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LIBRARY
OF THE
ASTRONOMICAL SOCIETY
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CARL FRIEDRICH GAUSS WERKE
BAND II.
CARL FRIEDRICH GAUSS
WERKE
EN BLTER BAND.
ZWEITER ABDRUCK
HERAUSGEGEBEN
VON DER
KÖNIGLICHEN GESELLSCHAFT DER WISSENSCHAFTEN
ZU
GÖTTINGEN
1876.
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Vv.R)
25lRuNOMY
THEOREMATIS ARITHMETICI
DEMONSTRATIO NOVA
AUCTOBE
CAROLO FRIDERICO GAUSS
SOCIETATI REGIAE SCIENTIARUM TRADITA IAN. 15. 1808.
Commentationes societatis regiae scientiarum Gottingensis. Vol. xvı.
Gottingae MDCccvm.
u.
METTRROI
a
Are
THEOREMATIS ARITHMETICI
DEMONSTRATIO NOVA.
1:
Quaestiones ex arithmetica sublimiori saepenumero phaenomenon singulare
offerunt, quod in analysi longe rarius occurrit, atque ad illarum illecebras augen-
das multum confert. Dum scilicet in disquisitionibus analyticis plerumque ad
veritates novas pertingere non licet, nisi prius principiis, quibus innituntur, quae-
que ad eas viam quasi patefacere debent, penitus potiti simus: contra in arithme-
tica frequentissime per inductionem fortuna quadam inopinata veritates elegantis-
simae novae prosiliunt, quarum demonstrationes tam profunde latent tantisque
tenebris obvolutae sunt, ut omnes conatus eludant, acerrimisque perscrutationibus
aditum denegent. Tantus porro adest tamque mirus inter veritates arithmeticas,
primo aspectu maxime heterogeneas, nexus, ut haud raro, dum longe alia quaeri-
mus, tandem ad demonstrationem tantopere exoptatam longisque antea meditatio-
nibus frustra quaesitam longe alia via quam qua exspectata fuerat felicissime per-
veniamus. Plerumque autem huiusmodi veritates eius sunt indolis, ut pluribus
viis valde diversis adiri queant, nec semper viae brevissimae sint, quae primo se
offerunt. In magno itaque certe pretio habendum erit, si, tali veritate longe in-
cassum ventilata, dein demonstrata quidem sed per ambages abstrusiores, tandem
viam simplicissimam atque genuinam detegere contigerit.
2.
Inter quaestiones, de quibus in art. praec. diximus, locum insignem tenet
theorema omnem fere theoriam residuorum quadraticorum continens, quod in Dis-
quisitionibus arithmeticis (Sect. IV.) theorematis fundamentalis nomine distinctum
1 %*
4 THEOREMATIS ARITHMETICI
est. Pro primo huius elegantissimi theorematis inventore ill. LEGENDRE absque du-
bio habendus est, postquam longe antea summi geometrae Eurer et LAGRAnGe iplu-
res eius casus speciales iam per inductionem detexerant. ÜConatibus horum viro-
rum circa demonstrationem enumerandis hic non immoror; adeant quibus volupe
est opus modo commemoratum. Adiicere liceat tantummodo, in confirmationem
eorum, quae in art. praec. prolata sunt, quae ad meos conatus pertinent. In ipsum
theorema proprio marte incideram anno 1795, dum omnium, quae in arithmetica
sublimiori iam elaborata fuerant, penitus ignarus et a subsidiis literariis omnino
praeclusus essem: sed per integrum annum me torsit, operamque enixissimam ef-
fugit, donec tandem demonstrationem in Sectione quarta operis illius traditam
nactus essem. Postea tres aliae principiis prorsus diversis innixae se mihi obtu-
lerunt, quarum unam in Sectione quinta tradidi, reliquas elegantia illa haud in-
feriores alia occasione publici iuris faciam. Sed omnes hae demonstrationes,
etiamsi respectu rigoris nihil desiderandum relinquere videantur, e principiis ni-
mis heterogeneis derivatae sunt, prima forsan excepta, quae tamen per ratiocinia
magis laboriosa procedit, operationibusque prolixioribus premitur. Demonstra-
tionem itaque genuinam hactenus haud affuisse non dubito pronunciare: esto iam
penes peritos iudicium, an ea, quam nuper detegere successit, quamque pagellae
sequentes exhibent, hoc nomine decorari mereatur.
3.
Tneorema. Sit p numerus primus positivus; k integer quicunque per p non
divisibilis ;
A complewus numerorum 1,2,3... . +(p—1)
B complewus horum 4(p-+1), 4(p+3), #p+5)....p—1
Capiantur residua minima positiva productorum ex k in singulos numeros A secun-
dum modulum p, quae manifesto omnia diversa erunt, atque partim ad A partım ad
B pertinebunt. Jam si ad B omnino y residua pertinere supponantur, erit k vel re-
siduum vel non-residuum quadraticum ipsius p, prout p par est vel impar.
Dem. Sint residua ad A pertinentia haec a,da"...., reliqua ad B
pertinentia b,d',b"...., patetque posteriorum complementa p—b, p—b,p—b"....
cuncta a numeris a,a,.«a’.... diversa esse, cum his vero simul sumta comple-
DEMONSTRATIO NOVA. 5
xum A explere. Habemus itaque
1.2.3....4{p—1) = ada. ... (p— ip P)( p—!")
Productum posterius autem manifesto fit
I
(—1)Hada’....d5bbV"....=(—1)"k.2k.3k.... 4(p—1)k
— (er 1.2.3....4(p—1) (mod.p) Ä
Hinc erit
eg ER 117 2, Zum
sive AMP) — —+ 1, prout p par est vel impar, unde theorema nostrum proti-
nus demanat.
4.
Ratiocinia sequentia magnopere abbreviare licebit per introductionem qua-
rundam designationum idonearum. Exprimet igitur nobis character (X, p) mul-
titudinem productorum ex his
k,2k,3k....+(p—1)k,
quorum residua minima positiva secundum modulum 9 huius semissem superant.
Porro existente & quantitate quacunque non integra, per signum [2] exprime-
mus integrum ipsa « proxime minorem, ita ut @— |2] semper fiat quantitas po-
sitiva intra limites 0et1 sita. Levi iam negotio relationes sequentes evolventur:
. l+-J)=—1
I. [f2]+h=[#-+h], quoties h est integer.
III. ß+tR—2]=%ı-1.
IV. Si 2—[x] est fractio minor quam #, erit [?2)—2[x) = 0;
si vero #—|@] est maior quam #, erit [2=] — 2[@] = 1.
V. TJacente se residuo minimo positivo integri 4 secundum modulum
p infra IP, erit =] _ 2 [>] —= 0; iacente autem residuo illo ultra #p, erit
21-afl= 1.
6 THEOREMATIS ARITHMETICI
VI. Hinc statim sequitur (A, p) =
ef
Due
a a en
VII. Ex VI. et I. nullo negotio derivatur
(k,p) + (kp) = Hp —1)
Unde sequitur, — k vel eandem vel oppositam relationem ad p habere (quate-
nus huius residuum aut non-residuum quadraticum est) ut + %k, prout p» vel
formae 4n--1 fuerit, vel formae 4n-+-3. In casu priori manifesto — 1 resi-
duum, in posteriori non-residuum ipsius p erit.
VIII. Formulam in VI. traditam sequenti modo transformabimus. Per III. fit
Ph) _.__ _f% (p—3)kı1 __ u _[%# (p—5)k1 __ WE
=, RAR...
£ membra ultima seriei superioris in illa
Applicando hasce substitutiones ad —,
expressione, habebimus
primo, quoties p est formae 4n—-1
= ik--) |
++... +52
p p p p |
++
secundo, quoties p est formae 4n—+3
BR =.
u er
IX. Pro casu speciali = + 2 e formulis modo traditis sequitur
(2, pP) = +4{p + 1), sumendo signum superius vel inferius, prout p est formae
4n+1 vel 4n + 3. Erit itaque (2, p) par, adeoque 2 Rp, quoties p est for-
mae 8n + 1 vel 8” +7; contra erit (2, p) impar atque 2Np, quoties p est
formae Sn +3 vel 8n +5.
DEMONSTRATIO NOVA. 4
5.
THEOREMA. Sit 2 quantitas positiva non integra, inter cuius multipla x, 2x,
3®@.... usque ad n& nullum fiat integer; ponatur [n&) = h, unde facile concluditur,
’ ’
8|w
etiam inter multipla quantitatis reciprocae mi. ce usque ad — integrum non
=’:
reperiri. Tum dico fore
++ Bel. +malj_,,
area ee
Dem. Seriei [x] + 22] + [3®).... + [nz], quam ponemus —=9, mem-
bra prima usque ad Eis inclus. manifesto omnia erunt = 0; sequentia usque
ad Br? cuncta — 1; sequentia usque ad 12°. cuncta — 2 et sic porro.
Hine fit
0= oxPl |
+1x 21-2
el:
Fi m SE-E... 6
etc.
+)
+aa<[) |
Q.E.D.
6.
THEorEMA. Designantibus k, p numeros positivos impares inter se primos quos-
cunque, erit
k 2k 3%k —
2 3 k— vage I Better 6
+++ Bl- +5
Demonstr. Supponendo, quod licet, k</p, erit +(P—1)% minor quam $A,
sed maior quam 4(k—1), adeoque Fr — +(k—1). Hinc patet, theorema
praesens ex praec. protinus sequi, statuendo illic n =», 4(p—1)=n, adeo-
que +(k—1) = A.
8 THEOREMATIS ARITHMETICI DEMONSTRATIO NOVA.
Ceterum simili modo demonstrari potest, si k fuerit numerus par ad p
primus, fore
ae
+A+R+R +
At huic propositioni ad institutum nostrum non necessariae non immoramur.
=tH(p—1)
7:
Iam ex combinatione theorematis praec. cum propos. VIII, art. 4. theorema
fundamentale protinus demanat. Nimirum denotantibus k, p numeros primos
positivos inaequales quoscunque, et ponendo
k 2k
ears+rreeegee
p p p p
2% 3 ak—ı)m _
er rreiri ee
per VIII. art. 4. patet, L et M semper fieri numeros pares. At per theorema
art. 6. erit
L+M=(k,p)+ (p, + 4k—1)(p—1)
Quoties igitur 4+(k—1)(p—1) par evadit, quod fit, si vel uterque A,» vel sal-
tem alteruter est formae 4n+-1, necessario (k, p) et (p, k) vel ambo pares vel
ambo impares esse debent. Quoties autem 4#(%—1)(p—1) impar est, quod eve-
nit, si uterque A, p est formae 4n 4-3, necessario alter numerorum (X, p), (p, A)
par, alter impar esse debebit. In casu priori itaque relatio ipsius k ad p et re-
latio ipsius p ad % (quatenus alter alterius residuum vel non-residuum est) iden-
ticae erunt, in casu posteriori oppositae.
Q.E.D.
SUMMATIO
QUARUMDAM SERIERUM
SINGULARIUM
AUCTORE
CAROLO FRIDERICO GAUSS
EXHIBITA SOCIETATI D. XXIV. AUGUST. MDCCCVIL.
Commentationes societatis regiae scientiarum Gottingensis recentiores. Vol. 1.
Gottingae MDCCCKI.
SUMMATIO
QUARUMDAM SERIERUM SINGULARIUM.
;”»
r.
Inter veritates insigniores, ad quas theoria divisionis circuli aditum aperuit,
locum haud ultimum sibi vindicat summatio in Disquiss. Arithmet. art. 356 pro-
posita, non modo propter elegantiam suam peculiarem, miramque foecunditatem,
quam fusius exponendi occasionem posthac dabit alia disquisitio, sed ideo quoque,
quod eius demonstratio rigorosa atque completa difficultatibus haud vulgaribus
premitur. Quae sane eo minus exspectari debuissent, quum non tam in ipsum
theorema cadant, quam potius in aliquam theorematis limitationem, qua neglecta
demonstratio statim in promtu est, facillimeque e theoria in opere isto explicata
derivatur. Theorema illic exhibitum est in forma sequente. Supponendo n esse
numerum primum, denotandoque indefinite omnia residua quadratica ipsius » in-
ter limites 1 et n—1 incl. sita per a, omniaque non-residua inter eosdem limites
iacentia per b, denique per w arcum un et per k integrum determinatum
quemcungue per » non divisibilem, erit |
I. pro valore ipsius n, qui est formae 4m-+1,
%cosako = —4+t$yYn
%cosbkw = — +7 +yn, adeoque
%cosakw — Lcosbkw = + Yn
Zsinakw — 0
Zsindbkwo — 0
2*F
12 SUMMATIO QUARUMDAM
II. pro valore ipsius n, qui est formae Am—+-3,
%cosakvo—= —}+
Ycosbkv—= —+#
Ysinako = + +yn
Ysindko— + +yn
Ssinako — Isindko— + yn
Hae summationes l.c. omni rigore demonstratae sunt, neque alia difhicultas
hic remanet nisi in determinatione signi quantitati radicali praefigendi. Nullo
quidem negotio ostendi potest, hoc signum eatenus a numero Ä pendere, quod
semper pro cunctis valoribus ipsius k, qui sint residua quadratica ipsius n, sig-
num idem valere debeat, et contra signum huic oppositum pro omnibus valoribus
ipsius k, qui sint non-residua quadratica ipsius n. Hinc totum negotium in va-
lore k— I versabitur, patetque, quam primum signum pro hoc valore valens in-
notuerit, pro omnibus quoque reliquis valoribus ipsius k signa statim in promtu
fore. Verum enim vero in hac ipsa quaestione, quae primo aspectu inter facilio-
res referenda videtur, in difficultates improvisas incidimus, methodusque, qua
ducente sine impedimentis hucusque progressi eramus, auxilium ulterius prorsus
denegat.
2.
Haud abs re erit, antequam ulterius progrediamur, quaedam exempla sum-
mationis nostrae per calculum numericum evolvisse: huic vero quasdam observa-
tiones generales praemittere conveniet.
I. Siin casu eo, ubi n est numerus primus formae 4m--1, omnia resi-
dua quadratica ipsius n inter 1 et 4(n— 1) incl. iacentia indefinite per a’ ex-
hibentur, omniaque non-residua inter eosdem limites per b’ constat, omnes n— «a
inter ipsos a, omnesque n—b' inter b comprehensos fore: quamobrem quum
omnes a’, b, n— a, n—b' manifesto totum complexum numerorum 1,2,3....
n—1 expleant, omnes a cum omnibus n—.a iuncti'omnes a complectentur,
et perinde omnes b’ cum omnibus n—b iuncti omnes b comprehendent. Hinc
erit
BE SINGULARIUM. 13
Ycosakw —= %cosakw + % cos
nu
n— a)kw
% cosbkw = % cosb’kw + Lcos n— D)kw
% sinako — %sinakw—+ Zsin n—a)kw
Y sinbko — X sinbkw + % sin (n— b)kw
Iam quum habeatur cos(n — da) kw — cosakw, cos (n—b)kw — cosbkw,
sinn —a)ko — — sinakw, sin(n—b)ko —= — sinykw, patet sponte fieri
Ysinakw — %sinakw — Zsinakw — 0
Ysinbkw — %sind’kw — 3 sindb’kw — 0
Summatio cosinuum vero hanc formam assumit
,
Y cosakw — 2% cosakw
Y%cosbkw —= 2 cosbkw
unde fieri debebit
1 + 4%cosako — + yn
1 + 4Lcosbkw = tn
2 2cos akw — 2%cosbkv = + yYn
‚II. Incasu eo, ubi n est formae Am + 3, complementum cuiusvis resi-
dui a ad n erit non-residuum, complementumque cuiusvis b erit residuum; quo-
circa omnes n—a convenient cum omnibus b, omnesque n—b cum omnibus a.
Hine colligitur
2cosakw — %cos(n—b)kw — Lcosbkw
quare quum omnes a et b iuncti omnes numeros 1,2,3....n—1 expleant,
adeoque fiat Zcosakw + % cosbkw —= coskw + cos 2kw + cos3kw + etc.
+ cos(n—1)kw = — 1, summationes
Lcosakw
x cos bkw
4
2
aa
\
|
sponte sunt obviae. Perinde erit
Zsinakw —= Zsin(n—b)kw — — Ysinbkw
IE
14 SUMMATIO- QUARUMDAM
unde patet, quomodo summationum
3%sinako = + yn
2X%sindko = + yn
altera ab altera pendeat.
4 3.
Ecce iam computum numericum pro aliquot exemplis:
I. Pro n=5 adest valor unus ipsius a, puta «= 1, valorque unus
ipsius b, puta b’ = 2; est autem
cos» — — 0,3090169944 cos2w — — 0,8090169944
adeoque 1+4csoe—=—+Yy5, 1+4cs20»—=—y5.
II. Pro n—= 13 adsunt tres valores ipsius @, puta 1, 3, 4, totidemque
valores ipsius d, puta 2, 5, 6, unde computamus
cos» = 4 0,8854560257 cos?2w —= — 0,5680647467
cos3w —= — 0,1205366803 cos5w — — 0,7485107482
. cos4w —= — 0,3546048870 cos6w — — 0,9709418174
Summa = — 0,6513878190 Summa — — 1,1513878189
Hine 1+48%cosdw = + Y13, 1+4+42cobw = — y13.
II. Pro n = 17 habemus quatuor valores ipsius a, puta 1, 2, 4, 8,
totidemque valores ipsius Ö’, puta 3, 5, 6, 7. Hinc computantur cosinus
cos» = —- 0,9324722294 cos3w —= + 0,4457383558
cos2» —= 4 0,7390089172 cos5® —= — 0,2736629901
cos4w —= — 0,0922683595 cos6w —= — 0,6026346364
cos8w» —= — 0,9829730997 cos7w —= — 0,8502171357
Summa —= — 0,7807764064 Summa — — 1,2807764065
Hine 1 +48cosdo = + Y17, 1+4X8codo = — Y17.
N
SERIERUM SINGULARIUM. 15
IV. Pro n = 3 adest valor unicus ipsius a, puta a = 1, cui respondet
sin» —= —+ 0,8660254038
Hinc 2sine = + y3.
V. Pro n = 7 adsunt valores tres ipsius a, puta 1, 2, 4: hinc haben-
tur sinus
sin® = -- 0,7818314825
sin?» — + 0,9749279122
sin4w —= — 0,4338837391
Summa —= + 1,3228756556, adeoque ,2°sinaw = + yT.
VI. Pro n= 11 valores ipsius a sunt 1, 3, 4, 5, 9, quibus respondent
sinus
sin» = + 0,5406408175
sin3® — — 0,9898214419
sin4® — + 0,7557495744
sin5® —= —- 0,2817325568
sin9w — — 0,9096319954
Summa — + 1,6583123952, et proin 2%sinaw —=- y1l.
VI. Pro n = 19 valores ipsius a sunt 1, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 16, 17, qui-
bus respondent sinus
sin w —= 4 0,3246994692
sin4® —= -+- 0,9694002659
sind® — + 0,9965844930
sin6® = —- 0,9157733267
sin’® = 0,7357239107
sn9® —= + 0,1645945903
sinil® = — 0,4759473930
sin 160 — — 0,8371664783
sini7® —= — 0,6142127127
Summa — —+ 2,1794494718, adeoque 2%sinaw — +19.
16 SUMMATIO QUARUMDAM
4.
In omnibus hisce exemplis quantitas radicalis signum positivum obtinet,
idemque facile pro valoribus maioribus n — 23, n — 29 etc. confirmatur, unde
fortis iam probabilitas oritur, hoc generaliter perinde se habere. Sed demonstra-
tio huius phaenomeni e principiis ]. c. expositis peti nequit, plenissimoque iure
altioris indaginis aestimanda est. Propositum itaque huius commentationes eo
tendit, ut demonstrationem rigorosam huius elegantissimi theorematis, per plures
annos olim variis modis incassum tentatam, tandemque per considerationes sin-
gulares satisque subtiles feliciter perfectam in medium proferamus, simulque theo-
rema ipsum salva seu potius aucta elegantia sua ad longe maiorem generalitatem
evehamus. Coronidis denique loco nexum mirabilem arctissimum inter hanc sum-
mationem aliudque theorema arithmeticum gravissimum docebimus. Speramus,
hasce disquisitiones non modo per se geometris gratas fore, sed methodos quoque,
per quas haec omnia efficere licuit, quaeque in aliis quogue occasionibus utiles
esse poterunt, ipsorum attentione dignas visum iri.
5.
Petita est demonstratio nostra e consideratione generis singularis progres-
sionum, quarum termini pendent ab expressionibus talibus
(1— 2”) (1— 2”t) (1—2"7?).... ((-z2"Att)
(1—2) (i—ar) (M—2)..... (1— x2*)
Brevitatis caussa talem fractionem per (m, p) denotabimus, et primo quasdam ob-
servationes generales circa huiusmodi functiones praemittemus.
I. Quoties m est integer positivus minor quam pt, functio (m, p) mani-
festo evanescit, numeratore factorem 1—x° implicante. Pro m = y, factores
in numeratore identici erunt ordine inverso cum factoribus in denominatore, unde
erit (p, p) = 1: denique pro casu eo, ubi m est integer positivus maior quam
&, habentur formulae
1— cr +i
e+1,9=,.. - =e+1,1)
— x +2 —xr +1
+29) 0 9 =p+2)
(1— xx)
Br NS HET = (+33) etc.
(1—z2) (i—.z')
SERIERUM SINGULARIUM. 17
sive generaliter
(m, 2) = (m, m— y)
II. Porro facile confirmatur, haberi generaliter
(mu +1) = (m—1, g-+1) + a"? (m—1, u)
quamobrem, quum perinde sit
m—1..+1)= m— 2, +1) + a"? (m— 2, 1)
m— 2,441) = (m—3,p +1) + a"? (m—3, p)
(m— 3,041) = (m—4,p +1) + 2”? (m— 4, p), etc.
I
quae series continuari poterit usque ad
+23 +1) = e+1,e +1) +@(e+1, p)
— (»p)+e(e+1,R)
siquidem m est integer positivus maior quam p-H1, erit
me+1)= (ne) tele t1,)+rr(e +2, 0) + @°(e+ 3,0) + etc.
+ El (m EB z k)
Hinc patet, si pro aliquo valore determinato ipsius p quaevis functio (m, x.)
integra sit, existente m integro positivo, etiam quamvis functionem (m, +1)
integram evadere debere. ‘Quare quum suppositio illa pro £=1 locum habeat,
eadem etiam pro a — 2 valebit, atque hinc etiam pro u=3 etc., i. e. genera-
liter pro valore quocunque integro positivo ipsius m erit (m, x) functio integra.
sive productum
NEN li
divisibile per |
1a) —aAA)(1-—a°).... (1-2)
6.
Duas iam progressiones considerabimus, quae ambae ad scopum nostrum
‘ducere possunt. Progressio prima haec est
nl. 3
18 SUMMATIO QUARUMDAM
Smu en Bee) 6 a - ee II
1-2 1—2) (1-2) — G-2) i—a) (1-2?)
sive
1— (m, 1)-+ (m, 2) — (m, 3) + (m, 4) — etc.
quam brevitatis caussa per f(x, m) denotabimus. Primo statim obvium est, quo-
ties m sit numerus integer positivus, hanc seriem post terminum suum m-+- er
af = 1) abrumpi, adeoque in hoc casu summam fieri debere functionem
finitam integram ipsius «. Porro per art. 5. II. patet, generaliter pro valore quo-
cunque ipsius m haberi
ww...
— (m, 1) = — (m—1,1)— a”
+ (m,2) = + (m—1,2)+ 0” (m—1,1)
— (m,3) = — (m—1,3) — a" (m—1,2), ete.
adeoque
f(z,m) = 1 ar 1 a") m —1,1)+ (1a) (m—1,2)
Sed manifesto fit
1a”) (m—1,1) = (
1— 23) (m—1,2) = (1— a”) (m — 2, 2)
(1— 2”) (m —1,3) = (
m
|
8
3
\
\
Eau
=
a)
+
2
unde deducimus aequationem
fie,m) = (1— 2”) f(@, m— 2) a a Be
1:
Quum pro m — 0 fiat f(&,m) = 1, per formulam modo inventam erit
fie, 2) = 1—ı
fe, 4) = 1-a)(1—a)
f@6) = ai)
f(@,8) = (1-2) 1 — a?) (1— a?) (1— a), etc.
sive generaliter pro valore quocunque pari ipsius m
fl@,m) = t—-)N— A) Ma)... U-rIN) 2. Bl
SERIERUM SINGULARIUM. 19
Contra quum pro m —= 1 fiat f(w, m) = 0, erit etiam
)
sive generaliter pro valore quocunque impari ipsius m
fi, m) = 0
Ceterum summatio posterior iam inde derivari potuisset, quod in progres-
sione
1— (m, 1) + (m, 2) — (m, 3) + etc. + (m, m — 1) — (m, m)
terminus ultimus primum destruit, penultimus secundum etc.
8.
Ad scopum quidem nostrum sufficit casus is, ubi m est integer positivus
impar: sed propter rei singularitatem etiam de casibus iis, ubi m vel fractus vel
negativus est, pauca adiecisse haud poenitebit. Manifesto tunc series nostra haud
amplius abrumpetur, sed in infinitum excurret, facileque insuper perspicitur, di-
vergentem eam fieri, quoties ipsi © valor minor quam 1 tribuatur, quapropter
ipsius summatio ad valores ipsius © qui sint maiores quam 1 restringi debebit.
Per formulam [1] art. 6. habemus
Ja.—2) = —
ita ut valor functionis f(x, m) etiam pro valore negativo integro pari ipsius m in
terminis finitis assignabilis sit. Pro reliquis vero valoribus ipsius m functionem
f(®, m) in produetum infinitum sequenti modo convertemus.
Crescente m in valorem negativum infinitum, functio f(, m) transit in
B Es
20 SUMMATIO QUARUMDAM
rt 1 1 1 1 N
Men 3a z—1 ng Pe er > Pe NR Ehe MB + ete.
Haec itaque series aequalis est producto infinito
ı & r
: etc. In infin.
Porro quum generaliter sit
f(a,m) = fm — 21) „(1 a) 1a” 3) 1-0”). (1 amt)
erit |
F(z,m) = fe, — ©). (1— a”) (1 — a”) (1— 2”) etc. in infin.
1 aM 1 gm 1 aM 1 mer
—
a A
quos factores tandem continuo magis ad unitatem convergere palam est.
Attentionem peculiarem meretur casus m = —1, ubi fit
-fe—1) = 1" Hat Ha + etc.
Haec itaque series aequatur producto infinito
1=c? 1-2" 1—."
— etc.
1— a! 1-2 1—x
sive scribendo x pro x, erit
1i—ı2z 1—-. 1-. 1:
3 6 BEN
1 +0" +2 ag etc, — I OR
Haec aequalitas inter duas expressiones abstrusiores, ad quas alia occasione reve-
niemus, valde sane est memorabilis.
9.
Secundo loco considerabimus progressionem hancce
4 1— 2” (1— 2”) (1— 2") 8 (1— 2”) (1— 2”) (1 — 2?)
ER 1— x 2.0 (1-2) (1i—xx) ” (1—2) (1—zz) (1—x°) + ete,
sive
1+ @* (m, 1)-+2(m, 2)-+ 2° (m, 3) + za(m, 4) + ete.
quam per Fw,m) denotabimus. Restringemus hanc disquisitionem ad casum
eum, ubi m est integer positivus, ita ut haec quoque series semper abrumpatur
SERIERUM SINGULARIUM. 21
cum termino m+ 1", qui est — x?” (m,m). Quum sit:
(m, m) = 1, (mm —1) = (m, 1), (m,m—2) = (m, 2), etc.
progressio ita quoque exhiberi poterit:
F(x,m) = a!" +03”) (m, 1) + a”) (m, 2) + ar) (m, 3) + ete.
Hinc fit
(1+23”7) F(a,m) = 1+ 2° (m, 1) + z(m, 2) + 2° (m, 3) + etc.
| +2." + 2.20” (m, 1) + 08.0” (m, 2) + etc.
Quare quum habeatur (art. 5. II) |
(m, 1)+2”" = (m+1,1)
(m, 2) +” (m, 1) = (m+1,2)
(m, 3) +2”"* (m,2) = (m-+1,3), etc.
provenit
(Hart Fam) = Fem-+1) - 2220.20. 0. ß]
Sed fit F(#,0) = 1: quamobrem erit
F(&,1) = 1-+.t
Fia,2) =(1+2))(1+3)
F(@,3) =(1+ 2°) (1+8)(1+@°), etc.
sive generaliter
Fam =1+)(1+2)1+2°)....14+2”) .... 4
10.
Praemissis hisce disquisitionibus praeliminaribus iam propius ad propositum
nostrum accedamus. Quum pro valore primo ipsius » quadrata 1,4,9....(4{n—1))?
omnia inter se incongrua sint secundum modulum », patet, illorum residua mi-
nima secundum hunc modulum cum numeris a identica esse debere, adeoque
2cosakw — coskw—+ cos4kw-+cos Ikw-+t etc. + cos (4 n— 1))’kw
Zsinako = sinkwo+sin 4kw+sin 9kw-t etc. + sin (4{n — 1)’ kw
Perinde quum eadem quadrata 1,4,9.... (4m—1)) ordine inverso congrua sint
his (4(n+1))?, (4(n+3))’, 4» +5))?..... (n—1)”, etiam erit
22 SUMMATIO QUARUMDAM
> cosakw = cos(}(n+1))"ko+ cos (4 n+3))" kw + etc. + cos (n—1)’kw
Zsinako = sin (4(n+1))’ko+ sin (4 \n+3))’kw—+ete. + sin n—1)’kw
Statuendo itaque
T — 1+c0skw+ cos 4kw—+cos9kw—+- etc. + cos(n—1)"kw
U— sinkw—+ sin 4kw—+sin 9kw—- etc. + sin (n—1)’kw
erit
|
142% cosakw Yy
2%sinako = U
Hinc patet, summationes, quales in art. 1. propositae sunt, pendere a summa-
tione serierum T'et U, quocirca, missis illis, disquisitionem nostram his adap-
tabimus, eaque generalitate absolvemus, ut non modo valores primos ipsius n,
sed quoscunque compositos complectatur. Numerum X autem supponemus ad »
primum esse: nullo enim negotio casus is, ubi k et n divisorem communem ha-
berent, ad hunc reduci poterit.
It,
Designemus quantitatem imaginariam \/—1 per i, statuamusque
coskw—+isinko = r
unde erit "= 1, sive r radix aequationis r*—1 — 0. Facile perspicietur,
omnes numeros A, 2%, 3k....(n—1)k per n non divisibiles atque inter se se-
cundum modulum » incongruos esse: hinc potestates ipsius r
90ER RR SE RRRGERN eine
omnes erunt inaequales, singulae vero quoque aequationi &°—1 —= 0 satisfacient.
Hanc ob caussam hae potestates omnes radices aequationis @—1 — 0 repraesen-
tabunt.
Hae conclusiones non valerent, si X divisorem communem haberet cum n.
Si enim v esset talis divisor communis, foret k. - per n divisibilis, adeoque po-
testas inferior quam r”, puta rv, unitati aequalis. In hoc itaque casu potesta-
tes ipsius r ad summum - radices aequationis &"—1 — 0 exhibebunt, et qui-
dem revera tot radices diversas sistent, si v est divisor communis maximus nume-
SERIERUM SINGULARIUM. 23
rorum %,n. In casu nostro, ubi Ak et n supponuntur inter se primi, r com-
mode dici potest radiw propria aequationis &—1 — 0: contra in casu altero, ubi
k etn haberent divisorem communem (maximum) v, r vocaretur radia impropria
illius aequationis, manifesto autem tunc eadem r foret radix propria aequatio-
nis @&»—1 — 0. Radix impropria simplicissima est unitas, in eoque casu, ubi n
est numerus primus, impropriae aliae omnino non dabuntur.
t3;
Quodsi iam statuimus
W=1+r+r'-+-r’+ete.+etec. Bir ui
patet fieri W = T-HiÜ, adeoque T esse partem realem ipsius W, atque U
prodire ex parte imaginaria ipsius W factore i suppresso. Totum itaque nego-
tium reducitur ad inventionem summae W: ad hunc finem vel series in art. 6
considerata, vel ea quam in art. 9 summare docuimus, adhiberi potest, prior ta-
men minus idonea est in casu eo, ubi » est numerus par. Nihilominus lectoribus
gratum fore speramus, si casum eum, ubi n impar est, secundum methodum du-
plicem tractemus.
Supponamus itaque primo, » esse numerum imparem, r designare radicem
propriam aequationis @”— 1 — 0 quamcunque, et in functione f(x, m) statui
@=r, atque m —=n—1. Hinc patet fieri
1—xr Bo 1—r"! En
1-2: 7 Ir eh
am. AN 1—r"? _.
1-22 A—rr Er:
1—am-2 1— 3 RR
iz >= Te ee. a
usque ad
u, ERNEUT Saar NEE en
1-2", Tg
(Haud superfluum erit monere, has aequationes eatenus tantum valere, quatenus
r supponitur radix propria: si enim esset r radix impropria, in quibusdam illa-
rum fractionum numerator et denominator simul evanescerent, adeoque fractio-
nes indeterminatae fierent).
Hinc dedueimus aequationem sequentem
24 SUMMATIO QUARUMDAM =
fir,n—ı) = IH r' Hr +Hr + etc. tr-1)n
. = len) 1-3
Eadem aequatio etiamnum valebit, si pro r substituitur r*, designante A
h
integrum quemcungue ad n primum: tunc enim etiam r" erit radix propria ae-
quationis =" —1 — 0. Scribamus itaque pro r,r””? sive quod idem est r”?
’
eritque
IH’ +r + r+ete. HH” = (1-7?) Ir) (Ir)... (1720)
Multiplicemus utramque partem huius aequationis per
Fa 3 2
vr...) — ri)
prodibitque, propter
P+in-1) 22 et „Rn+i n-1)? _ „En +41)?
„rin? _ „an Rn)? —_ „Alnt3)’
PItkn) _ „ann? RR ten —_ „Rt etc.
aequatio sequens
KR RL RS Let. tr 1
23 „Antı)® + rtn+s)° rin) tete. + „ten
— (Ar rer —r).... (rt)
aut, partibus membri primi aliter dispositis,
Ir +r Het Hr (rer)... re). . [5]
13.
Factores membri secundi aequationis [5] ita quoque exhiberi possunt
Po ri Zi er ieh
r a r? FRE (1? Be yrt3
r—r— — (M—rtB), etc
usque ad
7 y rt? BE (r? ET a 2\
quo pacto aequatio ista hanc formam assumit:
# SERIERUM SINGULARIUM. 95
WER)... re)
Multiplicando hanc aequationem per [5] in forma primitiva, prodit
= (1) er)... (or)
ubi (—1)?%V) estvel = +1 vel = —1, prout n est formae 4p-1, vel
formae 4#»+3. Hinc
Ww’ — aa yarln—ı) (1 je e* (1 Fe r*) (1 ir? v8) BER. (1 ER 7 Rn)
Sed nullo negotio perspicitur, »?, 7%, „6 u 5
aequationis @&—1=0, radicee x = 1 excepta, unde locum habere debebit ae-
exhibere omnes radices
quatio identica indefinita
.—r?)@—r*)(e@—r).... (ar) = a0?” ete +1
Quamobrem statuendo 2 = 1, fiet
(1 rt) (1—r).... (nr) — nm
et quum manifesto sit r?”"*-1) — 1, aequatio nostra transit in hanc
In casu itaque eo, ubi n est formae Ay +1, fiet
W=-+yn, etpon T=-+tyn U—=0
Contra in casu altero, ubi n est formae 4p +3, fiet
W=-+iyn, adeue T=0, U=-+yn
14.
Methodus art. praec. valorem tantummodo absolutum aggregatorum T, U
assignat, ambiguumque linquit, utrum statuere oporteat 7 in casu priori atque
U in casu posteriori = + n, an — —yYn. Hoc autem, saltem pro casu
eo ubi A = 1, ex aequatione [5] sequenti modo decidere licebit. Quum sit, pro
ZEMR :
II. 4
26 SUMMATIO QUARUMDAM
r— r! = 2isino
P—r? = 2isin3w
P—r” — 2isin5w etc.
aequatio ista transmutatur in
”=i% tr) sinw sin3o sind5w... sin(a— 2)w
Iam in casu eo, ubi rn est formae 4% +1, in serie numerorum imparium
1,3,5,7....4n—3), +n-H1).... na — 2)
reperiuntur +(»—1), qui sunt minores quam #n, hisque manifesto respondent
sinus positivi; contra reliqui 4+{(n—1) erunt maiores quam #n, hisque sinus ne-
gativi respondebunt: quapropter productum omnium sinuum statuendum est ae-
quale producto e quantitate positiva in multiplicatorem ee, adeoque W
aequalis erit producto e quantitate reali positiva in i”""
sive in 1, quoniam
“= 1, atque n—1 per 4 divisibilis: i.e. quantitas W erit realis positiva, unde
necessario esse debebit
W=+yn T=-+yn
In casu altero, ubi n est formae 4p—+-3 in serie numerorum imparium
1,3,5,7....+n—1), #{n+3).... (n—2)
priores 4(n+-1) erunt minores quam 4, reliqui 4(r—3) autem maiores. Hine
inter sinus arcuum ®, 3®, 50 .... (n—2)w negativi erunt 4+(n—3), adeoque W
erit productum ex 3!) in quantitatem realem positivam in (—1)*®), factor
tertius est — i" 9), qui cum primo iunctus producit i”"” —=i, quoniam
77” —= 1. Quamobrem necessario erit
W=-iyn, aque U=+yn
15.
Iam ostendemus, quo pacto eaedem conclusiones e progressione in art. 9
considerata deduci possint. Scribamus in aequ. [4] pro ©, —y”', eritque
SERIERUM SINGULARIUM. 27
te EL) 8 EU)
year en Gy) Gy Gy trete.
usque ad terminum mt tum
= ya ya N. gm... m
Quodsi hie pro y accipitur radix propria aequationis y’—1 — 0, puta r, atque
simul statuitur m = n—1, erit
1 y® BR 1—r? Rn ie
1—y” AR 1—r”? ver wong
1 ymt? SER 1—r°® we ri
1—y”* u Ya
1—yrmta RE 1—r® RER „6
er ae
usque ad
ae BER 2n—2
1 y I 3 eg
ubi notandum, nullum denominatorum 1—r”%, 1—r”etc. fieri = 0. Hinc
aequatio [7] hancce formam assumit
Ir tr Hr +ete. +9 = 1) Hr) (Ir)... (Hr)
Multiplicando in membro secundo huius aequationis terminum primum per ulti-
mum, secundum per penultimum etc., habemus
RR er
d4r rt) = "rt?
(tr?) (rt —=r—r"
‘ )
Ex his productis partialibus facile perspicietur conflari productum
Kr ler er)... re rrr2)
quod itaque erit
—1+Hr+r+r+ete Hr" — W
Haec aequatio identica est cum aequ. [5] inart. 12 e progressione prima derivata,
ratiociniaque dein reliqua eodem modo adstruentur, ut in artt. 13 et 14.
4*
28 SUMMÄTIO QUARUMDAM
8;
Transimus ad casum alterum, ubi n est numerus par. Sit primo » formae
4-2 sive impariter par, patetque, numeros jnn, (4n-+1)’—1, (4n—+ 2)”—4 etc.
sive generaliter (#”» +A)’— AA per #n divisos producere quotientes impares, ad-
eoque secundum modulum % congruos fieriipsi 4n. Hinc colligitur, si r sit ra-
dix propria aequationis #—1 — 0, adeoque r?" — —1, fieri
„”’ — —1
Gin,
„art? 2A
rt" _ —_P etc
Hinc in progressione
1r ri tr tete. +2"
terminus r(”" destruet primum, sequens secundum ete., adeoque erit
W.= 0, T= 0, U=0
IT.
Superest casus, ubi n est formae Ag. sive pariter par. Hic generaliter
(4n +A)”— MM divisibilis erit per n, adeoque
„an+N® _ „AA
Hinc in serie
Ir tr r tete. Hr"
en „an’ aequalis erit Brio: sequens secundo ete., ita ut fiat
W = 2(14r-Hri+r+ete. + r4r))
Iam supponamus, in aequ. [7] art. 15 statui m = 4n—1, et pro y accipi
radicem propriam aequationis y”—1 = 0, puta r. Twunc perinde ut in art. 15
aequatio sequentem formam obtinet: |
I+r+ritete. Hr? — (— rt) Hr YilrT’) oo. (Kerr
SERIERUM SINGULARIUM. 29
sive
Ww= 21 Hr tr li)... , , 08]
Porro quum sit r?” = —1, adeoque
a Bere
I+r* — em dr Pre
14H, — — rt" re etc.
productumque e factoribus —r!" ”, —r"*, — "7° etc. usquead —r? fiat
— (—1)T1 TR gequatio praecedens ita quoque exhiberi potest
Mr ne ei ri Nler ler) I. ar rt
Quum habeatur ”
Ir ' — —r! HORT)
Ir’ = —r” (1 en
Ir" — —r (1 ie etc.
erit
Ur tr Mir) Pa ER ee |
ee Aa ar N. art)
adeoque
er ar dor 9 ....dor N)
Multiplicando hunc valorem ipsius W per prius inventum, adiungendoque utrim-
que factorem 1—r *”, prodit
NE TA N ar) (hr rt)
(
Sed fit
Ir" o2
Ge ur
a BEER
Mr Ur dar)... (ort) —n
Unde tandem conceluditur
30 SUMMATIO QUARUMDAM
A ne ee
Iam facile perspicietur, rt" essevel = -i vel = —i, prout scilicet k vel
formae Au-+1 sit, vel formae 4u +3. Et quum sit
i=(1Hi), —2 = (1-i)
erit in casu eo, ubi Ak est formae 4u—1,
Me a, adoue T= U=—yn
in casu altero autem, ubi Ak est formae 44-3
W=-+l1—i)yVn, adoeue T=—U=-+yn
° 18.
Methodus art. praec. valores absolutos functionum 7, U suppeditavit, con-
ditionesque assignavit, sub quibus signa aequalia vel opposita illis tribuenda sint:
sed signa ipsa hinc nondum determinantur. Hoc pro eo casu, ubi statuitur k=1,
sequenti modo supplebimus. |
Statuamus p= cos$w—+isin}w, ita ut fiat r — pp, patetque, propter
pP" = —1 aequationem [8] ita exhiberi posse
W= 214) a HE) Hp") (ip)... (14+p”r%)(1-+p%)
sive factoribus alio ordine dispositis
wur) UHR) HE)... (HP) HEN?)
Iam fit
1+p? — 2pcostw
1+p* = 2p”*cosw
1+p” = 2p?cos}w
1+p” = 2p”icos2w, etc.
usque ad
1 pt = 2p Prrrcos(4n—1)w
14 pP" — 2p"cos(4n—4)w
Quamobrem habetur
SERIERUM SINGULARIUM. 31
W= 2i" pi" cos4wcosw}w ....0c008(4n —4)w
Cosinus in hoc productum ingredientes manifesto omnes positivi sunt, factor p!”
autem fit = cos45°+isin45’ = (1+i)/4. Hine colligimus, W esse productum
ex 1+-i in quantitatem realem positivam, unde necessario esse debebit
W=(+j)y/n T=+yn, U=+yn
19.
Operae pretium erit, omnes summationes hactenus evolutas, hic in unum
conspectum colligere. Generaliter scilicet est
5 U= | prout n est formae
tyn | Eyn ap
+tyn 0 401
0 0 4u-+2
tyn 4u+3
etin casu eo, ubi % supponitur — 1, quantitati radicali signum positivum tri-
bui debet. Omni itaque iam rigore ea, quae pro valoribus primis ipsius » in art. 3
per inductionem animadverteramus, demonstrata sunt, nihilque superest, nisi ut
signa pro valoribus quibuscunque ipsius k in omnibus casibus determinare docea-
mus. Sed antequam hoc negotium in omni generalitate aggredi liceat, primo ca-
sus eos, ubi » est numerus primus vel numeri primi potestas, propius conside-
rare oportebit.
20.
Sit primo n numerus primus impar, patetque per ea, quae in art. 10 ex-
posuimus, esse W —= 142% — 1+ 22 R“%, si statuatur R = cosw-isin o,
_ denotante a ut illic indefinite omnia residua quadratica ipsius » inter 1 et n—1
contenta. (Quodsi quoque per b indefinite omnia non-residua quadratica inter
eosdem limites exprimimus, nullo negotio perspicitur, omnes numeros ak con-
gruos fieri secundum modulum » vel omnibus a vel omnibus 5 (nullo ordinis re-
spectu habito), prout A vel residuum sit vel non-residuum. Quamobrem in casu
priori erit
32 SUMMATIO QUARUMDAM
W=1+22R’= IHR+R + Reto. + Re"
adeoque W=+yn, sin est formae 4u—+1, atue W=-iyn, sin est
formae 4p +3.
Contra in casu altero, ubi & est non-residuum ipsius n, erit
W= 1+ 2 R®
Hinc quum manifesto omnes a, b complexum integrum numerorum 1,2,3.,.
expleant, adeoque sit
SEI IP—=hBIR TEE en
fiet
W= —1—22R?= — (IH R--R'+ R’+ete. + Re)
adeoque W = — \n, sin est formae 4u +1, atque W = —iyn, si n est
formae 4p—3.
Hinc itaque colligitur
primo, si n est formae 4-1, atque %k residuum quadraticum ipsius ,
T=-+yn T=0
secundo, si n est formae 4%--1, atque k non-residuum ipsius n,
Bei —/ N, at
tertio, si n est formae 44-3, atque k residuum ipsius n,
PN U=+yn
quarto, si n est formae 4-3, atque k non-residuum ipsius n
E ==: 0% U — n
21.
Sit secundo n quadratum altiorve potestas numeri primi imparis p, statua-
turque n—=9p”g, itautsit q vel =1 vel —p. Hic ante omnia observare
convenit, si A sit integer quicungue per p* non divisibilis, fieri
SERIERUM SINGULARIUM. 33
ih 4, tr9 te’ HD etc, ot rg!
% % Eich Il __„eın
ns LPT etc. +?” FD FR 0 0
FIRIP* 777 n
Hinc facile perspicietur, fieri
W114" Hr" Hr Het. Hr
Termini enim reliqui progressionis
Ir Hr Hr +ete. Hr
distribui poterunt in (p*—1)g progressiones partiales, quae singulae sint p* ter-
minorum, et per transformationem modo traditam summas evanescentes conficiant.
Hine colligitur, in casu eo, ubi ft = 1, sive ubi n est potestas numeri
primi cum exponente pari, fieri
W=p"—=-+yn, adeeque T=-+yn, U=0
Contra in casu eo, ubi 9 = p, sive ubi » est potestas numeri primi cum
R R 24 . . . . .
exponente ımparl, statuemus re. == p, unde p erit radix propria aequationis
aP —1 —= 0, et quidem p = c0s360°-+isin,. 360°, ac dein
1)?
)
Sed summa seriei 14+p-+p'+p’+ etc. + pP" per art. praec. determi-
natur, unde sponte concluditur, fieri
Wirte ip Hp +etc. + p?”
W=-+yn=[IT, sifuerit p formae 44-1
W=-iyn=iU, sifuerit p formae 4-3
signo positivo vel negativo valente, prout A fuerit residuum vel non-residuum
ipsius p.
22.
Facile quoque ex iis, quae in artt. 20. et 21 exposita sunt, derivatur pro-
positio sequens, quae infra usum notabilem nobis praestabit. Statuatur
W = 14H +4" ete. re)
Il. ; 5
34 SUMMATIO QUARUMDAM
denotante A integrum quemcunque per 9 non divisibilem, eritque in casu eo,
ubi =», velubi r est potestas ipsius p cum exponente impari,
W'=W, si fuerit A residuum quadraticum ipsius p
W = —W, si fuerit A non-residuum quadraticum ipsius p
Patet enim, W’ oririex W, si pro k substituatur kA; in casu priori autem %k
et kh similes erunt, in posteriori dissimiles, quatenus sunt residua vel non-resi-
dua ipsius p.
In casu eo autem, ubi n est potestas ipsius p cum exponente pari, mani-
festo ft W'—= + y\n, adeoque semper W’ — W.
23. /
In artt. 20. 21. 22 consideravimus numeros primos impares, taliumque po-
testates: superest itaque casus, ubi n est potestas binarii.
Pro n= 2 manifesto ft W=1+r—0.
Pron=4 prodt W=1-+r-+r'+r’ = 2-#2r: hne W = 2 +2i,
quoties A est formae 4-1, atque W — 2—2i, quoties k est formae 4443.
Pron= 8 habemus W=1-Hr + Hr’ Hr! Hr Hr 9 — 94 Ar -+2r“
— 4r. Hinc erit
—= (1+i)/8, quoties k est formae Su 1
‘= (—1-Hi)/8, quoties k est formae Su+3
”"— ara, V8, quoties k est formae Sp +5
W=(1-i))8, quoties k est formae Sp +7
‘ Sin est altior potestas binarii, statuamus n — 2”g, ita ut q sitvel = 1
vel = 2, atque x maior quam 1. Hic ante omnia observari debet, si X sit in-
teger quicunque per 2*' non divisibilis, fieri
NN 4,2) RO ar ET. +-ete, EHE
. i yet, „yarıı „yet _.94+ Al __y2in
a
Hinc facile perspicietur, fieri
W=1-r
224-2
tr
4.2792
ER etc. = nn)
SERIERUM SINGULARIUM. 35
20-2
rasen Pr eritque radix aequationis &7—1 — 0, et qui-
pP» R q p q q
dem p = cos; 360°-+isin .— „360°; dein fiet
W= 1+p+p!+ 1 a a
— IH p+ pt + pP + ete. + N)
_- 2 .
Sed summa seriei 1+p+p'+p’+ etc. + pl" ') per ea, quae de casibus n — 4,
n — 8 explicavimus, determinatur, unde colligimus
in casu eo, ubi g=1, sive ubi „ est potestas numeri 4, fieri
— (1+1)2* = (1+Hi)n, si fuerit A formae Au 1
er (1—5)2* = (1—i)yYn, si fuerit k formae 443
quae sunt ipsissimae formulae pro n — 4 traditae;
in casu eo autem, ubi qg — 2, sive ubi n est potestas binarii cum exponente im-
pari maiori quam 3, fieri
— 1H)/2 =(1+iyYn, si fuerit k formae Sp—+1
W = (—1+i)2’7/2 = (—1-+i)yn, si fuerit k formae Sp +3
W = (—1-—i)2"/2 = (-1—i)/n, sifuerit k formae Sp—+5
W=M-—i)2)2 =(—i)yn, si fuerit k formae Spu—+7
quae quoque prorsus conveniunt cum lis, quae pro n = 8 tradidimus,
24.
Etiam hic operae pretium erit, rationem summae progressionis
W = 1+r"+r" tr” etc. + rn)
ad W determinare, ubi A integrum quemcungue imparem denotat. Quum W’
oriaturex W, mutando k in kA, valor ipsius W” perinde a forma numeri Ah
pendebit, ut W a forma ipsius A. Statuamus u — !, patetque
I. in casu eo, ubi n =4, vel altior RN binarii cum exponente pari,
fieri
ie, si fuerit % formae 4p—1
!=—i, sifuerit A formae 4£ +3, atque k formae 4p—1
!=-i, sifuerit h formae 4p—+-3, atque %k eiusdem formae.
5*
36 SUMMATIO QUARUMDAM
II. in casu eo, ubi n = 8, vel altior potestas binarii cum exponente im-
pari, fieri
=1, si fuerit h formae Su —1,
= —1, si fuerit h formae Sp +5,
!=-i, sifuerit vel A formae Sp—+-3, atque k formae 4u-+-1,
vel 4 formae 8-7, atque %k formae. 4u+-3,
= —i, sifuerit vel A formae 8-3, atque k formae 4p-+3,
vel A formae 8p-+-7, atque k formae 4p-H1.
Per praecc. determinatio summae W pro iis casibus, ubi » est numerus
primus vel numeri primi potestas, complete perfecta est: superest itaque, ut eos
quoque casus absolvamus, ubi 2 e pluribus numeris primis compositus est, huc
viam nobis sternet theorema sequens: .
25.
Tnrorema. Sit n productum e duobus integris positivis inter se primis a, b,
statuaturque
Bas 147° + rt00 90a etc, + r0’aa
Q Dr 1 ri 4 7988 I etc. re’
Tum dico free W= PR.
Demonstr. Designet & indefinite numeros 0, 1,2,3....a—1i, 5 indefinite
numeros 0,1,2,3....5—1, v indefinite numeros 0,1,2,3....n—1. Tune
patet esse
Piö Zraa66 Q Re Zrbbaa W— Lr”
‘
Hinc erit PQ = Zr“#s+0bsr, sybstituendo pro aet 5 omnes valores, omnibus mo-
dis inter se combinatos; hinc porro propter 2abaB —= 2aBn, erit PQ — Irl«+2.
Sed nullo negotio perspicitur, singulos valores ipsius ab—+-ba inter se diversos
esse, atque alicui valori ipsius v aequales. Hincerit PQ=X”—W.
Ceterum notandum est, r“@ esse radicem propriam aequationis #—1 — 0,
atque r?? radicem propriam aequationis & — 1 — 0, /
SERIERUM SINGULARIUM. sr
26.
Sit porro » productum e tribus numeris inter se primis a, b, c, patetque, si
statuatur be — b’, etiam «et b’ inter se primos fore; adeoque W productum
e duobus factoribus | |
ET E- yiaa ee y9aa ete,+ y®—1)’aa
1 4,0% AR „iv i „0% + etc. + „(e—1)%%
Sed quum r““ sit radix propria aequationis a —1 — 0, erit ipse factor prior
productum ex
etc. np’
14° + pie pP etc. REN La
si statuitur r“* = p. Hinc patet, W esse productum e factoribus tribus
ER Li po 4 gPP0se + etc ar 2 ty Dee
14.100 1. „40000 1. 9a000 1 ot. Ba Kaas
1 rd Ftaadd | „Naabd_\ etc a eu
‚ubi „@@e0, y«abd erunt resp. radices propriae aequatiinum 2@°—1 = 0,
b
NEU Pi.
„bbee
27.
Hinc facile concluditur generaliter, si n sit productum e factoribus quot-
cunque inter se primis a, b,c etc., W fieri productum e totidem factoribus, qui
sint
nn ann Inn (a—1)’nn
1-4raa-raa —raa etc. +r «a
nn ann Inn (B—1)’nn
1 rd rd rbb etc. Hr 5b
nn ann Inn (c—1)”’nn
IiHre-re+re-tet. +r « ,etc.
ee Bern |
ubi r«a, rbb, rc etc. eruntradices propriae aequationum @#°—1=0, Pt,
a —1 —= 0 etc.
28.
Ex his principiis transitus ad determinationem completam ipsius W pro va-
lore quocunque ipsius » sponte iam obvius est. Decomponatur scilicet » in facto-
38 SUMMATIO QUARUMDAM
res a, b, c etc. tales, qui sint vel numeri primi inaequales, vel potestates nume-
rorum primorum inaequalium, statuatur aa — 4; N B, Po AN etc.
eruntque A, B, C etc. radices propriae aequatinum @—1—0, a —1— 0,
x —1 = 0 etc., atque W productum e factoribus
1+A+ 2 2 EN
1+B-++ B' + B’ + te: + BR)
I4+C+ C' +0’ +ete. + 0)
Sed hi singuli factores per ea, quae in artt. 20, 21, 23 docuimus, determinari po-
terunt, unde etiam valor producti innotescet. Regulas pro determinandis illis
factoribus hic in unum obtutum collegisse haud inutile erit. Quum radix A fiat
— an aggregatum ei EEE RN. ff ‚ quod per Z denota-
bimus, perinde per numerum —” determinabitur, ut in disquisitione nostra gene-
rali W per Ak. Dwuodecim iam casus sunt distinguendi.
I. Si a est numerus primus formae 44-1, puta = p, vel potestas talis
numeri primi cum exponente impari, simulque ud residuum quadraticum ipsius
p, at L=+Yya.
Il. ‚Si manentibus reliquis — est non-residuum quadraticum ipsius p,
erit L= —Ya. |
Il. Si a est numerus primus formae 4p-3, puta — p, vel potestas ta-
lis numeri primi cum exponente impari, simulque d residuum quadraticum
ipsius 9, erit L= -tHiya.
IV. Si, manentibus reliquis ut in III, id est non-residuum quadraticum
ipsius p, erit L= —iya.
V. Sia est quadratum, altiorve potestas numeri primi (imparis) cum ex-
ponente pari, ert L—= + ya.
EI Rh
VO. Si a=4, altiorve potestas binarii cum exponente PR simulque
od formae 4p +1, erit L= (1-+i)y\a.
VII. Si, manentibus reliquis ut in VII, z est forrmae 44. +3, erit
L=(1—i)ya.
IX. Sia= 8, altiorve potestas binarii cum exponente impari, simulque
— formae Sp +1, erit L= (1-+i) Va.
SERIERUM SINGULARIUM, 39
X. Si, manentibus reliquis ut in IX, a est forrmae Sp +3, erit
L = (-1-+i)ya.
XI. Si manentibus reliquis a est formae Sp +5, erit L= (—1-—i)ya.
XII. Si manentibus reliquis = est formae 8Sy—+7, ert L=(1—i)ya.
29.
Sit exempli caussa n = 2520 =8.9.5.7, atque k=13. Hic erit
pro «= 8, per casum XII, Z = (1—i)y/8
pro factore 9, per casum V, summa respondens erit — /9
pro factore 5, per casum II, summa respondens erit — — 5
pro factore 7, per casum III, summa respondens erit = —+iy 7.
Hine ft W = (1—i). (—i). 2520 = (—1—i)y 2520.
Sit pro eodem valore ipsius », k —= 1: tunc respondebit
factori 8 summa (—1-Hi)\/8
factori 9 summa \/9
factori 5 summa yY5
factori 7 summa —iy7
Hinc conflatur productum W = (1-+i) \/ 2520.
30.
Methodus alia, summam W generaliter determinandi, petitur ex iis, quae
in artt. 22. 24 exposita sunt. Statuamus cosw—+-isin® — p, atque
nn an nn
een, pe 6, pe. = Y: ete.
ita ut habeatur r = p, A= a*, B=6*, C= y“ete. Tunc erit
1 4 9 t a3 SER
+p+pP+p-+ete.+p
productum e factoribus
1ta+a' ta tete. + a}
I+5-+ 6-8’ Lete. +50")
I+y+r'+Y’+ete. Hy", ete.
40 SUMMATIO QUARUMDAM
adeogque W productum e factoribus
(n—1):
w— I+p+pi+p’—+etc. +p
1+4+4 +4 etc + 4)?
1+0@+ 0: + a +etc. + ale-ı)
1+B+DB°4+ DB’ + ete. + Bl)?
i+6 +6 +6 +eto. + 60)”
TEO+AFTOT 80 + 0
I+r+rt+rtee +7)
Iam factor primus w determinatus est per disquisitiones supra traditas (art. 19);
factores reliqui vero 4, ®, C etc. prodeunt per formulas artt. 22. 24, quas ut
omnia iuncta habeantur, hie denuo colligimus *). Duodecim casus hic sunt distin-
guendi, scilicet
I. Si a est numerus primus (impar) — p, vel talis numeri potestas cum
exponente impari, atque %k residuum quadraticum ipsius p, erit factor respon-
dens = 1.
Il. Si manentibus reliquis % est non-residuum quadraticum ipsius p, erit
= —1i.
II. Si a est quadratum numeri primi imparis, altiorve eius potestas cum
exponente pari, erit Y= +1.
IV. Sia est = 4, aut altior binarii potestas cum exponente pari, simul-
que k formae 4p£-H1, rt Y\= 1.
V. Si, manentibus reliquis ut in Ibn k est formae 4p. are 3, atque
formae 4u 1, ert Y= —i.
VI. Si, manentibus reliquis ut in IV, % estformae 4-3, atque
formae 4p +3, ert A= -ti.
VI. Sia est = 8, autaltior binarii potestas cum exponente impari,
atque %k formae Sp-+1, ert = -H. .
VIII. Si, manentibus reliquis ut in VII, % est formae Se +5, rt Y=—1.
IX. Si, manentibus reliquis ut in VII, % est formae 8p--3, atque B
formae 4p +1, rt A=-i.
a|s
*) Manifesto, quae illic erant A et A, hie erunt ” et k respectu factoris secundi, rn. et k respectu
a
factoris terti etc.
ER
SERIERUM SINGULARIUM. 41
|
X. Si, manentibus reliquis ut in VII, Ak est formae 8p +3, atque
formae 4p +3, erit = —i.
XI. Si, manentibus reliquis ut in VII, k est formae Su 7, atque —
formae Ap +1, erit V= —i.
XII. Si, manentibus reliquis ut in VII, % est formae 8p-+-7, atque =
formae 4. —+3, ert Y=-i.
Casum eum, ubi a — 2, praeterimus; hic quidem 4 foret =} sive in-
determinatus, sed tunc semper W = 0.
Factores reliqui ®, C etc. perinde pendent a db, cetc., ut Y ab a, quate-
nus in illorum determinationem ingrediuntur.
31.
Secundum hanc methodum alteram exemplum primum art. 29 ita se habet:
Factor w fit = (1-+i)y 2520
Pro a = 8 factor respondens W fit, per casum VIII, — —1
Factori ipsius n secundo 9 respondet factor +1 (per casum III.)
Factori 5 respondet factor —1 (per casum II.)
Factori 7 respondet factor —1 (per casum II.)
Hinc conflatur productum W = (—1—i)/2520, utin art. 29.
32.
Quum valor ipsius W per methodos duas determinari possit, quarum altera
relationibus numerorum “=, pd = etc. ad numeros a, b, c etc. innititur, altera
vero a relationibus ipsius k ad numeros a, b, c etc. pendet, inter omnes has re-
lationes nexus quidam conditionalis intercedere debet, ita ut quaevis e reliquis
determinabilis esse debeat. Supponamus, omnes numeros a, b, c etc. esse nume-
ros primos impares, atque k accipi = 1; distribuanturque factores a, b, c etc. in
duas classes, quarum altera contineat eos, qui sunt formae 4£—-1, et qui deno-
tentur per p, p,, p" etc., altera vero constet ex iis, qui sunt formae 4p +3, et
qui exprimantur per 9,g,g' etc.: multitudinem posteriorum designabimus per m.
His ita factis, observamus primo, » fieri formae 4p +1, si m fuerit par (quorsum
etiam referri debet casus is, ubi factores classis alterius omnino desunt, sive ubi
m — 0), contra n fieri formae 4p—+-3, si m fuerit impar. Jam determinatio
I. 6
42 SUMMATIO QUARUMDAM
ipsius W per methodum primam ita perficitur. Pendeant numeri P, P’ P” etc.,
N n n
— etc. ad nu-
3 R ee nn
Q, &, @" etc. ita a relationibus numerorum eye - etc., ars
meros p, p, p" ete., q, g, g’ etc. resp., ut statuatur
re = est residuum quadraticum ipsius 9
P= 4,8 = est non-residuum quadraticum ipsius p
et perinde de reliquis. Tunc erit W productum e factoribus PVp, P\p, P'\p” etc.
iQyg. iQVg, iQ’\g’ etc., adeoque
W=PFP:.2,. 00 808
Per methodum secundam, aut potius statim per praecepta art. 19, erit
W=-+yn, sin estformae 4p+-1, velquod eodem redit, si m est par
W=-iyn, sin est formae 4-3, velsi m est impar.
Utrumque casum simul complecti licet per formulam sequentem:
A
Hine itaque colligitur
PPFR ... 000... en
3. B8E Seiser 5 , quoties m est formae 4p vel 4-1, atque — —1, quo-
ties m est formae 4»+-2 vel 44-3, unde deducimus sequens elegantissimum
Ineorema. Denotantibus a, b, c etc. numeros primos impares positivos inae-
quales, quorum productum statuitur — n, et inter quos m sint formae Au +3, re-
liqui formae Aw—-1: multitudo eorum ex his numeris a,b, c etc., quorum non-resi-
ee >> etc., par erit, quoties m est formae Ay vel Ay--1, impar
vero, quoties m est formae Ap—2 vel Aw--3.
Ita e. g. statuend a = 3,db=5,c—=7,d = 11, habemus tres numeros
formae 42-3, puta 3, 7 et 11; est autem 5.7.11 R35:3.7:1V RS; 3:51 Br;
3.5.7 Nil, sive unicus 5 est non-residuum ipsius d.
dua resp. sunt
33.
Celeberrimum theorema fundamentale circa residua quadratica nihil aliud est,
nisi casus specialis theorematis modo evoluti. Limitando scilicet multitudinem
SERIERUM SINGULARIUM. 43
numerorum a,b, cetc. ad duos, patet, si unus tantum ex ipsis, vel neuter, sit
formae 4-3, fieri debere vel simul aRb, bRa, vel simul aNb, bNa; con-
tra si uterque est formae 4-3, unus ex ipsis altefius non-residuum esse
debebit, atque hic illius residuum. En itaque demonstrationem quartam huius
gravissimi theorematis, cuius demonstrationem primam et secundam in Disqui-
sitionibus Arithmeticis, tertiam nuper in commentatione peculiari tradidimus
(Commentt. T. XV): duas alias principiis rursus omnino diversis innitentes in
posterum exponemus. Summopere sane est mirandum, quod hocce venustissimum
theorema, quod primo omnes conatus tam pertinaciter eluserat, tot postea viis
toto coelo inter se distantibus adiri potuerit.
34.
Etiam theoremata religqua, quae quasi supplementum ad theorema funda-
mentale efliciunt, scilicet per quae dignoscuntur numeri primi, quorum residua
vel non-residua sunt —1, +2 et —2, ex iisdem principiis derivari possunt.
Incipiemus a residuo —2.
Statuendo n = 8a, ita ut a sit numerus primus, atque k = 1, per me-
thodum art. 28. W erit productum e duobus factoribus, quorum alter erit + a,
vel +iya, si 8, vel quod idem est 2, est residuum quadraticum ipsius a; con-
tra — Ya vel —iya, si 2 est non-residuum ipsius a. Factor secundus autem est
(1+i)/8, si a est formae Su 1
(—1-+i)/8, si a est formae Su +3
(—1—i)/8, si a est formae 8Sp-+5
(1—M)y/8, si a est formae 8-7
Sed per art. 18 semper erit W= (1-+-iyn; dividendo hunc valorem per qua-
tuor valores factoris secundi, patet, factorem primum fieri debere
+ Ya, sia est formae Sp 1
—iVa, sia est formae Su—+3
— Ya, si.a est formae Sp—+5
—+iVa, si.a est formae 8Sp—+7
Hinc sponte sequitur, in casu primo et quarto 2 esse debere residuum ipsius a,
in casu secundo et tertio autem non-residuum.
6*
44 SUMMATIO QUARUMDAM
35.
Numeri primi, quorum residuum vel non-residuum est —1, facile dignos-
cuntur adiumento theofematis sequentis, quod etiam per se ipsum satis memo-
rabile est.
Tueorzema. Productum e duobus factoribus
W = 1+4r"!-r tete. +)?
W —=1+r-+ri-tete +r =)?
est = n, si n estimpar; vel — 0, si n est impariter par; vel —= 2n, si n est
pariter par.
Demonstr. Quum manifesto fiat
W=r+r+r+etc +r
Hr’ +etc. +, +7
— r’ tete. Hr "+2" etc.
productum WW’ ita quoque exhiberi poterit
Is Er r + etc
+ nr Hr Hr +r—+ete +r””)
+ re Hr Hr rt ete. Het)
+ r?(P+r-r®-r®ete. +rt?7)
etc.
+ er RD Lete, +r2r29)
quod aggregatum verticaliter summatum produeit
n
+r(i+rr Hr +r—+ete. 47°?)
+1 +4r Hr’ +r?+ete. +9)
+r’(i+ er r?®+r’—+ete. +19)
— etc.
HP (92 rin 6 etc. E97
lam si n impar est, singulae partes huius aggregati, praeter primam », erunt
= 0; secunda enim manifesto fit I, tertia ee etc. Quoties vero n
par est, excipere insuper oportebit partem
SERIERUM SINGULARIUM. 45
yinn (1 -r"+-r” +r”"+ etc. + ag
quae ft —= nr“. In casu priori itaque it WW’ = n, in posteriori autem
—n+tnr”;, sed rt” ft =-+1, si n est pariter par, tunc itaque prodit
WW' —2n:; contrafit r!” — —1, si n est impariter par, ubi itaque evadit
FW —=u ED.
36.
Iam per art. 22 constat, si » sit numerus primus impar, LM fieri = +1
vel = —1, prout —1. fuerit residuum vel non-residuum ipsius ». Hincin casu
priori esse debebit W*—=--n, in posteriori W* = —n; quamobrem per art. 13
concludimus, casum priorem tunc tantum locum habere posse, quando n sit for-
mae 44-1, casumque posteriorem, quando » sit formae 4-3.
Denique e combinatione conditionum pro residuis 42 et —1 inventarum
sponte sequitur, — 2 esse residuum cuiusvis numeri primi formae 8p—-1 vel
8-3, atque non-residuum cuiusvis numeri primi formae Sp—+5 vel 8p+-7.
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THEOREMATIS FUNDAMENTALIS
IN
DOCTRINA DE RESIDUIS QUADRATICIS
DEMONSTRATIONES ET AMPLIATIONES NOVAE
AUCTOBE
CAROLO FRIDERICO GAUSS
SOCIETATI REGIAE SCIENTIARUM TRADITAE 1817. FEBR. 10.
Commentationes societatis regiae seientiarum Gottingensis recentiores. Vol. ıv.
Gottingae MDCCCXVIM.
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A,
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MR
THEOREMATIS FUNDAMENTALIS
IN
DOCTRINA DE RESIDUIS QUADRATICIS
DEMONSTRATIONES ET AMPLIATIONES NOVAE.
Theorema fundamentale de residuis quadraticis, quod inter pulcherrimas
arithmeticae sublimioris veritates refertur, facile quidem per inductionem de-
tectum, longe vero difficilius demonstratum est. Saepius in hoc genere accidere
solet, ut veritatum simplicissimarum, quae scrutatori per inductionem sponte
quasi se offerunt, demonstrationes profundissime lateant et post multa demum
tentamina irrita, longe forte alia quam qua quaesitae erant via, tandem in lucem
protrahi possint. Dein haud raro fit. quam primum una inventa est via, ut plu-
res subinde patefiant ad eandem metam perducentes, aliae brevius et magis di-
recte, aliae quasi ex obliquo et a principiis longe diversis exorsae, inter quae et
quaestionem propositam vix ullum vinculum suspicatus fuisses. Mirus huiusmodi
nexus inter veritates abstrusiores non solum peculiarem quandam venustatem hisce
contemplationibus conciliat, sed ideo quoque sedulo investigari atque enodari me-
retur, quod haud raro nova ipsius scientiae subsidia vel incrementa inde demanant.
Etsi igitur theorema arithmeticum, de quo hic agetur, per curas anteriores,
quae quatuor demonstrationes inter se prorsus diversas*) suppeditaverunt, plene
*) Duae expositae sunt in Disquisitionum Arithmeticarum Sect. quarta et quinta; tertia in commenta-
tione peculiari (Commentt. Soc. Gotting. Vol. X VI), quarta inserta est commentationi: Summatio quarundam
serierum singularium (Commentt. Recentiores, Vol. I).
Il. 7
50 THEOREMATIS FUNDAMENTALIS IN DOCTRINA DE RESIDUIS QUADRATICIS
absolutum videri possit, tamen denuo ad idem argumentum revertor, duasque
alias demonstrationes adiungo, quae novam certe lucem huic rei affundent. Prior
quidem tertiae quodammodo affınis est, quod ab eodem lemmate proficiscitur;
postea vero iter diversum prosequitur, ita ut merito pro demonstratione nova ha-
beri possit, quae concinnitate ipsa illa tertia si non superior saltem haud inferior
videbitur. Contra demonstratio sexta principio plane diverso subtiliori innixa
est novumque sistit exemplum mirandi nexus inter veritates arithmeticas primo
aspectu longissime ab invicem remotas. Duabus hisce demonstrationibus adiun-
gitur algorithmus novus persimplex ad diiudicandum, utrum numerus integer da-
tus, numeri primi dati residuum quadraticum sit an non-residuum.
Alia adhuc affuit ratio, quae ut novas demonstrationes, novem iam abhinc
annos promissas, nunc potissimum promulgarem, effecit. Scilicet quum inde ab
anno 1805 theoriam residuorum cubicorum atque biquadraticorum, argumentum
longe difficilius, perscrutari coepissem, similem fere fortunam, ac olim in theoria
residuorum quadraticorum, expertus sum. Protinus quidem theoremata ea, quae
has quaestiones prorsus exhauriunt, et in quibus mira analogia cum theorematibus
ad residua quadratica pertinentibus eminet, per inductionem detecta fuerunt, quam
primum via idonea quaesita essent: omnes vero conatus, ipsorum demonstrationibus
ex omni parte perfectis potiundi, per longum tempus irritimanserunt. Hoc ipsum
incitamentum erat, ut demonstrationibus iam cognitis circa residua quadratica
alias aliasque addere tantopere studerem, spe fultus, ut ex multis methodis di-
versis una vel altera ad illustrandum argumentum affine aliquid conferre posset.
Quae spes neutiquam vana fuit, laboremque indefessum tandem successus pro-
speri sequuti sunt. Mox vigiliarum fructus in publicam lucem edere licebit: sed
antequam arduum hoc opus aggrediar, semel adhuc ad theoriam residuorum qua-
draticorum reverti, omnia quae de eadem adhuc supersunt agenda absolvere, at-
que sic huic arithmeticae sublimioris parti quasi valedicere constitui.
:
E\
DEMONSTRATIONES ET AMPLIATIONES NOVAE, 51
TIS FUNDAMENTALIS IN THEORIA RESIDUORUM QUADRATICORUM
DEMONSTRATIO QUINTA.
L;
In introductione iam declaravimus, demonstrationem quintam et tertiam ab
eodem lemmate proficisci, quod commoditatis caussa, in signis disquisitioni prae-
sentisadaptatis hoc loco repetere visum est.
Lemma. Sit m numerus primus (positivus impar), M integer per m non divi-
sibilis,; capiantur residua minima positiva numerorum
MEIN IM AM $}(m—1)M
secundum modulum m quae partim erunt minora quam 4m, partim maiora: poste-
riorum multitudo sit — n. Tunc erit M residuum quadraticum ipsius m, vel non-
residuum, prout n par est, vel impar.
Deumonste. Sint e residuis illis ea, quae minora sunt quam 4m, haec a,b,c,d
etc., reliqua vero, maiora quam 4m, haec da‘, b', c', d’ etc. Posteriorum comple-
menta ad m, puta m— a, m—b, m—c, m—.d’ etc. manifesto cuncta minora
erunt quam #m, atque tum inter se tum a residuis a, b, c, detc. diversa, quam-
obrem cum his simul sumta, ordine quidem mutato, identica erunt cum omnibus
numeris 1,2, 3,4....4(m—1). Statuendo itaque productum
EG ER et RB ım—ı1)=P
erit
P=abed....x (m—.a) (m —b)(m—.c)(m—d)....
adeoque
(—1"P=abed.... x (d— m) (b’— m) (—m)(d’—m)....
Porro fit, secundum modulum m,
PM!" = abed.. x abed.. = abed..x (a’—m) (b’— m) (’— m) (d’— m)...
adeoque
PM") = p(_—ıY
Hine MW") = +1, accepto signo superiori vel inferiori, prout n par est vel
impar, unde adiumento theorematis in .Disquisitionibus Arithmeticis art. 106 de-
monstrati lemmatis veritas sponte demanat.
7 *
52 THEOREMATIS FUNDAMENTALIS IN DOCTRINA DE RESIDUIS QUADRATICIS
3;
TurorEema. Sint m, M integri positivi impares inter se primi,
De
eorum e residuis minimis positivis numerorum
secundum modulum m, quae sunt maiora quam 4m; ac perinde N multitudo eorum
e residuis minimis positivis numerorum
m, 2m, 3m.....+[M—1)m
secundum modulum M, quae sunt maiora quam 4M. Tunc tres numeri n, N,
4 (m —1) (M—1) vel omnes simul pares erunt, vel unus par duoque reliqui impares.
€
Demoxste. Designemus
per f complexum numerorum 1,2,3..... 4 (m —1),
per f complexum numerorum m—1, m— 2, m—3..... 4+(m +1)
per F' complexum numerorum 1,2,3.....+(M-—1)
per F’complexum numerorum M—1, M—2, M—3..... +(M—H1)
Indicabit itaque n, quot numeri M,f residua sua minima positiva secundum
modulum »» habeant in complexu f’, et perinde N indicabit, quot numeri m F
habeant residua sua minima positiva secundum modulum M in complexu F'.
Denique designet
9 complexum numerorum 1,2,3.....4(mM-—1)
9 complexum numerorum mM—1, mM—2, mM—3..... +(m M-1)
Quum quilibet integer per m non divisibilis secundum modulum m vel alicui re-
siduo ex f vel alicui ex f’ congruus esse debeat, ac perinde quilibet integer per
M non divisibilis secundum modulum M congruus sit vel alicui residuo ex F vel
alicui ex F’: omnes numeri 9, inter quos manifesto nullus per m et M simul
divisibilis occurrit, in octo classes sequenti modo distribui possunt.
I. In prima classe erunt numeri secundum modulum m alicui numero ex Fi
secundum modulum M vero alicui numero ex F congrui. Designabimus multi-
tudinem horum numerorum per a.
DEMONSTRATIONES ET AMPLIATIONES NOVAE. 53
II. Numeri secundum modulos m, M resp. numeris ex f, F’ congrui, quo-
rum multitudinem statuemus — 6.
Ill. Numeri secundum modulos m, M resp. numeris ex f,F congrui,
quorum multitudinem statuemus — y.
IV. Numeri secundum modulos m, M resp. numeris ex F, F congrui,
quorum multitudo sit = 6.
V. Numeri per m divisibiles, secundum modulum M vero residuis ex F
congrui.
VI. Numeri per m divisibiles, secundum modulum M vero residuisex F’
congrui.
VII. Numeri per M divisibiles, secundum modulum m autem residuis ex
f songrui.
VIII. Numeri per M divisibiles, secundum modulum m vero residuis ex
f congrui.
Manifesto classes V et VI simul sumtae complectentur omnes numeros mF',
multitudo numerorum in VI contentorum erit — N, adeoque multitudo nume-
rorum in V contentorum erit +{M—1)—N. Perinde classes VII et VIII simul
sumtae continebunt omnes numeros M/f, in classe VIII reperientur n numeri,
in classe VII autem 4 (m —1) —
Prorsus simili modo omnes AS 2 in octo classes IX.. X VI distribuen-
tur, in quo negotio si eundem ordinem servamus, facile perspicietur, numeros
in classibus
ZA, SE I HE KIV XV, XVI
contentos resp. esse complementa numerorum in classibus
Be NV VW, VIE. Vo
contentorum ad mM, ita ut in classe IX reperiantur 6 numeri; in classe X, Y
et sic porro. lam patet, si omnes numeri primae classis associentur cum omni-
bus numeris classis nonae, haberi omnes numeros infra mM, qui secundum mo-
dulum m alicui numero ex f, secundum modulum M vero alicui numero ex F
sunt congrui, quorumque multitudinem aequalem esse multitudini omnium com-
binationum singulorum f cum singulis F, facile perspicitur. Habemus itaque
a+8—= 4m—1)(M—ı)
54 THEOREMATIS FUNDAMENTALIS IN DOCTRINA DE RESIDUIS QUADRATICIS
similique ratione etiam erit
6-47 = +m—1)(M—ı)
Iunctis omnibus numeris classium II, IV, VI, manifesto habebimus omnes
numeros infra 4mM, qui alicui residuo ex F’ secundum modulum M congrui
sunt. lidem vero numeri ita quoque exhiberi possunt:
F', M+F', aM+F, 3M-+F....+m—3)M+F
unde omnium multitudo erit —= 4{(m—1)(M—1), sive habebimus
6+6+N = 4(m—1)(M—1ı)
Perinde e iunctione omnium classium III, IV, VIII colligere licet
y+5+n = 4m—1)(M—ı)
Ex his quatuor aequationibus oriuntur sequentes:
2a = 4m—1)(M—1)+n+N
26 = 4m—1)(M—1)+n—N
2y = + m—1)(M—1)—n+-N
26 = 4m—1)(M—ı1)—n—N
quarum quaelibet theorematis veritatem monstrat.
3.
Quodsi iam supponimus, m et M esse numeros primos, e combinatione
theorematis praecedentis cum lemmate art. 1 theorema fundamentale protinus de-
manabit. Patet enim,
I. quoties uterque m, M, sive alteruter tantum, sit formae 44+1, nu-
merum 4(m—1)(M—1ı) fore parem, adeoque n et N vel simul pares vel simul
impares, et proin vel utrumque m et M .alterius residuum quadraticum, vel
utrumque alterius non-residuum quadraticum.
II. Quoties autem uterque m, M est formae 4k+-3, erit +{m —1) (M—-1)
impar, hinc unus numerorum n, N par, alter impar, et proin unus numerorum
m, M alterius residuum quadraticum, alter alterius non-residuum quadraticum.
Q.E.D.
x ER
Be
:
DEMONSTRATIONES ET AMPLIATIONES NOVAE. 55
THBOREMATIS FUNDAMENTALIS IN THEORIA RESIDUORUM QUADRA TICORUM
; DEMONSTRATIO SEXTA.
1:
Tneorema. Designante p numerum primum (positivum imparem) ‚„ .n integrum
positivum per p non divisibilem, & quantitatem indeterminatam, functio
142" +20” +0” +ete. +09"
divisibilis erit per
1-2 +00 +0 +etc. +0!
„Demonste. Accipiatur integer positivus g iautfiat gn= 1 (mod. p)
statuaturque gn —= I+hp. Tunc erit
12" +2 +2® teten (1—2")(1—2) _ 1— 2P)(1—2R — x + zrPt)
1+2 +22 +2° +ete. 2” (1— 2”) (1—xP) (1—2”) (1—2P)
1-27 1—ıM z(1 —a) 1— a
en sg ET aa
lo % 1—x 1—x 1—x
adeoque manifesto functio integra. Q. E.D.
ee :
S Quaelibet wg her funetio integra ipsius © per _» (visibilis, etiam di-
visibilis erit per ——.
2.
Designet « radicem primitivam positivam pro modulo p, i.e. sit « integer
positivus talis, ut residua minima positiva potestatum 1,a,aa,a®..... a?
secundum modulum » sine respectu ordinis cum numeris 1,2, 8:5, p—1
identica fiant. Designando porro per fx functionem
a +2 +2” +2” +ec. +2” +1
PRIRN, Je—1=a - 202 — a” — etc. — aP! divisibilem fore per 1— x, adeoque
ru = I+@0+@00+0°-+ete +2’, per quam itaque functio-
nem ipsa quoque EN divisibilis erit. Hinc vero sequitur, quum x exprimat quan-
titatem indeterminatam, esse quoque F(«") divisibilem per <T, et proin (art.
praec.) etiam per ==, quoties quidem r sit integer per p non divisibilis. Con-
tra, quoties n est integer per p divisibilis, singulae partes functionis f(x”) uni-
56 THEOREMATIS FUNDAMENTALIS IN DOCTRINA DE RESIDUIS QUADRATICIS
tate deminutae divisibiles erunt per 1—.a°; quamobrem in hoc casu etiam
n er 1—aP et proin etiam per -— divisibiles erit
Sa)—p pP P per 7% & |
THEOREMA. Statuendo *
3 er
a—ıa" + a — a" +32” —ele —a® ; —E
— . . . .y. i Ber: P = . . ”
erit EE-p divisibilis per — accepto signo superiori, quoties p est formae
Ak--1, inferiori, quoties p est formae 4k—+-3.
Demonste. Facile perspicietur, ex p—1 functionibus hisce
+ z — a Hr res
— a a ale etc. ER lt, «
B a a Pa > etc. + ae’tea
et ee
etc. usque ad
.
P-2 2-2 PA .P-2 PP”? 1 dr P-2
BER ug FEB | BER. +a ae’te + etc. +.° * hau
primam fieri — 0, singulas reliquas autem per Mi. divisibiles. Quare per
1— x etiam divisibilis erit omnium summa, quae colligitur
— EE - (fer) —1)+ (ft) —1) — (fat) —1)+ (flat) —1)—ete.
+ (fa) 1) :
— EE— la) + flat) Far) + Fa) —et. + fa”) —=Q
xp
Erit itaque haecce expressio Q etiam divisibilis per — Iam inter exponentes
2, a+t1, aa+1, @-+1..... oa? 1 unicus tantum erit divisibilis per p,
puta a?) 1, unde per art. praec, singulae partes expressionis 2 hae
fee), fe), far), (fe "H) etc.
excepto solo termino f(x en 4), divisibiles erunt per
tes delere licebit, ita ut per
= Istas itaque par-
RR TE ira
—— etiam divisibilis maneat functio
EL fa H)
“«
DEMONSTRATIONES ET AMPLIATIONES NOVAE. 57
ubi signum superius vel inferius valebit, prout p est formae 44-1 vel formae
4k-+3. Et quum insuper f(a*""+1)—p divisibilis sit per -# ,‚ erit etiam
Ep per 12 divisibili. Q.E.D.
Ne duplex signum ullam ambiguitatem adducere possit, per < numerum
&. +1 vel —1 denotabimus, prout p est formae 4k—+1 vel 4&+-3. Erit itaque
(1-2) ep)
1— ıP
functio integra ipsius ©, quam per Z designabimus.
2 Keane
Sit qg numerus positivus impar, adeoque +({g—1) integer. ‘ Erit itaque
(N) _ (ep )ta =) divisibilis per &2—ep. ‘et proin etiam per Pe
A —
tuamus 47) — 8, atque
Saas “
1—X
ö pe CE, ale
eritque Y functio integra ipsius @, atque ö6—="+1, quoties unus numerorum
Ps 9: sive etiäm uterque, est formae 4-1; contra erit 6 = —1, quoties uter-
que p,g est formae 44-3.
5.
Iam supponamus, gq quoque esse numerum primum (a » diversum) patet-
que per theorema in .Disquisitionibus Arithmeticis art. 51 demonstratum,
. (al — at +21" — al" + ete. — a)
divisibilem fieri per q, sive formae qX, itaut X sit functio integra ipsius ®
etiam respectu co£flicientium numericorum (quod etiam de functionibus reliquis
integris hie occurrentibus Z, Y, W subintelligendum est), Designemus pro mo-
dulo p atque radice primitiva « indicem numeri q per u, i.e. sit g= a" (mod.p).
Erunt itaque numeri q, ga, gaa, qa°..... ga”? secundum modulum p resp.
congrui numeris a”, a®t!, art?,...aP”? 1,a,aa....a"-!, adeoque
A
ge"
a _ it?
I. \ 8
Ed
58 THEOREMATIS FUNDAMENTALIS IN DOCTRINA DE RESIDUIS QUADRATICIS
DK a
„p-umi
au1* Me
20? RR 2
Pr Kata a
a
we —a
BEREEE ee Er nerz 2: „>
per 1— 2° divisibiles. Quibus quantitatibus, alternis viecibus positive et nega-
tive sumtis atque summatis, patet, per 1—#? divisibilem esse functionem
al — a9 100° 40” 4 etc. — TE
valente signo superiori vel inferiori, prout p par sit vel impar, i. e. prout g sit
residuum quadraticum ipsius p vel non-residuum. Statuemus itaque
ad — 4 — + etc. — al — 1-aP)WR
E
faciendo y= 1, vel y= —1, prout g est residuum quadraticum ipsius p
vel non-residuum, patetque, W fieri functionem integram.
6.
His ita praeparatis, e combinatione aequationum praecedentium deducimus
gEX = app) +2 (Ze — + YEE— WElI—n))
Supponamus, ex divisione functionis &X per
ar ara + etc +&+1
oriri quotientem U cum residuo T, sive haberi
ex 7
a
ita ut U, T sint functiones integrae, etiam respectu co&fficientium numericorum,
et quidem 7 ordinis certe inferioris, quam divisor. Erit itaque
gT—ep(öp" "—y) = EZ + FE WEll—2)—gU)
quae aequatio manifesto subsistere nequit, nisi tum membrum a laeva tum mem-
brum a dextra per se evanescat. Erit itaque ep (pr) —y) per q divisibi-
DEMONSTRATIONES ET AMPLIATIONES NOVAE. 59
lis, nec non etiam per) _r, adeoque etiam propter 66 —= I, numerus
pa) 8 per q divisibilis erit.
Quodsi iam per 5 designatur unitas positive vel negative accepta, prout p
a RR per q
est residuum vel non-residuum quadraticum numeri g, erit p
divisibilis, adeoque etiam 6 — y6, quod fieri nequit, nisi fuerit 6 = yö. Hinc
vero theorema fundamentale sponte sequitur. Scilicet
I. Quoties vel uterque p, g, vel alteruter tantum est formae 4-1, adeo-
que ö=-H1, erit 5 =y, et proin vel simul q residuum quadraticum ipsius
p, atque p residuum quadraticum ipsius g; vel simul q non-residuum ipsius p,
atque p non-residuum ipsius q.
II. Quoties uterque p,g est formae 4k+3, adeoque 6 = —1, erit
5 —= --y, adeoque vel simul q residuum quadraticum ipsius p, atque p non-re-
siduum ipsius g; vel simul g non-residuum ipsius p, atque p residuum ipsius q.
Q. E.D.
Algorithmus novus ad decidendum, utrum numerus integer positivus datus numeri primi positivi dati
residuum quadraticum sit an non-residuum.
1,
Antequam solutionem novam huius problematis exponamus, solutionem in
Disquisitionibus Arithmeticis traditam hic breviter repetemus, quae satis quidem
expedite perficitur adiumento theorematis fundamentalis atque theorematum no-
torum sequentium:
‘I. Relatio numeri « adnumerum 5 (quatenus ille huius residuum quadra-
ticum est sive non-residuum), eadem est quae numeri c ad b, si a= c({mod.b),
II. Si a est productum e factoribus «a, 6, y, Ö etc., atque b numerus pri-
mus, relatio ipsius a ad b ita a relatione horum factorum ad 5 pendebit, ut a
fiat residuum quadraticum ipsius 5 vel non-residuum, prout inter illos factores re-
peritur multitudo par vel impar talium, qui sint non-residua ipsius db. Quoties
itaque aliquis factor est quadratum, ad eum in hoc examine omnino non erit re-
spiciendum; si quis vero factor est potestas integri cum exponente impari, illius
vice ipse hic integer fungi poterit.
III. Numerus 2 est residuum quadraticum cuiusvis numeri primi formae
Sm-+1 vel Sm-+-7, non-residuum vero cuiusvis numeri primi formae Sm-+-3
vel Sm—+5.
| g*
60 THEOREMATIS FUNDAMENTALIS IN DOCTRINA DE RESIDUIS QUADRATICIS
Proposito itaque numero a, cuius relatioad numerum primum D quaeritur:
pro a, si maior est quam b, ante omnia substituetur eius residuum minimum po-
sitivum secundum modulum db, quo residuo in factores suos primos resoluto, quae-
stio per theorema II reducta est ad inventionem relationis singulorum horum facto-
rum ad b. Relatio factoris 2, (siquidem adest vel semel, vel ter, vel quinquies
etc.) innotescit per theorema III; relatio reliquorum, per theorema fundamentale,
pendet a relatione ipsius b ad singulos. Hoc itaque modo loco unius relationis
numeri datiad numerum primum 5b iam investigandae sunt aliquae relationes nu-
meri b ad alios primos impares ipso b minores, quae problemata eodem modo ad
minores modulos deprimentur, manifestoque hae depressiones successivae tandem
exhaustae erunt.
2.
Ut exemplo haec solutio illustretur, quaerenda sit relatio numeri 103 ad 379.
Quum 103 iam sit minor quam 379, atque ipse numerus primus, protinus appli-
candum erit theorema fundamentale, quod docet, relationem quaesitam oppositam
esse relationi numeri 379 ad 103. Hoaec iterum aequalis est relationi numeri 70
ad 103, quae ipsa pendet a relationibus numerorum 2, 5, 7 ad 103. Prima ha-
rum relationum e theoremate Ill innotescit. Secunda per theorema fundamentale
pendet a relatione numeri 103 ad 5, cui per theorema I aequalis est relatio nu-
meri 3 ad 5; haec iterum per theorema fundamentale pendet a relatione numeri 5
ad 3, cui per theorema I aequalis est relatio numeri 2 ad 3, per theorema III
nota. Perinde relatio numeri 7 ad 103 per theorema fundamentale a relatione nu-
meri 103 ad 7 pendet, quae per theorema I aequalis est relationi numeri 5 ad 7;
haec iterum per theorema fundamentale pendet a relatione numeri 7 ad 5, cui ae-
qualis est per theorema I relatio numeri 2 ad 5 per theorema III nota. (Juodsi
iam hanc analysin in synthesin transmutare placet, quaestionis decisio ad quatuor-
decim momenta referetur, quae complete hic apponimus, ut maior concinnitas so-
lutionis novae eo clarius elucescat.
1. Numerus 2 est residuum quadraticum numeri 103 (theor. III).
Numerus 2 est non-residuum quadraticum numeri 3 (theor. III).
Numerus 5 est non-residuum quadraticum numeri 3 (ex I et 2).
Numerus 3 est non-residuum quadraticum numeri 5 (theor. fund. et 3).
Numerus 103 est non-residuum quadraticum numeri 5 (I et 4).
a $ wm
De
Ku
DEMONSTRATIONES ET AMPLIATIONES NOVAE, 61
6. Numerus 5 est non-residuum quadraticum numeri 103 (theor. fund. et5).
7. Numerus 2 est non-residuum quadraticum numeri 5 (theor. IIT).
8. Numerus 7 est non-residuum quadraticum numeri 5 (let 7).
9. Numerus 5 est non-residuum quadraticum numeri 7 (theor. fund. et 8).
10. Numerus 103 est non-residuum quadraticum numeni 7 (I.et 9).
11. Numerus 7 est residuum quadraticum numeri 103 (theor. fund. et 10).
12. Numerus 70 est non-residuum quadraticum numeri 103 (II, 1, 6, 11).
13. Numerus 379 est non-residuum quadraticum numeri 103 (I et 12).
14. Numerus 103 est residuum quadraticum numeri 379 (theor. fund. et 13).
In sequentibus brevitatis caussa utemur signo in Comment. Gotting. Vol.X VI
introducto. Scilicet per [2] denotabimus quantitatem x ipsam, quoties © est in-
teger, sive integrum proxime minorem quam #, quoties & est quantitas fracta, ita
ut #—-[w] semper fiat quantitas non negativa unitate minor.
3.
Progrema. Denotantibus a, b integros positivos inter se primos, et posito
[Ha] = «a, invenire aggregatum |
++ E]+[2]+ ee. +[2]
SoL. Designemus brevitatis caussa huiusmodi aggregatum per »(a,b), ita
ut etiam fiat
ea) = + FH [514 etc. +[]
si statuimus [45] =D‘. In demonstratione tertia theorematis fundamentalis osten-
sum est, pro casu eo, ubi a et b sunt impares, fieri
?(a, 0) + gb,0) — ab
facileque eandem methodum sequendo veritas huius propositionis ad eum quoque
casum extenditur, ubi alteruter numerorum a, b est impar, uti illice iam addigita-
vimus. Dividatur, ad instar methodi, per quam duorum integrorum divisor com-
munis maximus investigatur, a per b, sitque 5 quotiens atque c residuum; dein
dividatur b per c et sic -porro, ita ut habeantur aequationes
62 THEOREMATIS FUNDAMENTALIS IN DOCTRINA DE RESIDUIS QUADRATICIS
a—=bb—+c
b=yc+td
c=6d-+e
d=e.e—-f etc.
Hoc modo in serie numerorum continuo decrescentium b,c,d, e, f etc. tan-
dem ad unitatem perveniemus, quum per hyp. a et b sint inter se primi, ita ut
aequatio ultima fiat
k= +1
As
Quum manifesto habeatur °
F= Hz ler
1 =Bs+3]= 26+[3]
5] = B6+7]= 36+[7]
etc.. erit
| olb,a) = plb,c)+45(0b+-b)
et proin
o(a,b) = ab —46(bb+b) — ylb,c)
de
Per similia ratiocinia fit, si statuimus [4] = ec, [4d] =d |fe) = eetc.,
old.) =be—rylce +E) — Pla d)
+(e,d) = cd — Hö(dd +) —pldıe) .
ald,e) = de—zel@e +E)—ylef)
etc. usque ad
o(k,l) = kl’— Hl +7) —pll, 1)
Hinc, quoniam manifesto est p(J,1) = 0, colligimus formulam
o(a,b) = ab —bec+cd—d'e+ etc. HAT
HH H öl HÄ) HrElee te) —ete. FEAUTHT)
“ 4.
Facile iam ex iis, quae in demonstratione tertia exposita sunt, colligitur,
relationem numeri b ad a, quoties a sit numerus primus, sponte cognosci e va-
Pu
x
»
+
DEMONSTRATIONES ET AMPLIATIONES NOVAE. 2. 63
lore aggregati »(a,2b). Scilicet prout hoc aggregatum est numerus par vel im-
par, erit b residuum quadraticum ipsius a vel non-residuum. Ad eundem vero
finem ipsum quoque aggregatum (a,b) adhiberi poterit, ea tamen restrictione,
et ut casus ubi b impar est ab eo ubi par est distinguatur. Scilicet
I. Quoties 5b est impar, erit b residuum vel non-residuum quadraticum
ipsius a, prout p(a,b) par est vel impar.
II. Quoties b est par, eadem regula valebit, si insuper a est vel formae
8n +1 vel formae 8n-H7; si vero pro valore pari ipsius b modulus a est vel
formae 8n+3 vel formae 8n-+5, regula opposita applicanda erit, puta, 5 erit
residuum quadraticum ipsius a, si $(a,b) estimpar, non-residuum vero, si x(a, b)
est par.
Haec omnia ex art. 4 demonstrationis tertiae facillime derivantur.
5.
Exemplum. Si quaeritur relatio numeri 103 ad numerum primum 379, ha-
bemus, ad eruendum aggregatum 9%(379, 103),
hinc
ee Wat ER ae
= 379
= 103
70
33
4
I
a = 189
u. 31
=" 35
d=- 16
de = 2
an a
|
|
OO DD: m.
#(379,103) = 9639 — 1785+560 — 32 — 3978 + 630 — 272-+-24 — 4786
unde 103 erit residuum quadraticum numeri 379.
tum (379,206) adhibere malumus, habemus hocce paradigma:
unde deducimus
379
206
173
33
8
189
103
86
16
A
Fr > u
Si ad eundem finem aggrega-
64 S THEOREMATIS FUNDAMENTALIS IN DOCTRINA DE RESIDUIS QUADRATICIS ETC.
(379,206) = 19467 — 8858 +1376 — 64 — 5356 + 3741 — 680 +40 —= 9666
quapropter 103 est residuum quadraticum numeri 379.
6.
Quum ad decidendam relationem numeri b ad a non opus sit, singulas
partes aggregati $(a,b) computare, sed sufficiat novisse, quot inter eas sint im-
pares, regula nostra ita quoque exhiberi potest:
Fiat ut supra a =bb+c,b=yc+d, c=6öd-eetc., donec in serie nu-
merorum a, b, c, d, eetc. ad unitatem perventum sit. Statuatur [4a] = a‘, [4b]
—=b',[4+c! =c ete., sitque & multitudo numerorum imparium in serie a’, b', c' etc.
eorum, quos immediate sequitur impar; sit porro v multitudo numerorum impa-
rium in serie d, y,Ö etc. eorum, quibus in serie D', c', d’etc. resp. respondet nu-
merus formae 4n—+1 vel formae 4n—+2. His ita factis, erit 5 residuum qua-
draticum vel non-residuum ipsius a, prout p+-v est par vel impar, unico casu
excepto, ubi simul est b par atque a vel formae 8n—+3 vel 82-5, pro quo
regula opposita valet.
In exemplo nostro series «a, b, c', d’, € duas successiones imparium sistit,
unde p = 2; in serie 6, y,6,e, duo quidem impares adsunt, sed quibus in
serie b’, cC, d’, e respondent numeri formae 4n+3, unde v=0. Fit itaque
p+-v par, adeoque 103 residuum quadraticum numeri 379.
a)
#
THEORIA
RESIDUORUM BIQUADRATICORUM
COMMENTATIO PRIMA
AUCTORE
CAROLO FRIDERICO GAUSS
. SOCIETATI REGIAE TRADITA 1825. APR. 5.
”
Commentationes societatis regiae scientiarum Gottingensis recentiores. Vol. vı.
Gottingae MDCCCXXVvm.
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THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM.
COMMENTATIO PRIMA.
‘
u 3
Theoria residuorum quadraticorum ad pauca theoremata fundamentalia re-
ducitur, pulcherrimis Arithmeticae Sublimioris cimeliis adnumeranda, quae primo
per inductionem facile detecta, ac dein multifariis modis ita demonstrata esse con-
stat, ut nihil amplius desiderandum relictum sit.
Longe vero altioris indaginis est theoria residuorum cubicorum et biquadra-
ticorum. Quam quum inde ab anno 1805 perscrutari coepissemus, praeter ea,
quae quasi in limine sunt posita, nonnulla quidem theoremata specialia se obtu-
lerunt, tum propter simplicitatem suam, tum propter demonstrationum difficul-
tatem valde insignia: mox vero comperimus, principia Arithmeticae hactenus usi-
tata ad theoriam generalem stabiliendam neutiquam sufficere, quin potius hanc ne-
cessario postulare, ut campus Arithmeticae Sublimioris infinities quasi promovea-
tur, quod quomodo intelligendum sit, in continuatione harum disquisitionum cla-
rissime elucebit. Quamprimum hunc campum novum ingressi sumus, aditus ad
cognitionem theorematum simplicissimorum totam theoriam exhaurientium per in-
ductionem statim patuit: sed ipsorum demonstrationes tam profunde latuerunt, ut
post multa demum tentamina irrita tandem in lucem protrahi potuerint.
Quum iam ad promulgationem harum lucubrationum accingamur, a theoria
residuorum biquadraticorum initium faciemus, et quidem in hac prima commen-
9 *
68 THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM.
tatione disquisitones eas explicabimus, quas iam cis campum Arithmeticae am-
pliatum absolvere licuit, quae illuc viam quasi sternunt, simulque theoriae divi-
sionis circuli quaedam nova incrementa adiungunt.
2.
Notionem residui biquadratiei in Disquisitionibus Arithmeticis art. 115 intro-
duximus: scilicet numerus integer a, positivus seu negativus, integri p residuum
biquadraticum vocatur, si a secundum modulum » biquadrato congruus fieri pot-
est, et perinde non-residuum biquadraticum, si talis congruentia non exstat. In
omnibus disquisitionibus sequentibus, ubi contrarium expressis verbis non mone-
tur, modulum p esse numerum primum (imparem positivum) supponemus, atque a
per p non divisibilem, quum omnes casus reliqui ad hunc facillime reduci possint.
3.
Manifestum est, omne residuum biquadraticum numeri p eiusdem quoque
residuum quadraticum esse, et proin omne non-residuum quadraticum etiam non-
residuum biquadraticum. Hanc propositionem etiam convertere licet, quoties »
est numerus primus formae 4n-+3. Nam siin hoc casu a est residuum quadra-
ticum ipsius p, statuamus a=bb(mod.p), ubi b vel residuum quadraticum
ipsius p erit vel non-residuum: in casu priori statuemus b=cc, unde a=c‘,
i.e. a erit residuum biquadraticum ipsius p; in casu posteriori —b fiet residuum
quadraticum ipsius p (quoniam —1 est non-residuum cuiusvis numeri primi for-
mae 4n+-3), faciendoque —b=cc, eritutantea a=c‘, atque a residuum
biquadraticum ipsius p. Simul facile perspicietur, alias solutiones congruentiae
2° = a(mod.p), praeter has duas =c et e=—c in hoc casu non dari.
Quum hae propositiones obviae integram residuorum biquadraticorum theoriam
pro modulis primis formae 4n-+-3 exhauriant, tales modulos a disquisitione no-
stra omnino excludemus, sive hanc ad modulos primos formae 4n-1 limitabimus.
4.
Existente itaque p numero primo formae 4n—-1, propositionem art. praec.
convertere non licet: nempe exstare possunt residua quadratica, quae non sunt
simul residua biquadratica, quod evenit, quoties residuum quadraticum congruum
est quadrato non-residui quadratici. Statuendo enim a=bb, existente b non-
COMMENTATIO PRIMA. 69
residuo quadratico ipsius 9, si congruentiae «==a satisfieri posset, per valo-
rem 2 =c, foret *=bb, sive productum (cc—b)(cc+b) per p divisibile.
unde p vel factorem ce—b vel alterum cc-++-b metiri deberet, i.e. vel +b
vel —b foret residuum quadraticum ipsius p, et proin uterque (quoniam —1 est
residuum quadraticum), contra hyp.
Omnes itaque numeri integri per p non divisibiles in tres classes distribui
possent, quarum prima contineat residua biquadratica, secunda non-residua biqua-
dratica ea, quae simul sunt residua quadratica, tertia non-residua quadratica. Ma-
nifesto suflicit, tali classificationi solos numeros 1,2, 3.....p—1 subiicere, quo-
rum semissis ad classem tertiam reduceretur, dum altera semissis inter classem
primam et secundam distribueretur.
9.
Sed praestabit, quatuor classes stabilire, quarum indoles ita se habeat.
Sit A complexus omnium residuorum biquadraticorum ipsius p, inter 1 et
p—1 (inclus.) sitorum, atque e non-residuum quadraticum ipsius p ad arbitrium
electum. Sit porro B complexus residuorum minimorum positivorum e productis
eA secundum modulum p oriundorum, et perinde C, D resp. complexus residuo-
rum minimorum positivorum e productis eeA, e’A secundum modulum 9» pro-
deuntium. His ita factis facile perspieitur, singulos numeros B inter se diversos
fore, et perinde singulos C', nec non singulos D; cifram autem inter omnes hos
numeros occurrere non posse. Porro patet, omnes numeros, in A et Ü conten-
tos, esse residua quadratica ipsius p, omnes autem in B et D non-residua qua-
dratica, ita ut certe complexus A. C nullum numerum cum complexu B vel D
communem habere possint. Sed etiam neque A cum C', neque B cum D ul-
lum numerum communem habere potest. Supponamus enim
I. numerum aliquem ex A, e.g. a etiam in C inveniri, ubi prodierit e pro-
ducto eea’ ipsi congruo, existente a numero e complexu A. Statuatur «= a,
ad = a*, accipiaturque integer 9 ita, ut fat dd =ı. His ita factis erit
eea" = a*, adeoque multiplicando per %,
PIE lc
he . . . . . 5
1.e. ee residuum biquadraticum, adeoque e residuum quadraticum, contra hyp.
70 THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM.
II. Perinde supponendo, aligquem numerum complexibus B, D communem
esse, atque e productis ea, e’a’ prodiisse, existentibus a, a numeris e complexu
A, e congruentia ea=e*a sequeretur a=eea', adeoque haberetur numerus,
qui e producto eea. oriundus ad C simulque ad A pertineret, quod impossibile
esse modo demonstravimus.
Porro facile demonstratur, omnia residua quadratica ipsius p, inter 1 et
p—! incl. sita, necessario velin A velin ©, omniaque non-residua quadratica
ipsius p inter illos limites necessario vel in B velin D occurrere debere. Nam
I. Omne tale residuum quadraticum, quod simul est residuum biquadrati-
cum, per hyp. in A invenitur.
II. Residuum quadraticum A (ipso p minus), quod simul est non-resi-
duum biquadraticum, statuatur =gg, ubi g erit non-residuum quadraticum.
Accipiatur integer y talis, ut fiat ey==9, eritque y residuum quadraticum
ipsius p, quod statuemus =kk. Hinc erit
h=99=eeyy= eek‘
Quare quum residuum minimum ipsius 4* inveniatur in A, numerus A, quippe
qui ex illius producto per ee oritur, necessario in C contentus erit.
III. Designante A non-residuum quadraticum ipsius p inter limites 1 et
p—1, eruatur inter eosdem limites numerus integer g talis, ut habeatur eg=h.
Erit itaque g residuum quadraticum, et proin velin A velin C contentus: in
casu priori 4 manifesto inter numeros B, in posteriori autem inter numeros D
invenietur.
Ex his omnibus colligitur, cunctos numeros 1,2,3.....p—1 inter qua-
tuor series A, B, C, D ita distribui, ut quivis illorum in una harum reperiatur,
unde singulae series +{p—1) numeros continere debent. In hac classificatione
classes A et C’ quidem numeros suos essentialiter possident, sed distinctio inter
classes B et D eatenus arbitraria est, quatenus ab electione numeri e pendet,
qui ipse-semper ad B referendus est; quapropter si eius loco alius e classe D ad-
optatur, classes B, D inter se permutabuntur.
6.
Quum —1 sit residuum quadraticum ipsius p, statuamus, —1 = f(mod.p),
unde quatuor radices congruentiae @=1 erunt 1, f, —1, —f. “Quodsi itaque
COMMENTATIO PRIMA. 71
a est residuum biquadratieum ipsius p, puta =«*, quatuor radices congruentiae
2’ =a erunt a, fa, —a, —fa, quas inter se incongruas esse facile perspici-
tur. Hinc patet, si colligantur residua minima positiva biquadratorum 1, 16,
81, 256....(p—1)‘, quaterna semper aequalia fore, ita ut +({p—1) residua bi-
quadratica diversa habeantur complexum A formantia. Si residua minima biqua-
dratorum usque ad (4P— 4)‘ tantum colliguntur, singula bis aderunt.
1%
Productum duorum residuorum biquadraticorum manifesto est residuum bi-
quadraticum, sive e multiplicatione duorum numerorum classis A semper prodit
produetum, cuius residuum minimum positivum ad eandem classem pertinet. Per-
inde producta numeri ex B in numerum ex D, vel numeri ex C in numerum
ex C, habebunt residua sua minima in A.
In B autem cadent residua productorum A.Bet C.D; in C residua pro-
ductum A.C, B.B et D.D; denique in D residua productorum A.D et B.C.
Demonstrationes tam obviae sunt, ut sufficiat, unam indicavisse. Sint e.g.
ce et d numeriex C et D, atque c=eea, d=e*a, denotantibus a, «d nu-
meros ex A. Tunc e‘aa’ erit residuum biquadraticum, i. e. ipsius residuum mi-
nimum ad A referetur: quare quum productum cd fiat =e.e’ad, illius resi-
duum minimum in B contentum erit.
Simul facile iam diiudicari potest, ad quamnam classem referendum sit pro-
ductum e pluribus factoribus. Scilicet tribuendo classi A, B, C, D resp. cha-
racterem 0, 1, 2, 3, character producti vel aggregato characterum singulorum
factorum aequalis erit, vel eius residuo minimo secundum modulum 4.
8.
Operae pretium visum est, hasce propositiones elementares absque admini-
culo theoriae residuorum potestatum evolvere, qua in auxilium vocata omnia ad-
huc multo facilius demonstrare licet.
Sit 9 radix primitiva pro modulo p, i.e. numerus talis, ut in serie potesta-
tum 9,99, 9°.... nulla ante hanc g?”! unitati secundum modulum p congrua
evadat. Tunc residua minima positiva numerorum 1, 9, 99, 9°.... 9?” praeter
ordinem cum his 1,2, 3.....p—1 convenient, et in quatuor classes sequenti
modo distribuentur:
72 THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM.
ad residua minima numerosum
A I, un u ae
B MI UERNT. all
AL Er rl
D RR ne ve
Hinc omnes propositiones praecedentes sponte demanant.
Ceterum sicuti hie numeri 1, 2, 3.... p—1 in quatuor classes distributi
sunt, quarum complexus per A, B, C, D designamus, ita quemvis integrum per
p non divisibilem, ad normam ipsius residui minimi secundum modulum p, ali-
cui harum classium adnumerare licebit.
9.
Denotabimus per f residuum minimum potestatis ger =!) gecundum modu-
lum p, unde quum fiat /f= ger? (Disquis. Arithm.art. 62), patet, cha-
racterem f hic idem significare quod in art. 6. Potestas ger sr itaque, deno-
tante X integrum positivum, congrua erit secundum modulum p numero 1,f,
—1, —f, prout X formae 4m, Am+1, 4m-+-2, 4m--3 resp., sive prout resi-
duum minimum ipsius 9” in A, B, C, D resp. reperitur. Hinc nanciscimur cri-
terium persimplex ad diiudicandum, ad quam classem numerus datus A per p non
divisibilis referendus sit; pertinebit scilicet A ad A, B, C vel D, prout potestas
nt{P=') secundum modulum p numero 1, f, —1 vel —f congrua evadit.
Tamquam corollarium hinc sequitur, —1 semper ad classem A referri, quo-
ties p sit formae 8n +1, ad classem C vero, quoties p sitformae 82-5. De-
monstratio huius theorematis a theoria residuorum potestatum independens ex üis,
quae in Disquisitionibus Arithmeticis art. 115, III docuimus, facile adornari potest.
10.
Quum omnes radices primitivae pro modulo p prodeant e residuis potesta-
tum g*, accipiendo pro X omnes numeros ad p—1 primos, facile perspieitur, il-
las inter complexus B et D aequaliter dispertitas fore, basi g semper in B con-
tenta. Quodsi loco numeri g radix alia primitiva e complexu B pro basi accipi-
tur, classificatio eadem manebit; si vero radix primitiva e complexu D tamquam
basis adoptatur, classes B et D inter se permutabuntur. |
COMMENTATIO PRIMA. 73
Si classificatio criterio in art. praec. prolato superstruitur, discrimen inter
classes B et D inde pendebit, utram radicem congruentiae 22 = —1 (mod. p)
pro numero characteristico f adoptemus.
11,
Quo facilius disquisitiones subtiliores, quas iam aggressuri sumus, per
exempla illustrari possint, constructionem classium pro omnibus modulis infra
100 hic apponimus. Radicem primitivam pro singulis minimam adoptavimus.
2.45
ger, he
A 1
B 2
G 4
D 2
p= 13
yar.j=8
A 1,09, 9
B 2.9.78
C 4,10,172
D 2.9.73
p=17
‘ r RR EB
A 1,4,,53,:1:6
B ERS TER
C 2:8: 9, 165
D a RB 5
p = 29
2, 1 12
I
1, 7, 16, 20, 23, 24, 25
2° 11,145 17,19,:21
4,75, 6,9, 13,22, 28
8, 10, 12, 15, 18, 26, 27
I. 10
BDabksh
74
Bas Sabkb> Soab>b
Bat»
|
|
THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM.
p= 37
y=ı = 31
1, 7,9, 10, 12, 16,26, 33, 34
2, 14, 15, 18, 20, 24, 29, 31, 32
3, 4,11, 21, 25, 27, 28, 30, 36
66,28, 48, 17, 19,22, 23,58
p= 4
y=s./=-R „,
2, 4, 10, 16, 18, 23, 25, 31, 37, 40
6, 14, 15, 17, 19, 22, 24, 26, 27, 35
> FAR > Pa 9, 20, 21, 32, 33, 36, 39
3, 7,11, 1%, 13, 28, 29, 30, 34, '38
I
1,10, 13, 15, 16, 24, 28, 36, 42, 44, 46, 47, 49
2, 3, 19, 20, 26, 30, 31, 32, 35, 39, 41, 45, 48
ae 9, 11, 17, 25, 29, 37, 38, 40, 43, 52
5 8, 12, 14, 18, 21, 22, 23, 27, 33, 34, 50, 51
p= 61
2.) — 11
1,9, 12, 13, 15, 16, 20, 22, 25, 34, 42, 47, 56, 57, 58
9, 1,18, 23, 24, 26, 30, 32, 33, 40, 44, 50, 51, 53, 55
3,4, 5,14, 19, 27, 36, 39, 41, 45, 46, 48, 49, 52, 60
6, 8, 10, 11, 17, 21, 28, 29, 31, 35, 37, 38, 43, 54, 59
p=13
y=5,f/- 27
17 8,78, 9, 16, 18, 32, 36, 37, 41, 55, 57, 64, 65,
5; 7,10, 14, 17, 20, 28, 33, 34, 39, 40, 45, 53, 56, 59,
3, 6, 12, 19, 23, 24, 25, 27, 35, 38, 46, 48, 49, 50, 54,
11, 13, 15, 21, 22, 26, 29, 30, 31,'42, 43, 44, 47, 51, 52,
#9,71772
63, 66, 68
61, 67, 70
58, 60, 62
COMMENTATIO PRIMA. 75
p= 39
GEW FM
A DEREN 1622,25, 32,89,,40545,:50,67,064, 67, 73,;78, 81,85,
37, 88
B 3,76, 7,:125°44,:23,:24, 28, 33, 41,:43,746, 48, 56,61, 65,:66,.75, 77, 82,
83, 86
C 5.5:94.10,:17,518,:20,.21, 34,36; 40, :42,/47,'49, 53, 55,68; 69,71, 72,79,
80, 84
12413, 15.:419,26:29;:29:.:30, 31, 35:37.5938,81£52, 54, :58..59;-.60;:62,.63; 20,
74, 76
p=)1
abi fe 22
A 24:26, 9, 16, 22, 24, 33, 35, 36, 43, 47, 50, 54, 61, 62, 64, 73, 75, 81,
| 88, 91, 93, 96
B| 5,13, 14, 17, 19, 20, 21, 23, 29, 30, 41, 45, 52, 56, 67, 68, 74, 76, 77, 78,
80, 83, 84, 92
©.» %, .3,.:8,11,.12, 18, 25, 27, 31, 32, 44, 48, 49, 53,.65, 66, 70, 72, 79, 85,
86, 89, 94, 95
D | 7,10, 15,26, 28, 34, 37,.38, 39. 40, 42, 46, 51, 55, 57, 58, 59, 60, 63, 69,
71, 82, 87, 90
12.
Quum numerus 2 sit residuum quadraticum omnium numerorum primorum
formae 8n—-1, non-residuum vero omnium formae 8n-+-5,. pro modulis primis
formae prioris 2 in classe A vel C, pro modulis formae posterioris in classe B
vel D invenietur. Q@Quum discrimen inter classes B et D non sit essentiale,
quippe quod tantummodo ab electione numeri f pendet, modulos formae 8n—+5
aliquantisper seponemus. Modulos formae 8n—+-1 autem inductioni subiiciendo,
invenimus 2 pertinere ad A pro p—=173, 89, 113, 233, 257, 281, 337, 353 etc.;
contra 2 pertinere ad Ü pro p = 17, 41, 97, 137, 193, 241, 313, 401, 409, 433,
449, 457 etc.
Ceterum quum pro modulo primo formae 8Sn—+-1 numerus —1 sit residuum
biquadraticum, patet, —2 semper cum —2 ad eandem classem referendum esse.
10*
76 THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM.
13.
Si exempla art. praec. inter se comparantur, primo saltem aspectu criterium
nullum simplex se offerre videtur, per quod modulos priores a posterioribus digno-
scere liceret. Nihilominus duo huiusmodi criteria dantur, elegantia et simplici-
tate perinsignia, ad quorum alterum considerationes sequentes viam sternent.
Modulus p, tamquam numerus primus formae 8n-+1, reduci poterit, et
quidem unico tantum modo, sub formam aa—+2bb (Disquiss. Arithm. art. 182, II);
radices a, b positive accipi supponemus. Manifesto a impar erit, b vero par;
statuemus autem b— 2*ec, itaut c sitimpar. Jam observamus
I. quum habeatur p=aa(mod.c), ipsum p esse residuum quadraticum
ipsius c, et proin etiam singulorum factorum primorum, in quos ce resolvitur: vi-
cissim itaque, per theorema fundamentale, singuli hi factores primi erunt residua
quadratica ipsius p, et proin etiam illorum productum c erit residuum quadrati-
cum ipsius 9. Quod quum etiam de numero 2 valeat, patet, b esse residuum
quadraticum ipsius p, et proin bb, necnon —bb, residuum biquadraticum.
II. Hine —2bb ad eandem classem referri debet, in qua invenitur-nume-
rus 2; quare quum aa= —2bb, manifestum est, 2 velin classe A, velin
classe C' inveniri, prout a sit vel residuum quadraticum ipsius p, vel non-resi-
duum quadraticum. | |
III. Iam supponamus, «a in factores suos primos resolutum esse, e quibus
ii, qui sunt vel formae 8m--1 vel 8m-+-7, denotentur per a, a, a" etc., ii vero,
qui sunt vel formae 8m—+3 vel Sm-+-5, per 6, 6’, 6" etc.: posteriorum mul-
titudo sit =p. Quoniam p= 2bb (mod.a), erit p residuum quadraticum eo-
rum factorum primorum ipsius a, quorum residuum quadraticum est 2, i.e. fac-
torum «a, @', @"etc.; non-residuum quadraticum vero factorum eorum, quorum
non-residuum quadraticum est 2, i.e. factorum 0, 6’, 6"etc. Quocirca, vice versa,
per theorema fundamentale, singuli «, «, a” etc. erunt residua quadratica ipsius
p, singuli 6, 6’, 6’etc. autem non-residua quadratica. Ex his itaque concludi-
tur, productum « fore residuum quadraticum ipsius p, vel non-residuum, prout
a» par sit vel impar.
