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Full text of "Zeitschrift für Mathematik und Physik"

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Zeitschrift 


für 


Mathematik  und  Physik 

herausgegeben 
unter  der  verantworÜichen  Redaction 

von 

Dr.  O.  Sohlömiloh,  Dr.  E.  Kahl 

und 

Dr.  M.  Cantor. 


ZXX.  Jahrgang. 


Mit  7  lithographirten  Tafeln. 


Leipzig, 

Verlag  von  B.  G.  Teubner. 
1885. 


/         I 


Draok  Ton  B.  ft.  T«uba«r  la  DrMdcn. 


Inhalt« 


Arithmetik  nnd  Aiialysis.  Seite 
üeber   die  Integration  linearer,  nicht  homogener  Differential- 
gleichungen.   Von  Wold.  Heymaan 27 

Schlüge  der  Abhandlung 79 

Reciproke  Bfazima  und  Minima.    Von  F.  Halntehka 67 

Zar  Besultautenbildung.    Von  Ptof.  Dr.  Beosohla 106 

Notiz>ur  Differentialgleichung  (a, + 6j  ä + c«  a:*  +  dj  rc*)  ^-^  +  (a,  4-  62  a: + c,  a:*)  -—^ 

+  (at  +  6ia?)^  +  aoy=  0.    Von  W.  Heymaim 127 

Eine  Verallgemeinerung  des  binomischen  Satzes.    Von  0.  Schlömiloh  ....  191 

üeber  die  Bedingungen,  unter  denen  zwei  lineare  homogene  Dif- 
ferentialgleichungen mehrere  particuläre  Integrale  gemein- 
sam haben.     Von  Dr.  E.  OrBnfeld 210 

Oeber  n  simultane  Differentialgleichungen  der  Form  £XfidXfA=0. 

Von  Dr.  Biermann 234 

Ueber  die  Lage  der  Verschwindungspunkte  einer  ganzen  Func- 
tion.   Von  Cand.  Witting  274 

Zwei  Sätze  über  die  Integrale  simultaner  Differentialgleichungen.    Von  W. 

Heymaan 302 

Berichtigung.    Von  Prof.  Dr.  Beusohle 304 

Synthetische  nnd  analytische  Geometrie. 

DieCnrven  vierter  Ordnung  mit  drei  doppelten  Inflexionsknoten. 

Von  Dr.  C.  Beyel 1 

Schluss  der  Abhandlung 65 

Construction  der  von  einem  beliebigen  Punkte  der  Ebene  ausgehenden  Normalen 

einer  Ellipse.    Von  K.  Lanermami 62 

Zar  Gleichung  von  Kegel  und  Cylinder.    Von  Dr.  A.  Thaer 59 

Ueber  collineare  räumliche  Systeme.    Von  Prof.  Dr.  Bodenberg 112 

Weitere  Bemerkungen  über  den  Zusammenhang  einer  Steiner'schen  Aufgabe 

mit  der  Hezaederconfiguration.    Von  Dr.  C.  Hosifeld 116 

Beziehungen  zwischen  den  Krümmungen  reciproker  räumlicher 

Gebilde.    Von  Dir.  Dr.  Geiienheüner 129 

Ueber  einige  Flächen,  welche  Schaaren  von  Kegelschnitten  ent- 
halten.   Von  Dr.  A.  Weüer 159 

Ueber  Flächen  vierter  Ordnung  mit  Doppel-  und  mit  Ouspidal- 

kegelschnitt.    Von  Dr.  A.  Weiler 170 

Conjugirte  Beciprocitäten.   Von  Dr.  0oldschmidt 182 

Der  Doppelpunkt  symmetrischer  räumlicher  Systeme.  Von  Prof.  Dr.  Heger  .  245 
Ueber  einen  aus  der  Potentialtheorie  hergeleiteten  geometrischen  Satz.    Von 

Dr.  Kiemttllor 261 

Bemerkung  zum  vorigen  Aufsatze.    Von  0.  Sohlömilch 268 


IV  Inhalt. 

Seite 

Zum  Schwering'schen  LiniencoordinatensyBtem.  Von  W.  Krimpholf  ....  253 
Bemerkungen   zum   Pascarschen   Satze    über  Kegelschnittsechs- 

ecke.    Von  Prof.  Dr.  Heger 279 

Ueber  einen  von  Steiner  entdeckten  Satz  und  einige  verwandte  Eigenschaften 

der  Flächen  zweiter  Ordnung.    Von  Dr.  Oino  Loria .  291 

Ueber  gewisse  Schaaren  von  Dreieckskreisen.    Von  0.  Bchlttmilcli 301 

Näherungsformeln  fflr  Inhalt  und  Oberfläche  niedriger  Flächen- 

abschnitte.    Von  Dir.  Dr.  Geis enheimer 325 

Wann  besitzt  die  cubische  Parabel  eine  Directrix?  Von  Dr.  F.  Meyer  .  .  .  345 
Die  Ortsfläche  der  Spitzen  gleichseitiger  Tetraeder  zu  gegebener  Geraden  der 

Zeichenebene.     Von  F.  Oraberg 349 

Notiz  über  Ungleichungen.    Von  0.  Schldmüch 351 

Kinematik. 

Ueber  die  Bewegung  ähnlich-veränderlicher  ebener  Systeme.  Von 

P.  Somoff 193 

Die  Ebene  als  bewegtes  Element.    Von  F.  Wittenbaaer 216 

Ueber  einen  Satz  von  Burmester.     Von  F.  Semoif         248 

Ueber  die  relative  Bewegung  eines  Punktes  in  einem  in  continuir- 

licher  Bewegung  begriffenen  Medium.    Von  Prof.  Dr.  Bobylew    .  336 

Potentialtheorie. 

Ueber  die  Vertheilung  der  inducirten  Elektricität  auf  einem  un- 
begrenzten elliptischen  Cylinder.    Von  Dr.  R.  Bester 257 

Schluss  der  Abhandlung 305 

Optik. 

Geometrische  Beweise  des  Satzes  von  der  Minimalablenkung  im  Prisma.   Von 

KVogt 111 

Magnetismus. 

Zur  Bestimmung  der  Intensitöt  des  Erdmagnetismus.    Von  Dr.  Th.Hftbler  .     .119 


Zeitsch  ri  i't 

tilr 

Malliciiiatik  und  IMiysik 

beransgegeben 
von 

Dr.  O,  SoWömilch,  Dr.  E.  Kahl 

tiud 

Dr.  M.  Cantor. 


S0.  Jahrg&ng,    I.  Heft. 


Mit  zuvel  Vitkogmphkiesi  TlaCelu- 


Aosgogeben    am   ß*  Januar  18S5. 


Leipzig, 

Vorlag  von  B,  G,  Tewlmen 

1886, 


Verlag  Ton  Moilellen  U.  Iiöliereii  matliDiiterriclit. 

Bei  L.  Brill  in  Darmstadt  sind  erschienen : 

Math.  Modelle 

Klfte  Serie. 

Acht   Modelle 

Über  die  Abhängigkeit  der  Bflckkehrelemente 
der  Projectionen  einer  Baumcnnre  Ton 
denen  der  Curre  selbst.  Projicirt  wird  dieselbe 
in  die  Schmiegungs-,  Normal-,  rectific.  Ebene. 
Nach  Geh.  Hofrath  Dr.  Chr.  Wiener  in  Carlsruhe. 

Preis  der  8  Modelle  45  MarL 


Zwölfte  Serie. 

Vier  Pademnodelle 

lu  der  BaumcnrTe  vierter  Ordnung,  erster  Art. 
Von  Dr.  H.Wiener  in  Carlsruhe. 

1.  Die  vier  reellen  Kegel,  die  durch  die  Curve  gehen. 

2.  Die  abwickelbare  Fläche  der  Tangenten  dieser  Curve. 

8.  Nur  2  reelle  Kegel  gehen  durch  die  Curve;  die  abwickel- 
bare Fläche  ihrer  Tangenten  mit  dem  Modelle  vereinigt. 

4.  Kein  reeller  Kegel  geht  durch  die  Curve;  Darstellung 
durch  2  Hyperboloide.    Ihre  abwickelbaren  Fluchen. 

Preis  fler  Serie  380  MK.;  Nr.  l,  2, 3  einzeln  ä  110  MK.,  Nr.  4  70  Wl. 


D 


Soeben  ist  erschienen  und  durch  jede  Buchhandlung  zu  bezieben: 
le   Fortschritte    der  Physik    im  Jahre  1878.     Dargestellt  von  der 
physikalischen  Gesellschaft  zu  Berlin.     XZXIV.  Jahrgang  redigirt  von 
Prof.  Dr.  Keesen.     Dritte  Abtheilung,  enthaltend:.  Physik  der  Erde. 

Preis  12  Mark. 

erhandlungen    der   7.  allgemeinen   Conferenz   der  Europäischen 

Oradmessung  redigirt  von  A.  Hirsch  und  Th.  v.  Oppolzer.    Zugleich 
mit  dem  Generalbericht  für  1883.     Mit  10  Tafeln. 

Preis  30  Mark. 
Berlin,  1.  December  1884.  Oeorg^  Reimer. 


CommissioDs- Verlag  von  Mayer  &  Mflller,  Berlin. 


Sir  William  Thomson's  Lcctures  od  Molecular  Dynamics 

delivered  at  the  Johns  Hopkins  üniversity  in  October  1884. 

ßeported  stenographically  and  printed,  with  the  authors  concurrence 
by  the  papyrograph  plate  process. 

Nnr  wenige  Exemplare  sind  für  den  Handel  bestimmt. 
Preis  22  Mark. 
Berlin  W.,  Französischestrasse  38/39. 

Mayer  &  Müller. 


JA;I  271885 


Die  Ciirven  vierter  Ordnung  mit  drei  doppelten 
Inflexionsknoten. 

Von 

Dr.  C.  Beyel 

In  ZOriofa. 


ffierzu  Taf.  I  Fig.  1—8. 


1.  Erzeugung  ans  einer  Strahleninvolntion  und  einem  Kegelschnitte. 

Sat0,  Gegeben  sei  eine  Strahleninvolntion  J^  mit  dem 
Scheitel  M^  und  ein  Kegelschnitt  ÜT*.  Constrniren  wir  in  den 
Schnittpunkten  eines  Strahles  x^  der  Involution  /^  mit  K^ 
die  Tangenten  an  diesen  Kegelschnitt,  so  schneiden  sie  den 
Strahl  (p\^  welcher  x^  in  der  Involution  J^  correspondirt,  in 
zwei  Punkten  einer  Curve  vierter  Ordnung  —  CK 

Beweis,*  (Fig.  1.)  Wir  zeigen,  dass  auf  jeder  Geraden  g  der  Ebene 
vier  Punkte  des  durch  den  Satz  bestimmten  Ortes  liegen.  Sei  mit  Jim 
die  Involution  harmonischer  Polaren  um  M^  und  mit  m,  die  Polare  von 
^1  in  Bezug  auf  J^^  bezeichnet.**  Dann  gehört  zu  jeder  Geraden  durch 
M^  ein  Strahl  der  Involution  J\k  und  ein  Strahl  der  Involution  7^.  Letz- 
tere Strahlen  sind  somit  einander  eindeutig  zugeordnet  und  bilden  eine 
Frojectivität  Pn'  Schneiden  wir  nun  m^  mit  den  Strahlen  der  Involu- 
tion Jik  und  g  mit  den  entsprechenden  in  der  Projectivität  Piky  so  erhal- 
ten wir  in  m|  und  g  zwei  projectivische  Reihen  Tu  und  T|.  Die  Ver- 
bindungslinien ihrer  correspondirenden  Punkte  sind  Tangenten  eines 
Kegelschnittes  A"^^.  Ist  dann  t  eine  gemeinsame  Tangente  der  beiden 
Kegelschnitte  Ä"*,  ^g\  so  verbindet  t  ein  Punktepaar  2ijb7\.     Berührt  / 

*  Der  Beweis  lässt  sich  auch  mit  Hilfe  des  Satzes  von  Joncquiäres  führen. 
Von  diesem  Gesichtspunkte  aus  erscheint  die  angegebene  Erzeugungsweise  als  spe- 
cieller  Fall  der  von  A.  Ameseder  entwickelten  von  Curven  vierter  Ordnung  mit 
drei  Doppelpunkten.  (Sitzungsber.  der  kaiserl.  Akad.  d.  Wissensch.,  Bd.  79  II.  Abth. 
S.  241.)  Vergl.  auch:  Hossfeld,  Ueber  ünicursalcurven  vierter  Ordnung.  (Schlö- 
milcfa,  Zeitschr.  f.  Math.  u.  Phys.  XXVIII,  S.  296,  1888.)  Desgleichen  meine  Disser- 
tation: Centrische  Collineation  n*«'  Ordnung  in  der  Ebene  (Vierteljahrsschrift  der 
Züricher  naturf.  Geeellsch.,  Bd.  XXVI  S.  297,  1881),  wo  die  Erzeugung  von  0*  für 
den  Fall  behandelt  ist,  in  welchem  Ji  eine  Rechtwinkelinvolation  ist. 

**  In  Fig.  1  ist  K*  als  Kreis  angenommen.    Die  Involutionen  um  Mi  sind  auf 
einen  Hilfskreis  H*  durch  Mi  übertragen  und  ihre  Pole  sind  mit  J, ,  Jtk  bezeichnte. 
Zeitflobrift  f.  Mathematik  n.  Physik  ZXX,  1.  I 


Die  Carven  vierter  Orcln.  mit  drei  dopp.  Inflexionsknoten. 


den  Eegelscbnitt  K^  in  2>],  so  ist  M^D^y  ^iTtk  ein  Strahlenpaar  der 
Involution  Jijt,  und  weil  M^T\ky  ^i  ^i  ®*^  Paar  der  Projectivität  Pik  ist» 
80  folgt,  dass  M^Dj^y  ^i^i  ®^°  Paar  der  Involution  J^  ist.  Also  ist  T^ 
ein  Punkt  unseres  Ortes.  Seine  Punkte  auf  g  sind  mitbin  zugleich  auf 
den  gemeinsamen  Tangenten  von  A"^  und  A^/  gelegen.  Da  es  vier  sol- 
cher Tangenten  giebt,  so  folgt,  dass  der  in  Rede  stehende  Ort  eine 
Curve  vierter  Ordnung  ist. 

Wir  ziehen   aus   dem  Gesagten   einige  Schlüsse  über  die  Curve  C^, 

a)  Die  Punkte  der  C\  welche  auf  einer  beliebigen  Geraden  g  liegen, 
sind  paarweise  reell  oder  imaginär. 

Denken  wir  uns  durch  A"'  die  Ebene  in  zwei  Theile  zerlegt,  in 
deren  einem  die  Involution  harmonischer  Polaren  um  jeden  Punkt  herum 
elliptisch  ist  und  in  deren  anderem  sie  reelle  Doppelstrahlen  hat,  so 
liegen  die  reellen  Tangenten  von  K^  \m  hyperbolischen  Felde  der  Ebene. 
Mithin  befindet  sich  in  demselben  auch  der  reelle  Theil  unserer  CK  Also 
kann  dieser  R'^  nicht  schneiden.  Umgekehrt  kann  der  imaginäre  Theil 
der  C*  aus  dem  elliptischen  Felde  der  Ebene  nicht  in  das  hyperbolische 
übertreten.  Bemerken  wir  dann  weiter,  dass  infolge  der  angegebenen 
Erzeugungsweise  AT'  mit  C^  die  vier  Punkte  gemeinsam  hat,  in  denen 
die  Doppelstrahlen  (Oih^)  der  Involution  J^  den  Kegelschnitt  K*  treffen, 
so  folgt,  dass  C^  in  diesen  vier  Punkten  von  A"^  berührt  wird. 

b)  Auf  jeder  Geraden  durch  M^  liegen  zwei  Punkte  von  CK  Also 
ist  Jlf|  ein  Doppelpunkt  von  CK 

Sei  m^m^  das  gemeinsame  Paar  der  Involutionen  JiJik  und  treffe  das- 
selbe m^  in  den  resp.  Punkten  ilfg,  M^^  so  sind  auch  diese  Punkte  Doppel- 
punkte von  CK     Mithin  hat  C*  drei  Doppelpunkte. 

Ist  M^  reell,  so  muss  auch  ntj  stets  reell  sein.  Dagegen  können  m^m^ 
—  also  auch  M^M^  —  imaginär  werden  oder  zusammenfallen.  Dement- 
sprechend werden  wir  bei  den  folgenden  Untersuchungen  stets  zuerst  den 
Fall  besprechen,  in  welchem  M^M^  reell  sind,  und  dann  die  Modificatio- 
nen  angeben,  welche  für  imaginäre  Punkte  M^M^  eintreten.  Das  Zusam- 
menfallen von  M^  M^  wird  uns  weiterhin  zu  den  degenerirten  Formen  der 
C^  führen.  Lassen  wir  K*  imaginär  werden,  so  gelangen  wir  zu  einer 
neuen  interessanten  Form  der  CK 

c)  Durch  die  gegebene  Erzeugungs weise  sind  die  Punkte  (-^i*..) 
des  Kegelschnittes  A'*  den  Punkten  {A\..,)  der  Curve  C*  eindeutig 
zugeordnet  und  diese  Zuordnung  wird  durch  die  Tangenten  an  A"'  ver- 
mittelt. 

Wir  können  dies  auch  so  ausdrücken:  Zu  jedem  Punkte  von  C^ 
gehört  die  Tangente  an  A"*,  auf  welcher  der  zugeordnete  Punkt  von  A'* 
liegt.  Ausgezeichnete  Punkte  dieser  Zuordnung  sind  M^M^M^,  Ihnen 
correspondiren  je  die  zwei  Berührungspunkte  der  Tangenten,  welche  von 
i/j  Afg  M^  aus  an  A"'  gehen. 


Von  Dr.  C.  Betbl. 


2.  C^  als  Leitcnrve  einer  qnadratieohen  Transformation. 

Ans  dem  in  1  gegebenen  Beweise  folgt,  dass  za  jeder  Geraden  g 
der  Ebene  ein  Kegelschnitt  A"^'  gehört.  Er  berührt  m^  nnd  g  —  die 
Träger  der  Reihen  TikT^.  Ferner  mnss  er  m^m^  —  die  Doppelstrahlen 
der  Projeetivität  P\k  —  zn  Tangenten  haben.  Die  Geraden  g  und  die 
Kegelschnitte  A^/  stehen  also  in  der  Beziehang  einer  quadratischen  Trans- 
formation. Dieselbe  ist  dadurch  specialisirt,  dass  jede  Gerade  den  Kegel- 
schnitt berührt,  dem  sie  entspricht. 

Wenn  ein  Kegelschnitt  A'^^  den  Kegelschnitt  A"^  berührt,  so  sehnei- 
det die  Tangente  im  Berührungspunkte  aus  der  zu  A^/  gehörenden 
Geraden  g  zwei  zusammenfallende  Punkte  von  C^  d.  h. :  ^  ist  Tangente 
an  C^.  Daraus  schliessen  wir,  dass  unsere  Curve  vierter  Ordnung 
dieEnveloppe  aller  der  Geraden  g  ist,  deren  entsprechende 
Kegelschnitte  den  Kegelschnitt  K*  berühren. 

Die  Kegelschnitte  A'^^  welche  in  der  quadratischen  Transformation 
den  Geraden  eines  Büschels  entsprechen,  dessen  Scheitel  T^  sei,  bilden 
eine  Kegelschnittschaar;  denn  sie  haben  ausser  m^  m^  m^  noch  die  Tan- 
gente gemeinsam,  welche  T^  mit  dem  entsprechenden  Punkte  Tik  in  m^ 
verbindet.  Unter  den  Kegelschnitten  dieser  Schaar  heben  wir  diejenigen 
hervor,  welche  A"'  berühren.  Ihre  correspondirenden  Geraden  g  müssen 
Tangenten  aus  T  an  £C*  sein.  Nun  ist  bekanntlich  die  Zahl  der  Kegel- 
schnitte einer  Schaar,'  welche  (einen  gegebenen  Kegelschnitt  berühren» 
gleich  6.  Mithin  gehen  durch  einen  Punkt  der  Ebene  sechs  Tangenten 
an  C\  d.  h.:  C^  ist  von  der  sechsten  Classe. 

Betrachten  wir  speciell  das  Büschel  von  Geraden  ^,  dessen  Scheitel 
ein  Punkt  A\  von  C^  ist,  so  correspondirt  diesem  Büschel  in  der  qua- 
dratischen Transformation  eine  Kegelschnittschaar,  welche  —  ausser  m^m^m^ 
—  die  zu  A\  gehörende  Tangente  a^  [Ic]  von  K*  zur  gemeinsamen 
Tangente  hat.  Unter  den  Kegelschnitten  dieser  Schaar  ist  einer,  der  A"^ 
in  ^(  —  dem  Berührungspunkte  von  a^  —  tangirt.  Diesem  Kegelschnitt 
A'g*  entspricht  in  der  quadratischen  Transformation  eine  Gerade  —  a\  — , 
welche  in  A\  die  Curve  C^  berührt.  Aus  dieser  Bemerkung  ergiebt  sich 
eine  Construction  der  Tangente  a\  in  einem  Punkte  A\  von  C*. 
Wir  bestimmen  die  zu  A\  gehörende  Tangente  a^  an  E^  und  ihren  Be- 
rührungspunkt i^].  Dann  ist  durch  m^m^m^a^A^  ein  Kegelschnitt  A*^^ 
gegeben.  An  ihn  geht  durch  A\  —  ausser  a^  —  eine  zweite  Tangente. 
Sie  ist  a\. 

Wir  erwähnen  weiterhin  unter  den  Kegelschnitten  A^'  diejenigen, 
welche  in  der  quadratischen  Transformation  den  Tangenten  an  E*  ent- 
sprechen. Sei  a^  eine  solche  Tangente  und  schneide  sie  m^  in  Ttkf  so 
correspondirt  dem  Punkte  Tut  ein  Punkt  T^  in  a^.  Derselbe  wird  mit 
Hilfe    der  Projeetivität   Pik    gefunden.      Er    ist   der  entsprechende   zum 


Die  Carven  vierter  Ordn,  mit  drei  dopp.  Inflexionsknoten. 


Schnittpankte  der  Träger  der  Reihen  Tut,  7"^;  folglich  mnss  er  der  Be- 
rührungspunkt von  a^  an  den  Kegelschnitt  A"^'  sein,  welcher  durch  die 
erwähnten  Reihen  hervorgebracht  wird  und  welcher  a^  correspondirt. 
Zugleich  ist  aber  —  nach  Construction  —  7\  ein  Punkt  der  Curve  C\ 
Somit  erscheint  C^  als  der  Ort  derjenigen  Punkte,  in  denen 
die  Tangenten  an  &^  ihre  correspondirenden  Kegelschnitte 
V  berühren. 

8.  Darstellung  der  C^  von  den  Punkten  M^M^M^  aus. 

Wir  wenden  uns  zu  den  Kegelschnitten  K^^  welche  in  der  quadra- 
tischen Transformation  den  Geraden  durch  M^M^  zugeordnet  sind.  Sei 
x^  eine  Gerade  durch  itfj,  so  erhalten  wir  den  zu  it^  gehörenden  Kegel- 
schnitt K^^  indem  wir  die  projecti vischen  Reihen  Tut,  T^  auf  m^  und  x^ 
construiren,  also  letztere  Geraden  resp.  mit  der  Projectivität  P\k  schnei- 
den. Da  aber  diese  Projectivität  m^  m^  zu  Doppelstrahlen  hat  und  da 
M^  in  m^  liegt,  so  sind  die  Reihen  T^k^  T^  zu  einander  perspectivisch 
und  ihr  Perspectivcentrum  — S^  —  liegt  in  m^.  Daraus  folgt,  dass  der 
Kegelschnitt  AT/  in  die  zwei  Punkte  M^  und  S^  degenerirt.  Ziehen  wir 
durch  5g  die  Tangenten  an  K^^  so  sind  diese  E^  und  A"/  gemeinsam 
und  schneiden  daher  x^  in  zwei  Punkten  von  C^,  Die  Berührungspunkte 
dieser  Tangenten  mit  K^  liegen  auf  einer  Geraden  x\  durch  M^^  weil  S^ 
in  mj  —  der  Polaren  von  M^  —  sich  befindet. 

Drehen  wir  die  Gerade  x^  um  M^^  so  gehört  zu  jeder  ihrer  Lagen 
ein  Punkt  S^  und  mithin  ein  Strahl  x\.  Folglich  ist  das  Büschel  der 
^2  zu  dem  der  x\  projectivisch.  In  beiden  Büscheln  entsprechen  sich 
aber  tn^fn^  vertauschbar;  also  sind  die  Büschel  involutorisch.  Es  werden 
daher  nicht  nur  die  Tangenten  in  den  Schnittpunkten  von  x\  mit  K^  aus 
x^  Punkte  von  C^  schneiden,  sondern  auch  die  Tangenten  in  den  Schnitt- 
punkten von  x^  mit  K^  aus  x\. 

Wir  erkennen  hieraus,  dass  C*  durch  K^  und  die  letzterwähnte  In- 
volution —  sie  sei  mit  J^  bezeichnet  —  auf  ganz  analoge  Weise  hervor- 
gebracht wird,  wie  durch  K^  und  J^,  Stellen  wir  nun  die  analoge  üeber- 
legung  für  die  Geraden  durch  M^  an ,  so  finden  wir,  dass  auch  die  ihnen 
correspondirenden  Kegelschnitte  Kg^  in  je  zwei  Punkten  degeneriren. 
Wir  werden  auf  eine  Involution  7g  geführt,  welche  m^m^  zu  einem  Paare 
hat  und  mit  deren  Hilfe  wir  C^  aus  K^  erzeugen  können. 

Wir  sind  somit  zu  zwei  neuen  Involutionen  —  J^\  J^  —  gelangt, 
welche  in  Bezug  auf  A^^  und  €*•  dieselbe  Rolle  spielen .  wie  7^ .  Die  Dop- 
pelstrahlen dieser  drei  Involutionen  müssen  sich  also  viermal  zu  dreien 
in  den  vier  Punkten  schneiden,  in  welchen  K^  von  C*  berührt  wird. 

Denken  wir  uns  die  eindeutige  Zuordnung  der  Punkte  von  K^  und 
C*  [Ic]  durch  zwei  dieser  Involutionen  —  etwa  durch  Jj,  J^  —  ver- 
mittelt, so  können  wir  sagen :  Lassen  wir  den  Schnittpunkt  zweier 


Von  Dr.  C.  Beybl.  5 

Strahlen  dnrch  M^M^  einen  Kegelschnitt  K^  durchlanfen^  so 
bewegt  sich  der  Schnittpunkt  der  in  ///^  entsprechenden 
Strahlen  anf  einer  Curve  C*. 

Dabei  ist  J^J^  in  der  Weise  von  IC^  abhängig,  dass  der  Schnittpunkt 
der  entsprechenden  Strahlen  zum  Verbindungsstrahl  der  Scheitel  mit  diesen 
ein  Tripel  harmonischer  Pole  in  Bezug  auf  h^  bildet. 

üebertragen  wir  die  Involationen  /|,  /,,  ^3  auf  einen  Kegelschnitt 
B\  der  durch  die  Scheitel  der  drei  Involutionen  geht,  so  können  wir 
beweisen,  dass  die  Pole  dieser  Involutionen  in  Bezug  auf  B*  in  einer 
Geraden  liegen.  Denn  sei  ^i  ^\  ein  correspondirendes  Punktepaar  von 
IC*  und  €\  so  sind  die  Strahlen  aus  M^IH^M^  nach  A^A\  entsprechende 
Paare  der  Involutionen  /j,  J^^  J^,  Sie  schneiden  B^  in  sechs  Punkten 
A^2^S'  ^'i.^'j^V  Verbinden  wir  diese  in  der  Reihenfolge  PiP'i^ 
P%P\^  P9P  9J  80  bilden  diese  Verbindungslinien  ein  Dreieck,  welches  — 
wie  wir  anderen  Ortes*  bewiesen  —  zu  dem  Dreieck  A/j  M^  M^  perspec- 
tivisch  liegt.  Also  schneiden  sich  Pi  P\  und  m^,  P^P\  und  m^,  P^P'^ 
und  ^3  in  Punkten  einer  Geraden.  Diese  Schnittpunkte  sind  aber  die 
Pole  der  resp.  Involutionen  /j,  /j,  /g« 

Nun  kann  eine  Gerade  das  Dreieck  m^m^m^  entweder  in  drei  Punk- 
ten schneiden,  welche  in  Bezug  auf  J7*  hyperbolisch  sind,  oder  in  einem 
hyperbolischen  und  in  zwei  elliptischen  Punkten.  Dementsprechend  sind 
entweder  alle  drei  Involutionen  J^,  J^t  *^8  hyperbolisch  und  ihre  Doppel- 
strahlen schneiden  sich  in  vier  reellen  Punkten  von  C\  oder  nur  eine 
dieser  Involutionen  ist  hyperbolisch.  Auf  ihren  reellen  Doppelstrahlen 
liegen  die  vier  imaginären  Punkte,  in  welchen  die  Doppelstrahlen  der 
drei  Involutionen  sich  schneiden  und  in  welchen  K*  C^  berührt. 

Wenn  eine  Gerade  x^  durch  M^  den  Kegelschnitt  £*  in  zwei  ima- 
ginären Punkten  schneidet,  so  sind  diese  durch  die  Involution  harmoni- 
scher Pole  in  x^  gegeben.  Die  Tangenten  in  diesen  Punkten  an  AT' 
gehen  dnrch  den  Pol  von  Xi  in  Bezug  auf  £'*  und  werden  durch  die 
elliptische  Involution /t  bestimmt,  welche  diesen  Pol  zum  reellen  Scheitel 
hat  und  zur  Involution  harmonischer  Pole  auf  x^  perspectivisch  liegt. 
Diese  Tangenten  treffen  x\  —  den  zu  a-^  in  /j  gehörenden  Strahl  —  in 
zwei  Punkten  der  C\  Diese  sind  imaginär  und  durch  die  Punktinvolu- 
tion definirt,  welche  x\  aus  der  Involution  Jt  schneidet. 

Die  iStrablen  der  Involutionen  Jj,  J3,  welche  M^  resp.  M^  mit  den 
imaginären  Punkten  atif  E*  und  C^  verbinden ,  sind  nach  dem  Gesagten 
bestimmt  und  werden  paarweise  imaginär.  Ihre  Zuordnung  in  den  Invo- 
lutionen /j,  /j  wird  durch  iT*  und  C*  ebenso  vermittelt,  wie  die  von 
reellen  Strahlen.     Im  Kegelschnitt  B*^   auf  den   die  Involutionen   tlber- 


*  Vergl.  Bemerkungen  über  perspectivische  Dreiecke,   XXIX.  Jahrg.  dieser 
Zeitschrift  S.  260. 


6  Die  Carven  vierter  OrdD.  mit  drei  dopp.  InflexiooBknoten. 

tragen  sind,  macht  sich  diese  Znordnang  in  folgender  Weise  bemerkbar. 
Sei  8.  B,  das  Strahlenpaar  ans  M^  über  den  imaginären  Punkten  von  E^ 
in  x^  durch  eine  Involution  gegeben,  deren  Pol  Jk  ist,  und  habe  das 
entsprechende  Strahlenpaar,  dessen  bestimmende  Involution  perspectivisch 
zur  Punktinvolution  auf  x\  ist,  zum  Pole  Jc^  so  müssen  Jk^e  A^f  einer 
(>eraden  liegen,  welche  durch  den  Pol  der  Involution  J^  geht.*  In 
gleicher  Weise  finden  wir,  dass  auch  die  Involutionen  Z,,  /^  imaginftre 
Paare  besitzen ,  und  wir  schliessen  allgemein :  Die  imaginären  Punkte 
der  C^  liegen  paarweise  auf  reellen  Geraden  durch  ein  Af  und 
auf  imaginären  Geraden  durch  die  beiden  anderen  M, 

Wir  setzen  nun  voraus,  dass  M^M^  imaginär  werde.  Dann  sind  /, , 
Ak  hyperbolische  Involutionen  und  ihre  Doppelstrahlen  trennen  sich.  Sie 
sind  also  Paare  einer  elliptischen  Involution  und  diese  bestimmt  das  ima 
ginäre  Paar  m^m^  resp.  M^M^.  Haben  wir  dann  ans  K^  und  /^  die  Curve 
C^  gezeichnet,  und  übertragen  wir  die  eindeutige  Zuordnung  der  Punkte 
von  K^  und  C^  auf  die  Involutionen  J^y  /j,  so  sind  damit  zwei  Involu- 
tionen definirt,  welche  imaginäre  Scheitel  haben.  Die  reellen  Punkte 
von  K^  und  C^  sind  reelle  Scheitel  der  imaginären  Strahlen  dieser  In- 
volutionen. 

4.  Inflezionstangenten. 

Sei  g\k  ein  Doppelstrahl  der  Involution  7^.  Ihm  entspreche  in  der 
Involution  J^  der  Strahl  t|.  Construiren  wir  nun  auf  tj  die  Punkte  von 
C^  nach  der  in  1  gegebenen  Methode,  so  finden  wir,  dass  diese  Punkte 
in  M^  liegen.  t\  hat  also  in  M^  mit  C^  vier  Punkte  gemeinsam.  Folglich 
ist  f'i  eine  Inflexionstangente  von  C^,  Indem  wir  dieselben  Schlüsse  für 
alle  Doppelstrahlen  der  Involutionen  /u,  Jtky  ^zk  und  ihre  entsprechen- 
den Strahlen  in  den  Involutionen  /j,  J^^  J^  ziehen,  erhalten  wir  sechs 
Inflezionstangenten  —  entsprechend  der  Zahl  von  Inflexionstangenten, 
welche  eine  C^  mit  drei  Doppelpunkten  besitzt.  Zugleich  erkennen  wir 
aber,  dass  diese  Doppelpunkte  in  unserem  Falle  doppelte  Infi exions- 
knoten  sind. 

Die  Punkte  Jf|,  if^,  M^  bilden,  wie  wir  gesehen,  ein  Tripel  harmoni- 
scher Pole  in  Bezug  auf  K^,  Daraus  folgt,  dass  in  zweien  dieser  Punkte 
die  Involutionen  /jt  hyperbolisch  sind.  Dementsprechend  müssen  die  In- 
flexionstangenten  an  C^  in  zwei  Punkten  M  stets  reell  sein.  Ist  M^M^ 
imaginär,  so  muss  J\k  hyperbolisch  sein  und  die  Inflexionstangenten  in 
M^  sind  reell. 

Wir  wollen  nun  den  degenerirten  Kegelschnitt  K^  untersuchen ,  wel- 
cher  in   der  unter  2   besprochenen   quadratischen   Transformation   einer 

*  Nach  dem  allgemeinen  Satze:  Construiren  wir  zu  den  Strahlen  einer  Invo- 
lation  die  correspondirenden  in  einer  zweiten,  so  bilden  diese  eine  dritte  Involu- 
tion und  die  Pole  dieser  drei  Involutionen  liegen  in  einer  Geraden. 


Von  Dr.  C.  Betel. 

InflexionstangeDte  —  sagen  wir  t^  durch  üf,  —  correspondirt.  Er  besteht 
aus  M^  nnd  einem  Punkte  S^  auf  m^.  Von  S^  gehen  zwei  Tangenten  an 
K\  welche  i^  in  zwei  Punkten  von  C^  treffen.  Diese  fallen  —  weil  ^ 
Inflezionstangente  ist  —  in  ^2  zQfiftmmen-  Also  müssen  auch  die  er- 
wähnten Tangenten  ans  S^  sich  decken.  Dies  ist  nur  dann  möglich, 
wenn  S2  einer  der  Punkte  ist,  in  denen  m^  den  Kegelschnitt  AT'  schnei- 
det. Da  es  zwei  solche  Punkte  giebf,  bemerken  wir,  dass  derjenige  zn 
4  gehört,  welcher  Perspectivcentrum  der  Reihen  ist,  welche  die  Projec- 
tivitftt  Pik  aus  m^  resp.  i^  schneidet. 

Bezeichnen  wir  nun  (Fig.  2)*  die  Doppelstrahlen  der  Involution  /u 
mit  gik9ik*i  mit  S^S*  die  Schnittpunkte  von  g\k9ik*  mit  Wj  —  also  auch 
mit  K*  —  und  seien  f\,  f\*  die  Inflexionstangenten  in  ^j,  so  sind  ^ut\ 
und  gi^i*  Paare  der  Projectivit&t  Fit.  Bezeichnen  wir  weiter  die  Schnitt- 
punkte von  i^  mit  t\  durch  T^^  und  von  t\  mit  i^  durch  J]«2i  so  sind 
^1*^12  ^°^  ^1^1*2  Paare  der  perspectivischen  Reihen  auf  m^  und  «j.  Sie 
haben  S^  zum  Perspectivcentrum.  Also  liegen  S^T^^  sowohl  wie  S^  7i«2 
auf  Geraden  durch  S^. 

Führen  wir  den  analogen  Gedankengang  für  i,*  —  die  zweite  In- 
flexionstangente  in  Ifg  an  C^  —  durch ,  so  finden  wir,  dass  S^  T^^  und 
S^  T\*2*  auf  Geraden  durch  S^  —  dem  zweiten  Schnittpunkt  von  m^  mit 
K^  —  liegen.     Wir  schliessen  daher: 

Das  Viereck,  welches  die  Geraden  m^m^  ans  dem  Kegel- 
schnitt K^  schneiden,  ist  dem  Viereck  der  Punkte  umschrie- 
ben, in  denen  sich  die  Inflexionstangenten  in  M^  und  M^ 
schneiden. 

Dieselbe  Figur  zeigt  uns  noch ,  dass  S^  S^  durch  M^  m^  harmonisch 
getrennt  sind,  folglich  auch  T^g  und  7"^)«.  Also  bilden  i^i^m^m^  eine 
harmonische  Gruppe,  In  analoger  Weise  folgt,  dass  auch  fifi^m^m^  eine 
harmonische  Gruppe  ist.  Daraus  ergiebt  sich  weiter,  dass  die  Punkte 
7^2  7'i*2*  und  7i2^  ^i*s  ^^^  Geraden  durch  M^  liegen.  Wir  können  dies 
kurz  80  ausdrücken: 

Das  Viereck  der  S  hat  mit  dem  Viereck  der  T  den  Diago- 
nalpunkt  M^  gemein. 

Wir  haben  bis  jetzt  stillschweigend  vorausgesetzt,  dass  M^M^  in  Be- 
zug auf  ^^  hyperbolische  Punkte  seien.  Dann  ist  M^  ein  elliptischer 
Punkt  und  K^  wird  von  m^  in  bestimmten  imaginären  Punkten  geschnit- 
ten. Also  sind  auch  die  Vierecke,  welche  m^m^  nnd  m^m^  aus  K^  schnei- 
den, bestimmt  und  ebenso  die  Vierecke,  in  welchen  die  Inflexionstan- 
genten in  ilfj  und  M^  die  in  M^  treffen.     Auch  diese  Vierecke  sind  ein- 


*  In  Fig.  2  sind  die  Involutionen  auf  einen  Kegelschnitt  H*  übertragen,  der 
durch  M^MtM^  geht. 


8  Die  Carven .  vierter  Ordn.  mit  drei  dopp.  InflexioDsknoten. 

ander   resp.  umschrieben   nnd  je   einer  der  Punkte  M  ist  für  dieselben 
gemeinsamer  Diagonalpankt. 

Werden  M^M^  imaginär,  so  sind  nach  der  oben  gegebenen  Interpre- 
tation von  J^J^  auch  in  diesem  Falle  die  Inflexionstangenten  in  M^  und 
M^  definirty  wenn  wir  sie  als  die  entsprechenden  zn  den  Strahlen  dieser 
Involutionen  auffassen,  welche  nach  den  Schnittpunkten  von  K^  mit  m^m^ 
gehen« 

6.  Doppeltangenten. 

Einer  Doppeltangente  von  C^  correspondirt  in  der  quadratischen 
Transformation  2  ein  Kegelschnitt  A"^^,  welcher  K^  doppelt  berührt.  Zahl 
und  Construction  dieser  Kegelschnitte  giebt  uns  somit  Aufschluss  über 
Zahl  und  Construction  der  Doppeltangenten  von  C\  Nun  giebt  es  be- 
kanntlich vier  Kegelschnitte,  welche  drei  Gerade  —  m^^  m,,  m^  —  zu 
Tangenten  haben  und  einen  Kegelschnitt  K^  doppelt  berühren.  Dem- 
entsprechend hat  C^  vier  Doppeltangenten. 

Wir  construiren  nun  bekanntlich  die  Kegelschnitte  {Kg^)^  welche 
einen  Kegelschnitt  (iST^)  doppelt  berühren  und  drei  Gerade  ('»ii^si'nj) 
zu  Tangenten  haben,  auf  folgende  Weise.  Wir  betrachten  zwei  der 
Tangenten  —  sagen  wir  m^ ,  m^  —  als  Doppelpaar  einer  Involution  J\m  • 
Eine  zweite  Strahleninvolution  am  Scheitel  M^  ist  die  Involution  J\U' 
Von  beiden  Involutionen  bestimmen  wir  das  gemeinsame  Paar.  Die  ana- 
logen Constructionen  führen  wir  an  den  Scheiteln  M^M^  durch  und  erhal- 
ten so  drei  gemeinsame  Paare,  welche  sich  viermal  zu  dreien  in  vier 
Punkten  schneiden.  Diese  sind  die  Pole  der  Berührnngssehnen  zwischen 
K^  und  den  gesuchten  Kegelschnitten  ^/.     Somit  sind  letztere  bestimmt* 

Nun  ist  M^M^M^  ein  Tripel  harmonischer  Pole  in  Bezug  auf  ^'.  Ist 
dasselbe  reell ,  so  muss  in  zweien  der  Punkte  M  die  Involution  Jk  hyper- 
bolisch sein.  Die  Involutionen  Jm  sind  aber  sämmtlich  hyperbolisch. 
Ihre  Doppelstrahlen  sind  Paare  der  resp.  Involutionen  Jjt,  werden  also 
durch  die  Doppelstrahlen  der  Involutionen  Jk  harmonisch  getrennt.  Da- 
raus folgt ,  dass  ein  gemeinsames  Paar  zwischen  einer  Involution  /»■  and 
einer  Involution  J^  nur  dann  reell  sein  kann,  wenn  die  Involution  Jk 
elliptisch  ist.  Finde  dies  am  Scheitel  U^  statt  und  sei  h^h^  das  gemein- 
same Paar,  so  liegen  auf  ihm  paarweise  die  Pole  P,  P*  der  gesuchten 
Berührungssehnen  und  sind  bestimmte  imaginäre  Punkte.  Die  Berührungs- 
sehnen selbst  sind  also  bestimmte  imaginäre  Gerade,  welche  durch  die 
reellen  Pole  von  h^h^  gehen.  Da  h^h^  ein  Paar  der  Involution  J\k  ist, 
so  sind  diese  Pole  die  Schnittpunkte  von  h^h^  mit  m^. 

Construiren  wir  jetzt  aus  den  imaginären  Punkten  PP*  die  Tangenten 
an  K^^  so  berühren  diese  K^  in  den  Schnittpunkteti  dieses  Kegelschnittes 
mit  den  erwähnten  imaginären  Berührungssehnen.  Diese  Tangenten  müssen 
rein  imaginäre   Gerade   sein;    denn    enthielte   eine  solche  einen  reellen 


Von  Dr.  C.  Beybl.  9 

Pankt,  so  würde  die  Polare  desselben  reell  sein  and  durch  den  Be- 
rfibrnngspankt  der  Tangente  mit  ä^  gehen.  Also  wäre  letzterer  reell, 
was  nach  dem  Gesagten  ausgeschlossen  ist.  Auf  diesen  rein  imaginären 
Geraden  liegen  die  Punkte  von  C\  welche  Berührungspunkte  der  Doppel- 
tangenten sind.    Also  müssen  letztere  imaginär  sein.    Wir  schliessen  also: 

Sind  die  doppelten  Inflexirfnsknoten  von  C^  reell,  so 
werden  die  vier  Doppeltangenten  imaginär. 

Wir  untersuchen  jetzt  den  Fall,  in  welchem  ilf^,  M^  imaginär  sind. 
Wir  beginnen  —  wie  oben  —  die  Construction  von  iT^*  damit,  dass  wir 
das  gemeinsame  Paar  —  ^i^i*  —  der  Involutionen  /u,  Jim  bestimmen. 
Dasselbe  ist  stets  reell,  weil  Jim  elliptisch  ist.  Auf  ^i^i*  liegen  die  Pole 
der  gemeinsamen  Berührungssehnen  zwischen  den  Kegelschnitten  A'/  und 
A'K  Die  Berührungssehnen  selbst  gehen  durch  die  Pole  von  h^h^*  in 
Bezug  auf -&"*,  d.  h.  durch  die  Punkte  ß*H^^  in  denen  h^h*  die  Gerade 
i9i|  schneiden.  Folgender  Gedankengang  führt  zur  weiteren  Bestimmung 
dieser  Sehnen.  Wir  ziehen  durch  H^  (Fig.  3)  ein  Geradenpaar  n}^fv\^ 
welches  durch  h*m^  harmonisch  getrennt  wird,  also  einer  Involution  Ji«, 
angehört,  für  welche  h^m^  die  Doppelstrahlen  sind.  rv^nf\  schneide  K^ 
resp.  in  ÖP,  Q)P\  Construiren  wir  dann  die  Kegelschnitte  /jr«,*,  K^^^  welche 
E^  resp.  in  OP,  O'P'  berühren  und  welche  m^  zur  Tangente  haben,  so  sind 
diese  zu  einander  centrisch  collinear  in  einer  Collineation ,  für  welche  M^ 
das  Centrum  und  m^  die  Axe  ist.  Folglich  gehen  durch  M^  ein  Paar 
gemeinsamer  Tangenten  iyi\  an  diese  Kegelschnitte.  Ferner  erkennen 
wir,  dass  sowohl  K^^  als  KJ^  mit  sich  selbst  in  centrischer  Involution 
stehen  für  H^  als  Centrum  und  h^  als  Axe.  Folglich  müssen  die  Tan- 
genten ti%  i\  durch  h^h^  harmonisch  getrennt  werden. 

Lassen  wir  nun  das  Paar  tv^  w\  die  Involution  J\y,  durchlaufen  und 
construiren  wir  die  entsprechenden  Werthe  Z^,  t\^  so  bilden  letztere  eine 
Involution  J\t^  für  welche  h^^  h^  die  Doppelelemente  sind.  Die  Paare 
der  Involution  /]»  sind  also  denen  der  Involution  J^  eindeutig  zugeord- 
net. Zur  Involution  J\t  gehört  auch  das  Paar  m^m^^  weil  dieses  durch 
ÄjÄj*  harmonisch  getrennt  wird.  Construiren  wir  daher  zu  m^^^  das  cor- 
respondirende  Paar  in  der  Involution  /i,»,  so  bestimmt  dasselbe  zwei 
Kegelschnitte  K^^^  welche  K^  doppelt  berühren  und  m^,  m^,  »13  zu  Tan- 
genten haben.  Es  stellt  also  zwei  der  gesuchten  Berührungsebenen  vor. 
Die  anderen  zwei  erhalten  wir,  indem  wir  die  analoge  Construction  — 
von  H^  ausgehend  —  durchführen. 

Wir  bemerken  noch,  dass  von  diesen  zwei  Paaren  von  Berührungs- 
sehnen nur  das  eine  reell  sein  kann,  wenn  M^M^  imaginär  sein  soll; 
denn  wären  beide  reell,  so  müssten  ihre  Pole  reell  sein,  also  die  Ver- 
bindungslinien der  letzteren  sich  in  reellen  Punkten  M^^  M^  schnei- 
den. Nun  bilden  die  Pole  dieser  Sehnen  auf  einer  der  Geraden  h  mit 
den  resp.  Schnittpunkten  der  Sehnen  Paare  der  Involution  harmonischer 


10         Die  Curven  vierter  Ordn.  mit  drei  dopp.  InflezioDeknoten. 

Pole  anf  h  in  Bezug  auf  A'^.  Weil  aber  m^h^U^  eiu  Tripel  barmoDischer 
Polaren  in  Bezug  auf  Jf^  ist  und  weil  m^  den  Kegelscbnitt  AT^  in  reellen 
Punkten  schneidet,  so  muss  auch  eine  —  und  nur  eine  —  der  Linien 
h  aus  K^  zwei  reelle  Punkte  schneiden.  Auf  dieser  Linie  h  ist  folglich 
die  Involution  harmonischer  Pole  hyperbolisch,  auf  der  andern  elliptisch. 
Nun  enthält  aber  nur  die  hyperbolische  Involution  der  Pole  imaginäre 
Paare.  Daraus  folgt,  dass  unter  den  in  Rede  stehenden  Bertthrungs- 
sehnen  diejenigen  imaginär  sind,  welche  durch  den  hyperbolischen  Punkt 
H  gehen.    Die  anderen  müssen  reell  sein. 

Gehen  wir  jetzt  von  den  Berührungssehnen  zu  den  Doppeltangenten 
der  C^  über,  so  schliessen  wir: 

Hat  C^  einen  reellen  und  zwei  imaginäre  Inflexionskno- 
ton,  so  müssen  von  den  vier  Doppeltangenten  zwei  reell  und 
zwei  imaginär  sein. 

6.  Involutorische  Lage  der  C^. 

Sei  ^i^'i  ein  Paar  der  Involution /^ .  x^  trefiPe  K^  in  ^i^i*  Oon- 
struiren  wir  in  diesen  Punkten  die  Tangenten  an  K^y  so  schneiden  diese 
sich  in  S^  auf  m^  und  werden  durch  m^  und  S^M^  harmonisch  getrennt. 
x\  trifft  diese  Tangenten  in  zwei  Punkten  —  A\^  B\  —  der  C*.  Also  wer- 
den auch  diese  durch  M^^  resp.  m^  harmonisch  getrennt.  Das  Analoge  gilt  für 
Punkte  von  C\  welche  auf  Geraden  durch  M^M^  liegen.   Wir  sagen  daher: 

C^  ist  in  dreierlei  Weise  zu  sich  selbst  involutorisch. 
Centra  dieser  Involutionen  sind  die  doppelten  Inflexions- 
knoten.  Ihre  Verbindungslinien  sind  die  resp.  Azen  der 
Involutionen. 

Kennen  wir  also  von  C^  einen  Punkt  A\  and  ferner  M^M^M^^  so 
können  wir  drei  weitere  Punkte  B'^^  C\^  D\  bestimmen.  Dieselben  bil- 
den mit  J\  ein  Viereck,  für  welches  die  Punkte  M  die  Diagonalpunkte 
sind.  Wir  wollen  dasselbe  als  ein  Quadrupel  von  Punkten  der  C^ 
bezeichnen.  Der  duale  Gedanke  führt  uns  zu  vier  Tangenten  a\,  b\y 
c'j,  d\  — ••  einem  Quadrupel  von  Tangenten  —  der  C*,  welche  ein 
Vierseit  bilden,  das  m^m^m^  zu  Diagonalen  hat. 

Im  Allgemeinen  hat  ^in  Kegelschnitt  mit  einer  Curve  vierter  Ord- 
nung acht  Punkte  gemein.  Denken  wir  uns  nun  durch  ein  Quadrupel 
von  Punkten  der  C^  einen  Kegelschnitt  gelegt,  so  ist  für  denselben  M^  M^  M^ 
ein  Tripel  harmonischer  Pole.  Sei  dann  E\  ein  weiterer  gemeinsamer 
Punkt  dieses  Kegelschnittes  und  der  Curve  C\  so  müssen  die  drei  übri- 
gen gemeinsamen  Punkte  F\^  G\,  H\  mit  E\  ein  Quadrupel  von  lenk- 
ten bilden.     Wir  schliessen  daher: 

Hat  ein  Kegelschnitt  —  K^  —  mit  C*  ein  Quadrupel  von 
Punkten  gemeinsam,  so  liegt  anf  ihm  ein  zweites  Quadrupel 
von  Punkten. 


Von  Dr.  0.  Bbyel. 


C^  ist  von  der  sechsten  Classe,  hat  also  mit  einem  Kegelschnitte 
zwölf  Taugenten  gemeinsam.  Wird  dieser  von  einem  Quadrupel  von 
Tangenten  der  C^  berührt,  so  schliessen  wir  —  analog  wie  oben  — ,  dass 
seine   weiteren   gemeinsamen  Tangenten   mit  C^  zwei  Quadrupel   bilden. 

Construiren  wir  in  einem  Punkte  A\  von  C*  die  Tangente  a\^  so 
wird  durch  A\a\  und  die  Punkte,  welche  mit  ä\  ein  Quadrupel  bilden, 
ein  Kegelschnitt  E^  bestimmt,  der  C^  in  den  Punkten  dieses  Quadrupels 
berührt.  Nun  liegen  auf  C^  unendlich  viele  Quadrupel  von  Punkten. 
Wir  sagen  daher: 

Die  Curve  C^  wird  von  unendlich  vielen  Kegelschnitten 
E^  berührt,  und  zwar  von  jedem  in  d«n  Punkten  eines  Qua- 
drupels. 

Für  den  Fall,  dass  M^M^M^  reell  sind,  werden  die  Elemente  eines 
Quadrupels  der  C^  entweder  alle  reell  oder  alle  imaginär  sein.  Sind  aber 
M^M^  imaginär,  so  können  von  den  Elementen  eines  Quadrupels  nur 
zwei  reell  sein  und  diese  liegen  auf  einer  reellen  Geraden  aus  einem  M^ 
resp.  sie  sehneiden  sich  in  einem  reellen  Punkte  einer  Geraden  m. 

7.  Ke^elsohnitte  K\ 

Wir  wenden  uns  zu  den  Kegelschnitten  K^^  welche  C^  in  den  Punk- 
ten eines  Quadrupels  berühren.  Sei  K^g^  ein  solcher  Kegelschnitt,  der  das 
Fnnktquadrupel  A\ff^C\D\  und  das  in  diesen  Punkten  berührende 
Tangenten  quadrupel  <i\^\f\^\  enthält,  so  suchen  wir  —  von  K:^  aus- 
gehend —  einen  Kegelschnitt  K\  vermittelst  dessen  wir  nach  der  in  1 
angegebenen  Methode  die  Curve  C^  erzeugen  können,  welche  von  K^^ 
in  A\  B\  C\  D\  berührt  wird. 

Zu  diesem  Zwecke  knüpfen  wir  an  die  Tangentenconstruction  in 
einem  Punkte  A\  von  C^  an,  welche  unter  2  entwickelt  wurde.  Dort 
bestimmten  wir  die  Tangente  a\  in  A\  unter  Zuhilfenahme  der  Tangente 
a^  in  A^  an  KK  Jetzt  suchen  wir  A^a^  und  kennen  A\a\,  Nehmen 
wir  an,  es  sei  eine  beliebig  durch  A\  gezogene  Gerade  a^  die  Tangente 
an  einen  Kegelschnitt  AT^  so  müssen  die  Linien  m^,  m,,  m,,  a\^  a^  einen 
Kegelschnitt  K^*  umhüllen.  Zeichnen  wir  in  ihm  für  a^  den  Berührungs- 
punkt ^1,  so  wird  durch  a^A^  ein  Kegelschnitt  E*^  bestimmt,  welcher 
lU^M^M^  zum  Tripel  harmonischer  Pole  hat.  Wir  können  nun  zeigen, 
dass  dieser  Kegelschnitt  E**  in  Bezug  auf  C^  die  Eigenschaften  des  ge- 
suchten Kegelschnittes  E^  besitzt. 

Bezeichnen  wir  nämlich  mit  B^b^^  CjC^,  D^d^  (Fig.  4)  die  Punkte  und 
Tangenten  von  AT*^,  welche  von  A^a^  durch  die  Punkte  und  Geraden  Mm 
harmonisch  getrennt  werden,  und  liege  A^  B^  auf  einer  Geraden  X|  durch  M^ , 
C^B^  auf  einer  Geraden  y^  durch  M^^  so  bilden  x^y^  mit  m^m^  eine  harmo- 
nische Gruppe  Seien  dann  oc\y\  die  Geraden  durch  M^^  welche  A\  B^^ 
rcsp.  C\  ü\  mit  einander  verbinden,  so  sind  auch  diese  durch  m^m^  harmo- 


12         Die  Gurven  vierter  Ordn.  mit  drei  dopp.  Inflexionsknoten. 

nisch  getrennt.  Daraus  folgt  nach  einem  bekannten  Gesetze,  dass  die  Paare 
x^x\^  Vi^D  ^2^s  einer  nnd  derselben  Involution  /^  angehören.  Weiter 
bemerken  wir,  dass  b^  zu  a^  und  B\  zu  A\  centrisch  collinear  liegen  in  einer 
Collineation,  deren  Centrum  M^  und  deren  Axe  m^  ist.  Da  wir  nun  vor- 
ausgesetzt haben,  dass  a^  durch  d\  geht,  so  muss  infolge  der  angedeu- 
teten Lage  auch  b^  durch  B\  gehen.  In  analoger  Weise  können  wir 
zeigen,  dass  C\  in  c^  und  D\  in  d^  liegt.  Mithin  sind  die  Punkte  A\t 
B\y  C\y  D\  und  ihre  Tangenten  a\^  ...  d\  mit  Hilfe  von  A'**  und  /j 
nach  der  in  1  resp.  2  entwickelten  Methode  gefunden.  Nun  giebt  es 
aber  nur  eine  C\  welche  durch  M^M^dS^  und  die  acht  Elemente  A\^  ...  D\^ 
a\  ...  d\  geht.  Bestimmen  wir  also  aus  K*^  und  J^  nach  der  Methode 
von  1  weitere  Punkte  einer  C\  so  müssen  diese  auch  auf  der  Curve 
vierter  Ordnung  liegen,  welche  in  A\  ...  D\  von  a\  ...  d\  berührt  wird. 
Mithin  fällt  K*^  mit  dem  gesuchten  Kegelschnitt  K^  zusammen.  Er  be- 
rührt C^  in  den  Punkten  eines  Quadrupels,  das  auf  den  Doppelstrahlen 
der  Involution  J^  liegt. 

Drehen  wir  jetzt  a^  um  A\^  so  gehört  zu  jeder  Lage  von  a^  ein 
Kegelschnitt  AT'  und  wir  gelangen  so  zu  den  unendlich  vielen  Kegel- 
schnitten ,  welche  C*  in  den  Punkten  eines  Quadrupels  berühren.  Jeder 
dieser  Kegelschnitte  K^  mit  zugehöriger  Involution  J^  kann  den  Kegel- 
schnitt K^  und  die  Involution  J^  in  1  ersetzen.  Berücksichtigen  wir, 
dass  sich» analoge  Resultate  für  die  Scheitel  M^M^  ergeben,  so  schliefi- 
sen  wir: 

Aus  jedem  der  unendlich  vielen  Kegelschnitte  A^^  welche 
C^  in  den  Punkten  eines  Quadrupels  berühren,  lässt  sich 
diese  Curve  nach  der  in  1  angegebenen  Methode  erzeugen 
und  zwar  je  mit  Hilfe  einer  Involution  /«  (x=l,  2,  3),  deren 
Doppelstrahlen  die  Verbindungslinien  von  ^/«  mit  den  Qua- 
drupelpunkten auf  K^  sind. 

Durch  jeden  der  jetzt  gefundenen  Kegelschnitte  K^  wird  eine  qua- 
dratische Transformation  von  der  Art  geleitet,  wie  die  unter  2  betrach- 
tete war.  Construiren  wir  in  allen  diesen  Transformationen  die  Kegel- 
schnitte AT^^  welche  einer  Oeraden  g  correspondiren,  so  bilden  diese 
eine  Schaar,  welche  y,  m^  m^  m^  zu  gemeinsamen  Tangenten  hat.  Durch- 
läuft g  die  Ebene,  so  repräsentiren  sämmtliche  Kegelscbnitte  Kg^  ein 
Netz,  für  welches  m^,  m,,  m^  die  Grundtangenten  sind.  Greifen  wir  aus 
diesen  Kegelschnitten  K^  irgend  einen  heraus  und  sei  g  eine  seiner 
Tangenten,  so  correspondirt  er  g  in  einer  quadratischen  Transformation, 
deren  Leitcurve  auf  folgende  Weise  gefunden  wird.  Wir  ziehen  aus  den 
Punkten,  in  welchen  g  die  Curve  C^  schneidet,  die  zweiten  Tangenten 
an  K^.  Diese  müssen  auch  K^  berühren,  und  da  Überdies  die  Punkte 
^1«  ^81  ^^3  ^11^  Tripel  harmonischer  Pole  für  K^  sind,  so  ist  dieser  Kegel- 
schnitt bestimmt. 


Von  Dr.  C.  Bbtbl.  13 

Es  ist  also  ein  Kegelschnitt  K^  jeder  seiner  Tangenten  in  Bezng  anf 
einen  Kegelschnitt  K^  zugeordnet.  Wir  können  dies  auch  so  ausdrücken: 
Jede  Tangente  eines  Kegelschnittes  K^  correspondirt  einem  Kegelschnitt 
AT^  und  C^  erscheint  als  der  Ort  der  Schnittpunkte  dieser  Tangenten  mit 
den   gemeinsamen  Tangenten  von  K^  und  den  resp.  Kegelschnitten  K"^. 


8.  Zusammenhang  zwischen  den  Kegelschnitten  K'^  und  den 
Involutionen  /. 

Wir  untersuchen  nun,  in  welcher  Weise  die  Kegelschnitte  K^  von 
den  Involutionen  J  abhängen.  Zuerst  heben  vir  hervor,  dass  m^m^  ein 
gemeinsames  Paar  für  alle  Involutionen  J^  und  für  alle  Involutionen  J\it 
in  Bezug  auf  die  verschiedenen  Kegelschnitte  K^  ist.  Also  schneiden 
letztere  m^  in  Paaren  einer  Involution,  für  welche  M^^  M^  die  Doppel- 
punkte sind.  Den  Strahlen  aus  M^  nach  den  Schnittpunkten  von  K^  mit 
m^  correspondiren  in  den  Involutionen  /j  die  Inflexionstangenten  t\,  f^* 
in  iVj  an  6*^  Sind  letztere  reell,  so  müssen  also  auch  die  Schnittpunkte 
der  Kegelschnitte  K^  mit  m^  reell  sein.  Da  das  Analoge  für  die  Invo- 
lutionen an  den  Scheiteln  A/g,  M^  und  für  die  Schnittpunkte  von  K^  mit 
fitg,  m^  gilt,  so  schliessen  wir: 

Eine  Gerade  m  schneidet  entweder  sämmtliche  Kegel- 
schnitte K^  reell  oder  imaginär. 

Das  Viereck  der  Schnittpunkte  eines  Kegelschnittes  K"^  mit  zweien 
der  Geraden  m  ist,  wie  wir  oben  (4)  gesehen,  dem  Viereck  der  Schnitt- 
punkte der  Inflexionstangenten  in  zwei  resp.  Punkten  VI  eingeschrieben. 
Nun  ist  das  letztere  Viereck  nur  von*  6^^  abhängig.  Ziehen  wir  daher 
durch  eine  seiner  Ecken  —  sagen  wir  T^^  in  Fig.  2  —  eine  beliebige 
Gerade,  so  trifft  diese  m^  resp.  m^  in  zwei  Punkten  —  Sj,  S^  —  eines 
Kegelschnittes  K^  und  derselbe  ist  durch  diese  zwei  Punkte  bestimmt. 
Zugleich  erkennen  wir,  dass  stets  zwei  Vierecke  der  S  gezeichnet  werden 
können,  welche  dem  Vierecke  der  7  eingeschrieben  sind  und  welche  sich 
in  zwei  Punkten  auf  einer  Linie  m  schneiden.  Zu  jedem  dieser  Vier- 
ecke gehört  ein  Kegelschnitt  K^  und  es  berühren  sich  also  diese  Kegel- 
schnitte paarweise  in  je  zwei  Punkten  einer  Linie  m. 

Für  die  Involution  Jj  ist  M^  A^^  ^\^\  (Fig.  4)  ein  Paar.  Lassen 
wir  nun  A\  fest,  so  hängen  die  verschiedenen  Werthe  der  Involutionen 
/|  nur  vom  Orte  der  Punkte  A^  ab,  da  wir  oben  gesehen,  dass  m^m^ 
allen  Involutionen  J^  gemeinsam  ist.  Wir  untersuchen  also  den  Ort  der 
Punkte  A^,  A^  wurde  gefunden  als  Bertthrungsjpunkt  eines  Kegelschnittes 
Kg^^  der  »n^,  m,,  1713,  a^,  a\  zu  Tangenten  hatte.  Drehen  wir  nun  a^  um 
A\^  so  bilden  sämmtliche  Kegelschnitte  K^  eine  Schaar,  für  welche  m^, 
'"sf  ^8»  ^\  ^^®  Grundtangenten  sind.  Constrniren  wir  nach  dem  Satze 
von  Brianchon    ~  Fig.  5  —  auf  dem  Büschel   der  a^   in  den  Kegel- 


14         Die  Carven  vierter  Ordn.  mit  drei  dopp.  Inflexionsknoten. 

schnitten  K^  die  Berührungspunkte  A^^  so  finden  wir,  dass  letztere  als 
Schnittpunkte  des  Büschels  der  a<^  mit  einem  zn  ihm  projectivischen 
erhalten  werden.  Der  Scheitel  dieses  Büschels  kann  —  entsprechend  der 
verschiedenen  Anordnung  der  Reihenfolge  der  Tangenten  imBrianchon- 
Sechsseit  —  in  jedem  der  Punkte  M  liegen.  (In  Fig.  5  liegt  er  in  M^^ 
Daraus  folgt,  dass  die  Punkte  A^  sich  auf  einem  Kegelschnitte  K^  be- 
finden, der  durch  Ä^M^M^M^  geht.  Liegt  Oj  in  a', ,  so  fällt  Ä^  mit  A\ 
zusammen,  d.  h.  der  Kegelschnitt  K^  wird  in  A\  von  a'^  berührt. 

Mit  Hilfe  von  H^  können  wir  sowohl  die  Kegelschnitte  A^^  wie  ihre 
zugehörigen  Involutionen  /  zeichnen.  Jede  Gerade  durch  ä'^  ist  Tan- 
gente eines  Kegelschnittes  K^  und  trifft  K^  zum  zweiten  Male  in  ihrem 
Berührungspunkte  mit  K^,  Durch  Punkt  und  Tangente  ist  aber  K^  be- 
stimmt, weil  M^M^M^  für  ihn  ein  Tripel  harmonischer  Pole  ist  üeber- 
tragen  wir  die  Involutionen  J^  auf  den  Kegelschnitt  if,^,  so  liegen  ihre 
Pole  auf  mj,  weil  tn^niQ  ein  Paar  aller  Involutionen  J^  ist.  Sie  liegen 
auch  jeweilen  auf  den  Geraden  <i,,  denn  jede  Lage  von  a^  trifft  I^s*  in 
Punkten  A\^  A^^  welche  mit  m^  verbunden  ein  Paar  einer  Involution  J^ 
ergeben. 

Verfolgen  wir  nun  den  analogen  Gedankengang,  indem  wir  von  den 
Punkten  M^j  ^3  ausgehen,  so  werden  wir  auf  denselben  Kegelschnitt  f^* 
geführt  wie  oben,  und  können  demselben  die  Involutionen  Jg«  "'s  ®^^' 
nehmen.  Die  Pole  der  letzteren  Involutionen  liegen  in  den  Schnitt- 
punkten der  Geraden  a^  mit  m^  resp.  m^. 

Durch  C*  werden  —  wie  wir  unter  3  gesehen  —  einem  Kegelschnitt 
K^  drei  Involutionen  /|,  7^,  J^  zugeordnet.  U ebertragen  wir  diese  auf 
einen  Kegelschnitt  ^g\  der  durch  »die  drei  Scheitel  der  Involutionen  geht, 
so  wird  jetzt  diese  Zuordnung  dadurch  vermittelt,  dass  die  Pole  von  drei 
Involutionen,  welche  zu  demselben  Kegelschnitt  E^  gehören,  in  einer 
Geraden  —  öj  —  liegen. 

Geben  wir  nun  von  einer  Curve  C^  die  Punkte  A/, ,  M^,  M^  und 
einen  weiteren  Punkt  A\  mit  seiner  Tangente  a\^  so  können  wir  C* 
nach  folgendem  Gesetze  constrniren.  Wir  legen  durch  MiM^M^A'^a^ 
einen  Kegelschnitt  E,*,  Sei  dann  a^  eine  beliebige  Gerade  durch  A\ 
und  schneide  sie  tn^m^m^  resp.  in  T^T^T^t  so  constrniren  wir  aus  diesen 
Punkten  die  Tangenten  an  A'«^  und  verbinden  ihre  Berührungspunkte 
resp.  mit  M^M^M^.  Auf  diese  Weise  erhalten  wir  sechs  Gerade,  welche 
sich  viermal  zu  dreien  in  einem  Quadrupel  von  Punkten  der  C^  schnei 
den.  Ziehen  wir  speciell  die  Geraden  durch  A\  nach  den  Punkten  üf,, 
Jlfj,  M^  von  C^^  so  erhalten  wir  mittels  der  angegebenen  Construction 
die  Inflexionstangenten  in  M^M^M^. 

Benutzen  wir  anstatt  der  Pole  die  Polaren  der  Involutionen  Ji%  J^y  J^ 
in  Bezug  auf  £^t\  so  ergiebt  sich  für  die  Construction  von  C^  ein  Gesetz, 
welches  dem  angeführten  dual  gegenübersteht. 


Von  Dr.  C.  Beyel.  15 

Sind  M^M^M^  reell,  so  erkeDoen  wir  leicht  mit  Hilfe  des  Kegel- 
scbnittes  A"/,  ob  ein  Kegelschnitt  A'^  die  Cnrve  C^  in  einem  reellen  oder 
imaginären  Quadrupel  berührt.  Ersteres  wird  eintreten ,  wenn  die  Doppel- 
strahlen der  Involutionen  J^y  7^,  «Tg,  welche  zu  If^  gehören,  alle  reell 
sind.  Dies  h&ngt  von  der  gegenseitigen  Lage  der  Punkte  >^^,  J\  ab  und 
wird  immer  stattfinden,  wenn  ^^  und  A\  zwischen  den  nämlichen  zweien 
der  drei  Punkte  M  gelegen  sind.  Dann  trifft  a^  die  Geraden  m  in  Punk- 
ten, für  welche  die  Involutionen  harmonischer  Polaren  in  Bezug  auf  ÜT«' 
hyperbolisch  sind.  Dementsprechend  werden  auch  /,  J^  J^  hyperbo« 
lisch  sein. 

In  jedem  andern  Falle  ist  das  Quadrupel  imaginär,  liegt  aber,  da 
eine  der  drei  Involutionen  ^i^  J^^  J^  stets  hyperbolisch  ist,  auf  den  zwei 
reellen  Geraden  dieser  hyperbolischen  Involution  und  überdies  auf  einem 
reellen  Kegelschnitt  K^,  Daher  ist  es  durch  reelle  Elemente  vollkommen 
definirt. 

Jeder  Punkt  J\  der  Curve  C^  führt  auf  die  angegebene  Weise  zu 
einem  Kegelschnitt  Ks^.  Wir  können  denselben  als  Ort  aller  der  Punkte 
A^  auffassen,  welche  dem  Punkte  a\  in  Bezug  auf  sämmtliche  Kegel- 
schnitte K^  zugeordnet  sind.  Daraus  schliessen  wir  aber,  dass  jeder 
Kegelschnitt,  der  durch  M^M^M^  und  zwei  in  Bezug  auf  einen  Kegel- 
schnitt K^  einander  zugeordnete  Punkte  A^^  A\  geht,  ein  Kegelschnitt 
Kg^  ist  und  also  C^  in  A\  berührt.  Kennen  wir  dsiher  Mi M^M^A^A\^ 
so  können  wir  den  Kegelschnitt  E,*  benutzen,  um  in  A\  die  Tangente 
an  C^  zu  construiren.  Wir  erhalten  dann  eine  Construction ,  welche,  der 
in  2  entwickelten  dual  gegenübersteht. 

9.  Vets  der  Kegelschnitte  durch  M^M^M^. 

Wir  können  die  Kegelschnitte  A",^  einer  allgemeinen  Gruppe  von 
Kegelschnitten  unterordnen  und  gehen  zu  diesem  Zwecke  von  zwei  Punk- 
ten A\y  E\  der  C^  aus.  Jedem  derselben  entspricht  in  Bezug  auf  einen 
Kegelschnitt  K^  ein  Punkt  von  K^  —  sagen  wir  a\  der  Punkt  A^  und 
E\  der  Punkt  E^,  Dann  sind  A\A^  oder  a^  und  E\E^  oder  e^  Tan- 
genten an  K^,  Lassen  wir  nun  K^  alle  möglichen  Werthe  annehmen, 
80  erhalten  wir  unendlich  viele  einander  eindeutig  zugeordnete  Tangen- 
tenpaare a^e^  durch  A\  resp.  E\^  d.  h.  zwei  zu  einander  projectivische 
Büschel  von  Tangenten.  Der  Ort  der  Schnittpunkte  entsprechender  Tan- 
genten dieser  Büschel  muss  also  ein  Kegelschnitt  —  k'^  —  sein.  Der- 
selbe geht  durch  A\E\^  weil  diese  Punkte  die  Scheitel  der  erwähnten 
projectivischen  Büschel  sind.  Er  enthält  ilf^  ilfg  itfg ,  da  wir  diese  Punkte 
—  resp.  die  Inflexionstangenten  in  ihnen  —  als  degenerirte  Kegelschnitte 
K^  auffassen  müssen.  K^  ist  also  durch  MiM^M^A\E\  bestimmt. 
Nun  waren  A\E\  beliebige  Punkte  von  C*.     Wir  schliessen  daher: 


16         Die  Cnrven  vierter  Ordn.  mit  drei  dopp.  Inflezionsknoten. 

Legen  wir  darch  zwei  Punkte  ji\^  E\  von  C^  und  durch 
üf,  Jf^üfj  einen  Kegelschnitt  i^m^  so  sind  die  Geraden,  welche 
A\E\  mit  einem  beliebigen  Punkte  von  K^^  verbinden,  Tan- 
genten eines  Kegelschnittes  /iT^  der  C^  in  den  Punkten  eines 
Quadrupels  berührt. 

Jeder  Kegelschnitt  durch  M^M^M^  enthält  ausser  diesen  Inflexions- 
knoten  noch  zwei  Punkte  der  C^  also  muss  er  von  der  Art  der  Kegel- 
schnitte  Kf^  sein.  Diese  repräsentiren  mithin  das  Netz  der  Kegelschnitte, 
welche  M^M^M^  zu  Orundpunkten  haben.  Ist  A\  dem  E\  unendlich 
benachbart,  so  berührt  der  zugehörige  Kegelschnitt  K^^  die  Curve  C^. 
Er  ist  von  der  Art  der  in  8  besprochenen  Kegelschnitte  K^» 

Gehen  wir  nun  zu  den  Involutionen  J^  J^j  J^  über  und  übertragen 
wir  dieselben  auf  einen  Kegelschnitt  /Sfm^  so  wissen  wir,  dass  ihre  Pole 
(3)  in  einer  Geraden  liegen.  Diese  Geraden  gehen  durch  einen  Punkt  7. 
Denn  construiren  wir  z.  B.  die  Pole  der  Involutionen  J^,  J^i  ^^  liegen 
diese  auf  m^  resp.  m^.  Jedem  Kegelschnitt  K^  ist  ein  Pol  in  m^  und 
einer  in  m,  zugeordnet.  Also  bilden  diese  Pole  projectivische  Reihen. 
In  denselben  entspricht  sich  der  Punkt  M^  selbst;  also  sind  diese  per- 
spectivisch  und  die  Verbindungslinien  entsprechender  Punkte  gehen  durch 
einen  Punkt  T.  Auf  diesen  Verbindungslinien  liegen  aber  auch  die  Pole 
der  Involutionen  J^  und  unsere  Behauptung  ist  damit  bewiesen. 

Wir  erbalten  nun  T  durch  folgende  Ueberlegung.  Der  Strahl  aus 
M^  nach  A\  ist  ein  Doppelstrahl  einer  Involution  J^.  Diese  gehört  zu 
dem .  Kegelschnitt  iT',  welcber  in  A\  die  Corve  C^  berührt.  Zu  dem 
gleichen  Kegelschnitt  A'*  geboren  aber  auch  die  Involutionen  Jg  resp.  J3, 
für  welche  M^A\  resp.  M^A\  je  ein  Doppelstrahl  ist.  Also  liegen  die 
Pole  von  Ji^J^y  J$  in  der  Tangente,  welche  ü'^*  in  A\  berührt.  In  ana- 
loger Weise  schliessen  wir,  dass  die  Involutionen,  für  welche  itf^^',, 
M2  E\^  üfg  E\  je  ein  Doppelstrahl  ist,  ihre  Pole  auf  der  Tangeute  haben, 
welche  in  E\  an  ^m^  gebt.  Folglich  muss  der  Schnittpunkt  der  Tan- 
genten in  A\  und  E\  an  Afm^  der  gesuchte  Pol  sein.     Wir  sagen  daher: 

Construiren  wir  die  Pole  der  zu  den  Kegelschnitten  äC* 
gehörigen  Involutionen  J^,  J,,  J3  in  Bezug  auf  einen  Kegel- 
scnitt  JiCfn*,  so  liegen  diese  Pole  in  den  Geraden  eines  Bü- 
schels. Dasselbe  hat  zum  Scheitel  den  Pol  derjenigen  Gera- 
den, welche  die  Schnittpunkte  ^\^\  von  C*  und  Ä'*  ver- 
bindet. 

Es  ist  durch  das  Gesagte  jedem  Kegelschnitt  K^  eine  Taugente  n^ 
durch  A\  und  eine  Gerade  i  durch  T  zugeordnet.  Also  bilden  die  Ge- 
raden a^  und  die  Geraden  i  zwei  zu  einander  projective  Büschel  und  der 
Ort  der  Schnittpunkte  entsprechender  Strahlen  ist  ein  Kegelschnitt.  Der- 
selbe geht  durch  A\TMiM^M^,  Er  berührt  in  A\  die  Carve  C*.  Denn 
betrachten  wir  die  Tangente  in  A\  an  K^  als  eine  Gerade  des  Büschels 


Von  Dr.  C.  Betel.  17 

um  r,  Bo  gebort  zu  ibr  eio  Kegelschnitt  A',  der  in  j\  die  Curve  6'^ 
berührt«  Also  mnss  dieser  Tangente  im  Büschel  um  A\  diejenige  Ge- 
rade a\  entsprechen,  welche  in  A\  Tangente  an  C^  ist,  d.  h.  a\  mass 
den  ans  den  Büscheln  der  /  nnd  a^  erzengten  Kegelschnitt  berühren. 
Dieser  gehört  zn  den  Kegelschnitten  IT,^.  Wir  ergänzen  also  das  znletzt 
Hervorgehobene  dahin: 

Die  Kegelschnitte  IC,^^   welche   durch  T  nnd  J\   resp.  E\ 
gehen,  berühren  in  letzteren  Punkten  die  Curve  C\ 


10.  Eneugnng  der  C^  aus  einem  Kegelschnitt  A^»^.    Lineare 
Construction  von  C\ 

Wir  knüpfen  an  das  Vorhergehende  einige  Anwendungen.  Zuerst 
heben  wir  eine  Erzeugung  der  C^  hervor,  welche  eine  Verallgemeinerung 
der  in  8  angeführten  ist  und  sich  wie  folgt  aussprechen  lässt: 

Seien  üf^,  M^,  M^  drei  beliebige  Punkte  eines  Kegel- 
schnittes —  Ä^m*  —  und  mj,  m,,  m^  ihre  resp.  Verbindungs- 
linien. Ziehen  wir  dann  durch  einen  Punkt  T  der  Ebene 
Gerade,  so  schneiden  diese  m^m^m^  in  Polen  von  Involutio- 
nen, deren  Scheitel  M^^  Jlfg,  M^  sind  und  deren  Doppelstrah- 
len sich  in  je  vier  Punkten  einer  C^  treffen.  Diese  schneidet 
J^m^  in  den  Schnittpunkten  derPolare  von  Jin  Bezug  auf  A'^ 

Die  Geraden  durch  T  nach  itf^  M^  M^  treffen  resp.  m^  m,  m,  in  Polen, 
deren  Involutionen  die  Inflexionstangenten  zu  Doppelstrahlen  haben. 
Operiren  wir  mit  den  Polaren  der  Involutionen  anstatt  mit  den  Polen, 
80  erhalten  wir  eine  Erzeugungsweise,  welche  zu  der  obigen  dual  ist. 

Da  unter  den  Kegelschnitten  Em^  stets  ein  Kreis  ist,  so  schliessen 
wir  daraus,  dass  die  auf  angegebene  Weise  mit  Hilfe  dieses  Kreises  AT«.' 
erzeugte  C^  die  allgemeine  Form  dieser  Curve  ist.  Also  können  wir 
C^  stets  aus  einem  Kreise  ableiten. 

Wir  werden  vorstehende  Construction  benutzen,  wenn  wir  von  der 
Curve  vierter  Ordnung  die  Punkte  itf|,  jlf,,  M^  nnd  J\^  B\  kennen  und 
wenn  M^^  M^^  M^  reell  sind.  Werden  aberü^ilfj  imaginär,  so  bestim- 
men wir  zunächst  die  reellen  Doppelstrahlen  der  Involution  J^  und 
dann  auf  ihnen  Punkte  von  C^  mit  Hilfe  der  Kegelschnitte  K\  welche 
wir  aus  K^^  ableiten  können.  Dagegen  lassen  sich  in  beiden  Fällen  — 
ob  üf,  JKfg  reell  oder  imaginär  ist  —  die  Tangenten  in  A\  resp.  E\  —  ohne 
Benutzung  eines  Kegelschnittes  K^  zeichnen.  Wir  legen  den  Kegel- 
schnitt durch  M^M^M^A\E\^  bestimmen  in  Bezug  auf  ihn  zur  Linie 
A\E\  den  Pol  T.  Dann  berührt  der  Kegelschnitt  durch  MyM^M^TA'^ 
die  Curve  C*  in  A\. 

Im  Anschluss  an  diese  Tangentenconstruction  bemerken  wir  noch 
Folgendes.     Halten    wir    a\   fest  und    durchlaufe  E\   die  Curve  C^,    so 

ZeUtchrlft  f.  MAthemAtfk  a.  Physik  XXX,  1.  8 


18         Die  Gurven  vierter  Ordn.  mit  drei  dopp.  Inflezionsknoten» 

bilden  alle  Kegelschnitte  A^m^  welche  durch  J\  gehen,  ein  BüBchel.  Mit 
Hilfe  jedeQ  Kegelschnittes  dieses  Büschels  können  wir  die  Tangente  in 
J  \  an  C*  constmiren  nnd  erhalten  dabei  stets  denselben  Kegelschnitt  R^*. 
Folglich  ist  dieser  der  Ort  der  Pole  sSmmtlicher  Geraden  A\E\  in  Be- 
zug auf  die  resp.  Kegelschnitte  K^,  Wir  können  daher  die  Punkte  von 
C^  auch  nach  folgendem  Gesetze  finden: 

Wir  gehen  aus  von  einem  Kegelschnittbttschel  mit  den 
Grundpunkten  üf^,  Jtfg,  üfj,  A\,  K^  sei  ein  Kegelschnitt  die- 
ses Büschels.  Ziehen  wir  durch  A\  eine  Gerade  und  betrach- 
ten wir  diese  als  Tangente  eines  Kegelschnittes  —  K^,?  —  des 
Büschels,  so  ist  dieser  dadurch  iujdividualisirt.  Schneidet 
dann  diese  Taugente  den  Kegelschnitt  K^  ein  zweites  Mal 
in  r,  so  trifft  die  Polare  von  T  in  Bezug  auf  K„?  diesen  Ke- 
gelschnitt in  einem  zweiten  Punkte  —  E\  —  der  C*.  Wir 
können  dies  auch  so  ausdrücken: 

Die  Punkte  des  Kegelschnittes  K^  sind  den  übrigen 
Kegelschnitten  Kn?  des  Büschels  in  der  Weise  zugeordnet, 
dass  die  Polaren  dieserPunkte  in  Bezug  auf  ihre  correspon- 
direnden  Kegelschnitte  sich  in  einem  Grundpunkte  A\  des 
Büschels  treffen.  Dann  liegen  die  Schnittpunkte  dieser  Po- 
laren mit  ihren  resp.  Kegelschnitten  auf  einer  C^, 

Die  letzterwähnten  Constructionen  gestatten  uns,  C^  durch  Punkte 
und  Tangenten  rein  linear  zu  constmiren,  wenn  wir  M^^  üf^,  üf,  und 
zwei  weitere  Punkte  oder  einen  Punkt  mit  seiner  Tangente  kennen. 

U.  Erzeugung  von  C^  aus  Kegelsohnittbttscheln  und  -Sohaaren. 

Wir  gehen  aus  von  den  Kegelschnitten  f{^^  welche  zwei  Quadrupel 
von  Punkten  der  C*  enthalten.  Ein  Quadrupel  —  A\  B\  C\D\  —  liegt 
mit  jedem  andern  auf  einem  solchen  Kegelschnitte  und  die  Gesammtheit 
dieser  Kegelschnitte  bildet  ein  Büschel  B^  das  A\B\C\D\  zu  Grund- 
punkten hat.  Das  Strahlen  paar,  welches  von  einem  der  Punkte  M  — 
sagen  wir  M^  —  ausgeht  und  das  einen  Kegelschnitt  des  Büschels  B'  in 
den  Punkten  eines  Quadrupels  schneidet,  wird  durch  m^m^  harmonisch 
getrennt.  Mithin  bilden  alle  diese  Strahlenpaare  eine  Involution  —  J\m  — ^ 
für  welche  m,,  m,  die  Doppelstrahlen  sind.  Ordnen  wir  nun  jedem  Qua- 
drupel den  Kegelschnitt  des  Büschels  B'  zu,  auf  welchem  dieses  Qua- 
drupel liegt,  so  ist  damit  auch  jedem  Strahlenpaare  der  Involution  Jim 
ein  Kegelschnitt  des  Büschels  B*  zugeordnet.  B^  und  J\m  sind  zu  ein- 
ander projectivisch.  In  dieser  Projectivität  correspondiren  den  Doppel- 
strahlen der  Involution  J\m  die  Kegelschnitte  des  Büschels  B^  welche 
in  die  Geraden  durch  M^M^  zerfallen.  Der  Kegelschnitt  aber,  welcher 
in  den  Grundpunkten  A\^  ...  D\  des  Büschels  die  Curve  C*  berührt, 
muss  den  Strahlen  durch  M^  entsprechen,    welche  die  Grundpunkte  des 


Von   Dr.  C  Bbyel.  19 


Büschels  verbinden.  Scbneideu  wir  das  Büscliel  B^  und  die  Involution 
J\m  mit  m|,  80  erhalten  wir  in  dieser  Geraden  zwei  zu  einander  projec- 
tivische  Pnnktinvolutionen,  für  welche  M^M^  sich  entsprechende  Paare 
Bind.  Jedes  Quadrupel  von  Punkten  der  C^  führt  in  Bezug  auf  einen 
Punkt  M  zu  einer  Projectivit&t  der  erwühnten  Art. 

Eine  andere  Projectivität  erhalten  wir,  wenn  wir  irgend  zwei  Bü- 
schel B^  durch  C*  aufeinander  bezogen  denken.  Seien  diese  Büschel  mit 
Bj*,  Bj*  bezeichnet  und  haben  sie  ^\j  B\^  C', ,  D\  resp.  E\^  /"'j,  G\^  B\ 
zn  Grundpunkten,  so  schneidet  jeder  Kegelschnitt  K^  des  Büschels  B^^ 
die  Curve  C^  in  einem  zweiten  Quadrupel  von  Punkten.  Durch  dieses 
and  die  Grund  punkte  des  zweiten  Büschels  B,^  geht  ein  Kegelschnitt  k^. 
Auf  diese  Weise  sind  durch  C^  die  Büschel  B^^,  B,^  zueinander  projec- 
tivisch  gemacht.     C^  ist  Erzengniss  der  projecti vischen  Büschel. 

Untersuchen  wir  die  Projectivität  näher,  so  erkennen  wir,  dass  den 
drei  degenerirten  Kegelschnitten  des  einen  Büschels,  welche  durch  M^^ 
JH^,  Jl^  gehen,  die  degenerirten  Kegelschnitte  des  andern  enteprechen. 
Unter  den  Kegelschnitten  jedes  Büschels  ist  einer,  der  C*  in  den  Grund- 
pnnkten  des  Büschels  berührt.  Ihm  correspondirt  im  andern  Büschel 
jeder  Kegelschnitt,  welcher  durch  dio  Grundpunkte  des  ersteren  Büschels 
geht.  Wir  können  dies  auch  so  ausdrücken:  Dem  Kegelschnitt  durch 
die  acht  Grundpunkte  beider  Büschel  entspricht  in  jedem  Büschel  der 
Kegelschnitt,   welcher  C^  in  den  Grundpunkten  dieses  Büschels  berührt. 

Haben  wir  jetzt  die  Projectivität  der  Büschel  B|*,  B^*  durch  C^  ver- 
mittelt gedacht,  so  können  wir  umgekehrt  C^  aus  zwei  solchen  Büscheln 
erzeugen  und  dies  dahin  aussprechen: 

Sind  zwei  Kegelschnittbüschel ,  deren  Grundpunktvier- 
ecke dieselben  Diagonalpunkte  M^^  Jlfg,  M^  haben,  in  der 
Weise  aufeinander  bezogen,  dass  die  degenerirten  Kegel- 
schnitte durch  denselben  Punkt  M  sich  entsprechen,  so  ist 
der  Ort  der  Schnittpunkte  correspondirender  Kegelschnitte 
beider  Büschel  seine  Curve  6'*,  für  welche  -Mj,  Jfj,  Hd^  dop- 
pelte Inflexionsknoten  sind. 

Ein  dnaler  Gedankengang  wie  der  jetzt  durchgeführte  ergiebt  Er- 
zengungsweisen  der  C^  aus  Kegelschnittschaaren.  Die  Tangenten  eines 
Quadrupels  der  C*  sind  Grundtangenten  einer  Schaar.  Dann  wird  durch 
C*  eine  ein -zweideutige  Projectivität  zwischen  *  den  Kegelschnitten  dieser 
Schaar  und  den  Paaren  einer  Involution  vermittelt,  welche  zwei  Punkte  M 
zu  Doppelpunkten  hat;  denn  jeder  Kegelschnitt  der  Schaar  enthält  ausser 
den  Grundtangenten  noch  zwei  Quadrupel  von  Tangenten  der  C^  und 
diese  schneiden  die  Geraden  m  in  den  Paaren  de^ angedeuteten  Involu- 
tionen. 

Weiter  kann  C^  durch  zwei  Schaaren  erzeugt  werden,  deren  Grund- 
tangentenvierseite  dieselben  Diagonalen  haben  und  welche  so  aufeinander 

*     2* 


20         Die  CnTven  vierter  Ordn.  mit  drei  dopp.  Inflexionsknoten. 

bezogen  sind,  dass  jedem  Kegelschnitt  der  einen  Schaar  zwei  der  andern 
entsprechen.  C^  ist  Enveloppe  der  gemeinsamen  Tangenten  entsprechen- 
der Kegelschnitte. 

12.  Büschel  der  sich  doppelt  bertüirenden  Kegelschnitte  ^g\ 

Wir  wollen  nun  die  Kegelschnitte  ICq^  nach  einem  neuen  Gesichts- 
punkte gruppiren  und  schicken  zu  diesem  Zwecke  eine  allgemeine  Be- 
merkung über  Kegelschnitte  voraus. 

Sei  K^  ein  beliebiger  Kegelschnitt  und  sei  M^ ,  m^  in  Bezug  auf  den- 
selben Pol  und  Polare.  Ziehen  wir  dann  durch  M^  zwei  Gerade  x^^x\^ 
welche  K^  in  A^B^  ^i  ^i  treffen  sollen,  so  schneiden  sich  die  Verbindungs- 
linien dieser  Punkte  in  einem  Tripel  harmonischer  Pole  in  Bezug  auf  K^, 
My  ist  für  dasselbe  eine  Ecke.  Die  beiden  anderen  —  Z^  Z'  —  liegen 
in  m^.  Construiren  wir  sodann  die  Tangenten  in  A^B^E^F^  an  K^^  so 
treffen  diese  x'j  resp.  x^  in  Punkten  —  A\  B\^  ^\^\  — i  deren  Verbin- 
dungslinien ebenfalls  durch  die  Tripelecken  M^ZZ'  gehen.  Mitbin  haben 
alle  Kegelschnitte,  welche  durch  die  vier  Punkte  A\^  ^'j,  E\y  F\  gehen, 
mit  dem  Kegelschnitt  ÜC^  das  Tripel  M^ZZ'  gemeinsam. 

Sei  nun  /T*  einer  der  Kegelschnitte,  welche  C^  in  den  Punkten  eines 
Quadrupels  berühren,  und  sei  XyX\  ein  Paar  der  zu  /T^  gehörenden  In- 
volution Jj,  so  sind  A\^  B\y  E\y  F\  vier  Punkte  von  C*.  Zeichnen 
wir  dann  zu  XyX\  die  vierten  harmonischen  yiy\  in  Bezug  auf  nt^m^, 
so  liegen  auf  y,  y'j  die  Punkte  C\D\  resp.  G\H\  der  C^  w:elche  A\  B\ 
resp.  E\  F\  zu  zwei  Quadrupeln  ergänzen.  Durch  letztere  geht  ein 
Kegelschnitt  A'^^,  der  mit  A"^  das  Tripel  m^m^  mg  gemeinsam  hat.  Da  aber 
auf  K^  auch  die  Punkte  A\^  B\^  E\y  F\  liegen,  so  ist  nach  der  oben 
gemachten  Bemerkung  auch  M^ZZ*  ein  Tripel  harmonischer  Pole  für  K^ 
und  Kq,  Also  ist  die  Involution  harmonischer  Polaren  —  J\k  —  um  M^ 
für  K^  und  K^  dieselbe.  Mithin  müssen  sich  K^  und  K^  in  zwei  Punk- 
ten von  »ij  berühren.  Heben  wir  noch  hervor,  dass  yiy\  ebenso  wie 
XyX\  ein  Strahlenpaar  der  Involution  J^  ist,  so  schliessen  wir: 

Zwei  Strablenpaare  einer  Involution  /|,  welche  durch 
m^m^  harmonisch  getrennt  sind,  enthalten  zwei  Quadrupel 
der  6'*,  die  auf  einem  Kegelschnitte  K^  liegen,  welcher  den 
zu  Jy  gehörenden  Kegelschnitt  K^  in  zwei  Punkten  von  fn, 
berührt. 

Wir  erhalten  so  ein  Büschel  sich  doppelt  berührender  Kegelschnitte 
Kq^  welche  zu  demselben  Kegelschnitt  K^  resp.  zu  derselben  Involution 
J^  gehören.  Wir' können  nun  zeigen,  dass  in  diesem  Büschel  ausser  A"^ 
noch  ein  Kegelschnitt» —  K*^  —  vorkommt,  der  C*  in  den  Punkten  eines 
Quadrupels  berührt.  Wir  construiren  ihn  und  seine  Involution  J*  nach 
folgender  Ueberlegung.  Es  giebt  in  jeder  Involution  —  also  auch  in  J,  — 
stets  ein  Strahlen  paar,   das  mit  einem  gegebenen  —  sagen  wir  m^m^  — 


Von  Dr.  C.  Bbybl.  21 

eine  barmonische  Gruppe  bildet.  Haben  wir  die  Involution  J^  auf  einen 
Kegelscbnitt  H^^  welcber  dnrcb  Jfj  gebt,  Übertragen  (Fig.  6),  sft  finden 
wir  dieses  Paar,  indem  wir  m^m^  als  Doppelstrablen  einer  Involution  Jim 
betracbten,  ibren  Pol  J\m  mit  dem  Pole  von  J^  verbinden  und  mit  dieser 
Linie  H^  scbneiden.  Die  Strablen  g^^  h^  aus  M^  nacb  diesen  Scbnitt- 
punkten  repräsentiren  das  gesncbte  Paar.  Auf  ibm  liegen  vier  Punkte 
A\^  ^j,  E\^  F\  der  C^,  Ergänzen  wir  dieselben  zu  zwei  Quadrupeln 
a\..,D\,  E\...  H\,  so  fallen  C\  D\  mit  E\  F\  und  G\  B\  mit  ä\  B\ 
zusammen.  Also  mnss  der  Kegelscbnitt,  welcber  durcb  diese  zwei  sieb 
deckenden  Quadrupel  gebt,  dem  Büscbel  der  Kegelscbnitte  K^  angeboren 
und  C^  in  den  Punkten  A\y  B\,  E\y  F\  berühren.  Es  ist  der  gesuchte 
Kegelscbnitt  ÜT*«  (vergl.  8). 

Ueber  die  gegenseitigen  Beziehungen  von  AflT^^resp.  JiJ*  machen 
wir  noch  einige  Bemerkungen.  Im  Hilfskegelschnitt  H^  bilden  die  Pole 
der  Involutionen  /j,  /im,  J^  ein  Tripel  harmonischer  Pole  und  es  wer- 
den somit  J^ ,  J*  durch  m^  m^  harmonisch  getrennt.  Daher  kann  bei 
reellem  m^m^  nur  eine  der  Involutionen  J^,  J*  reell  sein;  dementspre- 
chend wird  nur  einer  der  Kegelschnitte  K^^  E*^  die  C^  in  reellen  Punk- 
ten eines  Quadrupels  berühren,  wohl  aber  ist  es  möglich,  dass  beide 
Kegelschnitte  mit  C^  imaginären  Contact  haben. 

Ist  m^m^  imaginär,  also  Jim  elliptisch,  so  sind  die  beiden  Involutionen 
J^y  J*  hyperbolisch. 

Sei  nun  A\  ein  Punkt  von  C^  auf  x^^  so  gehört  zu  ibm  sowohl  ein 
Punkt  A^  auf  K\  als  ein  Punkt  A*  auf  A^**.  A^^  J^*  sind  Berührungs- 
punkte von  Tangenten  aus  A\  an  K^  resp.  I^**  und  müssen  in  den  Ge- 
raden x\  resp.  y\  liegen,  welche  a?j  in  der  Involution  J^  resp.  Ji*  ent- 
sprechen. Kennen  wir  daher  ÜT',  J^  und  haben  wir  auf  angegebene 
"Weise  J^*  bestimmt,  so  erbalten  wir  einen  Punkt  mit  Tangente  von  K** 
—  unabhängig  davon,  ob  letzterer  Kegelschnitt  die  Curve  C^  reell  oder 
imaginär  berührt  —  nach  folgendem  Verfahren.  Wir  gehen  aus  von  A\ 
auf  a?j,  suchen  zu  x^  den  entsprechenden  t/\  in  der  Involution  J^*  und 
den  entsprechenden  in  der  Involution  J^t.  Letzterer  trifft  m^  im  Pole 
von  x^  in  Bezug  auf  K*^  und  durch  diesen  Pol  und  A\  geht  die  Tan- 
gente, welche  E*^  in  einem  Punkte  A{^  von  y^  berührt.  Damit  ist  dieser 
Punkt  mit  seiner  Tangente  und  also  auch  E*^  gegeben. 

Führen  wir  den  analogen  Gedankengang  durcb,  indem  wir  von  Jfcfj 
resp.  M^  ausgehen,  so  finden  wir,  dass  sich  die  Kegelscbnitte  iTg*  auch 
in  Büschel  gruppiren  lassen ,  für  welche  die  Berührungspunkte  in  m^  resp. 
tn^  liegen.  Jedes  dieser  Büschel  enthält  zwei  Kegelschnitte,  die  C^  in 
einem  Quadrupel  berühren. 

Nun  haben  wir  unter  3  gezeigt,  dass  eine  Gerade  m  sämmtlicbe 
Kegelschnitte  E*  entweder  reell  oder  imaginär  schneidet.  Jeder  Kegel- 
schnitt A!'^  wird  aber  von  unendlich  vielen  Kegelschnitten  iT,^  in  diesen 


22  Die  Curven  vierter  Ordn.  mit  drei  dopp.  InflexionHknoten. 


Schnittpunkten  berührt.  Lassen  wir  K^  seine  unendlich  vielen  Werthe 
durchlaufen ,  so  erhalten  wir  ihnen  entsprechend  unendlich  viele  Büschel 
von  Kegelschnitten  l^g*  und  diese  stellen  uns  die  Gesammtheit  der  Kegel- 
schnitte £^q*  vor.  Es  folgt  also,  dass  auch  diese  von  einer  Geraden  m 
entweder  alle  reell  oder  alle  imaginär  geschnitten  werden. 

Ist  M^M^M^  reell,  so  wird  jeder  Kegelschnitt  E*  von  zweien  der 
drei  Linien  m  reell  geschnitten  und  dann  repräsentiren  die  Kegelschnitte 
K*,  K^  die  Gesammtheit  aller  der  Kegelschnitte,  welche  M^M^M^  zum 
Tripel  harmonischer  Pole  haben  und  welche  dieselben  zwei  Linien  m  reell 
schneiden.  Wird  M^M^  imagin&r,  so  können  alle  Kegelschnitte,  welche 
M^M^M^  zum  Tripel  harmonischer  Pole  haben  und  welche  m^  reell 
schneiden,  als  Kegelschnitte  K^  resp.  K^  auftreten. 

13.  Die  Tangenten  von  C^, 

Wir  wenden  uns  zu  den  Tangenten  der  C^  und  knüpfen  an  das  an, 
was  wir  in  2  und  8  über  dieselben  sagten.  Die  Constructionen,  welche 
dort  aus  J^  und  K'^  entwickelt  wurden,  lassen  sich  in  analoger  Weise  mit 
Hilfe  irgend  eines  der  Kegelschnitte  K^^  welche  C^  in  den  Punkten  eines 
Quadrupels  berühren,  und  der  zugehörigen  Involutionen  J^  resp, /j,  J^ 
ausführen.  Je  nachdem  wir  dazu  einen  Kegelschnitt  K^  oder  K^  ver- 
wenden, bedienen  wir  uns  des  Satzes  von  Brianchon  oder  Pascal. 
In  beiden  F&Uen  erhalten  wir  folgendes  Schema  der  Construction.  Sei 
ä\  ein  Punkt  von  C^,  Ay^  sein  zugehöriger  in  Bezug  auf  einen  Kegel- 
schnitt ÜT^  Dann  ist  A\  Ay  oder  a^  die  Tangente  in  a^  an  K*,  Nun 
bringen  wir  ^fi^\  mit  Af^^i^  zum  Schnitte.  (Fig.  7.)  Den  Schnittpunkt 
—  Ti'2  —  verbinden  wir  mit  S,,  dem  Schnitte  von  öj  und  m^.  Ziehen 
wir  S^Ti'2^  so  schneide  diese  Gerade  m^  in  S\,  Letzterer  Punkt  ist  der 
Schnittpunkt  der  gesuchten  Tangente  a\  in  A\  an  C^  mit  mj.  Zum 
n&mlichen  Resultat  führt  auch  folgende  Construction.  Sei  7^,'  der  Schnitt- 
punkt von  ^1^1  mit^2^'n  ^^  verbinden  wir  diesen  Funkt  mit  S^,  dem 
Schnitte  von  m^  und  a^.  Diese  Verbindungslinie  treffe  m^  in  S\.  Dann 
ist  S\  ein  Punkt  von  a\. 

Setzen  wir  an  Stelle  von  M^  die  Punkte  M^^  M^^  so  erhalten  wir 
vier  neue  Tangentenconstructionen.  Also  können  wir  im  Ganzen  auf 
sechs  verschiedene  Weisen  (Fig.  7)  die  Gerade  a\  bestimmen.  Je  zweimal 
gelangen  wir  dabei  zu  einem  Punkte  5'.  Nach  der  eingeführten  Bezeich- 
nung liegen  in  Geraden  die  Punkte  S,,  S'^,  T^^\  ferner  5^,  S'g,  r^'  u.  s.  f. 
S'i  können  wir  aber  auch  finden ,  indem  wir  von  einem  beliebigen  Punkte 
P^  auf  m^  ausgehen.  Wir  ziehen  P^S^  (Fig.  7).  Diese  Linie  schneide  ^lA^ 
in  Alp.  Letzteren  Punkt  verbinden  wir  mit  I^^,  M^A\p  werde  von  MiA\ 
oder  M^  Tyi  in  Py2  geschnitten.  Dann  geht  die  Gerade  P^P\'2  durch  S\, 
Wir  haben  nämlich  jetzt  zu  einer  der  oben  gegebenen  Tangentenconstruc- 


Von  Dr.  C.  Bkybl.  23 


tionen  die  centriscb-collineare  geseichnet  in  einer  Collineation ,  für  welche 
Ml  das  Centrnm  nnd  m^  die  Axe  ist.  Entsprechende  Punkte  in  dieser  Col- 
lineation sind:  S^  und  P^*  ^i  ^^^  ^ip»  ^i'^  ^^^  ^i'z*  -^^^^  sind52  7i'2 
and  P^Pi'2  entsprechende  Gerade  nnd  schneiden  sich  im  Punkte  S\  auf  m|. 

Durchläuft  nun  der  Punkt  A\  die  Curve.  C^  und  construiren  wir 
sümmtliche  Punkte  S\  unter  Benutzung  des  nämlichen  Punktes  P^^  so 
fragen  wir  nach  dem  Orte  der  Schnittpunkte  der  Geraden  ^2^1  ^^^ 
^1^19  Also  ^^<^^  ^^^  ^'^®  ^^^  Punkte  Pi'2.  Dieser  ist  abhängig  vom 
Orte  der  Punkte  J\  p  und  wir  untersuchen  daher  zunächst  letzteren.  Wir 
erhalten  die  Punkte  Aip  als  Schnitte  der  Geraden  P^S^  und  M^A^.  S^ 
ist  stets  Pol  von  M^  A^  in  Bezug  auf  den  Kegelschnitt  £K  Folglich  sind 
die  Strahlen  durch  P^  nach  den  S^  und  durch  M^  nach  den  resp.  A^ 
Linien-  über  den  Paaren  der  Involution  harmonischer  Pole  in  m^  in  Bezug 
auf  K^,  Also  liegen  die  Schnittpunkte  dieser  resp.  Linien  auf  einem 
Kegelschnitt  i^lp^  der  durch  P^  und  M^  geht.  Er  ist  der  Ort  der  Punkte 
Alp,  Mq  ist  in  Bezug  auf  ihn  Pol  der  Geraden  m^.  Er  enthält  die 
Punkte,  in  denen  K*  von  tn^  geschnitten  wird.     (Fig.  8.) 

Ziehen  wir  nun  aus  M^  nach  den  Punkten  des  Kegelschnittes  IC\p^ 
Gerade  und  schneiden  wir  diese  mit  den  resp.  Geraden  MiA\^  so  erhal- 
ten wir  Punkte  A'2«  Der  Ort  der  letzteren  wird  also  aus  K\p^  mit  Hilfe 
der  Involution  J^  nach  folgendem  Gesetze  abgeleitet.  Wir  ziehen  durch 
M^  eine  beliebige  Gerade  x^^  welche  fCxp^  in  zwei  Punkten  x^^  y^  (Fig.  8) 
treffe.  Ihre  Verbindungslinien  mit  üf^  seien  ^^  y^  und  diesen  Geraden 
sollen  in  der  Involution  J^  die  Geraden  x\,  y\  entsprechen.  Dann 
schneiden  letztere  den  Strahl  x^  in  zwei  Punkten  des  Ortes  der  P, 
Drehen  wir  x^  um  M^  und  bestimmen  wir  die  Strahlenpaare  x^y^^  so 
bilden  diese  eine  Involution  Jip,  für  welche  m^,  m,  die  Doppelstrahlen 
sind.  Uebertragen  wir  diese  Involution  auf  den  Kegelschnitt  Ajp^  so 
ist  M2  ihr  Pol.  Nun  ist  aber  m^m^  ein  Paar  der  Involution  J^  und  da 
»»3  den  Kegelschnitt  JSCip^  in  Mi  berührt,  so  liegt  der  Pol  von  /^  in  Be- 
zug auf  k'ip^  in  m^.  Wenn  wir  also  zu  x^y^  die  entsprechenden  x\y\ 
in  Ji  bestimmen  und  ihre  zweiten  Schnittpunkte  mit  I^ip^  durch  x\  resp. 
y\  bezeichnen,  so  müssen  sich  Xix\  und  yiy\  im  Pole  7^  der  Involution 
7^,  also  in  einem  Punkte  auf  m,  schneiden.  Daraus  folgt  aber,  dass 
x\y\  auf  einer  Geraden  durch  M^  liegen.  Also  sind  auch  die  Strahlen 
x\^  y\  ein  Paar  der  Involution  J\p  und  es  ist  jeder  Geraden  x^  durch 
Ml  ein  Paar  der  Involution  J\p  zugeordnet.  Ziehen  wir  dagegen  eine 
beliebige  Gerade  x\  durch  Jlf|,  so  correspondirt  ihr  in  /^  ein  Strahl  x^. 
Dieser  trifft  K\^  —  ausser  in  Mi  —  noch  in  einem  zweiten  Punkte  — 
Xi  — ,  durch  den  ein  Strahl  x^  geht.  Also  correspondirt  einem  Strahle 
Xi  durch  Ml  nur  ein  Strahl  x^  durch  J£^. 

Zwei  Büschel  nun,  welche  in  der  bemerkten  Weise  ein -zweideutig 
aufeinander  bezogen  sind,  erzeugen  bekanntlich  eine  Curve  dritter  Ordnung 


24         Die  Curven  vierter  Ordn.  mit  drei  dopp.  Inflexionsknoten. 

—  ^1'2*  —  I  für  welche  M^  ein  Doppelpunkt  und  M^  ein  einfacher  Punkt 
ist.  Die  Tangenten  in  M^  und  M^  an  C\'2^  sind  die  resp.  correspon- 
direnden  zum  Verbindungsstrahle  der  Scheitel  Jf^ ,  M^,  Fassen  wir  diesen 
Strahl  als  einen  solchen  des  Bttschels  um  M^  auf,  so  decken  sich  in 
unserem  Falle  seine  beiden  entsprechenden  Strahlen  in  der  Geraden  m,. 
Also  fallen  die  Tangenten  in  M^  an  Ci'2^  zusammen,  d.  h.  M^  ist  Spitze 
für  diese  Curve  dritter  Ordnung.  Gehöre  aber  MiM^  dem  Büschel  um 
M^  an,  so  correspondirt  diesem  Strahle  im  Büschel  um  3f^  die  Gerade 
M^P^,  Also  tangirt  diese  Cr 2'  in  M^,  Suchen  wir  ihren  dritten  Schnitt- 
punkt mit  Cl'2^  so  bemerken  wir,  dass  M^P^  den  Kegelschnitt  ATip^  be- 
rührt. Also  muss  auch  der  erwähnte  dritte  Punkt  in  M^  liegen.  Daraus 
folgt,  dass  M^P^  eine  Inflexionstangente  in  M^  an  Ci^s^  ist. 

Weiter  erwähnen  wir,  dass  ^\y'i  durch  1713174  harmonisch  getrennt 
wird,  und  schliessen  daraus,  dass  auch  die  Punkte  von  Cyi^t  welche  in 
diesen  Geraden  liegen,  durch  M^  resp.  m,  harmonisch  getrennt  werden. 
Verallgemeinern  wir  diese  Bemerkung,  so  folgt,  dass  €1*2^  zn  sich  selbst 
centrisch ' involutorisch  liegt  in  einer  Involution,  deren  Centrum  M^  und 
deren  Axe  m^  ist.  tn^  trifft  die  Curve  Ci'2^  in  denselben  Punkten  wie  die 
Inflexionstangenten  f|,  t|*  in  M^  an  CK  Kip^  schneidet  Cy2^  in  den  Punk- 
ten ,  in  welchen  die  Doppelstrahlen  der  Involution  Jj  diesen  Kegelschnitt 
treffen. 

Wenn  wir  jetzt  in  analoger  Weise  wie  oben  P^  mit  S\  —  dem 
Schnittpunkte  der  Tangente  a\  und  mg  —  verbinden  und  P^S'^  mit  M^A\ 
zum  Schnitte  bringen,  so  erhalten  wir  einen  Punkt  P^*2»  Der  Ort  dieses 
Punktes  ist  eine  Curve  dritter  Ordnung  —  Cy:?  ~,  für  welche  M^  eine 
Spitze  ist.  m,  ist  Tangente  in  dieser  Spitze,  und  in  M^  ist  eine  In- 
flexionsstelle  mit  M^P^  als  Tangente.  Analoges  gilt  für  die  Punkte  P 
auf  f»!  und  m,.  Sei  daher  mit  Px  ein  Punkt  auf  m^  bezeichnet  und 
nehme  x  die  Werthe  1,  2,  3  in  der  Weise  an,  dass  x^=l  die  Werthe 
^==2  oder  ^  =  3  correspondiren  u.  s.  f.,  so  schliessen  wir  allgemein: 

Ist  Ps  ein  Punkt  auf  m«  und  schneidet  die  Tangente  a\ 
in  A\  an  C^  die  Gerade  m^  in  S'y^  so  treffen  sich  die  Linien 
Px^'y  ^nd  MyA\  in  Punkten  einer  Curve  dritter  Ordnung  C^:^, 
Dieselbe  hat  in  ^^  eine  Spitze  mit  derTangente  m«.  Sie  be- 
sitzt in  Mg.  eine  Inflexionsstelle  und  wird  in  dieser  von 
P:gM^  berührt. 

14.  Büschel  der  Curvea  C\ 

Wir  wollen  jetzt  die  Gesammtheit  der  Curven  dritter  Ordnung  zu 
überblicken  suchen ,  welche  nach  dem  obigen  Satze  hervorgebracht  werden 
können,  und  betrachten  zuerst  die  Curven,  welche  den  Punkten  P^  auf 
m,  in  Bezug  auf  M^  zugeordnet  sind ,  d.  h.  die  Curven  Ci'2^ 


Von  Dr.  C.  B>:yrl.  25 

Lassen  wir  P^  die  Gerade  m^  durchlanfen ,  so  gehört  zn  jeder  Lage 
dieses  Punktes  in  Bezug  auf  H*  eiu  Kegelschnitt  K\p^.  Alle  diese  Kegel- 
scfanitte  h'\p^  werden  in  M^  von  m^  berührt,  schneiden  sich  in  m^  mit  AT' 
und  haben  Jigm,  zu  Pol  'und  Polare.  Sie  sind  zu  einander  centrisch- 
coUinear  in  einer  CoUineation ,  deren  Centrum  M^^  und  deren  Aze  m^  ist. 
Aus  jedem  dieser  Kegelschnitte  ^ip*  leiten  wir  mit  Hilfe  von  /j  eine 
Gurre  Cy2^  ab.  Alle  diese  Curven  haben  dieselbe  Spitze  M^  mit  der 
Tangente  tn^  und  dieselbe  Inflezionsstelle  M^.  Sie  sind  zu  einander 
centrisch-collinear  mit  M^  als  Centrum,  m^  als  Axe  und  schneiden  sich 
—  ausser  in  Jf,  M^  —  noch  in  den  Punkten ,  in  welchen  die  Inffexions- 
taugen ten  in  M^^  an  C^  die  Gerade  m^  treffen. 

Durch  jeden  Punkt  X  der  Ebene  geht  eine  Curve  Ci/2^.  Wir  erhal- 
ten sie,  indem  wir  auf  M^JC  einen  Punkt  A\  der  C^  und  seine  Tangente 
a^  bestimmen.  Letztere  trifft  m^  in  S\.  S\Z  aber  schneidet  m^  in  P^ 
nnd  zu  P^  gehört  eine  Curve  Cy2^»  Wir  scbliessen  daraus,  dass  die  bis 
jetzt  abgeleiteten  Curven  dritter  Ordnung  ein  Btischel  —  Bi'j*  — 
bilden.  Lassen  wir  an  Stelle  eines  Kegelschnittes  iT'  den  Kegelschnitt 
IC**  treten,  welcher  K*  in  zwei  Punkten  von  m^  bertthrt,  so  ffihrt  uns 
derselbe  zu  den  nämlichen  Kegelschnitten  JSTip'  wie  if**;  denn  die  Kegel- 
schnitte ICip*  hängen  nur  von  iRf,,  P^  und  der  Involution  Jik  ab,  welche 
für  E*  und  K**  dieselbe  ist.  Bestimmen  wir  dann  aus  diesen  £C\p*  mit 
Hilfe  von  7|*  die  Curven  Ci'2\  so  müssen  sie  mit  den  oben  aus  Kip* 
nnd  J|  construirten  zusammenfallen  f  denn  nach  ihrer  Definition  sind  sie 
nur  von  C^  abhängig.  Aus  demselben  Grunde  erhalten  wir  auch  keine 
anderen  Curven  Cv2^^  wenn  wir  von  irgend  einem  der  Kegelschnitte  K* 
oder  K**  ausgehen,  welche  C*  in  den  Punkten  eines  Quadrupels  be- 
rühren. 

In  analoger  Weise  können  wir  ffinf  weitere  Büschel  von  Curven 
dritter  Ordnung  ableiten.  Nach  der  eingeführten  Bezeichnungsweise  sind 
es  die  Büschel  Byj^  Ba*!®,  Bs'i*,  B^s®,  B2's".  Curven  der  Büschel,  welche 
denselben  ungestrichenen  unteren  Index  haben,  gehören  zu  Punkten 
y  auf  der  Linie  m,  welche  den  gleichen  Index  hat.  Curven  der  Büschel, 
die  denselben  gestrichenen  unteren  Index  haben,  sind  Punkten  S' 
mit  demselben  Index  zugeordnet. 

Wir  werden  diese  Curven  C^  benutzen ,  wenn  es  sich  darum  handelt, 
die  Tangenten  zu  finden,  welche  sich  aus  einem  Punkte  S'jg  auf  m,  an 
C^  legen  lassen.  Dabei  bemerken  wir,  dass  unter  den  Kegelschnitten 
^'xp^  stets  ein  Kreis  ist.  Also  werden  wir  zur  Construction  stets  die- 
jenigen Curven  C^  verwenden,  welche  sich  aus  den  erwähnten  Kreisen 
zeichnen  lassen. 

Zum  Schlüsse  dieser  Gedankenreihe  erwähnen  wir,  dass  die  bespro- 
chenen Curven  dritter  Ordnung  degenerirte  Formen  von  Curven  vierter 
Ordnung  sind,  welche  sich  in  folgender  Weise  ergeben.     Sei  P  ein  be- 


26  Die  Canren  vierter  OrdnoDg  etc.     Von  Dr.  C.  Betel. 


liebiger  Pankt  der  Ebene,  so  ziehen  wir  durch  ihn  eine  beliebige  6e* 
rade  x,  welche  m^  in  S\  schneide.  Dann  gehen  von  S\  ans  sechs  Tan- 
genten an  C\  deren  Bertihrnngspnukte  auf  drei  Geraden  x^  durch  M^ 
liegen.  Es  werden  also  auf  diese  Weise  jed^r  Geraden  x  durch  P  drei 
Gerade  ^r^  durch  il/|  zugeordnet;  dagegen  correspondirt  jeder  Geraden  x^ 
nur  eine  Gerade  o:;  denn  x^  schneidet  C^  in  zwei  Punkten,  deren  Tan- 
genten sich  in  S\  auf  m^  treffen.  S\P  aber  ist  der  Strahl,  der  x^  ent- 
spricht. Es  folgt  mithin ,  dass  das  Bösche)  der  x  zu  dem  der  x^  in  einer 
ein  -  dreideutigen  Projcctivität  steht.  Zwei  solche  Büschel  erzeugen  be- 
kanntlich eine  Curve  vierter  Ordnung  —  C^^.  Für  dieselbe  ist  P  ein 
einfacher  und  ilfj  ein  dreifacher  Punkt.  Auf  den  Geraden  PM^  und  PM^ 
fallen  in  M^  resp.  M^  je  drei  Punkte  von  Ci'^  zusammen.  Also  ist  PM^ 
Inflexionstangente  in  M^  an  Cy^  und  PAf^  in  M^. 

Liegt  nun  P  in  m^^  so  enthält  diese  Gerade  fünf  Punkte  an  Ci'\ 
nämlich  den  dreifachen  Punkt  Af^  und  die  Punkte  Afg  und  P.  Also  iat 
m^  ein  Theil  der  Curve  61/^,  welche  zu  P  gehört,  und  der  Rest  ist  eine 
Curve  von  der  Art  der  Curven  Ci'2*.  Ist  /'  in  M^  gelegen,  so  degenerirt 
die  zu  P  gehörende  Curve  in  die  Gerade  m,  und  eine  Curve  C|'a^  u.  s.  f. 

Die  Curven  C\'^  sind  stets  reell,  wenn  P  reell  ist;  dagegen  werden 
die  Curven  Cy2^  nnd  Ci'3^  imaginär,  wenn  M^Af^  imaginär  sind.  Sie  enthal- 
ten dann  nur  als  reelle  Punkte:  M^  und  die  Schnittpunkte  von  m^  mit 
fjf/.  Gleichwohl  sind  sie  nach  dem  Vorhergehenden  definirt  und  be- 
stimmt. 

Analoge  Betrachtungen  fähren  uns  zu  Curven  6^2' ^  Cy^,  Ihre  de- 
generirten  Formen  sind  ^2*1®,  C^z^  und  6Vi*,  Cy^^  nnd  je  eine  der  Ge- 
raden m. 


(Soblnss  folgt.) 


II. 

Ueber  die  Integration  linearer,  nieht  homogener 
Differentialgleiohungen. 

Von 

WoLD.  Heymann 

in  Plauoo  i  V. 


Yorbemerknngen. 

Die  vorliegende  Abbandlang  beschfiftigt  sich  damit,  ftir  GleichuDgen 
von  der  Form 

1)  ^ng.  +  ^,..^,  +  ...  +  ^/£+^,y=^, 

in  welcher  J^n  bis  Xq  ganze  Functionen  von  x  sind,  das  Supplement- 
integral  uhi^e  die  Kenntniss  der  partikulären  Integrale  der  reducirten 
Gleichung  herzuleiten.  Unter  dem  Supplement-  oder  Erg&nzungsintegral 
einer  linearen,  nicht  homogenen  Differentialgleichung  verstehen  wir  die- 
jenige einfachste  Function,  die  dem  Integral  der  reducirten  Gleichung 
additiv  beizugeben  ist,  damit  das  Integral  der  nicht  reducirten  Gleichung 
entsteht.  Das  Supplementintegral  ist  daher  ein  von  willkttrlichen  Con- 
stanten freies  partikuläres  Integral  der  nicht  homogenen  Gleichung. 

Wenn    in   Gleichung   1)   die   Indices   der  Functionen    zugleich   den 
Grad  angeben  und  Ä  eine  Function  ^^®"  Grades  bedeutet,  so  ist 

2)  5=«o  +  «i^  +  «2«'  +  ...  +  «A.^'* 

das  Supplementintegral.  Denn  man  erkennt  leicht,  dass  sich  die  Coeffi- 
cienten  er  im  Allgemeinen  so  bestimmen  lassen,  dass  £  der  Gleichung 
partikulär  genügt.  Natürlich  lässt  sich  das  Supplementintegral  nicht 
immer  in  so  einfacher  Weise  ableiten;  doch  werden  die  späteren  Unter- 
suchungen zeigen,  dass  man  fast  ausnahmslos  ftir  alle  linearen  Differen- 
tialgleichungen, die  in  der  reducirten  Form  integrirt  werden  können,  das 
Supplement  finden  kann  —  und  zwar  nach  einem  Verfahren,  welches 
der  im  bestimmten  Falle  vorgelegten  Differentialgleichung  in  einer  Weise 
angepasst  ist,  wie  es  die  Lagrange'sche  Methode  der  Variation  der 
Constanten  ihrer  Allgemeinheit  wegen  nie  sein  kann. 

Wollte  man  das  Supplement  einer  Differentialgleichung,  deren  rechte 
Seite   eine   ganze  Function   ist,   z.  B.   das   der  Differentialgleichung   der 


28     Ueb.  die  Integrat.  linearer,  nicht  homog.  Differentialgleichungen. 

hypergeometrischen  Functionen  n^^  Ordnung  nach  der  Lagrange^schen 
Methode  aufstellen ,  so  würde  eine  sehr  complicirte  Determinantenverbin- 
dung,  gebildet  aus  bestimmten  Integralen,  entstehen;  andererseits  würde 
man,  wie  bei  Gleichung  1),  als  Supplement 

(;  =  ao  +  «i^+«2^*+-- 
erhalten.  Durch  Vergleichung  der  Resultate  würde  man  sonach  zu  merk- 
würdigen Integralbeziejiungen  gelangen,  deren  Existenz  schwerlich  auf 
anderem  Wege  erkannt  und  bewiesen  werden  dürfte.  —  Die  Herleitung 
des  Supplementintegrals  für  eine  nicht  homogene  Differentialgleichung 
kann  selbstverständlich  nicht  im  Allgemeinen  gezeigt  werden,  sondern 
man  hat  sich  immer  an  specielle  Fälle  zu  halten  und  gewisse  Gruppen 
von  Gleichungen  zu  untersuchen.  Nicht  selten  gelingt  es,  die  Methode, 
welche  bei  Integration  der  reducirten  Gleichung  in  Anwendung  kommt, 
so  zu  modificiren  oder  zu  erweitern,  dass  ein  Integral  für  die  complete 
Gleichung  gewonnen  wird. 

Die  Abhandlung  zerfällt  in  drei  Theile.     Sie  behandelt 
I.  Supplementintegrale  linearer,  nicht  homogener  Differentialgleich. 

ungen,  deren  zweiter  Theil  eine  ganze  Function  ist; 
II.  Supplementintegrale  linearer,  nicht  homogener  Differentialgleich- 
ungen, deren  zweiter  Theil  eine  beliebige  Function  ist; 
III.  Supplementintegrale  linearer,   nicht  homogener  simultaner  Diffe- 
rentialgleichungen. 


§  1.  Supplementintegral  von 

worin 

^fc  =  ^o  +  ^i^  +  ^2^'+   ..  +  *iba:*. 

Wir  setzen  voraus ,  dass  der  Grad  einer  jeden  Function  durch  ihren 
Index  angegeben  ist,  und  führen  nun  auf  der  linken  Seite  als  Ergän- 
zungsiotegral  die  ganze  Function'^ 


*  Da  (ß  +  1)  Potenzen  za  identificiren  sind,  so  müssen  im  Ergänzungsintegral 
(fi  +  l)  verfügbare  Coefficienten  vorkommen;  £  muss  also  mindestens  vom  i*««« 
Grade  sein.  —  Dass  diese  Function  nicht  von  höherem  Grade  za  sein  braucht,  ist 
unmittelbar  klar.  Denn  wäre  sie  vom  (ji  +  iy^^  Grade,  so  würde  sich  der  Grad 
auf  der  linken  Seite  im  Allgemeinen  auch  bis  zum  (fi  4- 1)^°  erheben  Nun  hätte 
man  aber  zuerst  den  Coefßcienten  von  x^"^^  zum  Verschwinden  zu  bringen,  und 
da  dieser  proportional  dem  Coefficienten  a^  -f  i  in 

f=ao4-aia?4-...-fa/ua/*  +  cf;.4-ia/*  +  * 
sein  muäs,  so  ist  «^4.1=0,   falls  nicht  unter  den  Coefficienten  der  vorgelegten 
Gleichung  Beziehungen  stattfinden,  was  nicht  vorausgesetzt  werden  solL 


Von  WoLD.  Hbtmann.  29 

!;=%  +  cc^x  +  a^x^+.    .  +  oif,xf* 

ein.     Da  yoransgesetztermassen 

Äf^  =  Aq+A^x  +  A^x^  +  . . .  +  Af,xf*^ 

ist,  80  entsteht  durch  Gleichsetzung  der  Coefficienten  gleicher  Potenzen 
▼on  X  folgendes  Gleichungssystem  zur  BerechLting  der  Zahlen  o^  bis  a^: 


•'»-1  ««- 

Jll-ZCß- 

-»+y;i:+'«,.-.+i+...+/^ri 

cr^  «  1       +  «/ju  -  »  «^       =  Af^^  „ 

Jk"  «k 

+//  +  «     «i+,       +...+J*H— 

*  «it  +  n-t  +  Jifc*  +  "  «*  +  «  =  ^it, 

Ja"  «» 

+V  +  '      a*  +  t       +., .+/**  +  - 

'  aA+ii-!+A^  +  "aA+ii  =  '^A, 

Die  /  enthalten  nur  linear  die  Ooefficienten  der  Functionen  Xn  bis 
j^Q  und  gewisse  aus  den  Zahlen  n  nnd  fi  gebildete  Facultätenverbin- 
dnngen.  Das  Oleichungssystem  soll  zeigen,  in  welcher  Weise  die  a 
nnter  einander  verbunden  sind :  In  die  Gleichungen  tritt  der  Reihe  nach 
immer  eine  Unbekannte  mehr  ein ,  so  dass  die  Auflösung  besonders  ein- 
fach wird.  Von  der  (n  +  l)'^"  Gleichung  bis  zur  (|[i+l)'^"  (letzten  Gleich- 
nog)  finden  sich  im  Allgemeinen  in  jeder  Gleichung  (n-|-l)  Unbekannte, 
in  den  rorh  ergehen  den  aber  weniger.  Bei  der  Auflösung  des  Systems 
können  besondere  Fälle  eintreten. 

Verschwindet  nämlich  einer  der  Ooefficienten  von  or  in  der  ersten 
Verticalreihe,  etwa  /**»  so  lässt  sich  fl^  aus  der  Ar*®"  Gleichung*  nicht 
bestimmen  und  diese  Gleichung  ist  überhaupt  nicht  zu  befriedigen,  da 
ctß,  bis  «it+i  ftls  bestimmt  gelten. 

In  diesem  Falle  bleibt  or^  unbestimmt,  und  es  ist  einleuchtend,  dass 
der  reducirten  DifiPerentialgleichung  eine  ganze  Function  k^^*^  Grades  par- 
tikulär genügen  muss.     Denn  stellt  man  die  Forderung,  es  soll 

ein  partikuläres  Integral  der  gegebenen  Gleichung  (ohne  zweiten  Theil) 
sein,  so  wird  man  bei  Bestimmung  der  ß  offenbar  auf  ein  Gleichungs- 
system von  der  Form 


*  Wir  bezeichnen  von   dieser  Stelle  ab  die  Gleichungen  nach  dem  Index, 
welchen  das  A  der  rechten  Seite  trägt. 


30     Ueb.  die  lotegrat.  linearer,  nicht  homog.  Differentialgleichungen. 

Jk^l  ßk—t+Jk^ißk  =0, 

Jk^2ßk'~2  +  Jk~2ßk^t  +Jk^2ßk  =0, 


geführt,   in   welchem  die  J  dieeelbe  Bedeniang  haben   wie  vorhin.     Da 
ßk^Oy  80  mufls  Jk'^  =  0  sein. 

Verschwindet  noch  ein  Coefficient  von  a  in  der  ersten  Verticalreihe, 
vielleicht  c7]|\  wobei  A<Ar,  so  Iftsst  sich  au  aus  der  h^^^  Gleichung  nicht 
bestimmen.  Indessen  lässt  sich  die^e  Gleichung  im  Allgemeinen  doch 
befriedigen  und  zwar  mit  Hilfe  des  früher  unbestimmt  gebliebenen  «a^ 
welches  durch  die  Grössen  ffA+i  bis  ok+n  in  die  h^^  Gleichung  linear 
eingeführt  wird.  Verschwindet  aber  der  Factor  von  Ok  auch  in  der  A^'" 
Gleichung,  so  bleibt  diese  unerfüllbar,  und  der  reducirten  Differential- 
gleichung genügt  partikulär  eine  ganze  Function  A^*"  Grades. 

Verschwindet  weiter  cT/,  f<hy  so  lässt  sich  die  P^  Gleichung  durch 
das  früher  unbestimmt  gelassene  Oh  befriedigen,  falls  nicht  der  Factor 
von  OA  Null  wird.  Im  letzten  Falle  aber  würde  der  Differentialgleich- 
ung ein  drittes  partikuläres  Integral  in  Form  einer  Function  /^°  Grades 
genügen.  Dieser  Vorgang  kann  sich  n-mal  wiederholen,  weil  //,  wel- 
ches die  Gestalt  hat: 
J/  =  p„r(r-l)(r-2)...(r-,r=l)+Pn-ir(r-l)(r~2)...(r-;^)  +  ... 

nur  für  n  Werthe  des  r  verschwinden  kann. 

In  einem  solchen  Falle  würde  die  reducirte  Gleichung  n  partikuläre 
Integrale  besitzen,   welche  sammt  und  sonders  ganze  Functionen  wären. 

Angenommen  nun,  es  lassen  sich  q  Coefficienten  Oj^,  a^,  ...  of  nicht 
bestimmen*,  so  bleibt  nichts  Anderes  übrig,  als  die  Integration  einer 
Gleichung 

zu  versuchen.     Dieselbe  lässt  sich  jedoch,  da  q  partikuläre  Integrale  der 
reducirten  Gleichung   bekannt  sind,   auf  die   («  — ^)'*  Ordnung  bringen 
Das  vollständige  Integral  der  Gleichung  1)  lautet  nun 


*  Die  Unbestimintheit  gewisser  Coefficienten  a  findet  auch  in  der  Form  des 
Integrals  ihre  Bestätigung.  Da  nämlich,  falls  «^  =  0,  eines  der  partikulären  Inte- 
grale, etwa  yty  die  Gestalt 

yi  =  /'o  +  ft«  +  ...4-fta* 

hat,  80  lautet  das  allgemeine  Integral 

y  =  <^i  (l'o  + 1*1 «  +  •  •  •  +  ft  a;*)  4-  C,  yj  + . . .  +  C«  yO»)  +  («0  +  «1  a?  + . . .  +  «^  a/*). 
Wegen  der  Willkürlich keit  des  C,   kann  nun  immer  vom  ersten  partikulären  In- 
tegral t/,  ein  Theil  wie  C ( (J^ +  fta; +...-}- ftic*)  abgelöst  und  in  das  Ergäniungs- 
integral  «o  +  of|  ä  +. .  .4- «/» a/*  aufgenommen  werden,  wodurch  sich  die  Unbestimmt- 
heit erklärt. 


Von  WoLD.  Heymann.  31 

y  ==«<,+ a,  0-+ ...+ cr^a'*  +  2, 
unter  z  das  complete  Integral  der  Gleichung  2)  verstanden. 

Ein    passendes  Beispiel  zu  den  Untersuchangen  dieses  Paragraphen 
liefert  die  Gleichung 

für  welche  sich   die  Integration  vollständig   ausführen  lässt.     Da  dieser 
Gleichung  (n  — 1)  ganze  Functionen,  nftmlich 

^1  =  ^0»    ^2  =  ^1^»    ^3  =  ^8^'»   •••  ^1.-1  =  ^1.-2^:»-* 
genügen,  so  tritt  hier  gerade  der  Ausnahmefall  auf,  in  welchem  das  Er- 
gfinzungsintegral   keine  vollständige  Function    ii^^^  Grades  ist.  —  Denkt 
man  sich  X^  in  Factoren  aufgelöst 

and   setzt  der  Einfachheit  halber  'l'n-i'=0,   so   lautet   das  Integral  der 
reducirten  Gleichung 

and  das  Ergänzungsintegral 

{;=«,(x-*,)"-*'(^-«,) +  «!(«-*»)"-''(«'-*»)  +  ••• 

. . .  +  «„_i  («  —  «„)•-'  1{X  -  €,)  +  o»»»  +  «,  +  ,«"  +  '    +  . . .  +  «^(F«, 


§2. 

Vollständiges  Integral  von 

X  »D^  X^ 

Es  soll  die  Rechnung,  welche  iifi  vorigen  Paragraphen  nur  Schema- 
tisch  angedeutet  werden  konnte,  an  diesem  Beispiel  in  extenso  ausgeführt 
werden  und  zwar  mit  Berücksichtigung  aller  Ausnahmefälle,  welche  bei 
der  Bestimmung  derCoefficienten  des  Ergänzungsintegrals  eintreten  können. 

Aus  Bequemlichkeitsrücksichten  nehmen  wir  0^  =  0,  was  immer  er- 
laubt ist,  sobald  nicht  vorliegt 

ö«y"+  («1  +  ^  ^)  y  +  «oi'  =  '^0  +  ^1  Y"j  +  •  •  •» 
welche  Gleichung  nachträglich  betrachtet  wird. 
Das  Ergänzungsintegral  sei 

.T  x^  x^ 

und  wir  setzen  der  Kürze  halber 

a^+b,k  +  c^(k^l)k=.M^,     a,+b^k=:N,; 
dann  lauten  die  Bestimmungsgleichungen  für  die  a  folgen d er massen : 


£  =  «o  +  «iTl  +  ^8öT+-   +««*ri* 


32     Ueb.  die  Integrat.  linearer,  nicht  bomog.  Differentialgleicbnngen. 

J/fc_2  «fc— 2  +  ^*— 2  «*— 1  =  ^*— 2» 

iJfA-l  «Ä-l  +Aik_l  «A         =-^4-1, 
Mk-.2  «4-2  +  •^A-2  «A-1  =  ^A-2, 

a)  Sollte  ^I/a  =  0  sein ,  so  lässt  sich  oa  aus  der  A*^"  Gleichnng  nicht 
bestimmen,  nnd  diese  Oleicbnng  kann  überhaupt  nicht  befriedigt  werden, 
da  ttß  bis  ok^i  als  bestimmt  gelten.  Man  berechne  nun  weiter  aus  der 
(^  —  1)^^°  bis  nullten  Gleichung  die  Coefficienten  oa  bis  a^.  Von  diesen 
bleibt  einer  unbestimmt. 

b)  Ist  auch  Mt,  =  Oy  so  lässt  sich  «a  ans  der  Gleichung  (h)  nicht 
bestimmen.  Man  ftihre  die  Rechnung  jetzt  folgen dermassen.  Aus  Gleich- 
ung (Ar  — 1)  berechne  man  aA.i;  man  findet 

«A-l  =»»A_i  +  WA_iaA, 

wobei  mA~i  und  iia— i  bekannte  Grössen  sind«  Aus  Gleichung  (h  +  1) 
ergiebt  sich  unter  Benutzung  aller  früheren  Gleichungen 

«A+i  =  »«A+l  +»»A+l«*) 
und  dieses  giebt,  in  die  Gleichung  (h)  eingesetzt,  in  welcher  also  A/a='0 
ist.  Folgendes:  „    ,  ,  .        . 

^A.(«A  +  l  +  «A  +  l«*)  =  ^A. 

L&sst  sich  hieraus  a^  bestimmen,  so  hat  die  weitere  Rechnung  keine 
Schwierigkeiten.  Es  folgen  nämlich  aus  den  Gleichungen  (A  — 1)  bis  0 
die  Coefficienten  «a  bis  ctq,  doch  bleibt  von  diesen  einer  unbestimmt. 

c)  Es  lässt  sich  aic  nicht  bestimmen,  wenn  Nk  oder  »a+i  verschwin- 
den.    Dies  letztere  hat  den  Werth 

^A— l^fc— 2.-.  ^A  +  1 

und  da  die  GrSssen  Mk^i  bis  ^a+i  sicher  nicht  verschwinden  können, 
weil  schon  JI/a  =  0  und  ^a  =  0,  so  kann  «a  nur  dadurch  unbestimmbar 
werden,  dass  eine  der  Grössen  iV)t—i  bis  Njk  verschwindet.  Wird  aber 
eine  dieser  Grössen  null  (und  es  kann  höchstens  eine  derselben  ver- 
schwinden, wenn  nicht  etwa  0^  =  0^=0)^  so  kann  die  h^  Gleichung 
nicht  befriedigt  werden.     Aus  der  (A  — 1)^^  bis  nullten  Gleichung  findet 


Von  WoLD.  Hbthamii.  33 

man,  wie  bei  Fall  b),  die  Coefficienten  ak  bis  «q,  von  denen  einer  un- 
bestimmt bleibt.  Ausserdem  ist  jetzt  auch,  falls  Nk^q  verschwindet,  wo 
g  eine  der  Zahlen  1  bis  k  —  h  ist,  einer  der  Coefficienten  Uk  bis  ajc^q^y 
nicht  bestimmt. 

Bilden  wir  nun  die  Integrale  der  vollständigen  Differentialgleichung. 
1.' Lassen  sich  sftmmtliche  Coefficienten  des  Ergänsungsintegrals  be- 
stimmen, so  genügt  der  Gleichung 

{b^x  +  c^a^^)y'+{a^  +  b^x)y  +  aQy  =  Jq  +  ^i  H  "^  *   *  "*"  '^'*  H 
wobei 

und  yi  und  y^  die  partikulären  Integrale  der  reducirten  Gleichung  sind. 
2.  Treten  die  AusnahmefHlle  ein,  so  gilt  Folgendes. 

a)  EiS  möge  im  Gleichungssystem  der  a  ^^  =  0  sein; 
dann  genügt  der  reducirten  Gleichung  partikulär 

yi^ßo+ßiYi  +  '-  +  P^T\' 

Denn  ftihrt  man  dieses  in  die  reducirte  Gleichung  ein,  so  entsteht 

Mk      ßk  =0, 

Mk^ißk^t  +  Njt^ißt  =0, 

^Ä— 2  ßk-l  +  ^*— 2  ßk-l        =  0, 

Mk^gßk^g+Nk^g  ft-g  +  l=  0, 

Mk      ßk      +Nh      ßu+x      =0, 

^A-2  ßh-'2  +  -^A-2  ^A-l        =0, 

^1       ßl        +^l        ßt  =0, 

^0       /^O        +^0        ßl  =0. 

Dieses  System  erfordert  üfj^  =  0 ,  und   nun  ergiebt  sich  der  Reihe  nach 

/3*-i  =  n4_i/Jit,'       

ft.2  =  «t.2/J*,        ft  =  ^«f*»      (/J,  unbestimmt), 
Pi  =  "iPt» 

ßk^q  =»  W*^9  /?*  ,  /^o  =  ''O  ^*  > 

wobei,  wie  früher, 

'         Mk^iMk^2...Mk-.q 

Der  reducirten  Gleichung  genügt  also  partikulär 

''o+«,ij+-+«*-i(]f3iy!  +  ftTJ- 

ZrttMbxift  f.  Mathematik  o.  Pbjdk  XXX^  1.  3 


34     Ueb.  die  Tntegrat.  linearer,  nicht  homog.  Differentialgleichnngen. 

Um  das  allgemeine  Integral  der  yolktändigen  Gleichung  zu  bilden, 
führe  man  in  selbige  ein 

bestimme  die  a  ans  dem  früher  aufgestellten  Gleichangssystem  ohne  Be 
rttcksichtignng  der  k^*'^  Gleichung ,  so  dass  zurückbleibt 

wobei 

^A  =  ^*  — ^ikat+i. 
Die  letzte  Differentialgleichung  integrire  man  mit  Hilfe  der  Variation  der 
Constanten  unter  Beachtung,  dass 

*i  =  «o+«xn  +  -"  +  '"-i(T=l)T+f! 

ein  partikuläres  Integral  der  reducirten  Gleichung  ist. 
Man  findet  allgemein  aus  einer  Gleichung 

falls  tj  der  reducirten  genügt, 

b)  Es  möge  ausser  Mk^O  auch  ilfii  =  0,  C^>A)  sein. 
Ist  dann  in  Gleichung  (h)         Nj^      ^0,  'So  muss  /?a4-i  =  0*, 
„     auch   „  „  (Ä  +  1)   iVik+i^O,    „       „      ft+2  =  0, 

ist  auch  in  Gleichung  (^  —  1)   A)t^i^O,    so  muss   ßk     ="0  sein. 
Dagegen  ergiebt  sich  aus  Gleichung  (A  — 1)  bis  (0) 

Sonach  genügt  der  reducirten  Differentialgleichung  jetzt  partikulär 

yx=^*)''o+«iij+-+''*-'(Äi:iyi+ÄiC 

Von  dieser  Stelle  ab  verläuft  die  Rechnung  wie  bei  Fall  a). 

c)  Verschwindet  endlich  JUk^  ^h  und  auch  Nk—q% 

wo  q  eine  der  Zahlen  1  bis  k^h  bedeutet  und  A:>A,  so  entnehme  man 
der  (Ä-l)*~  bis  (^-g  +  l)^*"  Gleichung 

/Jjfc-.l=«jb-l^ib,       /J/t-2  =  WA-2^*i      ...      ßk-q-^l^nk^q^lßk. 

Die  (Af  — ^)*'  Gleichung  verlangt,  dass  ^/t— ^  =  0,  und  infolge  dessen 
muss  auch  ßk^q^t  bis  ßh^x  gleich  Null  sein.  Die  A^  Gleichung  ist  von 
selbst  erfüllt  und  nun  ergiebt  sich  aus  der  {h  —  1)^^  bis  nullten  Gleichung 

*  Wir  bezeichnen  die  Gleichungen  zur  Bestiinmung  der  ß  nach  dem  Index 
des  M. 


Von  WoLD.  Hbtmanm.  36 


Sonach  genügen  jetzt  der  redacirten  Oleichnng 

y,  =  ^*  J»._,+,-^^^--j^  + . . . +«,_,^^^_^j +  _ 

Dm   das   allgemeine  Integral  der  vollständigen  Gleichung  anfzustel- 
len,  substituire  man  in  die  vorgelegte  Differentialgleichung 


80  bleibt  zurück  ^ 

wobei 


(b,x  +  c,x^)z'+{a,  +  b,x)z+a,z  =  Bt,'^  +  Bft'^^ 


^h^^h—  Nh  «A+l  I       ^*  =  ^*  —  iVit  «A  +  l . 

Da  nun  von  der  letzten  Differentialgleichung,  ohne  zweites  Glied  ge- 
dacht, zwei  partikuläre  Integrale  z^  und  z^  bekannt  sind,  so  erledigt  sich 
die  vollständige  Integration  leicht.  Man  bildet  nach  Lagrange  und 
Abel  für  eine  Gleichung 

X^z'+Ä^z'+X^z^X 

aus  den  partikulären  Integralen  folgendes  complete  Integral: 

Im  vorliegenden  Falle  hat  »  den  Werth 
was  aus  der  Identität 

für  x  =  0  leicht  abgeleitet  wird. 

Anmerkung  1« 

Betrachten  wir  auch  kurz  den  Fall,  bei  welchem  der  Grad  des  Er* 
gSnzungsintegrals  höher  angenommen  werden  darf  als  der  Grad  des 
zweiten  Theiles  der  Differentialgleichung.  Am  bequemsten  ist  es,  wenn 
wir  das  Ergänzungsintegral  wie  vorher  in  der  Form 

X  xf' 

voraussetzen,  dagegen  in  Xß  den  Grad  durch  Nullsetzen  von  j^ß  bis  Jk-^-i 
auf  den  k^^  herabbringen  {k^fA);  denn  dann  können  wir  den  jetzigen 
Fall  als  Special  fall  des  früheren  auffassen.  Da  jetzt  noth  wendig  M(is=0 
sein  muss,  so  genügt  der  reducirten  Differentialgleichung  partikular  eine 
ganze  Function  fi**"  Grades 

3* 


36     Ueb.  die  In^egrat.  linearer,  nicht  homog.  Differentialgleichungen. 

und  umgekehrt:  Nur  dann,  wenn  der  reducirten  Gleichung  eine  ganze 
Function  genügt,  deren  Grad  höher  ist,  als  der  Grad  des  zweiten  Theiles 
der  Gleichung,  hat  es  Sinn,  fttr  das  Ergänzungsintegral  eine  ganze  Func- 
tion anzunehmen,  deren  Grad  höher  ist,  als  der  zweite  Theil  der  Gleicli- 
nng,  nämlich  so  hoch,  als  der  Grad  des  partikulären  Integrals  der  redu- 
cirten Gleichung. 

a)  Man  überzeugt  sich  nun  leicht,  dass  die  Annahme  des  |ü^°  Gra- 
des statt  des  Ar^*°  Grades  im  Ergänzungsintegral  im  Allgemeinen  keinen 
Vortheil  gewährt.  Wird  das  complete  Integral  aufgestellt ,  so  zeigt  sich, 
dass  der  überflüssige  Theil  des  Ergänzungsintegrals 

von  dem  partikulären  Integral  f/i  verschluckt  wird.* 

b)  Ist  jedoch  ausser  Mpk  =  0  auch  Mk^^Oy  so  ist  es  vortheilhaft ,  (; 
vom  fi^*^  Grade  anzunehmen.  Denn  da  wegen  Mk^O  die  A*®  Gleichung 
nicht  mit  Hilfe  von  ak  befriedigt  werden  kann,  so  findet  hierzu  der  noeli 
unbestimmte  Coefficient  a^  Verwendung.  Stellt  man  das  complete  Inte- 
gral der  Differentialgleichung  auf,  so  erscheint  auch  kein  Theil  des  Er- 
gänzungsintegrals als  überflüssig,  weil  das  partikuläre  Integral  y^  sich 
jetzt  auf  den  Ar^'°  Grad  zusammengezogen  hat  und  keinen  Theil  des  Er- 
gänzungsintegrals in  sich  aufnehmen  kann. 

c)  Wird  die  Bestimmung  von  a^  im  Falle  b)  dadurch  illusorisch, 
dass  der  Factor  von  cr^  in  der  k^^  Gleichung  verschwindet ,  so  genügt 
der  reducirten  Differentialgleichung  ausser  einer  Function  (»}^^  Grades 
auch  eine  k^^^  Grades,  und  es  ist  [wie  bei  Fall  a)]  nur  nöthig,  das  Er- 
gänzungsintegral vom  A^°  Grade  vorauszusetzen. 

Anmerkung  2. 

Wir  haben  im  Anfang  unserer  Betrachtungen  den  Fall 

^W+  («1 + *i*)y'+  «oy  =*  ^0+ ^1  fj  +  •  •  •  +  -^fi  -j- 

ausgeschlossen.     Führt  man  in  diese  Differentialgleichung  für  y 

J:=«o  +  «ij^  +  -..  +  af*j^ 
ein,  so  bestimmen  sich  die  a  aus  folgendem  Gleichungssystem: 
*  Man  beachte  nur,  dass  nach  der  früheren  Bezeichnung 

«/*— I    =W^— l+W/4— 1    «jU,  ßfl^lZ^nfi—l    ßjily 

und  dasB  , .  ,    .    , 

tnj^^i  bis  nifi  verschwinden, 

tt/t  und  ßfi  willkürlich  sind. 


Von  WoLD.  Hbtmamn.  37 

K  +  ^lf*  — l)"^-l  +  ^l«A*  ~  ^f»-li 

(«0  +  *i  ft  —  2)  Ä^  _  2  +  «1  «i»  - 1  +  «a  «^      =  ^ju  -  2, 

K  +  ^*)  «*         +01«*  +  !  +«»aA+2  =   i^A, 

Hier  kann  nur  der  Aasnahmefall  in  Betracht  kommen,  wo 

Dann  ist  es  nicht  möglich,  die  k**  Gleichung  mittels  des  Coefficienten  at 
zu  befriedigen,  und  die  reducirte  Differentialgleichung  besitzt  das  parti- 
kuläre Integral  -^ 

yi--ßo+ßi^^  +  "'  +  ßkj^' 

Der  vollständigen  Gleichung  genügt  nun 
wobei  im  Ausnahmefalle  z  aus  der  Gleichung 

unter  Benutzung  der  bekannten  partikulären  Lösung  zu  berechnen  ist. 
Bk  hat  folgenden  Werth: 

^*  =  -rf*  —  |fli«ifc+l  +  Ö2aik+2}. 

§3. 
YollBttodigM  Int^^  von 

1)  a«(«  +  6a:)-y'-)  +  a,_,(a  +  ft«)— »y(»-»)  + . . .  +  o^(a  +  6«)/+  a^tf  =  J>, 

1.  Schliessen  wir  zuerst  den  Fall,  in  welchem  6  =  0  ist,  aus,  so 
lässt  sich  diese  Differentialgleichung  dadurch,  dass  man  für  a  +  bx  eine 
neue  Yariabele,  etwa  wieder  x  setzt,  auf  die  einfachere  Form 

bringen,  wobei  Xft  wiederum  die  frühere  Form  hat. 

^®'  X  a^  - 

das  Ergänzungsintegral  und  g>  eine.Function  von  folgender  Beschaffenheit: 
dann  bestimmen  sich  die  a  aus  folgenden  Gleichungen: 


38     üeb.  die  Integrat.  linearer,  nicht  homog.  Differentialgleichungen. 

Das  allgemeine  Integral  der  vollständigen  Gleichung  lautet 

y  =  (7i  x^»  +  C'g  a:^  + . . .  +  C«  0^- +  t . 
wobei,  kl  biß  kn  die  Wurzeln  der  Gleichung  n^"  Grades 

sind.* 

Auch  hier  können  sich  bei  Bestimmung  der  a  AusnahmefUlle  ereignen. 

a)  Es  verschwinde  der  Factor  von  ajt,  es  sei  also  <;p(Ar)»0.  Dann 
wird  eine  der  Wurzeln  der  Gleichung  g)(il)  =  0,  etwa  die  Wurzel  Ikt 
gleich  der  ganzen  positiven  Zahl  Ar,  und  sonach  genügt  der  reducirten 
Differentialgleichung  partikulär  die  Potenz  yu  =  x''.  In  dem  Ergänzungs- 
integral wird  hingegen  der  Coefficient  ajg  von  o^  unendlich  gross.  Durch 
eine  Grenzbetrachtnng  lässt  sich  nun  zeigen,  dass  in  £  an  Stelle  von  x^ 
der  Ausdruck  x^lx  zu  treten  hat. 

Sei  im  Augenblicke  X^  noch  von  k  verschieden,  kt^==k  +  öf  und  man 
greife  aus  dem  vollständigen  Integral  der  Differentialgleichung  die  in 
Frage  kommenden  Glieder,  nämlich 

heraus.     Nun  ist 

«t  =  ^ '  <pW  =  9  {ik  - a) = v (i*)  -  ^  ip'ih) + Ij  v"M  - . . ., 

oder  weil  g){li,)='0,  so  ist 

^  ^ ^ 

<|9''(i*)-|jv"(i*)  +  ...[ 

IS 

r=c'tx*+'+-^ -,— r— 

*!}<p'a»)-^,9'"(At)+-j 

oder  für  j  =  0 

T=C',^  +  »',^^lx,  wobei  «'k  =  ^y 

Verschwinden   noch   andere  Factoren,   etwa   die  von   a^,  Uk^  .•.  ff^v    so 
tritt  im  Ergänzungsintegral  an  Stelle  von 

der  Ausdruck  * 


Bei  Veränderung  der  Constanten  Ck  kann  man  aber  schreiben 


*  Eine  gleiche  Behandlungsweise  ist  anzuwenden,  wenn  der  zweite  Theil  der 
Gleichung  allgemeiner  die  Form  Xfi  =  A^x*o  +  AiX*i+,.,  hat.  Das  Ergänzunga- 
integral  lautet  dementsprechend  i=  »qX^o-^  aiX^i  +..» , 


Von  WoLD.  Hbitmann.  39 


(•'*Äi+«''n+"+*''Fi)"- 


Uebrigens  kann  dieser  Fall  höchstens  n-mal  eintreten,  weil  die  vor- 
gelegte Differentialgleichung  n*^  Ordnung  nur  n  von  einander  wesentlich 
verschiedene  partikuläre  Integrale  besitzt,  oder  auch  weil  q>{k)  nur  für 
n  Werthe  von  l  verschwinden  kann«  Die  Gleichung,  in  welcher  dies 
stattfindet,  ist 

und  ihr  yollBtSndiges  Integral 

+«-;r!+«-+«(;r+T)T+  ••■^'''•;:i 

b)  Die  Bestimmung  von  a'k  im  Falle  a)  ist  unmöglich,  wenn  g>'(k)s=iOi 
d.  h.  wenn  q>(l)  eine  mehrfache  Wurzel  besitzt.  Wir  beginnen  mit  dem 
Falle  einer  Doppelwurzel;  die  gleichen  Wurzeln  mögen  Xk  und  Xk^i  sein. 
So  lange  diese  noch  von  k  verschieden  sind ,  lautet  das  vollständige  In- 
tegral bekanntlich 

y^C,x^+C,x^  +  ...  +  x^^iC,  +  Ck+ilx)  +  ...  +  CnX^+!:, 
unter  t  eine  reine  ganze  Function  fi*^°  Grades  verstanden. 

um  nun  den  Fall  Xk  =  itjb+i  =  Ar  zu  erledigen ,  setze  man,  wie  früher, 
kk^=k  +  d  und  greife  aus  dem  vollständigen  Integral  die  Glieder  heraus, 
welche  alterirt  werden.     Man  erhält 

oder  weil 

9(*)  =  9(u-  a) = V  (i*)  -  ^  v'(i») + ^  <p''{h)- 1^  <p"'{h)  +  ... 

und 
so  ist 

oder,  bei  Veränderung  der  Constanten  und  für  d  =  0, 
oder 


<rr=t 


40     Ueb.  die  Integrat.  linearer,  nicht  bomog.  Differentialgleicbnngen. 

Wie  man  sich  zu  verhalten  hat,  wenn  die  Gleichung  q){k)  =  0  eine 
vielfache  Wurzel  besitzt,  ist  jetzt  unmittelbar  klar.  Besitzt  sie  etwa  s 
gleiche  Wurzeln  und  sind  diese  gleich  der  ganzen  positiven  Zahl  k 

kk  =  h+\  = . . .  =  A*+t-i  =  Af , 
so  lautet  das  vollständige  Integral  der  Differentialgleichung 

wobei  jedoch  Uk  den  besondern  Werth 

hat.  <> 

2.  Ist  in  der  Gleichung  1)  6  =  0,  so  schreibe  man  ax  für  x^  dann 
liegt  vor 

a«!/^»>+««-iy<"-^>  +  ...  +  «iy  +  aoy  =  ^o+^i^  +  ...  +  ^f»^- 
Die  Coefficienten  des  Ergänzungsintegrals 

bestimmen  sich  aus  folgendem  Gleichungssystem: 


Das  vollständige  Integral  der  Differentialgleichung  lautet 
y=^C,€^'+C^e^'  +  ...  +  Cne^nx^^^ 

unter  X^  bis  In  die  Wurzeln  der  Gleichung 

Ol,  i"  +  a«  - 1 A«  -  *  +  . . .  +  aj  ;i  +  ao  =  0 
verstanden.* 

Die  Coefficienten  a  lassen  sich  nicht  bestimmen,  falls  a^csO^  oder 
«0  =  01  =  0,  oder  0^  =  0^=30^  =  0  etc.  Verschwinden  etwa  sämmtliche 
Factoren  von  üq  bis  a^—i,  so  setze  man 

^f^=»?» 
dann  geht  die  Gleichung 

*  Eine  ähnliche  Behandlungsweise  gestattet  die  Differentialgleichung,  wenn 
ihr  zweiter  Theil  die  Form  Af^efo'-^Aie*i^+,..  hat.  Das  Ergftnzungsintegral 
lautet  dementsprechend  £  =  aoe^o'  +  «i  e*i '  +  •  •  •  • 


xf^ 


Von    WOLD.  HeTMANN.  41 

^^     .  ö«y^»>  +  ai.-ii/<— *>  +  ... +  flty*»^  =  -r^ 

über  in 

und  dieser  lefzten  genügt 

,,=  (7je*.^  +  C,^'  +  ... +  (?n.^e^«-f»  +  «,  +  a, -+...  + a^^- 
Integrirt  man  jetzt  p-mal  hinter  einander,  so  entsteht 

xQ  sc^-^^  x9+i^ 

Dieses  ist  das  vollständige  Integral  der  vorgelegten  Differentialgleichung 
für  den  erwähnten  Ausnahmefall.  Es  sei  noch  bemerkt,  dass  sich  die 
Annahme  eines  Supplementintegrals  in  Form  einer  ganzen  Function  für 
die  linearen  Differentialgleichungen  mit  constanten  Coefficienten  bereits 
in  französischen  Lehrbüchern  vorfindet.  Eine  Discussion  des  Integrals 
wird  aber  daselbst  nicht  gegeben;  auch  sind  meines  Wissens  andere 
Gleichungen  in  dieser  Weise  nicht  behandelt  worden.  Man  vergleiche 
Moigno,  Lebens  de  Calcul  Diff^rentiel  et  de  Calcul  Integral.  Paris  1844. 
T.  2  p.  626;  —  Sturm,  Cours  d' Analyse  de  Pficole  Polytechnique.  Paris 
1873.   T.  2  p.  133. 

§4. 

Bei  den  bisher  betrachteten  Differentialgleichungen  genügte  es  im 
Allgemeinen,  dem  Integral  der  reducirten  Gleichung  eine  ganze  Func- 
tion additiv  beizugeben,  um  das  Integral  der  completen  Gleichung  her- 
zustellen. 

In  den  Fällen,  welche  nun  zu  betrachten  sind,  gestaltet  sich  die 
Sache  weniger  einfach.     Es  sei  vorgelegt 

^«!/<">  +  ^«-iy<«->>  +  ...  +  ^iy+foy=^M, 

unter  X^  bis  Xq  ganze  Functionen  beliebigen  Grades,  unter  Xß  eine 
ganze  Function  i»}^^  Grades  verstanden. 

Uebersteigt  der  Grad  der  Functionen  ^n  his  JTq  die  Ordnung  der 
mit  ihnen  multiplicirten  Differentialquotienten  im  Maximum  um  die  Zahl  A, 
und  ist  h<iiy  so  besteht  das  Supplementintegral  aus  einer  ganzen  Func. 
tion  (fi  — Ä)**"  Grades  und  aus  einem  additiven  Bestandtheile  t,  welcher 
partikuläre  Lösung  der  Gleichung 

ist,  wo  J^h—i  eine  Function  vom  höchstens  (ä— 1)**°  Grade  bedeutet.* 

Die  Bestimmung  von  z  für  gewisse  Klassen  von  Differentialgleich- 
ungen bildet  den  Gegenstand  dieses  und  der  nächsten  Paragraphen. 


*  Hierbei  ist  jedoch  vorausgesetzt  —  und  das  genügt  für  ansere  späteren  Un- 
tersuchungen — ,  dass  bereits  X^  den  h^^  Grad  besitzt. 


42     Ueb.  die  Integrat.  linearer,  nicht  homog.  Differentialgleichnngen. 


Sei  vorgelegt  die  Riccati'sche  Gleichung 

unter  m  und  n  ganze  positive  Zahlen  gedacht. 
Man  setze ,  falls  fi  ^  n , 

und  wähle  die  er  so,  dass  Gleichung  1)  übergeht  in 

Eine  Bestimmung  der  a  ist  immer  möglich ,  und  zwar  schon  aus  dem 
Grunde,  als  der  reducirten  Differentialgleichung  bei  positivem  n  nie  eine 
Potenz  partikulär  genügen  kann.  —  Unbestimmtheiten  bei  Ermittelung 
der  Coefficienten  des  ErgSnzungsintegrals  treten  nämlich  nur  dann  auf, 
wenn  in  dem  letzteren  gewisse  additive  Bestandtheile  vorkommen ,  welche 
sich  schon  in  dem  Integrale  der  reducirten  Differentialgleichung  finden. 
In  den  bisher  betrachteten  Gleichungen  waren  diese  Bestandtheile  Po- 
tenzen. 

Der  Gleichung  2)  genügt,  falls  die  B  Null  sind,  wie  Kummer  im 
XIX.  Bd.  von  Grollens  Journal  gezeigt  hat,  folgendes  n- fache  Integral: 

0 
5=  6\c«i«t-"»'  + . . .  +  Cye^i''»»-««* 

worin  t/s=m-|-;f,  und  Cj,  t^,,.^^  die  Wurzeln  der  Gleichung 

«»  +  a  =  0 

bedeuten.  C^  bis  C^  sind  (m-f-n)  Constante,  von  denen  jedoch  nur  m 
willkürlich  sind;  es  unterliegen  daher  die  Gonstanten  noch  n  Beding- 
ungsgleichuDgen ,  welche  sofort  erhalten  werden,  wenn  man  bedenkt, 
dass  für  a;  =  0 

2<"»>s=0,     2^"'+*)  =  0,.  ...    2('»+'— i)  =  0. 

Es  ist  nun  einleuchtend,  dass  das  oben  aufgeschriebene  Integral  der 
Gleichung  2)  auch  dann  genügen  wird,  wenn  die  rechte  Seite  derselben 
nicht  verschwindet,  sondern  der  Ausdruck 

ist.  Man  hat  nämlich  die  letzten  Bedingungen  dahin  abzuändern,  dass 
für  a:  =  0 

Da  nun 


Von  WoLD.  Hbtmann.  43 


C-  "»^  +  -  +  «n^ 
0 

80  hat  man  zur  Bestimmnog  der  n  überflüesigen  Constanten  n  Oleich- 
nogen  von  der  Gestalt 

worin  für  k  der  Reihe  nach 

m,   in  +  1,   »t  +  2,  ...  JII  +  «  — 1 
zu  setzen  ist. 

Gebraucht  man  folgende  Abkürzung: 

0 
80  lantet  die  letzte  Gleichung  einfacher 

^i«i*  +  ^8  «2*  + .  • .  +  O.eJ'  =  ^A«„  :  ^(A). 

Das  Integral  ^{k)  kann   durch  ein  Product  von  Gammafunctionen  aus- 

gedrückt  werden,   denn  es  ist  für  —  =  § 

0  0 

«  +  1>0; 

mithin  erhält  man  durch  Multiplication  für  alle  ganzen  Zahlen  %  von  k 
bis  Är  +  «  — 1 

,W=^r(l±i)  r(i±?) ...  r(t±=),    ..JL:„+,_2(.-»,]. 

Diese  Formel  benutzt  man  zur  Berechnung  der  n  Ausdrücke  ^(m)  bis 
^(m  +  n  — 1);  übrigens  bedient  man  sich  hierbei  noch  zweckmässig  der 
Relation 

,r(i±i±i) 

deren  Richtigkeit  unmittelbar  einleuchtet. 
Beispiel. 

^,+ax»y  =  J,+J,-  +  ...  +  J^-- 

Diese  Gleichung  kann  mittels 


44     üeb.  die  Integrat.  linearer,  nicht  homog.  Differentialgleichungen. 
f  =  ^  +  «o  +  «iJ-j  +  -.-  +  «/t-2^^^32yj 


vereinfacht  werden  zu 


und  weil  hier 


l^*+<"^'  =  ^o+B.ri' 


m  =  2,     n  =  2,     v=4, 
80  genügt  der  letzten  Differentialgleichung 

OD     OD 

0    0 
Für  Ar  =  2  und  /r  =  3  erhält  man  die  beiden  Bedingungsgleichungen 
für  die  willkürlichen  Constanten,  nämlich 

und  hier  ist  _ 

*(2)  =  ij/2r(|),   *(3)  =  i^2r(i). 

Bei  denjenigen  Integralen,  mit  welchen  Rummer  die  Bicca ti- 
schen Gleichungen  integrirt,  tritt  also  der  eigenthümliche  Umstand  ein, 
dass  diese  Integralformen  gewissermassen  eine  grössere  Capacität  besitzen, 
als  man  ursprünglich  von  ihnen  gefordert  hat.  Diese  Erscheinung  erklärt 
sich  in  dem  üeberfluss  der  willkürlichen  Constanten,  von  denen  eine 
bestimmte  Anzahl  zweckmässig  verwendet  werden  kann. 

Uebrigens  sind  es  nicht  nur  die  Rice ati'schen  Gleichungen,  welche 
sich  in  der  vorgetragenen  Weise  behandeln  lassen.  Betrachten  wir  z.  B. 
die  Differentialgleichung* 

in  welcher 

und  J!'  eine  ganze  Function  ist.     Mittels  der  Substitution 

bringt  man  es  dahin,  dass  sich  die  rechte  Seite  der  Gleichung  auf  eine 
Constante  B  reducirt;  es  sei  daher  von  Anfang  an  X^=^B.  Für  diesen 
Fall    genügt  der  Gleichung   3),   wenn   die  Zahlen   6^,   b^   und  h^  positiv 

gedacht  werden,  folgender  Ausdruck: 

*  Diese  Gleichung  hat  Verfasser  in  einer  Arbeit  ,,  Qeber  Differentialgleich- 
ungen, welche  durch  hypergeometrische  Functionen  integrirt  werden  können^*  auf- 
gestellt; Zeitschrift  für  Mathematik  und  Physik,  XXIX.  Jahrg.  8.  Heft. 


Von  WoLD.  Hetmann.  45 

OD  OD  OD 

y  =  C^j R  du  +  Cj  jR  du  +  C^  JRdu, 

«I  «t  «8 

wobei 

und  die  Integrationsconstanten  an  die  Bedingung 

^1  +  ^2  +  ^8=^-^ 

gebunden  sind. 

Denn   führt  man  die  Werthe   von  y,  y   nnd  y'  in  die  Differential- 
gleichung ein,  so  entsteht 

oder,  da 

6j  +  6,  +  fr,  +  i-l  =  0, 

|hi(-sr('-?)-(-?r(-fn]:.=-'. 

und  nsch  Einftthrang  der  Grenzen 

Ci  +  C,+  C,=  Ä:i. 


§5. 
Snpplementintegral  der  Laplaoe'sohen  Oleiohnng 
1)  K  +  6„«)y<">  +  («-.-i  +  6--ia:)jr<— »  +  ...  + («o  +  fto«)y  =  ^M, 

^M  =  ^0  +  ^1 J]  +  ^«  2!  "*" '  *  •  "^  "^^ iTf ' 
Man  bat  nach  dem  Früheren  das  Supplement  in  der  Form 

vorauszusetzen,  dann  ergeben  sich  die  a  nach  folgendem  Schema: 


d.  h.  man  hat 

und   die  Bestimmung  ist,   da  ^o^^  vorausgesetzt   werden   darf,  immer 
möglich. 

Der  zweite  Bestandtheil  z   des  Supplements  ist  partikuläre  Lösung 
der  vereinfachten  Gleichung 


46     üeb.  die  Integrat.  linearer,  nicht  homog.  Differentialgleichnngen. 

wo  B  eine  Constante  ist,  deren  Werth  sich  nach  Ermittelung  der  a  von 
selbst  ergiebt,  nämlich  j^^^ 

Um  die  Gleichung  2)  zu  integriren,  schlagen  wir  denselben  Weg 
ein,  den  Laplace  bei  der  Integration  der  reducirten  Gleichung  nahm. 
Wir  setzen  nach  dessen  Vorgang 


,^j^''Vdu, 


«1 
dann  geht  die  Gleichung  2)  über  in 


Je''^{üo+üiX)Vdu  =  B 


oder,  nach  geringer  Reduction,  in 

le-'ü,V]2+p^'[üoV-^{U,V)^du==B. 
Hierbei  bedeuten 

Wählt  man   V  so,  dass 

und  die  Grenzen  so,  dass 
80  ergiebt  sich 


F  =  ^  ß^  ^»  ''"t      y  =  consL, 


und   die  Gleichung  zur  Bestimmung  der  Grenzen  erlangt  infolge  dessen 
die  Gestalt  -  ^„     -^ 

Nun  ist  im  Allgemeinen 

sonach  hat  man,  wenn  ^«==1  genommen  wird,* 

und  für  die  Integrationsgrenzen 

*  Die  Grössen   a  haben  in  diesem  Paragraphen  eine  doppelte  Bedeutung, 
doch  kann  dies  hier  nicht  zu  Verwechslangen  fähren. 


Von  WoLD.  Hbtmann.  47 

Wir  haben  jetzt  zwei  Fälle  za  unterscheiden. 
Es  sei  ük  kleiner  als  alle  anderen  a  nnd 

a)  ßk  resp.  sein  reeller  Bestandtheil  positiv. 

Dann   wfthle  man   u^^^O  nnd  U2  =  cikt  wodurch  die  Gleichung  für  die 
Grenzen  übergeht  in 

und  sich  die  bisher  unbestimmte  Constante  y  ergiebt,     Man  £ndet 

y  =  (-l/+«^.«-/».«,-"/^. ..«,-/»•,  wobei  ^  =  iSi  +  A  +  . ..  +  /?«; 
auch  sei  bemerkt,   dass  sämmtliche  a  von  Null  verschieden  sind,  weil 

b)  ßk  resp.  sein  reeller  Bestandtheil  sei  negativ. 
Dann  setze  man  zunächst 

nnd  es  entsteht 

z^  ==y  I ßW«+*(»  -«fcJ  (ti  — a*/*-^  ük  du, 

unter  ük  das  Product 

(ti -«,/.-!  (u .-«,)/».- 1 ...  (w -«„)/»— i 

verstanden,  wenn  in  selbigem  der  Factor  (u  —  »kfk^^  fehlt   Eine  v- malige 
DifiFerentiation  von  z^  nach  x  liefert 

Zjd')  a=  y /gmii+*(ii-.<%)  (m  — afcyfc+*-*  27*  dti, 

und  für  ** 

folgt  endlich 

? 

«t 

Wählt  man  für  v  diejenige  ganze  positive  Zahl,  deren  Werth  un- 
mittelbar dem  absolut  genommenen  ßk  folgt,  so  dürfen  dem  letzten 
Integral  wieder  die  Grenzen  tij  «  0  und  u^  ^  ak  ertheilt  werden.  Rück«> 
wärts  ergiebt  sich  jetzt  für  das  Integral  der  in  Bede  stehenden  Differen- 
tialgleichung 

d.  h. 

z==yß«fc*, /dÄ^.c-«** /ß''<-+*)(ii  — aifcy*+»-*  U  du. 
0 
Der  Factor  y  bestimmt  sich  durch 


48     Ueb.  die  Integrat.  linearer,  nicht  homog.  Differentialgleicbnngen. 

oder 

y(—l/+^ «/»«/«...  «)/*...  «„/*»=  ^; 

er  hat  also,  wie  früher,  den  Werth 

y  =  (-l/+i.^.ai-/»i  «,-/». . . .  a„-/»«. 

Obwohl  nun  das  Snpplementintegral  für  den  allgemeinen  Fall  auf- 
gestellt ist,  so  bleiben  doch  noch  viele  specielle  Fälle  zur  Discussion 
übrig,  welche  auftreten,  wenn  die  Gleichung  ü^s=0  mehrfache  oder  un- 
endlich grosse  Wurzeln  besitzt.  Wir  führen  nur  einen  dieser  Special- 
fUlle  an  und  zwar  den  einfachsten.     Es  sei  vorgelegt 

3)  «„«<»>  + fl«-iz<'—^>  +  ... +  ai«'+(ao  +  M)«=  ^• 

Dann  ist,  wenn  ^0^=1  genommen  wird, 

27o  =  a„M»H-a„«iti«-i  +  ...  +  fliM  +  ao>     ^i  =  l» 
mithin 

Der  Ausdruck  zur  Bestimmung  der  Grenzen 

»1-1-1 

kann  in  (n-|-l)-facher  Weise  zum  Verschwinden  gebracht  werden,  näm- 
lich für  Werthe  von  t/,  welche  der  Gleichung 

entnommen  sind. 

Denken  wir  uns  in  die  Gleichung  3)  die  Summe 

«1»  «i«  fn  +  l» 

z  =  Cj /e«*  Vdu  +  C^je^*  Vdu  -h . . .  +  Cn+\  fe'"'  Vau 
0  0  0 

eingeführt,  wo  e^  bis  fn+i  die  Wurzeln  von 

bedeuten,  so  muss  sich  Folgendes  ergeben: 

*=n4.1  /  ^^1  X     ^ 

oder  nach  Einsetzen  der  Grenzen 

^i  +  ^2  +  --+^«+i  =  -ß. 
Da  n  Constante  willkürlich  bleiben,  so  stellt  der  vorige  Ausdruck  für  z 
das    complete    Integral    der    gegebenen    Differentialgleichung    dar.      Um 
diesen  Ausdruck  noch  etwas  zu  vereinfachen,  schreibe  man  in  den  (;i  +  l) 
Quadraturen  der  Reihe  nach 

«i«>   «a«>   •••  ««+1« 
statt  u.    Dann  erlangen  sämmtliche  Integrale  als  obere  Grenze  den  Wertb 
00,  und  setzt  man  noch  abkürzend 


Von  WoLD.  HEmANN.  49 

80  gestattet  das  Integral  der  Gleichung  3)  folgende  Schreibweise: 
0 

§6. 
Snpplementintegral  von 

^  . . .  +  K  +  ^0^  +  ^0«^*)»  "=  ^M» 

XX*  x^ 

Xß^  Aq+  A^Y^+  A^^^  +  . , .  +  Ap,  —  ' 

Da  in  dieser  Oleichnng  der  Coefficient  des  y  vom  zweiten  Grade  ist, 
Bo  kann  der  algebraische  Theil  des  Ergänznngsintegrals  im  Allgemeinen 
höchstens  den  (fi^2)*^°  Grad  erreichen,  and  es  wird  sich  daher  der 
Bweite  Theil  der  Gleichung  nnr  auf  eine  lineare  Function  B^  +  B^x 
reduciren  lassen.  Die  weitere  Integration  unterliegt  deshalb  grösseren 
Schwierigkeiten,  als  dies  bei  den  früher  betrachteten  Gleichungen  der 
Fall  war,  wie  dies  schon  das  einfache  Beispiel 

zeigen  wird. 

Setzen  wir  also  das  Ergänzungsintegral  in  der  Form 
X  0?*  ar**-^ 

▼oraus  und  bestimmen  die  a  nach  dem  Schema 

was  immer  möglich  ist,  wenn  ^o<^  vorausgesetzt  wird,  so  ist  der  an- 
dere Theil  z  des  Ergänzungsintegrals  partikuläre  Lösung  der  vereinfach- 
ten Gleichung 

la)    (a«  +  6„^  +  r„x»)z'»)+...  + (00  +  ^0^+^0**)*  =  ^0+^1^. 
in  welcher  B^  und  B^  bestimmte  Zahlen  sind,  die  sich  nach  Ermittelung 
der  a  von  selbst  ergeben. 

Führt  man  in  die  Gleichung  la)  das  Integral 

«t 

Vdu 


=/"' 


ein,  so  entsteht 

Z«lUohy1ft  f.  MMbenfttik  o.  Physik  XXX, 


«1 

oder,  wenn  ans  naheliegenden  Gründen  die  Substitution 

}äu 

gebrancbt  wird, 


50     Ueb.  die  Integrat.  linearer,  nicbt  homog.  Diiferentialgleichungen. 

wobei  *  .  . 

Uq  =  «„«"  +  a„-i  tt"-»  +  . . .  +  öjt/  +  flo  J 

U^^bnU^  +  bn^^U—^  +  ,,.  +  b^U^bA. 
[7g  =  C„U"  +  C«»!«*— 1  +  .  . .  +  Cj  W  +  To  ) 

Nach  einiger  Bednction  findet  man  weiter 

en  Gründen  di 

Man  Sache  nun   fF  so  zn  bestimmen,  dass 

dann  ergiebt  sich,  falls  die  letzte  Differentialgleichung  überhaupt  voll- 
ständig integrirt  werden  kann, 

worin  Yi  ^^^  Yt  noch  unbestimmte  Constanten  sind.  Die  vorhergehende 
Gleichung  aber  zerßillt  in  die  beiden  anderen 

Gelingt  es,  für  f/|  und  u^  gewisse  constante  Zahlen  ausfindig  zu  machen, 
so  dass  diese  Gleichungen  von  x  unabhängig  werden,  dann  lassen  sie 
sich  mit  Hilfe  der  noch  unbestimmten  Grössen  y^  und  y^  identisch  er- 
füllen. 

Wählt  man  u^  =  0  und  wenn  möglich  u^  so ,  dass  die  linken  Seiten  der 
enannten  Gleichungen  verschwinden,  so  hat  man 

y.A(«)  +  y.r,(«)=    V'-^f^'f   («  =  o). 

und  hieraus  folgt 


Von  WoLD.  Hkthanr.  51 


^'     r,(«)/,(«)-r,(«)A(«)    ^„    [  („=o) 

'^^       A(«)^,(«)-/",(«)/i(«) 

Nun  besteht  aber  nach  Abel  zwischen  den  partlknlftren  Integralen  einer 
linearen  Differentialgleichung 

folgende  BeUtion: 

r,(«)/-,(«)-/",(«)A(«)=^r/S''- 

wobei  X  eine  gewisse  Constante  ist,  die  sich  dnrch  Specialisirnng  des  u 
ergiebt;  sonach  hat  man  einfacher 

y,  =  «{^oA(0)  +  B,f\{0)\ ,     Y,  =  -«{ßo/i(0)+  fi,r.(0)}. 
Nach  diesen  Bestimmnngen  lautet  das  Ergänzungsintegral  der  Gleich- 
ung 1  a)  folgend ermassen : 

Um  ttf 

«1  1*1 

vorausgesetzt,  dass  dieser  Ausdruck  für  die  ermittelten  Grenzen  eineji 
Sinn  hat. 

Im  Allgemeinen  ist 

also 

und  nennt  man  ak  das  kleinste  aller  o,  so  hat  man,  falls  ßk  positiv  ist, 
f&r  II]  =  0  und  ti,  c=  aj^  das  Integral 

Ist  ßk  negativ,  so  kommt  man  mit  Hilfe  von  vielfachen  Integralen  zum 
Ziele;  ist  ßk  complez,  so  bezieht  sich  die  Vorzeichenbestimmung  auf  den 
reellen  Theil.     (Vergl.  §  5.) 


(SohlaM  folgt.) 


4* 


Kleinere  Mittheilungen. 


L  Constniotioii  der  von  einem  beliebigen  Funkte  der  Ebene  aus- 
gehenden Normalen  einer  Ellipse. 

(Hierzu  Taf.n  Fig.  1.) 

I. 

In  der  Abhandlung  „üeber  die  Normalen  der  Ellipse"  (diese  Zeit- 
schrift XXVI,  6)  gelangte  ich  mit  Hilfe  des  Satzes: 

„Werden  unter  a,  /?,  ^,  ö   die   excentrischen   Winkel   der  Fass- 
punkte der  Normalen  verstanden ,  welche  von  einem  Punkte  der  Ebene 
aus  auf  eine  Ellipse  gefüllt  werden  können,  dann  ist  die  Summe  der- 
selben eine  constante  Grösse  und  zwar  gleich  180^" 
zu    einer    einfachen   Lösung  des   Joachimstharschen   Problems:    von 
einem  Punkte  der  Normale  einer  Ellipse  die  noch  übrigen  drei  möglichen 
Normalen  auf  diese  Curve  zu  f Allen. 

Ich  erlaube  mir,  im  Nachfolgenden  den  allgemeinen  Fall  dieses 
Problems  in  Betracht  zu  ziehen,  für  welchen  der  Ausgangspunkt  der 
Normalen  irgend  ein  beliebiger  Punkt  der  Ebene  ist,  seine  Lage  also 
nicht  durch  die  Bedingung  beschränkt  erscheint,  er  soll  einer  schon  con- 
struirten  Normale  angehören. 

1.  Wenn  wir  die  Gleichung  der  Ellipse  in  der  Form 

1)  6«J2-|-a«iy«  =  a«6« 

annehmen ,  so  gehören  die  Fusspunkte  aller  Normalen ,  welche  von  einem 
Punkte  aus,  z.  B.  P{g,h)  (Fig.  1)  auf  die  Ellipse  £  gefällt  werden  kön- 
nen, einer  gleichseitigen  Hyperbel  an,  deren  Gleichung 

2)  a^gy  ~-b*hx  =  c^xy,     a*  —  b^=zc* 

ist.  Mit  der  Construction  dieser  Hyperbel  wäre  im  Grunde  genommen 
die  Lösung  unserer  Aufgabe  schon  herbeigeführt. 

Es  lässt  sich  jedoch  zeigen,  dass  man  auch  ohne  Benützung  der- 
selben und  zwar  mit  Hilfe  eines  Kreises  die  Normal enconstrnction  durch- 
zuführen vermag,  welche  Lösung  des  Problems  überdies  die  Vortheile 
grösserer  Genauigkeit  und  Eleganz  für  sich  iü  Anspruch  nimmt. 

Betrachten  wir  nämlich  die  oben  citirte  Relation 

3)  a  +  ^  +  y  +  5=180« 

in  Verbindung  mit  der  von  Joachimsthal  angegebenen  Gleichung 


Kleinere  Mittheiinngen.  53 

4)  a'+|3'+/+<5'=2Ä'.1800. 

welche  den  Zusammenhang  von  vier  Ereispunkten  der  Ellipse  zum  Aus- 
druck bringt  and  besagt,  dass  die  Summe  der  ezcentrischen  Winkel  dieser 
Punkte  ein  gerades  Vielfaches  von  180^  sein  muss,  so  erkennen  wir, 
dass  es  jederzeit  möglich  ist,  durch  geeignete  Transformation  der  Winkel 
^*  ßy  /i  ^  Systeme  von  Kreispunkten  a\  ß\  /,  d'  auf  der  Ellipse  zu 
bilden,  in  der  Weise,  dass  ein  jeder  Punkt  eines  solchen  Systems  mit 
einem  bestimmten  Normalenfusspunkte  correspondirt. 

Wir  haben  zu  diesem  Zwecke  nur  nothwendig,  den  excentrischen 
Winkeln  der  Normalenfusspunkte  derartige  Zuwächse  zu  ertheilen,  dass 
die  Oesammtsumme  derselben  ein  ungerades  Vielfaches  von  180^  beträgt; 
denn  dann  werden  die  den  neuen  Winkeln  entsprechenden  Punkte  wirk- 
lich Punkte  ein  und  desselben  Kreises  sein ,  da  sie  ja  die  Bedingung  4) 
erfüllen  müssen. 

Die  nachfolgenden  Formen  a)  und  b) ,  in  welchen  für  m  und  n  ent- 
weder Null  oder  jede  beliebige  ganze  Zahl  gesetzt  werden  kann,  können 
als  der  allgemeine  Ausdruck  dieser  Transformation  angesehen  werden. 

a) 

o'=(2m  +  l)«  +  (2n  +  l)45", 

/S'=t2m+1)^  +  C2«  +  1)45», 

y'=(2m  +  l)y+(2«  +  l)45», 

a'=(2m  +  l)a+(2«  +  l)45*. 

Der  Werth  des  ezcentrischen  Winkels  nach  der  Transformation  setzt 

sich  znsammen   ans   einem  ungeraden  Vielfachen  des  Wiukelwerthes  in 

der  ursprünglichen  Lage,  mehr  einem  ungeraden  Vielfachen  von  45**. 

b) 
«'=2(m  +  l)a  +  2«.45^ 
i5'=2(m  +  l)j8  +  2w.45S 
/=2(m  +  l)y  +  2n.45^ 
ö'=2(m  +  l)5-f  2fi.450. 
Der  Werth  des  excentrischen  Winkels  nach  der  Transformation  setzt 
sich  zusammen  aus  einem  geraden  Vielfachen  des  Wiukelwerthes  in  der 
ursprünglichen  Lage,  mehr  einem  geraden  Vielfachen  von  45^. 
In  beiden  Fällen  ergiebt  die  Addition  der  Oleichungen 
«'+ 13'+  /+  ö'=  2  (m  +  «  + 1)  180S 

was  der  Bedingung  für  Kreis  punkte  gleichkommt. 

Denken  wir  uns  nun  einen  Kreis  construirt,  welcher  den  Anforde- 
rungen einer  der  beiden  Transformationen  genügt,  dann  haben  wir  in 
den  Schnittpunkten  desselben  mit  der  Ellipse  ein  Mittel,  um  zu  den 
Normalenfusspunkten  zu  gelangen ,  ohne  von  der  erwähnten  gleiichseitigen 


54  Kleinere  Mittbeilnngen. 

Hyperbel   Gebrauch  machen  zu  müssen.     Und  dies  ist  auch   der  Weg, 
den  wir  zunächst  einschlagen  werden. 

2.  Wir  nehmen  an,  dass 

Xssa  cos<p^     y  =  b  sin q> 

die  Coordinatensjmbole  für  die  Fusspunkte  der'  von  P((7,  h)  ausgehenden 
Normalen  sind. 

Unter  Anwieüdüng  der  Transformation  a  mit  den  speciellen  Werthen 
m  =3  n  s=  0  ergeben  sich  Coordinatensymboie  für  die  Kreispunkte  mit 

oder  ,  .  \  ,,  I  .  \ 
.  a{coS(p^$tnq>)  b{cosq>  +  8tnq>) 
5=s ;= »       12  = 7= » 

j/2  '  j/2 

die  dann  auch  in  der  Form 

'  ^       a       a       b       '       b       a       b 

geschrieben  werden  können.     Aus  diesen  Gleichungen  folgen  nun  wieder 
für  X  und  y  die  Werthe 

'       a      .b       a       ^       b       b       a 
und  wenn  wir  dieselben  in  2)  substituiren ,  so  gelangen  wir  schliesslich 
zu  einer  Gleichung  zweiten  Grades  zwischen  ^  und  i^  von  der  Form 

welche  natürlich  nur  einen  Kegelschnitt  darstellen  kann,  der  durch  die 
vier  Kreispunkte  geht. 

Allgemein  wird  also,  wenn  S  einen  constanten  Factor  bedeutet, 

die  Gleichung  des  Büschels  der  Kegelschnitte  sein ,  welche  die  vier  Kreis- 
punkte der  Ellipse  gemeinschaftlich  haben. 

Aus  dieser  Gleichung  gewinnen  wir  durch  die  Substitution 

öc«  =  a«  +  6*, 
durch   welche  die   Coefficienten  der  höchsten   Potenzen  gleiche  Werthe 
erhalten,  die  Gleichung  des  gesuchten  Kreises 

6)  («  2(?+,.-^')=^.,(i-l)  +  ^»(i  +  |). 

Um   diesen  Kreis  zu  construiren,   beachten  wir,   dass  derselbe,  wie  aus 
seiner  Gleichung  hervorgeht,  die  Mittelpunktssehne 

(...)  ,,(l_|)  +  ,»(lH.i)=„ 
in  denselben  zwei  Punkten  trifft,  in  welchen  sie  auch  von  dem  Kreise 


Kleinere  Mittheilangen.  55 

geachnitten  wird. 

Die  CoDstraction  des  Kreises  K^^  unterliegt  keinen  Schwierigkeiten; 
denn  bekanntlich  hat  derselbe  mit  der  Ellipse  das  Paar  conjngirter 
Darchmesser  gemeinschaftlich,  welches  zu  den  Verbindnngsgeraden  der 
BUipsenscheitelpnnkte  parallel  iHnft.  Aber  anch  die  Sehne  ss^  kann  leicht 
bestimmt  werden,  wie  ans  nachfolgender  Betrachtang  hervorgeht. 

Dnrch  partielle  Differentiation  nach  {;  und  i}  ergeben  sich  ans  6)  die 
Coordinaten  des  Kreismittelpnnktes  m  in  der  Form 

8)  2/2aJ;,=  6A  +  a^,    2j/2  briQ  =  bh  —  ag. 
Dividiren  wir  diese  Gleichungen  durch  einander,  so  erhalten  wir  in 

9)  (6Ä-ai^)a£o-(^Ä  +  a^)Mo  =  0 

die  Gleichung  der  Geraden,  welche  den  Mittelpunkt  m  des  Kreises  J^  mit 
O  verbindet. 

Offenbar  werden  wir  an  der  Bedeutung  der  Gleichung  9)  auch  nicht 
das  Geringste  ändern,  wenn  wir  derselben  durch  gleichzeitige  Addition 
and  Subtraction  des  Productes  abgh  die  Gestalt 

10)  feÄ(afc>-6ijo-a^)-fl^(a£o  +  ^^o-*Ä)  =  Ö 
geben. 

Es  ist  also  10)  ebenso  wie  9)  die  Gleichung  der  die  Punkte  m  und 
O  verbindenden  Geraden;  aber  in  der  neuen  Gestalt  giebt  sie  uns  An- 
haltspunkte zu  einer  einfachen  Construction. 

Wir  bemerken  nämlich,  dass  die  erwähnte  Gerade  auch  den  Schnitt- 
punkt der  durch  die  Gleichungen 

11)  «t  — 6t7o— «^  =  0, 

12)  aJo+*%-^A=0 
repräsentirten  Geraden  in  sich  enthält,  da  die  Coordinaten 

13)  2a^^^bh  +  ag,     26iyi  =  6Ä-a^ 
desselben  die  Gleichungen  9)  und  10)  identisch  auf  Null  führen. 

Schreibt  man  11)  und  12)  in  der  Form 

so  lässt  sich  Folgendes  aus  denselben  herauslesen: 

Die  Gerade  11)  geht  durch  die  Horizontalprojection  p^  des  Normalen- 
aasgangspunktes  P  und  steht  senkrecht  auf  der  Verbindungslinie  der 
Ellipsenscheitelpunkte  a,  ß^;  die  Gerade  12)  geht  durch  die  Vertical- 
projection  Pi  von  F  und  steht  senkrecht  auf  der  Verbindungsgeraden  der 
Ellipsenscheitelpunkte  a^^  ß^. 

Die  beiden  Geraden  sind  demnach  leicht  zu  construiren. 

Verbindet  man  nun  den  Schnittpunkt  p  dieser  Geraden  mit  dem 
Mittelpunkte  0  der  Ellipse,  so  ist  die  in  0  auf  op  errichtete  Senkrechte 


56  Kleinere  Mittheilnngen. 

die  Sehne  ss^  and  ihre  Schnittpunkte  mit  J^|  sind  zwei  Punkte  des 
Kreises  J^. 

Es  erübrigt  uns  noch  die  Construction  des  Mittelpunktes  m  von  I^. 

Aus  den  Gleichungen  8)  erfolgt  durch  Quadrirung  und  nachherige 
Addition 

^"""^^ — 4^^^^— + — 4^r— ' 

ebenso  ergiebt  sich  aus  den  Gleichungen  13) 

woraus  schliesslich 

2om  =  op 
folgt. 

Die  Entfernung  des  Mittelpunktes  m  von  0  ist  sonach  der  Seite 
eines  Quadrates  gleich,  dessen  Diagonale  op  ist. 

Nun  sind  wir  in  der  Lage,  den  Kreis  J^  zu  construiren,  und  unsere 
Aufgabe  besteht  weiter  darin,  von  den  Schnittpunkten  A^  B ^  C^  D  des- 
selben mit  der  Ellipse  —  von  welchen  ein  jeder,  wie  wir  gesehen  haben, 
einem  Normalenfusspunkte  eindeutig  entspricht  —  zu  den  letzteren  Über- 
zugehen. 

Zu  diesem  Ende  dividiren  wir   die  in   5)  angeführten  Gleichungen 
durch  einander  und  geben  der  dadurch  erhaltenen  neuen  Gleichung  durch 
Addition  und  Subtraction  des  Productes  ab^ri  die  Gestalt 
14)  aiy(6a;  — ay  — 6f)  —  b^ihx  +  ay  —  aij)  =  0. 

Sonach  repräseotirt  14)  die  Gleichungen  der  Geraden,  welche  die  Nor- 
malen fusspunkte  mit  dem  Mittelpunkte  der  Ellipse  verbinden.  Durch 
ganz  ähnliche  Schlussfolgerungen,  wie  wir  sie  bei  der  Construction  der 
Sehne  ss^  angestellt  haben,  gelangen  wir  auch  hier  wieder  zu  einem 
Hilfspunkte,  dargestellt  durch  den  Schnitt  der  Geraden 

16)  y=     -^(a:-S), 

b 
16)  y-i2  =  — —a:, 

welcher,  wie  aus  den  Gleichungen  15)  und  16)  erschlossen  werden  kann, 
sich  folgendermassen  finden  lässt: 

Durch  die  Horizontalprojection  des  Kreispunktes  führe  man  eine 
Gerade  parallel  zu  tt|>  j3|  und  bringe  dieselbe  mit  einer  zweiten  Geraden 
zum  Schnitte,  welche  parallel  zu  o,  /3j  ist  und  durch  die  Verticalprojec- 
tion  des  erwähnten  Punktes  geht. 

Nun  hat  man,  um  zu  dem  Normalenfusspunkte  zu  gelangen,  den 
Hilfspunkt  mit  dem  Mittelpunkte  der  Ellipse  zu  verbinden  und  diese 
Verbindungslinie  in  jenem  Quadranten  mit  der  Ourve  zum  Schnitte  zu 
bringen,  in  welchem  sich  der  Hilfspunkt  befindet. 


Kleinere  Mittheilungen.  57 

Fassen  wir  die  gewonnenen  Resultate  noch  einmal  in  kurzen  Worten 
zusammen,  so  erledigt  sich  die  Aufgabe,  von  P  (Fig.  1)  die  Normalen 
aaf  die  Ellipse  zu  fällen,  durch  folgende  einfache  Construction. 

Man  fälle  die  Perpendikel  Pp^y  Pp^  von  P  aus  auf  die  Axen  und 
bestimme  den  Punkt  p  als  Schnitt  zweier  Geraden,  von  denen  die  eine 
durch  p^  geht  und  normal  zu  a^ß^  ist,  die  andere  durch  jv,  geht  und  auf 
a  ß^  senkrecht  steht.  Nun  verbinde  man  p  mit  o  und  errichte  in  0  auf 
op  die  Senkrechte,  welche  den  Kreis  A^^  in  s,  s^  schneidet. 

Macht  man  ferner  otn  gleich  der  Seite  eines  Quadrates,  dessen  Diago- 
nale op  ist,  und  beschreibt  von  m  aus  mit  dem  Halbmesser  ms  =  ms^ 
den  Kreis  AT,  der  die  Ellipse  in  den  Punkten  y^,  ^,  C,  D  schneidet,  so 
gelangt  man  von  einem  derselben  —  z,  B.  A  —  zu  dem  ihm  entsprechen- 
den Normalen fusspunkte  I  durch  folgende  Construction: 

Die  Yerbindungsgerade  oa  schneidet  £  in  I. 

Karl  Laubbmann. 


n.  Beeiproke  Mazima  und  Minima. 

„Sind 

1)  ii  =  F(a:,y),     v=^f{x,y) 

Functionen  von  der  Beschaffenheit,  dass  bei  constantem  x  einer  Zu-  oder 
Abnahme  von  ti  auch  eine  Zu-  oder  Abnahme  von  v  entspricht,  so  tritt 
bei  constantem  v  ein  Maximum  oder  Minimum  von  u  unter  derselben 
Bedingung  ein,  als  bei  constantem  u  ein  Minimum  oder  Maximum  von  v.*' 
Beweis.  Eliminirt  man  y  aus  den  Gleichungen  1)  und  differentiirt 
die  erhaltene  Gleichung 

2)  qp(M,t;,  a:)  =  0, 

so  ergiebt  sich  unter  Voraussetzung  eines  constanten  x 

dtp 
dv  du 

du  dq> 

Dieser  Differentialquotient  muss  wegen  des  gleichzeitigen  Wachsens  oder 
Abnehmens  von   u  und  v  positiv  sein,   daher  —    das   entgegengesetzte 

VorsBeichen  haben  wie    - —   — 
du 

Setzt  man   vs:sconsianty  so   erreicht  u  einen  Culminationswerth  für 

jene  Werthe  von  ^,  welche  der  Gleichung  genügen 

3)  1^  =  0. 

'  dx 

u  wird  ein  Maximum  oder  Minimum,  je  nachdem  für  diese  Werthe 


58  Kleinere  Mtttheilnngen. 

4) 


dq> 

negativ  oder  positiv  aasföllt. 

Setzt  man  jedoch  u^^consiant^  so  erh&lt  man  die  Werthe  von  or, 
welche  v  zu  einem  Maximum  oder  Minimum  machen,  ans  derselheo 
Gleichung  3)  und  e^  entscheidet  das  Vorzeichen  des  Ausdrucks 

«>  -- äT- 

dv 
darüher,  ob  ein  Maximum  oder  ein  Minimum  eintritt.     Dieses  Yorzeichea 
ist  aber  nach   der  eingangsgemachten   Bemerkung  das  entgegengesetzte 
von  dem  des  Ausdrucks  4).     Daraus  geht  hervor: 

1.  dass  die  eine  der  Grössen  u^  v  bei  constantem  Werthe  der  an- 
dern unter  derselben  Bedingung  3)  einen  Cnlminationswerth 
erreicht  als  die  andere,  nnd 

2.  dass  diese  Culminations werthe  stets  entgegengesetzter  Art  sind, 
so  dass  also  einem  Minimum  von  u  ein  Minimum  von  p  und 
umgekehrt  entspricht. 

Der  Beweis  lässt  sich  auch  auf  elementarem  Wege  erbringen,  wie 
folgt. 

Es  sei 

6)  tt  =  if;(t;,  x) 

die  Auflösung  der  Gleichung  2)  und  X  ein  Werth  von  Xy  der  bei  con- 
stantem p  u  zu  einem  Maximum  es  JJ  macht;  dann  besteht  für  beliebig 
kleine  positive  d  und  dj  die  Ungleichung 

7)  ^K  X-^6)<y\>(v,  X)  >  ^{v,  X+ö,), 

Denken  wir  uns  nun  e  variabel,  so  können  wir  diese  Ungleichung  in 
eine  Gleichung  überführen,  indem  wir  ohne  Aenderung  der  Werthe  von  x 
V  vergrössern,  da  hierdurch  nach  der  Voraussetzung  auch  eine  Vergrösse- 
rung  von  u  erzielt  wird.     Ist  hiernach 

8)  ^{v  +  s,  Jr-«)  =  t>;(p,Z)  =  t^(p  +  e,,  X+Ö,)^ü, 

so  ist  ersichtlich,  dass  unter  den  benachbarten  Werthen  p  +  e,  p,  v  +  ^i 
der  mittlere  der  kleinste,  somit  ein  Minimum  ist  und  ferner,  dass  dieses 
Minimum  bei  constantem  u=  ü  für  jenen  W«rth  X  eintritt,  der  bei  con- 
stantem f  =  p   u  zu  einem  Maximum  =  ü  macht. 

Dieser  Satz  begründet  die  Reciprocität  der  Sätze  über  die  Figuren 
gröfisten  Inhalts  und  kleinsten  Umfangs,  und  ermöglicht  es,  aus  einem 
dieser  Sätze  einen  reciproken  direct  abzuleiten,  z.  B. : 

1.  „Unter  allen  isoperimetrischen  Dreiecken  über  derselben  Basis  hat 
das  gleichschenklige  die  grösste  Fläche.*^ 


Kleinere  Mittheilnngen.  59 

Nun  sind  Fläche  wie  Umfang  emes  Dreiecks  von  gegebener  Basis 
Functionen  der  beiden  Winkel  A  und  B  an  der  Basis. 

Bei  constantem  Winkel  A  nehmen  Fläche  und  Umfang  gleichzeitig 
zu  oder  ab,  daher  gilt  auch  der  reciproke  Satz': 

„Unter  allen  Dreiecken  ttber  derselben  Basis  nnd  von  gleichem  In- 
halte hat.  das  gleichschenklige  den  kleinsten  Umfang/* 

2.  „Unter  allen  gleichseitigen  n- Ecken  mit  gleichem  Umfange  hat 
das  regelmässige  n-Eck  den  grössten  Inhalt/* 

Fläche  und  Umfang  eines  gleichseitigen  n-Ecks  nehmen  bei  gleicher 
Gestalt  gleichzeitig  zn  oder  ab;  daher  der  Satz:  ^ 

„Unter  allen  gleichseitigen  n- Ecken  mit  gleichem  Inhalte  hat  das 
regelmässige  den  kleinsten  Umfang/* 

3.  „Unter  allen  isoperimetrischen  Fignren  hat  der  Kreis  den  grössten 
Inhalt." 

Fläche  nnd  Umfang  einer  Figur  nehmen  bei  unveränderter  Gestalt, 
somit  gleichen  Krümmnngs Verhältnissen  gleichzeitig  zu  oder  ab.  Daraus 
folgt: 

„Unter  allen  Figuren  gleichen  Inhalts  hat  der  Kreis  den  kleinsten 
Umfang." 

Trautenan,  22.  Mai  1884.  F.  Haluscbka. 


IIL  Zur  Oleiehnng  von  Kegel  und  Cylinder. 

Sind  die  Gleichungen  zweier  Ebenen 

«1  =  «lO:  +  Ä,y  +  Cj  i  +  dj  =s  0,  m,  =  flgO:  +  fr^y  +  Cg«  +  dg  =  0 
und  sind  die  Coef&cienten  beider  Gleichungen  constant,  so  schneiden  sich 
die  Ebenen  in  einer  Geraden  der  Richtung  (&c)|(ca)|(a6)  nnd  der  Stel- 
lang {ad)\{bd)\(cd)  (vergl.  diese  Zeitochrift,  Jahrg.  1883  S.  315).  Im 
orthogonalen  System  ist  dann,  wenn  zs  die  durch  8  parallel  z  gelegte 
Projectionsebene  ist» 
^«'«^y«  =  — (6c):{ca),     rpa:'5^5a:  =  — (ca):(aÄ),     igy$*'xy^^{flb)i[bc) 

tgys'^y  z :  igxs'^tgxzi  —  1  =  (6  c) :  (ca) :  {ah), 
Ist  aber  ein  Coefficient,  z.  B.  a^,  ein  veränderlicher  Parameter,  so  stellt 
die  erste  Gleichung  ein  Ebenenbttschel,  d.  h.  eine  einfache  Ebenenserie, 
welche  durch  eine  Gerade  geht,  dar.  Die  feste  Gerade  erhalten  wir,  wenn 
wir  die  Ebene  dem  Einfluss  des  veränderlichen  a^  entziehen  und  a?t=  0  setzen. 
Diese  Ebene  a:  =  0  enthält  von  der  Ebene  a^X'\'h^y+c^z  +  d^=^{i  die  Ge- 
rade 6jy +  c,«  +  rfi  =  0,  welches  die  gemeinschaftliche  Gerade  des  Bü- 
schels ist.     Auf  der  zweiten  Ebene  wird  durch  dies  Büschel  von  Ebene» 

(crf)l-(M) 


ein   Strahlenbüschel    erzeugt    mit    dem   Centrum    0 


{bc)\    (bc) 


und  so 


60  fOeinere  Mittheilnngeii. 


eDtoprecbend  9  wenn  b^  und  e^  Tariabel  sind.     Ist  ä^  Tariabel,  so  entsteht 

eis   BQodel    paralleler  Ebenen,    deren   nnendlieh   ferne  Gerade   die  der 

Ebene   «iX  + 6, jr  +  r,2  =  0   ist.     Die«   Bfindel   erzengt    anf  der  sweiten 

Eb<fne   ein  Strableubündel   mit  unendlich  fernem  Centmm;   die  Strahlen 

haben  die  Riehtnng  (he):(ea):{ab). 

Bind   zwei  Coeffieienten    einer  Gleichung  Yeränderlich ,    so   erhalten 

wir  eine  Doppelserie  von  Ebenen,  vorausgesetzt,  dass  die  beiden  Coeffi- 

cienten   von   einander  unabhängig  sind.     Das  Centrum   der  Doppelserie 

(     j      rf, 
wflre  z.  B.  0   0- ^9   wenn  a.  nnd  6,  die  Veränderlichen  sind. 

\     i      c^  *  * 

Ist  jedoch  je  ein  Coefficient  jeder  Gleichung,  z.  B.  a,  nnd  b^,  veiv 
änderlich,  so  entsteht  als  Schnitt  beider  Ebenenserien  eine  Doppelserie 
von  Geraden,  und,  sind  beide  Coefficienten  durch  eine  Gleichung  an 
einander  gebunden,  eine  einfache  Serie  von  Geraden,  eine  geradlinige 
Fläche  [Regelfläcbe].  Diese  Begelfläche  wird  nun  zu  einem  Kegel,  wenn 
alle  Geraden  durch  einen  Punkt  gehen,  zu  einem  Cylinder,  wenn  8ie 
parallel  sind,  d.h.  ein  unendlich  fernes  Centmm  haben. 

Es  werde  demnach  zunächst  vorausgesetzt,  dass  die  Coefficienten 
Einer  Gleichung  unter  einander  unabhängig  sind,  und  zwar  constant, 
wenn  nicht  das  Gegentheil  durch  eine  weitere  Gleichung  hervorgehoben 
wird;  ferner  sei  f  eine  Function  n^^  Grades.     Dann  stellt 


stets  einen  Kegel  n***  Ordnung  dar  mit  dem  Centmm  0 


(cd) 


(bc) 


'(bd) 


(bc) 


Denn  zu  jedem  willkürlich  gewählten  a^  gehören  n  bestimmte  a^\  zn 
jeder  Ebene  u^sszQ  gehören  demnach  n  Ebenen  t/g  =  0,  welche  anft/i 
eine  besondere  Linie  n^^*  Ordnung,  bestehend  aus  n  Geraden  eines  Punk- 
tes, erzeugen.  Das  beweist,  dass  die  Regelfläche,  welche  entsteht,  jeden- 
falls n^"  Ordnung  ist.  Von  den  Geraden  der  Ebenen  sind  nun  unab- 
hängig von  den  Veränderungen  von  a^^  resp.  a^  die  Geraden 

x  =  0\b^y  +  c^z  +  d^e=0  nnd   x=0\b^y  +  c^z  +  d^  =  0] 
dieselben  liegen  beide  auf  einer  Ebene,  haben  also  einen  Punkt  gemein, 
und    dieser   muss   anf  allen   Ebenen,   also   auch   auf  allen  Geraden   der 
Serie  liegen. 

Etitsprecbend  stellt 

'    ■*         {ad) 


[ca) 


'{ad) 


(ah) 


0 


-(cd) 
M^s=0,   t/j  =  0,   f{bih^)  =  Q   einen  Kegel  mit  dem  Centrum  — — r- 

und 

W|  =  0,    Mg  =  0,   f(r^  Tg)  =  0   einen  Kegel  mit  dem  Centrum  t— 

dar.     Endlich  wird  _  n      /-/^  ^  \      a 

einen    Cylinder    rep rasen tiren.      Denn    die    unendlich   ferne   Gerade  der 
Ebenen    wird    die  Axe   der  Serie   sein   und   beide   haben   einen   Schnitt- 


Kleinere  Mittheilangen.  61 

pankt  bestimmter  RichtuDg,  welcher  zugleich  die  Richtung  der  Axe  des 
Cylinders  ist,  nämlich 

(bc):  (cö):  {ab), 

Ist  nun  aber  die  Regelflfiche, 

«1  =  0,     «8  =  0,     /'(a^Äg)  =  0 

gegeben,  so  ist  dieselbe  nicht  nothwendig  ein  Kegel.  Die  Axen  der 
Serien 

a:  =  0|6iy  +  Cjt  +  rfi  =  0  und  y  =  0  |  aja+c^r +  d^  =  0 

haben  nSmlich  nicht  nnbedingt  einen  Punkt  gemein,  sondern  nur  unter 
der  Bedingung  (c£0  =  O;  das  Centrum  muss  auf  x=.0  und  y  =  0  liegen, 
d.h.  auf  der  z-Axe.  Dieselbe  wird  von  der  ersten  Geraden  in  —-d^ic^^ 
von  der  zweiten  in  —d^ic^  geschnitten,  welche  Punkte  unter  der  Be- 
dingung (cd)  =  0  zusammenfallen  und  das  Centrum  liefern.  Dement- 
sprechend stellt  das  System 

Mj  =  0,     t/,  =  0,     /'(^c,)  =  0,     (arf)  =  0 

d.  I     I 
einen  Kegel  dar  mit  dem  Centrum ^0  0. 

öj     I 

Ebenso  wird  nun 

«1  =  0,     ti,  =  0,     /^Kd8)  =  0,     (6c)  =  0 

einen  Cylinder  darstellen;  denn  die  Axe  der  ersten  Serie  oc  =iO\b^f/  +  c^z 

-f  <f^  =  0  hat  mit  der  Axe  der  zweiten  Serie  i=^0\a^r -{-b^y  +c^ r  =  0  dann 

und  nur  dann   einen  Punkt   gemein,   wenn   der  unendlich   ferne  Punkt 

beider  auf  der  Ebene   x=:0  liegt  und  derselbe  ist,   d.  h.  b^y  +  c^z^^O 

und  b^y  +  c^zssO  gleichzeitig  richtig  sind.     Die  Richtung  der  Axe   ist 

c  c 

dann  in  der  yz-Ebene  —  7^  =  — 7^« 

Sind  nun  aber  die  Coefficienten  Einer  Gleichung  nicht  unabhängig 
von  einander,  so  lassen  sich  einzelne  Fälle  auf  die  vorigen  zurückführen. 

Es  sei  (/j  c=  d|  —  «1  a j  und  entsprechend  d2  =  d^^a^a^y  dann  lauten 
die  Gleichungen 

"l  G'l  -  «fi)  +  ^y  +  ^1  2  +  ^1  =  0  ,       «8(a'  — Ofg)  +  ftjy  +  Cg2  +  ij  =  0. 

Sind  0|  und  a,  verschieden,  so  kann  fioiO^)  offenbar  keinen  oder  nur 
einen  Kegel  mit  unendlich  fernem  Centrum  erzengen,  d.  h.  einen  Cylin- 
der  unter  der  Bedingung  (6c)  =  0,  ein  Fall,  der  schon  früher  behandelt 
wurde. 

Ist  entsprechend  z.  B.  61  =  ^1  —  ^101,  ^2=^  ft"*/'2^«>  Pi^Pi^  ^^ 
stellen  die  Gleichungen 

^i{^''Piy)  +  7iy  +  Ci^  +  dt  =  0,     «2^^  —  ^»^)+^^  + ^8^  +  ^  =  0, 

^K«2)  =  0 

einen  Kegel  dar  unter  der  Bedingung  (c(f)=0;  das  Centrum  liegt  auf 
der  gemeinschaftlichen  Geraden  von  a?  — pjyssO  und  «— P2y*^0,  d.i.. 


62  Kleinere  Mittheilnngen. 


da  p^  und  p^  von  einander  verschieden  sind,   die  z-Axe,   ein  Fall,  der 
oben  erledigt  ist.     Entsprechend  ist  ss.  6. 

das  Oleichnngssystem   eines  Kegels  mit  dem  Centrnm  —-^  0  0. 

Es  sei  nun   d^ts^i^  —  aa^  nnd  d^ssf^  —  aa^^    dann   erscheinen   die 
Gleichungen  tii  =  0  nnd  t^ssO  in  der  Form 

flj(a:  — a)  +  6,y  +  Ci«  +  *i  =  0,     a,(a:-^a)  +  ftj,y  +  Cj,«  +  *,  =  0 

nnd    die   Zusatzgleichung   f{o^a2)=i0   stellt  wiederum   unbedingt  einen 

{cö)\-'(bd) 


Kegel  dar  mit  dem  Centrum  a 


Die  Zusatzgleichung  f{a^b^ 


(6c)  I   (Äc) 
c=0  erfordert  noch  die  Bedingung  (cd)  =  0  und  liefert  dann  das  Centrum 

— -]   und  die  Gleichung  /(öi^j)  =  0  liefert  einen  Cylinder  unter 

der  Bedingung  (6  c)  sO. 

Die  Analogien  für  d^^d^  —  ßb^  u.  s.  w.  sind  leicht  su  bilden. 
Ist  6^  =  /3|  —  aa^  und  6,  =  /?,  —  aa^,  so  stellt 
ai(a:-«y)  +  fty  +  c,r  +  di=:0,     0,(0?-«^)  + fty +  CgZ  +  dj«0, 

(/3c)  I   (ßc) 
A«i^si)  =  0  oder  A«iA)  =  0  führt  auf  die  Bedingung  (cd)  =  0  und  das 

Centrum  0  0 


wiederum  unbedingt  einen  Kegel  dar  mit  dem  Centrum  a-r-r 


dt 

—  •     /'(aiCj)  =  0  verlangt  die  Bedingung  (/?d)  =  0;   das 


Centrum  ist  —  «^ 


-^1 


0.      /"(fli  ^^2^  ^=  0    erzeugt  einen   Cylinder  unter 


der  Bedingung  (/3c)  =  0,  dessen  Aze  parallel  der  Geraden  x  —  dy  =  0\ß^^y 

+  Cir  =  0,  d.  h.   -  =  «,    l  =  IJ^i. 

Die  weiteren  Zwischenfälle  bieten  nichts,  das  sich  nicht  auf  das 
Vorhergehende  reduciren  oder  auf  die  folgenden  allgemeinen  Fälle  bringen 
lässt.  Es  sei  d^  linear  abhängig  von  Oib^c^,  d^  von  n^b^c^^  so  werden 
sich  einfache  Resultate  nur  ergeben,  wenn  die  Abhängigkeit  durch  die- 
selbe  lineare  Gleichung  dssi-^aa  —  ßb^-yc  dargestellt  wird.  Unsere 
Ebenen  haben  dann  die  Gleichung 

n,(x-a)  +  6,(y-j3)  +  Ci(z-y)  +  5i  =  0, 
(i,(a:-«)  +  6g(y-jS)  +  r,(z-y)  +  cJg  =  0, 
und    auf   diese  Form    wird   man   sie   auch   bringen,    wenn  z.  B.   neben 
/(ai6,)  =  0  nur  gegeben  d^^^d'^  —  aa^  und  d^  =  ti^^ßh^y  indem  8^  und 
ö^  so  gewählt  werden  1  dass  d'j  =  Jj  —  ß^i'^Y^iy   ^'a  =  ^s ""  « ''j  "^  y c, ,  was 
möglich  ist  und  für  y  sogar  die  Wahl  noch  frei  lässt. 


