebenen Kreise von aussen, oder beide von 
innen, oder jeder der beiden Kreise berührt den einen von aussen, den an- 
dern von innen. Hier geht die Chordale des einen Paares durch einen 
äusseren Aehnlichkeitspunkt des andern. 

2) Der eine Kreis berührt beide gegebene von aussen, der andere beide von 
innen, oder 

3) der eine Kreis berührt den einen der gegebenen von aussen, den andern 
. von innen, und der zweite Kreis verhält sich umgekehrt. Die Chordale geht 

in den beiden letzten Fällen durch einen inneren Aehnlichkeitspunkt. 



158 Zweite Abtheilung. 

Aufgabe ziemlich einfach zu lösen: Es soll ein Kreis conslruirt wer- 
den, welcher drei gegebene Kreise berührt. 

Es seien a, /3 die Coordinaten des Mittelpunktes, q der Radius 
für den gesuchten Kreis; alsdann haben wir zur Bestimmung dieser 
Grössen, wie man unmittelbar aus der Lage der Kreise ersieht, die 
drei Gleichungen: 

(,, _ af JriP -ßY = iQ±r y- 
(5) . {a -ay-^ib' _/3)2 = (p4:r')2 

(«" _ ay + (r - ßy = (^ + r"y . 

Es sind hier in den rechts stehenden Ausdrücken im Ganzen 
8 verschiedene Vorzeichencombinationen möglich. Da sich jedoch 
durch gleichzeitige Aenderung sämmtlicher Vorzeichen die aufgestellten 
Gleichungen nicht ändern, so haben wir die folgenden vier Combi- 
nationen zu berücksichtigen: 

P + ^'; 9-i-r, () + r", 

9 + r, Q~r,Q-{-r, 

9 + ^', 9-\rr', q — r" . 

Durch Benutzung einer jeden dieser Reihen erhalten wir nun zwei 
Lösungen, und es sind daher im Ganzen acht Lösungen der Aufgabe mög- 
lich. Setzen wir nämlich: 

(7) «2 ^^2 _p.. _,,^ 

a"^ _|_ ^'2 _ ^'2 ^^ (.' ^ 

a'"- -\- h'"^ — r"2 = c' , 

so erhalten wir, wenn wir die Vorzeichen von r, r'^ r" in den Glei- 
chungen (5) z. B. alle positiv nehmen, die Gleichungen: 

ii±^ ^aa-\-bß^rii 
-^ = a' a -{- b' ß -{- r' Q- 

—V- = a a-^ b ß -^r Q . 

Hieraus können wir a, ß, q linear durch u ausdrücken, und dies in 
die quadratische Gleichung (7) eingesetzt, erlaubt in der That zwei 
Lösungen. 

Die gestellte Aufgabe enthält eine Reihe specieller Fälle, welche 
durch sie von selbst mit gelöst sind: je nachdem man den Radius 
eines oder mehrerer der gegebenen Kreise unendlich klein oder unend- 
lich gross werden lässt. Setzen wir z. ß. r = 0, so sind in den 



Die Curven zweiter Ordnung und zweiter Klasse. 159 

Gleichungen (5) nur noch vier Vorzeichencombinationen möglich, ist 
auch r' = Oj so sind nur noch zwei Combinationen vorhanden; also: 

Es gibt vier Kreise, ivelche zwei gegebene berühren und durch einen 
gegebenen Punkt gehen. 

Es gibt zfvei Kreise ^ welche einen gegebenen berühren und durch 
zivei gegebene Punkte gehen. Und endlich: 

Es gibt einen Kreis , welcher durch drei gegebene Punkte geht. 

Lassen wir dagegen r unendlich gross werden, so muss der Punkt 
{a, ß) von der dadurch entstandenen Geraden um q entfernt sein, und 
es ist die erste der Gleichungen (4) zu ersetzen durch (vgl. p. 23): 

a cos (p -\- ß sin (p — d = -\- q . 

Da hierin nur + Q und nicht q- vorkommt, so sind immer noch 8 Lö- 
sungen möglich; ebenso wenn gleichzeitig r' = oo wird. Ist dagegen 
auch r" = oo, so haben wir statt der Gleichungen (5) die folgenden: 

a cos q) -{- ß sin qp — d = -\- q 
a cos q)' -{- ß sin (p' — d' = + p 
a cos q)' -\- ß sin q)' — d" = -\- q. 

Diese sind alle in q linear, und es gibt nur noch vier wesentlich ver- 
schiedene Zeichencombinationen. Wir haben also: 

Es gibt vier Kreise^ ivelche drei gegebene gerade Linien berühren. 
Es gibt acht Kreise, welche drei gegebene Kreise , oder zwei Kreise 
und eine Gerade^ oder einen Kreis und zwei Gerade berühren. 

■ Die constructive Behandlung unserer allgemeinen Aufgabe ergibt 
sich nun einfach aus den sogleich zu erwähnenden beiden Sätzen, die 
eine unmittelbare Folge der früheren sind. Es sei zuvor bemerkt, dass 
wir durch unsere Construction immer zwei der acht Kreise gleichzeitig 
finden, und zwar sind diese vier Paare dieselben, welche durch das 
Schema (6) gegeben sind, nämlich: 

1) ein KreiS;, der alle drei von innen und einer, der sie alle von 
aussen berührt; 

2) ein Kreis, der K von innen, ä" und K" von aussen berührt , 
und einer, der K von aussen, K' und K" von innen berührt; 

3) ein Kreis, der K' von innen, K und K" von aussen berührt, 
und einer, der K' von aussen, K und K" von innen berührt; 

4) ein Kreis, der A'" von innen, K und K' von aussen berührt , 
und einer, der K" von aussen, K und //' von innen berührt. 

Nehmen wir nun eines dieser Paare (A"" und K^^ in Fig. 30) 
mit je zwei der gegebenen Kreise zusammen, so muss die Chordale 
jedes Paares durch einen Aehnlichkeitspunkt des andern gehen; und 
somit folgen die Sätze: 

Der Mittelpunkt des Orthogonalkreises der gegebenen Kreise ist ein 



160 



Zweite Abtheilung. 



Aehnlichkeüspunkt für jedes der vier Paare der gesuchten Kreise, und 
zwar ein innerer für das erste Paar, ein äusserer für jedes der beiden 
anderen Paare. 



Fig. 30. 




7J/*'* ist der Mittelpunkt des Kreises k'^'K 

Tj/. „ der innere A-ehnlichkeitspunkt der Kreise Ä^'^ und Ä*^\ 

A,;. „ „ äussere „ „ „ Ä*') „ Ä"^^^ 

c,y. „ die Chordale derselben Kreise, 

f ^'' „ der Pol von C34 in Bezug auf k'-'K 

Die Chordale Jedes der vier Paare ist eine Seite des durch die sechs 
Aehnlichkeitspunkte der drei gegebenen Kreise bestimmten Vierseits (Aehn- 
lichkeitsaxe) ; und zwar enthält die Chordale des ersten Paares die 
drei äusseren Aehnlichkeitspunkte, die eines der anderen je einen 
äusseren und zwei innere Aehnlichkeitspunkte. Die drei Berührungs- 
sehnen für eins der vier Paare müssen nun als Verbindungslinien von 
zwei Aehnlichkeitspunkten (hier den Berührungspunkten) noch einen 
bestimmten dritten enthalten, d. h. wie man nach dem Vorhergehen- 
den leicht übersieht, durch den Mittelpunkt des Orthogonalkreises der 
gegebenen Kreise gehen. Ferner schneiden sich die in den Berüh- 
rungspunkten eines der drei Kreise gezogenen Tangenten auf der 
Chordale des betreffenden Paares (vgl. einen Satz auf p. 157), d. h. 
der Pol der Berührungssehne in Bezug auf den gegebenen Kreis liegt 
auf dieser Chordale. Daher muss der Pol der Chordale auf der 



Die Ciirven zweiter Ordmiiig und zweiter Klasse. Ißl 

Berührungssehne liegen, und wir können so einen zweiten Punkt der- 
selben finden, da die Chordalen als Aehnlichkeitsaxen der gegebenen 
Kreise bekannt sind. 

Wir construiren also die Pole [P, P', P"] einer der vier Aehnlich- 
keitsaxen (in Fig. 30 ist die äussere [C34] gewählt) in Bezug auf die 
drei Kreise, und verbinden dieselben mit dem Mittelpunkte des Ortho- 
gonalkreises (/3j) ; diese Verbindungslinien schneiden die gegebenen 
Kreise in 6 Punkten, in welchen zwei der gesuchten Kreise berühren;- 
und damit ist unsere Aufgabe gelöst. In der That bietet die Construc- 
tion der Mittelpunkte M"\ M^^' der drei Kreise, welche mit /.;, auf einer 
zu C34 senkrechten Linie liegen müssen, keinerlei Schwierigkeiten mehr. 

VIII. Die Brennpunkte der Kegelschnitte. 

In der Einleitung lernten wir bei Hyperbel und Ellipse zwei 
Punkte, bei der Parabel einen solchen kennen, welche zu diesen 
Curven in einer besonderen metrischen Beziehung standen^ und welche 
wir als Brennpunkte derselben bezeichneten. Auf diese Punkte wer- 
den wir jetzt naturgemäss wieder geführt, Avenn wir einen Kegelschnitt 
in seiner Beziehung zu den imaginären Kreispunkten betrachten; erst 
dadurch sind wir im Stande, die wahre Natur dieser merkwürdigen 
Punkte in voller Allgemeinheit aufzufassen. 

Von einem jeden der Kreispunkte gehen nämlich, wie von jedem 
Punkte der Ebene, zwei (hier imaginäre) Tangenten an einen gegebenen 
Kegelschnitt; so entstehen vier Linien, welche sich noch in weiteren 
vier Punkten schneiden: in den vier Brennpunkten des Kegelschnitles. 
Von letzteren sind, wenn die Curve selbst reell ist, zwei (nicht auf 
derselben Tangente liegende) Punkte imaginär, die beiden anderen 
reell; und wir werden sehen, dass die reellen Brennpunkte mit den 
früher so genannten Punkten identisch sind. Analytisch werden die 
so definirten vier Punkte folgendermassen gefunden. 

Es seien 

F =0 und (P = 

die Gleichungen zweier Kegelschnitte in Liniencoordinaten; alsdann 

sind in der Schaar 

(1) F—X(^ = 

im Allgemeinen (vgl. p. 126) drei Punktepaare enthalten: die Schnitt- 
punkte der gemeinsamen Tangenten von F und cP. Lassen wir insbe- 
sondere eins dieser Paare mit den imaginären Kreispunkten zusammen- 
fallen, so geben die beiden anderen Paare die vier Brennpunkte. Um 
dies analytisch auszudrücken, brauchen wir nur 

. (/> = u'- -\- v'^ 

C leb seil, Verlesungen. »1 



]()2 Zweite Abtheüuiig, 

zu setzen, denn das System (1) wird dadurch nicht geändert, und dann 
können wir F in der Gestalt annehmen : *) 

Dadurch geht die Gleichung (1) über in 

(2) («2 — x)v ^ {b'^ — A) ?;.-]=(). 

Das eine Punktepaar der Schaar erhalten wir für A = oo (die Kreis- 
l)unkte); für die beiden andern Paare bestimmt sich A durch: 

^ - A 

h'^ — l = («-' - A) (Z/2 _ A) = . 

■ 1, 

Setzen wir die Wurzeln dieser Gleichung in (2) ein, so ergehen sicli 
die Gleichungen der beiden Paare von Brennpunkten in der Form: 

(3) (*2 _ ^2) y2 _ 1 _ 

(4) («2 _ jf-i) u^ — 1=0. 

Nehmen wir, wie gewöhnlich «2 ^ jp ^n, so stellt (2) die imaginären 
(3) die reellen Brennpunkte dar. Für die Coordinaten der letzteren 
findet man : , 

x = + /ä2 _ ^2^ 

dieselben slimmen daher in der That mit den früher so bezeidinelen 
Punkten überein (vgl. p. 8). 

Wie diese vier Punkte, so werden auch ihre Polaren in Bezug 
auf /'' eine ausgezeichnete Stellung einnehmen. Die Gleichung von /'' 
in Punktcoordinaten ist: 

also die der Polare eines Punktes (x, y") : 

Setzen wir hierin die Coordinaten eines reellen Brennpunktes ein, so 
geht dies über in: 

X = -\- 



d. h. in die Gleichung einer der Directricen von F (vergl, p. 1 1). Also: 

*) Die Transformation der Schaar F -{- H^ = auf die kanonische Form 
kommt also auf die Bestimmung der Hauptaxen von F = zurück. Das letütere 
Problem erscheint somit jetzt als specieller Fall für die Aufsuchung des gemein- 
samen Polardreiecks ; es hängt nur von einer qmidratischen Gleichung ab (p. 89), 
da eine Seite des Dreiecks, die unendlich ferne rjorade, schon bekannt ist. 



Die Curven zweiter Ordnung und zweiter Klasse. 163 

Die Birectricen eines Kegelschnittes sind die Polaren seiner reellen 
Brennpunkte. 

Es gibt nun eine Menge von Sätzen über die merkwürdigen 
Eigenschaften der Brennpunkte , die bei unserer Behandlungsweise 
dieses Gegenstandes sich einfach als Specialfalle allgemeinerer Betrach- 
tungen ergeben. Um der Charakter dieser Sätze zu zeigen, mögen 
nur noch einige derselben erwähnt werden. 

Wir haben früher gesehen (vgl. p. 49), dass das Doppelverhält- 
niss, nach dem eine beliebige Tangente eines Kegelschnittes vier feste 
Tangenten desselben schneidet, constant ist. Nehmen wir nun statt 
der vier festen Tangenten die zwei durch einen der Brennpunkte 
gehenden und zwei beliebige andere Tangenten, so ist also das Doppel- 
verhältniss der vier Strahlen constant, welche von dem Brennpunkte 
nach den imaginären Kreispunkten und nach den Schnittpunkten der 
beweglichen Tangente mit den beiden festen gehen, oder mit anderen 
Worten : 

Die Sirecke, welche mif einer beweglichen Tangente des Kegelschnittes 
von zivei festen Tangenten ausgeschnitten wird, erscheint, von einem 
Brennpunkte aus gesehen, immer unter demselben Winkel. 

Zieht man von einem beliebigen Punkte die beiden Tangenten an 
einen Kegelschnitt, so sind dieselben bekanntlich harmonisch zu je zwei 
conjugirten Polaren, welche durch den Punkt gehen. Nehmen wir 
daher statt dieses Punktes einen Brennpunkt, so haben wir, da die 
Tangenten dann durch die Kreispunkte gehen, den Satz: 

Je zwei Linien, welche durch einen Brennpunkt gehen und auf 
einander senkrecht stehen, sind conjugirle Polaren in Bezug auf den 
Kegelschnitt. — 

Das Kegelschnittsystem : 

F — A0 = O, 

von welchem wir ausgingen, ist ein specieller Fall der allgemeinen 
früher behandelten Kegelschnittschaar, und nur dadurch ausgezeichnet, 
dass die vier gemeinsamen Tangenten desselben durch die Kreispunkte 
gehen. Alle Curven dieser Schaar haben mit F dieselben Brennpunkte, 
denn diese waren als die Punktepaar der Schaar bestimmt; man nennt 
daher die Gesammtheit dieser Curven ein System von confocalen Kegel- 
schnitten. Solche Systeme kommen in den Anwendungen häufig vor; 
wir wollen deshalb noch einige Eigenschaften derselben anführen, in- 
dem wir einfach unsere früheren allgemeineren Resultate entsprechend 
particularisiren. Wir erhalten so die folgenden Sätze: 

Die Gleichung der Kegelschnitte eines confocalen Systems in Punkt- 

coordi nuten i^l (wegen (2)): 

11* 



104 Zweite Abtheilung. 

-^^ 1- -^ _ 1 == 

(i'—l^h^ — l 

Jede Gerade der Ebene wird von einem Kegelschnitte des Systefns 
berührt. 

Durch Jeden Punkt der Ebene gehe?!, zwei Curven des Systems (vgl. 
Fig. 31). 

Die in dem System enthaltenen Punktepaare sind die imaginären 
Kreispunkte und die beiden Paare von Brennpunkten. 

Es gibt keine in Linienpaare zerfallende Curven in dem System. 

Alle Curven haben dieselben Hauptaxen; diese bilden mit der unend- 
lich fernen Geraden zusammen das den Curven des confocalen Systems 
gemeinsame Polardreieck. 

Die Tangenten der beiden durch einen Punkt gehenden Curven 
der Schaar sind die Doppelelemente der Involution, welche die durch 
den Punkt gehenden Tangentenpaare bilden (vgl. p, 135), d. h. sie 
sind stets harmonisch zu je zwei von dem Punkte an eine andere 
Curve der Schaar gelegten Tangenten, also in unserem Falle auch 
harmonisch zu den beiden Verbindungslinien des Punktes mit den 
Kreispunkten, oder mit anderen Worten : 

Die beiden durch einen Punkt gehenden Kegelschnitte des confocalen 
Systems durchschneiden sich rechtwinklig. 

Unter den von dem betrachteten Punkte an die Curven des 
Systems gehenden Tangentenpaaren sind auch insbesondere die Linien 
nach den beiden reellen Brennpunkten [E und E' in Fig. 31), auch 
diese sind also harmonisch zu den Doppelstrahlen der beiden vereinigt 
gelegenen involutorischen Strahlbüschel. Sie bilden daher, weil die 
letzteren auf einander senkrecht stehen, mit diesem gleiche AVinkel 
(vgl. p. 40), d. h. 

Die Tangente in einem Punkte eines Kegelschnittes bildet gleiche 
Winkel mit den Verbindungslinien ihres Berührungspunktes und der Brenn- 
punkte. Und zwar gilt dieser, besonders für physikalische Anwendungen 
ausserordentlich wichtige Satz für jeden Kegelschnitt, ganz unabhängig 
von dem confocalen Systeme, von welchem wir ausgingen. — ■ 

Die Parameterwerthe für die beiden durch einen gegebenen Punkt 
{x, y) gehenden Kegelschnitte sind bestimmt durch die quadratische 
Gleichung für A: 

^''' a'— l^ b^— l 

Sehen wir dann x und y als variabel an, so stellt dieselbe (wenn 
wieder ä^ > b"^) 

für &^ > A eine Ellipse , 

für h"^ < A, a- > A eine Hyperbel, 

für a' < A, IP <i X einen imaginären Kegelschnitt 



Dio Curvcn zweiter Ordnuiicr und zweiter Klasse. 



165 



dar. Wir werden jedoch sehen, dass hier für reelle Werthe von x und 
y immer die beiden ersten Fälle möglich sind. Wir setzen: 

f (A) = a;2 (^2 _ A) -f y2 (^^2 _ A) — («2 _ ;t) (b^ _ A) = 0, 

dann ist 

/'{((') = X' {b- — «2J _^ aisQ negativ, 

'/"{b-) = y'' («^ — ^^) , also positiv, 

/■(_ oc) = {- ^- -\- • • ■}x = --^^ also negativ. 

Hieraus folgt nach bekannten Sätzen ^'^«- ^'• 

aus der Theorie der Gleichungen, dass die 
beiden Wurzeln der Gleichung (5) reell sind, 
und dass die eine zv^^ischen a- und b"^, die 
andere zwischen b"^ und — oo liegen muss. 
Zufolge der eben aufgestellten Merkmale für 
die besondere Art der durch (2) dargestell- 
ten Curven ergibt sich sonach: 

Durch Jedeji reellen Punkt der Ebene geht 
eine Ellipse und eine Hyperbel, welche dem 
System confocaler Kegelschnitte angehören, und 
andere reelle Curven kommen ausser dem Paare der Brennpunkte nicht 
vor. Es ist leicht, sich hiernach ein Bild von der gegenseitigen 
Lage der Curven zu machen (vgl. Fig. 31). 

Dass sich je zwei solche Kegelschnitte, die durch einen Punkt 
{x , y') gehen, rechtwinklig schneiden, ist unschwer analytisch einzu- 
sehen. Die Gleichungen der beiden Tangenten in dem Punkte sind, 
unter A, f* die entsprechenden Parameterwerthe verstanden : 




(<>) 






yy 



+ 



— 1 = 0. 



Zieht man dieselben von einander ab, so findet sich unter Vernacli- 
lässigung eines Factors (A — ^): 

^' 1 #' = 

(a^ — A) (ö« - (i)^ (b^ — l) (0^ — ft) ' 

und dies ist in der That die Bedingung dafür, dass die Linien (6) 
auf einander senkrecht stehen. Den Factor (A — (i) konnten wir fort- 
lassen, da derselbe nur für einen auf den vier gemeinsamen Tangenten 
gelegenen Punkt verschwinden kann. In ähnlicher Weise sind auch 
die andern oben erwähnten Sätze leicht zu beweisen; es ist dies aber 
durch unsere allgemeinere Darstellung nicht nur vollständig, sondern 
auch in systematisch consequenter Weise geleistet. 



](jC) Zweite Abtheilnng. 

Wir verlassen liiermit zunächst die Theorie der Curven zweiter 
Ordnung und Klasse, um uns zu anderen Betrachtungen von funda- 
mentaler Bedeutung zu wenden. Dieselben werden uns neue Metho- 
den und Hülfsmittel kennen lehren, deren Anwendung auf die Kegel- 
schnitttheorie uns Gelegenheit geben wird, die Hauptmomente derselben 
noch einmal hervorzuheben und von einem neuen Gesichtspunkte aus 
zu überblicken. Es führt hierzu die allgemeine Invariantentheorie der 
algebraischen Formen, deren Wichtigkeit wir schon gelegentlich bei 
dem Probleme der gleichzeitigen Transformation zweier Kegelschnitte 
in die kanonische Form erkannt und hervorijehoben haben. 



Dritte Abtheilung. 
Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen. 

I. Vorbemerkungen. — Resultanten und Discriminanten. 

Unter der Theorie der algehraischen Formen verstehen wir die Theorie 
der ganzen homogenen Functionen einer beliebigen Zahl von Veränder- 
lichen ^ insbesondere hinsichtlich ihres Verhaltens gegenüber beliebigen 
linearen Transformationen der Variabein. Dieselbe ist zuerst für die 
Zahlentheorie von grosser Bedeutung geworden; in der Form jedoch, 
in welcher wir sie im Folgenden behandeln wollen, ist sie im Wesent- 
lichen aus der analytischen Geometrie erwachsen. Anfangs nur im 
Dienste dieser verwerthet, hat sie sich allmählich zu einer selbständigen 
Disciplin erhoben. Den ersten Anstoss dazu gaben wohl die Unter- 
suchungen von Hesse über die ebenen Curven dritter Ordnung; ihre 
heutige Gestalt verdankt die Theorie jedoch wesentlich den Arbeiten 
englischer Mathematiker, unter denen Cayley und Sylvester vor 
Allen zu nennen sind, und denen sich in Deutschland besonders 
Aronhold anschliesst. Den Grundgedanken der heutigen Formen- 
theorie können wir in folgender AVeise aussprechen: Man führe in 
eine gegebene algebraische Form statt der n Veränderlichen, von wel- 
chen sie abhängt, n neue Veränderliche ein, welche mit den ursprüng- 
lichen durch n homogene lineare Gleichungen zusammenhängen. Als- 
dann geht die gegebene Form in eine andere über, welche mit 
ihr gewisse Eigenschaften gemein haben wird; und das Sludhim 
solcher durch lineare Substitution unzerstörbaren Eigenschaften der Formen 
ist als Hauptaufgabe der Formentheorie zu bezeichnen. Es kommt dies 
dann weiterhin im Wesentlichen darauf hinaus, solche homogene ganze 
Functionen der Coefficienten (die auch noch Variable enthalten 
können) aufzustellen, welche bis auf eine Potenz der Substitutions- 
determinante denselben Werth annehmen, gleichviel ob man sie für 
die ursprüngliche oder für die transformirte Function bildet, oder, wie 
man sich kurz ausdrückt, welche die „Invarianteneigenschaft" haben. 
Beispiele für solche „invariante Bildungen" haben wir schon bei den 
Kegelschnitten kennen gelernt ; wir brauchen nur an die Discriminante 
einer Curve zweiter Ordnung oder an ihre Gleichung in Linien- 



168 



Dritte Abtheilung. 



coordinaten zu eriunen,. Gc4it nämlich die Gleichung einer solchen 
Ourve: 



durch die Substitution: 



2J üik Xi Xk = 



über in 






y:{ 



so fanden wir, wenn r die aus den ß gebildete Determinante bedeutet 
lur die üiscrnniuante: 



a 



«,., 



«., 



12 "i;! 



i "21 



^^12 
"32' 



r/.,. 



und für die linke Seite der Gleichung in Liniencoordinaten , wenn 
letztere für das neue Coordinatensystem durch v, bezeichnet sind: 



«II 



a.,. 



ii.> 



«13 
«23 
«33 



IL, 









«11' 


«12' 


«13' 


v^ 


. 


«21' 


«22' 


«23' 


V., 




«31' 


«32' 


«33' 


^'■A 




v^ 


^2 


^3 






Es wn-d hiernach klar sein, Avas im Allgemeinen unter der In- 
varianteneigenschaft zu verstehen ist. Gleichzeitig zeigen aber diese 
hJeispiele den engen Zusammenhang der Theorie der tenwren alac 
brmschen Formen, d. h. derjenigen mit drei Variabein, und der Geo- 
metrie der Ebene: Letztere erscheint geradezu als anschauliches Bild 
der ersteren. Sie entsteht direct aus dieser, indem man diejenicren 
Curven untersucht, welche durch Nullsetzen einer algebraischen Fomi 
dargestellt werden; und die zugehörigen invarianten Bilduncven 
geben durch ihr Verschwinden Eigenschaften dieser Curven, welche 
von der Wahl des Coordinatensystems unabhängig sind, resp., wenn 
sie noch Veränderliche enthalten, andere Curven, die zu der -ecve- 
benen m einer durch Coordinatentransformation unzerstörbaren Be- 
Ziehung stehen. 

In ähnlicher Weise, wie die Theorie der ternären Formen mit der 
sogenannten projectivischen Geometrie der Ebene identisch ist d h 
mit der Theorie ebener Figuren (so weit dieselbe von metrischen 
Verhältnissen unabhängig dasteht) fällt die Theorie der „quaternären" 
Formen, ^er Formen mit vier homogenen Variabein, mit der projecti- 
vischen Geometrie des Raumes zusammen, d. h. mit der Theorie der 
Curven und Flächen im Räume. Die Formen mit mehr als vier 
Variabein erlauben eine solche geometrische Interpretation nicht un- 
mittelbar; man gebraucht daher für solche auch keine besonderen Namen 



Einleitviiig in die Tlicorie der algebraischen Fonucn. 1(39 

mehr, sondern untersucht dann sogleich Formen mit n Veränderlichen. 
Neben diese Eintheilung stellt sich eine andere nach dem Grade, zu 
loelchem die Veränderlichen in den untersuchten Formen vorkommen; 
und nach diesem Grade behandelt man dann innerhalb der einzelnen, 
durch die Zahl der Variabein getrennten Gebiete die verschiedenen 
Formen, von denen niedrigeren Grades zu höheren aufsteigend. 

Für die Geometrie der Ebene würden wir also zunächst auf die 
ternären Formen näher eingehen müssen. Es gibt jedoch noch eine 
Vorstufe, welche wir bisher nicht so explicite berücksichtigt haben: 
die Theorie der Formen mit zwei homogenen Veränderlichen, der binären 
algebraischen Formen. Dieselbe findet, wie wir weiterhin sehen wer- 
den, ihre geometrische Interpretation in jedem Gebiete, dessen ein- 
zelne Inviduen nur von einer Variabein (zunächst linear) abhängen, 
also insbesondere: in der Geometrie auf einer Punktreihe (Geraden) 
oder in einem Sirahlbüschel,'*) Gebilde, deren Untersuchung wir früher 
beiläufig durch Einführung eines Parameters schon begonnen haben 
(vergl. p. 33). Die weitere Entwicklung der ebenen Geometrie und 
mit ihr der ternären Formentheorie, sowie vor Allem ein systematisch 
consequentes Fortschreiten von einfachen Gebilden zu complicirtereu 
erfordert unbedingt ein genaueres, directes Studium dieser binären 
Formen: die Geometrie auf der Geraden oder im Strahlbüschel ist 
ebenso als ein selbständiges Gebiet aufzufassen, wie die in der Ebene 
oder im Räume. In der That hat sich diese Theorie in den letzten 
Jahren auch schon zu einer umfassenden Wissenschaft selbstständiir 
entwickelt; und wenn wir im Folgenden auf dieselbe eingehen, so 
müssen wir uns darauf beschränken, die Gesichtspunkte zu kenn- 
zeichnen, nach denen dieselbe in neuerer Zeit- vorwiegend bearbeitet 
Avurde.**) Nur die weiterhin geometrisch unmittelbar zu verwerthen- 
den Abschnitte werden wir ausführlicher darlegen. 

Die mehrfach erwähnte geometrische Interpretation der binären 
Formen ergibt sich in folgender Weise. Es seien auf einer geraden 
Linie zwei Punkte Ä, B (die „Grundpunkte^'J fest gegeben; ihr gegen- 



*) Dazu tritt im Räume noch das Ebenenbüschel. 

**) Die betreffenden Untersuchungen finden sich mehr oder weniger vollstäii 
dig in den folgenden Werken zusammengefasst: 

Cayley: Fourth und Fifth Meraoir upon Quantics, Philosophical Transactions, 

vol. 148, 1858. 
Salmon: Lessons introductory to the modern higher Algebra; deutsch von 

Fiedler. Leipzig 1863. 
Fiedler: Elemente der neueren Geometrie. Leipzig 1862. 
Clebseh: Theorie der binären algebraischen Formen. Leipzig 1872. 
Auf letzteres Werk verweisen wir inabesondere für alle die Punkte, welche im 
Folgenden nur andeutungsweise berührt werden. 



J70 Dritte Abtheiliing. 

suitiger Abstand sei c. Jst nun p der Absland eines beweglichen 
Punivtes C von a, q der desselben Punktes von B, so ist immer 

(1) p-\-q=.c. 

Dabei wird vorausgesetzt, dass p und q beide positiv gezählt werden, 
wenn C zwischen A, B liegt und dass, wenn dies nicht der Fall ist, 
der Abstand von dem näheren der beiden Punkte A, B negativ ge- 
nommen wird. Es ist nun oöenbar der Punkt C vollkommen bestimmt, 
sobald für ihn eine der Grössen p, q oder das Verhältniss beider 
bekannt ist; denn man kann in letzterem Falle wegen (1) p und q 
einzeln berechnen. Dasselbe gilt aber auch noch, wenn nicht das 
Verhältniss der bezeichneten Abstände selbst gegeben ist, sondern das 
i'roduct desselben in eine gewisse Constante; und es ist zweckmässig 
diese Constante der Allgemeinheit wegen hinzuzufügen. Ein Punkt 
der Geraden ist daher durch zwei Zahlen x^, x.^^ seine Coordinalen, 
völlig bestimmt, wenn wir dieselben folgendermassen definiren: 

Die Coordinaten (a:,, x^ eines Punktes sind zwei Zahlen, ivelche 
sich verhalten, wie die Abstände des Punktes einer Geraden von zwei 
festen Grundpunkten derselben, jeder Abstand multiplicirt mit einer belie- 
big über fest gervählten Constanten. ''^) Bezeichnen wir diese Constanten 
mit a, b, und ist q irgend eine willkürliche Grösse, so haben wir also 
die Gleichungen: 

^2) QXi=ap, 

QX2 = bq . 

Jedem Werthe von — entspricht nur ein Werth von '^ , und somit 

auch nur ein Punkt der Geraden. Insbesondere ist der eine Grund- 
j)unkt gegeben durch x^ = 0, der andere durch Xj = 0. Die Bedeu- 
tung des Abstandsverhältnisses -'- ist also für a = b ganz dieselbe, 

wie die des früher zur Darstellung eines Punktes der Geraden be- 
nutzten Parameters A, wo die Punkte der Verbindungslinie zweier 
Punkte (Xq, y^^•, x^, y^) gegeben waren durch die Gleichungen: 



*) Man kann über diese Constanten insbesondere so verfügen, dass die Coor- 
dinaten als Doppelverhältnisse auffassbar sind. Man nimmt alsdann a = b und 

zeichnet noch einen dritten Punkt aus, für den - == 1 : den sogenannten Einheila- 

punkt. Der Quotient -^ gibt dann für einen beliebigen Punkt (.T), x^) das 

Doppelverhältniss , welches derselbe mit den beiden Grundpunkten (a'j = und 
a?2 == 0) und dem Einheitspunkte (a;, = Xf) bestimmt; und dadurch sind dann die 
Coordinaten rein projectivisch definirt; vgl. Fiedler: Darstellende Geometrie. 
Leipzig 1871, Anhang. 



Einleitaug in dit; Tlicoi-iü ilei- :ilgt;bniiticlieii Formen. 171 

^ ■•»» + ^ ^t 

(3, ' + ^' 

•^ 1 + ;i ' 

Wir köiiiieii daher alle an diesen Parameter geknüpften Betrachtungen 
über die Geometrie auf einer Geraden unmittelbar für unsere jetzige 

Anschauung, d. h. für das Verhältniss ''' verwerthen: mussten wir 

doch auch damals der Allgemeinheit wegen statt X einen Parameter fi 
einführen, der von A nur um eine von der Lage des Punktes auf der 
Geraden unabhängigen constanten Factor verschieden war. 

Durch dieselben Gleichungen (3) stellten wir aber auch die Strah- 
len eines Büschels dar; wir hatten für ein solches: 

i + ;i ' 

Der Parameter A ist wieder bis auf eine Cuustante gleich einem Al> 
Standsverhältnisse, nämlich: 

, « r 

h s ' 

WO r, s die Längen der von einem Punkte des beweglichen Strahles 
auf die beiden Grundstrahlen gefällten Lothe bedeuteten. Wir können 
daher für die Grössen x^ , x'j auch folgende geometrische Interpretation 
wählen : 

Es sind a;, , Xj zwei Zahlen, welche sich zu einander verhalten, wie 
die Lolhc von einem beweglichen Strahle eines Strahlhüschels auf seine 
festen Grundstrahlen, die Länge eines jeden Lothes multiplicirt mit einer 
beliebig, aber fest gewählten Constanten. Wir haben in diesem Falle zu 
setzen : 

qx^ = ar , 

QX2 = bs , 

wenn a, b wieder die willkürlichen Constanten bedeuten. Es braucht 
Avohl kaum bemerkt zu werden, dass auch die für Strahlbüschel früher 
gemachten Bemerkungen hier ohne Weiteres ihre Gültigkeit behalten. 
Im Folgenden werden wir jedoch die geometrischen Sätze nur für die 
Geometrie auf der Geraden aussprechen; die Uebertragung derselben 
auf Strahlbüschel ist dann selbstverständlich. 

Die geometrische Bedeutung der linearen Transformationen, mit 
welchen wir es im Folgenden stets zu thun haben, ist hiernach sofort 
verständlich. Wählen wir als Grundpunkte statt A, B zwei andere 
Punkte ^1, B^ der Geraden, von denen (um die Ideen zu fixiren) A^ 



172 Dritte Abtlioiluiig. 

um d jenseits A, />, um c jenseits B liegen mag, und nennen y^,y.i 

die Coordinaten des Punktes C in ,,. .,,, 

Bezug auf diese neuen Grundpunkte, A gZ ^ e ^ 

so sind y,, y.^ proportional zu den ^ 1 'y, ' 7 ^ ' 

Abständen des Punktes C von A 

und B^, multiplieirt mit zwei neuen Constanten «, /3; und wir haben: 

(^y2 = ß {^ -\- ß), 

also wegen (1), wenn wir statt a . c wieder 6 schreiben: 
atji = a{cp -\- cl {p + q)) 
(Sy'i = ß{cq-\- e [p + q)). 
Drücken wir noch p, q nach (2) durch x, , .r., aus, so kommt: 

ic-\-d . d \ 

f^y> = PQ [—jj- ^2-i-j^^rf ^ 
oder, da es nur auf" das Verhältniss — ankommt: 

1/2 

öyi = « {^/ (c + c?) 0:1 + aclx.,\ 

^y-i ^= /^ { hcx^ -\- a {c -\- e) x.A , 

Dies sind ganz allgemeine lineare Beziehungen zAvischen tlen y und x, 
für welche auch die Bedingung, dass die Substitutionsdeterminante 

aßahc {c -\- d -\- e) 

nicht verschwindet, erfüllt ist; denn Letzteres würde nur eintreten für 
c = 0, d. h. wenn die Punkte A und B zusammenfallen, oder für 
c -{- d -\- e = 0, d. h. wenn die Punkte A^ und B^ zusammenfallen. 
Wir haben somit den Satz: 

Jede lineare Substitution, deren Beterminante nicht verschwindet, ist 
identisch mit einer Veränderung der Grundpunkte und der multiplicir enden 
Constanten in jener geometrischen Interpretation, hei welcher das Ver- 
hälitiiss der Veränderlichen durch einen Punkt einer Geraden darge- 
stellt wird. 

Auch die Coefficienten in den Gleichungen (4) haben eine directe 
geometrische Bedeutung, es sind die Coordinaten der neuen Grund- 
punkte in Bezug auf die alten. Bezeichnen wir dieselben bez. mit 
x{, x.^ und x,", x.^'j so ergibt sich unmittelbar aus der Bedeutung der 
Grössen a, b, c, d, e: 

Qx^' = — ad, Qx{' = a{c-\-e), 

Q x.^' = h {c -\- d) , Q X2" = — be . 



Einleitung in die Theorie der algebraisclien Formen, 173 

Man erkennt dies auch daran ^ dass für die Punkte A^, B^ bez. die 

Gleichungen 

(6) y. = , y, = 

bestehen müssen.*) Eine lineare Gleichung: 

a^x^ -\- «2^2 = *^ 

stellt nämlich immer einen Punkt mit den Coordinaten a^, — «, dar, 

wie sich durch Auflösung nach -- sofort ergibt; und hierdurch würde 

man wieder aus (6) die Relationen (5) erhalten. 

Ueberhaupt können wir jede homogene Gleichung zwischen a:, , x.^'. 

f G'^i > ^2) = 

als eine Gleichung für das Verh'altniss ' auffassen, für welches sich 

aus ihr im Allgemeinen eine bestimmte Anzahl von Werthen ergibt, 
oder geometrisch ausgedrückt: 

Eine binäre algebraische Form von der n"" Ordnung stellt, gleich 
Null gesetzt, ein System von n Punkten auf einer Geraden dar. 

Wirklich construirbar sind diese Punkte jedoch nur alle, wenn 

die Gleichung für ^' lauter reelle Wurzeln hat. Um auch die imagi- 

° Xi 

nären Wurzeln zu repräsentiren , werden wir auch von imaginären 
Punkten der Geraden sprechen, in ähnlicher Weise, wie wir früher 
solche Punkte in der Ebene schon mehrfach eingeführt haben. **) Es 
ist dann erlaubt, alle algebraischen Sätze auch geometrisch auszu- 
sprechen, unabhängig von der Realität der betreffenden Grössen. Die- 
selben gelten dann aber auch unabhängig von der Realität der Coeffi- 
cienten in den betreffenden binären Formen. Wir können die letzteren 
daher auch stets als complexe Grössen voraussetzen, wo dann der Form 
im Allgemeinen kein reeller Punkt entspricht; und es sei dies im 



*) Vgl. die entsprechenden Bemerkungen für die lineare Transformation ter- 
nilrer Formen auf p. 69. 

**) Auch die imaginären Wurzeln kann man geometrisch repräsentiren, wenn 
man nach Gauss die complexe Ebene (^ -f ly) als Träger des binären Gebietes 
betrachtet, oder besser bie Riemann'sche Kugelfläche (vgl. z. B. C. Neumann: 
Theorie der AbeTschen Integrale, Leipzig 1863), wie dies in der Functionen- 
theorie üblich ist. Vgl. hierüber Möbius: Berichte der k. sächsischen Gesell- 
schaft der Wissenschaften; math.-phys. Klasse, 1852 und 1853, oder Cr eile 's 
Journal, Bd. 52, p. 218 und 229; ferner Beltrami: Sulla geometria delle forme 
binarie cubiche, Acad. di Bologna, 1871; F. Klein: Vergleichende Betrachtungen 
über neuere geometrische Forschungen, Erlangen 1872, p. 47. — In Betreff einer 
rein projectivischen Definition der imaginären Elemente des binären Gebietes 
vgl. V. Staudt: Beiträge zur Geometrie der Lage, 2. Heft, Nürnberg 1857; Stolz: 
Math. Annalen, Bd.. 4 und Lüroth: Das Imaginäre in der Geometrie und das 
Rechnen mit Würfen, ib. Bd. 8. 



174 Dritte Abtheilung. 

Gegensatze zu der in der Kegelschnitttheorie gemachten Voraussetzung 
ausdrücklich hervorgehoben. 

Die Bedingung^ dass ein solches System von Punkten eine von der 
Lage der Grundpunkte unabhängige Eigenschaft habe, Avird nach den 
angeführten allgemeinen Bemerkungen gegeben durch das Verschwinden 
einer ganzen rationalen Function der Coefficienten der das Punktsystem 
darstellenden Form, welche die Invarianteneigenschaft hat. *) Eine solche 
Function der Coefficienten ivird als Invariante der Form hezeicJmet. 

Ferner wird es im Allgemeinen für ein gegebenes Punktsystem 
gewisse andere Punktsysteme geben, welche zu demselben eine ausge- 
zeichnete, von der Lage der Grundpunkte unabhängige Beziehung haben. 
Eine Punktgruppe der Art wird dann durch das Verschwinden einer 
Function dargestellt, welche die Invarianteneigenschaft hat, und welche 
ausser den Coefficienten der gegebenen Form auch noch die Veränder- 
lichen x, , x.t enthält. Eine solche Function heisst eine Covariante der 
gegebenen Form. Dass die Ordnung einer solchen Covariante in den 
Veränderlichen, wie überhaupt jeder Form, bei linearer Transformation 
ungeändert bleibt, ist unmittelbar ersichtlich. Betrachtet man gleich- 
zeitig mehrere Formen, so wird es invariante Bildungen geben, welche 
gleichzeitig von den Coefficienten der verschiedenen Formen abhängen ; 
diese werden dann simultane Covarianten oder simultane Invarianten des 
Systems genannt, je nachdem sie die Veränderlichen enthalten, oder nicht. 

Bezeichnen wir also durch «„, a^, «,, ... die Coefficienten der 
Form f[x^, x^) und durch a^ , «/, a^... die einer Form F {y^, y.^, 
wo F aus / durch eine lineare Transformation entsteht, ist ferner TT 
eine ganze rationale Function ihrer Argumente und r die Substitutions- 
determinante, so ist eine Invariante von f definirt durch**): 



*) Es kann auch eintreten, dass das Verschwinden einer oder mehrerer In- 
varianten nicht genügt, um die betreffende Eigenschaft darzustellen, sondern dass 
dazu noch das identische Verschwinden von Covarianten erforderlich ist. — Näher 
werden wir auf diese Frage bei den ternären Formen eingehen, dort auch die 
betreffenden Beweise erbringen, nachdem wir in der Theorie der binären Formen 
Beispiele für das Verschwinden von Covarianten kennen gelernt haben. 

**) Daneben stellt sich eine andere Definition der Invarianten durch gewisse 
partielle Differentialgleichungen, deren rationale Lösungen sie sind. Vgl. Cayley: 
Crelle's Journal, Bd. 47 und A ronhold: Ueber eine fundamentale Begründung 
der Invariantentheorie, ib. Bd. 62. Für diese Fragestellung ist ferner von Wich- 
tigkeit der Aufsatz Christoffel's: Beweis des Fuudamentalsatzes der Invarianten- 
theorie, Borchardt's Journal, Bd. 68; vgl. auch Aronhold, ib. Bd. 69. Letz- 
terer gibt noch eine andere Definition, wobei die Invarianten durch die Rela- 
tionen bestimmt sind, welche unabhängig von den Transformationscöefficienten 
zwischen den Coefficienten zweier Formen bestehen, wenn dieselben linear in 
einander transformirbar sein sollen. Ueber 'jene Differentialgleichungen vergl. 
auch Clebsch: Theorie der binären Formen, § 80, und Borclia.rdt's Journal, 
IM. 65, p. 267. 



Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen. 



175 



itnd f'ine Covariante von f durch: 

n K, «,', < . • o y, . 2/0) = '■^- n (fl-o; «, , «2 • • - ^\ 
Es raöfe dies an einigen Beispielen erläutert werden. 

Es seien zunüclist zwei Formen beliebiger Ordnung: 

ffet^eben; dann ist, wie wir zeigen wollen, die Form: 

i dr df 



X.,) . 



dxx 


dx^ 


dtp 





die sogenannte Functionol- oder (nach ihrem Entdecker) Jacobi'.vc//^ 
Delerminanle von f und g)^-% eine simultane Covariante der letzteren. 
Machen wir nämlich die lineare Substitution: 



(7) 



a^i = «2/1 + ßVi 

und sind F{y,,y.:), <^{y^,^J■^ bez. die Formen, in welche /, cp da- 
durch übergehen, so sind: 



(8) 

und ebenso 






dxi ~dyi i" dxz dvx dx^ ~ '^ dx^ 



dyz dxi dt/2 ' Sajj dyz 



ga;, ' f)X2 






cyi ^ dx, ' öxi 



In Folge dessen geht unsere Determinante, gebildet für die Formen 
F, über in: 



a -n- -f- y 



dcp 



dx2 



' dxi ' dxz 



. dcp a dtp f^ <^ d(p 



dxz 



und nach dem Multiplicationssatze der Determinanten haben wir also 



dJ dF_ 
dxy dxi 

dXi dx2 



a y 
ß ^ 



dxi dx^ 

dq> dcp^ 
dxi^ dxz 



*) Vgl. .lacobi: De determinantibus functionalibus, Crelle's Journal, Bd. 22. 
— Gleich Null gesetzt gibt die.selbe die Punkte, deren lineare Polaren (vgl. 
den folgenden Abschnilt) in liezug auf f und 9) identisch sind. 



]7() 



Dritte Abtlieihnior. 



(1. h. die Fnnclicmaldclerminanle von f und cp ist eine simultane Cova- 
riante, q. e. d.; in unserem Falle ist nämlich: 






Ein Beispiel für eine Covariante einer einzigen gegebenen Form 
f (x, , x.^ gibt uns die Determinante aus den zweiten Differential- 
quotienten derselben: 

■ |__a'/i av 

I dx^ dxy dx^ 

welche nach ihrem Entdecker Hesse*) gewöhnlich als die Hesse Wie 
Determinante von f bezeichnet wird. Es sei wieder F {y^, y.,) die 
Form, in welche / {x^, x.^) durch die Transformation (7) übergeht; 
dann folgt durch Differentiation der Gleichungen (8): 

J1L_ — cp n , dp 

^.'/i dt/2 



dp I dp 

OXj ' dx2 ' 

ox^ ^ ' dx2 

=1^ ß + i' s, 



dg 

dx, 



I dq 
'"^dk^ 



wo zur Abkürzung gesetzt ist: 



(^) 



P = 15 « + 



OXi 

dx. 



dx2 



ß + Ä ^- 



Setzen wir dies in die für F gebildete Determinante ein, so wird; 



I c^F d^F 

I dy{^ dyx dvi 

! d' ^F d^F 

dy\ dyz dy^ 



^P ^1 dp 
die, '^ + ä"^ ^ 

dq , da 

ox, ' dx^ ' 



^P ß + l^d 
dx, ' ' dx2 



^1 o \ dg 
dx] P "T a.^. 



8 



und dies ist nach dem Determinantenmultiplicationssatze 







dp 


dp 


a 


y\ 


dxi 


dx2 


ß 


d\ ' 


dg 


dg i 






CX^ 


3X2 



Wenden wir endlich hierauf unter Berücksichtigung der Gleichun- 
gen (9) noch einmal den mehrfach erwähnten Multiplicationssatz an, 
so kommt: 



*) Vgl. Crellti's .Journal, B<1, -28, p. s;j. 



EinleitAing in die Theorie der algebraischen Formen. 177 



O^F 


J^F_ 




dH 


^J'f _ 


d'y,' 


dyi dvt 


^1 


dxi^ 


dxi dxz 


d^F 


d^F 




av 


av 


dyz dyi 


5^2^ 




dxzdxi 


dx^^ 



d. h. die Hesse'scÄe "Determinante einer Form ist eine Covariante der- 
selben. 

Eine simultane Invariante zweier Formen f, cp ist jedenfalls durch 
die Bedingung gegeben, dass die beiden zugehörigen Punktgruppen 
einen Punkt gemeinsam haben , denn diese Bedingung ist von der 
zufälligen Lage der Coordinatengrundpunkte unabhängig. Sind beide 
Formen linear, so ist dieselbe leicht zu bilden. Es bestehen dann für 
den gemeinsamen Punkt die Gleichungen: 

f = a^x^ -\- a.yX., = 
(p = b^x^ -j- b^x.^ = 0, 

und die Elimination der x ergibt für die fragliche Bedingung das 
Verschwinden der Determinante : 



(It) 



«1 «2 I . 
! *1 *2 i 

Dies ist aber nichts anderes, als die Functionaldeterminante von /, (jp; 
sie hat daher in der That die Invarianteneigenschaft. Letzteres ergibt 
sich auch direct in derselben Weise, wie das Entsprechende für Func- 
tionaldeterminanten nachgewiesen wurde. Durch Anwendung der 
Substitution (7) nämlich gehen / und cp bez. über in: 

// = («,«-!- a^y) y^ J^(^a,ß-\- a.,d) y., 
0) = (/;, a + b,y) y, + (^ /3 + b, 8) y, • 

und unsere Determinante, gebildet für diese beiden Formen, zerfällt 
sofort wieder in das Product: 



ß d\'\b^ b. 



e. d. 



Ist nur eine lineare Form gegeben, so stellt dieselbe einen ein- 
zelnen Punkt dar; ein solcher kann aber offenbar keine geometrische 
Eigenschaft mehr haben ausser der, das« er überhaupt vorhanden ist, 
d. h. dass die betreffende liueare Form nicht identisch verschwindet, 
d. h. nicht jeder ihrer Coefficienten einzeln Null ist. Also: Es gibt 
keine Invariante einer linearen Form Anders ist dies schon, wenn 
eine quadratische Form vorliegt; denn hier können die beiden ihr 
entsprechenden Punkte zusammenfallen. Soll dies eintreten, so muss 
die durch Nullsetzen der Form entstehende quadratische Gleichung 

für ^ : 

Clebsoli, Vorlesungen. < 12 



178 



Dritte Abtheilung. 



f == OqX^"^ -f- 2 a^x^x^ -\- a.,x^ = 

ZV/ei gleiche Wurzeln haben; und die Bedingung hierfür ist be- 
kanntlich : 

(12) a^a.^ — a^'^ = 0. 

Dies ist aber bis auf einen Zahlenfactor die Hesse'sche Determinante 
der Form /, denn wir haben hier: 







^2a,, 


d'f 


1-2 


-.2 a,, 






dxi d. 


und somit: 














dxzdxi 


^x^ dxi 

aY 

dx^^ 


= 4 


«1 


«1 _ 
a. 


4 («0^2 ~" ^1 



Da sich nun die Hesse'sche Determinante^ wie soeben gezeigt ist^ 
stets bei einer linearen Transformation nur um das Quadrat der Sub- 
stitutionsdeterminante ändert, so ist dies auch mit dem Ausdrucke 
(12) der Fall, d. h. derselbe isl eine Invariante von f. 

Die hier zuletzt gegebenen Beispiele für Invarianten sind specielle 
Fälle vo-n invarianten Bildungen allgemeinerer Art, die man bez. als 
Resultanten und Discriminanien bezeichnet*); diese sind allgemein in 
folgender Weise definirt: 

Die Resultante zweier Formen f und ff ist diejenige ganze Func- 
tion ihrer Coefficienten, welche verschwinden muss , damit ein Punkt der 
zu f gehörigen Punklgruppe mit einem Punkte der zu (p gehörigen Gruppe 
zusammenfalle; d. h. damit die Gleichungen /" = 0, qp = eine ge- 
meinsame Wurzel haben. 

Die Discriminante einer Form f ist diejenige ganze Function ihrer 
Coefficienten, welche verschwindet, sobald zwei Punkte der zu f gehörigen 
Gruppe zusammenfallen, d. h, sobald die Gleichung / = zwei gleiche 
Wurzeln hat. 

Für diese Functionen kann man nun ganz allgemeine Bildungs- 
gesetze angeben; und zwar folgen die für die Discriminanten aus 
denen für die Resultanten. Wir beginnen daher mit den letzteren. 

Ist eine Gleichung w**''^ Grades für x:f=0 gegeben, und sind 
p, P^^\ i>^^' ... p^"~^^ die Wurzeln derselben, so ist bekanntlich, wenn 
c eine Constante bedeutet: 

f=c{x — p) {x — pW) {x — p(-^) 



. (x — p(" - 1)) , 



♦ ) Vgl. hierüber neben den erwähnten Werken von Clebsch und Salmon: 
Baltzer, Theorie und Anwendung der Determinanten. Leipzig 1870, § 11 und 
für die später zu besprechende symbolische Darstellung besonders: Gordan: 
Ueber die Bildung der Resultante zweier Gleichungen, Math. Annalen, Bd. :i. 



Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen. X79 

Setzen wir nun x = '^ ' , so ist f eine binäre Form, und setzen wir 

Vi » <^' V *" ~ ^' 

gleichzeitig p = '^, /yd) == ^~ , . . . . ;>("-i) = --(- _ 2) ? so sind die p 

Pi P2 P2 

die Coordinateii der die Form /" repräsentirenden Punkte. Wir 
haben dann für y = c . p^P-^^^ • ■ • P-,^" ~ ^* : 

/' = y ix^p,- x,Pi) . {x^p':^^ -- x.^p^^^) {x^pf - x,p^^^) (xiPf~^^-x-iPi~^)> 

oder wenn wir zur Abkürzung (rs) für die Determinante {r^s.^ — ^2^1) 
schreiben : 

( 13) f=y {xp) (x/>d)) (.rpC^)) .... (.T/V« - 1') . 

Ist ferner eine zweite Form cp vom w"^" Grade gegeben, und sind q 
die Coordinateii ihrer Verschwindungspunkte, so haben wir ebenso: 

(14) q) = y' (xq) {xq^'^) {xq(-'-)) .... {xq^"^-'^). 

Soll nun ein Punkt ;;*'") von / mit einem Punkte ^''^ von (p zusammen- 
fallen, so muss die Determinante 

(pMqW') = p^^^')q^^'■^ — p.M'h/'> 

verschwinden. In diesem Falle muss auch immer die gesuchte Resul- 
tante ß ihrer Definition nach Null werden, und zwar für jedes Werthe- 
paar der Tndices ,11, v. Andererseits darf diese Function aber auch nur 
unter dieser Bedingung verschwinden; sie muss daher das Product 
aller der Determinanten (/?<•"'</''>) sein, und wir haben: 

(15) B= {p q) {p q) {p q") {pq^'"-'^} 

• {P (j) (/ f/) {P ff) {P f/'"-'^) 

. ifq) {p"q') ip'q") . (//V/'"-i)) 



(/?(« - 1) q) ( />(" - 1) q) (p(" - ' ) q") (p^" " ^^ ?<"' - i>) 

Uns kommt es jedoch wesentlich darauf an, die Resultante in Func- 
tion der Coefficienten von /' und cp, ohne Benutzung der Verschwin- 
dungswerthe p^ q zu bilden. Die Coefficienten einer dieser Formen 
sind leicht in B einzuführen ; denn die Horizontalreihen, in dem ge- 
gebenen Ausdrucke (15) entstehen, wenn man in q) die x der Reihe 
nach durch die verschiedenen p ersetzt und die Verticalreihen , indem 
man in /" die x durch die q ersetzt. Es ist somit auch: 

R= f {q^, Q'z) ■ f (^1'; q-l) • /■ C'?!"' (h) • • • /' W"-'\ q-t-^^) 

und die Form dieser Bildungen ergibt unmittelbar den Satz: 

t2* 



180 



Dritte Abtheilung. 



Die Resultante zweier Formen der ;«"'" und n^''" Ordnung ist in den 
Coefficienten derselben homogen und vom n'"" Grade in den Coefßcienten 
der ersten^ vom m*"" Grade in den Coefficienten der ziveiten. 

Zur directen Darstellung der Resultante in Function der Coeffi- 
cienten beider Formen hat man verschiedene Methoden, die jedoch 
im Ganzen keinen Einblick in die eigentlichen Bildungsgesetze liefern, 
wenigstens nicht in dem Sinne, wie es die Invariantentheorie fordern 
muss. Man kann z. B. nach dem Vorgange von Sylvester in fol- 
gender Weise verfahren: 

Wenn für einen Werth von x f und qp verschwinden {x = -^' 

gesetzt), so müssen auch die folgenden m -{- n Gleichungen bestehen: 

/■ =0, X ./• =0, xKf=0, ...-. a:'"-i ./■ =0, 
^ = , X . (p = , x"^ . (p = , . . . . X" -^ . (p = 0. 

Aus ihnen können wir dann die {m -\- n) Grössen: 1, x, x-, . . . x"' + " — ^ 
eliminiren und erhalten so die Resultante in der Form einer {m -\- «)- 
gliedrigen Determinante. Ist z, B. / vom zweiten, q) vom dritten 
Grade, also: 

/■ = af^x- -{- 2 a^x -f- «•> 

q) = Öq x-^ -\- d b^x"^ -f- 3 b^x -f- ^3 , 

so bestehen für eine gemeinsame Wurzel die Gleichungen: 

x""- . /' = a^^x^ -{- 2 a^x^ -{- a.^x"^ =0 

X . /■= a^x'' -j- 2«,.t"' -(- a.^x = 

/"= a^x"^ -\- 2 a^x -\- a^ =^ 

X . cp = b^x^ + 3 ^'i x^ -f 3 b.^x"^ -f ^^,0: = 

und die Elimination von x^, a;-', x"^, x, 1 ergibt: 

ÜQ 2a^ «2 1 
a^^ 2a^ a., 
a, 2 a, 



R = 



öo 3&1 ?>b, b.^ 
&o 3&1 3^2 







Schon etwas übersichtlicher wird das Eliminationsresultat bei zwei 
Formen gleicher Ordnung nach einer von Bezout und Cayley ge- 
gebenen l^TetliMsT Sind nämlich / und (p beide von der w'^" Ordnung, 
so ist: 

/■ {x) (p (y) — fp (x) f {y) 
ein Ausdruck, welcher unabhängig von y für einen gemeinsamen Punkt 



Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen. 



181 



Ton f und tp verschwindet, und der durch {x — ij) theilbar sein muss, 
da er für x = y Null wird. Daher ist 

eine Form von der Ordnung {n — l) in den x, die für jeden Werth 
von 1/ verschwindet, sobald x eine gemeinsame Wurzel von / und qp 
ist. Ordnen wir /' nach Potenzen von y, so erhalten wir dafür die 
Form: 

(16) F= r„„+ foi^+ r,,,a:2 + ...4- Con-ix"-' 

( qo+ ^11-'^+ c,,x' -^ . . . -\- c,„-ix--') 



+ 



"20 



— J— Co 1 X — p- Coo "^ "~r • " • 1 



+ y" " ^c« _ 1, + O, - 1 . 1 a; + c„ _ 1, 2^;- + • • • + ^« - 1. " - i-^" • 
Soll diese Function nun unabhängig von y verschwinden, so müssen 
die Coefficienten der einzelnen Potenzen von y sämmtlicii Null sein. 
Dies gibt ti Gleichungen, aus denen wir die Grössen 1, x, x''....x"-'- 
eliminiren können, um dann die Resultante in Gestalt einer Deter- 
minante zu bekommen, nämlich: 

I Cnn Cnx Cn, ... Co « - 1 I 



Ä = 



"10 



20 



M2 



6*2 ) 



C„ _ 1, C„ — 1, 1 Cn - 1, 2 



= 0. 



Cl « _ 1 
C'in—X 

Cn - 1, » - 1 

' haben wir in diesem Falle 



Mit Hülfe der eingeschobenen Form F 

die Resultante auf eine /<gliedrige Determinante reducirt, während sie 

nach der Sylvester 'sehen Methode 2n Reihen enthalten würde. — 

Auf die Elimination von x aus zwei Gleichungen von gleich 
hohem Grade lässt sich auch immer die Bildung der Discriminante 
zurückführen. Soll nämlich eine Form n' ^ Ordnung f {x^, x.^, wenn 
man sie wie in (13) in ihre linearen Factoren^ auflöst, das Quadrat 
eines derselben enthalten, so kommt dieser Factor in den Functionen 
?L K noch linear vor, wenn man für x,,x., die Coordinaten des 
betreffenden doppelt zählenden Punktes einsetzt; und man hat daher 
für diesen Punkt gleichzeitig die beiden Gleichungen (/» — 1)*" 
Ordnung: 



(17) 



df 



= 0, 



cf 



= 



Aus ihnen sind x^, x., zu eliminiren. Die Gleichung / = brau- 
chen wir dabei nicht mehr zu berücksichtigen, denn sie ist wegen der 
Relation : 



182 Dritte Abtheiluiij 



"^=?^-. + -- 



eine Folge der Gleichuiig-on (17). 

Die Discriminante einer Form ist also die RcsuKanle der beiden ersten 
Differentialquotienten der Form wid daher vom Grade 2 {n — 1) in den 
Coefficienten derselben. 

Als Function der Wurzeln von /' = können wir die Discrimi- 
lumte, ähnlich wie die Resultante, leicht darstellen. Sie muss nämlich 



('■) .. ('■) 



immer und nur dann verschwinden, wenn zwei, Wurzeln ?^ und 



p\ 



W^ P^^'^ 



von /-^-O einander gleich werden. Eine Function der Art ist aber 
jedenfalls das Product aller Factoren 

welche man aus den n Wurzeln von f bilden kann, d. h. (hu- Aus- 
druck: 

p = [pWpCi)) . (;>(l)^P)) . (^(1)^,(4)) _ _ (^^(,) ^,„)-^ 



Das „Differenzenproduct" 1> ändert aber sein Zeichen, wenn man irgend 
zwei der Wurzeln mit einander vertauscht, was bei einer rationellen 
Function der Coefficienten von /', wie es die Discriminante ist, nicht 
eintreten darf, weil diese Coefficienten dadurch nicht geändert werden. 
Da sich nun eine stj7?imetrische Function der Wurzeln immer als 
rationale Function der Coefficienten darstellen lässt, so ist die Discri- 
minante durch das Quadrat des Differenzenproductes der fVurzeln von 
f=0 gegeben, d. h. durch das Quadrat von P. 

Um ein Beispiel für die Bildung der Discriminante als Resultante 
der Formen ^^^ und ^^ zu geben, führen wir dieselbe noch für eine 
cubische Form aus. Ist also: 

/• = ax^^ 4- 3 bx.'^x., + 3 ex, x.,^ + dx.;K 
so haben wir die Resultante zu bilden aus: 

und daher ist die Discriminante von /, wenn wir das S.ylvester'sche 
Eliminationsverfahren anwenden 



Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen. 183 



a 2b c 
a 2b c 



,b 2 c d 

JO b 2c d 
Diese Betrachtungen haben uns allerdings gezeigt, wie es möglich ist, 
die Resultanten und Discriminanten allgemein aufzustellen; aber die- 
selben erscheinen in einer Form, welche uns nicht ohne weitläufige 
Rechnungen ihren invarianten Charakter erkennen lässt, obgleich 
letzterer nach ihrer Bedeutung vorhanden sein muss. Man kann 
jedoch die fraglichen Bildungen auch in solcher Form herstellen, dass 
ihre Invarianteneigenschaft, auf die es uns hier wesentlich ankommt, 
sofort in's Auge fällt; und zwar geschieht dies mit Hülfe der im 
Folgenden zu entwickelnden Methoden. Dieselben lassen nämlich 
überhaupt jede Invariante und Covariante so darstellen, dass sie als 
solche ohne weitere Rechnung sofort erkannt wird. 

IL Die symbolisclfe Darstellung der binären Formen. 

Die für die weitere Entwicklung der Invariantentheorie funda- 
mentale Betrachtungsweise, welcher wir uns jetzt zuwenden, stützt sich 
im Wesentlichen auf den folgenden Satz: 

Ist n eine Function der Coefficienten a^, a„ a.,...a„ einer allge- 
meinen Form n-'- Ordnung f{x„ x.^), ivelche die Invarianieneigenschaft 
besitzt, so hat die Form: 

ebenfalls die Imarianteneigenschafl, toenn die b die entsprechenden Coef- 
ficienten einer anderen Forin n'"' Ordnung qj sind. 

Leeren wir nämlich statt / die Form /' + xcp zu Grunde, so muss 
n eine Invariante dieser Form sein, sobald man dann die a durch die 
Coefficienten a -}- ^^b ersetzt, da die Form f+^^ccp von ebenso allge- 
meiner Natur ist, als /; und zwar muss dies unabhängig von dem 
Werthe von % stattfinden. Es ist also: 
nK'+^C a;-\-^b;,...a,:-i-xb,;) = r^T]{a,-}-^b,, a,-\-Kb„...a,, + xb„), 
wenn die gestrichenen Buchstaben die Coefficienten von Formen sind, 
welche aus / und q> durch eine lineare Transformation mit der Deter- 
minante ;• hervorgehen. Diese Gleichung soll unabhängig von x be- 
stehen, und folglich müssen, wenn man nach Potenzen von x ent- 
wickelt, die Coefficienten gleicher Potenzen auf beiden Seiten dieselben 
sein. Insbesondere hat man also für die erste Potenz von %: 



184 Dritte Abtheilung. 

und damit ist unser Satz bewiesen. Man erkennt auch leicht, dass 
derselbe ebenso für eine simultane Invariante eines Systems von 
Formen gilt : Fügt man diesem Systeme eine weitere Form (p hinzu, 
so erhält man eine simultane Invariante des so erweiterten Systems, 
indem man eine simultane Invariante des ursprünglich gegebenen 
Systems in der bezeichneten Weise nach den Coefficienten einer der 
gegebenen Formen, welche mit q) von gleicher Ordnung ist, differen- 
tiirt, bez. mit den Coefhcienten von q) multiplicirt und addirt. — 
Setzt man dann in (1) b; == a,, so entsteht nach dem Euler 'sehen 
Satze von den homogenen Functionen wieder bis auf einen Zahlen- 
factor die ursprüngliche Invariante TT. 

Der Grad von TT in den Coefficienten von /" wird durch Anwen- 
dung dieses Differentiationsprocesses jedesmal um eine Einheit ver- 
ringert. Wir können daher, indem wir nach einander die Coefficienten 
verschiedener neuer Formen einführen, es erreichen, dass aus TT eine 
in den Coefficienten aller dieser Formen und in denen von /* lineare 
Invariante entsteht. So ivird eine Invariante v''" Grades in den Coeffi- 
cienien einer gegebenen Form n"'" Ordnung unzweideutig vorgestellt durch 
eine Invariante, welche die Coefficienten von v Formen n''-''' Ordnung je zum 
ersten Grade enthält, und bis auf einen Zahlenfactor in die gegebene 
Invariante übergeht, ivenn man die v Formen alle der ursprüng- 
lichen gleich setzt. 

Wir können in dieser Reduction aber noch weiter gehen: wir 
werden zeigen, dass eine jede Invariante formal so darstellbar ist, als 
wäre sie eine simultane Invariante von lauter linearen Formen; und 
darauf beruht dann die sogenannte symbolische Darstellung der binären 
Formen. Zu dem Zwecke müssen wir zunächst die Systeme von 
solchen linearen Formen näher in's Auge fassen. Es sei eine Anzahl 
linearer Formen gegeben, bez. mit den Coefficienten r/,,«, ; Z>,,^.,5 
Cj, Cj • • • 5 "^^^^' stellen uns die Aufgabe, den formalen Typus einer 
simultanen Invariante 

n («1, «./, b^, b,; c^, Co-, . . .) 

dieses Systems ganz allgemein anzugeben. *) Es kommt im Wesent- 
lichen darauf an, den Ausdruck TT als Aggregat anderer Ausdrücke 
darzustellen, die zum Theil aus weniger linearen Formen gebildet, 
zum Theil auch von niedererem Gesammtgrade als TT sind, wobei 
unter Gesammtgrad die Summe der Grade in den Coefficienten der 
einzelnen Formen verstanden ist. 



*) Ausführlicheres hierüber vgl. bei Clebsch: Ueber symbolische Darstel- 
lung algebraischer Formen, Grelle - Borchardt's Journal, Bd. 59; und: Theorie 
der binären algebraischen Formen, Leipzig 1872, p. 24 fF. 



Einleitung in die Theorie der algebraisclien Formen. 185 

Wir bezeichnen durch TT' das, was ans TT entsteht, wenn man 
darin Oi = hi setzt, also : 

n' = TT («,, a.^; a^, a.,\ c,, c,,; . . .); 
und bilden die^ folgende Reihe von Functionen, die nach unserem 
letzten Satze sämmtlich simultane Invarianten sind: 

TT, = T^- &i + ^— y> 

Es ist dabei unter / der Grad von W in den Coefficienten b^ , 0., ver- 
standen; alsdann ist durch diesen suecessiven Process aus TT' wieder 
rückwärts eine Invariante Ui gebildet, welche die tt und b zu dem- 
selben Grade enthält, wie TT, nur in anderer Weise, denn TT/ ist 
abgeleitet aus einer Invariante W einer um Eins geringeren Anzahl 
von linearen Formen. Ist ferner k der Grad von T\ in den Coeffi- 
cienten «,, «2; so ist TT' vom Grade k + l in den cf, n,' dagegen 
vom Grade a' + / — 1 , und allgemein TT,' vom Grade k -\- l — r in 
den a. Wir haben somit nach dem Eul er 'sehen Satze über homo- 
gene Functionen: 

(n;).=.. = (%■«,+%' 4^, =....=(*+i)(^+2)-(^+"-n- 

So entsteht also TT' einmal (bis auf einen Zahlenfactor) aus TT/ für 
ai = bi, einmal aus T\ für «,- = &,. Wir haben daher die Relationen: 

m - {k + 1) (A- + 2) . . . (A- -f /) n}„ ^, = . 

Wenn aber die links stehende Differenz für «, = b^, a^ = ^'2 immer 
verschwinden soll, so muss sie durch den Factor 

{ab) = a^b., — b^a.^^ 

theilbar sein; und wir können setzen: 

T[ — mWi = {ab) . M , 

wo M eine neue Function von invariantem Charakter ist, und m den 



186 IJritte Abtheiluug. 

reciproken Werth des Zahlenfactors {k -f- 1) (/{• -j- 2) . . . {k -j- /) be- 
deutet. Wir haben somit TT zunächst zerlegt in eine Invariante TT/, 
welche aus TT' durch unseren invarianten Process hervorgeht, wo TT' 
eine Reihe von Coefficienten weniger, als TT enthält, und in eine 
andere M von niedererem Gesammtgrade, multiplicirt in die Deter- 
minante {ah). 

Es ist nun klar, wie man diesen Zerlegungsprocess fortsetzen 
\( kann, indem man . TT/ und M wieder derselben Operation unterwirft, 
u. s. f. bis man schliesslich zu lauter Producten aus Invarianten vom 
Gesammtgrade 2 gelangt, bei denen nur je zwei lineare Formen be- 
nutzt sind (aus einer einzigen Form der Art ist ja überall keine 
Invariante zu bilden). Zwei solche Formen, etwa 

und 11' - i 

haben aber nur eine Invariante, die wir schon oben betrachteten, 
(p. 177) nämlich 



«1 «2 



^{ab), 



hy &2 

denn zwei Punkte können offenbar keine andere besondere Lagenbe- 
ziehung zu einander haben, als die, dass sie zusammenfallen.*) — Die 
hier durchgeführte Ueberlegung begründet nun den folgenden funda- 
mentalen Satz: 

Jede sbnuUane Invariante von linearen Formen ist ein Aggregat aus 
Producten der aus je zweien der Formen gebildeten Invarianten: {ab), 
(ac), (bc), u. s. f. • 

Für den allgemeinen Typus der simultanen Covarianten eines 
Systems von linearen Formen brauchen wir nunmehr keine besondere 
Betrachtung mehr anzustellen. Eine Form 

11 ~I ^O«^*; } 

gleich Null gesetzt, stellt nämlich einen Punkt dar mit den Coordi- 
naten y^ = — a.^, «/^ = «i (vgl. p. 173). Wir erhalten daher aus 
jeder Invariante linearer Formen eine Co Variante, wenn wir darin eine 
Reihe von Coefficienten mittelst der Gleichunsfen 

(2) «, = X., a.y = — Xi 

durch Veränderliche ersetzen. In der That erkennt man leicht, dass 
sich die Coefficienten in derselben Weise linear transformiren, wie die 
Variabein, denn durch die Substitution 

*) Ein algebraischer Beweis hierfür findet sich unten, wo bei den quadrati- 
schen Formen gezeigt ist, dass eine solche Form nur eme Invariante hat, welche 
durch ihr Verschwinden aussagt, dass die beiden repräsentirenden Punkte zu- 
sammenfallen. 



EinleituDg in die Theorie der algebraischen Formen. 187 

QXi = ciij^ + /3y, , Qx., = yy^ + 8y.> 
wird: 

wenn man setzt: 

3/an hat also in den Suhstitutionsgleichungen der Variahein nur die 
Coefßcienten zu iransponiren , utn diejenigen der Coefficientcn linearer 
Formen zu erhalten. 

Durch die Substitution (2) geht aber jeder Determinantenfactur 
{alf) über in einen linearen Factor />,.t, -^ b.,x.,\ und da umgekehrt 
auch aus jeder simultanen Co Variante durch die Substitution (2) eine 
Invariante, also eine Bildung aus Determinanten {ah), {ac), u. s. f. 
entsteht, so folgt: 

Jede simultane Covariante von einer Reihe linearer Formen ist ein 
Aggregat von Producten, deren Factoren einen der folgenden Typen 

haben : 

1) {ah), Invariante aus je zweien der linearen Formen 

2) a^x^ -\- a.,X2, eine der linearen Formen selbst. 

Wendet man die Substitution (2) gleichzeitig auf mehrere Reihen 
von Coefßcienten an, indem man auch mehrere Reihen von Variabein 
einführt, so sieht man, dass ausser den genannten Factoren nur noch 
solche vom Typus {xy) vorkommen : sogenannte identische Covarianten. 
Man könnte ferner überhaupt bei der Untersuchung Formen mit 
mehreren Reihen von Veränderlichen {x^., x.-,\ //, , //./, z,, z'jj • • •) zu 
Grunde legen. Es lässt sich jedoch zeigen, dass man dabei nicht zu 
neuen Bildungen gelangt, dass es vielmehr hinreichend allgemein ist, 
bei den Grundformen eine solche Reihe allein anzunehmen; und so 
werden wir es im Folgenden immer thun. — 

Indem wir nun eine symbolische Bezeichnung für die binären Formen 
einführen, gelingt es mittelst der hier für lineare Formen gege- 
benen Sätze auch den Typus einer beliebigen invarianten Bildung 
allgemein anzugeben. Wir erörtern dies zunächst an einem einfachen 
Beispiele, und zwar wollen wir die Discriminante der quadratischen 
Form: 

f = a^^ x{^ + 2 ay, .T, X., + a.,., x.? 
als Product zweier Determinantenfactoren {ab) darstellen. Zu dem 
Zwecke fassen Avir f symbolisch als Quadrat einer linearen Form auf 
(vgl. auch p. 72) und setzen: 

Wir können dann, wenn wir wollen, statt der Symbole «,, «2 st^*» 
wieder die wirklichen Coefficientcn einführen mittelst der Gleichungen : 



Dritte Abtliüiliiuir. 



r,2 = a^^ , «j a, = r/j, , «/ ^ ^^_^ . 



doch dies geht nur, wenn wir es mit einer in den üuc linearen Bildung 
zu thun haben. In der That könnte man z. B. für a^'^ a.^^ ebenso- 
wohl das Product a^^a.,.^, als das Quadrat a^^- setzen; es würden also 
Mehrdeutigkeiten möglich sein. Um das zu vermeiden, führen wir in 
der unsere Discriminante darstellenden Determinante ; 



/ = 






in der ersten Verticalreihe die angegebene Substitution aus, schreiben 
aber in der zweiten Reihe neue Symbole b statt der a, welche mit 
diesen gleichwerthig sein sollen: 



Dann wird : 



^-'i'' = ^'i 1 ; *i h = ff\2 , h' = ^'r' 



r, f.-, 



b^b, 



-1 ^ 






Da es aber gleichgültig sein muss, in welcher Verticalreihe wir die a, 
in welcher die b einführen, so ist auch 

— bia., {ab), 



*i «1 



1 == by a, 

und wenn wir die Summe beider Ausdrücke bilden; . 

/= ^ {a,b, - b,cL,) (ab) = ^ {abf, 

womit die verlangte Darstellung geleistet ist. Statt der Symbole a, b 
können wir nun umgekehrt unzweideutig wieder die Coefficienten «,/, 
einführen; denn man findet unmittelbar 

2 / = (a, &2 - /;, a,y = a^'^b.;- — 2a^ a,^b^ b, + b'' a.;^ = 2 {a^ , a^, — ^/,,-') . 

— Im Allgemeinen gestaltet sich die Einführung der verschiedenen 
Symbole jedoch nicht so einfach; vielmehr ist dazu die wiederholte 
Anwendung des bekannten Differentiationsprocesses nöthig. Die be- 
treffenden Erörterungen stellen sich folgendermassen. 

Wir haben gesehen (p. 184), dass man eine beliebige Invariante 
in eine solche überführen kann, welche die Coefficienten jeder Form 
einer Reihe von Formen gleicher Ordnung linear enthält, wobei wir 
uns nachher diese Formen als mit der Grundform identisch ange- 
nommen dachten. Statt der Coefficienten jeder dieser Formen können 
wir nun weiter die einer linearen Form einführen, indem wir eine 
jede der Hülfsformen durch die Potenz einer linearen Form ersetzen. 
Wir schreiben also statt der Coefficienten a der gegebenen Grundform 
die entsprechenden der Form 



Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen. 18i) 

und ebenso statt der Coefficienten h einer der anderen Formen n*" 
Ordnung die der Form 

u. s. w. Alsdann ist unsere invariante Bildung unzweideutig durch die 
Coefßcienten dieser linearen Formen: ö,a;, + a.^x.^, l),^x^ + h-^x.^, u. s. f. 
ausgedrückt; denn man kann von dieser „symbolischen Darstellung"^ 
derselben*) jederzeit zu der wirklichen Darstellung zurückkehren. Sei 
nämlich die Grundform f gegeben durch : 

1 , n in — 1) ,, 9 .0 I \ ri -v n 

f = rt,.x,» + na^x^"-^x, + Y. 2 ^i ^2" + • • • + ^'"-^2 y 
so haben wir nur die folgenden Substitutionen zu machen: 
a, = a," =V =^-1" =••• 

a., = ^,"-2^0^ = b,"-''b./ = c,"-'c^ = . . . 

,/„ = a," = b," = c^" = • • • 

Eine nothwendige Bedingung für die Möglichkeit dieser Substitutionen 
— und darin liegt der Grund für die Einführung obiger Hülfsformen — 
ist immer die, dass die invariante Bildung in der That linear in den 
Coefßcienten einer jeden der Hülfsformen angenommen wird. Andern- 
falls würde, wie schon obiges Beispiel lehrte, der Rückgang zur 
ursprünglichen Function nicht mehr eindeutig möglich sein; denn 
käme z. B. ein Glied mit dem symbolischen Coefßcienten 

vor, so könnte man dies für i=k-^l auf sehr verschiedene Weise 
in zwei Factoren von der Form: 

zerlegen und die zugehörigen wirklichen Coefßcienten ak, Oi würden 
also unbestimmt werden. — Einige Beispiele werden diese Methode der 
symbolischen Rechnung am besten erläutern. Wir beginnen wieder 
mit der Invariante einer quadratischen Form 



*) Die symbolische Darstellung in der hier angewandten Form wurde zuerst 
von Aronhold mit Erfolg gebraucht (Borchardt's Journal, Bd. 39, 55 und 62) 
und von Clebsch zur Grundlage der ganzen Invariantentheone gemacht (vgl. 
ib Bd. 59). Schon vorher wurde von Cayley eine Symbolik benutzt (vgl. be- 
sonders die Memoirs upon Quantics und Salmon's Introductury lessons etc.), 
welche sich von der unsrigen eigentlich nur durch die Bezeichnungsweise unter- 
scheidet und in dieser sich mehr an die auch sonst in der Theorie der Differen- 
tialgleichungen (von Cauchy, Boole u. A.) oder in der Darstellung der iay- 
lor'schen Reihe angewandte Symbolik anlehnt. 



190 • Dritte Abtheihing. 

cl h, mit der Function 

7 = ö'i,a22 — öTi-r . 
Sind nun 0^^, b^.^, h.^^^ die Coefficienten einer zweiten, nachher mit / 
X identisch zu setzenden Form, so haben wir bei Anwendung der" allge- 
meinen Methode : > 

^ = don ^1 + da^ *12 + ^ hl = «„ ^>o + Z^H «22 " ^ «12^2 • 

Hierin sind noch die «//, durch die Coefficienten der Form: 
die hii: durch die der Form 

zu ersetzen, um unsere Invariante / symbolisch in der Gestalt 

/' = a^'b.,'' + b.'a.-' -2b^b,a,a, 
zu erhalten. Da für /y = « nun J' = 2 1 wird, und da wir hier in 
der That die Symbole b, ebenso wie die a, durch wirkliche Grössen 
a,7, ersetzt denken müssen, so haben wir: 

2 f=a^'^b.^^^ — 2a^a./b^b., + a.^-b^'^, 
oder, wie schon früher gefunden: 

j = ^(aby=^x(a,b, -b,a.^^- 
als symbolische Darstellung unserer Invariante. 

Ein anderes Beispiel möge uns die Functionaldeterminante zweier 
binären Formen liefern, welche wir ebenfalls schon als Covariante 
erkannten (vgl. p. 175). Es seien 

/• = (a^x^ + «30:2)"' = (bi X, -f b, x.^'" 

cp = (a^x, + «2^2)" = (ßix, -f ß,x.^" 

die beiden Formen in ihrer symbolischen Gestalt, die wir noch kürzer 
durch Einführung der Bezeichnung: 

«jT = «i^;, -}- ^'^2''^"2 
in der Form schreiben können: 

cp = aj> = ßj' . 
Die Functionaldeterminante ist dann gegeben durch: 



/' 



dr 


K 


dXy 


dxz 


.^__? 


dcp 


dxi 


da-2 



Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen. 191 

Auf unsere symbolisclieii Potenzen /, cp können wir nun die gewöhn- 
lichen Regeln der Differentiation anwenden ; denn der Grad der Form 
in den Co^efficienten wird durch diese Operation nicht beeinflusst, und 
es kann also dadurch keine Zweideutigkeit entstehen: Wir erhalten: 

^1 = m aj- -^a,, ¥- = m aj" - ^ a, , 
und die Punctionaldeterminante wird symbolisch dargestellt durch: 



1 rt m n ."' — 1 



// = 



ma--^a, ^n^^--^y^^,,,,aj"-^aj'-^{aa) 



n a.r" -^a^ n «./' " ^ a 



In ganz analoger Weise stellt sich die (Hesse'sche) Determinante A 
der ''zweiten Differentialquotienten einer Form / = «.v« = ^.r" clar. Wir 
setzen in ihr: ■ 



av 

d 



»•'' =.„(.. -1)'V -''*,*„ £'-, =«(«--i)/v-V , 

dx.2 OX^ ^-^2 

und erhalten: 

A = n^ in — 1) - rt, &2 (« ^) ^'■-' " ' *-•" "" ' ' 
also auch wegen der gleichen Bedeutung der a und b: 
A = n2 (n — 1)2 «, Z/, {ab) a.r" - ^b.^" " - 
= J.«M«- 1)- {aby-a,"'n.r"'^- 

Es erinnert die sogenannte symbolische Bezeichnung an eine ab- 
kürzende Schreibweise, deren wir uns schon in der Theorie der Kegel- 
schnitte bedienten (vgl. p. 72); aber, während sie dort eben nur 
als erleichterndes Hülfsmittel verwerthet wurde, bietet sie uns jetzt 
die principielle Grundlage für die ganze Theorie; und zwar gewinnt 
sie diese hohe Bedeutung durch den folgenden Satz, der sich aus unse- 
ren bisherigen Ueberlegungen unmittelbar ergibt: 

rede Invariante einer binären algebraischen Form stellt sich symbo- 
lisch als das Aggregat von Producten symholischer Determinanten vom 
Typus {ab) dar; Jede Covariante als das Aggregat von Producten sym- 
holischer Determinanten {ab) mit linearen symbolischen Factoren vom 

Typus Cr- 1 1 1 1 ,1;.. 

■ ' Der zu diesem Satze führende Gedankengang, welcher durch die 
Beispiele wiederholt unterbrochen war, ist kurz folgender. Wir haben 
crezeigt, dass jede solche Invariante oder Covariante als simultane Bii- 
duncr mit Invarianteneigenschaft eines Systems von linearen Formen 
angesehen werden kann, deren Potenzen als symbolische Ausdrucke 



192 Dritte Abtheüung. 

für die Grundform dienen; ferner, dass jede solche Invariantenbildung 
linearer Formen ein Aggregat von Producten aus Factoren vom Tvpus 
(ab), resp. c.r sein muss: und diese beiden Bemerkungen haben' wir 
nur zusammenzufassen. - Die prineipielle Wichtigkeit "des Satzes ist 
evident; denn, während wir früher erst durch Rechnung die Invarian- 
teneigenschaft nachweisen mussten, können wir letztere nunmehr an 
der symbolischen Form ohne Weiteres direct aus der Xatur ihrer 
Bildung abnehmen: jeder einzelne Factor hat eben für sich invarianten 
Charakter. — Dass der Satz auch umkehrbar ist, braucht wohl kaum 
hervorgehoben zu werden: Man kann Jede Invariante oder Covarianle 
linearer Formen, welche die Coefficienten dieser Formen in geeigneten 
Dimensionen enthält, als symbolische Darstellung einer Invariante oder 
Covariante höherer Formen auffassen; die Dimensionen müssen dabei 
nur bez. dieselben sem, wie die Ordnungen der entsprechenden höhereu 
Formen. In der That ist es auch evident, dass die Symbole einer 
Form sich durch dieselben Gleichungen linear transformken , wie die 
wirklichen Coefficienten linearer Formen (vgl. p. 187). — 

Die Beispiele, welche wir soeben für symbolische Bildungen 
augeführt haben, bestätigen obigen Satz; ihre Invarianteneigenschaft 
tritt nunmehr unmittelbar hervor. In derselben Weise müssen sieh 
aber auch die Resultanten und Discriminanten durch symbolische 
Determinanten -Producte darstellen lassen. Es führt dazu eine Methode, 
mittelst deren es überhaupt gelingt, eine jede symmetrische Function 
der Coordinaten der Verschwindungspunkte einer Form (d. i. der Wur- 
zeln einer Gleichung) in eine rationale Function der Coefficienten der 
Form überzuführen, und zwar in die symbolische Darstellung dieser 
rationalen Function.*) Wir werden jedoch von dieser allgemeinen 
Methode weiterhin keinen Gebrauch mehr machen, und beschränken 
uns daher darauf, später bei Besprechung der quadratischen, cubischen 
und biquadratischen Formen die Discriminantenbildungen in ihrer 
symbolischen Form zu geben. Liegt es doch überhaupt im Charakter 
solcher allgemeiuen Methoden, dass sie verhältnissmässig umständlich 
werden, wenn specielle Fälle vorliegen, wo dann andere Behandlungs- 
weisen schneller zum Ziele führen. — 

Bei längeren symbolischen Rechnungen, wie sie in den folgenden 
Ent\vicklungen nicht immer zu vermeiden sind, kann man durch ge- 
schickte Anwendung gewisser identischer Gleichungen sehr oft eine 
wesentliche Vereinfachung erzielen. Wir stellen dieselben daher hier 
kurz zusammen. Durch Elimination von ], .r,, .r., aus den drei iden- 
tischen Gleichungen: 



•) Vgl. § 20 in dem Werke von Clebsch. 



Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen. 193 

«^ = a^x^ -\- a.^x., 
b-, = Z/j.rj -f b.,x.^ 

folgt zunächst die ebenfalls identische Gleichung: 

ctx fi\ ci-, ' 

oder nach den Gliedern der ersten Verticalreihe entwickelt: 

(I) {bc) a^ + (c a) b^ + (« b) c^ = . 

Schafft man ein Glied auf die andere Seite und quadrirt, so folgt 
weiter die Identität: 

(II) {ab) («c) b,c, = \ {{aby cj + {acy bj — (bcy aj } . 
Ersetzen wir in (I) Xi, x.^ bez. durch d., und — d^, so erhalten wir. 
(III j \{bc) [ad) + {ca) (bd) -{- {ab) {cd) = 0. ,^ ^-f\^ ^^Y 
Setzen wir dagegen in (I) c^ = ij\, r, =- — y.,, so folgt die wichtige " [^ i^ 
Gleichung: »i^ 4c f*^j^k*k<^ 
(IV) a.,hy - b^üy = {ab) {xy). ^^^C^.d^€.{^ 

Ein anderes häufig anwendbares Mittel zur Umformung symbo- 
lischer Ausdrücke und zur Herstellung ihrer einfachsten Form besteht 
in der Vertauschung zweier Symbole, wodurch bei der gleichen Be- 
deutung beider der wahre Werth des betreffenden Ausdrucks unge- 
ändert bleiben muss. Ein Beispiel hierfür bietet uns die Function 
F {x, y) , welche wir früher bei Bildung der Resultante zweier Formen 
/■ und (p gl eicher O rdnung benutzten (vgl. p. 181). Es sei symbolisch: 

(p = «a" ; 

dann ist F{x, y) gegeben durch: 

=.''^y^^'^ax'>-^ay"-' + aJ>--'ay''-'axay + a."-''ay"-'a.^^ay^+...\, 

oder wegen der Identität (IV): 

F{x, y) = {aa) {a^^-'a/-^ -\- «. ." - ^ «/ - ^ c^^r «^ +•••}, 

Nehmen wir insbesondere an, dass / und cp die ersten Differential- 
quotienten einer Form ö^" seien, also : 

/•=a^"-^a^, cp = aj'-'a.^, 
so wird, da wir in q) neue Symbole b einführen müssen: 

Clebsch, Vorlesungen, ^^ 



194 Dritte Abtheilung. 

F(x, tj) = {ah) a,h., {^/'-2/y'--' -\. a,"-'^h,;'-^aylK, + •••}, 
oder ivenn wir a und h vertauschen: 

J'(x, y~)==~ (ab) a,b^ {aJ'-H/-^ + aj'-^b,"~^^ayb,,. + ...}, 
und wenn wir beide Ausdrücke addiren, so kommt: 

^ {^> y) = i {abf {«.,"-2^^,-2 ^ «."-•^V'"'«y'>- 4- . • .} . 

Setzt man hierin insbesondere n = 2, so erhält man ^ (abf , die 
Discriminante der quadratischen Form aj, wie es sein muss. 

Aus dieser Verfahrungsweise folgt noch die oft nützliche Bemer- 
kung: Wenn ein symbolischer Ausdruck durch Vertauschung zweier 
gleichiverlhiger Symbole sein Zeichen ändert, so verschwindet er iden- 
tisch. Es ergibt sich z. B. mit Hülfe dieses Satzes das identische 
Verschwinden eines jeden Ausdrucks: 

in welchem k eine ungerade Zahl ist, und a, b Symbole derselben 
Form n*^'- Ordnung f = a^^" = bj' bedeuten. Für n = 2, k = \ ist 
diese Behauptung auch leicht direct zu verificiren, denn wir haben: 

{ab) a'b:, = {a^b. — b^a-i) . 2J {ctibk + biUk) x^xu 

= H (f/i aibibk — «2 (libxbk — a^aubybi + Oiaub^b^ XiXu 
= H {auciik + ctiiCiik — cHidik — ciua^i?) XiX^. 

Weitere Anwendungen der hier bezeichneten Hülfsmittel werden 
sich im Folgenden noch in grosser Zahl darbieten; und die sorgfältige 
Durchrechnung aller dieser Beispiele dürfte als bestes Mittel zur 
Einführung in die symbolischen Operationsmethoden zu empfehlen 
sein. — 

Wir erwähnen hier nur noch eines Resultats, welches die symbo- 
lische Darstellung sofort ergibt, und das uns gelegentlich nützlich 
sein wird. Jede invariante Bildung TT einer Form n*«^' Ordnung f 
ändert sich bei linearer Transformation um eine Potenz r^, wo r die 
Substitutionsdeterminante bedeutet. Die Transforraationsformeln der 
Symbole (p. 187), lehren aber, dass dabei jeder lineare Factor «^ von 
TT ungeändert bleibt, Avährend jede symbolische Determinante {ab) den 
Factor r erhält. Um die Zahl l zu bestimmen, haben wir also nur 
nach der Zahl solcher Determinantenfactoren zu fragen. Es sei nun 
TT vom ;>ten Q^ade in den Coefficienten und von der tn^'''' Ordnung in 
den Variabein*), so enthält TT — wie aus der Einführung der Symbole 



*) Wir werden in der Folge das Wort „Grad'' immer für die Dimension an- 
wenden, zu welcher die Coefficienten der Grundform, das Wort „Ordnumf für 
die Dimension, zu welcher die Variabein vorkommen. 



Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen. 195 

sofort folgt — p verschiedene Symbole und jedes zur n*''" Dimension, 
so dass im Ganzen p . « Symbolreihen vorkommen. Diese vertheilen 
sich zum Theil paarweise auf die X Determinantenfactoreu, zum Theil 
einzeln auf die m symbolischen linearen Factoren von TT. Man hat 
also die Gleichung: 

2 X -\- m = p , n , 

und den Satz: Eine invarlanle Dildung einer binären Form n^"'' Ordnung, 
vom Grade p und der Ordnung m erhall X = \ {pn — in) symbolische 
Delerminantenfactoren , ändert sich also um die X''' Potenz der Substitu- 
tionsdeterminante bei einer linearen Transformation. 

III. Projectivische Punktreihen. Polarentheorie. Involutionen. 

Eine lineare Transformation haben wir früher als analytischen 
Ausdruck für die Veränderung der Coordinatengrundpunkte erkannt. 
Man kann aber noch eine andere geometrische Deutung für dieselbe 
angeben; und diese ist für die Auffassung der Invariantentheorie von 
hervorragenderer Wichtigkeit. Wir werden durch dieselbe gleichzeitig 
wieder auf die Grundlagen der synthetischen Geometrie geführt, die 
wir schon früher eingehend behandelten. 

Diese neue Interpretation der linearen Substitution kann gewisser- 
massen als der früheren entgegengesetzt aufgefasst werden: Während 
wir dieselbe früher zur Darstellung desselben Punktes (bez. Strahles) 
mit Hülfe verschiedener Grundelemente benutzten, betrachten wir sie 
nunmehr als Beziehung zwischen zwei verschiedenen Punkten, die auf 
dieselben Grundelemente bezogen sind, als analytischen Ausdruck „einer 
linearen Verwandtschaft". Durch die Gleichungen 

9^2 ^^^ ^21 Xj^ -\- a<^2'^i^ 
ordnen wir jedem Punkte der Geraden einen anderen Punkt derselben 
Geraden zu, und umgekehrt, wobei vorausgesetzt ist, dass die Deter- 
minante der Substitution {a^^ nicht nothwendig ==«2i)- 



"11 "12 
0^21 l'i 



= a^^a<^2 — ^12^21 



von Null verschieden ist; und zwar ist diese Zuordnung dieselbe, 
ivelche überhaupt zwei projectivische Punktreihen mit einander verbindet. 
Diese Reihen sind hier nur als vereinigt, d. h. auf demselben Träger 
gelegen anzusehen. Die projectivische Zuordnung ist bekanntlich da- 
durch charakterisirt, dass das Doppelverhältniss von je vier entspre- 
chenden Punkten der Reihen denselben Werth hat; der letztere ist, wenn 
jij, ^,, ft^, ft^ die Parameter der vier Punkte sind (vergl. p. 37) 

13* 



196 Dritte Abtheilung. 

(."3 — ft2)~C"l — /i4) 

Nach einer oben gemachten Bemerkung erhalten wir das Doppelver- 
hältniss für vier Punkte x, y, z, t gebildet in deren Coordinaten, 
wenn wir setzen: 

^1 j/i 2, ti 

f^l „7 ^'•2 — \. ■> fh — \ 7 ^4 = 7" ; 

und es wird also (wie man auch leicht direct aus der Definition der 
binären Coordinaten ableitet): 

Ebenso ist das Doppelverhältniss der entsprechenden Punkte |, t], ^, r 

und dass dieser Ausdruck gleich dem Werthe a ist, ergibt sich sofort, 
da jeder der Factoren (xz), {yt), {xt), (yz) beim Uebergange zu dem 
entsprechenden Factor (|^), {rjr), (|t), (tj^) sich, wie wir wissen, nur 
um die Substitutionsdeterminante r ändert, diese Determinante aber 
in dem Quotienten (2) sich forthebt. Es ist damit obige Behauptung 
bewiesen, und wir können in Folge dessen auch die geometrische Be- 
deutung der invarianten Gebilde folgendermassen aussprechen: 

Invarianten und Covarianten gleich Null gesetzt, liefern solche Glei- 
chungen, ivelche projectivische Beziehungen zwischen Elementen von Punkt- 
reihen, bez. Strahlbüscheln darstellen. Dabei sind unter „projecti vischen 
Beziehungen" diejenigen verstanden, welche, wenn man ein mit dem 
ursprünglich benutzten Gebilde projecti visches construirt, für die ent- 
sprechenden Elemente dieses neuen Gebildes erhalten bleiben. 

Der Begriff des Doppelverhältnisses, dem wir hier wieder begegnen, 
und den wir früher als fundamental für die neuere synthetische Geo- 
metrie erkannten, ist auch für die Invariantentheorie als solche von 
hervorragender Bedeutung. Er gibt nämlich zunächst ein erstes und 
einfachstes Beispiel einer „absoluten Invariante", d. h. einer Function 
der Coefficienten der Grundform, welche bei einer linearen Transfor- 
mation vollkommen ungeändert bleibt. Solche Functionen kann man 
immer bilden, sobald die Grundform mehr als eine Inv-ariante besitzt. 
Seien z. B. / und 7^ zwei Invarianten derselben, die bei einer linearen 
Substitution in 7' und /,' übergehen mögen, so haben wir: 

/' = r'"- 1 

T ' ,.,« / 

^1 — ' -'u 



und also ist der Quotient 



l^ _ 7^ 
-'1 ■'1 



Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen. 197 

eine absolute Invariante. Eine solche kann man weiter immer gera- 
dezu als Function von Doppelverhältnissen darstellen. Jede Inva- 
riante nämlich ist auch Invariante der linearen Factoren der Grund- 
form und in Folge dessen ein Aggregat von Producten der Form 

wo X t/,z...(lie Coordinaten der Verschwindungspunkte der Grund- 
form sind, und wo die a, ß, y . . • so bestimmt sein müssen, dass die 
Function in den Coordinaten aller dieser Punkte symmetrisch wird. 
Dividirt man nun das Aggregat durch eines seiner Glieder, so erhält 
man unmittelbar eine absolute Invariante, deren Zusammensetzung aus 
Doppelverhältnissen evident ist. Erinnern wir uns ferner daran, dass 
jede Co Variante als simultane Invariante linearer Formen und der 
Grundform aufgefasst werden kann (p. 186); so haben wir also, wenn 
die Function auch noch von Veränderlichen abhängig gedacht wird, 

den Satz:*) 

£i7ie Invariante oder Covariante einer binären Form ist der Zähler 
einer ganzen rationalen Function von Doppelverhältnissen, ivelche aus den 
Vcrschwindungsele7nenten der Grundform und im Falle der Covariante aus 
anderen (veränderlichen) Elementen zusammengesetzt sind. 

Die Theorie der Doppelverhältnisse selbst haben wir bereits ge- 
nauer behandelt, ebenso diejenige der projectivischen Punktreihen und 
Strahlbüschel; auch erwähnten wir schon gelegentlich (p. 51), dass 
zwei vereinigt gelegene projectivische Punktreihen im Allgemeinen 
zwei Elemente entsprechend gemein haben. Dieselben ergeben sich 
hier analytisch, wenn man in (1) l^ = x^, %., = x., setzt, indem man 
dann durch Ehmination der x eine für q quadratische Gleichung 
erhält: 

I «11 — Q «12 ■ ^ Q 

i «21 «22 — 9 

Setzt man die gefundenen Werthe von () in (1) ein, so ergeben sich 
daraus die Coordinaten der Doppelelemente. Man kann dieselben auch 
direct aus der Gleichung: 

(3) («11 — 0,0) a-, X, + üy^x,?- — a,^x-^ = , 

Avelche man durch Elimination von q findet, berechnen. Die con- 
structive Bestimmung dieser Punkte wird, indem man das binäre Ge- 
biet verlässt, mit Hülfe eines Kegelschnittes ermöglicht, wie ebenfalls 
schon früher ausgeführt wurde. — 

Eine andere Darstellung projeclivischer Punktreihen, an welche sich 
weitere interessante Betrachtungen knüpfen, ergibt sich in folgender 
Weise. Die Gleichung 

*) Vgl. Weiteres hierüber im zweiten Abschnitte des Werkes von Clebsch. 



198 Dritte Abtlicilimg. 

(4) rf,,-{-2.b^ = 

stellt offenbar, wenn man A als veränderlichen Parameter betrachtet, 
alle Punkte der Geraden dar, welche zur Repräsentation des binären 
Gebietes dient. Dabei ist A gleich dem negativen Verhältnisse des 
Abstandes eines beweglichen Punktes von zwei festen Centren («^ = 0, 
b,r = 0) multiplicirt mit einer constanten Zahl. Diese Punktreihe ist 
zu einer anderen 

(5) ai + A/3| = 

projectivisch, wenn zwei Punkte beider Reihen, für die A denselben 
Werth hat, einander entsprechend gesetzt werden; denn das Doppel- 
verhältniss der Punkte A = 0, A = oo, A = A, , A = A, ist dann für 
beide Reihen gleich -' , und aus den Gleichungen : 

a ^Xh _ ^^ - ^"^ ^"- + ^'^ ^) - (^ - ^') (^^ + ^"^.) 

a^ + A/5| = 5 T^TI""^ '^- 

folgt, dass die Beziehung beider Reihen zu einander nicht geändert 
wird, wenn man die Punktepaare, a^, br\ at, ßt durch zwei beliebige 
zusammengehörige Paare «^ + X'b^, a^, + A"Z>^; a^ -f A'/3|, at -\- l" ßt 
ersetzt. An Stelle des reihenden Elementes A tritt dann nur das 
andere : 

(6) ^--'j^r- 

Man kann übrigens auch direct wieder aus (4) und (5) eine lineare 

Transformation herstellen, indem man das Verhältniss h aus der 

Gleichung 

berechnet. 

Für die Doppelpunkte der beiden Reihen (d. i. für a;i = ^, , x., = ^.,) 
erhält mau durch Elimination von A die für ""' quadratische Gleichung: 

welche an Stelle von (3) tritt, oder durch Elimination von a;, , x^ die 
in A quadratische Gleichung: 

«, -\- Xb. a^ -\- Xß.\ 



(7) = 



*) Man kann überhaupt die lineare Verwandtschaft durch eine in den x und 
I bilineare Gleichung 

^'ll^^'l ll + «12^1 li + (ll\ .'2 g, + «22 .ra ^2 = 

vermittelt annehmen; vgl. Clebsch, a. a. 0. ji. 66. 



Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen. 199 

Es gibt also in der That im Allgemeinen zwei Doppelpunkte, wenn 
nicht etwa die Bedingung: 

(8) [{aß)-i-iba)Y = 4iaa){bß) 

erfüllt ist, wo dann die beiden Doppelpunkte zusammenfallen. Es 
könnte endlich auch vorkommen, dass geradezu alle Coefficienten von 
(7) verschwinden, wodurch die lineare Transformation eine sogenannte 
identische wird: jeder Punkt der Geraden entspricht dann sich selbst. 
Setzen wir voraus, dass diese Fälle nicht eintreten, so können wir die 
Doppelpunkte als Coordinatengrundpunkte einführen. Seien A', A" die 
Wurzeln von (7), so müssen wir zu dem Zwecke setzen: 

(91 

^ ■' «.r + ''- b.-c = Xo == q,r , 

und dadurch muss auch identisch sein: 

a> -|- A' /3i = c ;?! = c pt 

wo c, c Constante sind. Die Gleichungen der beiden Tunktreihen 
sind dann nach (6) gegeben durch 

oder für 
durch : 

Xi — 9X2 = 

Die hier auftretende Constante ^ ist für die Transformation charak- 
teristisch-, sie gibt nämlich unmittelbar das Doppelverhältniss ziveier 
cnlsprechender Punkte mit den beiden Doppeleletnenten; und dies ist somit 
constant. Es bietet daher Interesse, die Constanten c\ c durch die 
Coefficienten der Transformation, d. h. in unserem Falle durch die 
Coefficienten a, b, a, ß auszudrücken. Für A', A" haben wir aus (7) 
die Werthe: 

2 {bß) A' = - [{aß) + ibci)] + // 

2 (bß) A" = - Kaß) + (ba)] -]/l, 

wo 

/ = \(aß) + {ba)f — 4 {tia) (bß) 



200 Dritte Abtheilung. 

gesetzt ist. Wegen der Identität (vgl. (Tj p. 193): 

gehen dann die Gleichungen (9) über in: 

(12) ^^"t^^ - (*^) + yO K~2 (ab) ß., = 2 (bß) /;, • 
{{aß) ~{ba)- yi) b,, ._ 2{ab)ß,^2 (bß) q^, ; 

und diese Gleichungen sollen auch für x, = ^, bestehen. Setzt man 
andererseits die Werthe von X , X" in (10) ein und benutzt die 
Identität : 

{bß)a, = {aß)b.~{ab)ß^,, 
so kommt 

(13) ^ ^^^■^ ^""^ + ^' ^^^ ^ (^' + y^^ ^^ + 2 («^) ^^ 
2 (bß) (a^ + rß^ = (/, + j/f) ß. 4_ 2 (aß) b., 

wo zur Abkürzung 

k = (aß) — (ba) 

gesetzt ist. Mit Hülfe der Identität 

(aa) (bß) = (ab) (aß) + (aß) (ba) 

kann man nun die Invariante / auch auf die Forin 

/ = i(aß) _ (ba)Y - 4 (ab) (aß) = /-^ _ 4 (ab) (aß) 

bringen. Unter Berücksichtigung dieser Relation erhält man, wenn 
man in (12) die x mit den g vertauscht, daraus b^, ß^ berechnet und 
in (13) einsetzt, das Resultat: 

a, + X"ß,= '^-y^q,^c',,. 

Wir können somit den folgenden Satz aussprechen: 

Das DoppelverhäUniss zwischen den Doppelpunkten und zwei entspre- 
chenden Punkten der beiden projectivischen Reihen ist eine Constante; 
und zum- drückt sich dieselbe durch die Invarianten k, l aus in der 
Form: 

c k — V7 



k + Vi 
Für besondere Werthe dieser Constanten ergeben sich auch be- 
sonders ausgezeichnete Beziehungen der beiden Punktreihen zu ein- 
ander. Zu einer weiterhin noch öfter anzuwendenden Invarianten- 
relation gelangt man z. B. in folgender Weise. Jedem Punkte mit 
dem Parameter q der ersten Reihe (13) entspricht in der zweiten 



Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen. 201 

Keihe ein Punkt, welchem, insofern er der ersten angehört, der Para- 
meterwerth q • ^7 zukommt, d. h. welcher gegeben ist durch: 

Diesem entspricht wieder ein dritter Punkt der zweiten Reihe, dessen 
Parameter, insofern er der ersten angehört, gleich (> ( ^ ) ist, u. s. f. 

bis zu einem (n -j- 1)*^" Punkte mit dem Parameter (>(7 ) • Wir ha- 
ben dann eine Reihe von Punkten: 

c /c\2 /c\"-l /c\" 

von denen jeder folgende dem vorhergehenden durch unsere projecti- 
vische Zuordnung der beiden Punktreihen entspricht. Wir fragen 
nach der Bedingung dafür, dass wir durch Fortsetzung dieses Processes 
zu dem Ausgangspunkte q zurückgeführt werden. Soll dies z. B. für 
den (m -\- 1)'"' Punkt eintreten, so haben wir offenbar nur 



(^r-a 






anzunehmen. Bezeichnen wir nun ein Systen von solchen Punkten 
als ein cyclisch-projectivisches, so haben wir den Satz: 

Wenn das eine projectivische Vcrwandhchaft char akter isir ende 
Doppelverhältniss gleich einer n'"" Wurzel der VAnheil ist, so kann man 
von jedem Punkte der Reihe ausgehend ein cijclisch-projcctivisches System 
von n Punkten angeben."^) D. h. sind A, , A., . . . A„ die Parameter dieser 
Punkte in der Reihe 

X, + AX, = 0, 

so sind die durch folgendes Schema angegel)enen Systeme von Punkten 
alle zu einander projectivisch: 



*) Legt man statt der Punktreihe ein Strahlbüschcl als geometrisches Bild 
»u Grunde und wählt die beiden vom MittelpuiAte desselben nach den imagi- 
nären Kreispunkten gehenden Linien als Doppelstrahlen für eine lineare Trans- 
formation, so ist die letztere identisch mit einer Drehung des Büschels um seinen 
Mittelpunkt. Die Forderung der cyclischen Projectivität geht dann in die an- 
dere über, dass ein Strahl durch w- malige Wiederholung einer Drehung um 

einen bestimmten Winkel (welcher durch das Doppelverhältniss^ gegeben ist) 

in seine Anfangslage zurückkehre. Man wird also dann zu den Kreisthtiluv(js- 
ijleichungen geführt. 



202 Dritte Abtheilung. 



0. 


h 


■> ^2) 


A3., 


• • ^/i— 1, 


A« 


, 00 


0, 


h 


, h, 


^l- 


..In , 


^> 


, 00 


0, 


h 


) ^D 


h'- 


■•^i , 


A, 


, Oü 



0, A„_ 1, /l„, 2^ . . . A,, _3, A„ _ 2, 00 

Es darf hier jedoch nicht ^ = 1 werden, denn dies würde nur 
für / = eintreten, also nur, wenn die Doppelelemente zusammen- 
fallen.*) Die n Punkte können bei reellen Doppelelementen nur 
sämmtlich reell sein für ^_, = _ 1, d. h. für n = 2. In diesem Fa/ie, 
den man als Involution bezeichnet, entsprechen immer zwei Punkte einander 
wechselseitig, so dass es gleichgültig ist, welchen von ihnen man der 
einen, welchen der andern Reihe zuzählt. Wir sind auf diese Invo- 
lution schon früher in der Kegelschnitttheorie geführt (p. 135); sie ist, 
wie wir schon damals sahen, dadurch charakterisirt, dass je zivei ent- 
sprechende Punkte mit den Doppelpunkten ein harmonisches System bilden. 
Die Gleichungen der beiden Reihen werden in der That von der Form : 

X 1 — A ^2 = 

X, + /IX2 = 0; 
und wegen 

-==ll^^^ = _ 1 
'' k + Vi 

ist allgemein die Bedingung der Involution: 

(14) k^{ci^) — {ba) = {). 

Wir können eine Involution auch durch eine einzijje Gleichun«-- 

(15) Xi"-p2x,2_,o 

darstellen, wo wir dann für jeden Werth von q das Product der beiden 



*) E« sei ferner bemerkt, dass s und ^-(s = y \) nichts Verschied"enes geben; 

denn sie bewirken nur eine Vertauschung von Y l und /^— /, also nur eine Ver- 
tauschung der beiden projectivischen Gebilde. Man hat daher bei ungeraden n 
nur auf \{n — \) Werthe von 8 Rücksicht zu nehmen. Ebenso ist bei geradem 
w, sobald n > 2 der Fall g = — 1 auszulassen ; und es bleiben wieder nur | (n — 2) 
Werthe von f. — Gibt es eine ?/jte Potenz von f, welche niederer, als die «te ist, 
und für die schon f« = 1 , so besteht der Cyclus nur aus m verschiedenen Punk- 
ten, die - mal durchlaufen werden, indem dann m ein Factor von n ist. 



Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen. 203 

einander entsprechenden Punkte erhalten.*) Unter diesem Gesichts- 
punkte erscheint die Involution als Specialfall eines allgemeineren 
Gebildes, das durch eine Gleichung von der Form: 

ttx" + Uj' = 

daro-estellt wird. Ehe wir jedoch auf diese sogenannten Involuüonen 
höherer Ordnwuj näher eingehen, müssen wir kurz einen Blick auf 
eine Art von Covarianten mit zwei Reihen von Variabein werfen, die 
aus der Grundform / durch wiederholte Anwendung des Processes 

df , df 

entstehen und eben dadurch schon als invariante Bildungen gekenn- 
zeichnet sind. 

Wir erhalten dieselben nach dem Taylor 'sehen Satze einfach 
als Coefficienten einer Reihenentwicklung, Avenn wir in der Form 
/■ = cicc" setzen : 

'•^2 = Vi + ^-'n 
wo dann der veränderliche Parameter 

X = ^^ 

{xz) 

proportional zu dem Abstandsverhältnisse eines beweglichen Punktes 
X von zwei festen Punkten y und z ist. Durch diese Substitution 
geht die Gleichung /=0, nach Potenzen von l entwickelt, über in: 

= «/ + \ lay—Ui-^ + ^n^"^ A^ V'^^' + + '^"«--" • 

Die n Wurzeln dieser Gleichung geben die n Punkte, durch welche 
die Form f geometrisch dargestellt wird. 

Die Coefficienten der Gleichung sind bekanntlich proportional zu 
den Combinationssummen ihrer Wurzeln; und hieraus ist die geome- 
trische Bedeutung einer jeden Gleichung: 

üy^-'a/ = 

evident. Dieselbe ist, je nachdem die tj oder z als gegeben angenom- 
men werden, eine Gleichung von der r*«-^ Ordnung für die z oder von 
der in — rY"" Ordnung für die y. Man nennt im ersten Falle dio 
Punkte z das Polarsystem'**) r'"' Ordnung oder das {n — r)" Polarsystem 

*) Vgl. Näheres hierüber in dem folgenden Abschnitte über binäre quadra- 
tische Formen. 

**) System der harmonischen Mittelpunkte nach der Bezeichnung von Fon- 
celet: Memoire sur les centres des moyennes harmoniques, Crelle's Journal, 
Bd. 3, 1828. — Der Polarenbegriff im ternären Gebiete (vgl. die folgende Ab- 



204 Dritte Abtheiluug. 

des Poles y in Bezug auf das gegebene System der n Punkte x, im 
letzteren Falle die Punkte y das Polarsystem {n — i-J"'- Ordnung des 
Poles z. Wir können also sofort die folgenden Sätze aussprechen: 

Pas r'" Polarsystem eines gegebenen Poles z in Bezug auf ein gege- 
benes System von n Punkten besteht aus n — r Punkten y, ivelche die 
Eigenschaft haben, dass für sie die Summe der Combinationen der Quo- 
tienten (Abstandsverhältnisse) ^~^\ zu n — r verschwindet. 

\xz) 

Gehört y zum r'"' Polar Systeme des Poles z, so gehört z zum (n — ;■)'«« 
Polarsysteme des Poles y. 

Der letztere Satz ist in dem folgenden allgemeineren enthalten, der 
sich aus Betrachtung einer Gleichung 

a.t^at" . . . a/ =0, (}i -\- v -{-... -\- X = n) 
von selbst ergibt: Bildet man für die gegebene Punktgruppe das v"' 
Polarsyste?n eines Poles t, für dies neue Punktsystem das fi^" Polarsystem 
eines Poles z, etc. und gelangt ?nan so schliesslich zu einer Gleichung A"" 
Grades, welcher l Punkte y entsprechen, so bleibt derselbe Zusammen- 
hang noch bestehen, tvenn man in irgend einer Weise gleichzeitig die 
Punkte y, z, t ... und die Ordnungen A, ^, v ... der einzelnen Polar- 
systeme vertauscht. 

Ferner folgt aus der Gleichung 

a,/aJ'a^" = a,/agf^ + '' . 

Bildet man für die gegebene Punktgruppe das v^"^ Polarsystem des 
Poles z und für dies neue System das ^»^ Polarsystem desselben Poles, 
so ist das letztere auch das (^ -f v)*« für diesen Pol in Bezug auf die 
gegebene Punktgruppe. 

In ähnlicher Weise lassen sich noch eine Menge Sätze über die 
Polargruppen ableiten.*) Wir erwähnen nur die folgenden: 

Das (n — 1)'« Polarsystem besteht aus einem einzelnen Punkte. Ist 
nun das gegebene System entstanden aus einem Punkte b,,. = und 
einer Gruppe von {n — 1) Punkten c^"-i = 0, so ist 

theilung dieser Vorlesungen) findet sich bereits bei Gramer, der jedoch nur den 
unendlich fernen Punkt der r-Axe als Pol nahm (Introduction ä Fanalyse des 
lignes courbes, Genf 1750, p. 135); die {n — l)tcn, d. h. linearen Polaren mit un- 
endlich fernem Pole hat schon Newton. Die Bezeichnung der ganzen ßeihe 
als erste, zweite . . . Polare stammt von Bobillier (Gergonne, Annales t. 18 
find 19, 1828); die einfache Behandlung der Theorie mittelst homogener Coordi- 
naten von Plücker (Crelle's Journal, Bd. 5, 1829). Vgl. ferner Grassmann: 
Theorie der Centralen, ib. Bd. 24, 1842; Jonquieres: Memoire sur la the'orie 
des poles et polaires, Liouville's Journal, aoüt 1857; Cayley: Fifth momoir 
upon quantics, Phiios. Transactions, t. 148, 1858; und Cremona's Einleitung in 
die Theorie der algebraischen Gurven. 

*) Es sei bemerkt, dass diese Sätze später für die Theorie der algebraischen 
Gurven von Wichtigkeit worden. 



Einleitung In die Theorie der algebraischen Formen. 205 

nciy oJ' -^ = hy C-" - 1 -f (rt — 1) h.^CyCJ' - - . 
Genügt also y zugleich den Gleichungen 

hy = und CyCJ' -2 = 0, 

so verschwindet auch ayü^' — ^, d. h. : 

Der {n — 2)''' Polarpunkt eines St/slems von (« — 1 ) Ptinkten ist 
auch der (n — 1)''" Polarpunkt des Syste7ns, welches aus jenen (ji — 1) 
Punkten und aus ihm selbst gebildet wird. 

Fallen p Punkte der gegebenen Gruppe zusammen, so enthält, 
wenn p > r, die Gleichung ay" — ''a^'' = den betrefiFenden Punkt {ij) 
{p — r)-mal als Factor, oder: 

Fallen in dem gegebenen Systeme p Punkte zusafnmen, so fallen in 
denselben Punkt {p — r) Punkte des r"'" Polarsystemes eines jeden belie- 
bigen Poles. 

Ist der vielfache Punkt, dessen Gleichung c~ = sein mag, zu- 
gleich der Pol, so folgt aus der Form 

rt.v" = cJ>b,-,"-P 

bei Bildung der r*^" Polare für diesen Pol: 

a,," - '■ as = ft . Cyi' by" ~p->- bJ , 

wo II einen Zahlenfactor bedeutet, d. h. 

Pas r^" Polarsystem eines p- fachen Punktes besteht aus diesem Punkte 
selbst, p-mal gerechnet, und aus der r"" Polare dieses Punktes für die 
übrigen (n — j^) Pu>if^l(^ f^^^s Systems. 

Für p -\- r '^ n verschwindet aber der Ausdruck r/,/'- ' «/ identisch 
d. h. unabhängig von den z\ und das Polarsystem wird unbestimmt. 
Also: 

Alle Polarsysteme des p -fachen Punktes von einer Jiöheren , als der 
{ri — />)''■" Ordnung sind unbesiim?nt.*} 

Die hier entwickelte Polarentheorie gibt sofort Gelegenheit zur geo- 
metrischen Interpretation einiger sehr wichtiger Covarianten, die noch 
erwähnt sein mögen. Es gibt nämlich solche Pole (y), für welche zwei 
Punkte des ersten Polarsystems (z) zusammenfallen. Zur Bestimmung 
derselben haben wir (vgl. p. 181): 

oder wegen 

♦) Dem entspricht z. B. in der Ebene der Satz, dass für einen zerfallenden 
Kegelschnitt jede Gerade als Polare des Doijpelpunktes aufgefasst werden kann 
(vgl. p. 101). 



2()G Dritte Abtheilung. 

(IG) "^^ ^-^^-^ . 

Eliminirt man aus diesen beiden Gleichungen y, , ?/., , so sind die 
Doppelpunkte der Polarsysteme gegeben durch (rechts müssen in einer 
^Jleichung neue Symbole h eingeführt werden, vgl. p. 191): 

j dH gy j 

I dzz dzi dz^^ I 

Dies ist aber die uns schon bekannte Hesse'sche Determinante von 
/, die wir oben auch in ihrer symbolischen Gestalt bildeten. Wir 
wollen dieselbe abgesehen von dem Factor ^ ti"^ (ji — 1)'^ mit A be- 
zeichnen, und also setzen: 

(18) A = aJ- -'-b,"-^ (a b) (r/, b, — b^ a.^ = (a b) -' a," - ''bJ' - ^ 

n^Xn - 1)2 \czi^ dz^^ ^dz.dzj ) ' 

Eliminirt man dagegen aus den Gleichungen (IG) die z, so erhält 
man eine andere Gleichung P = 0, die ebenso wie A = von der 
Ordnung 2 n — 4 ist. Also: 

Für Jedes Syslem von n Punkten gibt es eine Gleichung (2 n — Ay^'' 
()rd7iung (P = 0), ivelche die 2 ?^ — 4 Pole angibt, deren erste Polar- 
systeme Doppelpunkte haben. Biese Doppelpunkte selbst sind durch die 
HesseVÄe Covariante ((17) bez. (18)) gegeben. 

Ferner kann man nach solchen Polen fragen, deren erste Polar- 
systeme in Bezug auf die Grundform und in Bezug auf die Hesse- 
sche Form einen gemeinsamen Punkt haben. Diese Pole bestimmen 
sich durch das Zusammenbestehen der Gleichungen: 

(19) ^-' ^'' 

= ?^ y, + 1^ y.^ = [n-2){^ab)\aJ'~H.--H,-^bJ'-^aJ'-'^a,;). 

Die Elimination der y führt hier auf die Functionaldeterminante der 
Grundform und der Hesse sehen Covariante: 



df 


df 


dz, 


OZi 


dA 


dA 


dz, 


dz. 



m) 12 dA = ^ (2 ^^ - 4) (« A) a^" - 1 AJ "-'' = 0, 

dzi dzi 
wo A,, A.^ Symbole von A sind, indem 

AJ"- ^ = (A,a-, + A.,x.,y"--' = A 



Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen. 207 

gesetzt ist. Um für dieselben die Symbole der Grundform {a, h ^ c) 
einzuführen^ haben wir nur die Elimination aus den in (19) rechts 
stehenden Ausdrücken auszuführen. Wir müssen dabei jedoch die n 
einmal durch neue Symbole c ersetzen, weil sonst beim Rückgange 
zu den wirklichen Coefficienten Mehrdeutigkeit entstehen könnte. 
Ferner bemerken wir, dass die beiden Glieder der zweiten Gleichung 
mit einander identisch sind, denn das eine geht aus dem andern durch 
Vertauschung von a und h hervor. Wir haben demnach die y aus 
den folgenden beiden Gleichungen zu eliminireu : 

ciyttJ'-'^ = 

und erhalten dadurch an Stelle von (20): 

(21) T = {ab) (b c)- a," - i cJ' -^bJ'-'^ = 



n(2« — 4) \dzi 8z2 dz, dz^) 



Die Elimination der z aus (19) ergibt eine andere Gleichung 
0=0, die ebenso wie 7' = von der Ordnung 3 // — 6 ist ; wir 
haben also den Satz: 

Es gibt 3 w — 6 Pole (0 = 0), deren erste Polarsystetne, gebildet für 
das gegebene . Systejn und für das System der Doppelpunkte (d. /. der 
H e s s e "irÄön Form), einen gemeinsamen Punkt haben. Die gemeinsamen 
Punkte bestimmen sich durch die Gleichung T = von der (3 n — 0)''''" 
0?^dnung. 

— Von der Polarentheorie werden wir nun in der Theorie der 
allgemeineiLJnyolutionen*) Gebrauch machen, zu der wir uns jetzt 
wenden. Eine Involution n'"''' Ordnung ist durch die Gleichung: 

(22) «,« + AV = 

gegeben, wo unter a und b Symbole verschiedener Formen verstanden 
sind, und A ein veränderlicher Parameter ist. Die Gleichung stellt eine 
Reihe von Punktgruppen (in Anlehnung an Curvenvorstellungen auch 
Büschel genannt) vor, deren jede aus n Punkten besteht, so dass jeder 
Punkt der Geraden nur in einer Gruppe vorkommt; und das ganze 
Büschel ist durch irgend zwei Gruppen bestimmt. Die Betrachtung x 
entspricht sonach durchaus derjenigen eines Kegelschnittbüschels in 
der Ebene, wo auch durch jeden Punkt der Ebene nur eine Curve 
des Büschels geht. Wie hierin drei zerfallende Kegelschnitte (drei 
Curven mit Doppelpunkt) vorkommen, so gibt es in der Involution 



*) Vgl. Cremona: Einleitung in die Theorie der ebenen Curven; Jonqui- 
ijres: Generalisation de la theorie de rinvolntion. Annali di Matematica t. II 
Tiud Cayley: Transactions of the Cambridge Philosophical Society, t. XI, 18G5. 



208 Dritte Abtheilung. 

einige Gruppen, welche zwei zusammenfallende Punkte enthalten; sie 
sind gegeben durch die Bedingungen: 

Hieraus ergibt sich durch Elimination von k das Verschwinden der 
Punctionaldeterminante von «.,.« und h^" : 

(23) (^ab)a^--n^-,"-^^0, 

J^ und eine andere Gleichung ebenso hoher Ordnung durch Elimination 
von x, , X.,, in welcher l die Unbekannte ist. In einer Involution n'"' 
Ordnung gibt es daher 2n — 2 Punktgruppen, die einen Doppelpunkt 
haben; und die Doppelpunkte sind durch die Gleichung (23) bestimmt. 

Diese Gleichung ändert sich nicht, wenn man eine oder beide der 
Formen aj" , hj' durch irgend eine andere der Involution ersetzt: 
So ist z. ß. die Functionaldeterminante der Formen aj' -j- XbJ', 
a^." -\- A'^>.^.", wenn a und ci, b und // bez. gleichwerthige (vertausch- 
bare) Symbole bedeuten, gleich: 

{aa) a,."-'a\."~' -{- X (ba) ZV'-Iö,."- ' + T (ab) a,,"-'bj'-^ 

+ AA' (bl/) bJ'-H'.,""' = (r — 2.) . (ab) r/,,."- W-i ; 

denn das erste und letzte Glied ändert bei der Vertauschung von a 
und a bez. b und b' sein Vorzeichen; beide verschwinden also iden- 
tisch (vgl. p. 194). Solche simultane invariante Bildungen aus Formen 
gleicher Ordnung, ivelche sich nur um einen Factor ändern, wenn man 
eine dieser Formen durch eine lineare Co?nbination aller ersetzt, sind von 
ausserordentlicher Wichtigkeit, und wir werden denselben noch wieder- 
holt begegnen. Man pflegt sie als Combinanten des betreffenden 
Systems*) von Formen zu bezeichnen: Insbesondere ist also die 
Functionaldeterminante zweier binärer Formen gleicher Ordnung eine 
Combinante für die durch dieselben bestimmte Involution. 

Eine Involution kann man z. B. unmittelbar durch die ersten 
Polarsysteme einer Form aj'\ 

aj' - ^ Uy = 
erzeugt denken , wenn man '^ als Parameter ansieht: also: Jedes erste 

Polarsystem einer Gruppe von n Punkten bildet eine Involution {ii — l)'^'" 
^ Ordnung. Mit Hülfe des vorigen Satzes folgt hieraus wieder die geo- 
metrische Bedeutung der Hesse 'sehen Co Variante einer binären Form. 
Zwei Involutionen von der Form : 

af -f A^i'" = 0, 

•) Vgl. Näheres hierüber bei Gordan: Ueber Combinanten, Math. Annalen, 
Hd. 5. 



Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen. 209 

die einander so zugeordnet sind, dass einer Gruppe von n Punkten x 
der ersteren immer eine Gruppe von 7n Punkten ^ der anderen ent- 
spricht, wenn beiden Gruppen derselbe Werth von X zugehört, heissen 
projectivisch (allgemeiner^' könnte man in der zweiten Involution einen 
Parameter ^ annehmen, der mit A durch eine lineare Gleichung 
verknüpft ist). In diesem Sinne ist folgender Satz sofort ersichtlich: 

Wenn man von einem Involutmissysteme ausgeht u?id für eine belie- " 
biffe Anzahl fester Pole in Bezug auf jede Gru^^e des Systetns nach 
einander die Polar Systeme derselben Ordnung bildet, so sind alle Reihen 
dieser neuen Systeme involutorisch ^ und die Involutionen sind alle hinter 
einander projectivisch. Die (n — 1)*^^ Polarsysteme eines gegebenen 
Poles y: 

bilden eine einfache Punktreihe. Das Doppelverhältniss von vier Punk- 
ten dieser Reihe soll auch das Doppelverhältniss der entsprechenden 
(d. i. für denselben Werth von A gebildeten) Gruppen der gegebenen 
Involution, oder, was dasselbe ist, der für jenen Punkt als Pol abge- 
leiteten Polarsysteme heissen. Das Doppelverhältniss ist aber nur ^ 
von den Werthen des reihenden Elementes l für die vier Punkte 
abhängig, also unabhängig von dem Pole; und somit folgt: 

Das Doppelverhältniss von vier Punktgruppen einer Involution, welche 
durch Polarenbildung aus vier Gruppen einer gegebenen Involution ent- 
standen sind, ist gleich dem Doppelverhältniss der letzteren und unab- 
hängig von den benutzten Polen. — 

Die projectivische Zuordnung der beiden Involutionen (24) können 
wir auffassen als eine höhere Verwandtschaft: Jedem Punkte x der 
Geraden entsprechen m Punkte l und jedem Punkte i n Punkte x; 
und zwar ist der Zusammenhang zwischen den Punkten x und | ge- 
geben durch die Gleichung: 

(25) ä!.r" i3t™ — bj' af = , 

welche das Resultat der Elimination von X aus (24> ist und die Stelle 
der bei der linearen Verwandtschaft auftretenden Gleichung (6) ver- 
tritt. Es kann nun insbesondere vorkommen, dass ein Punkt x mit 
einem der ihm entsprechenden Punkte i zusammenfällt, d. h. dass die 
beiden einander zugeordneten Gruppen der Involutionen einen gemein- 
samen Punkt haben. Wir erhalten diese gemeinsamen Punkte aus 
der Gleichung 

(26) «.•"/3.."'-&."«r"' = 0, 

oder aus einer Gleichung für X von ebenso hohem Grade. Es ergibt 
sich also der Satz: 

Zwei Involutionen vom m^'" und n^"" Grade, welche projectivisch sind, 
haben m -\- n entsprechende Gruppen , denen ein Punkt gemeinsam ist. 

Ulebsch, Vorlesungen. 1"^ K- ' . r, 



210 Dritte Abtheilung. 

Dieser Satz ist in einem noch allgemeineren enthalten; zu 
letzterem gelangt man einfach, wenn man die Gleichung (25) durch 
die andere 

(27) <p(x, i)=-0 

ersetzt, wo rp eine homogene Function w*«»' Ordnung in x^, x., und 
w*« Ordnung in ^,, ^2 bedeutet. Die Gleichung (27) begründet dann 
wieder eine Verwandtschaft (Correspondenz) allgemeinster Art, bei der 
jedem x n Funkte ^ und jedem ^ tn Punkte x entsprechen. Die Be- 
dingung, dass ein Punkt x mit einem entsprechenden g zusammen- 
falle, gibt eine Gleichung von der Ordnung m -\- ti, d. h. ?n -{- n 
„Coincidenzpimkte der Correspondenz cp". Wir sprechen dies im fol- 
genden Satze aus, der als Chaslessches Correspondenzprincip*) 
bekannt ist, und den wir noch sehr oft anwenden werden: 

Hat man auf einer Geraden eine Verwandtschaft (Correspondenz)^ 
durch welche jedem Punkte x m Punkte | , jedem dieser Punkte % aber 
n Punkte x entsprechen, so kommt es {in + n)-mal vor, dass ein Punkt 
X mit einem entsprechenden Punkte % zusammenfällt. — 

Wenn in (24) die Functionen aj' , bj' einen gemeinsamen Factor 
pitr Ordnung enthalten, so kommen die ihm entsprechenden Punkte 
in jeder Gruppe der Involution vor, und letztere besteht aus diesen p 
festen Punkten und einer Involution {n — /j)*^'" Ordnung. Ist dasselbe 
mit der zweiten Gleichung (24) für einen Factor vom ;;'*"^" Grade der 
Fall, so zerfällt die Gleichung i^'o) in die beiden Factoren von der 
Ordnung p und p und in einen Factor von der {m -\- n — p — y)ten 
Ordnung. Also: es gibt dann nach Ausscheidung dieser festen Punkte 
nur noch m -\- n — p — p Gruppen der Involutionen mit je einem ge- 
meinsamen Punkte. 

Enthält dagegen eine bestimmte Gruppe der einen Involution 
einen linearen Factor r-fach, die entsprechende der andern denselben 
Factor s-fach und ist r > s, so enthält die Gruppe der gemeinsamen 
Punkte der Involutionen diesen Factor ,9- fach; und so lassen sich noch 
eine Reihe ähnlicher Sätze aufstellen. Wir verlassen indessen diese 
allgemeinen Erörterungen; wir werden im Folgenden noch (Telegen- 
heit haben auf die quadratischen, sowie auf einige besondere cubische 
und biquadratische Involutionen näher einzugehen. 



IV. Die binären quadratischen und cubischen Formen. 

Wenn wir uns jetzt dazu wenden, die Formen niedrigster Ord- 
nung systematisch zu behandeln (um hauptsächlich die geometrischen 

*) Vgl. Chasles: Comptes rendiis de l'acadumie des sciences, 27. Juin I8G4. 



Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen. 211 

Bedeutungen ihrer Invarianten und Covarianten kennen zu lernen), 
so ist es nach den obigen formentheoretischen Ausführungen zunächst 
unsere Aufgabe, für die betrachtete Grundform alle möglichen Inva- 
rianten und Covarianten aufzustellen und die etwaigen Abhängig- 
keitsgesetze derselben unter einander anzugeben. Es drängt sich 
somit die Frage auf: Giebt es für eine gegebene Form eine endliche 
Anzahl von unter einander unabhängigen invarianten Bildungen, 
durch welche sich alle andern rational und ganz ausdrücken lassen? 
In der That hat nun Gordan den Beweis gegeben*), dass eine jede 
binäre Form, sotvie ein Jedes siinultane System solcher Formen ein endliches 
,,Fo7^mensystem'-' besitzt^ d. h, eine endliche Anzahl von Invarianten und 
Covarianten der verlangten Art. Der Beweis dieses Satzes, auf den 
wir hier nicht näher eingehen können, beruht wesentlich auf der von 
uns schon sonst als wichtig erkannten symbolischen Darstellung der 
Formen. Wir sahen früher, wie man mittelst derselben ganz allge- 
mein die äussere Gestalt der invarianten Bildungen angeben kann; es 
kommt also nur darauf an, einen Process anzugeben, durch welchen 
man im Stande ist, die zunächst unendliche Zahl derselben in syste- 
matischer Weise nach einander und aus einander zu bilden ; und dann 
hat man nachzuweisen, (dass dieser Process alle Invarianten und Co- 
varianten gibt, und) dass derselbe nicht in's Unendliche fortgesetzt 
werden kann, ohne auf Verbindungen von schon vorher erhaltenen 
Bildungen zurückzuführen. Diese Bildungsmethode besteht in Fol- 
gendem. 

Es seien zwei Formen gegeben 

f == <■/ /' und (p = aj" , wo n "> ?n , 

so kann man in einfachster Weise aus denselben Covarianten erzeugen, 
indem man die Ausdrücke 

(1) (««)''•«/-''•«/"-* 

für /t = 1 bis k == m bildet. Dass diese sogenannten „Ueherschiehvngen 
von f i'iber cp" die Invarianteneigenschaft besitzen, ist aus ihrer Gestalt 
klar; und gleichzeitig sind es die einzigen Formen, in welchen die 
Coefficienten von a.r" und a,^.'" linear vorkommen. Für A = würden 
wir das Product der beiden Grundformen, für A- = 1 ihre Functional- 
determinante erhalten. Das nicht symbolische Bildungsgesetz für 
letztere kennen wir bereits; es ist dargestellt durch die Gleichung: 

, N , , 1 /df dcp df dcp\. 
(acc) aj'-^a-c"'-^ = [^ ^ — ^ SV ) 

\ I ^ -^ n . m \dxi 0x2 0x2 OXxJ 



*) Für eine einzelne binäre Form im 69. Bd. von Grelle' s Journal; verein- 
facht und für ein simultanes System iiji 2. Bd. der Math. Annalen. Vgl. auch 
den vierten und sechsten Abschnitt in dem erwähnten Werke von Clebsch. 

14* 



212 Dritte ALtheilung. 

ebenso lässt sich aber auch die A*^ Ueberschiebung (1) auf eine Com- 
bination der Differentialquotienten von f und cp zurückführen. Durch 
Entwicklung der Potenz (««)'' und nachherige Multiplication mit 
r/.^." ~ ''•' uj" ~ ''■ erhält man nämlich lauter Glieder von der Form 

^ / ^ y /c (A: - 1) ■ ■ . (/; - i + 1) ^_JLL__ gS . 

'^ ) 1 . 2 . . . t . « . . . (w — A + 1) . m . . . (m — A + 1) ^x.^-'dx^ dx^dx^- ' ' 

und man übersieht nun leicht, wie sich durch Einsetzung dieser 
Werthe die wirklichen Bildungen gestalten.*) Für k = 2 bekommt 
man z. B. : 

(«aV ^ « - 2^ «< - 2 _, \ /_^ ü? _ 2 ^'^ g'y , oH d^cp 1 

^ J -^ ■'*" ?j (7j Ij ;« (;rt 1) \dx,^ dXz^ dxy dx.^ dXf ^.Tj "^ ^ir2^ ^^|^ / 

Statt zweier Formen f, cp kann man bei Bildung einer Ueber- 
schiebung auch zweimal dieselbe Form /" = a^" = b^^'^ anwenden ; es 
entstehen dadurch Invarianten und Covarianten von /', welche die Coef- 
ficienten im zweiten Grade enthalten, und von denen man nach den 
oben genannten Principien beweist, dass sie die einzigen Bildungen zwei- 
ten Grades sind, nämlich: 

Für k == 2 erhält man so z. B. wieder die Hesse 'sehe Covariante. 
Es verschwinden hier aber alle diejenigen üeberschiebungen identisch, 
für welche k eine ungerade Zahl ist, weil diese Formen durch Ver- 
tauschung der beiden gleichbedeutenden Symbole das Vorzeichen 
ändern (vgl. p. 194). Ist nun eine Form /' gegeben, so bildet man, 
um ein vollständiges Formensystem zu erhalten, zunächst alle üeber- 
schiebungen von /■ über sich selbst; darauf die der erhaltenen neuen 
Formen über /, u. s. f. Es wird dann in dem von Gordan gege- 
benen Beweise gezeigt, dass man auf diese Art sämmliche Covarianten , 
und Invarianten erhalten kann, und dass die Zahl der von einander 
unabhängigen eine endliche ist. — Es sei noch bemerkt, dass sich 
durch diesen Process unmittelbar eine Anordnung der erhaltenen 
Formen nach dem Grade in den Coefficienten der Grundform ergibt, 
denn dieser wird bei jeder neuen Ueberschiebung über die Grundform 
um eine Einheit erhöht. Es ist diese Eintheilung wichtiger, als etwa 
die nach der Ordnung in den Variabein, da sie gleichzeitig Covarianten 
und Invarianten umfasst. 

Wir wollen diese Principien nun zum Studium der quadratischen, 



*) Diese Bildungen wurden von Cayley angegeben: A fourth memoir iipon 
quajitics; Philos. Tranaactions, 1858. 



Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen. 213 

cubischen und biquadratischen Formen benutzen. Es sei zunächst eine 
quadratische Form 

f = aj = «0^1^ + 2 a^x^x.y + «2^2" 
gegeben. Die erste üeberschiebung derselben über sich selbst liefert 
die uns schon bekannte Invariante 

D = {cihy = 2 (f/,, a, - f/r) ^ '^ 
und weiter können wir den Process des Ueberschiebens nicht fort- 
setzen In der That lässt sich hier auch leicht direct zeigen, dass D 
die einzig mögliehe invariante Bildung von f ist. Ein jedes Punktepaar 
nämlich kann, wenn es nicht aus zwei zusammenfallenden Punkten 
besteht, in jedes andere Punktepaar (oo oft) linear transformirt werden, 
denn eine lineare Transformation ist erst festgelegt, wenn man drei 
Punkte dreien anderen zuordnet. Ein Punktepaar hat daher keine 
absolute Invariante, d. h. es kann nur die eine Invariante auftreten, 
deren Verschwinden das Zusammenfallen der Punkte des Paares aus- 
sagt: und diese Bedingung ist, wie wir schon früher sahen (p. 190) 
durch D = gegeben. Eine Covariante von / müsste nach unseren 
allgemeinen Sätzen (p. 187) von der Form sein: 

W = {ah) acclyy • M, 
wo ¥ die Symbole a, h nicht enthält, und wo x, y beliebige Grössen 
sind (entweder selbst Punktcoordinaten oder, indem z. ß. y, - c.^, 
„ =L.c Symbole von f, die durch weitere in M enthaltene Sym- 
bole zu wirklichen Coefficienten von f ergänzt werden). Vertauschen 
wir in n die Symbole («, b) und nehmen die halbe Summe beider 
Ausdrücke, so kommt nach Identität IV: 

n = i (<^&) («r ^y — b.v cty) M 
= ^{abY{xy)M. 
Hat also eine Covariante von f den Factor (ab), so hat sie auch den 
Factor (nby. Indem man nun auf M denselben Process anwendet, 
erkennt man, dass alle Covarianten Aggregate von Producten der Form 
Jß^ . r . ^' sein müssen, wo N die Coefficienten von /■ nicht mehr 

enthält. ^ ., n i- j- 

Die Theorie einer quadratischen Form wäre damit vollständig 
behandelt; es sei nur noch erwähnt, dass der Pol eines Punktes y zu 
diesem:Punkte und den Punkten der Grundform immer harmonisch 
liegt.'^^Die Gleichung 



a^ (fy = 



sacvt nämlich unseren allgemeinen Bemerkungen zufolge aus, dass die 
Summe der Abstands Verhältnisse des Poles und des Punktes^ y von 
dem gegebenen Punktepaare Null, d. h. das Doppelverhältniss der vier 



214 Dritte Abtlieilung. 

Punkte gleich - 1 sei. Führt man daher den Punkt y und dessen 
Pol, „zwei in Bezug auf f conjugirte Punkte''^ als Coordinatengrund- 
punkte ein, so wird / bei passender Bestimmung der in die neuen 
Coordinaten g,- eingehenden Constanten von der Form (vgl. p. 86): 

— Sind zivei quadratische Formen gegeben: 
(^) /■== ax = h.-? und 95 = «,2 ^ ^^2 ^ 

so veranlassen dieselben zum Studium der Involution zweiter Ord- 
nung: 

(3) «,2_|_;^^;^_Q_ 

Letztere lässt sich immer auf die schon erwähnten projecti vischen 
Punktreihen zurückführen, deren entsprechende Punkte zu demselben 
festen Paare harmonisch sind. Dieses Paar wird nämlich durch die 
beiden in (3) enthaltenen Gruppen gegeben, welche aus zwei zusam- 
menfallenden Punkten bestehen (vgl. p. 135). Wir erhalten' dieselben 
hier aus der für X quadratischen Gleichung: 

«1 + Attj a^ '-\- Xa^^\ ' 

oder symbolisch, wenn man berücksichtigt, dass {p a)'^ = {a ^y 
= (rt!c:)2 ist: 

(4) {ahY + 2 A {aaY + A2 {a^f = 0. 

Die Wurzeln dieser Gleichung seien X\ X" und wir wollen zu- 
nächst ausdrücklich annehmen, dieselben seien von einander verschie- 
den; dann ist identisch in Bezug auf die x: 

^5) aj -^ X' aj ^ a,;-' = ^2 

aj -f X"aJ = a,."2 = 7^2 ^ 

wo nun die a, a" wirkliche Coefficienten linearer Formen a^, a^' 
sind. Eliminiren wir hieraus und aus (3) «,.2, bj, und führen stLtt 1 
das neue reihende Element 

l — l' 
ein, so wird die Involution dargestellt durch 

|2_^^2_0, 

und zerfällt also in der That in die beiden projecti vischen Punktreihen 

welche die verlangte Eigenschaft haben. Die Coefficienten der Glei- 
chung (4) sind gegeben durch die zweite Ueberschiebung von / über 
sich selbst: 



Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen. 215 

I)= (rtZ^)2 = 2K«,> — <-), 
die zweite Ueberschiebung von ^ über sich selbst: 

i>" = (a/3)2 = 2Cßo«2 - <')^ 
und durch die zweite Ueberschiebung von / über ^ : 

Die erste Ueberschiebung von f über cp führt dagegen zu der simul- 
tanen Covariante (Functionaldeterminante von / und tp und Combi- 
nante der Involution f -\- ^ fp)'- 

%- = {et a) a.r a,r = Q'.^^ . 

Durch diese vier Formen ist das vollständige simultane Formensystem 
von /" und cp gegeben ; denn alle weiteren Ueberschiebungen führen 
auf sie zurück oder verschwinden identisch, wie hier jedoch nicht 
weiter ausgeführt werden soll. 

Die geometrische Bedeutung von D und B" sind uns bekannt; es 
sind dies bez. die Discriminanten f und cp. Die Bedeutung der simul- 
tanen Invariante D" folgt aus Gleichung (4); ihr Verschwinden sagt 
nämlich aus, das die Summe der Wurzeln A' -f A" verschwinde. In 
diesem Falle erhalten wir aus (5) durch Addition 

und durch Substitution: 

aj = ,.At'. ^^' - ^') ' 
das Punktepaar von f ist daher gegeben durch 

und das von q) durch 

Das Doppelverhältniss der vier Punkte wird somit 
_ LzlI -'+ ^ = _ 1 

"~ i -f r — i — i 

nie (Ueichimy T)' ^iaay = i) sarjt also aas, dass die Punkte von 
f=^Ozu dene?uvon (p = harmonisch liegen.*) Mit Hülfe dieses 
Satzes ergibt sich auch leicht die geometrische Bedeutung von ^ = 0. 
Bilden wir nämlich die D' entsprechende simultane Invariante der 

»^Bedient mau sich der geometrischen Repräsentation auf der Kugelfläche 
■ vgl. die Anmerkung auf p. 173), so ^verden alle Punktepaare, welche zu einem 
gegebenen harmonisch liegen, durch diejenigen geraden Linien ausgeschnitten, 
welche die Verbindungslinie der gegebenen Punkte und deren harmonische 1 olare 
in Bezug auf die Kugelfläche gleichzeitig treflen. 



216 Dritte Abtheilung. 

beiden quadratischen Formen f = aj und 0- = a-.,.2, so ist dieselbe 
= (ö;^)-; sie entsteht also aus ^_r^, wenn man darin die Grössen 
x^ , x^ bez. durch a^ = b^, ~ a^ = —b^ ersetzt, und sie wird sonach 

= (« a) {a h) (a b~) . 

Diese "Form ändert aber durch Vertauschung von a und b ihr Zeichen, 
verschwindet also identisch. Dasselbe ist mit der simultanen Inva- 
riante von %• und cp der Fall, und somit folgt aus der eben abgelei- 
teten Bedeutung dieser Invarianten, dass die beiden durch %■ = dar- 
gestellten Punkte zu den Verschwindungselementen sowohl von f, als von (p 
harmonisch liegen, d. h. mit den Grundpunkten der Involution (3) iden- 
tisch sind.'^) Denn da die beiden simultanen Invarianten (ad-y, (a&y 
in den Coefficienten von d- linear sind, kann es nur ein Punktepaar 
dieser Lagenbeziehung geben. 

Durch die Gleichungen (5) ist das Problem gelöst, zwei binäre 
quadratische Form durch ein Aggregat der Quadrate der Veränder- 
lichen darzustellen, was der gleichzeitigen Transformation zweier 
Kegelschnitte in die kanonische Form (p. 124, ff.) im ternären Gebiete 
entspricht. Wir erhalten nämlich: 

4« — v^ 

^ X — l" 



f =- 



V — X" 



Die Versch Windungselemente beider Formen sind nun gegeben durch 
die Gleichungen: 

Bei der hier vorliegenden Trennung der vier Punkte in zwei Paare 
können wir das Doppelverhältniss derselben nur auf zwei Weisen 
bilden. Bezeichnen wir mit a einen Werth desselben: 

so ist der andere gleich ^. Da aber A', A" die Wurzeln der Glei- 
chung (4) sind, so haben wir: 

*) Diese Punkte sind andererseits durch das Product der Gleichungen (5) ge- 
geben. In der That erweist man leicht durch Anwendung der Identitäten auf 
p. 193 die Relation: 

^2 = — i {DT - 2 D'fcp + //>2) . 

Es ist dieselbe auch eine Folge einer später zu gebenden allgemeinen Gleichung 
für das Quadrat einer Functionaldeterminante. 



Einleitung in die Theorie der algebraisclieu Formen. 217 

1 : ;i' _|_ A" : XX' == ß : — 2 D' : D" , 

und folglich wird 

, t _ p U' +i"]!+iiX = o £'^ -\- DD" 
^ ' a "~~ (r 4- A")« — 4 X'X" D"^ — D D" ' 

Die beiden iVerlhe des Doppelverhällnisses a und - sifid daher gegeben 

durch die quadratische Gleichung (vgl. das entsprechende Problem der 
Kegelschnitttbeorie auf p. 74): 

oder : 

D"^ {a— \y — BD" {a-\--iy = 0', 

eine Gleichung , welche für « = 1 und « = — 1 das vorhin über die 
Bedeutung von D, D' und D' Gesagte bestätigt. 

" Obige Herstellung der „kanonischen Form" ist jedoch nur möglich, 
so lange die Wurzeln der Gleichung (4) verschieden sind. Ist dies 
nicht der Fall, d. h. ist 

R = DD" — D"' = Q, 

so fallen die Punkte | und ij zusammen, und -9' wird das Quadrat 
eines linearen Ausdruckes. In der That ist die Bedingung R = 
auch mit dem Verschwinden der Invariante von '9' (der zweiten Ueber- 
schiebung von % über sich selbst) identisch, denn wir haben 

R=={ahf {aßf- {^aaf {bßf = [{ab) {aß)-\-{aa) {b ß)][{ab) {aß)-{aa) {bß)-\, 

oder wegen der Identität III, (p. 193): 

R = [(««) ibß) + {ab) {aß)] {aß) {ba). 

Dies entsteht aber aus 

^,-c:^y = \(iaß){a,,ß +a,jß^), 

wenn man für x^, x.^, y^, y^, bez. a^, — «i, *2; ■— *i ^^^^^ ^"^ ^"^^ 
— 2 {ba) multiplicirt. Es ist daher auch : 

R = — 2{^a) {^b) {ba)', 
und dieser Ausdruck wieder entsteht aus 

'0' = '0'/^ = {ba) &^ a^; , 
wenn man Xy, or^ durch d".,, — ^i ersetzt und mit — 2 multiplicirt. 
Es folgt also in der That 

R = — 2 {xt&y, 

wo {xtxt'Y die Invariante von d- ist. 

Soll nun auch in diesem Falle das Punktepaar ^ zu / und (p 
harmonisch liegen — Avie dies doch aus den früheren Formeln, die 



218 Dritte Abtheilung. 

hier durchaus ihre Geltung behalten, hervorgeht, so ist dies nur mög- 
lich (vgl. p. 40), wenn / und (p gleichzeitig den durch -^ = doppelt 
dargestellten Punkt enthalten; also: 

B/e ResiiUanle ziveier quadratischen Formen kann durch die JJiscri- 
minanle ihrer Fimcüonaldeterminanle ersetzl iverden; sie ist 

(6) R=^-2 {^d-J = DD" — D'\ 

Nicht symbolisch kann man dieselbe durch Elimination von x^\ 
2x^x.;,, .Tj* aus den drei Gleichungen 

f = «„ x^' + 2 «1 a:, ^2 + «2 ^2' = ^^ 
(p = a,,a:,2 -}- 2 a, a;, x., + a.^ x^^ = 
^ = .^o'^'i' + ^ ^, a:, x, + ^^x.^' = 
in Gestalt einer Determinante erhalten; man findet: 



«n a. ö„ 



R 



«,) a^ «2 

^0 ^1 ^2 

Das Verschwinden derselben ist gleichzeitig die Bedingung dafür, 
dass die Gleichung (3) einen von A unabhängigen Factor hat. Denn 
wenn identisch (indem der Ausdruck (4) ein Quadrat wird) 

K + ^^o) K + ^«2) - K + ^«1)' = — {p-r ^q? 

ist, so kann man setzen: 

«0 + Aßo = ^ {(«1 + -^«0 + (/> + ^q)} 
«2 + Aa2 = ^- {(«2 + ^^«2) — (/>+ ^Q)}, 

und dadurch geht die Gleichung (3) über in: 

{inx^ + oc^) {(«1 + /l«,) (w.Tj + .T2) + Q) 4- Ar/) {mx^ — .r,)} = 0. 

Die Involution löst sich also für R = Q in einen festen Punkt und 
in eine einfache Punktreihe auf. — 

— Gehen wir nunmehr zur Betrachtung einer binären cubischen 
Form über. Für eine solche: 

f == aj = bj = c.r^ = dj 
= a(,Xi^ + 3 a^x{Kx., -f 3 a^XiXr,^ -f a.^x^^ 

ist das vollständige Formensystem gegeben durch: 

Die ziveilc Ueber Schiebung von f mit sich selbst, die Hesse'sche 
Covariante (zweiten Grades und zweiter Ordnung) : 



Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen. 219 

(7) A= (ö&)'«r^.r; 



Uq Ct^ X>2 



= 2 



= 2 |«i «2 — x^x 



a^x,-\-a,x, a,x^-^a,x,\ j^^ ^^^ ^,^.' 

i>/e zM;£?<Ve Ueberschiehung von A = A.,.- = A.;^ ^7^^er 5/cÄ s^'/^s/, 
die Discriminante von A (Invariante vierten Grades): 

(8) R=(AA'y 

= 2 {4 («0^2 - «1^) («i«3 — O — K«3 - «i«2)'}- 
Die erste ueberschiehung von f mit A, die Punctionaldeterminante beider 
Formen (dritten Grades, dritter Ordnung): 

(9) Q = {cl\) Cj£ii.r 

= (V«3-3«o«l«2 + 2«l>l' + 3Kf'l«3-2«o«2'+V«2)^l'^2 

-3(«o«2«3— 2«^«3+«l«2')^lV-K«3'-3a,«2«3 + 2^V>2'• 
/)/6; ztveite Ueb er Schiebung von f mit A : 

{cLf C.r ! . 1 

verschwindet jedoch identisch; sie entstellt, wenn man in (9) x.^, x^ ~f 
bez. durch c^, — c^ ersetzt und mit c.^ multiplicirt ; also ist 

(cA)2 r, = («Z')- («c) (*0^.r. 
oder wenn man einmal c mit a, einmal c mit b vertauscht und die 
Summe der drei Ausdrücke bildet: 
(10) {cLfCr = \- {ab-) («0 (pc) {{ab) Cr - {cb) a,. - (ac) &.} = . 

Dieser" Ausdruck verschwindet nämlich, weil der eingeklammerte Theil 
desselben nach der Identität I. p. 193 Null ist. Es lassen sich ferner, 
wie hier nicht ausgeführt werden soll, auch alle weiteren Ueberschie- 
bungen auf die Formen /', A, R, Q zurückführen. Dass es in der 
That nur eine Invariante von /' gibt, ist auch daraus klar, dass jedes 
Punktefcripel in jedes andere linear transformirt werden kann; denn 
durch die Zuordnung dreier Punkte ist gerade eine lineare Verwandt- 
schaft festgelegt. Es ist dabei nur vorausgesetzt, dass nicht ein ein- 
zelnes der Tripel einen doppelt zählenden Punkt enthalte, d. h. dass 
nicht eine der Discriminanten der beiden betreffenden cubischen 
Formen verschwinde. Eine cubische Form hat also nur eine Invariante, 
und dies ist ihre Discriminante'^), nämlich 



*) Der in (8) gegebene ausgerechnete Werth von R stimmt in der That mit 
dem auf p. 183 beispielsweise berechneten Werthe der Discriminante bis auf den 
Factor - 2 überein. Diese Discriminante ist bis auf einen Zahlenfactor gleich 



220 Dritte Aljtlieilimg. 

R == (AA')^ 
die Discriminante der Hesse' sahen Covariante. In It köimen Avir statt 
A, A' in folgender Weise die Symbole «, h, c, d der Grundform 
einführen : es entsteht R aus A,,' ^ = (^ b)'- a^. b.^. , indem wir darin 
a-j, x.y bez. durch A^,, — A, ersetzen, also ist: 

R=(^aby {aä.'){bL). 
Dieser Ausdruck entstellt nun aus 

^.r^y -= Hcdf {C.rd,j -^ d,,Cy) 

= {cdy c_rdy, 

wenn man darin für .Tj , x.^ die Symbole a^^ — a^, für ^/^, y.^ die 
Symbole b.^, — b^ einsetzt und mit {ab)'^ multiplicirt; es ist also 
endlich : 

(H) R={aby {cdY{ac){bd). 

Die geometrische Bedeutung der Gleichungen A = und Q = 
ergibt sich aus früheren allgemeinen Sätzen. Wir erwähnten damals 
im Zusammenhange mit A noch einer anderen Covariante P = 0, 
welche sich aus den Gleichungen (16) p. 206 durch Elimination der z 
ergab, während die Elimination der y die Hesse 'sehe Determinante 
lieferte. Diese Gleichungen werden für « = 3 

(lyü-a^ = 
OyO^a.^ = ; 

in ihnen kommen also die y, z symmetrisch vor. Die Elimination 
der letzteren führt somit ebenfalls auf A = 0, d. h. 

Für ein Pimktetripel gibt es zwei Pole, deren erste Polargn/ppe 

dem Quadrate des aus den Differenzen der Wurzeln von f=0 gebildeten i'ru- 
ductes, d. h. gleich 

wenn «, , «2, «3 Jie aus/'= sich ergebenden Werthe von ^'' sind. Um den Zahlen 

J'2 

tactor zu bestimmen, brauchen wir nur in den Ausdruck (8) für 11 die Wurzeln a 
durch die folgenden Gleichungen einzuführen: 

— 3 -* = «, + «2 + «3 

"0 

3^ = or,«2 + «20^3 + «3«, 
"0 

«3 

— - = a, ofj «3 . 

"o 

Alsdann tritt z. B. das Glied «,' «,« «3« mit dem Zahlenfactor - f auf, während 
dasselbe in dem Producte (a, — «j)« («j - „3)» („^ - «,)' den Factor - 6 liat; 
und es ist sonach: 

^ = ■2^ "0* («1 — a^Y (ag — «3)2 («3 — a,}2 , 



Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen. 221 

aus zivei zusammenfallenden Punkten besteht; und zwar gehört immer 
zu jedem dieser Punkte als Pol der andere als Doppelpunkt der 
Polargrvppe. 

Die Form Q entsteht für n = 3 aus der im allgemeinen Falle 
durch T bezeichneten Covariante (p. 207); sie ist daher, wenn man 
die Symbole von / statt derer von A einführt, gegeben durch: 

(12) Q = {aby{ch)cja,,. 

In Verbindung mit Q erwähnten wir noch eine andere Form 0, 
deren Verschwinden sich für w = 3 durch Elimination der z aus den 
Gleichungen / 

a-g a^ = 

A..A. = 

ero-ibt. Die Ausführung dieser Elimination geschieht, indem wir in 
«^«^2 ^ Q (jie Grössen z^, z^ durch A.,A.r, — A, A.^. ersetzen. Da aber 
der Ausdruck a^^-a.'- in den z quadratisch ist, so dürfen wir diese 
symbolische Substitution nur in dem einen Factor a~ desselben aus- 
führen, während wir in dem" andern Factor a^ ?, = A./ A./, z., = — A,' A./ 
zu setzen haben (A.,.2 = AJ- = A); wir erhalten somit: 

= a,.A.rA.,.' (aA) («A'). 

Diese Form lässt sich auf / zurückführen. Wir haben nämlich wegen 
der Identität II (p. 193): 

(aA) («A') A.,.A.; = i {(r/A)2 A,."^ + («A')- A.^ _ (AA')^ r,J} . 

Setzen wir dies in ein, so verschwinden die beiden ersten Terme, 
von denen jeder die zweite Ueberschiebung von /" mit A als Factor 
enthält, identisch wegen (10); und wir erhalten: 

(13) = - i (A A')2 aj = -\f- 

Geometrisch gibt dies wegen der bekannten Bedeutungen von 
() = und = den Satz: 

Nur die drei gegebenen Punkte selbst haben die Eigenschaft, dass ihr 
erstes Polarsystem denjenigen Punkt enthält, tvelcher ihr Polarsystetn in 
Bezug auf das Punktepaar A = bildet; die drei so entstehenden Polar- 
punkte für dieses Paar sind durch () = gegeben. 

Hieraus folgt ferner, da der Polarpunkt eines Poles in Bezug auf 
ein Punktepaar nichts anderes, als der vierte harmonische Punkt ist: 
Man erhält die Punkte der Covariante Q = 0, indem man zu den Grund- 
punkten von f =0 die vierten harmonischen Punkte in Bezug auf das 
Punktepaar A = construirt; oder mit andern Worten : 

Die beiden durch () = und f=0 gegebenen Punktetripel bestimmen 
zwei involutorische projectivische Beihen, deren Doppelpunkte durch A = 
gegeben sind. 



222 



Dritte Abtheilung. 



ö) 



Wegen der ausgezeichneten Rolle, welche sonach den Punkten 
von A zukommt, empfiehlt es sich, dieselben als Coordinatengrund- 
punkte einzuführen, wodurch dann die weitere Theorie der cubischen 
Formen sowie der Involution dritter jOrdnun g : 

wesentlich vereinfacht wird. Um den Einfluss der dazu führenden 
Substitution auf f und Q leicht zu übersehen, stellen wir zunächst eine 
identische Gleichung auf, welche zwischen den drei Covarianten f, Q, A 
besteht. Eine solche muss nämlich immer bestehen, sobald eine 
binäre Form zwei linear von einander unabhängige Covarianten zulässt; 
denn man kann z. B. in unserem Falle aus den drei Gleichungen 

f = oj 

A = {aby tta^bx 

Q = [abf {cb)cja^ 

die Variabein x^, x^ eliminiren, und erhält dann eine Gleichung, in 
welcher als Coefficienten der Ausdrücke /, A, Q Invarianten von /" 
auftreten. Statt die Elimination direct auszuführen, beweisen wir so- 
gleich den folgenden allgemeineren Satz : 

Das Quadrat der Functionaldeterminante zweier Formen (ersten 
Ueber Schiebung) ist eine quadratische Function dieser Formen, deren 
Coefficienten die zweiten Ueber Schiebungen sind. 

Für die Functionaldeterminante zweier quadratischer Formen a,^- 
und a^ haben wir nämlich: 



öj a^^ X2 



a 



2 "2 



Multipliciren wir diese Identität auf beiden Seiten mit a^-'"~^, cc^"-^ 
und seien /, cp die beiden gegebenen Formen: 

/ = «.,.'« , cp = a,:" ; 

so folgt für die erste Ueberschiebung (/, (p)^ derselben, wenn 



/; /. = 



av 



Cpik 



d^cp 



(« — 1) dxjdx^.' 



gesetzt wird: 



{?i — 1) dxfdoc/. 

/l2 9^12 -^'l ^2 

/22 ^22 ^\ 



Wenn wir nun die oben für eine Ueberschiebung gegebene nicht sym- 
'^ bolische Definition benutzen (p. 212), so wird offenbar: 



Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen. 223 



2(A <p)i-='A2 9Pi2 —XyX^ 

/2 
22 9^22 ^^l' 



/22 ^n ^i^ 1 I (^ Ol ifj ^)2 f I 

— 2/,2 —29512 2 a:,a;2 i = ' CA <p)2 (<P, 9)2 «P 1^ 



/ii 9'ii Vi!/' <P (^ ! 

wo (/", g))2 die zweite Ueberschiebung von / über 9 bedeutet, also: 

Durch Ausrechnung der in der letzten Gleichung rechts stehenden 
Determinante erhalten wir schliesslich die gesuchte Relation: 

CA 9^),^ = - k {isf. ^\ • n - 2 (A 9)2 . f^> + CA f\ . «3P'} . 

— In unserem Falle haben wir f = aj' , g? = A = (/", /)2, 
(g), (p\ = R, {f, cp\ = (wegen (10)), (/", qp), = (>, und somit geht 
jene Identität über in: 

(y2 = _ ± f^Rp + A^l , 
oder: 

A» = — (2 ()2 4- ß /2) 

(14) =-2{0 + //-l!{^-/'/-||/ 

Denken wir uns nun A in seine linearen Factoren aufgelöst und 
führen diese als neue Variable ein, d, h. setzen wir*) 

(15) A = -2E»?, ^ 

so haben wir in (14) auf der linken Seite das Product zweier voll- 
ständiger Guben. Auf der rechten Seite steht das Product zweier 
cubischen Formen ; und da diese im Allgemeinen keinen gemeinsamen 
Factor haben (wovon man sich durch ein Zahlenbeispiel überzeugt), 
so muss jede dieser Formen ebenfalls den Cubus eines der linearen 
Factoren von A darstellen. Wir dürfen somit setzen: 

(> + /*/-? = 2 |3 

(16) __:_ 

und dadurch sind die linearen Factoren l, i] bis auf dritte Wurzeln 
der Einheit bestimmt. Wir kennen nämlich die Coefficienten der 

cubischen Form Q -\- f y — ^i dieselben seien «„; -^«o ^'^2; "35 
alsdann haben wir zur Bestimmung von § = ^1^1 + §2^2 die Glei- 
chungen 

l,^ = a,, l,H^ = a,, l,l^ = a,, lo^^ = «3. 
Wir brauchen also nur eine Cubikwurzel auszuziehen, denn es ist: 

•) Vorzeichen und Zahlenfactor sind mit Rücksicht auf das Folgende gewählt. 



224 • Dritte Abtheilung. 



5l ^ «Q , 52 3 , 

Durch Einführung dieser neuen Coordinatengrundpunkte sind /",(), A 
gleichzeitig auf eine kanonische Form gehrachl; und zwar erhält man 
aus (16): 

f //- \= I' - ri' 

(17) - Q= i^^ri' 

A = — 2^7j. 

Die Grundform f ist dadurch zugleich in ihre drei linearen Factoren 
zerlegt. Bedeutet nämlich b eine imaginäre Cubikwurzel der Einheit, 
so wird 

(18) f= ~= (§ - n) (I - ,ri) a - B'-ri) . 

Y ~~ 1^ 
Durch diese Transformation ist ferner auch die Tripelschaar 

welche wir näher untersuchen wollten, auf eine einfache Gestalt ge- 
bracht: auch sie enthält nur noch die Guben der neuen Veränderlichen. 
Ihre Gleichung wird nach (17): 

(19) (;c + A /- I) |3 _^ (^^ _ ;t //- I) ^3 _ 0. 

Die Verschwindungspunkte irgend eines Tripels dieser Involution sind 
jetzt gegeben durch: 

(20) I — «^ = , l — sari = , ^ — e^a7j = 0, 



wo: a == 



/-l 



Jf + vl/- 



Insbesondere erhalten wir hieraus für A = die Verschwindungspunkte 
von /: 

(21) ^_^ = o, ^-s^ = 0, l-B^r}=0, 

und für x = die Verschwindungspunkte von Q: 

(22) ^ + ^ = 0, ^ + sf] = 0, ^ + £2/2=0. 

Man sieht hieraus zunächst, dass von den Wurzeln von /= ttnd 
= nur Je eine reell ist, we?in die Wurzeln von A = reell sind. 
Nehmen wir jedoch an, dass {i = ]/ — l) : 

l=p-\-qi, yi=p — qi, 
so wird: 



Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen. 225 

/ • /- f = (P + qi? -ip- qi? = 2 / (3pVy - q^) ; 

und die linearen Factoren von /" sind also proportional zu q, p ]/o -\- q, 
p j/'d — q , mithin reell. Also : ßei reellen Coefficienten hat die cubhche 
Gleichung drei reelle Wurzeln hei positivem, nur eine hei negativem R. 

Mau erkennt ferner aus (21) und (22), wie in der That jedem 
Punkte von /' ein Punkt von Q zugeordnet ist, welcher mit ihm und 
d^n Punkten von A harmonisch liegt, wie oben erwähnt wurde. Aber 
zwischen den Punkten von f und Q besteht noch eine andere Lagen- 
beziehung. Suchen wir nämlich zu je zwei Punkten von / den vierten 
harmonischen Punkt in Bezug auf den dritten Punkt von /", so führt 
dies auf drei andere Punkte, deren Coordinaten |, r] bez. bestimmt 

sind durch / () = - j ; 

S 11 p ■ f2 — 1 ^ > g2 _ p • 1 _ s ^ J 1 _ p • f _ f2 > 

und hieraus ergibt sich für - bez. : 

ä=-l. «=-^, 5=_,,. 

ry // ri 

Dies sind aber nach (23) gerade wieder die Punkte () = 0; also: 

Die drei Punkte = liegen so , dass Jeder zu einein Punkte der 
gegehenen Form in Bezug auf die heiden anderen derselhen harmonisch, 
conjugirt ist; und ebenso überzeugt man sich, dass die Punkte von 
/= zu denen von (} = in derselben Beziehung stehen , dass also 
ziüischen f und Q in dieser Beziehung völlige Beciprocität stattfindet. *) 

Die Elemente von f =0 und die von Q = liegen ferner so 
zu denen von A = 0, dass sie mit diesem Punktepaare ein cyklisch- 
projectivisches System bilden (vgl. p. 201); denn das Doppelverhältniss 
je zweier Elemente von f mit den Punkten § = 0, rj = ändert sich 

bei cyklischer Yertauschung nicht, es bleibt immer gleich , und 

dasselhe gilt für die Punkte von Q, sowie für ein Jedes Tripel der Schaar 

(19). Wir haben für jeden Werth von ^ die folgenden drei projecti- 

vischen Punktreihen : 

\) 1 = l- ari^^^O 1-8 ari = 

2)^ = ^ — sa7i = l~a^ari = 

3)^ = l-e''-ari = ^- a^ = 

Sind andererseits beliebig drei Punkte gegeben und vertauscht 

*) Vgl. V. Staudt: Geometrie der Lage, Nürnberg 1847, p. 121, und: Bei- 
tiilge zur Geometrie der Lage, ib. 1857, \). 178. 

Ol eb seh, Vorlesungen. 15 



^ 


_ ^1(171 = 


7^ = 


^ 


— ar] = Q 


>/ = 


r 


— E ar] = 


7j = 



226 Dritte Ahtlieilung. 

man dieselben cyklisch unter einander, d. h. macht man eine lineare 
Transformation, welche jeden der gegebenen Punkte in einen anderen 
von ihnen überführt, so sind dadurch zwei Punkte auf den Geraden 
bestimmt, welche bei diesen Transformationen stets sich selbst ent- 
'sprechen; und diese stellen die quadratische Covariante des betreffen- 
den Tripels dar.*) Da nun die Verschwindungspunkte von A = nach 
dem Vorigen zu allen Tripeln der Schaar x/'-\- k()^=0 in dieser Be- 
ziehung stehen, so folgt, dass die quadratische Covariante irgend einer 
cubischen Form k/ -\- XO sich von A nur um einen Factor unter- 
scheiden kann. Wir haben also, wenn wir überhaupt durch die Indices 
X, k andeuten, dass die betreffende Form für. xf-\-XQ statt für /' 
gebildet werde: 

A^i= M . A. 

Es kann sich ebenso die Invariante By,x von R nur um einen Factor 
unterscheiden, denn R^i ist die Discriminante von A^a, wie R die von 
A; und da sie vom zweiten Grade in den Coefficienten von A^;. sein 
muss, so wird 

Ry.x = M'^R. 

Diese Resultate können wir nach unseren früheren Erörterungen dahin 
zusammenfassen, dass A und R Comhinanten des Systems 7if-\-X0 
sind (vgl. p. 208). — Endlich muss Qy,x ein zu A;,^, mithin auch zu 
A cyklisch projectivisches Tripel liefern, d. h. es muss die Form 
haben : 

Qy.x = kf+IQ. 

Diese Relationen für die Formen A^a ; R»x , Qy.i kann man in der That 
direct aufstellen und so den Factor M und die A-, / bestimmen. 
Sind nämlich ö',,, «, , a.^, «3 die Coefficienten von /"; «q, «j , a^, cc.; 
die von Q , so hat man in den Formen nur ycttj -{- X k; statt üj einzu- 
setzen und nach Potenzen von x, A zu entwickeln. So wird z. B. 

A;,;. = x^A + ;«AA, + PA, , 
wo : A, == 2: 1^^ Ki , A, == 2; I^J «, . 

' Oa^ ' ^ da- 

Indem man nun diesen Differentiationsprocess an den symbolischen 
Ausdrücken ausführt, wobei man nur jedes in der betreffenden Form 

*) Für die Interpretation des complexen Werthgebietes der Variabein -- 

auf der Kngelfläche (vgl. die Anmerkung auf p. 173) gelangt man für die cubi- 
schen Formen zu folgenden Resultaten : Ohne die Allgemeinheit zu beeinträchtigen, 
kann mau f=Q durch drei äquidistaute Punkte eines grössten Kreises, des 
Aequators, darstellen. Dieselben mögen die geographische Länge 0°, 120°, 240" 
haben. Dann ist = repräsentirt durch drei Punkte des Aequators mit der 
Länge GO», 180«, 'M)()'\ und die Punkte von A =■■ iiillen in die beiden Pole. 



Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen. 227 

vorkommende Symbol von /" nach einander durch ein solches von A 
zu ersetzen und die erhaltenen Ausdrücke zu addiren braucht, wird 
man schliesslich nach passenden Umformungen zu den folgenden 
Uesultaten geführt; es wird:*) 

(23) A.^ = (^^ + f ^') A 

(24) B.i = (^^' + f A-) B 

(25) OxA = (x'^ + 2 A^) {^0 -Ur)- 

Die Gleichung (24) gibt zu folgendem Satze Veranlassung: 

In der Tripelschaar (19) kommen nur zwei Tripel vor, bei 'welchen 

Elemente zusammenfallen ; es vereinigen sich dann jedesmal alle drei in 

einen der Verschivindungspunkte von A. Denn setzt man die aus 

R^^^i) sich ergebenden Werthe von ^ in (19) ein, so geht dies in 

^3 == oder in tf = über. 

Durch die Gleichung (25) endlich entspricht jedem Tripel der 
Schaar : 

ein anderes Tripel 



ycQ - I A/-=0, 



und umgekehrt, so dass je ein Punkt der einen Schaar zu einem 
der andern in Bezug auf die beiden übrigen der letzteren conjugirt 
ist. Diese Zuordnung ist ferner eine reciproke, denn von dem Tripel 
^ Q _ -^J Xf wird man durch Wiederholung desselben Processes zu 

_^ (jf/_|_A^), also zu dem ursprünglichen Tripel zurückgeführt. 
Insbesondere gibt es jedoch solche Tripel, welche sich selbst conjugirt 
sind. Diese bestimmen sich durch die Gleichung 

und fallen daher mit je einem (dreifach zählenden) Verschwindungs- 
punkte von A zusammen. — 

Die vorstehenden Betrachtungen erleiden eine wesentliche Modifi- 
cation, wenn die Discriminante R verschwindet, wenn also jede der Glei- 
chungen f=0, A = zwei gleiche Wurzeln hat. Man hat dann 
l = ri, und A wird ein volles Quadrat, während nach (14) oder (17) 
dem Cubus desselben linearen Ausdrucks proportional wird, so dass 



^) Vtrl. Näheres hierüber in dem Werke von C leb seh. 
^ ^ 15' 



228 Dritte Abtheilung. 

^ diesen Ausdruck selbst darstellt. Die Doppelwurzel von A ist aber 

auch gleichzeitig Doppelwurzel von f. Die Coefficienten der zweiten 
Ueberschiebung von /" mit A nämlich verschwinden nach (10) identisch; 
setzen wir nun A -= — 2 {i^x., — l-yX^)- , so gehen dieselben über in 
die ersten Differentialquotienten von / für .r, = |, ; wir haben : 

•0 = K^,--' + 2 a, l, l, + a,V') ^, = 1 (g)_ ^^, 

= (.,, i;^ + 2 a,l, l, + a,l^) l, = .1 (I^Q^^ • q. e. d. 

Während diese Doppelwurzel aus ^=0 direct bestimmt wird, kann 

man also die einfache Wurzel aus der linearen Gleichung v = 
finden. 

Hat endlich f eine dreifache Wurzel, d. h. ist/^ {l^x^ + ^2^2)^ 
so wird A = (1^)2 ^j.2 ^:: 0: A verschwindet identisch, d. h. es bestehen 
die Relationen : 

a^^ a., — a^"^ = , «„ a.^ — «, a., = , a^ a., — a./ == , 

welche sich auf die beiden reduciren: 

«0 «1 «2 



V. Die binären biquadratischen Formen. — Schlussbemerkungen. 

Verwickelter, als die Theorie der cubischen Formen wird bereits 
die der biquadratischen, d. h. der Formen vierter Ordnung.*) Ist eine 
Form vierter Ordnung symbolisch gegeben durch 

/ = «a-^ = ^.r"* . • . . , oder in gewöhnlicher Weise : 

/-= rt„a-j* -|- 4 «lO^i^x^ -f- a^Xy-x.,' -{- 4 a.^x^ x./ -\- a.^x.^* , 

so kann man zeigen, dass sie durch die folgenden vier Bildungen zu 
ihrem vollständigen Formensysteme ergänzt wird: 

Die ziveite Uebe7'schiehimg von f über sich selbst'*'*), die Hesse'sche 
Co Variante (zweiten Grades, vierter Ordnung): 



*) Für die Theorie dieser Formen vgl. neben den mehrfach erwähnten Auf- 
sätzen von Cayley, besonders: Hesse, Crelle's Journal, Bd. 41; Hermite, ib. 
Bd. 52 und Brioschi, ib. Bd. 53. 

**) Dieselbe ist, wie üblich, mit // bezeichnet, während vnr sie allgemein 
A nannten (p. 206), zum Unterschiede von der entsprechenden Bildung bei cu- 
bischen Formen. 



Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen. 



229 



a^Xi' + 2 a^x^x^ + «2^2^ ^1^1" + 2 r/.^ a:, a-._, + f-i^-*' 
«ja;,^ + 2 «2^1 ^'2 "f~ ft^x^^ fi2^\' H" 2 «;r'*''K'*''2 ~\~ ^'j^\>' 

^?/c y/t'/Yc Ueber'schiebung von f über sich selbst (Invariante zweiten 

Grades) : 

(2) i=(aby 

= 2 («^«4 — 4 r/jfl'y + 3 ar) '-, 

die erste Ueberscliiebung von f mit H, die Covariante T nach unserer 
früheren (p. 207) Bezeichnung (dritten Grades, sechster Ordnung): 

(•3) T = {cH) cJ^HJ = {abf {ob) cjajb^ = TJ 
= 1 SlL^JL^l^. ll-i 

= («„2^3— 3«o«i'?. + 2«i^)a:,*5+(V«4 + '^«o«i«3— 9'^u<' + 6«i-«2)^^"r^^'»"2 
+ 5 (ao«i«4 — 3 «0 «2 «'s + 2 «,2^/3) ^i^«2* + l<^(«i'«4 — «o«3^) X\^Xi^ 
+ 5 (-ao«3«4+3«,»2«4-2a,«3^) a;i2a;/+(9«4«2*-«4X-2«i«3«4-6^>2)'^'i^2'' 
+ (3 «2 «3 «4 — «1 «4^ — 2 «3^) 0^2® ; 

endlich ^/e vierte Ueberschiebung von f mit II (Invariante dritten Grades): 

. {^)j = {cHy^{aby{_acy{bcy- 



= 6 {a^(L,a^ + 2 ^, rtr^r^t — «2=^ — a^^ay — «j*«,} = G 



«, «2 «3 

«'2 ^^3 ''4 



Alle weiteren Ueberschiebungen und somit nach dem Gordan- 
schen Satze alle weiteren Invarianten und Covarianten von /" lassen 
sich auf diese zurückführen, wie wir bei einzelnen auch noch gelegent- 
lich nachweisen werden. Insbesondere gilt dies also für die Formen 
P und 0, deren Verschwinden uns Gruppen von vier und sechs 
Punkten liefern, welche mit denen von ff ^= bez. r = in be- 
kannter Relation stehen (vgl. p. 206). Mit der letzteren ist in unserem 
Falle, wie wir später sehen werden, die Punktgruppe = identisch ; 
die Covariante P dagegen erscheint als lineare Combination der 
Formen /" und //, wie die folgende Rechnung zeigt. Das Verschwin- 
den von P gibt diejenigen Punkte, deren erste Polargruppen einen 
Punkt doppelt zählend enthalten; P selbst ist daher die Discriminante 
der cubischen Form 

a_, ay = «,•' = ßy = . . . 

d. h. wir haben (vgl. Gleichung (U) p. 220) 
P^(aßy{ydy{ay){ßd) 
= (a b)' (6- d)'^ (rt f) {bd) a.rb.rC.rdv 



(ÖJ 



230 Dritte Abihciluiig. 

Zur Uinfbnmnig dieses Ausdrucks benutzen wir zunächst die beiden 
Identitäten (vgl. (11) p. 193): 

— {nh) {ca) b., (y, = .1 {{aby c,.' + {b cy bj - (acf aj} 

— (ab) (hd) a,r.dr = 1 {(aby dj + {bdy aj — (ady bj}. 
Setzen wir dies in (5) ein, so werden bei Ausführung der Multiplica- 
tion zweimal zwei Glieder einander entgegengesetzt gleich, da sie bis 
auf das Vorzeichen durch Vertauschung von a und b aus einander 
entstehen; und es bleibt, wenn wir zweimal zwei andere sich nur 
durch die Stellung der Symbole a, b unterscheidende Glieder durch 
das Doppelte eines derselben ersetzen: 

(6) ■ 4 p = {nby [cdy cjd,y ~ 2 (bcy {bdy {cdy aj 

+ 2{cdy'{acy {bdy ajbj 
= UI — 2jY + 2 (cdy (acy (bdy ajby. 

Den letzten Term dieses Ausdruckes können wir ebenfalls leicht durch 
/■ und // ausdrücken, indem wir seine Bildung in der folgenden Weise 
geschehen lassen. Quadriren wir die Identität (II) p. 193, so kommt: 

(7) (aby (acy bjc.y ^ (bay (bcy aj cj + (cay (rby ajb.y 
= l {ffj (l>cy + br' (acy + cj (abyj , 

und sehen wir hierin a, b, c als gleichbedeutende Symbole einer 
biquadratischen Form an, so wird dies, wenn wir b durch d ersetzen: 

(8) (cay (cdy ajdj = ^- (ady cj = J i f . 

Durch Polarenbildung folgt hieraus weiter: 

2 (cay (cdy (ajd,,d„ + dja.^ay) = 4 (cay (cdy ajd_,d, = 2 icjc, , 
und: 

(9) (cay (cdy (2 a.,.a,j d.,d,j + r/.,^^//) = 3 ^v.,^;-'. 

Nun ist aber identisch, wie sich durch Quadriren der Gleichung (IV) 
p. 193 ergibt: 

a,,.a,jd.,d,, = .] {a.ydy' + a,'d.,^ — (ady (xyy) , 
oder, da in unserem Falle a und d vertauschbar sind: 
(l'^O a.rttyd.rd,, = ajdy — ^ (ady (a-//)^ 

Dadurch erhalten wir aus (9): 

3 (cdy (cay ajdy = | ic^c,/ + (cay (cdy (ady (xyy 
= iic.ycy'+j (xyy. 
Setzen wir hierin endlich y,=b.„ y.^ = — b, und multipliciren auf 
beiden Seiten mit^ by , so erscheint links der in Gleichung (6) noch 
umzuformende Term; es wird nämlich: 



Einleitung in die Thcorio der algebniisehcn Formen. 231 

(1 1) {cdf {ac)-' ibd)'' ajOy = ^ i {bcf c.,H.,' + ^ J bj 

und für die gesuchte Covariante finden wir demnach: 

(12) P = i[^iti-2jn. 

Die Punkte, deren erstes Pular System in Bezwj auf /^O einen 
Doppelpunkt enthalten, bilden also ein Quadrupel der Sc/mar v-f -\- kH=^0, 
gegeben durch die Gleichung: 

?,iH — 2jf=0. 

Ehe wir auf das Studium letzterer Involution vierter Ordnung näher 
eingehen, Avollen wir die Lage der Punkte T = untersuchen. ^ Es 
knüpfen sich diese Betrachtungen wesentlich an eine identische Glei- 
chung, welche einer früheren Bemerkung zufolge zwischen den 
Formeii /', //, T bestehen muss. Dieselbe ergibt sich wieder aus dem 
Satze, nach welchem das Quadrat der Functionaldeterminante zweier 
Formen als quadratische Function dieser Formen selbst darstellbar 
ist. Wir haben somit in unserem Falle, wenn wieder {(p, %),■ die r^^ 
Ueberschiebung von cp mit % bedeutet (vgl. p. 223): 
(i;)) r = (/■, IJy = - 1 {(/•, /•). i^' - ^ (A n^ 'f'l + (//; ll\ n) • 
worin noch die Ueberschiebungen (/; li\ "nd {II , H\ zu berechnen 
sind. Zu dem Zwecke gehen wir von den Polaren der Form // aus. 

Es ist 

4 //,,:! 7/,^ = {nJjf (2 l),^}j,ja,:^ + 2 a,,a,jb;'), 

„der da beide Glieder durch Vertauschung von a und b in einander 

übergehen 

Ilr^Hy = {aby a.raybj. 

Hieraus folgt ferner für die zweite Polare von //: 

3 /7;^//;i = (aby {a^f-bj + 2 a..,a,jb.rby), 

oder nacli Gleichung (10): 

(14) H.^'^H,/ = (aby a,HJ - -\ i (xyf. 

Setzen wir nun y, = c,, y, = - q und multipliciren mit c.y, so er- 
halten wir: 

(/•, H\ = {cjiy- ii.y-c.,:' -= iaby («<■)' ^>^<^-^' - '^ '^-'> 

oder unter Berücksichtigung von (8): 

(15) (/> //)o = |2V. 

Die zweite Ueberschiebung von H mit sich selbst entsteht dagegen 
aus (14), indem man y„ y, bez. durch H:,-H; ersetzt und mit 
//.;2 multiplicirt; man erhält dann: 



232 Dritte Abtheilung. 

Nun folgt aber aus der identischen Gleichung (7), indem man //' statt 
c schreibt und die Vertauschbarkeit von a und h berücksichtigt: 

2 {ah)'' {aH'f b,^Hj^ + {aliy {bH'y ajbj 

= i {(«*)* ^^'-^ + 2 (« IiyhJ) 

und dadurch erhalten wir: 

(//, //), = /// + ^jf-\ {aHj {hHy ajbj. 

Das letzte Glied dieses Ausdruckes entsteht wieder aus Hp Hy'~, wenn 
man in bekannter Weise die z durch Symbole a, die y durch Symbole 
b ersetzt und mit a/b_r' multiplicirt ; wegen (14): 

Hr-H,p = (cdy c^^d.y - \ i {zyf 

ergibt sich daher: 

{H' af {H'bf aj bj = {c df {c ay {d by aj bj — -J- iH, 

oder wegen (11) : 

Setzen wir dies schliesslich in den Ausdruck für (//, //)., ein, so er- 
halten 1017' für die zweite lieber Schiebung von H mit sich selbst: 

(IG) {H,H), = \jf-\iH; 

was nebenbei den Satz ergibt, dass die Hesse 'sehe Form der Hesse- 
schen Form von f ein Quadrupel der Involution %f -\- XH hildet, wie es 
sein muss, Avenn obiges Formensystem ein vollständiges ist. 

Wir haben somit alle in (13) vorkommenden üeberschiebuugen 
gebildet; und diese Gleichung geht wegen der erhaltenen Resultate 
über in: 
(17) r = - ^ {^3 _ j ^ffp ^ .,.^/-.| . 

Die Gleichung T- = kann daher als eine cubische für die Grosse 
. aufgefasst werden; und folglich muss sich, wenn — ;«), — m.,, — m.,^ 

die Wurzeln dieser cubischen Gleichung sind, der Ausdruck (17) in 
der Form 

r' = - i (//+ w,/-) (// + m,n (// 4- m,/-) 

darstellen lassen. Hier steht links ein vollständiges Quadrat; dasselbe 
muss also auch auf der rechten Seite der Fall sein. Aber keiner dci- 
drei biquadratischen Factoren hat im Allgemeinen mit den andern 
einen linearen Factor gemein; denn ein solcher würde dann auch 
gemeinsamer Factor von /' und 7/ werden,' und Letzteres tritt im 
.Vllgemeinen nicht ein, wovon man sich durch folgendes Beispiel 
überzeujien mag: Es sei 



dann wird: 



Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen. 233 

/ = rCj -f- .Tj 5 



// ^ OC t ^*} 



Daher muss jeder der Factoren (// -\- m,f) das vollständige Quadrat 
eines Ausdrucks zweiter Ordnung sein, dessen Coefficienten sich mit 
Hülfe von Coefficientenvergleichung durch Ausziehen einer Quadrat- 
wurzel bestimmen lassen müssen. Wir können demnach diese qua- 
dratischen Factoren von 7", welche durch qo, ^}, % bezeichnet sein 
mögen, als bekannt ansehen und dieselben durch die folgenden Glei- 
chungen bestimmt annehmen: 

H -f Wj /• = — 2 ^r 

(18) Ä^-f W2/=-2t/;2 

(19) J=29Pj/.;t, 

wobei das Vorzeichen zweier Formen beliebig gewählt, das der dritten 
dann aber aus der letzten Gleichung bestimmt ist, und wo /«i, m.^^ m.^ 
die negativ genommenen Wurzeln der Gleichung: 

sind. Durch die Möglichkeit dieses Verfahrens ist T als eine Form 
sechster Ordnung von sehr speciellem Charakter gekennzeichnet, denn 
bei den allgemeinen Formen dieser Art ist eine Zerlegung in quadra- 
tische Factoren durch eine cubische Gleichung nicht möglich.*) 
Zwischen den Punkten von 7 = bestehen in der That entsprechend 
der Eintheilung in drei Punktepaare noch besondere Relationen. Die 
Functionen q), il^, % genügen nämlich der folgenden Bedingung, die 
sich aus (18) durch Elimination von // und /" ei-gibt: 

1 = 0, 

1 

oder, wenn wir die Determinante entwickeln: 

(20) (fu., — W3) (p- + Qm^ — Wj) i^^ + (/w, — m.,) %' = 0. 

Diese Gleichung sagt aus, dass jedes der drei Punktepaare ^ = 0, 
!/) = 0, X ^ ^^ 2;u den beiden anderen harmonisch liegt. Bilden wir 
nämlich nach einander die ersten Ueberschiebungen der Formen 
(p, il), l mit dem Ausdrucke (20), so erhalten wir, da die erste Ueber- 
schiebung einer jeden Form mit sich selbst verschwindet: 

*) Ueber die Bedingungen, denen eine binäre Form G. Ordnung zu genügen 
hat, damit sie als Covariante T einer biquadratischcii Form aufgefasst werden 
kann, vgl. Clebsch: a. a. 0. p. 447, und Crelle's Journal, Ud. 67. 



1 


m^ 


cp^ 


1 


iiu 


t/;2 


1 


m-i 


f 



234 Dritte Abtheilving. 

(W;, - w,) ^ . {ip, (jp), + (Wi — m.,) X . (X, 9)1 = 
(m, — ;/«3) «p . (g), »Z»), + (m^ — w,) ;k • (;k, ^), = 

und hieraus folgt zunächst, dass Jede der Formen (p , ip , % pi-oporlmial 
ist zu der Funcüonaldeterminanie der beiden anderen. Jede dieser 
Functionaldeterminanten stellt aber die beiden Doppelpunkte der durch 
die betreffenden zwei Punktepaare bestimmten Involution dar (vgl. 
p. 216); und somit haben wir den Satz: 

Die sechs Punkte T = lassen sich der Art in drei Paare einlheiten., 
dass jedes Paar gleichzeitig zu den beiden andern harmonisch liegt, oder, 
ivas dasselbe ist, dass immer das eine Paar die Doppelpunkte der durch 
die beiden anderen bestimmten quadratischen Involution darstellt. 

Die betrachteten sechs Punkte stehen ferner aucli zu dem gege- 
benen Punktquadrupel in einer wichtigen Beziehung. Aus iXaii Glei- 
chungen (1(S) ergibt sich nämlich: 

(21) /• = 2 ^'~'^" = 2 ^— ^' = 2 '^' - ^' • 

m, — vu m. 



"2 



d, h. die Form /" ist, wenn q), t, Z bekannt sind, in zwei quadra- 
tische Factoren zerlegt und zwar auf drei verschiedene Weisen: die 
vier Punkte von /' sind dann dargestellt durch jedes Paar der Glei- 
chungen : 

t + X =0, t — X =0 
(22) x-\-9^ = 0, Z-^ = 

qp-|-^ = 0, q) — t^ = 0. 

Aus diesen kann man nun die Coordinatoi der vier Grundpunkle rational 
berechnen; und damit wäre die vollständige Lösung der Gleichung 
vierten Grades /=0 gegeben, worauf wir hier jedoch nicht näher 
eingehen wollen. 

Der geometrische Inhalt dieser Beziehung der Punktepaare von 
7=0 zu denen von /" = folgt ebenfalls aus unseren früheren 
Betrachtungen über quadratische Involutionen. Nach denselben liegen 
alle Punktepaare t^ -|- A qp = harmonisch zu dem Paare , welches 
durch das Verschwinden der Functionaldeterminante von ^ , ip gegeben 
ist, also zu 

(gp, i\))^ = {(pt) (p^^-tp,, = . 

Diese Functionaldeterminante aber ist nach einem soeben bewiesenen 
Satze proportional zu der dritten Form %] und also liegt das durch 
letztere dargestellte Punktepaare harmonisch zu allen Paaren der In- 
volution tp-{-X(p = 0, und insbesondere daher auch zu den beiden 
Paaren 

rp -{- q) = , ^ — (p = 0. 



Einleitung in die Theorie der algebraisclicu Formen. 235 

Analoges gilt für die andern Formen (22), und somit haben wir 
den Satz: 

Theilt man vier gegeheiie Punkte auf die drei möcjUchen Arien in 
zwei Paare und sucht jedesmal das zu beiden Paaren harmonische Punkte- 
paar, so sind die entstehenden drei Paare auch unter einander hartnonisch. 
Die letzteren werden, wenn die vier Punkte durch das Verschwinden 
einer biquadratischen Form f gegeben sind, durch das Verschwinden 
der Covariante sechster Ordnung T bestimmt. — Dieser Satz lehrt uns 
die Punkte von T construiren, wenn die von /' gegeben sind, wie man 
unmittelbar einsieht. 

Damit sind die Covarianten von f geometrisch vollständig inter- 
pretirt, und es bleibt uns noch übrig die geometrische Bedeutung der 
Invarianten i, j aufzusuchen, Ihr Versclnvinden nuiss unseren allge- 
meinen Betrachtungen zufolge (p. 1Ü7) eine Kelation für das Doppel- 
verhältniss der vier Funkte /' = ergeben , und ebenso muss die 

absolute Invariante \ mit diesem Doppelverhältnisse in enger Bezie- 
hung stehen. Das letztere (a) ist aber, je nachdem wir die vier 
iXegebenen Punkte in zwei Paare eintheilen, durch eine der folgenden 
Gleichungen bestimmt (vgl. p. 217): 

DP {a - ly^ - d^d;' (« -f ly^ = o 

(23) A'2 (^ _ 1)2 _ 2?,^;' {a + 1)' = 
V («- 1)2 -i?3i>3"(« + 1)2 = 0. 

Es bedeuten hier D^,D^, D.^ bez. die Invarianten der quadratischen 
Formen t^' + Z> Z + ^; 9' + ^! ^i"; A"; ^i ^^^^ ^^^ Jnvarianten 
der Formen t^- — ;k, l — ^^ ^ <p — ^; und />,', //.', //,' bez. die simul- 
tanen Invarianten aus je einem Paare der quadratischen Formen (22). 
Von den Wurzeln einer jeden dieser Gleichungen ist die eine der 
- reciproke Werth der andern ; und alle sechs Wurzeln zusammen 
o-eben uns daher die sechs Werthe des aus den vier Punkten von / 
ZU bildenden Doppel Verhältnisses, nämlich, wenn a einer dieser 
AVerthe ist: 

1 ^ 1 ^— i " 

« > -„ j 1 — « , -^^^ , ^ , ^ _ 1 • 

Durch Multiplication der Gleichungen (23) erhalten wir also eine 
Gleichung sechster Ordnung für dies Doppelverhältniss , von deren 
Wurzeln sich je fünf durch eine derselben in angegebener Weise 
ausdrücken, und bei deren Bildung die Formen fp , t, % in symmetri- 

(„ 1)2 p 

scher Weise benutzt sind. Dieselbe wird, wenn wir (^^ i^sj = ^ 

setzen : 

(24) A„p3 _ A,pV/ + ^,pq' - A,q' = 0, 



236 



Dritte Abtheiluncr. 



wo zur Abkürzung gesetzt ist: 

Ao = J)PD{'D^\ A, = yy, D,U,I)^"I),"J),;', 

Die Coefficienten dieser Gleichung lassen sich nun rational durch die 
Invarianten ?, J ausdrücken. Wir können sie nämlich als symmetrische 
Functionen der Grössen fn^, ?n^, m.^ darstellen und somit auch als 
Functionen der Coefficienten der Gleichung: 



(25) 



Q (X, A) =: Jf-- 



71 V 



i A3 = 



als deren Wurzeln ^ eben — m^, — m^, — ^3 gegeben waren. 

Zunächst führen wir erstere Darstellung aus. Wir sahen schon 
früher, dass sich die erste Ueberschiebung zweier der Formen (p, t, X 
von der dritten nur um einen Zahlenfactor unterscheidet. Letzteren 
können wir durch die folgenden Bildungen, welche sich aus (18) und 
(19) ergeben, bestimmen. Es ist: 



4(pf((pxlj)(p^X()^=A^ 



l^ + '».Ä 



+ w, 



dH 

f»2 — OTj l'dxi 
I ^^2 



dB , df 



K 

da: 2 

IL 
^L 



dH , 



IL 

UXo 



(w, — ?n.,) r-= 2 qp j^' X (w j — m.?). 



Hier kann man auf beiden Seiten den Factor 2(pi}} fortlassen und 
erhält so, wenn man die analogen Bildungen für die beiden anderen 
Ueberschiebungen macht, die drei Gleichungen: 

^ ix, <p)i = O'h — »li) t 

2 {<P, t)i = (»2| — rn.^) X' 
Andererseits lässt sich (vgl. p. 223) das Quadrat jeder der links stehen- 
den Ueberschiebungen durch die beiden betreuenden Formen aus- 
drücken: Man erhält z. B.: 

(9, ^.)r = - -1 {^' (^, t), -2cpf (qp, t), + r- (rp, 9)),} , 

(nler wegen der soeben abgeleiteten lielationen und mit Hülle der 
Identität (20): 

woraus sich durch Vergleichung der Coefficienten von «jp-, </;- die 
Werthe der Invarianten (rp , (p).,, [cp, f).,, (^i-, xp).^ ergeben. Bildet man 



Einleitung in die Theorie der algebi'aischen Formen. 237 

die beiden entsprechenden Gleichungen für die Quadrate der Ueber- 
schiebungen (i',x)\, {%, (p)i, so kommt man also zu den folgenden 
Resultaten : 

(20 J it. ^)2 = i (f'h — ^^h) (f^i — ^^^-2) > 

(21) (t,x).,==0, {x,<P)2 = 0, {<p,i'), = 0. 

Die letzten drei Gleichungen ergeben sich auch aus dem Satze, dass 
jedes der drei Punktepaare cp, il), % zw. den beiden anderen harmonisch 
liegt. Mittelst dieser Relationen können wir nun die Invarianten D 
durch die Wurzeln m^, m.,, m^ darstellen. Es wird nämlich*) wegen 
des Verschwindens der simultanen Invarianten: 

D., = Z>," = {%, x), + (95, qp)2 = - 2- {^h - ^xT' 
7?3 = />3" = {cp, cp\ + (t^, t/.), = - 1 (w, - m.,y-; 

und wenn wir berücksichtigen, dass wegen des Fehlens des zweiten 
Gliedes in der Gleichung Q (x, A) = die Summe der Wurzeln 
m^, m.,, m.. verschwindet: 

d; = ii', t\ -{%, Z)2 = t ('^'2 — ^'^0 '^'i 

j),; = {cp, (p\ — ijp, t\ = i (//«i — w.) W3 . 

Die Coefficienten der Gleichung (24) sind mittelst dieser Relationen 
als symmetrische Functionen von m^, m.^, w., dargestellt; um diese 
nun weiter durch i und / auszudrücken, müssen wir uns der folgenden 
Gleichungen bedienen: 

2Jwj = ?w, -f- tn., -(- W3 = 

j 

Hm^ m.^ = m^ m., -f- m.^ w.. -f f^-:^ w, = — ^ 
7 

Aus ihnen leitet man ferner die folgenden Gleichungen ab: 
(2:w,)- — 2:2 Wj m.y = m;- + w?,2 -f ;?i.52 = 2.><|-' = ?• . 
V;;?,'* = — Em^'^m.^ = 3 m^m.^m.^ = 3 ■> 

*j Vgl. Gleichung (4), p. 214, worin l = 1 zu uelinien ist. 



238 Dritte Abtheilung. - 

Endlich müssen wir noch das Qoadrat des Productes der Diffe- 
renzen tn^ — m.,, 7n., — m.^, w., — ;«, bilden. Dasselbe ist bekanntlich 
von der Discriminante R der cubischen Form Q (x, A) nur um einen 
Zahlenfactor verschieden, und zwar hat man (vgl. p. 220, Anmerk.): 

Andererseits findet man in unserem Falle nach Gleichung (H) p. 219: 

und somit folgt: 

(^«, — ^2)2 {m, - m^f {fii.^ — w,)2 = I- (/3 _ (Sf), 

Die Anwendung der aufgestellten Relationen und der Gleichungen 
(26), (27) ergibt nun für die Coefficienten der Gleichung (24) die 
folgenden Resultate. Es wird: 

Ay = |£ (wi — ^2)' (^2 — ^3)^ (% — ^i)' m^hn.fm.^^ 

^1 = M (^'«1 — ^^2)' C^^-' — ^3)' (^3 — m;)'^ [m;^m.,'^ (Wi — m,y 

-\- f?l.,'^?/l.^• {m.y — m.^y- -\- m.^7n{^ (jn., — w,)-l 

= t¥s (f^ — 6/) {^m^^m,^ - 2 i:7n^hn^^} 

^2 = T2sO'^ -Qj'){m{^{?n^—7n^y'(^fn.^ — 7n{)''-\-77^.^•{7}l.,~■ln.J'{Tn^-''i7hJ- 

-f~ ^^3^ 0'^3 — ^^^3' C^^^) ~ ^^'i)'}-' 

-}- »?j »«2% (4 2;'mj^ — 2 E77l^h7l.^ -\- O W, 77l.,77l.J\ 

A.j = -(^-J {j7i^ — 77i.y (^2 — ''n^y (jn.^ — Tn^ 

Setzen wir die so gefundenen Werthe in die Gleichung (24) ein, so 
geht dieselbe, abgesehen von dem Factor y^^ (^^ — ^ß) über in: 

81 p^f - 81 p^rj i^-j") + 'dpcf d' + 3/) -{q^ if^ - 6/) = 0, 
oder anders geordnet: 

H Pq {2pq - ^ r' - 9;>-^) + 3/ (277>-' + 27 /iVy + Qpq' + ^0 = ^^ 
woraus sich der Werth für die absolute Invariante ergibt, nämlich: 



Einleitung in tlie Theorie der algebraischen Formen. 239 

oder, wenn wir statt '' wieder das Doppelverhilltniss a einführen, d. h. 

" -^-i:»' setzen- 
V "" (a + 1)^ • 

(28) "1 = 24 a-« + «^)^ 



f (1 + «)- (-' - ocf (l — 2 «;2 

Diese Gleiclmng stellt die gesuchte Beziehung zwischen dem 
Doppel Verhältnisse der Grundpunkte von f und der absoluten Inva- 
riante dar. Sie lässt uns auch die Bedeutung des Verschwindens der 
Invarianten ?, ,;' unmittelbar erkennen. Soll nämlich das Doppelver- 
hältniss a äquianharmonisch werden, so inuss a- — a -\- \ = i) sein, 
d. h. der Zähler in (28) verschwinden. Die Bedingung der äquian- 
harmo?iischen Lage ist also 

Dieselbe ist ferner nach Gleichung (16) dadurch charakterisirt, dass 
die Hesse' sc/ie Furm der Hesse' sehen Form von f mil der Grundform 
f identiseh isl. Sollen dagegen die vier Punkte f=0 harmonisch 
liegen, so wird a = — 1, +2 oder + 2? ^^^ "^ ^^^^^^ ^^^^ Fällen 
verschwindet der Nenner in (28). Die Bedingung der harmonischen 
Lage ist also 

J = 0. 

Der Werth des Doppelverhältnisses wird endlich gleich der Einheit, 
wenn zwei der vier Grundpunkte zusammenfallen. Setzen wir also 
in (28) « = 1 , so folgt als Bedingimg dafür, dass die biquadratische 
Gleichung f=0 eine Doppelwurzel habe: 

f — 6f = 0. 

Die Discriminante B der cubischen Form Q (x , A) ist daher gleich- 
zeitig die Discriminante von f. — 

Durch das Verschwinden von B werden die vorstehenden Betrach- 
tungen mehrfach modificirt. Es möge in diesem Falle m., = m.^ wer- 
den, dagegen m^ und m, noch verschieden sein; dann wird zunächst: 

Q = (. + -;A)'(x-yA), 

und also: 

nh = — { ; m, = 2 f . 

Aus (18) folgt ferner > = ;^, und aus (26) {i' , t/;).^ = 0; es ist also 
i' = X das Quadrat eines linearen Ausdrucks l, und es wird: 

B -f m,f = // — •( /■ = — 2^' 

Die Identität (27) (<p, f)., = geht hier über in {cp^)- = 0-^ es ver- 
schwindet also cp, wenn man .i\ == ^.,, x.^ = — ^, setzt, d. h. man hat 



240 Dritte Abtheilung. 

wo Tj ein von | verschiedener linearer Ausdruck ist; denn es wird 
nach (20) 

(.<p, <p)-^ = \ {m {nn) - {In?} = -\ i^UY 

^= (/«, — w.,)2, also nicht = . 

Setzt man nun die ungegebenen Werthe von w, , m, in die Gleichun- 
gen (18) ein, so findet man: 

/ = f j |2 (r - ^/^) 
//=- 1^(2^2.^»;^) 

und dies gibt den Satz: Wenn R versclnvindel, so wird der Doppel- 
faclor \ von f hesümmt durch die Gleichung iH — j f =^ il,^-^ und der- 
selbe ist auch zweifacher Factor von H und fünffacher von T. 

Diese Bestimmung der Doppelwurzel wird aber illusorisch, wenn 
neben R auch i verschwindet; dann muss, da i? = ^^ {i^ — 6/), 
auch y Null sein. Dadurch wird aber Q = ;c=*. Die drei quadratischen 
Factoren von 1' sind also unter einander identisch: (p == ii) = 2, und 
zwar alle gleich dem Quadrate eines linearen Ausdrucks ^; denn aus 
(26) folgt {<p, «jp)2 = 0. Ferner wird nach (18), da ?n^ = f?i., = m.^ = 0, 
H das Biquadrat dieses linearen Ausdrucks, und T proportional zu 
der sechsten Potenz desselben: 

//=_-2i^, 7-= 2^«'. 

Nun ist aber nach (15), wenn / = 0, auch (/■,.//)., = (), d. h. 

(«^)2«,.2 = 0, 

unabhängig von den x, also (c|)' -= 0: /' enthält den Factor t 
Setzen wir demnach: 

f = aj = l -u, {u = a,^?) 

und bilden wieder die Form (/, H\y so wird: 

3(./^)2«..2 = |.(«|)2«_ 0, 

also auch {a^f = 0; und eine Fortsetzung desselben Verfahrens 
zeigt, dass wir setzen müssen: 

wo ri ein von | verschiedener linearer Ausdruck ist. Umgekehrt folgt, 
wenn f == ^^ , rj und somit B = ~ ± (§7^) . ^4^ dass dann immer i und 
y verschwinden; denn wegen i/I —Jf=i^i muss 7 = sein, und 
dann ergibt sich wegen R = auch i = 0. 

fVe?in also // ein Biquadrat ist, so hat man ?== 0, 7 ==: 0, imd f 



Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen. 241 

hat einen dreifachen Factor; so wie umgekehrt im letzteren Falle immer 
H ein Biquadrat und i = 0, j = ist. 