IV. Sed facile confirmatur, productum omnium a, «, a” etc. fieri formae
Sm-+-1 vel Sm-+-7, idemque valere de producto omnium 6, 6’, 6" etc., si ho-
rum multitudo fuerit par, ita ut in hoc casu etiam productum a necessario fieri
debeat formae 8m-+-1 vel 8m -+-7;; contra productum omnium 6, 6, 6” ete., quo-
COMMENTATIO PRIMA, 57.
ties ipsorum multitudo impar sit, fieri formae 8m-+-3 vel 8m+-5, idemque adeo
in hoc casu valere de producto a.
Ex his omnibus itaque colligitur theorema elegans:
Quoties a est formae Sm+1 vel 8Sm+-T, numerus 2 in complexu A con-
tentus erit; quoties vero a est formae Sm+3 vel Sm+5, numerus 2 in com-
plewu C invenietur.
Quod confirmatur per exempla in art. praec. enumerata; priores enim mo-
duli ita discerpuntur: 73 — 142.36, 89 — 81+2.4, 113 = 8142.16,
233 = 225+2.4, 257 = 2252.16, 281 —=81-+2.100, 337 = 49-+2.144,
353 — 225+2.64; posteriores vero ita: 17—= 942.4, 41 —=9-+2.16,
97 = 2542.36, 137 —= 942.64, 193 = 1214+2.36. 241 — 1692.36,
313 —=25+2.144, 401 =9—+2.196, 409 = 121+2.144, 433 — 3614+2.36,
449 — 441+2.4, 457 —= 1694+2.144.
14.
Quum discerptio numeri p in quadratum simplex et duplex nexum tam in-
signem cum classificatione numeri 2 prodiderit, operae pretium esse videtur ten-
tare, num discerptio in duo quadrata, cui numerum p aeque obnoxium esse con-
stat, similem forte successum suppeditet. Ecce itaque discerptiones numerorum
P, pro quibus 2 pertinet ad classem
A C
9+64 1+16
25464 25416
419-464 81+16
169464 121+16
1-+256 494-144
25-4256 | 225-+16
81-4256 | 169-+144
289 464 14400
9-+400
2894144
494400
441 +16
78 THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM.
Ante omnia observamus, duorum quadratorum, in quae p discerpitur, al-
terum impar esse debere, quod statuemus — aa, alterum par, quod statuemus
— bb. Quoniam aa fit formae 8$n +1, patet, valoribus impariter paribus ipsius
b respondere valores ipsius p formae 8n +5, ab inductione nostra hic exclusos,
quippe qui numerum 2 in classe B vel D haberent. Pro valoribus autem ipsius
p, qui sunt formae 8n+1, b esse debet pariter par, et si inductioni, quam schema
allatum ob oculos sistit, fidem habere licet, numerus 2 ad classem A referendus
erit pro omnibus modulis, pro quibus b est formae 8n, ad classem Ü vero pro
omnibus modulis, pro quibus 5 est formae 8”+4. Sed hoc theorema longe al-
tioris indaginis est, quam id, quod in art. praec. eruimus, demonstrationique plu-
res disquisitiones praeliminares sunt praemittendae, ordinem, quo numeri com-
plexum A, B, C, D se invicem sequuntur, spectantes.
15.
Designemus multitudinem numerorum e complexu A, quos immediate se-
quitur numerus e complexu A, B, ©, D resp., per (00), (01), (02), (03); perinde
multitudinem numerorum e complexu D, quos sequitur numerus e complexu
A, B, C, D resp. per (10), (11), (12), (13); similiterque sint in complexu °C resp.
(20), (21), (22), (23) numeri, in complexu D vero (30), (31), (32), (33) numeri
quos sequitur numerus e complexu A, B, C, D. Proponimus nobis, has sedecim
multitudines a priori determinare. Quo commodius lectores ratiocinia generalia
cum exemplis comparare possint. valores numericos terminorum schematis (8)
(00), (01), (02), (03)
(10), (11), (12), (13)
(20), (21), (22), (23)
(30), (31), (32), (33)
pro singulis modulis, pro quibus classificationes in art. 11 tradidimus, hie adscri-
bere visum est. |
“
»—5 p==13 p=117:\. = 2
0,1,0,0101,23,010,2,1,,0|1 2,302
00,011 5052,
0,0,:0,0 ae
0,0,1,011,0, 24 10,1,1,23| 1,23, 3 1
COMMENTATIO PRIMA. 79
p= 31 ’»—4 p=5 p = 61
It IE, 215326
2:94:43. 1:4,2, 2,21 0423
02 153,2, 3,22 4A, 8
BRD 22 4
p=13 p= 39 p= 91
9:0,2:2.:1°73, 8,6, 2729005.70.8
6:2,5,3::18, 4,5, 5717098,5,5
0, 816,807, 08
2,5,5,6 | 4,5,5,8] 8,5,5,6
Quum moduli formae 8n+-1 et 8n+-5 diverso modo se habeant, utros-
que seorsim tractare oportet: a prioribus initium faciemus.
16.
Character (00) indicat, quot modis diversis aequationi a1 = a’ satis-
fieri possit, denotantibus «&, a’ indefinite numeros e complexu A. Quum pro mo-
dulo formae 8r +1, qualem hic subintelligimus, « et p— a’ ad eundem com-
plexum pertineant, concinnius dicemus, (00) exprimere multitudinem modorum
diversorum, aequationi I+a—+a = p, satisfaciendi: manifesto huius aequa-
tionis vice etiam congruentia 14-04 ca = 0 (mod.p fungi potest.
Perinde
(01) indicat multitudinem solutionum congruentiae 14045 = 0 (mod.p)
(02) multitudinem solutionum congruentiae 17a+y=0
(03) multitudinem solutionum eongruentiae Ita+6=0
(11) multitudinem solutionum congruentiae 1+5+b= 0 etc.
exprimendo indefinite per 5 et 6’ numeros e complexu B, per y numeros e
complexu C, per 6 numeros e complexu D. Hinc statim colligimus sex aequa-
tiones sequentes:
(01) = (10), (02) = (20), (03) = (30), (12) = (21), (13) = (31), (23) = (32)
E quavis solutione data congruentiae 1+a-+ö5 = 0 demauat solutio con-
gruentiae I+6-+Ö= 0, accipiendo pro 6 numerum inter limites 1....p—1
80 THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM.
eum qui reddit 656 = 1 (qui manifesto erit e complexu D), et pro Ö’ residuum
minimum positivum producti a6 (quod itidem erit e complexu D); perinde patet
regressus a solutione data congruentiae 14+64+6'==0 ad solutionem congruen-
tiae 1Ha+d=0, si 6 accipitur ita, ut fiat 66 == 1, simulque statuitur a=6Ö.,
Hinc concludimus, utramque congruentiam aequali solutionum multitudine gau-
dere, sive esse (01) — (33).
Simili modo e congruentia 1a +y=0 deducimu Y+Y+1=0, si
y accipitur e complexu CO ita ut fiat yy’=1, atque y”" ex eodem complexu
congruus producto ay’. Unde facile colligimus, has duas congruentias aequalem
solutionum multitudinem admittere, sive esse (02) = (22).
Perinde e congruentia 1+a+6=0 deducimus 5+5-+1= 0, acci-
piendo 6, 5’ ita ut fiat 66=1,ba=d), eritque adeo (03) = (11).
Denique e congruentia 1+5--y=0 simili modo tum congruentiam
6+1+6’= 0, tum hanc Y+6—+1= 0 derivamus, atque hinc concludimus
(12) = 13) = 83).
Nacti sumus itaque, inter sedecim incognitas nostras, undecim aequationes,
ita ut illae ad quinque reducantur, schemaque S ita exhiberi possit:
Re a
A a
k, m, k, m
, m mi
Facile vero tres novae aequationes conditionales adiiciuntur. Quum enim
quemvis numerum complexus A, excepto ultimo »—1, sequi debeat numerus ex
aliquo complexuum A, B, C vel D, habebimus
(00)+(01)+(09)+ (03) = 2n—1
et perinde
10)+1N)-+(2+(13) = 2m
(20)-+(21)+(22)4+(23) = 2m
(30)+(31)+(32)-+(33) — 2n
In signis modo introductis tres primae aequationes suppeditant:
hHi+k+H1l=2n—1
+12 m Se N
kHm—=n
COMMENTATIO PRIMA. 81
Quarta cum secunda fit identica. Adiumento harum aequationum tres incognita-
rum eliminare licet, quo pacto omnes sedecim iam ad duas reductae sunt.
17:
Ut vero determinationem completam nanciscamur, investigare conveniet
multitudinem solutionum congruentiae
1+a+5-+y = 0 (mod. p)
designantibus «, d, y indefinite numeros e complexibus A, B, ©. Manifesto va-
lor «© =p-—1 non est admissibilis, quum fieri nequeat 6+y = 0: substitu-
endo itaque pro a deinceps valores reliquos, prodibunt 4, :, A, 7 valores ipsius
1a ad A, B,C,D resp. pertinentes. Pro quovis autem valore dato ipsius 14a
ad A pertinente, puta pro 14+a = a, congruentia a +5-+-y== 0 totidem so-
lutiones admittet, quot congruentia 14-5’ +y=0 (statuendo scilicet 6b = a6’,
y=oay), i.e. solutiones (12)— m. Perinde pro quovis valore dato ipsius 1-+«a
ad B pertinente, puta pro 1+a—=5), congruentia 6’ +-5+y= 0 totidem
solutiones habebit, quot haec 1 +6’ =0 (scilicet statuendo db = Hu,
y=6'), i.e. solutiones (01) =‘. Similiter pro quolibet valore dato ipsius
1-+a ad C pertinente, puta pro 14a — y”, congruentia Y’+5+y=0 toti-
dem modis diversis solvi poterit, quot haec 1+6+«= 0 (nempe statuendo
b=yV6, y=y’a), i.e. solutionum multitudo erit (03) —=!. Denique pro
quovis valore dato ipsius 1--a ad D pertinente, putapro 14+a —= 6", con-
gruentia 60°+6-+y== 0 totidem solutiones habebit, quot haec 1+yY+d'= 0
(statuend b=0'y, y=0%8'), i.e. (23) —=m solutiones.. Omnibus itaque col-
lectis, patet, congruentiam 1+-a+d-+y= 0 admittere
hm+ii+kl+Im
solutiones diversas.
Prorsus vero simili modo eruimus, si pro 5 singuli deinceps numeri com-
plexus B substituantur, summam 1-+-5 obtinere resp. (10), (11), (12), (13) sive
i,l,m, m valores ad A, B, C, D pertinentes, et pro quovis valore dato ipsius
1+-5 ad hos complexus pertinente, congruentiam 1+5+-a+y=0 resp. (02),
(31), (20), (13) sive A, m, k, m solutiones diversas admittere, ita ut multitudo
omnium solutionum fiat
11. 1i
82 THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM.
— ik + Im + km mm
Ad eundem valorem perducimur, si evolutionem considerationi valorum summae
1-+y superstruimus.
18.
Ex hac duplici eiusdem multitudinis expressione nanciscimur aequationem:
0 —= hm+ii+ kl— ik — km — mm |
atque hinc, eliminando A adiumento aequationis A = 2m —k—1,
0 — (k—m)’+ii+kl—ik— kk—m
Sed duae aequationes ultimae art. 16 suppeditant k = #(l-++i), quo valore sub-
stituto ii+kl—ik— kk transit in +{l—i)’, adeoque aequatio praecedens, per
4 multiplicata, in hanc
0 —= 4(k—m)’+(l— i)’— 4m
Hinc, quoniam 4m — 2(k+m) — 2(k— m) = 2n—2(k— m), sequitur
2n = A (k— m) + 2(k— m)—+(l— ii)?
sive
8n+1 = (4(k—m) +1)’ +41)?
Statuendo itaque
uk mM)+=a, N—2i=b
habebimus
p= wa+bb
Sed constat, p unico tantum modo in duo quadrata discerpi posse, guorum
alterum impar accipi debet pro aa, alterum par pro bb, ita ut aa, bb sint numeri
ex asse determinati. Sed etiam a ipse erit numerus prorsus determinatus; radix
enim quadrati positive accipi debet. vel negative, prout radix positiva est formae
4M-+1 vel 4M—+3. De determinatione signi ipsius D mox loquemur.
Iam combinatis his novis aequationibus cum tribus ultimis art. 16, quinque
numeri A,i, k, I, m per a, b et n penitus determinantur sequenti modo:
COMMENTATIO PRIMA, 83
sh = An—3a—5
si =4nt+a— 2b —1
sk—=Anta—1
8! =4An—ta+2b —1
8m = An—a-1
Si loco ipsius n modulum p introducere malumus, schema S, singulis ter-
minis ad evitandas fractiones per 16 multiplicatis, ita se habet:
p—ba—11 p+2a—4b—3 | p+2a—3 | p+2a+4b—3
p+2a—4b—3 | p+?a+4b—3 | p—2a+1 | p—2a-+1
p+2a—3 p—?2a-t1 | p+2a—3 | p—?2a+t1i
pt2a+4b—3 | p—?a+1 p—2a+1 | p+2a—4b—3
19.
Superest, ut signum ipsi b tribuendum assignare doceamus. Jam supra,
art. 10, monuimus, distinetionem inter complexus B et D, per se non essentia-
lem, ab electione numeri / pendere, pro quo alterutra radix congruentiae wa =—1
accipi debet, illasque inter se permutari, si loco alterius radicis altera adoptetur.
Iam quum inspectio schematis modo allati doceat, similem permutationem cum
mutatione signi ipsius b cohaerere, praevidere licet, nexum inter signum ipsius
b atque numerum f exstare debere. Quem ut cognoscamus, ante omnia observa-
mus, si, denotante p integrum non negativum, pro z accipiantur omnes numeri
1,2, 3....p—1, fieri secundum modulum p, vel 2." =0, vel I #+ = —1,
prout p. vel non-divisibilis sit per p—1, veldivisibilis. Pars posterior theorema-
tis inde patet, quod pro valore ipsius p per p—1 divisibili, habetur "= 1:
partem priorem vero ita demonstramus. Denotante g radicem primitivam, omnes
2 convenient cum residuis minimis omnium 9’, accipiendo pro y omnes numeros
0,1,2,3....p—2, eritque adeo 22" = 2g"Y. Sed fit
zZg — rat adeoque (g"—1)22" RD. ; = 0
Hinc vero sequitur, gquoniam pro valore ipsius p per p—1 non-divisibili g" ipsi
1 congruus sive 9"—1 per p divisibilis esse nequit, Ze"=0. Q.E.D.
ae
84 THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM.
Iam si potestas (+1)? =!) secundum theorema binomiale evolvitur, per
lemma praec. fiet
2 (41) 7=9 = —2 (mod.p)
Sed residua minima omnium 2° exhibent omnes numeros A, quovis quater occur-
rente: habebimus itaque inter residua minima ipsius 2°+1
pertinentia, quatuorque erunt — 0 (puta pro =p—1). Hinc, considerando
criteria complexuum A, B, €, D, deducimus
> (22 -1)4770 — 4(00)+4f(01) — 4(02) — 4,f(03)
adeoque |
—2 = 4(00)+4f(01) — 4 (02) — 4.f(03)
sive substitutis pro (00), (01) ete. valoribus in art. praec. inventis,
—212= —2a—2—2bf
Hinc itaque colligimus, semper fieri debere a+bf= 0, sive, multiplicando per f,
= af
quae congruentia determinationi signi ipsius b, si numerus / iam electus est, vel
determinationi numeri f, si signum ipsius b aliunde praescribitur, inservit.
2
20.
Postquam problema nostrum pro modulis formae 8r-+1 complete solvi-
mus, progredimur ad casum alterum, ubi p est formae 8%--5: quem eo brevius
absolvere licebit, quod omnia ratiocinia parum a praecedentibus differunt.
Quum pro tali modulo —1 ad classem C pertineat, complementa nume-
rorum complexuum A, B, C, D ad summam p», in classibus C, D, A, B resp.
contenta erunt. Hinc facile colligitur
COMMENTATIO PRIMA. 85
denotare multitudinem
SIENUM | solutionum congruentiae
(00) 1ta+y=0
(01) 1a +6 = 0
(02) 1ta+a= 0
(03) 1046 =0
(10) 1+5-+y=0
(11) 1+5+6 =
(12) 1+5b+a= 0
(13) 150 = 0
99); Er Y 0
(21) 1+y+i=0
(22) I+ytaz=0
(23) 1I+y+= 0
(30) 1+6+y=0
(31) 1+6+d= 0
(32) 1Hö+0=0
(33) 14646 = 0
unde statim habentur sex aequationes:
(007 = 122), (01) = (32), (03) = (12), (10) = (23), (11) = (33), (21) — (30)
Multiplicando congruentiam 1+a-+y==0 per numerum y ecomplexu C
ita electum, ut fiat yY’=1, accipiendoque pro y” residuum minimum producti ay',
quod manifesto quoque complexui C adnumerandum erit, prodit y+Y-+1=0.
unde colligimus (00) = (20).
Prorsus simili modo habentur aequationes (01) = (13), (03) = (31),
(10) = (11) = (21).
Adiumento harum undecim aequationum sedecim incognitas nostras ad quin-
que reducere, schemaque S ita exhibere possumus:
SR
86 THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM.
Porro habemus aequationes
(00)-F(01)++(02)+(03) = 2
G0)+(11)-+UD) +3) = n+1
(20)+(21)+(22)-H(23) = 2n
(30)+(31)+(32)++(33) = ni
sive, adhibendo signa modo introducta, has tres (I):
hHi+k+-1l= 2n+1
2m+itl = 2n-+1
hA-m=n
quarum itaque adiumento incognitas nostras iam ad duas reducere licet.
Aequationes reliquas e consideratione multitudinis solutionum congruentiae
1+a+5+y=0 derivabimus (per a, 6, y, etiam hic indefinite numeros e com-
plexibus A, B, C resp. denotantes). Scilicet perpendendo primo, 1-+a praebere
h,i, k, l numeros resp. ad A, B, ©, D pertinentes, et pro quovis valore dato
ipsius a in his quatuor casibus resp. haberi solutiones m, /, i, m, multitudo om-
nium solutionum erit
— hm-il-Hik+ Im
Secundo quum 1—+-5 exhibeat m, m, l,i numeros ad A,B, C,D pertinentes,
et pro quovis valore dato ipsius 5 in his quatuor casibus exstent solutiones A, m,
h, m, multitudo omnium solutionum erit
— hm —+-mm—+ hl+ im
unde derivamus aequationem
0 = mm—+ hl+im— il— ik —Im
quae adiumento aequationis k = 2m—h, ex (I) petitae, transit in hanc:
0 = mm—+hl+hi—il— im — Im
Iam ex aequationibus I habemus etiam /+i = 142%, unde
Ey en u,
1led+2- li)
COMMENTATIO PRIMA. 37
Quibus valoribus in aequatione praecedente substitutis, prodit:
0 = 4Amm — Am —1—8hm+4hh+(i—!)?
Quodsi tandem pro 4m hic substituimus 2(h+m) —2(h—m) sive, propter ae-
quationem ultimam in I, 2n—2(h— m), obtinemus:
0 — 4(h— m)’ — 2n—+ 2(k— m) —1-+(i—1)?
adeoque
8n +5 = (4(h— m) +1)’ +4(i—1)?
Statuendo itaque
aıh—m+1 —=a, i—21l—b
fiet
p= aa+bb
Jam quum in hoc quoque casu » unico tantum modo in duo quadrata, par
alterum, alterum impar, discerpi possit, aa et bb erunt numeri prorsus determi-
nati; manifesto enim aa quadrato impari, bb pari aequalis statui debet. Prae-
terea signum ipsius a ita erit stabiliendum, ut fiat «== 1 (mod. 4), signumque
ipsius b ita, ut habeatur b= «af (mod.p), uti per ratiocinia iis, quibus in art.
praec. usi sumus, prorsus similia facile demonstratur.
His praemissis quinque numeri A,t,k,l,m per a,b etn ita determinantur:
sh =Anta—1
8? = An+a+2b—+3
Sk —=4An—3a+3
8/ 4an+a—2b—+3
Sm—=4An—a-t1
|
aut si expressiones per p praeferimus, termini schematis S per 16 multiplicati
ita se habebunt:
P+2a—7 | p+2a+4b-+1 | p—2a-+1 p+2a—4b-+1
Pp—2a—3 | p—2a—3 p+?2a—4b-++1 | p+2a+4b-H1
p+?2a—7T | p—2a—3 p+?2a—7 pPp— 2a—3
P—2a—3 | p+?2a—4b+1 | p+2a+4b-+1 | p—2%a— 3
88 THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM.
21.
Postquam problema nostrum solvimus, ad disquisitionem principalem re-
vertimur, determinationem completam complexus, ad quem numerus 2 pertinet,
iam aggressuri.
I. Quoties p est formae 8»+-1, iam constat, numerum 2 vel in com-
plexu A velin complexu C inveniri. In casu priori facile perspieitur, etiam nu-
meros 4(p—1), #(p+1) ad A pertinere, in posteriori vero ad ©. Jam perpen-
damus, si «@ et «+1 sint numeri contigui complexus A, etiam p—a—1, p—a
tales numeros esse, sive, quod idem est, numeros complexus A tales, quos se-
quatur numerus ex eodem complexu, binos semper associatos esse, (a et p— 1-0).
Talium itaque numerorum multitudo, (00), semper erit par, nisi quis exstat sibi
ipse associatus, i. e. nisi #(p—1) ad A pertinet, in quo casu multitudo illa im-
par erit. Hinc colligimus, (00) imparem esse, quoties 2 ad complexum A, pa-
rem vero, quoties 2 ad C pertineat. Sed habemus
16(00) = aa+bb—6a—11
sive statuendo a = 49—+1, b = Ar (v. art. 14),
2 (00) = gg —ga+rr—1
Quoniam igitur g9— q manifesto semper par est, (00) impar erit vel par, prout
r par est velimpar, adeoque 2 velad A velad C pertinebit, prout 5b est vel
formae Sm vel formae Sm-+4. Quod est ipsum theorema, in art. 14 per in-
ductionem inventum.
II. Sed etiam casum alterum, ubi p est formae 8n—+5. aeque complete
absolvere licet. Numerus 2 hic velad B, vel ad:D pertinet, perspiciturque fa-
cile, in casu priori 4{p—1) ad B, +(p+1) ad D, in casu posteriori autem
4(p—1) ad D, #(p-+1) ad B pertinere. Jam perpendamus, si 6 sit numerus
ex B talis, quem sequatur numerus ex D, fore etiam numerum p—5—1 ex
B atque p—5 ex D, i. e. numeros illius proprietatis binos associatos semper
adesse. Erit itaque illorum multitudo, (13), par, excepto casu, in quo unus eo-
rum sibi ipse associatus est, i.e. ubi #(p—1) ad B, 4({p-+1) ad D pertinet;
tunc scilicet (13) impar erit. Hinc colligimus, (13) parem esse, quoties 2ad D,
imparem vero, quoties 2 ad BD pertineat. Sed habemus
16(13) = aa+bb+2a+4b—+H1
COMMENTATIO PRIMA, 839
sive statuendo a — 44+1,b=4r-+2,
(13) = qq +g9-+rr+2r +1
Erit itaque (13) impar, quoties r par est; contra (13) par erit, quoties r est
impar: unde colligimus, 2 pertinere ad B, quoties 5b sit formae 8m-+2, ad D
vero, quoties 5b sit formae 8m—+-6.
Summa harum investigationum ita enunciari potest:
Numerus 2 pertinet ad complexum A, B, C vel D, prout numerus $b est
formae Am, Am-+1, 4m-+-2 vel A4m—+-3.
22,
In Disquisitionibus Arithmeticis theoriam generalem divisionis circuli, at-
que solutionis aequationis @&’—1I = 0 explicavimus, interque alia docuimus, si
r Bar ö F En ri — R
HM sıt divisor numerl a1, functionem 3er H factores ordinis ee resolvi
z—1
posse adiumento aequationis auxiliaris ordinis p. Praeter theoriam generalem
huius resolutionis simul casus speciales, ubi = 2 vel £ —=3, in illo opere
artt.356 — 358 seorsim consideravimus, aequationemque auxiliarem a priori assig-
nare docuimus, i.e. absque evolutione schematis residuorum minimorum potesta-
tum alicuius radicis primitivae pro modulo p. Iam vel nobis non monentibus lecto-
res attenti facile percipient nexum arctissimum casus proximi istius theoriae, puta
pro a—=4, cum investigationibus hic in artt. 15— 20 explicatis, quarum adiumento
ille quoque sine difficultate complete absolvi poterit. Sed hanc tractationem ad
aliam occasionem nobis reservamus, ideoque etiam in commentatione praesente
disquisitionem in forma pure arithmetica perficere maluimus, theoria aequationis
zP’—1 = 0 nullo modo immixta. Contra coronidis loco adhuc quaedam alia theo-
remata nova pure arithmetica, cum argumento hactenus pertractato arctissime
coniuncta, adiiciemus.
23.
Si potestas (#41)1? =" secundum theorema binomiale evolvitur, tres ter-
mini aderunt, in quibus exponens ipsius & per p—1 divisibilis est, puta
ap) PaP' atque ı
I. 12
90 THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM.
denotando per P co£flficientem medium
3(P—1).4(#—3).4(P— 5). »- +(p+3)
ER BER EN 4(p— 1)
Substituendo itaque pro & deinceps numeros 1,2,3....p—1, obtinebimus per
lemma art. 19
I (ft -ı)te 0) = ap
At perpendendo ea quae in art. 19 exposuimus, insuperque, quod numeri com-
plexuum A, B, C, D, ad potestatem exponentis 4{p—1) evecti congrui sunt,
secundum modulum p, numeris +1, —1, +1, —1 resp., facile intelligitur fieri
> (#+1)?7V = 4(00) —4(01)+4(02)— 4(03)
adeoque per schemata in fine artt. 18, 20 tradita
Zar
Comparatio horum duorum valorum suppeditat elegantissimum theorema: scili-
cet habemus
P= 2a(mod.p)
Denotando quatuor producta
PH) APHTN).E(pHN)..... Hl
(PH) 4(P+3).4(P45) -...- 2(P—
+{3p+1).4(8P+5).48pP+9) .....
resp. per q, r, s, £, theorema praecedens ita exhibetur:
Quum quilibet factorum ipsius g complementum suum ad p habeat in £, erit
= t(mod.p), quoties multitudo factorum par est, i.e. quoties p est formae
8n—-1, contra g=—-t, quoties multitudo factorum impar est, sive p» formae
8n—+-5. Perinde in:casu priori erit r=s, in posteriori r=—s. In utroque
casu erit qr=st, et quum constet, haberi grst= —1, erit gerr = —1,
COMMENTATIO PRIMA. 91
adeoque gr= + f(mod.p). Combinando hanc congruentiam cum theoremate
modo invento obtinemus rr = +2af, et proin, per artt. 19, 20
2b = -+rr(mod.p)*)
Valde memorabile est, discerptionem numeri p in duo quadrata per operationes
prorsus directas inveniri posse; scilicet radix quadrati imparis erit residuum abso-
. . . . ® . . . . . .
lute minimum ipsius ‚-, radix quadrati paris vero residuum absolute minimum
. . . r .
ipsius 4rr secundum modulum p. Expressionem „—, cuius valor pro y= 5
fit = 1, pro valoribus maioribus ipsius 9, ita quoque exhibere licet:
6.10.14.18..... (2P—3)
FE BR ae 4{p-—1)
Sed quum insuper noverimus, quonam signo affecta prodeat ex hac formula radix
quadrati imparis, eo scilicet, ut semper fiat formae 4m--1, attentione perdig-
num est, quod simile criterium generale respectu signi radicis quadrati paris hacte-
nus inveniri non potuerit. Quale si quis inveniat, et nobiscum communicet, mag-
nam de nobis gratiam feret. Interim hic adiungere visum est valores numerorum
a, b, f, quales pro valoribus ipsius 9 infra 200 e residuis minimis expressionum
2, $rr, gr prodeunt.
*) atque [(F)g’=a= (=)
12°
92
THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM.
p a b f
Bee 2
18 1 Kiss a 5
171: 1a
si rs u
Ey ee
II 9
| - 1 rer
44 see
a
ee
97 1 -+ 9. Fri) ıe
U
108 | 31) 16 1:33
Er a ee
ee dr
a
157 Pr 11 10.5 138
173.113 4.8] 80
isı | #9 | +ioil 162
1931 7.1 232] 94
197-1.) —14 | 188
THEORIA
RESIDUORUM BIQUADRATICORUM
COMMENTATIO SECUNDA
AUCTORE
CAROLO FRIDERICO GAUSS
SOCIETATI REGIAE TRADITA 1831. APR. 15.
Commentationes societatis regiae scientiarum Gottingensis recentiores. Vol. vIL.
Gottingae MDCCCXXXN.
THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM.
COMMENTATIO SECUNDA.
24.
In commentatione prima ea, quae ad classificationem biquadraticam numeri
—-2 requiruntur, complete absoluta sunt. Dum scilicet omnes numeros per mo-
dulum » (qui supponitur esse numerus primus formae 4n--1) non divisibiles in-
ter quatuor complexus A, B, C, D distributos concipimus, prout singuli ad po-
testatem exponentis 4(p—1) evecti congrui fiunt secundum modulum p ipsi
+1, +f, —1, —f, denotante f radicem alterutram congruentiae ff= —1
(mod.p): invenimus, diiudicationem, cuinam complexui adnumerandus sit nume-
rus —+2, pendere a discerptione numeri p in duo quadrata, ita quidem, ut si
statuatur 9» = aa--bb, denotante aa quadratum impar, bb quadratum par, si
‚porro signa ipsorum a, b ita accepta supponantur, ut habeatur a= 1 (mod. 4),
b=af(mod.p), numerus +2 ad complexum A, B, C, D pertinere debeat,
prout #5 sit formae 4n, An—+1, 4n—+2, 4n+3 resp.
Sponte quoque hinc demanat regula classificationi numeri —2 inserviens.
Scilicet uum —1 pertineat ad classem A pro valore pari ipsius #5, ad clas-
sem C vero pro impari: pertinebit, per theorema art. 7, numerus —2 ad clas-
sem A, B, C, D, prout +5 est formae 4n, An—+3, 4n+2, 4n--1 resp.
Haec theoremata etiam sequenti modo exprimi possunt:
96 THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM.
Pertinet +2 | — 2
ad complexum | si b, secundum modulum 8, fit congruus ipsi
A 0 0
B 2a ba
C 4a 4a
D ba 2a
Facile intelligitur, theoremata sic enunciata haud amplius pendere a conditione
a= 1(mod.4), sed etiamnum valere, si fuerit a= 3 (mod. 4), dummodo condi-
tio altera, af=b(mod.p), conservetur.
Aeque facile perspicitur, summam horum theorematum eleganter contrahi
posse in formulam unicam, puta:
si a et b positive accipiuntur , semper fit
vi — a? HP) (mod.p)
x 25.
Videamus nunc, quatenus inductio classificationem numeri 3 indigitet. Ta-
bula art. 11 ulterius continuata (semper adoptata radice primitiva minima) mon-
strat, 43 pertinere
ad complexum
A pro | B pro | C pro D pro
p a b p a b p a b | p a |b
13|— 3|+ 2, 17|)+ 1|— 4 37|+ 1[—6| 5/4 1)+ 2
109|— 3410| 29)+ 5/+ 2| 61/+ 5|—6| 41/4 5/— 4
1811+ 9) +10| 53|1— 7|+ 2) 73/— 3|—8|149)— 7-10
193|— 7)—12| 89|+ 5/— 8| 97)+ 9|+4)173|+13|+ 2
2291 —15/+ 2/101)+ 1/+10)157 |) —111—6
277|+ 9|-+14 113) — 7|— 8241| —15|—4
137) —11|— 4
197 + 1|—14
ı233/+13|+ 8
257|+ 11—16
269 +13 | +10
281|+ 5|+16
1293417 I+ 2
COMMENTATIO SECUNDA. 97
Primo saltem aspectu nexum simplicem inter valores numerorum a, b, qui-
bus idem complexus respondet, non animadvertimus. At si perpendimus, diiu-
dicationem similem in theoria residuorum quadraticorum per regulam simplicio-
rem absolvi respectu numeri — 3, quam respectu numeri —+3, spes affulget suc-
cessus aeque secundi in theoria residuorum biquadraticorum. Invenimus autem,
— 3 pertinere ad complexum
A pro B pro | C pro D pro
p a b p a b p a b p a b
Eee 5 it 2) id 34 2| 2090| + Sl a
6114 5|— 6| 17)+ 1)— 4| 73) — 31) — 8| 41|+ 5) — 4
1m 6895| 9753| — 7/2
1933| — 71-12] 113 |—:7)— 8108) — 3) +10.!101|+.1|-+10
137 j—11/— 4|181)—+ 9/—+101197|+ 1)—14
149|— 7|-+10|229|—15|-+ 2|269)+13/-F10
173|+13|)+ 2241) —15|— 4|293|+17|+ 2
233|+13|+ 8|277|+ 9/14
257! il —ı6|
ası | + 5\ +16
ubi lex inductionis sponte se offert. Scilicet pertinet —3 ad complexum
A, quoties b per 3 divisibilis est, sive b = 0 (mod. 3)
B, quoties a+b per 3 est divisibilis, sive b= 2a (mod. 3)
C, quoties a per 3 est divisibilis, sive a = 0 (mod. 3)
D, quoties a—b per 3 divisibilis est, sive b= a (mod. 3)
3 EN
Numerum —5 adscribendum invenimus complexui
A pro p = 101, 109, 149, 181, 269
D. ven » = 13, 17, 73, 97, 157,.193;.197,.238), 277, 293
C pro p = 29, 41, 61, 89, 229, 241, 281
BD mo 9 == 37, 53, 113, 137, 173, 257
In considerationem vocatis valoribus numerorum a, b singulis p respondentibus,
lex hic aeque facile, ut pro classificatione numeri —3, prehenditur. Scilicet
ineidimus in complexum
DI. 13
98 THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM.
A, quoties b = 0 (mod. 5)
B, quoties b= a
C, quotis a= 0
D, quoties b=
Manifestum est, has regulas complecti casus omnes, quum pro b= 2a, vel
b= 3a(mod.5), fieret aa+bb = 0, Q.E.A., quum per hypothesin p sit nu-
merus primus a 5 diversus.
27.
Perinde inductio ad numeros —7, —11, +13, +17, —19, —23 appli-
cata satisque producta sequentes regulas indigitat:
Pro numero —7
Ala=0, velb= 0 (mod.7)
B b=4a velb=5a
Clı=a, vel b= 6a
Db= 2a, velb= 3a
Pro numero —11.
A = 0, 5a, vel 6a (mod. 11)
B = a, 3a vel 4a
Cla=od0, velb= 2a vel 9a
D|b=T7a,S8Sa vel 10a
Pro numero +13.
A| b=0,4a, 9a (mod. 13)
B|ibz= 6a, 1la, 12a
Clis=0;:b=3a, 10a
Dib=a,2a,Ta
Pro numero +17.
Alsz=dı=0, a, 16a (mod. 17)
B b=2a, 6a, Sa, 14a
C|b=35a,Ta, 10a, 12a
D|b= 3a, 9a, 11a, 15a
CGOMMENTATIO SECUNDA. 99
Pro numero —19.
A|b=0, 2a, 5a, 14a, 17a (mod. 19)
B|\b=3a, Ta, ila, 13a, 18a
Cla=0;b=4a, 9a, 10a, 15a
Dib=a, 6a, Sa, 12a, 16a
Pro numero — 23.
Alaz=0;b= 0,Ta, 10a, 13a, 16a (mod. 23)
Bb= 2a, 3a, Aa, 11a, 15a, 17a
C|\b=a, 5a, Ja, 14a, 13a, 22a
D|ib=6a, 8a, 12a, 19a, 20a, 21a
28.
Theoremata specialia hoc modo per inductionem eruta confirmari inveniun-
tur, quousque haec continuetur, formamque criteriorum pulcherrimam manifestant.
Si vero inter se conferuntur, ut conclusiones generales inde petantur, primo sta-
tim aspectu se offerunt observationes sequentes.
Criteria diiudicationis, ad quemnam complexum referendus sit numerus pri-
mus. —+g (sumendo signum superius vel inferius, prout g est formae 4n-+1 vel
4n--3), pendent a formis numerorum a, b inter se collatorum respectu moduli q.
Scilicet
I. quoties a= 0 (mod.g), +gq pertinet ad complexum determinatum, qui
est A pro g=17,17, 23, necnon EC pro qg=3, 11, 13, 19, unde coniectura
oritur, casum priorem generaliter valere, quoties q sit formae 8n--1, posterio-
rem vero, quoties gq sit formae 8n +3. ÜCeterum complexus B et D iam abs-
que inductione excluduntur pro valore ipsius a per q divisibili, ubi ft p=bb
(mod.g), i.e. ubi p est residuum quadraticum ipsius q, unde per theorema fun-
damentale —+g esse debet residuum quadraticum ipsius 2.
II. Quoties autem a per g non est divisibilis, criterium pendet a valore
8 Ei
expressionis — (mod.g). Admittit quidem haec expressio g valores diversos, puta
0, 1,2, 3....9—1: sed quoties g est formae 4n--1, excludendi sunt bini valo-
ter
100 THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM.
res expressionis /—1(mod.g), qui manifesto nequeunt esse valores expressionis
> (mod. g), quum p=aa+-bb semper supponatur esse numerus primus a q di-
versus. Quapropter multitudo valorum admissibilium expressionis 2 (mod.g) est
— 9—2, pro g= I (mod.4), dum manet —=g pro qg= 3 (mod. 4).
Iam hi valores in quaternas classes distribuuntur, puta, ut quidam, indefi-
nite per & denotandi, respondeant complexui A; alii per 5 denotandi complexui
B; alii y complexui C; denique reliqui © complexui D, ita scilicet, ut +y
complexui A, B, C,D adscribendus sit, prout habeatur b=aa, b=ba, b=ya,
b = da (mod. g).
At lex huius distributionis abstrusior videtur, etiamsi quaedam generalia
promte animadvertantur. Multitudo in ternis classibus eadem reperitur, puta
= +(g—1) vel 4+(9-+1), dum in una (et quidem in eadem, quae respondet com-
plexui cum criterio a== 0) unitate minor est, ita ut multitudo omnium criterio-
rum diversorum respectu singulorum complexuum fiat eadem, puta = 4(g—1)
vel +{(g-+1). Porro animadvertimus, 0 semper in prima classe (inter «) reperiri,
nec non complementa numerorum a, 6, y,6 ad g, puta g—a, g—Ö5, q—y,
q— 6 resp. in er. prima, quarta, tertia, secunda. Denique valores expressio-
1 | 1
FR ee
tiam, secundam, quoties criterium a== 0 respondet complexui A; ad classem
num mod.g) pertinere videmus ad classem primam, quartam, ter-
tertiam, secundam, primam, quartam resp. autem, quoties criterium a=0 re-
fertur ad complexum C. Sed ad haec fere limitantur, quae per inductionem as-
sequi licet, nisi audacius ea, quae infra e fontibus genuinis haurientur, anticipare
nobis arrogemus.
29.
Antequam ulterius progrediamur, observare convenit, criteria pro numeris
primis (positive sumtis, si sunt formae 4n+-1, negative, si formae 4n+3) suf-
ficere ad diiudicationem pro omnibus reliquis numeris, si modo theorema art. 7,
atque criteria pro —1 et +2 in subsidium vocentur. Ita e.g. si desiderantur
criteria pro numero +3, criteria in art. 25 prolata, quae referuntur ad —3,
etiamnum pro —-3 valebunt, quoties $b est numerus par: contra complexus
A, B, C, D cum complexibus C, D, A, B permutandi erunt, quoties 45 est im-
par, unde sequuntur praecepta haecce:
COMMENTATIO SECUNDA. 101
+3 pertinet
ad complexum | si
A b=0(mod.12); velsimul a=0(mod.3), b=2 (mod. 4)
B b=8a vel 10a(mod. 12) Ä
C b=6a(mod. 12); velsimul a=0(mod.3), b=0 (mod. 4)
D b=2a vel 4a(mod. 12)
Perinde criteria pro --6 petuntur e combinatione criteriorum pro 2 et
— 3; scilicet
—-6 pertinet
ad complexum |si
A b=0, 2a, N vel simul a==0 (mod. 3), b=4a (mod.$)
B b=4a, 6a, Sa(mod.24); velsimul a=0 (mod. 3), b= 2a (mod.$)
C b=10a, 12a, 14a(mod. 24); vel simul a=0(mod.3), b=0 (mod.$8)
D b=16a, 18a, 20a(mod. 24); vel simul a=0 (mod. 3), b=64(mod.$)
— 6 vero
ad complexum |si
A b=0, 10a, 14a(mod.24); vel simul a=0 (mod. 3), b=4a(mod. $)
b b=4a, Sa, 18a(mod. 24); vel simula=0(mod.3), b=64(mod. 8)
C b=2a, 12a, 22a(mod.24); velsimula=0(mod.3),b=0 (mod. $)
D = 6a, 16a, 20a (mod. 24); velsimul a= 0 (mod. 3), b=2a (mod. 8)
Simili modo criteria pro numero +21 concinnabuntur e criteriis pro —3
et — 7; criteria pro —105 e criterlis pro —1, —3, +5, —7, etc.
30.
Amplissimam itaque messem theorematum specialium aperit inductio, theo-
remati pro numero 2 affinium: sed desideratur vinculum commune, desiderantur
demonstrationes rigorosae, quum methodus, per quam in commentatione prima
numerum 2 absolvimus, ulteriorem applicationem non patiatur. Non desunt qui-
dem methodi diversae, per quas demonstrationibus pro casibus particularibus po-
tiri liceret, iis potissimum, qui distributionem residuorum quadraticorum inter
complexus A, C spectant, quibus tamen non immoramur, quum theoria genera-
102 THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM.
lis omnes casus complectens in votis esse debeat. Cui rei quum inde ab anno 1805
meditationes nostras dicare coepissemus, mox certiores facti sumus, fontem ge-
nuinum theoriae generalis in campo arithmeticae promoto quaerendum esse, uti
iam in art. I addigitavimus. |
Quemadmodum scilicet arithmetica sublimior in quaestionibus hactenus per-
tractatis inter solos numeros integros reales versatur, ita theoremata circa residua
biquadratica tunc tantum in summa simplicitate ac genuina venustate resplendent,
quando campus arithmeticae ad quantitates imaginarias extenditur, ita ut absque
restrictione ipsius obiectum constituant numeri formae a-+-bi, denotantibus i
pro more quantitatem imaginariam V—1, atque a, b indefinite omnes numeros
reales integros inter — oo et +00. Tales numeros vocabimus numeros integros
complexos , ita quidem, ut reales complexis non opponantur, sed tamquam species
sub his contineri censeantur. Commentatio praesens tum doctrinam elementarem
de numeris complexis, tum prima initia theoriae residuorum biquadraticorum sistet,
quam ab omni parte perfectam reddere in continuatione subsequente suscipiemus*).
31.
Ante omnia quasdam denominationes praemittimus, per quarum introductio-
nem brevitati et perspicuitati consuletur.
Campus numerorum complexorum a-+-bi continet
I. numeros reales, ubi b = 0, et, inter hos, pro indole ipsius a
1) cifram
2) numeros positivos
3) numeros negativos
II. numeros imaginarios, ubi 5 cifrae inaequalis. Hie iterum distinguuntur
1) numeri imaginarii absque parte reali, i.e. ubi a = 0
2) numeri imaginarli cum parte reali, ubi neque b neque a = 0.
Priores si placet numeri imaginarii puri, posteriores numeri imaginarli mixti vo-
cari possunt.
*) Obiter saltem hie adhue monere convenit, campum ita definitum imprimis theoriae residuorum bi-
quadraticorum accommodatum esse. Theoria residuorum cubicorum simili modo superstruenda est considera-
tioni numerorum formae a+bh, ubi A est radix imaginaria aequationis ®—ı = 0, putah= —ı-+y2.i;
et perinde theoria residuorum potestatum altiorum introductionem aliarum quantitatum imaginariarum postu-
labit.
COMMENTATIO SECUNDA. 103
Unitatibus in hac doctrina utimur quaternis, —1, —1, +i, —i, quae
simpliciter positiva, negativa, positiva imaginaria, negativa imaginaria audient.
Producta terna ceuiuslibet numeri complexi per —1, +, —i illius socios
vel numeros illi associatos appellabimus. Excepta itaque cifra (quae sibi ipsa as-
sociata est), semper quaterni numeri inaequales associati sunt.
Contra numero complexo coniunctum vocamus eum, qui per permutationem
ipsius © cum —i inde oritur. Inter numeros imaginarios itaque bini inaequales
semper coniuncti sunt, dum numeri reales sibi ipsi sunt coniuncti, siquidem de-
nominationem ad hos extendere placet.
Productum numeri complexi per numerum ipsi coniunctum utriusque nor-
mam vocamus. Pro norma itaque numeri realis, ipsius quadratum habendum est.
Generaliter octonos numeros nexos habemus, puta
a—bi a—bi
—b+ai| —b—ai
—a—bi| —a-+bi
b—ai b+ai
ubi duas quaterniones numerorum associatorum, quatuor biniones coniunctorum
conspicimus, omniumque norma communis est aa+bb. Sed octo numeri ad qua-
tuor inaequales reducuntur, quoties vel a = —+Öb, vel alteruter numerorum a,5=0.
E definitionibus allatis protinus demanant sequentia:
- Producto duorum numerorum complexorum coniunctum est productum e
numeris, qui illis coniuncti sunt.
Idem valet de producto e pluribus factoribus, nec non de quotientibus.
Norma producti e duobus numeris complexis aequalis est producto ex ho-
rum normis.
Hoc quoque theorema extenditur ad producta e quotcunque factoribus et ad
quotientes.
Cuiusvis numeri complexi (exeipiendo cifram, quod plerumque abhinc ta-
cite subintelligemus) norma est numerus positivus.
Ceterum nihil obstat, quominus definitiones nostrae ad valores fractos vel
adeo irrationales ipsorum a, b extendantur; sed a-+-bi tunc tantum numerus
complexus integer audiet, quando uterque a,b est integer, atque tunc tantum
rationalis, quando uterque a, b rationalis est.
104 THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM.
32.
Algorithmus operationum arithmeticarum circa numeros complexos vulgo
notus est: divisio, per introductionem normae, ad multiplicationem reducitur,
quum habeatur
di __ac+bd
a+bi : e— be—ad
a et ie N —
c+di (a+-bi) ec+dd cce+dd ce+dd-!®
Extractio radicis quadratae perficitur adiumento formulae
5 aa b a r aa —a
Va+bi) = +(yYrt Dre ; Meet) Ze,
si b est numerus positivus, vel huius
Vla+bi) = EAN ALLEA ER N unbreilset,
si b est numerus negativus. Usui transformationis quantitatis complexae a+-bi
in r(cosp--ising) ad calculos facilitandos, non opus est hie immorari.
33.
Numerum integrum complexum, qui in factores duos ab unitatibus diver-
sos*) resolvi potest, vocamus numerum complexum compositum; contra numerus
primus complexus dicetur, qui talem resolutionem in factores non admittit. Hinc
statim patet, quemyis numerum compositum realem etiam esse compositum com-
plexum. At numerus primus realis poterit esse numerus complexus compositus,
et quidem hoc valebit de numero 2 atque de omnibus numeris primis realibus po-
sitivis formae 4n-+-1 (excepto numero 1), quippe quos in bina quadrata positiva
decomponi posse constat; puta, ft 2—= (1-#Hi)1—:), 5 = (1421) (1— 2i),
13 = (3 +2:)(3— 21), 17 = (1+4i)(1—4i) etc.
Contra numeri primi reales positivi formae 4n-+-3 semper sunt numeri
primi complexi. Si enim talis numerus g esset = (a+bi)(@a+-bi), foret etiam
q=(a—bi)(a— bi), adeoque gg =(aa+bb)(aa +56): at gg unico tantum
modo in factores positivos unitate maiores resolvi potest, putain 9%g, unde esse
debere g = aa+bb = aa-+55, Q.E.A.; quum summa duorum quadratorum
nequeat esse formae 4n—-3.
*) sive, quod idem est, tales, quorum normae unitate sint maiores.
COMMENTATIO SECUNDA. 105
Numeri reales negativi manifesto easdem denominationes servant, quas po-
sitivi, idemque valet de numeris imaginariis puris.
Superest itaque, ut inter numeros imaginarios mixtos, compositos a primis
dignoscere doceamus, quod fit per sequens
THEoREMA. Quivis numerus integer imaginarius mixtus a-+-bi est vel nume-
rus primus complexus, vel numerus compositus , prout ipsius norma est vel numerus
primus realis , vel numerus compositus.
Dem. I. Quoniam numeri complexi compositi norma semper est numerus
compositus, patet, numerum complexum, cuius norma sit numerus primus rea-
lis, necessario esse debere numerum primum complexum. Q: E. P.
II. Si vero norma aa—+-bb est numerus compositus, sit p numerus primus
positivus realis illam metiens.. Duo iam casus distinguendi sunt.
1) Si p est formae 42-3, constat, aa+-bb per p divisibilem esse non
posse, nisi » simul metiatur ipsos a, b, unde a-+-bi erit numerus compositus.
2) Si p non est formae 4n+-3, certo in duo quadrata decomponi poterit:
statuemus itaque p = aa—+55. Quum fiat
(aa—+bb)(aa—b6) — aalaa-+566)— 66(aa-+ bb)
adeoque per p divisibilis, 2 certo alterutrum factorem aa—+-bd, aa—bB me-
tietur, et quum insuper fiat
(aa—+b6)’+(ba— ab)’ — (aa—b6)’+(ba-+ad)? — (aa+bb)(aa +66)
adeoque per »p divisibilis, patet, in casu priori etiam ba—-ad, in posteriori
ba--ab per p divisibilem esse debere. Quare in casu priori
a+bi _aa+b6 ba—a6
“+6: p u p Y
erit numerus integer complexus, in posteriori autem
a+bi ee A
a—bi p p
integer erit. Quum itaque numerus propositus vel per a-+Bdi vel per a— Bi
divisibilis sit, quotientisque norma — = 14 per hyp. ab unitate diversa fiat, pa-
tet, a-+bi in utroque casu esse numerum complexum compositum. Q.E.S.
I. 14
106 THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM.
34.
Totum itaque ambitum numerorum primorum complexorum exhauriunt qua-
tuor species sequentes:
1) quatuor unitates, 1, +i, —1, —i, quas tamen, dum de numeris pri-
mis agemus, plerumque tacite subintelligemus exclusas,.
2) numerus 1-+i cum tribus socis —1-Fi, —1—1, 1—1.
3) numeri primi reales positivi formae 4n--3 cum ternis sociis.
4) numeri complexi, guorum normae suntnumeri primireales formae 4n—+1
unitate maiores, et quidem cuivis normae tali datae semper octoni numeri primi
complexi et non plures respondebunt, quum talis norma unico tantum modo in
bina quadrata decomponi possit.
35.
Quemadmodum numeri integri reales in pares et impares distribuuntur, at-
que illi iterum in pariter pares et impariter pares, ita inter numeros complexos
distinctio aeque essentialis se offert: sunt scilicet .
vel per 1+-i non divisibiles, puta numeri a+-bi, ubi alter numerorum a,b
est impar, alter par;
vel per 1-+-i neque vero per 2 divisibiles, quoties uterque a,b est impar;
vel per 2 divisibiles, quoties uterque a,b est par.
Numeri primae classis commode dici possunt numeri complexi impares, se-
cundae semipares, tertiae pares.
Productum e pluribus factoribus complexis semper impar erit, quoties omnes
factores sunt impares; semipar, quoties unus factor est semipar, reliqui impares;
par autem, quoties inter factores vel saltem duo semipares inveniuntur, vel sal-
tem unus par.
Norma cuiusvis numeri complexi imparis est formae 4n--1; norma numeri
semiparis est formae 8%” +2; denique norma numeri paris est productum numeri
formae 4n--1 in numerum 4 vel altiorem’ binarii potestatem.
36.
Quum nexus inter quaternos numeros complexos socios analogus sit nexui
inter binos numeros reales oppositos (i. e. absolute aequales signisque oppositis af-
fectos), atque ex his vulgo positivus tamquam primarius merito considerari soleat:
COMMENTATIO SECUNDA. 107
quaestio oritur, num similis distinctio inter quaternos numeros complexos socios
stabiliri possit, et pro utili haberi debeat. Ad quam decidendam perpendere opor-
tet, principium distinctionis ita comparatum esse debere, ut productum duorum
numerorum, qui inter socios suos pro primariis valent, semper fiat numerus pri-
marius inter socios suos. At mox certiores fimus, tale principium omnino non
dari, nisi distinctio ad numeros integros restringatur: quinadeo distinctio utilis ad
numeros impares limitanda erit. Pro his vero finis propositus duplici modo attingi
potest. Scilicet
I. Productum duorum numerorum abi, bi ita comparatorum, ut
a, a sint formae 4”%-+1, atque b, pares, eadem proprietate gaudebit, ut pars
realis fiat = 1 (mod.4), atque pars imaginaria par. Et facile perspicietur, inter
quaternos numeros impares associatos unum solum sub illa forma contentum esse,
Il. Sinumerus a-+-bi ita comparatus est, ut a—1 et 5 vel simul pari-
ter pares sint, vel simul impariter pares, eius productum per numerum :com-
plexum eiusdem formae eadem forma gaudebit, facileque perspicitur, e quaternis
numeris imparibus associatis unum solum sub hac forma contineri.
Ex his duobus principiis aeque fere idoneis posterius adoptabimus, scilicet
inter quaternos numeros complexos impares associatos eum pro primario habebi-
mus, qui secundum modulum 2-27 unitati positivae fit congruus: hoc pacto
plura insignia theoremata maiori concinnitate enunciare licebit. Ita e.g. sunt nu-
meri primi complexi primari —1-+2i, —1—2i, +34+2i, +3—2i, +1-+4i,
—+1—41 etc., nec non reales — 3, —7, —11, —19 etc. manifesto semper signo
negativo afficiendi. Numero complexo impari primario coniunctus quoque pri-
marius erit.
Pro numeris semiparibus et paribus in genere similis distinctio nimis arbitra-
ria parumque utilis foret. Enumeris primis associatis 143, 1—i, —I-Hi, —1—i
unum quidem prae reliquis pro primario eligere possumus, sed ad compositos ta-
lem distinctionem non extendemus.
37.
Si inter factores numeri complexi compositi inveniuntur tales, qui ipsi sunt
compositi, atque hi iterum in factores suos resolvuntur, manifesto tandem ad facto-
res primos delabimur, i. e. quivis numerus compositus in factores primos resolu-
bilis est. Inter quos si qui non primarii reperiuntur, singulorum loco substitua-
14*
108 | THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM,.
tur productum primarü associati per i, —1 vel —i. Hoc pacto patet, quemvis
numerum complexum compositum M reduci posse ad formam
M — i" A"B°CT....
ita ut A, B, C etc. sint numeri primi complexi primarii inaequales, atque
»— 0, 1,2 vel 3. Circa hanc resolutionem theorema se offert, unico tantum
modo eam fieri posse, quod theorema obiter quidem consideratum per se manife-
stum videri posset, sed utique demonstratione eget. Ad quam sternit viam sequens
Turorema. Productum M —= A"B°C!...., denotantibus A, B,C etc. nu-
meros primos complexos primarios diversos, divisibile esse nequit per ullum numerum
primum complexum primarium, qui inter A, B, C etc. non reperitur.
Dem. Sit P numerus primus complexus primarius inter A, B, C etc. non
contentus, sintque p,a, b,cetc. normae numerorum P, A, B, Cetc. Hinc fa-
cile colligitur, normam numeri M fore = a*b°cl ete., unde hie numerus, si M
per P divisibilis esset, per p divisibilis esse deberet. Quum singulae normae
sint vel numeri primi reales (e serie 2, 5, 13, 17 etc.), vel numerorum primorum
realium quadrata (e serie 9, 49, 121 etc.), sponte patet, illud evenire non posse,
nisi 9 cum aliqua norma a,b, cetc. identica fiat: supponemus itaque p=a. At
quum P, A per hyp. sint numeri primi complexi primarii non identici, facile
perspicietur, haec simul consistere non posse, nisi P, A sint numeri complexi
imaginarii coniuncti, et proin p = a numerus primus realis impar, (non qua-
dratum numeri primi): supponemus itaque A=k+li, P=k—li. Hinc (ex-
tendendo notionem et signum congruentiae ad numeros integros complexos) erit
A=2k(mod. P), unde facile colligitur
M = 3*%B°CT..., (mod. P)
Quapropter dum M per P divisibilis supponitur, erit etiam
PREBUN.,D
per P divisibilis, adeoque norma huius numeri, quae fit
— al...
divisibilis per p. Atquum 2 et k per p certo non sint divisibiles, hinc sequi-
COMMENTATIO SECUNDA. 109
’
tur, p cum aliquo numerorum D, c etc. identicum esse debere: site.g.p—=b
Hine vero concludimus, esse vel B=k-+li, velB=k-—li i.e ve B=A4,
vel B= P, utrumque contra hyp.
Ex hoc theoremate alterum, quod resolutio in factores primos unico tantum
modo perfici potest, facillime derivatur, et quidem per ratiocinia iis, quibus in
Disquisitionibus Arithmetieis pro numeris realibus usi sumus (art. 16), prorsus ana-
loga: quapropter illis hic immorari superfluum foret.
38.
Progredimur iam ad congruentiam numerorum secundum modulos com-
plexos. Sed in limine huius disquisitionis convenit indicare, quomodo ditio quan-
titatum complexarum intuitui subiici possit.
Sieuti omnis quantitas realis per partem rectae utrinque infinitae ab initio
arbitrario sumendam, et secundum segmentum arbitrarium pro unitate acceptum
aestimandam exprimi, adeoque per punctum alterum repraesentari potest, ita ut
puncta ab altera initii plaga quantitates positivas, ab altera negativas repraesen-
tent: ita quaevis quantitas complexa repraesentari poterit per aliquod punctum in
plano infinito, in’quo recta determinata ad quantitates reales refertur, scilicet
quantitas complexa #—+-iy per punctum, cuius abscissa —= x, ordinata (ab al-
tera lineae abscissarum plaga positive, ab altera negative sumta) —y. Hoc pacto
dici potest, quamlibet quantitatem complexam mensurare inaequalitatem inter si-
tum puncti ad quod refertur atque situm puncti initialis, denotante unitate posi-
tiva deflexum arbitrarium determinatum versus directionem arbitrariam determi-
natam; unitate negativa deflexum aeque magnum versus directionem oppositam;
depique unitatibus imaginariis deflexus aeque magnos versus duas directiones la-
terales normales. |
Hoc modo metaphysica quantitatum, quas imaginarias dicimus, insigniter
illustratur. Si puncetum initiale per (0) denotatur, atque duae quantitates com-
plexae m, m’ ad puncta M, M’ referuntur, quorum situm relative ad (0) expri-
munt, differentia m — m nihil aliud erit nisi situs puncti M relative ad punctum
M': contra, producto mm’ repraesentante situm puncti N relative ad (0), facile
perspicies, hunc situm perinde determinari per situm puncti M ad (0), ut situs
puncti M’ determinatur per situm puncti cui respondet unitas positiva, ita ut
haud inepte dicas, situs punctorum respondentium quantitatibus complexis mm
110 THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM.
m, m', 1 formare proportionem. Sed uberiorem huius rei tractationem ad aliam oc-
casionem nobis reservamus. Difficultates, quibus theoria quantitatum imagina-
riarum involuta putatur, ad magnam partem a denominationibus parum idoneis
originem traxerunt (quum adeo quidam usi sint nomine absono quantitatum im-
possibilium), Si, a conceptibus, quos offerunt varietates duarum dimensionum,
(quales in maxima puritate conspiciuntur in intuitionibus spatii) profecti, quanti-
tates positivas directas, negativas inversas, imaginarias laterales nuncupavissemus,
pro trieis simplieitas, pro caligine claritas successisset.
39.
Quae in.art. praec. prolata sunt, ad quantitates complexas continuas refe-
runtur: in arithmetica, quae tantummodo circa numeros integros versatur, schema
numerorum complexorum erit systema punctorum aequidistantium et in rectis ae-
quidistantibus ita dispositorum, ut planum infinitum in infinite multa quadrata ae-
qualia dispertiant. Omnes numeri per numerum complexum datum a+bi= m
divisibiles item infinite multa quadrata formabunt, quorum latera —= \Y(aa—+-bb)
sive areae — aa—+-bb; quadrata posteriora ad priora inclinata erunt, quoties qui-
dem neuter numerorum a, b est — 0. Üuivis numero per modulum » non divi-
sibili respondebit punctum vel intra tale quadratum situm vel in latere duobus
quadratis contiguo; posterior tamen casus locum habere nequit, nisi a, b diviso-
rem communem habent: porro patet, numeros secundum modulum m congruos in
quadratis suis locos congruentes occupare. Hinc facile concluditur, si colligantur
omnes numeri intra quadratum determinatum siti, nec non omnes qui forte in
duobus eius lateribus non oppositis jaceant, denique his adscribatur numerus per
m divisibilis, haberi systema completum residuorum incongruorum secundum mo-
dulum m, i. e. quemvis integrum alicui ex illis et quidem unico tantum congruum
esse debere. Nec diflicile foret ostendere, horum residuorum multitudinem ae-
qualem esse moduli normae, puta —=aa—-bb. Sed consultum videtur, hoc gra-
vissimum theorema alio modo pure arithmetico demonstrare.
40.
Tueorema. Secundum modulum complexum datum m — a+-bi, cuius norma
aa+bb =p, et pro quo a, b sunt numeri inter se primi, quilibet integer complewus
congruus erit alicuwi residuo e serie 0,1,2,3.... p—1, et non pluribus.
COMMENTATIO SECUNDA. 111
Demonstr. 1. Sint «a, 6 integri tales qui faciant aa+db=1, unde erit
i = ab—Bba+m(db-+ ai)
Proposito itaque numero integro complexo A-+ Bi, habebimus
A+Bi—= A+(ab— 64) B+m(6 B--aBi)
»
Quare denotando per h residuum minimum positivum numeri A-+(ab—ba)B
secundum modulum p, statuendoque |
A+(ab—baAB—=h+kp = h+m(ak—bki)
erit
A+Bi—=h+m(6 B+ak+(aB—bA)i)
sive
A+DBi= h(mod.m). Q.E.P.
II. Quoties eidem numero complexo duo numeri reales A, 4 secundum
modulum m congrui sunt, etiam inter se congrui erunt. Statuamus itaque
h— kl m(c+di), unde fit
(k—h)(a— bi) = p(c+di)
adeoque
(k—h)a=pc, (k—h)b = —pd
nec non, propter aatbb —=1,
h—h = p(ca—d6), i.e. h= h(mod.p)
Quapropter h et 4, siquidem sunt inaequales, ambo simul in complexu nu-
merorum 0, 1, 2,3....9—1 contenti esse nequeunt. Q.E.S.
41.
THEorREmA. Secundum modulum complewum m — .a+bi, cuius norma
aa+bb =p, et pro quo a,b non sunt inter se primi, sed divisorem communem
maximum \ habent (quem positive acceptum supponimus), quilibet numerus complexus
congruus est residuo a +-yi tali, ut © sit aliquis numerorum 0,1,2,3.... 2 — 4;
atque y aliquis horum 0,1,2.,3....—1, et quidem unico tantum inter omnia p
residua , quae tali forma gaudent.
112 THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM.
Demonstr. I. Accipiendo integros a,6 ita, utfiat aa+db—=AN, erit
MM — ab—ba+m(d-+ai). Jam sit A+Bi numerus complexus propositus,
y residuum minimum positivum ipsius B secundum modulum A, atque & resi-
duum minimum positivum ipsius A+(ab— ba): #=Y secundum modulum z,
statuaturque
A+(ob—60)-F —a+2.k
Hinc erit
.k+(B—Y)i— (ab—6a)> I
p
2
Pk + FI. m(6-+ai)
a b . nt .\
A+Bi—(e-+yi) =
\
i. e. per m divisibilis, sive A+ Bi= @«—+yi(mod.m) Q.E.P.
II. Supponamus, secundum modulum »» eidem numero complexo congruos
esse duos numeros @—+yi, «+-yi, qui proin etiam inter se congrui erunt se-
cundum modulum m. A potiori itaque secundum modulum A congrui erunt, ad-
eoque y=y(mod.X). Quodsi igitur uterque y,y inter numeros 0,1,2,3....1.—1
contentus esse supponitur, necessario debet esse y = y'. Hoc pacto vero etiam
fett = «’(mod.m), i.e. #—x per m, adeoque Dr integer per Sk u0ß
divisibilis, sive
a—a _ bowa
—— = 0(mod.2+-:i)
FRE
A a b . . Be u x
Hinc autem, quum —, — sint numeri inter se primi, concluditur per partem se-
R z— x 5 SE D: 7:2 5
cundam theorematis art. praec., Em ya etıam per normam numerl u Zt, Le.
per numerum Er divisibilem fore, adeoque x —.a per 2. Quapropter si etiam
uterque &, « in complexu numerorum 0,1,2,3.... 2 —1 contentus esse sup-
ponitur, necessario erit 2 = «, sive residua &+-yi, «+y'i identica. Q.E.S.
Ceterum sponte patet, huc quoque referendum esse casum, ubi modulus
est numerus realis, puta b= 0, etproin A= -—-a, nec non eum, ubi modu-
lus est numerus pure imaginarius, puta a —= 0, et proin A\= -Öb. In utroque
pP 2
casu habetur 2 =
COMMENTATIO SECUNDA. . 113
42.
Referendo itaque omnes numeros complexos secundum modulum datum in-
ter se congruos ad eandem classem, incongruos ad diversas, omnino aderunt p
classes totum numerorum integrorum ambitum exhaurientes, denotante p normam
moduli. Complexus totidem numerorum e singulis classibus desumtorum exhibe-
bit systema completum residuorum incongruorum, quale in artt..40, 41 assignavi-
mus. Et in hocce quidem systemate electio residuorum classes suas quasi reprae-
sentantium innixa erat principio ei, ut in quavis classe adoptaretur residuum
2-+yi tale, pro quo y habeat valorem minimum, atque inter omnia, quibus
idem valor minimus ipsius y inest, id, pro quo valor ipsius x est minimus, ex-
clusis valoribus negativis tum pro x tum pro y. Sed ad alia proposita aliis prin-
cipiis uti conveniet, imprimisque notandus est modus is, ubi residua talia adop-
tantur, quae per modulum divisa offerunt quotientes simplicissimos. Manifesto
si a+Bi, «+6, a’+5”i etc. sunt quotientes e divisione numerorum congruo-
rum per modulum oriundi, differentiae tum quantitatum a, a’, «” etc. inter se
erunt numeri integri, tum differentiae inter quantitates 5, 6’, 6” etc., patetque,
semper adesse residuum unum, pro quo «a et 5 iaceant inter limites 0 et 1, l-
mite priori incluso, posteriori excluso: tale residuum simpliciter vocamus resi-
duum minimum. Si magis placet, loco illorum limitum etiam hi adoptari possunt
—+ et ++ (altero admisso, altero excluso): residuum tali limitationi respondens
absolute minimum dicemus,
Circa’haec residua minima offerunt se problemata sequentia.
43.
Residuum minimum numeri complexi dati A+Bi secundum modu-
lum a--bi, cuius norma =p, invenitur sequenti modo. Si ”-+-yi est resi-
duum minimum quaesitum, erit («+yi)(a—bi) residuum minimum producti
(A+Bi)(a—bi) secundum modulum (a+bi)(a—bi), i.e. secundum modu-
lum p. Statuendo itaque
aA+bB=Fp+f, aB—bA=Gp+g
ita ut /, 9 sint residua minima numerorum aA-+bB, aB—bA, secundum mo-
dulum p, erit
II. 15
114 THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM.
a—bi
sive
SH = A—aF+bG
y=“ = B-a@G—bF
14
Manifesto residua minima /, 9 vel inter limites 0 et p—1, velinter hos —+p
et ++p accipi debent, prout numeri complexi vel residuum simpliciter mini-
mum vel absolute minimum desideratur.
44,
Constructio systematis completi residuorum minimorum pro modulo dato
pluribus modis effici potest. Methodus prima ita procedit, ut primo determinen-
tur limites, intra quos termini reales iacere debent, ac dein pro singulis valoribus
intra hos limites sitis assignentur limites partium imaginariarum. Criterium
generale residui minimi @-+yi pro modulo a—+bi in eo consistit, ut tum
ar+by =E, tum ay—ba® —=n laceat inter limites 0 et aa-+-bb, quoties de
residuis simplieiter minimis agitur, vel inter limites —+(aa-+bb) et +4(aa—+-bb),
quoties residua absolute minima desiderantur, limite altero excluso. Regulae spe-
ciales distinctionem casuum, quos varietas signorum numerorum a, b affert, re-
quirerent, cui tamen evolvendae, quum nulli difficultati obnoxia sit, hic im-
morari supersedemus: sufficiat, methodi indolem per unicum exemplum expo-
suisse.
Pro modulo 5-27 residua simpliciter minima x=—+-yi ita comparata esse
debent, ut tum 5@2+2y =, tum 5y—22—=n aequetur alicui numerorum
0,1,2,3....28. Aequatio 29@ —= 55—2n ostendit, valores positivos ipsius
x maiores esse non posse quam ne negativos abstrahendo a signo non maiores
quam ?-2°, Omnes itaque valores admissibiles ipsius & erunt —1,0,1,2,3,4.
29
Pro # = —1 debet esse 2y aequalis alicui numerorum 5, 6,7....33, atque
5y alicui horum — 2, —1,0,1....26; hinc valor minimus ipsius y est +3,
maximus +5. Tractando perinde valores reliquos ipsius #, oritur sequens
schema omnium residuorum minimorum:
COMMENTATIO SECUNDA. 115
u Yy
—1 3,4,5
0 0,:1,2,.8,.4,5
—1 1,2, 45,6
+2 | 1,2,3,4,5,6
—+3 Fk 7 7
4 A
Simili modo pro residuis absolute minimis, & et n alicui numerorum
—14, —13, —12.... +14 aequales esse debent; hince 29x nequit esse extra
limites — 7.14 et 47.14, adeoque & alicui numerorum — 3, — 2, —1, 0,1, 2,8
aequalis esse debet. Pro 2 —=—3 erit 2 y=:-52=8:-+15 alicu nu-
merorum 1,2,3....29 aequalis, 5y—=n7+22=n—6 autem alicui horum
— 20, —19, —18....+8: hinc prodit pro y valor unicus +1. Tractando eo-
dem modo valores reliquos ipsius &, habemus schema omnium residuorum abso-
lute minimorum:
u Y
—3 | +1
—2 | —, —1,0, 41,42
—1|1 3, —2, —1,0,41,+2
01 —23, —1,0,+41,+2
+11 —23, —1,, 41,42, +3
+2 | —2, —1,0, 41,-+2
TE ER
Hinc aequationes identicae
45.
In applicatione methodi secundae duos casus distinguere conveniet.
In casu priori, ubi a et b divisorem communem non habent, fiat a +55 = 1,
sitque A residuum minimum positivum ipsius ba—ab secundum modulum p-
a(ba— ab) — by—b(aa-+6b),
b(ba—ab) = —ap-+alaa+6b)
docent, esse k= —b,bk= a(mod.p). Statuendo itaque ut supra az-+by=;5,
15*
P2
116 THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM.
ay-be—=y, erit n„=kt, = —kn(mod.p). Omnes itaque numeri E-+ni,
quibus residua simpliciter minima &-+yi respondent, habebuntur, dum vel pro
& deinceps aceipiuntur valores 0, 1,2,3....9—1, et pro n residua minima
positiva productorum 45 secundum modulum p, vel ordine alio pro n illi valo-
res et pro £ residua minima productorum —kn. E singulis &+n2? dein respon-
dentes 2-+yi invenientur per formulam
. _. $4ni__ ab—bn , an+bi .
st N= ur
Ceterum obvium est, 7, dum & unitate crescat, vel augmentum k vel decremen-
tum p—k pati, adeoque #—+-yi
a—kb |, ak+b
Fe FE
quae observatio ad constructionem faciliorem reddendam inservit.
a— kb
p
vel mutationem i vel hanc
Denique patet, si residua absolute minima #+-yi desiderentur, haec prae- |
cepta eatenus tantum mutari, quatenus ipsi & deinceps tribuendi sint valores in-
ter limites —4+p et +4$p, dum pro n accipere oporteat residua absolute mi-
nima productorum %&. Ecce conspectum residuorum minimorum pro modulo
5--2i hoc modo adornatorum:
Residua simpliciter minima.
a a Ze A a Be LE u
0 0 | 10-4251 +5: 90+215| 2455
1+17 81 —ı +37) 11 +13E FI -F37 1 2 94343;
2+ 5i + :112+ :| +24 7] 22 F26: | 226:
34225 | +1+4i| 13185 | +1 +4 || 23 #148 | +3 44,
4+10i +95 |14+ 6i| 42-725 | 244 2 2442
5-4275| —1+53 154235 | 1455| 25 #195 | +3 +55
6+15i +35) 164115 | 42435 | 26+ Til +44+3i
7 33) +14 i|17+285| #+1+65|| 274245 | +36:
8 +20i +4i|18+165| #244) 28127 | +4 +40
9+ 8 +1+2:|19+ 441 +3 + 2i
COMMENTATIO SECUNDA. 117
Residua absolute minima.
Ee+yi atyi | Etni | aH4yi | Sm e+yi
TE EI I rer
Pr rin
En a 1 a 1 RE El Fr
a a I 7 EI 33 ee RT EI Ba
erg 0 0 na u a
9 8) —1— 25 | +1— 127 | +1 — 2 |) +10— 4i| +2
a a A u TE EEE 7) u ER A ET
—7— Si) —1— i| +3— Til) +1 il +2 + 5) 43H Gi
EFT EIER Fri +23) +13 —11i] +3 — i
a |+14+ 66|+2+2i
Casum secundum, ubi a, b non sunt inter se primi, facile ad casum prae-
cedentem reducere licet. Sit A divisor communis maximus numerorum a, b, at-
que a—=ka,b=X1b. Denotet F indefinite residuum minimum pro modulo A,
quatenus tamquam numerus complexus consideratur, i. e. exhibeat indefinite
numerum talem z--yi, ut #,y sint vel inter limites 0 et X, vel inter hos
—+X et +31 (prout de residuis vel simpliciter vel absolute minimis agitur):
denotet porro F” indefinite residuum minimum pro modulo @-+bi. Tunc erit
(@+bi) F+ F’ indefinite residuum minimum pro modulo a+-bi, prodibitque
systema completum horum residuorum, dum omnia F cum omnibus F’ combi-
nantur.
46.
Duo numeri complexi inter se primi dicuntur, si praeter unitates alios divi-
sores communes non admittunt: quoties autem tales divisores communes adsunt,
ii divisores communes maximi vocantur, quorum norma maxima est.
Si duorum numerorum propositorum resolutio in factores primos praesto est,
determinatio divisoris communis maximi prorsus eodem modo perficitur, ut pro
numeris realibus (Disquiss. Ar.art.18). Simul hine elucet, omnes divisores com-
munes duorum numerorum datorum metiri debere eorundem divisorem communem
maximum hoc modo inventum. Quare quum sponte iam pateat, ternos numeros
huie socios etiam esse divisores communes, semper quaterni numeri, et non plu-
118 THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM.
res, divisores communes maximi appellandi erunt, horumque norma erit multi-
plum normae cuiusvis alius divisoris communis,
Si resolutio duorum numerorum propositorum in factores simplices non ad-
est, divisor communis maximus adiumento similis algorithmi eruitur, ut pro nu-
meris realibus. Sint m, m’ duo numeri propositi, formeturque per divisionem re-
petitam series m’, m’ etc. ita, ut m’ sit residuum absolute minimum ipsius m se-
cundum modulum m’, dein m” residuum absolute minimum ipsius /m’ secundum
modulum m” et sic porro. Denotando normas numerorum m, m’, m", m" etc. resp.
P- 2 [23 ‘ > m” 5 5 =
per 9, pP": p" etc., erit e: norma quotientis —r, adeoque per definitionem resi-
274
dui absolute minimi certo non maior quam +4; idem valet de & etc. Quapropter
integri reales positivi pp", p" etc. seriem continuo decrescentem formabunt, unde
necessario tandem ad terminum 0 pervenietur, sive, quod idem est, in serie
m, m’, m", m” etc. tandem ad terminum perveniemus, qui praecedentem absque
residuo metitur. Sit hie m”), statuamusque
m — km’ —+m’
' ’ " m
m — km’ —m
m" u km" m"
etc. usque ad
m) — KR) mt
Percurrendo has aequationes ordine inverso, elucet, m*t!) singulos terminos
praecedentes m") .... m’, m‘, m metiri; percurrendo autem easdem aequationes
ordine directo, manifestum est, quemvis divisorem communem numerorum m, m
etiam metiri singulos sequentes. Conclusio prior docet, mt) esse divisorem
communem numerorum m, m'; posterior autem, hunc divisorem esse maximum.
Ceterum quoties residuum ultimum mt) alicui quatuor unitatum
1, —1,i, —i aequale evadit, hoc indicium erit, m et m’ inter se primos esse.
47.
Si aequationes art. praec., omissa ultima, ita combinantur, ut m’, m”,
.... m”) eliminentur, orietur aequatio talis
WU
mt) ER h m .. hm‘
COMMENTATIO SECUNDA. 119
ubi A, # erunt integri, et quidem, si designatione in Disquiss. Ar. art. 27 intro-
ducta uti placet
h=-+[k,K, k".... ke) —
K=-[k,k,k,k".... kr]
TR u BE A a
2
Re, 9... KR
valentibus signis superioribus vel inferioribus , prout n par est velimpar. Hoc
theorema ita enunciamus:
Divisor communis maximus duorum numerorum complexorum m, m' redigi pot-
‚est ad formam hm+-h'm', ita ut h,h sint integri.
Manifesto enim hoc non solum de eo divisore communi maximo valet, ad
quem algorithmus art. praec. deduxit, sed etiam de tribus illi associatis, pro qui-
bus loco coöfficientium A, A accipere oportebit vel hos Ai, hi vel —h, —h,
vel —hi, — hi.
Quoties itaque numeri m, m’ inter se primi sunt, satisfieri poterit aequationi
1 = hm-+ hm
Propositi sint e.g. numeri 31+6i—= m, 11—20i—= m. Hic invenimus
u 6; m — +11 —5i
k=+1-—i, mM" —= + 5—4i
k'— 2, mM""—+ 143i
k"—= —1—2i, mM"— +1!
k"— +3—i
atque hinc
Ki Ki es
[k,K, A, = 410:
et proin
m"—i— (6+5i)m+(4 —10:)m
nec non
1 = (5 —6i)m + (— 10 — 4i)m’
quod calculo instituto confirmatur.
48,
Per praecedentia omnia, quae ad theoriam congruentiarum primi gradus in
arithmetica numerorum complexorum requiruntur, praeparata sunt: sed quum illa
120 THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM.
essentialiter non differat ab ea, quae pro arithmetica numerorum realium locum
habet, atque in Disquisitionibus Arithmetieis copiose exposita est, praecipua mo-
menta hic adscripsisse sufliciet.
I. Congruentia mt = 1(mod.m') aequivalet aequationi indeterminatae
mt+mu—1, etsi huic satisfit per valores t=4h, u=Ä, illius solutio gene-
raliter exhibetur per t=h(mod.m’): conditio autem solubilitatis est, ut modu-
lus m’ cum coöfficiente m divisorem communem non habeat.
II. Solutio congruentiae ac+b==c(mod.M) in casu eo, ubi a, M sunt
inter se primi, pendet a solutione huius
at = 1 (mod. M)
cui si satisfacit t— h, illius solutio generalis continetur in formula
x = (c—b)h (mod. M)
III, Congruentia aa +b=c(mod.M) in casu eo, ubi a, M divisorem
communem X habent, aequivalet huic
Dum itaque pro X adoptatur divisor communis maximus numerorum q, M, solu-
tio congruentiae propositae ad casum praecedentem reducitur, patetque, ad reso-
lubilitatem requiri et sufficere, ut A etiam differentiam c—b metiatur.
49.
Hactenus elementaria tantum attigimus, quae tamen nexus caussa omittere
non lieuit. In disquisitionibus altioribus arithmetica numerorum complexorum
arithmeticae realium in eo similis est, quod theoremata elegantiora et simpliciora
prodeunt, dum tales modulos, qui sunt numeri primi, solos admittimus: revera
illorum extensio ad modulos compositos plerumque prolixior quam difficilior est,
‚et laboris potius quam artis. Quapropter in sequentibus imprimis de modulis
primis agetur.
50.
Denotante X functionem indeterminatae x talem
Aa"+ Ba"!+ Ca"? + et. +Ma-+N)
COMMENTATIO SECUNDA, 121
ubi n est integer realis positivus, A, B, C’ete. integri reales vel imaginarii, m au-
tem integer complexus: vocabimus hic quoque radicem congruentiae X == 0 (mod. m)
quemlibet integrum, qui pro # substitutus ipsi X valorem per modulum m divi-
sibilem conciliat. Solutiones per radices secundum modulum congruas non specta-
bimus tamquam diversas.
Quoties modulus est numerus primus, talis congruentia ordinis » hic quo-
que plures quam » solutiones diversas admittere non potest. Denotante «a inte-
grum quemvis determinatum (complexum), X adiumento divisionis per #—«t in-
definite ad frmam X=(#«—a)X’+h reduci potest, ita ut A fiat integer de-
terminatus atque X’ functio ordinis n—1 cum coöfficientibus integris. IJam quo-
ties « est radix congruentiae X = 0 (mod. m), manifesto A divisibilis erit per m,
sive habebitur indefinite X = (#— a) X’ (mod. m).
Perinde si denotante 5 integrum determinatum, X’ ad formam («—6)X”+H
reducitur, X” erit functio ordinis n— 2 cum coöfficientibus integris. Si vero
5 supponitur esse radix congruentiae X = 0, etiam satisfacere debet huic
$—o)X’=0, nec non huic X’= 0, siquidem radices «a, dB sunt incon-
gruae, unde colligimus, etiam 4 per m divisibilem esse debere, sive indefinite
X = (# — a) (@e— 6) X” (mod. m).
Simili modo accedente radice tertia y prioribus incongrua, habebimus in-
definite X = («— a) @—b)@— y)X”, ita ut X” sit functio ordinis n—3 cum
coöflicientibus integris. Eodem modo ulterius procedere licet, patetque simul,
coöflicientem termini altissimi in singulis functionibus esse — A, quem per m
non divisibilem esse supponere licet, aliogquin enim congruentia X=0 essen-
tialiter ad ordinem inferiorem referenda esset. Quoties itaque adsunt » radices
incongruae, puta 0,8, y....v, habebimus indefinite
X = Ala— oa) —6)(@—y)... . (@— v) (mod. m)
quapropter substitutio novi valoris singulis &, d, y....»y incongrui certo ipsi X
valorem per m non divisibilem conciliaret, unde theorematis veritas sponte se-
quitur.
Ceterum haec demonstratio essentialiter convenit cum ea, quam in Disgq.
Ar.art.43 tradidimus, et cuius singula momenta pro numeris complexis perinde
valent ac pro realibus.
U. 16
122 THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM.
51.
Quae in Sectione tertia Disquisitionum Arithmeticarum circa residua potesta-
tum tradita sunt, ad maximam partem, levibus mutationibus adhibitis, etiam in
arithmetica numerorum complexorum valent: quinadeo demonstrationes theore-
matum plerumque retineri possent. Ne tamen quid desit, theoremata principalia
demonstrationibus concisis firmata proferemus, ubi semper subintelligendum est,
modulum esse numerum primum.
TuEorema. Denotante k integrum per modulum m, cuius norma = p, non
divisibilem , erit kPT' = 1 (mod. m).
Demonstr. Constituant a, b, c etc. systema completum residuorum incon-
gruorum pro modulo m, ita tamen, ut residuum per m divisibile omissum sit,
adeoque multitudo illorum numerorum, quorum complexum denotamus per C,
sit =p—1. Sit porro C’ complexus productorum ka, kb, kc etc. Ex his pro-
ductis per hyp. nullum erit divisibile per m, quare singula habebunt residua con-
grua in complexu C, puta fieri potert k=a, bk=b, ck= c etc. (mod.m),
ita ut numeri «a, b, c' etc. ipsi in complexu C inveniantur: denotemus com-
plexum numerorum d,b‘,c etc. per 0”. Sint P, P’, P" producta e singulis
numeris complexuum C, C’, C’ resp., sive
P= ae...
P' = klabe....—kM!p
P'=dbec....
(Quum numeri complexus C” deinceps congrui sint numeris complexus CO’, erit
P'"=P' sive P'=KP7'P. At quum facile perspiciatur, binos quosvis numeros
complexus C” inter se incongruos, adeoque omnes inter se diversos esse, neces-
sario numeri complexus EC” cum numeris complexus C prorsus conveniunt, or-
dine tantummodo mutato, unde fit P"—= P. Erit itaque (kP7'—1)P numerus
per m divisibilis, unde, quum m sit numerus primus singulos factores ipsius P
non metiens, necessario AP7T'—1 per m divisibilis esse debebit. Q.E.D.
52.
[HEorema. Denotante k, ut. in art. praec., integrum per modulum m non di-
visibilem, atque t exponentem minimum (praeter 0), pro quo k'= 1 (mod.m), erit t
divisor cuiusvis alius exponentis u, pro quo k" = 1 (mod. m).
COMMENTATIO SECUNDA. 123
Demonstr. Si t non esset divisor ipsius w, sit g2t multiplum ipsius u pro-
xime maius quam u, adeoque gt—u integer positivus minor quam t. Ex
*=1, k“=1, sequitur 0 = k*— K* = k*(k9*—1), adeoque At = 1,
i. e. datur potestas ipsius k cum exponente minori quam ? unitati congrua, con-
tra hyp.
Tamquam corollarium hine sequitur, # certo metiri numerum p—1.
Numeros tales A, pro quibus =p-—-1, etiam hie radices primitivas pro.
modulo m vocabimus: quales revera adesse iam ostendemus.
53.
Resolvatur numerus p— 1 in factores suos primos, ita ut habeatur
»—1 us abc en
designantibus a, b, cetc. numeros primos reales positivos inaequales. Sint
A, B, C etc. integri (complexi) per m non divisibiles, atque resp. congruentiis
et p—1 p—1
ze. = Le.’ z1 ze =1i ete.
secundum modulum m non satisfacientes, quales dari e theoremate art. 50 mani-
festum est. Denique sit A congruus secundum modulum m producto
pi pi pi :
AnBelOE...
Tune dico, A fore radicem primitivam.
Demonstr. Denotando per t exponentem infimae potestatis 3° unitati con-
gruae, erit, si A non esset radix primitiva, 2 submultiplum ipsius p—l, sive
I integer unitate maior. Manifesto hic integer factores suos primos reales in-
ter hos a, b, cetc. habebit: supponamus itaque, (quod licet), -_— esse divisi-
bilem per a, statuamusque p—1 — atu. Erit itaque, propter A = 1, etiam
h®* = 1 sive
perinde etiam
18%
124 | THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM.
19-1 | p—1p—i
& Mh AT 2,
C# a ==1, et sic porro; quapropter esse debet A“ « =1
Iam determinetur integer positivus A talis, ut fiat
rb°ct.... = 1(mod.a)
quod fieri poterit, gquum numerus primus a ipsum b°cl.... non metiatur, sta-
tuaturque Ab°cl....—= I-tap. Manifesto fit
A Bl Net
u d . DE de RR vr p—1
A a a =1, sive, quoniam Lu = la = kp—N)e+ 2
Dit | fe
habemus APP, A «a =1,atque hinc, quum sponte sit AP" =1,etiam4 « =1,
quod est contra hypothesin. Suppositio itaque, ? esse submultiplum ipsius 9—1,
consistere nequit, eritque adeo necessario A radix primitiva.
4.
Denotante k radicem primitivam pro modulo m, cuius norma —= p, ter-
mini progressionis
iR BA
inter se incongrui erunt, unde facile colligitur, quemlibet integrum non divisibi-
lem per modulum uni ex istis congruum esse debere, sive illam seriem exhibere
systema completum residuorum incongruorum exclusa cifra. Exponens eius po-
testatis, cui numerus datus congruus est, vocari potest huius index, dum A tam-
quam basis consideratur. _Ecce quaedam exempla, ubi cuivis indiei residuum ab-
solute minimum apposuimus.
Exemplum primum.
m—5-+4, p=4, h=1-+2i
Ind.| Residuum | Ind.| Residuum |'Ind.! Residuum |Ind.| Residuum |Ind.| Residuum
Bez m 161-2211 24 +31 321 +1:
tj+#1i+2:1 9] —34 {1172-1570 —3: | 33 |+143i
2141-1118 BE. +4: | 26) +2-+2: | 342 | +2
3 |+3+ # | 11 | #2 sl 1a +14+35 | 27 | 42 + ©] 85 3
4 u en | Ba ara 36 | +2 — 2;
5 435113144 — 3: 1231-1 — 23 914-3 — 71 71 In
ze Blue 980 + i| 38 —4i
7
ir 23] -3=- 711 —2+ I] Bla
COMMENTATIO SECUNDA. 125
Exemplum secundum.
n»—=1I. 9 =I heit 2
Ind. | Residuum || Ind.| Residuum || Ind.| Residuum | Ind.| Residuum | Ind.|Residuum
0|+1 10) —1— i | 20 +2i | 30|)+2—2i | 401+3
1 l|+1+25 | 11 | +1 —3i | 21 | +3+25 | 31 |) —1+2i | 4143 — i
2 | —3—3i || 12 — :i)|22|—1+ i|32| +2 42 1|—2— 2
3 1+3—21 || 13 +2— i| 231 —3— | 33) -+2—31 | 431 4+2-+ i
4 BERN U ee ya Ta TE 34 | +1-+ ;| a4 2%
5 —1—31 151—2—3i | 25 | —1—2: | 35 | —1-+3:i | 45 | —3 —2i
61 —21-23116| —3 26 |+3+-33 | 36 RAT
Train rıT — at il 37-3 | 37-2 HH la E34;
1.0 ıs|+2-+27 | 28 +37 |38|+3—8;i
rar | art +3 2 +
59.
Adiicimus circa radices primitivas et algorithmum indicum quasdam obser-
vationes, demonstrationibus propter facilitatem omissis.
I. Indices secundum modulum p—1 congrui in systemate dato residuis
secundum modulum m congruis respondent et vice versa.
II. Residua, quae respondent indicibus ad p—1 primis, etiam sunt radi-
ces primitivae et vice versa.
III. Si accepta radice primitiva A pro basi, radieis alius primitivae # in-
dex est ?, et vice versa ?’' index ipsius A, dum A pro basi accipitur, erit t!'=1
(mod.p —1); et si iisdem positis indices cuiusdam alius numeri in his duobus sy-
stematibus resp. sunt «, W, erit W=u, fu = w(mod.p—1).
IV. Dum numeri 1, 1-+i eorumque terni socii (tamquam nimis jeiuni) a
modulis nobis considerandis excluduntur, restant numeri primi ii, quos in art. 34
tertio et quarto loco posuimus. Posteriorum normae erunt numeri primi reales
formae 4n-+H1; priorum normae autem quadrata numerorum primorum realium
imparium : in utroque igitur casu p—1! per 4 divisibilis est.
V. Denotando indiceem numeri —1 per u, erit 2u= 0(mod.p—1), ad-
eoque vel u=0, vel v=+{p—1): at quum index 0 respondeat residuo +1,
index numeri —1 necessario debet esse +(p—1).
VI. Perinde denotando per « indicem numeri ?, erit 2u = #(p—1)
(mod.p—1), adeoque vel v= +{p—1) vel uv=3$(p—1). Sed hic ambiguitas
ab electione radieis primitivae pendet. Scilicet si radice primitiva 4 pro basi ac-
126 THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM.
cepta index numeri i est 4+(p—1), index fiet 2(9—1), dum pro basi accipitur
h*, designante p integrum positivum formae 4n+3 ad p—1 primum, e.g.
ipsum numerum p—2, et vice versa. Quare semissis altera radicum primitiva-
rum conciliat numero i indiceem +(p—1), altera indiceem $(p—1), manifesto-
que pro illis basibus —i indiceem $(p—1), pro his indiceem 4{p—1) habebit.
VII. Quoties modulus est numerus primus realis positivus formae 4n-+3,
puta = g, adeoque = gg, indices omnium numerorum realium per g-H1
divisibiles erunt; denotante enim ? indicem numeri realis Ak, erit, propter
kIT' = (mod.g), („—1)t= 0 (mod. g9—1), adeoque Paar integer. Perinde in-
dices numerorum pure imaginariorum ut ki per +(g—+-1) divisibiles erunt. Pa-
tet itaque, radices primitivas pro talibus modulis inter solos numeros mixtos quae-
rendas esse.
VIII. Contra pro modulo m, qui est numerus primus complexus mixtus,
(cuiusque proin norma p est numerus primus realis formae 4n-1), radices pri-
mitivae quaelibet etiam inter numeros reales eligi possunt, inter quos completum
adeo systema residuorum incongruorum monstrare licet (art.40). Manifesto au-
tem quilibet numerus realis, qui est radix primitiva pro modulo complexo m, si-
mul erit in arithmetica numerorum realium radix primitiva pro modulo », et
vice versa.
56.
Etiamsi theoria residuorum et non-residuorum quadraticorum in arithmetica
numerorum complexorum sub ipsa theoria residuorum biquadraticorum contenta
sit, tamen antequam ad hanc transeamus, illius theoremata palmaria hie seorsim
proferemus: brevitatis vero caussa de solo casu principali, ubi modulus est nume-
rus primus complexus (impar), hic logquemur.
Sit m talis modulus, atque p eius norma. Manifesto quivis integer (per m
non divisibilis, quod hic semper subintelligendum) quadrato secundum modulum
m congruus fieri vel potest vel non potest, prout illius index, radice aliqua pri-
mitiva pro basi accepta, par est vel impar; in casu priori ille integer residuum
quadraticum ipsius »» dicetur, in posteriori non-residuum. Hinc concluditur, in-
ter p—1 numeros qui systema completum residuorum incongruorum (per m non
divisibilium) exhibeant, semissem ad residua quadratica, semissem alteram ad
non-residua quadratica referri. Cuivis vero alii numero extra illud systema idem
COMMENTATIO SECUNDA. 127
character hoc respectu tribuendus est, quo gaudet numerus systematis illi
congruus. &
Porro ibinde sequitur, productum e duobus residuis quadratieis, nec non
productum e duobus non-residuis esse residuum quadraticum, contra productum
e residuo quadratico in non-residuum fieri non-residuum; et generaliter productum
e quotcunque factoribus esse residuum quadraticum vel non-residuum, prout mul-
titudo non-residuorum inter factores par sit vel impar.
Pro distinguendis residuis quadraticis a non-residuis statim se offert crite-
rium generale sequens:
Numerus k per modulum non divisibilis huius residuum vel non-residuum
quadraticum est, prout habetur vel Re), ve ae) _ı (mod. m).
Veritas huius theorematis statim inde sequitur, quod, accepta radice primi-
tiva quacunque pro basi, index potestatis KAP!) At vel =0 ve = #4(p-—I1),
prout index numeri A par est vel impar.
57.
Facile quidem est, pro modulo dato systema residuorum incongruorum com-
pletum in duas classes, puta residua et non-residua quadratica distinguere, quo
pacto simul omnibus reliquis numeris classes suae sponte assignantur. At longe
altioris indaginis est quaestio de criterlis ad distinguendum modulos eos, pro qui-
bus numerus datus est residuum quadraticum, ab iis, pro quibus est non-residuum.
' Quod quidem attinet ad unitates reales +1 et —1, hae in arithmetica nu-
merorum complexorum sunt reapse quadrata, adeoque etiam residua quadratica pro
quovis modulo. Aeque facile e criterio art. praec. sequitur, numerum i (et per-
inde —i) esse residuum quadraticum cuiusvis moduli, cuius norma p sit formae
8n--1, non-residuum vero cuiusvis moduli, cuius norma sit formae Sn-+5. Quum
manifesto nihil intersit, utrum numerus m, an aliquis numerorum ipsi associato-
rum im, —m, —im pro modulo adoptetur, supponere licebit, modulum esse
associatorum primarium (art. 36, IT), adeoque statuendo modulum —= a—+-bi, esse
a imparem, b parem. Quo pacto quum semper sit aa=1(mod.$), bb vero vel
=(0 vel =4(mod.8), prout 5 sit pariter par vel impariter par, patet, nume-
ros +i et —i in casu priori esse residua quadratica moduli, in posteriori non-
residua.
128 THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM.
58.
Quum diiudicatio characteris numeri compositi, utrum sit residuum quadra-
ticum an non-residuum, pendeat a characteribus factorum, manifesto sufhciet, si
evolutionem criteriorum ad distinguendos modulos, pro quibus numerus datus k
sit residuum quadraticum, ab iis, pro quibus sit non-residuum, ad tales valores
ipsius % limitemus, qui sint numeri primi, insuperque inter associatos primarii.
In qua investigatione inductio protinus theoremata maxime elegantia suppeditat.
Incipiamus a numero 1-+i, qui invenitur esse residuum quadraticum mo-
dulorum
—1+2i, +3—2i, —5—2i, —1—6i, +5+4i, +5—4i, — 7, 47-22,
—5-+61, etc.
non-residuum quadraticum autem sequentium
—1—2i, —3, +3+2i, +44, H—4i, —5+2i, 1461, +7 —2i,
—5—65, —3+85, —3— 88, 5485, +5 85, 19-46 9 Hr ee.
Si hune conspectum, in quo semper e quaternis modulis associatis prima-
rium apposuimus, attente examinamus, facile animadvertimus, modulos a-+-bi
in priori classe omnes esse tales, pro quibus a—+5 fiat = +-1 (mod. 8), in poste-
riori vero tales, pro quibus a+b= —3(mod.8). Manifesto hoc criterium, si
loco moduli primarii m adoptamus associatum —m, ita immutari debet, ut pro
modulis prioris classis sit a&+b = —1, pro modulis posterioris = + 3 (mod. 8).
Quare, siquidem inductio non fefellerit, generaliter, designante a+bi nume-
rum primum, in quo a impar, 5b par, 1—+i fit eius residuum quadraticum vel
non-residuum quadraticum, prout a&+b=-1, vel =—+3(mod.$).
Pro numero —1—i eadem regula valet, quae pro 1-+i. Contra conside-
rando. 1—? tamquam productum ex — iin 1+i, manifestum est, numero 1—i
eundem characterem competere, qui tribuendus sit ipsi 1, quoties b sit pariter
par, oppositum autem, quoties b sit impariter par, unde facile colligitur, 1—i
esse residuum quadraticum numeri primi a+bi, quoties sit a&—b=--1, non-
residuum autem, quoties habeatur «—b= —+3(mod. 8), semper supponendo, a
esse imparem, b parem.
Ceterum haec secunda propositio e priori etiam deduci potest adiumento
theorematis generalioris, quod ita enunciamus:
COMMENTATIO SECUNDA. 129
In theoria residuorum quadraticorum character numeri ai respectu
moduli a-+bi idem est, qui numeri «—Ödi respectu moduli a— bi.
Demonstratio huius theorematis inde petitur, quod uterque modulus ean-
dem normam p habet, atque quoties («+ 5,)3'7 per a+bi divisibi-
lis est, etiam (a 6)? ee per a—bi divisibilis evadit, quoties autem
(at Boyd) 1 per a+bi divisibilis est, etiam (Bye, per a—bi
divisibilis esse debet.
59.
Progrediamur ad numeros primos impares.
Numerum —1--2i invenimus esse residuum quadraticum modulorum
+3-+2:i, +1—4i, —5+2i, —5— 21, —1—6i, +7— 21, —3-+48i,
+54+8i, +5—8i, 49-441 etc.
non-residuum autem modulorum —1—2i, —3, +3 —2i, +1--4i,
—14+6,, +5 +4, +5 —4i, —7, +7 +2, 5461, —5— 6, 3 —8i,
+9 —41 etc.
Reducendo modulos prioris classis ad residua eorum absolute minima secun-
dum modulum —1-+-2i, haec sola invenimus +1 et —1, puta +3 = —1,
H—-4z=—1 -5+%i =-+1, —5— ii = —1 etc.
Contra omnes moduli posterioris classis congrui inveniuntur secundum mo-
dulum —1-+-2:i velipsi +i, velipsi —i.
At numeri +1, —1 ipsi sunt residua quadratica moduli —1-+ 2i, atque
—t et —i eiusdem non-residua: quocirca, quatenus inductioni fidem habere li-
cet, prodit theorema: Numerus —1--2i est residuum vel non-residuum qua-
draticum numeri primi @a-+bi, prout hic est residuum vel non-residuum quadra-
ticum ipsius —1-+-2i, siquidem a-+bi est primarius e quaternis associatis, vel
potius, si a est impar, 5b par.
Ceterum ex hoc theoremate sponte sequuntur theoremata analoga circa nu-
meros —1— 21, —1—2i, +1-+2i.
60.
Instituendo similem inductionem circa numerum —3 vel +3, inveni-
mus, utrumque esse residuum quadraticum modulorum +3 +2:, +3 — 2i,
II. 17
130 THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM.
— +6, 16, —T, 5461, 56 348, 38, +9 Hi,
+9 — 41 etc.
non-residuum vero horum —1—+ 21, —1— 2, 141, +1— 4, —5—+2,
52%, #544, +5—4i, #742, #7—2i, +54+8i, +5 —8i etc.
Priores secundum modulum 3 congrui sunt alicui ex his quatuor numeris
1, —1, +i, —i; posteriores autem alicui ex his 1-+i, +1—i, —1-+i,
—1—i. IDli sunt ipsa residua quadratica numeri 3, hi non-residua.
Docet itaque haec inductio, numerum primum a—+-bi, supponendo a im-
parem, b parem, ad numerum —3 (nec non ad +3) eandem relationem habere,
quam hic habet ad illum, quatenus scilicet alter alterius residuum quadraticum
sit aut non-residuum.
Extendendo similem inductionem ad alios numeros primos, ubique hanc ele-
gantissimam reciprocitatis legem confirmatam invenimus, deferimurque ad theo-
rema hocce fundamentale circa residua quadratica in arithmetica numerorum com-
plexorum: ;
Denotantibus a+bi, A+Bi numeros primos tales, ut a, A sint impares,
b, B pares : erit vel uterque alterius residuum quadraticum,, vel uterque alterius non-
residuum. | -
At non obstante summa theorematis simplicitate, ipsius demonstratio mag-
nis difficultatibus premitur, quibus tamen hic non immoramur, quum theorema
ipsum sit tantummodo casus specialis theorematis generalioris, summam theoriae
residuorum biquadraticorum quasi exhaurientis. Ad hanc igitur iam transeamus.
61.
Quae in art. 2 prioris commentationis de notione residui et non-residui bi-
quadratici prolata sunt, etiam ad arithmeticam numerorum complexorum exten-
dimus, et perinde ut illie etiam hic disquisitionem ad modulos tales, qui sunt nu-
meri primi, restringimus: simul plerumque tacite subintelligendum erit, modu-
lum ita accipi, ut sit inter associatos primarius, puta =1 secundum modulum
2-+-2i, nec non numeros, de quorum charactere (quatenus sint residua biquadra-
tica vel non-residua) agitur, per modulum non esse divisibiles.
Pro modulo itaque dato numeri per eum non divisibiles in tres classes dis-
pertiri possent, quarum prima contineret residua biquadratica, secunda non-resi-
dua biquadratica ea, quae sunt residua quadratica, tertia non-residua quadratica.
COMMENTATIO SECUNDA. 131
Sed hic quoque praestat, loco tertiae classis binas stabilire, ut omnino habeantur
quaternae.
Assumta radice quacunque primitiva pro basi, residua biquadratica habe-
bunt indices per 4 divisibiles sive formae 4n; non-residua ea, quae sunt resi-
dua quadratica, habebunt indices formae 4n+-2; denique non-residuorum qua-
draticorum indices erunt partim formae 4n»-+-1, partim formae 4n-+3. Hoc
modo classes quaternae quidem oriuntur, at distinctio inter binas posteriores non
esset absoluta, sed ab electione radicis primitivae pro basi assumtae dependens;
facile enim perspicitur, semissem radicum primitivarum non-residuo quadratico
dato conciliare indicem formae 4n-1, semissem alteram vero indicem formae
4n+3. Quam ambiguitatem ut tollamus, supponemus semper talem radicem
primitivam adoptari, pro qua index 4(p—1) competat numero -+i (conf. art.
55, VI). Hoc pacto classificatio oritur, quam concinnius independenter a radici-
bus primitivis ita enunciare possumus.
Olassis prima contineat numeros Ä eos, pro quibus fit MeV ; hinu-
meri sunt moduli residua biquadratica.
Classis secunda contineat eos, pro quibus Kr) =i.
Classis tertia eos, pro quibus AP) _1,
Classis quarta denique eos, pro quibus DEN en,
Classis tertia comprehendet non-residua biquadratica ea, quae sunt residua
quadratica; inter secundam et quartam non-residua quadratica distributa erunt.
Numeris harum classium tribuemus resp. characteres biquadraticos 0,1, 2, 3.
Si characterem A numeri k secundum modulum m ita definimus, ut sit expo-
nens eius potestatis ipsius ©, cui numerus ap) congruus est, manifesto cha-
racteres secundum modulum 4 congrui pro aequivalentibus habendi sunt. Cete-
rum haec notio tantisper ad modulos eos limitatur, qui sunt numeri primi: in con-
tinuatione harum disquisitionum ostendemus, quomodo etiam modulis compositis
adaptari possit. \
62. R
Quo facilius inductio copiosa circa numerorum characteres adstrui possit, ta-
bulam compendiosam hic adiungimus, cuius auxilio character cuiusvis numeri pro-
positi respectu moduli, cuius norma valorem 157 non transscendit, levi opera
obtinetur, dummodo ad observationes sequentes attendatur.
132 THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM.
Quum character numeri compositi aequalis sit (sive secundum modulum 4
congruus) aggregato characterum singulorum factorum, sufficit, si pro modulo dato
characteres numerorum primorum assignare possumus. Porro quum characteres
unitatum —1,i, —i manifesto sint congrui numeris 4(p—1), 4(p—1), 3(p—1)
secundum modulum 4, etiam sufficiet, characteres numerorum inter associatos
primariorum exhibuisse. Denique quum moduli secundum modulum m congrui
eundem characterem habeant, sufficit, characteres talium numerorum in tabulam
recipere, qui continentur in systemate residuorum absolute minimorum. Prae-
terea per ratiocinium simile ut in art. 58 demonstratur, si pro modulo a+-bi cha-
racter numeri A+ Bi sit X, pro modulo a—bi autem X sit character numeri
A— Bi, semper esse A\= —X{(mod.4), sive A+-X per 4 divisibilem: quaprop-
ter suflicit, in tabulam recipere modulos, in quibus b est vel 0 vel positivus.
Ita e.g. si quaeritur character numeri 11— 6i respectu moduli —5 — 6:,
substituimus loco horum numerorum hosce 11—+6t, —5-+-6i; dein determina-
mus (art. 43) residuum absolute minimum numeri 11-6: secundum modulum
—5+-6i, quod ft —1— 4i= —1x(1+41); quare quum pro modulo —5-+6i
character ipsius —1 sit 30, character numeri 1-+4i autem, ex tabula, 2, erit
32 sive 0 character numeri 11+6i pro modulo —5--6i, et proin per obser-
vationem ultimam etiam character numeri 11—6i pro modulo —5—6i. Per-
inde si quaeritur character numeri — 5-6: respectu moduli 11-+-6i, illius re-
siduum absolute minimum 1—5i resolvitur in factores —i 1-+i, 3— 2i, qui-
bus respondent characteres 117, 0, 1, unde character quaesitus erit 118 sive 2;
idem character etiam numero —5—6i respectu moduli 11— 6% tribuendus est.
Modulus. |Character.| Numeri.
—3 3 1+i
+3—+2:i 3 1-+i
+1-+4i 1 —1+23i
3 Iti
Bi 0 u
1 1-ti
2 —1+2i
EI DERL N: 0 —
1 1+i, —1+ 21
COMMENTATIO SECUNDA. 133
ug
3— 2, —5+2, 5—4
Modulus. |Character. Numeri.
—1+46i 2 —1—2i
+5+4i N) 1-+i
1 — 3
3 Area
—7 0 —3
1 —1+2i, 3—2i
2 1-+i
3 —1—2i, 3+2i
+7+2:i 0 1+i, 3+2i, 3—2i, 1—4i
1 —8
p — bei; J6dt
3 —t +
—5+6i 0 1-+i, —3, 3+2i, 3— 2i
1 1—4
2 1+4i
3 — 12, —i—25
3-8 0 —1-+2i, 3—2i, 1—4i
1 1-+i, 3+2:
2 3
3 ir en
+5+8i 0 —1— 2
1 a er
2 EEE SET
3 1+i, —3, 3+ 21, 144:, 1—4i
+9-+4i 0 —1-+2i, 3+2i
1 1-Fi, —1— 21, 3 — 2%
2 —3, 144i
3 1—4i, —5-+2i
—1-+10i 0 1+i, —1-+2i, —1— 2, 3+2i
1
2
3
1+45, 1—4i
134
THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM. .
11 a
IRE UBER, VAOREE, DRON na, ET,
Modulus. | Character. Numeri.
+3+10i 1 1+i, —1— 2, 1—41
2 —3, 3 +21, 1441, —5 — 2i
3 —1+2i, 3-#
—7+81 0 4
1 3+2:, 3— 23, 1—4i, —5— 2i
5 —1—2i, 1+4i, —5+2i, —1—6i
3 —1-+2i, —3, —14+6i
u 0 3 |
1 1+i, 3— 2, 1441, —5+2i, 5+4i
2 —1+2i, —1—2i
3 3+2:, 1-4, —5 —2i, 5—4i
—114+4i 0 1-+i, —14+2i, 3+2i, 5+4i
| 1 —1—2i, —1+6i
| 2 —5+2i
| 3 —3, 3— 21, 14+4i, 1—4i, -—5—2i
+7+10i 0 1-44, 14, —1+6i, —1—6i
1 —14+2i, 3+2i, —5-+2i
2 1+1, 3— 2i
3 —1—2i, —3, —5—2i
+114+61 0 1-+i, —14+2i, —3, 14+4i, 1—4i, —7
1
2
3
Operam nunc dabimus, ut criteria communia modulorum, pro quibus nu-
merus primus datus characterem eundem habet, per inductionem detegamus. Mo-
dulos-semper supponimus primarios inter associatos, puta tales a+-bi, pro qui-
— 5423, 544, 7 —2i.
63.
busvela=1,b=0,vela=3, b= 2(mod. 4).
Respectu numeri 1-+-i, a quo initium facimus, inductionis lex facilius ar-
ripitur, si modulos prioris generis (pro quibus a=1, b=0) a modulis poste-
rioris generis (pro quibus a=3,b==2) separamus. Adiumento tabulae art. praec.
invenimus respondere
COMMENTATIO SECUNDA. 135
characterem modulis primi generis.
0 nr re Tee }
1 FB ae ld
2 5—4i, —7T, —11—4i
3 eteh, 58: 5-88 0.4
Si haec septemdecim exempla attente consideramus, in omnibus invenimus cha-
racterem = 4+(a—b—1) (mod. 4).
Perinde respondet
character modulis secundi generis.
0 a ET Ft 1108, 11-668
1 ee te Tee 1108, 3108
2 —1+2:, —5—2ti 3—10:i, 74101
3 1 — 9, 3-8, — 56, 7-10, 11—61
In omnibus his viginti exemplis, levi attentione adhibita, invenitur character
= 1(a—b— 5) (mod. 4).
Facile has duas regulas in unam pro utroque modulorum genere valentem
‚contrahere licet, si perpendimus, {bb esse pro modulis prioris generis = 0, pro
modulis posterioris generis = 1 (mod.4). Est itaque character numeri I+i re-
spectu moduli cuiusvis primi inter associatos primari =4(a—b—1—bb) (mod. 4).
Obiter hic annotare convenit, quum (b+-1)?” semper sit formae Sn +1,
sive +(25--bb) par, characterem istum semper parem vel imparem fieri, prout
+{(a+b—1) par sit vel impar, quod quadrat cum regula pro charactere quadra-
tico in art. 58 prolata.
Quum 4a —b—1), +{(a—b-+-3) sint integri, quorum alter par, alter im
par, ipsorum productum par erit, sive 4+{(a—b—1)(a—b-+-3) = 0 (mod. 4). Hinc
"loco expressionis allatae pro charactere biquadratico haec quoque adoptari potest
+(a—b —1—bb) — la —b—1)(a —b+3) = 4(—aa+2ab — 3bb-H1)
quae forma eo quoque nomine se commendat, quod non restringitur ad modulos
primarios, sed tantummodo supponit, a esse imparem, b parem: manifesto enim
in hac suppositione vel a+bi, vel —a— bi erit numerus inter associatos pri-
marius, valorque istius formulae pro utroque modulo idem.
136 THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM.
64.
Proficiscendo a regula ultima in art. praec. eruta invenimus esse
numeri characterem =
—1+i | 4(aa+2ab—bb—1)
—1—i | 4[—aa+2ab+bb—+1)
+1—i | Hlaa+2ab+3bb—1)
Hoc statim inde sequitur, quod character ipsius ö est t{aa-+-bb—1), character
ipsius —1 autem }(aa+bb—1)=+bb, quum aa—1 semper sit formae 8n.
Manifesto hae quatuor regulae, etiamsi hactenus ab inductione mutuatae sint, ita
inter se sunt nexae, ut quamprimum unius demonstratio absoluta fuerit, tres re-
liquae simul sint demonstratae. Vix opus est monere, etiam in his regulis tan-
tummodo supponi a imparem, b parem.
Siformulasad modulos primarios restrictas adhibere non displicet, hac forma
uti possumus. Est
numeri character =
—1+i | 4(—a—b-+1—bb)
—1—i | 4{a—b—1--bb)
+1—i | 4 —a—b+1+bb)
Formulae simplieissimae prodeunt, si, ut initio inductionis nostrae feceramus,
modulos primi et secundi generis distinguimus. Est scilicet character Ä
numeri | pro modulis primi generis | pro modulis secundi generis
—1+i H—a—b+1) H—a—0—3)
—1-—i 1(a—b—1) +{a—b-+ 3)
Hai Ha—b-Hi) H—a—b-+5)
65.
Pro numero —1-+-2i, ad quem iam progredimus, eandem distinetionem
inter modulos abi eos, pro quibus a=1, b= 0, atque eos, pro quibus
a=3,b = 2 quoque adhibebimus, Tabula art. 62 docet, respectu illius nu-
meri respondere
COMMENTATIO SECUNDA. 137
characterem modulis primi generis
0 —34+8i, +5—8i, 49-441, —11-+4i
1 Fi Ei en, au
2 +1—4i, +58, 7 — 8; —11
3 —3, +5-+4i, +9 —4i, —7+8i, —11—4i
Revocatis singulis his modulis ad residua absolute minima secundum modu-
lum —1-+-2:, animadvertimus, omnes, quibus respondet character 0, esse =1;
eos, quibus character I respondet, =i; eos, quorum character est 2, fieri
= —1; denique omnes, quorum character est 3, fieri = —i. At characteres
numerorum 1, , —1, —i pro modulo —1-+-2i ipsi sunt 0, 1, 2, 3 resp.; qua-
propter in omnibus his 17 exemplis character numeri —1-+2i respectu moduli
prioris generis @+-bi, cum charactere huius numeri respectu moduli —1-+2i
identicus est. |
Perinde adiumento tabulae invenitur, respondere
characterem modulis secundi generis
0 +3+2i, —5— 2, —1+105, —1—10i, +11+6i
1 +3 — 2, —1+6i, —5—6i, +7+10i, +7 —10i
2 —5+2i, —1—6i, +7 —2i
3 —1— 24, +7+2i, —5+46i, 43-4105, +3 —10i, +11—6i
Revocatis his modulis ad residua minima secundum modulum —1-+-2i,
omnia, quibus resp. characteres 0, 1, 2, 3 respondent, congrua inveniuntur nu-
meris —1, —i, +1, -+i; his vero ipsis numeris, si vice vera —I-+-2i pro
modulo adoptatur, competunt characteres 2, 3, 0, 1 resp. Quapropter in omni-
bus his 19 exemplis character numeri —1-+-2i respectu moduli secundi generis
duabus unitatibus differt a charactere huius numeri respectu numeri —1-+2: pro
modulo habiti.
Ceterum nullo negotio perspicitur, prorsus similia respectu numeri ——1—.2i
locum habitura esse.
66.
Pro numero —3 distinctionem inter modulos primi generis et secundi omit-
timus, quum eventus doceat, illam hic superfluam esse. Respondet itaque
u. 18
138 THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM.
character modulis
0 rt tr re ar IT, ER TI
1 4-1 ARE TE 5 AT
— 11-4, 108 | |
3423, 3— 21, —3-+81, —3—8i, 9-44, 34105, 3—10i
3 —1-+25, 144, —5— 2%, 5— 41, 7— 2, 5481, —1— 108, —7+8i,
— 11441, 7410i
Revocatis his modulis ad residua minima secundum modulum 3, videmus,
eos, quibus respondet character 0, esse partim =1, partim = —1; eos, quo-
rum character est 1, fierivel =1-—i, vel = —1-+-i, eos, quorum character
est 2, fieri vel =i, vel = —i; denique eos, quibus competit character 3, esse
vel =1-+i, vel = — 1—i. Ex hac itaque inductione colligimus, charaeterem
numeri —3 pro modulo, qui est numerus primus inter associatos primarius, iden-
ticum esse cum charactere huius ipsius numeri, dum 3, sive, quod eodem redit,
— 3 tamquam modulus consideratur.
67.
Simili inductione circa alios numeros primos instituta, invenimus, numeros
3+2i, —1+6i, 7+2i, —5 + 6ietc. suppeditare theoremata ei similia, ad quod
in art. 65 respectu numeri —1-+-2i pervenimus; contra numeros 1+4i, 5-41,
— 3+38i, 5+8i, 9+4i etc. perinde se habere ut numerum — 3. Inductio ita-
que perdueit ad elegantissimum theorema,. quod ad instar theoriae residuorum
quadraticorum in arithmetica numerorum realium 'THEOREMA FUNDAMENTALE theo-
riae residuorum biquadraticorum nuncupare liceat, scilicet:
Denotantibus a-+-bi, d+bi numeros primos diversos inter associatos su0s
primarios, i. e. secundum modulum 2+-2i unitati congruos , character biquadraticus
numeri a--bi respectu moduli a+-b'i identicus erit cum charactere numeri d+bi
respectu moduli a+-bi, si vel uterque numerorum a+bi, d+-bi, vel alteruter sal-
tem, ad primum genus refertur, i. e. secundum modulum 4 unitati congruus est: con-
tra characteres illi duabus unitatibus inter se different, si neuter numerorum a+-bi,
d+-bi ad primum genus refertur, i. e. si uterque secundum modulum 4 congruus est
numero 3+ 23. |
COMMENTATIO SECUNDA. 139
At non obstante summa huius theorematis simplicitate, ipsius demonstratio
inter mysteria arithmeticae sublimioris maxime recondita referenda est, ita ut,
saltem ut nunc res est, per subtilissimas tantummodo investigationes enodari pos-
sit, quae limites praesentis commentationis longe transgrederentur. Quamobrem
promulgationem huius demonstrationis, nee non evolutionem nexus inter hoc theo-
rema atque ea, quae in initio huius commentationis per inductionem stabilire coe-
peramus, ad commentationem tertiam nobis reseryvamus. Coronidis tamen loco
iam hic trademus, quae ad demonstrationem theorematum in artt. 63. 64 propösi-
torum requiruntur. |
68.