Kleinere  Mittheilnngen.  63 

Tritt  zu  diesen  zwei  Oleicbungen  die  dirigirende  ^^1^2)"=  ^9  ^^  ®^^' 


steht  unbedingt  ein  Kegel  mit  dem  Centram   ^   i^+7ip( 


sprechend  bei  f{f>il>^)  =  Ot  /'(CjC,)s=0. 

/'(d,  d2)  =  0  liefert   einen    Cylinder,    dessen   Axe   die  Richtung  {bc) 
i{ca):(ab)   hat.      Ist  nun    aber  A^i^s)^^^»   ®^   erfordert  der  Kegel  die 

Bedingung  {cd)=^0  und  das  Oentrum  ist  a 


Der  Cylinder  mit  /'(aj 8^)  =  0  als  Directrix  und  (bc)  es  0  als  Beding* 
angsgleichung  bat  die  Axenrichtung  x  =  0]b^y +  0^2=^0, 

Da,  wie  oben  bewiesen,  y  willkürlich  gewählt  werden  kann,  wenn 
nur  a^  und  b^  und  nur  dadurch  (/^  uod  d^  veränderlich  sind,  kann  man 
bei   geeigneter  Wahl  von  c^   und  -  c^  stets  die  Gleichungen  in  die  Form 

bringen,  vorausgesetzt  eben,  dass  nicht  mehr  wie  je  ein  Coefficient  jeder 
Gleichung  veränderlich  ist. 

Damit  ist  nun  ziemlich  der  Anschlnss  an  die  übliche  Form  erreicht 
[Schlömilch,  Anal.  Oeom.,  Cap.  VI;  Baltzer,  Anal.  Geom.,  §  53]. 
Man  braucht  nur  die  zwei  Ebenen  durch  diejenigen  ihres  Büschels  zu 
ersetzen,  welche  den  Axen  parallel  laufen  und  deren  zwei  schon  unser 
System  darstellen 

(6c)(z-y)  =  (a6)(a:-«),  (ca)(a:-«)  =  (6cl(y-^), 
(a6)(y-/?)  =  (cfl)(z-y). 
Da  ö  =  0  ist,  sind  die  eventuellen  Bedingungen  (aS)  =  0,  (6d)s=0, 
(cd)  =  0  von  vornherein  erfüllt,  eine  Gleichung  zwischen  zwei  Coefficien- 
ten  stellt  unbedingt  einen  Kegel  dar  mit  dem  Centrum  <x||?|}'*  Die 
Directrixgleichungen  f{a^h^)  =  0  etc.  können  nun  ersetzt  werden  durch 
f{.{9^\  (^^))  =  0  oder  besser  durch  homogene  Gleichungen  F{(fic\  (ca),  [ab)) 
=  0  [vergl.  Briot-Bouquet,  G^om.  anal.,  Nr.  462;  Salmon-Fiedler, 
Raumcurven,  Art.  174]. 

Die  Formel  fli(a?  — a)  +  Äj(y— /3)  +  Ci(z— y)  =  0  konnte  nicht  ge- 
wählt werden,  wenn  6\  selbst  noch  variabel,  und  es  ist  hier  schon  die 
allgemeinste  Form  die  folgende: 

«i(^  — ff)  +  *iy  +  ^i^+'^'i  =  0,  a^x  +  b^y  +  c,2  +  d^  =  0,  f{a^d^)  =  0; 
diese  erforderte  die  Bedingung  (6c)=3  0  und  stellte  dann  einen  Cylinder 
dar,  dessen  Axenrichtung  a:  =  0  |  ^^  y  -|-  C|  z  =  0  war. 

um  auch  für  den  Cylinder  den  Anschluss  an  die  übliche  Form  zu 
gewinnen,  benutzen  wir  die  Hauptebenen  der  Geraden  U|  =  0 1  t/g  ^  0,  d.  i. 

{bc)z=^(ab)x  —  (6flf),     (cfl)a:=  (Äc)y  —  (cd),     (ö6)y  =  (ca)«  —  {ad). 
Zwei  dieser  Gleichungen,  in  Verbindung  mit  einer  Gleichung   für  ihre 
dritten  Glieder,  z.  B.  /((^  d) ,  (c  rf))  =  0 ,  liefern  unbedingt  einen  Cylinder 


64 


Kleinere  Mittheilangen. 


mit  der  Axenrichtang  (6c) :  (ca)  :(a6),  worans  ersichtlich  ist,  dass  b  and  c 
in  der  Gleichnng  f=0  nur  als  Constante  auftreten  dQrfen.  [Vergl. 
Schlömilch  a.  a.  0.  Cap.  V.] 

Hiermit  ist  der  Fall  erledigt,  dass  von  den  Constanten  der  Gleich- 
ungen u^  =  0,  u^^=0  vier  in  der  Weise  variabel  waren,  dass  zwei  aus 
verschiedenen  Gleichungen  durch  eine  Gleichung  n**°  Grades,  je  zwei 
aus  derselben  Gleichung  durch  eine  lineare  Gleichung  verknüpft  sind. 
Letztere  Bedingung  gestattet  eine  Erweiterung,  deren  allgemeiner  Aus- 
druck in  den  Gleichungen 

a^{a\x+ß\  y+y\  z+d',)  +  b^{a\  x+ß^^y  +y\z  +  6\) 

«2(«"i  ^' + ^"1  y  +  y\  ^  +  ^"1)  +  ^2  («", «  +  ß\  y  +  y\  ^ + ^\) 

+  c^{a\x  +  ß:\y  +  y'\z  +  6\)  +  d,{a\x+ß\y  +  y\z  +  ii'\)=^0 
enthalten  ist,  für  welche  die  hier  befolgte  Behandlungsweise  zu  umstftnd- 
lich   wird.     [Vergl.  Joachimsthal,    Anwend.  d.  Diff.-Rechn.,    S.  102; 
Sturm,  Cours  d' Analyse,  Nr.  667.] 

Berlin,  April  1884.  A.  Thabr. 


Zeil  Schrift 


für 


Mfliiiciiialik  und  Physik 

HBlftr  der  TfifUQUrorilicrLeii  Uediietio» 

V'"jT. 

Dr.  O.  Sciuoimlcli,  Dr.  E.  Katü 
Dr.  TtL  Caator. 


30.  JalirgaiLg.    2.  Holt. 


Wit  iwax  ltiHn|fmi)1uTt«ii  Tiifala. 


Atmgogpb«!!    um    \2.  Hin   11^85. 


-  Leipzig, 


Veriäg  r<tn  Frlcdrleli  Tk*we^  M  Holm  b  Braatiscliw<i'lsr. 
Soeben  i^rfecliieo: 

O  r  u  n  d  z  ü  g  e 
B 11  g  e  tu  e  i  II  e  n   Bt  i  k  r  o  8  k  o  i>  1  e. 

Von  Dr.  Leopold  Bippel, 

I,  evttleLatHahftt)  Fruf<»ituf  tief  Boikttik  ui  ifiUJii&ilkdl* 


Neuer  ^^rlag  von  B.  G.  Tenbner  in  Leipzig. 

Bardey,    Dr.  Ernst,    snr    FcrmatioD    quadrutisclier   GUicbitagen. 

[Vm  B.  3eO  ai     gr.  S-     geh.  0.  •#  7J50. 

fiobok,  Karl«  Privat4oa;eiit  für  Mathematik  im  Allgemeiuen,  ßtolettung 
in  di«j  Theorie  der  0ni|>tigcbt*D  FiinktioDeti«  Mit  m  den  Text 
gijdruckten  Figtiren.     Pill  u,  275  St|     gn  8.     geb.  n.  *#  4,  80, 

Osubor,  Smaniiel»  ereometrUclie  Wsihr»ebeitaltehkeiteii  ttod  Mittel- 
werte». Mit  115  in  den  Text  gcUruckttn  Pigtiren,  |  VU  u.  244  S.] 
gr.  S,     g«h,  n.  Jt  6*  80, 

Ihnolldi«  Dfipra  omnia,  Edii^eriiot  h  L.  Heibi^rg  ai  B»  M^  ngtv  ijiKJtidi^ 
demttnta»  Kdidll  et  Inüne  mterpretatu»  ei^t  L  L.  Heiberg,  Dr.  phiL 
Vol.  n,  libroa  V^IS,     coniinenfi.     [XXll  «,  437  S.J     H,    geh/^,  4- 50, 

Helm«  Dr,  Georg r  Obtjrleibrer  am  Annmreal^'jmoaBiiun  zw  Druden»  dJe 
Eleinetit«  dt^r  xVtechanik  tiad  nuitbema.tiBchen  Pljysik.  Em  Lebr- 
und  Übungsbuch  für  hf*here  Schulen.  Mit  Figuren  im -Text,  (IV  wl 
in  8.J     gr.  8.     geh.  n.  JT  3, 60. 

Beltnertf  Dr,  i*.  E,,  Prafeflsor  a»  der  teebDtscbeti  Hc^cbschale  m  hmhe% 
di«  mathöuiatiöcben  imü  phy sikaliöchen  Tbeoriew  der  h^her^n 
Geodileiep  Zweiter  Teil:  Die  phy»ikali«ohen  Tbeori^u  luH  üttter- 
j^ucbungüii  über  die  mathematim^he  BrügestaU  auf  Grund  di»r 
Bflohacbtiiügen,  Mit  tn  den  Text  gedruckten  Figuren  und  2  liih«» 
grapbierten  Tafeln*     [XVI  n.  610  a]     gr.  8.     geh.  n.  Jt  tJO. — 

Klein,  Felix,     i     <    Frofeßsor    d«r  Geomelne   an    d«r  UnivtirfiriUlt    Lt^ipxig*, 

VorlesUT  er  das  Ikosaed^r  opd  die  Aufbisung  der  (jI*?1>  ' 

rom  fllnrM  a      Mit  eini^r  ]itho^.i|ihi€rteii  Tnfpl.     fV^FI   u 

gr»  8,     geh,  n.  ^  8,  — 

KolTor,  Dr.  JnlitiSt   Direktor   tlvt   Ikakcbuk^  /,u    '  ±ir,   hviii'Ä\\vu 

der   fbon0D   G^ikmutrie    mit    ühtir   7^K*    rbufr  n    und    Aiifra*'*m, 

Mit   32   in   den   Twxt  gedruektt^n    Figur<?n.     '/*mm%^  Aqtlajj 
'-   ^.     g«h.  Jt  }   — 


^PR  3  1885 

IIL 

Die  Curven  vierter  Ordnung  mit  drei  doppelten 
Inflexionsknoten. 

Von 

Dr.  C  Beyel 

in  Zürich. 
(SohluBS.) 


Hierzu  Taf.  HI  u.  IV  Fig.  9—24. 


15.  Eintheilnng  der  C^  und  Darstelliing  der  Hanptformen. 

Wir  erhalten  eine  üebersicht  über  die  verschiedenen  Formen  der  C*, 
indem  wir  von  den  einfachsten  derselben  ausgehen.  Für  diese  liegt  ent- 
weder m^  oder  ^f,  unendlich  ferne  und  K^  ist  ein  Kreis  oder  eine  gleich- 
seitige Hyperbel.  Aus  diesen  speciellen  Formen  können  wir  die  allgemeinen 
durch  eine  centrische  ColHneation  erster  Ordnung  ableiten. 

Ist  m|  unendlich  fern,  so  halbirt  Af^  die  Strecken,  welche  zwischen 
zwei  Punkten  der  C*  liegen,  die  sich  auf  Geraden  durch  M^  befinden.  (7* 
hat  in  M^  einen  Mittelpunkt.  Sämmtliche  Kegelschnitte  Kp^  sind  Parabeln 
(1),  und  die  quadratischen  Transformationen  (2),  welche  durch  (7^  geleitet 
werden,  zeichnen  sich  dadurch  aus,  dass  jeder  Geraden  eine  Parabel  ent- 
spricht. 

Ist  M^  unendlich  fern,  so  halbirt  m^  die  Strecken  zwischen  Punkten 
der  C*,  welche  auf  Geraden  von  der  Richtung  M^  liegen.  C7*  ist  zu  sich 
selbst  symmetrisch  mit  m^  als  Axe  und  M^  oo  als  Richtung  der  Symmetrie. 

In  Taf.  III  Fig.  9 — 16  sind  nun  dem  Gesagten  entsprechend  die  ein* 
fachsten  Typen  der  C^  zusammengestellt.  Fig.  9 — 12  zeigen  Mittelpunkts- 
curven,  Fig.  13 — 16  Curven,  welche  zu  ^\ '  orthogonal  symmetrisch  liegen. 
In  Fig.  i\  10,  13,  14,  15  sind  ^/,,  /V^,  M^  reell,  in  Fig.  11,  12,  16  sind 
Af^ ,  A/3  imaginär.     W^ir  fügen  den  Figuren  einige  Bemerkungen  bei. 

Fig.  9  ist  so  disponirt,  dass  M^  ein  isolirter  Punkt  von  (7*  ist.  Also 
muss  die  Involution  Jit  um  M^  elliptisch  sein.  Daher  ist  K^  ein  im  End- 
lichen geschlossener  Kegelschnitt,  in  unserem  Falle  ein  Kreis.  Jik  ist  also 
eine  Bechtwinkelinvolution  und  folglich  sind  m^,  m^  zu  einander  normal. 
C^  ist  zu  diesen  Geraden  orthogonal  symmetrisch.  Ist  /^  durch  g^h^  ge- 
geben,  90  schneiden  diese  Doppelstrahlen  K*  in  einem  Quadrupel  von  CK 

Zeitaobrift  f.  Mathematik  u.  Physik  XXX,  ?.  5 


66  Die  Curven  vierter  Ordn.  mit  drei  dopp.  Inflexionsknoteü. 

Die  weiteren  Verbindungslinien  dieser  Quadrupelpunkte  sind  die  resp.  Dop- 
pelstrahlen g^  h^ ,  ^3  h^  der  Involutionen  J^,  J^>  Aus  ihnen  und  den  Doppel- 
strahlen der  Involutionen  J^h^  <^3A-  bestimmen  wir  die  Inflexionstangenten 
H^i^y  *3*3**  1°  unserem  Falle  sind  diese  zugleich  die  Asymptoten  der  C^, 
Sie  schneiden  sich  paarweise  in  Punkten  T  der  Sehnen ,  welche  die  Schnitt- 
punkte von  m^m^  und  K^  verbinden.  (4.)  —  Der  Kegelschnitt  JT**,  der 
JT*  in  wii  berührt  (12),  ist  ein  zu  K^  concentrischer  Kreis.  Wir  erhalten 
einen  seiner  Peripberiepunkte ,  indem  wir  aus  einem  der  Berührungspunkte 
von  K^  mit  C*  —  sagen  wir  aus  einem  dieser  Punkte  in  h^  —  die  Nor- 
male zu  Qy  ziehen.  Sie  trifft  g^  in  dem  gesuchten  Punkte.  (12.)  K*^- 
berührt  C^  in  einem  imaginären  Quadrupel.  —  Die  Tangente  in  A\  an  C* 
erhalten  wir  nach  folgendem  Gesetze.  Liegt  A\  auf  der  Geraden  x^  durch 
yi/j,  so  ziehen  wir  durch  Ä^  die  Parallele  zu  m^  (oder  mg)  und  schneiden 
mit  derselben  den  dem  x^  in  J^  correspondirenden  Strahl  x\ .  In  letzterem 
Schnittpunkte  errichten  wir  eine  Normale  zu  x\,  welche  Wg  (oder  m^  in 
einem  Punkte  der  verlangten  Tangente  trifft.  (13.)  —  Sämmtliche  Kegel- 
schnitte K^^  welche  t»,  in  JT*  berühren,  sind  zu  K^  concentrische  Kreise. 
In  Taf.  III  Fig.  9  ist  ein  solcher  Kreis  eingezeichnet,  der  die  zwei  Quadru- 
pel A',  ..H\  enthält.  Die  Kegelschnitte  K^  sind  Ellipsen,  welche  M^  zum 
Mittelpunkte  haben.  Kein  reeller  Punkt  von  C^  kann  im  Innern  einer 
solchen  Ellipse  liegen  —  ausgenommen  M^,  (1.)  0*  theilt  also  die  Ebene 
in  zwei  Felder,  in  deren  einem  sämmtliche  Ellipsen  K'^  liegen.  Diese  sind 
von  C*  eingeschlossen. 

Die  Kegelschnitte  K^^  und  JT,*  sind  gleichseitige  Hyperbeln. 

Taf.  III  Fig.  10.  iVj  hat  reelle  Inflexionstangenten.  Also  muss  J\k 
hyperbolisch  sein  und  K^  ist  eine  Hyperbel,  in  unserem  Falle  eine  gleich- 
seitige. J^  ist  dadurch  specialisirt ,  dass  n»^,  vn^  als  Axen  dieser  Hyperbel 
angenommen  sind.  C*  liegt  mithin  zu  m^m^  orthogonal  symmetrisch.  Weiter 
ist  J,  so  disponirt,  dass  K^  die  0*  imaginär  berührt.  ♦ 

Haben  wir  auf  bekannte  Weise  die  Inflexionstangenten  i^,  i^  bestimmt, 
so  zeichnen  wir  aus  ihnen  mit  Hilfe  der  Sehnen ,  in  welchen  K^  die  Geraden 
w,,  w,  schneidet,  die  Punkte  T^j,  T,/  (4).  Durch  diese  gehen  i^»  *2*»  ^^^ 
Asymptoten  von  C*.  Z**  ist  eine  gleichseitige  Hyperbel.  Sie  schneidet 
m^m^  in  einer  Sehne,  welche  durch  T^^*  gehen  muss.  Also  trifft  diese 
Sehne,  welche  paral'el  einer  Asvmptote  der  Hyperbel  JBT*  ist,  w*  in  einem 
Scheitel  von  jK**,  und  somit  ist  dieser  Kegelschnitt  bestimmt.  Auch  er 
berührt  C*  imaginär. 

Sämmtliche  Kegelschnitte  Ä,*,  welche  K^  in  zwei  Punkten  von  Wj  be- 
rühren ,  ferner  die  Kegelschnitte  KJ^  K,^  sind  gleichseitige  Hyperbeln.  Die 
Kegelschnitte  K^  sind  Hyperbeln ,  welche  von  C*  ausgeschlossen  werden. 

Taf.  III  Fig.  11  stellt  eine  Mittelpunktscurve  C^  (resp.  deren  eine 
Hälfte)  dar,  für  welche  M^M^  imaginär  ist.  Die  Involution  J\k  muss  also 
hyperbolisch  sein ,  d.  h.  E'^  ist  Hyperbel,  in  unserem  Falle  eine  gleichseitige. 


Von  Dr.  C.  Beyel.  67 


^,,  A,  —  die  Doppelstrahlen  von  /,  —  müssen  die  Asymptoten  ttj,  a^ 
dieser  Hyperbel  trennen.  Für  den  dargestellten  Fall  ist  J^  so  disponirt, 
dass  ^p  \  die  Axen  der  gleichseitigen  Hyperbel  jET'  sind.  Daraus  ergiebt 
sich ,  dass  m^ .  m^  die  Strahlen  nach  den  imaginären  Kreispunkten  der  Ebene 
sind.  Also  geht  C*  durch  diese  Kreispunkte  —  i^i,*  ftült  mit  den  Asym- 
ptoten der  Hyperbel  zusammen  und  diese  reprftsentiren  auch  den  Kegel- 
schnitt Z**,  welcher  K*  m  m^  berührt. 

Nach  der  in  5  besprochenen  Methode  sind  die  zwei  reellen  Doppeltan- 
genten von  C*  construirt.  JT, ,  H^*  liegen  in  g^  resp.  \  unendlich  fern. 
Wir  ziehen  dann  durch  den  in  g^  gelegenen  und  in  Bezug  auf  K^  ellipti- 
schen Pankt  H^*  die  Geraden  w^w\^  «'gM'^»  ^z^\'  Diese  sind  Paare  der 
Involutionen  /i«,  und  liegen  in  unserem  Falle  zu  g^  orthogonal  symmetrisch. 
Wir  schneiden  sie  mit  einer  beliebigen  Geraden  g  und  erhalten  dadurch  drei 
Paare  einer  Punktinvolution.  Diese  ist  auf  einen  Hilfskegelschnitt  H^  tiber- 
tragen, der  durch  M^  geht  und  g^^  g  zu  Tangenten  hat.  Dann  sind  die 
Verbindungslinien  entsprechender  Paare  parallel  zu  g^  und  schneiden  g  in 
den  Punkten  w^^  w^y  ic^.  Nun  construiren  wir  die  Kegelschnitte  KJ^^  die 
K^  in  den  Schnittpunkten  mit  den  Geraden  «;,  w'  berühren ,  und  bestimmen 
die  Tangenten  aus  M^  an  diese  Kegelschnitte.  Sie  sind  Paare  der  Involu- 
tion Ji.  Auch  diese  übertragen  wir  auf  H^  und  ziehen  die  Verbindungs- 
linien entsprechender  Punkte.  Wir  erhalten  dadurch  drei  weitere  Gerade 
^ »  *2 »  h^  welche  ^j  parallel  sind  und  g  in  den  Punkten  T, ,  Tg ,  Tj  schnei- 
den. Nun  sind  die  Punkt  reihen  w^w^w^y  TjTgTj  zu  einander  projectivisch. 
In  dieser  Projectivität  construiren  wir  zu  T^  den  entsprechenden  Punkt  to. 
Er  fuhrt  uns  zu  einem  Geradenpaare  to^to'^y  welches  die  Hyperbel  K^  in 
Punkten  trifft,  deren  correspondirende  auf  C*  mit  Hilfe  von  J^  gefunden 
werden  und  die  Berührungspunkte  der  gesuchten  Doppeltangenten  —  d^ ,  dj*  — 
sind-  Die  Construction  in  Fig.  11  ist  dadurch  vereinfacht,  dass  to^  im  Un- 
endlichen und  w^  in  g^  angenommen  wurde. 

Sämmtliche  Kegelschnitte  K^  sind  gleichseitige  H3rperbeln  und  liegen 
ausserhalb  C*.  Desgleichen  sind  alle  Kegelschnitte  Kq^  gleichseitige  Hyper- 
beln. Die  Kegelschnitte  K,^  und  Km^  sind  Kreise.  Aus  dieser  Bemerkung 
ergiebt  sich  die  Consti'uction  der  Tangente  in  einem  Punkte  —  F\  —  von 
C*  mit  Hilfe  des  berührenden  Kreises  K,^,  Wir  legen  einen  Kreis  A"«* 
durch  y!/j  F\  und  einen  weiteren  Punkt  der  C^.  Nehmen  wir  als  letzteren 
den  zu  F\  orthogonal  symmetrischen  Punkt  E\,  so  liegt  der  Mittelpunkt 
von  Kg^  in  g^.  Nun  bestimmen  wir  den  Pol  T  von  E\F\  in  Bezug  auf 
Km\    Durch  T  und  M^F\  geht  ein  Kreis  —  Ks^  — ,  der  C*  in  F\  beiührt. 

Taf.  III  Fig.  12  giebt  —  wie  11  —  eine  C*  mit  einem  reellen  und 
zwei  imaginären  Inflexionspunkten.  Im  Gegensatze  zu  11  befinden  sich  aber 
^,,  \  in  allgemeiner  Lage,  so  dass  also  0*  nicht  durch  die  imaginSren 
Kreispunkte  geht. 


68  Die  Cnrren  vierter  Ordn.  mit  drei  dopp.  Infiexionsknoten. 

Nachdem  «];«]*  bestimmt  ist,  benatscen  wir  diese  Greraden,  um  ans  K* 
und  y,  die  Inyolntion  J^*  zu  zeichnen.  Mit  Hilfe  von  J^*  finden  wir  (12) 
einen  Punkt  und  eine  Tangente  von  K**.  Letzterer  Kegelschnitt  ist  gleich- 
seitige Hyperbel  nnd  berflhrt  —  wie  K^  —  die  C^  in  zwei  reellen  Punkten. 

Taf.  III  Fig.  13  stellt  die  zn  m^  orthogonal  symmetrische  Cnrve  C*  dar, 
ftlr  welche  M^^  ein  isolirter  Punkt  ist.  ^,  ist  also  in  Bezug  auf  K^  ein 
elliptischer  Punkt  und  folglich  muss  jede  Gerade  durch  M^  den  Kegelschnitt 
K^  reell  schneiden.  Unter  diese  Geraden  gehört  auch  die  unendlich  ferne 
nnd  daraus  folgt,  dass  K^  eine  Hjrperbel  ist.  In  Fig.  13  ist  dieselbe  als 
gleichseitig  angenommen.  Die  unendlich  ferne  Gerade  trifft  aber  C*  ausser 
in  Afj  noch  in  zwei  Punkten.  Wir  erhalten  sie,  indem  wir  in  der  Involu- 
tion Jj  zur  unendlich  fernen  Geraden  die  entsprechende  —  u  —  bestimmen. 
Diese  liegt  in  der  Mitte  von  g^  h^ .  Die  Tangenten  in  ihren  Schnittpunkten 
mit  K^  haben  die  Richtung  der  gesuchten  Punkte.  In  letzteren  zeichnen 
wir  auf  bekannte  Weise  die  Tangenten  an  C^.  Diese  sind  Asymptoten  — 
a^  a*  —  der  Curve. 

In  Taf.  III  Fig.  14  hat  Af|«  reelle  Inflexionstangenten.  K^  ist  als 
Kreis  angenommen.  t|  i*  sind  ein  Paar  Asymptoten.  Das  andere  Paar  er- 
halten wir  wie  bei  Fig.  13. 

In  Taf.  III  Fig.  15  ist  K*  als  gleichseitige  Hyperbel  angenommen.  C* 
hat  ausser  i^,  ij*  keine  weiteren  Asymptoten.  Aus  K*  ist  mit  Hilfe  von 
T,j  der  Kegelschnitt  K**  gezeichnet,  der  K*  in  zwei  Punkten  von  m^  und 
C*  in  den  Punkten  eines  imaginären  Quadrupels  berührt. 

Taf.  III  Fig.  16  stellt  eine  zu  m^  orthogonal  symmetrische  C^  dar,  für 
welche  M^ ,  M^  imaginär  sind.  K*  ist  als  Kreis  angenommen,  K**  ergiebt 
sich  daraus  als  HyperbeL     i^^  ij*  sind  die  beiden  reellen  Asymptoten. 

Ein  Ueberblick  über  die  bis  jetzt  erwähnten  C*  ergiebt,  dass  nur  die 
in  Taf.  III  Fig.  9,  10,  12  und  16  gezeichneten  Formen  wesentlich  von  ein- 
ander verschieden  sind.  Fig.  14  und  15  kann  aus  9  dadurch  abgeleitet 
werden ,  dass  wir  eines  der  bei  Fig.  9  im  Unendlichen  liegenden  fl/  ins  End- 
liche rücken  lassen.  In  analoger  Weise  erhalten  wir  die  in  Fig.  13  dar- 
gestellte Curve  aus  der  in  Fig.  10  gezeichneten.  O*  von  Fig.  11  endlicb 
ist  eine  specielle  Form  der  C*  von  Fig.  12.  Aus  den  Fig.  9,  10,  12,  1(> 
leiten  wir  die  allgemeinen  Formen  der  C*  mittels  einer  centrischen  Collinea- 
tion  erster  Ordnung  ab ,  und  zwar  die  C^  mit  drei  reellen  Infiexionsknoten 
aus  Fig.  9  oder  10  und  die  C*  mit  einem  reellen  Infiexionsknoten  ans 
Fig.  12  oder  16.  Wollen  wir  aber  solche  Formen  direct  aus  einem  Kegel- 
schnitt zeichnen,  so  bedienen  wir  uns  dazu  der  in  10  entwickelten  Methode, 
bei  der  wir  von  einem  Kreise  durch  M^M^M^  ausgehen.  Mittels  derselben 
sind  die  Curven  vierter  Ordnung  von  Taf.  IV  Fig.  17,  18,  19  constmirt. 
Es  sind  dies  C^  mit  drei  reellen  Infiexionsknoten. 

Taf.  IV  Fig.  17  giebt  eine  C*,  welche  durch  die  imaginären  Punkte  des 
Kreises  K^  geht.     T  muss  also  der  Mittelpunkt  von  Ä^*  sein,    üeberdies 


Von  Dr.  C.  Beyel.  69 

ist  /VgAfj  80  gewählt,  dass  M^M^  gleich  M^M^  ist  Infolge  dessen  ist  0^ 
zur  Linie  M^T  orthogonal  symmetrisch.  C^  hat  zwei  reelle  Asymptoten. 
Zu  ihrer  Construction  ziehen  wir  eine  Mittellinie  des  Dreiecks  m^m^m^  — 
sagen  wir  u^  —  parallel  m^.  Dann  trifft  u^  die  Curve  C^  in  zwei  Punkten 
^i,  U^  und  es  müssen  die  vierten  harmonischen  zu  diesen  Punkten  in 
Bezug  auf  TJ^m^  unendlich  fern  liegen.  Also  geben  uns  If^  Ui  und  M^  U^ 
die  Richtungen  der  Asymptoten  an.  Letztere  aber  erhalten  wir,  indem  wir 
die  Hyperbel  Ä^**  construiren  (9) ,  welche  durch  Af^  U^  U^  geht  und  M^  U^ , 
M^U^  zu  Asymptotenrichtungen  hat.  Sie  schneidet  C*  auf  der  unendlich 
fernen  Geraden.  Also  ist  der  Mittelpunkt  —  T*  —  dieser  Hyperbel  ein 
Punkt  Yon  der  Art  der  Punkte  T,  Nun  bestimmen  wir  einen  Kegelschnitt 
Z,**  durch  T^M^M^M^  und  den  unendlich  fernen  Punkt  auf  M^U^,  Die 
Asymptote  in  letzterem  Punkte  ist  eine  der  gesuchten  Asymptoten  von  C\ 
Die  andere  erhalten  wir  mit  Hilfe  des  Kegelschnittes  durch  M^M^M^T* 
und  den  unendlich  fernen  Punkt  auf  M^TT^» 

Taf.  lY  Fig.  18  stellt  eine  Curve  (7*  dar,  welche  vier  reelle  Asympto- 
ten besitzt.  Zur  Construction  der  letzteren  sind  die  vier  Punkte  J/j,  J/j» 
U^y  U^  benutzt,  in  welchen  die  zu  m^  parallele  Mittellinie  u^^  des  Dreiecks 
mitn^niQ  die  C*  trifft. 

Taf.  IV  Fig.  19  zeigt  eine  C\  welche  einen  parabolischen  Ast  besitzt. 
Um  diese  zu  construiren ,  gehen  wir  von  einer  Parabel  IP  ans ,  welche  (7* 
in  der  unendlich  fernen  Geraden  der  Ebene  berührt.  Für  dieselbe  muss 
M^M^M^  ein  Tripel  harmonischer  Pole  sein.  Sie  muss  C*  in  den  Mittel- 
linien «j,  u^y  U3  des  Dreiecks  m^m^m^  berühren.  Damit  ist  C*  bestimmt 
und  wir  können  aus  K^  und  J^  weitere  Punkte  dieser  Curve  Zeichnen. 
Legen  wir  sodann  durch  MiM^M^  einen  Kreis  £'m^  so  erhalten  wir  seine 
Schnittpunkte  mit  C*,  indem  wir  die  Pole  von  zwei  Gruppen  von  Involu- 
tionen J^y  J^y  /,  in  Bezug  auf  K^  suchen.  Diese  Pole  liegen  auf  zwei 
Geraden  (3) ,  deren  Schnittpunkt  T  der  Pol  zur  Verbindungslinie  der  Schnitt- 
punkte von  K,n^  mit  C^  ist.     Damit  kennen  wir  diese  Schnittpunkte. 


16.  Die  imaginäre  Curve  vierter  Ordnung  mit  drei  reellen 
Inflexionsknoten. 

Wir  wollen  nun  die  Curve  untersuchen,  welche  nach  der  in  1  gegebe- 
nen Methode  aus  einem  Kegelschnitt  K^  erzeugt  werden  kann,  der  ima- 
ginär ist. 

Wenn  wir  festsetzen,  dass  von  K^  ein  Tripel  harmonischer  Pole  — 
M^M^M^  resp.  m^m^m^  —  gegeben  sei  und  überdies  um  M^  und  M^  ein 
weiteres  Paar  —  «^i^U  w^w\  —  der  Involutionen  harmonischer  Polaren 
—  Jik%  Jik  — »  so  ist  dadurch  K^  bestimmt  und  wird  imaginär  sein,  wenn 
die  Involutionen  J\k^  Jvt  elliptisch  sind. 

0 


70  Die  Curven  vierter  Ordn.  mit  drei  dopp.  Infiexionsknoten. 


Sei  dann  x^  eine  beliebige  Gerade  durch  if/,  (Taf.  IV  Fig.  20).  Ihr 
correspondire  in  der  Involution  J\k  die  Gerade  x\ .  x^  schneidet  den  Kegel- 
schnitt K^  in  zwei  imaginären  Punkten.  Dieselben  sind  durch  eine  ellip- 
tische Involution  definirt,  für  welche  ^/,  und  der  Schnittpunkt  M\  von  ir, 
mit  Wi  ein  Paar  ist.  Sei  der  Schnittpunkt  Zj  von  x^  mit  w\  als  ein  Punkt 
eines  zweiten  Paares  angenommen,  so  wissen  wir,  dass  die  Polai*e  von  Z^ 
in  Bezug  auf  K^  die  Verbindungslinie  der  Schnittpunkte  x\m^  und  w^m^ 
ist  Sie  trifft  ä,  in  dem  zu  Z^  gehörenden  Punkte  Z', .  Nun  ist  der  Pol 
von  x^  in  Bezug  auf  K^  der  Schnittpunkt  X,  von  a?,  mit  m^.  Durch  ihn 
gehen  die  Tangenten,  welche  K^  in  zwei  Punkten  auf  x^  berühren.  Diese 
Tangenten  sind  also  bestimmt  durch  die  Geraden  aus  x^  nach  M^M^Z^Z\, 
Geben  wir  jetzt  die  Involution  J^  und  entspreche  in  derselben  dem  Strahle 
x^  ein  Strahl  x^\  so  schneiden  die  erwähnten  imaginären  Tangenten  aus  x*' 
zwei  imaginäre  Punkte.  Diese  werden  durch  eine  elliptische  Involution 
definirt,  deren  eines  Paar  die  Schnittpunkte  Z,*,  Z,*'  der  Geraden  x^Z^,  x^Z\ 
mit  x^'  sind;  das  andere  Paar  besteht  aus  M^  und  M^*\  dem  Schnittpunkte 
von  «ii  mit  x*\  Der  Ort  aller  auf  diese  Weise  construirten  Punktepaare 
in  den  Geraden  x*'  ist  eine  imaginäre  Curve  vierter  Ordnung  —  C**. 

Der  Beweis  fttr  letztere  Behauptung  wird  analog  dem  in  1  gegebenen 
geführt.  Eine  beliebige  Gerade  g  schneidet  den  Ort  in  vier  Punkten.  Sie 
liegen  auf  vier  bestimmten  imaginären  Tangenten,  welche  dem  Kegelschnitt 
f  und  einem  reellen  Kegelschnitt  Kg^  gemeinsam  sind.  Letzterer  wird 
aus  projectivischen  Reihen  erzeugt,  welche  die  ProjectivitÄt  Fxk  aus  M^  resp. 
g  ausschneidet. 

Wir  ziehen  nun  einige  Schlüsse  für  die  imaginäre  Curve  C^*,  welche 
analog  denen  sind,  die  oben  für  die  reelle  Curve  C^  entwickelt  wurden. 

a)  M^  ist  ein  reeller  Doppelpunkt  von  C^*.  Zwei  weitere  Doppelpunkte 
—  M^y  M^  —  sind  die  Schnittpunkte  von  m^  mit  dem  gemeinsamen  Paare 
der  Involutionen  y^ ,  7^ .  Dieses  gemeinsame  Paar  ist  stets  reell ,  weil  J\k 
elliptisch  ist.  Also  muss  auch  M^  und  M^  reell  sein.  0**  hat  mithin  drei 
reelle  Doppelpunkte. 

b)  Wir  haben  unter  la)  gesehen,  dass  die  Punkte  von  K^  und  C* 
mittels  der  Tangenten  an  iC^  einander  eindeutig  zugeordnet  werden.  Diese 
Zuordnung  hat  auch  dann  einen  bestimmten  Sinn,  wenn  K^  und  C^  ima- 
ginär werden.  Trennen  wir  nämlich  das  conjugirt- imaginäre  Punktepaar 
von  JBT*,  welches  auf  einer  reellen  Geraden  x^  durch  M^  liegt,  indem  wir 
den  Sinn  der  bestimmenden  Involution  berücksichtigen,  so  sind  dement- 
sprechend auch  die  Tangenten  an  K^  in  diesen  imaginären  Punkten  unter- 
schieden ,  mithin  auch  die  Punkte  von  C^*,  welche  diese  Tangenten  aus  x*' 
ausschneiden.  Also  correspondirt  dem  Berührungspunkte  einer  Tangente  an 
K^  ein  ganz  bestimmter  Punkt  von  C**,  der  auf  dieser  Tangente  gelegen  ist. 

Indem  wir  nun  die  auf  solche  Weise  zugeordneten  Punkte  von  K^  und 
(7**  mit  M^  resp.  M^  verbinden,   erhalten  wir  um   diese  Scheitel  Büschel, 


Von  Dr.  C.  Beykl.  71 

deren  imaginäre  Strahlen  einander  correspondiren.  Die  Strahlen  eines  sol- 
chen Büschels  —  sagen  wir  um  M^  —  sind  so  angeordnet»  dass  einem 
Strahlenpaare,  welches  durch  die  Geraden  aus  A/j  nach  M^M^Z^Z^*  definirt 
ist,  ein  solches  entspricht,  das  durch  die  Strahlen  aus  M^  nach  M^M^Z^ Z*' 
bestimmt  wird,  üebertragen  wir  die  Involutionen ,  durch  welche  diese  Strah- 
lenpaare gegeben  sind ,  auf  einen  durch  M^  M^  M^  gehenden  Kegelschnitt  H^, 
so  mtlssen  ihre  Pole  in  m^  liegen.  Sie  bilden  in  dieser  Geraden  zwei  pro- 
jectivische  Reihen.  In  denselben  entsprechen  sich  M^  M^  vertauschbar.  Also 
bilden  die  projectivischen  Reihen  eine  Involution.  Ihr  entsprechend  können 
wir  auch  die  Projectivitfit  der  Büschel  um  M^  als  eine  Involution  —  J^  — 
bezeichnen.  Projiciren  wir  die  Involution  der  erwähnten  Pole  in  m^  aus  M^t 
so  erhalten  wir  eine  Strahleniüvolution.  Ihr  Pol  in  Bezug  auf  H^  sei  als 
Pol  der  Involution  J^  definirt  Indem  wir  den  analogen  Gedankengang  für 
das  Büschel  um  M^  durchführen ,  gelangen  wir  zu  einer  Involution  ^3 .  Es 
sind  also  die  reellen  Strahlen  von  J^  durch  C**  mit  Involutionen  /g,  7j 
yerknüpft,  deren  bis  jetzt  gefundene  Strahlen  imaginär  sind. 

c)  Eine  Folge  der  angegebenen  Erzeugungsweise  von  C**  ist  es,  dass 
die  reellen  Doppelstrahlen  —  g^,  h^  —  der  Involutionen  7,  den  Kegel- 
schnitt K*  in  vier  Punkten  schneiden,  in  denen  K^  von  C^  berührt  wird. 
Diese  Punkte  sind  durch  elliptische  Involutionen  in  g^,  h^  bestimmt.  Weil 
nun  M^  A/g  .1/3  ein  Tripel  harmonischer  Pole  in  Bezug  auf  K^  ist  und  weil 
WjWj  durch  g^h^  harmonisch  getrennt  wird,  so  folgt,  dass  die  —  ausser  ^^ 
und  Ä,  —  noch  möglichen  Verbindungslinien  der  Punkte  Ä ,  B.  C,  D  paar- 
weise durch  M^  resp.  M^  gehen  müssen.  Also  liegen  die  elliptischen  Invo- 
lutionen auf  ^lÄj,  welche  AB  CD  bestimmen,  sowohl  zu  M^  als  zu  A/3  per- 
spectivisch.  Bilden  wir  daher  über  diesen  Involutionen  die  Strahlenbüschel 
aus  M^  resp.  ^3,  so  werden  durch  dieselben  zwei  imaginäre  Strahlenpaare 
definirt,  welche  wir  als  die  Doppelstrahlen  der  Involutionen  /y,  /j  zu  be- 
trachten haben. 

d)  Wie  durch  die  reelle  Curve  O*,  so  wird  auch  durch  C**  eine  qua- 
dratische Transformation  geleitet.  In  derselben  correspondirt  jeder  Geraden 
g  ein  Kegelschnitt  jBT/.  Geht  diese  durch  einen  der  Punkte  Af  —  sagen 
wir  M^  — ,  so  finden  wir,  dass  ihr  zugehöriger  Kegelschnitt  JT/  in  M^  und 
einen  Punkt  S^  auf  m^  degenerirt.  Ziehen  wir  aus  S^  die  Tangenten  an  K^, 
so  sind  diese  imaginär,  berühren  aber  K^  in  zwei  Punkten  einer  reellen 
Geraden  x^**  —  der  Polaren  von  S^  —  und  schneiden  jene  Gerade  —  x^  — 
durch  M^  in  zwei  imaginären  Punkten  von  O**.  Die  Geraden  ;i"^ ,  x/'  bilden 
eine  Involution ,  deren  Strahlenpaare  sich  nach  demselben  Gesetze  correspon- 
diren, wie  die  imaginären  Strahlenpaare  der  oben  besprochenen  Involution 
/j,  d.  h.  es  sind  die  reellen  Strahlen  dieser  Involution.  In  analoger  Weise 
werden  wir  auch  zu  den  reellen  Sti^ahlen  der  Involution  /g  geführt.  Aus 
den  reellen  Strahlen  von  J^J^  ergeben  sich  imaginäre  Strahlenpaare  von  J, . 


72  Die  Curven  vierter  Ordn.  mit  drei  dopp.  Inflexionsknoten. 

Wir  erkenneD  also,  dass  die  Involutionen  /j,  /g,  J^  sowohl  reelle  wie  ima- 
ginäre Strahlen  enthalten.  Weiter  erkennen  wir,  dass  0**'  aus  K^  und  7^ 
oder  ^3  auf  dieselbe  Weise  erzeugt  werden  kann,  wie  aus  K^  und  7,. 

XJebertragen  wir  7,,  /j,  J^  auf  einen  Kegelschnitt  JET*,  der  durch  M^M^M^ 
geht,  so  liegen  die  Pole  dieser  Involutionen  in  einer  Geraden.  (3.)  Ferner 
liegen  sie  resp.  in  m^m^m^.  Nun  schneidet  eine  Gerade  die  Seiten  eines 
Dreiecks,  das  H^  eingeschrieben  ist,  entweder  in  drei  Punkten,  welche  in 
Bezug  auf  H^  hyperbolisch  sind ,  oder  in  einem  hyperbolischen  und  in  zwei 
elliptischen  Punkten.  Wenn  C^  imaginSr  sein  soll,  ist  nur  der  zuletzt  an- 
gedeutete Fall  möglich.  Dementsprechend  muss  eine  der  Involutionen  J  — 
und  nur  eine  —  hyperbolisch  sein.  Unter  c)  haben  wir  vorausgesetzt,  dass 
J^  hyperbolisch  sei. 

e)  Die  quadratische  Transformation,  welche  durch  C^*  geleitet  wird, 
führt  zur  Construction  der  Doppeltangenten  dieser  Curve.  Wir  be- 
stimmen zu  diesem  Zwecke  die  vier  Kegelschnitte  Kg^y  welche  K^  doppelt 
berühren.  Verfahren  wir  dabei  nach  der  in  5  erwähnten  Methode ,  so  haben 
wir  die  gemeinsamen  Paare  der  Involutionen  J\kJ^my  hkhm^  hkhm  zu 
suchen.  Diese  Paare  müssen  in  unserem  Falle  reell  sein,  weil  /ijt,  J2k^  ^^t 
elliptisch  sind.  Folglich  sind  die  Schnittpunkte  —  -Pn  -Pji  -Ps»  ■'*4  —  dieser 
Paare  reell  (Taf.  IV  Fig.  21).  In  den  Polaren  von  P^,  P^,  P^,  P^  in  Bezug 
auf  K^  liegen  die  Berührungspunkte  der  Kegelschnitte  ICg^  mit  £*.  Von 
diesen  Polaren  ist  in  Fig.  21  die  zu  P^  gehörende  —  Pi  —  eingezeichnet. 
Auf  ihr  ist  die  elliptische  Involution  bestimmt,  welche  die  Schnittpunkte 
von  Pi  mit  K*  definirt.  In  letzteren  beröhrt  IT*  einen  Kegelschnitt  i^/. 
Dieser  hat  überdies  m^,  m^^  m^  zu  Tangenten,  ist  also  durch  mehr  Ele> 
mente  als  nöthig  bestimmt.  Seine  Darstellung  wird  durch  die  Bemerkung 
erleichtert,  dass  er  m^,  m^,  m^  resp.  in  den  Punkten  berührt,  in  welchen 
diese  Geraden  resp.  von  P^M^,  -Pi-Sfg,  P^il£j  geschnitten  werden,  (5.)  Aus 
A'g^  und  J^  können  wir  nun  eine  Doppeltangente  —  d^  —  zeichnen.  Wir 
wissen,  dass  ICg^  durch  zwei  projectivische  Reihen  auf  m^  und  d^  hervor- 
gebracht wird.  In  diesen  Reihen  entspricht  dem  Schnittpunkte  von  dj  mit 
/»i  der  Berührungspunkt  von  A^/  mit  m^.  Da  aber  letzterer  der  Schnitt- 
punkt von  PiMi  mit  «Hj  ist,  so  haben  wir  zu  PiM^  den  correspondiren- 
den  in  ^1  fr  zu  suchen.  Zu  ihm  construiren  wir  den  zugeordneten  Strahl  in 
der  Involution  J^ .  Dieser  schneidet  m^  in  einem  Punkte  T^ ,  der  der  Schnitt- 
punkt von  m^  mit  di  sein  muss.  In  analoger  Weise  bestimmen  wir  zu 
Pjüfj  den  entsprechenden  in /2A  iind  zu  letzterem  den  zugeordneten  in  Jg. 
Dieser  trifft  m^  in  T^,  einem  zweiten  Punkte  von  dj.  Damit  ist  letztere 
Linie  bestimmt.  Wir  bemerken  bei  dieser  Construction,  dass  die  entspre- 
chende Gerade  zu  Pj^i  in  der  Involution  Jik  ein  Strahl  des  gemeinsamen 
Paares  der  Involutionen  7] m,  Jik  ist.  Ferner  ist  der  Strahl,  welcher  P,Jlf, 
in  J2k  correspondirt ,  einer  der  gemeinsamen  Strahlen  zwischen  den  Involu- 
tionen Jik  und  Jzn-     Indem  wir  unter  Berücksichtigung  dar  analogen  Be- 


Von  Dr.  C.  Beyel.  73 

merkungen  für  die  Doppeltangenten  ^,  (l,,  (^4  letztere  construiren,  können 
wir  das  Gesagte  dahin  zusammenfassen: 

Die  correspondirenden  Strahlen  zu  den  gemeinsamen  Paa- 
ren der  Involutionen  Jk  und  J»,  in  den  resp.  Involutionen  J 
schneiden  die  resp.  Linien  m  in  sechs  Punkten  jT.  Diese  liegen 
viermal    zu    dreien   in   den   vier  reellen   Doppeltangenten   von 

Wir  unterlassen  es,  hier  Alles,  was  oben  für  die  reellen  C*  bewiesen 
wurde,  nach  dem  Princip  der  Continuitfit  für  die  imaginären  C*  zu  inter- 
pretiren,  und  heben  nur  noch  Folgendes  hervor. 

f)  J<>  vier  Punkte  von  (7**,  welche  auf  einem  reellen  Strahlenpaar  gh 
einer  Involution  Jm  liegen,  bilden  ein  imaginäres  Quadrupel  von  Punkten. 
In  ihnen  wird  (7*  von  einem  imaginären  Kegelschnitt  K^  berührt,  g,  h 
lassen  sich  als  die  Doppelstrahl'en  einer  Involution  J  betrachten.  Aus  £^^ 
und  /  kann  C**  nach  der  oben  entwickelten  Methode  erzeugt  werden. 

g)  Die  in  9  dargestellte  Ableitung  einer  C*  aus  einem  durch  M^M^M^ 
gehenden  Kegelschnitt  Kj,}  führt  zu  einer  imaginären  Curve  C**,  wenn  T 
im  Innern  des  Dreiecks  M^^M^M^  liegt.  Denn  in  diesem  Falle  schneidet 
jede  Gerade  durch  T  die  Seiten  des  erwähnten  Dreiecks  in  drei  Punkten, 
von  welchen  zwei  in  Bezug  auf  ^^  elliptisch  sind.  Die  Schnittpunkte  von 
Kn?  mit  6'**  liegen  auf  der  reellen  Polaren  von  T  in  Bezug  auf  K„?  und 
sind  bestimmte  imaginäre  Punkte. 

h)  Die  Tangenten  in  den  Punkten  von  C**  sind  natürlich  imaginär. 
Construiren  wir  aber  zu  einem  Punkte  —  sagen  wir  Pg  —  in  Wg  die  Curve 
d'2'  (13),  80  hängt  diese  nur  von  den  Involutionen  J\k  und  J^  ab.  Mit 
Hilfe  von  J\k  haben  wir  K\^  erzeugt  und  es  muss  dieser  Kegelschnitt  stets 
reell  sein,  wenn  M^,  M^y  M^  reell  sind.  Daraus  folgt,  dass  auch  Ci'2  ^^^U 
sein  muss.  Ziehen  wir  dann  durch  P^  eine  Gerade  und  schneide  diese  C\*'? 
in  X  und  m^  in  8\^  so  müssen  nach  der  Definition  von  Gy^  auf  M^X 
zwei  Punkte  von  C*  liegen,  deren  Tangenten  sich  in  S\  schneiden.  Wird 
die  Curve  vierter  Ordnung  imaginär,  so  sind  auch  jene  Punkte  auf  M^X 
imaginär  und  durch  eine  elliptische  Involution  bestimmt.  Bilden  wir  über 
ihr  das  Strahlenbüschel  aus  S\ ,  so  definirt  dasselbe  zwei  Tangenten  von  C^. 

In  analoger  Weise  schliessen  wir,  da«s  sämmtliche  Curven  C^,  die  in 
14  besprochen  wurden,  in  unserem  speciellen  Falle  reell  werden  und  dazu 
dienen,  die  imaginären  Tangenten  von  C^  zu  bestimmen. 


*  Unter  5  haben  wir  gezeigt,  dass  die  Doppeltangenten  einer  reellen  C^,  för 
welche  M^^M^^  M^  reell  sind,  imaginär  werden.  In  Ergänzung  des  dort  Gesagten 
bemerken  wir,  dass  in  jenem  Falle  stets  eines  der  gemeinsamen  Paare  zwischen 
einer  Involution  Jk  und  J^  reell  ist.  Construiren  wir  zu  ihm  die  entsprechenden  Ge- 
raden in  der  Involution  Ji,  so  schneiden  sie  das  resp.  in  in  zwei  reellen  Punkten. 
Durch  diese  gehen  paarweise  die  erwähnten  imaginären  Tangenten.  Sie  schneiden  die 
anderen  m  in  bestimmten  imaginären  Punkten  T  und  sind  somit  vollständig  definirt. 


74  Die  Curven  vierter  Ordn.  mit  drei  dopp.  Inflexionskuoten. 


Dabei  bemerken  wir,  dass  diejenigen  Pankte  von  C**,  welche  auf  einer 
reellen  Geraden  durch  ein  M  liegen ,  Tangenten  besitzen ,  deren  reeller  Punkt 
sich  in  dem  gleichnamigen  m  befindet. 

17.  De^enerirte  Formen  von  C^. 

Am  Schlüsse  von  1  haben  wir  angedeutet,  dass  m^,  m^  zusammenfallen 
können ,  und  wir  wollen  nun  untersuchen ,  wie  sich  in  diesem  Falle  C*  ge- 
staltet. Da  m^m^  das  gemeinsame  Paar  der  Involutionen  Jy  und  J\k  ist, 
so  kann  ein  Zusammenfallen  von  m^^  m^  nur  dann  eintreten,  wenn  J^  und 
Jijt  einen  Doppelstrahl  gemeinsam  haben.  Derselbe  muss  Tangente  an  JT' 
sein.  In  ihm  decken  sich  m^,  m^  und  wir  wollen  ihn  mit  m  bezeichnen. 
Er  berührt  K^  in  einem  Punkte  —  M — ,  in  welchem  M^,  M^  zusammen- 
fallen. Also  liegen  auf  m  die  drei  Punkte  M^^  M^,  M^,  d.  h.  m  ist  ein 
Theil  von  C^  und  der  Best  dieser  Curve  muss  von  der  dritten  Ordnung 
sein.  Wollen  wir  dies  direct  beweisen,  so  gehen  wir  von  einer  beliebigen 
Geraden  g  aus.  Wir  construiren  —  wie  in  1  —  aus  J%k  nnd  7,  die  Pro- 
jectivität  Pijk.  Sie  schneidet  Wj  resp.  g  in  projectivischen  Reihen.  Diese 
erzeugen  einen  Kegelschnitt  Kg^,  der  mit  K^  die  Tangente  m  gemeinsam 
hat.  Die  drei  Übrigen  gemeinsamen  Tangenten  treffen  g  in  Punkten  der 
erwähnten  Bestcurve  —  C^. 

Indem  wir  das  über  C^  Gesagte  für  C®  specialisiren ,  ergiebt  sich  für 
letztere  Curve  Folgendes: 

C^  berührt  K^  in  M  und  in  den  zwei  Punkten,  in  welchen  der  zweite 
Doppelstrahl  \  der  Involution  /j  den  Kegelschnitt  K^  trifft,  —  M^  ist  In- 
flexionspunkt  für  C^.  Seine  Tangente  —  i,  —  wird  erhalten  als  die  cor- 
respondirende  zum  zweiten  Doppelstrahle  von  ^j^  in  der  Involution  7,.  — 
C^  ist  zu  sich  selbst  centiisch  involutorisch  mit  M^  als  Centrum  und  7n^ 
als  Axe. 

Die  quadratische  Transformation,  welche  durch  C^  geleitet  wird,  ist 
dadurch  specialisirt,  dass*  die  Kegelschnitte  AT/,  welche  den  Geraden  der 
Ebene  correspondiren,  die  Linie  m  in  My  berühren.  Die  Kegelschnitte  Kg^ 
aber,  welche  den  Geraden  X'  durch  M  in  dieser  Transformation  entsprechen, 
degeneriren  in  zwei  Punkte,  nämlich  in  Jtf  und  einen  Punkt  8  auf  wi  (Taf.  IV 
Fig.  20).  Durch  S  geht  an  Ä'^  —  ausser  m  —  eine  weitere  Tangente, 
welche  Ä'*  in  A^  berühre.  Sie  muss  x  in  einem  Punkte  A\  von  C^  schnei- 
den. Sei  dann  der  Strahl  MA^  mit  x  bezeichnet  und  drehen  wir  x  um  Äf, 
so  entspricht  jeder  Lage  von  x  eine  Lage  von  x.  Lassen  wir  aber  an  Stelle 
von  X  die  Geraden  m^  oder  m  treten,  so  correspondiren  ihnen  resp.  die 
Geraden  w,  Wj.  Also  bilden  die  Paare  x,  x  eine  Strahleninvolutiou ,  J 
und  C^  wird  aus  K^  und  /  auf  dieselbe  Weide  erzeugt  wie  aus  K^  und  J^ . 
Die  Doppelstrahlen  von  J  sind  die  Geraden  aus  M  nach  den  Schnittpunkten 
von  \  mit  Af*.    M^  ist  also  der  Pol  von  J  in  Bezug  auf  den  Kegelschnitt  K^, 


Von  Dr  C.  Bbyel.  75 

Indem  wir  die  letzterwähnte  Erzeugungsweise  der  C^  unabhängig  von 
C*  betrachten,  können  wir  bagen: 

Ä'*  sei  ein  beliebiger  Kegelschnitt  und  einer  seiner  Punkte 
—  A/  —  sei  Scheitel  einer  Involution  J,  Construiren  wir  in 
den  zweiten  Schnittpunkten  der  Strahlen  von  ^  die  Tangenten 
an  K^  und  schneiden  wir  mit  ihnen  die  correspondirenden 
Strahlen  von  /,  so  ist  der  Ort  der  Schnittpunkte  eine  C*. 

Auf  jeder  Geraden  durch  M  liegt  somit  ein  Punkt  von  C^.  Also  ist 
M  für  diese  Curve  ein  Doppelpunkt.  Bemerken  wir  weiter,  dass  der  reelle 
Theil  von  C^  aus  dem  in  Bezug  auf  A'^  hyperbolischen  Felde  der  Ebene 
nicht  in  das  elliptische  übergehen  kann ,  so  folgt ,  dass  C^  in  M  eine  Spitze 
hat.     m|  ist  ihre  Tangente. 

Seien  Ä\y  B'^  zwei  Punkte  von  C^  auf  einer  Geraden  h  durch  iWj  und 
seien  a\,  h\  ihre  Tangenten,  so  wird  durch  Ä\a\^  B\h\j  Mm  als  Punkte 
und  Tangenten  ein  Kegelschnitt  A^  bestimmt.  Solcher  Kegelschnitte  giebt 
es  unendlich  viele.  Aus  jedem  derselben  kann  C^  mit  Hilfe  einer  Involu- 
tion erzeugt  werden,  deren  einer  Doppelstrahl  m  und  dereu  anderer  die 
Verbindungslinie  der  Schnittpunkte  von  A^  und  C"^  ist. 

Die  Kegelschnitte  Kg^  berühren  m  in  M  und  enthalten  zwei  Punkte- 
paare von  C^,  welche  auf  Geraden  durch  ^Vj  liegen.  Die  Kegelschnitte  Ä',^ 
A'm*  gehen  durch  ü/j  und  berühren  m^  in  M,  Mit  Hilfe  eines  Kegelschnittes 
f^m*  können  wir  C^  erzeugen,  wenn  wir  den  Pol  —  T  —  der  Verbindungs- 
linie der  Schnittpunkte  von  C'^  und  A',„*  kennen.  Wir  ziehen  durch  T 
beliebige  Gerade.  Eine  solche  schneide  mi  in  S^  und  m  in  S.  Durch  Sy 
geht  —  ausser  w,  —  eine  zweite  Tangente  an  AT»,*.  Sie  berühre  diesen 
Kegelschnitt  in  Ä^,  Aus  S  können  wir  zwei  Tangenten  an  ^m^  ziehen. 
Ihre  Berührungspunkte  verbinden  wir  mit  M,  Bringen  wir  dann  diese  Ver- 
bindungslinien mit  M^Ä^  zum  Schnitte,  so  erhalten  wir  zwei  Punkte  von 
C\  Specialisiren  wir  diese  Construction  für  die  Gerade  TM^,  so  erhEdten 
wir  die  Inflexionstangente  in  M^  an  C^. 

Wenden  wir  uns  zu  den  Tangenten  von  C\  so  zeichnen  wir  dieselben 
mit  Hilfe  der  Kegelschnitte  A'/.  Sind  ÄiÄ\  ein  Paar  zugeordneter  Punkte 
eines  Kegelschnittes  A^  und  der  Curve  C,  so  construiren  wir  den  Kegel- 
schnitt A'ffK  der  m  in  ^|,  AiÄ\  in  Ä^  berührt  und  der  n»,  zur  Tangente 
hat.  Seine  Tangente  durch  Ä\  berührt  C^  in  Ä\.  Führen  wir  diese  Con- 
struction mit  Hilfe  des  Satzes  von  Brianchon  durch,  und  seiend,  Ä,  die 
Schnittpunkte  von  Ai  A\  mit  m  resp.  m^ ,  so  ziehen  wir  die  Geraden  M^  A^ , 
3fiii',  (Taf.  IV  Fig.  22).  Ihren  Schnittpunkt  —  Tj  —  verbinden  wir  mit 
8^,  Dann  triflFt  S^T^  die  Gerade  m  in  S\  einem  Punkte  der  gesuchten 
Tangente  a\.  Eine  andere  Construction  ist  folgende:  Wir  bringen  M^A\ 
mit  lf|^|  in  T\  zum  Schnitte  und  verbinden  T\  mit  S,  Dann  schneidet 
T^S  die  Gerade  w,  in  einem  Punkte  —  S\  —  von  a\. 


76  Die  Curven  vierter  Ordn.  mit  drei  dopp.  Inflexionsknoten. 


Sei  P  ein  beliebiger  Punkt  der  Ebene,  so  verbinden  wir  ihn  mit  S\ 
und  schneiden  diese  Verbindungslinie  miiMj^Ä\.  Wir  können  nun  zeigen, 
dass  der  Ort  der  so  erhaltenen  Schnittpunkte  ein  Kegelschnitt  A'ip*  ist. 
Denn  sei  x  eine  Gerade  durch  P  und  schneide  sie  m^  in  S\,  so  gehen  — 
weil  C^  von  der  dritten  Classe  ist  —  duich  S\  ausser  m^  noch  zwei  wei- 
tere Tangenten  an  C^.  Die  Berührungspunkte  derselben  liegen  auf  einer 
Geraden  Xj^  aus  M^ ,  welche  x  in  einem  Punkte  unseres  Ortes  schneidet.  Es 
ist  also  jeder  Geraden  x  durch  P  eine  Gerade  x^  durch  91^  zugeordnet,  um- 
gekehrt erkönnen  wir,  dass  jeder  Geraden  x^  eine  Gerade  x  entspricht.  Mit- 
hin steht  das  Büschel  der  x  zu  dem  der  x^  in  einer  eindeutigen  Beziehung 
und  beide  Büschel  erzeugen  den  oben  erwähnten  Kegelschnitt  Ajp^.  Der- 
selbe geht  durch  P,  M^^  M. 

Befindet  sich  P  auf  m,  so  liegen  also  auf  dieser  Geraden  drei  Punkte 
von  Ajp^  d.  h.  m  ist  ein  Theil  dieses  Kegelschnittes  und  der  Best  desselben 
besteht  aus  einer  zweiten  Geraden  p.     Wir  schliessen  daher: 

Verbinden  wir  die  Schnittpunkte  der  Tangenten  von  C* 
und  m^  mit  einem  Punkte  auf  m  und  bringen  wir  diese  Verbin- 
dungslinien mit  den  resp.  Geraden  aus  M^  nach  den  Punkten 
von  C^  zum  Schnitte,  so  ist  der  Ort  dieser  Schnittpunkte  eine 
Gerade. 
^     p  geht  durch  den  Schnittpunkt  der  Inflexionstangente  in  M^  mit  tn^. 

In  Taf.  IV  Fig.  23  und  24  sind  zwei  Formen  der  jetzt  besprochenen 
Curve  C*  dargestellt 

Fig.  23  ist  so  disponirt,  dass  M^  unendlich  fern  liegt  und  m^  zu  m 
senkrecht  steht.  G^  ist  also  zu  m^  orthogonal  symmetrisch,  t^  ist  eine 
Asymptote  von  C\  Die  anderen  werden  gefunden,  indem  wir  die  Linie  u 
bestimmen,  welche  in  der  Involution  J^  der  unendlich  fernen  Geraden  ent- 
spricht, u  liegt  in  der  Mitte  von  m  und  Ä^  und  schneidet  K^  in  zwei  Punk- 
ten Ui,  TJ^y  deren  Tangenten  die  Richtungen  der  gesuchten  Asymptoten 
haben.  Diese  selbst  werden  also  nach  der  oben  gegebenen  Tangentencon- 
struction  für  Punkte  von  C*  bestimmt. 

Die  0^  von  Fig.  24  ist  aus  einem  Kreise  K^^  hervorgebracht  und 
dadurch  specialisirt,  dass  sie  durch  die  imaginären  Punkte  dieses  Kreises 
geht,  welche  auf  der  unendlich  fernen  Geraden  liegen.  T  ist  also  Mittel- 
punkt von  Kff?.  Die  reelle  Asymptot-e  von  G^  ist  mit  Hilfe  einer  Geraden 
u  bestimmt,  welche  zu  9»|  parallel  ist  und  den  Abstand  zwischen  M^  und 
Wi  halbirt.  u  trifft  C^  in  JJ,  Dann  ist  M^  TT  die  Richtung  der  gesuchten 
Asymptote.  Wir  erhalten  letztere,  indem  wir  einen  Kegelschnitt  K„*^  zeich- 
nen, der  n»i  in  M  berührt,  durch  My^  U  und  einen  Punkt  -4.\  von  G^  geht.  In 
Bezug  auf  diesen  Kegelschnitt  construiren  wir  den  Pol  —  T*  —  der  Ge- 
raden TJA!^.  Durch  TJT*M^  geht  ein  Kegelschnitt  Ä",*,  der  m^  in  if  und 
G^  in  TJ  berührt.  Also  ist  seine  Tangente  in  TJ  auch  Tangente  an  G^  und 
trifft  Wj  in  8\.     Durch  S\  geht  die  in  Rede  stehende  Asymptote. 


Von  Dr.  C.  Beyel.  77 


Schliesslich  bemerken  wir.  dass  die  in  13  and  14  behandelten  Curven 
dritter  Ordnung  von  der  Art  der  zuletzt  besprochenen  sind  und  dass  die 
allgemeine  Form  einer  solchen  Curve  in  Taf.  I  Fig.  8  gezeichnet  ist.  —  Fällt 
Jj  mit  Jiit  zusammen ,  so  degenerirt  C^  in  die  Polare  von  M^  in  Bezug  auf  K^, 

18.  Beziehung  von  C^  zu  einem  Büschel  von  Flächen  zweiten  Grades. 

Es  bleibt  uns  noch  übrig,  auf  den  Zusammenhang  hinzuweisen,  der 
zwischen  den  discutirten  Curven  vierter  Ordnung  und  einem  Büschel  von 
Flächen  zweiten  Grades  besteht.  Bekanntlich  enthält  jedes  solche  Büschel 
vier  Kegel  —  Kj^,  K^,  K^,  K^,  Seien  die  Spitzen  derselben  M^,  Jlfg,  ^j,  M^, 
so  schneiden  die  Ebenen,  welche  durch  je  drei  der  Spitzen  bestimmt  wer- 
den, die  Developpable  der  Grundcurve  des  Büschels  in  Curven  der  betrach- 
teten Art.*  Denn  wir  können  beweisen,  dass  die  Construction  dieser  Spur- 
curven  mit  der  in  1  für  die  Erzeugung  von  C*  gegebenen  Methode  über- 
einstimmt. 

Zu  diesem  Zwecke  gehen  wir  von  der  Ebene  P^  aus ,  welche  M^ ,  M^ ,  M^ 
enthält.  Der  Kegel  mit  der  Spitze  M^  schneide  diese  Ebene  im  Kegelschnitt 
K^.  Wir  construiren  die  Durchdringung  von  zweien  der  vier  Kegel,  sagen 
wir  von  K^,  K^,  indem  wir  ein  Ebenenbüschel  durch  M^  M^  legen.  Sei  E^ 
eine  Ebene  dieses  BUßchels ,  so  trifft  sie  K^  in  zwei  Erzeugenden  e^ ,  f^  und 
K^  in  zwei  Erzeugenden  e^ ,  f^.  Diese  vier  Geraden  schneiden  sich  in  vier 
Punkten  der  Durchdringungscurve  und  wir  haben  nun  in  denselben  die 
Tangenten  zu  bestimmen,  resp.  die  Spuren  derselben  in  der  Ebene  P^. 
Letztere  Ebene  werde  von  E^  in  x^  und  von  e^f^  in  A^B^  geschnitten. 
Dann  geht  x^  durch  ^/, ,  und  A^^  B^  sind  die  Schnittpunkte  von  x^  mit  A"^. 
Construiren  wir  die  Tangentialebenen  längs  e^f^  an  I^^^,  so  haben  diese  zu 
Spuren  in  P^  die  Tangenten  a^,  h^  in  A^B^^  an  A"^.  Die  Tangentialebenen 
längs  C|  /i  an  A^j*  müssen  sich  in  einer  Geraden  x\  durch  iüf^  treffen ,  welche 
in  P4  liegt,  weil  die  Punkte  von  e^ /"j  sich  auf  Geraden  durch  Af^  befinden. 
Die  gesuchten  Spuren  der  Tangenten  sind  also  die  Schnittpunkte  A\,  B\ 
von  a^hi  mit  x\.  In  ihnen  treffen  sich  je  zwei  Tangenten  an  Punkte  der 
Grundcurve,  die  auf  einer  Geraden  durch  M^  liegen. 

Drehen  wir  nun  Ei  um  M^  M^ ,  so  erhalten  wir  dementsprechend  in  P4 
ein  Büschel  von  Geraden  x^  und  zu  jeder  Lage  von  x^  gehört  eine  solche 
von  x\ .  Speciell  die  Ebene  M^  M^  M^  trifft  P^  in  M^  M^  und  dieser  Geraden 
correspondirt  als  x\  die  Gerade  M^M^,  Die  Ebene  M^M^M^  schneidet  P^ 
in  M^  M^  und  dieser  Geraden  ist  M^  M^  zugeordnet.  Also  entsprechen  sich 
in  der  Projectivität  der  Geraden  XiX\  die  Strahlen  M^M^^  M^M^  vertausch- 
bar, d.  h.  die  Geraden  Xy,  x\  bilden  eine  Involution  J, .  Die  Construction 
der  Spur  der  Developpablen  von  der  Grundcurve  des  Büschels  wird  also  in  der 
That  aus  K^  und  J,  nach  der  in  1  entwickelten  Methode  durchgeführt. 

*  Vergl.  Fiedler,  Darstellende  Geometrie,  II.  \ufl.,  S.  309flgg. 


78  Die  Curven  vierter  Ordnung  etc.     Von  Dr.  C.  Betel. 

Die  analoge  Daratellang  von  C*  erhalten  wir,  indem  wir  von  M^M^ 
oder  von  M^M^  ausgehen.  Die  Doppelstrahlen  der  Involutionen  /j,  /g^  *^s 
sind  die  Erzeugenden  der  Kegel  A^^^,  AT^^,  Afg',  welche  in  P^  liegen. 

Kennen  wir  zwei  dieser  Curven  vierter  Ordnung ,  etwa  C^^  in  der  Ebene 
JP4  und  Cj^  in  der  Ebene  M^  M^  M^  oder  P^ ,  so  ist  dadurch  die  Develop- 
pable  der  Grundcurve  bestimmt.  Denn  sei  A\  der  Punkt  von  C^^  welcher 
in  dem  Schnitte  von  x\  mit  a^  liegt,  so  müssen  die  Tangenten  an  die 
Grundcurve,  welche  in  A\  die  Ebene  P^  treffen,  sich  in  der  Ebene  M^a^ 
befinden.  Diese  Ebene  schneidet  P,  in  einer  durch  iJf^  gehenden  Geraden, 
welche  den  Schnittpunkt  Sy  von  a^  mit  M^  M^  enthält.  In  S^  M^  nun  sind 
zwei  Punkte  von  Cj*  gelegen.  Verbinden  wir  diese  mit  Ä\^  so  erhalten 
wir  zwei  Gerade  der  Developpablen. 

Zu  jedem  der  unendlich  vielen  Kegelschnitte  A'^  aus  denen  C^  erzeugt 
werden  kann,  gehört  —  wenn  wir  M^,  M^,  M^,  M^  festhalten  —  ein  anderes 
Büschel  von  Flächen  zweiter  Ordnung.  Die  Developpablen  der  Grundcurven 
aller  dieser  Büschel  schneiden  die  Ebenen  des  Quadrupels  M^M^M^M^  in 
denselben  Curven. 

Zum  Schlüsse  erwähnen  wir,  dass  durch  imaginäre  Curven  vierter  Ord- 
nung in  den  Quadrupelebenen  imaginäre  developpable  Flächen  bestimmt 
werden,  auf  denen  die  Grundcurven  von  Büscheln  liegen,  die  aus  imaginä- 
ren Flächen  zweiten  Grades  bestehen.  * 

Zürich,  August  1884. 


IV.    • 

Ueber  die  Integration  linearer,  nicht  homogener 
Differentialgleichungen. 

Von 

WoLD.  Heymann 

in  Plauen  i.  V. 
(Hchlnit.) 


§7. 
Snpplementintegral  von 

i )  o,ty  +  («1  +  \  ^)y  +  K + ^ü^' + ^0^^)?/  =  ^M  >  * 

X  x^ 

Xfi  =  ^0  T -^1  Y\  •  -^2  öT  "^  "  * 

Sobald  die  Coefficienten  der  Gleichung  1)  resp.  la)  in  §  ß  den  zweiten 
(rrad  nicht  übersteigen,  so  gilt  dies  auch  von  den  Coefficienten  der  Diffe- 
rentialgleichung für  W,  welche  lautete 

U^W+ü,W'+UoW=0, 

und  es  bieten  sich  daher  sogleich  zwei  Fälle  dar,  für  welche  die  Integration 

vollständig  durchführbar  sein  wird ,   nämlich  erstens  wenn  c,  =  6^  =  Cg  =  0 

und  zweitens  wenn  a^  =  o^  =  6^  =  0.     Wir  betrachten  hier  den  ersten  Fall. 

Es  sei  also  n  =  2  und 

1.     Ci  =  0,     6^  =  0,     C2  =  0, 
dann  liegt  die  Gleichung  1)  vor,  und  es  handelt  sich  nur  darum,  ein  par- 
tikuläres Integral  der  vereinfachten  Gleichung 

1  a)  a^s"+{a.+\x)z'+  (a,,  +  hQX  +  CQX^)z  =  B^.+B^x 

aufzustellen.     Die  Gleichung  für  W  lautet  jetzt 

und  es  ist  seit  Liouville  bekannt,   dass  selbige  durch  die  beiden  Substi- 
tntionen  ^^^„.+^„^  und  y«  +  «  =  | 

auf  die  einfachere  Form 

d^w      .dw  .   . 


*  £b  ist  leicht  einzusehen,  dass  die  rechte  Seite  der  Gleichung  1)  mit  einem 
Factor  eff^-\-hx*  behaftet  sein  dürfte,  da  dieser  durch  die  Substitution  y  =  yi«'*  +  ^*' 
beseitigt  werden  kann,  ohne  dass  hierbei  die  Gleichung  ihre  Form  änderte. 


80       üeb.  die  Integrat.  linearer,  nicht  homog.  Differentialgleichungen. 


gebracht  werden  kann,   unter  ce,  ß,  y,  d,  l  gewisse  constante  Zahlen  ver- 
standen.    Der  letzten  Gleichung  genügt 


sonach  ist 


0 


0 


0 
Führt  man  dieses  in 


=/V-/S' 


is=  I  ^e"  '^^'-^"Wdu 


'2. 


ti, 

ein  und  beachtet,  dass 

C7j  =  Co,      Ul  =  h^y  +  h^u, 

so  erhält  man  das  ErgSnzungsintegral  der  Gleichung  la)  in  der  Gestalt 

«S  OD   ^, 

^tt,  0 

Als  Grenzen  für  das  erste  Integral  hat  man  w^  =  0 ;  Wg  ist  die  Lösung  der 
Gleichung 


«V  =  -oo,     («'=«  +  |^j' 


und  es  ist  a  zufolge  der  Bedeutung  von  a,  wie  man  sich  leicht  überzeugt 
immer  eine  von  Null  verschiedene  endliche  Grösse. 

Es  bleibt  noch  übrig,   die  Grössen  y^  und  /g  ^^  bestimmen.     Sie  sind 
döfinirt,  wie  früher  gezeigt  worden  ist,  durch 

und  im  vorliegenden  Falle  ist 


woraus  unmittelbar  folgt 


0 


0  0 

0  0 

80  dass  also  für  y,  und  y^  folgende  Ausdrücke  gewonnen  werden: 


Von  WoLD.  Hbymank.  81 


/!  = 

./- 

"'''{Bo  +  A(/J-» 

't?)}cJt;  J 

y«=- 

0 

««■^■^''{»0  +  ^,0»  +  , 

fv)\dv  1 

i>0. 

Die  Constante 

X  ist  za  entnehmen  aas 

r/^:-, 

X 

worin  für  u  irgendwelcher  specieller  Werth  gesetzt  werden  darf.    Für  u  =  0 
ergieht  sich  ^ 

7=r»(0)A(0)-/',(0)/i(0), 

oder  nach  Einführung  der  betreffenden  Integralwerthe 


jv^e    ^        dv.jv^-'^e    ^        dv 
0  0 

v^e    ^        dv .  I v^-^e    '^      ^  dv 


d.h. 


i==y.2-^r(i+l)r(^).eH^,* 


oder  auch,    weil   nach  Gauss    das  Product  der  Gammafunctionen    durch 
(2»)%.2%-*r(A)  ersetzt  werden  kann, 

X 

Sollte  A<0  sein,  so  hat  das  für  to  aufgestellte  Integral  keinen  Sinn;  als- 
dann ist  aber  folgender  Ausdruck  brauchbar: 

w==  Jd^Je'''^ v^-^'^-^  \yie''^  +  {-iyY^e-''^  dv, 
0 
wobei  V  diejenige  positive  ganze  Zahl  bedeutet,  welche  dem  absoluten  Werthe 
von  l  folgt. 

•*  Dies  Resultat  folgt,  wenn  in  der  von  Abel  aufgestellten  Formel 

Je«*— **  (iaj.a;«- 1 .  Je-«*— «■  daj.aj« 

V  >  I 

ü  u 

folgende  Bnchstabenveränderung  vorgenommen  wird: 

Man  TergL  Abel,  Sur  quelques  integrales  ddfinies;  Crelle^s  Journal  Bd.  II. 

/.eltaehrin  f.  Mathematik  n.  Fhyiik  XXX,  2.  6 


82       üeb.  die  Integrat.  linearer,  nicht  homog.  Differentialgleichangen. 


Wir  haben  bisher  stillschweigend  voraasgesetzt,  dass  y^O,  denn  an- 
dernfalls konnte  die  Substitution 

nicht  gemacht  werden.     Nun  besitzt  aber  y  in  den  ursprünglichen  Coeffi- 
ciönten  ausgedrückt  folgenden  Werth: 

und  dieses  verschwindet,  wenn 

In  diesem  Falle  kann  man  aber  die  Grössen  a,  ß,  y  und  ö  so  bestimmen, 
dass  sich  die  Gleichung 

vermittelst  der  Substitutionen 

TF=  ««"•+/»«  und  ytt  +  ^c=| 


vereinfacht  in 


und  dieser  genügt 

0 
wenn 

yi  +  ya+y8  =  o 

und  C|,  e^y  t^  die  Wurzeln  der  Gleichung 

sind.     Nunmehr  ergiebt  sich  für  g  ähnlich  wie  vorhin 
1       ■  "    ^ 


^0 

wobei 

i=S 


=  i  j^x^f»^u-Jt?u  PA    3  sdv\  du. 


8  =  yjiyiBie'*''(r-'^^n, 
U|  =  0,  und  u^  aus  der  Gleichung 

folgt.     Zur  Bestimmung  der  Grössen  y^ ,  y^  und  j^g  dienen  die  Gleichungen 
und 

Nach  Einführung  der  Grenzen  und  des  Ausdruckes 


Von  WoLD.  Heykann. 


83 


lauten  die  letzten  beiden  Gleichungen 

r{0)+ßm=  B,^       no)=  B,+ßB, 

wenn  f{u)  das  Integral  w  für  |  =  )'w+d  vorstellt,  so  dass 


00  , 

0 

00  s 


Setzt  man  zur  Abkürzung 


e/. 


-f+fk.d 


dv  =  Sk^     Ä;=  1,  2,  3, 


dann  ist 

wobei  die  Ableitungen  der  $  nach  ö  zu  nehmen  sind,  und  nunmehr  lauten 
die  Gleichungen  zur  Bestimmung  von  /j,  y,  ^^^  Yb  folgendermassen : 

/i    +    72    +    ys    =      ^» 
«1^1 +  «2^2+  «8/8  =  --^1» 

5'iri+«'2y2  +  «sy8=    (-»o+Z^-ßO^y- 

Es  ist  bemerkenswerth  y  dass  sich  die  Hauptdeterminante  dieses  Gleich- 
ungssystems auf  eine  Determinante  reducirt,  welche  nur  noch  Potenzen  der 
Wurzeln  f^,  i^  und  r^  enthält  und  von  dem  Integralparameter  6  ganz  un- 
abhängig ist.     Man  kann  nämlich  zeigen,  dass 


1 


1     1 

5j     5^      Sg 
S  j    S  2    S  i 


3j/3 


1      1      1 


Da  diese  merkwürdige  Integralbeziehung  sich  allgemein  fdr  eine  Determi- 
nante w****  Grades  aussprechen  lässt,  so  wollen  wir  die  Transformation  an 
einer  solchen  zeigen. 

Wir  behaupten,  darfs 


J  = 


1 


1 


1 


=  O. 


wenn  Sk  durch  das  bestimmte  Integral 


1 


1 


1 


€»• 


n  —  l 


84       üeb.  die  Integrat.  linearer,  nicht  homog.  Differentialgleichungen. 

0 
definirt  ist,  i^  bis  e»  die  Wurzeln  der  Gleichung 

bedeuten  und  ^  ein  gewisser  numerischer  Factor  ist. 
Bekanntlich  genügt  der  Differentialgleichung 


das  Integral 


ksin 


k=zn 


^==^CkSk,    wenn     >,  0^  =  0. 


Lftsst  man  die  letzte  Bedingung  fort,  so  stellt  der  Ausdruck  für  8  das  In- 
tegral der  Gleichung 

d  rd^'^8  ,  ,     "I      d^s  .  ,    ds  ^  ^        ,. 

dar.     Nach  Abel  besteht  nun  für  eine  Differentialgleichung 

deren  partikuläre  Integrale  s^  >,,  s„  sind ,  folgender  Determinantensatz : 


Sn 
S'n 


d* 


wobei  X  eine  von  x  unabhängige  Integrationsconstante  bedeutet. 

Für  die  vorhergehende  Differentialgleichung  ist  Xn— 1  =  0,  daher  redu- 
cirt  sich  die  rechte  Seite  der  letzten  Gleichung  auf  %, 

Weiterhin  ist 


00  U0 


'de 


d.h. 


5^(»-i)  =  -A(l  +  a;5it). 
Führt  man  dies  in  die  letzte  Determinante  ein,  so  zerfällt  dieselbe  in  die 
Summe  zweier,  von   denen  die   eine  identisch  verschwindet,   während  die 
andere  den  Factor  — X  ausscheiden  lässt,  welcher  in  x  eingehen  möge;  man 
erhält  also 

5j  $2        '  *  *  ^n 

5  I  5  2        •  •  •  5  n 


1        1     ...       1 


Von  WoLD.  Ueymann. 


Die  letzte  Determinante  ist  aber  nichts  Anderes ,  als  die  zu  bestimmende  ^^ 
and  daher  ist  A=-%  eine  vom  Integrationsparameter  x  unab- 
hängige Grösse.     Um  diese  genauer  zu  fixiren,  sei  a;s=0,  dann  ist 

/*--  ^L±l-i      /m-4-l\ 

0 
und  man  bemerkt,  dass  in  der  Determinante  A 

-^-1     /    1    \ 
die  erste    Horizontalreihe  den  Factor  n  *        Tl I  ausscheiden 

4--.  _/  2 


zweite 


<^) 


die  (n-iy*  Horizontalreihe  (^en  Factor  n  "        r( j  ausscheiden 

lässt.     In  der  Determinante  verweilen  daher  nur  die  entsprechenden  Poten- 
zen von  £}  bis  Cn,  und  vor  dieselbe  tritt  der  Factor 

Das  Product  der  Gammafunctionen  kann  nach  dem  Theorem  von  Gauss 
noch  durch 

ersetzt  werden^  und  hiemach  hat  man  als  Schlussresultat  folgendes: 

1  1      ...         1 

6,  «,        ...  Zn 


wobei 


r  fi—  1     -  11  — I  g  n— 1 


Der  Fall  n  =  3,  welcher  uns  anf&nglich  beschäftigte,  liefert  demnach 

2« 
3j/3 
wie  bereits  angegeben  worden  ist.* 


*  Diese  Untersuchung  bildet  ein  Supplement  zu  dem  früher  citirten  Auf- 
satze AbeTs.  —  Es  lassen  sich  nach  dem  Vorgänge  AbePs  noch  manche  andere 
interessante  Integralbeziehungen  aufdecken. 

Geht  man  etwa  von  der  Differentialgleichung 
^"9  ,         ds  , 

deren  partikuläre  Integrale  in  der  Form 


86       üeb.  die  Integrat.  linearer,  nicht  homog.  Differentialgleichungen. 


^=^»+4:+^S+' 


n. 

Supplementintegrale  linearer  DifFerentialgleichungen,  deren 

zweiter  Theil  eine  beliebige  Function  ist. 

Eni  er   hat  im  zweiten  Bande  seiner  Integralrechnung   (2.  Abschnitt 
Capitel  ITI — V)  die  Gleichungen 

mittels  Factoren  integrirt.     Wir  wenden  uns  daher  sofort  an  andere  Gruppen 
von  Differentialgleichungen ,  insbesondere  an  diejenigen ,  denen  die  Integrale 
^  ^« 

hu—x^Udu    und  je^^'Vdu 

genügen;  das  ist  aber  die  Differentialgleichung  der  hypergeometrischen  Func- 
tionen, resp.  die  Laplace'sche  Gleichung.  —  Man  darf  wohl  behaupten, 
dass  auf  diese  Gleichungen  die  meisten  der  linearen  Differentialgleichungen, 
welche  bisher  integrirt  wurden,  zurückkommen. 

§8. 

Snpplementintegral  der  Differentialgleiohnng  der  hypergeometrischen 

Functionen  n^'  Ordnnng. 

Die  Gleichung*  lautet 

ifc=0 


•>'wS+5H)-'[C-;.;>j:r-+et;)*!:r'-]Ö=x 

und  hierin  haben  die  Functionen  fp  und  t/;  nachstehende  Bedeutung: 


enthalten  sind,  aus,  wobei  X  und  £  aus  den  Gleichungen 
zu  berechnen  sind,  so  erhält  man  nach  einiger  Beduction 


«1                    «2 

8\               8\          . 

8n 

=  ^. 

1 
«1 

1 

«2 

1 

€i"— i 

e,»-i    . 

«,(«-n  «,(« -1»  . 

..    8,(— U 

..    £,,"-1 

n  n  —  \ 

d  =  n    -i  (2«)~2'  r{l). 
Auch  hier  ist  die  Determinante  der  Integrale  unabhängig  vom  Parameter  x^  aus- 
genommen den  Fall  n  =  2,  in  welchem  neben  d  der  Factor  e— */««!<«'  tritt.    Die 
letzte  Entwickelung  begreift  die  frühere  als  speciellen  Fall  in  sich. 

*  üeber  die  reducirte  Gleichung  vergl.  die  Arbeit  von  L.  Pochhammer, 
„üeber  hypergeometrische  Functionen  höherer  Ordnung**,  im  71.  Bd.  des  Journals 
f.  d.  reine  u.  angew.  Mathematik. 


Von  WoLD.  Hbymann.  87 

9>(a;)  =  (a;  — a,)(a;  — a8)...(ir  — a„)       i 

q>{x)      x  —  a^      x  —  a^  x^Un^ 

um  ein  Supplementintegral  der  vorgelegten  Differentialgleichung  her- 
zuleiten, kann  man  zwei  Wege  einschlagen. 

1.   Man  verhält  sich  anfänglich  so,   als  ob  die  reducirte  Gleichung  zu 
integriren  sei,  und  sucht  der  Gleichung  durch  ein  Integral 

«a 

y=jU(u'-xY-^du 

zu  genügen.     Nach  Einführung  dieses  Ausdruckes  entsteht 

q\Uq,{u){u^xY-''\';:^^qnu^xY'-)^£[Uq>{u)]^ 

wo 

Man  setzt  jetzt 

unter  F(u)  eine  noch   zu   bestimmende   Function  verstanden,    und   wählt, 
wenn  möglich,  die  Grenzen  so,  dass 

hingegen  F  so,  dass 

- q  I {u-x)^-'' F{u)  du  =  X. 

u, 
Weü 

U(p{u)  =  eJ9^"^      jeJvi^*^     F{u)du, 

wobei  unter  Uq  eine  solche  Grenze  zu  verstehen  ist,  f(lr  welche  das  Integral 
verschwindet,  so  lautet  das  gesuchte  Supplementintegral 

y=:.n{u''xY-^%{u)J*&{u).F{u)du^du, 
*t*t  Wo 

vorausgesetzt,   dass   dieses  Integral  für  die  ermittelten  Grenzen  einen  Sinn 
hat.     Hier  dient  zur  Abkürzung 

d (w)  =^=  (w  - a^)-*»  (u - a,)-*» . . .  (w - a„)-*"       i' 


88       Ueb.  die  Integrat.  linearer,  nicht  homog.  Differentialgleichungen. 

2.  Man  setzt  y  in  Form  eines  Doppelintegrals  voraus: 
us  u 


y  =  /  ^8{u)fu{u''xY'^  dt*]  du. 


und  dann  entsteht  durch  eine  analoge  Rechnung  wie  vorhin 

Jetzt  wähle  man  U  so,  dass 

und  Uq  so,  dass 

(?{D'ip(w).(u-aj)*-"U  =  0, 
dann  bleibt  zurück 

Verfügt  man  endlich  über  8{u)  so,  dass 

wo  nun  jP(u),   abgesehen  vom  Vorzeichen,   wieder  genau  die  frühere  Be- 
deutung hat,  so  ergiebt  sich  als  Supplementintegi*al  der  Gleichung  l) 

welches  wegen 

und  unter  Benutzung  der  früher  gebrauchten  Abkürzungen  auch  folgender- 
massen  geschrieben  werden  kann: 

In  beiden  Fällen  1)  und  2)  ist  also,  abgesehen  von  einem  constanten  Fac- 
tor, eine  Function  F{u)  von  der  Beschaffenheit  zu  ermitteln,  dass* 


Jiu-xy-'*  F{u)  du  =  X. 


*  Ueber  diese  Functionalgleiohung  yergl.  Abel,  Crelle's  Journal  Bd.  1. 


Von  WoLD.  Heymann.  S? 


Als  ein  Beispiel  sei  der  Fall 

Mi 


/< 


(u-a;)*-»F(u)dii=r--^ 


angeführt,  welcher  auftritt,  wenn  der  zweite  Theil  der  Differentialgleichung 
eine  gebrochene  Function  ist.  Man  bemerkt  leicht,  dass  man  durch  die 
Annahme 

zum  Ziele  gelangt;  denn  transformirt  man 


«/(w-ap)*-»(w-Ä)eclw 


X 


mittels 

U''h  =  {x  —  h)v,    d.h.  M— Ä=(aj  — Ä)(t?  — 1), 
so  entsteht 


%{x-h)^'"'-^9+^Ji^{v-lY'^dv, 


«1 
und  soll  dasselbe  identisch  sein  mit 

9 


{x-hy 

so  müssen  die  Zahlen  q  und  n  so  gewShlt  werden,  dass 

^  =  n— A  — V— 1,     x  =  ^:/i;*(t;  — l)*'~"cJt;. 

Vi 

Was  die  Wahl  der  Grenzen  anbelangt,  so  hat  man  darauf  zu  achten, 
dass  das  zuletzt  aufgeschriebene  Integral  einen  bestimmten,  von  x  unab- 
hängigen Werth  erlangt  und  dass  für  dieselben  Grenzen  auch  das  Supple- 
mentintegral einen  Sinn  hat. 

Soll  aber  der  Integralausdruck  für  x  von  x  unabhängig  sein,  so  bieten 
sich  für  u ,  bez.  v,  welche  Variabelen  durch 

u—h  =  {x-'h)v 

an  einander  gebunden  waren,  folgende  drei  Werthesysteme  dar: 

iWl  =  Ä,  »1  =  0, 


>)  {x-h<0\ 

\,    wenn    <        ,^  /v>»       ».= 


^'   /!^  =  ^af'    ^«°°    ^-     — ''^^'       t;,  =  -oo; 


3.   1"'  =  *' 


f,  =  0, 


90       üeb.  die  Integrat.  linearer,  nicht  homog.  Differentialgleichungen. 

In  diesen  drei  Fällen  lässt  sich  x  durch  vollständige  Gammafunctionen  aus- 
drücken; man  findet  in  der  entsprechenden  Reihenfolge 

r.f      11  «^  r(v+A-«+l) 


•  =g:  jv^v-V/ 


r(v)r(A-w+i) 
1 


V 


>0,     X-«  +  l>0; 


—  QO  ^00 


oder 


0  0 


-(-^).'^T(vmn-Lv)'  ">«•  «-*-''>o; 


oder 


1  1 

"dt; 
0 

r(i-v)  n— ;i--v>0, 


3.    x  =  ^: /t;*(t;~l)^-"dv  =  ^(-l)^~« /i;«(l— t;)*- 
0 


r(w-A-v)  r(A-«+i)     A-w+1  >o. 

Die  erhaltenen  u- Grenzen  sind  unter  den  aufgestellten  Beschränkungen 
auch  zulässige  Grenzen  fUr  das  Supplementint-egral.  Ist  v  eine  positive  ganze 
Zahl  (Exponent  des  Nenners  von  einem  Partialbruch),  so  ist  die  dritte 
Gruppe  der  Grenzen,  für  welche  1  — v>0,  auszuschlieasen.  Die  durch  die 
Argumente  der  Gammafunctionen  nothwendig  gewordenen  Beschränkungen 
lassen  sich  durch  vielfache  Dififerentiationsprocesse  und  [ntegrationsprocesse 
beseitigen.  Doch  erfordern  diese  Discussionen  zuviel  Baum,  als  dass  sie 
hier  angeführt  werden  könnten. 

§9. 
Supplementintegral  der  Laplace'schen  Oleichimg 

1)  (a„  +  2>na;)3^«>  +  (a,_,  +  6,^ia;)2^--')  +  ...  +  (ai  +  6iaj)y>(ao  +  My  =  ^- 

Zu  dem  Supplementintegral  gelangt  man  wiederum  auf  zweifachem 
Wege. 

1.  Man  führt,  wie  bei  der  Integration  der  reducirten  Gleichung,  das 
Integral 

y=zl  e"*Vdu 
ein,  wodurch  die  Gleichung  1)  in 

je- 17,  7[;+y^.-{l7o  7-^(17,  7)jclt*  =  Z 

übergeht,  und  hierbei  ist  (vergl.  §  5) 


Von  WoLD.  Hbymann.  91 

i^i  =  &/I  w"  +  5«-iw"-"*  +...+  b^u  +  \. 
Nun  setze  man  , 

U,V-^{U,V)  =  F{u), 

unter  F{u)  eine  noch  zu  bestimmende  Function  verstanden,  und  suche  die 
Grenzen  so  auszumitteln ,  dass 

F(u)  hingegen  ist  so  zu  wählen,  dass 

/^ 

le'"'F{u)du  =  X. 
Beachtet  man,  dass  ^ 

wobei  ttfl  ein  solcher  Werth  ist,  für  welchen  das  Integral  verschwindet,  so 
ergiebt  sich  als  Supplementintegral  der  Laplace 'sehen  Gleichung 

142  « 

vorausgesetzt,    dass  die  Grenzen  Uj   und   t^  auch   für  das  letzte   Integral 
zulässig  sind.     Hier  dient,  wie  früher,  zur  Abkürzung 

X(tt)  =  (w  — «i)/*»-^  (u  — of^y«-*  . . .  (w-a„)/*»-S 
0(!«)  =  (w— a^)-/*»    (w  — of,)-"/*>   ...  (u  — a„)~/*». 
Die  Grössen  o,  /3  und  m  sind  durch  die  Identität 

bestimmt.  ^i  ^"""i      **~^  ^"~«» 

2.  Man  kann  y  auch  in  Form  eines  Doppelintegrales 


y=/  [ä(w) /e"*  7clJd[u 


voraussetzen,  und  dann  entsteht  durch  eine  analoge  Rechnung 

fsiu)  [je-  U,  V \l  +fe^-  ji7,  7-  ^  (CT,  7)j  rft*]  di*  =  Z. 

Jetzt  wähle  man  7  so,  dass 

and  Ua  80,  dass 
dann  bleibt  zurück 


92       Ueb.  die  Integrat  linearer,  nicht  homog.  Differentialgleichungen. 

Verfügt  man  endlich  über  8{u)  so,  dass 

wo  nun  F{u)  genau  die  vorige  Bedeutung  hat,  so  ergiebt  sich  als  Supple- 
mentintegral  der  Gleichung  1) 


'=/[^/"^H^- 


welches  wegen  ^^ 

und  unter  Benutzung  der  früher  gebrauchten  Abkürzungen  auch  folgender- 
massen  geschrieben  werden  kann: 

^t  u 

y  =  /  U{u)  J?(i*) /c''(-'+'>  X  (u)  dJi  du. 

Ui  «0 

Die  Wahl  der  Grenzen  Wq,  Mi,  Wg  kann   auf  verschiedene  Weise  erfolgen, 
und  ist  dabei  stets  der  speciell  vorgelegte  Fall  massgebend. 

In  beiden  Fällen  1   und  2  ist  also  eine  Function  F(u)  von  der  Be- 
schaffenheit zu  ermitteln,  dass* 

l^*F{u)du  =  X. 

Man  benutzt  hierbei  vortheilhaft  die  aus  der  Theorie  der  Fourier'schen  In- 
tegrale bekannte  Formel 

+  00», 

JJ^^""'^  ^^  f{v)  du  dv  =  2n  f(x) ,    v^<x<v^. 

—  oot?, 
Behandeln  wir  auch  hier  als  Beispiel  den  Fall 

i=_? 

(x-hy 

Soll 


/ 


9 


e'"F(u)du- 


(0?  — Ar 
sein,  so  findet  sich  leicht,  dass 


*  üeber  diese  Functionalgleichung  siehe  auch:  Oeuvres  compl^tes  de  Niek 
Henrik  Abel,  Tome  second,  XI,  „8ur  les  fonctions  genäratrices  et  leurs  dätermi- 
nanteB*<.  Abel  nennt  X  die  fonction  gefUrtxtriee  von  F,  und  F  die  däirmifMnU 
von  X. 


Von  WoLD.  Heymakn.  93 


denn  das  Integral 

geht  ffSüc 
über  in 


(-IN  /; 


«1 

t«(a;  — Ä)  =  — t? 

und  soll  das  identisch  sein  mit  : — =~r-  i  so  muss 

sein.    Man  ist  offenbar  veranlasst,  die  Grenzen  folgendermassen  zu  wählen: 
«1=0,  ^1  =  0; 

M.  =  +  oo|  (rc-Ä<0( 

> »  wenn   {        ,  ^  a?  '       «^«  =  +  00. 

Nun  hat  man  ^  ^  (_  j j,^ .  ^(^^  ^     ^ ^  q, 

and  man   überzeugt  sich,   dass  die  Werthe  Yon  u^  und  t^  auch  zulässige 
Grenzen  für  das  Supplementintegral  der  Gleichung  1)  sind,  wenn  v>0. 

Ist  V  ausserdem  eine  ganze  Zahl  (Exponent  des  Nenners  eines  Partial- 
brnches),  so  hat  man  .     ^. 

(v-1)! 
Der  Fall  negativer  v  erfordert  eine  umständlichere  Discnssion. 

Anmerkung. 

Wenn  der  zweite  Theil  einer  linearen,   nicht  homogenen  Differential- 
gleichung Z,y<»)  +  Z„.,2^— ')  ^...+X,y  +  X,y  =  X 
in  eine  Summe  von  |ii- Functionen  zerlegt  werden  kann: 

X^f,{x)  +  f,{x)  +  ...  +  U{x), 
80  ist  auch  das  Supplementintegral  additiv  aus  fi-Functionen  zusammengesetzt: 

und  zwar  muss  ik  so  beschaffen  sein,  dass  es,  an  Stelle  von  y  in  die  linke 
Seite  der  Differentialgleichung  eingeführt,   diese  umwandelt  in  fk{x).     Wir 
nennen  kurz  ik  das  zu  fk  gehörige  Supplement  (oder  Ergänzung).  ^ 
Ist  also  z.  B.  X  eine  unecht  gebrochene  Function 

80  zerlege  man  dieselbe  in 


94        üeb.  die  Integrat.  linearer,  nicht  homog.  Differentialgleichungen. 

und  bestimme  das  zu  der  ganzen  Function  gehörige  Supplement,  sowie  auch 
alle  Supplemente,  welche  zu  den  einzelnen  Partialbrüchen  gehören.  Die 
Summe  dieser  Supplemente  ist  dann  das  der  Function  X  entsprechende  Supp- 
lementintegral. 

Mit  Benutzung  früher  gewonnener  Resultate  (§§  1,  5,  8  und  9)  kann 
man  hiernach  das  Supplementintegral  der  Pochhammer  und  L a p  1  a c e 'sehen 
Gleichung  angeben,  wenn  deren  zweite  Theile  gebrochene  Functionen  sind. 


in. 

Supplementintegrale  linearer  simultaner  Differential- 

gleichnngen. 

§10. 
A.  Oleichnngen  mit  oonstanten  Coef&cienten. 

Es  sei  das  Gleichungssystem 

J^  +  «1^1  +  O'iVl  +    •     +  anVn  =  X,, 


^y»    ■  I  •  I  V 


vorgelegt,  die  X  als  ganze  Functionen  vorausgesetzt,  und  von  diesen  Func- 
tionen möge  Z^  den  höchsten  (jii**°)  Grad  besitzen.  Sind  z^,  z^,  ...  e^  die 
Integrale  des  reducirten  Systems,  so  genügt  dem  vollständigen 

wobei  i^^  £^,  ...  ^„  ganze  Functionen  bedeuten,  von  denen  im  Allgemeinen 
jede  bis  zum  ft**°  Grade  aufsteigt.  Denn  führt  man  die  letzten  Ausdrücke 
in  die  Differentialgleichungen  ein,  so  wird  es  erforderlich,  n  ganze  Func- 
tionen vom  fi****  Grade  mit  den  Functionen  X^  bis  Z„  zu  identificiren ,  und 
hierzu  reichen  die  (/n  + 1 )  w  Coefficienten  der  f  im  Allgemeinen  aus.  Die  Be- 
stimmungsgleichungen für  diese  Coefficienten  sind  linear.  —  Es  ist  leicht 
einzusehen ,  dass  das  Verfahren  auch  bei  Gleichungen  höherer  Ordnung  mit 
Constanten  Coefficienten  angewendet  werden  kann. 

B.  Gleichungen  mit  veränderlichen  CoefBcienten. 

Sind  die  Coefficienten  der  vorgelegten  simultanen  Gleichungen,   sowie 
deren  zweite  Theile  ganze  Functionen ,  so  ist  die  Annahme  der  Ergänzungs- 


Von  WoLD.  Heymann.  95 


integrale  in  Form  ganzer  Functionen  immer  angezeigt,  und  sollte  man  auch 
Dicht  im  Stande  sein,  die  Ergftnzungsintegrale  vollständig  anzugeben,  so 
iSsst  sich  doch  auf  diesem  Wege  aus  dem  gegebenen  Gleichungssystem  ein 
anderes  ableiten,  in  welchem  der  Grad  der  rechten  Seiten  herabgedrückt  ist. 
Lineare  simultane  Gleichungen  mit  veränderlichen  Coefficienten  sind  bis 
jetzt  in  so  geringer  Anzahl  int^grirt  worden,  dass  es  schwer  hält,  ein 
passendes  Beispiel  zu  geben.  Ein  Fall,  bei  welchem  die  Integration  be- 
kanntlich vollständig  durchgeführt  werden  kann,  ist  folgender:* 

wobei  die  Functionen  X,  X^,  ...  X»  nur  von  x  abhängen  und  die  ^lineare 
homogene  Ausdrücke  der  abhängigen  Variabelen  sind 
Na  =  Ky^  +  Äj^g  + . .  +  Äny». 
Sind  X|  bis  X„  ganze  Functionen  und  übersteigt  X  den  ersten  Grad  nicht, 
so  sind  sämmüiche  Ergänzungsintegrale  des  Systems  ganze  Functionen. 
Ein  zweites  Beispiel  ist  folgendes: 

Sind  hier  X  und  X'  ganze  Functionen,  so  sind  es  auch  die  beiden  Ergän- 
Kiiiigfsintegiale.    Ist  etwa 

so  lauten  die  Integrale 

wo  y^  und  z^  die  Integrale  des  reducirten  Systems  vorstellen  und  die  Co- 
efficienten  m,  m   etc.  aus  folgenden  Gleichungen  zu  berechnen  sind: 

(25'+  E')p  +  (2D'+  F')i>'=  Ä\ 
(B  +  E)n+{D  +  F)n  +  Ap+  Cp^A^ 

Em+Fm  +  An+Cn^^A^ 
E'm+F'm  +  An  +  CV=  Äq 
Das  Integralsystem  der  reducirten  Gleichungen  konnte,  soviel  ich  weiss, 
bisher  nicht  aufgestellt  werden,  weil  für  die  Differentialgleichung  zwischen 
zwei  Veränderlichen,  welche  auf  verschiedene  Art  aus  obigen  simultanen 
Differentialgleichungen  abgeleitet  werden  kann,  die  Integration  nicht  bekannt 

•  A  Treatise   on  Differential  equations   by  George  Boole,   London  1877, 
Ch.  XIII  Art  10. 


96       üeb.  die  Integrat.  linearer,  nicht  homog.  Differentialgleichungen. 

war.  Ich  will  nun  zeigen,  dass  sich  das  gegebene  System  durch  hyper- 
geometrische Functionen  integriren  lässt. 

.    Löst  man  die  Gleichungen  2)  nach  -^  und   —  auf,  so  folgt 

ax  ax 

(a  +  hx  +  cx*)^  +  {a,  +  b,x)y  +  ia,  +  ß,x)z  +  X,  =  0 

3)  "r 

{a  +  hx  +  cx^)—  +  {a,  +  h^x)y  +  {a,  +  ß^x)z  +  X^  =  0 

und  hierin  sind  X^  und  X^  beliebige  Functionen  von  x,  wenn  wir  von  jetzt 
ab  auch  über  X  und  X'  keine  bestimmten  Voraussetzungen  mehr  machen. 
Um  auf  eine  Gleichung  mit  nur  zwei  Veränderlichen  zu  kommen,  mul- 
tipliciren  wir  die  zweite  Gleichung  mit  einem  unbestimmten  Factor  B  und 
addiren  sie  zur  ersten.     (d'Alembert's  Methode.)     Es  entsteht 

wobei  zur  Abkürzung  .  ,      .       o 

a  +  ox  +  cx^  =  fp, 

geschrieben  wurde.     Setzt  man,  um  y  zu  eliminiren, 
so  geht  die  letzte  Differentialgleichung  über  in 

y  (^  - « ^)  +  (p,  +  »p»)  if-ee)  +  {q, + eq,)g  +  (Z,  +  ex,)  =  0, 

und  dies  kann  zerfällt  werden  in 

a)  <p^  +  (Pi  +  ^p,)t  +  x,+ex,==o 

dS 
b)  9^  +  (l?i  +  »A)e-(5,  +  05,)  =  O' 

Für  die  letzte  Gleichung  suche  man  zwei  partikuläre  Integrale  S^  und  S^ 
auf;  aus  der  vorletzten  Gleichung  findet  man  nach  Substitution  dieser  Func- 
tionen zwei  entsprechende  Werthe  für  t,  von  denen  jeder  eine  willkürliche 
Constante  mit  sich  fahrt.  Die  Integrale  der  simultanen  Gleichungen  sind 
sonach  gegeben  durch 

y  +  SiZ  =  ti  und  y  +  SiZ==t2, 

Die  Gleichung  b)  hat  die  Gestalt 

^a+hx  +  cs^)^  +  (a,  +  h,x)&'  +  \(a,  +  b,x)'(a2  +  ß2x)\e--(a^  +  ß,x)  =  0 

und  lägst  sich  auf  folgende  Weise  integriren.* 


*  Vergl.  meine  Arbeit:  „Ueber  Differentialgleichungen,  welche  durch  hyper- 
geometrische Functionen  integrirt  werden  können",  diese  Zeitschrift  XXIX.  Jahrg. 
3.  Heft 


Von  WoLD.  Heymann.  97 

Man  setze 

V  fr 

wodurch  entsteht 

(a+hx  +  cx')v  +  {a.,  +  h,x){l  +  kvy--\(a^  +  b,x)--{a^  +  ß,x)\{l  +  kv)v 

Bestimmt  man  A  so,  dass  der  Factor  von  xv^  verschwindet,  d.  h.,  dass 

dann  bleibt  eine  Gleichung  zurück ,  welche  Specialfall  der  von  mir  integrir< 
ten  Gleichung* 

c)  {a  +  hx  +  ca^)^^  +  Äa^  +  By^  +  2Cxy+2Dx  +  2Ey  +  F  =  0 
a  X 

ist.     Ich  habe  früher  mehrere  Wege  angegeben ,  wie  diese  Differentialgleich- 
ung in  die  Differentialgleichung  der  hypergeometrischen  Reihe  transformirt 
werden  kann.     Es  sei  hier  ein  sehr  kurzer  angedeutet. 
Ertheilt  man  der  Gleichung  c)  die  Form 

{a+hx  +  ca?)-^  +  y^  +  {a^  +  h^x)y  +  a^+\x  +  CQ(x?=^0 

und  substituirt  /     •  i.     •     ^\     ■   /     i  r   \ 

so  entsteht 

{a  +  hx  +  cx^f{^£  +  z^) 

^(a'\'hx  +  c3?)\{Jb  +  2cx)  +  {a,  +  h,x)  +  2{g  +  hx)\z 

+  [a+l)x  +  cx^)h'\'{g  +  hxy  +  {a,  +  \x)(g'\'hx)  +  aQ  +  \x  +  c^x^=:0. 

Es  lassen  sich  die  Zahlen  g  und  h  so  bestimmen,  dass  die  linke  Seite 
der  Gleichung  den  Factor 

a  +  Z>  ic  +  CÄ^  =  c  (a:  —  Cj)  (ic  —  62) 
aiiäscheiden  lässt.     Die  Bedingungen  hierfür  sind  nämlich 

and  man  findet  aus  diesen  Gleichungen 

wo  ^j  und  J^  bekannte  Grössen  sind.     Schliesslich  hat  man 


a  =  - 

^,^2-^24, 

*=^'- 

-^» 

if 

«l-«2 

«1- 

-h 

und  die 

Differentialgleichung  geht 

für 

dto 

dx 

e 

w 

über  in 

♦  Vergl.  meine  Aufsätze  in  dieser  Zeitschrifb  XXVIl.  Jahrg.  Heft  1  und  6. 

Zeitschrift  f.  Mathematik  u  Fbyiik  XXX,  3.  7 


98       üeb.  die  Integrat.  linearer,  nicht  homog.  Differentialgleichungex.. 

Wegen  der  Ansnahmefölle  und  weiterer  Transformationen  vergl.  a.  a.  0. 


Wenn  nun  auch  das  Integrationsproblem  für  die  simultanen  Gleichungen 
2)  und  3)  als  gelöst  zu  betrachten  ist,  so  iSsst  doch  die  Form  der  Inte- 
grale zu  wünschen  übrig.  Insbesondere  gilt  dies  von  dem  Integral  der 
Gleichung  a),  welches  lautet 

t  =  eJ      9         \const,-j   ~L2-^^eJ     9         dx\^ 

und  in  welches  die  höchst  complicirte  Function  0,  ein  Quotient  aus  hjper- 
geometrischen  Integralen,  eingegangen  ist 

Wir  sehen  uns  daher  veranlasst,  für  die  Integration  einen  directen 
Weg  aufzusuchen.  In  der  That  kann  man  den  Calcul  so  anstellen,  dass 
man  sogleich  zu  einer  linearen  Differentialgleichung  zweiter  Ordnung  mit 
zweitem  Gliede  gelangt;  die  Gleichung  erster  Ordnung  aj  Mit  dann  ganz 
weg.  Ueber  die  Functionen  y ,  i?j ,  Qi  etc.  brauchen  hierbei  keine  speciellen 
Voraussetzungen  gemacht  zu  werden.  Sind  diese  Functionen  so  einfach  wie 
im  vorliegenden  Beispiele,  so  gelangt  man  auf  diesem  Wege  zur  Differen- 
tialgleichung der  hjpergeometrischen  Reihe  —  mit  zweitem  Theile  — ,  und 
dann  tritt  das  Integrationsverfahren  ein,  welches  in  §  8  angedeutet  wurde. 


§11. 

Directe  Integrationsmethode  für  ein  System  von  zwei  simultanen 
linearen  Differentialgleichungen  erster  Ordnung 


4) 


y) 


A.  Die  Coef&eienten  seleii  bellebii^e  Functionen  Ton  x. 

Wir  snbstitaiien 


dfi 
ax 


<pjz+%v  +  t 


und  bestimmen  die  Functionen  tf;^,  tp^  und  ^  so,   dass  die  Gleichungen  a) 
und  ß)  identisch  werden.     Diese  Gleichungen  verwandeln  sich  in 


Von   WOLD.  HEYMAim.  99 

^^      <p^v''+  v\v'+%  +Pi +^1}  1?'+  hn^'i  +Pi  *i + qi%\  V 

ß)       <P^v'+9>\9  +  ^%+Pi  +  qi\n  +  \9>'P\+P2'*i  +  Q^*2\v 
Zur  Identität  gehört 

{Pi  +  Qi)i+X,  =  {p,  +  q,)i+X,  \ 

und  hieraus  ergiebt  sich 

wobei  zur  Abkürzung         .  .    .  ,  ^       ^ 

gesetzt  wurde.  Nach  Einführung  dieser  Werthe  gehen  beide  Gleichungen 
a)  und  ß)  über  in 

S)  fo<p'v'+fiVV+f2V  +  ^^0, 

wo  sich  die  Coefficienten  /o,  /i,  f^  und  X0  von  selbst  ergeben.  Lässt  sich 
diese  Gleichung  vollständig  integriren ,  so  sind  dann  die  Ausdrücke  unter  y) 
das  vollständige  Integralsystem  der  Gleichungen  4). 


B«  Die  CoefAcienten  q>,  p,  q  seien  ganze  Fanetionen« 

Sind  jP|,  ^,,  p^,  q^  und  q)  ganze  Functionen,  so  sind  auch  die  Coeffi- 
cienten /q,  f^  und  f^  der  Gleichung  d)  ganze  Functionen,*  und  dann  lässt 
diese  Gleichung  eine  wesentliche  Beduction  zu.  Man  kann  sie  nämlich  so 
transformiren ,  dass  ihr  homogener  Theil 

den  Factor  <p  ausscheiden  lässt,  mithin  der  Coefficientengrad  der  reducirten 
•  Gleichung  um  den  Grad  von  q)  niedriger  wird. 
Sei  g>  vom  w****  Grade, 

dann  setze  man  ^^ 

l—dx 

unter  G  eine  Function  (w  — 1)*®°  Grades 
verstanden.     Nun  geht  Gleichung  ö)  über  in 

-f- 


«rf. 


und  soll  der  homogene  Theil  durch  (p  theilbar  werden,  so  mass 


•  Man  hat  sich  die  Gleichungen  «)  und  ß)  mit  *•  =  /i  multiplicirt  zu  denken. 

7* 


lOO     Heb.  die  Integrat.  linearer,  nicht  homog.  Differentialgleichangen. 

/oö*+(/;-vro)ö^+/i=o 

sein  fttr  jeden  der  «  Werthe 

x=ssi,    f  =3l,  2,  3,  ...  n. 
Löst  man  die  quadratische  Gleichung  fttr  Q  auf  und  bezeichnet  eine 
der  beiden  Wurzeln  mit  G{x)j   so  hat  man  zur  Bestimmung  der  n  Goeffi- 
cienten  g^  bis  gm-\  ebensoviel  lineare  Gleichungen  der  Form 

9o  +  ^i9i  +  ^i^9%  +  •  •  •  +  U'"'^9n-i  =  ff  («•). 
Nach  dieser  Transformation  vereinfacht  sich  die  letzte  Differentialgleichung  za 

Die  Function  F  ergiebt  sich   durch  die  Division   von   selbst;   sie  ist 
mindestens  vom  (n— -2)****  Grade.* 

C.  Die  Function  9-  redncire  sich  auf  eine  Constante. 

Die  Substitutionscoefficienten 

ä'  q,' 

welche  in  die  Differentialgleichung  d)  eingehen,  erhöhen  diese  bezüglich  de^ 
Grades  der  Coefficienten  hauptsächlich  infolge  Auftretens  der  Grösse 

^' 

Es  verdient  daher  der  Fall  &  =  const,,  in  welchem  diese  Grosse  verschwin- 
det, besondere  Beachtung. 

^  wird  zu  einer  Constanten,  wenn  sich  in 

die  Coefficienten  gleicher  Potenzen  von  x  gegenseitig  aufheben.**   Man  kann 
aber  auch  in  anderer  Weise  die  gewünschte  Constanz  herbeiführen. 
Setzt  man  in  dem  ursprünglichen  Gleichungssystem 

4)  'V' 


*  Ich  habe  diese  Transformation  bereits  bei  anderer  Gelegenheit  mitgetheilt. 
Hier  musste  sie  des  Zusammenhangs  wegen  kurz  wiederholt  werden.  Man  vergl. 
diese  Zeitschrift  XXVII.  Jahrg.  Heft  6.  ^  An  dieser  Stelle  ist  auch  des  Falles 
Erwähnung  gethan,  in  welchem  gewisse  der  Wurzeln  e<  einander  gleich  sind 

**  Der  Fall  ^  =  0  bildet  eine  leicht  zu  erledigende  Ausnahme.  Subtrahirt 
man  n&mlich  dann  Gleichung  ß)  von  a),  so  erhält  man  wegen 

ff!-&  =  -(i?i-jPt) 
eine  Gleichung,  die  folgendermassen  geschrieben  werden  kann: 

und  nun  kann  die  Integpration  in  einfachster  Weise  vollzogen  werden. 


Von  WoLD.  Heymann  101 

fi^i  an  Stelle  von  y,  unter  fi  eine  unbestimmte  Constante  yerstanden,  so 
entsteht  ^ 

Es  stehen  daher  jetzt  an  Stelle  der  Buchstaben 
die  anderen:  >• 

Mithin  ist  für  das  jetzige  System 

und  damit  dies  constant  sei ,  müssen  die  Functionen  p^^  p^,  q^^  und  q^  spe- 

cieller,  nämlich  folgendermassen  beschaffen  sein: 

Pi  =  ai+hip{x)  +  q{x)y    Pi^a^  +  h^pix),  I 

«!  =  «!+  ßiPi^) »  ?2  =  «s  +  ß^Pi^)  +q(^)) 

wo  p  (x)  und  5  (x)  beliebige  Functionen  sind. 

Die  Grösse  fi  muss  sodann  an  die  Bedingung 

geknüpft  werden.  Man  bemerkt,  dass  diese  Gleichung  für  u  genau  dieselbe 
als  diejenige  ist,  welche  wir  früher  für  die  Bestimmung  des  Factors  A 
erhielten.  Es  besteht  thatsächlich  zwischen  diesen  Grössen  der  innigste 
Zusammenhang. 

Die  Constante  ^  hat  nun  den  Werth 

und  weiter  hat  man 

Folglich  lauten  die  Substitutionen  /  unter  Beachtung,  dass  y  =  fiyiy 

und  ri  endlich  ist  das  vollständige  Integral  der  Gleichung 

O  foV^v'+fiVV  +  fiV  +  ^0  =  0, 

in  welcher 

^o'=^t'+il^Pi  +  Qi)t  +  ^i' 
Die  Differentialgleichung  S')  ist  im  Falle  ganzer  Functionen  wieder  zu  trans- 
formiren  durch  /»c 

^  =  «76«/  9 

und  die  Bestimmungsgleichung  für  Q  ist 

ö^'  +  (l>*  +  ^2)e  +  (l>ift-l>«(Zi)=0. 


102     üeb.  die  Integrat.  linearer,  nicht  homog.  Differentialgleichungen. 


D.  Tollstftndigeg  Integral  Ton 

3) 

{a  +  hx  +  c:K?)^  +  {a,  +  h,x)y  +  {a,  +  ß^x)e  +  X,  =  0 

Man  setze  in  der  vorigen  Untersuchung  (C) 

p{x)  =  x,     (;(a?)=0, 
80  dass  man  hat 

JPi  =  »1  +  ^1^1    i>a  =  «2  +  K^, 

3l  =  «1  +  A^»       ^8  =  «2  +  ßi^' 

Hierauf  berechne  man  fi  aus 

und  ^  mittels 

0  =  [«2^**  +  («2-  öl)  ^  -  «il  •  ^• 
Man  wende  sich  nun  an  die  Differentialgleichung 

!h+2cxl 
+  (h+ß2x) 
i^a  +  hx  +  cx^){h,^t^h,)l 
+  l+{a,  +  h,x)   (aa  +  M)(^  +  ^  =  0 
f  ^(a^  +  h^x)   (a^  +  ß^x)^ 
und  transformire  dieselbe  mittels 

BO  dass  entsteht 


(a  +  hx^^c^)w'+{a  +  ßx)w+yw  +  X,--_^^^^^^    =0. 

Die  letzte  Gleichung  integrire  man  in  der  Weise,  als  in  §  8  die  Differen- 
tialgleichung der  hypergeometrischen  Functionen  mit  zweitem  Theile  inte- 
grirt  worden  ist  (ohne  Variation  der  Constanten). 

Das  Integral  des  vorgelegten  Gleichungssystems  wird  vermittelt  durch 

Mit  den  Gleichungen  3)  sind  nun  auch  die  Gleichungen 

{A+B'x)  ll  +  (C'+  D'x)  %+E'y  +  F'z  =  X' 

integrirt.  X  und  X'  können  beliebige  Functionen  sein.  Sind  dieselben 
ganz,  so  ist  es  fOr  die  Einfachheit  der  Bechnung   wesentlich,    die  Erg&n- 


Von  WOLD.  HSYMANM.  103 


zuDgsintegrale,   welche  ganze  Functionen  sind,   zu  bestimmen,   bevor  man 

die  Gleichungen  2)   nach  -~  und  —  auflöst. 
üx         ax 

Diese  AaflOsnng  kommt  nicht  in  Frage,  wenn 

{A  +  Bx)^  +  Ey+Fe  +  X  =  0 

2a)  f 

(C'+  D'x)  ^  +  E'y  +  F'e + X'=  0 
ax 

vorliegt,     um  diese  Gleichungen  auf  dem  vorigen  Wege  zu  integriren ,  mul- 

tiplicire  man  die  erste  mit  C'+D'xy  die  zweite  mit  A-^Bx^  dann  erh&lt 

man  Gleichungen  der  Form 

und  es  ist  speciell 

(p=^(A  +  Bx)(C'+D'x), 
Pi=  E(  C'+  n'x) ,  (Zi  =  F{C+  D'x) , 

p,  =  E'(Ä  +  Bx),  q,  =  F\Ä  +  Bx). 

Da  jetzt 

PiQs  -l>2«i  =  {EF'''E'F)fp, 
^^  wird  die  Gleichung  für  rj  besonders  einfach,  nämlich 

und  die  Reduction  mit  Hilfe  der  Exponentialgrösse  föllt  hier  weg. 
Endlich  sei  noch  erwähnt,  dass  auch  das  System 

^a+hx  +  cx^  +  d(r^)^  +  {a,  +  h,x)y  +  {a,  +  ß,x)z  +  X^^O 
5)  ^/ 

{a  +  bx  +  ca^  +  dar^)£  +  (a^  +  b,x)y  +  {a,  +  ß^x)z  +  X^  =  0 

durch  hypergeometrische  Integrale  befriedigt  werden  kann.    Denn  substituirt 

man  in  die  Gleichungen  5) 

1  +  xw                       du 
x  = )       ax=^ ä^ 


so  entsteht 

-  \au^  +  hu^l  +  xu)  +  cu{l  +  Ku)^  +  d(l  +  %u)^^l^ 
+  \a,u+h,{l  +  >,u)\y+\a,u  +  ß,{l  +  xu)\z+U,       ] 
-\au^+hu\\+Ku)+cu{l+Ku)^  +  d{l  +  KuY\^}Q 

+  \a^u+h,{l  +  Ku)\y+\a^u  +  ß^{l  +  xu)\z+U^      ( 
Wählt  man  statt  x  eine  der  Wurzeln  der  cubischen  Gleichung 

60  verschwindet  in  den  Gleichungen  der  Factor  von  u^,  und  dann  liegt  wieder 
das  früher  betrachtt^te  System  3)  vor. 


104     üeb,  die  Integrat.  linearer,  nicht  homog.  Differentialgleichungen. 


Schlussbemerkung. 

Durch  die  vorigen  Untersuchungen  ist  gezeigt,  dass  sich  die  Sapple- 
mentintegrale  der  linearen  Differentialgleichungen  in  bedeutend  einfEU^faerer 
Weise  aufschreiben  lassen,  als  dies  nach  der  Lagrange 'sehen  Methode  der 
Variation  der  Constanten  zu  erwarten  staod.  —  Da  nun  das  complete  In- 
tegral einer  nicht  reducirten  Differentialgleichung  als  das  Integral  einer 
reducirten  Gleichung  von  höherer  Ordnung  angesehen  werden  kann,  so 
ist  nunmehr  auch  fOr  die  Integration  gewisser  linearer  reducirter  Gleich- 
ungen ein  Vortheil  gewonnen. 

Nehmen  wir  an,  es  sei  vorgelegt 

1)  <Pnix)  y^"^  +  (Pn-\{x)  y— *>  +  ...  +  <Pi(x)  y+  g>Q{x)  y^z, 
und  es  bedeute  e  das  vollständige  Integral  der  Gleichung 

2)  t/;m(a;)iSf<"'>+*».-i(a:)^"-^>  +  ...  +  tf;i(aj);e^'+i;.o(a^)^  =  0. 
Substituiren  wir  den  Ausdruck  für  z  aus  1)  in  2),  so  entsteht 

3)   /im+n)(flj)3^~  +  ">  +  /(m+»-l)(x)y<«  +  »-l)  +  ...+A(^)y  +  /o(^)y  =  0. 

Ist  nun 

y  =  ^iyi  +  «2^2  +  •  •  •  +  «»yn 

das  vollständige  Integral  der  reducirten  Gleichung  1), 

^  =  A  ^1  +  ft^2  +  •  •  •  +  ßmZm 

das  vollständige  Integral  der  Gleichung  2),  und  sind  ^j,  ^,  ...  ^m  die  zu 
5|,  z^,  ...  Zm  gehörigen  Supplemente  der  Gleichung  1),  so  ist,  wie  ohne 
Weiteres  einleuchtet, 

y  =  «1^,  +  «8^«  +  .     .  +  «n^n  +  A  ti  +  ftf2  +  •  •     +  ßmZm 

das  vollständige  Integral  der  Gleichung  3).  Diese  Gleichung  ist  eine  redu- 
cible  und  hat  mit  der  reducirten  Gleichung  1)  n  partikuläre  Integrale 
gemein.*  —  Kennt  man  sonach  die  vollständigen  Integrale  von  1)  und  2), 
so  kann  man  auch  das  Integral  von  3)  angeben.  —  Sollte  3)  einen  zweiten 
Theil  =Z  besitzen,  so  würde  auch  2)  ebendenselben  zweiten  Theil  haben; 
man  hätte  dann  von  2)  ein  Supplementintegral  aufzustellen  und  dieses  bei 
der  Integration  von  1)  zu  berücksichtigen. 

Analoge  Bemerkungen  gelten  ftlr  lineare  simultane  Differentialgleich- 
xmgeu.  Man  kann  auch  hier  die  Integration  gewisser  Differentialgleichungen 
höherer  Ordnung  abhängig  machen  von  nicht  reducirten  Gleichungen 
niederer  Ordnung. 


*  Vergl.  Eönigsberger,  Allgemeine  Untersuchungen  aus  der  Theorie  der 
Differentialgleichungen,  1882,  §  4. 


Von  WoLD.  Hbymann.  105 


Sei  vorgelegt 


und  seien  tj  und  ^  Functionen  von  x,  definirt  durch  die  Gleichungen 

Snbstituirt  man  die  AusdrOcke  für  t;  und  ^  aus  a)  und  b)  in  a)  und  /3), 
so  entsteht 

Ist  nun 

y  =  »1  /i  +  öt2^2>     £f  =  ai^i  +  «2^2 
das  vollständige  Integralsystem  der  reducirten  Gleichungen  a),  b), 

das  vollständige  Integralsystem  der  Gleichungen  a),  ß)^  so  besitzen  die 
nicht  reducirten  Gleichungen  a),  b)  ein  Integralsystem  von  folgender 
Gestalt : 

y  =  «i/i  +  «2/2  +  «iZi  +  «2X2»  0  =  a,F^  +  a^F^  +  «,  d,  +  cr^^g, 
und  dieses  ist  zugleich  das  vollständige  Integralsystem  der  Gleichungen  (A, 
B).  Das  System  (A,  B)  hat  mit  dem  reducirten  System  (a,  b)  ein  Integral- 
syatem  erster  Ordnung  gemein;  es  ist  also  ein  reducibles.  —  Sollten  die 
Gleichungen  A)  und  B)  zweite  Theile  besitzen ,  so  kommen  dieselben  zweiten 
Theile  den  Gleichungen  a)  und  ß)  zu.  Man  hätte  in  diesem  Falle  noch  die 
beiden  Supplementintegrale  der  Gleichungen  a)  und  ß)  zu  bilden  und  diese 
bei  der  Integration  des  Systems  (a,  b)  zu  berücksichtigen.  —  Liegen  Systeme 
mit  beliebig  viel  linearen  Gleichungen  von  beliebig  hoher  Ordnung  vor,  so 
ändert  sich  in  der  Art  und  Weise  der  Schlüsse  nichts  Wesentliches. 


V. 
Zur  Resultantenbildung. 

Von 

Prof.  Dr.  C.  Reüschle 

in  Stuttgart. 


Neben  der  Weiterentwickelung  der  mathematischen  Theorien  steht  als 
Factor  von  kaum  geringerer  Bedeutung  die  Noth wendigkeit,  bereits  be- 
kannte Probleme  in  einfacherer  und  rationellerer  Weise  zu  gestalten,  und 
um  so  wichtiger  wird  das  sein ,  je  fundamentaler  das  betrefifende  Problem  ist. 

Eine  derartige  Aufgabe  ist  die  Aufstellung  der  Simultanitfits- 
bedingung  oder  Bedingung  einer  gemeinschaftlichen  Wurzel 
(Eliminante,  EesuUante)  für  zwei  beliebige  Gleichungen  mit  einer  Veränder- 
lichen. 

Die  E u  1  e r 'sehe *  und  d ie  dialytische  Methode  von  Sylvester*  liefern 
beide  die  Resultante  in  Form  derselben  Determinante ,  die  man  etwa  als 
„RückungsdetermiiKmte"  [^ergl.  Determinante  4)]  bezeichnen  könnte.  Wäh- 
rend aber  die  Herleitung  dieser  Determinante  nach  Euler^s  Methode  ziem- 
lich umständlich  ist,  lässt  die  dialytische  Methode  an  Klarheit  und  Durch- 
sichtigkeit Nichts  zu  wünschen  übrig,  sie  trägt  den  Stempel  absoluter  Ein- 
fachheit. 

Dagegen  ist  es  wiederum  ein  Vorzug  der  Eul  er 'sehen  Methode,  dass 
sie  sich  unmittelbar  darauf  anwenden  lässt,  die  Bedingungen  zweier 
und  mehrerer  gemeinschaftlicher  Wurzeln  beider  Gleichungen 
zu  finden,  welche  Bedingungen  durch. eine  verschwindende  „RiichungS' 
matrix^  sich  ausdrücken  lassen. 

Die  zweite  wichtige  Form  der  Resultante  ist  die  B6zou tische;  um 
diese  für  zwei  gleichgradige  Gleichungen,  z.  B.  für 

^  \IqX^  +  \7?  +  l^x^  -f-  l^x  +  &4  =0, 

zu  erhalten,  multiplicirt  man  der  Reihe  nach** 


*  Vergl.  etwaSalmon,  Introductory  lessons  to  the  modern  higher  Algebra, 
Dublin  1876,  S.  73  und  74. 

**  Vergl.  Salmon,  ibid.  S.  75. 


Zur  Resultantenbildang.     Von  Prof.  Dr.  C.  Beusohle. 


107 


die  erste  Gleichung  mit: 
l.     60» 

3.  1^0^  + h^x  +h^, 

4.  h^ix^  +  h^x^  +  b^x+h^y 


die  zweite  Gleichung  mit: 

1.  tto, 

2.  UqX  +ai, 

3.  a^a^  +  a^x  +  o^, 

4.  aQX^  +  a^x^  +  a^x  +  a^y 


und  snbtrahirt  die  jedesmal  erhaltenen  zwei  Gleichungen ,  wodurch  man  vier 
cabische  Gleichungen  [s.  die  Gleichungen  2)]  erhält,  aus  denen  man  unmit- 
telbar die  Resultante  der  zwei  gegebenen  Gleichungen  1)  in  der  B^zout- 
schen  Form  3)  anschreiben  kann. 

Diese  Herleitung  macht  aber  den  Eindruck  einer  künstlichen ,  man  sieht 
nicht  a  priori  ein,  warum  man  so  verfährt;  der  Methode  fehlt  die  genetische 
Natur.  Es  lassen  sich  aber  durch  eine  leichte  Modification  diese  vier  cubi- 
schen  Gleichungen  [allgemein  für  zwei  Gleichungen  n^®°  Grades  die  n 
Gleichungen  (n— 1)**°  Grades]  in  folgender  einfacher,  rationeller  und  auch 
zugleich  principiell  neuer  Weise  gewinnen. 

Schreibt  man  nämlich  die  Gleichungen  1)  in  den  vier  Formen 

GqO^  +  (fl^i^  +  öj  ic*  +  a^x  +  a^)^  0, 
hoa^  +  {h,afi+  h^a?+  b,x  +  h,)^0; 

(oqX  +ai)x^+{a^a^+  (^x  +  a^)  =  0, 
{ho^  +h,)(r^  +  (fi^s^+  h,x  +  b,)  =  0', 

(aoÄ*  +  a^x  +  a^)ix?  +  {a^x  +  aj  =  0, 
{&oa?«+  b,x  +5,)^  +  (fe8^  +  &4^=0; 

{a^x^  +  a^a^-\-  a^x  +  a^x  +  a^  =0, 
{Jb^^+  b,a?+b^x  +b^)x+b,  =0, 

so  erhält  man  durch  Elimination  des  explidten  y^  aus  1,),  des  es^lidten  x^ 
aus  lg) ,  des  exipliciten  a^  aus  I3)  und  des  explidten  x  aus  I4)  die  vier  cubi- 
schen  Gleichungen 

{aM^+  [K^)  +  («1  ^2)]^'  +  [(«0^)  +  («1  h)l^  +  K  h)  =  0, 
(ao&s)  ^  +  [K  h)  +  («1  h)]  ^'  +  [(«1  ^)  +  («2  ^3)]^  +  («i  ^4)  =  0, 

welche  simultan  sein  müssen,  wenn  die  gegebenen  Gleichungen  1)  simultan 

sind.     Hieraus  ergiebt  sich  sofort  die  Resultante  in  Form  der  B6zout'8chen 

Determinante : 

(ao2>i)  (öo^)  {ooh)  («0^4) 

K^a)  (»0^3)  + («1^2)  (»0^4) +  («1^8)  (»1^4) 
{ooh)  KV  +  K^s)  {(h\)  +  <.^h)  («2^4) 
(«0^)  (»1*4)  (<hh)  («8^4) 

Man  beachte,  dass  im  Vorstehenden  Alles  geschrieben  steht,   was  zur 

vollständigen  genetischen  Entwicklung  der  Resultante  nöthig  ist.     Aus  den 


Ix) 

14) 


2) 


3) 


=  0. 


=  0; 


108  Zur  Eesultantenbildung. 

Gleichungssystemen  1^)  bis  IJ  lassen  sich  die  vier  cubischen  Gleichungen 
unmittelbar  ^mit  dem  Auge  ablesen";  denn  aus  lg)  z.  B.  liefert  die 
Elimination  des  expliciten  a?  zunächst 

\^  +  ^i  ^«^'  +  \^  +  ^4 
es  ist  aber  gar  nicht  nothwendig,  diese  Determinante  anzuschreiben,  da  sie 
unmittelbar  in  den  Gleichungen  l^)  steht  und  nur  mit  dem  Auge  festgehal- 
ten zu  werden  braucht.     Die  Zerlegung  dieser  Determinante  in 

(ao  h^  ^  +  (ao  tg)  ^  +  [a^  h^  x 

lässt  sich  nach  dem  Zerlegungssatz  der  Determinanten  ebenfalls  lediglich  mit 
dem  Auge  vornehmen.  Hat  man  die  Berechnung  der  Eesultante  nach  dieser 
Methode  einmal  vorgenommen,  so  kann  man,  die  Anschreibung  der  Gleich- 
ungen 2)  umgehend,  die  B^zou tische  Determinante  3)  direct  aus  dem 
System  IJ  bis  I4)  ablesen;  ja  es  ist  nicht  einmal  nöthig,  dieses  System 
vollständig  anzuschreiben,  man  braucht  sich  nur  die  Klammem  in  den 
Gleichungen  1)  angebracht  zu  denken,  was  fttr  1,)  und  IJ  gar  keine 
Schwierigkeit  hat,  so  dass  man  allenfalls  nur  die  Systeme  lg)  und  l^)  zn 
schreiben  hätte. 

Die  vorsiehende  Methode  schliesst  sich  auf's  Engste  der  bekannten  ele- 
mentaren Methode*  an,  gemäss  der  man,  um  x  aus  zwei  Gleichungen  n*'" 
Grades  zu  eliminiren,  erst  das  a;"- Glied,  dann  das  Absolutglied  eliminirt, 
wodurch  man  zwei  Gleichungen  (w  — 1)*®°  Grades  erhält,  mit  denen  man  in 
derselben  Weise  verfUhrt  u.  s.  w.  Man  könnte  letztere  Methode  die  Methode 
der  successiven  Elimmation  nennen.  Für  zwei  quadratische  Gleich- 
ungen ist  dieselbe  mit  der  obigen  identisch.  Aber  schon  für  zwei 
cubische,  und  noch  mehr  für  zwei  höhere  Gleichungen  liefert  die  Methode 
der  successiven  Elimination  —  abgesehen  von  der  viel  grösseren  Weitläufig- 
keit der  Rechnung  —  bekanntlich  überschüssige  Factoren,  während  die 
BizouVsche  Methode  und  die  oben  gegebene  Modification  derselben  (Me- 
thode der  Elimination  explicUer  Potenzen)  die  Resultante  frei  von  überschüssi- 
gen Factoren  giebt. 

Um  sodann  die  Resultante  für  zwei  ungleichgradige  Gleichungen 
zu  finden,  combinirt  man  die  Methode  der  Elimination  eoi^licUer  Potenzen 
mit  der  dialytischen  Methode  von  Sylvester,  indem  man  für  zwei  Gleich- 
ungen w*®"  und  «*®°  Grades  (w>w)  die  n  ersten  Reihen  der  Resultante 
nach  der  ersteren  Methode  mit  Berücksichtigung  der  Null  seienden  Ceeffi- 
cienten  anschreibt;  die  {m  —  n)  übrigen  Horizontalreihen  sind  die  nach 
der  dialytischen  Methode  angeschriebenen  Coefficienten  4er  Gleichung  fi**" 
Grades  [vergl.  die  Rückungsdeterminante  4)]. 


*  Vergl.  Salmon,  ibid.  S.  71  und  72. 


Von  Prof.  Dr.  C.  Reubchlb. 


109 


Bei  dieser  Gelegenheit  erwähne  ich  noch ,  dass  ich  in  den  Lehrbttchern|^ 
der  Determinanten  einen  directen  und  einfachen  Nachweis  der  Identität  der 
E^ultante  in  der  B^zont'schen  und  Sylvester 'sehen  Form  vermisse. 
Letztere  lässt  sich  durch  eine  einfache  Umformung  auf  erstcre  zurückfuhren. 
Für  zwei  cnbische  Gleichungen ,  z.  B. 

j   aQiX?  +  aia^+a^x  +  a^  =  0, 

ist  die  Resultante  in   der  Sylvester'schen  Form  (Rückungsdderminanle) : 

An 


-fto 


4) 


»1 

<h 

«» 

i«o 

Ol 

<h 

o» 

«0 

«1 

0» 

Os 

;6i 

h 

\ 

^  h 

ft. 

h 

h 

h 

h 

6, 

h 

(die  leeren  Stellen  sind  mit 
Nullen  auagefnllt  sa  denken); 


addirt  man  die  mit  —  5o  multiplicirte  erste  zu  der  mit  Oq  mnltiplicirten 
vierten  Horizontal  reihe ,  so  reducirt  sich  die  sechsreihige  Determinante  auf 
die  fünfreihige  : 


«0 


»2 


K^)  («o^a)  K^s) 
h  h         h 


"•3 


^0         h       h     h 

addirt  man  in  dieser  Determinante  die  mit  —  a,  multiplicirte  fünfte  zu  der 
mit  &3  multiplicirten  zweiten  Horizontalreihe,  so  erhält  man: 

«0  ^1  ^2  ^3  -*i 

■  K^s)  (»1^)  (^ih) 

\  5,         b^        feg 

addirt  man  endlich  hier  die  mit  —  fe^  multiplicirte  erste  zu  der  mit  üq  mul- 
tiplicirten vierten,  ferner  die  mit  a^  multiplicirte  vierte  und  die  mit  —  fej 
multiplicirte  erste  zur  dritten  Horizontalreihe,  so  erhält  man,  abgesehen 
vom  Vorzeichen,  die  B^zout'sche  Resultante: 

(aofea)  (a^feg)  (a^h) 

(Oofeg)    (aofe8)  +  (öi^)    K^s) 

(aM  KV  K^'s) 

Man   beachte,   dass   diese  Umformung   durch  successive  Reduction  der 
Determinante    auf  eine   Determinante  nächst  niedrigeren   Grades   (zugleich 


*  Eine  von  Brill  herrührende,  in  Dölp's  Lehrbuch  übfer  Determinanten, 
1874,  S.  90  mitgetheilte ,  hierauf  bezügliche  Transformation  ist  kiin»tlich  und 
wesentlich  umständlicher  als  die  hier  gegebene. 


110  Zur  Resultantenbildung.     Von  Prof.  Dr.  C.  Reüschlb. 

ein  ganz  schönes  Beispiel  für  Grademiedrigang  von  Determinanten)  logisch 
geboten  ist,  wie  überhaupt  augeführt  werden  darf,  dass  eine  vollständig 
rationelle  Umformung  einer  Determinante  stets  den  Stempel  der  logischen 
Nothwendigkeit  an  sich  tragen  muss,  was  in  einer  Vorlesung  über  Deter- 
minantentheorie den  Studirenden  nicht  oft  genug  eingeschärft  werden  kann. 
Soll  z.  B.  ein  Buchstabenausdruck  umgeformt  werden,  der  ursprünglich 
nicht  in  Form  einer  Determinante  vorliegt,  sich  aber  leicht  als  solche  dar- 
stellen lässt ,  so  wird  die  Transformation  in  den  meisten  Fällen  natürlicher, 
durchsichtiger  und  logisch  bindender  sich  ergeben ,  wenn  man  dieselbe  an  der 
Determinante,  statt  an  dem  ursprünglichen  Ausdruck  vornimmt. 
Stuttgart,  im  September  1884. 


Kleinere  Mittheilungen. 


IV.  Oeometrisclie  Beweise  des  Satzes  von  der  Minimalablenknng 

im  Prisma. 

(Hierzu  Taf.  IV  Fig.  25  u.  26.) 

Beweis  1. 

Geometrisches.  EsseiJüf  (Fig.  25)  der  Mittelpunkt  eines  Kreises, 
B  ein  Punkt  ausserhalb  desselben;  die  Verbindungslinie  MB  schneide  den 
zwischen  M  und  B  liegenden  Theil  der  Peripherie  in  -4;  E^^  E^E^  seien 
von  A  aus  aufeinander  folgende  Punkte  der  Peripherie  zwischen  den  Be- 
rührungspunkten der  von  5  aus  möglichen  Tangenten ,  und  es  sei  LE^BE 
=^EBE^]  dann  ist  in  den  Dreiecken  ME^B,  MEB,  ME^B  BE^>BE 
>  BE^.  Ist  X  ein  Punkt  der  Verlängerung  von  E2E  über  E  hinaus,  so 
ist  LXEB^EE^B,  mithin,  dBk  E^  auf  der  von  jB  abgewandten  Seite  der 
Geraden  ^Z  liegt,  um  so  mehr  I}E^EB>EE^B^  und  beide  Winkel  sind 
stumpf.  Legt  man  nun  ^EBE^  mit  dem  gleichen  Winkel,  ohne  es  um- 
zuklappen, auf  ^EyBE^  etwa  in  die  Lage  tBz^^  und  zieht  durh  b^  zu 
EE^  die  ParaUele  f^D,  so  ist  E^E>Bz^,  weil  E^EiDs^^EBiB^By 
und2)«j>£f2  9  w^il  LDz^B'^  BB^B  und  beide  stumpf  sind.  Weil  hiernach 
Sehne  E^E>EE^  ist,   so  folgt,   dass  Centriwinkel  E^ME>EME^  ist. 

Physikalisches.  Ist  25  der  brechende  Winkel  eines  Prismas,  e^ 
und  e^  Eintritts-  und  Austrittswinkel,  \  und  \  die  im  Innern  gegen  die 
Ebenenlothe  gebildeten  Winkel  eines  Lichtstrahles,  der  in  der  zur  brechen- 
den Kante  normalen  Ebene  hindurchgeht,  so  ist  &j  +  fej  =  2&,  also  h^  —  h 
^h—h^.  Die  Ablenkung  des  Strahles  ist  a  =  ei  —  6j  +  e^  —  5^ .  h  ist  auch 
der  Winkel,  welchen  der  gleichschenklig  durchfallende  Streihl  im  Innern 
gegen  die  Lothe  bildet. 

Sind  nun  in  der  vorigen  Figur  L  E^BM=  6j ,  EBM=^  h,  E^BM^h^^ 

E^BE^EBE^^h^  —  h^b  —  h^,  und  ist  das  Verhältniss  —=rr  gleich  dem 

Brechungsindex  n  des  Prismas  gewählt,  so  haben  wegen  des  constanten 
SinusverhSltnisses  die  bei  E^EE^  liegenden  Aussen winkel  der  Dreiecke 
ME^B,  MEB,  ME^B  die  Grössen  e^cea,  und  es  ist  Z.  J^Jj  Jf 5  =  Cj  —  fej , 
EMB  =  e--h,  E^MB  =  e^-b^',  LE^ME==  {e^^b^)  —  (e-b),  EME^ 
=  (e  —  5)  —  {e^  —  62).  Demnach  ist  nach  obigem  Satze  {e^  —  tj)  —  (e  —  b) 
>(e  — 5) --(eg— &j)  oder  e,  —  &2  +  ^8~~^2  >  2(c--6),-  d.h.:  die  Ablen- 


112  Kleinere  Mittheilungen. 

kung  jedes   Strahles   ist  grösser  als   die  des  gleichschenklig 
durchfallenden. 

Beweis  2. 

Seien,  wie  oben,  e^,  5^,  ftg,  e^  (Fig.  26)  die  Winkelwerthe  für  einen  be- 
liebig durchfallenden  Strahl,  e,  fe,  6,  c  fttr  den  gleichschenkligen.  Ist  Cj>c, 
so  ist  &i  >  ft,  ^2  <  ^1  ^2  <^  ^»  wegen  des  Sinnsgesetzes  und  wegen  fe^  +  ^g  =  2  6, 
d.  h.:  tritt  ein  Strahl  EBFG  mit  grösserem  Winkel*  ein,  als  der  gleich- 
schenklige ÄBCDy  so  tritt  er  mit  kleinerem  aus.  Nun  kann  aber  ein 
Lichtstrahl  auch  den  umgekehrten  Weg  GFRE  machen,  also  mit  e^  ein- 
und  mit  e^  austreten.  Denke  ich  mir  einen  solchen  Strahl,  Eintrittswinkel 
«2,  Austritts  Winkel  c^,  an  den  Punkt  B  verlegt,  HBJK^  so  hat  dieser 
Strahl  dieselbe  Ablenkung  wie  der  Strahl  EBFG,  da  die  Ablenkung 
a  =  Cj  —  6^  +  ^2  —  &2  =  ^1  +  ^2  ~  2  6  ausser  von  dem  brechenden  Winkel  nur 
von  der  Summe  e^-^-e^  abhängt.  Da  also  auf  beiden  Seiten  des  gleich- 
schenkligen Strahles  die  Ablenkungswerthe  paarweise  gleich  auftreten,  so 
muss  die  Ablenkung  des  gleichschenklig  durchfallenden  Strah- 
les selbst  ein  Maximum  oder  Minimum  sein. 

Eine  Entscheidung  zwischen  den  beiden  Möglichkeiten  liefert  dieser 
Beweis  nicht;  indessen  dürfte  er  bei  seiner  Einfachheit  vielleicht  auch  so 
nicht  ohne  Nutzen  sein,  da  ja  auch  die  praktischen  Benutzungen  des  gleich- 
schenklig durchfallenden  Strahles  meist  eine  solche  Entscheidung  nicht 
erfordern,  sondern  sich  nur  auf  die  nier  bewiesene  Thatsache  des  aus- 
gezeichneten Werthes  stützen. 

Breslau.  Heinrich  Vogt. 

V.  lieber  oollineare  ränmliche  Systeme. 

Verschiedene  Lehrbücher  der  darstellenden  Geometrie  enthalten  den 
Satz :  **  Wenn  von  drei  räumlichen  Systemen  je  zwei  mit  einander  centrisch 
collinear  sind ,  so  liegen  die  drei  CoUineationscentra  in  einer  geraden  Linie. 

Dieser  Satz  bedarf  einer  Ergänzung,  da  die  Lage  der  Systeme  obiger  Eigen- 
schaft eine  viel  speciellere  sein  muss ,  wie  in  Folgendem  gezeigt  werden  soU. 

Des  Weiteren  werden  wir  uns  beschäftigen  mit  der  Herstellung  eines 
Systems,  welches  zu  zwei  beliebigen  anderen  collinearen  Systemen  in  cen- 
trisch collinearer  Lage  ist.  Damit  ist  dann,  mit  Rücksicht  auf  die  Arbeiten 
des  Herrn  Hauck,***    der    geometrische  Beweis   erbracht,    dass    in    zwei 


*  Nach  derselben  Seite  des  Lothes  positiv  gerechnet,  nach  der  andern  negatiV. 
**  Zuerst  wohl  bei  Baltzer,  Elemente  d.  M.  Bd.  II,  5.  Aufl.,  S.  194,  §  13  Anm. 
Der  nicht  richtige  Satz  13,  aus  dem  der  obige  gefolgert  wird,  geht  auf  Magnus, 
Analyt.-geometr.  Aufg.  I,  S.  51  zurück. 

***  „Grundzüge  einer  allgem.  axonom.  Theorie  der  darst.  Persp.",  diese  Ztschr. 
XXI,  S.  402  flgg.,  inabes.  407;  „Ueber  Gleichstimmigkeit  und  Üngleichstimmigkeit 
der  räumüchen  Collineation",  ibid.  Bd.  XXIV  S.  381. 


Kleinere  Mittheilungen.  113 

räumlichen  Systemen  die  entsprechenden  Gebilde  entweder  sämmtlich  gleich- 
stimmig oder  sämmtlich  ungleichstimmig  sind,  mit  anderen  Worten,  dass 
die  Eintheilung  der  räumlichen  Collineationen  in  gleichstimmige  und  un- 
gleichstimmige einen  Sinn  hat.  Schliesslich  geben  wir  ein  einfaches  Krite- 
rium für  die  Gleichstimmigkeit  von  zwei  Systemen ,  welche  durch  fünf  Paare 
entsprechender  Elemente  definirt  sind. 

Drei  räumliche  Systeme  Pj,  Pg,  Pg  mögen  paarweise  in  centrisch  col- 
linearer  Lage  für  die  Collineationsebenen  Z^^,,  Z^,,  Z3,  und  die  Collinea- 
tionscentra  C„,  (7^,  C31  sein,  d.  h.  P^  und  Pg  coUinear  in  Bezug  auf  Z,, 
und  C,2  etc.  Denken  wir  uns  einen  Punkt  A  der  Schnittlinie  von  Z^g  und 
1^3 .  Dann  entspricht  dieser  Punkt  in  P^  und  Pg  sich  selbst,  weil  er  auf 
1^2,  und  in  Pg,  P3  sich  selbst,  weil  er  auf  Zgj  liegt,  d.  h.  er  entspricht 
auch  in  Pj  und  P3  sich  selbst  und  gehört  folglich  auch  Zjg  an.  Daraus 
ergiebt  sich,  dass  die  Collineationsebenen  mindestens  eine  Gerade  g  gemein 
haben  müssen.  Ebenso  findet  man,  dass  eine  beliebige  Ebene  a  des  Bü- 
schels CjgCg3  auch  den  Punkt  C^^  enthält,  also  die  Collineationscentra  auf 
einer  Geraden  g*  liegen. 

Seien  nun  n»^,  nig,  m^  drei  sich  entsprechende  Gerade.  Dann  trifpfc 
jede  von  ihnen  die  beiden  anderen  und  sie  liegen  daher  alle  drei  ent- 
weder in  einer  Ebene  durch  g*  oder  gehen  durch  einen  Punkt  auf  g.  Mit- 
hin lassen  sich  überhaupt  nur  zu  solchen  Geraden  entsprechende  construiren, 
welche  wenigstens  eine  der  beiden,  g  oder  g*^  schneiden.     Folglich: 

Drei  räumliche  Systeme  können  nicht  paarweise  centrisch  collinear  sein 
bei  getrennten  Collineationsebenen  und  getrennten  Collineationscentren. 

Man  erkennt  vielmehr  die  Richtigkeit  des  folgenden 
Satzes:  Sind  drei  räumliche  Systeme  Pj,  Pg,  P3  paarweise  cen- 
trisch collinear,  so  sind  entweder  die  Collineationsebenen  ver- 
einigt und  dann  liegen  die  Centra  auf  einer  Geraden  g*^  oder 
—  die'  Centra  sind  vereinigt  und  dann  gehen  die  Collinea- 
tionsebenen durch  eine  Gerade  g.  In  beiden  Fällen  sind  auch 
die  ümkehrungen  richtig.  Beide  Möglichkeiten  sind  in  der 
speciellsten  Zuordnung  enthalten,  bei  der  Collineationsebene 
und  Collineationscentrum  allen  Systemen  gemeinsam  ist. 

Im  Falle  gemeinsamer  Collineationsebene  schneiden  sich  je  drei  ent- 
sprechende Gerade  in  einem  Punkte  von  Z^gj  und  die  Ebene  von  je  zweien 
enthält  das  zugehörige  Centrum ;  im  andern  Falle  liegen  drei  solche  Gerade 
in  einer  Ebene  des  Bündels  C]g3  und  je  zwei  von  ihnen  schneiden  sich  auf 
der  zugehörigen  Collineationsebene.  Die  Beziehung  ist  eine  in  sich  wider- 
spruchsfreie geworden. 

Durch  Betrachtung  der  Collineationen  in  drei  sich  entsprechenden  ebe- 
nen Systemen  Z, ,  Zg,  Zg   der  vorliegenden  Räume,   deren  Träger  sich  im 

Zeitschrift  f.  Mathematik  u.  Physik  XXX.  2.  B 


114  Kleinere  Mittheilnngen. 

ersten  Falle  in  einer  Geraden  von  Zjjsf  im  letzten  in  einem  Punkte  von  g 
treffen,  ergiebt  sich  noch: 

Wenn  drei  ebene  Systeme  paarweise  centrisch  collinear  sind  und  ihre 
CoUineationsaxen  gemein  haben,  so  liegen  ihre  Collineationscentra  auf  einer 
Geraden  und  umgekehrt  Wenn  drei  ebene  Systeme  paarweise  centrisch 
collinear  sind  und  ihre  Collineationscentra  gemein  haben ,  so  gehen  die  Col- 
lineationsaxen  durch  einen  Punkt.  Allgemeinere  Lagen  giebt  es 
nicht. 

Der  oben  angeführten  speciellsten  Zuordnung  der  Räume  entspricht  hier 
die  Vereinigung  der  Axen  und  Centren,  die  Systeme  sind  Schnitte  eines 
Bündels  mit  drei  Ebenen  eines  Büschels. 

Die  dualen  8&tze  über  Strahlenbündel  sind  minder  wichtig  und  übri- 
gens leicht  auszusprechen. 

Die  abgeleiteten  Sätze  über  räumliche  Systeme  lassen  noch  eine  etwas 
andere,  wenn  man  will,  allgemeinere  Ausdrucksweise  zu. 

Gegeben  seien  Pj  und  Pj,  welche  beide  centrisch  collinear  P3  für  die 
nämliche  Ebene  Z  und  die  Centra  C^^  und  C^^  sind.  Dann  entspricht  sich 
jeder  Punkt  von  Z  selbst  in  allen  drei  Systemen,  insbesondere  im  ersten 
und  zweiten,  d.  h.  auch  diese  sind  centrisch  collinear,  und  man  hat  mit 
Rücksicht  auf  das  Frühere  die  erste  Hälfte  des  folgenden  Doppelsatzes, 
dessen  andere  Hälfte  aus  dem  Dualitätsprincip  folgt: 

Sind  zwei  räumliche  Systeme  centrisch  collinear  einem  dritten  für 
dieselbe  Collineationsebene ,  aber  ver-      dasselbe    Collineationscentrum ,    aber 
schiedene  Collineationscentra,  verschiedene  Collineationsebenen , 

so  sind  sie  paarweise  centrisch  collinear  und 
die  Collineationscentra  liegen  auf  die  Collineationsebenen  schneiden  sich 

in 
einer  Geraden.     Diese  Lagen  sind  die  allgemeinsten. 

Es  seien  jetzt  zwei  Systeme  P,  und  Pg  gegeben ,  welche  centrisch  col- 
linear einem  dritten  P3  sind,  und  zwar  mögen  weder  die  Centra,  noch  die 
Ebenen  der  Collineation  vereinigt  sein.  Dann  sind  die  Räume  unter  sich 
collinear,  aber  Pj  und  Pg  werden  im  Allgemeinen  nicht  in  centrisch  col- 
lineare  Lage  gebracht  werden  können. 

Die  Centra  seien  C^j  und  C^g,  ihre  Verbindungslinie  heisse  ^*,  die 
Ebenen  Z13  und  Z^s,  ihre  Schnittlinie  heisse  g.  Dann  entspricht  jeder 
Pu]^kt  von  g  und  jede  Ebene  von  g*  sich  selbst  in  allen  drei  Systemen. 
Folglich:  Sind  zwei  räumliche  Systeme  centrisch  collinear  einem  dritten,  so 
haben  sie  ein  gerades  Gebilde  und  einen  Ebenenbüschel  entsprechend  ge- 
mein. Wir  beweisen  nun:  Haben  zwei  collineare  räumliche 
Systeme  ein  gerades  Gebilde  entsprechend  gemein,  so  haben 
sie  auch  einen  Ebenenbüschel  entsprechend  gemein.    Man  kann 


Kleinere  Mittheilungen.  115 

anf  Qo'  verschiedene  Weisen  diese  Lage  erzielen  und  es  lässt 
sich  dann  noch  auf  oo^  verschiedene  Arten  ein  System  con- 
struiren,  welches  zu  beiden  centrisch  collinear  ist. 

Folglich  lässt  die  Aufgabe,  zu  zwei  räumlichen  Systemen  ein  drittes 
zu  construiren,  welches  zu  beiden  centrisch  collinear  ist,  oo*  Lösungen  zu  * 

Man  wähle  zum  Beweise  in  den  gegebenen  räumlichen  Systemen  zwe^ 
sich  entsprechende  ebene  Systeme ,  welche  nicht  affin  sind ,  aus  und  bringe 
eines  der  beiden  Paare  ihrer  sich  entsprechenden  congruenten  geraden  Ge- 
bilde zur  Deckung ;  ihr  gemeinschaftlicher  Träger  heisse  g.  Das  ist  auf  oo^ 
verschiedene  Arten  möglich.  Die  beiden  projectivischen  Ebenenbüschel  der 
Axe  g  haben  zwei  Doppelelemente  (reell  oder  imaginär)  und  jedes  derselben 
ist  Träger  von  centrisch  collinearen  ebenen  Systemen,  deren  Collineations- 
axe  natürlich  g  ist.  Die  Verbindungslinie  [der  Collineationscentra  heisse  g*\ 
sie  entspricht  sich  selbst  als  Verbindungslinie  zweier  sich  selbst  entspre- 
chender Punkte.  Aber  auch  jede  Ebene  des  Büschels  ^  entspricht  sich 
selbst ,  da  sie  einen  Punkt  von  g  enthält.  Damit  ist  der  erste  Theil  unseres 
Satzes  bewiesen. 

Die  Elemente:  g*  mit  den  beiden  auf  ihr  liegenden  Doppelpunkten  A{Ä^ 
ym^B^'B^^  und  g  mit  den  durch  sie  (und  A^'A^  bez.  B^'B^  gehenden  Doppel- 
ebenen cc^a^  und  ß^ß2  repräsentiren  vier  Bestimmungsstücke**,  man  muss  also 
noch  ein  Elementenpaar  zur  vollständigen  Bestimmung  geben ,  entweder  zwei 
Punkte  Pj ,  Pg  in  einer  Ebene  von  ^*,  oder  zwei  Ebenen  TTj ,  TTj  durch  einen 
Punkt  von  g.  Wir  nehmen  etwa  das  Erstere  an  und  betrachten  zunächst  die 
Collineation  in  der  sich  selbst  entsprechenden  Ebene  Pj  P^g*.  Von  dieser  kennen 
wir  ausser  P^  und  Pg  die  Doppelelemente  A^'Ä^y  ^1^2  ^^^  ^1^2  auf  ^.  Zur 
Construction  von  Pg  lege  man  durch  S^'S^  zwei  willkürliche  gerade  Gebilde 
u^  und  W2,  Wj  perspectivisch  dem  Büschel  P^,  u^  perspectivisch  P^.  Dann 
ist  auch  Ui  perspectivisch  Uj  ^^  ^^^  Centrum  P3.  Nimmt  man  nun  diesen 
Punkt  als  den  zu  P^  und  Pg  bez.  entsprechenden  in  Pg,  ferner  «,  und  u^ 
bez.  als  CoUineationsaxen  5^3  und  5^3,  so  bestimmen  die  Geraden  PiP^  und 
PjPj  auf  g*  zwei  Punkte  C^^  und  Cjg,  die  gesuchten  Collineationscentra. 
Sofort  hat  man  dann  in  den  Verbindungsebenen  von  g  mit  s^^  und  s^  die 
CoUineationsebenen  Zjg  und  Z^g.  Da  nach  der  Wahl  der  Geraden  5,3  und 
$23  alles  bestimmt  ist,  so  hat  man  oo^  Möglichkeiten. 

Am  einfachsten  wird  die  Construction,  wenn  man,,  was  ersichtlich 
zulässig,  als  CoUineationsebenen  a^a^  und  ßiß^,  als  Centra  A^'A^  und  B^B^ 
wählt. 

Wir  geben  schliesslich  noch  an ,  wie  man  auf  einfache  Weise  erkennen 
kann,  ob  zwei   durch  fünf  Paare   zugeordneter   Elemente   definirte  Räume 


•  Vergl.  Hauck  in  der  zweiten  der  citirten  Arbeiten. 
•*  Vergl.  Reye,  Geometrie  der  Lage,  II.  Tbl.  3.  Aufl.,  S.  127. 

8* 


116  Kleinere  Mittheilungen. 


gleich  •  oder  angleichstimmig  sind ,  und  schicken  hierbei  folgende  Bemerkung 
voraus. 

Zwei  Tetraeder  können,  so  lange  nicht  gesagt  ist,  welche  Strecken  — 
die  endlichen  oder  unendlichen  —  auf  ihren  Seitenkanten  sich  entsprechen 
sollen,  stets  als  gleich-  oder  ungleichstimmig  betrachtet  werden. 

Vier  Punkte  bestimmen  in  diesem  Sinne  acht  Tetraeder,  die  sich  in 
zwei  Gruppen  theilen.  Die  Tetraeder  einer  jeden  Gruppe  sind  unter  sich 
gleichstimmig,  je  zwei  Tetraeder  verschiedener  Gruppen  sind  ungleichstim- 
mig.  Ein  endliches  Teü^aeder  ist  z.  B.  ungleichstimmig  mit  jedem  der  vier 
ErgSnzungstetraeder  mit  endlichem  Dreieck,  oder,  was  dasselbe  ist,  drei 
sich  durch*s  Unendliche  ziehenden  Kanten  einer  und  derselben  Ecke,  — 
hingegen  gleichstimmig  mit  den  drei  übrigen,  bei  denen  zwei  Paare  Gegen- 
seiten von  der  unendlich  fernen  Ebene  getroffen  werden.  Solche  acht  Te 
traeder  enthalten  die  sämmtlichen  Punkte  des  Baumes. 

Sind  nun  die  Bäume  erstens  gegeben  durch  fünf  Paare  entsprechender 
Punkte,  so  nehme  man  beliebige  vier  derselben  und  bilde  in  jedem  Baume 
dasjenige  Tetraeder,  welches  den  fünften  Punkt  enthält.  Diese  müssen  dann 
einander  entsprechen,  da  die  Zuordnung  eine  stetige  ist,  und  die  Gleich- 
oder üngleichstimmigkeit  der  Tetraeder  bildet  daher  das  Kriterium  für  die- 
selbe Eigenschaft  der  Bäume. 

Sind  zweitens  fünf  Ebenenpaare  gegeben ,  so  nehme  man  beliebige  vier 
derselben  und  bilde  in  jedem  Baume  dasjenige  Tetraeder,  dessen  Eanten- 
strecken  die  fünfte  Ebene  nicht  schneiden.  Dann  hat  man  ebenfalls  ent- 
sprechefnde  Tetraeder  und  dasselbe  Kriterium  wie  vorhin. 

Für  die  Anschauung  ist  es  nun  keineswegs  gleichgiltig,  ob  man  es  mit 
endlichen  Gebilden  oder  solchen  zu  thun  hat,  deren  Theile  im  Unendlichen 
zusammenhängen,  und  daher  mag  die  Bemerkung  von  Nutzen  sein,  dass 
bei  Berücksichtigung  des  oben  über  den  Sinn  von  Tetraedern  Gesagten  die 
Betrachtung  endlicher  Tetraeder  ausreicht ,  so  lange  nicht  einige  der  gegebe- 
nen Elemente  selbst  im  Unendlichen  liegen,  welche.  Annahme  übrigens 
durchaus  keine  Schwierigkeiten  bietet. 

Hannover,  den  I.September  1884.  Prof.  Dr.  C.  Bodbnberg. 


VL  Weitere  Bemerkungen  über  den  Zusammenhang  einer  Steiner'sohen 
Aufgabe  mit  der  Hexaederconfiguration. 

In  einer  Note  im  5.  Hefte  des  XXIX.  Jahrganges  dieser  Zeitschrift 
habe  ich  gezeigt,  dass  die  acht  Kreise,  welche  vier  gegebene  Kreise  unter 
einerlei  Winkel  schneiden,  in  Verbindung  mit  den  vier  Weisen,  welche  je 
drei  der  gegebenen  orthogonal  schneiden,  als  Elemente  des  ebenen  Kreis- 
systems betrachtet,   die  bekannte  Hexaederconfiguration   (12^,  I63)  bilden. 


Kleinere  Mittheilungen.  117 

Eine  Bemerkung  des  Herrn  Mehmke  in  dessen  Inauguraldissertation: 
Anwendung  der  Grassmann'schen  Ausdehnungslehre  auf  die  Geometrie  der 
Kreise  in  der  Ebene,  veranlasst  mich,  noch  einmal  auf  den  erwfihnten  Gegen- 
stand zurückzukommen.     Herr  Mehmke  sagt  auf  S.  47: 

„Wenn  man  auf  die  Fl£Lche  F  als  „absolute  Fläche^  oder  Fundamen- 
talflSche  eine  projectivische  Maassbestimmung  gründet ,  so  wird  bis  auf  eine 
Constante  die  Entfernung  zweier  Punkte  im  Baume  gleich  dem  Bogen  des 
Winkels,  welchen  die  jenen  Punkten  zugeordneten  Kreise  in  der  Ebene  ein- 
schliessen." 

Versteht  man  unter  F  die  Abbildungskugel,  welche  die  eindeutige  Be- 
ziehung zwischen  den  Kreisen  einer  Ebene  und  den  Punkten  des  Baumes 
vermittelt,*  so  gewinnt  nun  im  Lichte  projectivischer  Maassbestimmung  die 
Geometrie  der  Kreise  in  der  Ebene  nicht  wenig  an  Durchsichtigkeit.  Indem 
wir  besonders  ein  Corollar  des  oben  citirten  Satzes  betonen :  Allen  Punkte- 
paaren im  Baume,  welche  „gleiche^**  Strecken  begrenzen,  entsprechen  im 
Kreissystem  Kreispaare,  welche  sich  unter  gleichen  Winkeln  schneiden  — 
erkennen  wir  die  Stein  er 'sehe  Aufgabe:  diejenigen  Kreise  zu  finden,  welche 
vier  gegebene  Kreise  unter  einerlei  Winkel  treffen,  als  im  Wesentlichen 
identisch  mit  der  andern:  die  ;, Mittelpunkte^  derjenigen  „Kugeln^  zu  finden» 
welche  durch  vier  nicht  in  einer  Ebene  liegende  Punkte  hindurchgehen. 
Zahl  und  Gruppirung  der  Lösungen  der  Stein  er 'sehen  Aufgabe  sind  das 
unmittelbare  Bild  der  Zahl  und  Gruppirung  jener  „Kugeln''  und  ihrer 
„Mittelpunkte^  im  Baume. 

Bevor  wir  zur  Construction  der  letzteren  schreiten,  wollen  wir  etwas 
n&her  auf  die  oben  behauptete  Correspondenz  zwischen  Winkelgleichheit  und 
Strecken -„gleichheit''  eingehen. 

Auf  eine  Fläche  F  zweiten  Grades  eine  projectivische  Maassbestimmung 
gründen***,  heisst: 

1.  die  durch  zwei  Punktepaare  X  und  F,  X'  und  Y'  —  deren  Ver- 
bindungslinien F  bezw.  in  Z  und  T,  Z'  und  T'  treffen  —  begrenz- 
ten Strecken  „gleich^  nennen,  sobald 

(xrzT)A(z'rz'r) 

ist; 

2.  die  von  zwei  Strahlenpaaren  x  und  y,  z  und  y  —  aus  deren 
Ebenen  an  F  bezw.  die  Tangentenpaare  z  und  ty  z  und  t'  gelegt 
werden  können  —  eingeschlossenen  Winkel ;, gleich^  nennen,  sobald 

{xyzt)  X  (xyzt'). 

^  Thomae,  Das  ebene  Kreissystem  und  seine  Abbildung  auf  den  Baum. 
Diese  Zeitschrifk  XXIX.  Jahrg.  5.  Heft,  XV. 

**  Alle  Bezeichnungen  für  Maassbegriffe  in  übertragenem  Sinne  mögen  ferner- 
hin durch  Anführungsstriche  gekennzeichnet  werden. 

***  Klein,  lieber  die  sogenannte  Nicht- Euklidische  Geometrie.  Math.  An- 
nalen,  Bd.  IV  S  673. 


118  Kleinere  Mittheil  uugen. 

Setzt  man  nun  fest,  dass  der  von  zwei  Ebenen  ^,  9?  eingeschlossene 
Flächenwinkel  durch  den  Linienwinkel  gemessen  wird,  welcher  entsteht, 
wenn  man  durch  die  Polare  der  Schnittlinie  |i?  in  Bezug  auf  F  eine  be- 
liebige Ebene  legt,  so  folgt,  dass  die  von  zwei  Ebenenpaaren  $  und  f^,  §' 
und  ff  —  aus  deren  Schnittlinien  an  F  bezw.  die  Tangentialebenenpaare  J 
und  T,  j^  und  /gelegt  werden  können  —  gebildeten  Flächen  winkel  „gleich** 
zu  nennen  sind,  sobald 

ist. 

Nach  Massgabe  dieser  Begriffsbestimmung  kann  man,  unter  Verwen- 
dung solcher  Bezeichnungen,  welche  in  der  Euklidischen  Geometrie  Maass- 
verhältnissen  zukommen ,  jede  Fläche  zweiten  Grades ,  welche  F  längs  eines 
Kegelschnittes  berührt,  eine  „Kugel"  und  den  Pol  der  den  Berührungs- 
kegelschnitt enthaltenden  Ebene  ihren  „Mittelpunkt"  nennen. 

Es  mögen  nun  S,  1?,  J.  r;  ^',  t?',  S',  r  bezw.  die  Polarebenen  der 
Punkte  X,  T,  Z,  T;  X',  Y\  Z\  T\  und  ihre  Schnittcurven  mit  F  bezw. 
AT^,  Kij,  üTf,  j&V;  ^5*»  ^1?'?  ^V»  ^t'  sein;  ferner  mag  je  eine  aus  den  Ge- 
raden XT  und  X'Y'  an  F  gelegte  Tangentialebene  das  entsprechende 
Polarebenenquadrupel  in  dem  Tangentenquadrupel  ^^,  ^,7,  ti;,  U  resp.  t^y  ty{y 
t^',  tt'  treffen.     Unter  solchen  Voraussetzungen  hat  man 

(xrzT)Ä (iijix) Ä (t^t^kt,)  und  (x'r z'T')  a  (S'i?'£V)  a  a^wk-wy 

Wenn  nun  {XYZT)  Ä  (XT'Z'T')  ist,  d.  h.  wenn  die  beiden  Strecken 
Xr  und  XT'  „gleich"  sind,  so  folgt  {ktr^kU)'J\{t^ttft^t^')^  d.  h.:  die 
Winkel  if^t^  und  {t^tt^')  oder,  was  dasselbe  ist,  die  Winkel,  unter  denen 
sich  K^  und  Ar,^,  K^  und  K^f  schneiden,  sind  ^ gleich".. 

Ist  jetzt  F  eine  Kugel,  so  werden  für  je  zwei  Tangentialebenen  die 
Tangenten  ^f,  tt  resp.  f^,  U  durch  die  vom  Berührungspunkte  nach  den 
imaginären  Kreispunkten  laufenden  Strahlen  gebildet,  mithin  die  Winkel, 
unter  denen  sich  K^  und  K^^  K^  und  K^-  schneiden,  auch  im  gewöhnlichen 
Sinne  gleich,  folglich  auch  die  Schnittwinkel  ihrer  stereographischen  Pro- 
jectionen  wegen  der  Conformität  der  Abbildung.  Hierdurch  ist  die  unum- 
schränkte Möglichkeit  erwiesen,  gleiche  Schnittwinkel  in  der  Kreisebene 
durch  „gleiche"  Strecken  im  Räume  zu  ersetzen. 

Nun  liegt  es  uns  ob,  durch  vier  willkürlich  gegebene,  nicht  in  einer 
Ebene  liegende  Punkte  1,  2,  3,  4  bei  projectivischer  Maassbestimmung 
„Kugeln"  zu  legen  und  ihre  „Mittelpunkte"  zu  finden.  Das  will  aber  nichts 
Anderes  heissen,  als:  durch  1,  2,  3,  4  Flächen  zweiten  Grades  legen, 
welche  JF,  die  Fundamentalfläche  der  Maassbestimmung,  längs  Kegelschnitten 
berühren. 

Wir  wollen  unter  ik  die  Combinationen  12,  13,  14,  23,  24,  34 
verstehen;  die  Verbindungslinie  iTc  möge  F  in  den  beiden  Punkten  An  und 
Äik  treffen,  und  die  beiden  Punkte  auf  ih^  welche  sowohl  i  und  Ä;,  als 
auch  Aik  und  A'ik  harmonisch  trennen,  mögen  Bik  und  Sfik  heissen.  Greifen 


Kleinere  Mittbeilungen.  119 


wir   dann    drei  durch  einen   Punkt  gehende  Verbindungslinien  ik  heraus, 
z.B.  12,  13,  14,  60  schneiden  die  acht  Ebenen 

^1%  ^13  -^141  -^12  ^13  -^14» 

-^18  ^13  -^14 1  ^12  -^13  -^14» 

■^12^13^14»  -^12  ^13-^14» 

-^12  -^18  -^14 »  ^12  -^13  ^14  » 

und  nur  diese  acht,  die  Fläche  F  in  den  Berührungskegelschnitten  der  ge- 
suchten Flächen  zweiten  Grades  oder  „Kugeln",  und  ihre  Pole  in  Bezug  auf 
F  sind  die  gesuchten  ;, Mittelpunkte".  Die  Richtigkeit  dieser  Construction 
leuchtet  sofort  ein,  wenn  man  sich  folgenden  Satz  vergegenwärtigt:  Be- 
rühren sich  zwei  Flächen  zweiten  Grades  F  und  JPj  längs  eines  Kegel- 
schnittes, der  in  der  Ebene  t  gelegen  ist,  und  trifft  eine  gerade  Linie  die 
Fläche  J\  in  den  beiden  Punkten  i  und  k,  die  Fläche  F  in  Aik  und  Äit^ 
die  Ebene  e  endlich  in  Bik,  so  trennen  Bik  und  B'ik  die  Punkte  Aik  und 
Ä'ik  harmonisch,  sobald  B'ik  so  construirt  ist,  dass  er  nebst  Bik  die  Punkte 
i  und  k  harmonisch  trennt.  Zugleich  lehrt  uns  diese  Construction,  dass 
die  oben  aufgezählten  acht  Ebenen,  in  Verbindung  mit  den  vier  Flächen 
des  Tetraeders  1234,  eine  Configuration  (12^,  I63)  bilden*;  und  ist  F  die 
Kugel,  welche  die  Abbildung  des  Punktraumes  auf  die  Kreisebene  vermit- 
telt, so  ist  wieder  der  Beweis  geliefert,  dass  die  Lösungen  der  S  t  einer - 
sehen  Aufgabe  eine  Kreisconfiguration  (12^,  IGg)  bilden.  (VergL  des  Verf. 
Note,  XIX  im  5.  Hefte  des  XXIX.  Jahrgangs  dieser  Zeitschrift.) 

Jena,  den  30.  December  1884.  Dr.  Carl  Hossfeld. 


Vn.   Zur  Bestimmung  der  Intensität  des  Erdmagnetismus. 

Im  XXV.  Jahrgange  dieser  Zeitschrift  S.  271—279  behandelt  Herr 
Pfannstiel  die  von  Poisson  vorgeschlagene  Methode  für  Bestimmung  der 
Intensität  des  Erdmagnetismus ,  bei  welcher  im  Gegensatz  zur  Gauss 'sehen 
keine  Ablenkungs-  sondern  Schwingungsbeobachtungen  zu  machen  sind,  und 
gebt  dabei  sogar  so  weit,  auch  den  Torsionscoefficienten  durch  Schwing- 
ungen zu  bestimmen,  wodurch  er  allerdings  genöthigt  ist,  drei  Magnete  zu 
verwenden,  während  Gauss  und  Poisson  deren  nur  zwei  bedürfen.  Ich 
habe  früher  einmal,  veranlasst  durch  Herrn  Geh.  Bath  Hankel  in  Leipzig, 
die  beiden  Methoden  theoretisch  miteinander  verglichen ;  Beobachtungen  habe 
ich  nicht  gemacht.  Nachdem  nun  Herr  Pfannstiel  nach  der  Schwing- 
ungsmethode Beobachtungen  angestellt  hat,  welche  gute  Resultate  ergaben, 
habe  ich  meine  Arbeit  nochmals  vorgenommen.  Man  kann  nämlich  gegen 
die  Anwendung  der  Schwingungen  ein  Bedenken  haben.     Der  die  Schwing- 

*  Keye,  Die  Hexaeder-  und  die  Octaederconfigurationen  (12«,  I69).  Acta 
mathematica,  Bd.  I  S.  97. 


120  Kleinere  Mittheilungen. 

nngen  beeinflussende  Magnetstab  liegt  stets  so,  dass  sich  seine  magnetische 
Axe  im  magnetischen  Meridian  befindet;  der  Nordpol  ist  theils  nach  Norden, 
theils  nach  Süden  gerichtet.  In  diesen  Lagen  wird  der  Magnetismus  des 
Stabes  durch  die  inducirende  Wirkung  des  Erdmagnetismus  und  des  zweiten 
Magnets  nicht  zu  vemachlftssigende  Aenderungen  erfahren,  und  es  fragt  sich, 
ob  dieser  Umstand  auf  die  Resultate  von  merklichem  Einfluss  ist. 

Man  kann  nun  nachweisen  —  und  dies  ist  der  Zweck  des  Folgenden  — . 
dass  dieses  Bedenken  der  Anwendung  der  Schwingungsmethode  nicht  ent- 
gegensteht, dass  vielmehr  der  durch  Induction  entstehende  Fehler  weniger 
in  Betracht  kommt,  als  bei  der  Gauss 'sehen  Methode,  bei  welcher  man 
einen  solchen  Fehler  nicht  vermuthen  sollte,  weil  der  ablenkende  Magnet- 
stab senkrecht  zum  magnetischen  Meridian  liegt.  Diesen  Fehler  in  den 
Ablenkungsbeobachtungen  sucht  man  nach  W.  Weber  durch  Bestimmung 
des  Inductionscoefficieuten  zu  beseitigen;  es  wird  sich  zeigen,  dass  bei  der 
Methode  der  Schwingungen  das  Resultat  einer  solchen  Correctur  nicht  bedarf. 

Lftsst  man  einen  Magnetstab  (J),  für  welchen  man  das  Trilgheits- 
moment  und  den  Torsionscoefficienten  des  Aufhängefadens  bestimmt  hat, 
unter  Einwirkung  des  Erdmagnetismus  schwingen,  so  findet  man  aus  der 
Schwingungsdauer  das  Product  itf  T,  worin  M  das  magnetische  Hauptmoment 
des  Stabes  und  T  die  horizontale  Componente  der  Intensität  des  Erdmagne- 
tismus bedeutet.  Dabei  sei  vorausgesetzt,  der  Torsionscoefficient  werde  in 
der  gewöhnlichen  Weise  durch  Ablenkungen  bestimmt ,  so  dass  zwei  Magnete 
ausreichen  werden. 

Während  nun  Gauss  durch  den  Magnet^ J  einen  zweiten  {II)  ablen- 
ken lässt,  versetzt  Poisson  letzteren  in  Schwingungen  und  benutzt  die  aus 
dem  Einflüsse  des  Erdmagnetismus  und  des  ersten  Stabes  resultirende 
Schwingungsdauer,  um  zur  Kenntniss  des  Quotienten  üfiT  zu  gelangen. 

Ist  m  das  magnetische  Moment  des  Stabes  72,  !  sein  Trägheitsmoment, 
d  der  Torsionscoefficient  des  Auf  hängefadens  und  t  die  auf  unendlich  kleine 
Ausschläge  reducirte  Schwingungsdauer,  so  gilt,  falls  der  Stab  lediglich 
unter  Einwirkung  des  Erdmagnetismus  schwingt,  die  Pendelgleichung 

i)  «r+^=^'. 

Wir  lassen  jetzt  ausser  den  schon  vorhandenen  Kräften  den  Magnetstab 
I  die  Nadel  beeinflussen.  Die  Verbindungslinie  der  Mittelpunkte  der  beiden 
Magnete  habe  die  Länge  R  und  bilde  mit  dem  magnetischen  Meridian, 
welcher  durch  die  Mitte  von  JJgeht,  den  Winkel  t^.  Die  magnetische  Axe 
des  Stabes  I  sei  um  den  Winkel  ?7,  die  von  II  um  u  aus  dem  magne- 
tischen Meridian  herausgedreht.  Alle  Winkel  sollen  vom  nördlichen  Theile 
des  Meridians  nach  Osten  gerechnet  werden. 

Das  von  dem  festen  Magneten  auf  den  schwingenden  ausgeübte  Dreh- 
ungsmoment, welches  den  Winkel  u  zu  verkleinern  strebt,  berechnet  Gauss 
in  der  Abhandlung  ^jlntensitas  vis  magneticae  etc.*';  es  ist 


Kleinere  Mittbeiluugeu.  121 

Die  Angabe  des  Werthes  der  Coefticienten  S^,  S^,  ...  mag  hier  unterblei- 
ben. Bei  vollkommen  symmetrischer  Beschaffenheit  der  Magnet43  verschwin- 
den iS[|,  Äß,  ...  Vermehrt  man  t^  um  180^,  so  bleiben  S^^  S^^  ...  un- 
geändert,  S4,  Äg,  ...  aber  wechseln  das  Vorzeichen.  Da  man  jR  sehr  gross 
gegen  die  Dimensionen  der  Magnete  wählt,  so  braucht  man  die  Glieder? 
welche  durch  höhere  Potenzen  als  R^  dividirt  sind,  nicht  zu  beachten. 

Um  die  Pendelgleichung  verwenden  zu  können,  muss  das  Drehungs- 
moment proportional  »inu  sein.  Dies  ist  bei  dem  ersten  Gliede  Äji?"*  nur 
der  Fall,  wenn  ip  =  0,  90^  180^  oder  270«  und  ü=  0  oder  180».  Während 
sich  also  bei  Gauss  der  Magnet  I  immer  senkrecht  zum  Meridian  befindet, 
muss  er  hier  parallel  dazu  liegen.  Eine  genauere  Untersuchung  zeigt,  dass 
erstens  auch  S^  und  S^  für  die  angegebenen  Lagen  nahezu  proportional  sinu 
sind  und  dass  zweitens  kleine  mit  cosu  proportionale  Glieder  die  Schwing- 
ungsdauer  von  II  nicht  verändern.     Wir  setzen  daher 


3)  5=s.«n«=(|+|,+j)«- 


stnu. 

Das  Moment  s  ist  zu  den  übrigen  auf  den  Magnet  77  einwirkenden  Kräften 
—  Erdmagnetismus  und  Torsion  —  zu  addiren,  so  dass  die  Gleichung  ent- 
steht j 
4)                                       fnT+x'^  +  s^'^^ 

wenn  x  die  entsprechende  Schwingungsdauer  bedeutet.    Aus  den  Gleichungen 
1)  und  4)  folgt  durch  Elimination  von  f 


— K'^if.)(^0- 


Da  die  Wirkung  am  grössten  ist,  wenn  der  feste  Magnet  nördlich  oder 
südlich  vom  schwingenden  liegt  (d.  h  wenn  i/;  =  0  oder  180®  ist),  so  wer- 
den nur  diese  Lagen  bei  Versuchen  und  also  auch  im  folgenden  zu  berück- 
sichtigen sein.  Der  Coefficient  53,  dessen  Bedeutung  aus  Gleichung  3)  er- 
sichtlich ist,  hat  für  diese  Fälle  die  Grösse  +2 Mm  und  es  entstehen  daher 
folgende  Gleichungen  6): 


ip» 


l+*=»K'+i^)(^.-0' 


«,♦  =  ,80.   ^=0,        ^?|=_|+|_„4+-±)(^-,), 

«,,  =  ,80.   r=,80.,  -?f!_i  +  i  =  „r(,H-^)(^.-,). 

Addiren  wir  die  erste  und  dritte  Gleichung,  ziehen  die  Summe  der  zweiten 
und  vierten  davon  ab,  dividiren  durch  4  und  setzen 


122  Kleinere  Mittbcilungen. 


SO  erhalten  wir 

Wiederholen  wir  die  Versuche  bei  einer  Entfernung  P  statt  JB  und 
bezeichnen  den  dem  Z>  entsprechenden  Ausdruck  mit  A,  so  wird 

Durch  Elimination  des  zweiten  Gliedes  aus  8)  und  9)  erhält  man 

10)  ^^d+A^fi.^^-^P'. 

^^  T      V^mTJ^      2(2P-P«) 

Mittels  dieser  Formel  kann  man  das  gewünschte  M:T  berechnen. 

Es  ist  nun  die  anfangs  aufgeworfene  Frage  zu  erörtern,  ob  nicht  die 
P  0  i  s  s  0  n  'sehe  Methode  zu  verwerfen  ist ,  weil  bei  ihr  ein  Magnet  verschie- 
dene Lagen  einnehmen  muss,  in  denen  er  verschiedenen  die  Stärke  seines 
Magnetismus  beeinflussenden  Kräften  ausgesetzt  ist.  Wenn  zwei  Magnete 
sich  in  derselben  Geraden  befinden,  so  wird  ihr  Magnetismus  durch  die 
gegenseitige  Einwirkung  geändert;  so  gross  wird  auch  im  bestgehärteten 
Stahl  die  Koercitivkraft  nicht  sein,  dass  dies  ganz  verhindert  würde.  Der 
Magnetismus  wird  vergrössert ,  wenn  ungleichnamige  Pole  einander  zugekehrt 
sind,  er  wird  vermindert  im  entgegengesetzten  Falle;  gar  keine  Aenderung 
erleidet  er,  wenn  die  Axe  des  einen  Magneten  senkrecht  gegen  die  des 
andern  liegt,  wenigstens  brauchen  wir  die  Aenderung  in  diesem  Falle  nicht 
zu  berücksichtigen.  Das  Gesagte  hat  natürlich  seine  volle  Giltigkeit,  wenn 
ein  Magnet  durch  die  Erde  vertreten  ist.  Ueberlegen  wir  uns,  welchen 
Einfluss  diese  That«achen  auf  die  Bestimmung  der  Intensität  des  Erdmagne- 
tismus haben. 

Die  Methode  von  Gauss  sowohl,  wie  die  von  Poisson  beginnt  damit 
dass  ein  Magnet  unter  dem  Einflüsse  des  Erdmagnetismus  schwingt,  wobei 
er  immer  nur  einen  kleinen  Winkel  mit  dem  magnetischen  Meridian  bildet. 
Er  besitzt  daher  nicht  nur  das  Moment  M,  das  er  haben  würde,  wenn  er 
senkrecht  zum  Meridian  läge,  sondern  der  Erdmagnetismus  vermehrt  dieses 
Moment  um  eine  gewisse  Grösse  M,  so  dass  wir  schliesslich  nicht  MT, 
sondern  {M+tA)T  erhalten.  Gauss  bringt  nun  diesen  Magnetstab  in  ver- 
schiedene Lagen ,  aber  so ,  dass  er  immer  senkrecht  zum  magnetischen  Me- 
ridian gerichtet  ist,  und  lenkt  damit  eine  zweite  Nadel  ab,  auf  deren 
Moment  es  nicht  ankommt.  Das  Moment  der  ersten  Nadel  ist  jetzt  M  und 
das  Resultat  M:  T,  Durch  Division  in  den  früher  erhaltenen  Werth  be- 
kommt man  daher  nicht  das  gewünschte  T^,  sondern  T*(l  +  — )  und  findet 
den  Erdmagnetismus  etwas  zu  gross.* 


*  S.  KohlrauBch,  Leitfaden  der  praktischen  Physik,  5.  Aufl.,  S.  188. 


Kleinere  Mittheilungen.  123 


Bei  Poisson  befinden  sich  beide  Magnete  stets  wenigstens  nahezu  im 
magnetischen  Meridian.  Wir  wollen  uns  wiederum  auf  die  bei  praktischen 
Versuchen  stets  zu  wählenden  Fälle  beschränken ,  in  denen  der  feste  Magnet 
nördlich  oder  südlich  vom  schwingenden  liegt.  Es  sei  zunächst  t^  =  0, 
^"=0.  Das  Moment  des  festen  Magnets  wird  vergrössert,  und  zwar  durch 
den  Erdmagnetisnaus  um  M ,  durch  den  schwingenden  Magneten  um  M^ ,  es 
steigt  also  auf  Jtf+M  +  M^.  Die  entsprechenden  Vergrösserungen  des 
Momentes  m  der  beweglichen  Nadel  seien  fi  (durch  die  Erde)  und  fi^  (durch 
den  festen  Magneten),  so  dass  das  Gesammtmoment  m  +  fi  +  f*i  ist. 

Hat  dagegen  der  feste  Magnet  die  Lage  t/;  =  0,  £7=180^,  während 
die  Entfernung  der  Mittelpunkte  dieselbe  wie  vorhin  ist,  so  wird  das  Mo- 
ment des  festen  Magneten  M—tA  —  Mj,  des  schwingenden  m  +  fi  —  fi, . 
Für  i/>=  180**  sind  die  Momente  dieselben.  Stellen  wir  jetzt  die  vier  Gleich- 
ungen 6)  mit  Berücksichtigung  des  Vorhergehenden  nochmals  auf,  so  müssen 
wir  bedenken,  dass  die  Schwingungsdauer  t  durch  Schwingen  des  Magneten 
II  lediglich  unter  Einfluss  des  Erdmagnetismus  bestimmt  worden  ist.  Das 
Moment  der  Nadel  ist  hierbei  m  +  ^i  und  Gleichung  1)  heisst  daher 

11)  (m  +  ^)T+»  =  '^, 

Gleichung  4)  aber  lautet  für  t/;  =  0,  17  =  0,  wenn  wir  für  s  den  Werth 
~W  "^  ^  ■*"  ^  einsetzen: 

wobei  wir  natürlich  die  Aenderung  der  Magnetismen  in  s^  und  55  vernach- 
lässigen. Setzen  wir  aus  11)  den  Werth  von  n^t  in  12)  ein  und  stellen 
die  Gleichung  auch  für  die  drei  anderen  Lagen  auf,  in  denen  beobachtet 
wird,  so  erhalten  wir  folgende  Gleichungen  13): 

-6  +  Ä=$t^'"  +  '*^^+*^- 


124  Kleinere  Mittheilungeu. 

Durch  Addition  der  ersten  und  dritten ,  Subtraction  der  zweiten  und  vierten 
Gleichung,  Division  durch  4  und  Benutzung  der  durch  Gleichung  7)  ein- 
geführten Abkürzung  wird 

2(3f+M)(w  +  ^)     2tAm     2Mft     2Mtii     2fA,^, 

Das  vierte,  fünfte  und  sechste  Glied  der  linken  Seite  dieser  Gleichung 
brauchen  wir  nicht  zu  berücksichtigen,  da  im  Zähler  zwei  der  kleinen 
Momentenänderungen  miteinander  multiplicirt  sind;  gegen  das  zweite  Glied 
werden  diese  Brüche  ausserordentlich  klein.  Störend  für  die  weitere  Rech- 
nung sind  aber  das  erste  und  dritte  Glied ;  in  der  entsprechenden  Gleichung 
8)  sind  diese  Glieder  nicht  vorhanden.  Wir  werden  jedoch  weiter  unten 
nachweisen,  dass  sich  dieselben  gegenseitig  aufheben.  Nehmen  wir  dies 
schon  jetzt  als  bewiesen  an,  d.  h.  setzen  wir 

15)  ^^^  =  -]^' 

so  geht  Gleichung  14)  nach  Division  durch  (in+^)T  über  in 

•  2(Jf+M)      1        s,-H     _    [i  .         ^       1^«  p 

Wählt  man  eine  andere  Entfernung  P  statt  22,  so  sind  die  durch  die  Erde 
bewirkten  Aenderungen  M  und  ft  dieselben;  man  erhält  eine  zweite  Gleichung 
2(Jtf+M)      1       s,-8,         r  »      -1 

*U  yp      -t-2    (m+n)TP^      V^{m  +  (i)T}         ' 

so  däss 

Die    in  dieser  Gleichung  vorkommende  Grösse  , — ; — r-=  ist  das  durch  die 

Versuche  erhaltene  Torsionsverhältniss,  da  auch  bei  diesen  das  Moment  der 
Nadel  nicht  m,  sondern  m+fi  ist. 

Da  man  im  ersten  Theile  des  Versuchs  {M+M)T  gefunden  hat,  so 
ergiebt  sich  durch  Division  mit  dem  aus  Gleichung  18)  resültirenden 
(M+  IA):T  das  gesuchte  T  selbst  ohne  einen  durch  Induction  verursachten 
Fehler.     Es  fragt  sich  nur,  ob  Gleichung  15)  richtig  ist. 

In  der  Theorie  über  die  drehbaren  Molecularmagnete  und  die  Abhängig- 
keit des  Magnetismus  im  weichen  Eisen  von  der  magnetisirenden  Kraft  stellt; 
W.  Weber*  die  Gleichung  auf 

^  j:-wm^_^__^-    x^  +  X^Z^  +  Z' 

*  ElektrodynamiBche  MaassbestimmungeD,  insbesondere  über  Diamaguetismus. 
Abhandlungen  der  königl.  Bächa.  Ges.  d.  Wissensch.,  math.-phje.  CL,  Bd.  i  S.  672. 


Kleinere  Mittheilungen.  125 

Darin  ist  m  (bei  Weber  fi)  das  der  Axe  eines  Molecnlarmagneten  parallel 
genommene  Moment  desselben  (dieses  Moment  ist  für  alle  Moleküle  gleich 
Yorausgesetzt) ,  n  die  Anzahl  der  Molektlle  in  dem  zu  magnetisirenden  Stück, 
Z  (bei  Weber  D)  die  Resultante  der  auf  das  Molekül  wirkenden  Molecular- 
krSfte,  X  die  magnetisirende  Kraft  (Magnetpol,  elektrischer  Strom)  und  Y 
das  in  dem  Eisen  in  Bichtung  der  Kraft  X  durch  dieselbe  hervorgerufene 
Moment.     Ist  X  klein  gegen  Z,   so  kann  man  in  Gleichung  19)  die  Fac- 

X 

toren  im  Nenner  nach  Potenzen  von  —  entwickeln  und  die  höheren  Poten- 

tLt 

zen  vemachlftsaigen.     Man  erhält  dann 

20)  ^^^^i^  ^"^  ^<^' 

Ist  dagegen  X  gross  gegen  Z,  so  entwickelt  man  nach  —  und  erh&lt 


21)  r=nm(l--^|^)   für   X>Z, 


Diese  beiden  Gleichungen  haben  auch  durch  Versuche  im  Wesentlichen  Be- 
stätigung gefunden.  Aus  der  ersten  derselben  geht  hervor,  dass,  wenn  X 
klein  gegen  Z,  das  entstehende  magnetische  Moment  proportional  der  ein- 
wirkenden Kraft  ist.  Die  Gleichung  gilt  zwar  für  weiches  Eisen,  und  in 
unserem  FaUe  handelt  es  sich  um  gut  gehärtete  Stahlmagnete;  aber  da 
gei-ade  bei  diesen  die  Directionskraft  der  Moleküle  sehr  gross  gegenüber  der 
einwirkenden  Kraft  ist ,  so  wird  es  gestattet  sein ,  Gleichung  20)  als  richtig 
anzusehen  und  demnach  die  Aenderung  des  Moments  im  Magneten  propor- 
tional der  einwirkenden  Kraft  zu  setzen.  Es  sei  dies  Hypothese  I.  Darauf, 
dass  dieselbe  absolut  richtig  ist,  kommt  es  nicht  an,  da  die  Folgerungen 
daraus  nur  dazu  dienen  sollen,  die  Gleichheit  der  Grössen  jü^  T  und  2Mm22~^ 
nachzuweisen ,  und  diese  an  und  für  sich  nicht  sehr  gross  sind.  Die  Voraus- 
setzung, dass  das  entstehende  magnetische  Moment  der  einwirkenden  Kraft 
proportional  ist,  liegt  auch  der  Poisson'schen  Theorie  der  Induction  zu 
Grunde,  welche  z.  B.  von  F.  Neumann  (Vater)  weiter  entwickelt  worden  ist.* 
Die  Momentenänderungen  \k  und  fi^,  welche  die  schwingende  Nadel 
durch  die  Erde  und  den  festen  Magneten  erföhrt,  werden  sich  demnach 
verhalten  wie  die  Kräfte,  welche  Erde  und  Magnet  auf  ein  magnetisches 
Theilchen  t  der  Nadel  ausübeh.  Die  erstere  Kraft  ist  Te,  die  letztere  be- 
rechnet man  leicht ,  indem  man  die  durch  höhere  Potenzen  als  Jß'  dividirten 

Glieder  weglässt,  zu  -ßä"«-     Es  ergiebt  sich  also  die  Proportion 
oder  ^ 


*  Vorlesungen  über  die  Theorie  des  Magnetismus,  namentlich  über  die 
Theorie  der  magnetiBchen  Induction.  Herausgegeben  von  C.  Neumann  (Sohn). 
Leipzig  1881.    S.  30. 


126  Kleinere  Mittheilungen. 

Diese  Gleichung  würde  mit  15)  übereinstimmen,  wenn  statt  M(i  das  Pro- 
duct  Mm  darin  stünde.  Wir  müssen  daher  weiter  untersuchen,  wie  die- 
selbe Kraft  X  auf  verschiedene  Eisenmassen  wirkt.  Wir  können  voraus- 
setzen, dass  die  beiden  zu  Versuchen  benützten  Magnete  aus  gleich  gutem 
Stahle  bestehen  (so  dass  die  Kraft  Z  in  beiden  dieselbe  Grösse  hat)  und 
dass  sie  mit  gleicher  Sorgfalt  magnetisirt  worden  sind.  Dann  wird  unzwei- 
felhaft der  grössere  Magnet  durch  eine  gewisse  Kraft  eine  grössere  Momen- 
tenSnderung  erfahren,  als  der  kleinere  Magnet  durch  dieselbe  Kraft,  es 
werden  mit  anderen  Worten  die  MomentenSnderungen  M  und  fi  proportional 
den  Momenten  M  und  m  sein  (Hypothese  II).  Diese  Behauptung  können 
wir  noch  in  anderer  Weise  stützen.  Wenn  auf  das  Eisen  eine  unendlich 
grosse  Kraft  X  einwirkte,  so  würde  nach  Gleichung  21)  das  Moment  sein 
Maximum  nm  erreichen,  in  dem  einen  Magneten  also  91. m,  in  dem  andern 
n .  m ,  wenn  9t  und  n  die  Anzahl  der  Moleküle  im  festen  und  schwingenden 
Magneten  bedeuten.  Nun  sind  zwar  unsere  Magnete  nicht  bis  zum  Maxi- 
mum magnetisirt;  aber  vorausgesetzt,  dass  ihre  Magnetisirung  mit  gleicher 
Sorgfalt  vorgenommen  ist,  wird  der  Magnetismus  der  Nadeln  um  analoge 
Werthe  vom  Maximum  entfernt  sein,  die  vorhandenen  Momente  werden 
gleiche  Bruchtheile  der  Maximalmomente  bilden,  d.  h. 

-af:m  =  (9l.m):(tt.m). 
Ferner  ist  aber  das  entstehende  Moment  oder  die  Momentenänderung  nach 
Gleichung  20)  und  21)  proportional  mit  w.m,  d.  h. 

M:fi  =  (9Lm):(n.m). 
Aus  beiden  Proportionen  folgt 

M:fi  =  Jf :  w 
oder 

23)  Jf^  =  Mm, 

und  dies  ist  wieder  obige  Behauptung.     Dass  die  Gleichung  ganz  genau  der 
Wirklichkeit  entspricht,  ist  für  unsern  Zweck  nicht  nöthig. 
Nunmehr  geht  Gleichung  22)  über  in 

2Mm 

und  dies  ist  Gleichung  15),  deren  Richtigkeit  früher  vorausgesetzt  wurde. 
Wir  erhalten  also  durch  die  Methode  der  Schwingungen  direct  das  wahre  T, 
während  es  bei  Anwendung  der  Ablenkungsmethode  mit  dem  unbekannten 

/        M 
Factor  y    ^^^   multiplicirt  ist,  dessen  Grösse,  wenn  man  die  möglichste 

Schärfe  des  Resultats  erreichen  will,  durch  besondere  Versuche  festgestellt 
werden  muss. 

Grimma.  Dr.  Th.  Habler. 


Kleinere  Mittheilungen.  127 


VnL   Notiz  zur  DifiEerentialgleichnng 

Bekanntlich  ist  für  diese  nicht  unwichtige  Gleichung  die  Integration  in 
einigen  speciellen  Fällen  geleistet  worden.  Man  vergl.  die  Arbeiten  von 
Hossenfelder  —  Annalen  Bd.  IV;  Pochhammer  —  Journal  f.  d.  reine 
u.  angew.  Mathematik  Bd.  LXXI;  Thomae  —  Zeitschrift  f.  Math.  u.  Phys. 
Bd.  XXI. 

Wir  machen  hier  auf  folgenden  neuen  integrablen  Fall  aufmerksam: 
Genügt  der  Gleichung  1)  partikulär 

unter  x  eine  Wurzel  der  Gleichung 

verstanden,  so  kann  jene  Differentialgleichung  mittels  der  Sub- 
stitution /* 

y  =  (x  —  xy  I  (x--K)''^'-^isdx 

in  die  Differentialgleichung  der  hypergeometrischen  Reihe 
transformirt  werden. 

Setzt  man,  was  keine  Beschränkung  ist,  ^3  =  0  voraus  und  wählt 
jc  =  0,  so  lautet  Gleichung  1)  einfacher 

1  a)  x(b^  +  c^x  +  d^x^)y"+  {a2  +  h^  +  C2^)y'+  («1  +  h^)y  +  %y  =  0, 
und   diese  letzte  Gleichung  kann  man  sich  entstanden  denken  durch  Elimi- 
nation einer  Variabelen  z  aus  folgenden  beiden  Gleichungen: 

a)  xy—Xy  =  e, 

Für  die  auf  diese  Weise  hergeleitete  (reducible)  Differentialgleichung  ist  nun 
charakteristisch,  dass  sie  mit  der  re.lucirten  Gleichung  a)  ein  Integral  ge- 
mein haben  muss,  d.  h.  dass  ihr  y=^(x^  partikulär  gentigt.  —  Gleichzeitig 
folgt  aus  «)  n 

y  =  a^  I x^^^^zclx, 

durch  welchen  Ausdruck  die  Gleichung  dritter  Ordnung  —  ihrer  Entstehung 
gemäss  —  nothwendig  auf  die  Gleichung  ß)  zurtickführbar  ist.  Hiermit  ist 
unsere  anfänglich  aufgestellte  Behauptung  erwiesen. 

Um  nun  die  Transformation  an  der  Gleichung  1  a)  auszuführen ,  stellen 
wir  zunächst  die  Bedingungen  fest,  dass  jener  Gleichung  y  =  o(^  partikulär 
genügt     Man  findet 

dsMi-l)(it-2)  +  c,A(A-l)  +  &iA  +  ao=»0   \ 
2)  c8a-l)(A-2)  +  6,  (k-\)  +  a,  =0  J. 


128  Kleinere  Mittheilungen. 


Aus  der  letzten  dieser  Gleichungen  folgt  ein  Werth  für  iL,  die  anderen 
beiden  Gleichungen  geben  zwei  CoefficientenbediDgungen,  unter  denen  die 
partikuläre  Lösung  y^^oif-  überhaupt  existirt. 

Subbtituirt  man  weiter  in  Gleichung  la)  auch 

y  =  a^  I x-^-^edx,    y<">  =  x^-" /aj-^+"-*xr<">drc,     n=  1,  2,  3, 

so  entsteht  nach  passender  Anordnung  der  Glieder  und  Berücksichtigung 
der  Partikularlösung 

+  l{l-l){k-2)(b^  +  c^x  +  d,x^)  +  (X-'l){a^  +  h^x  +  c,x^)  +  (a,  +  b,x)x]z^0. 
Beachtet  man,  dass  zufolge  der  Bedingungen  2)  die  letzte  Differential- 
gleichung durch  x^  theilbar  wird,  so  kommt  man  zu  der  Gleichung 

...       {h  +  c,x  +  d,ix^)e"+[(k^2){c,  +  d,x)  +  h,  +  cxW 
^  +[(A~l)(X-2)e?3+(X-l)c,  +  6J^  =  0, 

wie  vorausbestimmt  war.  Sind  jeTj  und  z^  die  partikulären  Integrale  von  3), 
so  genügt  der  Gleichung  la)  folgender  Ausdruck: 

y  =  ix^\cQ  +  cJ  x-^---^0^dx+C^lx--^-^^z^dxy 

In  ähnlicher  Weise  gelangt  man  auch  zu  folgendem  Satze:  Genügt  der 
Differentialgleichung 

partikulär  ,  ^ 

so  lässt  sie  sich  durch  die  Substitution 

y=:^'  je-^'zdx,     y<''>  =  c^'/f-^'^<''Mx,     w=l,  2,  3, 
in  eine  Gleichung  von  der  Form 

verwandeln. 

Es  sei  schliesslich  noch  ausdrücklich  darauf  hingewiesen ,  dass  der  Vor- 
theil  der  angegebenen  Transformation  nicht  darin  zu  suchen  ist,  dass  eine 
Gleichung  dritter  Ordnung  mit  Hilfe  eines  ersten  Integrals  auf  eine  Gleich- 
ung zweiter  Ordnung  herabgesetzt  werden  kann  —  was  selbstverständlich 
ist  — ,  sondern  darin,  dass  man  in  den  erwähnten  Fällen  auf  Gleichungen 
geführt  wird,  deren  Integration  bereits  erledigt  ist. 

WoLDEMAR  Heymann. 


Z  e  i  t  8  c  h  r  i  l't 


iuv 


Malliciiiiilik  iiiul  Physik 

a&t6rr  der  venMitivortUcbfu  KedficUoii 

tf\Tt 

Dr.  O.  Bchlömilcht  Dr.  £.  EaU 
Dr*  M,  Cantor. 


30«  J&hrg&Qg.    3.  Heftv 


Mit  eißtr  ltüiO|fntpbäi«n  T«feL 


A  U  9  g  6  ff  0  b  6  n      »I  t«      *}ri      \r  rt  1      1  R  >i  r* 


Leipzig, 

V<rrl«{;  TOD  B.  G.  TeobDor. 
1885. 


Pfti^li  RrAnrlu: 


lÜ 


Bii  ^^-ri-'-ltte  der  Ph}'J$ik  tm  Jabr«    1879.     DurgeJ 

I  ^'ti^n^slljcbaft  m  Berlin.     XXXV.  Jjxhrgnn^ 

Fror  Ui\  i.     Krste  AbthoÜiiiig,  enltmUend:  AIIk 

J{iIiTtiQrli   ober  dl**  Forl^cUritl«*  der  MathiTUinük  im  Vertb 

Jahrgang  18S2*     XI V\  BäbcI  2*  Heit,  f^rejis  6     i 

Kramtir,  Auf:.,  All^omelite  Theorie  der  xwel-  und  dreltf ''■ 
a8troüiiniiisc*hf'ii  Feniror-Objective.     Mit  xwe^i  Ftfcaren 

Vtm  10  AUik. 
lUrlm,  i>5,  Pöbruar  1886,  (jearg  Belmer, 


Lehrbuch  der  eheiien  ciDd  sphärisfheD 

Trigonometrie^ 

MilAiiwandmigeo  auf  praktisthe  Geomeirle  \im\  Fpliärisc hi' AsIrDnonii*^ 

und  satüreloltaD  U^biiogiibeißpielen. 
Zum  Gebmocb  in  li^b^r^o  L«i)mtuiiuit@ci  uml  bdim  Sdbviutiienidii 


W                                             ».Ha 

K                                               PTof««Of  »m  K.  Pi                         8tuttj^»rt 

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1 » <  Vh «♦  T 011  8  c  h  n  1  tj  c  n  Xq  ♦:•  ic *?  n  k  otu  mt.. 

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Bobek,  Karl,  Frivittdozetit  ttlr  Matiiemutik   im  mllgemrii' 

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Osuber,  Bmanttel,  geometriscba  Wabr»c3heiti])chlietti»ti  uii«^ 
werte.      Mit    115    In   dfrn    "T^-vt    gedruckten  Figur"^"      '^tt  .. 


VI. 

Beziehungen  zwischen  den  Krümmungen  reciproker 
raumlicher  Gtebilde. 

Von 

Dr.  L.  Geisenheimer, 

Hergschuldirector  in  Tamowitc. 


ffierzu  Taf.  V  Fig.  1. 


In  einer  früheren,  ebenfalls  in  dieser  Zeitschrift  veröffentlichten  Ab- 
handlung wurde  die  Beziehung  zwischen  den  Krümmungsradien  reciproker, 
collinearer  und  inverser  ebener  Curven  untersucht.*  Zweck  der  vorliegen- 
den Arbeit  ist,  diese  Untersuchung  auf  reciproke  räumliche  Systeme,  also 
auf  die  einer  beliebigen  Baumcurve  oder  Fläche  entsprechenden  reciproken 
Gebilde  auszudehnen.  Als  Specialfölle  der  erhaltenen  Resultate  werden  sich 
Beziehungen  zwischen  den  Krümmungen  der  auf  einer  Fläche  zweiter  Ord- 
nung enthaltenen  Curve  und  ihrer  Abwickelungsfläche ,  femer  Eigenschaften 
der  Krfimmungslinien  und  der  Centrafläche  für  die  genannten  quadratischen 
Flächen ,  insbesondere  eine  Construction  für  das  Centrum  der  zu  einer  Krüm- 
mungslinie  gehörigen  Schmiegungskugel  ergeben. 


§1. 

Im  Folgenden  werde  immer  vorausgesetzt,  dass  die  betrachteten  reci- 
proken Gebilde  in  involutorische  Lage  gebracht  seien,  das  eine  derselben 
also  das  Polarsystem  des  andern  in  Bezug  auf  eine  als  Directrix  dienende 
Fläche  zweiter  Ordnung  darstelle;  die  Allgemeinheit  der  Untersuchung  wird 
durch  diese  Annahme  nicht  beschränkt. 

Um  die  einer  Baumcurve  entsprechende  reciproke  Figur  zu  erhalten, 
können  wir  die  Curve  sowohl  als  den  Ort  ihrer  Punkte,  wie  als  die  Ein- 
hüllende ihrer  Schmiegungsebenen  betrachten.  Im  ersten  Falle  bildet  das 
reciproke  Gebilde  eine  von  den  entsprechenden  Polarebenen  umhüllte  ab- 
wickelbare Fläche,  im  zweiten  Falle  die  Bückkehrkante  (Cuspidal-  oder 
Strictionscurve)  derselben.  Wenn,  was  im  Weitern  geschehen  soll,  unter 
den  Krümmungen  einer  abwickelbaren  Fläche  längs  einer  Erzeugenden  die 

•  Bd.  XXy  S.  300. 

Zeittchrlft  f.  Mathematik  n.  l>liy«ik  XXX.  3.  '  9 


130  Beziehungen  zwischen  den  Krümmungen  etc. 

Krümmungen  im  berührten  Elemente  dieser  Bflckkehrkante  verstanden  wer- 
den, braucht  in  der  vorliegenden  Untersuchung  diese  verschiedenartige  Bil- 
dung des  einer  Raumcurve  reciproken  Systems  nicht  beachtet  zu  werden  und 
können  wir  uns  kurz  dahin  ausdrücken ,  dass  einer  Raumcurve  als  reciproken 
System  wieder  eine  solche  Curve  entspreche.  Bezüglich  der  Krümmungen 
in  einem  Elemente  der  Raumcurve  unterscheiden  wir:  1  die  Krümmung 
des  Elements  in  seiner  Schmiegungsebene  gleich  dem  reciproken 
Werthe  des  (ersten)  Krümmungsradius;  2.  die  Krümmung  des  Elements  in 
seinem  Punkte  gleich  dem  reciproken  Werthe  der  Neigung  des  Schmie- 
gungskegels,  so  dass,  falls  dieser  Kegel  in  eine  Gerade  degenerirt,  seine 
Krümmung  unendlich  gross,  die  einer  Ebene  null  wird;  3.  das  Product 
dieser  beiden  Krümmungen  gleich  dem  reciproken  Werthe  des  Windungs- 
radius (Radius  der  zweiten  Krümmung). 