Die Bestimmung der Doppelwurzel von / durch die Gleichung 
^ = j^ = iH — jf= (^ wird aber auch illusorisch, wenn die einzelnen 
Coefficienten dieser Gleichung Null sind. In dem Falle verschwindet 
also % =^ i> identisch, und wir haben : 

iU-j/-=0, T=0. 

Ferner gibt die erste der Gleichungen (18): 

Ist umgekehrt f das Quadrat einer Form zweiter Ordnung: /"= (o'.^.'^)-, 
deren Invariante D = {aßf ist, so wird / = Z^^, J =- D^ und ff = />./"; 
also haben wir den Satz : 

fVenn ff von f nur um einen constanten Factor verschieden ist 
(^/ff =zj/')^ dann und nur dann hat f zwei verschiedene Doppel factorefi, 
d. h. ist f das Quadrat einer quadratischen Form. 

Dieser Fall ist also nicht mehr, wie die beiden vorigen durch das 
Verschwinden von Invarianten zu charakterisiren; vielmehr geschieht 
dies durch das identische Verschwinden der Covariante iff — jf (vgl. 
p. 174). Dies führt auf 5 Gleichungen, zwischen den 5 Coefficienten 
von /, während doch das Auftreten zweier Doppelwurzeln nur die Be- 
stimmung von 2 Constanten involvirt. Wir haben also zwar eine zu 
grosse Zahl von Gleichungen; aber keine von ihnen ist überflüssig, 
und ihr Zusammenbestehen wird eben nur durch die erwähnte Ausartung 
unseres Punktquadrupels /" = ermöglicht. Aehnliche Vorkommnisse 
werden uns später bei den Kegelschnitten und den Curven dritter 
Ordnung wiederholt begegnen ; wir heben den soeben behandelten Fall 
nur als erstes Beispiel hervor.*) (Vgl. hierzu auch unten p. 272, f.) 

Endlich kann es noch eintreten, dass // identisch verschwindet, 
dass also die Gleichungen bestehen: 

a^^a.^ — «,- =0, a^a^ — a^a.y = , 

^0 «4 + 2 a, «3 — ^a.^' = , 
a^a^ — a^a^ = 0, a2a^ — «3^ == 0. 

Dan wird «2 = ^ » ^3 = ^2 7 ^-^4 = ^3 ; und: 

/" = «0 (^1 + ^* ^2 j • 
Alsdann verschwinden alle Invarianten und Covarianten von /, indem 



*) Der Fall einer dreifachen Wurzel bei einer cubischen Gleichung (p. 228) 
gab allerdings schon ein Beispiel für das identische Verschwinden einer Cova- 
riante (A); aber dies lieferte gerade so viele Bedingungsgleichungen (nämlich 
zwei), als durch das Auftreten einer dreifachen Wurzel gefordert sind. 

Clebsoh, Vorlesungeu. •'" 



242 



Dritte Abtheilung. 



die symbolische Darstellung in die wirkliche übergeht; wir haben also: 
JVenn H identisch verschwindet, so ist f immer das Biquadrat eines 
linearen Ausdrucks, und umgekehrt. — 

Zu den vier Punkten / und den covarianten Punktgruppen der- 
selben steht die Schaar von Punktquadrupeln 

in besonders merkwürdigen Beziehungen, Es ergeben sich dieselben, 
wenn wir die Formen H, T , i, j für die zusammengesetzte Function 
vierter Ordnung Tif -\- XH ebenso bilden, wie dies früher für die 
Form f geschah. Wir wollen diese invarianten Bildungen bez. durch 
Hnii T^iy ixi, jy.i bezeichnen. Es ist dann, nach dem Taylor 'sehen 
Satze : 

H.i = J^' (A t\ + 2 jc A (/, /?)2 + A^ {H, H\ , 
wo der Definition zufolge (/", f)^ = // ist, während sich die üeber- 
schiebuugen (/, H)^, {H, H).^ aus den Gleichungen (15) und (16) 
ergeben. Durch Einsetzen der dort gefundenen Werthe erhalten wir : 



H. 



nl 






Diese Formel können wir in eine elegantere Gestalt mit Hülfe der 
Function 



¥ -^^ - 3 '' 



9. {k, X) = x3 
bringen; es wird nämlich: 

(29) "'^-^{"t-rfi)- 

Die Einführung der Function Q erleichtert auch die Berechnung von 
T^x\ denn diese Form ist nach (3) als die Functionaldeterminante von 
'nf -\- IH und II^x, dividirt durch 16, definirt; d. h. wir haben: 

df _^ 2 dH dff dQ 
dH du dQ. 



Ty.X==- 



.•i . IG 



df 



I OOC2 0X2 






3 . 16 



A 


dxi 




aß 


dr 


cH 


gx 


dx^ 


dx^ 



81 

Die erste der rechts stehenden Determinanten hat aber den Wortli 
3Q (;c, A), die andere den Werth 16 (/, //), = 16 7', und also ist 

(^30) T,x = Q (x, A) . 7'. 



Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen. 243 

Diese Gleichung giebt geometrisch den folgenden Satz: 
Die drei quadratischen Facioren von T stehen zu allen Quadrupeln 
der Schaar xf-\-lH = Q in derselben Beziehung, wie zu dem Qua- 
drupel f = 0. B. h. die Involution vierter Ordnung '>if -\- Iff =0 lässt 
sich auf drei verschiedene Arten in zwei projectivische Involutionen zweiter 
Ordnung auflösen, deren Gruppen einander wechselseitig entsprechen. Je 
zwei solche projectivische Involutionen haben immer ein Paar der Punkte 
T = gemeinsam; das zweite dieser Punktepaare aber bildet für die eine, 
das dritte für die andere dieser Involutionen die beiden Boppelelemente. *) 



*) Bei Betrachtung der drei möglichen CoUineationen, welche die vier Punkte 
ti, b, c, d einer binären biquadratischen Form in einander überführen, insofern: 
[ab cd) projectivisch zu {bade) 
r, n {cd ab) 

„ „ (dcba), 

erscheinen die Punktepaare von T bez. als die Doppelelemente dieser CoUinea- 
tionen, Man gelangt dadurch für die Darstellung auf der Kugel (vgl. die An- 
merkungen auf p. 173 und p. 215) zu folgenden Resultaten. Die drei Punktepaare 
von T kann man sich durch drei zu einander rechtwinklige Durchmesser der 
Kugel ausgeschnitten denken. Sind in Bezug auf letztere x, y, z die Coordinaten 
eines Punktes des Quadrupels ■iif-{-lH=0, so sind die vier Punkte des Qua- 
drupels durch das Schema 

X y z 

X — 7/ — z 

— X y — z • 

— X — y z 

dargestellt. Es sind die Ecken eines symmetrischen Tetraeders, dessen gegen- 
überstehende Seiten von den Axen des Coordinatensystems halbirt werden. Einem 
jeden Quadrupel der Schaar ist ein anderes zugeordnet, dessen Punkte conjugirt 
imaginär zu denen des ersteren sind. Dieselben haben dann die Coordinaten 

X y — ~~ 
X —y z 

— X y z 

Die auf drei Weisen mögliche Zerlegung von m/'+A// in zwei quadratische 
Involutionen wird geometrisch übersichtlich, wenn man als Träger des binären 
Werthgebietes statt der Geraden einen Kegelschnitt zu Grunde legt (vgl. Hesse: 
Vier Vorlesungen aus der analytischen Geometrie; Leipzig, 1866). Führt man 
zu dem Zwecke die drei quadratischen Factoren q), ip, X "^^^ ^' ^^^ ternäre Va- 
riable ein, so ist die Gleichung des Kegelschnittes durch (20) gegeben. Die 6 
Punkte von T werden also durch die Seiten eines Polardreiecks ausgeschnitten. 
Benutzt man zwei dieser Seiten als Doppelelemente einer Strahleninvolution, so 
schneiden je zwei zusammengehörige Strahlen dieser Involution nach (21) auf 
dem Kegelschnitte eine Form des Büschels h/'4- XH sms. Der verschiedenen Be- 
nutzung der drei Ecken des Polardreiecks entspricht die dreifache Zerlegung des 
Büschels in quadratische Involutionen. — Aehnliches gilt auf der Kugel. 

16* 



244 Dritte Abtheilung. 

An diese Beziehung der Punkte von T zu jeder Gruppe xf -\- XH 
knüpfen wir sogleich die folgenden Bemerkungen. Es gibt (vgl. 
p. 207) sechs Pole = 0, deren Polarsysteme in Bezug auf / und 
H und also in Bezug auf jedes Quadrupel y.f-\-lH bez. in den sechs 
Punkten von T einen gemeinsamen Punkt haben. Nun zerfällt das 
Polarsystem in Bezug auf ein Paar von Doppelpunkten stets in diese 
Doppelpunkte und den zu ihnen und dem Pole vierten harmonischen 
Punkt (vgl. p. 205 und p. 213). Das zu zwei Punktepaaren von T 
gleichzeitig harmonisch liegende Punktepaar hat also die Eigenschaft, 
dass, wenn man einen Punkt des Paares als Pol betrachtet, der andere 
ein Punkt seines Polarsystems wird in Bezug auf die beiden anderen 
Paare von T, und also auch in Bezug auf alle Gruppen ^f -\- l H, da 
sich diese linear aus zwei Punktepaaren von T zusammensetzen lassen. 
Jenes dritte Paar gehört also sowohl zu T als zu 0; und demnach 
haben wir folgenden Satz: 

Die Punkte = sind identisch mit den Punkten T = 0, in der 
Weise, dass zu jedem Punkte von derjenige von T gehört, der mit 
demselben ein Paar von T bildet. Das Resultat der Elimination der x 
ans den Gleichungen: 

aj a,j = 

Jljff,^ = (aby ajb,.b, = 
ist also durch T = gegeben. 

Unter Berücksichtigung der Gleichung (30) für T,,i können wir 
auch iy,i und jy,i leicht bilden. Für ein Quadrupel xf -\- kll =0 zer- 
fällt nämlich die Form Ty.i in drei quadratische Factoren, deren 
Quadrate nach (18) durch drei Gleichungen: 

k,{xf+lH)^l,H,, = 

(31) k,{xf+lH)-^l^H,, = 
k.,{^icf-^Xn) + L,H,x = 

bestimmt sind, wenn / , / , -> die negativen Wurzeln der cubischen 

'1 '2 '3 

Gleichung : 

(32) ^i^k,lU = k^-'fkP-'fp==0 

bedeuten. Nach (30) sind diese quadratischen Factoren jedoch iden- 
tisch mit den Formen cp, t^, %, in welche T zerfällt, und deren Qua- 
drate durch die Gleichungen (18) gegeben sind; sie können sich daher 
von diesen nur um einen Factor unterscheiden. Die Ausdrücke (31) 
sind aber wegen (29), wenn wir nach / und // ordnen : 



Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen. 245 

und diese Formen entstehen ^ wenn man x, k als binäre Variable 
auffasst aus einer Form xf -}- X' H mittelst der linearen Substitution 

r = Ä-A — il?/. 

"^ OK 

Die für * aus (32) zu findenden Werthe müssen daher identisch sein 
mit denjenigen, welche sich aus der Gleichung 

Q(x,Vf = x^-{x'X-(P = 
ergeben, wenn man darin x, A bez. durch die Ausdrücke 

ersetzt. Beide Gleichungen können sich also dann nur um einen 
Factor M unterscheiden, d. h. wir haben 

MQ {k, lU = ^ (^'^ + i 1^ ^' ^^ - i I? ^) ' 

oder wenn wir auf der rechten Seite nach Potenzen von k, l ent- 
wickeln, indem der Factor von k^-l identisch verschwindet: 

(33) M . (A-3 - '-f kP - 'f P) = k'Q (x, A) + i <t>kP - i V/S 

11/ _ 1 j^o aß _ao oQi 

^ -"^ \dy^ dl dl d^S 

Drücken wir in O die ersten Differentialquotienten von Q einmal 
nach dem Satze von den homogenen Functionen durch die zweiten 
aus, so dass dieselben nur noch linear vorkommen, so wird: 

^ = i\ [^ Y^ + ^ älj Kd^-' ül^ VgH dl) ) 

Betrachten wir nun Q als binäre Form dritter Ordnung in x, A 
und bezeichnen durch Aß, Q£2 die ihr zugehörigen Formen A, 0, 
von denen die erste als die Hesse "sehe Determinante, divuhrt durch 
18, die zweite als die Fuuctionaldeterminante von Q und A, dividirt 
durch G, definirt ist, so erhalten wir: 



wo 



246 Dritte Abtheilung. 

^ ' ^ \rJyi dl dX dyi ] 

= — 6 Q,A ()i2 . 

Durch Vergleichung der Coefacienten von k^, kl\ l^ in (33) finden 
wir schliesslich: 

und also: 

(34) /xA = — 3 Ai2 = ?x2 + 2jxX + I A2 

(35) y,, = -30^ =JH^ ■^'^^'^+ f ^^•-' + (^3 - £) ^^ 

Diese Invarianten haben für die zusammengesetzte Function x/' -\- IH 
dieselbe Bedeutung, wie i, j für die Form /. Ihr Verschwinden gibt 

Gleichungen bez. vom zweiten und dritten Grade in y, und folglich 

haben wir den Satz: 

Es gibt in der Involution v.f -\-XH =0 zwei Punktquadrupel mit 
äquianharmonischem und drei Quadrupel mit harmonischem Doppelver- 
hältnisse. 

Im Allgemeinen dagegen ist das Doppelverhältniss a eines sol- 
chen Quadrupels gegeben durch die Gleichung sechsten Grades in ^: 

i^ ^ 94 ( 1 - " + «')^ 

Es gibt daher in der Involution x/-j- A//=0 sechs Punktquadrupel mit 
gegebenem Doppelverhällnisse. 

Soll letzteres gleich der Einheit sein, d. h. das Quadrupel einen 
Doppelpunkt enthalten, so muss 

i^X^ — ^jy-X^ = 

werden. Diesen Ausdruck können wir mit Hülfe der Form ^^2 = 
^V («'^ — 6/), der Discriminante von /, leicht durch / und j darstellen. 
Zwischen den Formen Q, l\, Q, R besteht nämlich die Identität 
(vgl. p. 223): 

und hieraus folgt wegen (34) und (35): 

(36) i,,3 - 67,,2 = [Q (^^ ^)]2 (,-3 _ Qßy 

Hier steht links die Discriminante von x/ + IH] dieselbe kann wegen 
des Ausdruckes auf der rechten Seite im Allgemeinen, d. h. so lange 
/? % 0, nur verschwinden, wenn Q (z, A) = () ist. Die letztere Glei- 
chung bestimmt aber die Punktepaare von T =Q, und somit folgt: 



Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen. 247 

Unter den Quadrupeln der Involution yif-\-XH^() kommt, ausser 
den doppelt zählenden Punktepaaren von T = 0, keines vor, ßr ivelches ■ 
zwei Punkte zusammenfallen. 

Es sei schliesslicli noch erwähnt, dass man die biquadratische 
Form / auf eine kanonische Form, in der nur noch die Quadrate der 
Veränderlichen vorkommen, bringen kann, wenn man die linearen 
Factoren einer der quadratischen Formen 9), t^, x als neue Variable 
einführt. Da jedes der letztere darstellenden Punktepaare zu den 
beiden anderen harmonisch liegt, so können wir z. B. setzen 

In der That erhalten wir alsdann wegen der Gleichungen (21) für f 
die folgende kanonische Darstellung: 

Hierin kommt eine absolute Constante | vor, und dieselbe ist dadurch, 
dass man die gegebene Form für / verlangt, völlig bestimmt, soweit 
es die Gleichberechtigung der Functionen cp , ^ , % erlaubt; und zwar 
wird sich zeigen, dass sie bei derselben Form / 6 verschiedene Werthe 
annehmen kann. Der Werth dieser Constanten ist daher charakteri- 
stisch für die biquadratische Form, und man kann nur solche Formen 
der Art linear in einander überführen, für welche diese Constante 
einen von 6 zusammengehörigen Werthen hat. Es erhellt hieraus, 
dass letztere mit der absoluten Invariante von / in enger Beziehung 
steht wie wir auch sofort erkennen werden. Die Invarianten und 
Covarianten von / erhalten für die kanonische Darstellung die fol- 
<.ende Gestalt. Es wird, wenn wir die neuen Bildungen durch beige- 
setzte obere Striche bezeichnen, und wenn r die Substitutionsdeter- 
minante {^rj) bedeutet: 

H = r^H' = {Inf- {^P^ (^^ + ^*) + 2 (f -orff ^'^f } 

T = r^ r = {Uf .Hn{l^ + n') C^'' - n') 

i =rU' =ar?)4.2(/>2 + 3r/) 
Aus diesen Gleichungen folgt für die absolute Invariante: 

f ~ 9 q^Jp^ - q^y ' 

wodurch der Zusammenhang derselben, sowie, nach (28), der des 
Doppelverhältnisses mit der Constanten | gegeben ist. Wir haben 



248 Dritte Abtheilung. 

eine Gleichung sechsten Grades für - , die sich jedoch auf eine 

cubische für „ reducirt. Den drei Wurzeln für den letzteren Aus- 
r 

druck entspricht der Umstand, dass man die Formen q), ip, % gleich- 
massig zur Herstellung der kanonischen Form benutzen kann. Zu 

jeder Wurzel - gehört ferner eine andere — - ; und zwar führt auf 

die letztere die Einführung von ]/ — l^ri statt einer der quadratischen 
Formen, wenn die erstere der Einführung von ^^ entspricht. 

Das angewandte Verfahren zur Bestimmung von J9, ^, der Coef- 
ficienten der transformirten Form ist überhaupt von Nutzen, wenn 
man eine als möglich erkannte kanonische Darstellung nur in der 
Endform angeben will, ohne dabei auf die linearen Substitutionsglei- 
chungen zu achten, welche die Transformation selbst leisten. In einem 
solchen Falle braucht man nur die absoluten Invarianten der Form 
aus den Coefficienten ihrer kanonischen Darstellung zu bilden, und 
erhält so unmittelbar Gleichungen zur Bestimmung dieser Coefficien- 
ten, ebenso wie wir oben die Gleichung sechsten Grades für - auf- 

q 

stellten. — 

An die Theorie der biquadratischen Formen würde sich naturge- 
mäss die der Formen fünfter und höherer Ordnung auschliessen. 
Wir werden auf dieselbe jedoch nicht eingehen, zumal da wir sie für die 
späteren geometrisch -algebraischen Untersuchungen nicht nöthig haben. 
Zur Orientirung in den betreffenden Theorien erwähnen wir nur das 
Folgende. Soweit man auf die Theorie der höheren Formen bisher 
näher eingegangen ist, verfolgt man dabei wesentlich andere Gesichts- 
punkte und bedient sich demgemäss anderer Methoden, als wir es 
bisher gethan haben. Während wir nämlich nach solchen invarian- 
ten Bildungen fragten, aus denen sich alle anderen nach dem 
Gordan 'sehen Satze rational und ganz zusammensetzen lassen, kann 
man sich auch die Aufgabe stellen, ein System von Formen anzugeben, 
durch welche alle anderen nur rational darstellbar sind. *) Zu einem sol- 
chen Systeme von „associirten Forme?i" gelangt man am einfachsten, 
indem man zwei lineare Covarianten einer Form als neue Variable 
einführt; die Coefficienten der neuen Form sind dann Invarianten der 



*) Die in dieser Richtung liegenden Fragen wurden zuerst von Hermite 
(Cambridge and Dublin, matli. Journal 1854 und Crelle's Journal, Bd. 52) und 
Brioschi (Annali di matem. t. I) aufgeworfen und behandelt. Vgl. die weitere 
Entwicklung der Theorie in dem erwähnten Werke von Clebsch, sowie einen 
Aufsatz von Clebsch und Gordan: Annali di matemat. , Bd. I, 2. Serie, 1867, 
und Gundelfinger: Crelle's Journal, Bd. 74. 



Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen. 249 

gegebenen und es tritt eine Potenz der Substitutionsdeterminante, also 
auch eine Invariante, in den Nenner. Bei Formen gerader Ordnung 
existiren jedoch keine lineare Covarianten ; man bedient sich in diesem 
Falle der Polaren von anderen Covarianten in Bezug auf einen varia- 
beln Punkt y. Sind nämlich zwei der letzteren durch tp, i^ bezeichnet; 
so setzt man 

^ - g^ ^1 + die, ^2 

und hierdurch werden die alten Veränderlichen y^ , y.^ durch die neuen 
^, r\ ausgedrückt, welche für y = x in Covarianten der gegebenen 
Form / übergehen. Man wird so auf die folgende „typische Darstellung 
von /" geführt; es ist: 

f {y\ , Vi) = ji , 

wo nun B, Aq^ J^, . . . A„ Covarianten von / sind; und zwar ist D 
die Substitutionsdeterminante, d. h. in unserem Falle die Functional- 
determinante der Formen g? und ip. Ist nun TT {y^ , y., , «q , a^ . . . r/„) 
eine Covariante von /, wo «q, a^ . . . a„ die Coefficienten von /' be- 
deuten, so wird durch unsere Substitution: 

n Cy, , th, a,, «, . . . a„) = n (^^, r], ^L ^1 • • • ^^t) ' 

und wenn wir hierin y =^ x setzen, nach dem Satze von den homo 
genen Functionen: 

c ■T\{y^, y~y, «0, «, • • . ««) . i>^ = TT (9, i^, A^^, A^ . . . A,,) , 

wo c ein Zahlenfactor ist. Eine jede Covariante von f ist daher 
durch die n -{- 4 Covarianten D, A^^, A^, . . , A„, cp , rp rational dar- 
stellbar. Die letzteren sind jedoch nicht von einander unabhängig, 
sondern sie lassen sich noch auf eine niedrigere Anzahl reduciren. 
Wir haben nämlich früher hervorgehoben (p. 222), dass eine binäre 
Form nur zwei von einander unabhängige Covarianten haben kann; 
durch dieselben müssen sich alle anderen, wenn auch irrational, aus- 
drücken lassen. Ferner hat eine Form n^^"" Ordnung im Allgemeinen 
n — 3 absolute Invarianten, denn mittelst einer linearen Transforma- 
tion können wir bei passender Wahl der vier Substitutionscoefficienten 
immer vier von den n -\- \ Coefficienten einer Form w*" Ordnung 
bestimmte Werthe annehmen lassen ; und es bleiben also nur n — 3 
für die Form charakteristische Zahlen oder absolute Invarianten. Jede 
derselben muss der Quotient zweier Invarianten sein, und um « — 3 
solche Quotienten bilden zu können haben wir « — 2 Invarianten 



250 Dritte Abtheilung. 

nöthig. Nehmen wir hierzu die zwei von einander unabhängigen 
Covarianten, so haben wir also n Fonnen, durch welche sich alle anderen 
invarianten Bildungen der Grundform ausdrücken lassen; und zwar lehrt 
die Theorie der associirten Formen ein solches System von Bildungen 
angeben, dass dies auf rationale Weise ausführbar ist. 

Diese Bemerkungen mögen dazu dienen, im Allgemeinen die 
weitere Entwicklung der binären Formentheorie zu kennzeichnen. 
Eine eingehendere Ausführung würde unserem gegenwärtigen Zwecke 
nicht entsprechen, zumal da die geometrischen Resultate, welche die 
typische Darstellung der Formen liefert, bisher verhältuissmässig nur 
gering zu nennen sind. 



VI. Die CoUineationen im ternären Gebiete. 

Die Theorie der binären Formen, wie wir sie im Vorstehenden 
entwickelt haben, gewinnt wesentlich an geometrischem Interesse durch 
die Anwendungen, welche man von ihr auch in der Geometrie der 
Ebene machen kann; in der That werden wir weiterhin ein Princip 
entwickeln, welches erlaubt, aus einem jeden Satze über binäre 
Formen einen solchen für das ternäre Gebiet, d. h. die Geometrie der 
Ebene, abzuleiten, ein Princip, dessen Ausdehnung auf mehrere Variable 
dann keiner Schwierigkeit unterliegt. Andererseits haben wir bei der 
Behandlung der binären Formen gewisse Gesichtspunkte gewonnen, 
deren Befolgung und Erweiterung naturgemäss auch für ternäre 
Formen zu wichtigen Resultaten führt. Zu wesentlich neuen Gedan- 
ken werden wir jedoch beim Aufsteigen zu den homogenen Functionen 
von drei Variabein durch das bekannte Princip der Dualität geführt. 
In der Geometrie auf der Punktreihe war der Punkt (bez. im Strahl- 
büschel der Strahl) das einzige erzeugende Element; in der Geometrie 
der Ebene tritt dagegen dem Punkte die gerade Linie als gleichbe- 
rechtigt gegenüber: wir haben demnach ebensowohl ternäre Formen 
zu betrachten, deren Variable Punktcoordinaten, als solche, deren 
Variable Liniencoordinaten sind ; und nur die gleichzeitige Berück- 
sichtigung der beiderlei Bildungen wird eine erschöpfende Behandlung 
der Theorie der ternären Formen erwarten lassen. Die letztere nun 
beschäftigt sich mit Aufsuchung und Behandlung der durch lineare 
Transformation (mit nicht verschwindender Determinante) unzerstör- 
baren Eigenschaften einer ternären Form, oder, geometrisch ausge- 
sprochen, mit der Untersuchung der Eigenschaften einer algebraischen 
Curve, welche unabhängig von der Lage des Coordinatendreiecks sind, 
sei es, dass man die Curve als Punkt-, oder als Liniengebilde auffasst. 

Gemäss dieser Fragestellung der Tnvariantentheorie Averden Avir uns 
im Folgenden zunächst mit den linearen Transformationen an sich 



Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen. 251 

eingehender beschäftigen müssen, insbesondere um uns über die geo- 
metrische Bedeutung derselben völlig klar zu werden. 

Bei den binären Formen erkannten wir^ dass die lineare Trans- 
formation, welche zunächst eine Veränderung der Coordinatengrund- 
punkte repräsentirte, auch als der allgemeinste analytische Ausdruck für 
die projectivische Beziehung zweier Punktreihen oder Strahlbüschel 
aufgefasst werden kann. Dem entsprechend lässt auch die lineare 
Transformation im ternären Gebiete eine doppelte Interpretation zu: 
sie kann einmal — und so haben wir sie bisher allein betrachtet — 
als Coordinatentransformation angesehen werden, dann aber auch — ■ 
und diese Auffassung entspricht der geometrischen Begriifsbildung der 
Invariantentheorie in höherem Masse — als Beziehung disr Punkte 
zweier verschiedener Ebenen auf einander, sei es dass dieselben ge- 
trennt oder mit einander vereinigt liegen. 

Denken wir uns die beiden Ebenen zunächst vereinigt liegend 
(unendlich benachbart) und die Punkte derselben auf dasselbe Coordi- 
natendreieck bezogen. Bezeichnen wir die Coordinaten der Punkte 
der einen Ebene mit x, die der anderen mit y, so wird durch die 
linearen Gleichungen {an, nicht nothwendig gleich «/,,): 

Qyi = Ö'll^l + ^12^2 + «13^3 

(1) Qy2 == «21^1 + ^^^22^2 + ^23^3 
Qi/i = «31^1 + ^32^*2 + %3^^3 

derartig eine Jineare Verwandtschaft'' oder „Collmealmt'^ zwischen 
beiden Ebenen begründet*), dass jedem Punkte x der einen Ebene 
ein Punkt p (Bildpunkt von x) der anderen Ebene entspricht. Es ist 
dieses Verhältniss im Allgemeinen nicht unmittelbar umkehrbar; einem 
Punkte y entspricht nicht wieder derselbe Punkt x, sondern der ihm zu- 
gehörige Punkt der ersten Ebene bestimmt sich durch Auflösung der 
Gleichungen (1), vorausgesetzt, dass ihre Determinante nicht verschwin- 
det, mittelst der Formeln: 

ÖX^ = A^ylJ^ + ^,22/2 + ^13^3 

(2) (?a;2 = ^.,1^1 + -^^22^2 + ^nV-i 

ÖX^ == ^3,^1 + ^322/2 + ^33?/3 ? 

WO die Aik in bekannter Weise die aus den rt,x gebildeten zweiglie- 
drigen Determinanten bedeuten. Die Formeln sind also dieselben wie 
die der Coordinatentransformation (vgl. p. 69); aber während dort 
derselbe Punkt auf zwei Coordiuatensysteme bezogen wurde, sind hier 
zwei verschiedene Punkte auf dasselbe System bezogen. 



*) Die Collineationen sind zuerst eingehend behandelt von Möbius: Bary- 
centrischer Calcul. Leipzig 1827, p. 266 fF. , dann von Magnus: Aufgaben und 
Lehrsätze aus der analytischen Geometrie, Berlin 1833. Vgl. auch Chasles: 
Apercu historique etc., Note 4. 



252 Dritte Abtheilung. 

Durchläuft einer dieser Punkte eine Cnrye f (x^, x.2, x^) = 0, so 
durchläuft sein Bildpunkt eine andere F (t/^, y^^ y^) = 0, wo F aus f 
durch die Gleichungen (2) entsteht. Da letztere linear sind, so folgt 
der Satz: 

Einer algebraischen Curve entspricht hei einer linearen Verwandt- 
schaft immer eine andere von derselben Ordnung, 

Beide Curven werden nun gewisse Eigenschaften mit einander 
gemein haben, die eben durch Collineationen überhaupt unzerstörbar 
sind; und zwar müssen dies dieselben Eigenschaften sein, welche wir 
früher durch ihre Unabhängigkeit vom Coordinatensysteme charakte- 
risirten, denn Coordinatentransformation und lineare Verwandtschaft 
sind ja nur verschiedene Auffassungen für dieselbe algebraische Ope- 
ration. Diese Eigenschaften werden daher durch das Verhalten der 
zu der ternären Form f [x^ , x^^ Xg) gehörigen Invarianten*) angegeben, 
und somit haben wir für letztere selbst einen neuen und wichtigen 
Gesichtspunkt gewonnen, dessen volle geometrische Bedeutung im 
Folgenden entwickelt werden wird. 

Betrachten wir zunächst eine gerade Linie mit den Coordinaten u: 

SO entspricht derselben in der Bildebene eine von Punkten y durch- 
laufene Gerade, deren Coordinaten v ebenso wie bei der Coordinaten- 
transformation durch die transponirte Substitution von (1) gegeben 
sind, d. i. durch die Gleichungen: 

(4) ^Ui = au Vi + a2iV2 -f- asiVB . 

Diese Gleichungen haben dieselbe Form, wie die für Punktcoordinaten 
bestehenden; es gilt daher der Satz, Avelcher übrigens auch eine 
directe Folge des allgemeinen Dualitätsprincips ist: 

Zwei durch Collineation einander entsprechende Curven sind vo7i 
gleicher Klasse. 

Drücken wir einen Punkt der Geraden u mittelst eines Para- 
meters A durch zwei feste Punkte «, b derselben aus, so haben wir 
bekanntlich 

(SXi = ai -f- Ibi] 

seien ferner «, ß die den Punkten a, b entsprechenden Bilder, so 
wird die von y auf v durchlaufene Punktreihe gegeben durch 

wo 

*) Solche Eigenschaften können statt durch das Verschwinden von Invarianten 
auch durch identisches Verschwinden von Covarianten angezeigt werden, wofür 
wir bei den binären Formen Beispiele hatten (vgl. p. 241). Wir gehen hierauf 
weiter unten näher ein (p. 272, f.). 



Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen. 253 

QCCi = aadi -f a,-2«2 + «i3«:i 

Qßi = «,1*1 + «,2*2 + «,3&3 • 

In beiden Gleichungen kommt aber derselbe Parameter X vor, und 
somit folgt: 

fVenn ein Punkt eine Punktreihe durchläuft, so beschreibt der ent- 
sprechende Punkt eine ihr projectivische Punktreihe; und Analoges gilt 
für Strahlbüschel. 

An diesen Satz knüpft sich unmittelbar die Beantwortung der 
sich zunächst aufdrängenden Frage: wie construirt man zu einem ge- 
gebenen Punkte den Bildpunkt? Dieselbe wird durch eine rein geo- 
metrische Bestimmung einer Collineation ermöglicht, welche in fol- 
gendem Satze ausgesprochen ist: 

Ordnet man vier Punkten, von denen keine drei in gerader Linie 
liegen, lyez. vier andere zu, von denen ebenfalls keine drei in gerader 
Linie liegen, so ist dadurch die lineare Verivandtschafl völlig bestimmt. 
In der That kann man, wenn die Gleichungen 

QVi = anXi + 012X2 + «.-3^3 

für vier Punkte, a;", x', x", x" und für die vier entsprechenden y", g\ 
y'\ ij" bestehen sollen, die Coefficienten an, eindeutig bestimmen ; denn 
man hat für sie 12 lineare Gleichungen mit 13 homogen vorkommen- 
den Unbekannten (den 9 Grössen an, und 4 Proportionalitätsfactoren 
Q^, Q, q", q"). Aus irgend dreien der vier Gleichungen: 

(5) p(/'V.'''' = «aa:/'') -f «/a^a^''^ + «,3^3^^'^ 

berechnen wir nämlich die Coefficienten an, ai2, ttjz- Anderseits kann 
man letztere aus je dreien dieser Gleichungen eliminiren, und erhält 
dadurch bez.: 

= Q^yPX^ + Qij-X' + q'yl'X" + Q"yl"X"'. 

Hier bedeuten die ^(''' die vier aus den x zusammengesetzten Deter- 
minanten, z. B. ist 

■\ri\ ff ff f 

yi. — — ^j vt/o wQ 

ffr fff / 

jy% /y« yy 

I •*'l "^2 ^Z 

dieselben verschwinden nicht, weil keine drei der vier Punkte x auf 
gerader Linie gelegen vorausgesetzt sind. Aus den drei Gleichungen, 
welche sich so für die q ergeben {i = \ , 2, 3), finden wir für die 
Verhältnisse derselben folgende Ausdrücke: 

(6) q'^X'' = m Y\ q'X' = mF\ q" X" = m F", q" X'" = m V" , 
wo die V die aus den y zu bildenden Determinanten sind, also z. B.: 



254 " Dritte Abtheilung. 

vi y% 2/3' 
y^ = yC y^ yi' 
y\" y%" y% 

und wo m einen unbestimmt bleibenden Factor bedeutet. Aus (6) 
werden somit die Verhältnisse der p, aus (5) dann die der aiu berech- 
net; und damit ist unser Satz bewiesen.*) 

Vorausgesetzt nun, dass vier Punkte der einen Ebene als vier 
Punkten der andern bez. entsprechend gegeben sind, so construirt man 
zu jedem fünften Punkte «(^^^ den ihm entsprechenden Punkt y'^^^ in 
folgender Weise. Nach einem soeben bewiesenen Satze ist das Büschel 
der vier von x^ nach x , x", x"\ ^t'^^' gehenden Strahlen zu dem von 
«/" nach y , y'\ y"\ y^^^\ und das der Strahlen von x nach x^\ x", x", a;^^^> 
zu dem von ij nach ?/**, y", y"y y^^^'^ projectivisch. Man kann daher 
nach bekannten Sätzen die Strahlen y^y'^^^^ und y'y^^"^^ conströiren, so 
dass ?/(^^' selbst als Schnitt beider bestimmt ist. Diese Construc- 
tion wird in der That, ebenso wie die Rechnung, nur dann nicht 
ausführbar, wenn drei der Punkte x oder drei der Punkte y auf 
gerader Linie liegen. 

Tritt jedoch dieser zunächst ausgeschlossene Fall ein, so werden 
wir dadurch zu dem Begriffe der sogenannten Centralperspecüve ge- 
führt. Die dabei vorkommenden Besonderheiten entsprechen gewisser- 
massen denjenigen, welche wir im binären Gebiete bei der perspecti- 
vischen Lage zweier projeetivischen Punktreihen und Strahlbüschel her- 
vorgehoben haben. Wir wollen dieselben in den folgenden üeberlegun- 
gen um so mehr näher erörtern, als wir sehen werden, dass man sich 
jede CoUineation aus diesem besondern Falle hervorgegangen denken darf 

Die linearen Gleichungen (1) oder (2) beziehen sich auf ein 



*) Die Bestimmung einer CoUineation durch vier Punkte und die ihnen zu- 
geordneten kann man auch in folgender Weise einsehen. Der Verbindungslinie 
zweier Punkte in Ä, entspricht jedenfalls die Verbindungslinie der entsprechen- 
den Punkte in Äj, und dem Schnittpunkte zweier Geraden in Ex der Schnittpunkt 
der entsprechenden Geraden in E^. Verbinden wir nun die vier in Ei gegebenen 
Punkte unter einander, so bestimmen die 6 Verbindungslinien 3 neue Punkte, 
deren zugehörige in E^ durch die entsprechende Construction sofort gegeben 
sind. Verbinden wir die 3 neuen Punkte in Ä, wieder unter einander und mit 
den 4 ursprünglich gegebenen, und setzen diese Construction beliebig fort, so 
erhalten wir immer neue Punkte in Ä, , deren entsprechende in E^ sofort ge- 
geben sind. Schliesslich wird die ganze Ebene £, mit einem Netze von beliebig 
vielen Geraden bedeckt, und zwar lässt sich zeigen, dass man durch fort- 
gesetzte Verdichtung des Netzes jedem Punkte von E^ beliebig nahe kommen 
kann. Denkt man sich nun gleichzeitig das entsprechende Netz in E^ construirt, 
so ist durch diese Netze die gegenseitige Zuordnung der einzelnen Punkte beider 
Ebenen festgelegt; und also die ColUnealion völlüj bestimmt. Vgl. hierüber Mö- 
bius, a. a. 0. p. 273. 



Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen. 



255 



beliebiges Coordinatendreieck ; bei Aenderung desselben werden ihre 
Coefficienten immer andere Werthe annehmen. Legen wir z. B. ein 
rechtwinkliges Coordinatensystem zu Grunde, so werden sie (wenn 
wir dieselben Coefficienten der Einfachheit wegen beibehalten) von 
der Form: 

Q .1 = a^^X + «32J/ + «;,3 

oder : 



Ä = 



«'31^ + "322/ + «33 



F = 



und umgekehrt; 



X = 



«31^ + CzzV + «83 



^2, X+ ^22^ + ^23 






y 



Die Gleichung 

«31^ + ^hiV + ^'33 =ö 

ist dann die einer geraden Linie, deren Punkte den unendlich fernen 
Punkten des Bildes {X = oo, F = 00) entsprechen und ebenso sind 
die Punkte der Geraden 

^31^+^32^+^33 = 

die Bilder der unendlich fernen Punkte der ersten Ebene Qx = 00, 
y = 00). In der That müssen wir ja überhaupt die unendlich fernen 
Punkte der Ebene als auf einer Geraden gelegen annehmen (vergl. 
p. 67); aus einer solchen kann aber durch Collineation nur wieder 
eine Gerade werden. 

Die erwähnten beiden geraden Linien wer- 
den als Fluchtlinien bezeichnet; durch eine be- 
sondere Lage derselben gegen einander können ^ 
wir nun die Centralperspective charakterisiren : 
Wir wollen uns die eine der beiden unendlich 
nahen Ebenen (^ und E') — ohne beide von ein- 
ander zu entfernen — so gegen die andere ge- 
dreht denken, dass die beiden Fluchtlinien ein- 
ander parallel werden. Alsdann entspricht der 
unendlich ferne Schnittpunkt P der beiden Flucht- 

litiien f und /" sich selbst; denn, insofern er / 3' 

auf /liegt, muss ihm ein unendlich ferner Punkt 
der Ebene E', insofern er auf /" liegt, ein solcher 
der Ebene E entsprechen, und dies kann nur 
gleichzeitig eintreten, wenn er mit dem ihm J? 
zugeordneten zusammenfallt. Einem beliebigen \^' 

anderen Punkte A auf / entspricht dagegen ein 



Fig. 33. 



ff 



A 



A 



256 



Dritte Abtheilung. 



unendlich ferner Punkt in E' , der durch die von A nach ihm führende 
Richtung a gegeben ist (vgl. Fig. 33); diesem unendlich fernen Punkte, 
betrachtet als Punkt von E, entspricht wieder ein auf /' gelegener 
Punkt A\ 'so dass seine Verbindungslinie d mit diesem zu a parallel 
wird. Gehen wir ebenso von einem Punkte B auf / aus, so werden 
wir in derselben Weise zu einem Punkte B' auf/" geführt, so dass 
zwei parallele bez. von B und B' ausgehende Linien h und h' den un- 
endlich fernen Punkt bestimmen, welcher zu B und B' in besagter 
Beziehung steht. Durch Parallel Verschiebung der beiden Ebenen gegen- 
einander, können wir es nun insbesondere so einrichten, dass bez. die 
Linien a und «', h und h' zusammenfallen*) und so durch ihren Schnitt- 
punkt einen dann besonders ausgezeichneten Punkt bestimmen; und 
zwar ist dies auf zwei Weisen möglich, da wir die eine Ebene immer 
noch um 180** drehen können, ohne das Resultat zu ändern. Die 
Fluchtlinien bleiben dabei einander parallel und ändern nur ihren 
gegenseitigen Abstand. 

Die Beziehung, in welche die Ebenen nunmehr gebracht sind, 
ist es, welche als die perspectivische Lage der ehenen Systeme bezeichnet 
wird; der Punkt heisst das Centrmn der Perspectivität oder der 
CoUineation. Dieser Punkt ist in der Weise ausgezeichnet, dass nicht 
nur die Strahlen a und h mit ihren entsprechenden Strahlen «', b' 
zusammenfallen, sondern dass jeder durch ihn gehende Strahl sich 
selbst entspricht. Es folgt dies unmittelbar daraus, dass ausser den 

Strahlen a, h auch die Ver- 
bindungslinie von mit dem 
unendlich fernen Punkte P 
der Fluchtlinien mit ihrem ent- 
sprechenden Strahle zusam- 
menfällt, und sonach die beiden 
durch gehenden, einander 
projectivischen Strahlbüschel 
der Ebenen E und E' ganz 
zusammenfallen müssen (vgl. 
p. 44). Bei dieser perspectivi- 
schen Lage können wir den 
zu einem beliebigen Punkte .4 
in E gehörigen Punkt A' in 
E' sehr einfach construiren. 
Letzterer nämlich muss zu- 
nächst auf der Linie A liegen. 




*) Dass dies in der That immer möglich ist, ergibt sich auch aus den fol- 
genden analytischen Entwicklungen. 



Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen. 257 

da dieselbe mit A' Ö zusammenfällt. Auf diesem Strahle sind dann 
zwei projectivische Punktreihen in perspectivischer Lage bestimmt. 
Der eine Doppelpunkt derselben fällt in das Collineationscentrum 
(vgl. Fig. 34); ferner entspricht dem unendlich fernen Punkte der 
einen Reihe der Schnittpunkt F' von AO mit /', und dem Schnitt- 
punkte F von AO mit /' der unendlich ferne Punkt, insofern er der 
andern Reihe angehört; durch diese Zuordnung ist die Projectivität 
festgelegt. Der zweite Doppelpunkt 0' ist ebenso weit von dem 
Schnittpunkte mit der Fluchtlinie F' entfernt, wie von dem mit F; 
in der That ist nämlich das Doppelverhältniss dieses Punktes mit den 
drei erwähnten Punkten der einen Reihe gleich dem Doppelverhältnisse 
mit den drei entsprechenden der andern, nämlich 



oo 



WO n die Entfernung FF', m die Entfernung FO = F'O' bezeichnet. 
Der Punkt 0' , und ebenso jeder Punkt der durch 0' zu den Flucht- 
linien gezogenen Parallele entspricht daher sich selbst. Diese Paral- 
lele wird als Collineationsaxe (c m Fig. 34) bezeichnet. Wir haben 
dann die Sätze: 

Bei der perspeciivischen Lage coUinear verwandter Systeme 

entspricht jeder Strahl durch das I entspricht jeder Punkt auf der Col- 
Collineationscentrum sich seihst. \ lineationsaxe sich selbst. 

Die Punkte der Ebene werden also in diesem Falle durch die Trans- 
formation auf den durch gehenden Strahlen verschoben, und die Linien 
der Ebene um ihre Schnittpunkte mit der Collineationsaxe gedreht. Mit 
Hülfe dieser Sätze können wir nun die verlangte Construction des dem 
Punkte A entsprechenden Punktes Ä auch ohne Benutzung der 
Fluchtlinien ausführen, vorausgesetzt, dass Centrum {0) und Axe {c) 
der Collineation, sowie zwei entsprechende Punkte {B , B') (deren 
Verbindungslinie durch geht) oder zwei entsprechende Gerade 
(deren Schnittlinie auf der Axe liegt) gegeben sind. Es müssen 
nämlich auch die Verbindungslinien von B und A, B' und A' , als 
einander entsprechend, sich auf der Axe schneiden.*) Verbinden wir 
daher den Schnittpunkt {ß) der Linie und der Axe mit B\ so wird 
diese Verbindungslinie von dem Strahle A in dem gesuchten Punkte 
A' geschnitten. 

Die hier betrachtete perspectivische Beziehung gibt eine klare 
Anschauung über die durch eine lineare Transformation hervorge- 



*) In Fig. 34 ist für B ein Punkt auf f und also für B' der unendlich ferne 
Punkt von B gewählt. 

Clebach, Vorlesungen. *' 



258 üiitte Abtheilung. 

brachten Veränderungen ebener Figuren überhaupt. Es gilt nämlich 
wie bei projectivischen Punktreihen und Strahlbüscheln der fol- 
gende Satz: 

Zwei colUneare Systeme können durch congruenie Ortsveränderung 
des einen von ihnen immer in perspectivische Lage gebracht tverden. 

Zunächst nämlich ist ersichtlich^ dass wir eine projectivische Be- 
ziehung zweier Ebenen auf einander durch folgende räumliche Con- 
struction herstellen können, von der wir dann unmittelbar zur per- 
spectivischen Lage zurückgeführt werden. Wir beziehen zwei gegen 
einander im Räume geneigte Ebenen dadurch auf einander, dass Avir 
sie von einem Punkte ausserhalb derselben betrachten, d. h. dass wir 
je zwei Punkte, deren Verbindungslinie durch einen bestimmten, will- 
kürlich gewählten Punkt (ö) des Raumes geht, einander entsprechend 
setzen.. In der That sind dann entsprechende Punktreihen und ent- 
sprechende Strahlbüschel in beiden Ebenen projectivisch. Man über- 
zeugt sich davon sofort, wenn man durch den Punkt eine beliebige 
Ebene legt; diese schneidet die gegebenen Ebenen in zwei Linien, 
welche unmittelbar perspectivisch auf einander bezogen sind. Lassen 
wir nun die beiden gegebenen Ebenen allmählich zusammenfallen, in- 
dem wir die eine um ihre Schnittlinie mit der andern drehen, so geht 
letztere Gerade in die Collineationsaxe über und der Punkt fällt in 
die eine Ebene hinein: er gibt das Collineationscentrum. Die beiden 
ebenen Systeme befinden sich somit in perspectivischer Lage. Unser 
oben aufgestellter Satz ist also bewiesen, sobald wir noch zeigen, 
dass durch die angegebene räumliche Construction die allgemeinste 
collineare Verwandtschaft erhalten werden kann. 

Letzteres ergibt sich nun folgendermassen. Wir können immer 
in jeder der Ebenen E, E' zwei entsprechende Punktreihen angeben, 
welche einander congruent sind. Setzen wir nämlich die Transforma- 
tionsgleichungen in der Form voraus: 

^ __ axxX-\- a^^y - |- gj3 __ A 
Y ^_ <?2ia? + a^zy -f ^ 23 ^_ B 

SO muss für ein Punktepaar einer solchen Geraden und für das ent- 
sprechende Paar der andern Ebene die Gleichung: 

bestehen. Nehmen wir nun die Punkte x, y und x\ y auf einer zu 
der Geraden C = (der einen Fluchtlinie) parallelen Geraden an, d. h. 
setzen wir: 

C=C' = k, 



Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen. 259 

so erhalten wir die Relation: 

^(:r' — x)2+(y'— y)2 = (^a,Ja;'— a;) + &i2(y'— ?/))2 -f (a2j(a;' — a:) + ^/22(y'— y))- ; 

und diese ist für: 

x — X = r cos a j y — y = r sin a 

offenbar erfüllt, wenn wir 

A-2 = (rtj^ cos a -f- ^12 sin a)^ -\- {a^^ cos a -\- a^^ sin a)'^ 

nehmen, und zwar unabhängig von dem Werthe von r. Es gibt 
daher in jeder Ebene zwei Gerade, parallel und symmetrisch zur 
Fluchtlinie gelegen, deren Punktreihen mit denen der entsprechenden 
Geraden congruent sind. Bei obiger Construction sind nun die 
Ebenen nur so gegen einander gelegt, dass diese beiden Geraden in 
die Schnittlinie der Ebenen zusammenfallen, und dass je zwei einan- 
der entsprechende Punkte derselben über einander liegen. Um die 
Verwandtschaft der beiden ebenen Punktsysteme durch Zuordnung von 
vier Punkten festzulegen, können wir daher, ohne eine Specialisirung 
zu verursachen, zwei Punktepaare auf der Schnittlinie der Ebene E und 
E' annehmen, während die beiden anderen beliebig, aber in einer 
dritten Ebene*), liegen mögen. Die Verbindungslinien entsprechender 
Punkte der letzteren Paare bestimmen dann den festen Punkt ö, und 
dass jeder andere von ihm ausgehende Strahl die Ebenen EE' in 
entsprechenden Punkten trifft, ersieht man leicht aus der Gleichheit 
der in der §o construirten Figur auftretenden Doppelverhältnisse. 
Legt man insbesondere durch eine Parallelebene zu der einen Ebene, 
so schneidet dieselbe in der andern die Fluchtlinie derselben aus. 
Man erkennt hieraus, dass bei allmähligem Nähern der beiden Ebenen 
das Collineationscentrum in einen Punkt fällt, der von der einen 
Fluchtlinie ebensoweit entfernt ist, wie die Collineationsaxe , die 
Schnittlinie der beiden Ebenen, von der andern. Diese Strecke (jn) 
und die gegenseitige Entfernung der beiden Fluchtlinien (n) sind 
somit für die perspectivische Lage besonders charakteristisch, sie be- 
stimmen dieselbe geradezu vollständig. 

In der That lassen sich auch die Coefficienten unserer Transfor- 
mationsgleichungen (7) durch diese Grössen ?n , n ausdrücken; wir 
brauchen, um dies zu erkennen, nur das Coordinatensystem passend 
zu legen. Der Anfangspunkt falle mit dem Collineationscentrum zu- 
sammen, und die Z-Axe laufe zu den Fluchtlinien parallel. Die 
Gleichung der einen Fluchtlinie (7 = wird dann 



*) Dies ist nöthig, da die Verbindungslinie des Paares in E die Schnittlinie 
von E und E' in einem Punkte schneidet, der mit seinem entsprechenden ver- 
einigt liegt und der daher ebenso durch die Verbindungslinie des Paares in E' 
erhalten werden muss. 

17* 



260 Dritte Abtheilung. 

X — 7n — w = . 

Ferner muss der Punkt x, y mit dem Punkte X, Y auf einer durch 
den Anfangspunkt gehenden Geraden liegen; wir haben also 

X : Y = X : y ^ 
und die Transformationsgleichungen nehmen daher die Form an: 

j: = — ^ — 



r = 



Qy 



Für .r == oo, j/ == oo muss die Gleichung der anderen Fluchtlinie 
resultiren, d. h. X = — m werden. Es ist daher 

Q =^ m {m -\- n) 

zu setzen. Führen wir noch eine neue Constante = m -\- n ein , so 
erhalten wir die Collineation bei perspectivischer Lage in allgemeinster 
Weise dargestellt durch die Gleichungen: 

X == ^-?-^- Y = -- ?-^ . 

X — (T ' X — G 

Auf diese Form müssen sich nach dem Vorhergehenden die Gleichun- 
gen für jede lineare Verwandtschaft durch Einführung neuer, recht- 
winkliger Coordinaten, d. i. durch Drehung und Verschiebung bringen 
lassen. Um die betreffenden Umformungen durchzuführen, gehen wir 
von den Gleichungen (7) aus. Wir verschieben die Ebene der X, Y, 
indem wir dem früher mit dem der andern Ebene vereinigten Coor- 
dinatensysteme die Verschiebungen p, q und die Drehung 90 ertheilen. 
Der zu x, y gehörige Punkt (früher X, Y) erhält dann die Coordi- 
naten X', Y', und zwar ist: 

X' = p -{■ X cos 90 — Y sin (p 
Y' = q -\- X sin (p -\- Y cos cp . 

Es gilt jetzt, p, q, cp so zu bestimmen, dass die Bedingung dafür, 
dass ein Punkt X', Y' mit einem Punkte x, y zusammenfällt, auf eine 
lineare Gleichung in x, y führt, die dann die Collineationsaxe dar- 
stellt. Setzen wir also die Werthe der X, Y aus (7) in die letzten 
Gleichungen ein, so müssen für X' = x, Y' = y die entstehenden Glei- 
chungen (t sei Proportionalitätsfactor) : 

T (x P) == (<^ll^' "t Öfl2y H" ^13) cos Qp — («21^ + 0(22^ "f- «23) ^^^ 9' 

'^ il/— Q) = Ki^ + «'12^ + «13) sin g) -f («^jo; + «22^ + «23} cos cp 

r = «3,x + ö'^sy + «33 
sich sämmtlich auf die eine Gleichung 



Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen. 261 

XX -\- Xtj -\- \ == 
reduciren. Zunächst haben wir daher: 



wo sich nun t aus den ersten beiden Gleichungen durch Coefficienten- 
vergleithung bestimmt. Man findet: 

fl,i cos qp — «21 sin cp — T Os^ « n sin gp -}- aj, cos gp £31 

^,2 cos qp — fl22 sin qp «32 ' «,2 sin qp -f «22 cos qp — r «-32 ' 

oder^ wenn man die Unterdeterminanten 

^13 = ^32^^21 ~~ "22^31 ' ^23 = ^31^12 ~ '^11^'32 

einführt : 

.4,3 sin cp -\- ^.,;. cos q) = — to.^o 

.7^3 cos (p -\- ^23 S^^ ^ ^^ "^^^'iX' 

Für den Werth von x hat man also: 

2 __ ^13 ~r -^23' . 

die Grössen p, q, <p ergeben sich dann linear; es gibt also zwei 
Arten, die perspectivische Lage hervorzurufen, wie wir auch schon 
vorhin rein geometrisch erkannten (p. 256). 

Es liegt nahe, auch bei der allgemeinen Collineation nach solchen 
Punkten zu fragen, welche mit ihren entsprechenden zusammenfallen. 
Wir finden die Coordinaten derselben aus den Gleichungen 

QUi = UiiXi 4- üi^x^ + a,-iX'A , 

wenn wir yi = Xi setzen, wodurch wir erhalten: 

(«11 — q)x^-\- ay,x.i -\r (l^^x^ = 

(8) «21^1 + («22 - Q) ^'i + ^23 ^"3 = ^^ 

«gpTj + (ly^X.^ + («,;, " ?) .^3 = j 

und die Elimination der x ergibt die für q cubische Gleichung: 

(9) A (9) = «21 «22 — 9 ^23 1 = 0. 

«31 «32 '"^33 — q\ 

Im Allf/emeinen f/ibi es daher drei Punkte, ivelche mil ihren zuge- 
hörigen zusammen fallen. Ebenso muss es auch drei sich selbst entspre- 
chende Gerade geben; es sind offenbar die Verbindungslinien der drei 
Punkte, da die Linien, welche entsprechende Punkte verbinden, auch 
entsprechende sind. Das so bestimmte Dreieck bildet ein besonders 
einfaches Coordinatensystem für die Transformation. Da unter Zu- 



262 Dritte Abtheilung. 

gründe! egung desselben der Linie Xi = die Linie t/i == entspricht, 
so müssen die Gleichungen (1) dann die vereinfachte Form annehmen : 

(10) Qi/^ = a^x^ 

Man kann sich dieselben aus (1) entstanden denken, indem man jene 
Gleichungen mit «, , it^, u.^ multiplicirt und addirt: 

(11) ^ (W| y^ -^ Wj y.^ + u^ yg) = 2: ttik Ui Xu , 

und dann die u so bestimmt, dass der lineare Ausdruck links dem 
rechts proportional wird, also: 

Die Uk sind dann die Coordiuaten einer sich selbst entsprechenden 
Geraden, und die Elimination derselben aus den letzten Gleichungen 
führt für a auf die cubische Gleichung (9). Die Gleichung (11) ver- 
wandelt sich in (w,. = u^x^ -f- u„x.y + n^x^): 

QUy = a. Ur , 

d. h. in eine der Gleichungen (10). Man sieht also, dass «j, a.^, «3 
die Wurzeln jener ciihischen Gleichung sind. 

Die drei so ausgezeichneten Punkte sind im Allgemeinen von 
einander verschieden*); und nur dann ist das Dreieck derselben in 
dieser Weise einzuführen. Rücken zwei der Punkte einander unend- 
lich nahe, oder, was dasselbe ist, hat die Gleichung (9) -zwei gleiche 
Wurzeln, so wird kein eigentliches Dreieck mehr gebildet, und man 
kann die Transformation nicht mehr in der Gestalt (10) darstellen. 
Dagegen ist dies noch möglich, wenn eine unendliche Zahl von Punk- 
ten existirt, die alle mit ihren entsprechenden zusammenfallen, wie es 
bei der perspectivischen Lage der Fall war; und zwar tritt dies ein, 
wenn alle ünterdeterminanten A,/, der Determinante (9) verschwinden. 
Denn die Coordinaten der drei Punkte genügen nach (8) den Re- 
lationen : 

X^ '. X^ '• «^'3 = Aj I '. A|.) C A.3 

= A,j : A22 : A03 
= A3, : A.,, : A33 ; 
ein solcher Punkt wird also in der That unbestimmt, wenn für eine 

*) Zwei derselben können auch imaginär werden. Es tritt dies z. ß. ein 
bei den Transformationen, durch welche eine Drehung der Ebene in sich um 
einen ihrer Punkte dargestellt wird. In diesem Falle fallen zwei der Punkte in 
die imaginären Kreispunkte, der dritte ist das Rotationscentrum; ebenso sind zwei 
der Geraden imaginär, die dritte fällt in die unendlich ferne Gerade. 



Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen. 263 

Wurzel von (9) alle A,/, Null werden. Diese Wurzel ist dann aber 
üoppelwurzel der Gleichung A (p) = 0, denn es wird auch 

||=-p(A„+A,, + A33):==0. 

Bezeichnen wir diese Doppelwurzel durch <j , so können sich also bei 
der perspectivischen Lage, vorausgesetzt, dass A ((<) = nicht eine 
dreifache Wurzel habe*), die Gleichungen (8) nur um einen constanten 
Factor unterscheiden; d. h. w/'r können die neun Coefficienten au, der 
Transformalion in der folgenden Weise durch sechs Grössen ausdrücken: 

rt, ^=a^ß^-{- (3 rt,,i = «1 ß, «31 = «1 ^3 

«in ==«3^1 «23 = «3/5-- «33 = «3/^3 + 0' 

Unsere Gleichungen (1) nehmen dadurch die einfachere Form an: 

(12) QVi = <3Xi + ßi (ßj.f, + tvo.r. + ci.^x^) , 
und die cubische Gleichung geht über in: 

'«ii^i-(p-^) «2/^1 «3/^1 ! 

0^; «,/3, «2/3,-(9 (j) ci.ß., ^ '{Q-a)\Q-a~-ß,a,-ß.ju~ß.,i<,}. 
\ a^ß^ «2^3 «3/^3-(9-<^)i 

Wir erhalten also in der That die Doppelwurzel q= a und die ein- 
fache Wurzel 

p = (? 4- aj/3^ + «2^0 + «3/3.3. 

Die erstere gibt uns die Gleichung der Collineationsaxe : 

«, x^ + «20:2 + «3-^3 = ^ ; 
die andere die Coordinaten des Collineaäonscentrums: 

x^ : X., : Xr. = ß^: ß^: ßi- 
Die Gleichung dieses Punktes ergibt sich ebenso, wie die der Axe aus 
(12), wenn wir die Collineationsgleichungen für Liniencoordinaten auf- 
stellen ; denn diese werden : 

(13) Q Ui =^avi-{- ai (/3i i\ + ß, V., + ß-i v.^ . 
Aus (12) folgt ferner durch Elimination von 9, und a ^. : 

j Vi y-i Vi 

und ebenso aus (13) durch Elimination von q, 0, v^^: 

*) Eine vollständige Behandlung der verschiedenen hier auftretenden Mög- 
lichkeiten findet sich in der letzten Abtheilung dieser Vorlesungen. 



= 



264 Dritte Abtheilun^. 



w, 


lt.. 


«3 


Vi 


V., 


^.•i 


«, 


a.. 


«3 



0, 



wodurch wieder die früher schon bewiesenen Sätze gegeben sind, dass 
Verbindungslinien entsprechender Punkte durch das Collineationscen- 
trum gehen, und entsprechende Gerade sich auf der Collineationsaxe 
schneiden. 

Legen wir nun zwei Ecken des Coordinatensystems auf die Axe, 
die dritte in das Centruni der Collineation, so erhalten wir die Trans- 
formation in der kanonischen Form: 

welche sich von der obigen Form nur dadurch unterscheidet, dass dort 
die unendlich ferne Gerade statt der Collineationsaxe als dritte Coor- 
dinatenseite benutzt wurde. 

Auf andere Besonderheiten, welche bei den linearen Verwandt- 
schaften eintreten können, werden wir später von anderem Gesichts- 
punkte aus zurückkommen. Wir gedenken hier nur noch mit einigen 
Worten der sogenannten dualistischen Verivandlschaften oder Transfor- 
maüonen,^ von denen wir in der durch einen Kegelschnitt begründeten 
Polarreciprocität einen speciellen Fall kennen gelernt haben. Eine 
solche Verwandtschaft wird vermittelt durch die Gleichungen: 

QUi = ein Xx -f «!2 3^2 + «,3 ^3 ; 

oder aufgelöst: 6x, = Au u^ + A^, n^ -f A^i u^ 5 

sie ordnet also jedem Punkte eine Gerade, jeder Geraden einen Punkt 
zu und kann somit als algebraischer Ausdruck für das allgemeine 
Dualitätsprincip betrachtet werden. Besonders ausgezeichnet sind 
dabei zwei Kegelschnitte: 

2J üik Xi Xk = und E Ai^ Ui m/, == , 

der eine als Ort der Punkte, ivelche auf den ihnen entsprechenden 
Geraden liegen, der andere als umhüllt von diesen Geraden. Beide 
Curven sind mit einander identisch für an, = aia, und dann ist 
Z!Ai/,UiU/, = die Liniencoordinatengleichung von 2J ai/,XiXk = 0: 
In diesem Falle geht also die dualistische Verwandtschaft in die Polar- 
reciprocität in Bezug auf den Kegelschnitt 2; «,/, a;, a;/, = über. — 



Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen. 



265 



VII. Die ternären Formen im Allgemeinen. 

Bevor wir zu allgemeinen Sätzen über ternäre Formen übergehen, 
schicken wir einige Bemerkungen über die Natur der bei ihnen auf- 
tretenden Bildungen voraus. Weiterhin wird uns hauptsächlich die 
symbolische Darstellung derselben und die aus dieser fliessende Ueber- 
tragung der Resultate der binären Formentheorie auf das ternäre 
Gebiet beschäftigen. 

Betrachten wir zunächst eine lineare Form: 

so stellt dieselbe bekanntlich gleich Null gesetzt eine gerade Linie 
dar; und die Ui sind die Coor ahmten dieser Geraden. Dies werden wir 
jedoch gemäss dem Dualitätsprincip besser dahin aussprechen, dass die 
Gleichung: 

Wj x^ -f- W2 -^^2 ~h ^.i ^3 = 

die Bedingung für die vereinigte Lage des Punktes x und der Geraden u 
ist (vgl. p. 69). Schon hieraus ersehen wir^ dass unsere lineare Form 
die Invarianteneigenschaft haben muss; denn wir haben gesehen, dass 
die vereinigte Lage von Punkt und Gerade durch eine Collineation 
nicht zerstört werden kann. Sei nun eine solche gegeben durch die 
Gleichungen : 

(1) QÄi = aixXi -\- ai2X~^ -}- tti-iX'i, 

so werden die entsprechenden Gleichungen für Liniencoordinaten 
(vgl. p. 68): 

(2) 0Ui = au Ui + a-2i U^ -\- a^i U% . 

Durch Benutzung dieser Relationen und unter Anwendung des 
Multiplicationstheorems der Determinanten erkennt man zunächst, dass 
die Determinante 

X, y^ Zi 






^3 



die Invarianteneigenschaft hat, ebenso wie bei den binären Formen 
die zweigliedrige Determinante (xy). Wir haben nämlich, wenn Y , Z 
die Coordinaten der Punkte sind, in welche y, z vermöge der Glei- 
chungen (1) übergehen, unmittelbar: 



X. 



Y, 


z. 


^2 


z. 


y. 


^3 



== ßo 



22 



'■32 



^23 



'■33 









y-i -2 
2/3 ^3 



266 Dritte Abtlieilung. 

oder wenn wir die aus den o:, ?/, z gebildete Determinante kurz darch 
(xtjz), die Substitutionsdeterrainante der «,/, durch r. q'-^ bezeichnen: 

(3) {Ä FZ):^r {xyz). 

Die Coordinaten einer Geraden sind nun proportional zu den zwei- 
gliedrigen Unterdeterminanten irgend zweier auf ihr gelegener Punkte; 
und die dabei auftretenden Proportionalitätsfactoren wollen wir in der 
Folge immer so bestimmt denken, dass der Ausdruck U^ X^^ + U.^ X.^ -f- U., X.^ 
ohne Factor in w, a;, -f u^x^ + ^3^:3 ühergelit. D. h. wir setzen: 

«3 = y\h 



rU, = F,Z,- 


-^3^2; 


rU,= F,Z,- 


"~ ^\^^) 


rU^= }\ Z^ - 


- -^2.^1 > 



-2 'J'i^X •) 



und dadurch erhalten wir also in abgekürzter Schreibweise: 
(4) Ux = Ur 

Diesen Ausdruck w,,. wollen wir in der Folge, da er nur von 
Punkt- und Liniencoordinaten abhängt, ohne sonst noch Coefficienten 
zu enthalten, als identische Covariante bezeichnen. 

Die Mannigfaltigkeit der geometrischen Gebilde, welche durch das 
Auftreten der Liniencoordinaten im ternären Gebiete bedingt ist, 
nöthigt uns, auch den Kreis der invarianten Bildungen entsprechend 
zu erweitert. Während nämlich bei den binären Formen nur Inva- 
rianten und Covarianten auftreten, haben wir bei drei homogenen 
Veränderlichen die folgenden Klassen von Functionen mit der Inva- 
rianteneigenschaft : 

1. Invarianten. Dieselben hängen nur von den Coefficienten der 
Grundform (oder bei simultanen Systemen, der Grundformen) ab, 
und geben durch ihr Verschwinden besondere Eigenschaften 
des durch die Grundform dargestellten Gebildes (Curve). 

2. Covarianten. Dieselben enthalten ausser den Coefficienten der 
Grundform noch die Coordinaten eines Punktes, oder auch 
mehrerer. Im ersten Falle geben sie, gleich Null gesetzt, die 
Gleichung einer Curve, die mit der Grundcurve in einer inva- 
rianten Beziehung steht. 

3. Zugehörige Formen oder Contravarianten. Sie enthalten ausser 
den Coefficienten der Grundform noch Liniencoordinaten. 
Kommt nur eine Reihe von diesen vor, so stellen sie, gleich 
Null gesetzt, eine von den Linien umhüllte Curve dar. 

4. Zwischen formen. Dieselben enthalten ausser den Coefficienten 
gleichzeitig Punkt- und Liniencoordinaten. Ist von jeder Art 
dieser Veränderlichen nur eine Reihe vorhanden, so wird durch 



Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen. 267 

NiiUsetzen einer Zwischenform jedem Punkte x der Ebene eine 
von Linien u umhüllte Curve, jener Linie u eine von Punkten x 
beschriebene Curve zugeordnet. Man hat diese Gebilde bisher 
nur eingehender betrachtet, wo man, ausgehend von Grund- 
formen mit Punkt- oder Liniencoordinaten, durch covariante Bil- 
dungen auf sie geführt wurde. Es ist jedoch, wenn anders 
man systematische Vollständigkeit erreichen will, von diesen 
Zwischenformen selbst als Grundformen auszugehen. Wir wer- 
den hierauf später zurückkommen.*) 
Es braucht wohl kaum hervorgehoben zu werden, dass endlich 
noch absolute Invananfe?i**) auftreten, d. h. Functionen, die bei 
linearen Transformationen völHg ungeändert bleiben, und die, wie bei 
den binären Formen, durch Quotienten passender Potenzen von Inva- 
rianten gegeben werden (p. 106). — Alle diese Bildungen wollen wir 
im Folo-enden kurz unter dem Ausdrucke Functionalinvatiante zusam- 
menfassen. Wir theilen dieselben ein nach dem „Grade^^ in den 
Coefficienten der Grundform, nach der ,,Ordnuno'^ in den Punktcoor- 
dinaten und nach der ..Klasse" in den Liniencoordinaten. 

Es drängt sich hier naturgemäss die Frage auf, ob es möglich 
ist, ganz allgemein die formale Gestalt einer solchen invarianten 
Bildung zu charakterisiren , wie uns dies ja bei den Invarianten und 
Covarianten binärer Formen gelang. Dies ist nun in der That er- 
reichbar; und zwar werden wir dazu durch Anwendung einer symbo- 
lischen Bezeichnungsweise geführt, welche der bei zwei homogenen 
Variabein benutzten ganz analog ist, und welche daher wohl nur 
einer kürzeren Erörterung bedarf. Es beruht diese Symbolik daraut; 
dass wir eine ternäre Form «'" Ordnung in den x oder u durch die 
;/to Potenz eines linearen Ausdrucks ersetzen, so dass dieselbe in der 
Form 

/ = {a^x^ + n!.,.r.. -f r/^a;,)" = rt^.r" 
bezüglich: 

erscheint. Die Functionalinvarianten einer Grundform sinil dadurch, 
wie bei den binären Formen, auf diejenigen linearer Formen zurück- 
zuführen. Von einem symbolischen Ausdrucke aj' einer solchen 

*) Vgl. die letzte Abtheilung des vorliegenden Bandes. 
**) Die Zahl derselben für eine Form «tei- Ordnung ist 
{n 4- 1) (/» + 2) „ 

denn durch lineare Transformation kann man immer 9 von den 4- (« -f 1) (« + 2) 
Coefficienten der Form beliebig gegebene Werthe annehmen lassen. Vgl. die 
entsprechende Bestimmung für binäre Formen auf p. 249 , und Aronhold: 
Crelle's Journal, Bd. 62. 



268 Dritte Abtheilung. 

Bildung nämlich kann man zu dem wirklichen der betreffenden Form 
nur in eindeutig bestimmter Weise zurückkehren, wenn in jenem die 
Coefficienten von aj^ linear vorkommen. Ist nun die Bildung vom 
()*<=" Grade in den Coefficienten von «.,,", so können wir durch Anwen- 
dung des invarianten Processes: 

wo die üi die wirklichen Coefficienten von /* bedeuten, die bi diejeni- 
gen einer andern Form /", welche von derselben Ordnung wie f in 
den Variabein ist, aus TT eine andere invariante Function ableiten, 
welche vom {q — l)*«"^ Grade in den Coefficienten von f und vom 
ersten Grade in den Coefficienten von f ist. Durch {q — 1) malige 
Wiederholung des angeführten Processes, wobei jedesmal die Coeffi- 
cienten einer neuen Grundform eingeführt werden, erhalten wir so 
schliesslich eine simultane invariante Function, welche die Coefficien- 
ten einer jeden von q verschiedenen Formen n^^^ Ordnung linear ent- 
hält; und von der wir zu der ursprünglichen Function TT unzweideutig 
zurückgehen können,wenn wir successive die Symbole dieser verschie- 
denen Formen durch die wirklichen Coefficienten der einen Grundform 
/■ ersetzen. Denkt man sich andererseits die verschiedenen Hülfsformen 
w*^"^ Ordnung durch Potenzen linearer Formen hj', cj% ^.," etc. ersetzt, 
so ist TT als simultane Functionalinvariante linearer Formen darge- 
stellt. So erscheint z. B. die Invariante eines Kegelschnittes f= aj~ = 
als simultane Invariante dreier Formen a^^^, b,/, c,-. In der That 
setzen wir in der ersten Horizontalreihe der Determinante 



J = 



*11 "12 "13 
«21 «22 ^23 



*31 "23 "33 1 

üi/c = ai a/( , in der zweiten aik = bibic, in der dritten aiu = CiCk, 
so wird: 

A = a^ b.^c^ (abc) , 

oder wenn wir in der zweiten Reihe die «, in der dritten die b, in 
der ersten die c einführen und so alle möglichen Vertauschungen 
vornehmen : 

(j A = (abc) Uf^b.^c^ -j- «2^:1^1 + «3*1^2 — «2^i^3 — a.^b.,c^ — «i^3^2} 

= {abcf. — 

Dass der benutzte Differentationsprocess in der That die Invarianten- 
eigenschaft der Function TT nicht ändert ^ erkennt man in derselben 
Weise, wie den entsprechenden Satz bei binären Formen, denn der 
dort gegebene Beweis ist seinem Inhalte nach völlig unabhängig von 



Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen. 269 

der Zahl der Veränderliehen (vgl. p. 183). Es sei nur bemerkt, dass 
man in die Form TT statt der hi, wenn die ««• als Coefficieuten linearer 
Formen in Punktcoordinaten angesehen werden, auch die entsprechen- 
den zweigliedrigen Unterdeterminanten aus Coefficienten «, ß von 
linearen Formen in Liniencoordinaten : Ua, Uß einführen kann; denn 
diese Unterdeterminanten verhalten sich ja bei linearen Transforma- 
tionen, wie die «, oder b, d. h. ebenfalls wie Liniencoordinaten. Also 
auch die Operation 

(5) 1^ («2^3 - h ^3) + f„^ («3/3, - ^3«l) + Ya, («> ^2 - ^1 «2) 

ändert die Invariameneigenschaft nicht, wenn die a Coefficienten linearer 
Ausdrücke in Punktcoordinaten waren. Dass ganz Analoges für eine 
Function alin Variante einer Form n*^"" Klasse w«" oder einer Zwischen- 
form, sowie für simultane Systeme gilt, braucht wohl kaum erwähnt 
zu werden. 

Durch diese symbolische Darstellung sind alle invarianten Bildun- 
gen auf solche von simultanen linearen Formen zurückgeführt. Wir 
brauchten also nur die symbolische Gestalt dieser letzteren zu unter- 
suchen, um zur Beantwortung der gestellten Frage zu gelangen. Auf 
directerem Wege gelingt dies auch, wenn wir das folgende fundamen- 
tale Theorem voraussetzen, auf welches wir erst bei einer späteren 
Gelegenheit eingehen werden; dasselbe lautet: 

FAn System von beliebig vielen ternären Formen , deren jede mehrere 
Reihen von Punktcoordinaten {x,y, . . .)_und Liniencoordinaten (u, v, . . .) 
enthält^ kann stets durch ein „reducirtes äquivalentes System" 
ersetzt werden, d. h. durch ein anderes System von Formen, deren keine 
mehr, als eine Reihe Punkt- und eine Reilie Liniencoordinaten enthält, 
und dessen sämmtlicke simultane covariante Bildungen mit denen des 
ursprünglichen Systems identisch sind;*) und zwar besteht dies reducirte 
System immer aus einer endlichen Anzahl von Formen. Ist z. B. 
eine ternäre Form gegeben, welche vom m*^" Grade in den x und vom 
n*®'^ in den y ist, so kann man dieselbe durch ein reducirtes äquiva- 
lentes System von drei Formen ersetzen. Stellen wir die gegebene 
Form symbolisch durch 

/■== «.r"' V = («1^1 + «2^2 + ^3X3)'" (PxVl + *2 2/2 + ^S^s)" 

dar, wo dann erst das Product von je w Symbolen a und je n Sym- 
bolen b durch einen wirklichen Coefficienten zu ersetzen ist, so wird 
das verlangte zu f äquivalente System gegeben durch: 



*) Vgl. Clebsch: Ueber eine Fundamentalaufgabe der Invariantentbeorie, 
Abhandlungen der k. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Bd. 17, 1872; 
und die letzte Abtheilung dieser Vorlesungen. 



270 Dritte Abtheilung. 

Dabei bedeutet wieder (abu) die Determinante 



«1 


«2 


«3 


^ 


^, 


^3 


w, 


?/._, 


n., 



Ist nun eine beliebige Function TT mit der Invarianteneigeuschaft 
gegenüber einem beliebigen simultanen Systeme von ternären Formen 
gegeben, so können wir dieselbe mittelst der Processe (4), (5) sym- 
bolisch darstellen, als wenn dieselbe aus einem bestimmten Systeme 
linearer Formen abgeleitet sei. Die Coefficienten linearer Formen, 
in denen die x variabel sind, können wir aber geradezu als Linien- 
coordinaten ansehen, da sie sich bei linearen Transformationen ebenso 
verhalten, und in gleicher Weise können wir die Coefficienten der 
linearen Formen von der Gestalt Ua als Punktcoordinaten betrachten. 
Die Function TT kann also als eine Form angesehen werden, welche 
neben reinen Zahlen nur verschiedene Reihen der Coordinaten beider 
Arten enthält. Nach dem angeführten Satze über äquivalente Systeme 
muss daher TT auch als covariante Bildung aus einem Systeme von 
Formen ableitbar sein, von denen jede ausser rein numerischen Coeffi- 
cienten nur eine Reihe von Punkt- und eine Reihe von Liniencoordi- 
naten enthält. Eine Form der letzteren Art kann aber, wie wir so- 
gleich nachweisen werden, nur eine Potenz von w.,,. = M^a^j -j- WjX^ -f- ^30:3 
sein. Es wird ferner in der Theorie der äquivalenten Systeme gezeigt, 
dass man die Formen des ursiDrünglich gegebenen Systems als simul- 
tane Invarianten aus denen des reducirten Systems ableiten kann, 
indem man auf letztere die Operationen (4), (5) in passender Weise an- 
wendet und die so gebildeten Formen, multiplifeirt mit bestimmten 
Zahlencoefficienten , addirt. Es muss daher die Invariante TT in der- 
selben Weise aus Ausdrücken von der Form nj" , v,/' etc. entstehen. 
Die erwähnten Operationen, auf diese identischen Co Varianten ange- 
wandt, liefern aber immer nur Formen, welche sich aus Factoren von 
dem Typus 

Ux Uy ^^.i. Vy {uvtu) {xyz~) 

zusammensetzen; also ist TT als Aggregat von Producten solcher Bil- 
dungen und numerischer Coefficienten darstellbar. 

Wir haben nur noch nachträglich zu beweisen, dass jede Func- 
tionalinvarianle , welche ausser reinen Zahlen nur eine Reihe Punkt- 
und eine Reihe Liniencoordinaien enthüll , eine Potenz von !/.,-, (dso von 
der Form u,} sein muss. Die gegebene Functionalinvariante sei: 

TT (a?i, 0^2 > ^i'i ^h > ^2^ ^3) 5 



Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen. 271 

iu ihr können wir die Coordinaten der Geraden u durch die ünter- 
determinanten aus denen zweier ihrer Punkte ersetzen, nämlich: 

Nach dieser Substitution wenden wir auf die Function TT {pc, w) die 
folgende specielle lineare Transformation an: 

U = ^-1 ^1 + 2/1 ^2 + -1 ^';i 

t, = x.^ T, + y, 7 2 + z, 7^3 

^3 =^ ^3 M ~r Vz ^2 I -^3 '3> 

wobei die ^^ die laufenden Coordinaten sein mögen, und die Ti die 
entsprechenden für das neue Coordinatensystem. Bezeichnen wir 
durch X, Y, Z die neuen Coordinaten für die Punkte x, y, j, so 
ergeben sich für dieselben, indem man t bez. mit x, y, z identisch 
setzt, die Werthe: 

X^ = ^, ^2 = 0> -^3 = 

(6) Y, = i), n = i; 1^3-=^ 

Z, =0, Z, = 0, ^3 = 1, 
und hieraus für die der Linie u entsprechenden Coordinaten: 

V^ = \, ü^ = ^, ^3 = 0. 
Nun ist zufolge unserer Definition einer Functionalinvariante 

(7) n = r^n', 

wenn TT' die Function TT, gebildet für die neuen Coordinaten, und r die 
Transformationsdeterminante bedeutet. Letztere ist in unserem Falle 

^1 y\ z\ i 

^2 Vi ^1 = (xyz) , 

^3 2/3 ^3 1 

und somit geht wegen (6) die Gleichung (7) über in: 

TTCxi, x.y, arg; w, , Mjj ^3) = G^T^y TTT (1, 0, 0; 1, 0, 0). 
Rechts steht jetzt aber wegen der über die Natur von TT gemachten 
Annahme neben der Potenz von w.^ ein reiner Zahlenfactor ; bezeichnen 
wir denselben also mit c und führen statt der Coordinaten von y 
und z wieder die ihrer Verbindungslinie ein, so wird: 

Und damit ist unsere Behauptung bewiesen, denn die angewandte 
Transformation ist der Definition nach auf die Natur einer Invariante 
ohne Einfluss. 

Wir können daher nunmehr das folgende wichtige Theorem aus- 
sprechen: 



272 Dritte Abtheilung. 

Jede invariante Bildung eines Systems von ternüren Formen kann 
als ein Aggregat symbolischer Producte dargestellt werden, deren Factoren 
identische Invarianten der Form u,., {xyz) oder {uvtv) sind. 

Wir wollen die symbolische Darstellung der Formen zunächst 
verwerthen, um die Natur solcher Functionen festzustellen, durch 
deren Verschwinden Eigenschaften des Systems von Grundformen 
gegeben werden, welche bei allen Collineationen erhalten bleiben, und 
um uns so zu überzeugen, dass dazu die oben erwähnten Functional- 
invarianten genügen. Der Einfachheit wegen werden wir nur eine 
Grundform f = aj' = hj^ als gegeben voraussetzen : man erkennt 
sofort, dass ganz dieselben Schlüsse für Systeme von beliebig vielen 
Formen gültig sind, unter denen dann auch Contravarianten und 
Zwischenformen enthalten sein können. 

Man übersieht nun sofort, dass eine einzelne Bedingung der Art 
nur durch das Verschwinden einer Invariante dargestellt iverden 
kann. *) Ist nämlich TT (die Function, deren Verschwinden die besagte 
Bedingung liefert) Invariante, und TT' eine daraus durch Collineation 
hervorgehende, so muss TT' = sein, sobald TT == und nur, Avenn 
n = 0; also hat man 

W = c ,T\ , 

wo c nur von den Substitutionscoefficienten abhängt. Um nun TT als 
Invariante zu erkennen, haljen wir zu zeigen, dass c eine Potenz 
der Determinante r ist. Da wir es aber nur mit ganzen, algebraischen 
Functionen zu thun haben, so können wir wieder die schon gele- 
gentlich bei den Kegelschnitten benutzte Schlussweise anwenden 
(vgl. p. 130} und erhalten so unmittelbar: 

TT' = r''- . TT, q. e. d. 

Genügt die Form /jedoch gleichzeitig mehreren Bedingungen**): 

ni = o, n2 = o, n3 = o..., 

wo die TT; keine Veränderliche enthalten, so lässt sich zeigen, dass 
dieselben dadurch erhalten werden können, dass man die Coefficienten 
einer (oder mehrerer) von den Variabein abhängigen Functionalinva- 
riante von / einzeln Null setzt, wie wir dies schon bei den binären cu- 
bischen und biquadratischen Formen gesehen haben (vgl. p. 228 und 
p. 241). Denken wir uns nämlich einen Ausdruck TTj symbolisch 
dargestellt, so wird derselbe neben Factoren vom Typus {abc), welche 
unmittelbar die Invarianteneigenschaft haben, noch einzelne Symbole 
ai, bh oder zweigliedrige symbolische Determinanten vom Typus 
aibk — btak als Factoren enthalten, d. h. es wird: 

*) .Vgl. Aronhold: Crelle's Journal, Bd. 63, p. 302. 
**) Vgl. im Folgenden Gram: Math. Annalen, Bd. 7, p. 230. 



Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen. 273 

TTi = TT {(a&c)e . . . a^ hk^" . . . (a,bf, ~ ha^y . . .} . 

Das System der Functionen TTj soll nun durch eine Collineation in das 
System der entsprechenden Functionen TT/ übergehen, wobei jedoch 
nicht nöthig ist, dass jede Function TTj einzeln in die entsprechende 
TT/ übergeführt wird. Wir wenden dazu insbesondere diese specielle 
lineare Transformation an: 

-^1 = ^i^'^^i 4- ^^1^2 + ?i ^:j 7 Wj = ^1 ^1 + ^2 ^2 + ^3 ^3 ; 
^2 = ^2^1 + ^2^2 + ^2^3 ; «2 = ^I ^1 + ^2 ^2 + ^3 ^3 ; 
-^3 = ^2^1 + ^3^2 + ^3»*3 ; W3 = ^1 ^1 4- ^2 f/j + ^3 ^3 ; 

WO die lö 7^,-, ^i Coordinaten beliebiger fester Punkte bedeuten, oder 

aufgelöst, wenn v, w, t bez. die Coordinaten der Verbindungslinien 

^, l^, J^ sind (z. B. 1;^ = i^j^s - '^3^ und r = (|ijO gesetzt wird: 

ra;, = v^ ^j + ^2 ^2 + ^3 ^3 ^^ ^^1 = ^1^1 + ^1^2 + ^i"3> 

ra;2 = ^^7, Xj -|- 1^2 ^2 + ^3 ^3 » ^ ^2 = ^2^1 + "-'2 "2 4" ^2^3 ; 

rxg = ^1 X, + ?2 J^2 + ^3 ^3 ; ^" ^3 = ^3«! + ^3 «2 + ^3 «^3 • 

Wir wissen nun, dass sich die Symbole Ui bei der Transformation 

verhalten wie die Ui, also die zweigliedrigen Determinanten aus den 

a und b, wie die entsprechenden Determinanten aus zwei Reihen 

Liniencoordinaten , d. h. wie Punktcoordinaten. Bezeichnen wir also 

mit ö', b' . . . die Symbole der aus /" durch unsere Transformation 

entstehenden Form, so wird z. B. 

«1 = ^1 «/ + l2< + ^3< = ^1 
(«&)2= (Ö3&1 — &3Ö,) 

= ^ [w^ {ab'), + ^^;2 («'*')2 + «^3 («'^')3] = f {a'b'w). 

Die Function TT/ enthält also nur noch symbolische Factoren, deren 
Invarianteneigenschaft evident ist, und welche noch von den völlig 
lüillkürlichen Grössen l, tj, ^, v, w, t abhängen; und TT/ muss unab- 
hängig von den Werthen der letzteren verschwinden, sobald alle TT,- 
Null sind. Wir können also insbesondere setzen: 

h = rii == li = ^i , 
Vi = Wi = ii = Ui, 

und dann ist TT/ von der Form 

n \{ab'cy . . . ax^'^bx^ . . . {a'b'Uy . . .} , 

also eine Zwischenform; und man muss das System der Gleichungen 
TT/ = erhalten, welches dem Systeme der TT. (oder einem Theile des- 
selben) entspricht, wenn man die einzelnen Coefficienten dieser Zwi- 
schenform gleich Null setzt. Dann folgt aber, dass sich auch die 

1 ^ 

C leb seh, Vorlesungen. '■'^ 



274 Dritte Abtheilung. 

Functionen TT,- als Coefficienten einer Zwischenform auffassen lassen 5 
und wir haben das folgende Theorem (wodurch dann gleichzeitig 
der entsprechende Satz für binäre Formen bewiesen ist, vgl. p. 174): 

Jlle invarianten Eigenschaften einer ternären Form können durch 
Verschwinden von Invarianten oder durch identisches Verschwinden 
von Covarianten , Contravarianten und Zwischenformen derselben darge- 
stellt werden."^) — 

An die symbolische Darstellung der Formen knüpfen sich ferner 
die folgenden Erörterungen. Wir hoben schon früher hervor, dass 
auf derselben bei den binären Formen hauptsächlich der Beweis des 
Gord an 'sehen Satzes von der Endlichkeit der Formensysteme beruht. 
Einen entsprechenden Satz für ternäre Formen aufzustellen, ist jedoch 
im Allgemeinen nicht gelungen; nur für die quadratischen und cubi- 
schen Formen**) ist der Beweis eines solchen geliefert. Ferner 
liefert uns die Symbolik hier ein Princip, auf das wir bereits oben 
hinwiesen, und nach welchem es möglich ist, alle für binäre Formen 
bekannten Sätze sofort für ternäre Bildungen zu verwerthen, und so 
eine gewisse Klasse von Invarianten auch geometrisch leicht zu inter- 
pretiren, sobald dies für die entsprechenden binären Formen ge- 
schehen ist. 

Man wird zu diesem Uebertragungsprincipe naturgemäss durch das 
Studium des Schnittpunktsystems einer Geraden mit einer gegebenen 
Curve geführt. Bekanntlich wird eine Curve n*'"'^ Ordnung von einer 
Geraden in n Punkten geschnitten (vgl. p. 53). Dieselben werden 
im Allgemeinen keine besondere Eigenschaft haben, d. h. keine, 
welche durch das Verschwinden einer bestimmten Invariante der das 
Schnittpunktsystem auf der Geraden repräsentirenden binären Form 
gegeben ist. Dies kann jedoch sehr wohl bei besonderen Lagen der 
betrachteten Geraden eintreten. So wird z. B. für eine Tangente der 
A Curve, die ja dadurch definirt ist, dass zwei ihrer n Schnittpunkte in 
den Berührungspunkt zusammenfallen, die Discriminante der betreffen- 
den binären Form w*" Ordnung verschwinden; und so kann man bei 



*) Betrachtet man alle ternären Formen als identisch^ welche aus einander 
durch lineare Transformationen hervorgehen, so ist nach diesem Satze eine ter^ 
näre Form durch das Verschwinden gewisser Functionalinvarianten völlig definirt, 
d. h. bestimmt bis auf solche Formen, die aus ihr eben durch lineare Trans- 
formationen hervorgehen; und hieraus folgt sofort der Satz: Zivei tertiäre Formen 
können linear in einander transformirt werden , sobald für beide dieselben Relationen 
zwischen den Functionalinvarianlen bestehen; (die Gleichheit der absoluten Invarianten 
ist in dieser Bedingung mit eingeschlossen). . 

**) Vgl. hierüber Gord an: Ueber ternäre Formen dritten Grades, Math. An- 
nalen, Bd. 1, p. 90. Zufolge einer Mittheilung an den Herausgeber hat Gordan 
die Endlichkeit des Systems auch für ternäre Formen 4. Ordnung bewiesen und 
das vollständige System einer solchen Form aufgestellt. 



Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen. 275 

einer Curve vierter Ordnung nach denjenigen Geraden fragen, deren 
vier Schnittpunkte mit der Curve ein Doppelverhältniss von gegebenem 
Werthe bestimmen. Es kommt also bei derartigen Fragen nur darauf 
an, die zugehörigen binären Formen für die Schnittpunktsysteme herzu- 
stellen; und dies geschieht einfach, indem wir den beweglichen Punkt 

X der Geraden in bekannter Weise mittelst eines Parameters — als 

Function zweier Punkte y und z derselben darstellen. Wir setzen 
also (unter Vernachlässigung des das Folgende nicht beeinflussenden 
Proportionalitätsfactors) : 

rt'2 = 3f,?/2 ~r ^2^2 

wo dann x^, x^ die binären Coordinaten des Punktes x auf der Verbin- 
dungslinie von ij und z vorstellen; und zwar sind die letzteren Punkte 
die Grundpunkte dieser Coordinatenbestimmung (vgl. p. 171). 

Führen wir diese Ausdrücke von x in die Gleichung der Curve 
ein, welche durch 

f{x^, x^, x.^ = aj' = bj' = 

gegeben sein mag, so sind die Schnittpunkte der Linie i/z bestimmt 

durch die n Wurzeln — der Gleichung: 

/•= [Xj («,yi + «2?/2 + «32/3) + ^2 ('^i^i + «2^2 + «3^3)]" 
= (xj üy -\- x^aS)" = . 

Bezeichnen wir daher die symbolischen Ausdrücke a^, a^ kurz bez. 
durch a^, a^, so erhalten wir eine binäre Form 

qp = (;f j Kj -|- ^2 «2)" = ^t" = ßy" == • • • 

welche geometrisch auf der Linie y z durch die n Schnittpunkte mit der 
gegebenen Curve /'==0 repräsentirt ist. Eine einzelne projectivische 
Eigenschaft dieses Punktsystems ist nun durch das Verschwinden 
einer Invariante der binären Form 9? bedingt.*) Eine solche Inva- 



*) Es gibt zweifach unendlich viele Linien in der Ebene. Stellen wir also eine 
Bedingung für das Sehn ttpunktsvstem, so wird es noch einfach unendlich viele 
Gerade geben, die ihr genügen. Dagegen gibt es nur eine endliche Anzahl von 
Geraden, welche gleichzeitig zwei Bedingungen genügen Eint- Bedingung wird 
nun im binären Gebiete immer durch das Verschwinden einer Invar.ante darge- 
stellt, und die entsprechenden Geraden der Ebene umhüllen dann nach den Ent- 
wicklungen des Textes eine Curve (Contravariante). Fügt man nun als zweite 
Bedingung das Verschwinden einer zweiten binären Invariante hinzu, so werden 
die heidni Bedingungen genügenden Geraden der Ebene durch die Gesammlluü 
der gemeinsamen Tangenten zweier Curven gegeben. Werden dagegen die bei- 

18* 



276 Dritte Abtheilung. 

riante besteht nach den Sätzen über binäre Formen aus einem Aggre- 
gate von Producten, deren einzelne Factoren durch symbolische Deter- 
minanten von der Form {aß) = a^ß^ — ß^a^ gegeben sind. Stellen 
wir sie demnach dar durch 

1 = i:cT[{aß), 
wo die c die etwa hinzutretenden Zahlenfactoren bezeichnen mögen, 
so wird, wenn wir die a, ß wieder durch ihre Ausdrücke m. y, z 
ersetzen, eine Invarianteneigenschaft des Schnittpunktsystems gegeben 
durch eine Gleichung von der Form: 

[=. ZcT] {ayb; — l)ya^)=0. 

Hier können wir schliesslich die Liniencoordinaten u leicht einführen ; 
denn es ist: 

Uyh, — bya:= {a^y^ -f. a^yj + «22/3) (^1^1 + ^2^2 + ^3^3) 
— (^1^1 + *2«/2 + ^3^3) K^i + (^2^'! + «3^3) 
= (fl'i &2 — &i «2) iVi. ^2 ~ 2r, 1/2) + («2 h — h «3) (1/2 2^3 — ^2 y-i) 
+ («3 h — h «1) (^3 ^1 — ^3 «/i ) ; 

oder da die Unterdeterminanten der y, z zu den Coordinaten u ihrer 

Verbindungslinie proportional sind, wenn wir den Proportionalitäts- 

factor vernachlässigen : 

ciyb: — &3/ör~ = (abu) . 

Die Bedingung dafür, dass das Schnittpunktsystem einer Linie u mit 
der Curve f = die Invarianteneigenschaft 

UcT] (iaß} = 

habe, ist also gegeben durch die Gleichung: 

UcU iabu) = 0; 

dieselbe stellt dann eine von den betreffenden Linien u umhüllte 
Curve dar, deren Klasse gleich der Anzahl der symbolischen Determi- 
nantenfactoren in einem Gliede der binären Invariante TT ist. Wir 
können den durch diese Entwicklungen gefundenen einfachen und 
äusserst fruchtbaren Satz in folgender Weise aassprechen: 

Soll eine Gerade eine Curve n^"^ Ordnung in einer Punktgruppe schnei- 
den, welche eine besondere projectivische Eigenschaft besitzt, so erhält man 

den binären Bedingungen durch das identische Verschwinden einer Covariante 
dargestellt, so sind die entsprechenden Geraden durch die gemeinsamen Tangen- 
ten eines Systems von Curven gegeben, wo dann je zwei Curven des Systems 
ausserdem noch andere Tangenten gemein haben. Ein Beispiel wird sogleich 
unten angeführt werden. Es sei hier nur bemerkt, dass sich z. B. drei Gerade 
der Ebene am einfachsten als die gemeinsamen Tangenten eines zweifach unend- 
lichen Systems von Kegelschnitten darstellen, in dem je zwei Curven noch eine 
bewegliche Tangente gemein haben. 



Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen. 277 

die Gleichung der von der Geraden umhüllten Curve in folgender Weise: 
Man stelle die Invariante der binären Form n""' Ordnung, deren Ver- 
schwinden die geforderte Eigenschaft aussagt, sytnholisch dar und ersetze 
jede in ihr vorkommende zweigliedrige Determinante {ab) durch eine 
dreigliedrige {abu), wo die u Liniencoordinaten und die a , b . . . Symbole 
der gegebenen ternären Form bedeuten.'^') 

Einige Beispiele mögen dazu dienen, die Fruchtbarkeit dieses 
Satzes zu erweisen, sowie die Art von Problemen zu kennzeichnen, 
deren Lösung durch denselben im Principe geleistet ist. 

Stellen wir uns zunächst die schon anderweitig behandelte Auf- 
gabe, einen Kegelschnitt: 

«.,2 = bj = 

in Liniencoordinnten darzustellen. Derselbe wird von einer Geraden 
u, wenn wir uns der obigen Bezeichnungen bedienen, in einem Punkte- 
paare getroffen, das durch die Gleichung 

o-e^eben ist. Für eine Tangente müssen die beiden Punkte zusammen- 
fallen, d. h. die Discriminante der Form ß^^: 

{aßY 
verschwinden. Die Gleichung des Kegelschnittes 'in Liniencoordinaten ist 
daher symbolisch dargestellt durch: 

Man kann leicht die Uebereinstimmung dieser Gleichung mit der 
früher gegebenen nachweisen. Ist nämlich entsprechend unserer 
sonstigen Bezeichnung: 
aj ==hj = a,,x''+a^^x.?-\-a^^x.,^-\-2a^.x^x,-\-2a.,.,x.yX.i-]r^a.^^^^^ 

so haben wir in {abuY zu setzen: 

«/flf/t = bibk == ciik. 
Die Entwicklung der symbolischen Determinante ergibt dann: 

{abuy = u^^ («2&3— ^•.«3)' + «^2' i,o.,b,-b^a,Y-^u,^ {a^b^^-b^a^Y 

+ 2W2M3 {a^b,-b.^a^){a^b2-b^a.^ + 2^^.iU^{a,b.-b^a^){a^b._^-boas) 

= 2m/- («22«33— «23^) + • • • + 4 W2M3 K2^'l3 -^^ll''^23) + ' ' • J 

oder wie man leicht übersieht: 



*) Dieser Satz lässt sich auf beliebig viele Veränderliche ausdehnen und 
wurde in dieser Form von Clebsch gegeben in der erwähnten Abhandlung im 
59. Bd. von Crelle's Journal. 



278 Dritte Abtheilung. 



(aft «)•-' = _2 



''^ll ^''12 ^^13 



«21 «22 ^^^23 



fl'.,, A'-io «•> 



'31 "32 "33 "3j 
Z/j ^/2 ?/3 ! 

In ähnlicher Weise lässt sich allgemein die Gleichung einer in Punkt- 
coordinaten gegebenen Curve in Liniencoordinaten darstellen, wenn 
man von der Discriminante der entsprechenden binären Form ausgeht, 
worauf wir sogleich zurückkommen werden. Wir erwähnen hier zuvor 
noch die folgenden Beispiele: 

Die Discriminante einer binären cubischen Form 
ö,3 _ ^^3 _ ^^3 _ ^^3 
war gegeben durch 

{ahy {cdr {ac){b(1), 

und es ist daher die Bedingung dafür, dass eine Linie u eine Curve 
dritter Ordnung 

in zwei zusammenfallenden Punkten trifft, oder die Gleichung der Curve 
driller Ordnung in Liniencoordinaten: 

{ahuy (cduy-(acu) (bdu) =0, 

wo b, c, d mit a gleichwerthige Symbole sind. 

Die allgemeine Curve drill er Ordnung isl also von der sechsten Klasse. 
Die Discriminante der binären biquadratischen Form 

war dargestellt durch r U V^f? I^vSt.^^^ 

wo i={ah)\ j = [abf {bcy {caf-^ es ist daher die Gleichung der 
Curve vierter Ordnung 

aj = 
in Liniencoordinaten: 

wenn man setzt: 



73 _ 6 y^ = , 



I=(abuy 

J={abuy (bcuy(cauy. 
iJie allgemeine Curve vierter Ordnung ist somit von der zwölften Klasse. 
Da man nun allgemeine Methoden hat, um die Discriminante 
einer binären Form zu bilden (vgl. p. 192), so kann man auch die 
Liniencoordinatengleichung einer jeden in Punktcoordinaten gegebenen 
Curve aufstellen. Insbesondere kann man also auch die Klasse einer 



Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen. 279 

Curve w*" Ordnung sowie den Grad der Liniengleichung in den Coef- 
ficienten allgemein angeben. *) Die Discriminante einer binären Form 
/?*cr Ordnung nämlich ist vom Grade 2 (« — 1) in den Coefficienten 
derselben, enthält also 2 {n — 1) verschiedene, einander gleichwerthige 
Symbole, von denen jedes zur n*«^«^ Dimension vorkommt. Diese Ver- 
hältnisse werden aber nicht geändert, wenn man eine binäre Deter- 
minante (ab) durch die ternäre (abu) ersetzt; also: 

Die Liidejicoordinaiengleichung emer Curve n'^'' Ordnung ist vom 
Grade 2 {n — 1) in den Coefficienten ihrer Punktcoordinaten- Gleichung. 

Ferner wissen wir (vgl. p. 195), dass eine binäre Invariante vom 
Grade r in den Coefficienten einer Form s*^' Ordnung immer ^rs 
symbolische Determinantenfactoren enthält. In unserer Discriminante 
kommen daher n {n — V) Factoren vom Typus (« b) vor : und da bei 
Anwendung des Uebertragungsprincips aus jedem solchen Factor ein 
in den u linearer Ausdruck wird, so folgt: 

Eine Curve n""' Ordnung ist im Allgemeinen von der Klasse 

n {n — 1). — 

Wir kehren zu dem zuletzt von uns behandelten Beispiele zurück. 
Das Verschwinden der Discriminante einer binären biquadratischen 
Form ist nur ein specieller Fall davon, dass die absolute Inva- 
riante derselben '.^ einen gegebenen Werth hat, d. h. dass die vier 
Punkte ein bestimmtes Doppelverhältniss bilden. Dem entsprechend 
ist nach unserem üebertragungsprincipe durch die Gleichung 

wenn man k als Parameter auffasst, ein System von einfach unendlich 
vielen Curven zwölfter Klasse gegeben, deren jede die Eigenschaft hat, 
dass alle ihre Tangenten die gegebene Curve vierter Ordnung in einem 
Punktquadrupel mit gewissem Doppelverhältnisse trifft; und zwar be- 
stimmt sich letzteres (a) mittelst der Gleichung (yglj^J^ 

'^ — ^* (7+ (^f (.1-2 ay [2 ~af ' ^ 

in bekannter Weise durch den Parameter k. Geben wir demselben 
insbesondere die Werthe und oo, so erhalten wir bez. die folgen- 
den Sätze: 

Die geraden Linien, welche eine gegebene Curve vierier Ordnung 

aj' = 
nach äquianharmonischem Doppelverhältnisse schneiden, umhüllen eine 
Curve vierter Klasse: 

' *) Die folgende .Abzahlung bezieht sich zunächst nur auf den Fall, dass die 
Curve keine sogenannte „mehrfachen Punkte" besitzt; vgl. hierüber die folgende 
Abtheilung dieser Vorlesungen. 



280 Dritte Abtheilung. 

Die Linien^ welche jene Curve nach harmonischem Doppelverhältnisse 
schneiden, umhüllen eine Curve sechster Klasse:*') 

J = (abuy (bcuf {cauf = 0. 

*) Indem wir der Entwicklung des Textes vorgreifen und die BegriflFe einer 
Wende- und Doppeltangente voraussetzen (vgl. die folgende Abtheilung), knüpfen 
wir hier im Anschlüsse an die Anmerkung auf p. 275 folgende Bemerkungen an. 

— Die Curve aj == hat eine endliche Anzahl von Wendetangenten, d h. Tan- 
genten, welche die Curve in drei successiven Punkten treffen. Für eine solche 
niuss die ihrem Schnittpunktsysteme entsprechende binäre Form eine dreifache 
Wurzel haben, d. h. es muss gleichzeitig i = und j = sein (vgl. p. 240). Das 
Uebertragungsprincip gibt also den Satz: 

Die Wendetangenten der Curve 4«'- Ordnung sind die gemeinsamen Tangenten der 
Curven 

Z=,(^abuy = 0, J= {abuf {hcuY {cauy =: Q; 

ihre Zahl ist also 24. 