Initium facimus a numeris primis a—+bi talibus, pro quibus b — 9 (ter-
tia specie art. 34), ubi itaque (ut numerus inter associatos primarius sit) a debet
esse numerus primus realis negativus formae — (4n +3), pro quo scribemus —-4,
quales sunt —3, — 7, —11, —19 etc. Denotando per A characterem numeri
1-+i, illo numero pro modulo accepto, esse debet
N N (mod. g)
Sed constat, 2 esse residuum quadraticum, vel non-residuum quadraticum ipsius
g, prout gq sit formae 8n-+7, vel formae 8n-+3, unde colligimus, esse gene-
raliter
949-1) = (—1)t2+) == tat) (mod. q)
adeoque evehendo ad potestatem exponentis 4+(9—++1)
9sag=1) — ;tg+1) (mod. q)
Aequatio itaque praecedens hanc formam induit
erlag) — ‚Alaatg) (mod. g)
unde sequitur
= Hat) = 4(@+1)’—4(g-+1) (mod. 4)
sive quum habeatur 4(9-+1)’= 0 (mod. 4), A= —4(9-H1) = 4(a—1) (mod. 4).
Quod est ipsum theorema art. 63 pro casu b = 0.
18*
140 THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM.
69.
Longe vero difhicilius absolvuntur moduli a-+bi tales, pro quibus non est
b = 0 (numeri quartae speciei art. 34), pluresque disquisitiones erunt praemit-
tendae. Normam aa--bb, quae erit numerus primus realis formae 4n-H1,
designabimus per 9.
Denotetur per S complexus omnium residuorum simpliciter minimorum pro
modulo a+bi—= m, exclusa cifra, ita ut multitudo numerorum in S conten-
torum sit =p—1. Designet #-+-y:i indefinite numerum huius systematis,
statuaturque aa +by = E, ay— br —= n. Erunt itaque £, n integri inter limi-
tes 0 et p ewclusive contenti; in casu praesente enim, ubi a, b inter se primi sunt,
formulae art. 45, puta n=k#, &=—kn(mod.p) docent, neutrum numerorum
&,n esse posse — 0, nisialter simul evanescat, adeoque fat = 0, y=I,
quam combinationem iam eiecimus. Criterium itaque numeri #+-yi in $ con-
tenti, consistit in eo, ut quatuor numeri &,n, P—&, p—n sint positivi.
Praeterea observamus pro nullo tali numero esse posse &=1; hinc enim
sequeretur p(@+y) = a +n)+b(E—n) = 2af, quod est absurdum, quum nul-
lus factorum 2, a, & per p divisibilis sit. Simili ratione aequatio p(@—y-+a+-b)
— 2a5+(a+b)(p —E—ın) docet, esse non posse &-+n = p. Quapropter quum
numeri &—n, p—&—n esse debeant vel positivi vel negativi, hine petimus sub-
divisionem systematis S in quatuor complexus C, C’, C”, C”, puta ut conii-
ciantur
in complexum | numeri pro quibus
C 1 n positivus, p—&—n positivus
C &—n positivus, p—&—n] negativus
C" E—n negativus, p—E—n] negativus
ER | &—n negativus, 9—5—n] positivus
Criterium itaque numeri complexus C proprie sextuplex est, puta sex numeri
EP, PN, &—n, p——n positivi esse debent; sed manifesto condi-
tiones 2, 5 et 6 iam sponte implicant reliquas. Similia circa complexus C’, C”,
C” valent, ita ut criteria completa sint triplicia, puta |
COMMENTATIO SECUNDA. 141
pro complexu | positivi esse debent numeri
cC N, en, p—:—1
2 pn Er
c” pn n—5, S41—Pp
c” ®, 7n—:, p—:—1
Ceterum vel nobis non monentibus quisque facile intelliget, in repraesen-
tatione figurata numerorum complexorum (vid. art. 39) numeros systematis S
intra quadratum contineri, cuius latera iungant puncta numeros 0, abi,
(1+i)(a+-bi), i(a+-bi) repraesentantia, et subdivisionem systematis S respon-
dere partitioni quadrati per rectas diagonales. Sed hocce loco ratiocinationibus
pure arithmeticis uti maluimus, illustrationem per intuitionem figuratam lectori
perito brevitatis caussa linquentes.
70.
Si quatuor numeri complxi r=a+4yi, r=a+yi, "= a" +yi,
r"— @"+y"i ita inter se nexi sunt, ut habeatur "—= mir, "= m-+ir
—= (1+i)m—r, r"—= m+ir" = im—ir, atque primus r adcomplexum C per-
tinere supponitur, reliqui r', r", r" resp. ad complexus C’, C”, C” pertinebunt.
Statuendo enim = nn. ax—+by, 7 — ay—be, ee — ax +by, = ay— bi,
E” paaen ax + by", y — ay' — bx”, er — aa” —+by", 7" — ay
m
— 5x”, invenitur
y„=r—!=p-ı =
= fire ep——r
a u BE 12 a Er
unde adiumento criteriorum theorematis veritas sponte demanat. Et quum rur-
sus fiat r = mir”, facile perspicietur, si r supponatur pertinere ad C’, nu-
meros r’, r", r" pertinere resp. ad C”, C”, C; siillead C”, hosad C”, C, C':
denique siillead C”, hosad C, C*, 0”.
Simul hine colligitur, in singulis complexibus C, C’, C”, C” aeque multos
numeros reperiri, puta +({p—1).
37.
Turorema. Si denotante k integrum per m non divisibilem singuli numeri com-
plewus C per k multiplicantur , productorumque residuis simpliciter minimis secun-
142 THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM.
dum modulum m inter complexus C, C’, C”, C” distributis, multitudo eorum, quae
ad singulos hos complexus pertinent, resp. per c, c,c',c” denotatur: character nu-
meri k respectu moduli m erit = d+2c’+3c” (mod. 4).
Demonstr. Sint illa c residua minima ad C pertinentia a, d, y,Öetc.; dein
c' residua ad CO’ pertinentia haec m+ia, m+-i6', m-+iy', m-+-iö' etc.; porro
c" residua ad C” pertinentia haec (1+i)m—e”, (1+i)m—5", (1+i)m—.y",
(1+i)m— 6” etc.; denique c” residua ad C” pertinentia haec im— ia”, im—-i6",
im —iy", im— i6” etc. Jam consideremus quatuor producta, scilicet
1) productum ex omnibus +(p—1) numeris complexum C constituen-
tibus:
2) productum productorum, quae e multiplicatione singulorum horum nu-
merorum per A orta erant;
3) productum e residuis minimis horum productorum, puta e numeris «, 6,
y. detc., m+ia', mid’ etc. etc.
4) productum ex omnibus c+c-+c’+c” numeris a, d, y‚Öetc., a',d,y,
d.et6., 0,8 , Ya. 0. EU
Denotando haec quatuor producta ordine suo per P, P', P’, P”, manifesto erit
P' a Ke)p P' — P". " — pm era (mod. m)
et proin
Pre) — pretret3e (mod. m)
At facile perspicietur, numeros «', 6', y', ö’ete., a”, 6”, y", ö’etc., a”, 6”, y”, &”etec.
omnes ad complexum C pertinere, atque tum inter se tum anumeris a, d, y, Ö etc.
diversos esse, sicuti hi ipsi inter se diversi sint. Omnes itaque hi numeri simul
sumti, et abstrahendo ab ordine, prorsus identici esse debent cum omnibus nu-
meris complexum C constituentibus, unde colligimus P= P”, adeoque
PRPTN) — Pierre (mod.m)
Denique quum singuli factores producti P per m non sint divisibiles, hinc con-
celuditur
nr) — zet2e te” (mod. m)
unde C+2e’-+3c” erit character numeri k respectu moduli m. Q.E.D.
COMMENTATIO SECUNDA. 143
73
Quo theorema generale art. praec. ad numerum 1-+-: applicari possit, com-
plexum C denuo in duos complexus minores @ et G’ subdividere oportet, et
quidem referemus in complexum G@ numeros eos @+-yi, pro quibus ae+by =
minor est quam +p, in alterum G” eos, pro quibus & est maior quam 4p; mul-
titudinem numerorum in complexibus G, @’ contentorum resp. per g,g’ de-
notabimus, unde erit +’ = +4(p—1).
Criterium completum numerorum ad @ pertinentium itaque erit, ut tres
numeri 9. &—n, p— 25 sint positivi: nam conditio tertia pro complexu C, se-
cundum quam 9-—5—n positivus esse debet, sub illis implicite iam continetur,
quum sit 9 —5—n = © —n)+(p— 2%). Perinde criterium completum nume-
rorum ad @’ pertinentium consistet in valoribus positivis trium numerorum n,
P—:—n, 23—p.
Hine facile concluditur, productum cuiusvis numeri complexus G per nu-
merum 1--i pertinere ad complexum C”; si enim statuitur
@+yi)I+t) = 2 +yi, atque ar+ by =, ay—ba — y), invenitur
=, 1! = 1m 9 —I—7=r—2
i. e, eriterium pro numero #—-yi complexui G@ subdito identicum est cum cri-
terio pro numero x@’—+-yi ad complexum C” pertinente.
Prorsus simili modo ostenditur, productum cuiusvis numeri complexus @’
per 1--i pertinere ad complexum (C”.
Erit itaque, siin art. praec. ipsi & valorem 14: tribuimus, c=0, C —0,
e—=g,.c"=g, et proin character numeri 1+i fit 39+2y = Hp—1)+9.
Et quum characteres numerorum i, —1, sint 4(p—1), #4(p—1), characteres nu-
merorum —1I-+i, —1—1, 1—: resp. erunt 3{p—1)+9, 9, +{p—1)-4g.
Totus igitur rei cardo iam in investigatione numeri g vertitur.
73.
Quae in artt. 69—72 exposuimus, proprie independentia sunt a supposi-
tione, m esse numerum primarium: abhinc vero saltem supponemus, a imparem,
b parem esse, praetereaque a, b et a—b esse numeros positivos. Ante omnia
limites valorum ipsius » in complexu @ stabilire oportet.
144 THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM.
Statuendoe ay—be —=n, (a+b))e—(a—by=L, p—2ar—2by = 9,
eriterium numerorum #—+-yi ad complexum @G pertinentium consistit in tribus
conditionibus, ut n, &, 8 sint numeri positiv. Quum fiat px = (a—b)n-+a/,
p(la— 2x) = ad + 2bn, manifestum est, © et 2a—x esse debere numeros po-
sitivos, sive x alicui numerorum 1,2, 3... +(a—1) aequalem. Porro quum sit
(a—5)6 — 2b5-+p(a—b— 2x), patet, quamdiu z= minor sit quam +(a—b),
conditionem secundam (iuxta quam ( positivus esse debet) iam implicare tertiam
(quod ® debet esse positivus); contra quoties x sit maior quam $(a—b), condi-
tionem secundam iam contineri sub tertia. Quamobrem pro valoribus ipsius &
his 1, 2,3... 4(a—b—1) tantummodo prospiciendum est, ut n et & positivi
evadant, sive ut y maior sit quam = et minor quam a pro valore itaque
tali dato ipsius « aderunt numeri 2 +yi omnino
(a+b)x bz
re ed
si uncis in eadem significatione utimur, qua iam alibi passim usi sumus (Conf.
Theorematis arithm. dem. nova art. A et T’heorematis fund. in doctr. de residuis
quadr. etc. Algorithm. nov. art. 3). Contra pro valoribus ipsius # his +(a—b-+H1),
4la—b+3)....; +(a—1) sufficiet, ut ipsis 7 et Ö valores positivi concilientur,
. . —?2 . Se
sive ut y maior sit uam — et minor quam £ sive 4b+ iz quare
pro valore tali dato ipsius « aderunt numeri #-+-yi omnino
[4 +2 =2e2]_[°?]
a
Hinc itaque colligimus, multitudinem numerorum complexus @ esse
(a+b)x aa— z ax bz
= 2
ubi in termino primo summatio extendenda est per omnes valores integros ipsius
x ab 1 usque ad 4{(a—b—1), in secundo ab #(a—b-+1) usque ad 4(a—1),
in tertio ab 1 usque ad +{a—1).
Si characteristica 9 in eadem significatione utimur, ut loco citato (T’heore-
matis fund. etc. Algor. nov. art.3), puta ut sit
eu = ++] +7
denotantibus ?, « numeros positivos quoscungue, atque ? numerum [42], ter-
minus ille primus fit = p(a—b, a+b), tertius — —vla,b); secundus vero fit
COMMENTATIO SECUNDA. 145
— 40 + 2 [2222]
Sed fit, scribendo terminos inverso ordine,
u, treltlt-- +] = Pa —20,0)
Formula itaque nostra sequentem induit formam:
9 = yla—b, arb)+p(2b,a)— pla,5)—P(b,a)+-+bb
Consideremus primo terminum #(a—b, a+b), qui protinus transmutatur
in p(a—b, 2b)+1+2-+3—+ etc. +4(a—b—1) sivein
pla—b, 2b)+4((a— b)’—1)
Dein quum per theorema generale fiat p(t,u)+p(u,t) = [+41].[4w], dum
t,u sunt integri positivi inter se primi, habemus
p(a—b, 2b) = +b(a—b—1)— y(2b, a—b)
adeoque
pla—b,a+b) = +(aa+2ab—3bb—4b—1)— y(2b, a—b)
Disponamus partes ipsius 9(2b, a—b) sequenti modo
+52]+ Pr etc. +[' ul
HEN HE ein. +BE=D]
Series secunda manifesto fit
= plb, a—b) = v(b, a) —1— 2 — 3 — etc, —4b — o(b,a)—4(bb-+2b)
seriem primam ordine terminorum inverso ita exhibemus:
Hat) —]+ [Ha +3 —)—5]+ [Ha +5 —0)—]-+H etc. + [Ha — ee
quae expressio, quum denotante ? numerum integrum, % fractum, generaliter sit
k—u) = wa ], mutatur in sequentem
EEE — ete. [1
= 32a —4—b)— (2b, a)+y(b,a)
I. u.
146 THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM.
Hine fit
o(2b,a—b) = 2y(b,a— »(2b, a) +4b(a— 3—b)
et proin
+(a—b,a+b) = p(2b,— 2Y(b,a)+3(aa—bb-+28d—1)
Substituendo hunc valorem in formula pro g supra tradita, insuperque (a,b)
—+-o(b,a) = +b(a—1), obtinemus
9 —= 2Y(2b,a) —2Y(b,aa++(aa —2ab+-bb+4b—1)
74.
Per ratiocinia prorsus similia absolvitur casus is, ubi manentibus a, b po-
sitivis a—b est negativus, sive b—a positivus. Aequationes pla— 22) = 2bn+-af,
p(b—a-+2x) — 2bC+(b—a)B docent, Za— x atque x—+4(b—a) posi-
tivos, et proin # alicu numerorum —4(b —a—1), —+4{b —a—3),
—4(b—a—5)....++{a—1) aequalem esse debere. Porro ex aequatione
px+-(b—a)n = al sequitur, pro valoribus negativis ipsius « conditionem, ex
qua n debet esse positivus, iam contineri sub conditione, ex qua C debet esse
positivus, contrarium vero evenire, quoties ipsi © valor positivus tribuatur. Hine
er 2 : Rn 5 b se
valores ipsius y pro valore determinato negativo ipsius & inter ie et # r —
br
contra pro valore positivo ipsius & Inder ze „ Bene contenti esse debent: ma-
nifesto pro 2 = 0 hilimitessunt 0 et #7 7 = valore y= 0 ipso excluso. Hinc
colligitur
ya ZEILE 52° 2°] 22]
ubi in termino primo summatio extendenda est per omnes valores negativos ipsius.
x indea —1 usquead —+(b—a—1); in secunda per omnes valores ipsius &
indea —4{b—a—1) usque ad +(a—1); in tertia per omnes valores positivos
ipsius z inde a +1 usque ad #(a—1): hoc pacto e summatione prima prodit
—p(b—a,b—+a), esecunda perinde ut in art. praec. +db+-v(2b,a)— o(b,a),
denique e tertia —v(a,b), sive habetur
9 = —y(b—a, b+a)+y(2b,0)— Ylb,a)—y(a,b)+45b
Jam simili modo ut in art. praec. evolvitur
COMMENTATIO SECUNDA. 147
0—a,d-+a) = ya, 2)—4(b—a—1)
—= 4(3bb—2ab—aa—4b-+1) —p(2b, b— a)
nec non
o(2b,b—a) = p(2b,a)— 2y(b,a)++b(b—1— a)
adeoque
?b—a,b-+a) = 2y(b,a—Y(2b,a)+4(bd—aa—2b--1)
tandemque
9 = 29(2b, a) — 2p(b,aa+4(aa—2ab+bb+4b—1)
Evietum est itaque, eandem formulam pro g valere, sive sit a—b positi-
vus sive negativus, dummodo a, b sint positivi.
13.
Ut reductionem ulteriorem assequamur, statuemus
L= ++ .. etc. hal
N= eh apfrettjapiatt etc. ++’
Quum facile perspiciatur, haberi generaliter («+ [u++] = [2w], quamcunque
quantitatem realem denotet u, ft L+N = e(b,a), et quum manifesto sit
L+-M= p(2b,a), erit
e(2b,a)—p(b,a) = M—N
Porro autem obvium est, aggregatum termini primi seriei N cum penultimo ter-
b ws
mino seriei M, puta en I-+[' Zus fieri = 4+(a—1), atque eandem summam
effici e termino secundo seriei N cum antepenultimo seriei M, et sie porro: quare
quum etiam terminus ultimus seriei M fiat —= 4(a—1), ultimus vero terminus
seriei N sit — [2] — 4(a1), valente signo superiori vel inferiori, prout
a est formae 4n—+1 vel An—1: erit
et proin
|
min
®
|
—
=
-1
FOR
£)
%
|
0)
z
y(2d,a)—p(b, a)
148 'THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM.
Formula itaque pro g in artt. 73 et 74 inventa, transit in sequentem
9 = 4(la+b)’—1)+2n—4N
statuendo a1 = 4n, ubi n erit integer. Sed quum hinc habeatur
1 = 16nn— San--aa, formula haec etiam sequenti modo exhiberi potest:
9 = +(—aa+2ab+bb-++1)-H4($(a+1)n—nn—N)
Quapropter quum g sit character numeri —1—i pro modulo a—+bi, hic cha-
racter ft =+4(—aa+2ab+bb-H1)(mod.4), quod est ipsum theorema supra
(art. 64) per inductionem erutum, sponteque inde demanant theoremata circa cha-
racteres numerorum 1-+1, 1—i, —1--i. Quamobrem haec quatuor theoremata,
pro casu eo, ubi a et b sunt positivi, iam rigorose sunt demonstrata,
76.
Si manente a positivo b est negativus, statuatur b= —b', ut fiat b’ posi-
tivus. Quum iam evictum sit, ita pro modulo a+-bi characterem numeri —1—i
esse = 4[(—aa+2ab+bb--1)(mod.4), character numeri —1-+-i pro modulo
a— bi per theorema in art. 62 prolatum erit = 4(aa— 2ab’— bb’ —1), i.e. cha-
racter numeri —1--i pro modulo a-+bi fit = 4(aa-+2ab—bb—1): hoc vero
est ipsum theorema in art. 64 allatum, unde tria reliqua circa characteres nume-
rorum 1-+i, 1—i, —1—i sponte demanant. Quapropter ista theoremata etiam
pro casu, ubi db negativus est, demonstrata sunt, scilicet pro omnibus casibus,
ubi a est positivus. .
Denique si a est negativus, statuatur a = —d, b=—b. Quum ita-
que per iam demonstrata character numeri 1+i respectu moduli d+bi sit
= 4(— add + 2adb— 3bb+-1)(mod.4), nihilque intersit, utrum numerum d+bi
an oppositum —«d’— bi moduli loco habeamus; manifesto character numeri 1-+%
respectu moduli a+bi est = 4{(—aa+2ab—3bb-H1), et similia valent circa
characteres numerorum 1—4, —1-+i, —1-—1.
Ex his itaque colligitur, demonstrationem theorematum circa characteres
numerorum 1-+i, 1—1, —1-+ı1, —1—i (artt. 63. 64) nulli amplius limitationi
obnoxiam esse.
ANZEIGEN
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SUHRIETFEN
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Göttingische gelehrte Anzeigen. 1808 Mai 12.
Eine vom Herrn Prof. Gauss am 15. Januar d. J. der königl. Societät der
Wissenschaften überreichte Abhandlung,
Theorematis arithmetici demonstratio nova,
deren Inhaltsanzeige wir hier noch nachzuholen haben, hat das berühmte Fun-
damental-Theorem der Lehre von den quadratischen Resten zum Gegenstande,
welches sowohl in der ganzen höhern Arithmetik, als in den angrenzenden Thei-
len der Analysis eine so wichtige Rolle spielt. Bekanntlich heisst eine ganze
Zahl a quadratischer Rest der ganzen Zahl b, wenn es Zahlen der Form xz2—a
gibt, die durch b theilbar sind, sowie im entgegengesetzten Falle a quadratischer
Nichtrest von b genannt wird: die Zahl a kann positiv oder negativ sein, b hin-
gegen wird immer als positiv angesehen. Die höhere Arithmetik lehrt, dass alle
Primzahlen b, für welche eine gegebene Zahl a quadratischer Rest ist, unter ge-
wissen linearischen Formen begriffen sind, so wie wiederum andere linearische
Formen alle Primzahlen enthalten, von denen a Nichtrest ist. Soistz.B. —1
quadratischer Rest aller Primzahlen der Form 4r-+1, quadratischer Nichtrest
aller Primzahlen der Form 4n +3; ferner +2 ist quadratischer Rest aller Prim-
zahlen der Form 8n-+1, 8n-+7, hingegen quadratischer Nichtrest aller Prim-
zahlen der Formen 82-+3, 8n +5. Aehnlicher specieller Lehrsätze gibt es eine
unendliche Menge, die sich aber alle aus der Verbindung der beiden angeführten
115 ANZEIGE,
mit folgendem allgemeinen ableiten lassen: Zwei ungleiche positive (ungerade)
Primzahlen, p, q, haben allemal gleiche Relation wechselseitig zu einander (d. i.
die eine ist quadratischer Rest oder Nichtrest der andern, je nachdem die andere
Rest oder Nichtrest der ersten ist), wenn entweder beide von der Form 4n—1
sind, oder wenigstens die eine: hingegen ist ihre wechselseitige Relation entge-
gengesetzt (d.i. die eine ist Nichtrest der andern, wenn diese Rest von jener ist,
und umgekehrt), so oft beide zugleich von der Form 4n-+-3 sind. Dies ist das
erwähnte Fundamental-Theorem, welches man in mehr als einer Gestalt aus-
drücken kann: die hier gewählte ist diejenige, in der es in der Abhandlung des
Hrn. Prof. Gauss neu bewiesen ist.
Die schönsten Lehrsätze der höhern Arithmetik, und namentlich auch die-
jenigen, wovon hier die Rede ist, haben das Eigne, dass sie durch Induction
leicht entdeckt werden, ihre Beweise hingegen äusserst versteckt liegen, und nur
durch sehr tief eindringende Untersuchungen aufgespürt werden können. Gerade
dies ist es, was der höhern Arithmetik jenen zauberischen Reiz gibt, der sie zur
Lieblingswissenschaft der ersten Geometer gemacht hat, ihres unerschöpflichen
Reichthums nicht zu gedenken, woran sie alle andere Theile der reinen Mathe-
matik so weit übertrifft. Die beiden oben erwähnten Specialsätze waren schon
Fermar bekannt, welcher, seiner Behauptung nach, auch im Besitz ihrer Beweise
war: ob er sich darin nicht täuschte, können wir nicht entscheiden, da er nie
Etwas davon bekannt gemacht hat: aber für möglich dürfen wir es gewiss halten,
da mehrere Beispiele von Selbsttäuschung bei andern grossen Geometern, na-
mentlich bei EuLEr, LEGENDRE und auch bei Fermar selbst, vorhanden sind. Von
dem ersten jener Theoreme gab Eurer den ersten Beweis; allein das andere zu de-
monstriren, glückte diesem grossen Geometer, seiner eifrigen, viele Jahre hin-
durch fortgesetzten, Bemühungen ungeachtet, nicht; erst LAGRANGE war es vor-
behalten, diese Lücke auszufüllen. Beide Geometer bewiesen auch noch verschie-
dene andere specielle Sätze, eine grössere Anzahl aber, die sie durch Induction
fanden, entzog sich ihren Bemühungen, sie zu beweisen, stets. Es istindess ein
merkwürdiges Spiel des Zufalls, dass beide Geometer durch Induction nicht auf
das allgemeine Fundamental-Theorem gekommen sind, das einer so einfachen Dar-
stellung fähig ist. Dieses ist zuerst, obwohl in einer etwas andern Gestalt, von
LEGENDRE vorgetragen, in der Histoire de ! Acad&mie des Sciences de Paris 1785;
sowohl hier, als nachher in seinem Werke: Essai d’une theorie des nombres, hat
THEOREMATIS ARITHMETICI DEMONSTRATIO NOVA, 153
dieser treffliche Analyst den Beweis auf sehr scharfsinnige Untersuchungen zu
gründen gesucht, die aber gleichwohl nicht zu dem gewünschten Ziele geführt ha-
ben, welches, wenn wir uns nicht irren, auch auf diesem Wege nicht erreicht
werden konnte.
Der Verfasser der Abhandlung, welcher diese Anzeige gewidmet ist, be-
trat die Bahn der höhern Arithmetik zu einer Zeit, wo ihm alle frtihern Arbeiten
andrer Geometer in dieser Wissenschaft ganz unbekannt waren; diesem Umstande
ist es hauptsächlich zuzuschreiben, dass er überall einen ganz eigenthümlichen
Gang genommen hat. Jenes Fundamental-Theorem fand er zwar schon sehr früh
durch Induction, allein erst ein ganzes Jahr später gelang es ihm, nach vielen
Schwierigkeiten und vergeblichen Versuchen, den ersten vollkommen strengen
Beweis aufzufinden, der im vierten Abschnitte seiner Disquisitiones Arithmeticae
entwickelt ist: dieser Beweis gründet sich aber auf sehr mühsame und weitläuftige
Auseinandersetzungen. In der Folge kam er noch auf drei andre Beweise, die
zwar von jener Unbequemlichkeit frei sind, aber dagegen andre sehr tiefliegende
und ihrem Inhalte nach ganz heterogene Untersuchungen voraussetzen: der eine
dieser Beweise ist gleichfalls in dem angeführten Werke Art. 262 mitgetheilt,
die beiden andern werden zu ihrer Zeit bekannt gemacht werden. Immer blieb
“also noch der Wunsch übrig, dass es möglich sein möchte, einen kürzern, von
fremdartigen Untersuchungen unabhängigen, Beweis zu entdecken. Der Verf.
hofft daher, dass die Freunde der höhern Arithmetik mit Vergnügen einen fünf-
ten Beweis sehen werden, der in gegenwärtiger Abhandlung auf weniger als fünf
Seiten vorgetragen ist, und in jeder Hinsicht nichts zu wünschen übrig zu lassen
scheint. Bei der gedrängten Kürze, worin dieser Beweis abgefasst ist, können
wir freilich hier von dem Gange desselben nur eine unvollkommene Idee geben:
mehr würde hier aber auch um so überflüssiger sein, da der XVIte Band der Com-
mentationes, worin er bereits abgedruckt ist, nächstens erscheinen wird.
Die Grundlage des Beweises ist folgender neuer Lehrsatz: Wenn p eine
(positive ungerade) Primzahl, A eine beliebige, durch p nicht theilbare, ganze
Zahl bedeutet; wenn ferner unter den Resten, die aus der Division der #(p—1)
Producte A, 2%, 3k....+(p—1)A durch p entstehen, in allen sich p Reste be-
finden, die grösser als +p sind (also +(p—1)—g. solche, die kleiner sind als
+p), so wird Ak ein quadratischer Rest von p sein, wenn p gerade ist, hingegen
ein quadratischer Nichtrest, wenn px ungerade ist. Die Zahl p, die bloss von A
I. 20
154 ANZEIGE,
und p abhängig ist, mag durch das Zeichen (A, p) dargestellt werden. Durch
eine Reihe von Schlüssen, die keines Auszugs fähig sind, wird nun gezeigt, dass,
wenn k und p zwei ungerade Zahlen sind, die keinen gemeinschaftlichen Theiler
haben, allemal (%,p)+(p,k)++(k—1)(p—1) eine gerade Zahl wird: daraus
folgt also, dass, so oft A und p beide von der Form 4n—+-3 sind, nothwendig
eine der Zahlen (%,p), (p,k) gerade, die andere ungerade sein muss; in allen
übrigen Fällen hingegen, d.i. so oft beiden Zahlen k und p, oder wenigstens
einer, die Form 42-1 zukommt, werden nothwendig entweder .(k,p), (p, A)
beide zugleich gerade, oder beide zugleich ungerade sein. Hieraus folgt, in Ver-
bindung mit obigem Lehrsatze, die Wahrheit des Fundamental-Theorems von
selbst. Auf demselben Wege, auf dem diese Resultate gefunden werden, wird
in der Abhandlung zugleich ein neuer Beweis für die oben erwähnten beiden Spe-
cialsätze gegeben: es lässt sich nemlich leicht zeigen, dass (—1,p) = 4(p—1),
also gerade oder ungerade, je nachdem p» die Form 42-+1 oder 4n-+3 hat; eben
so wird (2,9) =4(p—1), wenn p die Form 4n-H1 hat, und (2,9) =+p-H1),
wenn p von der Form 4n+-3 ist, daher (2,9) gerade wird, so oft » die Form
8n +1 oder 8n-+-7 hat, hingegen ungerade, so oft p von der Form 8r-+3
oder 8n—+5 ist.
Göttingische Gelehrte Anzeigen. 1808 September 19.
Eine von Hrn. Prof. Gauss der königl. Societät der Wissenschaften überge-
bene Vorlesung:
Summatio quarumdam serierum singularium ,
hat zum Zweck, eine merkwürdige, zur Theilung des Kreises gehörige, Unter-
suchung, wozu der Grund bereits in den Disquisitionibus Arithmeticis gelegt war,
ausführlicher und in grösserer Allgemeinheit zu entwickeln, sie mit vollständigen
Beweisen zu versehen, und ihren unerwarteten Zusammenhang mit andern wich-
tigen Wahrheiten zu zeigen. Wenn » eine Primzahl, k eine beliebige, durch
n nicht theilbare, ganze Zahl, ® den Bogen — 360° bedeutet, und die verschie-
denen, unter den Zahlen 1, 2, 3, 4,....»—1 befindlichen, quadratischen Reste
von n durch a, a‘, a’u.s. w., hingegen die nach Ausschluss dieser von jenen übrig
bleibenden, oder die quadratischen Nicht-Reste von n, durch 5, ', b’u.s. w. vor-
gestellt werden: so ist in dem angeführten Werke Art. 356 bewiesen, dass in dem
Falle, wo n von der Form Am-1 ist,
cosakw+cosakw—+t cosa’ko—+ 2 — +yn
— cosb kw — cosb’kw — cos b’kw — etc.
und
sinako—+sinako+sina’ko—+ ug Sr
— sinbkwo — sinbkwo — sinb’kw — etc.
20*
156 ANZEIGE.
hingegen in dem Falle, wo n von der Form 4m-+-3 ist, die Summe der ersten
Reihe — 0, und die der zweiten = + yr wird. Das der Wurzelgrösse vorzu-
setzende Zeichen hängt von dem Werthe der Zahl Ak oder vielmehr von dessen Re-
lation zu n ab, und lässt sich leicht für alle Werthe von k bei einem gegebenen
Werthe von n bestimmen, sobald es für einen bestimmt ist. Man kann nemlich
zeigen, dass für alle Werthe von %k, welche quadratische Reste von n sind, durch-
aus einerlei Zeichen gilt. und dann das entgegengesetzte für alle diejenigen, die
quadratische Nichtreste von » sind. Da in dem angeführten Werke die Unter-
suchung so weit bereits geführt,.und nur die Bestimmung des Zeichens für irgend
einen Werth von k noch übrig war: so hätte man glauben sollen, dass nach Be-
seitigung der Hauptsache diese nähere Bestimmung sich leicht würde ergänzen
lassen, um so mehr, da die Induction dafür sogleich ein äusserst einfaches Re-
sultat gibt: für k—=1, oder für alle Werthe, welche quadratische Reste von
n sind, muss nemlich die Wurzelgrösse in obigen Formeln durchaus positiv ge-
nommen werden. Allein bei der Aufsuchung des Beweises dieser Bemerkung tref-
fen wir auf ganz unerwartete Schwierigkeiten, und dasjenige Verfahren, welches
so genugthuend zu der Bestimmung des absoluten Werths jener Reihen führte,
wird durchaus unzureichend befunden, wenn es die vollständige Bestimmung der
Zeichen gilt. Den metaphysischenGrund dieses Phänomens (um den bei den Fran-
zösischen Geometern üblichen Ausdruck zu gebrauchen) hat man in dem Um-
stande zu suchen, dass die Analyse bei der Theilung des Kreises zwischen den
Bögen w, 2w, 30... (n—1)w keinen Unterschied macht, sondern alle auf glei-
che Art umfasst; und da hiedurch die Untersuchung ein neues Interesse erhält:
so fand Hr. Prof. Gauss hierin gleichsam eine Aufforderung, nichts unversucht zu
lassen, um die Schwierigkeit zu besiegen. Erst nach vielen und mannigfalti-
gen vergeblichen Versuchen ist ihm dieses auf einem auch an sich selbst merk-
würdigen Wege gelungen. Er geht nemlich von der Summation einiger Reihen
aus, deren Glieder unter folgender Form begriffen sind:
(1— =") (1 — 2") (1— 2"?).. . (1-2"4+t)
(1-2) (1-22) (1—=°)..... (1)
Bezeichnet man, der Kürze halber, eine solche Function durch (m, p), welche,
wie in der Abhandlung gezeigt wird, immer eine ganze Function von & ist: so
brechen die Reihen
SUMMATIO QUARUMDAM SERIERUM SINGULARIUM. 157
1— (m, 1)—+ (m, 2) — (m, 3) + etc.
142” (m, 1) + z(m, 2) +2’ (m, 3) + etc.
nach dem m-+1*? Gliede ab, insofern m eine ganze positive Zahl bedeutet, und
die Summe der ersten Reihe wird für gerade Werthe von m
= 1— 2) — a”) (1—aP)... (1 0")
und = 0 für ungerade Werthe von m; hingegen die Summe der zweiten Reihe
wird allemal
= (1+a°)(1+2)(1+ 2°) E
Auch für gebrochene und negative Werthe von m führt die Summation dieser Rei-
hen auf interessante Resultate, obwohl dieselben zu der gegenwärtigen Absicht
nicht nöthig sind: wir begnügen uns, nur eines derselben hier anzuführen. Die
unendliche Reihe
12 + +24 2 etc.
wo die Exponenten die Trigonalzahlen sind, ist das Product aus den Factoren
1—rt 1— ı* 1—x° 1— 2°
ae Da Wo ; etc.
1— x 1 x 1—x
oder, wenn man lieber will, aus
(1+2)’(1+ 22)’ (1+ 2°)? (142%) etc.
in
1— 2)(1— a8) 1—a°) (1— 2°) etc.
Die Entwickelung der Art, wie diese Summationen auf den Hauptgegen-
stand angewandt werden, würde uns hier zu weit führen: wir dürfen die Leser
um so eher auf diese selbst verweisen, da sie bald im Druck erscheinen wird. Jene
oben angeführten Summationen sind nur eine specielle Anwendung von der Sum-
mation folgender Reihen:
1+c0skw+-c0s4kw+ cos9kw—+ etc. +cos(n—1)’kw = T
sinko—+sin4k®o+sin9k®-+ etc. + sin (n —1)’ko — U
welche in der Abhandlung für alle Werthe von Ak, und ohne die Einschränkung,
158 ANZEIGE.
dass n eine Primzahl sei, gelehrt wird. Es wird nemlich gezeigt, dass
T ENFUR T= FM T-9 T=0
und
Ü.= -PVM, U: BD, U=b1, = + iR
wird, je nachdem „ von der Form 4m, 4m+1, 4m+-2, 4m-+-3 resp. ist; das
Zeichen der Wurzelgrösse hängt hier wiederum von %k ab, und die die Unterschei-
dung vieler einzelner Fälle nöthig machende Bestimmung desselben auf zwei ver-
schiedenen Wegen wird so entwickelt und bewiesen, dass nichts zu wünschen
übrig bleiben wird. Die Vergleichung dieser beiden Wege unter sich führt noch
auf folgenden sehr merkwürdigen Lehrsatz: Wenn » das Product aus einer be-
liebigen Anzahl ungleicher ungerader Primzahlen a, b, ec, d u.s. w. ist, unter wel-
chen sich zusammen p von der Form 4m+3 befinden: wenn ferner unter jenen
Factoren zusammen v vorkommen, von deren jedem das Product der übrigen
n . . . . .
ER s.w.) ein quadratischer Nichtrest ist; so wird v gerade
(also resp. , er
sein, so oft x von der Form 4m oder 4m-+-1 ist, hingegen ungerade, so oft
von der Form 4m +2 oder 4m—+-3 ist. Von diesem Lehrsatze ist das bekannte
Fundamental-Theorem beiden quadratischen Resten nur ein specieller Fall, sowie
umgekehrt jener leicht aus diesem abgeleitet werden kann. Man sieht sich also
durch diese Untersuchungen zugleich im Besitz von einem vierten Beweise dieses
wichtigen Theorems, welches von dem Verf. zuerst auf zwei ganz verschiedenen
Wegen in den Disquisitionibus Arithmeticis und auf einem dritten eben so verschie-
denen unlängst in einer eigenen Abhandlung bewiesen war.
Göttingische gelehrte Anzeigen. 1817 März 10.
Am 10. Februar wurde der Königl. Societät von Hrn. Hofr. Gauss eine Vor-
lesung eingereicht, überschrieben:
Thheorematis fundamentalis in doctrina de residuis quadraticis demonstrationes
et ampliationes novae.
Es ist eine Eigenthümlichkeit der höhern Arithmetik, dass so viele ihrer
schönsten Lehrsätze mit grösster Leichtigkeit durch Induction entdeckt werden
können, deren Beweise jedoch nichts weniger als nahe liegen, sondern oft erst
nach vielen vergeblichen Versuchen mit Hülfe tiefeindringender Untersuchungen
und glücklicher Combinationen gefunden werden. Dies merkwürdige Phänomen
entspringt aus der oft wunderbaren Verkettung der verschiedenartigen Lehren in
jenem Theile der Mathematik, und eben daher kommt es, dass häufig solche Lehr-
sätze, von denen anfangs ein Beweis Jahre lang vergeblich gesucht war, später-
hin sich auf mehreren ganz verschiedenen Wegen beweisen lassen. Sobald ein
neuer Lehrsatz durch Induction entdeckt ist, hat man die Auffindung irgend eines
Beweises freilich als das erste Erforderniss zu betrachten: allein nachdem ein sol-
cher geglückt ist, darf man in der höhern Arithmetik die Untersuchung nicht im-
mer als abgeschlossen und die Aufspürung anderer Beweise als überflüssigen Luxus
ansehen. Denn theils kommt man gewöhnlich auf die schönsten und einfachsten
160 ANZEIGE.
Beweise nicht zuerst, und dann ist gerade die Einsicht in die wunderbare Verket-
tung der Wahrheit der höhern Arithmetik dasjenige, was einen Hauptreiz die-
ses Studiums ausmacht, und nicht selten wiederum zur Entdeckung neuer Wahr-
heiten führt. Aus diesen Gründen ist hier die Auffindung neuer Beweise für schon
bekannte Wahrheiten öfters für wenigstens eben so wichtig anzusehen, als die
Entdeckung der Wahrheit selbst. Kennern der höhern Arithmetik sind diese
Betrachtungen nicht neu; man weiss, dass ein grosser 'Theil von Evers Verdien-
sten um dieselbe in der Auffindung von Beweisen für Lehrsätze besteht, die schon
von FErMAT wie es scheint durch Induction gefunden waren.
Die Lehre von den quadratischen Resten gibt einen einleuchtenden Beleg zu
dem vorhin Gesagten. Sie beruhet hauptsächlich auf dem sogenannten Funda-
mental-Theorem, welches darin besteht, dass die wechselseitigen Relationen zweier
(ungeraden positiven) Primzahlen zu einander (in sofern der eine quadratischer
Rest oder Nichtrest der andern ist) einerlei sind, so oft eine der Primzahlen oder
beide unter der Form 44-1 stehen, entgegengesetzt aber, so oft beide Prim-
zahlen von der Form 4%-+-3 sind. Für solche Leser, die mit der höhern Arith-
metik weniger bekannt sind, erinnern wir, dass eine ganze Zahl quadratischer
Rest einer andern heisst, wenn die erstere um ein Vielfaches der andern vermehrt
ein Quadrat geben kann; Nichtrest hingegen, wenn dies nicht möglich ist. Die
Geschichte dieses schönen durch Induction äusserst leicht zu findenden Lehrsatzes
wollen wir hier nicht vollständig wiederholen, sondern nur bemerken, dass der
Verfasser vorliegender Abhandlung, nach Anfangs ziemlich lange vergeblich an-
gestellten Untersuchungen, nach und nach bereits vier unter sich ganz verschie-
dene Beweise gegeben hat, wovon zwei in den Disquisitionibus Arithmeticis ent-
halten sind, der dritte den Gegenstand einer eigenen Abhandlung im sechzehnten
Bande der Commentationen ausmacht, und der vierte in eine Abhandlung summa-
tio quarumdam serierum singularium im ersten Bande der Commentationes recentio-
res verwebt ist; über diese beiden Abhandlungen kann man unsere Anzeigen
1808. Mai 12 und Sept. 19 nachsehen, wo auch vollständigere geschichtliche
Nachweisungen befindlich sind. Dass der Verf. bei diesen vier Beweisen, unge-
achtet jeder derselben für sich in Rücksicht auf Strenge nichts zu wünschen übrig
lässt, noch nicht stehen geblieben ist, bedarf zwar bei den Freunden der höhern
Arithmetik keiner Rechtfertigung; indessen würde er doch wahrscheinlich sich
nicht so eifrig bemüht haben, jenen Beweisen noch andere hinzuzufügen, wenn
THEOREMATIS FUNDAMENTALIS IN DOCTRINA DE RESIDUIS DEMM. ETC. 161
nicht ein besonderer Umstand ihn dazu veranlasst hätte‘, der hier erwähnt wer-
den muss. Seit dem Jahre 1805 hatte er nemlich angefangen, sich mit den Theo-
rien der cubischen und biquadratischen Reste zu beschäftigen, welche noch weit
reichhaltiger und interessanter sind, als die Theorie der quadratischen Reste. Es
zeigten sich bei jenen Untersuchungen dieselben Erscheinungen wie bei der letz-
tern, nur gleichsam mit vergrössertem Massstabe. Durch Induction, sobald nur
der rechte Weg dazu eingeschlagen war, fanden sich sogleich eine Anzahl höchst
einfacher Theoreme, die jene Theorien ganz erschöpfen, mit den für die quadra-
tischen Reste geltenden Lehrsätzen eine überraschende Aehnlichkeit haben, und
namentlich auch zu dem Fundamentaltheorem das Gegenstück darbieten. Allein
die Schwierigkeiten, für jene Lehrsätze ganz befriedigende Beweise zu finden,
zeigten sich hier noch viel grösser, und erst nach vielen, eins ziemliche Reihe
von Jahren hindurch fortgesetzten Versuchen ist es dem Verfasser endlich gelun-
gen, sein Ziel zu erreichen. Die grosse Analogie der Lehrsätze selbst, bei den
quadratischen und bei den höhern Resten, liess vermuthen, dass es auch analoge
Beweise für jene und diese geben müsse; allein die zuerst für die quadratischen
Reste gefundenen Beweisarten vertrugen gar keine Anwendung auf die höhern
Reste, und gerade dieser Umstand war der Beweggrund, für jene immer noch
andere neue Beweise aufzusuchen. Der Verf. wünscht daher, dass man die vor-
liegende Abhandlung, die für die Theorie der quadratischen Reste noch einige
neue Hülfsquellen eröffnet, als Vorläuferin der Theorie der cubischen und biqua-
dratischen Reste betrachte, die er in Zukunft bekannt zu machen denkt, und die
zu den schwierigsten Gegenständen der höhern Arithmetik gehören.
Die gegenwärtige Abhandlung besteht aus dreien von einander unabhängi-
gen Theilen. Sie enthält nemlich den fünften und sechsten Beweis des Funda-
mental-Theorems und eine neue, mit dem dritten Beweise zusammenhängende
Methode, zu entscheiden, ob eine vorgegebene ganze Zahl von einer gegebenen
Primzahl quadratischer Rest oder Nichtrest sei. Unter den vier ersten Beweisen
war der dritte unstreitig derjenige, der die grösste Einfachheit mit Unabhängig-
keit von fremdartigen Untersuchungen vereinigte, daher ihn auch L£gEnDke in die
neue Ausgabe seines Essai d’une theorie des nombres aufgenommen hat. Der fünfte
Beweis scheint dem dritten in beiden Hinsichten wenigstens gleich zu kommen.
Beide Beweise haben insofern einige Verwandtschaft, dass sie von einem und dem-
selben Lehnsatze ausgehen, sind aber bei der weitern Ausführung völlig von ein-
II. 21
162 ANZEIGE.
ander verschieden. Dieser Lehnsatz besteht in Folgendem: Wenn m eine (posi-
tive ungerade) Primzahl; M eine ganze durch m nicht theilbare Zahl bedeutet,
wenn ferner unter den Resten, die aus der Division der Producte
MM, 0m, 2.2.2, +(m—1)M
durch m entstehen, die Anzahl derjenigen, die grösser als 4m sind, durch n
bezeichnet wird, so ist M quadratischer Rest oder Nichtrest von m, jenachdem
n gerade oder ungerade ist. Um nun zu dem Beweise des Fundamentallehrsatzes
zu gelangen, wird angenommen, dass auch M eine ungerade positive Primzahl
und N in Beziehung auf M und m dasselbe bedeutet, was n in Beziehung auf
m und M ausdrückt, so dass N gerade oder ungerade entscheidet, ob m qua-
dratischer Rest oder Nichtrest von M ist. Durch eine sehr kurze Reihe von
Schlüssen zeigt der Verfasser, dass die Anzahl aller positiven ganzen Zahlen, die
zugleich kleiner als +mM sind, mit m dividirt einen Rest kleiner als 4m, und
mit M dividirt einen Rest kleiner als 4+M geben,
— 4m—1)M—1)-H4n+4N
und folglich allemal
Hm—1)(M—1)-Hn+N
eine gerade Zahl sei. So oft also wenigstens eine der Zahlen m, M von der Form
4k--1 ist, mithin 4(m—1)(M—i) gerade, wird auch n+N gerade sein, folg-
lich entweder » und N beide gerade, oder beide ungerade. Wenn hingegen so-
wohl m als M von der Form 4%-+-3 ist, wird nothwendig n-+-N ungerade,
folglich eine der Zahlen », N gerade, die andere ungerade sein. Hieraus folgt
in Verbindung mit obigem Lehnsatze das Fundamental-Theorem von selbst.
Der sechste Beweis ist zwar von gleicher Kürze und Concinnität wie der
fünfte, beruhet aber doch auf etwas künstlichern Combinationen. Der beschränkte
Raum dieser Blätter erlaubt nur, mit Uebergehung des Einzelnen, hier das Haupt-
moment zu berühren. Es bezeichnen
pP, q zwei (ungleiche positive ungerade) Primzahlen,
a eine sogenannte radix primitiva für den Modulus p, d.i.einedurch p nicht
theilbare (hier positive) ganze Zahl von der Art, dass keine niedrigere Po-
tenz als a?” nach dem Modulus » der Einheit congruent wird
x eine unbestimmte Grösse
THEOREMATIS FUNDAMENTALIS IN DOCTRINA DE RESIDUIS DEMM. ETC. 163
die Function
sr
2— 2 +0. — + — etc. —
wo (des bequemern Drucks wegen) (,1,0...x statt der Zahlen aa, a°,
a*... aP”? gesetzt sind;
e die Einheit, positiv genommen, wenn p von der Form Ak, negativ,
wenn » von der Form 4k+3 ist;
ö die Einheit, positiv genommen, wenn wenigstens eine derZahlen p,g von
der Form 4k-+-1 ist, negativ, wenn beide von der Form 4k-+-3 sind;
y die Einheit, positiv genommen, wenn gq ein quadratischer Rest von p ist,
negativ, wenn q quadratischer Nichtrest von p ist;
6 die Einheit, positiv genommen, wenn p ein quadratischer Rest von g,
negativ, wenn p ein quadratischer Nichtrest von q ist.
Nach diesen Vorbereitungen folgt leicht aus dem 51. Art. der Disquisitiones
Arithmeticae, dass die Function
2 +0 — a -aMm— aP+ etc. +a
entwickelt lauter durch g theilbare Coöfficienten bekommt, und daher, wenn
diese Function —=gX gesetzt wird, X eine auch in Beziehung auf die Cosfhi-
cienten ganze Function werde. Durch Schlüsse, in die näher einzugehen hier zu
‚weitläufig sein würde, wird in der Abhandlung bewiesen, dass die Function gX&
mit af aP? Ha Hart etc. +21 dividirt, den Rest
Hei): _
ep(öp Y)
gibt, daher aus der Division der Function X& mit demselben Divisor der Rest
ep(öpt) —y)
q
hervorgehen wird. Diese Grösse muss daher nothwendig eine ganze Zahl sein,
woraus, weil 66 = 1 ist, leicht geschlossen wird, dass
„tar „0 5
durch g theilbar sein müsse. Da nun auch per) _5 durch qg nach einem
bekannten Theorem theilbar ist, so wird nothwendig 6 = yÖö sein, woraus wie-
derum das Fundamental-Theorem von selbst folgt.
> 3 Dei
164 ANZEIGE.
Das Fundamental-Theorem, verbunden mit einigen bekannten Lehnsätzen,
kann zwar zu einer ziemlich kurzen Auflösung der Aufgabe dienen, zu entschei-
den, ob eine vorgegebne ganze positive Zahl von einer gegebnen Primzahl qua-
dratischer Rest oder Nichtrest sei, wie in der Abhandlung ausführlich gezeigt ist.
Allein bei weiterm Nachdenken über den dritten Beweis des Fundamental-Theo-
rems kam der Verf. auf eine noch viel geschmeidigere Auflösung, welche die dritte
Abtheilung der Abhandlung ausmacht, und wovon wir hier blos die Endregel
hersetzen, indem wir die Entwickelung ihrer Gründe Kürze halber übergehen.
Wenn entschieden werden soll, ob die ganze positive Zahl db, welche durch die
Primzahl a nicht theilbar ist, von dieser ein quadratischer Rest oder Nichtrest
sei, so bilde man, ganz auf dieselbe Art, wie wenn der grösste gemeinschaftliche
Divisor von a und 5 gesucht werden sollte, die Gleichungen
a—=db-+c
b=yc+d
c=öd-e
d= ee+fu.s.w.
bis man in der Reihe der Zahlen a, b,c,d,e. fu.s.w. auf die Einheit kommt.
Man. bezeichne die Zahlen 4a, 45, 4c, 4d u.s.w., mit Weglassung ‘des ihnen
anhängenden Bruches +, in so fern einige der Zahlen a, b,c, du.s.w. unge-
rade sind, durch a,b’, c, d’u.s.w.; man nenne x» die Anzahl der in der Reihe
a,b,c,d'u.s.w. vorkommenden Folgen zweier ungeraden Zahlen unmittelbar
nach einander, endlich nenne man v die Anzahl derjenigen ungeraden Zahlen in
der Reihe 6, y,6,e u.s.w., welchen in der Reihe D, c', d’, € u.s.w. der Ord-
nung nach eine Zahl von der Form 4%-+1 oder 4%-+2 entspricht. Dies vor-
ausgesetzt, wird b quadratischer Rest oder Nichtrest von a sein, je nachdem
w-+-v gerade oder ungerade ist, den einzigen Fall ausgenommen, wo zugleich 5
gerade und a von der Form 84-43 oder 8%-+-5 ist, in welchen von jener Re-
gel das Gegentheil Statt findet, so dass ein gerades y-+-v anzeigt, dass b qua-
dratischer Nichtrest von a ist, ein ungerades p--v hingegen, dass b quadra-
tischer Rest von a ist.
‚Göttingische gelehrta Anzeigen. 1825 April 11.
Am 5. April überreichte Hr. Hofr. Gauss der Königl. Societät eine Vorle-
sung, überschrieben:
Theoria Residuorum Biquadraticorum , Commentatio prima.
Die Theorie der quadratischen Reste bildet bekanntlich einen der interessan-
testen Theile der Höhern Arithmetik, welchen man jetzt nach vielfach wiederhol-
ten Untersuchungen als vollendet und abgeschlossen betrachten kann: die Ge-
schichte desselben betreffende Nachrichten findet man in diesen Blättern 1808
Mai 12 und Sept. 19, und 1817 März 10. An letzterm Orte sind auch bereits
einige vorläufige Nachrichten über die Nachforschungen mitgetheilt, welche der
Verfasser der vorliegenden Abhandlung seit dem Jahre 1805 über die verwandte,
eben so fruchtbare und interessante, aber sehr viel schwierigere Theorie der cu-
bischen und biquadratischen Reste angestellt hatte. Obgleich schon damals im
Besitz der wesentlichen Momente dieser Theorie, ist er doch bisher durch andere
Arbeiten abgehalten, öffentlich etwas davon bekannt zu machen, und erst jetzt
ist es ihm möglich geworden, sich mit der Ausarbeitung eines Thheils dieser Un-
tersuchungen zu beschäftigen. Der Anfang ist jetzt mit der Theorie der biqua-
dratischen Reste gemacht, die der Theorie der quadratischen Reste näher ver-
wandt ist, als die der cubischen. Inzwischen ist die gegenwärtige Abhandlung
166 ANZEIGE.
noch keinesweges dazu bestimmt, den überaus reichhaltigen Gegenstand zu er-
schöpfen. Die Entwickelung der allgemeinen Theorie, welche eine ganz eigen-
thümliche Erweiterung des Feldes der höhern Arithmetik erfordert, bleibt viel-
mehr der künftigen Fortsetzung vorbehalten, während in diese erste Abhandlung
diejenigen Untersuchungen aufgenommen sind, welche sich ohne eine solche Er-
weiterung vollständig darstellen liessen. Von den Resultaten kann in dieser An-
zeige nur ein Theil ausgehoben werden,
Eine ganze Zahl a heisst biquadratischer Rest der ganzen Zahl p, wenn es
Zahlen der Form x@<—.a gibt, die durch p theilbar sind; biquadratischer Nicht-
rest hingegen, wenn keine Zahlen jener Form durch p theilbar sein können. Of-
fenbar sind alle biquadratischen Reste von p zugleich quadratische Reste dersel-
ben Zahl, und also alle quadratischen Nichtreste auch biquadratische Nichtreste:
allein nicht alle quadratischen Reste sind zugleich biquadratische Reste. Es ist zu-
reichend, die Untersuchungen auf den Fall einzuschränken, wo p eine Primzahl
von der Form 4n-+-1, und a nicht durch p theilbar ist, da alle anderen Fälle
sich leicht auf diesen zurückführen lassen.
Die Untersuchungen über diesen Gegenstand zerfallen in zwei Abtheilun-
gen, je nachdem p oder a als gegeben angesehen wird. Die erstere ist von viel
geringerer Schwierigkeit als die zweite, und verglichen mit letzterer als ganz ele-
mentarisch zu betrachten. Alles Wesentliche, was darüber zu sagen ist, enthält
die Abhandlung vollständig.
Aus der zweiten Abtheilung hingegen sind hier nur erst einige specielle Fälle
abgehandelt, die sich ohne zu grosse Zurüstungen abmachen liessen, und als Vor-
bereitungen zu der künftig zu gebenden allgemeinen Theorie dienen können.
Dies sind diejenigen, ww a—= —1, und a= +2 gesetzt wird. Der erstere
Fall hat gar keine Schwierigkeit: es war auch schon in dem Werke, Disquisitio-
nes Arithmeticae, gezeigt, dass —1 ein biquadratischer Rest von p ist, so oft p
die Form 8r—-1 hat, hingegen ein blos quadratischer Rest und biquadratischer
Nichtrest von p, wenn » von der Form 8” +5 wird. Ganz anders verhält es
sich mit dem Fall a= +2. Eis ist zwar längst bekannt, dass +2 und —2
von p quadratische und also auch biquadratische Nichtreste sind, wenn p die
Form 8” +5 hat, und wenigstens quadratische Reste, wenn » von der Form
Sn--1 ist, wie auch dass bei dieser Form von p entweder +2 und —2 zu-
gleich biquadratische Reste, oder zugleich biquadratische Nichtreste werden: al-
THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM. COMMENTATIO PRIMA. 167
lein die Unterscheidung, welcher dieser beiden Fälle eintrete, ist eine Untersu-
chung von viel höherer Art, und es werden dazu in der Abhandlung zwei ver-
schiedene Criterien entwickelt.
Das erste Criterium hängt mit der Zerlegung der Zahl p in ein einfaches
und ein doppeltes Quadrat zusammen, die bekanntlich (da, wie schon bemerkt
ist, angenommen wird, dass p eine Primzahl sei) immer möglich und nur auf
Eine Art möglich ist. Setztman p=99--?hh, so wird +2 ein biquadrati-
scher Rest von p, wenn g von der Form 8n--1 oder 8n-+-7, ein biquadrati-
scher Nichtrest hingegen, wenn g von der Form 8n-+-3 oder 8n—+5 ist.
Das zweite Criterium hängt zusammen mit der Zerlegung der Zahl p in
zwei Quadrate, die bekanntlich auch immer möglich und nur auf Eine Art mög-
lich ist. Setzt man p =ee-+-ff, und nimmt an, dass ee das ungerade, ff das
gerade Quadrat bedeutet, so bringt schon die vorausgesetzte Form von p = Sn +1
mit sich, dass auch +#/ eine gerade Zahl wird, also f entweder von der Form
Sm oder von der Form Sm-+-4: im ersten Fall nun wird +2 biquadratischer
Rest, im andern biquadratischer Nichtrest von p sein.
Wir deuten hier nur die Bemerkung an, wozu die höhere Arithmetik so oft
Gelegenheit gibt, dass nicht so wohl die Schönheit und Einfachheit der Theoreme
selbst, als die Schwierigkeit ihrer Begründung sie vorzüglich merkwürdig macht.
Sobald man einmal veranlasst ist, das Dasein eines Zusammenhanges zwischen
dem Verhalten der Zahl +2 und den beiden angeführten Zerlegungen der Zahl
p zu vermuthen, ist es äusserst leicht, diesen Zusammenhang durch Induction
wirklich zu entdecken. Allein schon bei dem ersten Criterium ist der Beweis da-
für nicht ganz leicht zu führen, viel tiefer versteckt liegt er aber bei dem zweiten,
wo er mit anderweitigen subtilen Hülfsuntersuchungen innigst verkettet ist, die
ihrerseits wieder zu einer merkwürdigen Erweiterung der Theorie der Kreisthei-
lung führen. Diese wunderbare Verkettung der Wahrheiten ist es vorzüglich.
was, wie man schon oft bemerkt hat, der höhern Arithmetik einen so eigenthüm-
lichen Reiz gibt. Diese Begründungen selbst vertragen übrigens natürlich hier”
keinen Auszug, und müssen in der Abhandlung selbst nachgesehen werden. Al-
lein ein paar andere neue arithmetische Theoreme, welche gleichfalls mit der Be-
gründung des zweiten Criterium innigst verbunden sind, verdienen wohl, ihrer
Einfachheit wegen, hier noch besonders herausgehoben zu werden.
Wenn p eine Primzahl von der Form 4k-H1 ist, und =ee+ff ge-
168 ANZEIGE.
setzt wird, so dass ee das ungerade, ff das gerade Quadrat bedeutet; wenn
man ferner
RAN NALS) Ir
setzt, so wird allemal —+e der kleinste Rest sein, welcher hervorgeht, indem
man en mit p dividirt, und —+/ der kleinste Rest, welchen man aus der Divi-
sion von +rr mit p erhält (kleinsten Rest immer so verstanden, dass er zwischen
den Grenzen —#p und +4+p genommen wird). Die Zahl 5 ‚ welche für
p=5 den Werth 1 erhält, kann man für grössere Werthe von p auch in fol-
gende Form setzen
ER UFET PET WERE (pP —3)
u PR SE TERN k
Es ist sehr merkwürdig, dass so die Zerlegung der Zahl p in zwei Quadrate ganz
auf directem Wege erhalten werden kann: aber fast noch merkwürdiger ist ein
dabei Statt findender Nebenumstand. Allemal nemlich findet man durch dieses
Verfahren die Wurzel des ungeraden Quadrates, e, mit positivem Zeichen, wenn
e, positiv genommen, von der Form 4m--1 ist, und mit negativem, wenn e
positiv genommen von der Form 4m+-3 ist. Hingegen hat für das Zeichen, mit
welchem die Wurzel des geraden Quadrats, /, aus jener Operation hervorgeht,
noch durchaus keine allgemeine Regel aufgefunden werden können, weder a
priori, noch auf dem Wege der Induction, und der Verfasser empfiehlt daher, am
Schlusse der Abhandlung, diesen Gegenstand den Freunden der höhern Arithme-
tik zu weiterer Nachforschung, überzeugt, dass mit dem Gelingen derselben sich
zugleich eine ergiebige Quelle neuer Erweiterungen dieses schönen Theils der
Mathematik eröffnen werde.
Göttingische gelehrte Anzeigen. 1331 April 23.
Eine am 15. April von dem Hofr. Gauss der Königl. Societät überreichte
Vorlesung:
Theoria residuorum biquadraticorum, commentatio secunda .
ist die Fortsetzung der bereits im sechsten Bande der Commentationes novae abge-
druckten Abhandlung, wovon auch in unsern Blättern zu seiner Zeit 1825 April 11
eine Anzeige gemacht war. Auch diese Fortsetzung, obgleich mehr als doppelt
stärker wie die erste Abhandlung, erschöpft den überaus reichhaltigen Gegenstand
noch nicht, und erst einer künftigen dritten Abhandlung wird die Vollendung
des Ganzen vorbehalten bleiben.
Obgleich die Grundbegriffe dieser Lehren und der Inhalt der ersten Abhand-
lung als allen, die aus der höhern Arithmetik ein Studium gemacht haben, be-
kannt vorausgesetzt werden können, wollen wir doch jene zur Bequemlichkeit
solcher Freunde dieses Theils der Mathematik, welchen die erste Abhandlung nicht
gleich zur Hand ist, hier kurz in Erinnerung bringen. In Beziehung auf eine
beliebige ganze Zahl p heisst eine andere k ein biquadratischer Rest, wenn es
Zahlen der Form =<—k gibt, die durch p theilbar sind; im entgegengesetzten
Fall heisst sie biquadratischer Nichtrest von p. Es ist zureichend, sich hiebei auf
den Fall einzuschränken, wo p eine Primzahl der Form 4n--1, und k durch
II. 22
170 ANZEIGE.
dieselbe nicht theilbar ist, da alle andere Fälle entweder für sich klar, oder auf
diesen zurückzuführen sind.
Für einen solchen gegebenen Werth von p zerfallen sämmtliche durch p
nicht theilbare Zahlen in vier Classen, wovon die eine die biquadratischen Reste,
eine zweite solche biquadratische Nichtreste, die quadratische Reste von p sind,
enthält, und in die beiden übrigen die biquadratischen Nichtreste, welche zu-
gleich quadratische Nichtreste sind, vertheilt werden. Das Princip dieser Ver-
theilung besteht darin, dass allemal entweder A"—1, oder A"-H1, oder A”—f,
oder A"-+f durch p theilbar sein wird, wo f eine ganze Zahl bedeutet, die
ff-+1 durch p theilbar macht. Jeder, dem die elementarische Terminologie
bekannt ist, sieht von selbst, wie diese Worterklärungen in dieselbe eingekleidet
werden.
Die Theorie dieser Classificirung nicht nur für den an der Oberfläche lie-
genden Fall A = —1, sondern auch für die, subtile Hülfsuntersuchungen er-
fordernden, Fälle k = +2, findet sich in der ersten Abhandlung ganz vollendet.
Im Anfang der gegenwärtigen Abhandlung wird nun zu grösseren Werthen von X
fortgeschritten: man braucht aber dabei zunächst nur solche in Betracht zu zie-
hen, die selbst Primzahlen sind, und der Erfolg zeigt, dass die Resultate am ein-
fachsten ausfallen, wenn man die Werthe positiv oder negativ nimmt, je nachdem
sie, absolut betrachtet, von der Form 4m-+1 oder 4m-+-3 sind. Die Induction
gibt hier sofort mit grosser Leichtigkeit eine reiche Ernte von neuen Lehrsätzen,
wovon wir hier nur ein paar anführen. Die Numerirung der Classen mit 1,2, 3,4
wird auf die Fälle bezogen, wo k” den Zahlen 1, f, —1, —f congruent wird;
zugleich ist für die Zahl f immer derjenige Werth angenommen, welcher a+bf
durch p theilbar macht, wenn aa+-bb die Zerlegung von p in ein ungerades
und ein gerades Quadrat vorstellt. So findet sich durch die Induction, dass die
Zahl —3 allemal zu der Classe 1, 2, 3, 4 gehört, je nachdem b, a+b, a, a—b
durch 3 theilbar ist; dass die Zahl +5 der Reihe nach zu jenen Classen gehört,
je nachdem b, a—b, a, a-+b durch 5 theilbar ist; dass die Zahl —7 in die
Classe 1 fällt, wenn a oder b; in die Classe 2, wenn a—2b oder a— 35; in
die Classe 3, wenn a—b oder a-+b; in die Classe 4, wenn a—+25b oder «+35
durch 7 theilbar ist. Aehnliche Theoreme ergeben sich in Beziehung auf die
Zahlen —11, +13, +17, —19, —23 u.s.f. So leicht sich aber alle derglei-
chen specielle Theoreme durch die Induction entdecken lassen, so schwer scheint
THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM. COMMENTATIO SECUNDA. 171
es, auf diesem Wege ein allgemeines Gesetz für diese Formen aufzufinden, wenn
auch manches Gemeinschaftliche bald in die Augen fällt, und noch viel schwerer
ist es, für diese Lehrsätze die Beweise zu finden. Die für die Zahlen —2 und
— 2 in der ersten Abhandlung gebrauchten Methoden vertragen hier keine An-
wendung mehr, und wenn gleich andere Methoden ebenfalls das, was sich auf
die erste und dritte Classe bezieht, zu erledigen dienen könnten, so zeigen sich
doch solche zur Begründung von vollständigen Beweisen untauglich.
Man erkennt demnach bald, dass man in dieses reiche Gebiet der höhern
Arithmetik nur auf ganz neuen Wegen eindringen kann. Der Verf. hatte schon
in der ersten Abhandlung eine Andeutung gegeben, dass dazu eine eigenthüm-
liche Erweiterung des ganzen Feldes der höhern Arithmetik wesentlich erforder-
lich ist, ohne damals sich näher darüber zu erklären, worin dieselbe bestehe: die
gegenwärtige Abhandlung ist dazu bestimmt, diesen Gegenstand ins Licht zu setzen.
Es ist dieses nichts anders, als dass für die wahre Begründung der Theorie
der biquadratischen Reste das Feld der höhern Arithmetik, welches man sonst
nur auf die reellen ganzen Zahlen ausdehnte, auch über die imaginären erstreckt
werden, und diesen das völlig gleiche Bürgerrecht mit jenen eingeräumt werden
muss. Sobald man dies einmal eingesehen hat, erscheint jene Theorie in einem
ganz neuen Lichte, und ihre Resultate gewinnen eine höchst überraschende Ein-
fachheit.
Ehe jedoch in diesem erweiterten Zahlengebiet die Theorie der biquadrati-
schen Reste selbst entwickelt werden kann, müssen in jenem die dieser Theorie
vorangehenden Lehren der höhern Arithmetik, die bisher nur in Beziehung auf
reelle Zahlen bearbeitet sind, an dieser Erweiterung Theil nehmen. Von diesen
vorgängigen Untersuchungen können wir hier nur Einiges anführen. Der Verf.
nennt jede Grösse a-+bi, wo a und 5 reelle Grössen bedeuten, und i der
Kürze wegen anstatt Y—-1 geschrieben ist, eine complexe ganze Zahl, wenn
zugleich a und b ganze Zahlen sind. Die complexen Grössen stehen also nicht
den reellen entgegen, sondern enthalten diese als einen speciellen Fall, wo 5 = 0,
unter sich. Zur bequemen Handhabung war es erforderlich, mehrere auf die
complexen Grössen sich beziehende Begriffsbildungen mit besondern Benennun-
gen zu belegen, welche wir aber in dieser Anzeige zu umgehen suchen werden.
So wie in der Arithmetik der reellen Zahlen nur von zwei Einheiten, der
positiven und negativen, die Rede ist, so haben wir in der Arithmetik der com-
2er
172 ANZEIGE.
plexen Zahlen vier Einheiten +1, —i1, +t, —i. Zusammengesetzt heisst eine
complexe ganze Zahl, wenn sie das Product aus zwei von der Einheit verschie-
denen ganzen Factoren ist; eine complexe Zahl hingegen, die eine solche Zerle-
gung in Factoren nicht zulässt, heisst eine complexe Primzahl. So ist z.B. die
reelle Zahl 3, auch als complexe Zahl betrachtet, eine Primzahl, während 5 als
complexe Zahl zusammengesetzt ist —(1+-2?)(1—2?). Eben so wie in der hö-
hern Arithmetik der reellen Zahlen spielen auch in dem erweiterten Felde dieser
Wissenschaft die Primzahlen eine Hauptrolle.
Wird eine complexe ganze Zahl a—+-bi als Modulus angenommen, so las-
sen sich aa+-bb unter sich nicht congruente, und nicht mehrere, complexe Zah-
len aufstellen, von denen eine jede vorgegebene ganze complexe Zahl congruent
sein muss, und die man ein vollständiges System incongruenter Reste nennen
kann. Die sogenannten kleinsten und absolut kleinsten Reste in der Arithmetik
der reellen Zahlen haben auch hier ihr vollkommenes Analogon. So besteht z.B.
für den Modulus 1-+2:i das vollständige System der absolut kleinsten Reste aus
den Zahlen 0, 1,i, —1 und —ıi. Fast die sämmtlichen Untersuchungen der vier
ersten Abschnitte der .Disquisitiones Arithmeticae finden mit einigen Modificationen,
auch in der erweiterten Arithmetik ihren Platz. Das berühmte Fermarsche Theo-
rem z.B. nimmt hier folgende Gestalt an: Wenn a--bi eine complexe Prim-
zahl ist, und & eine durch jene nicht theilbare complexe Zahl, so ist immer
ker — 1 für den Modulus a-+bi. Ganz besonders merkwürdig ist es aber,
dass das Fundamentaltheorem für die quadratischen Reste in der Arithmetik der
complexen Zahlen sein vollkommenes, nur hier noch einfacheres, Gegenstück hat;
sind nemlich a+bi, A+Bi complexe Primzahlen, so dass «a und A ungerade,
b und B gerade sind, so ist die erste quadratischer Rest der zweiten, wenn die
zweite quadratischer Rest der ersten ist, hingegen die erste quadratischer Nicht-
rest der zweiten, wenn die zweite quadratischer Nichtrest der ersten ist.
Indem die Abhandlung nach diesen Voruntersuchungen zu der Lehre von
den biquadratischen Resten selbst übergeht, wird zuvörderst anstatt der blossen
Unterscheidung zwischen biquadratischen Resten und Nichtresten eine Verthei-
lung der durch den Modulus nicht theilbaren Zahlen in vier Classen festgesetzt.
Ist nemlich der Modulus eine complexe Primzahl a+bi, wo immer a ungerade,
b gerade vorausgesetzt, und der Kürze wegen p statt aa+-bb geschrieben wird,
und k eine complexe durch a-+-bi nicht theilbare Zahl, so wird allemal kt)
THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM. COMMENTATIO SECUNDA. 173
einer der Zahlen +1, +i, —1, —i congruent sein, und dadurch eine Verthei-
lung sämmtlicher durch a+-bi nicht theilbarer Zahlen in vier Classen begrün-
det, denen der Reihe nach der biquadratische Character 0, 1, 2, 3 beigelegt wird.
Offenbar bezieht sich der Character 0 auf die biquadratischen Reste, die übrigen
auf die biquadratischen Nichtreste, und zwar so, dass dem Character 2 zugleich
quadratische Reste, den Charactern 1 und 3 hingegen quadratische Nichtreste
entsprechen.
Man erkennt leicht, dass es hauptsächlich darauf ankommt, diesen Cha-
racter blos für solche Werthe von A bestimmen zu können, die selbst complexe
Primzahlen sind, und hier führt sogleich die Induction zu höchst einfachen Re-
sultaten.
Wird zuerst k = 1-+i gesetzt, so zeigt sich, dass der Character dieser
Zahl allemal = 4(—aa-+2ab—35bb--1)(mod.4) wird, und ähnliche Ausdrücke
finden sich für die Fälle k=1—i, k= —1-+i, k= —1-—1.
Ist hingegen k—= ai eine solche Primzahl, wo « ungerade und 6 ge-
rade ist, so ergibt sich durch die Induction sehr leicht ein dem Fundamentaltheo-
rem für die quadratischen Reste ganz analoges Reciprocitätsgesetz, welches am
einfachsten auf folgende Art ausgedrückt werden kann:
Wenn sowohl «+5 —1 als a+b—1 durch 4 theilbar sind (auf welchen
Fall alle übrigen leicht zurückgeführt werden können), und der Character der Zahl
a@--6i in Beziehung auf den Modulus a—+-bi durch A, hingegen der Character
von a—+-bi in Beziehung auf den Modulus «+5: durch / bezeichnet wird: so
ist A\= /!, wenn zugleich eine der Zahlen 5, 5 (oder beide) durch 4 theilbar ist.
hingegen A=/!-+2, wenn keine der Zahlen 6, b durch 4 theilbar ist.
Diese Theoreme enthalten im Grunde alles Wesentliche der '[heorie der bi-
quadratischen Reste in sich: so leicht es aber war, sie durch Induction zu ent-
decken, so schwer ist es, strenge Beweise für sie zu geben, besonders für das
zweite, das Fundamentaltheorem der biquadratischen Reste. Wegen des grossen
Umfanges, zu welchem schon die gegenwärtige Abhandlung angewachsen ist, sah
sich der Verfasser genöthigt, die Darstellung des Beweises für das letztere Theo-
rem, in dessen Besitz er seit 20 Jahren ist, für eine künftige dritte Abhandlung
zurückzulassen. Dagegen ist in vorliegender Abhandlung noch der vollständige
Beweis für das erstere die Zahl 1-+-i betreffende Theorem (von welchem die an-
174 ANZEIGE.
deren für 1—:, —1-+i, —1—i abhängig sind) mitgetheilt, welcher schon eini-
gen Begriff von der Verwicklung des Gegenstandes geben kann.
Wir haben nun noch einige allgemeine Anmerkungen beizufügen. Die Ver-
setzung der Lehre von den biquadratischen Resten in das Gebiet der complexen
Zahlen könnte vielleicht manchem, der mit der Natur der imaginären Grössen
weniger vertraut und in falschen Vorstellungen davon befangen ist, anstössig und
unnatürlich scheinen, und die Meinung veranlassen, dass die Untersuchung da-
durch gleichsam in die Luft gestellt sei, eine schwankende Haltung bekomme,
und sich von der Anschaulichkeit ganz entferne. Nichts würde ungegründeter
sein, als eine solche Meinung. Im Gegentheil ist die Arithmetik der complexen
Zahlen der anschaulichsten Versinnlichung fähig, und wenngleich der Verf. in
seiner diesmaligen Darstellung eine rein arithmetische Behandlung befolgt hat,
so hat er doch auch für diese die Einsicht lebendiger machende und deshalb sehr
zu empfehlende Versinnlichung die nöthigen Andeutungen gegeben. welche für
selbstdenkende Leser zureichend sein werden. So wie die absoluten ganzen Zah-
len durch einein einer geraden Linie unter gleichen Entfernungen geordnete Reihe
von Punkten dargestellt werden, in der der Anfangspunkt die Zahl 0, der nächste
die Zahl 1 u.s. w. vertritt; und so wie dann zur Darstellung der negativen Zah-
len nur eine unbegrenzte Verlängerung dieser Reihe auf der entgegengesetzten
Seite des Anfangspunkts erforderlich ist: so bedarf es zur Darstellung der com-
plexen ganzen Zahlen nur des Zusatzes, dass jene Reihe als in einer bestimmten
unbegrenzten Ebene befindlich angesehen, und parallel mit ihr auf beiden Seiten
eine unbeschränkte Anzahl ähnlicher Reihen in gleichen Abständen von einander
angenommen werde, so dass wir anstatt einer Reihe von Punkten ein System von
Punkten vor uns haben, die sich auf eine zweifache Art in Reihen von Reihen
ordnen lassen, und zur Bildung einer Eintheilung der ganzen Ebene in lauter
gleiche Quadrate dienen. Der nächste Punkt bei 0 in der ersten Nebenreihe auf
der einen Seite der Reihe, welche die reellen Zahlen repräsentirt, bezieht sich dann
auf die Zahl i, so wie der nächste Punkt bei 0 in der ersten Nebenreihe auf der
andern Seite auf —i u.s.f. Bei dieser Darstellung wird die Ausführung der arith-
metischen Operationen in Beziehung auf die complexen Grössen, die Congruenz,
die Bildung eines vollständigen Systems incongruenter Zahlen für einen gege-
benen Modulus u.s.f. einer Versinnlichung fähig, die nichts zu wünschen übrig
lässt.
THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM. COMMENTATIO SECUNDA. 175
Von der andern Seite wird hiedurch die wahre Metaphysik der imaginären
Grössen in ein neues helles Licht gestellt.
Unsere allgemeine Arithmetik, von deren Umfang die Geometrie der Alten
so weit überflügelt wird, ist ganz die Schöpfung der neuern Zeit. Ursprünglich
ausgehend von dem Begriff der absoluten ganzen Zahlen hat sie ihr Gebiet stufen-
weise erweitert; zu den ganzen Zahlen sind die gebrochenen, zu den rationalen
die irrationalen, zu den positiven die negativen, zu den reellen die imaginären
hinzugekommen. Dies Vorschreiten ist aber immer anfangs mit furchtsam zö-
gerndem Schritt geschehen. Die ersten Algebraisten nannten noch die negativen
Wurzeln der Gleichungen falsche Wurzeln, und sie sind es auch, wo die Auf-
gabe, auf welche sie sich beziehen, so eingekleidet vorgetragen ist, dass die Be-
schaffenheit der gesuchten Grösse kein Entgegengesetztes zulässt. Allein so we-
nig man in der Allgemeinen Arithmetik Bedenken hat, die gebrochenen Zahlen
mit aufzunehmen, obgleich es so viele zählbare Dinge gibt, wobei eine Bruchzahl
ohne Sinn ist, eben so wenig durften in jener den negativen Zahlen gleiche Rechte
mit den positiven deshalb versagt werden, weil unzählige Dinge kein Entgegen-
gesetztes zulassen: die Realität der negativen Zahlen ist hinreichend gerechtfer-
tigt, da sie in unzähligen andern Fällen ein adäquates Substrat finden. Darüber
ist man nun freilich seit langer Zeit im Klaren: allein die den reellen Grössen
gegenübergestellten imaginären — ehemals, und hin und wieder noch jetzt, ob-
wohl unschicklich, unmögliche genannt — sind noch immer weniger eingebürgert
als nur geduldet, und erscheinen also mehr wie ein an sich inhaltleeres Zeichen-
spiel, dem man ein denkbares Substrat unbedingt abspricht, ohne doch den rei-
chen Tribut, welchen dieses Zeichenspiel zuletzt in den Schatz der Verhältnisse
der reellen Grössen steuert, verschmähen zu wollen.
Der Verf. hat diesen hochwichtigen Theil der Mathematik seit vielen Jah-
ren aus einem verschiedenen Gesichtspunkt betrachtet, wobei den imaginären
Grössen eben so gut ein Gegenstand untergelegt werden kann, wie den negati-
ven: eshat aber bisher an einer Veranlassung gefehlt, dieselbe öffentlich bestimmt
auszusprechen, wenn gleich aufmerksame Leser die Spuren davon in der 1799
erschienenen Schrift über die Gleichungen, und in der Preisschrift über die Um-
bildung der Flächen leicht wiederfinden werden. In der gegenwärtigen Abhand-
lung sind die Grundzüge davon kurz angegeben; sie bestehen in Folgendem.
Positive und negative Zahlen können nur da eine Anwendung finden, wo
176 ANZEIGE.
das gezählte ein Entgegengesetztes hat, was mit ihm vereinigt gedacht der Ver-
nichtung gleich zu stellen ist. Genau besehen findet diese Voraussetzung nur da
Statt, wo nicht Substanzen (für sich denkbare Gegenstände) sondern Relatio-
nen zwischen je zweien Gegenständen das gezählte sind. Postulirt wird dabei,
dass diese Gegenstände auf eine bestimmte Art in eine Reihe geordnet sind z. B.
A,B,C,D...., und dass die Relation des A zu B als der Relation des B zu
C u.s.w. gleich betrachtet werden kann. Hier gehört nun zu dem Begriff der
Entgegensetzung nichts weiter als der Umtausch der Glieder der Relation, so dass
wenn die Relation (oder der Uebergang) von Azu B als +1 gilt, die Relation
von B zu A durch —1 dargestellt werden muss. Insofern also eine solche
Reihe auf beiden Seiten unbegrenzt ist, repräsentirt jede reelle ganze Zahl die
Relation eines beliebig als Anfang gewählten Gliedes zu einem bestimmten Gliede
der Reihe.
Sind aber die Gegenstände von solcher Art, dass sie nicht in Eine, wenn
gleich unbegrenzte, Reihe geordnet werden können, sondern sich nur in Reihen
von Reihen ordnen lassen, oder was dasselbe ist, bilden sie eine Mannigfaltigkeit
von zwei Dimensionen; verhält es sich dann mit den Relationen einer Reihe zu
einer andern oder den Uebergängen aus einer in die andere auf eine ähnliche
Weise wie vorhin mit den Uebergängen von einem Gliede einer Reihe zu einem
andern Gliede derselben Reihe, so bedarf es offenbar zur Abmessung des Ueber-
ganges von einem Gliede des Systems zu einem andern ausser den vorigen Einhei-
ten +1 und —1 noch zweier andern unter sich auch entgegengesetzten 4? und
—i. Offenbar muss aber dabei noch postulirt werden, dass die Einheit : alle-
mal den Uebergang von einem gegebenen Gliede einer Reihe zu einem bestimmten
Gliede der unmittelbar angrenzenden Reihe bezeichne. Auf diese Weise wird
also das System auf eine doppelte Art in Reihen von Reihen geordnet werden
können.
Der Mathematiker abstrahirt gänzlich von der Beschaffenheit der Gegen-
stände und dem Inhalt ihrer Relationen; er hat es blos mit der Abzählung und
Vergleichung der Relationen unter sich zu thun: insofern ist er eben so, wie er
den durch +1 und —1 bezeichneten Relationen, an sich betrachtet, Gleichar-
tigkeit beilegt, solche auf alle vier Elemente +1, —1, +i und —i zu erstrecken
befugt.
Zur Anschauung lassen sich diese Verhältnisse nur durch eine Darstellung
THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM. COMMENTATIO SECUNDA. 177
im Raume bringen, und der einfachste Fall ist, wo kein Grund vorhanden ist,
die Symbole der Gegenstände anders als quadratisch anzuordnen, indem man nem-
lich eine unbegrenzte Ebene durch zwei Systeme von Parallellinien, die einander
rechtwinklig durchkreuzen, in Quadrate vertheilt, und die Durchschnittspunkte
zu den Symbolen wählt. Jeder solche Punkt A hat hier vier Nachbaren, und
wenn man die Relation des A zu einem benachbarten Punkte durch —+1 bezeich-
net, so ist die durch —1 zu bezeichnende von selbst bestimmt, während man,
welche der beiden andern man will, für --i wählen, oder den sich auf -+i be-
ziehenden Punkt nach Gefallen rechts oder links nehmen kann. Dieser Unter-
schied zwischen rechts und links ist, so bald man vorwärts und rückwärts in der
Ebene, und oben und unten in Beziehung auf die beiden Seiten der Ebene einmal
(nach Gefallen) festgesetzt hat, in sich völlig bestimmt, wenn wir gleich unsere
Anschauung dieses Unterschiedes andern nur durch Nachweisung an wirklich vor-
handenen materiellen Dingen mittheilen können*. Wenn man aber auch über
letzteres sich entschlossen hat, sieht man, dass es doch von unserer Willkür ab-
hing, welche von den beiden in Einem Punkte sich durchkreuzenden Reihen wir
als Hauptreihe, und welche Richtung in ihr man als auf positive Zahlen sich be-
ziehend ansehen wollten; man sieht ferner, dass wenn man die vorher als 43 be-
handelte Relation für +1 nehmen will, man nothwendig die vorher durch —1
bezeichnete Relation für 4? nehmen muss. Das heisst aber, in der Sprache der
Mathematiker, +? ist mittlere Proportionalgrösse zwischen +1 und —1 oder
entspricht dem Zeichen Y—1: wir sagen absichtlich nicht die mittlere Proportio-
nalgrösse, denn —i hat offenbar gleichen Anspruch. Hier ist also die Nach-
weisbarkeit einer anschaulichen Bedeutung von Y—1 vollkommen gerechtfertigt,
und mehr bedarf es nicht, um diese Grösse in das Gebiet der Gegenstände der
Arithmetik zuzulassen.
Wir haben geglaubt, den Freunden der Mathematik durch diese kurze Dar-
stellung der Hauptmomente einer neuen Theorie der sogenannten imaginären
Grössen einen Dienst zuerweisen. Hat man diesen Gegenstand bisher aus einem
falschen Gesichtspunkt betrachtet und eine geheimnissvolle Dunkelheit dabei ge-
*) Beide Bemerkungen hat schon Kar gemacht, aber man begreift nicht, wie dieser scharfsinnige
Philosoph in der ersteren einen Beweis für seine Meinung, dass der Raum nur Form unserer äussern An-
schauung sei, zu finden glauben konnte, da die zweite so klar das Gegentheil, und dass der Raum unabhängig
von unserer Anschauungsart eine reelle Bedeutung haben muss, beweiset.
U, 23
178 ANZEIGE.
funden, so ist dies grossentheils den wenig schicklichen Benennungen zuzuschrei-
ben. Hätteman +1, —1, Y—1 nicht positive, negative, imaginäre (oder gar
unmögliche) Einheit, sondern etwa directe, inverse, laterale Einheit genannt, so
hätte von einer solchen Dunkelheit kaum die Rede sein können. Der Verf. hat
sich vorbehalten, den Gegenstand, welcher in der vorliegenden Abhandlung ei-
gentlich nur gelegentlich berührt ist, künftig vollständiger zu bearbeiten, wo dann
auch die Frage, warum die Relationen zwischen Dingen, die eine Mannigfaltig-
keit von mehr als zwei Dimensionen darbieten, nicht noch andere in der allge-
meinen Arithmetik zulässige Arten von Grössen liefern können, ihre Beantwor-
tung finden wird.
ANZEIGEN
NICHT EIGNER
DSCHRIFTEN.
23 *
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BE re
RK
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ut
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wart
Göttingische gelehrte Anzeigen. 1809 März 11.
Recherches sur lirreductibilitE Arithmetique et Geometrique des nombres et de leurs
pwissances. 1808. (Ohne Druckort. 25 8. in gr. Quart.)
Eine Schrift, deren Zweck dahin geht, die irrationalen Wurzelgrössen in
Gestalt von rationalen Grössen darzustellen. Wir müssen uns begnügen, die
Freunde der Mathematik auf dieses Werkchen aufmerksam gemacht zu haben,
da die Grenzen dieser Blätter uns nicht verstatten, in die Darstellung und Prü-
fung des dem Verf. eigenthümlichen Gesichtspunkts und der von der gewöhn-
lichen ganz abgehenden Behandlung der Wurzelgrössen hier umständlicher ein-
zugehen.
Göttingische Gelehrte Anzeigen. 1812 März 23.
Cribrum Arithmeticum , sive tabula continens numeros primos a compositis se-
gregatos, occurrentes in serie numerorum ab unitate progredientium usque ad decies
centena milia et ultra haec ad viginti millia (1020000). Numeris compositis,, per
2, 3, 5 non dividuis, adscripti sunt divisores simplices, non minimi tantum, sed omnino
182 ANZEIGE.
omnes. Confecit LapisLaus CHErNAc, Pannonius, A. L. M. Philos. et Medic. Doctor,
in almo Iyceo Daventriensi philosophiae professor. Daventriae 1811. (Auf Kosten
des Verfassers, gedruckt bei J. H. Lange. XXII u. 1022 S. gr. Quart.)
Der vollständige Titel dieses wichtigen und sehr verdienstlichen Werks be-
zeichnet den Inhalt schon hinreichend; es ist eine durch eine eben so sorgfältige
als mühsame Arbeit von mehreren Jahren berechnete Tafel für alle einfache Facto-
ren aller durch 2, 3 und 5 nicht theilbaren Zahlen von 1 bis 1020000, sauber
und, soviel wir bei hin und wieder angestellter Prüfung gefunden haben, sehr
correct gedruckt. Wie schätzbar ein solches der Arithmetik gemachtes Geschenk
sei, beurtheilt ein Jeder leicht, der viel mit grössern Zahlenrechnungen zu thun
hat. Der Verf. verdient doppelten Dank, sowohl für seine höchst mühsame Ar-
beit selbst, wodurch er seinen Namen den unvergesslichen von Ruarrıcus, Pırıscus,
Brise, Vracq, WOLFRAM, TAyLor u. A. zugesellt hat, als für den gewiss sehr erheb-
lichen auf den Druck gemachten Aufwand, wofür sich sonst schwerlich ein Ver-
leger gefunden haben möchte. Schon öfters sind dergleichen Tafeln, obwohl mei-
stens in geringerer Ausdehnung, berechnet, aber entweder ganz im Manuscripte
geblieben, oder im Abdruck nicht vollendet. LAmBerr munterte bekanntlich ehe-
dem nach besten Kräften zur Fortsetzung der Perzschen, bis 100000 gehenden
und oft abgedruckten, Tafel auf, und einer von BErNoULLI in LAmBerr's Briefwech-
sel gegebenen Nachricht zufolge hatte OBErrEIT sie bis 500000 fortgeführt, wovon
die Abschrift in Scuuze’s Hände gekommen war. ANxToNn FELKEL hatte sie, wie
in der Monatl. Correspondenz 2. Bd. S.223 berichtet wird, bis zu zwei Millionen
in der Handschrift vollendet, und wollte sie späterhin bis 2460000 geben; al-
lein was davon in Wien auf öffentliche Kosten bereits gedruckt war, wurde, weil
sich keine Käufer fanden, im Türkenkriege zu Patronen verbraucht! So ging eine
verdienstliche vieljährige Arbeit für das Publicum verloren: um so mehr hielten
wir es für Pflicht, die Erscheinung des gegenwärtigen Werks hier anzuzeigen.
Die erste Million ist nun für Jedermanns Gebrauch da; und wer Gelegenheit
und Eifer für diesen Gegenstand hat, möge daher seine Mühe auf das Weitere
richten.
BURCKHARDT, TABLES DES DIVISEURS. 183
Göttingische gelehrte Anzeigen. 1814 November 3.
Tables des diviseurs pour tous les nombres du deuxieme million, ou plus ewacte-
ment depuis 1020000 4 2028000, avec les nombres premiers qui s'y trouvent. Par
J. Cu. BuURCKHARDT, membre de Finstitut imperial, du bureau des longitudes de France,
et de plusieurs autres societes savantes. Paris, 1814. M”® V* Coureier. (VIII. u.
112 S. in Folio.)
Früher, als wir bei der Anzeige der die erste Million umfassenden Facto-
rentafel von CHuernac zu hoffen gewagt hätten, können wir schon die Vollendung
und Erscheinung einer ähnlichen Tafel für die zweite Million berichten. Der ver-
diente Verfasser, dessen Name schon die grösste Sorgfalt und Genauigkeit ver-
bürgt, hat sich durch diese mühsame Arbeit alle Freunde der Arithmetik sehr
verpflichtet. Cuernac’s Tafel für die erste Million gibt alle einfachen Factoren;
die BurckHarpr'sche für die zweite hingegen nur jedesmal den kleinsten Divisor.
Die vollständige Zerlegung einer Zahl der zweiten Million erfordert also die Divi-
sion mit dem kleinsten Divisor und das Aufsuchen des Quotienten in der CHEr-
nac’schen Tafel: allein diese kleine Mühe ist von gar keiner Erheblichkeit gegen
den grossen Vortheil, die Tafel in einem so viel kleineren Raum zu besitzen, wo-
bei die Aussicht bleibt, mit der Zeit die Tafel noch bis zu zehn Millionen ausge-
dehnt zu sehen. Die Zusammendrängung in den kleinen Band hat der Verfasser
theils durch die Beschränkung auf den kleinsten Divisor, theils durch einen mög-
lichst öconomischen Druck möglich gemacht. Wenn a unbestimmt jede der acht-
zig Zahlen unter 300 bedeutet, die durch 2, 3 und 5 nicht theilbar sind, so ist
überhaupt jede durch 2, 3 und 5 nicht theilbare Zahl in der Form 3002—-a be-
griffen. Alle achtzig Zahlen, für welche n einerlei Werth hat, finden sich in
Einer verticalen Columne, und solcher Columnen enthält jede Seite dreissig. Jede
Seite umfasst also von neuntausend in der natürlichen Ordnung fortschreitenden
Zahlen alle, welche durch 2, 3 oder 5 nicht theilbar sind.
Die Methode, nach welcher Herr BurckuArpr seine Tafel construirt hat,
verdient hier noch eine besondere Erwähnung. Er liess ein Netz in Kupfer ste-
ehen, wo durch 81 horizontale und 78 verticale Linien ein in 80x77 d.i. 6160
kleine Quadrate getheiltes Rechteck gebildet wurde, und davon die nöthige An-
zahl von Abdrücken machen. An der Seite konnten sogleich die achtzig Werthe
184 ANZEIGE.
von a mit gestochen werden; die Werthe von 300n in fortlaufender Ordnung
wurden mit der Feder über die 77 verticalen Columnen geschrieben. So stellt
jedes Blatt alle durch 2, 3 und 5 nicht theilbaren Zahlen vor, welche unter je
23100 in natürlicher Ordnung fortschreitenden Zahlen befindlich sind, und 44
Blätter sind hinreichend, eine ganze Million zu umfassen. Man sieht leicht, dass
die Zahlen, deren kleinster Theiler 7 oder 11 ist, auf jedem folgenden Blatte in
derselben Ordnung wiederkehren, daher diese Divisoren sogleich auf die Kupfer-
platte gestochen werden konnten, und mithin auf jedem Blatte schon von selbst
an den gehörigen Plätzen erschienen. Um nun die folgenden Divisoren z.B. 13
einzutragen, nahm Herr B. von einem überzähligen Blatt der Breite nach blos
i3 Columnen, und indem er dasselbe als den Anfang seiner Tafel betrachtete,
schnitt er alle die Quadrate, die den Divisor 13 enthalten mussten, aus. Er
brauchte also dieses Gitter nur auf die dreizehn ersten Columnen des ersten Blat-
tes zu legen, dann auf die dreizehn folgenden u.s.w., um sogleich alle Plätze zu
sehen, die, in so fern sie nicht schon 7 oder 11 enthielten, mit 13 ausgefüllt
werden mussten. Eben so wurde nachher mit dem Divisor 17 u.s.w. verfahren.
Bis zum Divisor 73 reichten auf diese Weise die überzähligen Blätter hin; für
die grössern Divisoren 79, 83 u.s.w. scheint Herr B. den Rahmen aus zwei oder
mehreren Theilen zusammengesetzt zu haben. Bei den Divisoren hingegen, die
über 500 hinausgehen, zog Herr B. vor, die Vielfachen durch Addition zu suchen,
wobei er für den andern Factor blos die Primzahlen zu nehmen brauchte. Wir
finden dies ganze Verfahren höchst zweckmässig, und würden es allen denen zur
Nachahmung empfehlen, die etwa Neigung haben sollten, die Tafel noch weiter
fortzusetzen. Für die dritte und vierte Million hat inzwischen der Verfasser selbst
schon einen grossen Theil der Rechnungen ausgeführt, daher wir gegründete Hofi-
nung haben, auch diese demnächst durch den Druck bekannt gemacht zu sehen,
Göttingische gelehrte Anzeigen. 1816 November 7.
| Tables des diviseurs pour tous les nombres du troisieme million, ou plus exacte=
ment, depuis 2028000 & 3036000, avec les nombres premiers qwi s’y trouvent, par
J.'Cur. BuRCKHARDT, membre de lacademie royale des sciences, du bureau des longi-.
BURCKHARDT. TABLES DES DIVISEURS. 185
tudes de France et de plusieurs autres societes savantes. Paris 1816. M”* V*®
‚Courcier. (112 Seiten in Folio.)
Da wir bereits bei der Anzeige der Tafel für die Factoren der zweiten Mil-
lion die von dem verdienten Verf. angewandte Berechnungsmethode und die Ein-
richtung der Tafel selbst umständlich beschrieben haben, so können wir uns hier
mit der blossen Anzeige von der Erscheinung der Tafel für die dritte Million be-
gnügen. In Kurzem haben wir nun auch noch die Tafel für die erste Million, auf
dieselbe Art dargestellt von dem Verf. zu erwarten, so dass dann die ganze Tafel
bis über drei Millionen nur einen mässigen Band ausmachen wird. Dem Verf.
gebührt dafür der Dank aller Freunde der Arithmetik, die durch diese mühsame
"Arbeit ein Bedürfniss in einer Ausdehnung befriedigt sehen, die alles, was man
noch vor wenigen Jahren zu hoffen wagen konnte, weit übersteigt.
Göttingische gelehrte Anzeigen. 1817 August 9.
Tables des diviseurs, pour tous les nombres du premier million, ou plus exacte-
ment depuis 1 & 1020000, avec les nombres premiers qui s'y trouvent; par J. Car.
BuRcKHARDT, membre de lacademie des sciences dans linstitut royal, du bureau des
‚longitudes de France, et de plusieurs autres societes savantes. Paris 1817. M”*
V° Courcier. (114 Seiten in Folio.)
Indem wir uns hier auf die Anzeigen der Tafeln für die zweite und dritte
Million beziehen, kündigen wir jetzt blos das wirkliche Erscheinen dieser Facto-
rentafeln für die erste Million an. Wir besitzen also nunmehr ein zusammenhän-
gendes Ganzes für die drei ersten Millionen. Für die gegenwärtige erste Million
bediente sich der Verfasser theils des Cribrum Arithmeticum von Cnerxac, theils
einer handschriftlichen Tafel von Scuexmark, welche die Bibliothek des Königli-
chen Instituts besitzt. Letztere war indessen nicht ganz mit aller zu wünschen-
den Sorgfalt construirt, und die Entscheidung in Fällen, wo beide von einander
abwichen, welche von beiden Recht habe, war oft ziemlich mühsam. In der
Cnersac’schen Tafel zeigte sich nur eine sehr geringe Anzahl von Fehlern, welche
Herr BurckuArpr hier mitgetheilt hat.
II. 24
186 ANZEIGE.
Auch für die vierte, fünfte und sechste Million hat der Verf. die Materia-
lien bereits grösstentheils vorräthig, und er erbietet sich, diese Fortsetzung zu
liefern, wenn der Verleger durch einen hinreichenden Absatz der drei ersten Mil-
lionen aufgemuntert wird. Es wäre in der That sehr zu beklagen, wenn die Früchte
einer so mühsamen und nützlichen Arbeit der Welt entzogen werden sollten.
Göttingische gelehrte Anzeigen. 1825 December 19.
Der Königl. Societät ist abseiten des Herrn ErcHinger zu Thuningen im Kö-
nigreich Würtemberg eine kleine Abhandlung vorgelegt worden, welche die
Geometrische Construction des regelmässigen Siebenzehnecks
zum Gegenstande hat. Die Allgemeine Theorie der regelmässigen Vielecke hat
bekanntlich durch die innige Verbindung, in welche sie mit der höhern Arithme-
tik gebracht ist, eine neue Gestalt und Erweiterung erhalten; ein, wenn gleich
verhältnissmässig nur kleiner Theil derselben ist die Theorie derjenigen Vielecke,
die sich geometrisch beschreiben lassen. Seit dem Zeitalter der Griechen wusste
man, dass das Dreieck, Fünfeck, Funfzehneck und alle diejenigen Vielecke, wel-
che durch Verdopplung oder wiederholte Verdopplung der Seitenzahl aus diesen
entspringen, jene Eigenschaft haben, und man glaubte, behauptete auch wohl
ausdrücklich, dass dieses die einzigen seien. Die höhere Arithmetik hat gelehrt,
dass dieses ein Irrthum war: indem sie die wahren Quellen der ganz allgemeinen
Theorie offen legte, ergab sich von selbst, dass es ausser den genannten Vielecken
noch unzählige andere gibt, die geometrisch construirt werden können, von de-
nen das Siebenzehneck das einfachste ist. Die Ueberlegenheit der Analyse, welche
das Allgemeinste, wie das Besondere mit gleicher Leichtigkeit umfasst, über die
Geometrie, die immer beim Besondern stehen bleiben muss, beim Fortschreiten
von den einfachern Fällen zu den zusammengesetztern durch stets vergrösserte
Verwicklung aufgehalten wird, und jenen den bekannten nächsten Fall schwerlich
jemals ohne fremde Hülfe erreicht hätte, zeigt sich dabei im hellsten Lichte. In-
zwischen ist es immer wichtig, interessant und wünschenswerth, dass auch die
rein geometrischen Behandlungen fortwährend cultivirt werden, und dass die Geo-
ERCHINGER. CONSTRUCTION DES REGELMÄSSIGEN SIEBENZEHNECKS, 137
metrie wenigstens einen Theil der neuen Felder, die die Analyse erobert, sich
aneigne. Ref. ist nicht bekannt, dass bisher jemand die Construction des Sieben-
zehnecks öffentlich behandelt hätte, ausser Herrn PAuker in den Schriften der
Kurländischen Gesellschaft und in seiner Geometrie. Verschieden davon und
mehr im rein geometrischen Geiste durchgeführt ist die von Hrn Ercamneer, welche
in Folgendem besteht. (Die dazu gehörige Figur, eine gerade Linie, auf welcher
der Folge nach die Punkte DBGAIFCE liegen, kann jeder sich selbst zeich-
nen.) Eine nach Gefallen angenommene gerade Linie AB verlängere man rück-
wärtsund vorwärts nach C und D so, dass ACx BC=AD»xBD=4ABxXAB
werden; ferner bestimme man die Punkte E, G an beiden Seiten der verlänger-
ten Linie CA so, dass AEXxEC= AGxC0G—= ABX AB, und den Punkt
F auf der Seite A der verlängerten Linie BA so, dass AFx DF= ABx AB
wird; endlich theile man AE in I so, dass AIX EI= ABxX_AF werde, wo
AI der kleinere, und EI der grössere Abschnitt von AE ist. Man mache
dann ein Dreieck, in welchem zwei Seiten jede =AB, die dritte —= AI wird.
Beschreibt man um dieses Dreieck einen Kreis, so wird AT die Seite des in den
Kreis beschriebenen regelmässigen Siebenzehnecks sein.
Wenn man die Richtigkeit dieser Construction durch die Vergleichung mit
der in den Disquisitiones Arithmeticae Art. 354 als ein Beispiel aufgestellter T'heo-
rie des Siebenzehnecks prüft, so bemerkt man leicht, dass jene nichts anders ist,
als die geometrische Uebersetzung derjenigen Gleichungen, auf welche die An-
wendung der allgemeinen Theorie führt: in der T'hat sind die Entfernungen der
Punkte C©, D, E, F, G, I von A nichts anderes, als die Grössen, die a.a.O. mit
(8.1), (8.3), (4.1), (4.3), (4.9), (2.1) bezeichnet sind, wenn man das positive und
negative Zeichen durch die Lage ausdrückt, und die Entfernung des Punktes B
von A in eben dem Sinn genommen = —1 setzt. Allein das eigentlich Ver-
dienstliche der Abhandlung des Hrn. ErcHinGer besteht nicht sowohl in der Auf-
stellung der Construction selbst, da die Analyse bereits den einfachsten Weg vor-
gezeichnet hatte, als in der rein geometrischen Begründung ihrer Richtigkeit, und
diese ist mit so musterhafter mühsamer Sorgfalt, alles nicht rein Elementarische
zu vermeiden, durchgeführt, dass sie dem Verf. zur Ehre gereicht, und den
Wunsch veranlasst, dass sein in der That nicht gemeines mathematisches Talent
alle Aufmunterung finden möge.
24 *
188 ANZEIGE.
Göttingische gelehrte Anzeigen. 1831 Juli 9.
Untersuchungen über die Eigenschaften der positiven ternären quadrati-
schen Formen von Lupwı August SEEBER, Dr. der Philosophie, ordentl. Pro-
fessor der Physik an der Universität in Freiburg. Freiburg im Breisgau 1831.
(248 S. in 4.)
Die Functionen zweier unbestimmten Grössen # und y von der Gestalt
ax -+2bxey--cyy, wo a, b,c bestimmte ganze Zahlen vorstellen, bilden be-
kanntlich unter dem Namen der quadratischen Formen, oder, wo eine weitere Un-
terscheidung erforderlich wird, der binären quadratischen Formen, einen der in-
teressantesten und reichhaltigsten Gegenstände der höheren Arithmetik. Die da-
bei zunächst vorkommenden Aufgaben: zu entscheiden, ob eine solche gegebene
Form eine andere a’ +2ba’y'+cy'y unter sich begreift, d.i. durch eine Sub-
stitution 2 — aX+Ödy, y—= y«’+öy, in welcher a, 6, y,ö ganze Zahlen sind,
in dieselbe verwandelt werden kann; ob eine solche Relation zweier Formen eine
gegenseitige ist, wo die Formen äquivalent heissen; ferner in beiden Fällen alle
möglichen Umformungen der einen in die andere anzugeben; endlich alle mög-
lichen Darstellungen einer gegebenen ganzen Zahl durch eine gegebene Form ver-
möge ganzer Werthe der unbestimmten Grössen aufzufinden — diese Aufgaben
sind in den Disquisitiones Arithmeticae vollständig aufgelöset, machen aber von
dem die quadratischen Formen betreffenden Abschnitte dieses Werks nur den bei
weitem kleineren Theil aus. Die darauf folgenden feineren Untersuchungen er-
forderten’zum Theil eine vorläufige Bearbeitung eines um eine Stufe höheren und
viel grössere Schwierigkeiten darbietenden Feldes, nemlich der Lehre von ähn-
lichen Functionen dreier unbestimmter Grössen ®, y, 2, welche also die Gestalt
haben ara +byy+c22+2adyz+2br2-+2cxy, und ternäre quadratische For-
men heissen. Die Auflösung der diese ternären Formen betreffenden Hauptauf-
gaben ist in dem erwähnten Werke entwickelt, jedoch nur so weit, als zu dem
angezeigten Zwecke nothwendig war. Nach einem Zwischenraum von dreissig
Jahren hat nun der Verfasser des vorliegenden Werks zuerst diese Untersuchun-
gen wieder aufgenommen, und in Beziehung auf die eine Hauptgattung der ter-
nären Formen, nemlich die positiven, dasjenige was in den Disquisitiones Arith-
SEEBER. UNTERSUCHUNGEN ETC. 189
meticae unvollendet gelassen war, zur Vollständigkeit gebracht. Für diejenigen,
welche aus der höheren Arithmetik ein tieferes Studium gemacht haben, würden
wir dasjenige, was in dem vorliegenden Werke Neues geleistet ist, mit wenigen
Worten bezeichnen können; allein, um auch andern verständlich zu sein, müs-
sen wir uns etwas mehr Ausführlichkeit verstatten, und wir thun dies um so lie-
ber, da diese Untersuchungen auch ausserhalb des Gebietes der höheren Arith-
metik ein eigenthümliches Interesse haben.
Die Eigenschaften einer binären Form ax”—+-2bxy+cyy hängen vor-
nehmlich von der Zahl bb—ac ab, welche daher der Determinant jener Form
heisst. Zwei äquivalente Formen haben allemal gleiche Determinanten. Allein
nicht alle Formen, die einen gegebenen Determinanten haben, sind darum schon
äquivalent, vielmehr zerfallen solche Formen in eine kleinere oder grössere, aber
stets endliche Anzahl von Classen, so dass die zu einerlei Classe gehörigen unter
sich äquivalent, die zu verschiedenen Classen gehörenden hingegen nicht äqui-
valent sind. Durch Formen, deren Determinant positiv ist, lassen sich ohne Un-
terschied positive und negative Zahlen darstellen; hingegen durch Formen mit
negativem Determinanten sind nur solche Zahlen darstellbar, welche mit a und
c einerlei Zeichen haben, daher hier positive und negative Formen unterschieden
werden. Die einfachsten Formen in jeder Classe haben bestimmte Kriterien,
heissen reducirte Formen, und können als Repräsentanten der ganzen Ulasse be-
trachtet werden.
Aehnliche Verhältnisse in Beziehung auf die ternären Formen sind in den
Disquisitiones Arithmeticae nachgewiesen. Determinant der ternären Form _
axza+byytcz2z+2ayz+2bx2 + 2cay
heisst die Zahl
ada+tbbb+cce - abe— 2ab'c
Auch hier ist zur Aequivalenz zweier Formen die Gleichheit der Determinanten er-
forderlich, aber nicht zureichend, sondern sämmtliche Formen mit einem bestimm-
ten Determinanten zerfallen in eine endliche Anzahl von Classen, in deren jeder
die einfachsten Formen reducirte heissen können und alle übrigen gleichsam re-
präsentiren. Mit dem Unterschiede zwischen positiven und negativen Formen ver-
hält es sich aber hier anders, als bei den binären Formen. Für jeden gegebenen
Determinanten, er sei positiv oder negativ, gibt es theils Formen, durch welche
190 ANZEIGE.
ohne Unterschied positive und negative Zahlen darstellbar sind (indifferente For-
men), theils solche Formen, durch die entweder nur positive oder nur negative
Zahlen sich darstellen lassen (positive oder negative Formen); allein positive For-
men gibt es nur für negative Determinanten, und negative nur für positive. Ue-
brigens ist es von selbst klar, dass die Qualification einer Form, insofern sie in-
different, positiv oder negativ ist, zugleich der ganzen Classe, zu welcher sie ge-
hört, zukommt. Das vorliegende Werk beschränkt sich auf die positiven For-
men, deren Determinanten also negativ sein müssen: offenbar findet aber alles,
was von diesen gilt, von selbst seine Uebertragung auf die negativenFormen, wäh-
rend die in dem Werke ganz ausgeschlossenen indifferenten Formen eine ganz
abweichende Behandlung erfordern.
In den Disquisitiones Arithmeticae war, wie schon erwähnt ist, die Theorie
der ternären Formen nur so weit entwickelt, als für den dortigen Zweck nöthig
war, und daher die Aufgabe, die Aequivalenz zweier gegebenen ternären Formen
zu entscheiden, noch nicht in vollständiger Allgemeinheit aufgelöset. Zwar war
daselbst gezeigt, wie man zu jeder vorgegebenen Form eine äquivalente der ein-
fachsten Art finden, und dass es solcher reducirten Formen für jeden gegebenen
Determinanten nur eine endliche Anzahl geben könne; allein da es in jeder Classe
mehrere solcher reducirten Formen gibt, die sich nicht in allen Fällen sogleich
als äquivalent ergeben, so fehlte noch ein Kriterium, woran man die Aequivalenz
oder Nicht-Aequivalenz solcher Formen mit Gewissheit erkennen kann. Dieses
Bedürfniss hat nun der Verfasser des vorliegenden Werks in Beziehung auf die
positiven Formen vollständig und mit musterhafter Gründlichkeit gehoben. Sein
Verfahren ist übrigens etwas anders eingekleidet, als wir die Sache so eben aus-
gesprochen haben, und wie sie sich verhalten müsste, wenn man in den Begriff
der reducirten positiven Formen nur die wesentlichsten Bedingungen der gröss-
ten Einfachheit aufnimmt, welche in dem Fall der positiven Formen die sind,
dass die (ihrer Natur nach positiven) Zahlen a, b,c nicht kleiner sein dürfen, als
respective b oder c’,a’ oder c', a oder b ohne Rücksicht auf die Zeichen. Herr
SEEBER hat nemlich dem Begriffe der reducirten Formen noch solche Modificatio-
nen hinzugesetzt, dass es in jeder Classe immer nur Eine der Art geben kann,
Eine aber geben muss. Wegen eines schönen von Herrn SEEBER durch Induction
gefundenen weiter unten noch zu erwähnenden 'Theorems führen wir hier die
Hauptbedingungen, welche Hr. S. in den Begriff der reducirten Formen aufge-
SEEBER. UNTERSUCHUNGEN ETC. 191
nommen hat, an: diese sind 1) dass unter den Zahlen «', b, c‘ nicht zwei von
entgegengesetzten Zeichen sein dürfen; 2) dass ohne Rücksicht auf das Zeichen
2b’ und 2c’ nicht grösser als a sein dürfen, ferner a und 2ad’ nicht grösser als
b, und b nicht grösser als c; 3) dass in dem Fall, wo ad’, b, ce’ zugleich negativ
sind, die doppelte Summe dieser Zahlen nicht grösser als a+b sein darf. Die
übrigen noch für einige specielle Fälle hinzukommenden Modificationen können
wir hier übergehen.
Den Hauptinhalt des Werkes macht nun zuerst die Auflösung der Aufgabe
aus, zu jeder gegebenen positiven Form eine äquivalente zu finden, die nach der
festgesetzten Definition den Character einer reducirten hat, und dann der strenge
Beweis des Lehrsatzes, dass zwei nicht identische reducirte Formen nicht äqui-
valent sein können, oder was dasselbe ist, dass es in jeder Classe nur eine redu-
ceirte Form gibt. Dem Geiste der Gründlichkeit, womit diese Gegenstände durch-
geführt sind, müssen wir volle Gerechtigkeit widerfahren lassen, und wenn wir
es dabei bedauern müssen, dass damit eine sehr grosse und vielleicht manchen
abschreckende Weitläuftigkeit verbunden gewesen ist, da die Auflösung des Prob-
lems 41 Seiten, und der Beweis des Theorems 91 Seiten einnimmt, so wollen wir
dies doch keinesweges als einen Tadel angesehen wissen. Wenn ein schwieriges
Problem oder Theorem aufzulösen oder zu beweisen vorliegt, so ist allezeit der
erste und mit gebührendem Danke zu erkennende Schritt, dass überhaupt eine
Auflösung oder ein Beweis gefunden werde, und die Frage, ob dies nicht auf eine
leichtere und einfachere Art hätte geschehen können, bleibt so lange eine müs-
sige, als die Möglichkeit nicht zugleich durch die That entschieden wird. Wir
halten es daher für unzeitig, hier bei dieser Frage zu verweilen. _ Der übrige
Theil des Werkes enthält noch hauptsächlich die mit gleicher Gründlichkeit durch-
geführten Auflösungen der Aufgaben: zu entscheiden, ob eine gegebene Form
eine andere gegebene ihr nicht äquivalente unter sich begreife; alle möglichen
Transformationen einer gegebenen Form in eine gegebene äquivalente oder nur
unter ihr begriffene zu finden; endlich für einen gegebenen Determinanten alle
möglichen Classen positiver ternärer Formen anzugeben.
Wir müssen noch bemerken, dass Herr SEzBEr die Gestalt der ternären For-
men etwas anders gefasst hat, als in den Disquisitiones Arithmeticae geschehen
‘war, wo, mit Vorbedacht, die Coöfficienten der Producte yz, 2, xy als gerade
Zahlen vorausgesetzt waren, wogegen Hr. S. auch ungerade zulässt, und daher
192 ANZEIGE.
mit a, d', ce bezeichnet, was oben mit 2a, 2b’, 2‘ bezeichnet war, Offenbar
ist die grössere Allgemeinheit, welche dadurch erreicht wird, nur scheinbar, oder
doch überflüssig, da alles was von solchen Formen mit ungeraden Coöfficienten
gesagt werden kann, sich auch von selbst ergibt, wenn man anstatt derselben ihr
Doppeltes i in Betracht zieht: wir können daher diese Abänderung, wodurch über-
dies einiger Verlust an Einfachheit entsteht, nicht billigen. Eine Folge davon
ist gewesen, dass das, was Herr Serger Determinant nennt, allemal das Vierfache
von der Zahl ist, welche in den Disquisitiones Arithmeticae diesen Namen führt.
In gegenwärtiger Anzeige haben wir die Terminologie der Disquisitiones Arithme-
ticae beibehalten.
Bei dem zuletzt erwähnten Problem (zu jedem gegebenen Determinanten
alle möglichen reducirten Formen anzugeben) hat Herr SEEBEr, um Grenzen für
die drei ersten Coöfficienten zu haben, ein Theorem benutzt, vermöge dessen das
Product derselben abc nicht grösser sein kann, als der dreifache Determinant.
Dieses Theorem ist von Hn. Srrper strenge bewiesen; allein in der Vorrede be-
merkt er, dass er unter mehr als 600 von ihm untersuchten Fällen nicht einen
einzigen gefunden habe, wo jenes Product das Doppelte des Determinanten über-
'schritten hätte, und hält es daher für höchst wahrscheinlich, dass diese engere
Begrenzung allgemeingültig sei; es sei ihm jedoch nicht gelungen, einen strengen
Beweis dafür zu finden. Da dieses auf dem Wege der Induction von Herrn Ser-
BER gefundene Theorem sowohl an sich merkwürdig, als für die Abkürzung der
Auflösung der erwähnten Aufgabe wichtig ist, so wollen wir hier, um auch un-
sererseits in dieser Anzeige einen Beitrag zur Vervollkommnung dieser Theorie zu
geben, einen sehr einfachen Beweis beifügen. Es müssen dabei zwei Fälle unter-
schieden werden.
I. Wenn von den Zahlen «', d’, c' keine negativ ist, so setze man
b—2da—d, c— 2b —=e, al —=f
c—2d—g, a—2b—=h, Be, 1
wo aus der Definition der reducirten positiven Formen sogleich folgt, dass wenn
axa+byy+cz2+2ayz +2ba2 + 2cxy
‘eine solche ist, keine jener sechs Zahlen negativ ist, so wie sich von selbst ver-
‚steht, dass a, b,c positiv sind. Bezeichnet man nun den (negativen) Determi-
14
SEEBER, UNTERSUCHUNGEN ETC. . 193
nanten der Form durch — D, so hat man, wie man sich durch die Entwickelung
leicht überzeugt, die identische Gleichung
2D—abce = aad+bbe + ccf+ahi+bgi+ cgh4-ghi
‚in welcher keines der sieben Glieder zur Rechten negativ sein kann, und folgli
abe nicht grösser als 2D. Dasselbe folgt auf gleiche Weise aus der identise
ch
en
Gleichung
2D—abe = aag+bbh+cci+def+bdf+cde+def
II. Wenn keine der Zahlen «', b’, c' positiv ist, setze man
b+2d—=d, c+2b —e, a+2l‘=f
c+2@—=g, a+2b =h, b+2 ld —i
b+c+2d+2b+20—= k
a+c+2d+2b+2l—=]
a+b-+2d+2b+2c —=m
und den Determinanten der Form wie vorhin — —D. Vermöge der Definition _
der reducirten positiven Formen wird keine der neun Zahlen d,e, F: 9; hi, k,l,m
negativ sein können, und so ergibt sich aus der identischen Gleichung
6D— 3abe = —aa(d-+ 2k)— bb'(e+21) — cc’ f+2m) — ai — b’gi—c’gh-+def+2ghi
in welcher, weil a‘, b’, c' nicht positiv, sondern negativ oder Null sind, alle Glie-
der zur Rechten positiv oder Null werden, dass 3abe nicht grösser als 6D, oder
abc nicht grösser als 2D sein kannn. Dasselbe folgt eben so aus der identischen
Gleichung
6D—3abe = — aa (g+2k) — bb (A421) — cc’i-+2m) — def— bdf—cde+2def+-ghi
Beide Gleichungen sind symmetrisch. Verzichtet man auf völlige Symmetrie, so
ist der Beweis mit einer noch geringern Anzahl von Gliedern zu führen, z.B. durch
die identische Gleichung
8D—-Aabe — —2aa(g+k)— 2bble+1)—4ccm+(c+e)df+(c+g)hi
IL. | 25
194 ANZEIGE.
Wir wollen nun noch einiges über die Bedeutung der positiven binären und
ternären quadratischen Formen ausser dem Gebiete der höheren Arithmetik hin-
zusetzen: von den negativen besonders zu handeln ist unnöthig, und die indiffe-
renten entziehen sich dieser Behandlung ganz.