Die  zu  einem  Punkte  Pj  der  Raumcurve  /Uj  gehörige  Schmiegungsebene 
werde  mit  tej  ,  der  in  ihr  liegende  Krümmungsradius  mit  g^ ,  der  Windungs- 

R 

radius   mit  JB, ,    die   Neigung  des   Schmiegungskegels   mit   fgHi  =  —  i  die 

gleichnamigen  Grössen  der  reciproken  Curve  durch  gleiche  Buchstaben  mit 
dem  Index  2  bezeichnet,  so  dass  also  P^  und  jt^,  P^  und  w,  polare  Ele- 
\nente  darstellen. 

Wir  denken  uns  die  Schmiegungsebene  n^  verlängert  und  vom  oscu- 
lirenden  Elemente  des  Schmiegungskegels  des  entsprechenden  Elements  in 
der  reciproken  Curve  durchsetzt,  so  ist  bei  Vernachlässigung  unendlich  kleiner 
Grössen  von  mindestens  dritter  Ordnung,  also  bis  auf  die  Krümmungsradien 
genau,  das  in  n^  fallende  Element  von  k^  dem  Element  der  Schnitifigur 
reciprok,  wobei  die  Schnittcurve  der  Schmiegungsebene  tTj  mit  der  Directi-ix- 
fläche  der  räumlichen  Involution  die  Directrix  des  jetzt  bestimmten  ebenen 
Polarsystems  bildet.     Daher  ist  nach  der  vorhin  angeführten  Abhandlung^: 

WO  ^'2  ^^^  Krümmungsradius  für  das  Schnittelement  des  Schmiegungskegels, 
a,  Z^i  die  halben  Hauptaxen  der  in  ttj  liegenden  Directrix,  w,  und  «'g  die 
Entfernungen  der  Tangenten  ij  und  t'^  der  reciproken  Curvenelemente  vom 
Mittelpunkte  dieses  Kegelschnittes  bedeuten.  Die  Tangente  t\  tlillt  mit  dem 
Schnitte  der  beiden  Schmiegungsebenen  ;c,  und  n^  zusammen. 

Die  von  P^  bis  zu  ihrer  Spur  in  n^  mit  t^  bezeichnete  Tangente  an  h 
bilde  mit  n^  den  Winkel  x^,  mit  der  Geraden  |7rj7rg|  den  Winkel  t^g,  so 
wird  der  Hauptkrümmungsradius  des  Schmiegungskegels  im  Endpunkte  von 
t^y  also  der  Krümmungsradius  des  zu  t^  normalen  Schnittes,  t^.tgU^.  Die 
in  dieser  Normalebene  und  in  n^  liegenden  Schnittelemente  des  zweitön 
Schmiegungskegels   dürfen   bis   auf  unendlich  kleine  Grössen  einschliesslich 

*  a.  a.  0.  S.  308. 


Von   Dr.  L.  GElSEKHElMfiR.  131 

zweiter  Ordnung  als  affin  betrachtet  werden ,  und  zwar  ist  t^  der  Affinitäts- 
strabi. Das  Verhältniss  zwischen  den  Krümmungsradien  entsprechender 
Punkte  in  zwei  affinen  Curven  ist  gleich  dem  Cubus  ans  dem  Verhältniss 
der  entsprechenden  Tangentenstrecken,  dividirt  durch  das  Affinitätsverhält- 
niss*.     Hiemach  ergiebt  sich: 

und  in  Verbindung  mit  der  vorstehend  entwickelten  Gleichung: 

Eine  entsprechende  Gleichung  kann  für  g^AgH^  aufgestellt  werden.  Die 
Formel  lässt  sich  in  verschiedene  Formen  überführen ,  von  welchen  wir  zwei 
näher  betrachten. 

Wir  legen  durch  den  Mittelpunkt  S  der  Directrixfläche  eine  zu  n^  pa- 
rallele Ebene  n\]  die  halben  Hauptaxen  des  in  derselben  inducirten  Mittel - 
puuktskegelschnittes  seien  a\  und  h\ ,  die  von  ihr  und  P^  begrenzte  Strecke 
auf  der  Tangente  an  h^  sei  l^y  ferner  die  normale  Entfernung  der  Schnitt- 
geraden l^i,  »sl  von  S  gleich  n\^  so  wird  nach  bekannten  Sätzen: 

Die  vom  Involutionsmittel  punkte  S  auf  die  Schmiegungsebenen  n^  und  n^ 
gefönten  Senkrechten  seien  mit  p^  und  jp^,  der  längs  SP^  fallende  Halb- 
messer der  Directrixfläche  mit  Cj  bezeichnet.     Es  ist: 

^      ^^  smx2  Pi  ^  ''   »^ 

Diese  Werthe  in  Formel  1)  einsetzend,  kommt: 

Der  Zähler  des  rechtsstehenden  Ausdruckes  ist  constant,  nämlich  gleich 
(if^* ,  hf^^ .  Cq\  wo  ßy,  &(,,  Cq  die  halben  Hauptaxen  der  Directrix  sind.  Dem- 
nach wird: 


welche  Gleichung  auf  ihrer  rechten  Seite  keine  Winkelgrössen  enthält,  unter 
«,  kann  auch  die  Länge  der  Senkrechten  verstanden  werden,  welche  vom 
Involutionsmittelpunkte  S  auf  die  Schnittgerade  der  Ebene  ti;',  mit  der  dem 
Endpunkte  von  l^  entsprechenden  Polarebene  gefällt  wird.  — 

Eine  andere  bemerkenswerthe  Umformung  folgt  aus  der  Betrachtung 
des  der  Geraden  {  tc^  71^  |  conjugirten  Mittelpuuktskegelschnittes  in  der  Ebene 
SP^P.2  (Flg.  1);    die  in   diese  Ebene   fallenden  Mittelpunkte   der  in  tt,  ,  tt^ 

♦  a.  a.  0.  S.  215. 


132  Beziehangen  zwischen  den  Krümmungen  etc. 

and  \n^n^\  indncirten  InTolntionen  seien  bezQglich  mit  0|,  O^  und  0,  der 
^  l^i^fi  pai'&Uclo  Halbmesser  der  DirectrixflSclie  mit  d  bezeichnet.     Pa 

wird  nach  Formel  1):  ^ 

n     fnTf     L      ^^*    _^'jlV      SP, 

Weiter  ist  a/.  V=(ÖiÖ-ÖiJPi)*- (^'•^*y •«'»»' (^.  ÖP,),   da  O^O.O.F, 

0  P 
die  Potenz  des  nach  O^Pi  fallenden  Dnrehmessers ,  ^'-^-^  die  Potenz  des 

hierzu  conjugirten  Durchmessers  in  n^  darstellt     Femer  ist: 

♦»1  =  ^1^1-«^  Vi, 
wo  9?|  den  Winkel  der  Tangente  ^j  mit  OjPj  bedeutet, 

n',=  0i0.5m(d,0Pi). 

Diese  Werthe  einsetzend,  kommt: 

Der  um  das  Tripel  PiOP^   gelegte  Kreis  schneide  SP^  zum  zweiten  Male 

in  (),  so  ist  ^'Qp'^'  =  Qig»  «°<i  0,Q.SP^==SP^{SQ'-SO,):=SP,.SQ 

-ÄP^.ÄOj.  Nun  ist  SP^.SQ  die  Potenz  des  Mittelpunktes  Ä  iu  Bezug 
auf  den  dem  Tripel  umschriebenen  Kreis  und  daher  nach  einem  bekannten 
Satze  gleich  Cj^  +  c'j*,  wenn  c\  der  im  Polarsystem  der  Ebene  SP^P^  zu 
Cj  conjugirte  Halbmesser  ist;  femer  ist  SP^,SO[=Cj*y  und  somit  wird 

0,P,  _  1  ^ 


0^0.0,P,.SP^     cV 
genutzt  wurde ,  Z^  sii 
d^.Py  sin(d^  OP^),sin%^ 


Weiter  ist,  wie  vorhin  schon  benutzt  wurde,  l^  sin^g  =  -^  ^«*(7r,,  Cj),  daher 

Pi 


Indem  der  rechtsstehende  Ausdruck  mit  d*.  5m*(PiO^Pg)  erweitert  und  be- 
rücksichtigt wird,  dass  für  die  bei  0^  gebildete  körperliche  Ecke  die  Gleich- 
ung stattfindet: 

sin{d,  P,0iPg).Äm(Pi0iP2)  =  5m(Ci,7r,).5in(d,  O^P^), 
und  dass 

Ci«.c7.  «V(P,0,P,).eP.  sin^id,  P,0,P^)  =  a,K  h^^.  c,^, 

ergiebt  sich  die  uiiigestaltete  Formel: 

n    fnH  ~      ^        (sin{d,OP,).sin%y 

^^•'^^'-aTv^-v — -r^f^, — j-^- 

3)  ^  In  genau  entsprechender  Weise  gilt: 

,   ^.  d^        /sin(dyOPi).Binilt,y 


Von  Dr.  L.  Geisenhbimgb.  133 

In  diesen  Formeln  bedeuten  also  die  Bestimmangsstflcke  9>i,  ^'s,  ^i,  %  der 
reciproken  Curventangenten  die  Winkel  derselben  mit  den  Halbmessern  O^P^ 
bezüglich  O^P^  der  in  den  Schmiegungsebenen  inducirten  Involutionen  und 
mit  l^iTEgly  bezüglich  den  aus  Oj  und  0^  hierzu  gezogenen  Parallelen. 

Ein  weiteres  interessantes  Resultat  wird  durch  Multiplication  der  beiden 
letzten  Formeln  gewonnen.     Man  erhält: 

P         ^        d^^        /sinjd,  OPi),sin{dy  0P^).8in%.8in%y 

Bezeichnet  man  die  Potenz  der  auf  1^1^21  hervorgerufenen  Involution  mit 

1^^  so  ergiebt  sich 

sin^^.sin^^_OP^.OP^  _    2J{P^0P^) 
sinfp^.sin (pg ~"        k^        ""  Ä* sin^P^ 0 P^) 

sin  (pi .  sin  (p^  d*.  sin{P^O  P^) 
Wir  drücken  ^{PiSP^)  in  folgender  Weise  aus:  Bedeuten  «j,  5g,  5, 
die  aus  S  auf  die  Seiten  des  Tripels  OP^y  OP^y  PiP^  gefüllten  Senkrech- 
ten, a,  2)  die  halben  Hauptaxen  des  zu  diesem  Tripel  gehörigen  Kegel- 
schnittes, so  ist  bekanntlich,  wenn  r  der  Radius  des  dem  Tripel  umschrie- 
benen Kreises*:  „  ,,, 

2s,«g«3r  =  a*6*; 

und  da  r==^^-   ,Wo.^  wird 
2stn{PiOP^) 

^  •  O  «  Sa 

Die  Ebene  PiOP^    werde   im  Folgenden  mit    pL    bezeichnet.     Es    ist 

s.=  .   ,     — r-»  5g=   .       ' — T»   daher: 
5m(fi,Äi)  sm(ii,7i^) 

sintify  .sinii;^ _ a^h^  sin (^ ,  Tg, )  5m(fi,  n^) 

simp^.sing}^'^  d^PiP^ 

Wird  Z&hler  und  Nenner  der  rechten  Seite  mit  d^sin^{d^)  multiplicirt,  so 
folgt: 
gx  sin%.sin%^  y.bo'.Co' 


sin  g?, .  sin  q>^  d^p^  jpg  sin  (d,  0  Pj)  sin  (d,  0  /^g) 
Die  in  den  Ebenen  n^  und  n^  liegenden,  durch  i^j  und  P^  laufenden 
reciproken  Tangenten  bilden  zwei  projectivische  Strahlbüschel,  so  dass  P^O 
einer  Parallelen  zu  d^  die  aus  Pg  parallel  zu  d  gelegte  Gerade  mit  P^O 
projectivisch  ist.  Gleichung  5)  liefei*t  den  constanten  Werth  des  Doppel- 
schnittverhaltnisses,  welches  durch  die  Strahlen  ti,  t^  mit  den  ebenerwähn- 
ten  Strahlen  der  Büschel  gebildet  wird.     Falls  P^  und  Pg  auf  ihren  bezüg- 

*  Vergl.  Schröter,  Theorie  der  Kegelschnitte,  S.  194. 


134  Beziehungen  zwischen  den  Krümmungen  etc. 

liehen  Durchmessern  fi^/*i  und  SP^  fortrücken,  wobei  »j  und  n^  parallel 
zu  sich  selbst  verschoben  werden,  bleibt  Winkel  P^OP^  und  J(/\SP^\ 
daher  auch  p^p^  und  nach  Formel  5)  der  Werth  dieses  Doppelschnittver- 
hältnisses ungeändert.  Wird  sein  Werth  in  den  für  12, .  fi^  erhaltenen  Ans 
druck  eingesetzt,  so  kommt: 

6)  22,.Ä,  =  ^«^.?'"  .        - 

Das  Product  aus  den  Radien  der  zweiten  Krümmung  räum- 
lich reciproker  involutorischer  Curven  ist  dem  Quadrat  aus 
dem  Product  der  ihren  Schmiegungsebenen  angehörigen  Ent- 
fernungen vom  Involutionsmittelpunkte  umgekehrt  propor- 
tional. Rücken  beide  sich  entsprechende  Punkte  der  involu- 
torischen  Curven  auf  ihren  bezüglichen  Durchmessern  fort, 
so  bleibt  das  Product  dieser  Krümmungsradien  constant. 

Der  vorstehende  Salz  bildet  ein  Analogen  zu  dem  für  die  Krümmungs- 
radien ebener  in volutorisch  -  reciproker  C'urven  hergeleiteten. 

Wird  der  aus  Formel  5)  für  d  zu  entnehmende  Werth  in  3)  eingesetzt, 
so  nehmen  diese  Gleichungen  die  später  zu  verwendende  Form  an: 


7) 


^      p^'^*p^^-\sin{d,OP^)  sin(p^^inll;J   ' 
tgH  =  ^o^)^o  /sin{d,OP.^)sin<p^  ^^^a!^y\ 
*         *      Pi^-'Pi'^^  \  sin (d,  OP^)sin q>^  »in i\fj 


Aus  den  vorstehenden  Gleichungen  ergiebt  sich  ferner: 

Sind  die  Schmiegungsebenen  und  Richtungen  zweier  reci- 
proken  Curvenelemente  gegeben,  so  ist  die  ebene  Krümmung 
des  einen  der  räumlichen  Krümmung  des  entsprechenden  Ele- 
ments umgekehrt  proportional.  Das  Product  zweier  sich  der- 
artig entsprechender  Krümmungen  bleibt  ungeändert,  wenn 
die  Curvenelemente  parallel  zu  sich  selbst  auf  den  Durch- 
messern der  Directrix  verschoben  werden. 

Die  Bezeichnung  der  beiden  bezüglich  einer  Fläche  zwei- 
ter Ordnung  polaren  Systeme  als  „reciproke  Figuren"  findet 
hiernach  durch  die  Betrachtung  der  Krümm  ungen  ihre  Recht- 
fertigung. 

§2. 

Zur  Bestimmung  des  zwischen  den  Bogeneleraenten  c?.<f,  und  ds^  herr- 
schenden Verhältnisses  gehen  wir  wieder  von  der  Betrachtung  der  in  ;i, 
liegenden  involntoriscben  reciproken  Curvenelemente  aus.  Das  Element, 
welches   durch  den  an  k^  gelegten  Schmiegungskegel  in  n^  ausgeschnitten 


Von  Dr.  L.  Gbibenhbimbb.  135 


wird,  ist  gleich  ^ — *■>   wo   d^j  den  ebenen  Contingenzwinkel  der  Curve 


itj  bedeutet.     Hiernach  wird:* 


Es  ist  d»,  =  ^,   4=  -i  =  JM^,   g^.tgH,  =  ^^.  (Formel 2). 
daher: 
8)  ^  =  £l  PiP»h*»i\ 

Entsprechend  müsste  sein   — -^=^  £lZL_L— 1.,    30   dass   sich   durch  Multi- 
plication  der  beiden  letzten  Formeln  ergiebt: 

^  '  '  "     PiPt 

und  mit  Hilfe  dieser  Beziehung  folgt: 


9) 

dSt_Qi    ^«, 

dSi     92  hn. 

Nach  Formel  2)  ist 

daher 

10)  ^ ^ Pi.  j/PxQ±tgR, ^  l/PxhJ^^ 

welche  Formel  der  für  ebene  Systeme  entwickelten  analog  ist.  Dieselbe 
lässt  sich  in  folgender  Weise  umformen.  Bedeuten  di^j,  drj^  die  räum- 
lichen Contingenzwinkel  (Winkel  der  unendlich  nahen  Schmiegungsebenen) 
in  beiden  reciproken  Cnrven,  so  wird 

ds2      r     Pi  d8^,d9^.dri^ 

11) 


oder 

d$i,d{>^.drif  __  ds^.d^^.drij 

'Pi  Pi 

^ds dd' dfi  bedeutet  aber  die  normale  Entfernung  des  um  ds  weiter  liegen- 
den Punktes  einer  Raumcurve  Yon  der  vorhergehenden  Schmiegungsebene. 
Formel  11)  liefert  hiernach  den  Satz: 

In  räumlich-involutorischen  Systemen  verhalten  sich  die 
unendlich  kleinen  Strecken,  um  welche  zwei  reciproke  Curven 
bei  entsprechendem  Fortschreiten  aus  den  Schmiegungsebenüii 
heraustreten,  wie  die  Entfernungen  dieser  Schmiegungsebenen 
vom  Mittelpunkte  der  Involution. 

♦  Diese  Zeitechrift  Bd.  XXV  S.  310. 


136  Beziehungen  zwischen  den  Krümmungen  etc. 


Der  entsprechende  Satz  für  ebene  Systeme  lautet: 

In  ebenen  involntorisch  liegenden  reciproken  Curven  ver- 
halten sich  die  Bogenhöhen  unendlich  kleiner  entsprechender 
Curvenelemente  wie  die  Entfernungen  der  ihnen  zugehörigen 
Tangenten  vom  Mittelpunkte  der  Involution. 

Gleichung  9)  giebt  noch  zu  der  £ntwickelung  Anlass: 

woraus  sich  unter  Benutzung  von  2)  und  6)  ergiebt: 

12)  ^£.  =  ^.. 

Sind  die  Schmiegungsebenen  und  Richtungen  zweier  reci- 

ds 
proken  Curvenelemente  gegeben,   so  ist  deren  Verhftltniss   — ' 

dem  Windungsradius  12^  proportional,  vom  Krümmungsradius 

p,  unabhängig. 

Bei  involutorischen  Systemen  in  der  Ebene  wird  das  Ver- 

ds 
hältniss  -j-i  dem  Krümmungsradius  q^  proportional.  — 

Der  vorhin  entwickelte  Satz  über  das  Verhältniss  der  Abweichungen 
von  der  Schmiegungsebene  ist  nur  der  specielle  Fall  eines  sich  auf  endliche 
Werthe  beziehenden  und  für  beliebige  reciproke  Systeme  giltigen  Gesetzes, 
welches  im  Folgenden  unter  Voraussetzung  orthogonaler  Coordinaten  her- 
geleitet werden  soll. 

Die  Gleichung  einer  dem  ersten  System  angehörigen  Ebene  a^  sei 

die  Gleichung  einer  zum   zweiten   in volutorisch  -  reciproken  System   gerech- 
neten Ebene  /^^  sei 

xcosk2+y  COSfl^  +  zcosv^:=p^. 

Fallen  die  Coordinatenaxen  mit  den  Hauptaxen  der  Involution  20^,  25^, 
2 (\)  zusammen,  so  werden  die  Coordinaten  der  diesen  Ebenen  entsprechen- 
den Punkte  Ä^  und  j^^  bezüglich: 

-^cosAj,    -^  cos  Uly     -^cosv,     und    -^co5Ao,     -^awug,     -^cosv». 
Pi  Pi  Pi  Pi  P%  Pi 

Die  von  B^  auf  die  Ebene  u^  gefällte  Senkrechte  sei  B^a^,  so  wird: 

„  l>i  -^  -^  cosli  cosl^  • — -  casui  cospi,^ cosv,  cosv^ 

-^1^1  ^  Pi P2 Pi 

Pl  Pi 

ßt  52  ^2 

Plpf     '     '  PIP2    •*    ^'  Plpt     '     * 

Aus  der  symmetrischen  Bildung  des  letzten  Ausdrucks  folgt: 


Von  Dr.  L.  Geisbmmeimer.  137 

Die  Entfernung  irgend  eines  Punktes  von  einer  beliebigen 
Ebene  verhSlt  sich  zur  Entfernung  der  reciproken  Elemente, 
wie  die  AbstSnde  der  beiden  so  erhaltenen  Ebenen  vom  Mittel- 
punkte der  Involution. 

Dieser  Satz  ist  die  Verallgemeinerung  des  in  Formel  11)  gefundenen 

•n  AR. 

Gesetzes;  die  für  circular-reciproke  Systeme  benutzte  Proportion  -^^  =  ^^ 

ist  ein  specieller  Fall  desselben;  ebenso  benutzt  Graves  inCrelle's  Jour- 
nal Bd.  XLII  S«  279  einen  speciellen  Fall  dieses  Satzes. 

§3. 

Falls  das  Curvenelement  h^  die  Fl&che  der  Directrix  berührt,  verein- 
fachen sich  die  vorstehend  entwickelten  Formeln.  Die  Tangente  ^^  fällt  als- 
dann mit  der  Schnittlinie  IffiT^sli  h  ™^^  ^-^s»  P^i^l^t  P^  mit  0  zusammen 
und  es  vnrd: 

<(d,OP,)  =  v„    i|^,  =  0,    i^,  =  <(^,<,)  =  <(ti,OP,),    9,  =  0, 

^^  =  00,     fi^  =  0. 
Die   zu    den    conjagirten  Tangenten   ^j   und  t^  parallelen  Halbmesser  der 
Directrix  seien  d^  und  dj,  so  ist 

Nach  Formel  3)  wird: 
Femer  wird 


Anderseits  ist  nach  Formel  12)  ^*^  ****^* 

und  da  im  vorliegenden  Falle  die  Proportion  stattfindet 

kommt 

L n,  =  L  n\  =    .    f^    ^    und  somit    ■—  =  ^^-^  ^  (^i  '*«)• 
'   '       *    ^      sw(jf,3rg)  ds^      p^t^ 

Die  Vergleichung  beider  fdr  das  VerhSltniss  der  Bogendifferentiale  gefun- 
denen Formeln  liefert: 

Pt 


1H8  Beziehungen  zwischen  den  Krümmungen  etc. 

eine   sich  auch   aus   der  Figur  leicht  ergebende  Gleichung.       .  '     bedeutet 

stnx^ 

den  Abschnitt  der  tt^  auf  d^. 

Wenn  endlich  k^  in  die  Directrix  fällt,  geht  die  reciproke  Curve  k^  in 
die  Strictions-  oder  Rückkehrcurve  der  abwickelnden  Fläche  über,  deren 
Krümmungen  und  Bogendifferential  sich  also  nach  den  vorstehenden  For- 
meln aus  denen  der  abzuwickelnden  Curve  k^  bestimmen.     Setzt  man  in  die 

(l^       p  d^ 

Formel   tg  H2  =^ —^:^j'~^  ~  $in^  ^2    ^^^'  ^i   ßei^^eö  Werth   —5i«  («,«,),   so 

ergiebt  sich: 

t^sinxi 

welche  für  die  Abwickelung  irgend  eines  Curvenelements  von  einer  beliebi- 
gen Flache  giltige  Gleichung  wie  Formel  1)  durch  die  Betrachtung  des 
abwickefnden  Kegels  abgeleitet  werden  kann.  Hierbei  ergiebt  sich  weiter 
die  Gleichung: 

13)  ^^  =  p,,^.U    , 

a^2      ds^  sintlf^ 

welche  Beziehung  mit  den  frühereu  Gleichungen  übereinstimmt,  falls  für  q^ 
der  sich  nach  dem  Vorstehenden  ergebende  Werth  eingesetzt  wird. 

In  sftmmtlichen  Formeln  dieses  Paragraphen  treten  JP| ,  p^  und  die  vor- 
kommenden Sinus  als  positive  Grössen  ein,  so  dass  mit  der  Wahl  eines 
Vorzeichens  für  d5,  die  weiteren  Variablen  der  Grösse  und  Richtung  nach 
bestimmt  sind.  Für  eine  parabolische  Directrix,  für  welche  die  Durchmesser 
p^  und  |?g  unendlich  werden  und  daher  die  Gleichungen  in  unbestimmter 
Form  auftreten,  lassen  sich  durch  sehr  einfache  Grenzbetrachtungen  statt 
der  Durchmesser  die  Parameter   der  durch  die  Hauptaxe  gelegten  Schnitte 

d^ 
lim      »    statt   der   Entfernungen  p^   und  p^  die  Winkel   der  Schmiegungs- 

ebenen  ;r,  und  n^  mit  dem  Durchmesser  der  Directrix  einführen.  Hierbei 
ergiebt  sich  in  entsprechender  Weise  wie  für  ebene  Systeme  der  Satz: 

Das  Product  aus  den  Windungsradien  zweier  par&bolisch- 
reciproken  Curveuelemente  bildet  den  reciproken  Werth  aus 
dem  geometrischen  Mittel  der  Krümpaungsmaasse  in  denjeni- 
gen Punkten  der  Directrix,  welche  mit  den  Curvenelementen 
in  einen  Durchmesser  fallen. 

Wird  die  Directrix  eine  Kugelfläche  mit  dem  Radius  a^.  so  wird 
g), +7r,  =90^  <;p2  +  '«/'2  ~  ^^"'  daher  die  in  Formel  5)  gefundene  Beziehung 
für  das  Doppelschnittsverhftltniss  der  reciproken  Tangenten: 


a. 


2 


1 


Die  übrigen  Formeln  nehmen  folgende  Gestalt  an. 


Von  Dr.  L.  Geisenheimer.  139 

1.  Für  beliebige  Lage  eines  Curvenelements : 

2.  Falls  ein  Curvenelement  die  Directrix  berührt: 

g,i9H,^P,,    9,fgH,^^-,^    i^i.i^^--«'    dT,--^^B; 

3.  Liegt  die  Curve   ä-,   in  der  als  Directrix  benutzten  Kugelfläche,   so 

ergiebt   sich  aus  der  Foniiel   tgH^^  —  y    dass   die  abwickelnde  Begelfl&che 

stets  normal  zu  dem  Kegel  steht,  welcher  durch  A:,  und  den  Mittelpunkt  S 
gelegt  wird,  welche  Folgerung  sich  auch  unmittelbar  aus  der  Figur  her- 
leitet. k2  ist  bekanntlich  in  diesem  Falle  eine  geodätische  Linie  eines  durch 
den  Kugelmittelpunkt  als  Scheitel  gelegten  Kegels.  — 

Die  für  die  Abwickelung  einer  Curve  von  einer  Fläche  zweiter  Ordnung 
gewonnenen  Formeln  werden  im  Nachstehenden  für  die  Betrachtung  der 
Krümmungslinien  solcher  Flächen  Verwendung  finden.  In  einem  Punkte  P 
mögen  sich  die  drei  confocalen  Flächen  F\  F'\  F"\  deren  primäre  halbe 
Axen  bezüglich  mit  a\  a\  a''' bezeichnet  seien,  durchschneiden;  die  Durch- 
schnittscurve  der  Flächen  F'  und  F"  werde  mit  Ä*,2,  der  Flächen  F'  und  F"' 
mit  A;|3  angedeutet.  Aus  der  Eigenschaft  confocaler  Systeme ,  dass  für  jeden 
Punkt  die  Hauptebenen  der  durch  die  Flächen  des  Systems  in  ihm  inducir- 
ten  Polarsysteme  coincidiren,  folgt,  dass  sich  F\  F'\  F'"  in  P  orthogonal 
änrchscbneiden  und  daher  A*,^  normal  zu  JP'"  steht.  Wird  Ä,^  von  F"  ab- 
gewickelt, so  bilden  die  Erzeugenden  der  Ab  wickeln  ngsfläche  ein  System 
von  Normalen  zu  F\  von  welchen  sich  zwei  benachbarte  bis  auf  unendlich 
kleine  Grössen  dritter  Ordnung  schneiden.  Der  Schnittpunkt  zweier  der- 
artiger benachbarter  Normalen  heisse  M\^'^  derselbe  bildet  den  Krümmungs- 
mittelpunkt  des  hy^  tangirenden  Noimalschnittes  auf  F\  Der  Krümmungs- 
radius dieses  Normalschnittes  werde  mit  q\^^  der  Krtimnaungsradius  eines 
andern  durch  P  gelegten  Hauptschnittes  auf  einer  der  drei  Flächen  durch 
entsprechende  Indices  bezeichnet.  Rücken  wir  auf  A'j.,  von  /''  aus  um  eine 
unendlich  kleine  Strecke  nach  derjenigen  Kichtung  fort,  welche  ausserhalb 
F"'  fällt,  und  bilden  alsdann  für  den  zu  P  benachbarten  Punkt  gleichfalls 
die  Normale  zu  F\  Die  zur  neuen  Normalen  bezüglich  einer  der  Flächen, 
also  auch  bezüglich  der  F"\  conjugirte  Gerade  fällt  in  die  Tangentialebene 
des  neuen  Punktes  an  F',  Um  die  conjugirte  Gerade  zu  finden ,  ziehen  wir 
eine  beliebige  Tangente  dieser  Ebene,  welche  F"  schneidet.  Hierbei  bilden 
sich  auf  der  Tangente  im  Polarsystem  von  F"'  vier  harmonische  Punkte, 
von  welchen  drei  unendlich  nahe  liegen;  bis  auf  Grössen  höherer  Ordnung 
wird  also  die  Strecke  zwischen  dem  Berührungspunkte  und  dem  diesem  be- 


140  Beziehungen  zwischen  den  Krümmungen  etc. 

zttglich  F"'  conjugirien  Punkte  von  F'"  halbirt,  und  hieraus  folgt,  dass 
die  Gerade,  welche  sich  durch  diesen  conjugirten  Punkt  und  den  ursprüng- 
lichen Punkt  P  legen  lässt,  stets  nur  einen  unendlich  kleinen  Winkel  mit 
der  an  F'  gelegten  Tangente  bilden  kann.  Der  geometrische  Ort  der  er- 
wähnten conjugirten  Punkte  ist  die  zur  Nachbarnormalen  conjugirte  Gerade, 
die  hierdurch  und  P  gelegte  Ebene  daher  die  Polarebene  des  Schnittpunk- 
tes 'Af'igt  in  welchem  sich  diese  benachbarten  Normalen  treffen,  bezüglich 
F"*\  und  da  nach  dem  Vorstehenden  diese  Polarebene  in  der  Grenze  mit 
der  Tangentialebene  an  F'  in  P  zusammenföUt,  ergiebt  sich  in  synthe- 
tischer Herleitung  der  bekannte  Satz: 

Die  Hauptkrümmungscentra  sind  die  Pole  der  Tangential- 
ebenen in  Bezug  auV  die  beiden  durch  den  Berührungspunkt 
gehenden  confocalen  Flächen. 

Jtf'jg  fällt  also  mit  dem  Pol  der  Tangentialebene  an  F'  bezüglich  F"\ 
M\q  mit  dem  Pol  dieser  Ebene  bezüglich  JP"  zusammen. 

Wird  die  Krümmungscurve  ä;,,  von  JP"  abgewickelt,  so  bilden  die  Er- 
zeugenden der  Abwickelungsfläche  als  Normalen  zu  F'  eine  der  von  Mann- 
heim als  „Normalie**  bezeichneten  Flächen*.  Die  Strictionscuire  dieser 
Normalie  ist  also  der  Ort  der  Krümmungscentra  M\^ ;  derselbe  ist  bekannt- 
lich eine  geodätische  Linie  auf  der  zu  F'  gehörigen  Centrafläche.  Die  Nor- 
male zu  F'  berührt  diese  Centrafläche  ausser  in  M\^  noch  in  Jf'13,  wel- 
chem letztem  Punkte  die  Tangentialebene  t,  als  Polarebene  in  Bezug  auf 
F*'  entspricht.  Und  da  diese  Ebenen  t'  die  Fläche  zweiter  Ordnung  F' 
umhüllen,  so  liegen  auch  diese  Krümmungscentra  M\^  auf  einer  FlSche 
zweiter  Ordnung,  nämlich  der  Reciproken  von  F*  bezüglich  F"  als  Direc- 
trix.  Hierbei  entspricht  dem  Punkte  P^  zu  F'  gerechnet,  in  der  Reciproken 
die  Ebene  t\  welche  die  Fläche  der  zu  JP'  gehörigen  Krümmungscentra  in 
M\^  berührt.  Demnach  bildet  die  betrachtete  Normalie  die  Abwickelungs- 
fläche einer  Schaar  Flächen  zweiter  Ordnung,  und  hiemach  ist  der  geome- 
trische Ort  der  Krümmungscentra  M\^  eine  Baumcurve  vierter  Ordnung, 
längs  welcher  sich  die  Centrafläche  zu  F\  die  Normalie  und  eine  Fläche 
zweiter  Ordnung  (nämlich  die  ebenerwähnte  Beciproke  zu  F'  in  Bezug  auf 
F")  berühren. 

Dem  Hauptschnitte  längs  k^^  gehört  auf  F'^  Punkt  M^'j^  als  Krüm- 
mungscentrum an.  Wickeln  wir  mit  Hilfe  der  Tangentialebene  t  "  an  F'" 
die  geodätische  Linie  der  M\^  von  der  eben  genannten  Centrafläche  ab,  so 
erhalten  wir  in  der  Geraden  IJf'jgitf'^sl  ^^^^  Erzeugende  der  an  die  Centra- 
fläche längs  der  geodätischen  Linie  geführten  Developpabeln ,  welche  auch 
die  zu  F"  gehörige  Centrafläche  in  der  durch  M'\2  gehenden,  ebenüeJls 
der  Krümmungslinie  ^*,2  entsprechenden  geodätischen  Linie  berührt.  Für 
die  Centrafläche   der  P'  sind,   da  \M\^M'\2\  ein  Curvenelement  derselben 


•  Mannbeini,  Coure  de  Geometrie  Descriptive,  p.  273. 


Von  Dr.  L.  Okisbnubimer.  141 

längs  der  Normalen  \PM\^\  abwickelt,  diese  Normale  und  \M\^M'\^\  con- 
jngirte  Tangenten. 

Wird  diese  beide  Centraflftchen  einhüllende  Developpable  abgewickelt, 
so  gehen  die  erw&bnten  geodätischen  Linien  der  Centraflftchen  in  zwei  zu 
einander  senkrechte  gerade  Linien,  die  Normalen  zu  F'  und  F'\  ttber.    Da 
die  abwickelnden  Ebenen  die  Normalebenen  der  Krümmungslinie  \^  bilden, 
fallen   die  Erzeugenden  \M\^M'\^\   mit  den  Krümmungsazen ,  die  Stric- 
t^onscurve  der  aus  ihnen  gebildeten  Developpabeln  mit  dem 
geometrischen  Ort  für  dieCentra  der  Schmiegungskugeln  die- 
ser Erümmungslinie    zusammen.     Durch    diese  Betrachtung  ist  ein 
Weg  gebahnt,  um  den  Krttmmungs-  und  Windungsradius  wie  das  Centrum 
der  Schmiegungskugel  für  A;,,  aufzufinden. 
Wir  bezeichnen  im  Folgenden: 
mit  ^jg,  »22,  JK|2,  ds^^   die  Tangente,   die  Schmiegungsebene,   den  Win- 
dungsradius und  das  Bogenelement  der  Krümmungslinie  k^^; 
mit  p\  p",  p'\  Pi2  die  stets  positiv  zu  rechnenden  Entfernungen  der  Tan- 
gentialebenen t\  x\  t"  und  der  Schmiegungsebene  n^^  vom  Mittel- 
punkte S] 
mit  d'i3,  ^"28  ^iö  i^  ^^^  Flächen  F\  F"  parallel  den  zu  i^^  senkrechten 
Tangenten  dieser  Flächen  gezogenen  Halbmesser. 
Den  Krümmungsradius  von  \^  erhalten  wir  in  der  vom  Punkte  P  auf 
die  Krümmnrgsaxe  \M.\^M!\^\  gefällten  Senkrechten.    Projicirt  man ^  und 
p'  auf  diese  Gerade,  so  folgt: 

PQX^'-P   9  12=1-«   12-^"*    181^12- 

Nach  den  bekannten  Formeln  ist: 

»  »€•  ,,  i*  u  j'2         ^'2        ^"2 ^ "     2 

?i2=— y »     ^12  =  — y — •     ai8*  =  a''-a  »  =  -d  23% 

daher : 

d'  * 

welche  Formel   die  Entfernung  der  Schmiegungsebene  71,2  von  S  bestimmt. 
Behufs   der  Bestimmung  des  Windungsradius  i2j2  gehen  wir  von  den 
Gleichungen  aus: 


9 12  = 


a'^-a"'^ 


und  j9'*(a*—  o'"*)  =  Const,  längs  Är^j, 


P 
daher  längs  dieser  Krümmungslinie: 

Const.         .    j  f  o  Ciotw^.  j  . 

^i2==-ys-    ^"^    dQ^^  =  -ö-^dp. 

Aus  der  Figur  folgt  dp'==p*"d6,  wo  de  die  Projection  des  zur  Krüm- 
mungslinie  k^^  gehörigen  Contingenzwinkels  auf  die  Ebene  r"  bedeutet,  also 

ds 

dG=:  — ,i^   ist.     Hiernach  wird: 

(^12 


142  Beziehungen  zwischen  den  Krümmut]gen  etc. 


Indem  man  k^2  von  F"  abwickelt,  erhält  man  ti()',2  als  Bogenelement  der 
zu  ]c^^  reciproken  Curve  und  daher  unter  Anwendung  von  Gleichung  10}  in 
der  nach  §  3  umgewandelten  Gestalt: 

«    28   i> 
Pl2*-Rl2 

Die  Vergleichung  beider  Gleichungen  liefert: 


**?'«=  :rT^'^%- 


welche  Formel  sich  mit  Hilfe  von  14)  umwandelt  in: 


P    Pl2 

Das  durch  diese  Gleichung  sich  ergebende  Vorzeichen  von  Jß^g  stimmt  mit 

dem  durch  Gleichung  14)  erhaltenen  von  \M\2^'\2\  überein  und  giebt  an, 

ob  bei  einem  Fortschreiten  auf  Ä^g  sich  die  Schmiegungsebene  dieser  Curve 

dem  Mittelpunkte  S  ab-  oder  zudreht. 

Um   das  Centrum   der  Schmiegungskugel   zu   finden,   wickeln   wir   die 

Krümmungslinien  Jc^2  einmal  von  1^",  dann  von  JP'  ab.     Die  Elemente  der 

hierbei  erhaltenen,  zu  /Cig  reciproken  Curven  sind  <2p',2  und  <f^",2,  wo  sich 

die  Differentialzeichen  auf  die  Veränderung  der  Krümmungsradien  bei  einem 

Portrücken  nach  der  ihnen  zugehörigen  Krümmungsrichtung  beziehen.    Sehen 

wir  dp'i2  und  d^",g  als  die  Geschwindigkeiten  der  Endpunkte  der  Geraden 

I  Jf'jg  Jlfjjl  an,  so  erhalten  wir  nach  dem  Vorstehenden  im  Schnitt  zweier 

unendlich  nahen  Lagen  dieser  Geraden,  also  im  Gleitpunkte  derselben,  das 

Centrum  der  Schmiegungskugel,  in  der  Gleitungsgeschwindigkeit  das  halbe 

Bogenelement  für  den  Ort  dieser  Centra.     Nun  ist  nach  15) 

P  /  P 

d p'jg  ==  —  3  — r dSy^   und  entsprechend  dQ\^  =  —  3  -rr ds^^ • 

dQ  12       P 

Bei  der  Aufsuchung  des  Gleitpunktes  können  J^'^g  und  dQ\^  durch  die 
ihnen  proportionalen  Grössen  p'  und  p'  ersetzt  werden.  Der  Gleitpunkt  der 
Gei'aden  |JJf' ,2ilf"j2|  kann  dann  bestimmt  werden,  indem  man  diese  Gerade 
als  ein  ähnlich  -  veränderliches  System  auffasst.  Eine  auf  anderem  Princip 
beruhende  Construction  liefert  folgende  Ueberlegung.  Lassen  wir  in  der 
Ebene  t'"  auf  P  die  Kräfte  p'  und  p'  senkrecht  zu  den  gleich  bezeichneten 
Abständen  wirken,  so  theilt  deren  Resultante,  also  auch  die  in  ^,2  zur  Ebene 
\St^2\  normal  errichtete  Ebene,  die  Gerade  \M\^M'\^\  nach  einem  Verhält- 
nisse, welches  gemäss  den  Gesetzen  des  Hebels  der  reciproke  Werth  des 
durch   den  Gleitpunkt  hervorgerufenen  Schnittverhältnisses  ist;    bei  Vertäu- 


17) 


Von  Dr.  L.  OEISBKHEIMfiR.  143 


schang  der  Abschnitte  ergiebt  sich  also  dieses  SchnittverhSltniss   -7    selbst. 

P 
Zusammenfassend  kommt: 

Der  Gleitpunkt  der  Geraden  \M\^M'\^\,  auf  deren  End- 
punkte M\^  und  M'\^  längs  der  zugehörigen  Normalen  zwei 
den  Abständen  p"  und  p  gleiche  Geschwindigkeiten  wirken, 
bildet  das  Centrum  für  die  Schmiegungskugel  der  Krümmungs- 
linie ^*J2.  Dasselbe  wird  auch  erhalten,  indem  man  zu  dem 
Schnittpunkte  der  Geraden  \M\^M'\^\  mit  der  zur  Ebene  [^^12] 
in  ^,2  errichteten  Normalebene  bezüglich  der  Endpunkte  der 
genannten  Geraden  den  symmetrischen  Punkt  sucht. 

Die  letztgenannte  Construction  liefert  bei  Erümmungslinien  einer  Kugel 
deren  Mittelpunkt,  bei  Parallelkreisen  einer  Rotationsfläche  einen  variablen 
Punkt  der  Botationsaxe  als  Mittelpunkt  der  Schmiegungskugel ,  welcher  mit 
der  Projeetion  des  Flächenpunktes  auf  diese  Drehaxe  in  einer  Involution 
steht,  deren  Doppelpunkte  die  reellen  oder  imaginären  Brennpunkte  des 
Meridians  in  dieser  Axe  sind.  Der  Involution  gehören  also  auch  M\<^  und 
If'^j  als  conjugirte  Punkte  an.  Die  üebertragung  der  so  erhaltenen  spe- 
ciellen  Figur  auf  den  allgemeinen  Fall  liefert  den  Satz: 

Das  Centrum  der  Schmiegungskugel  und  der  Krümmungs- 
mittelpunkt für  Äjg,  ferner  M\^  und  M'\^  bilden  zwei  Paare 
zugeordneter  Punkte  einer  Involution,  deren  Mittelpunkt  in 
die  Ebene  [St^^  fällt 

Die  vorstehenden  Entwickelungen  lassen  ferner  ein  Element,  also  die 
Indicatrix  bezüglich  die  Krümmungen  der  zu  einer  Fläche  zweiter  Ordnung, 
etwa  F\  gehörigen  Centrafläche  bestimmen.  Bei  Abwickelung  der  h^^  von 
F"  ist  nach  Formel  13),  wenn  der  Krümmungsradius  des  Schnittes  der 
Ceniarafläche  mit  Ebene  t"  in  M\^  durch  P  bezeichnet  wird: 

P|5^  =  ^'i..    also    P  =  -3C^\2. 

«^12  P 

Das  positive  oder  negative  Vorzeichen  von  P  bestimmt,  ob  die  Curve  der 
Centrafläche  von  deren  Tangentialebene  x"  in  zu  p"  entgegengesetztem  oder 
gleichem  Sinne  abweicht.  Um  den  Krümmungsradius  eines  weiteren  Schnittes 
zu  gewinnen ,  rücken  wir  auf  der  zweiten  Krümmungslinie  Jc^^  um  die  Strecke 
^5,3  weiter  und  ziehen  dann  wieder  die  Plächennormale ,  welche  die  vorher- 
gehende bis  auf  unendlich  kleine  Grössen  dritter  Ordnung  in  If'^g  trifft. 
Auf  der  neuen  Normalen  erhält  man  einen  dem  Punkte  M\^  benachbarten 
Punkt  der  Centrafläche,  indem  man  aus  M\^  durch  M\^  einen  Kreis  schlägt 
und  von  dessen  Schnittpunkt  mit  der  zweiten  Normalen  öq\^  abträgt,  wo 
sich  also  öq\^  auf  die  Variation  von  ^',2  bezieht,  welche  ein  Portschreiten 

auf  frj3  bedingt    Da  o',g= , 1  wird  Ä^^i^ ^ —  ^V  -    -^"^  der 


144  Beziehungen  zwischen  den  Krttmmungen  etc. 

Figur  folgt  8p'=p"^,  daher  dg,,  =  -  °  '  ~f\"  ^»  =  -C  ^  d»,,- 
Die  Abweichung  der  Krümmungslinie  fcjg  von  der  Ebene  x'"  ist  ^  )Jt   i  dem- 

^?     18 

nach  die  Abweichung  der  Centrafiäche  in  dem  zu  M\^  benachbarten  Punkte 
^v=3^i8JILLL«        i»_  oder  dv=^^  «r^ '     ^^^  Kreisbogen  zwischen   den 

^13  ^e    18  i^     ^^18  ,  , 

zwei  betrachteten  unendlich  nahen  Normalen  ist  gleich  —^ — -  d$^^  = 
_V_  ?_i|^^^^^   daher  die  Entfernung  der  benachbarten  Punkte  der  Centra- 

fläche  als  Hypotenuse  des  aus  diesem  Bogen  und  ö  q\^  gebildeten  rechtwink- 

"  Ulf'    jlf"    I 
ligen  Dreiecks  gleich  ^  ' — -^^7 — —  ds^^  und  somit  der  Krümmungsradius 

P  P  18 

des  durch   diese  Strecke  gelegten   Normalschnittes  der  CentraflSche   gleich 

^^__  vj» — ^_i  18  .     i^ür  die  Neigung  dieses  Normalschnittes  gegen  die  nach 

PP  Qu 

dem  Krümmungsmittelpunkte  M\^   gerichtete  Normale  der  F'  ergiebt  sich 
ff 

-7^;    der  Normalschnitt   geht  also    durch   \M\^M'\^\^    ist  zu   dem   erst- 

betrachteten,  in  der  Ebene  t"  liegenden  Schnitte  conjugirt  und  hiermit  die 
Indicatrix  der  Centrafläche  im  Punkte  Jlf' ,2  bestimmt.     Für  das  der  Scheitel- 
höhe dv  entsprechende  Element  der  Indicatrix  längs  der  Normalen  von  /'' 
,ff      / 7— 

folgt  ^2Pyv= —  T/  — 3^d%.  Falls  der  in  diesem  Ausdruck  enthal- 
tene Wurzelwerth  imaginär  wird,  besitzen  die  Scheitelhöhe  dv  und  die 
Bogenhöhe  des  letztberechneten  Elements  entgegengesetzte  Bichtung;  die 
Indicatrix  der  Centrafläche  wird  also  eine  Hyperbel.     Hiermit  folgt: 

Die  sich  entsprechenden  Punkte  auf  einer  Fläche  zweiter 
Ordnung  und  ihrer  Centrafläche  sind  stets  verschiedener  Art, 
so  dass  einem  elliptischen  Punkte  ein  hyperbolischer  und  um- 
gekehrt entspricht. 

Einem  ebenen  unendlich  kleinen  Schnitte  oder  der  Indicatrix  der  einen 
kann  daher  niemals  ein  gleichfalls  ebener  Schnitt  der  andern  Fläche  ent- 
sprechen. Der  femer  bei  der  vorstehenden  Entwickelung  benutzte  Satz, 
dass  \'M.\^'M.'\^  und  die  Normale  von  /"  conjugirte  Tangenten  der  Centra< 
fläche  sind,  findet  seine  Verallgemeinerung  in  dem  schon  au  anderer  Stelle* 
hergeleiteten  Gesetze,  nach  welchem  die  Verbindungslinie  des  KrUmmungs- 
mittelpunktes  einer  Krümmungslinie  mit.  dem  zugehörigen  Krümmungscen- 
trum der  Fläche,  also  die  von  letzterem  auf  die  Schmiegungsebene  der 
Krümmungslinie  gefällte  Senkrechte,  bezüglich  der  Centrafläche  zur  Nor- 
malen conjugirt  ist. 

*  ZeitBchr.  f.  Math.  u.  Phys.,  Bd.  XXVIII  S.  56. 


Von  Dr.  L.  Geisenheimer.  145 


§4. 

Die  in  §  1  gefundenen  Formeln,  obgleich  fttr  die  Systeme  reciproker 
Baumcurven  entwickelt,  haben  eine  weitergehende  Bedeutung.  Die  Schnitt- 
linie zweier  sich  folgenden  Schmiegungsebenen  bildet  mit  der  Tangente  den 
halben  Contingenzwinkel ;  dies  berücksichtigend,  gelten  die  dort  gebildeten 
Gleichungen  Überhaupt  für  die  unendlich  kleinen  Ortsveränderungen  reciproker 
Elemente. 

Wir  recapituliren  die  gebrauchten  Bezeichnungen  nochmals.  Bedeuten 
Pj  und  Pj  zwei  conjugirte  Punkte,  tt,  und  äj  deren  Polarebenen,  t^  und  ^ 
zwei  in  9C|  bezüglich  n^  liegende,  durch  P^  bezüglich  P,  gehende  gerade 
Linien;  d^^,  d^^  die  sich  entsprechenden  unendlich  kleinen  Drehungen 
dieser  Geraden  in  der  Ebene  «,,  ttj  um  P^,  F^]  drii,  dri^  die  Neigung  (der 
Torsionswinkel)  zweier  durch  diese  Geraden  gelegten,  von  »j  und  n^  un- 
endlich wenig  abweichenden  Ebenen  gegen  n^  und  tTj;  ds^  und  ds^  die 
unendlich  kleinen  Entfernungen  der  den  neuen  Ebenen  zugehörigen  Pole  von 
P^  im  ersten,  bezüglich  von  P^  im  zweiten  System;  femer  d  den  zur  Schnitt- 
linie I^Ti^rsI  P&rallele  Halbmesser  der  Directiix,  0  die  Spur  dieser  Schnitt- 
linie mit  der  zu  d  conjugirten  Durchmesserebene  [PiÄPg];  g>,,  ^j  die  Winkel 
der  Geraden  t^  mit  OP^  und  l^inigj;  tp^^  ^^  ^^^  entsprechenden  Grössen 
fttr  ^,  so  gelten,  wenn  wir  noch  der  Kürze  wegen  die  Winkel  von  |»i»2| 
mit  OPj^  und  OP^  durch  fi|  und  fn,  bezeichnen,  nach  §  1  folgende  Formeln: 

dSi    d&2__  Oo^oCq  /siwfA,  sing>2  sm%V/^ 

d^i  dfj2     Pi^^Pi'^^ysinii^sincpiSin'i^J 

ds^    ds^  ^Oq^W 

drii  d%       Pj*Pi^ 
d8i,d&i.dfii_Pi 
(2  5).  dOg.d  1/2     P2 

^0  ÜQ,  hQ,  Cq  die  halben  Hauptaxen  der  Directrix,  p^,  p^  die  Entfernungen 
der  Ebenen  tt^,  ts^  Tom  Mittelpunkte  S  der  Involution  sind.  Aus  diesen 
Gleichungen  folgt: 

dOg  __  sinfii  sin(p2  sintlf^ 


dsi fif^h  c    /^«^tj  5m<;p2  5m  1^2  \^ 

^^2      Pi^      ''  \sinfi2  sinq>i  sin'tif^  / 
d 52  _  fl^o^^o  (^^N  sinq>^  smtlfi  V^ 
^Vi      Pi      a*'*  ^^*^  l*i  ^*^  Vi  ^***  ^«  ^ 
welche  Beziehungen  sich  auch  in  die  fortlaufende  Proportion  zusammenfassen 
ssen: 

ZdtMhrift  f.  MAthnuktik  u.  Physik  XXX,  S.  10 


]46  Beziehungen  zwiscben  den  Krümmungen  etc. 


18) 


=  ?»Voj       d»^ .^g 


du 


wo  du  irgend  eine  ürvariable  bedeutet. 

Die  zu  d^i  gehörige  Richtung  von  d^^  bestimmt  sich  am  einfachsten 
durch  die  auf  I^iTTjI  durch  f^  und  f,  gebildete  Involution,  wodurch  auch 
die  Vorzeichen  von  sin<p^  und  singj^  bestimmt  sind;  die  Richtung  von  ds^ 
entweder  durch  die  auf  t^  inducirte  Involution  oder  nach  dem  durch  Formel 
11)  entwickelten  Satze  über  das  Yerhftltniss  entsprechender  Abstände  in 
reciproken  Systemen,  jp^,  jp,,  sififi^^  ^n/Us,  sini^i  und  sin%  werden  stets 
positiv  genommen.     (VergL  S.  138.) 

Für  ebene  involutorisch-reciproke  Systeme  findet  man: 

ds,:^^Y^d^.:du=^^^d^^:ds^:du, 

wo  Pi,  p^  wieder  die  Entfernungen  der  entsprechenden  Tangenten  vom 
Involutionscentrum  bedeuten.  — 

Nach  dieser  vorg&ngigen  Entwickelung  wenden  wir  uns  zur  Betrachtung 
reciproker  Flächen.  Lassen  wir  bei  der  ersten  Fläche  <1>|  die  Tangential- 
ebene längs  einer  Curve  k^  gleiten,  so  bilden  die  den  Tangentialebenen 
reciproken  Punkte  auf  der  entsprechenden  Fläche  ^2  ^^le  zweite  Curve  ^; 
in  diesem  Sinne  können  wir  sagen,  dass  jedem  Punkte  auf  <Z>|  ein  solcher 
auf  (P,,  jeder  Curve  k^  auf  <Pj  eine  solche  k^  auf  (P,  entspreche.  Die  Tan- 
gente an  Ä^i  als  Verbindungslinie  unendlich  naher  Punkte  auf  (P^  entspricht 
hierbei  der  Schnittlinie  benachbarter  Beillhrungsebenen  längs  k^. 

Bei  sich  entsprechenden  Curven  zweier  reciproken  Fis- 
chen sind  die  Tangenten  der  einen  Curve  reciprok  zu  den,  den 
Elementen  der  entsprechenden  Curve  conjugirten  Richtungen. 

Hieraus  ergiebt  sich  sofort: 

Die  in  entsprechenden  Punkten  zweier  reciproken  Flächen 
durch  deren  Tangenten  gebildeten  Strahlbüschel  sind  projee- 
tivisch  verwandt,  und  zwar  entspricht  einer  Asymptote  der 
einen  eine  Asymptote  der  projectivischen  Strahlinvolution. 

Da  hiemach  zu  einer  reellen  Haupttangente  an  <P^  eine  gleiche  an  (Pg 
reciprok  ist,  folgt: 

Bei  zwei  reciproken  Flächen  entspricht  einem  elliptischen 
oder  hyperbolischen  Punkte  der  einen  stets  ein  Punkt  gleicher 
Art  auf  der  zweiten  Fläche;  hiernach  ist  die  Reciprokalfläcbe 
einer  Regelfläche  wieder  eine  Regelfläche. 


Von  Dr.  L.  Geisbnheimer.  147 

Da  die  Ordnung  und  Classe  einer  Begelfiäche  stets  durch  dieselbe  Zahl 
ausgedrückt  werden,  ist  der  Grad  der  BeciprokalflSche  gleich  dem 
der  erstgegebenen  Begelfiäche,  ein  von  Cajley  aufgefundener  Satz. 

Im  Punkte  einer  Fläche  fallen  drei  Schnittpunkte  für  jede  Haupttan- 
gente dieses  Punktes  zusammen ;  nach  dem  Vorstehenden  coincidiren  in  der 
Tangentialebene  eines  Flächenpunktes  drei  durch  eine  Haupttangente  des- 
selben an  die  Fläche  gelegte  Berührungsebenen. 

Legen  wir  durch  0i  in  unendlich  kleinem  Abstände  zweiter  Ordnung 
von  der  Tangentialebene  n^  eine  hierzu  parallele  Schnittebene,  so  entspricht 
dieser  im  reciproken  System  ein  der  Fläche  <P^  unendlich  naher  Punkt,  aus 
welchem  sich  ein  reeller  Tangentialkegel  an  letztere  Fläche  legen  lässt,  des- 
sen halbe  Oeffnung  unendlich  wenig  von  einem  Bechten  abweicht  und  dessen 
Berührungscurve  mit  O^  bis  auf  Grössen  höherer  Ordnung  ein  zur  Indica- 
trix  in  n^  ähnlicher  Kegelschnitt  ist,  dessen  Ebene  bis  auf  einen  Winkel 
zweiter  Ordnung  zur  Tangentialebene  n^  parallel  ist.  Da  nun  n^  die  Höhe 
dieses  Kegels  zwischen  seinem  Scheitelpunkte  und  letzterer  Ebene  halbirt, 
folgt  unter  Benutzung  des  S.  137  hergeleiteten  Satzes: 

Einem  unendlich  kleinen  ebenen  Schnitte  der  einen  ent- 
spricht ein  gleichartiger  ebenfalls  ebener  Schnitt  der  Beci- 
prokalfläche;  die  Scheitelhöhen  derartiger  sich  entsprechen- 
den unendlich  kleinen  Flächentheile  verhalten  sich  wie  die 
Entfernungen  ihrer  Tangentialebenen  vom  Mittelpunkte  der 
Involution. 

Der  vorstehende  Satz  wird  für  diejenigen  Flächenpunkte,  welche  in 
einer  der  Haupttangente  benachbarten  Bichtung  liegen,  hinfällig.  Für  der- 
artige Punkte  gilt  überhaupt  der  Satz  nicht  mehr,  dass  sie  bis  auf  Grössen 
höherer  Ordnung  in  einem  der  Indicatrix  ähnlichen  Kegelschnitte  liegen. 

Um  eine  Beziehung  zwischen  den  Krümmungen  sich  entsprechender 
Flächendifferentiale  zu  gewinnen ,  gehen  wir  von  den  Coordinatengleichungen 
derselben  aus.  Als  Z-Axe  werde  in  beiden  Systemen  die  bezügliche  Flä- 
chennormale, als  X-  und  F-Axe  zwei  sich  entsprechende  Paare  conjugirter 
Fläcbentangenten  gewählt;  es  mögen  sich  also  die  Bichtungen  von  Xj  und 
X^y  Tj  und  T^  auf  den  reciproken  Flächen  entsprechen,  in  welchem  Falle 
Zj  und  Y*2 ,  F,  und  Xj  reciproke  Gerade  sind.  Hiemach  laute  die  Gleich- 
ung von  (Pj*. 

und  diejenige  von  (P,*- 

2 


"4^^+%y^+' 


Nach  dem  eben  gefundenen  Satze  über  die  Scheitelhöhen  reciproker  Elemente 

moss  sein: 

10* 


148  Beziehungen  zwischen  den  Krümmungen  etc. 


wo  p^  and  p^  nach  früherer  Bezeichnung  die  Entfernung  der  Tangential- 
ebenen 7C|  und  K^  vom  Involutionsmittelpunkte  darstellen.  Da  für  ^^  =  0  auch 


nach  der  Wahl  der  Coordinatensysteme  ^^  =  0  wird ,  kommt 


^1  _  -t/^tPi . 


Anderseits   erhält  man,    wenn    der  Berührungspunkt  der  Tangential- 
ebene an  (f>2  längs  X^  um  x^  verschoben  wird,  als  Gleichung  der  letztem: 

e — fi^^=r^x^(x  —  x^ , 
demnach  als  Torsionswinkel  der  um  Y^  gedrehten  Tangentialebene  gegen  n^: 


«^%  =  ; 


^2^2 


Dieser  Drehung  um  Y^  entspricht  im  ersten  System  die  Verschiebung  ds^^=^x^ 
längs  X|;  daher  wird  nach  Formel  18)  in  abgekürzter  Schreibweise: 

wo  sich   die  in  A^^y,  auftretenden  Winkelgrössen  <p^,  t//,   auf  X,  als  Ver- 
schiebnngg-,  f)},  tf;,  auf  F,  als  Drehaze  beziehen;  oder: 

Xt     «i»(X,r,)      ''*'' 

X 

Der  Vergleich  mit  dem  vorhin  entwickelten  Werthe  für  —  giebt: 

sm[X^Y^) 

Die  Krümmungsradien  der  Normalschnitte  von  0^  und  O^  längs  der 
Coordinatenaxen  X^,  F|,  2^,  F,  seien  ^«^,  ^y^,  ^^^r,,  ^y,;  nach  letzter 
Gleichung  wird: 


^-/f- 


Indem  wir  in  dieser  Gleichung  einmal  die  Indices  1  und  2,  dann  x  und  y 
vertauschen,  ergeben  sich  die  entsprechend  gebildeten  Gleichungen: 


-^y^si 


sin{X^Y^) 

Nennen  wir  die  sich  entsprecheuden  unendlich  kleinen  Drehungen  der  X- 
und  T-Axen  innerhalb  der  Berührungsebenen  d^*,,  d^^,,  ä^^^  ^^»n  so 
können  diese  vier  Gleichungen  nach  18)  auch  geschrieben  werden: 


Von  Dr.  L.  Geisbkheimbr. 


149 


lU) 


J/p<. 

•?x. 

_             OohCo 

j),j),««(z,r,) 

^**. 

•?*s 

'•o''o''o 

n.  h  /* 

y^.. 

'Qth 

_          »o*'o^o 

w^ 

Die  Oleicbsetzung  der  ersten  und  zweiten  oder  der  dritten  und  vierten  dieser 
Gleichungen  liefert  die  Proportion: 


d^«, 


d^jc 


sJnjX^T^)  sinjX^Ti) 


sin{X^T^y  sin(X^Yi)  dO, 


*i 


d^, 


yi 


welche  Proportion  auch  aus  der  Projectivität  der  reciproken  Strahlbüschel 
der  Tangenten  hätte  erschlossen  werden  können. 

Die  Multiplication  aller  vier  Gleichungen  liefert: 


20) 


Qs..Qy,.sin^{X,T,).Q.^.Qy,.sin'iX,T,)=^'^^L^ 


Das  Product  aus  den  totalen  Krümmungen  zweier  reci- 
proken Flächenelemente  ist  der  vierten  Potenz  des  Productes 
ihrer  Entfernungen  vom  Involutionsmittelpunkte  propor- 
tional. 

Bezeichnen  wir  die  Absolutwerthe  (Moduln)  des  geometrischen  Mittels 
aus  den  Hauptkrümmungsradien  für  die  beiden  reciproken  Flächen  mit  B^ , 
iSg,  so  folgt: 


B,.B,== 


PiPi 


Für  einen  elliptischen  Punkt  bedeuten  B^,  B^  die  Radien  zweier  die 
reciproken  Elemente  berührenden  Kugeln,  auf  welche  sich  die  erwähnten 
Flächenelemente  abwickeln  lassen;  für  einen  hyperbolischen  Punkt  erhalten 
wir  in  B^  und  B^  die  Windungsradien  der  auf  <Pj  und  (P,  verlaufenden 
und  zu  einander  reciproken  asymptotischen  Curven,  deren  Tangenten 
und  Schmiegungsebenen  also  mit  den  Haupttangenten  und  Berührungsebenen 
der  reciproken  Flächen  zusammenfallen.  In  der  letztentwickelten  Gleichung 
ist  durch  die  Wahl  des  Vorzeichens  in  beiden  Fällen  die  Bichtung  von  B^ 
und  i?2  berücksichtigt.  Für  reelle  asymptotische  Linien  folgen  die  vor- 
stehenden Sätze  ohne  Weiteres  aus  Formel  6).  Der  vorstehend  geführte 
Beweis  ist  von  dieser  Beellität  unabhängig.  Der  Satz  selbst  liefert  wieder 
eine  Bestätigung  für  die  Berechtigung  des  für  die  untersuchte  Art  der  Ab- 
hängigkeit gewählten  Namens  der  ;,Reciprocität^;  bei  gegebenen  Tan* 
gentialebenen  bleibt  das  Product  aus  den  Krümmungen  der 
Flächenelemente  oonstant 


150  Beziehungen  zwischen  den  Krümmungen  etc. 

Sowohl  aus  den  allgemeinen  Beziehungen  zwischen  den  Yerschiebungen 
sich  beliebig  entsprechender  Punkte ,  wie  aus  den  bisherigen  Entwickelungen 
folgt,  dass  sich  die  Schnittlinien  beider  reciproken  Flächen  mit  einer  ihrer 
Tangentialebene  parallelen  und  unendlich  nahen  Ebene  als  affine  Curven 
entsprechen«     Für  das  Verhöltniss  entsprechender  Flächentheile  der  beiden 

ebenen   Systeme  und  hiermit  für  ihren  Affinitätscoefficienten  folgt  "^^-^j 

Pt^ 
das  Yerhältniss  entsprechender  Bogendifferentiale  ergiebt  sich  nach  Seite  148: 

Für  Bogenelemente,  welche  die  asymptotische  Curve  berühren,  gelten 
diese  Entwickelungen  nicht  mehr.  In  diesem  Falle  erhält  man  die  entspre- 
chenden Beziehungen,  wenn  man  die  Haupttangenten  der  Flächenelemente 
als  Coordinatenaxen  annimmt  und,  unter  Berücksichtigung  der  Glieder 
dritter  Ordnung,  wieder  von  dem  Satze  über  das  Yerhältniss  zwischen  den 
Entfernungen  reciproker  Elemente  Gebrauch  macht.  Diese  Bechnung  liefert 
folgendes  Resultat : 

Das  Yerhältniss  zweier  entsprechenden,  die  Asymptoten 
berührenden  Curvenelemente  ist  constant,  also  gleich  dem 
nach  Formel  10)  oder  12)  ausdrückbaren  Yerhältnisse  zwischen 
denBogendifferentialen  der  reciproken  asymptotischen  Curven. 

Bezeichnen  ferner  B^^q^^\  iP^^p*^^  die  Windungs-  und  Krümmungs- 
radien der  berührenden ,  BiQ^^  B2Q%  die  entsprechenden  Grössen  für  die  ein- 
ander reciproken  asymptotischen  Curven,  so  gilt  noch  folgende  Gleichung: 

Falls  zwischen  der  betrachteten  Curve  und  der  Haupttangente  an  (P^ 
bezüglich  (P^  eine  zweipunktige  Berührung  stattfindet,  fällt  die  Schmie- 
gungsebene  der  ersteren  ebenfalls  in  die  Berührungsebene  der  Fläche  und 
es  finden  die  weiteren  Gleichungen  statt: 

22)  i2i)  =  ^L^,    bezüglich    BCii.'  =  .     ^^> 


Wir  entnehmen  diesen  Beziehungen  einige  Folgerungen. 

Eine  beliebige  durch  die  Haupttangente  gelegte  Ebene  schneidet  <D|  in 
einer  diese  Tangente  osculirenden  Curve,  für  welche  also  ^W  =  oo  ist.  Das 
reciproke  Gebilde  ist  der  aus  einem  Punkte  der  reciproken  Asymptote  an 
<Pg  gelegte  Tangentialkegel,  für  dessen  Berührungscurve  sich  nach  dem  Yor- 

stehenden  ^<°i=-^,  B^^J  =  ^>  also  beide  Grössen  als  constant  er- 
geben. 

Falls  die  Spitze  dieses  Kegels  in  die  Fläche  <P^  selbst  föllt,  wird  diese 
Betrachtung  hinfällig.    In  diesem  Falle  ist  die  Sehne  der  KegelberOhrongs- 


Von  Dr.  L.  Geisenheimer.  151 

corve  zn  deren  Tangente  conjugirt;  und  da  die  conjugirten  Halbmesser  einer 
Hyperbel  bei  der  Annäherung  an  eine  Asymptote  in  der  Grenze  mit  dieser 
gleiche  Winkel  bilden,  folgt,  dass  der  Contingenzwinkel  der  asymptotischen 
Cunre  das  arithmetische  Mittel  zu  den  unendlich  kleinen  Drehungen  der 
einander  conjugirten  Sehne  und  Tangente,  also  |  des  Contingenzwinkels 
der  Kegelberührungscurve  bildet.  Für  letztere  ist  daher  ^^^^  =  f^a  und 
somit  2^^°^  =  ^i?^.  Pur  das  reciproke  Gebilde,  nämlich  für  den  entsprechen- 
den Zweig  des  Schnittes  von  0^  mit  der  Bertihrungsebene,  folgt  ^^'^  =  ^^i, 
B^^  =  oc.  Die  Krümmungen  der  beiden  durch  einen  hyperbolischen  Flächen- 
punkt laufenden  asymptotischen  Curven  bestimmen  also  in  sehr  einfacher 
Weise  die  Krümmungen  in  den  sie  berührenden  Zweigen  der  erwähnten 
ebenen  Schnitt-  und  der  Kegelberührungscurve. 

§5. 

Die  bisherigen  Ent Wickelungen  sind  fUr  den  Fall,  dass  der  betrachtete 
Flächenpunkt  auf  O^  ein  parabolischer  (ein  Wendepunkt)  sei,  zu 
ergänzen,  wobei  zunächst  einige  Eigenschaften  der  Fläche  in  der  Nähe  dieses 
Punktes  entwickelt  werden. 

Die  Gleichung  einer  Fläche  in  der  Nähe  eines  parabolischen  Punktes 
kann  stets  in  der  Form  gegeben  werden: 

wo  die  Doppelasymptote  des  Wendepunktes  zur  T-Axe  und,   was   immer 

möglich  ist,   die  Z-Axe  derart  gewählt  wurde,  dass  der  Coefficient  -^  des 

Gliedes  xy^  verschwindet. 

Sämmtliche    Wendepunkte   der   Fläche    bilden    deren   Wendecurve, 

/   d^z  V      d^z   d^z 
welche    die   weitere    Gleichung    ( - — r—  1  =  r— s  •  r— »   erfüllt.     Als   zweite 

\dxdy/        do?  dy^ 

Gleichung  dieser  Curve  erhalten  wir  hiemach: 

Die  gewählte  X-Axe  ist  also  die  Tangente  der  Wendecurve. 

Wird  aus  einem  beliebigen  Punkte  ^ri  der  Berührungsebene  ein  Tan- 
gentialkegel  an  die  Fläche  gelegt,  so  ergiebt  sich  als  zweite  Gleichung 
seiner  Berührungscurve : 

Die  Ausführung  der  Eechnung  liefert,  indem  wir  uns  auf  die  niedrigsten 
Potenzen  beschränken: 

Die  Berührungscurve  tangirt  hiemach  die  Doppelasymptote;  für  alle  Punkte 
einer  durch  den  Wendepunkt  laufenden  Geraden  17  =  m^  wird  ihr  Krünunungs- 


152  Beziehungen  zwischen  den  Krümmnngen  etc. 

radius   gleich r—, — r»  der  Parameter  längs  der  X-Axe  (?*w»^| 

^  io.m8m{xy)  °  \      2x) 

gleich •     Das  Strahlbüschel   der  Tangenten  durch  den  Wendepunkt 

ijofn 

ist   der  Punktreihe    der  Erümmungsmittelpunkte  projectivisch  zugeordnet; 

f 

jede  Tangente  schneidet  auf  der  zur  X-Axe  parallelen  Geraden  y  = 

w 

den  Parameter  ab,   welcher  den  Berührungscurven  der  aus  ihren  Punkten 

an  die  Fläche  gelegten  Tangentialkegel  angehört.     Die  der  Tangente  der 

Wendecurve  angehörigen  Berührungscurven  osculiren  die  Doppelasjmptoie. 

Die  vorstehende  Entwickelung  wird  für  «ii  =  qo,   also  für  die  Punkte 

der  Doppelasjmptote,  ungiltig.    In  diesem  Falle  ergiebt  sich  für  die  Be- 

rührungsourve  die  Gleichung: 


a-^)-i'(f)'+--«.  (f)* 


•Ulfl^ 


Die  Berührungscurve  besitzt  diesmal  im  parabolischen  Punkte  der  Fläche 
einen  isolirten  oder  Doppelpunkt,  dessen  Tangenten  eine  Involution  mit  der 
X-  und  T'Axe  als  Asymptoten  bilden.  Die  Doppelasymptote  ist  ein  iso- 
lirter  oder  Doppelstrahl  des  Berührungskegels,  dessen  beide  Mäntel  einander 
osculiren,  da  ihre  jei-Ordinaten  sich  längs  der  X-Axe  nur  um  Grössen  dritter 
Ordnung  von  denjenigen  der  Wendecurve  unterscheiden.  Die  Schmiegungs- 
ebene  dieser  Berührungscurve  fällt  im  Allgemeinen  nicht  in  die  XT-  Ebene, 
so  dass  auch  der  Tangentialkegel  diese  Ebene  nicht  osculirt.  Falls  die 
Zweige  der  Berührungscurve  sich  den  Asymptoten  der  Involution  nähern, 
geht  die  Schmiegungsebene  in  die  Berührungsebene  der  Fläche  über. 

Die  diesen  Asymptoten  entsprechenden  Punkte  der  Doppelasymptote  7, 

nämlich  i} «  0  und  t;  =  —  i  verlangen  eine  besondere  Betrachtung.   Für  den 

ersten,  also  für  den  parabolischen  Flächenpunkt  selbst,  ergeben  sich  die 
Gleichungen  der  Berührungscurve: 

Die  Curve  bildet  längs  des  positiven  oder  negativen  Theils  der  F-Axe  eine 
Schnabelspitze  (Cuspidalpunkt) ,  für  welche  die  Schmiegungsebene  mit  der 
XF- Ebene  zusammenfällt.  Die  Singularität  stimmt  mit  derjenigen  überein, 
welche  der  Schnitt  der  Fläche  mit  ihrer  Berührungsebene  im  Wende- 
punkte zeigt. 

Für  den  zweiten  Ausnahmefall ,  ij  =  — «  wird  für  die  Berührungscurve 

des  Tangentialkegels  gefunden: 

2u^      V3      6    uj"^^"  ' 


Von  Dr.  L.  Gbibbnhbimbr.  153 

wo  -^   den  Coefficienten  von  ofiy  in  der  Flftchengleichnng  bedeutet.    Die 

Cnrve  bildet  diesmal  längs  der  X-Aze  eine  Spitze,  deren  Schmiegungs- 

ebene  wieder  in  die  Bertlhrungsebene  der  Flftche  fUlt.     Im  Punkte  17  =  — 

selbst  schneiden  sich  drei  aufeinander  folgende,  längs  der  Wendecurve  gelegte 
Berfihrungsebenen  der  Fläche;  derselbe  gehört  also  der  Cuspidallinie  der 
aus  den  Doppelasymptoten  gebildeten  abwickelbaren  Fläche  an. 

— )  = zeigt,  dass,  wenn  u  und 

X  /  Wtfl 

w  gleiches  Torzeichen  haben,  -^  ftlr    alle  Punkte    zwischen  17  =  0  und 

X 

17  =  —-  reell,  flir  alle  ausserhalb  liegenden  imaginär  wird;  besitzen  aber  u 
w 

und  v>  ungleiches  Vorzeichen,  so  wird  umgekehrt  —  und  hiermit  der 

X 

zugehörige  Bertthrungskegel  für  die  Punkte  der  Y-Axe  zwischen  0  und  — 

imaginär,  für  alle  Punkte  ausserhalb  dieser  Strecke  reell. 

Für  eine  Regelfläche  fallen  die  parabolischen  Punkte  in  die  unendlich 
ferne  Ebene.  Die  Fläche  der  Doppelasjmptoten  wird  in  diesem  Falle  durch 
den  Ort  der  zur  Begelfläche  gehörigen  Asymptoten,  die  Cuspidalcurve  des 
letztem  durch  den  geometrischen  Ort  der  Centra  der  die  Regelfläche  oscu- 
lirenden  Hyperboloide  ersetzt.  — 

Um  das  einem  im  Endlichen  gelegenen  Flächen  Wendepunkte  ent- 
sprechende räumliche  Gebilde  zu  erhalten,  suchen  wir  zunächst  im  ebenen 
System  das  Curvenelement,  welches  dem  eine  Oerade  osculirenden  ebenen 
Curvenelement  reciprok  ist.  Lautet  die  Gleichung  des  letztern  fCLr  orthogo- 
nale Axen  y^^^^^x^iy  ^^  ergiebt  sich  für  den  normalen  Abstand  der  zur 
Wendetangente   benachbarten  Tangente   vom  Coordinatenanfangspunkte  n^ 

=  -|— •     Bezieht  man  das  reciproke  Element  gleichfalls  auf  orthogonale 

Axen,  so  dass  seine  T-Axe  dem  Wendepunkte  entspricht,  so  folgt: 

femer  für  den  Contingenzwinkel  %^  des  zweiten  Elements: 

und  somit  als  Bedingung  des  zweiten  Elements: 

worauB  sich  dessen  Gleichung  in  Coordinaten  ergiebt: 


y^'*=\a^%i>   wo  Oa*  = 


«iPi*A* 


154  Beziehungen  zwischen  den  Krümmungen  etc. 

Einem  ehenen  Curvenelement  mit  Wendepunkt  yi*=3a|a5i 
entspricht  als  reciprokes  Gebilde  ein  ebenes  Element  mit  einem 
Cuspidalpunkte  y^^''^^ ^a^x^- 

Für  eine  räumliche  Involution  folgt,  dass  einemKegel  mit 
Wendeberührungsebene  das  Element  einer  ebenen  Curve  mit 
Cuspidalpunkt  entspricht. 

Hiemach  Ifisst  sich  das  dem  parabolischen  Punkte  entsprechende  Gebilde 
bestimmen.  Rückt  die  Spitze  des  BerOhrungskegels  auf  einer  beliebigen 
Tangente  dieses  Punktes  (mit  Ausnahme  der  Doppelasymptote)  fort,  so 
osculirt  der  Tangen tialkegel  die  Berührungsebene  der  Fläche.  Das  reci- 
proke  Gebilde  entsteht  also  durch  die  Bewegung  eines  Curven- 
elements  mit  Cuspidalpunkt;  die  Curve,  welche  zu  der  aus  den 
Doppelasymptoten  von  <Pj  gebildeten  Developpabeln  reciprok 
ist,  bestimmt  in  der  reciproken  Fläche  (Pg  eine  Cuspidalcurve, 
welche  in  dem  früher  erläuterten  Sinne  der  Wendecurve  auf 
<P,  entspricht. 

Um  die  Gleichung  der  Fläche  (Pg  in  der  Nähe  eines  derartigen  Cuspi- 
dalpunktes  zu  bestimmen,  wählen  wir  die  Tangente  der  Cuspidalcorve  zur 
X-,  die  zur  Tangente  der  Wendecurve  auf  <P^  reciproke  Gerade  zur  T-Axe 

und  nehmen  die  Z-Axe  in  der  Schmiegungsebene  der  Cuspidalcurve  (letz- 
tere  reciprok  zum  Punkte  71=^—)  beliebig  an.  Je  drei  sich  folgende  Be- 
rührungsebenen an  O^  schneiden  sich  in  einem  Punkte  yQ  der  J-Axe.  Das 
Element  der  Cuspidalcurve  habe  die  Gleichung  x^  =  2j?jer,  so  lautet  die 
Gleichung  des  aus  yQ  durch  dieses  Element  gelegten  Kegels: 

2psi  =  yo 

yo-y 

Indem  den  Strahlen  dieses  Kegels  eine  Cuspidalspitze  aufgesetzt  wird,  er- 
giebt  sich  als  Gleichung  der  Fläche  4^^  in  der  Nähe  eines  Punktes  ihrer 
Cuspidalcurve :  , 

yo'^y 

wo  a  und  c  Constanten;  oder  nur  die  Glieder  niedrigster  Ordnung  nehmend: 

x^-'2p^:=j/c{y  +  aix^)\ 

Das  Krümmungsmaass  dieser  Fläche  und  jedes  durch  den  betrachteten  Punkt 
gelegten  Schnittes  ist  unendlich  gross;  eine  Ausnahme  bilden  die  Schnitte 
durch  die  Cuspidaltangente,  deren  Krümmungen  endlich  sind.  Für  den 
Coordinatenanfangspunkt  wird : 

3/F 


•limiy  +  ax^)-'^. 


a7«-      Sp 


Von  Dr.  L.  Geisbnhbimer. 


155 


Hierans    folgt  durch  Transformation  auf   ein  beliebiges  Coordinaten- 


Für  jeden  Punkt  in  der  Cuspidalcurve  einer  Fläche  werden 

die  zweiten  Ableitungen  r— «»  -^ — r— »  ^r-^  und  das  KrUmmungs- 
^        dar    dxdy    dy* 

mass  unendlich  gross  in  der  ^**°  Ordnung  eines  Ausdrucks, 
welcher  für  die  Cuspidalcurve  verschwindet  und  in  der  Grenze 
die  zur  Cuspidalcurve  conjugirte  Entfernung  des  Punktes  von 
dieser  Curve  darstellt.  Das  Verhältniss  zwischen  einer  belie- 
bigen linearen  Verbindung  der  zweiten  Ableitungen  und  dem 
Krümmungsmaasse  bleibt  im  Allgemeinen  endlich. 

Im  Folgenden  sind  die  sich  auf  die  Singularitäten  der  Wende  •  und  der 
ihr  entsprechenden  (nicht  reciproken)  Cuspidalcurve  beziehenden  Sätze  gegen- 
übergestellt, wobei  unter  Osculation  eine  Berührung  zweiter  Ordnung,  unter 

einer  Cuspidalspitze  die  mittels  der  Gleichung  lim^^^Const,  definirte  Sin- 

golarität  verstanden  wird.  Unter  der  ganzen  oder  gebrochenen  Ordnung 
einer  Berührung  ist  die  Ordnung  des  unendlich  kleinen  Winkels  gemeint, 
welchen  zwei  aus  dem  Berührungspunkte  der  Curve n  gezogene,  gegen  Null 
convergirende  gleiche  Sehnen  bilden. 


Die  Schnittcurve  jeder  die  Doppel- 
asymptote enthaltenden  Ebene  oscu- 
lirt  die  Doppelasymptote  im  Wende- 
punkte der  Fläche  (Z>,  • 

Der  Berührungskegel  aus  jedem 
Punkte  einer  im  Wendepunkte  an  die 
Fläche  <2>i  gelegten  Tangente  osculirt 
die  Berührungsebene  von  (D^  im  Wen- 
depunkte» 

Die  Krümmung  der  Kegel- 
berührungscurve  ist  für  alle 
Punkte  einer  solchen  Tangente 
im  Wendepunkte  constant,  so 
dass  die  Punktreihe  der  Krüm- 
mungsmittelpunkte dem  Strahl- 
büschel der  Tangenten  des  Wen- 
depunktes projectivisch  ist. 


Der  aus  einem  beliebigen  Punkte 
der  Cuspidaltangente  an  O^  gelegte 
Berührungskegel  besitzt  in  der  ge- 
nannten Tangente  einen  Cuspidal- 
strahl. 

Jede  durch  einen  Cuspidalpunkt 
gelegte  Ebene  schneidet  O^  in  einer 
Curve  mit  Cuspidalpunkt.  Die  den 
letztern  enthaltenden  Schnitt- 
curvenelemente  des  durch  eine 
Tangente  gelegten  Ebenenbü- 
schels werden  alle  durch  das- 
selbe Element  einer  Kegel- 
fläche, welcher  der  Cuspidal- 
punkt als  Spitze,  die  Cuspidal- 
tangente als  Strahl  angehört, 
von  <Z>,  abgewickelt,  so  dass 
die  Krümmung  dieser  Kegel- 
elemente (bezüglich  die  Punkt- 
reihe der  Krümmungsmittel- 
punkte, welche  den  Schnitten 
der  Kegelelemente   mit  einer 


156 


Beziehungen  zwischen  den  Krümmungen  etc. 


Jeder  Tangente  im  Wende- 
punkte einer  Fläche  (ausser 
der  Doppelasymptote)  ist  also 
ein  die  Doppelasymptote  im 
Allgemeinen  zweipunktig  be- 
rührendes Curvenelement  con- 
jugirt. 


beliebigen  Ebene  entsprechen) 
zum  Strahlbüschel  der  Tan- 
gentenimCuspidalpunkte  pro- 
jectivisch  ist. 

Jeder  Tangente  einer  Flache 
im  Cuspidalpunkte  (ausser  der 
Cuspidaltangente)  ist  also  ein 
die  Cuspidaltangente  im  All- 
gemeinen als  einfachen  Strahl 
enthaltendes  Eegelelement  mit 
dem  Cuspidalpunkt  als  Spitze 


conjugirt. 

Femer  folgt  aus  dem  letzten  Satze: 

Jedem  die  Doppelasymptote  zweipunktig  berührenden  Curven- 
element erster  Ordnung  in  (Z>|  entspricht  ein  gegen  die  Cuspidaltangente 
geneigtes  Curvenelement  unendlich  klein  zweiter  Ordnung  in  (Z>2* 

Als  specieller  Fall  ergiebt  sich: 


Das  zur  Tangente  der  Wendecurve 
conjugirte  Curvenelement  osculirt 
die  Doppelasymptote. 


Für  die  Erzeugende  der  die  Cus- 
pidalcurve  von  O^  abwickelnden  Fläche 
bildet  das  conjugirte  Kegelelement 
längs  der  Cuspidaltangente  einen  Cus- 
pidal  strahl. 

Für   die  Punkte   der  Doppelasyraptote   bezüglich  der  Cuspidaltangente 
folgt: 

Der   aus    einem    beliebigen 


Punkte  der  Doppelasymptote 
an  <Z>|  gelegte  Berührungskegel 
zerfällt  in  zwei  reelle  oder 
imaginäre  sich  osculirende 
Zweige,  welche  bis  auf  Grössen 
dritter  Ordnung  das  Element 
der  Wendecurve  enthalten  und 
deren  Berührungsrichtungen 
auf  (Pj  eine  hyperbolische  In- 
volution bilden,  welcher  die 
Doppelasymptote  und  die  Tan- 
gente der  Wendecurve  alsAsym- 
ptoten  angehören.  Die  Doppel- 
asymptote wird  durch  den 
Wendepunkt  und  ihren  Schnitt- 
punkt   mit    der    benachbarten 


Eine  beliebige  durch  die  Cus- 
pidaltangente gelegte  Ebene 
schneidet  <1>2  in  der  Nähe  des 
Cuspidalpunktes  in  zwei  reel- 
len oder  imaginären,  sich  os- 
culirenden  Curvenelementen, 
welche  auf  einem  Cylinder 
liegen,  dessen  Strahlen  mit 
der  Erzeugenden  der  dieCuspi- 
dalcurve  abwickelnden  Fläche 
parallel  laufen.  Die  zu  den 
Elementen  der  Schnittcurven 
conjugirten  Richtungen  (in  den 
Erzeugenden  ihrer  Abwicke- 
lungsflächen erhalten)  bilden 
eine  hyperbolischelnvolution, 
deren  Asymptoten  die  Cuspi- 


Von  Dr.  L.  Gbibbnheimbr. 


157 


Doppelasjmptote  in  zwei  Ab- 
schnitte getrennt,  so  dass  sich 
aus  den  Punkten  des  einen  nur 
reelle,  aus  denen  des  andern 
Abschnittes  nur  imaginäre  Ee- 
gelzweige  durch  den  Wende- 
punkt legen  lassen. 


daltangente  und  die  dem  Ele- 
ment der  Cuspidalcurve  con- 
jugirte  Bichtung  sind.  Die 
Berührungsebene  der  Fläche 
(Z>2  und  die  Schmiegungsebene 
der  Cuspidalcurve  trennen  die 
Ebenen,  welche  die  Fläche  in 
reellen  Curvenelementen  tref- 
fen, von  den  in  imaginären 
Zweigen  schneidenden. 

Demnach  entspricht  einem  gegen  die  Doppelasymptote  geneigten 
Cuirenelement  in  <Pj  ein  die  Cuspidaltangente  im  Allgemeinen  zweipunk- 
tig  berührendes  Curvenelement  gleicher  Ordnung  in  0,. 

Für  die  Grenzpunkte  bezüglich  Grenzebenen  findet  man: 
Der  Tangentialkegel  aus  einem  pa-  Die  Tangentialebene  der  Fläche  <Z>2 

rabolischen  Punkte  der  Fläche  hat  mit     im  Cuspidalpunkte  schneidet  die  Fläche 


deren  Berührungsebene  längs  derDop- 
pelasjmptote  eine  Berührung  dritter 
Ordnung.  Seine  Berührungscurve  mit 
der  Fläche  <Z>j  bildet  längs  der  Dop- 
pelasymptote  einen  Cuspidalpunkt  in 
einem  nicht  ebenen  Elemente. 

Die  Gleichung  dieses  Kegelelements 
lautet  unter  Anwendung  der  für  <P] 
früher  gebrauchten  Bezeichnungen: 

Die  Berührungscurve  des  aus  dem 
Schnittpunkte  zweier  sich  folgenden 
Doppelasymptoten  an  die  Fläche  <Pi 
gelegten  Tangentialkegels  bildet  längs 
der.  Wendecurve  eine  nicht  in  der 
Ebene  liegende  Cuspidalspitze.  Die 
beiden  Zweige  des  Berührungskegels, 
dessen  Krümmung  sich  wieder  durch 
das  bis  auf  Grössen  höherer  als  zweiter 
Ordnung  von  x  in  ihn  fallende  Ele- 
ment der  Wendecurve  ergiebt,  be- 
rühren sich  längs  der  als  singulärer 
Strahl  enthaltenen  Doppelasymptote 
nach  höherer  (gebrochener)  Ordnung. 


in  einer  Curve,  welche  den  Cuspidal- 
punkt und  die  Cuspidaltangente  als 
singulare  Elemente  enthält.  Die  Ab- 
wickehingsfiäche  dieses  Schnittes  be- 
rührt längs  der  Cuspidaltangente  die 
Berührungsebene  der  Fläche  in  einem 
Cuspidalstrahl. 

Die  Gleichung  dieser  Curve  in  der 
Nähe  des  Cuspidalpunktes  lautet  nach 
den  auf  S.  154  angewendeten  Be- 
zeichnungen: 

Die  Schmiegungsebene  der  Cus- 
pidalcurve schneidet  die  Fläche  0^  ^^ 
einer  Curve,  welche  in  der  Nähe  des 
Cuspidalpunktes  in  zwei  die  Cuspidal- 
curve osculirende  Zweige  zerfällt,  die 
sich  in  dem  der  Schnittcurve  als  sin- 
gulärer Punkt  angehörigen  Cuspidal- 
punkte nach  höherer  (gebrochener) 
Ordnung  berühren.  Ihre  Abwicke- 
lungsfläche osculirt  die  der  Cuspidal- 
curve längs  der  Erzeugenden  (der 
r-Axe). 


158    Beziehungen  zw.  d.  Erfimmongen  etc.  Ton  Dr.  L.  GBtsENHBiKBR. 


Die  Schnittcurve  dieses  Kegelele- 
ments mit  der  XZ- Ebene  besitzt  die 
Gleichung: 

r   -  ,  Const.r     ^, 


wo 


2i/ 


'      u  \     öwr     / 


Endlich  ergeben  sich  noch  die 
Die  Tangentialebene  des  parabo- 
lischen Punktes  schneidet  die  Fläche 
(P^  in  einer  die  Doppelasymptote  be- 
rührenden Cuspidalspitze. 


Die  Gleichung  dieser  SchnittcurTe 
heisst: 

Sowohl  aus  dieser  Gleichung  wie  aus 
der  Betrachtung  der  Figur  folgt ,  dass 
beide  Zweige  der  Schnittcurve,  ent- 
sprechend den  beiden  Zweigen  des 
nebenstehend  erwähnten  reciproken 
Kegels,  im  Cuspidalpunkte  abbrechen. 


Der  von  einem  Cuspidalpunkte  an 
die  Fläche  (P,  gelegte  Tangentialkegel 
osculirt  die  Berührungsebene  dieses 
Punktes  längs  der  Cuspidaltangente. 


vn. 

tTeber  einige  Flachen,  welche  Schaaren  von  Kegel- 
schnitten enthalten. 

Von 

Dr.  A.  Weilee 

in  Hottingen -ZOrioh. 


1.  Bringt  man  die  Flächen  zweiten  Grades  eines  einstufigen  Systems 
in  Zuordnung  mit  den  Ebenen  einer  Torse  und  schneidet  man  die  entspre- 
chenden Flächen  und  Ebenen,  so  entsteht  eine  Schaar  von  Kegelschnitten 
und  als  deren  Gesammtheit  eine  Fläche.  Sind  die  Ebenen  der  Torse  «*" 
Classe  nnd  die  Flächen  des  Systems,  von  denen  je  (i  durch  einen  Punkt 
gehen,  je  v  eine  Ebene  berühren,  [1,1] -deutig  aufeinander  bezogen,  so 
ist  die  Fläche  der  Eegelschnittschaar  von  der  Ordnung  2n  +  fi. 

Die  Anzahl  der  Geradenpaare  der  Eegelschnittschaar  ist  gleich  derjeni- 
gen der  Ebenen  der  Torse,  welche  ihre  entsprechenden  Flächen  berühren. 
Eine  Ebene  E  der  Torse  berührt  v  Flächen  F  des  Systems,  denen  v  Ebenen 
E'  der  Torse  entsprechen.  Umgekehrt  entspricht  der  Ebene  E'  eine  Fläche  F, 
an  welche  2n  Ebenen  E  der  Torse  gelegt  werden  können.  Die  ;,  berühren- 
den^ Ebenen  E  und  die  ;, entsprechenden^  Ebenen  E'  sind  somit  in  [2n,  v]- 
deutiger  Beziehung;  es  sind  2n+v  Ebenen,  welche  die  ihnen  entsprechen 
den  "Flächen  berühren,  und  die  Eegelschnittschaar  enthält  somit 
2n  +  v  Paare  von  Geraden.  —  Ist  im  Falle  der  Berührung  F  eine 
Eegelfläche,  so  vereinigen  sich  die  Geraden  des  Paares  und  man  erhält  auf 
der  erzeugten  Fläche  eine  Gerade  mit  stationärer  Tangentialebene. 
Das  Nämliche  wird  eintreten,  wenn  F  in  ein  Ebenenpaar  ausartet  und  die 
entsprechende  Ebene  E  durch  die  Schnittlinie  geht,  oder  wenn  F  zu  einer 
Doppelebene  wird.  —  Wenn  eine  Fläche  F  in  zwei  Ebenen  E| ,  E^  zerflQlt 
und  ihr  in  der  Torse  die  eine  dieser  Ebenen,  E|,  entspricht,  so  erniedrigt 
sich  die  Ordnung  der  entstehenden  Fläche  um  1  und  die  Zahl  der  Geraden- 
paare in  der  Eegelschnittschaar  um  2 ;  E^  berührt  die  entsprechende  Fläche 
doppelt  und  giebt  bei  der  Bestimmung  der  Geradenpaare  eine  doppelte  (weg- 
fallende) Coincidenz. 

Wenn  eine  Curve  c  allen  Flächen  des  Systems  gemeinsam  ist,  so  muss 
die  eine  n- fache  Curve  der  entstehenden  Fläche  F^"+^  sein.  Denn  durch 
einen  Punkt  P  auf  c  gehen  n  Ebenen  E^,  ...,  E«  der  Torse,  denen  n  Flä- 
chen F^,  ..  ,Fn  des  Systems  entsprechen;  durch  P  gehen  alsdann  n  Kegel- 


160       üeber  einige  Flächen,  welche  Schaaren  v.  Eegelschn.  enthalten. 

schnitte  E^Fj,  ...,  EgF»,  und  keine  anderen.  Legt  man  in  P  an  c  und  an 
Ei¥i  die  Tangenten,  so  bestimmen  beide  zusammen  eine  Tangentialebene 
an  F'"+^  in  P.  Diese  stimmt  überein  mit  der  Tangentialebene  in  P  an 
Ff,  d.  h.:  die  w  Mäntel  der  Fläche  F2"+A*  in  einem  Punkte  P  der 
n-fachen  Curve  c  berühren  die  n  Flächen  zweiter  Ordnung, 
welche  den  durch  P  gehenden  Ebenen  der  Torse  entsprechen. 
—  So  oft  dieser  Punkt  P  von  c  auf  der  durch  die  Torse  gebildeten  deve- 
loppabeln  Fläche  liegt»  fallen  zwei  dieser  Tangentialebenen  zusammen  und 
P  wird  zu  einem  Pinchpunkt  (hierbei  abgesehen  von  den  «  —  2  übrigen, 
durch  P  gehenden  Mänteln).  Ist  c  jener  developpabeln  Fläche  aufgeschrie- 
ben, so  ist  sie  eine  Bückkehrcurve  der  erzeugten  Fläche. 

2.  Zu  den  hier  erzeugten  Flächen  gehören  immer  die  F^"+*,  welche 
eine  w- fache  Curve  vierter  Ordnung  erster  Species,  {?*,  haben.  Jede  Fläche 
zweiter  Ordnung  F  durch  c*  schneidet  aus  F^''+^  ausser  c*  einen  Kegelschnitt 
heraus;  hierdurch  wird  jeder  Fläche  F  eine  Ebene  E  zugeordnet,  die  auch 
jenen  Kegelschnitt  enthält.  Die  Torse  jener  Ebenen  muss  von  der  n^*°  Classe 
sein,  ihr  Geschlecht  ist  gleich  0. 

Für  diese  Fläche  ergeben  sich  unmittelbar  folgende  Eigenschaften.  Weil 
durch  einen  Punkt  im  Räume  nur  eine  Fläche  des  Büschels  geht,  so  geht 
durch  jeden  Punkt  auf  F^'*+^  nur  ein  Kegelschnitt  der  Schaar,  durch  einen 
Punkt  auf  c*  deren  n.  Weil  die  von  der  Torse  eingehüllte  Developpable 
von  der  Ordnung  2(»  — 1)  ist,  so  liegen  auf  (?*  im  Ganzen  8(n— 1)  Pinch- 
punkte.  Die  Kegelschnittschaar  enthält  2n  +  3  Geradenpaare,  von  denen 
höchstens  vier  aus  coincidirenden  Geraden  bestehen  können.  Jeder  Kegel- 
schnitt der  Schaar  trifft  e*  in  vier  Punkten,  jede  Gerade  in  zweien.  Eine 
beliebige  Ebene  der  Torse  schneidet  F^'*+^  in  einem  Kegelschnitt  c*  und  in 
einer  Curve  0^"""^  Beide  schneiden  sich  in  vier  Punkten  auf  ö*,  welche 
w  —  1- fache  von  c^"-'  sind.  Von  sämmtlichen  Schnittpunkten  beider  Cur- 
ven  sind  ausser  jenen  vier  nur  noch  zwei  einfache ,  welche  Berührungspunkte 
jener  Ebene  mit  F'"+*  sind.  Die  Ebenen  der  Torse  sind  also  doppelte, 
die  der  2n  +  3  zerfallenden  Kegelschnitte  dreifache  Tangentialebenen  von 

Längs  c*  hat  F^"+^  eine  umschriebene  Developpable,  deren  Classe  be- 
stimmt werden  soll;  wir  untersuchen,  wieviele  ihrer  Ebenen  durch  einen 
Punkt  0  des  Raumes  gehen.  Sei  P  ein  Punkt  auf  c*;  die  Gerade  OP  wird 
in  P  von  einer  Fläche  F  des  Büschels  berührt,  dieser  entspricht  eine  Ebene 
E  der  Torse,  welche  c*  in  vier  Punkten  P'  schneidet  Fällt  einer  dieseJ^ 
Punkte  P'  nach  P,  so  erhält  man  jedesmal  eine  Ebene  der  gesuchten  De- 
veloppabeln. Zu  P'  gehören  nun  n  Ebenen  E  der  Torse,  denen  n  Flächen 
F  entsprechen,  an  welche  aus  0  im  Ganzen  4 n,  sie  an  e^  (in  Punkten  P) 
berührende  Linien  gehen.  Die  Beziehung  der  Punkte  P,  P'  ist  also  [4n,  4]- 
deutig,  woraus  folgt,  dass  die  der  F2"+*  längs  C*  umschriebene 
Developpable  von  der  4(fi+l)**"  Classe  ist. 


Von  Dr.  A.  Weiler.  161 

Jede  Gerade,  welche  c*  zweimal  schneidet,  triflTt  F**  +  *  noch  einmal. 
Daher  sind  die  Pnnkte  der  Fläche  eindeutig  auf  die  Strahlen  der  Congmenz 
der  Secanten  von  <f'  bezogen,  also  im  Allgemeinen  auf  eine  Congruenz 
zweiter  Ordnung  sechster  Classe. 

Für  n  =  l  entsteht  eine  Fläche  dritter  Ordnung  F^;  die  Torse  ist  jetzt 
ein  Ebenenbüschel.  Wenn  seine  Axe  a  die  Grundcurve  e*  des  Flftchen- 
büschels  schneidet,  so  ist  der  Schnittpunkt  beider  ein  Doppelpunkt  von  F*, 
die  Seiten  des  zugehörigen  Berührungskegels  ergeben  sich  sehr  einfach  als 
Schnittlinien  projectiver  Ebenenbüschel.  Sind  diese  Ebenenbüschel  in  per- 
spectiver Zuordnung,  so  wird  der  Knoten  biplanar  u.  s.  f.  umgekehrt  führt 
jeder  Büschel  von  Flächen  zweiter  Ordnung,  dessen  Grundcurve  eine  c*  auf 
F^  ist,  auf  eine  Schaar  von  Kegelschnitten,  deren  Ebenen  einen  Büschel  bilden. 

Für  n  =  2  entsteht  eine  Fläche  F^  auf  welcher  nach  Clebsch*  64 
nicht  zu  der  Schaar  gehörende  Kegelschnitte  liegen.  Diese  Fläche  entsteht 
dadurch,  dass  man  die  Flächen  zweiter  Ordnung  eines  Büschels  in  projec- 
tivische  Zuordnung  bringt  mit  den  Ebenen  eines  Kegels  zweiter  Classe.  Unter 
den  selir  zahlreichen  Specialföllen  soll  hier  nur  einer  näher  betrachtet  wer- 
den: Wir  setzen  voraus,  der  Kegel  zweiter  Classe  K^  sei  ein 
doppelt  projicirender  Kegel  der  Grundcurve  c*  des  Flächen- 
bflschels.  Aus  Nr.  1  folgt,  dass  jetzt  c^  eine  Bückkehrcurve  von  F^ 
ist.  In  bekannter  Weise  findet  man:  Die  Torse  der  Tangentialebe- 
nen an  F^  längs  c^  ist  von  der  sechsten  Classe,  sie  besitzt  eine 
Doppelcurve  dritter  Classe  mit  Doppeltangente  (weil  sie  vom 
Geschlecht  0  sein  muss).  Die  Ebene  S  der  Doppelcurve  ist  diejenige,  welche 
der  Spitze  8  des  Kegels  K^  mit  Bezug  auf  (^  und  mit  Bezug  auf  alle  Flä- 
chen des  Büschels  conjugirt  ist. 

Es  sei  E  die  Tangentialebene  von  K'  längs  der  Seite  e,  t  schneide  <f' 
in  zwei  Punkten  "E^^  J^,,  in  denen  f|,  i^  die  Tangenten  an  <^  sein  mögen. 
Die  der  Ebene  E  entsprechende  Fläche  F  schneidet  E  in  einem  Kegelschnitte 
^  der  Schaar,  welcher  ^|,  ^^  in  ^^,  Tl^  berührt  Daraus  folgt,  dass  zwei 
Punkte  auf  e^  welche  auf  einem  Strahl  aus  S  liegen,  durch  S  und  S  har- 
monisch getrennt  sind.  Und  weil  durch  jeden  Punkt  auf  F^  ein  Kegel- 
schnitt e^  geht,  welcher  stets  einen  vierten  harmonischen  mit  Bezug  auf  iS',  S 
liefert,  welcher  mit  jenem  auf  einem  Strahl  aus  S  liegt,  so  folgt:  Die 
Fläche  F^  entspricht  sich  selbst  in  einer  involutorischen  cen- 
trischen  Collineation,  deren  Centrum  die  Kegelspitze  S  und 
deren  Ebene  S  die  gemeinsame  Polarebene  von  S  für  alle  Flä- 
chen des  Büschels  ist. 

Die  Ebene  E  hat  ausser  ^  mit  F^  noch  eine  Curve  c®  gemein.  Die- 
selbe   ergiebt  sich   wie  folgt.     Die  Flächen   des  Büschels  schneiden  E  in 

*  Göttinger  Nachrichten  1869;  Abhandlungen  der  königl.  Ges.  zu  Göttingen, 
XV,  1870.  —  Not  her,  Ueber  Flächen,  welche  Schaaren  rationaler  Curven  besitzen; 
Math.  Annalen  III,  S.  98. 

ZaitBohrIft  f.  Mathematik  q.  Physik  XXX,  3.  11 


162     Ueber  einige  Flächen,  welche  Schaaren  v.  Kegelschn.  enthalten. 


Kegelschnitten  c^  welche  in  Ei,  E^  ^^  Linien  1^,  t^  berühren.  Die  ent- 
sprechenden Ebenen  von  E*  schneiden  E  in  Geraden  g  aus  S,  die  Kegel- 
schnitte c*  nnd  diese  Geraden  g  bilden  zwei  projective  Büschel,  wobei  er- 
sichtlich dem  früher  genannten  Kegelschnitte  e^  die  Linie  e^E^E^S  ent- 
spricht. Die  Schnittpunkte  gc^  bilden  nun  in  ihrer  Gesammtheit  eine  Cunre 
dritter  Ordnung  e',  welche  in  S  einen  Wendepunkt  hat.  Sie  geht  durch 
die  Grundpunkte  des  Kegelschnittbüschels,  berührt  also  t^,  t^  in  E^y  E^. 
Mit  (?  hat  sie  E^  und  E^  doppelt  zählend  und  die  beiden  Punkte  ge^  ge- 
mein. Für  den  Kegelschnitt  ^  des  Büschels  föllt  ^  in  e,  die  Punkte  gc? 
fallen  hier  nach  Ei,  E^.  Hieraus  folgt,  dass  e^  mit  ^  in  den  beiden  Pauk- 
ten El,  E^  je  drei  gemeinsame  Punkte  hat,  dass  also  e'  und  6^  sich  in  JE?,, 
E^  berühren  und  schneiden.*  Wenn  somit  in  einer  Ebene  E  der  Kegel- 
schnitt e'  der  Schaar  zu  einem  Geradenpaare  wird,  so  sind  diese  Greraden 
in  Ej^y  E^  Wendetangenten  an  e^. 

unter  allen  Ebenen  E  des  Kegels  ist  diejenige  ausgezeichnet,  welche 
dem  Kegel  K^  als  Fläche  des  Büschels  betrachtet,  entspricht.  Li  ihr  zer- 
fällt (?  in  ein  coincidirendes  Linienpaar,  e  doppelt  gezählt.  Hieraus  folgt, 
dass  die  in  dieser  Ebene  gelegene  e^  in  JE7|,  E^  Wendetangenten  hat,  welche 
mit  e  =  EiE^  zusammenfallen.  Also  ist  jetzt  e  ein  Bestandtheil  von  €*,** 
der  Best  ist  ein  Kegelschnitt  p  auf  F^  welcher  der  Schaar 
nicht  angehört.  Er  geht  durch  JE7^,  E^  und  lässt  sich  construiren,  wie 
früher  e®  construirt  wurde.  Auch  die  Punkte  von  f*  (wie  früher  von  c*) 
sind  durch  SB  paarweise  harmonisch  getrennt.  Durch  Einführung  von  f^ 
ergiebt  sich  sofort  folgende  Erzeugungsweise  der  Kegelschnittschaar  aufF^: 
Eine  Curve  vierter  Ordnung  erster  Species,  c*,  hat  einen  dop- 
pelt projicirenden  Kegel  K' von  der  Spitze /S,  deren  conjugirte 
Ebene  nach  c^  S  sein  soll.  In  einer  festen  Ebene  von  K'  liegt 
ein  Kegelschnitt  f\  welcher  c^  in  zwei  Punkten  schneidet  and 
für  welchen  die  Polare  von  S^  in  S  fällt.  Nun  lege  man  alle 
Ebenen  an  K^  und  construire  in  jeder  von  ihnen  den  Kegel- 
schnitt, welcher  c*  doppelt  berührt  und  p  (in  zwei  Punkten) 
schneidet.       Diese    Kegelschnitte    sind    die    auf    F^    gelegene 


*  Uat  allgemein  eine  Fläche  F  eine  Ruckkehrcurve  c  und  längs  derselben 
eine  berührende  developpable  Fläche  D,  so  schneidet  eine  Ebene  durch  eine  Tan- 
gente t  an  c  aoB  F  daselbst  zwei  Aeste,  die  sich  berühren  and  schneiden.  Die 
Berührung  beider  Aeste  folgt  aas  der  Berührung  mit  t.  Beide  schneiden  sich, 
deun  wenn  man  auf  dem  äussern  Mantel  der  Fläche  F  längs  der  Tangente  t  über 
den  Berührungspunkt  hinwegschreitet,  so  gelangt  man  auf  den  innem  Mantel, 
weil  innerer  und  äusserer  Mantel  längs  c  zusammenhängen. 

***  Diese  ausgezeichneten  Elemente  £ ,  e  liefern  far  beliebige  Querschnitte  von 
F'  je  einen  Wendepunkt  mit  seiner  Tangente  und  speciell  E  für  die  oo*  Curven  e* 
je  die  Wendetangente  in  S*  Die  Schaar  der  Curven  e*  entsteht  ähnlich  der 
Schaar  der  Curven  «*  durch  einen  Büschel  von  Flächen  dritter  Ordnung  in  pro- 
jectiver  Zuordnung  mit  den  Ebenen  von  E. 


Von  Dr.  A.  Weiler.  163 

Seh  aar.  Der  Kegelschnitt  der  Schaar  wird  bei  seiner  Bewegung  zweimal 
f^  berOhren ,  viermal  mit  e*  vier  consecntive  Punkte  gemein  haben  und  vier- 
mal zu  einem  Oeradenpaar  werden,  einmal  zu  einer  Doppelgeraden. 

3.  Es  sei  wieder  ein  Büschel  von  Flfichen  zweiten  Grades  mit  den 
Ebenen  einer  Torse  fff**  Classe  in  projectives  Entsprechen  gebracht  Jedoch 
soll  im  Büschel  eine  in  zwei  Ebenen  P,  Q  zerfallende  Fläche  vorkommen, 
welcher  die  eine  ihrer  Ebenen,  P,  entspreche.  Abgesehen  von  P  entsteht 
als  Erzeugniss  eine  Fläche  2n*^  Ordnung  F^".  In  den  Ebenen  P,  Q  seien 
T^y  ^  die  Grundcurven  des  Flächenbüschels ,  sie  sind  auf  F'"  bezüglich 
fi—1- fache  und  n- fache  Curve.  Die  Fläche  ist  die  allgemeinste  dieser 
Art.  Längs  jp*,  q*  besitzt  sie  berührende  Developpabeln  von  der  Classe  2f», 
2(fi  +  l),  auf  jp«,  q*  liegen  4(fi-2),  4(w  — 1)  Pinchpunkte.  Die  Kegel- 
schnitte der  Schaar  schneiden  p^,  q^  je  in  zwei  Punkten,  unter  ihnen  sind 
2n  Geradenpaare,  jede  Gerade  trifft  jp*  und  q*.  Die  F^"  wird  von  der  Schaar 
einfach  überdeckt.  —  Die  Punkte  der  Fläche  sind  umkehrbar  eindeutig  be- 
zogen auf  die  Strahlen  der  Congruenz  zweiter  Ordnung  vierter  Classe  der 
Treffgeraden  von  p*,  g*. 

Eine  solche  Fläche  ist  die  Fläche  vierter  Ordnung  mitDoppel- 
kegelschniti  Jede  Doppeltangentialebene  schneidet  aus  ihr  zwei  Kegel- 
schnitte Js^y  IK  Zwei  Schnittpunkte  Jt^,  P  liegen  auf  dem  doppeUen  Kegel- 
schnitte c*,  die  übrigen  sind  die  Berührungspunkte  der  Ebene.  Aus  k\  P 
lassen  sich  zwei  Schaaren  von  Kegelschnitten  herleiten ,  welche  aus  F^  durch 
Flächenbüschel  herausgeschnitten  werden  mit  <^,J(^'y  (f^P  als  Grundcurven. 
Alle  Flächen  durch  c*  und  k^  schneiden  F^  in  Kegelschnitten  der  Schaar, 
zu  welcher  P  gehört;  in  der  That  wird  P  durch  die  Fläche  herausgeschnit- 
ten, welche  in  die  beiden  Ebenen  von  c^  und  J^  zerfällt:  Je  zwei  Kegel- 
schnitte (eventuell  Geradenpaare)  der  beiden  adjungirten  Schaaren 
liegen  mit  dem  Doppelkegelschnitt  auf  einer  Fläche  zweiten 
Grades.  Hierbei  kommt  es  oo^-mal  vor,  dass  zwei  a^jungirte  Kegelschnitte 
in  einer  Ebene  liegen,  und  die  Enveloppe  solcher  Ebenen  ist  ein  Kum mor- 
scher Kegel.  Die  letzteren  Kegelschnittpaare  haben  allemal  zwei  Schnitt- 
punkte auf  (?,  die  anderen  liegen  auf  der  Berührungslinie  ihrer  Ebene  mit 
dem  Kegel,  weshalb  dieser  Kegel  die  F'*  längs  einer  Curve  vierter  Ordnung 
erster  Species  berührt.  Auf  c'  sind  vier  Pinchpunkte,  nämlich  die  Schnitt- 
punkte mit  dem  genannten  Kegel.  —  Jede  Kegelschnittschaar  enthält  vier 
Paare  von  Geraden.  Ein  Geradenpaar  wird  von  den  vier  Geradenpaaren 
der  andern  Schaar  geschnitten.  Daraus  folgt,  dass  eine  der  16  Geraden 
allemal  von  5  anderen  geschnitten  wird. 

Nach  Kummer  hat  die  Fläche  fünf  Kegel  doppelt  berührender  Ebenen.* 
Zu  jedem  gehören  (oo^-mal)   zwei  Büschel  von  Flächen  zweiter  Ordnung, 

*  Vergl.  Zeuthen,  Math.  Annal.  X,  S.  540.  —  Folgende  Betrachtung  führt 
sofort  auf  das  VorhandenBein  der  fQnf  Kegel.    Eine  Kegelschnittechaar  hat  eine 
„adjungirte",  weil  die  Ordnung  der  Fläche  gleich  4  ist;  jede  Schaar  hat  vier  Ge- 
ll* 


164    üeber  einige  Flächen,  welche  Schaaren  v.  Kegelschn.  enthalten. 

welche  mit  den  £benen  des  Kegels  in  bekannter  Weise  die  Fläche  erzengen.* 
Alle  diese  Kegel  gehen  dnrch  die  Pinchpnnkte,  weshalb  z.  B.  die  16 
Schnittpunkte  der  Geraden  auf  der  Fläche  mit  <f  auf  fünf  Arten  zu  je  zwei 
verbunden  acht  Tangenten  eines  durch  die  Pinchpunkte  gehenden  Kegel- 
schnittes liefern. 

Die  Punkte  der  Fläche  lassen  sich  hier  ausnahmsweise  eindeutig  be- 
ziehen auf  die  Strahlen  einer  Congruenz  erster  Ordnung  zweiter  Classe, 
deren  Brenncuryen  der  doppelte  Kegelschnitt  und  eine  Gerade  der  Fläche  sind. 

Wenn  speciell  die  Spitze  eines  Kummer^schen  Kegels  in 
die  Ebene  von  c'  fällt  (was  höchstens  dreimal  eintreten  kann) ,  so  wird 
einer  der  vorhin  genannten  fdnf  Kegelschnitte  zu  einem  Doppelbüschel ,  die 
16  Schnittpunkte  der  Geraden  auf  F*  mit  <?  und  die  Pinchpunkte  bilden 
alsdann  zehn  Paare  einer  Involution  und  umgekehrt.  (Die  beiden  adjnngir- 
ten  Kegelschnittschaaren ,  welche  zu  diesem  ausgezeichneten  Kegel  gehören, 
schneiden  <?  in  Paaren  der  genannten  Involution.)  Wie  in  Nr.  2,  folgt, 
dass  in  diesem  Falle  F*  sich  selbst  entspricht  in  einer  invo- 
lutorischen,  centrischen  Collineation,  deren  Centrum  die 
Spitze  jenes  ausgezeichneten  Kegels  ist. 

Zurückkommend  auf  eine  beliebige  F^  mit  Doppelkegelschnitt,  mag 
noch  bemerkt  werden,  dass  jede  Kegelschnittschaar  die  Fläche  einfach  über- 
deckt, dass  aber  der  doppelte  Kegelschnitt  keiner  Schaar  angehört.  —  Wenn 
ein  Kegelschnitt  einer  Schaar  in  zwei  coincidirende  Gerade  ausartet,  so  be- 
rühren alle  adjungirten  Kegelschnitte  die  zu  der  Geraden  gehörende  statio- 
näre Ebene  an  der  Geraden  selbst,  die  Geradenpaare  in  der  adjungirten 
Schaar  schneiden  sich  auf  dieser  Geraden. 

4.  Wenn  im  Flächenbüschel  zwei  in  Ebenenpaare  zerfallende  Flächen 
vorkommen,  so  ist  seine  Orundcurve  ein  windschiefes  Vierseit.  Den  in  die 
Ebenenpaare  A ,  B ;  C,  D  zerfallenden  Flächen  sollen  in  der  Torse  die  Ebenen 
B  und  D  entsprechen,  so  besteht  das  eigentliche  Erzeugniss  aus  einer  F'^'^ 
welche  die  Gerade  AC  zur  n- fachen,  die  Geraden  AD  und  60  zu  n  —  l- 
fachen,  endlich  BD  zur  n  — 2 -fachen  Geraden  hat.    Deshalb  lassen  sich  die 


radeupaare ,  beide  zusammen  ergeben  die  16  Geraden  der  Fläche.  Da  jede  Gerade 
von  fönf  anderen  geschnitten  wird,  so  hat  man  40  Schnittpunkte  oder  40  sich 
schneidende  Geradenpaare  im  Ganzen.  Je  zwei  sich  schneidende  Geraden  fiihren 
aber  auf  eine  Kegelschnittschaar,  mit  Hilfe  der  Flächen  durch  sie  und  den  doppel- 
ten Kegelschnitt.  So  erhält  man  40  Schaaren  von  Kegelschnitten,  jede  Schaar 
aber  viermal ,  weil  in  jeder  Schaar  vier  sich  schneidende  Geradenpaare  sind.  Also 
giebt  es  zehn  Schaaren  resp.  fünf  adjungirte  Schaaren  und  dazu  gehörend  fönf 
Kumme  rasche  Kegel. 

*  Der  Querschnitt  der  Fläche  mit  einer  Ebene  des  Kegels  wird  gefunden  wie 
in  Nr.  2;  er  besteht  aus  zwei  Kegelschnitten,  von  denen  zwei  Schnittpunkte  in  der 
BerühruDgsseite  der  Ebene  mit  dem  Kegel  liegen ;  die  übrigen  fallen  in  den  Dop- 
pelkegelschnitt.  (Von  den  ersteren  Schnittpunkten  liegen  auf  jeder  Kegelseite 
zwei,  keiner  von  allen  fällt  in  die  Kegelspitze.) 


Von  Dr.  A.  Weiler.  165 

Pnnkte  der  FlSche  umkehrbar  eindeutig  beziehen  auf  die  Strahlen  der  linearen 
Congruenzen  mit  den  Directricen  AC  und  BD  oder  AD  und  BC.  Die 
Kegelschnitte  der  Schaar  treffen  im  Allgemeinen  alle  Seiten  des  Vierseits 
(für  n=l  nur  AC,  für  n  =  2  alle  ausser  BD,  auf  welcher  alsdann  die 
Eegelspitze  S  liegt);  unter  ihnen  sind  2n  — 3  Geradenpaare.  —  Die  Deve- 
loppabeln  von  F'"~'  l^gs  AC,  AB  und  BC,  BD  sind  bezüglich  von  der 
Classe  n+l>  ^j  n— 1;  auf  diesen  Geraden  sind  bezüglich  2 n  — 2,  2n  — 4, 
2n  — 6  Pinchpunkte.  —  Flächen  zweiter  Ordnung  durch  drei  und  Flächen 
dritter  Ordnung  durch  die  vier  mehrfachen  Geraden  ergeben  mit  F*"~~^ 
bemerkenswerthe  Schnittcurven. 

5.  Der  Büschel  von  Flächen  zweiten  Grades  enthalte  eine  Doppelebene 
P,  welche  der  Torse  n**'  Classe  angehören  und  sich  selbst  entsprechen  soll. 
Das  Erzeugniss  ist  eine  F^",  welche  die  in  P  gelegene  Grundcurve  p^  des 
Büschels  zur  n- fachen  Curve  hat.  (Wir  betrachten  hier  im  Vergleich  zu 
Nr.  3  den  zweiten  Fall,  dass  sich  gegenüber  Nr.  2  von  F^"+^  eine  Ebene 
absondert;  dieser  Fall  ist  allerdings  als  ein  specieller  von  Nr.  3  aufzufassen, 
wenn  nämlich  dort  P  und  Q  zusammenfallen.  Die  Veränderungen  gegen- 
über Nr.  3  sind  aber  so  intensiv,  dass  eine  besondere  Behandlung  des  vor- 
liegenden Falles  berechtigt  erscheint)  Durch  einen  Punkt  Q  wai  p^  gehen 
n  — 1  von  P  verschiedene  Ebenen  der  Torse;  die  Tangentialebenen  in  Q  an 
die  n^l  entsprechenden  Flächen  fallen  zusammen:  Der  Kegel,  welcher 
längs  j>*  alle  Flächen  berührt,  ist  n— 1-fach  gezählt  für  F*,« 
eine  längs  p^  umschriebene  Developpable.  Ausser  demselben 
exiatirt  aber  noch  ein  einfach  zählender  Kegel  zweiter  Classe 
durch  p*,  welcher  ebenfalls  9U  dieser  Developpabeln  gehört. 
Nämlich  es  entspricht  der  P  consecutiven  Ebehe  der  Torse  ein  Kegelschnitt, 
welcher  durch  diese  Ebene  aus  einer  unendlich  schmal  gewordenen  Fläche 
des  Büschels  herausgeschnitten  wird.  Dieser  Kegelschnitt  ist  p^  unendlich 
benachbart,  er  trifft  p*  in  zwei  Punkten  und  bestimmt  mit  p*  einen  Kegel, 
welcher  in  der  Nähe  von  p*  einen  einzelnen  Mantel  der  Fläche  F*"  dar- 
stellt. (Man  erkennt,  dass  nunmehr  p^  der  Kegelschnittschaar  angehört) 
Der  fi  —  1  -  fache  und  der  einfache  Mantel  an  p*  berühren  sich  in  zwei  Punk- 
ten ,  welche  auf  der  zu  P  gehörenden  Berührungsseite  der  Torse  liegen.  Es 
kann  der  Fall  eintreten,  dass  die  beiden  betrachteten  Kegel  zusammenfallen. 
Alsdann  gehen  durch  p*  n  —  l  Mäntel  der  Fläche,  welche  an  p^  denselben 
Kegel  berühren;  zudem  ist  p*  eine  Bückkehrcurve  von  F*". 

In  der  Kegelschnittschaar  sind  2n  Geradenpaare.  Jede  Gerade  berührt 
in  ihrem  Schnittpunkte  mit  p^  den  t»  — 1-fach  berührenden  K^gel  der 
Fläche. 

Die  analytische  Darstellung  des  allgemeinen  Falles  ist  hier  fol- 
gende.    Der  Flächenbüschel  sei  dargestellt  durch 

1)  A9-p»  =  0, 


1 


166    üeber  einige  FlSchen,  welche  Schaaren  v.  Kegelschn.  enÜbalten. 

wo  9  =  0  eine  beliebige  FlSche  desBfischels,  p=0  die  EbeneP  ist  DieTorse 
n^  Classe  soll  ftir  ie=0  die  Ebene i»:=0  liefern,  ihre  Gleichnng  sei  demnach 

2)  V'a  +  1—H  +  ...  +  in  +  ll+p^O, 

worin  a,  ...,  l  lineare  AnsdrQcke  sind.     Die  Gleichung  von  F'*  ist 

3)  ap*— »  +  &!>*— »9  +  ...  +  *1^9— *  +  ^i>9*"*  +  9*  =  0. 

Läogs  jj*  {ps^g>z=zO)  wird  F**  von  ^  =  0  berührt,  resp.  w  — 1  MSn- 
tel  von  F'*  berfihren  dort  ^  =  0.  Um  den  letzten  Mantel  zu  finden,  setze 
man  in  1)  und  2)  an  Stelle  von  X  einen  unendlich  kleinen  Werth  dlj  so 
entsteht  der  Kegelschnitt  der  Schaar 

g,<Ji-p«=.Z<JA  +  p=0, 
welcher  jo^  unendlich  benachbart  ist.  Durch  ihn  und  durch  ja^  geht  die 
Flfiche  zweiter  Ordnung  9+2p  =  0,  welche  <p  =  0  nicht  Ifingsj?*  berührt; 
dagegen  berührt  sie  F^"  Ifings  p^  einfach.  [Lässt  man  in  3)  9  und  p  zu 
Null  werden,- 80  bleiben  als  niedrigste  Glieder  iP9>"""*  +  9"  =  9"~^(ip+9) 
übrig.]  Der  n  —  1-  fache  Mantel  (g»  s=  0)  und  der  einfache  {ip+lp^=0)  be- 
rühren sich  in  den  singularen  Punkten  <p=p  =  2s=0  und  beide  MSntel 
sind  identisch ,  wenn  Z s=  0  mit  p^O  zusammenföllt. 

Für  n  =  2  erhftlt  man  wieder  eine  Fläche  vierter  Ordnung  mit 
Doppelkegelschnitt,  auf  welcher  zunächst  eine  Eegelschnittschaar  liegt 

4)  X9)-i)*  =  0,     X*a  +  2kh+p==0', 
die  Gleichung  der  Fläche  ist 

5)  ap^  +  2bpip  +  q>^^ap^  +  (p{(p  +  2bp)=^0. 

Zu  der  Schaar  4)  giebt  es  eine  adjungirte,  welche  man  erhält,  wenn 
man  5)  mit  der  Ebene  in  4)  schneidet  und  den  Schnitt  mit  lq> — p*=0 
weglässt.     Diese  adjungirte  Schaar  ist 

6)  X(9  +  26i?)+i)»  =  0,    l*a  +  2kh+p  =  0. 

Offenbar  wird  F*  längs  j>*  von  9  =  0  und  von  q>  +  2bp  =  0  berührt: 
Die  Developpable  längs  der  Doppelcurve  zerfällt  hier  in  zwei 
Kegel  zweiter  Classe.  Beide  berühren  sich  in  zwei  Punkten  (9  =  5 
=l>  =  0)y  in  welchen  je  zwei  Pinchpunkte  sich  vereinigt  haben.  —  Die 
beiden  Kegelschnittschaaren  haben  p*  gemeinsam  und  durchschneiden  sich 
in  demselben  (für  die  übrigen  Schaaren  ist  dieses  natürlich  nicht  der  Fall). 

Die  Ebenen  X*a  +  2kh+p  =  0  umhüllen  einen  Kummer 'sehen  Kegel, 
dessen  Spitze  in  der  Ebene  der  Doppelcurve  liegt,  als  Folge  davon,  dass 
die  Developpable  längs  p^  zerfällt.  Wenn  umgekehrt  die  Kegelschnitte  von 
zwei  a^jungirten  Schaaren  auf  F^  den  doppelten  Kegelschnitt  p*  in  Paaren 
einer  Involution  schneiden  und  die  Pinchpunkte  sich  paarweise  so  vereinigen, 
dass  ein  Paar  derselben  Involution  entsteht,  so  muss  die  Developpable  längs 
p^  in  zwei  Kegel  zerfallen. 

Damit  endlich  die  F^  längs  p^  belehrenden  Kegel  zusammenfiiJlen,  bat 
man  h  =  p  za  setzen.     Die  Gleichung  der  Fläche  wird  zu 


Von  Dr.  A.  Weiler.  167 

sie  enthält  die  Eegelschnittschaaren 
8)       X9)-i>*  =  0,    X^a  +  2kp+p  =  0,    k{tp  +  2p^)+p^=^0. 

Die  Flächen  zweiter  Ordnung  in  8)  gehören  demselben  Büschel  an, 
indem  alle  ^  =  0  an  p  =  0  berühren.  Die  Torse  der  Ebenen  X^a  +  2Xh 
-|-p  =  0  wird  zu  einem  Ebenenbüschel.  Dieser  Büschel  erscheint  zweimal 
mit  dem  Flächenbüschel  in  solche  Zuordnung  gebracht ,  dass  je  einer  Ebene 
ein  Flächenpaar,  einer  Fläche  eine  einzelne  Ebene  entspricht  und  wobei  die 
Flächenpaare  eine  Involution  bilden.  Diese  Involution  ist  beidemal  dieselbe, 
weil  in  einer  Ebene  des  Büschels  nur  zwei  Kegelschnitte  von  F^  liegen. 
Man  kann  deshalb  die  Gleichungen  8)  auf  eine  andere  Form  bringen,  indem 
man  eine  Ebene  des  Büschels  mit  ^a+P  =  0  (an  Stelle  von  X*a  +  2Xp+p 
=  0)  bezeichnet.     Alsdann  gehen  8)  übereinstimmend  über  in 


Offenbar  handelt  es  sich  jetzt  um  eine  Fläche  vierter  Ordnung 
mit  Ouspidalkegelschnitt.  Gegenüber  F^  mit  Doppelkegelschnitt  ist  hier 
die  Erzeugungsweise  ausgeartet.  An  Stelle  der  Ebenen  des  ausgezeichneten 
Kegels  treten  die  Ebenen  eines  Büschels ;  die  getrennten  Flächenbüschel  sind 
die  zu  Paaren  einer  Involution  geordneten  Flächen,  welche  »ich  (und  F^) 
längs  des  Cuspidalkegelschnittes  berühren.  In  der  Ebene  des  Cuspidalkegel- 
Schnittes  fällt  eine  Ebene  zusammen  mit  dem  entsprechenden  Flächenpaar. 
In  jeder  Ebene  des  Büschels  liegen  zwei  Kegelschnitte  von  F^,  heraus- 
geschnitten aus  dem  der  Eben^  entsprechenden  Flächenpaar.  Diese  Kegel- 
schnitte berühren  sich  in  den  Schnittpunkten  der  Axe  des  Ebenenbüschels 
mit  dem  Ouspidalkegelschnitt,  welche  infolge  dessen  Ciospunkte  sind.  Die 
Axe  liefert  für  beide  Kegelschnitte  denselben  Pol  und  der  Ort  dieser  Pole 
ist  die  Schnittlinie  der  Tangentialebenen  an  F^  in  den  Clospunkteu,  nennen 
wir  sie  die  ;,Conjugirte  der  Axe^.  Wenn  somit  ein  Kegelschnitt  der  (In- 
volutions-)  Schaar  zu  einem  Paar  von  Geraden  wird,  so  schneiden  sich  die- 
selben auf  der  Conjugirten  der  Axe.  —  Es  mag  hier  im  Voraus  zusammen- 
fassend gesagt  sein,  dass  die  Involutionsschaar,  welche  die  Stelle  von  zwei 
adjungirten  Schaaren  vertritt,  folgende  ausgezeichneten  Kegelschnitte  ent- 
hält: Kp';  2.  ein  Kegelschnitt,  det  mit  dem  in  seiner  Ebene  liegenden  zu- 
sammenfällt, weil  in  der  Involution  von  Flächen  noch  eine  selbstentspre- 
chende Fläche  vorkommt;  3.  vier  Geradenpaare;  4.  drei  Kegelschnitte,  in 
denen  jedes  Mal  F^  von  einem  Kegel  zweiter  Classe  berührt  wird,  dessen 
Scheitel  auf  der  Conjugirten  der  Axe  liegt.  —  Aus  dem  Vorstehenden  geht 
auch  hervor,  dass  die  Fläche  mit  sich  selbst  in  involutorischer  Centralcol- 
lineation  steht  für  jeden  Punkt  der  Axe  (wobei  die  Collineationsebene  durch 
die  Conjugirte  der  Axe  geht)  und  für  jeden  Punkt  auf  der  Coi^ugirten  der 


168     Ueber  einige  Flächen,  welche  Schaaren  v.  Kegelschn.  enthalten. 

Axe  (wobei  je  die  Collineationsebene  durch  die  Axe  geht).  Daraus  folgt 
auch,  dass  die  Punkte  der  Fläche  in  geschaarter  Involution  sind  fiLr  die 
Axe  und  ihre  Conjugirte.* 

In  der  Involutionsschaar  kommen  nach  Vorigem  acht  gerade  Linien  vor 
a^,  &i,  ...,  04,  &4.  Es  sollen  die  ai  in  der  einen,  &,•  in  der  andern  Tan- 
gentialebene in  den  Ciospunkten  liegen  und  die  Linien  von  übereinstimmen- 
dem Index  sich  auf  der  Conjugirten  der  Axe  schneiden.  Alsdann  lassen  sich 
die  Kummer 'sehen  Kegel  ableiten  wie  folgt:  Flächen  zweiten  Grades  durch 
P^j  (^i »  h  schneiden  F*  in  Kegelschnitten ,  deren  Ebenen  dem  Büschel  a  =  p 
=  0  angehören ;  sie  führen  immer  auf  die  Involutionsschaar  und  damit  auf 
den  zerfallenden  (doppelt  zählenden)  Kummer 'sehen  Kegel.  Legt  man 
dagegen  einen  Büschel  von  Flächen  zweiten  Grades  durch  p^,  aty  atj  so 
erhält  man  eine  Kegelschnittschaar,  zu  welcher  aiUm^  ferner  b,&jt  als  zer- 
fallende Kegelschnitte  gehören.  Zu  der  adjungirten  Schaar  gehören  ebenso 
atakj  h^m  {i^  Jc^l,  m  =  1,  2,  3,  4).  Beide  Schaaren  veranlassen  denselben 
doppelt  berührenden  Kegel,  dessen  Spitze  auf  der  Conjugirten  zur  Axe  liegen 
muss  (die  Ebenen  A  der  at  und  B  der  hi  sind  Ebenen  des  Kegels).  Stellt 
man  die  a,-  (oder  die  &,)  auf  alle  Weisen  zu  je  zweien  zusammen,  so  ent- 
stehen sechs  Kegelschnittschaaren,  welche  drei  doppelt  be- 
rührende eigentliche  Kummer'sche  Kegel  veranlassen. 

Ein  solcher  Kegel  K^  geht  immer  durch  den  Cuspidalkegelschnitt  p*  von 
F*,  zu  ihm  gehören  00^ -mal  zwei  Flächenbüschel  durch  p*  etc.  Jeder  Kegel- 
schnitt einer  dieser  sechs  Schaaren  berührt  daher  den  Cuspidalkegelschnitt. 
Zwei  adjungirte  Kegelschnitte  in  einerlei  Ebene  haben  an  p^  drei  consecu- 
tive  Punkte  gemein  (Nr.  2),  ausserdem  einen  Punkt  auf  der  zugehörigen 
Berührungsseite  des  Kegels  K'.  Bückt  ihre  Ebene ,  unter  Beibehaltung  des 
Kegels  K',  nach  einer  Tangentialebene  in  einem  Ciospunkte ,  so  zerfallen  die 
a^'ungirten  Kegelschnitte  in  zwei  Geradenpaare  aus  dem  Ciospunkte;  in 
dieser  speciellen  Lage  fallen  also  alle  vier  Schnittpunkte  der  Kegelschnitte 
in  den  Ciospunkt.  Betrachtet  man  daher  die  Berührungscurve  von  K?  mit 
F^,  welche  im  allgemeinen  Falle  eine  Curve  vierter  Ordnung  war,  so  findet 
man,  dass  sie  in  den  Cuspidalkegelschnitt  und  einen  Kegelschnitt  durch  die 
Ciospunkte  zerfällt:  Die  drei  eigentlichen  Kummer'schen  Kegel, 
welche  ihre  Spitze  auf  der  Conjugirten  der  Axe  haben,  gehen 
durch  den  Cuspidalkegelschnitt  und  berühren  F^  an  drei  Kegel- 
schnitten der  Involutionsschaar. 

Diese  Fläche  mit  Cuspidalkegelschnitt  wird  auch  erzeugt  durch  einen 
Büschel  von  Flächen  zweiten  Grades,  in  welchem  ein  Ebenenpaar  vorkonunt 
und  eine  Torse  zweiter  Classe  von  Ebenen,  die  den  Cuspidalkegelschnitt 
berührt,    wobei    eine   selbstentsprechende  Ebene   auftritt.     Geht  man  aus 


*  Vei^l.  TötÖBsy,  Mathem.  Annalen  XIX. 


Von  Dr.  A.  Weiler.  169 

Yon  einem  beliebigen  Kegelschnitte  einer  der  sechs  Schaaren,  so  hat  man 
alH  Grundcurve  des  PlSchenbtlschels  zwei  sich  berührende  Kegelschnitte  p*, 
Ä*,  die  Kegelspitze  liegt  in  der  Ebene  von  k^  und  diese  Ebene  ent- 
spricht sich  selbst  bei  der  noch  festzusetzenden  projectiven  Zuordnung. 
Ersetzt  man  hierbei  A;^  durch  zwei  Gerade  A^i,  Aig)  welche,  in  einer  Tan- 
gentialebene von  p^  liegend,  sich  auf  p^  schneiden,  so  entsteht  die  näm- 
liche Fl&che. 

Auf  die  Flächen  vierter  Ordnung  mit  Cuspidalkegelschnitt,  welche 
ausserdem  Doppelpunkte  haben  oder  vereinigte  Ciospunkte  besitzen,  werde 
ich  im  nachstehenden  Aufsatze  zurückkommen. 


VIIL 

Ueber  Flächen  vierter  Ordnung  mit  Doppel-  und 
mit  Cuspidalkegelschnitt. 

Von 

Dr.  A.  Weiler 

In  Hottingen -Zflri oh. 


Hierzu  Taf.  V  Fig.  2. 


In  dem  vorangegangenen  Aufsätze  habe  ich  auf  eine  methodische  Un- 
tersuchung der  obgenannten  Flächen  hingewiesen,  welche  hier  näher  aus- 
geführt und  ergänzt  werden  soll.  Ich  beschränke  mich  im  Wesentlichen 
auf  drei  HauptfäUe,  nämlich  auf  die  allgemeine  Fläche  mit  Doppelkegel- 
schnitt, mit  Cuspidalkegelschnitt  und  den  Specialfall  der  letzteren  FlSche, 
in  welchem  die  Ciospunkte  zusammenfallen.  Die  Untersuchung  fördert  einige 
neue  Resultate  zu  Tage  und  setzt  bereits  bekannte  Eigenschaften  in  leicht 
übersehbaren  Zusammenhang.  —  Specialfälle  der  drei  genannten  Typen  wer- 
den gelegentlich  berührt  Allerdings  ist  die  angewandte  Methode  derart 
dass  aus  ihr  alle  Specialfälle  entspringen  würden;  aber  eine  solche  Durch- 
führung wäre  augenscheinlich  mühsam  und  es  würden  in  den  meisten  Fällen 
verschiedene  Dispositionen  bezüglich  der  erzeugenden  projectiven  Oebilde  auf 
nicht  von  einander  verschiedene  Flächen  führen.  Eine  systematische  Clas- 
sification dieser  Flächen  ist  übrigens  soeben  durch  Herrn  Segre  ausgeführt 
worden,*  seine  Methode  giebt  weiterhin  das  Mittel,  die  Frage  nach  der 
Realität  dieser  Gebilde  zu  erledigen. 


1.  Ueber  die  Fläche  vierter  Ordnung  mit  Dbppelkegelschnitt 
habe  ich  unter  Anderem  folgende  Eigenschaften  angegeben.  Die  Fläche 
wird  von  jeder  Eegelschnittschaar  einfach  überdeckt,  somit  haben  im  All- 
gemeinen zwei  Kegelschnitte  derselben  Schaar  keinen  Punkt  gemein.  Zwei 
Kegelschnitte,  welche  einer  Schaar  und  ihrer  adjungirten  entnommen  sind^ 
schneiden  sich  stets  in  zwei  Punkten,  deren  Verbindungslinie  durch  den 
Scheitel  8  des   zugehörenden  Kummer 'sehen  Kegels  K^  geht.     Liegen  sie 

*  Mathem.  Annalen  XXIV,  S.  313,  woselbst  eine  vollständige  Literatorangabe 
zu  finden  ist. 


Ueber  Flftchen  4.  Ordnung  etc.     Von  Dr.  A.  Weiler.  171 

zudem  in  einer  Ebene,  so  schneiden  sie  sich  in  vier  Punkten.  Zwei  davon 
liegen  auf  dem  Doppelkegelschnitte  c*,  die  übrigen  auf  der  BerOhrungsseite 
8  ihrer  Ebene  £  mit  dem  Kegel  E*.  Also  wird  ein  Kegelschnitt  von  allen 
Kegelschnitten  der  adjungirten  Schaar  in  Punktepaaren  einer  Involution 
geschnitten,  deren  Pol  in  8  fällt.  —  Durch  einen  beliebigen  Punkt  auf 
unserer  FlSche  F^  gehen  zehn  Kegelschnitte,  nämlich  fünfmal  je  zwei  ad- 
jnngirte,  welche  sich  nochmals  in  einem  Punkte  treffen.  Andere  Kegel- 
schnitte unter  diesen  zehn  gelangen  nicht  fernerhin  zum  Schnitt.  Zwei 
Kegelschnitte,  welche  verschiedenen,  aber  nicht  ac^ungirten  Schaaren  zuge- 
hOren,  haben  stets  einen  Punkt  gemein. 

Es  seien  nun  a^,  Oj  in  der  Ebene  A,  b^,  ^^  in  B,  c^^  c^  in  C  drei 
Geradenpaare  der  ersten  Kegelschnittschaar  I,  so  schneiden  sich  A,  B,  C 
in  8i\  alle  Kegelschnitte  der  adjungirten  Schaar  I*  liegen  in  Ebenen  aus 
8^  und  schneiden  die  sechs  Geraden  o/,  &<,  Ci*.  Hierdurch  ist  die  Schaar 
I*  völlig  bestimmt  und  es  ist  F^  die  Fläche  derjenigen  Kegel- 
schnitte, deren  Ebenen  durch  einen  Punkt  £^1  gehen  und  welche 
die  in  drei  Ebenen  aus  8^  liegenden  Geradenpaare  a^,  o,;  h^,  \\ 
c^yCj  schneiden.  In  den  drei  Ebenen  sind  die  Geradenpaare  in  allgemei- 
ner Lage,  womit  sich  die  Zahl  der  Gonstanten  der  Fläche  auf  21  beläuft. 

Eine  Ebene  E  schneide  nun  a<,  &|,  c^  in  sechs  Punkten  eines  Kegel- 
schnittes. Diese  Punkte  sind  drei  Paare  der  Involution  vom  Polfi^^.  Con- 
stmirt  man  zu  8^  mit  Bezug  auf  die  drei  Paare  die  vierten  harmonischen 
Punkte,  so  liegen  dieselben  auf  der  Polaren  des  Punktes  6^^  mit  Bezug  auf 
diesen  Kegelschnitt.  Indem  man  aber  die  Paare  o^,  5^,  Ci  mit  allen  Ebenen 
aus  8^  schneidet  und  je  den  vierten  harmonischen  Punkt  von  8^  für  jedes 
herausgeschnittene  Punktepaar  bestimmt,  entstehen  die  drei  Geraden  Oq,  &of 
€^,  die  Polaren  von  8^  mit  Bezug  auf  die  drei  degenerirten  Kegelschnitte 
OiO^^  Wy  c^c^  der  Schaar  J.  Bei  der  Erzeugung  der  Schaar  I"^  aus  iS,, 
€ti,bi,  Ci  hat  man  offenbar  Ebenen  durch  8^  zu  legen,  welche  Oq^Iq,  Cq  je 
in  drei  Punkten  einer  Geraden  schneiden;  eine  solche  Ebene  schneidet  als- 
dann die  sechs  Geraden  a^,  ...  in  sechs  Punkten  eines  Kegelschnittes.  Man 
construire  somit  die  oo^  Transversalen  zu  a^,  (g,  c^,  sie  sind  die  Polaren 
▼on  Sj  für  die  Kegelschnitte  der  Schaar  I*  und  die  aus  8j^  nach  ihnen  ge- 
legten Ebenen  bilden  den  Kummer'schen  Kegel  K^^:  Die  Polaren  des 
Scheitels  eines  Kummer'schen  Kegels  mit  Bezug  auf  die  Kegel- 
schnitte der  einen  zugehörigen  Kegelschnittschaar  bilden  stets 
eine  Begelschaar  zweiten  Grades.  (Der  Scheitel  ^|  des  Kegels  liegt 
nur  dann  auf  dieser  Begelschaar,  wenn  fi^|  auf  F^  liegt;  ein  solcher  Punkt 
ist  nach  Früherem  ein  Knotenpunkt  der  Fläche,  durch  welchen  alle  Kegel- 


*  Dass  die  beiden  adjungirten  Schaaren  7,  J*  genannt  werden,  sei  der  Be- 
quemlichkeit des  Ausdrucks  wegen  gestattet;  die  hier  abzuleitenden  Besnltate 
können  auf  gleichberechtigte  Kegelschnittschaaren  übertragen  werden« 


172     Ueber  Flächen  4.  Ordn.  m.  Doppel-  u.  m.  Cuspidalkegelschnitt. 

schnitte  der  Schaar  hindurchgehen;  die  genannte  Regelschaar  geht  über  in 
seinen  Berührungskegel.) 

Der  Eegelscheitel  8^  liefert  für  die  zugeordneten  Schaaren  i,  /*  zwei 
solche  Regeischaaren  zweiten  Grades.  Da  aber  jeder  Kegelschnitt  von  I 
jeden  von  I*  in  zwei  Punkten  auf  der  durch  S^  gehenden  Schnittlinie  ihrer 
Ebenen  schneidet,  so  schneiden  alle  Polaren  von  8^  fdr  die  Kegelschnitte 
der  Schaar  I  alle  Polaren  der  Schaar  I*:  Die  Polaren  eines  Kegel- 
scheitels für  die  Kegelschnitte  der  beiden  zugeordneten  ad- 
jnngirten  Schaaren  bilden  die  beiden  Erzeugungen  derselben 
FlSche  zweiten  Grades.  —  Die  Anzahl  dieser  co  Varianten  FlSchen  ist  fünf; 
nennen  wir  sie  einfach  ^^Polarenhyperboloide^.  —  Aus  Vorstehendem 
erhellt  nunmehr  folgender  Zusammenhang :  DerKummer*scheKegelK|* 
ist  der  Berührungskegel  aus  8j^  an  das  zugehörige  Polaren- 
hyperboloid. Es  tritt  damit  der  Kegelschnitt  auf,  längs  welchem  Kj' 
und  das  Polarenhjperboloid  sich  berühren ;  seine  Punkte  sind  die  conjugir- 
ten  von  8^  für  beide,  in  derselben  Ebene  von  K^'  liegende  adjungirte 
Kegelschnitte.  Dieser  Kegelschnitt  trifft  die  Raumcurve  vierter  Ordnung 
erster  Species  Cj*,  längs  welcher  Kj^  die  Fläche  F*  derührt,  in  vier  Punk- 
ten; die  Tangenten  an  c^^  in  diesen  Punkten  gehen  durch  8^  und  es  folgt: 
Unter  den  Kegelschnitten  von  zwei  adjungirten  Schaaren, 
welche  je  in  einer  Ebene  liegen,  sind  vier  Paare,  welche  sich 
ausserhalb  des  Doppelkegelschnittes  berühren*;  die  Berüh- 
rungspunkte liegen  in  der  der  Polarebene  des  Kegelscheitels 
für  das  Polarenhyperboloid. 

Irgend  eine  Gerade  g  aus  8^  schneide  zwei  Kegelschnitte  der  Schaar  I 
(und  auch  der  Schaar  I*)  in  den  beiden  Punktepaaren  Ä^B^,  A^B^,  Die 
vierten  harmonischen  Punkte  P^ ,  P,  von  8^  für  diese  zwei  Punktepaare  sind 
die  Schnittpunkte  von  g  mit  dem  Polarenhyperboloid.  Man  erkennt  hieraus, 
dass  das  Polarenhyperboloid  keineswegs  die  quadratische  Polarfläche  von  S^ 
für  F^  sein  kann.  Construirt  man  aber  endlich  den  vierten  harmonischen 
Punkt  Q  von  8^  für  das  Paar  PjP,,  so  ist  Q  auf  der  Polarebene  von  S^ 
für  F^  gelegen:  Die  Polarebene  des  Scheitels  des  Kummer'schen 
Kegels  mit  Bezug  auf  dessen  Polarenhyperboloid  ist  die  Polar- 
ebene des  genannten  Punktes  für  die  Fläche  vierter  Ordnung. 

Man  kann  beweisen,  dass  F^  von  einem  Polarenhyperboloid  in  zwei 
getrennten  Curven  geschnitten  wird,  wovon  die  eine  sehr  bemerkenswerth 


*  Bei  dieser  Berührung  ist  die  gemeinsame  Tangente  eine  Seite  des  Kegels 
£!i*.  —  Es  giebt  vier  weitere  Ebenen  an  Ki*,  welche  c*  berühren;  die  darin  liegen- 
den Kegelschnittpaare  berühren  sich  und  c*  in  demselben  Punkte.  Endlich 
berühren  sich  diese  Kegelschnittpaare  auch  in  den  vier  Ebenen  von  Ki*,  deren 
BerfihrungBseiten  durch  die  Pinchpunkte  gehen.  Der  Berührungspunkt  ist  der 
Pinchpunkt  und  die  gemeinsame  Tangente  ist  die  Schnittlinie  jener  Ebene  mit  der 
aingul&ren  Tangentialebene  des  Pinchpunktes. 


Von  Dr.  A.  Wbilbr.  173 

ut.  —  Es  seien  E  eine  Ebene  an  K^^;  e^^  e^  die  in  £  liegenden  Kegel- 
schnitte; 8  die  Berübrnngsseite  von  E  mit  K^';  p^,  p^  die  Polaren  von  S^ 
für  e^^  e^.  Der  Scbnitt  von  E  mit  dem  Polarenbyperboloid  bestebt  aus 
Pi,  p^.  Die  Scbnittpnnkte  von  P|  mit  e^  und  von  p^  mit  e^  sind  Punkte 
auf  F^,  in  welchen  die  Tangentialebenen  durch  S^  gehen ;  sie  sind  die  Dop- 
pelpunkte der  bereits  erwähnten  Involutionen  auf  e^y  e^>  Diese  Tier  Punkte 
liegen  auf  dem  Berührungskegel  vierter  Ordnung,  welchen  man  aus  8^  an 
F^  (ausser  E^*)  legen  kann.  (Den  Schnittpunkten  von  Pj  mit  e^  und  von 
P2  mit  ^1'  kommt  diese  Eigenschaft  nicht  zu,)  Jene  vier  Punkte,  sagen  wir 
kurz  e^Pi,  beschreiben  bei  der  Bewegung  von  E  um  Kj'  eine  Curve  vierter 
Ordnung,  welche,  auf  dem  Polarenbyperboloid  liegend,  jede  seiner  Erzeu- 
genden zweimal  schneidet.  Letzteres  gilt  auch  für  den  Ort  der  Punkte 
e?pk  und  es  folgt:  Die  Schnittcurve  des  Polarenhyperboloids  mit 
F^  zerfällt  in  zwei  Baumcurven  vierter  Ordnung  erster  Spe- 
cies.  Die  eine  davon  ist  die  Berührungscurve .  des  aus  dem 
Eegelscheitel  an  F^  (ausser  E|')  gelegten  Berührungskegels  vier- 
ter Ordnung;  in  jedem  ihrer  Punkte  berühren  sich  zwei  Kegel- 
schnitte der  zum  Kegel  gehörenden  adjungirten  Schaaren.* 
Wenn  eine  Ebene  A  an  K^'  einen  zerfallenden  Kegelschnitt  a^o^  der  Schaar  J 
(oder  1*)  enthält,  so  fallen  die  Doppelpunkte  der  Involution  auf  ajO^  in 
dem  Schnittpunkte  dieser  Geraden  zusammen :  Die  letztgenannteBaum- 
curve  vierter  Ordnung  geht  durch  die  acht  Schnittpunkte  der 
in  den  beiden  Kegelschnittschaaren  enthaltenen  Geradenpaare 
und  berührt  in  jedem  Schnittpunkte  den  vierten  harmonischen 
Strahl    des  Kegelscheitels   mit  Bezug  auf  das  Geradenpaar.** 

Schneidet  man  F^  und  den  Kummer^schen  Kegel  K^'  mit  der  Polar, 
ebene  des  Kegelscheitels  8^ ,  so  erhält  man  eine  Curve  vierter  Ordnung  mit 
zwei  Doppelpunkten  und  einem  Kegelschnitt,  welche  beide  sich  in  vier 
Punkten  berühren.  Diese  Punkte  liefern  mit  K^*  die  Ebenen,  in  denen  sich 
je  zwei  Kegelschnitte  der  Schaaren  J,  J*,  die  in  derselben  Ebene  von  K|' 
liegen,  berühren. 

Nehmen  wir  wieder  an ,  man  kenne  von  der  Fläche  F^  die  drei  Gera- 
denpaare AiO,,  &I&S,  c^c^,  deren  Ebenen  sich  im  Kegelscheitel  iS|  schneiden. 
Es  sei  t  eine  Transversale  der  vierten  harmonischen  Strahlen  a^,  5o,  c^  von 

*  Zur  Ergänzung  des  gegebenen  Beweises  betrachte  man  irgend  einen  Quer- 
schnitt von  F*,  dessen  Ebene  P  durch  8x  gelegt  ist  Der  Schnitt  besteht  aus  einer 
Curve  vierter  Ordnung  p^  mit  zwei  Doppelpunkten ,  Si  ist  der  Schnittpunkt  zweier 
Doppeltangenten  f|,  tt  von  p^.  Aus  Sx  gehen  an  p^  noch  vier  Tangenten,  welche 
P,  Q,  12,  iS  zu  Berührungspunkten  haben  mögen.  Darch  P,Q,EyS  lässt  sich  ein 
Kegelschnitt  legen ,  welcher  t^ ,  tf  je  im  vierten  harmonischen  Punkte  von  S^  für 
die  Berührungspunkte  dieser  Doppeltangenten  berührt.  Er  ist  der  Schnitt  mit  dem 
Polarenhyperboloid.  Die  Punkte  von  p*  sind  dusch  Si  und  die  Punkte  dieses 
Kegebchnittes  paarweise  harmonisch  getrennt. 

**  Yergl.  Clebsch,  Crelle^s  Jonmal  Bd.  69  S.  86. 


174     üeber  Flächen  4.  Ordn.  m.  Doppel-  a.  m.  Caspidalkegelschnitt. 


S^  für  die  Geradenpaare  at,  bi,  c«.  Die  Ebene  S^t  schneidet  die  sechs 
gegebenen  Geraden  in  Punkten  eines  Kegelschnittes,  welcher  augenschein- 
lich dann  und  nur  dann  zerfällt,  wenn  die  sechs  Punkte  zu  je  dreien  in 
zwei  Geraden  liegen.  Weil  aber  die  Geraden  eines  Paares ,  z.  B.  h^  &,  *  ^^^^ 
schneiden ,  diejenigen  verschiedener  Paare  windschief  sind ,  so  müssen  jedes- 
mal drei  Geraden,  welche  von  der  Ebene  S^t  in  Punkten  einer  Geraden  ge- 
schnitten werden ,  allen  drei  Paaren  Of ,  &/ ,  Ct  entnommen  sein.  Die  Ebene 
Sit  z.B.,  welche  a^,  5j,  c^  in  Punkten  einer  Geraden  schneidet,  thut  das- 
selbe fQr  Og,  &2f  <^8i  ^^^^  Ebene  enthält  einen  zerfallenden  Kegelschnitt  der 
Schaar  I*.  Man  findet  diese  Ebene  eindeutig  wie  folgt.  Die  Geraden  Oq^qC^ 
und  a^^i^i  bestimmen  (durch  ihre  Transversalen)  zwei  Begelschaaren ,  an 
welche  aus  S^  im  Ganzen  vier  gemeinsame  Tangentialebenen  gelegt  werden 
können.  Drei  davon,  nämlich  die  Ebenen  A  (von  aia^)^  B,  C  sind  bereits 
bekannt  und  fallen  ausser  Betracht.  Die  vierte  gemeinsame  Ebene  E  sehnei- 
det alsdann  a|,  b^,  c^  in  drei  Punkten  der  Geraden  e^;  a^^  h^^  c^  in  drei 
Punkten  der  Geraden  e,.  —  Ebenso  findet  man  drei  weitere  Ebenen  F,  G, 
H,  welche  bezüglich 

je  in  drei  Punkten  der  Geraden 

fv  /»;   ^1»  9^1    *i»  ^ 
schneiden,   und   es  sind  damit  die  in  der  Schaar  I*  cDthaltenen  Geraden- 
paare linear  construirt. 

Umgekehrt  könnte  man  etwa  aus  ß, ,  «^ i  f\^  f%\  9i^  9%  ^^  Greraden- 
paare  der  Schaar  I  finden.  Nach  der  eingeführten  Bezeichnung  werden 
^ifi9i^  ^ifi9ii  ^if%9\y  ^f%9%^  ^/i^i)  «g/i^j  bezüglich  von  a^yh^.c^y  a^, 
&9,  Cj  geschnitten.  Es  verbleiben  die  Temen  e^f^g^^  ^fi9i]  erstere  sollen 
von  d^ ,  letztere  von  d^  geschnitten  werden.  So  erhält  man  folgende  Tabelle, 
in  welcher  neben  jeder  einzelnen  Geraden  diejenigen  fünf  angegeben  sind, 
welche  erstere  schneiden. 


a, 

ot  et  fi  gx  Ä, 

Ot 

«ie,/;^,Ä, 

Cl 

et  a,  6|  c,  d, 

«t 

ttOtb^Ctät 

bt 

btetf.gtK 

t. 

bietftg^hi 

A 

/ia,  6|Cid, 

ft 

Uotbteidi 

Ct 

Ct  cj  ft  gi  ht 

Ct 

c,e,A^Ä, 

9t 

gn  a^  6,  c,  dt 

9t 

9i<h^tCtd, 

d, 

dietftg^hi 

d, 

di  et  fi  gi  Ä, 

Äl 

htOibtCtdi 

\ 

Äi  0,6,  Cid, 

Die  folgende  Tabelle  enthält  die  Geradenpaare,  welche  jedesmal  zu  der- 
selben Kegelschnittschaar  gehören. 


/ 

atOt,  bibt,  CiCt,  dxdt 

I* 

Ci«t*  ftft,  gtgt,  hiht 

II 

Oi«i7  btft,  c^gt,  dth^ 

II* 

OtC,,  bifi,  Cigt,  dtht 

III 

«i/l>  ^«1^  c,Ä,,  digt 

III* 

(hft,  b^et,  Cth,  dtgt 

IV 

(hgt,  hht,  c,c„  dt/; 

IV* 

a^g^,  btht,  Cic,,  dtft 

V 

«i^if  6i^t.  c,/i,  dtet 

V* 

at\,  btgx,  Ctfi,   dtc^ 

Von  Dr.  A.  Weiler.  175 

Die  Lioienpaare  einer  ganzen  Horizontalreibe  bezeichnen  zugleich  je 
acht  Ebenen  des  zu  den  a^jungirten  Schaaren  gehörenden  Kumme  raschen 
Kegels  K,«...V. 

Wenn  der  Scheitel  ^|  eines  Kummer 'sehen  Kegels  in  die  Ebene  C  des 
Doppelkegelschnittes  fällt,  so  ist  Si  ein  Diagonalpunkt  des  Vierecks  der 
Pinchpunkte.  F^  ist  dann  sich  selbst  entsprechend  in  einer  inyolutorischen 
Collineation  vom  Centrum  iSj,  deren  Ebene  S,  die  Punkte  a^tx^,  h^b^j  ... 
enthält.  Das  Polarenhyperboloid  des  Scheitels  8^  degenerirt  in  den  Kegel- 
schnitt, welchen  S^  aus  K^'  schneidet.  Aus  der  letzten  Tabelle  folgt,  dass 
die  Scheitel  £•,,  ..•,  ^5  der  übrigen  Kegel  in  Sj  liegen,  so  dass  auch  diese 
Kegel  und  ihre  Hyperboloide  ihre  eigenen  Bilder  in  der  Collineation  sind. 
S,  schneidet  aus  P*  eine  Curve  vierter  Ordnung  cf*  mit  zwei  Knoten  und 
mit  acht  Doppeltangenten.  Diese  Doppeltangenten  gehen  zu  je  zweien  durch 
die  vier  Kegelscheitel.  —  Wenn  ein  zweiter  Kegelscheitel ,  S^y  in  C  fällt, 
so  tritt  eine  neue  Collineation  vom  Centrum  8^  und  der  Ebene  S,  auf.  Die 
c^,  welche  durch  Sj  aus  F^  geschnitten  wird,  hat  nunmehr  folgende  Eigen- 
schaften. Zwei  ihrer  Doppeltangenteu  schneiden  sich  in  S^y  also  auf  der 
Verbindungslinie  der  Knoten;  8^  ist  ein  Homologiecentrum  fUr  c^,  die  Homo- 
logieaxe  ist  die  Schnittlinie  S1S2,  auf  ihr  schneiden  sich  die  verbleibenden 
sechs  Doppeltangenten  paarweise  in  den  Scheiteln  der  übrigen  Ku  mm  er- 
sehen Kegel.  —  Rückt  endlich  auch  von  diesen  drei  Scheiteln  einer  in  die 
Ebene  C  (in  den  Punkt  CSjSg),  so  fallen  die  beiden  übrigen  im  Schnitt- 
punkte der  nunmehr  vorhandenen  drei  CoUineationsebenen  zusammen.  Dieser 
Punkt  ist  alsdann  der  Scheitel  eines  singulären  Kummer*schen  Kegels, 
bezüglich  ein  Knotenpunkt  der  Fläche  F^. 

Wenn  wiederum  Ä^  in  C  fällt,  Kj*  aber  C  berührt,  so  gehört  c*  den 
adjnngirten  Schaaren  J,  I*  an.  Beide  Schaaren  ;,  durchschneiden  sich^  in 
c*  und  die  Developpable  an  F^  längs  (?  zerfällt  in  zwei  Kegel  zweiter  Classe. 
In  diesem  Falle  kann  kein  weiterer  Kegelscheitel  in  C  liegen,  es  sei  denn, 
dass  gleichzeitig  (^  selbst  zerfällt. 

2.  Die  Fläche  vierter  Ordnung  F^  mit  Bückkehrkegelschnitt 
c*  wird  durch  c*  und  einen  beliebigen  ihrer  Kegelschnitte  g*  erzeugt  wie 
folgt.  Die  Kegelschnitte  c^  und  g*^  welche  sich  hier  nothwendig  berühren 
müssen,  sind  die  Grundcurve  eines  Büschels  von  Flächen  zweiten  Grades. 
Ein  Kegel  I?,  durch  c*  gehend,  habe  seinen  Scheitel  8  in  der  Ebene  G  von 
5f*,  seine  Ebenen  E  sind  den  Flächen  F*  des  Büschels  <fg^  projectiv  so  zu- 
geordnet, dass  der  Ebene  G  die  in  die  Ebenen  CG  zerfallende  Fläche  ent- 
spricht. Die  Kegelschnitte,  in  welchen  die  Ebenen  E  ihre  entsprechenden 
Flächen  F'  schneiden,  bilden  eine  Schaar,  welche  F^  einfach  überdeckt. 

Von  F*  liegt  in  E  zunächst  der  Kegelschnitt  ei*  =  EF*.  Die  übrigen 
Ebenen  von  K'  und  ihre  entsprechenden  Flächen  des  Büschels  schneiden  E 
in  einem  Strahlbüschel  aus  8  und  einem  dazu  projectiven  Kegelschnitt- 
büschel;  der  Berührungsseite  s  von  E  mit  K*  entspricht  c^*.     Der  Ort  der 


176     üeber  Fl&chen  4.  Ordn.  m.  Doppel-  n.  m.  Cuspidalkegelschnitt. 

Schnittpunkte  der  Strahlen  aus  S  mit  den  entsprechenden  Kegelschnitten  ist 
ein  weiterer  Kegelschnitt  Cg*  (vergl.  Nr.  2  des  vorigen  Aufsatzes);  es  be- 
rühren ^1*,  «2*  die  in  dem  Berührungspunkte  E  von  E  mit  c*  an  c*  gelegte 
Tangente  e  im  Punkte  E;  sie  haben  in  E  drei  consecutive  Punkte  gemein/ 
der  vierte  gemeinsame  Punkt  E^  liegt  auf  der  Berührungsseite  s.  Der  zuletzt 
genannte  Punkt  Ei  ist  der  eigentliche  Berührungspunkt  von  E  resp.  von  s 
mit  F^,  er  kann  auch  bezeichnet  werden  als  der  Schnittpunkt  von  s  mit  F', 
welcher  nicht  auf  c*  liegt. 

Bewegt  man  E  um  K^  so  beschreiben  Cj^,  e^  die  beiden  zu  K*  gehören- 
den adjungirten  Kegelschnittschaaren.  Der  Ort  ihres  Schnittpunktes  Ei  =  sY^ 
ist  die  Berührungscurve  von  K*  mit  F*,  also  ein  auf  K*  gelegener  fester 
Kegelschnitt  Ä;^,  welcher  (?  in  zwei  Punkten  A^  B  schneidet.  Die  in  A^B 
an  K^  gelegten  Ebenen  berühren  ihre  entsprechenden  Flächen  zweiten  Gra- 
des, A*,  B*,  in  ebendiesen  Punkten,  weshalb  die  Kegelschnitte  Oj*,  h^  in 
A^  B  Doppelpunkte  besitzen.  Alle  vier  Schnittpunkte  von  a^  mit  a^  fallen 
in  A,  somit  hat  auch  a^  in  A  einen  Doppelpunkt.  Das  Analoge  gilt  für 
^1*»  V  ^^^  ®^  folgt:  Zwei  Ebenen  A,  B  von  K*  berühren  ihre  ent- 
sprechenden Flächen  A*,  B*  in  je  einem  Punkte  A,  B  auf  c*j 
in  diesen  Ebenen  zerfallen  die  adjungirten  Kegelschnitte  a^, 
a^  resp.  h^^  h^  in  Geradenpaare  aus  A,  B  und  ausserdem  kom- 
men in  den  beiden  Kegelschnittschaaren  keine  Geradenpaare 
vor.  Hieraus  folgt  unmittelbar,  dass  alle  Geraden  in  A  durch  A  und 
in  B  durch  B  gehend,  daselbst  F^  in  vier  zusammenfallenden  Punkten 
treffen;  es  sind  J.,  B  die  Ciospunkte  der  Fläche,  A,  B  ihre  singulären 
Tangentialebenen.** 

Die  Verbindungslinie  ii^  =  a  der  Ciospunkte  soll  wieder  die  Axe  der 
Fläche  genannt  werden.  Ebene  Querschnitte  durch  a  haben  in  A^  B 
Selbstberührungspunkte  und  zerfallen  somit  in  Kegelschnittpaare.  Hieraus 
folgt,  dass  die  in  A  und  B  gelegenen  Geraden  von  F^  sich  paarweise  auf 
der  Schnittlinie  AB  ^a^,  der  Gegenaxe,  schneiden.  Diese  Geraden  seien 
^n  ^f  ^8)  ^4)  ^i>  ^sf  ^3  9  ^41  wobei  jedesmal  die  vom  selben  Index  auf 
Oq  zum  Schnitt  gelangen.  Wenn  alsdann  bei  der  oben  genannten  Erzeugung 
der  Fläche  a,-,  ak  der  Schaar  von  Kegelschnitten  (e^^)  angehören,  die  man 
direct  als  Schnitte  EF'  erhält,  so  gehört  auch  tihm  dieser  Schaar  an;  aiüm^ 
"bihk  sind  die  zerfallenden  Kegelschnitte  der  adjungirten  Schaar  {e^). 


*  Die  Ebene  E  schneidet  aus  dem  Kegel  K^*,  welcher  F*  längs  c*  berührt, 
einen  Kegelschnitt  e^',  welcher  6i*  uud  e,'  ebenfalls  in  E  osculirt.  Dieser  Kegel- 
schnitt «0*  berührt  ausserdem  die  Ebenen  A  und  I) ;  durch  c*  und  e^'  ist  Kq*  ein- 
deutig bestimmt.  —  Die  Bestimmung  von  Ko*  aus  c^,  a^  und  einem  Kegelschnitte  ef 
ist  eindeutig.  Umgekehrt  erkennt  man,  wie  K^  zur  Construction  einer  Kegelschnitt- 
schaar  dient. 

**  Zeuthen,  Math.  Annalen  X  S.  446. 


Von  Dr.  A.  Weiler.  177 


An  dieser  Stelle  werde  angenommen,  es  seien  von  der  Fläche  F^  be- 
kannt der  Cuspidalkegelschnitt ,  die  Axen  und  ihre  Schnittpunkte  mit  F^, 
mit  anderen  Worten  <?  und  die  vier  Geradenpaare  a^^i  («=  1,  2,  3,  4), 
Dann  lassen  sich  die  sechs  Eegelschnittschaaren ,  die  drei  Kummer 'sehen 
Kegel  und  die  Polarenhyperboloide  direct  finden.  Die  Kegelschnitte  der 
ersten  Schaar  (berühren  (?  und)  schneiden  die  vier  Geraden  a, ,  o^ ,  &, ,  h^\  die 
der  adjungirten  Schaar  schneiden  a^ ,  a^ ,  6^ ,  \  u.  s.  f.  Die  Bestimmung  der 
ersten  Schaar  ist  folgende. 

Es  habe  <?  in  einem  seiner  Punkte  E  die  Tangente  e  (Fig.  2).  Um  e 
dreht  man  eine  Ebene  E,  welche  a^,  a^,  63,  b^  m  A^^  A^^  B^^  B^  schneidet. 
Wenn  diese  Ebene  in  einer  bestimmten  Lage  einen  Kegelschnitt  der  Schaar  I 
enthält,  so  ergeben  die  Seiten  des  Vierecks  ^1^2-^3-^4  ^^^  ^  geschnitten 
drei  Punktepaare  einer  Involution,  welche  in  E  einen  selbstentsprechenden 
Funkt  haben  muss.  Die  Gegenseiten  A^A^^  -^8-^4  ^^^e^n  t^^^  ein  fest- 
liegendes Paar  itf ,  N\  soll  daher  E  der  eine  Doppelpunkt  der  Involution 
sein,  so  fHUt  der  andere  in  0=^ae.  Wenn  daher  die  Schnittpunkte  P,  P' 
von  A^B^  und  A^B^  mit  E  die  Strecke  OE  harmonisch  theilen,  so  befindet 
sich  E  in  der  richtigen  Lage.  —  Bei  der  Drehung  von  ^  um  e  beschreiben 
P,  P'  zwei  projective  Reihen,  für  E=:C  fallen  beide  in  0  zusammen,  und 
es  kommt  also  nur  einmal  vor,  dass  OJ^PP' eine  harmonische  Gruppe  ist 
(abgesehen  von  E  =  C,  welche  Ebene  ausser  Betracht  flUlt).  Diese  eine 
Ebene  E^  schneidet  alsdann  a^  in  dem  Scheitel  S^  des  Kegels  K^^  Con- 
struirt  man  in  dieser  Ebene  E^  die  vierten  harmonischen  Punkte  A^^y  B^ 
von  8^  fOr  A^A^,  B^B^y  so  ist  deren  Verbindungslinie  die  Polare  von  S^ 
für  den  in  E|  gelegenen  Kegelschnitt  der  Schaar  J.  —  Lässt  man  nun  E 
den  Kegelschnitt  <?  durchlaufen,  so  beschreibt  E  den  Kummer 'sehen  Kegel 
^^  =  S^(?\  die  Polare  -^12-^34  schneidet  A,B  in  zwei  projectiven  Reihen, 
deren  Träger  die  Polaren  von  S^  fdr  a^Ogi  &8&4  sind.  Indem  man  beide 
Eegelschnittschaaren  beachtet,  die  K^^  zukommen,  hat  man:  Die  Polaren 
von  Sj  für  die  Geradenpaare  a^a^^  ^8^4»  Wy  ^8^4  sind  ein  wind- 
schiefes Vieiseit  des  dem  Kegel  K^^  zugeordneten  Polaren- 
hyperboloids. 

Bei  der  Bestimmung  der  Ciospunkte  hat  sich  herausgestellt,  dass  die 
Ebenen  durch  die  Axe  aus  F^  Kegelschnittpaare  ausschneiden ,  welche  A ,  B 
in  il,  ^  berühren.  Daher  kann  man  durch  <?  und  irgend  zwei  dieser  Kegel- 
schnitte jedesmal  eine  Fläche  zweiten  Grades  legen  (welche  F^  weiterhin 
nicht  mehr  schneidet).  Umgekehrt  schneidet  eine  Fläche  zweiten  Grades  F^, 
durch  <?  und  einen  von  diesen  Kegelschnitten  gelegt,  F^  in  einem  weiteren 
Kegelschnitte  durch  A,  B.  Denn  sei  P  irgend  ein,  F*  und  F*  gemein- 
samer Punkt,  so  muss  der  Kegelschnitt  durch  P,  welcher  A  und  B  in  J. 
und  B  berührt,  auf  F*  und  auf  F*  liegen.  Legt  man  daher  durch  c*  und 
einen  beliebigen  dieser  Kegelschnitte,  Tf^  dessen  Ebene  durch  die  Axe  geht, 
einen  Büschel  von  Flächen  zweiten  Grades,  so  werden  durch  diese  Flächen 

Z«it«diTift  1  Mathematik  o.  Phydk  XXX,  3.  18 


178     üeber  Flächen  4.  Ordn.  m.  Doppel-  u.  m.  Cnspidalkegelscbnitt. 

alle  Kegelschnitte  aus  F^  geschnitten,  deren  Ebenen  die  Axe  a  enthalten. 
Zu  jeder  Ebene  durch  a  gehören  aber  zwei  Flächen,  welche  sich  innerhalb 
des  Büschels  vertauschnngsföhig  entsprechen  müssen.  Daraus  folgt  die  schon 
früher  (analytisch)  hergeleitete  Erzeugung  der  ^Involutionsschaar^  von 
Kegelschnitten  auf  F*.  —  Unter  den  zu  einer  Involution  gepaarten  Flächen 
des  Büschels  c^g^  sind  zwei  selbstentsprechende  (Doppelflächen).  Der  einen 
entspricht  die  Ebene  C  von  (?  und  es  erweist  sich  der  Cuspidalkegelschnitt 
(?  als  ;,Bückkehrkegelschnitt  der  Involutionssohaar^;  die  dies- 
bezügliche  Doppelfläche  wird  mit  F^  längs  <?  von  demselben  Kegel  zweiter 
Classe  Kq'  berührt.  Kq^  enthält  die  Ebenen  A,  B,  weshalb  sein  Scheitel 
in  die  Gegenaze  a^  fallen  muss.  —  Der  zweiten  Doppelfläche  entspricht  als 
Ebene  durch  a  offenbar  die  Doppeltangentialebene  von  F^  Diese 
Ebene  schneidet  aus  A,  B  die  singulären  Tangenten  in  den  Glos- 
punkten  und  ist  gleichzeitig  für  die  beiden  letzteren  die  ausgezeichnete 
durch  sie  hindurch  gelegte  Ebene ;  an  Stelle  des  Contactes  zweiter  Ordnung 
der  Aeste  in  dieser  Ebene,  an  den  Ciospunkten,  tritt  Identität  dieser  Aeste  ein 
(Zeuthen,  1.  c.  S.  480).  —  Der  einfachste  Flächenbüschel,  welcher  bei  Er- 
zeugung der  Involutionsschaar  auftritt,  ist  augenscheinlich  derjenige,  wei- 
cher an  <?  und  den  (?  unendlich  nahen  Kegelschnitt  dieser  Schaar  gelegt  ist 
(dessen  Flächen  K^  längs  (?  berühren). 

Besitzt  die  Fläche  F^  mit  Cuspidalkegelschnitt  einen  conischen  Kno- 
ten S^,  so  ist  er  der  Scheitel  eines  Kumme  raschen  Kegels  K^  =  iSc^  er  liegt 
auf  der  Gegenaxe  a^.  Von  den  vier  Schnittpunkten  von  üq  mit  F*  fallen 
zwei  in  j^und  damit  werden  je  zwei  von  den  Geraden  ai  {hi)  mit  ÄS  (BS) 
identisch ,  z,  B.  Oj  =  a^ ,  6^  =  6^.  Die  Kegelschnittschaaren ,  welche  (c*  be- 
rühren und)  a|,  a^,  h^,  &^,  und  die,  welche  (^21  ^i\i  ^a  schneiden,  sind 
hier  identisch ,  ebenso  ihre  adjungirten  (welche  entweder  Og ,  a^ ,  &| ,  ^3  oder 
a|,  a^y  5},  &3  schneiden).  Es  erweist  sich  S  selbst  als  Scheitel  des  zu  diesen 
vereinigten  Schaaren  gehörenden  Kummer^schen  Kegels.  Der  Kegel  5c^  =  K' 
ist  hier  ein  singulärer  Kummer^scher  Kegel,  welcher  durch  Vereini- 
gung aus  zweien  entstanden  ist.  Die  zugehörigen  adjungirten  Kegelschnitt- 
schaaren sind  durch  Vereinigung  aus  je  zwei  Schaaren  entstanden;  ihre 
Kegelschnitte  gehen  sämmtlich  durch  den  Kegelscheitel,  sie  sind  singulare 
Kegelschnittschaaren.*  —  Ausser  den  hier  abgeleiteten  Kegelschnitt- 
schaaren und  der  Involutionsschaar  hat  man  noch  zwei  adjungirte  Schaaren, 
welche  zu  einem  K  u  mm  er 'sehen  Kegel  Kj^  =  ;9^c'  gehören,  dessen  Scheitel 
S^  ebenfalls  auf  üq  liegt.  Diese  Kegelschnitte,  welche  c'  berühren,  schnei- 
den entweder  ^3,  h^  und  berühren  A  &n  ÄS,  oder  sie  schneiden  o,,  a^  und 
berühren  B  B^n  BS,  —  Der  singulare  Kegel  K^  berührt  F^  längs  dem  in 
ÄSy  SS  zerfallenden  Kegelschnitt,  währenddem  K^^  die  Fläche  längs  einem 
irreducibeln  Kegelschnitt  der  Involutionsschaar  berührt. 

*  Jeder  Kegelschnitt  dieser  singulären  Schaaren  berührt  in  S  eine  Seite  des 
zu  diesem  Knoten  S  gehörenden  ßerührungskegels  zweitcfr  Ordnung  S*. 


Von  Dr.  A.  Weiler.  179 

Diese  Fläche  wird  offenbar  durch  folgende  Erzeugungsweisen  erhalten. 
Liegt  bei  der  zu  Anfang  dieser  Nummer  gegebenen  Erzeugung  S  auf  g\ 
so  erhält  man  nnsere  Fläche  mit  conischem  Knoten  mit  Hilfe  des  singulären 
Kegels.  Hierbei  zeigt  es  sich,  dass  der  (nach  Früherem  leicht  construirbare) 
BerOhmngskegel  B*  im  Knoten  S  die  Ebenen  A,  B  sai  ÄS^  SS  berührt. 
Die  zerfallenden  Kegelschnitte  aj^,  a^^  in  A  haben  ÄS  gemein  und  ebenso 
ist  BS  eine  den  zerfallenden  Kegelschnitten  5|^  h^^  in  B  gemeinsame  Ge- 
rade. —  Wird  diese  Fläche  wieder  erzengt  wie  die  allgemeine  dieser  Num- 
mer, und  liegt  S  nicht  auf  ^^  so  muss  in  A  (B)  der  eine  der  Kegelschnitte 
Oj*,  Og* •(&!*,  V)  2^  ®^^®^  Doppelgeraden  werden,  welche  nicht  durch  den 
Kegelscheitel  geht.  Es  ist  das  die  Erzeugung  mit  Hilfe  des  Kegels  Kj^.  — 
Erzeugt  man  endlich  die  Fläche  aus  der  Involutionsschaar,  so  giebt  es  zwei 
consecutiYe  Flächen  im  Büschel,  welche  von  ihren  entsprechenden  Ebenen 
berührt  werden. 

Die  Ciospunkte  dieser  Fläche  mit  Knoten  haben  die  weitere  besondere 
Eigenschaft,  dass  zwei  von  den  vier  fünfpunktig  berührenden  Greraden  zu- 
sammenfallen. —  Wenn  der  Berührungskegel  S^  im  Knoten  mit  dem  singu- 
lären Kegel  K^  zusammenfällt,  so  zerföllt  F^  in  K^  und  eine  Fläche  zweiten 
Grades,  welche  K'  längs  (f  berührt.  Dieser  Fall  tritt  ein,  wenn  inA  (B) 
die  einzelnen  Geraden  a^,  a^  (^3,  h^)  durch  die  doppelte  Gerade 
AS  (BS)  und  die  Tangente  an  den  Cuspidalkegelschnitt  har- 
monisch getrennt  sind. 

Wenn  oben  S^  in  zwei  Ebenen  zerfällt,  so  können  nur  A,  B  diese 
Ebenen  sein.  Die  Fläche  hat  alsdann  einen  biplanaren  Knoten.  Indem 
man  diese  Ebenen  A,  B  bei  der  Construction  der  Kegelschnittschaaren  be- 
nutzt (die  zwei  Kegelschnitte  6^^,  e,^  in  der  Ebene  E  an  K^  berühren  die 
Schnittlinien  AE  resp.  BE  in  S),  so  findet  man,  dass  drei  von  den  vier 
Geraden  a,-  (6,)  in  ÄS  {BS)  fallen,  etwa  ai  =  ag  =  agC=ilS',  6|  =  6j  =  63 
=  jßiS.  Daraus  schliesst  man,  dass  F^  neben  der  Involutionsschaar  nur  noch 
zwei  adjungirte,  doppelt  singulare  Kegelschnittschaaren  hat;  der  einzig  exi- 
stirende  doppelt  singulare  Kegel  hat  seinen  Scheitel  im  biplanaren  Knoten. 
(Dieser  Kegel  und  seine  Kegelschnittschaaren  sind  durch  Vereinigung  aus 
dreien  hervorgegangen.)  —  Die  Construction  der  Kegelschnittschaaren  ist  sehr 
einfach  folgende.  Eine  Ebene  E  des  Kegels  K^  berühre  c'  in  ^  und  schneide 
A,  B  in  m,  n.  Der  eine  Kegelschnitt  in  E  berührt  o'  (e)  in  J^,  m  in  S 
und  geht  durch  den  Schnittpunkt  von  h^  mit  n.  Der  zweite  berührt  c*  in 
^,  n  in  S  und  enthält  den  Schnittpunkt  von  m  mit  a^.  —  Aus  dieser 
Construction  geht  unmittelbar  hervor,  dass,  wenn  alle  vier  Geraden  at  {hi) 
znsammenfallen ,  F^  zu  einem  doppelten  Kegel  zweiter  Ordnung  wird. 

3.  Lässt  man  in  voriger  Nummer  B^  B  nach  Ä,  A  rücken,  so  erhält 
man  die  Fläche  vierter  Ordnung  mit  Cuspidalkegelschnitt  und 
mit  vereinigten  Ciospunkten.  Die  Axe  a  ist  hier  die  Tangente  an  (^ 
im  Glospunkte  Ä, 

12* 


180      üeber  Flächen  4.  Ordn.  m.  Doppel-  u.  m.  Cuspidalkegelschniti. 


Jede  F^  mit  Caspidalkegelschnitt  <?  wird  längs  <?  von  einem  Kegel 
zweiter  Classe  Kq*  berührt  und  die  Flächen  zweiten  Grades  F*,  welche  K^* 
längs  (?  berühren ,  schneiden  F^  in  den  Kegelschnitten  der  Involntionsschaar. 
Ordnen  wir  daher  die  K^  längs  (?  berührenden  Flächen  zu  einer  luYolntion, 
so  dass  die  Ebene  C  von  c^  die  eine  selbstentsprechende  (Doppelfläche)  ist. 
Die  Flächenpaare  biingt  man  in  bekannter  Weise  in  projective  Znordnnng 
mit  den  Ebenen  E  durch  die  Tangente  a  an  (?,  Die  in  E  liegenden  Kegel- 
schnittpaare haben  bei  A  stets  vier  consecutive  Punkte  gemein.  Unter  diesen 
Ebenen  entspreche  D  der  zweiten  Doppelfläche,  so  ist  D  die  Doppeltangen- 
tialebene Yop  F^.  Vor  Allem  aber  ist  die  Ebene  A  ausgezeichnet,*  welche 
Kq*  längs  SqA  berührt:  diese  Ebene  A  schneidet  ihr  entsprechen- 
des Flächenpaar  in  vier  Geraden  a^^  o^,  Og,  a^,  welche  die  ein- 
zigen derSchaar  und  der  Fläche  sind.  Da  nun  alle  Flächen  F^  des 
genannten  Büschels  aus  A  die  Geradenpaare  einer  Involution  schneiden, 
deren  Doppelstrahlen  a  und  die  Berührungsseite  a^  von  A  mit  K^^  sind,  80 
folgt:  Die  vier  Geraden  a,-  der  Fläche  sind  durch  die  Axe  a  und 
die  Gegenaxe  a^  paarweise  harmonisch  getrennt.  Die  Gegen- 
axe  «0  fällt  in  die  singulare  Tangentialebene  des  Ciospunktes, 
ihre  Schnittpunkte  mit  F^  sinä  im  Ciospunkt  vereinigt.  —  In  bekannter 
Weise  findet  man:  Die  Fläche  enthält  zwei  Kummer^sche  Kegel 
Kj^  "K^  und  dazu  gehörend  zwei  Paare  adjungirter  Kegel- 
schnittschaaren,  endlich  die  Involntionsschaar. 

Kegel  aus  Punkten  auf  a^  nach  (?  gelegt  schneiden  F^  in  Paaren  von 
Kegelschnitten  der  Involntionsschaar.*  Für  K^*,  Kj*  erhält  man  bekannter- 
weise je  nur  einen  Kegelschnitt  doppelt.  Für  K^*  f&Ut  der  eine  dieser 
Kegelschnitte  in  <?.  —  Zur  Erzeugung  der  Kegelschnittschaaren  dient  übri- 
gens K^  wie  folgt :  Eine  Ebene  E  des  Kegels  Kj^  berühre  i?  in  E.  Diese 
Ebene  enthält  zwei  Kegelschnitte  der  Schaaren  J,  J*,  welche  c*  in  E  be- 
rühren, Kq*  (bezüglich  dessen  Schnitt  mit  E)  bei  ^  osculiren  und  von 
denen  jeder  zwei  der  Geraden  a^  schneidet,  welche  nicht  mit  Bezug  auf  o, 
ÜQ  conjugirt  sind  (so  dass  durch  beide  Kegelschnitte  alle  vier  Geraden  oi  ge- 
troffen werden). 

Im  Ciospunkt  Mit  die  singulare  Tangente  mit  der  Tangente  an  den 
Cuspidalkegelschnitt  zusammen.**  — ^  Weil  die  Axen  a,  clq  sich  schneiden, 
sind  die  Elemente  der  Fläche  nicht  mehr  in  geschaarter  Involution,  dagegen 
entsprechen  sie  sich  noch  für  oo^  involutorische  CentralcoUineationen  aus 
Punkten  auf  a  und  mit  Ebenen  durch  a^.*** 


*  Dasselbe  gilt  für  die  Fläche  mit  getrennten  Clospunkten. 

**  Ebenso  wenn  bei  einer  Fläche  mit  Doppelkegelschnitt  zwei  Pinchpunkte 
sich  vereinigen. 

^**  Hieraus  folgt  u.  A.,  daas  die  Geraden  ai  paarweise  durch  a  and  Oq  ha^ 
monisch  getrennt  sind. 


IJ 


Von  Dr.  A  Weiler.  181 


Indem  man  die  Geraden  Oj  in  A  mit  Oq  oder  unter  sich  zasammenfallen 
Ifisst,  erbSlt  man  folgende  Specialfälle: 

a)  Wenn  eine  Gerade  a^  in  a^  föllt,  so  geschieht  das  gleichzeitig  für 
eine  zweite  Gerade  o,  and  es  bleiben  ag,  a^,  welche  durch  a,  Uq  harmonisch 
getrennt  sind.  Die  früheren  Kegel  K|^  K^^  fallen  hier  zusammen  und  bil- 
den den  einzig  vorhandenen  singalären  Kummer 'sehen  Kegel  K',  dessen 
Scheitel  S  ein  conischer  Knoten  der  Fläche  ist.  Der  Berührungskegel 
an  F^  im  Knoten,  S^  und  der  singulare  Kegel  K^  haben  an  aQ  =  ÄS  vier 
consecutive  Erzeugende  gemein.  —  Bei  der  Erzeugung  der  Involutionsschaar 
entspricht  hier  der  Ebene  A  (an  K^^)  ein  Fiächenpaar,  dessen  eine  Fläche 
der  Kegel  K^^  selbst  ist. 

b)  Die  Geraden  at  vereinigen  sich  paarweise,  so  dass  aj  =0^,  03  =  04; 
F^  besitzt  also  noch  zwei  Geraden,  welche  durch  a,  Oq  harmonisch  getrennt 
sind.  Daraus  folgt,  dass  zwei  adjungirte  Kegelschnittschaaren 
mit  der  Involutionsschaar  zusammenfallen  und  es  verbleibt  noch 
ein  Keg3l  mit  seinen  adjungirten  Schaaren.  (Der  hier  wegfallende  Kegel 
wird  zu  einem  doppelten  Ebenenbüschel;  sein  Scheitel  ist  zu  einem  un- 
bestimmten Punkte  der  Axe  geworden.)  —  Bezüglich  der  Erzeugung  der 
Flächen  aus  ihrer  Involutionsschaar  ist  hier  massgebend,  dass  der  Ebene  A 
die  eine,  hier  irreducible  Doppelfläche  des  involutorischen  Büschels  ent- 
spricht; die  Doppeltangentialebene  ftUlt  mit  der  singulären  Tangentialebene 
im  Closponkt  zusammen. 

c)  Alle  Geraden  in  A  fallen  mit  Oq  zusammen,  a|  =  ag==o,  =  04  =  00. 
Die  Büschel  von  Flächen  zweiten  Grades  durch  c^  und  irgend  zwei  der  Ge- 
raden ai  sind  identisch  und  es  folgt:  Alle  Kegelschnittschaaren  fal- 
len mit  der  Involutionsschaar  zusammen.  —  Das  Flächenpaar, 
welches  bei  der  Erzeugung  der  Involutionsschaar  der  Ebene  A  entspricht, 
besteht  aus  dem  Kegel  K^*  doppelt  gezählt. 

In  allen  diesen  Specialfällen  behält  Ä  seinen  Charakter  als  Ciospunkt  bei 


Kleinere  Mittheilungen. 


IX.  Conjngirte  BpOoiprooitäteiL 

Der  Begriff  „conjagirte  Beciprocitäteü"  ist  durch  die  von  Herrn  Prof. 
Bosanes  in  Breslau  veröffentlichte  Abhandlung  ;,Zur  Theorie  der  recipro- 
ken  Verwandtschaft*',  Cr  eile 's  Journal  Bd.  90,  erweitert  worden.  Herr 
Prof.  Beye  in  Strassburg  spricht  in  seiner  ;, Geometrie  der  Lage**,  L  Ab- 
theilung, 2.  Auflage,  S.  194 flgg.,  von  sich  stützenden  Kegelschnitten.  Die 
vorliegende  Arbeit  hat  den  Zweck,  analog  den  Beye 'sehen  Ausführungen, 
den  Begriff  sich  stützender  BeciprocitSten  aufzustellen  und  deren  IdentitSt 
mit  den  von  Herrn  Bosanes  betrachteten  conjugirten  BeciprocitSten  nach- 
zuweisen. 

Es  mögen  aj  o,  . . . ,  &|  ^^ . . .  die  Geraden  zweier  Ebenen  A  und  JB, 
«1«^...,  ßißi'"  deren  Punkte  bedeuten.  Vermöge  der  BeciprocitSt  B^ 
entspricht  der  Geraden  at  ein  Pol  Pa^  nnd  dem  Punkte  oi  eine  Polare  p^^'y 
vermöge  der  BeciprocitSt  B^  ist  der  Geraden  a<  ein  Pol  $«,  und  dem  Punkte 
oi  eine  Polare  p«^  zugeordnet. 

Wie  gewöhnlich,  werden  zwei  Punkte  coujugirt  genannt,  wenn  der  eine 
in  der  Polaren  des  andern  liegt;  ebenso  heissen  zwei  Gerade  conjugiri, 
wenn  die  eine  durch  den  Pol  der  andern  geht.  Statt  conjugirter  Punkte 
oder  Geraden  einer  Eteciprocit&t  wird  auch  oft  der  Ausdruck  „Nullpaare" 
dieser  Beciprocität  Anwendung  finden.  Alle  übrigen  vorkommenden  Be- 
zeichnungen sind  in  der  erwähnten  Bosanes'schen  Abhandlung  erklfirt. 

§1- 

Sind  (a|&|)  und  {a^b^)  zwei  Nullpaare  der  R^y  derart,  dass  a,  den 
Pol  P^jSs«!  und  &j  den  Pol  Pa^  =  ßi  enthiüt,  und  construiren  wir  zu 
^il^  =  *8  die  Polare  Pa^  =  &3  und  zu  ^i|&2  =  /?8  die  Polare  p^nroj,  so  ist 

hhh    ®^^  ^^^^  polarer  Dreiseite  der  B^,  deren  entsprechende  Seitenpaare 

Ol  Og  Oj 

(a^hi)  und  (a^h^)  conjugirt  in  B^  sind. 

Lassen  wir  a^  das  Büschel  erster  Ordnung  er^  durchlaufen ,  so  beschreibt 
^3  das  Strahlenbüschel  erster  Ordnung  /?|,  a^  das  Büschel  a^  und  $«^<  die 
gerade  Punktreihe  i)«..  Die  beiden  concentrischen  Büschel  ßi^a,*  ^^^ 
ßi'ßf^^bs  ^^^  projectivisch,  sie  haben  daher  zwei  Strahlen  ^3^  nnd  b^^ 
entsprechend  gemein. 


Kleinere  Mittheilungen.  183 


Für  V=^8*   ^^^  h*  ist  %u*  in  ^3'  gelegen,   es  sind  daher  ??**?! 

d    OL     fi— 

^nd  j^  ,  *2  j  2  ^^®i  Paare  polarer  Dreiseite  der  Reciprocität  R^ ,  deren  ent- 

1x3 

sprechende  Seitenpaare  (0,6,),  (Og'V)'  (W).  (V^*).  («,*«>,*)  coiyugirt 
sind  in  Ji^. 

Die  beiden  Dreiseitenpaare  !^^^*,^*,   und  ?*f*,^*    müssen  nicht  voU- 

ständig  real  sein,  denn  die  Seiten  h^  und  l^  z.  B.  können  als  Doppel- 
strahlen zweier  projectiviscLen  Büschel,  die  concentrisch  liegen,  imaginär 
werden. 

j,Sind  daher  i2^  und  ll^  zwei  beliebige  Beciprocitäten,  so  giebt  es  eine 

Doppelserie  von  Paaren  polarer  Dreiseite  f^f*?^  der  R^,  deren  entsprechende 

12       9 

Seiten  (o<6<),  i=  1,  2,  3,  conjugirt  sind  in  B^.' 

§2. 

„Enthält  die  Reciprocität  B^  ausser  dieser  Doppelserie  von  Paaren  po- 
larer Dreiseite,  deren  entsprechende  Seitenpaare  conjugirt  in  Ä ^  sind,  noch 

ein  einziges  Paar  ,*,*,*  solcher  polarer  Dreiseite,  so  sind  die  entsprechen- 
^1  ^2  ^3 

den  Seiten  {arir)^  i=  1,  2,  3,  aUer  polaren  Systeme  f^C^I^Z  ^^r  B^, 

^1      ^2      ''s 

welche  auf  die  in  §  1  angegebene  Art  construhrt  werden,  Nullpaare  der  JS^.'^ 
Beweis. 
I.  Theü,     Hier   zeigen  wir,   dass  bei   festgehaltenen  (a^h^  ck^  einen 

beliebigen  Strahl  des  Punktes   «^  bedeuten  kann,   und  stets  wird   ,*J/^,^< 

Ol  Oj   &3 

ein  Paar  polarer  Dreiseite  der  B^  vorstellen,   welche  die  in  unserem  Satze 
gewünschten  Eigenschaften  haben. 

Wenn  (a^h^)  festgehalten  wird,  so  beschreibt,  wie  wir  in  §  1  gesehen, 
03'  das  Büschel  cv^,  ^3'  das  Büschel  /^^  und  $a.<  eine  gerade  Punktreihe, 
wenn  a^^  sich  um  a^  dreht.  Für  a^^  =  a^  ist  $a,<==$a,  nach  Voraussetzung 
in  ^3' =  &3  gelegen;  die  beiden  concentrischen  Strahlenbüschel  /?|'$a.<und 
b^*  haben  daher,  ausser  ihren  zwei  Doppelstrahlen,  noch  den  Strahl  b^  ent- 
sprechend gemein ,  sie  sind  also  identisch ,  d.  h.  $i,,4  liegt  stets  in  b^* ,  und 

alle  polaren  Dreiseitenpaare  -^^^i^i  ▼on  By  genügen  unserem  Satze. 

^1  ^2  ^8 

IL  Theü.  Wir  weisen  jetzt  nach,  dass  unser  Satz  für  die  ganzen  Ebe- 
nen A  und  B  besteht. 

aj^  konnte   ein  beliebiger  Strahl  des  Büschels  a^  sein,   und  stets  ge- 

nügte   ^\^i^i  unserem  Satze.     In  ganz  analoger  Weise  lässt  sich  zeigen, 
bi  b^  öj 


184  Kleinere  Mittheilungen. 

dass  a/  ein  beliebiger  Strahl  des  Punktes  a^  sein  kann,  und  immer  wird 
das  polare  System  ,\?*^,\   von  B^    die    in    unserem  Satze    gewünschten 

^1   ^8   ^3 

Eigenschaften  besitzen. 

Sind  (aj*"&i*")  irgend  zwei  in  B^  conjugirte  Strahlen  der  Büschel  «, 
resp.  j?,,  so  kann  Pa^m^ß^^  und  P^^m  =  a^^  jeden  Punkt  der  Geraden  p«, 
resp.  Pfi^  vorstellen.  Construiren  wir  jetzt,  gemäss  den  Vorschriften  des  §  1, 
alle  Paare  polarer  Dreiseite  der  i2^,  deren  Seiten  %*"  durch  a^^  gehen,  so 
kommt  unter  diesen  ein  Paar  vor  (dessen  Seite  a./^s=a^^a^  ist),  dessen 
drei  entsprechende  Seitenpaare  (aj"* &,"*),  i=l,  2,3,  conjugirt  sind  inR^; 
es  haben  daher  auch,  nach  dem  im  I.  Theil  Bewiesenen,  alle  diese  Dreiseiten- 
paare j^mhmhm  ^^^öselbe  Eigenschaft. 

1        S        3 

Weil  €tj^    irgend    ein  Punkt  der  Geraden  pß^  und  Og*"  ein  beliebiger 

Strahl  des  Punktes  «i™  sein  kann,  so  stellt  a^*"  jeden  Strahl  der  Ebene  vor. 

In  gleicher  Weise  Ifisst  sich  zeigen,  dass  auch  aj*"  einen  beliebigen  Strahl 

a,""  flj"  öl" 
der  Ebene  bedeuten   kann,   und   stets  wird  das  polare  System  j^mj^mhni 

Ol     ©2     ^8 

der  2^1   die  in  unserem  Satze  gewünschten  Eigenschaften  besitzen ,  q.  e.  d. 
„Von  zwei  Beciprocitäten  B^  und  JS^,  welche  dem  soeben  be- 
wiesenen Satze  Genüge  leisten,  sagt  man,   sie  seien  einander  con- 
jugirt." 
„Sind  daher  zwei  Beciprocitäten  B^   und  B^  einander  conjugirt  und 
man  construirt  ein  Paar  polarer  Dreiseite  der  B^^   deren  zwei  Paare  ent- 
sprechender Seiten  conjugirt  sind  in  i2^,  so  hat  auch  das  dritte  Paar  ent- 
sprechender Seiten  diese  Eigenschaft." 


§3. 

Suchen  wir  zu  a^  die  Pole  Pa^»  /?|  und  $«1  ^u^d  construiren  za  ß^=^^^ 
die  Polare  o,,   zu  ^a^^ß^^Pa^  die  Polare  %  und  schliesslich  zu  c^  den 

Pol  Pa,  =:/3g,  so  ist  ,*j?j?  ein  polares  System  der  Bj,  dessen  entsprechende 

Oj  Öj  Öß 

Seiten  (o^b^),  «  =  1,  2,  3,  Nullpaare  der  zu  B^  conjugirten  Beciprocität  R^ 
sind,  und  zwar  ist  speciell  ^^^ß^^  ^ai^ß%^  aber  $«.  im  Allgemeinen 
nicht  =  ß.     D.  h. : 

„Sind  B^  und  122  ^^^^  conjugirte  Beciprocitäten,  so  ist  es  im  All- 
gemeinen unmöglich,  ein  Paar  polarer  Dreiseite  von  B^  zu  construiren, 
deren  Seitenpaare  {(hh)^  i=l,  2,  3,  conjugirt  in  B^  sind,  so  dass  gleich- 

Or,   da  CXa 

zeitig     '   *  *  ein  Paar  polarer  Dreiecke  von  B^  vorstellen ,  deren  entspre- 

Pa  Ps  Pi 
chende  Eckenpaare  dann  coi^ugirt  in  B^  sind." 


Kleinere  Mittheilungen.  185 

„Kommt  es  dagegen  vor,   dass  die  ReciprocitSt  B^  ein  Paar  polarer 

Dreiseite  .^!r  ^    der  eben  erwähnten  Beschaffenheit  enthält,  so  enthält  sie 

^  \  h 
eine  Doppelserie  derselben/* 

Beweis. 

Durchläuft  a,  das  Büschel  or,,  so  bewegt  sich  P^^i^ß^^  in  bg,  ißa.«  in 
6^.  Da  ß^*=z^^t  und  $ai  =  j^«'  ist,  so  beschreiben  a^*  und  o,'  die  Büschel 
ecster  Ordnung  er,  und  0| ,  also  Pa^t  =  ß^*  und  $a,<  zwei  gerade  Punktreihen, 
die  projectivisch  sind  und  in  demselben  Träger  h^  liegen. 

Diese  Punktreihen  ß^*  und  $a,<  sind  identisch.  Denn  alle  auf  die  an- 
gegebene Weise  construirten  polaren  Dreiseitenpaare  ,\.\,^i  der  22^  haben 

Ol   Ög  O3 

die  Eigenschaft,  dass  ihre  entsprechenden  Seiten  Nullpaare  der  B^  sind;  es 
muss  daher  $a,<  stets  ein  Punkt  der  Geraden  h^'  sein.  Da  aber  alle  $a,  in 
der  Geraden  h^  liegen,  so  ist  ^a,' =  tj | V  = /^s'« 

Bedeutet  daher  a^*  irgend  einen  Strahl  des  Büschels  «3,   so  lässt  sich 

stets  ein  Paar  polarer  Dreiseite  ,^.,\,\    der  R.  construiren,   welche  un- 

serem  Satze  genügen. 

Ist  ai*"  ein  beliebiger  Strahl  der  Ebene  und  wir  construiren  in  der 

obigen  Weise  alle  Paare  polarer  Dreiseite  »^„^^r^,,,  der  Bj,  deren  Seiten 
aj"»  durch  den  Punkt  a^"*  gehen,  so  ist  für  aj'»  =  ai®  =  «3'"'a^   A^oi»« 

Ol    c>2   Oj 

ein  Paar  polarer  Dreiseite  der  £],  die  unserem  Satze  genügen. 

Nach  dem  zuerst  Bewiesenen  haben  daher  alle  polaren  Dreiseitenpaare 

hmi^mhm  ^®  ^  unserem  Satze  geforderten  Eigenschaften. 
Oj    0^    Oj 


§4. 

Ist  aiagasa4  ein  Yierseit  der  ^- Ebene,   hih^h^h^  ein  solches  der  B- 
Ebene,  und  ist 

«4  =  Ö3|a4,       «5  =  a2|a4,      «6  =  Ö2l«8> 

80  nennt  man  ,   ^  !^,*  ein  polares  System  von  zwei  Vierseiten  der  Eeci- 
hib^h^\ 

procität  £, ,  wenn  die  sechs  Punktepaare  {ai\akj  h\'bm)i  wo  iklm  eine 

Anordnung  der  vier  Zahlen  1234  vorstellt,  d.  h.  wenn 

(«,A)»   (««ft)»   («sft),   («4A),   Kft)»   KA) 
NoUpaare  dieser  Beciprocität  sind.'* 


186  Kleinere  Mittheilungen. 

Ein  solches  System  von  zwei  polaren  Vierseiten   ,^,*,'-^  der  R.  ist 

vollkommen  bestimmt,  sobald  zwei  zugeordnete  Seitenpaare  (a|&|),  (Oj^i), 
eine  dritte  Seite  a^  und  von  der  zugeordneten  Geraden  J)^  ein  Punkt  n  ge- 
geben ist.     Man  hat  dann 

ß^   wird  in  der  Geraden   h^ ,   /Jg  in  h^ ,   jJ^  in  /Jj'  ß^  =  64  und  a^  in  03  so 

construirt,  dass  /pn/pn/ä\       a  r     a\ 

Kft),    (aj/Jj),  (a,/?^)  und  («^ft) 

conjagirte  Punktpaare  der  Reciprocität  R^  bilden,  d.  h.  es  wird 

Weiter  ist 

h  =  ßA^j  ft«=M&3»  /^6=M^s»   «3  =  öti|i>^.,  a4  =  «3*a4  uud  «ß  =  aja^. 

«5  ist  dann  zu  /^^  conjugirt,  denn  es  besteht  der  Satz: 

„Sind  fönf  Eckenpaare  zweier  Vierseite  Nullpaare  einer  Reciprocit&t, 

so  ist  auch  das  sechste  Eckenpaar  conjugirt  in  Bezug  auf  diese  ReciprocitSt.^ 
Um  diesen  Satz  zu  beweisen,  sprechen  wir  ihn  in  der  Form  aus: 
;,Hat  man   zwei  Dreiseite  a^tJ^a^  und   h^h^b^  und   sind  die  in  &^,  b^ 

und  b^  liegenden  resp.  zu  a^,  o,  und  a^  conjugirten  Punkte  j?,,  ß^  und  ^^4 

Punkte  einer  Geraden  b^j  so  liegen  auch  die  in  a, ,  a^  und  a^  befindlichen 

resp.  zu  ß^,  ß^  und  ß^  conjugirten  Punkte  03,  a^  und  a^  in  einer  Geraden  a^." 

Beweis. 

Die  beiden  Dreiseite  bib^b^  und  Pa^PatPat  Hegen  perspectivisch,  weil 
^i\P€f^=  ßs^  ^sl^oi^ft  ^^^  ^3lP«i  =  i^4  Punkte  einer  Geraden  b^  sind;  die 
drei  Verbindungslinien  der  entsprechenden  Eckpunkte  beider  Dreiseite  schnei- 
den sich  folglich  in  einem  Punkte.  Bezeichnen  wir  daher  Pa^\pat=?^^ 
Pat\Pai  =  ß'i  uiid  l>a,|jPa,=  /5'6,  80  gehen  die  drei  Geraden  (J, /^'^ ,  ß^ß'^  und 
ße  ß^6  durch  einen  Punkt  S, 

Der  Pol  der  Geraden  ß^  ßi^  ist  »4 ,  der  von  ß^  ß^  ist  «g  und  der  von  /5g  (fg 
ist  a^\  die  drei  Punkte  «3,  a^  und  Og  liegen  daher  in  einer  Geraden  a^^  q.  e.  d. 

Aus  der  angegebenen  Construction  der  polaren  Vierseite  der  Becipro- 
cität  R^  ergiebt  sich,  dass  ^j,  b^  und  n  so  gewählt  werden  können,  dass 
(a^tj),  (a^&a),  («s&s)  Nullpaare  der  Reciprocität  R^  werden.  Wir  haben 
zu  diesem  Zwecke  nur  festzusetzen,  dass  b^  den  Pol  $a, )  b^  den  Pol  $«, 
enthält  und  da  s  der  Punkt  n  mit  dem  Pol  $«.  identisch  wird. 

§5. 

;,Sind  (a|6,)  und  {a^b^)  zwei  Nullpaare  der  Beciprocität  JRj,  so  kann  man 

mindestens  zwei  Paare  polarer  Vierseite  ,*    ^,^    *,   und  ,\*/^9  A  der  B^ 

\  h  ^s   ^  ^  «^8  «»3   V 

construiren,  deren  Seitenpaare  (a,'2>i),  i  =  l,  2,  3,  4,  conjugirt  sindin  J2|/ 


Kleinere  Mittheilungen.  187 

Beweis. 

Wie  im  yorigen  Paragraphen  gezeigt  wurde ,  lassen  sich  unendlich  viele 
Paare  polarer  Vierseite  der  B^  constmiren,  die  (a^^i)  und  (a^h^)  zu  Seiten 
haben  und  bei  denen  drei  Paare  entsprechender  Seiten  (oj  &,) ,  i  =  1,  2 ,  3, 

conjugirt  in  B^  sind.     Ist  ,*!^,^»*   ein  solches  Paar,   und  a^  durchläuft 

0|  Oj  0^  0^ 

das  Büschel  a^,  so  beschreiben  ß^^  und  ß^^  zwei  projectivische  Punktreihen 
in  \  resp.  h^,  die  zu  einander  perspectivisch  liegen,  weil  für  a^zs^pß^ 
ß5*^ßff^ßi  =  h\h  wird. 

Für  Oj'  =  «/  a,  ist  «g«  =  cr^'  =  «^ ,   daher  ß^'  =  h^  \  pa, ,  ^5'  =  h^Jpa,  und 

Wenn  also  a^^  das  Büschel  a^  beschreibt,  bewegt  sich  ß^' ß^==^^  in 
einem  Strahlenbüschel  erster  Ordnung,  dessen  Scheitel  der  Schnittpunkt  der 
Geraden  h^  und  j)«,  1  d-  h.  der  Punkt  ß^  ist. 

Da  ^3'=  ß^ '  ^a^t  ist,  so  beschreibt  unter  diesen  umständen  /^g'^l^i  |  V 
die  gerade  Punktreihe  5^,  ce^*  =  a^\pß^i  die  projectivische  Punktreihe  a^, 
a/ »  «4*  05'  das  Büschel  erster  Ordnung  «4,  welches  dem  Büschel  ^4'  pro- 
jectivisch  ist.  Die  Pnnktreihe  $«/  ist  demnach  projectivisch  dem  Büschel 
2^4',   die  beiden  eoncentrischen  Strahlenbüschel  ß^'^a^*  und  h/  haben  daher 

zwei  Strahlen  J}J  und  &,*  entsprechend  gemein:    ,*?*,^,^  und  ^^?*x«x*« 

stellen  daher  zwei  Paare  polarer  Yierseite  der  B^  vor,  deren  entsprechende 
Seitenpaare  conjugirt  in  IP  sind,  q.  e.  d. 

§6. 
„Enthält  die  Reciprocität  i2j,  ausser  den  im  yorigen  Paragraphen  er- 
wähnten Paaren  polarer  Vierseite,  deren  vier  entsprechende  Seitenpaare  con- 
jugirt in  B^  sind ,  noch  ein  einziges  Paar  , '  ,^  ,^  ,^  derselben  Beschaffenheit, 
und  wir  constmiren  nach  den  Regeln  des  §  5  irgend  ein  Paar  polarer  Vier- 
Seite     *^   *    r*^  ^^  der  B^ ,   so  sind  die  entsprechenden  Seiten   (a,*  6|^), 

Oj     0,     Oj     D4 

i=  1,  2,  3,  4,  dieser  Vierseite  conjugirt  in  Ä^." 
Beweis. 
J.  T%ei2.   Wir  zeigen  zunächst,  dass  bei  festgehaltenen  a|,  a^,  &|  und  &2 
03   irgend  ein  Strahl  Og'  des  Punktes  a^  sein  kann,    und  stets  wird  das 

polare  System  ,    ^  7*^,^  der  Ä.  unserem  Satze  genügen. 

Wie  wir  gesehen,  bewegen  sich  ß4^'^a^*  und  54»  in  zwei  eoncentrischen 
und  projecüvischen  Strahlenbüscheln  erster  Ordnung,  wenn  aj  das  Büschel  a^ 
durchläuft.  Die  Büschel  ß^^a^'  und  i^*  haben,  ausser  ihren  beiden  Doppel- 
strahlen,  noch  den  Strahl  \  entsprechend  gemein,  denn  für  a^*=sza^  ist 


188  Kleinere  Miitheilnngen. 


nach  Voraussetzung  ?P«.  ein  Punkt  von  h^.     Die  beiden  Büschel  ß^^aj^  und 
hj  sind  daher  identisch,  d.  h.  der  erste  Theil  unseres  Satzes  ist  bewiesen« 

IL  Theü.  Wir  weisen  hier  nach,  dass  unser  Satz  für  alle  Geraden  der 
Ebenen  A  und  B  besteht. 

a^  konnte  ein  beliebiger  Strahl  des  Büschels  a^  sein,  und  stets  genügte 

hhhih'  unserem  Satze.    In  analoger  Weise  lässt  sich  zeigen,  dass  o^  einen 

beliebigen  Strahl  o^'  des  Büschels  Oq  und  a^*  irgend  einen  Strahl  des  Punktes 

€L    '  fln'  flm*  et  * 

«j  bedegten  kann,  und  immer  wird  sich  ein  Paar  polarer  Vierseite  |.'^|/<x*<,.\ 

Ol  Dg  Öj  Ö4 

der  Bi  construiren  lassen,  deren  entsprechende  Seiten  Nullpaare  der  B^  sind. 
Ist  dl"*  ein  beliebiger  Punkt  der  Ebene  J.,  so  schneiden  sich  in  dem- 
selben zwei  Strahlen  a^^  und  a/^  der  beiden  Büschel  a^  und  a^ .    Bezeichnet 
Og*"  einen  beliebigen  Punkt  der  Geraden  a^*",  so  geht  durch  ihn  der  Strahl 

£g  tn  /T  w  (L^^  o  " 

Og*"  des  Büschels  a^.    Es  iSsst  sich  dann  ein  polares  System  j^^mThmhmhm 

Dl     0^     D5    O4 

der  Bi  construiren,  dessen  entsprechende  Seitenpaare  {af^b^)^  i=  1,  2, 3,4, 
conjagirt  in  Bezug  auf  die  Beciprocit&t  B^  sind. 

Ist  daher  a^*"  irgend  ein  Strahl  des  Punktes  a^*",  a,""  ein  beliebiger 
Strahl  von  ag"",  ctj""  ein  beliebiger  Strahl  von  a^"*  und  bedeuten  6^"  resp.  6,*" 
zwei  beliebige  Geraden  der  Punkte  $a^m  resp.  $0,«»  so  lässt  sich  ein  Paar  polarer 

Vierseite  j^^mhmhmhm  ^®^  ^1  fi^^^cn,  welche  unserem  Satze  genügen,  q.e.  d. 

Öj     Og    O3    Ö4 

Auf  Grund  unseres  Satzes  stellen  wir  die  Definition  auf: 

;,Die  Beciprocitat  B^  stützt  oder  trägt  die  BeciprocitSt  ^,  und 
umgekehrt  B^  stützt  sich  oder  ruht  auf  B^  wenn  A^,  ausser  den 
im  §  5  erwähnten  Paaren  polarer  Vierseite,  deren  entsprechende 
Seiten  conjugirt  in  B^  sind,  noch  ein  einziges  Paar  polarer  Vierseite 
derselben  Beschaffenheit  enthält.*' 

;,  Stützen  sich  die  beiden  Beciprocitäten  B^  und  ^,  und  wir 
construiren  nach  den  Vorschriften  des  §  5  irgend  ein  Sjstem  polarer 

Vierseite  ,  *  ?*  x  ,  *  der  Ä. ,  so  sind  dessen  vier  entsprechende  Seiten- 

paare  (aj^^),  »«=  1,  2,  3,  4,  congruent  in  B^.'' 