Stellt man das entsprechende Problem bei Curven dritter Ordnung, so müsste 
die entsprechende binäre cubische Form a^^ ein vollständiger Cubus sein, d. h. 
ihre 'Re^&e'^ch.e Vovm A = {ab)^ a^b^ identisch YQX&Gkw'mden. Sind nun allge- 
mein zwei ' Bedingungen für das Schnittpunktsystem durch das identische Ver- 
schwinden einer binären Coonvariante : 

n(ai) 0^6^ = 
gegeben, so geht diese Gleichung bei Anwendung des Uebertragungsprincips, 
wenn man wieder xj?/- 4- Xgz, durch a;,- ersetzt, über in: 

^{abu)a^b^ = 0, 
wo nun X irgend ein Punkt auf der Linie u ist. Der letzteren Bedingung geben 
wir Ausdruck durch die Substitution: 

wo die V. ganz willkürliche Grössen sind. Dann erhalten wir den Satz: 

Soll für das Schniltpunktst/stem einer Linie u mit einer Curve aj'^ = eine binäre 
Covariante T[ (ab) a^b^ identisch verschwinden, so wird u von allen Curven des zwei- 
fach unendlichen Systems (mit den Parametern «i : Vj : v^) : 

TT (abu) (auv) (buv) = 
berührt. 

Insbesondere folgt für das beregte Beispiel: 

Die Wendetangenten einer Curve 3^"- Ordnung aj = sind die gemeinsamen Tan- 
genten des Systems von Curven ^'er Klasse: 

{abuY [auv) {buv) = 0. 
Da ferner für eine binäre biquadratische Form f die Bedingung für das Auf- 
treten zweier Doppelwurzeln durch das identische Verschwinden der Covariante 
*'^ ~jf gegeben ist, so haben wir: 

Die Doppella7igenten einer Curve 4''"- Ordnung aj = sind die gemeinsamen Tan- 
genten des Systems von Curven We>- Klasse: 

{abuy {cduf {cuvf {duvf — [abuf {bcu^ {cauy [duvY = . 

— Vgl. hierüber: Gundelfinger, Math. Annalen, Bd. 6, p. 16. 



Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen. 281 

Ganz dasselbe Princip findet auch auf die simultanen Invarianten 
mehrerer binärer Formen Anwendung. Sind /. B. zwei quadratische 
Formen gegeben: 

aj^ und «x" , 
so werden dieselben durch zwei Punktepaare repräsentirt , deren 
Doppelverhältnis/«^ich durch die Gleichung 

2>'2 («_ 1)2 _2>Z)"(ß-f 1)^=0 ?^^^ ^ 

bestimmt (vgl. p. 217)^ wo 1)' die simultane Invariante (rta)^ B und ]j ^ \^ 
D" bez. die Invarianten {ab?, {aßf bedeuten. Hieraus ergibt unser 
Uebertragungsprincip sofort den Satz: 

Die geraden Linien, deren Schnittpunkte mit zivei Kegelschnitten: 

ein hestiiumtes Doppelverhältni&s («) Mden, umhüllen eine Curve vierter 
Klasse, gegeben durch die Gleidkung^ 

j)'i („ _ 1)2 _ DD' (a + 1)"^ = 0, 
ivenn man setzt: 

D' = {aauf, D = {abuy, D"-={aßuy. 
Diese Curve besteht insbesondere aus dem doppelt zählenden Kegelschnitte 

(aauy == , 

tvenn das erwähnte Doppelverhältniss harmonisch sein soll. 

Ebenso können wir auch die Gleichung des Productes der vier 
Schnittpunkte beider Kegelschnitte in symbolischer Form unmittelbar 
hinschreiben. Soll die Linie u durch einen dieser Punkte gehen, so 
müssen die beiden binären Formen «^^ ^ud «/- einen linearen Factor 
gemein haben, und die Bedingung dafür ist, unter D, D' , D" die be- 
kannten binären Invarianten verstanden, nach Früherem: 

])'i — DD"=0. 

Dieselbe Gleichung stellt daher auch das Product der vier Schnitt- 
punkte dar, wenn wir unter D, D', D" die erwähnten, eine Reihe u 
enthaltenden dreigliedrigen Determinanten verstehen. 

In derselben Weise lässt sich allgemein die Gleichung der Schnitt- 
punkte zweier Curven ?«""' und n*«' Ordnung 

angeben. Man hat die Resultante der binären Formen a^"\, cc^" sym- 
bolisch zu bilden und durch Hinzufügen von u die einzelnen symbo- 
lischen Determinanten zu dreigliedrigen zu ergänzen. Wir können 
aus diesem ßildungsgesetze der Gleichung die Klasse derselben und 
also die Zahl der Schnittpunkte beider Curven ableiten. Die binäre 



282 Dritte Abtheilung. 

Resultante nämlich ist vom n^«'^ Grade in den Coefficienteu von a,^, 
enthält also n verschiedene Symbole a, b, c . . . , von denen jedes 
w-mal vorkommt; im Ganzen enthält sie also mn linear vorkommende 
Grössen a, h, c . . . und ebenso viele Grössen a, ß, y . . .. Von diesen 
2mn Grössen werden je zwei in einen Determinantenfactor vereinigt: 
die Resultante besteht also aus m . n symbolischen Determinanten- 
factoren (vgl. p. 195) 5 und somit wird die Gleichung der Schnittpunkte 
von der Klasse mn. Es folgt also der unter dem Namen des ße- 
zout'schen Theorems*) bekannte Satz: 

Zwei Curven von der m'^'^ und n''"' Ordtiung schneiden sich in mn 
Punkten. Dieselben sind natürlich nicht nothwendig alle reell. 

Die besprochenen Beispiele werden genügen^ um die ausserordent- 
liche Fruchtbarkeit des aufgestellten Uebertragungsprincipes vorläufig 
darzulegen;**) wir werden dasselbe überdies in unseren weiteren Be- 
trachtungen wiederholt anzuwenden haben. Gleichzeitig zeigen sie 
uns aber die grossen Vortheile, welche unsere symbolische Darstellung 
mit sich führt; in der That braucht man nur einen Blick auf die 
entsprechenden wirklich ausgerechneten Bildungen zu werfen, um sich 
von der unübersichtlichen Weitläufigkeit derselben zu überzeugen. 
Auch bei unseren weiteren geometrischen Untersuchungen wird uns 
diese Symbolik wesentliche Erleichterungen bieten; wir stellen daher 
hier einige identische Gleichungen zusammen, die oft zur Umformung 
symbolischer Ausdrücke von grossem Nutzen sind. 



♦) Vgl. Bezout: Theorie gene'rale des equations algäbriques, 1769. Es wer- 
den hier die Gleichungen der beiden Curven ?fttor und nter Ordnung in der Form 

p q r s 

angenommen, -wo f, cp bez. vom ;jten^ ^ten Grade in x und vom ^teu^ «teu Grade 
in 1/ sind; alsdann wird für die Schnittpunkte die Zahl angegeben: 
m . n — (m — p) (n — r) — {m — q) {n — s) . 

Die an der Zahl des Textes angebrachte Reduction rührt daher, dass die Cur- 
ven f= 0, qp = in der angenommenen Form auf der X-Axe einen {m — p)-, bez. 
(« — r) -fachen, auf der i^-Axe einen (m — q)-, bez. {n — s)- fachen Punkt haben, 
und dass die in diese Punkte fallenden Schnittpunkte nicht mitgezählt sind. "Will 
man nur die Zahl der im Endlichen liegenden Schnittpunkte haben, so hat man 
von obiger Zahl noch die der sonst etwa auf der unendlich fernen Geraden ge- 
legenen abzuziehen. — Es sei bemerkt, dass sich das Bezout 'sehe Theorem 
auch sehr einfach mittelst des Chasles'schen Correspondenzprincips (p. 210) 
beweisen lässt; vgl. Chasles: Comptes rendus, t. 75, 1872. 

*=t=) Vgl. noch besonders die Anwendungen dieses Princips auf die Theorie 
der binären Formen fünfter Ordnung in der Arbeit von Clebsch: Das Fünfseit 
und die Gleichung fünften Grades; Math. Annalen, Bd. 4, p. 284. In Betreff 
der oben erwähnten Curven P — k,P = wird hier beiläufig gezeigt, dass sie 
in sechs Kegelschnitte zerfallen, wenn die gegebene Curve 4. Ordnung aus vier 
geraden Linien besteht. 



Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen. 283 

Offenbar verschwindet die Determinante 



a^ «2 ^h ^^^ 
bi b.2 &3 *^ 

C/ * Co Co c^ 

dy d^ d.^ da 

identisch, denn indem man die ersten drei Verticalreihen bez. mit 
x^, x^j .r.) multiplicirt und von der letzten abzieht, verschwinden alle 
Glieder dieser Reihe. Die Entwicklung der Determinante gibt uns 
daher die Identität: 

(I) {ahc) d^^ — {abd) c^. -\- {acd) b.r — {bcd) a,,. = 0. 

Man kann dieselbe leicht dem Gedächtnisse einprägen, wenn man be- 
merkt, dass die drei Buchstaben in den einzelnen Determinanten immer 
auf einander nach dem Alphabete folgen, und das Vorzeichen abwech- 
selnd positiv und negativ ist. Aus dieser Gleichung leiten wir eine 
andere ab, indem wir die x durch die zweigliedrigen Determinanten 
der Grössen 

Cj ^2 ^3 

A A A 

ersetzen. Es ist dann identisch 

(II) {abc) {def) - {abd) {cef) + {acd) {bef) — {bcd) {aef) = 0. 
Vertauschen wir ferner die Buchstaben d in (I) mit u, so kommt die 
gleich bedeutende Identität: 

(III) (« b u) c., — {ac i() b:, = {abc) ii^ — (bcu) a^ ; 
und hieraus folgt durch Quadriren: 

(IV) (a b iif c^c"^ — 2{ab u) (a c u) b^c c.v + (« c u)^ bj 
= {abcf uj — 2 {abc) {bcu) u.,a,, + {bcuf aj . 

Schliesslich fügen wir noch die schon oben bewiesene und benutzte 
Identität hinzu (vgl. p. 276): 

(V) (abu) = a^by — b^^Uy , 

welche besteht, sobald tt^ = und^Wy = ist, und id -= {xy\. 

Die Verwerthung dieser Formeln bei symbolischen Rechnungen 
geschieht ganz ebenso, wie die der entsprechenden Identitäten bei den 
binären Formen (p. 193). Es sei noch besonders hervorgehoben, 
dass dabei die Vertauschung gleichbedeutender Symbole und Addition 
der so erhaltenen, unter einander identischen Ausdrücke ein oft be- 
nutztes Hülfsmittel bildet, und dass daher insbesondere der folgende 
Satz gilt: 

Wenn ein symbolische^^ Ausdruc/,- durch Vertauschung zweier gleichiver- 
ihigcr Symbole sein Vorzeichen ändert, so verschwindet derselbe identisch. 



284 Dritte Abtheilung. 

VIII. Die ternären quadratischen Formen. 

Wir wollen die für die ternären Formen im Vorstehenden ge- 
wonnenen Anschauungen zunächst insbesondere für die quadratischen 
Formen,*) d. h. für die Theorie der Kegelschnitte verwerthen. Wir 
haben letztere schon früher, wenn auch in ganz anderer Weise be- 
handelt und können uns daher in Betreff der geometrischen Resultate 
kurz fassen. Gemäss den Forderungen der Invariantentheorie haben 
wir hier nur nach solchen Eigenschaften der Kegelschnitte zu fragen, 
welche bei beliebigen linearen Transformationen ungeändert bleiben, 
d. h. welche allen perspectivischen Projectionen eines solchen gemein- 
sam sind. Es fallen demnach für unsere jetzige Fragestellung alle 
Unterschiede zwischen Ellipse, Hyperbel und Parabel fort; denn die- 
selben beruhen allein auf den Beziehungen der Curven zu der unend- 
lich fernen Geraden. Da wir nun durch eine Collineation die letztere 
stets in eine im Endlichen gelegene Gerade überführen, und umge- 
kehrt jede beliebige Gerade der Ebene in die unendlich ferne proji- 
ciren können, so ist diese hier nicht weiter ausgezeichnet. Neben 
Ellipse und Hyperbel stellen wir ferner den als imaginäre Ellipse be- 
zeichneten Kegelschnitt, welcher dadurch charakterisirt ist, dass alle 
seine Punkte imaginär, die Coefficienten seiner Gleichung jedoch reell 
sind. Wir können nun aber, wie schon früher (p. 173) bemerkt, 
auch die Coefficienten als complexe Grössen annehmen, ohne dass 
dadurch die Gültigkeit der algebraischen Entwicklungen beeinflusst 
würde. Damit hätten wir dann eine neue Klasse von Kegelschnitten 
bezeichnet. Es ist aber klar, dass auch letztere in reelle Curven, und 
umgekehrt diese in jene linear transformirt werden können, wenn wir 
auch den Transformationscoefficienten complexe Werthe beilegen. In 
diesem Sinne können wir ganz allgemein folgenden Satz aussprechen: 
Ein eigentlicher Kegehchnitt hat keine projectivischen Besonderheiten; ein 
jeder kann in jeden anderen durch Collineation ühergeßihrt tverden. 
Insbesondere kann eine ternäre quadratische Form keine absolute 
Invariante haben; denn eine solche würde nur erlauben, diejenigen 
Kegelschnitte in einander zu tran^formiren , für welche der Zahlen- 
werth dieser Invariante derselbe wäre. Wir werden uns von diesen 
Resultaten im Folgenden auch direct durch Betrachtung der überhaupt 
möglichen invarianten Bildungen überzeugen. 

Die Gleichung des Kegelschnittes 

(1) /■ = aj- = b,r^ == EaikXiXk = 



*) Vgl. für diese Theorie neben Cayley's mehrfach erwähnten Memoirs upon 
quantics, besonders Salmon: Lessons introductory to the modern higher algebra, 
sodann dessen Kegelschnitttheorie (Cap. XXXI der Fiedler'sehen Bearbeitung). 



Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen. 285 

in Liniencoordinaten liabeu wir in ihrer symbolischen Gestalt schon ^ 

früher bei Besprechung des üebertragungsprincipes aufgestellt; sie ist u^Hi 
dargestellt durch das Verschwinden der zugehörigen Form: ' 



(2) F={abuy=~^ 



^n "v> ^13 "i! 

021 0^22 ^23 ^2 I 

«3j «32 «33 W-t j 

M, M., Wo I 



Setzen wir in F die Coordinaten u proportional zu den Unter- 
determinanten aus den Coordinaten x, y, so erhalten wir wegen der 

Identität ^ '■j'^L 

(abu) = a,r:by — b^a,, p«c { \) 

die Gleichung des Productes der beiden vom Punkte y an den 
Kegelschnitt gelegten Tangenten, in der bekannten Form (vgl. p, 107) 

= («^öy - b^OyY = ajby'' + bjay-" — 2 a.^ayb^^by 
= 2{/-(a;)./-(y)-(i2;|f^j/,y}. 

Die Gleichung der Berührungspunkte dieser beiden Tangenten fj 

ergibt sich leicht, da dieselben die Schnittpunkte des Kegelschnittes 
mit der Polare von tj sind, deren Coordinaten durch 

Vi = ^ ^^- = a,j cii = by bi = Cy d 

o-eo-eben werden. Diese Werthe haben wir nur in die Gleichung der 
Schnittpunkte der Linie v mit der Curve f = 0: 

{avuY == 
einzusetzen, um das Product der Berührungspunkte zu erhalten. Dabei 
müssen wir, weil die Coordinaten v in (avu)"^ quadratisch vorkommen, 
einmal durch den bekannten Differentiationsprocess (Polarenbildung) 
andere, gleichbedeutende Coordinaten w eiQführen, und dann die Vi 
durch biby, die Wi durch dCy ersetzen-, die gesuchte Gleichung 
wird also: 

(avu) {awu) = (abu) (acu) byCy = 0. 
Wir sind hier zu dem ersten Beispiele für eine Zwischenform geführt; 
nehmen wir in ihr ij constant, so gibt sie, gleich Null gesetzt, das 
Product jener beiden Berührungspunkte, nehmen wir u coustant, so 
stellt sie die Gleichung der beiden in den Schnittpunkten der Linie 
71 mit f an diese Curve gezogenen Tangenten dar. Diese Zwischen- 
form lässt sich jedoch unter Anwendung der für ternäre Formen 
geltenden Identitäten (p. 283) als rationale und ganze Function 
einfacherer Bildungen darstellen. Zunächst ergibt die identische 
Gleichung IV wegen 



286 Dritte Abtheilung. 

F = {abuf = dacuy- = {bcuy 

I "'X ^x ^.r ; 

wenn wir x statt y schreiben und 

A^ [alcf 
setzen: 

2 {(ihu) iacu) &,. c,c = f F — A . uj -{-](« Je) ipcii) n,^ a^^ . 

Vertauschen wir ferner in dem letzten Gliede dieser Gleichung die 
gleichwerthigen Symbole «, h, c, so können wir dasselbe durch ein 
Drittel der Summe der so erhaltenen Ausdrücke ersetzen; es wird: 

{ahc) (heu) iKCL^: == l- (abc) Ubcu) a^: — {acn) b^ -f~ («^w) cA. 

Wenden wir hierauf endlich die Identität III an, so erhalten wir: 

(abc) (bcu) ii^a^ = ^ A . vj^-^ 

und somit haben wir für unsere Zwischenform: 

(3) 2 (abu) (a c ii) b^. c,^ = fF — -^ A uj^ . 

Die hierin auftretende Invariante A muss nach dem Obigen mit 
der Determinante von f, deren Verschwinden die Bedingung für das 
Zerfallen in ein Linienpaar ist, bis auf einen Zahlenfactor identisch 
sein. In der That finden wir, wie schon früher ausgeführt wurde 
(vgl. p. 268): 

^11 ^12 ^13 I 

(4) A = {abcy = 6 a^^ «22 «^23 1 ' 

I ^31 ^^32 ^33 i 

Mit den Formen /", F, A ist nun der Kreis der hier möglichen 
Bildungen abgeschlossen. Der Beweis hierfür gründet sich auf die 
folgenden beiden Sätze:*) 

Jedes symbolische Prodiict, ivelcbes den symbolischeil Factor (abc) 
hat, enthält den luirklichen Factor A. 

Jedes symbolische Product, ivelches einen symbolischen Factor {abu), 
aber keinen symbolischen Factor des Typus (abc) mehr enthält, zerfällt 
in Glieder, welche theils den wirklichen Factor F, theils den wirklichen 
Factor A . u^ haben. 

Zum Beweise des ersten Satzes braucht man nur zu bemerken, 
dass man einen Ausdruck mit dem Factor [abc^ jedenfalls als eine 
Summe einzelner Glieder darstellen kann, deren jedes von der Form 
[ctbc) aibkCi . M ist, wo M die Symbole a, b, c nicht mehr enthält. 
Von diesen verschwinden alle diejenigen, bei denen zwei der Indices 
/, k, l gleich sind, da sie durch Vertauschung der betreffenden Sym- 



'^-) Vgl. Clebsch: Zur Theorie der Charakteristiken, Math. Annalen, Bd. 6, p. 1, 



Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen. 287 

bole ihr Zeichen ändern würden; und jedes der anderen Glieder ist 
wegen der Vertauschbarkeit von a , h, c gleich J (abc)-, hat also in 
der That den wirklichen Factor A. 

Enthält dagegen ein symbolisches Product den Factor (abu), ohne 
dass darin gleichzeitig ein Factor (abc) vorkommt, so müssen die 
Symbole a, h noch einmal in einer der folgenden vier Verbindungen 
auftreten 

in einer Determinante (« b 21), wo dann der Factor F unmittel- 
bar hervortritt, 
oder in zwei Determinanten: (acu) {bau), 
oder in einer Determinante und einer linearen Form: (acu) b^;, 
oder in zwei linearen Formen : a^,. b^. 
Im letzten Falle verschwindet der Ausdruck identisch, denn der 
Factor {abc) a_-^b_^ ändert bei Vertauschung von a und b sein Vor- 
zeichen. Im zweiten Falle haben wir wegen der-Vertausehbafkeit^ von \/ 
^~cy-4^ und wegen der Identität II (p. 283) , wenn wir darin d und / 
durch n, e durch d ersetzen, und wenn wir den von a , b freien Factor 
mit M bezeichnen: 

M (abu) {acu) (bdu) == | (abu) Uacu) (bdu) — {adu) {bcii)\ M 
= 1- {abuy (cdu) M = \F (cdu) . M. 
Im dritten Falle erhalten wir nach der Identität III: 

{abu^ {acu) b,^ . M = \ {abu) Uacu) b,^ — {bcii) aA M 
= ^ {abu) f(abu) c^. — {abc) uA M 
= l; Fc^ . M — {abu) (abc) w^r M. 
Hier enthält der zweite Term den wirklichen Factor A nach dem 
ersten Satze; und somit ist auch der zweite Satz wegen der Theilbar- 
keit aller anderen Glieder durch F bewiesen. 

Jede zu / gehörige invariante Bildung mit nur einer Reihe von 
Punkt- und einer Reihe von Liniencoordinaten setzt sich nun aus 
symbolischen Factoren der Form {abc), {abu), da-, Kx-, zusammen. 
Wir können daher von einer solchen durch obigen Zerlegungsprocess 
Theile mit den Factoren A, F oder A . u^^ absondern, bis symbolische 
Factoren vom Typus (abc) oder {abu) nicht mehr vorkommen. Das 
übrig bleibende Product kann dann nur noch eine Summe von 
Termen der Form aj . bj .... uj^ sein, also nur noch aus einer 
Potenz von f und einer Potenz von m^. bestehen. Somit ist der fol- 
gende Satz bewiesen: 

Jede Invariante, Covariante , zugehörige Form und Zwischen form 
einer ternären quadratischen Form mit höchstens einer Reihe von x und 
u ist eine ganze Function der Formen 

u., , f, F, A. 



288 Dritte Abtheilung. 

— Ungleich grösser wird die Zahl der invarianten Bildungen, 
wenn man das simnltane System zweier quadratischer Formen betrachtet, 
d. h. die gegenseitigen Beziehungen zweier Kegelschnitte untersucht. 
Wir wollen für dieselben zunächst das vollständige System aufstellen, 
d. h. diejenigen simultanen Functionalinvarianten angeben, durch 
welche sich alle andern rational und ganz ausdrücken lassen; und 
zwar gehen wir auf die betreffenden Erörterungen um so lieber ein, 
als wir auf derartige Fragen weiterhin nicht zurückkommen werden. 
Das Folgende mag daher als ein einfachstes Beispiel für solche Unter- 
suchungen überhaupt gelten. 

Die beiden gegebenen Formen seien: 

f = «r- = l>:^^ . . . = 2:aik Xi Xu 
/" == ö'a'^ == l).p . . . == 21aik Xi Xu • 

Alsdann haben wir nach dem Früheren zunächst die zugehörigen 
Formen : 

(6) ^1 1 = (« ^' «)^ = ^^"^ y ^11 = («' *' ^^y = W„- 2 . 

und die Invarianten: 

(T) ^111 = {abcf = a,r > ^222 = {cih'c'Y = da'- 

Durch principielle Einführung der in diesen Formen benutzten 
Symbole 

a^ = «2 &3 — Z>2 ^'3 ' ^2 = ^h ^1 — ^'i ^\ > ^w ==^ ^^1 ^2 — ^'\ ^2 > 

werden nun die folgenden Betrachtungen wesentlich vereinfacht. Zu- 
nächst gilt der Satz: 

Hat ein symbolisches Product TT den Factor {abv) = Va, so kann 
dasselbe so umgeformt werden, dass in ihm auch ein Factor {abiv) = Wa 
auftritt, wo v , w Liniencoordinaten oder Symbole irgend welcher Formen, 
also überhaupt beliebige Grössen sind. 

Alsdann ist nämlich: 

TT = {abv) ay b^ . M, 

wo M die Symbole a, b nicht mehr enthält, und wo y, z irgend 
welche Bedeutung haben. Nach der Identität V, p. 283 wird also: 

2 TT == {abv) {ayb^ — bya^ . M 
= {abv) {abw) . M , 

wenn iv, =^ {y z)i gesetzt wird, q. e. d. 

Wir denken uns nun immer die Symbole a, b etc., so weit es 
möglich ist, zu Symbolen a zusamraengefasst; und wenn wir von 



Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen, 289 

Symbolen a sprechen, so verstehen wir darunter nur diejenigen, welche 
nicht mit andern Symbolen b zu Symbolen a vereinigt werden können. 
Entsprechendes gilt für d , h' und «'. Nach dieser Festsetzung 
können in einem symbolischen Producte Factoren vom Typus (ahv) 
oder [et' h' V) nicht mebr vorkommen; denn, wie soeben bewiesen ist, 
lässt sich dieses Product alsdann so umformen, dass noch ein Factor 
{abiv), bez. {ah'iv) auftritt; dann können wir aber (aJ) = a setzen, 
wodurch Factoren vom Typus VaWa bez. Va'tOa' entstehen. Ganz das- 
selbe gilt auch für die Symbole a, «': Jeder Factor {aßy) bedingt 
einen weiteren Factor (aßz), und nach dem Satze von den adjungirten 
Determinanten ist dann (vgl. p. 114): 

3 {ccßy) (ccßz) = .^m a^ a^ . 
Aus diesen Ueberlegungen folgt, dass in einem symbolischen 
Producte der von uns betrachteten Art nur Factoren der folgenden 
Typen vorauszusetzen sind: 




(8) 

(adu) , (^adx) . 
Das Einfachste ist nun, dass wir eine simultane Form aus zwei 
gleichen Factoren dieses Schemas bilden ; dadurch entstehen neben den 
in (6) und (7) gegebenen Formen noch- die folgenden*): 

^,,, = «„'2, .4,22 = a«.^ F^^ = {aduy, (t>y^ = Qua x)-. 

Für eine aus verschiedenen Factoren zusammengesetzte Form 
können wir nun zeigen, dass von den in (8) au/geführten Typen 
niemals zwei verschiedene Factoren von gleichem Typus in ein 
symbolisches Product eingehen können, d. h. dass sich Jede Form 

ttx cixj bz bt oder aj Uy bz b't 
als Aggregat anderer Formen darstellen lässt, die enttveder direct in 
niederere Bildungen zerfallen, oder in denen sich die Symbole a, b {bez. 
d, b") zu a {bez. d) zusammenziehen lassen. 

Wenn die Form a.^aybJ)t nicht direct in zwei Factoren zerfallen 
soll, so haben wir, damit zwei Factoren des gleichen Typus vorkommen, 
nach dem Schema (8) folgende ?> Möglichkeiten 

V) y = z =^ a 

2) y = z = d 

3) y = ^ = {d u) , 

wo man statt y auch x und statt z auch t schreiben kann. 



*) Nach der hier befolgten Bezeichnungsweise würden <X>^^ und Oga bez. die 
Formen {aßxy, (d ß' a-y darstellen; es ist aber (vgl. p. 114): 
3 (D, ,= //„,. /•, .3 (i)2.> = .-/222 • /■' • 

Gl ebscü, Vorlesungen. 1'' 



290 



Dritte Abtheilnnj?. 



hJh 



Im ersten Falle ist für /3 = {ah) identisch nach V (p. 283); 

= i ißabt — baCtt) {baU^^ — ctab^) -\- Cl^ . h^ht 
= i (/5«a;) (/SaO + ^m • b^bt, q. e. d. 
Im zweiten Falle ist ebenso für a =^ {ab)\ 
(ta'bcL'ttxbt = cia'bt {aa'x) -\- a«-' • ba:bt = ^ (aai) {aa'x) -\- A^.^., 
Im dritten Falle endlich wenden wir die Identität an: 
{(lau) bt = {abit) Ut — {aha) Ut + {bäu)at , 
und es wird: 

a^citybzbt = ö^ {bau) {Uaai — aäu^ ■\- {häuf a^^at 

= 4- («a'w^ — UattJ) {VuClt ««'«<) + -^12 • ^xClf ; 

und hier zerfallen die Terme rechts in der That in getrennte Factoren. 
Damit ist unsere Behauptung bewiesen; denn es ist klar, dass sich 
ein Product ajaybjbt' ganz ebenso behandeln lässt; mit Hülfe des 
Satzes über adjungirte Determinanten fot^mi man ferner auch Ausdrücke 
der Form UaVaWßS^ oder Ua'Va-Wß-Sß' in entsprechender Weise um. — 
Aber auch die beiden Factoren ö-«, a'a oder a^-, «« dürfen niemals zu- 
sammen vorkommen; denn nach Vorstehendem könnten aus (8) nur 
noch zwei Factoren «„, a'a (oder «„■, «'„) oder ein Factor {aa'u) z. 15. 
zu aaa'a hinzutreten. Es ist aber für u = {bc): 

aada {aa'u) == ^ {abc) ^{a'hc) {aa'u) — {a'ac} {ba'i/:)\ 

= ^ {abc) {ab «) {cau) = — ^ c^tta {cau) / 
also gleich Null; und aus den Gleichungen (17) folgt: 
aaäatt.^d^ = /*i2 == i^ ^jii • /'; q- e. d. 
Auch für die Combination zweier Factoren von verschiedenem 
Typus aus unserem Schema können wir endlich noch eine Einschrän- 
kung hinzufügen. Es dürfen nämlich niemals die beiden Delerminanten- 
factoren{aa'u), {aa'x) vereinigt vorkommen. Der Beweis hierfür ist 
unmittelbar durch die Identität gegeben: 



Ä., «, 



X, 









da 


üa 


u 


da 


aj 


Ua 


a.r 


a.r 


K 



Nach diesen Vorbereitungen können wir das vollständige System der 
ternären quadratischen Formen f und f sofort hinschreiben; denn wir 
brauchen nur alle Combinationen aus den in (8) zusammengestellten 
Factoren zu bilden, die durch vorstehende Erörterungen nicht ausge- 
schlossen sind. Wir erhalten so die 20 Formen*): 

\\ *) Aufstellung und Ableitung des Systems verdankt der Herausgeber einer 
Mittheiluug von Gordan. 



Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen. 291 

1) Formen ohne Determinantenfactor : 



yjjjl da f 222 ^ " 






C9^ .^2) Formen mit einem Determinantenfactor: *- i - 

iV' = (aau) a^aj , N == {ua x) UaUa- • , ^' ^ ' ' 

C^ = (aau) aä a^Ua , fj = {aa'x) ««'M««^ , 
Cj = {aau) a^ajua- , Tj == (ccax) a^Ua-aJ , 
2) = (aa'u) üu-aaUaUa-, A = (acc'a;) üa-aüa^ a^ . 
3) Formen mit zwei Determinanteniactoren : - 

— Wenn wir nun im Folgenden mehr geometrische Fragen 
mittelst der Formentheorie behandeln woller. so wird es unsere 
Hauptaufgabe sein, alle dabei auftretenden Bildungen auf die Formen 
des Systems (9) zurückzuführen. Gleichzeitig werden wir dann die durch 
Nullsetzen der letzteren dargestellten Gebilde kennen lernen, sowie 
die Bedeutung der durch das Verschwinden der simultanen Invarianten 
gegebenen Bedingungen. 

Für unsere frühere Untersuchung des Kegelschnittbüschels 

(10) Xi/'+x./'^O 

war die Determinante von y,J + y..^f und die Gleichung in Linien- 
coordinaten besonders wichtig. Die Determinante, welche mit A^ be- 
zeichnet sei, entsteht, wenn man in {abcY die «,/, durch x, a;A--h "'^-i'^iu 
ersetzt und nach dem Taylor 'sehen Satze entwickelt; also wird: 

Xt«,l+X2«l/ 5fi«i2 + ^2<^12' ^l«13 + »^2<^13' 

Ay,=^^ X,«.^, + X2«2l' ^1«22 + ^2^22' '^1^23 + ^2^23' 

X, «3, + X2«3,' y Jf|«32 + '«2<^32' ^1 %3 + ^2^33' 

= {ahcf J£i3 4- 3 {ahdY v-x^v-i + 3 {al! df v.^'k^ + {ah'c'f ^^ 
oder nach unserer obigen Bezeichnungsweise^) : 



*) In ausgerechneter Form ist also, wenn für den Augenblick A^,^ die Unter- 
determinanten von ^1,,, A^l^ die von A^^^i bezeichnen: 

3^„2 = ^'|^' «,/,'= 6 {^H«.l'+'422«22' + ^»3«33' + 2 ^««.a' + S ^23 "23' + 2 ^3, 03/} 



.3^,22=2:1^ «,7. = 6 |^„'«„+^/2,'«22+^33'''33 + 2 ^,2'ö,2 + 2 ^23' "«3 + 2 J3,' «3, } . 

19* 



292 



Dritte Abtheilimj 



F. 



— 2 



(11) Ay. = ^111 Jfi^ + 3 A^^.,%^^., -f 3^,22)<iX,2 -|- 4,22 V- 

In derselben Weise findet man für die linke Seite der Liniencoordi- 
natengleichung : 

Xi«2i + >«2^')l' 5<,rt22 + X2^^22' ^1 «23 + ^2 «^2:!' 

^i^ni + ^2^'^,ti' ^i«,r2 + «o rt.,2' '/fi.^/.).( + 5^2^:53' 

«1 2^2 «:! I 

= (iabity Xi^ -f ^{ab'iiy' -\- {ba'uyj x^x., + {ab'ii)'- x.f , 
oder wegen der Vertausehbarkeit von a und Z^, a und Z^': 

(12) A^. - /'n^r + 2/V>^,^2 + ^22'<>'-- 

Die Coefficienten von x^', x.f sind also die zugehörigen Formen 
der gegebenen Kegelschnitte; und der Coefficient von XyX^ gibt be- 
A kanntlich, gleich Null gesetzt, den Kegelschnitt, dessen Tangenten die 
" Curven / == und / ' = in harmonischen Punktpaaren treffen (vgl. 
p. 281). Das quadratische Vorkommen des Parameters x in (12) sagt 
aus, dass jede Gerade der Ebene von zwei Curven des Büschels be- 
rührt wird (vgl. p, 134)." Nur wenn die Gerade durch einen der vier 
Grundpunkte des Büschels geht, fallen die beiden Berührungspunkte 
zusammen; es ist daher, wie auch aus dem Uebertragungsprincipe 
sofort folgt (p. 281), das Proclucl der vier Schnittpimkte von f und f 
gegeben durch das Verschwinden der Discriminante von F^'. 

[ Ersetzt man in der Determinante F^ die ui des einen Randes 

"^ durch Vi, so stellt Fy, = die Gleichung des Poles der Geraden v in 

^ Bezug auf den Kegelschnitt ^^f -\- x., /"' = dar. Nimmt man ferner 

Vi = i (^1 y^. + ^2 ^) = ^i «e^/-^- + ^2«/«..' , 

d. h. betrachtet man die Gerade v als Polare von x in Bezug auf den 
Kegelschnitt A, / -f- Aj/" = 0, so wird der Pol dieser Geraden in 
Bezug auf Xif -\- x^/" = dargestellt durch das Verschwinden der 

Bildung (A.=.ij^^,// = i|:): 

x^a^^ + Xj«,,' x^Oy, + x.^a^.; x^a^.^ -\- x^dy^^ v^ 

^\ "-A\ + 5^2^31' ^1^32 + ^2'''32' ^1^33 + '<2 «33' "3 



^x; 



— 2 



/i.A + VV 

oder symbolisch aus (12): 



ij\^^x.j.: A,/:, + A2/;,' 



Eiiileitiuig in die Theorie der algebraischen Formen. 293 

Byi = y,^ Ua 1^1 Ca C.r + '^2 ^«' '^^•'} 

(13) + 2 X] X 2 («'«'?/) {^1 {tt"-'c) c_r + K [cia'c) c^^) 

Das erste und letzte Glied hängen nur von den Coefficienten je einer 
Form ab und haben bez. den Factor Ca, c a\ also enthalten sie bez. 
den wirklichen Factor ^u,, ^222- Der Coefficient von %^ U ist die 
Form B^ der von Xj'A, die Form B.^. Um auch die andern Glieder 
auf einfache Bildungen zurückzuführen setzen wir x,- = A,-. Alsdann 
ist Byy. = die Gleichung des Poles der Polare von x in Bezug auf 
den Kegelschnitt x, /*+ x,/" = 0, d. h. die Gleichung des Punktes x, 
und somit muss By.y. den Factor w.,. enthalten. In der That multipli- 
ciren wir die ersten drei Horizontalreihen der Determinante jPxx bez. 
mit x^, x-o, x^ und subtrahiren sie dann von der dritten, so ver- 
schwinden" in dieser sämmtliche Glieder bis auf das letzte, avo an 
Seile von der Term — w.,- auftritt. Wir erhalten also nach (11): 

Byy. = 1 tl.r . -4y. . 

Setzen wir andererseits in (13) jc,= A,-; so findet man durch Ver- 
gleichung der Coefficienten gleicher Potenzen der A die folgenden 
Relationen, welche sich übrigens auch leicht direct durch symbolische 
Keclmung in obiger Weise ableiten lassen: 

{abu) (abc) c.,. = ?/« Ca C,- = i --^iii • ^-^ 

i?, -f 2 {aau) (aa'c) c.,. = .4,,2 . w.r 
2 [aa'ii) {aa'c) cj -\- B.^ = ^4,29 • Kv 

{a'b'u) (a'b'c) cj = ^^aCucJ = l -^^222 • "^• 

Damit ist die Zurückführung auf die Formen unseres Systemes 
gegeben. Ueber die geometrische Bedeutung der Gleichungen B^ = 0, 
^2°= braucht wohl nach dem über B^i = Gesagten kaum etwas 
hinzugefügt zu werden: B^ entsteht ja aus By.i für A, =0, «2 = 0; 
B^ ebenso für A., = 0, x, = 0. 

Aus ßyi entsteht nun sofort eine Reihe von quadratischen Cova- 
rianten, wenn wir die tu durch ft,/; + ^.Ji' ersetzen; und wir werden 
zeigen, wie sich dieselben alle auf /•, /' und <i>,, zurückführen lassen. 
Die so aus B^i hervorgehende Bildung: 

^ \x^a..^-\-x^a^i x^a.y^-{-x^ao^' J<i'% + 3f2«23' ^1/2 + ^2/2 

^"^''^"^jxiaai + Xjrts,' Jf,%2 + »'2«32' »«l%3 + ^2«33' f^l/3 + ^2/'3' 

i A./'i + AjA' A/2 + V2' Ai/:, + A2/";5' I 

gibt, gleich Null gesetzt, die Bedingung dafür, dass die Polare eines 
Punktes x in Bezug auf den Kegelschnitt XJ-^^.J"=-0 und die 



294 Dritte Abtheilung. 

desselben Punktes in Bezug auf den Kegelschnitt f^^/' -{- (i^/" = 
einander conjugirt sein in Bezug auf die Curve x,/+ x^/" = 0. In 
symbolischer Gestalt haben wir aus (13): 

(14) IJyXf, = X,2 l^j dad, + fl^da'dr} {A, ('„C,- + A.r^V,,'} 

+ 2lx^x.,^^^ (aa'd)d^-^fi^{aad')d^'} ^l^(aa c)c,. + l^{aac)c\r} 
+ ^2^ { f*i da' d.r + iü., d'a. dj } { Ai c«. c.^ + A2 c'«. c.^' } . 

oder wenn wir die hier auftretenden Covarianten mit P bezeichnen 
und durch entsprechende Indices unterscheiden: 

(15) H,x^,= ^'{Ki'xPn + ^1(^7^12 + ^2f^i^21 4- A2i^2^22 } 

+ 2x^x, jAiftjP,,' -|-A,^2Pj2' +^2/^1^21' + ^2/^2^22'} 

+ V {^l^I^ll" + ^^1/^2^12" + ^2i^.^2l" + ^2/^2^22"}, 

woraus die Bedeutung der einzelnen />,/,(^') unmittelbar ersichtlich ist. 
Um dieselben auf die Formen unseres Systemes (9) zurückzuführen, 
setzen wir in der Determinante ff^x/u zuerst Xi = A,-. Ziehen wir dann, 
wie bei B^^, in (14) die bez. mit Xi, x.^, x.^ multiplicirten ersten drei 
Horizontalreihen von der vierten ab, so wird: 

Macht man andererseits dieselbe Substitution in (15), so erhält man 
durch Coefficientenvergleichung die Relationen: 

^11 =i^iii •/, ^,2 =i^ni -r 

2/^,,'+ Pn = ^U2'f, 2/^,,;+ P,, = A,,,.r 
P,;'J^2P,;= A,,,.f, p^;'^2P,;= A,,^.r 

/>2i == A^^^ . f , P'l'l' = \ ^121 • f ' 

Damit sind die fraglichen Covarianten zunächst auf vier reducirt; 
zwischen letzteren bestehen aber noch weitere Gleichungen, welche 
sich ergeben, wenn man in (15) ;< = ^, setzt. Dann wird entsprechend 
der Gleichung (16): 

und durch Coefficientenvergleichung findet man: 

Pn =i'^iii -f , P-n =\ A,,, .f^ 

/>,/' + 2 />,/= ^,22-/', 7^,/' + 2 P22' = A,^,.f 
P\i '■= \ ^222 • / » P12' = \ ^222 • f • 

Die Formen P,,, P^^ = />,,, p^^' =^ p^^-' ^ p^^" zerfallen also direct in 
zwei Factoren, und die andern lassen sich alle durch eine mit Hülfe 
der Invarianten und der Grundformen /", /', ausdrücken. Wir haben 



(17) 



(18) 



Einleitung in die Theorie clor algebraischen Formen. 295 

nur noch die Zurückführung dieser einen, etwa P,/', auf O,,, zu geben. 
Nun ist aber: 

und hier ist der letzte Term eben unsere Form P^;'. Es folgt also: 
(19) />j," = J.l22•/'-i^l2• 

f^/r haben somit in der Thal die zwölf Covarianien, welche in H^i^ 
vorkommen, auf die Formen unseres Systems zur ück ff e führt. ^ 

Mit Hülfe der Gleichung (19) können wir ohne Schwierigkeit die ^ 
durch A^,^ = oder ^,22 = ^ gegebenen Lagenbeziehungen von f 
und f geometrisch -charakterisiren. Die Form O^j entspricht duali- 
stisch-der Form i^,^' 0,2 = stellt daher den Ort der Punkte dar, von ^ J 
welchen zwei Paare zu einander harmonischer Tangenten an f und f 
gehen. Ferner entsteht P,/' aus F,-, = ^«.2, wenn man m/ = A setzt; A 
p " = f) ist also der Kegelschnitt, ivelcher von den Polen der Tangenten 
j,^,^ /•' = in Bezug auf f=0 gebildet wird. Die Bedingung ^,2,, = 
sagt nun wegen (19) aus, dass diese beiden Curven identisch sind. 
Nehmen wir unter dieser Voraussetzung eine Tangente w von /' = 0, so 
entspricht ihr vermöge f=0 ein auf P,;' gelegener Pol, und die 
beiden von letzterem an f = gezogenen Tangenten v, w sind har- 
monisch zu den beiden an f=() gezogenen, d. h. sie sind in Bezug 
auf /■=0 conjugirte Gerade. Somit bilden die Tangenten u, v, iv 
von /•' = ein Polardreieck von /"= 0; und ein solches Dreieck kann 
man für jede Tangente u von f construiren. Da aber ^122 = ««'^ 
symmetrisch in den Coefticienten von «'.," und w«.^ ist, so kann man 
auch dualistisch entsprechend, von einem beliebigen Punkte von 
f^{) ausgehend, ein Dreieck construiren, dessen Ecken auf/'=0 
liegen, und welches Polardreieck von /" = ist. Wir haben daher 
folgenden Satz: 

Wenn die simultane Invariante A^^^ = «„-^ der Kegelschnitte aj = 
lind Ua-- = verschwindet, so gibt es in Bezug auf aj = einfach 
unendlich viele Polar dreiecke , ivelche der Curve «„-^ ^ umgeschrieben, 
und in Bezug auf «/„.^ == einfach unefidlich viele Polardreiecke, welche 
der Curve aj = eingeschrieben sind. *) 

Der entsprechende Satz gilt selbstverständlich, wenn ^„o ver- 
schwindet; man hat dann nur die Curven /= und /" = zu ver- 
tauschen. 

Es ist leicht auch den durch iV= 0, (7, = 0. C^ = dargestellten 
Gebilden geometrische Deutungen unterzulegen; dasselbe gilt für N, 

*) Ueber Kegelschnitte, welche in dieser Beziehung stehen, vgl. Smith: 
Proceedings of the London math. Society, vol. 2, p. 94; Rosanes: Math. Anua- 
len Bd. 6; Darboux: Bulletin des sciences math., t. 1, p. 348. 



296 Dritte Abtheilung. 

Tj und r.j. Man sieht z. B. sofort, dass N=0 die Gleichung des Schnitt- 
punktes der Polaren von x in Bezug auf / = nnd /" = ist. Wir 
betrachten hier nur noch die Form C, ■ sie ist die Functionaldetermi- 
nante von B^, f und ?/.^.: 

t\ = {a a u) a^'a,. ?/„ = i : K |^-' i 

0^2 OCt'2 

Nun ist ^1=0 die Gleichung einer Geraden v, für deren Punkte 
die Polaren in Bezug auf /' = zu der Linie u in Bezug auf f=0 

conjugirt sind; die Differentialquotienten ^~' sind also die Coordi- 

naten dieser Geraden, und C^ = ist die Bedingung, dass die Polare 
von X in Bezug auf f durch den Schnittpunkt von u und v geht. 

Von grösserem Interesse für die Geometrie sind die Formen D 
und A. Sie haben zunächst die Eigenschaft, dass die eine die reciproke 
Bildung der andern, sowohl in Bezug auf /, als in Bezug auf f ist. 
Zum Beweise dessen gehen wir von D aus und setzen: 

Vi = fi = b.rhi = Cr d = f4. di . 

Bezeichnen wir die dadurch aus P entstehende Bildung mit D', 
so wird : 

P' = {a ab) aa- aä c„ d„. b.r c.r d,^ 

= \ {a a b) (aa- b.r — *«• a.^) aä Ca d^. c.^ d.^ 
= — i V {ß^<-' x) a„'c^d„'('.rd_r. 
Durch Anwendung der Identität {a --= {a b)) 

OaC,: =- {ciab) c, -- (abc) a,; — {a bc) r/.,, + {a ac) b^^ 
finden wir nun: 

aä<'.,a,iCa ---= Ca- . aja,,' -j- 2 {abc) {a ac) b^a^^' 
oder für {ac)i = «, : 

(iä(i;i Cu'-.r -= r,;- . a^i a,,' — 2 baa^ b^.a^i . 
Das letzte Glied rechts unterscheidet sich aber von dem Ausdrucke 
Imks nur durch den Zahlenfactor und durch Vertauschung von b und 
c-^ also wird: 

aäa^ CaC,,. = -^ r,;- . a^a^^ ■ 
Setzen wir dies iu P' ein, so korauit: 

^'-= -i -All • ^> q- e. d. 
Ebenso ist natürlich für u.^^fr. 



Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen. 297 

B" = - i^2T> ■ ^5 
und dualistisch entsprechende Gleichungen gelten zur Ueberführung 
von A in B. Wir wissen aber, dass nur den Seiten des gemeinsamen 
Polardreiecks von /" und /' die Eigenschaft zukommt, dass die Polaren 
ihrer Punkte in Bezug auf f und /" dieselbe Curve dritter Klasse 
umhüllen; und zwar besteht letztere aus den Ecken jenes Dreiecks. 
Hieraus folgt: 

Die Gleichung ß = stellt das Product der drei Seiten, A = das 
der drei Ecken des gemeinsamen Polardreiecks von f und f dar.^) 

Dies Resultat war übrigens vorauszusehen, da nur die eine Cova- 
variante D von der dritten Ordnung in unserm Systeme enthalten ist, 
und das Polardreieek jedenfalls durch eine Co Variante dargestellt wird. 
Aus diesem Grunde muss D auch das gemeinsame Polardreieck von 
/^,2 und 0,2 darstellen, und somit ergibt sich: 

Alle covarianten Kegelschnitte von f und /" halen mit letzteren 
Curven dasselbe Polardreieek D = 0, A = gemeinsam ; oder mit andern 
Worten: Die Formen D und A sind Combinanten für alle Formen des 
Sy Sternes 

ivenn cp irgend eine zu f und /" covariante quadratische Form, also am 
einfachsten 0^2 j bedeutet. Sie dürfen daher alle, wenn dies Dreieck als 
Coordinatendreieck eingeführt wird, in ihren Gleichungen nur die 
Quadrate der Veränderlichen enthalten. In der That setzen wir: 

f' = xi^ + x'i^-^rri^ 

/= ^,2_|. y_^ ^2^ 

so wird für x, = x, yi.^== \ , A, = A, A2 = 1 , ^. = ft , ^2= \ : 

X + r (f^ + ^' ) ^1 

x + A" {^^l")l, 

y. + A'" {}i + A'") I3 

,(A + A')I, (A + A")^2 {^ + m^ ^-> 

und bei der Entwicklung der Determinante treten nur die Quadrate 
der % auf. — 

Die bei der kanonischen Form in f auftretenden Coefficienten 
sind bekanntlich die Wurzeln der cubischen Gleichung A^ == 0. Wir 
haben ferner gesehen (p. 135 ff.), dass die Transformation auf diese 
Form nicht mehr unbedingt möglich ist, wenn jene Wurzeln zum 



H„Au=-^ 



*) Durch Zerfällung von D bez. A in die drei linearen Factoren würde man 
somit eine neue Lösung für die gleichzeitige Transformation von f und f' auf die 
kanonische Form (p. 127) erhalten. Mittel zur Ausführung der Zerfällung wer- 
den wir in der Theorie der Curven 3. Ordnung kennen lernen. 



>/ 



298 Dritte Abtheilung. 

Theil einander gleich werden. In diesem Falle berühren sich die 
Curven f und f in gewisser Weise, und die Art dieser Berührung 
wurde durch das Verhalten der Unterdeterminanten von A^ gegenüber 
der mehrfachen Wurzel besagter Gleichung bestimmt. Diese Berüh- 
rungsbedingungen müssen sich aber nach einem früheren Satze auch 
durch das Verschwinden von Functionalinvarianten der Formen /" 
und f darstellen lassen (vgl. p. 274). Es führen dazu die folgenden 
Ueberlegungen. 

Wir wissen, dass f und f sich berühren, wenn zwei Wurzeln von 
^x = gleich sind, d. h. wenn die Discriminante der cubischen Form 
A^ verschwindet (vgl. p. 136). Die Bedingung für die einfache Berüh- 
rung ist also: 

(20) 4(^„,^j22 — ^j,2') (^112-^222 — ^122') -(^1,1^222 — ^112^12'^)'=0- 

Hat dagegen Ay_ = drei gleiche Wurzeln, so osculiren sich f 
und /"; andererseits muss dann die Hesse 'sehe Form der binären 
cubischen Form Ay. identisch Null sein (vgl. p. 228). Die Bedingungen 
für die zweipunktige Berührung sind also*'): 

(21) ^=flil2=^. 

-^lii -^122 ^222 

Berühren sich / und /' in zwei verschiedenen Punkten, so steht 
der Büschel Jc,/+ x^f = sich selbst dualistisch gegenüber: Durch 
jeden Punkt geht eine Curve desselben, jede Gerade wird von einer 
Curve berührt. Letzteres wird dadurch möglich, dass Fy = eine 

von den m unabhängige Wurzel für -"■' zulässt, und zwar ist dies die 
Doppelwurzel von Ay = 0. In der That enthält der Büschel k,/+ x^f 
eine Doppelgerade, die Verbindungslinie der beiden Berührungspunkte, 
welche von jeder Geraden der Ebene berührt wird (p. 106); und diese 
ist eben durch die Doppelwurzel von Ay, = bestimmt. Die letztere 
aber wird durch die Gleichung A^ = doppelt zählend gegeben, 
wenn A.^ die Hesse 'sehe Form von Ay ist. Es muss daher die Re- 
sultante der beiden quadratischen Formen Fy und A,^ Null sein. Diese 
Resultante reducirt sich hier aber, da A^ ein vollständiges Quadrat 
ist, auf die Invariante (AF)'^, wenn für den Augenblick 

A^ = (A, X, -f A2 K,y , Fy = (F, X, + F, x,f 

gesetzt wird. Nach Ausrechnung der Invariante (AFy haben wir 
also den Satz; 

Wenn f und f sich in zwei getrennten Punkten berühren, so besteht 
neben (20) unabhängig von den ui die Bedingung: 

(2 2) (^1,1 ^1 22- ^ii2')-^22-Kll-^222- -^122^112) ^'^12 + Kl2-^222--^122')-^ll—0- 

*) Vgl. Salmon-Fiedler: Kegelschnitttheorie. 



Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen. 299 

Den Fall der dreipunktigen Berührung von f und /' können wir 
endlich als eine Combination der beiden letzten Fälle auffassen: Ay. 
hat einen dreifachen linearen Factor und Fy. enthält denselben Factor 
einfach. Da A,, == {A^ x^ -f A^ x^y nun ein vollständiger Cubus ist, so 
ist die gestellte Bedingung erfüllt, sobald die binäre lineare Cova- 
riante {AFy A^ unabhängig von den x verschwindet. Tragen wir 
also die wirklichen Werthe der Coefficienten von x^, x., ein, so haben 
wir den Satz: 

Wenn sich f und f dreipunktig berühren, so bestehen neben (21) 
ufiabhängig von den tu die Bedingungen: 

,t,o\ ^111^22 2 ^j, 2^,2 + -^122^11 = ^ 

^ ^ ^,12^22-2^122^12+^222^11 = 0. 

Die hier besprochenen ausgezeichneten Lagen zweier Kegelschnitte 
beziehen sich jedoch nur auf die geometrisch besonders hervortretenden 
Fälle. Vom Standpunkte der Invariantentheorie aus müssen wir da- 
gegen jedes System zweier Kegelschnitte von jedem anderen Systeme 
zweier solcher Curven streng unterscheiden, sobald es nicht möglich ist, 
die beiden Systeme linear in einander zu transformiren. Diese Mög- 
lichkeit hängt aber von dem Werthe der simultanen absoluten Inva- 
rianten beider Kegelschnitte ab*), und durch diese Werthe ist daher 
die Lage der Kegelschnitte gegen einander charakterisirt. Die Zahl 
der absoluten Invarianten ist leicht zu bestimmen. Die beiden Kegel- 
schnitte nämlich hängen zusammen von 10 Constanten ab; die 8 Con- 
stanten einer linearen Transformation können wir nun so bestimmen, 
dass 8 jener 10 Constanten beliebige Werthe annehmen; die beiden 
übrigen sind dann aber absolut fest gelegt; d. h. zivei Kegelschnitte 
haben zivei absolute Invarianten. Die letzteren haben wir aus den vier 
Invarianten A^^^, ^,,2; ^122 > ^222 «o zu bilden, dass die Coefficienten 
von /' und /' in ihnen in Zähler und Nenner zu gleichen Dimensionen 
vorkommen; und zwar legt man am einfachsten die folgenden beiden 
zu Grunde 



-^111 • -^122 A[ 2 • -^22? 

Es ist nun weiter unsere Aufgabe, den Zusammenhang dieser absoluten 
Invarianten mit den in der Figur der beiden Kegelschnitte auftreten- 
den Doppelverhältnissen darzulegen. Wir bemerken zunächst, dass 
die Verbindungslinien eines beliebigen Punktes von f =0 mit den 



*) Und zwar ist die Transformation immer möglich, wenn die absoluten In- 
varianten in beiden Systemen dieselben Werthe haben, und wenn in beiden die- 
selben Covarianten, Contravarianten und Zwischenformen identisch Null sind, 
also überhaupt, wenn in beiden Systemen dieselben Functionalinvarianten ver- 
schwinden ; vgl. die Anmerkung auf p. 274. 



300 Dritte Abtheilung. 

vier Schnittpunkten von /" und / ' ein für alle Punkte von /' constantes 
Doppelverhältniss bilden (vgl. p. 49). Ein anderes constantes Doppel- 
verhältniss ist ebenso durch die Verbindungslinien eines Punktes von 
f mit jenen vier Punkten gegeben: Wir wollen beide Doppelver- 
hältnisse durch Aj, bez. Aj ausdrücken. Zu dem Zwecke bemerken 
wir, dass in jedem der vier Schnittpunkte (y) von / und /" durch 
die Tangenten der Curven des Büschels: 

ein Strahlbüschel gegeben ist, in welchem jeder Strahl durch die ent- 
sprechenden binären Coordinaten ;f, , x., bestimmt wird; insbesondere 
ist also durch Xj = die Tangente von f, durch yt., = die von / 
im Punkte y gegeben. Demgemäss stellt uns Ay. eine binäre cubische 
Form dar, deren entsprechende Strahlen des Büschels die Tangenten 
der drei Linienpaare in y sind, d. h. die Verbindungslinien von y mit 
den drei anderen Schnittpunkten. Diese drei Linien bilden dann mit 
der Tangente von /in y, d. i. mit der Linie X2 = 0, jenes für alle 
Punkte von /" constante Doppelverhältniss. Wir haben somit die Auf- 
gabe, das Doppelverhältniss einer binären biquadratischen Form zu 
bestimmen, Avelche in die cubische Form A^ und in eine lineare Form 
3<.^ zerfällt, und dies geschieht in bekannter Weise mit Hülfe der In- 
varianten % und j der biquadratischen Form (vgl. p. 239). Ist letztere 
nun durch 

gegeben, und setzen wir 
^y.'^ = fx^ ■ (ty. 

-= («„x,3 -f 3 r/, ;<,'^X2 + 3 a^yc^^^ + o^yi.;^) . (^/,'x, + a.^v.^, 
so müssen wir in 

i = 2 («^«, — 4 «1 «3 4- 3 «2') 

I «n «1 «o 



und 7 = 6 

substituiren : 



1*3 



«0 = «'o«i ? ^\'^"z(t'ij 

Für unsern Zweck haben wir insbesondere a,' = 0, a.l = 1 zu 
wählen, und dadurch erhalten wir für (ty;^ = Ay-. 

2i= .</,,, 2 -3^,22--^,,! 

^,/ = O --^,,1 ^<^ 11 2-^] •'■2 — -^lll''-^2.2 — ^ ^J12'' 

und somit für das gesuchte Doppelverhältniss «: 



Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen. 301 

P _ , (1 — et 4 - a^y ^ s (^112'^ - 3 ^i22^in)' 

ji ^ (1 + c)2 (2 — «> (1 — 2 a)2 ^ (3 ^„1 Am A^^ — ^,i,*^222 — '^ ^112')* ' 

oder nach einer einfachen Umformung der rechten Seite: 

r9P.A (A. -3)3AtAg^ c)7 (i-« + K»)3 ^ 

i>«s Doppelverhällniss a der Verbindungslinien eines Punktes von f 
mit den vier Schnitlpunkten von f und f i^t oho durch Gleichung (25) 
gegeben; und ebenso das Doppelverhällniss ß der Verbindungslinien eines 
Punktes von f mit jenen vier Punkten durch die Gleichung: 

rocK^ ^A^ -3)^A,A,^ _ ^7 d - ß + ß'Y . • 

'^'^^^ (3XÄ^2A,^A, -1) ~ ^ (l + ^f (2 - 0)M1 - 2 ?Y 

In Folge dieser Gleichungen können wir unter Berücksichtigung 

der Relationen: 

A A 2 f^ii?i A 2 A = — ^i*?i— 

insbesondere den folgenden Satz aussprechen; 

Wenn gleichzeitig die Invarianten ^,12 und .4,22 verschwinden, so 
ist das Doppelverhällniss jener vier Schnittpunkte auf beiden Kegel- 
schnitten äquianharmonisch. 

Es liegt ferner nahe nach den drei Doppelverhältnissen zu fragen, 
welche auf den Seiten des Polardreiecks durch ihre Schnittpunkte mit 
den Kegelschnitten / und f bestimmt werden. Um die entsprechende 
cubische Gleichung aufzustellen, nehmen wir / und /" in der kano- 
nischen Form an: 

r = s,^ + i.^ + i3^ 

Auf der Seite ^1 = liegen dann die beiden Schnittpunktepaare: 

^.;2 + 132 = und r|2^ + A"'|32 = Ü; 

und zu dem Systeme dieser beiden binären quadratischen Formen ge- 
hören die Invarianten (vgl. p. 215): 

7) = 2, D' = x' + 1'\ D" = 2 }:'r . 

Aus letzteren berechnet man das Doppelverhältniss a, der entsprechen- 
den vier Punkte mittelst der Gleichung (vgl. p. 217): 

DD" il"l"' (a, — 1)«* 

Um also ccy zu finden, brauchen wir nur die absolute Invariante 

^1 "~ " itX'" ~ DD" 
ZU kennen, d. h. wir müssen eine cubische Gleichung aufstellen, deren 
Wurzeln die ch-ei Grl'jssen: 



302 Dritte Abtheilung. 

sind ; aus ihnen finden wir dann die drei gesuchten Doppelverhältnisse 
mittelst der Relationen: 

^^®>' J'l (t,, _ 1)2 J ^2 — („^ _ 1)2 ? y-i — („^ _ i)2 

Wir kennen aber die symmetrischen Functionen dieser drei Wurzeln y, 
da die der Wurzeln A', A", X" bestimmt sind; und zwar findet man 
aus den Gleichungen: 

Am 



9. -112 _^ _ (^'_|_ ^'. _^ j^'^'^ 



34^*= A' k" + A" A'" 4- X" k' 



— rrr 



^222 



An 
unter Berücksichtigung von (27) die folgenden Relationen: 

Dt y^iii ^j22 

/vi/i; J-T/zy -L-vf __ '^ -^222 ^111 ^ -^112^122^222^111 "T ^"^ f^ll« ■^2 >2 "T ^12' ^lll) 

' 1 ' 2 ~r /2/:5, I /3/I Iß // 2/4 2 

* ^" -^111 -^222 

= tV{1-3A,A2(1-9A, -9A2)} 
ri + ^2 + ^3 = - 3 -L^Ai-^i^^'iL-^- = -3(1 + 3 A1A2) . 

^111-^222 

i?2e absoluten Invarianten der drei Paare von binären quadratischen 
Formen j welche auf den Seiten des Polardreiecks durch ihre Schnitt- 
punkte mit f und f dargestellt iverden^ sind also die Wurzeln der 
Gleichung : 
(29) j.3_f_3(i^3A,A,)72 + ^{l_3A,A2(l-9Ai-9A2)}r-^(l-9AA) = 

und aus den Wurzeln dieser Gleichung findet man die Doppelverhältnisse 
a der drei Punktquadrupel mittelst der Gleichungen (28)*). 



*) Benutzt man einen der beiden vorliegenden Kegelschnitte zur Begründung 
einer allgefneinen projeclivischen Massbestivirnung (vgl. die Anmerkung auf p. 150), 
so wird man entsprechend den 2 absoluten Invarianten, welche ein beliebiger 
Kegelschnitt mit ersterem bestimmt, zweifach unendlich viele, in metrischer Hin- 
sicht von einander verschiedene Kegelschnitte in der Ebene unterscheiden müs- 
sen. Eine weitere Eintheilung der letzteren ist dann nach den etwaigen Be- 
rührungen mit dem Fundamentalkegelschnitte durchzuführen, d. h. nach dem 
Verhalten der im Texte erwähnten Functionalinvarianten. Es würde dies der 
Eintheilung in Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln bei gewöhnlicher Metrik ent- 
sprechen, denn die Realität der vier Schnittpunkte mit dem Fundamentalkegel- 
schnitte wird von den Werthen der absoluten Invarianten abhängen. Die von 
den beiden Kegelschnitten auf den Seiten des Polardreiecks bestimmten Doppel- 
verhältnisse entsprechen dann gewissermassen den Längen der Hauptaxen bei 
gewöhnlicher Moti-ik. 



Einleitung in die Theorie der algebraischen Formen, 303 

Wir fügen noch einige Bemerkungen über das System von drei 
Kegelschnitten hinzu. Es seien die drei quadratischen Formen ge- 
geben : 

dann bietet sich zunächst als einfachste simultane Covariante die 
Functional- oder Ja,kohi'sche Detei^minanle derselben, d. h. die Deter- 
minante der ersten Differentialquotienten: 



^=i 



df 




df 


dcp 


dcp 


dcp 
dx3 






dx3 



= {aaa") a^^-aj a^ 



Gleich Null gesetzt ergibt sie eine Gleichung, welche als das 
Resultat der Elimination der y oder x aus den drei Gleichungen 

a^ «y == , aj a,j' = y aj' üy == 

angesehen werden kann. Die durch das Verschwinden der Functional- 
determinante dargestellte Curve dritter Ordnung ist daher der Ort der 
Punkte, deren Polaren in Bezug auf die drei gegebenen Kegelschnitte 
sich in einem Punkte schneiden; und gleichzeitig der Ort dieser Schnitt- 
punkte selbst. Diese Curve steht, wie man sofort erkennt, in derselben 
Beziehung zu irgend drei anderen Kegelschnitten des zweifach unend- 
lichen Systems: 

Tlf -\- X(p -\- ^^ = , 

deren Gesammtheit man als Kegelschnittnetz*) zu bezeichnen pflegt, d. h. 
sie ist eine Combinante des Netzes (vgl. p. 208). Auf die Unter- 
suchung der so erhaltenen Curve dritter Ordnung concentrirt sich 
weiterhin wesentlich das Interesse bei Betrachtung der Kegelschnitt- 
netze. Wir erwähnen hier nur noch einige besondere Fälle, 

Zunächst können die drei Curven z. B. so liegen, dass ihnen ein 
Folardreieck gemeinsam ist, ein Fall, der schon gelegentlich erwähnt 
wurde (p. 297), Alsdann können wir die Gleichungen der drei Grund- 
kegelschnitte in der Form: 

voraussetzen; und die Functionaldeterminante wird daher: 



*) Vgl. über diese Netze Steiner's Vorlesungen über synthetische Geo- 
metrie, 2. ßd, bearbeitet von Schröter, Leipzig 1867; und Cremona's Ein- 
leituu": in die Theorie der algebraischen Curven, 



304 Dritte Abtheilung. 



« ll 


ß ^2 


r h 


a 


ß 


y 


«ll 


/5'^2 


r'i, = 


u 


ß' 


7 


«"^1 


ß"l^ 


r"% 


a" 


ß" 


v 



•^1^2 ^3 



Die 3 dik oh {'sehe Curve des Netzes zerfällt also in die drei Seiten 
des Polardreiecks, vorausgesetzt, dass die Determinante der a, ß, y 
nicht verschwindet, wo dann 7^0. Tritt dies jedoch ein, so können 
wir in unserem Falle setzen: 

a = 'KU -{- Xa" , ß = Kß'-\-Xß", y = -Ky' -\- Xy" '^ 

d. h. die drei Kegelschnitte gehören demselben Büschel an. Es gilt 
aber auch allgemein der Satz: 

Wenn die Comhinante 1 der drei quadratischen Formen f,(p,t 
identisch verschwindet , so gehören die entsprechenden drei Kegelschnitte 
demselben Büschel an. 

Um dies zu beweisen, multipliciren wir die Form 1 mit u^:, wo 
die Ui ganz beliebige Grössen sind; nur darf u^ nicht Null sein. Bc; 
nutzen wir dann die Identität III, p. 283, so wird: 

(aa a") Ux = {d d' u) a^ — [ad'u) aj -j- {ad u) aj' , 

und wenn wir unserer früheren Bezeichnung entsprechend 

N;\p = [ad u) a^aj , N,p,p = (d a" u) aj aj' , N,pf= {a" au) aj' a^ 

setzen, so geht die Bedingung 7^0 über in : 

Ncpf . Tp — N,p,p . f + N^pf . (p, q. e. d. 

Ein anderes Kegelschuittnetz von speciellem Charakter haben wir 
schon früher bei Gelegenheit der Kreistheorie erwähnt (vgl. p. 155, fj. 
Dasselbe ist dadurch ausgezeichnet, dass alle Curven zwei feste Punkte 
gemein haben. Man zeigt in diesem Falle an einer speciellen Glei- 
chungsform leicht, dass die Jakobi'sche Curve in die Verbindungs- 
linie der beiden Punkte und in einen durch letztere gehenden 
Kegelschnitt zerfällt, wie sich übrigens auch aus später abzuleitenden 
allgemeineren Sätzen über Functionaldeterminanten ergibt. Fallen 
insbesondere die beiden ausgezeichneten Punkte in die Kreispunkte 
der Ebene, so besteht die Jacob i'sche Curve aus der unendlich fernen 
Geraden und dem Orthogonalkreise der drei gegebenen Kreise /" = 0, 
^ = 0, ^ = 0, was sich ebenfalls unschwer nachweisen lässt. 

Wir verlassen hiermit diesen Gegenstand, da eine vollständigere 
Theorie dieser Netze ein genaueres Studium der Curven dritter Ordnung 
voraussetzt; wir werden deshalb erst bei Betrachtung der letzteren 
auf jene zurückkommen. 



Vierte Abtheilung. 
Allgemeine Theorie der algebraischen Cnrven. 

I. Die Polaren eines Punktes in Bezug auf eine Curve. 

An die Theorie der Kegelschnitte würde sich, naturgemäss die der 
Curven dritter Ordnung bez. Klasse anschliessen und in Verbindung 
mit ihr die Theorie der ternären cubischen Formen. Es lässt sich 
jedoch eine grosse Zahl der bei denselben hervortretenden Fragen 
ohne grössere Schwierigkeiten sofort allgemein für Curven beliebiger 
Ordnung beantworten; und gleichzeitig wird durch diese allgemeineren 
Betrachtungen von vornherein grössere Uebersichtlichkeit für die 
mannigfachen invarianten Eigenschaften und covarianten Gebilde ge- 
wonnen, denen wir bereits bei Curven dritter Ordnung begegnen. 
Wenn wir es daher im Folgenden unternehmen, eine allgemeine 
Theorie der algebraischen Curven in ihren Grundzügen zu entwerfen, 
so geschieht dies wenigstens zunächst in der Absicht, um Gesichts- 
punkte zu gewinnen, nach denen die Bearbeitung der Theorie specieller 
Curven in Angriff zu nehmen ist; und zwar wird uns hauptsächlich 
die Bestimmung gewisser für eine Curve charakteristischer Zahlen 
beschäftigen. Selbstverständlich beschränken wir uns dabei auf die 
Betrachtung projectivischer Eigenschaften der Curven, d. h. solcher 
Eigenschaften, welche bei beliebigen linearen Transformationen (deren 
Determinante nur nicht verschwindet) erhalten bleiben. Weiterhin 
werden sich jedoch hieran Untersuchungen knüpfen, bei denen andere, 
in gewissem Sinn, allgemeinere Vorstellungen massgebend sind, als 
wie sie durch die Invariantentheorie der linearen Transformationen 
gegeben werden: Dieselben beziehen sich auf die Frage nach solchen 
Eigenschaften einer Curve, die bei beliebig eindeutiger (nicht linearer) 
Umformung ungeändert bleiben, und eröffnen somit unserer Forschung 
ein wesentlich weiteres Gebiet. — 

Eine Curve n*®' Ordnung ist durch eine Gleichung gegeben, in 
der die Veränderlichen x^, x.^, x.^ zur w**"^ Dimension vorkommen. 
Ordnen wir die Glieder derselben etwa nach Potenzen von x.^, so 
erkennen wir, dass sie im Allgemeinen 

t'lebsch, Vorlesungeu. 20 



306 Vierte Abtheilung. 

1 + 2 + 3 . . . . + n + 1 = ^-^ + ') ^" + -^ 



2 



Coefficienten enthält. Von diesen kann immer einer gleich der Einheit 
angenommen werden; die Curve ist daher von ^^ÜH^+i) — j^^MH:^ 
Constanten abhängig. Da nun die Forderung, dass die Curve durch 

^ gegebene Punkte gehe, ebenso viele lineare Gleichungen zur 

Bestimmung der Coefficienten gibt*), so können wir den Satz aus- 
sprechen: sie ist im Allgemeinen durch "<^"+ -^ ihrer Punkte bestimmt. 

Wir erwähnen dies hier vorläufig, um erst später auf die sich hier 
anknüpfenden Fragen näher einzugehen. Zunächst wenden wir uns 
dem Studium des Schnittpunktsystems einer Geraden mit der Curve 
zu. Die Gleichung der letzteren sei: 

/ [x^y X2, x^j = dj/^ = U. 

Ihre Schnittpunkte mit der Verbindungslinie zweier Punkte y und z 
ergeben sich, wenn wir setzen (vgl. p. 70): 

x^ = ^xVx -f- ^2^1 

(1) ^2 = ^l«/2 + »«2^2 

X^ = ^lUi -f- ^2-^3 ' 

Entwickeln wir alsdann / nach Potenzen von ^' , so kommt (vgl. das 
Entsprechende für binäre Formen auf p. 203): 

(2) = x^-ay''-\-nx,"-^x,a;'-^a.-\-'^'i-^^^.z^-~'x,'a/-^a,^^ 

Das Bildungsgesetz der Coefficienten dieser Entwicklung in nicht 
symbolischer Form ist unmittelbar durch den Taylor'schen Satz o-e- 
geben. Setzen wir 

^Y = /'(yi;y2.2/3) = V 



so haben wir die recurrireude Formel: 

Ganz in derselben Weise können wir auch umgekehrt jeden Coeffi- 
cienten in (2) aus dem nächst folgenden finden, denn es ist 



*) V<?1. das Entsprechende für Kegelschnitte auf p. 48. 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 307 

A + l A + l /.-fi / 

Die geometrische Bedeutung der Gleichungen 

Df=0, 1)^=0, . . . Z>V=0, . . . D"f = 
ist nach dem über binäre Formen Gesagten (vgl. p. 204) bekannt. 
Durch die Substitution (1) haben wir auf der Verbindungslinie von ?/ 
und z eine binäre Coordinatenbestimmung (^f,, Xj) eingeführt. Die 
den n Wurzeln von (2) entsprechenden Schnittpunkte der Geraden 
yz mit der Curve, geben die n Grundpunkte einer binären Form. Die 
Gleichungen B'^f == stellen daher auf der Linie ijz die verschiedenen 
Folarsysteme des Punktes z in Bezug auf die Grundpunkte dar. So 
ist Bf = die Bedingung dafür , dass y der ersten Polargruppe von 
z, oder z der (n — l)**"" Polargruppe von y in Bezug auf jenes 
Schnittpunktsystem angehöre. Lassen wir daher in (2) y constant 
und z variabel sein, so gibt die Gleichung 

eine Curve A-^«'" Ordnung, deren k Schnittpunkte mit einer durch y gellen- 
den Geraden das {n — A-)''' Polarsystem des Punktes y in Bezug auf die 
n Schnittpunkte der Geraden mit der Grundcurvc /=0 bilden. Die 
Curve selbst wird daher als die (n — /.)'''■ Polnrcurve oder Polare von 
y in Bezug auf die Grundcurve bezeichnet.*) Von besonderer Be- 
deutung sind jedoch die Schnittpunkte einer jeden Polaren Z>^7'==0 
mit der nächst höheren B'' + ^f = 0. Es ergibt sich dies, wenn man 
die Gleichung der Tangente eines Curvenpunktes näher betrachtet. 
Es möge nämlich der Punkt y auf der Gurve / == liegen, also 

2)0 /•= «y" = 
sein. Alsdann fällt in (2) das erste Glied fort, und es sondert sich 
ein Factor * ab: die Gleichung hat eine Wurzel -' = 0, wie es sein 
muss. Stellen wir nun die Forderung, dass ein weiterer Schnittpunkt 
der Geraden yz mit y zusammenfalle, d. h. dass sich in (2) noch ein 
Factor '*' absondere, so muss ausser B^f auch noch Bf verschwinden, 

was eine lineare Gleichung für z gibt. Eine gerade Linie, welche 
die Curve in zwei zusammenfallenden Punkten schneidet, haben wir 
aber als Tangente bezeichnet (vgl. p. 27). Es ist daher die Gleichung 
der Tangente von f=0 im Punkte y (in den Veränderlichen z"): 

Df= a,-^a. = y g^ ., + §l^z, + 1^ z,) = , 



*) Für die Entstehung und Entwicklung dieser Theorie vgl. die Anmerkung 
auf p. 2()P. und 204. 

20* 



308 Vierte Abtheilung. 

und die Coordinalen der Tangente sind: 

df 

df 
^ ■* dl/3 
Es bietet sicli uns hier die Aufgabe, mittelst dieser Gleichungen 
den Uebergang von der Gleichung der Curve in Punktcoordinaten zu 
der in Liniencoordinaten zu bewerkstelligen. Letztere Gleichung Avürde 
sich durch Elimination von q, j/j, y.,} Us ^^s den drei Gleichungen 
(5) und aus 

nf (xj , rcj, x.^ = Q (u^x^ -\- u^x.^^ + ^3^3) = ^ 
ergeben; und so sind wir in der That bei den Kegelschnitten zum 
Ziele gelangt (p. 78). Dies Eliminationsproblem ist jedoch im All- 
gemeinen ein sehr hohes, und die directe Auflösung desselben bietet 
nicht geringe Schwierigkeiten. Um so wichtiger ist es, dass wir durch 
die symbolischen Methoden der Invariantentheorie in der Lage waren, 
mittelst des Uebertragungsprincipes, die ganze Frage in das binäre Gebiet 
zu verweisen, so dass es nur nöthig ist, die Discriminantenbildung für 
eine binäre Form zu leisten (vgl. p. 279); und hierfür hat man allge- 
meine, mehr übersichtliche Methoden. Zugleich ergab dieses Ver- 
fahren für die Klasse der Curve w*^' Ordnung die Zahl n (ti — 1), 
während der Grad in den Coefficienten gleich 2 (;t — 1) gefunden 
wurde. Zu ersterem Resultate gelangt man auch durch folgende 
Ueberlegung, die uns gleichzeitig zu den Polaren zurückführt. 
Nehmen wir in der Gleichung der Tangente 

den Punkt z constant und t/ variabel, so bestimmt dieselbe zusam- 
men mit 

a," == 
auf der Grundcurve diejenigen Punkte y, deren Tangenten durch z 
gehen, d, h. die Berührungspunkte dieser Tangenten. Diese beiden 
Curven von der n*"" und (?i — 1)*«" Ordnung schneiden sich in w(n — 1) 
Punkten; ebensoviele Tangenten kann man also von z an die Curve 
legen, und somit ist die Klasse einer Curve n''''' Ordnung im Allgemeinen 
gleich n (n — 1).*) Ganz dualistisch entsprechend rauss auch die Ord- 
nung einer Curve k'^'' Klasse gleich k (k — 1) sein. Indem man so von 
der gegebenen Curve n {n — 1)'"'' Klasse dieselbe Ueberlegung rück- 
wärts anstellt, würde man zu dem Widerspruche kommen, dass die 

*) Die Bestimmung dieser Zahl gab Poncelet: Auuales de Gergonne, t. 8, 
p. 214. 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 309 

gegebene Curve w*®'' Ordnung von der Ordnung n {n — 1) (n" — n — 1) 
sei. Dieser Widerspruch löst sich jedoch bei genauerer Ueberlegung; 
denn eine Curve, welche als Punktgebilde von der allgemeinsten Art 
ist, hat, als Liniengebilde aufgefasst, immer sehr specielle Eigenschaften. 
Bei den Kegelschnitten, welche von der zweiten Ordnung und Klasse 
sind, tritt diese Eigenthümlichkeit noch nicht in der Weise hervor. 
Doch kann uns eine in ein Linienpaar ausartende Curve zweiter Ord- 
nung immerhin schon als Beispiel für solche Vorkommnisse dienen: 
es war uns nicht mehr möglich, die ganze Curve in Liniencoordinaten 
darzustellen, sondern die betreffende Gleichung ergab' nur doppelt 
zählend den Scheitel des Linienpaares; der Rückgang von dieser 
Liniencoordinatengleichung zur Punktgleichung verlor dagegen über- 
haupt jede Bedeutung. Eben deshalb kann dieses Beispiel noch 
keine Anschauung für die allgemeinen Fälle geben: Ein Linienpaar 
ist eben als Punktgebilde eine Curve zweiter Ordnung, nullter Klasse. 
Auf die Gestaltung ähnlicher Verhältnisse bei höheren Curven können 
wir erst später eingehen. 

Der hier befolgte Weg zur Bestimmung der n {n — 1) von z 
ausgehenden Tangenten gibt unmittelbar den Satz: 

Die n (n — 1) Berührungspunkte der von einem Punkte an eine 
Curve n*"^ Ordnung gelegten Tangenten bilden das vollständige Schnitt- 
punktsystem der Curve mit einer Curve (n — V)""' Ordnung , der ersten 
Polare von z. 

Für n = \ sagt dieser Satz noch nichts Besonderes aus , denn 
2 Punkte liegen immer auf einer Geraden; wohl aber für höhere 
Curven. So haben wir nach ihm bei Curven dritter Ordnung 6 Be- 
rührungspunkte, welche auf einem Kegelschnitte liegen, während 
letzterer doch schon durch 5 Punkte bestimmt ist. Ueberhaupt ist 

eine Curve (n — 1)*" Ordnung nach Obigem durch — ~ o ^ — 

Punkte bestimmt; und unser Satz sagt aus, dass von jenen n{ii — 1) 
Berührungspunkten die übrigen 

„ („ _ 1) _ (lL:rJ}iü+^ = (iL^^C^i) 

auf derselben Curve (n — 1)*«^ Ordnung liegen. 

In ähnlicher Weise sind D'^f = 0, P^f = . . . Curven der Ord- 
nungen n — 2, n — 3 . . ., welche in ganz bestimmter Weise zu 
einem Punkte z gehören. Nach dem für dieselben angegebenen Bil- 
dungsgesetze lässt sigji der geometrische Zusammenhang derselben 
dahin aussprechen, dass wie Df=0 die erste Polare von z in Bezug 
auf /"= 0, so D''-f^ die erste Polare von z in Bezug auf Pf= 0, 
])^f = die in Bezug auf D'^f = u. s. w. Man kann demnach 
überhaupt allgemein den folgenden Satz aussprechen: 



310 Vierte Abtheilung. 

Die k" Polare von z in Bezug auf die i" Polare von z nach f = 
ist die (i -j- ky^^ Polare von z nach / = 0- 

Betrachtet man gleichzeitig mehrere Tunkte und bildet immer die 
/v-t« Polare des einen in Bezug auf die /*« des andern, so kann man 
eine Reihe ähnlicher Sätze aussprechen, wie wir dieselben bei den 
Punktsystemen auf einer Geraden erhalten haben (vgl. p. 204). Es 
ist daher unnöthig auf dieselben noch näher wieder einzugehen; man 
kann sie vielmehr von den dort gegebenen unmittelbar ablesen. Wir 
erwähnen als Beispiel nur einen Satz, welcher als Verallgemeinerung 
der bei den ' Kegelschnitten auftretenden Polarenbeziehung erscheint! 
Aus der Gleichung 

ay"~''aJ = 

folgt nämlich: Liei/( y auf der /.'"' Polare von z, so Uerjt z auf der 
(n — A-y'^" Polare von y. 

Die (n — 1)'« Polare eines Punktes y endlich ist stets eine gerade 
Linie. Liegt der Punkt insbesondere auf der Grundcurve, so wird die- 
selbe nach (5) zur Tangente. Diese Gerade ist aber immer gleichzeitig 
lineare Polare von y in Bezug auf alle höheren Polarcurven, also 
etwa die {ii — i - l)tc Pokre in Bezug auf die i'^ Polare von //. 
Liegl also der Pol auf der Grundcurve, so gehen alle seine Polaren 
durch ihn hi?idurch utid berühren in ihm die Ginmdcurve. 

Da hiernach die erste Polare eines Punktes der Curve in diesem 
berührt, so fallen von den n {n ^ \) Tangenten, die man von ihm an 
die Curve ziehen kann, zwei in seine eigene Tangente zusammen 
Fon einem Punkte der Curve kann man also nur noch n {n - 1) — 2 
Tangen len an dieselbe legen. 

Die Tangenten hatten wir dadurch bestimmt, dass wir eine Gerade 
die Curve in zwei zusammenfallenden Punkten schneiden liessen. Wir 
i-ig. 35. ^^önnen nun weiter nach solchen Geraden fragen, welche die 
^^ Curve in drei consecutiven Punkten treffen. Diese Tangenten 
werden Wende- (oder Inflexions-) Tangenten genannt; ihre Be- 
rührungspunkte Wende- oder Tnflexions- Punkte. Die Bezeich- 
nung rührt daher, dass in einem solchen Punkte die Curve 
ihre Krümmung ändert, wie in den Anwendungen der Differential- 
rechnung auf Geometrie in der Regel gezeigt wird (vgl. Fig. 35). 
Wir können uns von der Gestalt der Curve in der Nähe 
eines Wendepunktes auch durch folgende Ueberlegung ein Bild 
machen.*) Im Allgemeinen wird sich die Tangeute continuir- 
lich um die Curve drehen, während ihr Berührungspunkt in gleichem 
Sinne fortschreitet. In einem Wendepunkte fallen nun zwei successive 

*) Vgl. Plücker: Theorie der algebraischen Curven, Bonn 1839 2 Ab- 
schnitt, §. 3. ' 



/ 



I 



All^^emeine Theorie der algebraischen Curven. 



311 



Fig. 36. 




Tangenten zusammen: während also der Punkt gleichmässig fort- 
schreitet, wird die Drehung seiner Tangente im Wendepunkte gleich 
Null; letztere steht einen Augenblick 
still, um sodann ihre Drehung gemäss 
den Gesetzen der Continuität in entgegen- 
gesetztem Sinne fortzusetzen. Es wird 
dies recht deutlich, wenn wir uns die 
Curve für den Augenblick, Avie in Fig. 36 
durch ein Polygon ersetzt denken. Der 
beschreibende Punkt {x) rückt auf der 
umhüllenden Geraden (m) immer nach 
derselben Richtung fort; diese Linie aber 
hat sich von der Lage u bis zur Lage ii 
in demselben Sinne, dann aber von u bis 
u" in entgegengesetztem Sinne gedreht. ^ 
Wird die Bewegung nun continuirlich, 

lassen wir also das Polygon in eine Curve übergehen, so ist die 
Grösse der Tangentendrehung bei der Lage u Null. Während also die 
Elementarseiten der Curve mit den früheren und späteren vergleichbar 
bleiben, werden an u' die Contingenzwinkel a gegen die früheren und 
späteren unendlich klein; und so ffeht in der Thai Fig. 36 in Fig. 35 über. 
Die analytische Bedingung für einen Wendepunkt erhalten wir 
durch die Forderung, dass von den Schnittpunkten der Geraden yz 
mit der Curve drei Punkte in y zusammenfallen. Es muss sich dann 
in der Gleichung (2) ein Factor (0' absondern, d. h. es müssen 

gleichzeitig die drei Bedingungen bestehen: 

D^f=a,/ =0 

D /■= «/-!«, =0 

Ist y ein Wendepunkt, so müssen dieser Ableitung zufolge die letzten 
beiden Gleichungen zusammen bestehen, sobald z auf der Tangente 
von y liegt. Die Gleichung DV=0 kann aber nur für jeden Punkt 
dieser Tangente erfüllt sein, wenn />Y den Ausdruck Df als Factor 
enthält. Der Kegelschnitt 

I)'if=:EfiuZiZk=^0, 

^.^ f, für 1_ ^l- gesetzt ist, muss daher in ein Linienpaar 

zerfallen. Die Bedingung dafür wird durch das Verschwinden seiner 
Determinante, d. h. der aus den zweiten Differentialquotien von f 
gebildeten, gegeben, nämlich*): 

^T^^TTahlenfactor \ ist hinzugefügt, damit A in der symbolischen Form 
ohne einen solchen definirt ist. 



312 Vierte Abtheiluriff. 



iA = 



= 0. 



Ml f\i fn 

'n f'vi fiz 

/ 31 /32 /as 

In der symbolischen Form wird diese, analog wie bei den binären 
Formen, als Hesse'scÄe Determinante bezeichnete Form wegen 



gegeben durch: 



«1^ «,</., a.a. 



■iy"~'b/-^^c,/-^\b,b, V hb,\ = a,b,c, (abc-) a/~H,"~^Cy 



» ~2 



!^3^1 C.^C^ <^3^ 



oder, wenn wir a, b, c in jeder Weise vertauschen und die Summe 
aller so entstehenden Ausdrücke nehmen (vgl. p. 268): 

iß) A = {abcy ay"-^by''-^Cy"-^. ' 

Die Wendepunkte werden also auf der Grundcurve durch eine 
Curve 3(w-2)t- Ordnung, A = 0, ausgeschnitten. Es ist nämlich 
auch leicht zu zeigen, dass jeder dieser Schnittpunkte einen Wende- 
punkt von f=0 liefert. Setzt man, entsprechend der Bedingung- 
A = 0: ^ ° 

fik = UiVk + ViUi, , 

so wird 

DH=2u,v,, Bf=uyv,^vyu,, i)^r=2uyVy. 
Ist nun D^'f^Q, so muss Uy oder Vy verschwinden. Sei «^=0; 
dann ist Df=u,Vy, also von 11, nur um eine Constante verschieden 
und mithin ein Factor von Z^Y, w. z. b. w. Wir haben also den Satz: 

Die Wendepunkte sind die Schnittpunkte der Grundcurve /•= mit 
der Hesse'^cÄen Curve A = 0; ihre Anzahl ist daher gleich 3n(n— 2).*) 

Es ist jedoch keineswegs umgekehrt die Curve A = durch die 
Wendepunkte allein bestimmt; sondern man kann dieselbe durch iro-end 
eine Curve des Systems ° 

A + ^/c^O 
ersetzen, wo M ein beliebiger Ausdruck von der Ordnung 3 {n ~ 2) 
_ n = 2 n — 6 ist. Diese Bemerkung ist für Curven dritter Ordnuno- 
besonders wichtig; denn durch passende Bestimmung des Factors M 
gelingt es bei diesen die Coordinaten der Wendepunkte durch blosses 
Wurzelziehen wirklich anzugeben. — 
^^^Tehr^s drei Schnittpunkte der Tangente mit der Curve können 

*) Vgl. Hesse: Ueber die Wendepunkte der Curven dritter Ordnun^r- Cr eile 's 
Journal, Bd. 28. Die Zahl der Wendepunkte wurde von Plücker' gegeben: 
ib, Bd. 12. ° 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curveu. 313 

niemals in den Berührungspunkt zusammenfallen, es sei denn, dass die 
Coeffieienten von f besonderen Bedingungen genügen. *) Wir haben 
nämlich an /" = einfach unendlich viele Tangenten und können 
denselben also nur eine Bedingung auferlegen, um eine bestimmte 
Zahl zu erhalten. 

Die obige Bestimmungsweise der Wendepunkte wird jedoch illu- 
sorisch, wenn es Punkte auf der Curve gibt, deren Tangente über- 
haupt unbestimmt ist, was dann ebenfalls nach sich zieht, j,;^ ^^ 
dass die {n. — 2)*^ Polare in ein Linienpaar zerfällt. Es wird 
dies immer eintreten, wenn die Curve sich in einem Punkte 
selbst durchsetzt (vgl. Fig. 37), wo dann in der That zwei 
verschiedene Tangenten möglich sind. In einem solchen 
^^Doppelpunkte der Curve^^ kann daher die Gleichung der 
Tangente nichts mehr aussagen, ihre Coordinaten (5) müssen 
sämmtlich verschwinden. Wii^ haben somit für einen DoppclpunlA y die 




Gleichungen ifi==- ^\ 



(7) /i = rt/^-i«, = 0, f^ = a,/-^a^ = Q, f^=. a,/-^a., = 0. 

t)amit dieselben erfüllt sind, muss nicht nur y eine besondere Lage 
haben , sondern es muss eine Relation zwischen den Coeffieienten der 
Curve bestehen; denn wir können die y aus den drei Gleichungen (7) 
eliminiren. Die Curvengleichung f = braucht dabei nicht berück- 
sichtigt zu werden, da sie wegen 

von selbst erfüllt ist. Die Ausführung dieser Elimination wird zu 
einer Gleichung 

72 = 

führen, deren Bildungsgesetz in übersichtlicher Weise anzugeben-;^ 
jedoch bisher nicht möglich ist.**) Den Ausdruck R nennt man als- 
dann die üiscriminante der Curve; sie ist natürlich eine Invariante der 
Form /; für Kegelschnitte ist sie z. B. mit der Determinante A = {abcY 
identisch. Wir können auch leicht den Grad der Discriminante in 
den Coeffieienten von f angeben. Es gilt nämlich überhaupt der Satz: 
Die Resultante dreier Gleichungen , hez. von der m^^", n"^" und p*"^ 
Ordnung in drei homogenen Veränderlichen^ ist vom Grade np in den 



*) Vgl. über solche höhere Ausnahmspunkte: Gramer: Introduction ä l'ana- 
lyse des lignes courbes, Geneve 1750, p. 403, und Caj'ley: Crelle's Journal, Bd. 34. 

**) Allerdings hat Sylvester ein Verfahren angegeben, welches die Resul- 
tante aus drei Gleichungen von gleicher Ordnung in Determinantenform gibt. 
Es tritt dabei jedoch der Invariantencharakter der Resultante nicht deutlich hervor. 
Vgl. Salmon: Lessons introductory etc. (p. 82 in Fiedler's Uebersetzung). 



314 Vierte Abtlieilung. 

Coefficienten der ersten, vom Grade mp in denen der ziveiten, vom Grade 
mn in denen der dritten Gleichung. Zum Beweise dieses Satzes denke 
man sich etwa die Coordinaten der np gemeinsamen Punkte der beiden 
letzten Curven berechnet. Sollen dann alle drei Curven einen ge- 
meinsamen Punkt haben, so müssen die Coordinaten eines dieser np 
Punkte die erste Gleichung identisch befriedigen. Man wird daher 
die Resultante erhalten, wenn man das Product der np Ausdrücke 
bildet, weiche aus der ersten Gleichung entstehen, wenn man darin 
bez. die Coordinaten der erwähnten np Punkte einsetzt. Die letzteren 
hängen nur von den Coefficienten der zweiten und dritten Gleichung 
ab; das Product ist daher vom Grade np in den Coefficienten der 
ersten Gleichung; und also, weil bei der Resultantenbildung alle drei 
Gleichungen symmetrisch benutzt werden müssen, vom Grade mp in 
denen der zweiten, vom Grade mn in denen der dritten Gleichung. 

Die Anwendung dieses Satzes auf die Gleichungen (7) ergibt nun 
unmittelbar: 

Die Discriminante einer terndren Form n""' Ordnung, d. h. die In- 
variante, deren Verschwinden die Bedingung für die Existenz eines 
Doppelpunktes der entsprechendeil Cvrve n^'''' Ordnung gibt, ist vom Grade 
3 {n — 1)2. 

Eine jede durch einen Doppelpunkt y gehende Gerade hat in dem- 
selben zwei zusammenfallende Schnittpunkte mit der Curve; in der 

That gibt die Gleichung (2) dann immer zwei Wurzeln - = 0. Wir 

können nun, wie bei einem beliebigen Punkte der Curve nach seiner 
Tangente, so hier nach solchen Strahlen fragen, ivelche in y die Curve 
dreimal schneiden. Alsdann muss z so liegen, dass auch 

D'^f= a,/-'^a.} = EUziZk = 0. 

Da aber y ein Doppelpunkt ist, so haben wir nach (7) 

= /;• = /'iiyi -}- /;-2y2 + fi-si/a, (i== 1,2,3), 

also die Determinante der /■//, gleich Null. Da/ier gibt die (ji — 2)" 
Polare des Doppelpunktes 

Dif=ay"-'^a:' = () 

ein Linienpaar: das Product seiner beiden Tangenten; wo das Wort 
Tangente insofern berechtigt ist, als von den drei in y zusammen- 
fallenden Schnittpunkten einer solchen Geraden, zwei einander conse- 
cutiv auf dem einen durch y gehenden Curvenzweige liegen, während 
der dritte als einfacher Schnittpunkt mit dem andern Zweige anzusehen 
ist (vgl, Fig. 37). Durch dat^, Verschwinden der Determinante A ist 
gleichzeitig angezeigt, dass das Vorkommen von Doppelpunkten bei 
einer Curve auf die Anzahl der Wendepunkte von Einfluss ist, indem 



Allgemeine Theorie der algebraiischeu Curveii. 315 

durch den Doppelpunkt eine gewisse Zahl von Schnittj)unkten beider 
Curven absorbirt wird; die genaue Bestimmung dieses Einflusses werden 
wir später geben. 

Um die Coordinaten ?/,, vt der Tangenten im Doppelpunkte zu 
finden, haben wir also zu setzen: 

/■, , = ?<, Vy 2 fy, = U^ V., -f l\ IL, 

/:,, = ti.,v^ 2/23 = ^^,r.J + iK^7i.^ 

fs2 = "3 ^3 2 /-.ji = ?/3 Vi + v.^ ?/, , 

und für die Auflösung dieser Gleichungen sind in der Kegelschnitt- 
theorie allgemeine Methoden gegeben (vgl. p. 103). Insbesondere kann 
es jedoch eintreten, dass die beiden Linien u, v in eine ^. gg 
einzige zusammenfallen (vgl. Fig. 38); alsdann wird: 



/n=V 


/'l2 = "l^2 


/22 =- «^' 


/23 = «2^3 


/ 33 ^"^ ^'3 


/'31 = W3^1 




Ein solcher Punkt der Curve ivird als Rück ke hrpunkt be- 
zeichnet; er ist also dadurch charakterisirt, dass für ihn die zweiten 
Difi^erentialquotienten von f gleich den Quadraten und Producten dreier 
Grössen werden. 

In derselben Weise, wie wir das identische Verschwinden von Df 
als Kennzeichen eines Doppelpunktes benutzten, kann man nun weiter 
gehen: Ist D'^f = 0, so entsteht zunächst ein dreifacher Punkt, u. s. f.; 
ist für einen Punkt D''~^f identisch Null, so hat die Curve in ihm einen 
k- fachen Punkt. Es ist dabei unter einem r- fachen Punkte ein selcher 
verstanden, durch den r verschiedene Zweige der Curve hindurch- 
gehen, d. h. in welchem eine jede durch ihn gehende Gerade r vereinigt 
gelegene Punkte mit der Curve gemein hat. Es verschwinden alsdann 
nach dem in Gleichung (4) ausgesprochenen Bilduhgsgesetze auch alle 
anderen Polaren Df^ D'^f . . . D'' — -f identisch; und die Gleichung 

gibt dann das Product der k verschiedenen Tangenten des Piuikles. 
Zunächst nämlich hat diese Curve in y ebenfalls einen it -fachen Punkt, 
denn die {k — 1 )*« Polare von ]) in Bezug auf sie ist mit />''' ~ Y iden- 
tisch, und verschwindet also ebenfalls unabhängig von z. Eine Curve 
/^tei- Ordnung mit A-fachem Punkte muss aber immer in k gerade 
Linien zerfallen; denn sonst würde eine durch den Ä-- fachen Punkt 
gehende Gerade noch in einem oder mehreren Punkten schneiden 
können, und somit mehr als k Punkte mit der Curve gemein haben, 
was nicht möglich ist. Diese Linien müssen die verschiedenen Zweige 
der Grundcurve in y berühren: denn betrachten wir einen zu y be- 



316 Vierte Abtheilung. 

iiachbarten Punkt von ü'' f, setzen also z,; = y, -f- dy;, so haben wir 
zur Bestimmung der k Fortschreitungsrichtungen auf der Curve D''f= 
dieselbe Gleichung: 

ay"-''aa,/ = 0, 

wie zur Bestimmung der Fortschreitungsrichtungen auf der Grundcurve; 
womit obige Behauptung bewiesen ist. Näher werden wir weiterhin noch 
auf die Natur der vielfachen Punkte eingehen; wir werden dabei in 
erhöhtem Maasse die Bedeutung der Polarentheorie für die Unter- 
suchung solcher Punkte und für die Bestimmung ihres Einflusses auf 
die Zahl der Wendepunkte, die Klasse der Curve etc. erkennen. 

Von nicht geringerer Wichtigkeit wird jedoch die Polarentheorie, 
wenn man sich die Aufgabe stellt, symbolische Bildungen geometrisch 
zu deuten. Das Uebertragungsprincip gab uns ein Mittel, dies für die 
zugehörigen Formen zu leisten, vorausgesetzt, dass dieselben keine 
Factoren vom Typus {ahc) enthalten*); der Begriff der Polarenbildung 
erlaubt nun dasselbe für alle Zwischenformen, welche nur aus sym- 
bolischen Factoren vom Typus {abu) und «^ zusammengesetzt sind. 
Lassen wir nämlich zunächst alle in einer solchen Form vorkommenden 
Factoren «^«, hj . . . fort, so können wir die Symbole a, b . . . in 
dem übrig bleibenden Ausdrucke bez. als Symbole für die «*% /3'° . . . 
Polare des Punktes x ansehen, wie sogleich an einem Beispiele näher 
erläutert werden soll. Der geometrische Satz, welcher durch Null- 
setzen des so umgeformten Ausdrucks dargestellt wird, ist dann aber 
nach dem Uebertragungsprincipe gegeben. Auf Zwischenformen der 
hier gemeinten Art kommt man z. B. , wenn man nicht das Product 
der n (n — 1) von einem Punkte x an eine Curve gehenden Tangenten 
aufstellt, sondern das Product der Gleichungen ihrer Berührungspunkte 
in Liniencoordinaten. Dieselben sind als Schnittpunkte der Grund- 
curve rtj" == und der ersten Polare von x a^" - ^ ^^ = gegeben. 
Man hat also nur die Resultante zweier binären Formen aJ", or/'-^ 
von der n*«"^ und (« — 1)*«" Ordnung zu bilden, auf dieselbe das Ueber- 
tragungsprincip anzuwenden, alle n Symbole von «/' — ^, welche in 
der Resultante vorkommen, durch solche von a," zu ersetzen und n 
Factoren b,^, c^ . . . hinzuzufügen. So ist z, B. das Product der Be- 
rührungspunkte der Tangenten von einem Punkte x an einen Kegel- 
schnitt ttz^ = gegeben durch (vgl. p. 285) 

(abu) {acu) b^rCx = 0. 
Wir haben hier eine quadratische Form a^ und eine lineare Form 
«j = /3z = «o: «2 ; deren Resultante gleich (aa) (aß) ist. Ergänzt 
man in ihr die Determinanten durch Hinzufügen von u zu dreiglie- 

*) Vgl. jedoch eine Anmerkung zu der letzten Abtheilung dieses Bandes bei 
Gelegenheit der Theorie der lineo- linearen Zwischenformen (Connexe). 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 317 

drigen, ersetzt a, ß bez. durch b, c und fügt die Factoren b-,, c^: hinzu, 
so entsteht die genannte Bildung. Ein anderes Beispiel gibt die 
Gleichung : 
(8) {abuya^"-H^"-^ = 0. 

Nehmen wir x constant, so stellt dieselbe die (n — 2)*«' Polare von x 
in Liniencoordinaten dar. Nehmen wir u constant, so gibt sie also 
eine Curve der Ordnung 2 (w — 2) als Ort der Punkte, deren {n — 2)*« 
Polaren die gegebene Gerade u berühren. Auf jeder Geraden gibt es 
daher 2 (n — 2) Punkte, deren (n — 2y' Polaren von derselben Geraden 
berührt werden. 

Auf dieselbe Gleichung (8) 'werden wir auch durch die folgende 
Ueberlegung geführt. Wir fragen nach solchen Punkten tj auf einer 
Geraden u, deren erste Polare von eben dieser Geraden in einem 
Punkte X berührt wird. Die Coordinaten der Tangente dieser Polare 
im Punkte x sind nun: 

= aj^-^aytti = fnyi -f fi2i/2 + fisys- 

Diese müssen mit den Coordinaten der gegebenen Geraden propor- 
tional werden; also haben wir die Gleichungen: 

Ai Ui + fn Vi + /"i3 «/3 = C«i 
Ai 2/i + f-ii y-i + fn Vi = Q^h 

/":!! 2/l + /32 2/2 + As y-A = 9«3 
?/, (Ji + U., IJ., + U.^ 1/3 = 0. 

Die Elimination von q und ?/j, y.,, y-^ ergibt dann neben u-c = wie- 
der die Bedingung: 

/ii fn f\i ^1 



Al /22 /23 ^2 

/•il /32 A3 W3 

u. «., Wq 



\{abufaj^-''b. 



Aus diesen Beziehungen folgern wir die Sätze: 

Auf jeder Geraden gibt es 2 (n — 2) solcher Punkte, deren erste 
Polare von eben dieser Geraden berührt wird. Die {11 — 2)''" Polaren 
der 2 (n — 2) Berührungspunkte werden dann von derselben Geraden 
berührt. 

Durch jeden Punkt lassen sich zwei solche Gerade ziehen , in deren 
jeder ein Punkt die Gerade selbst der Art zur Tangente seiner ersten 
Polare hat, dass der Berührungspunkt in dem gegebenen Punkte liegt. Es 
sind dies die beiden von dem Punkte an seine (n — 2)'" Polare zu legen- 
den Tangenten. 