Die positive binäre Form awe+2bay--cyy stellt allgemein das Quadrat
der Entfernung zweier unbestimmter Punkte in einer Ebene vor, deren Coordi-
naten in Beziehung auf zwei unter einem Winkel, dessen Cosinus — ist,
gegen einander geneigte Axen um wa, y\c verschieden sind. Insofern z und y
also nur ganze Zahlen bedeuten sollen, bezieht sich die Form auf ein System pa-
rallelogrammatisch geordneter Punkte, die in den Durchschnitten zweier Systeme
von Parallellinien liegen. Die Linien jedes Systems sind in gleichen Entfernun-
gen von einander, und zwar sind die des einen, wenn sie parallel mit den Linien
des zweiten gemessen werden, — ya; die Entfernungen des andern, parallel mit
den Linien des ersten gemessen, —= \c: die Neigung beider Systeme gegen ein-
ander die oben angegebene. Auf diese Weise erscheint die Ebene in lauter gleiche
Parallelogramme getheilt, deren Eckpunkte das Punktensystem ausmachen, ohne
dass irgend einer der Punkte innerhalb eines Parallelogrammes fallen kann. Der
Determinant mit positivem Zeichen genommen, also ac—bb, bedeutet das Qua-
drat des Flächeninhalts eines Elementar-Parallelogramms. Ein und dasselbe Sy-
stem solcher Punkte kann auf unendlich viele verschiedene Arten parallelogram-
matisch abgetheilt, und also auf ebenso viele verschiedene Formen zurückgeführt
werden: alle diese verschiedenen Formen sind aber, was in der Kunstsprache
äquivalent heisst, und der Inhalt eines Elementar-Parallelogramms bleibt alle-
mal derselbe. Zwei Formen, die nicht äquivalent sind, von denen aber die eine
die andere unter sich begreift, beziehen sich auf dasselbe System von Punkten,
aber die erstere Form auf das ganze System, die zweite auf einen Theil. Zwei
Formen, die, nach der Kunstsprache, uneigentlich äquivalent (improprie aequi-
' valentes) heissen, beziehen sich auf zwei gleiche aber verkehrt liegende Systeme
von Punkten, indem man sich die Ebene umgekehrt gelegt denkt u. s. w.
Auf gleiche Weise bedeutet allgemein die positive ternäre Form
aza+byytcez+2dyz +22 +2cay
das Quadrat der Entfernung zweier unbestimmter Punkte im Raume, deren Coor-
dinaten in Beziehung auf drei Axen (1), (2), (3) die Unterschiede »ya, yyb, zye
SEEBER, UNTERSUCHUNGEN ETC. 195
geben: die Cosinus der Winkel zwischen den Axen (2) und (3), (1) und (3). (1)
und (2) sind hier resp. nr vr ; I Insofern hier x, y, z blos ganze Zahlen
bedeuten sollen, bezieht sich die Form auf ein System parallelepipedisch geord-
neter, d,i. durch die Durchschnitte dreier Systeme paralleler äquidistanter Ebe-
nen sich ergebender Punkte. Der ganze Raum erscheint so in lauter gleiche Pa-
rallelepipeden getheilt, deren Eckpunkte jenes System von Punkten ausmachen,
und das Quadrat des Rauminhalts eines Elementar-Parallelepipedum ist dem mit
positivem Zeichen genommenen Determinanten der ternären Form gleich. Ae-
quivalente Formen repräsentiren ein und dasselbe System von Punkten, nur auf
andere Axen oder Fundamentalebenen bezogen. Auf gleiche Weise finden alle
andere Hauptmomente der Theorie der ternären Formen hier ihre geometrische
Bedeutung, das Enthaltensein einer Form unter einer andern, die Darstellung
einer bestimmten Zahl oder einer unbestimmten binären Form durch eine ternäre,
die Lehre von den zugeordneten ternären Formen (formae adiunctae), das Weg-
fallen der Unterscheidung zwischen eigentlicher und uneigentlicher Aequivalenz,
das Wesen der reducirten Formen u.s.w., wir müssen uns aber auf obige An-
deutungen beschränken, zumal da das vorliegende Werk, welches die ternären
Formen lediglich aus rein arithmetischem Gesichtspunkte betrachtet, nur mittel-
barer Weise Veranlassung dazu gegeben hat. Man wird wenigstens daraus er-
kennen, welch ein reiches Feld hier den Untersuchungen geöffnet ist, die nicht
blos für sich ein hohes theoretisches Interesse haben, sondern auch zu einer eben
so bequemen als allgemeinen Behandlung aller Relationen unter den Krystallfor-
men benutzt werden können. In das Detail dieser Benutzung einzugehen, ist
hier der Ort nicht: wir dürfen jedoch die Bemerkung nicht übergehen, dass wenn
gleich ursprünglich angenommen ist, dass a, b, c, a‘, b, ce ganze Zahlen vorstel-
len, doch der grösste Theil der Lehre von den ternären Formen, und namentlich
dasjenige, was für jene Benutzung erforderlich ist, auch unabhängig von jener
Voraussetzung gültig bleibt. In der That führen zwar Hauy's Angaben bei den
meisten Krystallgattungen auf sehr einfache ganze Werthe der Coöflicienten in
den ternären Formen, welche sich auf die jenen entsprechende Anordnung des
Punktensystems beziehen; allein die genaueren späteren Messungen von WOoLLA-
sron, Mauus, Bıor, Kuprrer u. a. stehen damit im Widerspruch, und machen es
zweifelhaft, ob rationale Verhältnisse jene Coöfficienten überall naturgemäss
sind; jedenfalls aber lassen sich, wenn man nicht in der Theorie die Beschrän-
25 *
196 ANZEIGE. SEEBER, UNTERSUCHUNGEN ETC.
kung auf ganze Werthe der Coöfficienten weglassen will, da es dabei nicht auf
absolute Werthe, sondern nur auf ihr Verhältniss unter einander ankommt, alle-
zeit ganze Zahlen finden, die den Messungsresultaten so nahe kommen, wie man
nur will.
Schliesslich wollen wir noch dem oben angeführten Serser’schen Lehrsatze
seine geometrische Bedeutung unterlegen. Wenn ein Parallelepipedum so be-
schaffen ist, dass keine seiner zwölf Kanten (unter denen je vier einander gleich
sind) grösser ist, weder als eine der zwölf Diagonalen von Seitenflächen (die paar-
weise gleich sind), noch als eine der vier Diagonalen des Parallelepipedum: so ist
der mit /2 multiplicirte Rauminhalt desselben nicht kleiner, als der Raumin-
halt eines aus denselben Kanten gebildeten rechtwinklichten Parallelepipedum.
HANDSCHRIFTLICHER
N ACITLASS
a
et
vr 3
27
eh,
BEER
SOLUTIO CONGRUENTIAE X”—1=0.
ANALYSIS RESIDUORUM. CAPUT SEXTUM. PARS PRIOR.
237.
In Cap. m docuimus, congruentiam 2”=1, si pro modulo accipiatur
numerus primus p, habere p. radices, quando p est maxima communis mensura
numerorum n et p—1, hasque radices cum radicibus congr. 2&"==1 penitus
convenire. Quamobrem eum casum considerare suflicit, ubi » est pars aliquota
numeri p—1. Quod autem non modo congruentiae 2" —1=0 sed cuiusvis
alius solutio pro modulis quibuscunque ex solutione pro modulis, qui sunt numeri
primi, possit derivari, iam passim est ostensum infraque (Cap. vn) fusius docebitur.
238.
Sed ne hic quidem subsistere opus est; namque eodem Capite ın exposui-
mus, congruentiae @"=1 solutionem a resolutione similium congruentiarum
pendere @=1, a’ =1 etc., ubi a, betc. sunt numeri primi aut numerorum
primorum potestates et n productum ex his numeris. Si scilicet A, B etc. sunt
respective radices quaecunque congruentiarum 2 =1, a’ =1 ete., productum
ex his AB... erit aliqua e radicibus congruentiae @&”= 1. Nostrae igitur in-
vestigationes ad solutionem congruentiae 2” = 1(mod.p) restringentur, quando
p est numerus primus, % numerus primus aut numeri primi potestas, simulque
pars aliquota numeri p—1.
200 NACHLASS. ANALYSIS RESIDUORUM,
239.
Porro ex Cap.ım constat, inter congruentiae ©” == 1 radices semper ali-
quas dari, per quarum potestates omnes ceterae exhiberi possunt. Ita si r de-
signet huiusmodi radicem (primitivam supra diximus, quando a—p—1, hanc-
que expressionem hic guamquam significatione latiori retinebimus) omnes congr.
propos. radices erunt
1 Pe RL 2 EN
Huiusmodi ergo radices omni studio sunt investigandae, quoniam his inventis ce-
terae sponte patebunt. DBrevitatis gratia quamcunque ipsius r potestatem per
exponentem uneis inclusum designamus, ita ut (0) denotet unitatem, (1) radicem
quamcunque primitivam congruentiae @"=1, (2) ipsius (1) quadratum ete.:
ita ut haec series (0), (1), (2), (3),.... (n—1) omnes radices amplectatur. Ce-
terum constat, (A) semper fore talem radicem primitivam, quoties k ad » est pri-
mus; i.e. nostro casu (ubi n est numeri primi ? potestas — t”), quoties ? ipsum
k non dividit. Manifesto vero signa (1), (2) etc. per se sunt indeterminata;
sed simulac ipsi (1) valor aliquis determinatus tribuitur, omnia cetera determi-
nata fient.
240.
Quoniam radices primitivas prae ceteris investigare propositum est, has a
ceteris primum separare oportet. Quod fiet, sie serie (0), (1), (2)... (»a—1) omnes
terminos (A) eiiciamus, ubi % per # dividitur; quodsi autem n est numerus pri-
mus seu v— 1, unicus (0) erit abrogandus. Priusquam vero ad disquisitionem
radicum superstitum progrediamur, lectorem sedulo admonemus exempla aliquot
sibi conficere, ut omnia, quae sine his forsan generalius dicta viderentur, in con-
creto intueri possit. Nos aliquod apponimus; sed non ideo superfluum erit alia
proprio Marte elaborare.
Sit p=29; n—=T7 et septenae congruentiae x’ = 1 (mod. 29) radices
erunt 1, 7,16, 20, 23, 24, 25. Quoniam rn est numerus primus, omnes hae ra-
dices praeter 1 erunt primitivae; posito igitur 7 = (1) signa haec significabunt:
0 mW aM &) WM 6) (6)
1 7:1..20: 24.23 16-725
SOLUTIO CONGRUENTIAE 2" —1==0. 201
Quivis ceterum memor erit, signa (n) et (0), (n-+1) et (1) etc. et in genere (a) et (b)
aequivalere, quoties a=b(mod.n). |
241.
Sed ad nostrum propositum alio adhuc modo erit procedendum. Videlicet
eos tantum terminos (A) retinemus, ubi A per t non dividitur, quorum multi-
tudo est —ın =; omnes autem hi numeri (aut ipsis secundum congrui)
per potestates successivas alicuius numeri exhiberi possunt. Sit hie — p; quare
omnes radices primitivae congruentiae @”"==1 ita denotabuntur
2 3 1
N) BA -- (e)
Hoc autem artificio id obtinemus, ut omnes radices non primitivae penitus exelu-
dantur, cuius rei rationes et emolumenta infra clarius cognoscentur. In nostro
igitur exemplo ponere possumus p —= 3 et radices congruentiae 2 = 1 primi-
tivae ita ordinantur
N) BE EB RB)
su (1) &) 2) (6) () (5)
quae erunt 7 24 20 25 23 16
242.
Ne lector ignarus sit, quorsum disquisitiones sequentes tendant, theorema,
‚quod demonstrandum atque dilucidandum nobis proponimus, indicare iuvabit.
Sinumerus \ (qui est = t’”'.t—1) habeat factores simplices a,b, c, dete. et
sit k—= a"b°cl..., resolutio congruentiae @"—1== 0 pendet a resolutione a5 -+-..
congruentiarum inferiorum, quarum a sunt gradus a, 6 gradus b, y gradus c etc.
Ita in nostro exemplo congruentiae ©’ == 1 resolutio pendet a congruentia
secundi gradus et ab alia tertii gradus; perspieiturque in genere numquam gradum
harum congruentiarum a modulo p pendere. Ut autem ad huius theorematis de-
monstrationem perveniamus, necesse est aliquas propositiones ad nexum inter
congruentias earumque radices spectantes praemittere, quamquam proprie in Cap.
octavo hae disquisitiones ulterius sint persequendae.
IL 26
202 NACHLASS. ANALYSIS RESIDUORUM.
243.
THEOREMA. Si congruentia
a” + Aa! Ba”°+....+N = 0 (mod. primus)
ita sit comparata, ut confecto producto ee m factoribus @—r, a—r, 2—r",
2—r"... quod sit a” aa" "+ba”?...+n, st A=a,B=b, C=cek.
secundum mod.p, quantitates r, r',r"... erunt radices congruentiae propositae nul-
lasque alias habebit.
Demonstratio. 1. Erit semper
2" Aa"! Ba”? +... = a" aa" ba”? ... (mod.p)
Sed posterior congruentiae pars ft = 0 ponend wer ae = r, 2 =r"etc.,
quare pro his ipsius x valoribus prior pars fiet = 0 (mod.p). Q. E. Primum.
II. Si autem alius adhuc valor p nullihorum r, r ete. congruus congruen-
tiae propositae satisfaceret, foret
EB Hr... et tat"...
= (p—r) p—r)p—r")p—r")..-
sed quoniam nullus factorum p—r, p—r', p—r", etc. est = 0, productum ex
omnibus fieri = 0, ob p primum est absurdum. Quare praeter radices r, r' etc.
nullae dantur aliae. Q. E. Secundum.
244.
Progrema. Sint r, r',r"... quantitates incognitae, quarum multitudo sit —= m,
quarum summa sit = a, summa quadratorum — 6b, summa cuborum — Y--»
summa potestatum, quarum exponens est m, =. danturque non hi numeri (quorum
multitudo etiam — m) ipsi, sed alü od, 6, y etc. singulis congrui secundum modu-
lum p, qui sit numerus primus et >m, invenire congruentiam m“ gradus, cuius
radices sint r, r, r" etc.
Solutio. Considerentur r, r', r" etc. quasi radices alicuius aequationis
"AI L BP LON Hr... =0
determinenturque eius coöfficientes A, B, C ete. (adhibendo tantummodo con-
gruentiam loco aequalitatis) ad methodum cognitam, faciendo scilicet
SOLUTIO CONGRUENTIAE 2" —1 = 0. 203
—A =«d
—2B=5+Ad
—30 =y-+46'+Ba
—4D=0+4Ay+Bb’+ Ca
etc.
—mN = "+ AN —+ etc.
Hi vero coöflficientes non possunt esse indeterminati, quia omnes numeri
1,2,3...m<{p. Dico congruentiam
2" A2”"!+- Ba”... + N=0
esse quaesitam.
m
Demonstr. Ponatur aequationem, cuius radices sunt r,r',r”,r" etc., esse hanc
a" Las”! br"... = 0
eritque
—a —=aqa
—2b =5b-+aa
—3c—=y+tad+ba
—41d—=6+ay-Hbbö+ca
etc.
Cuique autem manifestum hinc erit, fore
a=A, b=B, c=(Cetc.(mod.p)
quare per $ praec. numeri r, r’, r" etc., qui sunt radices aequationis
ab"... =0
erunt simul radices congruentiae
a” + Aa”! Ba”...
Exempla componenda lectoribus linguimus.
0%: ED,
I
245.
Ad propositum nostrum revertimur. Retentis characteribus $$. 242.et antec.
adhibitis ostendere aggredimur, si A sit productum e factoribus quibuscunque
26*
204 NACHLASS. ANALYSIS RESIDUORUM.
efg etc., radices congruentiae ©" = 1 primitivas, quarum multitudo est A, ita
in e classes discerpi posse, ut aggregata radicum in eandem classem relatarum per
congruentiam gradus e" dentur; his vero tamquam cognitis suppositis quamvis
classem ita in f ordines subdividi posse, ut aggregata cuiusvis ordinis per congruen-
tiam f" gradus dentur, hique ordines rursus subdividi possunt etc., usque dum
ad singulas radices perveniatur.
246.
Definitio. Complexum terminorum omnium in tali forma (p**+*) (8.241) con-
tentorum periodum completam sive simpliciter periodum dicemus. Designat vero e
divisorem aliquem numeri A; «& numerum quemcunque datum, k omnes nume-
ros integros a 0 usque ad Tr brevitatis vero gratia talem periodum ita de-
signamus (e»a). Ita in exemplo nostro termini
(2), ( )
). (6), (5) (2+1)
hi vero (1), (6) hasce (3+0)
(3), (4) (3*1)
(2), (5) (32)
Jam si omnes termini in. periodos quomodocunque distribuantur , singulaeque pe-
riodi iterum in periodos minores et sic porro, dicimus, id obtineri quod in $. praec.
promisimus.
Antequam vero hanc expositionem ipsam aggrediamur, ostendemus, forma-
tioni talis periodi, quamquam a duabus quantitatibus quodammodo arbitrariis r, p
dependeat, nihil tamen vagi inesse, seu quomodocunque hae quantitates eligan-
tur, semper eosdem terminos in eandem periodum concurrere (siquidem quot ter-
minos periodus continere debeat, fuerit praescriptum).
Criterium, duos terminos A, B in eadem periodo esse, inde petitur, quod
uterque in tali forma continetur: (p?°+?) siveesse A= Pa Bzr“ (mod.p).
Hic autem r est radix primitiva congruentiae ©" == 1(mod.p); p vero radix pri-
mitiva congruentiae ©* = 1(mod.n); vide supra.
Demonstrandum est, si loco numerorum r, p alii eligantur, puta s, o, tunc
le+6 „te+6
A et B in similibus formis s® ,s comprehendi.
SOLUTIO CONGRUENTAE "— ZI. 205
Sit "=r(mod.p); "= p(mod.n) et m= o*(mod.n), quod fieri potest,
quia r, p sunt radices primitivae: erit vero m primusadn, pad (Cap.ım). Per
debitas substitutiones obtinebimus
ke+uc+l ulkrexruc+L
Az st s”
2.9 Q.E.D.
247.
Tueorema. Productum e binis periodis similibus independenter a numero p com-
poni potest per additionem periodorum similium et numerorum datorum.
(Periodos similes vocamus, quae aeque multos terminos comprehendunt sive
ubi numerus e est idem).
Exempl. Sit »=[7, productum e periodis (1)-+(6) et (2)+(5) erit
(propter (JXx(b) = (a+b)) (B)+(6)+(8)+(11) sive constat e periodis
)-+(4) et (1)+(6).
Demonstr. Sit ı— f, atque periodi datae (e+a) et (ed) seu aggregata
A . . T
ee... He. .... Q
Productum PQ ex f ®? terminis constabit. Hi vero ita sunt ordinandi.
Formentur f series, quarum singulae ex f terminis constent. Prima complecta-
tur productum ipsius P in (p°), secunda productum P. (o°**)etc. etc. In prima
serie primum locum occupet productum ex parte (p*) oriundum, secundum pro-
ductum ex (p**®) et sic cetera deinceps; in secunda vero primus locus producto e
parte (p*+*) oriundo tribuatur, secundus producto e parte (p****) etc., ultimus
denique producto e parte (p*); tertia inchoet a producto e parte (p*t?®) et sic
porro, post productum.e parte ultima sequatur productum e parte prima et secun-
da etc. etc., sive partibus successivis periodi P per 1,2,3...z etperiodi @&
per I, HI, III,....Z designati PQ partes constituantur
| 1.I+2.1.+3.1+4.I+.. +z.1
2.11 +3.1l 44.I1I+ .... -+1.D
3.1II+4.1I+ .... +1.11I+2.Tll
etc. etc.
Tune omnes termini in singulis seriebus eundem locum occupantes in f ordines
colliganturz et dico
206 NACHLASS. ANALYSIS RESIDUORUM.
1° si aliquis terminis = 1, tum omnes ceteros eiusdem ordinis etiam fore
2° quemvis ordinem, in quo nullus terminus =1, periodum formare. —
Manifesto his demonstratis propositum consecuti erimus.
Forma generalis talis ordinis erit
Pe (pettktte 4 g6re), (petHat2e L „6r2e), N (petit fe 64/90)
potest enim pro p*t&Ne etiam scribi prtt/Ne propter fr ef =
(mod.n), et sic de antecedentibus. Ponatur pet 0° = p*(mod.n), quod est
permissum, nisi forte pette 40° per » divisibilis*), poteritque ordo ita exhiberi
(0%), (prte), (pt)... (prr/Ve), qui manifesto est periodus (exx); si vero
oette_ o® per n dividitur, omnes ordinis termini erunt =(0) Le. =1. Q.E.D.
Annot. Demonstratio haec simul methodum facillimam ostendit productum
evolvendi. Aliam infra dabimus, quae hac quidem praerogativa caret, sed ob sim-
plicitatem non contemnenda videtur.
248,
Periodos omnes minores, quae periodum maiorem constituunt, periodorum
systema nominamus. Ita periodi
(efso), (ef»f+o), (efr2 ft). - - (ef-(e—1)f+0)
e quibus componitur periodus (fa), hoc nomine designabuntur. Kite ordina-
tum erit, si numeri post signum « positi, ut hic a, f+a, 2f+a, secundum
seriem arithmeticam (cuius differentia est f) progrediantur; similia denique erunt
systemata, si tam minores quam maiores periodi sint similes.
TuEorEMA. Si periodi systematum duorum similium rite ordinatorum invicem
multiplicentur, prima scilicet in primam, secunda in secundam , tertia in tertiam etc.,
summa omnium productorum e periodis maiori similibus et numeris datis componi potest.
Demonstr. Sint systemata
(era), (Fra+tf), (frat2f)...
(efrö), (fr HN), (fr)...
*) Propositio paullo aliter exprimi debebit, si » generaliter numeri primi potestatem denotat; quando
vero est numerus primus, nihil immutandum,
SOLUTIO CONGRUENTAE "— 10. 207
Producta e singulis periodis systematis prioris in periodos respondentes posterio-
ris constabunt ($. praec.) e numeris integris et periodis similibus. Sed parvula
attentio ad genesin harum periodorum docebit, si
(efra) x (ef»6) constet ex numero integro N et periodis (ef=A), (ef»B), (ef+C') etc.
tum constare producta
(efsa+ f) x (ef»6+ f)exN et perr. (efsA+ f), (ef-B+f), (ef-C+f) etc.
(efsa+2f) x (ef»5+2f)ex Netperr. (ef+A+ 2f), (ef.B+2f), (ef« C+2f)etc.
et generaliter
(efratuf)x (ef»6+pf)exNetperr.(ef»A+yf), (ef-B+uf), (ef» C+wf) etc.
Unde sponte patet, omnium periodorum summam fore
eN+(frA)+(f+B)+(f.C)ete. Q.E.D.
Etiam haec demonstratio methodum suppeditat summam illam inveniendi.
249.
Facile est hoc theorema generalius adhuc reddere. Scilicet si habeantur
quotcunque systemata rite ordinata similia fiantque producta ex omnibus perio-
dis primis, secundis etc., omnium horum productorum summam constare e nu-
meris et periodis maioribus. Si omnia haec systemata aequalia assumantur, summa
potestatum quarumcungue omnium periodorum constabit e numeris et periodis
maiori similibus. Jam hinc patescit, quorsum haec tendant. Sit X — efgÄ.;:;
discerpantur omnes radices primae in e periodos A, A', A” etc., quaevis harum
iterum in f: B, B’, B” etc., harum singulae in g: C, C’, C” etc. Iam omnium
periodorum summa datur, est scilicet = —1. Sed secundum ea, quae modo
diximus, dabitur etiam
(AP+(AP+(AP+(A”)+ ete.
(AP-+(A)’+ (A) +(A)'+ ete.
etc. etc.
Hinc e $.244 congruentia gradus e" inveniri poterit, cuius radices sint
A, 4, A’ etc. Jam his tamquam cognitis suppositis, quaevis periodus discerpa-
‚tur in minores
208 NACHLASS. ANALYSIS RESIDUORUM.
deze rugeun :
- A in Be, Be), Beta), ,.,
etc.
Daturergo BHB+B'’+...= 4A. ed constat
BEBTHRYE,
(BP+BYHBY+...
etc.
ex unitatibus et periodis A, A’, A"etc. Quare B, B’, B"etc. dabuntur per con-
gruentiam gradus f Ü ex qua inveniri possunt; similique modo periodi, ex quibus
constant A’, A’etc., poterunt determinari. Quisquis autem hinc videbit, prorsus
simili methodo quamvis periodum in minores subdividi posse, donec ad radices
ipsas perveniatur.
250.
Sed in harum regularum applicatione difficultas occurrit, quam dimovere
debemus. Quoniam scilicet quaevis congruentia plures radices habeat, quod cui-
que signum tribuendum sit, ut ab invicem rite dignosci possint, est videndum.
(Quoniam periodorum designatio a numeris r, p pendet, qui ad libitum assumi
possunt, necessario etiam designationi aliquid arbitrarii inbaerere debet. Nume-
rus quidem p iam ab initio est stabiliendus. Methodi nostrae indoles in eo po-
tissimum consistit, ut ex periodis maioribus periodos minores deducamus. Sed
hoc sine debito periodorum ordine, quem per signa assecuti sumus, fieri nequit.
Quare eo nitendum est, ut omnes periodi, quamprimum sunt inventae, signis suis
distinguantur.
Sit periodus A designata per (exa) atque in f periodos B, C, Deete.
discerpta, quas designare oportet. Patet quamvis in tali forma fore contentam
(ef»ke+.a); sed dico, pro aliqua earum B numerum Xk ad libitum assumi et
inde ceterarum collocationem derivari posse.
Sit R radix aliqua primitiva congr. @&” = 1 constetque B e terminis
R"—+-R’—+ etc., sit en —- — (mod. n) et quoniam valor ipsius r est arbitra-
rius (si modo A nanciscatur signum (e«@), quod sponte fieri manifestum est),
ponatur r = R’(mod.p); quare terminus primus ipsius B erit Pet B per
SOLUTIO CONGRUENTIAE 2" —1 0, 209
(ef»ke-+-a) designare licet. Si loco ipsius R" terminum R’ consideravissemus,
alium ipsius r valorem nacti essemus; sed sine negotio perspicitür, pro quacun-
que radice p, radicem r, 4 valores diversos habere posse.
251.
Jam quomodo ex designatione unius periodi ceteraesignis suis distinguantur,
videamus. Ad hunc vero finem aliam methodum quaerere oportet reliquas pe-
riodos inveniendi; namque quatenus reliquae ut ipsa A radices alicuius con-
gruentiae sunt, nullus in illis ordo cernitur. Ponamus ipsum A ita esse de-
signatum (ef»0), ex praecc. sequitur, fore
4? formae MN (ef+0) + Olef+1) + Plef-)+...
A? formae M'’+N’(ef»0)+ Oef1)+...
etc.
AT formae M’+N*(ef»0)+O*efs1)+ ...
His accedit congruentia
(ef )+(ef-1) +... +lefref—1) = —1
Habentur itaque ef—1 congruentiae lineares totidemque quantitates incognitae,
quae igitur per eliminationem determinari possunt.
Annot. Casus occurrere potest, quo quantitates incognitae per huiusmodi
expressiones dantur Wi; quomodo vero huic difficultati remedium afferri possit,
infra docebimus. Hic, quoniam hic casus perraro occurrere potest, ei immorari
nolumus.
252.
Haec in genere de solutione congruentiarum purarum sufliciant. Passim in-
fra multa adhuc de ipsis dicentur; praesertim multa ex solutione aequationum pu-
rarum huc trahi possunt, quae loco suo annotare non negligemus. Exemplum ad-
huc apponimus, quo cum praeceptis collato, omnia minus peritis clariora fient.
St n=31, p= 311, sive investigandae sunt radices congruentiae
a2" —1 = 0 (mod. 311). Statim radix primitiva congruentiae y”"—1 = (mod. 31)
est quaerenda, qualisest y=3. Ponamus itaque p=3 et omnes congruentiae
propositae radices primitivas primum in 5 periodos discerpamus, scilicet
u. 37
210 NACHLASS. ANALYSIS RESIDUORUM.
ERS M)+(26)+(25)+(80)+ (+ (6)
ES (3)—+(16)+(13)+(28)+ (15)—+ (18)
(5.2)... )-+UN+ +22) +(N+23)
5+3).....(27)+20)+29)+ ()-+HUN)+ (N)
54) .....(19)+29)+10)+(12)-+ (+21)
Per calculos requisitos invenietur summa periodd. = —-1, quadrat. = 25,
cub. = 26, biquad. = 249, pott. quintt. = 564.
Quare periodi erunt radices congruentiae
+ 2 — 1 tes 0
Porro autem invenitur
(+0 = 6+ 2(5+0)+ 2(5+3)+(5+4)
(5+0” = 12+15(5.0)+ 4(5.1)+ 3(5»2)+ 6(5+3)+ 6(5+4)
(5-0 = 90+60(5»0)+28(5+1)+26(5x2)+49(5.3)+38(5+4)
et hinc per eliminationem
5) 3(5+0)— (5+0)’”—33(50)’— 24 (50)+15
5(5.2) = — 2(5.0)'— (5+0)’-+22(5+0)’”+31(5+0)
5(5.3)—= (5-0)? — 2(5+0)°
5(5+.4)= — 2(5+0)’+4(5+0)°
Congruentiae vero inventae una radix est =17; quare si ponatur (5«0) = 17,
erit (5+1)= 183, (5.2)= 263, (5.3) 91, (5+4) = 67.
Iam periodi inventae iterum discerpantur singulae in ternas; scilicet
(5.0) in (15»0), (155), (15«10) sive in (1)+(30), (26)-+(5), (25)-+(6)
(5«1) in (15-1), (156), (15«11) sivein (3)+(28), (16)+(15), (13)-+-(18)
etc. etc.
Ponatur periodos, in quas discerpta est
(50) esse radices congr. ®+A®+Br+C =0
(5+1) +A®+Bae+l' = 0
(5*2) +4’ +Brc+l0"=0
etc.
eritque
SOLUTIO CONGRUENTAE "—1=0,
211
(15+5), (15+10) erunt radices congr. &—172°+1082x—60 = 0
(15«6),
(157),
(158),
(159),
Hic autem habetur
x
(150)’— 3(15«0)
(15»1)’— 3 (15+1)
etc.
(15+1)
(15=2)
[—
—
Unde si una radicum primae congruentiae, 10, ponatur (150) habetur
(15.0) = 10 (5.5) (15.10) =
(15.1) = 37 15+6)= (15-11) =
Me —ı5l (er) (15.12) =
ee — 39 (1) (15.13) =
15.4) —112 (15,9) = (15-14) =
Tandem harum singularum periodorum capiantur termini constituentes eruntque
(1), (30) radices congr. &— (15.0)e—+1
2? — (15+1)e +1
etc.
Prima congruentiae radices sunt 126 et 195, quae igitur erunt radices pri-
mitivae congruentiae @"=1 et ex his reliquae sine negotio deduci possunt.
sr
DISQUISITIONES GENERALES DE CONGRUENTIIS.
ANALYSIS RESIDUORUM CAPUT OCTAVUM.
330.
Quae in Sectionibus praecedentibus de congruentiis sunt tradita, simplieis-
simos tantum casus attinent methodisque particularibus plerumque sunt eruta. In
hac Sectione periculum faciemus congruentiarum theoriam, quantum quidem ad-
huc licet, ad altiora prineipia reducere, simili fere modo ut aeguationum theoria
considerari solet, quacum insignis intercedit analogia, uti iam saepius observa-
vimus. Quoniam igitur omnes congruentiae algebraicae unicam incognitam in-
volventes ad hanc formam reduci possunt
X=0
ubi X est functio algebraica incognitae x, nullas fractiones involvens, huiusmodi
functiones imprimis erunt considerandae. _
331.
Sı P, @ sint functiones indeterminatae x huius formae
A+Bxe+ Cr Det...
H+Ile+Krsat+Le +...
(quales abhinc semper per functiones simpliciter designamus) et in utraque coöfli-
cientes similium ipsius © potestatum secundum quemcunque modulum sint con-
DISQUISITIONES GENERALES DE CONGRUENTIIS. 213
grui, functiones secundum hunc modulum congruae dicentur. Perspicuum autem est,
functiones congruas, si pro indeterminata valores aequales aut congrui accipian-
tur, valores congruos nancisci. Quae in Capp ı. et ıı. de numeris demonstravi-
mus, plerumque etiam de functionibus sunt tenenda; tai P=P,Q=Q,
R=FRetc., patet, frre P+ Q+Retc. =P'’+Q+R-+ete; P- Q=P—Q);
PQ=P'Q; PQRetc.= P'Q’R' etc. Demonstrationes facillimae, possuntque
simili modo adornari ut Cap. 1”,
Si PQ=R, functionem @ per = designabimus apposito modulo, dice-
musque, @ esse quotientem, si R per P secundum hunc modulum dividatur.
Manifestum autem est, loco ipsius Q omnes functiones ipsi congruas accipi posse,
quas omnes tamquam unicum valorem spectabimus. Infra vero ostendemus, qui-
bus casibus talis quotiens plures valores (i. e. incongruos) nancisci possit.
332.
Si modulus sit numerus primus et divisor @ unicum tantum terminum in-
volvat Hz”, cuius coöfficiens H per modulum non dividitur, i.e. si modo H
non sit = 0, quotiens plures valores habere nequit. Si enim eset QA=P
et QB=[P, foret Q(A—B)=0. Jam sit
g=.:.+ He tIet!oetc,
ita ut H per p non dividatur, et
A—B= Le+Met'- etc.
ita ut Z per p non dividatur (hanc autem formam A—B habebit, quia suppo-
nimus A non =B). Foretue QA—B)=HLa"+ et.=0. QEA,,
quia HL non =0.
Facile iam regulae dantur functionem P per Q, siquidem fieri potest, di-
videndi; sit
P=za"+bat!4cat?+ etc. +ka*
Q=ma’tna' gar? etc. +ta"
!
ita ut a, k, m, t per modulum non dividantur, debetque esse « non <{p, x non
<t. Divisio autem simili modo institui potest, ut in calculo logistico communi,
modo semper pro quotiente numerus integer accipiatur; scilicet quotiens semper
214 NACHLASS. ANALYSIS RESIDUORUM.
hanc formam habebit =, quod secundum modulum determinari debet. Jam si
postgquam #-+p—a—r—+1 termini sunt inventi, residuum remaneat, quod
erit formae
Art —HLBatR_L.. 200°
neque omnes coöfficientes A, B, C.. sint = 0, P per @ dividi nequit.
Ceterum patet, divisionem etiam a terminis, qui maximas dimensiones ha-
bent, kx”, tx” incipi potuisse; operatio facilitabitur, si @ ad formam redigatur
ma (ige +raox— etc.)
unde fiet posito mv=1
vP:a#®
Bi Pe re TARA AT
Q T7 1+g2+ etc.
tunc vero divisio per methodos communes perfici potest.
333.
Turorema. Si 2 =a fuerit radix congruentiae $= 0,5 per »—a dividi
poterit secundum congruentiae modulum.
Demonstratio. Si enim dividi non posset, foret &= (#—a)f—+b, ita ut
b per modulum dividi non posset. Iam si x ponatur = a, $ fiet = 0 (hyp.), quare
(.e— a)” +b=0; sed tunc etiam (—a)=0, quare b necessario erit = 0.
334.
Prosrema. Datis binis functionibus, earum communem divisorem (maximae di-
mensionis) invenire secundum modulum datum.
Solutio. Sint functiones A, B. Habeat A totidem aut plures dimensio-
nes quam B; dividatur A per B, si fieri potest sine residuo, B erit divisor com-
munis quaesitus. Si residuum maneat C, hoc inferiorem dimensionem habebit,
quam D. Sit itaque
A=aB+C, B=b5bC+D, C=cD-+E, etc.
itaut A, B, C, D,a,b, c etc. sint functiones, et dimensiones functionum
A, B, C, Deetc. constituant seriem decrescentem. lJam si tandem aliqua divisio
succedat, ex. gr. D=dE, ultimus divisor erit divisor communis quaesitus; si
vero nulla succedat, tandem ad residuum pervenietur, quod nullam dimensionem
DISQUISITIONES GENERALES DE -CONGRUENTNS. 215
habeat i. e. ad numerum; hoc autem casu functiones A, B communem divisorem
non habent.
Demonstr. Si divisor E functionem praecedentem sine residuo dividat,
omnes antecedentes dividere facile perspicitur; quare E erit divisor communis
functionum A, B. Q.E.Pr. Si autem daretur divisor majoris dimensionis, puta
E', hie propter C=A—aB etiam C similique argumento etiam D etc. adeo-
que E divideret, functio maioris dimensionis functionem minoris. Q.E.A.Q.E.
Scd. Hinc etiam patet, si divisor communis ullius dimensionis datur, ad resi-
duum nullius dimensionis perveniri non posse; alias enim functio nullius dimen-
sionis per functionem alicuius dimensionis divideretur. Q. E. A.
335.
Tneorema. Si A, B sint functiones inter se primae secundum modulum p;
A autem dimensionis a, B dimensionis 6; inveniri poterunt functiones P, Q, di-
mensionum quae sunt respective <d, <a, ita ut
PA+QB= 1 (mod.p)
Demonstr. Hoc enim casu erit
A=aB+C, B=bC+D,et.e K=kL-+M
ita ut dimensiones functionum A,B,C,D,..K,L,M continuo decrescant et
M nullam dimensionem habeat. Iam formentur series
a. 4,.0,d,...00
ee .,
ita ut
da=zba+ d“=cata d"=da-ta etc.
bz=c+ V=di+b "= eb’4Pb etc.
eritque
A—ıaB=+0, dbA—dAB=—D, VA—aB= —+E, etc.
uti sine negotio perspicitur; hinc tandem
4 B= M
1
Jam sit Tu =» eritque pnend P= we), Q= — ya)
»
216 NACHLASS. ANALYSIS RESIDUORUM.
PAQB=1ı 2
Porro vero manifestum est,
Dimens. ipsius B-+Dim. ipsius a esse —= Dim.A.
Dim. © + Dim. b —=.Dim.B
etc.
Dim. L + Dim.k = Dim.K
Quare
Dim. L+Sum. Dim.a, b,.. k = Dim. A
Patet vero dimensionem ipsius a” adeoque etiam
Dim. ipsius Q esse = Sum. Dim.a,b,c,...e. = a— Dim. L
itaque
Dim. ipsius P=656—Dim.ZL Q.E.D.
336.
Hinc autem sequitur, si M est divisor communis maximae dimensionis
functionum A, B, semper poni posse
AP+BQ=M
Exempla praecedentis theorematis brevitatis gratia omitto, sed lectores non
negligent, per ea facilitatem huius generis problemata tractandi sibi comparare.
Ceterum operae pretium erit admonere, theorema praecedens etiam de functioni-
bus absolute sumtis valere, quarum quidem coöfficientes sint numeri rationales.
Hoc ex demonstrationis modo per se elucebit. Nobis autem ei rei immorari non
licet. Similia lector etiam non admonitus in sequentibus observabit.
Si A nec cum B nec cum (© divisorem ullius dimensionis communem ha-
beat, etiam cum producto BC nullum habebit divisorem communem. Sit enim
PA+QBz=1, erit PAC+-QBC=C
Iam si A cum BC divisorem M communem haberet, hic etiam ipsam © divi-
deret contra hyp. Hinc generaliter si funcetio A ad 5, ©, D etc. prima, etiam
ad omnium productum erit prima.
Si A,B, C, Detc. nullum divisorem habeant omnibus communem, fieri potest
DISQUISITIONES GENERALES DE CONGRUENTIS. 217
r
PAHQB+RC+SD-+ ete. =1
Sit divisor maximae dimensionis inter A et B,M; inter M et C, M', inter
M' et D, M" ete.: patet, ultimum huius seriei terminum fore nullis dimensionis
{hyp.). Quare poni poterit
aA+bB=M, mM+:C=M\, mM-dD=M)", etc.
unde substitutionibus factis theorematis veritas apparet.
337.
Tueorema. Si A, B, Cetc. sint functiones inter se primae (quarum binae
quaeque nullum habeant divisorem communem) secundum modulum p, et functio M
secundum eundem modulum per singulas sit divisibilis; etiam per omnium productum
erit divisibilis. |
Demonstr. Poni enim potesst PA+QB= 1, quare erit
a0tzP=in
Iam quum C ad AB prima, erit etiam M per ABC divisibilis similique ratio-
cinio per ABCD etc.
338,
Si congruentia &= 0 habeat radies v=a, 2 =b, @=cetc., & per
productum ex (e—a), («—b), (e—c) etc. dividi poterit; cum enim a,b, c. etc.
supponantur incongrui, functiones #—a, @&—b, @—c etc. erunt primae inter
se, et quum & per singulas dividatur, etiam per productum ex omnibus dividetur.
Hine patet, radicum multitudinem congruentiae dimensionem superare non posse:
quae est demonstratio huius theorematis, quam polliciti sumus:
Sed simul hine perspieitur, quomodo congruentiarum solutio partem tan-
tummodo constituat multo altioris disquisitionis, scilicet de resolutione functionum
in factores. Manifestum est, congruentiam &== 0 nullas habere radices reales,
si E nullos factores unius dimensionis habeat; at hine nihil obstat, quominus 8
in factores duarum, trium pluriumve dimensionum resolvi possit, unde radices
quasi imaginariae illi attribui possint. Revera, si simili licentia, quam recentio-
res mathematici usurparunt, uti talesque quantitates imaginarias introducere vo-
II. 28
213 - NACHLASS. ANALYSIS RESIDUORUM.
luissemus, omnes nostras disquisitiones sequentes incomparabiliter contrahere li-
cuisset; sed nihilominus maluimus omnia ex principiis deducere *).
339.
F'unctiones secundum modulum determinatum primae vocantur, quae per
nullas functiones inferiorum dimensionum secundum hunc modulum dividi possunt.
Ita omnes functiones unius dimensionis erunt primae, functiones autem dua-
rum dimensionum aut erunt primae aut ex binis unius dimensionis compositae:
quare & erit functio prima duarum dimensionum, si congruentia &= 0 nullas
radices reales admittit. Ex. gr. 02-1 pro modulo 5 est prima, quia
za +2 +1 = (#— 2)’ — 3 (mod. 5)
et 3 non-residuum quadraticum numeri 5.
Hae vero functiones primae prae omnibus attentionem nostram desiderant.
Quamvis enim aliae quam primi gradus ad inveniendas radices reales inservire non
possint, amplior earum consideratio tum ob insignes ipsarum proprietates tum ob
alias egregias veritates ex his deducendas sese commendat.
340.
Tneorema. Functio quaecunque aut est prima aut ex functionibus primis com-
posita; posteriorique casu unico tantum modo e functionibus primis componi potest.
Demonstr. Nisi enim functio proposita A sit prima, per aliam inferioris
dimensionis B dividetur. Si B non est functio prima, per aliam C inferioris
gradus dividetur, itaque pergendo patet, tandem ad functionem primam deveniri,
quoniaın alias haec series foret infinita, quod, quoniam dimensiones perpetuo de-
crescunt, absurdum est. Jam si ultima functio prima sit L, haec omnes antece-
dentes metietur. Quare A=_LA’ eritque A’ inferioris dimensionis quam A.
Quod iterum fiet A= L’A”ete., patet, tandem ad functionem primam perveniri,
adeoque A erit = producto e functionibus primis L, L’, L" ete. :Q. E. Pr.
Iam si etiam esset A= MM'’M’” etc. neque omnes ZL, L, L"’etc. eaedem
cum omnibus M, M', M" ete., eiiciantur eae, quae utrique seriei communes
*) Alia forsan occasione de hac re opinionem nostram fusius explicabimus.
DISQUISITIONES GENERALES DE CONGRUENTIIS, 219
sunt. Remaneantque ,NX,M..; m, pl, e”,... eritque a ad A, X, X’ etc. prima,
quare etiam ad productum AA” etc.; tamen esse debet
MW..=gpe'..i.e. en "=gep.. QE.A.
341.
Primum caput harum investigationum in eo consistet, ut functionum pri-
marum cuiusvis dimensionis multitudinem determinemus. Quoniam enim pro
modulo determinato numerus omnium functionum diversarum (incongruarum) cu-
iuslibet gradus est definitus, ex his vero aliae sunt ex primis inferiorum graduum
compositae, aliae primae, etiam harum numerus finitus erit. Rigorosa huius rei
evolutio satis est Jubrica; a casibus simplicioribus incipiemus.
Posito modulo = p, numerus omnium functionum diversarum n“ gradus
huius formae
2" + Aa"! + Ba”? 4+ Ca"? etc.
erit p"; coöfficientium enim- A, B, C etc. numerus est n; et quum quivis inde-
pendenter a reliquis possit esse = 0, 1,2,3..(p—1)(mod.p), ex combinatio-
num theoria sequitur, 9” combinationes diversas haberi; quae igitur omnium
functionum diversarum huius gradus complexum definiunt.
Ita functiones unius dimensionis erunt p, scilicet &, +1, +2 usque ad
2 --p—1; functiones duarum dimensionum pp etc.
342.
lam supra monuimus, omnes functiones primi gradus pro primis habendas
esse; siigitur, quod ad propositum nostrum suflicit, ad eas functiones nos re-
stringamus, quarum terminus summus habet coöfficientem 1, erunt p functiones
primi gradus seu unius dimensionis.
Functiones secundi gradus omnes aut e binis primi gradus erunt compositae
aut primae. Iam ex combinationum theoria constat, p res diversas admissis repe-
sr . . 1 . . . . . . .
titionibus Pet! modis diversis combinari posse, quare totidem functiones erunt
ee te ’ k RN R ».p +1 __
e binis primis unius dimensionis compositae, adeoque pp— = tlpp—p)
functiones primae duarum dimensionum.
28*
220 NACHLASS. ANALYSIS RESIDUORUM.
Simili modo e functionibus omnibus tertii gradus, quarum numerus est p°,
excludendae sunt eae, quae e ternis primis unius dimensionis componuntur, qua-
e 1 2 . . . .
DE Le ae *?, insuperque eae, quae e functione prima unius
aliaque duarum dimensionum componuntur, quarum numerus est 9.4(pp—Pp);
rum numerus est
quibus deletis restabunt 4(p°—p); tot igitur sunt primae trium dimensionum.
Elucet hoc modo semper continuari posse.
343.
Ut autem hae operationes facilius absolvantur simulque ad evolutionem le-
sis generalis via sternatur, rem generaliter considerabimus. DBrevitatis gratia de-
signamus per (1) multitudinem functionum primarum unius dimensionis, per (2)
numerum functionum primarum duarum dimensionum, sic porro per (1?) multi-
tudinem functionum e binis primis unius dimensionis compositarum etc. etc., ge-
neraliter per (1*2°37...) multitudinem functionum omnium, quae e functioni-
bus primis compositae sunt, scilicet ex « unius, 6 duarum, y trium etc. di-
mensionum, quarum itaque dimensio erit @«-+25--3y-+- etc. 'Tum per praece-
dentia theoriamque combinationum elucet, fore
(e3°3142;. ) = (1°)(2) (31)(2) .-
HUREN LE FE Ve ae,
a BE a SR Te Er"
seu generaliter |
(a*) (a).(a)-+1.(a)+2.(a)+3...(aa+a—ı
Va en
|
Denique manifestum est, si omnes modi diversinumerum n e numeris 1, 2,3,
per additionem componendi colligantur, qui designentur per @.1+5.2-+Y. 3
etc., summam omnium harum expressionum (1% 2? 31...) aequalem fore multitu-
dini omnium functionum » dimensionum, i.e. —p". Ita
—=(i)
* = (1")+(2)
= (1’)+(1.2)+(8)
P = (1) +(1?.2)+(1.3)+(2?)+ (4)
etc.
Perspicuum est, in expressione 9" praeter quantitates (1), (2), (3) etc. etiam hanc
DISQUISITIONES GENERALES DE CONGRUENTIIS, 221
ingredi (n), unde patet, quomodo omnes quantitates per praecedentes sint deter-
andae. Ita invenitur
— +({p'—pp) (7) = +(p'—p)
+{p’—p) (8) = #(pP’— pt)
@a)=4P’—p) (6) = Hp —p®—pp+p) etc.
344 — 346.
Observatur ex hoc seriei initio, summum terminum expressionis (r) esse
1 . . . 1 . . .
ap": ad quem, si n est primus, accedit —„.p; atsin est compositus, lex mi-
nus elucet. Si vero attentius rem consideramus, videmus esse
p=(Ü) "—S05)+U)
pp = 2(2)+(1) 2° = 6(6)+3(3)+2(2)+(1)
pP’ = 3(3)+(1) pP’ = 7(N)+(1)
P=al)+2(2) +1) PP 8s()+4()+22)+(1) etc
ubi lex progressionis est manifesta; scilicet si omnes numeri » divisores sint
a,6, y,öetc., erit
pP" = aa) +56) HyYlY)+El)+ etc.
Huius observationis generalitatem iam demonstrare accingimur.
Ostendimus summam omnium talium expressionum (1*)(2°)(37)... si sem-
per @&+26-+3y-+..=n, exhaurire omnes functiones 2 dimensionum adeoque
esse —p”. Hinc patet, — — —. Sı
1 (2 3) . ’
( ES u ... evolvatur in seriem 1+-Ax-+Ba’...=P,
erit
Aus, Bizp, C=p ee.
zdP _ _ (1)z 2(2)x2? 3 (3)?
Pix at 1—.2? * ee RR
[hine substituendo or pro = et evolvendo singulas fractiones in series infi-
nitas theorematis veritas sponte elucet.]
222 NACHLASS. ANALYSIS RESIDUORUM.
347,
Theorema hoc etiam alio modo exprimi potest. Scilicet si numeri » divi-
sores omnes sint n, 1, 6, 6,0, 6
m
etc., theorema in eo consistit, ut sit
pP" = n(n)+(1)+8(6)+8’(8’)-+ etc.
Iam patet, productum ex (n) functionibus primis, quae sunt n dimensio-
num, habere n(n) dimensiones et sic de reliquis, quare
Productum ex ommibus functionibus primis dimensionis unius, dimensionum
n, 6, 6 etc. habebit p” dimensiones.
Facile nunc est ex hoc theoremate valorem expressionis (n) ipsum deducere,
sed brevitatis gratia analysin, quae non est difficilis, supprimimus. Sit itaque
n —= a”b°cl ete., itaut a,b, cetc. sint numeri primi diversi, eritque
en n_ N_
n(n) = p"— Ip“ + Ipab — Ipebe etc.
n Nu
ubi 2p@de.. significat complexum omnium expressionum huic p@Ö°-- similium, si
quantitates a,b, c.. quomodocunque inter se permutentur. Ita pro n = 36
erit 36. (36) = pP" — pp" — pH p®.
Unam adhuc observationem adiicere liceat. Si n est formae a” et a pri-
mus, erit n(n) = P—pa, quare, quum (r) necessario sit integer, erit quic-
quid sit p,
n
it
p" = p“ (mod.n)
quare, si p ad a primus erit,
1 (mod. n)
iS
ES)
I
etpro a =1
p" = 1(mod.a)
Memorabile est, haec theoremata tam diversis modis erui posse.
348.
PropLeMmA. Data aequatione
2” + Aa”! + Ba”? Ca” etc. —M — 0
cwius radices sunt 2 —=a, @ —=b, = cetc., invenire aequationem, cuius radices
su Fan, ed, Bee,
DISQUISITIONES GENERALES DE CONGRUENTIIS. 223
Solutio prima. Quaerantur per theorema notum summae radicum aequatio-
nis propositae, earum quadratorum,, cuborum etc. usque ad potestatem mr",
Hine igitur habentur etiam summae radicum aequationis quaesitae nec non qua-
dratorum etc. scilicet 2a”, La” etc., unde per idem theorema coöfficientes de-
terminari possunt.
Ad praxin quidem haec solutio est facilior; sed ad institutum nostrum nec
non ad ostendendum, coöfficientes aequationis quaesitae fore integros, si aequa-
tionis propositae coöfficientes fuerint integri, quae sequitur magis est accomodata.
Solutio secunda. Sit 0 radix prima aequationis #’— 1, fiatque productum ex
a”-Ar”"! +Bao”” —-etc.
2” + Ada”! + B002”" 7° etc.
2” + A602”! + Bb'2” + etc.
etc.
2” + AH" 2”! B69°°2"7°? 2 etc.
Huius itaque producti radices erunt
a, da, 96a etc.
b, 0b, 995 etc.
c, dc, B8c etc.
i. e. productum aequale erit huic
(@"— a)" —b)@"—c)...
adeoque huius formae
a7 4 Aa VL BER) etc.
Iam si pro @° scribatur w, erit
2” + A’2”7!+ B’2” + ete. = (e—a’) (e—b")(r— cc)...
adeoque Ä . i
a" Ar"! + Ba”? etc. = 0
aequatio quaesita. Quod vero hie A’, B’.ete. sint non solum rationales sed etiam
integri, facile ex theoria aequationis &° —= 1 dedueitur.
Quoniam hac operatione in sequentibus saepe utemur, per (P, p*) indica-
N.
224 NACHLASS. ANALYSIS RESIDUORUM.
bimus functionem, qua cifrae aequali posita aequatio proveniens habeat radices,
tae yadicum aequationis P=0.
quae sunt potestates 7
Si P=Q secundum modulum quemcungue, erit etiam (P, p)=(Q, p*)
secundum eundem modulum.
349.
TuEorEma. Coöfficiens termini a” in (P, p") congruus est secundum modulum
ı coöfficiens termini ©” in P*, siquidem 7 est numerus primus (quod pro hoc casu
est tertia solutio problematis praecedentis).
Demonstr. Ex capite sexto sequitur, producti
(2 + Aa”! + etc.) (@"+Ada”!—+ etc)...
coöfficientem quemcunque habere hanc formam, postquam pro 6" substituta est
unitas,
E-+(t+84086-+ete. +0) F
Quodsi iam 9 consideretur tamquam radix prima aequationis ©" = 1, totum
productum abibit in E; si vero ponatur 0 = 1, totum productum abibit in
P'— E+rF, quare erit coöfficiens termini @"" in P" congruus secundum mo-
dulum 7 coöfficienti termini &”" in E, i. e. coöfficienti termini =” in (P, e*).
350.
Tueorema. Si T est numerus primus, erit
(P, p) = P (mod. *)
Demonstr. Sit coöfficiens termini @* in (P,g6") = N’, in P vero eiusdem
termini coöfficiens = N. Tunc posito
P= ©" + Aa"! etc. +Na”-+ te.
erit |
P' = 2" 1 Aa" etc. + N°'x”"+- etc. (mod. 7)
adeoque ($. praec.) N = N" (mod.r); quare, quum N’=N, erit N=N. Q.E.D.
Hinc etiam patet, esse (P, p*)= (P, p**) et (P,p")=(P,p“”), unde generaliter
_k
(P,p‘) = (P,g”") (mod. ı)
DISQUISITIONES GENERALES DE CONGRUENTIIS. 225
351.
THeorema. Datur valor numeri v minor quam p”, ita ut functio &’—1 per
functionem propositam P_ m dimensionum, cuius pars infima indeterminatam x non
involvit, secundum modulum p dividi possit.
Dem. Dividatur per P series functionum 1,2,0®... usque ad ap",
simulac dimensionem m superant, et quoniam nulla per P sine residuo dividi
poterit, omnia residua ad hanc formam redigi poterunt
Aa Bir” ı..+N
ita ut omnes coöflicientes sint positiviet <p. Sed patet, quum nunquam omnes
possint esse —= 0, p"—1 tantummodo functiones dari, quarum alicui singulae
aequales esse debent, quare quum usque ad potestatem ipsius &, cuius exponens
est p”"—1, p” residua habeantur, necessario duo ad minimum eadem esse de-
bent. Prodeat igitur idem residuum, si ©° et z°'” per P dividantur, ita ut
a-+-v<p”. Quare «°Y’— x“ per P dividi poterit. Hinc quoniam (hyp.) &
adeoque etiam 2° functio estad P prima, etiam @’—1 per P dividi poterit
Q.E.D,
Coroll. Si @’—ı per P dividatur, etiam »””—1 per P dividi poterit.
denotante X numerum quemcunque integrum.
352.
Ineorema. Manentibus denominationibus ut in $. praec., si P fuerit functio
prima et a infima potestas, quae unitate muletata per P_dividi possit, erit v aut
—= p”—1 aut pars aliquota huius numeri, excepto unico casu, ui P= «a.
Dem. Quoniam P est functio prima m dimensionum, dabuntur pPr—1
functiones diversae pauciorum quam m dimensionum (exclusa scilicet ab omnium
numero functione 0), quae omnes ad P erunt primae. Jam quum x” suppona-
tur esse infima potestas, quae per P divisa unitatem relinquit, palam est, si omnes
inferiores potestates ab 1,@,.. usque ad 2” per P dividantur, v residua di-
versa prodire, quae per A generaliter designentur. Jam si haec exhauriant om-
nia quae sunt possibilia, theorema erit demonstratum; sin vero quaedam nondum
sint in eorum numero, sit quodeunque eorum B; iam perspicuum est, functionem
Bx’ per P divisam residuum B dare et generaliter esse Ba’t*= Ba* (mod. P};
sed omnes functiones ab B usque ad Bx’" diversa inter se et ab residuis A
I. 29
226 NACHLASS. ANALYSIS RESIDUORUM.
dabunt residua: si scilicet esset Ba* = Ba**?(mod. P), foret etiam 1=a”(mod.P),
et ö<{v contra hyp.; si vero esset Br" = x" (mod.P), foret B=x"t"* (mod. P)
adeoque B unum ex residuis A contra hyp. Quare patet haberi adhuc v nova
residua. Simili modo ulterius progredi licebit (omnino ut supra $. .) apparebitque
numerum omnium residuorum possibillum p”"—1 esse aut =», aut = 2»,
aut — 3», aut generaliter multiplum numeri vv Q.E.D.
353.
Ex theoremate praec. et Coroll. $. 351 sequitur, quamvis functionem pri-
mam » dimensionum metiri functionem aP""!—1 secundum modulum p. Om-
nes itaque functiones unius dimensionis excepta unica, quae est =#, metientur
aP=!'—1, quod est theorema FErMATianum; omnes autem functiones primae se-
cundi gradus i.e. formae #0 Ax—+- B metientur functionem aPP”!—1 etc. Iam
sint numeri n divisores omnes n, 0, 6', Ö”ete..1, pätetque, p"—1 etiam per p°—1,
y°T: p" —1ete. p—1 dividi posse, quare functio aP'!_1 per omnes functio-
nes primas dimensionum n, 6, 6’, 6" etc. usque ad functiones primas unius dimensio-
nis (exclusa functione &) dividi poterit, quare etiam (quum omnes hae functiones
sint absolute adeoque etiam inter se primae) per productum ex omnibus. Sedidem
hoc productum habet p"—1 dimensiones ($: 347.) (ob deficientiam unius func-
tionis @); quare patet, hoc productum ipsum ipsi ar'!_1 (mod. p) congruum esse
debere.
354.
Tneorema. Si functio @—1 per functionem P dividitur, erit
(P, Pf") = (P, ff)
denotantibus k, t numeros quoscunque integros.
Dem. Sit
En P=a"+ Aa! + Be"? etc.
notum est, si |
ma”! + (m —ı1) Ar”? + etc.
a” + Ax”'—+ etc.
in seriem infinitam formae
m ta, t6s4Y:+ etc.
DISQUISITIONES GENERALES DE CONGRUENTIIS. 227
evolvatur, fore « summam radicum aequationis P = 0, 5 summam quadrato-
rum etc. Unde sine labore dedueitur, potestatum v—+1, v+2 ete. *"” summam
congruam esse summae radicum, quadratorum etc. Hinc vero nisi modulus est
aequalis aut inferior numero dimensionum functionis P, sequitur esse
Bem=r Pomafei Ba)=(Pp, pP) ete.
Istum autem casum infra considerabimus.
355:
THEOREMA. Si in serie
(P, p°), (P,p) (P, p?), (P,p*) ete.
post terminum 9” sequentes primis deinceps sunt congrui, &’—1 per P dividi pote-
rit, siquidem P nullum factorem pluries contineat.
Dem. Posito = — Q, erit & functioad P prima. Sit
98.4.2 c
Fre, tratrar ee
N
tum post terminum — sequetur (hyp.)
RE c
zutzetzmt etc.
Quare erit
Ax”' + Ba’”-+ etc.
x’ —ı
I
Q
P
unde patet, functionem @’—1 per P dividi posse. Q.E.D.
356.
Tueorema. Si P sit functio ipsius & prima m dimensionum et X functio ip-
sorum x, aP, aPP, aP®.. ae", in quam omnes hae quantitates aequaliter ingredian-
tur, i.e. quae eadem maneat, quomodocunque eae inter se permutentur , functio X per
P divisa dabit residuum, quod erit numerus.
Dem. Sit residuum
as" +Ba® 4 ..+N=:
omnes co£fficientes A, B, C... usquead N exclusive erunt = 0. Hocita de-
monstratur. Quum X—-£ per P dividatur, etiam X? —£? per P dividi pote-
327
228 NACHLASS, ANALYSIS RESIDUORUM.
rit. Sed facile perspicitur, X? esse id, quod fit X, sipro ® ponatur »?, pro
aP, aPP etc... et pro aP””, xP” sen quod idem est ©. Hinc patet, esse P=X
(mod. P); quare, uum XP=% et X=&(mod.P), erit etiam = (mod. P
seu
eP—E = 0(mod.P)
At £?—5 secundum modulum p congruum est producto ex &, &E+1, &+2,..
usque ad &+p—1, qui factores omnes ad P primi erunt, nisi & sit simpliciter
numerus. Quare etiam &°—£ alio modo per P divisibilis non erit. Q.E.D.
Huiusmodi functiones sunt summa omnium, summa quadratorum, cuborum
etc., summa productorum e binis, ternis etc. Quis vero sit ille numerus, per $sq.
determinabimus:
357.
THEOoREMmA. Sit functio prima $ praec.
P= «&"— Ar" + Ba”? — Ca”°- etc.
erit residuum , si summa quantitatum x, aP etc. a" per P dividatu, ZA, si
summa productorum e bins, = B, si summa productorum e ternis, = (etc.
Dem. Sint functiones illae X, Y, Zetc. earumque residua ordine suo nu-
meri A, B’, C’etc. Iam facile intelligitur, esse x, »P, «P etc. radices aequa-
tionis
Du RK U ya ZT I ee, EV
Quare erit ponendo z=x
2” — Xa" + Ya? ?— Zar ete. =. 9
Sed functiones X— A, Y—B', Z—C'ete. per P dividi possunt, quare etiam
functio
a" — Aa” + Bar — Car etc.
Hoc autem aliter fieri nequit, nisist A=A, B=B, C’=(etce Q.ED.
Ceterum notum est, quaecunque alia functio sit X ipsorum &, wPetc. [in
quam omnes hae quantitates aequaliter ingrediantur,] eam semper ex his deduei
posse. Ita erit
DISQUISITIONES GENERALES DE CONGRUENTIIS. 229°
a + aP a? tete. = AA— 2B(mod.P) ete. etc.
Exempl. Stp=5 e P=a*+2x-+3, erit functio e+a” per P
diviia = — 2, # =3 ete. etc.
358. 359.
Tueorema. Sit P functio prima et &° infima potestas ipsius x, quae per P
divisa dat residuum 1; porro st P=(P, p"), erit n alicui numeri p potestati se-
cundum v congruus.
Dem. Supra ostendimus, si P sit
— @" + Aa”'4+ Ba”°—+ etc.
fore
2" + Az"! 4+ Bz”?+ etc. — (e— a) 2 —aP).. (.— ap”)
per P divisibilem. Simili modo sequeretur esse
ZU AL Be" I etc. — @— 2) (@— a)... (a7)
per P divisibilem. Quoniam autem hi factores inter se sunt primi, necessario
singuli singulis secundum P, p congrui esse debent. Quare z—x” debet esse
=2-—a ie p=n(mod.v. Q.E.D.*)
De inventione divisorum primorum functionis =” —1 secundum modulum primum.
360.
Si y per modulum p seu per aliquam eius potestatem est divisibilis, sit
v pr, eritque
" —ıi= (* — 1)?" (mod. p)
Unde manifestum est, eum tantummodo casum considerari oportere, ubi v per p
non dividitur.
*) Si (P, p%) = (P, pP)(mod.p) erit a = p*b(mod.»).
Demonstratio. Sit 2” + Aa” +Bae"®?+..=I erit (I, p%) = (ll, p)(mod. P); est autem
(II, p%) = («— x") («— 2°?) (—2“PP).. . (2 — 0"), (N, p) = («— 2’) («—aPP)(—aPP).. . (a’Pm-t)
unde patet propositio.
Productum ex II, (Il, p®), (II, p®) ete. (M,p”) est = (z”—ı)” (mod. P); est enim
(.—2)(@—2)(«—2°) ...«@— 2”) = («—)(@—aP)@—a#P)..(@—2’)= ete = .’—1
In serie P, (P, p*), (P,p*) ete... ..(P,p”) omnes divisores primi functionis 2”—1 occurrunt, et quidem
quisque m vieibus. Inde patet, productum ex omnibus esse = (z”— 1)".
230 NACHLASS. ANALYSIS RESIDUORUM.
Si pP” = I ({mod.v) et quidem m quam minimus, tum patet aP"—"—1 per
2’—1 dividi posse. Quamobrem #°’—1 alios divisores habere nequit quam
aP"—_1. At haecce expressio habet divisores primos m dimensionum aliosque,
quorum dimensionum numerus est divisor numeri m. Tales igitur etiam 2’—1
habebit. Quot autem cuiusvis generis habeat, per exemplum declaramus, unde
facile lex generalis deduci poterit.
Styv=63 et p=13, erit m = 6. Quare «”"—1 secundum modu-
lum 13 factores primos habebit sex, trium, duarum dimensionum uniusque. Iam
palam est, productum ex factoribus unius dimensionis fore divisorem communem
(maximae dimensionis) functionum a” —1 et @"—1 i.e. #°—1; quare tres
erunt factores primi unius dimensionis. Productum ex omnibus factoribus pri-
mis duarum dimensionum uniusque erit divisor communis functionum @®—1 et
. 21—3
a1® —1 i.e. #! —1; quare erunt
sive 9 factores duarum dimensionum. Pro-
ductum ex factoribus primis trium dimensionum uniusque erit divisor communis
2196
. . 9—3 . . .
functionum a —1 et a" —1 i.e. #°—1; quare erunt —— i.e. 2 divisores
trium dimensionum. Tandem reliqui erunt sex dimensionum, quorum igitur nu-
63—6 — 18 —3 »
merus = £ ER
Facile per attentam huius rei ponderationem sequens regula generalis de-
ducitur:
Sit 6 divisor ipsius m, sint omnes numeri Ö divisores ipso 6 minores Ö', 6", 6”
etc. Sint divisores communes maximi ipsius » cum pP—1, PP —1, pP —1 etc. re-
. . 7 . Er
spective ., w, pw etc., sit nz mel. =N,,N,N" etc. habebitgue @—1 z fies
tot divisores primos 6 dimensionum, quot infra numerum pw sunt numeri per nullum
numerorum X,N,XN etc. divisibiles.
361.
THEOREMA. Si functio X indeterminatae x per aliam & dividi possitet X si
pro x scribatur a", transeat in X’, X’ per (£, p*) dividi poterit.
Dem. Sit X =£v transeantque &,v in E,v, si pro © scribatur «*.
Patet, fore X’=E’vV. At E' per (ߣ, p*) dividi potest. Quare etiam X’. Q.E.D.
362.
His principiis positis facili negotio divisores primos functionis «’”—1 deter-
minare possumus. Supponimus, omnes eos divisores, qui etiam functionem ali-
DISQUISITIONES GENERALES DE CONGRUENTIIS. 231
quam #@°—ı dividunt, existente Y<{v, iam inventos esse, reliquosque investi-
gare proponi. Hi autem omnes in hac expressione comprehendi possunt (P, o*),
'si P sit unus ex ipsis et pro k omnes numeri minores quam y ad ipsumque primi
substituantur.
In Cap. vı ostendimus, quomodo radices primae aequationis ©” —1 ita in
classes discerpi possint, ut, omnibus per alicuius potestates expressis, eadem in
classes distributio habeatur, quaecunque radix prima pro hac basi accipiatur; pe-
riodos huiusmodi radicum complexus vocavimus. Jam patet, functiones ®, #*, a, a
etc., designantibus a, 5, y etc. omnes numeros ad v primos, simili modo in pe-
riodos resolvi posse, quamque periodum maiorem rursus in minores donec tandem
ad periodos formae a*, a”?, a'PP ,.: a0#P”” perveniatur. Hoc ita facto patet
1°. Quoniam periodus quaeque ex huiusmodi periodis minimis ara P+- etc.
composita est, si per quamcungque functionem primam »» dimensionum dividatur,
residuum fore numerum. |
2°. Quum omnes periodi termini semper ad hanc formam reduci queant
et. -, ubi «a,b, c.. sunt numeri determinati, pro a,d,y.. autem
omnes valores substitui possunt; patet, periodum in se ipsam mutari, si pro © sub-
stituatur ° et % sit formae a*b°ct.. (mod.v), unde facile perspicitur omnes
functiones P, (P p*) ete., designante % huiusmodi numerum, si periodus per eas
dividatur, idem residuum dare.
3°. Quare periodus subducto tali residuo per productum ex omnibus func-
tionibus (P,p*) dividi poterit.
363.
Summa rei in hoc vertitur, ut haec residua determinentur. Primo quaera-
tur residuum, quod periodus maxima per productum ex omnibus functionibus pri-
mis idoneis dabit. Si hoc productum sit
= Ar etc.
erit residuum hoe =A. Huius autem producti forma facile invenitur et ex Cap. vı
sequitur esse A= 0, si y per quadratum dividi possit, contra esse A au =-+1
aut — — 1, prout multitudo factorum primorum numeri v sit par aut impar.
Iam resolvatur haec periodus maxima in periodos inferiores repraesenten-
turque periodi cuiusvis termini per #2”, ita ut % in quavis periodo sit numerus
232 NACHLASS. ANALYSIS RESIDUORUM.
determinatus, pro diversis vero variabilis, rn et % autem in quavis periodo varia-
biles, eos autem valores, quos in aliqua periodo habent, etiam in reliquis adi-
pisci possint. Supponatur aliquantisper aliqua functio prima P pro basi sitque
residuum, quod periodi Zartu, Zakr"uete, per eam divisae praebent respective
A, A etc., erit Zw?" — A per productum ex omnibus functionibus (P,p") divi-
sibilis. Lat?” 4 per productum ex omnibus functionibus (P, oF®) etc. etc.
At facile liquet, quantitates A, A’etc. esse radices congruentiae datae. Scilicet
sint periodi radicum aequationis 2° 1 periodis praecedentibus corresponden-
tes radices aequationis Q — 0, erunt A, A etc. radices congruentiae Q= 0
Namque erit
A+4A-+ etc.
AA+AA-— etc.
summae periodorum,
I Il
summae quadratorum periodorum
etc. etc. Calculus enim prorsus similis erit ei, quem Cap.vı exposuimus, si pro
p substituatur #, quoniam etiam hic poni potest pro x” unitas, uti illic pro p’,
Inventis radieibus A, A’ etc. aliqua pro residuo periodi ZaP"“ eligatur et
inde reliquarum residua simili modo uti Cap. vı ordinentur. Namque illud etiam
hic arbitrio relinquitur, quum functio P sit prorsus hactenus indeterminata.
Caleulus sequens omnino analogus est ei, quem Cap. vı pertractavimus, singula
exponere nimis prolixum nobis foret. Tandem postquam ad X.2?” perventum est,
rei summa perfecta est. Namque posito
P=2"+aa"! ba”? etc.
erit —a=!aP”, eodem modo coöfficiens secundus reliquarum functionum (P, o*),
hahebitur, unde reliqui ipsius P determinari possunt. Saepius evenire potest,
ut ad congruentias identicas perveniatur, ex quibus nihil derivari posse videtur.
Quomodo huic difficultati obveniri possit, infra monstrabitur.
364.
Omnia haec per exemplum multo clariora fient. Resolvenda proponitur
functio «'’—1 secundum modulum 17 in factores. Erit m—=4 et quoniam
productum ex omnibus functionibus elementaribus
er — 1:21
BEETR N 7 5
— re 2 —ıit +2 — + — ic 1
DISQUISITIONES GENERALES DE CONGRUENTIIS, 233
Quare duo tantummodo erunt factores primi quatuor dimensionum Pet P’. Iam
a, 00, a, a", 0°, a", &", & in has duas periodos distribuantur
17 [77
Sat = are +. +0, ei = aaa
Sit secundum alteram functionem P, P’
Lt=A ti
eritque
A+A=1
AA= Laer LyPALIPLN
AA = Nat L ys LI P LIE
quare
AATAA = Ba" LI "LI I ei
Hinc A et A’ erunt radices congruentiae
22 —a—+4 = 0 (mod. 17)
quae sunt 6, 12. Hinc P dividet
+ ee +0 —6
eritque
= a — 6 — 2er — 120 +1
P' autem erit = (P,p’) eritque
= 120° — 2er — 6a
365.
Sufficit nobis hie possibilitatem solutionum harum monstravisse. Multa
artificia, quibus hae operationes sublevari possunt, praeterimus brevitatis gratia.
At consequentias quasdam pergraves praetermittere non possumus.
Per praecedentia demonstratum est, omnes aequationes auxiliares pro solu-
tione aequationis x’ — 1, siin congruentias convertantur, habere radices possi-
biles, quando periodus
I. 30
234 | i NACHLASS. ANALYSIS RESIDUORUM.
za... top"
nondum est disiuncta. Subsistamus in casu, ubi v est numerus primus; erit m
divisor ipsius v—1. Hic itaque congruentiae auxiliares, si numerus periodorum,
quae per illas inveniuntur, est pars aliquota numeri 2, habebunt radices rea-
les. Si itaque une est pari.e. si m est divisor numeri en seu si p® =1
(mod.y) seu si p est residuum quadraticum numeri primi v, aequatio quadratica,
per quam radices in duas periodos dividuntur, habebit radices reales secundum
modulum p. At in Cap. vı monstravimus, hanc aequationem posito v—= 4n-+1
semper esse z2-+2-+-n —= 0. Quare habetur insigne
Tneorema. Si numerus primus p est residuum quadraticum numeri primi
An—1, congruentia
20 +20 nn = 0 (mod. p)
habebit radices reales, adeoque etiam congruentia
490 +4a +inz=0 su (la-Hi)’ v0
i. e. tv erit residuum quadraticum numeri p.
366.
Haec igitur est tertia theorematis fundamentalis Capitis ıv completa de-
monstratio, eo magis attentione digna, quod principia, e quibus est petita, ab iis
quibus ad priores usi sumus, prorsus sunt diversa. „At ex eodem hoc fonte, sed
via opposita quartam deducamus. Scilicet sit v numerus primus formae An--1,
p alius primus quicunque, sitque —+v residuum quadraticum numeri primi p,
demonstrabimus, p fore residuum quadraticum numeri v.
Sit p”" minima potestas numeri p, quae sit =1(mod.v). Divisores ele-
mentares functionis er secundum » habebunt m dimensiones, quare omnium
. wi . .
numerus erit = —. Jam quoniam --v.Rp, congruentia
20 +a@n = 0(mod.p)
erit resolubilis; sint radices A, A’. Distribuantur functiones &,20,..2'! in
binas classes per &, &’ designandas, erit
DISQUISITIONES GENERALES DE CONGRUENTIIS. 235
£D+Hf = A+A+(1+2 +20 + er 4)
ee — AA—+N 1+r0-+20 + .. +01)
quare
2) @—#)—(@—A)e@— 4)
per quemvis divisorem elementarem functionis -— erit divisibilis. Hinc autem
quivis horum divisorum elementarium aut $—A et EA, aut &—-A et
€_—- A dividet. Hinc patet (quoniam A non = A), si pro # ponatur @#, & et
€’ non immutari. Sienim & in &’ et vice versa transiret, &—A et &—A per
eandem functionem primam dividerentur. Q. E.A. Hinc denique sequitur,
- per m dividi seu a per v. Quare p erit residuum quadraticum ip-
siusv QE.D.
Facile autem est omnes theorematis fundamentalis casus ex utroque theore-
"hate derivare.
367.
Quamvis ad casum, ubi v est numerus primus, hic nos restrinxerimus, ta-
men etiam, si v sit compositus, theoremata analoga haud magno negotio determi-
nari possunt, quod fusius exponere brevitatis gratia nunc non licet.
Manifestum est, similes observationes etiam de maiori periodorum multitu-
dine formari posse. Ita si u per 3 dividitur 1.e. si p est residuum cubicum
numeri primi v, aequatio, per quam radices aequationis «= 1 in tres periodos
distribuuntur quamque in Cap. vı a priori determinandam docuimus, solubilis erit
secundum modulum p» et vice versa Ita ex. gr. congruentia a 02 — 22 —1= 0
secundum modulum primum quemcunque, qui est formae 7n--1, resolvi potest,
si vero aliam formam habeat, non poterit.
Non difficile nobis foret hoc Caput multis aliis observationibus locupletare,
nisi limites, intra quos restringi oportet, vetarent. Iis qui ulterius progredi amant,
haec principia viam saltem addigitare poterunt.
368.
Congruentiam aliquam S== 0 radices seu generalius divisores aequales
'habere dieimüs, si per functionis alicuius potestatem dividi possit.
30*
236 NACHLASS. ANALYSIS RESIDUORUM.
Num congruentia proposita divisores aequales habeat, eodem modo diiudi-
catur, utiin aequationum theoria. Ponamus
X=Ef"pP
patet fore } ae ;
B. Ren P
quare = per £”1 dividetur. Generaliter sit
za 2 Ber
ubi A, B, C etc. denotant functiones primas diversas, erit
4X. adA bdB edC
1 at Bat 0a tete)
unde patet, nisi aliquis numerorum a, b, c etc. per modulum dividatur, per
ABC —A etc. dividi posse, non autem per 4“, BP, C°ete. Hinc sequitur
THEOREMA. Si functionum X et —
E divisor communis mazimae dimensionis
sit &, omnes factores primos, quos & habet, etiam X. habebit et quidem quemwvis toties
j i are d j ; ;
—1 vice quoties &, si igitur X et = sint functiones inter se primae, X, nullos
Factores aequales habebit.
369.
Exemplum I. Quaeritur an functio
+30 — 60 +30 —4... (X)
secundum modulum 17 divisores aequales habeat. Erit
= = bat— 5 — ac +3
. . . * r AX . . . .
Hinc invenitur, functiones X et 57 Inter se esse primas, quare X. divisores ae-
quales non habet.
Exemplum II. Sit
X= a’ +6a'— 30° — 400 +20 —3 (mod. 13)
erit |
Bi N 3
42 > > —22" 400 +50 +2
. . ax: .
maxima vero functionum X, -— communis mensura = 52247247 seu mul-
DISQUISITIONES GENERALES DE CONGRUENTIIS. 237
tiplicata per 8: @0+4@04-4; at quum: hie divisor sit = («+2)’, functio X
per (+2)? dividi poterit quotiensque (qui est z2-+-11) nullum amplius divi-
sorem duplicem involvit.
370. 371.
Siex 8.8. praecc. functio X ita est exhibita A” BP C* etc., itaut A, B, C
etc. inter se sint primae et numeri a, b, c etc. inaequales, resolutio etiam ulte-
rius extendi potest. Sit itaque X functio, quae nullos amplius divisores aequa-
les involvit. Supra vidimus, &?— x esse productum ex omnibus functionibus
primis unius dimensionis. Sit & divisor communis maximae dimensionis functio-
num X et #®’—w, erit & productum ex omnibus divisoribus ipsius X unius di-
mensionis, et z huiusmodi divisores non amplius habebit. Quodsi autem inve-
niatur, functiones X et #?—x esse inter se primas, X nullum divisorem unius
dimensionis habebit adeoque congruentia X = 0 radices reales non habebit.
Porro quoniam #?— x est productum ex omnibus functionibus primis duarum
dimensionum uniusque, divisor communis maximae dimensionis functionum «P—x
et & ‚ E' 'involvet omnes divisores ipsius X, qui sunt duarum dimensionum.
Hinc ulterius progrediendo perspicitur, X hoc modo in factores £&, &’, &” etc. re-
solvi, qui continent respective omnes divisores unius, duarum, trium etc. dimen-
sionum,
372.
Si autem productum ex pluribus functionibus primis eiusdem dimensionis
datum est, singulae functiones tentando erui debebunt. Magnam analogiam ha-
bet hoc problema cum eo, quod numerorum compositorum factores quaerere iu-
bet. Hic vero iam a priori determinatur, an functio proposita in factores adhuc
discerpi possit. Quum et hic factorum omnium possibilium multitudo sit finita,
simili subsidio ut supra uti possumus. Sed huic rei inhaerere nolumus, nam
calculator exercitatus principia probe assecutus, quando opus est, facile artificia
particularia reperiet.
Progredimur ad aliud caput, scilicet ad considerationem congruentiarum, si
modulus non est numerus primus, uti hactenus semper supposuimus. Praesertim
vero hic ille casus attentione dignus est, ubi modulus est numeri primi potestas,
tum per se tum quod ad aliqua dubia removenda ($.$... .) necessarius sit.
238 NACHLASS. ANALYSIS RESIDUORUM. .
373.
Prostema. Si functio X secundum modulum p in factores inter se primos
re
u
’ " . . . . u
E,E', E” etc. sit resoluta, X secundum modulum pp in similes factores 3,2, =" etc.
resolvere ita, ut sit
e"= 58", etc. (mod.p)
Sol. Sit X = Eb(mod.p) seu X —=&4+p2. Ponatur
E=t4pp, Y=Yrpo
erit
EV = X—p2+@t+Eo)p+pppo
Siigitur SW esse debet = X (mod.pp), necessario debet esse ob+u—2%
per p divisibilis. At cum % et 5 secundum modulum p sint functiones inter
se primae, 9 et w ita determinari poterunt, ut haec conditio adimpleatur (8.336),
et quidem insuper ita, ut dimensiones ipsarum 9 et ® sint respective unitate mi-
nores dimensionibus funetionum &,d. Hinc erit X = ZW (mod.pp). Patet,
simili modo Y rursus in factores E’2 discerpi posse, ita ut alter 2 st =’
(mod.p) et ita porro, unde tandem
374.
Facile hinc probari potest, functionem X etiam secundum modulos p°, p*
etc. in factores resolvi posse. Generaliter sit
X = PQ(mod.p” su X = PQ+p"R
et functio P ad ipsam Q prima secundum modulum 7; posito
P=P+2”, VEQ+Bp*
erit
PQ’ = X—p"R+(AQ+BP)p”+ ABp””
Hinc pro quovis modulo p’ (» existente >m et <2m-+-1) erit
PQ=X, sis R=4Q-+BP(mod.p"”)
DISQUISITIONES GENERALES DE CONGRUENTIIS. 239
Ex his perspicitur, si functio X aequales non habeat divisores secundum modu-
lum p, eam secundum modulum p* similiter in factores discerpi posse, uti secun-
dum modulum p. Atsi X divisores aequales habeat, res fit multo magis com-
plicata neque adeo ex principiis praecedentibus prorsus exhauriri potest. Quare
quum quae huc pertineant cuncta communicare non possimus, unicum casum tan-
tummodo considerabimus, qui plurimum oceurrit cuiusque enodatio ad quaedam
in praecedentibus dubia solvenda requiritur. Hic est, si factores aequales unius
dimensionis tantum respiciantur. Hic proprie etiam ad congruentiarum radices
inveniendas adhiberi potest. Generaliter alia occasione hanc rem pertractabimus.
375.
Sit igitur X = X’(@—a)”(mod.p) et functio X’ ad x—a prima; de-
siderantur omnes divisores unius dimensionis huic 2 —a secundum modulum p
congrui ipsius X secundum modulos pp, p’ete. (Supponimus, functionem X
absolute per #—.a dividi non posse; alias enim #—a secundum modulum
quemcunque functionem X divideret). Si substituatur z-+a pro x, habebitur
Z=Zz"(mod.p) su Z=Zz"+pA
Iam si Z secundum modulum pp per aliquem divisorem formae z—+ap dividi
potest, necessario A debet esse formae zZ’+pB. Nisi hoc sit, disquisitio iam
est finita. Ponamus igitur
Z= Zz"+pZ’z(mod.pp) su Z= Zz"+pZ’z+ppB
patetque, Z per z ac quemcunque alium divisorem huic secundum modulum p
congruum dividi posse.
Ut attentio fixetur, ponemus m —= 4, facile perspicietur, quemvis alium ca-
sum simili modo tractari posse. Iam si Z secundum modulum »°” per aliquem
divisorem formae z-+ap dividi potest, erit
= —appZ’+ppB(modd.z+ap,p?) seu aZ’== B(modd.z,p)
Jam tres casus.esse possunt
1) ss Z’= 0(modd.2,p) et B non = 0, tunc patet, nullum ipsius «
valorem congruentiae satisfacere adeoque Z secundum modulum p® nullum di-
visorem formae z-+ap. habere. Quare disquisitio erit finita
240 NACHLASS ANALYSIS RESIDUORUM.
2) sinece Z’ nec B= 0(modd.z,p); tunc a unicum valorem habebit,
scilicet
2
a z„(modd.z,»)
Quare erit unicus divior = z2+ap(mod.pp) ipsius Z secundum modulum p°;
eritque
Z= Ve+ap)+pW
Iam ponatur divisor ipsius Z(mod.p‘) z-+ap-+-5pp eritque
0
BEMERKUNGEN ZUR ANALYSIS RESIDUORUM.
Die beiden vorstehenden Abhandlungen sind einem umfangreichen Manuscripte entnommen, welches
den Titel Analysis Residuorum führt und vermuthlich aus dem Jahre 1797 oder 1798 stammt; durch eine
gänzliche Umarbeitung sind aus demselben später die Disquisitiones Arithmeticae entstanden. Der vollstän-
dige Titel des Caput sextum lautet:
Solutio congruentiae <”—1 = 0 et aequationis <”—1 = 0; cum dilucidationibus super theoria po-
lygonorum regularium.
Der zweite Theil desselben ($$.253—2783) ist seinem wesentlichen Inhalte nach in die siebente Sec-
tion der Disqq. Arithm. übergegangen.
Ausserdem ist noch zum Theil erhalten das Caput septimum. Variae quarundam investigationum
praecedentium applicationes ($$.279—302). Es zerfällt in folgende Unterabtheilungen:
De fractionum communium transmutationibus ($$. 279— 281).
De fractionum communium in decimales conversione ($$. 232— 292).
De resolutione aequationis indeterminatae zz = a+by ($$. 293— 297).
De resolutione aequationis indeterminatae are +byy= ec ($$. 298—301).
De investigatione divisorum numerorum ($. 302; die folgenden Bogen fehlen).
Dies alles ist fast wörtlich in die sechste Section der Disqg. Arithm. aufgenommen,
Die beiden hier mitgetheilten Abschnitte behandeln die Gegenstände, welche, wie aus der Vorrede
und den Artikeln 11, 44, 61, 62, 65, 84 der Disqq. Arithm. hervorgeht, den Inhalt der achten Section
dieses Werkes bilden sollten. Es verdient indessen bemerkt zu werden, dass dieser Plan später wieder
abgeändert ist; es findet sich nemlich unter den Manuscripten ein Fragment mit der Ueberschrift Sectio
octava: Quarundam disquisitionum ad circuli sectionem pertinentium uberior consideratio. Dasselbe be-
BEMERKUNGEN ZUR ANALYSIS RESIDUORUM. 241
n
ginnt mit Art. 367 und sollte also die Fortsetzung der Disqq. Arithm. bilden; die wenigen noch vorhande-
nen Artikel sind aber später ihrem Inhalte nach in die Abhandlung Summatio quarumdam serierum singu-
larium übergegangen, und deshalb wird dieses Fragment von der gegenwärtigen Ausgabe ausgeschlossen.
In dem vorstehenden Abdruck der beiden Theile der Analysis Residuorum ist der Text des Origi-
nals im Wesentlichen treu beibehalten, obgleich dasselbe in formeller Beziehung nicht druckfertig zu nen-
nen ist; in den folgenden Bemerkungen sind die wichtigsten Abänderungen bezeichnet, und zugleich einige
Erläuterungen hinzugefügt.
$. 237. Vergl. Disqq. Arithm. artt. 61, 62.
$. 239. Vergl. Disqq. Arithm. artt. 53, 54, 65.
$. 241. Wenn rz = 2” und „2 3 ist, so existirt zwar keine Zahl p von der angegebenen Art,
aber die ganze Untersuchuug wird hierdurch nicht wesentlich geändert. i
$- 251. Vermuthlich sollte die hier bemerkte Schwierigkeit durch die Einführung höherer Potenzen
von p als Moduln beseitigt werden. Vergl. $$. 363, 372, 373.
$. 332. Die Voraussetzung, dass der Modulus eine Primzahl ist, wird bis $. 372 incl. beibehalten.
$. 338. Das unvollständige Citat kann auf Disqgq. Arithm. art. 44 bezogen werden.
$$. 344—346. Von den beiden im Manuscript vorhandenen Beweisen ist hier der erste, welcher mit
den Worten iam demonstrare accingimur eingeleitet wird und sich auf eine nähere Untersuchung der Aus-
drücke (1420 37,. .) gründet, nach der eigenen Vorschrift des Verfassers ganz unterdrückt (‘Tota prae-
cedens demonstratio una cum altera theorematis praec., quam adiicere mens erat, supprimenda erit, quoniam
aliam infinities simpliciorem deteximus. Nititur ea huic fundamento’.); in dem obigen Ausdruck ist ferner
der zweite Beweis dadurch abgekürzt, dass die Entwicklung von 3 statt derjenigen von cz hetrash:
tet wird, wodurch zugleich eine im Original enthaltene Beziehung auf den unterdrückten ersten Beweis um-
gangen wird.
$. 348. Der Ausdruck radix prima ist hier in derselben Bedeutung zu nehmen, wie der Ausdruck
radix propria in der Abhandlung Summatio quarumdam serierum singularium art. 11.— Bei der Behaup-
tung, dass die Coäflicienten 4’. B’... des entwickelten Productes ganze rationale Zahlen sind, wird auf
das sechste Capitel verwiesen, in welchem aber die Theorie der Gleichung z’—1 = 0 nur für den Fall be-
‚handelt wird, dass x eine Primzahl ist; die Form des Beweises in $. 349 führt zunächst auf folgende Er-
gänzung. Wird das entwickelte Product in die (für alle Wurzeln der Gleichung 9° = ı geltende) Form
S=E+FI+...+Ng-:
gebracht, so sind die Coöflicienten Z, F..._N ganze rationale Functionen von z mit ganzen rationalen
Coöffieienten ; da ferner das Product ungeändert bleibt, wenn 9 durch #* ersetzt wird, wo k irgend eine
relative Primzahl zu x bedeutet, so gilt dasselbe von dem Ausdruck S, und hieraus ergibt sich ohne
Schwierigkeit, dass alle diejenigen in $ enthaltenen Potenzen von 9, deren Exponenten s einen und den-
selben grössten gemeinschaftlichen Divisor mit 7 haben, auch identische Coöfficienten haben müssen; da
endlich eine jede Summe solcher Potenzen #° immer eine ganze Zahl ist, so leuchtet ein, dass der Aus-
druck 8, und folglich auch das in Rede stehende Product eine ganze Function von x mit ganzen Coöfh-
cienten ist, was zu zeigen war. Ebenso geht aus dieser Betrachtung zugleich die Richtigkeit der Bemer-
kung am Schlusse des Paragraphen hervor. Andere Gründe lassen indessen vermuthen, dass dem Verfas-
ser schon damals das allgemeine Theorem über die Transformation der symmetrischen Functionen (Demon-
stratio nova altera theorematis omnem functionem etc. art. 4) bekannt war, aus welchem sich die obigen
Sätze als unmittelbare Folgerungen ergeben.
$. 352. Das Zeichen R= S(mod. P) oder auch R= S(mod. P,p) bedeutet hier und im Folgen-
U. 31
242 BEMERKUNGEN ZUR ANALYSIS RESIDUORUM.
den, dass die Differenz R— 8 nach dem Modul p den Divisor P hat. — Das unvollständige Citat kann
auf Disqq. Arithm. art. 49 bezogen werden.
$. 354. Durch Multiplication mit «°—1 ergibt sich, dass die Summen gleich hoher Potenzen der Wurzeln
der beiden Gleichungen (P, p®**) = o, (P, p‘) = 0 einander congruent sind (mod. p), uud hieraus folgt die
Congruenz (P, p"+t) = (P, p*)(mod.p), sobald m<(p ist (vergl. $. 244); ist aber m p, so lässt sich der
Coöfficient der Potenz x"? in einer Gleichung nicht mehr aus den gegebenen Potenzsummen ihrer Wurzeln
nach dem Modul p bestimmen, weil er in den hierzu dienenden Newron’schen Formeln mit dem Factor p
behaftet ist. In der That darf man aus der Congruenz je zweier gleich hoher Potenzsummen der Wurzeln
der Gleichungen A= 0, B = 0 allgemein nur folgern, dass A= WC, B= BPE(mod.p) ist, wo & den
grössten gemeinschaftlichen Divisor der beiden Functionen A, B nach dem Primzahl-Modulus p bezeich-
net, A und ® aber ganz unbestimmte Functionen sind. Es ist zu vermuthen, dass der Verfasser die All-
gemeingültigkeit des Satzes aus der Theorie der Transformation der symmetrischen Functionen und speciell
aus dem folgenden Satze abgeleitet hat: Ist in Bezug auf einen beliebigen Modulus p die Differenz
R(2)— $ (x) theilbar durch die Function P(x), und sind a, b, ec... die Wurzeln der Gleichung P(x) = 0,
so sind die Functionen
(«— R(a))(e— R(b)) (e—KR(e))... und («—S(a))(«—S(b))(c—S(e)).. -
einander nach dem Modul p congruent.
$ 355. Es wird in $.368 gezeigt, dass P und S= keinen gemeinschaftlichen Divisor haben, wenn
P keinen Factor mehr als einmal enthält.
$$. 358, 359. Die unter den Text gesetzte Note ist einem einzelnen Blatt entnommen, welches
wahrscheinlich den schon in der Handschrift gestrichenen $. 359 ersetzen sollte.
$. 360. In dem Ausdruck des Theorems ist eine Ungenauigkeit der Handschrift berichtigt.
$. 361. Hier bedeutet der Exponent 7 in dem Zeichen (£, pP*) jede positive ganze Zahl A’ von
der Beschaffenheit, dass kk’= ı (mod.v) wird, wo v die kleinste positive ganze Zahl ist, für welche x’—1
durch £ nach dem Modul p theilbar wird; hierbei ist vorauszusetzen, dass & nicht durch x theilbar nach
dem Modul p, und ausserdem, dass A relative Primzahl zu v ist. Die Richtigkeit der Behauptung, dass
&’ durch ($, Pk) theilbar ist (mod.p), ergibt sich aus $. 354. &
$. 363. Die Schlussbemerkung bezieht sich vermuthlich auf die Einführung von Moduln, welche
Potenzen der Primzahl p sind; vergl. $$, 251, 372, 373.
$. 367. Die Wurzeln der Gleichung 2 +22 — 22—1= 0 sind die zweigliedrigen Perioden, in
welche die Wurzeln der Gleichung 1 — 0 zerfallen. Dasselbe Beispiel findet sich auch auf einem ein-
zelnen Blatt, wo das Hauptresultat der $$. 362, 363 unter dem Titel ‘der goldene Lehrsatz’ ausgespro-
chen ist.
$. 371. Dieser Paragraph sollte ein Beispiel enthalten; doch ist dasselbe nicht ausgeführt.
R. Depekıno,
DISQUISITIONUM CIRCA AEQUATIONES PURAS
ULTERIOR EVOLUTIO.
1.
Quum methodus ea, per quam in Disquiss. Arithm. art. 360 aequationem
©" —1 = 0 solvere docuimus, theoriam foecundissimam et gravissimam consti-
tuat, cuius prima tantum momenta in opere illo attingere licuit, gratum geome-
tris fore speramus, si hoc argumentum denuo hie resumimus, quae breviter tan-
tum partimque demonstrationibus suppressis adumbrata fuerant, uberius tracta-
mus, et quae ex illo tempore accesserunt incrementa profundius persequimur.
Exponens » supponitur esse numerus primus, numerusque n—1 in facto-
res X 56Xy resolutus; porro designamus per g aliquam radicem primitivam pro
modulo n. Exhibeat r indefinite radicem aequationis «*—1 = 0, atque R in-
definite radicem aequationis # —1 — 0. Designando itaque peripheriam circuli,
cuius radius —= 1, per P, quantitatemque imaginariam Y—1 per i, omnes radi-
ces aequationis @°—1 — 0, sive omnes valores ipsius R exhibebuntur per formulam
cos > —-isin ni
exprimente A indefinite numeros integros 0, 1,2,3...6—1. Porro patet, omnes
potestates cuiusvis radicis R ipsas quoque esse radices, nec non, si R fuerit ra-
dix valori ipsius X ad 5 primo respondens, omnes potestates R°, R, R*, R®... R’-!
inter se diversas esse, adeoque totum radicum complexum exhaurire; in hoc casu
. . . ” ” $ * ®
ipsam R radicem propriam aequationis @—1 —= 0 dicemus; contra radix R va-
31*
244 NACHLASS.
lori ipsius k ad ö non primo respondens impropria vocabitur, nulloque negotio
perspicitur, si ö fuerit divisor communis maximus ‚„umerorum k et 6, fore
Br — 1, omnes vero potestates R’, R, R’, R?.. We =! inter se diversas, ad-
eoque R radicem propriam aequationis Pl —1=0. Eadem de aequatione
x"’_1 — 0 valebunt, sed huius radices omnes necessario sunt propriae radice 1
excepta.
2.
His praemissis disquisitio nostra imprimis versabitur circa functiones huius
formae, e 6y terminis conflatas
2 3 2 ni
r+Rı®’ + RI RI"... + Re1,9°°7 y
quas compendii caussa per hunc characterem [r, R| designabimus. Singuli ter-
mini talis expressionis sunt producta e potestatibus ipsius r in potestates ipsius
R; illarum exponentes progressionem geometricam constituunt, exponentes harum
arithmeticam. Exponentes
1, g®, gr ge AIR PRPIRE: A
omnes inter se incongrui sunt secundum modulum », adeoque illae potestates
ipsius r inter se diversae; ulterius vero continuatae eandem seriem denuo incipe-
rent, quum sit gt = 1 (mod.n), adeoque NE en Factores alteri autem
eb ; Äh; Aka moeenheceigen ı 24 ve
constituunt y periodos aequales, quum sit R=1, RT!—=Retc. Hinc patet,
functionem [r, R] ita quoque exhiberi posse
r a. Er regel oo
; 200+0 AOY-ROrA
nn. 419 )
PR g2% gaS+24 g206+2% gedy-a6+2u
= (r tr Harn san. +r )
— etc.
6—1 /..ga6-a 2u6-a 3ab-u aßy-a
BB ar, A = nl ken a ii +79)
sive introducendo signum art. 343 Disq. Ar.
rR= FRE) +Ryg®) .... +RUng")
DISQUISITIONUM CIRCA AEQUATIONES PURAS ULTERIOR EVOLUTIO,. 245
3.
Si pro radice r unitatem accipimus, habemus
1,Rl=1+R+R’+R... +. RM — TIERE... +R=)
huius valor erit =6y, si etiam pro R accipitur radix 1, sed —= 0 pro quovis
alio valore ipsius R. Contra manente r indeterminata, positaque R=1, erit
[r, 1] = ER RES" [Riten Se MER la, sive adhibito signo in Disq. Ar. in-
troducto, [r,1] = (6y,1), i.e. constabit e periodo 5y radicum, e quibus una
estipsa r. Quoties est « = 1, haec periodus omnes radices r,r?, r?... . "1
complectetur ordine tantum mutato. |
Notentur adhuc relationes sequentes, quarum ratio sponte elucet:
r,R) = R[r%*, R) = R?{r9”*, R) sive generaliter — R*fr9* R
g
denotante A integrum positivum quemcunque. Hinc patet, functionem |r”, R)
velesse —=[1,R], scilicet si fuerit m divisibilis per n, vel reduci posse ad for-
mam R"[r#',R] in casibus reliquis et quidem ita, utsit v<a. Sienim m non
est divisibilis per n, congruus erit secundum modulum n alicui potestati ipsius
9, euius exponens ad instar Disq. Ar. per ind. m commode exprimitur; sta-
tuendo itaque ind.m =Aa+-v, quod manifesto fieri potest, itautsit v<a, erit
7”, R) = [r”, R) = R*{r®", R): faciendus est itaque p—= —X aut si expo-
nentem positivum desideras, £ = —A(mod.b).
4.
THEoREMA. Designante r' perinde ut r indefinite radicem aequationis —1 — 0,
nec non R perinde ut R indefinite radicem aequationis ee -—1—= 0, erit productum
r,R]x[r, R] =
Fr, RR’)+ R{r#*r', RR’]+ R?[r9°*r, RR’)
+ RR’, RR]... . + Reg. RR)
Demonstr. Absolvendo multiplicationem ipsius [r, R] per singulas partes
ipsius [»’, R’], productum in hac forma exhiberi potest
ir, Ri + RR'[r*, R]r 9° + RUR?[{r9”", Br"
+ RR", Ar”... + Re RT, get
246 NACHLASS.
Collectis dein singularum partium rite evolutarum terminis primis, prodit [r7’, RR);
perinde collectis terminis secundis, emergit R[r#*r', RR’) et sic porro, unde tan-
dem producti forma tradita eonflatur. Q.E.D.
Ceterum per solam permutationem ipsarum r, R cum r', R’ patet, idem
productum etiam sub hanc formam poni posse:
fr, RR’]+ R'{rr‘9*, RR'J+ R”(rr'9, RR’)
IR RR]... + Re tt, RR]
Hinc porro concluditur, si etiam +”, r"" etc. indefinite exprimant radices
aequationis @°—1 = 0, nec non R”, R” etc. indefinite radices aequationis
2° —1 — 0, productum e functionibus [r, R], [r’, R’], [r", R"], [r”, R”] ete., quan-
tacunque fuerit ipsarum multitudo, aequale fore aggregato
ke’ nk" nk!" ak’ En A " 7
ER" R" R” etc. [rn "9 29" etc., RR'R"R” etc.)
substitutis pro A’, A”, A” etc. omnibus numeris 0,1,2,3...5y—1, omnibus
modis diversis possibilibus inter se combinatis, quo pacto omnino d*7!yP! ter-
mini emergent, si per f multitudo illarum functionum inter se multiplicatarum
denotatur. |
5. |
Formula, per quam in art. praec. productum e functionibus quotceunque ex-
etc., vel
m
pressimus, generalis est, neque ullum nexum inter radices r, r, r", r
inter R, R', R’, R” etc. supponit. Nullo inde negotio deducitur, si radices
r,r',r" etc. tamquam potestates ipsius », radicesque R’, R’, R” etc. tam-
quam potestates ipsius R considerare liceat, singulas partes producti sub forma
RB”. (r", R“) comprehensas fore, ubi exponens X pro singulis idem erit, scilicet
R" = RR'R'R" etc. Quamobrem per ea, quae in art.3 monuimus, huiusmodi
productum reducetur ad formam sequentem
AU, RY}+ Bir, RM) -+ Br, RM + B" (v9, RYJ+B” 9‘, R)+ etc.
EB 2 oa (79°, RN
ubi singuli co£fficientes A, B, B’, B", B” etc. erunt formae
kA+-KR+WRH"R+ etc. +16) R"
designantibus A, A, A’, A” etc. numeros determinatos integros.
DISQUISITIONUM CIRCA AEQUATIONES PURAS ULTER OR EVOLUTIO. 247
Casus simplieissimus is erit, ubi ponitur r=r=r"— r”ete., nec non
R=R'= R’= R”etc.; tunc productum nostrum transit in potestatem [r, Br
quae itaque ad formam supra traditam semper reveniet.
6.
Statuendo itaque A = 6, potestas [r, R]® hanc formam nanciscetur:
Al1,1]+B/r,1])+ B’[r?, 1)-+ete. + B 9 rg", 1]
— 6yA+-B(67,1)+B’(6y,9)+B"(6y,g?)—+ etc. + BF (6,97) = #'
Quodsi itaque non modo valor radicis R (adeoque et valores coöfficientium
A, B, B’etc.), sed etiam valores singulorum aggregatorum dy terminorum
(öy,1), (6y,g) etc. cogniti ea en valor ipsius B’ sponte innotescet, unde
erui poterit [r, R] per formulam Y6. Haec expressio 5 valores diversos admit-
tit; unde dubium videri posset, quemnam adoptare oporteat: facile autem osten-
ditur, hoc prorsus arbitrarium esse, quoties R sit radix propria aequationis # —1
= 0. Inbhoc enim casu patet, illos 5 valores expressionis radicalis 9’ fore
nl, Bl, We ....
quippe quarum functionum potestates 6° per art.3 inter se aequales erunt, ip-
sae vero inter se ipsis 5 radicibus diversis aequationis &°—1 — 0 proportiona-
les: sed quamdiu aggregata 6, terminorum (By, 1), (6y,g) etc. tantum cognita
sunt, ipsa radix r eatenus tantum determinata est, quod in complexu (6y, 1)
contenta esse debet, arbitrariumque manet, gquamnam ex hoc complexu pro r ad-
optemus. Hae radices vero sunt r, r9*, 79?* etc., et proin etiam e functionibus
[r, R), [r9°,R], [rf”°, R) etc. quamlibet pro [r, R] adoptare possumus.
Hae conclusiones non valerent, si R non esset radix propria ee
2°—1 = 0; supponendo enim, R esse radicem propriam aequationis &° —ı — 0,
ita ut 6’ sit divisor ipsius Ö, facile patet, fieri
r,.R]= [r®,R), [9 R) = [9° R) ete.
adeoque in complexu 5 functionum [r, R}, [»7°, R].. au R] tantummodo 6’
diversas reperiri, et proin etiam e valoribus expressionis Vh’ haud plures quam
5’ admissibiles esse, reliquos 6— 6’ autem spurios. At nullo negotio perspici-
tur, in hoc casu haud opus esse usque ad potestatam 6%” functionis [r, R] ascen-
248 NACHLASS.
dere, sed iam potestatem [r, R]® ad formam nostram
6,7 A+ B(6y,1)+ B’(6y,9)+B"(6y.g°) etc.
[3 . . . 6. . . . -
reduci. Habebimus itaque [r, R] per expressionem talem Y®, nihilque intererit,
quemnam valorem huius expressionis adoptemus.
&
I
Perinde ut [r, R] etiam functiones [r, R?], [r, R®?] etc. sive generaliter
[r,.R®) determinare licebit: patet enim, si substituendo in 9’ loco ipsius R po-
testates R?, R? etc. R“ emergere supponantur functiones #”, #”ete. 0%, fore
(,. RP = 6", fr, R’? —= N” etc. et generaliter [r, R" — 0%; quamobrem hae
. quoque functiones per expressiones radicales exprimi poterunt, [r, Rs 0” etc.
Sed haud convenit, hisce expressionibus radicalibus uti, quoties quantitas aliqua
per functionem ipsarum [r, R], [r, R’Jete. exprimenda est. Scilicet quum singu-
larum valores haud penitus determinati sint, dubium maneret, quosnam inter se
combinare liceret: manifesto autem hoc neutiquam arbitrarium est; facile enim
perspieitur, simulac pro [r, R] valor determinatus accipiatur, etiam omnes
[r,.R?], [r,.R?) etc. valores penitus determinatos nancisci debere, qui autem per
expressiones radicales non indicantur. His itaque reiectis, expressiones alias in-
dagare oportet, quarum adiumento [r, R?], [r, R*] etc. rationaliter per [r, R] at-
que quantitates cognitas exhibeantur, quod facile sequenti modo eflicimus.
Per theorema art. 4, eaque quae in art. 5 docuimus, etiam productum
r,. RF] x Ir, R]—* ad formam talem
6744 B(67,1)+B'(&y,9)++B’(6y,9°)+ etc. + BB" (67,9°")
reducetur, ubi A, B, B’, B" etc. erunt functiones rationales ipsius R. Positis
itaque productis
erunt etiam 9”, 9”, 9”" etc. quantitates rationaliter assignabiles, atque
%
DISQUISITIONUM CIRCA AEQUATIONES PURAS ULTERIOR EVOLUTIO,. 249
r,R)=% [rR}
PR] —=% fr, R?
nR)= FerR
etc.
Hae expressiones itaque valores functionum [r, R’), [r, R?] etc. rationaliter exhi-
bent, siquidem non fuerit [r. R| = 0, in quo casu indeterminatae fierent: at
rigorose demonstrare possumus, numquam fieri posse [r, R| = 0, quoties quidem
r denotet radicem ab 1 diversam, etiamsi expositionem huius demonstrationis,
ne hic nimis prolixi fiamus, ad aliam occasionem nobis reservare oporteat.
8.
Quae in artt. praecc. exposuimus, usum praestant, si a periodis öy termi-
norum ad periodos y terminorum descendere propositum est. Nullo scilicet ne-
gotio perspicitur, denotante R radicem propriam, haberi
ö(y1) = (6y,1)+[r.RJ+ [r, R])+ [r, RPJ-+ etc. + [r, RP]
ö(y.9°) = (6y,1)+ Rn, RJ+ RÜ{r, RP) + RP fr, RP] etc. + R[r, RP]
(1,9) = (6y,1)+ Rn, RI+ R® fr, RP) + R®fr, RP] + etc. + R?fr, RN)
etc.
|
Si hie pro singulis [r, R], [r, R’] etc. expressiones radicales vv, vo" etc.
acciperentur, valor cuiusvis seriei inter valores 6°! dubius esset, qui contra
adoptatis expressionibus rationalibus pro [r, R*]etc. ambiguitati alii non erit ob-
noxius, nisi quae per rei naturam est inevitabilis. Haec observatio attentionem
ill. Laerange subterfugisse videtur, qui methodum nostram in Disquis. arithm.
art. 360 traditam, ubi haud inconsulto neglectis expressionibus radicalibus solas
rationales proposueramus, simplificavisse sibi visus est, dum illas pro his substi-
tuit (Trait€ de la resolution nume&rique des dquations; Edition 2” pag. 311).
Ceterum vix opus est hie monere, simulac valores periodorum (Y: 1), (1:9°)
etc., aut tantummodo unius ex ipsis eruti sint, valores omnium reliquarum pe-
riodorum y terminorum rationaliter inde deduci posse. Descensus itaque a pe-
riodis dy terminorum ad periodos y terminorum requirit solutionem aequationum
ee, operationesque reliquae rationaliter perficientur.
250 NACHLASS.
9
Haec omnia eodem fere modo iam in Disquis. Ar. pertractata fuerant; quae-
dam autem illic adiecta fuerant suppressa demonstratione, quam hic explere con-
sultum iudicamus. Annuntiavimus illic, evolutionem valoris quantitatis radica-
lis vo, quae quandoquidem d’ est quantitas imaginaria, sectionem tum rationis
tum anguli in 6 partes requirere videtur, a sola posteriori pendere, prioremque
semper ad solam extractionem unius radicis quadratae reduci posse: hoc ita de-.
monstramus.
Designando ut supra quantitatem imaginariam Y—-1 per i, statuendoque
0’—= P-+iQ, atque aliquem valorem expressionis Ve—=p-ig, itaut P, Q,p,q
sint reales, constat, si quantitates positivae E, e angulique F, f ita determinen-
tur, utsit P= EcosF, Q = EsinF,p—ecosf,; qg = esin ih, fore a VE,
atque f aequalem alicui ex angulis
sF. #(F+360%), 2(F+720°%).... z(F+(6—1) 360°)
Determinabitur itaque f' ger sectionem anguli F' in 5 partes, at extractione ra-
Be - | : En;
dieis Y_E sequenti modo supersedere possumus. Quodvis productum »*R” par-
%k Rd . . = j
tem suam realem habet communem cum r"”R “ , partes imaginariae autem
factorem i implicantes in his productis aequales sed oppositae erunt. Hinc sponte
sequitur [r=!, RT] = p—iq = e(cosf—isin f), adeoque
re et 5
Sed productum illud per theorema art. 4 fit
— [1,1] R{", 1] + R°{r94, 1]-+ ete. + Rt rg®@Te-i, 1]
ce 6y+R(6y,9"—1) + R’(6y,9"—1)+ etc. ROY Tr 1)
quae quantitas determinabilis est, si R omnesque periodi 6 y terminorum cogni-
tae supponuntur. Determinatio ipsius e itaque solam extractionem radicis qua-
dratae postulat.
In casu speciali, ubi «= 1, singulae periodi (dy.g"—1), (6y,9°°—1) etc.
manifesto sunt = r+r’£r’+r+ etc. +r”7!, adeoque |
ve = 6Y+H{RHRIHRIH ete. HR (Hr Hr + ee. +71)
a öy—+1 Se
DISQUISITIONUM CIRCA AEQUATIONES PURAS ULTERIOR EVOLUTIO. 251
siquidem r et R radices ab 1 diversas exhibere supponuntur, et proin semper
e= Yn (Disg. arithm. art. 360 fin.).
10.
Hactenus disquisitionem nostram summa generalitate instituimus, ut valo-
res quoscunque numerorum a, d, y complectatur: abhinc vero ad casum magis
limitatum, ubi @—=1, transibimus, quiad disquisitiones foecundissimas et ele-
gantissimas viam nobis sternet. Exprimet itaque signum [r, R] functionem
r+RıI + REP HR’ etc. + RR 2r9"”
ubi n est numerus primus, r indefinite radix aequationis "—1—0 (radice 1
non excepta), R indefinite radix aequationis &°—-1 — 0, denotante 8 divisorem
datum ipsius n—1, denique g integer, qui est radix primitiva determinata pro
modulo n. Porro brevitatis caussa scribemus
Ir +’ + rt +ee.+ "los
IHR+HR+RIL etc. RI? — 8
unde patet s firi =n pro r —=1, sed s— 0 pro quovis alio valore ipsius r,
et perind S=n—1 pro R=1, sed S = 0 pro quovis alio valore ipsius R.
Per art. 3 itaque habemus [i,R) = S, [r, 1] = s—1; porro pro quovis
valore integri m per n non divisibili [”, R] = Re R], aut generalius
(r", RM — R# indmr, R), ubiindm est exponens potestatis numeri g secun-
dum modulum » ipsi m congruae. Applicando hanc transformationem ad ea,
quae in art.5 docuimus, sequitur, productum e duabus pluribusve functionibus
talibus jr”, u reduci ad formam hanc
Al1, R]-+ Bfr, RY
ubi A et B erunt furctiones rationales ipsius R cum coöfficientibus integris, at-
que A aggregatum omnium valorum ipsius H. Magni momenti erit, huiusmodi
transformationes ad algorithmum expeditum reducere, ad quem finem imprimis
indoles producti e duabus functionibus propius nobis consideranda erit.
11.
Productum [r, RP] x [r, R’) per theorema art.4 fit —
32*
252 _ NACHLASS,
[r?, RP] + RF{rsH, RetY) + Re a, RYFY] 4 RES, RPFVI etc.
+ Rede HL, Reto]
Inter n—1 exponentes 2, 9-+1, g’+1, g’+1 etc. 9"””-+1 unus tantum repe-
rietur per n divisibilis, puta Werder, aggregati itaque nostri terminus respon-
dens erit R"—"f1, RPF%]: hie terminus erit = 0, quoties non est RP 1,
et —= (n—1) RIP —+(n—1), pro R"TV = 1. Partes reliquae aggregati
nostri, quarum summam statuemus =, sequenti modo transformantur:
[n, R"tV R etVind 2 R"tV
Ir |
2; Pa Rt) — = Br („-+v)ind(g+1) e Rt"
keir, I ER RFtY) — Rt V)ind(g? +1) Ir, RP+]
Rn? +4 RN — n ROT, ‚RP
etc.
Hinc colligimus
F 9— fr, RP) se 5 Rende-(tWinde+1)
si pro # successive substituuntur valores 1, 9, 9, 9°. . . . 9" excepto hoc
er, seu quod manifesto eodem redit, si pro # substituuntur valores 1, 2, 3,
4....n— 2, quoniam valores hi illis (etsi ordine mutato) congrui sunt secundum
modulum n. |
Statuendo integro y ipsi & reciprocum secundum modulum a, i. e. ita de-
terminatum, ut fat @y=1(mod.n), erit inde = —indy(mod 2a—1), atque
ind (@+1)-Hindy=ind(@ey-+y) =ind(1+y) (mod.2—1); hinc fit
winde— (pH v)ind (+1) = — pindy—(p-+v) find (y+1)—indy}
= yindy—(p-+v)ind(y—+1)
Quamobrem quum numeri ipsis 1, 2,3...n—2 reciproci cum his ipsis ordine
tantum mutato conveniant, etiam erit
I Q— fr, RF"] x y Rp ndy—(e+vJind(y+1)
substituendo pro Y successive numeros 1,2,3...n—2. Fadem formula imme-
diate ex I derivatur, quum manifesto numeros p, v inter se permutare liceat.
Denique statuendo integrum 2 ipsi «+1 reciprocum secundum modu-
DISQUISITIONUM CIRCA AEQUATIONES PURAS ULTERIOR EVOLUTIO. 253
lum n, sive @z2+z2=1(mod.n), erit ind (1—2) = ind&+ indz(mod.n —1),
ind (@ +1) = —indz/mod.n—1) adeoque
pinde— (e+v)ind@ +1) = p(ind(1—z)—indz)+(e+-v)indz
pind (1—z)—+-vindz
I Il
Quare quum percurrente & valores 1, 2, 3...n—2, numerus z percurrere de-
beat valores 2,3,4....n—1 (etsi alio ordine), nanciscimur expressionem tertiam
III. O bean [r, Br x y gind (1—z)-+vindz
substituendo pro z successive valores 2, 3, 4...n—1, aut si-mavis
IV. ER ir, RF” x 5 pHind(n+1—2)-+vindz
fr, RP SEN en er
Quum habeatur ind(1 —2) = 4(n—1)-+-ind(2—1), productum nostrum ita quo-
que exhiberi poterit:
Prem Rt FB Teen tms
ER Re TE = ir, RF*®) x > ee ee
ubi semper pro z substituendi concipiuntur valores 2,3,4....n—1.
Ceterum in omnibus his formulis pro numeris
pinde—(p+-v)ind(@+1), vindy—(p+v)ind(y+1), pind(1—z)+vindz
etc. manifesto ipsorum residua minima secundum modulum substitui poterunt.
Si p+v=0(mod.6) erit
[r, RP] [r, R’) oe (n—1) RP Nr
Hr Hr’ Hr’ +... 41"1)%x G-H-RP-RFLRFL.. RR _ Rio=0R)
12.
Productum [1,R"]x [r, R’] per theorema art. 4 fit
— [r, RP) R#{r, RP] -R®(r, RPt9]$ etc. + Are fr, Ret]
a [r, RHv] 2% (1 + R"—- RR" + etc. ee
= [r, RP]X "Ti +RP+RP+RP+ etc. + RP)
254 NACHLASS.
Hinc productum [1,R*]x[1, R’] evolvitur in
"ZU [1,RPP]Xx (IHRP+RP HR 4 ete. + RO)
Nullo iam negotio generaliter productum [r”, R®]. r” R”] erui poterit, quum
enim fiat [r”, R*] = R-Hindmr, R"] pro valore ipsius m per » non divisibili, et
— [1,R*] pro valore divisibili, et quum similis transformatio de factore altero
(m, R"] valeat, multiplicatio vel ad problema art. praec. reducetur, vel ad ca-
sus eos, quos in hoc art. consideravimus.
13.
Postquam productum e duobus factoribus evolvere docuimus, evolutio pro-
ducti e factoribus pluribus nulli difficultati obnoxia erit. Producto [r, R*]x[r, R*]
ad formam Afı,R"tYj-+ Bf[r, RPT”]) reducto, patet, si accedat factor tertius
[r, R"], productum fieri = C[1, RYTYt"]+ Dfr, R"}*t"] statuendo
[r, Rt] [r,. R°] = el1, Rrt+r]4-d{r, Rrtte]
atque
G—BE
D=Bd+Aj1-+ RP +RPt®L etc. + RP)
Hinc potest [r,R]* facile ad formam A[1,R)+Bfr, R*) reduci poterit.