§7. 

„Stützen  sich  die  Beciprocitäten  B^  und  jß^,  so  sind  sie  auch  einander 
conjugirt." 

Beweis. 

Von  dem  System  polarer  Vierseite   ,   ^  ?t*  ^ö^  ^h   dessen  entspre- 

&1O8Ö364 

chende  Seitenpaare  (a,&j),  i=  1,  2,  ß,  4,  conjugirt  in  B^  sind,  wählen  wir 

Oj  und  Og  beliebig  und  definiren: 


Kleinere  Mittheilongen.  189 


«»1  =*..■?-..  t,=*-.i'... 

«3  bestimmen  wir  so,  dass  -Po,  =  &i | ^9  = /'i  wird.     In  diesem  Falle  ist 

K  =  K ß&  =  ^-i' -P«.»     ßA  =  h\  ^«1* -P«.  (<i- 1^-  unbestimmt  in  fej. 
Wir  w&hlen  /?4  in  ft^  so,  dass  fes  =  P«/?ßfli  wird.     Es  ist  dann 

also 

a^  ist  daher  identisch  mit  03. 

Weil  wir  bei  unserer  Construction  die  Regeln  des  §  5  befolgt  haben, 
müssen  (o^&j),  (a,5,),  (03^3),  («4^4)  NuUpaare  der  Äg  sein.  Da  a^  =  a^ 
ist,  so  muss  $0.  ein  Punkt  der  Geraden  h^  sein,   d.h.  $a.  =  &3|&4  =  j?4. 

Die  beiden  Dreiseite  ,*j^,*»  von  denen  zwei  Seiten  a|  und  a,  beliebig  sind, 

^1  ^8  *^4 

bilden  daher  ein  polares  System  der  Beciprocität  R^^  dessen  entsprechende 
Seitenpaare  {a^h^)^  ((i^^)  und  (a^h^)  conjugirt  in  B^  sind,  q.  e.  d. 

9 Zwei  conjugirte  Beciprocitfiten  R^  und  R^  stützen  sich.'' 

Beweis, 
um  die  Richtigkeit  dieses  Satzes  nachzuweisen,   zeigen  wir  zunächst : 

;,Ein  Paar  polarer  Dreiseite  ,*?*,*  der  ReciprocitÄt  R^  wird  durch  jedes 

Ol  O3  O3 

beliebige  Qeradenpaar  («464)  zu  einem  System  polarer  Vierseite   ,^?^,*,* 

dieser  Reciprocität  ergänzt.  ** 

Denn  ist  .^.^,^  ein  System  polarer  Dreiseite  der  R,.  so  muss 
ftj  ©2  &3  * 

ßi=Pa..       A=P-.,       ße^Pa, 

sein.     Es  sind  daher 

(«1W1    («sW»  («a/^e)»    («4ft)>    («oft)   ™^   (^eßs) 
conjugirte  Punktpaare  der  Ä^,   ,*?*!!/,*  folglich  ein  System  polarer  Vier- 

Öj  O3  O3  P4 

Seite  der  R^, 

Ist  die  Reciprocitfit  R^  conjugirt  der  Reciprocität  jß,,  so  sind  die  ent- 
sprechenden Seitenpaare  (aj&,),  i=  1,  2,  3,  des  polaren  Systems  ^   *!•  von 

0|  Og  Ö3 

Ä,  coiyugirt  in  Äg.     !/!/,*  wird  durch  jedes  beliebige  Seitenpaar  («464) 

t>l  «>2  t>8 

zu  einem  System  polarer  Vierseite  ,^?^i  ,^  der  ^t  ergänzt.     Bestimmen 

\  Og  O3  &4 

wir   daher    (a^h^)  so,    dass   es  ein  Nullpaar  der  R^  yorstellfc,    so  bilden 
hhhh    ^^  ^^^^  polarer  Vierseite  von  R^^  deren  entsprechende  Seiten- 


190  Kleinere  Mittheilungen. 


paare  (aibi)y  1=  1,  2,  3,  4,  conjngirt  in  B^  sind;  nach  §  6  stützt  deshalb 
^1  die  Beciprocität  R^,  q.  e.  d. 

§8. 

;, Stützen  sich  die  beiden  Beciprocitftten  R^  und  R^^  nnd  sind  a|,  <i|,  Og 
drei  beliebige  Geraden,  so  kann  man  mindestens  zwei  Paare  polarer  Vier- 
seite der  Ri  finden ,  welche  a^ ,  a^  nnd  a^  zn  Seiten  haben  und  deren  sechs 
entsprechende  Seitenpaare  (a,&,),  «=1,2,3,4,5,6  (wo  aö  =  *'i'*'4»  ^6  = 
ßi'ßi^  «6  =  «8'«6'  ^6  =  /^äA  is*).  conjugirt  in  /?,  sind." 
Beweis. 

Die  sechs  entsprechenden  Seitenpaare  (aihi),  t=  1,  2,  3,  4,  5,  6,  zweier 
Vierseite  sind  Nullpaare  einer  Beciprocität,  sobald  fünf  Paare  derselben 
diese  Eigenschaft  haben  (§  4).  Bei  der  Construction  unserer  polaren  Systeme 
befolgen  wir  die  Begeln  des  §  5,  deshalb  sind  vier  Seitenpaare  unserer 
Vierseite  eo  tp^o  Nullpaare  der  R^,  um  unsem  Satz  zu  beweisen,  müssen 
wir  zeigen,  dass  man  diese  Construction  so  specialisiren  kann,  dass  auch 
(agfcg)  ein  Nullpaar  der  R^  wird. 

Stellen  aj ,  a, ,  a^  drei  beliebige  Geraden  vor,  so  sind  dadurch  «1 ,  o,  • 
^61  $«ii  ^«'s)  ^^  bestimmt  Sind  h^  und  b^  irgend  zwei  Strahlen  der  Punkte 
gj«,  resp.  $a„  so  ist  ft  =  Ml?«,,   A=^«b«.»  ^4  =  ft'fti   A  =  ^4li>«.  ^»d 

Durchlauft  ^1  die  Gerade  Pa^,  so  bleibt  der  Punkt  a^  fest,  folglich 
auch  die  Gerade  a^a^  =  a^  und  der  Pol  dieser  Geraden  $a^;  dagegen  be- 
schreiben &|  und  hg  zwei  perspectivische  Strahlenbüschel  erster  Ordnung  ^s. 
resp.  $«,,  ß^  und  ß^  zwei  projectivische  gerade  Punktreihen  ß^^  und  ß^^  in 
Pot  resp.  Pati  W^ßs^'ßb  daher  ein  Strahlenbüschel  zweiter  Ordnung, 
ß^*s=p„^\b^*  eine  gerade  Punktreihe  in  pa^  und  $«,'ft'  schliesslich  einen 
Strahlenbüschel  erster  Ordnung  $«»)  der  zu  der  geraden  Ponktreihe  ß^  pro- 
jectivisch  ist;  es  kommt  daher  zweimal  vor,  dass  $«,*/?]'  durch  den  ent- 
sprechenden Punkt  j?/  geht,  nSmlich  für  j3j'  =  /?j^  und  ß^*. 

Bezeichnen  wir  die  beiden  polaren  Systeme  der  R^,  welche  diese  Punkte 

ßi*  resp.  ß^  zu  Ecken  haben,  mit  ,^,  ,^x  1^^   «^©sp«  »^*«t  «x^A»  »o  sind 

Di*  Oj*  &j*  V  ^1  ^^2  V  V 

fünf  Paare  entsprechender  Seiten  derselben  (Oj  5^0 1  (^V)>  (^V)«  (^4*V)* 
(05V)  ^esp.  (a,l>j«),  (ajfe,«),  (agV)?  K*V)»  («sV)  Nullpaare  der  Ä,, 
q.  e.  d. 

'  §9. 

„Zwei  Viereckenpaare  J  J o^ o^  heissen  polar  in  Bezug  auf  eineReci- 
P1P2PSP4 
procität,   wenn  ihre   sechs  Seitenpaare  (ai'crjt,  ßi'ßm)^  wo  i,  A;,  {,  m  eine 
Anordnung  der   Zahlen    1,  2,  3,  4  vorstellen,   Nullpaare    dieser    Recipro- 
cilät  sind/' 


Kleinere  MiUheilungen.  191 

,,Sind  (a|&]),  (c^^^)  zwei  ^ ulipaare  der  7?^,  ao  kann  mau  ein  System 
polarer  Vierseite  ,**?*,*  der  Ä,  constmiren,  deren  vier  Seitenpaare  (a, 6,), 

t  =  1,  2,  3,  4,  conjugirt  in  /?,  sind,  so  dass  gleichzeitig  J  f%^  J  J  ein  Paar 

polarer  Vierecke   der  B^  bedeuten,    deren  vier  entsprechende  Eckenpaare 
(^ißi)^  («8/5«)  >  Kft)»  («eft)  conjugirt  in  R^  sind." 
Beweis. 

o  Q  Q  Q  ^st  ein  System  polarer  Vierecke  der  Ä,,  sobald  {a^h{),  (o^feg), 
(ajftj),  (04  5J  und  (a^feg)  Nullpaare  dieser  Reciprocit&t  sind. 

Das  polare  System  ,*?*?',*  von  zwei  Vierseiten  der  /?, ,   dessen  vier 

Seitenpaare  {aihi),  t=  1,  2,  3,  4,  Nullpaare  der  R^  vorstellen,  genügt  daher 
unserem  Satze,  wenn  noch  {a^fi^  conjugirt  in  ^4  sind;  dieses  tritt  ein  für 

Sind  die  beiden  Nullpaare  (aj^j),  {a^h^)  der  R^  gegeben,  so  sind  da- 
durch die  Punkte  «i,  /3, ,  ^p^,,  ^a,  festgelegt;  ß^  wird  zu  ^«^  wenn  wir  ct^ 
in  0,  so  wählen,  dass  or^  der  Schnittpunkt  der  o^  mit  der  Polaren  des 
Punktes  ^»,   in  Äj  wird.     Ist  o^  eine  Gerade  dieses  Punktes  ufg,   so  con- 

struiren  wir  nach  den  Regeln  des  8  5  die  Paare  polarer  Vierseite  -^^ ^ ^ 

der  Äj,  deren  vier  Seitenpaare  (a,5f)i  t=  1,  2,  3,  4,  conjugirt  in  R^  sind. 
Beschreibt  dann  a^  das  Büschel  ag,  so  bewegt  sich  h^  in  dem  Büschel  ft/^s', 
&3  in  dem  Büschel  ß^  iß«.«  und  /S^'  in  der  geraden  Punktreihe  \ ;  es  kommt 
daher  einmal  vor,  dass  ß^=^  ^o,  =  ß^  wird.   In  diesem  Falle  ist  h^  =  $«/$«, 

und  ^*?  A,*n  ist  ein  Paar  polarer  Vierseite  der  Ä.,  welches  die  in  unse- 

rem  Satze  geforderten  Eigenschaften  hat. 

Durch  Specialisirung  der  gegebenen  Entwickelungen  folgen  S&tze,  die 
interessante  Streiflichter  auf  die  Theorie  der  conjugirten  Kegelschnitte  werfen. 

Romrod,  den  12.  April  1885.  Dr.  Goldschmidt. 


X.  Eine  Verallgemeinerung  des  binomischen  Satzes. 

Nach  Analogie  des  bekannten  Verfahrens  zur  Summirung  der  Binomial- 
reihe  kann  man  folgende  Aufgabe  stellen:  Die  ganzen  algebraischen  Func- 
tionen /'i(fi),  f^{if),  f^ifi)  etc.  sollen  so  bestimmt  werden,  dass  der  Summe 

1)  F{ti)  =  l  +  f,((i)x  +  fM^  +  f,i(i)^  +  .., 
die  Eigenschaft 

2)  F{(,)F{v)  =  F{ii  +  v) 
zukommt,  aus  welcher  dann  folgt 

3)  j-W^CFCDf. 


192  Kleinere  Mittheilangen. 


Die  Gleichung  2)  giebt  zunächst  wegen  Nr.  1)  und  durch  Coefficienten- 
vergleichung 

/•.(f*+«')=/;(^)+/;(v), 


Für  jt  =  v  =  0  findet  sich  /',(0)  =  /,(0)  =  /',(0)...  =0;  ertheilt  man  ferner 
den  Oleichungen  4)  die  Formen 


läset  V  in  Null  übergehen  und  setzt  zur  Abkürzung 
SO  gelaugt  man  zu  den  Differentialgleichungen 

Unter  Bücksicht  auf  fk(0)  ~  0  erhält  man  hieraus 

worin  Cj,  Cg,  Cj,  etc.  willkürliche  Constanten  bedeuten.     Das  allgemeine  Bil- 
dungsgesetz dieser  Oleichungen  würde  noch  zu  erörtern  sein. 

Für  c,  =  1,  Cg5=  — ^,  C3  =  +  -^,  64  =  — 4^  u.  s.  w.  kommt  man  auf 
den  binomischen  Satz  zurück;  für  c^  =  1,  c^  =  ^,  03  =  -^^,  C4  =  Y*,  ^  =  ^^^ 
u.  s.  w.  entsteht  die  gleichfalls  bekannt«  Entwickelung 


,  ,  <*^  .  f(f*+3)^  .  f*(>.+4)(^+5)         y(>>+5)(ft+6)(>t+7) 
^"•"T*"*"     1.2     '^■^         1X3        '^"'"  1.2.3.4  *^ 

ft(>.+6)...(ft+9) 

+ — r:2::7b — *^+"  _v-Tr-\'' 

=  (1 +  «+ 2a;«  +  5a;»+ 14a;«+42ir»  +  . . .y  =  (i— ?:^5?r. 

Eine  weitere  üntersnchung  dieser  Frage  behalte  ich  mir  vor. 

SornjöuTJAxa. 


Zeitsclirift 


filr 


Mathematik  und  Physik 

«nWi  düf  TCmiitwoitJictiiu  IfedjicuaB 
Tön 

Dr.  O.  SoUdmiloh»  Dr*  E.  Kalü 

ttml 

Dr.  M.  Caator. 


so.  Jahrgang,    4.  Heft* 


Mit  «ber  UÜiOgTmpkinnn  T^tel 


Aii0gegdbeii   ans   8^  August   1SS5. 


Leipzig, 

Vtfrlog  von  B.  6.  Teubn^« 

188a 


»n- 


3B.  MmAm  takW  Fiolopii  qqI  SGliiilMiuier. 

Dit  38.  Versammlung  ileulaeliMr  Phil»*log¥c  mid  Schnlmilnner  wird 
in  den  Tagen  Tom  30,  September  hin  S.  October  d,  J.  in  billiger  Stadt 
abgehalten  vrerden« 
'        ßicsscü,  im  Mai  1885.  »«  Prtoldiutn. 

Schiller.        Onckeu* 

Im  Vct'ingB  TOn  L.  PrIU  m  lliirm»Uilt  M  eoebem  0ndiJe»«n  tind  dmcb  mHv 

Jiatidhitigierti  zu  bezit^bei); 

Rein   geometi*i»cha   Tlieorie 

Darstellung  binärer  Formen 

durch  Punktgni|)pen  aof  der  Geraden. 

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ir?f) 


IX. 

üeber  die  Bewegung  ähnlich-veränderlicher  ebener 

Systeme. 

Von 

Paul  Somoff, 

Docent  am  K.  Fontinstitat  in  St.  Petersburg. 


Durch  die  Untersuchungen  von  Gronard*,  Burmester**  und  Gel- 
senheimer*^  sind  die  meisten  Eigenschaften  der  Bewegung  ähnlich -ver- 
änderlicher Systeme  bekannt  geworden.  Diese  Untersuchungen,  wie  auch 
die  allgemeinen  Untersuchungen  von  Burmester  über  die  Bewegung  col- 
linear-Yeränderlicher  Systeme,  wurden  auf  geometrischem  Wege  durchgeführt, 
wobei  die  bekannten  Eigenschaften  collinearer  Figuren  als  Grundlage  dien- 
ten. Obgleich  die  geometrische  Methode  sehr  oft  schneller  zum  Ziele  führt, 
als  die  Untersuchung  auf  analytischem  Wege,  beabsichtige  ich  in  diesem 
Artikel  gerade  den  zweiten  Weg  zu  w&hlen,  weil  dadurch  ein  etwas  anderer 
Gesichtspunkt  gewonnen  und  vielleicht  auch  eine  grössere  Einheit  der  Unter- 
suchung erzielt  wird. 

£s  sei  mir  daher  erlaubt,  bevor  ich  zum  eigentlichen  Gegenstande 
dieser  Mittheilung ,  der  Zusammensetzung  der  Bewegungen  und  der  relativen 
Bewegung  ähnlich -veränderlicher  ebener  Systeme  übergehe,  einige  Grund- 
formeln, sowie  auch  einige  analytische  Beweise  schon  bekannter  Sätze  an- 
zuführen und  dabei  auf  gewisse  Einzelheiten  einzugehen. 


L    Die  Bewegung  eines  ähnlich -veränderlichen  ebenen  Systems  kann 
durch  folgende  Grössen  vollständig  bestimmt  werden: 

a)  durch  die  Coordinaten  {x^^y^)  eines  Systempunktes  Jlf], 

b)  durch  die  momentane  Winkelgeschwindigkeit  r  und 

c)  durch  den  Ausdehnungscoefficienten  e, 

alle  vier  (Grössen  als  Functionen  der  Zeit  t  betrachtet. 


*  L'InBtitut  1865,  8.  159  und  179. 
**  Diese  Zeitschrift  Bd.  XIX  8.  154. 
•^  DaMlbtt  Bd.  XXIV  8.  845. 

Zdieobiifl  f.  Mathematik  u.  Physik  XZX,  4.  18 


194        Ueber  die  Bewegung  ähnlich -veränderlicher  ebener  Systeme. 


Indem  wir  entsprechend  durch  (a?",  t^)  und  (rCj^,  y^^)  die  Anfangscoor- 
dinaten  eines  Systempunktes  (rr,  y)  und  des  Grundpunktes  M^  bezeichnen, 
erhalten  wir  folgende  Grundgleichungen: 

I 
f»dt  t  t 

f,dt  t  t 

V  0  0 

Diese  Ausdrücke  können  auch  als  Lösungen  folgender  simultaner  Differen- 
tialgleichungen betrachtet  werden: 

dx     dx.  ,     ,  X  N 

welche  auch  als  Grundgleichungen  für  die  Bewegung  des  betrachteten 
Systems  angenommen  werden  können. 

Die  Bewegung  eines  ähnlich  -  veränderlichen  ebenen  Systems  kann  be- 
kanntlich auch  durch  die  Bewegung  zweier  beliebigen  Systempunkte  M^ 
und  M^  bestimmt  werden.  Wenn  wir  durch  {x^ ,  y^  und  (a:^ ,  y^)  die  Co- 
ordinaten  dieser  Punkte  und  durch  (a^,  h^  und  (og,  bg)  ^^^  Geschwindigkeits- 
componenten  derselben  bezeichnen ,  können  wir  folgendermassen  die  Functio- 
nen €  und  r  darstellen: 

,  (^a-g?i)(g8-g|)  +  (y»-yi)(^-^)^ 

Zur  Bestimmung  der  Coordinaten  eines  Systempunktes  M  erhalten  wir  aber, 
indem  wir  die  permanente  Aehnlichkeit  des  Dreiecks  M^M^M  ausdrücken 
und  mit  \  und  k^  die  Tangenten  der  Winkel  (M^M^M)  und  (M^M^M) 
bezeichnen : 

i^^  KKiy%-yi)  +  h^\+h^% 
^  ''kik^(x^-Xi)+k^y^  +k^y2 . 

Diese  Formeln  beweisen  unmittelbar  den  folgenden  Satz  von  Burmester: 
Beschreiben    zwei    Punkte    eines    ähnlich -veränderlichen 
ebenen  Systems  affine  Punktreihen  auf  zwei  affinen  Curven, 
so  gilt  dasselbe  von  allen  Systempunkten. 


Von  P.  SoMOFF.  195 


Man  ersieht  sofort  die  Richtigkeit  dieses  Satzes,  indem  man  beachtet, 
dass,  wenn  zwei  Punkte  M^  und  M^  affine  Punktreihen  auf  zwei  affinen 
Curven  beschreiben ,  zwischen  den  Coordinaten  dieser  Punkte  die  Beziehungen 

5)  x^^ÄiXi  +  B^y^  +  Ci,    Pi^Ä^x^+B^y^  +  C^ 

bestehen  müssen. 

Der  analoge  Satz  von  Burmester,  die  einförmige  Bewegung  des 
Systems  betreffend,  kann  hieraus  als  specieller  Fall  abgeleitet  werden. 

2.  Betrachten  wir  in  der  Ebene  einen  Punkt ,  dessen  Coordinaten  durch 
die  Grössen  e  und  r  bestimmt  sind.  Der  geometrische  Ort  solcher  Punkte, 
welche  verschiedenen  Werthen  der  Functionen  s  und  r  entsprechen,  stellt 
eine  Curve  dar,  welche  bei  der  Untersuchung  der  Bewegung  eines  ähnlich - 
verSnderlichen  ebenen  Systems  von  Bedeutung  ist  Diese  Curve  soll  im 
Folgenden  die  Charakteristik  genannt  und  mit  ^  bezeichnet  werden. 

Wir  bemerken  vorläufig  Folgendes  über  diese  Curve. 

a)  Der  aus  dem  Coordinatenanfangspunkte  gezogene  Radius  vector  spielt 
übei'all  in  der  Kinematik  ähnlich  •  veränderlicher  ebener  Systeme  dieselbe 
Rolle,  wie  die  momentane  Winkelgeschwindigkeit  in  der  Bewegung  eines 
ebenen  unveränderlichen  Systems.  In  der  Folge  wird  dies  näher  gezeigt 
werden. 

b)  Der  Winkel,  den  dieser  Radius  vector  mit  der  Abscissenaxe  bildet, 
stellt  den  von  Burmester  als  Geschwindigkeitswinkel  bezeichneten 
Winkel  dar. 

c)  Die  Schnittpunkte  der  Charakteristik  mit  der  Abscissenaxe  ent- 
sprechen denjenigen  Systemphasen,  bei  welchen  die  Drehung  des  Systems 
ihre  Richtung  wechselt. 

d)  Die  Schnittpunkte  dieser  Curve  mit  der  Ordinatenaxe  entsprechen 
denjenigen  Systemphasen,  bei  welchen  die  Ausdehnung  des  Systems  ihr 
Maximum  oder  Minimum  erlangt  hat. 

Um  einige  Beispiele  anzuführen,  bemerken  wir  folgendes. 

Bei  der  gleichförmigen  geradlinigen  Bewegung  des  Systems  ist  die 
Charakteristik  ein  &ie  Abscissenaxe  im  Anfangspunkte  der  Coordinaten  be- 
rührender Kreis. 

Bei  der  gleichförmigen  kreislinigen  Bewegung  des  Systems  ist  die  Cha- 
rakteristik auch  ein  Kreis,  dessen  Centrnm  auf  der  Coordinatenaxe  liegt 
und  welcher  entweder  die  Abscissenaxe  schneidet  oder  nicht,  je  nachdem 
das  System  eine  beständige  Drehung  um  den  Geschwindigkeitspol  besitzt 
oder  ihre  Bewegung  eine  oscillirende  ist. 

8.  Die  Formeln  2)  erlauben  sehr  einfach  die  Vertheilung  der  Geschwin- 
digkeiten im  System  zu  bestimmen.  Wir  wollen  nur  Einiges  kurz  darüber 
sagen.     Setzen  wir 

iai  +  B(x  —  x^)  - riy^Pi)]  cosX  +  [b^  +  e(y --y^)  +  r{X'' x^)\  sink 

IS* 


196       üeber  die  Bewegung  ähnlich -veränderlicher  ebener  Systeme. 


und  bezeichnen  wir  mit  u  den  Geschwindigkeitswinkel  und  mit  s  den  Radius 
vector  der  Charakteristik,  so  ersehen  wir  leicht,  dass  die  Punkte  eines 
ähnlich-veränderlichen  ebenen  Systems,  deren  Geschwindig- 
keiten in  dem  gegebenen  Augenblicke  den  Winkel  r  mit  einer 
gegebenen  Geraden,  deren  Richtung  durch  den  Winkel  X  mit 
der  Abscissenaxe  bestimmt  ist,  bilden,  auf  der  Geraden 

6)  s,sm{k'\-T--u).{x—Xi)-'S.co8{X  +  x  —  u).(y-y^)  +  Vi,sin{l+T'-6)—i) 

liegen,  welche  mit  der  Richtung  (k)  einen  Winkel  bildet,  der 
durch  den  Winkel  zwischen  der  Geschwindigkeitsrichtung  der 
betrachteten  Punkte  und  dem  Radius  vector  der  Charakte- 
ristik gemessen  wird. 

6  bedeutet  hier  den  Winkel ,  welchen  die  Geschwindigkeit  t^,  des  Ponk 
tes  3f,  mit  der  Abscissenaxe  bildet. 

Alle  Geraden  6)  schneiden  sich  in  einem  Punkte,  dem  Geschwindig 
keitspole.  Die  Coordinaten  ($,  tj)  dieses  Punktes  können  auch  unmittelbar 
aus  den  Bedingungen 

7^  J    a,  +  f(S-a;,)-r(iy-yi)  =  0, 

gefunden  werden  und  ergeben  folgende  Werthe: 

Indem  wir  die  Gleichungen  7)  von  den  Gleichungen  2)  abziehen,  erhalten 
wir  für  die  Geschwindigkeit  eines  Systempunktes 

9)            v*  =  «(iP-l)-r(j^-i/),    V5,=  «(y-i?)  +  r(a;-S), 
woraus  

d.  h. :  die  Geschwindigkeit  eines  Systempunktes  ist  gleich  dem  Producte  aus 
der  Entfernung  dieses  Punktes  von  dem  Geschwindigkeitspol  in  den  Radius 
vector  der  Charakteristik. 

Wenn  die  Bewegung  des  Systems  durch  die  Bewegung  zweier  Grund- 
punkte M^  und  M^  bestimmt  ist,  so  können  wir  die  Coordinaten  |,  17  da- 
durch bestimmen,  dass  wir  die  Ausdrücke  3)  für  e  und  r  in  die  Gleich- 
ungen 8)  einsetzen.     Es  seien 

das  Verhältniss  der  Geschwindigkeiten  der  Punkte  Mi  und  Jfj,  und  fi  der 
Winkel  zwischen  diesen  Geschwindigkeiten.     Es  ergiebt  sich  dann 


10) 


V      (g^-  g  C03i»)Xi  +  (1-  g  cos  ii)x^  +  q  sin  (ijpi  -y^) 
l  —  2qcosii+q^ 
(q^-qcosii)yi  +  {l'-qco8ii)yi--q8inii(x^-x^) 
l^2qco8ii  +  q* 


Von  P.  SoMOPP.  197 

Verschiedene  andere  Sätze,  welche  sich  auf  die  Vertheilnng  der  6e- 
ächwindigkeiten  im  System  beziehen,  können  mittels  derselben  Formeln  sehr 
leicht  abgeleitet  werden.    Wir  wollen  aber  darauf  weiter  nicht  eingehen. 

4.  Polbahn  und  Polcnrve.  Um  die  Gleichung  der  Polbahn  zu  erhal- 
ien,  müssen  wir  offenbar  die  Zeit  t  aus  den  Gleichungen  8)  oder  10)  eli- 
miniren. 

Um  die  Gleichung  der  Polcurve  zu  finden,  wollen  wir  zuerst  die  Co- 
ordinaten  des  Geschwindigkeitspols  auf  ein  bewegliches  Coordinatensjstem, 
welches  mit  dem  Shnlich- veränderlichen  System  verbunden  ist,  beziehen. 

Rechtwinklige,  aus  den  Punkten  des  ähnlich -veränderlichen  Systems 
gebildete  Axen  werden  immer  rechtwinklig  bleiben.  Wenn  wir  den  Anfangs- 
punkt dieses  Coordinatensystems  im  Punkte  M^  wählen,  mit  Z,  H  die 
neuen  Coordinaten  des  Geschwindigkeitspoles  und  mit  Ai^  B^  die  Compo- 
uenten  der  Geschwindigkeit  des  Punktes  Jlf|  in  Bezug  auf  diese  Axen  be- 
zeichnen, so  finden  wir 

,,^  = A^B  +  B,r  B,i-A,r 

Wir  werden  nicht  die  Gleichung  der  Polcurve  erhalten ,  wenn  wir  direct  die 
Zeit  t  aus  diesen  Gleichungen  eliminiren;  denn  jeder  Punkt  der  Polcurve 
wechselt  mit  der  Zeit  seine  Lage  in  Bezug  auf  das  bewegliche  Coordinaten- 
System  infolge  der  Ausdehnung  des  ähnlich -veränderlichen  Systems,  während 
wir,  um  die  Gleichung  der  Polcurve  zu  bekommen,  die  Lage  aller  ihrer 
Punkte  auf  ein  und  dieselbe  Ausdehnungsphase  des  Systems^beziehen  müssen. 
Um  zu  zeigen,  wie  das  zu  thun  ist,  bilden  wir  zuerst  die  Ausdrücke  für  E 
und  H  für  den  Fall,  dass  die  Bewegung  des  Systems  durch  die  Bewegung 
der  Grundpunkte  Jlf,  und  M^  bestimmt  ist.  Ziehen  wir  die  bewegliche  Ab- 
äcissenaxe  durch  den  Punkt  M^^  so  dass  jetzt 

x,  =  o,    r,  =  o,   Xj  =  2if,jjf,,    y^  =  o 

ist  und  folglich 

A^  =  Ay^  +  f  X^ ,     B^  =  J?j  +  rXg 

wird.     Es  ergiebt  sich  dann 

1  —  qcosti  u  _  Y  ?  "^'^  '^^ 

l'-2qcosii  +  q^  ^  i'—'2qcosfi  +  q^ 

Es  sei  C  ein  Punkt  der  Polcurve  in  ihrer  Lage  zur  Zeit  t.  Das  Dreieck 
lf|Clf^  bleibt  während  der  Bewegung  sich  selbst  ähnlich.  Wollen  wir  die 
Lage  des  Punktes  C  in  einem  andern  Momente  (q  erhalten,  so  müssen  wir 
die  Coordinaten  dieses  Punktes  in  demselben  Verhältnisse  verkleinern ,  in  wel- 
chem diese  Coordinaten  im  Zeiträume  t  —  tQ  infolge  der  Ausdehnung  des 
Systems  sich  vergrössert  haben.  Hieraus  folgt,  dass  man,  um  die  Gleichung 
der  Polcurve,  auf  das  Moment  (q  bezogen,  zu  bestimmen,  der  Coordinate 
^2  den  Werth  X^*,  welcher  diesem  Moment  entspricht,  geben  und  dann  aus 
den  Gleichungen  12),  welche  jetzt 


198       üeber  die  Bewegung  ähnlich -Teränderlicher  ebener  Systeme. 
ION  =    _yo        l-qco8ii  _       „  gOiftft 

sein  werden,  die  Variable  t  eliminiren  muss. 

Dieselbe  üeberlegung  zeigt,  dass,  wenn  die  Coordinaten  E,  H  durch 
die  Gleichungen  11)  gegeben  sind,  wir  anstatt  dieser  Qleicbungen  folgende 
nehmen  müssen: 

r»  dt  /•  dt 

um  dann  die  Zeit  t  aus  ihnen  zu  eliminiren. 

6.   Untersuchen  wir  einige  specielle  Fälle. 

a)  Aus  den  Gleichungen  13)  folgt 

=  2    I    U  2-_ ,^ , 

und  wir  sehen,  dass  die  Polcurye  ein  Kreis  wird,  welcher  den  Punkt  Jf| 
zum  Centrum  hat,  wenn  das  Verhältniss  der  geometrischen  Dififerenz  der 
Geschwindigkeiten  zweier  Systempunkte  zur  Geschwindigkeit  eines  dieser 
Punkte  constant  ist.  Das  wird  z.  B.  in  einer  solchen  Bewegung  des  ähnlich- 
veränderlichen  Systems  vorkommen,  in  welcher  der  Punkt  M^  sich  gerad- 
linig bewegt,  während  der  Punkt  M^  eine  Cycloide  (welche  auch  eine  ver- 
kürzte oder  verlängerte  sein  kann)  beschreibt.  Diese  Cycloide  muss  durch 
das  Rollen  eines  Kreises  auf  der  Bahn  des  Punktes  M^  mit  einer  der  Ge 
schwindigkeit  dieses  Punktes  gleichen  Geschwindigkeit  erzeugt  werden. 

b)  Die  Gleichungen  13)  ergeben  weiter 

Hq  ^     g  sin^ 

^  1  —  q  cos  fi 
woraus  man  ersieht,  dass  die  Polcurve  eine  Gerade  ist,  wenn  die  geo- 
metrische Differenz  der  Geschwindigkeit  zweier  Systempunkte  einen  constan- 
ten  Winkel  mit  der  Geschwindigkeit  eines  dieser  Punkte  bildet.  Man  erhält 
z.  B.  eine  solche  Bewegung,  wenn  der  eine  Punkt  sich  geradlinig  und  gleich- 
förmig bewegt,  während  der  andere  Punkt  eine  Parabel  beschreibt,  deren 
Axe  zur  geometrischen  Differenz  beider  Punkte  parallel  ist  Die  übrigen 
Punkte  werden  dabei  auch  Parabeln  beschreiben. 

c)  Indem   wir  fi  aus  den  Formeln  13)  eliminiren,   erhalten  wir  die 
Gleichung  ^     ^  y02 

=  2  I  H  *         ^    =  4    ^»     —  0 

woraus  wir  ersehen,  dass  die  Polcurve  ein  Kreis  ist,  wenn  das  Verhältniss 
der  Geschwindigkeiten  zweier  Punkte  des  Systems  constant  ist.  Das  werden 
wir  z.  B.  in  jeder  solchen  Bewegung  des  Systems  finden,  in  welcher  zwei 
Punkte  ganz  beliebige  Bahnen  gleichmässig  beschreiben.  Man  findet  dabei 
leicht,  dass  der  Kreisbogen,   welchen  der  GeschwiudigkeiUpol  auf  der  Pol- 


1 


Von  P.  SOMOPP.  199 


carye  in  einer  gewissen  Zeit  beschreibt,  durch  den  Winkel  gemessen  wird, 
um  welchen  sich  in  dieser  Zeit  der  Winkel  zwischen  den  Geschwindigkeiten 
der  beiden  Punkte  geändert  hat. 

d)  Durch  Elimination  von  q  aus  den  Gleichungen  13)  erhalten  wir 

&o  dass  die  PolcuiTe  ein  durch  die  PunMe  M^  und  M^  gehender  Kreis  wird, 
wenn  die  Geschwindigkeiten  der  Punkte  M^  und  M^  miteinander  einen  cou- 
stanten  Winkel  bilden,  d.  h.  wenn  die  Geschwindigkeiten  dieser  Punkte  den 
Krümmungsradien  ihrer  Trajectorien  proportional  sind.  Das  wird  auch  ein- 
treffen, wenn  zwei  Systempunkte  auf  irgend  eine  Weise  sich  geradlinig 
bewegen. 

e)  Die  Formeln  13)  können  auch  dazu  dienen,  den  von  Geisen- 
heimer  ausgesprochenen  Satz,  dass  die  Polcurve  bei  einer  affinen  Be- 
wegung eines  ähnlich  •  veränderlichen  Systems  ein  Kreis  ist,  zu  beweisen. 
Das  kann  jedoch  bei  Betrachtung  der  Beschleunigung  auf  einem  kürzeren 
Wege  nachgewiesen  werden. 

6.  Herr  Burmester  hat  darauf  aufmerksam  gemacht,  dass  die  Be- 
wegung eines  ähnlich  -  veränderlichen  Systems  durch  das  Bollen  der  ver- 
änderlichen Polcurve  auf  der  unbeweglichen  Polbahn  erzeugt  werden  kann. 
Der  Beweis,  dass  dabei  wirklich  ein  Rollen  ohne  Gleitung  bestehen  wird, 
scheint  uns  nicht  vollkommen  unnöthig  zu  sein;  wir  wollen  ihn  daher  hier 
anführen. 

Wenn  wir  durch  <jp  den  Winkel,  welchen  die  bewegliche  Abscissenaxe 
mit  der  unbeweglichen  bildet,  bezeichnen  und  die  Werthe  von  l  —  x^  und 
f}  —  ^j  aus  den  Formeln  8)  in  die  Gleichungen 

Z=      {l  —  x{)COSq>  +  {ti  —  y^)sinq), 
H  =  —  (5  —  a^i)  sinq>  +  (»?  -yi)  cosq> 
einsetzen,  erhalten  wir 

-          a^^  +  h^r              Z»,  6  — a.r   . 
-= — -m — 9-^^^^ an — 2    ^***<P» 

a^E  +  h^r   .  h^i  —  a^r 


Indem 
setzen , 

wir 
finden  wir 

dt 

■^  =  /', 

<^ 

dt 

-) 

=  Q 

14) 

dl 

=  («.. 

~P)dt, 

dr,= 

=  («..- 

■Q) 

dt. 

Es  Ist  offenbar 
1  ^  1 

=  r, 

daher 


200       üeber  die  Bewegung  ähnlich -Terttiiderlicher  ebener  Systeme. 
Wenn  man  bemerkt,  dass  infolge  der  Gleichungen  8)  und  14) 

-('■s^''+'')=i+'«-^). 

ist,  erhält  man  ^  «  +'^  >^      dt 

dE.  =     d^cos(p  +  dri  sin(p  +  Bdt.[     (S~a?i)  cosqi  +  (i?  — yj  sintit\. 

dH  =  —  d^Hntp  +  dti  cos(p  +  « ei<.[—  (|  — a?i)  8inq>  +  (i;  —y,)  co5qp]; 
oder,  durch  c2o  und  dT.  entsprechend  die  Bogendi£ferentiale  der  Polbahn  und 
der  Polcurve  bezeichnend, 

dZ  cos(X^  dZ)  =  da  co8{X^  do)  +  E$  dt, 
dI.8in{XidT}=:d0  8in{Xidc)  +  HBdt. 
Hieraus  ersehen  wir,  dass  dZ  eine  geometrische  Summe  des  Bogens  dö  und 
der  unendlich  kleinen ,  von  der  Ausdehnung  des  Systems  abhängigen  Trans- 
lation des  Geschwindigkeitspoles  ist.  Es  ergiebt  sich  also  die  Gleichheit 
der  Bogen  dT.  und  da^  wenn  wir  annehmen,  dass  im  Zeitraum  dt  keine 
Ausdehnung  stattfindet.  Es  geschieht  also  wirklich  ein  Rollen  der  PolcurTe 
auf  der  Polbahn;  die  Polcurve  aber  erleidet  dabei  eine  Ausdehnung,  welche 
dem  durch  die  Function  c  bestimmten  Gesetze  folgt. 

7.   Die  Beschleunigung  eines  Systempunktes  kann  durch  folgende  For- 
meln bestimmt  werden: 

,  js=['^-'*('-'.)-fi<»-'.)]+('-+ji')<'-'.>-^"<'-"'' 

/g=lt-(»-».'+^?('-'.']+(''+f;)^-».!+^"<'-'.'- 

Daraus  ersehen  wir,   dass  die  Beschleunigung  sich  folgendermassen  zusam- 
mensetzt :  * 

a)  aus  der  Beschleunigung,  welche  der  Systempunkt  besitzen  würde, 
wenn  das  System  unveränderlich  wäre; 

b)  aus  der  Beschleunigung ,  welche  nur  von  der  Ausdehnung  des  Systeme 

ds 
abhängt  und  der  Function  «*  +  37  proportional  ist; 

at 

c)  aus  einer  Beschleunigung,  welche  zugleich  von  der  Ausdehnong  und 
von  der  Drehung  des  Systems  abhängt  und  daher  gemischte  Be- 
schleunigung {acc^Uration  mixte**)  genannt  werden  kann;  sie  ist 
zu  der  vorhergehenden  Beschleunigung  senkrecht  gerichtet. 


*  Vergl.  Durrande,  Comptes  reodus,  LXXV,  1177. 
**  ibid. 


Von  P.  SoMOPP.  201 

Die  Beschleonigang  kann  noch  auf  eine  andere  Weise  zerlegt  werden, 
wobei  die  Analogie  zwischen  der  Bewegung  eines  ebenen  ähnlich -Terftnder- 
lichen  und  eines  unveränderlichen  Systems  sichtbar  wird,  nämlich: 

a)  in  die  Beschleunigung,   welche  das  System  haben  würde,  wenn  der 
Geschwindigkeitspol  unbeweglich  wäre  und  welche  die  Grössen 

^(«"-S)-f*^y-i?)   und  A(y-i7)  +  ^(ir-S), 
wobei  j,  j^ 

gesetzt  ist,  zu  ihren  Projectionen  auf  den  Coordinatenaxen  hat,   und 

b)  in  die  Beschleunigung,   welche  davon  abhängt,   dass  der  Geschwin- 
digkeitspol seine  Lage  wechselt. 

Diese  letztere  Beschleunigung  setzt  sich  zusammen  aus  einer  Beschleu- 

da 
Digung  r  —  ^   welche  der  Richtung  der  Normale  zur  Polbahn  im  Punkte, 

welcher  im  betrachteten  Augenblicke  als  Geschwindigkeitspol  dient,  parallel 
ist,    und   aus   einer  zu  dieser  Beschleunigung  senkrechten  Beschleunigung 

€-r-"  Diese  beiden  Beschleunigungen  bilden  die  Beschleunigung  ^€*+r*.  tt' 

welche  mit  der  Tangente  zur  Polbahu  im  Punkte,  der  im  betrachteten 
Augenblicke  als  Geschwindigkeitspol  dient,  einen  dem  Geschwindigkeits- 
winkel gleichen  Winkel  bildet.  Dasselbe  finden  wir  für  ein  unveränder- 
liches System,  wenn  wir  nur  den  Radius  vector  der  Charakteristik  durch 
die  momentane  Winkelgeschwindigkeit  und  den  Geschwindigkeitswinkel  durch 
einen  rechten  ersetzen. 

8.  Mittels  der  Formeln  13)  kann  sehr  einfach  die  Vertheilnng  der 
Beschleunigungen  im  System  untersucht  und  die  Gleichungen  der  Br esse- 
schen Kreise  gefunden  werden,  wie  auch  der  Pascarschen  Schnecken,  ftlr 
deren  Punkte  die  Tangential-  oder  die  Normalbeschleunigung  einen  constau- 
ten  Werth  hat,  u.  dergl.  Wir  wollen  darauf  weiter  nicht  eingehen,  son- 
dern nur  einiges  den  Beschleunigungspol  Betreffendes  bemerken. 

a)  Der  Beschleunigungspol  fällt  im  Allgemeinen  nicht  mit  dem  Ge- 
ruch windigkeitspol  zusammen;  wir  können  aber  leicht  die  Bedingung  auf- 
stellen, unter  welcher  ein  solches  Zusammenfallen  stattfindet.  Diese  Be- 
dingung besteht  darin,  dass  die  Bewegung  des  Systems  eine  einförmige 
sein  muss. 

b)  Damit  der  Beschleunigungspol  beständig  mit  einem  und  demselben 
Punkte  Ä  der  Ebene  zusammenfalle,  ist  es  nothwendig,  dass  die  Beschleu- 
nigungen zweier  Punkte  M^  und  M^  den  Entfernungen  dieser  Punkte  vom 
Punkte  Ä  proportional  sind  und  dass  dies^e  Beschleunigungen  mit  den  Ge- 
raden ÄMi  und  Ä'M^  entsprechend  gleiche  Winkel  bilden. 

Dieser  Bedingung  wird  z.  B.  eine  solche  Bewegung  des  Systems  ge- 
nügen, in  welcher  der  Punkt  M^  eine  Curve  zweiten  Grades,  von  der  ein 


202       üeber  die  Bewegung  ähnlich  -  veränderlicher  ebener  Systeme. 

Brennpunkt  mit  dem  Punkte  ji*  zusammenfällt,  beschreibt,  während  der 
Punkt  M^  sich  so  auf  einer  Geraden  bewegt,  dass  das  Verhältniss  seiner 
Beschleunigung  zu  seiner  Entfernung  vom  Punkte  Ä  umgekehrt  propor- 
tional dem  Cubus  der  Entfernung  des:  Punktes  M^  vom  Beschleunigangb- 
pol  A  ist. 

Soll  der  Beschleunigungspol  bestfindig  mit  einem  und  demselben  Packte 
B  des  Systems  zusammenfallen ,  so  müssen  die  Beschleunigungen  der  Punkte 
Ml  und  3fg  denselben  Bedingungen  genügen,  welchen  die  Geschwindigkeiten 
dieser  Punkte  im  Falle  der  einförmigen  Bewegung  des  Systems  genügen; 
d.  h.  das  Verhältniss  der  Beschleunigungen  dieser  Punkte  und  der  Winkel 
M^BM^  müssen  constant  bleiben. 

Als  ein  Beispiel  dazu  können  wir  eine  solche  Bewegung  anführen,  bei 
welcher  der  Punkt  M^  gleichmässig  einen  Kreis  beschreibt,  der  Punkt  Jf« 
aber  eine  Cycloide,  welche  durch  das  Rollen  eines  Kreises,  der  sich  mit 
derselben  Winkelgeschwindigkeit  wie  der  Punkt  3f,  dreht,  beschrieben  wird. 

9.  Zusammensetzung  der  Bewegungen  ähnlich -veränderlicher  ebener 
Systeme.  Wir  stellen  uns  zwei  Bewegungen  eines  ähnlich  >  veränderlichen 
ebenen  Systems  vor  und  bezeichnen  mit  (iCj,  y^.  fj,  r^  und  (z^,  y^,  i^, 
fj)  die  Elemente,  welche  diese  Bewegung  bestimmen,  wobei  die  beiden 
Bewegungen  auf  ein  nnd  dasselbe  Coordinatensystem  bezogen  werden. 
Jeder  Punkt  der  Ebene  wird  infolge  der  gegebenen  Bewegungen  zwei  ver 
schiedene  Geschwindigkeiten  besitzen;  wenn  wir  für  jeden  Punkt  diese  Ge- 
schwindigkeiten geometrisch  addiren ,  erhalten  wir  eine  neue  Bewegung  dea 
veränderlichen  Systems,  welche  den  Aehnlichkeitsbedingungen  oflTenbar  wieder 
genügen  wird. 

Die  Elemente  einer  so  zusammengeset-zten  Bewegung  können  aus  fol- 
genden Gleichungen  bestimmt  werden: 

+  a^  +  f,(a;-irj-ra(2^-yj. 

Da  diese  Gleichungen  für  alle  möglichen  Werthe  von  x  und  y  erfüllt  sein 
müssen,  so  zerfallen  sie  in  folgende  vier: 

^i  —  («1  +  0^1  +  (r^  +  u)  ^1  =  «I  +  «2—  (^1^1  +  h^t"^  +  (»'li'i  +^ys)i 
-^1  -  («1  +  h)  ^i  - (^i  +  »'2)^i  =  ^  +  ^8-  (fi!/i  +  «22/v)  -  (n^i  +»"2««)- 
Die  ersten  zwei  von  diesen  Gleichungen  können  auf  folgende  Weise  aus- 
gesprochen werden: 

Der  Radius  vector  der  Charakteristik  der  zusammengesetz- 
ten Bewegung    eines  ähnlich-veränderlichen  ebenen  Systeme 


Von  P.  SoMOPP.  203 

ist  der  geometrischen  Summe  der  Badii  vectores  der  Charak- 
teristiken bei  den  Componenten  gleich. 

Wollen  wir  die  Lage  des  Geschwindigkeitspols  in  der  zosammengesetzien 
Bewegung  aus  den  Lagen  der  Geschwindigkeitspole  der  Componenten  ab- 
leiten, so  müssen  wir  die  Coordinaten  eines  solchen  Punktes  aufsuchen, 
dessen  Geschwindigkeit,  aus  den  beiden  Componenten  zusammengesetzt, 
gleich  Null  ist.  Wenn  wir  entsprechend  durch  (E,H),  (Si,i?i)  und  (Ig,  i?g) 
die  Coordinaten  der  drei  Geschwindigkeitspole  bezeichnen,  müssen  wir  daher 
E   und  H  aus  folgenden  Gleichungen  bestimmen: 

Indem  wir  die  Gleichungen 

«1  +  «i(Si-«i)  -n  {Vi -^i)  =  0,     &i  +  »,{i?i  -yi)  +ri (I,  -Ä,)  =  0, 

•velche  den  Gleichungen  7)  nachgebildet  sind,  beachten,  finden  wir 

Wenn  wir 

setzen  und  durch  q>  den  Winkel  zwischen  den  Badii  vectores  5|  und  5^  be- 
zeichnen, erhalten  wir 

l  +  2pco8q>+p^ 
^  ^  il+pcos(p)tii  +  {p*+pcos<p)fi^-psing>.{i^"^) 
l  +  2pcosq>+p* 
Diese  Formeln  geben  uns  folgende  Beziehungen: 

1  «^  (H-i?.)(  =  -|,)-(H-W(=-^,)  _. 

'""f  (=_!,)(=  _y  +  (H-,,)(H-%)-'^'^- 

Die  erste  von  ihnen  beweist,  dass  die  Entfernungen  des  Geschwin< 
digkeitspoles  der  zusammengesetzten  Bewegung  von  den  Ge- 
schwindigkeitspolen der  Componenten  den  Grössen  5|  und  8^ 
umgekehrt  proportional  sind.  Wir  erblicken  darin  eine  Analogie  mit 
der  zusammengesetzten  Bewegung  eines  unverSnderlichen  ebenen  Systems. 
Die  Gleichung  18)  spricht  aus,  dass  der  Winkel,  welcher  durch  die 
Verbindungslinien  des  Geschwindigkeitspoles  der  zusammen- 
gesetzten Bewegung  mit  den  Geschwindigkeitspolen  der  Com- 
ponenten gebildet  wird,  dem  Winkel  zwischen  den  Linien  8^ 
und  s^  gleich  ist. 


204       üeber  die  Bewegung  ähnlich -veränderlicher  ebener  Systeme. 


Man  bekommt  also  den  Geschwindigkeitspol  der  zusammengesetzten 
Bewegung  als  einen  der  Durchschnittspunkte  zweier  Kreise,  Ton  denen  der 
eine  die  Verbindungslinie  der  Geschwindigkeitspole  der  Componenten  har- 
monisch im  umgekehrten  Verhältnisse  der  Grössen  5|  und  82  theilt  und  der 
andere  durch  diese  Punkte  geht. 

10.  Wir  wollen  einige  Resultate  angeben,  welche  sich  auf  specielle 
Fälle  beziehen. 

a)  Wenn  die  Componenten  der  zusammengesetzten  Bewegung  einförmig 
sind  und  ihre  Geschwindigkeitspole  zusammenfallen,  so  ist  die  zusammen- 
gesetzte Bewegung  auch  einförmig  und  ihr  Geschwindigkeitspol  föllt  mit 
den  Geschwindigkeitspolen  der  Componenten  zusammen. 

b)  Wenn  die  Componenten  einförmig  sind,  aber  die  Geschwindigkeits- 
pole derselben  nicht  zusammenfallen,  so  wird  im  Allgemeinen  die  zusam- 
mengesetzte Bewegung  nicht  einförmig  sein.  Damit  aber  dieselbe  einförmig 
wird,  ist  es  nothwendig  und  hinreichend,  dass  die  Charakteristiken  der 
Componenten  ähnliche  Curven  seien  mit  dem  Aehnlichkeitspol  im  Anfangs- 
punkte der  Coordinaten  und  dass  die  Punkte  derselben  in  verschiedenen 
Zeitmomenten  entsprechend  ähnliche  Punktreihen  bilden. 

c)  Die  zusammengesetzte  Bewegung  kann  auch  dann  einförmig  sein, 
wenn  die  Componenten  nicht  einförmig  sind.  Die  Coordinaten  E  und  H 
hängen  von  sechs  Grössen  ii^  ^^^  Vn  Vi^  P  ^^^  ^  ^^\  ^^^  denselben  können 
vier  willkürlich  gegeben  und  die  übrigen  zwei  der  Bedingung  gemäss ,  dasä 
H  und  H  constant  bleiben,  bestimmt  werden.  Auf  diese  Weise  finden  wir 
z.  B.:  wenn  die  Charakteristiken  der  Componenten  ähnliche  Curven  sind 
und  in  entsprechenden  Momenten  ähnliche  Punktreihen  bilden,  so  ist  es, 
damit  die  zusammengesetzte  Bewegung  einförmig  sei,  nothwendig  und 
hinreichend,  dass  die  Geschwindigkeitspole  der  Componenten  so  ihre  Lage 
ändern,  wie  zwei  Punkte  eines  ähnlich  -  veränderlichen  ebenen  Systems,  wel- 
ches sich  einförmig  bewegt  und  zum  Geschwindigkeitspol  den  Geschwindig- 
keitspol der  zusammengeöetzten  Bewegung  hat. 

11.  Die  relative  BewepiDg  des  ähnlich -veränderlichen  ebenen  Systems. 

Es  sei  Si  ein  ähnlich -veränderliches  ebenes  System,  dessen  Bewegung 
durch  die  Elemente  0?^,  y^,  8^,  r^  bestimmt  ist,  und  es  mögen  x,  y  und 
x^,  y^  entsprechend  die  Coordinaten  eines  Systempunktes  und  ihre  Anfangs - 
werthe  bedeuten.     Wir  haben  dann,  den  Formeln  1)  gemäss: 

x  =  x,-\-c«  '     [(a;''-V)a>s(Jr,di)-(/-y,«)s»n(p,d<)], 
19)  \  ,  ^  " 


Von  P.  SoMOPP.  205 

Stellen  wir  uns  ein  anderes  ähnlich  -  veränderliches  System  S  vor,  dessen 
Bewegung  in  derselben  Ebene  vorgeht  und  durch  die  Elemente  X, ,  F^ ,  JB, 
R  bestimmt  ist.  Dann  können  wir,  durch  X,  Y  und  X^  Y^  entsprechend 
die  Coordinaten  eines  Systempunktes  und  ihre  Anfangswerthe  bezeichnend, 
ebenso  wie  oben  schreiben: 

r  ^  * 

X  =  X,  +  c''>         [{X"-XiO)(»5(yÄd/)-(r«-V)m(  /äcI^)]; 

0  0 

I 

/t  t 

^^  ^^-^^  ["(X« - X,«)  sin ( /i dt^  +  ( r«-  r,«) cos (jjt dt^. 

0  0 

Wenn  wir  diese  Bewegung  auf  ein  Coordinatensystem  beziehen ,  welches  aus 
den  Punkten  des  Systems  /S,  gebildet  ist,  so  können  wir  diese  Bewegung 
als  die  relative  Bewegung  eines  ähnlich -veränderlichen  ebenen'  Systems  be- 
trachten. Indem  wir  mit  |, ,  i}, ,  c^,  r^  die  Elemente  dieser  relativen  Be- 
wegung und  mit  |,  97  und  £^,  vf^  entsprechend  die  Coordinaten  eines  System - 
punktes  und  ihre  Anfangswerthe  in  Bezug  auf  das  bewegliche  Coordinaten- 
system bezeichnen,  können  wir  setzen: 

l  dt  *  \ 

0  0 

f  dt  ^  *. 

0  0 

Bei  Betrachtung  dieser  Formeln  müssen  wir  uns  vorstellen,  dass  das  System 
Si  sich  in  einer  bestimmten  Ausdehnungsphase  befindet;  denn  sonst  werden 
alle  darin  stehende  Coordinaten,  abgesehen  von  allen  übrigen  Umständen, 
ihre  Grösse  noch  infolge  der  Deformation  des  Systems  5|  ändern.  Wir  wer- 
den daher  voraussetzen,  dass  die  Formeln  21)  sich  auf  diejenige  Phase  des 
Systems  8^  beziehen,  welche  dem  Moment  t^O  entspricht. 

Wählen  wir  die  beweglichen  Coordinatenaxen  so,  dass  der  Anfangs- 
punkt (Xi ,  ^1)  fUlt  und  dass  zur  Zeit  ^  &=  0  diese  Axen  den  unbeweglichen 
parallel  sind,  so  werden  zwischen  den  Coordinaten  |,  ti  und  X,  Y  folgende 
Beziehungen  bestehen: 


21) 


22) 


Uä,  *  * 

0  0 


206       Ueber  die  Bewegung  ähnlich- veränderlicher  ebener  Systeme. 

Wenn    wir    diese    Ausdrücke    mit    den    Gleichungen    20)    vergleichen, 
ßnden  wir: 

0  0 


i]  =  e  ^ 


I   E   .    di  \  * 

(?«         '      [(Z«-X,o)coJy(B-r,)  d^  -  (r>.  V) sin  \f(B-r,)diA. 
'o  0 

0  0 

/'  t  t 

0  0 

Diese  Formeln  werden  mit  den  Formeln  21)  identisch,  wenn  gesetzt  wird: 

-  r«  dt  i  * 

)  0       •  0 


Vt  =  e  0 


[(X^ - rr,) m (-J r,  d^)  +.( Y,--p,)  cos (^jr,  d^)] , 
0  0 

f 2  =  jB  —  f  j  ,       ^2  =  5  —  Tj  . 

Dadurch  sind  die  Elemente  der  relativen  Bewegung  vollkommen  bestimmt. 
Die  beiden  letzten  von  den  Gleichungen  23)  zeigen ,  dass  der  Radius  vector 
der  Charakteristik  in  der  relativen  Bewegung  die  geometrische  Differenz  ist 
der  Badii  vectores  in  der  absoluten  und  in  der  Ftthrungsbewegung. 

Mit  Hilfe  der  letzten  Formeln,  wenn  wir  aus  denselben  die  Elemente 
der  absoluten  Bewegung  bestimmen,  können  wir  leicht  folgende  allgemeine 
Formeln  aufstellen,  durch  welche  die  Coordinaten  eines  Punktes  in  der 
absoluten  Bewegung  durch  die  Elemente  der  relativen  und  der  Ftthrungs- 
bewegung bestimmt  werden  können: 

:  =  «,  -f-  e^        1^$,  cosyjft  dtj  -  jj,  8in  (  y  r,  dtjj 

0    t 
-(r»-y,»-,,,»;  sin[J(r,  +  r^)dt]l 


Von  P.  SoMOFF.  207 


24) 


y=  ?/,  +  '•■»    '     [l,  sin  i^J  r,  dij  +  m  cos  [Jr,  d<)] 


0  0 

t 


+  ^«  j(Z<'-V-S.'')s««[j(r,+rj^d/J 


0 


+  (r»-»."  - 1?,")  cos  [  J.r, +r,)  df]}. 


\ 

0 

12.  Nach   dem   Gesetze  der   Zusammensetzung  der  Geschwindigkeiten, 

welches  bekanntlich  nicht  nur  auf  die  unveränderlichen  Systeme,   sondern 

auch  auf  continuirlich -veränderliche  Systeme  anwendbar  ist,    können   wir 

unmittelbar  Ausdrücke  fUr  die  Componenten  der  absoluten  Geschwindigkeit 

aufstellen.     Indem  wir  durch  v,  und  v^  entsprechend  die  Ftlhrungsgeschwin- 

digkeit  und  die  relative  Geschwindigkeit  eines  Punktes  bezeichnen  und 

setzen,  finden  wir,  den  Formeln  2)  gemäss: 
25)  )    «i*  =  ö,  +  fi(X-a;,)-r,(r-v,), 


26)  l    *'2^=K  +  f2(^-S,)-r2(»?-i?,)]c''> 

In  den  Formeln  26)  ist  der  Factor  e^  eingeführt,  weil  infolge  der 

von  der  Führungsbewegung  abhängigen  Ausdehnung  jedes  Linienelement  in 

I 
J,,dt 
der  relativen  Bewegung  zur  Zeit  ^  e^        -mal  grösser  geworden  ist,  als  es 
im  Anfangsmomente,  auf  welches  sich  die  Formeln  21)  beziehen,  gewesen 
ist.     Somit  müssen  wir  schreiben: 


r.  dt  * 

0 

t 

-(/5,+*»(')-'?.)+'-(i-i.)js»»»(y'-»<^<)i' 


208       üeber  die  Bewegung  ähnlich -veränderlicher  ebener  Systeme 


+  c'»  "      j  [«,  +  ,^  (I  _  I,)  _  r,  (,  -  »,,))  sin  [Jr,  dt) 

0 

+  (/».  +  *.(»»- »?.)  +  »-,($ - 1,)]  cos (^jr,  d/)j. 


13.  Wir  wollen  zuletzt  die  Beschleunigungen  der  relativen  und  der  ab- 
Holuten  Bewegung  untersuchen.     Wenn  wir 

28)  {  f  f 

setzen   und   durch  w^  und  Wg  entsprechend  die  FQhrnngs-  und  die  relative 
Beschleunigung  bezeichnen,  werden  wir  haben: 


29) 


30) 


«„  =  ^' + 1,  (X- «,)  -  ^,  ( r- y.) , 

t 

[da  1    /*''" 

I 


I 

wobei    wieder    der    Factor    c°  aus    demselben   Grunde    wie    oben   ein- 

geführt ist. 

Wenn  wir  die  Gleichung  27)  nach  t  differenziren  und  die  Formeln  25), 
26),  27),  28)  und  29),  sowie  die  Beziehungen 

t  « 

W'ix  =  wii cos yj fi  dtj -W2fi8myjr^dtj, 

0  0 

t  t 

iD2y=^t02^sinl  |r^dt]  +  i021|C08^   1  ridtj 

beachten,  finden  wir:  ^ 

dPX 

-J^  =  W\y+tV2y  +  2{SiV2y  +r^  t?2,). 


Von  P.  SoMOFP.  209 

Somit  setzt  sich  die  absolute  Beschleunigung  aus  drei  Beschleunigungen 
zusammen:  aus  der  Führungsbeschleunigung,  der  relativen  Beschleunigung 
und  einer  Beschleunigung,  welche  der  zusammengesetzten  Centripetal- 
beschleunigung  in  der  absoluten  Bewegung  eines  unveränderlichen  ebenen 
Systems  ganz  analog  ist    Ihre  Grösse 


ist  dem  doppelten  Product  der  relativen  Geschwindigkeit  in  den  Radius  vec- 
tor  der  Charakteristik  der  Führungsbewegung  gleich.  Ihre  Richtung  bildet 
mit  der  relativen  Geschwindigkeit  des  betrachteten  Punktes  einen  Winkel- 
weicher  dem  Geschwindigkeitswinkel  der  Führungsbewegung  gleich  ist. 

Somit  sehen  wir,  dass  der  Satz  von  Coriolis  auch  für  ein  ähnlich, 
verSnderliches  System  giltig  ist;  es  muss  nur  dabei  die  Winkelgeschwindig- 
keit durch  den  Radius  vector  der  Charakteristik  und  der  rechte  Winkel, 
welchen  die  zusammengesetzte  Centrifugalbeschleunigung  mit  der  relativen 
Geschwindigkeit  bildet,  durch  den  Geschwindigkeitswinkel  der  Führungs- 
bewegung ersetzt  werden. 


ZeitMbzlil  f.Mftthemfttik  n.  Physik  XXX.  4.  14 


Ueber  die  Bedingimgen,  unter  denen  swei  lineare 

homogene  Differentialgleiclinngen  mebrere  partika- 

läre  Integrale,  gemeinsam  haben. 

Von 

Dr.  E.  Grünpeld, 

AiiiiUnt  »n  der  techn.  Hoobfohule  in  Wiem. 


Sind 


P(y)  =  ^+P^^r  +  ■■^+Pn,y^O 


1) 


und 


Q(y)-T:^  +  ^i 


...  +  (?ny  =  0    • 


lineare  homogene  Differentialgleichungen  der  fn^^**,  beziehangsweise  n^^  Ord- 
nung, und  man  bildet  das  System  von  m  +  n  Gleichungen 


2) 


dsf* 


dx 


ä-'P(y)^Q    d-'P(y)^Q  äP(y)^0     p^y)^o 


da?—»         ^'       da?—«         ^'    '"'      da? 
so  wird  bekanntlich  durch  das  identische  Verschwinden  ihrer  Determinante 


d» 


0     1 

0   0 


1 


0  0        0  0 

1    Pi  1?«-1,  1  P«-l,2 

01  jPl  Pi.-2,1 

0   0        1  i?i 


5ifi— 9,  m  +  n— 4  ^m— 2.m  +  n— S 

5m-S,m  +  n-6  9m— 8,  m+n— 4 

5n-l  Sn 

1^11— l,m+ii-3  Pm  — 1,  m+n-2 

JPii-2,  m+ii-4  |>it-2,m+n-3 

P»i-S,m  +  ii-6  l?«— 3,m+n-4 


Pm-1 


0     0  0  0  ... 

in  welcher,  wenn  zur  Abkürzung 

1.2... a 


l>m 


^a' 


gesetzt  wird, 


«^=fe 


Ueber  die  Bedingungen  etc.     Von  Dr,  E.  Grünpeld.  21 1 

P99  =  QoPi^"^  +  Qü^iPi^"-^^  + . . .  +  QtPo^^^  +  P«i+i , 

ist,  die  nothwendige  und  hinreichende  Bedingung  dafdr  ausgedrückt,  dass 
die  beiden  Differentialgleichungen  1)  ein  partikuläres  Integral  gemeinsam 
haben. 

Die  Bedingungen,  unter  denen  diesen  Gleichungen  zwei  oder  mehrere 
Integrale  gemeinsam  sind,  lassen  sich,  wie  Herr  y.  Escherich  gezeigt 
hat,*  durch  die  Betrachtung  der  ünterdeterminanten  in  der  Determinante  d 
herleiten;  man  kann  dieselben  jedoch  auch  aus  dem  Gleichungssjstem  2) 
selbst  erhalten,**  zu  welchem  Zwecke  mir  das  nachstehende  Verfahren  sehr 
angezeigt  scheint,  welches  ähnlich  demjenigen  ist,  mit  dessen  Hilfe  Herr 
Hioux***  die  analogen  Bedingungen  für  zwei  algebraische  Gleichungen 
gewonnen  hat. 

Das  System  der  Gleichungen  2)  besteht  aus  zwei  Gruppen,  deren  erste 
m  und  deren  zweite  n  Gleichungen  enthält. 

Man  unterdrücke  in  jeder  Gruppe  die  n^i  ersten  Gleichungen:  dann 
bleiben  h  +  i  in  der  ersten  und  i  in  der  zweiten  übrig.  In  diesen  zurück- 
bleibenden Gleichimgen  bilden  die  %-f-2i  ersten  Colonnen  zur  Linken  eine 
Determinante  (Ä  + 2 »)**''  Ordnung,  in  welcher  die  Elemente  der  ersten  Co- 

^m  +  i—ly 

lonne  aus  den  Coefficienten  von  ,  ^_^  und  die  der  letzten  Colonne  aus 

den  Coe£&cienten  von       ^_^  in  den  übrig  bleibenden  Gleichungen  bestehen. 

Für   «  =  n    kommt   das  ursprüngliche  System  2)    wieder    zum  Vorschein. 
Diese  Determinanten  {Je +  2%)^  Ordnung  mögen  mit  SE),-,o  bezeichnet  werden. 
Es  bezeichnen  femer 

Determinanten,  welche  aus  SD<,o  hervorgehen,  wenn  darin  die  letzte  Colonne 
von  Coefficienten  nach  und  nach  durch  jede  der  w— i  folgenden  Coefficien- 
tencolonnen  ersetzt  wird. 

Es  werde  die  Determinante  ®i,o  nach  den  Elementen  ihrer  letzten  Co- 
lomie  geordnet,  und  seien  die  denselben  zugehörigen  ünterdeterminanten 
die  Grössen 

qi,o,  qi,i,  q<,2,  ...  q<,Ar+«-i 

und 

Pi,0,       Kl,       ^,2,        ...        Piyi-i' 

Von  den  zurückgebliebenen  Gleichungen  multiplicire  man  die  erste  mit  q,-,o, 
die  zweite  mit  q{,i,  ...,  die  letzte  mit  pi,i^\  nnd  addire-:  die  so  erhaltene 
Samme  ist  offenbar  nichts  Anderes  als  der  Ausdruck 


*  Siehe  die  Denkschriften  der  kaiserl.  Akademie  der  Wissenschaften  zu  Wien, 
Bd.  46  S.  61. 

**  Siehe  die  Note  von  Lemonnier  in  den  Comptes  Bendus,  t.  XCV  p.  476. 
•♦♦  Siehe  die  Annales  de  T^cole  Normale  Supörieure,  t  X  p.  388—390. 

14* 


212         üeb.  d.  Bedingungen,  unter  denen  zwei  lin.  homog.  Differentialgl. 

indem  in  derselben  die  Coefficienten  der  höheren  Ableitungen  von  y  als  der 
(«  —  »)*•**  identisch  verschwinden. 

Fi  kann  andererseits,   wie  leicht   zu  ersehen  ist,   auch  in  der  Form 
geschrieben  werden: 

!/       (?*+•■-*  d*+'-^  d  \ 

-^' =  V  ^'' ®  ^^mTH  +  ^  M  ^^nri  +  •  •  •  + 
+  l'^''«"rfi^  +  »^«'^-d^^  +  --  +  '^'''"-^     di  +  ^'''-«    )^^^^ 
oder,  wenn 

und 

V<^'>o    dg^-i    "^^^*''    da;^-^    +>   .+^1-1     jy  =  «.(y) 
gesetzt  wird, 

oder  kürzer 
5)  Fi^PiQ+QiP. 

Aus  der  Gleichung  5)  ergiebt  sich  der  Satz: 
I.  i,Die  nothwendigen  und  hinreichenden  Bedingungen,  dass  die  beiden 
Differentialgleichungen  7'(^)  =  0  und  Q(^)  =  0  k  und  nur  %  Inte- 
grale gemeinsam  haben,  sind 

In  der  That,  aus  der  Gleichung 
4)  Fi{y)=^Pi<i{y)  +  <itP{3f) 

folgt  allgemein,  dass  für  jedes  Integral,  welches  P(y)  =  0  und  Q[y)=^ 
gleichzeitig  zukommt,  auch  JP^sO  wird.     Nun  ist 

wo  nach  o) 

für  jedes  der  x  den  Gleichungen  P(y)  =  0  und  Q(y)  =  0  gemeinsamen  In- 
tegrale müsste  Fn^n-^-x  =0  sein,  d.  h.  es  Hesse  diese  Differentialgleichang 
(x  — 1)*"  Ordnung  x  von  einander  linear  unabhängige  Integrale  zu,  was 
nicht  möglich  ist;  es  muss  daher  Fn^n-^-x  identisch  verschwinden,  somit  sein: 

Haben  also  P(^)  =  0  und  Q(^)  =  0  x  Fundamentalintegrale  gemeinsam,  80 
finden  nothwendig  die  letzteren  Gleichungen  statt.  Soll  die  Anzahl  der 
gemeinsamen  Integrale  x  nicht  übersteigen,  so  muss  ausserdem  die  Beding- 
ung S)ii-.ic,o=fO  erfallt  sein.     Denn  es  ist 

l^n-x  =  5)n-,,oJ^*^  +  S)«-«.ij^<«-»+...  +  ©»-«,«y 


mehrere  partikul.  Integrale  gemeinsam  haben.   Von  Dr.  E.  Grünfeld.     213 

ein  homogener  linearer  Differentialausdruck  **•*  Ordnung,  welcher  fttr  die  x 
den  Gleichungen  />(y)  =  0  und  Q{y)=sO  gemeinsamen  Integrale  verschwin- 
det, wozu  nothwendig  SDn-.x,oH=0}  und  <3ef  andererseits  auch  nicht  iden- 
tisch verschwinden  kann,  da  alsdann  den  Gleichungen  P{y)=sO  und  j?(y)==0, 
der  Voraussetzung  entgegen,  mehr  als  x  Integrale  gemeinsam  sein  könnten. 
Die  aufgestellten  Bedingungen  sind  also  nothwendig.  Dieselben  sind 
aber  auch  hinreichend.     Bestehen  nämlich  die  Gleichungen 

6)  SD«_»+,,o  =  0,    SD„_«+,,i=0,    ...,    SD„.«+,.«_,=0, 
so  folgt,  dass 

der  Ausdruck  Qn^M'\.i  P(jf)  verschwindet  für  die  m  Fundamentalintegralo 
von  /^(y)s=0,  für  ebendieselben  muss  daher  auch  Pn^k-+\Q(y)  =  0  sein; 
weil  aber  der  Ausdruck  Pn~M-{-\(ff)i  der  von  der  Ordnung  »i  — x  ist,  für 
nicht  mehr  als  m  —  K  linear  unabhängige  Functionen  g  verschwinden  kann, 
so  müssen  die  übrigen  x  Integrale  der  Gleichung  Q(y)==0  angehören. 
Finden  demnach  die  Gleichungen  6)  statt,  so  haben  P(f/)  =  0  und  Q{i/)  =  0 
wenigstens  x  Integrale  gemeinsam.  Ist  nebstdem  die  Bedingung  erfüllt, 
dass  S)n-»,o  von  Null  verschieden,  so  folgt,  dass  die  Gleichung 

von  der  x*«^  Ordnung  ist  und  dass  somit  wegen 

den  Gleichungen  P(f/)  =  0  und  Q{y)  =  0  x  und  nicht  mehr  als  x  Funda- 
mentalintegrale gemeinsam  sein  können. 
Aus  dem  Obigen  folgt  noch: 

II.  „Diejenige  homogene  lineare  Differentialgleichung,  welche  die  den 
beiden  Differentialgleichungen  P(p)s=0  und  Q{y)  =  0  gemeinsamen 
Lösungen  zulässt,  ist 

5D«-«,oy*^  +  S)n-«,iy«-*>  +  ...  +  S)n-«,ny  =  0.« 

Der  Satz  I  kann  durch  den  folgenden  ersetzt  werden: 
III.  „Die  nothwendigen  und  hinreichenden  Bedingungen,  dass  die  beiden 
Differentialgleichungen  P(y)  =  0  und  Q{y)  =  0  x  und  nur  x  linear 
unabhängige  Integrale  gemeinsam  haben,  sind 

7)  a5„,o  =  0,    SD„-i,o  =  0,    ...,    SD„-»+i,o  =  0 
und 

Beweis. 

Nimmt  man  x  =  1  an ,  so  ist  der  Satz  III  von  I  nicht  verschieden, 
da  alsdann  die  Bedingungen  7)  mit  denen  in  6)  zusammenfallen  und  die 
Bedingung  S)«..«,  0=1^0  fUr  jedes  in  Betracht  kommende  x  in  beiden  Sätzen 
enthalten  ist. 

Der  Satz  III  gilt  also  fttr  x  =  1. 


214         üeb.  d.  Bedlngimgenj  unter  denen  zwei  lin.  homog.  Differentialgl. 

Angenommen,  derselbe  wäre  für  den  Fall  yon  x  gemeinsamen  Integra- 
len erwiesen ,  so  ist  zu  zeigen ,  dass  er  auch  noch  für  k  + 1  Geltung  besitzt. 

Unter  der  gemachten  Voraussetzung  ist  klar,  dass  die  nothwendigen 
Bedingungen  für  das  Vorhandensein  von  wenigstens  x  + 1  gemeinsamen  In- 
tegralen ausgedrückt  werden  durch  die  Gleichungen 

S)„,o  =  0,     SD„-i,o  =  0,    ...,     ©»-«+1.0  =  0 
und 

a)„-K.o=o. 

Dieselben  sind  aber  auch  hinreichend;  denn  es  kann  einerseits  die  Anzahl 
der  gemeinsamen  Integrale  nicht  unter  x  herabgehen,  andererseits  ist 

8)  Fn^n=^Pn^nQ  +  Qn-nP 

und  der  Ausdruck 

wegen.  J)n-x,o  =0  von  niederer  als  der  %^^  Ordnung;  der  zweite  Theil 
der  Gleichung  8)  verschwindet  für  die  der  Annahme  nach  vorhandenen  x 
gemeinsamen  Integrale  von  P{y)s=iQ  und  Q(^)=sO,  daher  auch  der  erste 
Theil.  Dieser  ist  jedoch,  wie  eben  bemerkt,  von  niederer  als  der  x**° 
Ordnung,  muss  also  identisch  verschwinden,  woraus  folgt: 

S)«-x,0=0,      S)„-ir,l=0,      ...,      SD„-K,x  =  0 

und  somit  diejenigen  Bedingungen  erfüllt  sind,  welche  der  Satz  I  ftir  das 
Vorhandensein  von  Wenigstens  x  +  1  gemeinsamen  Integralen  als  nothwen- 
dig  und  hinreichend  vorschreibt. 

Hiernach  haben  P{y)  =  0  und  C(y)  =  0  wenigstens  x  +  1  Integrale 
gemeinsam;  damit  sie  nicht  noch  eines  mehr  haben,  muss  gleichfalls  nach 
Satz  I 

®«-ir-l,0+0 

sem. 

Gilt  demnach  der  Satz  III  fdr  den  Fall  von  x  gemeinsamen  Integralen, 
so  gilt  er  auch  noch  für  x  +  1  derselben.  Nun  gilt  er  für  x  =  l,  daher 
auch  für  x  =  2,  und  allgemein. 

Was  das  Bildungsgesetz  der  im  Satze  III  auftretenden  Determinanten 
betrifft,  so  ist  Folgendes  zu  bemerken: 

Die  Determinante  5)p,o,  deren  Verschwinden  anzeigt,  dass  den  Gleich- 
ungen /^(y)  =  0  und  Q{y)^0  überhaupt  gemeinsame  Integrale  zukommen, 
ist  mit  der  Determinante  d  des  Gleichungssystems  2)  identisch.  Die  Deter- 
minante Sn— 1,0  geht  aus  ^n,o  hervor,  indem  man  in  jeder  der  beiden 
Gruppen,  aus  denen  das  System  2)  besteht,  die  erste  Gleichung  unter- 
drückt —  wodurch  die  erste  Colonne  von  J)„,o  ausfiült  — ,  und  hierauf 
noch  die  letzte  Colonne  in  SDfi,o  weglässt.  Verfährt  man  hinsichtlich  S)fi.i,o 
in  ähnlicher  Weise,  wie  zuerst  hinsichtlich  Sn,o,  so  wird  die  Determinante 
S)n-2.o  gebildet,  u.  s.  f. 

Es  ist  demnach  jede  dieser  Determinanten  von  einer  um  zwei  Einheiten 
niedrigeren  Ordnung  als  die  unmittelbar  vorhergehende. 


mehrere  partikul.  Integrale  gemeinsam  haben.    Von  Dr.  E.  Grünfeld.    215 


Ist  z.  B.  m  =  3  und  n  =  2,  demnach : 


9) 


80  ist 


und 


SD: 


J.O« 


und 


1 
0 

2i 

1 

0 

0 

1 

0 

1 

«1         i\  +  ft     i^ 
1    ffi    ff'i  +  g« 

2)i.o=  0     1  ffi 

1    Pi         A 

Im  Falle,  dass  die  obigen  zwei  Differentialgleichungen  zwei  linear  un- 
abhängige partikuläre  Integrale  gemeinsam  haben,  muss 

10)  ©2,0  =  0 

und 

11)  ©1,0  =  0 
sein.     Aus  der  Oleichung  11)  ergiebt  sich 

12)  A=A^i  -  ^1  +  ff'i  +  3«' 

und  wenn  für  p,  dieser  Werth  in  die  Oleichung  10),  nachdem  zuvor  noch 
die  im  ersten  Theile  derselben  stehende  Determinante  ©2,0  ausgerechnet 
worden,  substituirt  wird,  so  erhält  man  nach  gehöriger  Beduction  die 
Gleichung 

13)  5)2,o  =  (i?s-A&  +  ffift-ö:'8)*  =  0. 

Es  drücken  daher  die  Oleichungen  12)  und  13),  für  welche  auch  die  zwei 
folgenden: 

14)  A-Aö:i  +  5i'-ff'i-ft  =  0,    A-A^«  +  gig8-2'8  =  0 
geschrieben  werden  können,  die  noth wendigen  und  hinreichenden  Beding- 
ungen aus,  damit  sämmtliche  Integrale  der  Differentialgleichung 


auch  der  Differentialgleichung 


a^+'^>di+«»^' 


=0 


angehören.     Sind  die  Bedingungen  14)  erfüllt,  so  ergiebt  sich  in  der  That 
aus  denselben  die  Beziehung 


XI. 
Die  Ebene  als  bewegtes  Element. 

Von 

D.  Ing.  f.  Wittenbaubb, 

Docent  an  der  k.  k.  teohn.  HoohMhnl«  in  Gna. 


Hierzu  Taf.  VI  Fig.  1-6. 


Die  Lebre  der  Bewegung  pflegt  den  Punkt  als  bewegtes  Element  vor- 
auszusetzen, selbst  dann,  wenn  es  sich  um  rein  geometrische  Eigenschaften 
derselben  handelt. 

Ebenso  wie  der  Punkt,  kann  jedoch  auch  die  Ebene  als  bewegtes  geo* 
metrisches  Element  betrachtet  und  auf  ihre  Bewegung  im  Baume  hin  unter- 
sucht werden.  Insbesondere  lassen  sich  die  Begriffe  der  Geschwindigkeit 
und  Beschleunigung,  sowie  die  aus  ihnen  folgenden  Beziehungen  in  beiden 
Fällen  vollkommen  klar  zur  Anschauung  bringen.  Da  Punkt  und  Ebene 
die  einander  entsprechenden  Elemente  des  Baumes  sind,  so  steht  zu  erwar- 
ten ,  dass  auch  die  mechanischen  Folgerungen  einander  dual  gegenüberstehen. 

Obwohl  sich  diese  Vermuthung  thats&chlich  bewahrheitet,  so  erfordert 
die  Ebene  dennoch  eine  ihr  eigenthümlicbe  analytische  Behandlung,  welche 
in  ihren  hauptsächlichen  Grundzügen  im  Folgenden  gegeben  werden  soll. 

Etwas  Aehnliches  gilt  für  die  Bewegung  eines  Strahles  in  der  Ebene 
und  jene  des  Strahlensjstems ,  bezüglich  welcher  Untersuchung  auf  einen 
bereits  gemachten  Versuch  hingewiesen  werden  möge.* 

1.  Die  elementare  Ortsveränderung  einer  Ebene  im  Baume  kann  nur  in 
einer  Drehung  um  eine  in  ihr  liegende  Gerade,  die  Drehaxe,  bestehen.  Bei 
Voraussetzung  einer  allgemeinen  Bewegung  wird  in  jedem  Zeitelemente  eine 
andere  Gerade  der  Ebene  als  Axe  auftreten;  alle  diese  Axen  bilden  in  ihrer 
Aufeinanderfolge  eine  abwickelbare  Fläche,  da  jede  Lage  der  Axe  die  beiden 
unmittelbar  benachbarten  Lagen  schneiden  muss.  Durch  die  Bewegung  der 
Ebene  wird  also  eine  Curve  erzeugt,  die  Wendecurve  jener  Fläche;  die  auf- 
einanderfolgenden Lagen  der  bewegten  Ebene  werden  zu  Schmiegungsebenen 
der  erzeugten  Curve.  Das  Resultat  dieser  Bewegung  ist  somit  dasselbe, 
wie  bei  der  Bewegung  des  Punktes;  wir  wollen  deshalb  übereinstimmend 
jene  Curve  die  Bahn  der  Ebene  nennen. 


*  Kinematik  des  Strahles.    Graz  1883. 


Die  Ebene  als  bewegtes  Element.    Von  D.  I.  F.  Wittenbauer.      217 

Bezieben  wir  nun  sofort  den  elementaren  Drehungswinkel  da  der  Ebene 
um  eine  in  ihr  liegende  Gerade  auf  die  während  der  Drehung  verflossene 
Zeit  dt,  80  entsteht  nach  Analogie  mit  geläufigen  Begriffen  jener  der  Dreh- 
geschttnndigkeU  der  Ebene: 

2.  Im  Allgemeinen  wird  während  der  Bewegung  der  Ebene  die  Dreh- 
geschwindigkeit jederzeit  eine  andere  sein  und  zwar  wird  sich  sowohl  die 
Grösse  als  auch  die  Drehaxe  derselben  stetig  ändern.  Diese  zweifache  Aen- 
derung  wird  hervorgerufen  werden  durch  das  Auftreten  einer  elementaren 
Drehgeschwindigkeit  Fdt  um  eine  ebenfalls  in  der  Ebene  gelegene  Axe, 
welche  mit  jener  der  Drehgeschwindigkeit  einen  Winkel  or  einschliessen 
möge.  Denn  nach  dem  bekannten  Princip  der  Zusammensetzung  von  Dreh- 
geschwindigkeiten um  sich  schneidende  Axen  werden'  jene  V  und  Fdt  sich 
zu  einer  Resultirenden  F'  (Fig.  1)  vereinen,  deren  Grösse  und  Axe  durch 
die  Diagonale  eines  Parallelogramms  Ompn  über  jenen  beiden  als  Seiten 
dargestellt  werden. 

Wir  nennen  F  die  Brehbeschleunigung  der  Ebene.  Der  Effect,  den  sie 
hervorruft,  ist  die  Verrückung  der  Drehaxe  der  Ebene  und  die  Veränderung 
der  Grösse  der  Drehung.  Es  bleibt  noch  zu  beleuchten,  welcher  Theil  der 
Drehbeschleunigung  den  einen  Einflass  und  welcher  den  andern  hervorbringt. 
Dies  sind  offenbar  die  Componenten  von  Fdt,  senkrecht  und  parallel  zur 
ursprünglichen  Drehgeschwindigkeit,  also  pq  und  mq\  wir  schreiben  hierfür 

Die  erstere  dieser  Componenten  verändert  nur  die  Grösse  der  Drehgeschwin- 
digkeit, es  ist  also 

Die  zweite  verrückt  die  Drehaxe  um  den  Winkel  dx\  nach  dem  Princip  der 
Zusammensetzung  von  Drehgeschwindigkeiten  gilt  nun  die  Belation 

y\Fdt=^sin{€t^d%):dx 

oder  mit  entsprechender  Vernachlässigung  von  Grössen  niederer  Ordnung 

at 
Constmirt  man  nun  den  Ereiskegel,  dessen  Spitze  in  0  liegt  und  der  drei 
unmittelbar  aufeinanderfolgende  Lagen  der  bewegten  Ebene  berührt,  nennt 
man  femer  2q  den  Winkel  seiner  Oeffhung,  so  gilt 

dx=^tangQ,dc^ 
somit  mit  Hinweis  auf  Gleichung  1) 
3)  F^^YUangQ. 


218  Die  Ebene  aU  bewegtes  Element. 

Durch  Angabe  der  Beschleunigung  F  nnd  eines  bestimmten  an&nglichen 
Bewegungszustandes  ist  die  Bewegung  der  Ebene  jederzeit  vollkommen 
bestimmt.  Die  Lösung  des  allgemeinen  Bewegungsproblems  erfordert  aber 
auch  hier  die  analytische  Beziehung  der  Drehgeschwindigkeit,  sowie  der 
Drehbeschleunigung  der  Ebene  auf  ein  als  ruhend  gedachtes  Coordinaten- 
system. 

Wie  dies  zu  geschehen  hat,  zeigt  nachfolgende  Untersuchung.  Der 
bessern  üebersicht  halber  soll  die  Bewegung  der  Ebene  im  Ebenenbündel 
(entsprechend  der  ebenen  Bewegung  des  Punktes)  vorausgeschickt  werden. 

Bewegung  der  Ebene  im  EbenenbIbLdeL 

3.  Die  bewegte  Ebene  wird  stets  durch  den  Mittelpunkt  0  des  Bündels 
gehen;  wir  wählen  denselben  als  Schnittpunkt  dreier  aufeinander  senkrech- 
ten Coordinatenaxen  |,  17,  (;,  bezeichnen  die  Winkel  der  Ebene  mit  den- 
selben durch  A,  fi,  V  und  verstehen  unter  den  Coordinaten  der  Ebene  die 
drei  Grössen 

4)  l^sinXy     ij==sfnfA,     {;  =  sinv. 

Sie  sind  nicht  unabhängig  von  einander,  sondern  genügen  jederzeit  der  Be- 
dingung 

5)  l«+ij»+{;»=i. 

Wir  geben  femer  diesen  Coordinaten  das  gleiche  oder  entgegengesetzte  Vor- 
zeichen, je  nachdem  sich  die  Coordinatenaxen  auf  derselben  oder  auf  ver- 
schiedenen Seiten  der  Ebene  befinden. 

Es  sei  nun  00  (Fig.  2)  eine  in  der  Ebene  liegende  Gerade,  um  welche 

d<s 
die  Drehgeschwindigkeit  7=  37  herrschen  möge.     Ihre  Componenten  nach 

dt 

den  drei  Axen  seien 

7f  =  Vcosa,     V,j  =  Vcosß ,     V^  =  Vcosy, 
worin  a,  ß^  y  die  Winkel  der  Drehaxe  OG  mit  den  Coordinatenaxen  be- 
zeichnen. 

Projicirt  man  die  Coordinatenaxen  senkrecht  auf  die  Ebene  nach  0^, 
Of(y  Of  und  bezeichnet  die  Winkel 

ÖOr^a,    O0fi=h,    G0l;'==c,    ' 
vorausgesetzt,  dass  dieselben  in  gleicher  Richtung  gezählt  werden;  bedenkt 
femer,  dass  die  Winkel 

^or=A,    vOn=l^,    SOJ'-v 
sind,  so  folgt  zunächst  aus  dem  bei  V  rechtwinkligen  sphärischen  Dreiecke 
GlV 

6)   cosas=cosk»€Osa  und  ebenso  cosßsscosfi.cosb,    cosy^^cosv.cosc. 
Betrachtet  man  femer  die  Ebene  nach  einer  unendlich  kleinen  Verdrehung 
d0  um  OG,  bezeichnet  mit  0|'j  die  neue  Projection  der  ö|  auf  die  Ebene 


Von  Dr.  I.  F.  Wittenbauer.  219 

und  beachtet,  dass  l\r^^dX  gesetzt  werden  darf,  so  folgt  aus  dem  recht- 
winkligen sphärischen  Dreiecke  Qrl\ 

dö.sina^dX  und  ebenso    da,smh=^dii^    da.8inc:==dv. 
Werden  diese  Gleichungen  quadrirt,  der  Beihe  nach  mit  cos^k^  cos^^i^  cos^v 
multiplicirt  und  addirt,  so  ergeben  sie 

da^  [sifiPa  cos^k  +  sin^h  co^ii  +  sin^c  cos^v]  =  d  s^mk^  +  dsini^  +  dlfwi?; 
der  in  der  Klammer  stehende  Ausdruck  ergiebt  sich  nach  Gleichung  6)  der 
Einheit  gleich  und  es  ist  somit  mit  Hinweis  auf  die  Gleichung  4) 

da^^di*  +  dfi*  +  dt^ 
oder  die  Drehgeschwindigkeit  der  Bewegung 

Um  Ausdrücke  fttr  die  Componenten  V^,  F,,,  V^  der  Drehgeschwindig- 
keit  nach  den  Coordinatenaxen  zu  erhalten,  beachten  wir  die  drei  Gleich- 

uniren  «        ^  h 

cosa.cosa  +  cosß.cosß  +  cosy,cosy  =  1, 

S    .COSCC+    fi    .cosß+    i    .cosy  =  Oy 

dfi  ,C08a+  dti  ,co8ß+  df  .cofy  =  0, 

von  denen  die  erste  eine  bekannte  Beziehung  ausspricht,  während  die  zweite 
und  dritte  aus  dem  Grunde  gilt,  weil  die  Drehaze  sowohl  vor  als  nach  der 
Drehung  da  der  Ebene  angehört,  also  zu  deren  Perpendikel  senkrecht  bleibt. 
Bezeichnet  R  die  Determinante  der  Coefficienten  von  cosa,  cosß,  cosy  in 
obigen  drei  Gleichungen,  so  folgt  durch  Auflösung 

8)    Rco$a=:^fidt  —  tdfi,    Bcosß^id^  —  ^dt,    Rco8y  =  idri  —  fi  d^. 

Diese  Gleichungen,  quadrirt  und  addirt,  ergeben  mit  Benutzung  der  Rela- 
tion 5)  

und,  da  der  Ausdruck  in  den  Klammem  verschwindet, 

IP^dis\ 
Wir  wählen  B  =  — da,  wodurch  die  Gleichungen  8)  in  folgende  über- 
gehen : 

9)    n  =  'vji+iäi'    ^'^-^Tt  +  ^di'   ^^  =  "^d7+^dJ- 

Die  Vorzeichen  dieser  Ausdrücke  sind  richtig  unter  der  Voraussetzung,  dass 
die  Drehungsrichtung  entgegen  der  ührzeigerbewegung  als  die  positive  be- 
zeichnet wird. 

4.  Da  sich  die  Drehgeschwindigkeit  und  Drehbeschleunigung  einer 
Ebene  in  gleicher  Weise  combiniren,  wie  die  Geschwindigkeit  und  Beschleu- 
nigung eines  Punktes,  so  werden  auch  für  die  Componenten  der  Beschleu- 
nigung r  nach  den  drei  Azen  analoge  Resultate  gelten  wie  dort ,  nämlich ; 


220  Die  Ebene  als  bewegtes  Element. 

oder  mit  EinfQlirang  der  Gleichungen  9) 

10)    !>=_, _,  +  {:— ,    r,  —  f^  +  i^'    A=-l^+'?^,- 

5.  Es  soll  noch  anf  die  eigentliche  Bedeutung  der  Componenten  der 
Drehgeschwindigkeit  und  Drehbeschleunigung  hingewiesen  werden.  Projicirt 
man  die  drei  Componenten  F^,  F,,  F^  auf  die  bewegte  Ebene,  so  erhält 
man  drei  neue  Drehgeschwindigkeiten  V^cosl,  Fj^cosft,  V^cosv  um  die 
Axen  0|',  Otf,  Of,  welche  in  der  Ebene  liegen.  Projicirt  man  hingegen 
F^,  F,j,  Ff  auf  eine  Gerade  senkrecht  zur  bewegten  Ebene,  so  ist  die 
Summe  dieser  Projectionen 

11)  SF|  +  t,F,  +  J:Ft  =  0, 
wie  sich  aus  9)  unmittelbar  ergiebt. 

Die  Drehung  der  Ebene  um  OQ-  wird  also  eigentlich  durch  drei  andere 
Drehungen  ersetzt,  welche  um  die  Projectionen  der  Goordinatenaxen  aaf 
die  Ebene  stattfinden. 

Gleiches  gilt  von  der  Drehbeschleunigung  der  Ebene.  Auch  diese  kann 
jederzeit  ersetzt  werden  durch  drei  andere  Drehbeschleunigungen,  die  man 
der  Grösse  und  Axe  nach  erhält,  wenn  man  die  Componenten  7|,  T^,  F^ 
auf  die  Ebene  projicirt. 

Die  Projectionen  dieser  Componenten  senkrecht  zur  Ebene  ergeben  als 
Summe 

12)  irf+i?r,  +  {:rc  =  o, 

wie  aus  den  Gleichungen  10)  zu  entnehmen  ist. 

6.  Multiplicirt  man  von  den  letztgenannten  Gleichungen  die  erste  mit 
Tj,  die  zweite  mit  |  und  subtrahirt  dieselben,  so  folgt 


und  da 
so  ist  auch 

und  analog 


Multiplicirt  man   diese  Gleichungen   der  Eeihe   nach  mit  cZJ,  (f|,  dri  und 
addirt  sie,  so  erhält  man  mit  Beillcksichtigung  der  Relation 

^dl  +  Tldri  +  idi^O 
die  Gleichung 


Von   D.  I.  F.  WlTTBNBAUER.  221 

Nun  ist  nach  Gleichang  7) 
es  folgt  somit 

13)    idv^  =  {vn-tr^)d^  +  ar^'-^n)dri  +  {^r^-ri^)dt. 

eine  Beziehung,  welche  für  Bewegungsproblerae  der  Ebene  von  ähnlichem 
Nutzen  ist,  wie  das  Princip  der  lebendigen  Kraft  für  die  Bewegung  des 
Punktes. 

Die  bis  hierher  abgeleiteten  Relationen  sollen  zunächst  in  einigen  speciel- 
len  Fällen  Anwendung  finden. 

7.  Die  Beschleunigung  der  Ebene  bleibe  constant  der  Grösse  und  Aze 
nach;  es  seien  also 

Die  Gleichung  12)  liefert  dann 

d.  i.  die  Gleichung  einer  Geraden.  Die  Ebene  beschreibt  somit  bei  ihrer 
Bewegung  einen  Ebenenbüschel,  und  zwar  gleichförmig  beschleunigt. 

8.  Die  bewegte  Ebene  werde  in  jedem  Augenblicke  um  zwei  Axen 
gleichzeitig  beschleunigt  und  zwar  um  ihre  Schnittlinien  OB  und  OC  mit 
den  beiden  Coordinatenebenen  ^Oi]  und  §0^.  Die  Grösse  jeder  der  Be- 
schleunigungen sei  proportional  dem  Sinus  des  Neigungswinkels  der  beweg- 
ten mit  der  betreffenden  Coordinatenebene.  Man  untersuche  die  Bewegung 
der  Ebene. 

Bezeichnen  wir  mit  q>  und  ^   (Fig.  3)   die  letzterwähnten  Neigungs- 
winkel,   im   Sinne  der  Drehbeschleunigung  gezählt,  so  sind  zunächst  die 
gegebenen  Beschleunigungen  um  die  Axen  OB,  OG 
rB  =  bsin<py     rc=^csinilf 
und  sonach  die  Componenten  der  gesammten  Beschleunigung 

r^=^rBco8ß  +  rocosYj   r^^rBsmß,    r^^^rcsiny, 

wenn  man  die  Winkel 

bezeichnet.  Beschreibt  man  nun  aus  0  eine  Kugel,  welche  das  sphärische 
Dreieck  ABO  ausschneidet,  und  fällt  aus  A  das  Bogenperpendikel  AA'  auf 
die  Basis  B  0,  so  folgt  aus  dem  rechtwinkligen  sphärischen  Dreiecke  ABA' 

sinß.sm(p  =  sink=:^ 
und  ebenso  aus  ACA 

siny.smflf'=sink  =  ^. 

Analog  wird  man  erhalten,  wenn  man  statt  0£  die  Axen  Ori  und  0£  auf 
die  Ebene  projicirt  und  die  durch  sphärischen  Schnitt  entstehenden  Dreiecke 
untersucht , 


222  Die  Ebene  als  bewegtes  Element. 


co$ß.sinq>^'—8iniA-=  —  fi,    cosy.sin^  &  — ^v  =  —  f, 
daher  wird  nach  Substitution 

14)  r|  =  -(6i^  +  ct),    A  =  &|,    rc  =  cS, 

welche  Ausdrücke  wieder  der  Bedingung  12) 

^n+v^v  +  tn^o 

genügen  müssen. 

Um  die  Geschwindigkeit  der  Drehbewegung  zu  ermitteln ,  benutzen  wir 
Gleichung  13);  dieselbe  nimmt  nach  Substitution  obiger  Ausdrücke  für  die 
Componenten  die  Form  an 

^dV^^icfi'-hmd^  +  Väv  +  idSi^cdri  +  hdi 
oder,  da  der  zweite  Klammerausdruck  verschwindet, 

^dV^^^cdfi  +  hdi, 
woraus  nach  Integration 

F«  =  2(&S-ci?)  +  Ä. 

Um  die  Gleichung  der  Bahn  zu  finden,  bemerken  wir,  dass 

crtir=hr^  oder  c.(27,=  6.(17^, 
woraus 

Die  Integrationsconstante  verschwindet,  wenn  wir  annehmen,  dass  die 
anfängliche  Geschwindigkeit  der  Ebene  null  ist.  Mit  Benützung  der  Gleich- 
ungen 9)  wird  somit 

oder 

di      hdfj  +  cdj 

«  ""     hv  +  ci    ' 
woraus  durch  Integration 

a^  +  hfi  +  ct^O, 

d.  i.  die  Gleichung  einer  Geraden,  folgt.    Die  Ebene  bewegt  sich  also  wieder 

in  einem  Ebenenbüschel;  die  Aze  desselben  besitzt  die  Bichtungscosinusse 

a  h  c 


j/ÖM-^^+c*       j/oM-fe^+c*       yc^+¥+? 
Mit  Benutzung  obiger  Gleichung  des  Ebenenbüschels  gehen  die  Gleichungen 
14)  jetzt  über  in 

n  =  a|,     rc  =  6S,     r,  =  ci 

und  es  ist  somit  die  Drehbeschleunigung  der  Ebene 

Sie  verschwindet,   wenn  die  Ebene  bei  ihrer  Drehung  die  0|-Axe  passirt. 

9.  Die  Bewegung  einer  Ebene  entstehe  dadurch,  dass  sich  eine  um  die 
OJ-Axe  wirkende  Drehgeschwindigkeit  von  constanter  Grösse  a  in  jedem 
Moment  auf  die  Ebene  projicirt;  die  Grösse  und  Richtung  dieser  Projeetion 
werde  zur  Drehgeschwindigkeit  der  Ebene.  Man  untersuche  den  Beschlea- 
nigungsznstand  und  die  Bahn  dieser  Ebene. 


Von  D.  I.  F.  WiTTENBAUEB.  223 

ZonSchst  ist 

V=acosl 

und 

15)  F$=  VcosX=:aco8^X  =  a{l-k*). 

Benützt  man  nun  die  bekannten  Beziehungen 

F^+V+7c«=7^     £F5  +  i?7,  +  J7c==0, 
so  findet  sich 

Es  folgt  also 

und  nach  Einführung  der  Werthe  aus  9) 

Es  ergiebt  sich  hieraus 

d^  =  U^d^  +  ridri  +  tdi)^0  und  |  =  c  =  a>n.sl 

Die  Ebene  bewegt  sich  somit  längs  einer  Ereiskegelfläche  um  die  0$  als  Axe, 
Schreibt  man  Gleichung  15)  in  der  Form 

und  bemerkt,  dass 

l»  +  ^8  +  t«=l,    ^d^  +  ridfi  +  !;dj;c=.o 

oder  im  gegenwärtigen  Falle 
ist,  so  folgt 

woraus  nach  Integration  folgt 

fl^j/T^sin{at  +  k),     i  =  yi-  c^  cos{at  +  Jc). 
Hierin  bezeichnet  Je  eine  Constante. 

Die  Componenten  der  Beschleunigung  ergeben  sich  jetzt  folgendermassen : 

woraus  die  Drehbeschleunigung  selbst 

r=a«c/l-c«=  V^tangk. 
Sie  bleibt  also  der  Grösse  nach  constant;  ihre  Aze  liegt  stets  in  der  Co- 
ordinatenebene  ijO^,   sie  ist  der  Schnitt   der  letzteren  mit  der  bewegten 
Ebene  und  dreht  sich  während  der  Bewegung  der  Ebene  mit  constanter 
Winkelgeschwindigkeit  um  den  Punkt  0. 

10.  Für  gewisse  Bewegungen  der  Ebene  erscheint  es  vortheilhafi;,  der 
analytischen  Untersuchung  eine  Art  Polarcoordinatensystem  zu  Grunde  zu 
legen.  Wir  nehmen  zu  diesem  Zwecke  eine  fixe  Ebene,  die  Orundebene, 
an  und  in  dieser  eine  Axe  OÄ  mit  dem  Pole  0,  welch'  letzterer  zugleich 
der  Scheitel  des  Ebenenbündels  ist,  in  welchem  sich  die  Ebene  bewegt.  Es 
bezeichne  08  den  Schnitt  der  letztem  mit  der  Grundebene,  if^  den  Winkel 
ÄOSj  von  OA  aus  entgegen  dem  Uhrzeiger  gezählt,  q>  den  Neigungswinkel 
der  beiden  Ebenen,  von  der  Gbrundebene  aus  gemessen,  und  zwar  positiv 


224  Die  Ebene  als  bewegtes  Element. 

oder  negativ,  je  nachdem  die  Drehung  der  Grundebene  in  die  bewegte 
Ebene  um  OS^  von  8  aus  gesehen,  entgegen  oder  mit  dem  Uhrzeiger  ge- 
schehen müsste.  Wir  nennen  die  Winkel  q>  und  tf;  die  Coordinaten  der 
Ebene  im  Ebenenbündel. 

Beschreibt  nun  die  Ebene  im  Baume  eine  unendlich  kleine  Drehung  de 
um  eine  in  ihr  liegende  Axe  OG  (Fig.  4),  so  lässt  sich  dieselbe  nach  dem 
bekannten  Princip  ersetzen  durch  zwei  andere  unendlich  kleine  Drehungen 
d(p  und  d(a  um  die  Axen  08  und  OB^  welche  ebenfalls  in  der  Ebene  liegen 
und  aufeinander  senkrecht  stehen  sollen,  so- zwar,  dass  die  Belation  gilt 

Diese  beiden  Drehungen  werden  die  Coordinaten  der  Ebene  verändern,  und 
zwar  die  Drehung  d(p  die  Coordinate  gp,  da  die  Coordinate  t/;;  bezüglich 
letzterer  ist  leicht  ersichtlich,  dass 

16)  dG)  =  sinq>.dilß, 

sobald  man  untersucht,  welcher  Veränderung  if^  unterliegt,  wenn  die  Ebene 

nm  OB  gedreht  wird.     Man  hat  also 

da*  =  dq>*  +  sin^g>  dtlf* 
und  wenn  man  durch 

17)  7-~,      7-^,      V  -  — 
^'^  ^"dt'      ^"^-^  dt'      ^"""dt 

die  Drehgeschwindigkeit  und  ihre  Componenten  nach  08  und  OB  bezeichnet: 

Bei  fortgesetzter  Drehung  der  Ebene  um  OG  werden  V^  und  7«  gewisse 
Aenderungen  erleiden,  selbst  wenn  go  constant  bleibt;  dies  rührt  von  der 
Veränderung  des  Winkels  «,  welchen  die  Axe  der  Drehgeschwindigkeit  OG 
mit  OB  einschliesst,  her.     Es  ist  nämlich 

Vq,=iV,sina,     Va=V.cosa, 
somit 

dV^^Vc08a.da:=^Vo,.da,     ^7»  =  -  Vsina.da  = —  V^.da, 

Nun  lehrt  eine  einfache  Betrachtung,  dass 

es  ergiebt  sich  also  mit  Hinweis  auf  die  Gleichungen  18) 

dq>  dl/; 
Itlt' 
vorausgesetzt,  dass  sich  die  Drehgeschwindigkeit  7  nicht  ändert. 

Tritt  nun  noch  eine  Drehbeschleunigung  F  um  eine  Axe  OB  hinza, 
welche  mit  OB  einen  Winkel  ß  einschliessen  möge ,  so  werden  die  Oeschwin- 
digkeiiscomponenten  7^  und  Vo,  neuerdings  verändert  und  zwar  am  die 

Beträge  rsinßdt=:  F^.dt,     Fcosßdt^  r„,dt, 

so  zwar,  dass  die  Gesammtveränderungen  jetzt  betragen  werden 


dV^=^sinq>cosq>l  —  j  df^      dVfo^  —  coS(p 


Von   D.  I.  F.  WiTTENBAUBR.  225 

dr^^^r^dt  +  Hnfpmfpi-^J  dt,     dV^^  r^dt''Cosg>^  ^ef^ 

woraus  sich  mit  Beziehung  auf  die  Gleichungen  16)  und  17)  ergiebt 
_        d^tp         .  /dcnV       _        cPn         .  dtpdoo 

oder  nach  Einführung  des  Winkels  ^ 

_        (P^    .        ,  ^  dtp  d'tl} 

Man  dürfte  den  analogen  Bau  dieser  Formeln  mit  jenen  für  die  Beschleu- 
nignngscomponenten  eines  Punktes  in  Polarcoordinaten  sofort  erkennen. 

11.  Bildet  man  mit  Hilfe  obiger  Formeln  den  Ausdruck 
so  findet  man  hierftlr         '^^^"^  +  r^sintp.dn^, 

'^^9>  +  stn(pcos(py—J  d(p  +  8m^q>j^dil} 
and  dies  ist  identisch  mit  id7^  wenn  man  nach  18) 

-=(!-T)'+-v(sy 

berücksichtigt.     Es  ist  also  auch 

20)  7«  =  2 /(ry  dg>  +  ra,9ing> dtj;). 

12.  Die  soeben  abgeleiteten  Formeln  gestatten  eine  besonders  passende 
Anwendung  in  dem  Falle,  wenn  die  bewegte  Ebene  jederzeit  um  ihre  Schnitt- 
linie mit  einer  festen  Ebene  beschleunigt  wird,  d.  h.  wenn  sämmtliche  Be- 
schleunigungsaxen  in  einer  Ebene  liegen.  Wählt  man  diese  letztere  zur 
Grandebene  eines  Coordinatensjstems  von  eben  behandelter  Art,  so  Ibleibt 
während  der  Bewegung 

l     d  r .  ^    d^\      ^ 
"      sm<p  dt\  dt/ 

woraus  unmittelbar  folgt 

21)  sin^  (p -^  ==  c  =^  const. 
oder  mit  Beziehung  auf  Gleichung  18) 

d.  h.:  die  Projection  der  Drehgeschwindigkeit  T  auf  eine  Gerade  senkrecht 
zur  Grundebene  bleibt  während  der  Bewegung  constant.  Diese  Gattung  von 
Bewegungen  der  Ebene  bildet  eine  Analogie  zu  der  Centralbewegung  des 
Punktes. 

18.  Ein  specielles  Interesse  hat  in  der  erwähnten  Gruppe  von  Be- 
wegungen jene,   bei  welcher  die  Ebene  verkehrt  proportional  dem  Quadrat 

ZeitMhrift  C  Mathematik  a.  Fhyilk  XXX,  4.  15 


226  Die  Ebene  als  bewegtes  Element. 

des  Sinus  ihres  Neigungswinkels  mit  der  Grundebene  beschleunigt  wird. 
Hier  sei  also 

In  diesem  Falle  liefert  Gleichung  20)  unmittelbar  die  Drehgeschwindigkeit 
der  Ebene: 

22)  V*  =  b'-2acotg(p, 

worin  b  die  aus  dem  Anfangszustande  der  Bewegung  zu  bestimmende  Con- 
stante  .       ir«  •  o       ^ 

bezeichnet.     Beachtet  man  nun,  dass  nach  den  Gleichungen  18)  und  21) 


M^)'- 


sin*  (p 

so  ergiebt  sich  durch  Combination  mit  Gleichung  22) 
,^  8ing>,dq> 

yb  sin* (p  ^  2a  &ing>  costp  —  t^ 
Multiplicirt  man  diese  Differentialgleichung  mit  der  folgenden: 

d^         c 
dt      sin*g> 
so  erhält  man  in 

cdq) 


d^f^- 


8ing)yb  sin*  q)  —  2  a  sintp  cos  g>  —  c* 
die  Differentialgleichung  der  Bahn  der  Ebene,  welche  nach  Integration  die 
Form  annimmt: 

23)  const.  —  t^  =  arcsm  ^r^  • 

ya*+bfJi^(A 

Wir  wählen  nun  die  Anfangslage  der  Ebene  derart,  dass  dieselbe  mit 
der  Grundebene  den  kleinsten  Winkel  g>  =  q>Q  einschliesst,  und  verlegen 
sodann  in  ihre  Spur  auf  der  Grundebene  die  Axe  0Ä\  es  ist  sodann  der 
Anfangszustand  der  Ebene  gekennzeichnet  durch 

"="••  ♦=»■  ^=»'  '••-^.- 

Ferner  ist  jetzt 

und  somit 

a»  +  5c«  —  c*  --  (a  +  c*  cotgtpQ)^ 

unter  Berücksichtigung  dieser  Vereinfachungen  nimmt  die  Integrationscon- 

staute  in  23)  den  Werth  -^  an  und  wir  können  somit  der  Gleichung  der 

Bahn  der  Ebene  die  Form  geben: 

oR\  .        a  +  c^cotgq> 

a  +  crcotgq>Q 


Von   D.  I.  F.  WiTTBNBAUEB  227 

Diese  OleichuDg  gehört  einer  Eegelflfiche  zweiter  Classe  an,  welche  die 
Ebene  bei  ihrer  Bewegung  umhüllt.  Bemerkenswerth  ist  die  Lage  dieser 
Kegelfläche;  es  ist  nftmlich  eine  ihrer  Schaaren  von  Ereisschnittsebenen  zur 
Grundebene  parallel,  wie  eine  einfache  Untersuchung  lehrt. 

um  eine  Beziehung  zwischen  der  Bahn  der  Ebene  und  der  aufgewen- 
deten Zeit  zu  ermitteln,  schreiben  wir  Gleichung  25)  in  der  Form 

26)  Acosif—  a^c^catgq), 

worin  ,    «     ^ 

bezeichnet,  und  beachten,  dass 

dt  '^  sin^g> 
Es  wird  sich  dann  Gleichung  26)  durch  Elimination   von  <p  in  der  Form. 

schreiben  lassen:  <?d^ 

dt:~~ 


welche  mittels  der  Substitutionen 
27)  cosa^ j— »     cosß^ — 2^  —  » 

übergeführt  werden  kann  in  ^        ' 

^^^    c     i         l 1  1^ 

2Äi)cOSflf  +  C08a       C08Jp+C0Sß\ 

woraus  sich  durch  Integration  ergiebt 


COS— ^\         l^^—2 
^+« I         1      ^ 


2Ai   )\        T^+a  I  I        ^-ß\ 


2 

Hierbei  verschwindet  die  Integrationsconstante  unter  den  für  den  Anfangs- 
ZQstand  gemachten  Voraussetzungen  und  wurde  ferner 

m-i)=o 

gesetzt.     Die  Zeit  eines  vollen  Umlaufs  der  Ebene  an  der  Kegelfläche  ergiebt 
sich  hieraus  fdr  ilf  =  2n  mit 

oetzt  man  hienn 

*=-: h-r-ä    und    l[+l)  =  2ni, 

sma     Bmß 

d.  i.  den  nach  0  folgenden  Werth ,  so  wird 

A 
k  ist  eine  reelle  Constante,  man  findet  für  sie  mittels  der  Substitutionen  27) 

und  es  wird  demnach  die  ümlaafszeit 

16* 


228  Die  Ebene  als  bewegtes  Element. 


28)  T=./2^^52?^. 

Um  die  kleinste  Oeffhung  2(0  der  Eegelfläche  za  erhalten,  deren  Gleich- 
ung in  25)  gegeben  ist,   ermitteln  wir  aas  letzterer  jene  Werthe  9>  =  <Po 

dm 

und  (p  =  qpj,  für  welche  t//  =  0  und  tf;  =  7r,  oder  kürzer:  für  welche  -77=0 

dt 

ist;  es  wird  für  dieselben  die  Beziehung  gelten 

c'  cotg^<p  +  2a  cotgtp  —  5  +  c*  =  0 
oder  auch 

2a 

29)  cotgtpQ  +  cotgtp^  =  —  ~  , 

30)  cotgtpQ.cotgfp^^l — g- 


Es  ist  nun 

und  da  nach  29) 

sowie  nach  30) 


smq>Q,smfpy^ 


sm2  09  =  ^n  (gpo  +  <Pi) 
gtn(yo  +  y|)  _      2  a 


>/c*-(26c«-6«)mVo 
so  ergiebt  sich  mit  Benutzung  der  Relation  24) 

.  9  -2a 


und  daher 

Mit  Hilfe  dieser  Beziehung  nimmt  jetzt  Gleichung  28)  die  Form  an 


2 


y^-a 

Besitzt  die  Ebene  im  Beginn  ihrer  Bewegung  eine  andere  Neigung  % 
gegen  dieselbe  Grundebene,  so  wird  auch  die  Eegelfläche,  welche  jene  nm- 
hüUt,  und  die  Umlaufszeit  eine  andere  werden;  es  gilt  für  letztere 


2 


Tj  =    ]/sin  Wj .  cos^  m , 

und  es  besteht  für  die  beiden  Umlaufszeiten  das  Verhftltniss 

jP*        sinm.co^to 


Das  hier  behandelte  Beispiel,  eine  Analogie  zu  der  Centralbewegong 
des  Punktes  nach  dem  Anziehungsgesetze  /  =  3^ '  l^st  die  Dualitfit  der  Be- 
wegung des  Punktes  und  der  Ebene  sehr  deutlich  erkennen.* 


*  Vergl.:  Die  Linearbewegung  des  Strahles  a.  a.  0.  S.  53. 


Von    D.  I.  F.  WiTTENBAUBR.  229 


Bewegung  der  Ebene  im  Baume. 

14.  Die  allgemeine  Bewegung  einer  Ebene  im  Räume,  deren  Grund- 
züge in  der  Einleitung  bereits  gegeben  wurden,  kann  behufs  ihrer  analyti- 
schen Einkleidung  stets  auf  zwei  einfache  Bewegungen  zurückgeführt  wer- 
den, nämlich  auf: 

1.  die  Bewegung  der  Ebene  im  Ebenenbündel, 

2.  die  parallele  Verschiebung  oder  Translation  der  Ebene. 
Führt  man  durch  einen  beliebigen  Punkt  0  des  Raumes  eine  Parallele 

zu  der  bewegten  Ebene  und  ebenso  zu  der  in  letzterer  gelegenen  Oeschwin- 
digkeits-  resp.  Beschleunigungsaxe ,  und  überträgt  die  Grössen  der  Dreh- 
geschwindigkeit und  Drehbeschleunigung  jederzeit  ungeändert  auf  die  neue 
Ebene,  so  wird  sich  diese  hinsichtlich  ihrer  Richtung  genau  so  bewegen, 
wie  die  Ebene  im  Räume,  d.  h.  die  beiden  Ebenen  werden  während  ihrer 
Bewegung  stets  parallel  bleiben.  Wir  wollen  die  so  hervorgerufene  Be- 
wegung einer  Ebene  im  Ebenenbündel  die  nach  0  redudrte  Bewegung  der 
Ebene  im  Baume  nennen. 

15.  Projicirt  man  die  Geschwindigkeitsaxe  der  reducirten  Bewegung 
jederzeit  orthogonal  auf  die  Ebene  im  Räume,  so  wird  diese  Projection 
zwar  zur  Geschwindigkeitsaxe  der  räumlichen  Bewegung  parallel  sein ,  jedoch 
in  einem  Abstände  p  von  ihi:  liegen.  Um  also  die  Projection  der  reducir- 
ten Drehgeschwindigkeit  in  die  wirkliche  der  Ebene  überzuführen,  ist  die 
Hinzufügung  einer  Translationsgeschwindigkeit  nothwendig,  welche  die  Ebene 
parallel  zu  sich  verschiebt  und  deren  Grösse 

31)  aj=7.p 

ist.  Bezeichnen  wir  nun  mit  q  den  Abstand  der  Ebene  im  Räume  von  0, 
so  wird  für  eine  unendlich  kleine  Drehung  de  der  Ebene  um  ihre  wirkliche 
Geschwindigkeitsaxe  die  Beziehung  stattfinden 

32)  dQ^pda 
und  mit  Berücksichtigung  von 

dt 
erhalten  wir  jetzt  für  die  Translationsgeschwindigkeit  der  Ebene 

33)  S8  =  ^. 

at 

16.  Aehnliche  üeberlegungen  gelten  für  die  Drehbeschleunigung  der 
wirklichen  Bewegung  und  ihre  Beziehung  zur  Drehbeschleunigung  der  redu- 
cirten Bewegung.  Projicirt  man  nämlich  die  Beschleunigungsaxe  der  letz- 
tem auf  die  Ebene  im  Räume,  so  wird  diese  Projection  zwar  parallel  sein 
zur  wirklichen  Beschleunigungsaxe  der  Ebene,  aber  in  einem  Abstände  q 
von  ihr  entfernt  liegen;   um  deshalb  die  Projection  der  reducirten  Dreh- 


j 


230  Die  Ebene  als  bewegtes  Element. 

beschleunigoDg  in  die  wirkliche  zn  ü))erführen,  ist  eine  Translationsbeschlen- 
nigung  senkrecht  zur  Ebene  hinzuzufügen.     Die  GrOsse  derselben  ist 

34)  %  =  r.q, 

wenn  T,  wie  bisher,  die  Drehbeschleunigung  der  Ebene  bezeichnet 

Es  erübrigt  noch,  einen  analytischen  Ausdruck  für  q  zu  gewinnen,  und 
hierzu  dient  folgende  üeberlegung. 

Bezeichnen  V  und  F  (Fig.  5)  die  Geschwindigkeits^  resp.  Beschleuni- 
gungsaxe  der  Ebene,  V  die  aus  beiden  resultirende  Geschwindigkeitsaxe, 
OB^=Q  das  aus  0  auf  die  Ebene  errichtete  Perpendikel,  Br=p^  R8  =  q^ 
Bressp  die  Abstände  jener  Axen  vom  Fusspunkte  2?,  so  gilt  zunächst  nach 
einem  bekannten  Gesetze  (analog  dem  Momentensatze  in  der  Mechanik  des 
Punktes)  , 

oder 

35)  rqdt=rp'-'Vp. 

Nun  bleibt  aber  die  Ebene  nicht  in  ihrer  Lage,  sondern  wird  sich 
während  des  folgenden  Zeitelementes  um  ihre  neue  Axe  V*  drehen;  es 
käme  hierdurch  der  Fusspunkt  B  nach  ^'9  während  der  Fusspunkt  r  seinen 
Ort  nicht  ändert.     Bezeichnen  wir  jetzt 

OB'^q\     BV^p\ 
so  gilt  offenbar 

oder 

9*.-  Q^  =P*  -P'*,     dQ*^{p  +p)  {p  -p) 

und  mit  erlaubter  Annäherung 

Qdq=^p{p-p)y 
woraus 

P^^dQ+p. 
Führt  man  diese  Beziehung  in  Gleichung  35)  ein,  so  wird 

rqdt  =  d(Vp)  +  ^dQ, 
woraus  sich  mit  Benützung  der  Gleichungen  31)  —  34) 

für  die  Translation  sbescUeunigung  der  Ebene  der  Ausdruck  ergiebt 

36)  ^  =  ji+9V'. 

Es  sollen  im  Folgenden  noch  einige  Anwendungen  dieser  Theorie  ge 
macht  werden. 

17.  Eine  Ebene  besitze  ausser  einer  anfänglichen  Drehgeschwindigkeit 
c  um  eine  beliebige  Axe  nur  eine  Translationsbeschleunigung  von  constanter 
Grösse,  d.  h.  es  sei 


Von  Dr.  I.  F.  Wittbnbaubr.  231 

r=o,    Z  =  a. 
Die  redacirte  Bewegung  der  Ebene  ist  dann  eine  solche  im  Ebenenbüschel. 
Wählen  wir  die  Axe  des  letzteren  zur  0|-Aze,  so  ist 

S  =  0  oder  ij«+J;«=l 
die  Gleichung  des  Ebenenbüschels.     Die  Drehgeschwindigkeit  um  die  Axe 
0^  bleibt  constant,  d.  h. 

oder  auch 

^dri  —  tidt^cdt. 

Geht  man  nun  von  der  reducirten  Bewegung  auf  jene  im  Baume  über, 
so  erhält  man  durch  Benützung  der  Gleichung  36)  zunächst 

woraus  sich  durch  einmalige  Integration  ergiebt 


37)  ^  =  ^ifc  +  2a^-c«p». 

dt 

Hierbei  ist  die  Integrationsconstante 

wenn  angenommen  wird,  dass  die  Ebene  im  Beginne  der  Bewegung  den 
Abstand  q^  von  0  besitzt  und  ihre  Drehaxe  anfönglich  mit  der  Projection 
der  0|  zusammenföllt,  d.  h.  wenn  Pq=^0  wird. 

Die  zweite  Integration  giebt  sodann  die  Beziehung 


38)  smct  = 


pc^  — < 


zwischen  der  verflossenen  Zeit  und  der  Entfernung  g  vom  Ursprünge. 
Vergleicht  man  ferner  die  oben  abgeleitete  Belation 

idri  —  7idi=cdt 
mit  der  hier  geltenden 

f,dt,  +  idt=o, 

so  findet  man 

,,,_     dn    _        dg 

und  nach  Integration 

wenn  das  Coordinatensystem  so  gelegt  wird,  dass  ausser  der  0^-  auch  noch 
die  Oi^-Axe  zur  Anfangslage  der  Ebene  parallel  ist.  Durch  Vergleich  mit 
38)  erhält  man  jetzt  die  Beziehung 

^  Qc^  —  a 

welche  in  Verbindung  mit  der  bereits  bekannten 

1  =  0 
die  Bahn  der  Ebene  charakterisiren.     Man  überzeugt  sich  leicht,   dass  die 
Ebene  bei  ihrer  Bewegung  eine  Cylinderfläche  umhüllt,   deren  Erzeugende 
parallel  zur  0|  sind. 


232  Die  Ebene  als  bewegtes  Element. 

Giebt  man  noch  der  Gleichung  37)  die  Fonn 

und  besitzt  die  Drehgeschwindigkeit  der  Ebene  die  Grösse 

Po' 


so  wird 

oder  es  bleibt 


r     Po 


'-'=» 


,  =  0. 

Die  Ebene  amhttllt  in  diesem  Falle  eine  Krdsoylmäerfläche. 

18.  Eine  Ebene  werde  bei  ihrer  Bewegung  durch  eine  Drehbeschlea- 
nigung  von  constanter  Grösse  h  angeregt,  deren  Axe  stets  die  0$-Axe 
schneidet  und  zu  ihr  senkrecht  bleibt.  Die  anftlngliche  Geschwindigkeitsaxe 
der  Ebene  sei  zur  Beschleunigungsaxe  senkrecht.  Man  untersuche  die  Be- 
wegung der  Ebene. 

Beducirt  man  dieselbe  zunächst  nach  0  (Fig.  6) ,  so  hat  man  es  mit 
dem  in  Art.  9  behandelten  Falle  zu  thun.  Die  Ebene  umhüllt  dann  bei 
ihrer  Bewegung  eine  Kreiskegelfl&che  mit  der  Axe  0$  und  es  gelten  sowohl 
für  die  reducirte  als  für  die  wirkliche  Bewegung  der  Ebene  die  an  erwähnter 
Stelle  gefundenen  Relationen 

woraus    sich  in   unserem  Falle  für  die  halbe  Oeffnung  k  der  Eegelflfiche 
ergiebt 

tofigk^^^' 

Geht  man  nun  dazu  über,  die  Translation  der  Ebene  zu  untersuchen ,  so  ist 
zunächst  im  gegenwärtigen  Falle 

q=zQcotgL 

Beachtet  man,  dass  nach  Gleichung  34).  und  36) 

und  weiter  aus  der  reducirten  Bewegung 
gefolgert  werden  kann,  so  bleibt 

woraus  nach  Integration  und   mit  Blicksicht  auf  die  Gleichungen  31)  und 
33)  folgt 

und  weiter 


Von   D.  I.  P.  WiTTBNBAUBB.  233 


wenn  Pq  den  constant  bleibenden  Abstand  der  Oeschwindigkeitsaxe  vom 
Fnsspunkte  B  bezeichnet  und  angenommen  wird ,  dass  die  Ebene  im  Beginn 
ihrer  Bewegung  durch  0  geht.  Die  Ebene  entfernt  sich  somit  gleichförmig 
vom  Pole  0. 

Um  noch  die  Gleichung  der  Bahn  zu  ermitteln,  benütze  man  die  Be- 
ziehung 

und  verbinde  sie  mit  der  oben  gefundenen 

dQ^V^Podt. 


Es  ergiebt  sich  dann 


ä,==^^(iär,-r,äi), 


woraus  man  mit  Berücksichtigung  von 

erhält 

,  ,  dfi  i  dt 

Die  Integration  ergiebt  jetzt 

1  •      ^  ,  f 

q=PqCosI arcsm  — —  =  »a cos A arccos  — - » 
"  cosk       "  cosk 

wen%für  die  Anfangslage  der  Ebene 

^0=0,       ^z=:8ink,       1Jo  =  0,       tQ=:^COSk 

gewählt  wird.     Mit  Hilfe  obiger  Gleichungen  erhält  man  endlich  in 

Q^'PoCOskarctangyy    ^  =  const. 

die  Gleichung  der  Bahn  der  Ebene.    Es  ist  dies  eine  gemeine  Sdhraubehlinie, 
welche  die  05  zur  Axe  hat. 

19.  Ebenso,  wie  es  hier  mit  den  Grundzügen  der  Bewegung  geschah, 
könnte  eine  grosse  Anzahl  der  Probleme  aus  der  Bewegungslehre  des 
Punktes  und  Punktsystems,  soweit  sie  eben  von  dem  Begriffe  der  Masse 
absehen,  auf  die  Bewegung  der  Ebene  übertragen  werden  und  man  würde 
auf  diesem  Wege  zu  manchen  geometrisch  interessanten  Resultaten  gelangen. 
So  kann  z.  B.  eine  Ebene  gezwungen  werden,  bei  ihrer  Bewegung  eine  be- 
stinmite  vorgeschriebene  Curve  zu  beschreiben  oder  aber  eine  bestimmte 
vorgeschriebene  Fläche  fortwährend  zu  berühren,  und  man  wird  zu  analo- 
gen Resultaten  gelangen,  wie  bei  der  Bewegung  eines  Punktes  aufgegebener 
Bahn  oder  auf  gegebener  Fläche. 

Die  Bewegungslehre  der  Ebene,  auf  den  oben  skizzirten  Grundsätzen 
erbaut,  wird  gewiss  im  Stande  sein,  die  geläufige  Vorstellung  von  der  Be- 
wegung im  Räume  im  dualen  Sinne  zu  ergänzen. 


XII. 
Ueber  n  simultane  Differentialgleichungen  der  Form 

n+m 

X\  X^,  dXfi  =  0. 
/*  =  i 

Von 

Dr.  Otto  Biermann, 

Docent  a.  d.  deatsohen  UniTenitftt  in  Prag. 


Das  Pf  äff 'sehe  Problem  besteht  darin,   einem  gegebenen  Differential- 
ausdruck 

^Xxdx^   oder  ^  XndXx, 


«=l  x  =  l 


in  welchem  die  X,  irgend  Functionen  der  Variablen  a*»  bedeuten,  die  Ge- 
stalt zu  geben  ^  ^ 

^,  Ugdu^   resp.    Udu  +  ^,  U^dugy 

WO  die  Grössen  ü"^,  Uf  Uq  wieder  Functionen  der  x»  sind  und  u  eine  ganz 
willkürliche  Function  der  Veränderlichen  bezeichnet.  Die  Integrale  der 
Differentialgleichungen 

2jf  2M-1 

«  =  1  Jf=l 

sind 

Wl  =  C,,      l^  =  C2,      ...,      Ux^Cjt 

beziehungsweise 

wenn  die  c  beliebige  Constante  sind. 

Wir  wollen  für  ein  System   von  n  Differentialausdrücken  mit  n+m 
Variabein 

X/2)  dX^  +  X^<^)  dx^+...  +  Z„(')  dXn  +X:L%^dXn+l+.>.  +  X!i%  ^^-+"' ' 

X,<^^dx^  +  X^(-^dx,+.,.  +  Xn^^^dx,  +  x!;''^^dXn^^+..•  +  Xi"l^dx.^^ 
das  entsprechende  Problem  aufstellen.  Dabei  werden  wir  dem  von  Nataui 
bei   Behandlung    des   Pf af fischen  Problems   eingehaltenen   Gedankengange 


üeb.  n  simultane  Differentialgleich,  etc.   Von  Dr.  0.  Biermann.      235 

folgen.  (Siehe  Borchardt's  Joum.  Bd,  LVIIL)  Wir  werden  vor  Allem 
fragen,  welches  die  Definition  eines  Integrals  des  Gleichongssjstems 

ii  +  m 

1)  ^X^^^^dXf^^O     (v  =  l,2  ...  w) 

ist  nnd  wieviel  Integrale  diese  Differentialgleichungen  im  Allgemeinen  be- 
sitzen : —  wenn  zwischen  den  n{n-\-m)  Functionen  X^^*^  der  Variabein  ^^ 
keine  Bedingungsgleichungen  bestehen. 

Dann  werden  wir  das  dem  Pfaff  *schen  analoge  Problem  erkennen.  Wei- 
terhin soll  uns  die  Frage  nach  der  Ermittelung  der  Integrale  beschäftigen. 

Statt  der  n  +  m  Grössen  Xfi  denken  wir  ebensoviel  neue  Variable  v, , 
t^2***^p}  ^li  u^^'-Ur  eingeführt,  die  Functionen  der  Xß  sind.  Die  be- 
liebigen Aenderungen  jo^fi,  für  welche  die  n  Ausdrücke 

nicht  Null  zu  sein  brauchen,  sind  dann  in  der  Form 

darstellbar.  Drückt  man  die  Functionen  X^<*>  auch  durch  die  neuen  Va- 
riabein Vgt  und  Uq  aus,  so  erhält  man  n  identische  Gleichungen: 

fi  n  ^ 

in  denen  die  Functionen  7«^"^  und  Z/^'"^  in  folgender  Weise  bestimmt  sind : 

Ersetzt  man  die  allgemeinen  Aenderungen  bx^i  wieder  durch  die  be- 
sonderen dXfi^y  so  resultirt  mit  dem  gegebenen  Gleichungssystem  1)  das  fol- 
gende: ^71  -^-1 

2i  yn^'^dvn+^j  ^9^"^ äu^  =  0,     (v  =  1,  2    . .  n), 

fl 
und  dieses  ist  erfüllt,  wenn  entweder  alle  Differentiale  dv^  und  dtiff  Null, 
d.  h.  die  Vn  and  tig  constant  gesetzt  werden ,  oder  die  Coefficienten  der  nicht 
verschwindenden  Differentiale  Null  sind. 

Sind  die  Functionen  Vjg  und  uq  derart  gewählt,  dass  alle  Grössen  V^^^^ 
verschwinden  und  die  uq  constant  sind,   so  bestehen  die  np  Gleichungen: 

und  diese  ersetzen  das  gegebene  System.  Fassen  wir  nämlich  in  dem  letz- 
teren die  Vyt  als  die  nothwendig  vorkommenden  unabhängigen  Variablen  auf 
und  differentiiren  nach  dieser,  so  ergiebt  sich  das  neue  System  2). 

Die  r  Grössen  uq  Constanten  gleich  gesetzt,  erfüllen  die  Gleichungen 
1)  und  2),   darum  nennen  wir  diese  Functionen  U(f  die  Integrale  des  vor- 


236  üeber  n  simaltane  Differentialgleicbangen  etc. 


gelegten  Systems  von  Differentialgleichangeii.  Je  geringer  die  Anzahl  der 
Integrale  ist,  um  so  mehr  Variable  bleiben  willkürlich  und  um  so  allgemeiner 
ist  die  Lösung.  Daher  kommt  die  Frage  nach  der  allgemeinsten  Lösung 
der  Differentialgleichungen  mit  der  nach  der  kleinsten  Anzahl  von  Integralen 
überein.  Diese  wollen  wir  jetzt  aufsuchen. 
Es  ist: 

3)  2^'*^'^^^A.=2^^''^H     (v=1.2...n), 

/-  9 

also: 

4)  X^<»)  =  2;i7^c»)p     (fi^\,2...n  +  m), 

CXfx 

und  aus  diesen  w(w  +  w)  Gleichungen  sind  die  r(ft  +  l)  Grössen  ü^^^  und 
Uq  zu  berechnen. 

Ist  zuerst  n{n  +  m)  durch  (n  +  l)f,  also  auch  w  +  w  durch  w+1 
theilbar,  etwa 

so  kann  r  nicht  kleiner  sein  als  A;n,  sonst  ergäben  sich  Bedingimgsgleich. 
ungen  zwischen  den  Grössen  X^^*'^  was  ausgeschlossen  werden  »mag. 

Im  Falle  die  Anzahl  der  Variabein  Xß  durch  die  um  Eins  vermehrte 
Zahl  der  gegebenen  Gleichungen  theilbar  ist,  besteht  daher  das  allgemeinste 
Problem  der  Integration  in  einer  Transformation,  durch  welche  die  Iden- 
titäten 

JKn  +  l)  kn 

I)  2  ^^^'^^^''  =  -2'^e'^^«*e     (v  =  l,  2..   n) 

entstehen,  und  die  Anzahl  der  Integrale  Uq  =  Cq  der  Gleichungen: 

A)  ^  Z^<'')da:^  =  0 

ist  dasjenige  Vielfache  der  Anzahl  der  Gleichungen,  welches  der  Quotient 
m  +  n         . 

:;r+r  '"«^•^''*- 

Ist  aber  ,  t  /     ,  i x  . 

wo  X  die  Werthe  von  1  bis  n  annehmen  kann,  dann  giebt  es  neben  kn 
bestimmten  %  willkürliche  Integrale.  Hier  dienen  nämlich  die  nin-^-m) 
Gleichungen  4)  dazu,  n(wÄ;  +  x)  Grössen  CT  zu  bestimmen;  doch  weil  dann 
für  die  nA;+H  Grössen  uq  nur  mehr  nlt  Gleichungen  übrig  sind,  bleiben 
X  willkürlich.  Wir  bezeichnen  diese  mit  gp^ ,  «Pg  ...  q>tt  i^nd  die  zugehörigen 
Coefficienten  ü'^*')  mit  A^^^.  Nun  ist  das  Problem  der  Integration  der 
Gleichungen: 

B)  .j/     X^(')da;^  =  0     (v  =  l,2...«) 


in  einer  Transformation  zu  suchen,  durch  welche  die  Identitäten: 


Von  Dr.  0.  Bibrmann.  237 

nk 

(v  =  1,2...n) 
hergestellt  werden.     Die  Integrale  sind: 

9>i  =  Ci,   (3P8  =  C^2'  •••»    9>»-C^«;     <«i  =  Cn   ^  =  Cj»  •••,  Wi.t  =  c«t, 
wo  die  C  und  c  willkürliche  Constanteu  bedeuten. 

Ist  die  Anzahl  der  Variabein  Ä(n+1)  — *,  so  giebt  es  (Ä— l)ft  be- 
stimmte und  »  +  1  — X  willkürliche  Integrale. 

Die  Integrale  ändern  sich  nicht,  was  für  Functionen  von  Xß  auch  für 
die  k  als  unabhängig  betrachteten  Variabein  v^  gewählt  werden  mögen; 
denn  nehmen  wir  fi  =  n+m  Gleichungen 

an,  in  denen  die  v  willkürlich  sind,  aber  die  uq  die  in  den  Identitäten 


^=1  J=l 


ausgesprochene  Bedeutung  haben,  so  ist 

2 Z^t")  drc^  =2^  ^^^'^  *"•  +2  K^"^  '^«• 

jSl  ^=1  ns^\ 

Doch  weil  die  hierauf  folgenden  Identitäten 

2  ?7,W  *t*,  =2  l7;(->  du,  +2^  n^^^  i^n 
9  9^ 

nur  zu  erfÜUen  sind,  wenn 

u'^i^)^u^i^\   ?;(*)= 0 

ist,  so  sind  die  u,  Integrale,  was  immer  die  Vn  ftlr  Functionen  der  Xß  sein 
mögen.  — 

In  den  obengenannten  Transformationsproblemen  erkennen  wir  die  den 
Pf  äff 'sehen  analogen  Aufgaben. 

Die  Integration  der  Gleichungen  B)  ist  mit  Hilfe  der  Elimination  von 
X  Variabein  und  deren  Differentialen  aus  den  willkürlich  zu  wählenden 
Gleichungen 

^j  =3  Cj,      gpj  =  Ca,    . . .,     ^«  s=3  C« 
und 

auf  die  Integration  eines  Systems  der  Form  A)  zurückzuführen,   indem  in 
den  Identitäten  11)  links  nur  /:(n  +  l)  Variable  x  und  deren  Differentiale 
stehen  bleiben  und  rechts  die  x  ersten  Glieder  ausfallen. 
Die  Integrale  der  Gleichungen  A)  sind 

**l  =  ^l>      **2  =  <^»      •••>      ^nk^Cnk» 

Differentiirt   man  diese  Gleichungen   und  addirt  die  mit  gewissen  Grössen 
multiplicirten  Differentiale  eiu,  so  entstehen  die  Gleichungen  A).     Mit  Hilfe 


238  üeber  n  simultane  DifferentialgleichaDgen  etc. 

der  Integrale  kann  man  auch  UXß^'^^  öxpt  auf  die  Form  £U^^^  6u^  bringen, 
und  zwar  sind  die  n^Jc  Grössen  Uq^^^  durch  die  Gleichungen 

definirt,    in  welchen  die  Xß  als  Functionen  der  uq  und  der  k  willkürlichen 
Vn  aufzufassen  sind. 

Es  giebt  noch  Integrale,  welche  statt  der  willktlrlichen  Constanten 
willkürliche  Functionen  enthalten. 

Alle  Beziehungen  zwischen  den  U  und  u,  welche  die  n  Ausdrücke  zum 
Verschwinden  bringen,  haben  die  Gleichungen  A)  zur  Folge  und  geben  aach 
ein  System  von  Integralen  ab.  Bestehen  nun  etwa  die  kn^q  willkürlichen 
Relationen : 

«*v+i  =  /iK >  ««a    •  •  V>     **5+2  =  ^»K»  Wa  •  •  •  V»     •  •  •> 

80  werden  die  Ausdrücke: 


S'V'».=^(w'+£l-i.^  +  t/J^.|^+...+  rt-i«§^')«., 


2 

(*  =  1,2...«), 

und  diese  verschwinden,  wenn 

Z7/»)+üJ*|,g+...  +  t7i;>^^     (i=l,2...3,  v  =  l,2...n) 

Null  sind.  Die  neuen  kn  +  (n'-'l)q  Belationen  sind  auch  Integrale,  ent- 
halten aber  statt  Constanten  kn-^q  willkürliche  Functionen  von  q  Variabein. 

Je  grösser  q  ist,  um  so  weniger  willkürliche  Functionen  giebt  es,  aber 
desto  mehr  Integrale.  Bios  im  Falle  einer  Gleichung  A)  mit  2  A;  Variabein 
bleibt  die  Anzahl  der  Integrale  constant  2  k. 

Die  Ausdrücke  UUff^'i  öu^  können  endlich  dadurch  zum  Verschwinden 
gebracht  werden,  dass  alle  Uq^^^  Null  sind,  und  dieses  System  von  Inte- 
gralen ohne  willkürliche  Constante  und  Functionen  heisse  das  singulare. 

Wenn  wir  in  den  Gleichungssystemen  A)  und  B)  k=l  setzen,  so 
gelangen  wir  einerseits  zu  dem  System  totaler  Differentialgleichungen 


andererseits  zu  dem  System 

^  Xß^^>dXß-0. 

Das  erste  System  schreibt  man  nach  Berechnung  der  n  Verhältnisse 

t=i    (,  =  2.8....+  l) 
in  der  Form 

dx^  :da?2 :  •   •  :dx„^i  =  F, :  F, : . . . :  r„  +  i . 


VoD  Dr.  0.  Biermann.  239 

Dieses  System  ist  integrirt,  wenn  man  n  von  einander  unabhängige  Inte- 
grale Wj  =  C|,  ti2  =  C2'  •••!  «*ii  =  Cfi  der  linearen  partiellen  Differential- 
gleichung 

kennt.  Dasselbe  ist  aber  auch  integrirt,  wenn  man  n  aus  den  angenomme- 
nen Gleichungen 

ä^^^ä^^«+-  +  a^/"+^  =  ^  (v  =  i,2...n) 

ableitbare  identische  Beziehungen 

Fl  ^xp,  -  r^  6xy = ii/tf)  auj  +  Aj^f^^  6tij  + . . .  +  -4,fi">  at*„ 

(^  =  2,3...  n+1) 

aufstellen  kann,  in  denen  A^^\  Äj^f^^  ...  An^*^^  Functionen  der  x  sind. 
Nach  Multiplication  der  letzten  n  Identitäten  mit  geeigneten  Factoren  und 
Addition  derselben  ergiebt  sich  ein  System  der  Gestalt  I). 

Das  zweite  der  obigen  Systeme  besitzt  h  willkürliche  Integrale  und  ist 
auf  das  System  totaler  Differentialgleichungen  zurückfdhrbar. 

Setzen  wir  in  den  Gleichungen  A)  und  B)  n  =  1 ,  so  kommen  wir  auf 
die   beiden   Pf  äff 'sehen  Gleichungen.     Die  üebertragung   €er   bekannten 

Methode  der  Lösung^  der  Gleichung  ^^  X^  dXfi  =  0  auf  das  System 


"f 


würde  verlangen,  dass  wir  die  n  Gleichungen  in  n  andere  mit  X;(n  +  l)~l 
neuen  Yariabeln  a^*^  transformiren ,  welche  Functionen  der  k{n+l)  Varia- 
bein X  sind.  Gelingt  das,  so  kann  man  n  derselben  Constanten  gleich 
setzen  und  die  entstehenden  Gleichungen  mit  (%— l)(n+l)  Variabein  wieder 
auf  ein  System  von  n  Gleichungen  mit  (Ä  — l)(w  +  l)  — 1  neuen  Variabein 
xf^^  zu  transformiren  suchen  und  wieder  n  Functionen  Constanien  gleich  setzen, 
da  ja  n  willkürliche  Integrale  existiren  werden.  Fährt  man  in  gleicher  Weise 
fort,  so  erhält  man  schliesslich  n  Gleichungen  mit  n  +  1  Variabein,  welche 
n  Integrale  besitzen.  Im  Ganzen  hat  man  kn  Functionen  der  Variabein 
Xß  Constanten  gleich  gesetzt  und  diese  sind  Integrale  des  Systems. 

Man  überzeugt  sich  jedoch  leicht,  dass  eine  Transformation  der  ver- 
langten Art  ohne  Bedingungsgleichungen  für  die  Functionen  X^^^^  nur  dann 
möglich  ist,  wenn  die  Anzahl  der  Gleichungen  Eins  ist.  Auch  wenn  wir 
das  gegebene  System  in  ein  anderes  mit  gleichviel  Variabein  überführen, 
ist  im  Allgemeinen  nicht  zu  erreichen,  dass  das  neue  System  die  verlangte 
Transformation  zulässt. 

Wenn  darnach  die  Integrationsmethode  von  Pf  äff  nicht  verwendet 
werden  kann  und  offenbar  auch  die  Verallgemeinerung  der  Methode  von 


240  üeber  n  simultane  Differentialgleichangen  etc. 

C  leb  seh  nieht  möglich  ist,  beschränken  wir  uns  darauf,  aus  den  n  Gleich- 
ungen 


^  Zi^(«'>  dXß  =2  W^  ^^9 


9= 

Differentialgleichungen  für  die  Functionen  Uq^^^  und  Ug  abzuleiten,  welche 
das  „erste  Pf  äff 'sehe  System"  als  specielles  System  enthalten. 

Mit  Hufe  der  nk{n  +  l)  Grössen  X^W  können  wir  (wÄ;  («  +  !))«  Grössen 


5) 

dxx 

-* 

definiren  und  darnach  lassen  sich  durch  die 

nk{n 

+  1)  linearen  Gleichungen 

«    frjnj 

V^ 

6) 

v^'=25 

a'xpe,. 

-l)Ar(ii 

+  i)+i 

ebensoviele  Grössen   e   bestimmen.     Die    Determinante    dieses    Gleichungs- 
systems : 

ist  eine  schiefe  und  symmetrische,  da 

ist,  und  ohne  eine  Bedingungsgleichung  in  den  X(i^^^  verschwindet  sie  auch 
nicht,  da  ihre  Ordnungszahl  nk{n  +  l)  jedenfalls  gerade  ist 
Beachtet  man  die  nk(n  +  l)  Gleichungen: 

*  '    dXß        *    dxn  *"  dxu 

und  die  Darstellungen: 

"*'•  \  dxa     dxi       dxu     dxx  3«M  *  dxi) 

\  dxj^     dXfi       dx      dxfi  dxi      dxfi  / 

SO  lassen  sich  die  Gleichungen  6)  auf  die  Form  bringen: 
oder  bei  anderer  Anordnung  der  Summanden  auf  die  Form: 


Von  Dr.  0.  BiEBitAim. 


241 


duo 


^iC*(«  +  l) 


«,+••  + 


au','« 


7) 


^*(n  +  1)+... 


•  •  •  +  a^    a^^  ^(»^- 1) *(«+0+2  +  •  •  •  + 


(^«l,2...fc(n  +  l),  v  =  l,2...n). 
Diese  Oleichongen  fassen  wir  als  linear  in  den  nk  Grössen 


nnd  den  n*h  Grössen 


a  TT  (fl) 


auf  und  lösen  sie  nach  diesen  unbekannten. 

Die  Determinante  des  Systems  7)  lautet  nach  Einführung  der  Zeichen 


dxu 


dUi 


dxß 


=  Cp.m: 


0,,  Og  ...Oa(„-1),    $l,*(n-l)  +  l,  C2,Ar(n*l)4-2...  ^2*,  *(«+!);  ... 

(wo  den  Nullen  Indices  beigesetzt  sind,  dass  man  deren  Anzahl  ersehe), 
nnd  wird  im  Allgemeinen  nicht  verschwinden.  Sie  ist  in  eine  Summe  von 
Producten  von  je  n  Determinanten  der  Ordnung  Jc{n  +  1)  zerlegbar,  und 
zwar  sind  diese  Producte  so  gebildet,  dass  eine  erste  Determinante  lautet: 


P^i 


..  pi:?i, 


Ca 


Qkn,\ 


WO  l^y  k^,.,kk  irgend  k  Zahlen  der  Beihe,  1,  2...A;n  und  v^  eine  der 
Zahlen  1,  2  ...  n  bedeutet.  Die  weiteren  n  —  1  Determinanten  sind  ebenso 
gebildet,  nur  bedeuten  k^  »,,  kk  dort  andere  und  andere  der  Zahlen  1^2 ,..kn 
und  auch  v   hat  in  jeder  Determinante  einen  andern  Werth. 

Bezeichnet  man  mit  C^^  die  Anzahl  der  Combinationen  ß^  Classe  mit 
a  Elementen,  so  giebt  es  offenbar 

Zettaehzifl  t  Mathamatlk  u.  Phyiik  XXX,  4.  16 


242  üeber  n  simultane  Differentialgleichungen  etc. 

Wir.OnJb— jfc  ...  t^nifc— (n— l)jfc=  "TTjyr 

Producte  besagter  Art.  Die  Summe  dieser  Glieder  —  jedes  mit  dem  ge- 
hörigen Zeichen  versehen  —  ist  gleich  J^  wie  man  bei  Beachtung  des 
Satzes:  ;,Wenn  ein  System  von  n*  Elementen  in  m  Zeilen  mehr  als  n— « 
Colonnen  Nullen  hat,  so  ist  seine  Determinante  NuU^  leicht  ersieht. 

Bei  Berechnung  des  Zahlers  von  (— l)"'*rp  hat  man  in  den  eben  be- 
schriebenen       /^   Producten  die  Colonnen 

p<:>, ...  i^:i(,+„  (*=i,2...n) 

durch 

4'^  ...  4%+.) 

zu  ersetzen,  wo  unter  Ä^  die  Doppelsumme  auf  der  rechten  Seite  der 
Gleichung  7)  zu  verstehen  ist. 

In  dem  Zähler  von  (— IK^-^Z«^*)  kommen  vor  Allem    -r^  Glieder 

vor,  die  aus  der  früher  zerlegten  Determinante  J  dadurch  hervorgehen,  dass 
man  in  denjenigen  Determinanten  der  n-gliedrigen  Producte,  welche  Ele- 
mente P^*^  enthalten,  die  Verticalreihen 

durch 

ersetzt,  —  Daneben  giebt  es  andere  w-gliedrige  Producte  von  Determinan- 
ten Ä(w+1)*"  Ordnung,  die  folgendermassen  gebildet  sind.  Eine  erste 
Determinante  lautet: 


WO   Xj,  Ag,  ...  ^^4-1   irgend  k  +  l  Zahlen  der  Reihe  1,  2  ...  Ä;n  bezeichnen. 
Die  zweite,  dritte  ...  (w  — 2)*®  Determinante   des  Productes  hat  die  Form: 


•  •  •  • 

-P/„iKn  +  l)    ...    Pr4,fc(n  +  1)»      öl,fc(n  +  l)    -.•    Ö*n,  tCn  +  t) 

und  darin  bedeuten  A\  ...  X'k  immer  andere  und  andere  Zahlen  der  Reibe 
1,  2  ...  A;n  und  v  nimmt  der  Beihe  nach  n— 2  von  v  verschiedene  Wertbe 
aus  der  Reihe  1 ,  2  . . .  n  an.  Bleiben  dann  unter  den  Zahlen  1 ,  2  ...kn 
resp.  1,  2  ...  n  noch  die  folgenden  übrig:  k'\  ...  i"*-i  resp.  v",  so  hat  die 
letzte  Determinante  des  Productes  die  Form: 


Von  Dr.  0.  Bierkamn.  243 

•  •  •  •    •  • 

•  •  •  •  • 

•  •  •  •  • 

Solcher  Producta  lassen  sich 

(ti-i)!  (^A+'^  ciiL*.i ...  c<AL(„.2,.-i  .cf„r«'-^,),.i 

-^^         ^^*(Ä+1).(Ä-1).(Ä1)«"» 

bilden,  darum  giebt  es  im  Zähler  von  (— 1)""*— ^Z^"^  im  Ganzen 
^^^ [(Jc  +  l).{1c-'l)\  +  {n^l)\kl] 


(Ä+1)(ÄI)"(Ä-1)I 

fi-gliedrige  Producte  von  Determinanten,  der  Ordnung  h{n  +  l)  und  weitere 
Glieder  der  Ordnung  kommen  nicht  vor. 

Aus  dieser  Beschreibung  des  Baues  der  Werthe  für  die  nk(n  +  l) 
Unbekannten  Tq  und  Zg'^  ersieht  man,  dass  diese  Werthe  im  Allgemeinen 
verschieden  ausfallen ,  ausser  in  dem  Falle  n  =  1,  wo  alle  Grössen  A^^  ver- 
schwinden.    Die  Losungen  des  Systems  7)  sind  dann: 

weil  die  Determinante 

^__/     |xjt2;  +  ?^  ^  ...  ?^     ^^t      ^tig      ^   ^Ujb 

ÖaJj    ^Xj  ^Än    dXk^i  dXk-^2  ^^k 

im  Allgemeinen  nicht  verschwindet.     (Hier  ist  l/^p  für  ü^^  geschrieben.) 
Die  Ic  Gleichungen  ß)  ziehen  die  folgenden  A;  — 1  nach  sich: 

•.il.(fe)-^'.Ä(S)+--^-w.©-'> 

(ß  =  l,2...Ä-l), 

nnd  darum  genügen  die  2&  —  1  Functionen  U| ,  Uj  . . .  t^/bt   lj*j^ f7~ 

alle  derselben  linearen  partiellen  Differentialgleichung: 

deren  allgemeine  Lösung  g>  eine  willkürliche  Function  der  letztgenannten 
Functionen  ist.  Diese  ist  aber  auch  eine  Lösung  des  ersten  Pf  äff 'sehen 
Problems    und    9  =  c   ist    ein  erstes   Integral   der  Pf  äff 'sehen  Gleichung 

2k 

Xi  ^ßdXß  =  0.  Wie  man  mit  dessen  Hilfe  die  Bestimmung  weiterer  In- 
tegrale einzuleiten  und  durchzuführen  hat,  ist  von  Clebsch  gezeigt  worden 
(Borchardt's  Journal  Bd.  LX). 

16* 


Um. 


244      üeb.  n  simultane  Differentialgleich,  etc.   Von  Dr.  0.  Biermann. 

Hier  ist  klar  geworden,  warum  man  bei  dem  Pf  äff 'sehen  Problem 
einen  successiven  Fortgang  von  einem  Integral  «p  =  c  zu  einem  zweiten, 
von  dem  zweiten  zu  einem  dritten  u.  s.  w.  nehmen  muss.  Wegen  des  Zu- 
sammenfallens  der  Werthe  für  Tq  und  Z^  oder  wegen  der  üebereinstim- 

ÜQ 

mung  der  Differentialgleichungen  ftlr  die  Functionen  uq  und  j^  kann  man 

nftmlich  ein  System  zusammengehöriger  Functionen  u^  und  r~ «  welche  das 

Problem  lösen,  nicht  finden. 

Der  Umstand,  dass  man  in  dem  allgemeinen  Falle  von  n  Gleichungen 
A)  mit  Ä(w  +  1)  Variabein  nk(n  +  l)  Differentialgleichungen,  die  man  in 
den  nk{n  +  l)  Lösungen  des  Systems  7)  findet,  gleichzeitig  betrachten  und 
diesen  ein  System  zusammengehöriger  Functionen  u^  und  U^'  entnehmen 
muss,  welche  das  Problem  lösen,  -erschwert  natürlich  gerade  die  fernere 
Untersuchung,  und  die  Complication  der  Differentialgleichungen,  welche  in 
Bezug  auf  die  Functionen  uq  von  der  zweiten ,  in  Bezug  auf  die  Functionen 
Üq^  von  der  ersten  Ordnung  sind,  lässt  selbst  bei  niedrigen  Werthen  für 
n  und  k  nicht  leicht  eine  Discussion  zu.  Hier  kam  es  darauf  an ,  das  Ver- 
hältniss  des  Pf  äff 'sehen  Problems   zu  dem  allgemeinen  zu  charakterisiren. 

Prag,  den  18.  December  1884. 


Kleinere  Mittheilungen. 


ZI.  Der  Doppelpunkt  symmetrisoher  r&nmlioher  Systeme. 

Die  Thatsache,  dass  der  Schnittpunkt  der  normalhalbirenden  Ebenen 
der  Strecken,  welche  entsprechende  Ecken  zweier  in  verschiedenen  Ebenen 
liegenden  congruenten  Dreiecke  verbinden,  mit  diesen  Dreiecken  zwei  Te- 
traeder bestimmt,  die  im  Allgemeinen  symmetrisch,  nicht  con- 
grnent  sind,  ist  zwar  schon  längst  bekannt  (vergl.  u.  A.  Magnns,  Aufg. 
aas  der  analyt.  Geometrie  des  Baumes,  sowie  Baltzer,  Die  Gleichheit  und 
Aehnlichkeit  der  Figuren  und  die  Aehnlichkeit  derselben ,  Dresden  1852); 
wegen  der  Einfachheit  des  Gedankenganges  erschien  trotzdem  die  folgende 
Darstellung  der  Mittheilung  werth. 

1.  Zu  zwei  gleichen  Strecken  ^£  und  ÄB\  die  auf  dersel- 
ben Ebene  @  enthalten  sind  und  nicht  zusammenfallen,  giebt 
es  immer  auf  @  einen  eindeutig  bestimmten  Punkt  S,  welcher 
mit  AB  und  AB'  gleichsinnig  congruente  Figuren  bildet. 

Ist  8  der  Schnittpunkt  der  Normalhalbirenden  von  AA'  und  BB\  so 
ist  SA  =  SA\  SB  «  5J?';  hieraus  und  aus  AB  =  AB'  folgt  SAB^  SAB'. 

Angenommen,  die  beiden  Dreiecke  SAB  und  SAB'  wären  ungleich- 
sinnig congruent,  so  wäre,  unter  Berücksichtigung  des  Sinnes, 

1)  L^SB=^B'SA. 

Wird  eine  durch  S  gehende  (rerade  MN  durch  die  Gleichung  bestimmt 

2)  L  BSM^  MSB\ 
so  folgt  aus  1)  und  2) 

LASB  +  BSMc=M8B'+B'SA',     . 

LASM^MSA'. 
Hieraus  und  aus  der  gleichen  Länge  der  Strecken  SA  =  SA\  SB^^SB^ 
folgt,  dass  A  und  A,  sowie  B  und  B'  symmetrisch  gegen  SM  liegen ^ 
daher  ist  MN  die  gemeinsame  Normalhalbirende  von  AA  und  BB\  und 
für  jeden  Punkt  P  derselben  ist  PA=  PA,  PB=PB\  PABvoigleiGhsm- 
nig  congruent  PA'B'.  Der  Schnittpunkt  Sq  von  AB  und  AB'  liegt  auf 
MN]  die  verschwindenden  Dreiecke  S^^AB  und  S^AB'  können  als  gleich- 
sinnig congruent  angesehen  werden.  — 

Wenn  die  Strecken  AB  und  AB'  gleichsinnig  parallel  sind,  so  ist 
ABAB'  ein  Parallelogramm  und  der  Punkt  S  liegt  unendlich  fern  in  der 
zu  AA  und  BB'  normalen  Bichtung. 


246  Kleinere  Mittheilungen. 

2.  Zwei  anf  derselben  Ebene  (S  liegende  gleichsinnig  congruente  Systeme 
£  und  S'  haben  nach  1.  einen  eindeutig  bestimmten,  endlich  oder  unend- 
lich fernen  selbstentsprechenden  Punkt  S  und  können,  durch  Drehung  um 
denselben  zur  Deckung  gebracht  werden. 

Zwei  auf  (S  symmetrisch  liegende  Systeme  27  und  2"  haben  eine  selbst- 
entsprechende Gerade ,  die  Symmetrieaxe ;  jeder  Punkt  derselben  ist  Doppel- 
punkt. Wenn  zwei  auf  6  liegende  Systeme  £  und  £"  ungleich- 
sinnig congruent  sind  und  nicht  symmetrisch  liegen,  so  giebt 
es  keinen  Punkt,  der  von  den  Ecken  eines  nicht  verschwinden- 
den Dreiecks  ABC  in  £  ebenso  weit  entfernt  wäre,  wie  von 
den  entsprechenden  Punkten  Ä'\  B'\  G"  in  £'\  Denn  sind  die 
Systeme  2?'  und  £"  symmetrisch  und  haben  sie  Ä"B"  zur  Symmetrieaxe, 
so  ist  durch  PA  =  PA'  und  PB  =  PB'  der  selbstentsprechende  Punkt  von 
£  und  ^'bestimmt;  für  denselben  ist  PC^PC\  Wfire  nun  PC=PC'\ 
so  wSre  PC'=PC"  und  daher  P  auf  der  Symmetrieaxe  Ä'B*'  gelegen; 
dann  würde  P  auch  auf  AB  liegen,  im  Widerspruche  damit,  dass  £  und  l!' 
nicht  symmetrisch  liegen. 

3.  Zu  zwei  congruenten  Dreiecken  ABGmxA  A'B'C\  die  auf  parallelen 
Ebenen  @  und  (S'  liegen  und  von  einem  Punkte  im  Innern  der  Schicht 
€(S'  aus  gesehen  ungleichsinnig  erscheinen,  giebt  es  einen  Punkt  8,  der 
mit  ihnen  symmetrische  Tetraeder  8ABC  und  SA'B'C'  bestimmt. 

Ist  Ä'B"C"  die  Normalprojection  von  A'B' C'  auf  @,  so  sind  ABC 
und  Ä' B" 0"  gleichsinnig  congruent. 

Wenn  Ä'B"G"  mit  ABG  zusammenfällt,  so  bildet  jeder  Punkt  der 
Ebene  g,  welche  die  Schicht  g®'  halbirt,  mit  ABG  und  A'B'G'  sym- 
metrische Tetraeder. 

Wenn  Ä' B"G"  und  ABG  nicht  zusammenfallen,  so  bestimme  man 
den  selbstentsprechenden  Punkt  T  der  congruenten  Systeme  Ä'Bf' G" .,,  und 
ABG.,,\  die  Normalprojection  von  T  auf  die  Ebene  ^  ist  der  Punkt  5. 

Wenn  ABG  und  AB' G*  entsprechende  Dreiecke  symmetrischer  räum- 
licher Systeme  sind,  so  ist  S  selbstentsprechender  Punkt  derselben. 

4.  Wenn  die  auf  (S  und  (S'  enthaltenen  Dreiecke  ABG  und  XllC 
von  einem  im  Innern  der  Schicht  @@'  gelegenen  Punkte  aus  gleichsinnig 
congruent  erscheinen,  so  sind -4" J?"G"  und -4.5(7  ungleichsinnig  congruent 
Wenn  nun  Ä' B" G"  und  ABG  symmetrisch  liegen  und  t  die  Sym- 
metrieaxe ist,  so  bildet  jeder  Punkt  S  der  Normalprojection  s  der  Geraden 
i  auf  die  Ebene  g  mit  ABG  und  ÄB'G'  congruente  Tetraeder;  die  con- 
gruenten ebenen  Systeme  £=:ABG..,  und  2?'=-4.'i?'(7'...  kommen  alsdann 
durch  Drehung  um  die  Axe  s  zur  Deckung. 

5.  Wenn  die  Dreiecke  Ä'B''G"  und  ABC  nicht  symmetrisch  liegen, 
so  kann  es  keinen  Punkt  i9  geben,  der  m\i  A!B'G'  xxxA  ABG  symmetrische 
oder   congruente  Tetraeder  bestimmt;   denn  die  Normalprojectionen  von  S 


Kleinere  Mittheilungen.  247 

auf  (S  und  6'  würden  entsprechende  Punkte  der  congruenten  Systeme  Z  und 
E'  sein,  die  Normalprojection  T  desselben  auf  die  Ebene  @  würde  daher 
so  gelegen  sein,  dass  TA=^TÄ\  TB=TB'\  TC=^TC"',  ein  solcher 
Punkt  ist  nach  Nr.  2  nicht  vorhanden. 

Hieraus  folgt,  dass  die  drei  normalhalbirenden  Ebenen  der  Strecken 
AA\  BB\  CO'  einen  endlichen  Punkt  nicht  gemeinsam  haben. 

Aus  3)  und  4)  ergiebt  sich  der  Satz:  Wenn  die  congruenten 
Systeme  £  und  E'  auf  parallelen  Ebenen  so  liegen,  dass  die 
Normalprojection  2"  von  Z'  auf  Z  mit  Z  ungleichsinnig  con- 
gruent  ist,  so  haben  die  Ebenen,  welche  die  Strecken  entspre- 
chender Punkte  normal  halbiren,  entweder  eine  gemeinsame 
Gerade  oder  nur  einen  gemeinsamen  unendlich  fernen  Punkt, 
je  nachdem  Z"  und  Z  symmetrisch  liegen  oder  nicht. 

6.  Wenn  die  congruenten  Dreiecke  ABC  und  A'B'C  auf  Ebenen  6  und 
@'  liegen,  die  einander  schneiden,  so  giebt  es  unter  den  zwei  Paar  Scheitel- 
flfichen winkeln,  welche  @  und  @'  bestimmen,  ein  Paar  a  und  cr^,  von  dessen 
Innern  aus  ABCxinä  A'B'C  ungleichsinnig  congruent  erscheinen;  von  den 
Punkten  im  Innern  des  andern  Paares  ß  und  /S^  aus  erscheinen  sie  gleichsinnig. 

Der  Schnittpunkt  der  normalhalbirenden  Ebenen  der  Strecken  AA',  BB'^ 
CC  sei  8,  Da  S  gleiche  Abstände  von  (S  und  @'  hat,  so  ist  S  auf  einer  der 
beiden  Ebenen  ^  und  ^'  enthalten,  welche  die  Winkel  a  und  ß  halbiren. 
Sind  T  und  T'  die  Normalprojectionen  von  S  auf  (g  und  6',  so  kommen 
diese  Punkte  zur  Deckung,  wenn  man  (S'  durch  Drehung  um  die  Gerade 
6(5'  mit  6  vereint,  und  zwar  indem  die  Winkel  a,  «j  oder  die  Winkel 
/5,  ß^  beschrieben  werden,  je  nachdem  8  auf  jp  oder  $'  enthalten  ist. 

Nach  der  Drehung  deckt  sich  Z'  im  ersten  Falle  mit  einem  System 
Z'\  das  mit  Z  gleichsinnig  ist,  im  andern  mit  einem  System  Z"\  das  mit 
Z  angleichsinnig  ist. 

Wenn  Z"  und  Z  identisch  sind,  so  sind  2?'"  und  Z  symmetrisch  und 
haben  die  Gerade  66'  zur  Symmetrieaxe;  jeder  Punkt  von  §  giebt  mit 
ABC  und  A'B'C  symmetrische,  jeder  Punkt  der  Kante  66'  verschwin- 
dende congruente  Tetraeder. 

Wenn  Z"  und  Z  nicht  identisch  sind,  so  haben  sie  nur  einen  selbst- 
entsprechenden Punkt  T;  der  Punkt  8  von  §,  welcher  T  zur  Normalpro- 
jection auf  6  hat,  ist  der  'einzige  Punkt  5,  der  mit  ABC  und  ÄB'C 
symmetrische  Teti*aeder  bestimmt.  8  kann  auch  unendlich  fem  sein;  die 
Richtung,  in  der  er  liegt,  bestimmt  die  Längskanten  zweier  symmetrischer 
dreiseitiger  Prifiucii,  welche ^J9C7  und  ÄB'C  zu  Basen  haben. 

Wenn  die  ungleichsinnig  congruenten  Dreiecke  A"B'"C"'  und  ABC 
nicht  synunetrisch  liegen,  so  haben  sie  keinen  Punkt,  der  von  den  Ecken 
des  einen  dieselben  Entfernungen  hätte,  wie  von  den  entsprechenden  des 
andern;  alsdann  giebt  es  auf  ^'  keinen  Punkt,  für  welchen  &1  s=  &1',  8B 


248  Kleinere  Mittlieilungen. 

s=iSJB',  SC=8C'  wäre,  also  giebt  es  dann  keinen  Punkt,   welcher  mit 
ABC  und  A'B'C  congruente  Tetraeder  bestimmt. 

Wenn  daher  die  Systeme  2  und  £"'  nicht  symmetrisch 
liegen,  so  haben  die  normalhalbirenden  Ebenen  der  Strecken 
entsprechender  Punkte  der  Systeme  £  und  £'  einen  Punkt 
gemein,  der  auf  Q  in  endlicher  oder  unendlicher  Entfernung 
liegt  und  nicht  in  die  Schnittlinie  (S@'  fällt. 

Wenn  die  Systeme  £  und  2"  nicht  zusammenfallen  und  £  und  Z'" 
gegen  eine  Gerade  t  symmetrisch  liegen ,  go  bestimme  man  die  Gerade  8  auf 
Q\  deren  Normalprojection  auf  @  mit  t  zusammenföUt.  Jeder  Punkt  von  i 
giebt  alsdann  mit  ABC  und  ÄB'C  congruente  Tetraeder  und  2? und 
2'  kommen  durch  Drehung  um  s  zur  Deckung.  Der  Schnittpunkt  der 
Geraden  66'  mit  t  ist  in  diesem  Falle  der  selbstentsprechende  Punkt  von 
£  und  £'\  da  £  und  £'"  symmetrisch  gegen  t  und  £"  und  £'"  symme- 
trisch gegen  66'  liegen-,  daher  verschwinden  in  diesem  Falle  die  sym- 
metrischen Tetraeder  mit  gemeinsamer  Spitze  und  den  Basen  ABC  und 
A'B'C.     Hieraus  folgt: 

Wenn  die  Systeme  £  und  £'"  symmetrisch  liegen  und  ££** 
nicht  zusammenfallen,  so  haben  die  normalhalbirenden  Ebenen 
derStrecken  entsprechender  Punkte  der  Systeme  2^  und  2?' eine 
gemeinsame  Gerade  s,  welche  die  Kante  66' trifft;  jeder  Punkt 
von  s  bestimmt  mit  entsprechenden  Dreiecken  von  £  und  2f 
congruente  Tetraeder;  der  Schnittpunkt  von  8  und  66'  kann 
als  gemeinsame  Spitze  verschwindender  symmetrischer  Te- 
traeder betrachtet  werden. 

Dresden.  R.  Heger. 

XU  TTeber  einen  Satz  von  Burmester. 

Herr  Burmester  hat  folgenden,  die  Bewegung  ebener  veränderlicher 
Systeme  betreffenden  Satz  ausgesprochen:* 

„  Die  Curve,  welche  von  den  Bahnen  der  Punkte  einer  Systemcurve  umhüllt 
wird,  ist  zugleich  die  Enveloppe  verschiedener  Phasen  derselben  Systemcurve." 

Dieser  Satz,  welcher  ursprünglich  nur  auf  collinear- veränderliche  ebene 
Systeme  bezogen  wurde,  kann  nicht  nur  auf  jedes  continuirlich- veränder- 
liche ebene  System  übertragen  werden,  wie  es  Herr  Geisenheimer 
bemerkt  hat,**  sondern  auch  auf  ein  räumliches,  continuirlich- veränder- 
liches System  bezogen  werden. 

Die  Richtigkeit  dieses  Satzes  ist  auf  geometrischem  Wege  nicht  schwer 
einzusehen;  ich  erlaube  mir  aber,  grösserer  Genauigkeit  wegen,  einen  ana- 
lytischen Beweis  desselben  anzuführen. 

*  Diese  Zeitichrift  Bd.  XIX  und  XX. 
*•  Diese  Zeitschrift  Bd.  XXIV. 


Kleinere  Mittheilungen. 


249 


Es  seien  a,  5,  c  die  Anfangscoordinaten  eines  Systempimktes,  Xy  y, » 
dessen  Coordinaten  zur  Zeit  t  und 

1)  «=s/;(a,  6,  c,  0,    y  =  /i(a,  ^c,  Ot    ff^faia^^c^t) 
die  Bewegungsgleichnngen.     Es  sei  weiter  eine  Systemfl&che 

2)  J?(a,6,  c)=:0 

gegeben.     Es  möge  die  Lage  dieser  Flftohe  zur  Zeit  t  durch  die  Gleichung 

3)  €^{x,y,z,t)^0 

bestimmt  werden;  wir  erhalten  bekanntlich  diese  Gleichung,  wenn  wir  a, 
hy  c  aus  den  Gleichungen  1)  und  2)  eliminiren.  Die  Enyeloppe ,  welche  von 
den  Bahnen  verschiedener  Punkte  der  Fläche  2)  gebildet  wird,  wollen  wir 
im  folgenden  Sinne  verstehen.  Es  seien  üf  (a,  &,  c)  und  M\a  +  da,  h  +  dh^ 
c+dc)  zwei  Punkte  der  gegebenen  Fläche,  a  und  a  die  Bahnen  derselben. 
Diese  Bahnen  schneiden  sich  im  Allgemeinen  nicht;  wir  können  jedoch  die 
Differentiale  da^  dhj  de  so  wählen,  dass  de;  Durchschnitt  derselben  statt- 
findet. Da  der  gesuchte  Durchschnittspunkt  Q  zugleich  den  beiden  Curven 
a  und  a  angehört,  so  müssen  wir  die  genannten  Differentiale  so  nehmen, 
dass  die  Coordinaten  des  Punktes  M  auf  der  Curve  o  zur  Zeit  t  den  Co- 
ordinaten des  Punktes  M'  auf  der  Curve  a  zur  Zeit  t  +  dt  gleich  seien« 
Es  ist  also 

/i(a+da,  &  +  d&,  c  +  dc,  ^  +  ^0  =/i(ö>  ^>  ^t  0» 
fi(a  +  da,  6  +  d5,  c  +  dc,  t  +  dt)  ^^f^ia^h^  c^t), 
f^{a  +  da,  h  +  dh,  c  +  dc,  t  +  dt)^f^{a,h,c,t) 
und  folglich 


g.«  +  f^.^4-g.c+^..  =  0, 


4) 


aa  +  ^^db  +  '^de  +  '-^dt: 


dt 


-da+^db  +  j^de  +  j^ 
Die  Differentiale  da,  db,  de  mttssen  ansserdem  der  Bedingung 


=  0, 


:0. 


5) 


dF,     ,dF,.dF,       _ 
-da+^db  +  ^de^O 


genügen.    Eliminiren  wir  aus  den  Gleichungen  4)  und  5)  die  Differentiale, 

so  erhalten  wir  die  Gleichung 

^A,  !^,  £A,  iL 

da      db     de      dt 

6) 

df,     df,     df,     df, 
da'    db'    de'    dt 

a/ä,  df^'sf,    H, 

da     db      de'    dt 
dF     dF     dF      ^ 
da'   db'    de'    " 

=  0, 

250  Kleinere  Mittheilungen. 

I  welche,  mit  der  Gleichung  2)  verbunden,  diejenige  Curve  auf  der  gegebenen 

Systemfläche  bestimmt,  für  deren  Punkte  die  Bahncurven  mit  den  Bahn- 
curven  unendlich  naher  Punkte  derselben  Systemfläche  sich  zur  Zeit  t 
schneiden. 

Alle  der  Zeit  t  entsprechende  Durchschnittspunkte  bilden  im  Baume 
eine  Curve  und  wir  erhalten  die  Gleichung  derselben,  wenn  wir  aus  fünf 
Gleichungen  1),  2)  und  6)  die  drei  Coordinaten  a,  h  und  c  eliminu-en. 
Wenn  wir  aus  den  so  erhaltenen  zwei  Gleichungen  die  Zeit  t  oder,  was 
dasselbe  ist,  a^hyCt  aus  den  fünf  Gleichungen  1),  2)  und  6)  eliminiren, 
so  erhalten  wir  die  Gleichung  einer  Fläche  K,  welche  durch  alle  solche 
Curven  gebildet  wird. 

Die  Verallgemeinerung  des  Satzes  von  Burmester  besteht 
darin,  dass  diese  Fläche  mit  der  Enveloppe  verschiedener 
Phasen  der  gegebenen  Systemfläche  zusammenfällt.  In  der 
That  kann  die  Gleichung  dieser  Enveloppe  auch  folgendermassen  abgeleitet 
werden.  Die  Verschiebung  eines  System  punktes,  welcher  zur  Zeit,  i  sich  in 
der  Enveloppe  befindet,  geschieht  in  der  Tangentialebene  zur  Fläche  3);  sie 

I  muss  daher  der  Bedingung 

I  ^  dx  dt^dy  dt^dz  dt 

!  genügen.     Das  erste  Glied  dieser  Gleichung  wird  mit  der  Determinante  6) 

j  identisch,  wenn  man  nur  in  diese  Gleichung  anstatt  x^  y^  z  die  Variablen 

;  a,  h^  c  einführt.     Wenn   man  nämlich  in   die  Function    0{x^y^z^t)  mit 

Hilfe  der  Gleichungen  1)  wieder  a^  h^  c  einsetzt,  so  verwandelt  sich  diese 

Function  in  F(a,  &,  c);  daher 

dO  dx     dO  dy     d(P  dz  _dF 
dx  da     dy  da      dz  da      da 
dOdx     dOdy     d0d£      dF 
dx  dh^dy  dh'^  dz  dh'^dh' 
dO  dx     dQ  dy     dO  dz_  _dF^ 
dx  de     dy  de      dz  de      de 

dO    dO     dO  ^  n\    ' 

Wenn  wir  hieraus  t — »   -;—  >  -r—  bestimmen  und  in  die  Gleichung  7)  em- 
öx      dy      dz 

setzen,  erhalten  wir  die  Gleichung  6).     Es  kann  also  die  Gleichung  der  von 

der  Systemfläche  gebildeten  Enveloppe  durch  die  Elimination  von  a^h^c^t 

aus  den  Gleichungen  1),  2)  und  6)  erhalten  werden,  wodurch  die  Identitfit 

dieser  Enveloppe  und  der  Fläche  K  bewiesen  ist. 

St.  Petersburg.  P.  Somoff. 


Kleinere  Mittheilungen.  251 


XTTT.  TTeber  einen  aus  der  Fotentialtheorie  hergeleiteten 
geometriBchen  Sats. 

Auf  einer  Geraden  XY  seien  die  Punkte  Ä^  B,  C  etc.  gegeben  und 
zwar  in  der  Reihenfolge  X,  -4,  B,  C...  Y,  Wir  setzen  die  zwischen  je 
zwei  benachbarten  Punkten  liegenden  Entfernungen -äJ9,  BC,  CD  etc.  resp. 
gleich  aj,  Og,  a^  etc.  Die  Gerade  XY  sei  gleichmässig  mit  Masse  belegt 
und  zwar  auf  jeder  Längeneinheit  mit  der  Masseneinheit.  Das  Potential 
jeder  Strecke  «j ,  a^  ...  für  einen  ausserhalb  der  Geraden  X  Y  liegenden 
Punkt  P  lässt  sich  leicht  angeben,  wenn  man  die  Strecken  PÄ,  PB,  PC ... 
bezüglich  mit  f  ^ ,  rg ,  r^  etc.  bezeichnet.    Durch  Integration  findet  man ,  dass 

-^-j~ ^)  besitzt, 

und    das    Potential    von    Oo  den  Werth    logl  ^,    ^ — -]*     Das   Potential 

^^-a  +  ra-V 

der  ganzen  Strecke  ßi+o»  ist  aber  =log[-^ — - — — ' — —  )•     Da  nun  das 

Potential  der  Summe  zweier  Massen  gleich  der  Summe  der  Potentiale  der 
beiden  Massen   ist,    so  muss  die   Summe  der  beiden  ersten  Logarithmen 
gleich  dem  dritten  Logarithmus  sein.     Hieraus  folgt  die  Relation: 
n  r^+r^  +  ai   r2  +  r^+a2^r^+r^  +  a^  +  a^ 

n  +  *'»  — «1   *'2  +  *'s  — »2      *'i  +  *"8-fli-«2 
Diese  Beziehung  lässt  sich  auch  direct  nachweisen. 

Wir  wollen  Gleichung  1)  noch  auf  andere  Form  bringen.  Das  Dreieck 
ÄBP  habe  den  Umfang  S^,  das  Dreieck  BCP  den  Umfang  S^,  das  Dreieck 
äCP  den  Umfang  S,  so  ist 

o^  ^1 ^2       ^  S 

^  S^^2a^  5g-2a2     S^2{ai  +  a^) 

Sei  nun  d^  der  Durchmesser  des  dem /\  ÄBP  einbeschriebenen  Kreises ,  so 

ist  5jdi  =  4/=2a,  Ä,  wo  h  den  Abstand  des  Punktes  P  von  der  Geraden 

2a        d 
XY  bedeutet,  also  — i  =  ^«     Demnach  geht  2)  über  in 

3)  111 


h  h  h 

wo  d  der  Durchmesser  des  dem  ^ACP  einbeschriebenen  Kreises  ist. 

Die  Relation  1)  lässt  sich  sofort  verallgemeinern,  wenn  man  statt  der 
zwei  Potentiale  von  a^  und  a^  gleich  n  Potentiale  der  Strecken  a^  bis  a„ 
einführt    Man  erhält  so  folgenden  Satz: 

Wenn  in  einem  Dreiecke  n— 1  Gerade  vonder  Spitze  Cnach 
der  Basis  AB    gezogen  werden,    so  gilt  für  die  Durchmesser 


252  Kleinere  Mittheilungen. 

dl,  dg  ...  dn  der  in  die  n  Theildreiecke  eingezeichneten  Kreise 
die  Gleichung 

0-l)(-^)-('-^)--f 

worin  h  die  Höhe  des  Dreiecks  ABC  und  d  den  Durchmesser 
des  ihm  einbeschriebenen  Kreises  bezeichnet. 

Von  Interesse  ist  folgende  Bemerkung,  die  aus  der  Vertauschbarkeit 
der  Factoren  in  4)  folgt.  Zeichnet  man  im  A^BCn  — 1  andere  Gerade 
von  C  nach  AB  und  zwar  so,  dass  n—l  in  der  neuen  Figur  gezeichnete 
eingeschriebene  Kreise  mit  n  — 1  Kreisen  aus  der  alten  Figur  übereinstim- 
men, so  muss  auch  der  w'®  Kreis  in  der  neuen  Figur  gleich  den  n**°  in 
der  alten  Figur  sein.  —  Mit  Hilfe  von  4)  lässt  sich  eine  Beihe  geometri- 
scher Aufgaben  lösen.  Wenn  verlangt  wird,  dass  im  ^ABC  von  Onach 
AB  n—1  Gerade  so  gezogen  werden  sollen,  dass  die  in  den  n  entstehenden 
Dreiecken  gezeichneten  eingeschriebenen  Kreise  gleich  gross  sind,  so  findet 

(x\^  d 

1  — —j  =1—  — »  also  ist 

die  Construction  geometrisch  nur  ausführbar,  wenn  n  eine  Potenz  von  2  ist 
—  Vergleicht  man  die  identische  Gleichung 

<'-*)('-ra)0-ri)-(>-rri^J-'-' 

mit  4),  so  kann  man  die  n  Kreise  so  wählen,  dass  ^  =ä;,   ^  =  1 — 7  etc. 

ist:  nur  muss  dann  nk=^  oder  jfc  =  — r  sein. 

h  nh 

Zeichnet  man  fUr  die  n  Dreiecke  die  die  Basis  berührenden  angeschrie- 
benen Kreise  und  nennt  ihre  Durchmesser  d|,  i^  ...  4»»  so  ist 


('-f)0+l)='. 


wie  sich  leicht  geometrisch  nachweisen  lässt.     Man  kann  demnach  statt  4) 
auch  folgende  Gleichung  aufstellen: 

wo  8  der  Durchmesser  des  die  Basis  berührenden  angeschriebenen  Kreises  ist 
Leipzig.  Dr.  Niemölleb. 


XIV.  Bemerkung  mm  vorigen  Aufsatze. 

Den  von  Herrn  Dr.  Niemöller  gefundenen  Relationen  4)  und  5)  iSsst 
sich  eine  dritte  Gleichung  von  besonderer  Einfachheit  zugesellen,  nfimlieh 

^.^  ...  ^  =  A. 
^1    ^%        8n        ä 


Kleinere  Mittbeilungen. 


253 


Dieselbe  ist  geometriscb  leicbt  berzuleiten  und  fQbrt  mittels  der  Formeln 

1 


aaf  die  Resultate  4)  und  5)  zurück. 


SCHLÖMILCH. 


X7.  Zum  8ehwering*8ohen  Linienooordmatensystem. 
(Hierzu  Taf.  VI  Fig.  7  u.  8.) 

§1. 

Im  Nacb «tebenden  werde  icb  zeigen,  wie  die  im  obigen  System  böcbst 
einfachen  Gleicbungsformen  der  Centralkegelscbnitte  uv=  +  h^  und  der  Pa- 
rabel u*— t;*  =  ß*  (vergl.  Bd.  XXI  S.  278  dieses  Journals)  durch  Sätze  der 
projectivischen  Geometrie  zu  erklären  sind.  Die  duale  Herleitung  der  ent- 
sprechenden Gleichungen  in  Cartesischen  Punktcoordinaten  giebt  die  Ver- 
wandtschaft beider  Systeme  zu  erkennen. 

1.  Man  denke  sich  zwei  projecti-  1.  Man  denke  sich  zwei  projecti- 
yische  Punktreihen.  Auf  jedem  Trä-  yische  StraUbüscheL  In  jedem  der- 
ger  ist  der  unendlich  ferne  Punkt 
bemerkenswerth.  Mögen  die  beiden 
Punkte  ^,  fii  heissen,  die  ihnen  ent- 
sprechenden Qu  17.  Dann  ist 
*const.. 


wenn  a,  «^  entsprechende  Punkte  sind. 

2.  Die  unendlich  fernen  Punkte  q 

und  i/i  können  zusammenfallen.    Die 

Träger  sind  dann  parallel.    (Fig.  7.) 

Es  ist  {U'-m)v  =  const. 


selben  ist  ein  rechtwinkliges  Strahlen- 
paar bemerkenswerth.  Es  seien  dies 
die  Strahlen  st  und  s^ti.     Dann  ist 

tg{t0)  tg{siei)  =  const., 
wenn  0  und  0^  entsprechende  Strah- 
len sind. 

2.  Der  Strahl  ß  kann  mit  t^  zu- 
sanmienfallen.    (Fig.  8.) 

ilB  =  2a, 

^  ,^  .      PC      a+x 
^^(^^)  =  j^  =  — • 

^i^(^i^i)-5^=-^. 


a« 
P' 


—--4-^  =  1 


3.  Die  einfachste  Gleichung 
uv:=sV  resultirt  nur  dann,  wenn 
der  die  Träger  bestimmende 
unendlich  ferne  Punkt  richtig 
gewählt  wird.  Hier  kann  jeder 
der  unendlich  fernen  Punkte  der  beiden 
Kegelschnittsaxen  gewählt  werden. 


3.  Die  einfachste  Gleichung 
resultirt  nur  dann,  wenn  der 
Anfangspunkt  der  Zählung  der 
X  und  y  richtig  gewählt  wiYd, 
nämlich  der  Mittelpunkt 


254  Eleinere  Mittheilnngen. 

In  diesem  Verhalten  erblicken  wir  den  wahren  Zusammen- 
hang beider  Systeme. 

4.  Beim  Kreise  ist  die  Wahl  des  4.  Beim  Kreise  bestimmt  die  For- 
unendlich fernen  Punktes  beliebig«  derung,  dass  s  mit  t^  zusammenfallen 
Immer  kommt  man  zur  einfachsten  soll ,  nicht  die  Axen.  Die  Wahl  der- 
Gleichungsform.  selben  ist  willkürlich  und  f&hrt  immer 

zur  einfachsten  Gleichungsform. 

5.  Beim  Centralkegelschnitt  be-  5.  Beim  Centralkegelschnitt  be- 
stimmt die  Forderung:  „q^  soll  mit  ri  stimmt  im  Allgemeinen  die  Forderung: 
zusammenfskllen  und  die  Gleichungs-  „s  soll  mit  t^  zusammenfallen  und 
form  möglichst  einfach  sein^  zwei  die  Gleichungsform  möglichst  einfach 
allein  mögliche  Systeme.  sein"   zwei  allein  mögliche  Systeme. 

6.   Für  die  Parabel  wird  die  vorige  Darstellung  illusorisch.    In  Linien- 

coordinaten  haben  wir  die  Gleichung  u^  —  v^  =  e*.    Wenn  wir  den  Analogie- 

schluss  machen,  so  müssen  wir  setzen 

,   e  .      e 

u    ^                  2         ,    V       .                  2 
—  =  ^m= und  —  =stons= 


Es  resultirt  sodann 


i^hi^h 


oder 

y*  =  2eaj. 

7.  Wir  wenden   dasselbe  Verfahren  auf  die  Gleichungen  des  Punktes 
und  der  geraden  Linie  an. 
Es  sei  gegeben 

Es  folgt 

Ätgm  +  Btgn  +  C==0 
oder 

iA+B)x  +  Cy  +  '^^e^O 

oder 

X  ,      ,  e  — 2c       ^ 

als  Gleichung  der  dem  Punkte  entsprechenden  Geraden. 
Umgekehrt  sei  die  Gleichung  einer  Geraden  gegeben 

ax  +  hy  +  c=30. 
Für  Xq^-^  sei 


^  Vergl.:  Theorie  und  Anwendung  der  Liniencoordinaten,  von  E.  S ch wo- 
rin g.    Leipzig,  Teubner.     1884. 


und  für  a^i  «=  — •  -j^  sei 


Kleinere  Mittheilangen.  255 


«+j 


yj=:ti  =  — - — e. 


Es  folgt  dann  aus  ^Zl^  ^^^lH^ 

CÄ  +  iyy  — c5  =  0 
als  Gleichung  der  dem  Punkte  (£,17)  entsprechenden  Geraden. 


§  IL 

Es  sei  noch  gestattet,  hier  einige  kleine  Bemerkungen  zum  System 
anzuschliessen. 

1.  „Die  unendlich  ferne  Gerade  ist  Doppeltangente  einer  Curve  «*•* 
Classe,  wenn  die  Glieder  «*~  Grades  den  Factor  (w  — v)*  und  die  Glieder 
(n— 1)*«  Grades  den  Factor  ti— t;  enthalten." 

Der  Beweis  folgt  sofort  aus  dem  umstände,  dass  die  Punkte  der  un- 
endlich fernen  Geraden  durch  die  Gleichung  u  — t7=:a  dargestellt  werden. 

2.  Der  Krümmungsradius  der  Curve  JP(w,v)  =  0  wird  gefunden  durch 
die  Formel 

{p^  9»  ^'  ^'  ^  süid  Abkürzungen  für  die  ersten  und  zweiten  partiellen  Ab- 
leitungen von  JP(u,t;]  nach  u  und  t;.) 

3.  Um  eine  Gleichung  in  Cartesischen  Punktcoordinaten  in  Schwe- 
ring'sche  Liniencoordinaten  überzuführen,  dienen  die  Gleichungen 

«  =  y  +  g(a-*).     «  =  y-^(a+x). 

Bekanntlich  lautet  die  Gleichung  der  Tangente 

Nimmt  man    nun   für  x=±^a   y  =  u  resp.  v,    so  folgert  man  dieselben 
sofort,  wenn  man  noch 


256  Kleinere  Ifittheiliuigeii. 

dF 

dF  dx 

dx 
setzt. 

Hierzu  ein  Beispiel.     Die  Gleichimg  (a;*— y*)(y*+4ft*)  =  46*  soll  in 

Liniencoordinaten  nmgeformt  werden.    Man  setze  für  den  Augenblick  &  =  1. 

Durch  die  Substitutionsformeln 

cof2a)  fbt2a) 

x= — ■ — 1    y^^' 

cof«  cof» 

erhftlt  man  mit  Hilfe  des  Parameters  A=>CDfo)  die  verlangte  Gleichung  in 
der  Form 

[3(w-tO*-4ut;-16ft«P  =  27(u«-t;«)«(u+t;)«. 

Füchtorf,  20.  März  1885.  W.  Ebimphoff. 


.^ 


■    CCT241£86 

Zeitschrift 


für 


Mathematik  und  Physik 

herausgegeben 

unter  der  verantwortlichen  Redaction 
von 

Dr.  O.  Sohlömiloh,  Dr.  E.  EaM 

und 

Dr.  M.  Cantor. 


80.  Jahrgang.    5.  Heft. 


Ausgegeben   am   5.  October   1885. 


Leipzig, 

Verlag  von  B.  G.  Teubner. 

1885. 


Anw  \^  Srhnftf^T!  vnn  mir  ^eitf»!! 

Kurie   iti   Aug?^iMir|^   im    »-  *lii*Kfr 

2um  Abtlrnt'k  Komuieii  wird,     Kmstwi?ileii  w  lM5iu«?rlci,  il- 
liel      '^         "  ^     "  '     mmd*'ti  BpIl.     ' 

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z vvtM  f  -Ml  üi  t*mer  A  en8.^i*j*uJig  zum  1   __       r r/.e  ir )  l  i  i 
\i   dt^r  firiile»   nur  eim^  schwer  begml' 

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Stuttgart,  August  1  j,  j,  We>raue!i. 


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vti    ^  Mit  410  Holz.sciinitten  imd  849  Auigui>cu  : 

I-  s  Mark  40  iK 


J.  H.  Mptxior'ftciter  Terlni;^  Mtitlti;;u  u 

Soö'beii   verliefts   rlie  I*rea«e   uiul   hi  dutcb  Jeil^  Buclitiaadltt&g,  aueh  nir 

Die  Berwchnuog  der  tr!«^<?noitietrischeri  Vermessungeii.  M»*^  T?n.i- 
»ichl  auf  die  sphüroidische  (Vcjstitlt  d<*r  Erde*    Von  J«  O,  F.  ^ 

b^rger.  Deut^^^he  Bearbeitung  der  A^'      "  V^' 

Ton  E*  11  am  in  er,  Prof,  am  k  Pol 

R'^li  II v^iibo  i"k'<:' rV   ^uc1)!JL-f?tH  L!'?<>rlafirt^-!ie'  Alib;iij<llt]rii?  ön*L'li»^7»ti    n 


i»-f   iiie    Klom«^it« 


CCT241885 


xni. 

üeber  die  Vertheilung  der  induoirten  Elektrioität 
auf  einem  unbegrensten  elliptischen  Cylinder. 

Von 

Dr.  Rudolf  Besser 

in  DrMden. 


Die  üntersuchangeD  Aber  die  Yertheilang  der  Elektricität  und  Wärme, 
welche  im  Wesenilichen  auf  die  Integration  der  Differentialgleichung  des 
Potentials  JV=i  0  hinauskommen,  sind  auf  fast  alle  Körper,  die  von  Flttchen 
zweiten  Grades  begrenzt  werden ,  ausgedehnt  worden.  Nachdem  schon  früher 
die  geschlossenen  Flfichen  zweiten  Grades  behandelt  worden  waren,  hat  man 
sodann  auch  ungeschlossene  Flächen  in  das  Bereich  der  Betrachtung  gezogen, 
so  z.  B«:  den  Kreiscjlinder  durch  Kirch  hoff  und  Heine*,  den  Kreis- 
kegel durch  Herrn  Mehler**,  das  Botationsparaboloid***,  bei  welchem  Herr 
Baer  die  Theorie  der  Wftrmevertheilung  behandelte,  während  sich  die  For- 
meln far  die  elektrische  Vertheilung,  wie  ich  mich  überzeugte,  ebenfalls 
sehr  leicht  aufstellen  lassen,  und  schliesslich  auch  das  zweitheilige  Bota- 
tionshjperboloid  durch  Herrn  Arendtt. 

Ich  versuche  in  den  nachstehenden  Zeilen  einige  der  Fnndamentalattf- 
gaben,  betreffend  das  Flächenpotential  eines  elliptischen  Gylinders,  in 
ähnlicher  Weise  und  mit  Anwendung  derselben  Methoden  zu  bearbeiten, 
wie  dies  von  Heine  a.  a.  0.  mit  den  entsprechenden  Aufgaben  für  den 
Kreiscjlinder  gethan  worden  ist. 

Diese  Aufgaben  sind  im  Wesentlichen  folgende: 

1.  Das  Potential  einer  durch  ihre  Dichtigkeit  gegebenen  Flächenbelegung 
eines  elliptischen  Cjlinders  fflr  äussere  und  innere  Punkte  desselben  zu  be- 
stimmen ; 

2.  das  Potential  fUr  äussere  und  innere  Punkte  zu  ermitteln,  wenn 
sein  Werth  auf  der  Oberfläche  des  Cjlinders  gegeben  ist. 

Im  Anschluss  an  diese  beiden  Aufgaben  wird  noch  die  Green 'sehe 
Belegung  und  Green 'sehe  Function  eines  elliptischen  Cjlinders  aufgesucht 
nnd  damit  das  Problem  der  inducirten  Elektricität  gelöst. 


*  Crelle's  Journal,  Bd.  48  S.  848-876;  -  Heine,  Kugelfanctionen,  U.  Bd. 
S.  173  flg. 

**  Programm  des  Gjmnasiums  zu  Elbing.    1870. 
***  Programm  des  Gjmnasiums  zu  Cüstrin.     1881. 
t  Diis.    Dessau,  1884. 

ZellMlirtft  f.  KAthemfttlk  a.  Physik  XXX,  5.  17 


258  üeber  die  Vertbeilung  der  inducirten  ElektriciiÄt  etc. 

Die  Auflösung  dieser  Aufgaben  bedarf  einiger  Vorbereitungen. 

Es  ist  zunächst  die  partielle  Differentialgleichung  zweiter  Ordnung: 

welcher  jedes  Potential  zu  genügen  hat,  für  den  elliptischen  Cjlinder  zu 
integriren.  Die  Integration  erfolgt  durch  Reduction  obiger  Gleichung  auf 
gewöhnliche  Differentialgleichungen.  Die  hierbei  entstehende  Frage,  bei 
welchen  Gylinderflächen  eine  Reduction  dieser  Gleichung  auf  gewöhnliche 
Differentialgleichungen  möglich  ist,  wird  dahin  beantwortet,  dass  nur  Cylin- 
derflächen  zweiten  Grades  eine  Reduction  zulassen.  -  •  Nachdem  wir  den 
allgemeinen  Ausdruck  für  F hergestellt  haben,  entwickeln  wir  die  reciproke 
Entfernung  zweier  Punkte  und  gelangen  dann  zur  Lösung  unserer  zwei 
Hauptaufgaben. 

Von  besonderem  Interesse  wird  die  Aufgabe  dadurch,  dass  zu  ihrer 
Lösung  die  wohl  zuerst  von  Heine  eingeführten,  von  ihm  als  ;,FunctioneD 
des  elliptischen  Cylinders*'  bezeichneten  Functionen  augewandt  wer- 
den, welche  sich  zu  den  aligemeineren  Lam6*schen  Functionen  ähnlich  ver- 
halten, wie  die  Cylinder-  oder  B es seTschen  Functionen  zu  den  Laplace- 
schen  Kugelfunctionen.  Ich' bemerke, -dass  diese  Functionen,  wie  a  priori 
zu  erwarten  war,  auch  bei  der  Lösung  der  auf  das  elliptische  Paraboloid 
sich  beziehenden  Potentiataufgaben  auftreten ,  dessen  Untersuchung  ich  später 
auszuführen  gedenke. 

Heine  behandelt  von  Potentialaufgaben,  betreffend  den  elliptischen 
Cylinder,  nur  eine:  das  Potential  für  innere  Punkte  zu  bestimmen,  wenn 
sein  Werth  auf  dem  Mantel  und  den  beiden  Grenzflächen  gegeben  ist.  Ich 
beschränke  mich  auf  die  Betrachtung  eines  unendlich  langen  Oylinders. 


§1. 

Integration  der  Qleiohung  dV^O. 
Man  integrirt  bekanntlich  die  Differentialgleichung  des  Potentials 

d^V     d^V     a*7      ^ 
'  dx'     cy^      dz'' 

dadurch,  dass  man  zunächst  statt  der  rechtwinkligen  Coordicaten  Xy  y^  e 
orthogonale  krummlinige  Coordinaten  p,  p, ,  q^  von  solcher  Beschaffenheit 
einführt,  dass  die  den  betrachteten  Körper  begrenzende  Fläche  zu  einer  der 
Schaaren  q  =  const, ,  q^  =  const. ,  g^  ==  const,  gehört.  Dann  veraucht  man  der 
Gleichung  1)  durch  eine  partikuläre  Lösung  von  der  Form  U[g),  Ff^j).  Wig^] 
zu  genügen,  wo  die  Functionen  t/,  7,  W  nur  von  je  einem  Argumente 
abhängen  und  sich  durch  gewöhnliche  Differentialgleichungen  zweiter  Ord- 
nung  bestimmen.      Nicht    für  alle  Flächengattungen   ist  eine  solche   Re 


Von  Dr.  R.  BEasBR.  259 


duction  möglieh,  llerr  Wangerin  fand*,  dass  sich  fttr  RotationsBUchen 
z.  B.  die  Gleichung  1)  nur  dann  in  der  angegebenen  Weise  behandeln  iKsst, 
wenn  sewischen  den  rechtwinkligen  Coordinaten  x  und  r  der  Meridiancurve 
die  Beziehung:  x  +  ir  =  F{t+iu) 

besteht  und  die  Function  F{t  +  iu)  überdies  so  beschaffen  ist,  dass 

F'(t  +  iu).F'{t''iu) 

in  zwei  Theile  zerföllt,  deren  einer  nur  von  t^  deren  anderer  nur  von  u 
abhängt.     Die  Discussion  obiger  Bedingung  führt  dann  zu  dem  Ergebnisse, 

^^  ,  .        a  +  ßsmam{t+iu) 

a+ß  stnam{t  +  %u) 

sein  muss,  wo  rechts  an  Stelle  von  sinam  auch  cos  am  oder  tanam  stehen  kann. 

Die  Frage,  für  welche  Cy  linder  flächen  die  Gleichung  1)  auf  ge- 
wöhnliche Differentialgleichungen  zurückftlhrbar  ist,  lässt  sich  mit  Hilfe  der 
von  Herrn  Wangerin  benutzten  Methode  beantworten. 

Ist  die  x-Axe  des  Coordinatensjstems  zugleich  die  Cylinderaxe,  sind 
femer  in  der  ^iP- Ebene  zwei  orthogonale  Curvenschaaren  durch  ihre  Para- 
meter Q  und  p|  gegeben,  deren  einer  die  Leitcurve  des  Cylinders  angehört, 
so  definiren  die  Gleichungen: 

2)  x:==x,    y  =  f{Q,Qi),    ^  =  A(e»^i) 

die  Coordinaten  eines  Punktes  der  betrachteten  Gylinderfläche. 
Setzt  man  nun: 

3)  y=ak  coshx  .Vk-\-hk  sinhx  .  Wk , 

wo  akj  hk  und  h  beliebige  Constanten,  Vjk  und  Wk  aber  Functionen  sind, 
die  ausser  von  h  auch  von  q  und  g^  abhängen,  so  ergeben  sich  für  diese 
die  identischen  Differentialgleichungen: 

(     ay«  ^  dt*         * 

oder,  wenn  man  (f  und  p,  statt  y  nnd  e  oinftthrt: 


WO  sich  Ä  und  B  aus  der  Gleichung: 

5)  dy^  +  dz^  =  ÄdQ^  +  Bde^* 

bestimmen. 


*  Monalsber.  d.  Berl.  Akad.  d.  W.  1878,  S.  162-166. 


17- 


260  üeber  die  VertheiluDg  der  inducirten  Elektricitfit  etc. 

Macht  man  nun  mit  Wanger  in  die  Annahme: 

wo  l  von  Q  und  g^,  aber  nicht  von  h  abhftngt,  so  findet  man,  dass  sichE 
nnd  12|  nur  dann  aus  gewöhnlichen  Differentialgleichungen  zweiter  Ordnung 
bestimmen  lassen,  wenn  erstens  zwischen  y  und  g  die  Gleichung: 

6a)  y  +  i0^F(t  +  iu) 

besteht  und  zweitens  F{t+iu)  so  beschaffen  ist,  dass 

6b)  F'(t  +  iu).F'{t-iu)^g{t)+h(u). 

t  und  u  sind  dabei  gewisse  nur  von  g  bez.  P|  abhängende  Functionen.  Man 
erhält  also  ganz  ähnliche  Bedingungen  wie  bei  den  Rotationsflächen.  Die 
Einzelheiten  der  Untersuchung  glaube  ich  hier  übergehen  zu  dürfen,  da  die 
Wange rin*schen  Formeln  fast  unverändert  angewandt  werden,  und  yer- 
weise  deshalb  auf  die  schon  citirte  Abhandlung  des  Herrn  Wangerin. 
Ist  zur  Abkürzung: 

80   fahrt  die  Bedingungsgleichung  6b)   leicht  zu  der  Differentialgleichung: 

F"\fD)      r'Xai) 
F'iai)  "^  F\io) 


oder: 

'  const,  =  w 


F"'(<o)_..^^^. 


Die  Integration  dieser  Differentialgleichung  dritter  Ordnung  aber  liefert: 

J(o.)  =  J'(<  +  ttt)  =  y  +  —  c-<'+'«>  +  ^e- "<'+•-', 

worin  a,  /?,  y  neue  beliebige  Constanten  bezeichnen.     Somit  folgt: 

Die  Differentialgleichungen  4)  oder  4  a)  lassen  sich  nur  dann  auf  ge- 
wöhnliche Differentialgleichungen  reduciren,  wenn  zwischen  den  rechtwink- 
ligen Coordinaten  y  und  is  der  Directrix  des  Cjlinders  die  Gleichung: 

^  ^  '      f»  m 

besteht.     Dann  sind  t  und  u  die  Parameter  confocaler  Kegelschnitte. 
Dies  giebt  also  das  weitere  Resultat: 
Die  Differentialgleichiyig  des  Potentials 

lässt  sich  nur  bei  Cylinderflächen  zweiten  Grades  auf  gewöhn- 
liche Differentialgleichungen  reduciren. 

Die  Aufstellung  dieser  Differentialgleichungen,  welche  keinen  Schwie- 
rigkeiten unterliegt,  möge  hier  unterbleiben,  da  es  bequemer  ist,  die  Cylin- 
derflächen zweiten  Grades  gesondert  zu  betrachten.* 

*  Der  Nachweis,  dass  die  Differentialgleichung  4): 


Von  Dr.  B.  Bsssbr.  261 

Beim  elliptischen  Cylinder  kann  die  Gleichung  7)  durch  die  einfachere 
Gleichung: 

8)  p+ig^c.cas{t  +  iu) 
ersetzt  werden ,  aus  welcher 

9)  y  =  ccostcosiu^    e^icsintsiniu 
folgt 

Aus  9)  ergiebt  sich: 

10)        ^    i      ''      ^1    .  y* ?L_=,i 

80  dass  die  Gleichung  u  =  const.  confocale  Ellipsen  mit  den  Halbaxen  c  cosiu 
und  icsiniu^  die  Gleichung  t^=^c(mst,  confocale  Hyperbeln  mit  der  gemein- 
samen Excentricitftt  c  darstellt. 
Die  Gleichungen: 

11)  x=^Xy    y^ccostcosiuj    z=icsintsiniu 

reprSsentiren  daher 

fOr  x^canst.  parallele  Ebenen, 

für  u  e=  canst,  elliptische  Cylinder, 

fttr   t'^const.  hyperbolische  Cylinder. 

Aus  ihnen  folgt  für  das  Quadrat  des  Linienelements  ds  der  Werth: 

12)  ds'^-dsc^  +  ^idu^  +  dfl), 
wenn: 

j3)  ^^  ■^{co82iu  —  co82t). 

Da  allgemein: 

so  ist  die  Bedingung  6b)  erftült,  und  zwar  ist: 

g{t)  =  —  -n-  cos2t,      Ä(w)  =  ^  cos2iu. 

Wir  sind  nun  im  Stande,  die  Differentialgleichungen,  welche  für  die 
unbekannten  Functionen  besteben,  aufzustellen. 

Die  Gleichung  4a)  für  Vk  geht,  wenn  man  darin  die  Coordinaten  g 
und  p|  mit  t  und  u  vertauscht,  da 


sich  nur  dann,  wenn  y  und  0  durch  eine  Gleichung  von  der  Form  7)  verbunden 
sind,  auf  gewöhnliche  Differentialgleichungen  reduciren  Iftsst,  ist  zum  Tbeil  schon 
von  Herrn  Weber  in  seiner  Abbandlang  „Ueber  die  Integration  der  partiellen 

Differentialgleichung  |^  +  |!!f  + A;«t*  =  0«  (Math.  Annal. ,  Bd.  I.  S.  1-32)  geführt 

worden  {l.  c.  S.  27).  Herr  Weber  nimmt  indessen  von  vornherein  an,  dass  die 
neuen  Coordinaten  £,  rj  mit  den  gegebenen  Xy  y  durch  eine  Gleichung 

«)  «  +  ty=A4  +  »i7) 

verbunden  sind,  und  bestimmt  unter  dieser  Annahme  die  Form  von  /"(S  +  ti?), 
während  wir  die  Nothvrendigkeit  jenes  Zusammenhanges  «)  gezeigt  haben. 


262  üeber  die  Vertheilung  der  indncirten  Elektricität  etc. 

A  =  B=^^  =  -^  (co82iu  —  co82t)^ 
über  in: 

Setzt  man: 

Vu{uyt)=^U{u).TKt). 

80  ergeben  sich  für  U  und  T  die  Oleichangen: 

^^)  I^+C^'^^*  +*»)r=o. 

worin  Xs  eine  neue   willkürliche  Constante  bezeichnet,   welche   neben  h  als 
Parameter  in  U  und  T  eingeht. 

Die  Gleichung    15)    geht   durch    die   Substitution  u  =  iw  in   die   der 
Gleichung  16)  analog  gebaute  Gleichung: 


^+(^^2„  +  ..)p=0 


über;  die  Integration  von  15)  wird  daher  durch  die  von  16)  geleistet. 

Die  durch  die  Gleichungen  15)  und  16)  definirten  Functionen  siod 
zuerst  von  Heine  nSher  untersucht  und  von  ihm  Functionen  erster 
Art  des  elliptischen  Cylinders  genannt  worden.*  Wir  bezeichnen 
sie  nach  ihm  durch  (S(tu)^  bez.  (S(0»  und  die  zweiten  partikulftren  Inte- 
grale von  15)  und  16),  die  Functionen  zweiter  Art  des  ellipti- 
schen Cylinders,  durch  S(iu),  bez.  ^if)^  indem  wir  einstweilen  von  der 
Abhängigkeit  dieser  Functionen  von  den  Parametern  h  und  Ä;  noch  absehen. 

Heine  nimmt  c=  1  an  und  führt  zwei  Constanten  ß  und  s  statt  h 
und  Ä;  ein,  welche  mit  h  und  h  durch  die  Gleichungen: 

zusammenhängen. 

Die  Gleichung  14)  wird  nach  dem  Obigen  durch  Producte: 

eu)eM,  e(og(it*),  eM^(o.  5(0 SM 

integrirt.     Mit  Bücksicht  auf  die  Gleichung  3)  finden  wir  dann,  dass  sich 
die  Lösung  der  Gleichung: 

aus  Partikularlosungen  von  den  Formen: 

coshx{&{%u){&{f),    C08hx^{%u)^{t),    co«Äa?g(iw)  6(0,    co8hx%{iu)%(t\ 

sinhx(&\%u)(&{t),   sinhx^{iu)%{t),   8inhx^{iu)^{f)^   sinhx^{iu)^{f) 

zusammensetzt. 


*  Kugelfunctionen  I,  S.  401,  404,  405  flg. 


Von  Dr.  R.  Bebsbr.  263 

Die  allgeineine  Lösung  V  erhttlt  man  durch  Summation  aller  besonde- 
ren Lösungen,  die  dadurch  entstehen «  dass  man  den  Parametern  h  und  k 
alle  zulässigen  Werthe  beilegt.  Denkt  man  sich  F,  als  Function  von  x- 
betrachtet,  in  ein  Fourier'sches  Integral  entwickelt,  so  folgt,  dass  man 
Dach  h  integriren  darf,  während  man  für  jedes  einzelne  h  eine  unendliche 
Menge  von  k  findet  und  also  alle  Partikularlösungen,  die  zu  demselben  h 
gehören,  zu  summiren  sind. 

y  läset  sich  sonach  unter  der  Form: 

V=zJ  dh{aA  coshz  F*  +  h^  sinhx  W^) 
0 
darstellen,  wo  Vk  und  Wk  Aggregate  von  Producten  der  6  und  %  sind. 


Entwiokelung  der  Functionen  erater  Art  des  elUptisohen  Cylinders.* 

Zur   weiteren  Entwickelung  der  Functionen  (S  gehen  wir  am  bequem- 
sten von  der  Gleichung  16)  aus,  welche  lautet: 

Heine  integrirt  diese  Gleichung  durch  die  trigonometrische  Reihe 

17)  (g  =  ^  Co  +  ^, "  (c«  cosnt  +  Sn  sinnt). 

Die  Substitution  von  17)  in  16)  ergiebt  die  Gleichung: 
Y(h(k^  +  ^<^s2t^+2!'\cn(k^-n^)^^^ 

+  jCnC08{n  +  2)A 

+  ^,»  ls„{k^'-n^)sinnt  +  -j8nSin{n  —  2)t 
+  ^Sn8in{n+2)^=^0, 

wobei   zur  Abkürzung  hc^=k  gesetzt  worden  ist     Hieraus  erhält  man  fol- 
gende Gleichungen  zur  Bestimmung  der  c„  und  Sni 


*  üeber  die  Integration  der  Gleichung  16)  handelt  neuerdings  Herr  Linde- 
mann  (Math.  Ann.,  Bd.  22,  S.  117—123).  Er  betrachtet  aber  nicht  unsem  Fall,  bei 
welchem  die  Auswahl  der  Constanten  k  beschränkt  ist,  sondern  integrirt  die  Gleich- 
ung mit  Anwendung  Herrn  ite*8cher  Methoden  för  beliebige  h  und  k. 

Vorher  ist  diese  Gleichung  auch  von  Herrn  £mile  Mathieu  in  seiner  Ab- 
handlung „Sur  le  mouyement  vibratoire  d'ane  membrane  de  forme  elliptique*' 
(Joum.  T.  Liouville,  U.  Serie,  T.  XUI  B.  137-203)  behandelt  worden. 


264  Ueber  die  Vertbeilung  der  inducirten  Elektricität  etc. 


18  a) 
Ferner: 

18  b) 

dann: 
18c) 

endlich : 
18d) 


^QoCq  +  c^sszO,  und  als  allgemeine  Gleichung: 


C8  +  g4^4  +  CB  =  0, 


m  =  l,2,3, 


Dabei  ist  überall 


(g,  +  l)c,         +Cs        =0, 

m=:l,2,3,  ...; 
«Ä         +Si    q^     +Sfi         =0, 

m  =  2,3,  ...; 

52m  — I  +(/2i»  + 1^2111  +  1  +«2111  »  »  =  ^i 
IW=1,2,3,   ... 

4(&«-n«)      4(Ä;«-n«) 


Diese  Gleichungen,  aus  denen  man  alle  Cn  und  Sn  durch  c^,  C|  bez.  Sq  und 
9,  ausdrücken  kann,  zeigen,  dass  für  jedes  h  die  Functionen  (£  in  vier 
Classen  zerfallen,  von  denen  die  erste  und  zweite  nach  den  Cosinas  der 
geraden  und  ungeraden,  die  dritte  und  vierte  nach  den  Sinus  der  ungeraden 
und  geraden  Vielfachen  von  t  fortschreitet.  Bezeichnet  man  daher  durch 
(5^  (g^,  (g™  und  (g>v  diese  vier  Classen,  so  ist: 

jQ.  6°  (0=  Cicast    +C3CM3/  +  ..., 

(giv  (^) 5=  5^ 5£^2<  +  s^am4t  +  ... 