Die llea^e'sche Curve ist der Ort der lenkte, für welche diese 



318 Vierte Abtheilung. 

beiden Linien zusammenfallend) Soll nämlich letzteres eintreten, so 
muss entweder der Pol auf seiner eonischen (d. i. [n — 2)*«°) Polare 
liegen, was nur für die Punkte der Grundcurve eintritt, oder die 
conische Polare muss zerfallen, wo dann die beiden Tangenten in die" 
Verbindungslinie des Poles mit dem Scheitel des Linienpaares zu- 
sammenfallen. 

Durch eine ähnliche Reciprocität zwischen der (n — 2)*«" und P«» 
Polare eines Punktes, wie sie uns in diesen Sätzen entgegentritt, 
können wir auch die Bedeutung der Hesse 'sehen Curve in anderer 
Form als bisher aussprechen. Stellen wir nämlich die Forderung, 
dass die erste Polare einen Doppelpunkt x habe, so müssen für den- 
selben nach (7) die drei Gleichungen bestehen: 

n— 1 dxi ~ ^-^^ ^^y^' "" ^ • 

Eliminiren wir aus diesen die y, so kommen wir wieder auf die Be- 
dingung: 

^i^2<^3 (ß^c) a^h.^c,-^ = 0, 
Avo der links stehende Ausdruck sich wegen der Vertauschbarkeit von 
«, h, c nur um einen Zahlenfactor von A unterscheidet. 

Die Hesse'scÄe Curve ist daher gleichzeitig der Ort der Punkte, 
deren (w — 2)'' Polare einen Doppelpunkt hat, und der Ort der Doppel- 
punkte der ersten Polaren. 

Als Beispiel für die Fälle der aus der Polarentheorie fliessenden 
geometrischen Sätze sei endlich noch das Folgende erwähnt. Es ist 
die Gleichung der zur ersten Polare von y. 

Df=a^^~^a,j = {) 

als Grundcurve gehörigen Hesse'schen Curve, welche auf jener die 
Wendepunkte ausschneidet, gegeben durch: 

(9) ^Df == {a b cf a,r" -H^^- ^ c.^ - ^ a, b,, c, = 0. 

Nehmen wir hierin die x als gegeben an, so ergibt sich in Verbindung 
mit Df = der Satz : 

Es gibt auf der {n — 1)'^'' Polare eines Punktes x iinmer drei 
verschiedene Pole, deren erste Polaren in dem Punkte x einen Wende- 
punkt haben. 



*) Vgl. Clebsch: Ueber eine Klasse von Eliminationsproblemen und über 
einige Sätze aus der Theorie der Polaren; Borchardt's Journal, Bd. 58. Die 
zahlreichen Sätze, welche hier über Polaren aufgestellt werden, gründen sich 
auf eine allgemeine Methode, aus m Gleichungen mit m homogen vorkommenden 
Veränderlichen, von denen eine von beliebiger Ordnung, eine quadratisch ist, und 
?» — 2 linear sind, die Veränderlichen zu eliminiren. Mittelst dieser Methode 
wird z. B. die Curve untersucht, welche die Berührungspunkte x durchlaufen, 
wenn die Linie u eine gegebene Curve umliüllt. 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curveii. 319 

Rückt nun der Pol y auf einer Curve 9 (y) == fort, so beschrei- 
ben die Wendepunkte seiner ersten Polare eine Curve, welche aus 
Df = 0, hi>f=0, cp = durch Elimination der i/ erhalten wird. Ist 
die Curve q) insbesondere eine Gerade 

Uy = 0, 

SO kann man wegen Df = aj'—^üy = in Apf setzen: 
^2 = «sA — ^1/3 = («3^1 — ^1^3) «^"~^ 

1/3 = ^1/2 *^2A = ("l'^2 ~~ ^2^^l) ^.r""^' 

Dadurch erhält man als Gleichung der gesuchten Curve, wenn man 
in diesen drei Gleichungen die Symbole a bez. durch d^ e, f er- 
setzt denkt: 

(10) {a b cf {a du){be 11) {cfu) aj' - ^ bj' - ^ cj' - ^ dj' - ^ ej' - 1/;,.« - 1 = . 

Wenn also der Pol eine Gerade beschreibt, so durchlaufen die 
Wendepunkte der ersten Polare eine Curve von der Ordnung 6 (n — 2). 
Sämmtliche Polaren, deren Pole auf der Geraden liegen, schneiden sich 
in (n — 1)^ Punkten, den Lösungen der Gleichungen: 

(11) QUi=fi, QU.^=f^, QU^=f^, 

Biese (w — 1)- Punkte sind dreifache Punkte der Curve (10). Letzteres 
folgt daraus, dass für QUi = fi = d,r" ^'^di=- . . . jeder der drei Factoren 
{adu) dj'-^ , (beu) ej'-^, (cfu)fr"~^ identisch verschwindet, und 
somit auch jeder zweite Differentialquotient des Ausdrucks (10) nach 
den Xi. 

Betrachtet man dagegen in der Gleichung (10) die x als constant, 
die u als veränderlich, so gibt dieselbe das Product dreier linearer Fac- 
toren; es sind dies die Gleichungen der vorhin erwähnten drei Pole, 
deren erste Polaren in x einen Wendepunkt haben.'*^ 

Aus (11) folgt weiter: 

Wenn die Gerade u eine Curve cp (wj , Wj , Wg) = von der m^'" 
Klasse umhüllt, so beschreiben die (n — 1) Schnittpunkte der ersten Polaren 
die Curve m {n — 1)'"' Ordnung fp {fx-, f^, f:^ ==^- Breht sich ins- 
besondere die Gerade um einen Punkt |, so ist die beschriebene Curve die 
erste Polare von §. 

II. Die singulare!! Punkte. 

Wir kehren zum Studium der vielfachen Punkte zurück; wir be- 
ginnen mit dem Doppelpunkte. Die Natur eines solchen hängt davon 



*) Vgl. Clebsch: Ueber Curven vierter Onliiung; IBorchariU's Journal, 
Bd. m. 



^120 Vierte Abtheilung. 

ab, ob die linearen Factoren von D'^f reell (eigentlicher Doppelpunkt), 
imaginär (isolirter Punkt) oder zusammenfallend (Rückkehrpunkt) sind. 
Wir wollen nun das Verhalten der Curve in der Nähe des betreffenden 
Punktes eingehend untersuchen. Zu dem Zwecke verlegen wir den 
Anfangspunkt der Coordinaten in den Doppelpunkt, so dass die Coor- 
dinaten des letzteren werden: 

3/j U , X^ ^^^^= 'J y Xo = 1 . 

Ziehen wir dann durch ihn eine beliebige Gerade, so können wir die 
Coordinaten x^, x^ eines Punktes der Geraden auffassen als Coordi- 
naten ihres Schnittpunktes mit der dritten Seite X3 = 0, die dritte 
Coordinate eines solchen Punktes dagegen als einen für die einzelnen 
Punkte der gezogenen Geraden variirenden Parameter. Wir fragen 
nach den Schnittpunkten einer solchen Linie mit der Curve und 
müssen die Gleichung derselben daher nach Potenzen des Parameters x.^ 
entwickeln. Setzen wir also 

X^ X y X2 ^= 1/ j X; = Z , 

so wird 

(1) rix^, X^, X.,) = /-Wz« +/Wz"-1 +/(2)z--2 _|_ . . .+/("), 

wo die Functionen /(') homogen in x, y und von so hoher Ordnung 
sind, als ihr oberer Index angibt. Soll der Punkt x = 0, ?/ = auf 
der Curve liegen, wie wir es annehmen, so muss der von x, y unab- 
hängige Factor /(«) verschwinden. Für einen Doppelpunkt muss aber 
auch der zweite Term identisch Null sein, damit ein Factor z- vortritt, 
d. h. zwei Schnittpunkte der betrachteten Linie in den Anfangspunkt 
zusammenfallen. Im Allgemeinen dagegen gibt die Gleichung 

(2) /•(!) =ax-\-by = 

die Tangente im Anfangspunkte; denn für einen Punkt in unmittelbarer 
Nähe des Anfangspunktes werden x, y unendlich klein, und die 
Coefficienten der niederem Potenzen von z verschwinden im Vergleiche 
zu dem Coefficienten /'(^J von z"-^. Die Gleichung (1) reducirt sich 
also auf das erste Glied, d. h. die Curve /' = kann in der Nähe des 
Anfangspunktes durch die gerade Linie /(i) == ersetzt werden , oder 
mit andern Worten: Diese Gerade ist Tangente der Curve /"= im 
Punkte x = 0, ?/ = 0, q. e. d. 

Bei einem Doppelpunkte verschwindet also /f^' identisch. Der 
Verlauf der Curve in der Nähe des Doppelpunktes ist daher bei Ver- 
nachlässigung höherer Potenzen von x, y dargestellt durch 

oder mit anderen Worten: Es ist dies die Gleichung des Productes der 




Allgemeine Theorie der algebraischen Cnrven. 321 

beiden Tangenten im Doppelpunkte. Wir haben hier, wenn die Coeffi- 
cienten a, ß, y als reell vorausgesetzt werden, die folgenden Fälle zu 
unterscheiden : 

ß'^ > ay, eigentlicher Doppelpunkt , zwei reelle rig. 39. 

Tangenten (vgl. Fig. 37). 
^2 -3, fj^y^ Rückkehrpimkl , eine doppelt zählende x o 

Tangente (vgl. Fig. 38). yto "Y 

ß"^ < ay , isolirter Doppelpunkt , zwei imaginäre 
Tangenten (vgl. Fig. 39). 
Im letzteren Falle ist der Schnittpunkt beider Tangenten reell: 
die Curve hat einen reellen Punkt, durch den kein reeller Zweig hin- 
durchgeht. 

Führen wir die beiden Tangenten des Doppelpunktes als Coordi- 
natenaxen x = 0, y = ein, so können wir also die Curvengleichung 
auf die Form bringen: 

(4) / {x, , o:, , X,) = xy . z" - •' + /<3)z" - 3 + . . . = 0. 

Für einen Rückkehrpunkt dagegen wird die Gleichung, indem beide 
Tangenten (etwa in die Axe x = 0) zusammenfallen : 

f (x^ , X,, x,) = a;- . 2" - 2 + f^z" - 3 -I- . . . = . 

Die Form der letztern Gleichung können wir noch weiter verein- 
fachen. Es sei die Function /(^^ gegeben durch 

/■(3) = ax^ -j_ 3 &a;2?/ + 3 cxi/ + di/. 

Die Linie y = ist zunächst nur insoweit bestimmt, als sie durch den 
Rückkehrpunkt gehen soll; wir können daher, während x fest bleibt, 
über y und z noch derartig verfügen, dass die Terme dritter Dimension 
in einen vollständigen Cubus übergehen. Setzen wir nämlich: 

y = y' -^ Ix 
z = z -\- iiy' -\- vx, 
so möge f übergehen in: 

/■ = x'^Z" - 2 + (p(^) z'" - 3 -f 9 W.Z'« -4 + . . . , 

WO die cp Functionen von der Ordnung ihres oberen Index in x, y 
sind. Wir können nun A, jt, v so wählen, dass der Coefficient 

9)(3) = (n — 2) x'^ {jjLxj + vx) -f ax"^ -f 3 hx^ {y + kx) 
-f 3cx {y -\- Xxf -f d{y^-\- Kxf 

sich auf den einen nur y'^ enthaltenden Term reducirt; es ist dabei 
natürlich vorausgesetzt, dass d nicht verschwindet, was eine höhere 
Singularität bedingen würde. Wir haben dann zur Bestimmung von 
A, n, V die folgenden Gleichungen: 

C leb seh, Vorlesungen. 21 



322 Vierte Abtheilung. 

(w — 2)ft + 3& + GcA + 3fU2 =0 

c-}-dX = 0. 

Schreiben wir nun wieder y, z statt ij, z und /('' für qp^'', so kann 
also für einen Rückkelirpwikt die Curvengleichvng immer in die Form 
gebracht werden: 

(5) f=x'^Z»-^-\- ö??/3^"~3_|_^(4)2«-4_|_ ... =0. 

Wir knüpfen an die Gleichungen (4) und (5) sogleich einige Be- 
merkungen über das Verhalten der Polaren und der Hesse 'sehen Curve 
in den Doppel- und Rückkehrpunkteu der Grundcurve *) , welche in 
der Folge für uns von grosser Wichtigkeit sein werden. Wir wissen 
bereits (vgl. p. 313), dass alle ersten Polarcurven durch den Doppel- 
punkt gehen. Bilden wir nun die Gleichung der Polare qp = des 
Punktes ^, ri, t, unter Zugrundelegung von (4), so wird 

cp = {i,y + TJX) z"-^ + {{n - 2) xy^ + ^^ ^ + ^\) .«-3 + . . 

Die Tangente derselben im Anfangspunkt ist durch den Term niedrig- 
ster Ordnung, d. h. durch 

ly -{- rix = 

gegeben. Dagegen ist die Gleichung der Verbindungslinie des Poles 
I, VI, t, mit dem Anfangspunkte 

ly — iqx = 0. 

Aus der Form dieser Gleichungen folgt, weil x = 0, ?/ = die Tan- 
genten des Doppelpunktes sind, unmittelbar der Satz: 

Die erste Polare eines beliebigen Punktes geht durch den Doppelpunkt; 
und ihre Tangente in demselben ist harmonisch zu den Tangenten der 
Grundcurve im Doppelpunkte und der Verbindungslinie desselben mit 
dem Pole. 

Bilden wir ebenso, ausgehend von der Gleichung (5), die Polare 
des Punktes %, "yi, t, für eine Curve mit Rückkehrpunkt, so kommt, 
wenn wir nach z ordnen : 
9) = 2a;|z«-2 -f (3</7^y2_j_ (n _ 2) ga;^) 2r"-3 + (^'(4) j'' -4_{- . . . = Q. 

Die Linie a- = ist also auch Tangente einer jeden ersten Polare: 
hn Rückkehrpunkte berührt die erste Polare eines jeden Punktes die 
Rückkehrtangente. Es ist von Wichtigkeit ein Urtheil über die Zahl 
der Schnittpunkte beider Curven zu gewinnen, welche man sich im 
Rückkehrpunkte vereinigt gelegen denken muss. Man gelangt dazu, 

*) Dieselben Sätze werden im folgenden Abschnitte (über die Plücker'schen 
Formeln) ohne Benutzung eines speciellen Coordinateusystems bewiesen werden. 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 323 

soweit es sich um reelle Punkte handelt, etwa durch folgende Ueber- 
legung. Ein eigentlicher Doppelpunkt tj einer Curve kann insbeson- 
dere dadurch entstehen, dass die Curve eine Schleife besitzt, wie es in 
Fig. 40 veranschaulicht ist; und von einem derartigen Doppelpunkte 
müssen wir ausgehen, wenn aus ihm durch Grenzübergang ein Rück- 
kehrpunkt entstehen soll. Alsdann muss nämlich beim allmählichen 
Zusammenrücken der Tangenten im Doppelpunkte der von diesen in 
dem einen Winkelraume eingeschlossene Curventheil völlig zerstört 
werden; denn beim Rückkehrpunkte finden sich über diesen Punkt 
hinaus keine rellen Punkte der Curve. Aus (5) ergibt sich nämlich 
für einen unmittelbar benachbarten Punkt {z = 1): 

X = j/— dy^, 
und dies ist, für 6? > imaginär, sobald y>0 wird. Ein solches 
Zerstören eines Curvenzuges ist aber nur beim Auftreten einer Schleife 
durch allmähliches Zusammenziehen derselben möglich; denn andernfalls 
würde durch das Zusammenfallen der beiden Tangenten ein sogenann- 
ter „Selbsiberührunffspunki" entstehen (vgl. unten Fig. 48). 

Eine beliebige durch den Doppelpunkt gehende Gerade, die wir 
uns auch durch irgend einen anderen Curvenzweig {cp in Fig. 40) er- 
setzt denken können, trifft diese Schleife dann noch 
in einem Punkte z, und die Entfernung des letzteren 
vom Doppelpunkte wird an einer gewissen Stelle 
ein Maximum erreichen, von dem wir die Aus- 
dehnung der Schleife überhaupt abhängig denken 
können. Aus dem Doppelpunkte lassen wir nun 
einen Rückkehrpunkt entstehen, indem wir die 
Schleife immer mehr zusammenziehen und so jenes Maximum immer 
kleiner werden lassen, bis sie auf einen einzelnen Punkt reducirt ist 
(indem also ay — ß- in Gleichung (3) sich immer mehr der Null 
nähert). In diesem Momente fallen die beiden Tangenten des Doppel- 
punktes mit jener Geraden zusammen, und in den entstandenen Rück- 
kehrpunkt, fällt auch der weitere Schnittpunkt z des betrachteten 
Curvenzweiges hinein. Im Ganzen liegen also insbesondere bei der 
ersten Polare drei Schnittpunkte im Rückkehrpunkte der Grundcurve 
vereinigt; denn ein Doppelpunkt würde offenbar zwei über einander 
liegende Schnittpunkte ergeben. Zu demselben Resultate gelangen wir 
auf analytischem Wege: Durch die Schnittpunkte von / und q) geht 
auch jede Curve xf -\- ?.(p = hindurch, insbesondere also auch die 
Curve 
2^f—X(p = (2^dy^ — 3 7]dxy'^— {n — 2) ^x^) z^-^ + . . . = 0. 

Wir können daher, so lange es nur auf die Schnittpunkte von / und qp 
ankommt, f auch durch diese Curve ersetzen. Dieselbe enthält aber 

21* 




324 Vierte Abtheilung. 

keinen Term erster oder zweiter Dimension in x, y, d. h. sie liat im 
Anfangspunkte einen dreifachen Punkt (vgl. p. 329), dessen 3 Tan- 
genten gegeben sind durch 

2 I </?/3 __ 3 ^aa-i/ — (n — 2) ^x^ = . 

Diese Linien sind also sämmtlich von der Tangente der Grundcurve 
verschieden, und somit haben wir drei Schnittpunkte von / und 
2^f—xcp = 0. 

Eine Citrve mit Rückkehrpimkl wird in diesem von jeder ihrer ersten 
Polarcurven in drei zusammenfallenden Punkten geschnitten, d. h. die 
Gleichung, von welcher die Schnittpunkte heider Curven abhängen, hat 
entsprechend dem Rückkehrpunkte drei gleiche Wurzeln. 

Eine ganz ähnliche Anwendung gestatten die hier gegebenen 
Methoden zur Charakterisirung der Schnittpunkte, welche die Hesse'- 
sche Curve in einem Doppel- oder Rückkehrpunkte mit der Grund- 
curve bestimmt. Dass diese Curve durch die singulären Punkte über- 
haupt hindurch geht, haben wir schon früher gesehen (p. 314). 

Wir beginnen mit der Betrachtung eines Doppelpunktes , nehmen 
also die Grundcurve in der Form (4) an: 

f=xy . -"-s-f/Oi^w-s.!. _ ^ ^0. 



Setzen wir nun 








df'' .(3) 
dx — / -r ' 


df^ _ 
dy 


= C' 


dz ^f- 


^V^'^ .(3) 

dx^ ' ^^ ' 


g2/-(3) 

dy^ '' 


/•(3) 

= 'yy ' 


d^r^'^ _ W3) 
dz^ ~~^:z 


dydz~ 'y~- ' 


gY(3)_ 

dz dx ' 


_ /(3) 


dxdy ' ^y 



so findet man die Covariante A . ^ (/ü {n — 1))^ gleich einer Determi- 
nante, deren erste beiden Verticalreihen folgende Elemente enthalten: 

(n-2)«/z«-3-|-(w-3)/f.^2:"-4 + ..., [n~2)xz^-^-\-[n-?>)f^^z''-^-\-..., 

während in die dritte Reihe folgende Elemente zu stellen sind: 

[n — 2) ?/z"-3 -f [n — 3) /*f?2"-4 -f . . . , 

(w — 2) a:z" -^ ^[n — ?>) Z^»)^« -4 + . . . , 

[n — 2){n — 3) xpz"-'^ -f (« — 3) {n — 4) /(3)z»-5 -f . . . . 

Man übersieiit leicht, dass bei der Entwicklung dieser Determinante 
die Terme niedrigster Ordnung in x, y sind: 




Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 325 

und es folgt daraus der Satz: 

Die Ke SS e' sehe Curve hat in einem Doppelpunkte der Grundcurve 
ebenfalls einen Doppelpunkt; und zivar sind die Tangenten beider Curven 
im Doppelpunkte dieselben (nämlich x = 0, y = 0). 

Jeder Zweig der Grundcurve wird also im Doppelpunkte von 
einem Zweige der Hesse 'sehen Curve in zwei zusammenfallenden 
Punkten geschnitten (d. h. berührt) und von dem andern 
Zweige in einem einzelnen Punkte getroffen*), was zu- 
sammen drei Schnittpunkte beider Curven ergibt (vgl. 
Fi<^. 41). Die Anzahl der Schnittpunkte, welche überhaupt 
im Doppelpunkte vereinigt gedacht werden müssen, ist also ^^^ 
gleich sechs. Dasselbe erkennt man auch direct aus den 
Formeln; denn bei Untersuchung der Schnittpunkte können wir die 
Curve A = durch irgend eine des Systems 

A + Mf=0 

ersetzen, wo M eine Function von der Ordnung 2 (ji — 8) ist, ins- 
besondere auch durch: 

.1 (n {n - !))•' A - (n - 1) (n — 2) A'^«- « = 0. 

In dieser Gleichung sind die Glieder zweiter Ordnung m x, y ganz 
fortgefallen; sie stellt daher eine Curve mit dreifachem Punkte im 
Anfangspunkte dar, dessen drei Tangenten nicht weiter ausgezeichnete 
Beziehungen zu den Tangenten des Doppelpunktes haben. Jeder Ast 
derselben wird von jedem Aste der Grundcurve in einem Punkte ge- 
troffen, was wieder 6 Schnittpunkte gibt. 

*) Mittelst der sogleich im Texte zu entwickelnden Methoden beweist man, 
dass die beiden sich im Doppelpunkte berührenden Zweige der Grundcurve ^^n£^ Hesse - 
sehen Curve sich gegenseitiq die convexe Seite zukehren, wie es Fig. 41 zeigt. Be- 
trachten wir nämlich die Zweige, welche die Seite x = berühren , dann ist für 
benachbarte Punkte .x- von höherer Ordnung der Kleinheit, als y , und daher der 
betreffende Zweig der Grundcurve annähernd dargestellt durch die Parabel 

x-\-dy^ = Q, 
wenn d der (reelle) Coefficient von / in Z'^^' ist. Lassen wir ebenso in -\ n {n — 1 )3 A 
die in x multiplicirten Terme aus , so finden wir als Coefficienten von z "~ 
den Ausdruck: 

2 („ _ 2) {n - 3) /-y*^) _ („ _ 3) (n - 4) f^^^ - {n - 2f y^fy>ß • 
Vernachlässigt man hierin wieder die mit x multiplicirten Terme, sucht also den 
Factor von /y% so erkennt man, dass der entsprechende Zweig der Hesse 'scheu 
Curve dargestellt wird durch die Parabel: 

(/i — 2) a; — K . rf . 2/2 = ; 
und diese kehrt in der That ihre convexe Seite der convexen Seite jener ersten 
Parabel zu. 



326 



Vierte Abtheilung, 



(nin-l))' 



— 12(w— ]) Qn 



, 2{n — 2)xz"~'^-\-. 



Fig. 42. 



Für einen Rückkehrpunkt haben wir (die obige Constante d =1 
gesetzt) : 

/= X^Z'*-'^ + t/z"-^ + /•(4)^«-4 -|_ . . . • 

und es wird also: 

0+. 

6y2«-3-j-. 
,3(/«-3)yf3«-4 + . 

- 2) ?/^c2 -.3 « - 9 _^ ^f4) ^3 « - 10 _[_ _ ^ 

Man findet also in A die niedrigsten Terme in x, y von der dritten 
Dimension; und das Auftreten des Factors a;^ gibt den Satz: 

In einem Rückkehr punkte der Grundcurve hat 
die Hesse' sehe Curve einen dreifachen Punkt; und 
zwar berühren zwei Zweige desselben die Rückkehr- 
tangente'*'), während der dritte von diesen getrennt 
verläuft (vgl. Fig. 42). 

Die Zahl der hier vereinigt liegenden Schnitt- 
punkte erkennen wir durch Betrachtung der Curve 
(für 2n>l): 

wo ^ für den Zahlenfactor 12 (w — 2) (w — 1 ) 

gesetzt ist. 

Diese Gleichung enthält auch keine Terme dritter Ordnung mehr: 
das Merkmal eines vierfachen Punktes. Die vier Tangenten desselben 
haben keine besondere Lage gegen die Rückkehrtangente, werden also 
von den beiden Zweigen der Grundcurve zusammen in 8 Punkten ge- 
schnitten: Von den Schnittpunkten einer Curve mit Rückkehrpunkt und 
ihrer Eesse'schen Curve liegen acht im Rückkehrpunkte vereinigt. Dies 

*) Dass diese beiden Zweige von A in der That, wie in Fig. 42, eine Spitze 
bilden, folgt aus der sogleich zu erörternden Newton-Cramer'schen Regel. 
Man überzeugt sich nämlich leicht, dass der Ausdruck A'^^ in obiger Gleichung 
ein Glied mit i/ enthält, während die andern noch in x^ multiplicirt sind. Diese 
andern Glieder können aber für einen Punkt in der Nähe des Rückkehrpunktes 
vernachlässigt werden; denn x ist von höherer Ordnung der Kleinheit als y. Die 
Curve A = kann also ersetzt werden durch: 

2/a;2 -f dy< = , 
wo 8 eine Constante ist; d. h. sie besteht aus zwei Zweigen, von denen der eine 
die Linie y = berührt, der andere dagegen vom Typus des Rückkehrpunktes ist; 
wie es sein soll. Die in Fig. 42 angegebene Lage der Spitze von A gegen die 

— 3 




i „372 ' '^' ^^"" ^^ ^^^ Coefficienten von g H in /"an- 



von f folgt daraus, dass 8 

gibt, also jedenfalls kleiner, als rf, so dass einem gegebenen Werthc von y für A 
immer ein kleineres x entspricht, als für /'. 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 327 

ist durch unsere analytische Betrachtung zunächst nur für 2 w > 7 
bewiesen, gilt aber auch noch für n = 3. In letzterem Falle gibt es 
im Allgemeinen 9 Wendepunkte; man sieht aber leicht, dass beim 
Auftreten eines Rückkehrpunktes nur einer übrig bleibt. Es ist näm- 
lich dann, wie wir gesehen haben, / in der Form darstellbar: 

f=x'~z + yS 

und also 

|2z 2x 

62 A= I 6?/ = — 24a;2?/. 
\2x 
Pur ^^ 0, A = ist daher entweder x"- = und >/ = 0, was 6 im 
Rückkehrpunkte vereinigte Schnittpunkte gibt, oder y = und x'^ z = 0, 
was noch 2 im Rückkehrpunkte liegende Funkte gibt und ausserdem 
den einzigen Wendepunkt x = 0, z = 0. 

Diese für das Folgende sehr wichtigen Beispiele werden hinreichen, 
um das Wesen und die Anwendbarkeit der angeführten Methoden 
darzulegen. Wir gehen nunmehr zu der allgemeineren Aufgabe über, 
die Gcslalt einer Curve in der Nähe eines k- fachen Punktes aus der 
gegebenen Gleichungsform abzuleitend) Durch einen solchen Punkt 
<rehen immer k Zweige der Curve hindurch; es kann jedoch eintreten, 
dass mehrere dieser Zweige unter einander in ihm eine einfache oder 
höhere Berührung eingehen, während andere Zweige von diesen ge- 
trennt verlaufen, wie wir soeben z. B. an dem Verhalten der Hesse- 
schen Curve in einem Rückkehrpunkte der Grundcurve gesehen haben. 
Die folgenden Untersuchungen sollen nun dazu dienen, diese verschie- 
denen Zweige der Curve von einander zu trennen und in ihrem gegen- 
seitigen Verhältnisse zu einander zu charakterisiren ; und zwar werden 
wir sämratliche Vorkommnisse in erster Annäherung als Combinationen 
von drei Grundtypen erkennen, welche für den Verlauf einer Curve 
in der Nähe eines Punktes möglich sind. Diese Grundtypen sind 
dann namentlich für die Gestalt der Curvenzweige in der Nähe des 
Punktes wichtig, soweit dieselben reell sind. 

Wir nehmen den betreffenden Punkt wieder zu einem Eckpunkte 
des Coordinatendreiecks, oder, indem wir z = 1 setzen, zum Anfangs- 
punkte eines rechtwinkligen Coordinatensystems ; ferner setzen wir 
der Einfachheit wegen voraus, dass die F-Axe eine Tangente der 
Curve im Anfangspunkte sei. Die Gleichung der Curve ist dann nach 
(2) von der Form: 

/=.T -1-/(2) _}_/-(3) _|- ... = 0. 

*) Eine andere, von Nöther angegebene Methode zur Auflösung eines viel- 
fachen^Punktes in seine Bestandtheile werden wir am Schlüsse dieser Abtheilung 
kennen lernen. 



328 Vierte Abtheilung. 

Gehen wir nun in Richtung der Tangente x == auf der Curve 
weiter, so wird für einen dem Anfangspunkte unmittelbar benachbarten 
Punkt die Coordinate x unendlich klein gegen die Coordinate y : Man 
muss sich in diesem Falle, da wir es nur mit algebraischen Functionen 
zu thun haben, gemäss den für solche Functionen gültigen Elementar- 
begriffen die Vorstellung bilden, dass es eine gewisse Potenz von y 
gibt, welche mit x von derselben Ordnung unendlich klein wird ; oder 
wie wir uns ausdrücken wollen: Es wird x mit einer gewissen Potenz 
von y vergleichbar; und diese Potenz ist dann eine für die Natur 
des Anfangspunktes charakteristische Zahl. — Da wir nun die F-Axe 
als Tangente der Curve annehmen, so werden in 

f ^ X -\- ax''- -\- 2 b xy -]- cy"^ -\- f(^^ + . . . 

jedenfalls die Terme ax"^ und 2bxy, wenn x und y unendlich klein 
sind, gegen x verschwinden, dagegen nicht noth wendig y'-. Setzen 
ivir also voraus, dass c < 0, so haben wir als einfachsten Fall, dass x 
mit 2/' vergleichbar wird. 

Alsdann können wir die Curve in der Nähe des Anfangspunktes 
ersetzen durch die Parabel 

(6) = a; + c . ?/2 . 

Dies ist also charakteristisch für eine einfache Berührung mit der 
F-Axe. Ist dagegen der Anfangspunkt ein fVendepmikt, so muss seine 
quadratische Polare die Wendetangente x == als Factor enthalten, 
d. h. in f^^'^^ = ax'^ -\- 2 bxy -\- cy'^ muss c gleich Null sein. Wir 
haben dann, wenn wir für einen Augenblick wieder die dritte Variable 
z einführen: 

f=xz"-'^-\-{ax-\-by)xz''-^-[-{ax^-\-?,ßx'^y-^^yxy'^ -\- dy^) ^"-^^-f . 

Hierin können wir durch Aenderung der Lage von z = die Glieder 
zweiter Ordnung ganz fortschaffen, indem wir setzen: 

, ax -\- by 

n — 1 

Die Terme zweiter Ordnung heben sich dann in der That direct fort, 
und es bleibt ein Ausdruck von der Form: 

/•= xz'"-'^ -\- (^a'x'^ + Sß'xy'^ -f- 'dy'xt/ + d'y^) z'"-'-^ + • • • 

In der Nähe des Anfangspunktes ist jedenfalls x wieder von höherer 
Ordnung unendlich klein, als ?/; die Terme a x'^ , Sß'x'^y, Sy'xy"^ 
können wir daher vernachlässigen, und es wird x mit y^ vergleichbar. 
Die Curve kann also in der Nähe eines Wendepunktes ersetzt werden 
durch eine Curve 

(7) ■ x-\-dy^ = 0. 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 



329 



Ein Doppelpunkt gibt hier nichts Besonderes, denn einen solchen 
können wir durch zwei Curven von der Form (6) ersetzen; anders 
ist es mit einem Rückkehrpunkte. Für einen solchen haben wir: 

/=:«- + ^2/=' + .-.; 

es wird x^ mit iß oder x mit iß vergleichbar, und die Curve kann ersetzt 

iverden durch: 

(8) x^ -{- dl/ = 0. 

Die Gleichungen (6), (7), (8) stellen uns die erwähnten drei 
Grundtypen dar. Die erste Curve (Fig. 43) verläuft auf einer Seite 
der r-Axe und ist symmetrisch gegen die X-Axe. Die zweite liegt 

Fig. 43. Fig. 44. Fig. 45. 



X 




gleichzeitig symmetrisch zu den beiden Coordinatenaxen (Fig. 44), 
während die dritte auf einer Seite der X-Axe verläuft und sich sym- 
metrisch gegen die F-Axe verhält (Fig. 45, wo d negativ angenommen). 
Kehren wir nunmehr zu der gestellten Aufgabe zurück, eine 
Curve in der Nähe eines ^-fachen Punktes zu untersuchen. In diesem 
Falle beginnt die Entwicklung von f mit dem Gliede /"<''■) 
Gleichung 



Die 



(9) 



/(^) = a^x'' + «1 cc^ - ^y + . . + ttky'' = ^ 



gibt die k Tangenten des Punktes, die wir zuerst bestimmen müssen. 
Der einfachste Fall ist der, dass die Gleichung Ä*«» Grades lauter ver- 
schiedene Wurzeln hat, wo dann die Singularität des vielfachen 
Punktes durch Aufsuchung dieser Wurzeln erschöpft ist, es sei denn, 
dass die einzelnen Zweige in ihm noch Wendepunkte besitzen, was 
einer näheren Untersuchung bedarf. Alsdann können wir uns den 
Punkt durch Vereinigung von ^^^i^ Doppelpunkten entstanden denken. 

Man erkennt dies sofort, indem Fig. 46. 

man die verschiedenen Zweige 
der Curve so zeichnet, dass sie 
noch nicht genau durch einen 
Punkt gehen, wie es in bei- 
stehenden Figuren für einen 

4 -fachen Punkt geschehen ist. 

der Schnittpunkte dieser k verschiedenen Zweige (vgl, Fig. 46). 





Die Zahl ^^^Ü gibt eben die Zahl 



330 Vierte Abtheilung. 

Setzen wir dagegen voraus, dass etwa r Wurzeln der Gleichung 

(9) zusammenfallen, so haben wir das gegenseitige Verhalten der r 
Zweige, welche dann eine gemeinsame Tangente haben, näher festzu- 
stellen. Wir verlegen zu dem Zwecke die Z- Achse in diese r-fach 
zählende Tangente; die Gleichung der Curve wird dadurch: 

(10) f = x'-cpC' - '•) + /•('' + 1) + /(^- + 2) + . . . = 0. 

Unter dieser Annahme ist wieder x in der Nähe des betrachteten 
Punktes von höherer Ordnung der Kleinheit als y; und es ist unsere 
Aufgabe, in f alle diejenigen Glieder aufzusuchen, welche mit x^y^-'^ 
vergleichbar sind. Die Summe derselben, gleich Null gesetzt, stellt als- 
dann eine Curve dar, durch welche f in der Nähe des Anfangspunktes 
ersetzt werden kann, insofern es nur auf diejenigen r Zweige vofi f an- 
kommt, welche die Y- Axe berühren. Die Function rp nämlich ist von 
der Form 

Cp(l< — '•) = a^y''^ "" ' ~h ^1 y'^~ ^'~^X -f- . . . -j- ttk—rX''~''\ 

und zwar kann in g? das Glied mit y^ ~ '" nicht fehlen, denn sonst 
würde tp noch einen Factor x enthalten, während wir voraussetzen, 
dass dieser Factor nur r-mal in /*(''> vorkommt. Alle weiteren Glieder 
von (p enthalten noch Factoren x, sind also gegen das erste zu ver- 
nachlässigen. Die mit x'iß~'' vergleichbaren Glieder sind daher in 
den Functionen f^'^ + ^' , /"''' + 2* ... zu suchen ; und zwar sind nur Glieder 
der Form xPyi zu berücksichtigen, für die p<ir ist. Die Summe 
dieser Terme gleich Null gesetzt stellt unsere Curve in erster An- 
näherung dar. Diese neue Curve wird wieder aus verschiedenen 
Zweigen bestehen; und für jeden dieser Zweige werden x und y in 
ganz bestimmtem Verhältnisse zu einander in Bezug auf das Unendlich- 
kleine stehen; für jeden Zweig wird x mit einer bestimmten Potenz 

von y, etwa y", vergleichbar sein, oder x** mit y^. Wir werden nun 
eine Regel angeben, nach welcher man diese Zahlen a, ß finden kann, 
um so die Curve in verschiedene Zweige aufzulösen. Es führt dazu 
die folgende Ueberlegung. Setzen wir zunächst voraus, es sei das 

Verhältniss ^ für einen gewissen Zweig bekannt. Führen wir dann 

eine Grösse e als Maass der Kleinheit ein, so können wir setzen: 

lim x = €^ ^^ 

lim y = £« 

-1 ^ 

denn dann wird in der Grenze a = xß , also y = s» = xi^ , d. h. y(^ 

mit X" vergleichbar, wie es angenommen wurde. Für ein beliebiges 

Glied von /' ist somit 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 331 

xPyi = £P|? + ^«. 

Verlangen wir nun, dass xPiß von einer bestimmten Ordnung unend- 
lich klein werde, so muss die Zahl pß + ^« einen bestimmten con- 
stanten Werth haben, also etwa 

sein. Wir haben somit den Satz: 

Sind .K" und yl^ von gleicher Ordnimg der Kleinheit, so werden alle 
Glieder x^yi, welche von der Ordnung (i unendlich klein werden, durch 
die Bedingung 

(11) p^J^fia = ^ 

bestimmt. 

Die betreffenden Zahlen p, q wirklich anzugeben, lehrt die 
Zahlentheorie; es kommt dies auf die Lösung der Congruenz 

pß ^e: ^ (mod . cc) 

heraus, welche in unserem Falle immer möglich ist, weil a und ß, 
auf deren Quotienten es allein ankommt, als zu einander relativ prim 
vorausgesetzt werden können. Für unsern Zweck sind natürlich nur 
die Werthe brauchbar, für welche p -\- q < n ist, wenn n die Ordnung 
der untersuchten Curve bedeutet. Wir haben nun ^ möglichst klein zu 
ivählcn; denn es kommt uns darauf an, diejenigen Glieder heraus- 
zufinden, gegen welche alle anderen von höherer Ordnung der Klein- 
heit sind. Wir können uns hiervon eine deutliche Vorstellung durch 
ein geometrisches Hülfsmittel machen.*) Betrachten wir nämlich die 
ganzen Zahlen p, q bez. als Abscisse und Ordinate eines Punktes der 
Ebene, so können wir jedes Glied x^y'^i durch einen Punkt mit den 
Coordinaten p, q vorgestellt annehmen. Die Gleichung (11) stellt 
dann eine gerade Linie dar, und die Zahl ^ können wir als Maass 
ihres Abstandes vom Anfangspunkte betrachten, denn dieser Abstand 
ist bekanntlich 

Bei dieser geometrischen Be Präsentation liegen also alle Punkte, deren 
entsprechende Terme in f von der ^^'"' Ordnung unendlich klein werden, 



*) Dies Verfahren wurde von Newton angegeben, zunächst um aus einer 
gegebenen algebraischen Gleichung f{x,i/) = Oy in Function von x angenähert 
darzustellen; vgl. dessen Methodus functionum et serierum infinitarum, London 
1736 (Opuscula ed. Castillion, tom. 1, p. 37 ff.); für die Curventheorie verwerthet 
von Gramer: Introduction ä l'analyse des lignes courbes alg^briques, 1750. Vgl. 
im Folgenden auch Puiseux: Recherches sur les fonctions algebriques; Liou- 
ville's Journal de mathe'matiques pures et appliquees, t. 15, 1850 (Deutsch von 
Fischer, Halle 1861, p. 24 ff.). 



332 Vierte Abtheilung. 

wenn o;" mit yP vergleichbar ist, auf einer Geraden in der Entfernung 
',=,~^= vom Anfangspunkte. 

Jedes Glied, welches von höherer Ordnung der Kleinheit ist, 
dem also ein Werth fi' > fi entspricht, liegt dann auf der dem 
Anfangspunkte abgewandten Seite der Linie (11). Um die Glieder 
niedrigster Ordnung zu finden, haben wir demnach das folgende 
Verfahren einzuschlagen. Es sei y" das Glied niedrigsten Grades in 
/', welches von x frei ist. Ihm entspricht ein Punkt in der Entfernung 
s auf der Ordinatenaxe ; durch diesen Punkt und einen anderen, dessen 
zugehörige Zahlen p = 7t, q = x möglichst klein sind, legen wir eine 
gerade Linie, deren Abstand vom Anfangspunkte ft sei (vgl. unten 
Fig. 47). Diese Linie wird noch durch eine Reihe weiterer Punkte 
gehen, welche zwischen n, x, und o, s liegen und denen Terme in 
/■ entsprechen; die Summe aller solcher Terme: 

(12) K^ = UupgXPy^ = 

gibt uns dann eine Curve, für deren durch den vielfachen Punkt 
gehende Zweige x" mit y'* vergleichbar ist, wo a und ß bestimmt 
sind durch 

ccx -f- ßn = ^ 
as = }i. 

Setzen wir ferner x == x^, y = y'", so geht (12) in eine homogene 
Gleichung vom Grade fi in x', y über (binäre Form), denn es wird 

dann x^yi = xßi'y'"i. Sind alle Wurzeln -, derselben verschieden, so 

stellt Ä'j = eine Reihe von Zweigen dar, welche sich nur einfach 
im Anfangspunkte berühren, und von denen jeder durch den Typus 
der Parabel dargestellt wird. Sind dagegen mehrere Gruppen von 
Wurzeln einander gleich, so werden diese Zweige sich wieder in 
weitere Klassen auflösen, die durch Wiederholung ganz ähnlicher 
Betrachtungen bestimmt werden. Wir wollen darauf aber erst später 
eingehen. 

Von dem Punkte itc, x gehen wir nun weiter zu einem Punkte 
jr', X, welcher jenseit der Linie ccq -\- ßp = }i, ihr aber möglichst 
nahe liegt. Die Verbindungslinie beider Punkte wird eine zweite 
Reihe von Gliedern enthalten, und die entsprechende Gleichung 

(13) Ä-, = 

stellt wieder ein System von Zweigen dar, für welche in der Nähe 
des Anfangspunktes a;*' mit yl^' vergleichbar ist, wo nun 

7t ß' -}- X a = ^' 
71 ß' -\- x a = IL ^ 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven, 



333 



wenn fi' den Abstand der neuen Linie vom Anfangspunkte bedeutet; 
und zwar gibt es zufolge unserer Construction keine Glieder, für welche 

das Verhältniss % dasselbe wäre, während u' einen kleineren Werth 
p 

hätte. Durch Fortsetzung dieses Verfahrens erhalten wir eine Reihe 
von Linien, die sich zu einem Polygone vereinigen. Dasselbe kehrt 
seine convexe Seite den beiden Coordinatenaxen zu, und zwar der- 
artig, dass alle Punkte, welche Gliedern von f entsprechen, durch das 
Polygon von diesen Axen getrennt werden oder selbst auf den Seiten 
des Polygons liegen. Diesen Seiten entspricht eine Reihe von Curven 

^^ = 
Ä, = 



Jede derselben vereinigt die Terme, welche bei einem bestimmten Werthe 

von " von der möglichst niedrigen Ordnung der Kleinheit sind. Die 

letzte der Geraden geht durch den Punkt p = r, q = k — r, denn 
alle Glieder, für die p > r ist, brauchen wir nicht zu berücksichtigen. 
Damit ist dann das Polygon gegen die Abscissenaxe abgeschlossen. Eine 
weitere Fortsetzung des Verfahrens würde wenigstens nicht mehr zu 
Curvenzweigen führen, welche die Axe rc = berühren. 

Ein Beispiel"^) wird dazu dienen, dies Verfahren völlig klar zu 
stellen. Wir betrachten die Curve: 

(14) f (pc, y) ^ x^y + ax^ -|~ ^^'y^ + c^"^ + dx^y'^ -}- exy'^ 

also eine Curve 10. Ordnung mit 6 -fächern Punkte im Anfangspunkte. 
Zunächst können wir alle Glieder fortlassen, in denen der Exponent 
von x grösser, als 5 ist, denn diese verschwinden jedenfalls gegen 
x'-'y] ebenso das Glied mit y^^ , denn wir be- Fig. 47. 

ginnen unsere Construction mit y^. Wir 
behalten dann eine Curve 9. Ordnung: ^, 

(15) x^y -\- hx-y^ + dx'^y^ + exy"^ -f- fx^y^ ' 

+ ^y« = , 
Die Terme dieser Gleichung sind in beistehen- , 
der Figur markirt. Wir haben zunächst den j 
Punkt 0, 9 mit 2, 5 zu verbinden; diese 2 
Linie geht auch durch 1,7. Daher stellt uns 
nach Absonderung des Factors y^ die Gleichung : 




*) Vgl. auch die in den Anmerkungen auf p. 325 und p, 326 behandelten 
Beispiele. 



334 



Vierte Abtlieilung. 



(16) K, = hx-"- + extf + ^y* = 

eine Curve 4*" Ordnung dar, welche 2 Zweige von (14) in der Nähe 

des Anfangspunktes ersetzt. In letzterem hat sie einen sogenannten 
Fig. 48. Selbsther ührungspunkt. Sie wird in ihm von der Z-Axe 

in 2, von der F-Axe in 4 zusammenfallenden Punkten 
getroffen, ein Punkt, wie er durch das Zusammen- 
rücken von 2 Doppelpunkten (Fig. 48) entsteht. Noch 
genauer erhalten wir den Verlauf der beiden Zweige, 
wenn wir nach dem oben angegebenen Verfahren 
X = x""-, y = y in (16) setzen, oder x = x, tj- = y', 

und die quadratische Gleichung auflösen. Dadurch zerfällt dann 71", 

in zwei Factoren 

x—m^y\ x—m.^ij'^ 

und wir können daher Zj = ersetzen durch zVei Gleichungen vom 
Typus der Parabel (6): 

X — m^iß = ^ ^ X —7n^iß = , 

vorausgesetzt, dass m^ und m.^ von einander verschieden sind. 

Unserer Regel zufolge haben wir nun weiter den Punkt 2, 5 mit 
dem Punkte 5, 1 durch eine Gerade zu verbinden. Diese Linie ent- 
hält keinen markirten Punkt weiter. Wir haben daher nach Abson- 
derung des Factors a;^^ die Curve: 

(17) K, = x'-\-ht/ = 0. 

Für die hierdurch annähernd dargestellten Zweige der Curve (14) wird 
also a;3 mit y^ vergleichbar. Die Curve hat im Anfangspunkte einen 
dreifachen Punkt mit 3 in a: = zusammenfallenden Tangenten; die 
drei Zweige legen sich nach Art einer Parabel einfach au die F-Axe 
an. Es wird 

x = y'— by*; 
also sind zwei der Zweige imaginär und einer reell. 

Fig. 49. Damit sind alle Zweige der vorgelegten Curve, 

^ welche die F-Axe berühren, völlig bestimmt. 

Setzen wir unser Verfahren noch weiter fort. 



^ 



f 




so erhalten wir eine Näherungsgleichung für den 
die X-Axe berührenden Zweig des sechsfachen 
Punktes. Wir müssen dann zu (15) aus (14) den 
Term ax'^ hinzunehmen und noch die Linie 5, 1 — 7, 
ziehen. Diese enthält keinen markirten Punkt mehr, 
und der gesuchte Zweig ist daher nach Absonderung 
eines Factors x^\ 



Z=y-f-rt.T2 = 0, 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 335 

also vom Typus der Parabel. Die verschiedenen reellen Zweige des 
sechsfachen Punktes verlaufen demnach, wie es Fig. 49 zeigt.*) 

Es kann jedoch insbesondere eintreten, dass der Ausdruck K^ in 
unserm Beispiele ein vollständiges Quadrat wird. Alsdann reicht dies 
erste Näherungsverfahren nicht aus, um die beiden Zweige der Curve 
zu trennen: dieselben haben eine höhere Berührung mit einander. 
Allgemein kann es vorkommen , dass aus einer der Gleichungen K = 
((12) und (13)) durch Einführung der Variabein x , y eine Gleichung 

ff (x, y) = 
entsteht, welche einen vielfachen linearen Factor (oder mehrere solche) 

X — my' 
enthält. Um die entsprechenden Zweige der Curve zu trennen, führen 
wir wieder x, y ein, und haben dann annähernd 

x" — mßy? = . 
Setzen wir ferner 

y = Tf , 
so wird also 

(18) X = m"r]ß + 5 , 

wo l eine Grösse ist, welche von höherer Ordnung unendlich klein 
wird, als 7^/*. Diese Substitution haben wir in f{x,y) zu machen, 
um ^ in Function von 7} annähernd zu bestimmen. Und zwar hat 
man bei dieser annähernden Berechnung von tj wieder die Glieder 
höherer Ordnung nach der Gram er 'sehen Regel auszuscheiden. Soll- 
ten in den verschiedenen dadurch entstehenden Klassen wieder 
Gleichungen vorkommen, welche einen vielfachen linearen Factor 
^«' _ m'ß'rii^' enthalten, so hat man diesen Factor wieder in derselben 
Weise zu behandeln. Schliesslich wird man so immer durch Einsetzen 
der Werthe ^, tj in (18) für x eine Entwicklung nach steigenden, ge- 
brochenen Potenzen von y erhalten, welche das Verhalten der verschie- 
denen Zweige charakterisirt. Wir erläutern dies zunächst wieder an 
einem Beispiele. Setzen wir voraus, dass bei obiger Curve f {x, y) = 
der Ausdruck K^ (16) ein vollständiges Quadrat werde, dass wir 
also haben: 

/fj = hx^ -f" ^^y^ ~l" ffy* = (^^' ~f" vy"^)- . 
Nach der eben angegebenen Regel müssen wir dann setzen (a = 1, 

ß = 2y. 

und dadurch wird, wenn wir alle höheren Terme vernachlässigen: 
*) In Fig. 49 ist vorausgesetzt, dass a, b, ?«j, ?H2 positive Grössen sind. 



336 







Vierte Abtheihing. 












»?" + • 


•. + ' 


^(-::v^+- 


••) 


+ c 


(::v' 


+ 


+ 


^^(^^ 


'+ • 


••)+^(^^^ 


+ • 


■■) 


+ h V" 




+ 


n'{- 


^n' + 


W^ + y^2^ . 











Wenn wir den Factor ■j^^ fortlassen niid anders ordnen, so haben wir 
also die Gleichung: 

(19) n^' -h ht- S'i'+ ^'^'^'i' + ^u^n' - a ^, V' + c'^^r]^^ = . 

Wenden wir hierauf unsere schematische Regel an, so haben wir nur 
die eine Verbindungslinie der Punkte 2, und 0, 5 zu berücksichtigen, 
und daher nur die eine Klasse 

woraus sich für ^ die beiden Werthe 



5 = ±/-,^'i-^ 



Fig. 50. 



ergeben; und damit ist die Trennung der beiden parabolischen Zweige 
der Klasse K^ vollendet. Für einen Punkt derselben in der Nähe des 
Anfangspunktes erhalten wir die Entwicklung: 

(20) ^ = _ly2_j_A^— ;7y5. 

In Betreff der Gestalt der so getrennten Zweige gilt das Folgende. 
Nehmen wir an, es sei Ä eine positive Grösse, so wird ]/ — h i/' nur 
reell für negative Werthe von y. Wir erhalten also auch für x, wenn 
n, V ebenfalls reell sind, nur für negative Werthe von y reelle Werthe; 
d. h. die beiden sich im Anfangspunkte berührenden 
Zweige der Klasse K^ legen sich an die negative Seite 
der Z-Axe, ohne die Z-Axe zu überschreiten. Und 
zwar geschieht dies nach dem Typus des Rückkehrpunktes, 
wenn der eine Werth von x positiv, der andere negativ 
wird. Ist aber das Grössenverhältniss von v und // 
derartig, dass beide Werthe von x dasselbe Zeichen haben, 
so liegen beide Curvenzweige auf derselben Seite der 
JT-Axe: Sie bilden eine „Spitze zweiter Art^' (Fig. 50), 
wie man eine solche Singularität gegenüber dem Rückkehrpunkte, der 
Spitze erster Art, bezeichnet. 

Setzen wir dagegen voraus, dass mf{x, if) das Glied mit y^^ fehle 
(Ji = 0) , dass also eine Curve 9. Ordnung zur Untersuchung vorliegt, 
so gibt die Anwendung der Cr am er 'sehen Regel auf (19) die eine 
Klasse: 




Allgemeine Theorie der algebraischen Curveu. 337 

u' ' 

also ^ = +^7/^, 

— ■ u r u' 

und somit: 

(21) ■ x=-^(.+/:i). 

In diesem Falle verlaufen daher l)eide Zweige symmetrisch zur X-Axe, 
nach dem Typus der Parabel. 

Im Allgemeinen wird ganz ebenso, nachdem die Trennung sämmt- 
licher Curveuzweige durchgeführt ist, schliesslich /"ür x eine Reihen- 
enhvicklmig nach steigenden gehrochenen Potenzen von y erhalten von 
der Form: 



(22) X = cyP + c^y^(^' + c^y^P'ß- + . . . 

Ein jedes Glied der- Entwicklung hat so viele verschiedene Werthe, 
als der Nenner des Exponenten angibt ; den zugehörigen verschiedenen 
Werthen von x entsprechen dann ebenso viele getrennte Zweige der 
Curve f=0. Dabei ist nicht ausgeschlossen, dass der Exponent 
eines Gliedes eine ganze Zahl wird, denn in diesem Falle ist der 
Coefficient desselben noch immer irrational und gibt also eine Reihe 
verschiedener Werthe, wie 'z. B. in Gleichung (21). Zur ('harakteri- 
siruiig der Gestalt eines Zweiges in der Nähe des Anfangspunktes 
wird im Allgemeinen das erste Glied der Entwicklung schon einen 
Massstab geben; und zwar wird die Gestalt in erster Aunilherung da- 
von abhängen, ob die Zahlen a, ß in Bezug auf Gerade oder Ungerade 
sich beide gleich oder ungleich verhalten. Wii^ haben darnach, indem 
wir unsere früheren Benennungen verallgemeinern^ die folgenden 3 
Haupttypen : 

(I) x^/i + i ==jj2 k fyp^g ^gj, Parabel (Fig. 43) , 

(II) aj2^ + i = J/2A + 1 Typus des Weiidepunktes (Fig. 44), 

(III) x^ '' = ?/2 A- + 1 Typus des Rückkehr piinktes (Fig. 45). 

Insofern man besonders auf das Reelle achtet, könnte man endlich 
noch einen vierten Typus, den der Spitze zweiter Art, hinzufügen, für 
welchen uns Gleichung (20) ein Beispiel gab. Derselbe würde all- 
gemein dadurch charakterisirt sein, dass in der Reihenentwicklung für 
x einmal eine gerade Wurzel aus einer ungeraden Potenz zu ziehen 
ist, und dass in Folge besonderer Werthe der eingehenden Constanteu 
das Vorzeichen dieser Wurzel ohne Einfluss auf das Vorzeichen von x 
bleibt. In diesem Falle werden die betreffenden Zweige an einer 
Seite der ^Y-Axe in der besprochenen Weise imaginär. Es ist jedoch 
hervorzuheben, dass die von uns entwickelte Methode letzteren Fall 

Clebsch, Vorlesungeu. 22 



338 Vierte Abtheilung. 

nur wegen des Verhaltens im Reellen (p. 336) vor anderen Fällen 
auszeichnet, die algebraisch durch ganz analoge Reihenentwicklungen 
gekennzeichnet sind. — Um auch die imaginären Vorkommnisse geo- 
metrisch anschaulich darzustellen, muss man sich, wie es in der Func- 
tionentheorie geschieht, der sogenannten Rie mann 'sehen Fläche be- 
dienen, worauf hier jedoch nicht näher eingegangen werden kann. 

Es sei besonders als ein Ergebniss der hier durchgeführten Unter- 
suchung hervorgehoben, dass ein reeller Zweig einer algebraischen 
Curve an keiner Stelle aufhören kann, oder was dasselbe ist: 

Von jedem Punkte einer algebraischen Curve aus gibt es auf der 
Curve eine gerade Anzahl von verschiedenen Fortschreitungsrichiungen: 
von denselbefi können nur mehrere einander unendlich nahe liegen (wie 
beim Rückkehrpunkte). — 

Wir wollen die im Vorstehenden benutzte Methode zur Behand- 
lung eines singulären Punktes, nach welcher wir den Punkt in den 
Anfangspunkt verlegen und nach Potenzen von x, y entwickeln, noch 
zur Ableitung eines vielfach angewandten, von Not her*) streng be- 
wiesenen, wichtigen Satzes benutzen. 

Wir haben schon wiederholt von dem Satze Gebrauch gemacht, 
dass sich die Gleichung einer Curve f=0, die durch die Schnitt- 
punkte zweier Curven 9? = 0, ip = hindurchgeht, in die Form: 

/"= A(p + ^V = 

bringen lässt, wo A = 0, B = ebenfalls Gleichungen von Curven 
sind. Dies ist aber nur unbeschränkt gültig, so lange in den Schnitt- 
punkten von q) und ij^ keine dieser Curven vielfache Punkte besitzt. 
Andernfalls sind gewisse Bedingungen zu erfüllen, wenn obige Dar- 
stellung von f möglich sein soll; und diese Bedingungen wollen wir 
im Folgenden aufstellen. Wir untersuchen zu dem Zwecke das Ver- 
halten einer Curve 

/"^ A(p -{- Bt^O 

in der Nähe eines Schnittpunktes P der Curven 9? == 0, ^ = 0, in 
dem die erstere einen </- fachen, die andere einen r- fachen Punkt 
haben möge, in dem also rq Schnittpunkte beider Curven vereinigt 
liegen ; und zwar sei r^q vorausgesetzt. Wir beschränken uns hier 
auf den Fall, wo die verschiedenen Zweige der Curve g), bez. t^ sich 
nicht unter einander berühren. Nehmen wir den Punkt P zum Anfangs- 
punkte, so müssen jedenfalls alle Glieder 0'^% l*^', 2*^'', . . ., (q — 1)*^'^ 
Ordnung von / verschwinden, also jedenfalls / einen 0' -fachen Punkt 
haben. Dies gibt zunächst das Verschwinden von 



*) Ueber einen Satz aus der Theorie der algebraischen Functionen : Göttinger 
Nachrichten, 1872, p. 490, oder Math. Annalen, Bd. 6, p. 352. 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven 339 

1 + 2 + 3... + , = ^^^ 

Constanten, was uns beiläufig zu dem Satze führt: 

Soll ein bestimmter Punkt q-f acher Punkt einer algebraischen Curve 

sein , so ist diese Forderung '^--^^-~— linearen Bedingungen äquivalent^ d. h. 

mau kann für eine Curve n*^"^ Ordnung dann nur noch ^ v w-r 

weitere Punkte willkürlich wählen. 

In unserem Falle treten jedoch für r > ^ noch weitere Bedingungen 
hinzu. Es verschwinden die Glieder ^*", {q -\- 1)*" , . . . , (r — 1)*«'' 
Dimension von i/;. Die (fl -{- i -\- 1) Coefficienten der Terme (^q -f- iy^^ 
Ordnung in / (/ =- 0, 1, . , ., r — q — 1) sind daher nur abhängig 
von den Coefficienten der Terme gleicher Dimension in dem Producte 
Acp. Letztere entstehen durch Multiplication 

der Glieder q^^"" Ord. von (p mit den Gliedern ?*^'^ Ord. von A, 

n V (^+1)*" ;, „ 9 n v v (/-l)^- „ „ A, 

Es müssen sich also die {q -\- i -\- 1) Coefficienten von / linear durch 

1 + 2 + 3 + . . . 4- (*• + 1) = ^'• + ^H» + ^) 

willkürliche Grössen (Coefficienten von A) ausdrücken lassen. Im 
Ganzen enthalten nun die Termen ^*", {q -}- ly^'^ ...(/• — 1)*" Dimen- 
sion von / 

to + l) + to + 2) + ... + r== '^ + '-+^'"'--^' 

Coefficienten, und diese sind demnach lineare homogene Functionen der 

1 + 2 + 3 + . . . + (r - ^) = (--g+^i)(---g) 

willkürlichen Coefficienten der Glieder 0*^'^ , 1*", . , . , (r — q — 1)*«' 
Dimension von ^; d. h. es sind nur ebensoviele Coefficienten von f 
willkürlich zu wählen; oder, was dasselbe ist, es müssen zwischen 
den Coefficienten der Glieder ^*", {q -f- 1)*" ... (r — l)*«"^ Dimen- 
sion von f noch 

(23) (!L- llir Jl9_+i) _ (r-g)(r-g-f 1) _ ^^ _ ^) ^ 

lineare homogene Gleichungen bestehen. 

Aber auch eine Reihe von Gliedern höherer Ordnung in f wird 
noch durch die vielfachen Punkte von cp und ^ beeinflusst. Allgemein 
entstehen die Coefficienten der Terme /:*" Ordnung von / durch 
Multiplication 

22* 







Qter 


>; 


j; -^) 




(^- 


. ^)ter 


77 


77 B, 


(A" 


— r — 


l)ter 


77 


77 ^7 



340 Vierte Abtheilung. 

von Gliedern §'*" Oi*d. von g? in Glieder (Ä- — </)*" Ord. von y^, 

77 77 (^ + l)*^-^ 77 ,7 ?> ,7 7, ^^ - q - 1)^" „ „ ^, 

77 77 '^ 77 77 T* 77 7 

77 77 ' 77 77 *r 77 7: 

77 77 V ~r ^) 77 77 ^ 77 7; 

Mer 7/, nter /? 

77 77 " 77 77 "r 77 77 ^' jj 77 ^ ' 

Wir können hieraus die Zahl der willkürlichen Coefficienten von A^ B 
bestimmen, welche in den Gliedern der Function Atp -\- BiIj bis in- 
clusive zur Ä-*®" Dimension vorkommen. Es sind dies 

l+2 + ... + (^ — ^+1)=^(A-— ^4-2)(Ä:— ^ + l)CoeflF.von^ 
und l + 2 + ... + (/:-r+l)=l(yt-r + 2)(A'-r+l) „ „ B. 

Im Ganzen enthält also Atp -{- Bip in den Termen bis zur k^^^ 
Dimension inclusive 

Q = ^{{k-q-i-2){k^q+l)-\-{k-r-j-2){k-r-\-l)} 

Parameter, während die Zahl der Parameter in den Termen gleicher 
Dimension von /*, d. h. von der q^^^ Dimension bis zur A*«°, ist 

P = i(.k + q-i-2){k-q + l). 

Vermehren wir nun k um 1, so wächst Q um 

k — q-\-2-\-k — r-^2 

und zu P treten die k -\- 2 Coefficienten der binären Form (A- -f- l)*^"" 
Ordnung hinzu, d. h. P wächst um 

k-\-2. 

Sollen aber von der k'^^^ Dimension ab alle Terme von / vollkommen 
willkürlich gewählt werden können, so muss der Zmvachs von Q bei 
wachsendem k mindestens eben so gross sein, als der von P', wir 
haben also die Bedingung: 

k-{-2^k — q-\-2-\-k — r-{-2 
oder k'^q -\- 7' — 2 . 

Sobald k dieser Bedingung genügt, sind die Coefficienten (/r -f- l)**' 
Dimension in /" von einander unabhängig; wir haben also 

k' = k -\- l = q -\-r—l 

für Ä- in P und Q einzusetzen. Alsdann müssen die P Coefficienten 
von /", wo nun 

i>=i(r + 2^ + l)r, 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 341 

lineare Functionen der Q Coeffieienten von Acp -j- BiIj sein, wo 

d. h. zwischen den Coeffieienten von / müssen 

P—0=^rq-^iq{q + l) 

lineare Gleichungen bestehen, unter denen dann die in (23) angege- 
benen q {r — q) Gleichungen enthalten sind. Da nun ausserdem 
I ^ (^ _j_ 1) Bedingungen durch den ^y- fachen Punkt von f in P ge- 
fordert sind, so haben wir folgenden Satz bewiesen: 

fVenn zwei Curven (p = 0, tp = in einem ihrer Schnittpunkte P 
bez. einen q- fachen und r- fachen Punkt haben (r > q}, und wenn eine 
andere durch die Schnittpunkte von cp und ij^ gehende Curve in der Form 

f=Äfp -\- Bjp = 

darstellbar sein soll, so muss diese Curve in P einen q- fachen Punkt 
haben, und, wenn letzterer Anfangspunkt ist, müssen ausserdem die Coef- 
fieienten der Glieder von f bis exclusive zur (r + g — IJ'" Dimension 
rq — ^ q[q -{-l) linearen homogenen Bedingungsgleichungen genügen. 

Ein Theil dieser Bedingungen ist jedenfalls identisch erfüllt, wenn 
f einen m -fachen Punkt {m > q), gleichzeitig A einen {m — ^)- fachen 
und für m> r auch B einen {m — r)- fachen Punkt in P hat; d. h. 
wenn die betreffenden Glieder niederster Dimension in A und B selbst 
fehlen ; für die Terme m*" bis {r -\- q — 2)*«^^ Dimension bleiben da- 
gegen die übrigen Relationen bestehen. Man kann dieselben auffassen als 
Bedingungen für die Lage der verschiedenen durch P gehenden Zweige 
von f zu denen von qp und t/;. Ist also m == r -\- q — 1 , so bestehen 
für die Gruppirung dieser Zweige keine Bedingungen weiter Es er- 
gibt sich dann der wegen späterer Anwendungen wichtige Satz: 

Eine Curve f ^ 0, ivelche in einem Punkte P einen {r -{- q — 1)- 
fachen Punkt hat, und ivelche durch die Schnittpunkte zweier Curven 
(p = 0, ^ = geht, wo (p einen q- fachen, t/; einen r- fachen Punkt in 
P hat, kann immer in der Form 

f= A(p -}- Bxp = 

dargestellt werden, wo A = in P einen (r — 1)- fachen, B = da- 
selbst einen (q — 1)- fachen Punkt hat. 

III. Dualistisches. — Die Pliicker'schen Formeln. 

Neben den singulären Punkten müssen wir, entsprechend dem 
Dualitätsprincipe , auch singulare Tangenten berücksichtigen. Nach 
dem genannten Principe nämlich müssen wir uns jede Curve auf zwei 
verschiedene Arten entstanden denken: durch einen sich bewegenden 



342 Vierte Abtheilung. 

Punkt beschrieben und durch eine sich bewegende Gerade umhüllt.*) 
Der beschreibende Punkt bestimmt in jedem Intervalle eine Richtung, 
und diese einem unendlich kleinen Fortrücken entsprechende Richtung 
ist die Tangente der beschriebenen Curve in dem Punkte. Ebenso 
bestimmt die umhüllende Gerade durch jede unendlich kleine Lagen- 
änderung einen Punkt, denn eine solche kann immer als Drehung um 
einen bestimmten Punkt aufgefasst werden; und dies ist der Berührungs- 
punkt der betrachteten Geraden. Wir erhalten also dieselbe Curve, 
wenn wir die Drehung der Geraden immer als eine Function des 
Fortschreitens eines ihrer Punkte ansehen. In dieser gegenseitigen 
Abhängigkeit beider Bewegungen können aber Besonderheiten vor- 
kommen, und diese sind es, welche zu den singulären Punkten und 
Tangenten Veranlassung geben. Es tritt dies ein entweder, wenn das 
beschreibende oder umhüllende Element ein und dieselbe Lage zweimal 
erreicht, oder wenn das eine der beiden Elemente den Sinn seiner 
Bewegung ändert, während das andere continuirlich weitergeht. Für 
den ersten Fall haben wir im Doppelpunkte ein bekanntes Beispiel, 
für den zweiten im Wendepunkte.'^''') Dem Doppelpunkte entspricht 
^^g- ^^' ^ nun dualistisch die Doppeltangcnlc, 

d. i. eine Tangente mit zwei ver- 
schiedenen Berührungspunkten 
(vgl. Fig. 51); und entsprechend 
den verschiedenen Arten vielfacher Punkte unterscheidet man ebenso viele 
verschiedene Arten vielfacher Tangenten. Es ist aber wohl zu beachten, 
dass eine Doppeltangente nicht als Singularität aufgefasst werden 
darf, insofern man sich die Curve nur als Ort von Punkten denkt, 
und ebensowenig darf ein Doppelpunkt als Singularität gelten, 
wenn maa die Curve als Liniengebilde betrachtet. Wenn nun bei 
einem Doppelelemente zunächst eine Unbestimmtheit für die Fort- 
schreitungsrichtung, d. h. für die Wahl des benachbarten Elements, 
vorliegt, so tritt doch keine Discontinuität in der Bewegung des 
Punktes oder der Tangente ein, insofern man sich dem Doppelelemente 
auf einem bestimmten Zweige nähert und so die Curve in ihrer 
Entstehung auffasst. Anders ist dies beim Wendepunkte, indem hier 
die Singularität in der Beziehung zwischen Punkt und Tangente 
besteht, während es sich nur um einen einzigen Curvenzweig handelt; 
und dualistisch entsprechend ist es beim Rückkehrpunkte. Denn man 
sieht sofort an einer Zeichnung, dass hier der Punkt seine Fort- 
schreitungsrichtung ändert, während die Tangente mit demselben 
Drehsinne weiter fortrückt. Wir Averden Letzteres übrigens auch noch 

*j Vgl. im Folgenden Plücker: Theorie der algebraischen Curven, Bonn 
1839, p. 200 ff. 

**) Vgl. die ausführlichere Erörterung auf p. 310. 




Allgemeine Theorie der algebraischen Curveu. 343 

algebraisch nachweisen, und diese Entwicklung gilt dann ebenfalls für 
imaginäre Singularitäten. 

Durch gleichzeitige Untersuchung dieser beiderlei Singularitäten 
gelingt es nun leicht den scheinbaren Widerspruch zu lösen, welchem 
wir früher begegneten, als es galt, von der Liniencoordinatengleichung 
einer in Punktcoordinaten gegebenen Curve zu dieser ursprünglichen 
Punktgleichung zurückzukehren. Wir werden nämlich erkennen, dass 
es eine Curve von höherer als der zweiten Ordnung, welche weder 
vielfache Punkte noch vielfache Tangenten besitzt, überall nicht gibt, 
dass vielmehr jede Curve höherer Ordnujig ohne vielfache Punkte eine 
bestimmte Zahl von Doppel- oder vielfachen Tangenten haben muss, soivie 
jede Curve ohne vielfache Tangenten eine bestimmte Zahl von Boppel- 
oder vielfachen Punkten. Fügen wir dann die Bemerkung hinzu, dass 
die Zahl n (n — 1) für die Klasse einer Curve beim Auftreten viel- 
facher Punkte gewisse Reductionen erleidet, so wird klar, dass dualistisch 
entsprechend die Ordnung einer mit Doppeltangenten versehenen Curve 
aus ihrer Klasse k nicht unnjittelbar durch die Zahl k (k — 1) zu 
bestimmen ist; und damit ist dann jener scheinbare Widerspruch 
beseitigt. Aehnliches gilt für Wendetangenten und Rückkehrpunkte. 

Die letzterwähnte Bemerkung über die Abhängigkeit der Klasse 
von der Zahl der Doppel- und Rückkehrpunkte folgt aus den oben 
bewiesenen Sätzen über das Verhalten der ersten Polaren in diesen 
Punkten (vgl. p. 322), von denen wir zunächst nur einfache Doppel- 
und Rückkehrpunkte als vorhanden annehmen wollen. 

Die Klasse einer Curve war bestimmt durch die Zahl der Schnitt- 
punkte der ersten Polare eines beliebigen Punktes mit ihr. In einen 
Doppelpunkt fallen aber für jeden Pol zwei, in einen Rückkehrpunkt 
drei idieser Schnittpunkte zusammen; und diese sind nicht mehr als 
eigentliche Berührungspunkte der vom Pole ausgehenden Tangenten zu 
zählen. Jeder Doppelpunkt reducirt daher die Klasse um 2, jeder Rück- 
kehrpunkt um 3 Einheiten, d. h. es ist: 
(1) A: = w (« - 1) — 2 d — 3 r , 

wenn d die Zahl der Doppel-, r die der Rückkehr- ^'^^- ^^■ 

punkte der vorliegenden Curve angibt. So weit es 
sich um reelle Punkte handelt, kann man die 
Nothwendigkeit dieser Reductionen auch in folgender 
Weise einsehen. Man betrachte eine Curve, die zwar 
keinen Doppelpunkt besitzt, von der zwei Zweige aber 
nahe an einander vorbeigehen, so dass aus ihr mittelst 
einer kleinen Deformation eine Curve mit Doppel- 
punkt entsteht. Es ist dann klar, wie die beiden 
von einem Punkte y an diese Zweige gelegten Tan- 
genten {u und V in Fig. 52), in die Verbindungslinie von y mit dem 




344 Vierte Abtheilung. 

Doppelpunkte zusammenfallen, sobald besagte Deformation ausgeführt 
wird, so dass diese Verbindungslinie als uneigentliche Tangente in der 
That zweifach zählt. Dass dann letztere beim Rückkehrpunkt drei- 
fach zu rechnen ist, erkennt man unmittelbar aus unseren früheren 
Betrachtungen über die Entstehung des Rückkehrpunktes aus einem 
Doppelpunkte mit Schleife (p. 323). 

Die Gleichung (1) ist die erste einer Reihe von Relationen, denen 
die für die Curve charakteristischen Zahlen genügen, und welche nach 
ihrem Entdecker*) die Flu cker' sehen Formeln genannt werden. 

Eine zweite Gleichung der Art bestimmt die Zahl der Wende- 
punkte in ihrer Abhängigkeit von d und r. Dieselbe ist bekanntlich 
gleich der Zahl der Schnittpunkte der Grundcurve mit ihrer Hesse'schen. 
Wir wissen aber (vgl. p. 325), dass in einem Doppelpunkte der 
Grundcurve 6, in einem Rückkehrpunkte 8 dieser Schnittpunkte ver- 
einigt liegen. Jeder Doppelpunkt einer Curve reduciri daher die Zahl 
10 ihrer Wendepunkte um 6, Jeder Rückkehrpunkt um 8 Einheilen , d. h. 
es ist:^^) 
(2) ^^; = 3n(n — 2) — 6(? — 8r 

Es ist jedoch sehr wohl möglich, dass die Curve in einem Doppel- 
punkte ausserdem noch Wendepunkte hat, wie dies z. B. bei der 
bekannten Figur der Lemniscate eintritt. Solche Vorkommnisse geben 
zwar zu weitereu Schnittpunkten der Hesse'schen mit der Grundcurve 
im Doppelpunkte, aber nicht zu weiteren Reductionen Veranlassung. 

Aus den Formeln (1) und (2) ergeben sich andere durch das 
Princip der Dualität. Nach demselben entsprechen sich wechselseitig 
Ordnung und Klasse; ferner Doppelpunkt und Doppeltangente; wir 
haben also n durch /.-, d durch t zu ersetzen, Avenn t die Zahl der 
Doppeltangenten bedeutet. Einer Wendetangente, d. h. einer die Curve 
in drei successiven Punkten treffenden Geraden entspricht dualistisch 
ein Punkt, in welchem sich drei successive Tangenten schneiden; und 
zwar ist dies ein Rückkehrpunkt; d. h. die Zahlen w und r entsprechen 
sich in obigen Formeln dualistisch. Zum Beweise vergleichen wir das 
Verhalten der Tangenten in der Nähe einer Wendetangente mit dem 
der Punkte in der Nähe eines Rückkehrpunktes. Beginnen wir mit dem 



*) Flacker: Solution d'une question Ibndamentale concernant la theoric 
generale des courbes. Crelle's Journal, Bd. 12, 1834; vgl. ferner dessen System 
der analytischen Geometrie, Berlin 1835, p. 289 und: Theorie der algebraischen 
Curven, Bonn 1839, p. 207 ff. 

**) Aus Fig. 52 erkennt man leicht, dass ein Doppelpunkt mit reellen Tan- 
genten immer zwei reelle Wendepunkte absorbirt; dieselben sind in der Figur 
bezeichnet. Ebenso werden nach Fig. 53 durch eine Doppeltangcntc mit reellen 
Berührungspunkten zwei reelle Spitzen absorbirt. 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 345 

letzteren und verlegen denselben in den Anfangspunkt, so ist die 
Gleichung der Curve von der Form (p. 322): 

/ = a;2z" - 2 -{- ySz« - 3 -f . . . = 0. 

Die Coordinaten der Tangente eines dem Anfangspunkte unendlich 
benachbarten Punktes x, y, z sind daher unter Vernachlässigung 
von Gliedern höherer Ordnung der Kleinheit: 

QU =^ = 2xz--'' 
Qv =|^==3yV-3 

Qia = ^^ = (n — 2) x^z"-' + (n — 3) t/z"-^. 
Mit Hülfe der Gleichung x'^z -\- i/ = folgt hieraus die Bedingung: 

der die Tangenten der Curve in der Nähe des Rückkehrpunktes 
genügen: eine Curve dritter Klasse, welche die Aufeinanderfolge der 
Tangenten in der Nähe dieses Punktes darstellt. Sehen wir von dem 
Zahlenfactor ^\ ab, so ist also die Curve in der Nähe des Rückkehrpunktes, 
aufgefasst als Punktgehilde von dem Typus: x^z +y=^ = 0, 
„ „ Liniengehilde „ „ „ •• u^ iv -\- v^ =- , 

wo nun x = 0, y = die Coordinaten des Rückkehrpunktes, 'v = 0, 
IV = die seiner Tangente sind. Die letztere Gleichung ist aber das 
dualistische Gegenstück der für den Wendepunkt charakteristischen 
Form (vgl. p. 328): 

xz"^ ~\- y^ = . 

Denn wir haben tu durch x, u durch z zu ersetzen, weil die Coor- 
dinaten der Rückkehrtangente in der ersten Gleichung y = 0, w = 0, 
in der zweiten die des Wendepunktes .i; = 0, y = sind. Zu demselben 
Resultate gelangt man natürlich, vom Wendepunkte ausgehend. Es 
ist dann die Gleichung der Curve in der Nähe des Wendepunktes: 

xz"" + ?/3 = ; 

und also sind die Coordinaten der Wendetangente: 

QU = z'^j QV = 3y'^, Q IV = 2 xz . 

Dieselben genügen der Bedingung: 

4^3 _ 21uiü^; 

und ersetzen wir wieder u durch z, iv durch x, so haben wir den 
Typus des Rückkehrpunktes: Die Gleichung der Curve in der Nähe des 
IVendepunkies ist daher , 



346 



Vierte Abthcilung. 



aufgefasst als Punktgebilde, von dem Typus xz"^ -{- y^ 



Liniengehilde , 



II w 



+ v^ 



0, 
0. 



In Bezug auf das Unendlichkleine verhält sich daher der Rückkehr- 
punkt (^^ = 0), ivie die Wendetangente {x=0), imd der Wendepunkt 
ivic die Rückkehrlangente. 

Wir fassen diese Resultate in der folgenden Tabelle über- 
sichtlich zusammen, in welcher zwei neben einander stehende Singulari- 
täten sich dualistisch entsprechen : 



Punktcoordinaten. 
Üoppelpunkt mit zwei reellen Tan- 



genten. 



Liniencoordinaten. 
Doppeltangente mit zwei reellen 
Berührungspunkten. 
Wendetangente. 
Doppeltangente mit zwei imagi- 
nären Berührungspunkten (isolirte 
Tangente). 
Rückkehrtangente. 



Rückkehrpunkt. 

Doppelpunkt mit zwei imaginären 

Tangenten (isolirter Punkt). 

Wendepunkt. 

Zufolge dieser Ueberlegung gibt nun die dualistische Uebertragung 
der Gleichungen (1) und (2) die folgenden beiden Relationen: 

(3) n= k{k~\) — 2t—'6w 

(4) r = 3 /t (/t — 2) — 6^ - 8 m;. 

Den Inhalt der Gleichung (3) kann man sich, wie bei Gleichung 
(]), auch direct geometrisch veranschaulichen, wenigstens soweit es 
auf das Reelle ankommt ; und zwar geschieht dies, indem man von einer 
Curve ausgeht, die nur noch ein Wenig deformirt zu werden braucht, 
um eine Doppeltangente zu erhalten. Es laufen dann zwei Zweige 

der Curve eine Strecke 

^i5 dicht neben einander 

her, wie in Fig. 53, um 

^^ '' ' dann bei Ausführung 

der Deformation in die 



Fig. 53. 




et Doppeltangente zusam- 
menzufallen. Die beiden 
Schnittpunkte einer be- 
liebigen Geraden (w) mit 
erwähnten Curvenzweigen werden dabei auf die Doppeltangente verlegt, 
und sind somit als uneigentliche Schnittpunkte von der Zahl k{k—V) 
abzuziehen. In der That ist ja ein Schnittpunkt von u mit der Curve 
dadurch definirt, dass von ihm aus zwei zusammenfallende Tangenten 
an die Curve gehen; Letzteres ist aber für jeden Punkt einer Doppel- 
tangente der Fall. Lässt man ferner bei der Curve mit Doppel- 
tangente in Fig. 53 die beiden Berührungspunkte derselben allmählich 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven, 347 

zusammenrücken, so erkennt man, dass noch ein dritter Schnittpunkt 
von u in die Doppeltangente fällt, während diese selbst zur Wende- 
tangente wird. (Man kann dabei etwa die mit a bezeichneten Zweige 
ganz 'in die Doppeltangente fallen lassen, so dass die in Fig. 53 
punktirte Curve entsteht.) 

Die 4 Plück er 'sehen Formeln (1), (2), (3), (4) zeigen, dass 
wirklich jede Curve gewisse der behandelten Singularitäten besitzt, wie 
es oben behauptet wurde. Ferner gibt uns die Gleichung (3) die 
Ordnung der Curve in Function ihrer Klasse ; die verlangte Reduction 
ist also durch das Auftreten von Doppeltangenten und Wendetangenten 
bei jeder allgemeinen Curve n'" Ordnung bedingt und geleistet. 
AVende- und Rückkehrpunkte können nur gleichzeitig fortfallen für 

k = n , d = t = ^ , 

also für eine sehr specielle Art von Curven gerader Ordnung; 
Doppel -Punkte und -Tangenten nur für 

Ä (jfc — 2) 

k = n , r = IV = g — - , 

also, abgesehen von Curven zweiter Ordnung bei einer besondern Art 
von Curven der Ordnung 3 h oder 3 Ä -f- 2. Beides zugleich dagegen 
kann für n > 2 nicht eintreten. 

Die vier Gleichungen, welche zwischen den drei Paaren regel- 
mässiger Singularitäten, d. i. den Zahlen nk, dt, rtu bestehen, sind 
jedoch nicht von einander unabhängig. Vielmehr ist eine die Folge 
der drei übrigen; denn aus (1) und (3) folgt ebenso, wie aus (2) und 

(4) die dualistisch nicht mehr zu verändernde Gleichung: 

(5) Z{k — n) = iu — r. 

Durch drei der sechs Singularitäten sind daher die drei übrigen 
völlig bestimmt. Ist z. B. eine Curve w*^"^ Ordnung ohne Doppel- und 
Rückkehrpunkte gegeben, so hat man: 

k = n (ri — 1) 

IV = 3n (n — 2) 

t =^w(w~2)(w2 — 9). 

Die 3 n (/? — 2) Wendepunkte haben wir früher durch eine sie 
ausschneidende Curve von der Ordnung 3 n (n — 2) bestimmt. Ganz 
ähnlich können wir auch die Zahl l direct ableiten, indem wir eine 
Curve von der Ordnung (n — 2) (n- — 9) angeben, welche durch die 
n {n — 2) (n2 — 9) Berührungspunkte der Doppeltaugenten hindurch- 
geht. Die Möglichkeit dieser Bestimmungsweise ist keineswegs selbst- 
verständlich; denn wir werden später sehen, dass von den Schnitt- 
punkten zweier Curven immer eine gewisse Anzahl durch die übrigen 



348 Vierte Abtheilung. 

bestimmt wird, so dass es nicht möglich ist, ein jedes Punktsystem 
auf einer algebraischen Curve ohne Auftreten weiterer Schnittpunkte 
mittelst einer andern Curve auszuschneiden.*) 

Sei y der Berührungspunkt einer Tangente und x ein beliebiger 
Punkt derselben, so ist: 

rty" = und «/ - 1 «^ = 0. 
Aus der Gleichung m*«° Grades 

welche die übrigen « — 2 Schnittpunkte der Tangente bestimmt, 
sondert sich dann ein Factor X^ ab. Die übrig bleibende Gleichung 
in — 2)ten Grades muss eine Doppelwurzel haben , wenn die Linie loy 
Doppeltangente sein soll. Den Punkt x können wir nun insbesondere 
als Schnittpunkt der Tangente von y mit einer willkürlichen Geraden 
Uy, «2 7 ^3 definiren, so dass wir die x durch die Unterdeterminanten 
aus den Ui und den Grössen a,/-'^ai = b,/-ni zu ersetzen haben. 
Die Forderung, dass y Berührungspunkt einer Doppeltangente sei, 
ist dann gegeben durch das Verschwinden der Discriminante der 
Gleichung: 

(6) ' [liay + ^ {.ahu) h,/ ~ i]" = 0. 

Wenn es gelingt, die Discriminante unabhängig von den w,- darzu- 
stellen, so gibt ihr Verschwinden eine Curve der verlangten Art. Dies 
ist aber in der That immer möglich, denn aus der Discriminante F{y, u) 
lässt sich ein Factor Uy'* immer absondern. Setzen wir nämlich: 

k = QVy, 

SO folgt wegen der Identität 

• {abu) Vy = {avu) by -f [abv) Uy — {bvu) üy 

und wegen by" = aus (6) : 

[(^ — Q {bvu) b,/^ - 1) cty + QUy (abv) by"--"]" = 
oder 

(7) [fi'ay^X' {abv)by"-^y = 0, 
wenn man setzt: 

^' = QU,, = A 'V . 



"!/ 



*) Man kann auch mittelst des Uebertragungsprincips immer ein System 
von Curven angeben, das die Doppeltangenten 7ai gemeinsamen Tangenten hat, 
sobald man die Bedingung für das Auftreten zweier Doppelwurzeln in einer bi- 
nären Form «ter Ordnung hat. Vgl. die Aumerk. auf p. 280. 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 349 

Die letzteren Gleichungen geben eine lineare Substitution für die 



l 
mit 



binäre Veränderliche - mit der Determinante; 



^ 

Bei der linearen Substitution kann sich die fragliche Discriminante 
nur um eine Potenz dieser Determinante ändern; ferner ist der Aus- 
druck (7) von derselben Form, wie (6) : es sind nur die u durch die v 
ersetzt. Wir haben daher 

oder 

F(y, u) ^^ F {y , v) 



"y 



d. h, äie Discriminante ist von den wiUküiiichen Grössen ut völlig vnah- 
liängig. Sondert man daher den Factor Uy so oft ab, dass der Rest die 
w, nicht mehr enthält, so wird letzterer eine Curve darstellen, deren 
Ordnung zu bestimmen ist. Dies geschieht mittelst der Regel: 
Wenn in einer Gleichung 
a^yj^ + ?nai(i"'-n + . . . + m «,„_ifiA'»-i _|_ a,,,^^^ = 
die Coefficienten «/ homogene Functionen von x^y x.^, x.^ sind, und die 
Zahlen für den Grad dieser Fu?ictionen «,, , a, , «o • • • ^»^ ^"*^ arithmetische 
Reihe bilden: so ist die Discriminante vom Grade {m — 1) («o + ^»O "* 

Wir beweisen dies in folgender Weise. Der Grad der Discriminante 
F {Uq, «1 . . . «„,) ist derselbe in Bezug auf die x, wie der Grad, auf 
welchen der Ausdruck 

i^(«o^"^ «1^"', • • • ttmt"'") 
in Bezug auf t ansteigt. Bilden nun die Zahlen a^, a^ . . a„, eine 
arithmetische Reihe mit der Differenz /3, so dass 

«»• = «0 + ^ß' 
so hat man, da F vom Grade 2 (m — 1) in den «, ist: 

F (a^t""^ a^t"', . . . a„j"'") = f^'n-i)a.p («^^ a^t^ , a.J'^^, . . . «m^'"'*). 

Hier steht aber rechts die Discriminante einer Gleichung m*^° Grades 
in den Veränderlichen A', \i , aus welcher die gegebene Gleichung in 
X, fi, durch die lineare Substitution: 

A' = tn 



350 Vierte Abtheilung. 

hervorgeht. Durch die Substitution ändert sieh die Discriminante um 
die m {m — 1)*^ Potenz der Substitutionsdeterminante //* (vgl. p. 195), 
d, h. wir haben: 

F{a^, a,tß, a.,t^ß, ..., «„./-/») = p(—i)/J . ^^ («^^ a,, ... a„) , 
und daraus: 

F{a,t"o, a,t"^, . . . a,,f-*) = ^(—i)(2«o+-/?) , p [a„ a„ . . . « J , 
oder da 2 «y + mß = «o + ^m ist: 

/' (^/o^"% fit"", • • . a,„f»-) = ^(— i)(«o+«.), ^(^^^ ^^^ _ ,g _ 

Hier enthält F {a^, «j . . . «„,) die Grösse t gar nicht; der links 
stehende Ausdruck ist daher vom Grade {m — 1) {a^^ + a,„) in /; und 
also auch unsere Discriminante von ebenso hohem Grade in x^, x.,, x^ 
w. z. b. w. 

In unserem Falle nun ist tn = n — 2 zu setzen, und die Coeffi- 
eienten der gegebenen Gleichung sind bez. 

vom Grade (n — 2), (;i _ 3), . . . 1 , in den y,- 

yy ;j ^ ? 3 , . . . (n — 1) , w „ „ Xi. 

Ferner sind die Xi wieder vom Grade w — 1 in den yi und linear in 
den Wi-; im Ganzen ist daher nach dem eben bewiesenen Satze F {y, n) 
vom Grade 

(n — ^)(n-2)-\-(n — 3) (ji + 2) (w - 1) = Qi — 3) («2 + 2 « ~ 4) 
in den yi und vom Grade (n — 3) (« + 2) in den w,-. Es muss sich 
daher aus F(y,u) ein Factor ?^y(" - 3) (« + 2) absondern lassen, so dass 
der Rest vom Grade 

Ol - 3) (^2 + 2n - 4) — (n — 3) (n + 2) = (w — 2) (w^ — 9) 

in den y ist. Die Gleichung ^^ (//, w) = stellt dann eine Curve dar, 
welche die gegebene Curve w*« Ordnung in den Berüln-ungspunkten 
der Doppeltangenten schneidet. Da nun auf jeder dieser Tangenten zwei 
Berührungspunkte liegen, so haben wir den zu erweisenden Satz: Bie 
Zahl der Doppeltangenten einer Curve n'"' Ordnung ist im AUgemeinen 
gleich \ n (n — 2) (n2 — 9).*) 

*) Eine die Berührungspunkte der Doppeltangenten ausschneidende Curve 
wurde zuerst von Cayley angegeben: Crelle's Journal, Bd. 34, p. 37. Für die 
Darstellung im Texte vgl. einen Aufsatz von Jakobi ib. Bd. 40, p. 37 und von 
Clebsch ib. Bd. 63^ p. 186. Die wirkliche Absonderung der überflüssigen Fac- 
toren bei Curven 4. Ordnung gab Hesse, ib. Bd. 36, p. 156, Bd. 40, p. 260 und 
Bd. 41, p. 292. — Eine andere Methode zur Bestimmung dieser Curven rührt von 
Salmon her (Quaterly Journal of inathematics, vol. 3 und Higher plane curves, 
chap. IX); dieselbe wurde bewiesen von Cayley: Philosophical Transactions, 
1859, p. 193 und 1861, p. 357. — Vgl. auch die auf den Principien der symboli- 
schen Rechnung beruhende Darstellung von Dersch: Math. Annalen, Bd. 7, p. 497. 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 351 

Die Reduction, welche diese Zahl zufolge der Plücker'schen Formeln 
durch das Auftreten von Doppel- und Rückkehrpunkten erleidet, 
können wir leicht aus unsern obigen Gleichungen bestimmen; man 
findet die folgende Formel:*) 

(8) t==^ 71 (n - 2) (n2 _ 9) — (2 rf + 3 r) [n (w — 1) - 6] + 2 ^ (<? — 1 ) 

-\-^r{r — V)-\-Qdr. 

Die Plücker'schen Formeln lassen sich in besonders einfacher 
Gestalt schreiben, wenn wir neben n, k, d, r, i, w noch eine siebente, 
sich selbst dualistisch entsprechende Singularität einführen: das 
Geschlecht der Curve.**) Dasselbe (p) ist definirt durch 

(n — 1) (« — 2) , 
p = y^ ^-^ <■ — d — r 

(9) 

Auf die eigentliche Bedeutung dieser Zahl werden wir erst später bei 
der Theorie der eindeutigen Transformationen geführt werden; wir 
benutzen dieselben hier nur, um die vier Pliickerschen Formeln in der 
folgenden einfachsten Form darzustellen, welche sich auch dem Gedächt- 
nisse am leichtesten einprägen dürfte: 

2/? — 2 = X: + r — 2w "^ vi^^j 

==n-\-w — 2k ' - ^- 

^^^^ =;Kn-3)-2(rf + r) . ^;^ 

= Ä-(Ä- — 3) — 2(/+^^). r> 

Diese Gleichungen geben nur die nothwendigen Relationen, 
welchen die Singularitäten einer algebraischen Curve unter allen Um- 
ständen genügen müssen. Es ist jedoch bisher nicht bewiesen worden, 
dass U7ngekehrt jedes System ganzer Zahlen^ das den VlücVer"^ sehen 
Formeln genügt, wirklich bei einer Cwve auftreten kann. Man ist im 
Allgemeinen nur in der Lage, gewisse obere Grenzen für d, r, t, w 
anzugeben, welche diese Zahlen nicht überschreiten dürfen; und zwar 
gilt der Satz: "^^^^ 

Es muss im?ner p^O sein , woin die Curve nicht in niedrigere 
Curveji zerfallen soll, d. h. 



s^ 



*) Man kann sich die Bedeutung dieser einzelnen Reductionen auch direct 
geometrisch veranschaulichen; vgl. darüber Plücker: Theorie der algebraischen "~^ 
Curven, p. 210. 

**) Der Begriff des Geschlechts einer algebraischen Function wurde von 
Riemann eingeführt: Theorie der Abel'schen Functionen, Crelle's Journal, «^ 
Bd. 54, für die Curventheorie verwerthet besonders von Clebscb (zuerst ib. - 
Bd. 63, p. 189 und Bd. 64,). Vgl. die sechste Abtheilung dieser Vorlesungen, - -^ 



352 Vierte Abtheilung. 

und 

(k -l){k- 2) ^ . , 

Wäre nämlich p <. 0, also etwa 

(oder grösser) , so könnte man eine (eigentliche oder zerfallende) Ciirve 
(;i _ i)ter Ordnung durch diese Doppel- und Rückkehrpunkte und 
durch 

(n - 1) (n + 2) („_!)(„_ 2) 

2 2 \- l = Jn — ö 

andere Punkte der Curve n*" Ordnung legen. Diese Curve würde mit 
der gegebenen 

2( ^°~^V"~ - + ') + 2«-3 = «(«-]) + l 

Schnittpunkte haben, also einen mehr, als möglich ist, wenn nicht 
Theile der Curven zusammenfallen, und also die Curve n*" Ordnung 
zerfallen soll; damit ist obiger Satz bewiesen. Für den Fall p --= 
d. h. für 



_(n — l)(n~2) 

haben wir insbesondere 



" + '■ 



w 



= 3(w — 2) ^ 2r, 
und somit auch eine obere Grenze für die Zahl der Rückkehrpunkte, 
denn tv darf niemals negativ werden : Unter den ^-^:iili^~^ Doppel- 

und Rückkehrpunkten einer Curve vom Geschlechte Nidl können höchstens 
I (w — 2) Rückkehrpunkte vorhanden sein. 

Wenden wir nunmehr die gewonnenen Resultate auf die ein- 
fachsten Curven an, so erhalten Avir für Kegelschnitte zunächst nichts 
Neues. Es ist hier 

d = r ==w = t = 0, 
und 

A- = w = 2; 

dagegen k = 0, für n = 2, d=\, d. h. das Linienpaar ist von der 
Klasse Null, wie es sein muss (p. 309). Entsprechend hat man beim 
Punktepaare k = 2, t = \, n = 0. 

Bei Curven dritter Ordnung oder dritter Klasse ist im Allgemeinen 
^ = 1, und daher im Besonderen nur ein Doppel- oder Rückkehrpunkt, 
bez. eine Doppel- oder Wendetangente möglich. Für die möglichen 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 353 

Singularitäten bei Curven dritter Orämmg erhalten wir somit aus den 
P lücker 'sehen Formeln die folgende Tabelle: 







n = 


V) 






d 


r 


k 




w 


P 








G 




9 


1 


1 





4 




3 








1 


3 




1 





und entsprechend für Cyir 


ven dritter 


Klasse : 








/• = 


3 






t 


w 


n 




r 


P 








() 




9 


1 


1 





4 




3 








1 


3 




1 






Bei Curven vierter Ordnung treten noch Doppeltangenten hinzu. 
Ferner ist im Allgemeinen ;> = 3; es können also drei Doppelpunkte 
vorkommen, und da \{n — • 2) = 3 ist, auch drei Rückkehrpunkte. 
Wir haben demnach die folgfende Tabelle: 







;/ = 


= 4 






d 


r 


k 


IV 


t 


/' 








12 


24 


28 


3 


1 





10 


18 


IG 


2 





1 


9 


IG 


10 


2 


2 





8 


12 


8 


1 


1 


1 


7 


10 


4 


1 





2 


G 


8 


1 


1 


3 





G 


G 


4 





2 


1 


f) 


4 


2 





1 


2 


4 


2 


1 








3 


3 





1 






Die vorletzte Curve dieser Tabelle entspricht sich selbst dualistisch; 
die letzte Curve ist identisch mit der vorletzten in der Tabelle für 
k = 3. Die letzte Curve dieser Tabelle entspricht sich ebenfalls selbst 
dualistisch. Wie die Erfahrung gelehrt hat, existiren die hier auf- 
gezählten Curven dritter und vierter Ordnung auch sämmtlich. 

Wir haben bisher uns auf die Berücksichtigung einzelner Doppel- 
punkte etc. beschränkt. Die aufgestellten Formeln haben aber 
allgemeine (Jültigkeit, denn man kann höhere vielfache Punkte in 
ihrem Einflüsse auf Klasse der Curve und Zahl der Wendepunkte 

Clebsch, Vorlesungen. 23 



354 Vierte Abtheilung. 

immer durch eine gewisse Anzahl niederer Singularitäten ersetzen. 
Dies ist zunächst evident bei einem r- fachen Punkte mit lauter 
getrennt verlaufenden Zvi^eigen. Denn in einem solchen hat jede erste 
Polare einen (r — 1)- fachen Punkt, dessen Zweige die der Grundcurve 
nicht berühren, und es fallen daher r (r — 1) der vom Pole aus- 
gehenden Tangenten in seine Verbindungslinie mit dem r- fachen 
Punkte zusammen. Ebenso viel beträgt die Erniedrigung der Klasse 

/.-, d. h. wir haben d = — ^ — - zu setzen : Der r - fache Punkt ist 

äquivalent mit ^— ~ Doppelpunkten, wie wir es früher schon in 

anderer Weise gezeigt haben (p. 329). Dasselbe gilt auch für die 
Zahl der Wendepunkte; denn man überzeugt sich leicht, dass die 
Hesse'sche Curve in dem r-fachen Punkte ebenfalls einen r- fachen 
Punkt hat und die Zweige der Grundcurve sämmtlich berührt. 

In ähnlicher Weise hat man auch complicirtere Singularitäten 
aufzulösen ; man wird zu dem Zwecke den betreffenden Punkt in einen 
Eckpunkt des Coordinatendreiecks legen und dann die Gram er 'sehe 
Regel auf denselben anwenden (vgl. p. 330 ff.). Es ist dabei jedoch zu 
beachten, dass eine Singularität durch gleichzeitiges Auftreten viel- 
facher Tangenten in einem vielfachen Punkte entstehen kann; und 
dadurch wird dann ihre Untersuchung erschwert. Cayley hat zur 
Behandlung solcher Fälle Regeln angegeben*), nach denen es gelingt, 
mittelst Reihenentwicklungen den Einfluss der Singularität auf die 
Klasse zu bestimmen; es fehlt jedoch bisher an einer vollständigen 
Darstellung dieser Verhältnisse. 

Die Beweise für die Plück er 'sehen Formeln beruhen wesentlich 
auf den Sätzen über das Verhalten der Polaren und der Hesse sehen 
Curve in den Doppel- und Rückkehrpunkten der Gi^ndcurve. Diese 
Sätze haben wir gelegentlich bewiesen und beim Beweise eine specielle 
Lage des Coordinatendreiecks benutzt. Die symbolischen Methoden 
geben jedoch ein Mittel, um diese Hülfssätze auch leicht direct ohne 
Verlegung des Coordinatensystems abzuleiten, so dass ihr projecti- 
vischer Charakter auch äusserlich hervortritt; und wir wollen hierauf 
um so lieber eingehen, als uns darin ein passendes Beispiel für solche 
symbolische Rechnungen vorliegt. 

Es sei die Gleichung der Grundcurve : 
(1) = aj' =- />.,." = c^' = • • • , 

und y ein Doppelpunkt derselben, so dass: 



*) Cayley: On the higher singularities of plane curves, Quaterly Journal, 
vol. 7; und: Note sur les singularites des courbes planes, Crelle's Journal, l^d. (U, 
p. .'5G9. — Vgl. auch den Schluss dieser Abtheilung der Vorlesungen. 



Allgemeine Theorie der algebraischen Cnrven. 355 

(2) ciy" - ißTj == , «y" - i«2 = ^ ' ^'y' -^«3 = 0. 

Durch diese Gleichuugen ist unmittelbar ausgesprochen, dass die erste 
Polare eines jeden Punktes durch den Doppelpunkt geht. Die (n — 2)*® 
Polare des letzteren: 

(3) ■ V~'«.t' = 

stellt dann das Product der beiden Tangenten in y dar. In Linien- 
coordinaten gibt dieselbe daher doppelt zählend die Gleichung ihres 
Schnittpunktes (vgl. p. 106), d. h. wir können setzen: 

(4) (« h uf a,/ - 2 b," - 2 = ^ . ?// . 

Dieser Ausdruck verschwindet wegen (2) jedenfalls, wenn man 
setzt : 

und zwar unabhängig von den Werthen der xi. Wir haben daher 
die drei Gleichungen: 

(5) Q Cy" -^Ci= {ahcf üy" - 2 by" -^Cy"-^Ci = 0, 

und diese sagen aus, dass die üesse'sche Curve im Punkte tj einen 
Doppelpunkt hat. 

Das Tangentenpaar der Hesse'schen Curve im Doppelpunkte ist 
gegeben durch: 

n~^) . («&nVv-2&/ - 2^^«-4^^2_|_2 (;, _2) . {abcfa,f-^by^-'^Cy''-H,.c,,=(). 

Das erste Glied des links stehenden Ausdrucks entsteht (bis auf den 
Factor n — 3) aus der linken Seite der Gleichung (4), wenn man darin 

Uillk = CiChCy"-'^cJ- 

setzt. Durch diese Substitution wird aber auf der rechten Seite 
von (4) : 

Uy i- y Vj: , 

und also gibt das erste Glied unseres Ausdrucks, gleich Null gesetzt, 
das Tangentenpaar der Grundcurve: wir werden zeigen, dass dies 
auch mit dem zweiten Gliede der Fall ist, nämlich mit: 

U={abcf cty" - '^by" -'^Cy" - ^b^-c^. . 

Multipliciren wir diesen Term mit Uy, wo die Vi ganz willkürliche 
Grössen sind, so ist identisch (nach III, p. 283) : 

U .Uy = aj' - -by"-'^Cy"-^ba:Ca: {(tbc) .f^{bcu) fiy — (acti) by + (ahn) Cyj . 

Hier verschwindet das erste Glied wegen (2); die beiden andern sind 
identisch, da das eine aus dem andern durch Vertauschung von b und 
c hervorgeht; mithin ist: 

23* 



356 Vierte Abtheilung. 

V . u„ = 2ay"-%,"-^Cy"~^b^.c,-, (abc) {abu), 

= ay"-^b,/'-'^Cy"-'^ba: {abc) Habii) c^ — {bcu) aA 

oder nach der Identität III, p. 283: 

U .Uy = a/-^by"-^ry"-^b,r (abc) |(ärcw) b,r — (abc) ifA. 