Exempli caussa evolvemus potestates functionis [r,R] pro n=11,6=5,
ubi statuemus g9—= 2. Hinc respondebunt
numeris 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10
indices : 0:4,8;2:4.9.7433:6 23
Habemus itaque ad evolutionem quadrati [r, R]’ secundum formulam I art. 11:
r=1, v1
N ee IL EEE EI
AIR 2 a Bi Fe Bee Fe A Pe
2ind(e-+1). a. 2.16.4.8.18.14.6.12.10
Res. min. ipsius nde— 2ind(«—+1)
secundum modulum 5 ....... 35.0.0873. 0.10 355
unde deducimus
DISQUISITIONUM CIRCA AEQUATIONES PURAS ULTERIOR EVOLUTIO. 255
2 = [r,R])x |2?+4R+R’+2R')
atque
nd [r, R? = [1,R?)-H{r,R’]x |2+AR+R’+2R°)
Eadem expressio resultat ex formula III art. 11 scilicet
ER SE 2.3.4.5.6.7.8.9.10
ae mine; 1 .8.2.4.2.7,8,.8. 5
0 Je 2 6 5.6.3.7.9.4.2,8. 1
resid. min. ipsius ind<+ind (n+1— 2)
secundum modulum 5 ........ 7970.4:78.1.0.4°1
Prorsus simili modo invenitur
2, [r, R?.[r,R) = [1,RP)+[r,R®)x {2 +R+AR® Ha)
2”. [RP], R) = [1,R)+[r,R’)x |2+AR+R’+2R'
Denique fit
4°. [r, R*].[r, R] = [1,1] +r, 1]x {1+2R-+2R+2R’+2R‘)
Hinc multiplicando aequationem 1° per [r,R] et substituendo pro [r, R°).[r, R]
valorem suum ex 2°, nec non
[1R’.[r,R) = [r,R9). {22 R+2R’+2R’+2R°)
deducimus
r,R® = [1,RP)x |2+4R+R’+2R'}
+[r.R?])x {12+22R+18R’+24R’15R'}
et simili modo
r,R]' = [1,R)x j12-+22R-+18R’+24R’+15R')
| —+[r, R']x |164+170R+ 205 R’-+180R’-+-190.R}
[r, R)’ = [1,1]x [164+170R-++205R’+180R?+190.R!}
+[r,1]x }1836+1830R-+1795R’+1820 R’+1810.R'}
—= 1640+1700 R+ 2050 R’+1800 R’-+-1900.R'
+(1836+1830 R+ 1795 R’+1820. R’+ 1810. Rt) (s—1)
= 9188s— 988 (6R+41 R’+16.R’+ 26 R')s
+66 R-+451 R’+ 176 R’++ 286 R'
256 NACHLASS,
14.
Calculus in praecc. ita absolutus, ut ad omnes valores ipsius r ipsiusque R
‚extendi possit, notabiliter contrahitur, siipsam R statim ab initio tamquam ra-
dicem propriam aequationis 2° —1 = 0 consideramus. Hacce suppositione pro-
ductum [r, RY)x[r, R’] reducetur ad formam Bir, RTV], quoties av per 6
non est divisibilis; quando vero p-v per 6 divisibilis est, illud productum
ft = n— RTL, ED are substituendo pro ind& omnes numeros
0,1,2,3....n—2 excepto hoc 4(n—1). Hinc facile colligitur (si x et proin
etiam v per Ö non est divisibilis), in hoc casu esse
fr, R*.[, BR] = Rn —1—[r, 1]}
adeoque = 0 porr=1,et = RE pro quovis alio valore ipsius r. Ce-
terum quum RI" fat = +1, vel = —1, prout "Z—.p est numerus par
vel impar, productum nostrum fit in casu priori = n, in posteriori = —n.
Hinc porro sequitur, statui posse
er, R’—= A Ir, R°)
[r, R?).[r, R] = 4" [r, R?)
[r, R®].[r, R] = 4"[r, RE‘)
etc. usque ad
fr, RE?].[r, R) = 40 fr, RI]
unde habemus
r, R? = Alr, R)
[r,R]’ = 4'4"[r, R°]
r,Rj' = 44’4”[r, R*]
etc. Denique
In, R? = nA 44"... 409
RN . . . RL n—1i .
ubi signum superius vel inferius accipiendum est, prout —;- par est vel impar.
Patet itaque, postquam valor ipsius [r, R] inventus fuerit, functiones re-
liquas er
n,R] = nn [, 2] = Pr etc.
hic multo expeditius determinari posse, quam in casibus iis, ubi @ non est =1,
DISQUISITIONUM CIRCA AEQUATIONES PURAS ULTERIOR EVOLUTIO.
257
ut iam in Disg. Ar. (Art. 360, mm) monuimus. Per considerationem uberiorem in-
dolis funetionum 4, A" etc. hae operationes adhuc magis facilitabuntur. |
15.
In art. 9 ostendimus, valorem functionis [r, R] reduci posse ad formam
Vn(cosf+isinf), eodemque modo functiones [r, R?], [r, R?] etc.
[r, R'] ad similem formam reduci poterunt. Statuamus
Pr GR] = Vn(cosf’ —+isinf’)
[r, R?] = Vn(cosf" -+isin f”)
eR9}= Vn(cosf”-Hisinf”)
etc.
eritque |
A — YVn(cos(2f—f")+Hisin(2f—f"))
Ar PER Vn(cos FHr—f") —+isin (FHf'—f"))
A"— Vn(cos (fHf"—f")+isin (FHf"—f"))
etc.
Hinc patet, si functiones A’, A”, A” etc. reducantur ad formas
A = a (cosb +isind‘)
A” —= a”(cosb" -+-isin b”)
A”— a”(cosb”+-isinb”)
etc.
et quidem ita, ut omnes «, a’, a” etc. sint positivi, fore
edua=g ck. —Vn
f = zb -+’+b"+ etc. +02)
si fuerit 7- par, vel
f = z(180’ ++’ + etc. +59)
n—i ;
si fuerit —— impar, ac dein
r,R]) = yn (cos f’+-isin/f”)
[r,.R’] = Yn(cos(2,f’—b) + isin (2 f’—b'))
[r,. R?] = Yn(cos (3 f—b#—b”) +isin (3 f—b—b”))
etc.
u 33
usque ad
258 NACHLASS.
denique erit per formulas art. 8
( I 4 -fcosf '+.c0s(2 f’— b’)+ cos (3 f—b’—b")—+ etc.
| + cos (6 —1)f'— —b’—b"— etc. — #2)
+ "Y* (sin f’+ sin (2f’— 8) + sin (3f’——b”)+ etc.!
et perinde prodeunt valores functionum (> 9 > BR 0 | =, 9°) etc., siin
_ hac formula pro f’ ze: substituitur Wer ER FABEL: h 3 2 "Rot
6 6
0%k | »_:, 360°%
supponend R= le 4 + isin z
I |
16.
Simplificatio nova ex observatione sequente petitur. Quum per art. 14 fiat
+ [r, Rjfr, RT) = [r, RJfr, RO] = + fr, Kr, R’=] etc. = n
RL [in producto primo, tertio etc.| signum superius vel inferius, prout
An
par est vel impar, esse debebit in casu priori
cos (HF) = cos(f" HF) = cos(f" HF) etc. = 1
in posteriori
— cos (ff) = 0s(f" HF) = — os (f"Hf09) ete. = 1
et in utroque casu
sin (ff) = sin (HF) = sin (f"Hf9) etc. = 0
Hinc statuere licebit in casu priori
eO=-f. FO=-f, SD= —/" ete.
in posteriori
Ft, EI ef AI. 180 F” etc,
hinc vero sequitur, in priori casu esse
16-2) Pat b, pE-3) — d”, p6-4) — b” ste.
AC2) ale 4, AI A”, 4%) ge ee,
in posteriori vero
DISQUISITIONUM CIRCA AEQUATIONES PURAS ULTERIOR EVOLUTIO. 259
ve) — H—ı800, 5679) — H’ı800, 679 — 4" —180° etc.
At = —A, Aal = —_ 4, AI = — 4” et.
ita ut multitudo functionum A’, A”, A”etc. ad semissem reducatur. Hinc porro
colligitur, in priori casu fore
f' = +(25+20’+ etc. + 20°") |
> = a A ri er b")+ etc.
+ 2c08((48—1)f 5 —b"— etc. — #9)
+ cos (4 6f—b—b’— et ” a
(ubi terminus ultimus manifesto est — cos0 = 1) vel
x er 1 (29-284 et. -—asHe DD,
(N)= ++, en Beamer etc.
—+2cos (4 (d —b—b" — BE \ u) )!
prout 6 par est vel impar; et in casu posteriori
f' = +(2d+20’+ etc. + 20°)
Fr ee + j2cos(af—B) + 2008 (4 f — bb’ — Br) etc.
+2c0s((46— 2) fd — D’— ete. =)
toosi# ff —b—b’— AR I
+? (2sinf’+ 2 sin( uf — en Be
+ 2sin (46 —1) f— 5 —b"— etc. —04°2)}
vel
— 4(2#4+28’+ ete. +20" +180°)
—)- BER: 2f—b es b")-+ etc.
+ 2 cos ((465—1)f —b—b"— etc. u)
RL ‘rl2sinf’+ 2sin( En etc.
+ 2sin (465 — 2) f —b— b’— etc. —4°9)
+ sin 46 f — !—b"’— etc. — 54°) }
prout 45 par est vel impar. De periodis reliquis "7 terminorum eadem va-
lent, quae supra annotavimus. Generaliter itaque hine concluditur, ad determi-
nationem harum periodorum requiri sectionem circuli integri in 6 partes, a qua
33”
260 y NACHLASS.
constructio angulorum b', 5’, 5” ete. rationaliter pendet, dein divisionem anguli
b’+b"+5"+ etc. in 5 partes, denique radicem quadratam \n. Quodsi statui-
tur statim 6 = +{n—1), periodi illae manifesto coincidunt cum duplicatis co-
sa 360° 360° 360° 360°
sinibus angulorum —-, 2—-, 3 ete. usque ad $+(n—1)—-
circuli in n partes pendeat a divisione circuli integriin +(n—1) partes, divisione
‚.lta ut divisio
anguli, qui illa sectione perfecta construi potest, in 4(»—1) partes, atque quan-
0
titate radicali Yr. Si usque ad sinus angulorum en etc. progredi constitutum
est, una operatione amplius opus erit. |
17,
Resumamus ad maiorem illustrationem exemplum art. 13, ubi invenimus
A'—= 4"—=2+4R+ RR 2 R=2R—2R—R
A’—=23+-R+4ıRP 2 R’= — R+2R—2R
Accipiendo pro R valorem cos72’+-isin 72°, erit
A— A" —= 2c08s72’— 3 c0s144°+i(2 sin 72’— sin 144°)
A"—= —3c0572° + 2cos144’+i(sin72’+ 2 sin 144°).
Determinabuntur itaque anguli b, b’ per aequationes
a 2 sin 72° — sin 144°
u sind — — rn
2) ET u
: nl ae
4) RZ we En 144°
5) | cos# = Set In
:
Quaelibet aequationum 1, 2, 3 sufficit ad determinandum angulum D', si quadrans
in quo accipiendus est innotuerit; hoc e signis quantitatum 2sin 72° — sin 144°,
2 cos 72°— 3cos 144° decidi debebit: idem valet de angulo 5b". In casu nostro D'
accipietur inter 0 et 90°, 5” inter 90° et 180°. Si aequationis 3 numerator et
denominator multiplicantur per —3 cos 72°-+ 2cos 144°, transibit in hanc
DISQUISITIONUM CIRCA AEQUATIONES PURAS ULTERIOR EVOLUTIO. 261
‚tangb’ — | — sin 72°+13 sin 144°|
et perinde ex aequatione 6, multiplicato numeratore et denominatore per
2c0872° — 3cos 144°, prodit
tangb’” — 2 |—13 sin 72°— sin 144°|
Hine fit in numeris
tangb' —= + 0,4316226944, logtangb’ — 9,6351042715 5’ — 23°20’46”04603
tang b’ —= — 0,8355819332, log tang 5" — 9,9219890411n "= 140°7’ 6752441
unde derivatur
5f' = 186°418'38"61647, f" = 37°21'437723294
Habemus itaque
9.c0837° 21'43”723294 +2 cos51° 22°41”"400558}
21)
(2,2) = — ++ %112008 335021’43”723294 + 2 cos26722'41"400558}
2,4) = — ++ [2005253021’43”723294 + 2 cos 123"2241”400558}
(2, 8) Een [2 cos 18121’43"723294 2 c08 339022’41”"400558!
2,5) = — ++ j2008109°21743"723294+ 2cos 195"22’41”400558}
unde invenitur |
(2,1) = +1,6825070652 — 2cos
(2,2) = +0,8308299 — 2c0s'-
2,4) = = 200,
v
(2,8) = | ==.200 —
(2,5) = —= 200 Br
18.
Exemplum aliud nobis suppeditabit aequatio x” —1 — 0, quam per aliam
methodum iam in Disquis. Arithm. pertractaveramus. Statuemus itaque n = 17,
6 = 8, g—=3; hine respondent
262 NACHLASS.
numeris 1.72.83 8:93 . 86:7, RD 50.1 EEE TI TE
indices 0.14.1:12.5:15.11.108.,2, 3.7.18. 2. 9:88
Hinc invenimus |
A — A"— 2R-+2R? +3 R!+4R’+2R'2R
Pu BE E 2+3R .. R’—+ R'—+ 3R+4aRı R'
4"— 4"—=3+3R+2R?3R + R+2Rı R®R
sive, quum in hoc casu fat R+1 —= 0 |
A — A" — — 35 — 2 R— 2R
P, on Pe a BER 4 RB
A” ARBR: 2°. Ego ee 3-2 R+ RR?
Statuendo itaque R —= cos45’-+-isin45° erit
A — 4"— —3—2i2, A’ — 4" — 1—4i, = Ms
Invenientur itaque D, b", b” per aequationes
sind —= —V# sind’— —yV4$ sind" — + V%
on hen rt
—4 tangb" = + V$
tan’ — +3 tangb”
unde deducimus
b = 22301849", 5’ — 284%10, 5” — 43°18'49” — W — 180°
4f' = 550°39'48", f’ = 137°39'57”
(2,1) = — 44 2cos 13703957” +2cos 52°1’5"+2.cos 265038'52” +1}
(2,4) = — ++ [2c0s 92°39'57"+ 2 cos 322°1’5”+ 2.c0s 130°38’52”—1}
(2,9) = — 3414! [2c0s 47039757} 2008 232%1'5"+ 200535503852’ +1]
(2,10) “ -
— —44+[2c0s 203957” 2 cos 14201’5”+ 2008 220038’52”—1
A
7200831703957" 4+2cos 52°1’5”4+2cos 85°38’52’41)
DISQUISITIONUM CIRCA AEQUATIONES PURAS ULTERIOR EVOLUTIO. 263
2,1) = + 0,092268 —= c0s;4360°
— — 08-5, 360°
— — 008% 360°
— —. 008%, 360°
) = + 0,93247 = c0s41, 360°
= — 00823, 360°
en = 0053, 360°
ie — — 008775360”
1)
3)
9)
2,10)
2,13
5)
2,15)
+
2,
(2,
(
(
2,
(
|
*
*
Ab his disquisitionibus generalioribus supra functiones [r, R], quae theo-
riam secundam aequationum purarum in art. 360 Disquiss. Ar. inchoatam magis
illustrant et ampliant, ad casuum quorundam specialium considerationem accu-
ratiorem (puta si pro 6 valores determinati accipiuntur) progredimur; plures hinc
investigationes non minus fertiles quam elegantes prodibunt, quarum aliae
quidem iam in Disg. Ar. (artt....) pertractatae erant (sed per methodum di-
versam), aliae vero tamquam prorsus novae considerandae sunt. Mirum vero
nexum inter hasce disquisitiones Arithmeticamque sublimiorem, quae incrementa
maxima hactenusque inexspectata inde capit, in commentatione alia mox publici
iuris facienda evolvere nobis reseryamus. — Üeterum in tota disquisitione se-
quente supponemus, pro r accipi radicem propriam aequationis @"—1= 0, et
pro R radicem propriam aequationis R—-1=0.
19.
Initium facimus a valore 6 = 2, ubi itaque pro R accipiendus est valor
—1. Functio itaque nostra [r, R] fit
ei MaERRR® de" ga 0
habeturque
r,RJ= —[rd, R= +[r, R] = —[r#,R] ete.
et generaliter, designante A integrum-quemcunque per rn non divisibilem
264 NACHLASS.
Pr,R]=-+[r,R] si‘ est residuum quadraticum ipsius n,
[r,R]= —f(r,R] si X est non-residuum quadraticum ipsius n.
Porro patet, si residua quadratica ipsius » inter 1,2,3...n—1 contenta
indefinite designentur per a, atque non-residua ipsius n inter eosdem limites
per b, numeros
ER ats
si ad ordinem non respiciatur, congruos esse secundum modulum r numeris a, et
perinde numeros
07 CE g’ rt, RT 0
congruos ipsis b, ita ut fiat [r, R] = Zr — Ir.
Quodsi itaque statuimus ı =ov, atque r—=coskw-+isinkw, erit.
[r,R) = Zcosakw—- Lcosbkw--iisinakw—iNsindkw. IJam per art. 14 qua-
dratum functionis [r, R] erit =+n vel = —n, prout n est formae 42-1
vel 42—1, adeoque in casu priori [r, R] = + yn, in posteriori [r. RJ= +iyn;
signum vero quantitati radicali praefixum ambiguum manet. Hinc derivantur
summationes sequentes AR
I. Sin est formae 42-+1 4 nu ;
%cosakw — Zcosbkw — +yYn
Isinakw—Xsindkw — 0
lI. Sin estformae 4Az—1
Y cosakw — Zcosbkw — 0
Zsinakw— Zsindbko— —yn
Praeterea gquum manifesto totus complexus numerorum a, b conveniat cum
his 1,2,3...n—1, fit Ir’ + = r+r+r°+ ete. +”! —= —1, et proin
Zcosakw+%cosbko = —1, Ysinako+X% sindkw —= 0. Hinc e summationi-
bus praecedentibus demanant sequentes:
I. Pro casu priori |
% cosakw = —4+%yYn
%cosbko = —IT4yn
Ysinakw = Isinbkw — 0
DISQUISITIONUM CIRCA AEQUATIONES PURAS ULTERIOR EVOLUTIO, 265
II. Pro casu posteriori
%cosakw = Lcosbkw = —+
Zsnako = -t$yn
Zsindbko = —4yVn
Hae summationes per methodum haud multum diversam in .Disquiss. Arr.
art. 356 iam sunt erutae; neutra quidem methodus ambiguitatem signi quantitati
radicali praefigendi tollere valet, attamen hunc defectum in commentatione pe-
euliari nuper supplevimus, ubi demonstratum est, pro valore k = 1 signa su-
periora in omnibus formulis allatis accipi debere.
BEMERKUNGEN.
3
Von der ursprünglichen Fortsetzung dieser Abhandlung von art. 19 an, welche der Behandlung
specieller Fälle gewidmet war, sind nur noch einige Artikel vorhanden, die sich mit der quadratischen
Gleichung beschäftigen, deren Wurzeln die beiden *
im Anfang der Untersuch ıng ‘ab, durch welche das Vorzeichen der bei der Auflösung derselben auftreten-
den Quadratwurzel bestimmt den sollte; aus der Uebereinstimmung dieses noch vorhandenen Anfangs
mit der Abhandlung Summatio quarumdam serierum singularium geht hervor, dass der Verfasser seinen
Plan änderte, um die eben erwähnte Bestimmung des Vorzeichens zum Gegenstande einer besondern Ab-
handlung zu machen. Vergleicht man hiermit das Citat im art. s (wo im Manuscript statt der zweiten Aus-
gabe des Werkes von Lacrange durch ein Versehen die dritte angegeben war), so ergibt sich, dass diese
Handschrift aus dem Jahre ı808 stammt. Dass aber die Publication des Vorhergehenden nicht aufgegeben
war, lehrt ein bei art. 19 offenbar in späterer Zeit eingeschobenes Blatt, auf welchem eine andere Fortsetzung
beginnt und bezüglich der Bestimmung des Vorzeichens schon auf die Abhandlung Summatio ete. verwiesen
wird. ‚Diese zweite Fortsetzung, welche aber auch bald abbricht, ist hier mitgetheilt. Der Text des durch-
aus druckfertigen Manuscriptes ist bei der Herausgabe treu konn, * nur 2; 16 mussten die Formeln
1_gliedrigen Perioden sind; das Manuscript bricht
für den zweiten Fall hinzugefügt werden. ’
R. Depverino.
DEMONSTRATION DE QUELQUES THEOREMES CONCERNANTS
LES PERIODES DES CLASSES DES FORMES BINAIRES DU SECOND DEGRE.
Tu&orime. I. Le nombre des classes (pr. pr.) d’un m&me determinant, qui ele-
vees & la dignite P”, P etant ou un nombre premier ou la puissance d’un nombre
premier — p", produisent la classe principale K, est egal ou a 1 ou A une pwis-
sance de ce m&me nombre premier p.
Demonstration. Soit (@) le groupe entier de toutes les classes en question
et n leur nombre. Puisque la classe principale K est necessairement contenue
dans (2), le theoreme est &vident, sielle y est la seule. Mais sil yen a d’autres,
le nombre des classes contenues dans la periode de chacune sera une puissance de
p; soit une d’elles A, et supposons que sa periode (A) contienne p” classes, qui
seront toutes comprises dans (2). Or si les classes de cette periode (A) &epuisent
(2), on aura p*—=n, et le th&eoreme sera d&montre; sinon, soit B une classe
quelconque de (2) non contenue dans (X), et supposons que sa pe£riode soit de-
veloppee jusqu’a ce quon y parvienne a une classe bB, qui soit en m&me temps
parmi les classes de (X), ce qui doit n&cessairement arriver, parceque du moins la
classe principale est commune & cette periode et a (A). Or supposant que b.B
soit la premiere classe dans la periode de B commune & (U), ou 5 le plus petit
possible, je dis
1°. Que b sera une puissance de ». Car il est &vident qu’en faisant b= ph,
bB=iA et Ik=1 (mod.p”) (ce qui se pourra) on aura kbB= p’hkB— p’B=ikA,
DEMONSTRATION DE QUELQUES THEOREMES CONCERNANTS ETC. 267
c’est ä dire que p’B sera aussi parmi les classes de (4), d’ou il srensuit que A—1
120 p*.
2°. Qu’en designant les classes K, B,2B....(b—1)B par (B), toutes les
compositions d’une classe de (4) avec une classe de (®) donneront p**? classes
differentes. Car en supposant mA+nB=mA+nB et n=n, on aura ne-
cessairement m — m; si n>n, on aura (n— m) B = (m'’—m)A, ce qui est im-
possible, si l!’on n’a pas n —n.
3°. Que ces p*t? classes differentes seront comprises sous (9), ce qui est
evident.
Or, si ces pr classes &puisent (2), le theoreme est d&montre; sinon, on
choisira nne autre classe de (2) non contenue parmi celles-lä, savoir C; on con-
tinuera sa p6riode jusqu’a ce qu’on y parvienne a une classe deja comprise sous
les classes composees de (U) et (®B). Par un raisonnement semblable au prece-
dent’on d&emontrera, que l’exposant de cette classe doit &tre une puissance de p,
— p!, et que la composition des pT classes premieres de la periode de C avec
les p*t? classes deja trouvdes donnera p*t?+T classes differentes toutes comprises
dans (2). Si ces classes n’&puisent pas encore (2), on traitera de la m&me maniere
une quatrieme classe Detc., et il est evident que (2) etant form& d’un nombre
fini de classes, ces op&rations finiront aussi et qu’on aura n egal a une puissance
dep. C.Q.F.D.
Tu£orkme. II. Le nombre de toutes les classes du genre principal &tant exprime
par a®b°cl ete., a, b, c, denotant des nombres premiers differents, il y aura dans ce
genre a*, b°, cl etc. classes, qui etant elevees a la dignite a”, b’, c! etc. resp. pro-
duisent la classe principale.
Demonstration Soient A, A’, A"etc. toutes les classes qui Elevees a la dignite
a* produisent Ket (X) leur totalit&; dem&me B, .B’, B’ete. (8), C, 0’, C”, (©) etc. etc.
Je dis que de la composition de toutes les classes de (A) avec toutes les classes
de (B) avec toutes les classes de (€) etc. il proviendra des classes differentes en-
tre elles. Car si A+B+C...= 4A+DB+C’...ete, onaura, en faisant
A—A = 4A", B—B’= B’ete.,
A’"ıB"LC" et. = K
done elevant & la dignite bect etc., (cl...) A"=K, d’oü il siensuit facilement
34 *
268 NACHLASS.
A"—K et A—= 4’ et de la m&öme maniere on aua B=PB', C= C’ete. Soit
la totalit& de ces classes — ($). De plus il est clair que toutes ces classes seront
du genre principal. Enfin il ne peut exister aucune classe dans le genre princi-
pal qui ne soit comprise sous (8:::Beik.s
BEMERKUNG.
Dieses im Jahre 1801 geschriebene Fragment bezieht sich auf Disq. Arithm. art. 306, ıx. Das Wort
dignite wird hier in einem sonst nicht üblichen Sinne gebraucht.
STERN.
(1)
DE NEXU INTER MULTITUDINEM CLASSIUM, IN QUAS
FORMAE BIN ARIAE SECUNDI GRADUS DISTRIBUUNTUR,
EARUMQUE DETE RMINANTEM.
COMMENTATIO PRIOR
SOCIETATI REGIAE EXHIBITA 1834. ...
t.
Triginta tres iam elapsi sunt anni, ex quo principia nexus mirabilis, cui haec
commentatio dicata est, deteximus, uti iam in fine Disquisitionum Arithmeticarum
annunciatum est. Sed aliae occupationes ab hac scrutatione per longum tempus
detraxerant, donec recentiori tempore ad eam reverti et per novas curas eam
ampliare contigit. Attamen quum haec nova Arithmeticae Sublimioris pars li-
mites unius commentationis excedat, haecce prior formis determinantium negati-
vorum dicata erit: formae vero determinantium positivorum, quae tractationem
prorsus peculiarem requirunt, commentationi alteri reservatae manere debebunt.
2.
Basis totius argumenti est disquisitio peculiaris circa multitudinem omnium
combinationum valorum integrorum, quos duo numeri integri indefiniti ©, y in-
tra ambitum praescriptum accipiunt. Manifesto hoc problema etiam sub aspectu
geometrico exhiberi potest, ut eruatur multitudo numerorum complexorum, quorum
repraesentatio intra figuram praescriptam cadit. Indoles figurae ex indole lineae
quae eam circumdat, adeoque pendebit vel ab unica aequatione inter coordinatas
x, y (quoties peripheria est curva in se rediens) vel a pluribus huiusmodi aequa-
270 NACHLASS.
tionibus (quoties .constat e pluribus partibus curvis seu rectis), pendebitque ab
arbitrio nostro, utrum puncta numeris integris complexis respondentia, si quae
forte in ipsa peripheria sint, multitudini annumerare velimus an inde excludere.
In repraesentatione analytica problematis conditiones illius limitationis sem-
per ita exhiberi poterunt, ut functio data variabilium x, y vel una vel plures
P, Q, Retc. nancisci debeant valores positivos, vel non-negativos (prout valor 0
vel excluditur vel admittitur).
Ita e. g. si figura praescripta est circulus, cuius radius — V A, dum cen-
trum cadit in punctum numero complexo integro respondens, conditio analytica
erit, ut A— 20 —yy non sit negativus, siquidem, quod semper supponemus,
puncta in ipsa peripheria sita retinere placet. Sı figura est triangulum, tres
functiones lineares ar +by+c, ae+by—+c, a’ -+b"y+.c" valores non-nega-
tivos habere debent, similiterque in aliis casibus.
3.
Solutio problematis ezacta, generaliter loquendo, ita procedere debet, ut
primo e natura conditionum variabilis altera e. g. © intra limites co@rceatur, in-
ter quos valores singuli integri deinceps percurrant, et quot valores integri alte-
rius y singulis respondeant, eruere oportet, quorum multitudines dein in sum-
mam colligi debent. In casibus specialibus plerumque aderunt artificia specia-
lia ad laborem abbreviandum.
E. g. si figura, ut supra, est circulus, cuius radius — v4, sit r integer
proxime minor quam /4A, velipse YA, si A est quadratum. Perinde sint
Y', r”,r" etc. r‘”) integri proxime minores quam Y(A—1), Y(A—4), Y(A—9)ete.
usque ad VY(A—rr). Tunc multitudo quaesita erit
— 2r+1+2(2r+1)+2(2r"+1)+2(2r"”-+1)+ etc.
— 14+4r+4r+4r"+4r"—+ etc. +4 „er
Brevior erit in hoc exemplo methodus sequens. Sit g integer proxime minor quam
+4 (vel huic aequalis, quoties est integer), atque Kar), „arm, 298) ete. in-
tegri proxime minores quam Y(A—(g +1)%), V(A—(g-+2)°), VA—(g+3)?) ete.
usque ad Y(A—rr). Tunc erit multitudo quaesita
— 499 +1-44r + 8 (r{P) Hr rl) + etc. + +")
DE NEXU INTER MULTITUDINEM CLASSIUM ETC. 271
Per hanc formulam eruta est multitudo
A | A A
100 317 1000 3149 10000 31417
200 633 2000 6293 20000 62845
300 | 949 3000 | 9425 30000 | 94237
400 |! 1257 | 4000 | 12581 40000 | 125629
500 | 1581 | 5000 | 15705 50000 | 157093
600 1885 | 6000 18853 60000 188453
700 | 2209 | 7000 | 21993 | 70000 | 219901
800 2521 | 8000 25137 80000 251305
900 2821 | 9000 28269 90000 282697
10000 | 31417 || 100000 | 314197
Ad propositum nostrum non requiritur determinatio exacta, sed potius in-
dagatio expressionis, quae ad multitudinem exactam quam prope velis accedere
potest, dum limites in infinitum ampliantur. Sed ante omnia quum haec aliquid
vagi involvant, rem exactius explicare oportet.
Supponemus itaque, functiones P, Q@, R etc. praeter variabiles x, y impli-
care elementum constans %k, ita utsingulae P, Q, Retc. sint functiones homoge-
neae trium quantitatum &, y, k. Hoc pacto figura per aequationes P=0, Q=0,
R==0etc. determinata pendebit a k, ita ut valoribus diversis ipsius & respon-
deant figurae similes et respectu initii coordinatarum similiter positae, dimensio-
nesque lineares similes valoribus ipsius A, areae valoribus ipsius AA proportiona-
les erunt. Denotetur iam multitudo punctorum intra figuram per M, area per V,
patetque M et V, crescente A, crescere debere; crescente vero A in infinitum,
Met V ad rationem aequalitatis quam proxime velis accedent, vel si elementa-
rem claritatem postulas, proposita quantitate quantumvis parva A, semper assig-
nari poterit terminus talis, ut pro quolibet valore ipsius A hunc terminum su-
perante certo 5 iacere debeat inter 1—X et 1+-A. Secundum morem suetum
hoc ita indicare licet: fieri M—= V pro valore infinito ipsius X.
In exemplo nostro conditio requisita locum tenet, statuendo 4 —= YA, cur-
vaque fit circulus, cuius area —=rA, denotante rw semicircumferentiam circuli
pro radio —= 1. Numeri supra traditi convergentiam luculenter addigitant.
272 NACHLASS,
Ceterum si operae pretium esset, facile demonstrationem illius theorematis
antiquo rigore absolvere possemus, quam tamen hocce quidem loco supprimere
maluimus ad difficiliora properantes.
5.
In hacce commentatione limes per unicam aequationem talem exprimetur
ax -+2bazy+cyy = 4, ita quidem ut a,b, c sint integri, atque bb—ac nu-
merus negativus quem statuemus —— D. Manifesto curva figuram definiens erit
ellipsis, patetque facile, quadrata semiaxium esse radices aequationis
(ac—big9—la+c)Ag+ AA= 0 sive = atet ut N)
Productum harum radicum fit
44 _ 44 nroin area ellipsis = ”*. Hine
at Dee Be VD
itaque colligitur, multitudinem omnium combinationum valorum integrorum Ip-
sarum #, y, pro quibus awx + 2bay-+-cyy valorem A non superet, crescente
A ti gi Yopi d =®, et pro A infinito huic valorem aequa-
continuo magis appropinquare ad 7, et pro A infinito huic valorem aeq
lem statui debere. Ceterum manifestum est, hocce respectu nihil interesse, utrum
combinatio #—=0, y=0 reliquis annumeretur, an inde excludatur. Hoc ita-
que modo multitudo quaesita (in ratione posteriori) nihil aliud est, nisi aggrega-
tum multitudinum repraesentationum singulorum numerorum 1,2,3,.. A per
formam binariam secundi gradus aex-+2bxy—+-cyy; et quum inter illos nume-
ros alii omnino per hanc formam repraesentari nequeant, alii plures, alii pau-
. . . . T . .
ciores repraesentationes admittant, quantitas /D consideranda erit tamquam va-
lor medius multitudinis repraesentationum numeri positivi indefiniti per formam
quamlibet, cuius determinans = —D.
6.
Antequam quae hinc sequantur generaliter perscrutemur, ut modus argu-
mentationis facilius penetrari possit, casus quosdam singulares evolvere visum est.
Resumamus itaque primo formam #2 —+-yy, pro qua itaque multitudo repraesen-
tationum numeri indefiniti valorem medium = r nanciscitur. Multitudo vero
repraesentationum actualium numeri dati haud difficile e principiis generalibus in
Disquisitionibus Arithmeticis stabilitis determinatur. Designemus per fA mul-
titudinem repraesentationum numeri A, quae erit —=4, si A=1 vel 2 velpo-
testas binarii; — 8, si A est numerus primus formae 4n-1, vel productum
DE NEXU INTER MULTITUDINEM CLASSIUM ETC. 273
talis numeri primi in potestatem binarii; — 0, si A est numerus primus formae
4n--3, vel per talem numerum primum divisibilis, neque vero per ipsius qua-
dratum; denique generaliter
vel = 4(a+1)(65-H1)(y-+H1)...
vei- —
prout, reducto numero A ad formam 2",Sa®bect..., designantibus a, b, c etc.
numeros primos inaequales formae 4n+1, S autem productum e numeris pri-
mis formae 4n—+-3, si qui inter factores numeri A semel pluriesve oceurrunt,
numerus S est vel quadratum velnon quadratum. Patet itaque, fA unice pen-
dere a modo, quo numeri primi 3, 5, 7, 11, 13 etc. inter factores numeri A re-
periuntur, ita ut generaliter statuere oporteat
A = 4(3).(5).(7).(11).(13)....
si valores characterum (3), (5), (7) ete. ita acceptos supponimus, ut denotante
p numerum primum sit
primo (p)=1, si p ipsum A non metitur
secundo (pP) —=a--1, si p est formae 4n-+1, atque p“ potestas summa ipsum
A. metiens
tertio (P)=0, si p est formae 4n+-3, atque exponens potestatis altissi-
mae ipsius p ipsum A metientis est impar: denique
' quarto (p)=1, si p est formae 4n—+-3, atque exponens potestatis summae
ipsius > ipsum A metientis est par.
Manifesto casus primus sub secundo et quarto continetur.
Hoe itaque modo termini progressionis f1,.f2, f3, f4 etc. valdei Iirregu-
lariter procedunt, etiamsi quo maior multitudo sumatur, eo accuratius valor me-
dius —=r inde surgere debeat. Aggregatum fi-+ S2+f3+..+fA deno-
tabimus per FA.
7.
Statuamus iam generaliter fm+f3m —= f'm, perspicieturque facile, fieri
f4A=.4(5).(7).(11).(13).. .
I. 35
274 ‚ NACHLASS.
i.e. f'A a relatione ipsius A ad divisorem 3 erit independens, unde seriei
fu Su ff f'6 etc. irregularitas tum serius incipiet tum longe minor
erit. Porro si statuimus
if? +f3+f4+ etc. +f'm = F’'m
erit
F3A= F3A+f3+f6+f9+.. + 9A
— F3A+FA |
Hinc facile concluditur erescente A in infinitum, statui’debere
PA z-4rA
sive valorem medium terminorum seriei f'1, f 2, f'3. f 4 etc. esse
— #4
Simili modo statuendo generaliter —f'm+f’5 m —= f "m, fiet
fFA= 411,3)...
sive e serie nova f”1, f"2 etc. abeunt vacillationes a relatione ad numerum 5
pendentes. Statuendoque aggregatum
Fifa +f'3+.:. +f"m = F’m
fiet
F'"5m = — F'm+ F’5m
unde concluditur crescente m in infinitum, statui debere
F"5m = 4t.4m
sive valorem medium terminorum seriei esse —= #.#r.
Si eodem modo ulterius procedimus, progressiones novas formando, dum
deinceps factores (7), (11), (13), (17) etc. tollimus, hae continuo magis ad inva-
riabilitatem appropinquabunt, valoresque medii deinceps novos factores $, 44,
44, 48, 44 etc. nanciscentur, ubi denominatores erunt numeri primi serie natu-
rali, numeratores vero unitate vel maiores vel minores, prout illi sunt formae
4n—1, vel 4n-+1. Quare quum hoc processu in infinitum continuato valor con-
DE NEXU INTER MULTITUDINEM CLASSIUM ETC. | 275
stans 4 valori medio continuo propior fieri debeat, habemus
= 0.4.4.3.44.44... in inf.
sive
PR 5 7 11 13
a er ER EULTE TI TER
Si singulae fractiones evolvuntur in series infinitas
3 1 1 1
as
Ze BE N 1
U re SE a BETRETEN
n; 1 4 1
Tre ei. ra rt TIER
etc
productum facile evolvitur in
ER Dam ie Rama. rt a Kama ea ee
cuius seriei summam esse —+r vulgo notum est. Revera via inversa olim iam
hinc aequalitas inter 4 et productum infinitum #.#.%.. ab ill. EuLer erutum
fuerat (Introd. in analys. inf. T. ı. Cap. xv. art. 285).
8.
Consideremus secundo loco formam #20--2yy, pro qua multitudo reprae-
sentationum numeri indefiniti valorem medium = 75 habebit. Designando per
fA multitudinem repraesentationum numeri dati A per istam formam, haec erit
—2 pro A=1 vel A=2, vel quoties A est potestas binarii; porro fA =4,
quoties A est aliquise serienumerorum primorum, quorum residuum quadraticum
est —2, sive qui sunt formae 8k+1, 8k+-3, puta A = 3, 11, 17,19, 41,43 etc.;
denique fA = 0, quoties A est numerus primus, cuius non-residuum quadrati-
cum est —2, puta e serie 5, 7, 13, 23, 29, 31 etc. sive vel formae 8k+5,
vel formae 8k-+-7. Generaliter vero statui debet
vel fA = 2(a+1)(6-+1)(y+1)..-
vel 4 av
prout reducto numero A ad formam 2"S a”b°cY..., designantibus a, b, c etc.
numeros primos inaequales formae 8%+1, 8k+-3, contra S productum e nu-
35 *
276 NACHLASS.
meris reliquis (formae 8k+5, 8k+ 7), siquiinter factores numeri A habentur,
prout S est quadratum vel non quadratum. Hinc per ratiocinia prorsus similia
ut in art. praec. a serie f1, f2, f3, f4, f5 etc, puta 2, 2, 4, 2, 0, 2 etc. dein-
ceps ad alias continuo longius constantes progrediemur, quarum valores medii sint
deinceps 77 ie ne er etc.; progrediemur ita, ut deducamur
ad aequationem
Aa 5 ya a er
ubi denominatores constituunt seriem naturalem numerorum primorum, numera-
tores vero unitate minores sunt, quoties denominatores sunt formae 8-1, vel
8k--3, contra unitate maiores, quoties denominatores sunt formae 8k+5 vel
8k-7.
IL]
DE NEXU INTER MULTITUDINEM CLASSIUM, IN QUAS FORMAE BINARIAE
SECUNDI GRADUS DISTRIBUUNTUR, EARUMQUE DETERMINANTEM.
COMMENTATIO PRIOR
SOCIETATI REGIAE EXHIBITA 1837...
1;
Triginta sex elapsi sunt anni, ex quo principia nexus mirabilis in hac com-
mentatione tractandi detecta sunt, uti iam in fine Disquisitionum arithmeticarum
annuntiatum est. Sed aliae occupationes per longum tempus ab hac scrutatione
detraxerant, donec recentiori tempore ad eam reverti, et per novas curas eam
ampliare contigerit. Attamen quum ambitus huius novae Arithmeticae Sublimio-
ris partis limites unius commentationis transgrediatur, haecce prior formis deter-
minantium negativorum dicata erit: formae autem determinantium positivorum,
quae tractationem prorsus peculiarem requirunt, commentationi alteri reservatae
manebunt. |
DE NEXU INTER MULTITUDINEM CLASSIUM ETC. 277
2.
Ad propositum nostrum opus erit theoremate per se quidem arithmetico,
cuius tamen indolem commodius et clarius per considerationes in forma geome-
trica exhibendas ob oculos ponere licet.
Proposita in plano indefinito figura per lineam qualemcungue terminata, il-
lius area approximative assignari poterit, si plano in quadrata dispertito multi-
tudo tum eorum quae integra sunt intra figuram, tum eorum quae ambitus figurae
secat, numeretur, manifestoque area justo minor vel maior prodibit, prout qua-
drata posteriora vel omittuntur vel prioribus adnumerantur: si vero quadrata poste-
‚ riora in limine sita, ad normam qualiscunque principii, partim excludere partim
adnumerare placuerit, error modo positivus modo negativus esse poterit, necessa-
110 tamen minor quam aggregatum cunctorum quadratorum in limine. Quo mi-
nora quadrata accipiantur, eo exactius hoc modo area determinabitur, talemque
approximationem in infinitum producere sive quadrata tam parva accipere licebit,
ut error quavis quantitate data minor evadat. Quod quamquam iam per se evi-
dens esse videatur, tamen demonstratione rigorosa munire non aspernabimur.
Bina quadrata vel unum punctum angulare, vel duo, vel nullum commune
habere possunt; in casu primo et secundo contigua, in tertio disiuncta dicentur.
Manifesto quadrata, quae omnia inter se contigua sint, quaterna tantum exstant,
adeoque inter quina quadrata diversa duo ad minimum disiuncta inveniri debent.
Iam quum distantia inter duo puncta in quadratis disiunctis sita nequeat esse mi-
nor quam latus quadratorum, quod per a designabimus, patet, si punctum a
quocunque alicuius quadrati loco profectum deinceps quadratum secundum, ter-
tium, quartum traiecerit, tandem ad quintum pervenerit, longitudinem viae certe
non esse minorem quam a. Et quum simili ratione si linea continuo alia qua-
drata permeat, pars inter quadratum quintum et nonum, nec non inter nonum
et decimum tertium etc. non possit esse minor quam a, facile colligimus, lineam
quamcunque in se ipsam redeuntem, quae omnino n quadrata diversa attigerit,
n— 4 a y. . .
R=Ne Vice versa itaque linea clausa,
certo non posse esse minorem quam
cuius longitudo est —/, certo plura quam 4+% quadrata diversa attigisse
non potest. Quorum area — 4aa+-4al quum decrescente a in infinitum qua-
vis quantitate data minor fieri possit, idem a potiori valebit de errore quadraturae
de qua supra diximus.
278 NACHLASS.
3.
Principium admissionis vel exclusionis quadratorum in limite figurae posi-
torum multis modis diversis condi posset: simplicissimum tamen videtur, tantum-
modo situm centri cuiusque quadrati respicere, ita ut admittantur quadrata, quo-
rum centra sunt intra figuram, excludantur ea, quorum centra sunt extra figuram,
denique arbitrio relinquatur, utrum centra, quae forte in peripheria ipsa sunt, in-
terioribus vel exterioribus adnumerare malimus. Loco centrorum etiam quaevis
alia puncta in singulis quadratis similiter sita adoptare possemus.
Hoc pacto res eo redit, ut in plano puncta aequidistantia et in rectis ae-
quidistantibus ita disseminata concipiamus, ut quadrata offerant: quo facto per
theorema art. praec. affirmare possumus, multitudinem punctorum in figura con-
tentorum in quadratum distantiae binorum punctorum proximorum multiplicatam
areae figurae quam prope velis aequalem evadere, si modo distantia ista satis parva
accipiatur, sive ad instar vulgaris loquendi modi, productum illud aream exhibere,
si distantia sit infinite parva.
4,
Curva per aequationem inter coordinatas orthogonales p, g hancce
app+2bpq+eg99 =
expressa, est sectio conica, et quidem ellipsis, si a, c atque ac—bb sunt quan-
T
Nass) Valor
quantitatis app+2bpg—+-egg extra ellipsem ubique fit maior quam 1, intra el-
lipsem minor quam 1, negativus nullibi.
titates positiyae: area hac ellipsi circumscripta invenitur .—=
Concipiatur-systema punctorum per planum, in quo ellipsis sita est, ita dis-
seminatorum, ut forment quadrata, quorum latera — X axibus coordinatarum
sint parallela, ubi nihil refert, utrum initium coordinatarum sive centrum ellipsis
cum aliquo horum punctorum coincidat necne. Sit multitudo punctorum intra
ellipsem, adnumeratis si quae sunt in ipsa peripheria, = m, eritque per theo-
rema art. praec. Tas ZEN) limes quantitatis mA, ad quem quam prope velis ac-
cedit, decrescente X in infinitum.
Si initium coordinatarum cum aliquo systematis puncto coincidere suppo-
nimus, statuendo p = x, g = Xy, manifesto pro singulis punctis systematis
et y erunt numeri integri, et vice versa quaevis combinatio valorum integrorum
DE NEXU INTER MULTITUDINEM CLASSIUM ETC. 279
quantitatum x, y respondebit alicui systematis puncto. Hinc numerus m nihil
aliud est, nisi multitudo omnium combinationum valorum integrorum quantita-
tum x, y, pro quibus F’ non fit maior quam M, si brevitatis caussa functionem,
seu formam secundi ordinis ae +2bxy--cyy per F, atque quantitatem nn
per M denotamus. Determinans huius formae est bb—ac, pro quo scribemus
—D. Hoc pacto theorema nostrum iam ita enunciandum erit.
Tneorema I. Multitudo m omnium combinationum valorum integrorum inde-
terminatarum &, y. pro quibus valor formae determinantis negativii — D limitem M
rM
non egreditur,, fit = 7D’ prowime quidem, sed approximatione ‚in infinitum crescente,
dum M crescit in infinitum. Vix erit monendum, approwimationem infinitam hic (et
perinde in sequentibus) non ita intelligendam, ac si differentia inter en et m ipsa in
infinitum decrescat, sed ratio inter has quantitates ad aequalitatem in infinitum appro-
pinquabit, sive m in infinitum decrescet.
3.
Ad dinumerationem reapse efficiendam ita procedi potest, ut pro singulis
ö iss a M were,
valoribus integris ipsius @ inter limites — \ en atque + V ae sitis bini valores
ipsius y aequationi F'= M respondentes computentur, unde multitudo inte-
grorum inter hos iacentium sponte habetur. Quum haec multitudo eadem sit pro
valoribus oppositis ipsius #, laboris dimidia fere parte liberamur. Res ita quo-
que perfici potest, u valores i an x dinumerentur singulis valoribus ipsius y
inter limites — I atque ie 7, respondentes. Per combinationem idoneam
utriusque methodi Tabor amplius sublevari potest, quod tamen fusius hic non ex-
sequimur: sufficiat de casu simplieissimo quaedam adiungere.
Sit forma F—= 22+.yy, sive curva circulus, designentque r,r',r",r”....r”)
numeros integros proxime minores quam
VM, viM=ı), VIM-a), V(M—9)...yY(M—rr)
vel si quae inter has quantitates sunt integri, hosipsos. Tunc eritmultitudo quaesita
m — 2r+1-+2(2r’ +1) + 2(27” +41) + 2(2r”-H1)+ etc. +2(2r"+1)
— 1+4r+4r+4r’+4r"+ etc. + 4r"
Expeditius autem idem assequimur, denotando per q integrum proxime
280 NACHLASS.
minorem quam \4M (vel hane quantitatem ipsam, si fit numerus integer) adiu-
mento formulae
m AggtH1+4r+ 8a) Hr Hr etc. + rt)
Hoc modo eruta sunt sequentia.
Mm. Mm m” ı. M m
10000 | 31417
200 | 633 | 2000.) 6293 |, 20000 | 62845
' 30000 | 94237
400 | 1257 | 4000 | 12581 | 40000 | 125629
500 | 1581 .| 5000 | 15708 | 50000 | 157093
600 | 1885 | 6000 18853 60000 | 188453
7000 | 21993 | 70000 | 219901
soo | 2521 | 8000 | 25137 80000 | 251305
900 | 2821 | 9000 | 28269 | 90000 | 282697
| 10000 ,| 31417 || 100000 | 314197
Theoremati art.4 maiorem generalitatem conciliamus sequenti modo.
Taeorema II. Si non omnes combinationes valorum integrorum quantitatum &,y
pro quibus F non egreditur valorem M, colligendae sunt, sed tantummodo per saltus,
puta eae, ubi © congruus est numero dato G secundum modulum datum 9, atque y
congruus numero dato HI secundum modulum datum h, harum combinationum multi-
tudo m‘ exprimetur prowime per zayD: approwimatione in infinitum aucta, dum M
in infinitum crescet.
Revera statuendo 2 = g@+G, y—=hy+H, patet, m‘ esse multitudinem
omnium combinationum valorum integrorum quantitatum «, y. pro quibus
HEHE Hei)"
valorem M non egrediatur. Manifesto igitur si in plano systema punctorum per-
inde quidem ut in art. 4 disseminatum supponimus, attamen ita ut non initium
: [ep HX
coordinatarum sed punctum, cuius coordinatae sunt p — —- er
quo systematis puncto coincidat, m’ exprimet multitudinem punctorum intra el-
DE NEXU INTER MULTITUDINEM CLASSIUM ETC. 281
lipsin, cuius aequatio est
aggpp+?bghpgtchhqq = |
iacentium semper adnumeratis si quae sunt in peripheria ipsa. Cuius ellipsis area
T T
—— ghylac—bb) " ‚ghyD a)
appropinquabit, decrescente A vel crescente M in infinitum.
Ceterum manifestum est, theorema nostrum complecti casum ubi alterutra
erit limes, ad quem productum m’IX — = in infinitum
indeterminatarum #, y sola per saltus progredi debet, dum alterius valor nulli
conditioni subiicietur. Patet enim, hoc idem esse, ac si vel A vel g statuatur — 1.
u;
Quae hactenus exposita sunt, abindole coöfficientium formae ax+ 2bay—+-cyy
sunt independentia: abhinc vero supponemus, hosce co£flicientes esse integros.
Ita quaevis combinatio valorum integrorum quantitatum x, y ipsi formae valo-
rem integrum coneiliabit, sive repraesentationi alicuius numeri integri per istam
formam respondebit. Hinc patet, complexum omnium combinationum valorum
integrorum quantitatum z, y, per quos forma F= ac®—+2ba@y+cyy valorem
non maiorem limite M nanciscatur, esse idem ac complexum omnium repraesen-
tationum numerorum integrorum limitem M non egredientium, sive usque ad
hunc limitem incl., si ipse est numerus integer. Quodsi itaque brevitatis gratia
multitudinem repraesentationum diversarum numeri determinati integri 2 per for-
mam F' per F'(n), vel quatenus ambiguitas non metuenda simpliciter per Fn
denotamus, numerus supra per m expressus ert = F0+ FI+- F2+ F3-tetec.
+ FM, theoremaque primum sequentem induit formam.
Tueorema III. Aggregatum FO—+ Fi-+F2- etc. + FM proxime expri-
mitur per 77), Appro@imatione in infinitum crescente, dum M in infinitum augetur.
8.
'Theoremati tertio repraesentationes omnium numerorum spectanti aliud ad-
jungere convenit, solos numeros impares spectans. Manifesto per formam F nu-
meri impares repraesentari nequeunt, si a et c simul sunt numeri pares: qua-
propter disquisitio ad tres reliquos casus restricta erit.
I. Quoties a est impar, c par, numerus impar repraesentatur, tribuendo
ipsi x valorem imparem, valore ipsius y arbitrario manente. Theorema II. ita-
I. 36
282 NACHLASS.
que, statuende g—= 2, @=1, A=1, docet, multitudinem omnium combi-
nationum valorum talium ipsorum &, y, qui formae valorem imparem limite M
non maiorem concilient, approximatione infinita exprimi per Ep: crescente M
in infinitum.
II. Quoties a est par, c impar, ad repraesentationem numeri imparis re-
quiritur, ut y sitimpar, unde statuend g=1, h=2, H=1, ad eandm
conclusionem deferimur.
III. Quoties tum a tum c impar est, vel valor impar ipsius & cum valore
pari ipsius y combinari debet, vel valor par ipsius x cum valore impari ipsius y,
ut prodeat valor impar formulae. Multitudo omnium combinationum tum prio-
ris generis tum posterioris, pro quibus valor formae limitem M non egreditur, ap-
proximatione infinita per en exprimitur, quapropter multitudo omnium com-
binationum, quae formae valores impares limitem M non egredientes producunt,
etiam hic approximatione infinita per exprimitur.
rM
2yD
lIam quum complexus omnium talium combinationum nihil aliud sit, nisi
complexus omnium repraesentationum omnium numerorum 1,3,5,7 ...M, quo-
ties M est integer impar, vel 1,3,5,7....M—1, quoties M est par, habemus
Turorzma IV. Aggregatum
Fıi+F3+F5-+F7..+FM vel FI+F3+F5+F7..+ F(M—1)
(prout M impar est vel par) appro@imatione infinita exprimitur per Si siquidem
F est forma, in qua alteruter co&fficientium a, c vel uterque est impar.
ILL.)
Es sei C der Complexus der Repräsentanten sämmtlicher Classen der for-
mae proprie primitivae für den Determinant —D. Wir bezeichnen durch (n)
die Anzahl allerDarstellungen der Zahl r» durch Formen aus dem Complexus €.
Es sei p eine ungerade Primzahl. Dann ist
DE NEXU INTER MULTITUDINEM CLASSIUM ETC. 283
wenn p Nichtdivisor von D Er von 22—+D
. (pn) = — (n)—+ (h) Nichtdivisor von e2+D
wo n— hp", { beliebig und A nicht durch p theilbar.
Im Fall 1. ist (k) = (ph) = (pph) = (p’h) etc.
2. (ph) = 2(h), (pph) = 3(h), (ph) = 4(h) etc.
. (Dh=0, ppPh=lh, (PN 0, (ph) ete.
* *
*
Aus jeder Classis pr. pr. für den Determinans — —D, deren Anzahl —\,
sei eine Form ausgewählt, und der Complexus dieser Form sei L.
Man bezeichne durch fA die Anzahl sämmtlicher Darstellungen der Zahl
A durch Formen aus L.
Es sei ferner f(A; p) = fa: wenn p»* die höchste Potenz der Primzahl p
ist, welche A misst; ferner f(A; p,g) = 7. wenn g eine andere Primzahl,
Pr
deren höchste A messende Potenz — g und so ferner f(A; p,g, r) = SI
wenn r eine dritte Primzahl, deren höchste Potenz A messend r! ist u.s.w.
[IV]
Man bezeichne durch (n) die Anzahl der Werthe x aus dem Complexus
DL
für welche ze—D = xx —ap" durch p” theilbar ist.
1) g ungerade z.B. = 7. 2) y gerade z.B. —6
(dj aNp aRp
(2) = 1 1)= 1
(3) Br 2)=p 2)=Pp
(4) = pp B)=Pp 3)=Pp
(5)=pp (4)=pp (4)=pp
36*
284
Man mache nun
Es ist folglich, p
p
Pr ER ON
Fr=10 49H 4 tee =14, = 14,
Also T=1
[V.]
Multitudo classium mediocris*) circa determinantem negativum — D est
proxime
Multitudo vera exprimitur sequentibus formulis, ubi brevitatis caussa scribitur m
pro multitudine mediocri, M pro vera; p, q exprimunt omnes numeros impares
primos ipsum D non metientes, ille divisores, hie non-divisores ipsius D—+D;
—i
(6) = Pf
N=pf
Sl
(9) a
etc
-2=(iy
7-2)
a,
=
C
fpr=
NACHLASS.
5) =pp
(6) = p?
(7) —=)(
(8) == 0
etc
Dann ist
pp
(5) = pp
(6) = pP
(7) = 2p°
(8) = 2p"
etc.
— 6%
= 1+(2)
—= (1)+(3)
—=.1-+(2)+(4)
ID dep SR, ei
(1-+ r + E + 75 —+ etc.) T gesetzt,
ryD
alt + rirt ete.)
r numeros”*) primos ipsum D metientes:
im Text vorkommenden ab.]
**) [impares.]
*) [Vergl: Disquiss. Arithm. art. 302; die dortige Formel weicht um eine Constante % von der hier
DE NEXU INTER MULTITUDINEM CLASSIUM ETO. 285
& M—= m Prod. ex ? Mir T ne
(—ı r?—1
181 M=— ryD Prod. ex "ni Inh chen.
B i p B- rr
aD #0
III. NB. M= Ep Prod ex Per Pa’
D a en
IV. M = \{7.Prod, ex EI 1
v M= 24 ++t+4t+ etc}
NB: Die Formel III wird unmittelbar aus der Vergleichung der beiden Ar-
ten, die darstellbaren Zahlen bis zu einer gewissen Grenze zu zählen, abgeleitet.
[VL]
THEoremA. Multitudo classium, in quas omnes formae binariae proprie pri-
mitivae determinantis negatiii — D*), aequalis est
= x /Dx Prod. ae
» q nr
designantibus
p omnes numeros primos**) quorum non-res. est — D
q omnes numeros primos**) quorum res. —D
r omnes numeros primos**) ipsum 2) metientes
rr—1
= VD Prod. ex ——
4 er
1+#++ete.
ubi in denom. signum posit. praeponitur fractt., quarum denom. sunt in forma non
divis.; negat. iis, -quarum denom. sunt in forma divisorum ipsius @0—+D; eae
vero, quarum denom. ad D non forent primi, omnino omittuntur ***),
“ (distribuuntur. ]
**) [impares.]
***) [Bezeichnet man mit m alle positiven ganzen Zahlen,“ die relative Primzahlen zu 2D sind, und
benutzt man das durch Jacopı verallgemeinerte Symbol von LEGENDRE, so ist die obige Regel für die Zei-
chönbestimmung in folgender Weise zu berichtigen: in der vorhergehenden Formel ist der Nenner
z
236 NACHLASS.
- _ 2yDiit4+#...) __ cotgdHtcotgs3sß+cotg5ß... +cotgn®
ee r Be N:yD
3 N = |i!D et ponendo pro n omnes numeros ad D primos
signo ut supra determinato *).
Pro determ. pos. erit mult. Olassium **)
—_ WwWDliittitt-.-.)
— 1g.7T+UyD
ponendo 9 —
Designantibus 7, U valores minimos quantitatum Z,u aequationi tt— Duu—= 1
satisfacientes
_ log sin#® +log sin$® +1log sin $8 etc.
77 log7+UyD
[VIL]
| Pro determinante negativo —p, qui***) est numerus primus formae 4r-H1,
_ multitudo classium est) = (@— 6), ubi & multitudo residuorum quadraticorum
in quadrante primo
1.2.3....4(2—1)
5 multitudo non-residuorum.
—D
I +4 +4 et. = IH)
wo das obere oder untere Zeichen zu nehmen ist, je nachdem die Zahl m ein Product aus einer geraden
oder ungeraden Anzahl (gleicher oder ungleicher) Primzahlen ist; dagegen ist im Zähler der nachfolgen-
den Formel
=D 1
Ä tr Az)
*) [Siehe die weiter unten folgende Note zu diesem Fragment.]
**) [In der nachfolgenden Formel bedeutet D den positiven Determinanten, und es ist
Di
ı34+44..-=2(o)o],
***) [d. h, wenn » eine positive Primzahl von der Form 4n-+1 ist.]
t) [multitudo classium est = 2(@a — 6).]
wo m die [halbe] Anzahl der Classen für den Determinans —p
DE NEXU INTER MULTITUDINEM CLASSIUM ETC.
[VII]
b= 2m-a—1 (mod. 8)
pIimı|ı a b F mie a ö
17]|2)+1J)— 4 —- 4| + 74
41| 41)+ 5-41 9| +1 s:4%
73| 21 83 |— 8) + 271 +1 18
891 61 + 51 — 8|-+'34 ET
9712-9 - 41 + 2| 1 5| 6
113| 4|— 7|+ 8) + 15 — 1 9) 4
137) 4|—11)+ 4|+ 37 —1 3|/ 8
1937 .2|— 7| +12) + 8ı — 2 11| 6
233| 6|+13|+ 8s|+144| +2 in, 2
2411| 6/+15/| + | + 64| —ı 13) 6
2571 8!+ 114+16|-+ 16 0 154
281110/+ 5|—ı16| + 53 +5 9.10
sa A193 19, 055 5 5/12
337) A| + 9| +16 | —148 0 7[12
3553| 8) +17 )+ 8!+42| +3 151 8
5/4) + 1 21:2 0
13| ıl— 3/)—3|+ 5 0
29; 31 +-5/I+ 2|/+ 12 +1
Bea
53| 3[—- 7|- 2|-+ 23 0
611 3/ +51 —6|+ 11 A,
1041| TIi+1/1—0|— 10| +3
109) 3|— 3|+10|+ 3| —ı
149| 7) — 7|—10|+ 44|' +2
4157| 3|—11|1— 6|— 28 0
173| 7\+13|+ 2/+ s0| +3
181) 5/4 9/+10/)— 19| +1
197 | 5/)+ 11 —14|— 14| +3
229) 5) —15|+ 21-107 | —ı
269/111 413) +10 |— 82| +3
2771| 3)+ 9 | +14! — 60 0
2933| 9/+17/+ 2 +138| +4
317| 5/—11/ +14 | 114 —?
349| 7|+ 5) +18 | —136 0
373) 5) — 7/+18|4104| —2
389 | 11) +17 1 —10 |) —115| +6
897.4: 10 ie
287
288 NACHLASS.
[IX.)
Vertheilung der quadratischen Reste in Octanten.
B a (r) Anzahl der quadratischen Reste von p., welche zwischen
(r—1)2 — und r= " liegen.
Erster Fall; p=38n-+H. | |
2t Anzahl der Classen für den Determinans —p;
2u Anzahl der Classen für den Determinans — 2p.
(1) = (8) = 4(?r +t-+u)
==) = (N) = 42n+t—u)
(3) = (6) = 4(2n —3t—+-u)
pP 2 tt Jul) IS) 2 | 2n IE | “I a)l2)|@)
LEERE Er 58| 6| 4117/1511
41:\10| a! 2| a| 3| olaa1| 60| .6J10Jaglialıa
738, 21 8) 71 31 8,257, BALL 8 819618112
89/2216 | 2|.8| 6 2 70/10|) 4121|19] 11
9724| 2 |10| 9| 4 An 78| 4|18|25|16|21
113/28) 4 | 4| 9| 71 5|337| 82] 412] 25119121
1371841 A 5/11 |°8| 713531 88| 8112]27121|19
ı93|48| 2 1015 10 13 ]a01 100|10| 6 "29 |26!19
Zweiter Fall; p = Sn-+5.
2t Anzahl der Classen für den Determinans —p;
2u Anzahl der Classen für den Determinans — 2p.
=) = (6) = (8) = 4? — tu)
2)= (N - RER =
(4)
ıı
» lÜnli} 1) | (2) Re » |:2» | t | w |(i)|(2)|(4)»
5} 0) 1.|. 11 071 |:0 181124 | 54.91 12113 | 8
13 3]1) 3) 1 olter Pie 57 5719716 10
2393|-6/|3| 1| t|:.4 | 1122] 56°, 871811671510
371 s|ı | 5| 31 2] ri erde fi 51151724 | 33
53,131 21 3 3) Ss a ray T19 1 177 | 19
611141 3} 51 2° 5.29283.72:1°9 | go 18 ]28 114
101.-124| 7 | 3| 5) 11 | 4 1 347.778.) :5| 7120122117
109|26| 3 | 5| 7) 8| 5 1349| 86 | 7|13|23|24| 17
149|36| 7 | 3| 8|ı4| 7 |373| 92 | 5)13|25|24 | ı9
157 |38| 3 |13|12| 9| 6 1389| 96 |11) 7|23|31| 20
ı73|42| 7 | slıolıs| 8 397 | 98 | 3 21 |29|22| 19
_ DE NEXU INTER MULTITUDINEM CLASSIUM ETC. n 289
Dritter Fall; p = 8n-+3.
t Anzahl der Classen für den Determinans —p
.2u Anzahl der Classen für.den Determinans — 2p.
==) titan
ae — (8) —= 4(2n—t-+-u)
(3) = 4(2?r+t+u-+ 2)
(6) — 4(2n —t—u+?)
pP | ti ELLE PD |2r| EI al) 2) | (3) | (6)
3| ofinfıt - 0.0 | 1| 0 |168|40| 311 | Slıajıa) 7
11) 21:3):4:| 210.| 2}.0.1479]44]|15| 3|14| 8Jı6| 7
10 A a a zn
a3lı0o| 3|5 | 2[3 | s|ı |227\56|15| 7lıelaa 20 | 9
sotıa| 9| 3 | 5l:e | 7.1 Iasr|e2l2ı| z7lıglı2]23| 9
67 lı6| 3|7 | 315 | 7}2 983 |70| 915 J16|19|24 | 12
ss3|20| 9/5 | 6.4] 9|.2.1307:176| 9|17|17 21126 13
107\26| 9/3 | sıs J10o| a |s31 |s2| 9j11lao|aı|26| 16
131132115! 3 111 |:5 |13| 4 |347 18615 5124 19127 17
ı39|34| 9| 7 | Is !ı3| 5 | 379 194 9|11|23 94 29119
Vierter Fall; p=3n-H1.
t Anzahl der Classen für den Determinans —p;
2u Anzahl der Classen für den Determinans — 2p.
(2) = (3) = (5) = +? +u+?2)
(4) = (6) = (T) = +2 — 4-2)
(8) en 1(2n — 2t-+-u)
p han) Eu lIaICaI KW] P» |2n| € |w |)|@) (a) | W)
I OS) 2.0 aa at
23| a| 3) 2| 2| 2/1 0o|199/48| 9/10|14 1510| 10
31 Ba A Satan Tan aa 1a 1a
47|1615| 41:41, 412.14 12989|68 15.412116 |14| 8
71116) 77 2) 71 514.11 .1263)64 | 13| 6/21 J18/15] 11
7918| 5| 4 6| 6/4 | 3127166 /11Jı2Jı9|20|1a] 1a
103,261 BIt0 | 81 9/46 138411176 ,19| 6127J21 | 181311
127130] 5| 8! 8)10| 6 | 7 1359 |88|19| 6|30,24| 21,14
151136 | 7| 6|11j11| 8 | 7 |367 |90| 9|20!22| 28,18! 23
167|40|11| 614 |12| 9 | 6 [383 |94 | 17 12 |29 127121 | 18
11. n 37
290 = NACHLASS. '
(X.]
Vertheilung der quadratischen Reste in Zwölftel.
p Primzahl; (r) Anzahl der quadratischen Reste von p, welche zwischen
—p und —p liegen. |
Erster Fall; p = 24n-+1.
2t Anzahl der Olassen für den Determinans — p
4u Anzahl der Classen für den Determinans — 3 p
(1) = (12) = +(6n+3t-++-2u)
() = (11) = 4(6n— 3:42)
lb Sei) = +({6n+31t—4u)
| we ea |)
een rnagewer
ga hi
1093: 3792 06 11.9 5
21 67a 1 al
Zweiter Fall; p = 24n-13.
2t Anzahl der Classen für den Determinans —p;
4u Anzahl der Classen für den Determinans —3p.
dj ER (10) = (12) — 42 ra +11)
2)=)= (N= (11) = 42 +1—1)
(4) = (9) — 4(An-H1—-1+ 2)
(5) Be (8) ea + 2a +1-+t— 2u)
pP ın ta) BJ)
13| 0 1 1 1| 0 1|0
37 1-1 1 2 211 3 |:0
Ba A A rg
109 |’4 43 18] 6|:3 | 613
Set
181.7 5 s 11015 8| %
22919 I51|3lı2l 7 lıolg
Dritter Fall; p = 24n—+5.
| 2t Anzahl der Classen für den Determinans —p;
2u Anzahl der Classen für den Determinans —3p.
DE NEXU INTER MULTITUDINEM CLASSIUM ETC. 291
= )=-W-M=U)=(N)-n
(3) = (10) = #(2?R +1-+1)
4)—= (9) = 4(2n—t-+u)
()—= (8) = 4(2n-+1—u)
» rt) I)
5 0 1 1 0 1 00
en
©: 8: 9 5 21 41.310
101 4 7 5| 4 8 12
149 1:65:74 73:8 110.,.-.64:2
173 ae | Dial 8| 3
197.) 8&| 5131 8)11j111 3
2059.11, 141 1,417 9/8
Vierter Fall; p = 24n+17.
2t Anzahl der Classen für den Determinans —p;
24 Anzahl der Classen für den Determinans —3p.
eo. - 0). 0), — 4+(6n+3—+-u)
1)=(
(3) = (10) — +(6n+6+31— 2u)
(4) = (9) | — 4(6n+3 —3t—+u)
(5) = (8) | — +4+(6n +6 — 2u)
p|\n|e|w|cı)|(a)](a)| (5)
17 042 Rn 1 1:0 0
41| 114 31=92) 8.02.23
89 316 B) 4 0:21 3
313 4/4 9 6 414 2
137 | 4 91:9 IB 3
233 916 415:1233: 879 5
2571101 38 2.18, 8 8
,*
BEMERKUNGEN ZUR ABHANDLUNG
DE NEXU INTER MULTITUDINEM CLASSIUM, IN QUAS FORMAE BINARIAE
SECUNDI GRADUS DISTRIBUUNTUR, EARUMQUE DETERMINANTEM.
Zu I. und Il.
Die zweite Formel für die Anzahl der innerhalb des Kreises liegenden Punkte (I. art. 3 und II.
art. 5) ergiebt sich aus der Betrachtung des in denselben eingeschriebenen Quadrates, dessen Seiten den Coor-
dinatenaxen parallel sind; die Vergleichung beider Formeln führt zu dem auch arithmetisch leicht zu bewei-
senden Satze
a nd A un aa Er nl 1 a ae
aus welchem sich wieder die Richtigkeit der ersten von den beiden folgenden Regeln ergiebt, die sich auf ei-
nem besondern Blatt vorfanden:
„Auflösungen der Gleichung «x +yySA; formula
1 +4yA+4y4A+sily(d—nn)—n)
wo bei jeder Wurzel der Bruch weggelassen und von n=1 bisn= A ‚(soll heissen Y4_4)‘‘ summirt wird.
Andre Formel
wo bei jedem Theil der Bruch weggelassen.‘
Diese letztere Formel folgt aus dem später (I. art. 6) zur Anwendung kommenden Satze über die An-
zahl aller verschiedenen Darstellungen einer bestimmten Zahl durch die Form xx +yy (vergl. Disggq. Arithm.
art. 182, Note), welcher leicht in den folgenden umgeformt werden kann: die Anzahl der verschiedenen Dar-
stellungen einer positiven ganzen Zahl m durch die Form z2-+yy ist = 4(a—b), wo a,b die Anzahlen
der Divisoren von m bedeuten, welche resp. von der Form 4n+1, 4n+3 sind. Aus der Vergleichung
DE NEXU INTER MULTITUDINEM CLASSIUM ETC. 293
dieser arithmetischen Formel mit der (in I. art. 5 oder II. art. 4) durch geometrische Betrachtungen gewonne-
nen mittlern Darstellungsanzahl erhält man leicht und in aller Strenge das bekannte Resultat
r
FE a ae
welches in der Abhandlung (I. art. 7) durch eine ähnliche Vergleichung, aber mit Hülfe unendlicher Producte
abgeleitet wird.
Zu llI und IV.
Ist C der Complex aller positiven, nicht eigentlich-äquivalenten formae proprie primitivae von nega-
tivem Determinant —D, und legt man den Variabeln dieser Formen je zwei Werthe bei, welche relative
Primzahlen zu einander sind, so ist die Anzahl aller Darstellungen einer positiven ganzen Zahl m gleich
eıy(m), wo e die Anzahl der Auflösungen der Gleichung t!+Duu = ı, und »(m) die Anzahl derjenigen
nn+ D
m
ohne gemeinschaftlichen Divisor sind (Disqq. Arithm. art. 180). Der Factor e it =4 für D= ı, in allen
Wurzeln n der Congruenz nn + D= o(mod.m) bedeutet, für welche die drei Zahlen m, 2n und
andern Fällen = 2. Ist ferner m = p"p"” put. 3 W0 9, p', p” .... von einander verschiedene Primzah-
len bedeuten, so ist b(m) = lp")y (pp lp"”") ...5 bedeutet A(m) die Anzahl der Wurzeln n der
Congruenz nn+ D = o(mod. m), und bedient man sich des von LEGENDRE eingeführten, von Jacosı ver-
allgemeinerten Zeichens, so ist d(p”) = U(p”) = >) wenn p nicht in 2.D aufgeht, sonst aber
— Alp” — Apr); die Anzahl X(p”) lässt sich immer leicht bestimmen (Disqq. Arithm. art. 104), für
die Folge reicht aber die Bemerkung aus, dass A(7p”) immer von m unabhängig wird, sobald z eine gewisse
Grösse überschreitet.
Legt man den Variabeln der in dem Complex C' enthaltenen Formen alle ganzzahligen Werthe ohne - a
er
Ausnahme bei (Disqq. Arithm. art. 181), so wird die Anzahl (m) aller Darstellungen der Zahl m gleich ef(m),
wo f(m) = 24 (2) ist, und das Summenzeichen sich auf alle quadratischen Divisoren u. der Zahl m be-
zieht. Hieraus folgt unmittelbar
a) =" = SE UVEE") ..-
und
IE = ya) EI HIER NH.» . -
welehe Reihe so lange fortzusetzen ist, als die Exponenten rn, r—2, r—4... nicht negativ werden.
Wenn p nicht in 2D aufgeht, so folgt hieraus
BE pl MIR predia —D
und allgemein, wenn m relative Primzahl zu 2D ist,
sm) = 27°)
wo das Summenzeichen sich auf alle Divisoren n der Zahl m bezieht.
+
294 BEMERKUNGEN ZUR ABHANDLUNG
Aus diesen Bemerkungen ergiebt sich unmittelbar die Richtigkeit der im Text (III, ı, 2, 3) aufge-
stellten Sätze über die Anzahl (m), wenn man für den ersten derselben noch die Bedingung hinzufügt,
dass D nicht durch pp theilbar sein darf (die Bestimmung der Classenanzahl ist schon in den Disgg. Arithm.
art. 256 auf den Fall zurückgeführt, in welchem D durch kein Quadrat theilbar ist). Zugleich findet man,
auch ohne Rücksicht auf diese Beschränkung, dass die unendliche Reihe
F(») , Flop) | ftp?)
ta
den Werth
p p ee ı
hat, je nachdem 2D ‚durch die Primzahl p theilbar oder nicht theilbar ist.
Zu V.
(
Die zu der Formel Ill hinzugefügte Bemerkung giebt den Weg an, auf welchem der Verf. zur Bestim-
mung der Anzahl % derin dem Complex C enthaltenen Formen gelangt ist. Aus geometrischen Betrachtun-
gen (vergl. I. art.5 und II. art. 4) ergiebt sich, dass der Grenzwerth, welchem sich der Quotient
M)HE@)HR)+ ... +m)
m
mit unbegrenzt wachsendem m nähert, d. h. die mittlere: Anzahl der Darstellungen einer unbestimmten po-
sitiven ganzen Zahl
T
= ae:
ist; ein zweiter Ausdruck für denselben Grenzwerth lässt sich auf verschiedene Arten aus der Natur der im
Vorhergehenden bestimmten Anzahl (m) = ef(m) der Darstellungen der Zahl m ableiten. Der zu diesem
Zweck von dem Verf. zunächst eingeschlagene Weg scheint nach den vorhandenen Bruchstücken (1. artt.7, 8;
III und IV) folgender gewesen zu sein.
Ist 9(m) irgend eine Function der positiven ganzen Zahl m, und p irgend eine Primzahl, so kann
man aus Ö(m) immer eine neue Function #‘() ableiten, deren Werth unabhängig davon ist, ob und wie
oft p als Factor in m enthalten ist, und welche für alle durch p nicht theilbaren Zahlen »n mit 0 (m) über-
einstimmt; eine solche Function erhält man, wenn man 9’ (m) = (=) setzt, wo »” die höchste in m auf-
gehende Potenz von p bedeutet; und man kann sagen, dass die Function 9’(m) aus $(m) durch Elimi-
nation der Primzahl p entsteht. Bildet man auf diese Weise aus (m) eine neue Function ‚f’(m) durch
Elimination der Primzahl 2, aus dieser die Function f”(m) durch Elimination von 3 u.s. f., so wird jede
folgende dieser Functionen einen regelmässigern Verlauf haben, als die vorhergehenden; eliminirt man eine
Primzahl nach der andern, wie sie ihrer Grösse nach auf einander folgen, so. wird eine solche Function
DE NEXU INTER MULTITUDINEM CLASSIUM ETC. 295
d(m) für unendlich viele. Werthe von m den Werth f(1)= ı haben, und namentlich für alle diejenigen
Werthe von m, welche kleiner sind als die zuletzt eliminirte Primzahl. Durch unendliche Fortsetzung
dieses Processes nähert man sich immer mehr der Function f%(m), welche für alle Werthe von m den
Werth ı hat, und deren mittlerer Werth folglich ebenfalls = ı ist. Gelingt es nun den mittlern Werth
irgend einer Function 9(m) durch denjenigen der nächstfolgenden #(m) auszudrücken, so wird man auch
‘den mittlern Werth der Function (m) durch eine unendliche Kette von Operationen finden können.
Ist p die Primzahl, durch deren Elimination (m) aus ®(m) entsteht, so ist d(m) = %(m) f(p”),
wenn p” "wieder die höchste in m aufgehende Potenz von p bedeutet. Für den Fall, dass p nicht in
2D aufgeht, findet man. "hieraus leicht, dass
Dtm) = 9mp) (=D) om
ist; setzt man zur Abkürzung
O(m) = B(1)+9(2) +... +0(m)
Bm) = P(1)+W(2) +... + 9(m)
so ergiebt sich
ZB
&'mp) = Amp) (—-)&m)
und hieraus, wenn man mit w, w’ resp. die mittlern Werthe der Functionen #(m), #’() bezeichnet,
oa’
Bau
—E
oa =
1—
Wenn aber die Primzahl p in 2D aufgeht, so findet zwar zwischen den Functionen #(m) und #’(m) im
Allgemeinen keine so einfache Beziehung mehr Statt; indessen ergiebt sich auf ähnliche Art leicht, dass in
diesem Fall © = w ist. Ein anderer Weg, die Beziehung zwischen ® und w’ in beiden Fällen abzulei-
ten, ist folgender. Setzt man
lm) = LP (re)
wo das Summenzeichen sich auf alle Zahlen p bezieht, die nicht durch p theilbar und ausserdem nicht
1
grösser als m sind, und bezeichnet man mit m’, m”, m’”’ ... resp. die grössten in a = uch ... enthal-
p' p
’
tenen ganzen Zahlen, so ist
Am) = Hm) + m’)f(p) + m’ \FepP) + Hm" )Flp9) + - -
9m) = Hm) + m’) + Hm’) +dm”")+ ...
und hieraus folgt
was mit dem eben ‚gefundenen Resultat übereinstimmt (vergl. die Note zu III und IV).
Der mittlere w erth der Function (m) ist daher gleich dem unendlichen Product
we
BER a 2 ba
*»
296 BEMERKUNGEN ZUR ABE ANGEBEN
in welchem p allein 2.D nicht aufgehenden Primzahlen durchlaufen Lus h und hieraus folgt
evDn u
k=
T
Hinsichtlich der Strenge dieser Deduction bleibt aber ein Bedenken übrig, welches sich auf die Me-
'thode bezieht, den mittlern Werth der Function f(m) durch successive Elimination aller Primzahlen zu
bestimmen; denn wenn es auch einleuchtet, dass der Werth der durch Elimination der ersten n Primzah
len erhaltenen Function f()(m) mit dem der Function f%(m) = 1 übereir stimmt, so lange m kleiner
bleibt als die zuletzt eliminirte Primzahl, und dass also durch die Wahl SE inveichend grossen Werthes
n diese Uebereinstimmung bis zu jeder vorher vorgeschriebenen Grösse der Zahl m getrieben werden kann,
so ist hiermit allein doch keineswegs erwiesen, dass mit unbegrenzt wachsendem rn der mittlere Werth der
Function f(®)(m) sich dem mittlern Werthe der Function (m), d.h. dem Werthe ı unbegrenzt nähert.
In welcher Weise der Verf. diese Lücke auszufüllen beabsichtigte, lässt sich aus den vorhandenen Papie-
ren nicht mit Sicherheit erkennen; doch führt die schon oben (in der Note zu I) mitgetheilte Formel
AA A
IA Te Fre .
7 Bu
für die Anzahl der Paare von Zahlen, deren Quadratsumme den Werth 4A nicht übertrifft, zu der Ver-
muthung, dass der Verf., mit Umgehung des unendlichen Productes, für den mittlern Werth der Function
f(m) unmittelbar die unendliche Reihe
— ai
ih
gefunden hat, in welcher n der Grösse nach alle positiven ganzen Zahlen durchlaufen muss, die relative
Primzahlen zu 2D sind. Die einfachste Art, diesen Uebergang anzudeuten, scheint die folgende zu sein.
Ist p der grösste aller derjenigen Divisoren Eier Zahl m, welche relative Primzahlen zu 2D sind,
und setzt man #(m) = f(w), so ist (m) diejenige Function, welche durch Elimination aller in 2D auf-
gehenden Primzahlen aus ‚f(m) entsteht, und deren ae Werth nach dem Obigen mit demjenigen der
Function ‚f(m) übereinstimmt. Da nun d(m) = > — = ist, wo n alle Divisoren von 2, d. h. alle die-
jenigen Divisoren von m durchläuft, welche relative Prfuselten zu 2D sind, so ergiebt sich die der obi-
gen analoge Formel
«
Om) = (1) +9(2)+ 3 .. +9(m) —!(
—
n
—D m
N
wo in der Summe rechter Hand der Buchstabe n alle relativen Primzahlen zu 2D durchläuft, und von
m
dem Quotienten — immer nur die grösste in ihm. enthaltene ganze Zahl beizubehalten ist. Ordnet man
die Glieder dieser Reihe so, dass die Zahlen n ihrer Grösse nach wachsend auf einander folgen, so nimmt
der Factor — fortwährend ab oder doch wenig re
igstens nie zu, und die Reihe bricht ab, sobald n>m wird.
Ausserdem ergiebt sich aus dem Fundamentaltheörem ; in der Theorie der quadratischen Reste und aus der
Verallgemeinerung desselben, dass die Summe von je #(4.D) auf einander folgenden Werthen des Factors
ee verschwindet, woraus folgt, dass die Summe von noch so vielen auf einander folgenden Werthen
1 INTER MULTITUDINEM CLASSIUM ETC. 297
A Ar Key
desselben. ihrem absoluten Werth nı
A=%(2D) niemals übertrifft. Werbindet man diese beiden Bemerkungen mit einander, so findet man
die snäliche, nur von dem Determinant D abhängige Grösse
ER
leicht, dass die Summe aller auf das Glied ran = folgenden Glieder absolut genommen kleiner als
am ist, und dasss folglich der Quotient ®(m):m bei unendlich wachsendem »m die in der angegebenen
Art geordnete, convergirende unendliche Reihe
—D,ı
ur
Bar. | x(
zum Grenzwerthe hat. - so der gemeinschaftliche mittlere Werth der Functionen d(m) und F(m)
gefunden ist, erhält man unmittelbar s
ER eyD eg Bis
T un
Es verdient noch bemerkt zu werden, dass die Artikel 6 und 8 der Abhandlung II auf eine in man-
cher Beziehung einfachere und auch leicht auszuführende Behandlungsweise des Problems hindeuten, bei
welcher nur die Darstellungen ungerader oder sogar nur solcher Zahlen betrachtet werden, die relative
Primzahlen zu 2D sind.
Zu VIlund VII.
Die Art, wie der Verf. die Summation der Reihe er ausgeführt hat, ergiebt sich aus ei-
nigen speciellen Beispielen, welche sich auf einzelnen Blättern vorfinden,
‚ Ist D= 3(mod. 4), so folgt aus dem Fundamentaltheorem in der Theorie der quadratischen Reste
mit Benutzung der Reihe
1 1 ı 1 1
een, a
dass
‚r—D\, ı era Y vr
nam, ninenetn;,
ist, wo y alle relativen Primzahlen zu 2D durchläuft, die kleiner als D sind; setzt man
*
u N 2% RAZER
yv-ı=i, cos — +isın er
% ER D
und bezeichnet mit P IR FRURAEER Primzahlen zu D, welche nicht grösser als D sind, so lässt die vor-
wendet man nun die für jede Wurzel » der Gleichung wD
II. 38
= ı gültige Formel
298 BEMERKUNGEN ZUR ABHANDLUNG
Fe en BR
an, in welcher a die Zahlen 1,2,3...(D-—-ı) durchlaufen muss, so erhält-man durch Umkehrung der
Summationsordnung
5;
1 1.2 a
2) =70lp) {5 7
Die auf u. bezügliche Summation lässt sich bekanntlich mit Hülfe der in der Abhandlung Summatio qua-
rumdam serierum singularium bewiesenen Sätze ausführen; beschränkt .man sich auf den Fall, in welchem
D durch kein Quadrat theilbar ist, so findet man allgemein
D—ı,?
ÜÜx 2
per=tz) vD
wo (5) = 0 gesetzt werden muss, falls « keine relative Primzahl zu D ist. In dem Fall D = 3 (mod. 4)
erhält man daher
E 2 BER Lu VERSEL. «
A ren eewere)
wo «’ alle relativen Primzahlen zu D durchläuft, die kleiner als 4D sind; daendlich e = 2 ist, so wird
die Anzahl der Classen
a
k=2(5,)
Ist dagegen D= 1(mod. 4), so erhält man mit Benutzung der Reihe
1 1 1 % t
cosecu = — — _ + — ...
u u—r er ut 2r
auf ähnliche Weise
ni v1
yk
—D, 1 2 ni T 2 ,v vr ” 119
——) „= 3(—1) (7) „= 52-1) (5) eosec -, = Trab
z(
wo die Buchstaben v und p die frühere Bedeutung haben; schliesst man den evidenten Fall D= ı aus
und wendet die für jede Wurzel ® der Gleichung oD —ı (mit Ausnahme von w = ı) gültige Formel
0) au” D-Aa”
—m zT
BaBwr 1420 # io
an, in welcher a” die Zahlen ı, 2,3...4(D—1) durchlaufen muss, so ergiebt sich, wieder unter der
Beschränkung, dass D durch kein Quadrat theilbar ist,
DA T 73
m ern\n)
”
z(
und hieraus, dde=2 ist,
*
DE NEXU INTER MULTITUDINEM CLASSIUM ETC. E 299
Ganz ähnlich würden sich die Fälle behandeln lassen, in welchen D gerade ist. —
Was die Bestimmung der Classen- Anzahl für positive Determinanten D betrifft, so finden sich
ausser der im Text mitgetheilten Schlussformel nur einzelne geometrische Figuren vor, welche Hyperbel-
Sectoren von endlichen ‚Dimensionen darstellen, und neben denselben Ungleichungen, durch welche die
Punkte, deren Coordinaten die Variabeln der quadratischen Formen sind, in das Innere eines solchen Hy-
perbel-Sectors' gedrängt werden. Diese Hyperbel-Sectoren treten an die Stelle der Ellipsen, welche den
quadratischen Formen von negativen Determinanten entsprechen, und durch die Bestimmung ihres Flächen-
inhalts ergiebt sich wieder die mittlere Darstellungsanzahl, wenn nämlich nur solche Darstellungen zuge-
lassen werden, bei welchen die Variabeln den eben erwähnten Ungleichungen Genüge leisten. Anderer-
seits dienen diese Ungleichungen dazu, aus den unendlich vielen Darstellungen einer Zahl m, welche alle
zu einer und derselben Wurzel n der Congruenz nn— D=o (mod. »7,) gehören und welche den sämmt-
lichen Auflösungen der Gleichung ?£— Duu = 1 entsprechen (vergl. Disqg. Arithm. art. 205), eine ein- .
zige zu isoliren und alle andern auszuschliessen. Die Anzahl aller zugelassenen Darstellungen der Zahl m
durch den Complex aller nicht eigentlich äquivalenten formae proprie primitivae ist dann gleich dem Werth
der Function (m), in welcher nur —D durch D zu ersetzen ist, und aus der Betrachtung der Eigen-
‚schaften derselben ergiebt sich, wie früher bei negativen Determinanten, ein zweiter Ausdruck für die mitt-
_ lere Darstellungsanzahl; die Vergleichung desselben mit dem vorher durch geometrische Betrachtungen ab-
geleiteten Werthe führt dann unmittelbar zu der Bestimmung der Anzahl der Classen.
| Zu VIII
Hier bedeutet p eine positive Primzahl von der Form 4n+1; die Bezeichnung stimmt mit der in
der ah Theoria residuorum biquadraticorum 1. art.23 angewendeten überein; es ist also
J=Z1.2.3....4(p—3).4(p—1)(mod.p)
p=aa+tbb; a= ı(mod.4); b = af(mod.p)
die mit a, 6 bezeichneten Zahlen sind durch die Zerlegung p = aa-+26% bestimmt. Die Columne F ist
den beiden vorgefundenen Tabellen hinzugefügt; ausserdem sind einige Lücken in denselben ausgefüllt.
Der im Text aufgestellte Satz hängt mit dem biquadratischen Charakter der Zahl 2 zusammen; da
nämlich (vergl. Theoria resid. biqu. 1. art. 21)
24 = pid(mod. p)
ist, so folgt aus der Congruenz
b= 2m-+a—ı(mod.s)
die andere
38 *
300 ; BEMERKUNGEN ZUR ABHANDLUNG
und umgekehrt jene aus dieser. Der Beweis dieser letztern Congruenz ergiebt sich leicht auf folgende Art.
Ist px die Anzahl der quadratischen Reste a,, welche zwischen 0 und ‚4p liegen, so ist (nach VII)
| m= 24 4(p—1) en
und die Anzahl der quadratischen Reste a,, welche zwischen 4p und #p liegen, it =4(p—1)—p. Ist
nun p= 1(mod.s), also die Zahl 2 quadratischer Rest, so stimmen die Zahlen 2=,. und p—2a, im
Complex mit den Zahlen a, und a, überein, und bezeichhet man das Product dieser Zahlen mit # so
ergiebt sich | | | ö
pi
2.4 A= (—1)#(2=1)=% 4 (mod. p)
und folglich
p-1
u app = ym+4(p—1)(mod.p)
da ferner in diesem Fall 5 = o (mod. 4), und folglich
Pe — (a +1) + = en = * (mod. 4)
r
.
ist, so erhält man die zu beweisende Congruenz
p-1 a—i
zit = 2 (mod.p)
Ist dagegen p = 5(mod.s), also die Zahl 2 quadratischer Nichtrest, so stimmen die Zahlen 2a,
und p— 2a, mit den sämmtlichen zwischen 0 und 4p liegenden quadratischen Nichtresten überein; be-
zeichnet man ihr Product mit BZ, und das Product der Zahlen a, und a, wieder mit A, so ist
PER
f=AB,. („ı) * 2 * A= B(mod.p)
erhebt man diese beiden Congruenzen zum Quadrat, indem man berücksichtigt, dass
9-1
SfF= -1, 2” = -—ı(mod.p)
ist, so erhält man
—1 = AUBB,.—- AA= BB
und hieraus 4?= +1; da nun A ein Product aus quadratischen Resten, also AA ein Product aus bi-
quadratischen Resten und folglich selbst ‘ein biquadratischer Rest ist, so muss AA = +1 sein, weil, —1
ein biquadratischer Nichtrest ist. Hieraus folgt
DE NEXU INTER MULTITUDINEM CLASSIUM ETC. 301
ER
(—ı) ? 24 = AB= f(mod.p)
und
p-1 p-5
m
ı t ech Ifyertetimsf * (mod.p)
da endlich in diesem Fall 5 = 2(mod. 4), und folglich
ı bb—4 a—ıT a—ı
Be nl ==9
4 ae 4 + RE 4
ist, so erhält man wieder die zu beweisende Congruenz
4 ? (mod. p)
Zu IX.
Es sei p eine positive ungerade durch kein Quadrat theilbare Zahl, und
er
wo s, alle relativen Primzahlen zu p durchlaufen muss, welche zwischen (r-1) und r£ liegen ; be-
zeichnet man die Anzahlen der nicht eigentlich äquivalenten formae proprie primitivae für die Determinan-
ten —p und — 2p resp. mit C, und C,, so ist (vergl. Dirıcnzer Recherches sur diverses applications etc.
$. 11 in Creıre’s Journal XXI)
c, FE 2(8, +S,) C, = 29, 0,)
oder
= 9, +8,+8, +S,, C,=2(8,+S8,)
je nachdem p = 1 oder = 3 (mod. 4) ist. Bedenkt man ferner, dass die Zahlen s, und s, im Complex
mit den Zahlen 2s, und p—2s,, und ebenso die Zahlen s,.und s, im Complex mit den Zahlen 2s,
und p— 25, übereinstimmen, und dass im Falle pZ= ı(mod.4) die Summe $5, +S8,+8,+S, = 0 ist,
so ergeben sich in beiden Fällen noch zwei neue Relationen zwischen den vier Summen [Ban Po» San A
so dass jede derselben durch C, und C', ausgedrückt werden kann. Man erhält auf diese Weise, wenn
» = 1(mod.4) ist,
5,=S8, =4(,) +10,
S, — S, = 12 -(5)) C,—ıC,
=, = (+) +6,
S, =S,= 12) 0-14,
308: : - ' BEMERKUNGEN ZUR ABHANDLUNG
und, wenn p= 3 (mod. 4) ist
a 1(+(5)) +6,
,=—-8,= —-4(1-( (ZI)E die
.=-8.=4(-(Z)) +80,
==, =4l1-(Z)) EC
Ist p eine Primzahl, so findet man hieraus unmittelbar die im Text angegebenen Formeln für die
Anzahl der quadratischen Reste, welche in den einzelnen Octanten enthalten sind.
ZuX.
Es sei p eine positive und durch kein Quadrat theilbare Zahl von der Form 6% +1, und
Be wo s,. alle relativen Primzahlen zu » durchlaufen muss, welche zwischen 1) und r£ liegen; be-
zeichnet man die Anzahlen der nicht eigentlich äquivalenten formae proprie primitivae für die Determinan-
ten —p und —3p mit C,, C,, so findet man leicht (vergl. DirıcnLer Recherches etc. $. 11 oder die
Note zu VI und VII)
‚=:(8,+8,+8,) 5 =2r8,+8,—8,—8,)
oder
C‚=8,+8, + +85, +9,49, 0(,=2:8,+98,+S, +8,)
je nachdem p=1 oder = 3 (mod. gi ist. ® Berücksichtigt man ferner, dass
die Zahlen s, und 8, mit den Zahlen 2s, und p—2s,
UL unds, u sn.» 2s, undp—2s,
on re # und 2 er I 2s, und 2-46,
und ebenso
die Zahlen s, , s,, s, mit den Zahlen 3s,, Buix-p, p— 385,
* N ee RE Bir 38, —P, P— 38,
übereinstimmen, und en im Falle p = ae 4) die Summe 8,+8,+8,+8, +8,+8,=0 ist,
so erhält man ausser den beiden obigen noch vier neue Relationen zwischen den sechs Summen PL Ss
so dass dieselben sämmtlich aus C, und C, bestimmt werden können. Man erhält auf diese Weise, wenn
I
p=ı1(mod.4) ist,
DE NEXU INTER MULTITUDINEM CLASSIUM ETC. 303
8, =98,= 3(1+(2)) +rl+(Z))C:
,=8,=-4(14(2)) ++ (5)) 6
2
= SS = Ey Se =; C
5, 10 | A | + (2) 3
PR 30, 3(2-(7)) ©
.=85 = 101+(2))-#l-(2))e
s.=85, = (2) + 80H)
und, wenn 9 = 3(mod.4) ist,
= ultra)
lH - A) +iC,
Be ee
Valerie
,=—8, ee
2 3 6
S.l.= —sS = 11—1—[(— — — @ 1C,
8 HH
%=—8, = +0: )+2)-(Z)) 0-0.
Ist p eine Primzahl, so findet man aus dem ersten System die im Text angegebenen Formeln; für
die andern Fälle erhält man ähnliche Formeln aus dem zweiten System.
R. Devekın.
GEOMETRISCHE SEITE DER TERNÄREN FORMEN.
Ein Punkt im Raume (0) sei als Anfangspunkt angenommen. Der Ueber-
gang von da zu drei andern Punkten P, P’, P", die mit jenem nicht in einer Ebene
liegen, sei resp. t, t', t"; wo, so oft keine Verwechslung möglich ist, die Punkte
P, P', P" selbst durch (t), (t'), (t") bezeichnet werden mögen.
Es sei ferner allgemein (t, £') das Product der Länge der beiden Linien
t, t in den Cosinus ihrer Neigung etc.
Man hat allgemein (at+at!+a't’ +... Bbu+dbwW+b"u+ ..) wenn
man die Multiplication
(at+at tat’ +.)x(burdbutrbu+ ..)
ausführt und statt £u, tu‘, tu”, tu, t'u”..u.s.w. (tu), (t,W), (£,«"), (Ü, uw), (Ü, u’) u.s.w.
schreibt.
Jeder Punkt im Raume wird durch ein Trinomium
(at+&t'+x@"t")
dargestellt, werden können.
Für alle Punkte, die in einer bestimmten Ebene liegen, wird dann eine
Gleichung
la ta +” —= L
II. | 39
306 NACHLASS.
statt finden, wo A,X, X”, L bestimmte Zahlen bedeuten. Für eine Ebene durch
die drei Punkte gt, pt’, gt" ist
Schreibt man
t)=a, (t)=a, (tt) = «a, dt) =b, G)—=b, (lt) =
und
ad —bb—=A, ad—bb — A. aad—bb' —,A"
b’—ab—=B, bV’—ab = B, bb—u'b" — B"
D = ada’+2bbb"— abb — abV’—a’b’b”
so ist
T — At + B"t+B't" senkrecht gegen t’ und
T’ —:B"4-.4t + Bt" | | t und t”
T"—= Bt+Bt!’+4't" t und'daa;
und allgemein, wenn |
| arte Na’”—L
die Gleichung einer Ebene ist, so wird die Linie
TH T+NT
gegen dieselbe senkrecht sein.
Es ist dann ferner
«TA T-rbT" «—- Di |
"T-aT+5T'"—= Dr
EPrTbEr us Dt"
und die Linien t, t', t" sind senkrecht gegen die Ebenen, deren Gleichungen
ax +b"re+bx" — Const
br da —+bx’" — Const
bz be + ax" — Const
GEOMETRISCHE SEITE DER TERNÄREN FORMEN. 307
Der doppelte Flächeninhalt des Dreiecks durch die Punkte mt, mt, m’t"
ist aequal der Quadratwurzel aus dem Werthe der Form
A, A; 4”
F...(2# Pp
wenn substituirt wird X — mm’, X —= mm’, X" —= mm‘, während der sechs-
fache Cubikinhalt der Pyramide, die sich dadurch mit dem 0 Punkte bildet,
— mmm"yD wird, folglich ist das Perpendikel
en E | Es AD. AD.ED... nn
2 Ef beziehen sich ebenso auf die Form (7, D. BD, zrp) wie st, auf
\ dv’, y)
Die drei Wurzeln der Gleichung
0 = pPP—pplatd+a”)+p(A+4A+4")—D
stellen die Quadrate der drei Hauptaxen eines in dasjenige Parallelepipedum ein-
beschriebenen Ellipsoids vor, auf welches sich die ternäre positive Form
A: A’, A"
B, » B"
(e ER
5 y zu) mit Adjuncte ( ) und Determ. —= —D
bezieht.
Beziehung der Raumverhältnisse auf ein gegebenes Tetraeder.
Es seien (0), (1), (2), (3) die vier Ecken, gegenüberstehenden Flächen und
Perpendikel. Es kommen dann jedem Punkte des Raums P gegen einen belie-
bigen Anfangspunkt M vier Coordinaten zu », «, a”, ©”, unter welchen aber
die Relation
at. 040" = 0
Statt findet. Es bedeutet nemlich x den Quotienten, wenn man die Distanz des
39”
308 NACHLASS.
Punktes P von einer dürch M mit dem Planum (0) parallel gelegten Ebene mit
dem Perpendikel (0) dividirt u.s.f.
Allgemein ist dann
— (PM) = z«(01)’+ z2”(02)’+za”(03)’ + ax’ (12)’ + @8"(13)’+0"2”(23)
Das Grundgesetz der Orystallisation lässt sich am kürzesten so aussprechen:
Zwischen je fünf Ebenen, welche dabei vorkommen, gibt es folgende Re-
lation:
Sind ihre Normalen auf der Kugelfläche (0), (1), (2), (3), (4), so sind alle-
zeit die Producte sin 102.sin 304, sin103.sin204, sin203.sin 104 in einem ra-
tionalen Verhältnisse; ist dies wie a:5:y, soist 6 =a-,y.
Sind die Coordinaten der 5 Punkte auf der Kugelfläche
abe\
ab | so müssen (ab — ba) .(a'b"—b"a”)
abc” (ab"— ba”) .(a”W" — b"a‘)
a”b"c" (ab"—ba”).(a'b" —bia” )
001
in rationalem Verhältnisse stehen.
Allgemein seien 1,2,3,4,5 die 5 Punkte auf der Kugelfläche, 0 der Mittel-
punkt; dann stehen, wenn 12 den körperlichen Inhalt des Tetraeders 0345 be-
deutet
23.45
24.53
25.94
in rationalem Verhältnisse
— —
ebenso
ı\
13.4122. u.8.f.
eı
GEOMETRISCHE SEITE DER TERNÄREN FORMEN. 309
Transformationen der Form (_” _” _°) Det. = 108
1, —, —1
Chaux carbonatee
— ae 240 240 240 1092.,10,..50 .
Sfr] a nl) a) equiaxe
+1—1-+1 36.108 256.11664 216
8 8 8 4 4 4\ 17.46 15 15 5 5 5 .
Fir] en) (a8) Re, er Inverse
+1 0+1 4.108 54 27.108 54
2 1 1 20 20 20 10 10 10 51 51 51 47 1517
Hıfatıl a Br ,) Pa (_'7_7_'7) ‚contrastante
+1+1+2 16.108 216 432.108 16.108
1+2+2 20..20, 28 312 2 312 52 52 52 .
Fatıtal ER, ee 0 mixte
+2+2+1 25.108 67500.108 33750
on 2 et
"Setzt man die ursprüngliche Form allgemein ( I
und eine abgeleitete (7 2 2)
so ist
1, T=3t— 2u U=—t+ 2u
2, T=2t+ 2u — t+ 3u
3, T=6t-+10u — 5t-+11u
4, T= 9t-+16u = 8f/-+-.17u
Die Form (} *) geht durch die Substitution
x = u+wW—2u" umgekehrt 6u — —+3y+ 22
y=au—u Bu e—3y—+ 23
z—=u+tu+tu bu" — — 204 22
. 4+%k, 4+%k, 4+%
Aber in [,, ,’-,.,
Um den Kalkspath zu produciren ist A = 0,973103 zu setzen.
Hind die complexen Werthe der orthographischen Projection von drei gleich
langen und unter einander senkrechten Graden a, b, c, so ist aatbb+cc = 0,
allgemein kann man setzen, p und g beliebige complexe Zahlen bedeutend
a= (p—q(a—piüi), b= (—qi)(pü—pi), c= (gi—p) (pi—q)
310 NACHLASS.
Hexakisoctaeder.
Gleichung: pe +qy+r3 = 1
ö Coordinaten.
) 0 0
bafıadar ; T
ers Pe A
[er | 20 Er 0
x1 !öx |o Yo 4 1 1 1
a+6+7 a+6+Y a+6+7
a<8<y
Sechsfacher Inhalt einer Elementarpyramide 2
—r@+neHtHn
Alle [Flächen] sind um eine Kugel beschrieben, deren Halbmesser —
V(aa+884yy)
i Ka ,
u BEE eo
Cosinus Kanten Winkel 3.1.2 = 768 en PT
Sinus VG i en 2 oy ne ın
1
Man HE Fr)
Doppelte Fläche eines Dreiecks —
Vorkommende Werthe.
ady ad y
7. 0.0.1 Hexäeder 2. 1.2.2. Triakisoctaeder
3. 0.1.1 Rhombendodekaeder 4. 1.2.3. Hexakisoctaeder
6. 0.1.2 Tetrakishexaeder : 1.22
0.41.03 2. 1.3.3. Triakisoctaeder
023 4. 1.3.5. Hexakisoctaeder
1. 1.1.1 Octaeder 2. 2.3. 3 Triakisoctaeder
5. 1.1.2 Thrapezicositetraeder 24:3...
en u Pe |
BEMERKUNGEN.
Neben den vorstehenden Notizen, welche die in der Anzeige von Srrper’s Untersuchungen der ter-
nären Formen gegebenen Gesichtspunkte theilweise weiter entwickeln, sind in der Handschrift mehre eigne
mit einem achtzölligen Reıcnznzacn’schen Theodolithen ausgeführte Crystallmessungen aufgezeichnet. Die
einzelnen Protokolle enthalten das jedesmalige Datum der Beobachtung, woraus zu ersehen ist, dass diese
Untersuchung dem Monat Juli 1831 angehört.
Aus der Theorie der indifferenten ternären quadratischen Formen findet sich im handschriftlichen
Nachlass nur der folgende, wahrscheinlich in der Zeit der Ausarbeitung der Disqu. Arr. aufgezeichnete
Lehrsatz
‘Omnes transformationes formae ternariae
1,1, —1
(v 0, !
in se ipsam exhibentur per formulam
aö-+-6y a6— yd a6+Y6
ay— 68 (aa +85 —66—yy) 4(aa+yy—66—56)
ayr+6d Hlaa+66—y— 88) +l(aa+66+yyY+52)
acceptis a, 6, y, d ita ut fiat ad —6y = 1.’
’
Es entstehen nemlich alle Transformationen, in denen die neun Coäfficienten ganze Zahlen sind,
wenn für 4,6, y,ö sowohl alle die der Bedingungsgleichung genügenden ganzen Zahlen und zwar zwei
gerade und zwei ungerade gesetzt werden, als auch alle die ungeraden Vielfache von y%, welche dieselbe
Bedingungsgleichung aö°—6y= 1 erfüllen.
312 BEMERKUNGEN.
Zu Seite 309. Chaux carbonatee &quiaxe, inverse, contrastante und mixte sind die von Havy (Traite
de Mineralogie 1801 Tome II pag. 132, 137) gebrauchten Benennungen.
Die Tafel der Transformationen der Form © A ) enthält in der ersten Verticalreihe die Co&ffhi-
I, 1,
cienten der Substitution, in der zweiten die dadurch entstandene neue Form, in der dritten die der letz-
tern Form entsprechende primitive, wenn diese nicht selbst schon eine solche ist, undin der vierten deren
Adjuncta.
SCHERING.
ZUR THEORIE DER BIQUADRATISCHEN RESTE.
Wir erweitern das Gebiet der höhern Arithmetik, indem wir darin auch die
imaginären Grössen aufnehmen. Bei der gegenwärtigen Untersuchung nennen
wir eine ganze imaginäre Zahl jede Grösse e-+iy, wenn x, y reelle ganze Zah-
len sind.
, 2.
Die unendliche Anzahl imaginärer ganzer Zahlen lässt sich am bequem-
sten durch Punkte in einer unbegrenzten Ebene sinnlich darstellen; wir nennen
schlechthin denjenigen Punkt, dessen Abscisse ®, die Ordinate y ist, den Punkt
2--iy, alle Punkte, die ganze Zahlen vorstellen, sollen Ganzepunkte heissen.
8.
Um etwas bestimmtes festzusetzen, sollen die Abscissen immer auf der lin-
ken Seite positiv, die Ordinaten oben positiv sein.
4.
Die gerade Linie von dem Punkte #—+iy zu dem Punkte «’—+iy’ gezogen
soll schlechtweg die gerade Linie (e-+iy, &-+-iy') heissen, wir nehmen dabei
zugleich, insofern es darauf ankommt, auf die Richtung Rücksicht und unter-
scheiden also die gerade Linie a+iy, «+iy' von der «+iy', »-Hiy.
IL 40
314 NACHLASS.
>.
Der Kürze wegen wollen wir imaginäre Grössen wie #+iy auch durch
einen einzigen Buchstaben bezeichnen, wie z.
6.
Die Figur, welche durch die geraden Linien 22, 22", 2’z”... "12", 2"z be-
grenzt wird, nennen wir schlechtweg die Figur 22’2’z2”..z”. Wir schliessen da-
bei den Fall nicht aus, wo etwa einige dieser Linien einander schneiden.
R
Durch S(2.2,2... 2") bezeichnen wir allgemein die Summe von so vielen
reellen ganzen Zahlen, als Ganzepunkte innerhalb der Figur liegen, indem wir
für jeden Punkt, um den die Grenzlinie der Figur einmal, zweimal, dreimal u.s.w.
herumgeht, die Zahl +1, 2,3 etc. setzen; die obern Zeichen gelten, wenn
die Grenzlinie den Punkt so umgibt, dass dieser auf der rechten Seite der Figur
liegt, die untern im entgegengesetzten Fall. Schneiden sich also keine Seiten der
Figur, so ist S(2,2',z"..) schlechthin die Anzahl der Punkte innerhalb der Figur,
positiv oder negativ genommen.
8.
Offenbar ist immer
DSiet0 2... 2) -D22E 02,80 SE 2... 7000.
IM, r"..2,T,2 Tr.) er‘.
9.
Wie es hiebei mit den auf der Grenzlinie selbst liegenden Punkten gehalten
werden soll. muss noch näher bestimmt werden. Es gibt viele Fälle, wo auf der
Grenzlinie gar keine ganze Punkte liegen können: dann ist keine Bestimmung
nöthig. Liegen aber auf der Grenzlinie zz’ solche Punkte, so zeigen wir durch
ein zwischen z und 2’ eingeschobenes 4 an, dass diese Punkte so betrachtet
werden sollen, als lägen sie rechts von der Grenzlinie, so wie durch ein —, als
lägen sie links. Auch werden wir wol ein 0 oder 4 einschieben, wodurch an-
gedeutet werden soll, dass sie gar nicht oder nur mit dem halben Werthe auf je-
ZUR THEORIE DER BIQUADRATISCHEN RESTE. 1. 315
der Seite in Betracht gezogen werden sollen. Falls einer oder der andere der
Punkte 2, z, 2’ etc. selbst ein Ganzepunkt, so wird er, wo nicht ausdrücklich
das Gegentheil gesagt wird, gar nicht mitgezählt, als insofern er zugleich etwa als
Nicht-Eckpunkt auch in Betracht kommt.
10.
Lehrsätze. Wenn alle 2, z’, 2” etc. um eine und dieselbe Ganzezahl ver-
mehrt werden, so bleibt das S ungeändert.
Wenn i in —i und jedes Bindezeichen ins entgegengesetzte verwandelt
wird, so ändert $ bloss das Zeichen.
S(e,2',2"...2”) = S(s,uu..w,2,2',27)—S(z,uu..u",z)
= ,S(z, u. ur 2") — S(z,u,W, u”. u", 2”, ae 2E
wo die Bindezeichen correspondiren müssen, aber zwischen den rückwärts lau-
fenden Gliedern entgegengesetzt werden.
Ist £ eine ganze Zahl = a-+bi, so ist, wenn die gegenüberliegenden Bin-
dezeichen entgegengesetzt,
S(@.2,.+L,.+L) = Iba—ay)— [bx—ay)
Hiebei ist zu bemerken, dass wenn ba—.ay selbst eine ganze Zahl ist, diese
für [ba’—ay'] angenommen werde, wenn das Bindezeichen zwischen 2’ und !+{
—+- ist, hingegen 1 oder 4 weniger, wenn dieses Bindezeichen — oder # ist; bei
be—.ay gilt das Umgekehrte.
Uebrigens gilt die Formel nur für den Fall, wo a und 5 keinen gemein-
schaftlichen Divisor haben; ist ihr grösster gemeinschaftlicher Theiler — Ak, so
hat man dafür zu nehmen
be—ay' z—-a
need ug) bes md!
11.
Wenden wir uns nun näher zu unserm Gegenstande selbst. Wenn für den
Modulus m = a—+-bi die Zahlen f, f', f" etc. so beschaffen sind, dass sie erst-
lich alle nach dem Modulus m unter sich incongruent sind, zweitens aber jede
ganze Zahl einer von ihnen nothwendig congruent sein muss, so nennen wir den
40 *
316 NACHLASS.
Inbegriff der Zahlen f, f', f" etc. das System der Primitivreste von m. Ihre An-
zahl ist immer = aa-tbb. | i
. 19
Man kann das System der Primitivreste auf vielfache Art bilden; die ein-
fachste ist, die Punkte innerhalb des Quadrats 0, m, (1-Hi)m, im zu wählen;
dazu müssen aber noch hinzugefügt werden
I. der Punkt oder die Grösse 0
II. alle Punkte auf zwei einander nicht gegenüberliegenden Grenzlinien.
Anstatt auf einer der 4 Grenzlinien alle Punkte zu nehmen, kann man sie
auch auf mehren zugleich nehmen.
Diese Auswahl dieser Punkte auf den Grenzlinien, falls welche darauf fal-
len, kann auf mehrfache Art geschehen, so dass obigen Bedingungen Genüge ge-
schieht. Am einfachsten ist die folgende Manier.
Man nehme auf der Grenzlinie 0,m alle Punkte zwischen 0 und 4m inclus.
und auf der Grenzlinie 0,im alle Punkte von 4im bis im exclusive und auf _
ähnliche Art bei den beiden andern.
Man kann diese beiden Manieren so sinnlich darstellen
(7+i)m (+i)m
13.
Schliesst man von den Primitivpunkten aus
I. DBloss den Punkt 0, wenn a gerade und 5 ungerade oder umgekehrt.
II. Die Punkte 0 und #(1--i)m, wenn a und 5 beide ungerade.
III. Die vier Punkte 0, 4m, $(1+-i)m, $im, wenn a und b beide gerade,
so nennen wir die übrigbleibenden eigentliche Primitivpunkte, die ausgeschlosse-
nen uneigentliche. Die Anzahl von jenen ist also
inFalI =aa-+bb—ı
II aa+bb—2
II = aa+bb—-4
|
also immer durch 4 theilbar.
ZUR THEORIE DER BIQUADRATISCHEN RESTE. 1. 317
14.
Diese eigentlichen Primitivpunkte lassen sich in 4 Classen F, F’, F’, F"
theilen, so dass |
iF=F iF=F' iF'= F" iFF=F
ER Zube er i —F' Re: Pr ER eg Em F Be ee. = Br
BR, zu gl RE er F us es F’ ne ” eo F*
Hiebei findet nun folgendes höchst wichtige Theorem statt.
Es sei M eine Zahl, welche mit m keinen Factor gemein hat. Von den
Zahlen MF gehören in die Classe F eine Anzahl von n
F’ n
F " N"
F m n”
und der kleinste Rest von #-+-2n"+3n" nach dem Modulus 4 sei —=N, also N
einer der 4 Zahlen 0, 1, 2, 3 gleich: unter dieser Voraussetzung ist N unab-
hängig von der Art der Vertheilung der Primitivreste in Classen. Wir nennen
ihn den Decident des biquadratischen Verhältnisses der Zahl M zu m.
15.
Die einfachste Art der Vertheilung ist allerdings folgende
(v+i)m
Inzwischen kann in speciellen Fällen eine andere Vertheilung vortheilhafter sein.
16.
Sind f, f', f” etc. die sämmtlichen Primitivreste des Modulus m, so ist
318 PL KEN!
Se+4, 2+%, !+%L, ete)
+Se+%, +, rt, etc.)
+Se@+T, +, +, etc.)
—-etc.
—= S(mz,mz,mz", etc.
[!.
Theorie des biquadratischen Restes 1+i.
Der Modulus soll mit dem Reste keinen Theiler gemein haben, wir nehmen
also an, dass von den Zahlen a und b die eine gerade, die andere ungerade sei.
Die Vertheilung der eigentlichen Primitivreste in die vier Classen stellt folgendes
Schema vor
(#Üm
PR F' ru
= N n\ im. mn (dm
EN Tg pe
Zu n sind zu rechnen alle Zahlen auf
der Linie 0...+m | Anzahl — g
Zu n alle Zahlen auf
| ‚der Linie 0... (4+4i)m Anzahl = g’
Zu n" alle Zahlen innerhalb
des Dreiecks #m, m, (4—++i)m Anzahl = A
Zu n” alle Zahlen innerhalb |
des Dreiecks 0, 4m, (4++i)m Anzahl = #
und ausserdem alle Zahlen auf
der Linie (4+4i)m.. (4 + $?)m Anzahl = g'
Man hat immer +9" —=g, aa+bb=p, 4 p—1)=g9+g9+g+h+h
Der Decident ist also
ZUR THEORIE DER BIQUADRATISCHEN RESTE. 1. 319
arg SO sm, ($-+$i)m Jr —1)+24
Man nehme nun an, dass für den Modulus m +11
9 übergehe in @
g G'
gr g'
h H
we. H'
so hat man
AS(0 |). 4m, (4+-+i) )m. N
= +5(0,, 444m, G+H)m+i_)
ee 3m, mitm y)
— S(tm, (4++i)m Hm, 4m+4+#i)
Das letzte dieser S ist
—= (Ha —b)) — [Fa] — S((+++i)m, 4m, 4m+4—+i)
wenn a ungerade oder gerade
—= [(Ha—b))— (}a)— S(—4+4i, 4m —4+4i, 4+m+i)
= (Ha —b)) — Fal+8(0,, „ 3m, Imst Er y)
— (4. & Elm, (4-44) m+-i_,)
Also
AD = — Ha—d)+LHa]+28(0,,, d+sim, +4 )mti_)+ta+b+1
— 2S(0 (+)’ 3m, Imst E_ ) 29'426"
Die Bindezeichen gelten alle für den Fall, wo a—b positiv ist, sonst nimmt
man die entgegengesetzten.
Wir zerlegen ferner (0, a++tÜm, d+Hm+i_) Ma
s(0 (+)’ (4++3)m, 4+4m)+4_))
+4@— 5) — Br:
—S( + Hm _, G+t)m, 4+4Ü)m— 4)
320 NACHLASS.
Der letzte Theil
= — St +Hi_, FERERRT: (-+—1)m+%,))
= —8(—4— H a HB OpzuN —#1, 4 +4M)m—4,,)) |
= —8(—4— Hi, (d+4)m—4— ji (d+4ti)m— ne Dig a
|
S(0..y lim GE m+44_,)
= in et + @
Dadurch wird also
AD= ea u ze Hy dr rim— + 4m—4_))
2[4(a— 5] a +51
Für den Fall der Vermehrung des Modulus um 1—i, —1+i, —1—i ist
keine besondere Untersuchung nöthig, weil offenbar die Moduli m, im, —m, —im
gleiche Decidenten haben. Wir haben also folgende Lehrsätze:
Ist der Decident des Modulus a—+bi, —= D, so sind die Decidenten von
a+1+(+1)i | D+a+b+i+[4ad) +Ha—5]) —2[Ha—)]
a+1+b—1)i | DH a—b+H1+ [48] 44 +21 +(a+)]
a—1+(b+1)E | D-a+b+1+[45]) +[Hla +5) —2[Ha-+Bj]
a—1+(—1)i | D-a—5+1+ —4al+ 4-0) —246—a)
Hieraus ferner
oder insofern a un-
gerade ist
nie pD+!Zem!
a+2+bi |D-2 9a] — 2] 2
a+b+2: | DH +20) — at] —2je=
a+0— 29: | DH HF +2 en
(b+ 2); 2a— b+1+D oder D+5b—ı
a+2+(b—2i | — a—2b-+1+D D-+a—1
a—2+(b+2)i a—+2b+1+D D—a—ı
a—2+(b—2i | —2a+ b-+1+D D—b—1ı
ZUR THEORIE DER BIQUADRATISCHEN RESTE I. 321
a+4+bi | D+a+b a+8+bi| D+2
a+(b+4)i| D—a-+b
a—4-+bi | D-a—b
a+(b—4)li| D+a—b
a+4+{b+4)i| D+ 25
a+4+(b—4)i | D-+2a
)
)
a—4-+(b+4)i | D-+2a
a—4+(— Wi "Dr 2b
Das Resultat der vorhergehenden Untersuchungen ist also folgendes:
Für den Modulus m = a+bi, wo a ungerade, b gerade, wird
p* = 4+(—aa+ 2ab+bb — 8b+1) (und wenn a+b = 1+(2+ 2i)(a+ 6i))
oder +—aa+2ab—3bb-H1) = — (a — 5) — 6
D' = 4(+aa+2ab—bb—8b—1) oder 4{+aa+2ab+3bb—1)
DZ! = 4(aa+2ab+bb++1) =6+aa+2a6— 56 = —6-+(a +56)
m = 4(+aa+2ab—bb—1) =a+aa—2ab—bb = a —(a+5)?