Die  Coef&cienten  c  und  8  jeder  Beihe  hängen  vom  ersten  CoefGcienten  ab 
und  sind  im  üebrigen  ganze  Functionen  von  k^  und  k^K 

Man  erkennt  leicht  die  Analogie  der  vier  Classen  der  (S  mit  den  vier 
Classen  der  L am 6 'sehen  Functionen;  sie  lassen  sich  aber  nicht  wie  diese 
durch  endliche  Beihen  darstellen.  Denn  setzt  man  in  die  Gleichung  16) 
statt  der  unendlichen  Beihe  17)  eine  mit  cosnt  und  sinnt  abbrechende  end- 
liche Beihe  ein,  bestimmt  dann  die  Coefficienten  c  und  $  aus  den  Gleich- 
ungen 18),  so  würden  diese,  was  z.  B.  die  c  anlangt,  mit 


Von  Dr.  R.  Bbssbb.  265 

Ca=0,      emqn  +  Cn-7^0 

abscbliessen.  Cu  ist  der  Coefficient  ▼on  cas(n  +  2)t^  Ca^a  +  c«— >  der  Coeffi- 
cient  von  casnt  Diese  Gleichungen  sind  aber  nur  durch  Ca  =  0,  ea.3  =  0 
zn  erftülen,  und  dann  würden  auch  alle  anderen  c,  also  c«.4,  Ca-e»  ••• 
gleich  Null  sein  müssen.  Das  Oleiche  gilt  von  den  8,  Hierdurch  ist 
die  Bichiigkeit  der  vorigen  Behauptung  erwiesen.  Damit  aber  die  Reihen 
19)  convergiren,  müssen  in  ihnen  die  unendlich  'weit  entfernten  Coeffi- 
cienten  verschwinden.  Diese  Bedingung,  welche  sich,  wie  Heine  zeigt, 
auch  als  das  Verschwinden  der  unendlich  entfernten  Nttherungsnenner  und 
•  Zfthler  zweier  Kettenbrüche  darstellen  Iftsst,  giebt  eine  Oleichung  un- 
endlich hohen  Grades  in  k  und  A,  aus  der  sich  für  jedes  h  unendlich  viele 
Losungen  k  ergeben.  Dieselben  mögen  der  Reihe  nach  mit  k^,  k^^  k^^  ... 
bezeichnet  werden.  Es  ist  nicht  schwierig,  die  ungefithre  Form  dieser 
Gleichungen  festzustellen.  So  findet  man  z.  B.^  dass  sich  oim  durch  eine 
Gleichung  der  Form 

20)  Cj«,=Cb((g2m-2^2m-4       •  Qq)  +  Gm-2  +  Om  -  A  +  •  -    ] 

ausdrückt,  worin  die  G  Aggregate  von  ^-Producten  sind,  deren  jedes  aus 
soviel  Factoren  q  besteht,  als  der  Index  von  G  angiebt.  Der  erste  Posten 
besteht  aus  m  Factoren  g,  in  den  folgenden  ftllt  die  Factorenzahl  inuner 
um  2,  mithin,  da  jeder  Factor  q  vom  zweiten  Grade  in  k  und  l"^  ist,  der 
Grad  in  k  und  l"^  um  4.     Hebt  man  il"^"*  aus,  so  kann  man  auch 


C  ..,.      ^ 52, 


21)        ^-«j^[(*'--2m-2^)(Ä«--2m-7).  .(&«-2«).*« 

setzen.     Aehnliche  Formen  besitzen  auch  die  Werthe  für  02^-1-1,  82m  und 

Die  Integrale  der  Differentialgleichung  15)  ergeben  sich  nach  früheren 
Bemerkungen  aus  denen  der  Gleichung  16)  durch  Vertauschung  von  t  mit  iu. 
Sie  lauten  also: 

g^   (tw)  =  ^c;,-f-c,aw2ftt  +  C|a>«4itt  +  ..., 

6^"(ttt)=  8^8in  iu  +  8^8inSiu+...y 

(g^($u)  =  8^8m2iu+8^8mAiu  +  ...^ 

worin  die  Coefficienten  c  und  5  genau  dieselben  Werthe  wie  in  19)  haben. 
Noch  sei  bemerkt,  dass  man  durch  die  Substitution: 

C8ints=:x 
die  Integrale  19)  in  Form  von  Potenzreihen  darstellen  kann,  nämlich: 

&^  {x)  =  xy^^^ib^  +  &5«*  +  65a:*  +  . . . ). 


266  üeber  die  Vertheilong  der  inducirten  Elektricität  etc. 

Da  ftlr  jeden  Werth  Ton  h  anendlich  viele  Constanten  k  existiren,  so 
findet  man  für  jedes  h  unendlich  viele  Functionen  (&{t).  Das  zu  k^  gehörige 
6  möge  ausführlich  durch  (Sy  (/,  A,  A;,),  kürzer  in  der  Regel  durch  6y(i) 
bezeichnet  werden. 

Heine  zeigt*,  wie  man  angenähert  die  Parameter  X;  finden  kann. 

Am  Schlüsse  dieses  Paragraphen  mögen  noch  einige  Specialwertbe  der 
i&(t)  und  (S(itt)  angegeben  werden. 

Pur  f  =  0,   ^1  n,  -Ä-»  d.  h.  in  den  Endpunkten  der  Axen  der  Ellipse 

u  =  con8t.,  erhalten  die  (£(/)  folgende  Werthe: 

^   (S™(0)=    0,  gni(^)^0, 

ferner : 

e-(5)=o.  e-(y)=o. 

Die  Werthe  der  €  in  symmetrisch  gelegenen  Punkten  einer  Ellipse 
können  sich  nur  im  Vorzeichen  unterscheiden,  da  für  solche  Punkte  t  die 
Werthe  <,  w  — ^,  n+t,  2n—t  hat.  Folgende  kleine  Tabelle  soll  dies  dar- 
stellen. Dabei  sind  die  (S  für  Winkel  im  ersten  Quadranten  positiv  an- 
genommen worden. 


25) 


Classe:    0:    1. 

Quadr.:    ^;    2.  Quadr.:    «: 

3.  Quadr.: 

3» 
2  • 

4.  Qua 

I.       C. 

+      c,       +      c, 

+ 

c?', 

+ 

26)   n.     c. 

+           0            -       -C, 

— 

0 

+ 

III.      0 

+          S,            +        0 

— 

-8, 

— 

IV.      0 

+          0            -        0 

+ 

0 

— 

Endlich  findet  man  noch  für  tt  =  0: 

(gl    lO)  =  ici,  +  f,  +  c,  +  . 

.=c,, 

27) 

(g"(0)=           c,  +  ft,  +  .. 
e"'(0)  =»           0. 

.=(?„ 

wie  C?«>  far  t  = 

eiv(0)=       0, 

0. 

*  Kugelfunctionen,  1.  Bd    S.  406-412. 


Vou  Dr.  R.  Besser.  267 

Ans  diesen  Gleichungen  folgt,  dass  das  Prodact  @(0  •  @(i^)  im  Co- 

ordinaienanfang,    also   für   t^-^^  u  =  0,  oder  aach   für  Punkte  auf  der 

Cjlinderaxe  verschwindet,  wenn  die  Functionen  (S  von  2.,  3.,  4.  Classe 
sind,  dagegen  für  (£  der  1.  Classe  =  C|'  ist  Für  Punkte,  die  auf  den 
Azen  der  Directrix  oder  einer  zu  ihr  parallelen  Ellipse  liegen ,  verschwindet 
dies  Product  aber  nur  für  zwei  Classen  der  6. 


§3. 

Integraleigensohaften  der  Ihinotionen  C  mit  reellem  Argumente. 

Bntwidkelmig  gegebener  Ihinotionen  nach  den  C 

Die  Functionen  @(0  besitzen  zwei  Arten  von  Integraleigenschaften, 
welche  sie,  ebenso  wie  die  trigonometrischen,  die  Kugel-  und  Lam^'schen 
Functionen,  zur  Vornahme  von  Entwickelungen  gegebener  Functionen  ge- 
eignet machen.  Ich  betrachte  hier  nur  die  erste  Art  dieser  Integraleigen- 
schaften, welche  auf  die  Verwandtschaft  der  Q  mit  den  Kreisfunctionen 
hinweist,  und  welche  auch  Heine  erwfthnt  (Kugelfnnct.  I,  S.  415),  ohne 
sie  indess  abzuleiten. 

Seien  (S^  und  (S,  zwei  Functionen  6^0«  ^^®  ^u  gleichem  A,  aber  zwei 
verschiedenen  Werthen  k/^  und  A;,  von  k  gehören  sollen.  Sie  genügen  den 
Gleichungen : 

^+(^«»2(+v)e,-o. 

Aus  diesen  folgt! 

mithin  durch  Integration  nach  t  zwischen  0  und  2n: 

(V-wA,«..^<-[e,^-e.^];'. 

0 

Nun  verschwindet  aber  die  rechte  Seite  dieser  Gleichung,  wie  eine  einfache 
Rechnung  lehrt,  an  den  Grenzen  0  und  2n  stets,  sofern  nicht  die  Func- 
tionen (S^  und  @y  derselben  Classe  angehören  und  kfi^^kp  ist.  Dann  ist 
aber  die  Gleichung  an  sich  identisch.     Man  findet  also,  da  kf^^  —  k^^  nicht 

=  0,  dass: 

2« 

28)  fiS^{t)®.{t)dt^O,    ^  +  v. 

0 
Für  ^  =  V  besteht  diese  Gleichung  nicht  mehr,  da  dann  die  zu  integrirende 
Function,   [<S/|(0]^  ^^ts  positiv  ist,  das  Integral  also  nicht  verschwinden 


268  üeber  die  Vertheilung  der  indacirten  Elektricitftt  etc. 


kann.     Es  ist  vielmehr  gleich  einer  gewissen  Gonslanten,  deren  Werih  von 

dem  Werthe  des  Anfangsgliedes  in  der  Entwickelang  von  (^^  abhftngt    Wir 

denken  uns  dasselbe  so  bestimmt,   dass  die  Constante  =n  gesetzt  werden 

kann,  so  dass: 

2n 

28  a)  fi^„{t)Yät^n. 

b 

Die  Gründe  für  diese  Wahl  werden  später  erhellen. 

Man  bemerkt,  dass  diese  Formeln  den  bekannten  Integraleigenschaften 

der  Kreisfnnctionen : 

2« 

I  cosm'poosntpdfp^O,    m^n, 
b 

2» 


/' 


S3I 


'  sinmtp  sinntp  d(p  =  0^    m  =(=  n, 

0 
2« 

'  cosmq>  sinnqf  d<p  =0 
0 
entsprechen.     Für  m  =  n  nehmen  die  beiden  ersten  Integrale  den  gemein- 
samen Werth  n  an,  mit  Ausschluss  des  Falles  in  =  n=sO.* 

Mit  Benutzung  der  Gleichungen  28)  und  28a)  löst  man  die  Aufgabe: 
Die  von  t  abhängende  Function  f(t)  in  eine  nach  den  Functionen  €(^) 
fortschreitende  Reihe  zu  entwickeln. 
Setzt  man  nämlich: 

29)  m  =2" «»®»('' *•*•)» 


0 


*  Für  die  Fanctionen  @(iu)  scheinen  ähnliche  Integraleigenschaften  nicht  zu 
existiren.    Aus  der  Differentialgleichiiog  15)  für  @(t«): 


16)  ^^,     -  {^^  co«2»u  +  Ä;«^  Q(tu)  =  0, 


erhält  man  zwar  gerade  wie  vorher,  falls  @^  und  @,  zwei  verschiedene  <S(f«)  be- 
deuten : 

a 

aber  es  lassen  sich  keine  Grenzen  a  und  b  angeben,  für  die  die  linke  Seite  dieser 
Gleichung  verschwände.  Dies  abweichende  Verhalten  der  Functionen  @(t«)  ist 
darin  begründet,  dass  fQr  c  =  0  sich  die  @ (tu)  in  Hessersche  Fanctionen  mit  ima- 
ginärem Argumente  verwandeln,  während  die  (^(£)  in  Kreisfnnctionen  übergehen. 
Für  die  Cylinderfunctionen  existiren  aber  Integraleigenschaften,  die  denen  für  die 
Kreisfiinctionen  entsprechen,  nicht 


Von  Dr.  R.  BfissBR. 


wo  alle  (&\jt)  zu  demselben  h  gehören  ond  die  Summation  sich  auf  alle  zu 
jenem  h  gehörenden  unendlich  vielen  Werihe  Ton  h  bezieht,  so  folgt  so- 
gleich: 


2s 


0 

womit  die  gestellte  Aufgabe  gelöst  ist. 

Ist  f(t)  identisch  Null,  so  verschwinden  alle  Oy,  d.  h.:  Ist  die  Reibe 

^*€L9(Sp{t)^0  für  alle  t  im  Intervalle  Null  bis  2?^,  so  mflssen  die  Co- 

efficienten  a,  einzeln  verschwinden. 

Daraus  folgt  weiter: 

Stimmen  zwei  nach  den  (S  (0  fortschreitende  Reihen  für  alle  t  überein, 
80  müssen  die  Coeffidenten  gleicher  (S{i)  gleich  sein. 

Zusati.  Durch  die  Formeln  29)  und  30)  wird  eine  Function  f{t) 
entwickelt,  deren  Argument  t  zwischen  0  und  2n  variirt,  oder  welche  ftlr 
aUe  Punkte  einer  Ellipse  gegeben  ist  Ich  fQge  noch  die  Entwickelung 
einer  auf  der  Oberfläche  eines  unendlich  langen  elliptischen  Cylinders  ge- 
gebenen Function  bei,  welche  neben  t  auch  von  x  abhftngt,  wobei  x  zwi- 
schen —  00  und  +CD  sich  bewegt 

Wir  entwickeln  die  vorgelegte  Function  F\X^t)  nach  o;  in  ein  Fourier- 
sches  Integral.  Hierzu  ist,  wie  Herr  C.  Neumann  zeigte,*  im  Allgemeinen 
erforderlich ,  dass  F{x)  im  Intervalle  —  oo  bis  +  oo  endlich  und  abtheilungs- 

weise  stetig,    und    iFlXyfjdx   endlich  sei.     Diese  Entwickelung  ist  also 

—  00 

für  eine  von  x  unabhängige  Function  nicht  mehr  giltig.  —  Man  findet: 

00  OD 

a)  F{x,  t)—JAk(t)  coshx  dh  +  I  Bk{t)  sinhx  dh, 

0  0 

wo  Äk  und  Ba  nur  noch  von  t  abhängen  und  sich  durch  Integrale  aus- 
drücken. Beide  Functionen  sind  nach  dem  Vorigen  durch  eine  nach  den 
Functionen  (Str(0  fortschreitende  Reihe  darstellbar.  Nach  Substitution  der 
Reihen  in  a)  erhält  mau  das  Resultat: 

Für  jede  auf  der  Oberfläche  eines  elliptischen  Cylinders  gegebene  Func- 
tion F(Xji)  existirt  eine  Entwickelung: 

31)    F{x,t)^rdhy^i^[a9{h)coshx  +  K{h)smhx](SAt,h,ky), 
wobei : 


*  Ueber  die  nach  Krein-,   Kugel-   und   Cylinderfunctionen   fortschreitenden 
Entwickelnngen  etc.    Leipzig  1881.    S.  70. 


270  üeber  die  Vertheilang  der  indncSrten  Mektricität  etc. 

2« +00 
a^ih)^-^  I  j (i^(t)  oashx F{xJ)  di  dx, 
0  — «> 

2«+a> 
bp[h)  =  ^  I  r{S^{t)  inhxF(x,t)dtdx. 
0  — <» 
Man  kann  der  Glcfichuog  31)  auch  folgende  symbolische  Furm  geben: 

31a)  F(a;,0  =  ~,  f dh^vf^v{t)f^v{'^)dfpjF{i,i^)cosh{^-x.d 


§4. 

Die  Funotionen  Bweiter  Art  9(^«*)  ^^b  elliptUohen  Cylinderfl«  Verhalten 
von  fl(»«)  und  %{%v)  für  sehr  groBse  Argumente. 

Wir  geben  der  Diffei-entialgleichung  16)   für  6(^u)   und  "^{iu)  durch 
die  Substitution: 

a)  icsifi;iu  =  Q 

die  Form: 

b)  (pt  +  ^)0  +  ^^_(A»^«^.fc^«)y^O, 

wo: 

Aus  ihren  Integralen,  welche  mit  %[q)  und  $(^)  bezeichnet  werden  sollen, 
können  wir  durch  die  Substitution  a)  sofort  (S(«u)  und  ^{iu)  bilden.  — 
Aus  b)  folgt: 

c)  5(9)T--e(|»)^'  = 


und:  00 

9 

Zur  Bestimmung  der  Constanten  P  setze  man  in  c)  oder  d)  für  p  einen 
unendlich  grossen  Werth  ein.  Dann  lassen  sich  die  Beträge  tou  €(^)  und 
i^(^)  a  priori  angeben,  da  man  in  der  Gleichung  b)  bei  dem  Factor  q^'\'C^ 

von  —^  (?  gegen  das  unendlich  grosse  n?  vemachlftssigen  kann  und  so  die 

einfachere  Gleichung: 

erhftlt.  Deren  Integrale  sind  aber  die  Cylinderfunctionen  Jk,  (Afp)  und 
^kx(^^9\  Für  sehr  grosse  Werthe  von  (»  nehmen  also  die  Functionen  des 
elliptischen  Cylinders  6(p)  und  $((»)  angenähert  die  Werthe  der  Fiinctioaen 


Von  br.  R.  BEd^eti.  271 

des  Kreiscylinders /^^^(ft»^),  YkX^^n)  &Q*  Ux^cl  da,  wie  aas  a)  folgt,  mit  9 
aach  u  unendlich  wird,  so  gilt  das  Gleiche  anch  Yon  den  Functionen  (S(tu), 

SU«). 

Nun  giebt  Heine*  folgende  Formeln,  in  denen  statt  des  Index  v  k^^ 
statt  K  ftlr  die  Function  zweiter  Art  Y  geschrieben  worden  ist: 

giltig  ftlr  positive  unendlich  grosse  q.  In  unserem  Falle  ist  q  =  hQ^  also 
positiv,  da  h  und  q  es  sind ,  mithin  können  beide  Formeln  angewandt  wer- 
den, und  geben,  wenn  p£=0,  q  =  hQ  gesetzt  wird: 

Dieselben  Werthe  haben  also  auch  Ct'(^)  und  S(p).  —  Setzt  man  dies  in 
d)  ein,  führt  rechts  die  Integration  aus,  wobei  im  Nenner  des  Integrandf^n 
einfach  q  statt  ^p^  +  c^  geschrieben  werden  darf,  so  erkennt  man,  dass 

r=i 

wird.     Dasselbe  Ergebniss  liefert  auch  Gleichung  c\ 
Ersetzen  wir  in  c)  und  d)  q  durch  u,  so  resultirt: 

32,  5(i«)^-eM^^=i. 


QO 


33)  8(-)=eM/(^.- 

U 

Setzt  man  endlich  in  e)  p  =  oo,  so  folgt: 

34)  e(tu)  =  oo,     g(»w)  =  0,     u  =  oo 
fClr  jedes  h  und  Je. 


§5. 

BetraohtnnflT  Bwaler  SpeoialftUe. 

Ist  h^O  oder   c  =  0,  so  lassen  sich  die  Integrale  von  15)  und  16) 
sofort  angeben,  was  des  Folgenden  wegen  hier  geschehen  soll. 
Für  ^  =  0  lauten  die  Gleichungen  15)  und  16): 


dfi 


+  Ä:«eU)    =0, 


also  gehen  die  Functionen  (Sy(0  ^°  coskt,  sinkt,  die  Functionen  d^piiu)  in 
coskiUy  sinkiu  über,   wobei  für  die  Constanten  k  die  ganzen  Zahlen   zu 


^  Kugelfauctionen  II.  Bd.,  Anhang  8.  367. 


272  üeber  die  Vertheilung  der  indacirten  Elektricitftt  etc. 

nehmen  sind,  wie  aus  den  Oleichungen  18),   die  mian  eich  zuvor  mit  Vi? 
multiplicirt  za  denken  hat,  henrorgeht    Der  oonstante  Factor,  mit  dem  die 

€(0  ^^^  behaftet  sind,  sei  =1 ;  dagegen  setze  man  für  A;  =  0  (^(<)  =  --=i 

damit  die  Integralformel 

2» 


> 


auch  für  Ä;  =  0  gelte.  ^ 

g(«u)  verwandelt  sich  in  -T-ß"*",   wobei  der  Factor  —   der  Oleich- 

K  K 

nngen  32)  und  33)  wegen  nicht  fehlen  darf. 

Ist  c  s  0,  d.  h.  tritt  an  die  Stelle  des  elliptischen  Cjlinders  ein  Kreis- 
cylinder,  so  sind  statt  der  elliptischen  Coordinaten  f,  u  die  gewöhnlichen 
Polarcoordinaten  r,  q>  einzuführen,  was  durch  die  Substitutionen 

09  SS  00 

geschieht.  In  den  Gleichungen  9)  darf  c  nicht  =0  gesettt  werden.  Die 
Ausdrücke: 

-J(e«  +  e— ),     |(e--e— ), 

welche  die  Axen  der  Ellipse  u  »  oanst*  reprftsentiren ,  gehen  fbr  o>  =  oo  beide 
in  r  über,  wfthrend  iür  ein  endliches  o  r  die  halbe  Samme  der  Axen  be- 
deutet. 

Gleichung  15)  lautet  in  r: 

also  für  09  =  00: 

Demnach  werden  die  Functionen  (£y(fu),  %p{iu)  ersetzt  durch  die  Cy linder* 
fnnctionen  Jk{hir),  Tk{hir)^  was  ohne  Weiteres  evident  ist.  —  Die  @y(0 
gehen,  wie  im  ersten  Falle,  in  cosktp^  Hnkip  über. 
Denkt  man  sich  das  Product: 

entsprechend  den  vier  Classen  der  (S  in  seine  vier  Theile  zerlegt,  so  erkennt 
man,  dass  für  c  =  0  sich  dasselbe  in: 

verwandelt,  wobei  u  :=  1  für  Ä  =  0,  f*  =  2  fttr  Ä  =  1 ,  2,  ...  Die  Hinzu- 
fügung jenes  Factors  wird  durch  das  abweichende  Verhalten  von  6o(0  °o^^' 
wendig*  k  ist  gerade  für  die  @  1.  und  4.,  ungerade  für  die  €  2.  und 
3.  Classe. 


Von  Dr.  B.  Besser.  273 


$ 

Wir  haben  hier  die  einfacheren  Functionen,  in  welche  die  @  für  c=sO 

übergehen,  durch  Betrachtung  der  Differentialgleichung  gefunden«  Es  ist 
nicht  ohne  Interesse,  auch  an  den  von  uns  gegebenen  Entwickelungen  diese 
UebergSnge  zu  yerifiiciren.  Die  Entwickelungen  der@(iu)  nach  den  coskiu 
and  sinkiu  sind  hierzu  nicht  verwendbar.  Man  gelangt  zum  Ziele,  wenn 
man  die  Lösung  der  Gleichung  b) ,  S.  270,  in  eine  nach  Potenzen  von  q  fort- 
schreitende Beihe  entwickelt  und  in  deren  Coefficienten  c  =  0  setzt,  oder 
noch  ein^EU^her,  wenn  man  das  Integral  gedachter  Gleichung  durch  eine 
Cjlinderfunctionenreihe  Han^^ni^io)  darstellt.  Wie  Heine  zuerst  bemerkte, 
bestimmen  sich  die  Coefficienten  dieser  Beihe  aus  denselben  Gleichungen, 
welche  die  Coefficienten  in  der  trigonometrischen  Beihe  Uefem.*  Fttr  0=0 
bleibt  von  der  Beihe  nur  das  Glied  Jkihiq)  oder  Jk{hir)  stehen,  da  die 
übrigen  Coefficienten  verschwinden. 

*  Vergl.  Kugelfonct  I,  S.  414.  Heine  betrachtet  daselbst  nur  Cylinderfnnc- 
tionen  ($(9),  nach  unserer  Bezeichnung  @(t),  und  entwickelt  sie  in  Bessersche 
Fanctionen  mit  dem  Argument  ilcosfp;  doch  erhält  man  dieselben  Besultate  auch 
för  Cylinderfonctionen  @(«u),  deren  Entwickelung,  wie  oben  bemerkt  wurde,  nach 
den  Jnihi^)  fortschreitet. 


(SohlQM  folgt.) 


Zeluoluift  f.  M«tliein«tik  u.  Physik  XXX,  5.  18 


XIV. 

Ueber  die  Lage  der  Versohwindungsptiiikte  einer 
ganzen  Fonotion. 

Von 
A.  WiTTINO, 

Cand.  maih.  1d  Leipsig. 


In  Gauss*  Werken*  findet  sich  in  eider  Anmerkung  der  Satz: 

^Sind  a,  ft,  c,  ...,  f**)  ^  die  Wurzeln  einer  Oleichung  f{x)  =  0. 

a\  h\  e\  ...,m'  die  Wurzeln  der  Gleichung  f{x)  =  0,  wo  f{x}  =  ^  ^ 

und  werden  durch  dieselben  Buchstaben  die  entsprechenden  Punkte 
in  piano  bezeichnet,  so  ist,  wenn  man  sich  in  a,  &,  c,   ...,  m,  n 
gleiche  abstossende  oder  anziehende  Massen  denkt,  die  im  umgekehr- 
ten Verhttltniss  der  Entfernungen  wirken,  in  a,  h\  c,  ...,  m'  Gleich- 
gewicht." 
Herr  F.  Lucas  sprach  denselben  in  den  Comptes  rendus**  in  einer 
Form  aus ,  durch  welche  ein  bekanntes  Theorem  über  Gleichungen  mit  nur 
reellen  Wurzeln  auf  das  complexe  Gebiet  ausgedehnt  wird: 

„TatU  cofUour  fermS  convexe  envirannant  le  graupe  des  ponds 
racines  de  Viquation  proposie  environne  aussi  le  groupe  des  painis 
racines  de  Viquation  dMvie.*' 
Der  Beweis  ist  daselbst  mit  Hilfe  mechanischer  Principien  im  Sinne 
des  Gau  SS 'sehen  Satzes  geführt.*** 

Ein  geometrischer  Beweis,    der  zugleich  eine  strengere  Fassung  des 
Satzes  liefern  wird,  ist  folgendermassen  möglich. 
Betrachten  wir  die  Gleichung: 


*  GauBB*  Werke  Bd.  HI  S.  112. 

**  ComptcB  renduB,  t.  89  p.  224:  Sur  nne  application  de  la  m^caniqne  ratio- 
nelle ik  la  tb^orie  des  ^quations. 

***  Eine  nicht  ganz  correcte  Fassung  des  TheoremB  gaben  Herr  Legebeke 
mit  einem  auf  fonotionentheoretiBche  Betrachtungen  gegründeten  Beweise  and 
^.•>rr  StieltjeB,  dcBsen  Entwickelungen  der  Änalysis  9iUM  angehören;  Arch.  n^i. 
t.  XVI  p.  278-278  und  t  XVIII  p.  1. 


Ueb.  die  Lage  der  Verschwindungspunkte  etc.    Von  A.  Wittinö.     275 

deren  linke  Seite  eine  ganze  transcendente  Function  ist,  bei  welcher  die 
Summe  der  reciproken  Moduln  der  Verschwindungspunkte 

convergirt,  und  nehmen  wir  weiter  an,  dass  sämmtliche  Punkte  a«  in  einer 
Halbebene  liegen.  Dann  lässt  sich  nach  Analogie  des  Puiseux 'sehen  Ver- 
fahrens bei  der  Untersuchung  algebraischer  Functionen  in  den  kritischen 
Punkten  derselben  ein  ganz  bestimmtes  Polygon  construiren,  dessen  Ecken 
Wurzelpunkte  von  f{e)  sind.  Ein  Eckpunkt,  welcher  mehrfacher  Verschwin- 
dungspunkt  von  f(z)  ist,  heisse  kurz  vielfache  Ecke.  Auf  jeder  Seite 
des  Polygons  befinden  sich  nur  zwei  Nullpunkte  der  Function,  es  kOnnen 
aber  mehrere  aufeinander  folgende^  ja  alle  Seiten  in  eine  Gerade  fallen. 
Das  Polygon  zerlegt  die  Ebene  in  zwei  Theile,  in  deren  einem  alle  Wurzel- 
punkte von  fi^z)  gelegen  sind.  Dieser  Theil  heisse  das  Innere  des  Polygons, 
welches  letztere  wir  das  Wurzel  polygen  von  fi^e)  nennen.  Dasselbe  ist 
nach  aussen  überall  convex. 

Es  lässt  sich  nun  zeigen,  dass  die  Wurzelpunkte  der  Ableitung  fiji) 
nicht  ausserhalb,  noch  auf  den  Seiten  des  Wurzelpolygons  von  f{z)  liegen 
können.     Dazu  ordnen  wir  jedem  Punkte  e  durch  die  Gleichung: 

einen  Punkt  (;  zu.  Liegt  z  ausserhalb  des  Polygons,  das  wir  zunächst  als 
nicht  ganz  in  eine  Gerade  fallend  voraussetzen ,  so  verbinden  wir  den  Punkt 
mit  einer  Ecke  a|  des  Wurzelpolygons,  so  dass  letzteres  ganz  auf  einer 
Seite  der  Verbindungsgeraden  sich  befindet,  und  wählen  die  Indices  der 
Wurzelpunkte  von  f[Z)  so,  dass  von  der  um  jer  rotirenden  Geraden  je^a^  beim 
Durchstreichen  des  Polygons  der  Reihe  nach  die  Punkte  a^,  ag,  ..,  an^^  ... 
getroffen  werden.    Construiren  wir  dann  geometrisch  die  convergente  Summe : 

80  erhalten  wir  einen  vom  Coordinatenanfang  ausgehenden ,  sich  nicht  selbst 
durchschneidenden  Linienzug ,  dessen  Endpunkt  {;  ist.  Da  bei  der  Lage  von 
z  ausserhalb  des  Wurzelpolygons  die  Drehung  von  za<^  bis  zum  Austritt 
aus  dem  Polygon  immer  kleiner  als  n  ist,  so  kann  der  zur  Construction 
von  z  dienende  Linienzug  niemals  ein  geschlossener  werden.  Dies  ist  aber 
erforderlich,  wenn  z  eine  Wurzel  von  /^(jb)  ist,  denn  dann  fällt  i  in  den 
Coordinatenanfang.  Es  kann  also  keine  Wurzel  z  von  f{z)  =  0  ausserhalb 
des  Polygons  gelegen  sein.  Ebenso  wenig  kann  aber  auch  z  auf  einer 
Polygonseite  liegen ,  sondern  nur  noch  in  einer  vielfachen  Ecke.  Wir  erhalten 
also  den  Satz: 

Die  Wurzelpunkte  der  Ableitung  f{z)  einer  ganzen  transcenden- 
ten  Function  von  der  Form 

18* 


276    üeber  die  Lage  der  Verschwindungspankte  einer  ganzen  Function. 


m- 


■i7(-£) 


liegen  im  Innern  des  Wnrzelpoljgons  von  f{B) ,  soweit  sie  sich  nicht 

in  dessen  vielfachen  Ecken  befinden. 

Beducirt  sich  das  Wnrzelpolygon  auf  eine  einzige  Grerade ,  so  liegt  jener 

Punkt  üi  im  Unendlichen  und  jera^  dreht  sich  um  n,  wenn  0  ausserhalb  der 

Geraden  liegt;   die  Wurzelpunkte  der  Ableitung  befinden  sich  also  auf  der 

Geraden. 

Betrachten  wir  nun  die  ganze  transcendente  Function: 


f{gy=  I  I  M-- Ji)g-«+w+-  +/,,*^ 


-m-i) 


deren  Wurzelpunkte  die  Eigenschaft  haben,  dass 

conyergirt,  wenn  a'^0.     Die  Ableitung  der  Function  ist 

^j^  \an  — ^     a«     an  «i 


woraus  ersichtlich,  dass  die  Ableitung  unabhängig  von  den  o»  einen 
Ä;- fachen  Wurzelpunkt  im  Coordinatenanfang  besitzt  und  dass  schon  deshalb 
die  früheren  Sätze  nicht  allgemein  gelten  können. 

Seien  daher  speciell  die  o«  sämmtlich  reell.     Es  kann  dann 


:  = 


a  a»  (««  — ^) 


keine  complexen  Wurzelpunkte  besitzen.  Zur  Construction  des  Punktes  £ 
für  einen  complexen  Punkt  »  verbinden  wir  den  letzteren  mit  den  On  und 
addiren ,  vom  unendlichen  anfangend ,  die  Glieder  obiger  Summe  wieder  in 
der  Reihenfolge,  wie  sie  von  einer  um  z  rotirenden  Geraden  getroffen  wer- 
den. Ist  nun  k  gerade,  so  ist  a^^  immer  positiv  und  es  gestaltet  sich  die 
geometrische  Summation  wie  oben;  £  kann  nie  in  den  Coordinatenanfangs- 
punkt  gelangen,  höchstens  wird  die  letzte  Strecke  des  Linienzuges  der  reellen 
Axe  parallel. 

Ist  Tc  ungerade, 

Ä  =  2w  +  1, 
so  construiren  wir  die  Summe: 


z 


'^  an^^^-^^an-z)     ^  \an^"'{au-z)     a„*'"+M 


Von  A.  WiTTiKO.  277 


Auf  eine  Strecke  — ^^ r  folgt  dann  die  positive  oder  negative,  der 

reellen  Axe  parallele  Strecke sJöTn '  ^^  ^^^  ^^'^^'^  einen  Linienzug  erhSlt, 

der   sich    nicht   durchsetzt   und    auch   nicht    schliesst;    denn  die  Strecken 
-=—■ YoUftthren  wieder  höchstens  eine  Drehung  um  m,  so  dass  jede 

der  Parallelen wüTfi  ^^^^^  ^^n  der  reellen  Axe  abliegt,   als  alle  vor- 
her construirten.     Es  ergiebt  sich  mithin  der  Satz:* 
Besitzt  die  ganze  transcendente  Function: 


fW  =  jpT  (l  -  ^)  e^'^*S'+-+Ä 


nur  reelle  Wurzelpunkte,   so  verschwindet  auch  ihre  Ableitung  nur 
auf  der  reellen  Axe. 
Einen  rein  algebraischen  Beweis  statt  des  geometrischen  kann  man  mit 
Hilfe  einer  Betrachtungsweise  fuhren,  welche  von  F.  Chio  herrührt  und 
schon  hSufig  zur  Ableitung  verwandter  SStze  benutzt  wurde.** 
Wir  nehmen  dazu  von  den  Wurzeln 

der  Gleichung 

an,  dass  die  Coefßcienten   von  i  sSmmtlich  positiv  oder  wenigstens  nicht 
alle  Null  sind)  keiner  aber  negativ  ist.     Dann  sind  für  die  Ableitung  alle 
ß'^O  —  wenn  man  von  den  in  die  mehrfachen  reellen  Wurzelpunkte  von 
f{£)  fallenden  Verschwindungspunkten  absieht. 
Durch  die  Gleichung  ^_^^      ^ 

erhält  man,   dass  f(e)  in  einem  Ä-fachen  Wurzelpunkte  von  f(z)  (Ä—l)- 
mal  verschwindet.     Aus  einer  Wurzel 

g^a  —  iß    {ß>0) 
würde  nun  folgen 

'^____L_ ^S^  ci„^a^iß„  +  ß  _ 

^  {a„^a)+i{ßn+ß)    ^  ^;;;^^^+ß;^ß^  -''' 

also  insbesondere 

X^  ßn  +  ß 


««— «  +ß»+ß 


=  0, 


*  Für  k  =  X  ist  der  Satz  von  Herrn  Laguerre  in  den  Gomptes  rendos  t.  94 
ohne  Beweis  gegeben.  Ein  algebraischer  Beweis  findet  sich  bei  Hermite,  Cours 
prof.  ä  la  fac.  des  sciences  de  Paris,  p.  70. 

**  Hermite,  a.  a.  0.;  Laguerre,  Nouv.  Ann.  de  Math.  II,  19,  p.  224  u.  241. 


_J 


278     Ueb.  die  Lage  der  Verschwmdxmgspankte  etc.    Von  A.  Wittikg. 

was  unmöglich  ist,  da  die  ßa+ß  sfimmtlich  positiv  sind.    Ebenso  wenig  kann 
aber  bei  endlichem  a  ^^  ß^^ 

2jan-a+ß,'^ 
sein,  d.  h. :  die  Ableitung  kann  im  Endlichen  auch  keine  reellen  Wurzel- 
punkte besitzen  —  die  vielfachen  reellen  Verschwindungspunkte  von  f(g) 
ausgenommen.  Man  erkennt  auch,  dass  die  Wurzelpunkte  der  Ableitung 
im  Endlichen  nicht  beliebig  nahe  an  die  reelle  Axe  heranrücken  können; 
verschwinden  aber  alle  ßn  der  Wurzeln  von  f(z)t=zO^  so  werden  ftlr  die 
Ableitung  alle  ß  gleich  Null. 

Durch  Coordinatentransformation  erhält  man  demnach  folgenden  Satz:* 
Befinden    sich    die   Wurzelpunkte    einer    ganzen  transcendenten, 
Function  .^sr-  .         ^  v 

'<'>=ü('-»t) 

entweder  innerhalb ,  oder  doch  nicht  alle  auf  der  Grenze  einer  Halb- 
ebene,  so  liegen  innerhalb  derselben  auch  sämmtliche  Wurzelpunkte 
der  Ableitung  fi^z)  —  mit  Ausnahme  der  in  die  vielfachen  Ver- 
schwindungspunkte von  f{^g)  auf  der  Geraden  fallenden. 
Als  Grenze  einer  Halbebene,  in   welcher  sich  alle  Wurzelpunkte  yon 
f{0)  befinden,   kann  man  aber  jede  Seite  des  Wurzelpoljgons  von  f{z)  an- 
sehen, und  es  ergiebt  sich  somit  auch  hier  der  weiter  oben  ausgesprochene 
Satz.     Für  die  Function 

ist  der  Beweis  mutcUis  mutandis  derselbe.  Bei  ungeradem  k  =  2j»  +  ^  hat  man 
wieder  die  Summe:         '^  /  1  l      \ 

zu  betrachten.  n     v  n       y 

Nimmt  man  statt  der  ganzen  transcendenten  Function  ein  Polynom  n*^ 
Grades,  so  ist  das  Wurzelpolygon  im  Endlichen  geschlossen;  der  Satz  bleibt 
ersichtlich  bestehen,  gestattet  aber  hier  noch  eine  ümkehrung.  Wenn  die 
Wurzelpunkte  der  Ableitung  nicht  alle  auf  einer  Geraden  liegen,  so  muss 
auch  f(0)  ein  wirkliches  Wurzelpolygon  besitzen ,  welches  mithin  wenigstens 
ein  Dreieck  ist.     Wir  haben  also  die  ümkehrung: 

Im  Innern  des  Wurzelpolygons  der  Ableitung  eines  Polynoms 
n*"»  Grades  f{x)  liegen  höchstens  (w— 3)  Wurzelpunkte  von  f{z). 

Durch  das  Auftreten  von  vielfachen  Ecken  wird  diese  obere  Grenze 
noch  reducirt. 


*  Im  Wesentlichen  findet  sich  dieser  Satz  schon  bei  Herrn  Laguerre  a.a.O. 
S.  260.  Etwas  anders  giebt  Herr  Berloty  den  Beweis:  C.  B.  Nr.  18,  3.  Nov.  1884, 
t  XCIX  p.  745— 747>  Sur  les  äquations  alg.;  nur  ist  die  Fassang  des  Satzes  nicht 
correct,  dass  die  Wurzelpunkte  auch  auf  dem  Perimeter  des  Polygons  (pciygone 
des  racines)  liegen  können,  was  bei  einer  algebraischen  Gleichung  unmöglioh  ist. 
Dresden,  April  188ft. 


XV. 


Bemerkungen  zum  Fasoal'sohen  Satze  über 
Kegelsctanittseohseoke. 

Von 

R.  Heger 

In  Dresden. 


1.  Sind  Tq^  T|,  T^  lineare  Functionen  in  Punktcoordinaien,  so  erzeugen 
die  projectiven  Strahlbüschel 

einen  Kegelschnitt,  der  von  Tq  und  T^  in  den  Punkten  berührt  wird,  welche 
auf  Ti  liegen.  Wird  der  von  den  Strahlen  Tq  —  XT^  =  2\  —  AT,  «=  0  erzeugte 
Punkt  mit  X  bezeichnet,  so  ist* 

To-{Xi  +  Xk)T^  +  XiXkT^^O 
die  Gleichung  der  Geraden  XtXk.     Die  Seiten  des  Sechsecks 

haben  daher  die  Gleichungen 

r„  =  To-  (i,  +  i,)  T,  +  l,l^T,  =  0, 
T„  =  2',-(A,+i,)2'i  +  i,i,T,  =  0, 

r«  =  To  -  (A,  +  is)  2*.  +  ^4*5  r,  =  0, 

T„-To-(i5  +  Ae)2'i  +  A6»«2'.  =  0. 
T„  =  To  -  (i,+i,)2',  +  i,i,  r*  =  0. 

2.  Bedeuten  die  Ziffern  1,  2,  3,  4,  5.  6  beliebige  Zahlen  (der  Kürze 
wegen  statt  A, ,  A,,  ...  gesetzt),  so  gelten  folgende  Identitäten: 


a    a    a 

1    3   5 

= 

4   6   2 

0         0 

3-1    5-1 

= 

6-4   2-4 

0       a      0 

)-3    3   5-3 

= 

4-6    6   2-6 

0  0a 

1-5   3-5   5 
4-2   6-2   2 


Hieraus  folgt 

(3-l)i2-4)  +  (5-l)(4-6)  =  (3-5)(6-4)  +  (l-3)(6-2) 

^(l_5)(6-2)  +  (2-4)(3-  5). 
Ferner  ergiebt  sich  aus  den  beiden  Identitäten 


I) 


*  Salmon- Fiedler,  Kegelschnitte,  3.  Aufl.  1873,  S.  353. 


280  Bemerkungen  zum  Pascal*8chen  Satze  etc. 

(l-3)  +  (3-5)  +  (5-l)  =  0,    (l-3)5  +  (3~5)l  + (5-1)3  =  0 

die  folgende: 

.     (l_3)(5+2)  +  (3-5)(l+2)  +  (5-l)(3+2)  =  0. 
Ebenso  ist 

(2_4)(6+5)  +  (4-6)(2+5)  +  (6-2)(4+5)=0. 

Wenn  man  von  diesen  Identitäten  die  vorletzte  mit  (6  —  4),  die  letzte  mit 
(1^3)  multiplicirt  und  addirt,  so  erhält  man 

(3-5)(6-4)(l  +  2)  +  (l-3)(6-2)(4+5) 
=  (5-l)(4-6)(2+3)  +  (3-l)(2-4)(6+5). 
In  gleicher  Weise  ergiebt  sich,  wenn  man  die  Identitäten 

(l-3)(5+6)  +  (3-5)(H-6)  +  (5-l)(3+6)  =  0, 
(2-4)(6  +  3)  +  (4-6)(2+3)  +  (6-2)(4+3)  =  0 

der  Beihe  nach  mit  (2—4)  und  (1—5)  multiplicirt  und  addirt. 
(5_l)(4_6)(2+3)  +  (3-l)(2-4)(6+5) 
=  (2_4)(3-5){l+6)  +  (l-5)(6-2)(4+3). 
Daher  hat  man 

(3_5)(6-4)(l+2)  +  (l-3)(6-2)(4+5) 
II)  =(5-l)(4-6)(2+3)  +  (3-l)(2-4)(6+5) 

=  (2-4)(3-5)(H-6)  +  (1 -5)(6-2)  (4+3). 
Wenn  man  die  Identitäten 
(l-3)5  +  (3-5)l +(5-1)3  =  0,      (2-4)6+ (4-6)2  +  (6-2)4  =  0 
zuerst  nach  einander  mit  (6—4)2  und  (1—3)5  und  dann  mit  (2  —  6)4  und 
(3—5)1  multiplicirt  und  dann  addirt,  so  erhält  man 

(3-5)(6-^4)12  +  (l-3)(6-2)45 
ni)  =(5^i)(4-6)23  +  (3-l)(2-4)56 

=  (l-5)(6-2)34  +  (3-5)(2-4)61. 
Setzt  man  nxm  zur  Abkürzung 

m,,  =  (3-5)(6-4),    m,5  =  (l-3)(6-2), 
»»«,  =  (5-l)(4-6),    in«,  =  (3-l)(2-4), 
«i3,  =  (l-5)(6-2),    mei  =  (2-4)(3-5),     ^ 
80  hat  man  aus  I),  11)  und  III) 

IV)  (l+2)mi,  +  (4+5)w45  =  (2+3)m^  +  {5+6)w5e  =  (3+4)mj4  +  (6+l)m8i, 
12  m^^    +   45m45  =  23  m^    +    56  mg^   =   34  w^    +    61  m^. 
3«  Ersetzt  man  hierin  1,  2,  ...  durch  die  gleichbezifferten  A,  so  erkennt 
man  die  Identitäten 

t  =  WjjTig  +  «»45  2^45  =  m^  Tgg  +  I»ö6^66  ~  ^Ü^Si  +  ^61  ^61  • 

Hierin  ist  der  Beweis  des  Pascarschen  Satzes  enthalten;  wenn  man  die 
Multiplicationen  ausführt  und  alsdann  X  durch  Xi^i  ersetzt  und  Xt  und 
fij  durch  i  imd  i'  andeutet,  so  erhält  man  für  die  Pascarsche  Gerade  £ 
die  Gleichung 


Von  B.  Heoeb.  281 

St  =  (r2'3'4'56-2'3'4'5'61+3r5'6'12-4'5'6T23).To 
+  [(14'^4r)(253'6'-.2'ö'36)+(36~3'6)(142'5'-.r4'23) 

+  {52'-25')(36r4'-3'6'14)].Ti 
+  (12345'6'-.23456T+3456r2'-45612'3').T,  =  0. 

4.  Wenn  man  zwei  projective  Cnrvenbüschel  hergestellt  hat,  die  eine 
gegebene  Cnrve  C  erzeugen ,  so  werden  durch  dieselben  auf  C  Punktgruppen 
ausgeschnitten;  jede  solche  Gruppe  kann  als  Vertreter  einer  bestimmten 
Zahl  X  angesehen  werden,  nämlich  des  DoppelverhSltnisses,  welches  die  durch 
diese  Gruppe  gehenden  BöschelQurven  mit  drei  festen  Grundcurven  des  Bü- 
schels bestimmen.  Es  gelingt  alsdann  immer,  eine  Function  in  der  Weise 
zusammenzusetzen : 

und  zwar  so,  dass  Fik  =  0  die  Gruppen  A,-  und  Xk  enthält.  Man  kann  als- 
dann, ganz  ähnlich  wie  beim  PascaTschen  Sechseck,  von  sechs  Gruppen 
A|,  il,,  ...,  Ag  ausgehen  und  die  sechs  Curven  ^^2»  -^83*  -"i  -^ei  erzeugen. 
Die  soeben  für  den  PascaTschen  Satz  gegebene  Ableitung  lässt  sich  dann 
auf  das  Curvensechseck  anwenden,  und  man  erhält  damit  den  Satz,  dass 
alle  Schnittpunkte,  welche  von  den  Gegenseiten  JP\j  und  F^j,  F^  und  F^^ 
F^  und  Fgj  des  Curvensechsecks  bestimmt  werden,  auf  einer  Curve  g 
liegen,  die,  ebenso  wie  die  Fiki  a>lle  Punkte  enthält,  für  welche 

Fo  =  i^i  =  l^,  =  0. 

5.  Sind  To,  2^,  S^,  Si  lineare  Functionen,  also  T©  — AT^^O, 
So  — AÄ|  =  0  entsprechende  Strahlen  zweier  projectiven  Büschel,  so  enthält 
der  Kegelschnitt 

Fik  =  ToSo-{Xi  +  XM)T,S^  +  XiXuT,S,  =  0 

die  Punkte  A^  und  A^  des  von  den  Büscheln  erzeugten  Kegelschnittes  K 
und  die  festen  Punkte 

To=Ti  =  0,  ^,  =  ^,  =  0,  r,  =  5o  =  0, 
von  denen  die  beiden  ersten  auf  K  liegen;  zwei  Fik  haben  ausser  diesen 
drei  Punkten  noch  einen  realen  Schnittpunkt.  Hieraus  folgt:  Wird  einem 
Kegelschnitte  K  ein  Sechseck  eingeschrieben,  dessen  Seiten 
Kegelschnitte  sind,  die  einem  Netze  angehören,  das  zwei  Trä- 
ger auf  JThat,  so  liegen  die  drei  Punkte,  die  durch  den  Schnitt 
gegenüberliegender  Seiten  des  Curvensechsecks  neu  bestimmt 
werden,  auf  einem  Netzkegelschnitte. 

6.  Zwei  Punkte  einer  Curve  dritter  Ordnung  Oj,  die  mit  einem  Punkte 
Ä  der  Curve  in  einer  Geraden  liegen,  sollen  als  ein  Begleiterpaar  des  Ä 
bezeichnet  werden.  Hat  C^  einen  Doppelpunkt  ^,  so  werden  alle  Begleiter- 
paare des  Ä  von  J  aus  durch  eine  quadratische  Strahlinvolution  projicirt, 
die  mit  dem  Strahlbüschel  Ä  projectiv  ist. 

Ist  Tq  die  Tangente  in  ji,  wird  mit  T^  der  Strahl  JA  bezeichnet,  ist 
T^  der  nach  dem  Begleiter  von  A  gehende  Doppelpunktsstrahl,  und  sind  S^ ,  S^ 


282  Bemerkungen  zum  Pascarschen  Satze  etc. 

die  Doppelpunktstangenten,  so  sind  Tj,  T^  und  Sp  S^  Paare  der  Involution 
d  und  entsprechen  den  Strahlen  Tq  und  T^ ;  entsprechende  Strahlen  Yon  Ä 
und  Strahlenpaare  von  J  sind 

Der  Kegelschnitt  "  ^         »       i    s  i   a 

F,k  =  Tor,-(Ai  +  AOTiT2  +  A<AitÄ,Ssj  =  0 
enthält  die  Punktpaare  A^  und  Xk  der  Cg  und  berührt  T^  im  Schnittpunkte 
mit  iSj  undiS'2,  d.  i.  in  ^.  Jeder  Kegelschnitt,  der  zwei  Begleiter- 
paare des  Ä  und  den  Doppelpunkt  J  enthält,  wird  daher  in  jd 
YÖn  der  Geraden  berührt,  welche  J  mit  dem  Begleiter  des  Ä 
verbindet. 

Zwei  Fik  haben  ausser  J  noch  zwei  gemeinsame  Punkte.  Daher  folgt: 
Wählt  man  auf  einer  Curve  dritter  Ordnung  mit  Doppelpunkt 
sechs  Begleiterpaare  1,  2,  3,  4,  5,  6  eines  Punktes  il  der  Curve 
und  construirt  die  Kegelschnitte  JP,2,  Fgj,  ...,  F^^^  welche  zwei 
benachbarte  Begleiterpaare  mit  dem  Doppelpunkte  verbinden, 
so  liegen  die  drei  Punktpaare,  welche  durch  die  gegenüber- 
liegenden Fik  bestimmt  werden,  auf  einem  Kegelschnitte,  der 
in  J  mit  den  Fik  eine  einfache  Berührung  hat. 

7.  Drei  Begleiterpaare  eines  realen  Wendepunktes  Ä  einer  Curve  dritter 
Ordnung  sind  immer  auf  einem  Kegelschnitte  enthalten ;  daher  ist  Ä  Träger 
eines  Strahlenbüschels  und  irgend  zwei  Begleiterpaare  des  Ä  sind  Träger 
eines  projectiven  Kegelschnittbüscbels ,  das  mit  dem  Büschel  Ä  zusammen 
die  C3  erzeugt.  Der  Wendetangente  Tq  in  Ä  entspricht  ein  Kegelschnitt, 
der  aus  den  beiden  durch  Ä  gehenden,  die  Träger  enthaltenden  Strahlen 
Ti  und  T^  besteht;  dem  Strahle  T^  des  Ä  entspricht  ein  Kegelschnitt  K^, 
der  in  den  auf  T^  enthaltenen  Trägem  des  Kegelschnittbüschels  mit  O^  eine 
einfache  Berührung  hat;  die  Punktpaare  der  C^  werden  bestimmt  durch 

Tq -  XT^  =  0,     T,  Tg  -  AJST,  =0. 
Der  Kegelschnitt 

Fik  =  T^T^''{Xi  +  Xk)T,T^  +  XiXkK,  =  0 

enthält  die  Punktepaare  Xt  und  Xk  und  das  auf  T^  und  K^  enthaltene  Be- 
gleiterpaar. Daher  folgt:  Sechs  Begleiterpaare  A|,  ...  A^  eines 
Wendepunktes  Ä  einer  C^  geben  mit  einem  festen  Begleiter- 
paare zusammen  Anlass  zur  Entstehung  von  sechs  Kegel- 
schnitten J*,,,  JPjj.  ...,  F^\  die  drei  Punktpaare,  die  durch  den 
Schnitt  der  gegenüberliegenden  Fia  neu  bestimmt  werden,  sind 
mit  dem  festen  Begleiterpaare  zusammen  auf  einem  Kegel- 
schnitte enthalten. 

8.  Durch  ein  Kegelschnittbfischel ,  dessen  Träger  auf  einer  C3  enthalten 
sind,  werden  Punktpaare  auf  C,  ausgeschnitten,  die  von  einem  Punkte  der 
C3  aus  durch  ein  dem  Kegelschnittbüschel  projectives  Strahlbüschel  projicirt 
werden.     Sind 


Von  R.  Heobr.  283 

Gleichungen  entsprechender  Strahlen  und  Kegelschnitte,  so  enthält  die  Curve 
dritter  Ordnung 

die  Pnnktpaare  A,-  und  X^  der  C^y  sowie  die  sieben  festen  Funkte 

von  denen  die  beiden  ersten  Gruppen  von  zusammen  fünf  Punkten  auf  C.^ 
liegen;  die  übrigen  vier  Schnittpunkte  von  C^  und  Fuc  sind  die  Paare  Xi  und 
Ajt.  Da  die  sämmtlichen  Fik  sieben  Punkte  gemein  haben,  so  bilden  sie 
ein  Netz  von  doppelt  unendlicher  MSchtigkeit. 

Die    drei    Paare    Schnittpunkte,    welche    durch    die    Paare 
gegenüberliegender  Curven 

Fl,  und  F45,     F^  und  F^,     F^  und  JF'g, 
neu  bestimmt  werden,  liegen  auf  einer  Curve  des  Netzes. 

9.  £in  Strahlbüschel  und  eine  projecüve  cubische  Involution 

To-AT,  =  0,  T,T,T,^XV,V,V,  =  0 
bestimmen  Punkttripel  einer  Curve  vierter  Ordnung;  dieselbe  hat  den  Träger 
A  des  Büschels  zum  einfachen  Punkte  und  den  Strahl  Tq  des  Büschels  zur 
Tangente;  der  Träger  J  der  Involution  ist  dreifacher  Punkt  der  Curve; 
Tg  und  T3  verbinden  J  mit  den  Punkten,  welche  Tq  ausser  Ä  noch  mit 
der  C^  gemein  hat;  Fj,  V^  und  V^  sind  die  Tangenten  in  J.  Die  Curve 
dritter  Ordnung 

Fik  =  ToT^T^-{Xi  +  k,)T,T^T^  +  kiXkV,V^V^  =  0 

enthält  die  beiden  Tripel  A,-  und  Ait,  sowie  die  festen  Punkte  TiT2=  F,  F,  F3 
=  0,  hat  also  J  zum  Doppelpunkte,  T^  und  T^  zu  Tangenten  in  J,  Bei 
den  sechs  Curven  ^       «       ^       ^       ^       -.^ 

TP  TP  TP  TP  TP  TP 

-P18»   ^28'    ■''84»    -'^451    -^^ftC    -^61 

haben  die  gegenüberliegenden  ausser  dem  sechs  einfache  Schnittpunkte  er- 
setzenden Punkte  ^  noch  je  drei  Schnittpunkte,  und  diese  neun 
Punkte  liegen  auf  einer  Curve  dritter  Ordnung,  welche  J  zum 
Doppelpunkte  und   T^  und  T,   zu   Doppelpunktstangenten  hat. 

10.  Zwei  projective  Kegelschnittbüschel 

erzeugen  eine  Curve  vierter  Ordnung,  welche  die  acht  Träger  der  Büschel 
enthält,  und  zwar  als  einfache  Punkte,  ausser  wenn  die  Büschel  einen  oder 
mehr  Träger  gemein  haben.     Die  Curve  vierter  Ordnung 

Fn  =  K,Lo-{Xi  +  XM)K,L^  +  XiXkK,L,  =  0 
enthält  die  Quadrupel  A,-  und  Xk  der  C^  und  die  zwölf  festen  Punkte 

Daher  bilden  die  sämmtlichen  Ffk  ein  Netz. 


284  Bemerkungen  zum  Pascal'schen  Satze  etc. 

Man  erhält  nun:    Die    drei   Quadrupel,    welche   Yon  je   zwei 
gegenüberliegenden  der  sechs  Curven 

TP  TP  TP  TP  TP  TP 

^12,    -Tjs»    Jf^y    1^45,    l'ßg,    l^gi 

bestimmt   werden,    sind  auf  einer  Curve  des  Netzes  enthalten. 


11.  In  dem  Aufsatze:  ^^Das  Imaginäft  in  der  Geometrie  und  das  Rech- 
nen mit  Würfen"  (Math.  Ann.  Bd.  YIII,  1875)  beweist  Lüroth  für  die 
geometrisch  definirten  Begriffe  der  Summe  und  des  Froductes  von  Würfen 
auf  Kegelschnitten  die  Giltigkeit  der  Sätze 

mit  Hilfe  des  PascaTschen  Satzes.  Sehr  einfach  ist  das  umgekehrte  Ver- 
fahren, auf  analytisch -geometrischem  Wege  reale  (und  imaginäre)  Zahlen 
durch  Punkte  eines  Kegelschnittes  darzustellen;  alsdann  erscheint  der  Pas- 
caTsche  Satz  als  der  geometrische  Ausdruck  der  beiden  arithmetischen 
Fundamentalsätze. 

Hat  man  auf  einem  Kegelschnitte  K  die  Punkte  0,  a,  &,  c  (d.  i.  die 
diese  realen  Zahlen  repräsentirenden ,  vergl.  Nr.  1),  und  ist  T^  die  Tan 
gente  im  Punkte  oo,  so  erhält  man  die  Punkte  a  +  h,  a+c,  wenn  man  die 
Spuren  der  Geraden  a ,  b  und  a ,  c  auf  T^  von  0  aus  auf  K  projicirt  Die 
beiden  Geraden,  welche  c  mit  a  +  h  und  h  mit  a+c  verbinden,  treffen  T, 
in  demselben  Punkte,  weil  a  +  h  +  c=^a  +  C'{-h,  Dies  ist  aber  der  Pa«- 
caTsche  Satz,  nämlich  für  das  Sechseck  a,  5,  a  +  Cy  0,  a  +  h,  c. 

Ist  femer  T,  die  Gerade,  welche  die  Punkte  0  und  oo  verbindet,  und 
projicirt  man  die  Spuren  der  Geraden  a,  h  und  a,  c  auf  der  Geraden  T^ 
vom  Punkte  1  aus  auf  die  Curve,  so  erhält  man  die  Punkte  a.h  und  a.c\ 
verbindet  man  diese  der  Reihe  nach  mit  c  und  &,  so  schneiden  sich  diese 
Geraden  auf  2^,  weil  a,h.c  =  a.c,h.  Auch  hier  hat  man  den  Pascal- 
schen  Satz  vor  sich,  nämlich  für  das  Sechseck  a,  &,  a.c^  1,  a.&,  c. 

Derselbe  Gedankengang  bleibt  verwendbar,  weim  die  PascaTsche  Ge- 
rade weder  zwei  reale  zusammenfallende  Punkte  enthält,  wie  Tg,  noch  zwei 
reale  getrennte,  wie  T^. 

12.  Hat  die  Gerade  T^  mit  dem  Kegelschnitte  zwei  conjugirt  com- 
plexe  Schnittpunkte,  so  sind  auch  die  Curventangenten  in  denselben 
conjugirt  complex;  haben  dieselben  die  Gleichungen  Z7+tF=0,  so  ist  die 
Gleichung  der  Curve  ^  «  -  CT«  -  7«  =  0- 

in  der  That  hat  jede  der  Geraden  U  +  iV=0  mit  der  Curve  zwei  zusam- 
menfallende, auf  Ti  liegende  Punkte  gemein.     Setzt  man,  wie  früher, 

und  ist 

so  haben  die  entsprechenden  imaginären  Strahlen  der  beiden  Strahlbüschel 
To-;LTi  =  0,     T^-XT^^O 


Von  R.  Heger.  285 


einen  realen  Schnittpunkt,  wenn  für  die  Coordinaten  desselben  und  für  fi 
und  V  die  Gleichungen  erfüllt  sind,  welche  durch  Sonderung  des  Realen 
und  ImaginSren  aus 

l7'+iF-.(^  +  iv)Tj  =  0  und  T^- (ti  +  iv){U-^iV)=0 
hervorgehen,  nämlich 

Die  letzte  folgt  ohne  Weiteres  aus  den  beiden  ersten,  und  die  dritte  geht 
aus  den  beiden  ersten  hervor,  wenn  man  in  der  Curvengleichung 

durch  2\  dividirt  und  die  Quotienten  Ü:T^  und  V:T^  durch  fi  und  v 
ersetzt.  Es  bleiben  daher  nur  die  ersten  zwei  Gleichungen  übrig;  dieselben 
liefern  für  gegebene  Werthe  von  x  und  y  die  zugehörigen  Werthe  von  (i 
und  V ;  sie  zeigen  also ,  welche  complexe  Zahl  il  =  ,u  +  i  v  durch  jeden  realen 
Punkt  des  K  repräsentirt  wird ,  wenn  man  die  auf  T^  gelegenen  imaginären 
Curvenpunkte  als  Repräsentanten  der  realen  Zahlen  0  und  oo  annimmt 
Die  Gleichung 

der  Geraden  ktkk  tritt  zwar,  wenn  A,-  und  Xk  die  complexen  Argumente 
zweier  auf  dem  Kegelschnitt  enthaltenen  realen  Punkte  sind,  in  complexer 
Form  auf;  man  überzeugt  sich  aber  leicht,  dass  es  die  Gleichung  einer 
realen  Geraäen  ist. 

Zum  Beweise  des  Pascarschen  Satzes  kann  man  in  diesem  Falle  den 
Einheitspunkt  nicht  verwenden;  man  kommt  aber  ebenso  leicht  folgender- 
massen  zum  Ziele:  Wenn  ABCBEF  ein  Eegelschnittsechseck  ist  und  die 
Gerade  mit  T^  bezeichnet  wird,  auf  welcher  die  Schnittpunkte  von  AF  xm^ 
CDj  sowie  von  AB  und  DE  liegen,  so  ordne  man  die  Eegelschnittpunkte 
in  der  angegebenen  Weise  realen  oder  complexen  Parametern  zu,  so  dass 
die  realen  oder  complexen  Schnittpunkte  der  Gurve  und  der  I\  die  Para- 
meter 0  und  00  erhalten;  werden  alsdann  die  Parameter  von  AB  FD  der 
Reihe  nach  mit  a,  ß,  y,  8  bezeichnet,  so  haben  nach  der  Voraussetzung  E 
und  C  die  Parameter  aß:  8  bez.  oy:d;  da  nun  die  Parameter  von  E  und 
F,  sowie  die  von  B  und  C  dasselbe  Product  aßy:8  ergeben,  so  folgt,  dass 
auch  EF  und  BC  sich  auf  T,  schneiden.* 

13.  Die  letzteren  Betrachtungen  können  auf  Raumcurven  dritter  Ord- 
nung übertragen  werden.  Sind  Tq,  T^  Osculationsebenen  einer  R^  in  den 
Punkten  Pq  und  Pg,  sind  femer  T,  und  Tg  die  Ebenen,  welche  Pg  bez.  Pq 
mit  der  Tangente  in  Pq  bez.  Pg  verbinden,  so  sind  die  Punkte  B^  durch 
entsprechende  Ebenen 

1)  To-ATi=0,     Ti-AT2  =  0,     T,-XT,  =  0 


*  Yergl.  Kotanyi,  Constr.  algebr  Ausdrücke  mit  Hilfe  von  Involationen  auf 
Kegelschnitten,  diese  Zeitschr.  Bd   XX VIT  S.  248,  Lb82. 


286  Bemerkungen  zum  Pascal^schen  Satze  etc. 

dreier  projectiven  Ebenenbttschel  bestimmt.  Sind  Pj  und  Pj  real,  so  wird 
durch  1.  jedem  realen  Cnrvenpunkte  ein  realer  Parameter  k  zugeordnet; 
ist  dagegen  PqPs  eine  imaginäre  Secante  der  E3,  so  sind  Pq  und  P, 
und  damit  auch  Tq  und  T3,  sowie  T^  und  T^  conjugirt  complex.    Setzt  man 

so  hat  man  fQr  die  Gleichungen  entsprechender  Ebenen 

^^-.iFi-A(I7o-iro)=0. 
Diesen  drei  Gleichungen  genügt  ein  realer  Punkt  unter  Bedingungen,  die 
sich   durch  Elimination  von   k  aus  je  zweien  dieser  Gleichungen  und  Son- 
derung des  Realen  und  Imaginären  ergeben.    Man  erhält  so  die  drei  Gleicb- 

Die  beiden  letzten  lassen  folgende  Schreibweise  zu: 

Die  zugehörigen  Flächen  zweiter  Ordnung  haben  daher  die  Gerade  F,  =  ü^ 
=  0  gemein.     Für  alle  Punkte,  welche  beiden  Flächen  gemeinsam  und  nicht 
auf  F|  =3  CTj  ==  0  enthalten  sind ,  besteht  die  Gleichung 
{U,+  U,)    -(7o-7,) 

dies  ist  die  erste  der  obigen  drei  Gleichungen.     Aus  den  Coordinaten  eines 
realen  Curvenpunktes  erhält  man  für  den  Parameter  k  die  drei  gleichbedeu- 
tenden Formen  tt     ,     ir  tt    t     v         tt  rr 
.  ^  ^o  +  ^^o  ^  ^l+^y^  ^  ^i-tF^ 

Die  Secante  k^k^  liegt  bekanntlich  in  den  Ebenen 

^0- (^1  +  ^2)^1 +^1^2  ^2  =  0,     T,^(k,  +  k^)T,  +  k,k^T,^0; 
die  Ebene  k^k^k^  hat  die  Gleichung 

n- (^1  +  ^2  +  ^3)^1 +  (Ai^  +  ^2 ^8  +  ^3 ^1)^2 -^i^^s^s^O. 

14.   Haben  die  Parameter  a  und  ß  zweier  Punkte  ein  constantes  Pro- 
duct  Pi  so  gelten  für  die  Secante  dieser  Punkte  die  Gleichungen 
T,-{«  +  ß)T,+pT,  =  0,     T,-{a  +  ß)T,+pT,  =  0. 
Eliminirt  man  a  +  ß,  so  erhält  man 

Daher  folgt:  Die  Secanten  einer  JS3,  welche  Punkte  der  B^  ver- 
binden, die  ein  constantes  Product  haben,  erfüllen  eine  Begel- 
fläche  zweiter  Ordnung,  welche  i^g  und  die  Secante  Ooo  ent- 
hält (vergl.  Nr.  16). 


=  0; 


Von  R.  Heger.  287 

15.  Haben  die  Parameter  a,  ß^  y  dreier  Punkte  das  Product  p,  80  hat 
die  Ebene  dieser  Punkte  die  Gleichung 

dieselbe  enthält  den  Punkt  der  Ebenen 

Hieraus  folgt:  Die  Ebenen,  welche  Punkte  verbinden,  die  ein 
constantes  Product  haben,  treffen  die  Secante  Ocx>  in  einem 
festen  Punkte. 

Ein  Tetraeder  sei  einer  R^  eingeschrieben  und  werde  von  einer  Secante  s 
der  Curve  durchsetzt. 

Man  ertheile  den  realen  oder  imaginären  auf  der  Secante  enthaltenen 
Carvenpunkten  die  Parameterwerthe  0  und  oo  und  richte  nun  in  der  an- 
gegebenen Weise  eine  Parametervertheilnng  auf  der  Curve  ein ;  dabei  mögen 
die  Eckpunkte  des  Tetraeders  die  Parameter  o,  /3,  y,  d  erhalten.  Durch 
die  Spuren  der  Tetraederebenen  ßyö,  y^a,  ^^ßy  oßy  auf  s  und  durch  die 
Secante  i  der  beliebig  gewählten  realen  oder  conjugirt  complexen  Curven- 
punkte  £  i  lege  man  Ebenen  und  erhalte  dadurch  auf  der  R^  der  Reihe  nach 
die  Punkte  cc\  /^,  /,  6\     Alsdann  hat  man  die  gleichen  Producte 

^'^i=ißr^*    /^ff=«y^»    /«f=«/3d,    a'«{:=a/3y. 
Hieraus  folgt 

aa=  ßßf'=  yy=^  ^^'. 

Dies  ergiebt  den  Satz:  Wenn  man  die  Spuren,  welche  eine  Secante 
s  einer  JR^  auf  den  Flächen  eines  eingeschriebenen  Tetraeders 
erzeugt,  von  einer  andern  Secante  t  aus  auf  die  Curve  proji- 
cirt,  so  sind  die  Geraden,  welche  diese  Projectiouen  mit  den 
gegenüberliegenden  Tetraederecken  verbinden,  m'iis  auf  einer 
Regelfläche  zweiter  Ordnung  enthalten. 

16.  Secanten  einer  i^g,  welche  Punktpaare  einer  Involution 
enthalten,  erfüllen  eine  Regelfläche  zweiter  Ordnung  ^2** 

Denn  aus  den  Gleichungen 

a  —h  .(A,+A2)+  c  .AiA^  =  0, 
folgt 


1) 

die  drei  Flächen 


a      h      c 
To    T,     l\ 
T,    T,    7, 


0; 


*  Schröter,  Theorie  der  Oberflächen  zweiter  Ordnung ,  Leipzig  1880,  8.  236. 


288 


Bemerkungen  zum  Pascal'schen  Satze  etc. 


r,  T, 


=  0, 


=0, 


T     T  I 

T      T  \ 
-'s     'l  I 


enthalten  die  B^. 

Umgekehrt:  Die  Secanten  einer  B^^  welche  auf  einer  die  R^ 
enthaltenden  F^  liegen,  bestimmen  auf  B^  die  Punktpaare 
einer  Involution. 

Denn  jede  die  B^  enthaltende  F^  hat  eine  Gleichung  von  der  Form  1). 
Sind  A|  und  X^  die  Parameter  zweier  Punkte  auf  J^,  welche  eine  auf  F^ 
enthaltene  Secante  s  bestimmen ,  so  gelten  fQr  jeden  Punkt  von  s  ausser  1) 
noch  die  Gleichungen 

Multiplicirt   man  in  1)  die  zweite  und  dritte  Columne  mit  —  (^1+^)  ^^^ 

A,  ^2  und  addirt  dieselben  dann  zur  ersten ,  so  folgt  unter  Bücksicht  auf  2) 

a -  b(k^  +  k^)  +  c  X^k^==0. 

17.  Den  Identitäten  Nr.  2,  IV]  kann  man  den  Satz  entnehmen:  Die 
drei  Involutionen,  welche  durch  die  Elementenpaare 

AjAg  und  A4A5,     AjAj  und  AgA^,     A^A^  und  A^A, 
bestimmt  sind,  haben  ein  gemeinsames  (reales  oder  complexes) 
Paar.     Bezeichnet  man   die  Zahlen  dieses  Paares  mit  fi  und  fi',  so  erfor- 
dert der  Satz,  dass  sich  die  Zahlen  a,  &,  0;  An  ^^i  C|;  a^y'b^y  c^  so  bestim- 
men lassen,  dass  folgende  drei  Systeme  erfüllt  sind: 

1     a-5(^  +  fi')  +  Cf*^'=(), 

1)  a- 5(A,+Aj)  +  cA,A,  =  0, 

l     a-  &(A4  +  A5)  +  cA4A5  =  0; 


2) 


3) 
Setzt  man  nun 


«1  —  ^1  (f*  +  f*')  +  Ci  ^ f*'=  0, 
a,-^{A,+  A3)+c,A,A3  =  0, 

«8  —  ^2  (f*  +  /)  +  ^  f*  f*'=  0, 


A= 


«I, 


12 


^•46 


=  «»23 


^66         —         ^4 


'•«I» 


yi,  =  (1  +2)  W12  +  (4+5)w^  =  (2+3)  wig3  +  {5+6}m^  =  (3+4)«i34  +  (6+l)m5p 
yfg^    12mij    +    45m45    =    23m23    +    ^^se    =    34  »ig^    +    61  «ig,, 

so   erkennt  man,  dass  den   Systemen   1),  2),  3)   durch   die  Annahme  ge- 
nügt wird: 

18.   Der  letzte  Satz  in  Verbindung  mit  dem  vorletzten  ergiebt  sofort: 

Die  drei  Flachen  zweiter  Ordnung,  welche  durch  die  Paare 

Gegenseiten  eines  unebenen  Sechsecks  und  die  demselben  am- 


Von  B.  Hbobb.  289 

geschriebene  B^  bestimmt  sindf  haben  eine  Secante  derü,  ge- 
mein (bilden  also  ein  Flftchenbttschel). 

19.  Die  Gleichung  der  Flftche,  welche  eine  Secante  einer  B^  beschreibt, 
wenn  sie  sich  entlang  einer  Oeraden  P^P^  bewegt,  kann  auf  folgendem 
Wege  gewonnen  werden. 

Bezeichnet  Tik  den  Werth,  welchen  Ti  für  die  homogenen  Coordinaten 
eines  Punktes  Pj^  annimmt,  so  liegt  der  Funkt  P^  für  den 

f*i  +  *4 
auf  der  Secante  it^A,,  wenn  die  Gleichungen  erfüllt  sind 

Hieraus  folgt  die  gesuchte  Gleichung  durch  Elimination  von  fA^  und  fA^  zu 


1) 


^11  -  (Ai  +  h)  Tn  + 1^  i,  T„     T.,  -  (i,  +  l,)T„  +  i,  i,  T„  \ 


Aus  den  Gleichungen  der  Secante 
folgen  die  Verhältnisse 

Wird  dies  in  1)  substitoirt,  so  ergiebt  sich  die  gesuchte  Flächengleichung. 
Sie  ist  Yom  vierten  Grade.  Liegt  P^  auf  iZ,,  so  zerfällt  die  Fläche  in  den 
Kegel  zweiter  Ordnung,  der  B^  Yon  P^  aus  projicirt,  und  die  durch  B^  und 
PiP^  bestimmte  Fläche  zweiter  Ordnung;  liegen  P^  und  P^  auf  1^,  so 
besteht  die  Fläche  aus  den  beiden  Kegeln,  welche  die  A,  von  P|  und  P, 
aus  projiciren. 

Die  Secanten,  welche  zwei  Gerade  PiP^  nnd  P^P^  treffen,  ermittelt 
man,  indem  man  zu  1)  noch  die  Gleichung  fügt,  die  aus  1)  hervorgeht, 
wenn  P^  und  P^  gegen  P^  und  P^  vertauscht  werden.  Für  die  Unbekann- 
ten Aj  +  A,  und  A,  Aj  erhält  man  so  zwei  quadratische  Gleichungen :  zu  jedem 
der  vier  Wurzeis jsteme  gehört  eine  Secante  der  iZ,.  Daher  folgt:  Zwei 
Gerade  werden  von  vier  Secanten  einer  B^  getroffen. 

20.  Das  Achteck  1,  2,  3,  4,  6,  6,  7,  8  (wobei  die  Ziffern  statt  gleich- 
bezifferter  A  stehen)  sei  einer  B^  eingeschrieben.  Die  Gegenebenen  123  und 
567  bestimmen  eine  Gerade  a,  die  Gegenebenen  234  und  678  bestimmen 
eine  zweite  Gerade  5.  Diese  Geraden  werden  von  den  Secanten  23  und  67 
getroffen,  begegnen  also  ausserdem  noch  zwei  Secanten  der  1^.  Eine  der- 
selben sei  als  Träger  der  Punkte  0  und  oo  gewählt  Nach  Feststellung  des 
(willkürlichen)  Einheitspunktes  ist  alsdann  jedem  Punkte  ein  Parameter  zu- 

ZctUabfill  t  MAtiimiifttik  «.  Pliysft  XXX,  6.  19 


290        Bemerknngeü  zum  Pascarschen  Satze  etc.    Von  B.  Hbgeb. 

gewiesen,  und  diese  Parameter  seien  durch  die  Ziffern  1...8  bezeichnet. 
Dann  gelten,  weil  0  cx>  die  Geraden  123,  567  und  234,  678  trifft 
(Nr.  15),  die  Gleichungen  der  Producte 

1.2.3  =  5.6.7,    2.3.4  =  6.7.8. 
Hieraus  folgt 

1.8=4.5. 

In  Btlcksicht  auf  Nr.  14  folgt  daher: 

Construirt  man  die  beiden  Schnittlinien  von  zwei  Paaren 
Gegenebenen  eines  einer  E^  eingeschriebenen  Achtecks,  sowie 
die  beiden  Secanten  der  B^j  welche  diese  Geraden  treffen  und 
nicht  zugleich  Seiten  des  Achtecks  sind,  so  liegen  diese  bei- 
den Secanten  mit  den  auf  den  construirten  Gegenebenen  nicht 
enthaltenen  beiden  Seiten  des  Achtecks  auf  einer  die  22,  ent- 
haltenden Fläche  zweiter  Ordnung. 


Kleinere  Mittheilungen. 


XVL  XTeber  einen  von  Steiner  entdeckten  Satz  nnd  einige  verwandte 
EigensohalEten  der  Flächen  zweiter  Ordnung. 

Der  Satz,  welchen  ich  beweisen  will,  wurde  von  Steiner  Bd.  XXXI 
S.  9ü  des  Crelle'schen  Journals*  gegeben;  von  demselben  kenne  ich  keinen 
Beweis  und  ich  halte  es  daher  nicht  fttr  unnöthig,  die  folgenden  Zeilen  zu 
verGffentlichen. 

Der  Gedankengang,  welcher  mich  zu  dem  obengenannten  Lehrsatze 
führte,  zeigt  die  Verbindung  desselben  mit  den  Resultaten  neuerer  Unter- 
suchungen über  die  Invarianteneigenschaften  einiger  algebraischen  Formen 
gegen  gewisse  specielle  lineare  Transformationen  und  der  entsprechenden 
geometrischen  Figuren.  Derselbe  Gedanke  hat  mich  auch  zu  einigen  ver- 
wandten Sätzen  gefdhrt,  die  mir  bemerkenswerth  scheinen  und  welche  theils 
Chasles  angehören,  theils  neu  sind;  sie  können  als  ein  Beitrag  zum  Studium 
der  metrischen  Invarianten**  des  von  einer  Flftche  zweiter  Ordnung  und  einem 
Punkte  zusammengesetzten  Systems  angesehen  werden. 

§1. 

Ich  führe  hier  sogleich  den  folgenden  Hilfssatz  an,  von  welchem  ich 
in  Nachstehendem  mehrmals  Gebrauch  machen  werde: 

Ist  fix^y^z)  eine  algebraische  ganze  Function  der  recht- 
winkligen Coordinaten  eines  Punktes  im  Räume,  und  führt  man 
eine  Coordinatentransformation  aus,  bei  welcher  der  Anfangs- 
punkt fest  bleibt,  so  behält  nicht  nur  die  gegebene  Function 
selbst,  sondern  auch  jede  der  folgenden  Functionen: 

ihren  Werth  für  jeden  beliebigen  Punkt  bei. 

Der  Fall,  auf  welchen  wir  diesen  Satz  anwenden  wollen,  ist  derjenige,  wo 
jx     f(x,y,  z)^a^^x^  +  a^y^  +  a^z^  +  2a^y  ß  '\'2a^^isx'\'2a^^xy 

ist;  setzt  man  der  Kürze  halber 

*  Vergl.  Jacob  Steiner*8  Gesammelte  Werke,  II.  Bd.,  188S,  S.  357. 
^  Siehe:  EllingHolst,  Ein  Paar  synthetiBcher  Methoden  in  der  metrischen 
Geometrie  mit  Anwendungen.   Archiv  for  Mathematik  og  Naturvidenskab.   Sivende 
Bind,  1882,  S.  240flgg. 

***  Lam^,  Le^ona  sur  les  coordonn^es  curvilignes,  Paria  1859,  S.  6.  Die  Func- 
tionen Jt/'und  d^f  %m6.  die  Differentialparameter  der  Function  f, 

19« 


'.^-/CrO'+(fjy+(K)'    ^>r=^^^^^ 


292 


Kleinere  Hittheilongen. 


2) 


/i  =  »31«  +  Ö8«y  +  «88^  +  «34» 
h  =  «41«  +  «4ay  +  «48^  +  «44» 

80  wird  man  finden,  dasd  fUr  eine  orthogonale  Substitution  die  Functiooen 
ihren  Werth  beibehalten;  insbesondere  kann  man  schliessen,  dass  die  Summe 

»l4*  +  V  +  «84* 

diese  Eigenschaft  hat. 

Der  folgende  Satz  wird  in  vorliegender  Arbeit  keine  Anwendung  finden; 
doch  werde  ich  ihn  auseinandersetzen ,  da  er  bemerkenswerth  ist  und  als  eine 
Verallgemeinerung  eines  Theiles  obigen  Hilfssatzes  angesehen  werden  kann. 

Sind  x^  y,  ß  die  Cartesischen  Coordinaten  eines  Baum- 
punktes in  Bezug  auf  ein  Coordinatensjtem,  dessen  Axen  die 
Winkel  yz,  zx,  xj  zu  zweien  bilden,  und  haben  f(XjP,e)j  f^^f^^ 
fz%  fi  <iiö  vorhergehenden  Bedeutungen,  so  bleibt  der  Werth 
der  Function 


f^^  sin^xjz: 


bei  allen  Coordinatentransformationen  unverändert« 

In  der  That,  geben  wir  diesem  Ausdrucke  das  entgegengesetzte  Zeichen, 
so  ei  halten  wir  das  Quadrat  der  Entfernung  des  Punktes  {x^  y^  e)  von  seiner 
Polarebene  in  Bezug  auf  die  Fläche  zweiter  Ordnung  f{x^y^  e)=^0^  und 
da  dieses  vom  Coordinatensjstem  unabhängig  ist,  so  schliesst  man  den  Lehrsatz. 
Setzt  man  insbesondere  voraus ,  dass  der  betrachtete  Punkt  der  An&ngs- 
punkt  sei,  und  erinnert  man  sich,  dass  eine  Coordinatentransformation,  bei 
welcher  der  Anfangspunkt  fest  bleibt,  das  constante  Glied  von  f{x,f/,z) 
unverändert  lässt,  so  kann  man  folgenden  Zusatz  erhalten: 

Führt  man  eine  Coordinatentransformation  aus,  bei  wel- 
cher der  Anfangspunkt  fest  bleibt,  so  behält  die  Function 

0  «14  «24  «84 

1  COSJ.J      C08J.Z 

casjx       1        C08JZ 
coszx    coszy        1 


0 

fx 

h 

fs 

fl 

1 

cosxy 

cosxz 

/i 

COSJX 

1 

cosyz 

fs 

coszx 

COSZJ 

1 

stfTxyz : 


ihren  Werth  bei. 


«*14 
ö»4 
«84 


*  Es  ist,  wie  gewöhnlich: 
8fn*xyz: 


1  CaSTJ     COSTZ 

COSJX       1        eosjz 
cotzx    €08 zy        1 


Kleinere  Mittheilungen.  293 


Sind  endlich  die  Coordinatenaxen  rechtwinklig,  so  wird  diese  Function 
—  (^4^  +  ^'  +  ^');  daher  kommt  man  zu  einem  schon  erhaltenen  Resultate 
zurück. 

§2. 

Mit  Hilfe  des  angeführten  Hilfssatzes  ist  der  fragliche  Steiner'sche 
Satz  leicht  zu  beweisen.     Derselbe  lautet: 

Wird  eine  gegebene  PlSche  F  zweiter  Ordnung  auf  ein 
rechtwinkliges  Coordinatensjstem  XTZ  bezogen,  dessen  An- 
fangspunkt^ beliebig  liegt,  so  entstehen  in  jeder  Axe  X,  F,  Z 
zwei  AbschnittCi  die  beziehentlich  durch  x^  und  x^,  y^  und  y^^ 
gj^  und  0^  bezeichnet  werden  sollen,  und  ferner  drei  Abschnitte 
oder  Sehnen  zwischen  den  Schnittpunkten,  die  er,  ßj  y  heissen 
mögen.  Wird  das  rechtwinklige  Coordinatensjstem  um  den 
nämlichen  festen  Anfangspunkt  A  auf  beliebige  Art  herum- 
bewegt, so  bleibt  der  Ausdruck 


constant.* 


a?i*V      y^y%       f^x^i 


2«  % 


*  Herr  Gatalan  legt  in  seinem  Manuel  des  candidats  ä  Täcole  polytechnique 
(T.  n,  Paris  1868,  8.  38)  folgende  Aufgabe  vor: 

„Thdorime,  Si  Von  designe  par  x',  x";  y',  y";  z',  z"  les  disiances  comprises 
entre  le  sommet  d'tm  angle  trüdre  triredangle  et  les  poita  ou  les  aretes  de  ce  trüdre 
rencontrent  une  sitrface  du  second  ordre,  la  foncHon 

est  invariable,  quelle  que  soit  la  posüion  de  V angle  triedre.  (Theoreme  de  M. 
Steiner,)" 

Dieser  Satz  hat  einige  Aehnlichkeit  mit  demjenigen,  welcher  uns  jetzt  be- 
Bchäftigt;  doch  wurde  er  nie  von  Steiner  ausgesprochen,  wie  man  sich  aus  seinen 
jyGesammelten  Werken**  sehr  leicht  überzeugen  kann.  Ueberdies  ist  er  unrichtig: 
das  folgende  Baisonnement  beweist  in  der  That,  dass  die  Flächen  zweiter  Ordnung 
die  obige  Eigenschaft  nicht  haben. 

Betrachten  wir  das  Trieder  in  einer  gewissen  Lage,  halten  seinen  Scheitel- 
punkt A  und  eine  seiner  Kanten,  z.  B.  AZ^  fest  und  lassen  es  um  diese  drehen. 
Die  Punkte,  in  denen  AZ  die  Fläche  schneidet,  werden  auch  fest  sein,  während 
die  Schnittpunkte  von  AX  und  AT  sich  bewegen  werden  und  als  die  Durchschnitte 
eines  rechten  Winkels,  welcher  sich  um  A  und  in  der  Ebene  Z^ IT  dreht,  mit  dem 
Kegelschnitte,  in  welchem  X AT  die  gegebene  Fläche  schneidet,  angesehen  werden 
können.  Daraus  folgt,  dass,  wenn  der  Gatalan 'sehe  Satz  wahr  wäre,  jeder  Kegel- 
schnitt die  folgende  Eigenschaft  haben  wurde: 

„Sind  x\  x"'^  y\  y"  die  Entfernungen  der  Spitze  eines  rechten  Winkels  yon 
den  Schnittpunkten  seiner  Seiten  mit  einem  in  derselben  Ebene  gelegenen  Kegel- 

schnitte,  so  hat  die  Function  W- — 4  +  #«  .  /*«  einen  von  der  Lage  des  Winkels 
unabhängigen  Werth.** 


294 


Kleinere  Mittheilnngen 


Seien  x^  y,  z  die  Coordinaten  des  Punktes  A  in  einem  Coordinaten- 
System ,  dessen  Axen  den  Kanten  des  gegebenen  Trieders  in  seiner  ursprüng- 
lichen Lage  parallel  sind:  sei     ..  ,      ^ 

die  Gleichung  der  gegebenen  Fl&che  F^  wo  der  Ausdruck  von  f(x^  y^z)  aus 
1)  zu  nehmen  ist. 

Die  Abscissen  ^^  und  1^  der  Funkte,  in  welchen  die  Gerade  ^Z  die 
Fläche  F  schneidet,  werden  die  Wurzeln  der  Gleichung 

+  Kay*  +  2a23y^  +  2ös8**  +  '^«24y  +  2a34^  +  «44) 
sein;  man  hat  daher 

und  folglich 
b) 


a) 


^.a;,  =  a?-(|,+|,)«+l,l,  =  ^^^^^' 


o, 


'II 


a^i^iCa*         IL  f{x,y,z)  J      Aic,y,^)l 

Schreibt   mp,n   der  Kürze  wegen  /*  statt  f{x^y^z)   und  bezeichnet  die 
Werthe,  welche  die  Ableitungen  von  f{Xy  y^  z)  im  Punkte  Ä  annehmen,  mit 


dl     df     df 

dx'  dy'  dz 


r^>  ;r-j   :r-»   so  erhalt  man: 


4) 


X.'XJ 


\dxJ    ^d^       (f,'    «„1 

_2  4|-pj-^). 


ebenso 


nso.  .g^j         3Y 

yiW~  f*        f  ~  \n    fi 


n  ^2 


um  am  leichtesten  zu  sehen,  dass  dieser  Satz  falsch  ist,  setzen  wir  den  Scheitel- 
punkt des  beweglichen  Winkels  in  eine  ausgezeichnete  Lage,  z.  B.  in  den  Brenn- 
punkt des  gegebenen  Kegelschnittes.    Ist 


die  Polargleichung  derselben,   und  betrachtet  man  den  beweglichen  Winkel  im 
Augenblicke,  wo  eine  seiner  Seiten  mit  den  Axen  den  Winkel  o,  die  andere  des 

Winkel  -^  + «  bildet,  so  findet  man 

x^  +  x'"^  "^ y'2  +  y"«         1  +  e«  +  e*  Bin^a co^a 
und  dieser  Werth  ist  von  a  nicht  unabhängig,  wie  es  sein  müsste,  wenn  der  Ca- 
talan*sohe  Satz  richtig  wäre. 


Kleinere  Mittheilungen.  295 

Aus  diesen  drei  Gleichungen  folgt: 

^iW     ViVt      »x^f^%      \\  f  ^  f  \ 

Aus  dem  schon  angeführten  Hilfssatze  kann  man  nun  schliessen,  dass 
die  Grösse  zur  rechten  Hand  dieser  Gleichung  bei  einer  Drehung  des  Co- 
ordinatensjtems  um  seinen  Anfangspunkt  ihren  Werth  beibehält;  dasselbe 
gilt  also  von  der  Grösse  linker  Hand.  Und  da  endlich  die  Drehung  des 
Coordinatensjstems  um  seinen  Anfangspunkt  einer  Drehung  des  gegebenen 
Coordinatensystems  um  den  Punkt  A  entspricht,  und  umgekehrt,  so  ist 
damit  die  Wahrheit  des  Stein  er 'sehen  Theorems  nachgewiesen.* 

Demselben  mögen  hier  folgende  Bemerkungen  beigefügt  werden. 
Wenn  eine  Fläche  zweiter  Ordnung  gegeben  ist,   so  kann  man  jedem 
Punkte  des  Raumes  eine  bestimmte  Zahl  beilegen ,  diejenige  nämlich ,  welche 

— ^j  —2-—  in  diesem  Punkte  ergiebt.     Der 

Ort  der  Punkte,  in  welchen  diese  Function  einen  gegebenen  Werth  (--4c) 
hat,  ist  die  Fläche  vierter  Ordnung,  deren  Gleichung 

oder 

ist.  Aus  dieser  letzteren  folgt  sogleich**,  dass  diese  Fläche  einen  Doppel- 
kegelschnitt  hat,  nämlich  denjenigen,  in  welchem  die  unendlich  ferne  Ebene 
von  der  Fläche  F  geschnitten  wird.  Lässt  man  c  variiren,  so  erhält  man 
ein  ganzes  Büschel  von  Flächen  dieser  Art,  welche  die  Doppelcurye  gemein- 
sam haben  und  durch  die  (imaginäre)  Curve  vierter  Ordnung  erster  Species 
gehen,   in  welcher  die  gegebene  Fläche  von  dem  (imaginären)  Qnadrikegel 

geschnitten  wird.  h  ^Tt^H 

§3. 

Setzen  wir  jetzt  voraus,  dass  die  gegebene  Fläche  einen  Mittelpunkt 
habe  und  dass  man  in  denselben  den  Anfangspunkt  A  des  Coordinaten- 
Systems  lege,  so  wird  man  folgende  Gleichungen  haben: 


*  Will  man  den  Stein  erwachen  Satz  beweisen,  ohne  Lam^*8  Hilfssatz  zu 
gebrauchen,  so  nehme  man  die  Kirnten  des  gegebenen  Trieders  in  seiner  ursprüng- 
lichen Lage  als  Coordinatenazen;  man  wird  dann  die  Gleichung  erhalten: 

deren  rechte JBeite  aus  den  Functionen: 

«44,    »11 +  ««  +  0»,    o,4»  +  ai4«-l-aM* 
zuBammengeeetzt  ist,  deren  Invarianz  bekannt  ist.    Analoge  Bemerkungen  kann 
man  zu  den  folgenden  Sätzen  machen. 

*•  Siehe  Kummer,  Ueber  die  Flächen  vierten  Grades,  auf  welchen  Schaaren 
vou  Kegelschnitten  liegen,  Monatsberichte  der  ßerl.  Akad.  1863  S.  327. 


296  Kleinere  Mittheilungen. 


woraus  man  schliessen  kann,  dass 

1  +  1  +  1 

«*  /^"  y« 

constant  ist.  Das  drückt  die  bekannte  von  C  h  a  s  1  e  s  entdeckte  Eigenschaft  ans : 
Die   Summe    der  Quadrate    der   reciproken  Werthe  irgend 
dreier  zu  einander  rechtwinkligen  Durchmesser  einer  Flfiche 
zweiter  Ordnung  ist  constant.* 

Es  ist  bemerkenswerth,  dass  es  ausser  dem  Steiner 'sehen  noch  einen 
andern  Satz  giebt,  welcher  als  eine  Verallgemeinerung  des  Ghasles 'sehen 
Satzes  angesehen  werden  kann.     Es  ist  der  folgende: 

Wird  eine  gegebene  Fläche  zweiter  Ordnung  auf  ein  recht- 
winkliges Coordinatensystem  XYZ  bezogen,  dessen  Anfangs- 
punkt beliebig  liegt,  so  entstehen  in  jeder  Axe  XYZ  zwei  Ab- 
schnitte, die  beziehentlich  durch  x^  und  x^^  y^  und  y^^  b^  nnit^ 
bezeichnet  werden  sollen.  Wird  das  rechtwinklige  Coordina- 
tensystem um  den  Anfangspunkt  auf  beliebige  Art  hernm- 
bewegt,  so  bleibt  der  Ausdruck 


constant.**  ^^      ^*^*        *  * 

In  der  That  haben  wir  im  vorigen  Paragraphen  [Oleich.  b)]  gesehen, 
dass 

5)    -l-  =  ^ü-^  ist,  ebenso   1-  =  — fü_^,    J-  =  _£lL- 
x^x^      f{x,y,0)  y^y^      f{x,y,fs)      ß^»^      f{x,y,z) 

und  daher  .  1      •     1    _1  ^, 


+  ^777-^ 


a?i«2    y\y%    ^1^«     2    f 

woraus  mittels  des  Hilfssatzes  unser  Theorem  unmittelbar  folgt 

Der  Ort  der  Punkte  des  Elaumes ,  für  welche  obige  Function  einen 
gegebenen  Werth  hat,  ist  eine  Fl&che  zweiter  Ordnung,  ähnlich  und  fthn- 
lich  gelegen  mit  der  gegebenen. 


*  Chasles,  Propridt^s  des  Diam^tree  de  rellipsolide,  Corresp.  snr  TEc  Polyt. 

T.  m,  1816,  S.  806,  and  Aper9a  historique  u.  s.  w.,  2.  Aufl.  1876,  S.  824.  —  Vergl 

auch:  Demonstration  de  deux  thdor^mes  par  un  Abonn^,  Annales  de  Math^matiqoes 

de  M.  Gergonne,  T.  XVIII  S.  869. 

1  2f 

**  Die  Function  — r-  =  -Tr?  kann  wohl  die  Potenz  desPunk- 

-^  +  -^  +  —     ^»^ 

^^t     VxVt     «i'^t 
tes  xyB  in  Bezug  auf  die  Fläche  ^genannt  werden;  denn  wenn  F eine  Kugel 
ist,  BD  misst  sie  das  Dreifache  der  Potenz,  im  St  einer 'sehen  Sinne,  des  Pnnktes  in 
Bezug  auf  sie. 


Kleinere  Mittheilungen.  297 


§4. 

Zu  einem  andern  Lehrsatze ,  welcher,  wie  die  vorigen,  von  der  gegen- 
seitigen Lage  eines  rechtwinkligen  Trieders  und  einer  Fläche  zweiter  Ord- 
Diing  handelt,  gelangt  man  mittels  folgender  Betrachtungen. 

Wie  gewöhnlich,   seien  Xj  y^  0  die  rechtwinkligen  Coordinaten  eines 
festen  Punktes  P,    welcher  die   Spitze  eines    rechtwinkligen  Trieders    ist, 
dessen  Kanten  den  Coordinatenaxen  parallel  sind;  seien  noch  Äi^A^'^B^yB^; 
C|,  C^  die  Funkte,  in  denen  die  Kanten  des  Trieders  die  Fläche  schneiden, 
deren  Oleichung 
jN    /"(«,  y»  J»)  =  «11 Ä?*  +  «22^*  +  «33^'  +  äajjyjc  +  2aji£ic  +  2ai^xy 
+  2a^^x  +  2a^y  +  2a^ss  +  a^^  =  0 
ist;  seien  endlich  ^^,  |g  die  Wei*the  der  a?-Coordinate  der  Punkte  ji|,  A^\ 
1/1,  1^2  die  Werthe  der  y  Coordinate  der  Punkte  jB^,  jBj;    ti;  {«  ^^  Werthe 
der  fr -Coordinate  der  Punkte  C^,  C7,.     Sehr  leicht  findet  man  [vergl.  §  2 
Gleich.  a)J 

**11  **11 

ö)  {    Vi  +  V9  =  ^^ »     ViVi  = -z 5 

»38  »88 

^0  /*;/*!,  ^2,  /^,  /'4  die  Bedeutung  haben,  welche  in  §  1  auseinandergesetzt 
wurde.  Da  man  nun  annehmen  kann,  dass  /j,  f^y  f^t  fi  die  Coefficienten 
der  Gleichung  der  Polarebene  n  des  Punktes  P  seien,  so  ist  es  nicht  schwer, 
die  Entfernungen  zu  finden,  welche  die  Punkte  A^y  ^,  jB^,  B^y  Oj,  C^ 
Yon  der  Ebene  n  haben.  Führt  man  diese  Rechnung  aus ,  so  kann  man  mit 
leichter  Mühe  folgende  Gleichungen  erhalten: 

Ä^       Ä^  fx'  +  U'  +  f^' 

B^^     ,    B^n    __  g      f^  —  flg^ f 

Bj^    b;p'     h'+u+fT 


7) 


wo  überhaupt  Mv  die  Entfernung  des  Punktes  M  von  der  Ebene  v  be- 
zeichnet.    Hieraus  folgt  unmittelbar: 

^1 9r  ^^^  —  —  — 


52 


AP' 

Geht  man  zu  einem  andern  rechtwinkligen  Coordinatensjstem,  welches 
denselben  Anfangspunkt  habe,  über,  so  bleibt  der  zweite  Theil  dieser  Gleich- 


298  Kleinere  Mittheilungen. 

ung  unverändert  (§  1) ;  dasselbe  kann  man  daher  betreffs  des  ersten  sagen. 
Andererseits  entspricht  die  Bewegung  des  Coordinatensystems  einer  Bewegung 
des  gegebenen  Trieders,  und  umgekehrt.  Infolge  dessen  können  wir  end- 
lich schliessen: 

Ist  P  die  Spitze  eines  beweglichen  rechtwinkligen  Tri- 
eders, n  die  Polarebene  von  P  in  Bezug  auf  eine  gegebene 
Fläche  zweiter  Ordnung  F\  sind  endlich  jij,  -4^;  jBj,  B^^  C,,  C^ 
die  Durchschnitte  der  Kanten  des  Trieders  mit  F^    so  hat  die 

Function  

-ä.,  7t  Ä^n  B^n  B^n  C^n  C^n 

A^       ~J^        B[P        B^P^        CJ^         C^P" 
denselben  Werth  bei  jeder  Lage'des  Trieders.* 

Der  Ort  der  Punkte  des  Raumes,  in  welchen  diese  Function  einen 
gegebenen  Werth  hat,  ist  eine  Fläche  zweiter  Ordnung,  welche  denselben 
Mittelpunkt  und  dieselben  Axen  wie  F  hat. 

§5. 

Auch  die  Eigenschaften  der  conjugirten  Durchmesser,  die  Livet  und 
Binet,  wie  analog  den  wohlbekannten  Apollonischen  Lehrsätzen  über  die 
Kegelschnitte,  gegeben  haben,  können  verallgemeinert  werden,  wie  ich  jetzt 
beweisen  will. 

Die  Gleichung  jeder  centrischen  Fläche  zweiter  Ordnung  kann  auf  die 
folgende  Form  gebracht  werden: 
8)  fix,  y,  z)  =  a„ x^  +  a^y^  +  (hz^^  +  ^<^u^  +  ^(hiy  +  ^<^u^  +  «44  =  ^h 
es  ist  dazu  nothwendig  und  hinreichend ,  dass  man  zu  Coordinatenaxen  drei 
Gerade  wählt,  welche  zu  drei  conjugirten  Durchmessern  parallel  sind.  Drei 
solche  Geraden  bilden  ein  Trieder,  das  wir  conjugirtes  Trieder  in 
Bezug  auf  die  gegebene  Fläche  nennen  wollen. 

Sind  yz,  zx,  xj  die  Winkel,  welche  die  Coordinatenaxen  je  zu  zweien 
bilden,  so  bleiben  die  Werthe  der  Functionen: 

sin^xjz 

sin^xyz 
a,|  sin^yz  +  a^g  sin^zx  +  a^^  sin^xy 
sin^  xyz 
wenn  man  von  einem  Coordinatensystem ,  dessen  Axen  ein  conjugirtes  Tri- 
eder bilden,   zu  einem  andern  Coordinatensystem  derselben   Art  und  mit 
demselben  Anfangspunkt  übergeht,    unverändert.**     Nennen  wir  5,  C,  J) 

•  Chasles,  Apercu  hiatorique  u.  b.  w.,  S.  718. 

••  Siehe  das  vortrefiFliche  Lehrbuch  meines  verehrten  Lehrers  Prof.  E.  D'Ovidio- 
Le  proprietä  fondamentali  delle  superficie  di  second'ordine  (Turin  1883),  8. 16- W. 


Kleinere  Mittbeil  nngen.  290 


resp.   die  Werthe  dieser  Functionen,  so  ist  £^0,  und  daher  können  wir 
schreiben : 

•D  =  — r~5j >      ~zz  =  —  H -f"  —  »      "^  = + + • 

stn'xyz        B       a^      (hi     ^ss       ^       ^»as       ^»s^u      öi„a^ 
Nun  haben  wir  aus  der  Betrachtung  eines  Trieders,  dessen  Spitze  der 
Punkt   {x,  y^  z)   ist  und  dessen  Kanten   den  Coordinatenaxen  parallel  sind, 
erhalten  [§  3  Gl.  5)]: 

«"=Ä'  «-=^'  '--{i;-^ 

daher  gehen  die  yorigen  Gleichungen  in  die  folgenden  über: 

Cf 

yi^itfi^i  sin*jz  +  g^x^e^^i  5m*zx  +  x^y^x^y^  sin^zj  =  -g"* 

Nach  dem  früher  Auseinandergesetzten  folgt  nun  unmittelbar,  dass  die 
Grössen  rechter  Hand  unverändert  bleiben ,  wenn  wir  das  conjugirte  Trieder, 
welches  unserem  Coordinatens jstem  zu  Gründe  liegt ,  verändern ;  somit  blei- 
ben auch  die  Grössen  linker  Hand  constant.  Hiermit  ist  der  folgende  Satz 
bewiesen : 

Wird  eine  gegebene  Fläche  zweiter  Ordnung,  die  kein 
Paraboloid  ist^  auf  ein  conjugirtes  Trieder  XYZ  bezogen, 
dessen  Anfangspunkt  P  beliebig  ist,  so  entstehen  auf  jeder 
Axe  zwei  Punkte,  die  wir  beziehungsweise  Ä^  und  A^^  B^  und 
5g,  (7,  und  (7j  nennen  wollen.  Wird  das  conjugirte  Trieder 
um  den  Funkt  P  gedreht,  so  bleiben  die  folgenden  Grössen 
constant: 

I.  das   Product  der  Volumina   der  Tetraeder  RA^B^C^  und 
PA^B^C^', 

II.  die  Summe  der  Producte  der  Flächen  der  Dreiecke  FB^C^ 
und  FB^C^,  POiAi  und  PC^A^,  ^A^i  ^^^  -P-^s^s? 

m.  die  Summe  der  Producte  PA^.PA^,  PB^.PB^,  PG^.PG^^. 

Ist  P  insbesondere  der  Mittelpunkt  der  Fläche,  so  schliesst  man: 
In  einerFläche  zweiter  Ordnung,  die  einen  Mittelpunkt  hat: 
I.  das  Tetraeder,   welches  drei  conjugirte  Halbmesser  zu 

seinen  Kanten  hat,  hat  einen  constanten  Inhalt.  (Livet's 

Satz); 

*  /*=  /\a;,  y,  0)  igt  aus  8)  zu  entnehmen. 
**  Die  Wahl  der  Benennung  der  Punkte  -4|,  B,,  C,  hat  keinen  Einfluss  auf 
diese  Eesultate. 


300  Kleinere  Mittheilungen. 

II.  die  Summe  der  Quadrate  der  Flächen  der  Dreiecke,  die 
drei  conjugirte  Halbmesser  zu  je  zweien  bestimmen,  ist 
constant.     (Binet's  Satz); 
III.  die  Summe  der  Quadrate  dreier  conjugirten  Halbmesser 

ist  constant.     (Livet's  Satz.) 
Um  zu  einem  ähnlichen  Satze  über  die  Flächen  zweiter  Ordnung  ohne 
Mittelpunkt  zu  gelangen,  bemerken  wir,   dass  die  Gleichung  eines  Parabo- 
loids  immer  auf  die  folgende  Form  gebracht  werden  kann: 

10)  f{Xy  y,  z)  =  an«?*  +  a^^  +  2a^^x  +  2a^^y  +  2a^e+  a^^  =  0; 
es  ist  zwar  die  e-Axe  parallel  der  Axe  des  Paraboloids  und  die  zwei  anderen 
Axen  sind  parallel  zweien  conjugirten  Durchmessern  eines  ebenen  Querschnittes 
der  Fläche.  Drei  solche  Geraden  bilden  ein  Trieder,  das  wir  wieder  ein 
conjugirtes  Trieder  nennen  wollen,  wovon  die  jer-Axe  die  Haupt- 
kante, die  anderen  die  Nebenkanten  genannt  werden  mögen.  Geht 
man  von  dem  gewählten  Coordinatensystem  zu  einem  andern  derselben  Art 
und  mit  demselben  Anfangspunkte  über,  so  bleiben  die  Werthe  der  folgen- 
den Functionen:  .  .       ,  .  « 

s»n*xyz  sifi^xjz 

constant.  Andererseits  hat  uns  die  Betrachtung  eines  Trieders ,  dessen  Kan- 
ten den  Coordinatenaxen  parallel  sind  und  dessen  Spitze  ein  fester  Funkt 
ist,  zu  folgenden  Gleichungen  geführt : 

f  n     -     f      * 

Daher  kann  man  schhessen,  dass  ^ 

x^x^sm^nz  +  y^y,  m*y  z  =  -^ 

ist;  und  es  ist  leicht  zu  sehen,  dass  diese  Gleichung  als  der  analytische 
Ausdruck  des  folgenden  Satzes  angesehen  werden  kann: 

Wird  ein  gegebenes  Paraboloid  auf  ein  conjugirtes  Tri- 
eder bezogen,  dessen  Spitze  P  beliebig  liegt,  so  entstehen  auf 
jeder  seiner  Nebenkanten  zwei  Punkte;  sind  J^i,  \  und  \y  k^ 
die  Entfernungen  derselben  von  seinen  Hauptaxen,  so  ist  die 
Summe  ^i^  +  ^i^^  von  dem  gewählten  conjugirten  Trieder  un- 
abhängig. 

Endlich  will  ich  noch  bemerken,  dass  alle  die  Sätze,  mit  welchen  wir 
uns  beschäftigt  haben,  ihre  entsprechenden  nicht  nur  in  der  Theorie  der 
Kegelschnitte  haben  (wie  schon  Steiner  für  sein  Theorem  bemerkte) ,  son- 
dern auch  in  derjenigen  der  Flächen  zweiter  Ordnung  in  einem  linearen  Baume 
von  beliebig  vielen  Dimensionen  mit  einer  Euclidischen  Maassbestimmung. 

*  f=f(x,y,e)  ist  aus  10)  zu  entnehmen. 

Mantua,  Juli  1885.  Dr.  Ging  Loria. 


Kleinere  Mittheilongen.  301 


XVn.  Ueber  gewisse  Soliaarfln  von  Dreieokskreiten. 

Es  bezeichne  q  den  Radius  des  in  ein  Dreieck  ABC  beschriebenen 
Kreises,  r  den  Halbmesser  desjenigen  Aussenkreises,  welcher  AB  nebst 
den  Verlängerungen  von  CA  und  CB  berührt,  endlich  B  den  Radius  des 
um  ABC  construirten  Kreises;  nach  bekannten  Formeln  ist  dann 

^^  =  («+6)      2abc 

oder,  wenn  man  das  arithmetische  Mittel  zwischen  q  und  r  mit  f«  bezeichnet 
und  die  Seiten  durch  die  Winkel  ausdrückt, 

1)  -^^casa  +  cosß. 

Ebenso  leicht  findet  man 

r       a+h+c  ^  * 

Von  diesen  Relationen  lassen  sich  folgende  Anwendungen  machen. 

Auf  der  Seite  AB  wähle  man  beliebig  die  Punkte  Pj ,  P,,  P3,  . . .,  Pn-i, 
ebenso  willkürlich  auf -4  (7  den  Punkt  ^1 ,  aufPi^i  den  Punkt  §,,  aufP,^, 
den  Punkt  Q^  u.  s.  w.,  endlich  heisse  D  der  Durchschnitt  von  P^—iQn^i 
und  B&'j  wendet  man  nun  nmtatis  mutandis  die  Gleichung  1)  auf  die  n 
Dreiecke  AP^Qi,  F^P^Q^,  J^s^sÖs»  •••»  Pn-iBD  an,  so  erhöt  man 

p==cösa  +  cosAP^Q,,     p=^cosQ^P,P^  +  cosP,P^Q^,    ..., 
...,    ^^cosDPn^iB  +  cosß. 

Durch  Addition  dieser  Gleichungen  unter  Berücksichtigung  des  ümstandes, 
dass  die  Summe  der  Cosinus  zweier  Nebenwinkel  verschwindet,  ergiebt  sich 
rechter  Hand  cosa  +  cosß^  d.  i.  nach  Nr.  1 

In  analoger  Weise  kann  die  Relation  2)  auf  die  vorhin  genannten  n 
Dreiecke  angewendet  werden;  zunächst  erhält  man 

^=.tm\a.im^AP^Q^,    ^-=^tan^QtB,P^.tm^PiPtQ^,  ..., 

...,    ^^tm\J)Pn^xB.ian\ß. 

Multiplicirt  man  diese  Gleichungen  und  beachtet,  dass  das  Product  der  Tan- 
genten zweier  halben  Nebenwinkel  =1  ist,  so  findet  man  rechter  Hand  den 
Ausdruck  tan^a.tan^ßy  mithin  nach  Nr.  2) 


302 


Kleinere  Mittheilungen. 


In  dem  sehr  speciellen  Falle,  wo  die  beliebigen  Punkte  Qj,  Q^^  . . .,  Qm—\ 
durch  den  einen  Punkt  C  vertreten  werden,  geht  die  Gleichung  4)  in  den 
auf  S.  252  des  laufenden  Jahrgangs  dieser  Zeitschrift  erwähnten  Satz  über. 

SOHLÖMILOH. 


xym.  Zwei  Sätze  über  die  Integrale  simultaner  Differential- 
gleichungen. 

Sind 

yk  =" c^yki  +  (^yk2  + ' > » +  Ckykn,    ä=1,  2,  ...,  n 

die  Integrale  des  Systems  linearer  Differentialgleichungen 


a) 
und  man  setzt 

yn  •••yi« 


p  ^  +  Pu  2/i  -f  Pnyi  +  . .  +  Pi«  y« 

P  J^  +  Pn\yi+Pn2y2+  •  •  •  +P«ny« 


y«!  •••  ynn 


:D, 


yn 


ytn 


71        '      ^y»* 


1) 


nl  •••  ynn 

SO  Ittsst  sich  zeigen,  dass  diese  Integraldeterminanten  in  einfacher  Weise 
durch  die  Coefficienten  des  Gleichungssjstems  a)  ausgedrückt  werden  kön- 
nen, und  zwar  ergiebt  sich* 

D  =  cc  e/        i       ,     c  =  const. ; 

(— l)n  Pu      "Pin 

2)  A  =  ^P.A    P= 

Pnl  .    .  Pnn 

Die  Richtigkeit  des  ersten  Satzes  wird  folgendermassen  erkannt: 
Man  setzt  die  entsprechenden  partikulären  Lösungen  in  die  Ä;^^  Diffe- 
rentialgleichung des  Systems  a)  ein  und  gelangt  dadurch  zu  n  identischen 
Gleichungen  der  Form 

b)  pyki+Pkiyu+'"+Pknyni,    ♦  =  1,2,  ...,n. 

Eliminirt  man  aus  diesen  die  Coefficienten  Pki  mit  Ausnahme  von  Pkkj  80 
erscheint  eine  verschwindende  Determinante 

pyki  +  Pkkyki,    yn  ...yni 


py'kn  +  Pkkykm   yin  ..*  y« 

in  welcher  die  Colonne  yk\  •••  yj^n  fehlt. 


0. 


*  Vergl.  Darbonx,  Comptes  Bendus  XC,  p.  526.    Es  findet  sich  daselbst, 
wie  ich  nachträglich  geeehen  habe,  die  Formel  1)  —  ohne  Beweis  —  angegeben. 


Kleinere  Mittheilnngen. 


Die  letzte  Gleichung  gestattet  auch  folgende  Schreibweise: 


^In- 


^kn 


Vnn 


+  P**-D  =  0, 


und  solcher  Gleichungen  giebt  es  n;  dieselben  unterscheiden  sich  —  ab- 
gesehen von  Pkk  —  insbesondere  dadurch,  dass  der  Reihe  nach  die  Ele- 
mente der  verschiedenen  Colonnen  differenzirt  sind.  Addirt  man  alle  diese 
Gleichungen,  so  hat  man  ohne  Weiteres 


n 


Ptt  =  0,    d.h.  D 


-/Vi- 

=  CC  ,/     '^     1 


Der  durch  die  letzte  Formel  ausgedrückte  Satz  kann  als  eine  Verallgemei- 
nerung des  bekannten  Abel-Liouyille*schen  Satzes  gelten. 

Sehr  leicht  lässt  sich  nun   auch  der  zweite  Satz  verificiren.  —  Sub- 

stituirt  man  nämlich  in 

y'u    '-yin 


D,: 


nacheinander  die  Ausdrücke 


yni  •   •  ynn 


i>)         yH=— —  [p*iyi.+...  +  p*i.yi.*],    *  =  1|2,  ...,n, 

80  zerfällt  die  Determinante  D^   in  das  Product  zweier  Determinanten,   so 
dass  man  unmittelbar  zu  der  Formel 


A  = 


(-1)» 


d.h.  • 


Pii 


Pu 


D,= 


•  ••  Pmn 


P.D 


yvn 

ynn 


gelangt 

Es  verdient  noch  Folgendes  bemerkt  zu  werden. 

Ist  ein  System  linearer  simultaner  Differentialgleichungen  höherer  Ord- 
nung gegeben,  so  kann  man  dasselbe  immer  durch  ein  System  von  ent- 
sprechend mehr  Gleichungen  der  ersten  Ordnung  ersetzen  und  hierauf  die 
erwähnten  Sätze  anwenden.  In  die  Determinanten  treten  alsdann  auch  die 
höheren  Ableitungen  der  partikulären  Integrale. 

So  findet  man  beispielsweise  für  die  Gleichungen 

^»   ,       dy  .       dB  .  ,  f. 


deren  partikuläre  Integrale  yj,  jefj,   ...,  y^^  e^  sein  mögen,  Folgendes: 


904 


Klemere  IfHthfilnngen. 


9i     Vt 

y*  »4 

D  = 

y .  f. 

/,  v\  _ 

«•  »* 

5,      «, 

/.    /, 

^.     /. 

/             * 

'                 '        1 

Vi    Vt 

fs     ^4 

.       //          f» 

'/          #f 

7)  _  y  \  y  t 

1^3    ^4 

^3      ^4 

K'.   ^. 

A    ^"4 

Plaaen 

i.V. 

ce 


?rf;r 


.D. 


WoLDBMAR  Heymann. 


ZDL  Beriehtigiuig. 

Soeben  finde  ich  bei  Durchsicht  von  Dostor's  ^l^ments  de  la  ih^orie 
des  D6tenninants,  Paris  1877,  8.  116,  dass  die  von  mir  in  dieser  Zeitschrift, 
Jahrg.  1886  Heft  2  S.  106  als  neu  gegebene  Herleitung  der  B6zon tischen 
Besnltante  bereits  von  Cauchj  herstammt.  Dostor  nennt  die  Cauchy- 
sche  Methode  mit  Recht  „Methode  de  66zout  perfectionn6e^.  Es  ist  nur  zu 
verwundern ,  warum  nicht  schon  längst  in  den  in  Deutschland  gebrftuchlichen 
Lehrbüchern  der  Determinanten  diese  wesentlich  einfachere  und  genetische 
Herleitung  von  Cauchy  an  Stelle  der  B6zou tischen  Entwickelung  getareten 
ist.  Eine  Hauptaufgabe  für  die  fortwährende  Neuproduction  von  Lehr- 
büchern ist  es  doch,  überall  das  Einfachere  und  Durchsichtigere  an  Stelle 
des  Mindereinfachen  und  Schwulstigen  zu  setzen. 

Stuttgart,  1.  August  1885.  Prof.  Dr.  Reuschle. 


Zeit  seil  ri  Vi 


mr 


Mallieiiiaiik  iiiiil  Physik 

Tön 

Dr.  O.  ScUömiloh,  Dr*  £.  Eatü 
Dr.  H.  Cantor« 


ao.  JmtLTgii&g*    e*  Heft 


Mii  *.if^t>t  litlinv«r^)>fiirtffn  Tafi*! 


Auieii£ff.t>4n    am    25.  NorÄmb^r    185^5. 


iS85. 


V*  flifi  V'"*r.  Jnllit«^  J<priripr*rr  m  Berlin  N\ 

Algebraische  Analysis 

tun 

U<>uUdi  liemuäg^gebeu  tou  Carl  XtEigsoliiL 


Äi  he^ihm  durch  jed«  Budihandlung. 


T<yrkg  tob  Axidr.  Frod.  H^m  A:  Bolm  m  Kopenliajceii. 

Unsere  Naturerkenutiüs. 

Beitrage  zu  einer 

Theorie  der  Matlieraatik:  ^^Tid  PbA'<;ik 

Hr.  phU.  M.»  Hromaii, 


Vftn  d«rlOnlfll  din*  Akadomi«  «ttr  Wlitfni&^4tUfi  mH  dwf  goltftiiftfi  «fi^iHlft  gftkf&nte  PrtliaeiHIL 

Ins  DenlÄcbe  ük-rsetet  unt^r  Mitwirkung  des  Veriasser« 
Dr,  B.  T.  Fiscbi»r-Brnztiiu 


S^edQci  bcr  ^of.  fiiifrrf^nt  Sudifjutibluttg  in  Sttmpltn. 
Soeben  erf(|ien: 

^tfptntm.  X^  jpif  |i'BiiMtl)rra  kr  tlimi  (ßwiflrit 

DnUc,  ücrmdjttc  imb  t?erbff|erte  Slufloac,  tirrau^ararten  üon 
3*  ifeitflfliift,  ©lubiciileftrer  am  IgL  i  i'm  jti 

fp^*  tDiiTcft  ^o^rn  Wiiiiiflmal  StIäI   iit  bö*  ller^itii 
inn igten  £e^r&ü4er  ouf^icnommen« 

rjcnier  ald  ©cpatöUbbruÄ  au^  Dbigcm  e<|rbtt«fte; 

4\UföClßcn  SU  ®teflmann*S  ®runble^rcti  bcr  eb^tt^a  fM  Dindt-c 
t)pu  3.  gengauer*    8^    112  ©.    ^«i*  -^  i 


DEC  151885 


XVI. 


Ueber  die  Vertheilimg  der  induoirten  Elektrioität 
auf  einem  unbegrenzten  elliptischen  Cylinder. 


Von 

Dr.  Rudolf  Besser 

In  DTMden. 
(S  o  h  1  u  s  s.) 


§6. 
XSntwiokelung  der  redproken  Entfernung  zweier  Funkte. 

Zwei  PuDkte  0  und  1    seien  durch   ihre  Coordinaten  xtu^  Xit^Ui  ge- 
,  und  zwar  sei 


d.  h.  der  Punkt  1  liege  innerhalb  des  Cylinders  u=^Const.  Dankt  man 
sich  den  Pankt  1  als  fest,  so  ist  die  redproke  Entfernung  T  beider  Punkte 
eine  auf  der  Oberfläche  des  Cjlinders  u  =  Canst,  allenthalben  endliche  Func- 
tion von  X  und  ty  und  kann  daher  zufolge  der  Formel  31)  folgendermassen 
in  Bezug  auf  diese  Yariabeln  entwickelt  werden: 


-/*:?' 


a)  ^=/^^^*  \av{h) C08hx  +  h^(h) sinhx\Qv{t,Jcp,h). 

Die  hierin  vorkommenden  Constanten  hängen  ausser  von  h  und  k  auch  von 
Uj  sowie  den  Coordinaten  x^y  t^,  U|  des  Punktes  1  ab.  Da  T  der  Gleich- 
ung ^T=0  genügt,  so  haben  mit  Rücksicht  auf  S.  262  ap  und  &,,  als 
Functionen  von  u  betrachtet,  die  Formen: 

wo  jetzt  und  auch  im  Folgenden  die  Parameter  h  und  Jc9  in  {Sp  und  %p 
nicht  besonders  bezeichnet  werden  sollen. 

T  ist  in  Bezug  auf  x,  x^;  u,  u^]  t,  ti  symmetrisch,  von  seiner  Ent- 
wickelung  gilt  denmach  das  Gleiche;  nur  in  Bezug  auf  u  und  U|  hört  die 
Symmetrie  auf,  da  u>Ui   sein  soll.     Die  Yertauschung  von  u  und  u^  ist 

ZaitMhxin  t  Matikam»tlk  a.  Physik  XXX,  6.  20 


306  Ueber  die  Yertheilnng  der  inducirten  Elektricität  etc. 


daher  nur  in  der  Differentialgleichung  JTs=0,  nicht  aber  in  der  fertigen 
Entwickelung  zulässig.  Dagegen  dürfen  auch  in  der  Entwickelung  x  und 
o^i,  t  und  ^1  vertauscht  werden. 

G«hen  wir  nun  zur  Bestimmung  der  a  und  ß  über. 

Fällt  der  Punkt  0  unendlich  weit  oder  ist  u  =  oo,  so  wird  T=0.  Da 
aber  nach  Gleichung  34)  für  unendliche  u  (^(iu)  gleichfalls  unendlich  gross 
wird,  so  müssen  in  den  Gleichungen  b)  die  Coefficienten  ap(h)  und  a^ih) 
identisch  verschwinden.     Also: 

c)  «,(Ä)  =  0,     «,(Ä)  =  0. 
Da  femer  T  nur  von  x  —  Xi  abhängt  [denn  es  ist 

so  dürfen  in  der  Entwickelung  x  und  x^  auch  nur  in  der  Verbindung  x—Xg 
enthalten  sein;  ein  Vorkommen  des  Sinus  ist  ausgeschlossen,  da  E\  also 
auch  T  eine  gerade  Function  von  x^x^  ist.     Hieraus  folgt: 

d)  ßp{h)  =  A^{h)coshXi,     ß^p{h)  =^  Äp{h)  sinhXg. 

Die  Constante  Äv  hängt  nur  noch  von  tg  und  U|  ab.  Aus  Gründen 
der  Symmetrie  schliesst  man,  dass  ti  nur  in  der  Verbindung  (Svifi)  ^  -^ 
vorkommen  darf,  so  dass  die  Annahme: 

e)  Ä^  (Ä,  t, ,  u,)  =  Bv  (Ä,  mJ  .  (S,  («i) 

berechtigt  ist.  Wegen  der  Gleichungen  b) ,  c) ,  d) ,  e)  erhält  die  Entwicke- 
lung a)  die  Form: 

f)  T=  (dhcosHx^x,)  yv  Bp(u,)  {^{t)  e,(^,)  ip(iu). 

0  ^ 

Zur  Ermittelung  der  hierin  noch  vorkommenden  Function  Bp{u^)  setze  man 
f)  in  die  Gleichung  z/T=0  ein,  nachdem  in  derselben  u  mit  u,  vertauscht 
worden  ist,  d.  h.  in  die  Gleichung: 
d*T      ?i^T      h^r^ 

Dies  giebt: 

Wegen  der  Differentialgleichung: 

ist  aber: 

demnach  lautet  obige  Gleichung: 


Von  Dr.  R.  Bb88er.  307 

OD  gp  / 

Jdh cosh{x-x,)2!''  ^{t}  ^v{h)%v{ii^)  j^  -  (^'a>52iu,  +  v)b.J  =0. 


^-(^O052»t*,+V)5,=:0, 


0 

Das  Integral  kann  nur  verschwinden,  wenn  die  zn  iniegrirende  Function 
verschwindet;  da  diese  eine  nach  den  Functionen  (Svit)  fortschreitende 
Reihe  ist,  muss  jedes  Glied  der  Reihe  einzeln  gleich  Null  sein  (s.  S.  26D). 
Es  ist  also :  _,  _        ,. «  , 

du{ 

Nun  iSsst  sich  nachweisen,  dass  die  Function  zweiter  Art  ?ry(iU|)  nicht 
in  ^y(Uj)  vorkommen  darf;  wir  wollen,  um  den  Oang  der  Untersuchung 
nicht  unterbrechen  zu  müssen,  diesen  Nachweis  am  Ende  des  Paragraphen 
führen.     Es  ist  also  ^^  =  0  zu  setzen  und  es  bleibt  nur : 

substituirt  man  diesen  Werth  in  die  Entwickelung  von  t^  so  folgt: 

Darin  bedeutet  y  eine  nur  noch  von  h  abhängende  Constante.  Zu  deren 
Bestimmung  beachte  man,  dass  die  Formel  g)  fttr  c  =  0  in  die  Entwicke- 
lungsformel  der  reciproken  Entfernung  zweier  Punkte  in  gewöhnlichen*  Cy- 
lindercoordinaten  übergehen  muss,  während  die  Constante  y^  bei  dieser 
Specialisirung  ihren  Werth  nicht  ändert.  Nach  S.  272  verwandelt  sich  nun 
für  c  =  0  das  Product: 

in: 

Y  Jk  (Ä«r,)  Yk  {hir)  coshitp-tpi), 
so  dass: 

T=  ^Jdhcoshix-x^)  ^a  y^  (Ä)  Bk.Jkihir^)  Yk(hir)  C08lc((p-q>^),     r>ri 

wird.  Die  Formel  aber,  welche  die  Entwickelung  der  reciproken  Entfernung 
zweier  Punkte  in  Cjlindercoordinaten  giebt,  lautet:* 

h)  T~  —    Idhcoshix  —  Xi)  ^k  (^J^{hiri)Yk{hir)oosk(<p  —  g>^),     r>ri 
und  durch  Vergleich  der  Formeln  g)  und  h)  erkennt  man,  dass: 

sein  muss.    Setzt  man  endlich  diesen  Werth  von  yp(h)  in  die  Gleichung,  g) 
so  erhält  man  als  Ergebniss  dieser  Erörterungen: 


S.  Heine,  Eugelf anctionen ,  II.  Bd.  8.  174,  Gl.  17). 

20' 


308  Ueber  die  Vertheilung  der  indacirten  Elektricität  etc. 


Die  reciproke  Entfernung  zweier  durch  ihre  cjlindrischen  Co- 
ordinaten  xtu^  x^tiU^  gegebener  Punkte  hat  den  Werth: 

36a)  T=^^Jdhcosh{X''X^)2!''®A^)®w(ßi)^v(^^)^ii^^^     ^>«*i- 
0  " 

Ist  u<Ui,  80  lautet  die  Entwickelung: 

OD  ^ 

86b)  1-  =  -  A*aw»{«-«,)  5'''®»Wer('i)er(<«)S»(<«.).  «<«,• 

Wir  haben  nun  noch  den  Nachweis  zu  führen,  dass  die  Function 
zweiter  Art  %p{iUi)  in  der  Entwickelung  von  T  nicht  vorkommen  darf. 
Beim  Ereiscylinder  ergiebt  sich  dies  sofort  daraus,  dass  die  Cjlinderfunc- 
tion  zweiter  Art  Yk(hiri)  fttr  r,  =  0  unendlich  wird.  Hier  scheint  ein  ähn- 
lich einfacher  umstand  nicht  vorzuliegen.  Wir  wenden  deshalb  zum  Beweise 
der  Richtigkeit  unseres  Ansatzes  ein  YerÜAhren  an,  das  wir  Herrn  F.  Neu- 
mann  verdanken.* 

Es  muss  nämlich  nicht  blos  T^  sondern  auch  jeder  Differentialquotient 

von  Ty  nach  irgend  einer  Richtung  genommen,  endlich  sein.     Denken  wir 

uns  also  den  Punkt  1  beweglich  und  differenziren  T  nach  der  Normale  dSu^ 

dT 
auf  dem  Cjlinder  u«,  so  muss  - —  endlich  sein,  wo  auch  der  Punkt  1  liege. 

Käme  nun  S^C^^i)  ^^  ^'^^  Entwickelung  von  T  vor,  so  enthielte  -= —  den 

dStt^ 

Differentialquotienten : 

dSu, 
oder,  ftlr  dSu^  seinen  Werth  f/^^du^  gesetzt,  wo: 

ti  =  -^  {cos2iu^  -cos2t^)     [S.  261  Nr.  13)] , 

den  Differentialquotienten: 

dgy(tuO      1_ 
du^      y^^ 

Nun  ist:  » 


also: 

d% 


g^(itiO-e..(it^i)yjg^y;^)3>    [S.  271  Nr.  33)], 

OD 

v(tu,)  _  rf6»(iU|)  r    du^ 1___ 

du,      "^      du,    J  l{§p{iu,)Y     Qpiiuy 


daher  weiter: 

*  Grelle *B  Journal  Bd.  87:   „Entwickelang  der  in  elliptischen  Coordinaten 
auBgedrackten  redproken  Entfernung  zweier  Punkte*',  S.  21—60. 


Von  Dr.  R,  Bbssbb.  309 

dsu,        /^jT/     du^   J  [(S^iui)]*    ^^jr/e^ciwi)' 

Setzt  man  nun  zuerst  ^]  =  0,  verlegt  also  den  Punkt  1  auf  das  rechts 
von  dem  einen  Brennpunkte  gelegene  Stück  der  grossen  Axe  der  Directriz, 
so  wird: 

^1  =  -r  {cos2iUi  —  1)  =  —  c*  m'tu, , 
also  ist:  _ 

und  dann   ist  im   Minuenden  obiger  Differenz   — ^ — -    stets  durch  j/^i 

theilbar.  Denn  für  ^|=0  verschwinden  laut  den  Gleichungen  24),  S.  266, 
die  (Sy(^])  der  dritten  und  vierten  Classe,  mithin  enthält  die  Entwickelung 
von  T  nur  noch  Functionen  erster  und  zweiter  Classe.    Die  Gleichungen  22), 

S.  265,  zeigen  nun,   dass  der  Differentialquotient  — ~ — -   für  Functionen 

erster  und  zweiter  Classe  eine  nach  den  Sinus  der  Vielfachen  von  »U| 
fortschreitende  Reihe  ist,  und  daraus  folgt  die  Richtigkeit  unserer  Behaup- 
tung.    Setzt  man  nun  noch: 

d.  h.  verlegt  den  Punkt  1  in  den  Brennpunkt  der  Directrix  selbst,  so  wird 

j/t^  =0,  also  wird  der  Subtrahend  obiger  Differenz,  mithin  auch       !" — — 

unendlich  gross.     Der  Minuend  bleibt  endlich,   da  J^j  nach  dem  Vorigen 

durch  Division  entfernt  worden  ist. 

dT 
Somit  würde  -3 —  unendlich  werden,    wenn  der  Ausdruck  für  T  die 
dsu, 

Functionen  zweiter  Art  ^^{iu^)  enthielte,  und  zwar,  wenn  der  Punkt  1  in 
den  Brennpunkt  der  Basisellipse  föllt.  Demnach  darf  Sy(^^i)  üi  dem  Aus- 
drucke für  T  nicht  vorkommen. 

§7. 

Bestimmung  des  Potentials  einer  auf  der  Slftohe  des  eUiptisohen 
Cylinders  ausgebreiteten  Massenbelegong« 

Der  elliptische  Cylinder  u  sei  mit  Masse  von  der  Dichte  qo  belegt. 
Diese  Belegung  erzeugt  in  einem  beliebigen  Punkte  1  (jCitiUj)  das  Potential: 

Vt^fgaT^adiS 

oder,  iür  das  Flächenelement  da  seinen  Werth  j/ifdxdt  gesetzt: 

+00    2« 


37)  t,  ^Jdxfdt  y^  qo  Txa . 


—  OD       0 


310  Ueber  die  Vertheilung  der  inducirten  Elektricität  etc. 


Zur  Yereinfachung    dieses    Ausdruckes  machen  wir  für  die  Function 
y^l/.qo  nach  der  Gleichung  31),  S.  269,  folgenden  Ansatz: 

38)         y^.qa^fdh^v ^„^{h)  cashx  +  ß^{h) sinhx)  g^W, 
0 
wo  die  Coefficienten  er,  und  ß^  auf  bekannte  Weise  aus  q  gefunden  werden 
können.     Es  sei  hier  daran  erinnert,   dass  dieser  Ansatz  nur  dann  brauch- 
bar  ist,  wenn  qa  ausser   gewissen  Eigenschaften  bezüglich  der  EndlichkeU 
und  Stetigkeit  auch  noch  die  besitzt,  dass:  ^ 

+  00 

q{x)dx 


/' 


endlich  ist,  so  dass  z.  B.  die  folgenden  Betrachtungen  sich  nicht  mehr  an- 
wenden lassen,  wenn  q  von  x  unabhängig  ist. 

Setzen  wir  dann  für  T\a  seinen  Werth  ans  36a)  in  37)  ein,  wobei  wir 
den  Punkt  1  als  innerhalb  des  Cjlinders  gelegen  ansehen,  und  ihn  deshalb 
durch  j{XjtjUf)  bezeichnen  wollen,  so  folgt: 
4-00     2«  OD 


0 

OD 


X  \fdh  cosh{x-Xj)2!v  g^(0  ®^{tj)  %^(iu)  (^^{iuA. 


Das  nach  x  zu  nehmende  Integral  lässt  sich  mit  Hilfe  einer  von  Herrn 
Professor  C.  Neumann  angegebenen  Integralformel  ausführen,  der  Formel 
nämlich: 

+  0D    h  h  00 

a)      jdxJA{h)  coshx  dhJB (Ä)  coshx dx  =  7tjA{h)  B{h)  dh, 

-CO     0  0  0 

welche  auch  noch  gilt,  wenn  links  statt  coshx  sinhx  steht,  wogegen  die 
rechte  Seite  Null  ist ,  wenn  links  verschiedene  Functionen  in  den  nach  h  zu 
nehmenden  Integralen  stehen.  —  Denkt  man  sich  nämlich  den  cosh{x  —  Xj) 
aufgelöst,  so  zerfällt  Vj  in  vier  Theüe,  von  denen  zwei  verschwinden, 
während  der  Werth  der  beiden  anderen  nach  a)  angegeben  werden  kann. 
In  dem  verbleibenden  Doppelintegral  lässt  sich  die  Integration  nach  t 
mit  Benutzung  der  Integralformeln  28)  und  28  a),  S.  267  und  268,  erledigen, 
so  dass  man  als  Endresultat  findet: 


39) 


OB        ^ 

V}  =  ^^JdhSjv («^(A)  coshxj  +  ß,(h)  sinhxj)  e,(<y)  6, (tu,)  %,(iu). 


Von  Dr.  R.  Besser.  31 1 

Diese  Formel  giebt  das  Potential  der  Belegung  q  auf  einen  beliebigen  in- 
nem  Punkt  des  Cylinders  an. 

Liegt  nun  zweitens  der  Punkt  1  ausserhalb  des  Cylinders,  in  a  (XataUa), 
bedeutet  Va  das  auf  ihn  ansgeübte  Potential,  so  liefert  dieselbe  Rechnung 
sogleich : 

40)  7.  =  4«/dÄ  >'»(tf,(Ä)c<wÄa;a  +  |8,(Ä)«»»»x,)  e,(«.)g,(»«.) «,(««)• 

0  » 

Die  Formeln  39)  und  40)  unterscheiden  sich  nur  durch  die  Yertauschung 
von  @  mit  ^.  Fällt  der  Punkt  1  auf  die  Fläche  des  Cylinders,  so  werden 
die  Gleichungen  39)  und  40)  identisch.     Wir  haben  also: 

Denkt  man  sich  einen  elliptischen  Cylinder  mit  Masse  von  der  belie- 
bigen Dichte  q  belegt,  so  besitzt  das  Potential  der  Belegung  auf  innere  und 
äussere  Punkte  die  durch  39)  und  40)  ausgedrückten  Werthe.  Darin  be- 
deuten cry(Ä),  ß^(h)  gewisse,  bei  der  Entwickelung  von  "/^.q^  auftretende 
Constanten,  welche  sich  durch  Integrale  ausdrücken. 

An  den  Formeln  39)  und  40)  lässt  sich  auch  die  bekannte  Laplace- 
sehe  Relation: 

verificiren.  In  der  That  erhält  man  durch  Ausführung  der  Differentiation, 
wobei  die  Werthe: 

dna^'j/pa-äua^     dnj  ^  —  j/^j.duji 

sowie  die  Gleichung  32): 

O  TT  PIT 

ZU  benutzen  sind,   sofort  den  Werth  —4nq„  für  x-^  +  ^— ^* 

Ofha       0  nj 

Jene  La  place 'sehe  Gleichung  giebt  aber  auch  den  Grund  an  für  die 

2ir 
auf  S.  268   getroffene  Wahl   des  Werthes   n   für  das  Integral  /[(gy  (^J*  ci^. 

0 
Bezeichnet  man  wieder  mit  F  und  y^  die  bei  der  Entwickelung  der  Func- 
tion zweiter  Art  %^  und  der  der  reciproken  Entfernung  T  auftretenden 
Constanten  (s.  S.  270  u.  307) ,  und  setzt  jenes  Integral  =  c^ ,  berechnet  dann 
die  Potentiale  F«  und  Vj,  so  erhält  man  durch  die  Laplace'sche  Gleich- 
ung folgende  Beziehung  zwischen  den  drei  Constanteu   T,  c^  und  y,: 

Da  nun: 

gefunden  wurde,  so  muss: 


312  üeber  die  Veriheilaiig  der  indncirken  Elektricitftt  etc. 


sein.     Denselben  Werth  giebt  auch  Heine,  ohne  weitere  Ableitung  (Kugel- 
fnnct.,  n.  Bd.  S.  204). 

§8. 

Besttmmimg  der  Potentiale  Va  und  Vj  ans  den  gegebemen  Potential- 

werthen  Va  an  der  Mantelflftohe  des  Cjrlindenu 

Wir  lOsen  jetzt  die  zweite  der  auf  S.  257  angegebenen  Hauptaufgaben: 
Beliebig  gegebene  Massen  erzengen  auf  dem  Mantel  eines  elliptischen  Cjlin- 
ders  Torgeschriebene  Potentialwerthe  F«;  man  soll  die  Potentiale  F«  und 
Vj  für  ftnssere  und  innere  Punkte  ermitteln. 

Den  gegebenen  Oberflächenwerth  Vo=^fo  können  wir  in  die  Form: 


^a^fü=Jäh2!^ 


41)        Ta=^fe  =  ldhy^f^[Ä^(h),co8hx  +  B^{h).8inhx]Q^{t) 


+  0P 


uns  gebracht  denken,  welche  indess  erfordert,  dass  /  V{x)dx  endlich,  also 

z.  B.  V  von  X  nicht  unabhängig  sei.     Die  folgenden  Erörterungen  sind  also 
auf  den  Fall  Va  =  Const.  nicht  anwendbar. 

Das  gesuchte  Potential  V  wird,   als  Function  von  x  und  t  betrachtet, 
durch  einen  ähnlichen  Ausdruck,  etwa: 


jao 


42)  V=  Idh  yj*  [9l,(Ä) .co3hx+  iö^(h).sinhx]  6,(0 

0  • 

dargestellt«  Hierin  sind  nun  die  Constanten  9^  und  IBy  so  zu  bestimmen, 
dass  1.  7  der  Oleichung  JV=0  genügt,  2.  Va  den  gegebenen  Werth  41) 
annimmt. 

Die  Coefficienten  ^^  und  93^  hängen  von  u  ab.     Damit  JV=0  sei, 
muss,  wie  aus  früheren  Betrachtungen  folgt: 

sein.  —  Ist  nun  1.  der  Punkt,  ftlr  den  V  zu  bestimmen  ist,  ein  äusserer, 
a{XmUata)y  80  darf  in  obigen  Ausdrücken  (S^{iUa)  nicht  vorkommen,  da 
für  unendliche  Ua  diese  Function  unendlich  gross  wird,  während  V  end- 
lich bleiben  muss.  Also  ist  o^  und  by  =  0  zu  setzen ,  und  man  findet  als 
allgemeinen  Ausdruck  eines  äusseren  Potentials: 

43a)      Va  =-JdhSj^  (a^ coshXa  +  \>\ sinhxa)  g^ (iu.)  (&^{ta). 


Von  Dr.  B.  Besser.  313 

Befindet  sich   2.  der  angezogene  Punkt  im  Innern  des  Cjlinders,  in 
jiXjUjtj)^  so  darf  in  den  Ausdrücken  fttr  9,  und  IB^  Sy(it«j)  nicht  vor- 
kommen,   weil  sonst  -—-   nicht   für  alle  inneren  Punkte  endlich  bliebe.* 
duj 

Der  allgemeine  Ausdruck  eines  Potentials  für  innere  Punkte  ist  daher: 
43b)        Vi  -^fdhSj^  (a^  coshxi  + 1^  sinhx^)  e^{iuj)  (S^{tj). 

Nun  soll  für: 

Wa  =  w,    a?«s=rc,    tm=ty    resp.    t^=tt,    a;^=a?,    tß  =  t 

(wenn  wir  Punkte  auf  dem  Cjlindermantel  ohne  Index  bezeichnen)  7«  bez. 
T^  in  Va^fo  übergehen.    Dies  geschieht,  wenn: 


gesetzt  wird. 

Es  ergiebt  sich  dann: 

44a)      7a  =  fdh  2!^  {A,  eoshx.  +  5,  sinhxa)  |^  e,(<a) , 

44b)      Vj  ^fdh  2!'  {A^  eoshxj  +  Ä,  «nÄ«,)  |^  (&,(tj). 

Diese  Formeln  lösen  die  Aufgabe. 

Man  kann  dieselben  auch  in  der  Form: 

0 

OD  m 

0 

darstellen  und  drückt  damit  F«,  bez.  Vj  direct  durch  /*<ri  nicht  durch  die 
Entwickelungscoefficienten  von  fa  aus.  Die  Integration  dö  bezieht  sich  auf 
den  ganzen  Cjlindermantel. 

Liegen  nun  die  Massen  auf  der  Oberflftche  des  Cjlinders  selbst,  so 
Ifisst  sich  ihre  Dichte  qo  an  der  Stelle  x,  t  durch  die  Gleichung: 

*  VergL  den  Beweis  am  Ende  des  §  6. 


314  Ueber  die  Vertheilnng  der  inducirten  ElektricitSt  etc. 

bestimmen.     Die  Ausführang  der  Rechnung  giebt: 


46)  ga  = ;=    i  dh^^(Ä^co8hx  +  B^8inhx) 


^v{t) 


e^(»tt)g,(it*) 


d.  h.:  Massen,  welche  anf  der  Oberfläche  eines  elliptischen  Cylinders  ein 
vorgeschriebenes  Potential  f„  erzeugen,  können  durch  eine  Fl&chenbelegung, 
deren  Dichtigkeit  qa  durch  46)  angegeben  wird,  ersetzt  werden. 

Löst  man  mit  dem  jetzt  gefundenen  Werthe  von  q^  [46)]  die  im  vori- 
gen Paragraphen  behandelte  Aufgabe,  so  müssen  die  dort  gefundenen  Re- 
sultate wieder  erscheinen. 

Der  Vergleich  von  38)  und  46)  zeigt,  dass  man  in  38) 
4« 


*» 


^.«: 


•'      47t  e^(i«)  g^(iti)         '^^  "^  An  e^ (iw)  %^{iu) 

zu  setzen  habe,  um  46)  zu  lerhalten.  Giebt  man  aber  in  39)  und  4^)) 
den  o  und  ß  diese  Werthe,  so  erhält  man  genau  die  Gleichungen  44a) 
und  44  b). 

Natürlich  Iftsst  sich  auch  die  im  vorigen  Paragraphen  behandelte  Auf- 
gabe auf  die  jetzt  gelöste  zurückführen;  und  es  verdient  das  in  diesem 
Paragraphen  eingeschlagene  Verfahren  einen  Vorzug  schon  deshalb,  weil 
dabei  von  der  Entwickelung  von  T,  sowie  von  der  Integralformel  a),  S.  310, 
kein  Gebrauch  gemacht  wird.  Man  würde  auf  diese  Weise  direct  zu  jener 
Integralformel  hingeführt  werden,  welche  Herr  G.  Neumann  auf  einem 
wesentlich  andern  Wege  abgeleitet  hat. 


§9. 

Bestüuxnung  der  Green'sohen  Fonotion  und  Green'sohen  Belegung 

eines  elliptisohen  Cylinders. 

Wir  wenden  die  in  den  beiden  vorigen  Paragraphen  gewonnenen  Re- 
sultate zur  Ermittelung  der  Green 'sehen  Function  und  Belegung  eines  ellip- 
tischen Cylinders  an  und  verstehen  dabei,  nach  Herrn  C.  Neumann, 
unter  der  Green 'sehen  Belegung  einer  Flache   diejenige  Belegung,   deren 

Potential  für    .  {  Punkte   gleich  ist  dem  Potential  eines  ,    „  ( 

innere  (  ausserhalb  ( 

der  Fläche  gelegenen  Punktes,  des  sogenannten  Gentralpunktes ,  der  je  nach 

seiner  Lage  durch  t,  a  bezeichnet  werden  möge.    Die  Green'sche  Belegung 

für  einen  äusseren  Centralpunkt  a  wird  demnach  durch  die  Gleichung 


Von  Dr.  B.  Besser.  315 


a)  Vj  =  T„j. 
und  für  einen  inneren  t  durch 

b)  Va=T,a 

definirt;  j  und  a  sind  dabei  beliebige  innere  bez.  äussere  Punkte.  Die 
Gleichungen  a)  und  b)  gelten  noch,  wenn  j  bez..a  auf  die  Fläche  selbst  fällt. 

Die  Green'sche  Function  ist  das  Potential  der  gefundenen  Belegung 
fflr  Punkte,  die  mit  dem  Gentralpunkte  gleichartig  liegen.  Sie  werde  durch 
Gij  bez.  Gau  bezeichnet.    Sie  ist  symmetrisch  in  Bezug  auf  i  und  j,  a  und  a. 

Die  Ermittelung  der  Green'schen  Belegung,  wobei  für^s  Erste  der 
Gentralpunkt  ein  äusserer  Punkt  a{XataUa)  sei,  lässt  sich  auf  doppelte 
Weise  vornehmen.  Man  kann  erstens  die  in  §  7  gelOste  Aufgabe  anwenden, 
indem  man  die  Constanten  a^  und  ß^  in  der  Gleichung  38)  so  specialisirt, 
dass  der  fdr  diese  Belegung  sich  ergebende  PotentiaJwerth  39)  identisch 
mit  Taj  wird,  wie  a)  es  vorschreibt. 

Da 

"o  " 

80  liefert  die  Bedingung 

sogleich: 

und  die  Substitution  dieser  Werthe  in  die  Gleichung  38)  giebt  dann  ftlr  die 
gesuchte  Belegung  rja  den  Ausdruck: 

0 
und  setzt  man  dieselben  Ausdrücke  für  a^  und  ß^  in  die  Gleichung  40), 
welche  das  Potential  der  durch  38)  dargestellten  Belegung  auf  einen  äusse- 
ren Punkt  darstellt,  so  ergiebt  sich: 


00  OD 

^  J  ^  ÖirV*«) 


^)' 
0 

Man  erkennt  die  Symmetrie  in  Bezug  auf  a  und  o. 

Eine  zweite  Methode  zur  Bestimmung  von  r\a  und  Gaa  besteht  in  der 
Anwendung  der  Resultate  des  §  8,  indem  man  die  dort  gegebene  Function 
fa^^T^a  anninmit,  daraus  die  Constanten  A^  und  ß^  bestimmt  und  end- 
lich durch  Substitution  der  erhaltenen  Werthe  in  46),  sowie  44  a)  die 
Ausdrücke  für  17«  und  Gma  aufstellt.  —  Füs  Ä^  und  B^  ergeben  sich  un- 
mittelbar die  Werthe: 


316  üeber  die  Vertheilimg  der  indacirten  Elektricität  etc. 


4 

n 
4 

-By  =  -  ^Äic.  e^(«a)  e^c*«*)  t5ir(»w«) ; 

ff 

yerföhrt  man  mit  diesen ,  wie  angegeben ,  so  erbftlt  man  47)  und  48)  wieder. 
Ganz  ebenso  ergiebt  sich  ftbr  einen  inneren  Centralpunkt  »  als  Green - 
sehe  Belegung  r|^: 

0 
and  als  Green 'sehe  Function: 

50)  e,,.=~   rdhcosHxj-^x,)^i^(&^it,^(^^{tj)Q^^^ 


§10. 

Beatimmimg  der  Massen  der  in  den  %%  7  und  9  betrachteten 

Belegungen. 

In  §  7  lösten  wir  die  Aufgabe:  das  Potential  einer  durch  ihre  Dich- 
tigkeit q  gegebenen  Massenbelegung  des  elliptischen  Cjlinders  ftbr  äussere 
und  innere  Punkte  desselben  aufzusuchen.  Jetzt  soll  die  Gesammtmasse  M 
dieser  Belegung  bestimmt  werden.  Die  erhaltene  allgemeine  Formel  wenden 
wir  dann  auf  die  im  vorigen  Paragraphen  betrachtete  Green*sche  Be- 
legung an. 

Es  ist 

+  00    2« 

M^l  qdö^jdx  Idty^.q. 

—  OD         0 

Für  q  wurde  in  38),  S.  310,  der  Ansatz: 

q'/^=z I  dh[Ä{h)  coshx  +  B(h)  sinhx], 

0 
worin: 

u  u 

waren,  gemacht.    Damit  ergiebt  sich: 
2%    +00      00 


51)  M=^JdtJdxJdh[Ä{h)  oashx  +  Bfh)  sinhx]. 


0       -00    0 


Von  Dr.  B.  Bbssbr.  317 


Die  Fonctioiien  A  (A,  i)  und  J9(A,  i)  drücken  sich  in  bekannter  Weise  durch 
die  gegebene  Function  g  aus;  sie  sind  als  endlich  und  stetig  im  ganzen 
Werthbereich  von  'h  und  i  anzusehen. 

In  51)  wird  nun  die  Integration  nach  x  und  h  durch  eine  von  Herrn 
G.  Neumann  in  seinem  schon  mehrfach  dtirten  Werke:  ,,üeber  die  nach 
Ejreis-,  Engel-  und  Cjlinderfnnctionen  fortschreitenden  Entwickelungen  etc.* 
angegebene  Integralformel  ermöglicht.    Dieselbe  lautet: 

Jäxfäh  co8hxF(h)  =  ^F(+0).* 
0       0 

Darin  bedeutet  y  eine  ganze  positive  Constante,  F{h)  eine  im  Intervalle 
h  =  0,,,y  abtheilungsweise  stetige  und  abtheilungsweise  monotone  Function 
von  h.  Nehmen  wir  in  obiger  Gleichung  das  Integral  nach  x  zwischen  —  oo 
und  +00,  so  ergiebt  sich: 

+  00   y 

—  00    0 

Dagegen  ist  evident,  dass: 

+  00    y 

b)  JdxJdhsinhxF{h)  =  0 

—  00     0 

ist*  Diese  beiden  Formeln  dürfen  auf  51)  angewandt  werden,  und  zwar 
darf  man  y  =  oo  setzen,  da,  wie  schon  bemerkt  wurde,  Ä{h)  und  B{h)  Func- 
tionen von  h  sind,  welche  die  geforderten  Eigenschaften  besitzen.  Man  erhält: 


2s 

:=nJdt.A(0). 


Nun  ist: 


also: 


(Ä)e^(^Ä,Äj, 


^(0,0  =^•'«^(0)6^(^0,*^). 


Wie  aber  S.  271  gezeigt  wurde,  nehmen  für  /taO  die  Functionen  6,(0 
die  Werthe  sinktj  cosJct  an,  die  Constanten  k^  gehen  in  die  natürlichen 
Zahlen  0  ,1,  2,  ...  über  und  für  A;  =  0  erhält  die  Function  (Siß)  den  Werth 


*  8.  1.  c.  Gleich.  C),  S.  80;  es  ist  g  durch  h  ersetzt  worden. 


318  Ueber  die  Vertheilung  der  indncirten  Elektricität  etc. 


i/2 

~  •     Dann  lässt  sich  die  Integration  nach  t  ausführen  and  giebt  das  Re- 
sultat: 
52)  Jtf=>/2.««.«o(0). 

Machen  wir  eine  Anwendung  von  dieser  Formel  zur  Bestimmung  der 
Masse  der  Green 'sehen  Belegung. 

Nach  Gleichung  49)  ist  für  einen  inneren  Centralpunkt  c: 

0 
also,  mit  Beibehaltung  unserer  Bezeichnungen: 

Ä(h,t)  =  -C0shx,2j''       e,(i„)-  ^•'(') 
und  weiter: 

Hieraus  folgt:  _ 

und  nach  52): 

so  dass  ein  für  beliebige  geschlossene  Flächen  geltender  Satz  auch  auf  die 
hier  vorliegende  ungeschlossene  Fläche  Anwendung  findet. 

Die  Masse  der  auf  einen  Süsseren  Centralpunkt  a  sich  beziehenden 
Green'schen  Belegung  lässt  sich  ebenso  leicht  bestimmen. 

Nach  Gleichung  47)  war: 

0 
Es  ist  also  hier: 

'      »*  g,{t») 

Für  Ä=0,   v  =  0  verwandelt  sich: 

also  wird:  _ 

Hierin  liegt  das  bemcrkenswerthe  Resultat,  dass  die  Masse  der  auf  einen 
äussern  Centralpunkt  a  sich  beziehenden  Green'schen  Belegung  eines  ellip- 


Von  Dr.  R.  Besser.  319 

tischen  Cylinders  lediglich  von  der  Coordinaie  u«  desselben  abhängt,  also 
angeändert  bleibt,  wenn  sich  a  auf  einer  zur  Basis  des  Cylinders  confocalen 
Ellipse  bewegt. 

§11. 

BeBtimmims:  der  duroh  Binwlrkung  eines  elektrisohen  Ifassenptuiktes 
anf  dem  Cylinder  inducirten  Belegung. 

Wir  stellen  jetzt  folgende  Aufgabe: 

Ein  unendlich  langer  elliptischer  Cylinder  soll  in  solcher  Weise  mit 
Masse  belegt  werden,  dass  deren  Potential  nebst  dem  eines  mit  der  Masse 
+ 1  behafteten  inneren  Punktes  für  alle  äusseren  Punkte  den  Werth  Null 
annimmt 

Oder  physikalisch  ausgedrückt: 

Es  soll  die  Yertheilung  der  Elektricität  auf  einem  unendlich  langen 
Cylinder  ermittelt  werden ,  der  von  einem  inneren  Pimkte  -f*  1  influenzirt 
wird  und  zur  Erde  abgeleitet  ist. 

Dabei  kann  von  einer  dem  Cylinder  vorher  mitgetheilten  Ladung  ab- 
gesehen  werden,  denn  da  derselbe  unendlich  lang  ist,  so  wird  die  durch 
jene  Ladung  erzeugte  Dichte  unendlich  klein. 

Ist  nun  j  der  gegebene  innere  Punkt,  a  ein  beliebiger  äusserer  Punkt, 
so  muss  die  an  der  Stelle  a  des  Cylinders  sich  bildende  Dichte  q^  der  Be- 
dingung: 

Tja+Jd6  qcTaa==0 

genügen.     Dies  bedeutet,  dass: 

Qa  =  -  nf 

zu  setzen  ist,  wodurch  die  gestellte  Aufgabe  gelöst  ist. 
Nach  Gleichung  49)  hat  man  also: 

OD 

ga  =  --7-7=    (cosh{X'-xj)F{h)dh, 
53)  0 


^W=^,?.M|^)^(„ 


Und    auf  innere  Punkte   übt   diese   Belegung  ein  Potential  aus,    welches 
=  —  Gtj  ist  [s.  Gl.  50)]. 

Liegt   dagegen  der  inducirende  Punkt  ausserhalb  des  Cylinders,   in  a, 
so  ist  ganz  entsprechend: 


d.h. 


tfa  =  —  '/a^ 


320  Ueber  die  VertheUimg  der  inducirten  Elektricität  etc. 


54)  Z^ 

und  das  Potential  dieser  Belegung  auf  äussere  Punkte  =3  — 6^««. 

Die  G^sammtmassen  der  sich  bildenden  Belegungen  werden  durch  die 
am  Schlüsse  des  vorigen  Paragraphen  aufgestellten  Formeln  gegeben. 

Die  Dichtigkeit  q  der  durch  einen  elektrischen  Massenpunkt  +1  auf 
der  Oberfläche  eines  unendlich  langen  elliptischen  Cjlinders  inducirten  Elek- 
tricität stimmt  also  mit  der  negativen  Dichte  17  der  auf  jenen  Punkt  als 
Centralpunkt  sich  beziehenden  Green'schen  Belegung  überein.  Dasselbe 
Resultat  ergiebt  sich  auch  bei  anderen,  geschlossenen  Flächen.  Es  verdient 
indessen  Beachtung,  dass  nach  einer  Bemerkung  von  Heine*  in  unserem 
Falle  g  genau  durch  —  iy  ausgedrückt  wird ,  während  bei  geschlossenen  Flä- 
chen diese  Annahme  eine  nur  angenäherte  Giltigkeit  besitzt 

Die  Gleichungen  53)  und  54)  gestatten  vorläufig  keine  weitere  Verein- 
fachung. 

Für  besondere  Lagen  des  inducirenden  Punktes  dagegen  lassen  sich 
einige  Eigenschaften  der  inducirten  Belegung  angeben,  die  ich  in  Kürze 
ableiten  will. 

Der  Formel  53),  in  der  man  ohne  Beschränkung  der  AUgemeinheit 
a;js=0  setzen  darf,  entninmit  man,  dass  die  Dichte  q  für  Punkte,  die  sich 
nur  im  Vorzeichen  von  x  unterscheiden,  dieselbe  ist.  Nimmt  x  seinem  ab- 
soluten Werthe  nach  zu,  so  nimmt  q  ab.  Denn  für  einen  zweiten  Punkt 
01,  dessen  x^^x^  hat  man: 

und  da  für  jeden  Werth  von  A: 

coshx^  <  coshx, 
so  folgt  dass: 

Diese  Abnahme  von  g^  erfolgt  bis  in  die  Unendlichkeit,  so  dass  an  den 
unendlich  entfernten  Enden  des  Cjlinders  die  Dichtigkeit  der  Elektricität 
c=aO  ist.  Genauer  überzeugt  man  sich  hiervon  durch  Anwendung  des  Du 
Bois-Beymond 'sehen  Mittelwerthsatzes,  welcher  zeigt,  dass: 


lim   I  co8hxdh.F{h)^0 


*  Eugelftmctionen,  II.  Bd.  8.  89  Anm.  und  S.  278. 


Von  Dr.  B.  Bbsser. 

ist,  sobald  F{h)  den  Bedingungen,  im  Intervalle  0  bis  oo  abtheilungsweise 
stetig  nnd  abtheilungsweise  monoton  zu  sein,  genügt.  Diese  Bedingungen 
werden  aber  von  F{h)  jedenfalls  erfQllt.  Die  Maximaldichte  findet  also  flir 
die  Punkte,  deren  x  =  0^  statt,  d.  h.  die  in  der  Ebene  des  inducirenden 
Punktes  gelegen  sind. 

Bei  diesen  Erörterungen,  welche  noch  für  jede  Lage  des  inducirenden 
Punktes  gelten,  berücksichtigten  wir  nur  die  Abhängigkeit  der  Dichte  q 
von  X.  Es  möge  jetzt  q  als  Function  von  t  betrachtet,  es  möge  also  die 
Vertheilung  der  Elektricität  auf  dem  umfange  einer  zur  Basis  des  Cjlinders 
parallelen  Ellipse  untersucht  werden.  Hierzu  ist  eine  Discussion  des  Aus- 
druckes: 


n^)-5^^#M^e.(0 


nöthig,  von  welchem  jene  Vertheilung  abhängt.     - 

Wir  zerlegen  F'(h)  in  vier  Theile,  entsprechend  den  yier  Classen  der 
Functionen  (g,  etwa  in  folgender  Weise: 

wo  nun  JKf^  die  Functionen  (S  erster  Classe  enthält,  also  gleich 

ist  u.  s.  w. 

Betrachten  wir  jetzt  vier  symmetrisch  gelegene  Punkte  auf  der  Peri- 
pherie der  Ellipse,  so  finden  wir,  Gebrauch  machend  von  der  Tabelle  26), 
S.  266,  folgende  Werthe  für  F{h)  in  den  vier  Quadranten: 

I.  Quadrant:    F(h)  =  M^  +  M^  +  M^  +  M^, 

III.  „  F(Ä)  =  -afi-JM,-JMi  +  2lf^, 

IV.  „  F(h)  =  M,  +  M,-'M^^M,. 

Man  braucht  also  nur  die  Dichte  q  für  Punkte  eines  Quadranten,  etwa 
des  ersten,  zu  kennen,  um  sie  für  Punkte  der  übrigen  Quadranten  zu  be- 
stimmen. 

Ffir  die  Enden  der  Azen,   i.  i.  &ix  t^O,  -n>  »,    ■»->  ergiebt  rioh 

mit  Anwendung  von  25),  S.  266: 

t  =  n:      J'(Ä)  =  Jlf,'«)   -M,m 

Zeitschrift  f.  Math6m»tik  a.  Phyaik  XXX,  6.  ^^ 


<  =  -; 
2 


822  üeber  die  Vertheilung  der  inducirten  Elektricit&t  etc. 

Die   oben  angefügten  Marken  (0)  bez.  i-^j  sollen  die  Substitution  dieser 

Werthe  von  t  in  die  M  bezeichnen. 

Von  Interesse  ist  es,  Punkte  der  Ellipse  aufzusuchen,  in  denen  die- 
selbe Dichte  herrscht,  was  darauf  hinauskommt,  zwei  Werthe  von  t  zu  be- 
stimmen, ftlr  welche  F{h)  gleiche  Werthe  annimmt.  Eine  solche  Unter- 
suchung, die  beim  Ereiscy linder  zu  sehr  einfachen  Resultaten  führt,  lässt 
sich  jedoch  hier  wohl  nicht  ausführen,  so  lange  die  Lage  des  inducirenden 
Punktes  j  allgemein  bleibt. 

Wir  specialisiren  deshalb  die  Lage  von  j  und  nehmen  an,  dass  erstens 

j  auf  der  kleinen  Axe  der  Ellipse  liege,  d.  h.  dass  tj=^-^  oder  =-9-  sei. 
Dann  ist  aber: 

.,,•1.     ,.  e»°(«*)  =  o,    e.^(«,)  =  o, 

folglich  auch: 

nnd  man  bemerkt,  dass  F{h)  für  symmetrisch  gelegene  Punkte  des  1.  nnd 
2.,  sowie  des  3.  und  4.  Quadranten  gleiche  Werthe  annimmt-,  iür  diese 
nKmlich  M^^  M^^  für  jene  M^'\-M^.  Die  Vertheilung  ist  also  symmetrisch 
in  Bezug  auf  die  kleine  Axe  der  Directrix. 

Liegt  zweitens  j  auf  der  grossen  Axe  der  Ellipse,  so  ist  entweder 
u/nO,  oder  f/  =  0  oder  ssn;,  je  nachdem  j  innerhalb  oder  ausserhalb  der 
Brennlinie  liegt.  In  beiden  FSllen  verschwinden  die  Functionen  €,(«1«/) 
resp.  ^^{tj)  der  dritten  nnd  vierten  Classe;  es  ist  also: 

ilf3  =  0,     M,^0, 
d.  h.:  die  Vertheilung  ist  symmetrisch  in  Bezug  auf  die  grosse  Axe  der 
Ellipse. 

Liegt  endlich  drittens  j  im  Coordinatenanfange  selbst,  so  verschwinden 
die  Ausdrücke  M^^  M^,  M^^  d.  h.:  die  Elektricität  ist  symmetrisch  in  Bezug 
auf  beide  Axen  der  Ellipse  vertheilt,  denn  in  allen  vier  Quadranten  besitzt 
F{h)  denselben  Werth  M^. 

Anhang.  Ist  die  Excentricität  c  der  Basis  des  Cylinders  so  klein ,  dass 
höhere  als  zweite  Potenzen  derselben  vernachlSssigt  werden  können,  unter- 
scheidet sich  also  der  elliptische  Cylinder  nur  wenig  von  einem  Ereiscylin- 
der,  so  gelten  folgende  Näherungsformeln  ftlr  die  Functionen  (Sy(Ov  ^v^^^\ 

I.  und  IL  Classe: 


Von  Dr.  B.  Bbssbb.  323 

IIL  und  lY,  ClaBse:  Dieselben  Ansdrflcke,  nur  tritt  der  Sinns  fllr  den 
Coainns  ein« 

Diese  Nähemngsformeln,  deren  Ableitung  hier  übergangen  werden 
möge,  befriedigen  die  Differentialgleichung  ftlr  <S(^)  bis  auf  GrOssen  der 
Ordnimg  (?  und  genügen  mit  demselben  Genauigkeitsgrade  auch  den  Inte- 
gralformeln des  §  3. 

Als  Annäherungen  fQr  die  Constanten  Ä;,,  welche  sich  als  Wurieln 
einer  Gleichung  unendlich  hohen  Grades  darstellen,  ergeben  sich  bis  auf 
Grossen  vierter  Ordnung  genau  die  ganzen  Zahlen  0,  1,  2,  .. .   Weiter  folgt: 

e^(fw)  =  (l  +  c«)J'^(Ä»r), 
g^M  =  (l  +  c«)n(Ä*r), 
worin: 

Mit  Benntzang  dieser  Werthe  wird  ijy  für  einen  auf  der  Axe  des  Cylinders 
liegenden  Centndpankt  j  durch  folgenden  Ansdrnck  dargestellt: 

0  0 

Das  erste,  von  (?  freie  Glied  reprttsentirt  die  Dichte  der  Green'schen  Be- 
legung oder  der  induoirten  Elektricitftt  eines  Ereiscylinders ,  dessen  Basis  den 
Badius  r  besitzt,  falls  der  mit  der  Masse  +1  geladene  Punkt  auf  der  Axe 
liegt.  Daa  zweite  Glied  drückt  daher  die  Abweichung  der  Dichte  des  ellip- 
tischen von  der  des  Ereiscylinders  aus.  Dieselbe  ist  yerschieden  für  die 
Punkte  einer  Ellipse;  doch  besitzt  sie,  da  sie  nur  von  coB2t  abhängt,  für 
symmetrisch  gelegene  Punkte  denselben  Werth. 


Zum  Schlüsse  sei  noch  bemerkt,  dass  die  auf  den  vorstehenden  Blät- 
tern behandelte  Aufgabe  auch  dadurch  gelOst  werden  kann,  dass  man  den 
elliptischen  Cylinder  als  Specialfall  eines  EUipsoids  oder  eines  elliptischen 
Kegels  betrachtet.  Die  erste  Methode  hat  sich  mir  nicht  als  erfolgreich 
gezeigt.  Die  zweite  fordert  zur  Untersuchung  der  bis  jetzt  noch  nicht  be- 
handelten Functionen  des  elliptischen  Kegels  auf,  deren  GrenzfWe  die 
Functionen  des  elliptischen  Cylinders  sein  werden,  genau  so,  wie  die  von 
Herrn  M eh  1er  eingeführten  Kegelfunctionen  die  BesseTschen  Functionen 
als  Grenzfmie  besitzen. 

«1* 


324     üeb.  die  Vertheilg.  d.  indnc.  Elektricitftt  etc.   Von  Dr.  B.  Besser. 


Mit  Anwendoog  der  Methode  der  reciproken  Badien  erhftlt  man  noch 
die  Lösung  der  Aufgabe:  die  Yertheilong  einer  ohne  Einwirkung  ftnsse- 
rer  Erftfte  auf  dem  Bilde  des  Cjlinders  sich  befindenden  Elektricitftts- 
menge  zu  bestimmen.  Legt  man  den  Mittelpunkt  der  Kugel,  in  Bezug  auf 
welche  der  Cjlinder  abgebildet  wird,  in  die  Cjlinderaxe,  so  ist  das  Bild 
des  Cjlinders  eine  geschlossene  Flftche,  welche  von  Ebenen,  die  durch  die 
Axe  gehen,  in  Kreisen  geschnitten  wird«  Diese  Kreise,  von  verschiedener 
OrOsse,  berühren  die  Axe.  Bei  einem  Kreiscjlinder  sind  alle  Kreise  gleich 
gross  und  man  kann  dfessen  Bildflfiche  dann  als  einen  besondem  Fall  des 
Kreisringes  ansehen,  nämlich  den,  dass  der  rotirende  Kreis  nicht  ausserhalb 
der  Botationsaxe  liegt,  sondern  dieselbe  tangirt 


XVII. 

Näfieraiigsformeln  filr  Inhalt  und  Oberfläche 
niedriger  FLäohenabsohnitte. 

Von 

Dr.  L.  Geisenhbimeb, 

BttgMhvl-Dinetor  In  T*nioirlts,  O.-S. 


ffierzu  Taf.  VII  Fig.  1. 


Die  Planimetrie  besitzt  in  den  Ausdrücken  für  den  Inhalt  /  und  die 
angenäherte  Bogenlänge  {  eines  beliebigen  Parabelsegments,  J=s^gh  und 

2  =  ^l  +  f(  — )  p  ^0  ff  die  Behne,  h  die  Scheitelhöhe  des  Segments  be- 
deutet, zwei  für  die  Praxis  des  Feldmessers  werthvolle,  viel  angewendete 
Formeln.  In  nachstehender  Entwickelung  sollen  die  entsprechenden  stereo- 
metrischen Formeln ,  also  Ausdrücke  für  die  näherungsweise  Berechnung  des 
körperlichen  Volumens ,  welchen  irgend  ein  kleiner  Theil  einer  Fläche  über 
der  schiefen  oder  orthogonalen  Projection  seines  ümfanges  bildet,  und  der 
Oberfläche  dieses  Flächentheils  hergeleitet  werden.  Durch  mehrere  Be- 
ziehungen,  welche  sich  hierbei  bezüglich  der  Trägheitsmomente  einer  ebenen 
Figur  ergeben,  gewinnt  die  Entwickelung  yielleicht  ein  weiteres  Interesse. 

Bereohnnxig  des  Inhatts  eines  mit  flaohem  Gewölbe  überspannten 


Im  Scheitel  der  überwölbenden  Fläche  wählen  wir  zwei  beliebige  con- 
jugirte  Tangenten  als  X-  und  7-Aze;  die  nach  Richtung  des  Projections- 
Strahles  fallende  Z-Axe  bilde  mit  der  Scheitel-  (Tangential-)  Ebene  der 
Fläche  den  Winkel  (ZjXy)  =  Y'  ^^^  Flächengleichung  kann  dann  in  der 
Form  gegeben  werden: 

und  für  den  Inhalt  des  durch  die  Scheitelebene,  die  Projectionsstrahlen  und 
die  Fläche  umschlossenen  Baumes  ergiebt  sich ,  indem  wir  uns  auf  die  zweiten 
Potenzen  beschränken, 


326     Nftheningsformeln  f.  Inh.  u.  Oberfl.  niedriger  Flächenabscfanitte. 

Werden  die  Trägheitsmomente  der  Projection  bezüglich  der  X-  nnd 
F-Axe  mit  T,,  und  T,,  bezeichnet,  so  wird: 

•^^  ä75?(^)  •  ^•' '*"'' ^" + *"**»'^"^- 

Bedeuten  Qx  and  g,  die  Krümmungsradien  der  lilngs  der  X-  und  T-Axe 

fallenden  Normalschnitte,  so  ist 

.     ..    20      \        .  1 

r,8my  =  smyUm—r  =  — »   ebenso  s.amys^—f    « 

daher 


l)  J=i  /  y>*  I  ■^yy\  ^ 


Dieser  Ausdruck  ist  von  der  Neigung  der  Z-Axe  unabhängig;  subtrahirt 
man  ihn  vom  Inhalte  des  prismatischen  Baumes,  welchen  die  Scheitelebene, 
die  Projectionsstrahlen  und  irgend  eine  Grundebene  begrenzen,  so  folgt  der 
Inhalt  des  über  der  letzteren  liegenden,  durch  die  Fläche  überspannten 
Baumes. 

Da  der  Werth  für  /  von  der  Wahl  der  Z-  und  F-Axe  unabhängig 
sein  muss  und  ^«.^^.^'(d;^)  einen  festen  Werth,  nämlich  das  Beciproke 
des  Erümmungsmaasses  der  Fläche  im  Scheitelpunkte  bildet,  folgt: 

welche  Gleichung  sich  auch,  unabhängig  von  der  vorstehenden  Entwiche- 
lung,  folgendermassen  herleiten  lässt: 

a  und  h  seien  die  nach  Bichtung  der  X-  und  F-Axe  fallenden  Halbmesser 
der  Indicatrix  der  Fläche,  p,  bezüglich  q  und  B  die  Abstände  eines  beliebigen 
Punktes  der  ZF- Ebene  von  den  Axen  Z,  F  und  dem  CoordinatenanflEuigs- 
punkte;  so  gilt  bekanntlich  für  conjugirte  Halbmesser  der  Indicatrix  die 
Formel : 

a*»fi*(a,B)  +  l>'«n*(6,jB)=»(5wwf.  oder  p\qs+(i\Q^^C(msi.Bf, 

womit,  da  B  von  der  Wahl  des  Coordinatensjstems  unabhängig,  die  eben 
gefundene  Gleichung  bewiesen  ist.* 

Falls  der  Scheitelpunkt  der  Fläche  hyperbolischer  Natur  ist,  die  Scheitel- 
ebene also  die  Fläche  schneidet,  haben  Qx  nnd  Qy  entgegengesetztes  Vor- 
zeichen. Formel  1),  welche  in  diesem  Falle  unbestimmt  werden  kann,  lässt 
sich  alsdann  in  eine  andere  Form  überführen,  indem  man  die  Z-  und  F- 
Axe  in  die  Asymptoten  der  Indicatrix  verlegt  Sind  ^j,  g^  die  absoluten 
Werthe  der  Hauptkrümmungsradien ,  Pi>^s,  so  liefert  diese  Transformation 
auf  die  Inflexionstangenten  die  Gleichung: 


*  Der  entsprechende  planimetrische  Satz  lautet:  Sind  a,  5  zwei  conjugirte 
HalbmoBser  eines,  ai,  5i  die  nach  gleicher  Bichtung  follenden  Halbmesser  eines 

beliebigen  andern  concentrisohen  Kegelschnittes,  so  ist  — •  +  ^T  =  Oot»^ 


Von  Dr.  L.  Geisemheimer.  327 

ferner  kommt  fOr  den  Winkel  a  der  nenen  Azen: 

Aus  dieser  Form  ergiebt  sich: 

2)  J=a.sma.smY  I  xy.dxdy. 

Das  Integral  ISsst  sich  mit  Hilfe  des  zur  Projection  anf  die  Scheitel- 
ebene gehörigen  Centralellipsoids ,  bezüglich  seines  Durchschnittes  mit  ge- 
nannter Ebene,  leicht  durch  Trägheitsmomente  ausdrücken.  Bezieht  man 
die  Gleichung  des  Centralellipsoids  auf  beliebige  conjugirte  Halbmesser,  so 
folgt,  da  die  Gleichung  stets  nur  rein  quadratische  Glieder  der  Coordinaten 

enthftlt,  dass  für  einen  beliebigen  Körper  /  xy  dm  (wo  dm  ein  Massentheil- 

chen  bedeutet)  verschwindet,  wenn  dies  Integral  für  zwei  conjugirte  Durch- 
messerebenen gebildet  wird.     Man  schliesst  hieraus: 

Bei  Flächen  mit  hyperbolischer  Indicatriz  werden  die 
kleinen,  nach  verschiedener  Seite  der  Scheitelebene  fallenden 
körperlichen  Bäume  einander  gleich,  wenn  die  Inflezionstan- 
genten  conjugirte  Halbmesser  des  zur  Projection  gehörigen 
Centralellipsoids  sind. 

In  diesem  Falle  überspannt  also  die  krumme  Fläche  denselben  Baum 
wie  ihre  Scheitelebene.  Eine  Lage  des  Scheitels ,  für  welche  J  bei  gegebe- 
ner Grundfläche  ein  Minimum  oder  Maximum  wird ,  lässt  sich  nach  Formel 
2),  also  bei  hyperbolischen  Flächen  nicht  bestimmen.  Dagegen  zeigt 
Formel  1)  für  elliptische  Flächen,  dass  der  Inhalt  des  über 
der  Scheitelebene  liegenden  Körpers  ein  Minimum,  also  der 
überspannte  Baum  ein  Maximum  wird,  wenn  die  Projection  des 
Scheitels  in  den  Schwerpunkt  der  Grundfläche  fällt. 

Soll  der  Inhalt  eines  niedrigen  Abschnittes  der  elliptischen  Fläche  be- 
rechnet werden,  so  lautet  die  Gleichung  der  Grundfläche  als  eines  der 
Scheitelebene  parallelen  Schnittes  in  erster  Annäherung,  wenn  wir  die  X- 
und  Y-Axe  in  die  Ebenen  der  Hauptkrümmungsradien  yerlegen  und  die 
Z-Axe  hierzu  senkrecht  wählen: 

^  +  |l  =  l.   ^0  o*  =  2^.*,  &»  =  2^,Ä, 


^)  ^=T-K£+B=^-^-*=T^*' 


328      Näheningsformeln  f.  Inh.  u.  Oberfl.  niedriger  Flächenabschnitte. 

wo  F  den  Inhalt  der  Grundfläche,  h  die  Scheitelhöhe  des  Abschnittes  be 
deutet.     Diese   bekannte  Näherungsformel  wird  gewöhnlich  mit  Hilfe  der 
Simpson'schen  Regel  hergeleitet,  wobei  sich  auch  die  Bedingungen  ihrer 
genauen  Geltung  ergeben. 

Hftherangsformel  fOr  den  kubisohen  Inhalt  eines  körperliolien 

Zweiecks. 

Durch  die  Sehne  g  einer  Fläche  werden  unter  beliebigem  endlichen 
Winkel  zwei  die  Fläche  schneidende  Ebenen  gelegt;  der  Inhalt  des  durch 
diese  Ebenen  und  die  Fläche  begrenzten  körperlichen  Zweiecks  soll  gefunden 
werden  (Taf.  VII  Fig.  1). 

Wir  legen  durch  die  Scheitel  der  begrenzenden  Schnittcurven  die  zu  g 
parallelen  Tangenten  derselben.  Die  Strecken,  welche  diese  Scheitel  mit 
der  Mitte  der  Sehne  g  verbinden  (und  welche  im  Allgemeinen  zu  g  nicht 
senkrecht  stehen),  seien  m^  und  m^*  Setzen  wir  voraus,  dass  m^  und  tn^ 
im  Yerhältniss  zu  g  klein  genug  seien,  um  die  begrenzenden  Bogen  als 
Parabeln  betrachten  zu  dürfen ,  deren  bezügliche  Parameter  p^  und  p^  seien, 
so  folgt  unter  Vernachlässigung  der  Flächenkrümmung  in  den  zu  [m^ms] 
parallelen  Ebenen  als  erste  Annäherung  des  gesuchten  Inhalts  J: 

•/==y -|-(^mi-^j  (w,  -  J^j  dy.sin{m^n^).sin{g,  m^m^), 

wo  y  die  von  der  Mitte  der  Sehne  g  gemessene  Länge  bedeutet.    Es  ist 

Die  Ausrechnung  liefert: 

4)  /s=-|*yW.n.^.«»(wim,).«n(^,W|ni2). 

Der  vom  Zahlenfactor  -^  befreite  Ausdruck  rechts  stellt  den  doppelten  In- 
halt des  dem  Zweieck  umschriebenen  dreiseitigen  Prismas  dar,  und  da 
letzterer  nur  vom  Normalschnitte  und  der  Kantenlänge  g  des  Prismas  ab- 
hängt, ergiebt  sich: 

Der  kubische  Inhalt  eines  körperlichen  Zweiecks  ist  in 
erster  Annäherung  gleich  -^  eines  dem  Zweieck  in  den  Grenz- 
ebenen umschriebenen  dreiseitigen  Prismas. 

Indem  man  das  Zweieck  durch  Schnitte  längs  seiner  Axe  g  in  solche 
mit  unendlich  kleinem  Ebenenwinkel  theilt,  folgt  nach  diesem  Satze  in 
weiterer,  die  Krümmung  der  Fläche  in  der  Ebene  [nij  m^]  berücksichtigender 
Annäherung,  dass  der  Inhalt  des  Zweiecks  gleich  ^  desjenigen 
Prismas  mit  der  Kantenlänge  g  ist,  welches  aus  den  beiden 
Begrenzungsebenen  durch  g  und  den  zu  g  parallelen,  die 
krumme  Fläche  berührenden  Tangenten  gebildet,  also  dem 
Zweieck  stetig  umschrieben  ist.  Für  Zweiecke,  deren  Axen- 
sohnitte  Parabeln,  ist  diese  Kubatur  eine  genau  richtige. 


Von  Dr.  L.  Geisbnheimer.  329 


Oberfläche  einer- beliebig  begrenzten  flaohen  Kuppe. 

Wird  das  Coordinatensjstem  wie  bei  Formel  1)  gewShlt,  so  dass  X 
und  T  conjugirte  Bichtungen  des  Scheitelpunktes,  Z  beliebig;  bedeutet 
femer  n  die  Normale  der  Fläche,  (nx),  (ny),  (n0}  deren  spitze  Winkel 
mit  den  Axen,  so  erhält  man  für  die  Oberfläche  0: 

0  =^  8in(xy)  stny  I  — r— ^• 
Aus  der  Flächengleichung: 

folgt: 

dF  1  dF  1 

^^rx+^(t(x?+2uxy  +  vy^),     j-^sy+-^{ua?  +  2vxy  +  w^, 

dF         . 

Sind  ot,  ß,  y  die  Höhen  des  aus  den  Coordinatenazen  gebildeten  kör- 
perlichen Dreiecks,  also  a^L[Xyyz)  u.  s.  f.,  so  flndet  man  die  Winkel  der 
Normalen  mit  den  Axen  durch  die  Gleichungen : 

f     ^        f     ^         f     ,      dF  dF  dF 
co8{nx):co8{ny):co8{nz)^j^:^:j^> 

—  2-: =-: —  •  cosinx)  cosing)  —  2  -7—5 — : —  •  cos{ny)  cosCng)  =  1, 

sma.smy        \     ^      \     y       -  stnß.stny        v   ^/       \     /        t 

wo  x^  y^  0  die  Winkel  des  erwähnten  körperlichen  Dreiecks. 
Hiemach  wird: 

cosinz) 
1 


y 


/dF  \«    /aFy 

\dx)       \dy) 1 o      cosz      dF  dF     ^     cosy      dF     ^     cosx      dF 

sin^a         ain^ß       sin^y        sinasinß  dx  dy        sinasiny  dx        sinßiiny  dy 


oder 

si/ny 


cos{nz) 
t/.     8in^yldF\^    sinfyldF^   „  sin^y     dF  dF   «        siny  dF   ^        sinydF 

r  $tfra\dxl      stfirßwyl  stnastnßoxdy  "^stnadx  smßoy 

dF  dF 

Da  r-   und  :r-   in  der  Nähe  des   Scheitels  gegen  Null  convergiren, 
dx  dy 

kann  der  binomische  Satz  angewendet  werden.     Nach  Einsetzung  der  fUr 

die  partiellen  Ableitungen  bestimmten  Werthe  kommt: 


330      NäheruDgsformeln  f.  Fnh.  u.  Oberfl.  niedriger  Flächenabschnitie. 
0^1  dx.dy.sin{xy)+ 1  \^(»8y-r-^r.x  +  co$x^r-^8.y)dx.dy.sinxy 

•^  »/   \ÄWi"  a  sin  a  8%n  p 

+  -r-^sin^xs^.y^]  dx.dy  sinxy 

Ä       'J    l\^»a       smß   /  \s%na        sinß  /    ^ 

+  (^-^v  +  ^-^w)y^dx,dy.8in{xy). 
\sma        stnß    /     J 

Bezeichnen  wir  den  Inhalt  der  durch  die  Z-Axe  erhaltenen  Projection 
des  die  auszurechnende  Fläche  begrenzenden  ümfanges  auf  die  Scheitelebene 
mit  F,  die  Schwerpunktscoordinaten  dieser  Projection  mit  |  und  17,  ihre 
Trägheitsmomente  bezüglich  der  X-  und  7-Aze  wieder  mit  T«^,  und  Ty^, 

femer  8in^{xy)  1  xy.dx.dy,8m{xy)y  also  die  Summe  aus  den  Flfichenthei- 

len  multiplicirt  mit  ihren  senkrechten  Abständen  von  der  X-  und  F-Axe, 
mit  Ts^f  so  ergiebt  sich  nach  einigen  einfachen  trigonometrischen  Umfor- 
mungen: 

\  sma     '  smß       J 

^^''  +{cotgv.v  +  eotgx.w)T,^\. 

Bedeutet  v  die  Normale  des  ttber  dem  Schwerpunkte  der  GrundflSche 
(der  Projection)  liegenden  FlSchenpunktes,  so  wird: 

Biny        ,  ,  siny      ^  ,  ainy 

.8m[xy)    ^^^fgy  v  +  cotgx,w)fi^\y 
welche  Gleichung  in  Verbindung  mit  der  Yorletzten  liefert: 

^sin  [xy)  ^^cotgy.v  +  cotgx.u>)T^^\, 

wo  T^e,  T^,,  jT,,,  die  entsprechenden,  auf  den  Schwerpunkt  bezogenen 
Summen  darstellen. 


Yon  Dr.  L.  Oeisemheimer.  331 

Die  in  genau  entsprechender  Weise  fttr  die  vom  Scheitelpunkte  gemessene 
Bogenl&nge  l  einer  ebenen   Curye,   deren  Goordinatenaxen  den  Winkel  y 

r  t 

bilden  nnd  deren  Oleichnng  y«=-a^'\r'ä^  lautet,   herzuleitende  Gleich- 
ung heisst:  ^  j 

l  =  a;+ ^cosy.iP*  + -g- (r*  «n*y  +  ^  cösy)»*. 

Die  vorstehenden  Formeln  enthalten  bei  beliebiger  Wahl  der  Z-Aze 
die  Coefßcienten  t^  u,  v^  io  der  Glieder  dritter  Ordnung;  in  diesem  Falle 
unterscheiden  sich  also  im  Allgemeinen  die  zu  derselben  Projection  (in  der 
Scheitelebene  bez.  Tangente)  gehörenden  Flächenräume  einander  osculirender 
Flächen  um  Grössen  vierter,  die  Bogenlängen  osculirender  Curven  um  Grössen 
dritter  Ordnung.  Der  von  diesen  meist  unbekannten  Coefficienten  abhängige 
Theil  der  Correction  verschwindet,  wenn  die  Z-Axe  mit  der  Flächennor- 
malen zusammenfällt,  die  Projection  also  orthogonal  wird.  Für  diese  in 
der  Praxis  fast  ausschliesslich  angewendete  Art  der  Projection  nimmt  die 
Formel  5)  die  einfachere  Gestalt  an: 

oder 

Q==— ^  +  0.1,     Af»T^^-2cos(xy)r8T^f,+8'T^\ 
eos{ev)     2sm^{xy)^       ^^  ^^  **' 

oder,  wieder  die  Krümmungsradien  Qs  ^uid'  q^  der  conjugirten  Normalschnitte 
durch  die  X-  und  F-Axe  einftlhrend: 


6) 


0=    ^    +9-1   J%-2«»(^y)^+%l' 

2  stn*{xy)  \  ff*  9sQy      9**) 

—*'-■'     2  8tn^(xy)  \  Qy*  Q:^9y      Qx^  ) 


cos{zv) 

Beide  Formeln  lassen  sich  in  zwei  wesentlich  verschiedenen  Weisen  verein- 
fachen. Zunächst  können  die  X-  und  F-Axe  so  gewählt  werden,  dass  T^y 
bez.  T^ti  verschwindet,  indem  man  zwei  Richtungen  sucht,  welche  sowohl 
für  die  Indicatrix,  wie  für  das  zum  Scheitel-  oder  Schwerpunkte  der  Pro- 
jection gehörige  Centralellipsoid  conjugirte  Durchmesser  bilden.  Da  die 
Involution  der  zum  Centralellipsoid ,  bezüglich  der .  zu  dessen  Schnitt  mit 
der  Scheitelebene  gehörigen  Durchmesser  stets  elliptisch  ist,  existirt  immer 
ein  und  nur  ein  Paar  solcher  Axen,  falls  nicht  dieser  Schnitt  und  die  Indi- 
catrix ähnliche  Curven  sind,  in  welchem  Falle  T^y  bez.  T^iy  für  jedes  Paar 
conjugirter  Tangenten  Null  wird.  In  der  Praxis  wird  sich  dieses  Axen- 
paar  oft  als  MitteUinie  und  die  hierdurch  halbirte  Richtung  der  Projection 
ergeben. 

Femer   können   die    Hauptkrümmungsrichtungen   als   Coordinatenaxen 

genommen  werden,  wodurch  L{xy)ss:  -^  wird  und  die  Formeln  die  Gestalt 

annehmen: 


332      Nftherungsformeln  f.  luh.  u.  Oberfl.  niedriger  Flächenabschnitte. 

Aus  den  verschiedenen  Gestalten  der  Formel  ergiebt  sich  der  auf  die  bereits 

oben  hergeleitete  Eigenschaft  der  Trägheitsmomente  leicht  zurückzuführende 

Satz' 

T^x  'qJ-2  cos  {xy)  T^^y  q^  gy  +  TyyQy*  =  Canst. 

Auf  weitere  Beziehungen ,  welche  sich  nach  Gleichung  5)  zwischen  den 
Trägheitsmomenten  und  den  Coefficienten  der  Glieder  dritter  Ordnung 
ergeben,  gehen  wir  hier  nicht  weiter  ein. 

Aus  den  zuletzt  gewonnenen  Formeln  folgt: 

Die  Oberfläche  ist  bei  gegebener  orthogonaler  Projection 
innerhalb  der  hier  beachteten  Grenzen  der  Genauigkeit^  bis 
auf  Grössen  einschliesslich  vierter  Ordnung*,  von  der  Rich- 
tung der  Krümmungsradien  unabhängig,  also  für  Flächen  mit 
gleich  und  entgegengesetzt  gerichteten  Krümmungen  dieselbe. 

Die  zu  einer  bestimmten  Projection  gehörige  Oberfläche 
einer  stetig  gekrümmten  Fläche  wird  ein  Minimum,  wenn  der 
Scheitel  mit  dem  Schwerpunkte  der  orthogonalen  Projection 
des  ümfangs  auf  dieScheitelebene  zusammenfällt. 

Damit  bei  gegebenem  Inhalt  des  überwölbten  Baumes  die 
Oberfläche   ein  Minimum  werde,   müssen  die  Gleichungen  stattfinden 

Q»  Qs 


Die  überwölbende  Fläche  ist  also  als  Kugel  zu  betrachten. 
Wird  das  polare  Trägheitsmoment  des  Grundrisses,  T^x  +  Tyy^  mit  Tp 
bezeichnet,  so  folgt  für  das  körperliche  Volumen  /  über  der  Scheitelebene 
und  die  Oberfläche  0,  wenn  q  der  Krümmungsradius  des  Gewölbes  (der 
„Böhmischen  Kappe''): 


8)  j=:Lh,  o^Y^yf- 


*  Bei  der  Bectification  ebener  Curven  gelten  die  entsprechenden  Entwicke- 
lungen  bis  auf  Glieder  von  höchstens  dritter  Ordnung. 

**  Die  allgemeine  Behandlung  der  Aufgabe:  diejenige  Fläche  zu  bestimmen, 
welche,  indem  sie  ein  bestimmtes  körperliches  Volumen  überspannt,  die  kleinste 
Oberfläche  besitzt,  fährt  bekanntlich  auf  die  Bedingung,  dass  die  Summe  der 
Hauptkrümmungen  in  der  gesuchten  Fläche  constant  sei.  Eine  specielle  Lösung 
bietet,  in  Uebereinstimmung  mit  der  obigen  Entwickelung,  die  Kugelfläche. 


Von  Dr.  L.  Geisenhbimbr.  333 


Oberfläche  eines  elliptisohen  Flftohenabschnittes. 

Bedeuten  wieder,  wie  früher,  h  die  Höhe  des  Abschnittes,  a  und  h  die 
Halbaxen  der  zur  Indicatrix  ähnlichen  Grundflftche  F,  so  wird: 

Bei  Anwendung  dieser  Formel  ist  nicht  nothwendig,  dass  der  Scheitel  des 
Abschnittes  genau  über  dem  Schwerpunkte  der  Grundfläche  liege,  da  in 
diesem  Falle  die  Verschiebungen  §  und  i}  des  Scheitels  gegen  den  Schwer- 
punkt proportional  mit  h  sind  und  somit  die  hierdurch  bedingte  Correction, 

gleich  -«-F(-j+-^)>  ausserhalb  der  Grenzen  der  hier  beachteten  (Je- 


nauigkeit  fällt. 

Für  die  Calotte  einer  Kugel  mit  dem  Radius  q  ergiebt  sich  hiemach: 

Ist  der  Radius  des  Grundkreises  a,  so  wird  (genau): 

««-A(2^-A),   daher   0  =  |- ?ı^  =  2«,» -|.  *-, 

welcher  Ausdruck  in  seinem  ersten  Gliede  den  genauen  Werth  für  die  Ober- 
fläche des  Engelabschnittes  giebt;    das   den  Fehler  der  Entwickelung  dar- 

stellende  Glied  -^ ist  von  sechster  Ordnung.    Der  Ausdruck  von  0  für 

den  Abschnitt  einer  beliebigen  Fläche  wird  aus  dem  für  die  Calotte  erhal- 
ten, indem  man  statt  der  Krümmung  der  Kugel  ( — )  die  mittlere  Krüm- 
mung der  Fläche  -5-  ( 1 )   einsetzt.     Bei  gleicher  Grundfläche  besitzt 

die  Kugelcalotte  die  kleinste  Oberfläche. 

Die  entsprechende  Formel  für  die  Länge  l  eines  Bogens  mit  dem  Krüm- 
mungsradius Q  über  der  Sehne  g  lautet: 

Die  vorstehend  entwickelten  Formeln  für  die  Fläche  (den  Bogen)  eines 
Flächen-  oder  Bogenabschnittes  lassen  sich  noch  in  der  bemerkenswerthen 
Form  aufstellen: 

9)  0  =  F+-,    l^g+J-^ 

wo  /  den  Inhalt  des  Abschnittes  (Segments),  —  die  (mittlere)  Krümmung 

9 
bedeutet. 


334     Nfthenmgaformeln  f.  Inh.  u.  Oberfl.  niedriger  Flächenabschnitte. 


Inhalt  nnd  Oberfläohe  eines  über  einem  Kreise  oder  Bechteok 
liegenden  Flftohenstüokes. 

Nach  Formel  1)  folgt  für  das  Volumen  über  der  Scbeitelebene,  den 
Badius  des  Grundkreises  a  nennend  (der  Scheitel  liege  im  Mittelpunkte  des 

O  \Qx         Qy  / 

femer  nach  7): 

Für  Inhalt  und  Oberfläche  über  einem  Rechteck,  dessen  Seiten  2a 
und  22»  symmetrisch  zum  Scheitelpunkt  parallel  den  Hauptkrünamungsrich- 
tangen  liegen,  kommt: 

WO  ^a  luid  qi  die  Krümmungsradien  der  zu  a  bez.  h  parallelen  Normal- 
schnitte bezeichnen.  Diese  Formeln  können  Verwendung  finden,  wenn  enge 
Röhren  eine  Flttche  durchsetzen. 

Berechnung  der  kmmmen  Oberfl&ohe  eines  Zweiecks. 

Wir  legen  wieder  die  zur  Axe  des  Zweiecks  parallelen  Tangenten  der 
begrenzenden  Curven  und  verbinden  deren  Scheitelpunkte;  der  Scheitel  der 
zu  ermittelnden  Oberfläche  liegt  bis  auf  Grössen  höherer  Ordnung  über  der 
Mitte  letztgenannter  Geraden  senkrecht  zu  der  durch  diese  und  die  Tangenten 
bestimmten  Ebene.  In  diesem  Scheitel  wählen  wir  eine  zur  Axe  des  Zwei- 
ecks parallele  Gerade  zur  F-Aze,  eine  Parallele  zur  Verbindungslinie  ist 
die  conjugirte  X-Axe.  Die  Projectionen  der  Grenzcurven  auf  die  Scheitel- 
ebene dürfen  bei  Berechnung  der  Correction  als  parabolische  Segmente  be- 
trachtet werden.  Da  Tyy  eine  Grösse  sechster  Ordnung,  kann  dieser  Werth 
yernachlässigt  werden;  für  Tm»  ergiebt  sich  nach  bekannten  Formeln 
¥-^g*siff{xy)y  wo  F  den  Flächeninhalt  der  Projection  des  Zweiecks  auf 
die  Scheitelebene,  g  dessen  Axe  bedeutet.     Hiemach  wird 


10)  q=f(i+^   \      >4) 

\       40stn*{xy)    Qy^/ 


9^ 
und  Qy^=^  ^'  wo  h  die  Senkrechte  aus  g  zur  Scheitelebene  oder  (angenähert) 

zur  Ebene  der  Scheiteltangenten  der  Grenzcurven  bedeutet.  F  darf  hier  im 
Allgemeinen  nicht  durch  die  für  ein  Parabelsegment  geltenden  Näherungs- 
werthe  ausgedrückt  werden,  da  der  hierdurch  begangene  Fehler  mit  ^'pro- 
portional, also  mit  der  Correction  von  gleicher  Ordnung  wäre.  — 

Die  entwickelten  Gleichungen  mögen  noch  auf  einige  zusammengesetzte 
Flächen  Anwendung  finden. 


Von  Dr.  L.  Gbisenheiher.  335 


Bereohnang  eines  flaohen  Kreazgewölbes.* 

Die  Projectionen  der  einzelnen  Kappen  sind  Dreiecke,  deren  Mittel- 
linien die  Azen  der  Wölbung  ergeben.  Eine  Seite  des  überwölbten  Vielecks 
heisse  a,  die  zugehörige  Mittellinie  der  Kappe  m,  die  Scheitelhöhe  des 
Gewölbes  sei  A,  die  X-Axe  parallel  a,  die  F-Aze  parallel  m.  Da  py=soe, 
folgt  für  das  Volumen  einer  Kappe  unter  der  Scheitelebene: 

daher. 

J^^Jh,  wo  J  die  Projection  der  Kappe  bedeutet. 

Für  den  von  den  Kämpferpunkten  aus  ttberwölbten  Raum  folgt  dem- 
nach -IF.ft,  F  der  Inhalt  de^  überwölbten  Vielecks.  Dieses  Volumen  ist 
also  von  der  Lage  des  Scheitels  unabhängig.  Weiter  ergiebt  sich  für  die 
Oberfläche  des  Gewölbes:  .„  . 


3  ^^  J 

Dieser  Ausdruck  wird  für  reguläre  Figuren  und  Parallelogramme  ein  Mini- 
mum, wenn  der  Scheitel  über  dem  Schwerpunkte  der  Grundfläche  liegt. 

Berechnung  des  flaohen  Klostergewölbei. 

Die  Projectionen  der  einzelnen  Kappen  sind  wieder  Dreiecke;  die  üeber- 
wölbung  steht  zu  den  Seiten  der  Grundfläche  senkrecht,  während  ihre  Aze 
letzteren  parallel  läuft. 

Bezeichnet  p  die  auf  die  Seite  a  des  überwölbten  Vielecks  gefällte  Senk-, 
rechte,  ist  femer  X  parallel  a,  F  senkrecht  X,  so  wird  ^,s=od,  somit  das 
Volumen  unter  der  Scheitelebene: 

daher  ' 

y=^z/Ä,   wo  J  und  h  die  vorige  Bedeutung  besitzen. 

Für  das  von  den  Kämpferlinien  aus  überwölbte  Volumen  kommt^F.ft. 
Weiter  wird :  Ä'  XI  a" 

Ezistirt  ein  der  Grundfläche  F  eingeschriebener  Ejreis ,  so  ist  für  dessen 

Mittelpunkt  —  constant,  daher  ^  —^d^=^Q\  in  diesem  Falle  wird  also  0 

ein  Minimum ,  wenn  dep  Scheitel  über  dem  Mittelpunkte  des  der  Grundfläche 
eingeschriebenen  Kreises  liegt.  Dasselbe  findet  bei  dem  Parallelogramm  statt, 
wenn  die  Projectiou  des  Scheitels  in  den  Schwerpunkt  der  Grundfläche  fällt» 


*  Ueber  die  praktische  Anwendung  dieses  und  anderer  flacher  Gewölbe  siehe: 
Breymaun,  Allgemeine  Bau-ConstructionBlehre,  8.  Aufl.,  Tbl.  1  S.  44  §  10. 


XVIIL 

Ueber  die  relative  Bewegung  eines  Punktes  in  einem 
in  oontinuirlioher  Deformation  begriffenen  Medium. 

Von 

Dr.  BOBYLEW, 

Profttnor  an  dar  UniTeriit&t  in  St.  Pfttenbarg. 


Hierzu  Tal  VII  Fig.  2. 


Der  vorliegende  Aufsatz  enth&lt  einige  VeraUgemeinernngen  der  Kine- 
matik der  relativen  Bewegungen,  namentlich  einige  Sätze  über  die  relative 
Bewegung  eines  Punktes  in  Bezug  auf  ein  veränderliches  Medium. 


§  1.  Denken  wir  uns  ein  veränderliches  Medium  J7,  welches  sich  bei 
der  Bewegung  so  deformirt,  dass  eine  jede  durch  die  Punkte  desselben  ge- 
zogene ununterbrochene,  endlich  gekrümmte  und  endlich  gewundene  Curve 
alle  diese  Charaktere  im  Laufe  der  Bewegung  behält. 

Es  sei  ferner  ein  Punkt  M  gegeben,  welcher  in  dem  vom  Medium  11 
erfüllten  Baume  irgend  eine  absolute  Bewegung  hat,  und  das  Medium  11 
sei  für  diesen  Punkt  vollständig  durchdringlich.  In  jedem  Zeitpunkte  der 
Bewegung  wird  der  Punkt  M  sich  in  einem  Punkte  des  Raumes  befinden 
und  zugleich  mit  einem  Punkte  fi  des  Mediums  zusammenfallen. 

Unter  absoluter  Bewegung  des  Punktes  M  verstehen  wir  ein  mit  der 
Zeit  erfolgendes  stetiges  und  continuirliches  Fortschreiten  des  Punktes  M 
durch  die  Punkte  des  Baumes. 

Dem  entsprechend  werden  wir  unter  relativer  Bewegung  des  Punktes 
in  Bezug  auf  das  Medium  17  das  stetige  und  continuirliche  Fortschreiten 
desselben  durch  die  Punkte  des  Mediums  verstehen. 

Die  durch  alle  Punkte  des  Mediums  gezogene  Curve,  mit  welchen  der 
Punkt  M  im  Laufe  seiner  Bewegung  zusammentrifPt,  heisst  die  Bahn  der 
relativen  Bewegung.  Diese  Bahn  ändert  im  Laufe  der  Bewegung  nicht 
nur  ihre  Lage  im  Baume,  sondern  auch  ihre  Gestalt. 

§  2.  Jede  continuirliche  Bewegung  und  Deformation  eines  continuir- 
lichen  Mediums  kann  folgendermassen  ausgedrückt  werden: 


üeber  die  relative  Bewegang  etc.     Von  Dr.  Bobtlbw.  337 

hier  bedeuten  or,  /J,  y  die  Anfangscoordinaten  (für  den  Zeitpunkt  *  =  0) 
eines  beliebigen  Punktes  des  Mediums,  (,  17,  ^  die  Coordinaten  desselben 
Punktes  für  den  Zeitpunkt  t;  q^i,  q^g,  9)3  sind  continuirliche  Functionen  von 
^t  ßi  Yi^'^  <^^®se  Functionen  sollen  derart  sein,  dass  die  Ausdrücke  1)  fUr 
alle  Punkte  des  Mediums  gelten  und  ihre  Bewegungen  ausdrücken. 

Die  Oleichungen  der  Bahn  der  absoluten  Bewegung  eines  beliebigen 
Punktes  des  Mediums  werden  wir  erhalten,  indem  wir  in  den  Ausdrücken 
1)  die  ayß,y  den  Anfangscoordinaten  dieses  Punktes  gleich  maohen  und 
aus  diesen  Ausdrücken  die  Zeit  i  eliminiren. 

§  3.  Die  relative  Bewegung  des  Punktes  M  ist  bekannt,  sobald  wir 
angeben  können,  mit  welchen  Punkten  des  Mediums  derselbe  in  jedem  be- 
liebigen Zeitpunkte  der  Bewegung  zusammentrifft 

Ist  die  absolute  Bewegung  des  Punktes  M  gegeben  und  durch  die 
Formeln 

2)  _  «"/•,(«),    »  =  /i(0.    *  =  /i(0 

ausgedrückt, ^so  bestimmen  sich: 

die  Anfangscoordinaten  «0,  /^q,  /o  ^^  Punktes  fi^  des  Mediums,  mit  wel- 
chem der  Punkt  Jf  im  Zeitpunkte  ^  =  0  zusammentrifft ; 
die  Anfangscoordinaten  »i,  /?i,  /i  des  Punktes  ft^  des  Mediums,  mit  wel- 
chem der  Punkt  M  im  Zeitpunkte  t^  zusammentrifft  u.  s.  w., 
überhaupt  die  Anfangscoordinaten   er«,  /?«,  yt    desjenigen    Punktes   fi«   des 
Mediums,  mit  welchem  If  im  Zeitpunkte  ^  =  r  zusammentrifft.    DiaGrOssen 
of«i  ßt^  ^^f^müssen  bestimmt  werden  aus  den  Oleichungen 

welche  bedeuten,  dass  in  dem  Zeitpunkte  t  die  Punkte  Jf  und  fi«  in  einem 
Punkte  des  Raumes  zusammenfallen. 

Indem  wir  aus  den  Gleichungen  3)  a«,  /3«,  /«  ermitteln,  erhalten  wir 
die  Ausdrücke  für  a^,  j3«,  y«  als  Functionen  von  t : 

4)  «.  =  ^,(t),    |».  =  F,(»),    y,  =  y,(0, 

welche  ftlr  jeden  Zeitpunkt  gelten  und  die  Anfangscoordinaten  des  zugehörigen 
Punktes  fi«  bestimmen;  sie  müssen  als  ezplicite  Ausdrücke  der  rela- 
tiven Bewegung  des  Punktes  M  im  Medium  tl  betrachtet  werden. 
Wird  aus  den  Gleichungen  4)  die  Zeit  x  eliminirt,  so  erhalten  wir  die 
Oleichungen  der  Curve,  welche  durch  die  ursprünglichen  Orte  aller  jener 
Punkte  f»09  l>*i)  *••  f*  ^^  Mediums  gebildet  ist,  durch  welche  der  Punkt 
wShrend  der  Bewegung  hindurchgeht;  diese  Curve  stellt  also  die  Lage 
der  relativen  Bahn  im  Baume  für  den  Zeitpunkt  ^s=0  vor. 

§  4.  Während  der  Bewegung  wird  die  relative  Bahn  durch  dieselbe 
Reihe  von  Punkten  1*0,  fi,,  ...  fi«  des  Mediums  gebildet,  durch  welche  sie 
im  Zeitpunkte  ^  =  0  ging. 

ZelUohrfft  f.  Mftthamfttik  n.  Physik  XXX,  «.  22 


338  üeber  die  relative  Bewegang  eines  Punktes  etc. 


Die  Bewegungen  dieser  Punkte  werden  durch  die  Ausdrücke  1)  be* 
Btimmt,  wenn  wir  in  letzteren  für  a,  /?,  ^^  die  Anfangscoordinaten  dieser 
Punkte  einfuhren;  die  Ausdrücke  für  die  Bewegung  des  Punktes  fit  werden 
somit: 

(     S  =  9>,(i^iW,F,(t).f'3(r),0, 

wenn  man  t  als  constant  und  t  als  variabel  betrachtet;  nach  Elimination 
von  t  aus  diesen  Gleichungen  A)  werden  die  Gleichungen: 

5)  e,(S,i?,t,T)  =  0,     «,(^i?.t,T)«0 
der  absoluten  Bahn  des  Punktes  (it  erhalten. 

Wird  aber  in  denselben  Ausdrücken  A)  t  als  eine  Constante  betrachtet 
und  werden  dem  t  alle  möglichen  Werthe  gegeben,  so  werden  die  Aus- 
drücke A)  die  Coordinaten  zur  Zeit  t  aller  die  Bahn  der  relativen  Bewegung 
bildenden  Punkte  ftQ,  (i^y  ...  ju«  darstellen.  Indem  wir  also  r  aus  den 
Gleichungen  A)  eliminiren,  erhalten  wir  die  Gleichungen: 

6)  *,(l,  »?,£:,  0  =  0,    «,(1,1?,  £.0  =  0 

der  Lage  der  relativen  Bahn  im  Zeitpunkte  t  im  Baume. 

Die  Gleichungen  A),  bei  constantem  t  und  variablem  t,  drücken  die- 
jenige absolute  Bewegung  aus,  welche  der  Punkt  M  gehabt  hätte,  wenn: 
1.  das  Medium  von  Anfang  an  unbeweglich  und  unveränderlich  wäre  und 
diejenige  Lage  im  Baume  aufbewahrt  hätte,  in  welche  es  während  seiner 
wirklichen  Bewegung  zur  Zeit  t  gelangt  war;  und  2.  wenn  der  Punkt  M 
dabei  seine  relative  Bewegung  in  Bezug  auf  das  Medium  vollkommen  bei- 
behalten hätte,  d.  h.  wenn  in  dieser  fingirten  Bewegung  der  Punkt  Jtf 
mit  einem  jeden  Punkte  der  Reihe  fi^,  ft,,  ...  (a^^  . . .,  und  zwar  in  den- 
selben Momenten  wie  bei  der  wirklichen  Bewegung  zusammengefallen  wäre. 

§  5.  Die  absolute  Bewegung  des  Punktes  M  kann  als  zusammengesetzt 
aus  seiner  relativen  Bewegung  in  Bezug  auf  das  Medium  11  und  aus  seiner 
Führungsbewegung*  mit  diesem  Medium  im  Baume  betrachtet  werden. 

unter  relativer  Geschwindigkeit  und  relativer  Beschleu- 
nigung des  Punktes  JSf  in  einem  beliebigen  Zeitpunkte  t  ist  die 
Geschwindigkeit  und  die  Beschleunigung  derjenigen  Bewegung 
zu  verstehen,  die  der  Punkt  Jlf  gehabt  hätte,  wenn  die  Führ- 
ungsbewegung von  diesem  Zeitpunkte  an  aufgehört  hätte. 

Die  Führungsbewegung  wird  im  Zeitpunkte  t  durch  den  in  diesem 
Moment  plötzlich  eintretenden  Stillstand  des  Mediums  11  aufgehoben. 

Indem  dann  der  Punkt  M  seine  relative  Bewegung  in  Bezug  auf  das 
ruhende  Medium  fortsetzt,  wird  dieser  Punkt  M  diejenige  fingirte  Bewegung 
ausführen,  von  der  wir  am  Ende  des  vorigen  Paragraphen  gesprochen  haben. 

*  Monvement  d'entrainement. 


Von  Dr.  Bobylew.  339 

Um  also  die  relative  Geschwindigkeit  nnd  die  relative  Beschleunigung 
des  Punktes  M  für  den  Zeitpunkt  t  zu  erhalten,  muss  man  die  Gleichungen 
A)  im  Sinne  der  fingirten  Bewegung  für  den  Zeitpunkt  t  nehmen  und  aus 
ihnen  die  Geschwindigkeit  und  Beschleunigung  dieser  fingirten  Bewegung 
für  z=st  bestimmen. 

Wir  werden  daher  den  Ausdruck  fdr  die  Projection  der  relativen  Ge. 
schwindigkeit  u  auf  die  X>  Axe  finden ,  wenn  wir  von  der  ersten  Gleichung 
A)  die  Derivirte  nach  r  nehmen  und  dann  t  =  ^  setzen;  es  wird: 

ucas{u,X)  =  ^^F\{t)  +  ^F\{t)+^F\{t) 


oder 

"  r.                           "  / 

7a) 

.».(.,  x,=  M  5? 

as  dß       ai  dy 

"^  dß  dt       "*"  dy  dt 

und  in  derselben  Weise: 

7b) 

,      ^.        drj  da 

df,  dß  dv  dy 
"^  dß  dt      "^  dy   dt  ' 

7c) 

,      ^v       dt  da 

dt  dß          dl  dy_ 

~«'*(«"^)=a«d< 

"^  dß   dt       ^  dy    dt' 

hier  sind: 

8) 

*^"  =  W  (f\       ^^  - 

=  p',(0,   ^  =  n(o. 

Die  Richtung  der  relativen  Geschwindigkeit  ist  zur  relativen  Bahn  tan- 
gentiell. 

Um  die  Ausdrücke  für  die  Projectionen  der  relativen  Beschleunigung  u 
auf  die  Coordinatenaxen  zu  erhalten,  muss  man  die  zweiten  Derivirten  von 
den  Gleichungen  A)  nach  z  nehmen  und  dann  v  gleich  t  setzen ;  wir  erhalten : 

.      .  _,     ai  d>«    ,  ai  d^ß  ^ai  (?y 

ucos(u,X)  =  j^^—,    +-—+-  — 
9a)  H.?!i/^^V+^W+?^('^^V 

^^^  ^da'KdtJ^dßAdt)  ^dY^Kdt) 

'^    [dßdy  dt  dt'^dydadt  dt  '^dadßdt  dt]' 
•         •  •         • 

Die  Ausdrücke  für  uco8{Uy  Y)  und  ucos{UjZ)  enthalten  partielle  Dif- 
ferentialquotienten von  1}  und  i  anstatt  solcher  von  |. 