Der zweite Term verschwindet nach (5), und der erste hat nach (4) 
den Werth: 

U . Vy = — Qby" - ^bj . Uy , 

denn er entsteht bis auf das Vorzeichen aus 

(abu) (abv) ay"-^by" '^ = [acu) {acv) Oy"- ^Cy"-^ = QUy . Vy , 

wenn man v; ■■= i>/~^bjbi setzt. Damit ist unsere Behauptung 
bewiesen : die Hesse 'sehe Curve beruhigt die beiden Zweige dei' Grund- 
curve im Doppelpunkte. Dass die Tangente einer beliebigen ersten 
Polarcurve harmonisch zu dem Tangentenpaare des Doppelpunktes 
und zu der Verbindungslinie des letzteren mit dem betreffenden Pole 
{z) ist (p. 322), folgt daraus, dass diese Tangente: 

(6) r//-2äf.a^ = 

zufolge der Form ihrer Gleichung mit der Polare des Punktes z in 
Bezug auf das Linienpaar «,/' "~ ^ a-^"^ = zusammenfällt. 

Hat die Grundcurve im Punkte y einen Rückkehrpunkt, so wird 
die quadratisch^ Polare von y das vollständige Quadrat eines linearen 
Ausdrucks, d. h. es ist: 

(7) ay"-'~aj = vj, 

wo Vi die Coordinaten der Rückkehrtangente bedeuten. Die Gleichung 
der Tangente der ersten Polare eines Punktes z in y (6) ist dann 
identisch mit 

y^ . y . = ; 

also : die erste Polare eines beliebigen Punktes boidirt die Bi'ickkehrlangente 
im Rückkelirpunkte. 

Aber in letzterem hat auch die (« — 3)*'' Polare von y, 

tty'-^aj' = 

Rückkehrpunkt und Rückkehrtangente mit der gegebenen Curve 
gemein. Nach dem eben bewiesenen Satze berührt also die Polare 
eines Punktes in Bezug auf diese Cnrve dritter Ordnung: 

die Rückkehrtangente v im llückkehrpunkte. Folglich wird die 
Gleichung dieses Kegelschnittes in Linien coordinaten: 

ö^« - 3 by'' -'^ {ab uy a, b, = 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 357 

erfüllt, wenn man setzt: 

und zwar unabhängig von den z,. Es ist daher die Gleichung: 

(8) {ahc)' ay"-'^by"-'^c,/--a-J., = 0*) 

identisch erfüllt. Dies ist aber die Gleichung der quadratischen Polare 
von ij in Bezug auf die Hesse "sehe Curve; denn das in derselben 
sonst noch auftretende Glied 

üy'' - '^ by" - ^ Cy" -'^ (abcY n,' 

geht aus dem wegen (7) verschwindenden Ausdrucke (bcuj-b.," - '^Cy"-'^ 
für UiU/c ^== aiaka,/'-'^aJ hervor, und ist demnach ebenfalls identisch 
Null. Aus (8) folgt also: Die llesse'schc Curve hat im Rückkehrpunkie 
der Gnmdcurve einen dreifachen Punkt. 

Die Bestimmung der 3 Tangenten im dreifachen Punkte werden 
wir leicht erledigen, wenn wir zuvor die entsprechenden Verhältnisse 
bei Curven dritter Ordnung betrachtet haben. Hat eine solche einen 
Rückkehrpunkt y mit der Rückkehrtangente v, und ist ^ ein Punkt 
der letzteren, so geht die Gleichung (7) über in: 

OyCtJ =^vj = {xyif. 
Es sei nun 

A = {abcy'a,^.b,,:C,r, 

so wird, wenn die lu beliebige Grössen bedeuten: 

Auy = {(ibc) a^rb.vC.^ ^{abu) Cy — (acu) by + {bcu) </y} 
= 3 {(ibc) {(ibii) axb.vCa:Cy = 3 {abv) (abu) a,^b,^ . i-.^ 
= 3 (cfybt — byat) (abii) (/.,.b.c . v.v 
= 6 Oybi (abi/) ar:ba: . ?'x = 6 (vbii) b.rb^ . vj. 

Da wir nun die w, so gewählt annehmen können, dass der Factor 
(vbii) b^rbt nicht identisch Null ist, so folgt: Die Resse'sche Curve einer 
Curve dritter Ordnung mit Rückkehr punkt besteht aus drei geraden Linien, 
von welchen zivei mit der Rückkehrtangente zusammenfallen (vgl. p. 327). 
Bei Curven w»" Ordnung sind uns die drei Tangenten der 



*) Das Verschwinden dieses Ausdruckes, der mit P bezeichnet sei, erkennt 
man auch in folgender Weise. Es sei i ein Punkt der Rückkehrtangente {v^ = 0;, 
dann ist nach (7): 

und ferner: 

Hieraus folgt wieder, dass identisch: 



358 Vierte Abtheilung. 

Hesse'schen Curve dargestellt durch die cubische Polare von y in 
Bezug auf letztere, d. h. durch die Gleichung: 

. denn das Glied 



{ahcf ay"-^b,/-^c 



n — ^n 3 



verschwindet wegen (7) identisch. Wir untersuchen nun die beiden 
Glieder in (9) einzeln: Das erste, für sich gleich Null gesetzt, gibt 
die Hesse'sche Curve der Curve dritter Orduuno; 

^y ^oc — ■ ^ > 

welche in y auch einen Rückkehrpunkt mit der Rückkehrtangente v 
hat; es enthält daher nach dem soeben bewiesenen Satze den Factor 
?'.^.-. Dasselbe gilt aber auch für das zweite Glied auf der linken 
Seite von (9j, Bezeichnen wir dasselbe nämlich, abgesehen von dem 
Factor 2 {n — 3) durch Q, so ist nach (7): 

Ist nun wieder h, ein Punkt der Rückkehrtangente, also v^ =• 0, so 
wird ferner: 

= ay"-%"-^ (_a^bt - b.a.y ajb,, 

= a,j"~'' aj . b,j" - =5 bt^ b.r + a^- - " r/.,^ «.'^ . b/ ~ ^ b.r 
— 2 a,/ - 3 «.^2 rt, . h,/ - 2 h:, b^^ , 
oder wegen (2) und (7): 

Q = vJ . by'^-^b^b:, — 2 i\^v^^ . a,/ ~ -^aja'^ 
und endlich wegen v^ = 0: 

0=vJ.b/-H^H,,. 

Es enthält also in der That der Ausdruck (9) den* Factor vj, und 
somit haben wir den Satz : Bat eine Curve einen Rückkehr punkt , so hat 
in ihm die Ress e'sche Curve derartig einen dreifachen Punkt, dass zwei 
Tangenten derselben in ihm mit der Rückkehr tangenle der gegebenen 
Curve zusammenfallen. 

In der Umformung, welche wir mit Q vorgenommen haben, liegt 
ein geometrischer Satz. Es ist nämlich 

Q = ay^-%'' - 3 (^^,^yy2 ^^2^,^ ^ 
die Gleichung der ersten Polare von y in Bezug auf die Curve: 
(10) «/' - 4 hy>^ -^ {ab vf a^^ bj = . 

Die letztere hat daher ebenso wie Q in y einen dreifachen Punkt. In 
(10) haben wir aber gleichzeitig die Gleichung des Kegelschnittes 



"-^«.r^a.^^o 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 359 

in Linieneoordinaten, d. h. der quadratischen Polare von x in Bezug 
auf die Curve : 

(11) a,;'-'a,^ = 0,, ■ 

eine Curve vierter Ordnung mit Rückkehrpunkt in y. Die Gleichung 
(10) gibt also den Ort der Punkte x, deren quadratische Polaren in 
Bezug auf (U) eine Linie mit den Coordinaten vi berühren. Hat also 
eine "curve vierter Ordnunff einen Rückkehrpunkt, so liegen die Punkte, 
deren zweite Polaren die Rückkehrtangente Urühren, auf einer andern 
Curve vierter Ordnung. Die letztere hat im Rückkehrpunkte einen drei- 
fachen Punkt, und zwei ihrer Tangenten in diesem fallen ?mt der 
Rückkehrtangente der gegebenen Curve zusammen. 

IV. Ueber einige covariante Curven. 

Es wurde schon früher bemerkt (p. 316), dass man in symbolischer 
Form sofort unbegrenzt viele Covarianten hinschreiben kann, deren 
Bedeutung dann eben mittelst der Polarentheorie zu erschliessen ist. 
Von solchen Covarianten sind jedoch allgemein bisher nur wenige 
untersucht, nämlich diejenigen, welche durch die einfachsten geome- 
trischen Forderungen bedingt werden; und das Studium der ent- 
sprechenden Curven soll uns zunächst beschäftigen. Wir werden dabei 
ein erstes Beispiel für eine eindeutige, nicht lineare Reziehung zivischen 
zivei Curven kennen lernen ; und die erst später hervortretende ausser- 
ordentliche Wichtigkeit solcher Beziehungen wird ein längeres Ver- 
weilen bei diesem Gegenstande rechtfertigen. Wir werden ferner 
Gelegenheit haben, von den soeben entwickelten Plücker 'sehen 
Formeln wiederholt Gebrauch zu machen. 

Wenn beregte Gattung von Covarianten allgemein durch die 
Forderung charakterisirt war, dass die ;'« Polare eines Punktes eine 
bestimmte Invarianteneigenschaft habe, so stellen wir insbesondere 
die Bedingung, dass die erste Polare eines Punktes x in Bezug auf 
die Grundcurve 

/ = aj^ = b.^" = . . . = 

einen Doppelpunkt besitze. Wir erhalten bekanntlich (p. 318) als Ort 
dieser Doppelpunkte die Hesse 'sehe Curve von der Ordnung 3 (n — 2) 
durch Elimination der iji (Coordinaten des Poles) aus den 3 Gleichungen 

ff, L_ _^/: \. 

a,^^ - ^üy «1 = SfikVic = 
(1) aj'-^ayai = 2:fikVk = ^ 

aj' -^ayU'i^ ^f'ikyk = . 
Eine zweite Curve wird alsdann von dem Pole y durchlaufen: die 



360 Vierte Abtheilung. 

Stein er 'acA<? Ciirve der Grundvurve ; eine dritte von den Verbindungs- 
linien eines Poles y (Punktes der Stein er'schen Curve) mit dem 
Doppelpunkte seiner ersten Polare (Punktes der Hesse'sehen Curve) 
umhüllt: die GQ,j\ey'sche Curve der Gru?idcwve/*) Eine vierte Curve 
endlich wird von den Taugenten der ersten Polaren in ihren Doppel- 
])unkten umhüllt.**) Wir werden unsere Betrachtungen jedoch auf 
die drei zuerst erwähnten Curven beschränken. Ferner wollen wir 
voraussetzen, dass die Coefficienten der Grundcurve sämmtlich von 
einander unabhängig sind. 

Die Hesse "sehe Curve besitzt — so nimmt man an -— im All- 
gemeinen weder Doppel- noch ßückkehrpunkte. Ihre Gleichung 
nämlich ist: 

A = {abcy </./- ^^.," - V.,,« - ^ -- , 

und für einen Doppelpunkt y derselben müssen also die 3 Gleichungen 
(vgl. (7) p. 313) bestehen: 

^, = 3 (_abcya," - H/ - h'^—'-^a ^ . 

Aus diesen drei Gleichungen würde man durch Elimination der 
rj die Discriminante von A erhalten. Dieselbe enthält jedenfalls die 
Discriminante von /" als Factor; denn die Hesse 'sehe Curve hat 
immer gleichzeitig mit der Grundcurve einen Doppelpunkt (p. 355). 
Ihr zweiter Factor wird durch eine andere Invariante von /*, bez. 
durch das Product mehrerer solcher, gebildet werden. In Folge des 
Verschwindens von Invarianten der Grundcurve kann daher die 
Hesse 'sehe Curve vielfache Punkte erhalten. So werden wir z. B. 
sehen, dass dieselbe für eine Curve 3*«'- Ordnung in drei Gerade zer- 
fällt, sobald eine bestimmte (in der Regel mit S bezeichnete) Inva- 
riante der letzteren verschwindet. Es könnte jedoch auch sein, dass 



*) Von Cayley zuerst für Curven :^. Ordnung unterHucht: A menioir on 
curves of the third order, Philosophieal Transactions, vol. Hl, part. 2, 1857. 
— Die Singularitäten derselben gab Steiner ohne Beweis in Crelle's Journal, 
Bd. 47. Für die Stein er 'sehe Curve leitete Cremona die betreffenden Zahlen 
ab (Einleitung in die Theorie der algebraischen Curven). Die unten folgenden 
analytischen Beweise erbrachte Clebsch: üeber einige von Steiner behandelte 
Curven; Crelle's Journal, Bd. 64. . Steiner bezeichnet die später nach ihm be- 
nannte Curve als Kerncitrvc. 

**) Aus später zu erwähnenden allgemeineren Untersuchungen von Zeuthen 
über einfach unendliche Curvensysteme (vgl. Abschnitt VI dieser Abtheilung) 
ergibt sich für die Ordnung p dieser Curve: 

2 p = 2 . .3 (« -- 2) + 12 {n - 2) [n - 3) = 6 (« - 2) (2 n - 5) . 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 361 

die Diseriminante der Hesse 'sehen Curve für n > 3 einen identisch 
verschwindenden Factor erhält, wenngleich dies erfahrungsniässig für 
n = 3 noch nicht der Fall ist; und dann würde sie Doppelpunkte 
besitzen, ohne dass für die Grundcurve eine Tnvariantenrelation besteht. 
Wir wollen jedoch im Folgenden, wenngleich dafür bisher ein Beweis 
nicht erbracht ist, wie es gewöhnlich geschieht, annehmen, dass die 
Res se' sehe Curve keinen Doppelpunkt hat, ivenn die Coefßcienten der 
Gleichung der Grundcurve von einander^ unabhängig sind. 

Für die Singularitäten der Hesse "sehen Curve (die durch gestrichene 
Buchstaben bezeichnet seien) ergeben sich sonach aus den Plück er- 
sehen Formeln die folgenden Zahlen: 

n'=3(n-2), d' = 0, r' = , 

A' = n' {n - 1) =3 (n — 2) (3 n - 7) , 

IV = 3 }i' i?i — 2) = 9 (n - 2) (3 « - 8) , 

t' = 1 ,/ {n - 2) (n"' - 9) = V (" - 1) ('* - ^) (" " ^) ^^ " - ^^ 



P =h 



(;/ _ 1) (;/ - 2) = \ (3 n - 7) (3 n - 8) 



Die Gleichung der Stein er "sehen Curve wird durch Elimination 
der X aus den Gleichungen (1) erhalten; sie ist daher nach dem 
Satze (p. 313), dass der Grad der Resultante in den Coefficienten 
einer jeden Gleichung gleich dem Producte der Ordnungen ist, zu 
welchen die Variabein in den beiden andern Gleichungen vorkommen 
(also hier gleich [n — 2)2). vom Grade 3 (n — 2)'^ in den y, d. h. die 
Ordnung der ^ieiwer' sehen Curve ist gleich 3 (n — 2)-. 

Um ihre Klasse zu bestimnien, bemerken wir, dass die Coordinaten 
Ui einer Tangente derselben aus den Formeln 

' Uidg^ + u,dij., + ?/;jrfy;j -= 

gefunden werden; denn die Tangente ist die Verbindungslinie zweier> 
benachbarter Punkte der Curve mit den Coordinaten y, und y, + dtji. 
Der Punkt ij -\- dy muss ebenso wie y den Cileichungen (1) genügen, 
wenn man in denselben xi -f dxi statt Xi schreibt. Wir haben also 
noch die drei Gleichungen: 

/'ndtjs + fndy., + fv^dy, + rf/",,!/, + dr^yi + d/\,y, =0 
(3) A, dy, + f.y,dy., + /\,,dy., + rf/;,y, + dn-,y, + df^,y, = 
fudy, + /3,rfy, + /\idy., + df.^y, + r/^.y, + df,,y,, = . 

Multipliciren wir nun die Gleichungen (1) einmal mit x,, x.^, x.^, 
das andere Mal mit dx^, dx.^, dx.^, und addireu jedes Mal, so kommt: 



362 Vierte Abtheilung. 

Ferner geben die Gleichungen (3), mit x,, x,, x, raultiplicirt und 
addirt, unter Berücksichtigung von (4) das Resultat: 

Vergleicht man diese Gleichungen mit den Gleichungen (2), so 
findet man: 

^^) i''h=f^, ^W2=/'2> i^Wg^/s; 

und dadurch ist jedem Punkte der Hesse'schen eine Tangente der 
Steiner'schen Curve zugeordnet. Eliminiren wir hieraus "und aus 
der Gleichung: 

A = 
die X, so resultirt eine Gleichung in den u: die Gleichung der 
Steiner'schen Curve in Liniencoordinaten. Die Klasse derselben ist 
durch die Zahl der Tangenten bestimmt, welche durch einen beliebigen 
Tunkt ^ gehen, d. h. der Gleichung ^^^ = oder: 

genügen. Diese Gleichung stellt aber eine Curve {n — \y^- Ord- 
nung dar, welche mit der Hesse'schen Curve zusammen diejenigen 
3(n — 2)(w — 1) Punkte bestimmt, deren entsprechende Tangenten 
der Steiner'schen Curve durch den Punkt ^ gehen. Damit ist auch 
die Zahl der letzteren gegeben: Die Steiner' sehe Curve ist von der 
Klasse 3 (n — 1) (^ — 2). 

Wir wenden uns zunächst zur Bestimmung von Ordnung und 
Klasse der Cayley'schen Curve. Ein Punkt derselben ist definirt als 
Schnittpunkt von zwei benachbarten Tangenten ; um die Ordnung zu 
finden, müssen wir also fragen: wie oft kommt es vor, dass sich zwei 
unendlich benachbarte Tangenten auf einer beliebigen Geraden v 
schneiden? Es seien z, die Coordinaten eines Punktes der Curve; 
dann ist die Tangente in ihm Verbindungslinie eines Poles y mit dem' 
Doppelpunkte x seiner ersten Polare, und also die benachbarte 
Tangente Verbindungslinie zweier Punkte x -f dx, y -{- dy, wenn x 
und x-\-dx benachbarte Punkte der Hesse'schen Curve sind. Wir 
haben somit: 

und auch: 

Zi = (fi + dii) {xi + dxi) + (A + dX) (yi -f dy,^ ■ 
und daraus folgt: 

•^^3 ^.-^^ + l^dxi + yidX -j- Xdy, = . 



Allgemeine Theorie der algeVtraischen Curven. 363 

Soll z ferner auf einer bestimmten Geraden v liegen {v, ==0), so ist 
nach (7): 

Daher kann niam setzen: 

und dadurch geht (8) über in: 

(9) ocidii + i/idX + Q iy^^dyi — Vydx,) = . 

Setzen wir aus diesen Gleichungen die Werthe der d>ji in die auch 
hier bestehenden Gleichungen (3) ein, so finden wir unter Berück- 
sichtigung von (1): 

(10) Qv^ {y.dfn + y^dfr' + J/a^As) + QVyEfadx,, - fid^i = . 
Aus diesen Gleichungen können wir die Differentiale der Xi nach 

einer passenden Umformung derselben elimiuiren und erhalten dann 
eine Gleichung, welche zwischen je zwei entsprechenden Punkten x 
und y der Hesse "sehen und Steiner 'sehen Curve bestehen muss, 
damit der Berührungspunkt ihrer Verbindungslinie mit der Cayley'- 
schen Curve auf der Geraden v liege. Bezeichnen wir nämlich durch 
fiuh die dritten Differentialquotienten von f: 

fikk = ^^z^j^-^^ Jxjkd^, ^ ^■^" " '''''''''' ' 
yydfi, 4- ytdU, + y-^^fi-^ = (^* — 2) llllfiuhyk dxh , 
und setzt man ferner zur Abkürzung: 

g)./t = (« — 2) {y^fxik + Vifiik + Vifuk) , 
so geht der Ausdruck links über in: 

yid/'ii + y-2d/'r> + y^dfis = (fudxi + cfi^dx^, + (pi-idx;^ . 
Substitutiren wir dies in die Gleichung (10), so kommt: 

Q v^ Ucpik dxk -\- Z^QVydXk — Xkd\i) fik = . 
Diese Gleichungen multipliciren wir nun mit Vy und fügen Glieder 
— d\iZ(fiuXk hinzu. Die letztere Operation ist ohne Eiufluss, denn 
wir haben nach dem Eul er 'sehen Satze und nach (1): 

^)i^x^ + g><2^2 + ^>izXi = {n — 2) {fi\yi + A-2J/2 + fi^y-i} 
= 0. 
Unsere Gleichungen werden dadurch endlich: 

Vy . Epu fik + ?'.r ^Vk (pik = , 

wo pf, = Qdxk — Xkd(i gesetzt ist; und die Elimination der yj^, und 
somit auch die der dx/, gibt das Resultat: 



364 Vierte Abtheilung. 

(11) j yy/„ + «'.rg'vt Vy/'22 + ''.r 9'22 ^^A? + «'.f 9>32 1 = 0. 

Diese Determinante ist homogen vom dritten Grade in i\^ und v^ , 
also von der Form: 

IJier ist aber ^ die aus den /•,/, gebildete Determinante, und also 
gleich Null wegen A = 0; ferner bedeutet P die Determinante der 
(piu, und diese verschwindet ebenfalls wegen 

Daher ist der Ausdruck (11) durch v^Vy theilbar, und nach Fort~ 
lassung dieses Factors bleibt eine Gleichung von der Form 

EU Aiuyiiju = 0, 
wo die Au, Functionen von der Ordnung 3 « — 7 in den x bedeuten. 
Inzwischen werden in Folge von (1) die Producte y.y^ den Unter- 
determinanten Fik von A proportional*), und man kann also (llj 
schliesslich ersetzen durch die Gleichuntv 

welche nur noch von den x abhängt. Sie stellt, da die /',/, die x in 
der (2w — 4)teu Dimension enthalten, eine Curve von der Ordnung 
3w — 7-f2w — 4 = 5n— 11 dar, .welche auf der Hess e 'sehen 
Curve diejenigen Punkte x ausschneidet, deren Verbindungslinien mit 
den entsprechenden Polen y die Gay ley "sehe Curve in ihren Schnitt- 
punkten mit der Linie v berühren, d. h. die Ordnung der Cayley W<6'/i 
Curve ist gleich 3 {n — 2) (5 n — 11). 

Einfacher gestaltet sich hier die Bestimmung der Klasse. Soll 
die als Verbindungslinie zweier einander zugehörigen Punkte x und y 
definirte Tangente der- Curve durch einen bestimmten Punkt l gehen, 
so muss man haben: 

yi = iiXi-\- kli. 
Dies in die Gleichungen (1) eingesetzt, gibt: 

wenn : 

fpi = fix Ix + fi^ + fi^l^ . 

Man findet also die entsprechenden Werthe der x aus den Glei- 
chungen : 

*) Man hat uämlich aus (1) naeh Sätzen der KogelHchnitttheorie: 
(«6«) «^ b^ =9-V- 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 365 

(13) h^x~^Jy = ^, 

/■,9D2 — 97,A = 0. 

Die Zahl der gemeinsamen Lösungen der ersten beiden Gleichungen 
ist gleich (2 n — 3)-. Aber davon sind die (n — 1) (n — 2) Lösungen 
der Gleichungen f-^ = 0, 9^3 = auszuschliessen, für welche nur die 
ersten beiden Gleichungen erfüllt sind, nicht aber die letzte; und 
ferner haben wir die offenbar unbrauchbare Lösung Xi = |, abzusondern. 
Es bleiben also nur (2n — 3)^ — (w— 1) (n - 2) — 1 =3 (« — 1) (w — 2) 
gemeinsame Punkte der Curven (13). Einem jeden derselben entspricht 
eine Tangente der Gay ley 'sehen Curve durch den Punkt \\ also ist 
fite Klasse der C ayle j'sclien Curve gleich 3 (n — 1) (n — 2). 

Die Bestimmung der weiteren charakteristischen Zahlen für die 
Steine r'sche Curve, insbesondere der Zahl ihrer Wendetangenten 
kann man an die Gleichungen (6) anknüpfen, vermöge deren eine 
Tano-ente u derselben einem Punkte x der Hesse 'sehen Curve durch 
die Relationen 

dr 

zugeordnet ist. Hieraus folgt nämlich zunächst: Die ^ieiwer' sehe 
Curve ivird von den linearen Polaren der Punkte der Hesse' sehen Curve 
umhüllt; und zivar ist der Berührungspunkt einer solchen Polare immer 
der dem Pole x der Hesse' sehen Curve entsprechende Punkt y der 
Steinerschen Curve. Letzteres folgt daraus, dass wegen (1) für ?/ 
immer die Gleichungen (4) bestehen: 

fxVx + fiVi + Ay^ =^^ 

und also y immer Schnittpunkt von zwei successiven Tangenten u und 

n + du ist. Man kann nun überhaupt nach Ordnung und Klasse 

einer Curve = fragen , die von den linearen Polaren der Punkte 

einer Curve m^" Ordnung 

(14) (p = 

in Bezug auf die Grundcurve / = («'"" Ordnung) umhüllt wird, 

wobei dann die Curve ;w*" Ordnung an Stelle der Hess e'schen Curve 

in den bisherigen Untersuchungen tritt. Die Klasse ist bestimmt 

durch die Anzahl der Tangenten durch einen festen Punkt |, also 

durch die Zahl der Schnittpunkte der Curve {n — 1)*" Ordnung: 

mit <jp = 0, und somit ist dieselbe gleich w {n — 1). Zur Bestimmung 
der Ordnung müssen wir den Punkt | auf einer beliebigen Geraden v 



366 _ Vierte Abtheilung. 

SO wählen, dass zwei der durch ihn gehenden Tangenten, und somit 
zwei Schnittpunkte der Curven (14) und (15) einander unendlich nahe 
rücken; entspricht doch jedem dieser Schnittpunkte eine jeuer 
Tangenten. Hieraus folgt zunächst: 

Die ersten Polaren der Punkte einer Ciirve, welche von den linearen 
Polaren einer anderen Citrve cp umhüllt wird, berühren die letztere Curve. 

Zur Erreichung unseres Zweckes haben wir sonach die Bedingung 
dafür aufzustellen, dass die Curven (14) und (15) sich berühren, oder 
wenigstens den Grad dieser Bedingung in den Coefficienten von (15), 
und somit in den l anzugeben. Wir erweitern diese Aufgabe dahin, 
dass überhaupt der Grad der „Tactinvariante" (d. i. der Berührungs- 
bedingimg) zweier Curven m^"- und ^'''- Ordnung in den Coefficienten 
ihrer Gleichungen bestimmt werden soll. — Sind <^ = 0, ^ == bez. 
diese Curven, und dieselben berühren sich im Punkte x, so müssen, 
wenn v eine beliebige Gerade und | ihr Schnittpunkt mit der gemein- 
samen Tangente von cp und ^ m x ist, folgende Gleichungen bestehen : 

Elimiiiirt man aus ihnen die ^/, so folgt: 



(16) V = 



Qlp cip dip 

dcci cxz dx^ 

d(p dcp d cp 

dxi dxz dx. 



V, v. 



= 0, 



eine Gleichung von der Ordnung m -j- ^ — 2, welche im Allgemeinen 
den Ort der Punkte darstellt, deren lineare Polaren sich auf der 
Linie v schneiden; und diese Curve geht also unabhängig von den v 
durch den Berührungspunkt. Nehmen wir dagegen die x constant, 
die v veränderlich, so gibt (16) die Gleichung des Schnittpunktes der 
beiden linearen Polaren von x. Dieser Schnittpunkt fällt aber mit 
dem Pole x zusammen, wenn letzterer ein gemeinsamer Punkt von 
9) = und 1(^ = ist. Die Elimination der x aus den Gleichungen 
9; = 0, ip = und aus (16) gibt also das Product der Schnittpunkte 
von (p und ip. Doch ist dasselbe noch mit einem Factor behaftet, 
denn die Gleichung würde hier vom Grade m^ in den Coefficienten 
von F, vom Grade ^ {m -\- ^ — 2) in denen von <p und vom Grade 
m (m -{- ^ — 2) in denen von xIj, also im Ganzen bez. vom Grade 
^ (2 w -f ^ — 2) und m (2 ^ -}- m ~ 2) in den Coefficienten von cp 
und ^ werden, während diese Zahlen doch nach früheren lieber- 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. B67 

lec^ungen (vgl. p. 282) nur bez. gleich ^ und m sein dürfen. Der 
hinzutretende Factor ist demnach vom Grade /x (2 w + ft — 3) und 
f,i (^2 ^i -\- m — 3) in den Coefficienten von cp und t^. Da nun die 
Gleichung (16) und also auch unsere Resultante unabhängig von den 
V verschwindet, wenn x ein Berührungspunkt von 9) und t/> ist, so 
gibt der besprochene Factor, gleich Null gesetzt, eben die Bedingung 
der Berührung und wir haben den Satz: 

ß/e Bedingung der Berührung (Tactinvariante) zwe/er Curven von 
der 771'"' und ^'''" Ordnung ist von dem Grade ^ (2 m -f .u — 3) in den 
Coef/icienlen der ersten U7id vo7n Grade »2 (2 ^ + m — 3) in de7ien der 
zfveiien Cnrve.*) 

In unserm Falle haben wir eine Curve w*" Ordnung (14) und 
eine (n — 1)*" Ordnung (15)-, ihre Tactinvariante ist daher in den 
Coefficienten der letzteren, und somit auch in den ^ (worauf es uns 
hier allein ankommt) vom Grade 7n (2 n -}- m — 5). Die "Invariante 
gleich Null gesetzt gibt aber unmittelbar den Ort der Punkte §, deren 
erste Polaren die Curve cp berühren, d. h. die Curve O = in Punkt- 
coordinaten, d. h. die 07d7m7ig der von den linearen Polaren der Pu7)kte 
von cp = u77ihälUen Curve ist gleich 7n (2 n -f- m — 5). 

Ersetzen wir nun wieder cp = durch die Hesse 'sehe Curve und 
also m durch 3 (w — 2), so würden wir die Ordnung der St einer 'sehen 
Curve gleich 3 (n — 2) (5 n — U) finden, während dieselbe doch 
thatsächlich gleich 3 (« — 2)^ ist. Dies rührt daher, dass von den 
Tangenten, die von ^ an = zu legen sind, auch für jeden Punkt 
einer Wendetangente von O zwei successive"^*) zusammenfallen. Bei 
der Steiner'schen Curve treten daher Wendetangenten auf, (was im 
Allgemeinen bei einer als Liniengebilde gegebenen Curve = nicht 
der Fall sein wird) ; und sonach folgt: 

Der Ort der Punkte, deren erste Polaren die Hesse'Äc//6' Cu7've 
berührrn, zerfällt in die St einer Wie Curve von der Ordnung 
3 {ji _ 2)2 und in eitie a7idere Curve von der Ordnung 3 {n — 2)(5 n — 11) 
_ 3 (;, _ 2)' = 3 (/i — 2) (4w — 9), das Product der We7idetangenten 
der ^i&inQr sehen Curve. Für die ersten Polaren der Punkte dieser 
Wendetangenten ist die Berührung eine eigentliche, für die der Punkte 
der Steiner'schen Curve hingegen eine uneigentliche, insofern die 
letzteren auf der Hesse "sehen Curve einen Doppelpunkt haben. Der 
zuletzt ausgesprochene Satz gibt uns die Zahl der Wendetangenten 
der Steiner'schen Curve, nämlich: 

3(n — 2)(4w -9), 

*) Vgl. Salmon: Higher plane curves, chap. III. — Als Beispiel vgl. die 
Tactinvariante zweier Kegelschnitte auf p. 298 dieses Bandes, 

**) Für den Punkt einer Doppeltangente fallen zwar auch zwei dieser Tan- 
genten zusammen; dieselben sind aber niclit successiv. 



368 



Vierte Abfhellung. 



lind somit können wir die übrigen Singularitäten vermöge der 
PI ück er sehen Formeln berechnen. 

Diese Bestimmung gelingt jedoch auch auf anderem Wege, wenn 
wir einen erst später zu beweisenden Satz benutzen wollen, welcher uns 
zugleich die Wichtigkeit der Zahl p, des Geschlechtes der Grundcurve, 
erkennen lässt. Es ist dies der folgende: 

Wenn zwei algebraische Ci/rven so auf einander bezogen sind, dass 
jedem. Punkte der einen Curve nur ein Punkt der andern entspricht, so 
ist das Geschlecht fiir beide Curven dasselbe. 

Zwischen der Hesse "sehen und St ein er "sehen Curve besteht 
nämlich eine Beziehung der Art: einem beliebigen Punkte der letzteren 
entspricht ein Punkt der ersteren: der Doppelpunkt seiner ersten 
Polare, und ebenso ist die umgekehrte Beziehung eindeutig. Ebenso 
sind aber auch die Hesse'sche und die Stein er "sehe Curve eindeutig 
auf die Cayley'sche Curve bezogen: Einem beliebigen Punkte der 
ersteren entspricht eine Tangente und somit ein Punkt der letzteren, 
und umgekehrt. Das Geschlecht der Cajdey "sehen und Steine r'schen 
Curve ist daher gleich dem Geschlechte der Hesse sehen Curve*), 
gleich 1(3 w — 7) (3 w — 8); und aus Geschlecht, Ordnung und Klasse 
können wir für jede der Curven die übrigen Singularitäten nach den 
P lücker 'sehen Formeln berechnen. Die Ausführung der Rechnuno; 
liefert uns folgende Tabelle, in der wir die Zahlen für die Hesse 'sehe 
Curve zum Vergleiche noch einmal mittheilen: 



l/' 


Hesse 'sehe Curve 


Stein er'sche Curve 


Cayley'sche Curve 


^ (:i w — 7) (3 w — 8) 


4 (3 w - 7) (3 w - 8) 


^ (3 n — 7 1 (3 n — 8) 


n 
~k 
<l 


3 (« - 2) 


3 (n - 2)2 


3 (»1—2) (5w — 11) 


3(n — 2)(3w — 7) 


3(n— 1)(« — 2) 


3 (« — 1) (« - 2) 





^ (n— 2) {n - 3)(3 ««—9 »—5) 


|(n-2)(5n— 13)(5n«-19//+lG) 


r 





12 [n - 2) (w - 3) 


18(« — 2)(2« — 5) 


t 

w 


V(«-l)(«-2)(«-3)(3«— 8i 


3-(n— 2)(w -3)(3«2— 3w-8) 


§(w — 2)2(«* — 2«- 1) 


9 (n — 2) (3 71 _ 8) 


3(w — 2) {in -9) 






Die Doppelpunkte der Curve von Steiner hat man sich, wie 
später bei Behandlung der allgemeinen eindeutigen Transformationen **) 
noch eingehend gezeigt werden wird, dadurch entstanden zu denken, dass 



*) Dieser Satz, und somit auch die folgenden Zahlen, sind für die Cayley'sche 
Curve bei ?; = 3 nicht gültig; denn hier fällt die Steiner'sche Curve mit der 
Hesse'schen zusammen, und einer Tangente der Cayley 'sehen C!urve ent- 
sprechen dann /.wei Punkte der Hesse'schen. 

**) Die dort gegebenen Formeln lassen auch leicht erkennen, wie sich vor- 
stehende Tabelle modificirt. wenn die Grundcurve Doppel- und Rückkehr- Punkte 
besitzt. 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 369 

zwei getrennt liegenden Punkten x der Hesse 'scheu Curve ein und 
derselbe Punkt y der Stein er'schen Curve entspricht, der dann eben 
ein Doppelpunkt der letzteren wird; und umgekehrt entsprechen einem 
solchen Doppelpunkte zwei getrennt liegende Punkte der Hesse 'sehen 
Curve. £s gibt daher | (n — 2) (n — ?>) (3 «- — 9 w — 5) erste Polaren 
mit zwei Doppelpunkten, vnd die zugehörigen Pole sind die Doppelpunkte 
der Steiner' sehen Curve. Die beiden Tangenten in den letzteren sind 
nach Früherem die linearen Polaren der beiden zugehörigen Punkte 
der Hesse 'sehen Curve. 

Hat dagegen die erste Polare von y m x eine Spitze, was eben- 
falls die Erfüllung von zwei Bedingungen erfordert und also für eine 
bestimmte Zahl von Punkten möglich ist, so haben wir, wenn 
«1, a.,, K.^ die Coordinaten der Rückkehrtangente sind, die sechs 
Gleichungen: 

oder nach der oben eingeführten Bezeichnung: 

(17) cpik = (n — 2) . aiak, 
Avo: 

Wir werden nun zeigen, dass in diesem Falle die Steiner'sehe Curve 
im zugehörigen Pole y ebenfalls eine Spitze hat, d. ]i. (vgl. p. 344) 
dass drei successive Tangenten derselben durch den Punkt y gehen. 
Aus den Gleichungen nämlich: 

^ ii, = /■/ 
d^Vi -(- yidui = (n — 1) E fikdxk 
finden w^ir weiter: 

d'^Ui -\- 2 diidui -\- ^d-Ui = (n — 1) (» — 2) EEfikhdxkdx,, 

+ {n— 1) Efikd'Kn., 

und wenn wir die letzten drei Gleichungen bez. mit y, , y., , y., 
multiplicireu und addiren, so erhalten wir, da immer (vgl. (4)) 

(18) E Uiyi = und Ed m y , = , 
unter Berücksichtigung von (1): 

/* . Ed'^myi == (n — 1) (n — 2) EEEfiUhVidXkdxh 
= (« — 1) EEfpuh dxk dxh . 
Im Falle einer Spitze ist daher wegen (17): 

(19) ^ Ed-Uiyi =(« — ]) Qi — 2) (^ccidx^ -{- u.,dx.y -\- a^dx.^y--, 

und dieser Ausdruck verschwindet. Multiplicireu wir nämlich die 
drei Gleichungen (10) bez. mit yj, y.^, y^ und addiren, so erhalten wir: 

Clebsch, Vorlesungen. 24 



370 Vierte Abtheilung. 

Qv^ . Z2:dfikyiyk = ^J^it/idfi — QVyEEfiudxkyi , 

wo y, y -|- dy zwei Punkte der Steiner'schen, x und x -\- dx die 
entsprechenden Punkte der Hesse'schen Curve sind, deren bez. Ver- 
bindungslinien sieb auf der Linie v schneiden. Hier verschwinden 
aber die rechts stehenden Ausdrücke wegen (18), und es folgt, da Vy 
im Allgemeinen nicht Null ist: 
(20) 2J2J dfik yiyk = af Oy' ~ ^(idx = , 

wo adx = ti^\dx^-\- a^dx^-\- a^dxy Diese Gleichung gibt zunächst 
den Satz: 

Hat die erste Polare von y in x einen Doppelpunkt, so berührt die 
Tangente der zweiten Polare von y in x die Hesse'i'cA^ Curve; oder 
nach einem früheren Satze aus der Polarentheorie: Die Tangente der 
Hesse'scÄ(?n Curve in einem Punkte x ist die vierte harmonische Gerade 
zu der Verbindung slinie von x mit dem zugehörigen Pole y und zu den 
Tangenten der ersten Polare von y im Doppelpunkte x. 

Im Falle der Spitze ist nun aber wegen (17): 

yxdfii + y^dfii + y^dfiz = c^iCCdx , 
und daher: 

EHdfikyiyk = ccyCidai,^^ 
also wegen (20) aj^r = oder a^ = 0. Letzteres kann aber nicht 
eintreten; denn nach (17) ist 

und dieser Ausdruck würde dann auch Null, und zwar unabhängig 
von den z, d. h. es müsste die zweite Polare von y in x einen 
Doppelpunkt haben, während sie doch als erste Polare von y in Bezug 
auf aya^^^'-^ = nur einfach durch den Rückkehrpunkt dieser (kirve 
(in ihm die Rückkehrtangente berührend) hindurchgehen darf (vgl. 
p. 322). Es bestehen somit für den Pol y nach (19) in der That 
gleichzeitig die drei Grleichungen: 

2j Uiyi = 0, 2Jd Uiyi = , Zd-uiyi = . 

Die Gleichung a^^. = sagt zugleich aus, dass auch der Punkt x -j- dx 
gleichzeitig auf der Hesse 'sehen Curve und auf der Rückkehrtangente a 
liegt, wir haben also mit Rücksicht auf die Zahlen der Tabelle den Satz: 
I'Js gibt 12 (n — 2) (rt — o) erste Polaren, welche einen Rückkelu^- 
punkt haben; die zugehörigen Pole sind die Spitzen der ^liaiwer' sehen 
Curve'-:), und die Rückkehrtangenien der Polaren berühren die R esse sehe 
Curve im zugehörigen Rück kehr punkte. Das Letztere folgt unmittelbar 
aus der vorhergehenden Bemerkung. 



*)' Dieser Satz wurde von Clebsch für Curven 4. Ordnung (ßorchardt's 
Journal, Bd. 59) und von Cremona (a. a. 0.) allgemein bewiesen.. 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 371 

Wir erwähnen ferner noch die folgenden von Steiner angegebenen 
Beziehungen zwischen den hier betrachteten Curven: 

Wie die Hesse'^cÄe Curve durch die Wendepunkte der Grundcurve 
geht, so berührt die Steiner'sche Curve sämmtliche Wendetangenten 
derselben. 

Dies folgt unmittelbar daraus, dass die letztere Curve überhaupt 
von den linearen Polaren der ersteren umhüllt wird, denn für die 
Wendepunkte sind dies eben die Wendetangenten. 

Ferner : Zivei Pole, deren Polaren einander berühren, liegen immer 
auf einer Tangente der ^iein&x' sehen Curve; und zwar berühren sich 
die Polaren aller auf einer solchen Tangente gelegenen Pole in einem 
Punkte^ dem Doppelpunkte x, ivelchen die Polare des Berührungspunktes 
y der Tangente enthält; die gemeinsame Tangente aller Polaren ist aber 
die Verbindungslinie von x und y, also Tangente der Cnylej' sehen 
Curve. 

. Sollen nämlich z, t zwei Punkte sein, deren Polaren 

sich in x berühren, so müssen die drei Gleichungen bestehen: 

Setzt man also 

Vi = Zi — fi ti , 

so hat man die Gleichungen (1) vor sich; die Verbingungslinie von 
z und / enthält aber den Punkt y der Steiner'schen Curve und ist 
Tangente in diesem Punkte, da die Gleichung der Tangente in y 
(vgl. (G)): 

für X = z und X = t erfüllt ist. Endlich ist die Gleichung der 
gemeinsamen Tangente der Polaren im Berührungspunkte x: 

Xt2:f,uZu-\-X^2:f,uz,-{-X,Ef,,Zk = 0. ■ 

Da diese Gleichung für X = a; und X = y erfüllt ist, so stellt sie die 
Verbindungslinie des Poles mit dem zugehörigen Doppelpunkte der 
Polare dar. — 

In ähnlicher Weise, wie wir hier durch die Forderung, dass die 
ersten Polaren gewisse Singularitäten haben, auf covariante Curven 
geführt werden, kann man auch von Polaren beliebiger Ordnung aus- 
gehen und covariante Gebilde erzeugen, die dann ebenso wie die hier 
behandelten Curven gewisse Singularitäten zeigen werden; doch sind 
die so entstellenden Curven noch nicht eingehender untersucht. — 
Wir wollen schliesslich nicht unerwähnt lassen, dass die von uns auf 
analytischem Wege gefundenen Resultate sich auch mit Hülfe des 

24* 



372 Vierte Abtheilung. 

Chasl es 'sehen Correspondenzprincips (p. 204) ableiten lassen, ein 
Princip, für dessen Anwendbarkeit wir sogleich noch mehrere Beispiele 
kennen lernen werden ; aber durch die algebraische Untersuchung sind 
wir gleichzeitig in das Wesen derartiger Beziehungen zwischen Curven 
tiefer eingedrungen. 

V. Ueber Systeme von Curven. 

Nachdem wir gewisse allgemeine; an eine einzelne algebraische 
Curve sich anknüpfende Betrachtungen, soweit es die bisherige Aus- 
bildung der Theorie erlaubt, näher verfolgt haben, entsteht zunächst 
die Frage nach den gegenseitigen Beziehungen zweier Curven, die im 
Allgemeinen von verschiedener Ordnung sein mögen, d. h. nach den 
simultanen Functionalinvarianten von zwei ternären algebraischen 
Formen. Es lassen sich hier jedoch bisher nur wenige Fragen all- 
gemein erörtern. 

Eine simultane Invariante zweier Curven der w*^" und n'®" Ordnung 
ist jedenfalls durch die schon früher erwähnte (p. 366) Tactinvariante 
gegeben, deren Verschwinden aussagt, dass sich die beiden Curven 
berühren : sie ist vom Grade n {2 m -\- n — 3) in den Coefficienten 
der Curve w'^' und vom Grade 7n (2 n -\- m — 3) in denen der Curve 
^ter Ordnung*, auch haben wir diese Invariante für zwei Kegelschnitte 
wirklich aufgestellt (p. 298). 

Zu simultanen Covarianten wird man z. B. durch die Forderung 
geführt, dass die Polaren einer gewissen Ordnung der einen Curve zu 
der andern Curve in einer bestimmten Invariantenrelation stehen, also 
etwa wieder in der Relation der Berührung. Nimmt man z. B. eine 
Curve n*" und eine 1*" Ordnung: 

«r" == und w^ =:= , 

so gibt die Forderung, dass die konischen (d. i. {n — 2)*^°) Polaren 
eines Punktes die Linie u berühren, die schon früher erwähnte (p, 317) 
Curve von der Ordnung 2 (n — 2) : 

Ebenso erhält man, wenn die cubischen Polaren die Linie u berühren 
sollen, die Gleichung 4 (w — 3)*" Ordnung (vgl. p. 278} : 

(abu)'^ {cduy {acii) ibdu) a^^'-^bJ^-^CoT-^dJ'-^ = . 

Ist ferner eine Curve n^^^ Ordnung und ein Kegelschnitt gegeben: 

aj' = und o:.^.- = , 

so kann man die Bedingung stellen, dass für die beiden Kegelschnitte 

aJ' -~ ^ aJ == und aJ = 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 373 

eine der beiden simultanen Invarianten (//,,., oder A^^^ nach unserer 
früheren Bezeichnung) verschwinde; man erhält dann bez. die beiden 
Curven : 

und 

{abay a/'-^by"-^ = 0', 

und daraus folgen wegen der geometrischen Bedeutung der Gleichungen 

^,,2 = 0, ^122 = (vgl- P- ^^^) ^^^ beiden Sätze: 

Der Ort eines Punktes, dessen konische Polare unendlich viele Polar- 
dreiecke besitzt, die einem gegebenen Kegelschnitte eingeschrieben sind, 
ist eine Curve der Ordnung {n — 2); und: 

Per Ort eines Punktes, dessen konische Polare in ein einem gegebenen 
Kegelschnitte zugehöriges Polardreieck (und somit in unendlich viele) 
eingeschrieben ist, ist eine Curve der Ordnung 2 (n — 2). 

Wenn man nun weiter den in solcher Weise entstandenen 
covarianten Curven bestimmte Invarianteneigenschaften auferlegt, 
wird man wieder zu simultanen Invarianten der beiden gegebenen 
Curven geführt. So ist z. B. für w = 4 die eben aufgestellte Curve 
{n — 2)*^^^ Ordnung ein Kegelschnitt: 

{aaßf a.^:^ = 0, 

und jenachdem, dass derselbe zerfallen, oder zu dem gegebeneu 
Kegelschnitte in den angeführten Invariantenrelationen stehen soll, 
erhält man bez. die folgenden invarianten Bedingungen: 

A = {aaßf (bydf (est)' {abcf = 

ß = {aaßf{aydy = 0, 

C = {aaßY {bydy (abey- = , 

wo die Symbole ß, y, S , £, t, sämmtlich mit a gleichbedeutend sind. 
Diese sehr willkürlich gewählten Beispiele werden hinreichen, um 
eine Vorstellung von der Mannigfaltigkeit der auftretenden Bildungen 
zu geben. 

Sind die beiden betrachteten Curven (/"= 0, qo = 0) von gleicher 
Ordnung, welche dann durch n bezeichnet sei, so gibt es unendlich 
viele Curven n*" Ordnung, welche durch ihre n^ Schnittpunkte*) 
hindurchgehen und den „Büschel" 

bilden; und zwar geht durch jeden Punkt der Ebene noch eine Curve 



*) Es steht dies nicht im Widerspruche damit, dass eine Curve jtter Ordnung 
schon durch ''J_ " + ^' Punkte bestimmt ist, indem die n^ Punkte nicht von ein- 
ander unabhängig sind; vgl. den Abschnitt VII dieser Abtheilung. 



374 Vierte Abtheilung. 

des Büschels. Wie in einem Kegelsehnittbüschel im Allgemeinen 
drei Linienpaare, d. h. drei Curven mit Doppelpunkt vorkommen, so 
werden sich unter den Curven des Büschels /" -f- A ^ = eine 
bestimmte Anzahl mit Doppelpunkten befinden ; denn diese Forderung 
gibt eine Bedingung für die Coefficienten der Curve f-\-X(p, also 
eine Gleichung für A: das Verschwinden der Discriminante. Letztere 
ist aber für eine Curve w*«' Ordnung vom Grade 3 (n — 1)2 'in den 
Coefficienten, und also in unserm Falle in A: Es gibt daher in einem 
Büschel von Curven n*"' Ordnung im Allgemeinen 3 (n — 1)^ Curven mit 
Doppelpunkt. Diese Zahl kann jedoch dadurch verringert werden, dass 
die Curven / und (p sich berühren, dass in dem Büschel eine Curve 
mit Rückkehrpunkt vorkommt, dass alle Curven einen gemeinsamen 
Doppelpunkt haben und durch ähnliche Vorkommnisse.*) Li solchen 
Fällen bezeichnet o {n — 1)2 die Zahl der eigentlichen Lösungen 
zusammen mit den uneigentlichen, wenn von letzteren jede in richtiger 
Vielfachheit gezählt wird. 

In derselben Weise kann man überhaupt verlangen, dass für eine 
Curve des Büschels eine bestimmte Livariante verschwinde; es ivird 
dann immer \i Curven des Büschels der Art gehen, wenn die Invariante 
vom \il'" Grade in den Coefficienten der Curve n*"' Ordnung ist. Man 
kann weiter auch den Büschel zu einer beliebig gegebenen Curve 
;;?*" Ordnung in Beziehung setzen; es wird dann eine bestimmte Zahl 
von Curven geben, für welche eine simultane Invariante mit der 
Curve ;?jter Ordnung verschwindet. Wegen der oben für den Grad 
der Tactinvariante angegebenen Zahlen gibt es z. B. in einem Büschel 
n*"'- Ordnung m {2 n -\- m — ?,) Curven, welche eine gegebene Curve m*"' 
Ordnung berühren. Hat letztere Curve jedoch Doppelpunkte, so sind 
unter diesen m(2n -\- m ~d) berührenden Curven des Büschels auch 
diejenigen mit enthalten, welche durch diese Doppelpunkte hindurch- 
gehen; denn dann liegen im Doppelpunkte ebenfalls zwei Schnittpunkte 
vereinigt. Jede solche Curve absorbirt aber zwei eigentlich berührende 
Curven des Büschels. Man erkennt dies geometrisch genau ebenso, 
wie bei den Plücker'schen Formeln den Satz, dass jeder Doppelpunkt 
einer Curve die Klasse derselben um zwei Einheiten erniedrigt; d. h. 
indem man die feste Curve m'^^^ Ordnung erst allmählich in eine Curve 
mit Doppelpunkt degeneriren lässt, und dann beachtet, dass an den 
beiden kurz zuvor entstehenden Wölbungen jedenfalls zwei Berührungs- 
punkte liegen, welche nachher in den Doppelpunkt zusammenfallen 
(vgl. Fig. 52 auf p. 343). Lässt man schliesslich die Schleife eines 
Doppelpunktes sich immer mehr zusammenziehen, so wird in der 
Grenze, ebenso wie bei der Bestimmung der Klasse (p. 323), noch 

*) Vgl. hierüber Cremona's Einleitung in die Theorie ebener Curven. 



' Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 375 

ein weiterer Berührungspunkt mit dem entstehenden Rückkehrpunkte 
sich vereinigen. Die Zahl der Curven n'"' Ordnung eines Büschels, 
ivelche eine Curve m^"- Ordnung mit d Doppelpunkten und r Rückkehr- 
punkten ,,eigenilich" berühren, ist daher 

= m{2n-\-m-?>) — 2d — ^r, 
oder wenn wir das Geschlecht p = ^ {m - \) {m ~2) - d — r ein- 
führen (p. 351): 

= 2 {mn + p — 1) — ^; 

eine Zahl, welche wir später auf anderem Wege durch allgemeinere 
Betrachtungen ableiten werden.*) 

An die Betrachtung der Ourvenbüschel knüpft sich eine einfache 
geometrische Erzeugungsweise einer algebraischen Curve mittelst 
Curven niedrigerer Ordnung, die als Verallgemeinerung der Erzeugungs- 
weise eines Kegelschnittes aus zwei projecti vischen Strahl huscheln 
angesehen werden kann. Statt der letzteren nehmen wir nämlich zwei 
beliebige Curvenbüschel, bez. von der Ordnung m und n: 
Q^ F-\-l<^ = und f-{-^(p = 

und beziehen dieselben so auf einander, dass jeder Curve des einen 
Büschels eine des andern entspricht, ' und umgekehrt, dass also zwischen 
ihren Parametern A, ^ eine lineare Gleichung: 
(2) rtAft -f &A + cfx + ^ = 

besteht; der Ort. der Durchschnittspunkte entsprechender Curven der 
beiden '„projecti visch auf einander bezogenen" Büschel ist dann eine 
Curve der {m -f n)'<^'^ Ordnung, deren Gleichung sich durch Elimination 
von A, ^ aus den drei Gleichungen- (1) und (2) ergibt. Nimmt man 
die projectivische Beziehung - was immer erlaubt ist — insbesondere 
in der einfachen Form an, dass sich je zwei Curven mit demselben 
Parameter l in den Büscheln (1) entsprechen, so ist die resultirende 
Curve gegeben durch: 

Fcp — (X>f=0, 

also in der That von der Ordnung m + w; und man erkennt, dass 
diese Curve durch sämmtliche Basispunkte der beiden Büschel hin- 
durchgeht. Die projectivische Beziehung der Büschel auf einander 
kann man sich geometrisch in folgender Weise vermittelt denken. 

Setzen wir 

F=a:,'% <^ = aj'% 

*) Vgl. den unten folgenden Abbchnitt VllI über das erweiterte Correspondcnz- 
princip. 



376 Vierte Abtheilung. 

und sei y ein Basispunkt des ersteren, z ein solcher des andern 
Büschels, so bilden die Tangenten aller Curven der beiden Büschel 
in diesen Grundpunkten zwei Strahlbüschel, gegeben durch: 

Diese Strahlbüschel sind dann auch einander projcctivisch; und man 
kann nun umgekehrt die verlangte Zuordnung der Curvenbüschel 
herstellen, indem man zwei solche Tangentenbüschel projcctivisch auf 
einander bezieht, denn jeder Tangente entspricht nur eine Curve des 
betreffenden Büschels. 

Es liegt hier zunächst die Frage nahe, ob die so erzeugte Curve 
die allgemeinste ihrer Art ist, und ob jede algebraische Curve in der 
Weise erzeugt werden kann. Wir werden spcäter in der Lage sein, 
diese Frage in der That bejahend zu beantworten, indem wir zeigen, 
dass man auf jeder Curve zwei Systeme von Punkten bestimmen 
kann, die als Grundpunkte zweier projecti vischen Curvenbüschel zur 
Erzeugung der gegebenen Curve benutzt werden können. Dies voraus- 
gesetzt, haben wir den Satz: 

Jede algebraische Curve n*<"- Ordnung kann durch die Schnittpunkte 
entsprechender Curven zweier projectivischen Büschel der m"" und 
(n — mY" Ordnung erzeugt werden, deren Basispunkte auf der Curve n'"' 
Ordnung liegen'^); und zwar wird diese Curve die allgemeinste ihrer 
Art sein, wenn zwischen den beiden erzeugenden Curvenbüscheln keine 
Relationen bestehen. Fällt dagegen z. B. ein Grundpunkt des einen 
Büschels mit einem des andern zusammen, so wird die erzeugte Curve 
in ihm einen Doppelpunkt haben; und zwar ist sofort ersichtlich, dass 
die Tangenten im Doppelpunkte eben die beiden Doppelstrahlen der 
in ihm vereinigt liegenden projecti vischeij Tangentenbüschel sind. So. 
entsteht eine Curve dritter Ordnung mit Doppelpunkt aus einem 
Kegelschnittbüschel und einem ihm projectivischen Strahlbüschel, 
dessen Scheitel in einem der vier Grundpunkte des Kegelschnittbüschels 
liegt, und eine Curve vierter Ordnung mit drei Doppelpunkten aus 
zwei projectivischen Kegelschnittbüscheln mit drei gemeinsamen 
Basispunkten. — 

Wir gehen zur gleichzeitigen Betrachtung dreier Curven über. 
Von den simultanen Functionalinvarianten , zu denen dieselben Ver- 



*) Der Satz wurde für Curven 3. Ordnung gegeben von Chasles: Cornjites 
rendus, t. XLI, 1853; allgemein von Jonquieres: Essai sur la ge'ne'ration des 
courbes geometriques, Memoires presentdes par divers savants ä l'academie des 
sciences, t. XVI, 1858. Es sind in diesem Aufsatze besonders viele sich an den 
Satz knüpfende Constructionsaufgaben behandelt. — Für Curven 3. Ordnung vgl. 
die folgende Abtheilung dieser Vorlesungen. 





8(p 


dtp 


dcp 
8x3 


. 1 

mm m 


dxi 


dip 
dx.. 


dxg 






dl 
dxi 


dx 

dx3 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 377 

anlassung geben, ist bisher besonders eine untersucht, welche wir hier 
allein berücksichtigen: die Jak obi 'sehe Curve der drei vorliegenden 
Curven. Sind letztere gegeben durch die Gleichungen: 

(p = aj" = , %, = aj"^' = , % = «.;''«" = , 
so ist sie dargestellt durch das Verschwinden der Functionaldeterrainante, 
d. h, durch: 



== {etil a) aj" 1 ß'a;"''- ^rtV" " ^ = <> 



Die Jakobi'i'cÄe Curve ist also vo?i der Ordmmg m -f- ni -j- ml' — 3 
und ist, wie man sofort übersieht, der Ort der Punkte, deren lineare 
Polaren in Bezug auf die drei gegebenen Curven sich in einem Punkte 
schneiden. *) , 

Für diese Curve gilt insbesondere der Satz, dass sie durch einen 
gemeinsamen Punkt der drei Curven ebenfalls hindurchgeht. Multiplicirt 
man nämlich die ersten beiden Verticalreihen der Functionaldeter- 
minante bez. mit a;, , x.^ und addirt sie zu der mit x.^ multiplicirten 
dritten Verticalreihe, so treten in letzterer die Terme ?n(p, m' 4^ , m' % 
auf; und die Determinante verschwindet also gleichzeitig mit ihnen. 
In diesem Falle tritt ferner noch eine Besonderheit ein — und dieselbe 
ist für spätere Anwendungen wichtig — wenn zwei der vorliegenden 
Curven von gleicher Ordnung sind; alsdann gilt der Satz: 

Die JacobiWie Curve dreier Curven (p = 0, ^ = 0, % = 
berührt in einem gemeinsamen Punkte derselben die Curve ^ = 0, sobald 
cp , ip von gleicher Ordnung sind., und hat, wenn % einen solchen gemein- 
samen Punkt zum Doppelpunkte hat, diesen ebenfalls zum Doppelpunkte, 
und zwar der Art, dass ihre Tangenten in ihm mit denen von 2 ==" ^^ 
übereinstimmen. **) 

Zum Beweise vergleichen wir die Differentialquotienten von % 
nach den Coordinaten des betrachteten Punktes mit denen der 
Functionaldeterminante {m = m\ m" -\- 2 m' — 3 = ft): 
A.^,-" = (a a a") är^'"' - ^ «r/ '"' - 1 aj''"" - ^ . 



*) Es sei bemerkt, dass wie bei den Kegelschnitten der Satz gilt: Wenn die 
Funclionaldetenninante dreier Formen gleicher Ordnung identisch versc.hwindci , so ge- 
hören die entsprechenden drei Curven demselben Büschel an. Der Beweis ist ebenso 
wie bei den quadratischen Formen zu führen; maii hat nur auf p. 304 die be- 
treffenden Gleichungen alle mit den symbolischen Factoren aj"~^(t^!"'~^a^'"''~^ 
zu multipliciren. 

**) Vgl. Hesse, Crelle's Journal, Bd. 41, p. 286 und Clebsch: Curven, deren 
Coordinaten ellipt. Funct. eines Parameters sind, ib. Bd. 64. 



378 Vierte Abtheilung. 

Nun ist 

jM, Aj' ~ ' Aj = (aaa") a,r"'' "^^aj'"' ' '^aj'"'"-^ U?n" — 1) a^aj a," 

4- {771 — 1) a^'a^rttz -\- {m — 1) aj aj' aS^ , 

oder, wenn wir mit w.^, multipliciren, wo die lu vollkommen willkürlich 
sind (nur ii^ > oder < 0), und die Identität 

(3) {cid a^ Ux = (ad u) Ox — {ad' u) aj -f- {et a" u) a^ 
benutzen, indem die in (p, i(^, % multiplicirten Terme ausfallen: 

(4) ^A,r^~^A- . rta: = {jn' — 1) «/'"'" " ^ «/ • {a d XI) a,-^'"' -^aj'"' ~ i 

+ (w' — 1) flf.r'"' ~^ «»''"' " ^ aj' "'" - 1 / («" a u) rt/ + {d d' u) a, \ . 

Hier reducirt sich aber der letzte Term wegen A = auf den ersten, 
denn es ist identisch: 

(5) {a" au) a~ -\- {d a" u) a. = {ada") u^ — {add) a~' \ 
und also wird: 

ft A^'* -^A. . i(,r = {m" — m) aj' '"" - ^ «/' . (a d u) a^-"'' - 1 aj '"' - ^ , 

d. li., da der Factor (adii) aj"'-^a^'"'' - ^ wegen der Willkürlichkeit 
der 11 immer als von Null verschieden angenommen werden darf: die 
Tangente von A in a: fällt mit der von % zusammen, w. z. b. w. 

Ist aber x ein Doppelpunkt von j^ == 0, so verschwindet die 
rechte Seite unabhängig von z, also auch die linke, d. h. A = hat 
in X gleichfalls einen Doppelpunkt. Die Tangenten desselben werden 
wegen des Verschwindens von aj''""~'^ a^" durch Nullsetzen des 
folgenden Ausdrucks gegeben, wo C ein Zahlenfactor ist: 

^ {^ — ]) A.^.^-2A^2.M.^. = C oj'"'"-'^ (t,"^ . {U d U) rt./«' " ^ttj'"'-^, 

d. h. die Tangenten des Doppelpunktes von A fallen mit denen des 
Doppelpunktes von % zusammen. 

Der somit bewiesene Satz lässt sich für den Fall verallgemeinern, 
dass der gemeinsame Punkt x für die Curven cp und ^»ein (r — l)- 
facher, für % dagegen ein r-facher ist; wobei wir zunächst voraus- 
setzen, dass die Tangenten der verschiedenen Curven in x von einander 
getrennt verlaufen. In dem Falle verschwinden die Differential- 
quotienten V. - , ^- im Punkte x {r — 2) -fach, ^ aber (r — l)-fach. 

-■ OX^ CX^ ^ ' ox^ ^ -' 

Die aus ihnen zusammengesetzte Determinante A wird daher Null 
von der Ordnung 

2(r — 2) + r— l = 3r — 5. 

Die Curve A = hat also mindestens einen (3 r — 5) - fachen Punkt 
in X. Zur weiteren Untersuchung des letzteren bemerken wir, dass 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curvem 379 

(]ie {^ — 4-)*^ Tolare von x in Bezug auf A = durch das Ver- 
schwinden des folgenden Ausdrucks gegeben ist: 

(6) ^ (ft — 1) . . . (fi — 6- + 1) . A./ - -^^ A/ 

= (rt a rt") V V V m/ mk m'i' «/'' " '- ^ rt^''"'- ''— ^ aj''"'-^- 1 rt^'«'/' <//'' , 

! -1- yt + iT = 4 

WO zur Abkürzung gesetzt ist: 

m'i = (m' — 1) {ni — 2) . . . (w/ — /) 

und m'i' entsprechend definirt sein soll. Wenn nun zufolge unserer 
obigen Annahmen unabhängig von den z die Gleichungen bestehen: 

(7) «/'' - '■ + 2«/-2=.0, «./'"' -'• + 2rt'/'-- 2=0, «/'""-'■ + W/,"'— 1ee:0, 

so fallen in obiger dreifachen Summe alle Glieder fort, welche einen 
der symbolischen Factoren «/"'-'+% «^''"'-'' + 2, «/"'"- '+1 oder, 
was dasselbe ist, einen der Factoren «2'"^, (tz"'"'^, a-''-^^ enthalten; 
es bleiben also nur Glieder, die in Factoren 

«z'"-^ «/'-S «."'-^ 

oder in höhere Potenzen von a^, «/, (tz' multiplicirt sind. Für 
s = 3 r — 5 ist aber wegen der Relation i -\- k -\- l =^ s die höchste 
Potenz von a-', welche vorkommen kann, eben die (r — 1)*«', indem: 

r — l = 3r — 5 — 2(r — 2). 

Unsere Summe reducirt sich also abgesehen von einem Zahlenfactor 
auf das eine Glied 

(« d a") . aj"' - '■ + 1 aj "•' - '' + ^ aj' '"" - '' aJ' -^ctz'-^ ctz" '' - ^ . 

Multipliciren wir dieses mit ti,^ und wenden wieder die Identität (3) 
an, so wird es eine lineare Combination der verschwindenden Aus- 
drücke (7) , also ebenfalls Null : A = haf in x einen (3 r — 4)- 
fachen Punkt. 

Wir untersuchen weiter die Tangenten von A in diesem Punkte; 
d. h. wir bilden die Summe (6) für s = 3 r — 4. Es fallen in ihr 
wieder alle in a-'-'"^, aJ''-~'^, r/,"'-^ multiidicirten Glieder fort, und 
wegen i -\- k -{- l = o r — 4 ist die höchste Potenz, zu welcher dz" 
vorkommen darf, gleich 

3 r- - 4 — 2 (r — 2) = r , 

während die niedVigste gleich r — \ ist. Sonach bleiben in jener 
Summe ein Glied 

(8) {ad d') a.^'"' - '• + 1 aJ '"' -r + i a^'m-' -r-\ f,^r - 2 ^^' r - 2 rtr /' r 

und zwei Glieder, deren Summe die symbolischen Factoren enthält: 



380 ' Vierte Abtheilung. 

(9) {aa d") ay '- ^a/- '-V/;''" — ^ OhffJ + ff.v(fz) • 

Multipliciren wir diese Factoren mit m^. und wenden wieder die 
Identität (3) an, so werden sie gleich 

fix «t' { {»' oi' u) iiz — (« a" u) a^ \ «," '" - ^ a/ — ^ «/ '' — ^ ^ 

und dies ist nach der Identität (5) gleich 

«x«r' {(«««") . Wz — iadu) a~'\ a^'-'^aJ — ^a:!''-'^. 

Hier ist aber der erste Terni das Glied, welches in der Entwicklung 
von A^c'' ~ ^'"^^ Aj3'~5 vorkommt, und daher Null; während der 
zweite Term den Factor a^'^ hat, wie das erste oben erwähnte Glied 
(8). Die Symbole a" kommen aber in dem Klammerfactor {aa'u) 
desselben nicht mehr vor, es enthält also auch den Factor aj''"" — ''. 
Letzteren Factor können wir auch in dem Gliede (8) erkennen, wenn 
wir ebenfalls mit u^ multipliciren und die Identität (3) anwenden. Es 
bleibt dann wegen (7) gerade dasselbe Glied, auf welches wir die 
Summe (9) soeben reducirten; und demnach wird, wenn C einen 
Zahlenfactor bedeutet: 

Der Ausdruck links enthält also den Factor a^' '"" -^'a."'' , welcher 
das Product der r Tangenten von %=^0 m. x bestimmt. Dies gibt 
den Satz: 

Wenn zwei Ciirven gleicher Ordnung in einem gemeinsamen Punkte 
je einen (r — X)- fachen Punkt haben, und in demselben eine dritte 
Ciirve einen r- fachen Punkt besitzt falle mit getrennten Tangenten), so 
hat die J'dkohi'sche Curve daselbst einen (3 r — A)- fachen Punkt, von 
dessen Tangenten r mit den Tangenten jener dritten Curve in ihm 
zusammenfallen. 

Dieser Satz wird nicht modificirt, wenn von den Tangenten der 
Curve % 'va. X mehrere gruppenweise zusammenfallen. Haben dagegen 
etwa die Curven fp und ^ in x die {r — 1) Tangenten ihres vielfachen 
Punktes gemeinsam, so wird 

«r'"' - '• + 1 a/ - 1 zu « / '"' - '• + 1 a~! '■ - 1 

proportional; und man erkennt, dass A einen 3 (r — 1) -fachen Punkt 
erhält. Noch weitere Besonderheiten treten ein, wenn einzelne dieser 
gemeinsamen Tangenten von ^ und t^ oder alle zugleich Tangenten 
des vielfachen Punktes. von % sind. — 

Sind endlich alle drei Curven von gleicher Ordnung (;/2 =z m' '= m"), 
so kann man eine jede von ihnen durch irgend eine Curve des 
Systems 

(10) X9 + A(A + ^;K = 



Allgemeine Theorie der algebraaschen Curven. 88 1 

ersetzen, ohne die Jakobi'sche Curve zu ändern. Man nennt letztere 
in diesem Falle auch die Hesse 'sehe Curve des Systems und dieses 
selbst ein Curvennetz. Die Zakohi sehe Curve ist also eine ComUnanie 
desselben (vgl. p. oOB). Ein Netz ist analytisch dadurch charakterisirt, 
dass eine seiner Curven von zwei Parametern linear abhängt, also 
geometrisch dadurch, dass alle Curven desselben, welche durch einen 
bestimmten Punkt gehen, einen Büschel bilden; denn setzt man die 
Coordinaten dieses Punktes in (4) ein, so kann man einen der Para- 
meter ^ ^' durch den andern linear ausdrücken. Das einfachste 
Beispiel eines Netzes bilden somit alle Curven n*" Ordnung, welche 
durch "^"^"^•'^- — 2 feste Punkte gehen. Ein anderes Beispiel liefert 
uns die Gesammtheit der zu einer gegebenen Curve {a^" = 0) gehören- 
den ersten Polaren: 

wo dann - und '^^ als die beiden linear vorkommenden Parameter auf- 

zufassen sind. Für dieses Netz fällt die Hesse 'sehe Curve mit der 
Hesse'schen Curve der Grundcurve zusammen, denn wir können 
erstere überhaupt auch durch folgenden Satz definireu: 

Es gibt in eine?n Curvennetze unendlich viele Curven mit einem 
Doppelpunkte; der Ort der letzleren ist die Hesse 'atA<? oder JakobiW/e 
Curve des Netzes. Die Elimination von %, l, {i aus den drei Glei- 
chungen, welche die Bedingungen für einen Doppelpunkt darstellen: 

X a,r"' - ^ cii -f A aj '" - ^ a- -\- ^ aj' '" - ^ a-' = , 
führt nämlich in der That auf die Functionaldeterminante von (p, 4', %. 
Wir können für diese Curve endlich noch eine dritte Definition 
geben. Es wird unendlich oft vorkommen, dass sich zwei und somit 
unendlich viele Curven des Netzes in einem Punkte berühren; denn 
dies erfordert die Erfüllung einer Bedingung für die beiden willkür- 
lichen Parameter. Seien nun g) = 0, ^ = zwei solche sich be- 
rührende Curven des Netzes, so geht, wie wir früher zeigten (vgl. 
p. 3G6), jede Curve 



gqp ^<p d^ 

dcci dx2 dccg 

dfp dj^ djp 

dxi dxi docj 

V, Vo Vq 



= 0, 



wo die V beliebige Werthe haben können, durch ihren Berührungs- 
punkt. Dies ist aber, wenn wir 



Vi = ^ 



382 Vierte Abtheilung. 

setzen, die Gleichung der Hesse 'sehen Curve unseres Netzes; und 
sonach folgt: • 

Bie Hesse'6TÄ(? Curve eines Netzes ist der Ort der Punkte, in denen 
sich zwei Curven des Netzes berühren können. 

Für diese Curve gelten nun in Bezug auf ihr Verhalten gegen 
ausgezeichnete Punkte des Netzes ganz ähnliche Sätze, wie bei dem 
Netze der ersten Polaren für die singulären Punkte der Grundcurve. 
Wir erwähnen nur den folgenden: In einem gemeinsamen Punkte aller 
Curven des Netzes hat die Yles,s,e'sche Curve einen Doiipelpimkt.*) Für 
fn = m" = m geht nämlich die Gleichung (4) über in 

ft A^'' -1 Az . w.r= (w— 1) ^ {aa'u) a~'-\-{aa"u) a^-\-[a" au) a^\aj" - ^ a^"'~'^a^'"' 
= [m--\){ad a")aj''-'^aj "'-^ a^' "'-^ .u. = [m~\)Lj' .Uz\ 
der Ausdruck L.J^-^t^^ verschwindet also unabhängig von den z, da 
nach dem Früheren für den gemeinsamen Punkt A = ist, w. z. b. w. 
Bestehen dagegen für den Punkt x die Gleichungen: 

- SO hat die Jakobi'sche Curve in x jedenfalls einen 3 (r — 1) -fachen 
Punkt, da die ersten Differentialquotienten von cp, t^ % jetzt noch je 
(r — l)-fach verschwinden, d. h. es ist 

Bildet man aber weiter den Ausdruck A.,,*"- 3'"+^Az^'-3 nach Glei- 
chung (6), so dürfen in den Gliedern der Summe die Factoren <-/,, 
a/, a^" wegen (10) nur je zur (r — 1)*«" oder höheren Potenz vor- 
kommen; denn z. B. zu dem Factor von r//-^ würde noch «/' - '+i 
hinzutreten müssen. Die Summe enthält daher nur das eine Glied 
{a d a") a,r"' ~ '' aj "' - '" aj' "' - 'Y// - 1 a^ '■ - 1 a." '- ^ . 

Multiplicirt man dieses aber mit w,. und benutzt die Identität (3), so 
sieht man, dass es verschwinden muss. Aus ganz denselben Gründen 
reducirt sich der Ausdruck A.^/'-^'+^A/'' ^^, abgesehen von einem 
Zahlenfactor auf die Terme: 

{a d d') a^'" - '• - i aj '" - '• - 1 uj' '"■ -r - \ aJ ~ i « / '• - 1 a," '• - i . 

. {azaja^.' -f a^^-a^nj' -f «a- «/«/'}; 

und wenn man wieder nach Multiplication mit ?/.^. auf jedes Glied die 
Identitäten (3) und (5) anwendet, so kommt: 

*) Vgl. weitere Sätze dieser Art, sowie überhaupt für die Theorie der Netze 
<!remona's Einleitung in die Theorie der algebraischen Curven, besonders den 
Anhang in der deutschen Ausgabe. Ueber die Zahl der Curven mit Rückkehr- 
punkt und mit 2 Doppelpunkten in einem allgemeinen Netze vgl. de Jon- 
quieres: Math. Annalen, Bd. 1, p. 4'24. 



— 1 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 383 

{cid a) ^ßzCi^aJ:' + a^aJaJ' + fi.rfix' »z'] • Ux 

= (licüj a^' Had u) a" — (ad'u) a^ -\- {ci d' u) ciA 

= üxüj aj' {ad d') . Uz . 

Fügen wir endlich rechts wieder die andere^ symbolischen Factoren 
hinzu, so erhalten wir das Glied der Entwicklung des verschwindenden 
Ausdrucks A^.''-3'- + 3A/'-^ d. h. es ist auch A^-^-^'+'-AJ^' - 2 — 0. 

Naben also alle Curven eines Netzes in einem festen Punkte einen 
r- fachen Punkt, so hat die Jakobi'scÄe Curve daselbst einen (3 r — 1)- 
fachen Punkt. 

Unserer ersten Auffassung zufolge erschien die Hesse'sche Curve 
als Ort der Punkte, deren lineare Polaren in Bezug auf alle Curven 
des Netzes sich in einem Punkte schneiden; diese Schnittpunkte wer- 
den eine andere Curve, die Steiner' sehe Curve des Netzes, beschreiben, 
deren Gleichung sich durch Elimination der x aus den 3 Gleichungen 

aj" -^«2 = 0, aj '" - 1 «2' = , aj' '" - ^ «/' = 

ergibt; die Steinev'sche Curve ist daher von der Ordnung 3 (m — 1)-; 
sie ist ihrer Definition zufolge eindeutig auf die Hesse'sche Curve 
bezogen. 

Eine dritte Curve endlich, die C&ylej'sche Curve des Netzes, wird 
von den Verbindungslinien entsprechender Punkte der Hesse'schen 
und Steiner 'sehen Curve umhüllt; sie ist von der Klasse 3 7n {m — 1). 
Es gilt nämlich überhaupt der Satz *) : 

fVenn zwei Curven der Ordnung ?n und m eindeutig auf einander 
bezogen sind, so umhüllen die Verbindungslinien entsprechender Punkte 
eine Curve von der Klasse m -f- m'. 

Zum Beweise betrachten wir einen beliebigen Strahlbüschel. Jeder 
Strahl u desselben schneidet die eine Curve in m Punkten; einem jeden 
von diesen entspricht ein Punkt der andern Curve ; die letzteren Punkte 
verbinden wir durch Linien v mit dem Scheitel des Büschels. Als- 
dann haben wir in diesem eine Correspondenz (vgl. p. 210) zwischen 
den Strahlen u und v der Art, dass jedem Strahle u m Strahlen v, 
und ebenso jedem Strahle v m Strahlen ?/ entsprechen. Nach dem 
Correspondenzprincipe von Chasles kommt es daher {m -\- ;/i')-mal 
vor, dass zwei entsprechende Linien u und v zusammenfallen; d. h. 
durch einen beliebigen Punkt gehen m -\- ni Verbindungslinien ent- 
sprechender Punkte der beiden Curven, w. z. b. w. 

Für die Singularitäten der Steiner'schen und Cayley 'sehen 
(^urve gelten nun wieder analoge Sätze, wie für die entsprechenden 



*) In ganz derselben Weise hätten wir die Klasse der Cayley 'scheu Curve 
einer Grundcnrve /'=0 (p. 365) bestimmen können. — Die im Texte benutzte 
Anlage der Abzahlung ist überhaupt bei derartigen Aufgaben sehr nützlich. 



384 Vierte Abtheilung. 

Verliiiltnisse bei dem Netze der ersten Polaren. Es ist diese Beziehung 
jedoch keineswegs der Art, dass jedes Curvennetz ;«'''' Ordnung als 
Folarensystem einer Curve {m -f- 1)*" Ordnung aufgefasst werden kann. 
Drei beliebige Curven eines allgemeinen Netzes hängen nämlich zu- 
sammen von ^ m {m -\- 3) Constanten ab ; drei beliebige Curven //i*" 

Ordnung eines Systems erster Polaren dagegen von den ,^ " - 

Constanten der Grundcurve und den 6 Coordinaten ihrer drei Pole, 
zusammen also nur von ^ {ni -f- 1) {m -|- 4) -|- 6 Constanten. Beide 
Zahlen sind jedoch für m==2 einander gleich: Ein Nelz von Kegel- 
schnitten kann daher nach dieser vorläufigen Abzahlung immer als ein 
System von ersten Polaren einer Curve S'''^''^ Ordnung angesehen iverden. 
In der später folgenden Theorie der Curven U**^' Ordnung werden wir 
hierauf noch näher eingehen. 

Von den Netzen kann man weiter aufsteigen zur Untersuchung 
von Curvensystemen, die von 3, 4, .... Parametern abhängen, und 
somit bez. eine 3 -fach, 4 -fach, . . . unendliche Mannigfaltigkeit reprä- 
sentiren; so kann man bei Curven w*" Ordnung weiter gehen bis zu 
einem Systeme mit | n (w -{- 3) linear vorkommenden Parametern: 
ein System, welches dann die Gesammtheit aller Curven n*®' Ordnung 
umfasst. Der einfachste Typus für ein r-fach unendliches System 
wird dann immer durch die Gesammtheit der Curven /?*" Ordnung 
mit 4 t^ {n + 3) — r gemeinsamen Punkten gegeben sein. Dualistisch 
entsprechend wird man ferner Curvensysteme untersuchen müssen, 
deren Liniencoordinatengleichung eine gewisse Anzahl von Parametern 
linear enthält. Es ist aber bemerkenswerth , dass einem r-fach un- 
endlichen Systeme von Curven n*'^^ Ordnung immer ein bestimmtes 
I ^ 71 (n -\- 3) — r — 1 l-fach unendliches System von Curven n*" 
Klasse zugeordnet ist; und zwar geschieht dies in ähnlicher Weise, 
wie einer Linie u (d. i. einer Curve V^^ Ordnung, also n= \, r f== 0) 
vermöge der Bedingung 

(11) M.i- =^ U^X^ -\- V^X.^ -\- l^s^s = ^ 

ein l-fach unendliches System von Punkten x, als „mit ihr vereinigt 
geiegen^^ beigesellt ist. Zwei Curven 

a^" = und Ua" == 

geben nämlich zu der simultanen, in den Coefficienten beider linearen 
Invariante a^" Veranlassung. Fassen wir hierin die a als gegeben, 
die a als Parameter auf, so ivird der festen Curve aj^ = durch die 
Gleichung 

a" = 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 385 

ein {\ n [n -\- ^ — \)-facJi unendliches lineares System von Curven n*"' 
Klasse als „mit jener Curve vereinigt gelegen" zugeordnet. *) 

Ist allgemeiner ein lineares oo*"- System gegeben durch die 
Gleichung : 

Ay«^." + A, a'^." + . . . + A,ö('V' = 0, 

so gibt es ein System von Curven «*" Klasse ?/«" = 0, dessen Indivi- 
duen die r -f- 1 Gleichungen 

ö„« = (j , a'cc" = 0, ... «e-)«" = 

befriedigen , welches somit in der That noch von ^ n (n -j- 3) — r — 1 
willkürlichen Parametern abhängig ist. Dies System nennen wir mit 
jenem ersten in vereinigter Lage befindlich. *^^ Umgekehrt ist natürlich 
in dieser Weise auch mit einem Systeme 

vermöge der r -\- 1 Gleichungen a^(if = ein System von Curven 
a^" = in vereinigter Lage. Sind insbesondere die «ä^') nicht Sym- 
bole von Formen u^i", sondern Coordinaten wirklicher Punkte, so 
gehen die Curven des Systems a.^" == wirklich durch diese Punkte 
hindurch; in diesem Falle hat also unsere Bezeichnung eine unmittel- 
bg-re geometrische Bedeutung. Eine solche kann man jedoch im 
Allgemeinen bisher nicht angeben; nur für Kegelschnitte ist die Be- 
deutung der Bedingung Oa^ = bekannt (vgl. p. 295). Bei ver- 
einigt gelegenen Kegelschnitten muss man streng unterscheiden, 
welcher in Punktcoordinaten, welcher in Liniencoordinaten gegeben 
vorausgesetzt wird, denn diese Curven sind von gleicher Ordnung und 
Klasse, und der Invariante J^^^ stellt sich sofort die andere ^122 
dualistisch entsprechend gegenüber (p. 289). Ist für n = 2 ins- 



*) Man kann die Coefficienten einer Curve n^^^ Ordnung als selbstständige 
Veränderliche Xi, ^2, ... (Coordinaten) in einer Mannigfaltigkeit (Raum) von 
\ n (n -{- 3) Dimensionen auffassen; dann entspricht jedem Punkte dieser Mannig- 
faltigkeit eine Curve «ter Ordnung und den mit ihr vereinigt gelegenen Curven 
Titer Klasse die U ?i (w -j- 3) — 1 ) - fach unendlich vielen Ebenen {u^ = 0) , welche 
durch den Punkt hindurchgehen. Den linearen Mannigfaltigkeiten verschiedener 
Stufe, welche durch das Schneiden verschiedener Ebenen u^. = 0, v^ = 0, ... 
oder durch das Verbinden verschiedener Punkte entstehen, entsprechen dann die 
Curven -Büschel, -Netze, ... unserer Ebene und die mit ihnen vereinigt ge- 
legenen Gebilde. 

**) Rosanes gebraucht a. 3. 0. dafür das Wort conjugirt (vgl. die Anrnerk. 
auf p. 295); für entsprechende Untersuchungen bei binären Formen vgl. ferner 
dessen Aufsatz : Ueber ein Princip der Zuordnung algebraischer Formen, Crelle's 
Journal, Bd. 7G. 

Clebs ch , Vorlesungen. 25 



386 Vierte Abtheilung. 

besondere r = 2, so liegt mit einem Kegelschnittnetze ein ebenfalls 
2 -fach unendliches System von Kegelschnitten „ein Kegehchnittgewehe'^ 
vereinigt; und beide Systeme stehen dann in mannigfachen interes- 
santen Beziehungen zu einander. Wir werden hierauf noch bei den 
Curven dritter Ordnung zurückkommen. — 

Die in emem Netze auftretenden Parameter können wir auch als 
Coordinaten eines Punktes der Ebene aufi'assen. Bezeichnen wir 
dieselben demgemäss mit ?/, , y^, y^, so ordnet die Gleichung des 
Netzes : 

jedem Punkte y eine Curve w*" Ordnung und jedem Punkte x eine 
gerade Linie zu. Man kann dann entsprechend der Stein er 'sehen 
Curve einen Ort der Punkte y angeben , denen Curven mit DopiDclpunkt 
entsprechen; und den Doppelpunkten derselben werden Curven mit 
zwei Doppelpunkten zugehören, ebenso wie irr einem Netze von ersten 
Polaren (p, 369). Man kann ferner überhaupt Curvensysteme 
betrachten, die durch eine sowohl in den x als in den y homogene 
Gleichung von der Ordnung m, bez. n in den x und y: 

m n 

rix,y) = 
dargestellt werden. Es entspricht dann jedem Punkte x eine Curve 
n}^"^, jedem Punkte y eine Curve w*®'^ Ordnung. Wir erwähnen nur 
einen auf sie bezüglichen Satz*), welcher als Erweiterung des 
Chasles'schen Correspondenzprincips (vgl. p. 210) für das ternäre 
Gebiet zu betrachten ist, und der für gewisse Abzahlungen oft in 
ähnlicher Weise, wie jenes nützlich sein kann. 

Sind nämlich zwei Curvensysteme der erwähnten Art gegeben: 

f {x, y) = und (p{x, y)=0 , 

so entsprechen jedem Punkte x der Ebene a = nn Punkte y, die 
Schnittpunkte der beiden ihm durch /" = und cp = zugeordneten 
Curven, und ebenso jedem Punkte y der Ebene a = mm' Punkte x: 
wir fragen nach solchen Punkten x, die mit einem der ihnen ent- 
sprechenden Punkte y zusammenfallen. Setzen wir demnach x = y 
in den Gleichungen /=0, 9=0, so erhalten wir die gesuchten 
Punkte (Coincidenzpunkte) als die Schnittpunkte der beiden Curven 

m n m' n' 

f{x,x) = 0, cp{x,x') = 0\ 
ihre Zahl ist also gleich 

*) Vgl. Salmon's Geometry of tliree dimensions, second edition, 1865, p. 511, 
oder p. 556 im 2. Theile der 2. Auflage von Fi edler 's Bearbeitung, Leipzig 1874. 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 387 

{ni -j- n) {m -f n) = mm + nri + mn + nni 
= « + «' + /?, 

wenn ^ = mn -\- nm gesetzt wird. Die Zahl /3 ist hier gleich der 
Ordnung der Curve, welche ein Punkt y beschreibt, wenn x auf einer 
Geraden fortrückt. Die Gleichung dieser Curve ergibt sich nämlich, 
wenn wir in /"= 0, 93 == 

setzen und X eliminiren ; das Eliminationsresultat ist aber dann gerade 
von der Ordnung mn -\- nm' in y. Von derselben Ordnung ist 
natürlich die Curve, welche x durchläuft, wenn y eine Gerade be- 
schreibt. 

Definirt man die Zahl ß in dieser Weise geometrisch, so gilt 
unser Satz von der Zahl a -\- a -\- ß auch noch , wenn die a bez. a 
Punkte nicht als das vollständige Schnittpunktsystem zweier Curven 
darstellbar sind, was immer eintreten muss, sobald a und a Prim- 
zahlen bedeuten. Wir können den Satz aber noch allgemeiner aus- 
sprechen, wenn wir annehmen, dass für alle Punkte einer bestimmten 
Curve eine Coincidenz eintrete. Wir fragen dann nach der Zahl der 
nicht auf jener ,,Comddenzcurve" gelegenen Coincidenzpunkte der 
Correspondenz.*) 

Es mögen also einem Punkte x a Punkte y, einem Punkte y 
a Punkte x entsprechen-, es sei ferner /3 die Ordnung der Curve, 
welche die zu x gehörigen Punkte y durchlaufen, wenn x eine Gerade 
beschreibt. Letztere Annahme können wir offenbar auch so aus- 
sprechen, dass auf einer beliebigen Geraden ß Punktepaare existiren 
sollen, so dass immer der eine Punkt unter der Gruppe der dem 
andern entsprechenden Punkte ist. In dieser Form ist ß symmetrisch 
von den Punktgruppen x und y abhängig; ß ist daher zugleich die 
Ordnung der Curve, welche die zu y gehörigen Punkte x beschreiben, 
wenn y auf einer Geraden fortrückt. Endlich bezeichnen wir mit y 
die Ordnung der „Coincidenzcurve" , deren Punkte also sämmtlich 
Coincidenzpunkte sind, und mit 8 die Klasse derjenigen Curve, deren 
Tangenten einen Punkt x der Coincidenzcurve mit dem ihm unendlich 
benachbarten, entsprechenden Punkte y verbinden. 

Wir bestimmen nun zunächst die Ordnung einer Curve A'^, die 
von einem Punkte x durchlaufen wird, wenn seine Verbindungslinie mit 
einem der ihm zugeordneten a Punkte y durch einen festen Punkt 
gehen soll. Wir verbinden zu dem Zwecke mit den Punkten x 

•) Diese Ausdehnung des Satzes gab Zeuthen: Comptes rendus, Juni 1874. 
— Für den Fall, dass die Correspondenz durch zwei Gleichungen /'=0. 9 = 
darstellbar ist , wird eine Coincidenzcurve dadurch entstehen , dass sich für x = y 
von f und 9 ein und derselbe Factor absondert. 

25* 



388 Vierte Abtheilung. 

einer beliebigen Geraden w durch Strahlen u. Jedem solchen Strahle 
V entsprechen dann a Strahlen v, welche mit den a zn dem 
Schnittpunkte x von u und w gehörigen Punkten y verbinden. Jeder 
Linie v entsprechen dagegen ß Strahlen u : die Verbindungslinien von 
mit den Schnittpunkten der Linie iv und der Curve von der Ordnung ß, 
welche von den Punkten x beschrieben wird, wenn y den Strahl v 
durchläuft. Nach dem Chasles'schen Correspondenzprincipe (p. 210) 
wird es nun (a + ^)-mal vorkommen, dass eine Linie u mit einer 
entsprechenden Linie v zusammenfällt. Von diesen Coincidenzstrahlen 
müssen wir jedoch y ausschliessen : die Verbindungslinien von mit 
den y Schnittpunkt der Linie tv und der Coincidenzcurve; denn jeder 
solchen Linie, aufgefasst als Strahl u, entspricht zufolge der Definition 
jener Coincidenzcurve ein unendlich benachbarter Strahl v. Es gibt 
auf w daher a -^ ß -— y Punkte, deren Verbindungslinien mit einem 
entsprechenden Punkte y durch gehen, d. h. die gesuchte Ordnung 
der Curve Ä'.^. ist gleich a -\- ß - y. Ebenso ist der Ort der Punkte y, 
deren Verbindungslinien mit einem zugeordneten Punkte x durch 
gehen , eine Curve Ay von der Ordnung a -{- ß — y. 

Wir nehmen ferner einen zweiten festen Punkt P und verbinden 
denselben mit den einander entsprechenden Punkten x und y, die 
paarweise auf einer durch gehenden Geraden liegen, bez. durch 
Linien u und v. Jede Linie n' schneidet die zu üehöriffe 
Curve /f^. m a -j- ß — y Punkten rc; zu jedem der letzteren gehört 
ein Punkt y, dessen Verbindungslinie mit ihm durch geht; also 
jeder Linie u entsprechen a -\- ß — y Linien v, und jeder Linie v 
in analoger V^^eise a -\- ß - y Linien ii. Zwischen diesen Strahlen 
treten daher a -{- a -\- 2 ß —2 y Coincidenzen ein. "Von letzteren 
Coincidenzstrahlen entfallen aber ß — y in die Verbindungslinie von 
und P, denn diese enthält, wie jede beliebige Gerade, ß Paare 
entsprechender Punkte x und y, von denen iudess y in die Schnitt- 
punkte von w mit der Coincidenzcurve zusammenfallen. Die übrig 
bleibenden a + a -{- ß — y Coincidenzen geben zufolge unserer Con- 
struction die Verbindungslinien von P mit den Coincidenzpunkten der 
ursprünghchen Correspondenz in der Ebene. Unter ihnen sind aber 
noch die d Verbindungslinien von P mit den d Punkten der Coincidenz- 
curve enthalten, welche die ihnen zugehörigen Tangenten der oben 
definirten Klassencurve durch schicken. Es gibt daher schliesslich 
f^-\-cc-^ß — y — ö isolirt liegende Punkte, welche mit einem der 
ihnen zugeordneten zusammenfallen. Wir haben also das Theorem: 

Es sei in der Ebene eine „Correspoiidenz" gegeben, vermöge deren 
jedem Punkte x a Punkte y und jedem Punkte y a Punkte x entsprechen; 
es sei der Ort der Punkte x oder y, welche den Punkten einer beliebigen 
Geraden entsprechen, von der Ordnung ß; die Correspondenz habe eine 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 389 

,,Coincidenzci(rve" von der Ordnung/ y; die Enveloppe der Verbindungs- 
linien der Punkte dieser Curve mit den ihnen unendlich benachbarten zu- 
gehörigen Punkten sei von der Klasse d*): Alsdann gibt es in der Ebene 

a -\- a -\- ß — y — ö 

Punkte, in denen zivei entsprechende Punkte x und y zusammenfallen 
(Coincidenzpunkte). 

Als eine Anwendung geben wir den Beweis für folgenden Satz : 

Es gibt im Allgemeinen 

{n - 1)2 + (n - 1) (n'_ 1) + (n - 1)^ 
Punkte, deren lineare Polaren in Bezug auf eine Curve n'"' und eine 
Curve w''^'" Ordnung zusammenfallen. 

Sind nämlich Y = «./' = 0, (p = aj "' = die beiden Curven, .so 
gehören zu der linearen Polare eines Punktes x in Bezug auf /" = 
(^n' — 1)2 Punkte x, deren lineare Polare diese Gerade in Bezug auf 
(p = ist; wir haben also «' = {n — l)^ und ebenso a = {n — \f. 
Zur Bestimmung von /3 bemerken wir, dass die lineare Polare eines 
Punktes x in Bezug auf f=0 eine Curve {ji — 1)*^^ Klasse umhüllt, 
wenn x eine Gerade durchläuft (vgl. p. 365). Jede Tangente dieser 
Curve ist wieder [n —.1)"' Polare von (n — \f Punkten x in Bezug 
auf g? = 0; und alle diese Punkte x bilden dann eine Curve der 
Ordnung {n — 1) (n — 1). Letzteres folgt aus dem allgemeinen Satze: 

Wenn eine Gerade eine Curve f*'"" Klasse ?/„'* = umhüllt, so beschrei- 
ben ihre {m — 1)^ Pole in Bezug auf eine Curve aj" = eine Curve der 
Ordnung H {jn — 1). Erhält man doch die Gleichung der letzteren 
unmittelbar, wenn man in uj' == für ui die Werthe aiaj"-^ einsetzt. 

Wir haben also in unserm Falle ß = {n — V) {n — 1) zu nehmen; 
und somit ist (da y = d = 0) in der That die Zahl der gesuchten 
Punkte gleich: 

a _|_ a' 4- ^ = (w — 1)2 -f (n — 1) in - 1) + {n - If . 

In diesem Falle hätten wir die gefundene Zahl auch leicht direct 

algebraisch ableiten können. Setzen wir nämlich f = 'f^-> 9^« = g^.> 

so müssen für die Coincidenzpunkte x folgende Gleichungen bestehen : 

oder : 

*) Wenn für die Beziehung der beiden benachbarten Curven ytcr Ordnung 
keine besonderen Ausnahmepunkte vorhanden sind, so ist S^'ly, vgl. p. 383. 



390 Vierte Abtheilung. 

Die ersten beiden sind je von der Ordnung w — 1 -f w' — 1, 
haben also (n — 1 -f- w' — 1)2 gemeinsame Lösungen. Hierunter sind 
aber auch die (n — 1) (n' — 1) Schnittpunkte von (p.> = 0, f^ = 0, 
durch welche die Curve /g^j, — gcg/, =0 nicht hindurchgeht. Die 
Zahl der gemeinsamen Lösungen aller drei Gleichungen ist daher 

.-=(n-]-|-w'-l)2-(w-])(w'-l)=(n-l)2 + (w'-])'^4-(n_l)(n'-l), 
wie wir oben fanden.*) 

Für den Fall n = n sind die resultirenden 3 (n — 1)2 Coincidenz- 
punkte identisch mit den in dem Büschel / -|- A 9? = auftretenden 
Doppelpunkten, denn die Bedingungen für einen solchen: 

/■,+ A9), = 
lassen sich nach Elimination von l eben in der Form schreiben: 

VL Fortsetzung. — Die Methode der Charakteristiken. 

Ausführlicher sind in neuerer Zeit solche Systeme von Curven 
untersucht, die noch von einem willkürlichen Parameter abhängen; 
und diese Betrachtungen haben insbesondere für die richtige Auf- 
fassung der Ausartungen algebraischer Curven zu wichtigen Resultaten 
geführt. Wir müssen uns jedoch im Folgenden darauf beschränken, 
die hierbei zu verfolgenden Gesichtspunkte zu kennzeichnen; nur bei 
den Kegelschnittsystemen werden wir etwas länger verweilen. Wir 
betreten hiermit ein Gebiet der Geometrie, das in neuerer Zeit sich 
zu einer immer vollständigeren Disciplin erhoben hat und demgemäss 
wohl auch als die „Geometrie der Anzahl" bezeichnet wird. — 

Ein solches System von einfach unendlich vielen Curven lässt 
sich in folgender Form algebraisch darstellen: Die Coefficienten der 
beweglichen Curve der Schaar C/=0) sind algebraische, nicht noth- 
wendig rationale Functionen eines Parameters L Ist diese Abhängig- 
keit eine irrationale, so kann man die Coefficienten immer, wie die 
Theorie der algebraischen Functionen lehrt, rational durch zivei Para- 
meter darstellen, zwischen denen eine algebraische Gleichung besteht, 
oder wenn wir noch einen Homogeneitätsfactor einführen, als ganze 
homogene Functionen gewisser Ordnung von Aj, Aj, A3, wo zwischen 
A, , Aj, A3 eine homogene Gleichung besteht. 

Für das Curvensystem sind nun besonders zwei Zahlen wichtig: 
die Charakteristiken des Systems, nämlich 



•) Vgl. über solche Systeme von Gleichungen: Salmon-Fiedler: Raum- 
geometrie, Bd. 2, p. 519 flP. in der 2. Auflage, 1874. 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 391 

II, die Zahl der Curven des Systemes, welche durch einen beliebigen 

festen Punkt gehen, und 
V, die Zahl der Curven des Systems, welche eine beliebige feste 
Gerade berühren*); 
und zwar reichen diese Zahlen für Kegelschnittsysteme aus, während 
bei höheren Curven noch andere Zahlen hinzutreten (vgl. unten). 

Die Zahl ^ stimmt, wenn die Coefficienten der beweglichen Curve 
rationale Functionen eines Parameters sind, mit der Dimension überein, 
zu der letzterer in der Gleichung /•=0 des Systems m Punkt- 
coordinaten vorkommt. Die Zahl v wird alsdann im Allgememen die 
Dimension angeben, zu welcher dieser Parameter in die Gleichung cp = 
des Systems in Liniencoordinaten eingeht, also bei Curven n*- Ord- 
nuncr gleich 2 ^ (n - 1) sein, da (p -vom Grade 2 (n - 1) m den 
Coefficienten von / ist.**) Es kann jedoch eintreten - und wir 
setzen im Folcrenden solche Vorkommnisse im Allgemeinen voraus - , 
dass in dem Systeme Curven enthalten sind, die eine jede beliebige 
Gerade berühren, indem nämlich eine der Curven n*- Ordnung z B 
in eine {n — 2)*" Ordnung und eine doppelt zählende Gerade zertallt, 
oder überhaupt einen mehrfach zählenden Zweig enthält. Alle solche 
Curven, welche der Gleichung 9^ = identisch genügen, würden unter 
der Zahl 2fi(n— 1) mit einbegriffen sein, während wir unter der 
Zahl V nur die eigentlich berührenden Curven verstehen wollen. 
Ebenso soll ^ nur die Zahl der in eigentlichem Sinne durch emen 
Punkt gehenden Curven angeben, ohne Berücksichtigung derjenigen, 
die etwa einen doppelt zählenden Punkt enthalten und so in gewissem 
Sinne durch jeden Punkt hindurchgehen: Curven, die dann Ireilich 
nur durch die Liniencoordinatengleichung vollständig darstellbar sind. 
Eben diese Vorkommnisse machen es für die algebraischen 
Untersuchungen nothwendig, immer gleichzeitig die beiden Gleichungen 
/•= und g) = im Auge zu haben. Bei der geometrischen Betrach- 
tung erscheinen diese „sinffulären Curven" mit mehrfach zählenden 
Zweigen, wenn man eine allgemeine Curve allmählich degeneriren 
lässt.***) Geht man dabei von der Punktau tfassung aus, lasst also z. B. 

^Tüiese" Charakteristiken wurden von Chasles zuerst eingeführt, welchem 
überhaupt die Entstehung der Ckarakteristikenlheorie zu verdanken ist. Letztere 
wurde ferner durch de Jonquieres, Cayley, Salmon, Zeu hen gefordert 
Vgl besonders die zusammenfassende Arbeit von Cayley: On the curves, wich 
satisfy given conditions, Philos. Transactions, London 1868, vol. 1585 ferner Sal- 
mon's Higher plane curves und Cremona's Einleitung m die Theorie der 
algebraischen Curven. Einen vollständigeren Literaturnachweis findet man bei 
Cavlev a. a 0. und bei Painvin: Bulletin des sciences math. t. 3, p. 155. 

**) Auf diese Annahmen beziehen sich die ersten Untersuchungen von 

de Jonquieres. 

»**) Vgl. Beispiele hiefür auf p. 343 und p. 346. 



392 Vierte Abtheilung. 

zu den etwa schon vorhandenen EToppelpunkten noch einen weiteren 
hinzutreten, oder einen Doppelpunkt in einen Rttckkehrpunkt über- 
gehen, so stellt sich bei der Linienauffassung diese Reduction dadurch 
dar, dass sich von der Curve ein einzelner auf ihr liegender Punkt, 
eventuell mehrfach zählend, absondert. Einen solchen Punkt, in dem 
die betreffende Curve als von jeder durch ihn gehenden anderen Curve 
berührt anzusehen ist*), nennen wir einen Klassensclteliel (sommel nach 
Chasles). Ebenso werden sich einzelne, eventuell mehrfach zählende 
Gerade absondern können, die bei der Linienauffassung allein unbe- 
rücksichtigt bleiben würden; wir bezeichnen sie als Ordnungsstrahlen. 
Diese Auseinandersetzungen zeigen, dass es zur Bestimmung der 
Zahlen ft, v für ein System vor allen Dingen nothwendig ist, die 
singulären Curven des Systems vollständig zu kennen; und in 
Bestimmung der letzteren, besonders der Vielfachheit etwa auftreten- 
der Ordnungsstrahlen und Klassenscheitel, liegt meist die Haupt- 
schwierigkeit. 

Wir erläutern diese Verhältnisse zunächst an den KegeJschnlU- 
systemen. In einem solchen sind folgende singulare Curven möglich: 

1) bei der Punktauffassung: 

Linienpaar , dessen Doppelpunkt dann ein Klassenscheitel ist, und 
Boppellinic, selbst, ein Ordnungsstrahl, auf dem dann zwei 
getrennt liegende oder zusammenfallende Klassen- 
scheitel liegen; 

2) bei der Linieuauffassung : 

Punktepaar , deren Verbindungslinie Ordnungsstrahl ist, 
Doppelpunkt, selbst ein Klassenscheitel, durch den zwei ge- 
trennte oder zusammenfallende Ordnungsstrahlen 
gehen. 
Wir bestimmen zunächst die Zahl 

X der vorkommenden Doppellinien 
it „ „ „ Doppelpunkte. 