D-; = tab
D* — 4(aa+bb—ı)
m
DZ = $(aa+bb—1)
Allgemeines Theorem über die Decidenten.
Es seien A, B, C etc. ungleiche (unger. imag.) Primzahlen, deren keine
die Zahl M misst: alsdann ist
M M M
M
Haa+db—1) _ ‚"arbi ns BE
M =: (mod. (a—+bi) wenn abi eine Primzahl
p'* — 4(—aa+2ab— 3bb+1) = —4(3(a —b)+1)(a—b1) wenna=!
D =
s$(+aa+2ab+30b —1)
—= 4(—aa+2ab+bb+1) = ga —b+1)(a —bF3) weına=-i
n-3 —= +(+aa+2ab —bb—1)
/
ee
m
II. 41
Allgemein m = I mod. (1-+i)
NACHLASS,
m 1) _ Cosff. im, ®
pt zo Pe
1
DB —= + P. Bea], IT —_ oe, im,
1-++-i(mod. 16)
—_
En
ei
Do- m o>2%D»DW@»|M
=» DD oo@o@|l+»
m DD DM DD MD SS | ©
[18.]
Theorie des biquadratischen Restes —1— 21.
Der Modulus = m = abi soll so beschaffen sein, dass a ungerade,
b gerade; auch setzen wir voraus, dass derselbe eine Primzahl sei.
Der Decident wird durch folgende Schemata vorgestellt, von deren Identität
man sich leicht überzeugt:
Doauoowr MV | 00
De
.-ODwWwWwNDorm m |
ww» oovwr DD D-|»m
ww won o»n|»
-.
|
Der Kürze
[x, a, 6] so dass
— [#, 6,0]
Setzt man ferner
2
?
wegen bezeichnen wir S(@, @+a,2+0a+5, + 6) durch
+06, — a] = —[x+0, —a, 6]
+a+6, —,—6)] = —[e+a+5, —b, —a]
ZUR THEORIE DER BIQUADRATISCHEN RESTE. I. 323
so besteht der Decident aus folgenden acht Theilen
I — [0, +, —iQ]
—21I = —2f0, 4 Q]
II =+[{ + —:iQ]
V =+{l-iQ + 0
—3V =-—3[Q, 4 Q]
‚,—3VlI = —3[2Q, 4, —iQ]
+2V0I = +2[(1—:)Q, 4 Q]
+ VI=-[0, 4, +im)
Ist F indefinite ein Elementarrest des Modulus —1—2i, so hat man
z[2FQ, 4, :iQ)=[0, —+-—i, $im)
Setzt man also für F: 0, 1,i, —1, —i so hat man
0= [%, 4 iQ] Dt
+28 iQ) =X:«
Im03.200 —S]
+[-2Q, 4510) =XU
120 .2.,9
em XV
Man setze dies zu dem vorigen Werth des Decident hinzu. Aus dieser Vereini-
gung fliessen folgende Resultate
(1) Da (1+2%:)Q-+4 eine ganze Zahl ist, so wird
X=[-0-4.51Q9=—[-9Q, —4iQ] = —[Q, 4 —iQ]
also III+XI = 0
(2) Wir ziehen zusammen IV, —3V, X, XIII auf folgende Weise
V =+[20+4,.,40 =[-2:0-% 4, iQ]
v’=-fQ+3,—Q] = —[—2iQ, — 44, iQ]
X =[+HQ— Hi 4, iQ]
= (IQ > HQI
xIU = ee
|
‘
IQ—4-+ 4. 4 iQ]
iQ, 4, :Q]
nd 1597
41*
324 NACHLASS.
Also die ganze Ausbeute aus diesen Theilen
—4V
+ R(—2iQ)— R(— iQ) — I(— 2iQ) + I(— iQ)
— Quadr. [-2:Q—4+H1]
— Quadr. [— iQ ++— 4#i]
(3) 1,—2IL, —3VI, +2VII, IX, + XII zusammengezogen geben fol-
gendes
VI=[-— ann 4 Q) 2 Ba —4, _al= +44 +, — Hi, — iQ]
= [0, — 4 — iQ]
XI = un 4 iQ] = 4 +4, — u —iQ]
— ee a
— I(4i) + I—iQ-+4i)+ [0 — I—:iQ)—2R0O+2R(—iQ)
+2 Quadr. —:Q-+4-+H?)
— 4I—41lI—4VI+4XIll
+ R(—1— 2) Q— R(— 2iQ) — I(—iQ)+2R(— iQ)
+2 Quadr. (-2iQ+4-+11)
Dies Alles zusammen gibt folglich
+41—411I— IN AL kARH tig —4b
—- Quadr. ea a ee a ee 2 Quadr. (— iQ +4 4) — Quadr.(— xQ—4-+-Li)
Endlich gibt VII—XIV = }{a—1)+4b
Also da die drei Quadrattheile dem Decident von Fuer gleich sind, so wird
Dee. FI = 4-14 Dee. -
Mm
®2— W.Z.B.W.
Wahrscheinlich wird der Beweis noch sehr dadurch vereinfacht werden können, dass
Dee. 4 Ben ee
0
ZUR THEORIE DER BIQUADRATISCHEN RESTE. I. 325
[19.)]
Durch Induction ist folgendes gefunden
e a—bi __ aa+rab—i
Dec. Pure FE r ’
__ aa+t?rab+25b—1
4
a= 1 (mod. 4)
‚ a+bi= 1(mod.2+ 2:i)
Hiemit steht Folgendes in Verbindung:
Es sei aa+bb =p (Primzahl) a = 1 (mod.4)
Be +... Hp—1) = a mod.p
Hp +3) Hp +N).. 4 p-)=6
Hp+1).4P43).-- 2 pP —)=Y
4241)... nn. p-ıi=6
so ist
a=6, 5d=y wenn +5 gerade
a=—6d, b=—y wenn }b ungerade
+ted=i +0d6=2b, Se 2a, u = ya, 4Hbl1—ab)= ya
Es wird demnach nur darauf ankommen die Decidenten bei reellen Resten zu
bestimmen
at? gHee—ı) = 1(mod.(aa-+bb)) si a= 1)(mod.4) b par aa+bb primus
Will man blos mit reellen Zahlen zu thun haben, so kommt es auf folgendes
Haupttheorem an. Es sei a—1 durch 4, b durch 2 theilbar; a und 5 ohne
gemeinschaftlichen Divisor, % bedeute die Zahlen 1, 2,3... aa+bb—1.
Es sei
«a die Zahl aller Werthe von %k, wo die kleinsten
Reste von ak, bi, aak, abk alle zwischen 0 und 4(aa—+-bb) liegen
ak, bk, aak, —abk
ak, bk, —aak, —abk
ak, bk,—aak, abk
m St
alsdann ist 6+2y-+-36—1(aa—1) durch 4 theilbar.
326 NACHLASS,
FIL]
VORBEREITUNGEN ZUR ALLGEMEINEN THEORIE
DER BIQUADRATISCHEN RESTE.
(1.)
Es sei P=x--iy, wo weder z.noch y eine ganze Zahl ist. Wir bezeich-
nen die.Zahl 41 durch LP, LP, L'P, L"P, je nachdem P im ersten, zwei-
ten, dritten oder vierten Quadranten liegt (im ersten und zweiten Quadranten ist
[y] gerade, im dritten und vierten ungerade; im ersten und vierten ist [2] ge-
rade, im zweiten und dritten ungerade). In allen Fällen, wo diese Zeichen nicht
—= 1 sind, werden sie —= 0 vorausgesetzt. Man hat dann folgende 24 Relationen
Her eEr ETAPPEN HP
Eritrea EIER 2 PP 22er
BIEFIN SEP LiPF+i)=LR L/P.-i+) = BB
Zr br L"P-+i)= LP DI FB ER
LiP=rDP L(—-P)=L’P LI-iP =LUP
zZiır Er L(-P)=L"”P L\—-iPA=L’P.
LiP= EP L'’—-P)= LP L'—iP)=L”P
L"iP en IP | L"—P) PR LP L"(— Pi Dr IR
12.)
Durch PP’ oder z bezeichnen wir eine Linie, die von P anfängt und in
P' endigt. Sie braucht nicht gerade zu sein. Wir legen allen geraden Linien
von 22 —+ 2iy nach 2% + (2y —+1)i gezogen (wo &,y indefinite alle ganzen Zah-
len bedeuten) eine positive und eine negative Seite bei; für jene wählen wir die
rechte, für diese die linke. Durch T’z bezeichnen wir die Anzahl aller Schnitte
ZUR THEORIE DER BIQUADRATISCHEN RESTE. 1. 327
der Linie z mit den eben gedachten Linien, als positiv gezählt diejenigen, wo z
von der negativen Seite auf die positive übergeht, als negativ die andern. Fer-
ner setzen wir
Tz— T(z—1) = $8z
(<—! ist eine der z parallele Linie, die von dem Punkte P—1 nach P’—1 geht).
Offenbar brauchen wir nur dem oben gedachten System von Linien noch die von
22-+1+2yi nach 22-+1—+ (2y-+1)i gezognen beizufügen und deren linke Sei-
ten positiv und die rechten als negativ zu betrachten, um in Sz die Anzahl aller
Schnitte von 2 mit diesem zweifachen System von Geraden zu erkennen. Wir
haben nun ferner
T@+Te@+) =Üe]—e)
S(@+1) = —Sz
S@-H) = —Sz+-LP+-L"P—LP—L"”P'
S@+1+il)= Sz— LP+L"’"P+LP-+L"”P'
Siz= Sz— LP+LP'
S(—2) = 8Sz2— LP— L"P+-LP-+-L"P'
S(—i2)= Sz+LP—LP'
3:
Wir betrachten in der Ebene zwei Gattungen von Punkten; einmal die, de-
nen ganze Zahlen entsprechen; dann diejenigen, welche durch Producte aus gan-
zen Zahlen in die Gröse Q —= > bestimmt werden. Wir können dieselben
durch die Benennungen Punkte der ersten und Punkte der zweiten Ordnung un-
terscheiden.
2.
Indem wir jeden Punkt der zweiten Ordnung mit seinen vier Nachbarn
durch gerade Linien verbinden, die wir Ligaturen nennen werden, theilt sich die
ganze Ebene in unendlich viele Quadrate. Die Punkte der ersten Ordnung lie-
gen theils innerhalb dieser Quadrate, theils auf den Ligaturen innerhalb der Gren-
328 f NACHLASS,
zen derselben, theils auf den Grenzen der Ligaturen, das letzte, wenn sie zugleich
Punkte der zweiten Ordnung sind. Ist k@ ein solcher Punkt, so muss insofern
m, M ohne gemeinschaftlichen Theiler und beide ungerade sind, X durch M
theilbar sein.
3.
Bei den Ligaturen können wir zugleich einen Unterschied zwischen dem
Anfangspunkte und Endpunkte machen, also PQ von QP unterscheiden, oder
auch in einigen Fällen diesen Unterschied bei Seite setzen. Wir nennen zwei
solche Ligaturen entgegengesetzte. Bezeichnen können wir überhaupt am be-
quemsten die Ligaturen durch ihren Anfangs- und Endpunkt, die man allenfalls
in eine Klammer einschliessen mag. Einer Ligatur entgegengesetzte soll durch
das doppelte Ueberstreichen angedeutet werden QP = PQ.
4.
Jedes der gedachten Quadrate wird von vier solchen Ligaturen eingeschlossen
IRQ, (kHN)Q}. |(A+1)Q, (AHA), [RHIH)Q, (AHA. IRQ, RQ}...Q
denen es zur rechten liegt. Es ist wichtig hiebei auf die Form der Zahl & zu
sehen, und wir unterscheiden in dieser Beziehung viererlei Quadrate, je nachdem
k= 0,1, 1+i, i(mod. 2) ist, und bedienen uns dann der Zahlen 0, 1, 2, 3, die
wir resp. die Intensoren der Quadrate nennen.
7
Den Ligaturen legen wir dieselben Intensoren bei, welche die ihnen zur
rechten liegenden Quadrate haben.
6.
Wir haben nun ein anderes grösseres Quadrat @’ zu betrachten, nemlich
dasjenige. welches entsteht, wenn das in 4 angezeigte für k = 0, mit M mul-
tiplieirt wird: dies wird also durch die geraden Linien p, w, p",.@” begrenzt
t0,4m}, |4m, +(1-Hö)m}, [4 (14 Ü)m, Jim}, |$im, 0)
Es besteht aus ganzen Quadraten Q@ und Stücken solcher Quadrate; man zähle
ZUR THEORIE DER BIQUADRATISCHEN RESTE. II. 329
alle Punkte der ersten Ordnung innerhalb desselben zusammen, indem man für
jeden Punkt den Intensor des Quadrats @, worin er liegt, nimmt, diese Summe
oder deren kleinster Rest nach dem Modulus 4 heisst der Decident von M für
den Modulus m, und bestimmt die biquadratische Modalität von M in Beziehung
auf diesen Modulus. |
T.
Wir zerlegen das Quadrat © in 5 Stücke auf folgende Art. . Man verbinde
den Punkt 0 mit +(1+i)(m—1) durch die Linie A, die durch lauter Ligaturen
innerhalb ©’ gehe. Es sei
4m +ia—=N, 1 + m—ı —N, +im—ıaı—=M
diese 4 Linien gehen also von den Ecken des Quadrats ©’ aus ins Innere und
endigen sich an den vier Ecken des innersten Quadrats, dessen Intensor 0 sein
wird, wenn m=1 (mod.2-+2i); die Ligaturen dieses Quadrats seien v, v, v", v”.
Die 5 Stücke werden also begrenzt sein
Be ws
et EN
a
Dee
V. das innere Quadrat v, V, v", v
m
Der Decident ist also die Aufzählung aller Punkte erster Ordnung in 1. II. III. IV.
8.
Der Kürze wegen soll Intensor irgend eines Punkts der Intensor des Qua-
drats sein, in dem er liegt, und durch vorgesetztes Y ausgedrückt werden.
Der Decident ist also
ZYP+-ZYP+-2TP’+-2YP”
wo P alle Punkte in I. u.s. w. bedeuten.
II. 42
330 | | NACHLASS.
10.
Wir betrachten nun noch den Raum VI = —: IV, welcher ausserhalb
2’ liegt, sich aber durch p an I anschliesst und mit ihm zusammen den Raum
w ausmacht, deraus AA+BB vollständigen Quadräten besteht. Bedeutet
Il alle ganzen; Il’ alleum 4i vermehrten ganzen Punkte dieses Raumes, so
lässt sich leicht beweisen, dass der Decident
— ZYII— ZYIl’+ Anzahl aller ganzen Punkte innerhalb VI
— Anzahl aller halben Punkte innerhalb VI.
18. |
Man denke sich von jedem ganzen Punkte A nach k-+4i gerade Linien
gezogen, deren rechte Seite als positiv, die linke als negativ angesehen wird. Es
sei / eine Linie, und S/ bezeichne die Summe aller Schnitte der Z mit jenem
System von Linien, diejenigen als positiv angesehen, wo / von der negativen auf
die positive übergeht, die entgegengesetzten Schnitte als negativ. Man hat dann
für den Decidenten folgenden Ausdruck
Z(YL.SI-HIST— Sp
wo / alle Ligaturen der Quadrate in w bedeuten (immer so genommen, dass die
Quadrate ihnen zur rechten liegen) und wo /!’ diejenigen Ligaturen bedeutet, die
auf dem Umfange der Figur ® zwischen 0 und 4m liegen, also ausserhalb %,
Alle Ligaturen / bestehen aus
Tr | |
2) 2” die innerhalb ©’ liegenden Grenzligaturen also X, „x
3) 2” die im Innern von w liegen.
Verstände man unter 7 indefin. alle Ligaturen, die sich innerhalb ® oder auf den
Grenzen dieser Figur befinden, insofern sie von Punkten a ausgehen, so dass
k durch 1-+-i theilbar ist, so wäre der Decident
— 20.81— Sy
wo a —=1 für alle Ligaturen im Innern von |
a — Yl-+1 für alle Grenzligaturen ausserhalb ©’, deren Richtung in der
von 0 nach 4m gehenden Grenze liegt
ZUR THEORIE DER BIQUADRATISCHEN RESTE. II. 331
a = It) —= —TY! für alle auf dieser Grenze, die in entgegengesetz-
tem Sinne laufen
a — YI für alle Grenzligaturen innerhalb ©’, deren Richtung auf 0 zugeht
a@a—=—YI+t für alle Grenzligaturen innerhalb 2’, deren Richtung von 0
abwärts geht.
12.
Wir können nun die sämmtlichen vorkommenden / (nach der letzten Ma-
nier) zu zweien combiniren, nemlich Z mit 4m —/, welche wir verbundene Liga-
turen nennen wollen; eine einzige ist hiervon ausgenommen, welche isolirt steht
oder mit ihrer verbundenen Ligatur identisch ist, nemlich diejenige, welche von
+(M--1). 7, nach 4(M-+1) 7, läuft
für verbundene Ligaturen ist das « immer einerlei.
[IL]
THEORIE DER BIQUADRATISCHEN RESTE.
ı
Kleinste Reste des Modulus m = a+bi heissen die ganzen Zahlen
= abi, für welche - = x2-+yi so beschaffen ist, dass & und y positiv
und kleiner als 1 sind. Es kommt noch dazu der Rest 0*). Ihre Anzahl ist
= aa—bb. |
2.
In sofern aa-+bb ungerade ist, wird aa--bb von der Form 4n-H1
sein. Den kleinsten Rest 0 ausgeschlossen, theilen sich die übrigen in vier Clas-
sen. Zur ersten Olasse / zählen wir diejenigen, wo @ ınd y kleiner als + sind,
R ne Bet RR m 2m 3m e—ıi)m
*) und wenn a und 5 etwa den gemeinschaftlichen Divisor e haben, die Zahlen —, —, —,. a,
e e e e
Jedoch wollen wir diesen Fall vorerst von der Untersuchung ausschliessen.
437
332. | NACHLASS.
die zweite f wo 2 >H#, y<H4
dritte f” v>4+., 4 >4
vierte f” 2 +, v>J
Man erhält alle Reste | |
| ff aus iftm
f' aus — f+-(1+?i)m
f" aus —if-+im
ae 3.
Es sei M eine andere Zahl, die mit m keinen Factor gemein hat, so wird
M°+D—1 = 1.(mod.m) -
sein: folglich Mm+ee+d—1) entweder = 1, oder =i, oder =—1, oder =—i
d.i. =i®, wo & eine der vier Zahlen 0, 1, 2, 3 vorstellt. Im ersten Fall wird
M biquadratischer Rest von m sein, mithin auch quadratischer. Im dritten ist
M quadratischer aber nicht biquadratischer Rest; im zweiten und vierten sowohl
quadratischer als biquaduatischer Nichtrest. Wir nennen dies e, wovon die bi-
quadratische Modalität der Zahl M in Beziehung auf den Modulus m abhängt,
den Decidenten von M beim Modulus m. Die Induction lehrt folgenden schö-
nen Lehrsatz. „Sind M und m ungerade Primzahlen von der Form 1—+(2-+2?)p,
so dass u eine ganze Zahl ist, so ist die Differenz der beiden Decidenten, von M
beim Modulus m, und von m beim Modulus M entweder — 0 oder = 2; das
‚erstere, wenn wenigstens eine der Zahlen m, M von der Form 1-+4N ist; das
andere, wenn beide von der Form 1+2i+4N sind.“ Dies Theorem der Re-
ciprocität ist dem bei den Quadratischen Resten bei blos reellen Zahlen analog.
4.
Man multiplieire alle Zahlen f mit M, und suche deren kleinste Reste
nach dem Modulus m. Es seien darunter a zu f gehörig
6 .r
ed
Ö Fa
soist e= 6 +2y7+-36(mod. 4).
ZUR THEORIE DER BIQUADRATISCHEN RESTE. II. 333
Beweis. Der Inbegriff derjenigen Zahlen aus f, deren Producte mit M
Reste zu f gehörig geben, sei 9; der Inbegriff derjenigen, deren Producte Reste
aus f' geben, sei g’, und ebenso g”, g”; so werden die kleinsten Reste von
—igM, —g"’"M, ig"M
alle in f EIERN und sowohl unter sich als von den kleinsten Resten der Pro-
ducte gM verschieden sein, folglich das Product aus allen
g9M, —igM, —g’M, -+ig”M
dem Producte aller f takt sein, mithin auch dem Producte aller 9,9',9”,g”.
Jenes Product ist aber gleich dem Producte aus allen 4.09;9:9° in
M°.(— iM}. (— MY. (iM)
also dies letzte Product =1
folglich mer
oder MH = 5° ee ;)? — j+243
“woraus der Lehrsatz von selbst folgt.
5.
Die Entscheidung, ob der kleinste Rest einer Zahl N nach dem Modulus
m zur Olasse f, f', f” oder f” gehöre, ist leicht. Ist nemlich w die in . ‚ent-
haltene ganze Zahl, so wird jener Rest = N— wm sein, und also zu ff, f"
gehören, je nachdem
"—o = ı-+ıy
gesetzt |
e<4, y<4H
w>r, y<4
a>t, y>4
»<4, y>4
ist. In diesen 4 Fällen wird der Reihe nach die in = enthaltene ganze Zahl
folgende sein
334 NACHLASS.
2w
20-1
2ot1-+ti
20-1
Hieraus ist klar, dass der kleinste Rest von N nach dem Modulus m zu f, f,f",f"
gehören werde, je nachdem die in. an enthaltene ganze Zahl = &+ni gesetzt
& gerade n gerade
& ungerade n, gerade
& ungerade n ungerade
& gerade 1 ungerade
6.
Hienach findet sich der Decident von M nach dem Modulus m auf fol-
gende Art. Man suche die ganzen Zahlen, die in allen einzelnen eg enthalten
sind. Diese allgemein durch «+ yi bezeichnet, lasse man ganz aus der Acht,
diejenigen, wo x und y beide gerade sind, rechne für jede derjenigen, wo # un-
gerade und y gerade ist, eins, entnehme für jede derjenigen, wo # und y beide
ungerade sind, zwei, und drei für jede von denen, wo x gerade, y ungerade ist.
Von der Summe aller dieser Zahlen nehme man den kleinsten Rest nach 4, wel-
cher der verlangte Decident sein wird. Wir drücken dies’ so aus
Dec. = — %n
2fM ß ae ö ö
o [=] = #+yi, n = 0 zu setzen ist, wenn @ gerade y gerade
1 x ungerade y gerade
B x ungerade y ungerade
3 x gerade y ungerade
2 EM
17 .
Kürze halber wollen wir n durch die Characteristik 8 bezeichnen, n—6 ee
*) Um zu entscheiden, in welche Classe M in Beziehung auf m gehört, wählt man diejenigen Wer-
2km'M 23km,
erade wird, und addirt — | — —
we Er bar
the von % (unter den Zahlen 1, 2, 3...p—1) aus, wodurch |
Nimmt man % nur bis 4p, so hat man zu summiren
fa: 2{[>—] + FT)
] die durch 1-2 theilbar sind.
2km'M
für diejenigen Werthe von |
ZUR THEORIE DER BIQUADRATISCHEN RESTE. III. 335
I. 8
Diese Regel ist allgemein, was für eine Zahl auch M bedeute. Für den
Fall, der zunächst den Gegenstand unserer Untersuchung ausmachen soll, wo M
ungerade und von der Form 1—+-(2-+2i)N vorausgesetzt wird, ist eine etwas
abgeänderte Vorschrift zweckmässiger.
Man denke sich die Zahlen f wiederum in 4 Classen zerlegt; in die erste
setzt man die (A), deren Doppeltes sich auch noch in f findet; in die zweite A
zählen wir die, deren Doppelte 2% zu f’ gehören, und ebenso A” und A” bedeu-
ten diejenigen, deren Doppelte zu f” und f” 'gehören. Es ist also der Decident «
«= 20T ZH yo yge
Den Gorsplenns aller 2% und — 24 + (1-+i)m nennen wir H
den von allen —i(2%— m) und i(24”— im) nennen wir H’
H und H’ umfassen also alle f. jene sind die geraden, diese die ungeraden.
Ferner sind folgende Relationen in Anwendung zu bringen
Hi N — 1—+09N
8(—iN)=3+0N
8(N--1) ZI BON
B(N-+1-+i) = 2+09N
(Ni) —=3—0N
folglich
op Z2#itmi)M = a zu _9:74
m m m
er Er) _ 2 +02 ges BP
Bet m) M uf ar La. ea a.
und
«= BO _ HH) M | HER tmlHH))M | gER”irm)ir
. m
m m
— yo sg
336 - NACHLASS.
oder
ubi signum superius accipiendum pro paribus f, inferius pro imparibus.
o
Es sei nun allgemein f=:-yi. Die Zahlen &, n sind durch die Bedin-
gung, dass f ein kleinster Rest von m sein, oder a — #+-yi gesetzt, « und y
zwischen den Grenzen 0 und + liegen müssen, innerhalb gewisser Grenzen be-
schränkt, wofür sich durch Unterscheidung der verschiedenen Fälle leicht be-
stimmte Regeln geben liessen. Ertheilen wir n einen bestimmten Werth, so wird
wiederum & seine bestimmten Grenzen haben. Z.B. wenn wir annehmen, dass
a negativ, b positiv ist, so muss, da
_.a5+bn
ee aa+bb
ut
RR aa-+bb
I. damit & positiv werde ai
II. damit y positiv werde EN
£ a+bb—2b
III. damit #<{} werde er — ui
IV. damit y<{4 werde Be
für positive n schliesst die zweite Bedingung bereits die erste ein, für negative
n) hingegen ist es umgekehrt; ebenso ist die dritte Bedingung schon in der vier-
ten enthalten,
wenn n<%(+b)
und umgekehrt, wenn „>%(a+b)
Wir haben indessen nicht nöthig alle acht Fälle, die hier eintreten können, beson-
ders zu betrachten , sondern bezeichnen nur für einen bestimmten Werth von 9
die kleinere Grenze von & durch &, die grössere durch &” und bemerken nur,
dass bei diesen Grenzwerthen immer entweder = 0, y—=0, & —4,y=Hist,
und zwar dass
ZUR THEORIE DER BIQUADRATISCHEN RESTE. I. 337
wenn in der obern Grenze |in der untern Grenze
” ® rd 1 Brei nei su
a pos. b positiv =+odry=0| r=00odery=!}t
=+odery=}
a neg. b negativ
a pos. b negativ
X
a.neg. b positiv |e=0 odey=0
z=0odey=4| vr =Yt odery=0
x ©
=%odery=} =0 odry=0
sein muss. Wir werden diese vier Fälle Kürze halber so unterscheiden, dass wir
sagen, im ersten gehöre m zum ersten Quadranten, im zweiten zum zweiten etc.
10.
Wir wollen nun das Aggregat aller + nn näher betrachten, bei denen
n einen bestimmen Werth hat. Indem Z nach und nach stetig von dem klein-
sten Werthe £° bis zum grössten &° wächst, wird sich
u 3,9%
m
auch nach dem Gesetze der Stetigkeit ändern, und zwar wird, wenn = im ersten
Qradranten liegt, sowohl X als Y beständig wachsen; liegt z im zweiten Qua-
dranten, so wird X beständig abnehmen und Y zunehmen; im dritten Quadran-
ten wird das umgekehrte vom ersten, im vierten das umgekehrte vom zweiten
Statt finden. Allein diein X--:Y enthaltene ganze Zahl wird sich sprungs-
weise ändern, indem entweder [X] oder [Y] sich um Eine Einheit ändert. Es
seien die Werthe von £, wo ein solcher Uebergang Statt findet, d. i. wo entweder
X oder Y eine ganze Zahl wird, der Reihe nach folgende |
Er E” ge" ER gn
Hier muss bemerkt werden, dass weder diese Werthe noch & und £% ganze Zah-
len sein können, ausgenommen für n = 0, wo entweder £° oder E — 0 wird.
Es sei nun
HE ma gELNIM: _ y (anders auszudrücken)
m
ae EN AN a , z
etc.
FI M_ HET FTDM aa on
m m
u. 43.
338 NACHLASS.
so sieht man leicht, weil zwischen &° und &’ [LE] — [42°] gerade und
[4244] — [42°°+4)] ungerade ganze Zahlen liegen etc., dass, blos den bestimm-
ten Werth von n betrachtet,
EEE HH.
+) BNI—BE +++ RZ +8)
+14)’ +9+ Et]
— etc.
+ N + +
a
— (38) — BE +4). 8
—([88"] — 48” +41).8°
77'680.
(wo das obere Zeichen für gerade 1, das untere für ungerade gilt.)
Die Zahlen 6’, 6”, 6”u.s.w. können keine andere Werthe haben als +1
und —1. Den Werth +1 bekommt 6’, wenn, die Werthe von X, Y, die zu &
gehören, durch X’, Y’ bezeichnet,
- im 1. Quadr. _ im 2. Quadr.
X’ ganze gerade Zahl | X’ ganze gerade Zahl
und |Y] ungerade LY] gerade
Y’ ganze gerade Zahl | Y’ ganze gerade Zahl
und [X] gerade [X] gerade
a im 3. Quadr. = im 4. Quadr.
X’ ganze gerade Zahl | X’ ganze gerade Zahl
und [Y] gerade [Y]] ungerade
Y’ ganze gerade Zahl | Y’ ganze gerade Zahl
und [X] ungerade [X] ungerade
ZUR THEORIE DER BIQUADRATISCHEN RESTE. II. 339
So oft sich eine dieser Bedingungen in die entgegengesetzte ändert, wird
ö—= —1; so oft sich beide ändern, bleibt & = -+1.
5:
Zur bequemern Uebersicht dieser Rechnungen dienen folgende Formeln:
esitt m—= a+tbi, aa+-bb =d
M=A+Bi, AALBB=D
MH —a+bi, amuA+bB, San —A
m =ı+iy, Maty)=X-+iY
Ist gegeben n und X, so wird
1. 0 = on
a 0,
Ist gegeben n und Y, so wird
a et
a
Ist gegeben n und x, so wird
.. f=— a +.
. X — Ar:
ve I L—_
Ist gegeben n und y, so wird
rd
8. i=7 b
ee
9, X=7-75
RL
10. ’=7—7
12.
Die Regel des 10. Art. lässt sich nun so ausdrücken. Indem n einen be-
stimmten Werth erhält, ist
2 HH — ROXY) — OK HF) HLK
43*
340 NACHLASS,
Hier ist A’ — 0, wenn [£?] gerade; A —= +1, wenn [£°] ungerade und ı
gerade; kA’ — —1, wenn [??] ungerade und n ungerade ist; A” wird eben so
durch [2°] und n bestimmt. Endlich ist &% ein Aggregat von so vielen Zah-
len, als es zwischen &=" und $=£" ganze Werthe von X oder Y gibt;
jedesmal ist 4 — 0, wenn das entsprechende [$] gerade ist, hingegen = +1,
wenn [£] ungerade ist. Das Zeichen wird auf folgende Art bestimmt. Ist X
eine ganze Zahl, so wird 4 = 1, wenn zugleich
n gerade
X gerade
[Y] gerade
= im zweiten oder dritten Quadranten d. i. a negativ
Ist eine oder drei dieser Bedingungen nicht vorhanden, so wird k= —1; feh-
len zwei oder alle vier, so bleibt A —=1. Ist hingegen Y eine ganze Zahl, so
wird k = 1, wenn von den 4 Bedingungen
n gerade
Y gerade
[X] gerade
—— im ersten oder zweiten Quadranten d.i. 6 positiv
alle oder zwei oder keine erfüllt ist.
13.
Jetzt haben wir noch die Fälle besonders zu betrachten, wo £° oder £%
(oder X®, Y’, X”, Y) eine ganze Zahl ist. Es sind hier vier Fälle zu unter-
scheiden, indem wir a und A ungerade setzen.
I. Liegt m im ersten Quadranten, so wird für =4, y=0;, n=!b eine
ganze Zahl; es ist dann Y”—=4B eine ganze Zahl und B8(X”+-Y";) wird
nur dann = 9(LA+-4Bi) sein, wenn.5 negativ ist, bei einem positiven 6
hingegen wird dafür 0(4A-+(4.B —1)i) genommen werden.
II. Liegt m im zweiten Quadranten, so wird fr = 0, y=0; 17 =.
Hier wird für diesen Werth von 7, X®—= 0, Y” — 0. Man hat dann
ZUR THEORIE DER BIQUADRATISCHEN RESTE. IIl. 341
H(X®%+-Y”) = 2, je nachdem = in 1.
3: 2.
0 3.
1 4. Quadr. liegt. und A" — 1
III. Liegt m im dritten Quadranten, so wird für =}, y=0; 1 =14b
eine ganze Zahl, wofür X’+-Y’i— 4A+14Bi. Man setzt dann
B(X°+F%i) = 9(4A+ (4 B—1)i)
so oft 5 negativ ist.
IV. Liegt m im vierten Quadranten, so ist für n = 0,
8(X’+-Y'i=0,1,2,3 zu setzen, je nachdem - im 1.2.3. 4. Quadranten liegt
K’— 0. |
14.
Aus den vorhergehenden Untersuchungen folgt nunmehr folgende Bestim-
mung des Decidenten.
Man sammle alle Werthe von & und y, die innerhalb der Grenzen 0 und}
liegen und wofür entweder n und X oder n und Y eine ganze Zahl ist, und be-
stimme für jedes @-+iy nach den Regeln des 12. Art. den Werth von A.
Man sammle ferner alle Werthe auf den Grenzen d.i. wo entweder @ = 0
oder $, während y zwischen 0 und 4, oder y=0 oder =+#, während x zwi-
schen 0 und $, die so beschaffen sind, dass n eine ganze Zahl und [E] ungerade,
und bestimme das zugehörige ! auf folgende Weise. Es sei HMl@«+yi)—= +9,
das obere Zeichen für gerade, das untere für ungerade n
so ist für m im
für 1. Quadr. | 2. Quadr. | 3. Quadr. | 4. Quadr. \
yatl!=-A|!=-—I |! +H| ! = +9
eh)! = | /=4H | I! =H/|) 1 = —9
_Äelll=H|/=- +4 |I|!= —9|I=—9
0 )!= 49 I= |! |! = +
342 NACHLASS.
Kürzer so i=49,
das Zeichen ist dasselbe wie das von a wenn 2# —= 0
das entgegengesetzte wenn =}
dasselbe wie das von b wenn y=14
das entgegengesetzte wenn y = 0
Zu &k--%/ kommt dann noch hinzu
wenn m im zweiten Quadranten liegt: 2, 1, 0,3 | je nachdem = im
wenn m im vierten Quadranten liegt: 0, 1: 2. 3. 4. Quadr.
wenn m im ersten Quadranten liegt und 4(a—1) ungerade ist
0(+4A+(4B—1)i) wenn 6 positiv
9(3A+4Bi) wenn 5 negativ
wenn m im dritten Quadranten liegt und $(a—1) ungerade ist
—08(4A+-14Bi) wenn 6 positiv
—8(14A+(4B—1)i) wenn 5 negativ.
EV]
1»
Biquadratischer Rest? m — a+bi; aa+bb —=d
Modulus M=A+Bi, AA+BB=D
Zen = a+bi, @=aA+bB, 6 —= Ab—Ba
Relationen
2 = ab —by d=. aatıy Di=. AXBY
y=bEtan dy=-—ba+tay Dy=—BX-+AY
x=4A:—-By dX= asxs+by De= aX-—6Y
Y= BS+4n dY=—dbzx+ay Dy= 6X-+aY
ZUR THEORIE DER BIQUADRATISCHEN RESTE. IV. 343
bE=—Ba+IX= Ay-—ayY
öoy—= —ArtaX—= — By+bY
at—= ArtaY= DBy-+aX
an=—Bı+taY= Ay—bX
Diejenigen r, wo & und 7 zwischen 0 und # liegen, sollen durch x’ bezeichnet
werden, und die entsprechenden p und P durch p’ und P°; diejenigen x, wo
n= 0 und £ zwischen 0 und $, durch r/; die, wo &=# und n zwischen 0
und #, durch r’; diejenigen x, wo n—=4 und £ zwischen 0 und 4, durch x”.
endlich die wo &= 0 und n zwischen 0 und 4, durch x”.
Der Decident von . wird so gefunden:
Man sammle alle ganzen PP, für welche mithin x’ und y’ gebrochen sein
werden; die respectiven Intensoren von p” seien ?° d.i. die Zahlen 0, 1. 2,3,
Je nachdem
(#°] gerade, ungerade, ungerade, gerade
[y’] gerade, gerade, ungerade, ungerade
So ist der gesuchte Decident = % +1", wo das obere Zeichen für gerade P”, das
untere für die ungeraden zu nehmen ist.
Dies ist die erste Methode.
2.
Wir wollen nun die einzelnen P° nach den Werthen von Y° zusammen-
ordnen. Indem wir uns auf den Fall einschränken, wo a, b, A, B positiv sind,
ist der kleinste Werth von Y”.. +1, der grösste 4+(4+B-—1). Für jeden be-
stimmten Werth von Y° müssen die Werthe von X zwischen bestimmten Gren-
zen liegen, nemlich
I. wenn A—B positiv ist
wenn | zwischen und
Y<4B | ni ar’
Y=yB - ne +4
Y>4+B:und <ıA | — = — er + —
Y>44 ee
344 NACHLASS.
II. Wenn A— B negativ ist,
wenn zwischen und
Y<+4 e .
Y>4Aund<4B nn a
Y=+B EZ HA
o
Y>:B EEE Re
In den kleinern Grenzen ist entweder &= 0 oder „= #, in den grössern
Grenzen hingegen entweder n=0 oder &=}4#. Es lässt sich leicht beweisen,
dass nie die Grenzen von # ganze Zahlen sind.
3.
Wir wollen nun die Partialsummen für jedes bestimmte Y° auf eine andere
Weise darstellen. Aufden Grenzen wird p bestimmte Werthe haben, die durch
p‘,p” bezeichnet werden mögen, und während X stetig von der einen Grenze
zur andern sich ändert, wird p stetig von p' zu p” übergehen. Allein die in
[p] enthaltene ganze Zahl wird hiebei sprungweise geändert, indem immer ent-
weder der reelle oder der imaginäre Theil sich um eine Einheit ändert. Es ge-
schehen die Aenderungen bei den Werthen von X
ia ee
die bereits nach ihrer Grösse geordnet sind und denen die Werthe von p
pp. p"..- |
entsprechen.
Das letzte X" kann auch mit X” identisch sein, wenn 5 positiv, oder
X’ mit X” identisch etc.
Die x sind hier zunehmend, also wenn =" eine ganze Zahl, wird sie für
a” gezählt.
Die y sind zunehmend bei positiven 6, da wird y" ganz mitgezählt
abnehmend bei negativen 6, da wird y* mitgezählt.
ZUR THEORIE DER BIQUADRATISCHEN RESTE. IV.
Die Intensoren von p*, p*" seien A* und A”
t
der Intensor von p’ an bis p' .. +6’
p" bis 2" 2 ”—+ °+ 6"
ee
so wird die Partialsumme, in sofern Y° gerade,
345
= (g— ++) —H)+R+6+6")(g’—h")+ etc. +” (gP— hP)
wo g die Anzahl der geraden X° von X* bis X’, A die der ungeraden bedeutet.
4:
Diese Formel lässt sich auch so darstellen:
(4X —1)—[ X")
+8 {4X —)—-13X)}
014% 4 4X],
— etc
oe
"4 X"— 2) — 4 X”]]
oder durch "E60 + etc. +öre— Are”
wo allgemein e = 0 wenn [X] ungerade
und = —1 wenn [X] gerade ist und Y gerade
—1 wenn [X] gerade und Y ungerade.
Für 6 hingegen hat man die Werthe
ö
positiv negativ
wenn # eine ganze gerade Zahl, |[y]) gerade il
| [y] ungerade | +1 | +1
w eine ganze ungerade Zahl, |y] gerade +1) +1
| [y] ungerade | —ı | —1
y eine ganze gerade Zahl, [x] gerade —3| +3
.{@] ungerade | —1 | +1
y eine ganze ungerade Zahl, [®] gerade 303
RAR [{@] ungerade | +1 | —1
IL a Fa 44
346 NACHLASS.
5.
Hieraus leiten wir folgende zweite Methode den Decidenten zu bestimmen ab.
I. Man sammle alle Combinationen von ganzen Werthen von Y und #,
die folgende Eigenschaften haben
AB a
1. dass a > ir zwischen 0 und + falle, wobei die zweite Grenze
inclusive genommen wird
— Bt-+aY
a
sive genommen.
2. dass y = zwischen 0 und + falle, die erste Grenze inclu-
II. Man berechne dafür
a Dx+6Y
a
_.62+d7
Mrs, a
III. Man lasse alle diejenigen weg, wo [X] eine ungerade Zahl ist, und
theile die übrigen, wo [X] gerade ist, in zwei Ulassen;
in die erste Classe setze man diejenigen, wo zugleich
Y gerade, x» gerade, [y] gerade
oder wo eine dieser Bedingungen Statt findet;
in die zweite Classe diejenigen, wo zwei dieser Bedingungen oder gar keine
Statt hat,
oder in I. wo [Y+x-+y] gerade
Il. wo [Y-+x-+-y] ungerade
und nenne den Ueberschuss der Anzahl in der ersten Classe über die in der
zweiten c.
IV. Man sammle alle Combinationen von ganzen Werthen von Y und y,
die folgende Eigenschaften haben:
4A age Fr . 28 . .
1. 0a 5 > = zwischen 0 und + falle, die erste Grenze inclusive,
wenn 5 negativ, die zweite inclusive, wenn 5 positiv;
— Bit, ;
2. dass „ = = /#°Z zwischen 0 und + falle, die erste Grenze inclu-
sive bei positivem Öd, die zweite bei negativem.
ZUR THEORIE DER BIQUADRATISCHEN RESTE. IV. 347
(V.]
11.]
Modullu M=A+Bi. AA+BB=D
Rest m — abi, aa+bb —=d
"2=p=at+tbi=aA+bB+(Ab—Ba)i
£+Hji=rn zmn=p=azH4tyi; SM=P=X-+fYi
w eine unbestimmte unendlich kleine reelle positive Grösse.
[2]
Vorbereitung.
I. Man samnmle alle x, wo
& nicht negativ und nicht grösser als #
n positiv und kleiner als +
Entweder & oder y eine Ganze
Entweder X oder Y eine Ganze
und bestimme für jedes z die Grösse e nach folgender Regel:
Es sei p° die nächste Ganze durch 1-+i theilbare bei p
P° die nächste Ganze durch 1-+i theilbare bei P
und setze e—= +1, wo das Zeichen immer dasselbe ist wie das Zeichen des
imaginären Theils der Grösse
p—p’
P_P®
(a— bi)
folgendes sind die Specialregeln: Erste Classe, x und X Ganze
bE = — Bre-+bX
6 = —Ar+aX
dy=—ar-+dX
60Y’=—Dr-+aX
44*
348 | “ NACHLASS.
e= —1, wenn 5 positix, @ gerade, [y] gerade, X gerade, [Y] gerade oder
wenn nur eine ungerade Anzahl dieser Bedingungen gilt.
e= +1, wenn keine oder eine gerade Anzahl dieser Bedingungen gilt.
Zweite Classe, y und Y Ganze
BE = +Ay—aY
ön = — By+IY
br = +ay—dY
6X=+Dy-—aY
e=—1, wenn 5 positiv, [x] gerade, y gerade, [X} gerade, Y gerade oder
wenn eine ungerade Anzahl dieser Bedingungen gilt.
e= 1, wenn keine oder eine gerade Anzall gilt.
Dritte Classe, y und X Ganze
a: —= +By-+taX
an = + Ay—bX
ar — —by—+dX
aY= +Dy—6X
e= —I, wenn a positiv, [@], y, X, [Y] alle Gerade oder wenn eine unge-
rade Anzahl dieser Bedingungen gilt.
e—=-+1, wenn keine oder eine gerade Anzahl Statt hat.
Vierte Classe, x und Y Ganze
a —=+Ar-+bY
an = —Ba-+taY
ay —=—+5r—+dY
aX — +-Dr+6Y
e= 1, wenn a positiv, &, [y), [X], Y alle Gerade oder bei einer unge-
raden Anzahl dieser Bedingungen.
e— —1, bei keiner oder einer geraden Anzahl derselben.
ZUR THEORIE DER BIQUADRATISCHEN RESTE. V. 349
5.
II. Man sammle alle r, wo
& positiv und kleiner als #
bl en
und entweder X oder Y eine Ganze,
und setze e—= +1 so dass das Zeichen des imaginären Theils von
2
. P-—P°
zu nehmen ist.
Specialregel: Erste Classe, X ganz
Au + aX— dv
Ay == —- bX —AB
e= —1, wenn A positiv, X und [Y] gerade oder wenn nur eine Bedin-
gung gilt.
e= +1, wenn keine oder zwei gelten.
Zweite Qlasse, Y ganz
BE =+ Y-Av
Bı =-+taY —aw
By =-+IY —öbw
BX=-+AY—Do
e—= 41, wenn B positiv, [X] und Y gerade oder wenn nur eine Bedin-
gung gilt.
e = —1, wenn keine oder zwei gelten.
4.
III. Man samnmle alle x, wo E
& und n denselben Bedingungen unterworfen sind wie in II.
entweder x oder y Ganze,
und setze e—= +1 mit dem Zeichen des imaginären Theils von
p—p
350 NACHLASS.
Specialregeln: Erste Classe, & ganz
er
ay =-+bx +dw
aıX —=+Ar-tdo
aY=+Ba-+aw
e = —1, wenn a positiv, @, [y] beide gerade oder wenn nur eine Bedin-
gung gilt.
<= +41, wenn keine oder zwei gelten.
Zweite Classe, y ganz
E =-+ y-—ıw
bz = +tay —do
PX = +Ay—ow
bY — + By+bw
e= +1, wenn b positiv, [x] und y gerade oder wenn nur eine Bedingung gilt.
e—= —1, wenn keine gilt.
(5.
IV. Man samnmle alle x, wo
n positiv und kleiner als +
X oder Y ganz,
und setze e —= +1 mit dem Zeichen des imaginären Theils von
ne
P_-P®
Specialregeln: Erste Classe X eine Ganze,
2Bn = +A— 2X-+4v
2Bxe = —65-+ 2X — do
2By =-+a—2aX-+aw
2BY=+D-2AX+Do
e—= 1, wenn B positiv, X, [Y] gerade oder bei einer Bedingung,
e = —1, bei keiner oder zwei Bedingungen.
ZUR THEORIE DER BIQUADRATISCHEN RESTE. I. 351
Zweite Classe, Y eine Ganze
2An = —B+ 2Y —Bo
2 Aw —=+a—2bF —+ ao
24Ay = -+5-+9aY +60
2AX—+D-—-2BY+Do
e— 41, wenn A positiv, [X], Y gerade, oder bei einer
e— —1, bei keiner oder zwei Bedingungen.
[6.]
V. Man samnle alle x, wo
&, n denselben Bedingungen unterworfen sind wie in IV,
und wo ® oder y eine ganze Zahl,
und setze e—= 1 mit dem Zeichen des imaginären Theils von
im
a A
Specialregeln: Erste Classe, x eine Ganze
2b = +a— 22 +aw
2by = +d— 2ax +dw
2X —= +6+2Bre+bw
2DIY—= —+a—2Artaw
e= 1, wenn b positiv, @, [y] gerade oder bei einer Bedingung,
e = —1, bei keiner oder zwei Bedingungen.
Zweite Classe, y eine Ganze
2an = —b+ 2y —bw
2az = +d—2by + do
2aX—= +a—2By-+oaw
2aY = —5+2Ay— dw
e= 1, wenn a positiv, [@|, y gerade, oder bei einer Bedingung,
e = —1, bei keiner oder zwei Bedingungen.
352 %. NACHLASS.
[7] 5
Die erste Methode gibt nun folgendes Resultat: .
4 Decident = I %e von allen
—4Xe von denen, wo y ganz |x] gerade
II. — 2e von allen
—-42e von denen, wo [x] gerade [y] ungerade
IV. +42z von denen, wo nicht zugleich [x] und [y] gerade
+8
Hier ist
für A B a
—+ —+ | —Intens +pwi + Int. 4m — yo
+ — | —Intens. +uwo —+-Int. $mi— pwi |
— — | —Intens. —pwi — Int. $m + pw
— —+ | —Intens. —pw —Int. $mi-—pwi
folgende Tabelle stellt dies dar
a6 A DB A B A B 4:8 +
er un Ares en Kap ae
+-+!+2 0 0+2|—-3 —5|—3 —5
+ — 0 +21 —2 ee
——|—-3 —1)—1 -+1|—-4 —2 09
—+|+1 4-1 +1 PR
m—i
2
par, impar
Pars prior ipsius
| 2Q..—3— (a8 AB)+{Ac)+(46)+(Ba)—(B6)
Das ganze 2 Q für
"1 jmpar —3+4(4)—(B)— (6) + (aA) +(eB)-+(64)—(6.B)— (a6 AB)
2
"1 par 3 2(A)-FB) +) +(0A)+aB)-+(8A)— (6.B)++2(6 AB)
— (ab AB)
=
&
ZUR THEORIE DER BIQUADRATISCHEN RESTE. V. 353
Beispiel
m —=+3— 2i| 13 i |
in Re
Me an mM —= —15—16i
+ 44135 | +38 + 31i| +1 —.
+ 5+ 75] +29 +11i 0 ie B
+6+ :| +20 — 9% 0-1] —3
410+14:)| +58-+22:| +1 +1 I..+1 0
+11+ 8i| +49+ 2i| +1 3 :E, 0—4
+12 4257| +40 —18i|l 41 —:i| +2 WW 0
164+15d | +78+13i| +2 I Q=-—5
+17+ 9 | +69 — 7i5| +H1—-i| +2 B27°
+18 + 3 | +60 —-7i| +1—i| —2 Gut:
Decident —= — 2
I
2 | X j208|)20n! 20y|20Y| e # | F |208|20n| 202 |20 5
+1 01 6|.ı |— 9|—37| —i 0|—1| 3 2 |+13|+ 9|-+1”
+1 | 4 |+4]—28| —ı —:|e| 4 |+26/+18| +1
+2| 2| 7 |+H17]—19| —ı —3/| 9 | 6 |+39/+27|-+1
oitil 10 | 5 |— 5/—65| —ı IH |—ı| 2 | s | +22] +46 |-+ı
wire 8 + s[-56l -H +4
En ER, (+1)
2 179% 199] .92 197 | € 2 ı Y 19899} 9y |9X ı e
ai 134er + ı | 3 | 7 I
ea + Bi 3 — ri +2|—8) 2 | 3 I +i IH Hi
0(—1) L;.. +1 (0) 0
II I
Y|e 6@ 6y|6X| e u ei 37 5
ieh er) 1a TE — 6490 u
—2/+2/+6+90| —41—2!1—+1
0(—1)
IV ° V
X |12n 122 12yl12Y | e z |An| 4y 4X Er ie
0/+1|+20+2006|—-9/—-37[-1°|+2|+1| —ı |+4—200| 13 | +1
+1/+3[+24+2008|— 3] —39|+1° |
+2/+514+28+200/+31—41l—1 || y |6n | 62 |6X | 6 | ®
—1()i o |+2l+13l+91—20|-+tı
45
I.
354 NACHLASS,
[8.]
Wir wollen nunmehro das Resultat von I näher betrachten. Es sind vier
Combinationen
1°, wenn & und X Ganze sind. Man hat hier
bt = — Bre-+bX
dy = —Ar+taX
by = —a@r +dX
6Y=—Da-+aX
Es seien y’ und Y° die absolut kleinsten Reste von —ae-+dX, —Da-+aX
nach dem Modulus 6 und dy — by-+y’, 6Y = 6Y’+Y” und man setze
bu — — By’—+bY° y —=+tau —bt
dt = — Ay’+aYr° Y’—= +Au—Bit
so werden f, u ganze Zahlen sein, nemlich
u + = Metyi)—m(X +") "
i(t+ui) = Mi(y— y)—mi(Y'—Y)
x
und man hat dann ge = —1, wenn $
tu gerade, 6, y’, Y” positiv, oder wenn zwei oder keine Bedingung gilt,
sonst e = —1
Wir setzen
t+ui = +9 wenn y’ und Y beide positiv
—h y’ und Y’ beide negativ
4-0’ y’ positiv Y’” negativ
—0' y’ negativ Y° positiv
jedem durch 1: theilbaren 9 entspricht dann ein e = —1
jedem durch 14: theilbaren 6’ e—= 1
jedem durch 1-+i untheilbaren 9 e_=H4ti
jedem durch 1-+i untheilbaren ®’ ——=-—
insofern 6 positiv.
Für negative 6 ist es umgekehrt.
ZUR THEORIE DER BIQUADRATISCHEN RESTE. VW.
z| X|ı y |F’| wi " H’
rt 0+3i
ET Br RENT fg
Hitler 0+i
ee Ren. Be Bang Ber 2 7 DR 77
+2|+8/+4 41425 +14 25
2°, wenn y und Y Ganze.
x und X, und
ade, X-X-T
und man setze
B(t+ui) = — Me +mX° — —Mp’+mP°, t+u= M—mP'
eo
bt = —Ar+aX’ oe = — bt-tau
du= —Ba’+bX° x? — — Bti-++ Au
Man hat dann
e—= —1, wenn 6 positiv, @° positiv, X° positiv, t+u gerade
etc.
Wir setzen
t+ui= +9 wenn «@’ und X positiv
—d wenn beide negativ
—
—
' ... .
—=-+B9 wenn «° positiv, X negativ
— —0’ wenn x” negativ, X positiv
9.)
355
Es seien hier ©, X’ die nächsten Ganzen bei
wo für e dieselbe Regel gelten wird wie oben
y
0
a A
+9
—)2
+7
+6
t+ui | 8
—+1— 31
0+ 2i
—+1—i
41 a
besser
ER
—h
+6
Y. |
+6"
'
&
—1+331 +1
0+2i) +1
RE
Ra
ır1
45*
356 NACHLASS.
Man kann nun beweisen
1) Dass alle 8, die aus (1) und aus (2) hervorgegangen sind, unter einander
verschieden sind. Ihr Complexus heisse ©.
2) Dass alle d8= T-+Ui die Eigenschaft haben, dass
—bT-+aU
— BT+-AU
positive Zahlen kleiner als 46 sind
3) Dass wenn T, U zwei der eben genannten Bedingungen unterworfene ganze
Zahlen sind, T+-Ui sich gewiss in ® findet.
(wie denn? es wird auf obige Gleichung * gegründet.)
4) Aufähnliche Weise verhält es sichmit #’, deren Complexus ®’ aus denje-
nigen Zahlen T’+ U'i bestehen wird, für welche
—bT +aU'
— (— BT+AU)
positive Zahlen kleiner als 46.
In unserm Falle ist
i) e H' 4: 798 5 | 97 re
+4 +) 044 111241) 41-1
+4 EHER BE
+1+2:|+1| 0438) —1
—1+i ı—1
—1-+2:| —1
—1+3:!)—1
Hier ist
) = —-,M —.m
h’ pn u. —MmM
9"—= +.Mi++m
6 E.Mi-im
F*
ZUR THEORIE DER BIQUADRATISCHEN RESTE V. 357
[10.)]
3°. yund X Ganze. Es seien x’, Y" die nächsten Ganzen bei x und Y, und
«+yi=p, X+Yi=P; pp —=£ P-P =
a ’
und man setze ;
. wie ‚ RENNER} a 0. Me’: , mi!" .
it+ui) = Mp—mP' —= = Hr Bee en
at= —Ba’+aY! sit 2 = —bt-tau
au = +Ar-+DY’ Y’= +At+Bu
Man hat dann
e—= —1, wenn a positiv, z° positiv, Y° positiv, 2-+u gerade etc.
Wir setzen
besser
t+ui= 9" wenn a° positiv, Y° positiv 9
— +0” wenn @° positiv, Y° negativ —9”
—6” wenn a” negativ, Y’ negativ —#
—0” wenn x” negativ, Y° positiv +0”
Es wird also für jedes 8" ...e= —1i
ee
insofern #” oder 9” durch 1--i theilbar und « positiv.
vy|X|a’| X’ tw 9” Be ic
ER Ey BE
EEE PURE DR OT aa 2 rd SR
[11.]
4'° Classe x und Y Ganze. Nach ähnlichen Praemissen wie in 3 setze man
— (tu) = Mp mp — _ MP m? __Miy nz
| at = — By’—aX® yY„=—bt-+au
au = —+4Ay’—bX X’—= — At— Bu
Man hat dann
e= 1 wenn a positiv, y° positiv, X° positiv, ?-+u gerade etc.
358 NACHLASS.
Wir setzen
t+ui= 4-9" wenn y’ positiv X negativ
+9" wenn y® positiv X positiv
—0#" wenn y’ negativ X positiv
— 8” wenn y° negativ X negativ
für e gilt dann die Regel, dass (wie oben in 3), insofern & positiv
theilbare 6"
untheilbare 6”
theilbare Br
untheilbare 9”
e—=—1 für jedes durch 1+i
e=--1 für jedes durch 1—1i
& ee Er h” 00
NE U RR 1 | BER BR
+2/—3/+1/—4|4+2—i|4 2 —i kt
Der Complexus aller 6” aus 3 und 4, den wir durch ®” bezeichnen, besteht also
aus allen Zahlen T+-Ui, wofür
—bT-+a ZA %
und HAT-+BU positiv und kleiner als 4a
der Complexus aller 6”... (0”) aus denen, wo
—bT U
RR. A = a positiv und kleiner als '4«
[12.]
Nach obiger Verbesserung heisst also die Regel so:
Es enthalte
8 alle Zahlen T+Ui, wo +b5T—aU positiv — BT-+ AU positiv und < 46
8° alle Zahlen T+Ui, wo —bT-+aU positiv + AT-+-BU positivund <4a
8” alle Zahlen T+Ui, wo —bT-++aU positiv — BT+ AU positiv und <16
8" alle Zahlen T+Ui, wo +bT—aU positiv +HAT+ BU positiv und <4«
insofern resp. 5 oder « positiv.
ZUR THEORIE DER BIQUADRATISCHEN RESTE. V.
Für alle durch | ist dann wenn
1-+i theilbaren =
) +1 ö positiv
H' 1 at positiv
9” IR, | ö positiv
Br —1 a positiv
9 9’ 9”
TR RR ER +
ER Eee RT a ER TE RR |
0-3: 4142| +1
+1—i |+1
rt
+1—3:i/ +1
359
360 NACHLASS.
[13.]
Hieraus fliesst folgende Regel. Es sei das Resultat aus den Vorschriften
u. GAR en
So ist
48 ER
40 = — 9+ G-I-HiR
40" = —29+2G Ey
AuFeE- I9-+ G+h+-H-+R"”
In unserm Beispiele ist
G=0, 9g=—1, H=—, i=+3 R=0 R=ı3 Ro..3
8=0, = +H1—14+0=0, 4" = +2+2=+4A4, 40"— 41412 —0
und die Correctionen R, R’ etc. werden so bestimmt: Es ist
— (6) +4(06)+4(aBabAB)
R' — | j
—#+(@Q)++(B)
+(6)+4(a6)+4(a6abAB)
—+()+4+(B)
+(6)+4(a65)+$(ababAB)
—+()++(B)
-— (a) — +(a6)++(ababAB)
—+b)++(4)
0
+%$(a++(B)
wo die in Parenthese stehenden Grössen blos die Zeichen hergeben.
R' —
ee
ZUR THEORIE DER BIQUADRATISCHEN RESTE. V. 361
Es ist also
R+R + R'+R"— 2(a8abAB)— 2(b)+2(B)+2 (6)
folglich 5
8+8’+0"+0”— —9+G++{a8abAB)+4(6)—+()++(B)
EIER |
ab Ba: u en
AB a6|S|a6|S |a6 © S
++ ++ +1 +41 —|+41)+- | +1
EA IRt. 07 7 Ad Bu 0
ze a -— MH
me var Yale) Buch Kamen het male ai Ka,
-— — ——1/+-|-1|)++4+ 411 +|+1
— +1 —11— —|—2| + — IT 0
+ — 0) —/—1/+—| 0/)+ +) +
en I EN BR Ben BR
[14.]
Hienach bekommt nun die erste Regel folgende Gestalt:
4 Dec. = I. —42s von denen, wo y ganz, [x] gerade
II. +42. von denen, wo [x] gerade, [y] ungerade
III. —2e von allen
IV. +4Xe von denen, wo nicht zugleich [x] und [y] gerade
+Q+8
In unserm Beispiel
I.
IE a
II ar
IV 0
Q Re.
s 0
TR
Man denke sich nun in III diejenigen besonders bemerkt, wo y ganz, [x] gerade,
so ist
U. 46
362
III.
Hier
Also
Is von allen
— 4Xe der besonderen
ist
Ei
NACHLASS.
— Intensor (+—w)m — Intens. vom = —W
wi
++) -3 —1
BERNER, I
a
—+l+3 +
m—1i m—i1
2 2
par impar
4 Decident = I. —42e ganz, [x] gerade
II. +42e [x] gerade, [y] ungerade
III. —42e ganz, [x] gerade
IV. +4Xs alle wo nicht zugleich [=], [y] gerade
+Q+S+W
Tabelle für 4+4(Q-+S+W)
a6 re. 6
++| 0 0i-— ++ —--—| 0 2
+—|-1 0 — ++ 0
2.4 ww 0
a ee ++ —1
eh ne a ——— ++ —1
le + — 1-41
el 0 -— +— 0 0
+ +78 ne
— + 0.04 ++ +-|)+-+1
+ |. — — 9:7,
++ it _—+ —— +4 0
+ —|—1 —ı -— + 0-1
4 —|1—2 —1 —— —--+|/+1 9
——|—2 —1 ++ 0—1
_— jo 0 + ++ +41 41
——1—1 0| + — 0,9
Die zweite Methode ist folgende:
ZUR THEORIE DER BIQUADRATISCHEN RESTE. V.
15.]
. Decident =I. + 2e, wo Y ganz, [X] gerade
—4:e, unter diesen, wo noch y gan
Il.
LI.
IV.
2V.
+4
wenn X
X der Intensor von im — ip
wenn Int. p
363
a no
+ ie, wo Y ganz, [X] gerade; X ist der Intensor von p
— 2Xe, wo X ganz, [Y] ungerade
X der Intensor von ip
1, 2,3,0
A 9 A
+ 2ie, wo Y ganz, [X] gerade, X der Intensor von p
+ ie, wo X ganz, [Y] gerade
ir > 55.
0123
Hier ist qg= 0, wenn En ungerade i.e. nur durch 1-+i, nicht durch 2 theil-
bar, und nicht zugleich AB-+ — , hingegen übrigens
Int. +(m — op)
0
— Int. 4(m-+ wg)
— Int. op
a 6 a6 u
ER RL ODRE rs
+3 +1|+0 #2|+0 #3
0 0 0
—0 —2|—3 —1|—3 —ı1
—1 —?2 —3
m—1
wo doppelte Zahlen stehen, gilt die erste für gerade ee
gerade.
In unserm Beispiele:
II. desunt.
I.
Iv>2 X
0
+1
+2
EEE LS A
01—1/ +13) + 9|) -+1°
0 —21+236| +418| +1
+1 —1[+22|1+46| +1
| #5) +3CH1)
122 wagt i2Y |: Ze
+20 +200 | —9 | —37 | —ı
+24 +200 | —3 | —39 | +1
+28 +200| +3 | —4aı | —1
die andere für un-
3
a
in
Dec. = —2
“iA
2122| —2
Er
010 0
—1
364 NACHLASS,
Was aus II genommen ist, vereinigt sich in folgendes Resultat
II. — 2e, wo Y ganz, [X] gerade
—4%e, von eben diesen, wenn zugleich [x] gerade, [y] ungerade
II. + 2ZXe, wo Y ganz, [X] gerade
— !Xe, wo X ganz, [Y] ungerade, X der Intensor von ip
Die beiden letzten Theile vereinigen sich wiederum in
III. + 2e, wo [X] gerade, |Y] ungerade
— 4%e, wenn zugleich x eine Ganze, [y] ungerade
+r+s
wor=0, wenn AB...... _——
und r = Int.womi, wenn AB... + —
s —= — Int.(4+— w)mi, wenn a gerade und B positiv, in allen andern
| Fällen = 0
In unserm Beispiele
TIL 'Falltiaus.’ r =9, 80
Was aus IV genommen ist, vereinigt sich in folgende Resultate
IV. +4Xe, wo Y ganz, [X] gerade und nicht zugleich [x] gerade, [y] gerade
— LXe, wo Y ganz, [X] gerade
-2Ne, wo X ganz, [Y| gerade
wo X Int. von im— ip
Die zwei letzten Theile vereinigen sich wiederum zu
V. + Ne, wo nicht zugleich [X] und [Y] gerade
—4Ne, wo zugleich x eine Ganze, [y| gerade
+ w
Hier ist w= I, wenn ne gerade und A positiv; in allen übrigen Fällen
— — Intensor (i+ w)m
365
ZUR THEORIE DER BIQUADRATISCHEN RESTE. V.
In unserm Beispiele
3
Tafel für g, r, s, w und deren Summe.
& aaaaddacdan wnmnmmenne cd nnmmnhmhnehnd aaddaaddaın
E SESBEETEREESEZENEREB ER BIER EZ ES
FR ER R RR 8 oaonmnnnnmn nn aaaaaaa ra
“= ti rlIt ial- LIE RI IT A TEIT FT TFT TE
| ©0.006000%0 60 0 00.:099 809 0.0 0:80 00% 00000000
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Sl + re TH #E |
o FI bI+++ +++ II 114 1444 + I II |
” +++ 1114 I44+4+ tl EI HHHH I HI
nn: Be ae m a u en RE
FI I FH 11 +. + JR ETF
= + + | )
0% | | +
366 NACHLASS.
[16.]
Es ist folglich
m M
Dec. ir Dee. =
Il. —42e, wo y, Y ganz, [#], [X] gerade
II. +4%e, Y ganz, [X] gerade, [ae] gerade, [y] ungerade
III. —4XLe, x» ganz, [X] gerade, [Y] ungerade, |y] ungerade
IV. +4Xe, Y ganz, [X] gerade, und nicht zugleich [x], [y] gerade
V. —4Xe, 2 ganz, [y] gerade und nicht zugleich [X], |Y] gerade
mu,
Hier ist $ in folgender Tabelle dargestellt
ab AB a6 b ab AB ab v
++ ++]! 10H) ++ +79
+++-| 0 00-2) ++-+44 0 0-2
a —+ +4] 0-4 0-2
re ee a er a
la ala a nn
rt 0.40 _—— + [724-4 70032
0 00 His eg
ea er ri 2 Ser
+++ +41 00 -2)4+-4++-| 00 0-2
++ ++ 1 n#+, 8% r=2 Imre: BE
+ #410. 40-2 neh Gt
a BEE
a ae et
ea a u NEE Sr ae
4— 1 0.570802 dt bs Be Kart
En ae a
Hier gelten die ersten beiden Columnen für 4
letzten beiden für 4 )
die erste und dritte für + (m —ı1) gerade
zweite und vierte für 4 )
ZUR THEORIE DER -BIQUADRATISCHEN RESTE. V. 367
[17.]
Die 128 Fälle, welche in obiger Tafel bei der Bestimmung von & unter-
schieden sind, lassen sich viel kürzer auf folgende Weise umfassen:
v=k-+lI
k=—-4, wenn zugleich a, A, a,b, B,6 die Zeichen ++ + — — —
haben, sonst immer ”
k=0
+(M—1) gerade +(m—-1) gerade != +4, wenn AB positiv
—4, wenn ABb. negativ
0, in allen übrigen Fällen
#(M—1) gerade +({m—1) ungerade 1 — —4, wenn A negativ
0, wenn A positiv
+(M—1) ungerade +(m—1) gerade !=0
'#+(M—-1) ungerade 4(m—1) ungerade 1 — — 2
Zu versuchen ist noch, ob es vortheilhafter ist, A und a positiv, dagegen
aber m=1, M=1 nur nach mod. 2 (nicht nach Modulus 2-27) zu nehmen.
Das Endresultat muss werden
m=|1|1+2| 3 |3+3:
1 RT
+23: 01° 2.1379
3 vs igapr ia
al. eig
Alles nach Mod. 4.
368 NACHLASS.
[VL]
THEORIE DER BIQUADRATISCHEN RESTE.
-_—00
1.
Eine Reihe ganzer complexer Zahlen 9, 9, g’u.s.w. sei so beschaffen, dass
erstlich sie unter einander alle incongruent sind nach dem Modulus p = a+bi,
a und ö ganze reelle Zahlen bezeichnend, zweitens dass jede ganze complexe Zahl
einer von jenen nach dem Modulus p congruent ist. Unter dieser Voraussetzung
heisst der Inbegriff der Zahlen », ©, g"u.s.w. ein vollständiges Restsystem für
den Modulus p. Es ist bewiesen, dass die Anzahl der darin begriffenen Zahlen
der Norm von x, d.i. der Zahl aa +56 gleich ist, welche mit v bezeichnet
werden soll.
2.
Unter den Zahlen », g', 9’u.s.w. ist Eine durch p theilbare; wird dieselbe
ausgeschlossen und der Inbegriff der übrigen mit x bezeichnet, so bildet x ein
vollständiges System der durch den Modulus untheilbaren Reste, deren Anzahl
—y—1. Beschränken wir die Untersuchung auf ungerade Modulen, so ist v—1
durch 4 theilbar. Es werden dann ferner f, if, —f, —if unter sich incon-
gruent sein, folglich diejenigen Zahlen in x, welche resp. denen if, —f, if
congruent sind, unter sich und von f verschieden. (Associirte und zusammenge-
setzte Zahlen.)
Hieraus ergibt sich eine Zerlegung von x in vier Gruppen oder partielle
Systeme x, %, x",x”. Man setzt eine beliebige Zahl aus y, z.B. x in die Gruppe
x, und die drei den Zahlen ip, —Y, —iY congruenten Glieder von x, der Reihe
nach in die Gruppen x, x’, x”. Nachdem diese vier Zahlen aus x gestrichen sind,
setzt man eine beliebige der übrigen wieder in x, und die drei auf ähnliche Art
davon abhängigen in «, x, x". So fährt man fort, bis das ganze System y ver-
theilt ist. Die Gruppen #,x,x,x"” sollen zusammengehörige Viertelsysteme
heissen. Es ist klar, dass sie folgende Eigenschaften haben:
ZUR THEORIE DER ie RESTE. VI. 369
1) Jedes Viertelsystem besteht aus +—1) = +(aa+55—1) Zahlen.
2) Das Charakteristische eines Viertelsystems ist, dass keine der darin be-
findlichen Zahlen weder selbst, noch ihr Product in ©, —1, oder —;,
einer andern aus demselben Viertelsystem congruent ist, jede durch
nicht theilbare Zahl aber, entweder selbst oder ihr Product durch ;, :
oder —i sich darin findet, oder einer daraus congruent ist.
3) So wie aus der Multiplication der Zahlen in x mit @, —1i und —i, resp.
die Zahlen in x, x”, x” entstehen, oder ihnen congruente, so reprodu-
cirt die Multiplication der Zahlen in «, mit jenen Factoren, resp. die
Zahlen in x’, x”, x; die Multiplication der Zahlen x’ reproducirt auf
ähnliche Weise die Zahlen x”, x, x’; endlich die Multiplication der Zah-
len x” reproducirt x, x, x”. Kürze halber kann diese gegenseitige Ab-
hängigkeit der vier Viertelsysteme so ausgedrückt werden 7 = ix,
veredelt in
3.
Wenn m eine complexe ganze Zahl bedeutet, die mit x keinen gemein-
schaftlichen Divisor hat, und die sämmtlichen Zahlen eines Viertelsystems x mit
m multiplicirt werden, so bilden die Producte, oder beliebige ihnen congruente
Zahlen ihrerseits auch ein Viertelsystem; und ebenso entstehen durch Multipli-
m
cation der Zahlen der Systeme x, x”, x” noch drei Viertelsysteme, die mit jenem
zusammengehören werden. Der Beweis ist leicht zu führen. Diese vier neuen
Systeme mögen mit mx, mx‘, mx’, mx” bezeichnet werden, gleichviel, ob die Pro-
ducte selbst oder nur ihnen congruente Zahlen gewählt werden. Im letztern Fall
kann dies so geschehen, dass man immer nur solche wählt, die sich in einem der
Systeme x, x, x", x” befinden. Auf diese Art ist also das System %, wenigstens
allgemein zu reden, auf zwei verschiedene Arten in Viertelsysteme zerlegt. Neh-
men wir an, dass mx gemeinschaftlich hat’
BEI 8. * Zahlen
Msn, X Zahlen
Ei X' Zahlen
SER X" Zahlen
so wird auch « mit mx, x” mit mx”, «” mit mx” gemein haben A Glieder;
I, 47
370 NACHLASS.
x mit mx, <” mit m«, x mit mx”, X Glieder u.s.w. Es sei e der kleinste Rest
von X-+-2%’+3X” nach dem Modulus 4, oder e eine der vier Zahlen 0, 1, 2, 3,
je nachdem X+2X’+-3X” von der Form 4n, 4n—+1, 4n+2, 4n+3 ist. Ich
behaupte nun, dass = von der Anordnung des Viertelsystems x unabhängig ist.
Um die Beweisführung zu erleichtern, bediene ich mich folgender Bezeich-
nung. IId soll die Zahl 0, 1, 2, 3 bezeichnen, je nachdem die durch x nicht
theilbare Zahl & sich (selbst oder durch Congruenz Repräsentation) in der Gruppe
x,%,%,x” befindet. Von selbst hat man daher die Folge
I. I@y) = 1+11b (mod. 4).
II. Die Zahl ug findet sich, entweder selbst oder durch Congruenz
Repräsentation in der Gruppe x.
III. ZIImp = e, (mod.4), wenn die Summation über alle in x befindliche
Glieder 9 erstreckt wird.
Es sei nun k ein anderes Viertelsystem, bestehend aus f, f', f" u.s.w.,
während x aus 9, @', @’u.s.w. besteht. Ich setze voraus, was erlaubt ist, da die
Ordnung der Glieder in x willkürlich, dass f mit 9 identisch oder zusammen-
hängend ist, f’ mit @', f” mit ’u.s.w. Die mit k zusammenhängenden Vier-
telsgruppen seien X(=ik), k’(= —k), k"(= —ik). Es habe ferner die Cha-
rakteristik P in Beziehung auf die Gruppen %, K', k”, k" dieselbe Bedeutung wie
II in Beziehung auf x,x,x,x”, so dass Pb = 0, 1, 2,3, je nachdem % zu
k, k', k", k" gehört. | ;
Es wird demnach, wenn man von der Vertheilung der y in die Viertelsy-
steme %k, K, k", k” anstatt von %,x,x',x” ausgeht, an die Stelle von e treten
der kleinste Rest von Pmf-+Pmf’+Pmf"+Pmf”u.s.w.u s.w. oder von ZPmf
nach dem Modulus 4 und es handelt sich, zu beweisen, dass ZPmf— 21Imy
durch 4 theilbar ist.
Wir schreiben diese Grösse so
Pmf +Pmf+Pmf’+Pmf”+ u.s.w.
— Pm» — Pmg' —P mp’ — Pmy"—
+Pmö+PmpP+Pmy'+Pmge"+
— [Im o — Img — Ilm g"’— Umyg"—
Da der Voraussetzung nach f und p congruent sind oder zusammengehören, so
gilt dasselbe auch von mf und m! und man hat Ä
ZUR THEORIE DER BIQUADRATISCHEN RESTE. VL 371
=i
ee ruht 4 mod. u
woraus leicht folgt? Pmf—Pme» = —Pe(mod.4) und das Aggsegat 4 ar beiden
obersten Reihen = —2Pg. Da nun ferner Pmp—Imp=PliT ""mp) ist,
MY. lm? zu x gehört und der Inbegriff aller mg.i ""? ohne Rücksicht auf
die Ordnung mit allen x übereinkommt, so wird das Aggregat aller Pimp. Ta)
aequal sein dem Aggregat aller Py; folglich das Aggregat der dritten und vier-
ten Reihe =2Py(mod.4), also das Aggregat aller vier Reihen = 0 (mod. 4)
WEB W.: |
Da also e, unabhängig von der Wahl der Viertelsysteme blos von m und p
abhängt, so werden wir e den Character der Zahl m in Beziehung auf den Mo-
dulus p nennen und mit Ch.m(mod.p) bezeichnen. Man sieht leicht, dass
dies nur eine Generalisirung derjenigen Definition ist, die (Art... .) für den Fall,
wo p eine Primzahl ist, gegeben ist, oder sie unter sich begreift.
4.
Ich gehe jetzt zu bestimmten Anordnungen der Viertelsysteme über, und
werde den mit m zu bezeichnenden Modulus = ea--ebi setzen, so dass die po-
sitive ganze Zahl e den grössten reellen Divisor, oder den grössten Divisor, wel-
chen die beiden Bestandtheile von m haben, bedeutet, oder a, b Primzahlen
unter sich. Das am einfachsten angeordnete Viertelsystem wird das sein, des-
sen Glieder &-+iy so beschaffen sind, dass ax--by positiv und kleiner als
+e(aa+bb), ay—bx nicht negativ, und gleichfalls kleiner als 4e(aa—+bb)
wird; die letztere Bedingung wird geflissentlich so ausgedrückt, dass auch die
Fälle, wo ay—bx = 0 wird, darunter begriffen sind. Man sieht leicht, dass
solcher Fälle zuammen $(e—1) sein werden, nemlich
2 ==0, =D
2 = 2a, >20
3 = 3a, y=3b
u.s. w. bis
2 = +(e—1)a, y = +(e—1)b
also gar keine, wenn die Bestandtheile von m keinen gemeinschaftlichen Divisor
47*
372 NACHLASS.
haben. Nennen wir dieses Viertelsystem A, und X, k”, k” diejenigen, welche
entstehen, indem man die zu k gehörigen Zahlen mit ‘, —1, —i multiplicirt,
oder man mag auch setzen
K=m-+tik, ®"=(1+im—k, k"—=im—ik
Auf diese Art erhält man folgende Regel, um zu beurtheilen, ob eine beliebige
vorgegebene durch m nicht theilbare ganze Zahl #-Hiy congruent sei einem
Gliede von A, A, k” oder 4”, nemlich indem man kann 2(@a2+-by) in die Form
Pe(aa+bb)+Q, 2(ay—bx) in die Form Re(aa+bb)+S bringen, so dass
P, @, R, S ganze reelle Zahlen und zwar
wenn 2--iy congruent ist einer Zahl aus
o
so dass k k k" Re
e gerade ungerade ungerade gerade
R gerade gerade ungerade ungerade
Q positiv positiv positiv nicht negativ
e(aa+bb— Q| positiv nicht negativ | positiv positiv
Ss | nicht negativ | positiv positiv positiv
e(aa+bb)—S | positiv positiv nicht negativ | positiv
Man erleichtert sich die Uebersicht, wenn man die Fälle, wo keine der Zah-
len ar—+by, ay—bx durch e(aa-+bb) theilbar ist, von den übrigen unter-
scheidet. | |
I. Im ersten Falle hat man für P schlechthin die (algebraisch) klei-
nere der beiden ganzen Zahlen zu nehmen, zwischen welche (ausschliesslich)
welche - E33;
II. Ist aa —+by durch e(aa—+-bb) theilbar, so wird ay—bx zwar durch
aa—-bb, nicht aber durch e(aa—+-bb) theilbar sein (weil sonst @--iy durch
ea-+ebi theilbar sein würde). Istnun R, d.i. die Zahl, welche zunächst klei-
a Sn gerade, so wird @-+iy einer Zahl aus A’ congruent sein
nach dem Mod. ea--ebi, einer aus A” hingegen, wenn R ungerade ist.
III. Ist ay—+bx durch e(aa—+-bb) theilbar, nicht aber ax—+-by, so wird
&--iy einer Zahlaus %, oder aus k” congruent sein, je nachdem die ganze Zahl,
2(ax + by) :
laarbb)' gerade oder ungerade ist.
fallen wird, und eben so für R die kleinere der beiden, zwischen
2(ey—dz) gap,
ner ist als
welche algebraisch zunächst kleiner ist als
ZUR THEORIE DER BIQUADRATISCHEN RESTE VI. 373
5.
Man leitet aus obigem ohne Mühe folgende Methode ab zur Bestimmung
des Characters einer gegebenen ganzen Zahl M—= A+ Bi in Beziehung auf den
ungeraden sie nicht messenden Modulus m = ea ebi.
Zur Abkürzung bedienen wir uns folgender Bezeichnung. Wenn p irgend
eine gebrochene reelle Zahl vorstellt, soll durch [p] diejenige ganze Zahl bezeich-
net werden, die zugleich p—[p] und 14+[p]—p positiv macht. Bei dieser De-
finition ist also die Anwendung der Bezeichnung auf ganze Zahlen ausgeschlossen.
Fasste man die Definition so, dass weder p—[p] noch 1+[p]—p negativ sein
soll, so würde das Zeichen [p] für den Fall, wo p ganze Zahl ist, zweideutig sein.
Man könnte auch, wie in einer früheren Abhandlung geschehen ist, die Bedingung
so stellen, dass 14 [p]—p positiv und p—[p] nur nicht negativ sein soll. Für un-
sern Zweck ist es etwas bequemer, sich an die erste Begriffsbestimmung zu halten.
Das Viertelsystem % bilden hienach alle ganzen Zahlen f, wofür wenn
man a —=E£-+ni setzt, & zwischen 0 und 1 ausschliesslich, n zwischen 0
und 1, die 0 eingeschlossen liegt, oder
FJ=°. In
BEE, ed
Setzt man nun für jedes f, Ir — &-+-in und nimmt
v0 weik zugleich [&] gerade und entweder [n] gerade oder n ganz
1 [rn] gerade und entweder [?] ungerade oder Z ganz
2 [E] ungerade und entweder [7] ungerade oder n ganz
| (&
3 In] ungerade und entweder [?] gerade oder & ganz
tabellarisch so
[n] gerade | |n] ungerade | n ganz
.[&) gerade N) g "
[&] ungerade 1 2 9
& ganz 1 3 RR
was man durch Y(&-+in) bezeichnen mag, so wird der gesuchte Character der
Zahl M in Beziehung auf den Modulus m aequal dem kleinsten Reste von ZWf
nach dem Modulus 4.
374 NACHLASS,
6.
Die im vorhergehender Art. gegebene Vorschrift ist allgemein: für den Fall,
wo M ungerade ist, werden wir ihr aber eine andere Gestalt geben. Wir wer-
den zugleich annehmen, dass die reellen Theile von m und M ungerade, also die
imaginären gerade sind. i
Wir lassen jeder zu dem Viertelsysteme %k gehörenden Zahl f eine andere
g correspondiren, die aus f auf folgende Art abgeleitet wird. Indem man
ni — &-+in setzt, unterscheidet man vier Fälle
I. Wenn [2£]) = 0 und entweder [27] = 0 oder „= 0
II. Wenn [2€] = 1 und entweder [?7] =0 oder y=0
III. Wenn [2£] = 0 und 27) =1
1V.:Wenn:f25];== 1rund [21] 1
Im ersten Falle wird man g = 2f, im zweiten g =im-—2if, im drit-
ten g=m-+2if, im vierten g = (1-Hi)m-—2f setzen. Man sieht leicht,
dass der Inbegriff aller g ein vollständiges Viertelsystem 2 bildet; ihre Charakte-
ristik ist, dass zugleich, wenn man 2 = tin setzt
entweder [{) = 0, n) = 0
oder n = 0, [E] = 0 und g durch 1-+-: theilbar
oder &=0, = und g durch 1-+i nicht theilbar
Daraus folgt, dass / sich von k nur dadurch unterscheidet, dass diejenigen
Zahlen in k, für welche n = 0, und die durch 1-+i untheilbar sind, nemlich
a+bi, 3(a+bi), 5la+tbi)... — (a+bi) oder bis -(a+bi)
je nachdem e von der Form 4n+-1 oder 4n+-3, in Z fehlen und dagegen in letz-
term Complex die Producte jener Zahlen in i auftreten. Zugleich sieht 'man,
dass für e=1, d.i. wenn m durch keine reelle ganze Zahl theilbar ist, k und Z
ganz gleich sind.
Es kommt nun daraufan, Wf unmittelbar aus dem dem f entsprechenden g
abzuleiten. Das Resultat ist, dass für obige 4 Fälle
l y-v&
IE: Ufo
f hal wenn einer von beiden ganz
IH. wie II. IV. wie l.
M > . .. M
—VZ wenn weder reeller noch imaginärer Th. von I— ganz
BEMERKUNGEN.
Die Bruchstücke, die hier im Druck mit I und II bezeichnet sind, gehören nach dem Orte zu ur-
theilen, den die betreffenden Handschriften in einem Notizbuche einnehmen, dem Jahre ısı1 oder der zu-
nächst folgenden Zeit an. Von den vorangehenden Versuchen, den Beweis des Fundamentaltheorems für
biquadratische Reste nach den hier für den Rest 14 angewandten Methoden durchzuführen, ist eine Auf-
zeichnung vorhanden, welche den speciellen Fall des Restes 1+ 2? erledigt und von derjenigen Bestim-
mung des biquadratischen Characters ausgeht, die man als Note dem Art. 6 des Bruchstücks III beigefügt
hat. Im übrigen lassen sich die historischen Angaben, die Gauss in den Anzeigen seiner arithmetischen
Abhandlungen veröffentlicht hat, mit Hülfe des Nachlasses dahin ergänzen, dass die in den Artt.ı5 bis 20
der Theoria residuorum biquadrat. aufgenommenen Lehrsätze schon vor der Ausarbeitung der Z’heoria mo-
tus corporum coel. niedergeschrieben sind. Die in den Anzeigen erwähnten Untersuchungen über cubische
Reste werden wohl nicht zur Ausarbeitung gelangt sein; aufgezeichnet finden sich davon die mit den Hülfs-
mitteln, welche die Abhandlung Disquisitionum eirca aequationes puras ulterior evolutio bietet, durchge-
führten Beweise der Reciprocitätssätze für zwei Primzahlen, von denen die eine reell ist.
Die Bruchstücke. III bis VI bilden in der Handschrift besondere Hefte und für die drei ersten der-
selben weist die Form der Schriftzüge auf eine Zeit, die der für die Bruchstücke I und II nicht fern liegt,
während für das letzte, Nr. VI, ein bedeutend späterer Zeitpunkt angenommen werden muss.
[L] Art. 10. Die Bestimmung der Anzahl der Ganzepunkte in (z, 2, +£L, z+{) ergibt sich
aus dem Satze: bedeuten « und 5 relative Primzahlen, so geht die von &+n:? nach &+ni+a+Dbi ge-
zogene Gerade durch Einen Ganzepunkt, wenn der imaginäre Theil von (&+n?).(—a+5i) eine ganze
Zahl ist.
Nasa
376 BEMERKUNGEN.
[I.] Art. 17. Die erste Umformung des letzten S in dem Ausdrucke für AS erhält man, wenn
man das betreffende Flächenstück in solche drei Theile zerlegt, dass jenes $ in
S(im+4—4i, (d+$i)m, (d+4i)m+i, 4m+4++4%,))
— S(im, gm+4+4iKn, Im+4—#)
—S((4+4Ü)m, 4m, 4m+4—4i)
übergeht, und wenn man dann die Ganzepunkte in dem ersten Flächentheile mit Hülfe des Satzes in Art. 10
auszählt und ferner berücksichtigt, dass in dem zweiten Flächentheile sich kein Ganzepunkt befindet.
Die zweite Umformung erhält man, wenn man die den Eckpunkten des dritten Flächentheils ent-
_1
ne vermehrt, endlich die dritte
sprechenden Grössen mit multiplieirt und um die ganze Zahl (1—:)
Umformung, wenn man mit der zuletzt entstandenen Figur nach Vorschrift des Art. 16 diejenige vergleicht,
die gegen jene die Ortsverschiedenheit Se hat.
[l.] Art.[1s.] Eine Erläuterung zum ersten Schema findet man in dem später niedergeschriebe-
nen hier mit [1I.] bezeichneten Bruchstücke Art. ı bis 6.
\
[1.] Art.[ıs.](2.) Die geometrische Deutung ergibt mit Zuhülfenahme der beiden Systeme von
Ganzepunkten
[-23xQ — 4 4, !1Q] = [-2Q+4, 4, iQ]=IV* und —[— rQ +2, — 4, 1Q]= —[— xQ—L, —4, iQ] = X*
die Gleichungen %
W-IV 41-2394, —1)= +8 +H[- 19,4, 3]
XII -+IV* = [— 2:9, 1, iQ] = — I(—2iQ)+[I(— iQ)
V+X* = —[-23Q, —, iQ] = R(—2iQ)— R(—iQ)
wenn allgemein Rx und /x die grössten Ganzen des reellen Theils und des Coefficienten des imaginären
Theils von x bedeuten.
[—2:7Q, 4, —$] ist aber die Anzahl der Ganzepunkte in dem Quadrate, dessen Mittelpunkt sich
in —27Q—4-++:i befindet und zwischen dessen Endpunkten die Ortsunterschiede #4 und $: Statt haben.
[—iQ, 4, —4] oder [—2:Q, —t#i, 4] ist die Anzahl der Ganzepunkte in einem gleichen Quadrate
mit dem Mittelpunkte — 2! Q+ti—ti.
[L.] Art.[ıs.] (3.) Mit Zuhülfenahme der Ganzepunkte [0, 48, —iQ] = —[—#, —, —iQ] =!
erhält man
ZUR THEORIE DER BIQUADRATISCHEN RESTE, 372
vu—XUI=1-I+[-i9, 4 4:]—-[, 4, 4#] =1—l+[— 219, 4 41]
HP len Ole Bit Bir iG)
a ee ee
HER ne HEHE ms +41)
VII—XIV= —[#, —1—i, 4im,] = rk
[Il.] Art. 10. Es ist
YP'= —T(-iP’+$im), YP"= —ı— Y(P”—$im), YP"=ı-+TY(—i.P'")(mod.4)
und —iP’+4im, P"—4im sind die um #7 vermehrten Ganzepunkte resp. in I, VI.
[III.] Art.6. Die in der Note angegebenen Regeln für die Bestimmung des Dec. = habe ich der
vorliegenden Abhandlung aus einem andern Orte der Handschriften beigefügt. Die erste dieser beiden Re-
geln, die wie leicht zu sehen mit der zweiten übereinstimmt, folgt aus der des Art. 6, weil
End . a; Zoe mod. 342)
m p
k=f.i"(mod.m), n=® ‚p=mm, [
ist.
[lll.] Art. s enthält in der Handschrift ein Beispiel zu Art.7, nemlich die Bestimmung des De-
eidenten von —1-+2i für den Modulus —11+4:.
[III.] Art. 10. In Bezug auf die Bemerkung ‘anders auszudrücken’ kann man Art. 3 des folgen-
den Bruchstücks [IV] vergleichen.
[IV.] Die Art. ı. 2. 4 enthalten in der Handschrift ausser dem hier Abgedruckten noch die An-
wendung auf die beiden Beispiele für m =5+8:, M=9-+4i und für m=9-+4i, M= 5 +8i.
[V.] Art. [7.] Es bezeichnet hier Dec. r wie in Art. ı des vorhergehenden Bruchstücks [IV]
den Werth von
PEN ap TER fe ge |
worin die Summation über alle ganze Zahlen X und Y auszudehnen ist, für welche die zugehörigen & und
n innerhalb der Grenzen 0 und $ liegen.
Die Formeln für den Deeidenten in Art. 7 und 15 sind nach der Angabe des Textes auf zwei be-
u. 48
378 BEMERKUNGEN.
sondern Wegen gefunden, um aber diese Erläuterungen nicht zu sehr auszudehnen, werden sie hier aus ei-
ner gemeinsamen Quelle abgeleitet.
Indem X irgend einen bestimmten ganzzahligen Werth annimmt, sei Y* das kleinere, F** das
grössere der beiden Y', welche den Grenzwerthen von &, n entsprechen. Die zu F* und Y** zugehöri-
gen Werthe von p seien p* und p**, die ebenso wie F* und Y** einander nicht gleich werden können,
weil die Summe 2 sich nicht über die Grenzwerthe von & und n erstreckt.
Führt man auf dieselbe Weise wie in den beiden vorhergehenden Aufsätzen [III] und [IV] die
Summation über alle bei demselben X Statt habenden Werthe von Y aus, setzt dabei für die Anzahl der
zwischen Y’ und Y” liegenden ungeraden Zahlen [47”"—3]—[#Y’—4+] und fügt die Intensoren, die
sich auf die Grenzen &—= 0 und = + beziehen, zwei Mal aber mit entgegengesetzten Zeichen hinzu, so
erhält man für Se Ink p den aus sieben Theilen bestehenden Ausdruck
— 2[— Int. (p— poi) + Int. (p+pwi)] worin alle » aufzunehmen, für welche [Y] gerade,
x oder y ganz, incl. &= 0 und #, exel. n= 0 und #
— Int. (p* —p.wi) wenn [Y*] gerade
+ Int. (p**+ wir) wenn [Y**] gerade
— Int. (p* +p.wi) wenn [Y*] gerade
+ Int. (p**— un?) wenn [Y**] gerade
| = 00der4, 0<n<4
| o<E<$, en oder #
— Int. (p* + wi) wenn [Y*] gerade
+ Int. (p*— uw‘) wenn [Y**— w] gerade | ee
welcher mit ae multiplieirt und über alle ganzzahligen X summirt den Decidenten n ergibt.
Aus dem ersten Theil des Ausdrucks entsteht auf diese Weise von den nach Art. 2 Vorschrift I
gebildeten e
Ze wo X ganz, [Y] gerade
— 2: wo ausserdem y ganz, [x] gerade
Für die folgenden Theile kann
-—- (B) Int. (p— Byu.wer) wenn
+ (B) Int. (p + Buwi) wenn
— (4A) Int. (p+Apwi) wenn n = 0
+ (4) Int.(p - Apoi) wann n=+
—4[(4)+(B’)] Int. (p+A wer) wenn X ganz, [Y+4A'wo] gerade, Eund n= 0 oder 4
SI SM
I
Di,
ö | X ganz, [Y] gerade, o<n<4+
4
| X ganz, [Y] gerade, o<E<}
gesetzt werden, worin d= +A oder -—Aist, wenn n= 0 oder 4, B’= +DB oder —B, wenn &=0
oder 4, und worin z.B. (4):+1 oder —ı bezeichnet, jenachdem A positiv oder negativ ist.
Multiplieirt man mit (—1)” , führt die Summation über X aus, lässt dabei in diesen Ausdrücken u. zwarim
ersten p—Buwi, P—BDuwi, r—ABwi—BBw, X, [Y] bez.in ip, iP, ir, —Y, [X]
zweiten + Bpwt, P+BDwi, r+ABwi+ BBuo, X, [Y])...:. » P x Z:{%}
dritten p+Apwi, P+4ADwi, r+AAwi+ABu, X, [F])... 9 PR x 3;:[ #1
vierten 9— Apwi, P—ADuwi, n— AAwi— ABw, X, [F]..im—ip, iM—iP, i—in, Y—B, A—1—[X]
ZUR THEORIE DER BIQUADRATISCHEN RESTE. 379
übergehen und bezeichnet das aus dem fünften Ausdruck sich ergebende Resultat mit Q,, so entsteht
BET" Int.?p, wo Y ganz, [X] gerade, n=w, 0o<f<4
+8(—1) (2) Int.p, wo X ganz, [Y] gerade, = 4+w, o<n<4
— %(—1)“ (A)Int.p, wo X ganz, [Y] gerade, „= w, 0<&<4
+2(—1) (A) Int. (im— ip), wo Y ganz, [X] gerade, &=4+w, 0<n<}
+9,
Die Untersuchung der einzelnen Fälle lässt erkennen, dass unter der Voraussetzung M= 1 (mod. 2-+ 27)
Q, = —Int. po: ist, wenn M im 1. Quadranten liegt
— Int. (4mi-+ »w?), wenn M im 2. Quadr. und Be gerade
+ Int. (4mi— uw‘), wenn M im 4. Quadr. und gerade
indem man eine complexe Zahl gerade oder ungerade nennt, je nachdem sie durch 2 theilbar ist oder
nicht.
Hiernach wird also bei Anwendung der in den Vorschriften II und IV bestimmten &
Mm
Dee. — = I, Ze, wo X ganz, [Y] gerade
—42e, wo noch y ganz, [x] gerade
U, —Xelnt.ip, wo Y ganz, [X] gerade
IV, +Xelnt.p, wo X ganz, [Y] gerade
U, +ZXelnt.p, wo X ganz, [Y] gerade
IV, + Xelnt. im — ip), wo Y ganz, [X] gerade
Erg,
In einer andern Form erhält man den Ausdruck für den Decidenten, wenn man zuerst nach X sum-
mirt und dabei die Anzahl der zwischen X’ und X” liegenden ungeraden Zahlen durch GX’+2)—-GX +34]
darstelllt, nemlich
De. = I, Ze, wo Y ganz, [X] ungerade
—42e, wo noch y ganz, [x] gerade
IL, —Zelnt.ip, wo X ganz, [Y] gerade
IV, +2elnt.p, wo Y ganz, [X] ungerade
1, + 2elnt.p, wo Y ganz, [X] ungerade
IV, + Zelnt. ((m— ip), wo X ganz, [Y] ungerade
+®
Q, = — Int. (— pw), wenn M im 2. Quadr.
+ Int. (4 m— po), wenn M im ı. Quadr. und =
ungerade
— Int, (4m + po), wenn M im 3. Quadr. und ne
ungerade
48*
380 BEMERKUNGEN.
Führt man die Summation nach Y zuerst aus, wählt aber die zweite so eben angewandte Art der
Bestimmung der Anzahl der zwischen zwei Werthen liegenden ungeraden Zahlen, so wird
mn
Dee. | ® Se, wo X ganz, [Y] ungerade
—4X%e, wo noch y ganz, [x] gerade
II, —XZelnt.ip, wo Y ganz, [X] ungerade
IV, +2elnt.p, wo X ganz, [Y] ungerade
II, +Xelnt.p, wo X ganz, [Y] ungerade
IV, + Zelnt.@m— ip), wo Y ganz, [X] ungerade
+9
Q, = — Int. (— pwi), wenn M im 3. Quadr.
— Int. (4mi+p.wi), wenn M im 2. Quadr. und
1
ungerade
+ Int. (4 mi— pwi), wenn M im 4. Quadr. und
ungerade
Summirt man zuerst noch X und gebraucht dabei die erste Art der Darstellung der Anzahl der
zwischen zwei Werthen liegenden ungeraden Zahlen, so erhält man die in [V.] Art. 15 angegebene Form
für den Decidenten, wo die Grösse g auch durch folgende Gleichung definirt werden kann
q= —Int.eo, wenn M im 4. Quadr.
+ Int. (4m — yo), wenn M im 1. Quadr. und = gerade
—Int.(4m+ wo), wenn M im 3. Quadr. und = gerade
' Die Vereinigung dieser vier Ausdrücke für den Deeidenten bildet das in [V.] Art. 7 aufgestellte
Resultat, weil Int..p—Int.p gleich 3 wird für [x] gerade [y] ungerade, sonst aber gleich ı, ferner.
Int. (im — ip) + Int.p gleich 0 für [x] gerade [y] gerade, in den übrigen Fällen aber gleich 4.
[V.] Art.[7.] Die erste Tafel für das Beispiel gibt in der ersten Spalte die zu jedem ganzzahligen
P zugehörigen Werthe von —_ oder 37(&+ni), wenn o<E<4, 0<n<+ ist, in der zweiten ae
oder 37.p, in der dritten die in » enthaltene grösste ganze Zahl, in der vierten +Int.p, wo das obere
Zeichen gilt, wenn P durch 1-+? theilbar, das untere, wenn P nicht durch 1- i theilbar ist.
[V.] Art.[9.].[12.] Die verbesserte Bezeichnungsweise der 9 ist nur bei der zweiten und dritten Classe
Artt. 9. 10 angedeutet, aber auch auf die erste und vierte Artt. 8. ı1 auszudehnen. Hiernach wird ein
#—= T+ Di denjenigen Index X, = 0, 1, 2 oder 3 haben, für welchen die durch die Gleichungen
ZUR THEORIE DER BIQUADRATISCHEN RESTE, 381
PM=U+B, itu=p+oi
sy = — Coöff. Img P(a—bi) = HH T—aU
sd’ — + Coöfl. Img (AB) = —- BTHAU
bestimmten Grössen g° und ®° zwischen 0 und + liegen.
Um nach den Andeutungen in Art. 9 (3) zu beweisen, dass, wenn 7, U zwei ganze reelle Zahlen
sind, welche die so eben aufgestellten Bedingungen erfüllen, 7’-+TUDi sich auch in dem bei einer der vier
Combinationen Artt. 8. 11. bestimmten Complexus 9* befindet, bezeichne man mit 9’, ® diejenigen gan-
zen complexen Zahlen, für welche die Gleichung
T+UVi=y"M-+V'm
RT 109
Statt hat und für welche eine der vier Grössen +, Hi so beschaffen, dass der reelle Theil
und der Coöffieient des imaginären Theils zwischen 0 und # liegen (Theoria residuorum biquadr. artt.
45, 46). Die betreffende Grösse ist dann, wie man aus der Untersuchung der in den vier Combinatio-
nen enthaltenen sechzehn einzelnen Fälle leicht ersieht, = und die ihr entsprechende ‘Grösse unter
0-0. . ,0-0°,, P „ 0— 0° o—g°, ”
+ Eee ist ” weil Ale * wird. z
Aus dieser Art der Darstellung der Grössen “ oder M folgt auch, dass I, Xe von allen aus
8+8’4+8”+0" besteht, worin ®* die Summe derjenigen e bedeutet, die für jeden Ganzepunkt ® inner-
halb des Parallelogramms 0, 4m, 4m -+4:”M, 4i"M,
= +1 zu setzen sind, wenn ® durch ı-+? theilbar und Coöff. Imag. 1i”* positiv oder wenn keine Be-
dingung gilt, dagegen
= —i wenn nur eine gilt.
[V.] Art. 13. Die Bestimmung von ®* kann entweder durch die oben für Dec. —; angewandten
vier verschiedenen Summationsarten oder, was im Wesentlichen dasselbe ist, nach den in [II.] Art. 11 an-
gedeuteten Methoden ausgeführt werden, bei welchen dann die vier Constructionen zu Grunde zu legen
sind, die durch Verbindung der Punkte, deren 8 ein Vielfaches von 1-+: ist, resp. mit den Punkten
+1, 0+:, 9 —ı und ER, entstehen.
Lässt man in der Begrenzung des zuvor erwähnten Parallelogramms allen den Punkten ein 9 ent-
sprechen, für welche der reelle oder imaginäre Theil von 9 eine ganze Zahl wird, bezeichnet mit 9° die
nächste durch 1-7 theilbare Ganze bei 9, mit / die Ortsverschiebung von einem Punkte des geraden Be-
grenzungsstückes, das den Punkt 9 enthält, bis zu irgend einem nachfolgenden Punkte derselben Geraden,
also z. B. bei jenem Parallelogramm der Reihe nach die Grössen m, Mi*, — m, — Mi*, und setzt
l
9 — 9°
so ergibt die Vereinigung der auf die eine oder andere Weise erhaltenen vier Resultate «M — — Ne.
&= +1 mit dem Zeichen des. imaginären Theils von
Die gesonderte Bestimmung der den Eckpunkten entsprechenden 9 und e wird umgangen, wenn
man dies Parallelogramm durch ein‘ anderes ersetzt, dessen Begrenzungen den Begrenzungen des erstern
382 BEMERKUNGEN.
unendlich nahe sind, und welches die beiden Punkte 0 und 4m +4:1”M nicht einschliesst. Die Begren-
zung eines solchen Parallelogramms erhält man, wenn man sie an die positiven Seiten der Linien
+), .2 ” :
0....4m, 4m+4Ü"M....4m, 4m+H"M....4M, 0,...4%M
legt. Lässt man den vier so entstandenen Geraden der Reihe nach die unendlich kleinen positiven Grössen
0, 0 0 8, entsprechen, so kann man für die auf ihnen liegenden Punkte 9
= p=me+to,i), -Mr+4m?44M= P=Ml+toi), —I+4m44M"=p=mlto,i),
095” = P= M(&+w,i) wenn X gerade
= p=mlt+o,i), W+—4mt +44 M=P=MG+o,+m), h+4m—4MiH = p = m(-+o,+ni),
9i*= P= M(&+w,i) wenn X ungerade
setzen, worin & und n auch theilweise zur Schliessung der Figur das Gebiet der reellen Werthe von 0
bis 4 um unendlich kleine Grössen überschreiten.
Bezeichnen @, g, H, h die Summen der resp. nach den Vorschriften II, III, IV, V (in Artt. 3 bis 6)
gebildeten e, und umfassen @’ oder @, und g’ oder g, diejenigen e, welche für die beim zweiten Paral-
lelogramm etwa auftretenden unendlich kleinen Werthe von & Statt haben, im Uebrigen aber resp. nach
den Vorschriften II und III gebildet sind, beziehen sich ferner @” oder G',, und g” oder g,, ebenso auf die-
selben Vorschriften aber auf die unendlich kleinen Werthe von 4+—5, und endlich 4’, A, H”, A, resp.
auf die Vorschriften IV, V, IV, V und die unendlich kleinen Werthe resp. von 4+—n,, 3—7, 7, 7, so wird
40 —(gtg+g”) -lE+ +") Hilg+g4+g) ++ + G,) wenn X gerade
18" = — (g+g’+g") — HH (H+H+H") -Ut(h+h4+h,)+(G+ G,+ G,) wenn A ungerade
Für denjenigen Eckpunkt ® des Parallelogramms, welcher dem Punkte 0 zunächst liegt, bezeichne
£, den zugehörigen Werth von dem & der ersten Seite, &, den zugehörigen Werth von dem & der vier-
ten Seite, so dass
t=m(i, tw) = Mi, +o,;)
wird, dann ergibt sich dasjenige &, welchem auf der ersten Seite oder deren Verlängerung ein Punkt p
mit dem reellen Theile gleich 0 entspricht, aus der Gleichung
(Real.p = 0), E—8, = saUw, — ou,
worin die positiven Factoren der unendlich kleinen positiven Grössen durch die Einheit ersetzt sind und
s, A die durch
p+oi=itla+bi), A+Bi=i'(4+Bi)
bestimmten reellen Grössen bedeuten. Dieser Punkt p» liegt auf der ersten Seite selbst, wennn &—8, po-
sitiv, also, indem man w, unendlich klein gegen ®, annimmt, wenn so negativ ist. Der dem Punkte p
zunächst liegende Punkt p°, dessen darstellende Zahl durch 14: getheilt wird, ist der Punkt o, also hat
ZUR THEORIE DER BIQUADRATISCHEN RESTE. 383
Imag. _! _ oder Imag. — -—, das Minuszeichen. Man erhält daher für Real. p=0:
p—r" &+w,i
e=—ıi wenn ()=—1,ce=0 wen ()= +1, d.i. e= —4-+4(0)
und auf dieselbe Weise für Imag.p = 0°
= Ins .
p—p’ Fr,
In Bezug auf die vierte Seite wird PP = 0, Imag. en = Imag. ee
. — OF)
e=—4-+4(o) also g = —1+(o)
Et, = sbBw, —owm,, Imag.
also für Real. ”P)= 0; &—:, = —salo, +90,, e= —4+4(sa)
und für Imag.(*P)= 0; 5-8, = —ıbBo,+s0,, e= —4+4(s5B)
demnach @, = —1+4(saW)+4(s5B) oder, welp=aA+Bist, G,= —1+4(po)+4(pra5AB)
Der Theil R,* von 4®*, der aus dem unendlich nahe bei dem Punkte 0 liegenden Stücke der Be-
grenzung entsteht, ist also
Ri = +0, g = -()+4(0)+ 1p9a548)
Durch ähnliche Betrachtungen findet man für die Theile R,*, R,*, R,*, welche obsnsciche Bezie-
hungen resp. zu den Punkten 4m, 43m +4M ’, 4M i" haben, wie R,* zum Punkte o, bei geradem X
R+= —- Ra" = —4)-4(8), Rt= Hart, = lo) pe) 4 (psadAB)
Re= +9,46, = OHR)
bei ungeradem X
R,* ie ED 0 Ti: 1og = —4()—4 (8), R,* RR | 2; din, = 0,
R= — din, +, = tat
[V.] Art.[14.] Die Auswerthung der Summen von den nach Vorschrift III gebildeten = ergibt
sich aus der durch die Definition der = leicht zu verificirenden Gleichung
II, Xe von allen —4Xe von denen, wo y ganz, [x] gerade = III, 2[— Int. (p— mw) +Int. (+ mo)]
worin p alle Werthe annimmt, die den unter Vorschrift III angegebenen Bedingungen genügen. Diese
Intensoren lassen sich nemlich mit Ausnahme der beiden dem kleinsten (£*) und dem grössten zulässigen
Werthe (£**) von & entsprechenden Intensoren, welche resp. gleich
— Int. (p— mo) und +Int.(p**+mw) oder — Int. (um) und + Int. (4— o)m
sind, immer zu je zweien + Int. (p'--mw) und — Int. (p’— mw) so zusammen ordnen, dass zwischen
£’ und &”, welche den Grössen p’ und p’” entsprechen, kein Werth von & liegt, der den reellen oder ima-
ginären Theil von p zu einer ganzen Zahl macht, so dass also die zwei Intensoren sich stets gegenseitig
annulliren.
384 BEMERKUNGEN.
[V.] Art.[15.] Es ist
I, +Xelnt.ip wo Y ganz [X] gerade, —2elnt.ip wo X ganz [Y] ungerade
— %[— Int. i(p— mo) + Int.i(p+m o)]. für diejenigen p, für welche z oder y ganz, [X] gerade
Y ungerade, 0o<E<4, n=w
+ Int.‘ (p* —mw) wenn [X*] gerade [Y*] ungerade
— Int.i(p**+mvw) wenn [X**] gerade [Y’**] ungerade
wie man sich leicht überzeugt, wenn man auf der zweiten Seite der Gleichung die Summation nach dem
in der vorhergehenden Note angewandten Verfahren über jedes so kleine Intervall von £, bis &,, ausführt,
dass es zwischen &, und &, kein & gibt, welches in dem zugehörigen P den reellen oder imaginären Theil
zu einer ganzen Zahl macht. Die Anwendung der nach Vorschrift III gebildeten e lässt die zweite Seite
dieser Gleichung die in Art. 15. aufgestellte Form annehmen.
[V.] Art.[15.] Die Verwandlung der Summen von den nach Vorschrift IV gebildeten Ye in die
Summen der e aus V ergibt sich durch eben solche Betrachtungen wie die in der letzten Note angewandten,
wenn noch die Gleichung
V, Xe von allen, —4Xe wo x ganz [y] gerade, = + Int. (4im + mw) — Int. (4im + 4— um)
zu Hülfe gezogen wird, die der zuvor ermittelten Auswerthung der Summe von den © in Vorschrift II
entspricht.
[V.] Art.[17.] Bestimmt man die Hülfsgrössen U, 7, L, V durch die Gleichungen
U = 1-2(B)— (AB) + (aa) + (65) + (a)— (6a)+ (u6ab) —(a6ab AB) oder
U = (IHM) -(B))L— (a6) +6) + (a9))
weil (aa)+(65) = (4)+(Aabab), (a5)—(6a) = (B)—(Babab) ist,
T=—2+(4)+(b)— (6) —2(B)—(aab) oder
T= —2+()+b)—-(6)—2(B)—(a4)+(6B)- (6 AB)
L = (+ M)U+@B))U+8))- a (N)U-(B))U-6))
P = (1+(4))U-(B))(— 2(0)+2(6)+ (ab) + (6)) oder
v = (1+M)U-(B))(-(a) + )+&)+ (a) — (Bab)+(a6))
weil (a)+(b) = (6) + (a5) wenn A positiv B negativ
und bezeichnet mit W’, S’, Q’ die Grössen, in welche die W, 8, @ des Ausdrucks für den Dee. % in Art.14.
übergehen, wenn man darin m mit M also «+6: mit «—6: vertauscht, so wird
ZUR THEORIE DER BIQUADRATISCHEN RESTE. 385
M—ı
2W' = —5(B)— (AB) wenn gerade
2W'=—(B)—(AB) wenn “: ungerade
28’ = —(ababAB)—(6)—(B)+(b)
2Q’+28’+2W'’'=2T-+U wenn an
gerade
1
ungerade -
2Q’+285'’+2W'= —4-+4(a)+U wenn nn
sb = 8s(+r+s+w—(2Q+28'+2W’)
Ersetzt man hier 8(g+r-+s-+w) durch dessen in Art. 15 aufgestellten Werth, bringt ihn aber
unter die Form
2T+4L+V wenn “ ee
gerade gerade
M—ı —1
27 —ı16+16(4)+V wenn gerade ungerade
—4+4(a)+V wenn #1 ungerade —1 gerade
—20+4(a)+V wenn — a ungerade - = ungerade
und beachtet, dass
V—-U= —4(+())+N)Aı+W)A— ))ı— (B))L—(6))
ist, so erhält man für ) die in Art. 17 angegebene Bestimmungsart.
[VI.] Art.3. Das unvollständige Citat kann auf Art. ı des Bruchstücks III bezogen werden.
SCHERING.
I. 49
en FE
Ba
De
ZUR THEORIE DER COMPLEXEN ZAHLEN.
(L]
NEUE THEORIE DER ZERLEGUNG DER CUBEN.
I. Wir nehmen an, es gebe eine Auflösung der Gleichung #+y’+2°= 0,
nemlich z=a, y=b, z=c, wo.a,b,c keinen gemeinschaftlichen Divisor
haben, folglich auch unter sich Primzahlen sind. Wir setzen
bIc=a«u
cta=b
a+b=y
we nothwendig auch «a, 5, y unter sich Primzahlen sein werden. Hätten nem-
lich &« und 6 einen gemeinschaftlichen Divisor, so würde dieser auch a’ und b?
messen, es müssten daher auch a und b einen gemeinschaftlichen Divisor haben.
Wir werden nun haben
6+-Y— a +(Yt+a— 5)’ +(a+5—y)’ = 0
allein es ist identisch
6+Y-@’++a—5)'+(a+5— = (a+6+7)'— 24067
Es wird folglich |
(a+5-+-y)’ = a
| 49 *
sr
388 NACHLASS.
Sind a,d,y reelle Zahlen, so wird &-+5-+-y durch 3 theilbar sein, also
@-+5--y)® durch 27, folglich &5y durch 9. Es muss daher eine der Zahlen
a,d,y z.B. y durch 9 theilbar sein, also c” ebenfalls, folglich ce durch 3.
Sind hingegen a, 5, y imaginäre Zahlen, so schliessen wir, dass a+56-+Y
durch 1—e, folglich 24@6y durch (1—e)?, mithin @6y durch 1—e theilbar
sein müsse. Es ist also eine der Zahlen «a, 6, y durch 1—e theilbar und folg-
lich auch eine der Zahlen a, b, c.
II. Wir haben allgemein die identische Gleichung
(p+g+r)+(p+ge+re)’+(p+ ges+-re)?
= 27pgr+3(p+g-+r)(p-+ge-+res)(p+ges+re)
Ist folglich p+4-+r —= (, so wird
(pAge-t rest tiptgeethr? ar pgr = 0
Sind hier 9, 9,7, selbst Cuben, nemlich resp. = a?, b?, ce’; d.i. existirt eine
Auflösung der Gleichung @°+y?+z° — 0, so wird
a—+b’e He = d
abe =P
—3abc —c
gesetzt, auch @®+5b*-+-c?”—= 0 werden. Aus dieser neuen Auflösung kann man
auf gleiche Weise eine dritte ableiten u.s.w. Man überzeugt sich leicht, dass
wenn die erste Auflösung in reellen Zahlen ist, auch die dritte eine solche sein
wird.
Es ist noch zu bemerken, dass wenn a, b, c keinen Factor gemein haben,
dasselbe auch von a,b, c‘ gelten wird, den Factor 1—e abgerechnet. Es ist
nemlich
4
Be a 3 RN ER 3
= —eea+el! = a’ — ec" = —b’+eec
b’ ’
oo @—eb? — —eea tee? = sch’—.c?
e'
— (ee—1)abc
1— €
Die beiden ersten Zahlen haben also weder mit a, noch mit b, noch mit c einen
Factor gemein, können auch nicht durch 1—e theilbar sein, wenn nicht a, b, c
ZUR THEORIE DER COMPLEXEN ZAHLEN. 389
zugleich durch 1—e theilbar sind: daher haben jene auch keinen Factor mit der
dritten gemein.
III. Aber auch der umgekehrte Weg wird offen stehen. Wir haben gese-
hen, dass eine der Grössen durch 1—e theilbar ist: dies mag c sein. Da man
statt a auch ae oder ass substituiren kann, und ebenso statt 5 auch bs oder
bee, so dürfen wir voraussetzen, dass a entweder =1 oder = —1 sein wird;
wir werden das erstere voraussetzen, da im andern Fall b=1 sein würde und
nur mit a vertauscht zu werden brauchte. Wir setzen demnach
az 1+3a
b= —1-435
und
ae-+bee
=, —I1Itle—e)(ae+dbe) —= A
= —= —1+(ee—e)(aee+de) = B
m- = (ee—e)(a +6) —O
wo A+B+C=0 wird, und ABC= Sr = oo.
Da hier
a—= —eA+teeB
b= z:.A—e:B
so können A und B keinen Factor gemein haben, weil ein solcher sonst auch ge-
meinschaftlicher Factor von a und b sein würde. Wegen A+B1C0—=0 kam.
folglich auch C keinen Factor weder mit A noch mit B gemein haben. Hier-
aus folgt leicht, dass A und B und mithin auch C Cuben sind. Denn / =)
wird durch e—ee, folglich auch durch («— ee)? theilbar sein oder a5 durch
3, dab wid Az=ı B= —ı (mod. 3).
Setzen wir nun
A= ao?
B=!°
C=c”
so haben wir aus der Auflösung der Gleichung «-+y’+ 2? — 0
390 NACHLASS.
w—ä
y=b
= C
eine andere abgeleitet
u
BARILE, '
Y er
ee
3173 13 __ ce?
wo a”b’c = ao
wo folglich c’ den Factor 1—e einmal weniger enthalten wird, als c. Dies ist
aber absurd, wenn c nur durch eine bestimmte Potenz von 1—e theilbar, d.i.
wenn c von 0 verschieden ist. Denn durch Fortsetzung dieser Operationen würde
man sonst am Ende aufeine Auflösung kommen, wo 2 gar nicht durch 1—e theil-
bar wäre gegen (I).
Einen ähnlichen Weg kann man für die 5% Potenzen nehmen. Ist nem-
lich ® + bc’ = 0, so setzt man db+c—= a, c+a=6, a+b=y, so wird
— (2a’+(25"+(20" = (6+7—a’-+y+a—6’+(a+6—y)
— (a +65-+Y)’—80068ylaa—+56--YY)
Es kann aber nicht (@+5--y)’ = S0ady(aa+5656--yy) werden ohne
dass eine der Zahlen &,d,y durch 1—e theilbar sei. Denn wären sie alle nicht
theilbar, so müsste sowohl «+6 -+y als aa +56-+-yy durch 1—e theilbar
- sein, folglich auch rn y) (a +6 —y) = (2a+6)’+366,
was unmöglich ist.
Man kann dies auch so darstellen. Ist @ +b’+c’ = 0, so wird
4(a-+b+c) = 5(b+c)(c+a)(a-+b) [(a+2b+ 30 —+3(a+ c)’—8(a-+b+-c)e]
— 5(b-+0)(c-+a) (+3) [E—? +3 0-+0?+4(a+b+0)a]
4(a+b+c’+5abe[b— ce’ +3(+c) = 5latb+e|....}
Uebrigens würde der Beweis dem vorigen sehr ähnlich.