§  6.  Unter  der  Geschwindigkeitund  der  Beschleunigung  der 
Führungsbewegung  des  Punktes  M  im  Zeitpunkte  t  ist  die  Ge- 
schwindigkeit und  die  Beschleunigung  derjenigen  Bewegung 
zu  verstehen,  die  der  Punkt  ilf  haben  würde,  wenn  die  relative 
Bewegung  von  diesem  Zeitpunkte  an  aufgehoben  wSre. 

Die  relative  Bewegung  hört  im  Zeitpunkte  ^  auf,  wenn  der  Punkt  M 
von  diesem  Moment  an  in  demjenigen  Punkte  des  Mediums  bleibt,  nach 
welchem  er  während  der  wirklichen  Bewegung  zur  Zeit  t  gelangt  ist. 

22* 


340  üeber  die  relative  Bewegung  eines  Punktes  etc. 


Um  also  die  Projectionen  der  Ftthmngsgescbwindigkeit  w  und  der 
FUhnrngsbeschleimigiuig  w  auf  die  Coordinatenazen  flir  den  Zeitpunkt  i  m 
erhalten ,  mnss  man  die  erste  nnd  zweite  Derivirte  der  Gleichungen  A)  nach 
t  nehmen  nnd  dann  t  gleich  t  setzen;  man  erhlflt: 

10)  wca8{w,X)^^.    wca8(w,Y)  =  ^,     woos{w,Z)=^^', 

11)  weos{w,X)  =  ^,    weoB{w,Y)=^,     w€os{fc,Z)  =  j^^ 

§  7.  Die  Projectionen  der  absoluten  Geschwindigkeit  v  des  Punktes  M 
anf  die  Coordinatenazen  sind  gleich  den  Derivirten  nach  der  Zeit  von  den 
Functionen  2),  welche  das  Gesetz  der  Yerändemng  der  Coordinaten  x,  y,  £ 
des  Punktes  M  mit  der  Zeit  aasdrücken. 

Andererseits  werden  die  Coordinaten  x,  y^  g  durch  die  Functionen  9»|, 
^'s*  ^8  [^)]  ausgedrückt,  wenn  man  in  die  letzteren  F^{t)p  F^{t)y  -^sCO 
anstatt  a,  ß^  y  einführt.     Es  ergiebt  sich: 

B)  {   t,ca»(i».r)=^  =  ^  +  ^^+^^  +  ^^. 

/    «-X      de      di.dtda.dtdß.dtdy 
,co,{v,Z)  =  j^  =  ^  +  j-^-  +  ^^j-^+^^j-^. 

Zieht  man  die  oben  angeführten  Gleichungen  7)  und  10)  in  Betracht, 
so  drücken  die  Formeln  B)  folgende  bekannte  Abhängigkeit  zwischen  den 
Geschwindigkeiten  t;,  u,  ir  aus: 

Die  Geschwindigkeit  der  absoluten  Bewegung  des  Punktes 

M  in  einem  beliebigen  Moment  t  ist  die  geometrische  Summe 

der  gleichzeitigen  relativen  und  Führungsgeschwindigkeit. 

• 
§  8.   Die  Projectionen  der  absoluten  Beschleunigung  v  des  Punktes  M 

auf  die  Coordinatenaxen  sind  gleich  den  zweiten  Derivirten  der  Coordinaten 
X,  y,  0  und  können  ausgedrückt  werden  entweder  durch  die  zweiten  Deri- 
virten der  Functionen  /'|(0t  f%(t)^  f^it)  oder  durch  die  zweiten  totalen  Diffe- 
rentialquotienten der  Functionen  q)^,  g>^y  tp^  nach  der  Zeit,  wobei  a^  ß,  y 
als  Functionen  J?\(0,  F^{t)^  -^s(0  z^  betrachten  sind.  Daher  erhalten  wir 
mit  Rücksicht  auf  die  Ausdrücke  9)  und  11)  folgende  Gleichungen: 

V  C08{Vy  X)  =  iV  C08(iff^  X)  +  u  cos(tt,  X) 

C,a)  -Lg/'JÜ  ^«  I     ^n   dß       dn   dY\ 

"^     \dadt  dt  '^dßdt  dt'^dydt  dt)' 

•  m  •  •  •  • 

V cos{f>^  T)  =  iü cos{w,  T)  +  u co8{u^  Y) 
C,b)  g/a^    da       a»iy    dß       d^ti   dy\ 

"^     \dadt  dt  "^dßdt  dt  '^dydtdtj' 


Von  Dr.  Bobylew.  341 


•        •  •         •  •         • 

VCOS{VyZ)=^W  C08{Wy  Z)  +  U  C08{Uy  Z) 

'^     \dadt  dt  '^dßdt  dt  '^dydt  dt) 

Man  ersieht  hieraus,  dass  die  absolute  Beschleunigung  v  als 
geometrische  Summe  folgender  drei  Beschleunigungen  be- 
trachtet werden  kann: 

1.  tt  —  der  relativen  Beschleunigung, 

2.  tr  —  der  Führungsbeschleunigung , 

3.  der  entgegengesetzt  genommenen  Bückkehrbesohleunigung^ 
i?,  deren  Projectionen  auf  die  Coordinatenaxen  sich  durch  die 
Formeln 

««„(«.  z,=-i(a-+a|£+^  II), 

ausdrücken  lassen. 
Hier  bedeutet  i  die  Zeiteinheit  und  S^,  i^j,  i^  sind: 

^^^  ^* a^ ''    ''^"" ¥t '»    ^» Tt '• 

Denkt  man  sich  ausser  dem  Medium  U  noch  ein  anderes,  ebenfalls 
yerttnderliches  Medium  iJ^,  dessen  Bewegung  durch  die  Formeln  13)  aus- 
gedrückt wird,  —  denkt  man  sich  ferner  einen  Punkt  üfj,  welcher  in  Bezug 
auf  i7|  dieselbe  relative  Bewegung 

a^F,{t),    ß^P,{t),     y«/i(0 
wie  M  in  Bezug  auf  17  ausführt,  so  ergiebt  sich  aus  den  Formeln  12), 
dass  die  Bückkehrbeschleunigung  als  verdoppelte,   mit  der  Zeiteinheit  divi- 
dirte  und  entgegengesetzt  genommene  Geschwindigkeit  der  relativen  Bewegung 
des  Punktes  M^  in  Bezug  auf  ü^  betrachtet  werden  kann. 

Dies  gilt  jedoch  nur,  wenn  die  Formeln  13)  die  Bewegung  eines  sol- 
chen Mediums  darstellen ,  welches  continuirlich  bleibt  und  dieselben  Anfangs- 
dimensionen wie  das  Medium  17  hat.  Letzteres  ist  unentbehrlich,  damit 
der  Punkt  3f|  stets  innerhalb  des  Mediums  i7|  bleibe.  Im  Falle  die  For- 
meln 13)  diesen  Bedingungen  nicht  entsprechen,  muss  die  Bedeutung  von  B 
für  jeden  speciellen  Fäll  besonders  bestimmt  werden. 

Beispiel  1.  Das  bewegliche  Medium  77  sei  zwischen  zwei  parallelen 
Ebenen  x^  +  A  und  x  =  '-Ä  so  enthalten,  dass  es  in  der  Bichtung  der 


*  Diese  Beschleunigung  entspricht  der  „Acc^dration  centrifage  composäe", 
welche  in  der  Kinematik  von  So m off  (übersetzt  von  A.  Ziwet)  Rückkehrbeschlea- 
nigaug  genannt  ist. 


342  Ueber  die  relative  Bewegung  eines  Punktes  etc. 


X-Axe  eine  Dicke  2Ä  hat;   die  anderen  Dimensionen  des  Mediums  sind 
unbegrenzt.     Seine  Bewegung  sei  durch  die  Formeln: 

und  die  absolute  Bewegung  des  Punktes  M  durch  die  Formeln: 

gegeben. 

In  diesem  Falle  findet  man  die  Gleichungen: 

als   explicite  Ausdrücke  der  relativen  Bewegung;   die  Gleichungen  A)  wer- 
den hier: 

die  Bahnen  5)   der  Punkte  f»o,  fi|,  ...  sind  hier  die  der  F-Axe  parallelen 
Geraden : 

und  die  Gleichungen  6)  der  Lage  der  relativen  Bahn  im  Baume  zum  Zeit- 
punkte t  werden  sein: 

n  =  j,(^+|)[u-S)<-(iH-|)^^^j^].    c=o. 

In  Taf.  VII  Fig.  2  sind  die  Lagen  der  relativen  Bahn  für  die  Zeit- 
momente ^  =  0,  fj,  2f^,  3^1,  it^,  5*4,  Gf'i  (*i  =  öt)  abgebildet;  die  Curve 

ÄED  stellt  die  Bahn  der  absoluten  Bewegung  des  Punktes  M  vor. 

Die  relative  Geschwindigkeit  ist  in  diesem  Falle  stets  der  X-Axe 
parallel  und  der  (instanten  h  gleich,  die  relative  Beschleunigung  ist  der 
7-Axe  parallel  und  ändert  ihre  Grösse  im  Laufe  der  Zeit  nach  dem  Gesetze: 

Die  Bockkehrbeschleunigung  ist  ebenfalls  der  F-Axe  parallel  und  hat 
die  Grösse  der  verdoppelten  relativen  Beschleunigung. 
Die  Ausdrücke  13)  werden  in  diesem  Beispiele: 


|,  =  0,    f,,  =  B(l-^y,    t,  =  0. 


Diese  Formeln  können  in  keiner  Weise  eine  stetige  Bewegung  eines  solchen 
Mediups  ausdrücken,  welches  im  Anfange  der  Bewegung  denselben  Theil 
des  Baumes  einnimmt,  wie  das  Medium  17.  Somit  ist  die  im  letzten  Para- 
graphen angeführte  allgemeine  Deutung  von  E  in  unserem  jetzigen  Falle 
unanwendbar. 


Von  Dr.  Bobylew.  343 

Beispiel  2.  Der  Ponktüf  habe  eine  beliebige  absolute  Bewegung  1) 
und  das  Medium  deformire  sich  nach  dem  Gesetze: 

1?  =  «^1 A,  + /Jtjigfig  +  y  tf;,^,, 

hier  bedeuten: 

t  t  t 

fnxdi  fn^di  fm^dt 

und  Xj,  «j,  X3  irgendwelche  continnirlichen  Functionen  der  Zeit;  AifA^^Ag, 
f*n  ^8*  H"»  ^11  ^8'  ^s  ^^^  Cosinusse  der  Winkel,  welche  drei  unter  einander 
rechtwinklige,  sich  um  den  Ursprung  0  drehende  Axen  0X\  0Y\  OZ' 
mit  den  festen  Axen  OX,  07,  OZ  bilden.  Diese  Cosinusse,  welche  unter 
sich  durch  die  sechs  bekannten  Relationen  verbunden  sind,  kOnnen  durch 
trigonometrische  Functionen  dreier  Winkel  fp^  ^^  "P  ausgedrückt  werden; 
die  Winkel  g» ,  ^,  ^  seien  in  unserem  Falle  als  irgendwelche  continuirliche 
Functionen  der  Zeit  gegeben. 

Indem  man  die  Relationen,  durch  welche  die  Cosinusse  A^,  A,,  ...  v^ 
unter  sich  verbunden  sind,  berücksichtigt,  wird  man  leicht  aus  den  gegebe- 
nen Ausdrücken  14)  folgende  Formeln  finden: 

15)  I  /3*8=if*x+nfi2+c^s=(>«w(?,  r'), 

q  bedeutet  hier  die  Grösse  und  Richtung  des  Radiusvectors  desjenigen  Punk- 
tes, welchem  die  Coordinaten  |,  17,  {;  zugehOren. 

Setzt  man  die  Functionen  f^^  f^^  f^  statt  §,  1?,  im  die  Formeln  15) 
ein,  so  erhfilt  man  die  expliciten  Ausdrücke  der  relativen  Bewegung: 

«=1  (Ai/;(«)+  A,^,«)+  Ag/i  W), 


16) 


Die  Ausdrücke  für  die  Projectionen  von  u  auf  die  Axen  X,  F,  Z  wer- 
den in  unserem  Falle: 

hieraus  folgt,  mit  Rücksicht  auf  die  Bedeutung  der  Cosinusse  A^,  A,,  ...  Vg: 

17)  iJf,^«=tt(»s(w,ZO,    %^  =  uco3{u,Y'),    if^^^ucosiu.Zy 

Die  Ausdrücke  der  Projectionen  der  Geschwindigkeit  eines  Punktes  des 
Mediums  auf  die  Axen  X,  Y,  Z  sind: 


344     üeb.  die  relative  Bewegung  eines  Punktes  etc.  Von  Dr.  Bobtlew. 


dt 


^d{,i>,li) ^  ßd{%,i^) 


dt      "^     dt 
oder,  mit  Bflcksicbt  auf  die  Formeln  15): 


¥y 


dt 


18a) 


woraus  femer: 


19) 


•57=      «iiS 


£1 
dt 

^  =  (««+r)l+ 


+  (««-»•)'»  + («18  +  «)^ 

(«ia-3)l  +  (««»+P)l+     Ojjfc 


Hier  bedeuten: 

«M  =  »1 V  +  «jMi*  +  »»  "«*. 
o»  =  *i  V  +  »»tf*8*  +  *»V. 
»I«  =  »1*1*»  +  *«»»if4  +  «»»'i»'». 

"81  =  *i*»*i +  ««<»a*»i +^«»»'8*'i. 
P  =  *I*'8  +  f8**)  +  »'jv',  =  — (A,i',  +  /«,f»^,  +  v,v',), 

g  =  l,i',  +  («8f*'l  +  »'8*''l  =  -  (*1*'8  +  »'l*»'8  +  ^l^'a). 

r  =  A,  A',  +  j4,  /,  +  vj  v',  =  -  (A,  A',  +  ^,(»',  +  v, v',). 
Fttr  die  Ausdrucke  der  Projectionen  der  Bückkehrbeschleunigung  auf 
die  Axen  X,T,  Z  ergiebt  sich: 

oder,  mit  Bttcksicht  auf  die  Formeln  17): 

Bco8(B,X) 

d{%Vr). 


dfl 
dt] 


19) 


Der  eingeklammerte  Theil  dieser  Pormel  unterscheidet  sich  von  dem  zweiten 
Theile  der  Gleichung  18a)  darin,  dass  in  19)  anstatt  der  Projectionen  von 
Q  diejenigen  von  u  vorkommen;  hiermit  drückt  sich  in  diesem  Beispiele 
die  Bückkehrbeschleunignng^  durch  die  verdoppelte  und  entgegengesetzt  ge- 
nommene Geschwindigkeit  desjenigen  Mediumpunktes  aus,  dessen  Radius- 
veotor  die  relative  Geschwindigkeit  darstellt.  Mit  anderen  Worten  hat  B 
in  diesem  Beispiele  dieselbe  Bedeutung,  wie  im  Falle  eines  unveränderlichen 
Mediums. 


Kleinere  Mittheilungen. 


XZ.  Wann  benttt  eine  knbitche  Parabel  eine  Direotrizf* 

].  Nach  Analogie**  mit  der  ebenen  Parabel  könnte  man  erwarten, 
dass  anoh  die  rftnmlicbe  (kubische)  Parabel  eine  ^Directrix''  besäase, 
d.  h.  dass  eine  Gerade  ezistirte  als  Ort  der  Punkte,  von  denen  Tripel  je 
zu  einander  senkrechter  Ebenen  (Osculationsebenen)  an  die  Parabel  gingen. 

Dies  ist  aber  im  Allgemeinen  nicht  der  Fall,  wie  zunächst  geo- 
metrisch so  zu  ersehen  ist. 

Eine  kubische  Parabel  hat  bekanntlich  (vergl.  z.  B.  Schröter,  Theorie 
der  Oberflächen  zweiter  Ordnung,  8.307)  die  Eigenschaft,  dass,  wenn  man 
durch  einen  beliebigen  Baumpunkt  zu  den  Tangenten  und  Ebenen  der 
Parabel  Parallel -Strahlen  und  Ebenen  legt,  diese  die  Kanten  und  Ebenen 
eines  Kegels***  (zweiter  Ordnung)  sind. 

Ezistirte  nun  im  Allgemeinen  eine  Directrix  der  Parabel,  so  müsste 
dieser  Kegel  ein  gleichseitiger  sein,  d.h.  es  würden  ihm  unendlich  viele 
Tripel  je  zu  einander  senkrechter  Tangentialebenen  angehören 

Es  ist  aber  bekanntlich  (vergl.  z.  B.  Schröter,  Theorie  etc.,  S.  76, 
78 flgg.)  eine  Bedingung  erforderlich,  damit  ein  Kegel  ein,  und  damit 
zugleich  unendlich  viele  solcher  Ebenentripel  besitze. 

Dass  unser  Kegel  aber  in  der  That  ein  ganz  beliebiger  ist  (im 
Allgemeinen),  ist  leicht  zu  erkennen. 


*  Diese  Note,  ein  Wiederabdruck  ans  den  „Mathematisch- naturwissenschaft- 
lichen Mittheilangen  von  Dr.  0.  Böklen**  (Heft  1,  erBchienen  Gstern  1884),  bezieht 
sich  auf  die  in  dieser  Zeitschrift  (Jahrg.  1884,  Heft  4)  publicirte  Arbeit  des  Herrn 
Dr.  Böklen,  der  bei  seinen  Arbeiten  Über  das  Ellipsoid  auf  kubische  Parabeln  mit 
Directrix  stiess  und  dabei  die  im  Titel  gestellte  Frage  gelöst  zu  wissen  wünschte. 
**  In  der  That  besitzt  ja  das  zweite  r&umliche  Gebilde,  das  der  ebenen 
Parabel  entspricht,  das  Paraboloid,  eine  „Directrix**,  d.i.  eineEbene  als  Ort 
der  Punkte,  von  denen  Tripel  je  zu  einander  senkrechter  Ebenen  (Tangentialebe- 
nen) an  das  Paraboloid  gehen  (?ergl.  Beje,  Geometrie  der  Lage  U,  S.  268  Nr.  37). 
***  Die  Punkte  des  Kegelschnittes,  in  dem  dieser  Kegel  die  unendlich  ferne 
Ebene  trifft,  sind  die  Spuren  der  Tangenten  der  Parabel  und  die  Tangenten  dieses 
Kegelschnittes  die  Sparen  der  Ebenen  der  Parabel.  Denn  die  Parabel  oseulirt  ja 
die  unendlich  ferne  Ebene. 


346  Kleinere  Mittheiluugen. 


Es  sei  ein  solcher  beliebig  gegeben*. 

Dann  lege  man  irgend  eine  Ebene,  doch  so,  dass  sie  irgend  einer 
Eegelebene  parallel  ist,  und  verzeichne  in  dieser  Ebene  irgend  eine 
Parabel.  Dann  sind  die  sämmtlichen  Ebenen,  die  diese  ebene 
Parabel  berühren  und  einer  Eegelebene  parallel  sind,  die 
Schmiegungsebenen  einer  kubischen  Parabel,  zu  der  der  Kegel 
in  der  oben  definirten  Beziehung  steht. 

2.  umgekehrt  ist  aber  die  eine  Bedingung,  die  erforderlich  ist,  damit 
unser  Kegel  (er  heisse  einfach  „Parallelkegel  der  Parabel'')  ein,  und 
damit  unendlich  viele  Tripel  von  je  auf  einander  senkrechten  Ebenen  be- 
sitze, auch  hinreichend,  damit  die  Parabel  eine  Directriz  be- 
sitzt. 

Man  weiss  (vergl.  z.  B.  Reje,  Geometrie  der  Lage  I,  S.  122),  dass, 
wenn  ein  Kegel  (zweiter  Ordnung)  diese  Eigenschaft  besitzt,  seine  Ebenen 
eine  „Involution  dritter  Ordnung'*  bilden,  d.h.  sie  sind  so  in  Tripel 
getheilt,  dass  jeder  Ebene  immer  die  beiden  anderen  zugeordnet 
sind,  die  mit  ihr  eines  der  (orthogonalen)  Tripel  bilden. 

Sodann  sind  die  Ebenen  des  Kegels  vermöge  ihrer  Construction  den 
Ebenen  der  Parabel  projectivisch  zugeordnet,  mithin  bilden  auch  die 
Tripelebenen  der  Parabel  eine  solche  Involution. 

Dann  aber  liegen  nach  einem  allgemeinen  Satze  (vergl.  z.  B. 
meine  Schrift  „Apolarität  und  rationale  Curven^  §  14)  die  Ecken  dieser 
Ebenentripel  immer  in  einer  Geraden. 

Dies  ist  dann  die  Directrix  der  Parabel. 

Analytische  Behandlung. 

3.  Eine  kubische  Baumcurve  (als  Curve  dritter  Classe)  kann  immer 
dargestellt  werden  in  der  Form: 

1)  ti<p(A)  =  /i(i),     t;<p(A)=yi(A),     tCip(k)^f,{X). 

Hier  sind  die  u,  v,  ic'  die  Coordinaten  einer  Ebene  der  Curve,  die  f  xmd 

q>  ganze  Ausdrücke  dritten  Grades  in  A. 

Jeder  Ebene  der  Curve  kommt  dann  ein  Werth  X  zu  und  umgekehrt 
Soll  die  Curve  eine  kubische  Parabel  sein ,  so  muss  die  unendlich  ferne 

Ebene 

2)  M  =  0,    t;  =  0,    w  =  0 

eine  Ebene  der  Parabel  sein.     Es  komme  ihr  dann  der  Werth  il  =  a  zu ,  so 
müssen  die  drei  f  den  Factor  A  — o  gemein  haben,  wie  folgt: 


*  Die  folgende  Gonstraction  ist  nur  das  DualiBtische  zu  der  bekannten 
Erzeugung  der  kubischen  Raamcarven  mittels  zweier  Kegel,  die  eine  Kante  ge- 
mein haben. 


Kleinere  Mittheilungen.  347 

Dann  sind   die  Ebenen   des  Parallelkegels,   dessen   Spitze  im  Coordinaten- 
ursprung  liegt,  repräsentirt  durch 

4)  icu  +  yv  +  0w  =  xg^iX)  +  yg^{l)  +  zg^{k)  ^0 
oder  auch  durch 

5)  u:v:iv  =  gi{X):g^{X):g^{X). 

Die  Elimination  von  il  liefert  (vergl.  meine  Schrift  „Apolarit&t  eto.** 
S.43  oder  auch  meine  Note  im  Württembergischen  Correspondenzblatt  1883): 

'  +t«t;{)  +  t*«7()  +  t;w()  =  0. 

Soll  nun  dieser  Parallelkegel  6)  die  Bedingung  erfüllen ,  ein  Tripel  von 
je  auf  einander  senkrechten  Ebenen  zu  besitzen,  so  besteht  diese  bekannt- 
lich (vergl.  z.  B.  Hesse,  Analytische  Raumgeometrie)  im  Verschwinden  der 
Summe  der  drei  Coefficienten  von  t«^  t;',  w^\  sie  lautet  also: 

7)  A^A^-\- A^qA^^'\- Ä^A2^=^  Aq^  +-^11  + -^«1  • 

4.  Wir  wollen  nunmehr  die  Parabel  nebst  ihrer  Directrix  und 
der  Involution  der  Orthogonaltripel  in  einer  canonisc^en  Form  ana- 
lytisch darstellen. 

Es  mögen  n&mlich  die  drei  Coordinatenebenen 

8)  a;  =  0,    y  =  0,    ^  =  0 

eines  der  Orthogonaltripel  bilden.    Dann  mnss  die  Directrix  durch  den  Ur- 
sprung hindurchgehen,  also  in  der  Form  dargestellt  sein: 

9)  x:y:g  =  a:ß:y    oder    aj=^a,    yssgß^    iE?  =  ^y, 
wo  Q  veränderlich  ist. 

Den  drei  Coordinatenebenen  als  Ebenen  der  Parabel  mögen  die  resp. 
Werthe  il  =  Xi,  A,,  X^  entsprechen. 

Dann  ist  die  kubische  Parabel,  wie  leicht  zu  erkennen,  folgender  beider 
Darstellungen  fähig: 


10)  M==- -I  t7=- — —>  w- 


11)  »  =  A(i-A,)»,     y  =  B(i-i,)»,     0  =  r(l-i,)»-. 

Dabei  ist  der  unendlich  fernen  Ebene  der  Werth  jlaoo  beigelegt 

*  Die  Aik  sind,  wie  üblich,  die  zu  den  Elementen  atu  der  Determinante 
der  letzteren  gehörigen  Ünterdeterminanten. 

**  Eine  einfache  Bechnung,  nach  der  Glebsch^Bchen  Regel  (vergl.  Glebsch, 
„üeber  die  rationalen  Caryen*S  Grelle  Bd.  63)  ausgeführt,  liefert  zwischen  den 
a,  h,  c  und  A,  B^  f  die  Beziehungen: 

1 


a^~  6B  =  cr  = 


(li-^)(^-i|)(^-^)"i>* 


348  Kleinere  Mittheilungen. 

Wir  suclien  die  QrOssen  a,  ß,  y,  d.  i.  die  Neigungen  der  Direc- 
trix  gegen  die  Coordinatenaxen  zu  bestimmen. 

Vom  unendlich  fernen  Punkte  der  Directrix ,  dessen  Gleichung  ist : 

12)  Utt  +  vß  +  wyz==0, 

gehen  (ausser  der  unendlich  fernen  Ebene)  noch  zwei  weitere  (zu  einander 
senkrechte)  Ebenen  an  die  Parabel. 

Die  zugehörigen  Werthe  A  für  sie  erhält  man  durch  Combination  von 
12)  und  10): 

13)  J^  +  Jl^  +  ^Il 0. 

A  ^~  A I         A  ^^  Ao         A  ■^~  Aa 

Andererseits  ist  die  Bedingung,  dass  irgend  zwei  Ebenen  (u,  t;,  ta; 
^11^1«  ^i)  ^^^  Parabel  (mit  den  Werthen  A,  fi)  auf  einander  senk- 
recht stehen,  g^eben  durch 

UUi  +  Wi  +  WWi  =  0 

14)  _  g«  y  c» 
-(A-AJ(fi-A0'*"(X-A,)(fi^A,)  +  (X-A3)(f*-X,)* 

Hält  man  hier  (i  fest,  so  ergeben  sich  ans  dieser  Gleichung  gerade  die 
beiden  Ebenen,  die  mit  der  Ebene  fi  ein  Orthogonaltripel  bil- 
den (d.  h.  ^jede  Schnittlinie  zweier  aufeinander  senkrechter 
Ebenen  der  Parabel  muss  die  Directrix  treffen*^). 


üebrigens  zeigen  die  Gleichungen  10),  11)  sofort  das  weitere  Resultat,  dan  för 
jeden  Punkt  der  Parabel  die  Producte 

aju",    y«*,    zw* 
je  denselben  Werth  haben^  und  zwar  ist 

XU*  _yv*  _^gw*  _  1 
a«  ""  d«  "  c»  "D»' 

Mit  Rücksicht  auf  die  Werthe  der  Constanten  cr^  |9,  y  in  9)  [vergL  16)j  haben 
wir  also: 

^^Für  jeden  Punkt  der  kubischen  Parabel  (fQr  welche  die  drei  Coordi- 
natenebenen  ein  Ebenentripel  bilden)  sind  die  Producte  xu*,  yt^,  gw*  con- 
siant  und  verhalten  sich  zu  einander,  wie  die  Quadrate  der  Cosinug 
der  Neigungswinkel  der  Directrix  gegen  die  Coordinatenaxen.'* 

Aps  den  Gleichungen  10)  fliesst  sofort  eine  sehr  einfache  Construction  einer 
kubischen  Parabel  mit  Directrix. 

^^Man  nehme  eine  beliebige  Gerade  an.  Eine  jede  Ebene  durch  dieselbe 
schneidet  aus  den  Coordinatenaxen,  vom  Anfangspunkt  an  gerechnet,  drei  Abschnitte 

et ,    et,    Ci 
aus." 

Gonstruirt  man  die  reciproken  Abschnitte 

J-    J_    JL 

ei'     e,'     et 
und  verbindet  deren  drei  Endpunkte  durch  eine  Ebene,  so  umhüllen  alle  diese 
Ebenen  eine  kubische  Parabel  mit  Directrix,  für  die  das  Coordinatenebenentripel 
ein  Orthogonal -Schmiegungsebenentripei  ist. 


Kleinere  Mittheilnngen.  349 

Jetzt  nehme  man  für  die  £bene  ft  die  unendlich  ferne  Ebene,  fClr  die 
|[i  e=  00  ist.  Dann  mnss  fUr  diesen  Werth  von  f&  die  quadratische  Gleichung 
14)  mit  13)  identisch  sein. 

Für  diesen  Werth  (fi  =3 co)  geht  aber  14)  über  in: 

15)  _^  +  ^!_  +  _^ 0. 

Sollen  die  Gleichungen  15)  und  13),  und  zwar  für  ganz  be- 
liebige Werthe  von  A|,  X^j  A3  identisch  sein,  so  ist  dazu  noth^ 
wendig  und  hinreichend,  dass 

16)  a:6:c  =  cif:^:y. 

Daher  stellt  sich  die  Involution  aller  Orthogonalebenentripel  der  Parabel 
vermöge  der  Gleichungen  10)  und  15)  so  dar: 

0-(A-X,)(;i-A,)(;i-Aa)  +  jr{a«a-A,)(A-i3)  +  ft«a-i,)a-^d) 
wo  .  variabel  ist.  +c»U-A,)(A-A.)}, 

Endlich  ist  noch  zu  bemerken,  dass,  wenn  man  statt  des  alten  recht- 
winkligen Coordinatensystems  ('  f;*«^)  irgend  ein  neues  rechtwink- 

(X    T*  Z\ 
U  YWl  ™^^^^^  bekannter  Formeln  einführt,  und  drückt  dann  in 

10)  resp.  11)  die  alten  Coordinaten  durch  die  neuen  aus,  so  erhält 
man  die  an^6fii6tn5^6  Darstellung  einer  kubischen  Parabel  mit 
Directrix. 

Die  Rechnung  ist  dabei  so  einfach,  dass  sie  hier  unterbleiben  möge. 

Tübingen,  1883.  Dr.  F.  Meter. 


XXL  Die  OrtBflftche  der  SpitEen  gleiobseitiger  Tetraeder  su  gegebener 

Geraden  der  Zeichenebene. 

(Hierzu  Taf.  VU  Fig.  8.) 

Angeregt  durch  den  Aufsatz  des  Herrn  Dr.  A.  Schmidt  über  gleich- 
seitige Tetraeder*,  erlaube  ich  mir,  nachstehend  einen  Ueberblick  über 
die  Ortslinien  der  Spitzen  solcher  Vierflache  zu  bieten,  welche  einer  gegebe- 
nen Strecke  als  Basis  entsprechen. 

Zu  einem  Dreieck  ABC^  der  Zeichenebene  findet  man  die  Spitzen  con- 
gruenter  Dreiecke  (C^d^A^  d^C^B)  auf  dem  Umkreise  von  ABC^  in 
|£d^||.l(7J,  |.ld^J|JBdj  und  erhSlt  durch  Drehung  jener  beiden  Dreiecke 
um  \AC^^BCi\  die  Spitze  (DJ  zum  gleichseitigen  Tetraeder,  dessen  Grund- 


*  Zeitfichr.  f.  Math.  u.  Phya.,  Jahrg.  1884  S.  821. 


350  Kleinere  Mittbeilungen. 


flSche  ÄBC^.  Die  Spuren  {d^d^.  d^dW  der  Lothebenen,  in  welchen  sich 
(d|,  d^)  bewegen,  können  auch  mit  Hilfe  der  Durchmesser  \Äd\^  ^dW  des 
Umkreises  bestimmt  werden,  indem  {d\,  d\)  auf  den  Senkrechten  l^lOo«  BDq\ 
jenen  Spuren  angehören.  Verschiebung  von  (C^)  auf  \BC\  hat  Fortrücken 
des  Mittelpunktes  (Oj)  auf  der  senkrecht  Halbirenden  \0y\  zur  Folge,  was 
anzeigt,  dass  die  Büschel  ä\00qCO0i\B  auf  {BDf^y  äCq\  perspectivische 
Punktreihen  beschreiben :  |  BDq^  qo  d\  ^  ^  Cq  od  d'g  |  i  deren  Mittelpunkt 
{ÄB^)  ist. 

Die  Umkreise  zu  den  Dreiecken  ÄBCi  über  der  gemeinsamen  Grand« 
linie  \AB\  bilden  ein  Büschel  mit  den  Grundpunkten  {A^  B).  Da 
I  d'i  ^1  JL  J?  C, ,  d  2  (ij  J.  -4.  (7, 1  mit  einander  Winkel  bilden ,  welche  zn  ÄC^B 
supplementär  sind,  so  erscheinen  die  Spitzen  (D^),  welche  gleichen  Win- 
keln ÄC^B  entsprechen,  in  einem  Kreise  durch  (d\,d\)  und  gleich  dem 
Umkreise  ÄC^B, 

\d\D^\±\ÄG^\  geht  für  (C,)  in  \CoD^\\ÄB\  über,  für  (C)  =  (^ C J_ BC7) 
dagegen  in  \ÄE^  \\BC\.  Da  nun  das Parallelstrahlenbüschel BE^\BDq^  <Xid\ \ 
mit  der  Axe  der  Parabel  parallel  ist,  welche  die  Strahlen  \AE^  CJ^D^,  oo,  d^Dj 
umhüllen,  beide  Büschel  unter  sich  projectivisch  sind  und  in  (Doi)  entspre- 
chende Punkte  zusammenfallen,  so  wird  iJ^D^i  QoDj,  ihr  perspectivischer 
Schnitt,  ebenfalls  eine  Tangente  jener  Parabel  sein. 

Man  kann  |Dq|^J  auch  als  Ort  der  Theilpunkte  von  gleichwinkligen 
Bogenabschnitten  erkennen,  auf  einer  Kreisreihe,  welche  dem  Büschel  der 
Umkreise  congruent  ist  und  die  {D{)  enthält,  die  gleichen  Winkeln  ACiB 
entsprechen. 

(D^i ,  E^  bezeichnen  Grenzlagen  für  |  D^  | ,  indem  sie  den  rechtwinkligen 
Dreiecken  AC^B,  ACB  entsprechen. 

Die  Parallele  zu  \BC^\  durch  (Dgi)  ergiebt  auf  \AB\  den  Brenn- 
punkt {F)  der  von  den  Ortsgeraden  |Doi^i|  umhüllten  Hyperbel,  da 
\BDor±AB,  BE,\\x,h,  ±D,,F\\BC,\,  folglich:  \Fh,C  l,D^^x,\.  Die 
Brennweite  der  Hyperbel  beträgt  demnach  ^AB. 

Während  (Q)  die  \BC\  durchläuft,  bewegen  sich  die  Spitzen  (D,)  in 
der  Lothebene  [Dq^JE^J.  Da  das  rechtwinklige  Dreieck,  wie  gezeigt  wor- 
den, die  Grenze  für  die  Möglichkeit  gleichseitiger  Tetraeder  bildet,  so 
finden  sich  reelle  Spitzen  nur  zwischen  (Dq,,  JEJ|)  orthogonal -symmetrisch 
zu  dieser  Spur.  Aus  der  Congruenz  der  rechtwinkligen  Dreiecke  AE^B, 
CöJ.2>oi  ergiebt  sich,  dass  der  Schnitt  (m^  von  |-BC,  Doi-^i  I  <iie  Mitte 
von  |DqjJE7,  I  bezeichnet  Da  zugleich  der  (wj  entsprechende  (d'2111)  in  die 
Mitte  der  Strecke  iDoi-^l  ^^^^  ^"^  ^^^  Höhen  der  Basisdreiecke  AC^B  in 
Bezug  auf  den  festen  Strahl  BC  stets  dieselben  bleiben,  so  stellt  der  Ort 
der  Spitzen  (2>)  den  Schnitt  der  Lothebene  [Dq^E^  mit  einem  Rotations- 
cylinder  der  Aze  \BC\  und  vom  Radius  \BE^\  dar,  welcher  stets  eine 
Ellipse  ist. 


Kleinere  Mittheilangen.  351 

Die  Ortsflficbe  der  Spitzen  gleichseitiger  Tetraeder,  welche  die  Bild- 
ebene zur  gemeinsamen  Grundfläche  nnd  \ÄB\  zur  Kante  haben,  wird  also 
durch  lothrechte  Ellipsen  erzeugt,  deren  Spuren  eine  Hyper- 
bel umhüllen. 

Die  symmetrische  Anlage  der  Zeichnung  (Taf.  YU  Fig.  3)  weist  darauf 
hin,  dass  in  den  Lothebenen  [I^oi-^oi*>  -^os-^o«*]  jedesmal  noch  eine  zweite 
Ortsellipse  liege  [CDm*,  ODo,*],  welche  den  Strahlen  |-4JE?i,  ÄE^\  ent- 
sprechen und  mit  [2)q|JE7j,  As^I  ^^^^  ^^  ^^^  Lothen  |^i,a:2I  ^^^  [^^] 
schneiden;  denn  jene  congruenten  Ellipsen  stehen  sich  wechselweise  in 
Kegeln  der  Spitze  (0)  symmetrisch  gegenüber  und  die  Lothebene  [ÄS]  ist 
eine  Symmetrieebene  der  beiden  Kegel  zugleich. 

Die  Symmetrie  zeigt  ferner,  dass  die  Endpunkte  der  Lothe  \x\  eine 
Ellipse  bilden,  welche  durch  den  Schnitt  der  involutorischen  Büschel  (ii,  ^) 
in  [AB]  erzeugt  wird;  deren  eine  Axe  l-^-Sj,  während  die  andere  durch 
den  Schnitt  der  Lothebenen  zu  den  Asymptoten  der  Grundhyperbel  be- 
zeichnet ist.  Diese  Schnittcurve  begrenzt  mit  dem  Hauptkreise  über  \ÄB\ 
einen  mittlem  Baum,  welcher  von  den  beiderseits  zum  Kreise  sich  senken- 
den Ellipsenbogen  eingeschlossen  ist. 

Von  der  Gestalt  des  röhrenförmigen  Bestes  erhält  man  eine  genauere 
Vorstellung  durch  den  Ort  der  Mittelpunkte  der  erzeugenden  Ellipsen.  Der- 
selbe geht  aus  dem  Schnitte  der  Büschel  {BjÄ)(C,C\  ...)  mit  dem  Tan- 
gentenbüschel ||2)q|JEJ|i,  Dq^E^,  ...||  hervor  und  verläuft  symmetrisch  zu  den 
Axen  |^^,y|,  von  welchen  die  erstere  Bückkehrtangente,  die  letztere  Asym- 
ptote ist.  Diese  Mittelpunktscurve  bezeichnet  die  Culminationen  der  erzeu- 
genden Ellipsen ,  während  die  Badien  vectoren  deren  Brennweiten  darstellen. 

unsere  Zeichnung  gewährt  somit  einen  üeberblick  über  das  Bereich 
der  Spitzen  gleichseitiger  Tetraeder,  deren  Grundfläche  in  der  Zeichenebene 
liegt  und  in  welchen  zwei  Gegenkanten  von  gegebener  Länge  sind. 

Hottingen -Zürich.  F.  Grabero. 


XXn.  Hotic  über  üngleichiingen. 

In  den  Lehrbüchern  und  Beispielsammlungen  für  Elementarmathematik 
begegnet  man  sehr  selten  Aufgaben  über  Ungleichungen,  obschon  diese 
besonders  instructiv  sind,  weil  sie  mehr  üeberlegung  verlangen,  als  das 
ziemlich  mechanische  Auflösen  von  Gleichungen.  Im  Interesse  des  Unter- 
richts mögen  hier  ein  paar  derartige  Aufgaben  folgen,  deren  beigefügte 
Lösungen  nicht  schwer  zu  finden  sind. 

Für  das  Dreieck  sollen  die  Bedingungen  ermittelt  werden,  unter  denen 
es  möglich  ist, 


352  Kleinere  Mittbeilungen. 

a)  aus  den  Abständen  des  ümkreismittelpunktes  von  den  Seiten, 

b)  ans  den  Abschnitten ,  «welche  die  Berübrnngspnnkte  des  Inkreises 
auf  den  Seiten  bilden, 

ein  neues  Dreieck  za  constmiren. 

a)  Sind  tL<,ß^y  die  Dreieckswinkel ,  so  ist  im  Falle  y <  90^  das 
neue  Dreieck  nur  unter  der  Bedingung  a>  42^06 '29''  möglich;  liegt  a 
zwischen  42^06 '29''  und  45S  so  muss 

genommen  werden;  für  a>4ö*^  genügt  ß  >  a, 

Soll  das  ursprüngliche  Dreieck  stumpfwinklig  sein,  so  müssen  die  Be- 
dingungen 

eingehalten  werden. 

b)  Im  Falle  «< 38<>66'33",  ist 

a<iß  <  ang8in{^$in^a)  —  ^a 
zu  nehmen;  für  a> 38^ 56' 33"  genügt  ß>a. 

Auf  die  Seiten  bezogeta,  lassen  sich  diese  Bedingungen  einfacher  aus- 
drücken durch  ,  ^  ,  ^  1  /T  ,    X 

Die  Höhen  und  die  Schwerlinien  des  Dreiecks  geben  Gelegenheit  zur 
Bildung  analoger  Aufgaben. 

SCHLÖMTLCH. 


BerichtigQiig. 

Auf  Seite  211  im  4.  Hefte  (Jahrg.  XXX)  ist  swischen  den  Zeilen  15  und  16 
der  PasBus:  „Es  sei  m  —  n=ik*^  einzuschalten. 


Historisch-literarische  Abtheilung 


der 


Zeitschrift  für  Mathematili  und  Pliysik 

herausgegeben 
unter  der  verantwortlichen  Redaction 

Ton 

Dr.  O.  Schlömilch,  Dr.  E.  Kahl 

und 

Dr.  M.  Cantor. 


XXX.  Jahrgang. 


Leipzig, 

Verlag  von  B.  G.  Teubner. 

1885- 


i)raok  Ton  B.  6.  Teabner  in  Dreidtn. 


Inhalt 


I.   Abhandlungen.  seit« 

Die  maihematiBchen  Instrumente  des  Brescianer  Grafen  Giambattista  Suardi. 

Von  Prof.  E.  Geloioh 1 

Die  Ferrari -Cardani'sche  Auflösung  der  reducirten  Gleichung  vierten  Grades. 

Von  K.  Hnnrath 41 

Die  von  Diophant  überlieferten  Methoden  der  Berechnung  irrationaler  Quadrat- 
wurzeln.   Von  W.  SchÖnbom .    81 

Ueber  das  quadratische  Eeciprocitätsgesetz.    Von  0.  Banmgart  ....    169,  241 

Programm  ftir  den  V.  Bressa'echen  Preis  der  Kgl  Akad.  d.  Wissensch.  zu  Turin    52 

•n.   Becensionen. 

Geschichte  der  Mathematik. 

Boaeompagxii,  Lettre  de  Gauss  ä,  Olbers  Von  K.  Gantor  .  .  21 
H-Hankel,  Die  Entwickelung  der  Mathematik  in  den  letzten  Jahrh.  Von  K.  Gantor  22 
Marie,  Histoire  des  sciences  math^matiques  et  physiques  IV  et  V.  Von  M.  Gantor  115 
VI.   Von  M.  Gantor.     .  182 

,  »y  ff  ff  ff  ff  ff  »  *•       »""    •"•  v«»*w*  .  w 

Oow,  A  Short  historv  of  Greek  mathematics.    Von  M.  Gantor i^i 

Hardy,  Der  Beg^riff  der  Physis  in  der  griechischen  Philosophie.    Von  M.  Gantor  127 

Dnpnis,  Le  nombre  g^om^trique  de  Piaton.    Von  M.  Gantor 128 

WitUtein,  Klaproth's  Schreiben  an  A.  v.  Humboldt  über  die  Erfindung  des  Com- 

passes.    Von  M.  Gantor 129 

7avaro,  Gli  scritti  inediti  di  Leonardo  da  Vinci.    Von  M.  Gantor 1*0 

Wohlwill,  Die  Entdeckung  des  Beharrungssesetzes.  Von.  M.  Gantor  ...  131 
Hnnrath,  Algebr.  Untersuchungen  nach  Tschimhausens  Methode.   Von  K.  Gantor  133 

Xiünmel,  Nesrolog  von  Christ.  Heinr.  v.  Nagel.    Von  M.  Gantor 134 

gehnbring,  Der  christliche  Kalender  alten  und  neuen  Stils.     Von  M.  Gantor .    .  135 

MiUlor,  Kalender- Tabellen.    Von  M.  Gantor ^.136 

Enofltröm,  Bibliotheca  Mathematica.    Von  K.  Gantor •     .  280 

Wie  studirt  man  Mathematik  und  Physik?    Von  M.  Gantor.    .......  146 

Arithmetik,  Algebra,  Analysis. 

Bansonborgor,  Theorie  der  ]>eriodi8chen  F unctionen  einer  Variabein.  Von  K.  V6thor  7 

Enlor  (Hasor),  Einleitung  in  die  Analysis  des  Unendlichen  I.    Von  M.  Gantor    .  23 

Sorrot  (Hamaek),  Differential-  und  Integralrechnung  L  Von  K.  Gantor  ...  28 
Bonsehle,   Graphisch- mechanische   Methode   zur  Auflösung   der  numerischen 

Gleichungen.    Von  K.  Gantor                           29 

Schobloch,  Ueber  Beta-  und  Gammafunctionen.    Von  K.  Gantor 80 

Hellwig,  Ueber  die  quadratischen  und  cubischen  Gleichungen.    Von  U.  Gantor  31 

Oalopin-Bchanb,  Theorie  des  approzimations  numäriques.     von  M.  Gantor         .  32 

Chrflnwald,  Saggio  di  aritmetica  non  decimale.    Von  K.  Gantor 38 

gohnrig,  Lehrbuch  der  Arithmetik  I     Von  K.  Sehwering 62 

Walboror,  Leitfaden  z.  Unterricht  in  der  Arithmetik  u.  Algebra.  Von  K.  Sehwering  64 
Xloin,  Vorlesungen  über  das  Ikosaeder  und  die  Auflösung  der  Gleichungen 

vom  fünften  Grade.    Von  L.  Soheeflbr 91 

SteiahanBor,  Die  Elemente  des  graphischen  Rechnens.  Von  7.  Kraft  ....  108 
Simon,  Die  Elemente  der  Arithmetik  als  Vorbereitung  auf  die  Functionen- 

theorie.    Von  M.  Gantor 111 

Sdinbert,  System  der  Arithmetik  und  Algebra.    Von  K.  Gantor 112 

Xaisor,  Die  Determinanten.    Von  M.  Gantor 113 

eietlng,  Neuer  Unterricht  in  der  Schnellrechen -Kunst.  Von  M.  Gantor  .  .  .113 
Konmann,  Vorlesungen  üb .Eiemann'sTheoried.Aber8chen  Integrale.  VonW.KilUng  136 
Bobek ,  Einleitung  in  die  Theorie  der  ellipt.  Functionen.    Von  0.  Bansenberger  140 

Benoift,  Tables  ae  logarithmes  ä  six  ddcimales.    Von  M.  Gantor 33 

Orovo,  Fünfstellige  logarithmische  und  trigonometrische  Tafeln.  Von  K.  Gantor  34 

Pramporo,  Saggio  di  Tavole  dei  logaritmi  quadratici.    Von  K.  Gantor ....  280 


IV  Inbalt. 


SynthetiBche,  analytische ,  deserlptlTe  Geometrie,  Geodftste.  8«ite 

ZÖppriti,  Leitfaden  der  Eartenentwurfslehre.    Von  L.  VenmanB 8 

KiUing,  Ueb.  die  nichteaklidischen  Raumformen  v.  n  Dimensionen.  Von  V.Sehldgel  13 
Milinowski,  Elementar  -  synthetische  Geometrie  der  gleichseitigen  Hyperbel,  von 

K  Sohwering 15 

Spieker,  Lehrbuch  der  ebenen  Geometrie.    Von  E.  Bchwering 18 

Dörholt,   Oeber   einem  Dreieck  um-  und  eingeschriebene  Kegelschnitte.    Von 

K.  Bchwering 2! 

Ginber,  Geometrische  Wahrscheinlichkeiten     Von  M.  Gantor 24 

Wens,  Die  mathematische  Geographie  in  Verlindung  mit  der  Landkartenpro- 

jection.    Von  P.  Zech 65 

Vogler,  Grundzüge  der  Ausgleichungsrechnung.    Von  B.  Kebel 56 

Hoch,  Lehrbuch  der  ebenen  Geometrie  I.    Von  K.  Sohwering 66 

Olinzer,  Lehrbuch  der  Elementar- Geometrie  F,  II,  III.     Von  K.  Sohwering    .     .  67 

Pesohka,  Darstellende  und  projective  Geometrie.  Von  C.  Sodenberg  ....  68 
Tilser,  Kritische  Bemerkungen  zur  Einführung  in  die  Anfangsgründe  der  Gäo- 

m^trie  descriptive.     Von  C.  Bodenberg 77 

Fiedler,  Darstellende  Geometrie  in  organischer  Verbindung  mit  der  Geometrie 

der  Lage  I.    Von  C.  Bodenberg 103 

Weyr,  Elemente  der  projectivischen  Geometrie  I.    Von  C.  Bodenberg  .         .    .  106 

Hammer,  Lehrbuch  der  ebenen  und  sphärischen  TriRonometrie.  Von  M.  Caator  110 
Krimpboff,  Zur  analytischen  Behandlung  der  ümhüllungscurTen.   VonK.  Caator  114 

Franke,  Die  Coordinatenausffleichung     Von  E  Hemmer 141 

Bdrseh,  Anleitung  zur  Berechnung  geodätischer  Coordinaten.    Von  E.  Hammer  142 

Hanck,  Mein  perspectivischer  Apparat.    Von  M.  Cantor 143 

,  Die  Grenzen  zwischen  Malerei  und  Plastik  und  die  Gesetze  des  Reliefs. 

Von  M.  Cantor 144 

Mechanik  nnd  Physik« 

Erwiderung  von  J.  Epping 91 

Wftllner,  Lehrbuch  der  Experimentalphysik  ü.    Von  P.  Zech 34 

Hellmann,  Repertorinm  der  deutschen  Meteorologie.     Von  P.  Zech    ....  35 

Finger,  Elemente  der  reinen  Mechanik.    Von  P.  Zeoh 36 

Baer,  Die  Function  des  parabolischen  Cylinders.    Von  F.  Zech 36 

Sperber,  Versuch  eines  allgem.  Gesetzes  über  die  specifische  Wärme.   Von  P.  Zech  37 

Tumlirs,  Die  elektromagnetische  Theorie  des  Licnts.    Von  P.  Zeoh 37 

Dippel,  Das  Mikroskop  und  seine  Anwendung.    Von  P.  Zech    .......  38 

Hnllmaon,  Der  Baum  und  seine  Erfüllung.     Von  F.  Zech 53 

Blatendorff,  Ueber  die  Beziehungen  zwischen  zwei  allgemeinen  Strahlensystemen 

Von  P.  Zech           53 

Fnschl,  Latente  Wärme  der  Dämpfe.    Von  F.  Zeeh  .    .         .........  54 

Helm,  Die  Elemente  der  Mechanik  und  mathematischen  Physik.    Von  F.  Zeoh .  54 

Fonrier  (Weinstein),  Analytische  Theorie  der  Wärme.     Von  F.  Zech 55 

Jansen,  Physikalische  Aufgaben.    Von  B.  Nebel ...  56 

Kohlransch,  Leitfaden  der  praktischen  Physik.     Von  B.  Hebel 56 

Stein,  Sonnenlicht  und  künstliche  Lichtquellen  für  wissenschaftliche  Untersuch- 
ungen zum  Zwecke  photographischer  Darstellung.    Von  B.  Hebel ...  57 
Streints,  Die  physikalischen  Grundlagen  der  Mechanik.    Von  B.  Hebel  .    .         .58 

Abendroth,  Leitfaden  der  Physik  1.    Von  B.  Hebel 59 

Krebs,  Die  Physik  im  Dienste  der  Wissenschaft,  der  Kunst  und  des  praktischen 

Lebens.    Von  B.  Hebel 60 

Tnmlirs,  Das  Potential  und  seine  Anwendung  zu  der  Erklärimg  der  elektrischen 

Erscheinungen.    Von  B.  Hobel 62 

Erwiderung  von  0.  Tomlin 121 

Weyranchy  Theorie  elastischer  Körper  u.  s.  w.     Von  A.  Kurs    . 142 

Erwiderung  von  J.  Weyranch 278 


Bibliograi)hie Seite  38,  78,  117,  146,  237,  281 

Mathematisches  Abhandlungsregister:  1 .  Januar  bis  30.  Juni  1884 149 

,,  „  1.  Juli  bis  31.  December  1884  .    .     .     .284 


Historisch -literarische  Abtheilung. 


Die  mathematischen  Instrumente  des  Bresoianer 
Grafen  Oiambattista  Suardi. 

Eine  bibliographisch-historische  Notiz 
von 

Prof.  Eugen  Gelcich, 

Director  der  nautischen  Schule  in  Luninpiocolo. 


Hierzu  Taf.  II  Fig.  2  — 7. 


Gelegentlich  der  Pflege  gewisser  nautisch -historischer  Studien  gelangt 
uns  ein  Werk  zu  Händen,  welches  unsere  Aufmerksamkeit  in  besonderen 
Anspruch  nahm  und  betitelt  ist:  Nuovi  istromenti  per  la  descrizione  di 
diverse  curve  antiche  e  moderne,  e  di  molte  altre  che  servir  possono  alla 
speculazione  de'  Geometri  ed  all  'uso  de'  Pratici.  Col  progetto  di  due  nuoye 
macchine  per  la  nautica  ed  una  per  la  meccanica,  e  con  alcune  osseryazioni 
sopra  de'poligoni  rettilinei  regolari.  Del  Conte  Oiambattista  Suardi. 
[n  Brescia  MDCCLII.  Obwohl  dieses  Werk  noch  durchaus  nicht  so  alt  ist, 
um  zu  vermuthen,  dass  selbes  so  äusserst  selten  sei,  so  überzeugten  wir 
uns  doch,  dass  Suardi  in  der  Geschichte  der  Mathematik  nur  zu  wenig 
bekannt  ist.  Seine  Versuche ,  verschiedene  Curven^attungen,  und  zwar  sowohl 
Curven  höherer  Ordnung,  als  auch  solche,  welche  in  das  transcendente 
Gebiet  fallen,  durch  mechanische  Instrumente  zu  construiren,  erscheinen 
uns  aber  um  so  beachtenswerther,  als  gerade  auch  in  neuester  Zeit  die 
Lösung  ähnlicher  Aufgaben  mehrere  Mathematiker  beschäftigte.  Wir  finden 
in  der  Geschichte  mehrfache  Erwähnung  von  den  Instrumenten,  die  zur 
Verzeichnung  der  Kegelschnittlinien  bestimmt  sind,  und  etwas  Weniges  über 
Werkzeuge,  durch  welche  alle  oder  mehrere  Fälle  einer  gewissen  Problem- 
gattung erledigt  werden  können.  Der  Schöpfer  der  letzteren  Methode  war, 
wie    Schanz*   und   mit  Bezug  auf  Letzteren  auch  Günther**  berichten, 


*  Schanz,   Der  Cardinal  Nicolaus  von  Cusa  als  Mathematiker.     Bottweil 
1872.     8.22. 

**  Dr.  S.  Günther,  Studien  zur  Geschichte  der  mathematischen  Geographie. 
Halle  1879.    S.  348. 

HiBt.-Ilt.  Abthlg.  d.  Zeitschr.  f.  Math.  n.  Phyt.  XXX,  1.  1 


Historisch -literarische  Abtheilung. 


Nicolaus  von  Cues.  In  letzterer  Zeit  sind  von  Emsmann  Transpor- 
teure mit  fest  aufgetragenen  Curven  dritter  und  höherer  Ordnung  zur 
Lösung  des  Problemes  der  Winkeltheilung  anempfohlen  worden;*  aber 
von  Versuchen,  die  sich  denjenigen  des  Grafen  Suardi  nähern  spricht  die 
Geschichte  der  Mathematik  fast  gar  nicht.  Was  schliesslich  die  Person  des 
Verfassers  anbelangt,  so  denken  wir,  dass  ihm  schon  aus  dem  Grunde 
eine  verdienstvolle  Stelle  unter  den  Erfindern  zugedacht  werden  muss,  als 
wenigstens  einer  seiner  Apparate  bei  verschiedenen  Maschinen  eine  schöne 
praktische  Anwendung  fand.  Unseres  Wissens  hat  es  doch  einen  Autor 
gegeben,  der  sich  bei  Verfassung  eines  grösseren  Werkes  bemüssigt  fiand, 
dem  Brescianer  besonderes  Lob  zu  spenden.  Es  war  dies  der  auf  dem 
Gebiete  der  Instrumentenkunde  sowohl  in  theoretischer,  als  in^technischer 
Hinsicht  verdienstvolle  Engländer  George  Adams,**  dessen  ürtheil  wir 
später  anzuführen  haben  werden. 

Zu  den  voranstehenden  Zeilen,  welche  den  nachfolgenden  Blättern  so 
zu  sagen  eine  gewisse  Existenzberechtigung  zu  verschaffen  haben,  möge 
noch  die  Bemerkung  dazu  gesellt  werden,  dass  das  Werk  Suardi*s  zwei 
Briefe  des  Jesuiten  B ose o vi ch  über  die  mathematischen  Eigenschaften  der 
Cartesischen  Ovalen  und  eine  Reihe  von  Untersuchungen  über  die  regel- 
mässigen Vielecke  enthält,  die  manches  Interessante  enthalten. 

Indem  wir  zur  Beschreibung  einiger  der  wichtigsten  Instrumente  von 
Suardi  übergehen,  bemerken  wir,  dass  die  durch  einfache  Linien  skizzirten 
Apparate  aller  technischen  Details  entblösst  erscheinen,  da  es  sich  hier 
nur  um  die  Erklärung  der  Principien  —  der  Theorie  der  Functionsweise  — 
handeln  kann.  Der  Techniker  und  Mechaniker,  der  nähere  Kenntnisse  über 
constructive  Details  verlangt,  muss  sich  wohl  das  Original  werk  verschaffen, 
welches  283  Gross  -  Quartseiten  mit  23  Tafeln  enthält  und  in  jeder  Hinsicht 
erschöpfende  Auseinandersetzungen  liefert. 

Zweifelsohne  ist  die  geometrische  Feder  das  wichtigste  der  In- 
strumente. Adams  äussert  sich  über  dieselbe  folgendermassen :  „Obschon 
verschiedene  Schriftsteller  der  Krümmungen  erwähnt  haben,  welche  ver- 
möge einer  zusammengesetzten  Bewegung  zweier  Zirkel  entstehen,  deren 
einer  sich  um  den  andern  rund  herum  bewegt,  so  scheint  doch  keiner 
diesen  Grundsatz  angewendet  und  in  Ausführung  gebracht  zu  haben,  als 
J.  B.  Suardi.  Seit  einiger  Zeit  ist  er  sehr  vortheilhaft  bei  der 
Dampfmaschine  von  den  Herren  Watt  und  Bolton  angewendet 
worden:  ein  Beweis  unter  vielen  anderen,  nicht  blos  in  Bück- 


•  a.  a.  0. 

**  Geometrische  und  graphische  Versuche  oder  Beschreibung  der  mathema- 
tischen Instrumente,  deren  man  sich  in  der  Geometrie,  der  Civil-  und  Militär- 
Vermessung  etc.  bedient.  Von  George  Adams.  Mathematischer  Instrumenten - 
macher  Sr.  Majestät  und  Opticus  Sr.  Eönigl.  Hoheit  des  Prinzen  von  Wales. 
Deutsch  von  J.  G.  Geissler.    Leipzig  1795. 


Die  mathemaÜBchen  Instrumente  des  Grafen  Q.  Suardi.  3 


sieht  der  Anwendbarkeit  dieser  Speculationen,  sondern  auch  in 
Bücksicht  der  Yortheile,  welche  die  höhere  Mathematik  in  den  Händen 
eines  sinnreichen  Mechanikers  gewährt.  Vielleicht  hat  es  noch  nie  ein  In- 
strument gegeben,  welches  so  verschiedene  Krümmungen  zeichnet,  als  eben 
die  geometrische  Feder;  der  Verfasser  erwähnt  deren  1273,  welche 
dadurch  in  einfacherer  Form,  und  vermöge  der  wenigen  Bäder,  die  dazu 
gehören,  beschrieben  werden  können/' 

Die  geometrische  Feder  hat  also  jene  Curven  zu  verzeichnen,  welche 
durch  die  zusammengesetzte  Bewegung  zweier  Zirkel  entstehen ,  deren  einer 
sich  um  den  andern  rund  herum  bewegt.  Unsere  Fig.  2  hat  die  Bestim- 
mung, dieses  Instrument  durch  einfache  Linien  erklärlich  zu  machen.* 

Man  denke  sich  eine  um  Q  drehbare  Alhidade  MN,  und  über  dem 
Mittelpunkte  Q  derselben  einen  fixen  Cjlinder  TZ.  Die  verticale  Axe  des 
Cylindeis  liegt  genau  über  dem  Drehungspunkt  der  Alhidade.  dm  sei  ein 
zweiter  beweglicher  Cjlinder,  welcher  bei  einer  eventuellen  Drehung  den 
Stift  S  mitnimmt.  Der  Cylinder  r  mit  dem  Stifte  S  sind  durch  den 
Schieber  nn  mit  einander  verbunden,  der  läogs  des  Ausschnittes  jry  der 
Alhidade  hin  und  her  verschoben  und  durch  die  Druckschraube  C  in  jeder 
beliebigen  Lage  fixirt  werden  kann.  Von  einem  Punkte  des  grösseren 
Cylinders  T  führt  eine  Schnur  Tm  zum  kleineren  Cjlinder,  die  mehrere 
Male  um  letzteren  gewickelt  und  endlich  an  denselben  befestigt  ist.  Dreht 
man  nun  die  Alhidade  MN  im  Kreise  herum,  so  beschreibt  der  Punkt  r 
den  Weg  2,  3,  4,  5,  6  etc.  Gleichzeitig  wickelt  sich  aber  der  Faden 
auf  die  Mantelfläche  des  Cjlinders  TZ  auf  und  von  der  Maiitelfläche  des 
Cjlinders  r  ab.  In  dem  Maasse  also  als  r  um  0  herumgeführt  wird,  beschreibt 
auch  der  Stift  S  eine  Curve,  deren  Form  und  Eigenschaften  durch  folgende 
Factoren  bestimmt  werden.  Erstens  durch  das  beliebig  einzustellende  Ver- 
hältniss  der  beiden  Halbmesser  Rr-.SS;  zweitens  durch  den  Halbmesser 
der  C jlinderbasis ;  drittens  durch  die  Lage  des  Fadens,  je  nachdem  dieser 
von  T  über  m  oder  über  d  um  den  kleineren  Cjlinder  gewickelt  wird. 
Man  sieht  ohne  Weiteres,  dass  die  Curven,  welche  damit  zu  verzeichnen 
sind,  bis  ins  Unendliche  wachsen  können.  Die  durch  Adams  angegebeen 
Zahl  bezieht  sich  somit  auf  ein  ganz  bestimmtes  Exemplar.  Bei  der  wirk- 
lichen Ausführung  des  Apparates  werden  Schnur  und  Cjlinder  besser  durch 
Zahnräder  ersetzt.  Man  hat  drei  der  letzteren,  indem  das  dritte  Zahnrad 
die  Verbindung  zwischen  Q  und  r  herstellt  Jeder  Leser  erkennt  sofort, 
dass  dieses  Princip  bei  zahlreichen  Instrumenten  jeder  Gattung  Verwendung 
findet,  so  bei  den  Dampfmaschinen,  bei  den  Planetarien,  bei  den  Dromo- 
skopen  von  Paugger  und  Garbich  etc.  etc. 


•  Einige  dieser  Curven  wurden  durch  den  P.  Caetel  mathematisch  unter- 
sucht. Traitä  50  ™e  de  Mathematique.  Des  Especes  des  Courbes  de  divers 
ordres.   Liv.  I. 


Historisch  -  literarische  Abtheilung. 


Einfach  wie  möglich  im  Princip  ist  ein  Apparat,  welcher  dieEonchoide 
des  Nicomedes  verzeichnet. 

AB  in  Fig.  3  ist  ein  Reissbrett,  worauf  sich  ein  Gestell  CDE'P 
senkrecht  darüber  aufgeschraubt  befindet.  DE\  GH  stellen  zwei  zum  Brett 
parallele  Etagen  vor,  welche  mit  einer  Furche  versehen  sind.  Ein  Ann 
NT±.  DE,  der  bei  N  einen  Stift  NO  ±NM  trägt,  kann  Iftngs  der  DE 
verschoben  und  in  jeder  beliebigen  Lage  durch  die  Druckschraube  M  fizirt 
werden.  Ein  zweiter  Arm  QS^  dessen  Armlängen  innerhalb  der  durch  die  Dimen- 
sionen des  ganzen  Apparates  gestatteten  Grenzen  beliebig  eingestellt  werden 
können,  greift  mit  einem  Stift  P  in  die  Furche  GH.  Die  Seite  QP  des 
Armes  enthält  ihrerseits  eine  zweite  Furche,  durchweiche  der  fixe  Stift  i^O 
hindurchgeht.  An  den  Enden  Q  und  S  befinden  sich  zwei  senkrechte 
Stifte  QR  und  SE,  Die  Function  des  Apparates  ist  einfach.»  Ist  NT 
durch  die  Schraube  M  senkrecht  auf  DE  unverrückbar  eingestellt,  so  bildet 
0  den  Pol  der  Curve.  Ist  0' m  die  Projection  der  NM,  n  die  Projection 
von  P,  (fE  die  Projection  von  QS,  so  bildet  mO'n  den  veränderlichen 
Polarwinkel,  n  E  die  constante  Länge  des  Badiusvectors  von  der  Leitlinie  bis 
zur  Curve.  Verschiebt  man  somit  den  Arm  QS  längs  der  HG,  so  beschreiben 
die  Stifte  E  und  R  zwei  Eonchoiden.  Mit  diesem  Instrument  können  auch  ver* 
schiedene  andere  Eonchoiden,  so  jene  mit  kreisförmige^ Basis,  entworfen  werden. 

Dieser  Maschine  ist  eine  andere  sehr  ähnlich,  welche  die  Logarith- 
mica  von  Neper  und  die  Trajectorie  von  Claudius  Perralto  zu 
verzeichnen  hat.  Die  Leitlinie  ist,  wie  früher,  ein  Parallelopipedon  mit  ein- 
geschnittener Furche.  Auf  diesem  bewegen  sich  zwei  Schieberlineale,  eines 
senkrecht  auf  die  Leitlinie  und  durch  eine  Druckschraube  feststellbar.  Das 
andere  hat  eine  Furche  und  gleitet  längs  eines  am  Parallelopipedon  ver- 
schiebbaren Pivots.  Diese  Maschine  wurde  jedoch  früher  schon  durch  den 
Marchese  Polen!  erfunden  und  Suardi  giebt  an,  nur  eine  Modification 
derselben  eingeführt  zu  haben. 

Die  Fig.  4  veranschaulicht  ein  Instrument,  womit  die  Cissoide  von 
Diocles  und  auch  die  Curven  von  Carrö  gezogen  werden.  Um  den  Mittel- 
punkt C  eines  gedachten  Ereises  LNPR  ist  eine  Eurbel  CR  drehbar.  An 
einen  Punkt  P  desselben  Ereises  ist]  die  Tangente  PD  angelegt,  welche 
aus  einer  Schiene  besteht.  Ein  aus  durchbrochenen  Linealen  gebildeter 
rechter  Winkel  ist  mit  dem  Scheitel  und  um  diesen  drehbar  in  P  befestigt; 
ein  zweiter,  ebenso  gebildeter  rechter  Winkel  gleitet  mit  einem  Pivot 
oder  Schieber  D  längs  der  Schiene  Px,  In  die  Furchen  der  PF  und  LD 
greift  der  Zapfen  Ä,  welcher  sich  am  beweglichen  Ende  der  Eurbel  CR 
befindet.  Das  Lineal  LD  erhält  eine  zweite  Führung  durch  das  Pivot  Z 
noch,  welches  in  die  Furche  des  ersteren  eingreift.  Endlich  kreuzen  sich 
die  Arme  Py,  DB  mit  ihren  Furchen  in  einem  (beweglichen)  Punkte  iV, 
der  den  Träger  eines  Stiftes  bildet.  Wird  nun  die  Eurbel  derart  gedreht, 
dass  RC  über  CP  falle,   so   hat  man   folgende  Stellung  des  Instrumentes. 


Die  mathematischen  Instrumente  des  Grafen  G.  Suardi. 


R  und  B  vereinigen  sich  in  P,  DB  ist  senkrecht  auf  ZP,  somit  bildet  DB 
die  Verlängerung  der  Tangente  Px.  Die  PF  deckt  sich  mit  der  Px  und 
die  Py  mit  der  PZ.  Der  Stift  M  liegt  über  P.  Dreht  man  die  Kurbel 
von  P  über  R  bis  Z,  so  öffnen  sich  die  Arme  PD  und  DB^  der  Schieber 
M  gleitet  längs  der  Py  (oder  D  B)  und  der  an  demselben  befestigte  Stift 
beschreibt  die  Cissoide.  Es  ist  in  der  That  immer  PM  =  BD,  somit  die 
Curve  Pa  M  eine  Cissoide ;  denn  da  flir  jede  Stellung  LP=:^LD  =  90®  ist  und 
der  Winkel  im  Halbkreis  LLRP  auch  90®  beträgt,  hat  man  auch  LPRD 
=  90®  und  daher  Z. />M  Z>  =  360  -  270  =  90®.  BP  MD  ist  somit  ein 
Parallelogramm,  ergo  immer  PM=iRD^  quod  erat  demonstrandum.  Nimmt 
man  vom  Instrument  LDB  und  Px  hinweg,  versetzt  man  den  Vertex  D 
nEU)h  R  und  giebt  man  den  Schenkeln  LD  und  DB  eine  Führung  in  L 
und  F,  bringt  man  endlich  auf  den  Arm  DL  einen  Stift  an  in  einer  Ent- 
fernung von  D=LP^  so  würde  letzterer  Stift  bei  der  Drehung  der  Kurbel 
die  Curve  von  Carrö*  beschreiben. 

Schon  der  P.  Milliet**  hatte  gemeint,  dass  die  mechanische  Construc- 
iion  der  Quadratrix  von  Dinostratus  leicht  ausfallen  müsse;  wie  man 
eine  solche  vornehmen  könnte,  hat  er  aber  nie  gezeigt.  Der  Lösung 
dieser,  bei  den  alten  Bestimmungen  des  Kreisumfanges  wichtigen  Curve 
widmet  Suardi  das  folgende  Instrument 

KAEN  ist  ein  Eahmen,  CD  eine  um  C  drehbare,  wieder  mit  einer 
Furche  versehene  Alhidade,  die  bei  C  einen  Quadranten  xCa  trägt.  PT 
ist  eine  ebenfalls  mit  einer  Furche  versehene,  parallel  zu  KN  oder  zo.  AE 
bewegliche  Querleiste ,  deren  Bewegung  durch  die  Hülse  TQ  eine  Führung 
längs  der  EN  erhält.  (Fig.  5.)  An  dem  Punkte  x  ist  eine  Schnur  be~ 
festigt,  welche  bei  y  um  eine  Bolle  geführt  wird  und  an  dem  Ohr  b  der 
Hülse  TQ  das  zweite  5t>i-Ende  hat.  Die  Dimensionen  sind  derart  gehalten, 
dass  wenn  CD  mit  KA  übereinfällt,  PT  in  M den  Quadranten  (7MFtangirt. 
Erfasst  man  die  Alhidade  bei  D  und  dreht  man  sie  von  M  bis  V  herunter, 
so  zieht  die  Schnur  die  Querleiste  von  M  bis  C  herab.  Dann  beschreibt 
ein  Stift  Ä?,  der  sich  im  Kreuzungspunkte  der  Furchen  CD  und  /^J befindet, 
die  Quadratrix.  Selbstverständlich  liegt  S  in  M,  wenn  die  CD  mit  der  CM 
übereinfallen. 

Interessant  sind  die  Curven ,  welche  durch  den  folgenden  Apparat  ge- 
zeichnet werden,  da  sie  zu  Formen  fahren,  nach  welchen  in  der  Natur 
die  Blätter  der  Pflanzen  gezeichnet  zu  sein  scheinen.  Da  diese  Curven 
keinen  besonderen  Namen  erhielten,  so  wollen  wir  kurz  angeben,  wie  sie 
entstehen.  Man  nehme  in  Zirkelöffnung  einen  beliebigen  Bogen  F,  (Fig.  6) 
und  trage  denselben  von  V  gegen  A  und  von  M  gegen  A  einige  Male  auf. 
Man  erhält  die  Punkte  1,  2,  3  und  beziehungsweise  i/,  /,  G.     Führt  man 


*  M^moirea  de  rAcademie.    1705.    S.  66. 
**  Lib.  II.    De  indivi»ib.  prop.  1.    Descriptio  lineae  Quadratricis, 


6  Historisch -literarische  Abtheilong. 

die  Radien  Ol,  02,  0  3  and  die  Sehnen  Fp,  VI  VII,  so  sind  die  Durch- 
schnittspunkte  V,  a^  b^  0  Punkte  der  fraglichen  Corven.  Nennt  man  den 
Halbmesser  des  Kreises  a,  nnd  legt  man  ein  senkrechtes  Coordinatensystem 
mit  dem  Ursprung  im  Mittelpunkte  des  Kreises  und  zwar  derart  an,  dass 
die  0  F  die  Abscissenaxe  werde,  so  ist  die  Gleichung  dieser  Curve: 

^        yx^  —  2aa?*  H-  a'^x 

In  Fig.  7  haben  wir  ein  Instrument  zu  ihrer  Erzeugung.  AB  ist  ein 
Bing,  welcher  auf  die  Papierebene  gelegt  und  unveränderlich  darauf  festge- 
halten wird.  Die  innere  Peripherie  desselben  enthält  einen  zweiten  beweg- 
lichen Bing  Vndm,  der  mit  einem  Halbmesser  mn  versehen  ist.  Halbmesser 
und  Bing  tragen  eine  Furche  und  diejenige  des  letzteren  {xyz)  ist  der 
Träger  eines  in  jeder  Lage  durch  eine  Stellschraube  fixirbaren  Schiebers  d. 
Eine  Alhidade  VD  kann  durch  einen  Haken  nach  Belieben  in  F  an  den 
festen  Bing  eingehakt  oder  wieder  von  demselben  entfernt  werden.  Die 
Alhidade  hat  eine  Längenfurche;  im  Kreuzungspunkte  S  befindet  sich,  wie 
fast  bei  allen  diesen  Instrumenten,  der  gewöhnliche  Stift  Der  Schieber  d 
und  ein  an  demselben  angebrachtes  Pivot  dienen  der  Alhidade  als  Führung. 
Stellt  man  den  beweglichen  Bing  und  die  Alhidade  (letztere  vermöge  der 
Führung  d)  derart  ein,  dass,  wenn  VM  einen  Halbmesser  des  fixen  Binges  AB 
vorstellt,  Centi'iwinkel  Fz  =  Centriwinkel  MD  gleich  sei,  und  fährt  man 
um  den  beweglichen  Bing  im  Kreise  herum,  so  beschreibt  der  Stift  S  die 
fragliche  Curve. 

Wir  unterlassen  die  Beschreibung  eines  weiteren  Apparates  zur  Be- 
schreibung der  Cykloiden,  da  die  vorangeführten  Instrumente  im  Allgemeinen 
die  Charakteristik  der  Erfindungen  Suardi^s  zur  OenUge  bezeichnen.  Origi- 
neller ist  erst  sein  Compasso  loxodromico,  ein  Apparat,  womit  die 
Loxodrome  auf  der  Kugel  und  ihre  stereographische  Polarprojection,  die 
logarithmische  Spirale,  erzeugt  werden  können.  Da  aber  dasselbe  zu  den 
nautischen  Diagramm  -  Instrumenten  oder  zu  den  nautischen  Rechenmaschinen 
gezählt  werden  kann,  die  wir  in  der  Central -Zeitung  für  Optik  und  Me- 
chanik Nr.  21,  Jahrg.  1884  beschrieben  haben,  so  unterlassen  wir,  das  dort 
Gesagte  hier  noch  zu  wiederholen. 


Recensionen. 


Lehrbnoli  der  Theorie  der  periodischen  Functionen  einer  Variabeln  mit 
einer  endlichen  Anzahl  wesentlicher  Discontinnitfttspnnkte,  nebst 
einer  Einleitung  in  die  allgemeine  Fnnctionentheorie.    Von  Dr. 
Otto  Rausenbergbr.     Mit  in  den  Text  gedruckten  Figuren.    8^. 
Vin  u.  476  S.     Leipzig,  B.  G.  Teubner.    1884. 
Ein  gutes  Buch  zur  richtigen  Zeit!     Gerade  jetzt,  wo  die  Theorie  der 
transcendenten  eindeutigen  Functionen  durch  Weierstrass  neu  gegründet 
ist  und  insbesondere  die  Functionen  mit  linearen  Transformationen  in  sich, 
von  verschiedenen  Seiten  her  behandelt,  zu  einem  der  wichtigsten  Capitel 
der  neueren  Analysis  sich  gestalten,  ist  eine  geschlossene,  von  den  Ele- 
menten  ausgehende    erste   Einleitung  in    dieses   ganze   Begriffssystem   für 
den   Studirenden  nothwendig  geworden,    und  eine  solche   bietet   das  vor- 
liegende Werk. 

Der  Verfasser  versteht  unter  „periodischer"  Function  eine  Function, 
welche  bei  eindeutiger,  insbesondere  linearer  Substitution  für  das  Argument 
sich  nicht  ändert,  und  behandelt  hauptsächlich  die  Exponentialfunction 
und  die  einfach  multiplicativ  -  periodischen  Functionen ,  aus  welch'  letzteren 
die  doppelt  additiv -periodischen  Functionen  mit  einem  wesentlich  singulftren 
Punkt,  die  elliptischen  Functionen,  durch  einfache  Umgestaltung  des  Argu- 
ments hervorgehen. 

Der  Ausgangspunkt  ist  die  Weierstrass 'sehe  Definition  der  analy- 
tischen Function  durch  die  Potenzreihe;  und  die  Darlegungen  gehen  einfach 
und  systematisch  durch  die  Haupttheile  der  Analysis  hindurch  bis  zu  den 
eben  genannten  Functionen  hin,  während  alle  weiteren  Betrachtungen  der 
Fnnctionentheorie,  insbesondere  die  Integration  im  complexen  Gebiete,  bei 
Seite  gelassen  werden. 

In  der  Behandlung  der  elliptischen  Functionen  selbst  schliesst  sich 
der  Verfasser  mehrfach  ziemlich  eng  an  die  Königsberger'schen  „Vor- 
lesungen"' an.  Deren  Auffassung  als  Function  des  Moduls,  die  Theorie 
der  elliptischen  „  Modulf unctionen*'  und  überhaupt  der  Functionen  mit 
mehreren  nicht  vertauschbaren  Transformationen  in  sich  und  mit  unend- 
lich vielen  wesentlich  singulären  Stellen,  worüber  in  diesem  Buche  nur 
erst  kurze  Andeutungen  gemacht  werden,  scheint  der  Verfasser  sich  auf 
eine  Fortsetzung  des  Werkes  vorbehalten  zu  wollen«  Dann  werden  hoffent- 
lich auch  die  interessantesten  Theile  dieser  Theorien,  der  Zusanmienhang 


8  Historisch -literarische  Abtheilung. 

der  Transcendenten  mit  der  Theorie  der  linearen  Differentialgleichangen 
zweiter  Ordnung  —  zu  dessen  völliger  Elarlegung  freilich  die  Integration 
im  complexen  Gebiete  unerlftsslich  wird  — ,  die  zugehörigen  geometrischen 
Qebietseintheilungen  etc.,  zur  Geltung  kommen. 

Zu  dem  Vorzüge  des  Buches ,  bei  begrenztem  Thema  eine  geschlossene 
Einleitung  in  wichtige  Capitel  der  neueren  Analysis  zu  liefern,  kommt  der 
weitere,  dass  die  Darstellung  überall  klar  und  correct  gehalten  ist.  Nur 
mit  der  Einleitung  über  den  Zahlenbegriff  und  die  Bechnungsoperationen 
ist  Referent  nicht  einverstanden;  denn  auch  die  algebraische  Grund- 
legung erfordert  es  nicht,  dass  die  Einführung  der  irrationalen  Zahlen  vor 
Einführung  ins  Unendliche  fortgesetzter  Operationen  vorgenommen  und  auf 
die  ümkehrung  algebraischer  Gleichungen,  diese  aber  auf  die  Anschauung 
gegründet  wird. 

Erlangen,   im  September  1884.  M.  Noether. 


Leitfaden   der   Kartenentwnrfslelire   für    Studirende   der   Erdkunde   und 
deren   Lehrer,   bearbeitet  von   Dr.  Karl  Zöppritz,    ord.  Professor 
der  Erdkunde  an  der  Universität  zu  Königsberg  i.  Pr.    Mit  Figuren 
im  Text  und  einer  lithographischen  Tafel.     (VIII  u.  162  S.)  gr.  8^ 
geh.  n.  Mk.  4.40.    Leipzig  1884,  B.  G.  Teubner. 
Das   vorliegende  Buch  ist  laut  seinem  Vorworte  dem  Bedürfhiss  des 
(Jniversitätsunterrichts    entsprungen.     Es  will  die  Eenntniss  der  geometri- 
schen Methoden,  auf  denen  der  Kartenentwurf  beruht,  und  einen  gewissen 
Grad  von  üebung  in  der  Handhabung  derselben  vermitteln,  soweit  er  für 
jeden  unerlässUch  ist,  der  Karten  mit  Nutzen  gebrauchen  und   Geographie 
nicht  blos   dilettantisch  betreiben    will.     Es    stellt    unter  Verzichtleistung 
auf  eingehendere  Rechnung  die  elementar -geometrische  Construction  durch- 
aus in  den  Vordergrund. 

Der  erste  Abschnitt  über  Ortsbestimmung  beschränkt  sich  auf  das  für 
die  Zwecke  der  Karthographie  Nöthige  und  Unentbehrliche,  zeichnet  sich 
durch  grosse  Klarheit  und  Präcision  aus  und  behandelt  auf  nur  20  Seiten 
der  Reihe  nach  die  Hauptmomente  der  geometrischen,  astronomischen  und 
graphischen  Ortsbestimmung.  Der  folgende  grössere  Abschnitt  „Netzent- 
wurfslehre" giebt  zunächst  den  Begriff  der  Abbildung  im  Allgemeinen  und 
geht  dann  sofort  auf  die  Abbildung  der  Erde  auf  die  Ebene  ein,  wobei  es 
sich  etwas  befremdend  ansieht,  die  Erde  so  gut  wie  immer  als  Kugel  in 
Betracht  gezogen  zu  finden,  nachdem  kurz  zuvor  wörtlich  gesagt  worden 
isty  es  solle  im  vorliegenden  Werk  mit  der  bisher  fast  ausnahmslos  be- 
obachteten und  im  Elementarunterricht  auch  nicht  wohl  zu  umgehenden 
Praxis,  dass  man  anfangs  die  Meridiane  zwischen  Aequator  und  Pol  in 
gleiche  Theile  (Grade)  eintheilt,  um  in  einem  späteren  Abschnitt  zu  lernen, 


Recensionen.  9 


dasB  diese  Theile  ungleich  sind,  gründlich  gebrochen,  d.  h.  von  vornherein 
darauf  verzichtet  werden,  die  Erde  als  Kugel  zu  betrachten. 

Vielfach  wird  auf  Tissot's  epochemachendes  Werk:  M6moir '  sur  la 
repr6sentation  des  surfaces  et  les  projections  des  cartes  g^ographiques, 
Paris,  Gauthier-VillarSi  1881,  hingewiesen,  die  Tissot'sche  Terminologie 
wird  neben  der  sonst  gebräuchlichen  eingeführt,  und  nach  den  drei  wich- 
tigsten Anforderungen,  die  man  an  eine  Abbildung  stellen  kann,  werden 
die  Gruppen  der  winkeltreuen,  flächentreuen  und  mittelabstandstreuen  (con- 
formen,  äquivalenten  und  äquidistanteu)  Abbildungen  unterschieden. 

Diesen  Hauptprincipien  der  Projectionslehre  gegenüber  charakterisirt 
sich  die  ganze  Stellung  des  Buches  durch  die  Worte  (S.  26):  „Vom  mathe- 
matischen Gesichtspunkte  aus  betrachtet,  liefert  die  Winkeltreue  die  interes- 
santesten Abbildungsprobleme.  Für  die  praktische  Kartographie  ist  aber 
die  Flächentreue  weit  wichtiger ,  weil  geographische  Vergleiche  zunächst  an 
Erscheinungen  anknüpfen,  die  über  flächenhaft  ausgedehnte  Gebiete  ihre 
Gleichartigkeit  oder  Verschiedenheit  offenbaren,  und  weil  das  Planimeter 
in  der  Hand  der  Geographen  ein  Instrument  von  zunehmender  Wichtigkeit 
ist/^  Von  diesem  leitenden  Gedanken  ausgehend  sind  nun  auf  S.  31 — 102 
die  wichtigsten  Abbild ungsarten  behandelt,  erst  die  azimutalen  oder  zeni- 
talen,  nämlich  von  den  perspectivischen  die  gnomonische,  orthographische, 
sterographische  und  externe;  von  nicht  perspectivischen  PosteTs  mittel- 
abstands'  und  Lambert 's  flächentreue  Azimutalprojection,  sowie  die  ge- 
wöhnliche und  Nell's  modificirte  Globularprojection.  Hieran  reihen  sich  die 
Abbildungen  auf  abwickelbaren  Flächen  und  zwar  zunächst  auf  einen  Cylin- 
der.  Wir  finden  behandelt  die  Plattkarten,  die  Cassini- Soldner'sche, 
die  flächentreue,  die  Mercator'sche  und  die  Centralprojection  auf  den 
Cylinder,  die  Sanson-Flamsteed'sche  und  Moll  weide's  homalogra- 
phische  Projection.  An  echten  Kegelprojectionen  finden  sich  die  gewöhnliche 
äquidistante ,  diejenige  von  De  l'Isle,  die  flächen-  und  winkeltreue;  an 
unechten  die  Bonne 'sehe,  die  gewöhnliche  und  die  orthogonale  polykonische, 
endlich  die  preussische  Polyederprojection. 

Bei  allen  zur  Besprechung  kommenden  Abbildungsarten  ist  auf  ihre 
Vorzüge  und  Mängel  hingewiesen,  und  es  wird  ihre  Verwendbarkeit  oder 
NichtVerwendbarkeit  für  bestimmte  Zwecke  hervorgehoben.  Getreu  dem 
Programm  des  Buches  tritt  die  geometrische  Construction  durchaus  in  den 
Vordergrund  und  es  ist  auf  Entfaltung  des  mathematischen  Apparates  so- 
viel als  irgend  möglich  verzichtet.  Dieses  Fehlen  mathematischer  Entwicke- 
lungen  macht  sich  aber  da  und  dort  recht  empfindlich  wahrnehmbar,  z.B., 
um  nur  eines  hervorzuheben,  bei  der  M er cator- Projection.  Von  ihr  wird 
einfach  gesagt,  sie  sei  winkeltreu ,  und  man  finde  den  Abstand  y  des  /5**° 
Parallelkreises  vom  Aequator  nach  der  Formel:  • 


10  Historisch -literarische  AbtheiluDg. 

Die  Bedeutung  dieser  yielgebrauchten  Abbildungsart  wird  sodann  fDr 
die  Darstellung  physikalischer  Verhältnisse  auf  der  (fast)  ganzen  Erdober- 
fläche Snd  fdr  die  Schifffahrt  charakterisirt,  wobei  auch  kurz  der  Loxo- 
drome  Erwähnung  geschieht.  Hier  hätte  nun  ganz  entschieden  mehr  ge- 
sagt werden  müssen.  Eine  elementare  Ableitung  der  obigen  Oleichung, 
ausgehend  Yon  der  Definition  der  Loxodrome,  wie  sie  z.B.  in  Qretschers 
vorzüglichem  Lehrbuch  der  Kartenprojection  S.  114 — 120  gegeben  wird, 
nebst  einem  Hinweis  auf  Mercator's  eigene  Erklärung  seines  Abbildungs- 
principe  (Gradus  latitudinum  versus  utrumque  polum  auximus  pro  incre- 
mento  parallelorum  supra  rationem«  quam  habent  ad  aequinoctialem)  wäre 
für  einen  üniversitätsstudenten,  bei  dem  man  Gymnasial-  oder  Bealschul- 
reife  voraussetzt,  nicht  zu  hoch  und  gewiss  anregender  gewesen,  als  eine 
Gleichung,  die  ohne  Ableitung  ganz  absolut  hingestellt  wird.  Auch  das 
Maass  der  Flächenvergrösserung  und  die  Eigenschaft  der  Winkeltreue  der 
vorliegenden  Abbildung  hätte  sich  leicht  entwickeln  lassen. 

Dieses  Beispiel  statt  mehrerer.  Wenn  auch  GretscheTs  treffliches 
Buch  mit  seiner  reichen  Entfaltung  mathematischer  Hilfsmittel  manchem 
Studirenden  vielleicht  etwas  zu  schwer  erscheinen  durfte,  so  ist  es  eben  f&r 
den  mathematisch  einigermassen  Vorgebildeten  bezüglich  der  eigentlichen 
Projectionslehre  doch  ganz  anders  als  das  Zöppritz'sche  geeignet,  zum 
Studium  der  theoretischen  Eartenentwurfslehre  anzuregen  und  dasselbe  za 
vertiefen.  Ja,  selbst  Steinhauser 's  „Grundzüge  der  mathematischen  Greo- 
graphie  und  Landkartenprojection^'  scheinen,  wenn  denn  doch  einmal  wahr- 
haft elementar  vorgegangen  werden  soll,  den  Zweck,  die  geometrischen 
Methoden  der  Kartenentwurfslehre  zu  entwickeln  und  dem  Studirenden 
einen  gewissen  Grad  von  üebung  in  ihrer  Handhabung  zu  verschaffen,  ebenso 
gut  zu  erreichen,  als  das  Zöppritz'sche  Buch,  bei  dessen  Literaturver- 
zeichniss  nebenbei  bemerkt  auch  das  verdienstvolle  „  Lehrbuch  der  wichtig- 
sten Kartenprojectionen  von  0.  Möllinger,  Zürich  1882"  Erwähnung 
verdient  hätte,  besonders  wegen  seiner  eingehenden  Vergleichung  zwischen 
der  stereographischen  und  Bonne 'sehen  Abbildungsweise  und  seiner  aus- 
führlichen Behandlung  der  Mercator-Projection  und  der  auf  dieselbe 
bezüglichen  Constructionsaufgaben  aus  der  Schifi^ahrtskunde. 

Bedeutend  werthvoller,  als  die  Darstellung  der  einzelnen  Abbildungs- 
arten, erscheint  der  Abschnitt  mit  dem  Titel:  „Die  Projectionen  geringster 
Verzerrung",  der  eine  Eeihe  von  allgemeinen  Sätzen  über  Deformation 
überhaupt  und  eine  Auswahl  von  Projectionen  geringster  Verzerrung  fftr 
bestimmte  Zwecke  enthält.  Dieser  Abschnitt  schliesst  sich  an  das  schon 
erwähnte  Tisso tische  Werk  an,  in  welchem,  ausgehend  von  dem  Satze, 
dass  einem  System  orthogonaler  Curvenschaaren  der  einen  Fläche  im  All- 
gemeinen nur  ein  einziges  ebensolches  System  auf  der  andern  Fläche  ent- 
spricht, als  Maass  der  Verzerrung  an  jedem  Punkt  der  Karte  eine  Indicatrix 
genannte  Ellipse  eingeführt  wird,  deren  Axenverhftltniss  sowohl   in  Bezug 


Becensionen.  11 


auf  die  Länge  als  die  Winkel  den  Maassstab  für  die  Grösse  der  Verzerrung 
abgiebt.  Einige  kleine  Tabellen  stellen  je  nach  den  an  die  Karte  gestellten 
Anforderungen  die  Fehler  derselben  für  einzelne  verglichene  Projections- 
arten  zusammen,  bei  welcher  Vergleichung  mit  vollem  Eecht  wiederholt 
auf  die  bedeutenden  Mängel  der  von  den  Kartographen  so  oft  angewandten 
Bonne'schen  Projection  hingewiesen  wird,  die  endlich  einmal  aus  unseren 
Kartenwerken  verschwinden  sollte. 

Befremdend  bei  diesem  an  sich  werthvollen  Theil  des  Buches  ist 
zweierlei.  Einmal  die  auffallende  Bevorzugung  der  fiächentreuen  Abbildung 
vor  der  winkeltreuen,  die,  wie  schon  erwähnt,  gleich  zu  Anfang  des  Buches 
gewissermassen  als  eine  Art  von  Programm  desselben  hingestellt  wird. 
Nun  hat  aber  die  Winkeltreue  nicht  nur  deshalb  Bedeutung,  weil  sie  dem 
Mathematiker  die  interessantesten  Abbildungsprobleme  bietet;  vielmehr  ist 
sie  genau  betrachtet  diejenige  Forderung,  die  einer  kartographischen  Dar- 
stellung gar  nie  erlassen  werden  darf.  Es  sollten,  wenn  anders  die  Karten- 
zeichner ihre  Aufgabe  richtig  erfassen  wollen,  nur  noch  winkeltreue  Abbil- 
dungen geschaffen  werden,  und  das  aus  dem  einfachen  Orunde,  weil  die 
erste  und  Hauptforderung  an  jede  Karte  die  ist,  dass  sie  ein  möglichst 
treues  Bild  des  dargestellten  Erdraumes  gebe.  Dem  wird  aber  nur  genügt 
durch  die  Winkeltreue  im  Einzelnen,  wobei  man  sich  durch  etwaige  Ver- 
zerrungen der  Contouren  im  Grossen  und  zu  starke  Krümmung  der  kürzesten 
Linien  nicht  abschrecken  zu  lassen  braucht,  da  diesen  beiden  Mängeln,  wie 
sofort  gezeigt  werden  soll,  abgeholfen  werden  kann.  Die  Flächentreue  hat 
dem  gegenüber  in  den  Hintergrund  zu  treten ;  denn  was  nützt  es ,  den  Ver- 
breitungsbezirk irgend  einer  physikalischen  Erscheinung  auf  der  Erde  flächen- 
treu abgebildet  zu  sehen,  wenn  dabei  jeder  einzelne  Winkel  verzerrt,  also 
das  ganze  Bild  durchaus  entstellt  ist?  Dass  femer  die  flächen  treue  Abbil- 
dung wegen  ihrer  Verwendbarkeit  zur  Flächenberechnung  mittels  des 
Planimeters  unentbehrlich  sei,  scheint  durchaus  unstichhaltig.  Beim  Karten- 
maassstab derjenigen  Länder,  bei  denen  der  Flächeninhalt  nur  mit  dem 
Planimeter  bestimmbar  erscheint,  kann  das  Resultat  doch  nur  höchst  un- 
genau ausfallen;  bei  den  Ländern  aber,  über  die  wir  Karten  in  grossem 
Maassstabe  besitzen,  liegen  auch  directe  Lihaltsmessungen  vor,  so  dass  in 
beiden  Fällen  das  Planimeter  entbehrt  werden  kann. 

Was  weiter  an  dem  genannten  Abschnitt  tadelnswerth  erscheint,  ist 
das  vollständige  Ignoriren  zweier  schon  seit  längerer  Zeit  veröffentlichten 
hierher  gehörigen  Arbeiten  von  Fr.  Eisenlohr.*'  Die  erste  derselben 
leitet  mathematisch  ab,  dass,  wenn  man  bei  conformer  Abbildung  alle 
Kartenpunkte  gleichen  Maassstabes  durch    sogenannte    isometrische    Linien 


*  1.  Ueber  Flächenabbild ang.  Journal  für  reine  und  angewandte  Mathematik. 
Bd.  72  S.  143  ägg,  2.  üeber  Kartenprojection.  Zeitschrift  der  Gesellschafl  für 
Erdkunde  zu  Berlin,  Bd.  10  S.  305  ügg. 


12  Historisch -literarische  Abtheilung. 

verbunden  hat,  die  auf  diesen  senkrecht  stehenden  geodätischen  Linien 
keine,  die  ihnen  parallelen  aber  die  grösste  Krümmung  erleiden.  Dieser 
Krümmungswerth  der  geodätischen  Linien  empfiehlt  sich  daher  als  sehr 
geeignetes  Maass  des  Kartenfehlers  in  jedem  Punkt,  und  es  ergiebt  sich 
nun  ferner,  dass  dieser  Fehler  im  Innern  der  Karte  am  kleinsten  wird, 
wenn  die  Vergrösserung  auf  dem  Bande  derselben  einen  constanten  Werth 
annimmt,  d.  h.  wenn  die  Begrenzung  der  Karte  mit  einer  isometrischen 
Linie  zusammenfällt.  Für  den  Aequator  als  Begrenzungscurve  erhält  man 
die  stereographische,  für  zwei  gleichweit  vom  Aequator  abstehende  Paral- 
lelkreise die  Mercator-Projection  als  Specialfall.  Für  zwei  Meridiane  als 
Begrenzungscurven  löst  Eisenlohr  die  Aufgabe  neu.  Die  zweite  Abhand- 
lung behandelt  unter  Verzicht  auf  die  mathematische  Ableitung  die  Bedeu- 
tung der  conformen  Abbildung  überhaupt  und  die  oben  dargestellten  Resul- 
tate im  Besonderen.  Sodann  giebt  sie  eine  Tabelle  für  das  Gradnetz  der 
ganzen  Erdoberfläche  von  10  zu  10  Grad>  und  führt  weiter  aus,  dass  der 
Netzentwurf  eine  wesentliche  Erleichterung  durch  die  Beschränkung  erfährt, 
dass  jeder  Meridian  und  Parallelkreis  als  Kreis  abgebildet  werden  und  dass 
man  unter  den  noch  möglichen  Abbildungsarten  diejenige  auswählen  soll,  bei 
welcher  eine  isometrische  Linie  annähernd  mit  der  Begrenzung  überein- 
stimmt. Am  Schlüsse  folgen  Tabellen  für  verschiedene  Kartenmittelpunkte 
bei  verschiedener  Breite,  z.  B.  auch  für  die  Karten  von  Asien  und  Amerika. 
Um  es  nochmals  zu  wiederholen,  die  auffällige  Zurücksetzung  der  winkel- 
treuen Abbildung  vor  der  flächentreuen  und  die  Nichtbeachtung  der  citirten 
Eisenlohr 'sehen  Arbeiten,  die  sicherlich  höchst  bedeutend  für  die  wahr- 
haft wissenschaftliche  Grundlage  der  Kartographie  sind,  und  die  darum  in 
einem  für  den  Studirenden  der  Erdkunde  bestimmten  Werke  über  Karten- 
entwurfslehre eine  eingehende  Darstellung  durchaus  verdienen,  berührt  bei  der 
Lecture  des  Zöppritz'schen  Buches  störend.  Diesem  Vorwurf  gegenüber  ist 
aber  zu  constatiren,  dass  der  folgende  Abschnitt  „Topographie"  sehr  zweck- 
mässig und  lehrreich  ist  und  Alles  bietet,  was  billigerweise  verlangt  werden 
kann.  Nach  den  Vorbildern  von  Neumajer  und  Kaltbrunn  er  ist  es 
nicht  ganz  leicht  gewesen,  die  zur  Behandlung  kommenden  Fragen  auf 
originelle  Art  zu  bearbeiten.  Allein  die  Paragraphen  über  Boutenconstruc- 
tion,  die  Anleitung  zum  Zeichnen,  zum  Beduciren  der  Maassstäbe  u.  s.  f. 
sind  geradezu  vorzüglich.  Dasselbe  gilt  von  der  Behandlungsweise  der 
Terrainlehre.  Der  Anhang,  welcher  einige  Grundregeln  für  das  Zeichnen 
mit  Lineal  und  Zirkel' giebt,  wird  manchem  in  solchen  Dingen  weniger 
Geübten  willkommen  sein.  So  bietet  demnach  unser  Werk  im  Ganzen  des 
Guten  sehr  viel.  Bei  einer  hoffentlich  recht  bald  nöthig  fallenden  Neu- 
auflage wäre  nur  zu  wünschen,  dass  obigen  Ausstellungen  einigermassen 
Bechnung  getragen  würde ,  dass  also  die  mathematischen  Partien  mehr  dem 
Stand  der  üniversitätsstudenten  angepasst  und  dass  die  winkeltreuen  Abbil- 
dungsarten mehr  in  das  ihnen  gebührende  Becht  eingesetzt  würden.  —  Die 


Becensionen.  13 

Ausstattung  ist,   wie  bei  der  berühmten  Verlagsbuchhandlung  nicht  anders 
erwartet  werden  kann,  mustergiltig. 

Heidelberg.  Prof.  Dr.  Lüdw.  Nbumann. 


lieber  die  nichteuklidischen  Raumformen  von  n  Dimensionen.  Fest- 
gabe für  das  Briloner  Gymnasium  zum  23.  Oetober  1883  von  Dr. 
Wilhelm  Killing.     Braunsberg  1883,  Huye's  Buchhandlung. 

Bereits  seit  längerer  Zeit  beschäftigt  sich  Herr  Killing  erfolgreich 
mit  der  Ausbildung  der  Theorie  nichteuklidischer  Baumformen.  Charak- 
teristisch für  seine  Untersuchungen  ist  die  ausgiebige  Verwendung  geo- 
metrischer Betrachtungsweisen  im  Gegensatz  zu  der  ausschliesslich  analy- 
tischen Behandlung  desselben  Gegenstandes  von  Seiten  anderer  Autoren. 
Hierdurch  ist  es  Herrn  Eilling  in  mehreren  Fällen  möglich  geworden, 
ungenaue  oder  fehlerhafte  Resultate  früherer  Forscher  richtig  zu  stellen. 
Es  sei  namentlich  erinnert  an  die  von  ihm  gegebene  Unterscheidung 
zwischen  der  Bie  mann 'sehen  Baum  form  und  ihrer  Polarform,  an  den  Nach- 
weis, dass  diese  beiden  die  einzigen  constant  positiv  gekrümmten  Baum- 
formen sind,  und  dass  für  das  reale  Gebiet  (in  unserem  Denken!)  ausser 
ihnen  nur  noch  die  Euklidische  und  Lobatschewsky 'sehe  existiren ,  ferner 
auf  die  Verwendung  der  vom  Verfasser  als  We  i er strass'sche  eingeführten 
Coordinaten  zu  analytischen  Untersuchungen. 

Während  diese  früheren  Arbeiten  des  Verfassers  sich  auf  die  Gebiete 
von  zwei  und  drei  Dimensionen  beschränken,  giebt  er  in  der  vorliegenden 
Abhandlung  eine  Velrallgemeinerung  verschiedener  Besultate  der  nichteukli- 
dischen Geometrie  fCUr  das  n  -  dimensionale  Gebiet.  Veranlassung  zu  diesen 
Untersuchungen  gab  die  Bemerkung,  dass  der  Aufbau  der  Mechanik  für 
nichteuklidische  Baumformen,  wie  ihn  der  Verfasser  plant,  die  vorherige 
Entwickelung  einer  Anzahl  rein  geometrischer  Besultate  nöthig  macht.  Vor 
Allem  wird  bemerkt,  dass  die  vier  oben  erwähnten  Baumformen  in  be- 
liebiger Dimensionenzahl  existiren,  und  dass  die  früher  mittels  Weier- 
st rassischer  Coordinaten  geführten  Untersuchungen  sich  ohne  Weiteres 
auf  n  Variable  ausdehnen  lassen.  Auch  der  Begriff  der  Folarform,  welcher 
ursprünglich  auf  der  Beciprocität  von  Punkt  und  Ebene  beruhte,  erweitert 
sich  im  n  -  dimensionalen  Gebiet  durch  Gegenüberstellung  eines  m-fach  und 
eines  (n-m) -fach  ausgedehnten  ebenen  Gebildes.  Für  die  Nichtexistenz 
weiterer  constant  positiv  gekrümmter  Baumformen,  ausser  den  beiden  oben 
erwähnten,  wird  ein  neuer,  geometrischer  Beweis  von  grosser  Einfachheit 
gegeben.  Für  die  im  n  -  dimensionalen  euklidischen  (d.  h.  ebenen)  Gebiet 
auftretenden  Winkel  hat  bereits  Jordan  analytische  Definitionen  gegeben. 
Diese  Definitionen  lassen  sich,  wie  der  Verfasser  bemerkt,  auch  auf  die 
nichteuklidischen  Baumformen  übertragen;   er   giebt  aber  ausserdem   eine 


14  Historisch -literarische  Abtheilung. 

rein  geometrische  Ableitung  des  Winkelbegriffs,  welche  den  Vorzug  besitzt, 
unmittelbar  als  Verallgemeinerung  des  gewöhlichen  Winkelbegriffs  erkennbar 
zu  sein.  Sehr  einfach  gestaltet  sich  die  Untersuchung  der  m-dimensionalen 
Eugelgebilde.  Dieselben  stellen  höhere  Biemann'sche  Baumformen 
dar,  deren  Krümmungsmaasse  ein  Minimum  besitzen,  welches  gleich  ist  dem 
Erümmungsmaasse  desjenigen  n  -  dimensionalen  Oebietes,  in  welchem  die 
Kugelgebilde  betrachtet  werden.  Hervorzuheben  ist  die  Bemerkung,  dass 
in  jeder  n  -  dimensionalen  Lobatschewsky  'sehen  Baumform  B  i  e  m  a  n  n  *sche, 
euklidische  und  Lobatschewsky'sche  Baumformen  von  geringerer  Dimen- 
sionenzahl enthalten  sind,  dagegen  in  jeder  Biemann'schen  wieder  nur 
Bie  mann 'sehe,  ein  Besultat,  welches  man  sich  übrigens  durch  die  auf 
dem  einschaligen  Hyperboloid  einerseits,  auf  der  Kugel  andererseits  mög- 
lichen Linien  verdeutlichen  kann.  Weiter  wird  gezeigt,  wie  die  von  Dan - 
delin  und  Quetelet  gegebene  Ableitung  der  Kegelschnitte  aus  dem 
geraden  Kegel  (mittels  zweier  die  Schnittebeue  und  den  Kegelmantel  be- 
rührenden Kugeln)  sich  unmittelbar  aus  der  euklidischen  in  eine  nicht- 
euklidische  Baumform  übertragen  und  daselbst  zur  Grundlage  einer  elemen- 
taren Theorie  der  Kegelschnitte  machen  lässt.  unter  quadratischen 
Gebilden  von  n^l  Dimensionen  versteht  der  Verfasser  solche,  welche 
durch  eine  homogene  quadratische  Gleichung  zwischen  Weierstrass'schen 
Coordinaten  dargestellt  werden.  An  diese  Gebilde  schliesst  sich  nator- 
gemäss  die  Polarentheorie  nebst  der  Darstellung  der  Gleichung  durch  Qua- 
drate linearer  Functionen  der  Coordinaten.  Von  der  Zahl  der  hierbei 
auftretenden  negativen  Quadrate  hängt  die  Anzahl  der  auf  dem  Gebilde 
liegenden  Geraden,  Ebenen  und  ebenen  Gebilde  ab.  Der  Verfasser  wendet 
sich  dann  zu  den  metrischen  Eigenschaften  dieser  quadratischen  Gebilde, 
zunächst  im  endlichen  Baume.  Diese  Eigenschaftien  hängen  mit  der  von 
We ierstrass  gelösten  Aufgabe  zusammen ,  die  beiden  quadratischen  Formen 

(p  {Xq  x^..,  Xn)  und  m=k^JCQ*  +  X^^  +  ...+  Xn* 
durch  die  Summen  derselben  Quadrate  darzustellen  (Berlin.  Monatsber.  1868, 
S.  310  flgg.).  Der  Verfasser  zeigt  im  Einzelnen,  welche  Eigenschaften  des 
quadratischen  Gebildes  mit  den  verschiedenen  Fällen  von  Gleichheit  und 
Ungleichheit  der  (von  Weierstrass  bei  der  Behandlung  jener  Aufgabe 
eingeführten)  „Elementartheiler**  zusammenhängen.  Diese  geometrische 
Deutung  analytischer  Thatsachen  ist  eine  der  interessantesten  Partien  der 
Ki Hingesehen  Arbeit  und  beweist  gleichzeitig,  wie  wenig  es  ohne  die 
Besultate  der  transcendentalen  Geometrie  möglich  sein  würde,  für  gewisse 
analytische  Thatsachen  das  geometrische  Aequivalent  aufzufinden.  Es  werden 
weiter  ähnliche  und  confocale  quadratische  Gebilde  betrachtet  und  die  Ver- 
änderungen dargelegt,  welche  die  Theorie  der  quadratischen  Gebilde  er- 
leidet, wenn  man  von  den  endlichen  zu  den  Lobatschewsky 'sehen  Baum- 
formen übergeht.  Specielle  Beispiele  werden  hier  wie  in  der  sonstigen 
Theorie  der  quadratischen  Gebilde  aus   deni  dreidimensionalen  Gebiet  her- 


BecensioneiL  15 

genommen.  Zum  Schluss  wird  bemerkt,  dass  u.  A.  auch  die  Yon  Jordan 
für  euklidische  Raumformen  gegebene  Theorie  der  Krümmungen  einer  Baum- 
curve  durch  den  üebergang  in  nichteuklidische  Baumformen  sich  nur  un- 
wesentlich findert. 

Es  sei  schliesslich  noch  erwähnt,  dass  HerrEilling  in  einer  neueren 
Abhandlung  (Programm  des  Lyceum  Hosianum  in  Braunsberg,  Michaeli 
1884)  eine  weitere,  auf  dem  Begriff  der  Bewegung  beruhende  Verallgemei- 
nerung des  Baumbegriffes  gegeben  hat,  die  ihn  zu  nichtprojectivischen 
Baumformen  führt,  Formen,  von  denen  bisher  nur  eine  einzige  (in  einer 
Abhandlung  des  Verfassers  in  Borchardt's  J.,  Bd  .89  S.  284)  betrachtet 
zu  sein  scheint. 

Waren.  ^'  Schlegel. 


Elementar -synthetische  Geometrie  der  gleichseitigen  Hyperbel.  Von 
A.  MiLiNOWSKT  (Weissenburg  i.  E.).     Leipzig,  Teubner.     1883. 

„  unter  allen  Kegelschnitten  ist  keiner  der  elementaren  Behandlung  so 
zugänglich,  wie  die  gleichseitige  Hyperbel,  und  trotzdem  besitzt  unsere 
mathematische  Literatur  kein  Buch,  welches  die  Eigenschaften  derselben 
in  elementarer  und  einheitlicher  Weise  im  Zusammenhange  darstellt.  Dieses 
Ziel  hat  sich  der  Verfasser  in  vorliegendem  Werkchen  gesteckt  und  hofft 
dadurch  Allen,  welche  Beruf  oder  Neigung  zur  elementaren  Betrachtung 
der  Kegelschnitte  führen ,  keine  unwillkommene  Gabe  darzubringen.  Nament- 
lich aber  hofft  er  dadurch  auch  dem  Oedanken,  dass  das  harmonische  Ge- 
bilde ein  durchaus  elementares  ist,  weitere  Geltung  und  der  Anwendung 
desselben  in  der  elementaren  Geometrie  grössere  Ausbreitung  zu  ver- 
schaffen.*' 

Mit  diesen  Worten  schliesst  die  Vorrede  des  vorbezeichneten  135  Seiten 
starken  Schriftchens.  Unter  allen  Kegelschnitten  ist  zweifellos  der  Kreis 
die  einfachste  und  der  elementaren  Behandlung  zugänglichste  Curve.  Dann 
zeichnet  sich  die  Parabel  durch  viele  höchst  einfache  Eigenschaften  aus 
und  hat  zudem  den  (nicht  ganz  zu  ignorirenden)  Vortheil,  dass  einfache 
physikalische  Betrachtungen  auf  diese  Curve  führen.  Manche  Eigenthüm- 
lichkeiten  derselben  jedoch,  insbesondere  die  durch  die  Lage  ihres  Mittel- 
punktes bedingten,  liegen  dem  von  der  Kreisgeometrie  kommenden  An- 
fönger  weiter  ab,  und  somit  ist  es  doch  mindestens  zweifelhaft,  ob  nicht 
der  gleichseitigen  Hyperbel,  diesem  Zerrbilde  des  Kreises,  wirklich 
die  Siegespahne  grösserer  Einfachheit  und  leichteren  Zuganges  gebührt. 

Der  Inhalt  unseres  Buches  gliedert  sich  in  sieben  Paragraphen,  von 
denen  der  erste  die  üeberschrift:  „Punkte  und  Tangenten"  führt.  Beider 
fundamentalen  Bedeutung  dieses  ersten  Abschnittes  mag  es  gestattet  sein, 
demselben  eine  eingehendere  Besprechung  zu  widmen.  Ist  so  der  Plan  des 
VerÜEissers  deutlich  geworden,  so  dürfen  wir  uns  im  Uebrigen  kürzer  fassen, 


16  Historisch -literarische  Abtheilung. 

da  die  vorgetragenen  Materien  im  Ganzen  nicht  neu  sind  und  dies  ja  auch 
keineswegs  sein  wollen. 

Den  Ausgangspunkt  bildet  der  Sache  nach  die  Gleichung  der  auf 
die  Asymptoten  bezogenen  Curve,  nSmlich  xy  =  q\  Dann  werden  in  sehr 
einfacher  Weise  die  Begriffe  Potenz  (=  ?'),  inneres  und  Süsseres  Ge- 
biet, Asymptoten,  Mittelpunkt,  Durchmesser,  Azen  gewonnen. 
Es  folgt  der  einfache  und  in  den  Anwendungen  fruchtbare  Satz:  „Jede 
Secante  der  gleichseitigen  Hyperbel  wird  von  dieser  und  den 
Asymptoten  in  äquidistanten  Punkten  geschnitten.  Zu  den 
Tangenten  ist  ebenfalls  der  Zugang  ein  natürlicher:  Jede  Tangente 
der  gleichseitigen  Hyperbel  begrenzt  mit  den  Asymptoten  ein 
Dreieck  von  constantem  Inhalte.  Man  erkennt  nun  durch  einfache 
üeberlegungen ,  dass  die  Tangenten  in  den  Endpunkten  eines  Diameters 
parallel  sind,  und  den  wichtigen  Satz ,  dass  eine  beliebige  Sehne  der  gleich, 
seitigen  Hyperbel  den  Endpunkten  eines  Diameters  unter  gleichen  bez. 
supplementären  Winkeln  erscheint.  Die  ümkehrung  dieses  Satzes,  welche 
als  selbstverständlich  nicht  bewiesen,  ja  nicht  einmal  als  besonderer  Satz 
erwähnt  ist,  gewährt  nun  die  Einsicht,  dass  der  Höhenpunkt  eines 
jeden  der  gleichseitigen  Hyperbel  eingeschriebenen  Dreiecks 
auch  auf  derselben  liegt.  Aus  den  Folgerungen  heben  wir  besonders 
zwei  hervor.  Erstens  den  theoretisch  wichtigen  Satz,  dass  eine  gleichseitige 
Hyperbel  von  einem  Kreise  höchstens  in  vier  Punkten  geschnitten  wird; 
zweitens  den  für  Aufgaben  fruchtbaren  Satz:  Wenn  ein  Kreis  eine  gleich- 
seitige Hyperbel  berührt,  so  schneidet  er  sie  noch  in  zwei  Punkten,  deren 
Verbindungslinie  auf  dem  Durchmesser  des  Berührungspunktes  senkrecht 
steht  Bei  dem  Herrn  Verfasser  erscheint  dieser  Satz  als  ümkehrung  eines 
andern,  wie  uns  scheinen  will,  weniger  anschaulichen.  Hiermit  gelangt 
man  nun  zum  Krümmungskreise  und  zu  dem  Feuerbach'schen  Kreise, 
der  durch  den  Mittelpunkt  der  Hyperbel  geht.  —  Die  Beziehungen  der 
Hyperbel  zum  Kreise  sind  hiermit  dargelegt.  Analytisch  gewinnen  die- 
selben eine  besonders  merkwürdige  Form,  wenn  man  von  der  Darstellung 
der  Coordinaten  durch  hyperbolische  Functionen  Gebrauch  macht 
Setzt  man  nämlich  a:  =  a@ofti,  y=a@tnu,  so  ist  jedem  Punkte  der 
Hyperbel  ein  Argument  u  zugeordnet.  Schneidet  nun  ein  Kreis  die  Hyperbel, 
so  ist  die  Summe  der  hyperbolischen  Argumente  der  vier  Schnittpunkte 
Null  (oder  2nji). 

Insbesondere  schneidet  der  Krümmungskreis  mit  dem  Berührungspjmkte, 
dessen  Argument  u  ist,  die  Hyperbel  in  einem  ferneren  Punkte,  dessen 
Argument  —3m  sein  muss.  Daher  kommt  die  Aufgabe ,  welche  Herr 
Milinowsky  Seite  55  Nr.  83  löst,  auf  die  Dreitheilung  eines  ge- 
gebenen hyperbolischen  Sectors  hinaus.  (Vergl.  hierzu  Salmon- 
Fi edler,  Kegelschnitte,  Art.  252,  wo  der  ent-sprechende  Satz  für  die  Kreis- 
functionen  ausgesprochen  ist,  und  bezüglich  der  Verwendung  hyperbolischer 


Becensionen.  17 


Argumente  u.  A.  die  interessante  Schrift  von  8.  Oflnther,  „Parabolische 
Trigonometrie",  Teubner.) 

Der  Verfasser  wendet  sich  nunmehr  den  gegenseitigen  Beziehungen 
gleichseitiger  Hyperbeln  zu.  Die  früher  gewonnenen  Sätze  lassen  hier 
leicht  erkennen,  dass  durch  vier  Punkte  eine  gleichseitige  Hyperbel 
bestimmt  ist  und  dass  zwei  gleichseitige  Hyperbeln,  welche  sich  in  drei 
Punkten  schneiden,  den  Höhenpunkt  des  eingeschriebenen  Dreiecks  zum 
vierten  Schnittpunkte  haben.  Die  Gesammtheit  aller  gleichseitigen  Hyper- 
beln, welche  einem  Dreiecke  umschrieben  sind  und  durch  dessen  Höhen- 
punkt gehen,  bilden  ein  Büschel.  Die  Mittelpunkte  dieses  Büschels  liegen 
auf  einem  Kreise.  Es  folgen  einige  harmonische  (projectivische)  Eigen- 
schaften, von  denen  wir  den  Satz,  dass  eine  Asymptote  und  zwei  Tangen- 
ten zwei  gleichseitige  Hyperbeln  bestimmen,  erwähnen. 

Die  jetzt  folgenden  Sätze  ziehen  die  bekannten  Eigenschaften  des 
Ereisbüschels  heran  und  so  gelangen  wir  zu  der  Einsicht,  dass  der 
Ort  der  Mittelpunkte  aller  einem  Di-eiecke  eingeschriebenen  gleich- 
seitigen Hyperbeln  ein  Kreis  um  den  Höhenpunkt  dieses  Dreiecks  ist, 
welcher  den  Umkreis  desselben  rechtwinklig  schneidet.  Als  leichte 
Folgerungen  erhält  man  dann  die  wichtigen  Sätze,  dass  durch  vier  Tan- 
genten zwei  gleichseitige  Hyperbeln  bestimmt  sind  und  zwei  gleichseitige 
Hyperbeln  sich  mindestens  in  zwei  reellen  Punkten  schneiden.  Der 
letztere  Satz  ist  um  so  interessanter,  als  wir  hier  offenbar  den  Specialfall 
n  =  2  des  bekannten  Gauss 'sehen  Beweises  von  der  Anzahl  der  Wurzeln 
einer  Gleichung  n^^  Grades  vor  uns  haben.  Diese  Bemerkung  hätte  auch 
der  Verfasser  machen  und  erhärten  dürfen. 

Mögen  einige  Randbemerkungen  hier  beigefügt  werden.  S.  7,  in  9  c, 
ebenso  S.21  in  Nr.  26,  S.  24  in  Nr.  30  und  S.  56  in  Nr.  84  giebt  Verfasser 
die  Buchstaben  ähnlicher  Dreiecke  nicht  in  richtiger,  ähnlicher  Reihenfolge. 
Femer  muss  es  wohl  S.  5  in  Nr.  7a  statt  2q*  heissen  4g^  wie  auf  S.  24, 
wo  sogar  auf  diese  Stelle  verwiesen  wird,  richtig  zu  lesen  ist.  In  Fig.  4 
fehlen  die  im  Text  vorkommenden  f*,  F^,  Durch  14  a  wird  12  eingeschränkt, 
was  nicht  ausdrücklich  bemerkt  wird;  bei  12  hätte  also  der  Zusatz  „im  All- 
gemeinen '^  nicht  fehlen  sollen.  Der  Beweis  des  Satzes  in  Nr.  19  geht  wohl 
noch  einfacher  aus  der  Aufgabe  hervor,  einen  (zwei)  Punkt  zu  bestimmen, 
der  von  drei  gegebenen  Punkten  Abstände  hat,  die  sich  verhalten  wie 
m'nip.  Ebenso  oder  noch  mehr  macht  der  Beweis  des  Satzes  in  21  a 
einen  etwas  „mühsamen"  Eindruck. 

Hiermit  glauben  wir  den  ersten  Abschnitt  des  Buches  hinreichend 
charakterisirt  zu  haben  und  werden  uns  von  jel^t  ab  aus  oben  angegebenen 
Gründen  grösster  Kürze  befleissen. 

Der  zweite  Abschnitt  behandelt  die  conjugirten  Diameter,  die 
Gleichung  der  Hyperbel  und  in  etwas  langweiliger  Darstellung  den  Sehnen- 
satz Nr.  27  d. 

HUt.-Ut  Abtblg.  d.  Zeittohr.  f.  Math.  a.  Phys.  XXX,  1.  2 


18  Historisch  -  literarische  Abtheilung. 

Der  dritt«  ftthrt  die  Ueberschrift:  Die  Brennpunkte.  Die  einscblSgige 
Theorie  ist  interessant  und  originell. 

Gleiches  Lob  spenden  wir  gern  deni  folgenden,  welcher  die  Polar- 
eigenschaften zum  Gegenstände  hat 

Der  fünfte  Abschnitt  sucht  die  gleichseitige  Hyperbel  auf  dem  geraden 
Ereiskegel  auf. 

Der  sechste  liefert  Ergänzungen  und  Aufgaben.  Dabei  ist  der  Er  um- 
mungskreis  sorgfältig  behandelt,  auch  wird  die  Dreitheilung  des 
Winkels  und  das  Delische  Problem  mit  Hilfe  der  gleichseitigen  Hyper- 
bel gelöst.  Femer  heben  wir  die  Erzeugung  dieser  Curve  aus  der 
Geraden  und  eine  physikalische  Eigenschaft  (Benetzung  zweier 
Glasplatten)  anerkennend  hervor. 

Der  letzte  Abschnitt  behandelt  die  übrigen  Kegelschnitte,  insbesondere 
zunächst  die  allgemeine  Hyperbel. 

Passen  wir  zusammen,  so  haben  wir  eine  Arbeit  vor  uns,  welche 
dem  wissenschaftlichen  Sinne  des  Verfassers  Ehre  macht.  Das  Streben 
desselben  nach  möglichst  elementarer  Darstellung  ist  oft  von  glücklichem, 
vielfach  von  befriedigendem  Erfolge  begleitet,  und  so  wird  das  Büchlein 
in  den  Kreisen,  auf  welche  es  berechnet  ist,  gewiss  als  eine  wiUkommene 
Gabe  erscheinen. 

Coesfeld,   im  August   1884.  K.  Schweriko. 


Lehrbuch  der  ebenen  Geometrie  mit  XTebungsan^aben  für  höhere  Lehr- 
anstalten. Von  Dr.  Th.  Spieker,  Professor  am  Bealgymnasium  in 
Potsdam.  Verlag  von  A.  Stein  in  Potsdam.  Sechzehnte  verbesserte 
Auflage. 

Sechzehn  Auflagen  zu  erleben,  ist  nicht  jedem  Buche  beschieden.  Selbst- 
verständlich tritt  man  daher  an  die  Beurtheilung  einer  Schrift,  welcher  dies 
Glück  zu  Theil  geworden  ist,  so  oft  aufgelegt  worden  zu  sein,  mit  nicht 
niedrig  gespannten  Erwartungen  heran.  Insbesondere  scheint  die  Aussicht  ge- 
rechtfertigt, dass  eiu  solches  Schulbuch  den  Anforderungen  der  Lehrprazis  in 
hervorragender  Weise  entsprechen  müsse.  Allein  auch  für  die  wissenschaft- 
liche Seite  der  Stoffbehandlung  darf  man  Gutes  hoffen;  denn  bei  dem  er- 
folgreichen Streben  und  Ringen,  welches  die  Mehrzahl  der  neueren  Schul- 
bücher vortheilhaft  auszeichnet,  kann  ein  unwissenschaftliches  Machwerk 
die  Concnrrenz  nicht  mehr  bestehen. 

Das  vorliegende  326  Seiten  starke  Lehrbuch  gliedert  seinen  Inhalt  in 
vier  Cursus. 

Der  erste  geht  nach  einer  Einleitung  zur  Besprechung  der  Lage 
gerader  Linien  über,  handelt  von  den  ebenen  Figuren  im  Allge- 
meinen, von  der  Congruenz  der  Dreiecke  und  von  den  Parallelo- 
gramm eil. 


Recenäionen  19 

Wir  heben  aus  dem  ersten  Cursus  das  Folgende  hervor. 

Es  werden  die  Begriffe  Gerade,  Strahl,  Strecke  definirt  und  dann 
der  Winkel  im  §  10  erklärt  ,,Der  Theil  der  Ebene,  welcher  zwischen 
zwei  von  einem  Punkte  ausgehenden  Strahlen  liegt,  heisst  ein  Winkel  oder 
Winkelraum."  In  §  19  wird  der  Grundsatz  aufgestellt:  „Durch  einen  Punkt 
ausserhalb  einer  Geraden  lässt  sich  in  der  Ebene  stets  eine  aber  auch  nur 
eine  gerade  Linie  ziehen,  welche  beliebig  weit  verlängert,  die  erstere  nicht 
schneidet/*  Hierdurch  ist  die  Definition  der  Parallelen  zugleich  gegeben. 
Denn  es  heisst  sofort  weiter :  „  Zwei  gerade  Linien  in  einer  Ebene,  welche 
beliebig  weit  verlängert  sich  nicht  schneiden ,  heissen  parallel.'*  Den  Schluss 
bilden  27  Uebungsaufgaben. 

Die  Darstellung  hält  sich  von  trockener  Kürze  ebenso  fern,  wie  von 
ermüdender  Ausführung  selbstverständlicher  Kleinigkeiten.  Durch  den  Druck 
ist  das  Wichtige  vom  Unwichtigen  passend  für  den  Anfönger  geschieden. 
In  den  Uebungsaufgaben  kehrt  derselbe  Gedanke  in  verschiedener  Fassung 
wieder  und  fordert  so  zur  präcigen.  logisch  scharfen  Behandlung  gebie- 
terisch auf. 

Dieselben  glücklichen  Eigenschaften  kann  man  den  übrigen  Abschnitten 
des  ersten  Cursus  im  Allgemeinen  nachrühmen.  Insbesondere  liefern  die 
65  Uebungsaufgaben  des  dritten  Abschnittes  ein  treffliches  Mittel,  den  In- 
halt des  Lehrvortrages  zu  wiederholen  und  lebendig  zu  machen. 

Im  zweiten  Cursus  handelt  der  erste  Abschnitt  von  der  geome- 
trischen Aufgabe  im  Allgemeinen.  Der  Verfasser  legt  die  vier  gewöhn- 
lichen Requisite,  als  Analysis,  Construction ,  Beweis,  Determination  dar  und 
giebt  als  Hilfsmittel  der  erstgenannten,  insbesondere  Lehrsätze,  geome- 
trische Oerter  und  Reduction  durch  Data  und  Zerlegung  an.  Hiermit 
ist  für  den  Anfänger  das  Nöthige  gesagt,  und  Beispiele  sorgen  für  Ver- 
deutlichung. Selbstverständlich  gelingt  dem  Schüler  darum  nicht  die  Lösung 
einer  ihm  bis  dahin  unbekannten  Aufgabe  von  selbst.  Dazu  kann  nur  das 
Studium  der  Methoden,  wie  dies  Petersen  in  seinem  trefflichen  Buche 
so  dankenswerth  gefördert  hat,  in  Verbindung  mit  zahlreichen  Uebungs- 
beispielen  führen.  Auch  ist  es  keineswegs  Absicht  unseres  Verfassers, 
besonders  an  dieser  Stelle  das  lebendige  Wort  des  Lehrers  überflüssig  zu 
machen.     ZÜTm  ersten  Abschnitte  101  Aufgaben. 

Der  zweite  Abschnitt  behandelt  den  Kreis.  Wir  finden  die  gewöhn- 
lichen elementaren  Sätze  über  Sehne,  Tangente,  Peripherie winkel  u.  s.  w. 
Der  Stoff  ist,  wie  überhaupt  in  unserem  Buche,  nicht  in  trockener  Brach jo • 
logie,  sondern  mit  einer  gewissen  angenehmen  Behaglichkeit  vorgetragen 
und  insbesondere  den  Sätzen,  welche  zu  Aufgaben  führen,  Aufmerksamkeit 
zugewandt.     Dazu  130  Beispiele. 

Die  folgenden  Abschnitt«  behandeln  der  Reihe  nach  die  regulären 
Polygone,  die  Gleichheit  der  Figuren,  Proportionalität  und 
Aehnlichkeit  der  Figuren,  Proportionen  am  Kreise,  Ausmessung 

2» 


20  Historisch -literarische  Abtheilung. 

geradliniger  Figuren  und  des  Kreises.  Jeder  dieser  Abschnitte 
enthält  zahlreiche  Uebungsbeispiele.  Wir  heben  besonders  die  interessante 
Behandlung  des  Pythagoreischen  Satzes,  die  höchst  einfache  und  lehrreiche 
Einführung  des  Coordinatenbegriffes  in  §  193  hervor  und,  um  zu  zeigen, 
wie  sehr  der  Verfasser  bemüht  ist,  auch  die  historisch  interessanten  Gegen- 
stände dem  Schüler  deutlich  zu  machen,  die  Erörterungen  über  den  Ar- 
belus  und  das  Salinum  des  Archimedes.  Der  Tangenten-,  Sehnen-, 
Secantensatz  erscheint  in  doppelter  Fassung,  einmal  als  Proportion  S.  165  flg., 
dann  auch  als  Rechteck  S.  179.  Bei  dem  Streben  nach  Vollständigkeit, 
welches  der  Verfasser  so  glücklich  bethätigt,  wollen  wir  hierüber  nicht  mit 
ihm  rechten. 

Der  dritte  Cursus  handelt  in  vier  Abschnitten  yon  den  Transver- 
salen, der  harmonischen  Theilung,  den  Aehnlichkeitspunkten, 
Chordalen  (Tactionsproblem)  und  den  Kreispolaren. 

Die  Lehre  von  den  Transversalen  geht  selbstverständlich  von  den 
Sätzen  des  Ceva  und  des  Menelaus  aus.  Die  Darstellung  zeigt  insofern 
didaktisches  Geschick,  als  die  Einführung  der  Vorzeichen  bei  den  abge- 
messenen Strecken  vermieden  ist.  Leider  hat  der  Verfasser  aber  nicht  den 
Muth  gehabt,  trotzdem  an  dem  Begriffe  der  Theilverhältnisse  fest- 
zuhalten. Vielmehr  ist  nun  auch  die  Gleichheit  der  Producte  der  nicht 
anstossenden  Seitenabschnitte  behauptet.  Im  Gegensatze  (?)  zu  dem  ge- 
ehrten Herrn  Verfasser  halten  wir  es  erstens  für  durchaus*  wissenschaftlich 
richtig ,  zu  sagen ,  eine  Strecke  werde  im  Verhältnisse  m :  n  durch  zwei 
Punkte  getheilt,  von  denen  der  eine  innerhalb,  der  andere  ausserhalb  der 
Endpunkte  liegt.  Zweitens  behaupten  wir  vom  Standpunkte  der  Schul- 
praxis aus,  dass  die  Einführung  der  Theilverhältnisse  beim  Umlaufen  des 
Dreiecks  dem  Lernenden  die  Sache  leichter  macht.  Wir  würden  an  einen 
Gegensatz  zum  Verfasser  nicht  recht  glauben,  wenn  nur  §  232  und  nicht 
auch  die  Bemerkungen  S.  201  und  212  vorhanden  wären.  Beferent  würde 
also,  und  damit  sei  dieser  Gegenstand  erledigt,  die  Thesis  S.  212,  un- 
bekümmert um  Streckenvorzeichen,  schreiben  wie  folgt: 

FJ  XC  ZB_ 

VC  xb'za'^  « 

Wer  als  Primaner  mit  den  Materien  in  dieser  Form  bekannt  ge- 
worden ist,  dem  wird  die  Einführung  der  Streckenvorzeichen  keine  Schwierig- 
keiten machen.     Vielleicht  aber  wohl  umgekehrt. 

Die  früher  gerühmten  Vorzüge  des  Lehrvortrages  können  wir  im 
üebrigen  in  besonders  lebhafter  Betonung  an  dieser  Stelle  wiederholen. 
Namentlich  angesprochen  haben  uns  die  schönen  üebungen  zum  vier- 
zehnten Abschnitt  und  die  Behandlung  des  fünften  merkwürdigen 
Punktes  am  Dreieck.  Der  Verfasser  versteht  darunter  den  Schnittpunkt 
der   drei    Ecktransversalen   nach    den    Berührungspunkten    der   angeschrie- 


Becensionen.  21 


benen  Kreise.  Das  Taotionsproblem  erscheint  in  älterer  und  neuerer 
Lösung. 

Der  vierte  Cursus  trägt  einen  mehr  rechnerischen  Charakter.  Er 
zerföUt  in  vier  Abschnitte,  welche  die  Anwendung  der  Algebra  auf 
geometrische  Probleme,  metrische  Relationen  am  Dreiecke, 
die  Kreisbere&hnung  und  vermischte  üebungen  enthalten. 

Die  algebraische  Analysis  geometrischer  Probleme  ist  ein  ebenso 
interessanter  wie  nützlicher  Gegenstand  des  Gjmnasialpensums.  Der  Ver- 
fasser behandelt  ihn  ebenso  gründlich  wie  klar.  Die  Discussion  der  Formeln 
ist  durchweg  musterhaft. 

Fassen  wir  unser  ürtheil  zusammen,  so  sind  die  eingangs  ausgespro- 
chenen Erwartungen  des  Referenten  durch  dasselbe  erfüllt,  ja  überboten 
worden.  Nach  unserer  besten  üeberzeugung  wird  es  sich  dem  unterrichte 
an  höheren  Lehranstalten  mit  Erfolg  zu  Grunde  legen  lassen,  wobei  selbst- 
verständlich der  vorsichtige  Lehrer  sich  nicht  darauf  steifen  wird,  Alles 
durchzunehmen.  Insbesondere  empfehlen  wir  es  den  Herren  CoUegen  zum 
Selbstgebrauche  und  als  Aufgabensammlung. 

Coesfeld,  den  S.Mai  1884.  K.  Schwbring. 


lieber  einem  Dreieck  nm-  und  eingeschriebene  Kegelschnitte.  Inaugural- 
doctordissertation  von  K.  Dörholt.     Münster,  1884 

Verfasser  beabsichtigt,  einen  Theil  der  von  Steiner  in  Crelle's 
Journal  Bd.  55  S.  356  gemachten  Mittheilungen  zu  beweisen.  Auf  andere 
Arbeiten  des  berühmten  Geometers,  insbesondere  die  Abhandlung:  „Teoremi 
relativ!  alle  coniche  inscritte  e  circoscritte'S  Crelle  Bd.  30,  ist  ebenfalls 
Rücksicht  genommen. 

Die  Dissertation  zählt  88  Seiten  Octav  mit  recht  hübschen  beigegebenen 
Figuren.  Der  Inhalt  ist  im  Allgemeinen  ansprechend,  das  Material  wohl 
geordnet  und  im  Ganzen  übersichtlich.  Die  Darstellung  vermeidet  trotz 
vorwiegend  synthetischer  Richtung  nicht  ängstlich  die  Rechnung.  Darf 
man  aus  der  Schrift  auf  den  Studiengang  des  Verfassers  schliessen,  so  hat 
er  die  Vorlesungen  von  Professor  Sturm  in  Münster  mit  Fleiss  und 
Nutzen  gehört.  K.  Schwbeing. 

Lettre  de  Charles -Frdddric  Gauss  au  Dr.  Henri -OaiUaume -Mathias 
Olbers  en  date  de  „Braunschweig  den  3.  September  1805"  publi6e 
par  B.  BoNCOMPAGNi  d'apr^s  Toriginal  poss6d6  par  la  soci6t6  rojale 
des  sciences  de  Göttingen.  Berlin,  Institut  de  Photo  -  lithographie  des 
Fröres  Burchard,  Imprimerie  de  Gustave  Schade  (Otto  Francke),  1883 
Der  in   der  üeberschrift   genannte,  vier  grosse  Seiten  füllende  Brief 

von  Gauss  an  Olbers  ist  nicht  ganz  unbekannt  geblieben.     Schon  1877 


22  Historisch  -  literarische  Abtheilung. 


hat  Herr  Schering  Theile  desselben  der  Oeffentlichkeit  übergeben.  Man 
wird  sich  nichtsdestoweniger  freuen  dürfen,  in  dem  meisterhaft  gelungenen 
Abdruck  des  ganzen  Briefes  eine  Erinnerung  an  die  zierliche,  deutliche 
Handschrift  des  grossen  Mathematikers  zu  besitzen,  welche  bis  in  seine 
letzten  Lebensjahre  sich  nur  sehr  unwesentlich  veränderte»  Ausser  dem 
photolitographischen  Abdrucke  hat  Fürst  Boncompagni  auch  einen  Ab- 
druck des  Briefes,  im  Urtexte,  sowie  in  einer  von  Herrn  Sparagna  be- 
sorgten italienischen  üebersetzung ,  im  Aprilhefte  1883  seines  Bulletino  di 
Bibliografia  u.  s.  w.  anfertigen  lassen  und  hat  endlich  am  20.  Mai  1883 
der  Accademia  Pontificia  de'  Nuovi  Lincei  in  Rom  eine  Abhandlung  vor- 
gelegt; welche  in  den  Atti  dieser  Gesellschaft  (Tomo  XXXVI)  erschien  und 
in  besonderem  Abdrucke  unter  dem  Titel :  „  Intomo  ad  una  lettera  di  Carlo 
Federico  Gauss  al  Dr.  Enrico  Guglielmo  Mattia  Olbers.  Memoria  di  B.  Boncom- 
pagni'' (95  S.)  in  unseren  Händen  ist.  Mit  gewohnter  peinlicher  Sorgfalt  sind 
in  dieser  Abhandlung  die  Worte  des  Briefschreibers  einzeln  mit  Belegstellen 
versehen.  Unter  Anderem  macht  der  Verfasser  darauf  aufmerksam,  dass 
die  Ehe  zwischen  Minna  Gauss,  der  Tochter  Gauss'  aus  erster  Ehe, 
und  dem  Orientalisten  Ewald  am  15.  September  1830  geschlossen  wurde, 
und  dass  der  Todestag  der  zweiten  Frau  von  Gauss,  Minna  Wal  deck, 
auf  den  12.  September  1830  fiel,  zwei  Daten,  welche,  wie  es  scheint,  noch 
in  keinem  Buche  abgedruckt  waren.  Cantob. 


Die  Entwickelnng  der  Mathematik  in  den  letzten  Jahrhunderten.   Von  Dr. 
Hermann  Hankel,  vorm.  ord.  Professor  der  Mathematik  in  Tübingen. 
II.  Auflage  mit  einem  Vorwort  von  Dr.  P.  du  Bois  -  Rbymond  ,  ord. 
Professor  der  Mathematik  an  der  Universität  Tübingen.     Tübingen, 
Verlag  und  Druck  von   Franz  Fues    (L.  Fr.  Fues'sche    Sortiments- 
Buchhandlung),  1885.     27  S. 
Die  Antrittsvorlesung  HankeFs,   mit  welcher  er  am  29.  April  1869 
für  seine  Aufnahme  in  den  akademischen  Senat  der  Universität  Tübingen 
dankte,  ist  seit  einer  Reihe  von  Jahren  vergriffen,   so  dass  die  Buchhand- 
lung,  welche  dieselbe  verlegt  hatte,  wiederholt  in   der   Lage  war,  Bestel- 
lungen  ablehnen  zu   müssen.     Lohnte   es  einen  neuen  Abdruck  zu  veran- 
stalten?    Herr  P.  du  Bois-Reymond    hat  die  an   ihn  gerichtete  Frage 
bejaht,   und  Referent  schliesst  sich   dieser  seiner  Beantwortung  gern  an. 
Schon  Herr  Du  Bois-Reymond   hat  allerdings  in  seinem  Vorworte  be- 
tont,  dass  neue  seit  HankeTs  Tod  gemachte  Fortschritte,  die   natürlich 
1869  noch  nicht  berücksichtigt  werden  konnten,  einer  Rede  des  Charakters, 
wie  Hankel  sie   damals  beabsichtigte,   heute  ein  anders  auszusprechendes 
Ende  geben  müssten.      Man  kann  getrost  hinzufügen,   dass  nicht  minder 
wesentliche   Aenderungen    auch    in  jenen    Theilen    der    Rede,    welche   auf 


Becensionen.  23 

frühere  Zeiten  sich  beziehen ^  vorzunehmen  wären,  da  die  heutigen  Auffas- 
sungen der  Geschichte  der  Mathematik  beträchtlich  von  denen  abweichen, 
welche  Hankel  sich  gebildet  hatte.  Aber  immerhin  handelt  es  sich  doch 
nur  um  nöthige  Aenderungen,  oder  sprechen  wir  es  mit  dem  härtesten 
Worte  aus :  um  kleine  Unrichtigkeiten  im  Einzelnen.  Die  geschichts  -  philo- 
sophische Idee  der  Bede  bleibt  davon  unberührt,  unberührt  also  auch  der 
Werth,  den  diese  für  den  Leser  behält  und  so  lange  behalten  wird,  als  antike 
und  moderne  Mathematik  als  nicht  blos  dem  Grade,  sondern  auch  der 
Natur  nach  verschieden  dastehen  und  eine  Darlegung  ihres  inneren  Gegen- 
satzes verlangen.  In  diesem  Sinne  ähnelt  die  Bede  manchen  Einleitungs- 
capiteln  Lag  ränge 'scher  Schriften  und  wird  gleich  diesen  ihre  EntstelKings- 
zeit  weit  überdauern.  Cantoe. 


Einleitnng  in  die  Analysis  des  Unendlichen.  Von  Leonhard  Euler. 
I.  Theil.  Ins  Deutsche  übertragen  von  H.  Masee.  Berlin  1885, 
Julius  Springer.  '  X,  319  S. 

Der  Band,  über  dessen  Erscheinen  wir  berichten,  ist  nur  der  erste 
einer  Sammlung  von  klassischen  Werken,  die,  im  Original  längst  vergriffen 
und  auch  in  üebersetzungen  schwer  erhältlich,  überdies  durch  die  ver- 
altete Form  der  Uebersetzung  fast  ungeniessbar,  gleichwohl  verdienen,  auch 
von  Mathematikern  der  Jetztzeit  gelesen  und  studirt  zu  werden.  Glaube 
doch  ja  Niemand,  der  die  Vorlesungen  auch  unserer  berühmtesten  Univer- 
sitätslehrer gehört  und  ausgearbeitet  hat,  er  sei  jetzt  so  erhaben  über  dem 
Standpunkt  jener  Männer,  auf  deren  Schultern  seine  Lehrer  selbst  stehen, 
dass  er  von  ihnen  unmittelbar  Nichts  mehr  lernen  könne!  Selbst  die 
Mängel,  welche  er  in  den  Musterschriften  vergangener  Zeiten  zu  erkennen 
im  Stande  ist,  werden  ihn  belehren,  und  sei  es  auch  nur  über  die  noth- 
wendige  Mangelhaftigkeit  der  Gegenwart.  Wenn  so  Vieles  nicht  mehr 
wahr  ist,  was  die  bedeutendsten  Schriftsteller  der  Vergangenheit  in  unserer 
Wissenschaft  lehrten,  wer  möchte  da  so  zuversichtlich  sein,  an  die  für 
alle  Zeiten  gesicherte  Wahrheit  dessen  zu  glauben,  was  manche  Eintags- 
fliege unter  den  mit  uns  Lebenden  laut  ausposaunt?  Doch  auch  die 
Kehrseite  fehlt  nicht.  Wenn  jene  Klassiker,  trotzdem  sie  Hilfsmittel  und 
Prüfsteine  nicht  kannten,  die  heute  jedem  Anfänger  zu  Gebote  stehen,  so 
Vieles  schufen,  was  seinen  Werth  behielt,  so  wird  auch  der  Zweifelsüchtigste 
des  Trostes  nicht  entbehren,  dass  neben  dem  Wechseluden  das  Bleibende 
in  unserer  Wissenschaft  doch  weit  überwiegt,  und  dass  der  Fortschritt, 
dessen  Verdienst  wir  damit  wahrlich  nicht  zu  schmälern  beabsichtigen ,  viel- 
fach nur  darin  besteht,  einen  lückenlosen  Weg  nach  Gipfelpunkten  zu 
führen,  wohin  das  Genie  über  Abgründe  und  unwegsam  steile  Wände  vor- 
ausgeflogen war. 


24  -         Historisch -literarische  Abtheilung. 

Die  Schriften,  welche  in  neuer  deutscher  üebersetzung  zunächst  der 
Oeffenüichkeit  übergeben  werden  sollen,  sind  der  I.  Band  der  Eni  er 'sehen 
Introdaotio  in  analysin  infinitorum,  Cauchy's  Analyse  alg§brique,  Dio* 
phant's  Arithmetik  mit  den  F  er  manschen  Anmerkungen,  die  Abhand- 
lungen von  Vandermonde.  Vor  einer  üebereilung  der  Diophant- 
Ausgabe  möchten  wir  warnen.  Von  diesem  Schriftsteller  thut  zuerst  eine 
gereinigte  Textausgabe  Noth,  und  bevor  diese  erschienen  ist,  was,  wie  wir 
anzunehmen  Grund  haben,  nicht  gar  lange  mehr  anstehen  dürfte,  ist  es 
sehr  gewagt,  eine  neue  Üebersetzung  herauszugeben. 

Heute  haben  wir  den  Euler 'sehen  Band  vor  uns.  Von  ihm  gilt  in 
ganz  hervorragendem  Maasse,  was  wir  oben  allgemein  sagten.  Das  lateinische 
Original  von  1748  ist  ziemlich  selten  und  durch  zahlreiche  Druckfehler 
entstellt.  Michelsen's  üebersetzung  von  1788  ist  in  einem  Deutsch  ge- 
halten, dem  man  L  es  sing 's  Einwirkung  auf  unsere  Sprache  noch  nicht 
anmerkt.  Es  gehörte  ein  Entschluss  dazu,  das  Werk  in  dieser  Gestalt  zu 
lesen,  und  doch  ist  es  der  Keim,  aus  welchem  die  ganze  moderne  alge- 
braische Analysis  hervorgegangen  ist  und  aus  welphem  noch  weitere  Fol- 
gerungen zu  ziehen  einem  heutigen  fachkundigen  Leser  vielleicht  nicht 
unmöglich,  ja  nicht  einmal  allzu  schwierig  sein  dürfte.  Die  neue  üeber- 
setzung ist,  soviel  wir  sie  ansehen  konnten,  recht  geschmackvoll  und 
keineswegs  so  modemisirt,  dass  sie  eine  blosse  Bearbeitung  darstellte.  Auch 
eine  solche  hätte  ja  beabsichtigt  werden  können,  aber  wir  stimmen  dem 
üebersetzer  und  dem  Verleger  bei,  dass  es  zweckmässiger  war,  die  Treue 
an  das  Original  vollständig  zu  wahren.  Gestattete  man  sich  einmal  Aen- 
derungen,  so  war  es  schwer,  denselben  Grenzen  zu  ziehen,  und  der  Leser 
hätte  alsdann  nicht  vor  sich  gehabt,  was  er  vor  sich  haben  soll:  ein 
Euler'sches  Werk. 

Warum  nur  der  erste  Band  übersetzt  wurde,  der  zweite  dagegen  aus- 
geschlossen bleibt?  Wir  können  diese  Frage  nicht  genügend  beantworten. 
uns  scheint  auch  die  analytische  Geometrie  Euler 's,  und  diese  bietet  der 
n.  Band  der  Introductio,  keineswegs  des  heutigen  Studiums  unwürdig, 
und  insbesondere  diejenigen  Capitel,  welche  Curven  höherer  Ordnung  ge- 
widmet sind,  möchten  als  vergleichende  Nebenstudien  dem  Lesen  der 
Schriften  von  Möbius  und  Plücker  vortheilhaft  an  die  Seite  gestellt 
werden.  Cantor. 

Geometrisohe  Wahrscheinlichkeiten  und    Hittelwerihe.     Von   Emamuel 
CzüBEB.     Mit  115  in  den  Text  gedruckten  Figuren.     Leipzig,  Ver- 
lag von  B.  G.  Teubner.     1884.     VIT,  244  S. 
Vor  fünf  Jahren  hat  der  Verfasser  eine  deutsche  Bearbeitung  der  Vor- 
lesungen über  Wahrscheinlichkeitsrechnung  veranstaltet,  welche  A.  Meyer 
in    den   Jahren    1849 — 1857    an   der   Universität   Lüttich   gehalten    und 


Becensionen.  25 


welche  nach  dessen  Tode  Herr  F.Folie  ebendaselbst  herausgegeben  hatte. 
So  reichhaltig  der  Inhalt  jener  Vorlesungen  war,  eine  Lücke  zeigten  sie 
doch  beim  ersten  Anblick.  Es  fehlten  jene  geometrischen  Betrachtungen 
zur  Lösung  gewisser  Aufgaben  der  Wahrscheinlichkeitsrechnung,  welche, 
von  einigen  vorzugsweise  französischen  und  englischen  Schnftstellem  benutzt, 
eine  Brauchbarkeit  enthüllten,  die  ganz  geeignet  war,  das  theoretische  In- 
teresse an  dem  geistigen  Zusammenbang  scheinbar  so  verschiedener  Gebiete 
zu  erhöhen.  Das  heute  in  unseren  Händen  befindliche  Buch  hat  den  Zweck, 
jene  Lücke  auszufüllen,  indem  es  gerade  mit  den  geometrischen  Wahr- 
scheinlichkeitsbetrachtungen sich  ausführlicher  beschäftigt,  als  es  möglich 
und  gestattet  gewesen  wäre,  wenn  es  nur  um  eine  Abtheilung  eines  grösseren 
Werkes  sich  handelt. 

Die  erste  Vorfrage,  welche  sich  aufdrängt,  ist  die,  ob  jener  Znsammen- 
hang zwischen  den  geometrischen  Gebilden  und  den  Wahrscheinlichkeits- 
grössen,  die  sie  zu  versinnlichen  bestimmt  sind,  ein  nothwendiger  oder  ein 
nur  hypothetischer  ist,  und  der  Verfasser  selbst  ist  ihr  nicht  aus  dem  Wege 
gegangen.  Er  gesteht  S.  7 :  „  Es  ist  wiederholt  vorgekommen ,  dass  Pro- 
bleme über  geometrische  Wahrscheinlichkeiten  und  Mittelwerthe  abweichende 
Lösungen  gefanden  haben.  Der  Grund  hierfür  lag  immer  in  der  verschiede- 
nen Auffassung  des  Begriffes  willkürlich,  dessen  Bedeutung  thatsächlich 
nicht  immer  so  klar  zu  Tage  liegt,  um  Meinungsverschiedenheiten  auszu- 
«chliessen.**  Ein  willkürlicher  Punkt  auf  einer  Corvo  z.  B.,  erläutert  Herr 
C  zu  her,  kann  heissen:  entweder  ein  Punkt,  der  von  dem  nächstgelegenen 
ebenso  willkürlichen  Punkte  eine  curvenmässige  Entfernung  ds  besitzt,  oder 
ein  Punkt,  dessen  Abscisse  um  dx  von  der  des  nächstgelegenen  willkür- 
lichen Punktes  sich  unterscheidet,  oder  ein  Punkt,  dessen  Verschiedenheit 
von  dem  nächstgelegenen  willkürlichen  Punkte  durch  den  Winkel  dd"  ge- 
messen wird,  welchen  die  beiden  vom  Coordinatenanfangspunkt  dorthin 
gerichteten  Leitstrahlen  mit  einander  bilden  u.  s.  w.  Jede  dieser  Annahmen 
setzt  eine  verschiedene  Dichtigkeit  von  gewissen  unendlich  kleinen  Baum- 
grossen ,  eine  gleiche  Dichtigkeit  von  anderen  als  nothwendig  voraus,  aber  es 
sind  nicht  immer  die  gleichen  Baumbestandtheile,  welche  die  gleiche  Bolle 
spielen.  So  muss,  je  nach  der  getroffenen  Wahl,  bald  dieser,  bald  jener 
Werth  sich  ergeben«  Welcher  aber  ist  der  richtige?  Wir  fürchten,  es 
dürfbe  eine  Entscheidung  darüber  meistens  unmöglich  und  die  geometrische 
Betrachtung  dadurch  vielfach  mehr  geistreich  als  zweckmässig  sein.  Schon 
der  Satz  (S.  6),  dass  der  Inhalt  eines  Gebietes  von  n  Variabein  als  ein 
Maass  für  die  Anzahl  der  Werthverbindungen  anzusehen  sei,  welche  dieses 
Gebiet  ausmachen,  also  die  Grundlage  aller  Betrachtungen  ist  nur  dann  wahr, 
wenn  die  Punkte  des  Gebietes  in  einer  ganz  bestimmten  Weise  als  gleich 
dicht  verbreitet  gedacht  werden.  Freilich  hat  dieses  Bedenken  Mathema- 
tiker allerersten  Banges  nicht  abgehalten,  den  erwähnten  Satz  als  selbst- 
verständlich wahr  anzuwenden,   und  wir   benutzen    diese   Gelegenheit  zur 


26  Historisch  -  literarische  Abtheilung. 

Veröffentlichung  einer  ähnlichen,  so  weit  uns  bekannt,  noch  nicht  gedruckten 
Notiz,  welche  aus  einer  Vorlesung  Yon  Gauss  über  die  Methode  der 
kleinsten  Quadrate  aus  dem  Jahre  1850  stammt.  Der  Gegenstand  ist  zwar 
in  der  Becension  von  Gauss:  Einige  Bemerkungen  zu  Vega's  Thesaurus 
Logarithmorum  (Astronomische  Nachrichten  Nr.  756  vom  2.  Mai  1851  und 
Werke,  Bd.  III  S.  257—264)  kurz  berührt,  der  Wahrscheinlichkeitsbetrach- 
tung  aber  dort  nicht  gedacht 

Gauss  verglich  die  Endziffern  von  je  900  aufeinander  folgenden  Loga- 
rithmen von  Sinus,  Cosinus  und  Tangente  der  gleichen  Winkel  auf  ihr 
Geradsein  oder  üngeradsein.  Zunächst  betrachtete  er  jede  Columne  fGlr 
sich  und  fand,  wenn  g^  u  gerade  und  ungerade,  I,  II,  III  der  Reihe  nach 
die  drei  Columnen  bedeuten,  in  I:  449^1  + 451m,  in  II:  459^ +  441  m, 
in  III:  437^  + 463  t/,  also  durchschnittlich  ebenso  oft  ^  als  u.  Betrachtete 
er  I  und  II  gemeinschaftlich,  so  fand  er,  wenn  die  Stellung  der  Buch- 
staben den  Columnen  entspricht,  welchen  die  jedesmaligen  Endziffern 
angehören:  230^^  +  219p t/ +  229 1/^ -h  222m ti,  also  wieder  jede  der  vier 
Möglichkeiten  annähernd  gleich  oft;  dasselbe  traf  zu,  wenn  I  und  III,  so- 
wie wenn  II  und  III  gemeinschaftlieh  betrachtet  wurden.  Nun  untersuchte 
er  die  drei  Columnen  gleichzeitig  und  fand  llSggg  +  IGT guu-i- 176 ugu 
+  \59uug  +  57ggu+  Ö2gug  +  Ö3ugg  -^-GSuuu,  also  eine  so  bedeutende 
Verschiedenheit,  dass  die  vier  ersteren  Combinationen  zusammen  675 mal, 
die  vier  letzteren  zusammen  225 mal  im  Häufigkeitsverhältnisse  3:1  vor- 
kamen.  Diese  im  ersten  Augenblick  auffallende  Abweichung  von  dem 
Gleichmaasse  der  Möglichkeiten  beruht  auf  der  Abhängigkeit  der  in  den 
drei  Columnen  stehenden  Zahlen  von  einander  {logsin=logcos  + ioglng), 
von  welcher"  auch  bei  der  wirklichen  Berechnung  Gebrauch  gemacht  wird. 
Man  müsste  sogar  infolge  dieser  Abhängigkeit  erwarten,  dass  nur  die 
Combinationen  ggg,  guu,  uguy  uug  vorkommen,  und  zwar  annähernd 
gleich  oft.  Dass  auch  die  vier  anderen  Combinationen  vertreten  sind,  hat 
seinen  Grund  darin,  dass  in  allen  drei  Columneo  nicht  genaue,  sondern 
abgekürzte  Zahlen  stehen,  mithin  die  Endziffern  a,  h,  c  dreier  nebeneinander 
befindlicher  Zahlen  eigentlich  a  +  a,  ft+jS,  c  +  y  bedeuten ,  wo  a,  j5  y 
das  zwischen  —  ^  und  +  J  liegende  bei  der  Abkürzung  Vernachlässigte  be- 
deutet, und  nicht  a  =  b  +  c,  sondern  a  +  a^b  +  ß+c  +  y  die  genaue 
Beziehung  zwischen  den  Columnen  darstellt.  Ist  ß  mit  y  verschiedenen 
Zeichens ,  so  ist  sicherlich  |  /5 + y  |  <  i»  mithin  a  =  b  +  c.  Dasselbe  |  /5 + y  |  <li 
kann  auch  eintreten,  wenn  ß  und  y  gleichen  Zeichens  sind,  und  hat  als- 
dann wieder  die  Folge  a^=b  +  c.  Aber  im  Falle  gleichgezeichneter  ß  und  y 
kann  auch  |/3+y|  >4  ^^^^  worauf  a=6  +  c+ 1  entsteht.  Diese  wohl 
zu  unterscheidenden  Fälle  zeichnete  Gauss  in  einer  Figur.  Auf  einem 
rechtwinkligen  in  0  sich  schneidenden  Coordinatenkreuz  ist  0^  =  ^  auf  der 
positiven  Seite  der  Abscissenaxe  aufgetragen.  Die  Stücke  gleicher  Länge 
0^,  OC,  OC  sind  auf  der  negativen  Seite  der  Abscissenaxe,  auf  der  posi- 


Recensionen.  27 

tiyen  und  negativen  Seite  der  Ordinatenaxe  abgemessen.  Parallel  zu  den 
Coordinatenaxen  sind  durch  B  die  ED,  durch  C  die  D D\  durch  ff  die 
D* E\  durch  C  die  E' E  gezogen,  die  das  aus  vier  kleinen  Quadraten  be- 
stehende grössere  Quadrat  DD'E'EhW^en,  Endlich  sind  die  beiden  kleinen 
Diagonalen  BC,  ffC'  gezogen.  Auf  der  Abscissenaxe  sind  die  Werthe  von 
ß,  auf  der  Ordinatenaxe  die  von  y  aufgetragen.  Nun  ist  sofort  klar,  dass 
ungleichgezeichnete  (3  und  y  in  denkleinen  Quadraten  OBE'C'  und  OCD'B\ 
gleichgezeichnete  ß  und  y  mit  der  ^  nicht  überschreitenden  Summe  in  den 
Dreiecken  OBC  und  0  ß'C'  stattfinden.  Gleichgezeichnete  ß  und  y  mit  der 
zwischen  \  und  1  wechselnden  absoluten  Summe  finden  sich  in  den  Dreiecken 
BCD  und  B^C'E'.  Die  beiderlei  Gebiete  haben  daher  Plächenräume ,  die  sich 
wie  3  :  1  verhalten ,  und  ebenso  verh&lt  sich  demnach  das  Eintreffen  von 
a  =  6  +  c  zu  dem  von  a=6+c  +  l,  d.h.  von  den  vier  ursprünglichen 
Combinationen  zu  den  vier  nachträglich  hinzugekommenen.  Es  liegt  auf 
der  Hand,  dass  dabei  die  nicht  ausgesprochene  Hypothese  mit  unterläuft, 
alle  irgend  möglichen  Werthepaare  /3,  y  seien  in  genau  gleichem  Maasse 
möglich. 

Solcherlei  Methoden  sind  es  auch,  die  begreiflicherweise  in  verschie- 
denen Abarten;  bald  durchaus  elementargeometrisch,  bald  Lehren  der 
analytischen  Geometrie  der  Ebene,  und  des  Baumes  voraussetzend ,  die  erste 
Hauptabtheilung  des  Czu herrschen  Buches  füllen.  Ein  zweiter  kürzerer 
Theil  (S.  184 — 244)  handelt  von  den  geometrischen  Mittel werthen.  Die 
Berechtigung  dieser  Aufgaben,  an  dem  gedachten  Orte  behandelt  zu  werden, 
beruht  darauf,  dass  ähnlich  wie  bei  Wahrscheinlichkeiten  es  sich  um  einen 
Quotienten  handelt,  dessen  Zähler  die  Summe  der  Einzelwerthe,  dessen 
Nenner  deren  Anzahl  bedeutet.  So  ist  der  Mittelwerth  einer  Function 
^  =  ^ (.t)  im  Intervalle  a^x<b  sofort 

b  —  a  b- 


^2'»w- 


Jx 

und  bei  stetig  aufeinander  folgenden  x  wird  der  Mittelwerth 

b 


'''=ö^aß^'^'' 


Analytisch  betrachtet,  handelt  es  sich  also  in  diesem  Theile  um  die 
Auswerthung  bestimmter  Integrale,  und  wirklich  ist  der  gleiche  Gegenstand 
von  anderen  Schriftstellern  (z.  B»  Schlömilch,  üebungsbuch  zum  Studium 
der  höheren  Analysis ,  II.  Theil:  Aufgaben  aus  der  Integralrechnung  §§33 
und  34)  zur  Uebung  auf  diesem  Gebiete  benutzt  worden.  iFreilich  geht 
Herr  Czuber  weiter  als  diese  seine  Vorgänger,  indem  er  ein  viel  reicheres 
Material  an  Beispielen  zusammenzustellen  wusste.  Cantor. 


28  Historisch -literarische  Abtheilong. 


Lehrbuch  der  Differential-  nnd  Integralrechnang.     Von  J.  A.  Sebket, 

membre  de  Tinstitut  et  du  bareau  des  longitades.  Mit  Oenehmignng 
des  Verfassers  deutsch  bearbeitet  von  Dr.  Axbl  Habnaok,  Professor 
am  Polytechnikum  zu  Dresden.  Erster  Band.  Differentialrechnung. 
Mit  in  den  Text  gedruckten  Figuren.  Leipzig,  B.  G.  Teubner,  1884. 
X,  567  S. 
Nicht  leicht  wird  ein  Lehrer  an  einer  Hochschule  sich  in  seinen  Vor- 
lesungen an  ein  im  Drucke  vorhandenes  Werk  genau  anschliessen ,  wobei 
wir  nicht  einmal  den  Fall  ausnehmen,  dass  er  selbst  ein  solches  verfasste; 
aber  nicht  leicht  wird  er  auch  darauf  verzichten,  seinen  Schülern  ein 
Druckwerk  zu  empfehlen,  welches  ihnen  zum  Nachlesen  und  Nachschlagen 
diene.  In  kaum  irgend  einem  Gebiete  der  Mathematik  wird  dabei  die 
Qual  der  Wahl  eine  so  grosse  sein,  als  in  der  Differential-  und  Integral- 
rechnung. Sollen  wir  die  Wahrheit  dieser  Behauptung  durch  Namens- 
nennung empfehlenswerther  und  vielfach  empfohlener  Schriften  best&tigen? 
Wohl  kein  Leser  dieser  Zeitschrift  wird  solcher  Bestätigung  bedürfen. 
Heute  haben  wir  nun  ein  Werk  anzuzeigen ,  welches  sicherlich  bald  zu  den 
meistempfohlenen  gehören  wird.  Herrn  Serret's  Lehrbuch  geniesst  in 
Frankreich  eines  wohlverdienten  glänzenden  Rufes.  In  Bussland  wird  es, 
wenn  wir  recht  berichtet  sind ,  ofQciell  dem  Unterrichte  in  der  Differential- 
und  Integralrechnung  zu  Grunde  gelegt.  In  Deutschland  war  es,  so  lange 
nur  der  französische  Text  zugänglich  war,  vielleicht  etwas  weniger  ver- 
breitet als  der  gleichfalls  nur  französisch  vorhandene  Cours  d'analjse  von 
Sturm.  Wir  glauben,  dass  ihm  damit  Unrecht  geschah.  Gewiss  war  das 
Buch  von  Sturm  einmal  vortrefflich.  Wir  bereuen  kein  Wort,  welches 
wir  1864  im  IX.  Bande  dieser  Zeitschrift  zu  dessen  Lob  gesagt  haben. 
Gewiss  würde  Sturm,  wenn  er  nicht  im  Alter  von  erst  52  Jahren  1855 
durch  den  Tod  aus  seiner  Schaffenslust  gerissen  worden  wäre,  sein  Werk 
in  neuen  Auflagen  auf  der  Höhe  der  Wissenschaft  erhalten  haben.  Aber 
den  Herausgebern  des  nachgelassenen  Werkes  verbot  die  Pietät  selbst  jede 
wesentliche  Aenderung,  und  so  können  wir  heute  nur  noch  sagen:  Sturm's 
Buch  war  vortrefflich.  Der  Lehrer  wird  stets  ein  nachahmungswürdiges 
Muster  in  demselben  erkennen ,  dem  Gebrauche  des  Schülers  aber  ist  es  in 
einzelnen  Capiteln  nicht  mehr  zu  genügen  im  Stande.  Herr  Serret  da- 
gegen hat  erst  1879 — 1880  die  IL  Auf  läge  seines  Werkes  neuesten  An- 
forderungen angepasst,  und  dass  die  Zusätze,  durch  welche  der  deutsche 
Bearbeiter  seine  Uebersetzung  bereichert  hat,  die  Strenge  der  Beweisftlh- 
rungen  nur  zu  verstärken  dienten,  wird  Niemand  zweifelhaft  sein,  der  Herrn 
Harnack's  Richtung  aus  seinen  Originalarbeiten  kennt.  Sollen  wir  aas 
dem  I.  Bande,  der  heute  allein  fertig  vorliegt,  besonders  gelungene  Capitel 
hervorheben,  so  bieten  sich  die  Einleitung  und  die  geometrischen  Anwen- 
dungen der  Differentialrechnung  von  selbst  dar.  Dort  wird  namentlich  das 
Unendlichkleine  und  seine  verschiedenen  Ordnungen  so  genügend  behandelt, 


Becensionen.  29 


dass  die  weitere  Bechnnng  mit  Differentialen  eigentlichem  Bedenken  nicht 
mehr  unterliegt,  wenn  auch  Referent  nicht  verschweigen  will,  dass  er  per- 
sönlich es  vorzieht,  Anfänger  nur  mit  Differentialquotienten  rechnen  zu 
lassen,  und  also  darin  Herrn  Serret  nicht  beipflichten  kann.  Die  geome- 
trischen Anwendungen  sind  weitaus  vollständiger  als  in  irgend  anderen 
Differentialrechnungen  und  können  vorzugsweise  empfohlen  werden.  Der 
I.  Band  heisst  der  der  Differentialrechnung  und  enthält  noch  kein  Integi*al- 
zeichen;  dagegen  kommen  Integrirungen  in  grosser  Menge  ohne  jenes 
Zeichen  vor,  statthaft  gemacht  durch  den  frühe  geführten  Beweis  des  Satzes, 
dass  Functionen,  welche  gleiche  Ableitungen  besitzen,  sich  nur  um  eine 
constante  Differenz  unterscheiden  können.  Die  letzten  vier  Druckbogen  ent- 
halten bereits  eine  Einleitung  in  die  Lehre  von  den  Functionen  complexer 
Veränderlichen.  Caktor. 

Graphisch -meohanisohe  Methode  zur  Auflösung  der  numerischen  Gleich- 
ungen. Von  Dr.  C.  Reusghlb,  Professor  an  der  technischen  Hoch- 
schule in  Stuttgart.     Stuttgart,  J.  B.  Metzler.   1884.    IV,  64  S. 

Herr  Mat thi essen  hat  in  seinem  bekannten,  ungemein  reichhaltigen 
Werke  „Grundzttge  der  antiken  und  modernen  Algebra  der  litteralen  Gleich- 
ungen*' (S.  921 — 963)  eine  Anzahl  graphischer  Methoden  zur  Construction 
der  Wurzeln  von  Gleichungen  zweiten,  dritten  und  vierten  Grades  zusam- 
mengestellt. Sie  alle,  so  bemerkt  Herr  Reu  sohle  mit  Recht,  verlangen 
für  jede  besonders  gegebene  Gleichung  eine  besondere  Construction.  Gra- 
phisch-mechanisch könnte  man  dagegen  eine  Methode  nennen,  welche  ge- 
wisse Zeichnungen  auf  Pauspapier  ein  fdr  alle  Mal  herstellen  würde,  die 
alsdann  über  anderen  gleichfalls,  zum  Voraus  gezeichneten  Figuren  ver- 
schoben, durch  dieses  mechanische  Verfahren  die  Gleichungswurzeln  kennen 
lehrte.      Eine  derartige  Methode  ist  die  von  Herrn  Reuschle  erfundene. 

Sei  die  quadratische  Gleichung  x*  +  b  x  +  c=0  zu  lösen.   Ihre  Wurzeln 

stimmen  überein  mit   den  a?-Werthen    des   Gleichungspaares  ^""(^^■t) 

=  ( ^  +  9  )  ^T^^  y  =  *0  Die  zweite  Curve  ist  die  Abscissenaze  des  recht- 
winkligen Coordinatensystems ,  die  erste  ist  eine  Parabel  17'=$,  deren  Axe 
der  früheren  Ordinatenrichtung  parallel  läuft   und  deren  Scheitelpunkt   in 

b  6* 

ir0  =  — ^,  y0  =  c  — j   liegt.     Zeichnet  man  also  jene  Parabel  «?*=5  auf 

Pauspapier,  sowie  ein  rechtwinkliges  Coordinatensystem  auf  Millimeterpapier 
und  legt  jene  vorgeschriebenermassen  auf  dieses ,  so  schneidet  die  Parabel 
die  Abscissenaze  i^  den  beiden  die  reellen  Wurzeln  darstellenden  Punkten. 
Sei  die  cubische  Gleichung  x^+ ba^+ ex  =  d  zn  lösen.  Das  Gleichungs- 
paar y"~(<^'"x)~\^'^9/    ^°^  xy^^d  stellt  die  gleiche  Parabel  «j^=  $ 


30  Historisch- literarische  Abtheilung. 

iß  der  gleichen  Lage,  wie  sie  eben  besprochen  wurde,  und  eine  Hyperbel 

dar,    deren   Asymptoten  unsere  Coordinatenazen  sind.     Letztere  wird   auf 

Millimeterpapier  gezeichnet ,  erstere  darauf  gelegt.  Vier  Durchschnittspunkte 

erscheinen  allerdings,    von   denen  aber  nur  drei  die  reellen  Wurzelwerthe 

der  gegebenen  Gleichung  als  Abscissen  besitzen,  während  der  vierte  Punkt 

(der    CO -ferne  Punkt  der  Ordinatenaxe)  ausser  Betracht  bleibt. 

Sei   eine   biquadratische,   auf  die   Form   a:*  +  bx^+cü:^=e   gebrachte 

Gleichung  zu  lösen.     Sie  wird  wieder  durch  ^wei  Curven  ersetzt,  durch  die 

/       b^\      /         bY 
auf  Pauspapier  gezeichnete  Parabel  y""l^"""T/~\^"^"9/    ^^^  durch  die 

auf  Millimeterpapier  construirten  Curven  dritten  Grades  a:^y=ze.  Von  den 
sechs  Durchschnittspunkten  kommen  zwei  nicht  in  Betracht,  nämlich  der  dop- 
pelt auftretende  oo -  ferne  Punkt  der  Ordinatenaxe,  welcher  Bückkehrponkt 
der  ünicursalcurven  x^y  =  e  ist.  Der  algebraische  Ursprung  dieser  beiden 
und  des  im  vorigen  Beispiel  erwähnten  einen  unendlich  entfernten  Punktes 
ruht  augenscheinlich  darin ,  dass  die  Gleichungen  dritten  und  vierten  Grades 
hier  als  Sonderfälle  von  Gleichungen  vierten  und  sechsten  Grades  mit  Null- 
coefficienten  des  höchsten,  beziehungsweise  der  beiden  höchsten  Glieder 
auftreten. 

Herr  Beuschle  begnügt  sich  selbstverständlich  nicht  mit  den  hier 
gegebenen  Andeutungen.  Er  erörtert  genau  die  verschiedenen  Schwierig- 
keiten, welche  sich  darbieten  können.  Er  dehnt  seine  Methode  anf 
Gleichungen  fünften,  sechsten,  siebenten  Grades  aus,  bei  denen  weniger 
einfache  Curven  zum  Schnitte  gelangen.  Er  zeigt,  wie  auch  noch  anders 
als  hier  besprochen ,  eine  Gleichung  als  Eliminationsresultante  zweier  Gleich- 
ungen aufgefasst  werden  kann,  so  dass  die  Pauspapiercurve  anders  ge- 
staltet nicht  mehr  jene  einfache  Parabel  ist.  Der  Grundgedanke  bleibt 
aber  stets  unverändert  und  dürfte  in  seiner  Einfachheit  dem  anspruchslosen, 
hübsch  ausgestatteten  Büchlein  Leser  und  Freunde  zu  erwerben  im 
Stande  sein.  Cantor. 

Ueber    Beta-    und    Oammafunotionen.      Von    Dr.  J.  Antom  Schobloch. 
Halle,  Louis  Nebert.     1884.     4^.     HS. 
Ausgehend    von    den    bekannten   Gleichungen    und   Formeln    fQr    die 
Eul  er 'sehen    Integrale    leitet     der    Verfasser    unter    Zuhilfeziehung    von 

OD 

/  (  c— «*— e— *' j— ^  =  /o^—  einige  neue   Integralformeln    ab,    z.B.  die 

0 

für  ganzzahlige  a,  b  und  k  giltige  Gleichung: 

k-l\  L(''-I)!j     /f*) 


B{,,a+l}B(b,.  +  ^...ß(,,.  +  t^) 


Recensionen.  31 


Das    Hauptgewicht    legt    der  Verfasser    auf    eine    Function  if>  (m ,  ;i) 


=/^ 


=  /  a;"'""*^"*"^^;,    welche,  wie  sie  eine  Verallgemeinerung   der  Gamma- 

0 

fanction  ist ,    in   die  sie  bei  n  =  1   übergeht ,   auch  auf  Gammafunctionen 
sich  zurückführt.    Die  Substitution  oc^=y  führt  nämlich  jenes  Integral  in  die 

Form  -  i  y*      e-ydy  über,  mithin  ist  if;(in,n)  =  — T— •    Für  die  if;-Func- 
nj  n      n 

0 

tionen  wird  das  Productentheorem  bewiesen: 

^ (w,  A;) .  -^ (in+n, Ä) .  t(; (m  +2w, k).,.  ^  (m+  {q - 1)  «, äj) 
Daraus  folgt  dann  wieder  durch  Umsetzung  in  Gammafunctionen 


r(*?^)  .  j(^+^)  . .  ^/n>+(j)~l)fe\ 


n-t  x7  \«ÜL4-lL?-£±5 


r(^).r(!^)...(=±<|=lL-) 


=  2«  » 


V*yr+¥ 


tl) 


eine  Erweiterung  des  Gauss 'sehen  Productentheorems ,  aus  welcher  letzteres 
durch  g  =  l,  Ä:  =  l,  |>  =  w,  m^an  hervorgeht.  Cantob. 


Ueber  die  quadratischen  und  oubisohen  Oleiohnngen  mit  besonderer 
Berücksichtigung  des  irreducibeln  Falles  bei  den  letzt-eren.  Von 
Professor  C.  Hellwig,  Oberlehrer  am  Realgymnasium  zu  Erfurt. 
Erfurt,  Verlag  von  Carl  Villaret.     1884.     41  S. 

Wer  diese  Schrift  zu  beurtheilen  wünscht,  ist  durch  den  Mangel  jeg- 
licher Vorrede  in  eine  missliche  Lage  versetzt.  Er  kann  nämlich  nicht 
die  Absichten  des  Verfassers  aus  dessen  eigenen  Erklärungen  entnehmen, 
und  ebenso  wenig  gehen  dieselben  aus  dem  Schriftchen  selbst  hervor.  Einem 
Gymnasialschüler  wird  man  nicht  leicht  ein  besonderes  Büchelchen  als  Leit- 
faden für  den  Unterricht  in  einem  einzelnen  Capitel  in  die  Hand  geben. 
Einem  Gymnasiallehrer  sagt  das  Büchelchen  zu  wenig  Neues;  soll  es  ihm 
aber  ein  didaktisches  Muster  geben,  wie  er  vorschlagsweise  den  behandelten 
Gegenstand  unterrichten  solle ,  so  mässten  wir  ihn  doch  mahnen ,  dem  Bei- 
spiele nur  vorsichtig  und  nicht  unter  strenger  Nachahmung  zu  folgen.  Was 
braucht  es  S.  13  eine   Reihenentwickelung,   um  die  eine  unendlich  grosse 

Wurzel  der  Gleichung  ax^=^hx  +  c  bei   a  =  0  kennen  zu  lehren,    wo  die 

o - 
landläufige   Umformung  der  beiden  Wurzel werthe  x.  =    , und 


32  Historisch- literarische  Abtheilung. 

—  2c 

^n=  vollkommen  ausreicht?    Wem  soll  S.  16  die  Ableituni? 

yb^  +  4tac+h 

des  Moiyre 'sehen  Theorems  genügen?  Beachtenswerth  dagegen  dürfte  die 
S.  33  gelehrte  Herleitung  der  Ferro 'sehen  Formel  sein.  Die  aufzulösende 
cubische  Gleichung  ist  in  der  (jestalt  a;^+3aa;  =  2&  gegeben,  aus  welcher 
auch  ir*+3aa;  — 1;*=  26  — v*  folgt.  Nun  ist  (a;— r)'=a^  +  3t;(t;— a;)a;— t?*, 
folglich  liefert  die  Voraussetzung  v(v^x)=a  die  neue  Gleichung  (x—v)^ 
=  26— v^  und  diese  aJ  =  t;  + ^26  —  i;*.  Der  eben  gefundene  Werth  von 
X  giebt  aber  jener  Voraussetzung  die  Gestalt  ^v/2b  —  i;^s=  a,  woraus 
«;ö-25t;»  =  a»,  f^  =  b+j/b*+a^,  2b^v^^b  +  yb'2+a^  folgt,  und  diese 
Werthe  wieder  in  x  =  v  +  y2b-v^  eingesetzt,  liefert  endlich  eben  die 
Ferro 'sehe  Formel.  Die  Auflösung  der  cubischen  Gleichungen  mit  Hilfe 
trigonometrischer  Functionen  8.38 — 41  hätte  wohl  in  etwas  mannich- 
faltigerer  Weise  behandelt  werden  dürfen,  wozu  es  an  Stoff  sicherlich  nicht 
fehlt,  wie  Matthiessen's  Grundzüge  der  antiken  und  modernen  Algebra 
der  litteralen  Gleichungen  8.888  —  912  beweisen.  Cantob. 


Theorie  des  approximations  numdriques.  Notions  de  calcul  approzimatif 
par  Ch.  Galopin  -  Schaub,  Docteur  ^s  sciences  math^matlques  (de  la 
Facult6  de  Paris).  Genöve,  H.  Georg.  1884.  50  8. 
Wir  haben  Bd.  XXVI.  hist.-lit.  Abthlg.  8. 149  —  150,  über  Ruchonnet, 
Elements  de  calcul  approximatif,  berichtet.  Ohne  mit  jenem  sehr  empfehlens- 
werthen  Büchlein  sich  zu  decken ,  ist  die  uns  heute  vorliegende  Abhandlung 
doch  nicht  als  ganz  unabhängig  von  demselben  zu  bezeichnen.  Herr 
Galopin  verweist  sogar  wiederholt  und  mit  Recht  auf  seinen  Vorgänger. 
Wir  wollen  die  Veröffentlichung  des  Herrn  Galopin  nicht  gerade  als 
überflüssig  bezeichnen,  allein  wir  ziehen  die  ältere  Schrift  von  etwa  dop- 
peltem umfange  der  jüngeren  vor.  Letztere  ist  naturgemäss  etwas  dürf- 
tigeren Inhaltes  und  empfiehlt  sich  auch  nicht  durch  die  fdr  unseren  Ge- 
schmack sehr  schwerföllige  Bezeichnung.  Man  denke  n.e  als  genauen 
Werth  einer  Zahl,  n.a  als  angenäherten  Werth  derselben,  e,a  fds  den 
absoluten,  e.r  als  den  relativen  Fehler.      Nun   kommen  Formeln  vor  wie 

1  fh     6 

e.r<C und  wie  n.e  — «,a<C— ^'      Es    wird    wohl   jedem    Leser 

loP.n.o  ♦» 

schwer  fallen,  dabei  die  erwähnten  stenographischen  Zeichen  von  den  ge- 
wöhnlichen Operationszeichen,  mit  denen  vermischt  sie  auftreten,  zu  unter- 
scheiden. Cantor. 


Recensionen.  33 

Saggio  di  aritmetioa  non  deoimale  con  applicazioni  del  calcolo  duode- 
cimale  e  trigesimale  a  problemi  sni  numeri  complessi.  Monografia 
di  ViTTOEio  Gbünwald.  Verona  1884,  H.  P.  Münster.  69  pag. 
Wir  haben  im  XXVII.  Bande  dieser  Zeitschrift,  hi8t.-lit.  Abthlg. 
S.  192,  ein  Programm  von  Herrn  Hnnrath:  „Aufgaben  zum  Rechnen  mit 
Systemzahlen'',  angezeigt,  mit  dessen  Inhalt  die  in  italienischer  Sprache 
yerfasste  Abhandlung  des  Herrn  Grünwald  nahezu  übereinstimmt,  gleich- 
zeitig auch  die  Fragen  behandelnd,  welche  bei  Herrn  Haas  „Theilbarkeits- 
regeln"  (angezeigt  Bd.  XXIX  hist.-lit.  Abthlg.  S.  146)  zur  Sprache 
kommen.  Von  dieser  Abhandlung  gilt  in  gleichem  Maasse,  dass  sie  ganz 
interessante  Sfttze  in  sich  schliesst,  die  der  Lehrer  an  der  Mittelschule  als 
Beispiele  beim  Rechenunterricht  zu  verwenden  in  die  Lage  kommen  kann. 
Auch  in  einer  Vorlesung  über  Zahlentheorie  mögen,  falls  die  Zeit  dazu 
reicht,  ein  bis  zwei  Stunden  füglich  damit  auszufüllen  sein.  Die  numeri 
complessi,  von  welchen  der  Titel  spricht,  sind  sogenannte  benannte 
Zahlen  und  haben  mit  unseren  complexen  Zahlen  Nichts  zu  schaffen.  Die 
geschichtlichen  Bemerkungen  wird  man,  als  einer  längst  überholten  Zeit 
geschichtlicher  Forschung  angehörend ,  am  besten  überschlagen.     Caktob 


Table«  de  logarithmes  k  six  d^cimales  construites  sur  un  plan  nouveau 
par  Adolphe  Bbnoist,  docteur  en  droit,  membre  de  la  soci6t6  math6- 
madque  de  France«  Paris,  Librairie  Ch.  Delagrave.  XXXIV,  391 S. 
Die  zweisprachig,  französisch  und  deutsch,  je  einen  Druckbogen  fül- 
lende Vorrede  erläutert  die  drei  neuen  Gesichtspunkte ,  auf  welche  der  Ver- 
fasser sein  Augenmerk  richtete,  und  welche  ihm  wichtig  genug  schienen, 
sie  im  Titel  als  einer  neuen  Einrichtung  entsprechend  ausdrücklich  zu  er- 
wähnen. Erstlich  sind  die  sogenannten  Proportionaltheile  im  Drucke  so 
angeordnet,  dass  auch  beim  Aufsuchen  der  Zahlen  zu  gegebenen  Logarithmen 
ihre  Benutzung  erleichtert  erscheint;  zweitens  sind  die  Logarithmen  der 
Sinus  und  Tangenten  kleiner  Winkel  in  der  den  Zahlenlogarithmen  ge- 
widmeten ersteren  Abtheilung  des  Bandes  abgedruckt,  wo  ihnen  der  jeweil 
sechste  Theil  jeder  Seite  unten  eingeräumt  ist ;  drittens  sind  die  Logarithmen 
der  trigonometrischen  Functionen  in  Winkelzwischenräumen  von  10''  derart 
gedruckt,  dass  für  jede  Function  eine  Seite  doppelten  Eingangs  vorhanden 
ist,  die  Winkelminuten  jedes  Grades  unter  einander,  die  10  Secunden- 
ünterabtheilungen  in  parallelen  Columnen  neben  einander.  Natürlich  ist  die 
Seite  eines  Sinus  zugleich  die  eines  entsprechenden  Cosinus,  z.  B.  dem 
Kopfe  der  Seite  sin  83^  entspricht  am  Fussende  cos  6^  mit  rechts  auf- 
steigenden Minuten  und  von  rechts  nach  links  sich  erhöhenden  Columnen. 
Wir  können  nicht  sagen ,  dass  diese  Neuerungen  uns  sehr  entzücken,  wenn 
wir  damit  auch  nur ,  wie  bei  allen  Geschmackssachen ,  ein  persönliches  ür- 

Hist.-lit.  Abthlg.  d.  Zeitsohr.  f.  Math.  a.  Phys.  XXX,  1.  8 


34  Historisch -literarische  Abtheilung. 

theil,  keinen  Tadel  aussprechen  wollen.  Proportionaltheile  schlagen  wir 
überhaupt  niemals  auf,  sondern  rechnen  sie  in  jedem  einzelnen  Falle  selbst 
aus.  Die  Logarithmen  kleiner  Bögen,  beziehungsweise  deren  trigonometrischer 
Functionen  scheinen  uns  in  die  zweite,  nicht  in  die  erste  Abtheilung  des 
Bandes  zu  gehören.  Endlich  die  erwähnte  Anordnung  dieser  zweiten  Ab- 
theilung hat  allerdings  die  nicht  unbedeutende  Bequemlichkeit,  dass  man 
proportionelle  Zwischenrechnungen  fast  vollständig  zu  umgehen  im  Stande 
ist,  wenn  die  Winkel,  wie  dies  die  Praxis  mit  sich  bringt,  höchstens  auf 
Secunden  genau  bekannt  sind;  dafür  tritt  aber  die  unseres  Dafürhaltens 
grössere  Unbequemlichkeit  ein,  dass,  wenn  der  Cosinus  eines  Winkels  zu 
suchen  ist,  der  durch  seine  Tangente  etwa  gegeben  ist,  was  bei  Hilfs- 
winkeln  gar  nicht  so  selten  vorkommt,  regelmässig  umgeblättert  werden 
muss.  Der  Preis  der  neuen  Tabelle  beträgt  10  Francs,  die  Ausstattung 
ist  gut.  Cantor. 

Fünfstellige  logarithmisohe  und  trigonometrische  Tafeln  nebst  einer  grös- 
seren Anzahl  von  Hilfstafeln.     Herausgegeben  von  Dr.  Adolf  Grevb, 
Oberlehrer  am  Karls  -  Gymnasium  zu  Bernburg.    Bielefeld  und  Leipzig 
1884,  bei  Velhagen  &  Klasing.    IV,  171  S. 
Wenn  diese  Tafeln  an  Correctheit  ebenso  den  anderen  Tabellenwerken, 
deren  der  Schulgebrauch  sich  zu  bedienen  pflegt,  gleich  kommen,  wie  sie 
dieselben  an  vollendeter  Ausstattung,  zu  der  wir  insbesondere  die  grossen, 
fetten,   das  Auge  nicht  ermüdenden  Typen  rechnen,   übertrifft,   so  werden 
die  Gre versehen  Logarithmen  sich   bald  verbreiten,   um  so  mehr,  als  die 
Verlagshandlung  den  gebundenen  Exemplaren   den   Preis  von   nur  2  Mark 
aufgedruckt  hat.    Ob  die  nöthige  Correctheit  aber  vorhanden  ist,  dass  muss 
die  üebung  oder  eine  mühsame  und  zeitraubende  Vergleichung  zeigen,  zu 
der  Referent  sich  nicht  eignet.    Nur  in  den  ziemlich  zahlreichen  Hilfstafeln 
ist  uns  bei  flüchtigem  Durchblättern  auf  S.  36  ein  garstiger  Druckfehler 
in   der  Reihe  für  loga  {l  —  x)  aufgefallen.     Hoffen  wir,  die  Correctur  der 
eigentlichen  Logarithmen  möge  sorgfältiger  ausgeführt  sein.         Cantor. 


Lehrbuch  der  Experimentalphysik.  Von  Dr.  Wüllner.  2.  Band:  Lehre 
vom  Licht.  4.  Aufl.  Leipzig  1883.  704  S. 
Die  Lehre  vom  Licht  wird  in  zwei  Abschnitten  dargestellt:  der  erste 
behandelt  die  Ausbreitung  und  Wahrnehmung  des  Lichts,  der  zweite  die 
theoretische  Optik.  Zuerst  kommt  die  geradlinige  Fortpflanzung  des  Lichts 
und  seine  Geschwindigkeit;  wie  man  sich  in  der  ündulationstheorie  die 
geradlinige  Bewegung  zu  denken  hat,  wird  erst  später  bei  der  Beugung 
auseinandergesetzt     Die  Zurückwerfung  und  Brechung  des  Lichts   wird  in 


Recensionen.  35 

der  gewöhnlichen  Weise  behandelt,  ohne  Bücksicht  auf  die  geometrische 
Aenderung  der  Lichtbüschel ,  für  welche  nur  in  Anmerkungen  ein  Theil  der 
Literatur  angegeben  wird.  Auch  das  Bild  eines  leuchtenden  Punktes  in 
einem  dichteren  Mittel  wird  immer  noch  behandelt,  als  ob  nur  Strahlen  in 
der  Einfallsebene  von  demselben  ins  Auge  gelangten.  Bei  der  Dispersion 
werden  die  neueren  Theorien  von  Sellmeier  und  Helmholtz  auseinander- 
gesetzt und  an  beobachteten  Brechungsezponenten  und  an  den  anomalen 
Spectren  geprüft.  Die  Brechung  in  einem  System  centrirter  Eugelflächen 
und  die  Lehre  von  den  Cardinalpunkten  wird  analytisch  behandelt;  doch 
kommen  bei  den  Linsen  auch  einige  Constructionen  vor,  wobei  nur  die  Fälle, 
wo  Knotenpunkte  und  Hauptpunkte  zusammenfallen  und  wo  nicht,  zu  wenig 
scharf  getrennt  sind.  Li  den  Figuren  84—87  ist  bald  angenommen,  dass 
beide  Punktepaare  zusammenfallen,  bald  nicht;  daher  ist  auch  der  letzte 
Absatz  S.  249  schwer  zu  verstehen:  soll  er  eine  Correctur  oder  eine  Er- 
weiterung enthalten?  In  Wirklichkeit  hat  ja  das  System  der  Fig.  87  be- 
sondere Knotenpunkte. 

Ein  folgendes  Capitel  ist  der  Absorption  und  Emission  des  Lichts 
gewidmet  und  der  Spectralanalyse ,  einem  Oebiete,  auf  dem  der  Verfasser 
vor  Allem  zu  Hause  ist.  Daran  schliesst  sich  die  Fluorescenz  und  Phos- 
phorescenz,  sowie  die  chemische  Wirkung  des  Lichts.  Es  folgt  die  Wahr- 
nehmung des  Lichtes  und  die  Beschreibung  des  Auges ,  das  Stereoskop  wird 
kurz  berührt,  auch  Einiges  über  Mikroskop  und  Fernrohr  mitgetheilt  (auf 
9  Seiten  von  den  700  des  ganzen  Bandes).  Wir  vermissen  hier  namentlich 
die  Anwendung  der  Cardinalpunkte ,  um  den  optischen  unterschied  von 
beiden  klarzulegen. 

Der  zweite  Abschnitt  enthält  die  theoretische  Optik.  Der  FresneTsche 
Spiegelversuch  wird  gegenüber  den  Einwendungen  von  H.  F.  Weber  als 
reine  Interferenzerscheinung  festgehalten.  Bei  den  Beugungserscheinungen 
werden  die  Beobachtungsarten  von  Fresnel  und  Fraunhofer  aufgeführt 
und  die  Wirkung  der  durchsichtigen  Schirme  nach  Quincke  dargelegt, 
auch  die  Grösse  der  Wellenlängen  angegeben.  Bei  der  Polarisation  werden 
die  bei  der  Zurückwerfung  und  Brechung  auftretenden  Erscheinungen  an 
durchsichtigen  Körpern  und  an  Metallen  und  stark  absorbirenden  Mitteln 
ausführlich  besprochen.  Dann  folgt  die  Doppelbrechung  des  Lichts,  die 
Sätze  von  Huyghens,  die  Theorie  FresneTs.  Das  letzte  Capitel  ist  der 
Interferenz  des  polarisirten  Lichts  gewidmet,  wozu  auch  die  Circularpolari- 
sation  und  die  Saccharimetrie  gezogen  wird.  p^  Zboh. 


Repertorium  der  deutschen  Meteorologie.    Von  G.  Hellmann.     Leipzig 
1883.     992  Halbseiten. 
Diese   verdienstliche  Arbeit  ist  aus  einem  Plane  des  internationalen 
Meteorologencongresses  in  Rom  1879  hervorgegangen,  eine  allgemeine  me- 


36  Historisch -literarische  Abtheilung. 

teorologische  Bibliographie  herauszugeben.  Dr.  Hellmann  war  mit  den 
Vorarbeiten  für  Deutschland  beauftragt  und  giebt  nun  seine  Arbeit ,  da  der 
ganze  Plan  nicht  zu  Stande  kam,  als  selbstständiges  Werk  ins  Publicum. 
Der  erste  Theil  enthält  den  Katalog  der  Schriften  und  Erfindungen,  und 
zwar  zuerst  die  Autoren  mit  kurzen  biographischen  Angaben,  ihre  Schriften 
und  Erfindungen;  dann  ein  Sachregister  zu  den  Schriften  und  Erfindungen. 
Im  zweiten  Theile  folgt  ein  Katalog  der  Beobachtungen,  zuerst  die  Station^i 
und  ihre  Beobachtungsreihen,  dann  ein  Sach-  und  Personenregister,  die 
Beobachtungsstationen  und  die  Beobachter.  Der  dritte  Theil  endlich  ent- 
hält den  Umriss  einer  Geschichte  der  meteorologischen  Beobachtungen  in 
Deutschland. 

Bei  diesem  ümriss  wird  die  Geschichte  in  drei  Perioden  getheilt,  die 
Periode  der  Aufzeichnungen  der  Witterungserscheinungen  ohne  Instrumente 
zu  verwenden,  bis  zur  Erfindung  von  Thermometer  und  Barometer,  also 
bis  gegen  die  Mitte  des  17.  Jahrhunderts;  die  zweite  Periode  instrumen- 
teller  Beobachtungsreihen  Einzelner  (als  erste  wird  die  vom  Tübinger  Pro- 
fessor Camerarius  herrtLhrende  seit  1691  angeführt)  und  die  dritte  Periode 
der  Organisation  des  meteorologischen  Dienstes  durch  den  Staat,  beginnend 
mit  der  Societas  meteorologica  Palatina  1780 — 1792. 

Zum  Schlüsse  sind  noch  statistische  Resultate  angehängt  über  Zahl  und 
Berufsart  der  Beobachter,  die  Dauer  ihrer  Beobachtungsreihen  u.  s.  w. 

Das  Werk  in  seiner  praktischen  Anlage  erleichtert  jedem  Meteorologen 
seine  Aufgabe  und  giebt  ihm  häufig  Aufschluss,  wo  alle  anderen  Mittel 
fehlgehen.  Die  meteorologischen  Beobachtungen  namentlich  früherer  Zeit 
sind  so  zerstreut,  dass  dem  Meteorologen  selbst  für  die  ihm  nächstliegenden 
Gebiete  ein  Quellennachweis  hocherwünscht  ist.  p    ^ech. 


Blemente  der  reinen  Mechanik.    Von  Dr.  Fikgeb.    Wien  1884. 

Bis  jetzt  ist  erst  eine  Lieferung  ausgegeben  von  dem  Werke,  das  als 
Vorstudium  für  analytische  Mechanik  und  mathematische  Physik  dienen  soll 
und  aus  Vorträgen  des  Verfassers  entstanden  ist.  Der  Verfasser  betrachtet 
die  Mechanik  als  physikalische  Wissenschaft,  die  auf  den  drei  empirischen 
Grundsätzen  Newton's  fusst,  auf  dem  Princip  der  Trägheit,  dem  der 
unveränderlichen  relativen  Wirkung  und  dem  der  Wechselwirkung.  Die 
erste  Lieferung  behandelt  die  Statik  und  Dynamik  des  materiellen  Punktes. 

P.  Zech. 

Die  Function  des  parabolischen  Cylinders.    Von  Dr.  Babr.    Cüstrin  1883. 
32  Seiten. 

Die  Abhandlung  enthält  die  Integration  der  Potentialgleichung  {/flV^O) 
für  einen  wulstförmigen  Körper,  der  eine  Cardioide  zur  Directrix  und  ihren 


Becensionen.  37 

Bttckkehrpunkt  zum  Pol  hat,  d.  h.  einen  Körper,  der  durch  Kreise,  senk- 
recht zur  Ebene  der  Curve  über  der  Verbindungslinie  des  Pols  mit  den 
Punkten  der  Curve  als  Durchmessern  beschrieben,  gebildet  wird.  Die  bei 
der  Integration  verwendeten  Functionen  werden  als  Functionen  des  parabo< 
lischen  Cjlinders  bezeichnet.  p  2bch 


Versnoh  eines  allgemeinen  Oesetzes  ILber  die  speoifisohe  Wärme.  Von 
Joachim  Sperbbb.  Zürich  1884.  32  S. 
Der  Verfasser  sucht  das  Oesetz  von  Dulong  und  Petit  über  Atom- 
wKrme  und  specifische  Wärme  durch  ein  allgemeineres  und  allgemeiner  gel- 
tendes zu  ersetzen.  Er  setzt  voraus:  jedes  Molekel  ist  eine  Kugel,  deren 
Durchmesser  ist  die  Molekelgrösse,  d«  h.  die  Anzahl  Atome  im  Molekel. 
Jedes  Molekel  ist  von  einer  Aetherhülle  von  gleichem  Durchmesser,  wie  das 
Molekel,  umgeben  (wie  das  zu  verstehen  ist,  ist  nicht  gesagt).  Einen 
Körper  erwärmen  heisst  die  Aetheratmosphären  verdünnen :  die  dazu  nöthige 
Arbeit  ist  um  so  grösser,  je  grösser  die  Aetherhülle,  um  so  kleiner,  je 
dichter  der  Aether  ist;  denn  „dichterer  Aether  lässt  sich  leichter  verdünnen". 
Somit  ist  die  specifische  Wärme  umgekehrt  proportional  dem  Molekular- 
gewicht, und  direct  proportional  dem  Quadrat  der  Molekulargrösse,  oder 
dem  Atomgewicht  umgekehrt,  der  Molekulargrösse  direct  proportional.  Dieser 
Satz  wird  nun  nach  verschiedenen  Richtungen,  insbesondere  auf  dem  Ver- 
dampfungsgebiet auszuführen  gesucht  Das  Schriftchen  gehört  zu  denjeni- 
gen ,  in  welchen  die  Phantasie  überwiegt  (vergl.  auch  die  Figur  am  Schlüsse). 

P.  Zech. 

Bie  elektromagneüsehe  Theorie  des  Lichts.  Von  Tumlirz.  Leipzig  1883. 
158  Seiten. 
Das  Buch  soll  dem  Studirenden  ein  möglichst  vollständiges  Bild  von 
dem  gegenwärtigen  Stande  der  elektromagnetischen  Theorie  des  Lichts  geben. 
Dasselbe  behandelt  die  Haupteigenschaften  der  Dielektrica,  die  Potential- 
function  der  elektromagnetischen  Kräfte  und  das  elektrodynamische  Poten- 
tial im  ersten  Theile  nach  den  Arbeiten  von  Maxwell  und  Helmholtz. 
Der  zweite,  grössere  Theil  ist  dem  Lichte  gewidmet.  Es  werden  die  im 
ersten  Theile  gewonnenen  Ausdrücke  fdr  Strömungen  auf  die  Ausbreitung 
des  Lichts  angewendet  und  die  Gleichheit  der  in  Weber 's  elektrodyna- 
mischer Formel  enthaltenen  Geschwindigkeit  mit  der  des  Lichts  nachgewie- 
sen, femer  dass  das  Quadrat  des  Brechungscoefficienten  gleich  der  Dielek- 
tricitätsconstante  ist.  Es  wird  die  Beflexion  und  Brechung  des  Lichts  als 
identisch  mit  dem  Verhalten  elektrischer  Strömungen  an  der  Grenze  zweier 
Mittel  nachgewiesen,  es  werden  die  FresneTschen  Formeln  für  die  Inten- 
sität des  Lichts  aus  den  elektrischen  Formeln  abgeleitet,  die  Continuitäts- 


38  Historisch -literarische  Abtheilong. 

bedingungen  und  die  Erhaltung  der  Energie  untersucht.  Den  SchlusB  bildet 
die  Beflexion  und  Brechung  an  der  Grenze  einer  senkrecht  zur  Axe  ge. 
schnittenen  einazigen  Erjstallplatte.  Bei  den  noch  so  weit  auseinander- 
gehenden Anschauungen  über  die  Lichtbewegung  in  krystallinischen  Mitteln 
ist  eine  Bearbeitung  von  anderer  Seite  her  zur  Aufklärung  von  grosser 
Bedeutung.  Der  Verfasser  hat  sich  das  Verdienst  erworben,  eine  solche 
Aufklärung  den  Studirenden  zugänglicher  gemacht  zu  haben.       p^  Zech. 


Das  Mikroskop  und  seine  Anwendung.  Von  Dr.  Dippel.  2,  Auflage, 
dritte  Abtheilung  des  ersten  Theils.  Braunschweig  1883.  289  S. 
Die  zwei  ersten  Abtheilungen  sind  früher  besprochen  worden.  Die 
vorliegende  dritte  Abtheilung  beschäftigt  sich  mit  der  Praxis  des  Mikro- 
skops, mit  der  Herrichtung  der  Präparate ,  Methode  der  Beobachtung,  Mes- 
sung, Anwendung  des  polarisirten  Lichts  und  des  Spectroskops ,  endlich 
der  Zeichnung  und  Aufbewahrung  der  Präparate,  und  giebt  eine  Fülle  von 
Anweisungen  für  den  eigentlichen  Praktiker.  p.  Zech. 


Bibliographie 

vom  1.  November  bis  15.  December  1884. 


Periodisohe  Sokriften. 

Sitzungsberichte  der  mathem.-phys.  Classe  der  königl.  bayer.  Akademie  der 
Wissenschaften  zu  München.     Jahrg.  1884,  Heft  3.     München,  Franz. 

1  Mk.  20  Pf. 

Denkschriften  der  kaiserl.  Akademie  der  Wissenschaften  in  Wien,  mathem.- 

naturwissenschafll.  Cl.     48.  Bd.     Wien,  Gerold.  45  Mk. 

Sitzungsberichte  der  kaiserl.  Akademie  der  Wissenschaften,  mathem.- natur- 

wissenschaftl.  ca.     2.  Abth.     90.  Bd. ,  1 .  u.  2.  Heft.     Ebendas. 

5  Mk.  60  Pf. 

Verhandlungen  der  vom  15.  bis  24.  Octob^r  1883  in  Eom  abgehaltenen 

7.  allgemeinen  Conferenz  der  europäischen  Gradmessung,  redigirt  von 

A.  HmsoH  und  Th.  v.  Oppolzeb.    Berlin ,  G.  Eeimer.  30  Mk. 

Annalen  der  Münchener  Sternwarte.    14.  Supplementband.   München,  Franz. 

4  Mk.  60  Pf. 

Beobachtungen,    angestellt  am  astrophjsikal.  Observatorium  in  0-Gyalla, 

herausg.  von  N.  v.  Konkoly.    6.  Bd.  (Beob.  v.  1883.)    Halle,  Schmidt. 

18  Mk. 


Bibliographie.  39 


Astronomische  Nachrichten,  heransgeg.  v.  A.  Krüger.     110.  Bd.  (24  Nm.)^ 
Nr.  2617.     Hamburg,  Mauke  Söhne.  compl.  J5  Mk. 

Vierteljahrsschrift  der  astronomischen  Gesellschaft ,  herausgeg.  v.  E.  Schön- 
feld u.  H.  Seeliger.    19.  Jahrg. ,  3.  Heft.    Leipzig ,  Engelmann.   2  Mk. 

Repertorium  der  Physik,  herausgeg.  v.  F.  Exner.  20.  Bd.  (12  Hefte),  1.  Heft. 
München,  Oldenbourg.  compl.  24  Mk. 

M6moires    de  Facad^mie  de  St.  Petersbourg.     7.  s6rie,   t.  32,   livr.  6 — 12. 
Leipzig,  Voss.  11  Mk.  50  Pf. 

M^langes  math^matiques  et  astronomiques,  tir^s  du  buUetin  de  Tacad^mie 
de  St.  Petersbourg.     T.  6,  livr.  2.     Leipzig,  Voss.  1  Mk.  20  Pf. 

M^langes  physiques  et  chimiques  etc.     T.  12,  livr.  1  et  2.     Ebendas. 

1  Mk.  60  Pf. 
Oeschichte  der  Mathematik. 

Cantor,  M.,  üeber  den   sogenannten  Seqt  der  ägyptischen  Mathematiker. 
(Akad.)     Wien,  Gerold.  20  Pf. 

Reine  Mathematik. 

EvLER,  L.,  Einleitung  in  die  Analysis  des  Unendlichen;  deutsch  von  H. 

Maser.     l.Thl.     Berlin,  Springer.  7  Mk. 

B0BEK9  K.,  Einleitung  in  die  Theorie  der  elliptischen  Functionen.    Leipzig, 

Teubner.  4  Mk.  80  Pf. 

Krüger  ,  L. ,  Die  Verwendung  des  Eettenbruchs  zu  einer  bequemen  Berech- 
nung der  Quadratwurzelfunction,  Wolfenbüttel,  Zwissler.  60  Pf. 
Gegenbauer,  L.,   üeber  Determinanten  höheren  Banges.     (Akad.)     Wien, 

Gerold.  50  Pf. 

MjSray,  C,   Exposition  nouvelle  de  la  th^orie  des  formes  lin^aires  et  des 

d^terminans.     Paris,  Gauthier -Villars.  3  Frs. 

KÖTTER,  E.,  Beiträge  zur  Theorie  der  Osculationen  an  ebenen  Curven  dritter 

Ordnung.     BerHn,  Mayer  &  Müller.  1  Mk.  80  Pf. 

David,  M.,  üeber  eine  geometrische  Verwandtschaft  zweiten  Grades  und 

deren  Anwendung  auf  Curven  vierter  Ordnung  mit  drei  Doppelpunkten. 

(Dissert.)     Breslau,  Preuss  &  Jünger.  2  Mk. 

D'OviDio,  E.,  Geometria  analytica.     Parte  1.     Turin,  Löscher.  10  L. 

Fischer -Benzon,    B.  v..    Die    geometrische    Constructionsaufgabe.      Kiel, 

V.  Maack.  1  Mk.  60  Pf. 

Wiener,  Chr.,  Lehrbuch  der  darstellenden  Geometrie.     1.  Bd.    Leipzig, 

Teubner.  12  Mk. 

Angewandte  Mathematik. 
BÖRSCH,  0.,  Anleitung  zur  Berechnung  geodätischer  Coordinaten.    2.  Aufl. 

Kassel,  Freyschmidt.  6  Mk. 

HmsTEDT,   A.,  üeber  Lissajous'sche  Curven.     (Dissert.)     Göttingen,  Van- 

denhoeck  &  Ruprecht.  80  Pf. 


40  Historisch  -  literarische  Abtheilung.     Bibliographie. 

Krapt,  f.,  Sammlung  von  Problemen  der  analytischen  Mechanik.  4.  und 
5.  Lief.     Stuttgart,  Metzler.  4  Mk. 

Oppolzer  ,  Th.  V. ,  Bahnbestimmung  des  Planeten  Cölestina  (237).  (Akad.) 
Wien,  Gerold.  20  Pf. 

GyldiSn,  H.,  Theoretische  Untersuchungen  über  die  intermediären  Bahnen 
der  Kometen  in  der  Nähe  eines  störenden  Körpers.  (Akad.)  Peters- 
burg und  Leipzig,  Voss.  80  Pf. 

Stbchert,  C,  Definitive  Bestimmung  der  Bahn  des  Kometen  1881,  IV. 
Kiel,  V.  Maack.  1  Mk.  20  Pf. 

Physik  und  Meteorologie. 

Clausius,  B.  ,  üeber  den  Zusammenhang  zwischen  den  grossen  Agentien 
der  Natur.     Bonn,  Cohen  &  S.  1  Mk. 

Secchi  ,  A. ,  Die  Einheit  der  Naturkrftfte ;  ein  Beitrag  zur  Naturphilosophie. 
Uebers.  v,  R.  L.  Schulze.    2.  Aufl.    5.  Lief.  Leipzig ,  Prohberg.    2  Mk. 

Fleischel,  E.  y.,  Die  doppelte  Brechung  des  Lichts  in  Flüssigkeiten.  (Akad.) 
Wien,  Gerold.  35  Pf. 

LiNDEMAKK,  E.,  Helligkeitsmessungeu  der  BesseVschen  Plejadensterne.  (Akad.) 
Petersburg  und  Leipzig,  Voss.  80  Pf. 

Abendroth,  W.,  Leitfaden  der  Physik  mit  Einschluss  d.  einfachsten  Lehren 
d.  Chemie  u.  d.  mathem.  Geographie.  2.  Bd.  (Cursus  d.  Prima).  Leipzig, 
Hirzel.  4  Mk. 


Historisch -literarische  Abtheilung. 


Die  Ferrari -Cardanische  Auflösung  der  reduoirten 
Gleichung  vierten  Grades. 

Von 
K.   HüNRATH. 


Die  ,>Ars  magna ^'  hat  mir  in  zwei  Ausgaben  vorgelegen: 
l^H.  Cardani,    ...  opus  novum  de  proportionibus  numerorum  ... 
praeterea  artis   magnae  sive   de   regulis  algebraicis  über  unus  ... 
item  de  aliza  regula  liber  ...,  Basileae,  1570,  und 
2.  H.  Card  an  i,  ...  operum  tomus  quartus,  quo  continentur  arithmetica, 

geometrica,  musica,  ...  Lugduni,  1663. 
Wenn  letztere  Ausgabe  sich  auf  dem  Titel  ^^editio  et  caeteris  elegan- 
tior  ita  et  accuratior''  nennt,  für  die  ^,Ars  magna''  kann  sie  das  Lob  grös- 
serer Genauigkeit  nicht  beanspruchen :  hier  bringt  sie  dieselben  Druckfehler 
und  Redactionsversehen ,  wie  die  ältere  Ausgabe,  und  noch  einige  mehr.'^ 
Da  die  Baseler  Ausgabe  nicht  die  älteste  ist,  so  ist  es  denkbar,  dass  auch 
sie  die  gedankenlose  Wiedergabe  eines  früheren  Druckes  ist.  Es  ist  ferner 
nicht  ausgeschlossen ,  dass  die  Leydener  Ausgabe  unabhängig  von  der  Baseler 
ist,  dass  beide  auf  derselben  früheren  Ausgabe  beruhen. 

Die  Darstellung  von  Ferrari 's  Methode  giebt  Cardan  im  39.  Capitel, 
das  im  Index  die  Ueberschrift :  „De  regula  duplici,  qua  per  iterata  posi- 
tionem  inuenimus  ignotam  quantitatem,  ubi  habentur  20  capitula,  alia  gene- 
ralia  qd  qd.  &  qd,  &  rerum  &  numeri'*,  im  Text  die  verkürzte  Ueberschrift: 
,^De  regula  qua  pluribus  positionibus  inuenimus  ignotam  quantitatem" 
trägt.**  Die  dort  gegebene  Regula  I  kommt  ihrem  Inhalt  nach  für  meinen 
Zweck  nicht  in  Betracht.  Die  Regula  II  beginnt  mit  den  einleitenden 
Worten : 


*  AuBser   den  bei  der  Anführung  von  Textatellen  angebrachten  Verbesse- 
rungen Biehe  das  Yerzeichniss  am  Schlüsse  des  Aufsatzes. 

**  In  der  Baseler  Ausgabe;  in  der  Leydener  enthält  der  Index  dieselbe  kürzere 
Inhaltsangabe,  wie  der  Text. 

Hi8t.-lU.  Abthlg.  d.  Zeitachr  f.  Math.  a.  Pbys.  XXX,  3.  4^ 


42  Historisch -literarische  Abtheilung. 

2         „AUa  est  regula  nobüior  pr§cedente,  dt  est  Ludouici  de  Ferraris,  qui 

eam  me  rogante  inuenit,  dt  per  eam  häbemus  omnes  aestimationes  fenne 

capitularum  qd'  quad/rcM  dt  quadrati,  rerum  dt  numeri,  uel  qd'  quadrati 

cuhi,  quadrati  &  numeri,  dt  ego ponam  eaper  ordinem,  hoc  modo  ut  uides" 

£s  folgt  dann  die  Aufzählung  der  Capitula,    die  in  beiden  Ausgaben 

das  Capitulum  __,        _  ,       »       - 

qd  quad.  aequale  rebus  dt  numero 

doppelt  bringt,  unter  4  und  unter  5.     Dafür  fehlt  das  Capitulum 

qd'  quad.  cum  cuhis  aequalia  quad,  dt  numero. 

Wo  das  erstere  Capitulum  an  seiner  Stelle  steht,  ergiebt  sich  ausser 
aus  der  ganzen  Anordnung  aus  den  Schlussworten: 

„In  his  igUur  omnibus  capüulis,  quae  quidem  sunt  generalissima ,  ut 
rdiqua  omnia  sexaginta  Septem*  superiora,  oportet  reducere  capUula,  in 
quibus  ingredUur  cubus,  ad  capitula,  in  quibus  ingredUur  res  ut  septimum 
ad  quartum,  4c  secundum  ad  primum,  deinde  quaeremus  demonstrationem 
hoc  modo." 

Die  hier  geforderte  Umwandlung  lehrt  C.  im  7.  Capitel  (De  capitulo- 
rum  transmutatione) ;  sie  kommt  darauf  hinaus,  den  mit  einem  passenden 
Factor  versehenen  reciproken  Werth  der  Unbekannten  als  neue  Unbfkannte 

einzufahren,   —  =y  zu  setzen;  an  Stelle  des  Gliedes  mit  a?  tritt  dann  ein 

solches  mit  y.     Nun  ist  das  siebente  Capitulum 

'qd' qd.  cum  cubis  aequalia  numero,    d.  h.  x*+ac^^=d'^ 

setzt  man  ic  =  — >   so  erhält  man 

y 

y*  =  --r-*y  +  -r>    also  "qd'  quad.  aequale  rebus  et  numero. 