Durch jeden Punkt einer beliebigen Geraden gehen ft Curven des 
Systems, von denen jede die Gerade noch in einem Punkte y schneidet; 
ebenso sind jedem Punkte y f* Punkte x auf der Geraden zugeordnet; 
wir haben also 2 fi Coincid^nzen. Diese entstehen entweder durch 
Berührung der Geraden mit einem eigentlichen Kegelschnitte, oder 
durch den Schnitt mit einer Doppellinie; es gibt aber v eigentlich 
berührende Kegelschnitte, und also haben wir: 

A = 2 fi — V 

*) Ein Klasseuscheitel braucht nicht in einem einzelnen vielfachen Punkte 
zu liegen, wie in dem Beispiel, er kann 'auch auf einem vielfach zählenden 
Zweige der Curve beliebig liegen (vgl. p. 417, Anmk.). 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 



393 



Vermöge dieser Gleichungen kann man die Charrakteristiken ^, v 
eines Systems, wenn dies nicht direct gelingt, mittelst der Zahlen 
l, 7t bestimmen, sobald man letztere kennt; und auf diese Bestim- 
mungen beziehen sich besonders die Untersuchungen von Zeuthen. 
Dieselben sind noch einfach für die durch die sogenannten Elementnr- 
bedingungen gegebenen Systeme, d. h. wenn verlangt wird, dass die 
Kegelschnitte durch vier Punkte gehen sollen, oder durch drei Punkte 
gehen und eine Gerade berühren, etc.: Systeme^ die wir kurz durch 
die Symbole 

(::), (*M). (*^ll), (^111), (IUI) 
bezeichnen wollen. Wir stellen in der folgenden Tabelle die sich 
hier weiterhin für ^, v, X, % ergebenden Werthe zusammen: 



(2) 



1 


f* 


V 


k 


IT 


(t:) 1 


2 






3 
6 


GM). 2 


4 


G^IJ) 
(*lll) 

1 (IUI) 


4 


4 


4 


4 


4 


2 


6 





2 


1 


3 






Die Systeme (::) und (||||) sind schon in der Kegelschnitttheorie 
eingehend behandelt. 

In Betreff der analytischen Darstellung des Systems (t^j) 
bemerken wir Folgendes. Die drei festen Punkte nehmen wir zu 
Ecken des Coordinatendreiecks; die Gleichung eines durch sie gehen- 
den Kegelschnittes ist dann 

Sind ferner ?/, die Coordinaten der festen Tangente, so haben wir 
noch die Bedingung: 







«., 



a.> 







'32 



"23 





tu 







= 0. 



Die Entwicklung der Determinante gibt aber gerade das Product der 
vier Werthe, welche der Ausdruck 



/«23«1 + /«31«2± /«i 



2 "3 



je nach Benutzung der Vorzeichen annimmt. Setzen wir also: 
so ist die Gleichung des Systems ( ♦ * . |) : 



394 Vierte Abtheilung. 

32 32 32 

(o) ~ ^2^3 ~r 7/ 3:3 a^i -{- — oj^o;., = , 

wo: 

(4) A, + A2 + A3 = 

Da hier A, , Aj, A3 quadratisch vorkommen, ist (i = 2. 

In dem Systeme sind drei Linienpaare enthalten, gegeben 

(3 2 12 7 2\ 
~~h] aber 

ein vollständiges Quadrat ist, so zählt jedes Paar doppelt, ebenso also 
auch jeder der drei Scheitel; daher die Zahl jr == 6 in der Tabelle. 
Diese Scheitel sind die Schnittpunkte der drei Dreiecksseiten mit der 
festen Geraden; jede Seite wird durch die Verbindungslinie des auf 
ihr liegenden Scheitels mit der gegenüberliegenden Ecke des Dreiecks 
zu einer Curve des Systems ergänzt. Doppellinien sind nicht vor- 
handen, es ist daher r = 4 und A = 0; in der That sondert sich bei 
Bildung der Liniencoordinatengleichung kein Factor ab. 

Von dem Umstände, dass die drei Linienjiaare als Kegelschnitte 
des Systems doppelt zu zählen sind, kann man sich auch in folgender 
Weise rein geometrisch Rechenschaft geben. Wir verfolgen zunächst, 
wie in einem linearen Curvensysteme ein Kegelschnitt allmählich in 
ein Linienpaar oder Punktepaar übergeht. In einem Büschel müssen 
wir uns ein Linieopaar offenbar dadurch entstanden denken, dass in 
dem einen Winkelraume desselben die Zweige einer Hyperbel sich immer 
enger an die Gestalt des Linienpaares anlegen, um dann, in stetiger 
Fortsetzung ihrer Bewegung, nach Erreichung dieser Grenzlage, sich 
in dem andern Winkelraume wieder von demselben zu entfernen. Das 
Linienpaar wird dabei offenbar nur einmal durchlaufen : es zählt nur 
einfach. Entsprechend ist es beim Punktepaare in einer Kegelschnitt- 
schaar mit vier gemeinsamen Tangenten (z. B. einem confocalen 
Systeme): eine Ellipse zieht sich immer mehr um die Punkte des 
Paares zusammen, bis sie schliesslich die zwischen den Punkten 
liegende Strecke ihrer Verbindungslinie doppelt überdeckt, wo sie 
dann als Liniengebilde eben durch die beiden Punkte (Klassenscheitel) 
dargestellt ist. Gehen wir zu der nächst benachbarten Curve weiter, 
so ist dieselbe eine Hyperbel, welche sich an die beiden von den zwei 
Punkten aus sich in's Unendliche erstreckenden Zweige der Geraden 
eng anlegt und so diesen Theil der Linie doppelt überdeckt. Beim 
Fortschreiten zu weiteren Curven werden dann die Zweige der 
Hyperbeln immer steiler gegen jene Doppellinie. Das Punktepaar ist 
offenbar wieder einfach zu zählen ; es bildet eine einfache Durchgangs- 
lage der Curven des Systems. 

Anders ist dies bei dem uns vorliegenden Systeme (♦♦♦[), wie in 
Fig. 54 schematisch veranschaulicht ist. Es sind hier A, B, C die 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 



395 



drei festen Punkte, u ist die feste Tangente. Einem der bezeichneten 
Linienpaare (mit dem Scheitel D) nähert sich die Hyperbel tp, deren 




einer Zweig die Linie u berührt, während der andere ihr von der 
andern Seite her unendlich nahe kommt. Nachdem das Linienpaar 
erreicht ist, tritt die Hyperbel mit ihren Zweigen nicht bez. in die 
benachbarten Winkelräume über, sondern geht zurück, indem sie die 
Lage der Curve -4) in der Figur annimmt: sie verhält sich in dem 
Curvensysteme gev^^issermassen wie ein Rückkehrpunkt auf einer 
algebraischen Curve und muss daher, wie dieser, doppelt gezählt' 
werden. — 

Zur Darstellung des sich selbst dualistischen Systems^ (. .||) nehmen , 
wir den Schnittpunkt der beiden Geraden als Ecke u^ = des 
Coordinatendreiecks, die Verbindungslinie der beiden Punkte als Seite 
x^ = 0. Die übrigen Elemente des Dreiecks bestimmen wir so , dass 
die beiden gegebenen Punkte harmonisch zu den Punkten u.^ = 0, 
Wg = 0, und gleichzeitig die gegebenen Geraden harmonisch zu x^ = 0, 
0^3 == sind. Die Gleichung des Kegelschnittes hat dann die Form: 

«11 ^1^ + 2 «123^1^2 + 2 «iga.-! X^ + Öf22«2^ + «33 V = ^. 

2 : «33 = c ein 
coordinatengleichung 



wo «22 • «33 "^ ^ öine Constante ist. Ebenso muss in der Linien- 



«lifl33 — «13* 

constant sein, und das Glied mit u^u^ fehlen, was die Bedingung gibt: 

«12 • «13 = 0. 

Jede der Annahmen 0,2 = ^1 «13 = ^ ge^iügt also den gestellten 
Forderungen, und wir haben den Satz: 



396 



Vierte Abtheilung. 



Das Kegelschnittsystem mit zwei festen Punkten und ziuei festen 
Tangenten ist rediicibcl, d. h. zerfällt in zwei völlig getrennte Systeme. *) 
Setzen wir nun z. B. «,„ = und 



so wird die Gleichung des einen Systems: 
1 



h — ^13 ; 



0, 



(5) A, x,^ + -^ X, {cx,-^ + V) + ^ h^,x, 
wo die Bedingung besteht: 

(6) l^L, {c — c) + cc'X.^^ = . 

Durch jeden Punkt gehen also noch zwei Kegelschnitte; ebenso im 
Systeme «jg = 0; es ist hier also i^ = 4, und wegen der Dualität 
auch V = A. Daraus folgt ferner wegen (1): X = n = A. 
That für zerfallende Kegelschnitte muss die Discriminante 

verschwinden. Die beiden Gleichungen 



In d( 



, ^\^2 — <^^J 







führen aber wegen der Bedingungsgleichung zu demselben Resultate: 



X, = 0, 



h^ = 



Es gibt daher in jedem der beiden Systeme nur eine Doppellinie 
(a:j2 ^ 0) als singulare Curve, die Verbindungslinie der beiden Punkte; 
und dieselbe zählt in jedem Systeme (wegen A32 = 0) doppelt, im 
Ganzen also vierfach (A = 4). Ebenso gibt es einen vierfach zählen- 
den Scheitel (jt = 4) : den Schnittpunkt der beiden gegebenen Geraden. 
Von der Vielfachheit der singulären Curven können wir uns 
durch eine ähnliche geometrische Ueberlegung Rechenschaft geben, 
wie bei dem Systeme (♦»♦!). In Fig. 55«, und 56« sind je zwei 

Kegelschnitte der beiden Sy- 
steme, in die das System (♦♦(!) 
zerfällt, kurz vor und kurz 
nach der Grenzlage dargestellt, 
welche durch die Doppelliuie 
AB angezeigt ist. Die beiden 
Systeme unterscheiden sich, 
wie man sieht, dadurch, dass in 
dem einen je zwei Curven sich 



Fig. 55«. 



Fig. 56«. 




*) Dies ist evident, wenn man die beiden festen Punkte in die Kreispunkte 

fallen lässt. Die Kreise des einen Systems liegen dann in dem einen, Winkel- 

raume zwischen den beiden festen Tangenten, die des andern in dem andern 
Winkelraume. 



Allgemeine Theorie dfer algebraischen Curven. 



397 



immer, in dem andern nicht immer in vier reellen Punkten schneiden, , 
Durch den Umstand, dass die unendlich Hach gewordene Ellipse sich 
nicht wieder in der oben (p. 394) geschilderten Weise zu einer 
Hyperbel erweitert, sondern sogleich in eine benachbarte Ellipse über- 
geht, ohne dass also die unendlichen Aeste der Doppellinie von einer 
unendlich flachen Hyperbel überdeckt würden, ist es hier angezeigt, 
dass die Doppellinie zweifach zählen muss; sie verhält sich eb*en wie 
ein Rückkehrpunkt einer algebraischen Curve. Ganz dualistisch ent- 
sprechend geschieht in den beiden Systemen die allmählige Annäherung 
an den Schnittpunkt C der beiden gegebenen Geraden u, v, was aus 
Fig. 55 a und 56 /> ersichtlich sein wird. Die Tangenten der Hyperbeln 



Fig. 55 ^. 



Fig. 56*. 




in den Punkten A, B nähern sich immer mehr den Linien AC , BC, 
dem entsprechend, dass in ersteren Figuren die Berührungspunkte der 
Ellipsen immer mehr an die Schnittpunkte der Doppellinie mit u und 
V heranrücken,*) — 

Die von uns eingeführten Charakteristiken ^i, v, statt deren man 
wegen der linearen Gleichungen (1) auch k, % anwenden kann, werden 
nun von fundamentaler Bedeutung durch einen von Chasles zuerst 
durch Induction gefundenen Satz, Nach diesem ist die Zahl der 
Kegelschnitte eines Systems (^, v), welche noch einer fünften Bedia- 
gung genügen, immer von der Form 

aft+ ßv, 
wo die Zahlen u, ß von dem Kegelschnittsysteme vollständig unab- 
hängig sind, sich vielmehr allein aus der Natur der hinzutretenden 



' *) Durch unsere geometrische Ueberlegung ist eigentlich nur entschieden, 
ob die Vielfachheit der betreffenden Curve durch eine gerade oder ungerade 
Zahl gegeben wird. 



398 Vierte Abtheilung. 

Bedingung bestimmen. Man nennt letztere Zahlen daher die Charak- 
teristiken der Bedingung. *) Wir beweisen den wichtigen Satz in 
folgender Weise. 

Für die Coeffieienten an, der Punktgleichung eines Kegelschnittes 
seien die vier Bedingungsgleichungen 

(7) , n, =0, n^^o, TT3 = o, n4 = o 

gegeben, welche den Kegelschnitt in invariante Beziehungen zu festen 
Punkten, Linien oder Curven setzen. Dadurch ist dann ein Kegel- 
schnittsystem unserer Art festgelegt. Wir nehmen an, dass diese vier 
Gleichungen zusammen mit einer fünften, welche in den Coeffieienten 
des veränderlichen Kegelschnittes linear ist, für diese Coeffieienten /u. 
verschiedene Werthe zulassen. Alsdann ist ^ die eine Charakteristik 
des Systems, denn die Forderung, dass der Kegelschnitt einen 
bestimmten Punkt enthalte, gibt eben eine lineare Gleichung für die 
ttik. **) In Folge dieser Annahme ist nach einem bekannten Satze der 
Algebra ja von dem Grade der Gleichungen TT, = in den ö,vt abhängig, 
und zwar ist, wenn qi den Grad von TTj bezeichnet: 

f* = ^1 • ^2 • ^3 • 5'4 • 
Tritt nun zu den Gleichungen (7) statt der linearen eine Glei- 
chung TT5 = vom Grade q^ in den üik, so wird die Zahl der gemein- 
samen Lösungen aller 5 Gleichungen gleich 

Unter diesen ft^j Kegelschnitten des Systems sind aber möglicher 
Weise noch zerfallende enthalten , welche die Bedingung TT5 = 
.identisch erfüllen, während wir nur nach der Zahl der eigentlichen 
Kegelschnitte fragen, die den gestellten Bedingungen genügen. Jeden- 
falls ist darunter nicht jedes Linienpaar; denn alsdann müsste. TTg den 
Factor {aljc^ {= 2^ -A^ Cn^nC-%i) enthalten; und wir wollen TT5 als 
irreducibel voraussetzen. Für eine Doppellinie dagegen verschwindet 
bekanntlich die linke Seite der Liniencoordinatengleichung /"^^^^ (</öw)'^ 
= u^ unabhängig von den u; es wird daher jede in unserm Systeme 
enthaltene Doppellinie der Bedingung TT5 = genügen, sobald die 
Coeffieienten aik in TT5 sich theilweise der Art zu Coeffieienten «,/, der 
Liniencoordinatengleichung vereinigen lassen, dass die letzteren homo- 
gen in TT5 vorkommen. Es wird dann jede der A Doppellinien /3-mal 

*) Vorausgesetzt wird dabei, dass die hinzutretende Bedingung in gewisser 
Weise von den das System bestimmenden Bedingungen unabhängig sei (vgl. p. 400). 

**) Es kommt also nur darauf an , dass diese Gleichung linear ist. Man kann 
daher im Folgenden die Bedingung, dass ein Kegelschnitt durch einen Punkt 
gehe, z. B. durch die andere ersetzen, dass er mit einem festen Kegelschnitte 
u^ = in vereinigter Lage (p. 385) sei. 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 399 

als eine Lösung unseres Problems zu zählen sein, wenn wir mit ß den 
Grad bezeichnen, zu welchem TT5 die a,/, enthält. Bezeichnen wir 
ferner mit a den Grad, zu welchem die Coefficieuten üi/c ausserdem 
noch in TT5 eingehen (d, h. ausser in den «,/,-), wo dann*) 

q, = a-\-2ß, 

so wird die Zahl der eigentlichen Lösungen gleich 

oder wegen der Gleichungen (1): 

= afi -^ ßv , q. e. d. 

Bei dieser Betrachtung ist zunächst vorausgesetzt, dass die Bedin- 
gungen TTi = 0, TT2 = 0, TTg = 0, TT4 = nicht alle durch jede 
beliebige Doppellinie erfüllt werden. Dies würde eintreten, wenn 
TTi, TTo, TTg, TT4 selbst auch homogen in den «,* sind. Alsdann werden 
einer fünften linearen Bedingung unendlich viele Doppellinien genügen ; 
aber unser Resultat bleibt auch dann gültig, wenn wir unter /x die 
Zahl der eigentlichen Kegelschnitte verstehen, welche einer hinzu- 
tretenden linearen Bedingung genügen. Wird letztere durch eine 
Bedingung vom Grade ^5 = a -j- 2 /3 ersetzt, so ist die Zahl der 
eigentlichen Lösungen zunächst wieder gleich ^^/x (und davon ist noch 
die Zahl ßk abzuziehen). Den Beweis hierfür erbringen wir durch 
einen Satz, der zugleich eine andere Verallgemeinerung unserer, 
Betrachtung zur Folge hat; derselbe lautet: 

Wenn ein System von Gleichungen (ztvischen einer beliebigen 
Zahl von Unbekannten) zusammen mit einer linearen Gleichung ^i 
Lösungen zulässt, so hat dasselbe zusammen mit einer Gleichung q*^^ 
Grades fiq Lösungen; und zwar gilt dies auch, wenn es ausserdem 
einfach unendlich viele Lösungen gibt, welche jene lineare Gleichung 
und die Gleichungen des gegebenen Systems identisch befriedigen. 

Zum Beweise denken wir uns aus dem gegebenen Gleichungs- 
systeme die Unbekannten als Functionen ^)i ()*®° Grades dreier homogen 
vorkommenden Parameter r , s, t berechnet, zwischen denen noch eine 
algebraische Gleichung 0*^' Ordnung besteht : 

cj) (r, s, t) = 0. 

Führen wir die Parameter dann in eine hinzutretende lineare 
Gleichung ein, so geht letztere in eine Gleichung Y = von der 
^ten Ordnung über, gibt also mit 0=0 zusammen q6 Lösungen. 
Sollen aber einfach unendlich viele Lösungen möglich sein, so müssen 



*) Diese Bedeutung der Zahlen a, ß gab Clebsch bei Gelegenheit eines im 
Uebrigen etwas anders angelegten Beweises für den Chasl es 'sehen Satz: Math. 
Annalen, Bd, 6, p, 1. 



400 Vierte Abtheilung. 

die Functionen <t> und ¥ einen Factor, sagen wir t*""^ Ordnung, gemein 
haben; und soll dies für Jede lineare Combination V der g); eintreten, 
so muss dieser Factor in jeder der Functionen q)] enthalten sein. Der- 
selbe Factor wird sich daher von jeder Gleichung r/^^ Grades, welche 
an Stelle der linearen tritt, ^-fach absondern. Eine solche hat folglich 
zusammen mit = 

q {q — r) {a — t)^ g . (i 

Lösungen , wo nun' in der That ^ = {q — t) (a — t) die Zahl der 
eigentlichen Lösungen von = mit einer linearen Gleichung Y = 
bedeutet. — Diesen Satz hat man nur an Stelle des andern über die 
Zahl der gemeinsamen Lösungen von 5 Gleichungen zu benutzen; 
alsdann behält obiger Beweis im Uebrigen seine Gültigkeit. Zugleich 
erkennt man aber, dass der Chasles'sche Satz auch für ein Kegel- 
schnittsystem gilt, welches nicht durch 4 getrennte Bedingungen 
gegeben ist, sondern durch ein mit 4 Bedingungen äquivalentes System 
von mehr Gleichungen dargestellt wird. 

Es sei noch besonders hervorgehoben, dass die Bedingung TT- in 
gewisser Weise „imahhmigig von dem gegebenen Systeme" sein muss; 
d. h. sie darf nicht durch die Bedingungen des Systems schon iden- 
tisch erfüllt sein. In dem Falle müsste man durch einen Grenzüber- 
gang zum Verschwinden sämmtlicher Coefficienten einer Covariante 
etc. übergehen, um die Natur der hinzutretenden Bedingung aus- 
drücken zu können. Dies ist z. B. der Fall, wenn das Kegelschnitt- 
system eine feste Curve nochmals berühren soll, welche jeder Kegel- 
schnitt des Systems ohnedies schon berührt. Diese Beschränkung 
trifft keineswegs alle Fälle, in denen die Elemente der Bedingung von 
den bedingenden Elementen der Ourvenreihe selbst abhängen, sondern 
eben nur diejenigen, die nicht mehr durch . das Verschwinden einer 
einzelnen Invariante ausdrückbar sind. — Wir haben somit den Satz*): 

Unter den Kegelschnitten einer Reihe mit den Charakteristiken /u-, v 
gibt es ccfi -\- ßv, welche einer fünften Bedingung genügen, ujenn letztere 
durch das Verschwinden einer invarianten Bildung vom Grade cc in den 
Coefficienten der Punktgleichung, vom Grade ß in denen der Linien- 
gleichung des variabeln Kegelschnittes gegeben ist. 

Durch unseren Beweis sind somit die Charakteristiken einer- 
Bedingung algebraisch definirt. Für eine geometrisch gegebene 
Bedingung ist jedoch die Bildung des Ausdrucks TT5 im Allgemeinen 
nicht bekannt; und es bietet sich daher zunächst die Aufgabe, für 
eine solche die Charakteristiken a, ß in anderer Weise zu bestimmen. 



*) Einen anderen (weniger kurzen, auf Betrachtungen über das Chasles'sche 
Correspondenzprincip beruhenden) Beweis gab Halphen: Bulletin de la soci^te 
niathematique de France, t. 1, 187.S, p. 130. 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 401 

Man kann zu diesem Ziele oft einfach gelangen, indem man die 
Zahlen r, s der Kegelschnitte aus den einfachsten Systemen (::) und 
(IUI) für die Bedingung irgendwie direct feststellt und dann aus den 
Gleichungen 

(8) a-\-2 ß = r, 2a-\- ß = s 

a und /3 berechnet. Wir haben z, B, gesehen (vgl. p. 375), dass es 
in einem Curvenbüschel in}^^ Ordnung 

2 (jim -\- p — 1) — r 

Curven gibt, welche eine feste Curve der Ordnung n, vom Geschlechte 
p, mit r Rückkehrpunkten berührt. Bezeichnen wir mit k die Klasse 
dieser Curve, so ist nach den Plückerschen Formeln (p. 351): 

2p — 2 = k-\-r-2n, 

und somit die angeführte Zahl gleich 

2n{m—\)-\-k. 

Für das Kegelschnittsystem (::) haben wir also, da m = 2, ^= 1, 
v = 2: 

a-\-2ß^2n-\- k, 

und dualistisch entsprechend für das System (j || j) : 

2a-\- ß = 2k -j-n; 
woraus man findet: 

a = k , ß =^ n . 

Die Charakteristiken a, ß für die Bedingung der Berührnng mit 
einer festen Qurve sind also bez. gleich filasse vnd Ordnung dieser 
Curve'*); d. h. es gibt in einer Kegelschnittreihe {(i, v) 

k^ -\- nv 

Kegelschnitte, die eine feste Curve n'"' Ordnung, k'"' Klasse berühren. 

Ein Beispiel für die Bestimmung der Zahlen a, ß aus der alge- 
braischen Darstellung gibt die Forderung, dass ein Kegelschnitt des 
Systems die Entfernung zweier festen Punkte harmonisch, oder all- 
gemeiner nach einem gegebenen Doppelverhältnisse d theilen soll. 
Sind X, y die beiden Punkte, so haben wir die Bedingung (vgl. 
p. 74): 

n, = a^n,/ (,J -j- 1)2 _ 4(J . a^a,j . b^^by = , 

und hierin ist a ^ 2, /3 = 0, da eine Umformung von rTg, durch die 
Factoren {abu) auftreten würden, nicht möglich ist. Demnach folgt 
das Resultat 



*) Man kann diese Zahlen nach Chasles auch durch Betrachtung des Ortes 
der Punkte ableiten, deren lineare Polare in Bezug auf eine Curve des Systems zu- 
sammenfällt mit ihren linearen Polaren in Bezug auf die feste Curve. 
C leb seh, Vorlesungen. 'Jß 



402 Vierte Abtheilung. 

Jn einer Reihe mit den Charakteristiken fi , v gibt es 2 ^ Kegel- 
schnitte , welche eine gegebene Strecke nach gegebenem Doppelverhältnisse 
theilen. 

Eine Ausnahme tritt für d = — 1 ein, denn hier wird TT5 ein 
vollständiges Quadrat: 

Es gibt daher ^ Kegelschnitte, welche die gegebene Strecke harmo- 
nisch theilen. 

Für d =r -f- 1 kommen wir wieder auf die Bedingung der Berüh- 
rung. In der That wird 

TT5 = 4 a^by '{a^by — b^ay) = 2 {abuy, 
wenn ui die Coordinaten der Verbindungslinie von x und g sind ; und 
also ist: 0: = 0, ß = \ , wie es sein muss. — 

Der zuvor bewiesene Satz von Chasles ist um so wichtiger, als 
es vermöge desselben überhaupt gelingt , die Zahl der Kegelschnitte 
anzugeben, welche 5 einzelnen Bedingungen: 

n, =0, n2 = o, n3 = o, n, = o, n5 = o 

genügen, wenn deren Charakteristiken 

bekannt sind. Diese Zahl nämlich muss nach dem Chasles sehen 
Satze linear in den Charakteristiken jeder Bedingung sein, d, h. sie 
ist, wenn /?, q, r, s, /, u reine Zahlenfactoren bedeuten: 

+ s2Ja^a,ß,ß^ß, + fUa,ß,ß,ß,ß, + uß,ß,ß,ß,ß, , 

wo die Summenzeichen sich auf alle verschiedenen Vertauschuugen der 
Indices 1, 2, 3, 4, 5 beziehen. Zur Bestimmung der hier vorkommen- 
den Zahlenfactoren betrachten wir specielle Fälle.*) Soll ein Kegel- 
schnitt durch 5 Punkte gehen, so ist: 

ß, == «2 = «3 = ß^4 = % = 1 5 
^.=^2 = ^3 = ^4 = ^5 = 0, 
also : Z = p = 1 . 

Kegelschnitte mit 4 festen Punkten und 1 festen Tangente gibt es 2. 
Hier ist aber 

«1 = «2 = «3 = «4 = 1 » «5=0, 

ßi=ß2 = ß-s = ßi=0, ß, = l, 
und also : Z = q = 2 . 

Endlich gibt es vier Kegelschnitte durch 3 feste Punkte mit 2 festen 
Tangenten. Hier ist 



*) Man kann übrigens diese Factoren auch direct aus dem Bildungsgesetze 
der Zahl Z ableiten. 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 403 

«1 = «2 = «3 = 1 ^ «4 = % = ö , 

^1=^2 = ^3 = 0, ^,=^, = 1, 

und also : Z = r = 4 . 

Mit p, q, r müssen u, t, s wegen des dualistischen Charakters der 
Zahlen «,, /3,- identisch sein; wir haben daher: 

5 = 4, t = 2, w==l, 
und somit den Satz: 

Die Zald der Kegelschnilte, welche 5 Bedingungen TT/ = 0, bez. mit 
den Charakteristiken «,-, /3j geniigen, ist gleich 

' «iK^aattjas + 2 27«!«, «3^^/35 +4 2:«! «2 «3/^4/^5 
^ ^ -{-4Za,a,ß,ß,ß,-\-2 2:a,ß,ß,ß,ß,+ ß,ß,ß,ß,ß, . 

Wir können hiernach sofort die Zahl der Kegelschnitte angeben, 
welche durch eine gewisse Anzahl von Punkten gehen und eine 
gewisse Anzahl von Curven berühren sollen. So gibt der angefiihrle 
Ausdruck die Zahl der Kegelschnitte, welche 5 Curven berühren, wenn 
wir unter den a,-, ßi bez. Klasse und Ordnung dieser Curven ver- 
stehen; und zwar sind hierunter keine Doppellinien mehr enthalten. 
Es gibt also (für «/ = ßi = 2) z. B. 3264 Kegelschnitte, welche 5 gege- 
bene Kegelschnitte berühren. — 

Nach Cremona kann man in ganz ähnlicher Weise, wie einfach 
unendliche Kegelschnittreihen durch die zzt'e« Zahlen \i, v, auch zivei- 
fach unendliche Reihen durch drei Zahlen charakterisiren ; und so kann 
man weiter gehen zu drei- und vierfach unendlichen Systemen. Eine 
ooC'- Reihe bedarf dabei aber keiner besonderen Untersuchung mehr, 
sobald die 00^ — ?- Reihe betrachtet ist: So haben wir die c»^- Reihe 
schon durch Vorstehendes erledigt. In der That, wenn wir mittelst 
(8) die Zahlen a, ß durch r, s ausdrücken, so können wir das 
Chasles'sche Theorem allgemeiner folgendermassen aussprechen: 

Wenn in einer einfach unendlichen Kegelschnittreihe (bestimmt durch 
4 getrennte oder untrennbare Bedingungen) fi Curven durch einen belie- 
bigen Punkt gehen, v eine belieMge Gerade berühren, wenn ferner in 
einer davon unabhängigen vierfach unendlichen Reihe r Kegelschnitte 
durch vier beliebige Punkte gehen, s Kegelschnitte vier beliebige Gerade 
berühren; so gibt es^-) 



*) Für das vierfach unendliche System würde man zunächst 5 charakteristische 
Zahlen haben, nämlich: 

r = (::), « = (.-. I), v = {:\\), u, = (.|||), s = (||||). 
Drei von ihnen kann man jedoch durch die beiden andern ausdrücken; man 
findet analog den Gleichungen (8): 

u = 2a-{- iß=2r, w = i a -{- 2 ß = 2 s , v = i a -{- 4. ß = j (r -\- s) . 

•2G* 



404 Vierte Abtheilung. 

1 {2s - ;•) ^ -f 1 (2r - s) V _- 1(2^ — 1/) 5 -f 4 (2 7. — ^t) ;• 
KegehchniUe , welche gleichzeitig beiden Curvenreihen angehören. 

Für ein zweifach unendliches Kegelschnittsystem, das sich durch 
drei getrennte Bedingungen (3 B): 

n, = , Hj = , Hg = 

bestimmt, ist nach unserem allgemeinen Satze (9) die Zahl der Curven/ 
welche durch zwei Punkte gehen: 

Q-^i, ,,3B) = a^a^a^ + 2 ^«, «o/^g + 4 2;a,|32^., + 4 /3,/3.,/3,, , 

die Zahl derjenigen, welche zwei Gerade berühren: 

r = (II, 3^) = ^,^2^3 -f 2 Uß,ß,a, + 4i:ß,a,u, + 4a,a,a, , 

die Zahl derjenigen, welche durch einen Punkt gehen und eine Gerade 
berühren : 

ö = i,\, 3B)= ^ (^.cc^cc, + 4 i:a,a,ß, -{- 4i:cc,ß,ß, -^ 2 ß,ß,ß.^ . 
Hieraus findet man aber die Zahl (9) wieder in der Form: 
(10) (5 B) = a,a, . q + {a,ß, + ß^a,) . a + ß,ß. . x . 

Diese Zahl setzt sich also linear ans q, ö, r zusammen. Dasselbe gilt 
aber auch, wenn das System durch 3 untrennbare Bedingungen 
definirt ist, sowie auch, wenn die beiden hinzutretenden Bedingungen 
untrennbare sind, wie jetzt gezeigt werden soll.*) Es sei ein^ zwei- 
fach unendliche Kegelschnittreihe mit den Charakteristiken q, (?, r 
gegeben und eine dreifach unendliche mit den Charakteristiken 
r={r.,2B), s = i:\,2B), / = (, 1 1 , 2 ^J , w = (||j,2/?). 
Wir fragen nach der Zahl der beiden Reihen gemeinsamen Curven. 

Zunächst scheiden wir aus der ersten Reihe ein einfach unend- 
liches System ab, indem wir die Curven betrachten, welche durch 
einen festen Punkt gehen; also eine Reihe mit den Charakteristiken 
Q, 0. Von den Curven der letzteren wird ein fester Kegelschnitt K 
in vier beweglichen Punkten geschnitten. Durch je drei dieser Schnitt- 
punkte können wir r Kegelschnitte der gegebenen oo^- Reihe legen. 
Es wird demnach in unserem 00' -Systeme eine endliche Zahl von 
Curven geben, für welche eine dieser zugehörigen Curven der oo'*- 
Reihe auch noch den vierten Schnittpunkt enthält; und zwar ist die 
Zahl dieser durch gehenden Kegelschnitte der oo' -Reihe nach dem 
obigen Chasles 'sehen Theoreme gleich 

• ^ = « () -j- /3 (7 , 
wo die Zahlen a, /3 nur von den das oo^. System definirenden Bedin- 

*) Dies bemerkte Cremona: Coinptes rendus, t. 59, p. 77C. Einen von dem 
des Textes verschiedeneu Beweis gab Halphen: a,. a. 0. p. 233. 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 405 

gungen abhängen; und jedem dieser ^ Kegelschnitte ist dann eine Curve 
der ©o3- Reihe zugeordnet. Die Werthe der Zahlen a, ß selbst haben 
wir nicht weiter nöthig. — Ferner ist durch eine beliebige feste 
Tangente aus der gegebenen oo'- Reihe eine cc^ -Reihe mit den 
Charakteristiken ö', t ausgeschieden; und in ihr niuss es wieder nach 
dem C ha sl es 'sehen Theoreme 

V = Cid -\- ßr 

Kegelschnitte geben, welche den Kegelschnitt K in vier Punkten 
treffen, durch die auch eine Curve des cjo^- Systems hindurchgeht. 

Das Resultat dieser Ueberlegungen können wir auch in folgender 
Form aussprechen: Es gibt in der gegebenen zweifach unendlichen 
Ke^elschnittreihe eine einfach unendliche Reihe mit den Charakteri- 
stiken ^i, v, deren Curven einen festen Kegelschnitt in vier Punkten 
treffen, durch Avelche noch eine Curve einer dreifach unendlichen 
Reihe hindurchgeht. Und dieser Reihe Ä, ist Curve für Curve durch 
unsere Construction eindeutig eine andere R^ zugeordnet, welche in 
jener dreifach unendlichen Reihe enthalten ist. Wenn es uns nun 
«•elingt, die Zahl der Curven in der einen Reihe zu bestimmen, welche 
mit den ihnen entsprechenden der andern zusammenfallen, so haben wir 
damit zugleich die gesuchte Zahl der Kegelschnitte gefunden, welche 
den beiden vorliegenden zwei- bez. dreifach unendlichen Systemen 
zugleich angehören. In R^ wird es eine unendliche Anzahl von 
Kegelschnitten geben, welche eine beliebige Gerade so schneiden, dass 
auch der entsprechende Kegelschnitt in 7?., durch einen dieser Schnitt- 
punkte hindurchgeht; und zwar ist die Zahl dieser Curven wieder 
nach dem Chasl es 'sehen Theoreme 

= y a -\- dv , 

wo die Zahlen /, 8 nur von der Reihe i?2? ^- h- ^^^ ^^^ cxd'*- Reihe 
abhängen. Hierunter sind auch die 2 yi Kegelschnitte enthalten, welche 
zu je ^ durch die beiden Schnittpunkte der Geraden mit K hindurch- 
gehen. Schreiben wir also y für / — 2, so wird die Zahl der für uns 
brauchbaren Lösungen 

= yft-(- 8v = ag -{- hö -\- et . 

Jeder dieser Kegelschnitte hat dann aber mit seinem entsprechenden 
5 Punkte gemein, fällt also ganz mit ihm zusammen. Damit ist 
unser Satz bewiesen; denn die Zahl yft + 8v ist linear in q, ö, t. 
Um endlich noch die Coefticienten von q, a, t in dem Ausdrucke 
y^ _|_ öv zu bestimmen, betrachten wir insbesondere die durch (.*.)> 
OD; (.|i)^ (IM) bestimmten oc- -Reihen. Für sie haben wir bez.: 



406 • Vierte Abtheilung. 

(>= 1, (? = 2, T = 4, 
Q = 2, 6 = 4, T = 4, ♦ 

Q = 4, a = 4, T = 2, 
Q = 4, 6 = 2, r=\- 
und daher zur Bestimmung von a, b, c die vier Gleichungen: 
r = (^r ., 2B)= a-^2b-^4c 
s=(t\ ,2B) = 2a-\-4b-\-4c' 
t ={.\\ , 2D-) = 4a^4b-\-2c 
u = {\\\ , 2B) = 4a^2b-^ c. 
Hieraus folgt zunächst der folgende Satz, den man mit Hülfe von (9) 
auch leicht für den Fall zweier getrennten Bedingungen verificirt: 

Zwischen den Charakleristiken einer dreifach unendlichen Kegel- 
xchnittreihe besieht immer die Belaiion: 

(11) 2(,-O-3(:|) + 3(.||)-2(|||) = 0. 

Aus den aufgestellten Gleichungen ergeben sich unter Anwendung 
von (11) für a, b, c die Werthe: 

4a = 2u — t, 4c = 2r — s, 
16b = 5s — 6r — 6u-\-dt- 
und somit haben wir folgenden Satz: 

Die Zahl der gemeinsamen Curven einer durch drei getrennte oder 
untrennbare Bedingungen gegebenen Kegelschnittreihe mit den Charakteri- 
stiken Q, 6, X und einer davon unabhängigen, durch zwei getrennte oder 
untrennbare Bedingungen gegebenen Kegelschnittreihe mit den Cliarakteri- 
stiken r, s, t, u ist gleich 

I- (2 ?/ — . p + tV (5 5 — 6 r — 6 w -f 5 . (T + ^ (2 r - s) . r , 
wo zivischen r, s, t, u die Gleichung besteht: 

2{r — u) = 3 {s - t) . 

Dieser Satz gibt zusammen mit dem von Chasles die Mittel, 
um die Anzahl aller Kegelschnitte zu bestimmen, welche beliebig 
gegebenen Bedingungen genügen, sobald man die Zahl derjenigen 
kennt, welche ausserdem durch einzelne Punkte gehen und einzelne 
Gerade berühren. Diese Sätze reichen jedoch nicht aus, wenn alle 5 
Bedingungen von einander untrennbar sind. Handelt es sich aber 
nur um die Zahl der Kegelschnitte, welche gegebene Curven ein- 
oder mehrfach berühren, so können wir auch diese Aufgaben mit 
Hülfe des später zu erweisenden „erweiterten Correspondenzprincips" 
von Cayley erledigen. Wir geben hier nur noch einige Beispiele: 

Für die doppelte Bedingung der Osculation mit einer gegebenen 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 407 

Curve der Ordnung n, der Klasse k, mit r Rückkehrpunkten, w 
Wendetangenten, werden wir später mit Hülfe jenes Correspondenz- 
princips folgende Zahlen finden: 

r = a, s = 2a, t = 2a, u = a, 
^Q « — 3 A- -f. r == 3 n + ^^ gesetzt ist: Die Zahl der KcgeUclinüle, 
ivelche eine Cvrve osculiren und ausserdem einer zweifach unendlichen 
Reihe mit den Charakteristiken Q, ö, r angehören, ist gleich ^aa. Ist 
insbesondere das zweifach unendliche System bestimmt durch die 
Bedingung der dreipunktigen Berührung mit einer Curve, deren Sin- 
gularitäten n, k', r, w, a = 3// -f r' = ?>n -\-w sind, so wird, wie 
später gezeigt werden soll, 

(? = — 8 n' — 8 A' + 6 «' . 
Es gibt also a (3 «' — 4 «' — 4 Ä:') Kegelschnitte, welch eine Curve n*"- 
Ordnung, k'"- Klasse, . . . zweipunktig und eine Curve n"' Ordnung, 
A'""'' Klasse, . . . dreipunktig berühren. 

Die Zahlen der Kegelschnitte, welche gegebenen Berührungs- 
bedingungen genügen, lassen sich aber nach den Untersuchungen 
Zeuthen's auch direct in mehr geometrischer Weise durch Unter- 
suchung der Ausnahmskegelschnitte bestimmen.*) Wir müssen uns 
jedoch hier begnügen, auf diese Methoden ausdrücklich hinzuweisen. 

Wenn wir uns nunmehr zu den entsprechenden Untersuchungen 
für Curven beliebiger Ordnung zurückwenden, so drängt sich zunächst 
die Frage auf, ob der .Chasles'sche Satz über die Zahl {a^i -{- ßv) 
der Curven eines einfach unendlichen Systems auch hier gilt. Wir 
werden sehen, dass diese Frage im Allgemeinen zu verneinen ist, 
wenngleich der Satz in einzelnen Fällen, z. B. für alle Berührungs- 
bedingungen, richtig bleibt. 

Betrachten wir zunächst ein Beispiel: es sei ein einfach unend- 
liches System von Curven 3. Ordnung gegeben; und jede Curve des- 
selben soll einen Rückkehrpunkt haben. Es mögen ^ Curven durch 
einen beliebigen Punkt gehen, v eine beliebige Gerade berühren. 
Ferner nehmen wir an, dass in dem Systeme a Curven enthalten 
sind, die in eine doppelte und eine einfache Gerade zerfallen. Wir 
versuchen die den Gleichungen (1) entsprechenden aufzustellen. 
Auf einer beliebigen Geraden haben wir eine Correspondenz, vermöge 
deren jedem Punkte x 2^ Punkte tj entsprechen: die 2 ft weiteren 
Schnittpunkte der durch x gehenden Curven des Systems; und umge- 
kehrt. Die 4(1 Coincidenzpunkte dieser Correspondenz müssen nun 

*) Zeuthen: Nyt Bidrag til Laeren om Systemer af Keglesnit, Kiobenhavn 
1865; oder in französischer Uebersetzung: Nouvelles annales, t. 6, 1866. Vgl. 
Salmon's higher plane curves, p. 446 ff. in Fiedler 's Uebersetzung. 



408 Vierte Abtheilung. 

gebildet werden durch die v Berührungspunkte und die Schnittpunkte 
der Doppelliuien jener zerfallenden Curven mit der Geraden. Dazu 
kommen aber noch die auf der Geraden liegenden Spitzen von Curven 
des Systems, deren Zahl c sein vv^ird, vrenn c die Ordnung der von 
den Spitzen gebildeten Curve bedeutet; und zwar zeigt eine nähere 
(sogleich noch anzustellende) üeberlegung, dass jede dieser Spitzen 
dreifach als Coincidenzpunkt unserer Correspondenz zu zählen ist, so 
dass man hat: 

(12) 4(i = v-{-3c-{-a, 

und entsprechend, wenn c die Klasse des Orts der Wendetangenten*), 
a die Zahl der in einen einfachen und einen Doppelpunkt ausartenden 
Curven bedeutet: 

(13) 4v = (i-\-3c-\-a. 

Man sieht, dass in diesen Gleichungen neben den auch bei Kegel- 
schnitten auftretenden Zahlen ft, v, a, a (letztere für X, n) noch 
die Zahlen c, c zu berücksichtigen sind; ganz ebenso sind dann 
weiter die Zahlen für die Klasse der von den Rückkehrtangenten um- 
hüllten Curve und für die Ordnung des Orts der Wendepunkte ein- 
zuführen; und noch mehr Zahlen treten bei Systemen von Curven 
höherer Ordnung auf. Ueber letztere nun hat Zeuthen begonnen, 
bis zu gewissem Grade allgemeine Betrachtungen anzustellen**); wir 
bezeichnen im Folgenden einige seiner Resultate. 

Eine beliebige Curve des betrachteten einfach unendlichen Systems 
sei von der Ordnung n, und besitze d Doppel-, r Rückkehrpunkte; 
und durch obere Striche seien der Einfachheit halber die dualistisch 
entsprechenden Zahlen bezeichnet; also durch n die Klasse, durch d' 
die Zahl der Doppeltangenten, durch r' die der Wendetangenten. Für 
unser Curvensystem werden dann nach Zeuthen zunächst die fol- 
genden Zahlen besonders charakteristisch sein : 

ft die Zahl der Curven, welche durch einen beliebigen Punkt 

gehen , 
/; die Ordnung des Orts der Doppelpunkte, 
c „ „ „ „ „ Rückkehrpunkte , 

p die Klasse der von den Tangentenpaaren in den Doppelpunkten 
umhüllten Curve, 

*) Eine Curve dritter Ordnung mit Spitze hat immer einen Wendepunkt, 
ist also zu sich selbst dualistisch; vgl. p. 353. 

**) Zeuthen: Almindelige Egenskaber ved Systemer af plane Kurver med 
Anvendelse til Bestemmelse af Karakteristikerne i de elementaere Systemer af 
fjerde Orden. — Avec un resumö en fran9ais. Abhandlungen der dänischen Ge- 
sellschaft der Wissenschaften, Serie V, Bd. 10, 1873. — Vgl. auch einen Bericht 
im Bulletin des sciences mathömatiques, t. 7, 1874, p. 97. 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 409 

q die Klasse des Orts der Rückkehrtangenteu , 
u die Klasse der Curve, welche durch die n' — 4 von einem 
Doppelpunkte aus an die betreffende Curve des Systems zu 
legenden Tangenten umhüllt wird*), 
V die Klasse der Enveloppe der in entsprechender Weise von 

einem Rückkehrpunkte ausgehenden Tangenten, 
X die Klasse der Enveloppe der Verbindungslinien zweier Doppel- 
punkte, 
y die Klasse der Enveloppe der Verbindungslinien eines Doppel- 
punktes mit einem Rückkehrpunkte, 
z die Klasse der Enveloppe der Verbindungslinien zweier Rück- 
kehrpunkte, 
Insbesondere werden in unserm Systeme sogenannte s/w^w/ö're Curven 
enthalten sein, d. h. solche, welche eine Singularität mehr besitzen, 
wie eine beliebige Curve des Systems; und zwar haben wir hier zwei 
Klassen von singulären Curven zu unterscheiden : Eine solche entsteht 
entweder durch Auftreten eines neuen Doppelpunktes, resp. Ausartung 
eines Doppelpunktes in einen Rückkehrpunkt, oder indem (in Folge 
der speciellen Natur der das System definirenden Bedingungen) sich 
ein mehrfach zählender Zweig (am einfachsten eine Gerade) von einer 
Curve des Systems absondert. Wir setzen nun voraus, dass keine 
andern Vorkommnisse der Art im Systeme eintreten , als diejenigen, 
welche in folgender Tabelle aufgeführt sind. Wir bezeichnen mit 
a = «y -f- a, -f- «2 die Zahl der Curven, bei denen ein neuer Doppel- 
punkt auftritt, wo 
Cq die Zahl der Curven bezeichnet, bei denen keiner der 

den Doppelpunkt bildenden Aeste eine Gerade ist, 
f<r, die Zahl derjenigen, wo ein Ast eine Gerade ist, 

a.y die Zahl derjenigen, wo beide Aeste Gerade sind, 

/3 die Zahl der Curven, bei denen ein Doppelpunkt in einen Rück- 
kehrpunkt ausartet, 
y = Yü ~\~ 7\ "^'^ Zahl derjenigen, bei denen ein Rückkehrpunkt 
in einen Selbstberührungspunkt übergegangen ist, 
wo bei 
j^„ Curven keiner der sich berührenden Aeste eine 

Gerade, bei 
y, Curven ein Ast eine Gerade ist, 

(2f/) die Zahl der Curven, bei denen zwei Doppelpunkte zusammen- 
fallen , 



*) Die Zahl n — 4 ergibt sich daraus, dass die erste Polare des Doppel- 
punktes in ihm beide Zweige der Grundcurve berührt, was 6 Schnittpunkte ab- 
sorbirt, während für einen beliebigen Punkt der Ebene nur 2 Schnittpunkte in 
den Doppelpunkt fallen. 



410 



Vierte Abtbcilung. 



(rfr) die Zahl derjenigen, bei denen ein Doppel- mit einem Rück- 
kehrpunkte zusammenfällt, 
(2;-) die Zahl derjenigen, wo zwei Rückkehrpunkte zusammenfallen, 
(o d) die Zahl derjenigen mit 3 zusammenfallenden Doppelpunkten 

(dreifacher Punkt), 
(2 dr) die Zahl derjenigen, wo 2 Doppelpunkte und ein Rückkehrpuukt 

zusammenfallen , 
{d 2 ;-) die Zahl derjenigen, wo ein Doppelpunkt und 2 Rückkehrpunkte 
zusammenfallen. 
Es mögen endlich dieselben Buchstaben, versehen mit oberen 
Strichen, die dualistisch entsprechenden Bedeutungen haben; ins- 
besondere also bezeichne {i (wie bisher v~) die Zahl der eine beliebige 
Gerade berührenden Curven. Die Curven (2rf), {dr)^ (2 r) haben 
aber eine sich selbst dualistische Singularität, d. h. es bestehen die 
Relationen : 

(2^) = (2^'), {dr) = {d'r), (2r) = (20. 
Der Beweis hierfür kann durch eine Grenzbetrachtung erbracht werden, 
Avie hier nicht weiter ausgeführt werden soll. Es ist ferner auch 

Vi = y{ , 
wie man aus der sogleich mitzutheilenden Tabelle bestätigt. 

Die verschiedenen hier anfgezählten singulären Curven findet man 
a, a. 0. eingehend discutirt, besonders auch die Art, wie sie durch 
Grenzübergang aus den allgemeinen Curven des Systems entstehen. 
Wir beschränken uns hier auf die Betrachtung einiger Beispiele. In 
Fig. 57 ist der Durchgang einer Curve des Systems durch eine Curve 
7o dargestellt, während Fig. 58 das Entsprechende für eine Curve y^ 

Fig. 57. Fig. 58. 




gibt. In beiden Fällen vereinigt sich ein auf der Curve c^" Ordnung 
fortschreitender Rückkehrpunkt mit einem benachbarten sehr scharf 
gewölbten Zweige der betreffenden Curve ; und natürlich rauss dies in 
einem Schnittpunkte des Orts der Spitzen mit der von den Systems- 



Allgemeine Theorie der algebraischen Cnrven. 



411 



curven eingehüllten Curve stattfinden. Es gibt jedoch keineswegs 
umgekehrt jeder dieser Schnittpunkte zu einer Curve y Veranlassung. 
Ebenso stellen Fig. 59 und 60 bez. den Durchgang durch eine Curve 
ß und durch eine Curve (dr) dar. Im ersten Falle geht der Doppel- 

Fig. 59. - Fig. 60. 

4V 





punkt durch die Spitze in einen isolirten Punkt über; im andern 
entsteht durch Vereinigung eines Doppel- und eines Rückkehrpunktes 
eine Spitze zweiter Art. In den Figuren ist mit a immer die Um- 
hüllungscurve aller Curven des Systems*) bezeichnet; es sind ferner 
die reellen durch Eintreten einer neuen Singularität absorbirten 
Doppel- und Wendetangenten angedeutet.**) 

Für die singulären Curven a, ß, y stellen wir in folgender Tabelle 
die für das Folgende wichtigen Plück er 'sehen Zahlen zusammen, 
welche sich mittelst der PI ücker 'sehen Formeln sofort aus ihren 
Definitionen ergeben. Es sei hier nur z. ß. daran erinnert, dass nacli 
Gleichung (8), p. 351 durch das Auftreten eines Doppelpunktes 

2 (/i (n — 1) — 6) — 4 <7 — 6/- = 2 {n — 6) 

Doppeltangenten absorbirt werden, dagegen nur 6 Wendetangenten. 
Bei den zerfallenden Curven a, , «55 Vv beziehen sich die angegebenen 
Zahlen nur auf die nach Absonderung der betreffenden Geraden übrig 
bleibenden „Bestcvrven". So ist a^ von der Ordnung 71 — 1 und hat 
d — (n — 2) Doppelpunkte ; denn von den (n — 1 ) Schnittpunkten 
der sich ablösenden Geraden müssen n — 2 aus den Doppelpunkten d 



*) Ueber die Bestimmung der PI ücker 'sehen Zahlen dieser Umhüllungscurve 
vgl. Zeuthen: Comptes rendus, t. 78, 1874, p. 274 ifnd p. 339. 

**) Man sieht so insbesondere, dass eine Spitze zweiter Art (p. 336) äqui- 
valent ist mit einem Doppel-, einem Rückkehrpunkte, einer Doppel- und einer 
Wendetangente. Vgl. auch Salmon's higher plane curves, p. 56 in Fiedler's 
Uebersetzung. — Die Linie h^ in Fig. 60 ist eine isolirte Doppeltangente der 
Curve 3. 



412 



Vierte Abtheilung. 



entstanden sein, während einer als der neu hinzutretende Doppelpunkt 
zu zählen ist. Die so gewonnene Tabelle ist folgende: 





Ordnung 


Klasse 


Doppelpunkte 


Spitzen Doppcltangenten 


Wende- 
tangi'iiteu 


«0 


n 


n' -2\ rf -f 1 


r 


d'—2 (n — 6) 


r' — 6 


tt, 


n — 1 


n-2 


d~{n — 2)' 


r 


rf' _ 2 (n — 4) 


r— 3 


«5 


n—2 


n -2 


d -2{n—2) 
d —\ 


r + 1 
r - 1 


rf' — 2 (n — 2) 


r 


ß 


n 


n'-^ 1 


d' — {n' - 4) 


r —2 


n 


n 


n —\\ d-\-2 

i 


fif'— (n'-5) + 2 


r' — 4 


y\ 


n — ] 


n - 1 

TL 


d - (n — 'd) 


r— 1 


rt?' — (n — 3) 


r'— 1 


< 


n-2 


d-2{n — 6) 

d—2{n — 4) 


r — 6 


c?'+ 1 


r 


< 


n-2 


n — 1 


r-3 


</' — {n — 2) 


r ■ 


«,' 


n — 2 


n-2 


d — 2 (n —2.1 


r 


d' — 2 in' — 2) 


r' 


ß' 


n — 1 


n 


d - (n — 4) 
</-(«— 5) + 2 


r - 2 
r — 4 


d' — 1 


r'+l 


n 


n —1 


n 


rf' + 2 


r — I 


ri 


« - 1 


n — 1 


d — {n — 3) 


r - 1 


d' — {71 — -S) 


r' — 1 



Mit Hülfe des Cliasl es "sehen Correspondenzprincips können wir 
nun unter Berücksichtigung der so gefundenen Singularitäten der 
Restcurven eine Reihe von Relationen aufstellen, denen die von uns 
eingeführten Zahlen genügen, und welche für diese Theorien von 
hervorragender Bedeutung sind. Diese Zahlen sind also keineswegs 
von einander unabhängig. 

Wir denken uns die Coefficienten der Gleichung einer veränder- 
lichen Curve als rationale Functionen zweier Parameter gegeben, 
zwischen denen eine Gleichung besteht (p. 390). Nun erlaubt eine 
lineare Gleichung in den Coefficienten unserer Annahme nach zusammen 
mit der Gleichung zwischen den beiden Parametern \i Lösungen für 
letztere. Die Bedingung der Ißerührung mit einer festen Geraden 6', 
welche vom Grade 2 (n — 1) in den Coefficienten ist (p. 279), wird 
daher 2 (n — 1) ^ Lösungen erlauben. Die Liniencoordinatenglei- 
chung verschwindet aber — so können wir den Inhalt der Plücker'- 
schen Formeln aussprechen — zweifach für jede durch einen Doppel-, 
dreifach für jede durch einen Rückkehrpunkt gehende Gerade. Die 
2 {n — 1) ;[* Berührungspunkte der Geraden (l mit Curven des Systems 
bestehen daher aus den ft' eigentlichen Berührungspunkten, den b 
Schnittpunkten mit dem Orte der Doppelpunkte (zweifach zählend) 
und den c Schnittpunkten mit dem Orte der Rückkehrpunkte (drei- 
fach zählend). Dazu kommen endlich noch die a Schnittpunkte mit 
den neuen Doppeltangenten der Curven «', denn jede solche Doppel- 



Allgemeine Theorie der algebraischen Ciirven. 41 o 

tangente ist anzusehen als entstanden durch Vereinigung zweier 
benachbarten Curvenäste (vgl. p. 346). Wir haben somit als Verall- 
gemeinerung der Gleichungen (12) und (13) die Gleichung: 

(14) 2(n-l)^ = ft' + 2^> + 3c + a', 
und dualistisch entsprechend: 

2 (;^' - 1) ft' = ^ + 2 &' + 3 c' + « , 
Wir betrachten ferner die folgende Correspondenz zwischen 
Strahlen § und f] durch einen beliebigen Punkt 0. Auf einer Linie 
^ liegen b Doppelpunkte von b verschiedeneu Curven, an jede der 
letzteren kann man von aus noch n' Tangenten rj legen. Jedem ^ 
entsprechen also bn Strahlen tj, und jedem rj offenbar dfi Strahlen ^. 
Die ^ -{- r] Coincidenzstrahlen sind andererseits durch die u bez. ß 
durch gehenden Tangenten der Curven u und ß gegeben, sowie 
durch die p Tangenten der Curve p. Von letzteren zählt aber jede 
doppelt; denn eine Tangente im Doppelpunkte schneidet die Curve 
auf zwei verschiedene Weisen in zwei zusammenfallenden Punkten; 
einmal insofern ein weiterer Schnittpunkt der Linie durch den Doppel- 
punkt mit dem Punkte desselben Zweiges, das andere Mal, insofern 
er mit dem Punkte des andern Zweiges zusammenfällt. Wir haben 
daher : 

(15) nb-\-d(i' = 2p-{-u-\-ß, 
und in analoger Weise findet man: 

(16) nc -(- r^' = 3 // + y + y : 

Suchen wir ferner die Coincideuzen der Correspondenz i, = {d — 1) b, 
y^ = {d — 1) b, welche durch die Verbindungslinien von mit einem 
Doppelpunkte einer Curve und diejenigen mit den d — 1 übrigen 
Doppelpunkten derselben Curve bestimmt wird, so haben wir die 
Paare von Doppelpunkten zu berücksichtigen, welche bei den Curven 
a durch die neue Doppeltangente zufolge unserer Tabelle absorbirt 
werden, und zu beachten, dass jede durch gehende Tangente der 
Curve X zweimal als Coincidenzstrahl zu zählen ist, einmal indem man 
von dem einen, einmal indem man von dem andern auf ihr liegenden 
Doppelpunkte ausgeht. Man findet so*): 

*) Die im Texte gegebene Bestimmung der Zahlenfactoren wird man nicht 
in allen Fällen für absolut streng ansehen dürfen. — Zur genauen (auch analy- 
tisch verfolgbaren) Bestimmung der in die Gleichungen eingehenden Zahlen- 
factoren betrachet Zeuthen die zu den singulären Curven benachbarten Curven 
und wendet dann die folgende Regel an: Wenn auf einer Geraden ein Punkt | 
nnd ein entsprechender Pinikt rj in einen Punkt d zusammenfallen, und dabei, sobald 
die Strecke d^ unendlich klein ivird, die Strecke ärj proportional zu {S ^)^ wird, so 
ist der Punkt S als Coincidenzpunkt der Correspondenz g-fach zu zählen. — Vgl. auch 
eine Mittheilung desselben im Bulletin des sciences math. t. 5, p. 186, sowie 
Halphen: Bulletin de la societe mathematique de France, t. 1, p. 132. 



/ 



414 Vierte Abtheilung. 

(17) 2 (t? - 1) Z. = 2 a: + (2 ^) + 6 (3 t?) + 3 (:2dr) 

+ (^ - 6) < + (^ - 4) a; + (n - 2) a.; ■ 
und analog: 

(18)2(r-l)c = 2^ + (2r)+3(rf2r)+4<+2< + ^'+12;.;; 
oder wenn man die durch gehenden Strahlen betrachtet, auf welchen 
gleichzeitig ein Doppel- und ein Rückkehrpunkt liegt: 

(19) rb-\-dc = i/-{- (dr) -f- 2 (2 ^r) + 3 (</2 r) . 

Wir fragen ferner nach der Zahl der Punkte auf einer Geraden, 
durch welche eine Curve geht, die ihre Tangente durch schickt. 
Geht nun die Gerade durch selbst, so liegen ^ solche Punkte in 
vereinigt, und ^' andere sind durch die Berührungspunkte der Geraden 
mit Curven des Systems gegeben. Wir haben also den Satz: 

Der Ort der Berührungspunkte von Curven des Systems mit den 
Tangenten durch einen festen Punkt ist von der Ordnung /Lt + ft' (mit 
^-fächern Punkte in letzterem). 

Durch Betrachtung der Schnittpunkte der betreffenden Ortscurven 
mit einer beliebigen durch gezogenen Geraden findet man in ähn- 
licher Weise folgende Sätze: 

Der Ort der n — 2 Schnittpunkte einer Curve des Systems mit einer 
ihrer durch einen festen Punkt gehenden Tangenten ist von der Ordnung 
{n - 2) ft + {11 - 2) /.'. 

Der Ort der n — 2 Punkte, in denen die Verbindungslinie eines 
festen Punktes mit einem Doppelpunkte einer Curve des Systems diese 
Curve noch schneidet , ist von der Ordnung d^ -{- (n — 2) b. 

Der Ort der n — 2 Punkte, in denen die Verbindungslinie eines 
festen Punktes mif einem Rückkehr punkte einer Curve des Systems diese 
Curve noch schneidet, ist von der Ordnung r^-\-{n — 2) c. 

Diese Sätze sollen uns zur Aufstellung weiterer Gleichungen 
dienen. Zwischen den Strählen ^ und r], welche durch einen zweiten 
festen Punkt P gehen, ist in folgender Weise eine Correspondenz 
bestimmt. Auf jedem Strahle ^ liegen in Folge des ersten der eben 
ausgesprochenen Sätze ft -|- |tt' Punkte, durch welche je eine Systems- 
curve geht, die ihre Tangente in ihnen durch schickt. Jede Tan- 
gente schneidet die betreffende Curve noch in (« — 2) Punkten, die 
wir mit P durch Linien rj verbinden. Jedem ^ entsprechen so (n — 2) 
. (^ -|- ft') Strahlen ri\ und umgekehrt jedem iq nach dem zweiten Satze 
{n — 2) ft + (n — 2) fi' Strahlen ^. Unter den ^ + t; Coincidenz- 
strahlen ist aber die Linie OP, welche von ^' Systemscurven berührt 
wird, (« — 2) ^' -fach zu zählen. Es bleiben also {ii -f- n — 4) /t -f- 
(w — 2) ^ Strahlen, welche durch gehen und eine Curve des Systems 
je in drei zusammenfallenden Punkten schneiden. Bestimmt man 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 4 15 

diese Zahl andererseits aus den oben aufgestellten für das System 
charakteristischen Zahlen, so erhält man die Gleichung 

(20) (n — 2)^'-\-{n-{-n—4:){i = c-\-p + 2q. 

Analos findet man mit Hülfe des dritten Satzes für die Zahl der 
Linien, welche mit einem Doppelpunkte einer Systemscurve ver- 
binden und in ihm die Curve dreipunktig schneiden, indem die Linie 
OP hier (n — 2) ö-fach zählt: 

(21) (jn — 2)b-\-d^=p-\-3{3d)-\-^{2dr)-{-2id2r)-\-(in- 6) «„' 

-|- (n — 4) «/ -{- {n — 2) a^ ; 
und analog: 

(22) {n — 2)c + r^ = 2q + {2dr) + 4(</2r) + 4< + 2«/ + 8^0'; 

für die Zahl der Geraden, welche durch gehen, eine Systemscurve 
berühren und dieselbe noch einmal in zwei zusammenfallenden Punkten 
schneiden, indem die Vielfachheit der Linie OP hier gleich {n — 2) 
. (n — 3) ft' zu nehmen ist: 

(23) (_n — 3) [(n - 2)fi' + 2 (n - 2) /i] = 2 y + 2 M + 3 y + n a^ 

+ («'-l)< + (n'-2X; 

für die Zahl der Linien, welche mit einem Doppelpunkte einer 
Systemscurve verbinden und letztere ausserdem noch in zwei zusammen- 
fallenden Punkten schneiden: 

(24) (n — 3) [in — 2)b -}-2dti]=u -\- 4x + 3tj -\- [d - 2 {n— 6)]a^; 

^^d-2{n- 4)] «/ + [rf _ 2 (« - 2)] «; ; 
und analog: 

(25) (n — 3) [(« — 2) c -f 2 r^] = y -f 2 y -f 6 z -f (r — 6)«; 

+ (r — 3) «/ -f- /• a.; . 
Neben die so gefundenen 12 Gleichungen (14) — (25) stellen sich 
natürlich ebenso viele andere, die aus ihnen durch Vertauschung der 
gestrichenen und der nicht gestrichenen Buchstaben entstehen. Man 
kann diesen Gleichungen mit Hülfe des Correspondenzprincips leicht 
noch weitere hinzufügen; z. B. findet man für die Zahl der Doppel- 
punkte von Systemscurven, deren Tangenten eine feste Gerade in 2 
zusammenfallenden Punkten treffen: 

2p = 2b-\-ß-{-2(2d)-\-3 \dr) -f- (</ 2 r) . 
Es zeigt sich jedoch, dass nur 23 der so gefundenen Gleichungen von 
einander unabhängig sind. Man kann daher 23 der Zahlen fi, ^i, 
b, b', c, c\ p, p\ q, q, u, u, v, v, x, x, y, y , z, z, a^, a^, a^, 
«;, < <, ß, ß\ ro, r„ y,', {2d), idr), (2r), (3^), (3rf'). (^^ dr), 
{2dr), (d2r), (d' 2 r) linear durch die 11 anderen ausdrücken. Die 
23 Gleichungen treten so gewissermassen für Curvensysteme höherer 



416 Vierte Abtheilung. 

Ordnung an die Stelle der Plücker'schen Formeln, welche für Systeme 
von Geraden bez. Punkten (an bez. auf einer Curve) gelten. 

Die aufgestellten Gleichungen sind selbstverständlich nicht mehr 
anwendbar, wenn noch andere singulare Curven, als die von uns 
genannten im Systeme auftreten, d. h. Curven mit mehrfach zählenden 
Aesten, insbesondere solche, von denen sich mehrfach zählende Gerade 
absondern. Für diese Vorkommnisse fehlt es jedoch an allgemeinen 
Untersuchungen; und die hier auftretenden Möglichkeiten sind auch 
verschieden je nach den Werthen der Zahlen n, d, r. Nur für die 
Fälle n = 3 und n == 4 sind diese Art Curven, vorausgesetzt, dass 
das System nur durch feste Punkte und Tangenten definirt ist (also 
für „Elementarsysteme"), eingehend untersucht; und in Folge dieser 
Untersuchung gelingt es dann die charakteristischen Zahlen für die 
Elemeniarsysteme der Curven dritter vnd vierter Ordnung zu bestimmen. *) 
Die von uns betrachteten singulären Curven genügen jedoch immer, 
wenn die Curven des Systems gezwungen sind , durch mehr als 
i (w^ — n -|- 2) beliebige Punkte zu gehen oder mehr als \ {fi"^ — n' -\- 2) 
beliebige Gerade zu berühren. Sollte sich nämlich etwa eine doppelte 
Gerade absondern, so würde eine Restcurve der Ordnung n — 2 übrig 
bleiben; und diese ist schon durch ^ (n — 2) (n -f- 1) Punkte bestimmt. 
Man kann also in der That höchstens durch ^ {n — 2) {n -\- 1) -j- 2 
== ^ (n^ — n -\- 2) feste Punkte eine Curve n^^^ Ordnung legen, von 
der sich eine doppelte Gerade absondert. Insbesondere gilt dies für 
ein System von Curven n'''' Ordnung ohne singulare Punkte, das durch 
\ {n^ — « -|- 4) feste Punkte und 2n — 3 andere Bedingungen bestimmt 
ist. Man hat hier {n > 2)**); 

n' = n (;j — 1) , </- = ^ n (n — 2) («2 _ 9) , r' = 3 n (n — 2) ; 

d == r = b =^ c = a^ = a.^ = ß = y = a = ß' ^ y = , 
(2d) = {dr) = (2 r) = (3 d) = (2 dr) = {d2r) = 0, 

und für die übrigen Zahlen findet man aus den Gleichungen (14)— (25): 

ft' = 2 (« - 1) . ^ , 
1/=:2n{n — 2)(n — 3).fi, c'=3n(« — 2) . ft, « = «^^ = 3 (« — l)'^-itt, 
;/ = (n — 3) (2 «2 + 5 w — G) . fi , ^/ = ß {n — 1) . ^i, 



*) Für Curven 3. Ordnung wurden diese Bestimmungen fast gleichzeitig ge- 
geben von Zeuthen (Comptes rendus, t. 74; 19, 26 fevrier et 11 mars 1872) 
und Maillard (auf anderem Wege: Recherche des caract^ristiques des systemes 
elementaires de courbes planes du troisieme ordre. These pour le doctorat 
(1870), publie'e en decembre 1871); für Curven 4. Ordnung von Zeuthen: 
Comptes rendus, t. 75, p. 70.3 und 950; und in ang. dänischer Abhandlung. 

**) Vgl. auch de Jonquieres: Crelle's Journal, Bd. 60. 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 417 

t^' = ^(«_3)(n-4)(5w2 + 5w — 6) . ^, y' = :3(n — 3)(w2 + 2n — 2).^, 
a;' = ^(/i — 3) (2n6~8n5_i6n4+96w3 — 40n2 — l96n + 90).^, 
y' = I (^^ - 3) (n^ + 3 «4 — 28 w3 + 20 n^ -\- 16 n - 40) . ja 
z' = 3(3n4-12n3 + 39n-20).^, (3rf')==(w-3)(n-4)(«~5)(«2_(-3n-2).^, 
(2d'/-') = 3(«-3)(n-4)(n2-f6;z-4).ft, (</'2r')=.6(n-3) (3n-2). ft. 

Unsere singulären Curven reichen aber auch aus für die Systeme 
von Curven dritter Ordnung mit singulärem Punkte (« = 3; d= 1, 
r = oder d = 0, r = 1) und von Curven vierter Ordnung mit drei 
singulären Punkten. Wir geben jedoch im Folgenden als Beispiel 
nur noch kurz die Untersuchung der Elementarsysteme für n = 3, 
d = 0, r = 1 (also auch ?/ = 3, (t = 0, r' = 1), wo man sich von 
der Richtigkeit dieser Behauptung auch leicht direct durch die geo- 
metrische Anschauung überzeugt. Eine Curve dritter Ordnung und 
dritter Klasse kann nur in einen Kegelschnitt und eine Tangente des- 
selben, oder in eine Doppellinie und eine einfache Gerade, oder in 
eine dreifache Gerade, oder in drei durch einen Punkt gehende Gerade 
ausarten.*) Die letzten drei Ausartungen hängen aber, wenn man nur 
noch die auf ihnen möglichen Klassenscheitel in richtiger Weise mit- 
zählt**), bez. von 5, 4, 4 Constanten ab; sie können daher in einem 
Systeme von Curven, welches ö von einander unabhängigen Elementar- 
bedingungen unterworfen ist, nicht vorkommen; und ein solches 
System haben wir zu untersuchen, denn eine allgemeine Curve dritter 
Ordnung ist von 9, also eine solche mit Rückkehrpunkt von 7 Con- 
stanten abhängig, Als einzige singulare Curven bleiben daher die- 
jenigen zu betrachten, welche aus einem Kegelschnitte und einer 
Tangente desselben bestehen, d. h. Curven y, = y{. Unsere Formeln 
(14) — (25) reduciren sich dann auf die folgenden : 

(26) 2 y, = ^ + ^' , 



(27) I 



'i^ c = A ^ — II , 3 c' = 4 ^' — iu^ , 
Q q == 1 [i — II , 6 q = 1 ^— ji . 



Die Zahl y^ können wir nun in den einzelnen Elementarsystemen 
leicht direct bestimmen; und daraus lassen sich weiterhin in jedem 
Falle ft, ^' berechnen, — Wir beginnen mit dem System (3/^, 3/), 
dessen Curven durch 3 Punkte {p^, p.^, p^) gehen und 3 Gerade 



*) Vgl. Ausführlicheres hierüber in dem betreffenden Abschnitte der unten 
folgenden Theorie der Curven 3. Ordnung. 

**) Im ersten Falle nämlich zählt der Schnittpunkt der einfachen und zwei- 
fachen Geraden doppelt; auf letzterer kann daher noch ein Klassenscheitel liegen 
(vgl. die Anmk. p. 392) ; auf einer dreifachen Geraden dagegen können noch 3 
Klassenscheitel beliebig vertheilt liegen. 

C leb seh, Vorlesungen. 27 



418 Vierte Abtheilung. 

(/i, Z^, y berühren. Dasselbe ist sich selbst dualistisch, wir haben 

also jedenfalls 

(28) ft = /^' . 

Als Curven y^ haben wir folgende Arten von je in eine C,^ und 
eine Cj zerfallenden Curven zu berücksichtigen: 

1) zwei C.^ durch p^, p.^, p^ und den Schnittpunkt von g^, ff.,, die 
^3 berühren, zu einer C^ ergänzt durch ihre Tangenten im 
Schnittpunkte von ff^, ^25 

2) vier a_j. durch p^, p^, p.^, die ff^ und ^2 berühren, jeder zu einer 
C3 ergänzt durch je eine seiner Tangenten in seinen Schnitt- 
punkten mit ^3; 

3) zwei C.^, welche die Verbindungslinien von jö, mit dem Schnitt- 
punkte von ^1 , ^2 iii letzterem und ausserdem ^3 berühren und 
durch P2, p^ gehen; jeder ergänzt zu einer C3 durch jene Ver- 
bindungslinie ; 

4) acht C2, welche durch p, , p^ gehen, ff^, ff., berühren und ^3 
so schneiden, dass die Tangenten in den Schnittpunkten durch 
/?3 gehen*); jeder durch diese beiden zugehörigen Tangenten zu 
je einer C.^ ergänzt; 

5) die dem Falle 3) dualistisch entsprechenden Curven; 

") >f }J }} '^) V V >; ?; ;? 

Beachtet man in jedem dieser Fälle auch die aus ihm durch 
Vertauschung der Punkte p^, p.^, p.^ oder der Geraden ff^, ff.^, y.^ ent- 
stehenden, so erhält man schliesslich: 

y^ = 3. 2 + 3. 4. 2 + 3. 3. 2 + 3. 3. 8-1- 3,. 3. 2 + 3. 4. 2-f 3. 2 
= 168. 

Aus (26), (27) und (28) ergibt sich also für das System (3j3, 3/); 

ft = ^' = 168 , c = c' = 168 , q = q' == 168 . 

Für das System {Ap, 21) folgt hieraus sofort ^'=168; und 
wir finden durch eine der obigen analoge geometrische Ueberlegung: 

j/j = 1 + 2. 2. 2 + 4 + 4. 2 (4 + 2) +4. 4. 2 + i^. 2.2 + ^-^^4 
= 141 . 
Für das System {4 p, 21) haben wir also wegen {2Q) und (27): 
^=114, ^'=168, c = 96, c' = 186, $ = 105, $' = 177 . 



*) Es gibt 8 solche Curven, da die Punkte p,, p^ und die Geraden g^, g^ ein 
C^ - System mit den Cliarakteristiken jtt = v = 4 bilden , und weil der Ort der 
Berührungspunkte der von 773 an die C^ des Systems gelegten Tangenten nach 
einem Satze auf p. 414 von der Ordnung ^ -\- v ist. 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven, 419 

Die Zahl ^ des Systems (4;;, 21) liefert sofort die Zahl ^' des 
Systems (pp, l). Für y^ dagegen finden wir: 

y, = 2 + 5 (l + 2) + 5 . 2 . 2 + ^ + ^^ . 4 = 87 . 

Für das System (b p , l) haben wir also: 

^^m, /i' = 114 , c = 42 , c' = 132 , q=^b\, ^' = 123 ; 
und endlich für das System (6j3): 

y,=6. 2+^2 = 42, 

^ = 24 , /i' = 60 , c = 12 , c =12, * = 18 , q = m . 

Dieselben Zahlen in umgekehrter Reihenfolge gelten natürlich für 
die Systeme {2p, 4/), {p, öl), (6/). Hieraus findet man für die 
Zahlen der Curven dritter Ordnung und dritter Klasse, welche durch 
gegebene Punkte gehen und gegebene Gerade berühren, folgende Werthe: 

(7i>)= 24, {idp,\l)= 60, (5p,2/)=ll4, (4p,30=168, 
(3//, 4/) = 168, (2p, 5/)= 114, {\p,ijl)= 60, (Jl)= 24. 

Wenn wir nach diesen Betrachtungen unsere ursprüngliche Frage 
nach der Zahl der Curven eines einfach unendlichen Systems, welche 
einer hinzutretenden Bedingung genügen, allgemeiner zu erörtern 
versuchen, so zeigt sich, dass eine algebraisch erschöpfende Behand- 
lung der Frage noch wesentliche Schwierigkeiten bietet. Wir be- 
zeichnen daher nur einzelne Punkte, welche man besonders wird 
berücksichtigen müssen. • 

Wir denken uns das System algebraisch dargestellt; und zwar 
sehen wir, wie bei den Kegelschnitten (p. 390), die \ 7i (n -\- 3) 
Coefficienten der Curve als Variable an , für die uns ^ n (n -|- 3) — 1 
Bedingungen gegeben sind. Letztere können durch ebenso viele von 
einander unabhängige Gleichungen, oder durch ein System von 
mehreren untrennbaren Gleichungen dargestellt sein. Die Zahl yi 
detiniren wir als die Zahl der Lösungen, welche jenes System von 
Gleichungen zusammen mit einer linearen Gleichung noch zulässt. 
Eine Gleichung ^*®" Grades wird dann q^i Lösungen liefern. Aber 
unter letzteren können Curven enthalten sein, welche die Bedingung 
identisch befriedigen, d. h. dieselbe erfüllen, ohne von den die Bedin- 
gung etwa bestimmenden festen Curven oder Punkten abhängig zu 
sein, sondern allein wegen der Art, in welcher die Coefficienten der 
veränderlichen Curve in die Bedingungsgleichung eingehen; und die 
Anzahl solcher Lösungen ist von der Zahl q^ abzuziehen. So kann 
es eintreten, dass es im Systeme einzelne Curven gibt, für welche zwei 
Invarianten A, B des Systems verschwinden, ohne dass eine dieser 

27* 



420 Vierte Abtheilung. 

Invarianten für eine beliebige Curve des Systems Null wäre*); und 
dann würden diese Curven auch jede Bedingung 

/^n, 4- BT\^ = 

identisch erfüllen, wenn TTi; TT^ irgend welche andere Functional- 
invarianten sind, die von den Coefficienten der Systemscurven und 
beliebigen festen Elementen abhängen. Oder es kann im Systeme 
eine Zahl von Curven vorkommen, für die eine zugehörige Form Ua^ 
identisch Null ist; dann werden diese Curven T-fach zählend Jede 
Bedingung erfüllen, welche die Coefficienten a,/,^ . . . der verschwinden- 
den Form zum t*^" Grade enthält. Man erkennt hieraus, dass der 
Begriff der singulären Curven bei unserer algebraischen Auffassung 
folgendermassen allgemeiner als früher hingestellt werden kann: 
Unter einer singulären Curve des Systems verstehen wir jede Curve 
desselben, ivelchc eine Jnvarianleneigenschaft hat, die durch zwei oder 
mehr Gleichungen dargestellt wird, und die einer beliebigen Curve des 
Systems nicht zukommt.**) Und diese Festsetzung reicht aus, insofern 
man unter einer singulären Lösung eine jede versteht, welche einer 
gegebenen Bedingung genügt, ohne von den durch diese und die Be- 
dingungen des Systems eingeführten constanten Elementen abzuhängen. 
In der That erkennt man leicht, dass alsdann das Verschwinden 
simultaner Functionalinvarianten nicht berücksichtigt zu werden 
braucht. Sollte nämlich eine solche (deren Verschwinden zwei oder 
mehr Bedingungen äquivalent ist) Null werden, so kann dies erstens 
dadurch eintreten, dass sie für eine jede Curve des Systems Null ist; 
und dann würde eine hinzutretende Bedingung, welche die Coefficienten 
dieser Functionalinvariante homogen enthält, nicht in der Weise von 
den Bedingungen des Systems unabhängig sein, wie wir es immer 
voraussetzen (vgl. p. 400). Zweitens kann es vorkommen, dass eine 
der das System definirenden Bedingungen durch einzelne Curven des 
Systems mehrfach erfüllt wird; wie an folgendem Beispiele sofort 
klar werden wird. Wenn alle Kegelschnitte aj==0 einer oo' -Reihe 
einen festen Kegelschnitt «^'2 = berühren sollen, so verschwindet 
die Tactinvariante (p. 298): 

4 (^111^122 ^112 ) (^112^222 ~~ ^122 ) ~" (^111-^222 — -^1 12 ^^122)^ • 

Dann wird eine bestimmte Zahl von Kegelschnitten der Reihe die 



*) So verschwindet in einem Systeme von Curven 3. Ordnung mit Doppel- 
punkt für alle Curven die Invariante S^ — Q T"^ (vgl. die 5. Abtheilung dieser 
Vorlesungen); und für die im Systeme enthaltenen Curven mit Rückkehrpunkt 
die Invarianten -S, T einzeln. 

**) Curven mit einer durch eine Gleichung darstellbaren Invarianteneigenschaft 
können selbstverständlich nicht als singulare auftreten (vgl. p. 398). 



Allgemeine Theorie der algebraischen Ciirven. 421 

feste Curve osculiren. Für diese verschwindet die Tactinvariante 
quadratisch, indem zugleich die 3 Relationen bestehen: 

^111^122 = ^112% ^^112^222 = ^122^7 -^111^222 = ^112^122- 

Durch alle diese Curven wird eine hinzutretende Bedingung, welche 
durch das Verschwinden eines Ausdrucks von der Form 

(^,1, .^,22 — ^,12') Hl + (^,,2^222 - -^122') TT2 + (-^111 ^222- ^11 2^1 22) TT3 

darstellbar ist, identisch erfüllt. Es geschieht dies aber doch nur 
durch Beziehungen der Curven zu gegebenen festen Elementen, nicht 
durch eine Eigenschaft dieser Curven an und für sich: Solche Vor- 
kommnisse wollen wir daher nicht als singulare bezeichnen. In der 
That würde man, wie unser Beispiel lehrt, andernfalls schon für 
Kegelschnittsysteme nichts Allgemeines aussagen können. 

Insbesondere folgt aus unserer Definition der singulären Curven, 
dass in einem Systeme von Curven n^"'' Ordjiung jede Curve als singulare 
auftreten kann. Es wird dies recht deutlich an folgendem Beispiele. 
Eine jede Curve des Systems wird eine Anzahl absoluter Invarianten 
(vgl. p. 267) A|, A2, . . . A,. besitzen, die von Curve zu Curve ver- 
schiedene Werthe annehmen. Stellen wir die Forderung, dass eine 
von ihnen, etwa A, einen bestimmten Werth Aj habe, so ist dadurch 
(wenn nicht dieser Werth für alle Systemscurven derselbe ist) eine 
bestimmte Zahl von Curven festgelegt. Für eine jede von diesen 
haben dann aber auch die übrigen absoluten Invarianten bestimmte 
Werthe. Letztere mögen für eine der Curven folgende sein: 

A| = Aj , A2 = Aj , • . . Ar = ^r j 

Dann ist diese Curve singulär in Bezug auf jede hinzutretende Bedin- 
gung von der Form: 

(A, - A.) n^ -f (A2 - A2) n2 + . . . + (A. - K) n,. == . 

Ob eine Curve in Bezug auf eine hinzutretende Bedingung singulär 
ist, oder nicht, hängt hiernach wesentlich von der letzteren ab 
(ausserdem natürlich von den Bedingungen des Systems). 

Inwiefern nun das Auftreten singulär er Curven durch die Natur der 
Bedingungen des Systems begründet werden kann, davon mag man sich 
für einzelne Fälle in folgender Weise eine Vorstellung bilden. Eine 
singulare Curve sei durch das Verschwinden einer Functionalinvariante 
TT, (oder eines Systems von solchen) charakterisirt. Das entsprechende 
System von Gleichungen möge ^ n {ii + 3) — s einzelnen Bedingungen 
äquivalent sein, so dass es überhaupt 5 -fach unendlich viele 6'„ gibt, 
für welche TT, Null ist. Wir haben nun zwei Fälle zu unterscheiden. 
Erstens können sämmtliche das System definirenden Bedingungen die 
Coefficienten von TT, enthalten. Dann wird ihnen zunächst durch die 



422 Vierte Abtheilung. 

ganze oo*- Reihe von C,, identisch genügt. Man wird aber nur solche 
Curven dieser Art als Curven des vorliegenden oo'- Systems auffassen, 
welche aus anderen Curven dieses Systems durch Grenzübergang" 
abgeleitet werden können, wie schon bei den Kegelschnitten erörtert 
wurde (p. 399). Zivcitens kann es vorkommen, dass nur eine Gruppe 
der ^ 71 (ji 4- 3) — 1 Systemsbedingungen durch jede Curve der er. 
wähnten oo*- Reihe identisch erfüllt wird. Dann erhalten wir eine 
endliche Anzahl der letzteren, welche gleichzeitig dem oo^- Systeme 
angehören, wenn jene Gruppe äquivalent mit ^n {n -\- ?>) — l — s 
Einzelbedingungen ist; denn dann wird durch die Gruppe der übrigen 
Systemsbedingungen, äquivalent mit s Einzelbedingungen, eine endliche 
Zahl von Curven bestimmt, für welche die Functionalinvariante TT,, 
verschwindet. Dies sind dann singulare Curven unseres oo'- Systems 
in Bezug auf jede hinzutretende Bedingung, welche homogen in den 
Coefficienten von TT, ist. 

Für eine bestimmte hinzutretende Bedingung ist nun die Zahl 
der verschiedenen Arten von singulären Curven eine endliche, denn 
dieselbe kann nur von den Coefficienten einer endlichen Anzahl von 
Functionalin Varianten*) abhängen. Nehmen wir an, sie sei vom 
Grade t, in den Coefficienten einer Functionalinvariante TT,-, die 
Coefficienten der letzteren seien vom Grade (?, in den Coefficienten a 
der Gleichung der veränderlichen Curve n*" Ordnung des Systems, 
und in der ßedingungsgleichung seien die Coefficienten a noch zum 
«*«'' Grade enthalten, ohne sich zu Coefficienten einer Functional- 
invariante der C„ zusammenziehen zu lassen; so wird der Gesammt- 
grad q der Bedingungsgleichung gegeben durch 

q = a-{- Zöiti. 

i 

Seien ferner A,- Curven vorhanden, für welche TT,- identisch Null ist**), 
so ist, wenn ^ Systemscurven durch einen beliebigen Punkt gehen, 
die Zahl der Systemscurven, welche die gestellte Bedingung nicht iden- 
tisch er fidlen ***) ; 

== q^ — Ukiti = ßfi -f 2; {6i^ — A,-) ti, 

i 

die Summe ausgedehnt über die Indices aller Functionalinvarianten 

*) Ob jedoch zu der C„ überhaupt ein endliches System von Functional- 
invarianten existirt, durch die sich alle anderen ganz und rational ausdrücken 
(p. 211), kommt hier zunächst nicht in Betracht. 

**) Dabei ist jede r-fach zählende Curve der Art für r verschiedene Curven 
gezählt. 

***) Bei dieser Betrachtung verfahren wir unsymmetrisch, indem wir die 
Systemscurven nur als Punktgebilde auffassen. Es wird sich diese Unsymmetrie, 
wie oben bei den Kegelschnittsystemen, im Resultate vermöge der zwischen den 
Zahlen (i, t- und den zu ihnen dualistischen bestehenden Relationen beseitigen. 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 423 

TT,-, deren Coefficienten in der gestellten Bedingung vorkommen. Es 
hängen hier, analog den Verhältnissen bei Kegelsehnittsystemen , die 
Zahlen a, 6i, t, nur von der gestellten Bedingung, die Zahlen ^i, h 
nur von dem gegebenen Systeme ab. Man wird aber nicht behaupten 
dürfen, dass es für jedci^ Curvensystem eine bestimmte Anzahl von 
solchen Zahlen A, gibt. Dies e'rhellt schon aus dem oben über die 
absoluten Invarianten Gesagten; allgemeiner aus folgender Ueber- 
leo-ung. Es sei eine singulare Curve des Systems durch das Ver- 
schwinden einer Reihe von Functionen TT,- bezeichnet. Zwischen den TT« 
und anderen Functionen P, können dann (eventuell in Folge der 
gegebenen Bedingungen des Systems) solche Relationen bestehen, dass 
gleichzeitig mit den TT, immer die P, verschwinden, ohne dass sich 
doch die P,- direct rational «nd ganz durch die TT, ausdrücken Hessen. 
Es tritt dies z. B. ein, wenn 

wo die 0, in Folge der Bedingungen des Systems verschwinden mögen. 
Durch die betrachtete singulare Curve ist dann jede hinzutretende, 
die Coefficienten von P,- enthaltende Bedingung identisch erfüllt, ohne 
dass letztere die Coefficienten der n,- selbst enthielte. Es würde also 
edenfalls nicht ausreichen, wenn man etwa bei Bestimmung der Zahlen 
h für ein gegebenes System nur die Fun ctionalin Varianten berück- 
sichtigen wollte, deren Coefficienten homogen in -den Bedingungen 
des Systems vorkommen. — 

Diese Erörterungen werden hinreichen, um die Schwierigkeiten 
zu kennzeichnen, auf welche eine allgemeine algebraische Behandlung 
der Charakteristikentheorie zunächst stossen wird. Wir erwähnen 
hier nur noch ein Beispiel, um zu zeigen, wie unter den Zahlen h 
insbesondere diejenigen enthalten sein können, welche sich auf die 
singulären Curven, genommen in unserm früheren Sinne (p. 409) 
beziehen: 

Es soll die Zahl der Curven gefunden werden, welche eine 
gegebene Gerade so schneiden, dass durch einen der Schnittpunkte 
noch eine der Doppelpunktstangenten derselben Curve hindurchgeht, 
oder mit andern Worten: Es soll die Ordnung des Ortes der Punkte 
bestimmt werden, in denen eine Curve des Systems von den Tangenten in 
ihren Doppelpunkten noch geschnitten wird. Auf der Geraden halben 
wir hier eine Correspondenz, vermöge deren jedem Punkte g die 
2y.d Schnittpunkte rj. der Doppelpunktstaugenten der ft durch l 
gehenden Curven entsprechen, während jedem Punkte i] umgekehrt 
np Punkte l zugehören. Unter den | -f t^ Coincidenzpunkten sind 
aber eine Reihe von uneigentlichen Lösungen unserer Aufgabe 



424 Vierte Abtheilung. 

mitgezählt, wie man leicht übersieht. Zieht man letztere ab, so erhält 
man für die gesuchte Zahl den Werth*): 

np-^2(l^~ {G^* + (/j — 2)c^i+2(n — 2)a2 + 2(n-6X4-2(n— 4)«; 
+ 2{n~ 2) «.; + 2 (n - 4) /3' + 3 (n - 5) fo + 3 (n - 3) y,} . 

Derselbe setzt sich also in der That aus unsem obigen Zahlen (p. 409) 
linear zusammen. 

Aus dem Vorstehenden erhellt sofort, weshalb der Chasles'sche 
Satz nur für Kegelschnitte gilt : Eine solche Curve kann eben nur 
eine, mit zwei Bedingungen äquivalente Invarianteneigenschaft haben, 
nämlich die, dass die linke Seite der Liniencoordinatengleichung, die 
Form F= {abuY, identisch werschwindet, d. h. dass der Kegelschnitt 
in eine Doppellinie ausartet (bez. in einen Doppelpunkt, wenn man 
von der Linienauffassung ausgeht). In Folge dessen haben wir nur 
zwei Zahlen /x, und A, oder — wegen der Gleichungen (1) — ft und 
V zu berücksichtigen. Andererseits erkennt man aber, dass der 
Chasles'sche Satz auch allgemein gilt, sobald die hinzutretende 
Bedingung die der Berührung mit einer festen Curve (C„,), sagen wir 
der w**^" Ordnung und A"""^ Klasse, ist. Eine solche Bedingung näm- 
lich wird offenbar identisch (d. h. unabhängig von der zu berührenden 
festen Curve) erfüllt durch jede Curve des Systems, welche einen 
doppelt zählenden Ast enthält, und zweifach durch jede, welche auf 
der C,n einen Doppelpunkt, dreifach durch jede, welche auf ihr einen 
Rückkehrpunkt hat.**) Dies geschieht aber auch durch keine an- 
deren Curven des Systems, als durch solche mit den eben genann- 
ten Singularitäten (oder höheren der Art); denn keine andere 
Systemscurve schneidet jede beliebige feste Curve in zwei zusammen- 
fallenden Punkten. Nun ist aber für die hinzutretende Tactinvariante 
q = 2m {n — l)-f-^; denn dieselbe ist vom Grade m in den Coeffi- 
cienten der Liniengleichung, vom Grade k in denen der Funktgleichung 
der beweglichen Systemscurve, wie durch Verallgemeinerung unserer 
obigen Betrachtung bei Kegelschnitten leicht zu beweisen ist (vgl. 
p. 401). Die Zahl der die C„, eigentlich berührenden Curven ist daher; 

= (2 m (n - \)-\- kn)iL— (2 6 + 3 c -f a) m , 
oder nach Gleichung (14): 

== A' |u -j- m ^' . 



*) Vgl. Zeuthen, a. a. 0. 

**} Dies iolgt direct aus den Plückei-'schen Formeln. Die C,,. nämlich kann 
in der Nähe eines solchen Punktes durch ihre Tangente ersetzt werden; für eine 
Gerade aber gelten obige Sätze nach jenen Formeln. 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 425 

Wir haben daher den folgenden, auch schon von Chasles aus- 
gesprochenen Satz*): 

In einem Systeme von Curven, von denen ^ durch einen heliehigen 
Punkt gehen, (i eine beliebige Gerade berühren, gibt esk^-\-fn[i 
Curven, welche eine beliebige feste Curve m^^'' Ordnung und k'^'' Klasse 
berühren. **) — 

Wir machen schliesslich noch einmal auf die bei unsern Unter- 
suchungen befolgte Methode aufmerksam: wir erlangten die meisten 
einzelnen Resultate durch Anwendung des Chasles 'sehen Correspon- 
denzprincips. Dasselbe müsste aber auch auf rein algebraischem 
Wege zu erreichen sein; beruht doch jenes Correspondenzprincip 
auch nur auf einer algebraischen Thatsache (vgl. p, 210). Der Vor- 
theil, den dagegen die Anwendung dieses Princips gewährt, ist, dass 
man bei der Betrachtung einer Frage alle ihr fremden Verhält- 
nisse durch die Anlage der Abzahlung ausschliesst, und so die Zahl 
der Lösungen ganz direct findet, während bei der algebraischen Be- 
handlung, welche nicht nur den Grad der Schlussgleichung, sondern 
diese selbst verlangt , verschiedene Schwierigkeiten (z. B. die Aus- 
scheidung überflüssiger Factoren) zu beseitigen sein werden. Umge- 
kehrt wird man die durch das Correspondenzprincip gewonnenen 
Resultate für die algebraische Behandlung verwerthen können, inso- 
fern dann der Grad der zur Lösung dienenden Endgleichung, sowie 
die Vertheilung der verschiedenen Arten von Lösungen von vornherein 
bekannt sind. In diesem Sinne muss man die doch wesentlich auf 
dem Correspondenzprincipe beruhende Theorie der Charakteristiken 
als einen wichtigen Beitrag für die algebraische Behandlung der ent- 
sprechenden Eliminationsprobleme auffassen. 

VIL Die Geometrie auf einer algebraischen Curve. 

Wir haben schon verschiedentlich darauf hingewiesen, dass von 
den Schnittpunkten zweier Curven , insbesondere von den Grund- 
punkten eines Curvenbüschels nicht alle willkürlich gewählt werden 
können, dass vielmehr immer eine gewisse Zahl durch die übrigen 
bestimmt ist. 

Es sollen nun zunächst diese Verhältnisse genauer untersucht 
werden. Eine gegebene Curve w*®"^ Ordnung / = wird von einer 



*) Vgl. Chasles: Comptes rendus, 15. fevrier 1864. Einen Beweis gab 
Zeuthen: Math. Annalen, Bd. 3, p. 153. 

**) Man sieht sofort, dass der Satz auch gilt, wenn im Systeme ausser den 
Curven a noch andere mit mehrfach zählenden Zweigen vorkommen ; denn durch 
letztere Curven wird die Zahl q ^i immer entsprechend beeinflusst, wie die Glei- 
chung (14). 



426 Vierte Abtheilung, 

Curve w*" Ordnung (p = in mn Punkten geschnitten, von (^enen 
wir zunächst annehmen, dass sie nicht in Doppel- oder Rückkehr- 
punkte von /= fallen. Ist m < n, so sind ^^+-^ Schnittpunkte 
als gegeben erforderlich; durch diese ist die Curve g) = vollkommen 
bestimmt, mithin auch ihre übrigen Schnittpunkte mit /'=0. Ist 
hingegen m>n, so kann man, wenn es sich nur um die Schnittpunkte 
beider Curven, nicht um die schneidende Curve (p selbst handelt, an 
Stelle der Gleichung g) = die Gleichung 

cp' = (p-jr ^^=0 

setzeu, wo ^ ein Ausdruck (m — w)ter Ordnung ist. Die vollkommen 
willkürlichen 

I- (w — w + 1) (m — n -f 2) 

Coefficienten von fi dürfen nun besonders so gewählt werden, dass 
ebensoviele Coefficienten der Function (p' verschwinden. Man kann 
also, ohne das Schnittpunktsystem zu ändern, statt einer allgemeinen 
Curve q) = 0, eine specielle Curve: 

cp' = cp -i- ^f=0 
setzen, welche nur noch von 

m (m -f 3) (t7i — n -f 1) (m — w + 2) fw — 1) (n — 2) 

2 2 ^^^ ^' 2 

Constanten abhängt. Diese reducirte Curve ist dann durch mn — 
2 (^ — 1) (n — 2) Punkte bestimmt; sind also so viele Schnittpunkte 
von / = 0, cp' ==0 gegeben, so sind die übrigen ('^ ~ i^ ( ^Lnj) dadurch 

festgelegt; und dasselbe gilt natürlich für die Schnittpunkte von 
/■= 0, 9? = 0, da dies dieselben Punkte sind. 
Die beiden Zahlen 

771 (m 4- 3) , (n — 1) (n — 2) 
mn ^-—^ — '- und ^^ '—^ , 

welche bez. für w < n und m^n angeben, wie viel Schnittpunkte 
des Systems durch die übrigen gegeben werden, stimmen überein für 
m = n ~ l und m = n — 2. Für m> n — ^ kann man also immer 
die Zahl ^ (n — ]) (n — 2) gelten lassen, welche — und das ist das 
Wichtige — von m ganz unabhängig ist.*) Für kleinere Werthe von 

*) Auf diesen Umstand bei Curven gleicher Ordnung wies zuerst Euler hin 
(Abhandlungen der Berliner Akademie, 1748; Sur une contradiction apparente 
dans la doctrine des lignes courbes); derselbe wurde ausführlich erörtert von 
Gramer (Introduction ä l'analyse etc., 1750, p. 78), und von Plücker: Ger- 
gonne's Annalen", Bd. 19. Die Erweiterung des Satzes gaben gleichzeitig Jacob i 
(De relationibus etc., Crelle's Journal, Bd. 15) und Plücker (ib. Bd. 16); eine 
noch weiter gehende Verallgemeinerung des Satzes findet man in Plücker's 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 427 

m aber ist die Zahl der Punkte , welche durch die übrigen gegeben 
sind, eine geringere. 

Diese Betrachtungen verlangen eine leichte Modification, wenn ^ 
durch einige Doppel- oder Rückkehrpunkte von / geht. Diese Punkte 
nämlich müssen als Bestimmungsstücke von ^) einfach, dagegen als 
Schnittpunkte von qp mit / doppelt gezählt werden. Die Anzahl der 
durch die übrigen bestimmten Schnittpunkte wird dadurch um die Zahl 
{ß) derjenigen Punkte vermindert, welche in diese Ausnahmepunkte 
hineinfallen und daher von vornherein bekannt sind. Man hat also 
den Satz: 

Von den Schnittpunkten einer gegebenen Curve n'"'' Ordnung f = 
mit einer Curve m'"" Ordnung, welche durch 8 Ausnahmepunkte von 
f = gehen soll, ohne in diesen selbst mehrfache Punkte zu haben, sind 

1) wenn m^ n — 2 , ^-~^-~ — d durch die übrigen bestimmt; 

2) we?m m <i n — 2, mn — ^ >> ^ durch die übrigen be- 
stimmt. 

Es braucht wohl kaum bemerkt zu werden, dass die nicht in 
singulären Punkten der Grundcurve liegenden Schnittpunkte einander 
beliebig gruppenweise unendlich nahe rücken können, ohne dass 
dadurch die Gültigkeit unseres Satzes beeinflusst wird. Derselbe 
erleidet jedoch eine Ausnahme, wenn die willkürlich zu wählenden 
Punkte in gewisser Weise von einander abhängig sind. Zerfällt z. B. 
die Curve 9 = in mehrere Curven niedrigerer. Ordnung, so zerfällt 
auch das ganze Schnittpunktsystem in mehrere, und in jedem dieser 
Schnittpunktsysteme dürfen sich nur so viel Punkte unter den gege- 
benen befinden, als für eine solche Curve niedrigerer Ordnung hin- 
reichen, vermittelst unseres Theorems die übrigen zu bestimmen. 
Schneiden wir z. B. eine Curve 4. Ordnung ohne Doppelpunkte (d = 0) 
mit einer Curve dritter Ordnung, welche in eine Gerade und einen 
Kegelschnitt zerfällt, so dürfen von ersterer nur 2 Punkte, von 
letzterem 5 Punkte, im Ganzen also nur 7 Punkte willkürlich auf der 
C^ gewählt werden, während in dem Schnittpunktsysteme einer belie- 
bigen C3 mit der C4 9 (= 3 w — \{n — 1) [n — 2)) Punkte beliebig 
auf der C^ angenommen werden dürfen. Es kann andererseits eintreten, 
dass bei nicht zerfallenden Schnittpunktsystemen die mn — \{n—V) 
(n — 2) -\- d gegebenen Punkte (für m^n — 2) noch nicht ausreichen, 
um die übrigen zu bestimmen: Man wird sich geradezu die Aufgabe 
stellen können, zvi mn — ^ (w — 1 ) (n — 2) -{- 8 — r gegebenen Punkten 



Theorie der algebraischen Curven, Bonn 1839, p. 11. — Für die Darstellung des 
Textes vgl. Clebsch und Gordan: Theorie der AbeTscben Functionen, Leip- 
zig 1866, p. 34, 



428 Vierte Abtheüung. 

r weitere so zu bestimmen, dass sie mit jenen die übrigen ^ (n — 1) 
. (ii — 2) — d Schnittpunkte einer durch d Ausnahmepunkte von /== 
gehenden Curve w*" Ordnung nicht bestimmen. Und in der That 
wird das entsprechende Problem für m = n — 3 später für uns noch 
von besonderer Wichtigkeit werden. Genauer sprechen wir den an- 
geführten Satz daher in der Form aus, dass höchstens, ^"C^ — 1) 
{n — 2) — 8, hez. mn — ^ ?n {m -\- ^t) — 8 Schnittpunkte durch die übrigen 
bestimmt sind, wenn keine anderen Bedingungen hinzutreten. 

Dieser Satz gehört wegen seiner zahlreichen Anwendungen zu 
den wichtigsten in der Theorie der algebraischen Curven; besonders 
für das zunächst Folgende bildet er im Wesentlichen die Grundlage. *) 
Wir bemerken zunächst, dass für 7n == n von den m"^ Grundpunkten 
eines Büschels in der That ^ {m ~ 1) (m — 2) durch die übrigen 
bestimmt, also nur ^ m {m + 3) willkürlich sind (vgl. p. 373). Ferner 
gibt das Theorem, angewandt auf Curven dritter Ordnung einen 
äusserst einfachen Beweis für den Pascal'schen Satz, den wir nicht 
unerwähnt lassen wollen. **) Für ?n = n = 3 lautet dasselbe : 

Alle Curven dritter Ordnung , rvelche 8 Punkte gemein haben, gehen 
auch durch einen neunten Punkt. 

Es seien nun die sechs auf einem Kegelschnitte liegenden Punkte 
1, 2, 3, 4, 5, 6 in der Weise zu Paaren vereinigt, dass wir die in 
dem Schema (vgl. p. 50): 

12 45 I 

23 56 II 

34 6l III 

neben einander stehenden Linien als gegenüberliegende Seiten des 
Sechsecks auffassen. Bezeichnen wir die Schnittpunkte von je zweien 
derselben bez. mit I, II, III ; so können wir die ganze Figur aus drei 
zerfallenden Curven 3. Ordnung mit 8 gemeinsamen Punkten zusammen- 
gesetzt denken; dieselben sind: 

1) der Kegelschnitt und die Linie I Ü, 

2) die 3 Linien 12, 56, 34, 

3) die 3 Linien 45, 23, 61. 

Jede dieser Curven geht durch die 8 Punkte 1, 2, 3, 4, 5, 6, I, II; 



*) Aus ihm lassen sich eine Reihe weiterer Sätze über Sehnittpunktsysteme 
ableiten, auf die wir nicht eingehen; vgl. Cayley: Cambridge and Dublin ma- 
thematical Journal, vol. III, p. 211, und die angeführten Werke von Cremona 
und Salmon. 