Versucht man aber denselben Gang bei den siebenten Potenzen, so gelingt
es nicht zu beweisen, dass bei einer gegebenen Auflösung
ZUR THEORIE DER COMPLEXEN ZAHLEN. 391
A440
nothwendig eine der Grössen a,b, c durch 7 theilbar sein müsse. Es folgt nem-
lich nur
(e+5+y'= 5adyls(a+6°+Y%)+10(aa66+-aayy-+56yy)|
welches bestehen kann, ohne dass a, ö, y durch 1—e theilbar wäre.
Hoffentlich wird sich indessen dies in Zukunft aus der Natur der Determi-
nanten und der Einheitszahlen ableiten lassen.
(IL)
BESTIMMUNG DER NACHSTEN GANZEN ZAHL.
Es sei ®e—1 m=a-+be-tcee
2a—b—c=A-+a
2b—c—a= B+6
2c—a—b=(C-+Yy
wo A,B, C ganze Zahlen; «, 6, y positive echte Brüche sind. Man hat dann
A+B+C+a+6+yY=0
also drei Fälle zu unterscheiden:
l. a+5-+y=0, foglich = 0,6 — 0, al
1, A=B= C(mod.3). Hier ist m selbst eine ganze Zahl. |
2, A-B=B—-C=C—A=-I1 (mod.3). Hierist m + — .e” eine ganze Zahl.
I. a+ö+y=1.
“Hier ist A+Be+(Ces-+1
A+Be+(sc+ts
A+Be+(ss+es
392 NACHLASS.
jedes durch 1—& theilbar, und eine dieser Zahlen durch 3. Der Quotient oder
er — a—be—yee
m :
die gesuchte ganze Zahl.
Il. a+6+y=2
Hier ssnd A+Be+ Cee-+e-+ee
A+Be-HÜees+ec+1
A+Be-+(es-+1+e
durch 1—-g und eine dieser Zahlen durch 3 theilbar. Der Quotient, oder
er(e Hee)— a —be—yee
m— -
ist die gesuchte ganze Zahl.
In allen drei Fällen hat der Rest die Form
a yet zee
so dass ©, y,2 ohne Rücksicht auf das Zeichen kleiner als 4 und @«+y+2 = 0
wird. Dadurch wird aber nothwendig
v0 -+-yy+22 = 200 — 2yz = 2yy— 202 — 222 — 20y<$
weil von den drei Grössen @,y,2 nothwendig zwei einerlei Zeichen haben. Folg-
lich ist der Determinant des Restes
— 3a +yy-+22)<H4 | Q. E.D.
Die Bestimmung der nächsten ganzen Zahl geschieht bequemer auf folgende
Art. Es sei vorgegeben a+be-+cee = m, man setze
b—-a=C+Yy
c—b = A+a
aA—( = B+6
wo A, B, C die nächst kleinern ganzen Zahlen; «, 6, y positive Brüche sind.
Hier sind drei Fälle zu unterscheiden ;
ZUR THEORIE DER COMPLEXEN ZAHLEN. 393
Il. a+öd+y=0, so ist m selbst ganze Zahl
I. a+5-+y= 1, so ist die nächste ganze Zahl
B+(B+ C)e wenn «a der grösste Bruch ist.
Ce+(A-+C)se 6
AB 2 Ab y
I. a+ö6+y= 2, so ist die nächste ganze Zahl
B+1+-(B+C-+2)e wenn a der kleinste Bruch ist.
(C+H1)e+(A+C+2)se Ö
A+Bta ı ehe Y
In II, 1 ist der Rest 6-+(6-+y)e, dessen Determinant
= 66 +ö6y+YY = +—tlla—6)(14+36)+a—y)(1+37)]
Noch einfacher so:
Man ordne die Brüche a— [a], b— [b], c—[c] nach ihrer Grösse: so heissen
sie der Reihe nach p, q, r. Sind alle drei gleich gross, so ist m eine ganze Zahl.
Sind sie aber ungleich, so sei £ ein beliebiger Bruch zwischen,
p und q, jenachdlem g9—p am grössten ist
qgundr r—q
r und 1-49 1-—-p—r
Sodann ist
la —2) + [b—t]e+-[c—ijee
die nächste ganze Zahl.
II. 50
394 “ En, | NACHLASS.
[ILL]
' Essei ?=1
a+be +cee de ze —=g
a+be'+ce”+de” tet —g"
(ab + 0? +6—d+ de +e—a)? = 27
(a— ec)’ +(b—d)’—+(c—e) + (d— a)” —+
(e—b)" = 2p’
gg" u —p€ —p"se — ne — pe = »
RT => —pee—p'e' —p"E — oe Be pP”
Determinant rl PP' — — pp—+ 3 pp’ — p’p" i
Mensura = 2p+2p" = 2P’+2P"
— 5(aa+bb+ccHdd+tee) —(a+tb+c+d-+e)
Multiplicando per 1—e& fit mensura nova — 8p’
Höchste Mensur — 2 (4 me) /D=— 4,472 /D
sin 36° sın 7223
Modulus = 1—e
1—e=Xr
ae na;
ee = 1—2r +00
83— 1-37 +32 a
& — 1-42 +62 — 40° +0
—4+62— 422 +.0°
\
Also
— = nmod. (1— e)
€ = 1— ne mod. (1—e)”
(25) = 14naa mod. (1—e)’
Also eine Zahl, welche = I mod. (1—e)’ kann nur dann eine Einzahl
wenn sie zugleich = 1 (mod. 5).
sein,
ZUR THEORIE DER COMPLEXEN ZAHLEN, 3277 .395
| IV]. |
EINIGES UBER DIE MENSUR DER ZAHLEN.
Es sei &e* = I, n Primzahl
m— atade+ascta"? +... tler —=fe
D=fe.fee.f®... fe"
fe fe = be te) Be +E N) VE@ HEN)...
so ist nz
2b’ = (a — a)’ +ia— a’) +(a’—a”")”—+ etc.
2b’ — (a— a’) + (d—a”)’—+ (a — a”) etc.
etc.
hier sind also D', 5’, b”.. lauter positive Grössen; sie heissen Partialmensuren
von m, so wie ihre Summe
+5" 5" etc. =nlaa+add+tadd+..)—(a+«d+a’+ etc.)
die Generalmensur. Setzt man
ee ee
so ist
LEE ete, er) — HP 59” etc. Ho)
e’(e-He"}) + ed (ee+e" + c"(e+E" 9) + etc. — 2(#+b"+b"+ etc. RN _
ea —e— e" 1) +? — es — €E""}) tea ee Leite —nb
2
m en we 2 m =.
>"! (n Da, V+b’+b"+ etc, >". Da-i
Ist allgemein
Sf "= A+Ac+Ac HA +...
so ist die Generalmensur A = — A— A— A’— etc. +nA
Mensur von (I+-g)fe... A = 4 A\—2n(A— A) —=4N—2nb
It atad+ta’+..=0, soist A = nlaa+ da a’a’—+ etc.)
andit ATZ- LH... #0 wit A=rnA, N=nl? A724)
Ist also einer der Coöfficienten A’, A” etc. negativ und absolut grösser als
4+A, so lässt sich die Mensur salvo determinante herabbringen.
50 *
396 | ee NACHLASS,
| [V.]
Sollte sich bestätigen, dass jede Einheitszahl blos aus Factoren von der
Form |
ee
PORERR® |
zusammengesetzt wäre, so würde folgender Satz bewiesen sein:
Ist f(e) eine Einheitszahl, so ist
f(e) en
| Fe)
' Auch ohne jenen Satz vorauszusetzen ist der Schlusssatz leicht zu beweisen.
Es sei
RER
a Fe
so ist
FeFe'’—ı
woraus mit Hülfe der Lehre von der Mensur leicht gefolgert wird, dass
ie 7,72
‘Das untere Zeichen ist aber unmöglich, weil sonst fe durch 1—e theilbar sein
müsste.
| Dass der Determinant einer von 0 verschiedenen Zahl nicht — 0 sein
_ könne, lässt sich leicht beweisen. Wenn der Determinant durch m theilbar ist,
so ist die Zahl selbst durch 1—& theilbar; folglich wenn der Determinant durch
m”! theilbar ist, muss die Zahl selbst durch m theilbar sein. Welches absurd
ist, da beim Det. 0 die Zahl erst salvo Det. so oft durch m dividirt werden könnte,
bis sie nicht mehr theilbar wäre. Der erste Satz aber erhellt so. Es sei die vor-
. gegebene Zahl
a+be+ csce+ et. =a+b+c..mod.1—e
‚also Determinans = (a+b-+.c . .)""! mod. 1—e.
ZUR THEORIE DER COMPLEXEN ZAHLEN. 397
[VL]
Es sei =1
fe = atbe+ces+de-+ etc.
m — Determinans dieser Zahl
a fee.fe ...fe1—= A+Be-+Cece+ etc. = Fe
u. Der Zahl fe entspricht eine Wurzel der Congruenz ©” = 1 (mod. m.) | Es
sei dieselbe r, Man hat |
nA=Fi1+ Fe-+ Pie,
nB= Fi+e"Fe+e”Fec+..
nC = Fi+e”Fe+eFee+..
etc.
also, da Fee, Fe°, Fe‘ etc. durch fe theilbar sind,
nA—Iı— e(nB— Fi)
n A— Fi—ee(nC — Fi)
n A— F1--e®(nD—Fı)
ee
alle durch fe theilbar, oder auch |
n(A— B)—en(B—C)
n(B—C) —en (C—D)
etc.
durch fe theilbar; folglich [wenn fe durch 1—e, und Fe durch eine ganze
reelle Zahl nicht theilbar ist]
= 52 etc. (mod. fe)
y ur;
BEMERKUNGEN.
Die hier unter der gemeinsamen Ueberschrift, zur Theorie der complexen Zahlen, zusammengestellten
Untersuchungen bilden zerstreute Notizen in der Handschrift. Sie enthalten die wesentlichen Momente des Be-
weises vom Fermarschen Satze für die dritte und fünfte Potenz. Die aus dritten Wurzeln der Einheit zusam-
mengesetzten Zahlen sind in unvollständigen hier nicht abgedruckten Aufzeichnungen sowohl mit Hülfe der
Theorie der binären quadratischen Formen, als auch der Kreistheilung untersucht. Bei Gelegenheit der An-
wendung der letztern und zwar während der Ausarbeitung der Abhandlung Disquisitionum circa aequationes
ar —
puras ulterior evolutio ist noch die ternäre cubische Form aufgestellt, in welche 27 für eine Prim-
zahl n = ı mod.3 verwandelt werden kann, und zugleich die Theorie der Composition der mit jener ver-
wandten Form X?+mY® + mm Z°—3mXYZ entwickelt:
Die in den Untersuchungen des Bruchstück [I] vorausgesetzte Eigenschaft der aus dritten Wurzeln
der Einheit gebildeten ganzen Zahlen, dass jede nur auf Eine Weise in Primfactoren zerlegt werden kann,
ergibt sich aus dem Euveriischen Verfahren, die gemeinsamen Theiler zweier Zahlen zu bestimmen, wenn
dabei der unter [II] abgeleitete Satz über die nächste ganze Zahl für irgend eine vorgegebene Bruchzahl
in Anwendung gebracht wird. |
Dass dieselbe Fundamentaleigenschaft auch den aus fünften Wurzeln der Einheit zusammengesetzten
Zahlen zukommt, folgt daraus, dass der nach einer ganz analogen Regel wie in [II] gebildete Bruchrest
entweder von m oder doch von »n multiplieirt in eine geeignete Einheitszahl Z so beschaffen ist, dass er
durch Subtraction von der vorgegebenen Zahl m_& eine ganze Zahl entstehen lässt und dass sein Deter-
minant die Einheit nicht übertrifft. Die Einheitszahlen lassen sich aber, wiein [III] angedeutet, aus der
Theorie der binären quadratischen Formen vom Determinant 5 in Verbindung mit der Zerlegung irgend
einer reellen Primzahl in vier Factoren (z.B. 11 = Det.(2-+e)) ableiten, nemlich als Producte der Po-
tenzen von e und 1-+e.
SCHERING.
TAFEL
DES QUADRATISCHEN CHARACTERS
DER PRIMZAHLEN VON 2 BIS 997 ALS RESTE
IN BEZUG
AUF DIE PRIMZAHLEN VON 3 BIS 503 ALS THEILER.
Be
11
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IN DECIMALBRÜCHE.
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29 (0)..3448275862 0689655172 41379310
31 | (1) ..4838709677 41935 5 (0). . 3225806451 61290
37\(2)..3575 (2)..7565 (3)..7835 (4)..9185 (5)..5945 (6)..972; (7).-864;5 (8)..324; (9)..621;
(10)..108; (1I)..540;5 (0)..270
41 |(1)..46341; (2)..78048; (3)..682925 (4)..09756; (5)..58536; (6)..5ı219; (7)..07317; (0)..24390
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425
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441
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442
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Die 26379° Centade enthält keine Primzahl f dx
Die 27050'* Centade enthält ı7 Primzahlen. logx
GAUSS AN ENKE.
Hochzuverehrender Freund!
— — Die gütige Mittheilung Ihrer Bemerkungen über die Frequenz der Prim-
zahlen ist mir in mehr als einer Beziehung interessant gewesen. Sie haben mir
meine eigenen Beschäftigungen mit demselben Gegenstande in Erinnerung ge-
bracht, deren erste Anfänge in eine sehr entfernte Zeit fallen, ins Jahr 1792 oder
1793, wo ich mir die Lamgerr'schen Supplemente zu den Logarithmentafeln ange-
schafft hatte. Es war noch ehe ich mit feineren Untersuchungen aus der höhern
Arithmetik mich befasst hatte eines meiner ergten Geschäfte, meine Aufmerksam-
keit auf die abnehmende Frequenz der Primzahlen zu richten, zu welchem Zweck
ich dieselben in den einzelnen Chiliaden abzählte, und die Resultate auf einem
der angehefteten weissen Blätter verzeichnete. Ich erkannte bald, dass unteral-
len Schwankungen diese Frequenz durchschnittlich nahe dem Logarithmen ver-
kehrt proportional sei, so dass die Anzahl aller Primzahlen unter einer gegebenen
Grenze n nahe durch das Integral
dn
logn
ausgedrückt werde, wenn der hyperbolische Logarithm. verstanden werde. In spä-
terer Zeit, als mir die in Vrea’s Tafeln (von 1796) abgedruckte Liste bis 400031
bekannt wurde, dehnte ich meine Abzählung weiter aus, was jenes Verhältniss
bestätigte. Eine grosse Freude machte mir 1811 die Erscheinung von Cueryac’s
445
FREQUENZ DER PRIMZAHLEN,.
cribrum, und ich habe (da ich zu einer anhaltenden Abzählung der Reihe nach
keine Geduld hatte) sehr oft einzelne unbeschäftigte Viertelstunden verwandt, um
bald hie bald dort eine Chiliade abzuzählen; ich liess jedoch zuletzt es ganz liegen,
ohne mit der Million ganz fertig zu werden. Erst später benutzte ich Gorp-
SCHMIDTS Arbeitsamkeit, theils die noch gebliebenen Lücken in der ersten Million
auszufüllen, theils nach Burexnarpr's Tafeln die Abzählung weiter fortzusetzen
So sind (nun schon seit vielen Jahren) die drei ersten Millionen abgezählt, und
mit dem Integralwerth verglichen.
Ich setze hier nur einen kleinen Extract her:
Integral
gibt es E tn
Unter Primzahlen logn Abweich. Formel Abweich.
500000 41556 41606,4—+- 50,4 41596,9—+ 40,9
1000000 78501 79627,5+126,5 78672,7—+171,7
1500000 | 114112 114263,1—+ 151,1 114374,0 4 264,0
2000000 | 148883 149054,8-+-171,8 149233,0--350,0
2500000 183016 183245,0 +4 229,0 183495,1—+-479,1
3000000 | 216745 216970,6—- 225,6 217308,5 +563,5
Dass LEGENDRE sich auch mit diesem Gegenstände beschäftigt hat, war mir
nicht bekannt, auf Veranlassung Ihres Briefes habe ich in seiner Theorie des
Nombres nachgesehen, und in der zweiten Ausgabe einige darauf bezügliche Sei-
ten gefunden, die ich früher übersehen (oder seitdem vergessen) haben muss.
LEGENDRE gebraucht die Formel
n
logn — A
wo A eine Constante sein soll, für welche er 1,08366 setzt. Nach einer flüchti-
gen Rechnung finde ich danach in obigen Fällen die Abweichung
— 93,3
+ 42,2
N
+;
159,1
+167,6
Diese Differenzen sind noch kleiner als die mit dem Integral, sie scheinen
aber bei zunehmendem » schneller zu wachsen als diese, so dass leicht möglich
II. 62
446 NACHLASS.
wäre, dass bei viel weiterer Fortsetzung jene die letztern überträfen. Um Zäh-
lung und Formel in Uebereinstimmung zu bringen, müsste man respective anstatt
A = 1,08366 setzen
1,0904 0
1,07682
1,07582
1,07529
1,07179
1,07297
Es scheint, dass bei wachsendem rn der (Durchschnitts-) Werth von A ab-
nimmt, ob aber die Grenze beim Wachsen des » ins Unendliche 1 oder eine von
1 verschiedene Grösse sein wird, darüber wage ich keine Vermuthung. Ich kann
nicht sagen, dass eine Befugniss da ist, einen ganz einfachen Grenzwerth zu er-
warten; von der andern Seite könnte der Ueberschuss des A über 1 ganz füglich
eine Grösse von der Ordnung nn sein. Ich würde geneigt sein zu glauben, dass
das Differential der betreffenden Function einfacher sein muss, als die Function
selbst. Indem ich für jene n vorausgesetzt habe, würde Lesenpre’s Formel
eine Differentialfunction voraussetzen, die etwa Are 41) wäre. Ihre Formel
übrigens würde für ein sehr grosses n als mit
n
1
logn — 7,
übereinstimmend betrachtet werden können, wo Ak der Modulus der Briser'schen
Logarithmen ist, also mit Leeennre’s Formel, wenn man
1
A= u 1,1513 setzt.
Endlich will ich noch bemerken, dass ich zwischen Ihren Abzählungen und
den meinigen ein Paar Differenzen bemerkt habe.
Zwischen 59000 u. 60000 haben Sie 95 ich 94
101000 102000 94 93
Die erste Differenz hat vielleicht ihren Grund darin, dass in Lamgerr’s Suppl.
die Primzahl 59023 zweimal aufgeführt ist. Die Chiliade von 101000 —102000
wimmelt in Lamgerr’s Supplementen von Fehlern, ich habe in meinem Exemplare
7 Zahlen angestrichen, die keine Primzahlen sind, und dagegen 2 fehlende ein-
FREQUENZ DER PRIMZAHLEN. 447
geschaltet. Könnten Sie nicht den jungen Dase veranlassen, dass er die Prim-
zahlen in den folgenden Millionen aus denjenigen bei der Akademie befindlichen
Tafeln abzählte, die wie ich fürchte das Publicum nicht besitzen soll? Für diesen
Fall bemerke ich, dass in der 2. und 3. Million die Abzählung auf meine Vor-
schrift nach einem besondern Schema gemacht ist, welches ich selbst auch schon
bei einem Theile der ersten Million angewandt hatte. Die Abzählungen von je
100000 stehen auf Einer (klein) Octavseite in 10 Columnen, jede sich auf Eine
: Myriade beziehend; dazu kommt noch eine Columne davor (links) und eine da-
hinter rechts; als Beispiel hier eine Verticalcolumne und die beiden Zusatzco-
lumnen aus dem Intervall 1000000... 1100000 — — —
Zur Erläuterung diene z.B. die 1. Verticalreihe. In der Myriade 1000000
bis 1010000 sind 100 Hecatontaden; darunter ist 1 die nur eine Primzahl enthält;
gar keine mit 2 oder 3; 2 Stück mit je 4 Primzahlen; 11 Stück mit je 5 u.s. w.
alle zusammen geben 752 —=1.1+4.2+5.11+6.14—+.. Die letzte Co-
lumne enthält die Aggregate aus den 10 einzelnen. Die Zahlen 14. 15. 16 in
der ersten Verticalreihe stehen hier nur zum Ueberfluss, da keine Hecatontaden
mit so vielen Primzahlen vorkommen; aber auf den folgenden Blättern bekommen
sie Geltung. Zuletzt werden wieder die 10 Seiten in 1 vereinigt, und umfassen
so die ganze 2te Million.
Doch es ist Zeit abzubrechen. — — — Unter herzlichen Wünschen für
Ihr Wohlbefinden
Stets der Ihrige
Göttingen, 24. December 1849. C. F. Gauss.
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DER ANZAHL DER CLASSEN
BINARER QUADRATISCHER FORMEN.
63
450
NACHLASS.
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2 142. 148. 193 3 202. 207. 2I4. 235. 4 313. 337. 382. 388
G.1II..(58)..(280) 3 _1o6. 108. 109. 247. 262. 267. 268. “0 u sur. 380.
25. 8 115. 118. 121. 277. 298 346. 361. 373. 375.
9. 10, 12. 123. 124. 135. 4 226. 256. 289. 292. 394
13. 15. 16. 147. 157. 162. 295 6302. 323. 324. 327.
18. 22. 25. 169. 172. 175. 5 218. 229. 24% 250 334. 351. 355. 363.
28. 37. 58. 187 6 203. 212. 219. 233. 387
2 14. 17. 20. 4 zı1 113. 128. 241. 244 259. 2748 7 338. 349. 391
32. 4. 36. Ei 250 178. 275 "> z ; 8353
39. 46. 49. 183. 19 7.215. 278. 284. 287 - f Kr
52. 55. 63. 5 IIg. 122. 125. 8 254. 257 9 45 335. 339(*3*)
64. 73. 82. "143. 159. 166. 9 236. 293 10 386. 398
97. 100 181. 188. 197 ı0o 206. 28ı 11 326. 389
BEmE2ORRZON AR. 62 11640159 171 tm 269 12 356. 372. 395
33. 44. 50. 7 .IOI. I34. I49. 12 299 13314
51. 53. 54- 173
61. 75. 76. 8 Er 164 G.IV..... (43) » +...» (512) G.IV.....(43)..... (608)
81. 87. 91. 10 ı 232. 253 2 301. 310. 322. 328.
92. 99 GIVE: a: . (356) 2 205. 208. 213. 217 333. 340. 352. 372.
4 41. 62. 68. 1. . 102. 112. 130, 220. 225. 228. 238. 400
94. 95. 98 . 133. 177. 190 252. 258. 265. 282. 3 304. 309. 315. 318.
5 74 86 2 114. 117. 126. 288 325. 342. 348. 364.
6 8 132. 136. 138. 3 201. 204. 216. 222. 366. 368. 370. 378.
I4I. 144. 145. 231. 234. 237. 245» 393. 3” e
G.IV. 5). . (136) 150. 153. 154. 246. 249. 255. 261. 4 305. 306. 308. 320.
I 224. 30. 156. 160. 180. 270. 286. 294. 297. 350. 354. 369. 376.
Be 40. 42. 184. 192. 198. 300 377. 380. 384. 392.
45. 48. 57. 3 Io4. 1I0. 129. 4 221. 224. 248. 260. 399
60. 70. 72. 140. 152. 170. 272. 276 5 321. 344. 365. 381.
78. 85. 88. 174. 176. 182. 5 209. 230. 266. 290. 6 329
93 186. 189. 195. 296 7 341. 374
2 56. 65. 66. 200 3: W112. -...+: (88)
69. 77. 80, 4 161. 185 G.VIIL.2.,0):+ 245,04) X 312. 330. 345. 357.
84. 90. 96 | G.VIII...(4)... (32) 1 210. 240. 273. 280. 385
I = 120. 165. 2 264. 285 2 336. 360. 390
1
Summa 233...477 | Summa 2gı... 895 Summa 313..... 1167 Summa 325.....1363
Irreg.o Impr. 74 | Irreg. o Irreg. ı Impr. 183, | Irreg. 2 Impr. 229
DETERMINANTES NEGATIVI,
Centas 5.
G.I.....(10)..(174)
7 463. 487
9 499
15 439. 443
28 431. 467
25 479
27 419. 491
G.1I....(33).. (512)
3 403. 427
4 457. 466. 478
5 41% 4I5. 421.
422. 423
6 433. 436. 475.
484
7 447. 454
8 407. 409. 452
471
9 .4II. 428. 451.
459(*). 486
IO 401. 449. 482.
500
13 458
14 404
15 461
16 446
G.IV....(49).. (760)
2 413. 438. 44%
445. 448. 498
3 405. 417. 424.
430. 432. 435.
450. 453. 460.
472. 473. 477°
483. 490. 492.
493. 496
4 402. 406. 4Io.
414. 441. 444.
468. 469. 481.
485* 495
5 413. 437. 455-
47% 474. 476»
488. 489
6 416. 425. 426.
434: 464. 497
7494
G. VIIL...(8).. (120)
I 408. 462
2 420. 429. 456.
465. 480
3 440
Summa 336... 1566
Irreg. ı
Centas 6.
@TI:.r:0.l9).. (233)
9 547
15 523. 571
21 503. 587
u BER;
27 563
G.H....(40). » (724)
4 562. 577. 583
5 508. 538. 541
6 507. 526. 529.
543. 567
7 502. 5II. 535
8 512. 514. 548
559. 578
9 515. 519. 527.
531. 556. 557.
575. 586
ıt 551. 554. 59I
ı2 539. 542. 579
593
14 596
15 509. 524. 566
ı6 521. 569
IV... (42). . (672)
2 1608.,5,522, 532:
553. 568. 592.
598
3 513. 517. 533.
537. 540. 550.
555. 565. 588.
595. 597
4 501. 518.
558. 564. 5
574- 3762).
580 (*2*). 582.
589
534» 572. 590
516. 549. 594
506. 530, 536.
581
...545. 584
G. rd ag
520
504. 510. 525.
528. 552. 561.
570. 585. 600
3 546. 560
Summa 347...1729
Irreg 2
_
oo Sun
Centas 7.
G.1.....(8)...(138)
9 643
13 607. 631
15 619. 683. 6gı
25 647
33 659
G.1.... (37). .(718)
3 652
5 613. 625. 694
6. 603. 617; 622.
628. 655. 667.
673. 676. 687
7 604. 634. 639.
653
9 661. 675.(*3*).
679
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ır 623. 662. 668
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13 698
14 641. 686. 692
16 611. 635. 671.
677. 699
17 2,612
18 626
G; ee) . (812)
658. 697
, 606. 610. 618.
627. 637. 648.
669. 670. 682.
685. 688. 700
4 612. 632. 640.
642. 646. 657.
663
6.5:.10152.033:2636.
638. 649. 664.
666. 678. 681
6 602. 605. 608.
620. 621. 650.
651. 684
7 64
8 644. 656
9 629
ı0 689
G. VIIIL..(12).. (216)
2 609. 616. 624.
630. 645. 660.
672. 690. 693.
3 665. 680. 696.
Summa 350. .1884
Irreg. ı
Centas 8.
GP.
....... (6)... (110)
13 727
15 739. 751. 787
21 743
32 719
G.IL.......(39). + . (860)
4 77%
3.70% 737
6 718. 723. 763. 775
7 703. 733. 778
8 799
9 797. 72%. 729. 747.
771. 783. 796
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II 758.767
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13 746. 764. 773
15 716. 779. 797
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17 701
18 731. 755(*3*)
20 734. 761
2I 794
G. IV .00...(43)....(792)
2 708. 742. 793
3 702. 715. 730. 748.
753. 762. 795
49.712.717. 7212 733:
735. 736. 738. 745.
768. 784. 785. 786.
799
5 726. 737. 750. 752.
754 774. 781
6 704. 713. 725. 756.
759. 782. 800
8 710. 740. 749. 789
10.776
G.VII.....(13)...(264)
I 760
2 720. 765. 777. 792.
798
3 705. 714. 728. 741.
744. 780
A €
Summa 356...2026
Irreg. ı
451
452
NACHLASS.
Centas 9. Centas ı0. Centas ı1. Centas ı2,
61er...) 0.164) Irre onr.@&)errr (174) Ir roreen. (Meere. (192)G. Ieeeeere.0(6)..... (148)
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868. 873- 882. 889. 940. 942. 949. 970.| 4 1002. 1015. 1017. 1023| 5 1102. 1125. 1137. 1165.
900 (*2*) 973. 988 1054. 1057. IO60, 1078. 1182. 1189
5 822. 830. 872. 874 4 903. 904. 993. 938. 1081 6 AIZI. 1134. II4I. II45.
6 8or. 804. 810. 812. 946. 975: 994 5 1037. 1066. 1071. 1098 1158. 1164. 1188
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Centas 2 2148. Centas 23. 2278 Centas 24 2314.
G.1...(5). . (149) 2157. G.I...-.(7)..(217) 7 2217. G.1:...(2).. (291) 2382
13 2143 2163. 15 2203 223%. | 15 2347 2304.
21 2179 2172. 2I 225I ° 2270 29 2311. 2312.
27 2187 (*3*) 7. 21%. 29 2287 8 2236. 2383 2313.
39 2131 2140. 33 2267 2245. 39 2371 2329(*2*).
49 211 2146. 35 2239 2254(*2*).| 57 2339 2343.
G.I...(33) .(1174) 2149. 39 2207 2286. 59 2399 2350.
8 2113. 2165 45 .2243(*3*) 2292. 63 2351 2356
2137 8 2134. G.1I..(29)..(1084) 2298 G.1I..(32). (1106) 9 2318.
9 2122. 2176(*2*) 7 2293 9 2214. 7 2335 2344.
2167. 2192 9 2221. 2221. 8 2302. 2349.
2188 9 2106. 2227. 2235 (*3*). 2308. 2355.
10 2164 2108. 2283 2241. 2377 2361.
1122192 2117, ıo 2281 2253. 21.2326; 2387
12.1.2707. 2124. II 2215. 2266. 2374 II 2334
2116 2133 (*3”). 2263 2295. [2 2307. 2364.
13 2102. 2175- I2 2209 2300 , 2323. 12 2316.
- 2197 2181. 13 2218 Io 2249. 2395 2331.
| 14.2127 2198 14 2258 2250. 13...24b2. 2376.
| Is 281, Io 2150. 15 2237. 2255. 2367 2379(*2*).
2191 2154. 2269. 2282 14 2359 2390
16 2153. 2166. 2284. Tr 12204, 15 . 2308, 14 2324.
2194 2177 2299 2216 2319. 2354.
17 2103. II 2135 16 2206 12 -"Särt, 2341. 2384
2119 I2 2105. 17 2234 2225. 2363 I5 232I.
18: 2155. 2156. ı8 2228 2229 ı6 2386 2330.
2161. 2168. 20 2297 13 2222 17202333: 2378
2199 2169. 21: 2213, I4 2274 2389. ı6 2336
2702.2722. 2196 2259 15 2264. 2391 18 2369
2138. 14 2114. 22 2271 2285 19 2381 G. wi Ce). (648)
2147. 2144. 24 2273 z 2201 20 2375 2392 |
2171, 2162 27 225% 28: 12348, i 2325.
2183. 25 2189 2291 G. Vin. a (584) 2348. 2346.
2186- 2180 28 2279 2233. 2357 2352.
24 2195 G. vn. (14).(424) 29 2231 2277 24 2327. 2370.
28 2129 2, 2128. 32 2276 2205. 2372 2373. R
30 2126. 2170 36 2219(*3*) 2220. 25 2396 2380
2159 3 2160. 39 2246 2262 27 2315(*3*) 4 2320.
32 2174 2185. G.IV.(46). (1612) 4 2208. 30 2393 2328.
39 214 2190. 4 2212. 2232. 32 2306 2337.
G.IV .(46).(1592) 2193. 2242. 2244. 33 2309 2340.
5: "2101, 2200 2248. 2256. G.IV..(40).(1520) 2365.
2118. 4 2112 (**) 2272 2265. 4. 2332 2385(*2*).
2125. 2130. 5 2202. 2289. 2353. 2397.
2152. 2142 2230. 2296 2368 2400 (*2*).
2158. 5 2109. 2247. 34. 2296. 5 2398 5 2360.
2173. 2121 2290 2288 6 2305. 2394.
2178 2136 6 2223. 6 2240 2317. 6 2301.
6 2194. 7 2120 2257. € 2210 2322. 2376
2115. G.XVI.(2)... (80) 2260. 2261 2338. 7 2345
2132. 2 2145 2268. G. xY1. (1)... (32) 2358. G.XVL(r). .(32)
Bi 2139. 3 2184 2275» 2 2280 2388 2 23I0
| Summa 399...3419 Summa 401...3529 Summa 407...3597
| Irreg. 4 Impr. 585 Irreg. 4 Impr. s7ı!lrreg. 5 Impr. 6ır
j u DETERMINANTES NEGATIVI.
ce 25. Centas 26. 2536. Ba 27. 2698
#6) (a7) 2482. G.1...(7).. (301) 2556. en / .(2321) 7 2607
21 "246 7 2488. 27. 2508 2583 a 2647. 8 2601.
33 2423 2493 33 2539 8 2506. 2683 » 2628(*2*).
37 2447 7 2416. 35 2543 2513. 23 2671 2655.
57 2459 2431. 41 2551 25283. 39 2659 2674.
69 2411 . 2438. SI 2531 - 2560. 43 2663 „2686
G. 11. .(35) . (1250) 2497 57 .2591 2569. 45 2699(*3*) 9 2626.
9 2403 (*3*). 8 2454 63 2579 2589 5ı 2687 2634.
2437 (*3*). 9 2430(*3*).|G.1I..(29). (1028) 9 2522. G.II.. (29). (1196) 2635.
2443. 2461 8 2578 2555. ıo 2638 2637.
2458 10 2449 9.2815. 2581. ıı 2623. 2646(*3*).
IO 2407. II. 1, 2421, 2557. 2595 2662, 2673.
2452. 2489. 2563 (#3 * 10 2514. 2677 ..aRal"s)
2473. 2492 . 2566. 2529. 12 26ır, 10 2656.
2487. 12 2420(*2*) 2572 2532. . 2689. 2678
2500 2432. Io 2527 2596 2692 ıı 2645.
12 2419. 2450. 12 2587. IT 2800, 14 2612 2648.
2468, 2466. 2593 2573 15 2602. 2649.
2479 2484. 17 00834 I2 2597 2643 2672
13 2428 2499 15 2523. 13 2510 16 2617. 12 2661.
14 2401, za Be ; 2875. 14 2501. 2633. 2691.
2446. 2469. 2518, 2525. 2657 2696
„2455 2481 259 - 2586 ı8 2619(*3*).. 13 2679
| 15 2476 14 2429. 16 2521 15 2526. 2627. 15 2630.
16 2434. 2486 18 a25Iı. 2534. 2644 2684.
2462 15 2406. 2547 2537-- | 21 2693 2690.
17 2463 2444 19 2554 2540 23 2614. 2694
18 2417. 17 = 20 2559 16 2546. 2615 16 2624(*3*).
2491 18 21 2507. 2561 24 2631. 2639.
19 2477 ‚ER . (ea). (720) 2571 18 2504. 2654 2669
20 2402. 2418. 22 2567. 2516 26 2642 17 2666
2404. 2424. 2594 G.VIII. (8). (648) 27 2675(*3*) 18 2681 |
2498 2440. 25 2582. 3 2508. 30 2603. G.VIII.(17). (584)
21. 2027 2457. 2588 2530. 2606 2 2632
22 2439 2472. 28 2564 2550. 31 2621 =.73, 73083:
27 2426 2485 32 2519., 2553. 33 2636 2622.
28 2495 4 2436. 2558 2562. 39 2651 2680.
30 2483 2442. 35 2549 2590 42 2609 2685.
31 2471 2445. G.IV.(45). (1752) 4 2568. G. IV. (46). (1776) 2697
33 2435 2448 (*2*)) 4 2533. 2580. 3 2608 4 2652.
38 2441 2464. ‚2542(”2”) 2584 4 2605 2665.
| 39 2474 2465. 5 2577 5 2505. 5 2641 2688
G.IV.(38).(1472) 2470. 6 2512. 2541. . 6 2620. 5 2610.
4 2410 2478. 2517. 2544. 2629. 2618.
5 2422. 2490. 2538. 2552. 2650. 2625.
2433. 26 2545. 2585 2653. 2664.
2494 5 2405. 2548. 6 2565. 2658. . 2670.
6 241. 2409. 2592. 2574. 2667. 6 269. |
2413. 2415. 2598 2600 2668. 2660
2425. 2460 7 2502. 8 2576 2676. 2616 |
2451. 6.2408. 2509. G.XVI.(r)..(32) 2682. G. xVL. «(1)..(32)
2475. 2480 2535. 2 2520 2695. 2 2640
Summa 403..3659 -Summa 405..3761 Summa 401...3819
Irreg. 5 : Impr. sgs’Irreg. 2 Impr. 641/Irreg. 7 Impr. 65
I. | a 65
458
ei
NACHLASS.
Centas 28. 2703. Centas 29. 2847: Centas 30.
G.I...(6).. (208) 2761. .I..(6).. (250) 2848(*2*).1G.1..(6). . (322) 8 2944.
21 2707 2766. 25 2887 2868, 31 2627 2946.
2767 2782 27 2803 2834 33 = 2971 2949.
33 2731 8° 2733. 33 2851 "9 2806, 39 2963 2980(*2*)
39 2791 2742. 45 2843 2828. | 59 2903 9 2950.
41 2719 2775. 57 2879 2835(*3').) 73 2999 2955.
3. 2788 2785 63 2819 2862. 87 2939 2988.
G.1I. (29). (1190) 9 2716. G.11..(32).(1298) 2837. G.11..(33) « (1266) 2989
9 2787. 2770. 8 2878 2888. 8 2962 Io 2919.
2797 - 2778. ı0 2818. 2890. 9 2902. 2929.
10 2722. 2781. 2836. 2895 2923. 2948.
2743 2795 2857 ıo 2810. 2998 2975
120.2713 Io 2724. II -2815. 2844. ıo 2983 11’ 2922.
13 2762 2751 2863 2869. II 2917. 2933.
14 2734. II 2757 ı2 2827 2871. 2935 2934.
2753 12 2701. 13 2809. 2874. 12 2947. 2967
15 2727. 2702 (*2*) 2823. 2896 2953. 12 2993(*2*)
2732. 2739. 2839. ı2 2841 2995 13 2901.
2764 2754 2854 12 2816. 13 2908 2984
18 2723. 2780 15 2875. 2822. 14 2932 16 2921.
2763,°3 )- 23: 2738. 2883. 2824. 15 2956. 2994.
2783 2792 2899 2825. 2986 2996.
19 2738. 14 2744. 16 2833 2852. 17 2918 18 2915.
2746. 2768. 18 2867. 2873. 18 2916. 2924
2799 2774 2897 2900. 2943. 20 2936.
20 2777 15 2750. 19 2858 13 2826. 2979 2954.
2I 2749. 2796 20 2866 767+2813. 20 2942. 2981
2779 17 2726 23 2837 2864. 2959 G. ein 4). (888)
22 .2798 ı8 2705. 24 2811 2889 21 2911. 2968
27 2747. 2786 26 2807 2 a: 2931. j 2905.
2759 20 2714. 27 2859. 28 2972 2920.
29 2741 2756 (*2*) 2891(*3*) Gr. vn) (648)| 24 2974. ‚2937.
30 2708 G. VIU.(16).(568)| 30 2801. 2832 2991 2970.
31 2735 2 2737 2855 . 2808. 26 2969 2982.
| 39 2771 3 2728. 31 2876 2860 27 2951. 2992
40 2729 2800 33 2861 4 : Ba. 2957 4 2928.
41 2789 2706. 34 2804. 2829. 30 2978. 2940.
G: iv. (47).(1864) 2709. 2831, 2850(*2*). 2987 2952.
A 292773. 2717. 2894 2865. 33. 2906 2958.
2788 2745. 2846 2880. 35 2909 2985
5 2776 2772. . iv. (43).(1680) 2898 43 2966 2904.
6 2704. 2790. 4 2842. 5 2814. G.1V.(37).(1588) 2910.
2710. 2793 2893 2838. 5 2965 2926.
2715. a ya 5.9830. 2877. 6 2907. 2990.
2718. 2769 2853 2886 2914. 3000
2725. 6,2920. 6 2802. 6 2820 2938. 6 2gı2.
2740. 2736. 2872. 7 2870 2977. 2925.
2748. 2784 2892 83 2840. 2997 2961.
2752. 7 72765 7 2812. 2849 7 2913. 2964.
2755» G.XVI.(2) er (64) 2881 G.XVI. (2). . (96) 2930. 2976
2758. 2 "2730. 3 2317. 3 2805. 2941. 8 2945.
2794 2760 2845. 2856 2973 2960
Summa 412..3894 Summa 410..3972 Summa 412..4064
Irreg. 3 Impr. 644!Irreg. 4 Impr. 636|Irreg. 2 Impr. 714
_—
459
DETERMINANTES NEGATIVI.
Centas 43. 4263. Centas 51. 5052. Centas 61. 6004.
G.1...(7).. (425) 4285. G.1...(8). .(546) 5053. G.1... (7). (353) 6008.
27 4243 4293. 25 5023 5056. 27 6007. ° 6025.
45 4219 4294. 45 5003 5072. 6043 6027
51 4231 4300(*3*) | 57 5059 5092 45 6067(*3*). 6057.
63 4283 II 4215. 63 zo1ı II 5093 6091(*3*) 6066.
65 4271 4238. 69 5087 12 5022. 57 6079 6077.
69 4211 4281. 83 5039 5076 7ı 6047 6084.
105 4259 4298 87 5051 13 5029. 81 6orı(*3*) 6099.
G.U.(32).(1592) ı2 4212(*2*).| ı77 5099 5090 G.1I.. (22). (1440) 6100(*2*)
12 422. 4232. G.H..(22). (1104) 14 5046. ı2 6073 13 6033.
4258. 4251. 11: 4979. 5074 ı5 6022 6094
4267. 4275 (*2*). 5098 15 5019. 17 6037 14 6062
4273 4292 15 5047. 5030% 18 6087 15 6017.
13 4207. 13 4202. 5062 5094 22 6082. 6039.
4282 4206. ı6 5086 ı6 5012. 6092 6050.
14 4279 4208. 18 5007. 5o31(*2*)| 24 6098 6081.
15 4204. 4234 5041. 18 5004. 26.0031. 6093.
4227 14 4205 5042. 5033. 6053 16 6016
17 4261 15 4235. 5063 5034» 27 6075(*3*) 18 6065.
18 4201. 4250. 21 5027. 5048. 28 6046 6083 (*3*)
4291 (*3*). 4266 5043. 5054. 31 6038 19 6009
4297 17 4269 - 5091 5o69(*3*).| 33 6019 20 6036.
19 4252 18 4220. 24 5095 5075(*3*)| 35 6029 6054
2I 4203. 4265. 25 5071 19 500I. 39 6osg * 21 6035.
4253 4268 27 5067. 5018 41 6023 6095
22 4223 19 4254 5078 20 5057. "42 6osı 24 6014 (*2*)
24 4239. RO ART 30 5009 5084 46 6002 6068.
4287. G.VIII(22)..(976)| 32 5079 22 5015 48 6071 6086
4295 3 4218. 39 5021 26 5024. 49 6044 25 6056
26° 4217. 4257. 42 5006 5045 58 6089 26 6005
4244 4272 45 5036(*3*) 30 5066 63 6074 28 6026
27 4262. 4 4216. 58 5o8ı G.VIII(16).(784) G.IV.(53).(30172) 30 6041
- 4299 4240» G.IV.(51).(27283) 3 5032 7 6013. G.VIII. (14) .(768)
30 4276 4260. 6 5020. 4 5037 6028 3 6097
31 4247 427% 5065. 5 5061. 8 6oo1(*2*). 4 6040
39 4229 4278 5083 5080 6052(*2*) 6042
40 4286 5 423% 7 5038 6 35010. 9 6015. 6 6018,
42 4274 4233. 8 5002. 5025. 6021(*3*) 6024.
54 4226. 4242. 5008. 5049. 6055. 6030.
4241 4264. 5017. 5070. 6063. 6048
56 4289 4284 5058. 5073» 6064. 8 6032 |
G.IV.(38).(1780) 6 4245. 5089 5082. 6070. 6o61 |
6 4225. 4248. 9 5013. 5085. 6076. 6069. |
4237. 4277 5014. 5088. 6078. 6080
4288 7 4209 5035. 5100 6085(*3*) 9 6o6o |
7 4210. 8 :gzar. 5050. 8 5064 ıo 6010, ıo 6020 |
4213 4224. 5055. 5096 6034 |
8 4228. 4296 5068(*3*). 10 so6bo 6049 G.XVI.(4). (208)
4249 9 4280 5097 G.XVI.(3). (128) 6058 3 6045.
9 4236. _ IO 4256 10 5026. 2 5005 6088. 6072.
4246. G.XVI.(1)..(48) 5028. 3 5016. ıı 6o1r2 6090 |
4255. 3 4290 5044- 5040 ı2 6003 4 6006 |
Summa 415....4821 Summa 424...5290 Summa 439..5781 |
| Irreg. 4 Irreg. 5 Irreg. ıı
Impr. 933
mn |
460
| NACHLASS. "
Centas 62. 6181 Centas 63. 14 6228. Centas gr. 9051. H
1...(5)..(265) 14 6145. 6.1. ..(7)..(447) 6245. G.1...(6)..(386) ‚9063 -
33 6165 . 6174. 43 6247 6260. 27 9067 17 9002,
39 6199 6185 45 6211 6276 . 35 9007 9057.
41 6143 15 6102. 5sı 6203. 15 6214. 45 9043 9070
59 6ısı 6109. 6271. 6234. . 63 9091 18 9012.
93 6131 6125. 6287 6249 99 = 9015. |
G. II. . (28) . (1704) 6126. 77 6263 16 6231. 117 go6gl*).. |
ıı 6127 6129. 129 6299 6233. G. 1. 2). (1960) - 9075 (*3*) |
14 6103 6171 G.II. .(28) . (1678) 6244: 15 9013 19 9053.
15 6115. 16 6144. 12 6238. 6272(*4*)| ı8 9003(*3*). 9095
6147 6189 6295 17 6294 9055 20 9039.
16 6178 17 6128. 15 6259, 18 6226(*3*).| 19 9034 ° "9054. ;
18 6183. 6184 6268 6251 21 9004. 9062.
6187. © 18 6121. 16 6217 19 6281. 9046 go8ı
6196 6135. ı8 6267(*3). 6289 26 9079 21 9036
19 6172 6156 (*3*). 6283(*3*) 20 6261 .| 27 9031. 22 9084
21 6133 6164 20 6223. 21 6266 9094 27 9008.
22 6121 ı9 6140 6241. 22 6224 29 9098 9050.
27 6122 20 6114. 6274 23 6278 30 goor. 9074 |
29 6166 6137. 23 6218. 24 6209. 9076 23 9089
30 6139 6161. 6277 6215 33 9068 30. 9005.
33 6124. 6176. 25 6207. 25 6206 36 9049. 9035.
6167 A 6186 6250 27 6296 9083 9056.
34 6113 22: 6152. 27 6227(*3*) 35 6254 ‘40 9023 9077
35 6134. 6194 29 6229 G. VIII(23). (1176) 42 gogr G.VIII(23) . (1640)
6197 25 6170 30 6212. 3 6232 44 9047 5 9010
37 6173 28 6146 6219 4 6273 45 9019(*3*) 6 9040.
40 6159 G.VIII(20).(1200)) 33 6243 5 6205. 46 9038 9042.
4ı 6119 4 6118 36 6242 6213. 48 9092 9045.
42. 6155. 5 6136. 38 6257 6258. 54 9099(*3*) 9072.
6158 6153. .| 42 6275 6280. 57 9029 9085.
45 6107 6162. 45 6239. . 6285 69 9014. 9100 {
49 6191 6168 6291(*3*) 6 6210. 9071 7 9078. {
53 6101 6 6132. 5sı 6236. 6222. 80 9026 9080.
60 6179 6138. 6284 6225. G.1IV. (ei). (2928) 9090.
G. IV). (2568) 6ıso. | 2 6269 6237. 8 9087. 9093
6 6157 6165. 6221(*3*) 6288, 9088 8 go16(*2*).
7 6108. ‚6179. G. iv. (39) » (2428) 6290. 9 9022. 9024.
- 6142. 6180. 6220. 6300 9037. 9060
6193 6192. 6262 7 6248. - 9073. 9 9061.
8 6ır2. 6195 7 6253 6256. 9097 9074
6148 7 6141 8 6202. 6265. Io 9025, Io 9020
9. 6130. 9 6188 6208(*2*) 6279. ‚9058 II 9006
6154. ı0o 611o 9.6235. 6293 II 9052 12 go21I.
6175 ı2 6104. 6252. 8 6204 ı2 9018. i 9065
10 6106. 6200 6297 ° 9 6264 9027. 14 9096.
614. 13 6116 10 6246. ı0o 6201 9028 17 a
6169. -15 6149 6292 6230 13 9082 18
6198 G.XVI(3)..(128)| 112 6298 G.XVI ao .(176)| 14 9017. G. XV - (176)
ıı 6182. 2 6160 12 6255 3 6216 9032. 3 9030.
6190 3 6105. 6286 (*2*) 4 624%: 9066 9048
ı2 6123 (* 2*). 6120 13 6282 6270 15 9033. 5 9009 |
Summa 445 ...5865 Summa 451..5905 Summa 45..7090
-— res ie "nee |
461
U.
66
In aan dB —
| DETERMINANTES NEGATIVI.
aM 92. 9136. |Centas 93. 14 9217. Centas 94. 9316(*2*)
is) 9195. I...(4) .. (340) 9226. G.1....(6)...(478) 17 9303
9199 9196 33 9283 9253 41 9319 ı8 9315(*3*).
pe 9103. ı7 9158 75 9227 15 9212. 5I 9343 9357.
9127 18 9154 93 9203 9250. 55 9391 9362.
63. 9187 19 9146 139 - 9239 9276 87 9323 9376.
67 gıszı 20 9169 G.11..(27).(2092) ı6 9214(*2*).| 97 ” 9385(*3*).
G.1I..(30). (2208) zı 9126. 13 9277 pr 9216. 147 9396,
13.9157 9197 17 9223 9248("2*). EN (1894) 9398
14 9172 22 9138. 18 9241. 9252 15 9307. 21 9334.
19 9133 9189 9298. 17 9254 9388 9368.
20 9124. 24 9113. 21 9235 18 9234 18 0355 9392
9183 9159 25 9293 2I 9201. 2I 9397 22 9305.
21 gIıs 25 gıo1. 27 9211. 9229. 23 9382 9317.
23 gıdı ‚9125 9247 9261 25 9375 23 9365
27 9109. 27 9164. 29 9244 22 9233. 26 9337 24 9308.
9123. 28 gıı6 30 9271 9245 27 9349 9399
9167. 30 9140 31 9263 24 9275. 28 9327 27 9369.
9175 31 ‚9I9L 33 9267 9291 30 9346. 9374.
28 9137 32 go4(2*)| 35 9279 25 9231. 9358. 30 9386
29 9148 . 9149 36 9259 9294 9363. 32 9344(*2)
30 9147 9IIo 37 9274 26 9218. 9364 33 Er
32 gııı GVÄlLG@S). (1752)! 39 9242. 9290 32 9377
34 9122, 4 9108 9286. 27 9260(*3*) 34 9326. G: Hr a a
9166 2 9102. 9287 29 9215 9332 9310.
36 9143 9160 40 9278 30 9284 36 9347. a,
39 9107. 6 gıı2. 45 9251(*3*) z 9224 9379. 9373
9171 9130. 49 Ya2ı 266(*2*) 9395 5 9333
40 9188 9145. 54 9209 vun (20).(1440)| 4ı 9302 6 9352
47 9173 9150 60 9257, 9205. 46 9351 7 9321.
54 9134. 7 9174 63 9206 9213. 49 9335 9361.
: 9155 8 9135. 66 9236 9265. 5I 9383 9381. -
56 9182 9144. 75 9299 9270. 52 9359 8 9312(*2*).
57 9179 9156. | 80 9281 9288. s6 9314 9348.
60 gı31 9168. |G.IV. un. (3216) 9300 57 9372.
62 9119 gıt4. | 7 9262 7 9256 69 9541 9393.
a 9194 ° 9192. 8 9202. 8 9222. G. iv. 9) . (2848) 9394.
gı61 9198 9208. 9225. 9340. 9400
ev. 69) (2652) 99x05. 9232 9273. 9367 9 9390
7 917 9114. 10 9238. 9280(*2*).| 9 9342(*3 EN; Io 9330.
8 sl 2*). 9180. 9289 9285 9370 9338.
9193 9185. II 0237. 9 9272 II 9304. 9366
"9708. 9200 9258 Io 9210 9322 II 9306.
229889. ı0 9128. 12 09207. II 9230 12 9378. 9309.
9162. 9152 9219. 12 9204 9387 9336
9163(*3*) II 9129. 9220(*2*). ‚9264 13 9313. 12 9324
Io 9190 9170 9228. 14 9269. 9318 14 9350.
12 9121. 12 m: 9243(*2*).. 9296 14 9353. 9380
9142. 19 9176 9268. 15 9246 9394 13 9320
9153. G. XVI(3)..(176) 9292. G.XVI.(r)..(48)| 15 9325. G.XVI.(3)..(176)
9186 3 -9177 , 9259. 9297_ 39282 9331. 3 9334
13 9117 4 9120. 13 9249. G.XXXU(r).(64) 9339 4 9345-
15 9106. gı65 9255 2 9240 16 9301. 9360 |
Summa 405...7083 Summa 454...7200 Summa 464...7148 |
Irreg. 3 Impr. ız207.lrreg. 9 Imgr. ı145'Irreg. 6 Impr. 1210 |
ad
NACHLASS.
Centas 9. 14 9436 Centas 96. 9529. Centas 97 15 9639
.1....(8)..(708) 15 9443. G.1....(5)... (471) 9542 l....(5)..(333)" 16 9610
33 9403 9452 39 9547 15 9582 33 9643 17 . 9606
45 9463 17 9410 69 9511. 16 9544 57 9619 18 9603.
75 9439 18 9444. 9587 17 9564 71.9679 9675(*3*).
gı 9431 9477. 129 9551 18 9558 77 9631 9693("3*).
101 9479 9482 165 9539 19 9565 95 9623 19 9638.
105 9419 9495 G.1I.. (28). (1964) 20 9503(*2*). Ten: (2108). 9694
123 9467 20 9500 16 9508 9589. ı2 9667 20 9608.
135 9491 21 9414 17 9535 9591. 19 9g66ı 9616.
G.11..(24) .(1706) 9481 18 9523, 9593 20 9697 9650.
16 9433 9489 9583 21. 9515. 21 9607. 9653
18 9475 9499 20 9598 9561 9613 21 9699
19 9466. 22 9441 24 9502. 24 9519. 24 9601 22.9654.
9487 24 9422(*2*) 9507 9579 26 9655 9684
20 9442 9426. 25 9559 25 9530. 27 9627(*3*) 23. 9695
21 9427 9474 26 9543 9584 9663. 24 9641.
24 9406. 9488 27 9531(*3*). 27 9509 9683(*3*) 9666
9499. 28 9494 9563. 28 9536 28 9604. 25 9609
9423 29 9449 9574(*3*) 30 9506 9634. 29 9617.
30 9459 30 9455 29 9532 nn ag 9649 9674.
33 9421 35 9470 30 9571 30 9687. 9698
34 9458 36 9476 33 9527 G. vie) (1960) 9691 30 g6a1
36 9451. 42 9434 34 9556 9568 32 9662 32 9665
9497(*3*) G. VIII25). (1744) 9586 5 9592 33 9692 3 9635
39 9484 4 9430 38 9524: 6 9552. 36 9668 9686
40 ' 9473 5 9417 9567 9585. 42 9651 G. vn). (1600)
42 9428 6 9408. 42 9518 9597 43 9647 9640
45 9411. 9432. 43 9578 7 9528 44 9602 5 9618,
9437 9438. 48 9566 8. 95ıo(*2*).| 45 9626 9625.
46 9407 9465. 49 9599 9513(*2*).) 49 9677 9685.
SI 9413 (9492 51 9575 9537. 52 9689 9688
57 9461 7 9453. 59 9596 9540(*2*).| 55 9629 6 9648.
63 9404 9462 60 9572 9588. 57 9659 9696
71 9446 8 9424. 61 9533 g6oo(*2*).| 63 9671 7 9633.
G.1V.(41). (2988) 9460. 64 9521 9541. e 9646
8 9g412(*2*). 9485. G.1V (38) .(2700) 9548. 9644 8 9645.
9457(*2*). 9486. 8 9538. 9555(*3*) |G. h2 Mar): (3108) 9669
9472 9490 9562. Io 9525. 9612(*3*), 9 9630.
9 9493 9 940. 9577 9534. 9615. 9657
IT 9402. 9450(*3*).| ıo 9517. 9594 9622 ı0 9620.
9447: 9471 9553. 12 9504. 9678 9636
9496 .IO 9440 9573 9516(*2*)., 10 9628 ıı 9681
12 9445. II 09429. 12 9505. 9560 II 9670 12 9605.
9469. 9456 9522. 13 9545. 12 9652. 9632.
9483. 12 9425. 9526. 9594 9673(*2*) - 9680(*2*)
9498 . 9435- 9550. 14 9581 9676. 15 9624
13 9415. 9464 9580. 15 9512 9682. 16 9614
9418. 14 9416 9595(*2*) 9590 9700 18 0656
9448. 16 9401 13 9514. G.XVI.(3).(176) 13 9637 G.XVI.(3)..(192)
94554. G.XVI.(2)..(122) 9549. 3 9520. 14 9642 3 9672
9468. 3 9480 9557 9570 9658 4 9690
9478 4 9405 14 9501. 5__9576 9664 59660
Summa 452..7258 Summa 469..7271
Irreg. 5 Irreg. ıo
Summa 451..7341
Irreg. 7 |
463
DETERMINANTES NEGATIVI,
Centas 98. 17 9711 Centas 99% r 9814. Centas 100, 9921.
G.1...(6)..(524) 18 9715. G.1...(8).. (638) 9848 G.1...(4).. (228) 9969.
39 9739. 9723. 49 9871 17 9852. 39 9967 9978
9787 9782 5ı 9883 9893. 45 9907(*3*) 16 9961.
89 9767 19 9773 63 9g811(*3*). 9897 69 9931 9985
105 9743 20 9714. 9859 18 9g8o1(*3*).| 75 9923 17 9919.
119 9791 9796 75 9887 9844. |G.1I.(28).(2302) 9965
133 9719 21 9708. gı 9839 9873- 16 9991 18 9910. |
G. 11 ..(24) . (1646) 9710. ııı 9803 9891 18 9934(*3*) 9915.
17 9703 9779: 135 985 19 9815. 23 9927. 9964
ı8 9748("3"). 9774 G.1I.. (22) .(1700) 9879 9973 19 9951.
- 9783 22 9725 20 9892 21 09855 25 9949 9957.
19 9727 9756 21 9829. 22 9841 27 9963(*3*) 9977
2I 9733 24 9728 9862. 25 9830 28 9903, 20 9992
22 9742 26 9794 - 9868 26 9812. 9943 21 9909
24 9763 27 9794. 22 9847 9876 30 9938. 22 9953.
25 9781 9726 24 9817. 27 9831 9979 9956.
26 9769. 28 9716. 9874 28 988ı(*2*)| 312 ggor 9962.
9778 9734 26 9838 31 9884 32 9986 9999
27 9747(*3*)., 29 9761 28 9886. 32 980g(*2*) | 34 9998 23 9917. |
9751 30 9746 9895 34 9824 38 9908 9994 |
30 9755 33 9749 30 9857 37 9854 39 9914. 25 9981 |
33 9799 36 9779 34 9826 39 9896 9987 26 9924 |
35 9754 38 9701 42 9827 41 9869 42 9939. 27 9989 |
37 9788 G.VIII(24).(1752)) 45 9899(*3*) G.VIIL24). (1712) 9947 28 9926. |
39 9707. 5 9717. 48 9863 5 9877 46 9983 9980
9771 9730 49 9818 6 9804. 47 9935. 30 9932. |
43 9722 6 9760. 51 9819 9810. 9946 9950
46 9721. 9790 52 9833 9828. 50 9902 34 9YLI |
9759 7 9724. 57 9836 9867. 60 9995 G.VIII(18).(1328) |
48 9731 9752 60 9875 9838. 63 9971 4 9982 |
76 9764 8 9702(*2*).| 70 9806 9900 65 9959 5 9976
81 9749 9729. 77. 9866 7 9805. 67 9941 6 9928.
G. IV .(43). (3292) 97355. |G.IV.(43).(3164) 9858. 76 9929 9949.
7 9718 9758. 6 9823 9885 85 9974 9990 |
9 9772 9780. 7 9802 8 9816. G.IV .(46) .(3248) 7 9906 |
10 9732. 9792(*2*)| 8 9865 9856. 7 9937 8 9930.
9793 9 9735. 9 9832. 9860 9 9925. r 9975.
| 11 9738. 9709. 9843. 9 9g825(*3*). 9958. 9984
9753 9720(*3*) 9853. 9849(*3*). 9997 10 9918 |
12 9706. 10 9741. 9898 9889 Io 9913. II 9968 |
9745. 9750. 10 9808. ı0o 9821. 9942. 12 9905.
9762 9798 9837. 9334 9948. 9920. |
13 9712. 11 9737. 9350 12 9894 10000 9936. - |
9713 9786 ıı 9813 ı2 9864. II 9970 9954.
14 9757. 12 9800 12 9872. 9864 12 9916. 9996 |
9775. 14 9739 9835 13 9842 9922. 13. 9966 |
9784 15 9776. 13 9846 16 9845 9952. 14 9944 |
15 9766. 9785 14 9820. 17 9890 9955(*2*). G.XVI(4)..(240) |
9777- G.XV1(3). .(192) 9878 G.XVI3).. (192) 9972(*2*) 3 9933
9795 4 9744. 15 g822. 3 9870 13 9993 4 9912.
16 9736. 9765. 9887 4 9880 14 9983 9945. |
9797 9768 16 9807. 5 __9840 15 9904. 9960 |
Summa 466..7406 Summa 464..7406 Summa 452..7346 |
. Irreg. 5 Irreg. 7 Irreg. 5
464
2
—
NACHLASS.
Centas 117. 11694 Centas 118. 11776. ns 119. 11874
G.I...(1)..(147) 16 11629. @.1. 4:6) .. (319) 11796 m. .(505) 19 11841
147 11699 11665 39 11743 17 11761 11863 20 11822(*2*).
G.II..(35).(2896) ı7 11672 4ı 11719 18 11754. . 11827 11836.
ı6 11617 ı8 116or. 63 11731 11772 47 11887 11847.
ı8 11698 - 11627. 8ı 11779(*3*) *ı9 11706 61 11859 11858,
19 11677 11637. 95 . 11783 20 11716. 75 11867 ‚11866
20 11614 11664 G.11.. (28) .(2560) 11768 ı13 11807‘ 21 11859.
22 11668 ı9 11687 ı8 11707 „21 11924. 139 11831 11888
26 116497 , 21 11644 21 11767. 11799 G.11...(23) .(1990) 11898
27 11643. 23 11618 22 11727. iu: 11908, 21 11878 23 1ıd2g
11683 (*3 z 24 11615 11758 11732. 24 11806, 24 11826.
29 11663 25 11693 25 11734 .. 11749 11812. 11889.
30 11602. 26 11604. 29 11722 25 11709. 11354 113896
.11623. 11669. 30 11755 11769. 27 ı18sıl*3*). 26 11834.
11659 11679 zı 11701. 11780 11881 11894
35 11686 28 11646 11708 27 117795(*3 "y 30 11875 27 11804.
36 12603. 29 11630 332211702. 11798. 33 11884 11810.
11631. 32 11666. 11763 28 11786 39 11852 11861
11633. 11684 36 11762 -29 I172I. 40 11833. 29 11882
11667. + 11624 39 11747. 11741. 11897 35 11870
11671; 11606 11787 30 11774 43 11d2ı 36 11849
11689. G. Yin (27).(2248) 40 11791 34 11729 45 11871. 37 11885
11691. 11610, 49 11789 40 11744 ı1899(*3*) 2 ı18gı
11695 11620. so 11794 G.VIII(23).(1744)| 49 zx1813. 11864
37 11642 11628. 53 11751 4 11713(*3*) 11846 G. Yn (22).(1688) -
42 11657 11656. 54 11723 6 11915. 52 11876 11872 j
43 11626 11680. 60 117II. 11718, 54 11828. 6 11817.
45 ıı6ı1 11697 11771. 11743. 11843(*3*) 11845.
5ı 11621 8 11605. 11777 11752 58 11855 11869.
54 11619 11622. 61 11735. 7 11720. 70 1ı18oı 11895
56 11678 11658. 11738 11742. 72 ııdıg 7 11830,
59 11612 11670. 65 11759 11778 75 11879 11890
63 11675 11682 73 7342917 8 11712. G.IV.(44).(36068) 8 11805.
67 : 11639 9 11613. 87 11756 ı1725(*2*).| 8 11848 ı1808(*z >
70 11636 11655 98 11714 11753. 9 11803. 11877 j
73 11654 . ı0o 11616. G.IV.(40). (3100) 11770, u, 9 118o2;
8ı 11651(*3*) 11625. 8 11797 11734. 11893 11820. |
9o 11681 11676 9 „11782 11790 ıo 11860, 11825 u
G.IV..(35). (2672) ıı 11688 10 11785 9 11800 11862 ı0o 1ıdso,
8 11650 ı2 11648. II 11740. Io 11792 ıı . 11815 11900 F
9 11608, 11661. 11757 II 11736 12 .27823 ıı 11837.
11692 ı1r700(*2*) | ı2 11733. 12 11739. ı3 11838 11868
ıı 11638. 13 11634. 11737. 11745 14 11842. I2 11844.
11653 11645. 11788 ı5 11766 11892 11886
ı2 -11635, ö 11649 14 11728. ı6 11780 I5 11824. 16 11814.
11641.’ ı4 11690 11746. 18 21726. 11853. 11840
11673 .ı8 ıı66o. 11764 ° 11765 11883 11816
13 11632. 11696 15 11710. G.XVI. AR .(320)) 16 11857 G. x. (4) ..(304)
11674 11609 11773. 4 11760 ı8 118og. 11880
14 11652. G. x. @). (128) 11793 5 11704. 11811. i 11832
11662 3 11685 16 11705. - 11730 ı1835(*3*). 6 11856.
15 _11607. 5 11640 11775. 6.121781. - 11873. . 11865
Summa 459... 8091 Summa 469... 8043 Summa 469...8095
Irreg. 3 Impr. prim. ı1339.Irreg. 4 Impr. prim. 1369 Irreg. 6 Impr. 1337
7
465
DETERMINANTES NEGATIVI.
Centas 120. 11956. Millias I | 4.15; . (402) . . (6068)
I...(7). (547) 11991 G.I. +09). ae | I e: Be; 8. Re 10.
39 11923 19 119% I 12. 17, 28. 16. 18
45 11971(*3*) 11993. Rn | 22. 25. 28. 37. 58..15
81 11903. 11994 3 Br N | 2 Id. 27906 20 Aa Eng
11939(*3*) 20 11978 | 23. 27. | 36. 39. 46. 49. 52
83 11927 21 1IOYor. 3I. 43 | 55. 63. 64. 73. 82.
95 11959 11957 67. 163..8 97. IOO. 142. 148. 193... 20
123 11987 23, 11989 5 47: 79 | 3 26. 20. 365. 78:, 44
G.II..(22).(1912) 24 11926. 103. 127..4 BOs0 58. 84, Kar,
40°: 21953 11964. I 7 EEE Ks 75. 76. 81. 87. 91.
21 11962 11972(*2*) || 223. 343. 92. 99. 106. 108. 109.
24 11995 26 11936. 463.487. -.2.6 115. 118. 121. 123..124.
27 11907(*9*). 11945 9. 59. 83. 135. 147. 157. 162. 169.
ı1gı1. 27 11919. 107. 139. 172. 175. 187. 202. 207.
11967 11930. 199. 2II. 214. 235. 247. 262. 267.
30 11943. 11942. 243(°3>), 268. 277. 298. 358. 397.
11947 11961(*3*) 283. 403. 427. 541. 652 .....49
31 11983 29 11951 307 (*3*). 4 41. 62. 68. 94. 95.
33 11974. 30 11912. 331. 367. 98. III. 113. 128. 137.
11979 11948 379. 499. 158. 178. 133. 196. 226. |
4I 11941 32 11966(*2*) 547. 643. 256. 289. 292. 295. 313.
48 11963 33. 11931 823. 883. 337. 382. 388. 415. 457.
49 11933. 5 a | 9007 0.0.18 466. 478. 562. 577. 583.
11999 || ıI 16732778 URL or BORN De,
so 11975 G. Vin a). 1832) | RE 3 74. 86. 119. 122. 125.
57 11915 II9I4. 13 ıg9I. 263. 143. 159. 166. ı81. 188.
66 11906 11937. 607. 631. 197. 218. 229. 242. 250.
69 11909 11968. NZ reale 5 303-316. 317. 310..346.
7ı 11981 11977 15 131.1179: 361. 373. 375. 394. 412.
id 11996 7 11973 227. 239. 421. 422. 423. 508. 538.
11969 8 11920(*2*). 347. 439. 613. 625. 694. 709. 757.
G. W. 4): (564) 11940. 443- 523. 847. 853. 877. 982 ..... 39
11992 11946 571. 619. 6 89. 116. 155. 171. 202.
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466
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8 943. 958. 1153. 1348. 7573. 7933. 8983. 9133. 3073. 3208. 3268. 3478.
69
474
NACHLASS,
DETERMINANTES NEGATIVI.
Io
II
12
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4168.
4453.
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3568. 3838.
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5488. 5608.
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3598. 3658.
4033. 4108.
4283. 4393.
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5083. 5128.
5338. 5518.
5728. 6028.
6913. 7018.
7813. 8248.
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4213. 4333.
4573. 5038.
5833. 5863.
6253. 6538. 6568. 6973.
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8908. 8998. 9073. 9163(*3*).
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10213. 10283. 10393. 10693.
11158. 11188. 11608. 11803.
11818.11893 ....
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Io
Io
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R7...342..8969...685...17946
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N7...343 .11987...685 .. 23946
Omnes .800..24391..1600.. 48738
Quot. min. 0,2349782 ex 163,2608
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Det. formae
— (15n + 13)..68 305 271 128 27
— (15% +7)...69 316 264 130 21
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17 29 52 19
18 25...:57 13
19 22 64 14
20 21 61 18
21 18 62 20
22 18 63 19
23 19 61 20
24 27 55 18
25 31 5ıI 18
26 26 54 20
27 30 51 19
28 27 53 20
29 23 57 20
30 24 58 18
117 24 56 20
118 20 61 19
119 24 61 15
120 29 52 19
u nennen he nenn mern nennen nennen
DETERMINANTES NEGATIVI, POSITIVI,
Determinantes
negativi.
in Cent. Quotiens
ı max. 1,271998 ex det. 89
min. 0,2626128 53
2% 1,435917 194
0,2349782 163
22 1,685723 2141
0,2808228 2143
23 1,645848 2246
0,2923654 2293
24 1,479278 2369
0,2897240 2335
27 1,6445315 2609
0,2895883 2683
23 1,5527075 2789
0,3030216 2783
29 1,5778996 2834
0,2974718 2893
30 1,604748 2939
0,2936893 2968
gI 1,684117 9026
0,2835515 9067
92 1,586777 9176
0,2717044 9157
93 1,660820 9281
0,2699414 9277
94 1,518533 9371
0,2893063 9367
95 1,729662 9434
0,3287980 9472
96 1,689400 9539
0,3269906 9577
97 1,707014 9686
0,2440986 9667
99 1,650848 9869
0,2420048 9823
100 1,702214 9974
0,2808862 9937
117 1,6654535 11681
0,2964744 11650
118 1,810938 11714
0,294621 11797
119 1,579112 11864
0,2846194 11863
120 1,5326965 11921
0,3287433 11992
Determinantes
positivi.
Centas ı.
Excidunt determinan-
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17. 29. 4I.
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3 37
G.H....63)
6.7
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G.IV..
Centas 2.
Excidunt 4.
5 3
I 109. II,
137. 149.
173. 181.
3 ıoI. 197
G.4%.2.n
I 103. 106.
108. 116.
118. 122.
127. 128.
131. 133-
139. 142.
153. 158.
162. 163.
ı66. 167.
174. 177.
185. 188.
199
2 145.
194
3 14I.
... (40)
I 102. IO4.
110. III.
1143 TI5,
723.120.
132. 135:
138. 140.
147. 152.
155. 156.
160. 165.
171. 175.
180. 182.
184. 186.
190. 192.
200
146.
148.
G.VIL...(4
1 120. 150,
195
125.
157.
293
107.
134.
161.
119.
130.
136.
TA3:
154.
159.
170.
176.
183.
187.*
198.
163,
Centas 3.
G.I
I 233.
281.
3 229.
G.U
241.
293
257.
. 202.
. 318
307
242.
337:
. 264.
277.
240.
280
476
| NACHLASS.
DETERMINANTES POSITIVI,
Centas 9.
G.L.,.2 as
I 809. 821. 853
| 857. 881
3 829. 877
865. 869. 873.
m
2
<
en
Ss
858. 888
2 870. 880. (900)
DAN.
I 840
Centas ıo.
I...
. (6) Lu ı
929. 937.
953. 977
997
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941.
G.DU:.2.643).+. . (290)
2
3
4
G.VII.
z
907. 908
913. 917.
921. 922.
932. 947.
956. 958.
965. 967.
972. 974-
983. 989.
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914
905. 909.
925. 933.
973. 985.
982
901
961]
se stph.
902. 918.
927. 928.
938. 942.
945. 946.
950. 951.
955. 957.
968. 969,
976. 978.
986. 988.
996. 999.
939. 943.
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930.
952.
984.
Summa 370
G. 7
i I 313.
3 349.
397.
701.
757.
5 q0I
7 577
G.O
1.6 301.
309.
4 305
3 316,
326
> 727
G. IV
x 303.
310.
320.
2 306.
G. VIE
I 318:
317
373.
557.
709.
761
302.
JıL
321.
304.
318.
327
322.
315
389.
677.
733-
397-
314.
325.
308.
319.
323
II.
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ZUR
CYKLOTECHNIE
70
478
[ NACHLASS. ZERLEGBARE ga—1. |
2 5 || 219 | 73.97 500 | 53.53.89 | 1342] 73.109.113 | 3405 | 29.29.61.113
315 ı 123 | 5.17.89 507 15.5.53-97 1385 | 41.149.157 \3458 | 5.73.181.181
417 | 128 | 5.29.113 512 |5.13.37.109 | 1393 | 5.5.197.197 ‚3521 | 29.37.53-109
5 ı 13 \, 129 | 53.157 515 13.101.101 |) 1407 | 5.5.17.17-.137 | 3532 | 5.5.17.149.197
6 137 132 | 5.5.17.41 524 | 37.41.1891 || 1432 | 5.5.5.5.17.193 || 3583 | 5.13.17.37.157
7155 133 | 5.29.61 538 5.13.61.73 || 1433 | 5.29.73.97 3740 | 41.41.53.157
8 | 5.13 ‚ 142 | 5.37.109 557 |5.5.5.17.73 || 1467 | 5.29.41.181 3782 | 5.5.29.109.181
9 | 41 | 157 | 5.5.17.29 560 | 53.61.97 1477 | 5.13.97.173 3793 | 5.5.53.61.89
10 | 101 | 162 | 5.29.181 568 | 5.5.5.29.89 || 1560| 17.37.53.73 3957 | 5.5.13.13.17.109
Ir | 61 I! 172 | 5.61.97 577 |5.13.13.197 | 1567 | 5.41.53.113 4193 | 5.5.5.5.5.29.97
12 | 5.29 || 173 | 5.41.73 599 |17.61.173 11568 | 5.5.5.13.17.89 || 4217 | 5.13.29.53.89
33.18.17 || 174 | 13.17.137 606 | 13.13.41.53 | 1597 | 5.37.61.113 4232 | 5.5.41.101.173
14 | 197 11 182 | 5.5.5.5.53 616 | 13.17.17. ‚Ior 1607 | 5.5.13.29.137 4246 | 13.17.29.29.97 |
15 !113 | 183 | 5.17.197 621 | ı29. 61.109 11636 ! 17.29.61.89 4327 | 5.89.109.193 |
17 5.29 | 185 | 109.157 657 |5.5.89.97 || 17744 | 137.149.149 4484 | 17.89.97.137
| 18 |5.5.13 | 191 | 17.29.37 660, | 37.61.193 1772 15.27.17:.41.53 4535 | 17.53.201.113 |
| 19, 131 || 192 | 5.73.101 682 | 5.5.5.61.61 || 1818 | 5.5.5.137.193 4545 | 13.37.109.197 4
| 21 13.17 | 193 | 5.5.5.149 684 | 13.17.29.73 | 1823 |5.17.113.173 4581 | 13.53.97.157 |
| 22 | 5.97 | 200 | 13.17.181 693 | 5.5.5.17.113 || 1832 | 5.5.17.53.149 4594 | 13.17.29.37.89 |
| 23 5.53 || 211 | 113.197 697 5.13.37.107 | 1893 | 5.5.13.37.149 4662 | 5.13.13.17.17.89 |
27 | 5.73 || 212 | 5.89.101 701 17.97.1499 1918 5.5.37.41.97 | 4747 5.17.41.53.61 |
285.157 |\216| 13.37.97 743 | | 5.5.61.182 || 1929 13.13.101.109 | 4906 | 13.53.181.193 |
30 117.53 ı 233 | 5.61.89 746 | 13.13.37.89 || 1955 | 13.29.37.137 114937 | 5-73.173.193
| 31 | 13.37 | 237 | 5.41.137 757 | 5.5.73-157 1984 | 13.29.53.197 || 4952 | 5.37-41.53.61 |
| 132 | 5.5.4I |, 239 | 13.13.13.13 } 772 | | 5.13.53.173 || 2010 | 13.17.101.181 5052| | 5.13.41.61.157 |
335.109 |242 |5.13.17.53 || 776 \ 73.73-113 | 2013 | 5.29.89.157 115087 | 5.17.29.29. 181 l
| 34: 13.89 a5ı 17.17.1090 || 785 | | 13.137.173 | 2018 5.5.29.41.137 115257 | | 5.5.13.17-41. 61
| 37 5.137 253 15.37.1733 || 798 | 5.13.97.101 | 2042 |5.29.149.1938 5283 | 5.13.17.73-173
38 5.17.17 255 15.41.67 || 818 |5.5.5.53.107 1,2059 | 13.41.41.97 15357 | 5.5.61.97.97
41,29.29 | 265 113.37.73 || 829 17.17.29.41 12153 |5.13.181 197 _ || 5443 | 5-5.5.5.137.273
| 43 ]5.5.37 | 268 5.5.13.13.17 || 853 |5.13.29.193 12163 5.13.17.29.73 | 5507 | 5.5.13.13.37.97
| 44 | 13.149 278 5.13.29.412 || 882. 5.5.29.29.37 !|2191 | 89.149.181 5648 | 5.17.53.73-.97
| 46:1:20.73 |:203'75.5-17.108 | 905 13.17.17.109 2309 | 13.53.53.73 1 5667 | 5.29.37.41.73
47 5.13.17 | 294 |13.61.109 | 919 | 37.101.113 2350 | 17.17.97.197 || 5701 | 29.53.97.109
50 41.61 | 302 |5.17.29.37 922 | 5.17.73-137 2428 |5.41.149.193 || 5767 | 5.13.17.101.149
55 | 17.89 3074 5.5.5-13:29 || 924 53.89.181 2436 | 13.13.13.37.73 | 5928 | 5.29.29.61.137
57|5.5.5.13 || 313 | 5.97.101 931 | 13.17.37.53 ||2515 | 101.173.181 |,5962 | 5.13.29.109.173
68 | 5.5.5.37 | 319 | 17.41.73 945 | 29.89.173 2540 | 13.29.109.157 6065 | 17.53.137.149
70| 13.13.29 | 327 | 5.17.17.37 948 | 5.17.97.109 || 2547 | 5.37.89.197 |, 6107 | 5.5.17.17.29. 89 |
72|5.17.61 || 342 | 5.149.157 \ 993 | 5.5.13.37-41 2621 | 13.37.37.193 |, 6118| 5.5.13.41.53.53 |
73 \5.13.41 || 343 |5.5.13.1812 || 999 | 17.149.197 2673 | 5.13.17.53.61 | 6252 5.17.29.101.157
75 129.97 | 360 |29.41.109 | 1032 |5.5.13.29.113 || 2697 | 5-41.113.157 |) 6481| 17.37.173.193
76| 53.109 | 378 |5.17.41.41 || 1057 | 5.5.5.41.109 || 2738 | 5.13.29.41.97 | 6682 5.5.5.29.109.113
80 | 37.173 | 394 | 29.53.101 1067 | 5.17.37.181 _|| 2801 | 17.29.73.109 6898 5.13.17-17.17.149 |
92 117.193 401 | 37.41.53 ı 1068 | 5.5.5.5.5-5.73 || 2818 | 5.5.5.17.37.107 | 6908 | 5.13.73.89 113 |
| 5.13.53 | 403 | 5.109.149 || 1087 | 5.13.61.149 | 2917 | 5.13.29.37.61 | 6943 | 5.5.5.29.61.109
91 41.101 408 | 5.13.13.197 ‚; 1118 | 5.5.17.17.173 || 2943 | 5.5.5.5.13.13.41 || 6962 | 5.37.37.73-97
93 |5.5.173 | 411 13.73.89 ‚1123 5.13.89.109 || 3039 | 17.61.61.73 11 7093 | 5.5.13.17.29.157
98 5.17.1213 | 437 |5.13.13.113 | 1143 | 5.5.17.29.53 || 3112 5.13.13.73.157 | 7161 17.101.109.137
99 | 13.13.29 438 |5.17.37.617 | 1148 | 5.29.61.149 | 3141 | 13.13.17.17. son 7443 | 5-5.5.37.53.113
| 443 |5-.5.5.5.157 | 1196 | 53.137.197 ||3149 | 17.29.89.113 | ‚7697 | 5.17.29.61.197
105 137.149 | 447 | 5.13.2953 1228 | 5.17.113.157 3166 | 17.41.73.197 3 7782 | 5.5.13.17.97.113
\ 463 | 5.13.17.97 | 1239 | 41.97.193 3207 | 5.5.29.41.173 8224 | 13.17.29.61.173
7726.16. 193, 467 |5.113.193 | 1270 | 61.137.193 3323 | 5.13.29.29.101 | 8307 5.5.5.5.5.61.181
117 15.37.37 ''499 13.61.157 1.1303 | 5.41.41.101 |! 3362 | 5.13.17.53.193 118368 | 5.5.17.37.61.73
u eos,
ZUR CYKLOTECHNIE. ZERLEGBARE aa—1.
|
8393 | 5.5.13.29.37.107 |] 20080 | 13.29.61.89.197 44179 | 13.13.13.17.17.29.53 || 104818 | 5.5.5.5.17.29 181.
8457 | 5.5.53-137.197 20457 | 5-.5.13.29.149.149 44507 | 5-5.13.113.149.181 |) 197
8578 | 5.37.41.89.109 | 21124 | 29.41.53.73.97 44733 | 5.89.101.113.197 ‚106242 | 5.53-53.73.101.109
9133 | 5.17.37.89.149 21705 13.17.61.101.173 45050 | 13.41.1C9.181.193 | 109637 | 5.13.17.29.37.37.
9152 | 5.29.41.73.193 ‚21907 | 5.5.29.29.101.113 45068 | 5.5.5.41.61.73.89 | 137
9193 | 5-5.5-5.17.41:97 || 22008 | 5.41.109.149.157 46444 | 13.41.149.157.173 , 112595 | 17.29.41.53.61.97
9298 | 5.41.53.73.109 ‚22157 | 5.5.13.37.137.149 46617 | 5.53.137.173.173 | 112782 | 5.5.17.37.41.109.
9431 | 17.97.149.181 22231 | 29.37.41.41.137 47403 | 5.13.29.37.89.181 | 181
9466 | 29.37-37.37. 61 ı 24263 | 5.13.17.41.73.89 47783 | 5.13.17.53.101.193 || 114669 | 17.37.53.53.61.61
9667 | 5.13.41.89.197 24331 | 13.17.89.101.149 48187 | 5.97.101.137.173 | 117251 | 41.97.101.109.157
9703 | 5.13.13.17.29.113 | 24778 | 5.29.149.157.181 48737 | 5.29.29.53.73.73 | 117307 | 5-5.5.13.149.157«
9762 | 5.17.37.157.193 | 24816 | 17.17.61.181.193 49083 | 5.13.17.73.109.137 || 181
9872 | 5.13.13.29.41.97 || 25462 | 5.13.17.37.101.157 || 50052 | 5.17.41.41.89.197 | 117372 | 5.13.17.17.53.101.
9901 | 13.13.29.73.137 | 25523 5.53.73. 113.149 51115 | 17.17.17.29653.173 137
10298 | 5.17.61.113.181 | 25683 5.13.17.17.97.181 51387 | 5.17.37.53.39.89 | 128482 | 5.5.17.29.89.10I.
10312 | 5.29.53.101.137 25793 | 5.5.17.29.137.197 51412 | 5.17.61.61.61.137 | 149
10833 | 5.17.41.113.149 | 25943 | 5.5.5.13.29.37.193 || 51917 | 5.13.37.53.97.109 | 120553 | 5.13.13.17.61.61.
11018 | 5.5.157.157.197 || 26018 | 5.5.13.97.109.197 |} 52571 | 37.41.61.109.137 | 157
11471 | 13.17.41.53.137 || 27493 | 5.5.17.17.17.17.181 | 54193 | 5.5.5.5.5-41.73.157 | 133749 | 13.13.37.53.137-197
11981 | 13.17.41.89.89 | 28205 | 13,29.73.97.149 54358 | 5.13.29.73.109.197 | 136293 | 5.5.17.41.53.89.113
12332 | 5.5.13.41.101.I13 | 283221 5.13.13.13,13.41.:237411.° 54607.| 5.5.27,53,167.103 | 136404 | 13.17.29.97.173.173
12433 | 5.13.61.101.193 ı 28862 | 5.17.17.53.73.149 57532 | 5.5.17.41.41.41.113 | 137717 |5.13.53.89.157.197
12882 | 5.5.17.37.61.173 || 29757 | 5.5.41.61.73.97 66347 | 5.13.13.17.37.41.101 | 137883 | 5.13.17.29.29.53.
12943 | 5.5.5.5.13.13.13.61 || 30027 | 5.29.89.181.193 6743321.5.27:83.61°73.173 | 193
13043 | 5.5.17.17.61.193 |) 30103 | 5.13.17.41.73.137 67852 | 5.13.37.89.137.157 || 141743 | 5.5.89.149.157.193
13068 | 5.5-.5.53.149.173 || 30383 | 5.17.17.37.89.97 68463 | 5.13.17.113.137.137 | 143382 |5.5-13.13.17.17- 173.
13241 | 29.101.173.173 131752 | 5.27.17.37.109.173 71564 | 37.61.97.149.157 | 149
13252 | 5.13.13.37.41.137 | 32258 | 5.13.37.41.61.173 71700 | 13.29.37.41.89.100 | 145046 | 13.29.37.101.1C9.
IZ3S45 FITIERSESZITZ | 32406 | 17.17.17.37.53.109 || 72662 | 5.13.17.29.37.61.73 | 137
13918 | 5.5.13.37.89.181 |, 32807 | 5.5.5.13.61.61.89 74043 | 5.5.13.37.37.61.101 || 145231 | 13.37.37-.41.97.149
14140 | 17.29.37.97.113 32885 | 13.13.109.149.197 75382 | 5.5.13.17.73.73.193 | 148158 | 5.53.61.61.113.197
14318 | 5.5.5.13.17:41.181 || 32973 | 5.13.37.37-.41.149 78629 | 13.17.41.41.53.157_ | 148582 | 5.5.13.53.73.97.181
14573 | 5:17.73:109.157 33307 | 5-.5-.5.5.17.53.197 80593 | 5.5.17.17.17.137.193 | 150522 5.13.17.29.37.97.
14646 | 13.37.41.73.149 34208 | 5.13.13.17.29.53.53 80802 | 5.37.41.53.109.149 197
14773 | 5.13.13.29.61.73 34367 | 5.13.37.41.53.113 81141 | 13.61.137.157.193 155317 | 5.41.61.73.73.181
14942 | 5.13.13.37.37.193 || 35857 | 5.5.17.61.137.181 ı 81749 | 13.17.17.53.97-173 157308 | 5.13.29.29.41.61.
14958 | 5.13.101.173.197 : || 36673 | 5.17.29.37.73.101 | 83071 | 37.61.89.89.193 | 181
15075 | 13.17.53.89.109 37057 | 5.5.5.5.73.101.149 | 83247 | 5.13.13.13.29.73.149 | 157318 | 5.5.5.5-5.5-13-37
16513 | 5.29,53.113.157 37448 | 5.13.13.53.173.181 | 84141 | 13.29.29.41.53.149 |) 37-89
16928 | 5.17.109.157.197 || 37770 | 13.17.29.41.61.89 85353 | 5.13.17.37.41.41.53 || 159772 | 5.37.53.101.149.173
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17557 | 5.5.5.17.29.41.612. || 38807 | 5.5.5.17.37.61.157 88668 | 5.5.13.17.73.101.193 N 161832 | 5.5.13:13.29.37.53«
17766 | 13.37.73.89.101 39082 | 5.5.41.73.137.149 88699 | 29.53.89.149.193 | 1c9
17923 | 5.61.61.89.97 39307 | 5.5.5.13.13.13.29 97 || 88733 | 5.13.41.97.97.157 || 162014 | 13.17.73.89.101.181
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18432 | 5.5.5.17.29.37:.149 || 40188 | 5.13.37.61.101.109 89361 | 29.37.137.157.173 || 101
18543 | 5.5.13.17.29.29.37 || 40515 | 17.53.61.109.137 | 89471 | 13.13.41.41.73.193 | 174118 | 5.5.17.41.89.113.
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19326 | 13.29.61.109.149 | 41319 | 13.41.101.101.157 | 93020 | 13.13.17.17.29.41.149 180107 | 5.5.13.29.97. 113.
19534 | 13.13.13.29.53.113 |, 41688 | 5.17.41.53.97.97 || 93197 | 5-37.53.53.61.137 | 157
19653 | 5.37.61.109.157 1142658 | 5.13.13.97.149.149 | 99557 | 5-5.5.5-41.41.53.89 | 181343 | 5.5-17.37.53-109.
19703 | 5.13.13.29.89.89 42932 | 5-.5.5.29.29.89.197 || 99893 5.5.29.181.193.197 | 181
19902 | 5.73.89.89.137 43633 | 5.13.29.41.109.113 | 101343 | 5.5.13.29.41.97.137 | 181743 | 5.5.17.17.73.173: |
19911 ' 13.17.29.157.197 1143932 | 5.5.5.5.13.17.89.157 \| 102163 | 5.37.41.41.97.173 ı 181 |
| |
BEN SUB. Lopl 3 Cie nl Bo an inaener. NE TEERFEN Me Zur Ans on:
| _ NACHLASS. ZERLEGBARE aa—-1.
| 184133 |5.29.73.101.101.157 || 509150 | 41.61.73.73.137.137 1477034 | 37.37-41.53.53.101.137
189782 |5.5.13.61.89.137.149 || 508929 | 13.13.37.53.53.73.101 1518057 | 5.5.5.13.13.41.61.113.193
199393 |5-5.13.13.137.173.181 || 518734 | 13.17.37.37.53.97.173 1528649 | 13.37.53.61.61.109.113
191407 [5:5.13.13.17°37.61.113 | 520463 | 5.13.41.61.73.101.113 1615463 | 5.13.17.37.53.73.73.113
191807 |5.5.5.13.17.41.10).149. || 534568 5.5.5-.13.89.89.149.149 1618855 | 17.29.37.53.89.97.157
194708 | 5.5.29.41.73-.101.173 || 538275 |! 17.61.73.97.109.18r 1635736 | 29.29.41.89.89.97.101
201106 | 17.17.61.89.149.173 548630 | 37.41.89.109.113.181 1664957 | 5.5.13.37.73.89.113.157
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210943 |5.5.5-13.37.37.73.137 || 571459 | 13.13.13.13.17.37.612.149 1824257 | 5.5.17.29.97.109.113.113
211765 | 13.17.53.89.137.157 586455 | 29.41.73.89.113.197 | 1909461 | 13,13.17.17.41.53.89.193
216676 | 13.29.41.97.173.181 606325 | 13.37.97.137.149.193 1954207 | 5.5.13.61.61.89.113.157
219692 | 5.17.17.53.53.109.109 697533 | 5.17.29.73.97.97-109 1984933 | 5.17.37.37.37:53.89.97
221332 | 5.5413.73-101.113.182 617427 | 5.13.13.17.29.53.89.97 2036069 | 17.41.41.61.61.101.193
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263317 | 5.27.17.17.89.101.157 780262 | 5.17.17.29.37.41.61.157 2471717 | 5.37.41.109.137.149.181
263557 |5.5.5.13.37.41.73.193 783568 | 5.5.5.5.17.29.101.109.181 ||2475918 5.5.17.53.61.157.157.181
265842 |5.13.17.17.101.193.193 791532 | 5.5.53.89.149.181.197 2478328 | 5.13.29.37.89.97.101.101
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281897 | 5.13.29.37.37.89.173 812447 | 5.29.29.41.89.137.157 2680168 | 5.5.29.61.73.109.137.149
286018 |5.5.13.13.53.53.01.174 832902 | 5.13.13.13.17.109.173.197 || 2733307 5.5.5.5.5.5.13.13.13.17.37.173
287228 | 5.17.17.29.73.149.181 | 848871 | 29.53.73.113.157.181 2809305 | 13.17.29.37.37.61.73.101
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292362 | 5.13.17.41.61.157.197 || 907567 | 5.29.37.41.89.109.193 2959097 | 5.5.17.37.97.I01.157.181
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307939 | 13.29.61.101.137.149 936513 | 5.37.37.41 89.97.18 3025001 | 13.13.17.17.61.73.109.193
309070 | 13.29.I01.113.149.149 1009193 | 5.5.5.29.53.I01.149.173 3136570 | 13.13.29.37.53.61.97.173
320978 | 5.13.41.61.73.89.97 1010027 | 5.13.61.89.89.109.149 3139557 | 5-.5.5.5-5.5.13.29.73.73.157
322392 | 5.13.17.41.89.149.173 1024240 | 37.61.109.157.157.173 3272693 | 5.5.5.13.37.41.101.137.157
330182 | 5.5.5.5.5.13.29.37.41.61 1031675 | 13.13.17.53.73.113.157.197 || 3370437 | 5.13.13.13.13.41,73.97.137
331068 | 5.5.5.5.53.101.181.181 1049433 | 5.13.61.89.89.89.197 3449051 | 13.13.13.53.61.89.97.97
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389163 | 5.13 29.41.89.101.109 1069182 | 5.5.5.17.17.41.61.73.173 3801448 | 5.29.37.53.61.73.101.113
390112 | 5.13.17.17.17.17.17.17.97 | 1083493 | 5,5.13.61.61.61.73.109 3815076 | 13.13.17.37.53.109.137.173
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429557 | 5-5-5-5-13.13.73.73-149 1131527 | 5.41.53.53.73.97-.157 3911450 | 29.29.41.97.137.173.193
411787 | 5.17.17.53.97.101.113 1139557 | 5-5.5.5.5.5.5.17.37.73.1812 || 3931663 | 5.13.29.37.41.109.137.181
418048 | 5.97.97.109.173.197 1143097 | 5.5.13.41.61.73.101.109 4000300 | 13.13.13.17.17.73.137.181.181ı
444753 | 5.53-I09.113.157.193 1197943 | 5-5.5.5.5.17.17.37.109,197 || 4079486 | 13.17.17.53.61.73.137.137
447342 | 5.17.29.41.97.137.149 1264557 | 5.5-5.5.5.13-13.29.53-197 || 4218932 | 5.5.5.5.29.41.41.612,61.157
464307 | 5-5.5.29.37:73-T01.109 1306143 | 5.5.29.37.37.61.73-193 4466678 | 5.13.17.73.97.109.149.157
455525 | 13.13.29.89.97.113.197 || 13512742 | 5.17.53.109.137.157.173 ||4650839 | 17.17.89:113.137.157.173
465694 | 13.13.17.29.73.181.197 1373307 | 5-5 5.5.17.29.101.157.193 || 4697282 | 5.5.13.113.113.137.197.197
4738797 |.5.5-13.13.13.17.41.41.73 || 1387203 | 5.29.41.41.113.181.193 4751232 | 5.5.13.17.29.73.97.101.197
485293 | 5.13.13 13.13.29.29.37.53 | 1402232 | 5.5.17.37.41.113.137.197 || 4773557 5.5.5.29.29.41.113.149.157
494697 1 5.5.29.89.101.137.137 | 1413443 | 5.5.13.29.37.41.89.157 5033696 | 13.17.37.37.89.89.97.109
mm nennen nennen
ZUR CYKLOTECHNIE,
ZERLEGBARE aa—1.
481
10I
18975991. 193788912. 201229582. 2189376182 F
109 133. 76. 142. 251. 294. 360. 512. 621. 905. 948*. 1057. 1123. 1929. 2801. 3521. 3957. 5701. 6943. 8578. 9298”.
II.
5982670 | 13.13.13.17.4153-53.53.157 | 23747457 | 5-5-17-17.17.17-17.17.37.73.273
6151956 | 13.17.29.29.73.97.113.149 24208144 | 29.29.29.37.37-53.61.61.89
6208047 | 5.17.17.17.17.29.41.41.197.197 24280807 | 5.5.5.5.13.13.17.53.109.157.181
6225244 | 29.37.41.53.53-53+61.97 24310918 | 5.5.13.13.37.41.53.89.113.173
6315768 | 5.5.17.17.53.61.73.149.157 31011557 | 5-.5.5.13.17.61.97.109.137.197
6356150 | 13.29.37.37.61.61.109.193 32944452 | 5.13.13.29.29.41.53.53.89.149
6367252 | 5.13.17.29.29.61.73.97.101 34436768 | 5.5.17.61.97.101.137.173.197
6656382 | 5.5.13.29.41.41.137.137.149 34602875 | 13.17.17.29.37.53.113.137.181
6817837 | 5.17.17.53.61.149.173.193 45500682 | 5.5.5.37.53.53.61.89.149.197
6829610 | 13.17.17.53.61.101.193.197 53365057 | 5.5.5.13.37.89.97.101.157.173
6981694 | 13.41.97.137.181.193.197 58305593 | 5.5.13.17.37.37-.101.109.137.149
7138478 | 5.29.37.41.73.89.181.197 75505943 | 5-5-5-37-37-53-89.137.149.173
7620661 | 5.17.37.73.101.101.137.181 95665578 | 5.13.37.41.73.181.181.197.197°
7691443 | 5.5.5-37.53.97.101.109.113 | 111530944 | 13.13.13.13.13.17.37-.37-53-157-173
8082212 | 5.13.17.17.37.53.97.101.181 | 121042733 | 5.17.41.73:97.97.101.157.193
8571779 | 13.13.29.41.73.101.137.181 | 160007778 | 5.13.13.17.17.29.29.73.73-149-157
8809432 | 5.5.5.13.89.101.149.181.197 | 167207057 | 5.5.5.5.17.17.17.29.73.109.109.181
9407318 | 5.5:5.5.5.5.37.41.53.73.193 | 168623905 | 13.13.13.13.17.29.29.37.89.97.109
9548768 | 5.5.13.13.17.41.53.61.61.157 | 185507821 | 13.13.17.29.29.53.61.101.113.193 |
9614382 | 5.5.29.37.53.61.61.101.173 | 193788912 | 5.13.17.17.37-.37-37-53.73 101.101 |
9639557 | 5-5.5.5.5.5.13-17.17.53.109.137 | 201229582 | 5.5.13.13.17.17.17.17.17.53.97.I0I
9689961 | 13.29.29.37.61.113.113.149 | 211823957 | 5-5.17.17.53.101.137.149.157.181
10328193 | 5.5.5.13.17.29.53.53.137.173 | 284862638 | 5.13.17.17.17.17.29.29.41.41.97.109
10669731 | 17.89.97.101.101.193.197 | 299252491 | 13.29.37.97.109.109.113.157
11131086 | 13.13.17.17.37.61.73.89.173 | 317742693 | 5.5.5.13.29.41.73.89.137.149.197
12477035 | 17.17.17.29.29.29.37.97.181 327012132 | 5.5.13.17.17.29.89.109.149.157.173
12514913 | 5.13.41.53.137.149.157.173 599832943 | 5-5.5.5-13.17.29.37.37-41.73 97.113
12750353 | 5.13.17.17.41.61.73.137.173 830426722 | 5.13.13.61.97.149.157.173.173.197
14698000 | 13.13.17.17.29.61.97.149.173 1112115023 | 5.17.17.61.73.113.157.173.173.181
15165443 | 5.5.5.5.37.53.61.97.101.157 1282794079 | 13.17.29.29.73.89.97.113.181.197.197
15986082 | 5.5.13.17.109.109.137.157.181 2189376182 | 5.5.5.17.17.29.29.53.61.61.89.89.101
16317267 | 5.13.17.17.61.61.101.109.173 2971354082 | 5.5.13.17.29.41.53.53.113.149.157.181
18378313 | 5.13.13.17.37-61.137.193.197 3955080927 | 5.13.17.17.17.17.53-53.61.61.101.149.173.197
18975991 | 13.17.17.17.53.61.89.97.101 8193535810 | 13.13.29.29.61.109.109.137.157-157.193
20198495 | 13.17.41.89.101.101.137.181 14033378718 5.5.13.13.17.17.61.61.61.61,73.73.157.181
22866693 | 5.5.5.5.41.61.73.I01.113.197
2.58. 7
5. 8. 18. 57. 239
4. 13. 21. 38. 47. 268
12. 17. 4I. 70. 99. 157. 307
6. 31. 43. 68. 117. 191. 302. 327. 882. 18543”
9. 32. 73. 132. 278. 378. 829. 993. 2943
23. 30. 83. 182. 242. 401. 447. 606. g9g1. 1143*. 1772. 6118. 34208. 44179. 85353. 485298
11. 50. 72. 133. 255. 438, 682. 2673. 2917. 4747*. 4952. 5257. 9466. 12943. 17557- 114669. 330182
27- > 173. 265. 319. 538. 557. 684. 1068. 1560*. 2163. 2309. 2436. 3039. 5667. 8368. 14773. 48737. 72662.
479797
34. 55. 123. 233. 411. 500. 568. 746. 1568. 1636*. 3793. 4217. 4594: 4662. 6107. 11981. 19703. 24263. 32807.
37770*. 45068. 51387. 99557. 157318. 260359. 24208144
22. 75. 119. 172. 216. 463. 507. 560. 657. 1433*. 1918. 2059. 2738. 4193. 4246» 5357. 5507. 5648. 6962. 9193*.
9872. 17923. 21124. 29757. 30383. 39307. 41688. 112595. 320078. 390112*. 617427. 1984933. 2343692.
3449051. 6225244
10. 91. III. 192. 212. 293. 313. 394. 515. 616*. 697. 798. 818. 1303. 2818. 3141. 3323. 8393. 17766. 36673”.
66347. 71700. 74043. 173932. 177144. 508929. 683982. 1635786. 2478328. 2809305*. 3014557. 6367252.
=
71
482
u
NACHLASS. ZERLEGBARE da—-1 UND aa-A.
113
137
149
157
173
181
193
197
15075. 32406. 39818. 40188. 51917. 86143. 88868. 106242. 160590. 161832*. 219602. 389163. 464307. 607533.
1083493. 1143007. 2298668. 5033696. 168623905. 284862638* :
15. 98. 128. 437. 693. 776. 919. 1032. 1341. 1567*. 1597. 3149. 3405. 4535. 6682. 6908. 7443. 7782. 9703.
12332*. 13545. 14140; 17191. 19534. 21907. 34367. 43633. 57532. 67333. 136293*. 191407. 286018. 411787.
520463. 566793. 567923. 1528649. 1615463. 1824257. 2277387*. 2457057. 3801448. 7691443. 599832943
37. 100. 174. 237. 922. 1407. 1607. 1955. 2018. 4484*. 5928. 7161. 9901. 10312. 11471. 13252, 19902. 22231.
28322. 30103*. 40517. 49083. 51412. 52571. 68463. 90657. 93197. 101343. 109637. 117372*. 145046. 210943.
228068. 256638. 494607. 500150. 721068. 899168..1477034. 3370434*. 4079486. 9639557
44. 105. 193. 403. 701. 1087. 1148. 1744. 1832. 1893*. 5767. 6065. 6898. 9133: 10833. 14646. 18432. 19326.
20457. 22157*. 24331. 25523. 28205. 28862. 32973. 37057. 39082. 42658. 80802, 83247*. 84141. 93020.
128482. 143382. 145231. 189782. 191807. 208048. 262433. 307939*. 309070. 409557. 447342: 534568. 571459.
700107. 1010027. 2379723. 2680168. 6151956*. 6656382. 9689961. 32944452. 58305593
28. 129. 185. 342. 443. 499. 757. 1228. 1385. 2013*. 2540. 2697. 3112. 3583. 3740. 4581. 5052. 6252. 7093.
14573*. 16513. 19653. 22008. 25462. 38807. 41319. 43932. 54193. 67852. 71564*. 78629. 88733. 117251.
129553. 180107. 184133. 210195. 211765. 249503. 263317*. 267657. 703175. 780262. 812447. 1131527.
1413443. 1618855. 1664957. 1954207. 2923783*. 3139557. 3272693. 4218932. 4466678. 4773557. 5982670.
6315768. 9548768. 15165443. 16000778*. 299252491
80. 93. 253. 599. 772. 785. 945. 1118. 1477. 1823*. 3207. 4232. 5283. 5443. 5962. 8224. 12882. 13068. 13241.
18258*. 19283. 21705. 31752. 32258. 46444. 46617. 48187. sııı5. 81749. 89361*. 102163. 136404. 159772.
174118. 194718. 201106. 251103. 281897. 322392. 383807*. 518734. 627391. 1000193. 1024240, 1068182.
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12514913. 12750353. 14698000. 16317267*. 23747457. 24310918. 53365057. 75505943. 111530944. 327012132
19. 162. 200. 343. 524. 743: 924. 1067. 1467. 2010*. 2191. 2515. 3458. 3782. 5087. 8307. 9431. 10298. 13918.
14318*. 24778. 25683. 27493. 35857. 37448. 44507. 47403. 112782. 117307. 148582*. 155317. 157308. 162014.
181343. 181743. 190393. 216676. 221382. 287228. 289038*. 298307. 331068. 385692. 538275. 548630. 783568.
848871. 936513. 1059193. 1067157*. 1139557. 2471717. 2475918. 2484968. 2959007. 3800438. 3931663.
4000300. 7620662. 8082212*. 8571779. 12477035. 15986092. 20198495. 24280807. 34602875. 167207057.
211823957. III2II5023. 2971354082”. 14033378718
81. ı12. 467. 660. 853. 1239. 1270. 1432. 1818. 2042*. 2428. 2621. 3362. 4327. 4906. 4937. 6481. 9152. 9762.
12433*. 13043. 14942. 24816. 25943. 30027. 28326. 45050. 47783. 54507. 75382*. 80593. 81141. 83071.
88668. 88699. 89471. 137883. 141743. 236151. 263557*. 265842. 444753. 606385. 623888. 662843. 672717.
793921. 907567. 1306143. 1373307*. 1387203. 1518057. 1909461. 2036069. 2050706. 2052057. 2126007.
3025001. 3911450. 6356150*. 6817837. 9407318. 121042733. 185507821. 8193535810
14. 183. II. 408. 577. 999. 1196. 1393. 1984. 2153*. 2350. 2547. 3166. 3532. 4545. 7697. 8457. 9667.
11018. 14958*. 16928. 19123. 19911. 20080. 25793. 26018. 32885. 33307. 40568. 41187*. 42932. 44733.
50052. 54358. 90212. 99893. 104818. 133749. 137719. 148158*. 150522. 232643. 247643. 292362. 403639.
418048. 465525. 465694. 586455. 704683”. 791532. 832902. gIIIII. 1031675. 1049433. 1089593. 1197943.
1264557. 1402232. 3637197*. 3894873. 4697282. 4751232. 6208047. 6829610. 6981694. 7138478. 8809432.
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1282794079. 3955080927
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484
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1719
29/5. IL. 179
37\25. 49. ı0II. 4761. 10039
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149 |61. 237. 535. 1131. 2025. 3339. 8879. 25689. 148939. 207171*. 244299. 247699. 302111. 567629. 588489.
1780489. 3666653. 5472411. 9530277. 17363031*. 148757489
157 101. 213. 527. 841. 1043. 8579. 9947. 20511. 37579. 47829*. 57989. 91587. 99011. 211221. 317039. 1493911.
1996199. 2050005. 6101547. 10126399*. 11483821. 61017271. 1359685525
173 |13. 359. 679. 705. 1371. 12815. 13507. 23915. 44301. 47389*. 47761. 86487. 117281. 183739. 257065. 289589.
313489. 326957. 582997. 634205*. 922769. 966391. 3872099. 8812979. 15035789. 25252451. 112899039159
181 |143. 219. 943. 1305. 2677. 3039. 5573. 7745. 13251. 14261*. 21139. 23311. 81669. 99407. 115983. 142047.
191279. 205111. 349835. 355989*. 840421. 851929. 1341429. 8175989. 10251621. 10763489. 31456571.
4949475989. 28608252345
193 |3I. 417. 1899. 4215. 5821. 20875. 22805. 23901. 29691. 79871*. Io8III. 114611. 234333. 269459. 1165689,
1362611. 3376311. 5125339. 11398611. 23866411*. 34411159. 107402539. 322564791
197 | 169. 1351. 1745. 1801. 3377. 8049. 123383. 27355. 274I1. 31351*. 32139. 49813. 66361. 139701. 140489.
245293. 306757. 387921. 628261. 834267*. 1029353. 1299241. 1499001. 2159739. 4370811. 4490249.
4705711. 6489011. 35944451. 143828743*. 150446761. 657182319
Zerlegbare aa+9 || 68 |41.113 || 143 | 53.193 241 | 5.37.157 446 | 5.5.73.109 796 5.5.5.37.137
ıls5 22| 17.29 71 |5.5.I01 || 154 ! 5.5°13.73 || 254 | 5.5.29.89 454 | 5-.5-.5.17.97 811 | 5.17.53.73
2,13 126|5.137 73 | 17.157 N155 | 61.197 271 |5.5.13.113 |)464. | 5.17.17.149 821 | 5.5.13.17.61
4|5.5 |\28 | 13.61 76 | 5.13.89 || 158 13.17.113 | 281 | 5.53.149 521 | 5.5.61.89 848 | 29.137.181
5j17 |29|5-5.17 || 79 15.5.5-5.5 11 263 | 97.137 || 284 |5.13.17.73 ||529 | 5.5.29.193 869 | 5.13.37.157
7129 132 | 5.97 80 | 13.17.29 || 166 | 5.37.149 || 301 | 5.13.17.40 || 535 | 13.101.109 943 | 37.61.197
8173 1137 | 13.53 89 | 5.13.61 1167| 13.29.37 | 314 |5.13.37.412 || 544 | 5.13.29.157 || 971 | 5.5.109.173
10/109 ||41 | 5.13.13 || 94 | 5.29.61 ||175 | 17.17.53 | 352 | 17.37.197 547 | 41.41.89 991 | 5.17.53.109
11 | 5.13 46 | 5.5.5.17 | 106 | 513.173 || 181 | 5.29.1013 || 379 | 5.5.13.13.17 | 574 | 5.13.37.137 IOIS | 17.157.193
13/89 !50| 13.193 || 109 |5.29.41 |) ıgI | 5.41.89 413 | 17.29.173 610 | 37.89.113 1042 | 13.17.17.17.17
14 |5.41 || 55 | 37.41 119 5.13.109 || 196 | 5.5.29.53 || 419 | 5.97.18 629 | 5.5.41.193 1055 | 13.13.37.89
16 15.53 || 56 | 5.17.37 || 124 | 5.17.181 || II | 5.61.73 430 | 17.73.149 794 | 5.5.5.5.13.61 || 1070 | 61.137.137
17 !149 ||65 | 29.73 128 | 13.13.97 || 232 | 13.41.10I || 436 | 5.193.197 722 | 37.73.193 1081 | 5.13.89.101
| 19 5.37 167 ' 13.173 {132 | 5.17.1208 || 239 | 5.29.197 1437| 17.41.137 (746! 5.5.113.197 || 1129 | 5.5.13.37.53
|
485
ZUR CYKLOTECHNIE,
ZERLEGBARE aa—-9.
5.17.89.173
41.113.149
5.13.89.137
13.29.41.109
5.53.53.61
5.13.149.181
5.5.5.41.197
5.17.17.29.29
97.137.197
13.17.53.113
5.5.29.37.101
13.29.61.61
73.101.193
13.29.29.149
5.13.17.37.41
5.13.17.17.97
5-.5.29.37.73
5.13.13.17.149
13.29.73.173
5.13.17.41.61
17.41.53.173
5.5.17.101.257
5.13.29.37.53
5.61.73.181
13.17.109.181
17.29.97.193
5.17.37.37.41
29.41.89.113
5.5.37.73.181
5.5.37.61.113
13-13.13:17 7782
5.13.17.113.137
5.5.5.13.53.I01
5.5.41.89.193
37-41.61.97
5.17.29.37.109
5-.53.193.197
5.5.13.37.41.41
13.41.113.173
5.13.53.61.109
5.5.13.13.41.73
5.13.13.13.29.41
37.37.53.181
13.13.29.37.149
5.17.29.61.97
5.13.41.53.109
5.5.5.13.61.157
13.17.17.37.113
5.5.5.17.73.113
5.5.5.5.5.13.17.29
.5- er 17.37.197
3.37.53.173
5
5
5.
5.
5-5.53.97.181
5+
37. 37. 6r. 101
I
5.
| 7196
7271
7489
7616
7646
7729
7934
‚ 9650
10012
10154
10447
\ 10736
11074
11671
12191
13561
14029
| 15004
| 16096
16291
17029
27357
17668
18671
19504
20651
| 20813
|| 22085
| 22367
22700
| 23425
123671
| 27341
I 27731
| 27805
27844
28804
28973
30544
33629
34010
38608
39704
40030
40304
| 42173
| 42421
| 43864
"47296
12109 |
5.5.17.37.37.89
5.5.17.37.41.41
5.29.41.53.89
5.13.53.113.149
5.5.13.13.101.137
5.5.97.109.113
5.17.53.89.157 °
29.113.157.181
13.13.29.113.181
5.5.17.41.61.97
29.73.149.173 _
5.13.97.101.181
5.13.61.157.197
5.5.5.41.97.137
5.17.41.109.193
5.37.41.97.101
5.13.13.17.37.173
5.5.13.29.53.197
5.5.13.37.97.193
5.5.13.13.13.53.89
5.13.17.29.41.I0I
5.5.17.41.53.157
13.41.41.61.113
17.29.37.109.157
5.5.5.5.5.17.17.193
5.5.17.89.89.113 ||
5.61.61.73.157
17.37.53.73.89
13.41.53.89.97
17.17.37.149.157 |
13.17.29.37.41.53 |
29.29.41.73.109 |,
5-5.5.5.13.29.29.47|
5.5.13.61.73.197
5.61.61.113.137
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5.13.17.37.61.137 |
5.13.17.17.101.197
5.13.29.37.37.149
13.37.73.101.109
5.13.13.13.13.61.839 ||
5.5.29.37.157.197
17.41.73.73.113
5.17.29.37.53.193
5.5.13.89.113.173
13.13.29.53.61.73
13.41.137.137.149 |
5.5-5.13.73.97.137 |
17.41.97.137.173
5-5.73.73.89.137
29.29.89.109.109
5.5.5.5-13.37.41.73
|
5.13.37.89.89.101
5.5-.5.13.73.109.173
47335
48046
48829
49883
49924
54871
54926
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57701
57839
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66584
70171
71021
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71354
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78829
79051
84563
84818
86221
88411
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95188
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109279
|| 109991
| 112171
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| 133523
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| 137659
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146794
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|| 154679
154729
| 157454
|, 167689
170107
174427
178336
178988
180416
190021
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193829
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249871
13.29.89.173.193 | 250250
5.5.5.5.13.29.97.I0I || 252328
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5.37.41.41.53.I0I 311921
5.13.13.13.13.13.17.53 || 313454
13.13.17.89.97.157
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5.17.61.89.101.109 341569
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13.17.29.53.89.181 356809
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5.13.13.37.37-37-73
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5-5.61.73.173.193
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5.5:13.37.01.61.101 419246
13.13.13.17.41.61.97 1423475 |
5.41.53.73.89.157 | 448280 |
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5.13.53.89.109.181 l
5.5.5.17.109.157.173 | 512579 |
5.29.29.41.193.197
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5.13.53.73.157.173 ||
5.17.29.29.37.41.149 || 528967
17.29.41.53.53.157 | 539996
5.17.97-.101.113.193
5.13.37.137.149.193 | 541829
5.13.13.17.37 109.173
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5.5.17.17.61.157.173 |
5.5.5.13.37.41.89.113 | 693775
5.13.13.13.73.89.197 ||
13.17.17.29.37.37.97 || 700061
61.89.113.137.181 || 713291
5.13.13.41.61.I0I.I49 | 744421
17.37.37-73.109.173 ||
5.13.17.29. 89.101.113 745249
5.5.17.41.53.113.173 |
5.17.41.137.193.197 || 792113
847319
5.5.5.13.13.97.101.181
5-5.5-5.5-29.89.137 | 859379
5.5.13.17.17.53.89.109
5.5.13.17.17.29.73.157 \
37.41-53.61.113.113
13.41.89.97.101.137
5.13.13.37.101.10I,
109
5.17.29.41.61.101.113
13.13.17.61.61.73.101
5.5.17.29.29.41.41.137
17.37.61.73.89.173
5.5-5-17.53.61.73-97
5.5.5.13.13.13.13.13.
29.73
17.17.73-109.109.197
5.17.37.41.73.73-73
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197
13.29.109.109.173.193
5.5-5.13.17.137.137.
149
17.37-37-109.173.197
|5-5-29.53.137.173 193
| 17. 41.89.89.109.149
| 41.41.41. 89.181.181
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| 197
| 5-5-5-8.5.13.17.37.53-
97
5.5.5.13.53.97.109.149
5.5.5.13.13.29.41.97.
113
17.29.101.109.149.173
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157
5.5.5.13.17.29.41.41.
109
37.41.61.101.109.149
5.5.13.13.37.61.89.181
13.17.29.29.109.113.
157
17.17.17.41.97.109.
237
5.13.41.53.89.101.193
5.17.29.29.29.41.41.73
5.5-.5.13.37.149.157-
197
5.13.13.29.29.53.73.
101
29.61.89.101.109.181
5.17.37.73-101.113.137
5.5.17.29.29.53.10I.
193
72
m
s
en.
75
486
NACHLASS. ZERLEGBARE aa—-9.