Diesem  Capitulum  ist  mithin  die  Ordnungszahl  4,  dem  ausgefallenen 
die  Zahl  5  zu  geben.  Die  so  verbesserte  üebersicht  der  Capitula  hat  fol- 
gende Gestalt: 

\,  qd'  quad.  aequale  quad.  rebus  dt  numero; 

2.  qd'  quad  aequale  qd.  cubis  dt  numero; 

3.  qd'  quad.  aequale  cuhis  dt  numero ; 

4.  qd'  quad.  aequale  rebus  dt  numero; 

5.  qd'  qwsd.  cum  cubis  aequalia  quad.  dt  numero; 

6.  qd'  quad,  cum  rebus  aequ^Ua  quad.  <&  numero; 

7.  qd'  qd.  cum  cubis  aequoMa  numero; 

8.  qd'  qd.  cum  rebus  aequalia  numero; 

*  In  beiden  Ausgaben  statt  sexaginta  sex.  Gemeint  sind  die  im  2.  Capitel 
aufgeführten  22  capitula  primitiua  und  44  capitula  deriiuUiua;  erstere  enthalten 
die  Formen  der  Gleichung  zweiten  und  dritten  Grades,  letztere  entstehen  aas 
ersteren,  wenn  man  fSr  die  Unbekannte  das  Quadrat,  bezw.  den  Cubus  einer 
neuen  Unbekannten  einfahrt. 


Die  Ferrari  -  Cardani'sche  Auflösung  der  reduc.  Gleichung  4.  Gr.       43 


9.  ^d'  gd.  cum  gd  aegualia  cubia  &  wumero; 

10.  ^d'  qd.  cum  gd  aequalia  relms  &  numero; 

11.  gd'  gd.  cum  gd  dt  rebus  aequaUa  numero; 

12.  gd'  ^d.  cum  gd  <^  culm  aequaUa  numero; 

13.  gd'  gd,  cum  gd  dh  wumero  aeqmim  cuhis; 

14.  gd'  qu>ad.  cum  qtuid,  dt  numero  aequalia  rebus; 

15.  qd'  quad,  cum  numero  aequaUa  cubis  dt  quad, ; 

16.  gd'  quad,  cum  wumero  aequalia  cubis; 

17.  qd'  quad.  cum  numero  aequaUa  rebus  dt  quad.; 

18.  gd'  quad,  cum  numero  aequalia  rebus; 

19.  qd'  quad,  cum  cubis  dt  numero  aequalia  quad»; 

20.  gd'  quad.  cum  rebus  dt  numero  aequalia  quad. 

Diese  20  Formen  führen  wir  auf  folgende  vier  zurück: 

I.    a^  +  bx^^-cx  +d  =  0  [1,6,10,11,14,17,20], 
IL*  x'  +  aofi  +  bix?  +  d  =  0  [2,5,9,12,13,15,19], 
UI.  a^  +  cx  +(^  =  0  [4,8,18], 

IV.  a;^+air3+d  =  0  [3,7,16], 

von  denen  durch  die  Substitution  ^  =    -  II  auf  I ,  IV  auf  III  zurückgeführt 

wird.     Bemerkenswerth  ist,   dass  C.   offenbar  nicht  das  Verfahren  kennt, 
die  allgemeine  Gleichung  vierten  Grades  a^  +  asi^  +  bx^  +  cx  +  d^O  durch 

die  Einführung   von  y  =  a*  +  ^^   *"^  ^i®  Form  I  zurückzuführen ,  während 

er  (17.  Capitel)  die  allgemeine  Gleichung  dritten  Grades  zu  reduciren  versteht. 
Die  an   die  oben  wiedergegebenen  Schlussworte  sich   unmittelbar  an- 
schliessende Demonstratio  zerföllt  in  drei  Regeln .  die  am  Rande  mit  3,  4,  5 
bezeichnet  sind.     Die  erste  lautet: 
3*     „Sit    quadratum    af,    diuisum  in  duo 

quadraia,  ad  dt  df,  dt  duo  supplementa, 

de  d;  de,   dt  uclim  addere  gnomonem  kfg 

circuncirca,  ut  remaneat  quadratum  totum 

ah,  dico,  qubd  tälis gnomo  constabit  ex  dupJo 

gc  addUae  lineae,  tn  ca,  cum  quadrato  gc, 

nam  fg  constat  ex  gcin  cf,  ex  diffinitione 

data  in  initio  secundi  Elementorum,  dt  cf 

est  aequSis  c&,  ex  diffinitione  quadrati,  et 

quia  per  44  primi  Elementorum,    kf  est 

aequalis  tg,  igitur  duae  superficies  gi  dt  fk. 


m 

f** 

d 

9 


*  Diese  Zahl  fehlt  in  beiden  Ausgaben,  in  der  jüngeren  Ausgabe  auch  die 
Zs^hl  4;  unter  5  nimmt  C.  Bezug  auf  3* 

**  Steht  in  beiden  Ausgaben  verkehrt,  am  Durchschnitt  von  cn  und  dly  frei- 
lich auch  bei  Matthi essen,  GrnndzSge  der  antiken  a.  modernen  Algebra,  S.  542. 

4* 


44  Historisch  •  literarische  Abtheilung. 


constant  ex  gc,  in  duplum  ca,  d^  quadratmn  gc  est  fh,  per  cor^  4  secundi 
Elementomm,  igitur  patä  proposüum,  si  igüur  9,d  $ü  1  gd'  qtmdratum  d- 
cd  oo  de  J  quadrata,  dt  df9,  erunt  ba  1  quadralwin  dthc  3  necessario,  cum 
igüur  uoluerimus  addere  quadrata  cdiqua,  ad  de  <t  de,  et  fuerint  cl  ä;  km 
erit  ad  complendum  quadratum  totum  necessaria  superficies  Inm,  ^ae  ui 
demonstratum  est,  constat  ex  quadrato  gc  numeri  quxdratorum  dimidiati, 
nam  o\  est  superficies  ex  gc  in  ^h ,  ui  ostensum  est,  4c  ab  e^^  i  quadratum, 
quia  ponimus,  ad  1  qd'  quadratum,  fl  uero  4c  nrn,  fiufit  ea;  gc  in  cb,  er 
4^**  primi  Elementorum,  quare  superficies  Inm,  ^  est  numerus  addendus, 
ß  ex  gc  in  dupkim  ch,  id  est  in  numerum  quadratorum,  qui  fuU  6,  4' 
gc  in  se  ipsum,  id  est  numero  quadratorum  addito,  Sr  haec  demonstratio 
nostra  est." 

In  diesem  geometrischen  Beweise ,  dessen  Urheberschaft  C.  für  sich  in 
Ansprach  nimmt,  sagt  er: 

Die  Maasszahl  für  die  Fläche  des  Quadrats  ad  sei  eine  vierte  Potenz,  a^^ 
also  die  für  die  Seite  ah  eine  zweite  Potenz,  x^^  die  Flächen  cd  und  de  seien 
jede  3a;^,  also  die  Fläche  df=9^  die  Strecke  &c  =  3.  Dann  ist  die  Fläche 
des  Quadrats  af=^xl^  +  6x*  +  9y  oder,  wenn  man  statt  der  willkürlich  gesetz- 

ten  6  das  allgemeine  Zahlzeichen  m  einführt,  =x^  +  mx^  +  -^  =  ya?  +  -ij)  > 

Darauf  werde  an  das  Bechteck  de  das  Bechteck  cl,  an  de  das  cl  gleiche 
km  angesetzt,  also  Bechtecke  mit  der  einen  Seite  =a:^  (die  Summe  der 
Flächen  der  beiden  angesetzten  Bechtecke  bezeichne  ich  mit  yx^).  Die  neue 
Figur  wird  zu  einem  Quadrat  yervollständigt  durch  den  Gnomon  Inm,  der 

aus  dem  Quadrat  der  Strecke  pc=  ~  [ex  quadrato  gc  numeri  quadratorum 

dimidiati]  und  den  Bechtecken  mn  und  ß  zusammengesetzt  ist,  deren  Fläche 

zusammen  6.^c  =  6*^  =  3y,  allgemein  -^y  beträgt. 

Die  Worte  „id  est  numero  quadratorum  addüo",  die  auf  „4r  (ex)  gc  in 
se  ipsum"  sich  beziehen,  enthalten  eine  Ungenauigkeit;  es  ist,  wie  oben, 
der  numerus  quadratorum  dimidiatus  zu  verstehen. 

Bis  jetzt  hat  C.  bewiesen,  dass  man,  wenn  man  zu 

a^+ma^  + J*  oder  (»«+f)*         y^*  +  f  »/  +  ^ 
addirt,  ein  vollständiges  Quadrat 

('•+5+f)* 

erhält.     Er  fUhrt  fort  mit  der  Anweisung: 

4         „Hoc  opere  peracto,  semper  reduces  partem  7/d'  quadrati  ad  R:,  id  est 
addendo  tantum  utrique  parti,  ut  Iqd'  quadratum  cum  quadrato  et  numero 

*  Gemeint  ist,  wie  oben,  44. 


und 


Die  Ferrari -Cardani'sche  Auflösung  der  reduc  Gleichung  4.  6r.       45 

haheant  radicem,  hoc  fädle  est,  cumposueris  dimidiiMn  numeri  quadriüorvm, 
radicem  numeri,  item  facias,  ut  denominationes  exlremae  sint  %^/us,  in  amr- 
häbus  aeguatio7iibtis ,  nam  secus,  trinomium  seu  Binomium  redudum  ad  tri- 
namium,  necessariö  careret  radice/' 

Ich  fasse  diese  Anweisung  so  auf:   Die  Gleichung 

x^  +  boi^  ±cx ±^d=^0    forme  um  in    (^*+ 9  )  =^  (fn  —  b)a^  + cx  +  d 

d 

3ü^ -ba^  ±cx±d  =  0  in  («*— g-)  =  (&— w)a;*  + cj;  + d, 

wobei  darauf  zu  sehen  ist ,  dass  der  Coefficient  des  31^  auf  der  rechten  Seite 
positiv  werde.  Meine  Auffassung  stützt  sich  hauptsächlich  auf  die  Behand- 
lung der  Aufgabe 

a^  +  8  =  10a;«-4ic*  (Quaestio  IX  des  39.  Capitels). 
Dort  sagt  C:  „quia  uidemas  numerum  qiiadratorum  esse  magnum,  4"  rerum 
paruum,  ideo  condbimur  minuere  numerum  qu^adraiorum  potius ,  quam  augere, 
(fr  faciemus  ut  diminutio  sit  ex  utraque  parte  2  quad.  nam  ä  mmori  imö  a 
2  quadratis  semper  fermh  est  indpiendum ,  quia  non  oportet  ut  venias  ad  m : 
fjd  ex  parte  rerum,  quia  sie  non  haberent  radice,  subdudis  igUur  2  qua- 
dratis ex  utraque  parte . . .". 

Der  Coefficient  des  Gliedes  mit  a;^  10,  ist  C.  zu  gross;  er  ist  daher 
darauf  bedacht,  ihn  zu  yerkleinem,  dadurch  dass  er  beiderseits  eine  Anzahl 
Quadrate  subtrahirt,  z.  B.  2 01?^  also  umformt  in 

a;*-2a;«+l  =  8iC»-4ic-7, 
oder  durch  beiderseitige  Subtraction  von  6  a;*  umformt  in 

ar*  —  6 a;*  +  i>  =  4«*  —  4a;  + 1    (a.  a.  0.  im  „ Notandum  "). 
Dabei  soll  man  darauf  achten,  dass  man  nicht  auf  der  rechten  Seite  einen 
negativen  Coefficienten  am  31?  bekomme. 

Sehen  wir  uns  nun  die  übrigen  von  C.  im  39.  Capitel  behandelten 
Beispiele  an. 

1)  ar*  +  6a;«  +  36  =  60a;   (Quaestio  V**). 

Hier  addirt  C,   um   links  ein  vollständiges  Quadrat  zu  erhalten,  beider- 
seits Q^',  a;*  +  12a;» +  36  =  6a;»  +  60a;*«, 
wohl   bestimmt  durch  den  umstand,  dass  das  absolute  Glied  36  ein  voll- 
ständiges Quadrat,  6»,  ist. 

2)  a;*  =  a;  +  2   (Quaestio  VI), 
hier  nicht  zu  besprechen,  da  das  Glied  mit  x^  fehlt. 


*  Beide  Ausgaben  haben  im  Text  1  qd'  quadratum  p:  8,  aeqwde  20  quadratis 
m:  4  positionibus,  im  Bechnungsschema  richtig  10  qd  m:  4  pos. 

**  Die  vier  ersten  Qaaestiones  des  Capitels  sind  Beispiele  zur  Regula  I. 
*"**  In  beiden  Ausgaben  steht  p:  90  positionibiM  statt  p:  60  positionibus. 


46  Uistoriscb  -  literarische  Abtheilung. 


3)  tc^  +  6 ic»  =  64  (Quaestio  VII). 

C.  verwandelt  nach  der  bereits  erwähnten  Regel  diese  Gleichung  in  y*  =  6y  +  4. 

4 
setzt  also  a;=— ;  die  Gleichung  in  y  kommt  aus  demselben  Grunde  wie  2) 

hier  nicht  in  Betracht. 

4)  ar*  +  32a;«+16  =  48a;  (Quaestio  VIII). 

C.  addirt  beiderseits  240  und .  erhält  a^  +  32aj*  +  256*  =  48 a;  +  240.  Auch 
hier  ist,  wie  .in  1),  das  absolute  Glied  der  gegebenen  Gleichung  eine  Qua- 
dratzahl,  16  =  4*;  doch  formt  C.  nicht  um  in 

a;*+ Sx»  + 16  =  -  24ic»  +  48 , 
da  er  dann  auf  der  rechten  Seite  negative  ^  erhalten  würde. 

5)  0?*  + 8  =  10a:*  — 4a;   (Quaestio  IX)  ist  oben  besprochen. 

6)  af  =  x^+l  (Quaestio  X). 

Card  an  löst  diese  Gleichung  als  quadratische  nach  a^  auf  und  berechnet 
X  aus  0^. 

7)  Ä*~3a;»  =  64  (Quaestio  XI) 
wird  unten  eine  besondere  Besprechung  finden. 

8)  Von  a?*  +  3  =  12a;  (Quaestio  XII)  gilt  das  von  2)  Gesagte. 

9)  a^  +  2a:»  =  a;  +  l    (Quaestio  XIII). 

C.  zeigt,  dass  diese  Aufgabe  gleichbedeutend  ist  mit  der:  drei  in  stetiger 
Proportion  stehende  Zahlen  zu  finden,  so  dass  die  Summe  aller  drei  Zahlen 
zur  Summe  der  zweiten  und  dritten  Zahl  dasselbe  Verhältniss  habe,  wie 
letztere  Summe  zur  ersten  Zahl: 

(l  +  a;  +  a;*):(a;  +  a;*)  =  (a;  +  a;)*:l 
[die  erste  Zahl  ist  =1,  die  Verhältnisszahl  =x  gesetzt];   a;  +  ^*  sei  dann 
wieder  der  grössere  Theil  einer  nach  dem  Verhältniss  des  goldenen  Schnittes 
getheilten  Zahl,  deren  kleinerer  Theil  1  bekannt  sei;  a;  +  ^  sei  =)^ll~('l' 
also  x=>VyT^  +  i-i. 

Seine  Anweisung  führt  C.  folgendermassen  zu  Ende: 
5  „Quibfis  tarn  peradis,  addes  tanttmi  de  quadratis,  4r  numero  uniparti, 
per  tertiam  reguUxm,  ut  idem  additum  älieri  parti,  in  qua  erunt  res,  faciat 
trinamium,  häbens  "fy  quadratam  per  posüionem,  Sr  häbehis  numerum  qua- 
drcUorum,  4r  numeri  addendi  utrique  parti,  quo  habüo,  ab  utroque  extrahes 
"fy  quadratam,  quae  erü  in  u/na,  1  quadratum^  p:  numero,  ud  m:  numero, 
ex  oHia,  1  posiiio  ud  phi/res  p:  numero,  uel  m:  numero,  ud  numerns  m: 
positionibus ,  quare  per  quintum  capüulum  huim,  Habens**  proposUum," 


*  In  beiden  Ausgaben  im  Text  jp:  156  statt  p:  266;  im  Rechnungsschema 
richtig. 

**  8o  in  der  älteren  Ausgabe,  in  der  jüngeren  „hohes'' \  ursprünglich 
„habebi8''9 


Die  Ferrari -Cardani'sche  Auflösung  der  reduc.  Gleichung  4.  Gr.       47 

Wie   oben,    unterscheide  ich  wieder  folgende  Formen  der  reducirten 
Gleichung  vierten  Grades: 

a;*  +  6a5*±c«  +  d  =  0  und   x*  —  hx^  +  cx  +  d  =  Oy 
Die  erstere  nur  umgeformt  in 


die  letztere  in 


(a?*— -g-j  =(h'-m)x^  +  cx+d^ 


wobei  für  jene  die  Bedingung  ni>&,  fUr  diese  die  Bedingung  m<h  gilt. 
Es  soll  nun  im  ersteren  Falle  gebildet  werden 

im  letzteren 

fa?*  — -ö")  —20a?  +  me  +  z^=:  (h'-m  —  2e)a?  +  cx  +  ii^  +  mz  +  d'---j- 
[s.  unten  Beispiel  5  a)]. 
Hier  habe  ich  im  Anschluss  anCardan*  20  statt  des  oben  gebrauch- 
ten y  eingeführt.     Wir  haben  dann  links 

(a;*  +  ^+jefj>     bezw.    (ic*  —  -ö"~^)  ' 

ein  vollständiges  Quadrat,  und  rechts  einen  Ausdruck,  für  den  die  Forde- 
rung gestellt  wird,  dass  er  ein  vollständiges  Quadrat  sei  (...  „ut  idem  ad- 
dUum  aUeri  parti,  in  qua  erunt  res,  faciat  trinomiwin  häbens  I^  quadratam 
per  positionem"  ...).  Die  nothwendige  Folge  dieser  Forderung  giebt  C. 
in  Quaestio  V  an:  ,ySecunda  quantüas  (habet  radicem)  ex  supposüo,  igitur 
duäa  prima  parte  trinomii  in  tertiam  fit  quadratum  dimidiae  secundae  partis". 
Es  wird  also  im  einen  Falle 

im  andern 

{h^fn'-20)L^  +  mg  +  d''^) 

gesetzt.     In  beiden  Fällen  ergiebt  sich  für  z  eine  Gleichung  dritten 


-& 


Grades,  nach  deren  Auflösung  die  Quadratwurzel  aus  der  rechten  Seite  sich 
angeben  lässt.  Dieselbe  sei,  sagt  C,  von  der  'Form  px  +  q  oder  px  —  q 
oder  q--px  („1  posüio  uel  plures  p:  nmnero,  ueL  m:  numero,  uel  rmmerus 
m :  posüiordbus'*).  Dies  hängt  selbstverständlich  vom  Vorzeichen  des  mit  x 
multiplicirten  Gliedes,  des  c,  ab.  Zu  bemerken  ist,  dass  C.  die  px  +  q 
entsprechende  Wurzel  —px  —  q  nicht  auffahrt,  weil  er  grundsätzlich  nega- 


*  In  Quaestio  V:  „ponam  numerum  quadratorum  addendoru  semper  2  posi- 
tiones". 


48  Historisch  -  literarische  Abtheilung. 

tive  Wurzeln  als  „fktae"  ausschliesst*;  das  hindert  [s.  unten  5b)]  freilich 
C.  nicht,  für  dasselbe  Beispiel  sowohl  px  —  q^  als  auch  q—px  zuzulassen, 
obwohl  nur  Eines  positiv  sein  kann. 

In  der  Ausführung  macht  sich  bei  Card  an  die  Sache  so: 

1)  In  a?*  +  12jr;«  +  36  =  6a:»  +  60a;  addirt  er  auf  beiden  Seiten  2zx^ 
+  I2ß  +  z^  und  erhält  {x^  +  6  +  ey=(2z  +  6)x^  +  60x  +  z^+12z,  also  die 
Resolvente  (2;?  + 6)  (^«  +  12;?)  =  30«  oder  ^+ 15;&«  +  36«  =  450. 

2)  iC*  =  a;  +  2;  hier,  wo  c  =  0  ist,  addirt  C.  beiderseits  203i^  +  z^  und 
erhalt  (3i^  +  e)^  =  2e3(^  +  x  +  e^  +  2,  dann  aus  20(z^  +  2)  =  {  die  Resol- 
vente  ;j«  +  2jEf  =  |. 

NB.     C.    giebt    auch    noch    die    Lösung    ic*  — l=a:  +  l,     T^^^' 

««-«»  +  «-1  =  1,    «»  +  «  =  «*+2. 

3)  y*  =  6y  +  4;  wird  von  C.  nicht  nach  Perrari's  Regel  gelöst,  da 

man    —    siehe  NB.   zu   2)  —    ^— 16  =  6(y  — 2), ^■  =  6   "•  «.  w. 

transformiren  kann. 

4)  «*  + 32 ««  +  256  =  48« +  240;  C.  addirt  zu  beiden  Seiten  2j?«* 
+  32;» +  j?«  und  erhält  (««+16+i8r)«  =  2^««  +  48«  +  ^«+32jB  +  240;  Ete- 
solvente:  ;5«  +  32;?«  +  240^  =  288. 

5a)  «*  —  2«*  +  l  =  8««  —  4«  —  7;  durch  beiderseitige  Addition  von 
-2^««  +  2^  +  ^«  erhält  C.  (««-l-^)»=(8-2/?)««-4«  +  ;?«  +  2i&-7; 
Resolvente:  j5»+30  =  2j5«  +  15j». 

5b)  «*— 6«*  +  9  =  4«*  — 4«  +  l;  auch  die  rechte  Seite  ist  ein  voll- 
ständiges Quadrat,  daher  ist  «*  — 3  =  2«— 1  und  auch  =1  —  2«. 

Für  5a)  liefert  0  =  2  dasselbe  Quadrat  4««  — 4«  +  l  auf  der  rechten 
Seite  (beides  nach  C). 

6)  ist  oben  erledigt,  desgleichen  9). 

8)  «*  +  3=l2«;  C.  addirt  beiderseits  2ex^  +  z*  und  leitet  die  Resol- 
vente e^  =  3z+l8  ab. 

7)  «*  — 3«'  =  64  verdient  ganz  besondere  Beachtung,  weil  das  der 
Methode  zu  Grunde  liegende  Princip  ganz  frei  angewandt  wird.  Es  ist  M: 
eine  Quadratzahl.  C.  fügt  auf  der  rechten  Seite,  „uhi  sunt  res'%  wie  er 
sagen  würde,   eine  beliebige  Anzahl  ««  hinzu,   2zx*y   und,   wobei  ihm   zu 


*  So  sagt  C.  im  1.  Capitel  unter  3  von  der  Gleichung  «*-}-12  =  6«*:  „quia 
non  poteü  aeqwxtionem  ueram  habere,  carebit  etiam  ficta,  sie  em  uocamus  eam, 
quae  debüi  est  seu  minoris*',  d.  h.  eine  Gleichung  von  der  Form  «^  +  a  =  5«* 
müBse  eine  positive  Wurzel  (vera  aequatio)  haben ,  um  eine  negative  Wurzel  (fida 
aequcUio)  haben  zu  können;  von  der  Gleichung  «^  =  2«* +  8  (in  beiden  Ausgaben 
80  statt  8)  sagt  er,  sie  habe  eine  „uera'*  und  eine  dieser  gleiche  „ficta  a€quati&*, 
-1-2  und  -2;  die  Gleichung  «*-|-12  =  7«*  habe  zwei  „uerae*^  und  zwei  diesen 
gleiche  „fictae  aequationes'' ,  +2,-1-^3  und  -2,  —Vs. 


Die  Ferrari -Cardani'bche  Auflösung  der  reduc.  Gleichung  4.  Gr.      49 


statten  kommt,  dass  64  eine  Quadratzahl  ist,  vervollständigt  die  rechte 
Seite  64  +  2;efa-^  durch  Hinzufügung  von  -^z^x^  zu  einem  Quadrat.  Auf 
der  linken  Seite  erhält  er  so  {^z^  +  l)  x^  —  i^x^  +  2zx^j  stellt  die  Forde- 
rung, dass  auch  dieser  Ausdruck  ein  vollständiges  Quadrat  sei,  und  findet 
aus  (^ß^+l).2z=:(l^y  die  Resolvente  e^  +  Mz  =  12. 

SQviel  dürfte  die  vorstehende  Darstellung  gezeigt  haben,  dass  Card  an 
weit  entfernt  ist,  eine  Methode  zu  befolgen,  die  sich  für  die  reducirte 
Gleichung  vierten  Grades  x!^  +  bx^  +  cx  +  d=>0  in  das  Schema 

(x^  +  j+zy  =  2z3i^-'cx  +  z^  +  hz  +  j-c  [Beispiel  4)] 

oder  das  Schema 

(x^  -hh  +  zy  =  ib  +  2z)s(^  -  CX  +  z^  +  2hz  +  1)^-  c     [Beispiel  1)] 
zwingen   liesse.     Sehe   ich  von   dem  ganz   frei   behandelten  Beispiel  7)  ab, 
so   glaube   ich,   dass  der  Gedankengang  C.'s   in  unserer  Formelsprache  am 
besten  so  wiedergegeben  wird: 

„Für 

x:^  +  bx*  +  cx  +  d==0    (&Z.0,   c  und  d^O) 


setze 


(^+2+iy=(^+'"-^)*'-''*+¥+i^+T-'*' 


mache   die  Wahl   von  m  von  den  Umständen  abhängig  und  lass  die  rechte 
Seite  ein  vollständiges  Quadrat  werden  oder  setze 

{y  +  m'-h){y^  +  2my  +  m^-4d)=^(^/' 

Zu  der  sich  so  ergebenden  Resolvente 

y«  +  (3w-6)y«-l-(3w«-2&f»-4d)y  +  w»-few2-4dw  +  4&d-.c^  =  0 

bemerke  ich  noch,   dass,   wenn  man  das  absolute  Glied  als  eine  Function 

von  m  ansieht,  als  /"(w),  so  ist  der  Coefficient  des  y  =P{m)^  der  von  y^ 

/*  (fn)  f^  (fn^  b 

=    ^   o  »   der  von  y^  =r~o~ö*     Bemerkenswerther  ist,   dass  fdr  w  =  -ö- 

die  Resolvente  in  die  reducirte  Gleichung 

übergeht. 

Beide  Bemerkungen  gelten   für  die  Resolvente,   die  man  auf  gleichem 
Wege  für  die  allgemeine  Gleichung  vierten  Grades 

I.  a^  +  aar^  +  bx^  +  cx  +  d  =  0 

ableitet;  denn  aus 

-(»+"+4-0''+(l'+l"-')'+4'+T  +  T-'' 

ergiebt  sich  die  Resolvente 


50  Historisch  •  literarische  Abtheilung. 


y«+(3w-6)y«  +  (3w«-26m  +  ac-4d)y 

+  m^—  htn^  +  acm  —  4:dm  —  a*d  +  46d  —  c*  =  0. 

Wählt  man  nun  m^-^  oder  bildet 


und  setzt 


"•^+f^+^+f=± 


l/  ^«*     ^7.     j.       2  +  6 


SO  erh&lt  man  als  Besolvente 

Setzt  man  in  derselben  y=^2ey  so  geht  sie  über  in 
^^-A(^*-3ac+l2d)^  +  7|^(726d  +  9a&c-27a«d-27c«-26»)  =  0, 

die  Resolvente  Strehlke's  [Matthiessen,  Grnndzüge  der  antiken  und 
modernen  Algebra,  §  81,  XXX].  Ueber  ihre  Bedeutung  und  ihre  Beziehung 
zu  den  anderen  Resolventen  hat  Matthiessen  im  genannten  Werke  aus- 
führlich gehandelt,  siehe  §  81  im  Ausgang,  §  53,  3.  Beispiel  (8. 130),  §  79 
Nr.  (29)  und  (31),  §  217  unter  2  (S.  580)  und  unter  3h)  (S.  585),  femer 
die  §§  227—229,  233,  234  (S.  651),  237,  241,  242,  261,  321,  327, 
329.  —  Ich  beschränke  mich  daher  darauf,  die  Wurzeln  der  Resolvente  III 
als  Functionen  der  Wurzeln  von  I  darzustellen.  In  II  sind  folgende  beide 
quadratische  GleichuDgen  enthalten: 

a        ah 
,Aa      --/~  a«      2    1   \l  ^y  2^+F""'         ^ 

^'^  +  12-^  ^+4"3  ^J"+  6  +t"       /  --^F-2"  =  ^ 

T^+4         ' 


3^ 


und 


a      ,  ah 


'+U+F^+4-3*J^+  6+i+-r7--ä*^-^=''- 


Das  absolute  Glied  jeder  dieser  Gleichungen  ist  daher  das  Product  zweier 
Wurzeln  der  Gleichung  I,  und  zwar  sind,  wenn  man  das  absolute  Glied 
der  ersten  Gleichung  der  Reihe  nach 


ic*  +  -x+~  =  ^-~ ,  wenn  man  «*  +  ax*  -f  bx*  +  cx  +  d  mit  f(x)  bezeichnet 

t  D  4.0 


Die  Ferrari  -  Cardani'sche  Auflöüung  der  reduc.  Gleichung  4.  Gr.      51 


setzt ,  die  zugeordneten  Werthe  für  das  absolute  Glied  der  zweiten  Gleichung 


der  absoluten  Glieder,  für  77 +  y,  drei  von  einander  verschiedene  Werthe 

6 


Addirt  man  je  zwei  zusammengehörige  Werthe ,  so  erhalt  man  für  die  Summe 

ieder,   für  77 +  y,  drei  von  einander  verscl 
6 

x^x^  +  x^x^y     x^x^  +  X2X^,     x^x^  +  x^x^, 
es  ist  also 

6       2  1 

yi  =  3^1  ^2  +  x^x^  ~  -g^  =  3-  (^1  ^2  +  ^8^4^ "~  3  (^1  ^3  +  ^2^4  +  ^1^4  +  ^2^3) ) 

6       2  1 

y»  =  «1^  +  %^4  ""  "3   =  3"  (^1^3  +  ^«^4)  -    3-  (^ia?2+  a;3^4  +  ^l^A  +  ^t^s)y 

y^  =  x^x^  +  x^x^  -  -g  '-=-^(x^x^+x^x^  -  -g  {x^x^  + x^x^  + x^x^  + x^x;^. 

Man  erkennt  dann  leicht,  dass  ä^^,  Sy^i  3^^^  die  Wurzeltypen  sind,  die 
Hermite  (s.  Matthiessen  a.  a.  0.  §  327)  ^ur  Auflösung  der  Gleichung 
vierten  Grades  verwandt  hat: 

^1  =  3^1  =  2xfy  -  {Xy^+Xi){x^  +  x^)  +  2x^x^ 

=  (ÄJl-a?3)(^2-^4)  +  (^l— ^4)(«2-^8)    U.S.W. 

Zum  Schlüsse  stelle  ich  zusammen,   was  ich  sonst  an  Fehlem  in  den 
benutzten  Ausgaben  der  ,,Ars  magna"  bemerkt  habe. 

7.  Gap.,  12.  Regel  lies  qd'  quadratum  p:  8  quadratis  p :  64  statt  . . .  p:  ^^ 

und  inde  diuiso  8  radice  64  statt  . . .  rcuUce  84, 
11.  Cap.  im  ersten  Bechnungsschema  lies  2.  Zeile  2  10  statt  2  20  und 
3.  Zeile  8  100  statt  8  10,  und  im  zweiten  Schema  1.  Zeile  lies 
m:  ra:  y.  cubica  ra:  J26  m:  5  statt  ...  ra:  ^  ...,  4.  Zeile  lies 
p:  :^:  :2600  statt  p:  i^:  :^900,  5.  Zeile  lies  IJ-:  v.  cub:  1377  statt 
...U^7,  6.  Zeile  lies  1895400  statt  1865400, 
39.  Cap.,  Quaestio  IX,  2.  Bechnungsschema,  3.  Zeile  lies  p:  9  statt  p:  1, 

und  8.  Zeile  links  lies  m:  4pos,  statt  m:  4  quad,] 
ebenda,  Quaestio  XI,    einige  Zeilen  unter  dem  Bechnungsschema,   lies 
4r  häbebis  -^  qmdrati  p:  1  statt  . . .  ^  quadrati  . . . 
Vorstehende  Verbesserungen  beziehen  sich  auf  beide  Ausgaben;  in  der 
jüngeren, 

39.  Cap.,  Quaestio  XIII  2.  Zeile  lies  noch  sü  1  ^.  ipso  numero  statt  sU  p. 
ipso  numero. 
Die  Zahl  der  zu  verbessernden  Stellen  ist  sicherlich  auch  hiermit  nicht 
erschöpft;  wer  sich  die  Mühe  machen  will,  alle  Aufgaben  der  ^^Ars  magna'' 
nachzurechnen,  kann  eine  reiche  Nachlese  halten. 


Konigl.  Akademie  der  Wissenschaften  zn  Turin. 


Programm 

für  den 

fünften  Bressa'schen  Preis. 


Die  königl.  Akademie  der  Wissenschaften  zu  Turin  macht  hiermit,  den 
testamentarischen  Willensbestimmungen  des  Dr.  Cäsar  Alexander  Bressa 
und  dem  am  7.  December  1876  veröffentlichten  diesbezüglichen  Programm 
gemäss,  bekannt,  dass  mit  dem  31.  December  1884  der  Concurs  fOr  die  im 
Laufe  des  Quadrienniums  1881 — 84  abgefassten  wissenschaftlichen  Werke 
und  in  diesem  Zeitraum  geleisteten  Erfindungen,  zu  welchem  nur  italienische 
Gelehrte  und  Erfinder  berufen  waren,  geschlossen  worden  ist. 

Zugleich  erinnert  die  genannte  Akademie,  dass  vom  1.  Januar  1883  an 
der  Concurs  für  den  fünften  Bressa'schen  Preis  erö&et  worden  ist,  zu 
welchem,  dem  Willen  des  Stifters  entsprechend,  die  Gelehrten  und  Erfinder 
aller  Nationen  zugelassen  sein  werden. 

Dieser  Concurs  wird  bestimmt  sein,   den  Gelehrten  oder  Erfinder  be 
liebiger  Nationalität  zu  belohnen,  der  im  Laufe  des  Quadrienniums  1883 — 86, 
„  nach  dem  ürtheil  der  Akademie  der  Wissenschaften  in  Turin ,  die  wich- 
tigste und  nützlichste  Erfindung  gethan  oder  das  gediegenste  Werk  ver- 
öffentlicht haben  wird  auf  dem  Gebiete  der  physikalischen  und  experimen- 
talen  Wissenschaften,  der  Naturgeschichte,  der  reinen  und  angewandten 
Mathematik,   der  Chemie,  der  Physiologie  und  der  Pathologie,  ohne  die 
Geologie,  die  Geschichte,  die  Geogi-aphie  und  die  Statistik  auszuschliessen''. 
Der  Concurs  wird  mit  dem  31.  December  1886  geschlossen  sein. 
Die    zum  Preise   bestimmte   Summe  wird   12000  (zwölf tausend)  Lire 
betragen. 

Keinem  der,  sei  es  in  Turin  oder  ausserhalb  dieser  Stadt  ansässigen, 
inländischen  Mitglieder  der  Turiner  Akademie  wird  der  Preis  zuerkannt 
werden  können. 

Turin,  1.  Januar  1885. 

Der   Präsident 
A.  Fabretti. 

Der  Secretär  Der  Secretär 

der  GUm«  iür  phyaikalisoho  and  der  Ülaue  fQr  eihUohe,  hiatoxiscbe  und 

matbema tische  Wissenscbafteu  philologische  Wissenschaften 

A.  Sobrero.  Q-aspar  Gorresio. 


Recensionen. 


Der  Baum  and  seine  Erfftllnng.    Von  Hullmann.   Berlin  1884.   (60  S.) 

Das  Weltall  ist  von  zwei  gleichberechtigten,  beziehentlich  entgegen* 
gesetzten  Materien  ausgefüllt,  von  Körperpunkten  und  Aetherpunkten ;  jene 
ziehen  sich  gegenseitig  an,  diese  stossen  sich  ab;  Körperpunkte  ziehen 
Aetherpunkte  an,  Aetherpunkte  stossen  Körperpunkte  ab.  Wie  sich  die 
zwei  letzten  Annahmen  vereinigen  lassen ,  ist  nicht  gesagt ;  jedenfalls  wider- 
sprechen sie  den  Axiomen  der  Mechanik.  Es  wird  dann  der  Druck  des  Aethers 
auf  einen  Punkt  im  Baume  unter  der  Voraussetzung ,  dass  er  dem  Quadrat 
der  Entfernung  umgekehrt  proportional  sei ,  bestimmt  und  gefunden ,  dass  er 
Null  sei,  wenn  der  ganze  Baum  mit  gleich  dichtem  Aetber  gefüllt  ist,  wie 
natürlich.  Dagegen  werde  das  Aethertheilchen ,  auf  welches  der  gesammte 
Aether  wirkt,  gepresst.  Die  Einwirkung  einer  Schicht  Aether  zwischen  zwei 
parallelen  Ebenen  auf  einen  Punkt  ausserhalb  ergiebt  sich  zu  2nfnh6Qjdyy 
wo  m  die  Masse  des  Punktes  sein  wird  (es  ist  darüber  nichts  gesagt),  h 
der  Abstossungscoefficient,  60  die  Dichte  des  Aethers  ist;  Jdy  ist  also  der 
Abstand  der  Grenzebenen.  Damit  soll  nun  bewiesen  werden,  dass  der 
Druck  eines  begrenzten  Theiles  des  Aethers  gleich  dem  des  unbegrenzten 
bei  gleicher  Dichte  sei,  was  offenbar  dem  vorigen  Ausdruck  direct  wider- 
spricht Der  Beweis  wird  in  unverständlicher  Weise  mit  Anspielung  auf 
das  hydrostatische  Gesetz  gegeben.  Ebenso  unklar  ist  die  Ableitung 
der  Beschleunigung  eines  Aethertheilchens ,  die  aus  demselben  Ausdruck 
2itmh6Qjdy  sich  ergeben  soll.  Dann  wird  von  der  AetherhüUe  der  Atome 
gesprochen,  die  sich  bis  ins  Unendliche  erstrecke,  und  von  rotirenden 
Dynamiden,  die  in  §  18  plötzlich  ohne  jede  Erklärung  auftreten  und  deren 
verschiedene  Botation  die  Ursache  der  Aggregatzustände  und  der  chemisch- 
elektrischen Erscheinungen  sein  soll.  Es  ist  eine  peinliche  Arbeit,  durch 
das  sonderbar  zusammengestapelte  Material  sich  durchzuarbeiten. 

P.  Zech. 


üeber  die  Beziehungen   zwischen   zwei  allgemeinen  Strahlensystemen, 

von  welchen  das  eine  durch  beliebige  Beflexionen  und  Brechungen 
aus  dem  andern  hervorgegangen  ist.  Dissertation  von  Blasbndorff. 
Berlin  1883.     (34  S.) 


54  Historisch -literarische  Abtheilung. 

Der  erste  Theil  beschäftigt  sich  mit  dem  Nachweis  des  Satzes  von 
Kummer,  dass  ein  unendlich  dünnes  Strahlenbündel  mit  seinen  beiden 
Focalebenen  aus  der  Wellenfläche,  deren  Mittelpunkt  in  der  Axe  liegend 
angenommen  wird,  zwei  conjugirte  Curven  ausschneidet.  Der  zweite  Theil 
behandelt  die  Frage,  ob  es  Strahlensysteme  mit  ,, nicht  kugelförmiger" 
Wellenfläche  giebt,  deren  Strahlen  Normalen  einer  Fläche  sind.  Es  finden 
sich  als  entsprechende  Flächen  eine  Anzahl  von  Monge  in  seiner  ,, Appli- 
cation de  Tanalyse  ä  la  g^ometrie"  behandelter  Flächen.  p    ^ech 


Latente  Wärme  der  Dämpfe.     Von  Puschl.   3.  Aufl.    Wien  ISaS.   (76  S.) 
Die  erste  Auflage  wurde  im  25«  Jahrgang  dieser  Zeitschrift  besprochen. 
Eine  wesentliche   Aenderung   ist   nicht  eingetreten,    nur  eine  Erweiterung 
der  Darstellung.  p^  Zech, 

Die  Elemente  der  Mechanik  und  mathematischen  Physik.  Von  Helm. 
Leipzig  1884.     (221  S.) 

Das  Buch  ist  für  Mittelschulen  bestimmt,  es  benützt  nur  elementar- 
mathematische Hilfsmittel.  Gleich  anfungs  wird  auf  die  Bezeichnung  der 
Dimension  physikalischer  Grössen  hingewiesen,  was  sehr  zu  billigen  ist,  da 
der  Schüler  von  Anfang  an  damit  sich  vertraut  machen  muss ,  wenn  er  sich 
ganz  an  diese  Anschauung  gewöhnen  soll.  Die  gleichförmige  und  die  gleich- 
förmig beschleunigte  Bewegung  werden  zuerst  erklärt,  es  folgt  dann  das 
Parallelogramm  der  Kräfte  und  Bewegungen ,  die  Erklärung  der  freien  und 
unfreien  Bewegung,  die  Arbeit  und  Energie.  Nach  dieser  Einleitung  in 
die  allgemeinen  Begriffe  wird  in  den  folgenden  drei  Abschnitten  die  Me- 
chanik des  starren,  des  elastischen  und  des  flüssigen  Körpers  behandelt. 

Die  Darstellung  ist  vielfach  nur  eine  andeutende,  durch  den  Lehrer 
zu  vervollständigen.  Um  so  schärfer  sollte  der  Ausdruck  sein.  Es  lässt 
sich  das  zuweilen  vermissen,  z.  B.  S.  108,  wo  von  den  Axen  gleicher 
Schwingungsdauer  die  Bede  ist.  Es  fehlt  hier  das  Beiwort  parallel  und 
nachdem  von  zwei  Axen  gesprochen  ist,  heisst  es  weiter:  „der  eine  dieser 
Punkte  heisst  Schwingungspunkt".  Es  handelt  sich  ja  nur  um  Axendrehnng, 
nicht  um  Drehung  um  einen  Punkt.  Warum  nicht  ,,8chwingungsaxe"? 
Auf  derselben  Seite  steht  zweimal  „nur  in  Paris'',  während  es  natürlich 
für  jede  gleiche  Breite  und  Höhe  gilt. 

In  der  Mechanik  der  starren  Körper  wird  der  Schwerkraft  und  drehen-' 
den  Bewegung  die  Magnetnadel ,  in  der  der  elastischen  Körper  bei  der  har- 
monischen Bewegung  die  Akustik  in  kurzen  Zügen  angereiht  und  dann  die 
Grundlagen  der  Optik. 

Die  Mechanik  des  vollkommen  flüssigen  Körpers  behandelt  den  Druck, 
den  Auftrieb    und   die  Druck vertheilung  in  der  atmosphärischen  Luft,  und 


Recensionen.  55 

endlich  die  Erscheinungen  der  Strömung,   den  elektrischen  Strom  mit  ein- 
geschlossen. 

Das  Werk  giebt  dem  Lehrer  Anweisung,  wie  er  den  Schüler  in  den 
Zusammenhang  der  Naturerscheinungen ,  soweit  sie  in  der  Physik  behandelt 
werden,  einzuführen  hat.  p  7„q„ 


Analytiflohe  Theorie  der  Wärme.  Von  M.  Fourier,  deutsch  yon  Wein- 
stein. Berlin  1884.  (476  S.) 
Die  „Theorie  analytique  de  la  chaleur"  war  in  der  letzten  Zeit  nur 
schwer  zu  bekommen.  Da  ein  grosser  Theil  des  Werkes  mit  Reihen  zu 
thun  hat ,  die  auch  sonst  in  der  mathematischen  Physik  yielfach  verwendet 
werden  —  die  Fourier 'sehen  Reihen  — ,  und  da  deren  Theorie  aus- 
führlich auseinandergesetzt  wird,  so  war  es  erfreulich,  dass  ein  neuer  Ab- 
druck des  Werkes  im  vorigen  Jahre  erschien.  Allein  es  war  dies  nur  ein 
Abdruck  ohne  Durchsicht,  mit  den  vielen  Druckfehlem  des  Originals,  die 
häufig  das  Studium  erschwerten.  Es  hat  nun  Herr  Weinstein,  dessen 
TJebersetzungen  uns  von  früher  bekannt  sind,  die  verdienstliche  Aufgabe 
übernommen ,  das  Werk  ins  Deutsche  zu  übersetzen  und  die  Formeln  correct 
darzustellen.     Die  Ausstattung  des  Buches  ist  sehr  zu  loben.      p   ^ech 


Die  mathematisehe  Geographie  in  Verbindong  mit  der  Landkartenpro- 
jection.  Von  Gustav  Wbnz.  München  1883.  (297  S.) 
Das  Werk  enthält  eine  mathematische  Einleitung  (ein  Viertel  des  Gan- 
zen), eine  mathematische  Geographie  mit  Projectionslehre ,  eine  Art  popu- 
läre Astronomie  und  eine  Anzahl  Tafeln  trigonometrischer  Functionen.  Wel- 
cher Art  die  mathematische  Einleitung  ist,  zeigen  Formell;!  wie:  sin 30^ 
=  ^  =  ^9,69897,  oder  Ausdrücke  wie:  „Kreis  und  Ellipse  sind  zwei  cur- 
vische  Linien",  „die  Ellipse  ist  eine  ebene  Curve,  bei  welcher  die  Abstände 
von  den  beiden  Brennpunkten  für  einen  Peripheriepunkt  gleich  der  grossen 
Axe  sind",  und  ähnliche  S.  125  wird  von  der  Integralrechnung  Gebrauch 
gemacht,  so  dass  es  scheint,  diese  sei  vorausgesetzt,  aber  die  Elementar- 
mathematik nicht.  Ein  wunderbarer  Satz  findet  sich  S.  181:  „Das  Fou- 
cault'sche  Pendel  deutet  an,  dass  für  die  Darstellung  von  Ländern  der 
gemässigten  Zone  die  Eegelprojection,  für  Polarkarten  das  kreisförmige 'Netz 
und  für  aequatoreale  Gegenden  die  Cylinderprojection  am  geeignetsten  ist; 
wäre  man  nicht  schon  mit  diesen  Projectionsweisen  bekannt  gewesen ,  wahr- 
lich, das  Foucault 'sehe  Pendel  hätte  auf  sie  führen  müssen."  Interessant 
ist  auch  die  Beschreibung  des  Antipassats  auf  der  folgenden  Seite  und  die 
Darstellung  der  elliptischen  Bahn  der  Planeten  S.  187.  Dann  wird  kühn 
behauptet:  „Am  21.  März  erblickt  man  die  Sonne  im  Sternbild  des  Widders." 


56  Historisch  -  literarische  Abtheilung. 


Lesenswerth  ist  die  Berechnung  der  Dämmerung  aus  einer  trigonometrischen 
Formel  mit  den  nöthigen  Anweisungen  zur  Umrechnung  in  Anmerkungen. 
In  einer  dieser  Anmerkungen  wird  bewiesen,  dass  (— m)  =  (0  — t»)  ist,  in 
einer  andern,  dass  {— cos d)  =^ cos d y  weil  gleiche  entgegengesetzte  Winkel 
gleiche  positive  Cosinus  haben.  Man  sieht  aus  diesen  Beispielen,  welcher 
Art  dieses  Buch  ist,  und  es  wäre  nur  zu  wünschen,  dass  der  Beisatz  auf 
dem  Titel:  „Expedition  des  königl.  Central  -  Schulbticherverlags "  wenigstens 
im  vorliegenden  Falle  nicht  zur  Wahrheit  werde.  p  ^ech 


Jansen,  Physikalische  Aufgaben.    Freibnrg  1883. 

Vorliegende  Aufgabensammlung  schliesst  sich  in  ihrem  Gange  an  das 
Lehrbuch  der  Physik  von  Mtinch  an.  Der  erste  Theil  enthält  276  Auf- 
gaben aus  der  Mechanik ,  der  zweite  282  Aufgaben  aus  der  Lehre  von  der 
Molecularbewegung  der  Körper;  dabei  ist  den  schwierigeren  Aufgaben  eine 
kurze  Anleitung  beigefügt.  Gerade  die  Kleinheit  des  Werkchens  dürfte  bei 
seiner  Reichhaltigkeit  manchen  Lehrer  bestimmen,  es  in  seiner  Schule  ein- 

^^^^^^^^'  B.  Nebel. 

F.  Kohlrausch,  Leitfaden  der  praktischen  Physik.  5.  Aufl.  Leipzig. 
Teubner.  1884. 
Die  innerhalb  kurzer  Zeit  erschienene  neue  Auflage  lässt  deutlich 
erkennen,  wie  sehr  sich  dieses  Buch  in  den  physikalischen  Laboratorien 
eingebürgert  hat.  Demselben  wurden  wieder  mehrere  neue  Artikel,  nament- 
lich aus  dem  Gebiete  des  Galvanismus,  hinzugefügt,  sodann  wurden  die 
Tabellen  mit  den  inzwischen  von  Landolt  und  Börnstein  herausgegebe- 
nen in  üebereinstimmung  gebracht.  Weshalb  der  Verfasser  die  vom  Pariser 
Elektrikercongress  festgesetzten  Bezeichnungen  ,,  Ampere"  und  ,,Coulomb" 
nun  „Amper^'  und  „Culom"  schreibt,  ist  mit  Rücksicht  auf  die  an- 
gestrebte Einheit  der  Bezeichnung  nicht  recht  erklärlich.  p  Nebel 


Cu.  Aug.  Vogler,  Ornndzttge  der  Ansgleichnngsreohnung.  Braunschweig. 
Vieweg  &  Sohn.  1883. 
Dieses  Buch  dürfte  wohl  das  erste  sein,  das  die  Formeln  der  Aus- 
gleichungsrechnung durchaus  elementar  entwickelt,  ohne  dabei  weitschweifig 
zu  werden.  Es  muss  deshalb  besonders  von  den  Geometem,  welche  der 
höheren  Mathematik  femer  stehen,  mit  grossem  Interesse  begrüsst  werdeu. 
—  In  dem  ersten  Capitel ,  das  über  vermittelnde  Beobachtungen  mit  gleicher 
Genauigkeit  handelt,  findet  die  Methode  der  kleinsten  Quadratsummen  ihre 
Erläuterung   und  Anwendung   auf  einige  Beispiele;   das   zweite  Capitel  be- 


Recensionen.  57 

schäftigt  sich  mit  der  Auffindung  des  mittleren  Fehlers  von  Beobachtungen 
und  Functionen  derselben,  und  bildet  denselben  bei  zahlreichen  Beispielen, 
worunter  sich  auch  das  Pothenot'sche  Problem  als  Ausgleichungsaufgabe 
befindet.  Das  dritte  Capitel  zeigt,  wie  man  vermittelnde  Beobachtungen 
ungleicher  Genauigkeit,  d.  h.  solche  von  verschiedenem  Gewicht,  zurückführt 
auf  solche  mit  gleichem  Gewicht,  deYen  weitere  Ausführung  schon  im  ersten 
Capitel  ihre  Erledigung  fand.  Schliesslich  wird  im  vierten  Capitel  die  ver- 
schiedenartige Behandlung  bedingter  Beobachtungen  dargethan  und  an  Aus- 
gleichungen von  Polygonen  zur  Anwendung  gebracht. 

Dem  Ganzen  ist  als  Anhang  eine  Copie  der  Jordanischen  Quadrat- 
tafeln hinzugefügt.  —  Da  das  Buch  für  Solche  berechnet  ist,  die  nur  der 
Elementarmathematik  mächtig  sind,  so  dürfte  auf  >S.  9  wohl  gesagt  sein, 
dass  man  unter  /Jx  etc.  eine  sehr  kleine  Grössenänderung  von  x  verstehen 
wolle;  sodann  gewährt  S.  63  die  Anwendung  der  Bezou tischen  Methode 
diesem  ebenerwähnten  Leserkreise  nicht  den  vollen  Einblick  in  das  Wesen 
derselben.  In  dem  zweiten  Gliede  der  Formel  7*  S.  74  fehlt  die  Un- 
bekannte y. 

Der  Hauptvorzug  dieses  Buches  besteht  wohl  darin,  dass  das  Lesen 
desselben  durch  die  zahlreich  durchgeführten  Beispiele  wesentlich  erleichtert 

^i^^-  B.  Nebel. 

Dr.  Stein,  Sonnenlicht  nnd  künstliche  Lichtquellen  für  wissenschaftliche 
Untersuchungen  zum  Zwecke  photographischer  Darstellung.  Halle 
1884,  Verlag  von  W.  Knapp. 
Vorliegendes  Buch  bildet  das  erste  Heft  des  in  sechs  Heften  erschei- 
nenden Handbuches:  „Das  Licht  im  Dienste  wissenschaftlicher  Forschung", 
welches  1876  in  erster  Auflage  erschienen  und  nunmehr  völlig  umgearbeitet 
und  erweitert  worden  ist.  —  Dieses  Heft,  welches  die  allgemeine  Vorberei- 
tung für  die  fünf  folgenden  Hefte  sein  soll ,  bringt  nach  einer  etwas  grossen 
Einleitung  zuerst  einen  geschichtlichen  Theil  der  Photographie ,  an  welchen 
sich  die  Eutwickelung  der  Ansichten  über  die  Natur  des  Lichtes  anschliesst. 
Sodann  wird  die  Brechung  des  Lichtes  an  Prismen  erläutert  und  bei  den 
Linsen  darauf  hingewiesen,  dass  diese  gleichsam  als  Combinationen  von 
Prismen  und  einem  planparallelen  Glase  aufzufassen  seien.  Nach  Anführung 
der  verschiedenen  Linsensysteme ,  speciell  der  bei  der  Photographie  verwen- 
deten Objective,  bespricht  der  Verfasser  die  übrigen  Theile  des  photogra- 
phischen Apparates ,  die  Camera  und  die  Kasette ,  und  macht  auf  den  wissen- 
schaftlichen Nutzen  des  Stereoskops  aufmerksam.  —  Im  letzten,  zugleich 
grössten  Theile  dieses  Heftes  werden  die  chemischen  Wirkungen  des  Lichtes» 
namentlich  der  in  den  verschiedenen  Regionen  des  Spectrums  erörtert,  wobei 
näher  auf  die  Spectralanalyse  und  die  sonstigen  Eigenschaften  des  Spectrums 
eingegangen  wird.     Daran  reiht  sich  die  Photometrie  und  die  sehr  ausfUhr- 

nUt.-lit.  Abthlg.  d  Zeitschr.  f  Math  n.  Pliy«.  XXX,  2.  6 


58  Historisch  -  literarische  Abtheilung. 


liehe  Besprechung  der  künstlichen  Lichtquellen,  die  z.  B.  bei  dem  elektri- 
schen Lichte  nicht  nur  die  verschiedenen  Lampensysteme ,  sondern  auch  die 
elektrischen  Maschinen  hereinzieht.  —  Im  Texte,  sowie  in  den  Figuren 
haben  sich  leider  einige  störende  Fehler  eingeschlichen,  z.  B.  S.  97  zweimal 
ÄgONO^  statt  AgNO^-,  S.  138  Fig.  148  Verwechselung  von  +  und  -  ;  S.  151 
Fig.  167  Indicesfehler  bei  den  Leitungsdrähten. 

Da  die  Kunst  zu  photographiren  infolge  des  Trockenplattenprocesses 
weit  einfacher  geworden  und  daher  leichter  zu  erlernen  ist ,  femer  die  Pho- 
tographie bei  wissenschaftlichen  Untersuchungen  immer  unentbehrlicher  wird, 
so  werden  die  Meisten,  die  sich  mit  Photographie  beschäftigen,  in  diesem 
Werke  die  dazu  nöthigen  Fingerzeige  finden ,  indem  hauptsächlich  die  Pho- 
tographie für  wissenschaftliche  Zwecke  eingehend  behandelt  wird. 

B.  Nebel.. 


Die  physikalischen  Ornndlagen  der  Hechanik.  Von  Prof.  Streintz. 
Leipzig,  Verlag  von  Teubner.  1883. 
Im  ersten  Capitel  wird  das  Galilei 'sehe  Princip  einer  geschichtlichen 
und  zugleich  kritischen  Betrachtung  unterzogen,  insbesondere  wird  die  Un- 
bestimmtheit der  New  ton 'sehen  Fassung  hervorgehoben,  wobei  der  Ver- 
fasser die  Vorschläge  für  die  Ergänzung  dieses  Textes  von  Seiten  mehrerer 
Autoren  einer  näheren  Kritik  unterwirft.  Da«  zweite  Capitel  behandelt  die 
Ermittelung  des  den  Gleichungen  der  Physik  zu  Grunde  liegenden  Coordi- 
natensystems  und  zeigt,  dass  die  Lösung  dieser  Aufgabe  sich  auf  die  New  ton- 
sehe  Auseinandersetzung  über  die  Absolutheit  der  Drehbewegungen  zurück- 
führen lässt.  An  dieses  reiht  sich  die  Aufzählung  der  Merkmale,  die  der 
Bezugskörper  haben  muss;  letzterer  wird  in  der  Folge  Fundamentalkörper 
und  das  mit  ihm  fest  verbundene  Coordinaten System  Fundamentalcoordina- 
tensystem  genannt.  Nach  diesen  Erörterungen  erfolgt  die  Aufstellung  der 
endgiltigen,  vervollständigten  Fassung  des  Galilei'schen  Princips.  Das 
dritte  Capitel  bietet  eine  historisch  -  kritische  Umschau,  deren  Zweck  ist, 
einmal  auf  die  bis  jetzt  gemachten  Bestrebungen  zur  Auffindung  eines  phy- 
sikalischen Bezugsystems  aufmerksam  zu  machen,  sodann  zu  zeigen,  wie 
sich  auf  Grund  einer  mangelnden  Basis  Unklarheiten  in  die  Mechanik  ein- 
geschlichen haben.  —  Im  vierten  Capitel  wird  die  Frage  der  Zeitmessung 
an  der  Hand  von  Poisson's  Mechanik  besprochen,  deren  Ideengang  schon 
bei  d'Alembert  zu  finden  ist,  die  aber  in  den  neueren  Werken  keine 
Aufnahme  gefunden  hat.  —  Nach  den  im  Früheren  dargelegten  Bewegungs- 
arten werden  im  fünften  Capitel  die  Begriffe  von  Kraft  und  Masse  auf- 
gestellt und  auf  verschiedene  Weisen  definirt,  wobei  auch  der  Inhaltslosig- 
keit der  Definition:  ,, Masse  ist  die  Quantität  der  Bewegung"  Erwähnung 
geschieht.  Nachdem  im  sechsten  Capitel  das  Unabhängigkeitsprincip  aus- 
gesprochen ist,   wird  gezeigt,   dass  dasselbe  einer  Erfahrungsthatsache  ent- 


Recensionen.  59 


spricht  und  nicht  eines  Beweises  föhig  ist;  dabei  wird  auf  die  Ansicht 
Poisson's  in  der  ersten  Auflage  seiner  Mechanik  hingewiesen,  die  aber  in 
der  zweiten  Auflage  ganz  entgegengesetzter  Natur  ist.  Bei  der  Besprechung 
des  Princips  der  Wechselwirkung  in  dem  siebenten  Capitel  zeigt  der  Ver- 
fasser, wie  dasselbe  mit  dem  Trägheitsprincip  zusammengezogen  werden 
kann,  erwähnt  auch,  dass  manche  Autoren  es  als  Princip  anzuführen  nicht 
für  nöthig  erachteten.  —  In  den  ergänzenden  Bemerkungen,  die  das  achte 
Capitel  enthält ,  wird  auf  eine  in  manchen  Fällen  zweckmässige  Voraussetz- 
ung über  den  Fundamentalkörper  hingewiesen,  sodann  gezeigt,  dass  die 
Zahl  der  aufgestellten  Principien  wohl  vermehrt,  aber  nur  auf  Kosten  der 
Klarheit  vermindert  werden  könne.  Schliesslich  wird  noch  der  Gedanken- 
gang für  die  Entwickelung  der  Grundlagen  der  Mechanik  skizzirt. 

B.  Nebel. 


Dr.  W.  Abändroth,  Leitfaden  der  Physik.  I.  Band.  Cursus  der  ünter- 
und  Obersecunda.     Leipzig  1884,  Verlag  von  Hirzel. 

Veranlasst  zur  Herausgabe  eines  Leitfadens  der  Physik  wurde  der  Ver- 
fasser durch  den  neuen  Lehrplan ,  wie  er  für  den  physikalischen  Unterricht 
in  den  norddeutschen  Gymnasien  vorgeschrieben  ist.  —  In  Untersecunda 
wird  zuerst  eine  allgemeine  Einleitung  in  die  Physik  gegeben,  an  welche 
sich  dann  die  einfachsten  Lehren  der  Chemie  anreihen;  den  zweiten  Theil 
bilden  Magnetismus  und  Reibungselektricität.  Die  Obersecunda  beginnt  mit 
Galvanismus  und  behandelt  ausführlich  die  Wärmelehre. 

Dass  der  neue  Lehrplan,  welcher  von  dem  bisherigen  durchaus  ver- 
schieden ist,  wohl  nicht  ganz  der  richtige  sein  dürfte^  lässt  vorliegender 
Leitfaden  am  deutlichsten  erkennen.  Ueberall  vermisst  man  die  Mechanik, 
so  dass  der  Schüler  stets  auf  später  vertröstet  werden  muss ;  infolge  dessen 
bauen  sich  seine  Kenntnisse  in  der  Physik  dermassen  lückenhaft  auf,  dass 
er  davon  keineswegs  befriedigt  sein  kann.  —  Von  diesem  Hauptfehler  ab- 
gesehen ,  zeichnet  sich  aber  dieses  Buch  vor  vielen  gleichartigen  durch  seinen 
wissenschaftlichen  Charakter  aus,  insbesondere  durch  die  Erwähnung  der 
Gesetze  in  der  Lehre  vom  Galvanismus.  Wegen  dieses  Vorzugs  erlaube  ich 
mir,  noch  einige  Aenderungen  für  die  Zukunft  vorzuschlagen. 

§  2  der  Einleitung  scheint  mir  mehr  für  eine  populäre  Physik,  als  für 
den  Unterricht  in  Untersecunda  zu  passen.  S.  123  Z.  20  v.  u.  ist  „und  sich" 
gemäss  des  §  5  S.  113  unrichtig  und  deshalb  zu  entfernen.  S.  196  muss 
der  mittlere  Punkt  des  Tasters  nicht  mit  der  oberirdischen  Leitung,  son- 
dern mit  der  Erde  verbunden  werden ;  dadurch  wird  mi  der  zeichengebenden 
Station  der  Receptor  ausgeschaltet,  was  einfacher  ist  und  der  Praxis  ent- 
spricht 

Zum  Selbststudium  ist  dieses  Buch  an  manchen  Stellen,  namentlich  in 
der  mechanischen  Wärmetheorie ,  für  den  Schüler  zu  schwierig,  ist  aber  für 

6* 


60  Historisch  -  literarische  Abtheilung. 

den  Unterricht,   in  welchem  der  Lehrer  die  einzelnen  Theile  bespricht  und 
erläutert,  von  grossem  Nutzen  und  deshalb  sehr  zu  empfehlen. 

B.  Nebel. 


6.  Krebs  ,  Die  Physik  im  Dienste  der  Wissenschaft  ^  der  Kunst  nnd  des 
praktischen  Lebens.     Stuttgart,  Enke.     1884. 

Vorliegendes  Buch  umfasst  in  13  Abhandlungen,  die  ihre  eigenen  Ver- 
fasser haben  und  von  dem  Herausgeber  zusammengestellt  sind,  die  gesammte 
Physik,  wie  sie  fruchtbringend  in  das  menschliche  Leben  und  Treiben  ein- 
greift. Der  Zweck  dieses  Buches  ist,  das  grosse  Publicum,  welches  der 
Physik  als  Studium  nicht  nachkommen  kann,  sich  wohl  aber  für  deren 
Erfolge  interessirt,  in  thunlichster  Kürze  mit  den  Hauptanwendungen  ver- 
traut zu  machen,  und  damit  dieses  Werk  seinen  Zweck  möglichst  erfülle, 
ist  jeder  Zweig  von  einem  speciellen  Fachmanne  ausgearbeitet  worden. 

Der  erste  Aufsatz:  „Im  photographischen  Atelier",  macht  uns  zuerst 
mit  dem  Entwickelungsgange  der  Photographie  bekannt,  sodann  erhalten 
wir  einen  tiefen  Einblick  in  das  Wesen  des  Negativ-  und  Positivprocesses, 
dem  sich  schliesslich  die  Erläuterung  des  immer  mehr  sich  verbreitenden 
Trockenplattenprocesses  anschliesst,  durch  welchen  die  Photographie  auch 
weiteren  Kreisen  zugänglich  gemacht  wird. 

Der  zweite  Aufsatz:  ,, Spectrum  und  Spectralanalyse'S  geht  von  der 
zuerst  von  Newton  hervorgebrachten  Zerlegung  des  Lichtes  aus,  bespricht 
sodann  die  verschiedenen  Theile  des  Sonnenspec tr ums  und  deren  Eigenthüm- 
lichkeiten.  Eingehende  Auseinandersetzung  findet  bei  der  Spectralanalyse 
und  deren  Anwendungen  statt,  so  dass  hierdurch  der  Leser  ein  vollkomme- 
nes Bild  von  dieser  grossen  Entdeckung  der  Neuzeit  erhält. 

Der  dritte  Aufsatz:  „Eine  meteorologische  Station",  bildet  gleichsam 
einen  Abschnitt  des  folgenden  Aufsatzes ,  was  vielleicht  für  den  Umfang  des 
Buches  auch  besser  gewesen  wäre;  denn  das  Ganze  enthält  nur  eine  etwas 
ausführliche  Beschreibung  der  Messinstrumente  einer  meteorologischen  Station. 

Grosses  Interesse  verdient  der  vierte  Aufsatz:  „Auf  der  deutschen  See- 
warte"; denn  gerade  in  dem  Binnenlande  findet  man  meistens  unklare  Vor- 
stellungen über  die  Wirksamkeit  dieses  Instituts.  Nach  Erklärung  der  im 
Gebäude  der  See  warte  selbst  untergebrachten  Abtheilungen  und  deren  Thä- 
tigkeit  wird  noch  der  Verkehr  der  Seewarte  mit  den  ihr  unterstellten  Küsteii- 
stationen ,  sowie  auch  der  mit  anderen  meteorologischen  Stationen  geschildert. 

Der  fünfte  Aufsatz  beschäftigt  sich  mit  der  nie  oft  genug  zu  bespre- 
chenden Frage  der  „  Heizung  und  Ventilation".  Zuerst  bespricht  der  Ver- 
fasser die  Wärmeverliältnisse  des  Menschen,  an  die  sich  die  Wärmeerzeu- 
gung durch  Verbrennung  anreiht.  Dabei  werden  die  dazu  nöthigen  Ein- 
richtungen, wie  sie  in  den  einzelnen  Ländern  und  wie  sie  für  besonden» 
Zwecke  eingerichtet  sind,  einer  näheren  Kritik  unterzogen.     Auch  die  vt^r- 


Becensionen.  61 

schiedenen  Centralheizungssysteme  werden  auf  ihre  Güte  hin  geprüft,  und 
dabei  aufmerksam  gemacht,  wie  zugleich  fUr  Ventilation  gesorgt  ist.  Den 
Schluss  bilden  die  Verbrennungsproducte  und  deren  schädlicher  Einfluss  bei 
ungenügender  Beseitigung. 

Der  sechste  Aufsatz  trägt  den  Titel:  „Die  Akustik  in  ihren  Haupt- 
beziehungen zu  den  musikalischen  Instrumenten/'  Zunächst  wird  auf  die 
Entstehung  der  Töne  im  Allgemeinen  und  sodann  auf  die  bei  den  einzelnen 
Instrumenten  hingewiesen;  darauf  wird  das  Wesen  der  Töne  erläutert,  nach 
welchem  die  musikalischen  Insti^umente  in  drei  Hauptgruppen  zerfallen.  Nach 
der  Angabe,  wie  Töne  verstärkt,  und  Überhaupt  wie  grössere  Effecte  in  der 
Musik  erzielt  werden  können,  kommt  der  Verfasser  auf  den  Bau  und  die 
Einrichtung  der  Violine  zu  sprechen ,  welche  er  die  Königin  der  Instrumente 
nennt. 

Der  siebente  Aufsatz  behandelt  „die  Motoren  des  Kleingewerbes".  Der 
Verf.  spricht  zuerst  über  die  Bedeutung  der  Dampfmaschine  und  geht  sodann 
über  zur  erklärenden  Beschreibung  von  Feder-,  Wasser-  und  Gasmotoren, 
ferner  der  Heissluft-  und  kleineren  Dampfmaschinen.  Bei  der  Besprechung 
der  Dynamomaschine  scheint  dem  Verf.  fremd  zu  sein ,  dass  auch  bei  gleich- 
bleibender Stromrichtung  die  Maschine  als  Motor  die  entgegengesetzte  Dreh- 
bewegung von  der  annimmt,  welche  sie  als  Stromerzeuger  hatte;  denn  sonst 
hätte  er  nicht  gesagt:  „wenn  man  den  elektrischen  Strom  in  der  ^, umgekehr- 
ten Richtung"  durch  die  Maschine  sendet  etc.".  Fig.  131  ist  dem  Auf- 
satz nicht  einverleibt. 

Bei  den  „elektrischen  Maschinen",  welchen  der  achte  Aufsatz  gewidmet 
ist,  sind  leider  mehrere  störende  Fehler  vorhanden.  Gleich  zu  Anfang  ist 
die  Induction  in  Fig.  150  unrichtig  angegeben,  so  dass  der  Laie  die  Vor- 
gänge in  den  nachstehenden  Maschinen  nicht  mehr  verstehen  kann;  in 
Fig.  157  ist  ein  Fehler  in  der  Pfeilrichtung,  u.  s.  w.;  überhaupt  findet  man 
an  diesem  Aufsatze,  dass  auf  Verbesserung  der  Druckfehler  nur  geringe 
Sorgfalt  verwendet  ist. 

Der  neunte  Aufsatz:  „Kerzen  und  Lampen",  geht  zuerst  auf  die  che- 
mische Zusammensetzung  der  Beleuchtungsstoffe  ein,  sodann  behandelt  er 
die  Natur  der  Flamme  und  den  Verbrennungsprocess ,  dem  sich  unmittelbar 
die  Photometrie  anschliesst.  Hierauf  macht  uns  der  Verfasser  mit  der  Con- 
stitution der  Fette  und  deren  Verwendung  bei  der  Bereitung  der  Kerzen 
bekannt  und  geht  dann  zu  der  Beschreibung  der  Oellampen  über.  Den 
Schluss  bildet  die  Leuchtgasfabrikation  und  die  Theorie  der  Gassparbrenner. 

Der  zehnte  Aufsatz:  „Der  Kampf  des  elektrischen  Lichtes  mit  dem 
Gaslichte",  enthält  zuerst  die  Fortschritte  der  Leuchtgasbrenner,  nämlich 
die  Regenerati vlampen ;  diesen  werden  sodann  die  verschiedenen  Bogenlampen- 
und  Glühlampensysteme  gegenübergestellt. 

Der  elfte  Aufeatz:  „In  der  galvanoplastischen  Werkstätte",  geht  zu- 
nächßt  von  der  Elektrolyse  aus,  welche  gestattet,  zusammengesetzte  Körpei 


62  Historisch  -  literarische  Abtheilung. 

zu  zerlegen.  Diese  Eigenschaft  des  elektrischen  Stromes  bildet  die  Grund- 
lage der  Galvanoplastik,  deren  verschiedene  Verfahren  und  Anwendungen 
für  das  praktische  Leben  ausführlich  erörtert  werden. 

Der  zwölfte  Aufsatz:  „Die  Telephonie  und  ihre  Verwendung  im  Ver- 
kehrsleben der  Gegenwart",  führt  zuerst  die  verschiedenen  Telephone  uod 
Mikrophone  an,  wie  sie  für  die  nachher  beschriebene  Einrichtung  von  Sprech- 
stellen nothwendig  sind. 

Der  dreizehnte  Aufsatz:  „Auf  der  Sternwarte",  giebt  zunächst  eineu 
geschichtlichen  Ueberblick  der  Sternwarten  und  ihrer  Instrumente  und  geht 
dann  zur  Betrachtung  der  Strassburger  Sternwarte,  einer  der  neuesten  und 
grössten,  über.  B.Nebel. 


Dr.  0.  TuMLiRz ,  Das  Potential  und  seine  Anwendung  zu  der  Erklärung 
der  elektrischen  Erscheinungen.  Wien,  Verlag  von  A.  Hartleben. 
Um  vorliegendes  Buch  auch  dem  Laien  zugänglich  zu  machen,  setzt 
der  Verfasser  nur  Elementarmathematik  voraus,  weshalb  er  einige  Hilfssätze 
aus  der  Mechanik  an  die  Spitze  stellt.  Sodann  zerfällt  das  Ganze  in  vier 
Abschnitte,  wovon  der  erste  das  Potential  der  Schwere,  der  zweite  das 
Potential  mit  Bezug  auf  Elektrostatik,  der  dritte  das  Potential  mit  Bezug 
auf  Elektrodynamik  und  der  vierte  Magnetismus ,  Elektrodynamik ,  Elektro- 
magnetismus und  Induction  behandelt  Dem  Ganzen  ist  noch  ein  kleiner 
Theil  über  elektrische  Einheiten  beigegeben.  Der  Verfasser  giebt  die  De- 
finitionen der  Quantität,  des  Potentials  etc.  nach  elektrostatischem  Maasse 
und  fügt  unmittelbar  daran  die  in  der  Praxis  üblichen  Maasseinheiten  ^  so 
dass  es  den  Anschein  hat,  als  ob  diese  Einheiten  dem  elektrostatischen 
Maasssysteme  angehören  würden.  Die  Tabelle  der  Stromeinheiten  ist  der 
Fehler  wegen  mit  Vorsicht  zu  gebrauchen.  n  Nebel 


Lehrbuch  der  Arithmetik  zum  Gebrauch  an  niederen  und  höheren  Lehr- 
anstalten und  beim  Selbststudium.  Von  B.  E.  Richard  Schurio. 
In  drei  Theilen.  Erster  Theil:  Specielle  Zahlenlehre.  (Zugleich 
ein  Handbuch  für  Volksschullehrer.)  Leipzig,  Friedrich  Brandstetter. 
1883.  Preis  3  Mk.  60  Pf. 
Es   ist   eine   nicht  ganz   seltene  Sache,   dass   ein  Schriftsteller  für  die 

schwachen   und   starken  Seiten   seines  Buches  ein  unrichtiges  Urtheil  zeigt. 

Oft    bedarf  es    gerade    eines    vorurtheilsfreien    fremden  Blickes,    um  dem 

Schriftsteller  zu  zeigen ,  dass  die  Eigenschaften  seines  geistigen  Eigeutbums. 

welche  er  für  ganz  besondere  Tugenden  hält,  wenig  werth  sind  und  andere 

Dinge,    welchen  er  keine   besondere  Aufmerksamkeit  schenkt,   gerade  die 

Hauptstärke  meines  Werkes  ausmachen. 


Recensionen.  63 


Mit  diesem  Eindrucke,  den  wir  eben  wiedergegeben  haben,  legen  wir 
das  oben  angezeigte,  18  Bogen  starke  Buch  aus  der  Hand.  Der  Verfasser 
glaubt  sich  früheren  Erscheinungen  gegenüber  besonders  durch  logische 
Schärfe  im  Vortheil.  Er  betont  dies  —  zwar  nicht  in  unbescheidener 
Weise  —  im  Vorworte  mit  einigem  Nachdruck  und  kommt  auch  an  an- 
deren Stellen  seines  Buches  auf  diesen  Punkt  zurück.  Ja,  auf  S.  235 
lasen  wir  mit  starkem  Befremden  in  einer  Fussnote  den  Ausdruck  ,,  bis- 
herige unlogische  Mathematik".  Nichtsdestoweniger  können  wir  in  den 
Schritten,  die  der  Verfasser  in  dieser  Richtung  gethan  hat,  keine  Fort- 
schritte sehen.  Vielleicht  wird  er  selbst  in  dieser  üeberzeugung  von  der 
Ueberlegenheit  seines  Buches  erschüttert,  wenn  er  sich  die  Mühe  geben  will, 
dasselbe  mit  anderen,  z.  B.  mit  den  Lehrbüchern  von  Heilermann-Diek- 
mann  oder  V.  Schlegel,  die  uns  gerade  zur  Hand  sind,  vorurtheilsfrei 
zu  vergleichen. 

Dennoch  haben  wir  von  dem  Buche  einen  im  Ganzen  recht  angenehmen 
Eindruck  empfangen  und  empfehlen  es  insbesondere  den  Lehrern,  welche 
an  höheren  Lehranstalten  den  Kechenunterricht  in  den  unteren  Classen 
zu  ertheilen  haben;  denn  der  Verfasser  versteht  praktisch  zu  rech- 
nen. Diese  Kunst  ist  aber  für  den  Mathematiker  von  Fach,  der  auf  den 
untersten  Stufen  die  vier  Species  einexerziert  oder  auf  höheren  Classen  über 
frühere  Versäumnisse  zu  seufzen  Gelegenheit  hat.  eine  sehr  wichtige,  aber 
darum  noch  lange  nicht  selbstverstftndliche  Sache. 

Bei  dem  vorwiegend  wissenschaftlichen  Charakter  dieser  Zeitschrift 
müssen  wir  uns  bei  diesem  rein  didaktischen  Punkte  der  grössten  Kürze 
befleissen.  Allein  wir  würden  nicht  im  Stande  sein,  dem  Leser  von  der 
trefflichen  Methode  des  Herrn  Verfassers  ein  klares  Bild  zu  entwerfen,  wenn 
wir  nicht  wenigstens  ein  Beispiel  in  einiger  Vollständigkeit,  wiedergäben. 
Wir  wählen  S.  105  die  Regeln  für  die  Addition.     Dort  lesen  wir: 

1.  Setze  die  gleichen  Ordnungen,  z.  B.  die  Einer,  genau  senkrecht 
unter  einander. 

2.  Zeige  in  gleichmässigem  Takte  nach  und  nach  auf  9,  2,  7,  4,  dabei 
die  Summen  15,  17,  24,  28  denkend.  (6  steht  über  9.)  Also  nicht  6  +  9 
=  15,  15  +  2=17  u.  s.  w. 

3.  Bei  gleichen  Summanden  wende  die  Multiplication  an,  also  statt 
einer  dreimal  vorkommenden  6  sprich  18. 

4.  Suche  diejenigen  Ziffern  heraus,  welche  sich  zu  10  ergänzen.  Statt 
7  +  3  denke  10  u.  s.  w. 

In  dieser  Weise  giebt  der  Verfasser  elf  wahrhaft  goldene  Begeln. 

Doch  auch  der  Mathematiker,  besonders  der  Zahlentheoretiker,  findet 
des  Ansprechenden  in  dem  Buche  recht  viel.  So  die  allerliebsten  Sätzchen 
über  die  Theilbarkeit  der  Zahlen  durch  7,  13,  17,  101  u.  s.  w.,  und  es  ist 
nicht  der  kleinste  Vorzug  des  Buches,  dass  die  Beweise  dieser  Sätze  trotz 
ihrer    Strenge    gleichsam   wie  Inductionen    aus  Beispielen   sich    darbieten« 


64  Historisch  -  literarische  Abtheilimg. 

Selbstverständlich  fehlt  die  Neaner-  und  Elferprobe  nicht.  Als  Aasnahme 
wollen  wir  hervorheben ,  dass  das  Beweisverfahren  S.  206  der  Strenge  gänz- 
lich entbehrt  Ein  gleiches  Urtheil  würden  wir  über  den  Vortrag  der  reftda 
fcUsi  S  268  föllen  müssen,  wenn  nicht  mit  Recht  angenommen  werden 
könnte,  dass  hier  nur  ein  interessantes  Bechnungsverfahren  mitgetheilt 
werden  soll. 

Die  Lehre  von  den  ,, entgegengesetzten  Grössen"  S.  271  hat  uns  nicht 
besonders  gefallen  wollen,  insbesondere  nicht  die  Herleitungen  S.  281.  Der 
Vergleich  mit  Hesse,  „Die  vier  Species.  Teubner  1872"  fällt  nicht  glän- 
zend für  unsern  Verfasser  aus. 

Fassen  wir  unser  Urtheil  zusammen,  so  haben  wir  ein  Buch  vor  uns, 
dessen  Fehler  den  Mathematiker  von  Fach  nicht  zu  Irrthümern  verleiten 
werden.  Der  Zahlentheoretiker  wird  in  dem  Werke  viel  Ansprechendes 
finden,  wenn  es  auch  einfach  und  vielleicht  nicht  ganz  neu  ist.  Dem  Fach- 
lehrer des  Rechnens  auf  den  unteren  und  mittleren  Classen  höherer  Lehr- 
anstalten hat  der  Verfasser  eine  sehr  dankenswerthe  Gabe  dargeboten. 

Coesfeld,  im  October  1884.  K.  Schwbring. 


Leitfaden  zum  Unterricht  in  der  Arithmetik  und  Algebra  an  Gymnasien 
und  verwandten  Anstalten.   Von  Dr.  Jon.  Chr.  Walberer  ,  Professor 
am  königl.  Gymnasium  in  Amberg.     Zweite,  durchgesehene  und  mit 
Uebungsaufgaben  versehene  Auflage.    München ,  Theodor  Ackermann. 
1884.     Preis  1  Mk.  60  Pf. 
Es  kann  nicht  oft  und  eindringlich    genug   betont  werden,    dass  bei 
jedem  für  Lernende  bestimmten  Buche  zwei  Dinge  wesentlich  ins  Auge  ge- 
fasst  werden   mtlssen.     Erstlich   soll   von  wissenschaftlichem  Stand- 
punkte  aus    der  Verfasser  insoweit  mindestens  tadellos  erscheinen,   dass  er 
nicht   längst  erkannte  und   verworfene  Irrthümer  seinen  harmlosen  Lesern 
wiederum  neu  auftischt.     Zweitens  soll  der  Stoff  in  didaktischer  Rück- 
sicht gut  gewählt,  geordnet  und  klar  vorgetragen  werden.    Gern  fügten  wir 
noch   einen   dritten   Wunsch   hiozu;   doch  findet  ihn   der  Leser  erst  am 
Schlüsse  dieser  Anzeige. 

In  den  Anfangsgründen  der  Arithmetik  und  Algebra  findet  sich  fUr 
Lehrer  und  Lernende  eine  Klippe,  die  wir  zunächst  kennzeichnen  wollen. 
Die  Definitionen  des  Prodactes  und  der  Potenz  gelten  —  wie  sie  gewöhn- 
lich gegeben  werden  —  nur  für  positive  ganze  Zahlen  als  Multiplicator  bez. 
Exponent.  Demnach  gelten  die  aus  denselben  geschöpften  Beweise  auch 
nur,  wenn  die  eben  genannten  Zahlen  ganz  und  positiv  sind.  Wenn  nun 
die  gewonnenen  Sätze  über  diesen  Geltungsbereich  hinaus  angewandt  werden, 
so  darf  das  sicher  nicht  stillschweigend  geschehen.  Man  hat  dem  Lernen- 
den beispielsweise  zu  gagen,  dass  (— &).a  nach  der  -bisherigen  Definition 


Recensionen.  65 

keinen  Sinn  hat,  dass  man  es  also  verwerfen  oder  ihm  einen  bestimmten 
Sinn  beilegen  kann.  Diesen  Weg  hat  Hesse  eingeschlagen.  Andere  Mathe- 
matiker haben  dagegen  die  Definitionen  z.  B.  der  Multiplication  so  gefasst, 
dass  sie  auch  negative  und  gebrochene  Multiplicatoren  zulässig  finden. 

Der  Verfasser  unseres  Buches  kennt  zwar,  wie  die  S.  1(X)  stehende 
Bemerkung:  ;, Gehen  wir  umgekehrt  davon  aus,  dass  die  complexen  Zahlen 
den  formalen  Zahlengesetzen  ebenso  unterworfen  sind  wie  die  reellen,  so 
n.  s.  w."  zu  beweisen  scheint,  sehr  wohl  die  oben  von  uns  erwähnt«  Be- 
griffserweiterung. Dennoch  übergeht  er  S.  17  die  Sache  mit  lautlosem 
Schweigen.  Dasselbe  Verfahren  beobachtet  er  S.  32,  wo  er  ohne  irgend- 
welche Ausführung  behauptet,  dass  a^ :a^  ^=  a"' ~ '',  der  für  positive  ganze 
m.,  n  auf  S.  31   bewiesen  ist,  unbeschränkt  giltig  sei. 

Falsch  und  irreführend  ist  es,  wenn  der  Herr  W.  S.  41  behauptet, 
dass  die  Cubikwurzel  aus  einer  positiven  wie  negativen  Zahl  stets  möglich 
und  eindeutig  sei.  Den  Ausdruck  „möglich'*  wollen  wir  uns  merken. 
Denn  auf  S.  52  lesen  wir:  „Da  sowohl  6*^  als  auch  6~'  für  ein  positives  h 
stets  positiv  ausfällt,  so  kann  eine  negative  Zahl  —  a  überhaupt  nicht  durch 
b^  ausgedrückt  werden;  folglich  ist  log{—a)  unmöglich,  d.  h.  der  Logarith- 
mus einer  negativen  Zahl  ist  imaginär."  Hiernach  scheint  dem  Verfasser 
der  Vorwurf,  dass  er  imaginär  und  unmöglich  für  gleiche  oder  synonyme 
Begriffe  hält,  leider  nicht  erspart  werden  zu  können.  Unter  diesem  un- 
angenehmen Eindrucke  blieben  wir,  als  wir  auf  der  folgenden  53.  Seite 
lasen:  „jede  endliche  Zahl  hat  nur  einen  Logarithmus  und  umgekehrt  jedem 
reellen  Logarithmus  entspricht  nur  eine  Zahl  a".  Die  Unterstreichung  in 
diesem  Sätzchen  rührt  vom  Referenten  her.  Wir  können  ferner  die  Be- 
griffe „unbestimmt«**  und  „diophantische**  Gleichung,  wie  es  der  Verfasser 
8   72  thut,  nicht  durch  ein  tonloses  „oder**  verbinden. 

Es  scheint  nicht  ganz  verständlich ,  wenn  der  Verfasser  S.  98  schreibt : 
„Da  jede  gerade  Wurzel  sich  auf  eire  Quadratwurzel  reduciren  lässt,  so 
kann  auch  überhaupt  jede  imaginäre  Wurzel  auf  j/—l  zurückgeführt  wer- 
den.** Aber  einen  gewissen  und  zwar  sehr  traurigen  Sinn  kann  man  ohne 
Mühe  hineinlegen.  Als  Kleinigkeit  mag  erwähnt  werden,  dass  die  imagi- 
näre Einheit  i  auch  in  der  Druckschrift  durch  ein  besonderes  Zeichen  her- 
vortreten sollte.  Endlich  findet  sich  ein  Versehen  in  Formel  2  S.  102, 
welche  die  Quadratwurzel  aus  (i-\-bi  liefern  soll 

Glücklicherweise  sind  wir  nun  mit  unseren  Ausstellungen  zu  Ende  und 
wollen  nicht  verfehlen  zu  bemerken,  dass  im  Uebrigen  das  Buch  in  man- 
chen Dingen  ebenso  gut  ist  wie  andere  Schulbücher.  Ja,  gewisse  Abschnitte, 
wie  z.  B.  der  die  Reihen  behandelnde,  sind  recht  gut  vorgetragen.  Auch 
die  Aufgabensammlung  scheint  ziemlich  reichhaltig  und  zweckmässig  zu  sein. 
Der  erste  Satz  der  Vorrede  lautet:  „Nicht  um  einem  längst  gefühlten 
Bedürfnisse  abzuhelfen,  sondern  um  der  Schule  zu  dienen,  tibergebe  ich 
dieses  Büchlein  der  Oeffeutlichkeit/* 


66  Hiätoriäcb  -  literarische  Abtheilung. 


Möge  diese  Bescheidenheit  nicht  ohne  Nachfolge  bleiben  und  sich  sogar 
bei  manchen  Herren  Verfassern  zu  dem  Schlusssatze  verdichten,  den  man 
erhält,  wenn  man  den  sechs  letzten  Worten  des  Verfassers  da©  Wörllein 
„nicht"  beifügt. 

Coesfeld,  im  October  1884.  K.  ScHWERiN<i, 


Lehrbuch  der  ebenen  Oeometrie.  Von  Julius  Hoch,  Lehrer  der  Mathe- 
matik an  der  v.  Grossheim'schen  Realschule  in  Lübeck.  Erster  Theil: 
Linien,  Winkel,  Congruenz  und  Gleichheit  der  Figuren.  Mit  126 
in  den  Text  gedruckten  Holzschnitten.    Halle,  H.  W.  Schmidt.    1884. 

Das  vorliegende,  164  Seiten  starke  Buch  ist  besonders  für  berechtigte 
höhere  Bürgerschulen  bestimmt,  obwohl  es  auch  für  andere  höhere  Lehr- 
anstalten sich  eignen  wird. 

Als  besonderen  Vorzug  dieser  Schrift  kann  man  die  sorgfältige  und 
anschauliche  Zeichnung  der  Figuren  hervorheben. 

Der  Vortrag  ist  im  Ganzen  klar,  die  Beweisführung  sehr  ausführlich. 
Beispielsweise  zählten  wir  in  der  Darstellung  des  Satzes  vom  Parallel trapez 
26  Zeilen,  die  als  Gleichungen  ohne  verbindenden  Text  erscheinen. 
Das  Letztere  wird  nicht  als  Mangel  empfunden,  da  kurze,  in  Parenthese 
stehende  Hinweise  für  leichtes  Verständniss  sorgen.  Diese  Methode  des 
Verfassers  hat  für  die  Betonung  des  logischen  Beweisganges  in 
seinen  einzelnen  Schritten  einen  unleugbaren  Vorzug.  Aber  der  Hanpt- 
schritt,  der  eigentliche  Nerv  des  Beweises  dürfte  doch  in  Etwas  verhüllt 
werden. 

Die  Eintheilung  der  Dreiecke  (S.  26) ,  der  Vierecke  (S.  49;  ist  recht 
hübsch  tabellarisch  vorgeführt. 

Fehler  sind  uns  nicht  aufgefallen.  Nur  würden  wir  nicht,  wie  es  der 
Verfasser  S  21  thut,  eine  Ebene  durch  eine  einzige  krumme  Linie  be- 
grenzen lassen.  Auch  dürfte  es  nicht  mehr  richtig  sein,  Pythagoras 
als  Autor  des  Satzes  von  der  Winkelsumme  des  Dreiecks  zu  citiren.  In  der 
„Geschichte  der  Mathematik'*  von  Cantor,  S.  1 19  flgg.,  hat  diese  Frage 
eine,  wie  es  scheint,  abschliessende  Entscheidung  gefunden.  Auch  sollte 
man  die  Jahreszahlen  der  griechischen  Mathematiker  nicht  genauer  angeben, 
als  man  sie,  leider,  mit  Gewissheit  kennt. 

Die  Parallelentheocie  gründet  der  Verfasser  im  Wesentlichen  auf  den 
Begriff  des  Richtungsunterschiedes.  Referent  hat  gelegentlich  seiner 
Promotion  eine  dahin  lautende  These  in  gleichem  Sinne  „vertheidigt"  und 
benutzt  die  Gelegenheit,  um  Widerruf  zu  leisten.  Diese  Dai'stellung  ist 
nämlich  schon  deshalb  zu  tadeln,  weil  sie  die  wirkliche,  vorliegende  Schwie- 
rigkeit dem  Lernenden  gar  nicht  zum  Bewusstsein  kommen  lüsst 

Coesfeld,  im  October  1884.  K.  Schweriko. 


Recensionen.  67 

Lehrbach  der  Elementar -Oeometrie.  Von  Dr.  M.  Glinzkk,  Lehrer  der 
aligemeinen  Gewerbeschule  und  der  Schule  für  Bauhandwerker  in 
Hamburg.  Erster  Theil :  Planimetrie.  Mit  1 85  Figuren  und  einer 
Sammlung  von  250  Aufgaben.  Zweite  verbesserte  und  vermehrte 
Auflage.     Hamburg,  F.  H.  Nestler  &  Melle's  Verlag.     1884. 

Es  darf  dem  vorbezeichneten  Büchlein  von  vornherein  zur  Empfehlung 
gereichen,  dass  es  aus  dem  Unterricht  an  den  im  Titel  erwähnten  Anstal- 
ten hetvorgewachsen  ist.  Diesen  Ursprung  erfährt  der  kundige  Leser  nicht 
aus  der  Vorrede  allein.  Vielmehr  ist  es  der  Geist  einer  gesunden  Praxis, 
der  aus  den  Erklärungen  in  die  Theorie  hinein  und  aus  der  Theorie  zu 
zweckmässigen  Anwendungen  hinaus  wie  ein  frischer  Hauch  belebend  em- 
pfunden wird.  So  finden  wir  S.  10  beim  ersten  eigentlichen  Beweise,  der 
im  Lehrgange  auftritt,  nicht  sofort  das  bekannte  Schema:  „Voraussetzung, 
Behauptung,  Beweis",  sondern  der  Verfasser  hat  es  mit  Grund  für  dienlich 
erachtet,  die  Nothwendigkeit  dieser  Gedankenstufen  dem  Schüler  kurz  und 
bündig  zu  erklären.  Demselben  richtigen  Lehrgrundsatze  verdanken  wir  die 
Anmerkung  S.  16:  „Die  bei  der  Parcellirung  ausgetauschten  Stücke  Land 
sollen  bei  gleich  gutem  Boden  nur  gleich,  der  genaue  Grundriss  eines 
Grundstückes  demselben  nur  ähnlich,  dagegen  bei  der  fabrikmässigen  Her- 
stellung von  Maschinen  die  Theile  gleicher  Bestimmung  womöglich  gleich 
und  ähnlich,  d.  i.  congruent  sein.^'  Ebenso  angenehm  sind  uns  die  Bei- 
spiele zu  den  Aehnlichkeitssätzen  aufgefallen,  denen  eine  recht  bün- 
dige Darstellung  der  Proportionssätze  vorausgeht.  Interessant  sind 
ferner  S.  85  und  im  Anhang  einige  Aufgaben,  welche  ohne  Zuhilfenahme 
des  Lineals  gelöst  werden.  Die  eine  derselben,  die  Auffindung  des  Mittel- 
punktes eines  gegebenen  Kreises,  wird,  was  dem  Referenten  neu  war, 
Napoleon  I.  zugeschrieben.  Auswahl,  Anordnung  und  Behandlung  des 
Stoffes  zeichnen  sich  im  Uebrigen  mehr  durch  den  bereits  lobend  erwähn- 
ten Geist  einer  gesunden,  nüchternen  Praxis,  als  durch  Originalität  aus. 

Die  ParaUelentheorie  verschmäht  die  von  Neueren  zur  Ueberbrückung 
der  bekannten  Schwierigkeit  angewandten  Mittel  sämmtlich,  obschon  S.  33 
von  der  Umschreitung  des  Polygons  Gebrauch  gemacht  wird.  Wenn  der 
Verfasser  aber  den  Satz :  „Werden  zwei  Geraden  von  einer  dritten  Geraden 
80  geschnitten,  dass  ein  Paar  Gegenwinkel  zusammen  weniger  als  zwei 
Rechte  beträgt,  so  müssen  sich  die  Geraden  auf  dieser  Seite  schneiden*' 
mit  der  Anmerkung  begleitet:  „Wenn  auch  bisher  für  diesen  Satz  kein 
bündiger  Beweis  gefunden  ist  u.  s.  w.",  so  erweckt  er  durch  dies  „bisher" 
Hoffnungen ,  die  er  als  Mathematiker  sicherlich  nicht  theilt.  Ebenso  fanden 
wir  den  Satz  S.  85:  „Man  muss  hierzu  den  Umfang  des  Kreises  in  die 
gegebene  Anzahl  gleicher  Theile  theilen  können.  Diese  noch  nicht  allgemein 
gelöste  Aufgabe  u.  s.  w."  Das  „noch  nicht*'  ist  ebenso  volksverführerisch 
wie  das  obige  „bisher".     Ebenda  ist  der  Ausdruck  „Apotheme"  (?)  recht 


68  Historisch -literarische  Abtheilung. 

entbehrlich.  Auch  sollte  in  der  Definition  des  Kreises  S.  46  jedes  Zuviel 
vermieden  und  S.  94  die  harmonische  Theilung  anders  definirt  sein. 

Im  üebrigen  sei  das  handliche  Büchlein  mit  seinem  schönen  Papier, 
seinen  hübschen  Figuren  und  seinem  säubern  Druck  bestens  empfohlen. 

Coesfeld,  im  October  1884.  K.  Schwering. 


Lehrbach  der  Elementar -Geometrie.  Von  Dr.  E.  Glinzer,  Lehrer  ü.  s.  w. 
Zweiter  Theil:  Stereometrie.     Hamburg,  F.  H.  Nestler  <fc  Melle. 

Dieser  zweite  Theil  ist  ebenso  angelegt  wie  der  erste.  Wir  wollen 
daher  auf  unser  frühei'es  Referat  verweisen  und  nur  hervorheben,  dass  die 
kurze  Darstellung  der  Kegelechnittslehre  gewiss  manchem  Lehrer  der 
Stereometrie,  welcher  das  Büchlein  seinem  Unterricht  zu  Grunde  legt,  eine 
willkommene  Gabe  sein  wird.  Bemerkenswerthe  Unrichtigkeiten  sind  uns 
nicht  aufgefallen. 

Coesfeld,  im  October  1884.  K.  Schwerinc*. 


Lehrbach  der  Elementar -Geometrie.  Von  Dr.  E.  Glinzkr.  Dritter  Theil: 
Trigonometrie.     Hamburg ,  Verlag  von  F.  H.  Nestler  &  Melle. 

Von  den  drei  Theilen  des  Werkes  scheint  dieser  letzte  der  bedeutendste 
zu  sein.  Die  Darstellung  ist  klar,  der  Stoff  in  reicher  Fülle  ohne  ermüdende 
Weitläufigkeit  vorgetragen.  Dabei  ist  jedes  trockene  Theoretisiren  sorgfältig 
vermieden  und  eine  innige  Beziehung  zwischen  Sätzen  und  Aufgaben  durch- 
weg angestrebt  und  erreicht.  Zum  Schlüsse  erhalten  wir  eine  recht  wobl- 
gelungene  Darstellung  der  Grundlehren  der  sphärischen  Trigonometrie.  Dem 
Buche  ist  eine  Sammlung  von  Aufgaben  beigegeben ,  die  zum  Theil  ein  nicht 
geringes  sachliches  Interesse  darbieten.  So  finden  sich  Aufgaben,  die  ge- 
legentlich der  Landesvermessung  wirklich  vorgekommen  sind. 

Möge  dieser  Geist  gesunder  Praxis  sich  recht  weite  Gebiete  im  Schnl- 
leben  erobern.     Unser  Buch  bietet  dazu  eine  treffliche  Hilfe. 

Coesfeld,  im  October  1884.  K.  Schwering. 


Darstellende  nnd  projective  Geometrie  nach  dem  gegenwärtigen  Stande 
dieser  Wissenschaft,  mit  besonderer  Rücksicht  auf  die  Bedürfnisse 
höherer  Lehi'anstalten  und  das  Selbststudium.  Von  Dr.  Gustav  Ad. 
V.  Peschka.  II.  Band.  XVIII  und  576  S.  gr.  8^  Mit  einem  Atla.^ 
von  11  Tafeln.  —  III.  Band.  VIII  und  792  S.  gr.  8«.  Mit  einem 
Atlas  von  42  Tafeln.  —  Wien  1884,  Druck  nnd  Verlag  von  Carl 
Gerold's  Sohn.  (Vergl.  die  Recension  zu  Bd.  I  d.  Jahrg.  XXVIII  8.109.) 


Recensionen.  61) 

Wir  werden  jeden  Band  für  sich  behandeln  und  zur  Gewinnung  einer 
Uebersicht  jedesmal  die  Capitelüberschriften  unter  Angabe  des  Inhalts  \m- 
sonders  wichtiger  und  charakteristischer  Paragraphen  vorausschicken. 

Band  II:  Theorie  der  Curven  und  Flächen. 

Erster  Abschnitt:  Curvenlehre.  /.  Capitel:  Fundamentcüeigen^ 
Schäften  algebraisclier  Curven.  Einleitung.  Hilfsmittel  der  Analysis,  Priu- 
cip  der  Anzahl  und  dessen  Anwendungen.  Singularitäten  ebener  Curven. 
Princip  der  Dualität.  —  II,  Capitel:  Allgemeine  Eigenschaften  ebener  alge- 
braischer Curven.  Sätze  über  die  Anzahl  der  gemeinschaftlichen  Punkte  und 
Tangenten  zweier  Curven.  Curvenbüschel.  Erzeugung  von  Curven.  Die 
Plücker'schen  Formeln.  —  III.  Capitel:  Theorie  der  polaren  algebraischen 
Curven.  —  IV.  Capitel:  Der  Cmresponclenzsatz.  Anwendung  desselben  und 
der  Folarentheorie  auf  die  Untersuchung  der  Eigenschaften  algebraischer  Cur- 
vensysteme.  Steiner'sche ,  Hesse'sche  und  Jacobi'sche  Curve.  Plücker'sche 
Formeln.  Geschlecht  der  algebraischen  Curven.  Ein-  und  mehrdeutige 
Transformationen.  -^  V.  Capitel:  Eigenschaften  der  Baumcurven  und  ihrer 
Frqjeäionen.  Definitionen.  Developpable  Flächen.  Singulare  Elemente. 
Plücker-Caylej'sche  Gleichungen  über  die  Charaktere  der  Raumcurven. 

Zweiter  Abschnitt:  Allgemeine  Theorie  der  krummen  Flä- 
chen undFlächensysteme.  VI.  Capitel:  Allgemeine  Eigenschaften  alge- 
braischer Flächen.  Definitionen  und  Erzeugangsarten.  Ordnung  einer  Fläche. 
Tangentenebenen.  Haupttangenten,  Punkt«  verschiedener  Krümmung.  Sin- 
gulare Punkte  und  Curven.  Durchschnitt  zweier  und  dreier  Flächen.  An 
zahl  der  eine  F„  bestimmenden  Bedingungen.  —  VIL,  VIII.  und  IX.  Ca- 
pitel: Lineare  Flächensysteme  erster,  zweiter  und  dritter  Stufe  und  deren 
Eigenschaften.  Erzeugnisse  derselben.  —  X  Capitel:  Sätze  über  die  gemein- 
schaftlichen Curven  zweier  und  über  die  gemeinschaftlichen  Funkte  dreier 
Ilächen.  —  XI.  Capitel:  Frojediuische  Erzeugung  algebraischer  Flächen  und 
ihrer  Schnütcurven ;  durch  projectivische  Flächen  und  Raumcurvenbüschel 
und  reciproke  Netze.  —  XII.  und  XIII.  Capiiel:  Theorie  der  Polaren  alge- 
braischer Flächen  und  deren  Anwendung  auf  die  Entwickelung  prqjedivlscher 
Fjigenschaften  von  Flächen  und  Systemen  derselben.  —  XIV.  Capitel:  Prc- 
jectimsche  lineare  Flächensysteme  i»}'*'  Stufe  und  symmetrische  Flächencorn- 
plexe.  —  XV.  Capitel:  Eigenschaften  der  Hessiana  und  Steineriana  oder 
der  cof^ugirten  Kernflächen  einer  Fn.  —  XVI.  Capitel:  Bestimmung  d(r 
Charaktere  und  Singularitäten  einiger  Flächen,  welche  sich  aus  gegebenen 
ableiten  lassen.  Die  Fläche  der  Haapttangenten  in  den  Punkten  eines  ebenen 
Schnittes.    Die  zwei  Flächen   gemeinschaftlich  umschriebene  Developpabele. 

Dritter  Abschnitt:  Theorie  der  Flächen  zweiten  Grades. 
XVII.  Capitel:  Definitionen  und  Fundamentaleigenschaften.  Regelflächen  und 
Nichtregelflächen.  Polarentheorie.  Hauptaxen.  Schnittcurve  zweier  Flächen 
und  gemeinschaftlich  umschriebene  Developpable. 


70  Historisch  -  literarische  Abtheihing. 

Vierler  Abschnitt:  Constructive  Theorie  der  krummen 
Linien  und  Flächen.  XVIIL  Capitel:  Graphische  Darstellung  der  ebennt 
und  der  Baumcurven.  —  XIX,  Capitel:  Constrnctive  Theorie,  der  Kegel  -  und 
Cylinderflächen  im  Allgemeinen.  Darstellung  dieser  Flächen  in  den  verschie- 
denen Projectionsarten.  Ebene  Schnitte  und  Tangentialebenen.  Abwicke- 
lung und  geodätische  Linien.  —  XX.  Capitel:  Kegel-  und  Cylinderflüchen 
zweiten  Grades.  —  XXII.  und  XXIII.  Capitel:  Developpahle  Flächen,  welche 
zwei  Cnrven  oder  Flächen  umschrieben  sind. 

Als  wesentlichste  Eigenthümlichkeit  der  Behandlungsweise  algebraischer 
Curven  im  vorliegenden  Werke  ist  wohl  die  Benutzung  des  Princips  von 
der  Erhaltung  der  Anzahl  und  des  Correspondenzprincips  als  syntheti- 
sche Hilfsmittel  anzusehen.  Zugestanden,  dass  die  Anwendung  statthaft 
sei,  so  hätte  jedenfalls  die  geometrische  Existenz  der  imaginären  Elemente 
in  der  Weise  nachgewiesen  werden  müssen,  wie  es  v.  Stau  dt  in  seinen 
Beiträgen  zur  Geometrie  der  Lage  und  später  Lüroth  im  VI  IL  Bande  der 
Math.  Ann.  gethan  haben.  Aber  von  alledem  ist  nichts  zu  bemerken.  Ob- 
gleich bei  der  gewählten  Behandlungsweise  ohne  Frage  die  imaginären  Ele- 
mente stets  mitgezählt  werden,  fügt  der  Verfasser  zuweilen  (z.  B.  Seite  112 
Satz  114)  das  Wort  „höchstens"  hinzu,  was  den  Lernenden  verwirren  muss. 
Der  Verfasser  zeigt  übrigens,  dass  ihm  sehr  wohl  der  grosse  Unterschied 
zwischen  synthetischem  Aufbau  und  analytischer  Entwicklung  bewusst  ist-, 
indem  er  §  8  sagt:  „Selbstverständlich  (si<^!)  giebt  es  auch  Curven  von  un- 
endlich hoher  Ordnungszahl.  Auf  dieselben  sind  unsere  diesfallsigen  Ent- 
wickelungen  nicht  anwendbar.  (Warum?  wird  nicht  gesagt.)  Wir  werden 
uns  daher  veranlasst  sehen,  diese  seinerzeit  in  einem  selbstständigen  Capitel 
einer  näheren  Betrachtung  zu  unterziehen."  Auf  dieses  Capitel  hätt«  man 
gespannt  sein  dürfen,  aber  —  leider  existirt  es  im  Buche  nicht. 

Gehen  wir  nun  zur  Besprechung  der  einzelnen  Capitel  über. 

In  der  Einleitung  wird  auf  die  verschiedenen  Mannichfaltigkeiten  oder 
geometrischen  Oerter  hingewiesen,  welche  sich  aus  den  Elementen:  Punkt, 
Gerade,  Ebene  aufbauen  lassen,  und  werden  jene  erstens  nach  ihren  erzeu< 
genden  Elementen,  zweitens  nach  ihrer  Dimension  oder  Stufe  eingetheilL 
Hierbei  wird  die  Curve  irrthümlich  (§§  4  und  5)  zu  den  Ebenenörtem  erster 
Stufe  gerechnet.  Linienörter  zweiter  Stufe  weriden  als  „  Congruenzen ", 
Linienörter  dritter  Stufe ,  „  Complexe  ",  aber  gar  nicht  aufgeführt ,  sie  schei- 
nen nicht  untersucht  werden  zu  sollen. 

Nun  wird  an  der  Hand  analytischer  Betrachtungen  das  „Erhaltungs- 
princip "  entwickelt ,  an  einfachen  Beispielen  erläutert  und  dann  zur  Bestim- 
mung der  Anzahl  der  Schnittpunkte  zweier  Curven,  der  Anzahl  ihrer  ge- 
meinschaftlichen Tangenten  etc.  benutzt. 

Ein  falscher  Schluss,  der  zu  bedenklichen  Fehlern  führen  würde,  be- 
findet sich   auf  S.  10  §  1 1 :    Hat  eine  Curve  C,n  mit  einer  Ebene  mehr  als 


Recensionen.  71 

m  Punkte  gemein,  so  hat  sie  mit  dieser  Ebene  unendlich  viele,  d.  h.  alle 
Punkte  gemein  etc.  Die  Curye  bitiucht  aber  nicht  alle  Punkte  mit  der 
Ebene  gemein  zu  haben ,  sondern  nur  in  eine  ebene  Curve  und  eine  andere 
Raumcurve  zu  zerfallen,  und  dies  tritt  in  der  Regel  gerade  bei  darstellend 
geometrischen  Untersuchungen  ein. 

Der  Fehler  findet  sich  dann  auch  in  den  dualen  Betrachtungen.  (Vergl. 
femer  §  197.) 

Die  §§  24  ügg.  haben  als  Gegenstand  die  Singularitäten  der  ebenen 
Ordnungscurven  Doppel-,  Rückkehr-  und  mehrfache  Punkte.  Die  Bestim- 
mung der  Anzahl  von  Schnittpunkten  der  Curventangente,  welche  in  die 
Singularitäten  rücken,  ist  eine  sehr  oberflächliche  und  auch  fehlerhafte. 
Erstens  wirft  nämlich  der  Verfasser  die  beiden  Arten  des  Rückkehrpunktes 
zusammen  und  nennt  dann  diesen  beiden  gegenüber  den  Selbstberührungs- 
punkt  eine  Singularität  höheren  Ranges,  während  die  Schnabelspitze 
die  höchste  von  den  dreien  ist.  Das  vom  isolirten  Punkte  Gesagte  ist  uns 
in  der  gebotenen  Form  unverständlich.  Eine  gleichzeitige  Behandlung  der 
Ordnungs-  und  Classencurven  wäre  wohl  zweckmässig  gewesen.  Die  Art 
und  Weise,  wie  die  reellen  Berührungspunkte  einer  Doppeltangente  sich 
beim  Uebergang  zum  Wendepunkt  vereinigen  und  dann  imaginär  werden, 
scheint  dem  Verfasser  nicht  klai*  zu  sein,  wenigstens  berechtigen  die  zur 
Erklärung  dieses  Uebergangs  ganz  ungeeigneten  Figuren  Taf.  I:  9,  10,  11 
zu  dieser  Vermuthung. 

In  Capitel  II  finden  wir  auf  S.  34  im  Satz  27  Folgendes:  „Ist  ein 
Punkt  Ä  ein  r-facher  Punkt  einer  C„  und  ein  5-facher  Punkt  einer  Cp, 
und  besitzen  beide  in  ^  t"  gemeinschaftliche  Tangenten ,  so  ist  die  Anzahl 
der  in  Ä  vereinigten  Schnittpunkte  der  Curven  rs  +  t'\^^  Man  sieht,  dass 
es  „mindestens'*  so  viele  Punkte  heissen  muss.  Tiefer  wird  auf  die  Frage 
nicht  eingegangen.  Eine  ähnliche  Correctur  bedürfen  die  Sätze  92  und  93, 
S.  100,  welche  sich  auf  die  Classenemiedrigung  durch  einen  r- fachen  Punkt 
mit  einer  Reihe  vereinigter  Zweige  bezieht.  Diese  Fragen  sind  in  Wahr- 
heit viel  verwickelter,  als  es  nach  der  vorliegenden  Darstellung  erscheint, 
in  der  die  neueren  Arbeiten  von  Cayley,  Smith,  Halphen,  Brill  etc. 
gar  nicht  berücksichtigt  sind.  Es  würde  zu  weit  führen,  wollten  wir  die 
folgenden  Capitel  mit  ähnlicher  Ausführlichkeit  wie  die  bisherigen  behan- 
deln. Mit  gewisser  Vorsicht  wird  man  auch  die  weiteren  derartigen  Anzahl- 
bestimmungen aufzunehmen  haben.  (Vergl.  die  Betrachtung  §  199  am  An- 
fange.) Die  Darstellung  im  Allgemeinen,  namentlich  die  Behandlung  der 
verschiedenen  Erzeugungsarten  einer  Curve  ist  recht  ansprechend. 

Eine  willkommene  Neuerung  ist  die  Bestimmung  der  Classe  einer  Cn 
nach  der  Methode  von  Beck  (Math.  Ann.,  Bd.  14  S.  217):  Die  Curve  C„ 
wird  unendlich  wenig  nach  einer  Richtung  verschoben  und  erhält  die  Lage 
C'n .  Dadurch  bleiben  die  n  unendlich  fernen  Punkte  derselben  ungeändert 
und  die  übrigen  n{n—\)  Schnittpunkte  beider  Curven  sind  ersichtlich  die 


72  Historisch -literarische  Abtheilung. 

Berührungspunkte  der  Tangenten  in  der  Richtung  der  Verschiebung,  d.  h. 
ihre  Anzahl  ist  die  Classe.  Die  Erniedrigung  der  Classe,  welche  durch  das 
Auftreten  von  Singularitäten  herbeigeführt  wird,  lässt  eine  ähnliche  Be- 
stimmung zu.  — 

Die  Polarentheorie  wird  im  III.  Capitel  nach  der  Methode  Schurs 
vorgetragen ,  nämlich  durch  Induction  mit  Hilfe  des  Schlusses  von  n  auf 
n  +  i  aus  der  Kegelschnittlehre  gewonnen,  „wodurch  diese  Theorie  mehr  an 
Anschaulichkeit  gewinnt,  als  es  bei  Anwendung  der  im  r**°  Grade  harmo- 
nisch getheilten  Kadien  vectoren,  deren  Cremona  sich  bedient,  erreichbar 
ist.''     (Vorrede  VIII.) 

In  Capitel  IV,  S.  125,  nennt  der  Verfasser  die  Tangenten,  welche  von 
einem  Punkte  an  seine  konische  Polare  gezogen  werden  können,  „Indica- 
tricen'*  des  Punktes,  um  dann  später  S.  26  sagen  zu  können:  Die  Fundamen- 
talcurve  bildet  mit  der  Hesse'schen  Curve  zusammen  den  Ort  der  Punkte, 
deren  Indicatricen  sich  auf  eine  einzige  Gerade  reduciren. 

In  Capitel  V  §  139  heisst  es:  „Unter  „Rang**  einer  Raumcurve  ver- 
stehen wir  die  Anzahl  der  Tangentialebenen  derselben,  welche  durch  eine 
beliebige  Gerade  gehen,  oder,  was  dasselbe  ist,  die  Anzahl  ihrer  Tangen- 
ten, welche  eine  beliebige  Gerade  im  Räume  schneiden.  Die  Anzahl  der 
Schmiegungsebenen  einer  Raumcurve,  welche  durch  einen  beliebigen  Punkt 
gehen,  nennen  wir  „Classe**  der  Raumcurve.  Nebenbei  sei  bemerkt,  das* 
viele  Autoren,  namentlich  die  englischen,  mit  „Classe  einer  Raumcurve'* 
dasjenige  bezeichnen,  was  wir  'als  Rang  definirt  haben,  und  umgekehrt.*' 
Was  sagt  der  Verfasser  dazu,  dass  sich  unter  den  „vielen  Autoren**  auch 
Herr  Peschka  befindet,  wie  aus  Bd.  II  §  6  von  dessen  „Darst.  u.  project. 
Geometrie**  zu  ersehen  ist?  Eine  angefügte  Note  24  weist  auf  Note  1  (zu 
§  6)  zurück  und  hier  heisst  es:  Die  Definition  der  „Classe**  einer  Curve, 
als  Zahl  ihrer  geradlinigen  Erzeugenden,  welche  eine  feste  Gerade  schnei- 
den ,  ist  aus  der  Definition  der  Ordnung  (der  Anzahl  der  Schnittpunkte  mit 
einer  Ebene)  reciprok  abgeleitet.  Sind  solche  Fehler  schliesslich  noch  als 
Flüchtigkeitsfehler  zu  betrachten? 

Capitel  VI.  In  §  166  wird  definirt:  „Eine  krumme  Fläche  ist  der 
geometrische  Ort  der  Lagen  einer  Curve,  welche  nach  einem  bestimmten 
Gesetze  entweder  ihre  Lage  allein  oder  gleichzeitig  ihre  Form  stetig  ändert.'* 
„Die  am  häufigsten  (V)  vorkommenden  Flächen  sind  folgende:  A.  Krumme 
Flächen,  welche  durch  eine  Curve  erzeugt  werden  können,  deren  Gestalt 
unveränderlich  bleibt;  B.  Flächen,  welche  durch  Lagen  Veränderung  einer 
der  Grösse  und  Form  nach  veränderlichen  Curve  entstehen.^*  Welche  Flä- 
chen giebt  es  denn  ausser  diesen  beiden  Arten  noch ,  und  wie  soll  man  den 
Ausspruch:  ,,Die  Mannichfaltigkeit,  welche  bei  dieser  Erzeugungsart  (B)  auf- 
tritt, ist  so  unendlich  gross,  dass  man  keine  besonderen  Typen  für  derartig 
erzeugte  Flächen  aufgestellt  hat**  deuten?  In  den  Flächen  unter  B  sind 
eben  alle  denkbaren  enthalten. 


Recensionen.  Ti 

Man  findet  im  Weitern  sehr  viele  Sätze  über  Schnitte  von  Flächen 
unter  einander  und  mit  Curven,  von  denen  manche  wenig  interessant  und 
überdies  äusserst  evident  sind ;  auf  manche  andere  sehr  wichtige  Dinge  geht 
der  Verfasser  nicht  ein,  z.  B.  ist  nirgends  dargethan,  dass  ein  Berührungs- 
punkt dreier  Flächen  im  Allgemeinen  für  vier  Schnittpunkte  zählt. 

Die  folgenden  Capitel  VII — XVI  sind  den  allgemeinen  Flächen  gewid- 
met. Der  Verfasser  verweist  auf  Cremona's  „Theorie  der  Oberflächen**, 
R  eye 's  Arbeit  „Die  algebraischen  Flächen,  ihre  Durchdringungscurven, 
Schnittpunkte  und  projective  Erzeugung**  in  Math.  Ann.  Bd.  III,  und  Sal- 
mon-Fiedler,  „Analytische  Geometrie  des  Raumes**.  Diese  Capitel  haben 
uns  von  allen  am  besten  gefallen.  Da  die  Behandlungsweise  sich  an  die 
jenige  der  citirten  Schriften  anlehnt,  so  haben  wir  nichts  weiter  zu  be- 
merken. 

Die  Theorie  der  Flächen  zweiten  Grades  —  der  Inhalt  des  dritten  Ab- 
schnittes —  soll  der  Vorrede  nach  zum  Vorstudium  der  Theorie  der  all- 
gemeinen Flächen,  im  vorliegenden  Bande  in  den  Grundzügen  gegeben 
werden.  Es  wäre  aber  dann  entschieden  besser  gewesen,  die  F^  an  die 
Spitze  des  zweiten  Abschnittes  zu  stellen;  denn  es  macht  einen  merkwür- 
digen Eindruck,  wenn  nach  der  Entwickelung  von  complicirtesten  Schnitt- 
punktsätzen so  einfache  wie  448  S.  423  mit  grosser  Breite  bewiesen  wer- 
den, namentlich  da  S.  242  in  226  ein  viel  allgemeinerer  als  bekannt  vor- 
ausgesetzt wird.  Die  Umkehrung  von  448,  nämlich  449:  „Berühren  sich 
zwei  Flächen  zweiten  Grades  in  zwei  Punkten ,  so  besitzt  die  Durchschnitts- 
curve  vierter  Ordnung  dieser  beiden  Flächen  zwei  Doppelpunkte,  d.  h.  die- 
selbe* zerfällt  in  zwei  Kegelschnitte,  deren  jeder  durch  die  beiden  Berüh- 
rungspunkte geht**,  ist  zudem  nicht  correct,  denn  die  Flächen  können  sich 
auch  in  einer  Geraden  und  einer  Raumcurve  dritter  Ordnung  durchsetzen. 
In  den  Elementen  sind  auch  hier  Ungenauigkeiten.'  Wenn  einmal  gesagt 
wird,  dass  eine  Fläche  von  jeder  Ebene  in  einem  Kegelschnitte,  der  auch 
imaginär  sein  kann,  getroffen  wird,  so  darf  nicht  gleich  darauf  der  andere 
Satz  stehen,  dass  eine  Nichtregelfläche  keine  einzige  Gerade  enthalte,  denn 
imaginäre  Gerade  enthält  sie  auch.  Die  Folarentheorie  ist  ähnlich  wie  bei 
Fiedler,  nur  viel  breiter  entwickelt.  Auf  S.  409  ist  der  sonderbare 
Schluss  gemacht:  ,,Da  es  nur  eine  unendlich  ferne  Ebene  giebt,  so  besitzt 
eine  Fläche  zweiten  Grades  nur  einen  einzigen  Mittelpunkt."  Der  Verfasser 
wende  nicht  ein,  dass  es  sich  hier  nur  um  allgemeine  Flächen  handle^  denn 
die  Argumentation  hat  damit  nichts  zu  thun  und  überdies  wird  hin  und 
wieder  gesagt,  dass  die  Sätze  „selbstverständlich**  für  Cylinder-  und  Kegel- 
flächen gelten.  In  §  408  wird  das  Hanptaxenproblem  in  der  üblichen  Weise 
gelöst.  Die  Hauptaxen  ergeben  sich  als  Schnitte  zweier  Kegel  zweiter  Ord- 
nung, Jeder  derselben  wird  erzeugt  von  allen  Durchmessern,  die  gleich- 
zeitig senkrecht  zu  allen  Durchmessern  einer  Ebene  stehen  und  ^hnen  con- 
jugirt    sind.      Mit  Ausnahme    einer    einzigen    der    vier    gemeinschaftlichen 

}[i8t.-Iit.  Abthlg.  d.  Z«it8chr.  f.  Math.  n.  Phys.  XXX,  2.  ^ 


74  Historisch  -  literarische  Abtheilung. 


Erzeugenden  beider  Kegel,  nämlich  derjenigen,  welche  der  Schnittlinie  der 
beiden  benutzten  Durchmesserebenen  zugeordnet  ist,  müssen  jene  Erzeugenden 
Hauptaxen  sein,  da  sie  auf  zwei  Durchmessern  senkrecht  stehen  und  ihnen 
conjugirt  sind.  Wir  finden  nun  in  keinem  Lehrbuche  bestimmt  ausgespro- 
chen, selbst  bei  Fiedler  (vergl.  Darst.  Geometrie  S.  358)  und  Eeye  (vergl. 
Geometrie  d.  Lage  II,  45)  nicht,  dass  die  Schnittlinien  der  Kegel  stets 
alle  reell  sind.  Immer  schliesst  die  Beweisführung  ähnlich,  wie  in  dem 
vorliegenden  Werke  S.  422:  „  ..  Diese  Kegel  müssen  demnach  mindestens 
noch  eine  reelle  Erzeugende  6a  gemein  haben,  können  aber  auch  noch 
drei  reelle  Erzeugende  öay  ^6>  ^c  gemeinschaftlich  besitzen/*  Im  erstem 
Falle  ergeben  sich  dann  die  beiden  anderen  Axen  als  Hauptaxen  des  Kegel- 
schnittes in  der  zu  6a  conjugirten  Durchmesserebene.  Und  nun  sollte  ge- 
sagt sein,  dass  die  Unterscheidung  der  beiden  Fälle  überflüssig  sei,  da  jetzt 
ersichtlich  die  Hauptaxen  als  Kegelseiten  den  Schnittlinien  der  zugehörigen 
Durchmesserebene  mit  den  drei  Hauptebenen  entsprechen:  Dem  ganzen 
Bündel  der  Durchmesserebenen  entspricht  ein  Kegelnetz  mit  drei  stets  reellen 
Basisstrahlen,  den  Hauptaxen. 

Bedauerlich  ist  es,  da  doch  einmal  metrische  Beziehungen  (entgegen 
dem  im  Vorworte  VIII  Gesagten)  besprochen  werden ,  dass  die  Specialisining 
für  Paraboloide  mit  keinem  Worte  erwähnt  ist. 

Capitel  XVIII — XX  bewegen  sich  mehr  auf  dem  Gebiete  der  darstel- 
lenden Geometrie  im  engem  Sinne,  auf  sie  bezieht  sich  der  grösste  Theil 
der  Figurentafeln.  Wenn  manche  so  sehr  einfache  weggeblieben  wären,  so 
hätte  es  nichts  geschadet;  wäre  jedoch  andererseits  ein  etwas  schwierigeres 
Beispiel ,  wie  etwa  die  Untersuchung  der  Durchdringungscurve  zweier  Kegel 
zweiter  Ordnung,  in  Bezug  auf  ihre  unendlich  fernen  Elemente  yollständig 
constructiv  durchgefdhrt  worden ,  so  hätte  der  Verfasser  etwas  geboten ,  was 
nicht  überall  zu  finden  ist. 

Viele  der  folgenden  Capitel  sind  wahre  Muster  von  Weitschweifigkeit 
Man  lese  z.  B.  die  §§458  —  463  (acht  Seiten) ,  die  wahrlich  nichts  enthal- 
ten, als  was  sich  direct  für  Kegelflächen  aus  den  Sätzen  von  Pascal  und 
Brianchon  der  Ebene  ablesen  lässt.  §  485:  Zwei  Seiten  über  die  Auf- 
gabe, einen  Kegel  so  zu  schneiden,  dass  die  Frojection  der  Schnittcurve 
ein  Kreis  wird.  §  514:  Die  zweien  Kreisen  auf  der  Kugelfläche  doppelt 
umschriebene  Developpable  soll  bestimmt  werden.  Nach  zwei  Seiten  langen 
Entwickelungen  gelangt  man  zu  dem  Resultat,  dass  besagte  Kreise  cen- 
trisch  collinear  sind.  Wenn  im  I.  Bande  nicht  angeführt  ist,  dass  zwei 
sich  in  zwei  Funkten  schneidende  Kegelschnitte  immer  centrisch  collinear 
sind,  so  ist  das  schlimm. 

Die  letzten  Untersuchungen  beziehen  sich  auf  die  Developpable ,  welche 
zweien  Kegelschnitten  mit  gemeinschaftlicher  Tangente  doppelt  umschrieben 
werden   kann,    —  und   die  Flächen   derselben  Erzeugungsart   för   zwei  all- 


Becensionen.  75 

gemein  liegende  Kegelschnitte.     Die  Charaktere  werden   mit  Hilfe   früher 
entwickelter  Formeln  bestimmt. 

Band  m:  Die  FLAohen  zweiten  Grades. 

Erster  Abschnitt:  Windschiefe  Flächen.  L  Capüel:  Erzeugung 
und  Fundamentäleigenschaften  windschiefer  Flächen  im  Allgemeinen.  — 
IIL  Capüel:  Das  windschiefe  Hyperboloid.  Projeetivische  Eigenschaften, 
verschiedene  Erzengangsarten,  Mittelpunkt,  Asymptotenkegel  etc.  Beson- 
dere Erzeugnngsarten.  Kreisschnitte.  — -  III.  Capüel:  Das  orthogonale  Hyper- 
boloid. —  77.  und  V.  Capüel:  Der  gleichseitige  Kegel  u/nd  das  gleichseüige 
Hyperboloid.  Behandlung  nach  Schröter's  Oberflächen  zweiter  Ordnung.  Die 
Sätze  über  das  Tetraeder  sind  reproducirfc.  —  VI.  und  VII.  Capüel'.  Das  hyper- 
bolische Paraboloid  und  das  gleichseitig  -  hyperbolische  Paräbohid.  —  VIII.  Ca- 
piid:  Das  windschiefe  RotcUionshyperboloid.  —  IX.  Capüel:  Darstellung  des 
windsdiiefen  Hyperboloids  in  verschiedenen  Projedionsarten  und  Löswng  einiger 
dasselbe  beireffenden  Aufgaben.  Darstellung  in  orthogonaler  Projection  durch 
zwei  Hauptschnitte.  Kegelschnittconstructionen  vermittelet  windschiefer  Hyper- 
boloide. —  X.  Capüel:  Aufgäben  wnd  Construdionen ,  das  hyperbolische  Pa- 
raboloid betreffend.  —  XL  Capüel:  Die  Striäionslinien  der  Begdflächen  zweiten 
Chades. 

Zweiter  Abschnitt:  Die  Nichtregelflächen  zweiten  Grades. 
XII. —XVI.  Capüel:  Die  Kugelfläche ,  das  Kugelgebüsch,  das  Prindp  der 
reciproken  Radien,  das  Kugelbündel  und  das  Kugelbüschel,  Theorie  der  Kugel- 
berührung und  der  Aehnlichkeitspunkte.  -—  XVII.  Capüel:  Die  Dupin'sche 
Cydide. 

Dritter  Abschnitt:  Die  Botationsflächen  zweiten  Grades. 
XVIII. — XXI.  Capüel:  CoUineare  Verwandtschaft  der  Flächen  mü  der  Kugel. 

Vierter  Abschnitt:  Die  dreiaxigen  Flächen  zweiten  Grades. 
XXII.  — XXIX.  Capüel:  Construäive  Behandlung  der  Kugeln,  Rotations- 
flächen und  allgemeinen  Flächen.  —  XXX.  und  XXXI.  Capüel:  Der  gegen- 
seitige Schnitt  0weier  Flächen  und  die  ihnen  gemeinschaftlich  umschriebene 
Developpable.  Schaaren  von  Flächen  zweiten  Grades.  Confocale  Flächen.  — 
XXXII.  Capüel:  Die  stereographische  Prcjeäüm,  ihre  Verallgemeinerung  für 
Flächen  zweüen  Qrades  und  ihre  specieUe  Anwendung  als  Kartenprojection. 

Bei  der  aus  vorstehender  Uebersicht  zu  entnehmenden  Vertheilung  des 
Stoffes  ist  es  von  vornherein  zu  erwarten,  dass  dieselben,  oder  wenigstens 
eng  verwandten  Dinge  doppelt  und  mehrfach  entwickelt  werden,  was  denn 
auch  in  der  That  der  Fall  ist.  Kommt  nun  noch  hinzu,  dass  die  Breite 
der  Darstellung',  die  uns  schon  im  ersten  Bande  nicht  angenehm  berührte, 
aber  damals  sich  mit  dem  Bestreben  des  Verfassers,  für  den  Anfänger 
deutlich  zu  sein,  rechtfertigen  Hess,  eher  zu-  als  abgenommen  hat,  so  wird 
für's  Erste    erklärlich,    wie   mit  den  „Flächen  zweiten  Grades*'  sich  die 


76  Historisch -literarische  Abtheilung. 

ungeheure  Zahl  von  fast  800  Seiten  ausfällen  Hess.  Man  denke  sich  nur, 
dass  alle  Aufgaben  über  Schnitte  der  Flächen  mit  Ebenen  und  Geraden, 
über  Tangentenebenen,  Tangentenkegel  etc.  der  Beihe  nach  an  den  ver- 
schiedenen Gattungen  der  F^  durchgeführt  werden,  Aufgaben,  bei  denen 
Jeder  sofort  nach  Lösung  von  ein  paar  instructiven  Beispielen  sieht,  worauf 
es  ankommt,  und  die  in  keiner  Weise  weiter  führen  können!  —  So  wichtig 
und  unerlässlich  die  graphische  Durchführung  in  einzelnen  Fällen  ist,  so 
zwecklos  erscheint  es  uns ,  ganze  Serien  ähnlichster  Aufgaben  in  der  Weise 
zu  lösen. 

Wir  haben  redlich  nach  Dingen  gesucht,  die  zu  einer  besondem  Hervor- 
hebung geeignet  sein  möchten ;  unsere  Ausbeute  war  gering.  Neu  und  schön  sind 
die  Constructionen  doppelt  berührender  Kegelschnitte  mit  Hilfe  der  Methode 
der  darstellenden  Geometrie.  Um  z.  B.  den  Kegelschnitt  zu  finden ,  der  durch 
drei  Punkte  geht  und  einen  andern  doppelt  berührt,  betrachte  man  den  letztem 
als  Contour  einer  Rotationsfläche,  die  drei  gegebenen  Punkte  als  eine  Pro- 
jection  dreier  Punkte  dieser  Fläche,  dann  lässt  sich  die  zweite  Projection 
leicht  ermitteln.  Die  Ebene  der  drei  Punkte  schneidet  die  Fläche  in  einer 
Curve,  deren  Projection  die  Contour  doppelt  berührt,  womit  die  Aufgabe 
gelöst  ist.  Die  Erklärung  des  Zusammenhangs  zwischen  dieser  Lösung  und 
der  Stein  er 'sehen*  wäre  am  Platze  gewesen.  Man  sieht  sehr  leicht,  dass 
die  Kegelschnitte  nur  dann  reell  sind ,  wenn  die  Punkte  entweder  sämmtlich 
innerhalb  oder  sämmtlich  ausserhalb  des  Kegelschnittes  liegen ,  da  in  jedem 
andern  Falle  die  zu  ermittelnden  räumlichen  Punkte  theilweise  und  damit 
die  schneidenden  Ebenen  immer  imaginär  sind.  Der  Verfasser  macht  ohne 
Angabe  des  Grundes,  weshalb  andere  Annahmen  auszuchliessen  sind,  stets 
solche,  welche  reelle  Kegelschnitte  liefern. 

Einen  guten  Maassstab  für  die  Unvollständigkeit  des  vorliegenden  Werkes 
werden  wir  durch  Anführung  derjenigen  Dinge  finden,  die  nicht  darin  be- 
handelt sind.  Wir  nennen  die  folgenden:  Kegelschnittbüschel  und  Netze, 
d.  h.  die  wichtigen  Constructionen ,  welche  sie  liefern ;  —  ebene  und  räum- 
liche Polarsjsteme ,  namentlich  auch  als  reelle  Repräsentanten  imaginärer 
Gebilde  zweiter  Ordnung ;  —  Flächen  zweiter  Ordnung  als  Erzeugnisse  reei- 
proker  Bündel;  —  reciproke  Systeme,  insbesondere  das  Nullsjstem  und  der 
lineare  Complex  mit  den  Beziehungen  zur  Raumcurve  dritter  Ordnung,  — 
lauter  Dinge  von  fundamentaler  Wichtigkeit. 

Diese  Lücken  machen  sich  denn  auch  zuweilen  recht  fühlbar,  so  z.  B. 
sieht  sich  der  Verfasser  gelegentlich  der  Kugeltheorie  veranlasst,  den  imagi- 
nären Kugelkreis  einzuführen  (obgleich  die  imaginären  Kreispunkte  nirgendwo 
erwähnt  sind).  Zu  dem  Endzwecke  werden  sämmtliche  Poldreiecke  der  un. 
endlich  fernen  Ebene  in  Bezug  auf  ihre  Schnittcurve  mit  dei*  Kugel  als 
„Polarsystem**   bezeichnet  und   es   wird  bewiesen,   dass  eine  zweite  Kugel 

*  Grelle  Bd.  XLV  S.  222,  oder  Steiner-Schröter,  Synth.  Geom.,  S.  366 


Recensionen.  77 

einen  unendlich  fernen  Kreis  mit  demselben  Polarsjstem  besitzt.  Endlich 
heisst  es:  „Aus  der  Theorie  der  Kegelschnitte  ist  aber  bekannt,  dass  zu 
einem  Polarsjätem  nur  ein  einziger  Kegelschnitt  gehört  etc."  Es  klingt 
dies  einfach  unglaublich,  wenn  man  weiss,  dass  die  Theorie  der  Polar* 
Systeme  sich  im  Buche  gar  nicht  findet.  Nur  schwer  können  wir  uns 
versagen,  den  ganzen  Inhalt  des  §  183  wiederzugeben;  derselbe  schliesst 
mit  der  hier  gänzlich  unmotivirten  Eintheilung  der  geometrischen  Sätze  in 
projectivische  und  metrische ,  je  nachdem  dieselben  Beziehungen  zum  Kugel- 
kreise haben  oder  nicht.  Der  Verfasser  kann  „  diese  Eigenthüralichkeit  (des 
Kugelkreises)  an  dieser  Stelle  noch  nicht  beweisen  *\  Man  fragt  sich  mit 
Recht,  wo  und  bei  welcher  (xelegenheit  das  später  geschehen  wird,  da  der 
Verfasser  im  vorliegenden  Bande  nicht  wieder  auf  den  Gegenstand  zurück- 
kommt. 

Man  traut  seinen  Augen  nicht,  wenn  man  auf  S.  748  liest:  Eine 
Baumcurve  dritten  Grades  kann  nie  als  Schnitt  zweier  Cjlin- 
der  zweiten  Grades  erhalten  werden. 

Bei  der  Bestimmung  des  gemeinschaftlichen  Polartetraeders  zweier  F^ , 
S.  760,  ist  nirgends  bewiesen,  dass  die  auftretenden  Baumcurven  dritter 
Ordnung  sich  wirklich  in  vier  Punkten ,  den  Ecken  des  gesuchten  Tetraeders 
schneiden.  Die  „früheren  Erörterungen",  aus  denen  das  folgen  soll,  kön- 
nen wir  wenigstens  nicht  finden. 

In  Bezug  auf  die  beigegebenen  sehr  schön  gezeichneten  Tafeln  ist  zu 
bemerken,  dass  trotz  deren  Menge  keine  Figur  vorkommt,  aus  welcher  man 
eine  Vorstellung  von  der  Gestalt  der  verschiedenen  Flächen  zweiter  Ordnung 
gewinnen  könnte.     Ausstattung  vorzüglich.* 

Hannover.  Dr.  Carl  Rodenberg. 


Kritisohe  Bemerkungen  zur  Einfthrnng  in  die  An£ang8grftnde  der  „Geo- 
metrie descriptive''.     Von  Franz  Tilser,  Professor  an  der  k.  k. 
böhmischen  technischen  Hochschule  in  Prag.     Erstes  Heft.    Mit  einer 
lithographirten  Tafel.     XLIV  u.  96  S.     Wien  1883,  Alfred  Holder. 
In  dem  vorliegenden  Hefte  ist  so  ziemlich  von  ailen  Naturwissenschaf- 
ten die  Rede,   nur  nicht  von  dem,   was  man  erwartet,  nämlich  einer  Ver- 
besserung der   Lehrmethode  der  darstellenden  Geometrie.     Diese  Wissen- 
schaft ist  nach  des  Verfassers  Ansicht  nicht  identisch  mit  der  „Geometrie 
descriptive"  Monge^s.     Worin  der  unterschied  eigentlich  bestehe,  ist  nir- 
gends klar  gesagt;  wenigstens  war  es  uns  nicht  möglich,   aus  den  bunten 


*  Im  Referat  zu  Band  I  ist  ein  von  Schwarz  herrührender  Beweis  des 
Pohlke 'sehen  Satzes  (vergl.  Grelle  LXIII.  Bd.)  irrthümlich  Pohlke  selbst  zu- 
geschrieben, was  wir  hierdurch  richtigstellen. 


78  Historisch -literarische  Abtheilung. 

Reihen  von  Citaten  und  Deductionen  heterogenster  Natur  den  Kern  herans- 
zuschälen.  Hoffentlich  sagt  der  Verfasser  in  den  folgenden  Heften  irgendwo 
kurz  und  bündig,  wie  seiner  Ansicht  nach  die  qu.  Doctrin  gelehrt  werden 
muss'und  was  er  mit  dem  vorliegenden  Buche  bezwecken  will. 

Hannover.  Dr.  Carl  Bodenberg. 


Bibliographie 

vom  16.  December  1884  bis  15.  Februar  1885. 


Periodische  Schriften. 

Sitzungsberichte  der  königl.  preuss.  Akademie  der  Wissenschaften.     Jahrg. 

1885,  Nr.  1—3.     Berlin,  Dümmler.  compl.   12  Mk. 

Abhandlungen  der  königl.  Oesellsch.  d.  Wissensch.   zu  Göttingen.     31.  Bd. 

y.  J.  1884.     Göttingen ,  Dieterich.  48  Mk. 

Annalen  der  Münchener  Sternwarte.  lO.Supplementbd.  München,  Franz.  3Mk. 
Journal  für  reine  und  angewandte  Mathematik   (begr.  y.  Grelle),   heraus- 

geg,  y.,L.  Kronegker  und  A.  Weierstrass.    98.  Bd.  I.Heft.     Berlin, 

G.  Beimer.  compl.  12  Mk. 

Mathematische  Annalen,   herausgeg.   y.  F.  Klein  und  A.  Mater.     25.  Bd. 

(4  Hefte).     1.  Heft.     Leipzig,  Teubner.  compl.  20  Mk. 

Zeitschrift  für   mathematischen  und  naturwissenschaftl.  Unterricht,   heraus- 
geg. y.  V.  HoFPMANN.     16.  Jahrg.  (1885).     1.  Heft.     Ebendas. 

compl.  12  Mk. 
Annalen  der  Physik   und  Chemie  (begr.  y.  Poggendorff)  ,   herausgeg.  yon 

G.  WiEDEMANN.     Jahrg.  1885  (12  Hefte).     1.  Heft.     Leipzig,  Barth. 

compl.  31  Mk. 
Beiblätter  zu  den  Annalen  der  Physik  und  Chemie,  herausgeg.  yon  G.  und 

E.  WiEDEMANN.    9.  Bd.  (12  Hefte).    1.  Heft.    Ebendas.    compl.  16  Mk. 
Zeitschrift  zur  Förderung  des  physikal.  Unterrichts.     1.  Jahrg.  (12  Hefte). 

1.  und  2.  Heft.     Berlin,  Lisser  &  Benecke.  compl.  12  Mk. 

Die  Fortschritte  der  Physik,   dargestellt  yon  der  physikal.  Gesellschaft  in 

Berlin.     34.  Jahrg.  (Jahr  1878),  3.  Abth.:  Physik  der  Erde;   redigirt 

yon  Neesen.     Berlin,  G.  Beimer.  12  Mk. 

Zeitschrift  für  Vermessungswesen ,  herausgeg.  yon  W.  Jordan.     14.  Jahrg. 

1.  Heft.     Stuttgart,  Wittwer.  compl.  9  Mk. 

Zeitschrift  für  Instrumentenkunde,  redigirt  y.  A.  Leman  und  A.  Westphal. 

5.  Jahrg.  (12  Hefte).    I.Heft.     Berlin,  Springer.  compl.  18  Mk. 


Bibliographie.  79 

Bibliotheca  historico  -  natnralis ,  phjsico-cbemica  et  mathematica ,  ed.  R.  y. 

Hanstein.     34.  Jahrg.  I.Heft,  Januar — Juni  1884,    Göttingen,  Van- 

denhoeck  &  Baprecht.  1   Mk.  40  Pf. 

C'Onnaissance  des  temps  ou  des  mouvements  Celestes  poiir  Tan  1 886.    Paris, 

Ganthier -Villars.  4  Frs. 

Reine  Ilathematik. 

Weierstrass,  K.,  Formeln  und  Lehrsätze  zum  Gebrauch  der  elliptischen 
Functionen.  Nach  Vorlesungen  bearbeitet  von  H.  Schwarz.  Bogen 
1—10.     Berlin,  Friedländer  &  S.  6  Mk. 

Hamilton,  W.,  Elemente  der  Quaternionen ;  deutsch  von  P.  Glan.  2.  Bd. 
2.  Hälfte  (Schluss).     Leipzig,  Barth.  7  Mk.  30  Pf. 

Spitzer,  S. ,  Untersuchungen  im  Gebiete  linearer  DifFerentialgleichungen. 
2.  Bd.     Wien,  Gerold.  3  Mk. 

WiNCKLER,  A. ,  Ermittelung  der  Grenzen  fOr  die  Werthe  bestimmter  Inte- 
grale.    (Akad.)     Ebendas.  20  Pf. 

Simon,  M.,.  Die  Elemente  der  Arithmetik  als  Vorbereitung  auf  die  Func- 
tionentheorie.     Strassburg,  Schultz  &  Co.  1  Mk.  20  Pf. 

Kaiser,  H.,  Die  Determinanten  für  den  ersten  Unterricht  in  der  Algebra. 
Wiesbaden,  Bergmann.  1  Mk. 

,  Analytische  Auflösung  der  isoperimetrischen  Aufgaben  Steiner's  für  ein 

Polygon.    (Dissert.)     Jena,  Deistung.  60  Pf, 

Qüensen  ,  C. ,  Analytische  Betrachtungen  über  die  Raumformen ,  für  welche 
das  Congruenzaxiom  gilt.   Braunschweig,  Göritz  &  Putlitz.    1  Mk.  20  Pf. 

Weingarten  ,  J. ,  Ueber  die  Theorie  der  auf  einander  abwickelbaren  Ober- 
flächen.    Berlin,  Mayer  &  Müller.  2  Mk.  80  Pf. 

GussEROW,  C,  Leitfaden  für  den  Unterricht  in  der  Stereometrie  und  den 
Elementen  der  Projectionslehre.     Berlin,  Springer.  1  Mk.  20  Pf. 

Spieker,  Th.  ,  Lehrbuch  der  ebenen  und  sphärischen  Trigonometrie.    Pots- 
dam, Stein.  1  Mk.  40  Pf, 
Angewandte  Kathematik. 

CzuBER,  £.,  Zur  Theorie  der  geometrischen  Wahrscheinlichkeiten.  (Akad.) 
Wien,  Gerold.  50  Pf. 

Kraft,  F. ,  Sammlung  von  Problemen  der  analytischen  Mechanik.  6.  Lief. 
Stuttgart,  Metzler.  2  Mk. 

Kick,  F.,  Das  Gesetz  der  proportionalen  Widerstände  und  seine  Anwen- 
dungen.    Leipzig,  Felix.  6  Mk. 

Herrmann  ,  G. ,  Die  graphische  Behandlung  der  mechanischen  Wärmetheorie. 
Berlin,  Springer.  1  Mk.  20  Pf. 

Siemens  ,  W. ,  Ueber  die  Erhaltung  der  Sonnenenergie.  Uebers.  v.  E.  Worms. 
Ebendas.  4  Mk. 

Israel -Holzwart,  K.  ,  Elemente  der  theoretischen  Astronomie.  1.  Abth.: 
Theorie  der  elliptischen  Bewegung  und  der  Bahnbestimmung.  Wies- 
baden, Bergmann.  6  Mk.  40  Pf. 


80  Historisch -literarische  Abtheilung.     Bibliographie. 


^ 


Oppolzer  ,  Th.  y.  ,  lieber  die  Länge  des  Siriusjahres  und  der  Sothisperiode. 

(Akad.)     Wien,  Gerold.  50  Pf. 

Zeh  DEN ,  F. ,  Methode  der  directen  Rechnung  einer  wahren  Monddistanz  aas 

beobachteten.     (Akad.)     Ebendas.  20  Pf. 

Physik  nnd  Keteorologie. 

Decuant,  E.,  Ueber  den  Gang  der  Lichtstrahlen  durch  Flüssigkeiten  in 
Glasröhren  und  die  Bestimmung  der  Brechungsexponenten  condensirler 
Gase.     (Akad.)     Wien.  Gerold.  30  Pf. 

Häbler,  Th.,  Zur  Bestimmung  der  Intensität  des  Erdmagnetismus.  (Dissert.) 
Jena,  Deistung.  60  Pf. 

Mascart,  E.,  Handbuch  der  statischen  Elektricität;  dentsch  von  G.  Wal- 
LBNTiN.     l.Bd.  2.  Abth.     Wien,  Pichler.  9  Mk. 


I        Kener  Verlaie  tob  B,  G.  Teiibner  in  Leipzig. 

pobir&uiioh,  Di%  F,*  ord-  Frofeöaor  an  der  ÜDivemitat  ku  Wür/burff,  Lr? 

fniinn  ilrr  praktiflcbtjn  Phyaik,     Mit  ulaem  ^^  U«* 

tind    mAgnötiötilvti    Absolut«    Mafi-8ypjtem,     Mit   v.  ■    _    .i      .um 

FiiruiDii.  Fllnftö  vermelirtf  Aufliigt^  |XV  ii,  3t)0  ä.|  gr..  ».  ,g<il».  lu 
•#'5.60, 

Keümnimi  Dr.  C,  Pnifesbiur  der  Mutlieiuatik  an  dei*  Universität  ku  Ti*'- 
Vorlüiiurigöii  U her  Rjeuuinn"«  Th eor itj  der  A  b<* rieben  Infi 
Zweite    vr^llfeUlndig^    umgeurbeitttio    und    weit(»tiUieb    ■  „^c. 

Mit   einer    litlingntphierteu  Tftfpl    und   in  den  l>xt  ^  ^n, 

[XIV  u,  47^  S.]     gr.  8.     geh.  n.  JT  V2.~ 

Konmann,  Hr*  Frau»,   F*rot  dör  Phytjjk  und   MiuFralogie,   Vu  ^  t^n 

üb«r  elektriuclie  Jätrömip,  gi»bÄlteu  an  ilor  lTn;ver*itiU  wi  ^  ^  ig, 
H^rEiaftgegübeB  von  Dr,  fCvon  ä^v  Mtlhü,  ausserordtmiL  Profed»or  tia 
der  Universität  Leripiig.  Mit  in  deo  Text  gedrückten  Fignrcn.  [X  o. 
rilu  S.t     gr.  8.     geb.  n.  •#  l).f»0. 

Batmenbergof.   Dr.  Otto,   Lthrbnch   der  Tbiorie  dar  periodbelmii 

F  "■' ■     "'  •="■'■'         ■  ''■    einer  pm''^'         '-^  >•.■■'    .    .•,,:': "■■fii*t 

|j'  ■  ■  •-    -  '       -_■  '■  -I      ■■  "iijeituüg  !■■...,  ^.   :  i     -n- 

Ihi^one.  Mit  in  den  Test  gi^drnckten  Figuren.  |VJ11  u.  47ö  Üj  geh* 
n.  jT  10.  m 

8oliw6iiQf,  Dr.  Karl,  Oberlehrer  in  Coeafeld,  Tbeorie  und  Anwendung 
der  Ltnttmüoordtnaten  in  der  aualytiseben  6*5omeU'i«  der  Ebenv.  Mit 
in  den  Text  gedrncktwi  Figuren  untl  xwei  Fignren tafeln.  [VI  u,  9G  6,J 
gr,  8,     geb.  n,  .#  2.  8(h 

BerrnI,  J,  A.,  tutimbre  da  riustitat  «t  du  Biii-eaw  des  longitndes^  Lohr- 
bu«b  der  Difförential*  und  lutegralre  '.     Mit  f« 

d«*«  Vörfaj^Beris  ileutRrh  beürlitüti*!  vtm  Axkl     :  a,  Dr.  iio 

am  PolytucbnilcuiD  m  Dre^dtm.  Erster  Band:  Diätere ntialrtftbnung.  Mit 
in  d«m  Text  gedruckten  l^'iguren.     [X  u.  667  S.)     gr  8,    gtr!i.  n.  .Jf  10  -^ 

Wejraucli,  Dr.  Jaoob  X,  Frot'eawor  an  der  polytecbniscbeü  Sobult^  .» 
Stuttgart,  Tbeorie  eiastiüibrr  K^r^er.  Eine  {"Einleitung  tut  m%ih^ 
oifttificbGn  Physik  und  tecbni«cbfn  '  •  '  k.  Mit  4*2  Figurun  ijn  TexL 
|Vin  u.  27i)  8.1     gr.  B.     g«?b.  il  . 

Wiener,  Dr.  Ohrl&tiao,  Geb*  n«tnith  nnd  Profeßftor  an  der  Oroeeb*  prfj» 

tfi'tiniscben  Scbulp  m  Karlumhe^  l^^hrbuuh  der  darstellen  Jen  Oeo- 
metrie*  Jn  xwei  lijtndcn.  I.  Üund:  GüÄchicbtü  dMx  dtirstelltjuden 
Qnnmeiti^p  ebanflScbige  Gebilde,  krumme  Linien  (enitor  Theil\ 
projektive  GeQm^trie*  Jkfii  Figui«n  im  Ti'xt  [XX  n.  477  8,]  gr,  8. 
gek  n.  >  12  — 

ZÖppHtK,    Dr,  Karl»  ord*  Professor  d^r   Erdkunde   an    der  Universität 
K  ^*    i  Pr-,    I.i  "I    der    Kart  vv         '       siu- 

dit:,„.-      '^^^  Ettiktm^h  iFven  Lebrer  ■    im 

Tnt  utiii   ^tfit;r  Ulbograjibudien  Tafel.     IVIU  n.  16^^  ä.j     gr.  4.     gek 

n.wr  I     '• 


INHALT- 


Kleinere    Mittlieiluii^fifi. 

IV.  Öeometri«clie  Beweiiio  tjr«  Sat*HS  von  der  Miuiiimlablcnkanii  im  l*n#ßi- 

Von  llHniftKii  VooT  in  Ore«liMi  (Tai\  IV  Fi^,  2h  u,  2^)       ,      .     _     -    .  lU 
V.  OebfT   r.oMini^arn    rütimlirbf^    Svnirmn      Von    Prof  Dr    C    Koommattt       .  ItS 

VII,  Zur  BeätiiJ  r  iniensjLjit  at:ii   r.nJinji:  >  im  lt.  lo   u^»^»-"   ji/ 


VIIL  NoHzz.Du 


-^ia.-^-f^.j^4  c  * 


f  (Oi  4-  ^  0!)  r  +  öy  y  —  ***     Von  WoLö,  Hisriajnt 


H  ifl t  «^  r i  fi  (*  h  - 1  i  t e  ra r  i  8 c h  e    A  b t  b  «i i  1  n n g  (b4*Jt. i^ii ti r j  r*Li i-l m rt , 
Di^  Ferrari  bi^  Auf  lÄHun>f  d. rf^d,Oimch, viiirtcn  *^ti"  i 

UfictuAionen: 

HtjtJ-MAüfi^  Der  Raum  und  »f^^ 


itjg      VoD  P.  Zmnt 
M    «wi^cben    ÄW<!ii    allff« 
t*,  Zrcm  ^     .     . 


..     It:       -  ■ 

der  LüBcif, 
>  n,  F.,  Le;i  tk.     Von 

ÖrncufTü^  Prof.j  Die 

Auendhotii,  Dr   Vi  _ 

KjLKtMi^  G.,  Die 

de-*  pi  _         _ 
Tünuw,  Dt.  0.»   bas  1' 

ScnuRM»,    f  rtiutli   dt»r  i\ 

ure.     Vmi  K.  ^1 

Qiatik  und  Algebra.     Von  K    Scin 
Hot.ti,  JuLiirs,   Lelirbocb  der  ebeneo  GfiometiiL^    ivi. 

K.  ScMwxniÄo  in  Cot*Kfeld      ,     ,     ►     . 
(Jmjikhüi.  Dr,  M,^  LehtUueb  der  Elementar 'Ö^oii; 

Plunifiietrie.     Zw«it«r  ThüiJ:  Stereoui- 

T  ■  '  :  ■     "      '^  -- 

pFSCUKA ,     i 

Titiie»,  Pr 

Von  Dr.  Cari.  Kui>tMKit:u^ 

!  rü   —  H*>inc    > 


der  Ktii 


Historisch -literarische  Abtheilung. 


Die  von  Diophant  überlieferten  Methoden  der  Berech- 
nung irrationaler  Quadratwurzeln. 

Von 

W.  SCHOENBOEN 
in  Krototohin. 

Hierzu  Taf.  V  Fig.  8. 


Die  Verfasser  der  in  den  letzten  Jahren  über  quadratische  Irrationali- 
täten der  Alten  und  deren  Entwickelungsmethoden  erschienenen  Abhand- 
lungen sind  sümmtlich  der  Ansicht,  dass  in  den  uns  erhaltenen  Werken 
zwar  einzelne  Näherungswerthe  irrationaler  Quadratwurzeln  erwShnt  werden, 
dass  aber  in  keinem  derselben,  wenn  von  dem  auf  den  sechzigtheiligen  Cal- 
cul  gegründeten  Verfahren  abgesehen  wird,  Methoden  zu  ihrer  Berechnung 
mitgetheilt  sind.  Auch  der  unterzeichnete  Verfasser  war  derselben  Ansicht, 
wie  sich  aus  seiner  in  6d.  XXVIII  dieser  Zeitschrift  enthaltenen  Mittheilung 
über  diesen  Gegenstand  ergiebt.  Erst  nach  dem  Erscheinen  derselben  begann 
er  einzelne  Schriften  der  griechischen  Mathematiker  genauer  zu  durchlesen 
und  stiess  dabei  auf  Stellen,  aus  denen  sich  bestimmte  Methoden  der  Be- 
rechnung der  Quadratwurzeln  ergeben ,  so  dass  die  vorher  erwfthnte  Ansicht 
doch  nicht  als  recht  begründet  erscheint.  Die  Stellen  finden  sich  in  der 
Schrift  des  Diophantos  agi^fitiTixa.  — 

Diophant  behandelt  in  derselben  V,  12  eine  Aufgabe,  bei  der  es 
darauf  ankommt,  13  in  zwei  Quadrate  zu  theilen,  deren  jedes  grösser  als 
6  ist.  Er  nimmt  die  Hftlfte  von  13,  also  6^^,  und  sucht  einen  Bruch,  der 
zu  6^  addirt  die  Summe  zu  einem  Quadrate  macht,  multiplicirt  6^  mit  4 
und  sucht  einen  quadratischen  Bruch,  der  zu  26  addirt  ein  Quadrat  giebt; 

ist  26 -f—  ein  Quadrat,   so  ist  es  auch  262^^+1,   die  Grösse  wird  gleich 

x* 

gesetzt  (5a;+  ])^  er  erhält  rc  =  10.  Mithin  ist  26  +  yf^  =  X!^  das  gesuchte 
Quadrat,  8omit  ist  auch  6^  +  7^17  ein  Quadrat,  dessen  Seite  ^  ist.  Dass 
hierdurch  f^,  ^^  als  Näherungswerthe  von  ^^26,  j/6^  gefunden  sind,  ist 
wohl  nicht  zu  bestreiten.  Allerdings  sagt  Diophant  nicht,  dass  j^öj^ cv) ^ 
sei,  aber  die  von  ihm  behandelte  Aufgabe  verlangt  das  auch  nicht. 

Hi8t.-lit.  Abthlg.  d.  Zeitsobr.  f.  Math.  q.  Phyi.  XXZ,  9.  7 


82  Hiötorisch- literarische  Abtheilung. 


£8  dürfte  zu  beachten  sein,  dass  Uiophant  bei  6^  den  Bruch  durch 
Multiplication  mit  4  beseitigt,  dass  er  /26  berechnet  und  das  Resultat 
durch  2  dividirt,  um  f/ß^  zu  erhalten. 

Wendet  man  das  angegebene  Verfahren  an,  um  ^-4*  +  ^  zu  beatim- 

2A 

men,  setzt  also  {Ä^ +  B)x^  +  l  =  {Äx+lYy  so  ergiebt  sich  ^=-g-'  ™**- 

hin  erhalt  man  Vä^±B  ^^-^  +  0-1'  ^-^'  ®i°®  Formel,  nach  der  sich  ein 

Theil  der  überlieferten  Wurzelwerthe  sehr  gut  herleiten  lässt.  —  Dass  die 
Methode  nur  anwendbar  ist,  wenn  x>l  wird,  ist  wohl  kaum  nöthig  zu 
erwähnen.  Die  nach  ihr  berechneten  Wurzelwerthe  sind  stets  grösser  als 
der  wahre  Werth ;  die  nun  folgende  Methode  giebt  zwei  oder  mehr  Werthe, 
zwischen  denen  der  wirkliche  Werth  liegt. 

Diophant  behandelt  V,  14  die  Aufgabe:  die  Eins  so  in  drei  Theile 
zu  theilen,  dass,  wenn  man  zu  jedem  3  addirt,  die  drei  Summen  Quadrate 
werden.  Er  bemerkt,  man  habe  somit  10  in  drei  Quadrate  zu  theüen. 
deren  jedes  >  3  sei ;  die  Aufgabe  sei  also  zu  lösen  nach  ty  trjg  nagiaortfrog 
dyeyyy.  Was  unter  dieser  Führung,  Anweisung  zu  verstehen  sei,  zeigt  die 
weitere  Rechnung. 

Da  der  dritte  Theil  von  10  =3^  ist,  so  ist  x  so  zu  bestimmen,  dass 

3^  +  -g>  oder  indem  man  3^  mit  9  multiplicirt,  dass  30 +  -2  ein  Quadrat 

sei.  Aus  SOa?  +  1  =  (5a;  + 1)«  wird  o;  =  2,  also  30  +  J  =  (iJ-)«  und  3^  +  ^ 
=  (iJL)S  gefunden.  Jetzt  zerlegt  Diophant  10  in  die  Summe  dreier  Qua- 
drate;  da  er  weiss,  dass  (J^)*+(f)*=l  ist,  so  ergiebt  sich  10  =  3*+(^)* 
+  (i)^;  es  bleibt  übrig ,  die  Seite  jedes  dieser  Quadrate  nahe  gleich  zu 
machen  (naQiaov  naQaaxevdoai)  mit  ^.  Um  einen  Theil  der  Brüche  fort- 
zuschaffen, werden  3,  f ,  |,  ^  mit  30  multiplicirt,  man  erhält  90,  24, 
18,  55;  jede  Seite  ist  nun  nahe  gleich  zu  machen  mit  55;  die  Seiten  sind 
3-35rc,  1  +  310?,  |  +  37«,  (35  =  90-55,  31=55-24,  37  =  55-18), 
addirt  man  die  Quadrate  der  Seiten,  so  ist  die  Summe  =  10  zu  setzen;  aus 
(3-35i»)«+(|  +  31a;)«  +  (|  +  37aj)«=10  ergiebt  sich  «  =  tJVb^.  Dieser 
Werth  ist  in  jede  Seite  einzusetzen.  Hier  bricht  Diophant  ab.  Führt 
man  seine  Vorschrift  aus,  so  erhält  man  ^} ^ ' ,  UM  JLMA  als  die  Zahlen, 
die  nahe  gleich  ^  sind.  Da  die  Summe  der  Quadrate  derselben  =  10  ist 
die  Zahlen  selbst  einander  nahe  gleich  sind ,  so  ist  jede  ein  Näherungswerth 
von  ^3^,  -^TT'  ^^  gross,  die  beiden  anderen  zu  klein;  das  haben  die  Alten 
wohl  auch  erkannt  und  das  Mittel ,  einen  der  Wurzel  noch  näher  kommen- 
den Werth  zu  finden,  lag  zu  nahe,  als  dass  sie  es  nicht  soUten  benutzt 
haben.  Diophant  freilich,  der  alle  drei  Werthe  brau  ht,  hat  keine  Ver- 
anlassung zu  erwähnen,  dass  sich  ein  solcher  Werth  ergeben  würde,  wenn 
man  die  Summe  der  drei  Zahlen  durch  3  dividirt.  (Es  ist  IMl  =  1,82559.. ., 
der  genauere  Werth  von  /3jf  ist  =1,8257....) 


Die  von  Diophant  flberlieferten  Methoden  etc.  83 


Dieselbe  Methode  hat  Diophant,  ohne  sie  benennen,  auch  V,  12  an- 
gewendet. Nachdem  er  ^  als  Nfthernngswerth  von  j/ö^  gefunden,  muss 
er,  um  die  gestellte  Aufgabe  zu  lösen,  noch  13  in  zwei  Quadrate  theilen, 
deren  Seiten  so  nahe  als  möglich  ((6g  f^^^iffra)  mit  f  ^  übereinstimmen.  Da 
13  =  3»  +  2«  ist,  80  bildet  er  die  Seiten  lla?  +  2,  3-9ic;  (es  ist  3,  2,  |J 
mit  20  multiplicirt,  aus  60,  40,  51  erhält  man  11  =  51-40,  9  =  60-51); 
aus  (llic  +  2)«  +  (3-9aj)«=13  findet  er  x^-^j,  mithin  wird  lla;  +  2 
=  Wi  3- 9«  =  ^!)  es  sind  also  m  und  ^{  die  Zahlen,  welche  |^ 
ganz  nahe  kommen;  auch  ist  die  Differenz  ihrer  Quadrate  <  1,  wie  es  Dio- 
phant im  Anfange  seiner  Auseinandersetzung  verlangt  hat.  Dass  jede  von 
ihnen  ein  Näherungswerth  von  ]/6^  ist,  dass  ihr  arithmetisches  Mittel  einen 
noch  genaueren  Näherungswerth  giebt,  erwähnt  Diophant  allerdings  nicht; 
er  braucht  eben  beide  Werthe  und  hat  von  den  Quadraten  derselben  6  ab- 
zuziehen, um  die  der  Aufgabe  entsprechenden  Zahlen  zu  erhalten.  (Das 
arithmetische  Mittel  ^^^  ist  =  2,549504 . . . ,  /6j  =  2,549509 . . . .) 

Aus  dem  Vorhergehenden  ergiebt  sich  eine  zweite  Methode  für  Berech, 
nung  von  ]/a.     Zunächst  hat  man  nach  der  ersten  einen  Näherungswerth 

zu  suchen;  derselbe  sei  = —     Kann  man  2a  in  die  Summe  zweier  Qua- 

n 

drate  =  6* + c*  zerlegen ,  so  ist  aus  der  Gleichung  [6  +  (wi  —  6 . ») .  a?]* 
+  [c  +  (fn  —  c,n).xy  =  2a  der  Werth  von  x  zu  bestimmen;  setzt  man  den- 
selben in  h-\-  (m  —  h,n).x^  c+{in  —  c.n).x  ein,  nimmt  von  der  Summe  der 
beiden  so  erhaltenen  Zahlen  die  Hälfte,  so  erhält  mau  einen  neuen,  genaueren 
Näherungswerth  von  ]/a.  —  Ist  3a=  l)*  +  c*  +  <P,  so  ist  [6-f(m  — 6. »).«]* 
+  [c  +  {m^c»n).x]'^  +  [d  +  {m  —  d.n).x\^  =  5a  die  Gleichung,  aus  welcher  der 
Werth  von  x  bestimmt  wird ;  der  dritte  Theil  der  Summe  der  drei  gefundenen 
Zahlen  ist  der  Näherungswerth  der  Wurzel.  —  Die  Methode  lässt  sich  auch 
anwenden,  wenn  4a,  wie  das  in  Y,  17  der  Fall  ist,  gleich  der  Summe  von  vier 
Quadraten  ist.  Angenommen  ist  hierbei,  dass  a,  6,  c,  d  ganze  Zahlen  sind; 
was  zu  thun  ist,  wenn  Brüche  vorkommen,  zeigt  das  Beispiel  in  Y,  14. 

Das  angegebene  Yerfahren  verlangt  eine  Yorschrift,  aus  der  zu  ersehen, 
wenn  man  2a  in  eine  Summe  zweier,  wenn  3a  in  eine  Summe  dreier  Qua- 
drate zerlegen  könne,  wenn  nicht.  Auch  diese  Yorschrift  lässt  sich  wenig- 
stens zum  Theil  aus  Diophant  herstellen.  Herr  Cantor  bemerkt  in  der 
Geschichte  der  Mathematik ,  Bd.  I  S.  441 ,  dass  aus  der  zu  Y,  12  gestellten 
Bedingung  der  Satz  folge:  Keine  Zahl  von  der  Form  4.n-f  3  lässt  sich  als 
Summe  zweier  Quadrate  darstellen.  —  In  Y,  14  soll  3w+  1  in  die  Summe 
dreier  Quadrate  zerlegt  werden.  Diophant  bemerkt,  es  dürfe  m  weder  2 
sein  (d.  h.  also :  7  lässt  sich  nicht  in  drei  Quadrate  zerlegen) ,  fiijre  riva  toJv 
dno  ivaöos  ontixig  naQUv^afiivfov.  Hat  Bachet  mit  der  Behauptung 
Recht,  Diophant  meine  damit,  es  dürfe  m  nicht  e=2  +  Sn  sein,  so  ergiebt 
sich,  dass  sich  in  der  Yorschrift  wohl  der  Satz  fand:  Ist  eine  Zahl  von  der 
Form  4.n-f-3,   so  kann  sie  nicht  als  Summe   zweier  Quadrate  dargestellt 

7^ 


84  Historisch -literarische  Abtheilung. 

werden,  ebenso  wenig  aJs  Summe  dreier  Quadrate,  wenn  sie  die  Form 
8»+ 7  hat. 

Es  entsteht  nun  die  Frage:  Sind  die  von  Diophant  angewendeten 
Methoden  von  ihm  gefunden,  oder  sind  es  althergebrachte,  die  er  seinen 
Vorgfingem  entlehnt  hat?  Der  Gebrauch  der  Worte  nagiaog,  naQicoxris, 
die  zuerst  bei  Diophant  vorzukommen  scheinen,  beweist  nicht,  dass  er  sie 
zuerst  angewendet  habe ,  sie  können  sehr  wohl  in  den  uns  verlorenen  Schrif- 
ten  der  griechischen  Mathematiker  gebraucht  sein ;  aber  er  scheint  doch  der 
Einzige  zu  sein,  der  die  Aufgabe  der  nüQiaorrig:  eine  Zahl  a  in  eine  Sunune 
von  zwei ,  drei ,  vier  Quadraten  zu  zerlegen ,  deren  Differenzen  Grössen  wer- 
den, die  kleiner  als  eins,  und  deren  Seiten  einer  andern  Zahl,  nSmUck 
einem  Näherungswerthe  von  j/a^  nahe  gleich  sind,  behandelt  hat.  —  Da- 
gegen macht  das  Verfahren ,  das  Diophant  anwendet,  um  die  Aufgabe  zu 
lösen,  durchaus  nicht  den  Eindruck,  als  sei  er  der  Urheber  und  Erfinder 
desselben.  Es  tritt  das  Bestreben  hervor,  die  Bechnung  mit  Brüchen,  wo 
es  nur  angeht,  zu  vermeiden.  Statt  direct  j/G^y  j/'S^  zu  berechnen,  wird 
^26,  j/^  gesucht  und  werden  die  Besultate  durch  2,  3  dividirt;  statt 
die  Gleichung  (3-|a?)»  +  (|  +  |ia?)»  +  (|  +  |1ta:)»=  10  zu  bilden,  aus  der 
sich  x  =  ^^^  ergiebt,  während  3  —  ^«,  |  +  -H^»  I  +  Ji^  wieder  zu -JAU, 
ViV'  ViV  ^®'^^®^»  ®^°^  ^^®  Brüche  ^,  J^,  -JJ  auf  die  oben  angegebene 
Weise  in  ganze  Zahlen  umgewandelt  worden;  und  diese  Scheu  vor  Brüchen  soll 
Diophant  gehabt  haben,  der  doch  sonst  vor  keinem  Bruche  zurückschreckt. 
Das  ist  unwahrscheinlich.  Die  Schwierigkeit  ist  gehoben,  wenn  man  annimmt, 
Diophant  habe  erkannt,  dass  die  alten  Methoden  der  Berechnung  irratio- 
naler Quadratwurzeln  benutzt  werden  könnten  zur  Lösung  der  von  ihm  ge- 
stellten Aufgabe  der  nagiaorrigy  dass  er  demnach  die  Methoden  im  Ganzen 
beibehielt  und  nur  den  Schluss  der  zweiten  als  fOr  seinen  Zweck  unbrauch- 
bar wegliess.  Insofern  mag  er  das  Verfahren  erweitert  haben ,  als  er  nicht 
mehr  die  Bedingung,  die  für  die  alte  Zeit  selbstverständlich  ist,  festhielt, 
es  müssten  h,  c,  d  ganze  Zahlen  sein,  wenn  Sa^h^  +  c^  +  d^  gesetzt  wurde. 

Zunächst  soll  gezeigt  werden,  dass  sich  die  Wurzel werthe  der  Alten, 
besonders  des  Archimedes  und  H e r o n ,  nach  diesen  Methoden  finden  lassen. 
—  Aus  3a;*  +  l  =  (2ic  — 1)«  folgt  a;  =  4,  mithin  j/ä<\>i',  aus  3.ic«+l  = 
(Ja—  1)*  erhält  man  a;  =  56,  also  }/S  ro  ^,  [Wie  sich  hierbei  der  Bruch  ^ 
in  ^x^l  vermeiden  lässt,  lehrt  ja  Diophant   Man  nimmt  48ic*+l  =(7^ 

-1)«,    erhält    Ä  =  14,    demnach    ist   /48~7-^  =  |J,    folglich    ^ 

==/3<^H]    -^^8  2a;»+l  =  (fir-l)«  folgt  fl?=12,  mithin  ^2^jf 

Geht  man  aus  von  ■|<^  und  setzt  3ic*+l  =  (f  a;  +  l)*,  so  ergiebt 
sich  a;=15,  also  /3~f|,  aus  3a;«+l  =  (f|ic- 1)«  folgt  «=780  und 
/3^HV-  Beachtet  man,  dass  9  =  2*+2«  +  l  ist,  bildet  aus  2,  2,  1 
und  if  die  Gleichung  (2-4ic)«  +  (2  — 4ic)2  +  (1  +llfl?)*«  9,  so  erhält  man 
«  =  iVV>  es  wird  2  — 4a;  =  ^|f,    l  +  llic  =  ffj,   nimmt  man  von  f|f 


Die  von  Diophant  überlieferten  Methoden  etc.  85 

IM'  IH  ^^  arithmetische  Mittel,  so  erhttlt  man  ^<^|f}.    Beide  von 

Archimedes  für  ^3  angegebene  Grenz werthe  sind  somit  gefunden ^  beide 

hergeleitet  ans  y^<^\i-     Dass    ^pi^>'/5  ist,  folgt  aus  der  Art  der  Her- 

2  ^26S  -4-  S\*  -4-  26H* 
leitung.  Die  Grössen  üf,  ||4  genügen  auch  der  Gleichung  — ^-^ — ~~iR5i 

Q      .,^.    .,263»  +  4.263  +  6     ^    ,          (263  +  2)«     263«+4.263+4 
=  9.  mithin  ist j^gs ^3^ da  nun  -153!-  = 1535 

ist,  so  ergiebt  sich  alsbald  fM^^^-  —  ^^^  anderen  von  Archimedes 
angegebenen  Wurzeln  werden  übergangen,  sie  sind  im  Ganzen  doch  zu  un- 
genau ,  als  dass  sich  an  ihnen  der  Gebrauch  einer  bestimmten  Methode  nach- 
weisen liesse. 

Was   die  Wurzeln   des   Heron    betrifft,    so   ist   die   Herleitung   von 

y&d^S^^,  /1I25^33VV.  /lÖ81(^32|i,  j/^<^l^,  j/T^^m, 
j/l08rol0|-  nach  der  ersten  Methode  einfach.  Aber  auch  die  folgenden 
Wurzeln  ergeben  sich  nach  derselben.  —  ^68  + ^  +  ^  +  1^^  =  ^^935.  Aus 
935^+1  =  (31a;- 1)*  folgt  ic  =  f i ,  _mithin  /935 po 31- 44  ==  30|f; 
i ^935 00 7|j^<x;7f  —  /340Ö=  lO.y/34.  Aus  34a^  + 1  =  (6a?^l)»  folgt 
aj  =  6,  mithin  /34^5|  und  j/MOOcobS^.  —  /43  +  |  +  |=  I/TTS- 
Aus  175a;«  + 1  =  (13a?  + 1 )«  folgt  a;  =  M ,  mithin  ^175  c<j  13^  «»d  i  »^175 

^64  +  A'  — /4'^  +  7+i  +  i  =  i/i579"-  Aus  1579a;«+l  =  (40a;-l)« 
erhält  man  a;=|^,  folglich  ]t/1579 oü 39|^  und  i/lF79<x>6i  +  ^^ 
oo6i  +  VW  =  6i  +  f  -  ^886-^1^  =  1/14175.  Aus  14175 a^+1 
=  (119a;+l)*  erhält  man  a;=17,  also  j/14175ou119tV  «nd  ^886-^ 
^'^i  +  -h'  -  y^356  +  TV  =  ^/l2878.  Aus  12818a;«+l  =  (n4a;-l)« 
folgt  a;=LLi,  mithin  ist /12818oo]13VV^,  /356  +  ^V rvj  18||| cv>  18f f| 
=  18||.  —  Aus  yöOcK,!-^  erhält  man  ^5000  rv^  70^  no  70f  =  70i. 

Bei  den  übrigen  Wurzeln  kann  Heron  die  zweite  Methode  angewen- 
det haben. 

_/444+^-h^=^.f/10.  Aus  10a;*+l  =  (3a;+l;«  folgt  a;6=6, 
/l w  ou  Y  •  Es  i8<i  20  =  4«  -f  2« ;  mithin  erhält  man  die  Gleichung  (4  —  5a;)« 
+  (2+ 7a;)«  =  20;  es  wird  a;  =  ^V,  4-5a;  =  3^,  2  +  7a;  =  3^,  also 
j/tö<^3y\  undy444  +  iT"i~21^cN^2lV,. 

/54  =  3./6.  Aus  6a;«  +  l  =  (2a;+l)«  folgt  a;c=:2,  /6co|.  Da 
18  =  4«  + 1  +  1  ist,  so  erhält  man  die  Gleichung  (4-3a;)»  +  2.(l  +  3a;)« 
=  18,    mithin   a;  =  ^;    es  wird  4  — 3a;  =  f,    1  +  3«  =  ^,    also    j/6ooi^^ 

/T35  =  3yi5.  Aus  15a;«+l=(4a;-l)«  folgt  a;  =  8,  J/T5co^. 
Da  45  =  5«  +  4«+2«  ist,  so  erhält  man  die  Gleichung  (5-9a;)«  +  (4-a;)« 
+  (2+ 15a;)«  =  45,  mithin  a;  =  y^,  es  wird  5-9a;  =  J^,  4  — a;  = 
rlM,  2  +  15a;  =  iJ^,  also  ist /T5cx>mi,  /T35^mi  =  ll^cv. 
lHH  =  llrt-  Demnach  ist  j/8  +  |  +  i  +  TV  =  i/135<\.llH:4  «  2J 
+«^2i+tt  =  2i  +  t. 


86  Historisch -literarische  Abtheilnng. 

y^ÖÖ  =  10.y&3.  —  Es  ist  ^63«N58-^  =  m.  D»  189=11« 
+  8»+2»  ist,  so  erhalt  man  die  Gleichung  (11 -49*)» +  (8-»)* +(2 +95«)« 
=  189,  also  «  =  tH*t.  ll-49x  =  eiH.  8-aj  =  fH*l.  2+95«= 
=  WH,  folglich  /63  cv  f^^.  ^6300 cvjtfflW  "^QjWr  '^  79,4iVÄ 
=  79^1  =  791  +  ^.  —  Mithin  wird  }/ 1575  =  ^  ^6300  oo  39|  +  ^.  - 
f/2460  +  H  =  iy^3§375  =  i^l675fo494  +  ^.  -  K'615  +  H  =  i 

Xj/24H0  +  ffno24i+VB«f.  _ 

y^^==^.}/^  Aus  24«*  +  l  =  (5a;-l)«  folgt  »=10,  y2A(\>^. 
Es  ist  72  =  8*+2«+2»,  man  erhält  also  die  Gleichung  (8-31«)»+ 2.(2+ 29 1)« 
=  72,  mithin  wird  «  =  ^VW.  8-3la;=1^0,  2  +  29«  =  -^^,  also 
y2i<s}lMAl.  und  ^^2l6 oo ^^  =  14^111  cv>14i|i=  14^. 

^356  =  2y89.  Aus  89a;»+l  =  (9a!+l)»  folgt  «  =  $,  /89c\>V 
Es  ist  178  =  13» +  3»,  mithin  erhält  man  die  Gleichung  (13  — 32.x)' 
+  (3+58.«)»=  178;  aus  ihr  folgt  «  =  iVifV.  13-32.a;  =  Jj^,  3+58.1 
=  iaii^.  mithin  ym^XMM,  ^356^  mM  =  18,Wr  ^IS^Ws-l^- 

j/72Ö  =  6.^20.  Aus  20.a^+l  =  (4«  +  l)»  folgt  «  =  2,  ^20<^f 
Da  40  =  6»  +  2»  ist,  so  erhält  man  die  Gleichung  (6-3«)»+(2+5x^ 
=  40;  hieraus  ergiebt  sich  «  =  ^,  Q  —  ^x  =  A\^,  2  +  5«=4^,  /^ 
oo  4^^ithin  y^  r^  26f4  ~  26H  =  2^. 

K'208  =  4.](/13.  Aus  13«»+1  =  (4«-1)»  folgt  «  =  |,  /IS'N.SI. 
Es  ist  26  =  5» + 1,  somit  ergiebt  sich  die  Gleichung  (5 — 11 .«)» + (1  +  21  .«)• 
=  26.  Aus  ihr  erhält  man  «  =  ^,  5-ll.«  =  ^M,  1+21.«=^, 
folglich  >/l3  /v;  MM,  /2Ö8  fv  V^  =  14^4  'n^  14^  =  l^A- 

Die  Wurzelwerthe  des  Heron  wären  somit  gefunden;  dass  sie  Heron 
gerade  in  der  vom  Verfasser  angegebenen  Weise  berechnet  habe ,  wird  nicht 
behauptet,  unter  Beibehaltung  der  Methode  lassen  sie  sich  auch  auf  andere 
Art  finden.  Um  z.  B.  J^2l6  zu  erhalten,  konnte  man  ausgehen  von 
216Ä«  +  I«(14ir  +  1)«  und  erhielt  a;  =  |,  j/2l6  =  Mi;  da  648  =  16« 
+  14»+ 14«  ist,  so  ergab  sich  die  Gleichung  (16-9.a;)*  +  2.(14  +  5.x)« 
=  648,  folgUch  a;  =  T|T»  16-9. a;  =  ^,  14  +  5.aJ  =  im  und  -/m 
ojmi.  =  14^00  14^  =  1411.  -  Wird  bei /I35  =  3./I5  von  f^ 
f>o  ^  und  60=  7* +  3* +  1  +  1  ausgegangen,  so  entsteht  die  Gleichung 
(7-25.a;)«  +  (3+7.a;)«+2(l  +  23.ic)«  =  60,  mithin  wird  x^-^,  7-25.X 
==T^'  3+7.a?  =  JLLLI,  l+23.x^inA^j/TBrs,ini,  /iSörvim 
=  ll|4f  PO  ll|Jf=llif  —  Wird  bei  ^208  =  4.j/T3  ausgegangen  von 
I3aj«+l=(3a;  +  l)»,  so  erhält  man  «  =  i,  also  ^13^0^;  da  52  =  7* 
+ 1  + 1  + 1  ist ,  so  ergiebt  sich  die  Gleichung  (7 - 10 . x)«  +  3(1  +  8 . xY  =  52 j 
mithin  wird  rc  =  II,  7-10.a;=  m,  1  +  8.«  =  m,  /l3ojm,  ^/M 
PO  ii|l=  14f|ou  14^=  14^^. 

Dass  sich  die  uns  überlieferten  Quadratwurzeln  der  Alten  durch  die 
aus  Diophant  entnommenen  Methoden  berechnen  lassen ^  ist  somit  wohl 


Die  Yon  Diophant  überlieferten  Methoden  etc.  87 

erwiesen;  die  Methoden  zeigen  aber  anoh  den  Weg,  auf  welchem  die  von 
Herrn  Günther  in  der  Abhandlung:  Die  quadratischen  Irrationalitfiten  der 
Alten,  S.  51    erwähnte  Cubikwurzel  y^r>^l±  gefänden  sein  dürfte.     Es 

ist  ^fi=  6^-  Machte  Pheidon  —  er  soll  ja  die  Wurzel  berechnet 
haben  —  den  Versuch,  |^300  durch  ein  Verfahren  zu  finden,  das  der  ersten 
Methode  der  Berechnung  der  Quadratwurzeln  entspricht,  so  hatte  er  300. o;' 
+  l  =  (6a?  +  l)'  zu  setzen,   und  erhielt  zur  Bestimmung  von  x  die  Gleich- 

ung  14a;*  — 18rc  =  3;  somit  wird  fl?==^ ^ — ^>  es  liegt  also  zwischen  f^ 

und  ^;  wurde  der  letztere  Grenzwerth  als  der  einfachere  in  der  weiteren 
Rechnung  benutzt,  so  ergab  sich  300ru(6+^)^  mithin  f^SOOcv^  und 

Treten  wir  der  Frage  näher:  wie  sind  die  Alten  zu  diesen  Methoden 
gekommen?  so  ist  die  Sache  in  Betreff  der  ersten  Methode  einfach.  —  Aus 
der  Gleichung  ax^  +  l  =  {ci.x+  1)*,  in  der  a  gegeben,  a  eigentlich  beliebig 

1     /       tv 

ist,  ergiebt  sich  die  Gleichung  a  +  -i^^=[€c +  —  ) ;  ist  nun  aus  der  ersten 
Gleichung  ein  Werth  yon  x  gefanden,  welcher  >1  ist,  so  ist  «  +  —  ein 

X 

um  so  genauerer  Näherungswerth  von  j/ä^  je  grösser  x  war.  —  Die  zweite 
Methode  weist  auf  Entstehung  aus  geometrischen  Betrachtungen  hin  und 
bestätigt  Herrn  Cantor's  Ansicht  (Geschichte  der  Mathematik  Bd.  I  S.412), 
dass  die  Alten  bei  dergleichen  Untersuchungen  rechtwinklige  Dreiecke  zu 
Hilfe  genommen  haben.  Sollte  }/6^  gefunden  werden,  so  ging  man  yon 
einem  bei  Ä  rechtwinkligen  Dreiecke  ABC  aus,  in  welchem  ÄB=^3y 
AC=2  war;  die  Hypotenuse  BC  ist  also  5=j/13.  Construirte  man  über 
BC  das  Quadrat  BCDF,  zog  in  demselben  die  sich  in  Q  schneidenden 
Diagonalen  BD,  CF,  so  ist  BG=^CG  =  j/6l.  Auf  BD  schneide  man 
BV=BÄ,^uf  CF  aber  CO^CA  ab  (Fig.  3).  War  nach  der  ersten 
Methode  ^6^  no  ^  gefunden,  so  lässt  sich  allerdings  der  60.  Theil  yon  AB 
nicht  genau  51  mal  auf  BQ-  abtragen,  denn  AB  und  BQ-  sind  incommen- 
surabel,  aber  es  wird  ein  Mass  x  geben,  das  annähernd  60mal  \xl  AB 
und  51mal  in  BQ-  enthalten  ist,  so  dass  annähernd  07=9. o;,  G0=^  W.x 
wird;  dann  ist  i?6r  =  3'-9.a;,  CG  =  2'\-\\,(c,  Die  Summe  der  Quadrate 
dieser  Grössen  muss  =13  sein,  mithin  ist  durch  die  Gleichung  (3  — 9.a;)' 
+  (2  +  11.0;)'=  13  die  Möglichkeit  gegeben,  das  Mass  x^  also  auch  BG- 
und  CG  zu  bestimmen,  und  da  BG  =  CG  sein  soll,  so  erhält  man,  wenn 
man  die  Summe  beider  Grössen  durch  2  diyidirt,  einen  gemeinsamen  Werth 
für  BG  und  CG,  also  auch  für  j/E^.  —  War  die  Methode  für  Zahlen  a,  bei 
denen  2a  gleich  der  Summe  zweier  Quadrate  ist,  erprobt,  so  war  der  Fort- 
schritt zu  Fällen,  in  denen  3a  (4a)  gleich  der  Summe  yon  3  (4)  Quadraten 
ist,  nicht  mehr  schwer. 


88  Historisch -literarische  Abtheilung. 

Sehen  wir  zu ,  worauf  es  bei  der  zweiten  Methode  eigentlich  ankommt, 

so   handelt  es   sich  doch  darum,   eine  Zahl,  die  gleich  der  Summe  zweier 

(dreier)  Quadrate  ist,   nochmals  in  eine  solche  Summe  zu  zerlegen ,    nur 

sollen    die    Seiten    der    neuen    Quadrate    einander    nahe    gleich    sein.    — 

Diophant   bebandelt  U,  10  die  Aufgabe,    13  =  3^  +  2^   in  zwei  andere 

Quadrate  zu   zerlegen.     Er  schlägt  folgenden  Weg  ein.     Es  sei    2p  =  a* 

+  6*    (a>6)    die   zu    zerlegende    Zahl;     man    bestimme    durch    w.a?  — fl, 

b  +  x    zwei    Zahlen,    die    der    Gleichung    (wä  — a)*  +  (6+a;)*  =  2p     ge- 

.,        ,_  2(a.w-5)         _    .   .  a{m^^\)-2.h.m 

nügen;   aus  ihr  «erhält  man  x=        o  .  .      >   und  smd  ^-^^ 

»i*  +  l  mr  +  l 

und  -^ g  ^  — - —  die  gesuchten  Zahlen.  Im  Allgemeinen  ist  m  be- 
liebig; hat  man  es  aber  so  gewählt,  dass  die  Seiten  der  neuen  Quadrate 
einander  nahe  gleich  werden,  so  sind  dieselben  Näherungswerthe  yon  }/p; 
aus  ihnen  lässt  sich  dann,  wie  bei  der  zweiten  Methode,  ein  genauerer 
Wurzelwerth  finden.  —  Dasselbe  Verfahren  lässt  sich  einschlagen,  wenn 
3.p  gleich  der  Summe  dreier  Quadrate  ist.  —  Damit  wäre  eine  dritte  Me- 
thode nachgewiesen ,  die  vielleicht  von  den  Alten  zur  Berechnung  der  Qua- 
dratwurzeln benutzt  worden  ist.  Sie  hat  vor  der  zweiten  den  Vorzug,  dass 
man  bei  ihr  nicht  nöthig  hat,  auch  nach  der  ersten  Methode  einen  Nähe- 
rnngswerth  der  Wurzel  zu  suchen.  —  Wendet  man  diese  Methode  an  zur 
Berechnung  von  j/^ ,  so  ist  a  =  9 ,  &  =  1  zu  setzen.  Für  m  ==  3  ergiebt 
sich  y4l  ^  ^,  die  Wurzel  liegt  zwischen  ^  und  M;  würde  jetzt  a=  ^, 
6  =  M,  m  =  64  gesetzt,  so  ergäbe  sich  j/4l  f\fllAAJil.^  da  die  Wurzel 
zwischen  V\V^  ^^^  V  ^a»  ^  ^^^S^'^  ^^r  gefundene  Werth  wäre  sehr  genau, 
es  ist  lAUJfA  =  6,4031242372  ...,  der  genauere  Werth  der  Wurzel  ist 
=  6,4031242374...  —  Um  /29  zu  erhalten,  ist  a=  7,  5  =  3  zu  setzen, 
für  191  =  5  erhält  man  ]f/29rvj}J,  die  Wurzel  liegt  zwischen  ^  und  f|. 
—  Bei  /M  ist  a  =  5,  5  =  2  zu  nehmen,  für  w  =  5  erhält  man  ^M  ru  f|; 
die  Wurzel  liegt  zwischen  f|  und  |f.  —  Hat  Heron,  um  ^^356  =  2.^^89 
zu  finden,   die  dritte  Methode  benutzt  und  bildete  er  die  GleichuLg  267  = 

44—  XO  fn 
2.(11  — a?)*  +  (5  +  wa;)*    so  wurde  x==  - — ^r-^-  »  für  w  =  3  also  x  =  li, 

m^  +  2  *  * 

ll-a;  =  JJLI,  5  +  fnx  =  ^,  demnach /89 PO  Li^t=9||  und  ^356  ro  18|5 
(\>  18J.  —  Wird  dieselbe  Methode  bei  ^135  =  3.^15  in  Anwendung  ge- 
bracht ,  so  erhält  man  (5  —  w .  o:)*  +  (4  —  a;)*  +  (2  +  w .  a;)*  =  45 ,  mithin  wird 

fl?=    J^^^i^^^     ;  ^ür  w  =  5,  «  =  9  also  x=^^,  5-w.a;  =  U^,  4-r 

=  IM,  2  +  na;  =  tf^,  mithin  j/Tbr^^  und  yJEö  ^^  1^  =  U^ 
'vllV\/^=lHf 

Diophant  zeigt  II,  8.  9,  wie  man  ein  Quadrat  in  eine  Summe  zweier 
Quadrate  zerlegen  könne;   er  stellt  die  Gleichung  a'  =  ap^+(M'^  —  a)'  auf 


Die  von  Diophant  überlieferten  Methoden  etc.  89 

und  erhält  rc  =    '    '     ,    mx  —  a  =  — ,  ,  ^     ;    die    Zerlegung   beruht   also 
w*  +  r  w"  + 1 

darauf,   dass  I     ^  .  ,  )  +(     „  .  ^  1  =1    ist.      Bei   Diophant   ist  a  =  4, 
\w*+l/       \w*+l/ 

m  =  2  und  er  erhält  -^  und  M  als  Seiten  der  Quadrate,  deren  Summe 
=  16  sei;  aber  es  ergiebt  sich  daraus  auch  ^^8<\>|^,  y2<\>^,  —  Wird 
a  =  2,    m  =  ^    genommen,    so    erhält   man    (4^)^+ (41)*==  ^»    ^^^    ^^^^ 

Herr  Günther  bemerkt  in  der  obenerwähnten  Abhandlung  S.  66, 
88  —  90,  dass  de  Lagny,  Tannerj,  Zeuthen  die  Ansicht  vertheidigen, 
es  hätten  die  Alten,  um  j/3  zu  finden,  Lösungen  der  Gleichungen  ^^  =  3.0^ 
—  2,  y*  =  3.fl;*  +  l  zu  Hilfe  genommen.  Dieser  Ansicht  gegenüber  macht 
der  Verfasser  carauf  aufmerksam,  dass  die  drei  Methoden,  die  zur  Berech- 
nung von  f/p  führen ,  auch  in  vielen  Fällen  brauchbare  Werthe  liefern  für 
die  Lösung  der  Gleichungen  y*=p.ic*+ 1  und  ^^=/).iC*  — 2. 

Gleich  die  erste  Methode  giebt  oft  ein  Paar  zusammengehöriger  Wur- 
zeln der  Gleichung  y^  =  p,x*  +  l.  —  Wird  p .x^  + 1  =  (a .x  +  l)*  gesetzt 
und  X  wird  eine  ganze  Zahl,  p  —  a^  geht  also  ohne  Best  auf  in  2a,  so  ist 
eine  Lösung  gefunden.  Aus  dem  Vorhergehenden  ergeben  sich  die  Beispiele: 
51«  =  26.10«-|-1,  ll«  =  30.2«-^l,  7«  =  3.4«  +  l,  26^  =  3. 15«  +  1,  97« 
=  3.562  +  1,  135P  =  3.780«+ 1,  35*  =  34.36'« +  1,  2024«  =  14175.17* 
+  1,   19«=10.6«  +  1,  31«=15.8«  +  1,  49«=24.10«  +  1. 

Ist  2p   gleich  der  Summe  zweier  Quadrate,   so   erhält  man  durch  die 

ß  ß  +  f^ 

zweite  wie   dritte  Methode  zwei   Werthe,    etwa  —  und »    zwischen 

a  a 

Ä2    I     / o   t        \2 

denen   j/p  liegt;   zugleich   genügen   dieselben  der  Gleichung j 

=  2p.  Ist  m  eine  gerade  Zahl,  setzt  man  also  2m  an  die  Stelle  von  fit, 
SO    geht   die   Gleichung  über    in —^ =  p,    d.  h.   man    erhält 

(jS  +  w)«  =  p.a«  — w«,  für  w=l  also  (jS+l)«=/>.a«— 1.    Ist  m  ungerade, 

'  2ß    2(ß  +  m) 

so  können   s-  »  — ^ als    die   Grenzen   betrachtet    werden,    zwischen 

denen  j/p  liegt;  man  erhält  also  (2 /3  +  w)*  =  p . (2 «)«  —  m*,  und  für  in  =1 

somit  (2/3  +  l)«  =  p.(2a)«-l.    Als  Beispiele  ergeben  sich .  515«  =  i^.202« 

-1,    117«  =  10.37«-1,  76«  =  20.17«-4   oder   38«  =  5.17«-1,   32«  = 

41.5«-1,  131 168«  =  41. 20485«-!,  70«  =  29.13«- 1,  99«  =  11.26«- 1, 

41«  =  2.2Jj--L  ^ 

Ist  yp  dadurch  gefunden ,  dass  man  3p  in  die  Summe  dreier  Quadrate 

ß-\-m     ß     j3  — w 

zerlegte,  deren  Seiten  >  — > sein  mögen,  so  musss  die  Gleich- 

a  a         a 

3<g«  +  2g(m^t>)  +  m«  +  n«      ^         _.^      •        ,,  o  i. 

ung    5 =öp  erfüllt  sein.     Ist  nun  m— n  =  o.A, 


90  Historisch  -  literarische  Abtheilung. 

w*+»*  =  3.Ä;,   so  erhalt  man  (ß+h)*=>p.a^  +  {h*-k).  —   Sind  w-n, 

m'+n'  keine  Vielfachen  von  3,   so  sind      ^'^ — ^»  ö^>   — ö als  die 

3a  «>a         oa 

Seiten  der  drei  Quadrate  zu  betrachten,  und  ergiebt  sich  die  Gleichung 
[3i5  +  (w— n)P  =  p.(3«)«-2(m«  +  w»+n«).  —  Sind  zwei  der  Seiten  ein- 
ander gleich,  es  seien  dieselben  — >   ~»  —  >  so  erhält  man  (ßifH)* 

a  et       a 

=:p.a*  — 2fii*;  sind  —^ — >  — •   -—  die  Seiten,  so  ergiebt  sich  (3/J  +  **)' 
of  a       a 

==p.(3«)«-2.m«.   —   Demnach   ist   265«  =  3. 153« -2,   22«  =  6.9«-2, 

1189«=15.307«~2.7,  6474«  =  6. 2643« -2. 3«  oder  2158«  =  6.881«- 2 

311«  =  89.33«-2.10«. 

Ob  den  Alten  bekannt  gewesen,  dass  sich  aus  den  Wertheu  y  =  ^, 
a;==a  der  Gleichung  y«=pa?«+6  die  Werthe  y  =  2/3«  +  &,  xs=2ee.ß  in 
der  Gleichung  y«  =  ;>.««  +  &'>  desgleichen  aus  y=/5,  a;  =  a  der  Gleichung 
y«=p.aj«  +  26  die  Werthe  y  =  /3«  +  6,  x^a.ß  der  Gleichung  y^=^p,3^ 
+  6«  ergeben,  mag  dahingestellt  bleiben. 

ErotoBchin,  im  März  1885. 


Recensionen. 


Erwiderung. 

Im  6.  Hefte  des  29.  Bandes  hat  Herr  P.  Zech  ein  Beferat  tther  meine 
Schrift  ,,D6r  Kreislauf  im  Kosmos''  gegeben.  Gregen  das  Ende  fühlt  er 
sich  veranlasst  zu  bemerken,  die  Abhandlung  sei  ,,eine  Streitschrift  der 
katholischen  Theologie  gegen  die  Naturwissenschaft''.  Diesen  Satz  muss  ich 
als  eine  offenbare  Unwahrheit  bezeichnen ,  und  man  wird  mir  wohl  erlauben, 
dies  kurz  zu  begründen. 

Die  betreffende  Abhandlung  ist  weiter  nichts,  als  eine  Abwehr  gegen 
die  moderne  Naturphilosophie;  es  wird  S.  15  ausdrücklich  hervorgehoben: 
,,  Man  ^erinnere  sich  wohl,  dass  wir  es  nicht  mit  der  eigentlichen  Natur- 
wissenschaft, sondern  mit  dem  naturwissenschaftlich  ausstaffirten  Materialis- 
mus zu  thun  haben."  Dem  Herrn  Referenten  würde  es  auch  wohl  schwer 
fallen,  eine  Stelle  za  bezeichnen,  wo  ich  mich  mit  der  Naturwissenschaft 
im  Widerspruch  befände. 

Dann  soll  der  Kampf  von  Seiten  der  katholischen  Theologie  geführt 
werden.  Sonderbar,  da  die  Schrift  voll  und  ganz  auf  physikalischem  Boden 
stoht  und  von  Theologie,  geschweige  denn  katholischer,  gar  keine  Rede  ist. 
Allerdings  wird  auf  S.  11  der  philosophische  Standpunkt  des  christlichen 
oder  theistischen  Teleologen  kurz  skizzirt;  aber  Tele ologie  ist  doch  nicht 
Theologie! 

Blyenbeck  (Holland),  den  10.  Februar  1885.        J.  Epping,  8.J. 


Vorlesimgen  über  das  Ikotaeder  und  die  Auf  ISsong  der  Oleidumgen  vom 
fünften  Orade.  Von  Felix  Klein.  Leipzig  1884.  260  S.  8^ 
Dieses  Werk,  dem  eventuell,  wie  Verfasser  in  Aussicht  stellt,  weitere 
Werke  über  die  elliptischen  Modulfanctionen  und  die  allgemeine  Theorie  der 
eindeutigen  Functionen  mit  linearen  Transformationen  in  sich  folgen  sollen, 
kann  nur  mit  Freude  begrüsst  werden.  Führt  es  doch  den  Leser  in  einen 
Kreis  hochinteressanter  Disciplinen  ein,  die  sich  besonders  im  Laufe  des 
letzten  Jahrzehnts  mSchtig  entwickelt  haben,  ohne  dem  grösseren  Theile  des 
mathematischen  Publikums  vorlftufig  mehr  als  dem  Namen  nach  bekannt 
geworden  zu  sein.    Eine  Fülle  von  Material,  welches  in  einzelnen  Journal- 


92  Historiscfa  •  literarische  Abtheilung. 

Artikeln  zerstreut  war,  ist  einheitlich  zusammengefasst  und  gleichmSssig 
durchgearbeitet;  die  zahlreichen  Citate,  auf  welche  Verf.  grosse  SorgfiBilt 
verwendet  hat,  geben  dabei  genauen  Aufschluss  ttber  den  Ursprung  und  die 
Entwickelung  jeder  einzelnen  Untersuchung,  wodurch  zugleich  die  in  dem 
Buche  enthaltenen  Fortschritte  als  solche  zu  Tage  treten.  Die  Art  der 
Darstellung,  welcher  das  Princip  zu  Grunde  liegt,  zun&chst  am  gegebenen 
speciellen  Problem  zu  operiren  und  von  da  nach  und  nach  zu  allgememe- 
ren  Gesichtspunkten  aufzusteigen,  macht  die  Lecture  verhältnissmSssig  so 
leicht  und  mühelos ,  dass  es  sehr  zu  bedauern  wäre,  wenn  dieser  oder  jener 
Leser  sich  durch  einige  Schwierigkeiten ,  die  gerade  auf  den  ersten  Bl&ttern 
gefunden  werden  können,  nach  Herstellung  geeigneter  Modelle  aber  Yon 
selbst  verschwinden,  von  der  Lecture  des  Buches  abschrecken  liesse.  Frei- 
lich darf  der  AnftUiger  andererseits  die  Bemerkung  der  Vorrede,  dass  spe- 
cielle  Kenntnisse  nicht  vorausgesetzt  werden,  nicht  allzu  sanguinisch  auf- 
nehmen; denn  wenn  auch  der  Verf.  jedesmal  die  Elemente  der  verschiede- 
nen von  ihm  in  die  Darstellung  eingeflochtenen  Disciplinen  kurz  auseinander- 
setzt resp.  auf  geeignete  Lehrbücher  verweist,  so  ist  doch  die  Operation 
mit  den  Begriffen  eines  Gedankenkreises,  in  welchem  man  sich  eben  erst 
orientirt  hat  und  daher  noch  nicht  zwanglos  bewegen  kann,  unt^  allen 
Umständen  schwierig,  zumal  wenn  —  wie  es  hier  der  Fall  ist  —  kurz 
nacheinander  ganz  verschiedenartige  Gedankenkreise  auftauchen  und  in  Be- 
ziehung zu  einander  gesetzt  werden.  Immerhin  sind  wir  der  Meinung,  dass 
besonders  das  Studium  des  ersten  Abschnittes,  in  welchem  die  Theone 
des  Dcosaeders  im  engeren  Sinne  entwickelt  wird,  auch  Demjenigen,  welcher 
sich  in  die  Gebiete  der  Functionentheorie ,  Algebra  und  Invariantentheorie 
erst  einarbeiten  muss,  zur  Freude  gereichen  wird,  da  er  als  Belohnung 
seiner  Mühe  eine  Erweiterung  des  Gesichtskreises  gewinnt,  wie  sie  ihm 
nicht  viele  mathematische  Werke  der  Neuzeit  bereiten  dürften.  Der  zweite 
Abschnitt,  welcher  der  Theorie  der  Gleichungen  fdnften  Grades  gewidmet 
ist,  bewegt  sich  zwar  auf  einem  weniger  abwechselungsreiohen  Gebiete,  ist 
aber  darum  in  seiner  Art  nicht  minder  interessant  und  wichtig;  ist  doch 
die  Auflösung  der  Gleichung  fünften  Grades  ein  historisches  Problem,  wel- 
ches die  Mathematiker  seit  Jahrhunderten  wieder  und  wieder  beschäftigt  hat 
und  mit  AbeTs  Beweis  der  Unmöglichkeit  einer  Lösung  durch  Wurzel- 
grössen  nicht  etwa  erledigt,  sondern  vielmehr  erst  für  die  richtige  Frage- 
stellung vorbereitet  wurde. 

Wir  geben  eine  Uebersicht  über  den  Gesammtinhalt  des  Buches. 

Der  erste  Abschnitt  zerflüilt  in  fünf  CapiteL  Gegenstand  des  Gap.  1 
ist  das  Studium  der  regulären  Körper,  des  Tetraeders,  Würfels,  Oktaeders, 
Dodekaeders  und  Ikosaeders,  oder  genauer  der  Projectionen  jener  Körper 
(d.  h.  ihrer  Ecken  und  Kanten)  auf  die  Oberfläche  einer  durch  die  Ecken 
gelegten  Kugel  aus  dem  Mittelpunkte  derselben,  also  der  regulären  Kugel- 
netze.    An  die  genannten  Körper  schliesst  sich  noch  das  Dieder,  welches 


Beeensionen.  93 

aus  dem  regulären  n-Eck  hervorgeht  nnd  dem  auf  der  Eugelfläche  ein  aus 
2n  Dreiecken  bestehendes  Netz  entspricht.  Für  das  YoUe  Verstftndniss  des 
Folgenden  sind  Modelle  der  definirten  Netze  unentbehrlich;  doch  reichen 
zwei  Kugeln  aus,  auf  deren  eine  man  Tetraeder,  Oktaeder  und  Würfel,  auf 
die  andere  Ikosaeder  und  Dodekaeder  projicirt.  Verl  studirt  nun  diejenigen 
Drehungen  der  Kugelfläche,  durch  welche  eines  jener  Netze  zur  Deckung 
mit  sich  selbst  gelangt.  Die  Gesammtheit  dieser  Drehungen  bildet  eine 
,,Oruppe"  im  Sinne  Oalois*,  nämlich  eine  geschlossene  Mannigfaltigkeit 
yon  Operationen.  Es  folgen  gruppentheoretische  Vorbegriffe  in  abstrakter 
Definition,  die  Begriffe  der  innerhalb  einer  Gruppe  gleichberechtigten  Ope- 
rationen, der  Untergruppe,  der  gleichberechtigten  und  der  ausgezeichneten 
Untergruppen,  der  Einfachheit  einer  Gruppe,  sowie  des  (holoedrischen  oder 
meriedrischen)  Isomorphismus  zweier  Gruppen.  Diese  abstrakten  Definitionen 
werden  dann  durch  die  Anwendung  auf  die  regulären  Körper  yeranschau- 
licht.  Es  zeigt  sich,  dass  die  Gruppen  des  Oktaeders  und  Würfels,  sowie 
des  Dodekaeders  und  Ikosaeders  identisch  sind.  Die  definirten  Begriffe  ge- 
winnen fast  sämmtlich  sehr  einfache  geometrische  Bedeutungen.  So  besteht 
eine  Untergruppe  immer  in  der  Gesammtheit  derjenigen  Drehungen ,  welche 
irgend'  ein  in  dem  betrachteten  Körper  enthaltenes  geometrisches  Gebilde, 
etwa  eine  Diagonale,  in  sich  überfahren.  Dem  Oktaeder  lassen  sich  zwei 
Tetraeder  zuordnen,  deren  Ecken  mit  den  Projectionen  der  Seitenmittel- 
punkte des  Oktaeders  auf  die  Kugelfläche  zusammenfallen;  bei  allen  24  Okta- 
ederdrehungen wird  jedes  jener  beiden  Tetraeder  entweder  in  sich  oder  in 
das  andere  übergeführt;  die  Gesammtheit  derjenigen  (zwölf)  Drehungen, 
welche  jedes  der  Tetraeder  in  sich  selbst  überfCÜiren,  bildet  dann  eine  „aus 
gezeichnete''  Untergruppe.  Allgemein:  Nennen  wir  zu  einem  geometrischen 
Grebilde  Ä  alle  diejenigen  „gleichberechtigtes  in  welche  ii  durch  die  Dreh- 
ungen des  betrachteten  Polyeders  überhaupt  übergehen  kann  {A\  Ä\  .,.), 
so  bilden  alle  diejenigen  Drehungen,  bei  denen  jedes  der  sämmtlichen 
gleichberechtigten  Gebilde  Äj  Ä'y  Al\  ...  mit  sich  selbst  zur  Deckung 
kommt,  eine  „ausgezeichnete'*  Untergruppe.  —  Bei  der  Zusammensetzung 
solcher  geometrischer  Hilfsgebilde,  durch  welche  überhaupt  Untergruppen 
(und  speciell  ausgezeichnete  Untergruppen)  definirt  werden ,  spielen  die  Eck- 
punkte, die  Seitenmittelpunkte  und  die  Kantenmittelpunkte  des  Polyeders 
die  wesentlichste  Bolle.  —  Unter  den  Besultaten  des  Gap.  I  sind  besonders 
die  folgenden,  auf  das  Ikosaeder  bezüglichen  heryorzuheben.  Die  im  Gan- 
zen aus  60  Drehungen  bestehende  Ikosaedergruppe  ist ,.  einfach '*  (d.h.  ent- 
hält keine  ausgezeichnete  Untergruppe)  und  holoedrisch  isomorph  mit  der 
Gruppe  der  60  geraden  Vertauschungen  von  fünf  Dingen.  Von  Untergrup- 
pen kommen  später  bei  der  Theorie  der  Gleichungen  fünften  Grades  in 
Betracht:  sechs  gleichberechtigte  Untergruppen  yon  je  zehn  Drehungen 
(Diederdrehungen,  d.  h.  solche,  bei  denen  jedesmal  eine  Verbindungslinie 
zweier  gegenüberliegenden  Ecken  in  sich  übergeht),  und  fdnf  gleichberech- 


94  Historisch -literarische  Abtheilung. 

tigte  Untergruppen  von  je  zwölf  Drehungen  (Tetraederdrehungen,  d.  h.  solche, 
bei  denen  ein  zum  Ikosaeder  in  Beziehung  stehendes  Tetraeder  mit  sich 
selbst  zur  Deckung  kommt).  Alle  60  Ikosaederdrehnngen  können  durch 
Wiederholung  und  Combination  dreier  (5,  T,  ^),  unter  denen  sich  sogar 
nur  zwei  von  einander  unabhängige  (S  und  T)  befinden,  erzeugt  werden. 
—  Durch  Projection  der  Ikosaederkanten  auf  die  Eugelflftche  entstehen  20 
gleichseitige  sphärische  Dreiecke,  deren  jedes  durch  seine  drei  Höhen  in 
sechs  Theile  zu  theilen  ist,  so  dass  die  Eugelfläche  im  Ganzen  yon  120 
rechtwinkligen  Dreiecken  bedeckt  wird.  Dieselben  zerfallen  in  zwei  Schaa- 
ren  von  je  60  unter  einander  congruenten,  während  je  zwei  verschiedenen 
Schaaren  angehörige  nur  symmetrisch  sind.  Aus  einem  beliebigen  Punkte 
P  der  Eugelfläche  entstehen  durch  die  60  Drehungen  im  Allgemeinen  60 
verschiedene  Punkte,  deren  jeder  in  einem  andern  von  den  60  congruenten 
Dreiecken  einer  Schaar  liegt.  Die  Gesammtheit  von  60  solchen  Punkten  wird 
kurz  ein  „Punktsystem"'  genannt.  In  besonderen  Fällen,  nämlich  wenn  P 
mit  einer  Ecke  der  genannten  Dreiecke  zusammenfällt,  enthält  ein  Punkt- 
system nur  resp.  12,  20  oder  30  Punkte. 

Der  Grundgedanke  des  Cap.  II  ist  der,  dass  dieselbe  Engel ,  auf  welche 
die  Polyeder  projicirt  sind,  gleichzeitig  als  Träger  einer  complexen  Vana- 
beln  e  im  Sinne  Biemann's  betrachtet  wird.  Die  Beziehung  zwischen  der 
Eugelfläche  und  der  mit  der  Aequatorialebene  zusammenfallend  gedachten 
complexen  Ebene  von  e  wird  dabei  durch  stereographische  Projection  aus 
einem  der  beiden  Eugelpole,  der  zugleich  ein  Eckpunkt  des  betreffenden 
Polyeders  sein  soll,  hergestellt.  Es  entspricht  dann  jeder  Drehung  der 
Eugel  um  den  Mittelpunkt  eine  lineare  Substitution,  indem  jeder  Punkt  g 
übergeht  in 

,_{d  +  ic)Z'-{h'-  ia) 
(b  +  ia)z  +  {d  —  ic) 

Setzt  man  xr  =  -^*  so  ist  eine  solche  Substitution  äquivalent  mit 
z\^{d  +  ic)0^  —  {h  —  ia)0^^     ^2=  {^  +  ia)0^  +  {d^ic)z^, 

(Wir  heben  gleich  hier  hervor,  dass  die  Einführung  der  homogenen  Ver- 
änderlichen 0|  und  0^  für  die  Folge  von  fundamentaler  Bedeutung  ist.) 

Verlangt  man  noch,  dass  die  Determinante  der  Substitution  1  sei,  so 
sind  für  jede  Drehung  die  zugehörigen  Constanten  Uyhj  c^  d  bis  auf  das  Vor- 
zeichen bestimmt.  Der  Ikosaedergruppe  entsprechen  daher  120  Substitutio- 
nen in  01 ,  0^j  von  denen  immer  zwei  dieselbe  Substitution  in  0  liefern.  Es 
wird  bewiesen ,  dass  eine  Gruppe  von  nur  60  binären  Substitutionen  in  s^ , 
0^ ,  welche  mit  den  60  Substitutionen  in  0  äquivalent  wären ,  nicht  existiren 
kann.  Bei  Berechnung  der  120  Werthe  von  a^  h^  c,  d  wird  der  umstand 
benutzt,  dass  nach  Cap.  I  alle  Substitutionen  sich  aus  dreien  (Sy  T,  ü)  zu- 
sammensetzen lassen.  —  Ein  „  Punktsystem  *'  ist  definirt  durch  eine  algebra- 
ische Gleichung  60.  Grades  F{z)  ==  0,  die  bei  den  60  Ikosaedersubstitutionen 


Beeensionea- 

ungeäfdert  bleibt  und  auch  darch  eine  homogene  Gleichung  F{0i^g^)ssO 
ersetzt  werden  kann.  Diejenigen  speciellen  Functionen  Jf7(j?)  resp.  Fijf^^e^)} 
durch  welche  die  in  Cap.  I  erwfthnten  Systeme  von  nur  12,  20  und  30 
Punkten  definirt  werden,  sind  Potenzen  gewisser  Functionen  der  Grade  12, 
20  und  30,  welche  selbst  durch  die  60  (resp.  120)  Ikosaedersubstitutionen 
bis  auf  einen  Factor  ungettndert  bleiben.  Diese  spedellen  Functionen  kön- 
nen direct  berechnet  werden;  doch  lassen  sich  aus  einer  derselben,  etwa 
der  Function  zwölften  Grades  /^(^|>  i^g),  welche  den  Ikosaederecken  entspricht, 
die  übrigen  mit  den  Hilfsmitteln  der  Invariantentheorie  ableiten,  wodurch 
zugleich  der  Anschluss  an  diese  Disciplin  erreicht  ist.  Jede  CoTariante  der 
binären  Form  f{0^ ,  z^)  wird  nämlich  offenbar  ihrer  Definition  nach  bei  den- 
jenigen linearen  Substitutionen,  welche  f(»i^e^  unverändert  lassen,  d.h. 
also  bei  den  Ikosaedersubstitutionen,  ebenfalls  unverändert  bleiben  (abgesehen 
von  einem  Factor).  Nun  sind  die  Hesse'sche  Form  von  f  (H)  und  die 
Functionaldeterminante  von  H  und  f{T)  solche  Covarianten,  die  erste  vom 
Grade  20,  die  letztere  vom  Grade  30;  dieselben  müssen  also,  gleich  Null 
gesetzt,  eben  jene  yorhergenannten  20  Seitenmittelpunkte  und  30  Eantenmit- 
telpunkte  liefern,  da  anschauungsmässig  keine  anderen  „Punktsysteme**  von 
nur  20  resp.  30  Punkten  existiren.  —  Zwischen  den  drei  Formen  /*,  T,  H 
besteht  eine  identische  Relation  T«  =  —  H«+ 1728/*.  —  Die  Formen  60.  Gra- 
des:  /*,  T^  und  H^  multipliciren  sich  nun,  wie  der  Versuch  zeigt,  bei  den 
Ikosaedersubstitutionen  immer  alle  drei  mit  demselben  Factor  (der  hier  sogar 
gleich  1,  bei  den  analogen  Formen  der  anderen  regulären  Körper  jedoch  im 
Allgemeinen  von  1  verschieden  ist);  daher  wird  jede  Form  Xy^p  +  l^B?  +  l^T^ 
für  beliebige  Werthe  der  Constanten  itj,  A,,  A,  auch  nur  um  einen  Factor 
geändert  werden  und  demnach,  gleich  Null  gesetzt,  ein  Punktsystem  liefern. 
Dieses  Punktsystem  ist  zugleich  das  allgemeine,  da  jene  Form,  auch  wenn 
der  Werth  von  T^  in  H'  und  p  aus  der  angegebenen  Identität  entnommen 

wird,  immer  noch  einen  wesentlichen  (complexen)  Parameter  -^   enthält. 