**) Vgl. Plücker, Analytisch -geometrische Entwicklungen, Bd. 1, 1828, p. 267. 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 429 

folglich geht durch den 9*^" Schnittpunkt III zweier von ihnen auch 
die dritte, und damit ist der PascaTsche Satz bewiesen.*) 

Der uns beschäftigende Satz bildet nun zusammen mit dem später 
zu begründenden „erweiterten Correspondenzprincipe" die Grundlage 
für die Geometrie avf einer algehraischen Curve, d. h. er erlaubt uns 
in ähnlicher Weise eine Theorie der auf einer solchen gelegenen 
Punktgruppen herzustellen, wie wir dieselbe auf der geraden Linie 
bereits kennen gelernt haben (Theorie der binären algebraischen 
Formen). Bei den hierauf bezüglichen Untersuchungen wird uns 
zuerst die fundamentale Bedeutung des Geschlechtes (p. 351) 

jö = ^ (n — 1) (n — 2) — r/ — r 

einer Curve w*" Ordnung ihrem vollen Umfange nach entgegen treten : 
Es zeigen sich die wesentlichsten Eigenschaften der Punktsysteme auf 
einer Curve geradezu allein von der Zahl p, nicht von Ordnung oder 
Klasse der Curve abhängig, so dass wir weiterhin genöthigt sind, 
die Curven je nach ihrem Geschlechte näher zu untersuchen, sie nach 
demselben in wesentlich verschiedene Klassen zu theilen. Es steht 
dies in genauem Zusammenhange mit der Theorie der Abel'schen 
Integrale und der eindeutigen Transformationen: erst an der Hand 
dieser Theorien werden wir einen vollständigen Ueberblick über die 
Geometrie auf einer Curve gewinnen können. Besonders auf Grund 
der Arbeiten von Brill und Nöther sind wir jedoch in der Lage, 
schon jetzt eine Reihe von Problemen rein algebraisch zu erledigen. **) 
Wir beschränken uns dabei auf Betrachtung der Punktsysteme, 
welche auf einer gegebenen festen Curve durch sogenannte adjungirte 
Curven ausgeschnitten werden; eine Beschränkung, welche sogleich 
noch näher begründet werden wird. Unter einer „adjungirten 
Curve" verstehen wir eine solche, die durch sämmtliche Doppel- und 
Rückkehrpunkte den festen Grundcurve einmal hindurchgeht, oder all- 
gemeiner, die durch jeden i- fachen Punkt derselben {i — l)-fach 
hindurchgeht, ohne dass sich dabei einzelne Zweige beider Curven 
berühren. Ferner setzen wir voraus, dass die gegebene Curve n^^^ 
Ordnung (C„) in jedem ?- fachen Punkte lauter getrennte Tangenten 
besitzt.***) Alsdann können wir jeden /-fachen Punkt durch \ i {i — 1) 



*) Man überzeugt sich leicht, dass die oben hervorgehobene Einschränkung 
des Satzes für zerfallende Schnittpunktsysteme in diesem Falle ohne Einfluss bleibt. 

**) Vgl. für das Folgende Brill und Nöther: üeber die algebraischen 
Functionen und ihre Anwendung in der Geometrie: Göttinger Nachrichten, Fe- 
bruar 1873 und Math. Annalen, Bd. VII. p. 269. 

***) üeber die Berücksichtigung von vielfachen Punkten mit theilweise zu- 
sammenfallenden Aesten vgl. den Abschnitt über eindeutige Transformation in 
der 6. Abtheilung, sowie den Schluss dieser 4. Abtheilung. 



430 Vierte Abtheilung. 

Doppelpunkte ersetzt denken (vgl. p. 329), und dem entsprechend 
setzen wir das Geschlecht 

rt — ('^ -!)(«- 2) i (t - 1) 

p __ ^ ß: . — ____ ^ 

wenn die Curve Cn cc^ Doppel-, «3 dreifache, . . . «/ 2- fache Punkte 
besitzt. Für das Schnittpunktsystem einer adjungirten Curve haben 
Avir in den Formeln unseres Fundamentaltheorems ^ = 4- Zai i {i — 1) 
zu setzen ; und wir können dasselbe dann folgendermassen aussprechen, 
wie man leicht erkennt, da in einem /-fachen Punkte immer i (i — 1) 
Schnittpunkte mit der adjungirten Curve zusammenfallen: 

Von den nicht in die singulären Punkte falle^iden Schnilipunkten 
einer adjungirten Curve m''-''' Ordnung mit der gegebenen C„ sind 

1) für m ^ n — 3: höchstens p durch die übrigen nm — 2Jc(i.i{i—l) 
— p = na-\-p — 2 (^a = m — {n — 3)) Schnittpunkte bestimmt*) ; 

2) für m == n — 2 ~ r: höchstens p — 1 — ^ (r -\- 2) [r — 1) durch 
die übrigen ^ m {m -f- 3) — ^- Hui . i (i — 1) bestimmt. 

Wenn wir uns nun zu Betrachtungen von Systemen von adjun- 
girten Curven wenden, oder vielmehr zur Betrachtung der von solchen 
Systemen auf der C„ ausgeschnittenen Punktgruppen, wollen wir die 
letzteren durch folgende Elemente als charakterisirt ansehen: 

1) Die Zahl {()) der in jeder Gruppe der „Schaar" befindlichen 
Punkte, d. h. die Zahl der beweglichen Schnittpunkte einer 
adjungirten Curve des betrachteten Systems (letztere kann 
nämlich auch ausserhalb der singulären Punkte von /' eine An- 
zahl feste Schnittpunkte mit der d gemein haben). 

2) Die Mannigfaltigkeit der Schaar, d. h. die Zahl {q) der will- 
kürlichen Parameter, von denen die Coefticienten einer Curve 
des Systems abhängen. 

3) Der Grad der Schaar, d. h. die Dimension^ bez. die Form, in 
welcher diese q Parameter in die Gleichung der Curve ein- 
gehen. Dieselben sollen im Folgenden immer rational vor- 
kommend vorausgesetzt werden. 

Einige Beispiele mögen diese Unterscheidungsmerkmale näher 
erläutern. Die Cn sei eine Curve 3*®' Ordnung ohne singulären Punkt; 
alsdann bilden die sämmtlichen- Geraden der Ebene ein 2 -fach unend- 
liches {q = 2) System (c?o'^) von adjungirten Curven, das von zwei 
Parametern linear abhängt; die von ihnen auf der C3 ausgeschnittenen 
Punktgruppen bilden daher eine lineare 2 -fach unendliche Schaar von Je 
3 Punkten {()=?)). Dagegen bestimmen alle Linien, die durch einen festen 
Punkt der 6^3 gehen, und also noch in 2 beweglichen Punkten schnei- 
den, eine lineare 1-fach unendliche Schaar von je 2 Punkten ((> = 2, 



*) Dieser Satz gibt also eine directe geometrische Bedeutung für die Zahl p. 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 431 

^=1); ferner die Tangenten eines festen Kegelschnittes (x^x.^ — X3'' = 0), 
da dieselben in der Form 

x^ -{- 2 ?.X2 -{- ^-x^ = 

darstellbar sind , eine quadratische einfach unendliche Schaar von je 3 
Punkten. Hat die C^ einen Doppelpunkt und betrachten wir den von 
ihm ausgehenden Strahlbüschel, von dem jeder Strahl die C^ noch in 
einem beweglichen Punkte trifft, so bestimmt dieser Büschel eine ein- 
fach unendliche lineare Schaar von je einem Punkte {0 = \). Allgemein 
endlich schneiden alle adjungirten Curven w*^' Ordnung {m > n — 3), 
die durch s beliebige feste Punkte gehen, auf der 6',, eine lineare 
Schaar von Punktgruppen aus, für welche 

Q == nm — Uai . i (i — 1) 

q = nm — Uai . i {i — 1) — p — s \ 

denn von den Q Schnittpunkten sind nach unserm Fundamentalsatze 
über Schnittpunktsysteme p durch die übrigen bestimmt, und somit 
nur noch Q — p willkürlich ; also ist q = Q — s — p. Liegen hin- 
gegen von den 6' festen Punkten R auf der C„,. so haben wir: 

Q =^ mn — Hai . i (i — 1) — R 

q = mn — Hai . i {i — 1) — s — p . 

Während die Punktgruppen auf der 6'„ durch die bisherige Dar- 
stellung wesentlich von den betreffenden adjungirten Curven abhängig 
erscheinen, gelingt es durch den sogenannten Restsatz, ZM dessen 
Darlegung wir nun übergehen, diese Gruppen in gewissem Grade 
unabhängig von den sie ausschneidenden Curven zu dehniren, wodurch 
sie entsprechend den Forderungen einer Geometrie auf der Curve mehr 
als selbständige Gebilde dastehen. Um den Restsatz präcis aussprechen 
und beweisen zu können, müssen wir die folgenden Bezeichnungen 
einführen. 

Als Residuum einer Gruppe Co von Q Punkten bezeichnen wir 
eine jede Punktgruppe {Gr), welche mit jener zusammen das voll- 
ständige Schnittpunktsystem der vorliegenden C„ mit einer adjungirten 
Curve bildet; die Ordnung der letzteren ist dabei gleichgültig. Es 
sei hierbei noch einmal hervorgehoben, dass wir in dem Schnittpunkt- 
systeme die in singulare Punkte der 6'„ fallenden Schnittpunkte nie 
mitzählen, sondern da ihre Zahl (Zi'a, . / [i — 1)) für dieselbe 6'„ immer 
die gleiche ist , stets als selbstverständlich ergänzen. Es kann jedoch 
vorkommen, dass von den Punkten der Go (etwa durch Berührung 
der ausschneidenden Curve mit den Aesten der Grundcurve im singu- 
lären Punkte) in einen solchen ausnahmsweise noch mehr Schnitt- 
punkte fallen ; diese sind unter den Q -\- R Punkten mitzuzählen. — • 
Die Punktgruppe 6'^ heisst dann zu Gq residual, und umgekehrt. 



432 Vierte Abtheilung. 

Corresidual in Bezug auf Gq nennen wir zwei Punktgruppen Gr 
und Gr-, welche zu derselben dritten Gruppe Gq residual sind, welche 
also von zwei adjungirten Curven ausgeschnitten werden können, 
deren übrige Schnittpunkte mit der C„ sämmtlich in die Punkte Q 
fallen; diese beiden Curven können dabei von gleicher oder ver- 
schiedener Ordnung sein. Der Begriff der Correüdualiiäl ist deshalb 
von besonderer Wichtigkeit, weil er eben durch den Restsatz von 
einem speciellen Residuum {Gq) unabhängig gemacht wird. 

Um ein Beispiel für die Anwendung dieser Definition zu geben, 
wählen wir eine Curve 5*«"^ Ordnung (n = 5) mit 2 Doppelpunkten 
{^p = 4). Alle adjungirten Kegelschnitte, welche durch 2 feste Punkte 
der C5 (und durch die Doppelpunkte) gehen, schneiden die C^ noch 
in 4 anderen Punkten. Jede dieser Gruppen G^ ist dann zu jenen 
beiden festen Punkten residual, und alle diese einfach unendlich 
vielen G^ sind unter einander corresidual in Bezug auf die feste 6^2- 

Der zu beweisende Satz lautet nun allgemein folgendermassen : 

Sind auf einer algebraischen Curve die Punktgruppen Gr , Gr. , . . . 
einander corresidual in Bezug auf eine Punktgruppe G^, so' sind sie 
auch corresidual in Bezug auf jede andere Punklgruppe Gq-, welche zu 
einer von ihnen (etiva Gr) residual ist.*) 

Wir erläutern den Sinn des Satzes zunächst an einigen Beispielen. 
Wir betrachten wieder eine C- mit zwei Doppelpunkten (/? = 4) und 
den Büschel adjungirter C, mit 2 festen Punkten G^ (ausser den 
Doppelpunkten). Letzterer bestimmt uns eine einfach unendliche 
lineare Schaar von G^, welche in Bezug auf die G.^ corresidual sind. 
Durch eine solche G^ kann aber nur ein einziger adjungirter Kegel- 
schnitt gelegt werden; um daher zu einer Gruppe Gq- zu gelangen, 
die in Bezug auf eine G^ zu der G^ corresidual ist, müssen wir durch 
die 6^, eine adjungirte Curve höherer, sagen wir 3*" Ordnung, legen. 
Diese schneidet die C^ dann noch in 7 anderen Punkten, die eine 
in Bezug auf G^ zu G2 corresiduale Gruppe G^ bilden. Der Restsatz 
sagt nun aus, dass man durch diese 6^7 einen Büschel von adjungirten 
C3 legen kann, welche auf der C^ dieselbe Schaar von Punktgruppen 
G^ ausschneiden, die wir vorhin durch einen Büschel adjungirter Kegel- ' 
schnitte bestimmt haben. Die zuerst willkürlich durch eine der G, 



*) Der Satz wurde für Curven 3. Ordnung auch von Sylvester gegeben 
und findet sich in dem Werte Salmon's über höhere Curven^ welches gleich- 
zeitig mit der Note von Brill und Nöther in den Göttinger Nachrichten er- 
schien. Historisch ist derselbe zunächst, wenn auch nicht in der Form, aus dem 
Additionstheoreme der Abel'schen Integrale erwachsen. — Der Satz gilt übrigens 
auch für Punktgruppen auf einer zerfallenden Curve; denn wir werden beim 
Beweise an keiner Stelle die Ineducibilität der Curve /■=0 vorauszusetzen 
brauchen. 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 433 

gelegte adjungirte C^ hätten wir auch so wählen können, dass sie in 
einem der 4 Punkte die C^ berührt, dass also ein Punkt der durch 
sie ausgeschnittenen Gruppe G-. mit einem Punkte der G^ zusammen- 
fällt; an dem Wesen der Sache wird dadurch nichts geändert. Ueber- 
haupt sei bemerkt, dass es gleichgültig ist, oh die Gruppen Gr, Gr- , . . . 
und die Gruppen Gq, Gq-, . . . lauter verschiedene oder theilweise je 
dieselben Punkte enthalten. 

Zum Beweise unseres Theorems nehmen wir an, die gegebene 
Curve (C„) sei 

auf ihr mögen die Punktgruppen 



Gq 


und 


Gr 


durch 


A = , 


Gq 


77 


Gr- 


>} 


B = , 


Gq. 


>} 


Gr 


V 


a =0 



ausgeschnitten werden, wo^ = 0, B == 0, a = zu f = adjungirte 
Curven sind: wir haben zu zeigen, dass auch die Gruppen Gg. und 
Gr' auf einer adjungirten Curve liegen. Es lassen sich nämlich, wie 
sogleich nachgewiesen werden soll, immer zwei adjungirte Curven 

^ = 0, y = 

finden der Art, dass identisch die Gleichung 

(1) a.B = ß.A-j-Y./- 

besteht. Es enthält dann ausser den singulären Punkten von f die 
(zerfallende) Curve 

a . B = die Punktgruppen Gq, Gq-^ Gr, Gr< , 

y.f =0 „ „ „ Gq, Gq-, Gr, Gr-, 

und A = „ „ „ Gq, Gr', 

folglich muss, damit ß . A iüv alle gemeinsamen Verschwindungspunkte 
von a . B und y . / Null sei, ß = die Gruppen Gq- und Gr' enthalten, 
w. z. b. w. 

Dass die Identität (1) in der That immer hergestellt werden kann, 
ergibt sich, weil das Product a . B alle Bedingungen erfüllt, an welche 
nach einem früher von uns behandelten Satze von Nöther*) die 
Möglichkeit geknüpft ist, dasselbe auf die Form der rechten Seite zu 
bringen; denn es verschwindet für alle gemeinsamen Punkte von 
A==0 und /■= 0, und zwar (2 i — 2) -fach in jedem 2- fachen Punkte 



• *) Vgl. p. 341. Wir haben in dein dort gegebenen Satze nur f durch a . B, 
tp durch A, tp durch f zu ersetzen und r = i, q =^ i — 1 zu nehmen. — Hierin 
liegt auch der Grund, weshalb man sich bei diesen Untersuchungen auf adjun- 
girte Curven beschränkt. 

Clebsch, Voilesungeu. 28 



434 • Vierte Abtheilung. 

von / = 0, während ^ = in einem solchen einen (i — 1) - fachen 
Punkt hat. Wegen der Identität (1) muss nun ferner das Verhalten 
von ß . A gegenüber y . /, dem von u . B vollkommen analog sein, 
ß = also in jedem *- fachen Punkte von / (/ — ])-fach verschwin- 
den, ohne die Zweige von / zu berühren, d. h. eine adjungirte Curve 
darstellen, w. z. b. w. 

An Stelle von B = können wir nun eine Schaar von Curven 
B = treten lassen , welche alle durch Go gehen , indem wir die 
Coefficienten von B als abhängig von einer Anzahl Parametern 
betrachten. Diese Curven schneiden auf f ein System von beweglichen 
Punktgruppen Gjf aus. Ist dann A = eine feste Curve, welche 
durch GiQ und ausserdem durch eine Gruppe Gr geht , « = dagegen 
eine feste Curve, welche durch Gß iind ausserdem durch eine dritte 
Gruppe Go' geht; und soll dann wieder die Identität (l) bestehen: so 
muss ß = offenbar eine zweite Schaar von Curven darstellen,- welche 
alle durch die festen Punkte Gq- hindurchgehen und auf f = das- 
selbe System von beweglichen Punktgruppen Gji^ ausschneiden, das wir 
vorhin durch die Curvenschaar ^ = bestimmt hatten. Und es muss, 
wenn (1) eine identische Gleichung sein soll, die Schaar ß = die- 
selben willkürlichen Parameter in derselben Form enthalten, wie die 
Schaar B = 0. Beide Schaaren, B == und /3 = 0, sind somit in 
ihrer Beziehung zu /" = völlig vertauschbar : sie sind , wie wir uns 
ausdrücken wollen, zu einander äquivalent. Kommen in ihnen insbeson- 
dere die Parameter linear vor, so können wir dies Resultat in folgen- 
dem Satze aussprechen, den wir noch mehrfach benutzen werden: 

Bie Zahl der linear von einander unabhängigen Curven 
einer linearen Schaar von adjungirten Curven ist gleich der entsprechen- 
den Zahl für eine jede zu ihr residuale Schaar. Für die letztere darf 
'dabei natürlich nicht eine solche gewählt werden, die durch besondere 
Bedingungen specialisirt ist und in Folge dessen eine Schaar von 
geringerer Mannigfaltigkeit vorstellt. 

Als Beispiel für solche Vorkommnisse betrachten wir zwei ein- 
fach unendliche Curvenbüschel, wodurch wir wieder auf die Chasles- 
Jonquieres'sche Erzeugungsweise der algebraischen Curven geführt 
werden. Durch einen festen Punkt (also Q = \) einer Curve w**' 
Ordnung (C„) ohne singulare Punkte legen wir einen Strahlbüschel 
i? ^= M.r + '^ ^.^ = 5 durch welchen eine lineare einfach unendliche 
Schaar von Gn - i (== Gr') auf der C„ gegeben ist. Durch eine beliebige 
Gruppe (= G/i) dieser G,, _ i (bestimmt durch ^ e^ w^ -{- A' y^ = 0) 
legen wir eine Curve {n — 1 )*'*'■ Ordnung a = 0, was immer möglich 
ist; dieselbe schneidet die C„ noch in einer Gq-, bestehend aus 
n (n — 1) — (n — 1) = (w — 1)^ Punkten: es muss sich dann eine 
Curvenschaar /3 = so bestimmen lassen, dass wieder 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 435 

a.B = ß .A-^y./', 

d. h. durch jene Gruppe Gg- von (n — 1)^ Punkten gehen noch 
unendlich viele Curven (n — 1)*" Ordnung ß = hindurch. Die 
Gesammtheit der letzteren bildet einen zu B = äquivalenten Büschel, 
der Art, dass jeder Curve B = eine Curve ß = durch unsere 
Construction zugeordnet ist, und umgekehrt.*) Beide Büschel sind 
daher projectivisch auf einander bezogen und man kann sich also die 
Cn aus ihnen in bekannter Weise erzeugt denken (p. 376). — Dasselbe 
gilt aber auch noch, wenn die Cn vielfache Punkte hat. Den Strahl- 
büschel nämlich können wir dann zu einem Büschel von adjungirten 
Curven durch Hinzufügen einer festen adjungirten Curve P = 
ergänzen ; d. h. wir setzen : 

B = P (u^ -\- Iv^) , A = P.{u^.-{- A' v^) . 

Durch die n — 1 Schnittpunkte des Strahles u^: -{- ^' v^: = mit / = 
können wir immer noch eine adjungirte Curve (n — 1)*®' Ordnung 

a = ö.r" - ^ + A' a^" - ^ = 

legen; denn für eine solche dürfen nach Obigem mindestens 2{n — \)-\-p 
Punkte willkürlich gewählt werden. Dieselbe schneidet die Cn ausser- 
dem noch in (n — 1)^ Punkten, von denen Z'a,- i {i — 1) in die 
vielfachen Punkte der C„ fallen. Wegen der Identität (1) muss sich 
nun wieder ein zu B äquivalenter Büschel ß = bestimmen lassen, 
welcher jene {n — 1)^ Punkte zu Basispunkten ist. Hieraus folgt 
zunächst, dass jede algebraische Curve durch einen Geradenhüschel und 
einen ihm projectivischen Büschel von Curven (n — l)'*"'' Ordnung erzeugt 
Tverden kann. In ähnlicher Weise kann man verfahren, wenn der 
Strahlbüschel durch einen Kegelschnittbüschel ersetzt wird, dessen 4 
Basispunkte auf der Cn liegen. Jede Curve desselben schneidet noch 
in 2 (n — 2) Punkten; durch diese wird man aber nur eine adjungirte 
Curve (n — ^ 2)*'''^ Ordnung legen können, wenn n — 2 -\- p'^2 (n — 2) 
ist (vgl. p. 430). Andernfalls hat man einen Büschel von C„_2 zu 
construiren, welcher durch Hinzufügen einer festen Curve zu einem 
äquivalenten Büschel adjungirter Curven ergänzt wird, und dann kann 
man wieder die Identität- (1) anwenden. Es ist klar, wie man in der 
Weise weiter gehen kann zu projectivischen Büscheln m*"^^ und 
(w — my^^ Ordnung. Dabei hat man nur zu berücksichtigen, dass die 
m"^ Grundpunkte eines Büschels m>^'' Ordnung nicht von einander 
unabhängig sind, dass man also von ihnen auf der C„ nur eine 
geringere Zahl wird willkürlich annehmen dürfen, wenn auch die 
übrigen auf der C„ liegen sollen (vgl. darüber d e Jonquieres a. a. 0.). — 



*) Man weist nämlich sehr leicht nach, dass im binären Gebiete jede ein- 
deutige Transformation linear sein muss. 

28* 



436 Vierte Abtheilung. 

Aus den letzten Beispielen ist ersichtlich^ wie man die Sätze 
über Schnittpunktsysteme adjungirter Curven für Punktgruppen ver- 
werthen kann, die durch nicht adjungirte Curven ausgeschnitten 
werden, indem man letztere durch Hinzufügen fester Curven zu ad- 
jungirten ergänzt. Begründet ist die von uns eingehaltene Beschrän- 
kung aber wesentlich darin, dass für adjungirte Curven die Iden- 
tität (l) immer angenommen werden kann, und dass die Schnittpunkt- 
systeme solcher Curven auch für andere , später zu • entwickelnde 
Theorien von besonderer Wichtigkeit sind. 

Wir beschränken uns nun im Folgenden auf die Betrachtung der 
linearen Schaaren von Punktgruppen. Zur Abkürzung führen wir für 
sie folgende Bezeichnungen ein; es bedeute: 

9^Q > v'^Qj • ' ■ eine lineare ^-fach unendliche Schaar von Gruppen zu 
je Punkten, und 

Gq^ , rj^^ , . . . eine einzelne Gruppe aus einer'solchen Schaar ^^^ , y^*^ , . . . 

Jede Gruppe in einer linearen Schaar ^^ ist offenbar durch q will- 
kürlich zu wählende Punkte eindeutig festgelegt; die übrigen Q — q 
Punkte einer Gruppe der Schaar sind dadurch mit bestimmt. Da nun 
aber nach unserem Fundamentalsatze über Schnittpunktsysteme von 
Curven w*^' Ordnung auf der C„ 

für m > n — 3 höchstens p , 

für m = n — 2 — r höchstens p — 1 — 4- (r -f- 2) (r — 1) 

durch die übrigen bestimmt sind, so haben wir den Satz: 

Zwischen den Zahlen ^, Q einer durch Curven w^"' Ordnung auf 
einer Curve vom Geschlecht p aufgeschnittenen Schaar ^^^ besteht die 
Relation: 

im m '> n — 3 : q'^Q — p ^ * 

für m = n — 3 — r : g- > ^ — j9 -f 1 4- ^ (r + 2) (r — 1) . 

Von besonderer Wichtigkeit ist aber — wie spätere Anwendungen 
lehren werden — der Umstand, dass sich dieser Satz i\\r m <n — 3 
umkehren lässt. Wir brauchen dies nur für m = n — 3 nachzu- 
weisen; denn wir haben nirgends vorausgesetzt, dass die adjungirten 
Curven nicht zerfallen, und daher kann jede Schaar von Curven 
niedrigerer Ordnung durch Hinzufügen fester Curven zu einer solchen 
von Curven (n — 3)*'^'^ Ordnung ergänzt werden, üeberdies sind diese 
Curven für das Weitere, besonders für die eindeutigen Transforma- 
tionen, von grösster Wichtigkeit. Wir sprechen deshalb zunächst die 
Schnittpunktsätze noch einmal für sie besonders aus: 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 437 

Von den 2 p — 2 Schnittpunkten einer adjungirten Curve (n — 3)''"" 
Ordnung sind, ivenn p > \ höchstens*) p — l durch die übrigen p — l 
Punkte bestimmt; und zwischen den Zahlen q, Q einer durch solche 
Curven ausgeschnittenen Schaar besteht die Gleichung \ 

q>Q~P + '^- 

Die nunmehr zu erweisende Umkehr der letzteren Behauptung 
ist die folgende : 

Eine q-fach unendliche lineare Schaar g\f von Gruppen zu Je Q 
Punkten kann immer dann durch eine Schaar von adjungirten Curven 
(n — 3}''^'' Ordnung ausgeschnitten werden , wenn 

(2) q^O — p -\- \ , also Q — q^p — l. 

Es sei bemerkt, dass unter den :^ Punkten jeder G^^^ sich auch solche 
befinden können, die für alle Gruppen der g^^^ dieselben sind. Für Q 
ist uns eine obere Grenze durch die Bedingung 

^0£2p-2 

gegeben ; denn in so viel beweglichen Punkten kann eine C,, _ 3 über- 
haupt nur schneiden. Diese Bedingung ist jedoch auf den Gang des 
Beweises ohne Einfluss; und gerade aus diesem Umstände werden wir 
eine bemerkenswerthe Folgerung ziehen. 

Zunächst ist sofort klar, dass der Satz richtig ist für q = 
(also Q <p— 1) ; denn durch eine vollständig bestimmte einzelne 
Gruppe von p — 1 oder weniger Punkten kann immer eine adjun- 
girte Curve (n — 3)*®' Ordnung gelegt werden. Ebenso sieht man 
die Richtigkeit des Satzes für q =1 (also Q < p) leicht ein. Denn 
für = p und m > n — 3 würden im Allgemeinen p Punkte durch 
die übrigen, hier festen Punkte bestimmt, dieselben können also nur 
für m^n — 3 beweglich sein. Liegen aber die festen Punkte der 
schneidenden C,„ so, dass sie die weiteren p Punkte nicht bestimmen, so 
construiren wir in folgender Weise einen äquivalenten Büschel (n — 2)*^'^ 
Ordnung von besonderer Art. Wir legen durch eine der beweglichen 



*) Das Wort „höchstens" ist z. B. wegen des folgenden Falles nöthig: Man 
nehme auf einer C5 mit 2 Doppelpunkten (p = 4) p — 1 = 3 Punkte in einer 
Geraden durch einen der Doppelpunkte an; eine andere Gerade durch den an- 
dern Doppelpunkt ergänzt dann erstere zu einem adjungirten Kegelschnitte 
(C„_3); ihre p — 1 = 3 Schnittpunkte sind aber durch die jener Linie nicht be- 
stimmt, sondern bilden noch eine g^^\ Nimmt man die p — 1 == 3 Punkte jedoch 
so an, dass zwei auf einer Geraden durch den einen, einer auf einer Geraden 
durch den andern Doppelpunkt liegen, so sind dadurch die übrigen 3 Schnitt- 
punkte wieder bestimmt, — Bei Curven mit p = oder p = 1 gelten ähnliche 
Sätze für Curven {n — 2)tei Ordnung. 



438 Vierte Abtheilung. 

G^^"* eine C„_2, die in eine Gerade A und eine Cn-i zerfällt, so dass 

letztere durch p — 1 von den Punkten der G^^^ bestimmt wird und die 

p 

C„ noch in p — 1 anderen Punkten Fp _ i trifft, während die Gerade A 
beliebig durch den 7?*®° Punkt a hindurchgeht, und die C,, noch in 
n — 1 weiteren Punkten F» _ 1 schneidet. Letztere Gruppe F„ _ 1 
bildet dann zusammen mit der Fp^i das System von Grundpunkten 
für den äquivalenten Büschel von C,j _ 2 , welcher die ff ^^^ ausschneidet. 
Die Gerade A ist aber allen diesen Curven 6'„_2 gemeinsam, und also 
bleibt ein Büschel von C„_3, durch welches die ^^'' ausgeschnitten 
werden muss. Insbesondere muss auch, wenn dies für alle anderen 
Gruppen der Schaar eintritt , die bei unserer Construction benutzte 
Gp auf einer 6'„_3 liegen; und somit folgt, dass von den p — 1 
Punkten der Fp ^ i einer in den Punkt a hineinfällt. Wir können 
dies Resultat (0 = p, «?= 1) in folgender Weise aussprechen: 

Wenn ein Büschel von adjungirten Curven eine g^^^ bestimmt , d. h. 
in p beweglichen Punkten schneidet, so liegt jeder Punkt einer einzelnen 
G'p ' der Schaar mit den p — 1 anderen Punkten auf einer Cn-z, und 
diese Curven C„ _ 3 bilden einen zum ersten Büschel äquivalenten Büschel. 

Für q = \, <i p endlich ist die Richtigkeit unseres obigen 
Theorems wieder evident, denn durch p — 1 oder weniger Punkte 
kann man immer eine Cn-3 legen ; und somit ist hier die Construction 
eines äquivalenten Büschels von C„_3 selbstverständlich. 

In ähnlicher Weise kann man den Beweis überhaupt führen, 
indem man von einer g^oZl^ zu einer g^^ aufsteigt. Wir brauchen 
also nur noch zu zeigen, dass der Satz richtig ist für jede Schaar g^^\ 
wenn er richtig ist für Schaaren g^^ZW immer vorausgesetzt, dass 
q^ — p — 1 , und zwar nehmen wir ^ > 2 an , da wir die Fälle 
^ = und q = l schon erledigt haben. 

Zu dem Zwecke fassen wir einen beliebigen festen Punkt a ins 
Auge. Alle Gruppen der gegebenen Schaar g^^\ welche diesen Punkt 
enthalten, bilden noch eine gßZl\ da wir lineare Schaaren voraus- 
setzen. Diese g^Zi kann der Annahme nach durch eine oo«' — ^ - Schaar 
von C^^_^ ausgeschnitten werden, welche alle noch durch Ba=2p — 
2 — (^Q — 1) feste Punkte gehen. Wir haben nur nachzuweisen, dass 
unter letzteren Ba Punkten der Punkt a selbst mit enthalten ist; denn 
nehmen wir diesen dann wieder beweglich, so erhalten wir von selbst 
eine 001- Schaar von C„ _ 3 , welche alle durch die übrigen Ba — 1 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 439 

festen Punkte gehen, und die gegebene g^^ ausschneiden, wie es ver- 
langt wurde. 

Ist nun zunächst Ra> P — 1 j so folgt : 

Dann ist unser Satz selbstverständlich, denn wir können jedenfalls 
über einen der i?« Punkte willkürlich verfügen, ihn also mit a zu- 
sammenfallen lassen 

¥üY B^ = p — l, und also Q — l = p — 1 wird iiiv q > 2 (also 
^ — 1 > 1) unter den 00*?-^ Gruppen von je p — 1 Punkten jeden- 
falls eine bestimmte Zahl vorhanden sein, welche eine durch sie 
gehende 6',, _ 3 noch nicht bestimmt ; denn dies erfordert die Erfüllung 
von 2 Bedingungen.*) Durch eine solche Gruppe und den Punkt a 
können wir dann noch eine C„_3 legen, welche in ;? — 2 weiteren 
Punkten schneidet. Die letzteren bilden nach dem Restsatze zusammen 
mit a die p — l Basispunkte für einen Büschel von C„ _ 3 , welcher 
ebenfalls die von den cj^.^ bestimmte g^^Zi^ ausschneidet, q. e. d. Durch 
jede Gruppe der letzteren Schaar (von p — l Punkten) gehen also zwei, 
und somit unendlich viele C„_3, ebenso wie der Annahme nach 
durch die Gruppe von R^ = p — 1 Punkten. Hieraus folgt beiläufig : 

Wenn p — 1 Punkte so liegen , dass sie eine adjungirte Cn - 3 nicht 
bestimmen, so schneidet Jede durch sie gehende adjungirte Cn-% die C,, 
in p — 1 weiteren Punkten , durch welche ebenfalls noch unendlich viele 
Cn-z hindurchgehen. 

Wir hätten hiernach also jede beliebige Gruppe von /> — 1 Punkten 
des Büschels von 6"^/^' 3 zur Construction eines äquivalenten Büschels 
von Cn--i benutzen können. — In Folge des letzten Satzes erledigt 
sich aber auch der Fall i?„ = p — 1 für q = 2 von selbst. Nach 
demselben können wir nämlich durch irgend eine Punktgruppe von 
p — \ Punkten, in der eine durch die festen Punkte Ra gehende 
6'^/"'3 die Cn noch trifft, immer eine Cn-z legen, welche durch den 
Punkt a hindurchgeht und also wieder einen zu dem Büschel der 
(^T-% äquivalenten Büschel von anderen, durch a gehenden €„--6 con- 
struiren, wie im Falle ^ > 2. 

Für den Fall i?„ < p — 1, d. h. 

Q—l->p — \, oder — 2'^p — l , 

(der auch im Allgemeinen eintreten wird , da durch p — 1 Punkte nur 
in besonderen Fällen unendlich viele C„ _ 3 gehen) construiren wir neben 



*) Wir werden nämlich später sehen , dass man zu p — 3 Punkten immer 
2 weitere finden kann , so dass alle p — 1 eine adjungirte C^ _ 3 nicht bestimmen. 
Vgl. die VI. Abtheilung dieser Vorlesungen (Normalcurven). 



440 Vierte Abtheilung. 

der Schaar ^J"'^ eine zweite oc? - ^ - Schaar C ^^\ , welche eine o^'^~^^ 
ausschneidet und zu allen Curven der ursprünglich gegebenen Schaar 
g^^ , die durch einen beliebigen festen Punkt ß gehen, äquivalent ist. 
Wir betrachten die Punktgruppen der gegebenen g^^ welche gleich-, 
zeitig die Punkte a und ß enthalten, was für /? > 2 immer möglich 
ist. Durch die Q ~2 beweglichen Punkte einer solchen Gruppe 
können wir dann der Annahme nach 2 Curven (n — 3)'«' Ordnung 
legen, von denen eine der Schaar C^^"}^ angehört und durch ß geht, 
die andere der Schaar cj^2-ä angehört und durch a geht. Dies ist 
aber im Allgemeinen nicht möglich*), denn durch die {> — 2 (^ /? — 1) 
Punkte ist eine C„ _ 3 im Allgemeinen bestimmt. Die beiden erwähnten 
C„_3 müssen daher identisch sein, und somit jede durch beide Punkte 
•gehen. Da ferner ß völlig beliebig war, so folgt, dass jede Curve 
der Schaar C^^"^^ den Punkt a enthält, dass also letzterer unter den 
Ra festen Punkten der Schaar mit enthalten ist; q. e. d. 

Das folgende Beispiel möge den hiermit bewiesenen Satz erläutern ; 
wir behaupten: Die einzigen auf einer Curve ö*®"" Ordnung mit 2 
Doppelpunkten möglichen Gruppen ^^'^ sind die beiden oo'-Schaaren, 
welche von den durch die Doppelpunkte gehenden Strahlen aus- 
geschnitten werden. Nach unserem Satze nämlich kann jede ^3^^ durch 
adjungirte Kegelschnitte ausgeschnitten werden; soll also ein C^- 
Büschel ausser den Doppelpunkten noch 3 (= p — 1) feste Punkte 
mit der C^ gemein haben, so muss jede C.y des Büschels zerfallen. 

In dem Beweise haben wir an keiner Stelle von der Bedingung 
Q<,2p — 2 Gebrauch gemacht. Auch wenn diese nicht erfüllt wäre, 
würde dieselbe Schlussweise, und somit auch der resultirende Satz 
gelten. Weil aber adjungirte C„^^, die in mehr als 2p — 2 Punkten 
schneiden, nicht existiren, so müssen wir rückwärts schliessen, dass 
Punktgruppen G^^^ von mehr als 2p — 2 Punkten, für welche q> Q — 
/> -f- 1 ist, nicht existiren. 

Diese Bemerkung kann man zum Beweise eines wichtigen Satzes 
benutzen. Gruppen Gd, welche durch adjungirte C,,-^ ausgeschnitten 
werden, bilden mindestens eine {0 — p + l)-fach unendliche Schaar; 
also Gruppen G2P-2 mindestens eine cxjp - ^ - Schaar ; sie bilden aber 
auch höchstens eine solche. Denn bildeten sie z. B. eine cx)?- Schaar, 

*) Sollte dies doch in speciellen Fällen möglich sein, so könnte man einen 
dritten Punkt y und eine dritte Schaar C^'Ls hinzunehmen und entsprechende 
Ueberlegungen anstellen, etc. 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 441 

so könnte man, durch Hinzufügen desselben willkürlichen festen Punktes 
ß auf Cn zu jeder Gruppe der Schaar, eine Schaar 0.^^^^^ herstellen; 
eine solche kann aber zufolge der eben gemachten Bemerkung nicht 
existiren. Es gibt somit keine Schaar g^'"/!.^, und um so weniger eine 

0^!p'^-l ü- s. w. 

Es gibt also nur eine {p — \)-fach unendliche Schaar, d. h. nur p 
linear von einander unabhängige adjungirie Curven {n — S)*'''' Ordnung. 

Mit diesem Satze, dem wir später noch wieder begegnen werden, 
brechen wir die Untersuchungen dieser Art über Schnittpunktsysteme 
ab, um darauf später in Verbindung mit der Theorie der Abel'schen 
Functionen zurückzukommen, wo sie dann unter neuem Gesichtspunkte 
erscheinen und unter Anwendung neuer Hülfsmittel formal einfacher aus- 
zusprechen sind. Das hier Angeführte wird zunächst genügen, um emen 
Einblick in die von Brill und Nöther befolgte Methode zu gewähren. 

VIII. Fortsetzung. — Das erweiterte Correspondenzprincip. 

Mit den letzten Betrachtungen nicht in unmittelbarem Zusammen- 
hange steht ein für die Geometrie auf einer Curve nicht minder 
wichtiger Satz, das sogefiannte erweiterte Correspondenzprincip, zu dessen 
.Aufstellung wir uns wenden. Dasselbe ist eine von Cayley an- 
gegebene, von Brill bewiesene Verallgemeinerung des auf der Geraden 
gültigen und uns bekannten (vgl. p. 210) Chasles'schen Correspon- 
denzprincips für eine beliebige Curve. Von dem Chasles'schen 
Principe ist dasselbe für Curven vom Geschlecht Null nicht verschie- 
den; es kommt eben nur ein vom Geschlechte der Curve (C,) ab- 
hängiges Glied zu der von jenem gegebenen Zahl hinzu, so dass auch 
hier wieder die hohe Bedeutung des Geschlechtes für eine Curve 
hervortritt.*) Die zahlreichen Probleme, deren Erledigung mittelst 
dieser allgemeineren Correspondenz formet gelingt, und von denen wir 
einige weiterhin bezeichnen, werden ein näheres Eingehen auf den 
Gegenstand hinreichend rechtfertigen. 



*) Das Princip wurde zuerst ohne Beweis von Cayley ausgesprochen: 
Comptes rendus, t. 62, p. 586; ausführlicher in: On the correspondence of two 
points on a curve, Proceedings of the London math. society, vol. 1. 1866 (Be- 
weis für einen speciellen Fall) und mit zahlreichen Anwendungen in: Second 
memoir on the curves, which satisfy given conditions, Philos. Transactions of 
the R. Soc. London, vol. 158, 1868. Einen algebraischen Beweis zugleich für 
eine allgemeinere Formel gab Brill: Ueber Entsprechen von Punktsystemen auf 
einer Curve, Math. Annalen, Bd. VI, p. 33, 1873. und mehr geometrisch: Ueber 
die Correspondenzformel, ib. Bd. VII, p. 607, 1874. — Die Gültigkeit seines 
Princips für Curven vom Geschlechte Null benutzte schon Chasles: Comptes ren- 
dus, t. 62, p. 584, März 1866. 



442 Vierte Abtheilung, 

Die Gleichung der betrachteten Curve (C„) von der Ordnung ?i 
und dem Geschlechte p sei : 

(1) nx) = o; 

und zwar setzen wir sie zunächst ohne Doppel- und Rückkehrpunkte 
voraus. Es sei ferner eine Gleichunsr: 

(2) (p (x, y) = 

gegeben, vermöge deren jedem Punkte x der Ebene eine Curve 5*" 
Ordnung, jedem Punkte y eine Curve r*" Ordnung entspricht. Auf 
der Curve f haben wir dann, wenn gleichzeitig 

r(x) = und /•(y) = 0, 

eine Correspondenz, vermöge deren jedem Punkte y der Curve a = rn 
Punkte X und jedem Punkte x derselben b = sn Punkte tj zugeordnet 
sind. Dabei soll zunächst vorausgesetzt werden, dass nicht alle be- 
tveglichen (zu y {bez. x) gehörenden) Curven dieselben festen Punkte 
gemein haben*), dass also die a bez. b Punkte sämmtlich mit y bez. 
X beweglich seien. Die Curve (r -|- s)*°'' Ordnung 

r s 

(3) fp {x, x) = 

stellt nun den Ort eines Punktes dar, für welchen die ihm ent- 
sprechende Curve durch ihn selbst hindurchgeht. Sie schneidet auf /* ' 
daher {r -{- s) n = a -{- b Punkte aus, für welche einer der y corre- 
spondirenden Punkte x m y fällt, oder umgekehrt. Diese a -\- b 
Punkte nennen wir die Coincidenzpnnkte der Correspondenz (p] die 
Correspondenz selbst werden wir, insofern sie in Bezug auf / betrachtet 
wird, kurz durch {a, h) bezeichnen. 

Diese Betrachtung verliert jedoch ihre Gültigkeit, wenn die 
Gleichung (3) vermöge / {x) = und f {y) = Q für jeden Punkt x 
oder y von / erfüllt ist**), d. h. wenn von den Schnittpunkten der 
einem Punkte x entsprechenden Curven einer oder mehrere, sagen wir y, 
in X selbst hineinfallen, und von den Schnittpunkten der zu y gehören- 
den Punkte d in y liegen. Es kann dies dadurch eintreten, dass die 
betreffende Curve in x eine {y — 1) -fache Berührung mit f hat, d. h. 
y unendlich benachbarte Schnittpunkte, oder einen y- fachen Punkt, 
oder einen ^-fachen Punkt und y — q successive Schnittpunkte, wobei 
sich die letzteren noch in verschiedener Weise auf die q Zweige der 
Curve (p vertheilen können. Wir sagen in allen diesen Fällen, die 



*) In Betreft dieser Fälle sei auf den Abschnitt über eindeutige Transforma- 
tionen in der 6teii Abtheilung dieses Bandes verwiesen. 

**) Dies tritt z. B. ein, wenn (p = 'xp [x) ■ % [y) — % {x) ■ ip (y) ist, oder wenn 
qp für X = y eine Potenz von /" zum Factor erhält. 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 443 

Curve habe mit / einen „y-werthigen Schnittpunkl in x = //". Ana- 
loges gilt für y und d. Es ist aber sehr wichtig, dass immer 

(4) r = ö 

sein muss. Denken wir uns nämlich aus (p {x, y) = mit Hülfe von 
f(^x)=0 eine der Coordinaten Xi von x, etwa a:,, eliminirt, so muss 
in der Eliminationsgleichung, da sie für Xi = yi y-fach verschwindet, 
der Factor x^y^ — x^yi y-mal auftreten. Eliminirt man dann noch 
^3 mittelst f (y) = 0, so enthält die Resultante diesen Factor wy-mal. 
Dasselbe Resultat muss sich aber ergeben, wenn man umgekehrt erst 
?/3 und dann x^ eliminirt, wodurch jener Factor m d-mal vorkommen 
würde. Daher hat man in der That y == d. Die Zahl y zeigt sich 
für diB Correspondenz tp charakteristisch; wir werden eine solche mit 
einem j^-werthigen Punkte in x durch (a ■— y, b — y)y bezeichnen, 
oder durch (k, ß)y, wenn a — y == a, b — y = ß gesetzt wird. 

Unsere Aufgabe ist es nun, anzugeben, wie oft noch ein (j'-f-l)*'"" 
Schnittpunkt der zu x gehörigen Curve mit x zusammenfällt, d. h. 
wie oft in der Correspondenz (a — y, b — y)Y ein Punkt y mit einem 
entsprechenden x zusammenfällt. 

Zu dem Zwecke betrachten wir zunächst für y = gleichzeitig 
zwei Correspondenzen («, &) und («', 6'): 

r i- r a' 

und fragen nach der Zahl der Punktepaare x, y auf /, welchjB 
gleichzeitig beiden Correspondenzen genügen.*) Nun entsprechen 
jedem Punkte y der Ebene die rr Schnittpunkte x der ihm zugehörigen 
Curven g) = 0, «p' = 0; ebenso sind jedem Punkte x der Ebene ss 
Punkte y zugeordnet. Bewegt sich y auf einer Geraden, so durch- 
laufen die entsprechenden rr Punkte x, wie wir bei einer anderen 
Gelegenheit sahen (p. 387), eine Curve der Ordnung rs -{- sr, also 
wenn y unsere Curve f beschreibt, durchlaufen sie eine Curve von 
der Ordnung 

(5) n {rs -{- sr) . 

Jeder Schnittpunkt x der letzteren mit f wird mit einem auf f liegen- 
den Punkte y ein Paar der gesuchten Art geben. Die Zahl der zwei 
Correspondenzen («, b'), («', b') zugleich genügenden Punktepaare auf 
f ist daher gleich 

(6) w^ {rs' -f- sr) = ab' -\- ba' . 

Zeigen die Punkte x und y zu jeder der beiden Correspondenzen 
ein symmetrisches Verhalten (wofür nothwendig a == b, a' = b'), so 

*) Das Verhalten dieser Aufgabe zu der vorhergehenden ist analog demjeni- 
gen der Bestimmung des Grades der Resultante zweier Gleichungen zu der Be- 
stimmung des Grades der Discriminante einer Gleichung. 



444 Vierte Abtheilung. 

ergibt das angeführte Verfahren dieselbe Curve der Ordnung n {rs'-{-sr'), 
wenn wir y, und wenn wir x auf der Curve / wandern lassen; jeder 
Schnittpunkt mit / trägt daher zweimal zur Bildung eines Paares bei. 
Die Zahl der gesuchten Paare ist also gleich der Hälfte der eben gefun- 
denen Zahl: r == aa ==hb'. 

Eine Reduction ist jedoch an obiger Zahl ah' -]-hd anzubringen, 
wenn eine oder jede der beiden Correspondenzen einen mehrwerthigen 
Punkt in x = y hat, und wenn man dann die Anzahl von getrennt 
liegenden Punkten x,y auf / angeben will, welche beiden genügen. 
Wenn nämlich etwa cp' einen /-werthigen Punkt besitzt (also für rp' 
beim Wandern von x auf / immer / Punkte y mit x vereinigt lie- 
gen), so genügt ein aus zwei solchen benachbarten Punkten x,-y be- 
stehendes Paar zugleich der Correspondenz cp an denjenigen a -{- b 
Stellen von f, wo Coincidenzen von tp stattfinden, und zwar an jeder 
solchen Stelle /-fach; wir haben daher y (a -\- b) abzuziehen. Die 
Anzahl der getrennt liegenden Punktepaare, welche zwei Correspondenzen 

{a, b) und {d — y , h' — y')^ 

gleichzeitig genügen, ist also gleich 

(7) a{b' ~y')J^b{d -y'^. 

Die weitere Reduction, welche eintritt, wenn rp zugleich einen 
j'-werthigen Punkt m x = y hat, d. h. wenn die Correspondenzen 

9^ = (« — y ; ö — y)y , cp ={d — y ,b' — y')y 
gegeben sind, bestimmen wir durch folgenden Grenzprocess. Wir 
denken uns zunächst die eine Correspondenz, etwa tp, ein wenig de- 
formirt (d. h. die Coefficienten der entsprechenden Gleichung g? = 
sehr wenig geändert) in eine andere 

welche dann m x ^ y keinen ein - oder mehrwerthigen Punkt besitzt, 
dagegen y diesem benachbarte Punkte x, bez. y auf der Cn für jeden 
Punkt y bez. x ergibt. Die Zahl der gemeinsamen Punktepaare für die 
Correspondenzen n und cp ist nun nach dem Vorigen gleich: 

ab' -\- bd — y {a -\- b) . 

Unter diesen Paaren gibt es noch solche, welche aus zwei nahe 
benachbarten Punkten x, y bestehen und, indem diese Punkte zu- 
sammenfallen, zu einer weiteren Reduction unserer Zahl Veranlassung 
geben, sobald die Deformation von (p m 7t rückgängig gemacht wird. 
Diese Paare sind zu finden. 

Wir betrachten einen Coincidenzpunkt G der Correspondenz cp' 
näher, d. h. einen Punkt, in dem / + 1 Punkte x = y von (p liegen. 
Während sich x dem Punkte G nähert, rückt der mit ihm später 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven, 445 

coincidirende Punkt y zunächst in die Nähe von x, fällt, wenn x G 
erreicht, mit x zusammen und entfernt sich wieder von x, wenn x 
sich von G entfernt. Während also x durch einen Coincidenzpunkt 
von (p geht, durchläuft y alle zu x benachbarten Punkte von /, indem 
der eine Punkt den andern gewissermassen einholt und dann über ihn 
hinaus eilt. Unter den benachbarten Punkten von x sind aber auch 
die y Punkte, welche aus dem y-werthigen Punkte von (p in Folge 
unserer Deformation entstanden: auch jeden dieser y Punkte muss 
daher, wenn x durch einen Coincidenzpunkt G von cp' geht, der coin- 
cidirende Punkt y einmal passiren. Für jeden Punkt G entstehen da- 
durch y aus nahe benachbarten Punkten x, y gebildete Paare, welche 
zugleich den Correspondenzen qp' und n genügen, und welche bei 
Aufhören der Deformation von cp eine entsprechende Reduction der 
Zahl ah' -\- bd — ?' {a -\- h), hervorrufen.*) Ist also C' die Zahl der 
Coincidenzpunkte von cp\ so bleiben 

(8) {cp(p) = ab' -\-bd — y {a-\-h) — yC' 

Paare von getrennt fallenden Punkten x,y, die den Correspondenzen 
tp und (p zugleich genügen. 

Nun verfahren wir aber unsymmetrisch, wenn wir die eine Corre- 
spondenz q) deformiren; hätten wir statt dessen (p deformirt, so wür- 
den wir die Formel 

(9) {(p(p) = dh + b'a — y {a -f b') — y'C 

erhalten haben, wo C die Anzahl der Coincidenzpunkte der Correspon- 
denz (p bedeutet. Da die beiden Werthe für (95 9') einander gleich sein 
müssen, so erhält man durch Vergleichung: 

CIO) C-{a-y)-{b-y) ^ C - ja - y') - (b' - y) _ 

Dieser Quotient hat für 99 dieselbe Form, wie für cp' und muss 
daher von der speciellen Natur der Correspondenz ganz unabhängig 
sein; er kann durch irgend eine Correspondenz, für welche die Zahl 
C anderweitig bekannt ist, bestimmt werden. Nehmen wir z. B. die 
Correspondenz zwischen dem Berührungspunkte y einer Tangente der 
Cn und ihren anderen n — 2 Schnittpunkten x mit der C„, für welche 
C gleich der Anzahl der Wendepunkte von /, also gleich 3 n (n — 2) 
ist. Hier haben wir 

a = n, b = n {n — 1), y = 2 , 



*) Die Schlussweise des Textes würde zunächst nur für reelle Punkte gelten. 
Man kann jedoch den gemachten Grenzprocess auch algebraisch verfolgen, wo- 
durch sich dann auch imaginäre Vorkommnisse erledigen; vgl. Brill, Math. 
Annalen, Bd. VI, a. a. 0. 



44G Vierte Abtheilung. 

und also den Werth des Quotienten gleich (n — 1) (n — 2) , gleich 2p. 
Daher hat man die Correspondenz formet: 

(11) C={a- y) +.(6 - y) + 2 y/> , 
und ferner durch Substitution: 

{cp cp') = (« — y) (^;' _ y') _|_ (^, _ y) (a' __ y') _ 2 py/ . 
Setzt man noch: 

a — y = a\ d — y = d ^ 
b-y = ß', b'~y'=^ß', 

wo dann also a die Zahl der vermöge der Correspondenz cp dem Punkte 
ij entsprechenden nicht mit y zusammenfallenden Punkte x ist, u. s. w., 
so haben wir den Satz:*) 

Die Anzahl der Coincidenzpunkte einer Correspondenz (p = (a, ß)y 
auf einer Curve vom Geschlecht p (zunächst ohne Doppelpunkte etc.) ist: 

(12) (?=a + ^ + 2py; 

und die Zahl der den beiden Correspondenzen cp = («, ß)y, tp = («', ß'^y 
zugleich genügenden Punktepaare x, y ist: 

(13) {(ptp') = aß' + ßd — 2pyy. 

Von der letzteren Zahl ist wieder nur die Hälfte zu nehmen, wenn 
cp und cp ein völlig symmetrisches Verhalten zeigen, wie früher für 
den Fall y = y = {) schon ausgeführt wurde. — 

Wir stellen uns nunmehr die Frage, wie die Coincidenzpunkte 
einer Correspondenz algebraisch durch ein Eliminationsverfahren zu 
bestimmen sind. Wir werden insbesondere zeigen, dass sich immer 
eine Curve angeben lässt, welche die Coincidenzpunkte C auf / aus- 
schneidet, dass also die Coincidenzpunkte immer das vollständige Schnitt- 
punktsystem von f mit einer anderen Curve bilden. Diese Curve möge 
zunächst für die einfachsten Fälle y = 1 und y = 2 wirklich gebildet 

r .1 

werden; für y = ist sie ja direct durch cp (x, x) = gegeben. 
Es sei also erstens y = 1. Wir setzen symbolisch: 

(14) f=a^» = b^» = ..., (p = ajßy' = djß'/ = .~. . , 

so dass in cp erst je r Symbole « zusammen mit je s Symbolen ß eine 
wirkliche Bedeutung gewinnen. Der Annahme nach haben wir: 

(15) ttj'ß^' = 0, (eventuell vermöge /== 0) ; 



•) Es sei besonders hervorgehoben, dass die gefundenen Formeln ihrer Ab- 
leitung nach nur angewandt werden dürfen, wenn die Correspondenz zwischen 
den Punkten x und y durch eine Gleichung qp = darstellbar ist, d. h. wenn 
die a = a -|- y zu ?/ gehörigen , sowie auch die h = ß -\- y zw x gehörigen Punkte 
durch eine bewegliche Curve ausgeschnitten werden. 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 447 

und es soll sein für y = x -{- dx: 

(16) aarß.'-'ßäa: = 0, aj^-^a,^ = 0. 

Um zwischen beiden Gleichungen die Differentiale dx; in symmetrischer 
Weise elirainiren zu können, sei bemerkt, dass man zwischen den x,-, 
um ihnen absolute Werthe zu ertheilen, immer eine Gleichung der Form 

annehmen kann, wo die ki Constante bedeuten. Hieraus ergibt sich 
dann als dritte Gleichung: 

(17) kydx^ -f- k^dx^ -\- k.^dx^ = . 

Aus ihr und den Gleichungen (16) kann man nun die dx elirainiren 
und findet die Bedingung: 

(18) {aßk) aj'-^a/ßj-^ = 0. 
Aber statt (16) hätte man auch die Gleichungen: 

(19) ocj-'ßjccda: = 0, a^—^ai^ = Q 
zu Grunde legen können; es ist also auch 

(20) («aA:)a.,"-ia,'-i/3^' = 0. 

Hieraus schaffen wir die A,- durch Anwendung der Identität (p, 283): 

{aak) ß^ = {aßk) a^ + {ßak) a^ + {aaß) k^ 

fort; denn wegen (18) und wegen /"= geht dann (20) bis auf den 
Constanten Factor k^ über in 

(21) {aaß) aj -/ ß^^ - ' a^- - ^ = , 

und diese Gleichung stellt die gesuchte Curve dar. Die Zahl ihrer 
Schnittpunkte mit / ist in der That gleich: 

nr -\- ns -\- n {n — ?>) ^ nr — \ -\- ns — 1 + 2/? . 

Es sei zweitens y = 2] und zwar möge dies zunächst dadurch 
geschehen, dass die zu x gehörige Curve in x und ebenso die zu y 
gehörige in g einen Doppelpunkt hat; d. h. dass unabhängig von den z: 

(22) a^'ß.^-'ß.^O, a^'~'ßja, = 0. 

Wir fragen nach den Punkten x, in denen ein Zweig des Doppel- 
punktes die Curve f berührt, d. h. für welche 

(23) aJß^s-2ß^j^Q^ a^"~^a^^ = 0. 

Die Elimination der dx aus diesen Gleichungen und (17) ergibt: 

(24) (ßak) (ßbk) a^rß^s-2aj>-ib^n-i^o^ 
Statt (23) hätte man aber auch die Gleichungen: 

(25) «,.'• '^aaJ ß.^ = , a^" - i «,,, = 



448 Vierte Abtheilung. 

zu Grunde legen können; es ist also auch: 

(26) {aak) (ab/c) aj-^ßja^—^bj'-^ = . 

Es sei ferner bemerkt, dass auch die Gleichungen (18), (20) und (21) 
-wegen (22) für jeden auf / gelegenen Punkt x erfüllt sind. — Zur Fort- 
schaffung der ki aus (24) wenden wir die Identitäten an: 

{ßak) a^ = {ßaa) k^^ + (/3aÄ-) «^ -j- {aak) /3.^ , 
{ßhk) a^ = {ßba) k,, + {ßak) b., + {abk) /3., . 

In dem entstehenden Ausdrucke verschwinden die Glieder mit den 
Factoren a^, b^ wegen /= 0, das mit ß,^^ wegen (26); es bleiben eia 
in kj^ und zwei in /r^ /3^ multiplicirte Glieder. Die letzteren sind 
wegen der Vertauschbarkeit von a und b bis auf gemeinsame Factoren : 

{aak) {ßba) ß^ + {ßaa) {abk) ß^ = 2 (aak) (ßba) ß^ . 

Für den rechts stehenden Term benutzen wir die Identität: 

{aak) bcc = (ccab) k^ -\- {abk) a^ -f- {bak) «^ . 

In dem entstehenden Ausdrucke verschwindet das zweite Glied wegen 
f=0, das dritte wegen der Gleichungen (22). Der Ausdruck (24) 
geht also, abgesehen von dem Factor kj^, über in: 

p= {aßb) {{aßa) b^ -\- 2 {aab) ß^} aJ-^ßJ-Hj^-^aJ'-K 

Diesen können wir noch symmetrischer schreiben; es ist nämlich: 

{aab) ß^ = {aßb) a^ + (ßab) a^ + {aaß) b^ , 

und also, indem sich die übrigen Glieder fortheben: 

P=(aßb) {iaab)ß^-j-{ßab)a^} a^—Hj^-^aJ-^ßJ-K 

Hierin können wir noch a und b vertauschen und die Summe beider 
Ausdrücke bilden. An Stelle von {aßb) a^ tritt dann der Factor: 

^ {{aßb) a^ - {aßa) b^} = -^ {{aab) ß^ — {ßab) a^} . 
Die Gleichung der gesuchten Curve ist also schliesslich: 

(27) 2P= {{aabyßj — {ßab)''a^-') aj -^ßj-^a^"-^b^"-^ = . 

Die Zahl der von ihr auf / = ausgeschnittenen Coincidenzpunkte 
stimmt mit der oben gefundenen überein. 

Eine andere Curve 'gleicher Ordnung erhalten wir bei der An- 
nahme, dass der 2-werthige Punkt in x = y durch Berührung ent- 
steht. In dem Falle treten an Stelle von (22) die Gleichungen: 

(28) aj ß^' -^ßj^ = 0, «,'• -'ß^'a,^ = 0, 
und an Stelle von (23) die Bedingungen: 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 449 

(29) «..'-/S,' - 1/3^.. + («-!) «-'■^-' - 'ßä^' = 

(30) a^"-'a^^. + (n - 1) a^— ^a^J = 

(31) k^ cPxi + k.^d'^x^ + k^d'^x^ = , 

während wieder die Gleichungen (18), (20), (21) für jeden Punkt von 
/ erfüllt sind. Man kann sich hier die dxi aus (29) und (30) in 
Function der d^Xi berechnet denken, ihre Werthe in a,^"-'^ a^-c = ^ 
und eine der Gleichungen (28) einsetzen, und aus diesen beiden Glei- 
chungen zusammen mit (31) die d'^xi eliminiren. Symmetrischer ge- 
schieht diese Elimination jedoch in folgender Weise. / 
Man füge die an Stelle von (19) tretende Gleichung: 

(32) «V-'aV.r^V + (r — 1) cc' J-^a'.J'-ß'j = 

hinzu, und eliminire aus ihr, sowie aus (29), (30) und (31) die Grös- 
sen d'^Xi. Dies gibt das Resultat: 

/3,/3., ^,/3., ^3^.. {s-l)ßa.' 
a\a\^ a\^a\. a\a\ {r~\)a\,J 
a^a^ a^a^ a.^a^ (n — 1) «,/a-2 1 

Kt /T.) ftn \j 

Diese Determinante entwickeln wir nach den Gliedern der letzten 
Verticalreihe. Alsdann verschwinden wegen der Gleichungen (18) und 
(20) zunächst alle Glieder einzeln; das Glied mit dem Factor aj'-~'^aax^ 
aber verschwindet sogar quadratisch. Letzteres ist nämlich gleich 



= 



CCx'ßa:'-^Cc'j-^ß'ja, 



(n — 1) (ßa'k) a^J . aj ßj-^a J --^ß'^' a. 



« — 2 



) 



und durch Anwendung der Identität 

{ßa k) a,ix = (ßaa} Av^ -\- (ßak) a\u- + {aa'k) ß,u- 

entsteht aus ihm eine Summe, deren einzelne Glieder je für sich 
quadratisch verschwinden. Für die beiden letzten Glieder folgt dies 
unmittelbar aus den Gleichungen (18), (20) und (28); das erste Glied 
enthält den verschwindenden Factor ka^c, und das Verschwinden des 
andern Factors ergibt sich durch Elimination der dx; aus (28) und 
ax"~^Odx = 0. Den Term mit «^"'"^«^/.r'^ als Factor können wir 
daher gegen die beiden andern Terme der Determinante fortfallen 
lassen ; die letztere reducirt sich somit auf die Summe : 

(33) {{s-'i){aak)cx'xßaJ — ir-l){ßak)ß,,a,J}ajß^.-^-'-aJ--^ß'ja^-~K 

Zur weiteren Umformung dieser Summe dienen folgende Bemer- 
kungen. Jedem Punkte x entsprechen unserer Annahme nach die 
Punkte X und x -f- dx'^ umgekehrt müssen daher dem Punkte x -j- dx 
wieder die Punkte x -\- dx und x entsprechen, d. h. neben (28) besteht 
noch die Gleichung: 

Clebs ch , Vorlesungen. 99 



H— 1. 



450 Vierte Abtheilung. 

(34) «.'•-^«d.^^-^^,/. = 0. 

Da ferner in unserm Falle, wie oben bemerkt (p. 446), der Ausdruck 
ccx^'ßx identisch Null ist oder den Factor / hat, so ist auch vermöge 
/=0 und df = 0: 

(35) s .a^'-ßj-^ß.f.-^-r .a^^-'ß^^aa^ = 0, 
oder wegen ff^"- ^«^^r = 0, kdx = 0: 

s . (ßak) a^"- ß^' -i a^" - ' = — r .-{aa/c) ccj-'^ß:c'aj'-^ . 

In Folge dieser Gleichung kann man aus (33) einen gemeinsamen 
verschwindenden Factor absondern. Vertauscht man noch im zweiten 
Gliede die gestrichenen Buchstaben mit den nicht gestrichenen, so 
erhält man also als das Resultat der Elimination der d'^xi aus (29), 
(30), (31): 

(36) [s {s - 1) ßa.-^aj -^^ r {r - 1) a.jßj) aj-^ßj-^ = . 

Die Elimination der dXj aus dieser Gleichung und aus «/'— %^^ = 0, 
hiia: = gibt also : 

0={sis-\){ßak){ßbk-)aJ-]-r{r—\){aak){ahk-)ßJ']aJ-^ßJ-'^aJ'--'b 

oder, wie wir kurz schreiben wollen: 

(37) s (s _ 1) . Hl + r (r - 1) . n2 = . 

Zur Fortschaffung der ki wenden wir im ersten Gliede die Iden- 
titäten an: 

{ßak) cc^~ = ißaa) A-^ + (ßak) a^ -j- {aak) ß^^ , 
{ßbk) a^ = ißbtt) k^ + {ßak) b^ + {abk) ß^ . 
Es wird dann wegen /"= 0: 

\], =- {aßa) Qaßb) a^--^ß^^-^a^"-H^"-^ . kj -f K, -{- 2 k^ . K, , 
wenn: TJ ^ = (ßaa)' (abk) a:^''-^ ßj-^ Ua:"-^ b^"-^ . 

Letzteren Ausdruck formen wir nochmals mittelst der Identität 
(ßaa) k^ = {ßak) a^ — (ßcck) a^ — {aak) /3^ 

um. Von den drei dann entstehenden Gliedern verschwindet das 
erste wegen (34), das zweite wegen /"== 0, das dritte ist gleich — TTj; 
und also wird, wenn S den Factor von kj bezeichnet: 

(38) Hl + Hj = 5- . kJ . 

Um auch die Differenz TT, — TTj zu bilden, benutzen wir für TT^ 
folgende Identität (IV, p. 283) 

2 (ßak) (ßbk) a^b^ = {ßakf bj + {ßbkf aj - {abky ßj 
- {abßY kJ + 2 {ßab) {abk) k^ß^ . 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 451 

Setzt man dies in TTj ein, so bleiben nur die letzten beiden Glieder 
der rechts stehenden Summe. Es wird also bis auf die Factoren 
ccJ-^ßx^'^^aJ'-^b^"-^ der Ausdruck TT, gleich 

— \ (abßy aj . kj -{- (ßab) (abk) ß^^aj . Ä:^, 
und ebenso bis auf dieselben Factoren TTj gleich 

- I (abay ßj . kj + {aab) {abk) ß,/3.,2 , ^^ , 

Bei Bildung der Differenz benutzen wir für die letzten beiden Glieder 
die Identität: 

(iß ab) a^ — {aab) ß^ = (ccßa) &^ — [ccßb) a^ . 

Wegen der Vertauschbarkeit von a, b und wegen des Factors {abk) 
können wir für die rechts stehende Differenz 2 {aßa) b^ schreiben. 
Den so umgeformten Factor von k,^ in TT, — TTj wollen wir für den 
Augenblick mit 2 X bezeichnen. Derselbe lässt sich auf TT, und TT.^ 
zurückführen. 

Die Form (a/3a) a^.'" - ^/3/- 'ff^."- ^ nämlich ist für unsern Fall 
identisch Null oder hat f = a^" zum Factor; jedenfalls ist also auch 
vermöge f =0 und df =0: 

{aßa)aJ-'-ßJ-^a^^-^[r—\)ß^a^aaa:Ms-'^y.-axßd.-\-{n-^)^^■ß:^aa.}=0. 

Ersetzen wir aber hierin wieder die dxi durch die ünterdeterminanten 
[bk)ibjp — ^ , so wird der Coefficient von (n — 1) gerade gleich jener 
Form X\ der Coefficient von (r — 1) dagegen wird gleich dem oben 
mit TT3 bezeichneten Ausdrucke, also sein Product mit A.^^. gleich — TTj, 
und entsprechend muss der Coefficient von {s — 1) bis auf den Factor 
kj, gleich -|- TT, werden. Wir haben sonach die Relation : 

{n — \)k,.x = {r^ 1) n2 - {s - 1) n, . 

Tragen wir dies in den für TT, — TTj gefundenen Ausdruck ein und 

bezeichnen den Coefficienten von kj' in TT, mit J,, in TTj mit T^, so 

ist also: 

{n-\){U-T],) = \kJ{n-\){T,--T,)-{-2{r-i)W,-2{s-l)T],, 

oder: 

(39) 2 (2 s + n — 3) n, — 2 (2 ;• + n — 3) Ho = kj{n — Y){T,,— T^). 

Diese Gleichung zusammen mit (38) gibt die Resultate: 

4 (r + s + n — 3) n, = ;t.,2 {2 (2 r + n — 3) 5 + 2\ - T,} 
4 (r + s + n — 3) n2 = kj [2 {2 s -^ n — ?,) S — T^-\- T^} . 

Damit ist die Absonderung des Factors kj^ aus der Gleichung (37) 
geleistet. Die Gleichung der gesuchten Curve , welche auf / = die 
Coincidenzpunkte der Correspondenz dx^ ßy^ = ausschneidet, ist also: 

(40) 2S[s{s—\){2r-\-n—^)-\-r{r—'[)[2s-\-n—?>)]-\-T[n—\)[r{r—\)—s{s—\)Y=0, 

29* 



452 Vierte Abtheilung. 

WO S, T = T^ — T^ in folgender Weise definirt sind: 

S=(aaß) (baß) aJ-^ßj-^a,"-H^--' 
T = {ahßf aj ßj - ^ «,- - 2 b^- -^ — (abay aj - 2 ßj a^n -^b^"-^ 

Aus diesen Beispielen wird es klar sein, wie man im allgemeinen 
Falle zu verfahren hat: Man wird mit Rücksicht auf die Gleichungen 
k/:v = durch ein dem obigen analoges Verfahren, bei dem die 
Symbole a und ß der Function q) == ccjßy^ symmetrisch benutzt wer- 
den, nach einander die Differentiale verschiedener Ordnung aus den 
Gleichungen eliminiren können, welche den j^-werthigen Punkt der 
Correspondenz in x =■ y definiren ; sei es dass letzterer durch einen 
mehrfachen Punkt der Curven ^ daselbst oder durch mehrpunktige 
Berührung derselben mit f ==■ oder durch gleichzeitiges Eintreten 
beider Vorkommnisse entsteht. Aus dem Endresultate hat man dann 
immer noch durch identische Umformungen in obiger Weise eine 
Potenz von /r^ als Factor abzusondern, um schliesslich die Gleichung 
der Curve zu erhalten, welche die Coincidenzpunkte auf f ausschneidet. 
Die Ordnung dieser Curve können wir indess ohne nähere Betrachtung 
jener algebraischen Operationen angeben, da wir nach Formel (11) 
die Zahl ihrer Schnittpunkte mit / kennen, dieselbe ist (a = rn, 
b = sn) gleich : 
(41) ^r + s-j-y{n- 3)] . 

Diese Zahl bleibt die nämliche, wenn /= Doppel- und vielfache 
Punkte besitzt, denn die angedeuteten algebraischen Operationen bleiben 
immer ausführbar. Andererseits wird aber auch unsere zur Aufstellung 
der Zahl C == a -\- ß -\- 2 yp führende Ueberlegung durch das Auf- 
treten vielfacher Punkte auf /" nicht modificirt, wenigstens nicht, wenn 
die verschiedenen Aeste des vielfachen Punktes alle getrennt verlaufen.*) 
Die Zahl C wird alsdann aber kleiner, wie die Zahl der Schnittpunkte 
obiger Curve mit / = 0. Dies erklärt sich dadurch, dass diese Curve 
durch die vielfachen Punkte von / hindurchgeht, dass in diesen also 
Coincidenzen entstehen, ohne dass die coincidirenden Punkte einander 
benachbart auf demselben Curvenzweige liegen, wie sogleich noch 
deutlicher werden wird; und für Coincidenzen dieser Art gelten unsere 
obigen geometrischen Schlüsse nicht. Demgemäss führen wir folgende 
Unterscheidungen ein: Wir bezeichnen als eigentliche Coincidenz 



*) Bei der oben zur Bestimmung der Zahl der Wendepunkte (p. 445) be- 
nutzten Correspondenz tritt noch die Besonderheit ein, dass die Curven qp (die 
ersten Polaren) in den vielfachen Punkten gemeinsame feste Punkte haben. Zur 
Umgehung der dadurch vielleicht entstehenden Schwierigkeiten (auf die wir 
später eingehen), kann man ein anderee Beispiel wählen, z. B. die Correspon- 
denz {n — 1, n — 1), , welche durch die Linien eines Strahlbüschels auf /"=0 
bestimmt wird. 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven, 453 

eine jede, welche dadurch entsteht, dass einer der a beiveglichen einem 
Punkte y entsprechenden Punkte diesem Punkte auf demselben Curven- 
ziveige unendlich nahe liegt; als uneigentliche Coincidenz eine jede, 
für welche dies nicht der Fall ist. Nach dem Obigen gilt dann in 
Folge dieser* Definitionen der Satz, dass die uneigentlichen Coincidenzen 
zusammen mit den eigentlichen Coincidenzen auf f =^ ein vollständiges 
Schniltpunktsystem bilden. Bezeichnen wir also mit G die Zahl der 
ersteren, so muss die Zahl 

C J\- G = nr — y^ ns - y -\- [y {n ~ \) {n — 2) — 2 d] -^ G , 

wo d die Zahl der Doppelpunkte von /' = angibt, durch n theilbar 
sein, d. h. es ist ö = 2 y c?. 

In jeden Doppelpunkt von f fallen also 2 y (ebenso in jeden i- 
fachen Punkt mit getrennten Tangenten y . i [i ~ \) ) uneigentliche 
Coincidenzen. 

In der That verschwindet für 7 = 1 die linke Seite von (21) in 
jedem /-fachen Punkte von f (/ — l)-fach. LTm dies in (27) zu erkennen, 
hat man für einen Doppelpunkt x von /'nur zu beachten, dass der 
Ausdruck {abuf «r"~^^.r"~'^ in einem solchen proportional zu uj wird. 

Von diesem Verhalten der die Coincidenzpunkte ausschneidenden 
Curve, die wir im Folgenden kurz als „Coincidenzcurve" bezeichnen 
wollen*), in den singulären Punkten von / mag man sich in folgen- 
der Weise direct Rechenschaft geben für den Fall, dass die zu x ge- 
hörigen Curven q) in x = g einen y- fachen Punkt haben.**) Nähert 
sich dann x einem Doppelpunkte von/ auf dem einen Zweige dieser 
Curve (mit dem also die zugehörige Curve qo immer y Schnittpunkte 
in a; = ?/ hat), so wird die Curve (p, sobald x in den Doppelpunkt 
eintritt, in x noch weitere y Schnittpunkte mit dem andern durch den 



*) Dass dies Wort früher in anderem Sinne gebraucht wurde (p. 387), wird 
nicht zu Missverständnissen Anlass geben können. 

**) Dies kann entweder unabhängig von f=0 eintreten oder vermöge /"= 0. 
In ersterem Falle hat die Curve qp selbstverständlich auch in einem Doppelpunkte 
von f einen y- fachen Punkt, dessen Tangenten von den Doppelpunktstangenten 
verschieden sind. Dass letzteres auch im zweiten Falle im Allgemeinen eintritt, 
beweist man, indem man die Function g? [x, y) = a/ß/ nach dem von Gordan 
gegebenen Satze (Math. Annalen, Bd. 5, p. 100) in eine Reihe entwickelt, deren 
s _[_ 1 Glieder für r"^ s bis auf Zahlenfactoren bez. aus den Formen: 

durch einen Folarenprocess entstehen. Die Formen cp^^, cp^, cp.^ . . . (py müssen 
dann bez. die Potenzen f^ , f^ "^ , f^ ~^ . . . f'^ zu Factoren haben. Verschwinden 
insbesondere die Formen qp^, qPi, • • • Vy — i alle identisch, so hat man den Fall, 
wo der y-fache Punkt in o; = y unabhängig davon eintritt, ob x auf /"liegt oder nicht. 



454 Vierte Abtheilung. 

Doi)pelpuiikt gehenden Zweige von f besitzen, so dass y uneigentliche 
Coincidenzen eintreten. Dasselbe gilt, wenn x auf diesem andern 
Zweige an den Doppelpunkt heranrückt; und so haben wir in der 
That zusammen 2y uneigentliche Coincidenzen, wie es sein soll. 

Betrachten wir ferne'r den Fall, wo der y-werthige Punkt in 
X = y durch Berührung entsteht. Hier können wir uns immer die 
zu Punkten x gehörigen Curven q) aus einer zweifach unendlichen 
Mannigfaltigkeit von Curven s*«"" Ordnung, deren jede die Curve/'=0 
in y — 1 consecutiven Punkten trifft, eben durch die Bedingung aus- 
geschieden denken, dass eine solche Curve noch einen weiteren be- 
nachbarten Punkt mit /' gemein habe. Jedem Punkte x entsprechen 
dann die übrigen ns — y einfachen Schnittpunkte y einer solchen 
Curve mit /", von denen im Allgemeinen keiner in den Doppelpunkten 
liegt. Durch jeden Punkt y dagegen gehen einfach unendlich viele 
Curven jener oc^-Schaar, deren jede in einem nicht in y liegenden 
Punkte die Curve /'in y — 1 benachbarten Punkten trifft; unter 
diesen wird aber eine endliche Zahl von Curven sein, welche f in je y 
benachbarten Punkten schneiden: Dem Punkte y entspricht daher 
eine Curve, welche die so ausgezeichneten Berührungspunkte der 
letzterwähnten Curven ausschneidet, d. h. die Coincidenzcurve (p. 453) 
einer Correspondenz mit {y — l)-werthigem Punkte. Eine solche 
Correspondenz hat aber, wie wir sogleich sehen werden, y (y — 1) 
uneigentliche Coincidenzen in jedem Doppelpunkte von /; und also 
fallen in jeden y [y — 1) Schnittpunkte der zu y gehörigen Curve. Hai 
also eine Correspondenz in x = y einen y-werlhigen Punkt, der durch 
{y — \)- punktige Berührung entsteht^ und gehen die zu x gehörigen 
Curven nicht durch die Doppelpunkte von /, so fallen doch für jede zu 
einem Punkte y gehörige Curve y {y — 1) Schiiittpunkte in jeden Doppel- 
punkt von f; d. h. wir haben eine Correspondenz mit festen Punkten. 

Solche Correspondenzen haben wir allerdings von der Betrachtung 
vorläufig ausgeschlossen. Für sie soll später der folgende Satz be- 
wiesen werden*), den wir einstweilen wiederholt werden benutzen müssen 
und deshalb hier mittheilen: Entfallen hei einer Correspondenz mit 
y - werthigem Punkte in x = y für jede der zu x gehörigen Curven a, 
für jede der zu y gehörigen t Schnittpunkte mit f in einen festen ein- 
fachen Punkt von f, so liege?! in diesem 6 -\- t uneigentliche Coincidenzen ; 
ist der feste Punkt jedoch Doppelpunkt von f, so liegen in ihm (}-^r-\-2y 
uneigentliche Coincidenzen. — Die eigentlichen Coincidenzen dagegen 
bestimmen sich wieder durch die Formel (12), wenn man nur unter 
a, ß die Zahlen der beweglichen zu x, bez. y gehörenden Punkte versteht. 



*) Vgl. den Absclinitt über eindeutige Transformationen in der 6. Abtheilung 
dieser Vorlesungen. 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 455 

Wir wollen nun voraussetzen, dass 6 Schnittpunkte der zu x 
gehörenden Curve in einem Doppelpunkte liegen. Ist dann y = 2 
(durch Berührung in x), so bestimmt sich die zu tj gehörige Curve in der 
geschilderten Weise als Coincidenzcurve einer Correspondenz mit y = 1, 
6=6, und auch x = 6. Für diese liegen aber 6 -\- x -\-2y = 2{6-\-\) 
uneigentliche Coincidenzen im Doppelpunkte, d. h. in der Correspon- 
denz" mit y = 2 liegen 2 ((? + 1) Schnittpunkte der zu y gehörigen 
Curve im Doppelpunkte. Wir haben also hier 6=6, x = 2{6 -\-\)\ 
und somit wird die Zahl u der uneigentlichen Coincidenzen: u = 
3 ((? _|- 2). Für eine Correspondenz mit y = 3 ergibt sich hieraus 
0^0^ X --= 'd {6 -\- 2), und also: u = 4: (6 ■\- 3). Durch Fortsetzung 
dieser Schlussweise (durch einen Schluss von y auf y -f 1) findet man 
allgemeiner, wenn 6 = 6 gegeben ist: 

Tr = y(a + y — 1), u=6^x -^2y = {y-\-\^{6 -\-y). 

Fallen also in einer Correspondenz mit y-werthigem Punkte in x = y 
für die zu x gehörige Curve, welche in x {y — \) -punktig berührt, 6 
feste Schnittpunkte in einen Doppelpunkt von /', so fallen in diesen für 
jede zu y gehörige Curve y ((? + y — 1) feste Schnittpunkte; und es 
liegen in ihm (y + 1) (ö -f y) uneigentliche Coincidenzen. — Für (? = folgt 
hieraus der oben ausgesprochene Satz; ebenso beweist man auch den 
folgenden: ^enn bei der genannten Correspondenz für die zu x ge- 
hörige Curve 6 Schnittpunkte in einen festen einfachen Punkt von f fallen, 
■so fallen in ihn y6 feste Schnittpunkte für jede zu y gehörige Curve und 
(j, _[_ 1) (j uneigentliche Coincidenzen. 

Lassen wir andererseits den Punkt x in einen Doppelpunkt von / 
rücken, so wird ihm zunächst keine bestimmte Curve zugehören, indem 
der Ausdruck (p {x, y) unabhängig von den y zu Null wird. Man 
erhält daher erst eine bestimmte Curve, wenn man unter den beiden 
von X aus auf f möglichen Fortschreitungsrichtungen eine Wahl trifft 
und demgemäss x -\- dx statt x in (p{x,y') setzt. Dem Doppelpunkte, 
als Punkte x, entsprechen daher 2 völlig verschiedene Curven, deren jede 
einen Zweig von f {y — \)- punktig berührt. — Es möge dies noch an 
folgendem Beispiele erläutert werden: 

Man soll die Correspondenz cp = angeben, vermöge deren jedem 
Punkte X die in ihm die Curve f=0 berührende Curve m'^'' Ordnung 
eines Netzes entspricht. Sind a^"' = 0, aj'" = 0, «^"'" = drei be- 
liebige Curven des Netzes, so hat man zu dem Zwecke zunächst 
jc, X, ^ aus den drei Gleichungen 



456 Vierte Abtheilung. 

und aus dem Resultate die dxi vermöge der Relationen «^"-i«rf^==0 
kd.-c = zu eliminiren. Mittels einiger identischer Umformungel hat 
man dann noch einen Factor k.^ abzusondern, um schliesslich das 
Resultat zu erhalten: 

«-./-' {{aaa) a>-iaV-^«/' + {aa'a) «V" " ^ « /" - ^ « '/" 

Die Richtigkeit des Resultats verificirt man auch leicht nachträglich. Die 
Gleichung stellt nämlich in den Veränderlichen y jedenfalls eine Curve 
des Netzes dar; setzt man in ihr y ^ x, so sondert sich in der That 
wegen der Identität*) 

{aaa") a.^ -f- {aaa) d\^ + {aa!' a) a^ == (aß'«") «^ 
ein Factor r/.^« ab; und ebenso, wenn man tj = x -\- dx setzt, ein 
Factor aj'-^adoc, wie es sein soll. Die Gleichung kann aber als 
lineare Function der Grössen aj'-^ai angesehen werden; und daraus 
folgt, dass jede zu einem Punkte y gehörige Curve in der That durch 
die Doppelpunkte von / gehen muss, wie behauptet wurde. 

Ausserdem kann es natürlich eintreten, dass der j/-werthige Punkt 
dadurch entsteht, dass die Curve qo in x = y einen vielfachen Punkt 
hat, dessen einzelne Zweige die Curve noch ein- oder mehrpunktig 
berühren. Diese F'älle können als Combinationen der soeben behan- 
delten angesehen werden. — 

Las&en wir nun den Doppelpunkt von f in einen Rückkehrpunkt 
ausarten. Alsdann behalten die vorstehenden Betrachtungen jeden- 
falls ihre Gültigkeit, insofern es auf die uneigentlichen Coincidenzen 
ankommt. In einem Rückkehrpunkte aber sind zwei zusammenfallende 
Punkte immer als auf demselben Curvenelemente gelegen zu betrachten ; 
es werden daher die in einen solchen fallenden Coincidenzen theilweise 
als eigentliche gezählt werden müssen, so dass auch an der Zahl C in 
(12) noch eine Reduction anzubringen ist, wenn man nach der Zahl 
der nicht in singulare Punkte von f fallenden eigentlichen Coincidenzen 
fragt. Wir geben im Folgenden einige Beispiele für die Bestimmung 
dieser Reduction. 

Nehmen wir an, dass die Curven qp in x = y einen y- fachen 
Punkt haben ; dasselbe wird dann der Fall sein, wenn x ein Rückkehr- 
punkt ist, und im Allgemeinen sind die Tangenten des y- fachen 
Punktes von der Rückkehrtangente verschieden. Die Zahl der in x 

*) Aus dem Satze (p. 382), dass die Curven eines Netzes, welche durch einen 
Pjinkt der Jakobi'schen Curve desselben gehen, sich in diesem alle berühren, 
folgt, dass die zu einem Schnittpunkte x der Jakobi'schen Curve mit /" gehörige 
Curve qp in a; einen Doppelpunkt hat, also nicht eigentlich berührt; was man 
auch direct bestätigt. 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 457 

liegenden eigentlichen Coincidenzen ist dann offenbar unabhängig von 
der speciellen Correspondenz und kann für dieselbe Zahl y an einem 
beliebigen Beispiele bestimmt werden. In der Nähe von x können 
wir aber die Curve mit y- fächern Punkte durch ihre y Tangenten 
ersetzen. Wir brauchen also die betreffende Zahl an einem Beispiele 
nur für den Fall zu bestimmen, dass die zu x gehörigen Curven 93 in 
y gerade Linien zerfallen. Zu dem Zwecke betrachten wir die Corre- 
spondenz (n — 1, n — 1)y, welche einem Punkte von f die y (ti — 1) 
von ihm an eine beliebige Curve y*«"^ Klasse zu legenden Tangenten 
zuordnet. Die Zahl der eigentlichen Coincidenzen muss gleich der 
Zahl der gemeinsamen Tangenten beider Curven sein, d. h., gleich 

Ä- . y = 7 {« (n — 1) — 2 ^ — 3 r} , 

wenn k, d, r für die Curve f die bekannten Bedeutungen haben. 
Unsere Correspondenzformel ergibt aber die Zahl: 

C = 2 y {11 — ^) -]- 2 yp = y [n {n ^ \) — 2 d — 2 r) ; 

und hieran haben wir noch eine Reduction von yr anzubringen, um 
die Zahl ky zu erhalten. Entsteht also der y-werthige Punkt in x = y 
durch einen y- fachen Punkt der Curven (p, so entfallen in jeden Rück- 
kehrpunkt y eigentliche Coincidenzen. . 

Entsteht dagegen der y-werthige Punkt durch Berührung, so kann 
man für y = 2 die Curven cp in der Nähe von x wieder durch gerade 
Linien ersetzen und so die eintretende Reduction aus den Plücker- 
schen Formeln bestimmen. Wir werden erst später auch den allge- 
meinen Fall erledigen*) unter der Voraussetzung, dass die zu x ge- 
hörigen Curven cp aus einer linearen y-fach unendlichen Schaar von 
Curven eben durch die. Bedingung der Berührung ausgeschieden 
werden. Es scheint jedoch misslich ganz allgemeine Regeln anzugeben. 
Insbesondere treten z. B. Ausnahmen ein, wenn die zu x und die zu 
y gehörenden Curven (p durch einen Rückkehrpunkt von / gehen, 
wie das folgende Beispiel zeigt. 

Man bestimme die Zahl der von einem Rückkehr punkte an die Curve 
f zu legenden Tangenten. Die Berührungspunkte sind die Coincidenz- 
punkte einer Correspondenz {n — 3, n — 3), mit einem zweifach 
zählenden festen Punkte im Rückkehrpunkte für jede Curve qo (d. i. 
Gerade durch den Rückkehrpunkt). Die Zahl der eigentlichen Coinci- 
denzen ist also, wenn ausserdem (der Kürze wegen) keine Rückkehr- 
punkte auf f mehr vorhanden sind (also r == 1), gleich 

2w — 6 + 2j9 = Ä:— 3. 

Andererseits sind diese Punkte die nicht in Doppelpunkte von / 

*) Vgl. den Schluss dieses Abschnittes. 



458 Vierte Abtheilung. 

fallenden Schnittpunkte der ersten Polare des Rüekkehrpunktes mit f. 
Für diese fallen aber in den Rückkehrpunkt 6 Schnittpunkte mit /, 
d. i. 3 mehr, als wie für einen beliebigen Pol; wir erhalten also noch 
k — Z andere Schnittpunkte; und somit fällt in den einen Rückkehr- 
punkt keine eigentliche Coincidenz. — 

Wir gehen dazu über, im Folgenden eine Reihe von Beispielen 
und Anwendungen für die Correspondenzformel zu geben, wobei wir 
gleichzeitig verschiedene, an sich wichtige Theoreme, sowie eine Ver- 
allgemeinerung unserer Correspondenzformel kennen lernen werden. 

1) Als Beispiel zu der Formel (13) für (g^g)') diene das folgende: 
Gegeben sei ein einfach unendlicher Curvenbüschel, der die d in einer 
Zahl fester und in M beweglichen Punkten schneidet, worunter die 
Punkte X und ij sich befinden mögen. Es soll die Zahl der Paare 
von Schnittpunkten a;, y bestimmt werden, welche in Bezug auf einen 
beliebigen festen Kegelschnitt conjugirte Pole sind. Ein solches Paar 
muss zugleich der Correspondenz 9? = (yJ/ — 1 , M — l)i zwischen 
den beweglichen Schnittpunkten und der Correspondenz cp' = (n, n)^ 
zwischen einem Punkte y der Y'„ und den n Schnittpunkten x der 
Polaren von y genügen. Man erhält daher 

^{q^cp') = n{M-\) 
für die Anzahl der gesuchten Paare (den Zahlenfactor ^ wegen der 
Symmetrie). 

2) Die Formel (12) benutzen wir zuerst zur Ableitung des schon 
früher angegebenen Satzes von der Gleichheit des Geschlechtes zweier 
eindeutig auf einander bezogenen Curven (vgl. p. 368). Wir fragen 
sogleich allgemein: Wie ist das Geschlecht i^p) einer Curve C von 
demjenigen (/?') einer Curve C abhängig, wenn beide so auf einander 
bezogen sind, dass jedem Punkte P von C x Punkte P' von C' ent- 
sprechen, und jedem Punkte P' von C x Punkte P von C?*) 

Wir bezeichnen mit y und y die Zahlen der Coincidenzen von 2 
Punkten, welche bez. auf C und C' demselben Punkte der andern 
Curve entsprechen, wobei die durch Doppelpunkte der Curven hervor- 
gerufenen Coincidenzen nicht mitgezählt sind. Ausserdem möge es 
z-mal (auf jeder Curve) vorkommen, dass zugleich zwei einem Punkte P 
entsprechende Punkte in P' zusammenfallen, und umgekehrt zwei von 
den P' zugehörigen Punkten in P. Wir setzen ferner voraus, dass 
die Curven C und C nur Doppelpunkte, keine Rückkehrpunkte haben. 
Zur Bestimmung der Punkte y und z auf C haben wir nun eine 
Correspondenz: 

{x {x — 1) , x {x — 1)).^' . 

*) Vgl. im Folgenden Zeuthen: Nouvelle demonstration de theoremes sur 
les sdries de points correspondants sur deux courbes. Math. Annalen, Bd. 3, p. 150. 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven. 459 

Jedem Punkte P von C entsprechen nämlich x Puukte P' von C, 
jedem dieser Punkte wieder x Punkte Q auf C, von denen je einer 
(also im Ganzen x) mit P zusammenfällt; und so entsteht die er- 
wähnte Correspondenz, welche zufolge unserer Bezeichnung y -f 2 z 
Coincidenzpunkte hat; denn als solcher zählt jeder der z Punkte 
zweimal, indem dann noch zwei Punkte Q mit P zusammenfallen. Es 

ist daher: 

y -\-2z = 2x {x — \) -[-2xp, 

und ebenso: . , « c» / - ix i o 

y' -|_ 2 2 = 2 a: (a; — \) -\-2xp -^ 

also durch Subtraction : *) 

y-y =2x {p ~\)-2x{p -\). 

Zwischen zwei „x-x -deutig auf einander bezogenen Curven^', bez. vom 
Geschlecht p und p mit y bez.y Coincidenzpunkten besteht die Relation:*"^) 

y--y=2x{p- \)-~2x{p-\). 

Für X = x =\ , also y =^ y' =^ haben wir insbesondere p = p'; 
und so ergibt sich das Theorem, dessen Darlegung im Einzelnen uns 
noch später beschäftigen wird: , 

Zwei eindeutig auf einander bezogene Curven sind von gleichem 
Geschlechte. 

3) Mit Hülfe der Correspondehzformel können wir ferner die 
Frage nach der Zahl der Curven eines Systems beantworten, welche 
eine gegebene Curve f vom Geschlechte p in gewissen Punkten mehr- 
fach berühren.***) Die dabei auftretenden Correspondenzen sind nach 
dem Obigen (p. 454) immer solche mit festen Punkten; bei Bestim- 
mung der eigentlichen Coincidenzen hat man aber nach der daselbst 



*) Dieselben Gleichungen würden übrigens beim Auftreten von Rückkehr- 
punkten fortbestehen, wenn man nur unter y, bez. y' die Gesammlheit der eigent- 
lichen Coincidenzpunkte versteht (vgl. oben), also ohne die durch Rückkehrpunkte 
noch besonders veranlassten Reductioaen. 

**_) Nimmt man insbesondere a;' = 1 , also y' = 0, und p '= p' , so wird 
yz=t{p — 1) — 2a;(p — 1). Weil nun y immer eine positive Zahl sein muss, 
so ist auch x ^= 1 (wenn nicht ^ = 1); und es folgt der Satz: Sind zwei Curven 
von gleichem Geschlechte {p~^ \) so auf einander bezogen^ dass jedem Punkte der 
ersten ein Punkt der zweiten entspricht, so ist diese Beziehung auch eindeutig um- 
kehrbar. Hierfür gab Weber mit Hülfe Riemann'scher Principien auch einen 
directen Beweis: Grelle 's Journal, Bd. 76, p. 345. — Der Fall p = 1 bedarf einer 
besondem Erörterung; er bezieht sich auf die Transformation der ellipt. Functionen. 

***) Die betreffenden Formeln sind (für r = 0) zuerst von de Jonquiöres 
aufgestellt: Sur les problemes de contact des courbes algebriques, Crelle's Jour- 
nal, Bd. 66, 1866; erweitert für Curven mit Rückkehrpunkten von Cayley: 
Phiios. Transactions , vol. 158, p. 109, 1868. Vgl. auch Bischoff: Crelle's Jour- 
nal, Bd. 56. Exacte Beweise für jene Formeln gab Brill: Math. Annalen, 
Bd. 6, p. 46. 



460 Vierte Abtheilung. 

angegebenen Regel nur auf die beweglichen Schnittpunkte der Curven 
cp (x, y) = und f = zu achten. Wenn wir also im Folgenden 
Curvensysteme betrachten, die linear von q Parametern abhängen, so 
können auch immer einzelne einfache oder Doppelpunkte von f allen 
Curven des Systems gemeinsam sein, ohne dass unsere Formeln da- 
durch beeinflusst würden; denn diese zeigen sich nur von der Zahl M der 
beweglichen Schnittpunkte abhängig. Wir setzen hier zunächst voraus; 
dass f keine Rück kehr punkte habe, fügen aber der Vollständigkeit halber 
die betreffenden (später zu beweisenden) Reductionen sogleich hinzu. 

Es sei zunächst ein Curvenbüschel {q = 1) gegeben. Durch jeden 
Punkt X von / geht eine Curve desselben, die /"in M — 1 weiteren 
Punkten y schneidet. Wir haben also eine Correspondenz {M — 1, 
M — l)j ; und die Zahl «j der berührende?! Curven ist: 

ai = 2{M~ l)-}-2 p — r = 2 iM-\- p— l) — r, 

wobei die in etwa auf der C„ liegenden festen Punkten berührenden 
Curven nicht mitgezählt sind.*) 

Nehmen wir ein Curvennetz mit M beweglichen Schnittpunkten, 
also q = 2, so berührt in einem beliebigen Punkte x der C„ eine 
Curve des Systems, denn durch zwei (hier successive) Punkte ist eine 
solche bestimmt. Dieselbe schneidet M — 2 correspondirende Punkte 
y aus. Durch jeden Punkt y geht dagegen ein Büschel von Curven 
des Netzes mit M — 1 beweglichen Schnittpunkten, unter denen nach 
dem Früheren a, — 2 berührende sind; denn die Zahl «j geht in 
«j — 2 über, wenn man M durch M — 1 ersetzt. Wir haben y = 2, 
denn es gibt ausserdem noch 2 unendlich benachbarte Curven, welche 
in y selbst berühren. Wir finden so zwischen den Berührungspunkten 
X und den andern Schnittpunkten y der Curven eine Correspondenz 
iM~2, «1-2)2. 

Es gibt daher 

K^ = M — 2 -\- a^ ~ 2 -\- ^p — r = ^ {M -{- 2 p — 2) —■ 2 r 



*) Ist die Gleichung des Büschels ^wxch. a' J" -{- .1 a" J^ = gegeben, so ist 
die Correspondenz auf f bestimmt durch 

9 EE «/' 13/' = a'/'«"/' - a'J" a ;' = . 
Beachtet man nun, dass in nicht symbolischer Form: 

•^ -^ ^ ^xzdya dx^dyi'dxi\dx^dtji dx^dyjdx^ 

^dx^dyz dxzdyj dx^ ' 
so ersieht man, dass die Coincidenzpunkte ausgeschnitten werden durch die 
Curve (p. 447): 

n — 1 ' m — 1 



(««' a") «/-'«'"- ^ « ' *" - ' = , 



Allgemeine Theorie der algebraischen Curven, 461 

oscnlirende (in 3 successiven Punkten schneidende) Curven im Netze."^) 
Ganz in derselben Weise kann man weiter von q auf ^ + 1 sehliessen, 
und gelangt dann zu dem Satze: 

In einer q-fach unendlichen linearen Schaar von Cwven, welche die 
C„ in M beweglichen Punkten schneiden, gibt es 

«? = ($+ 1) {^^ -\- QP - Q) — <ir ' 
Curven, welche die Cn in q -\- l benachbarten Punkten treffen (q-punklig 
berühren). 

Sind die Curven der Schaar von der ;?«*^" Ordnung und keiner 
Bedingung unterworfen, so haben wir insbesondere M = nm, q = ^ ?n 
. (w -j- 3) zu setzen. Es gibt also z. B. auf der C„ 

12w + 30(j!>— 1) — 5r 

Punkte^ in denen ein Kegelschnitt 5 -punktig berühren kann.**) 

4) Um weiter auch die Zahl der Curven eines Netzes zu be- 
stimmen, welche die C„ in zwei getrennten Punkten berühren, muss 
man zuvor die Correspondenzformel in gewisser Weise verallgemeinern. 
Wir haben bisher immer vorausgesetzt, dass die zu einem Punkte x 
oder y gehörigen Curven cp {x, y) = ausser in x ^ y die Curve f 
nur in lauter einfach zählenden Punkten schneiden. Es kann aber 
vorkommen, dass dieselben z. B. in einem Punkte ein- oder mehrfach 
berühren und in den übrigen mehrfach schneiden. Diese complicirteren 
Fälle wollen wir hier nur kurz erwähnen. ***) — ^ Man beweist zunächst 
(ähnlich wie oben die Formel y = d, p. 443) den folgenden Satz : 

Wenn unter den beweglichen einem Punkte x entsprechenden Punkten 
y ein i-werthiger Punkt y vorkommt (d. lt. ein solcher Punkt, in welchem 
i einfache Schnittpunkte vereinigt liegen), so verhält sich umgekehrt unter 
den zu y gehörigen Punkten x der Punkt x ebenfalls wie ein i-werthiger. 
Gehören nun zu einem Punkte x in einer Correspondenz mit 
y-werthigem Punkte in x = y allgemein ß' (nicht in x fallende) 
«■'-werthige Punkte ?/', ß" T-werthige Punkte y", u. s. w., also zu- 
sammen 

ß = ß'i^-{-ß"i" + ß"'i"' + ... 

Punkte y, so wird man nach dem erwähnten Satze zu jedem Punkte 
?/<?' eine Anzahl «(?> von Punkten x^Q^ finden können, die ihm 2'?*- 



*) Eine die Osculationspunkte ausschneidende Curve ist von Brill angegeben, 
Math. Annalen, Bd. 3, p. 459. Man wird dieselbe aus der obigen Gleichung 
(40) auf p. 451 ableiten können, wenn man die Form cp {x, y) wie auf p. 456 
gegeben denkt. 

**) Cayley hat auch eine Curve angegeben, welche diese Punkte auf der 
Grundcurve ausschneidet: Philos. Transactions , 1859 und 1865. 

***) Vgl. Cayley: Comptes rendus, t. 62, 1866 und Brill a. a. 0. 



462 Vierte Abtheilung. 

fach entsprechen, so dass die Zahl der einem Punkte y im Ganzen 
entsprechenden Punkte x gleich 

a = ai-\-at-\-ai -}"••• 

wird. Die Zahl der Coincidenzpunkle der so entstehenden Correspondenz 
{a, ß)y ist dann nach der Correspondenzformel (12): C = a -\- ß -\- 2'yp; 
d. h. es besteht die Relation: 

r {C' -a - ß') + i" {C" - a" - ß") -\-... = 2yp, 

wenn f'e> angibt, wie oft eine Coincidenz zwischen einem 2'?*-werthigen 
Punkte x'-Q^j bez. y^Q^ mit dem y-werthigen Punkte y = x eintritt, 
wenn also gesetzt wird: 

C = i'C + i" C" + i"'C"' + . . . 

Das einfachste Beispiel für die Anwendung dieser Formel gibt die 
Bestimmung der Zahl der Doppeltangenten der Curve /, oder allge- 
meiner die Bestimmung der Zahl der an zwei verschiedenen Stellen 
der C„ berührenden Curven eines Netzes mit M beweglichen Schnitt- 
punkten auf f. Durch jeden Punkt x geht ein Büschel von Curven 
mit M — 1 beweglichen Schnittpunkten, in dem sich nach der früheren 
Bezeichnung «j — 2 berührende Curven befinden (denn die obige Zahl 
«j wird um 2 verringert, wenn man in ihr M — 1 statt M schreibt). 
Von diesen schneidet jede die Cn in 1 zweiwerthigen und in i/ — 3 
einwerthigen Punkten. Wir haben also: 

i' =\, ß' =a ={a,—2){M—?,), y = a,—2 
r = 2, ß" = a,-2, a" = M—2*). 

Ferner ist C" = 0:2 ^i^ (^^^ schon bekannte) Zahl der osculirenden 
Curven, während C = 2 a^^ das Doppelte der gesuchten Zahl angibt. 
Setzen wir also die Curve / ohne Rückkehrpunkte voraus, so finden 
wir für die Zahl der doppelt berührenden Curven des Netzes: 

«j, = («, - 2) (#/- 3) -a,-\- K - 2) + (^- 2) + («1 -2)p. 

In derselben Weise können wir aber auch die Zahl a^^ der an ' 
einem Punkte ^- punktig, an einem andern 1 -punktig berührenden 
Curven eines linearen ^'-fach unendlichen Systems von Curven mit M 
beweglichen Schnittpunkten finden. Es ergibt sich: - 

a,, = 2{a,-q - 1) {M ~ q -2) ~ {q + l) { a, + i -(a, - q - l) 

^ (^M - q - l)} + 2 (a,- q - 1) p ; 

*) Die Zahl a" bestimmt sich, wie folgt. In jedem Punkte y" berührt eine 
Curve des Netzes. Dieselbe zählt aber doppelt in der Ge