895208 | 13.17.17.17.29-41.61.173 9250762 | 41.89.97.101.101.137.173
895861 | 5.17.29.89.97.109.173 10419736 | 5.13.13.29.37.73.101.109.149
937766 | 5.13.17.29.41.53.73.173 , 11077571 | 5.5.13.13.41.109.113.149.193
947329 | 5.5-5.37.73-89.109.137 12519856 | 5.13.37 37.41.53.61.97.137
970454 | 5.5.5-37.73-97.149.193 = 13237028 | 17.29.37.41.61.149.149.173
984934 | 5.13.17.29.29.61.109.157 13382956 | 5.13.17.29.29.37.137.193.197
987406 | 5.17.53.73.I01.149.197 14937769 | 5.13.17.37.53.61.61.101.137
1196173 | 53.89.97.101.113.137 19912579 | 5.5.5.5.5.13-.41.41.97.173.173
1202704 | 5.5.5.17.17.37.61.113.157 20620229 | 5.5.37-37.61.73.73.97.197 |
1256084 | 5.13.17.29.53.61.97.157 22181629 | 5.5.13.13.13.17.29.37.41.53.113
1297090 | 13.29.37.41.109.137.197 23504986 | 5.13.13.13.29.29.29.41.53.73
1460283 | 13.13.13.17.29.101.101.193 25674911 | 5.13.29.37.41.73.89.113.157
1717025 | 13.29 41.53.73.157.157 26999399 | 5.13.13.29.37.97.109.193.197
1799921 | 5.5.5.5.5.17.29.37.157.181 | 33399844 | 5.17.17.29.37.37-41.73.73-89
1800254 | 5.5.17.37.97.101.109.193 | 33753059 | 5.13.13.41.89.97.101.109.173
2153956 | 5.17.101.101.157.173.197 | 34618846 | 5.5.13.13.13.17.17.37.97.109.193
2253046 | 5.5.5.5.5.29.41.53.149.173 34792409 | 5.13.13.13.17.29.41.101.137.197
2347195 | 17.29.41.53.137.137:137 40103726 | 5.17.37.41.109.109.197
2362579 | 5.5.5.5.5.5.5.13.29.37.197 41494546 | 5.5.5.13.61.61.89.109.149.197
2382560 | 13.29.37.101.113.181.197 48279454 | 5-5.5.5.13.29.41:41.41.61.181
2454779 | 5-5.13.41.73.109.157.181 60740461 | 5.13.17.17.17.41.73.97.101.197
2473954 | 5.5.5.13.17.17.29.41.97.113 64370954 | 5.5.5-13.17.37.53.61.73.89.193
2579296 | 5.5.5.5.17.29.41.61.89.97 96499349 | 5.13.17.29 37.41.61.73.137.157
2710934 | 5.17.17.17.37.41.53.61.61 105742171 | :5.5.5.13.17.29.29.37.41.41.53.73
2867521 | 5.5.17.61.73.101.137.157 110518796 | 5.5.5.13.37.53-53.61.73.109.149
2960596 | 5.5.13.17.41.53.73.73.137 Z11009121'| 5.5.13.17,17:39,37:37:73.113-.157
3045079 | 5+5.5.5.13.17.17.IOL.II3.173 113737804 | 5.5.13.13.29.29.53.73.89.97.109
3287339 | 5.17.17.17.29.53.53.73.73 117290203 | 17.29.37:41.53.73.109.113.193
3386888 | 13.13.17.29.37.137.157.173 149574656 | 5.29.41.61.73.137.173.181.197
3569269 | 5.13.29.41.53.89.101.173 163030454 | 5.5.5.13.13.17.37-37-53.73-.89.157
4046131 | 5.13.17.29.89.101.157.181 | 165242573 | 13.29.37.41.73.97.109.157.197
4546271 | 5.5.13.17.41.53.53.109.149 178643779 | 5.5:13.41.41.61.113.137.157.197
4699704 | 5.5.5.13.61.73.113.137.197 200760094 | 5.13.17.17.37.37.37-.41.53.101.193
4889605 | 37.41.53.61.73.173.193 323643829 | 5.5.5.5-5.5.13.13.17.37.61.73.73-97
8026096 | 5.5.17.37.37.89.101.I09.IIZ 401580454 | 5-5.5.13.53.61.73.73.97.137.137.193
8182343 | 17.17.29.41.73.73.101.181 478666540 | 17.17.29.37.41.61.73-.149.157.173
8931226 | 5.37.53.61.89.89.113.149 .| 12411168679 | 5.5.13.17.17.89.113.157.173.197.197
9237421 5.5.5.5.5.13.17.17.29.29.29.149 N
5|1. 4. 79
13a. 18. ft
1ı7|5. 29. 46. 379. 1042
7. 22. 80. 1859. 6329
37 \19. 56. 167
41| 14. 55. 169. 301. 314. 1831. 3089. 4496. 5Iı1. 7271*. 23671
53 | 16. 37. 175. 196. 1129. 2719. 22700. 57839
6128. 89. 94. 704. 821. 1309. 1675. 2351. 146794. 2710934”
73\8. 65. 154. 2ıı. 284. 8ır. 1979. 5029. 34010. 42421*. 48829. 66584. 71021. 79051. 313454. 316739.
713291. 3287839. 23504986. 105742171*
89 | 13. 76. 191. 254. 521. 547. 1055. 7196. 7489. 16096*. 20813. 27844. 84563. 109279. 33399844
97!31. 128. 454. 1909. 4237. 5401. 10154. 22085. 54871. 95188*. 147409. 170107. 311921. 512579. 2579296.
323643829
101 |71. 131. 232. ıo8ı. 1646, 4171. 6494. 12191. 16291. 43864”. 48046. 49924. 57701. 95071. 280750. 745249
109 10. 119. 446. 535. 991. 1298. 4459. 4786. 5549. 6421*. 23425. 27805. 42173. 54926. 71276. 219754.
263681. 541829. 113737804 |
ZUR CYKLOTECHNIE. ZERLEGBARE aa—-9 UND aa--16. |
113 |68. 158. ı81. 271. 610. 1627. 3458. 3571. 5605. 5921*. 7729. 17357. 19504. 28973. 78829. 84818. 115079.
157454. 180416. 250250*. 265256. 524704. 693775. 2473954. 8026096. 22181629 E
137|26. 163. 437. 574. 796. 1070. 1259. 4136. 7646. 11671*. 24001. 26141. 39704. 40304. 193829. 252328.
286904. 847319. 947329. 1196173*. 2347195. 2960596. 12519856. 14937769
149 |ı7. 166. 281. 430. 464. 1175. 1805. 2069. 5198. 7616*. 27731. 38608. 71354. 114896. 127114. 154679.
178336. 393079. 423475. 520921*. 550985. 4546271. 8931226. 9237421. 10419736. 110518796
157 |73. 241. 544. 869. 2596. 5579. 7934. 17029. 17668. z0651*. 22367. 62402. 105274. 133523. 249871. 539996.
599510. 984934. 1202704. 1256084*. 1717025. 2867521. 25674911. 96499349. IIIOOgI2I. 163030454
173 |67. 106. 413. 971. 1144. 2182. 2528. 4565. 6641. 10447”. 13561. 33629. 40030. 47296. 112171. 116881.
141581. 154729. 178988. ı90021*. 293687. 341569. 528967. 895208. 895861. 937766. 2253046. 3045079.
3386838. 3569269*. 9250762. 13237028. 19912579. 33753059. 478666540
181 |124. 419. 848. 1324. 2839. 2953. 3496. 3677. 5125. 6821*. 9650. 10012. 10736. 24311. 25645. 70171.
73972. 109991. 174427. 193546*. 324952. 448280. 554279. 792113. 1799921. 2454779. 4046131. 8182343.
149279454 -
193 |50. 143. 529. 629. 722. 1015. 1687. 3038. 4196. 12109*. 15004. 18671. 30544. 47335. 86221. 134764.
137659. 347543: 386722. 419246*. 700061. 859379. 970454. 1460288. 1800254. 4889605. 11077571.
34618846. 64370954. 117290203*. 200760094. 401580454
197 | 155. 239. 352. 436. 746. 943. 1421. 1618. 4489. 6346*. 11074. 14029. 23879. 27341. 28804. 49883.
55709. 88411. 114499. 167689*. 190541. 314257. 356809. 377804. 415825. 496004. 744421. 987406.
1297090. 2153956*. 2362579. 2382560. 4699704. 13382956. 20620229. 26999399. 34792409. 40103726. |
41494546. 60740461*. 149574656. 165242573. 178643779. 1411168679
Zerlegbare aa-t 16. 1553 | 5.5.13.41.181 5473 | 5.17.53.61.109 || 20167 | 5.41.97.113.181
1117 241 | 13.41.109 1717| 5.41.73.197 5635 | 13.13.13.97.149 | 23677 | 5.53.97.113.193
3 | 5-5 253 | 5.5.13.197 1837 | 5.17.29.37.37 5897 | 5.5.5.29.53.181 | 24447 | 5.5.13.13.17.53.
514L 257 | 5.73.181 1929 137.157.173 5921 | 13.89.157.193 || 157 |
7|5.13 263 | 5.101.137 2203 | 5.5.13.109.137 6051 | 13.17.29.29.197 || 24785 | 13.13.17.29.73. |
9 97 271 | 17.29.149 2223 | 5.29.173.167 6081 | 37.53.109.173 | IOL is: |
11 | 137 279 | 13.53.2113 2243 | 5.13.17.29.157 6427 | 5.17.53.53.173 | 25617 | 5.13.29.37.97.97 |
13 | 5.37 309 | 29.37.89 2301 | 29.41.61.73 | 6605 | 61.73.97.101 || 28581 | 13.53.73.109.
17 |5.6x 357153133753 | 2447 | 5-5.17.37.193 || 6727 |5.13.61.101.113 | 149
19 | 13.29 383 | 5.13.37.61 12455 29.37.41.137 || 7345 | 17.89.181.197 29217 | 5.13.37.37-53.
23 | 5.109 1 7307:108.6.6:13.97° 112477.1.5.13.13:53.137 | 7413 | 5.17.37.101.173 | 181
27 | 5.149 403 | 5 5:73.89 2593 | 5.13.13.73.109 | 7547 5.5.13.13.13.17.61 29853 5-.5.5.17-.41.53.
33 | 5.13.17 487 | 5.13.41.89 2687 | 5.17.29.29.101 7683 | 5.17.37.137.137 | 193
35 | 17.73 505 | 37.061.113 2823 | 5.17.29.53.61 || 7703 | 5.5.13.41.61.73 || 36107 | 5.13.17.53.113.
7963 | 5.13.89.97.113 |
39 | 29.53 545 | 17.101.173 2957 | 5.13.17.41.193 | 197
45 | 13.157 569 | 41.53.149 3095 | 17.37.97.157 .|| 8141 | 73.89.101.101 | 36823 | 5.13.17.41.173.
47|5-.5.89 | 579 13.17.3741 | 3113 | 5.13.29.53.97 8523 | 5.37.41.61.157 | 173
53 | 5.5.113 619 | 29.73.181 3153 | 5.5.13.13.13.181| 8747 | 5.5.101.157.193 | 37579 | 5.17.29.41.89.
“ 61 | 37.101 647 | 5.5.5.17.197 || 3247 | 5.5.53.73.109 9133 | 5.13.61.109.193 | 157
67 | 5.17.53 677 | 5.29.29.109 3293 | 5.I01.I09.197 9353 | 5.5.5.13.13.41.101 38863 | 5.13.17.17.37.
77 | 5.29.41 747 | 5-5.13.17.102 || 3603 | 5.5.5.17.41.149 || 10003 | 5.5.13.37.53.157 | 41.53
87 | 5.37.41 851 | 13.17.29.113 || 3607 | 5.13.13.89.173 || 11967 | 5.13.17.29.41.1°9 | 39653 | 5.5.29.101.109.
N
97|5.5-.13.29 | 897 | 5-.5.5.41.157 | 3777 | 5-13.41.53.107 || 12045 | 13.29.53.53.137 | 197
103 | 5.5.5.5.17 || 903 | 5.5.13.13.193 || 3847 | 5.5.29.137.149 | 12257 | 5.29.53.113.173 || 40853 | 5.5.5.13.61.113.
105 | 61.181 987 | 5.19.73.157 | 4453 | 5-5.17-37.97 12603 | 5.5.5-5.13.113.173 149
131 | 89.193 1021 | 13.17.53.89 4497 | 5.5.61.89.149 12667 | 5.37.73.109.109 | 41373 | 5.13.29.29.173.
135 | 17.29.37 || 1203 | 5.5.13.61.73 ||4505 | 13.13.29.41.101 ı 13397 5.5.5.13.17.73.89 || 181
137 |5.13.17.17 || 1237 | 5.29.61.173 4601 | 29.37.109.181 | 16897 | 5.5.5.17.29.41.113 44269 | 17.53.61.181.
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488
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73
490
Sa
NACHLASS. ZERLEGBARE 44—+-25 UND aa-+36,.
%
6.
I
8.
13%
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. 56. 274. 1364. 3323. 9209. 13787. 23488. 41037. 93469*. 144808. 152762. 382537
. 151. 377. 414. 1431. 1544. 4219. 8776. 12468. 21319*. 249014. 564812. 8717008. 63769026
. 89. 363. 733. 1733. 2144. 3199. 3788. 10049. 20502*. 422419. 1964806. 308956283
. 78. 376. 816. 1561. 3654. 10061. 10501. 17057. 21527*. 25401. 30467. 141777. 152803. 155187 214482.
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A
14. 99
27.2038
. 118. 326. 636. 19751
. 37. 20I. 209. 2989. 3522
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67. 116. 311. 433. 677. IIO4. 48062. 484041
. 62. 157. 303. 1887. 19553
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Il 10261 | 13.17.53.89.1012 || 48967 | 5.5-5.13.17.29.41.73
ZUR CYKLOTECHNIE,
ZERLEGBARE daa— 36 UND aa— 49. |
491
13
17
29
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41
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61
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89
97
10I
109
113
137
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197
7.
43.
Is
13.
5.
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. 1517. 2557. 5467. 22733. 449921
. 445: 5495. 6827. 7717. 10261
. 347. 565. 5321. 22583. 29995. 2390717
. 203. 1333. 13763. 39347. 74603. 427795. 2525527
. 737. 6217. 29129. 54167. 87217. 837533. 6920333
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ı1. 617. 953. 1873. 7547. 7861. 130613. 189353. 533789
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Zerlegbare aa + 49
5-5
61
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\ 51 | 5.5.53 || 21
355 | 29.53 |) 122
157] 17.97 || 132
1! 60!41.89 || 137
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5.5.197
5.5.5.41I
73-73
5.41.53
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13.17.53 |
13.17.29
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142 | 17.29.41 || 295 | 13.17.197 | 591 | 5.181.193 919 | 5.13.73.89 |
149 |5.5.5.89 || 296 | 5.89.1971 594 | 5.13.61.89 979 | 5.13.73. 101
152 | 13.13.137 || 314 | 5.109.181 | 601 | 5.5.5.5.17.17| 992 | 13.17.61.73 |
159 |5.17.149 ||316 | 5.13.29.53 | 606 | 5.17.29.149 || 1009 | 5.17.53.113 |
171 | 5.29.101 || 321 | 5.13.13.61 || 634 | 5.37.4153 1032 |5.13.13.17. |
176 | 5.5.17.73 || 331 | 5.97.13 \ 641 5.13.29.109 37 |
181 |5.17.193 || 334 5.13.17.102 667 | 13.109.157 1041 | 5.29.37.101
186 | 5.13.13.41|| 347 | 13.41.113 | 676 | 5.5.101.181 || 2111 | 5.17.53.137
199 | 5.5.13.61 351 | 5.5.5.17.29|| 691 | 5.17.53.53 1128 | 17.29.29.89
205 | 109.193 373 | 13.53.1027 || 719 | 5.13.41.97 1179 | 5.13.17.17
214 5.53.173 ||374 |5.5.29.193 |, 776 | 5.5.13.17.109 Pre
227 | 17.37.41 ||449 | 5.5.37.109 || 799 | 5.5.113.113 |) 1186 | 5.29.89. 109
229 | 5.29.1812 1474 | 5.5.89.101 | 809 | 5.29.37.61 1221 | 5.29.53.97
234 | 5.97.113 || 533 | 17.61.137 || 824 | 5.5.157.173 || 1252 | 13.17.41.
249 | 5-5.17.73 || 550 | 13.17.37.37]| 839 | 5.17.41.101 173 |
251 | 5.5.13.97 || 554 | 5-.29.29.73 | 844 | 5.17.17.17.29 1364 | 5.37.89.
264 | 5.13.29.37: 555 | 13.17.17.41'| 899 | 5.5.5.53.61 | 113
[ en - ss —
| NACHLASS. ZERLEGBARE aa—-49.
| 1374 | 5.5.13.37.157 j 5226.| 5.,5.548,7373 25726 | 5.5.5.29.41.61.73.° || 124029 5.13.13.37.37.61.109
| 1395 | 13.29.29.89 | „5841 | 5.13.37.41.173 25931 | 5.13.17.41.41.181 | 131863 | 13.17.37.97.97.113
| 1556 | 5.13.193.193 | 6008 | 41.41.109.197 26016-| 5.17.29.37-.41.181 ||. 133149 | 5.5.5.5.5.41 101.137
1592 | 17.29.53.97 6029 | 5.17.29.73.101 26337 | 113.113.157.173 138199 | 5.5.13.17.101.109.157
1609 | 5.17.97.157 6309 5.13.53.53.109 27200 | 13.37.97.101.157 || 139551 | 5.5.13.29.53.101.193
| 1621 |5.13.17.29.41 | 6381 5.17.17.73.193 27564 | 5.13.13.73.009.113 | 141633 | 17.17.17.47.29.41.101 |
| 1629 |5.13 137.149 || 6574 15.5.13.13.53.193 | 27721 | 5.17.17.29.53.273 || 148439 | 5.37.4173 101.197
| 1649 | 5.5.5.73.149 ı 6899 15 5.5.5.13.29-I01 || 29254 |5.13.13.53.97.197 || 150410 | 17.37.41.61.73.197
| 1689 | 5.17.97.173 j 6993 | 13.17.37-53.113 29501 | 5.5.13.17.17.41.I13 150681 | 5.29.53.97.97.157
| 1751| 5.5.13 53.89 | 7276 | 5.5.13.29.41.137 30179 | 5.61.73.113.181. || 154876 | 5.5.17.41.73.109.173
| 1766 | 5.29.137.157 7316 | 5.17.53-109.109 30424 | 5.5.13.17.29.53.109 | 157995 | 29.37.41.53.53.101
1929 | 5.37 89.113, || 7440 | 13.17.41.41.149 31274 | 5.5.5.5.13.17.73.97 || 160168 | 17.37.41.53.137.137
1949 | 5 5.17.41.109 \ 7914 | 5.29.61.73 97 32491 | 5.13.37.41.53.I08, | 163609 | 5.13.13.37.41.53.137
2069 | 5.41.53.197 8149 5-5-5.5-5.5.5.5-5-17| 33258 | 13.17.17.37.73.109 | 166851 | 5.5.5.5.5.13.41.61.137
2076 | 5.5.13.89.149 8219 | 5.37.41.61.73 | 34134 5.13.41.53.73.113 || 167124 | 5.5.13.13.29.37.61.101
1 2241677 11,546-97.47.01 | 8251 | 5.5.13.17.61.101 35303 | 17.37.61.109.149 174074 | 5.5.13.17.157.181.193
2374 | 5-5.17.89.149 8515 | 37.89.101.109 35361 | 5.41.113.137.197 | 178149 | 5.5.5.5.17.89.97.173
| 2381 | 5.29.113.173 8753 | 13.137 137.157 35524 | 55.5.17.17.181.193 | 179565 | 13.17.29.113.113.197
| 2521| 5 37.89.193 8919 5.17.41.10I.II3 36149 | 5.5.5.13.13.157.197 || 187249 | 5.5.17.17.109.113.197
2578 | 13.17.17.29.67 | 9161 | 5.13 29.113.197 37409 | 5.61.89.149.173 j 189538 | 73.109.149.157.193
2595 | 17.37.53 101 9301 | 5.5.73.137-173 37836 | 5.17.17.61.109.149 || 207814 | 5.13.17.17.97.137.173
2607 | 17.29.61.113 9546 | 5.13.97.97-149 38601 | 5.5.5.13.17.149.18ı || 213263 | 29.37.41.73.73.97
2659 | 5.37-97-197 9616 5.13.13.17.41.157 || 39902 | 5.5.13.13.29.73.89 | 217351 | 5.5.5.13.13.17.17.53.73
2817. 13.37.73-113 9837 | 13.17.37.61.97 41801 | 5.5.41.61.89.157 231755 | 13.17.17.17.61.61.113 |
2851 |5 5.5.13 41.61 9993 | 13 149 149.173 | 41859 | 5.73.89.149.181 || 273694 | 5.17.37.41.53.97.113
| 2930| 17.41.109.1I3 |10291 | 5.17.37.113.149 || 43416 | 5.13.13.13.29.61.97 ) 281226 | 5.5.5.5.61.73.157.181
| 2944 | 5 61.157.181 10630 13.13.61.97.113 || 44677 | 13.53.97.109.137 || 288901 | 5.5.29.37.53.149.197
2999 | 5.5.13.101.137 10651 | 5.5.13.37.53.899 | 44976 | 5.5.5.5-5 13.17.29.I01 | 299399 | 5-5.5.5.13.29.37.53-97
' 3100 | 17.29.101.193 10727 | 29.97.113.181 || 46229 | 5.17.29.41.97.109 307519 | 5.13.17.17.29.29.41.73
| 3156 | 5.17.17.61.113 | 10761 | 5.41.53.73-73 | 48317 | 13.13.29.37.41.157 343066 | 5.13.17.17.17.41.89.101
1053 25:7.1166 672.923 773207 | 10887 | 4. 89.109.149 || 49099 | 5.5.41.73.89.181 | 345094 | 5.13 17.37.113.149.173
3501 | 5.5.13.109.173 |) 1185 | 53.89.89.149 | 50632 | 17.73.101.113.181 || 361409 | 5.13.17.53.61.101.181
\ 3547 | 17.37.73.137 |)21632 |29.149.173.181 | 51176 | 5.5.17.17.37.97.101 || 375967 | 5.17.37.53.62.149
| 3709 | 5.13.29.41.89 12151 5.5.13.13.101.173 | 54274 | 5.5.5.37-53.61.197 401444 | 5.13.17.17.29.29.101.
| 3753 | 13.41.73.181 ‚12489 | 5.13.13.17.61.89 | 55774 | 5.5.5.13.89.137. 157 | |. 208
4034 | 5.13.29.89.97 13101 | 5.5.5.5.17.41.197 58881 | 5.13.53.61.73.113 | 408628 41.53.89.89.89.109
4065 | 13.37.89.193 [ 13329 | 5.13.73:97-113 64051 5.5.73.73.89.173 || 415848 | 13.17.17.37.101.109,
4211 | 5.97.101.181 ‚14351 | 5.5.5.5-37 61.73 64644 | 5.29.37.61.113.113 | 113
4286 | 5.13.41.61.113 | 14656 | 5.41.61.89.193 67785 | 17.53.109.149.157 417317 | 13.41.61.113.137.173
4324 |5.5.17.29.37.4I 14811 | 5.13.109.113.137 69983 | 13.13.17.61.89.157 || 428021 | 5.13.37.41.61.97.157
| 4399 | 5-5.5.5-113.137 | 15356 | 5 41.61.109.173 72851 | 5.5.5.17.17.17.29.149 | 448976 | 5.5.5.17.61.89.101.173
4556 |5.29.37.53.73 |,15425 | 17.29.29.53.157 73043 | 13.17.37.41.73.109 I 462953 | 29.41.53.101.113.149
| 4629 | 5.73.149.197 |, 15661 5.13.61.157.197 73672 | 17.17.37-53.61.157 - || -521044 | 5.13.13.17.17.73.97.157
4630 | 17.37.173.197 - | 16393 | 61.101.113 193 '- 73721 | 5.29.29.53.89:137 527329 | 5.17.37.61.61.109.109
4657 |37.37.89.89 16446 | 5.29.109.109 157 | 76534 | 5.29.53.53.197 ı 658576 | 5.5.13.13.13.13.53.73-
4715 | 13.13.17.53.73 17247 13-37 37.61.137 . || 80841 |5.17.61.73.89.97 | 157
4749 | 5.5-13.13.17.157 |, 18099 | 5.5.17.29.97.137 || 82307 | 13.53.157.173.181 | 689601 | 5.5.5.37.41.73.89.193
4754 |5.13.17.113.181 18976 |5.5.5.13.37.53.113 , 83430 | 13.17.29.37.149 197 | 788493 | 13.41.109.157.173.197
| 4778 | 37.41.101.149 | 19743 | 13.17.41.137.157 87369 | 5.13.17.89.197.197 935601 | 5.5.5.5.5.13.13.17.29.
HE 4918 | 13.13.13.101.109 20297 | 13.13.13.29.53.61 | 88213 | 37.41.97.137.193 | 41.41
ı 4927 | 29.53.53.149 20999 | 5.13.29.149.157 88406 | 5.17.53.89.101.193 979976 | 5.5.5.5.17.17.137.197
5024 |5.5.5.5.41.197 | 21768 | 97.137.181.197_ | 88989 | 5.13.17.17.41.53.97 | 197
5IOL | 5.5.5.29.37.97 | 21834 | 5.17.29.41.53.89 89149 | 5.5.5.29.89.109.113 |, 1055864 5.13.17.29.37.53.113.
| 5191 |5.13.17.89.137 22156 5.13.13.53.97.113 | 92049 | 5.5.13.17.29.137.193 || 157
i 5221 !15.101.137.197 |; 22569 5.41.41.157.193 102735 13.13.13.89. 137.197 | |
493
ZUR CYKLOTECHNIE. ZERLEGBARE a4—-49 UND aa— 64.
1538221 | 5.13.13.29.53.61.109.137 5456999 | 5.5.41.73.73-101.137.197
1686759 | 5.13.29.29.41.41.113.137 7936717 | 13.29.37.41.41.41.181.181
2001229 | 5.13.17.29.41.53.149.193 8555207 | 13.17.41.53.61.73.109.157
2446492 | 13.41.73.39.101.109.157 12448726 | 5.5-5.5.13.13.13.41.89.157.197
3254151 | 5.5.13.17.29.41.61.73.181 21432319 | 5.17.37.73-149.173.197.197
3297075 | 37-41-.53.53.73-101.173 40407039 | 5.17.37-41.53.89.97.101.137
3643774 | 5-5.5.13.17.41.109.137.157 41719774 | 5-5.5.17.17.29.29.41.41.173.197
4515359 | 5.13.13.13.17.17.113.157.181 118135085 | 17.17.37.41.61.101.109.137.173
5307581 | 5.17.37.53.73.73.101.157
%:67. 24
1314. 9. 47 F
17|6. ı1. 23. 74. 6o1. 8149
29 | 3. 26. 61. 113. 351. 844
37|5. 32. 69. 79. 264. 550. IO3I. 1179 »
4119. 22. 101. 142. 186. 227. 555. 1621. 4324. 935601*
53 |2. 5I. 55. 104. 108. 316. 634. 691
61 | 16. 45. 106. 199. 321. 809. 899. 2151. 2578. 2851*. 20297
73 |30. 43. 103. 116. 176. 249. 554. 992. 4556. 4715*. 5226. 8219. 10761. 14351. 25726. 217351. 307519
89 | 29. 60. 149. 594. 919. 1128. 1395. 1751. 3709. 4657*. 10651. 12489. 21834. 39901
97 | 40. 57. 137. 251. 719. 1221. 1592. 4034. 5101. 7914*. 9837. 31274. 43416. 80841. 88989. 213263. 299399
101 |31. 171. 334. 373. 474. 839. 979. 1041. 2595. 6029*. 6899. 8251. 32491. 44976. 51176. 141633. 157995.
167124. 343066. 401444*
109 | 13. 96. 449. 641. 776. 1186. 1949. 4918. 6309. 7316*. 8515. 30424. 33258. 46229. 73043. 124029.
408628. 527329
113 |8. 121. 234. 331. 347. 799. 1009. 1364. 1929. 2607*. 2817. 2930. 3156. 4286. 6998. 8919. 10630. 13329.
18976. 22156. 27564*. 29501. 34134. 58881. 64644. 89149. 131863. 231755. 273694. 415848
137 | 15. 122. 152. 289. 533. III. 2999. 3547. 4399. 5ıg1*. 7276. 14811. 17247. 18099. 44677. 73721. 133149.
160168. 163609. 166851*. 1538221. 1686759. 40407039
149 | ı0. 139. 159. 606. 1629. 1649. 2076. 2374. 4778. 4927*. 7440. 9546. 10291. 10887. 11185. 35303. 37836.
72851. 375967. 462953*
157|39. 118. 589. 667. 1374. 1609. 1766. 4749. 8753. 9616*. 15425. 16446. 19743. 20999. 27200. 41801.
48317. 55774. 67785. 69983*. 73672. 138199. 150681. 428021. 521044. 658576. 1055364. 2446492.
3643774. 5307581*. 8555207
173 |41. 132. 214. 824. 906. 1252. 1689. 2381. 3501. 5841*. 9301. 9993. 12151. 15356. 26337. 27721. 37409.
64051. 154876. 178149*. 207814. 345094. 417317. 448976. 3297075. 118135085
ı81 !48. 229. 314. 676. 2944. 3753. 42II. 4754. 10727. 11632*. 25931. 26016. 30179. 38601. 41859. 49099.
50632. 82307. 281226. 361409*. 3254151. 4515359. 7936717
193 | ı2. 181. 205. 374. 591. 1556. 2521. 3100. 4065. 6381*. 6574. 14656. 16393. 22569. 35524. 88213. 88406.
92049. 139551*. 174074. 189538. 689601. 2001229
197 | 99. 295. 296. 2069. 2659. 3251. 4629. 4630. 5024. 5221*. 6008. gı6r. 13101. 15661. 21768. 29254. 35361.
5456999. 12448726. 21432319. 41719774
36149. 54274: 76534*. 83430. 87369. 102735. 148439. 150410. 179565. 187249. 288901. 788493. 979976*.
Zerlegbare aa + 64. 69 | 5,5.193 || 159 | 5.37-.137 381 | 5.5.37.157 871 | 5.13.29.173
115.13 *5 | 13-53 7915-13-97 181 | 5.5.13.101 389 | 5.13.17.137 || 581 | 5-5.5-37-73
3173 27 | 13.61 81 | 5.5.5.53 183 | 13.29.89 391 |5.13.13.181 || 661 | 5.17.53.97
5 89 29 5.181 85 | 37.197 219 |5.5.17.113 393 | 17.61.149 703 | 13.193.197
7 | 113 31 |5.5.41 95 | 61.149 223 | 17.29.101 433 | 37-37-.137 707 | 41.89.137
9 5.29 49 | 5.17.29 115 | 97.137 233 |5.37.113 441 | 5-13.41.73 717 | 53.89.109
ıı| 5.37 51 | 5.13.41 121 | 5.17.173 281 |5.5.29.109 || 455 | 29.37.193 729 | 5.13.13.17.37
15 | 17.17 53 | 13.13.17 131 | 5.5.13.53 309 | 5.97.197 461 | 5.17.41.61 831 | 5.5.5-5.5.13-17
19 |5.5.17 || 63 | 37.109 149 | 5.61.73 339 |5.13.29.612 || 467 | 13.97.173 873 | 53.73.197
21 | 5.101 67 | 29.157 155 '13.17.109 || 359 '5.17.37-41 529 | 5.17.37.89 |
879 | 5.29.7373
74 bu
494
| NACHLASS. ZERLEGBARE aa—-64.
9IL | 5.13.113.113 2601 | 5.13.29.37.97 13889 | 5.41.89.97.109
937 | 13.17-.29.137 2625 | 5.13.53.73.137 13911 | 5.13.13.29.53.149
989 | 5.13.101.149 2771 | 5.73.109.193 14451 | 5.29.73.109.181
1035 | 17.29.41.53 2989 | 5.13.13.97.109 16069 | 5.5.13.37.109.197
1097 | 41.149.197 3171:| 5.13.37.37.113 16985 | 17.29.53.61.181
114X._| 5.17:17.17-53 3199 | 5.13.29.61.89 17421 115.13.137.173.197
1169 | 5.5.5.13.29.29 3413 | 29.41.97.101 185II | 5.13.17.17.17.29.37
I17X |.6°13.07.27.73 3721 | 5.17.29.41.137 18563 | 13.37.41.101.173
T1913| 5263.63.101 4031 | 5.5.13.17.17.173 18685 | 17.29.73.89.109
1247 | 13.37.53.61 4061 | 5.17.17.101.113 24061 | 5.29.29.37.61.61
1343 | 29.37-41.41 4109 | 5.13.13.13.29.53 24261 | 5.17.17.37.101.109
1419 | 5.5.5.89.181 4315 | 13 41.181.193 27665 | 13 37.41.197.197
1491 | 5.37.61.197 4419 | 5.5.5.13.61.197 29019 | 5.5.37.53.89.193
1589 | 5.41.109.113 4541 | 5.17.41.61.97 29981 | 5.5.37.41.137.173
1609 | 5.41.73.173 4979 | 5:29.37-97.157 31669 | 5.5-5.5.13.17.53-137
1613 | 13.17.61.193 5097 | 13.61.181.181 58397 | 13.17.29.37.73.197
1037. 1. 13:13:101.157 5169 | 5.5.5.37.53.109 59279 | 5.13.53.73.89.157
1681 | 5.5.17.61.109 5381 | 5.5.13.41.41.53 88789 | 5.13 17.29.37.61.109
1691 | 5.13.29.37.41 5459 | 5.13.17.149.181 103481 | 5.5.13.13.17.29.53.97
1749 | 5.17.17.29.73 5761 | 5.17.37.61.173 132081 | 5.5.5.5-5.5.5.13.89.193
1839 | 5.37.101.181 5869 | 5.5.89.113.137 170529 | 5.17.29.41.53.61.89
1861 | 5.37.97.193 6081 | 5.5.5.29.101.I0I 213331 | 5.5.5.5.5.13.13.17.37.137
1999 | 5.41.101.193 7781 | 5.5.29.37.37.61 383229 | 5.17.17.61.89.97.193
2019 | 5.5.41.41.97 9039 | 5.29.37-.97-.157 728391 | 5.13.73.97-T01.101.113
2041 | 5.73.101.113 9779 | 5-37-73-.73-97 1934581 | 5.5.5.5.13.17.17.17.29.53.61
2055 | 13.17.97.197 10519 | 5.37.37.53.61 2446081 | 5.5.5.13.17.17.37.53.73.89
2081 | 5.5.5.5.13.13.41 10527 | 41.109.137.181 4056181 | 5.5.13.17.29.41.I01.137.181
2131 | 5.5.13.89.157° 10831 | 5.5.5.5.17.61.181 5106581 | 5.5.5.13.17.37.41.61.101.I0I
2201 | 5.53.101.181 IISIE | 5.17.41.193.197 14836119 | 5.5.13.13.17.17.17.17.29.137.157
2445 | 13.29.101.157 1333112 5:5.2856:5.20337.93
2479 | 5.73.113.149 13581 | 5.5.5.17.29 41.73
I
15:.20..53% 837
9. 49. 1169
II. 729. 18511 5
31:51: 359. 1943. 1691...2087
25. 81. IZI. 1035. II4I. 4109. 5381. 13331
27. 339. 461. 1247. 7781. 10519. 24061. 1934581
3. 149. 441. 581. 879. 1171. 1749. 13581
5. 183. 529. 3199. 170529. 2446081
79.661. 2019. 2601. 4541. 9779. 103481
2I. 181. 223. 1191. 3413. 6081. 5106581
63. 155. 281. 717. 1681. 2989. 5169. 13889. 18685. 24261*. 83789
7. 219. 233. 9II. 1589. 2041. 3171. 4061. 728391
115. 159. 389. 433. 707. 937. 2625. 3721. 5869. 31669*. 213351
95. 393. 989. 2479. 13911
67. 381. 1637. 2131. 2445. 4979. 9039. 59279. 1483619
121. 467. 571. 1609. 4031. 5761. 18563. 29981
29. 39I. 1419. 1839. 2201. 5097. 5459. 10527. Ioßzı. 14451*. 16985. 4056181
69. 455. 1613. 1861. 1999. 2771. 4315. 29019. 132081. 383229
85. 309. 703. 873. 1097. 1491. 2055. 4419. I15ı1. 16069*. 17421. 27665. 58397
nn — .
| ZUR CYKLOTECHNIE. ZERLEGBARE aa—- 81. ]
!
N
i I
Zerlegbare aa +8ı. 1807 | 5.53.61.101 10118 | 5.37.53.53.197 |
|
ıl4ı 323 | 5.53.197 2008 | 5.13.17.41.89 10577 | 5.29.41.97.97
2 | 5.17 352 | 5.137.181 2009 | 13.29.53.I0I 11563 | 5.5. 13.29.41.173
4|97 376 | 17.53.157 2041 | 97.109.197 12143 | 5.29.29.89.197
5153 389 | 17.61.73 || 2051 | 29.29.41.61 12565 | 13.17.29.109.113 |
7|5.13 406 178919 | 2125 | 13.29.53.113 15233 | 5.29.73.97.113 |
8| 5.29 409 | 13.41.157 2138 | 5.5.5.13.29.97 16237 | 5.5.5.17.17.41.89 |
ı0| 181 427 |-5.17.29.37% 2293 | 5.17.157.197 16522 | 5.17.29.37.41.73 |
ıI| ıIoı 461 | 13.13.17.37 2312 | 5.5.29.73.101 16777 | 5.13.13.17.97.101
13 | 5.5.5 472|5.29.29.53 ° | 2450| 13.17.157.173 17888 | 5.5.5.5.37.101.137
17 | 5.37 487 | 5.5.5.13.73 2531 | 17.29.73.89 17972 | 5.13.29.53.53.61 |
19 | 13.17 491 | 17.41.173 2623 | 5.41.97.173 18887 | 5.5.29.37.61.109 |
20 | 13.37 533 | 5.157.181 2705 | 17.29.41.181 18974 | 13.13.17.29.29.149 |
2332| 5.113 547 | 5.173.173 2888 | 5.5.5.5.5.17-.157 19558 | 5.13.13.41.61.181 |
23 | 5.61 553 | 5.13.13.181 2906 | 13.37.97.181 20362 | 5.5.5.113.149.197
28 | 5.173 566 | 13.157.157 3088 | 5.5.13.13.37.61 23368 | 5.13.13.53.89.137 |
32 15.13.17 | 575 | 37.41.109 3238 | 5.5.41.53.193 24083 | 5.13.157.157.181 |
37 5.5.29 578 | 5.13.53.97 " 3322 | 5.13.41.41.101 24499 | 13.17.61.113.197
38 | 5.5 61 587 | 5.5.61.113 3347 | 5.13.17.37.137 24958 | 5.17.37.37.53.101
49 | 41.41 617 | 5.13.29.101 3503 | 5.13.13.53.137 29153 | 5.13.17.29.89.149 |
43 | 5.193 631 | 13.17.17.53 3517 | 5.13.17.29.193 29242 | 5.17.17.61.89.109 a
49 | 17.73 662 | 5.5.89.197 3791 | 29.37.37.181 29765 | 17.37.41.89.193
50 | 29.89 683 | 5.13.37.97 3988 | 5.5.29.97.173 30218 | 5.13.41.41.61.137
53 | 5.17.17 694 | 53.61.149 || 4010 | 13.13.17.29.193 « 31487 | 5.5.5.5-5.41.53.73
58 | 5.13.53 733 | 5.17.29.109 4112 | 5.5.5.17.73.109 31843 | 5.13.17.17.137.197
59 | 13.137 737|5-.5.5.41.53 4354 | 17.61.101.181 34763 | 5.5.5.5.17.29.37.53
62 | 5.5.157 763 \:5.8.5.77.137 4388 | 5.5.5.13.17.17.41 35137 | 5.5.17.73.101.197
71 | 13.197 797 | 5.17.37.101 4429 | 29.41.73.113 35783 |5.13.17.17.173.197 |
79 | 29.109 862 | 5.5.5.5.29.41 4648 | 5.13.29.73-157 37147 | 5.13.17.41.97.157
83 | 5.17.41 877 | 5.13.61.97 || 4657 | 5.101.109.197 38201 | 13.17.17.29.37.181
91 | 37.113 920 | 17.17.29.107 || 4837 | 5-5.41.101.113 44987 | 5.5.5.13.29.109.197
95 | 29.157 1018 | 5.17.89.137 5083 | 5.29.41.41.53 46963 | 5.5.13.29.29.53.73
97 | 5:13.73 || 1037 | 5.5.137.157 || 5162 | 5.5.61.101.173 56387 | 5.5.13.17.53.61.89
98 | 5.13.149 1060 | 13.13.61.109 5557 | 5.13.17.89.157 57037 | 5.5.13.17.37.73.109
101 | 53.97 1108 | 5.41.53.113 || 5747 | 5.109.157.193 60743 | 5.13.17.17.17.53.109
112 | 5.5.5.I01 1118 | 5.53.53.89 5792 | 5.13.13.29.37.37 61337 | 5.5.41.109.113.149
122 | 5.41.73 1168 | 5.29.97.97 || 5833 | 5.17.17.61.193 69107 | 5.17.53-53.73-137 |
124 | 13.29.41 1201 | 37.101.193 | 6013 | 5.5 5.5.5.5.13.89 69244 | 13.13.29.37.137.193 |
128 | 5.37.89 1229 | 13.13.41.109 || 6233 | 5.13.37.41.197 79813 | 5.5.13.17.53.73-149 |
237.1 5:6,13.20 1243 | 5.17.61.149 | 6458| 5.17.37.89.149 86528 | 5.17.29.97.173.181
139 | 89.109 1265 | 73-97.113 | 6532 | 5.5.37.113.157 87263 | 5.5.5.5.5.13.17.37.149 |
163 | 5.5.13.41 1277 | 5.17.53.181 || 6689 | 13.97.113.157 | 97577 | 5.29.61.73.73.101 |
183 | 5.5.13.109 1313 |5.5.29.29.41 || 6883 | 5.13.13.17.17.97 | 98063 | 5.5.73.97.157.173 |
197 | 101.181 1456 | 13.41.53.73 7997 | 5.29.29.53 113 || 121933 | 5.13 41.97.149.193 |
202 | 5.13417.37 1447 | 5.17.109.113 7160 | 53.61.101.157 || 132683 5.17.29.109.181.181
215 | 13.13.137 1463 | 5.5.13.37.89 7793 | 5.13.29.89.181 | 157723 | 5.13.13.29.53.61.157 |
217 | 5.53.89 1475 | 13.13.41.157 ‚8158 | 5.13.13.17.41.113 | 168703 | 5.37.37.61.173.197
247 | 541.149 1487 | 5.5.5.5:29.61 8273 | 5.29.53.61.73 | 181508 | 5.41.41.101.197.197
248 | 5.109.113 1585 | 53.137.173 i 8638 | 5.5.5.13.17.37.73 | 195787 5.5.13.17.29.37.53.61
253 | 5.13.17.29 1639 | 41.181.181 l 9028 | 5.13.73.89.193 || 237322 | 5.13.13.13.17.17.113.157
268 | 5.73.197 1645 | 13.29.37.97 | 9101 | 41.73.101.137 I 269861 | 13.37.41.101.I0I.181
287 | 5.5.17.97 1685 | 17.37.37.61 | 9295 | 61.73.89.109 | 278297 | 5.5.13.37.97.113.113
292 | 5.13.13.101 || 1702 | 5.17.173.197 | 9562 | 5.5.13.29.89.109 | 297212 | 5.5.13.97.113.137.193
313:15:5.37.83 1703 | 5.29.73.137 I 9587 | 5.5.13.13.73.149 || 314387 | 5.5.41.41.73.89.181
U 9607 ' 5.17.29.97.193 ' 327737 | 5.5-5-5.13.13.29.89.197
| 317 | 5.89.2113 1787 | 5.5.13.17.17.17 |
496
NACHLASS. ZERLEGBARE aa—81. |
349487 | 5-5-5.29-29-53-97.113 2898587 | 5.5.17.29.73.137.173.197
474013 | 5-5.5.13.17.17.29.73.113 . 3559861 | 13.37.61.89.109.113.197
609161 | 13.73.73.113.137.173 4034153 | 5.13.13.17.29.41.53.89.101
647665 | 29.37-.53.97.193.197 4676188 | 5.5.17.37.37.37.89.101.113
934862 | 5.5.5.13.13.17.17.37-53.73 4802183 | 5.73.97.109.113.137.193
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1158413 5.5.29.37.41.61.73.137 6678737 | 5-.5.5.17.17.29.41.53.97.101
1880912 | 5.5.13.17:37.53.53.61.101 9578563 | 5.5.13.17.17.17.29.61.109.149
2023513 | 5.5.5.5.37.41.97.113.197 34928797 | 5.13.13.17.29.37.53.53.73.193
2092285 | 17.17.37.37-37-41.41.89 59554033 | 5.13.13.13.37.61.73.89.101.109
13
7.
2. 19. 32. 53. 1787
8. 37. 137. 253
17. 20. 202. 427. 461. 5792
1. 40. 83. 124. 163. 862. 1313. 4388
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23. 38. 1487. 1685. 2051. 3088. 17972. 195787
49. 97. ı22. 389. 487. 1436. 8273. 8638. 16522. 31487. 46963. 934862
50. 128. 217. 118. 1463. 2008. 2531. 6013. 16237. 56387. 2092285
4. ı01. 287. 578. 683. 877. 1168. 1645. 2138. 6883. 10577
ıı. 112. 292. 617.:797- 920.1807. 2009. 2312. 3322. 16777. 24958. 97577. 1880912. 4034153. 6678737
79. 139. 188. 406. 575. 733. 1060. 1229. 4112. 9295. 9562. 18887. 29242. 57037. 60743. 4947916. 59554033
22. 91. 248. 317. 587. 1108. 1265. 1447. 2125. 4429. 4837. 7097. 8158. 12565. 15233. 278297. 349487.
474013. 4676188
59. 215. 763. 1018. 1703. 3347. 3503. YIOI. 17888. 23368. 30218. 69107. 1158413
98. 247. 694. 1243. 6458. 9587. 18974. 29153. 61337. 79813. 87263. 9578563
62. 95. 376. 409. 566. 1037. 1475- 2888. 4648. 5557. 6532. 6689. 7160. 37147. 157723. 237322
28. 491. 547. 1585. 2450. 2623. 3988. 5162. 11563. 98063. 6ogı6ı
10. 191. 352. 533. 553. 1277. 1639. 2705. 2906. 3791. 4354. 7793. 19558. 24083. 38201. 86528. 132683.
269861. 314387
43. 1201. 3238. 3517. 400. 5747. 5833. 9028. 9607. 29765. 69244. 121933. 297212. 1125533. 4802183. 34928797
71. 268. 323. 662. 1702. 2041. 2293. 4657. 6233. 10118. 12143. 20362. 24499. 31843. 35137. 35783. 44987.
168703. 181508. 327737. 647665. 2023513. 2898587. 3559861
CIRCULI QUADRATURA NOVA,
I. Acotg.5 = (j—(13).
26684971 0210071265 7279572372 8848455203 4183360499
364 7220869565° 2173913043
4977954329 5694145758
i W433): “=:
. 204560302
4782608695
6618876941
8420465 116
4645858042
5293752324
6550690367
.. 332561919
1499728341
6521739130
4575866188
2790697674
5531914893
0156862745
0843578181
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2730743726
0259630730
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0688316235
- 185127900
260673
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j 77I013I
4566544566
2941176470
6896551724
0412205651
7330238
5445665445
5882352941
1379310344
4831745270
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6654456654
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7696610135
9002267573
8300377358
2909752140
0506907695
5921253449
. 8555011744
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2101517688
498 |
NACHLASS,
2(2) — 2(13)— (29)
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5189504373
9499018266
12142656
2478
11)
0,0142857142
3)
42857142835
1778425655
1986077229
7890201240
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5057333106
13) 1032108
15) 210
17)
19)
21)
| 23)
! 25)
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2509644305
0490308090
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7972715555
6344484227
429866221
87727
17
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7456 7399858373
27) ı 5217836705
29) 3105680
633
en,
| Il. Acstg.70 =
29154
er‘
7)
9)
31)
33)
9718 0592808551
2555743034
459757555
14
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1734665
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4617
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20
| 9718
1731569456
3608309155
5043272185
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0,0142857142
ı
8571428571
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275
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79392
7142857142
9451419051
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298 2695994334
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9718
0471232500
1731569456
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3608309155
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6511613579
1474823977
6449391760 3365459072
RR
CIRCULI QUADRATURA NOVA,
| ee | “
mern
|
| III. A cotg.99 = — (2) + 2(13) — (29).
| 0,0I0IOIOIOI OIOIOIOIOI OIOIOIOIOI OIOIOIOIOL OIOIOIOIOI OIOIOIOIOT OIO
| 3) 10306 1015212836 4555667892 0621375472 9212335579 0328548210 397
5 ı 0515357128 1335022514 8344109925 0559046254 0127571528 232
7) 1072886 1471414653 8633643925 1020361090 3228255032 295
| 9) 109 4670081768 6617552662 3737477845 2290911973 781
ı1) 111689631 3506950061 4898861083 3430495960 817
13) 11395 7383788077 7534424942 4633550708 689
th ı 1627118027 5561425816 2373699984 767
17) 1186319 5620402145 2725474308 742
| 19) 1217 0406654464 0491044329 589
| 21) 123498281 2431434654 048
| 23) 12600 5796595391 761
| 25) ı 2856422466 625
27) 1311745 991
29) 133 837
31) 13
3435 3671737612 1518555964 0207125157 6404111859 6776182736 799
153269 4495916379 1233377703 5860051584 3318322147 470
10153602 8955177278 3172623734 8493681450 983
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6 3705613392 8446897069 978
547 8512895451 815
48583 184
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0,0I0IOIOIOI OIOIOIOIOI OIOIOIOIOI OIOIOIOIOI OIOIOIOIOI OIOIOIOIOI OIO.
2103071425 6267004502 9668821985 0111809250 8025514305 646
ı2 1630099085 4068616962 4859719760 5810101330 420
876 5952599082 go4ııog6ıo 9587196208 360
69783 5036494243 8395616135 808
5880870 5353877840 668
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4 615
0,01010I0I0I 2204081538 7998024565 9791117914 9156023837 7787572825 192
3435 3671890881 6024625946 1170821347 7513162840 6372940772 546
‚ ©,o101006665 8532190657 1973398619 8620296567 1642860997 1414632052 646
/
|
SE e =» » w we
500
| NACHLASS. GIRCULI QUADRATURA NOVA.
IV. Acotg.307 = —3(2)+3(5)—+ (1 3)—+ (29).
i 0,0032573289 9022801302 9315960912 0521172638 4364820846 9055374592
3) 345 6088648397 344300095 0769987174 1094169326 1556823471
5) 36669764 6489336152 1087234559 3817877050 8899421286 °
7) 389 0732490417 2580304164 8671007839 6274855960
9) 41281419 3298311709 4522474201, 4009658191
ıI) 438 0037913381 6985798496 2620441698
13) 46473043 8878046300 7405517516
15) 493 0879254719 3742187243
17) 52317576 3638805103
19) 555 0995380734
| 21) 58897127
I 23) 624
| 0,0032 115 2029549465 7814333365 0256662391 3698056442 0518941157
55 5818927202 4654329166 4095858262 8039265137
39 8185264852 8816890772 3874585608
32 8725283647 9582812482
29 2157651617
27
r 115 2029549521 3633260607 3096256443 , 5336089154 4173256031 037
1 i 0,0032573289 9022801302 9315960912 0521172638 4364820846 9055374592 833
7333952 9297867230 4217446911 8763575410 1779884257 283
4586824 3699812412 1613608244 6001073132 347
3574849 5298311253 9031193655 139
3077504 4919929711 962
2804625 124
0,0032573289 9030135255 8618414966 8442006812 0043393260 0790259974 688
115 2029549521 3633260607 3096256443 5336089154 4173256031 037
0,0032573174 7000585734 4985154359 5345750368 4707304105 6617003943 651
1} ——. —
TABULA ARCUUM TANGENTIBUS PRIMIS DATIS RESPONDENTIUM
IN PARTIBUS RADII AD 110 FIGURAS.
2 0,7853981633 9744830961 5660845819 8757210492. 9234984377 6455243736 1480769541
5 |0,4636476090 oo806r1621 4256231461 2144020285 3705428612 0263810933 0887201978 6
13 | 0,5880026035 4756755124 5611080625 0854276017 0724605592 4353726047 2072
17 | 0,2449786631 2686415417 2082481211
29 | 0,3805063771 1236486630 3587916810 4331044974 0571365810 0837576305 623
37 '0,1651486774 1462633827 9128289643 9435540983 8
L.
B
ZUR BERECHNUNG DER GEMEINEN LOGARITHMEN.
Man suche die Logarithmen von
log = a
log = — b
log = ac
log 3 a
log EZ —
(* zeigt einen um 1 kleinern Nenner als Zähler an) so ist, wovon man sich
leicht überzeugen kann:
144 +fa+2b—Ic—ıdte _ f
49 ER
log 2 =
Noch kann man leicht herleiten
log41 =a+12f—2 =y
RR An u}
log 3 = —
log 11. 31 und log” und also auch log7. 31
LI. 76
502
7 1680*
23.73 =
17 136000
23.73 =
7-73 5ıı®
17 zi
512001
7.7.43 =
o?
17.43 =
81 gı
A, = 80
4ıI 6561
b, — a
4 6560
1024
Br 2401
2400
BE: 13.
Er; 1680.1682
512001
J #3 512000
z 1680”
u 1679.1681
a 136000
135999
aus diesen —
23
77 hieraus und Z [und =]
17 17
i, 73
K 13
i,xn
m, 47
n, 61
0, 31
p, ıı
ae
%
NACHLASS,
23
5ı1? 730?
510.512 729.731
729°
728.730
512?
511.513
2116°
2115.2117
2500?
2499.2501
17081?
17080.17082
1024° 2001
1023.1025 2000.2002
10935*
10934.10936
Er
Z
’ =
wird 7, 17, 23,-43
ns 788800
ä 788799
274700 z:
8, 67 747 a!
274699 ;
1000000 =
t, 37 BE: ER
999999 1330.1332
3481°
ro 3480.3481
2
v, 89 . spa:
4094-4096
2
vo, 83 6889
6838.6890
3879°
x a ME
a 3880.3882
13871? 46656”
Y 97 ih -
13870.13872 46655.46657
[Die Anwendung dieser Brüche zur Bestimmung der Logarithmen der ne-
benstehenden kleinen Primzahlen mit Hülfe der noch wachsenden Potenzen von -
fortschreitenden sehr rasch convergirenden Reihen für log-“- ergibt sich un-
mittelbar aus dem zu Anfang ausgeführten Beispiel.
Es lassen sich übrigens zur Bestimmung der Logarithmen der kleinsten
Primzahlen 2, 3, 7 noch vortheilhaftere Reihen aufstellen wenn man diese
Gaussischen Zahlen auf geeignete Weise mit den von Huysnens (Husenu, Opera
varia, Lugduni 1724 pag. 457) angegebenen verbindet:
w
D
SI
a
©
Il
ıT 9800 = 100. 2. 7?
9801 = 3*. ıı
13 123200 = 100.2*.7. II
123201 = 3°.13
17 2600 = 100. 2.13
aboı = 3°. 17°
19 28899 = 3°.13?.19
28900 = 100. 17?
23 25920 = 10.2°.3*
25921 = 7.23”
29 613088 = 2°. 7?. 17. 23
613089 = 3°. 29°
31
37
41
43
«47
”
ZUR BERECHNUNG DER GEMEINEN LOGARITHMEN.
16a8o = 10.2%.3°.17.19. 0 53
116281 = ı1°.31 |
165648 = 2*. 3.7. 17.29 | 9
165649 = ıı?, 37 I
1413720 = 10.2?.3°.7.11.17 | 61
1413721 = 29*.41? ||
‚978120 = 10.2”.3°.11.13.19 | 67
978121 = 23°. 43°
664848 = EA 7.13 | 71
664849 = 31°,47° I
ER:
28
N
100. 7.19.23
ı = 3°. 11°. 53°
560 = 10.2?.3.11?. 13.31
w.
un
5851561 = 41°.59°
3575880 = 10.2°.3°,7.11.43
3575881 = 31?,61?
1620528 = 2*.3.7°.13
1620529 = 19°. 67°
2016399 = 3. 7°. 11.29.43
2016400 = 100.2?,71?
3
83
89
97
5116644 =
5116645 =
5997600 =
5997601 =
1164240 =
1164241 =
2859480 =
2859481 =
1138488 =
1138489 =
503
2*, ar 13°. 29°
7.17.19. 31. 73
100. 2°.3°.7°.17
31°. 79°
=... 7.1
13? 83?
10,2°.3°.13°.47
19?.89?,
2°.3.13.41.89
11?.97°
Zur Bestimmung der Logarithmen für alle die Primzahlen , welche kleiner
als 200 sind, kann man mit Vortheil die in den Tabellen für Cyklotechnie gefun-
denen Zerlegungen von aa+1, a+2,..aa+81 benutzen, wenn man sich
auf diejenigen Zahlen a beschränkt, welche selbst nur Primzahlen unter 200°
als Theiler enthalten. Die übrigen a lassen sich dann zur Bestimmung der Lo-
garithmen der darin vorkommenden grösseren Primtheiler verwerthen.)
504
NACHLASS. QUADRATORUM MYRIAS PRIMA.
6: | 7 | 8: } or]
80 o ır | 2r | 3r | 4r| s5ı
| ıo | 20 | 30 ! 40 | so] 60 | 0 | 19 | 19610|16810!26010[37210|50410|65610 82810Jooc
1210/4410
| 00|1000'4000|9000 16000 2500036000 N a A = ige" 14 16 18 20) 22) 24 a6 a 201
ı| 02] 04 06 eh er 28 32| 36lo04 | 14 18) 22) 261 3z0l 1341 38 5 H 609
2| 04 08 12 16, 20 er .) 48| 54Joog | 161 22| 28 34 40 46 521 5 Ig ag.le :
ae en a en Me 64 72loı6 | 18 261 341 42 sol 58) 66 74 82882]8:
rl a a ee 81/65691 82901Jo25
’ I u 6 zı 509
o 60 70 80181090l025 21 31] 4 5 6en7o0 19236
5 20) 20 30) 40 2 ,| 84 64096 81108l036 | 23) 351 47| 59l 7ı| 83150495|65707
g ne an Me Bi 8449098 64ıı2| 26049 | 25 391 53] 67) 81137295 % A ” 66%
14) 28 42) 5 lo6 27) 43| 59| 7512609137307
A 16, 32| 48 64) 80 36096 a SH a | = 47) 65 8326101 191 37 55 73]881
18 36 54| 7225090 36108) “ 4 „ 2 82992|100
= | i | | 601 8olıoo || 32) 52) 72116892] 12] 321 5 7
ı0| 20 40° 601 8025100] 20 A 6| 781169001 22] 44 66165788 830101321
| 10) 2 76 8ırg8|r2ı 341: ;3P| "7 6 8ol6r8o 281544
ıl 22: 44 66) 88 3 2: 6yrga Sra16lı44 | 36 60 8 08 32] 5 5004 n2
2 Ir A BE ee a 208) zalı6g | 38, 64] 900 16) 4a] 681505941 20 46762
1 Be a a De Me 196 | 40 689696 24] 52] 8050608 ” 499
4| 28| 56 8 12) 40] 684919 | ‘ 5 | | E 93| 231 53 183083Ja25
8 ı0 40 701225 || 43| 739703 33 31373 aan
a n 405| 37) 69, 83101J45
| 5] 30) le 28| 6olz6192| 24] 5681288[256 45 77 09 S % 37 art Filekese| " Solete
| 65 32) 64 81306289 | 47) 81 15) 4
Eee 64288) RE 6soor 37jo2a
I 231 Gars aalacıl Sal 901 281 Güntaol 41 8 | 5
19 38 76 I4 52125190 2 43 | | I 4 50694 34| 74
| 0 80) 20 60j400 11254] 94| 341 74 4 5 8 FE ir
a 5240204 361 älter söMaml an] da] 24 el see
ı| 42 84 26 10 | | 61484 | 5814502] 461 90° 34 7 a; |
| 6449308 521813961484 | 5 37) 83 29
2| 44 88) 32) 76) 20 | 6881414|529 || 61) 07) 53116999) 45]37491 |
3] 46 92) 32) 34, 38 6 pi 36164384 Be A 63) ı1) 59117007 55]37503| 51 6599) 47
4]1048 4096 44 16192| 40]362 36 i | 6 x 6 a Eos) 65
50 4100 30 162001,, 591303 eslere| 19 zu 23] 75| 27] 791 31183283
a 6 12 64 16 68 6 1 7 Pe
De = 2 i| BR 24" 73 32 814861729 | 70) 24] 78 32 6 . 2 a 6) es:
54 8| 02 ı 84 | 72! 28) 84| 4012629 ”
3 56 12 68 24 = 2 2 z a Ay | I 32| 90 48 26306 64| 22) 80 38
2 58 16 74 32 125290 4 4949 | | 6 6 36 66096 56
| : 60 20 80) 4olgoo | 761 369796 56) ı 7 6er 5
30] 60] zo) .80| . 4025300 644961 581061 | 79] Aulg8o3| 651 27l375891 Sr66rız 8
| 62 24] 86 48) 20 ir o| 645131 77024 | 81) 45] 09 731 37]37601) 65 Big
al 65| 291] 93 57) au er 29 815951089 | 831 49 15 81) Al 23 79 45934
a) ©7| 33]9299| 65| 37]86397| 63 45 816131156 | 85| 53l a1] 89 57] 25150893) 61] 29
691 3719205) 731 41136499) 77 68 8l50908| 78 48
i I 2 61 zı]l225 | 88 58 2817098 3 Pi
5: Ba Ba 3 a 0 5 Wiaad 771 491296 | 90) 62) 3417106 78] 50 ne 66210 8 8
ne, 45 u ©4598] 078369 |. 9 U 1a Fe p 33503
Al 75| 49 23 16297 FE Es 5 64660 81685 444 95| 7ıl 47 2326399 75 2 =
a R 1 u 4 47) 25817031521 11297] 75) 53, 3126409] 87 5 4
79 532.3 191376 79 39...
52.39 9137099
a a 2 Ba 1 u = .. ke ech Y 651 47) 2937711150993 © 75| 57
83| 65, 47) 29) 11136493 en 73| 57W64| 04 88) 72] 561 «ol 24151008 . ’ ir
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87| -73| 59) 45) 37 27149 64705,81793[936 | 084596) 84 721 6ol 48) 3
8 77, 65 53] 4] 29 77 8 ıl 61) 5 gun gr
= A 22 81812lo25 ı1 4601) gI ne BR : £ „39
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Kobe 78 a 66 6 sul 48hog | 15] oplapazlarıy? are er 51092 [66389183684
o' 84 h 09'17205|2650
Nr r, 7a 701 66304) a7) 13] 0917
505
u
= m
QUADRATORUM MYRIAS PRIMA.
10 | 20 | 30| 40 | soj 60 | 70 | 80 | 9o I az | 22 | 37 | 42 | sı| 62 | 72 | 8] gr |
/
1102| 4202 9302|16402|25502[36602|49702|64802|81902|500 1322 :4622| 9922 77222|26522 37822|51122/66422|83722[500
ın
[eo]
ıl 04 06 08 100 za] 14] 16 18) zoßor| 241 261 28 30) 32| 34 36 38 4ol8or
2| 6 10 14] 18) 22| 6 30) 34 381704 | 27) 31 35| 39: 435 , 471 : 57] 55|. 591194 l .
al 8 14 20) 26) 32| 38° 44 50) 561809 | 29] 35) 41 47) 53] 59) 65| 71° 771409
a| 10) 18) 26) 34] 42| 50) 58 66 741916. 31) 39) 4 55) 631 72) 79166487183795|716
sl 23 23 33| 43l 53l 63) 73) 83/81993lo25 | 34 44 54 64 74] 84 51194166504183814l025
6| 15 27) 39) 52) 63| 75149787 64899 82011l136 | 36 48 60 72) 84]3789651208| 20] 321336
1 37) 38) 45) 59] 73] 87149801 64915| 29]249 38; 52) 66 8026594137908 22) 36 50 649
8 19) 35) 5ıl 67] 83l36699| 15 31) 47364 | 40 56 72) 8Biab6od| 20 36 52) 68|964
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6ol 231 431 631 Salas6og| 23] 43| 63,82083]600 | 45 65 85 17305| 25| 45) 65 66585 83905|600
al 25 47) 691 gal 23 35 57° 7982r0nlgr | 47) 69| gr 13) 35 57) 79166601) 23lg21
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INDICES DER PRIMZAHLEN IM HÖHBERN ZAHLENREICHE.
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- HÜLFSTAFEL
BEI AUFLÖSUNG DER UNBESTIMMTEN GLEICHUNG
A=fr2e+gyY
VERMITTELST DER AUSSCHLIESSUNGSMETHODE.
Es wird vorausgesetzt, dass man zum Excludens eine Primzahl » gewählt
habe, durch welche keine der Zahlen A, f, 9 theilbar ist. Auch beschränkt sich
die Tafel auf die zwei Fälle, da der Werth des Ausdrucks z (mod.p) entweder
ein bestimmter quadratischer Rest (allemal 1), oder ein bestimmter quadratischer
Nichtrest des Modulus p ist. Endlich hat man sich begnügt, die Tafel nur für
den Fall einzurichten, wo fg ein quadratischer Rest von p ist, und den entge-
gengesetzten ganz übergangen. Der sechste Abschnitt der Disquisitiones Arith-
meticae gibt hinlängliche Belehrung, wie man das, was die Tafel nicht unmittel-
bar enthält, leicht aus derselben ableiten könne.
Beispiele. Es sei die aufzulösende Gleichung 21680143 = 2r+78yy
1) Excludens = 5 IN, == 2r
Ex tabula 1,4 pro fg = R adeoque 0,2,3 pro fg =N,
et pro cas upr. 0,1,4 sive excl. 5n—+2
k
[5
2) Excludens = 7 EB, z=’= 1,3°
Ex tabula 0,1,2,5,6 Pro casu praes. 0,3,6,1,4 et excl. 7»a+2
3) Excludens = 11 fg=R, En !
habentur itaque 0,1,3,5,6,8,10 excl. 112-+ 2,4
4) Excludens —= 17 ee N, = 91 = 1.3!
0.7.93. #8
9.8 5,1
u 2,8, 4, 6, 7
Excludens —+1, 5, 8
508
= Werth |Zahlen denen positiv oder nega-|) Ex- = II SENR
Alf foR
bios tiv genommen x nach dem Mo- © ie IP
p er d dens 74
F mod.p)| dulus p congruent sein muss. P\ | | Adısittunber Rxeinduntur
3 I 0,1 | 3 ı| 1jo 1.2
2 I N 2| 2 1.2 o
| 1.4 |2°3
5 I 0,1 | 2 3 |1.4 0.2.3
2 I | 5 3| 212.3 0.1.4
| 4| 40 2.3 114
7 1 0, 1,2 | ı| TIo.2.5 1.6 13-4
6 2, | 2| 4 0.1.6 3.4 125
| 7 3| 5 1.3.4.6 10.2.5
11 I I Fr Pu | 4| 20.3.4 2.5 1.6
10 E58 5| 3 1.2.5.6 0.3.4
| 6| 6 2.3.4.5 0.1.6
13 I O1 2,6 | 1) 10.3.5.6.8 1. 102.4:7°9
2 1,45 | 2| 6.1.2.3.8.9.10 0.4-5.6.7
| 3| 4 0.3.4.7.8 5.6 |1.2.9.I0
17 a 0, 1,3, 4, 6 | 4| 3 0.1.5.6.10 2.9 3.4.7.8
3 1,2,4,6 Ir 1.3| 9/0,5:3:9-10 4.7 13-5.6-8
22 | 6| 2 |1.4.5.6.7.10 0.2.3.8.9
| 7' 812.3.5.6.8.9 0.1.4.7.10
19 I 0, 1, 2,3, 4, 7 8| 712.4-5.6.7.9 0.1.3.8. IO
18 1, 3, 6,7, 8 | 9| 5 |0.2.4.7-9 3.8 |1.5.6.10
| Io | 10 |1.3.4.7-.3.I0 0.2.5.6.9
23 I 0, I, u 8, 9, I0, II 6.7. 13.4.5.8.9» |
22 1,2, 3,4 6, 8 r 110.2 7.11 I. 123 4.5 9 a -
7 11.4.5.8.9.12 0.2.3.6.7.10.II |
| 3| 9 jo.2.5.8.11 4.9 1.3.6.7.10.12
29 I 0, 1, 5, 6, 8, 9, II, 13 | 4 | 10 |0.1.4.9.12 2. 11,3-5.6.7.8.10
2 1,3, 5; 6, 8, 13, 14 5| 8:1.2.3.10.11.12 0.4-.5.6.7.8.9
e 6 11 |3.4.6.7.9.10 0.1.2.5.8.11.12 |
& 3 | 7| 22.4.6.7.9.11 0.1.3.5.8.10.12 |
I 0,1, 2. 5,7, 10, II, 13 8| 5 |2.3.5.8.10,11 0.1.4.6.7.9.12
3° a 9| 3 j0.5.6.7.8 3. 10 1.2.4.9.11.12
Io | 4 |0.1.3.10.12 6.7 |2.4.5.8.9. 1
I 0,1,2,7, 8, 10, II, 14, 16, 18 ır | 6 |1.5.6.7.8.12 0.2.3.4.9.10.I1
R 1, 3, 6, 7, 8, 14, 15, 17, 18 | 12 | 12 |0.3.4.9.10 5.8 11.2.6.7.11.12 |
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| 2, 1/0.3.4.6.11.13:14 | 1.16 2.5.7.8-9.10.12.15 |
I 1. 3, 9, 12, I3, 14, 16, 17, 18, 19 2| 9 j0.1.2.7.10.15.16 |6.1r 13.4.5.8.9.12. 13.14 |
3 I, 2, 6, 7. 8, 9, II, 12, 13, 17 3| 61.2:4.6.11.13.15.16 10.3.5.7:8.9.10.12.14
4 13 |0.5.6.8.9.11.12 2,15| 11.3.4.7.10.13.14.16
1 0,8. 2,.2:7, 8, 9, II, 13,17, 18, 20 5 7 1.2.3.8.9.14 15.16 0.4.5.6.7.10» .I1.12.13
42 1, 2,5, 6, 7, 8, 9, 16, 17, 19, 21 6. 3 |2.5.6.7.10.11.12.15 |0.1.3.4.8.9.13. 14.16
7| 5 13.4.5.7.10.12.13.14 |0.1.2.6.8.9.11. 15.16
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46 2, 3,5,9, 13,15, 16, 18,19, 21, 22,23 10 | 12 |1.3.5.6.11.12.14.16 0.2.4.7.8.9.10.13.15
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I 0,1,4,5,8, 10,12,13,14,16,19,20,21,22 ‚1210 2.4-.5.8.9.12.13.15, 0.1.3.6.7.10.11.14.16 ||
2 1,3,7,8, 11,12, 15, 16, 18,21,24,25,26 113 | 4 |0.2.3.7.10.14.15 8.9 |1.4:5.6.11.12.13.16
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IO |1.2.4.6.9.10.13.15.17.18 10.3.5.7.8 11.12.14.16
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5 10.4-5.6.8.11.13.14.15 217 11.3.7.9.10.12.16.18
4 ı0.1.2.6.8.11.13.17.18 9. 10 13. 4.5.7.12.14-15.16
16 0.1.3.4.9.10.15.16.18 5.14 2 6.7.8.11.12.13.17
II /0.1.3.5.6.13.14.16.18 8.11 |2.4.7.9.10.12.13.15
12 [1.2.4.7.8.11.12.15.17.18 10.3.5.6 9.10.13.14.16
17 |0.2.6.7.9.10.12.13.17 3.16 1.4.5.8.11.14.15.18
2 |1.2.3.5.9.10.14.16.17.18 |0.4.6.7.8.11.12.13.15
7 10.2.5.8.9.10.11.14.17 7.12 |1.3.4 6.13.15.16.18
8 |1'5.7.8.9.10.11.12.14.18 0.2.3-4.6.13.15.16.17
3 |2.3.4.5.8.11.14.15.16.17 0.1.6.7.9.10.12.13.18
15 |3.4.6.8.9.10.11.13.15.16 0.1.2.5.7.12.14.17.18
14 |2.3.5.6.7.12.13.14.16.17 0.1.4.8.9.10.11.15.18
6 |0.3.7.8.9.10.11.12.16 4.15 |1.2.5.6.13.14.17.18
9 |0.1.4.5.6.13.14.15.18 6.13 |2.3.8.9.10.11.16.17
18 |1.3.6.7.8.11.12.13.16.18 0.2.4-5.9.10.14.15.17
1 |0.4.8.9.10.11.12.13.14.15.19 |1. 22 [2.3.5.6.7.16.17.18.20.2I
12 |0.1.3.4.6.9.14.17.19.20.22 5. 18 12.7.8.10.11.12.13.15.16.21
8 |0.1.5.6.8.10.13.15.17.18.22 7.16 12.3.4.9.11.12.14.19.20.21
6 |0.1.3.5.7.8.15.16.18.20.22 2.21 |4.6.9.10.11.12.13.14.17.19
14 |1.2.4.5.7.9.14.16.18.19.21.22 0.3.6.8.10.11.12.13.15.17.20
4 |0.2.4.5.6.7.16.17.18.19.21 11.12 1.3.8.9.10.13.14.15.20.22
10 [1.2.7.8.9.11.12.14.15.16.21.22 0.3.4-5.6.10.13.17.18.19.20
3 10.2.5.6.8.11.12.15.17.18.21 |10.13|1.3.4.7.9.14.16.19.20.22
18 |0.1.4 7.10.11.12.13.16.19.22 [3.20 2.5.6.8.9.14.15.17.18.2I
7112.3.5.10.11.12.13.18.20.21.22 0.4.6.7.8.9.14.15.16.17.19
21 13.4.5.7.8.10 13.15.16.18.19.20 0.1.2.6.9.11.12.14.17.21.22
2 |0.2.3.7.10.11.12.13.16.20.21 [9.14 1.4.5.6.8.15.17.18.19.22
16 |0.1.2.3.8.9.14.15.20.21.22 6.17 |4.5.7.10.11.12.13.16.18.19
5 [1.5.6.9.10.11.12.13.14.17.18.22 0.2.3.4.7.8.15.16.19.20.2I
20 |3.5.6.7.9.11.12.14.16.17.18.20 0.1.2.4.8.10.13.15.19.21.22
13 |0.2.6.7.9.10.13.14.16.17 2I 4. 19 |1.3.5.8.11.12.15.18.20.22
19 |1.2.3.4.6.10.13.17.19.20.21.22 10.5.7-.8.9.11.12.14.15.16.18
9 10.3.4.5.9.11.12.14.18.19.20 8.15 |1.2.6.7.10.13.16.17.21.22
17 |1.4.6.7.8.11.12.15.16.17.19.22 0.2.3.5.9.10.13.14.18.20.2I
15 12.4.5.8.9.10.13.14.15.18 19.21 0.1.3.6.7.11.12.16.17.20.22
ı1 |3.6.7.8.9.10.13.14.15.16.17.20 0.1,2.4.5.II.12.18.19.21.22
22 2.3-4.6.8.11.12.15.17.19.20.21 0.1.5.7.9.10.13.14.16.18.22
z Excluduntur | Admittuntur
A
SECTIO 00TAYA.
QUARUNDAM DISQUISITIONUM AD CIRCULI SECTIONEM
PERTINENTIUM UBERIOR CONSIDERATIO.
367.
Quae in posteriore Sectionis septimae parte inde ab art. 355 tradidimus,
' gravia utique specimina exhibent de magna theoriae sectionis cireuli fertili-
tate, nec non de nexu miro, qui hanc disciplinam cum variis disquisitionibus
arithmeticis jungit. Illic vero, spatii temporisque angustia nimis coarctati, levi-
ter tantum huncce campum stringere potuimus, qui quo ulterius in eo progre-
dimur, eo largiore messe conatus nostros remuneratur. Propositum itaque nobis
est, unam alteramve quaestionum ibi inceptarum hic denuo resumere copiosius-
que pertractare: certoque lectores non sine magna admiratione plurium problema-
tum arithmeticorum, quae toto hinc coelo dissita esse quisque expectavisset, so-
lutionem huic fundamento inniti videbunt.
$
368.
Argumentum fertilissimum suppeditat disquisitio in art. 356 inchoata, ubi
complexu radicum aequationis 2" —1 —= 0 (unitate exclusa) in duas classes
discerpto, aggregatum in utraque classe definire docuimus, quae scilicet prodie-
zunt = —4-+4yYn et —4+—4Yn pro casu ubi n est formae 4n-1, aut
= —44+4/—n et —4—4y—n pro casu ubi n est formae 4n-+3. Atta-
men illic non solum limitationem ad casum ubi » est numerus primus nobis im-
NACHLASS. SECTIO OCTAVA. 5ll
posueramus, sed etiam, quod multo adhuc gravioris erat momenti, signum quan-
titatis radicalis indefinitum reliquimus, seu potius hanc determinationem paucis
addigitatam demonstratione solida fulcire negleximus. Hos itaque defectus ante
omnia supplere oportebit.
369.
Jam sit itaque n numerus integer positivus quicungue, R radix aequa- .
tionis @°—1-—= 0 talis, cuius nulla potestas inferior quam n'* unitati aequa-
lis fiat (V. art. 359, IL), designemusque per [A], ut in Sect. VII potestatem R*,
ita ut [0] 1, [1], [2), [3]. ... [Rn —1] omnes zadioes aequationis 2" —1 — 0
exhibeant. Porro denotemus aggregatum
(OH ABI +. + [mn] per 2[0)
et generalius
(OJ--I-+HLAN HL... . +1] per ZLOR]
ita ut Q indefinite quadrata numerorum 0,1,2,3....n—1 indicet. Patet igi-
tur, sicut generaliter est [A] — [p), si A, x sunt integri quicunque (positivi seu
negativi) secundum » congrui, ita etiam fore 2Z[OX) = 2[Opl, ii=g. His
ita praeparatis habemus sequens.
370.
‚ Progtema. Productum e duobus aggregatis Z[Q] et Z[— OD] assignare.
Solutio. Quum stan=0, nH”=1, n+2)”=4 etc. (mod.n), facile
patet fieri 2[QD]
=t)+R] FE] +l16]..... + [nn]
=4+ 8) +19)+[3].....+[la+1)
= [+[16)+[25]+ [36]... +[@+ 27
etc. aut generaliter
— [KK +[R HN HRS +[R+ 3)... -- +[m+%—1)?]
Hince [(—k4)x2[QD]
—= [1 +{2%+1)+{[4k+4])+[6%+9]).....+ [rm —1)’+ 2(n—1) A]
512 NACHLASS.
Hinc evolvitur 2[— O]x2[QD] in
++ +8]... +1)
+++ [8] +[15]....- + [nn-—1]
++] +112)+[21].....+an-+2n—3]
+[)+[7]+[16)+127])..... + [nn +4n—5)]
— etc
+[0)+ nA an] [6n+3]..... + [3nn—6n—35)
Quas partes verticaliter summando prodit
n 1—[ın = nua— in
[0 + El en + ste. + 1x
in qua expressione omnes partes praeter primam evanescent, quoties n est impar;
tunc enim omnes 1—[2n], 1—[4n], 1—[6n] ete. fiunt = 0, nullus vero deno-
minatorum 1— [2], 1— [4], 1— [6], 1—[8] ete. usque ad 1—[?»— 2]. Quando
vero n est par, etiam inter denominatores unusest — 0 puta 1—|r], cui respon-
det terminus [4nn] x = 2; summa partium autem ex quibus hic ortus est fit
= n[4nn]. Hic denuo duo casus sunt distinguendi. Quando n est pariter par,
fit 4nn = 0 (mod.n) adeoque [4nn] = 1; quando vero n est impariter par, fit
ınn = 4n(mod.n) adeoque necessario [4nn] = —1. Hine denique colligitur
1) pro valore impari ipsius » fit productum quaesitum =n
2) pro valore pariter pari fit productum — 2n
3) pro valore impariter pain it =0. QEI
» 371.
Operae iam pretium erit, indolem aggregati 2[Q] propius considerare.
I. Quum pro quadratis 0, 1, 4, 9, 16 etc. ipsorum residua minima secun-
dum modulum » substituere liceat, patet si M designet indefinite residua qua-
dratica numeri n a 0 usque ad n—1, atque m multitudinem radicum congruen-
tiae z& = M(mod.m), fieri 2[QO] = Xm{[M]. Numerum m in articulis 104,105
determinare docuimus.
II. Si n est numerus primus (impar), erit pro M= 0, m = 1, pro quo-
vis autem alio valore ipsius M, m = 2. Siautem n est potestas numeri primi
imparis = p”, erit m = 2 pro quovis valore ipsius M per p non divisibili —
i zono.sorath. 513
372.
Si n est numerus primus (impar), residua m consistent ex cifra, pro qua
M=1, etex 4(n—1) aliis numeris, pro quibus M = 2. Designando haec re-
sidua (excluso residuo 0) indefinite per p, erit progressio nostra — 1+2%Lr”.,
Porro si per v designantur indefinite omnes reliqui numeri infra », quorum mul-
titudo quoque erit $(n—1) et qui omnia non-residua quadratica ipsius n infra n
complectentur, manifesto erit =”
14 Ir’ + Ir = I+Hr+rr+r?.... 4171 . — 0
Quare ponendo summam progressionis nostrae sie 142%" —=A, erit
14-227’ = — A, necnon Lr"— Lr = A.
Per art. 356 fit itaue A= —+yn vel ty—n, proutnest =1 vel
= 3(mod. 4). Sed signum radicis hince nondum determinatur.
Si in progressione nostra, quam per II designabimus, pro r substituitur alia
similis radix aequationis 2—1 — 0, puta r —r*, supponamus inde prodire IT.
373.
Si n est quadratum altiorve potestas numeri primi, puta — p”, residua m
quaedam consistent e numeris per p non divisibilibus, alia erunt divisibilia per
pp neque per altiorem potestatem ipsius », alia per p‘ neque vero per p” dividi
” neque vero per pp"! divisibilia
neque vero per p”, prout r par est sive impar; his denique
poterunt et sic porro usque ad ea quae per p"”
sunt, sive per p"!
accedit residuum 0, quod est unicum per p" divisibile (conf. art. 102). Jam de-
signando per p. indefinite residua quadratica numeri p infra p cifra exclusa (quo-
rum multitudo —= #(p—1), illae diversae residuorum classes sequenti modo ex-
hibebuntur. Prima, quae per p non sunt divisibilia, repraesentantur per p—+-Ap,
ubi pro & substituendi sunt omnes integri a 0 usque ad p"=!—1, ita ut omnium
residuorum in hac forma contentorum multitudo sit = #(p—1)p"""; pro his sin-
gulis it M=2. Summa autem omnium terminorum in II his residuis respon-
dentium erit
"_ı
rP—1
8
= 2LrHtip = YSr",.rip — 2%r".
Secunda residuorum classis exhibebitur per ppp-+-Ap? ubi pro % substituendi
sunt omnes integri a 0 usquead p"=°—1 ita ut omnium residuorum in hac
I. h 79
514 NACHLASS.
r—3
forma contentorum multitudo sit = #(p—1)p””; pro singulis autem fit
M — 2p. Summa terminorum in II hinc oriundorum fit |
f . P"_
— 2p&ärtpprkp —2p&rt? ‚Irkp" — apirt? —,— — 0.
sigquidem n>3. Similiter classis tertia, quarta etc. exhibebitur per wp'+- kp,
pp°+-kp’ etc. ubi pro k omnes integri a 0 usque ad p"°—1, p"7—1 etc.
accipi debent; pro his fit M= 2pp, M = 2p” etc. Et summa terminorum in
II e classe tertia, quarta etc. ortorum evanescet, siquidem n>5, r>7 etc..resp.
Hinc colligitur, pro casu ubi r par est, in II eos tantummodo terminos
remanere, qui residuo 0 respondent, quisunt —1; pro his vero fit M = p?", ita
ut summa omnium terminorum in II fiat — pP".
GAUSS AN DIRICHLET.
A Monsieur
Monsieur LEJEUNE DIRICHLET a Paris.
Schon früher würde ich Ihnen meinen Dank für die mir gütigst übersandte
Abhandlung und das grosse Vergnügen welches Sie mir dadurch gemacht haben,
bezeugt haben, wenn ich nicht gewünscht hätte, erst etwas von dem Erfolg des-
sen zu erfahren, was ich in Beziehung auf Ihre, und ich kann hinzusetzen meine
eigenen Wünsche in Berlin zu thun versucht habe. Ich freue mich ungemein
jetzt aus einem von dem Secretair der Akademie in Berlin erhaltenen Briefe zu
sehen, dass wir hoffen können, dass man Ihnen bald im Vaterlande eine ange-
messene Fixirung zu verschaffen geneigt sein wird. /
GAUSS AN DIRICHLET. 515
Es ist mir eine um so erfreulichere Erscheinung, dass Sie mit grosser Nei-
gung demjenigen Theile der Mathematik anhängen, der von jeher mein Lieblings-
studium gewesen ist, je seltener dieselbe ist. Ich wünsche Ihnen herzlich eine
äussere Lage, wo Sie soviel als möglich Herr Ihrer Zeit und der Wahl Ihrer Ar-
beiten bleiben. Ich selbst wurde gleich nach dem Erscheinen meiner Disquisi-
tiones durch andersartige Beschäftigungen, und später, durch meine äussern Ver-
hältnisse sehr gehindert, meiner Neigung in dem Maasse nachzuhängen wie ich
gewünscht hätte. Anstatt eines zweiten Theils jenes Werks, den ich früher be-
absichtigte, werde ich mich aller Wahrscheinlichkeit nach darauf beschränken
müssen, von Zeit zu Zeit ein Memoire über einen einzelnen Gegenstand zu liefern.
Die drei Abhandlungen dieser Art, die bisher im 16. Band der hiesigen Commen-
tationen, und im ersten und vierten der Commentationes recentiores erschienen .
sind, enthalten aber (einen Theil der zweiten abgerechnet) keine von den Gegen-
ständen, die ich schon 1801 zur Fortsetzung im Auge hatte, sondern neue; und
so beziehen sich auch meine spätern Arbeiten dieser Art gleichfalls auf einen
neuen Gegenstand, namentlich die 'I'heorie der Biquadratischen Reste, die ich
etwa in drei Abhandlungen zu geben denke; die erste davon wird in kurzem für
den sechsten Band der Comment. rec. gedruckt werden, und die Hauptmateria-
lien für das Uebrige sowie für die ähnliche Theorie der cubischen Reste, ist, ob-
gleich noch wenig davon ordentlich zu Papier gebracht ist, im Wesentlichen als-
abgemacht zu betrachten. |
Empfehlen Sie mich gefälligst dem Herrn von HumsoLor, falls er noch in
Paris ist, und entschuldigen mich, dass ich jetzt nicht an ihn selbst schreibe, mit
der Besorgniss, dass mein Brief ihn nicht treffen möchte, da er, wie ich höre,
‘Paris zu verlassen die Absicht hatte. |
Mit aufrichtiger Hochschätzung
®
Ihr ergebenster
Göttingen den 13. September 1826. C. F. Gauss.
516 NACHLASS
Für Ihr gütiges Schreiben, und die gefällige Uebersendung Ihrer beiden
Abhandlungen statte ich Ihnen, mein hochgeschätzter Freund, meinen verbind-
lichsten Dank ab. Ich sehe mit Vergnügen das steigende Interesse, welches
man gegenwärtig an den Untersuchungen der Höhern Arithmetik zu nehmen an-
fängt. Die glückliche Art, wie Sie das zweite auf die biquadratische Residualität
der Zahl 2 aus dem ersten ableiten, hat mir sehr wohl gefallen.
Vermuthlich hat jetzt der 6. Band unsrer Commentationen seinen Weg nach
Breslau gefunden, und meine Commentatio prima über die biquadratischen Reste
wird Ihnen also wol gegenwärtig bekannt sein: wenn sich eine Gelegenheit dar-
bieten sollte, würde ich auch mit Vergnügen Ihnen einen besondern Abdruck
derselben übersenden. Ich hätte unter mehrern Beweisarten für das darin vor-
kommende 'I'heorem wählen können; es wird Ihnen aber nicht entgehen, warum
ich den daselbst ausgeführten hier vorgezogen habe, hauptsächlich nemlich, weil
die Classification von 2 bei denjenigen Moduln, für welche es quadratischer Nicht-
rest ist (unter B oder D) als ein wesentlicher integrirender Theil des Theorems
betrachtet werden muss, auf welchen die meisten andern Beweisarten nicht an-
wendbar scheinen.
Die ganze Untersuchung, deren Stoff ich schon seit 23 Jahren vollständig
besitze, die Beweise der Haupttheoreme aber (zu welchen das in der ersten Com-
mentation noch nicht zu rechnen ist) seit etwa 14 Jahren — (obwol ich wünsche
und hoffe, an letztern, den Beweisen, noch einiges vereinfachen zu können) —
habe ich auf ungefähr 3 Abhandlungen berechnet. Mit der Abfassung der zwei-
ten habe ich bereits jetzt einen Anfang gemacht, und hoffe sie in nicht langer
Zeit zu vollenden, falls nicht die neuerdings mir wieder aufgetragenen Messungs-
geschäfte dabei noch einige Verzögerung verursachen.
Das Schlusstheorem b= #rr (mod. p) hatte ich schon vor drei Jahren in
den hiesigen gel. Anzeigen mit bekannt, und auf den merkwürdigen dabei noch
zu lösenden Knoten aufmerksam gemacht; ich habe aber bisher nicht gehört,
dass jemand einen Versuch dazu gemacht hätte. Vor einigen Tagen ist es mir
nun mit der einen Hälfte wirklich gelungen, und dieser Fund hat mir um so mehr
Vergnügen gemacht, da er sich gar nicht auf Induction gründet — denn ich ge-
stehe, dass ich gerade diesen Zusammenhang nicht erwartet hätte — sondern a
priori auf die Combination anderweitiger sehr verschlungener und interessanter,
schon 28 Jahr alter, aber noch gar nicht bekannt gemachter Untersuchungen,
GAUSS AN DIRICHLET, 517
wovon eine leise Andeutung in der Schlussanmerkung der Disquis. Arithm. S. 668
[Gauss Werke B. I. S. 466] gegeben ist. z
Es ist dies nemlich ein ausreichendes Criterium für den Fall, wo p von der
Form 8r—5 ist.
Es sei die Anzahl der Classen, welche die binären Formen in jeder der bei-
den Gattungen für den Determinant — p bilden =%. Der Anfang einer von
mir bis zu dem Determinant — 3000 construirten Tafel steht Disquis. Arithm.
p. 520. [art. 303.) Auch ist noch zu bemerken, dass für ein p von der angenom-
menen Form, allemahl X = 2m +1 wird, wenn m die Anzahl der Zerlegungen
'von p in drei positive Quadrate bedeutet (ich sage positiver, um 0 auszuschliessen),
wie LEGENDRE durch Induction gefunden, und in den Disquis. Arithm. zuerst aus
der Theorie der ternären Formen bewiesen ist. Man hat z. B.
für HE, 729,37, 53,01, 101, 109, 149, 157 u. s. w.
Behpig ee ey,” g, 7, 3, 7, 3
EA, 0, r B F; 3, ri 3, 1
4 1 9 1416 9 ı BR. Se 4
9 16 16° 36 16 36 36 4 64 64 c
36
36 6481 49 64 144 8149 144
Dies vorausgesetzt, ist allemahl derjenige Werth von b, welcher =+rr (mod.p) ist,
=2k+a—1=4m-+a+t1 (mod. 8)
wodurch das Zeichen von b vollkommen bestimmt ist. Sehen Sie hier 22 Bei-
spiele, indem ich die Ausdehnung der am Schluss der Abhandlung gegebenen
Tafel verdopple. |
p k a | | p k a b
5 294029 181 Br
13 ei 2 | 197 5 I + 1|—14
29 Eier | | 229 Bela
37 ı |+1|— 6 1 269 | 11 |+#+13/ +10
53 s I— 7|— 2 | 277 3 1ı+ 9/ +14
61 3 I+ 51— 6| 293 9 I+171+ 2
101 2:40 | 317 5 |—11|+14
109 3 |— 3/+10| I 349 7 |+ 5|-+18
149 7 oe 4110 | 373 5 I|— 7/1 +18
157 a I<-HTi- 8 ı 389 | 11 [+17 | —10
173 7 |+13|+ 2) | 397 3 |—19| — 6
E | s0
518 NACHLASS.
Man kann die Vorschrift also auch so ausdrücken, (immer voraussetzend
p=5 (mod. 8))
. Esist b= a-+1 (mod. 8), wenn m gerade
=a-+5 wenn m ungerade.
Ich wage noch keine Vermuthung, ob ein noch einfacheres Criterium mög-
lich ist, woran man den Fall des geraden m von dem des ungeraden im Voraus
unterscheiden könnte, d. i. ohne den Werth von m selbst zu kennen, da, wie ich
schon oben bemerkt habe, dies Rapprochement noch ganz neu ist.
Für den Fall py=1 (mod. 8), bleibt zwar obige Congruenz b=2k+a—1
(mod. 8) richtig, entscheidet aber nicht mehr über das Zeichen von b, da sie dem
positiven und negativen Werthe von b zugleich genug thut. Es ist hier nemlich
k immer gerade, — 2m (wenn die Bedeutung von m eben so ausgesprochen wird
wie oben) oder — 2m-+2, wenn man unter » die Anzahl der Zerlegungen von
pin 3 positive ungleiche Quadrate versteht, und b = 0 (mod. 4), oder b = —b
(mod. 8). Ich vermuthe dass der Fall p= 1 (mod. 8) oder b = 0 (mod. 4) al-
tioris indaginis ist und vielleicht wieder |
b= 4 (mod. 8) leichter als b = 0 (mod. 8)
b= 8 (mod. 16) leichter als b = 0 (mod. 16)
u. S. w.
Mit ausgezeichneter Hochachtung beharre ich _
Ihr freundschaftlich ergebenster
- Göttingen den 30. Mai 1828. ©. F. Gauss.
BEMERKUNGEN.
Diesem zweiten Bande von Gauss Werken habe ich alle Abhandlungen, Aufsätze und Tafeln aus dem
Gebiete der Höheren Arithmetik, soweit die sieben Sectionen der Disqu. Arithm. sie nicht schon umfas-
sen, einverleibt, und zwar die in den ‘Commentationes societatis regiae scientiarum Gottingensis’ (in Quart)
veröffentlichten fünf Abhandlungen, die in den ‘Göttingischen Gelehrten Anzeigen’ (in Octav) erschienenen
(von Gauss nicht unterzeichneten, aber durch die Acten der Göttinger Universitäts- Bibliothek in Betreff
der Autorschaft verifieirten) Anzeigen sowohl dieser eignen als auch einiger anderer nichteigner Schriften,
und eine Auswahl aus dem Handschriftlichen Nachlasse.
Beim zweiten Abdruck häbe ich noch die Tabellen ‘Circuli quadratura nova’ ‘Zur Berechnung der
Logarithmen’ “Quadratorum myrias prima’ “Indices der Primzahlen im höhern Zahlenreiche’ ‘Hülfstafel
zur Auflösung der unbestimmten Gleichung 4 = fzx+gyy vermittelst der Ausschliessungsmethode’ fer-
ner ‘Sectio octava’, so weit sie aufgeschrieben ist und endlich zwei Briefe von Gauss an Diricuzer als
wesentliche Stücke der Geschichte der Höheren Arithmetik hinzugefügt.
Zur bessern Uebersicht der Gegenstände in einem so umfangreichen Bande sind die Lehrsätze auf
gleiche Weise durch den Druck ausgezeichnet, Zum leichtern Gebrauch sowohl der ältern Ausgaben wie
der vorliegenden ist bei den Verweisungen auf die Disq. Arithm. statt der Nummer der Seite die der Ar-
tikel gesetzt, so wie bei den Angaben von Abhandlungen statt des Orts ihrer Veröffentlichung deren eig-
ner Titel. Die Note, die dem Art. 2 der Abhandlung ‘7heorematis arithmetiei demonstratio nova’ ursprünglich
520 BEMERKUNGEN.
beigegeben war und die eine Berichtigung des Art. 139 Disqu. Arithm. enthielt, ist dort der betreffenden
Stelle eingefügt. Die Note auf Seite 91 ist einer handschriftlichen Notiz entlehnt. Ausserdem unterschei-
det sich die vorliegende Ausgabe von den früheren nur durch die Berichtigung einiger Druckfehler. Die
von mir hinzugefügten Einschaltungen sind durch eckige Klammern [ ] kenntlich gemacht.
Die Tafel des quadratischen Characters der Primzahlen ist nach der Weise der in Art. 99 beschrie-
benen und (in Art. 331) zur Zerlegung dr Zahlen vorzugsweise angewandten Tabula II der Disqu. Arithm.
gedruckt. Die Handschrift unter dem Titel ‘Quadratorum numeris primis divisorum residua lateralia’ hat
in den Schriftzügen am meisten Aehnlichkeit mit der des zweiten Theiles der Tafel zur Verwandlung ge-
meiner Brüche ig Decimalbrüche, sie enthält an der Stelle der den Quadratischen Rest anzeigenden hori-
zontalen Striche kleine Kreise, von denen immer diejenigen durch Linien verbunden sind, die in benach-
barten horizontalen oder verticalen Reihen vorkommen. Bei der Correctur wurde ich auf mehrere Fehler
aufmerksam, habe dann bei einer einmaligen Vergleichung mit JAcosr’s Canon Arithmeticus 190 Abwei-
chungen in den Angaben der Charactere und nach directer Bestimmung diese in Uebereinstimmung mit
jenen gedruckten Tafeln gefunden, dem entsprechend ist hier die Ausgabe berichtigt.
Von der Tafel zur Verwandlung gemeiner Brüche in Decimalbrüche ist hier der erste Theil der Ta-
bula III. der Disqu. Arithm. ähnlich eingerichtet, er enthält für die Primzahlen und deren Potenzen 9”, welche
IE -IIETR TO
zwischen 3 und 463 liegen, die Mantissen (1), (2)..(0) der Decimalbrüche von m —n ee worin
r die Einheit bedeutet, also (1)= (2) = ..(0) wird, wenn 10 Primitivwurzel von p” ist, sonst aber r die
kleinste unter denjenigen Primitivwurzeln von p” bezeichnet, für welche als Basis der Index von 10 den
kleinsten Werth annimmt. Die von 1 verschiedenen Werthe von r habe ich zur Erleichterung des Ge-
brauchs auf Seite 420 der Tafel beigefügt. Die Handschrift, in der auch noch nicht die Unterscheidungs-
ziffern der verschiedenen Perioden angegeben sind, entspricht äusserlich am meisten der Analysis residuorum
und scheint in der Zeit dem hier als zweiten Theil der ganzen Tafel hingestellten Stücke voraufzugehen. Die-
ser zweite Theil enthält für die Primzahlen und deren Potenz p” zwischen 467 und 997 die Mantissen der
Decimalbrüche von nn ‚Die Handschrift gibt die Theiler in abnehmender Reihenfolge und schliesst mit
den Worten: Explieitus October 11. 1795. Im Drucke habe ich beim Theiler 191 Periode (1) die 71°° Ziffer
hinzugefügt und beim Theiler s29 eine zwischen der 151 und 152° Ziffer stehende Zahl fortgelassen.
Die von Gauss selbst in einem Briefe (Seite 444) erläuterte Zafel der Frequenz der Primzahlen be-
steht für ihren ersten Theil, welche die Anzahl der Primzahlen in jedem der 1000 ersten Chiliaden gibt
in einer Handschrift von Gauss, es finden sich im Nachlass aber nicht die in dem Briefe angedeuteten
Abzählungen der der ersten Million angehörenden Hunderte, die eine bestimmte Anzahl von Primzahlen
enthalten. Der andere Theil der Tafel nemlich für die zweite und dritte Million ist einer von GoLpscumpr
allein herrührenden Handschrift entlehnt. Herr Meısser hat durch Abzählung und durch seine Formel
die folgenden Berichtigungen zu Seite 436 und 437 gefunden:
BEMERKUNGEN. . 521
Chilias Gauss Wahrer Werth Chilias Gauss Wahrer Werth
20 102 104 546 68 69
159 87 1X IE 6or 0 76
299: -, 96 86 625 68 78
206 85 83 668 73 74
245 78 88 875 69 73
289 85 77 784 74 75
290 84 85 800 81 7ı
334 80 RENTE 879 : 68 73
352 so 81 Bi 985 74 70
501 73 79
Die in dem Briefe von Gauss an Ecke erwähnte Formel Exckr’s scheint die folgende
2logn
n
logn
zu sein, welche Ecke in einem Briefe an Gauss vom 4. Dec. 1849 mittheilt.
Die Tafel der Anzahl der Classen binürer quadratischer Formen gibt die Anzahl der Genera und
Classen so wie den Index der Irregularität für die negativen Determinanten in den Hunderten ı bis 30,
43, 51, 61, 62, 63, 91 bis 100, 117 bis 120, dann noch in einer besondern Zusammenstellung für die des
1. 3. und ıot® Tausend, für die s00 ersten von der Form —(15r +7) und — (15% +13), sowie für einige
sehr grosse Determinanten, ferner für die positiven Determinanten des 1. 2. 3. 9. 10*°® Hundert und für
einige andere. Die Handschrift besteht aus einzelnen Zetteln, auf denen die Tafeln verschiedenartig ein-
gerichtet sind, z. B. ist bei den ältern das Wort Ordo statt Genus gebraucht, so bei den einzelnen Cen-
taden mit Ausnahme der 9. und- 10. positiver Determinanten, dann aber auch bei einzelnen vorläufigen
Zusammenstellungen in Chiliaden. Zur leichtern Uebersicht ist hier überall die Bezeichnung der Disqu.
Arithm. gewählt, auch die grössten und kleinsten Quotienten aus der Anzahl der Classen dividirt durch
den Determinanten, sowie die Anzahl der Determinanten, für welche der Quotient innerhalb gewisser Gren-
zen fällt, sind wegen Mangel an Raum nicht unter die einzelnen Centaden gesetzt sondern am Ende der
Tafel für die negativen Determinanten zusammengestellt. Aus einigen übrig gebliebenen Aufzeichnungen
scheint hervorzugehen, dass Gauss zuerst die Classen für die Determinanten berechnet hat, die demselben
Hundert und demselben Reste bei dem Theiler 15 angehören. Die Determinanten dieser Abtheilungen sind
dann nach der Anzahl der Genera und Classen und zuletzt alle die demselben Hundert angehörigen auf die
hier wiedergegebene. Weise geordnet. Den Tafeln der einzelnen Centaden sind manche spätere Berichti-
gungen eingefügt, nicht aber den Zusammenstellungen in Tausenden. Zeitbestimmungen enthalten nur die
beiden Tafeln mit den Determinanten der Form — (15% +7) und —(15n+13) nemlich resp. ‘Expl. In.
Febr. 1801’ und ‘Expl. 27 Febr. 1807.
In diesen Tafeln habe ich unter anderen die folgenden Fehler bemerkt, denen ich hier zur leich-
tern Controle die Periodenzahlen der Fundamentalelassen wie z. B. 4. 4. 2 bei dem Determinanten
I. 81
a
522 Se BEMERKUNGEN.
—ıı713 und die durch Formen der resp. Fundamentalelassen dargestellten Zahlen wie 31. 37. 2 beifüge,
indem, wie in meiner Abhandlung Band ı4 der Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissen-
schaften zu Göttingen, als Fundamentalclassen solche Classen genommen werden, die in Vereinigung mit
den Classen ihrer Perioden durch Composition jede eigentlich primitive Classe des Determinanten einmal
und nur einmal hervorbringen.
Es sind schon die Angaben fortgelassen: und hinzugefügt:
Centass 9 G.IV...3.,— 827[21::3] Centass 9 G.IV...3..— 828[6.2::31.23]
26 IV 14 — 2587[24:: 11] + IV 14 — 2586[28.2::7.2]
26 VIII 6 — 2564[56::3] 26 VIII 6 2-4 a6 [, 2,2:19,3.5]
91 I ıı — 9059[117::5] gı I 17 — gosg[17::5]
ı2o IV 32 —ı1ı956*2*[36.2::11.49] ro IV 32° —ı1966*2*[32.4::5.83]
I I 2 + 37[3::3] Pr I > Ua RER EEE}
2 I 2 + ıoı[3::4] n, 1 3 + zc0l3::4]
Bei der Tafel für Centas 3 und der letzten auf Seite 476, welche in der Handschrift mit einer von
der hier abgedruckten äusserlich verschiedenen Aufzeichnung der Centas ı und 2 vereinigt vorkommen,
sind die zwölf Abtheilungen statt mit I. Ordo uniceus. 1; I. O.2; 1. O.3; I. 0.4; I. Ördines duo. 1.1;
I. 0.1.2; 1.0.2. 2; H. O. 3. 3; III. Ordines quatuor. s. 1.2. 1; Il. O.2:1.2. 25-0. O. a;2. 2. 2;
IV. Ordines Ste .2.22020272. 1; hier auf die sonst angewandte Weise mit G.I.1; 6.1.3; G.L. 5;
G. 14; G.1.1; G.1l. 2; G.1l. 3; G.11. 5; G.IV. 1; G. IV. 2; G.IV. 3; G. VIII. ı; bezeichnet. Die
Rechnung ergibt nemlich z.B. 269. I. 3 [3::4]; 235. IV. 3 [6. 2::3. 5]; gor. I. 5 [5::9]; 577. I. 7 19:23];
727. U. 5 [10::3]. (Genera I statt Genus I auf Seite 469 ist ein Druckfehler).
In Folge von Druckfehlern ist auszulassen: und hinzuzufügen:
Centas 27. G. IV....ı6...— 2624 *3* Centas 27. G. IV....16...— 2624*2*[16. 4::3. 16]
93 IV 6 — 916 93 E% 16 — 9216**[16.4::5.9]
ıı8 VII 4 —ııı13*3* 18 VII 4 — 11713 *2*[4.4.2::31.37. 2]
Nach meiner Berechnung ist noch auszulassen: und hinzuzufügen:
Centas 10. G. II.... 9...— 972[6.3::7. 13] Centasıo. G. 1I.... 9 — 972*3*[6.3::7. 13]
17 IV 4 — ı66o[10.2::11.5] 17 IV 12 — 1700[24.2::3. 17]
20 IV m — 1982[24::3] 20 IV 12 — 1997[24. 2::7. 2]
21 IV 6 — 2096[30.2::3.4] 21 IV 6 — 2097[12.2::47. 2]
23 IV 9 — 2221[18::10] 23 IV 9 — 2224[18.2::5.16]
24 IV 12 — 2376[12.2.2::5.8.8] dr: AV. 12 — 2366[24.2::3.2]
29 IV 9. — 2887[25::8] 29 IV 9 — 2885[18.2::3.5]
61 IV 7° — 6028[12.2::13.4] 61 IV 6 — 6028[12.2::13.4]
96 VII 13 — 9594[20.2.2::31.2. 13] 9 VII 13 — 9546[26. 2.2::5.3.37]
118 IV 25 —11780[16.4.2::3.8. 19] 118 IV 25 —11750[50.2::3.47]
ı8 VII x —11780[16.4.2::3.8. 19] ı8 VII 16 —11780*2*[16.4.2::3.8.19]
19 VII 16 —11840[24.2.2::5.9.7] 19 VII 16 —11840*2*[16.4.2::3.16.5]
BEMERKUNGEN. Sud 523
Millias 1 G. I... 3...— s5aılıo::ır] Millias I. G. D.... 5-...— qı5[1o::13]
ie I 1 4 — yısl[ıo::13] I II 5 — Saılıo::ıı]
EM 8 — wlteg a MM 9 — 459*3*[6.3::5.9]
I u 8 — n2[ı18::3] I II 9 — 527[18::3]
I u 9. — ı9alzo::5] I u 9 — n22[18::3]
I I 9 — 459[6.3::5.9] I 11 9 — 972*3*[6.3::7.13]
I I 9 — 972[6.3::7.13] I II 10 — 194[20::5]
I UI nn -— 842][;,6::13] I II 13 — 842[26::13]
I IV 3. — 734[8.2::5.4] I IV 2 — 532[4.2::13.7]
I IV 4 — 532[4.2::13.7] 2:38 4 — 734[8.2::5.4]
I IV 5. — 4s[12.2::3.17] I IV 6 — 4235[12.2::3.17]
ı IV 5 — 608[12.2::13.27] I IV 6 — 608[12.2::13.27]
I IV 5 — 629[18.2::5.2] ” 1. SIW 9 — 629[18.2::5.2]
II 1 15 — 2578[16::13] III II 15 — 2518[30::19]
x I sm — gosg[ıı7::5] x I 17 — gosg[ı17::5]
formae—(ısn+ 13) IV 4 7° — 2788*2*[8.2::19.17] formae—(15n+13)1V 4 — 2788[8.2::19.17]
Die Tafeln zur Cyklotechnie geben für 2452 Zahlen von der Form aa-+ı, aa+4, aa+9,....aa+8ı
die sämmtlichen ungeraden Primtheiler p neben den zugehörigen a und zwar in solchen Fällen, wo die
Primtheiler alle unter 200 liegen, nur dann werden aa+ı u.s.f. zerlegbar genannt.
Zur leichtern Uebersicht beim Gebrauche hat Gauss für jede Tafel, aus der sich die vollständigen
Zerlegungen von Zahlen einer der besonderen Formen bestimmen lassen, eine Hülfstafel aufgestellt, die ne-
ben jeder Primzahl p solche Zahlen a enthält, deren um ı oder 4... vermehrtes Quadrat die Zahl p zum
grössten Primtheiler hat. . |
Der Hauptzweck der Tafeln ist die Erleichterung, die sie für die genaue Berechnung der Bögen
gewähren, deren Cotangenten gegebene rationale Zahlen sind. Zunächst können nemlich mit ihrer Hülfe
die Bögen für kleine Cotangenten aus den Bögen für grosse Cotangenten zusammengesetzt und dadurch die
noch erforderlichen Berechnungen der‘ Reihen, welche die Bögen in ihren Cotangenten ausdrücken, auf ein
sehr geringes Maass beschränkt werden. Die hierauf hinzielenden Entwickelungen, die sich in dem hand-
schriftlichen Nachlass finden, sind wenig ausgedehnt, die folgende ist die am weitesten fortgeführte. Es
bezeichnen darin
[2] Es] [as] [a7] [as] [ar] [ar] [53] [62] » - [397] (48) (57) (839) > Br
die Bögen der Cotangenten
I ia N 6 3 ra 8- 57..239 De
2 2 we 3
Mit Hülfe der Tafeln ist durch Zerlegung von ı8-Hi, 57+, 239 +? in ihre complexe Primfactoren
G9)= 2[2]— 215] [r3]
6) = —l]+ 315] [3]
(239) = 3le] — 413]
BEMERKUNGEN.
524
gefunden und hieraus
| [2] = 12(18) + 8 (57) — 5 (239) e:
Isl= 7(18)+ 5(57) —3 (239)
[13] = 9(18)+6(57) —4(239)
ferner mit Hülfe der Tafeln
| (268) = —2[s]+ 2[13] — [17]
(38) = — [5] +z[17]
und hieraus durch Elimination von [17] und Einsetzen der zuvor erhaltenen Werthe von [5], [13]
(38) + 2(268) = (18) — (57) — (239)
Die Elimination von (18) hat dann die neue Bestimmung ergeben
[2] = 12(38) + 20(57) +7 (239) + 24 (268)
[5] = 7(8) +12(57)-+4(239) + 14(268)
[13] = 9(38)+15(57)-+ 5(239) + 18 (268)
[17] = 4(38)+ 6(57)-+2(239)-+ 7(268)
Nach folgeweiser Anwendung der Cotangenten ı17, 327, 882, „18543, 307, 278, 378, 829, PR 2943, 447,
606, 931, 1143, 1772, 6118, 34208, 44179, 85353, 485298, 17772, 9466, ‚330182, 5257, 114669, 12943 sind endlich
[2][5].. . [6x] durch (5257), (9466)...
ten zusammengestellt:
(485298) ausgedrückt und deren Coöfficienten in den folgenden Spal-
114669 |
I __5257 | 9466 | 12943 | 34208 | 44179 | ° 85353 | 330182 | 485298
2 | t2805 | — 398 | + 2950 | + 1850 | + 2021 | + 2097 | + 1484 | + 1389 | + 808
5 | +1656 | —235 | + rısı | 41092 | + 1193 | + 1238 | + 876 + 820 | 4477
13 | + 2ı00 | — 298 | + 1460 | + 13855 | +ı513 | +1570 | + ıııı . + 1090 | + 605
7| + 8975| —124) + 68| + 57) + 50| + 654 | + 4653 | + 433 | + 252
29 | +ı359 | —ı93 | + 945 | + 896 | + 979 ‚tıo6 | + 719| + 673 | + 39r F
371 + 590 |— 8341 + go| + 389 | + 425|+ 41| + 372 |+ 29 | + 170
41 | #2410 | — 342 | + 1675 | + nr | + 1736 | + 1802 | + 1275 | + 1193 | + 694
3! 94 —ıı)+ 8ı) + 6 + 716| + 743|+ 5236| + 49 | 4286
61 | +2481 | — 352 | + 1725 3 a 1677 Fl Hl Hz + ing | + 715 °
Von der Richtigkeit dieser Gleichungen, welche zur Bestimmung von [2][5].. ..[61] dienen kön-
nen, überzeugt man sich unmittelbar durch die aus obigen Tafeln sich ergebenden Zerlegungen
s7)= Tel+26)— [s])+ Il.» Zi ed
(9469) = zle] 00. Bl-sßr] en
(1293)= [el—als]+ 3[13] . . . . — [61]
(34208)= 2[2]— [s]—z[13J + [17] + [29] — 1
(4479)= 3[2] - —3[13] —2[17]— [29] . .- + [53] -
(85353) = — ]— []+ Is] — [rl . — Brl+t2[&@]— [53] Eu
(114669) = — 32] . + +67) +2[53] + 2[61]
(330182) = — 4[2]+5[5] + [13] + [9l— B7]— [ar] . + [61]
(485298) = — 2[2]— [s]-+4[13] RR Is, A
BEMERKUNGEN. 525
- Die von den Rechnern bis jetzt angewandten Arten zur Bestimmung von . = (1) stellt Gavss in
der folgenden Uebersicht zusammen
Mac (r) = 4(5)— (239) auch CLAusen
EvLer = (2)+(3) (Eurer & GorosacH 1746 Mai 28)
Vesa == 8(7) +3(2) (Vesa Thesaurus logar. p. 633)
VEGA = 2(3)+ 7 auch Crausen (Astr. Nachr. B. 25. $. 209)
Ruruerrornp = 4(5)—(70)+(99) (Philos. Trans. 1841. p. 283)
Dase == (2)+ (5) +(8) (Crete Journal. B. 27. S. 198)
Gauss. 1. = 12 (18) + 8 (57) — 5 (239)
Gauss. 2. = 12(38) + 20 (57) + 7 (239) + 24 (268)
Die ersten Rechnungen für die Tafeln gehören der Zeit der Ausarbeitung der Disgquiss. Arr. an,
sie sind dann besonders in den ‚Jahren 1846 und 47 gefördert. Am 2ı. Juli 1847 waren 2283 Zerlegungen
nach der hier wiedergegebenen Ordnung in Tafeln gebracht, die übrigen 169 sind später berechnet, und
ich habe sie diesem Abdruck (der sich vom Original in der Einrichtung nur durch die des leichtern Satzes
wegen statt der Potenzen angewandte Schreihwgise der Wiederholung der Factoren unterscheidet) mit ein-
geordnet.
Die Manuscripte mit diesen letzten Rechnungen scheinen die Resultate in der Form zu enthalten,
wie sie unmittelbar gefunden wurden. Die Reihenfolge, in welcher dabei die Zahlen a auftreten, lässt
vermuthen , dass nur für die kleinern die Theiler von aa + ıu.s.f. aufgesucht wurden, und dass die grössern
Zahlen sich aus diesen durch Anwendung besonderer Kunstgriffe ergeben haben. Aufgezeichnet ist aber
nur folgende Regel: Aus drei Zahlen a, za—n, z2a+n findet sich eine vierte
5 40° — (nn— 3)a
i nn-+ı
Diese ist immer eine ganze Zahl für n=o und n= ı, sonst nur
für azound = +y—ı mod(nn +ı) wenn n gerade
und für a=zound = yo mod" ! wenn n ungerade
Beipiee a=23,n=6, 1750507
qg=294,0n.=11, 832902
Dre 3370437
57, BE 35 74043
a=ı3,n=9, 90657
Zu der vierten Zahl gehören nemlich keine andern Primtheiler als zu den ersten dreien und davon sind
auch nur diejenigen ungeraden Primtheiler ausgeschlossen, welche der Zahl » zugehören.
Die Tabelle ‘Quadratorum myrias prima’ enthält in der Zeile der Überschrift die Tausende und
Hunderte, in der ersten senkrechten Spalte die Zehner und Einer der Grundzahl ferner in der letzten
II, 82
526 BEMERKUNGEN.
senkrechten Spalte jeder einzelnen Tabelle die drei niedrigsten Ziffern des Quadrates und in dem Innern
die vier oder fünf höheren Ziffern des Quadrates.
Die Tabelle ‘Indices der Primzahlen im Hühern Zahlenreiche’ enthält in der obersten horizontalen
Reihe den jedesmaligen Modulus, in der zweiten Reihe die zur Anwendung gekommene Basis, in der
ersten senkrechten Spalte die Restzahlen und im Innern die Indices. Die Sterne * bezeichnen die
Reste Null.
Die Handschrift des Bruchstückes der ‘Sectio octava. Quarundam disquisitionum ad circuli sectio-
nem pertinentium uberior consideratio’ scheint der Zeit der Umarbeitung der ‘Analysis residuorum’ in die
‘Disquisitiones arithmeticae’ anzugehören. Die Briefe von Gauss an DirıchLer bestätigen die Ansicht,
dass Gauss auch in der höheren Arithmetik erheblich mehr entdeckt hat als im Na e sich findet.
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*- | INHALT.
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De i i
GAUSS WERKE BAND II. HÖHERE ARITHMETIK.
- Ru
Pr
r “
Abhandlungen.
Ä Ze
Theorematis arithmetici demonstratio nova . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2.
Summatio quarumdam serierum singularium 2. 2. 2 2 2 2 2 20.
Theorematis fundamentalis in doctrina de residuis quadraticis demonstrationes
Ob ANDERE ROVER 0. 0 ann
Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio prima .. 2. 2 2 2...
Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda . 2. . 2...
Anzeigen eigner Schriften.
Theorematis arithmetici demonstratio nova . . 2 2 2 2 2 2 2 2.
Summatio quarumdam serierum singulaium . 2 2 2 2 2 2 2 2020.
Theorematis fundamentalis in doctrina de residuis etc. . 2 2 2 2 2 0.
Theoria residuorum biquadraticorum. Comm.I. . 2 2...
Theoria residuorum biquadraticorum. Comm. ll... » . 2 2 2 2 20.
Anzeigen nicht eigner Schriften.
E2
[Darsere] Recherches sur l’irreductibilit Arithmetique et G&ometrique des nom-
bres et de leur pulmsanoes.. » . -© © . 2. 0 tr...
CHEN GE a oe ee
_ Burcxnaror. Tables des diviseus . . 2... ıs14 Nov. 1816 Nov.
“ ; . Ercumseer. Construction des Siebenzehnecks . » 2. nn nn
_ SEEBER, Untersuchungen über die Eigenschaften der positiven ternären qua-
RIESE ER ee asus 5% ee
and
1808 Jan..
1808 Aug..
Febr.
Apr.
1817
1825
1831 Apr.
Mai.
Sept.
März
1808
1808
1817
1825
1831 April
März
1812 März
1809
1817 Aug.
1825 Dec.
April .
1831 Juli .„.
528
= . * # %
Nachlass. © n > »
er
Rteometrische Seite der ternären Kormen .; "7.57 2 a. u Ar
Analysis residuorum: a
Caput sextum. Pars prior. Solutio congruentiae =" —1=0.. .. ... . . Seite 199
w
Caput octavum. Disquisitiones generales de oongrualäls „u
Disquisitionum eirca aequationes puras ulterior evolutio . . 2 2 2 2 2 2 2 2 02.
Demonstration de quelques th&oremes concernants les p£riodes des classes des formes binaires
A WBCORE BEE. 0 ea age er ?
De nexu inter multitudinem classium in quas formae binariae secundi gradus distribuuntur
Bi earumque determinmtem. U, X: .- 2:0 2er
Zur Theorie der biquadratischsn Beste. L/’.. WE 1... sa us
Zur TDhggzie der complexen Zahlen. L...V I. . 2.0 0 ee. ci
Tafel des’ quadratischen Characters der Primzahlen . . . 2. 2 2. 2 2.2. s .ö.
Tafel zur Verwandlung gemeiner Brüche in Decimalbrüche . . 2 2 2 2 2 2.2.
Tafel der Frequenz der Prfhzahlen . .- WE. - a 2.20 00 0 ehe 2:0 a
Tafel der Anzahl der Classen binärer quadrätischer Formen . . 2 2 200.20.
Tafel zur Cyklotecnie . . . 2. "2.2.2... 4
Circuli quadratura nova. a
Zur Berechnung der Logarithmen . RE RL TR
ai Nah hast Wein: GEBR RE ea RER ER Aa
Indices der Primzahlen im höhern Zahlenreiche Ba Sr a 0 ee ee ee
Hülfstafel zur Auflösung der Gleichung A=fzetgYY- » : - 1 wc % an
Sectio oetava. Quarumdam disquisitionum ad cireuli sectionem pertinentium uberior consideratio. —
Msioie von Gras au Dumme #0 u nat "
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GÖTTINGEN, ”
DRUCK DER DIETERICHSCHEN UNIVERSITÄTS- BUCHDRUCKEREI.
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