In  anderer  Weise  ergiebt  sich  die  Gleichung  des  allgemeinen  Punktsystems 
offenbar  auch  dadurch,  dass  man  den  Quotienten  von  irgend  zwei  homo- 
genen linearen  Functionen  der  Ausdrücke  /*^  H^  T^  einem  (im  Allgemeinen 
complexen)  Parameter  Z  gleichsetzt    Jener  Quotient  ist  dann  zugleich  eine 

rationale  Function  von  —  oder  5,  so  dass  eine  Gleichung  60.  Grades  für  z 

entsteht,  deren  Wurzeln  zu  jedem  Werthe  von  Z  direct  das  zugehörige 
Punktsystem  liefern.  Um  die  an  sich  willkürlichen  Constanten ,  welche  als 
Coefficienten  von  /*,  H^,  T^  in  dem  genannten  Quotienten  auftreten,  für 
die  weitere  Behandlung  des  Problems  zu  fixiren,  wird  die  Forderung  ge- 
stellt, dass  den  drei  Gruppen  der  12,  20  und  30  singulären  Punkte  resp. 
die  Werthe  oo,  0  und  1  des  Parameters  Z  enSprechen  sollen.  Die  nun- 
mehr   vollständig    bestimmte    Gleichung    60.   Grades    in    z^    deren   rechte 


96  Historifich- literarische  Abtheilung. 

Seite    Z   ist,    soll    im   Folgenden    karz   als  Ikosaedergleichang    bezeichnet 
werden. 

Cap.  III.  Durch  die  Ikosaedergleichang  ist  z  als  Function  der  com- 
plexen  Veränderlichen  Z  definirt;  das  Studium  dieser  Function  ihrem  ana- 
lytischen Charakter  nach  und  die  Darstellung  derselben  durch  Potenzreihen 
ist  Aufgabe  dieses  Capitels.  Ihr  zur  Seite  steht  eine  zweite  Aufgabe,  das 
,,  zugehörige  Formenproblem  *\  welches  sich  mit  der  analytischen  Abhängig- 
keit der  beiden  Grössen  a^^  und  z^  von  den  aus  /*,  H,  jT  zusammengesetzten 
absoluten  Inyarianten  JP^ ,  J^^ ,  F^  (die  beim  Ikosaeder  direct  gleich  /*,  H ,  7 
angenommen  werden  können)  beschäftigt.  Die  zweite  Aufgabe  reducirt  sich 
leicht  auf  die  erste,  wir  beschränken  uns  deshalb  darauf,  kurz  die  Behand- 
lung der  ersten  anzudeuten.  —  Zunächst  wird  eine  üebersicht  über  die  Ter- 
schiedenen  Zweige  der  Function  und  den  Zusammenhang  derselben  gegeben, 
und  zwar  nicht  dadurch,  dass  in  der  Z- Ebene  eine  mehrblätterige  Fläche 
zur  Ausbreitung  von  z  construirt,  sondern  dadurch,  dass  die  Z- Ebene  durch 
die  Function  z  conform  auf  die  Eugelfläche  abgebildet  wird.  Jede  der  beiden 
Halbebenen  von  Z,  welche  durch  die  reelle  Gerade  von  einander  getrennt 
sind,  wird  dabei  60 mal  abgebildet,  nämlich  der  Reihe  nach  auf  60  oon- 
gruenie  der  in  Cap.  I  construirten  120  sphärischen  Dreiecke,  deren  Ecken 
immer  resp.  den  Punkten  Z=oo,  0,  1  entsprechen.  Die  60  Zweige  der 
Function  z  hängen  also  an  diesen  Ecken  zusammen ,  und  zwar  so ,  dass  von 
denjenigen,  die  zugleich  Ikosaederecken  sind  {Z=oo),  je  5,  von  denjenigen, 
welche  den  Seitenmittelpunkten  des  Ikosaeders  entsprechen  (Z=0),  je  3, 
von  denjenigen  endlich,  in  welchen  die  Ikosaederkanten  halbirt  werden 
(Z=l),  je  2  Zweige  ausgehen.  Daraus  ergiebt  sich  unmittelbar  die  Dar- 
stellbarkeit von  z  in  der  Umgebung  jener  singulären  Stellen  durch  Reihen, 

welche   resp.  nach  Potenzen  von  (  — j   •>   Z'^»    und    (Z— 1)''«    fortschreiten, 

und  es  gelingt  auch  ohne  Schwierigkeit,  die  ersten  Coefficienten  dieser 
Reihen  durch  Einsetzen  in  die  Ikosaedergleichung  zu  berechnen.  —  Zur  wei- 
teren Charakterisirung  der  Functionen  z^  z^^  z^  werden  nun  Differential- 
gleichungen aufgestellt,  auf  Grund  deren  schliesslich  der  Anschluss  an  längst- 
bekannte Functionen,  nämlich  die  Riem an n 'sehen  /^-Functionen,  erreicht 
wird.  Zunächst  ergiebt  sich,  dass  ein  gewisser  Differentialausdruck  dritter 
Ordnung  in  z^  welcher  bei  allen  linearen  Transformationen  ungeändert 
bleibt  und  daher  überhaupt  in  der  Theorie  der  Functionen  mit  linearen 
Transformationen  in  sich  eine  wichtige  Rolle  spielt,  eine  eindeutige,  folg- 
lich rationale  Function  von  Z  ist,  welche  sich  leicht  bestimmen  lässi  Mit 
der  so  entstandenen  Differentialgleichung  dritter  Ordnung  ftlr  z  steht  eine 
lineare  Differentialgleichung  zweiter  Ordnung,  die  noch  eine  willkürliche 
Function  enthält,  in  dem  Zusammenhange,  dass  der  Quotient  zweier  belie- 
bigen Lösungen  der  letzteren  zugleich  das  allgemeine  Integral  der  ersteren 
ist.    Bei  passender  Bestimmung  der  erwähnten  willkürlichen  Function  werden 


Beceasionen.  97 

unsere  Functionen  z^  und  e^y  ^eren  Quotient  z  der  Differentialgleichung 
dritter  Ordnung  genügt,  selbst  geradezu  Lösungen  jener  Differentialgleich- 
ung zweiter  Ordnung.  Letztere  stellt  sich  dann  als  ein  specieller  Fall  einer 
allgemeinen  Differentialgleichung  zweiter  Ordnung  dar,  durch  welche  Bie- 
mann's  /'-Functionen  definirt  sind;  womit  das  letzte  Ziel  dieses  Capitels 
erreicht  ist. 

Das  Cap.  IV  beschäftigt  sich  mit  der  Untersuchung  des  algebraischen 
Charakters  der  Ikosaedergleichung  und  der  Aufstellung  ihrer  einfachsten 
Besolventen.  Jeder  in  der  Ikosaedergruppe  enthaltenen  Untergruppe  ent- 
sprechen gewisse  rationale  Functionen  von  z ,  welche  bei  den  zu  jener  Unter- 
gruppe gehörigen  linearen  Transformationen  unverändert  bleiben.  Dieselben 
stehen  zu  demjenigen  geometrischen  Gebilde ,  welches  (nach  Cap.  I)  bei  den 
Drehungen  der  betreffenden  Untergruppe  in  sich  übergeht,  in  einer  ana- 
logen Beziehung,  wie  die  linke  Seite  der  Ikosaedergleichung  zum  Ikosaeder. 
Ist  z.  B,  jenes  Gebilde  ein  Tetraeder,  so  erhält  man  nach  Cap.  I  eine  zu^ 
gehörige  Untergruppe  von  zwölf  Drehungen,  und  dementsprechend  dreifach 
unendlich  viel  rationale  Functionen  zwölften  Grades  von  0,  welche  sich 
linear  durch  jede  einzelne  derselben  ausdrücken  lassen.  Jede  dieser  Func- 
tionen nimmt  im  Ganzen,  d.  h.  bei  sämmtlichen  60  Ikosaederdrehungen, 
fünf  verschiedene  Werthe  an  (weil  die  Untergruppe  von  zwölf  Drehungen 
eine  von  fünf  gleichberechtigten  ist)  und  genügt  daher  einer  Gleichung 
fünften  Grades ,  deren  Coefficieni«n  rational  von  Z  abhängen  —  Untersucht 
man  statt  der  Gleichungen  die  zugehörigen  Formenprobleme,  so  findet  man 
jeder  Untergruppe  entsprechend  gewisse  Formen,  die  gleich  allen  rational 
und  ganz  aus  ihnen  zusammengesetzten  die  Eigenschaft  besitzen,  bei  sämmt- 
lichen Substitutionen  der  Untergruppe  unverändert  zu  bleiben.  Dieselben 
stehen  zu  dem  geometrischen  Gebilde,  welches  die  Untergruppe  definirt,  in 
analoger  Beziehung,  wie  die  früher  mit  /*,  H,  T  bezeichneten  absoluten 
Invarianten  zum  Ikosaeder.  Speciell  für  die  bereits  betrachtete  Untergruppe 
von  zwölf  Substitutionen  genügt  jede  solche  Form  wiederum  einer  Gleichung 
fünften  Grades,  deren  Coefficienten  rational  aus  /*,  H,  T  zusammengesetzt 
sind.  Von  den  so  gewonnenen  Gleichungen  gelangt  man  alsdann  (durch 
eine  Operation,  auf  die  hier  nicht  weiter  eingegangen  werden  soll)  sehr 
schnell  wiederum  zu  rationalen  Besolventen  fünften  Grades  der  Ikosaeder- 
gleichung selbst  Unter  denselben  heben  wir  eine  besonders  hervor,  die 
sogenannt«  ,,Hauptresolvente",  welche  später  im  zweiten  Abschnitte  des 
Buches  eine  grosse  Bolle  spielt.  Charakteristisch  für  dieselbe  ist  das  Fehlen 
der  vierten  und  dritten  Potenz  der  Unbekannten;  übrigens  enthält  sie  noch 
zwei  willkürliche  Parameter  m  und  n,  und  ihre  Wurzeln  haben  die  Form 
m,v  +  n.u.Vj  wo  n  und  v  gewisse  rationale  Functionen  von  z  sind ,  welche 
bei  den  Ikosaedersubsütutionen  gleichzeitig  fünf  verschiedene  Werthe  an- 
nehmen. —  Die  zweite  der  in  Cap.  I  hervorgehobenen  Untergruppen,  näm- 
lich  die   aus   zehn   Drehungen  bestehende  Diedergruppe ,    welche  eine   von 

Hiit.-lit.  Abthlg.  d.  ZtitiobT.  f.  Matli.  n,  Phyi.  ZXX,  S.  8 


98  Historisch -literarische  Abtheilung. 


sechs  gleichberechtigten  ist,  liefert  in  derselben  Weise  eine  rationale  Etesol- 
vente  sechsten  Grades  der  Ikosaedergleichung.  —  Es  wird  schliesslich  darauf 
hingewiesen ,  dass  die  Auflösung  der  nur  von  einem  Parameter  Z  abhängi- 
gen Ikosaedergleichung  betrachtet  werden  kann  als  eine  Verallgemeinerung 
der  elementaren  Aufgabe,  die  t»*®  Wurzel  aus  einer  Orösse  Z  auszuziehen. 
Die  Gleichungen  ersten  bis  vierten  Grades  lassen  sich  auf  die  Aufgabe  der 
Wurzelziehung  rednciren;  es  fragt  sich,  ob  durch  Adjunction  der  Ikosaeder- 
irrationalität,  d.  h.  dadurch,  dass  man  die  Berechnung  der  Wurzeln  der 
Ikosaedergleichung  aus  dem  gegebenen  Werthe  von  Z  als  eine  durchführ- 
bare Operation  betrachtet,  auch  die  Auflösung  der  Gleichungen  höheren 
Grades  möglich  wird.  Für  die  Gleichung  fCLnften  Grades  ist  diese  Frage 
durch  Aufstellung  der  Resolventen  desselben  Grades  besonders  nahe  gerflckt. 
Die  Beantwortung  der  Frage,  welche  bejahend  ausföUt,  sowie  die  Herleitong 
und  ausführliche  Discussion  aller  Verbindungen  zwischen  der  allgemeinen 
Gleichung  fünften  Grades  und  der  Theorie  des  Ikosaeders  bildet  später  den 
Inhalt  des  zweiten  Abschnittes. 

In  Cap.  V  werden  einige  allgemeine  Theoreme',  welche  aus  den  Unter- 
suchungen der  vorhergehenden  Capitel  folgen ,  sowie  gewisse  neue  Gesichts- 
punkte angegeben,  aus  denen  wesentliche  Erweiterungen  der  behandelten 
Aufgaben  sichtbar  werden.  Zunächst  wird  als  charakteristische  Eigenschaft 
der  bisher  discutirten  Probleme  diejenige  anerkannt,  dass  immer  aus  einer 
Lösung  alle  anderen  durch  a  priori  bekannte  lineare  Substitutionen  hervor- 
gehen. Daraus  ergiebt  sich  sogleich  die  Frage,  ob  nicht  noch  andere  end- 
liche Gruppen  lineare  Substitutionen  einer  Veränderlichen  z  (oder  zweier 
homogener  Veränderlichen  g^  und  e^)  und  entsprechende  Gleichungen  (oder 
Gleichungssysteme)  existiren.  Es  zeigt  sich,  dass  dieses  nicht  der  Fall  ist, 
dass  vielmehr  die  vorher  aufgestellten  Gruppen  (cyclische,  Dieder-,  Tetraeder-, 
Oktaeder-  und  Ikosaedergruppe)  und  die  aus  denselben  durch  Einführung 
einer  neuen,  linear  von  0  abhängigen  Veränderlichen  hervorgehenden  die 
einzig  möglichen  sind.  Mit  Hilfe  dieses  Satzes  wird  die  Aufgabe  gelöst, 
alle  algebraisch  integrirbaren  linearen  Differentialgleichungen  zweiter  Ord- 
nung anzugeben;  denn- zwei  Partikularlösungen  einer  solchen  Differential- 
gleichung, sowie  der  Quotient  derselben  können,  da  sie  algebraisch  sein 
sollen,  nur  eine  endliche  Gruppe  linearer  Substitutionen  zulassen,  und  aus 
dieser  folgt  direct  die  Form  der  Lösungen,  welche  alsdann  rückwärts  die 
Form  der  Differentialgleichungen  bestimmt.  —  Die  behandelten  Probleme 
lassen  nun  eine  Verallgemeinerung  nach  zwei  Richtungen  zu,  die  auch  mit- 
einander vertraglich  sind:  es  kann  erstens  die  Anzahl  der  Variabein  ver- 
mehrt und  es  können  zweitens  unendliche  Gruppen  einer  Variabein  hinzu- 
gezogen werden.  In  beiden  Richtungen  wird  die  Untersuchung  angedeutet 
Unter  den  unendlichen  Gruppen  wird  besonders  die  Stellung  der  elliptischen 
Modulfunctionen  bestimmt,  welche  als  Endglied  einer  mit  den  Dieder-,  Te- 
traeder*, Octaeder-,  Ikosaederfunctionen  beginnenden  Kette  auftreten,  wobei 


Recensionen.  99 


g  8 

dem  Argumente  Z  die  absolate  Inyariante  ~   eines  elliptischen  Integrals, 

der  Function  z  das  Verhältniss  -=-   zweier  primitiven  Perioden  entspricht. 

iL 

Schliesslich    wird   die  Auflösung  der  Ikosaedergleichung  durch  elliptische 

Modulfunctionen,'d.  h.  die  eindeutige  Darstellung  der  zum  Argumentwerthe 

Z=  -^  gehörigen  Werthe   von   z    durch   die   Grösse   -=r    historisch   mit- 
^  JL 

getheilt;  -die  Möglichkeit  einer  solchen  Auffassung  ergiebt  sich  dabei  als 
Specialfall  eines  allgemeinen  Theorems.  —  Auch  die  in  Cap.  IV  aufgestellte 
Besolvente  sechsten  Grades  der  Ikosaedergleichung  wird  durch  elliptische 
Functionen  gelöst,  wobei  durch  Einführung  der  rationalen  Invarianten  g^ 
und  ^3  an  Stelle  des  Moduls  k  eine  wesentliche  Vereinfachung  des  zuerst 
von  Eronecker  angegebenen  Verfahrens  erzielt  wird.  Eine  Bedeutung 
für  die  Algebra  besitzt  diese  Auflösung  durch  transcendente  Functionen, 
so  interessant  dieselbe  an  sich  ist,  nicht,  was  Verfasser  ausdrücklich  her- 
vorhebt. 

Der  zweite  Abschnitt  ist  der  Theorie  der  Gleichungen  fünften 
Grades  gewidmet.  Er  beginnt  (Cap.  I)  mit  einem  historischen  Abriss ,  wel- 
cher gleichzeitig  dazu  dient,  nach  und  nach  die  später  zu  behandelnden 
Probleme  klarzulegen.  Die  algebraische  Hauptaufgabe  besteht  darin^ 
dass  die  allgemeine  Gleichung  fünften  Gredes.  welche  fünf  Parameter  (Coeffi- 
*cienten)  enthält,  durch  andere  Gleichungen  mit  einer  geringeren  Anzahl  von 
Parametern  ersetzt,  oder,  an<?.ors  ausgedrückt,  darin,  dass  die  durch  die 
Gleichung  fünften  Grades  definirte  Function  von  fünf  Argumenten  auf  alge- 
braische Functionen  von  weniger  Argumenten  zurückgeführt  werden  soll. 
Zwei  Wege  gehen  zu  diesem  Ziele,  die  Tschirn  haus -Transformation  und 
die  Besolventenbildung.  Durch  T sc hirn haus -Transformation  war  schon 
Bring  im  Jahre  1786  zur  Reduction  auf  die  Gleichung  afi  +  bbx  +  c  =  0 
gelangt,  welche  durch  die  Substitution  x=^Qt  und  passende  Bestimmung 
von  q  die  Form  fi-'t  +  A^=0  annimmt ,  also  nur  noch  einen  einzigen 
wesentlichen  Parameter  enthält.  Auf  dem  andern  Wege  fand  1858  Eron- 
ecker für  die  allgemeine  Gleichung  fünften  Grades  eine  Resolvente  vom 
sechsten  Grade  mit  drei  Parametern,  die  sich  auf  einen  wesentlichen  redu- 
ciren  liessen,  und  zwar  war  diese  Resolvente  eine  Gleichung  von  der  Art, 
wie  sie  zuerst  Jacobi  als  Verallgemeinerung  der  Multiplicatorgleichung  in 
der  Theorie  der  elliptischen  Functionen  betrachtet  hatte.  —  An  die  alge- 
braische Aufgabe  der  Reduction  auf  möglichst  wenige  Parameter  schliessi 
sich  eine  zweite,  welcher  eine  rein  algebraische  Bedeutung  nicht  mehr 
zukommt,  nämlich  die  Berechnung  der  gesuchten  Wurzeln  aus  den  gegebe- 
nen Parametern  mit  Hilfe  bekannter  transcendenter  Functionen.  Diese 
Aufgabe  ist  im  Anschluss  an  die  Theorie  der  elliptischen  Functionen  im 
.Jahre  1858  fast  gleichzeitig  und  unabhängig  für  die  Bring'sche  Gleichung 


100  Historisch -literarische  Abtheilung. 

von  Herrn  ite  und  für  diejenige  Jacob  lösche  Gleichung  mit  einem  wesent- 
lichen Parameter,  welche  Eronecker  als  Besolvente  der  allgemeinen 
Gleichung  fünften  Grades  aufgestellt  hatte,  von  diesem  selbst  gelöst  worden. 

Inzwischen  wurde  (1861)  der  algebraische  Theil  des  Problems,  aaf  d^i 
sich  von  nun  an  das  Hauptinteresse  richtet,  von  Eronecker  sch&rfer  prft- 
cisirt.  Abel  hatte  folgenden  Satz  bewiesen:  ,,Wenn  eine  Gleichung  alge- 
braisch auflösbar  ist,  so  kann  man  der  Wurzel  allezeit  eine  solche  Form 
geben,  dass  sich  alle  algebraischen  Functionen ,  aus  welchen  sie  zusammen- 
gesetzt ist,  durch  rationale  Functionen  der  Wurzeln  der  gegebenen 
Gleichung  ausdrücken  lassen/'  An  dieser  Forderung  will  Eronecker  auch 
bei  Behandlung  der  nicht  algebraisch  auflösbaren  Gleichungen  festhalten 
und  verlangt  demnach,  dass  nur  rationale  Functionen  der  gesuchten  Wur- 
zeln als  neue  unbekannte  eingeführt,  mit  anderen  Worten,  dass  nur  ratio- 
nale Besolventen  der  gegebenen  Gleichung  aufgestellt  werden  sollen.  Dies 
ist  des  Näheren  so  zu  verstehen,  dass  die  resolvirende  Function,  wenn  sie 
allein  durch  die  Wurzeln  der  ursprünglich  gegebenen  Gleichung  ausgedrückt 
wird  (indem  die  Coefficienten  der  letzteren,  wo  sie  etwa  noch  vorkommen, 
überall  durch  die  symmetrischen  Functionen  jener  Wurzeln  zu  ersetzen  sind) 
rational  in  jenen  Wurzeln  werden  muss.  Dieser  Bedingung  genügt  z.  B.  die 
Quadratwurzel  aus  der  Discriminante ,  obgleich  dieselbe,  durch  die  Ck>effi- 
cienten  der  vorgelegten  Gleichung  ausgedrückt,  in  irrationaler  Form  auf- 
tritt. Eronecker  findet,  dass  von  dem  neuen  Gesichtspunkte  die  1858 
von  ihm  selbst  angegebene  Beduction  der  drei  Piurameter,  die  in  der  Besol-* 
vente  sechsten  Grades  auftreten,  auf  einen  einzigen  unzulässig  ist,  während 
eine  Beduction  auf  zwei  Parameter  ohne  Verlassen  des  vorgeschriebenen 
Bationalitätsbereichs  noch  ausführbar  bleibt.  Eine  Beduction  auf  weniger 
als  zwei  Parameter  ist  nach  Eronecker  unter  der  angegebenen  Bedingung 
überhaupt  unmöglich.  In  der  That  treten  auch  bei  der  Beduction  auf  die 
Bring'sche  Form  mehrfach  Irrationalitäten,  welche  nicht  die  genannte  Be- 
dingung erfüllen,  sogenannte  „accessorische'*  Quadrat-  und  Cubikwurzeln  auf. 

Die  Frage,  welche  Verf.  stellt  und  in  den  folgenden  Capiteln  unter- 
sucht, ist  nun  folgende:  In  welcher  Weise  steht  die  algebraische  Theorie 
der  Gleichungen  fünften  Grades  in  Verbindung  mit  der  Theorie  des  Iko- 
saeders ,  und  wie  lässt  sie  sich  auf  Grund  der  letzteren  im  Zusammenhange 
entwickeln?  Bei  Untersuchung  dieser  Frage  kann  die  Forderung  Eron- 
ecker*s  nicht  festgehalten  werden;  denn  die  Ikosaedergleichung  enthält  nur 
einen  einzigen  Parameter  Z,  eine  Beziehung  derselben  zur  allgemeioen 
Gleichung  fdnften  Grades  kann  sich  daher,  infolge  des  genannten  Eron- 
ecker'sehen  Satzes,  nicht  ohne  Einführung  accessorischer  Irrationalitäten 
ergeben.  Dagegen  wird  untersucht  werden  können  (und  diese  Untersuchung 
führt  sclilieselich  auf  Begründung  des  Eronecker 'sehen  Satzes),  durch 
welche  kleinste  Anzahjl  accessorischer  Irrationalitäten  die  Beziehung  zur 
Ikosaedertheorie  herstellbar  ist  und  bis  zu  welcher  Stelle  die  Annäherung 


Recensionen.  101 

an  diese  Theorie  ohne  Benutzung  einer  nccessorischen  Irrationalität  geführt 
werden  kann.  Es  zeigt  sich,  dass  eine  accessorische  Quadratwurzel 
unter  allen  Umständen  ausreicht  (so  lange  es  sich  nur  um  Bestimmung  der 
Verhältnisse  der  ftlnf  Wurzeln  handelt,  was  in  der  Folge  immer  an- 
genommen wird) ,  und  dass  speciell  bei  den  „  Hauptgleichungen  ^S  d.  h.  sol- 
chen ,  welche  die  vierte  und  dritte  Potenz  der  Unbekannten  nicht  enthalten, 
auch  jene  fortfällt.  Die  Stelle,  an  welcher  die  accessorische  Quadratwurzel 
unvermeidlich  wird,  liegt  also,  wofern  man  an  dem  Gedankengange  von 
Bring  festhält,  in  der  Beduction  der  allgemeinen  Gleichung  auf  eine  Haupt- 
gleichung durch  Tschirn  haus -Transformationen,  während  der  Fortschritt 
gegen  Bring  darin  besteht,  dass  Letzerer  zur  weiteren  Transformation  der 
Hauptgleichung  in  eine  solche  mit  nur  einem  wesentlichen  Parameter  neue 
accessorische  Irrationalitäten  einführen  zu  müssen  glaubte.  Folgt  man  an* 
dererseits  dem  Gedankengange  Kronecker *s  und  leitet  zunächst  die  Resol- 
vente sechsten  Grades  mit  drei  Parametern,  welche  eine  Jacobi'sche 
Gleichung  ist,  ab,  so  wird  die  Benutzung  der  accessorisohen  Quadratwurzel 
weiter  hinausgeschoben,  sie  tritt  nämlich  alsdann  erst  bei  der  Beduction 
jener  Besolvente  auf  die  Ikosaedergleichung  auf;  es  ist  dies  aber,  wie  Verf. 
zeigt,  nur  eine  andere  Anordnung  derselben  Schritte. 

Im  Einzelnen  sind  die  Untersuchungen  des  zweiten  Abschnittes  folgen- 
dermassen  gegliedert.  Der  historischen  Uebersicht  in  Gap.  I  folgen  in  Cap.  11 
geometrische  Interpretationen  der  in  der  Gleichungstheorie  auftretenden  Be- 
griffe, speciell  der  Tschirnhaus- Transformation  und  der  Besolvente,,  nebst 
einem  für  das  Spätere  wichtigen  Excurs  über  die  Elemente  der  Liniengeo- 
metrie und  die  Flächen  zweiten  Grades.  Auch  die  folgenden  Capitel  sind 
durchsetzt  von  geometrischen  Deutungen,  aus  denen  einige  der  folgenreich- 
sten Ideen,  welche  sich  in  abstrakter  Behandlung  gewiss  nur  schwer  dem 
Zusammenhange  fügen  würden ,  gleichsam  von  selbst  und  vollkommen  fertig 
hervorgehen. 

Cap.  III  behandelt  die  „Hauptgleichungen''  fünften  Grades,  deren  Zu- 
sammenhang mit  der  Ikosaedertheorie  auf  einen  Schlag  dadurch  hergestellt 
wird,  dass  die  fünf  Wurzeln  der  gegebenen  Gleichung  (^o»^i9  •*-  ^4)  ^ 
Pentaedercoordinaten ,  welche  durch  die  Belation  2^y/c=0  verbunden  sind, 
aufgefasst  werden.  Durch  die  Gleichung  27^i-*  =  0 ,  welche  neben  der  Bela- 
tion Zyi  =  0  für  die  Hauptgleichungen  charakteristisch  ist  (indem  sie  das 
Fehlen  der  dritten  Potenz  der  Unbekannten,  wie  jene  das  der  vierten  aus- 
drückt), ist  alsdann  eine  Fläche  zweiter  Ordnung  definirt;  jedem  Werth- 
sjstem  der  in  der  Hauptgleichung  vorkommenden  drei  Coefficienten  ot^  ß,  y 
entsprechen  120,  und  wenn  die  Quadratwurzel  aus  der  Discriminante  (V) 
ebenfalls  noch  gegeben  ist,  60  Punkte  der  Fläche,  welche  aus  einem  der- 
selben darch  die  geraden  Vertauschungen  seiner  Coordinaten  entstehen;  je 
60  zusammengehörige  Punkte  bestimmen  immer  zwei  Gruppen  von  je  60 
der  geradlinigen  Erzeugenden  der  Fläche.     Denkt  man  sich  nun  die  beiden 


102  Historisch  -  liierarische  Abtheilung. 

Scfaaaren  geradliniger  Erzeugender  durch  je  einen  variabeln  Parameter  i 
definirt,  welcher  rational  von  den  Coordinaten  ^q,  ...  y^  abhftngt,  so  ge- 
nügen bei  geschickter  Einführung  des  k  immer  60  zusammengehörige  Werihe 
k  geradezu  der  Ikosaedergleichung ,  wenn  in  derselben  für  Z  ein  gewisser 
rationaler  Ausdruck  von  a,  j3,  y,  V  gesetzt  wird.  Die  Wurzeln  y^,  ...  y^ 
hängen  schliesslich  wiederum  rational  von  a,  ßy  y,  V  und  k  ab  (bis  auf 
einen  gemeinschaftlichen  Factor,  dessen  Werth  sich  unmittelbar  aus  der 
Hauptgleichung  selbst  ergiebt).  Hiermit  ist  die  Reduction  auf  die  Ikosaeder- 
gleichung bewerkstelligt. 

Cap.  [V  enthält  im  Wesentlichen  die  Theorie  der  Jacobi'schen  Gleich- 
ungen in  ihrem  Zusammenhange  mit  dem  Ikosaeder.  Als  Ausgangspunkt 
wird  indessen  nicht  jene  Gleichung  selbst  gewählt,  sondern  ein  Problem, 
welches  sich  aus  den  im  V.  Capitel  des  ersten  Abschnittes  angedeuteten 
allgemeinen  Ideen  ergiebt  und  vom  Verfasser  kurz  das  Problem  der  A  ge- 
nannt wird.  Aus  zwei  Beihen  binärer  Variablen  X^,  k^  und  A'j,  k\^  welche 
simultan  den  60  Ikosaedersubstitutionen  unterworfen  gedacht  werden ,  setzen 
sich  die  drei  symmetrischen  bilinearen  Formen 

Ao=  1(^1^2  +  ^2^  i)»  Ai  =  Xgig,  A2  =  ~AjAj 
zusammen,  welche  entsprechend  den  Ikosaedersubstitutionen  der  k  gewisse 
lineare  Transformationen  erleiden.  Auf  Grund  der  Entwickelnngen  des 
ersten  Abschnittes  wird  das  vollständige  System  invarianter  Formen  der  A 
berechnet;  dieselben  entstehen,  indem  man  aus  den  invarianten  Ikosaeder- 
formen  in  ^1,  ^  durch  mehrfache  Wiederholung  des  in  der  Invarianten- 
theorie  üblichen  Polarisationsprocesses  neue  Formen  bildet,  welche  nach  den 
k  und  k'  symmetrisch  sind,  und  dann  die  A  einführt.  Man  erhält  so  im 
Ganzen  vier  invariante  Formen  Ä^  B,  C,  2),  deren  letzte  jedoch  der  Qua- 
dratwurzel aus  einem  ganzen  rationalen  Ausdruck  der  ersten  drei  gleich  ist 
Es  wird  nun  das  Problem  aufgestellt,  aus  den  Grössen  ii,  J?,  (7,  2>  die  zu- 
gehörigen Aq,  A,,  A2  zu  berechnen.  Dasselbe  führt  einerseits  zur  Bildung 
einer  Besolvente  sechsten  Grades  der  Ä,  welche  die  Form  der  Jaco hinsehen 
Gleichung  mit  den  drei  unabhängigen  Parametern  A^  B^  C  hat,  und  aus 
deren  Wurzeln  die  A  rational  hervorgehen,  sobald  ausser  Ay  By  C  noch  D 
gegeben  ist     Andererseits  lässt  sich  dasselbe  Problem  direct  mit  Hilfe  der 

Theorie  des  Ikosaeders  lösen,   indem  zunächst  der  Quotient    -  Wurzel  der 

Ikosaedergleichung  ist,  wenn  in  derselben  Z  durch  eine  gewisse  rationale 
Function  der  Grössen  A^  B,  C,  D  und  der  accessorischen  Quadratwurzel  ]/A 
ersetzt  wird.  Hiermit  ist  gleichzeitig  auch  die  Reduction  der  allgemeinen 
Jaoo hinsehen  Gleichung,  welche  als  ein  genaues  Aequivalent  des  Problemä 
der  A  betrachtet  werden  kann,  auf  die  Ikosaedergleichung  geleistet. 

Cap.  V  enthält  endlich  die  Auflösung  der  allgemeinen  Gleichung  ftnf- 
ten  Grades  nach  zwei  Methoden,  nämlich  durch  Zurückführung  erstens  auf 
die  in  Cap.  III  behandelte  Hauptgleichung,  und  zweitens  auf  das  in  Cap.  IV 


Reoensionen.  103 

discutirte  Problem  der  Ä.  Die  erste  Methode  kann  als  eine  Vereinfachung 
der  von  Bring,  die  andere  als  eine  Modification  der  von  Kronecker  her- 
rührenden angesehen  werden.  Auf  beiden  Wegen  begegnen  wir  der  acces- 
sorischen  Quadratwurzel.  Das  Buch  schliesst  mit  dem  Beweise  des  von 
Kronecker  1861  ohne  Beweis  aufgestellten  Satzes,  dass  ohne  accessorische 
Irrationalität  die  Reduction  auf  einen  einzigen  Parameter  unmöglich  ist. 
Der  Satz  ergiebt  sich  hier  als  Folge  einer  im  ersten  Abschnitte  (Cap.  II) 
klargelegten  Eigenschaft  des  Ikosaedei*8,  wonach  keine  Gruppe  von  nur  60 
binären  Substitutionen  existiren  kann ,  welche  mit  der  Gruppe  der  60  nicht 
homogenen  Ikosaedersubstituüonen  isomorph  wäre. 

Mönchen,  Januar  1885.  Ludw.  Sgheeffbr. 


Die  darstellende  Geometrie  in  organischer  Verbindung  mit  der  Geometrie 
der  Lage.  Von  Dr.  Wilhelm  Fiedler.  Dritte  erweiterte  Auflage. 
I.  Theil:  Die  Methode  der  darstellenden  und  die  Elemente  der  pro- 
jectivischen  Geometrie.    Leipzig  1883,  B.  G.  Teubner.   gr.  8°.   376  S. 

Bei  der  grossen  Verbreitung  des  vorliegenden  Werkes ,  welches  unstrei- 
tig das  inhaltsreichste  seiner  Art  ist,  aber  auch,  namentlich  für  das  tiefere 
wissenschaftliche  Studium ,  als  bestes  erscheint ,  dürfte  es  hier  genügen ,  auf 
die  Abänderungen  und  das  neu  Hinzugetretene  hinzuweisen. 

Der  bis  jetzt  erschienene  erste  Theil  behandelt  die  Methodenlehre  und 
geht  demgemSss  bis  S.  210  der  zweiten  Auflage;  ihm  sollen  noch  zwei  an- 
dere Theile,  ,,die  darstellende  Geometrie  der  krummen  Linien  und  Flächen'' 
und  ,,die  constructive  und  analytische  Geometrie  der  Lage"  folgen. 

Die  wesentlichste  Bereicherung  ist  in  der  Aufnahme  der  cjclographi- 
sehen  Constructionen ,  anknüpfend  an  die  Darstellung  der  oo'  Punkte  des 
Raumes  durch  dieselbe  Anzahl  von  Kreisen  der  Bildebene,  zu  erkennen,  wie 
sie  d^r  Verfasser  bereits  in  seiner  Cyclographie  (Leipzig  1882)  gegeben  hat. 
Wegen  Weglassens  dieser  Theorie  in  der  zweiten  Auflage  äussert  sich  der 
Verfasser  in  seiner  Vorrede  jetzt  folgendermassen :  „  Damals  (beim  Erschei- 
nen der  zweiten  Auflage.  D.  Bef.)  glaubte  ich  noch  an  das  baldige  Erschei- 
nen des  im  Jahre  1826  von  J.  Steiner  als  nahe  druckbereit  angekündig- 
ten ManuRcripts  (von  25  —  30  Bogen)  ,,über  das  Schneiden  (mit  Einschluss 
der  Berührung)  der  Kreise  in  der  Ebene,  das  Schneiden  der  Kugeln  im 
Baume  und  das  Schneiden  der  Kreise  auf  der  Kugelfläche'',  in  welchem  der 
auf  die  Kreis-  und  Kugelgeometrie  bezügliche  Theil  der  Consequenzen  von 
der  Einführung  des  Distanzkreises  und  der  Benutzung  der  Centralprojection 
entwickelt  gewesen  sein  müssten,  und  schloss  alles  dies  von  meinem  Buche 
aus.  Seitdem  ist  durch  die  von  der  K.  Preussischen  Akademie  der  Wissen- 
schaften veranstaltete  Ausgabe  ^,  Jacob  Steiner's  gesammelte  Werke ''  (Berlin 
1881,  2Bde)  ausser  Zweifel  gestellt  worden,  dass  Manuscripte  Steiner *8 


104  Historisch  -  literarisohe  Abtheilung. 


ans  jener  Epoche  nicht  mehr  vorhanden  sind.  Ich  habe  infolge  dessen  in 
meiner  „Cjclographie"  diesen  Theil  meiner  Entwickelangen  zunächst  selbst- 
ständig  und  elementar  dargestellt,  konnte  und  wollte  ihn  aber  als  ein 
wesentliches  Stück  der  Ausgestaltung  der  Grundidee  dieses  Werkes  nun  auch 
in  diesem  selbst  nicht  unterdrücken.  Die  §§  7,  36,  (36a)  —  (36 e)  nnd 
eine  Reihe  von  Bemerkungen  des  üeberblicks  zum  Abschnitt  B  sind  seiner 
Einführung  gewidmet  und  der  zweite  Band  wird  die  Fortsetzung  dieser 
Anfönge  bringen." 

§  7  bringt  die  Elemente.  Jeder  Punkt  des  Raumes  wird,  wie  das 
Centrum  der  Projection  selbst,  bestimmt  durch  seinen  Distanzkreis,  Ter- 
sehen  mit  dem  Sinne  der  Uhrzeigerbewegung,  oder  dem  entgegengesetzten, 
je  nachdem  der  Punkt  auf  derselben  oder  der  dem  Centrum  abgewandten 
Seite  der  Bildebene  sich  befindet.  Zwei  Erebe  bestimmen  vier  Gerade  oder 
zwei  lineare  E[reisreihen ,  je  nachdem  man  ihnen  einerlei  oder  entgegen- 
gesetzten Drehungssin  beilegt.  Die  Spuren  sind  der  äussere  oder  innere 
Aehnlichkeitspunkt  oder  NuUkreis.  Die  Geraden  theilen  sich  in  zwei  Paare« 
von  denen  jedes  Paar  dieselbe  Spur  hat.  Ebenso  bestimmen  drei  Kreise 
acht  Ebenen  oder  vier  planare  Systeme  paarweise  mit  den  Aehnlichkeits- 
axen  als  Spuren. 

Alle  Kreise,  welche  einen  gegebenen  berühren,  sind  Bildkreise  eines 
gleichseitigen  Rotationskegels  mit  zur  Tafel  normaler  Axe  und  dem  gegebe- 
nen Kreise  als  Basis ,  oder,  ohne  Fe^tsetzung  des  Sinnes  vom  Bildkreise,  Ton 
den  beiden  möglichen  Kegeln  dieser  Art.  (Unter  einem  gleichseitigen  Kegel  ist 
hier  der  Rotationskegel  von  der  Oeffnung  45^  verstanden,  im  Gegensatz  zu 
Herrn  Schröter,  welcher  einen  Kegel  gleichseitig  nennt,  wenn  ihm  be- 
liebig viele  rechtwinklige  Trieder  eingeschrieben  werden  können.)  Reducirt 
sich  der  gegebene  Kreis  auf  einen  Punkt,  so  stellen  alle  Kreise  durch  den- 
selben  den   gleichseitigen  Rotationskegel  mit  jenem  Punkte  als  Spitze  dar. 

In  den  §§  (36)  und  (36  a)  werden  die  Brennpunktseigenschaften  der 
Kegelschnitte  abgeleitet.*  Die  zu  untersuchende  Curve  ist  der  Schnitt  des 
über  dem  Distanzkreise  stehenden  gleichseitigen  Rotationskegels,  mit  dem 
Centrum  als  Mittelpunkt  und  einer  durch  Spur  und  Fluchtlinie  gegebenen 
Ebene.  Der  Augpunkt  ist  ein  Brennpunkt.  Aus  der  Bemerkung,  dass 
durch  einen  solchen  Kegelschnitt  noch  ein  zweiter  gleichseitiger  ftotations- 
kegel  (für  die  Parabel  wird  dieser  zur  Ebene  unter  45^  gegen  die  Bild- 
ebene geneigt)  geht,  entspringt  der  Nachweis  des  zweiten  Brennpunktes 
und  die  Entwickelung  der  hierher  gehörigen  Theile  der  Kegelschnitttheorie. 

Die  Untersuchung  der  Kreisbüschel  und  Kreisnetze  führt  in  den  §§  (36c),  d) 
zu  den  gleichseitigen  Hyperbeln  und  Hyperboloiden  mit  einer  zur  Tafel 
senkrechten  Axe,  deren  Bilder  sie  sind.     Der  obenerwähnte  Rotationskegel, 


*  In  den  Quellen    und  Literaturnachweisnngen   sind   die  §§  (86)  — (36e)  in- 
thflmlich  durch  (86)-— (3öe)  bezeichnet. 


Recensionen.  105 


entsprechend  den  Kreisen  durch  einen  Punkt,  dem  ^, konischen  Netze'',  ist 
ein  SpecialfaU;  er  bildet  den  üebergang  zwischen  den  beiden  Arten  von 
Hyperboloiden. 

Aus  zwei  Kreisen  eines  Büschels  in  Verbindung  mit  dem  Kreise  eines 
Aebnlichkeitspunktes  als  Mittelpunkt,  dem  ,, Potenzkreise'',  wird  das  Princip 
der  reciproken  Radien  (Inversion)  gewonnen,  welches  dann  weiter  zur  Ableitung 
von  SStzen  über  Systeme  von  Kugeln ,  insbesondere  über  die  storeographische 
Projection  verwerthet  wird.  In  §  (36  e)  wird  schliesslich  noch  einmal  auf  den 
Kegelschnitt  im  Baume  zurückgegriffen  und  dargelegt,  dass  durch  ihn  ausser 
den  zwei  gleichseitigen  Kegeln  noch  unendlich  viele  Rotationsbyperboloide 
gehen ,  wodurch  dann  der  Zusammenhang  der  Theorie  der  Kegelschnitte  mit 
jener  der  Kreisnetze  herbeigeführt  ist.  Je  zwei  Hyperboloide  mit  parallelen 
Asymptotenkegeln  schneiden  sich  ausser  in  einem  unendlich  fernen  Kegel- 
schnitte noch  in  einem  zweiten  Kegelschnitte,  insbesondere  also  die  in  Be- 
tracht kommenden  gleichseitigen.  — 

Eine  Zugabe  anderer  Art  enthalten  die  §§  6°^  und  54^.  Schon  im 
Jahre  1879  hatte  der  Verfasser  den  Gegenstand  derselben,  die  Centralpro- 
jection,  in  der  IV.  seiner  ,, Geometrischen  Mittheilungen"  in  Bd.  24  der 
Vierteljahrsschrift  der  Züricher  naturforschenden  Gesellschaft,  dahin  verallge- 
meinert, dass  er  an  Stelle  der  unendlich  fernen  Ebene  eine  beliebige  Fixebene 
U  im  Endlichen  setzte,  deren  Punkte  im  Bilde  dann  die  Rolle  der  Flucht- 
punkte spielten.  Daraus  ergaben  sich  dann  durch  Annahme  eines  unendlich 
fernen  Centrums  ungezwungen  die  Parallel projectionen  mit  einer  Bildebene 
(vergl.  ibid.  S.  213  und  §  43  vorliegenden  Werkes). 

Eine  werthvolle  neue  Beigabe  sind  sechs  lithographirte  Tafeln.  Auf 
Taf.  I,  II,  III  sind  Büschel  und  Schaaren  von  Kegelschnitten  dargestellt. 
Alle  Hauptfölle  sowohl  hinsichtlich  des  Realität,  als  des  Zusammenrückens 
der  Fundamentalelemente  sind  zur  Anschauung  gebracht  und  zwar  stets 
unter  Angabe  des  Mittelpunktskegelschnittes  bei  jedem  Büschel  und  der 
Linie  der  Mittelpunkte  bei  jeder  Schaar.  Taf.  IV  giebt  in  drei  Figuren  die 
Typen  der  dreiflächigen  Abstumpfung  der  dreiseitigen  körperlichen  Ecke  als 
Beleg  des  Satzes:  Wenn  drei  Dreiecke  für  dasselbe  Centrum  centrisch  col- 
linear  sind ,  so  gehen  die  Collineationsaxen  durch  einen  Punkt.  Auf  Taf.  V 
ist  die  Construction  der  acht  Kugeln,  welche  drei  gegebene  berühren,  in 
Orthogonalprojection  mit  einer  Fixebene  U  durchgeführt.  Taf.  VI  giebt  die 
Darstellung  eines  Krystalls  in  rechtwinkliger  und  allgemeiner  Axonometrie 
und  in  Centralprojection,  zur  Vergleichung  der  Wirkung  der  nach  diesen 
Methoden  gewonnenen  Bilder. 

Die  übrigen  Erweiterungen  haben  ihren  Gnmd  zum  Theil  in  einer 
grösseren  Ausführlichkeit  des  Textes  und  resumirenden  Schlussbetrachtungen 
zu  Ende  verschiedener  Capitel ,  zum  Theil  in  der  Vermehrung  der  üebungs- 
beispiele;  das  Wachsen  der  Seitenzahl  von  210  auf  376  mag  einen  Maass- 
stab für  die  Menge  des  Neugebotenen  geben.    Wir  führen  hier  Folgendes  an. 


106  Historisch -literarische  Abtheilung. 


In  §  4  ist  die  Theorie  der  Theilnngspnnkte  und  des  Theilungskreises, 
ihrer  Wichtigkeit  ftir  die  praktische  Perspective  entsprechend,  mehr  hervor- 
gehoben. 

§  15  soll  dem  Literaturverzeichnisse  nach  eine  neue  Constructioii  fftr 
entsprechend  gleiche  Strecken  in  /C  Reihen  enthalten.  Bef.  findet  nur  den 
algebraischen  Ausdruck  ftir  dieselben,  wie  in  der  zweiten  Auflage. 

§  18  enthält  Relationen,  welche  sich  auf  die  zu  den  Doppelelementen 
in  7\  Strahlenbüscheln  symmetrischen  Elemente  und  die  Bechtwinkelpaarj 
beziehen.  Eine  besondere  Figur  mit  sttmmtlichen  benutzten  Buchstaben 
dürfte  die  Uebersicht  wohl  sehr  erleichtem. 

§  20,  14  enthält  eine  zweckmässige  Construction  der  Involution  aus 
zwei  einander  entsprechendes  Elementenpaaren  mit  Hilfe  des  vollständigen 
Vierecks,  §  35,  8  eine  solche  des  Krümmungshalbmessers  eines  Kegelschnittes 
im  Genre  der  Pascal-Brian chon 'sehen. 

§  53  —  der  orthogonalen  Projection  angehörig  —  führt  die  Affinitäts- 
axen  als  Doppelstrahlen  /^  Strahlenbüschel  auf*  u.  s.  w. 

Die  folgenden  Theile  dürften,  sofern  der  Schluss  vom  Bekannten  auf 
zu  Erwartendes  gestattet  ist,  ebenfalls  viel  des  Interessanten  bringen. 

Hannover.  Dr.  Carl  Rodenbbrg. 


Die  Elemente  der  projectiviBchen  Geometrie.  Von  Dr.  Emil  Wbtr  ,  o.  5. 
Professor  an  der  k.  k.  Universität  Wien.  Erstes  Heft:  Theorie  der 
projectivischen  Grundgebilde  erster  Stufe  und  die  quadratischen  In- 
volutionen.   Mit  58  Holzschnitten.    Wien  1883,  Wilhelm  Braumüller. 

Das  Werk  ist  in  erster  Linie  für  die  Hörer  der  Vorträge  des  Verfassers 
bestimmt,  wird  sich  aber  voraussichtlich  durch  seine  Klarheit  und  durch- 
weg wissenschaftliche  Strenge  auch  weitere  Kreise  erschliessen. 

Folgende  Uebersicht  des  Inhalts  wird  den  Lehrgang  charakterisiren. 

Einleitung.  Perspectivische  Lage  der  geometrischen  Grundelemente. 
Eintheüung  der  Grundelemente. 

I.Capitel:  Bestimmung  der  Elemente  der  Grundgebilde  erster 
Stufe.  Theil Verhältnisse  in  den  Pnnktreihen,  im  Strahlen-  und  Ebenen- 
büschel.  Harmonische  Elemente.  —  II.  Capitel:  Das  Doppelverhält- 
niss.  —  III.  Capitel:  Vollständige  Figuren.  Harmonische  Eigenschafken 
des  vollständigen  Vierseits  und  des  vollständigen  Vierecks.  —  IV.  Capitel: 

*  Ich  benutze  diese  Gelegenheit,  um  eine  Ungenauigkeit  in  meiner  Recension 
von  ReuBchle's  „Deckelementen'*  zu  berichtigen.  Daselbst  hatte  ich  nur  die 
AffinitätBaxen ,  d.  h.  jene  Geraden,  deren  Projectionen  sich  decken,  als  bekannt 
bezeichnet  In  der  That  finden  sich  aber  schon  in  der  zweiten  Auflage  des  vor- 
liegenden Werkes  die  übrigen  Deckelemente,  wenn  auch  nicht  in  ihrer  principiellen 
Bedeutung  erwähnt.    Vergl.  §§  46;  47,  lo,  u;  49, 5;  50,  8,  9;  64,  4,  5. 


Recensionen.  107 

Die  Sätze  von  Carnot  und  Ceva  für  ebene  und  rttumliche  Polygone.  — 
y.  Capitel:  Die  perspectivische  Raumansicht.  Betrachtang  der  unendlich 
fernen  Elemente.  —  VI.  Capitel:  Beciprocitätsgesetz  und  Elementenbestim- 
mung in  den  Grundgebilden  höherer  Stufe.  —  VII.  Capitel:  Perspectivische 
Gebilde.  — VIII.  Capitel:  Projectivische  Gebilde.  —  IX.  Capitel:  Aehnliche 
und  congruente  Gebilde.  —  X.  Capitel:  Conlocale  projectiYische  Gebilde. 
Doppelelemente.  Die  unendlich  fernen  Kreispunkte.  Der  imaginäre  Kugel- 
kreis. —  XI.  Capitel:  Der  Kreis.  Doppelverhältniss  von  vier  Punkten  und 
Tangenten.  Polareigenschaften.  Kreisvierecke.  Mittelpunkt  und  Durchmesser. 
—  Xn.  Capitel:  Die  Involutionen.  —  XIII.  Capitel:  Allgemeinere  Auffassung 
der  Projectivität.  Das  Doppelverhältniss,  ausgedrückt  durch  Werthe  eines 
eindeutigen  Parameters.  Zwei  Projectivitäten  auf  einem  Träger.  —  XIV.  Ca- 
pitel: Cyklische  Projectivität.  —  XV.  Capitel:  Harmonische  Mittelpunkte 
eines  Tripels.  Harmonische  Mittelpunkte  ersten  und  zweiten  Grades  und 
deren  Verwandtschaft.  Harmonische  und  äquianharmonische  Quadrupel.  — 
XVI.  Capitel:  Rechnungsoperationen  mit  Theilverhältnissen. 

Der  Verfasser  wird  sicher  im  Vortrage  nicht  versäumen,  die  Studiren- 
den  auf  die  späteren  Anwendungen  der  behandelten  Beziehungen  zwischen 
den  Grundelementen  aufmerksam  zu  machen,  um  damit  zunächst  eine  un- 
gefähre Vorstellung  ihrer  ausserordentlichen  Wichtigkeit  den  Anfängern  bei- 
zubringen. Einige  diesbezügliche  Worte  im  Buche  würden  sicher  geeignet 
sein,  das  Interesse  des  Lesers  an  der  Sache  bedeutend  zu  erhöhen. 

Ein  paar  Kleinigkeiten ,  die  uns  aufgefallen  sind ,  wollen  wir  nicht  un- 
ei-wähnt  lassen. 

Auf  S.  5  wird  der  Baum  irrthümlich  als  dreidimensional ,  auch  in  Bezug 
auf  die  Gerade  als  Baumelement  apgeführt.  Die  dortigen  Auseinandersetz- 
ungen über  die  Zahl  der  Elemente  bedürfen  einer  Correctur. 

Die  Methode  zur  Herstellung  der  perspectivischen  Lage  eines  Strahlen- 
büschels und  eines  ihm  projectivischen  Ebenenbüschels  (S.  74)  möchten  wir 
nicht  adoptiren.  Es  wird  zu  dem  Endzweck  ein  Ebenenbüschel  construirt^ 
von  dem  drei  (und  dann  alle)  Ebenen  dieselben  Winkel  miteinander  bilden, 
wie  die  entsprechenden  Strahlen  des  Strahlenbüschels.  Hierbei  ergiebt  sich 
die  Axe  des  gesuchten  Ebenenbüschels  als  Schnittlinie  zweier  Kegelflächen 
zweiter  Ordnung,  welche  eine  Erzeugende  gemein  haben.  Aber  diese  Flä- 
chen sind  noch  gar  nicht  behandelt,  und  es  ist  insbesondere  nicht  einzu- 
sehen, dass  eine  Axe  existirt.  Diese  Beweise  könnten  allerdings  nach- 
getragen werden,  aber  der  üebelstand  einer  unbequemen  constructiven  Ver- 
wendbarkeit der  Methode  würde  bleiben.  Das  bekannte  Verfahren  mit  Be- 
nutzung der  entsprechenden  rechten  Winkel  ist  übrigens  ja  einfistch  genug. 

Hannover.  Dr.  Carl  Rodenberg. 


108  Historisch -literarische  Abtheilung. 

Die  Blemente  des  gra^isohen  Reohneni^  mit  besonderer  Berttcksichtigtuig 
der  logarithmischen  Spirale.  £ine  Anleitung  zur  Constmction  alge- 
braischer und  transcendenter  Ausdrücke  für  Bau-  und  Maschinen- 
techniker, sowie  zum  Gebrauche  an  höheren  Gewerbeschulen.  Von 
Anton  Steinhaus  br,  k.  k.  Professor  an  der  Staatsgewerbeschnle  in 
Wien.  Wien  1885,  Alfred  Holder.  8  Bogen  gr.  8^  Preis  2  Mk. 
80  Pf. 

Der  Herr  Verfasser  behandelt  in  dem  vorliegenden  Werkchen  unter  der 
Voraussetzung  elementarer  mathematischer  Kenntnisse  die  Grundoperationen 
des  graphischen  Rechnens  in  klarer,  leicht  verstund] icher  Sprache.  Derselbe 
geht  davon  aus,  dass  eine  Zahl  durch  das  Verhältniss  zweier  Strecken  dar- 
stellbar ist,  führt  die  Multiplication ,  Division  u.  s.  w.  mit  Hilfe  eines  recht- 
winkligen Axenkreuzes  durch,  giebt  eine  recht  praktische  Construcüon  für 
das  Ausziehen  dritter  Wurzeln,  verwendet  zum  Ausziehen  beliebiger  Wur- 
zeln die  Potenzcurven  von  Joseph  Schlesinger.  Hierauf  entwickelt  er 
die  Operationen  mittels  der  logarithmischen  Spirale,  was  nicht,  wie  ge- 
wöhnlich, ungenügend,  sondern  sehr  eingehend  auf  das  Wesen  der  Cnrve 
geschieht,    indem    er,    unter  Ausschluss    höherer    analytischer    Hil&mittel, 

seinen  Auseinandersetzungen  die  Gleichung  ^  =  h^^  zu  Grunde  legt,  wobei 
b  den  nach  einer  Drehung  um  180^  auf  qq  folgenden  Fahrstrahl  bedeutet, 
abgesehen  von  der  Krümmung,  die  hauptsächlichsten  Eigenschaften  dieser  Curve 
zuerst  durchsichtig  erläutert.  Die  Spirale  wird  sodann  in  verschiedener  Weise 
verzeichnet,  ohne  specielle  Bedingung,  bei  gegebenem  Längenverhältnisse 
zweier  um  den  Polarwinkel  Jt  differirender  Leitstrahlen,  durch  Berechnung 
der  Fahrstrahllängen  für  gegebene  Polarwinkel  und  Auftrag  dieser  Längen 
mittels  des  Transversalmaassstabes.  Darauf  wird  das  graphische  Rechnen  mit 
dieser  Curve  vorgeführt.  Ein  weiterer  Abschnitt  ist  den  arithmetischen  und 
geometrischen  Reihen  erster  Ordnung  gewidmet,  im  letzteren  Falle  wieder 
auf  die  logarithmische  Spirale  zurückkommend,  und  der  Zinseszinsenrechnung. 
Hieran  schliesst  sich  die  graphische  Darstellung  von  Verhältnissen  und  Pro- 
portionen. Die  Auflösung  der  Gleichungen  ersten  und  zweiten  Grades  mit 
einer  und  mehreren  unbekannten  fehlt  nicht.  Auch  der  Grundoperationen 
mit  imaginären  Zahlen  wird  gedacht.  Der  Abschnitt  über  die  goniometri- 
sehen  und  cjclometrischen  Functionen  gegebener  Winkel  hat  einen  Anhang, 
welcher  sich  mit  der  Rectification  des  Kreises,  der  Messung  und  Constmc- 
tion eines  gegebenen  Winkels  mittels  der  Sehnenlänge  befasst.  Das  Letz- 
tere geschieht  auf  Grund  der  Formel  a  =  2rsin  -y^  wo  a  den  fraglichen 

Winkel,  a  die  zum  Bogen  vom  Radius  r  gehörige  Sehne  zwischen  den 
Winkelschenkeln  bedeutet,  und  ist  die  erforderliche  Sehnentabelle  für  einen 
Halbmesser  von  fOnf  Einheiten  berechnet.  Den  Schluss  des  Gan^n  bildet 
das  Wichtigste  über  die  Berechnung  ebener  Flächen.     Die  Anwendung  des 


Recensionen.  109 


Vorgetrageneu  auf  Mechanik  etc.  ist  unterblieben,  was  bisher  bei  solchen 
Abhandlungen  immer  geschah. 

Der  Herr  Verfasser  hat  die  Orundoperationen,  indem  er 
nur  wenige  Constrnctionsmethoden,  dem  Zwecke  entsprechend, 
anführte,  in  möglichst  gedrängter  und  dabei  durchsichtiger 
Form  gegeben.  Dadurch  ist  der  Lernende  an  der  Hand  seines 
Buches  in  den  Stand  gesetzt,  sich  (auch  ohne  Lehrer)  mit  den 
Elementen  des  graphischen  Bechnens  ohne  unnützen  Zeitauf- 
wand vertraut  zu  machen. 

Lediglich  um  für  diesen  Gegenstand  ein  höheres  Literesse  schon  jetzt 
zu  erwecken,  gestatte  ich  mir  unter  der  Mittheilung,  dass  ich  gegenwärtig 
das  geometrische  Rechnen  einer  eingehenden  Bearbeitung  unterziehe, 
welche  Arbeit  ausschliesslich  für  Hochschulen  bestimmt  ist  und  in  einiger 
Zeit  veröffentlicht  werden  wird,  einige  weitergehende  Bemerkungen. 

Das  graphische  Rechnen  ist  nur  ein  Theil  des  geometrischen  Rechnens, 
des  Rechnens  mit  Strecken  und  Punkten,  nämlich  derjenige  Theil,  welcher 
sich  mit  den  Operationen  im  einpoligen,  linearen  Strecken-  oder  Zahlen- 
systeme zu  befassen  hat.  Bisher  legte  man  dem  graphischen  Rechnen  nicht 
die  Bedeutung  bei,  welche  ihm  in  der  That  zukommt.  Es  handelt  sich 
nicht  mehr  darum,  nur  den  Inhalt  einer  gegebenen  Fläche  oder  eines  ge- 
gebenen einfachen  Körpers  graphisch  zu  bestimmen;  vielmehr  ist  es  unsere 
Aufgabe,  nach  Methoden  zu  suchen,  durch  welche  auf  einfachem  Wege 
zusammengesetzte,  gesetzmässige  algebraische  und  transcendente  Ausdrücke 
bequem  graphisch  berechnet  werden  können,  indem  dasselbe  ein  Hilfsmittel 
zur  Construction  von  Curven  ist,  für  welche  sich  durch  ihre  Gleichungen 
keine  einfachen  geometrischen  Gesetze  angeben  lassen.  Derartige  Curven 
sind  z.  B.  zu  verzeichnen,  wenn  es  sich  um  die  Construction  der  Curven 
der  Beschleunigungscentra  sich  bewegender  Systeme  handelt.  Ein  einfiEiches 
Beispiel  hierfür  findet  der  Leser  in  meiner  Sammlung  von  Problemen  für  die 
analytische  Mechanik,  Bd.  I  S.  412  flgg. 

Auch  die  Gleichungen  höheren  Grades  bedürfen  der  graphischen  Lösung. 
Herr  Professor  Reuschle  hat  bereits  eine  graphisch •  mechanische  Methode 
zur  Auflösung  der  numerischen  Gleichungen  veröffentlicht.  Derselbe  benutzt 
parabolische  und  hyperbolische  Curven,  die  auch  bei  dem  graphischen  Poten- 
ziren eine  Rolle  spielen ,  construirt  aber  diese  Curven  nach  der  gewöhnlichen 
Methode,  was  durch  rein  geometrisches  Verfahren  bequemer  geschieht,  und 
nimmt  nur  auf  die  reellen  Wurzeln  Rücksicht.  Die  goniometrischen  Relationen 
spielen  auch  eine  Rolle  im  graphischen  Rechnen,  welches  an  den  Gleichungen 
8in{€i  +  ß)=rsinaco8ß  +  C08a$mß  und  y^aj/l—b^  +  5^1  — a*  sofort  er- 
kannt werden  kann.  Herr  Josef  M.  Solin  hat  einen  Beitrag  zur  graphischen 
Integration  schon  im  Jahre  1872  geliefert.  Das  graphische  Differentiiren  und 
Integriren  harrt  seiner  Ausbildung.  Ist  die  Gleichung  y  =  f{x)  einer  Curve 
gegeben,  dann  ist  es  möglich,  auch  die  Differentialquotienten  y\y\  ...  für 


110  Historisch -literarische  Abtheilnng. 


die  ganze  Curve  durch  weitere  Curven  darzuBlellen ,  Curven  für  ihre  Tangen- 
tenlftnget  Normalenlänge  u.  s.  f.  zu  verzeichnen,  wodurch  namentlich  der 
Anf&nger  ein  klares  Bild  von  dem  Wesen  der  fraglichen  Function  erhSlt,  was 
leicht  auf  arithmographischem  Wege  geschehen  kann. 

Heidelberg,  im  Februar  1886,  Ferdinand  Krapt, 


Lehrbnoh  der  ebenen  und  sphärischen  Trigonometrie  mit  Anwendungen 
auf  praktische  Oeometrie  und  sphttrische  Astronomie  und  zahlreichen 
Uebungsbeispielen      Zum   Gebrauch    in  höheren  Lehranstalten  und 
beim  Selbstunterricht  bearbeitet  von  E.  Hammer,  Professor  am  kgL 
Polytechnikum  in  Stuttgart.    Stuttgart  1885,  Verlag  der  J.  B.  Metz- 
ler*8chen  Buchhandlung.     X,  312  S. 
Wenn  wir  das  uns  vorliegende  Buch  geradezu  als  ein  Musterwerk  be- 
zeichnen ,  dem  wir  die  weiteste  Verbreitung  wünschen  und  hoffen ,  so  moch- 
ten wir  diesen  Ausspruch  unserer  innigsten  üeberzeugung  nicht  gern  wieder 
einengen.     Wir  fürchten  aber  auch   eine  solche  Auslegung  nicht  für  den 
Zusatz ,  den  wir  beifügen ,  die  höheren  Lehranstalten ,  an  deren  Schüler  und 
Lehrer  Herr  Hammer  sich  richtet,   seien  doch  wohl  solche,   welche  über 
den    sogenannten  Mittelschulen  stehen.     Studirende  an  Universitäten  und 
Polytechniken,  das  sind  nach  unserem  Dafürhalten  die  richtigen  Leser  für 
diese  Trigonometrie,    welche    die    darin   herrschende  Vollständigkeit,    die 
Strenge    der    angewandten    Beweisführungen,    die  Vortheile   der  gelehrten 
praktischen  Bechnungsvorschriften  zu  würdigen  im  Stande  sind.    Wende  man 
uns  nicht  ein ,  diese  jungen  Leute  hätten  Anderes  zu  thun ,  als  Trigonometrie 
zu  lesen.     Einer  gewöhnlichen  Schultrigonometrie  werden  sie  allerdings  ihre 
Zeit  nicht  widmen,   aber  so   gut  Vorlesungen  über  Trigonometrie  —  wir 
sprechen  aus  eigener  Erfahrung  —  Zuhörer  finden  können ,  ebenso  gut  wird 
es  dem  Buche  des  Herrn  Hammer  nicht  an  Lesern  fehlen,   wie  wir  sie 
bezeichneten.     Sie  werden  sich  nicht  daran  stossen ,  dass  S.  28  dem  directen 

Nachweise  des  Satzes,  dass  tg^  und  cotg-^  stets  dasselbe  Vorzeichen  wie 

sina  haben,  eine  indirecte  Ableitung  der  Gleichung  tg-r^^=^  — : =t 

2         sincL  l-\-i»sa 

vorgezogen  ist,  bei  welcher  die  Zweideutigkeit  einer  Quadratwurzel  vemach- 
lässigt  ist,  beiläufig  der  einzige  Verstoss  gegen  die  Strenge,  der  uns  auf- 
gefallen ist.  Sie  werden  auch  den  Luxus  des  Accents  bei  dem  Namen 
Legendre,  so  oft  derselbe  wiederkehrt,  verzeihen.  Sie  werden  dagegen 
mit  Vergnügen  S.  23  den  auf  der  Umwandlung  geradliniger  Coordinaten 
in  einander  und  in  Polarcoordinaten  beruhenden  Beweis  des  allgemeinen 
Additionstheorems  der  Winkelfunctionen,  sowie  S.  211  die  durchaus  ähnlieh 
geführte  allgemeine  Ableitung  der  Grundgleichung  der  sphärischen  Trigono- 


Becensionen.  111 


metrie  kennen  lernen.  Verweilen  werden  sie  bei  dem  ganzen  3.  Capitel 
des  L  Abschnittes,  das  den  goniomeirischen  Gleichungen  gewidmet  ist,  ver- 
weilen S.  97  ilg.  bei  der  Maskeljne'schen  Regel,  8.  215  bei  dem  nicht 
allgemein  giltigen,  aber  sehr  eleganten  Beweis  der  schon  erwähnten  Omnd- 
gleichung  der  sphärischen  Trigonometrie  mittels  eines  aufgeklappten  Drei- 
kants, verweilen  bei  den  im  3.  und  4.  Capitel  des  III.  Abschnittes  ver- 
einigten Aufgaben  ans  der  Oeodäsie  und  Astronomie. 

Wo  der  eine  oder  andere  Leser  noch  ausserdem  besonderes  Vergnügen 
empfinden  mag,  das  beruht  ja  auf  persönlicher  Geschmacksverschiedenheit^ 
aber  Vergnügen  dürfen  wir  Jedem  versprechen ,  der  mit  diesem  Buche  sich 
näher  bekannt  macht.  Cantor 


Die  Elemente  der  Arithmetik  aU  Vorbereitung  auf  die  Fnnotioneniheorie. 

Von  Dr.  Max  8imom  ,  Oberlehrer  am  Lyceum  zu  Strassburg.  Strass- 
burg  1884,  R.  Schultz'  &  Comp.  Verlag.  VII,  77  8. 
Ein  dem  Referenten  geläufiger  Satz ,  den  er  in  verschiedenen  geschicht- 
lichen Untersuchungen  bestätigt  fand,  ist  der  von  der  conservativen  Kraft 
der  Unwissenheit.  Anders  ausgedrückt  besagt  derselbe ,  dass  es  immer  eine 
verhäitnissmässig  lange  Zeit  gebraucht  hat,  bis  wissenschaftlich  Erkanntes 
zum  Volkseigenthum  wurde.  Der  Schule  im  Allgemeinen  ist  die  Aufgabe 
gestellt,  diese  Verbreitung  des  geistigen  Vermögens  Einzelner  unter  der 
Gesammtheit  zu  vermitteln,  und  je  besser  die  Schule  wird,  um  so  rascher 
geht  die  Verbreitung  vor  sich.  Ein  treffendes  Beispiel  solcher  Beschleuni- 
'  gung  bieten,  wie  wir  mit  einigem  berechtigten  Stolze  rühmen  dürfen,  die 
neuesten  deutschen  Lehrbücher  der  Geometrie  wie  der  Arithmetik.  Die 
Schulgeometrie  nimmt  bereits  Dinge  in  sich  auf,  die  vor  einem  halben  Jahr- 
hundert noch  wenigen  Sjnthetikern  bekannt  waren,  wenn  sie  überhaupt 
schon  entdeckt  waren ,  und  heute  liegt  uns  eine  Schularithmetik  vor,  welche 
sich  nicht  scheut,  auf  Untersuchungen  von  solcher  Feinheit  einzugehen,  dass 
sie  seither  Universitätsvorlesungen  vorbehalten  blieben,  und  zwar  solchen, 
deren  Zuhörer  die  ersten  Studiensemester  schon  hinter  sich  hatten.  Hat 
Herr  Simon  damit  einen  glücklichen  Griff  gethan?  Giebt  es  Gjmnasial- 
primaner  —  denn  nur  an  solche  Schüler  ist  selbstverständlich  zu  denken  — , 
welche  fähig  sind,  bei  dem  mit  ihnen  vorzunehmenden  Wiederholungsgange 
der  Zahlenlehre  die  strengen  Beweise  neuester  Forschung  zu  verstehen  und 
denselben  Interesse  abzugewinnen?  Wir  sind  zweifelhaft,  wie  die  Erfahrung, 
die  allein  berechtigt  ist ,  auf  diese  Fragen  zu  antworten ,  sich  darüber  aus- 
sprechen wird.  Herr  Simon  selbst  theilt  wohl  diese  Zweifel.  Daraufweist 
uns  der  Satz  seines  Vorwortes  hin,  das  Heft  sei  bestimmt  ,, hauptsächlich 
für  CoUegen  und  Studirende,  dann  aber  auch  für  die  Schüler  der  obersten 
Classe".     Lassen  wir  aber  diese  Letzteren  bei  Seite,  so  können  wir,  ohne 


1 }  2  Historisch  -  literarisohe  Abtheilusg. 


jede  weitere  Erfahrung  abzuwarten,  das  kleine  Schriftchen  mit  vollem  Ein- 
verstttndniss  auf's  Wärmste  empfehlen.  Studirenden,  welche  Fanctionen- 
theorie  zu  hören  beabsichtigen,  dürfte  hier  eine  fesselnde  und  fruchtbare 
Einleitung  in  die  ihnen  neue  Lehre  sich  bieten,  welche  sie  zugleich  zum 
Lesen  der  Abhandlungen  von  Herrn  Georg  Cantor  vorbereitet  und  sie 
auf  dieselben  hinweist.  Wenn  Herr  Simon  in  einigem  Gegensatze  zu  un- 
serem Namensverwandten  den  Begriff  der  Grenze  als  ererbt  und  in  diesem 
Sinne  als  erfahrungsmässig  gegeben  und  einer  weiteren  formalen  B^rOn- 
düng  nicht  mehr  bedürftig  ansieht,  so  sind  wir  die  Letzten,  die  ihm  einen 
Vorwurf  daraus  machen  möchten.  Einen  Auszug  aus  einem  selbst  schon  so 
knapp  gehaltenen  Büchelchen  zu  geben  ist  kaum  thunlich.  Wir  bemerken 
nur,  dass  die  Entwickelung  bis  zu  der  Lehre  von  den  Exponentialfnnctionen, 
diese  mit  eingeschlossen,  gefühi*t  ist,  dass  ein  Fortschreiten  bis  zur  Lehre 
von  den  Gleichungen  höherer  Grade  nur  als  daran  gescheitert  bezeichnet 
wird,  dass  noch  kein  elementarer  Beweis  des  Gauss 'sehen  Fundamental- 
satzes  der  Algebra  bekannt  sei.  Wir  möchten  einige  Stellen  als  solche  her- 
vorheben ,  die  uns  ganz  besonders  zusagten.  Dazu  gehört  der  Name  Theil- 
einheit  Nr.  n  (S.  17),  unter  welchem  die  Ergänzung  der  Reihe  der  ganzen 
Zahlen  zur  Beihe  der  Brüche  ergänzt  wird ;  dazu  die  Betonung  des  verschie- 
denen Sinnes,  welchen  wir  mit  dem  Gleichheitszeichen  verbinden  (S.  19, 
24,  42);  dazu  den  Beweis  des  Satzes,  dass  die  nicht  ganzzahlige  positive 
n^  Wurzel  einer  ganzen  positiven  Zahl  als  Reihenzahl  existire  (S.  37  flgg.); 
dazu  das  ganze  Capitel  XI  von  den  quadratischen  Gleichungen  (S  45 — 50) 
und  in  ihm  der  Ausblick  auf  Umkehrungsprobleme  (S.  48).  Nicht  einver- 
standen sind  wir  mit  der  Benennung  der  beiden  Sätze  (S.  10  und  30)  als 
Grundsätze.  Grundsätze  sind  solche,  deren  Wahrheit  als  einleuchtend 
angenommen  werden  muss,  weil  sie  nicht  bewiesen  werden  kann.  Li  die- 
sem Sinne  ist  es  aber  weder  wahr,  dass  die  neuen  Zahlen  jeweil  den  Ge- 
setzen der  alten  unterworfen  bleiben,  noch  dass  zu  gewissen  Vorstellungs- 
reihen,  welche  an  sich  keinen  Abschluss  haben,  ein  Abschluss  zu  denken 
sei.  Beides  sind  Forderungen,  wenn  man  sie  nicht  geradezu  Definitions- 
sätze  nennen  will.  Leicht  zu  verbessernde  Druckfehler  sind  uns  nur  S.  35 
Z.  11  und  S.  45  Z.  17  aufgefallen.  Cantor. 


System  der  Arithmetik  und  Algebra  als  Leitfaden  für  den  Unterricht  in 
höheren  Schulen.     Von  Dr.  Hermann  Schubert,  Oberlehrer  an  der 
Gelehrtenschule  des  Johanneums  in  Hamburg.     Potsdam  1885 ,  Ver- 
lag von  August  Stein.     VIII,  222  S. 
Wir  haben  in  dieser  Zeitschrift,  hist.-lit.  Abth.  zu  Bd.  XXVIII  S.  199 
und  zu  Bd.  XXIX  S.  114,  über  eine  in  zwei  Heften  erschienene  Sammlung 
von  arithmetischen   und  algebraischen  Fragen  und  Aufgaben   des  gleichen 


Becensionen.  113 

Verfassers  berichtet.  Nicht  minder  lobend  als  wir,  haben  auch  andere 
Stimmen  über  jene  Schrift  sich  geSnssert,  so  dass  an  Herrn  Schubert  die 
Aufforderung  gelangte,  der  Einführbarkeit  seines  Buches  an  Lehranstalten, 
an  welchen  andere  Aufgabensammlungen  in  Uebung  sind,  welche  nicht  ver- 
drängt werden  können  oder  wollen,  dadurch  Vorschub  zu  leisten,  dass  er 
den  Text  von  den  üebungsbeispielen  trenne.  Der  vor  uns  liegende  Band  erfüllt 
nun  diesen  Wunsch.  Hat  auch  das  Buch  dadurch  von  der  Eigenartigkeit  ein- 
gebüsst,  welche  ihm  unserem  Dafürhalten  nach  zur  Zierde  gereichte,  so  ist 
doch  Strenge  und  Fasslichkeit  unverändert  geblieben.  Erstere  dürfte  noch 
einen  Zuwachs  zu  rühmen  haben,  da  der  neue  Abdruck  als  eine  zweite 
Auflage  zu  betrachten  ist,  in  welcher  einzelne  kleine  Ausstellungen,  welche 
gemacht  worden  waren,  Berücksichtigung  gefunden  haben.  Cantob 


Die  Determinanten,  für  den  ersten  Unterricht  in  der  Algebra  bearbeitet 
Dr.  H.  Kaiser  in  Dieburg.  Wiesbaden  1885,  Verlag  von  J.P.Berg- 
mann. 23  S. 
Wir  haben  Bd.  XXVIII,  hist-lit  Abth.  S.  77,  eine  kleine  Schrift  über 
Determinanten  des  gleichen  Verfassers  angezeigt,  welche  in  ihren  Anforde- 
rungen an  den  Leser  schon  recht  niedrig  gehalten  war.  Heute  überbietet 
sich  Herr  Kaiser.  Auf  annähernd  halbem  Baume  giebt  er  einige  Sätze 
über  Determinanten,  die  kaum  die  Vorkenntnisse  eines  Gjmnasialtertianers 
voraussetzen.  Vielleicht  steht  uns  noch  ein  Büchelchen  ,,Die  Determinanten 
zur  Einübung  des  Einmaleins  in  der  Volksschule"  von  zwölf  Seiten  bevor! 
Im  Ernste  meinen  wir,  so  sehr  wir  der  Einführung  der  Determinanten  in 
den  Gymnasialunterricht  geneigt  sind ,  der  aber  schon  nicht  melir  das  Wort 
zu  reden,  da  sie  an  den  meisten  Orten  bereits  erfolgt  ist,  man  könne  doch 
auch  in  der  Popularisirung  zu  weit  gehen.  Den  mathematischen  Unterricht 
leicht  machen  ist  recht,  ihn  allzuleicht  und  mechanisch  machen  widerspricht 
seinen  pädagogischen  Zwecken.  Cantob. 


Heuer  TJnterrioht  in  der  Sdinellreohen -Kunst  für  technische,  kaufmän- 
nische und  Schulpraxis  in  zwei  Theilen.  I.  Theil :  Methode  der  sym- 
metrischen Multiplication,  Division  und  Wurzelausziehung.  II.  Theil: 
Anweisung  zum  Gebrauch  eines  auf  diese  Methode  gegründeten 
Rechenapparates.  Von  C.  Jul.  Gibsino,  Oberlehrer  an  der  königl. 
Realschule  Döbeln.  Döbeln  1884,  Verlag  von  Carl  Schmidt.  VI, 
92  S.  und  in  demselben  Verlage:  C.  J.  Oiefling^B  Patent  -  Rechen- 
apparat. 
Symmetrische  Multiplication  nennt  der  Verfasser  nach  dem  Vorgange 

von  Herrn  E.  Gallati  (1878)  dasjenige  Verfahren,  welches  spätestens  im 

HUt.-Ut.  Abthlg.  d.  ZeitMhr.  f.  Math.  a.  Phja.  XZX,  3.  9 


114  Historisch  -  literarische  Abtheilang. 

VI.  Säculam  als  Vajrslbhyäsa  bei  den  Indern  bekannt  war  und  welches  sich 
in  Europa,  besonders  in  Italien  bis  in  das  XVI.  Säculum  zu  erhalten  wusste. 
Von  da  an  verlor  sich  allmälig  die  üebung,  und  nur  das  Rechnen  mit 
Reihen,  die  nach  Potenzen  einer  allgemeinen  Grundgrösse  fortschreiten, 
wusste  sich  des  alten  Verfahrens  zu  erinnern,  beziehungsweise  erfand  das- 
selbe wiederholt,  wenn  es,  (ao  +  öia?+...).(&o+6ia;+...)  =  ^  +  Cia:  +  ... 
und  Cn  =  hnaQ  +  hn^ia^  +  ,».  +  hQan  setzend,  die  Regel  gab,  man  solle  die 
Glieder  des  Multiplicators  in  umgekehrter  Reihenfolge  auf  einen  besondem 
Zettel  schreiben  und  denselben  unter  dem  Mnltiplicandus  herschieben,  dabei 
die  jedesmalige  Productenstelle  durch  Vervielfachung  der  senkrecht  unter 
einander  befindlichen  Factoren  und  Addition  ihrer  Theilproducte  bilden.  In 
dieser  Form  lernte  Referent  die  auch  an  Zahlen  geübte  Methode  in  den 
Vorlesungen  über  algebraische  Analysis  kennen ,  welche  er  im  Wintersemester 
1849  —  50  bei  Professor  M.  Stern  in  Göttingen  zu  hören  Gelegenheit  hatte. 
Mag  auch  inzwischen  durch  Werke  geschichtlichen  Inhalts  die  Aufmerksam- 
keit auch  in  weiten  Kreisen  auf  jenes  alte  Verfahren  gelenkt  worden  sein, 
fllr  die  Schule  blieb  es  so  ziemlich  verschollen,  und  wir  würden  uns  freuen, 
wenn  Herrn  Giesing's  Buch  und  sein  patentirter  Rechenapparat  —  eine 
Schiefertafel ,  in  welcher  ein  Streifen  verschiebbar  ist  und  den  vorerwähnten 
besondem  Zettel  vertritt  —  zur  allgemeinen  Einbürgerung  führen  möchte. 
Herr  Giesing  lehrt  nach  der  symmetrischen  Multiplication  auch  eine  sym- 
metrische Division.  Das  ist  das  Verfahren,  welches  Fourier  in  seiner 
Analyse  des  6quations  d6termin6es  p.  187  (Paris  1830)  als  geordnete 
Division  beschrieb  und  welches  in  ziemlich  zahlreiche  Elementarwerke,  aber 
wieder  nicht  in  den  Schulunterricht  Eingang  zu  finden  vermochte.  Endlich 
benützt  der  Verfasser  seinen  Apparat,  also  den  Schieber,  der  das  Wesen 
desselben  bildet,  zur  Ausziehung  von  Quadratwurzeln.  Caktob. 


Beitrag  zur  analytischen  Behandlung  der  TJmhüllnngsounren.  Von  Wilb. 
Kbimphofp.  Coesfeld  1885.  16  S.  4°. 
Bei  Anwendung  Cartesischer  Punktcoordinaten  sehen  wir  in  den  auf- 
einanderfolgenden Punkten  einer  Curve  Durchschnitte  gegebener  linearer 
Gebilde,  bei  Liniencoordinaten  erkennen  wir  in  demselben  Berührungspunkte 
mit  jeweil  gegebenen  Geraden.  So  ist  an  sich  klar,  dass  das  natürliche 
Goordinatensystem  zur  Behandlung  von  Umhüllungsaufgaben  nur  das  der 
Liniencoordinaten  sein  kann.  Herr  Krimphoff  hat  sich  in  seinem  Pro- 
gramm deren  bedient,  und  zwar  der  von  Herrn  Schwering  erfundenen 
und  in  einem  bekannten  Buche  (vergl.  Referat  in  hist.-lit.  Abthlg.  dieser 
Zeitschrift  Bd.  XXIX  S.  233)  genauer  auseinandergesetzten  Abart  Herr 
Erimphoff  hat  nun  allerdings  nicht  durchweg  Schwering 'sehe  Linien- 
coordinaten angewandt,  und  wir  rechnen  ihm  dieses  als  Verdienst  an.    Wahre 


Recensionen.  •llö 


Eleganz  besteht  nicht  in  dem  unentwegten  Verbleiben  anf  demselben  Pfade, 
sondern  in  dem  Benutzen  des  jedesmal  Zweckdienlichsten,  mag  auch  ein 
Wechsel  der  Hilfsmittel  damit  verbunden  sein.  So  treten  bei  unserer  Vor- 
lage die  Liniencoordinaten  nur  da,  dann  aber  auch  immer  ein,  wo  die 
Gleichung  der  Geraden ,  welche  die  gesuchte  Curre  umhüllen  soll ,  in  Punkt- 
coordinaten  bereits  gegeben  ist.  Hauptaufgabe  ist  ihm  die  Auffindung  und 
Discussion  der  ümhüllungscnrven  gewisser  Sehnen  centraler  Kegelschnitte. 
Allein  nebenbei  beweist  er  noch  eine  ziemliche  Anzahl  interessanter  Sätze  von 
Kegelschnitten  selbst,  so  den  Joachimstharschen  Satz(Salmon-Fiedler, 
Kegelschnitte,  S.  307  und  nicht  327,  wie  irrig  citirt  ist),  dass  für  die  vier 
Schnittpunkte  einer  Ellipse  oder  einer  Hyperbel  mit  einem  Kreise  die  Summe 
der  Argumente  gleich  Null  sein  muss.  Herrn  Krimphoff 's  mehr  alge- 
braischer a]s  geometrischer  Beweis  ist  sehr  hübsch.  Die  Correctheit  des 
Druckes  iSsst  leider  Manches  zu  wünschen  übrig,  und  wenn  die  Irrthümer 
in  den  Formeln  auch  leicht  zu  verbessern  sind,   so  stören  sie  darum  nicht 

'"i^^^^-  Cantoe. 


Hifltoire  des  sciences  math^matiqn««  et  phygiqnes.     Par  M.  Maximilian 
Marie,  r6p6titeur  de  m^canique,   examinateur  d'admission  ä  Töcole 
poljtechnique.     Tome  IV:   De   Descartes  ä  Hujghens.     246  pages. 
Tome  V:  De  Hujghens  k  Newton.     255  pages.    Paris,   Gauthier- 
Villars  imprimeur-libraire.     1884. 
Wieder  sind  zwei  Bfinde  des  umfangreich  angelegten  Werkes  in  unse- 
ren Händen.     Descartes,    Cavalieri,    Roberval,    Fermat,   Torri- 
celli»  Wallis,  Pascal,  Hujghens,  Newton  sind  die  Namen  deijenigen 
Mathematiker,  welchen  der  Verfasser  den  meisten  Baum  widmet,  sich  da- 
durch in  üebereinstimmung  mit  der  Anerkennung  setzend,    welche  Zeit- 
genossen   und   Späterlebende   diesen   Männern  mit  Becht  widmeten.     Herr 
Marie  hat  —  das  geht  aus  der  ganzen  Darstellung  zweifellos  hervor  — 
die  Schriften  dieser  Männer  gelesen  und,  wie  es  bei  seiner  von  Niemand 
verkannten  mathematischen  Bedeutung  nur  natürlich  war,  auch  zu  verstehen 
gewusst,  so  viele  Schwierigkeiten  ihm  manchmal  der  durchaus  ungewohnte 
Wortlaut  bereiten  mochte.     Er  ist  nicht  der  Einzige,  dem  diese  Schwierig- 
keit sich  darbot,   nicht  der  Erste,  der  sie  überwand,   und  hätte  er  in  der 
mathematisch -geschichtlichen  Literatur  neuerer  Sprachen  Bundschau  gehalten, 
so   hätte  er  vielleicht  manche  Mühe  erspart.     Im  Ganzen  finden  wir  nichts 
von  den  Worten   zurückzunehmen,   mit  welchen  wir  Bd.  XXIX,   hist.-lit. 
Abthlg.  S.  45,   den  Bericht  über  die  beiden  ersten  Bände  schlössen:   „Wir 
hoffen  auf  Besseres  in  den  späteren  Bänden,  in  welchen  Herr  Marie  sich 
mit  Schriftstellern  zu  beschäftigen  haben  wird,  deren  Werke  er  selbst  ge- 
lesen hat.*^ 


116tt  Historisch -literarische  Abtheilnnf^. 

Bei  dem  Lesen  der  Werke  eines  Schriftstellers  bilden  sich  fast  nn- 
bewosst  Neigungen  und  Abneigungen,  über  die  kaum  zu  rechten  ist.  So 
hat  Herr  Marie,  wie  es  scheint,  eine  grössere  Vorliebe  für  Descartes, 
als  für  Fermat  gefasst,  während  Referent  in  entgegengesetztem  Sinne 
Licht  und  Schatten  zu  sehen  sich  gewöhnt  hat.  Dadurch  sind  unsere  An- 
schauungen von  dem  Charakter  des  Jesnitenzöglings  Descartes  einander 
sehr  widersprechend,  die  mathematische  Grösse  des  Verfassers  der  analyti- 
schen Geometrie  bewundem  wir  gleichmässig.  Mögen  auch  Vorstufen  in 
der  analytischen  Geometrie  von  Diesem  und  Jenem  erreicht  worden  sein,  ein 
wirkliches  Operiren  mit  den  Gleichungen  einer  Curve  hat  vor  Descartes 
Niemand  der  OeffenÜichkeit  übergeben.  Andererseits  hüte  man  sich  aber 
wohl,  in  dessen  Geometrie  ein  Lehrbuch  modernen  Schnittes  zu  vermuthen, 
ausgehend  von  der  Gleichung  der  Geraden,  daran  anknüpfend  die  Gleich- 
ungen des  Kreises,  des  Kegelschnittes  u.  s.  w.  Descartes  schrieb  absicht- 
lich scheinbar  planlos,  ungeordnet  und  dadurch  schwer,  weil,  wie  er  in 
einem  Briefe  sich  ausdrückt,  die  Leute  Dinge,  die  sie  verstehen,  nicht  als 
neu  anzuerkennen  pflegen.  Diese  mangelnde  Ordnung  macht  es  sogar  dem 
heutigen  Leser  schwer,  sich  zurecht  zu  finden,  und  Herr  Marie  hat  viel- 
leicht nur  ihretwegen  übersehen  oder  hervorzuheben  vergessen,  was  eines 
der  wichtigsten  Verdienste  von  Descartes  ist:  die  Erfindung  der  Methode 
der  unbestimmten  Coefficienten,  gerade  so,  wie  er  bei  Pascal  die  Nennung 
der  von  diesem  erfundenen  Beweismethode  von  n  auf  n  +  1  vermissen  Ifisst. 
Auch  die  Anfönge  der  Wahrscheinlicbkeitsrechnung  mussten,  sei  es  bei 
Pascal,  sei  es  bei  Huyghens,  in  einer  annähernd  den  Weg  dieser  Er- 
finder veranschaulichenden  Weise  zur  Kenntniss  der  Leser  gebracht  werden, 
und  dass  unter  den  zahlentheoretischen  Arbeiten  von  Fermat  gerade  das 
Theorem  nicht  genannt  ist,  welches  die  Unmöglichkeit  der  Gleichung  a^  =  y^ 
+  i^  mit  ganzzahligen  Wurzeln  betrifft,  sofern  n  >2,  während  der  Sonder- 
fall f»  =  3  (IV,  105  letzte  Zeile)  erwähnt  ist,  kann  einigermassen  erstaunen. 

Wir  haben  nur  diese  grossen  Lücken  aufdecken  wollen ;  kleinere  Mängel 
beabsichtigen  wir  nicht  zu  betonen,  wozu  der  IV.  Band  sehr  häufig,  der 
V.  Band  etwas  seltener  Gelegenheit  böte.  Es  handelt  sich  weniger  offc  als 
in  den  früheren  Bänden  um  Unrichtigkeiten,  vielmehr  meistens  nur  um 
Vernachlässigung  bedeutsamer  Dinge,  und  was  Herr  Marie  an  Auszügen 
liefert,  ist,  wenn  nicht  immer  vollständig,  doch  für  die  wichtigsten  Schrif- 
ten namentlich  von  Huyghens  und  Newton  richtig.  Cantor 


Bibliographie 

vom  16.  Februar  bis  30.  April  1885. 


Periodisohe  Schriften.. 

Sitzungsberichte  der  mathem.-phjsikal.  Classe  der  königl.  bayer.  Akademie 

der  Wissenschaften.     Jahrg.  1884,  Heft  4.     München^  Franz. 

1  Mk.  20  Pf. 

.     Jahrg.  1885,  1.  Heft.     Ebendas.  1  Mk.  20  Pf. 

Sitzungsberichte  der  königl.  sftchs.  Gesellschaft  der  Wissenschaften ,  mathem.- 

physikaL  Classe.     1884,  I  und  IT.     Leipzig,  Hirzel.  2  Mk. 

Sitznngsanzeiger  der  kaiserl.  Akademie  der  Wissenschaften  in  Wien,  mathe- 

mat.- natnrwissenschaftl.  Classe.      Jahrgang   1885,  Nr.  1 — 4.      Wien, 

Gerold.  compl.  3  Mk. 

Annalen  des  physikalischen  Centralobseryat.orium3;  herausgeg.  von  H.  Wild. 

Jahrg.  1883,  Thl.  1  u.  2.    Petersburg  und  Leipzig,  Voss.    25  Mk.  60  Pf. 
Archiv  der  Mathematik  und  Physik,   begründet  von  Grukebt,  fortgesetzt 

von  B.  Hoppe.    2.  Reihe,  2.  Theil  (4  Hefte),  1.  Heft.     Leipzig,  Koch. 

compL  10  Mk.  50  Pf. 
Acta  mathematica,  herausgeg.  v.  Mittag -Leffler.    5.  Jahrg.  1885,  I.Heft. 

Berlin,  Mayer  &  Müller.  compl.  12  Mk. 

Jahrbuch  über  die  Fortschritte  der  Mathematik,   herausgeg.  von  C.  Ohrt- 

VANN.     14.  Bd.,  Jahr  1882,  2.  Heft.     Berlin,  G.  Reimer.  6  Mk. 

Astronomische  Nachrichten,  herausgeg.  v.  A.  Krüger.     11  J.  Bd.  Nr.  2641. 

Hamburg,  W.Mauke  Söhne.  compl.  (24  Nrn.)  15  Mk. 

Fortsehritte  der  Physik  im  Jahre  1879.     (35.^Jahrg.)     Redig.  v.  Neessen. 

1.  Abth.     Berlin,  G.  Reimer.  8  Mk. 

Die  Fortschritte  der  Physik.     Nr.  8,  1884.     Köln,  Mayer.  2  Mk. 

Meteorologische  Zeitschrift  der  deutschen  meteorolog.  Gesellschaft,  redig.  v. 

W.  KOPPEN.     2.  Jahrg.gl885  (12  Hefte).    1.  Heft    Berlin,  Asher  &  C. 

compL  16  Mk. 
Gezeitentafeln  für  das  Jahr  1886.     Hydrogr.  Amt  der  kaiserl.  Admiralit&t. 

Berlin,  Mittler.  1  Mk.  60  Pf. 

Mathematische  und  naturwissenschaftliclie  Berichte  aus  Ungarn.     Redig.  von 

L.  Fröhlich.     2.  Bd.  (Juni  1883-^  Juni  1884).     Budapest  und  Berlin, 

Friedländer  &  S.  8  Mk. 


118  Historisch  •  literarische  Abtheiinng. 


Reine  Mathematik. 

LüROTH,  J.,  üeber  die  kanonischen  Perioden  der  AbeFschen  Integrale. 
München,  Franz.  1  Mk.  20  Pf. 

BiBRMANN,  0.,  Heber  die  singulären  Lösungen  eines  Systems  gewöhnlicher 
Differentialgleichungen.     (Akad.)     Wien.  Gerold.  25  Pf. 

Geoenbauer,  L.  ,  Ueber  das  quadratische  Beciprocitätsgesetz.     Ebendas. 

20  Pf. 

,  Zahlentheoretische  Studien.     Ebendas.  1  Mk. 

Kraus,  L.,  Die  Functionaldeterminanten .     Ebendas.  30  Pf. 

Weiss,  E.,  Entwickelungen  zu  Lagrange*s  Reversionstheorem  mit  Anwen- 
dung auf  die  Lösung  der  Keppler'schen  Gleichung.     Ebendas.     60  Pf. 

Hecht,  W.,  Zur  Integration  der  Differentialgleichung  Mdx  +  Ndy  =  0. 
Leipzig,  Teubner.  1  Mk.  20  Pf. 

Gegenbaüer,  L.,  üeber  das  Legendre -  Jacobi*sche  Symbol.  (Akad.)  Wien, 
Gerold.  45  Pf. 

Igel,  B. ,  Ueber  ein  simultanes  System  dreier  binärer  cubischer  Formen. 
Ebendas.  1  Mk.  20  Pf. 

Pick,  G.,  üeber  die  Modulargleichungen  der  elliptischen  Functionen. 
Ebendas.  25  Pf. 

Bork,  H.,  Untersuchungen  über  das  Verhalten  zweier  Primzahlen  in  Bez. 
auf  ihren  quadratischen  Restcharakter.  (Dissert.)  Berlin,  Gärtner.    1  Mk. 

Serret,  A.,  Lehrbuch  der  Differential-  und  Integralrechnung.  Deutsch 
bearb.  von  A.  Harnack.  2.  Bd. ,  1.  Hälfte:  Integralrechnung.  Leipzig, 
Teubner.  7  Mk.  20  Pf. 

Schubert,  H.,  System  der  Arithmetik  und  Algebra.     Potsdam,  Stein. 

1  Mk.  80  Pf. 

Schendel,  L.  ,  Grnndzüge  der  Algebra  nach  Grassmann's  Principien.  Halle, 
Schmidt.  2  Mk.  50  Pf. 

ScHURio,  R.,   Lehrbuch  der  Arithmetik.     3.  Theil.     Leipzig,  Brandstetter. 

6  Mk.  40  Pf 

Bobek,  E.,  üeber  die  Flächen  IV.  Ordnung  mit  einem  Doppelkegelschnitte. 
1.  u.  2.  Mitth.     (Akad.)     Wien,  Gerold.  1  Mk.  60  Pf. 

Escherich,  G.  y.,  Die  Construction  der  algebraischen  Flächen  aus  den  sie 
bestimmenden  Punkten.     Ebendas.  50  Pf 

HooEVAR,  F.,  Bemerkungen  zur  Simpson'schen  Methode  der  mechanischen 
Quadratur.     Ebendas.  30  Pf. 

Herbio,  W.,  Lehrbuch  der  geometrischen  Formen.    Berlin,  Herbig.    7  Mk. 

Hoch,  J.,  Lehrbuch  der  ebenen  Geometrie.     2.  Thl.     Halle,  Schmidt. 

1  Mk.  75  Pf. 

Hammer,  E.,  Lehrbuch  der  ebenen  und  sphärischen  Trigonometrie.  Stutt- 
gart, Metzler.  3  Mk.  20  Pf 

Peschka,  V.,  Darstellende  Geometrie.     4.  Bd.     Wien,  Gerold.         21  Mk. 


Bibliographie.  119 

HoFFMAKN,  G.,  Anleitung  znr  Lösung  planimetrischer  Aufgaben  mit  Bei- 
spielen.   Leipzig,  Fues.  1  Mk.  40  Pf. 

Lampe  ,  E. ,  Geometrische  und  mechanische  Aufgaben  zur  numerischen  Auf- 
lösung von  Gleichungen  höherer  Grade.    (Diss.)  Berlin ,  Gärtner.    1  Mk. 

Leboullbux,  L.,  Trait^  616mentaire  des  d^terminants.     Genf,  Stapelmohr. 

2  Mk.  40  Pf. 
Angewandte  Mathematik. 

Kraft,  F.,  Sammlung  von  Problemen  der  analytischen  Mechanik.  7.  u. 
8.  Lief.     Stuttgart,  Metzler.  4  Mk. 

Weyrauch  ,  J. ,  Aufgaben  zur  Theorie  elastischer  Körper.     Leipzig,  Teubner. 

8  Mk. 

Finger,  J.,  Elemente  d.  reinen  Mechanik.  4.  Lief.  Wien,  Holder.   3  Mk.  60  Pf. 

Neumann,  F.,  Vorlesungen  über  theoretische  Optik;  herausgeg.  v.  E.  Dorn. 
Leipzig,  Teubner.  9  Mk.  60  Pf. 

Kraher  ,  A. ,  Allgemeine  Theorie  der  zwei  -  und  dreitheiligen  astronomischen 
Fernrohr -Objective.     Berlin,  G.  Beimer.  10  Mk. 

Weber  ,  L. ,  Curven  zur  Berechnung  der  von  künstlichen  Lichtquellen  indi- 
cirten  Helligkeit.     Berlin,  Springer.  1  Mk.  40  Pf. 

ScHOUTE,  H.,  Einige  Bemerkungen  über  das  Problem  der  Glanzpunkte. 
(Akad.)     Wien,  Gerold.  .  60  Pf. 

Habrdtl,  f.  V.,  Bahnbestimmung  des  Planeten  „Adria".    3.  Tbl.   Ebendas. 

4  Mk. 

Bruhks,  C,  Astronomisch -geodfttische  Arbeiten  fttr  die  europftische  Grad- 
messung im  Königreich  Sachsen.  3.  Tbl. :  Astronomische  Arb. ,  heraus- 
gegeben y.  Th.  Albrecht.    2.  Heft.    Berlin,  Friedberg  &  Mode.    12  Mk. 

Albrecht,  Th.,  Bestimmungen  der  Länge  des  Secundenpendels  in  Leipzig, 
Dresden  und  dem  Abrahamschachte  bei  Freiberg.     Ebendas.       5  Mk. 

Launhardt,  W.,  Mathematische  Begründung  der  Yolkswirthschaftslehre. 
Leipzig,  Engelmann.  6  Mk. 

WiTTWBR,  W.,  Grundzüge  der  Molecularphysik  und  der  mathematischen 
Chemie.     Stuttgart,  Wittwer.  5  Mk. 

BoussiNESQ,  J.,  Application  des  potentiels  k  T^tude  de  T^quilibre  et  du 
mouvement  des  solides  61astiqu6s.     Paris,  Gauthier -Villars.       18  Frs. 

Matthieu,  E.,  Theorie  du  potentiel  et  ses  applications  ä  T^lectrostatique 
et  au  magn6tisme.     I.  partie.    Ebendas.  6  Frs. 

Physik  und  Meteorologie. 

Weyrauch,  J.,  Das  Princip  der  Erhaltung  der  Energie  seit  Bob.  Mayer. 

Zur  Orientirung.     Leipzig,  Teubner.  1  Mk. 

Schreiber,  P.,  Beitrag  zur  Frage  der  Beduction  von  Barometerständen  auf 

ein  anderes  Niveau.     Leipzig,  Engelmann.  1  Mk.  20  Pf. 

Kahlbaum,  A.,  Siedetemperatur  und  Druck  in  ihren  Wechselbeziehungen. 

Leipzig,  Barth.  10  Mk. 


120  Historisch -literarische  AbtheiloDg.     Bibliographie. 

BoTH,  F.,  Die  Sonnenstrahlong  auf  der  nördlichen  Erdh&lfte  im  Vergleich 

mit  derjenigen  auf  der  südlichen.     Halle,  Schmidt.  50  Pf. 

ExRER,  K.,   üeber  die  durch  zahlreiche,   nnregelmSssig  vertheilte  E5iper- 

chen  herrorgebrachten  Beugungserscheinungen.    (Akad.)    Wien,  Gerold. 

1  Mk. 
Fleischl,  E.  y.,  Die  Deformation   der  Lichtwellenfläche  im  magnetischeD 

Felde.     Ebendas.  40  Pf. 

WisDEMAKK,  G.,  üeber  die  Bestimmung  des  Ohm.    Berlin,  Dümmler. 

4  Mk.  ÖO  Pf. 
Streoker,  K.,   üeber  eine  Beproduction  der  Siemens'schen  Queeksilberein- 

heit     München,  Franz.  1  Mk.  60  Pf. 

WiEDEicAKN,  G.,  Die  Lehre  von  der  Elektricitftt.     4.  Bd.  J.  Abih.    Brann- 

schweig,  Viewog.  15  Mk, 

Eleybr,  A.,  Lehrbuch  des  Magnetismus  und  des  Erdmagnetismus.    Stati- 

gart,  Mayer.  6  Mk. 

Tait,  P.,  Wärmelehre,  deutsch  yon  E.  Lbcher.    Wien,  Toeplitz  &  Deuticke. 

8Mk. 
E[lbin,  J.,  Ergebnisse  rationeller  Prüfungen  yon  Wetterprognosen.    Halle, 

Schmidt.  50  Pf. 


rerlag  vcm  B,  G*  Teuhiier  in  Leipzig. 

SnoUdis  ojiera  omnim.    Edideraut  L'L.  lleib^rg  et  H*  Menge.    En 
dementA.     Gdidit   et   iBline  mterpretatus  @et   I.  L.  Hei  barg,  Dn  |m^»«. 
VoL  IL  Ubros  V—IX,    coutiB^ne.     [XJCU  u.  137  S.|    B.    g«k  .#.  4,00. 

Helm,    Dn  06org,   Oberlehrer   um  ÄoneBre&lgyinDiiiicim  zu  DresdeEi  die 

ELttmente  der  Mechanik  and  mathomatisch^i]  Fbjsik.  Kln  Lehr* 
and  Übnngubiicb  für  höher o  Schnien.  Mit  Figureu  im  Teit.  fIT  il 
222  S.]     gr.  8.    g^Kn.  Jf3.60. 

Hdlmart,  Dr»  F.  E.,   Professor  an  der  tpcbnvüritHii   tnicnecun  . 
die  mathpmatiijchen  tiod  pbysikalitjchon  l'heorien  <\ 
Geodtlüii^.    Zwoiter  Teil:  Die  physikali Beben  Th^ori^ii  tutt  üuter- 
euchQngen  über  die  matbematiscbe  Erdgeßtalt  auf  Grusd  der 
BeobachtuBgoii*     Mit   m   den  Text  gedr^iokten  Figuren   und   2  litbo* 
grapbiertea  Tafeln.     [XVI  u.  610  8.]     gr.  8.     gek  o,  ^^  20,— 

Klein,  Felix,    o.  ö*  Professor   der  Oeometrio    au    der  Univerßitöt    1  ^^*^*^^ 
Vorlesungen  über  dag  Iko^aeder  nnd  die  AuflÖBUög  der  üb 
vom  fünften  Grade.    Mit  einer  litbographierten  TafeL    (VIII  u.  L'üU  ^i.J 
gr*  8.     geh,  o*  *0  8*  — 

Kober,  Dt*  JaHua«   Direktor  der  K^gehtUe   zu  Oroßenbain,   Leitfadf^n 

der   cbonen   Geometri*  !ier   700   CbiM              ti   und  Aufgaben, 

Mit  32  in  den  Teit  gd  i  Figuren«  Z  uiOag«.  iHfi  5^.1 
gr.  8.    g«b.  •4'  1.  — 


Neuer  \wlag  Ton  B.  0.  Teiibner  in  Leipzig. 

18B5. 

Hecht  I  Dr.  Willielai,  Dozent  der  Malbeniatlk  an  der  Rgl,  FartiUehraustaU 
txi  A^tchaifenburg^  tur  Integration  der  Differentialgleichung 
Mäj  -h  Ndit  -  0.     [40  S.J     gr.  4.     geh.  n.  •VS'  L  — 

Hemnaim,  Dn  W,f  Prof.  der  Phyeik  und  Miüerab>gie,  Vorlesungen  über 
theoretiftcbe  Optik,  gehalten  an  der  tlniverBität  m  Königsberg. 
Heranagegeben  von  Dr.  E,  Dorn,  ProfcBsor  an  der  tecbniRcben  Hoch- 
sebnlt»  xn  DarniBtadt.  Mit  Figtiren  im  Text,  (Mit  eintfm  Bildnis  Npu* 
miftnnä  In  Lichtdruck.)     [VUI  tn  310  8J     gr*  8>     geh.  n,  .S  9,60. 

dorret,  X-A.»  membre  de  ITnatitut  et  du  Bureau  des   lou^'iUides,  Letu 
buch  'ier  Differi^ntial*  und  Integralrechnung.     Mit  Genehmigniig 
de»  ^  v!  deutßcb  bearbeitet  von  Axj;t,  Hahnack,  Dr,  uud  Professor 

am  r  .Lkiknm  itn  Brefiden.     Zweiter  Band;    Erste   HSllfte.     Integral- 

rfeebnung.    Mit  in  den  Text  gedruckten  Figuren*    [VITI  u.  380  8J    gr,  8. 
geh.  n.  ./^  7,  30. 

Weyrauch,  Dn  Jaoob  J.,  Profas^or  an  der  poljteohnisebeu  Sehuli^  zu 
Btattgart,  Aufgaben  xnr  Theorie  elastiacher  KtSrper.  Mit  HO  Fi* 
guren  hn  Text.     \X  u.  850  8.]     gr»  8*     geh,  n.  *^  i^, — - 

d»H  Princip  ron  der  Erhaltung  der  Energie  u^\k  Hnbert 

Mar  er,     Znr  Orion  tirimg.     [48  BJ    gr.  B.    geL  Jt  1. 


INHALT. 


""HU 

Yoö  Dr,  L*  GuncmmiMCR  in  Tnninwit«   H'af,  V  Vig.  I)  ,     .     ♦     ,     •    •  ISI 

Von  Dn  A.  WtnxR  i?;   .  j     ..........  18^ 

VllL  üober  Flacbtu  vierter  Ordnung  mit  Doppel-  and  mit  CöttpidÄlkegeUcbnill 

Von  l>r.  A.  WESLtR  in  Htsitingön  -  itflricb  (Taf.  V  Fig.  5  i' 

Kloiiiore    Mitthc^ilongea. 

IX,  Coöjiigirtf  rio^^iprocitllteii,    Von  Dr,  Gtji,i»«c:HwioT  in  Ramrod  .     .       Ibl 

X,  Eine  Vemllgotut^merang  de*  bitionLbchen  Satstea.    Voa  SnJi,OMii/:ii         ,  191 

BUtoriscb-litftrariscbe   Abtheilang  ibeaon^en  imgiiurtj. 
Die  TOU  Diopbunt  überiioferteu  Metbodeu  der  Berecbnutii^  irrÄtiomiler  QuaUn^t- 

wnrEeln,     Von  W*  8t*«<innBou!i  In  Eröto«cbm  (Tat  V  Fig.  S)   .    .    _    gl 

RocenitiOTien: 

Ermiierung  von  J.  HtTtnu  ,.,,,,,.  ;»l, 

Etjuii,  FttLtx^  VürldMungen  über  das  ikoMiedar   und  djtt  Aiifl6«afig 

der  Gleicbiingen  vom  fUnftifn  (imde.    Von  !.■        '      fxvrim    t*t 
Ftxnucn ,  Dr  WiTJimrTU,  Die  dM-rt t^l  1  tjnd  e  f t i^f»in*^tinp  in  <>Tif »i :  -hin- 

dung  mit  lif 
WuvR.  Ur.  HitiL,  Dii^   ' 

l>r*  CAitr.  notiicRfiicfta  ii| 

FtsjiMitAKtj  Kiurr,    ,....*.....*..        iQd 
BiiMKM^  Prot  E.^  L^brbuch  der  ebtsnen  tiud  Bpbänschdii  lVig<>i»oiiHitnft* 

Von  C4itran     -    ,     ,     ,     .         ...,,,,,»     .     ,  ll 
81MOS,  Dr.  Mas,  Di»  Ekmente  4er  AriUimetik  al«  Vi>rbttitdtuog   «af 

die  Fnnctifvnentbeoric.     Von  Cauto«     ,,,,.. 
ScumotT,  Jh.  ÜKitMANJi,  Sjiitoni  dor  Äritbmctik  ond  Algebm.  VoApAinav  tit 

Kauiku,  Dr.  11.,  Di«  lVct*?i<  VoD  Gawior '     .     i\n 

GumiMu,  C.  Jui,.,    Ncßer    1  ii    in    der    Scknellrecben    KiutHti 

Von  Cisi^m    ♦    , 

K&tMrifoi'-r,  WyjL,    Beitrag   zur   analytiseböii   HfiliADdlung 

hülJungBCurven.    Von  CAirton *    . 

Mi»m,  M.  MAir>ttLtA}« ,  Hintoira  dcB  iciencet mutb^nij&tifiUfii  a1  p^Tiu^uoti,    ■ 

Von  Cautoii ^         4|| 

ßibltOgrftphie  vom  16,  Februar  bis  m,  April  tSSfit  ^ 

P#riodiacbf   Schriften 
Umntt  MntliCTnüttk     .     , 
AilgGwat3dt4?  Matb^matik 
Ph^ik  ^£iii  Meii>oralc^io 


Historisch -literarische  Abtheilung. 


ßecensionen. 


Bemerkung  zn  dem  von  Herrn  Nebel  über  mein  Buch:  ,, Das  Poten- 
tial und  seine  Anwendung  zur  Erklärung  der  elektrischen  Erschei- 
nungen'' abgegebenen  Referate. 

Herr  Nebel  sagt  am  Schiasse  seines  Referates  (diese  Zeitschrift;  XXX, 
2.  Heft  S.  62):  ;,Dem  Ganzen  ist  noch  ein  kleiner  Theil  über  elektrische 
Einheiten  beigegeben.  Der  Verfasser  giebt  die  Definitionen  der  Quantität, 
des  Potentials  etc.  nach  elektrostatischem  Maasse  und  fügt  unmittelbar  daran 
die  in  der  Praxis  üblichen  Maasseinheiten,  so  dass  es  den  Anschein  hat, 
als  ob  diese  Einheiten  dem  elektrostatischen  Maasssystem  angehören  würden. 
Die  Tabelle  der  Stromeinheiten  ist  der  Fehler  wegen  mit  Vorsicht  zu  ge- 
brauchen." 

Ich  muss  vor  Allem  constatiren,  dass  diese  Bemerkungen  sich  aus- 
schliesslich auf  das  zu  meinem  Buche  nicht  gehörige  Blatt  S.  XV  und  XVI 
beziehen,  welches  von  Herrn  Hartleben  ohne  mein  Wissen  im  An- 
schluss  an  das  Sachregister  hinzugefügt  wurde.  Dass  dieses  Blatt  zu  meinem 
Buche  nicht  gehört,  hätte  Herr  Nebel  schon  daraus  ersehen  können,  dass 
dasselbe  sich  in  sehr  vielen  Büchern  der  elektrotechnischen  Bibliothek  des 
Herrn  Hartleben  vorfindet. 

Prag.  Dr.  0.  Tumlirz. 


A  Short  history  of  Oreek  mathematics  bj  James  6ow,  M.  A.  fellow  of 
Trinity  College,  Cambridge.    Edited  for  the  syndics  of  the  university 
press.     Cambridge  1884.     At  the  university  press.     XVI,  323  pag. 
Die  Literatur  keines  Volkes  entbehrt  heute  der  Werke,   welche  sich 
mit  culturgeschichtlichen  Untersuchungen  beschäftigen;  am  wenigsten  kann 
man    der    englischen    Literatur    den    Vorwurf   der    Lückenhaftigkeit    auf 
diesem   Gebiete  machen,  ihr,  welcher  W  he  well,   welcher  Buckle,  wel- 
cher Lubbock,  Tylor   und   andere  Gelehrte  gleichen  Banges  und  glei- 
cher Richtung  angehören.    Auch  dem  besondem  Theile  der  Culturgeschichte, 
der   als  Geschichte   der   Mathematik    zu    bezeichnen  ist,    haben   englische 

Hi8t..Ut.  Abthlg.  d.  Zeitiohr.  f.  Math.  n.  Pbys.  XXX,  4.  10 


122  Historisch -literarische  Abtheilung. 


Schriftsteller  erfolgreiche  Mühe  zugewandt.  Was  die  Herren  Allman, 
Glaisher,  De  Morgan,  Ch.  Taylor  für  verschiedene  Capitel  un- 
seres Lieblingsfaches  geleistet  haben,  ist  von  Allen,  welche  deren  Arbeiten 
kennen  zu  lernen  Gelegenheit  hatten,  anerkannt  und  geschätzt;  aber  hier 
ist  eine  Schattenseite:  die  zuletzt  genannten  Schriftsteller,  mit  Ausnahme 
von  Herrn  Taylor,  dessen  Introduction  to  the  ancient  and  modern  geo- 
metry  of  conics  (vergl.  diese  Zeitschrift  Bd.  XXVII,  hist.-Ut.  Abth.  S.  87  flgg.) 
als  selbständiges,  mit  einer  l&ngeren  Einleitung  versehenes  Werk  auch  in 
das  Ausland  drang,  haben  ihre  geschichtlichen  Abhandlungen  fOr  solche 
Zeitschriften  und  Sammelwerke  verfasst,  die  dem  festländischen  Leser  kaum 
je  unter  die  Augen  kommen,  es  sei  denn,  dass  freundliche  Beziehungen  zu 
den  Verfassern  ihn  in  den  Besitz  von  Sonderabdrücken  setzten.'  Herr  Gow 
wollte  diesem  engeren  Bekanntwerden,  welches,  wie  wir  es  für  das  euro- 
päische Festland  zu  bestätigen  im  Stande  waren,  auch  für  Grossbritannien 
selbst  stattzufinden  scheint  und  welches  als  eine  unliebsame  Folge  mangeln- 
des Interesse  der  Leser  an  dem  behandelten  Gegenstande  nach  sich  zieht, 
für  seinen  Theil  ein  Ende  setzen,  indem  er  einen  ganzen  Band  der  Ge- 
schichte der  griechischen  Mathematik  widmete.  Herr  Gow  ist  nicht  Mathe- 
matiker, sondern  Philologe,  aber  er  hat  auf  seinem  Studiengange  gleich  allen 
Engländern  die  griechische  Mathematik,  insbesondere  die  griechische  Geometrie 
hinlänglich  genau  kennen  gelernt,  um,  von  seinen  Sprachkenntnissen  getragen 
und  unterstützt  durch  Vorarbeiten  von  Mathematikern,  die  Originalliteratur 
einer  Durchmusterung  unterwerfen  zu  können ,  von  deren  Genauigkeit  einige 
Stellen  des  Bandes  zeugen,  wo  er  zu  Ergebnissen  gelangt,  die  von  den  in 
den  Vorlesungen  des  Referenten  veröffentlichten  abweichen,  während  aller- 
dings in  den  meisten  Fällen  Herr  Gow  mit  unseren  Auffassungen  einver- 
standen erscheint  So  schmeichelhaft  eine  solche  üebereinstimmung  für  uns 
ist,  so  fürchten  wir  doch,  sie  theilweise  auf  den  Umstand  zurückführen  zu 
müssen,  dass  Herr  Gow  diejenigen  Abhandlungen,  welche  nach  dem  Er- 
scheinen unserer  Vorlesungen  und,  dürfen  wir  vielleicht  uns  rühmen,  in- 
folge derselben  zur  Veröffentlichung  gelangten,  nicht  kennen  lernte  und  des- 
halb auch  nicht  berücksichtigte. 

Wir  haben  hierbei  vorzugsweise  die  glänzenden  Arbeiten  von  Herrn 
Paul  Tannery  im  Auge,  welche  bald  in  der  Revue  arch6ologique ,  bald 
in  den  Annales  de  la  Facult6  des  lettres  de  Bordeaux  und  in  den  M6moires 
de  la  soci6t6  des  sciences  physiques  et  naturelles  de  Bordeaux,  bald  in  der 
Revue  philosophique,  bald  und  hauptsächlich  in  neuester  Zeit  in  dem  Bulle- 
tin des  sciences  math^matiques  et  astronomiques  (unter  Mathematikern  oft 
Bulletin  Darboux  genannt)  erschienen.  Wohl  mehr  als  30  grössere  und 
kleinere  Aufsätze  des  unermüdlichen  geistvollen  Gelehrten  sind  in  unseren 
Händen.  Fast  überall  handelt  es  sich  um  Dinge,  in  welchen  Herr  Tan- 
nery unsere  Ansichten  nicht  theilt,  und  wir  haben  immer  mit  Vergnügen 
seine  liebenswürdigen,  von  Rechthaberei   fernen  Angriffe  gelesen,  welchen 


Eecensionen.  123 


er  den  Charakter  des  Angriffs  so  vollständig  zu  nehmen  weiss;  wir  haben 
stets  aus  diesen  Abhandlungen  gelernt ,  auch  da,  wo  es  ihrem  Verfasser 
nicht  gelang,  uns  zu  seiner  Meinung  zu  bekehren.  Leider  haftet  diesen 
Abhandlungen  der  gleiche  Mangel  an,  welchen  wir  von  englischen  Arbeiten 
betonten.  Mag  das  Bulletin  Darboux,  die  Revue  arch^ologique,  vielleicht 
die  Revue  philosophique  von  grösseren  Bibliotheken  gehalten  werden,  die 
beiden  in  Bordeaux  erscheinenden  Sammlungen  dürften  nur  in  sehr  wenigen 
Exemplaren  ihren  Weg  ins  Ausland  finden,  so  dass  man  eine  Veröffentlich- 
ung in  denselben  nur  mit  halber  Oeffentlichkeit  begabt  nennen  kann.  Viel- 
leicht sehen  es  unsere  Leser  deshalb  nicht  ungern,  wenn  wir  einige  wich- 
tige Ergebnisse  Tannery 'scher  Forschung  über  griechische  Mathematik 
hier  zusammenstellen,  wobei  wir  die  zeitliche  Folge  der  Persönlichkeiten, 
um  welche  es  sich  handelt,  unserer  Aufzählung  zu  Grunde  legen. 

Thymaridas  (Annal.  Facult6  lettr.  Bord.  1881),  der  Erfinder  der 
unter  dem  Namen  Epanthem  bekannten  Auflösungsmethode  von  Gleichungen, 
ist  der  als  T.  von  Faros  bezeichnete  Pythagoräer,  der,  wenn  auch  nicht  zu 
den  unmittelbaren  Schülern  des  Pythagoras,  doch  zu  den  älteren  Gliedern 
der  Schule  gehörte.  Ihm  wird  nämlich  auch  die  Erfindung  der  Benennung 
geradliniger  Zahlen  für  Primzahlen  zugeschrieben ,  und  das  muss  früher  als 
zur  Zeit  Piaton 's  gewesen  sein,  denn 

Speusippos  (Annal.  Facultö  lettr.  Bord,  et  Toulouse  1883),  der  Neffe 
Platon's,  schrieb  schon  über  diese  dgiOfiol  ygafifiiKoi^  wie  aus  einer  für 
die  Geschichte  der  Mathematik  noch  nicht  verwerthet  gewesenen  Stelle  der 
Theologoumena  hervorgeht. 

Der  heilige  Hippolytos  (Bullet  Darboux  T.  VI,  1882)  bezeugt 
gegen  Ende  des  n.  S.  p.  C.  in  einer  gleichfalls  unbenutzt  gebliebenen  Stelle, 
dass  zu  seiner  Zeit  das  Wort  Pythmen  den  Sinn  des  Restes  hatte,  welcher 
bei  Division  einer  Zahl  durch  9  oder  auch  durch  7  übrig  bleibt.  Offenbar 
ist  hier  eine  unverkennbare  Spur  der  Neuner-  und  der  Siebenerprobe  vor- 
handen, und  zwar  wird  die  erforderliche  Rechnung  als  Pythagoräisch  be- 
zeichnet. Wie  weit  diese  Auffassung  geschichtlich  rückverfolgbar,  und  ob 
schon  den  Pythmenes  des  Apollo nius  die  gleiche  Tragweite  beizulegen 
ist,  darüber  möchten  wir  mit  einiger  Vorsicht  schweigen. 

Diophant  hat  Herrn  Tannery  den  Gegenstand  zu  zwei  Abhand- 
lungen geboten  (Bullet.  Darboux  T.  III,  1879  lind  T.  VIII,  1884).  In  der 
ersten  Abhandlung  untersuchte  er  die  Zeitverhältnisse  des  grossen  Alexan- 
drinischen  Algebraikers  und  gelangte  zu  dem  Ergebnisse,  er  müsse  um  die 
Mitte  des  III.  S.  gelebt  haben.  Ihre  Hauptstütze  hat  diese  Behauptung 
allerdings  nur  in  Weinpreisen,  welche  in  einer  einzigen  Aufgabe  (V,  33) 
vorkommen  und  welche  eine  solche  Höhe  ausser  in  der  genannten  Zeit 
kaum  je  zu  einer  überhaupt  in  Frage  tretenden  Zeit  erreicht  haben  dürften. 
Da  aber  mit  dieser  Annahme  auch  die  Verfassung  des  bekannten  Epi- 
gramms über  die  Lebensdauer  des  Diophant  durch  Metrodorns  in  Ein- 

10* 


124  Historisch -literarische  Abtheilung. 

klang  steht,  welche  bei  der  bisher  landläufigen  Annahme  untiberwinaliche 
Schwierigkeiten  bereitet,  so  sind  wir  sehr  geneigt,  Herrn  Tann  er  y  zuzu- 
stimmen. Weniger  sagt  uns  die  in  der  zweiten  Abhandlung  verfochtene 
Behauptung  zu,  dass  doch  mehr  vonDiophant  verloren  gegangen  sei,  als 
man  seit  Nesselmann  anzunehmen  sich  gewöhnt  hat.  Die  Lehre  von  den 
unbestimmten  Aufgaben  mit  ganzzahligen,  nicht  blos  mit  rationalen  Auf- 
lösungen, die  Lehre  von  den  Seitenzahlen  rechtwinkliger  Dreiecke,  die  be- 
freundeten Zahlen,  Untersuchungen  über  die  Unmöglichkeit  der  Gleichung 
a;S-j.y8--^  un^  f^]yQj,  ^jg  sogenannte  PeU'sche  Aufgabe  scheinen  Herrn 
Tannery  genügenden  Stoff  für  die  verloren  gegangenen  Bücher  zu  bieten* 
Unsere  Bedenken  richten  sich  dahin,  ob  nicht  damit  zuviel  den  Griechen 
zugewiesen  werden  will,  und  wenn  Diophant  mehr  Compilator  als  Erfinder 
war  —  ein  Zugeständniss,  welches  wir  Herrn  Tannery  auch  nicht  zu 
machen  vermögen  — ,  woher  flössen  die  Quellen,  aus  welchen  er  schöpfte? 
Waren  es  griechische  Quellen ,  uns  bis  auf  die  Erwähnung  von  solchen  ver- 
loren? Waren  es  gar  indische,  und  nähert  sich  Herr  Tannery  der  Mei- 
nung HankeTs  von  dem  fremdländischen  Ursprünge  der  Diophantischen 
Algebra?  Diesen  Zweifeln  wird  unser  gelehrter  Freund  sicherlich  in  der 
Vorrede  zu  der  Diophant -Ausgabe  Bede  stehen,  welche  er  nach  seiner  aus- 
drücklichen Erklärung  vorbereitet,  und,  gestehen  wir  es  offen,  diese  Er- 
klärung war  uns  das  Liebste  in  der  eben  berührten  Abhandlnng. 

Sporns  vonNicäa  (Annal.  Facultö  lettr.  Bord.  1882)  wird  von  Herrn 
Tannery  an  das  Ende  des  lU.  S.  gesetzt,  und  zwar  als  Verfasser  einer 
Sammlung  ^AgiaxorekiKd  x^'^ior,  in  welcher  mannigfache  Auszüge  auch  aus 
mathematischen  Schriften  sich  fanden,  welche  später  von  Pappus,  von 
Simplicius,  von  Eutokius  benutzt  wurden. 

Serenus  von  Antissa  (Bullet.  Darboux  T.  VII,  1883)  soll  im  IV.  S. 
zwischen  Pappus  und  Hypatia  seinen  Platz  finden.  Nach  Pappus  wird 
er  gesetzt,  weil  er  seiner  eigenen  Aussage  nach  einen  Commentar  zu  den 
Kegelschnitten  des  Apollonius  schrieb,  der  noch  nicht  vorhanden  gewesen 
sein  könne,  als  das  VII.  Buch  des  Pappus  entstand.  Andererseits  ist  er 
doch  zu  wissenschaftlich,  um  ihn  als  der  Zeit  des  Hyppatia  angehörig 
betrachten  zu  können. 

Domninus  von  Larissa  (Bullet.  Darboux  T.  VIII,  1884),  ein  Mit- 
schüler des  Proclus,  unter  welchem  er  auch  nach  dem  Tode  des  gemein- 
samen Lehrers  Syrianus  an  der  Athener  Hochschule  thätig  war,  hat  eine 
Arithmetik  verfasst,  welche  längst  durch  Boissonade  (Anecdota  Graeca  IV, 
413 — 429)  im  Druck  herausgegeben  und  von  Mathematikern  nie  untersucht 
worden  ist.  Herr  Tannery  hat  dieser  Mühe  sich  unterzogen  und  die 
unterscheidenden  Merkmale  gegen  Nikomachus  hervorgehoben. 

Mit  dieser  Aufzählung  sind  keineswegs  alle  Leistungen  des  französischen 
Geschichtskundigen  erschöpft,  es  sind  auch  keineswegs  überall  aUe  Gründe 
hervorgehoben,  durch  welche  er  seine  Ansichten  zu  stützen  weiss;   es  ist 


Becensionen.  125 

vielmehr  nnr  eine  Art  von  Inhaltsyerzeichniss ,  welches  wir  geben  und  aus 
welchem  hervorgehen  soll ,  dass  eine  ganze  Anzahl  von  Gegenständen  neuer- 
dings der  Forschung  erschlossen  ist,  welche  man  nicht  mehr  das  Recht  hat 
mit  Schweigen  zu  übergehen  und  welche  sicherlich  auch  Herr  Gow  be- 
sprochen haben  würde,  wären  die  betreffenden  Aufsätze  zu  seiner  Eenntniss 
gelangt  Hat  er  doch  die  leichter  zu  beschaffenden  und  nicht  minder  wich- 
tigen Arbeiten  unsers  dänischen  Fachgenossen  Heiberg  seinen  Zwecken 
fast  überall  dienstbar  zu  machen  gewusst,  wenn  ihm  auch  die  Auf&ndung 
des  Namens  von  Archimedes'  Vater  Pheidias  (OsiSia  Sh  rov  ifiov  nargog 
Archimed  ed.  Hei  her  g  II,  248,  8),  welche  Herrn  Heiberg  schon  ge- 
lungen war,  als  Herr  F.  Blass  (Astronomische  Nachrichten  CIV,  255)  die 
gleiche  Entdeckung  selbständig  und  früher  veröffentlichte,  und  einiges  Andere 
entgangen  ist 

Wollten  wir  Herrn  Gow  vorzugsweise  Vorwürfe  machen,  so  wäre  es 
nicht  schwer,  aus  seinem  Buche  Behauptungen  zu  sammeln,  deren  Recht- 
fertigung ihm  kaum  gelingen  möchte.  Das  kann  man  ja  bei  jedem  um- 
fassenden Werke  jedes  Verfassers.  Wir  ziehen  es  vor,  einige  Eigenthüm- 
lichkeitön  seines  Werkes  zu  nennen,  welche  uns  verdienstlich  erscheinen. 
Herr  Gow  beschäftigt  sich,  wie  es  von  dem  Philologen  nicht  anders  zu 
erwarten  stand,  eingehend  mit  den  Zahlwörtern,  und  auch  wer  die  Schrif- 
ten von  Pott  genau  kennt,  wird  hier  Neues  finden,  wofür  besonders  Tylor*s 
Primitive  Culture  als  Quelle  gedient  zu  haben  scheint.  Neu  war  uns  z.  B.,  dass 
für  die  Zwei  von  den  Chinesen  der  Name  der  Ohren ,  von  den  Thibetanern 
der  der  Flügel,  von  den  Hottentotten  der  der  Hände  gebraucht  werde  (S.  7), 
neu ,  dass  der  Drei  die  Bedeutung  unbestimmt  grosser  Vielheit  beiblieb ,  z.  B. 
TQiGaBkiog^  ter  fdix  als  Ueberbleibsel  aus  einer  Zeit,  wo  man  nicht  über  3 
hinauszählte  und  den  einzigen  vorhandenen  Zahlen  auch  die  Sprachformen 
des  Singular,  Dual,  Plural  zugeordnet  waren  (S.  8).  Auf  die  Frage,  ob 
die  Buchstabenzahlen  von  den  Griechen  zu  den  Hebräern  gelangt  seien  oder 
umgekehrt,  kommt  Herr  Gow  wiederholt  (S.  44,  46,  48)  zu  reden.  Er 
entscheidet  sich  für  den  ersteten  Weg,  und  zwar  sei  von  einer  eigentlichen 
Erfindung  zu  sprechen ,  welche  im  III.  S.  a.  Chr.  in  Alexandria  gemacht  wor- 
den sei.  Das  Wort  Gematria,  welches  eine  Spielerei  mit  dergleichen  Buch- 
stabenzahlen bedeutet,  sei  selbst  eine  Umstellung  aus  yQaiAfiaxela,  Eine  Plato- 
nische Stelle,  in  welcher  ausdrücklich  ausgesprochen  ist,  dass  die  Gottheit 
stets  geometrischen  Regeln  folge  (roV  dcov  del  yemfiBTQtlv)^  kennt  Herr  Gow 
so  wenig  wie  Andere,  wohl  aber  macht  er  (S.  173  Note  2)  auf  Bep.  527 B 
aufmerksam,  wo  es  heisst,  Geometrie  richtig  behandelt  sei  Eenntniss  des 
Ewigen. 

Wir  woUen  femer  nicht  verfehlen,  auf  S.  187  Note  1  aufmerksam  zu 
machen ,  wo  ein  nicht  unwichtiger  Irrthum  verbessert  ist ,  den  wir  uns  (Vor- 
lesungen I,  197)  zu  Schulden  kommen  liessen.  Wohl  kommt  xoTcog  in  dem 
Berichte  des  Eutokios  über  die  Würfelverdoppelung  des  Archytas  vor, 


126  Historisch -literarische  Abtheilung. 


aber  es  ist  gleichgiltig,  ob  dieses  Wort  dem  Urtexte  entnommen  oder  spStere 
Einschaltung  ist,  da  es  hier  keinenfalls  „geometrischer  Ort**,  sondern  nnr 
„Stelle"  bedeutet.  Auch  die  allgemein  angenommene  üebersetzung  von 
toTtoQ  dvakvo^svog  =  aufgelöster  Ort  widerstrebt  Herrn  Gow.  Er  behauptet 
vielmehr  (S.  211  Note  1),  xonog  bedeute  hier  wieder  nicht  geometrischer 
Ort,  sondern  Aufbewahrungsort,  Schatzkammer;  so  komme  das  Wort  häufig 
bei  Aristoteles  vor,  so  heisse  PappusVI,  1  ronog  datgovo^ioviiBvog  die 
Gesammtheit  astronomischer  Schriften ,  von  denen  in  der  Folge  die  Bede  ist, 
so  müsse  also  auch  zonog  avaXvofisvog  =  the  treaswry  of  andysis  gesetzt 
werden.  Wir  bemerken,  dass  auch  Hultsch  in  dem  Wörterbuche  des 
IIl.  Bandes  seiner  Pappus- Ausgabe,  p.  114  coL  2  lin.  15 — 19,  r.  ioxQ^  und 
r.  avaX.  zusammenstellt  mit  der  Bedeutung  quidquid  äliqua  mathematioarum 
parte  comprehenditiAr.  Deutsch  wäre  also  dafür  etwa  zu  schreiben  „Sammel- 
werke analytischer  Natur*'. 

Als  eine  der  Geschichte  der  Erfindungen  angehörende  Thatsache,  von 
welcher  wir  keine  Kenntniss  besassen,  heben  wir  hervor  (S.  237  Note  1), 
dass  Archytas  ausser  der  Schraube  und  dem  einfachen  Bad  an  der  Welle 
auch  das  Einderrasselchen  erfand  als  nützliches  Spielzeug,  welches  die  Kinder 
verhindere,  wirkliches  HausgerSthe  zu  zerbrechen. 

Herr  Gow  kommt  (S.  108  Note  1)  auf  die  Abkürzungen  zu  reden, 
deren  Diophant  sich  für  die  unbekannte  und  für  die  Subtraction  bediente. 
Er  hält  diese  Zeichen  für  die  Wiedergabe  hieratischer  Muster,  die  zu  iden- 
tificiren  er  freilich  nicht  vollständig  im  Stande  sei.  Wir  wollen  diese  Mög- 
lichkeit gar  nicht  bestreiten ,  vielmehr  auf  die  kleine  Monographie  des  Herrn 
L^on  Bodet,  Sur  les  notations  num^riques  et  alg6briques  ant6rieurement 
au  XVP  siöcle,  Paris  1881,  chez  Emest  Leroux,  80  pages,  hinweisen,  in 
welcher  der  gleiche  Gedanke  auf  S.  37  ügg.  sehr  ausführlich  durchgesprochen 
ist.  Herr  Bodet  giebt  dort  die  hieratischen  Zeichen  wirklich  an,  die  Di o- 
phant  copirt  habe,  wobei  allerdings  der  Phantasie  einiger  Spielraum  ge- 
lassen ist. 

Schon  Nesselmann  hatte  die  Aufmerksamkeit  auf  gewisse  Zahlzeichen 
gelenkt,  die  er  bei  Heilbronner,  und  dieser  bei  Hostus  und  bei  No- 
viomagus  angeführt  fand  und  welche  gewissen  Astronomen  gedient  haben 
sollen.  Dem  Beferenten  gelang  es,  die  Stelle  bei  Hostus  aufzufinden,  und 
Friedlein  wies  die  Stelle  bei  Noviomagus  nach,  von  der  die  Bede 
sein  muss.  Alle  diese  Angaben  finden  sich  bei  Herrn  Gow  (S.  64  Note  1). 
In  einer  brieflichen  Mittheilung  vom  21.  März  1885  weiss  nun  Herr  Gow 
jene  Zeichen  in  noch  beträchtlich  frühere  Zeit  zurückzuverfolgen.  Sie  sind 
deutlich  beschrieben  bei  Math.  Paris,  Chronica  V,  285  (ed.  Luard,  Cam- 
bridge 1872 — 1883),  mit  der  Bemerkung,  Johann  von  Basingstoke 
habe  dieselben  in  England  eingeführt  und  sie  selbst  kennen  gelernt  quando 
stttduü  Athenis.  John  of  Basingstoke  aber  starb  1252  und  war  etwa 
1240  in  Athen. 


Becensionen.  127 

Der  Satz  des  Menelaos,  welcher  die  Grundlage  der  ganzen  sphä- 
rischen Trigonometrie  der  Griechen  und  später  der  Araber  bildete,  giebt 
S.  292  Gelegenheit  za  der  Bemerkung,  im  Mittelalter  sei  dieser  Satz  mit 
arabischem  J^amenregtUa  catha  genannt  worden,  während  später  bei  Michael 
Stifel  der  Name  regula  sex  quafUitatttm  sich  finde.  Herr  Gow  verweist 
für  diese  Namen  auf  Costard's  Ausgabe  der  von  Halley  herrührenden 
üebersetzung  der  Sphaerica  aus  einer  hebräischen  üebertragung  (Oxoniae 
1758)  S.  82.  Dort  ist  in  der  That  mit  arabischen  Lettern  ein  Wort  ab- 
gedruckt, welches  in  der  jetzt  gebräuchlichen  Transcription  Al-kattä''  heisst 
und  Sector  (hier  mit  Transversale  zu  übersetzen)  bedeutet,  mithin  Regula 
kattS'  oder,  wie  man  nun  schreiben  mag,  die  Regel  von  der  Transversalen. 
Costard  giebt  als  seine  Quelle  für  den  Gebrauch  von  regida  catha  ein  der 
Biblioth.  Bodleiana  angehörendes  mehrbändiges  handschriftliches  Werk  von 
Simon  de  Bredow  an,  welcher  um  1350  sodiis  Mertonensis  war,  d.  h. 
FeUow  of  Merton  CoUege  in  Oxford.  Wir  sind  in  der  Lage,  auf  eine  im 
Druck  herausgegebene,  um  anderthalb  Jahrhunderte  ältere  Quelle  zu  ver- 
weisen,  indem  bei  Leonardo  von  Pisa  wiederholt  von  der  figura  cata 
und  von  der  figura  chata  die  Rede  ist  und  damit  nur  der  Satz  des  Mene- 
laos  gemeint  sein  kann. 

Unsere  Leser  mögen  die  Bemerkungen,  welche  wir  fast  mehr  zu  als 
über  Herrn  Gow 's  Werk  niedergeschrieben  haben,  als  Zeichen  des  Liter- 
esses  auffassen,  mit  welchem  wir  den  Band  studirt  haben.  Vielleicht  finden 
sie  in  diesem  Interesse  selbst  ein  noch  deutlicheres  Lob  des  uns  vorliegen- 
den Buches,  als  es  bis  hierher  von  uns  ausgesprochen  worden  ist. 

Cantoe. 


Der  Begriff  der  Physis  in  der  grieehischen  Philosophie.    Von  Dr.  E. 

Hardy.   I.  Theil.     Berlin  1884,  Weidmännische  Buchhandlung.     III? 

229  S. 
Dass  Wörter  dem  Begriffswechsel  unterliegen,  dass  sie  je  nach  Zeit 
und  Ort,  wo,  oder  auch  je  nach  der  Persönlichkeit,  durch  welche  sie  be- 
nutzt werden,  bald  diese,  bald  jene  Bedeutung  annehmen,  dafür  giebt  es 
zahllose  Beispiele.  Wir  erinnern  nur  an  Aether,  an  Salz  u.  dergl.  Diesen 
verschiedenen  Bedeutungen  nachzuspüren,  bedarf  es  einer  unumschränkten 
Herrschaft  über  die  gesammte  Literatur,  in  welcher  ein  solches  Wort  vor- 
kommt, und  wem  diese  nicht  in  fast  gleichem  Maasse  zu  Gebote  steht,  der 
erscheint  nicht  berechtigt,  anders  als  einfach  berichtend  über  solche  werth- 
volle,  wichtige,  aber  ungemein  schwierige  Untersuchungen  zu  reden.  Das 
ist  unsere  Lage  gegenüber  dem  vorliegenden  Bande,  in  welchem  Herr 
Hardy  den  Bedeutungen  nachforscht,  welche  das  Wort  tpvoig  in  der  Ge- 
schichte der  griechischen  Philosophie  nachweislich  besessen  hat.  Wir  können 
ihn  nicht  widerlegen  noch  bestätigen,   aber  wir  glauben  doch  das  Vorhan- 


128  Historiscli- literarische  Abtheilnng. 

densein  seines  Buches  unseren  Lesern  wahrnehmbar  machen  zu  müssen,  sei 
es,  dass  unter  ihnen  wirklich  befugte  Bichter,  sei  es,  dass  nur  interesse- 
volle  Laien  gleich  uns  dadurch  auf  die  Quelle  weiterer  Belehrung  hingewie- 
sen werden.  Von  Thaies  bis  Sokrates,  Sokrates  und  Xenophon,  Flato, 
Aristoteles  lauten  die  Ueberschriften  der  vier  grossen  Abschnitte,  in  welche 
der  Stoff  von  selbst  sich  gliederte.  In  der  ersten  Periode  gebraucht  Thaies 
das  Wort  Physis  für  die  gesammte  Welt  der  äusseren  Erscheinungen  und 
deren  Bewegung,  Anaximander  für  das,  was  wir  heute  etwa  Physik 
nennen.  Empedokles  nennt  Physis  in  wissenschaftlicher  Bedeutung,  die 
mit  der  populären  nicht  zu  verwechseln  sei,  Verbindung  und  Trennung. 
Die  Fythagoräer  sahen  in  Physis  das  geheimnissvolle  Wesen  der  Zahl,  den 
Grund-  und  Inbegriff  aller  Eigenschaften  eines  Dinges,  Heraklit  die  Ver- 
nunftordnung, welche  alle  Gegensätze  aufhebt,  welche  das  Niederste  und 
Höchste,  sogar  der  Menschen  Denken  und  Thun  bestimmt.  Besonders  für 
den  Menschen  ist  nun  in  den  Hippokratischen  Schriften,  den  echten  wie 
den  unechten,  Physis  der  innere  Grund  der  Wirksamkeit.  Als  Naturord- 
nung erkannte  auch  Demokrit  die  Physis  gegenüber  von  dem  Nomos,  dem 
Staatsgesetze,  und  dieser  Gegensatz  steigert  sich  nur  noch  bei  Hippias. 
Das  Naturgesetz,  die  Physis,  ist  dem  Sophisten  erfahrungsmässig  gegeben, 
und  ein  Merkmal  desselben  ist  es,  dass  jede  Handlung  gegen  die  Natur 
ihre  Strafe  unausweichlich  mit  sich  führt,  während  das  Menschengesetz  um- 
gangen werden  kann,  ohne  dass  die  Strafe  aus  der  Umgehung  selbst  her- 
vorgehe. Aber  die  Physis  bleibt  erfahrungsmässig.  Sie  ist  nicht  als  Sitten 
gesetz  vor  und  über  der  Erfahrung  vorhanden.  Zu  dieser  Höhe  erhob  sie 
und  sich  erst  Sokrates  in  der  zweiten  Periode.  Ihm  wurde  Physis  der 
letzte  Grund  der  Erscheinungen  des  sittlichen  Lebens,  ergänzungsf^hig  durch 
Erziehung,  und  darum  seine  Bemühungen  um  die  Erziehung,  um  dieser 
willen  die  Verwerthbarkeit  von  Xenophon 's  Cyropädie  für  das  behandelte 
Thema.  Plato,  der  eine  dritte  Periode  bildet,  findet  in  der  Physis  die 
mustergiltige  Form  für  das  menschliche  Schaffen ;  sie  beruht  auf  dem  Wissen. 
Endlich  schliesst  der  Band  mit  der  vierten  Periode,  der  des  Aristoteles. 
Hier  tritt,  mehr  anSokrates  wiederanknüpfend,  das  Ethische  neuerdings 
in  den  Naturbegriff  zurück.  Wir  haben  selbst  die  Empfindung,  der  auch 
eingeschränkten  Aufgabe  eines  blos  übersichtlichen  allgemeinen  Berichts, 
die  wir  uns  gestellt  haben,  nur  sehr  mangelhaft  genügt  zu  haben.  Möge 
die  Schwierigkeit  des  Gegenstandes  uns  zur  Entschuldigung  gereichen. 

Cantob, 

J.  DuFUis,  Le  nombre  g^om^trique  de  Piaton.  Paris  1881.  64  pages. 
—  Seconde  Interpretation.  Paris  1882.  32  pages.  —  Troisiöme 
Memoire.  Extrait  de  l'annuaire  de  l'Association  pour  Tencouragement 
des  6tudes  grecques  en  France,  augmentu  de  notes.  Paris  1885. 
56  pages.     Libraire  Ilachette  &  C^®, 


Becensionen.  129 

Die  erste  der  drei  in  der  üeberschrift  genannten  Abhandlungen  bot 
unserem  gelehrten  Freunde  Herrn  Fr.  Hultsch  Gelegenheit,  sich  gleich- 
falls mit  der  seit  undenklicher  Zeit  übelberüchtigten  Stelle  in  Flaton's 
VIII.  Buche  vom  Staate  zu;  beschäftigen,  und  veranlasste  so  dessen  Aufsatz, 
der  im  XXVII.  Bande  dieser  Zeitschrift,  hist.-lit.  Abthlg.  S.  41— 60  ab- 
gedruckt ist.  Herr  Hultsch  konnte  mit  dem  Vorschlage  des  französischen 
Gelehrten,  21600  =  100(3^  +  4^+5^)  als  die  Lösung  des  mehr  als  zwei- 
tausendjährigen Bäthsels  anzuerkennen,  sich  nicht  befreunden.  Ebenso  un- 
befriedigt war  aber  Herr  Dupuis  selbst.  In  einer  zweiten  Abhandlung 
Hess  er  jene  Zahl  fallen,  ohne  jedoch  dem  Hultsch ^schen  Lösungsversuche 
12960000  sich  anzuschliessen.  Er  versuchte  es  vielmehr  mit  einer  neuen, 
vorher  noch  nie  vorgeschlagenen  Zahl  760000.  Heute  kommt  Herr  Dupuis 
zum  dritten  Male  auf  die  Stelle  zurück,  um  seine  Zahl  760000  mit  neuen 
Gründen  zu  empfehlen.  Beferent  steht  der  Frage  ebenso  8kel|ptisch  wie  sonst 
gegenüber.  Das  letzte  Wort  scheint  ihm  immer  noch  nicht  ausgesprochen. 
Was  aber  den  Vorschlag  der  76  Myriaden  betrifft,  so  lehnen  wir  ihn  ein- 
fach ab,  und  zwar  aus  dem  gleichen  Grunde,  welchen  Herr  Hultsch  am 
9.  November  1882  in  einer  von  Herrn  Dupuis  (S.  21  u.  22)  citirten  Brief- 
stelle aussprach.  Im  Platonischen  Wortlaute  kommen  die  Worte  tQlg  ot;|iy- 
Qslg  vor.  Herr  Dupuis  verlangt,  rgig  solle  hier  als  Ausdruck  unbestimmter 
Vielheit  gedeutet  werden;  man  solle  mithin  setzen  „sehr  vermehrt",  was  in 
diesem  besondern  Falle  identisch  sei  mit  „120000 mal".  Das  halten  wir  für 
durchaus  unmöglich !  Gewiss  bedeutet  xQig  recht  oft  eine  unbestimmte  Vielheit, 
und  die  von  Herrn  Dupuis  S.  17 — 19  zusammengestellten  Beispiele  sind  sehr 
gut  gewählt,  diese  Bedeutung  klar  zu  machen ;  aber  dass  rqig  eine  unbestimmte 
Vielheit  bedeuten  könne  mitten  in  einem  arithmetischen  Zusammenhange,  mitten 
zwischen  Zahlen ,  die  jede  ihre  naturgemässe ,  bestimmte  Bedeutung  besitzen, 
das  erscheint  uns  undenkbar.  Wählen  wir  ein  ähnliches  Beispiel  geometrischer 
Unbestimmtheit.  ;,Die  Knaben  stellten  sich  um  ihren  Lehrer  im  Kreise  auf", 
d.  h.  sie  bildeten  irgend  eine  in  sich  zurücklaufende  krumme  Linie,  ob  einen 
Kreis,  ob  irgend  eine  Eilinie,  gleichviel.  Nun  aber  lesen  wir  folgenden 
Satz:  „Die  Knaben  bildeten  zuerst  in  ihrer  Beihenfolge  eine  Archimedische 
Spirale,  dann  eine  Cissoide,  zuletzt  einen  Kreis. ^  Kann  hier  auch  Kreis 
irgend  eine  in  sich  zuiiicklaufende  krumme  Linie  bedeuten?  Nach  unserer 
Ueberzeugung  unmöglich!  Wo  einmal  mathematisch  bestimmte  Begriffe  in 
einem  Satzgefüge  Eingang  gefanden  haben,  können  sie  nicht  mehr  mit  un- 
bestimmtem Sinne  dort  gefanden  werden  wollen.  So  wenigstens  ist  unsere 
Ueberzeugung,  Cantor. 

Julius  Elaproth's  Schreiben  an  Alezander  von  Humboldt  über  die  Er- 
findung des  Compasses.  Aus  dem  französischen  Original  im  Aus> 
zuge  mitgetheilt  von  Dr.  phil.  Armin  Wittstbin.  Leipzig  1885  bei 
T.  0.  Weigel.    XU,  49  S. 


130  Historisch -literarische  Abtheilung. 

In  unserem  schnelllebenden  Jahrhundert  ist  man  wohl  berechtigt,  die 
Frage  aufzuwerfen,  inwiefern  historische  Untersuchungen ,  vor  mehr  als  50 
Jahren  angestellt,  es  verdienen  können,  nicht  nur  überhaupt  noch  gelesen 
zu  werden,  vielmehr  in  neuem  Gewände  zu  erscheinen?  Herr  Wittstein 
hat  bezüglich  des  Klaproth'schen  Schreibens  von  1834  diese  Frage  bejaht 
und,  so  weit  wir  bei  dem  uns  ziemlich  weit  abliegenden  Gegenstande  ein 
ürtheil  uns  zutrauen  dürfen ,  auch  bejahen  können.  Vielleicht  ist  seitdem  der 
unbedingte  Glaube  an  die  Zuverlässigkeit  chinesischer  Aussagen  etwas  mehr 
ins  Schwanken  gekommen,  hat  man  sich  einigermassen  gewöhnt,  mehr  das 
Datum  solcher  Aussagen  selbst,  als  die  fabelhaften  Vergangenheiten,  von 
denen  dieselben  berichten,  zu  beachten,  um  eine  untere  Grenze  fEir  die 
Verbreitung  dieses  oder  jenes  Wissens  zu  erhalten;  aber  auch  Elaproth 
scheint  in  dieser  Beziehung  bereits  mit  gutem  Beispiel  vorangegangen  zu 
sein  und  eine  Kritik  geübt  zu  haben,  welche  in  ihrer  Besonnenheit  sich 
nicht  mit  der  eines  Gaubil  u.  s.  w.  in  Vergleich  bringen  lässt,  Der  deutsehe 
Bearbeiter  mag  den  vernichtenden  Bothstift  noch  an  einzelnen  weiteren 
Thatsachen  benutzt  haben,  welche  beiKlaproth  noch  Aufnahme  gefunden 
hatten;  Neues  hinzuzufügen  war  er  kaum  je  in  der  Lage,  da  der  Gegen- 
stand seit  Elaproth  keine  fördernde  Bearbeitung  mehr  gefunden  hat.  Nicht 
als  ob  Berte lli 's  gelehrte  Untersuchungen  kein  neues  Licht  auf  die  Ge- 
schichte des  Compasses  im  Mittelalter  und  in  unserem  Welttheile  geworfen 
hätten,  aber  die  ostasiatische  Urgeschichte  erscheint  darum  in  durchaus  un- 
veränderten Zügen,  wie  Klaproth  sie  in  seinem  Briefe  hinzeichnete,  wie 
Ed.  Biet  sie  in  den  vierziger  Jahren  bestätigte.  Herr  Wittstein  liefert 
uns  eine  verbesserte  imd  verringerte  Ausgabe  jener  Schrift  von  1834,  welche 
er  etwa  auf  ihren  dritten  Theil  zurückführte.  Nur  um  so  zuverlässiger 
gestalten  sich  seine  Angaben,  und  wir  glauben  auf  seine  Bearbeitung  als 
auf  eine  zweite  Quelle  hinweisen  zu  dürfen,  aus  welcher  man  unbedenklich 

fen  kann.  Cantor. 


Oli  scritti  inediti  di  Leonardo  da  Vinci,    secondo  gli  ultimi  studi  per 

Antonio  Favaro.     Venezia  1885.     Estr.  dagli  Atti  del  R.  Istituto 

veneto  di  scienze,  lett.  e   arti.     Tomo  III,  serie  VI.     Tipografia  di 

G.  Antonelli.     62  pag. 

Auf  das  Jahr  1886  hat  das  E.  Istituto  Lombarde,   statutarisch  dazu 

genöthigt,  zum  ersten  Male  den  Preis  Tomasoni  ftir  die  beste  Geschichte 

des  Lebens   und  der  Werke  Leonardo 's   da  Vinci  ausgeschrieben.     Der 

Begründer  dieses  Preises  hätte,   so   meinen   wir   mit  Herrn  Favaro,  des 

französischen  Eochrecepts  eingedenk   sein   sollen:    „Pour  faire  un  dvd  de 

liivre,  ü  faut  im  Udvre.'^     Die  Würdigung  von  Leonardo 's  Werken  kann 

genauer,  als  sie  von  Venturi  auf  Grund  handschriftlicher  Studien  gegeben 


Becensionen.  131 

worden  ist,  erst  dann  erfolgen,  wenn  die  Werke  gedruckt  vorliegen.  Zwei 
Gelehrte,  Herr  Charles  Bayaisson-Mollien  in  Paris,  Herr  Jean  Paul 
Bichter  in  London,  haben  den  Anfang  mit  der  Druckgebung  gemacht. 
Anch  darin  stimmen  wir  Herrn  Favaro  durchaus  bei,  dass  in  erster  Linie 
nur  die  Pariser  Abdrücke,  in  ihrer  photographischen  Vollständigkeit  die 
Handschriften  vollständig  ersetzend,  brauchbar  erscheinen.  Auszüge,  wie 
die  Londoner  Ausgabe  sie  bietet,  geben  nie  den  Schrifteteller  selbst,  son- 
dern nur  was  einem  Dritten  Wissens werth  erschien,  und  der  Begriff  des 
Wissenswerthen  ist  damit  in  allzu  enge  persönliche  Grenzen  eingeschlossen. 
Endlich  unterstützen  wir  aus  ganzem  Herzen  Herrn  Pavaro's  Wunsch, 
Italien  möge  sich  nicht  von  fremden  Staaten  überflügeln  lassen  und  möge 
dafür  Sorge  ti*agen,  dass  der  Codice  Atlantico  aufhöre,  nur  eine  Zierde  der 
Mailänder  Ambrosiana  zu  sein ,  vielmehr  im  Drucke  Gemeingut  der  Wissen- 
schaft werde.  Cantoe. 

Die  Entdeoknng  des  BehamingsgeBetzes ,  eine  Studie  zur  Geschichte  der 
Physik  von  Dr.  Emil  Wohlwill.  Separatabdruck  aus  der  Zeit, 
Schrift  für  Völkerpsychologie  und  Sprachwissenschaft  Weimar  1884, 
Hofbuchdruckerei.  163  S. 
Die  Bewegung  dauert  nur  dadurch  fort,  dass  das  Bewegende  mit  dem 
Bewegten  in  Berührung  bleibt,  sei  es  in  unmittelbarer  Berührung,  sei  es 
in  mittelbarer,  indem  die  umgebenden  Medien,  Lufb,  Wasser  u.  dergl.,  die 
Eigenschaft  besitzen,  eine  mitgetheilte  Bewegung  bewahren  und  weiter  be- 
fördern zu  können.  Ausserdem  ist  aber  die  Kreisbewegung  als  solche  eine 
von  der  Natur  gegebene  und  darum  unaufhörliche.  So  war  die  Lehre  des 
Aristoteles,  welche,  wie  dessen  ganze  Physik,  die  europäische  Wissen. 
Schaft  bis  tief  in  das  XVII.  S.  hinein  beherrschte  und  in  dem  Satze  der 
Aerzte:  „Cessante  causa  cessat  effedtM^  unbewusst  bis  in  unsere  Tage  hinein- 
ragt. Dieser  Lehre  schroff  gegenüber  steht  das  Gesetz  der  Beharrung :  Die 
Wirkung  jeder  Ursache  verharrt!  Wie  hat  der  Uebergang  von  dem  einen 
zu  dem  andern  Satze  stattgefunden?  Hat  Galilei  in  urplötzlicher  Entdeck- 
ungsweise die  neue  Lehre  aufgefunden?  Hat  sie  allmälig  sich  gebildet  und 
kann  man  die  Geschichte  dieser  Begriffsbildung  verfolgen?  Das  ist  die 
hochinteressante  Frage,  welche  Herr  Wohlwill  sich  gestellt  und  welche 
er  beantwortet  hat.  In  raschem  Fluge  führt  er  uns  in  die  Zeit  des  Cusa- 
ners,  welcher,  wie  in  vielen  Dingen,  auch  in  der  Bewegungslehre  Zweifel 
an  Aristoteles  zu  hegen  und  auszusprechen  wagte.  Bei  Tartaglia  und 
bei  dessen  Gegner  Cardano  finden  wir  die  vermeintliche  Erfahrungsthat- 
sache,  dass  ein  Geschoss  beim  Verlassen  des  Bohres  zu  Anfang  mit  zuneh- 
mender, dann  mit  abnehmender  Geschwindigkeit  sich  bewege.  Eine  Erklä- 
rung einer  so  durchaus  unwahren  Erscheinung  musste  nothwendig  falsch 
sein!     Nun  folgt  Benedetti,   der  Entdecker  der  in  der  Berührungslinie 


132  Historisch -literarische  Abtheilung. 

zur  Bahn  wirkenden  Fliehkraft.  Auch  in  der  Bewegungslehre  bricht  er  mit 
dem  Altherkömmlichen.  Nicht  das  umgebende  Mittel  giebt  dem  bewegten 
Körper  erneuten  Antrieb,  er  enthält  vielmehr  die  Ursache  der  Bewegung 
in  sich  selbst.  Diese  Lehre  übernahm  Galilei  und  setzte  sie  in  einer  von 
ihm  nicht  zum  Drucke  bestimmten  Schrift  aus  der  Zeit  zwischen  1589  nnd 
1592  auseinander.  Die  Handschrift  diesisr  Abhandlung  setzt  sich  allerdings 
mit  einem  Abschnitte  fort,  in  welchem  die  Galilei 'sehe  Mechanik  anf 
ihrem  Höhepunkte  nicht  zu  verkennen  ist.  Aber  Herr  Wohlwill  hat  ge- 
zeigt, dass  hier  Stücke  sehr  verschiedenen  Alters  nur  zufallig  vereinigt  sind, 
dass  jener  Schlussabschnitt  nicht  vor  dem  16.  October  1604  eiitstanden  sein 
kann.  Galilei 's  Leistungen  umfassen  die  ganze  Mechanik.  Das  Behar- 
rungsgesetz erkannte  er  zuerst  auf  der  horizontalen  Ebene.  Es  war  zunächst 
nur  eine  Erweiterung  des  bereits  von  Aristoteles  erkannten  Sonderfalles; 
denn  was  anders  als  Beharrung  ist  es ,  wenn  der  Stagyrite  die  Ewigkeit  der 
Kreisbewegung  fordert?  —  Wie  alsdann  Galilei  in  richtiger  Erkenntnis« 
weiter  und  weiter  ging,  wie  fast  jedes  einzelne  Werk ,  welches  er  verfasste, 
einen  allmäligen  Fortschritt  enthält ,  das  ist  der  Inhalt  der  zweiten ,  grösseren 
Hälfte  der  WohlwilTschen  Schrift.  Bei  dem  Reichthum  an  in  derselben 
theils  auslPührlich  behandelten,  theils  gestreiften  Gegenständen  ist  es  kaum 
thunlich,  darüber  zu  berichten,  ohne  in  hier  unstatthafte  Weitläufigkeit  zu 
'verfallen.  Wir  verweisen  unsere  Leser  auf  das  Original,  dessen  Bedeut- 
samkeit in  rechtes  Licht  zu  setzen  einzige  Absicht  dieser  Anzeige  war. 
Herr  Wohlwill  hat  entschieden  Recht  daran  gethan,  eine  Vereinigung  der 
in  drei  verschiedenen  Zeitschriftheften  erschienenen  Abhandlung  zu  veran- 
lassen. Noch  dankbarer  wäre  man  ihm  gewesen,  wenn  er  auch  eine  In- 
haltsübersicht hätte  beifügen  wollen;  denn  den  leisen  Vorwurf  können  wir 
ihm  bei  höchster  Anerkennung  des  Geleisteten  nicht  ersparen,  dass  voll- 
endete Uebersichtlichkeit  seiner  Anordnung  nicht  innewohnt. 

Gewissermassen  als  Ergänzung  zur  hier  angezeigten  Abhandlung  ;-je.  latten 
wir  uns,  auch  auf  einen  Aufsatz  von  Herrn  Fr.  Poske,  Der  empirische 
Ursprung  und  die  Allgepieingiltigkeit  des  Beharrungsgesetzes  (Vierteljahrs- 
schrift für  wissenschaftliche  Philosophie  VIII,  4),  mit  nachfolgenden  Be- 
merkungen von  Herrn  W.  Wundt  hinzuweisen.  Cantob. 


Histoixe   des   scienoes   math^matiques  et  physiqaes   par  M.  Maximilian 
Mabie,   r6p6titeur  de  m6canique,   examinateur  d'admission  ä  T^cole 
polytechnique.     Tome  VI.     De  Newton  ä  Euler  (Suite).     258  pag. 
Paris,  Gauthier -Villars  imprimeur - libraire.     1885. 
Erst  S.  115  dieses  Bandes  haben  wir  über  Bd.  IV  und  V  des  Marie- 
schen Werkes  berichtet,  und  schon  wieder  sind  wir  im  Stande,  einen  neuen 
Band   anmelden  zu  können.     Er  beschäftigt  sich  ziemlich  ausschliesslich  im 


Becensionen.  133 

ersten  Drittel  mit  den  Principien  von  Newton,  in  den  beiden  letzten  Drit- 
teln mit  den  Aufsätzen  von  Leibnitz,  welche  leider  nicht  in  den  Origi- 
naldrucken oder  in  der  neuen  Gerhard  tischen  Ausgabe,  sondern  in  der 
durch  massenhafte  Druckfehler  entstellten  Dutens 'sehen  Ausgabe  studirt 
wurden,  wodurch  Herr  Marie  sich  seine  Arbeit  nicht  unbeträchtlich  er- 
schwerte. Die  Aufgabe,  welche  er  sich  an  der  Hand  der  umfänglichen 
Auszüge,  die  er  liefert,  stellt,  ist  die  Beantwortung  der  berühmten  oder 
berüchtigten  Streitfrage  über  die  Erfinderrechte  an  der  Infinitesimalrech- 
nung. Herr  Marie  gelangt  dabei  zu  folgendem  Urtheilsspruche.  Es  steht 
geschichtlich  fest,  dass  Newton  bei  Veröffentlichung  seiner  Principien  die 
Fluxionsrechnung  besaas.  Wüsste  man  aber  davon  nicht  aus  anderen  Schrift- 
stücken, die  Principien  selbst  könnten  nur  die  entgegengesetzte  Meinung 
erwecken.  Der  Brief  Newton 's  vom  24.  October  1676  ist  ein  wahres 
Meisterwerk  in  der  Kunst,  seine  Gedanken  zu  verhüllen,  und  aus  ihm  war 
ebenso  wenig,  wie  aus  den  Principien  ein  Plagiat  möglich.  Leibnitz 
dagegen  geht  überall  offen  mit  der  Sprache  heraus.  Er  feilt  so  wenig, 
dass  es  ihm  auch  auf  einen  Bechenfehler  nicht  ankommt.  Die  Methoden 
sollen  bekannt  werden,  damit  die  Wissenschaft  Nutzen  davon  ziehen  könne ; 
in  wessen  Garten  die  Früchte  reifen ,  sei  gleich ,  sagt  er  in  liebenswürdiger 
Hingebung  seiner  Entdeckungen.  So  ist  Leibnitzens  Unschuld  in  zweifel- 
losester Weise  gesichert.  Wir  brauchen  unseren  Lesern  nicht  erst  zu  sagen, 
dass  wir  immer  die  gleichen  Sätze  verfochten  haben,  und  wollen  nur  ganz 
gelegentlich  auf  eine  Untersuchung  in  der  Zeitschrift  „Nord  und  Süd^ 
(Januar  und  Februar  1881)  hinweisen ,  wo  wir  den  Beweis  geliefert  haben, 
dass  politische  Gründe  bei  dem  gehässig  geführten  und  von  der  Londoner 
Königl.  Gesellschaft  ungerecht  entschiedenen  Streite  in  gewichtigem  Maasse 
mitwirkten.  Leibnitzens  Briefwechsel,  abgesehen  von  den  Briefen  an  Olden- 
burg, hat  Herr  Marie  noch  nicht  berücksichtigt.  Wesentliche  Verdienste, 
wozu  wir  den  Anstoss  zur  modernen  Coefficientenbezeichnung  mittels  ein- 
facher   und   auch    schon    doppelter  Indicirung    rechnen,    sind  daher  nicht 

^^^^  Cantor. 

Algebraische  XTntersuoliungen  nach  Tschimhausens  Methode,  von  Karl 
Hüi^RATH.     I.   Programm    des   Gymnasiums   zu  Glückstadt,    Ostern 
1876.     II.  Programm  des  Gymnasiums  zu  Hadersleben,  Ostern  1881. 
III.  Programm  des  Gymnasiums  und  des  Real -Progymnasiums  zu 
Hadersleben,  Ostern  1885. 
Schon  Card  an  0  hat,  wenn  auch  nur  an  dem  besondem  Falle  der  cubi- 
sehen  Gleichung,  erkannt,  dass  die  Substitution  y=zhQ+x  unter  nachträg- 
licher zweckentsprechender  Wahl  der  Constanten  h^  genüge,  um  aus  der 
Gleichung  aj" -f  On^i 35"""*  +  ...  +  a^x  +  aQ  =  0  eine  neue  Gleichung  in  y  zu 
erhalten,  in  welcher  ein  Glied  zwischen  dem  n^°  und  nullten  Gliede  fehlt. 


134  Historisch -literarische  Abtheilnng. 


Tschirnhaus  hat  in  den  Acta  eruditonim  für  1683  pag.  204flgg.  den  grossen 
Schritt  weiter  gethan,  mehr  als  nnr  ein  Glied  zum  Wegfall  zu  bringen, 
indem  er  die  Sul^titution  y  =  5o  +  &ja;+aj*  anwandte,  in  welcher  zwei  Con- 
stanten Iq  und  &|  zur  zweckdienlichen  Bestimmung  vorkommen.  Erst  die 
neuere  Zeit  hat  die  ganze  Tragweite  dieses  Tschirnhaus'schen  Gedan- 
kens erkannt,  und  in  dem  bekannten  Handbuche  der  höheren  Algebra  von 
J.  A.  Serret  (deutsche  üebersetzung ,  Bd.  I  S.  346  flgg.)  ist  der  allgemeine 
Gang  jenes  Substitutionsverfahrens  in  deutlichen  Umrissen  gezeichnet  Ein 
Anderes  ist  aber  immerhin  der  allgemeine  Gang ,  ein  Anderes  die  Ausführung 
im  Einzelnen,  und  Herr  Hunrath,  ein  unerschrockener  Rechner ,  dem  kein 
noch  so  kraus  gebauter  Ausdruck  Furcht  einjagt,  hat  es  in  drei  Schulpro- 
grammen unternommen,  die  wirkliche  Durchführung  jenes  Gedankens  für 
Gleichungen  bis  zum  fünften  Grade  einschliesslich  kennen  zu  lehren.  Er  hat 
gezeigt ,  dass  y=^hQ  +  hiX  +  x*  die  cubische  sowie  die  biquadratische  Gleich- 
ung zur  Auflösung  bringt,  indem  jene  in  eine  rein  cubische,  diese  in  eine 
quadratische  Gleichung  übergeht,  während  die  Bestimmung  der  vorher  will- 
kürlichen Constanten  eine  Gleichung  niedrigeren  Grades  beansprucht.  Er 
hat  gezeigt,  dass  y^^hQ  +  h^x  +  h^x^  +  a^y  wiewohl  drei  Constante  in  sich 
schliessend,  nicht  genüge,  um  im  Allgemeinen  die  Beseitigung  von  drei 
Gliedern  der  umgeformten  Gleichung  zu  sichern.  Er  hat  endlich  gezeigt, 
dass  dieser  letztere  Zweck  bei  der  Gleichung  fünften  Grades  durch  Jer- 
rard's  Substitution  y  =  fto+^i^  +  ^2^*  +  ^3^  +  ^4^  erreicht  werde.  Die 
vollzogenen  Rechnungen  sind,  wie  wir  schon  mit  einem  Worte  andeuteten, 
sehr  verwickelt,  wenn  auch  nicht  gerade  schwer,  und  es  mag  recht  zweck- 
mässig sein>  dass  der  Lehrer  sich  einmal  überzeuge,  wie  ein  Verfahren  in 
der  Ausübung  doch  gewaltig  anders,   als  in  der  allgemeinen  Schilderung 

**^««^«^^  Cahtor. 

Nekrolog  des  königL  wftrttembergisohen  Oberstadienraths  Dr.  Christian 
Heinrioh  v.  Nagel.     Separatabdruck  aus  dem  Correspondenzblatt  f. 
d.  Gel.-  u.  Realschulen  Württembergs.    1884,  Heft  1  u.  2.    Tübingen 
1884,  Verlag  und  Druck  von  Franz  Pues  (L.  Fr.  Fues'sche  Sorti- 
mentsbuchhandlun^).     18  S. 
Als  Verfasser  zeichnet  sich  am  Schlüsse  der  Abhandlung  Herr  Otto 
Er i mmol.     Er   hat   eine    warm    empfundene  Schilderung   des    einfachen 
Lebensganges   und  der  mathematischen  wie  pädagogischen  Verdienste  des 
württembergischen  Schulmannes   geliefert,    die    bei   der  auch  in  weiteren 
Kreisen  anerkannten  Bedeutung  NageTs  ein  mehr  als  nur  lokalpatriotisches 
Interesse  wachzurufen  vermag.     Nagel  war  am  28.  Februar  1803  in  Stutt- 
gart geboren,  hat  gleich  vielen  Zeitgenossen  Theologie  als  Hauptfach,  Ma- 
thematik  nebenbei   aber  als  Lieblingsfach  studirt.     Er  starb  in  Ulm  am 
26.  October  1882.    Sein  Name  bleibt  in  der  Geometrie  durch  die  Nagel- 
Bohen  Punkte  erhalten.  Caktor 


Becensionen.  135 

Der  christliohe  Kalender  alten  und  neuen  Stils,  in  tabellarischer  Form 
dargestellt  von  P.  Schubring.     Besonderer  Abdruck  ans  den  Jahr- 
büchern der  königl.  Akademie  gem.  Wissenschaften  zu  Erfurt.    Neue 
Folge,  Heft  XII.     Erfurt  1884,   Druck  von  J.  H.  Gramer.    63  S. 
nebst  3  Beilagen.     I.  Immerwährender  Kalender.     11.  Allgemeiner 
Ostervollmonds-Cyklus.     in.  Allgemeine  Ostervollmonds- Tabelle  fOr 
alten  und  neuen  Stil. 
Drei  Zahlen,  der  Sonnenzirkel,  die  güldene  Zahl,  die  Römer- 
Zins  zahl,  spielen  in  der  Chronologie  eine  wichtige  Rolle.    Sie  entsprechen 
dem  28 jährigen  Sonnencyklus ,   nach  dessen  Ablauf  die  Sonntage  auf  die 
gleichen  Monatstage  zurückkehren,  dem  19jährigen  Mondcyklus,  nach  wel« 
ehern  die  Vollmonde  auf  die  gleichen  Monatstage  zurückkehren,  und  endlich 
dem   15jährigen  Indictionscyklus.     Aus  den  drei   genannten  Cyklen  bildet 
sich  ein  grosser  Cyklus  von  28.19. 15  =  7980  Jahren,  der  die  Eigenschaf- 
ten  aller  drei  vereinigt.     Diese  grosse  sogenannte  Julianische  Periode 
beginnt  mit  dem  Jahre  4713  v.  Chr.  und  das  letzte  Jahr  ihrer  ersten  Voll- 
endung  wird  das  Jahr  3267   n.  Chr.  sein.    Für  das  Jahr  i  nach  Christi 
Geburt  ist  demnach  stets: 

1)  Sonnenzirkel        =  i  f  4713  {mod28)  oder  =  i  +  9  {fnod28) , 

2)  Güldene  Zahl       =  i  +  4713  {mod  19)  oder  =i+l  {mod  19) , 

3)  Römer .  Zinszahl  =  i  +  4713  {mod  15)  oder  =  t  +  3  {mod  15). 
Abänderungen  verursachen  nun  die  Schaltjahre ,  deren  Einführung  und 

Berechnung  erst  im  Julianischen,  dann  im  Gregorianischen  Kalender  als 
allgemein  bekannt  vorausgesetzt  werden  darf.  Will  man  in  irgend  einem 
Jahre  das  Datum  der  beweglichen  Kirchenfeste,  insbesondere  des  Osterfestes 
ermitteln,  so  muss  also  die  Kenntniss  der  genannten  Zahlen,  vornehmlich 
des  Sonnenzirkels  und  der  güldenen  Zahl,  vorausgehen,  auf  welche  die 
ganze  sogenannte  Osterrechnung  sich  stützt.  Man  verschafiFt  sich  die- 
selben entweder  durch  die  erwähnten  Congruenzen ,  die  mit  Hilfe  der  nöthi- 
gen  Abänderungen  richtig  gestellt  wurden,  oder  in  bequemerer  Weise  durch 
ein  machinales  Verfahren.  Herr  Schubring,  von  dessen  chronologisch- 
wissenschaftlicher Thätigkeit  im  XXIX.  Bande  dieser  Zeitschrift,  hist.-lit. 
Abth.  S.  180,  die  Rede  war,  hat  die  Aufgabe  in  der  doppelten  oben  ange- 
deuteten Art  gelöst  Er  hat  in  seiner  Abhandlung  die  Berechnung  jener  wich- 
tigen Zahlen  gelehrt,  er  hat  auch  einen  ungemein  sinnreichen  Apparat  her- 
zustellen gewusst,  welcher  durch  einige  Drehungen  nach  vollzogener  Einstel- 
lung die  Antwort  auf  die  betreffenden  Fragen  abzulesen  gestattet.  Wir  sind 
überzeugt,  dass,  wer  Kalenderprobleme  mehrfach  zu  lösen  hat,  sich  an  der 
Hand  der  Seh  üb  ring 'sehen  Belehrung  bald  auf  einem  Gebiete  zu  Hause 
fühlen  wird,  das  immerhin  zu  den  von  Schwierigkeiten  durchschnittenen 
gehört,  wie  sich  schon  daraus  entnehmen  Iftsst,  dass  Gauss  es  der  Mühe 
werih  hielt,  sich  auf  demselben  umherzutummeln.  Caktob« 


136  Historisch -literarische  Abtheilnng. 


Kalender -Tabellen,  zusammengestellt  von  Dr.  Felix  Mülleb,  Oberlehrer 
am  königl.  Louisengjmnasium  zu  Berlin.  Berlin,  bei  Georg  Beimer. 
1885.  8  S.  und  3  Tafeln. 
Dieselbe  Aufgabe,  welche  Herr  Schubring,  wie  wir  in  der  voraus 
gehenden  kurzen  Besprechung  gesagt  haben,  seine  Leser  lösen  lehrt,  hat 
auch  Herr  Müller  behandelt.  Ein  wesentlicher  Unterschied  besteht  nnr 
darin,  dass  Herr  Müller  die  Rechnung  selbst  als  ausgeführt  voraussetzt 
und  sich  begnügt,  die  praktische  Benutzung  der  Tabellen  zu  lehren ,  welche 
er  mit  Zugrundelegung  der  Piper 'sehen  Abhandlung  über  die  Gauss 'sehe 
Osterformel  (Grelle  XXII)  herzustellen  sich  die  grosse  Mühe  gab.  Herrn 
Schubring 's  Arbeit  muss  man  verstehen,  um  sie  anzuwenden;  Herrn 
Müll  er 's  Tabellen  kann  man  anwenden,  ohne  ihre  Herstellung  klar  zu 
übersehen,  ähnlich  etwa  wie  man  Logarithmentabellen  benutzen  kann  und 
thatsSchlich  auf  der  Schule  benutzen  lässt,  ohne  dass  der  Schüler  weiss, 
wie  die  Tabelle  eigentlich  entstanden  ist.  Cantor. 


C.  Neumann,  Vorlesungen  über  Eiemann's  Theorie  der  Aberschen  Inte- 
gprale.  Leipzig,  Teubner.  1884. 
Dass  ein  Werk,  wie  das  vorliegende,  in  zweiter  Auf  läge  erscheint,  ist 
schon  an  und  für  sich  mit  grosser  Freude  zu  begrüssen.  Muss  doch  die 
Theorie  der  Abel'schen  Functionen  als  die  schönste  Frucht  der  neueren 
Mathematik  bezeichnet  werden.  Wenn  also  ein  Werk,  welches  sich  die  Ein- 
führung in  diese  Theorie  zur  Aufgabe  setzt,  zahlreichen  Absatz  findet,  so 
ist  das  ein  erfreulicher  Beweis,  dass  die  Theorie  selbst  in  immer  weiteren 
Kreisen  bekannt  und  gepflegt  wird.  Auch  war  die  erste  Auflage  als  ein 
sehr  brauchbares  Hilfsmittel  bekannt  und  geschätzt,  und  es  wurde  allgemein 
anerkannt,  dass  der  Verfasser  es  verstanden  habe,  der  Riemann 'sehen 
Theorie  ihre  Schwierigkeit  zu  nehmen  und  Jedem,  der  die  Elemente  der 
Differential-  und  Integralrechnung  erfasst  hat,  das  VerstSndniss  zu  ermög- 
lichen. Die  vorliegende  zweite  Auflage  aber  wird,  daran  zweifeln  wir 
nicht,  ihrem  Zwecke  noch  weit  besser  dienen,  da  sie  die  Vorzüge  der  ersten 
Auflage  beibehalten  und  denselben  wesentliche  neue  hinzugefügt  hat.  Wenn 
das  Vorwort  zur  ersten  Auflage  es  als  die  Aufgabe  des  Werkes  bezeichnete, 
die  beiden  in  Riemann 's  Doctordissertation  entwickelten  Gedanken  darzu- 
legen, nämlich  1.  die  Definition  einer  Function  durch  gewisse  Merkmale  der 
Stetigkeit  und  ünstetigkeit,  und  2.  Ausbreitung  einer  Function  auf  einer 
mehrblättrigen  Fläche:  so  trat  in  dem  Werke  selbst  der  zweite  Gedanke, 
wenigstens  räumlich,  bedeutend  mehr  hervor  als  der  erste  und  es  wurde 
demselben  in  der  Vorrede  eine  grössere  Wichtigkeit  beigelegt,  als  ihm  nach 
der  Ansicht  vieler  Mathematiker  und,  wie  es  scheint,  nach  der  jetzigen  ^An- 
sicht des  VerfEtösers  zukommt.     Dagegen  tritt  dieser  zweite  Gedanke  in  der 


Becensionen.  137 

nenen  Auflage  viel  mehr  zurück,  und  der  erste  Gedanke,  die  Bestimmung 
einer  Function  durch  ihre  charakteristischen  Eigenschaften,  wird  bei  der 
ganzen  Behandlung  bedeutend  bevorzugt.  Dadurch  ist  ein  ganz  neues  Werk 
entstanden,  welches  nicht  nur  den  Inhalt  der  ersten  Auflage  (bis  auf  die 
ümkehrung  der  elliptischen  Integrale  und  sonstig  öfters  wohl  mit  einigen 
Kürzungen)  in  sich  aufgenommen  hat,  sondern  demselben  auch  neue  Partien 
hinzufügt,  so  dass  das  Werk  in  der  neuen  Gestalt  nicht  nur  den  Anfänger 
ohne  zu  grosse  Mühe  in  die  genannte  Theorie  einführt,  sondern  auch  dem 
Forscher  werthvolle  Bereicherungen  der  Fanctionentheorie  bietet.  Zwar  wird 
Jeder,  welcher  mit  den  Untersuchungen  des  Herrn  Weierstrass  bekannt 
ist,  es  lebhaft  bedauern,  dass  derselbe  noch  immer  seine  Grundzüge  der 
Functionentheorie  nicht  veröffentlicht  hat;  namentlich  glauben  wir,  dass  das 
sechste  Capitel,  die  Theorie  der  algebraischen  Functionen,  kaum  etwas 
bringt,  was  nicht  schon  in  den  Weierstrass 'sehen  Vorlesungen  bewiesen 
wird;  aber  das  darf  uns  nicht  hindern,  den  Untersuchungen  des  Buches 
alle  Anerkennung  auszusprechen. 

Der  Verfasser  hat  es  sich  keineswegs  zur  Aufgabe  gestellt,  die  ftusserste 
Strenge  in  seinen  Entwickelungen  und  Beweisen  zu  beobachten.  Er  meint, 
es  komme  weniger  auf  eine  strenge  Darstellung,  als  darauf  an,  dass  die 
angegebenen  Methoden  die  zur  strengen  Darstellung  erforderlichen  Mittel 
gewähren.  Demnach  hat  er  die  Theorie  in  derjenigen  Form  zu  conserviren 
gesucht,  in  welcher  sie  von  Cauchj  und  Biemann  gegeben  ist.  Er  hat, 
worauf  er  selbst  aufmerksam  macht,  manche  fundamentalen  Sätze  in  un« 
genauer  Form  angegeben,  ohne  die  Bedingungen,  unter  denen  sie  gelten, 
erschöpfend  aufzuzählen.  Hierdurch,  glaubt  er  dem  Anfänger  das  Verständ- 
niss  erleichtert  zu  haben,  während  der  Vorgeschrittene  und  an  absolute 
Strenge  Gewöhnte  im  Stande  sei,  ;,die  in  Bede  stehenden  Ungenauigkeiten 
leicht  abzustreifen  und  die  betreffenden  Sätze  in  ihre  wirklich  correcte  Ge- 
stalt zu  versetzen''.  Letzteres  möchten  wir  bezweifeln;  wir  erinnern  den 
Verfasser  an  seine  Polemik  mit  Herrn  Schwarz  (S.  411),  die  sich  ebenfalls 
auf  solche  Bedingungen  bezieht.  Auch  auf  folgenden  Umstand  möchten  wir 
aufmerksam  machen:  Im  Werke  selbst  wird  aus  dem  Satze,  dass  das  In- 
tegral j  f{s)dB^  hinerstreckt  über  die  Begrenzung  einer  Fläche,  auf  wel- 
cher f\e)  überall  stetig  ist,  stets  gleich  Null  ist,  gefolgert,  dass  auch  die 
erste  Ableitung  auf  der  Fläche  stetig  ist;  in  der  Vorrede  heisst  es  um- 
gekehrt: Das  Cauchy'sche  Theorem   jf{e)äa^O  scheint  nur  dann  ein 

absolut  strenges  zu  sein,  wenn  auf  der  Fläche  %  ausser  der  Stetigkeit 
von  f(e)  auch  noch  die  von  f{z)  vorausgesetzt  wird.  Dieser  Gegensatz 
zwischen  dem  Werke  selbst  und  der  Vorrede  zeigt,  dass  es  nicht  leicht 
ist,  die  Ungenauigkeiten  abzustreifen.  Was  dann  aber  die  Bücksicht 
auf  den  Anfänger  angeht,  so  hätte  sich  dieselbe  mit  den  Anforderungen  der 

HLit.-Ut.  Abtlüg.  d.  Zeiiiohr.  f.  M*tli.  u.  Phj«.  XXZ,  4.  11 


138  Historisch -literarische  Abtheilang. 

Strenge  vereinigen  lassen,  wenn  gewisse  Partien  äusserlich  als  für  den  Vor- 
geschrittenen bestimmt  bezeichnet  wfiren.  Wir  möchten  jedoch  ansdrttcklicli 
hervorheben,  dass  wir  hiermit  keinen  Tadel  gegen  das  Werk  aussprechen 
wollen;  wir  sind  dem  Verfasser  dankbar  für  das,  was  er  uns  bietet,  ohne 
darüber  zu  rechten ,  was  er  uns  hätte  bieten  können.  Wenn  wir  aber  einige 
leise  Wünsche  aussprechen  dürfen,  so  möchten  wir  für  die  hoffentlich  bald 
zu  erwartende  dritte  Auflage  die  Aufmerksamkeit  des  Verfassers  darauf 
richten,  dass  an  solchen  Stellen,  wo  ein  genauer  Ausdruck  ebenso  kurz  und 
ebenso  leicht  verständlich  ist  wie  ein  ungenauer,  ersterer  vorzuziehen  sei. 
Auch  kann  es  uns  nicht  recht  gefallen,  dass  er  S.  393,  ohne  jede  Andeu- 
tung, wie  gewagt  ein  solcher  Schluss  ist,  es  als  selbstverständlich  hinstellt, 
dass  jede  reelle  Function  von  zwei  Veränderlichen ,  welche  auf  einer  Fläche 
eindeutig  und  stetig  ist,  auf  derselben  einen  Maximal-  und  Minimalwerth 
erreicht.  Was  die  literarischen  Notizen  angeht,  so  möchten  wir  glauben, 
dass  dieselben  an  einigen  Stellen  dem  Anfänger  (allerdings  nur  diesem) 
falsche  Ansichten  über  den  ersten  Entdecker  eines  Satzes  beibringen  müssen. 

Dass  die  Function  y^(ief  —  Cj) ...  (;?  — özn  — i)  im  Punkte  z  =  co  einen  Win- 
dungspunkt hat,  wird  sehr  schön  hergeleitet,  indem  man  in  der  Function 

— ^—^^ —  die  Grösse  C2«  unendlich  gross  werden  lässt;  daneben 

würden  wir  gern  noch  einen  directen  Beweis  mitgetheilt  sehen. 

Als  Hauptaufgabe  des  Werkes  wird  man  es  bezeichnen  müssen,  dass 
es  in  die  Functionentheorie  Cauchj's  und  Biemann's,  mit  specieller 
Rücksicht  auf  die  AbeTschen  Functio4en,  einführt.  Dieser  Aufgabe  ent- 
spricht das  Werk  in  vorzüglicher  Weise.  Die  Klarheit  des  Ausdrucks  und 
die  Einfachheit  der  Beweise  brauchen  nicht  ausdrücklich  hervorgehoben  zu 
werden:  es  sind  das  bekanntlich  Vorzüge,  welche  allen  Werken  des  Ver- 
fassers in  hervorragendem  Maasse  eignen.  Wir  möchten  daher  vor  Allem 
auf  die  passende  Anordnung  des  Stoffes  aufmerksam  machen.  Wenn  wir 
die  geometrischen  Entwickelungen  des  Werkes  übersehen,  so  erkennen  wir, 
wie  bedeutend  der  geometrische  Apparat  ist,  den  Biemann  gebraucht,  und 
wenn  dem  die  geringe  Ausdehnung  dessen,  was  Riemann  selbst  giebt,  zu 
widersprechen  scheint,  so  muss  man  beachten,  dass  derselbe  an  den  Leser 
eben  ganz  ausserordentliche  Anforderungen  stellt.  Es  war  keine  leichte 
Aufgabe ,  die  geometrischen  Untersuchungen  mit  denen  der  Functionentheorie 
so  zu  verwirken,  dass  ein  organisches  Ganzes  entstand.  Es  ging  nicht  an, 
den  ganzen  geometrischen  Apparat  in  den  Anfang  zu  stellen.  Wenn  wir 
auch  anerkennen ,  dass  diese  analysis  sUus  bei  weiterer  Ausbildung  sich  all- 
gemein ein  selbstständiges  Interesse  erringen  wird,  so  glauben  wir  doch, 
dass  sie  bei  ihrem  jetzigen  Stande  den  Anfänger  ermüdet,  wenn  er  ihre 
Anwendungen  für  die  Functionentheorie  nicht  verfolgen  kann.  Demnach 
muss  es  gebilligt  worden ,  dass  der  Verfasser  Geometrie  und  Analysia  durch 


Becensionen.  139 


das  ganze  Werk  hat  abwechseln  lassen.  Dabei  lag  allerdings  die  Gefahr 
einer  Zersplitternng  des  Stoffes  sehr  nahe:  kaum  sind  die  analytischen  ün- 
tersnchungen  begonnen  nnd  man  mnss  wieder  zu  den  ganz  dayon  verschie- 
denen geometrischen  Betrachtungen  zurückkehren.  Eine  solche  Zersplitte- 
rung ist  unseres  Erachtens  beinahe  g&nzlich  yermieden.  Die  ersten  beiden 
Capitel  bieten  die  Hauptsätze  Gauchj's  über  Functionen;  hier  tritt  die 
Nothwendigkeit,  die  Ausbreitung  einer  Function  zu  beachten,  so  deutlich 
hervor,  dass  die  beiden  folgenden  Capitel,  in  denen  diese  Ausbreitung  für 
sich  betrachtet  wird,  keinen  wesentlich  verschiedenen  Charakter  zeigen, 
obwohl  das  Geometrische  mehr  hervortritt;  und  umgekehrt  sind  diese  beiden 
Capitel,  das  dritte  und  vierte,  mit  so  vielen  analytischen  Beispielen  durch- 
wirkt, dass  das  folgende  Capitel  nur  eine  allgemeine  analytische  Theorie 
dessen  giebt,  was  vorher  durch  zahlreiche  Beispiele  vorbereitet  war.  In 
derselben  Weise  geht  es  weiter  und  wir  stehen  nicht  an,  die  Anordnung 
des  Stoffes  (in  dieser  zweiten  Auflage)  geradezu  als  ein  Meisterstück  zu 
bezeichnen. 

Der  Stoff  ist  gegen  die  erste  Auflage  bedeutend  vermehrt  und  umfasst 
das  Ab eTsche  Theorem  und  das  Jacobi 'sehe  Umkehrproblem  ftlr  beliebige 
algebraische  Functionen ,  wobei  die  hyperelliptischen  Functionen,  aufweiche 
sich  die  erste  Auflage  beschränkte,  in  den  Vordergrund  treten.  Diese  Er- 
weiterung ist  sehr  zu  billigen.  Wenn  der  Anfänger  sich  in  die  allgemeine 
Theorie  hineingearbeitet  hat,  so  muss  er  auch  die  ganze  Frucht  seiner 
Anstrengungen  gemessen  und  in  dem  gesteigerten  Interessd^  einen  Sporn 
erhalten,  immer  tiefer  in  die  Theorie  einzudringen.  So  hat  das  Buch  jetzt 
den  ganzen  Inhalt  der  Biemann 'sehen  Abhandlung  „Theorie  der  AbeFschen 
Functionen^  in  sich  aufgenommen  und  geht  stellenweise  darüber  hinaus. 
Nur  ist  die  Methode,  durch  welche  Biemann  für  eine  gegebene  Gleichung 
die  Verzweigung  der  entsprechenden  Fläche  ermittelt,  nicht  mitgetheilt, 
vielmehr  geht  der  Verfasser  stets  von  der  Biemann 'sehen  Fläche  aus  und 
es  gelingt  ihm,  in  sehr  einfacher  Weise  die  Belation  2p=aw^2n  +  2 
zwischen  der  Ordnungszahl  2p +  1  der  Fläche,  der  Zahl  n  ihrer  Blätter 
und  der  Summe  to  der  elementaren  Windungspunkte  zu  ermitteln.  An  einer 
Stelle,  wo  Biemann 's  Behandlung  sich  auf  einen  nicht  vollständig  bewie- 
senen Satz  zu  stützen  scheint,  ist  ein  Weg  angegeben,  welcher  nicht  nur 
den  betreffenden  Beweis  liefert,  sondern  auch  direct  zum  Ziele  führt.  Es 
ist  das  der  Anfang  von  §  23  der  Biemann 'sehen  Arbeit,  welcher  durch 
die  Seiten  336 — 350  des  Werkes  eine  neue  Grundlage  gewonnen  hat. 

Mitten  im  Werke  werden  die  Biemann 'sehen  Existenztheoreme  betreffs 
der  Abel'schen  Integrale  rein  historisch  mitgetheilt  und  auf  ihre  Herleitung 
vermittelst  des  Dirichlet'schen  Princips  nur  hingedeutet.  Hierbei  wird 
diese  Methode  der  Herleitung  nur  als  eine  mangelhafte,  höchstens  als  eine 
divinatorische  bezeichnet.  Es  gewährt  vielleicht  einiges  Interesse,  zu  er- 
fahren,  dass  Biemann  selbst  seine  Methode  im  mündlichen  Verkehr  mit 

11* 


140  Historisob- literarische  Abtheilung. 


Herrn  Weierstrass  durchaus  nicht  als  streng  angesehen  wissen  wollte, 
aber  ganz  richtig  die  Auffindung  der  Besultate  als  die  erste,  die  strenge 
Beweisführung  als  die  zweite  Aufgabe  der  Wissenschafl;  bezeichnete.  Herr 
Neu  mann  hat  nun  in  den  drei  letzten  Capiteln  einen  Beweis  dieser  Exi- 
stenztheoreme geliefert.  Dieser  Beweis  wird  geführt  mittels  derjenigen  Metho- 
den, welche  sich  in  früheren  Arbeiten  des  Verfassers  als  äusserst  brauch- 
bar erwiesen  haben.  Nach  allgemeinen  Vorbereitungen  wird  zunfichst  nach 
einer  neuen  Methode  das  schon  öfters  behandelte  Problem  gelöst:  eine  ste- 
tige Function  U  von  x  und  y  zu  finden,  welche  innerhalb  einer  Ereiaflfiehe 
der  Differentialgleichung 

genügt  und  am  Bande  beliebig  vorgeschriebene  Werthe  erh&lt.  Diese  Lö- 
sung wird  zunächst  auf  eine  mehrblättrige  Fläche  übertragen  und  dann 
gezeigt  9  wie  man  aus  einer  solchen  Kreisfläche  der  Reihe  nach  beliebig 
viele  Kreise  ausschneiden  und  jedesmal  für  die  neue  Fläche  die  Lösmig 
angeben  könne.  In  Betreff  der  Durchführung  dieses  Gedankens  müssen  wir 
auf  das  Werk  selbst  verweisen  und  fordern  zum  Schluss  namentlich  die 
Studirenden  zum  eifrigen  Studium  desselben  auf. 

Braunsberg.  W.  Kuxing. 


Einleitung  ixr  die  Theorie  der  elliptisohen  Functionen«  Von  Karl  Bobbk, 

Privatdocent  für  Mathematik  im  Allgemeinen. 
Das  Buch  stellt  sich  die  Aufgabe ,  einen  kurzgefassten ,  auf  das  Wesent- 
lichste beschränkten  Abriss  der  Theorie  der  elliptischen  Functionen  und 
Integrale  zu  geben,  indem  es  dem  Anfänger  möglich  macht,  sich  rascher 
in  dieses  Gebiet  einzuführen ,  als  dies  die  ausführlichen  Lehrbücher  gestatten. 
Die  benutzten  Methoden  sind  wesentlich  dieselben  wie  in  dem  Koenigs- 
berger 'sehen  Werke  über  elliptische  Functionen.  In  der  Einleitung  finden 
wir  eine  Zusammenstellung  der  wichtigsten  Sätze  über  Functionen  complexer 
Variabein  und  die  Integrale  derselben.  Nach  des  Referenten  Ansicht  hätte 
hierbei  auf  den  allgemeinen  Begriff  der  Function  genauer  eingegangen  wer- 
den sollen;  die  Definition,  dass  f{e)  als  Function  von  e  zu  betrachten  sei, 

df(0) 
wenn  von  dis  unabhängig  ist,  dürfte  für  den  Anfänger  ohne  weitere 

e 

Erläuterung  kaum  verständlich  sein.    Das  bestimmte  Integral  W^jf{ß)de 

dW 
wird  durch  die  Relation    -—^f{z)  definirt;    hiernach  ist  aber  nicht  er- 
sichtlich, was  e^  mit  W  überhaupt  zu  thun  hat  und  was  unter  dem  Inte- 
grationswege zu  verstehen  ist;  auch  wenn  man  sich  das  Fehlende  in  der 


Becensionen.  141 

Definition  ergSnzt,  dürften  doch  die  folgenden  Betrachtungen  über  den  Ein- 
flnss  des  Integrationsweges  nicht  ausreichend  sein.  —  Die  Einführung  doppelt- 
periodischer Functionen  im  ersten  Theile  geschieht  nicht,  wie  beiEoenigs- 
berger,  auf  Grundlage  der  elliptischen  Integrale,  sondern  ohne  weitere  Be- 
gründung. Becht  eingehend  wird  der  Zusammenhang  der  doppelt -periodischen 
Functionen  unter  einander,  sowie  die  Theorie  der  Additionstheoreme  (letztere 
zuerst  für  die  elliptischen  Functionen  und  dann  hierauf  gestützt  für  die 
Thetas)  behandelt,  während  die  Entwickelung  in  unendliche  Producte  und 
Partialbruchreihen  wegbleibt.  Der  zweite  Theil  umfasst  in  zweckmässiger 
Beschränkung  die  Theorie  der  Bie  mann 'sehen  Flächen  speciell  flir  die 
Function  y  =  J^4(a?— aJC«— Og)(aJ  — a3)(a?  — a^),  und  hierauf  basirt  die 
Entwickelung  der  elliptischen  Normalintegrale.  —  Sehr  willkommen  wird 
vielen  Lesern  der  Anhang  sein,  der  die  Beziehungen  der  elliptischen  Tran- 
Bcendenten  zu  den  Curren  vom  Geschlecht  1  darthut  und  hiermit  ein  inter- 
essantes Gebiet  dem  Studium  zugänglicher  macht. 

Die  Darstellungsweise  des  Werkes  ist,  von  schon  erwähnten  Einzel- 
heiten abgesehen,  klar,  der  Inhalt  bei  aller  Einschränkung  reichhaltig,  so 
dass  es  mit  Vortheil  zum  einleitenden  Studium  benutzt  werden  kann. 

Frankfurt  a.  M.,  im  April  1885.  Dr.  Otto  Bausbkbbbgbr. 


Franke,  Die  Eoordinatem- Anggleichung  nach  Hähernngsmethoden  in  der 
Klein -Triangulimng  und  Polygonalmessung.  München,  Grubert. 
1884.    VI  u.  156  S.  mit  1  Tafel.     Preis  1,60  Mk. 

Die  vorstehende  Schrift  bildet  eine  Ergänzung  zu  des  Verfassers  be- 
kannten I,  Grundlehren  der  trigonometrischen  Vermessung  im  rechtwink- 
ligen Goordinatensystem".  Während  in  dem  letztern  Buche  alle  Ausgleich- 
ungsrechnungen streng  nach  der  Methode  der  kleinsten  Quadrate  geführt  sind, 
werden  in  der  obigen  Schrift  für  die  Detail  Vermessungsarbeiten  Nähe- 
rungsmethoden der  Ausgleichung  entwickelt  und  Näherungs grenzen  der 
zulässigen  Fehler  aufgestellt*  Am  Schlüsse  werden  Vergleiche  zwischn  me- 
thodischen und  näherungsweisen  Ausgleichungen  gegeben,  welche  zeigen, 
dass  die  letzteren  allen  praktischen  Ansprüchen  an  die  Genauigkeit  genügen. 

Es  fragt  sich  in  der  That,  ob  in  den  letzten  Jahren,  nachdem  kaum 
Bussole  und  Messtisch  als  Instrumente  zu  genaueren  Horizontalvermessungen 
verabschiedet  wurden,  nicht  mit  Einem  Male  des  Guten  etwas  zuviel  ge- 
schehen ist,  als  man  selbst  für  ganz  untergeordnete  Aufgaben  der  Detail- 
vermessung die  strenge  Ausgleichung  nach  der  Methode  der  kleinsten  Qua- 
drate verlangte;  es  möchte  hier  doch  dann  und  wann  ein  Missverhältniss 
zwischen  den  Messungsgrundlagen  einerseits  und  der  angestrebten  Genauig- 
keit der  Besultate,  sowie  dem  dazu  nSthigen  Bechnungsapparat  andererseits 
obwalten.    Bationelle  und  vereinfachte  Bechnungsverfahren,  welche  von 


142  Historiflcli-litanuriBehe  Abiheiliiiig. 

der  Methode  der  kleinsten  Quadrate  ausgehen,  scheinen  ttx  Tide  Zweeke 
ganz  angezeigt  und  es  sei  deshalb  die  Torliegende  Schrift  als  ein  dahin- 
zielender  Versuch  bestens  empfohlen.  fTAionm 


BöBSOH,  Anleitung  zur  Berechnung  geod&tischer  Coordinaten.  2.  Aufl. 
Cassel,  Preyschmidt  1885.  VH!  u.  167  S.  mit  2  Tafeln.  Preis  6  Mk. 
Diese  Neuauflage  der  ursprQnglich  nur  zur  Verwendung  bei  der  kur- 
hessischen  Neuyermessung  bestimmten  Schrift  ist  durch  wesentliche  Erwei- 
terungen zu  einem  recht  praktischen  geodStischen  Hilfsbuche  geworden.  Man 
möchte  nur,  nachdem  im  Abschnitt  I  eine  Einleitung  über  die  mathematische 
Grundlage  der  Formeln  geboten  werden  soll,  wünschen,  dass  dieselbe  ent- 
weder etwas  ausführlicher  oder  einfach  als  Formelsammlung  behandelt  wSre; 
denn  ob  auf  20  Seiten  Analjsis,  sphSrische  Trigonometrie  und  analytische 
Geometrie  so  abgehandelt  werden  können,  dass  in  der  That  j^dem  prak- 
tischen Feldmesser  und  dem  in  der  mathematischen  Analysis  weniger  Ge- 
übten jede  Frage  über  die  Ableitung  der  Formeln  und  über  die  Berechnung 
geodätischer'  Coordinaten  beantwortet  wird'',  erscheint  zweifelhaft  Der 
zweite  Abschnitt  behandelt  das  Erdsphäroid,  der  dritte  die  verschiedenen 
Systeme  geodätischer  Coordinaten.  Im  Anhang  dieses  Abschnittes  sind 
einige  geodätische  Aufgaben  speciell  behandelt,  wobei  für  die  Ausgleichung 
der  Pothenot'schen  Aufgabe  eine  elegante  Methode  durch  Ausgleichung 
der  gemessenen  Winkel  statt  (nach  Gauss  und  G erlin g)  der  Coordinaten 
des  zu  bestimmenden  Punktes  gegeben  ist.  Der  vierte  Abschnitt  endlich 
enthält  vollständige  Tafeln  zur  Berechnung  geodätischer  Coordinaten  von 
36^  bis  7P  Breite,  also  für  ganz  Europa  ausreichend.  Die  sämmtlichen 
Tafeln  scheinen  sehr  correct  zu  sein.  TTAioneit. 


Dr.  Jao.  J.  Weyrauch,  Prof.  a.  d.  polytechn.  Schule  in  Stuttgart: 

L  Theorie    elastischer  Körper,   eine  Einleitung   zur   mathematischen 
Physik  und  technischen  Mechanik.     Mit  42  Figuren  im  Text    Leip- 
zig, Teubner,     1884; 
2.  Aufgaben  zur  Theorie  elastischer  Körper.     Mit  110  Figuren  im 

Text.     Leipzig,  Teubner.     1885; 
S.  Das  Princip  von  der  Erhaltung  der  Energie  seit  Bobert  Mayer. 
Zur  Orientirung.     Leipzig,  Teubner.     1885.    48  S. 

„An  Lehrbüchern  der  Mechanik  fehlt  es  nicht;  eine  allgemeine  Grund- 
lage für  meine  Vorträge  über  Elasticitäts-  und  Wärmetheorie,  A6ro-  und 
Ingenieurmechanik  war  jedoch  nirgends  zu  finden'^  schrieb  der  Herr  Ver- 
fasser  an  den  unterzeichneten  Referenten,  als  er  sich  mit  dessen  Absicht, 


Becensionen.  143 

die  nunmehrige  Anzeige  des  ersten  Baches  bis  zum  Erscheinen  des  zweiten 
zn  verschieben,  brieflich  einverstanden  erklftrte.  „Dass  mein  Buch  beim 
Studium  Schwierigkeiten  bereitet,  gebe  ich  zu,  das  ist  bei  jedem  Werke 
über  elastische  Körper  der  Fall,  bei  dem  meinigen  aber,  wie  ich  glaube, 
weniger  als  beiClebsch,  Eirchhoff  u.  A."  Diesem  Ausspruch  ist  gewiss 
beizupflichten;  aber  wenn  es  im  Vorwort  zu  1  heisst,  dass  von  mathemati- 
schen Vorkenntnissen  nur  soviel  vorausgesetzt  wird,  als  man  sich  auf  der 
Mittelschule  oder  doch  nach  einjährigem  Besuche  der  Hochschule  erwerben 
kann,  so  scheint  mir  für  die  grosse  Mehrzahl  der  Studirenden  der  münd- 
liche Vortrag  eines  Lehrers  wie  Herr  Prof.  Weyrauch  sehr  nothwendig, 
sollen  dieselben  von  dem  Buche  einen  Nutzen  ziehen.  Für  reifere  Leser 
sind  aber  die  physikalischen  Excurse  wie  z.  B.  auf  das  Gebiet  der  Schwing- 
ungslehre (die  beiden  letzten  Abschnitte  XI  und  XII)  nicht  ausreichend  und 
auch  vom  Herrn  Verfasser  nicht  angelegt 

Der  erste  Abschnitt,  §  1 — 12,  S.  1 — 29,  handelt  von  den  Grund- 
begriffen. In  §  1  ist  die  bekannte  Beschleunigung  „specifische  Massenkraft  ^* 
genannt.  In  §  2  ist  der  elastischen  Nachwirkung  mit  acht  Zeilen  gedacht. 
Auf  die  Verrückungen  im  §  4  folgen  im  §  5  die  Dehnung  und  die  Dreh- 
ungen, in  welchen  schon  Manches  dem  mündlichen  Unterricht  oder  sonst 
zuviel  dem  Privatverstttndnisse  des  Studenten  (im  dritten  Semester)  über- 
lassen wird. 

Das  Aufgabenbuch '(2)  trSgt  an  der  Spitze  ein  Inhaltsverzeichniss  von 
134  Nummern,  jede  mit  der  Paragraphenzahl  des  Buches  1  versehen,  welche 
zur  Lösung  nachgeschlagen  werden  soll.  Die  erste  Aufgabe  schliesst  sich 
an  vorhingenannten  §  5  an ,  von  Aufgabe  108  au  ist  wiederum  die  Schwing- 
ungslehre bedacht.  Ein  völliges  Register  hier  zu  geben,  würde  bei  der 
Reichhaltigkeit  des  Buches  weitläufig  werden  und  ist  auch  nicht  nöthig,  da 
die  Interessenten  der  reinen  und  angewandten  Mathematik  dasselbe  gewiss 
selber  in  die  Hand  nehmen  und  auf  seinen  Inhalt  prüfen  werden. 

3.  Diese  Brochure  enthält  einen  Vortrag  des  Herrn  Verfassers  im  Lande 
Robert  May  er 's  nebst  wissenschaftlichen  Ergänzungen  und  Literaturnach- 
weisen. S.  8  sind  nach  diesem  Autor  als  „Eraffcformen^'  aufgeftlhrt:  „Fall- 
kraft, Bewegung  (!),  Wärme  (!),  Magnetismus  etc";  S.  9  kritisirt  der  Herr 
Verfasser  die  Vorgänger  R.  May  er 's,  dass  sie  |,den  Begriff  Kraft  nicht  all- 
gemein genug  fassten'^  Referent  pflichtet  der  entgegengesetzten  Ansicht 
bei,  dass  man  Kraft  nur  als  Masse  mal  Beschleunigung  fassen  solle,  wel- 
chem Begriffe  gegenüber  auch  Worte  wie  Magnetismus  zu  vag  .und  allgemein 
gehalten  sind.  ^^^^ 

Mein  perspectivlsoher  Apparat,  von  Guido  Hauok.  Separatabdruck  aus 
der  Festschrift  der  königl.  Technischen  Hochschule  zu  Berlin  zur 
Feier  der  Einweihung  ihres  neuen  Gebäudes.  Berlin  1884.  4^.  20  S. 
mit  2  Figurentafeln* 


144  Historisch -literarische  Abtheilong. 

Die  Aufgabe  der  darstellenden  Geometrie  im  engeren  Sinne  des  Wortes 
besteht  darin,  aus  irgend  zwei  gegebenen  Projectionen  eines  rftumlichen 
Gebildes  eine  dritte  Projection  desselben  zu  ermitteln.  Diese  Aufgabe  ist 
dem  Grundgedanken  nach  nicht  abhängig  Yon  der  Art  der  Projectionen. 
Es  mag  nun  verlangt  werden,  aus  Aufriss  und  Grundriss  eine  Gentralpro- 
jection  entstehen  zu  lassen  oder  aus  zwei  Centralprojectionen  (z.  B.  zwei 
photographischen  Aufnahmen)  eine  orthogonale  Parallelprojection,  Grundriss 
oder  Aufriss,  abzuleiten,  immer  hat  man  es  mit  einer  Aufgabe  der  eben- 
genannten Natur  zu  thun.  Herr  Hauck  hat  nun  den  Yersuch  gewagt, 
diese  allgemeine  Aufgabe  mechanisch  zu  lösen,  d.  h.  einen  Apparat  herzu- 
stellen, der  mit  zwei  Fiihrungsstiften  die  Umrisse  der  beiden  gegebenen 
Projectionen  verfolgt  und  zugleich  durch  einen  Zeichenstift  die  gewünschte 
neue  Projection  erzeugt.  Die  uns  vorliegende  Abhandlung  enthält  die  pho- 
tographische Abbildung  des  von  Herrn  Hauck  eigenhändig  zugerichteten 
und  bereits  am  4.  Mai  1883  in  der  Sitzung  der  Physikalischen  Gesellschaft 
zu  Berlin  fertig  vorgezeigten  und  erläuterten  Apparates  mit  der  nöthigen 
wissenschaftlichen  Erklärung  und  Begründung.  Es  erscheint  kaum  möglich, 
auszugsweise  und  ohne  Figur  über  die  ziemlich  zusammengesetzte  storch- 
schnabelartige Verbindung  mannigfacher  geschlitzter  Lineale  zu  berichten. 
Wir  glauben  daher,  unter  Verweisung  unserer  Leser  auf  die  Abhandlung 
selbst  uns  mit  dem  Ausspruche  des  geometrischen  Fundamentaltheorems 
begnügen  zu  müssen,  auf  welchem  die  ganze  Ausführung  beruht  und  wel- 
ches Herr  Hauck  in  folgende  Worte  kleidet: 

Seien  P  und  P'  zwei  Projectionsebenen,  die  sich  in  der  als  Grund - 
schnitt  bezeichneten  Linie  9  schneiden;  seien  0  und  0'  die  zugehörigen 
Projectionscentren.  Die  Verbindungslinie  00'  schneide  die  Ebenen  P  und 
P'  beziehungsweise  in  den  Punkten  p  und  p\  welche  als  die  Kernpunkte 
der  betreffenden  Projectionsebenen  bezeichnet  werden.  Sind  nun  x  und  x 
die  beiderseitigen  Projectionen  irgend  eines  Objectpunktes  X,  so  müssen  sich 
die  nach  ihnen  gezogenen  Eernstrahlen  px  und  p'x'  in  einem  Punkte  g 
des  Grundschnittes  g  schneiden,  d.  h.  die  beiden  Projectionsfiguren 
werden  von  den  Kernpunkten  aus  durch  zwei  Strahlenbüschel 
projicirt,  welche  den  Grundschnitt  nach  einer  und  derselben 
Punktreihe  schneiden.  Cahtob 


Die  Grenzen  zwischen  Malerei  und  Plastik  und  die  Gesetze  des  Reliefs. 

Eede,  zum  Geburtstage  Seiner  Majestät  des  Kaisers  und  Königs  in 
der  Aula  der  königl.  Technischen  Hochschule  zu  Berlin  tSn  21.  März 
1885  gehalten  von  dem  zeitigen  Bector  Guido  Hauok.  Berlin  1886. 
20  S. 
Hört  eine  Zeichnung  grau  in  grau,  also  ohne  Farbenunterschied  gefer- 
tigt, auf,    dem  Gebiete  der  Malerei  anzugehören?    Ist  eine   mit  Farben 


Becensionen.  145 

übermalie  Bildsftnle  dem  Oebiete  der  Plastik  entrttckt?  Man  braucht  beide 
Fragen  nur  auszusprechen,  um  ihrer  sofortigen  Verneinung  sicher  zu  sein. 
Zugleich  überzeugt  man  sich  aber  von  der  Nothwendigkeit,  die  Grenze* 
zwischen  beiden  Eunstbereichen,  die  in  unserem  Bewusstsein  scharf  aus 
einanderliegen»  auch  scharf  zu  definiren.  Es  war  ein  Ei  des  Columbus  auf- 
zustellen, und  Herrn  Hauck  ist  der  Versuch  vortrefflich  geglückt.  Die 
Malerei,  sagt  er,  hat  Licht  und  Schatten  in  sich  selbst,  die 
Plastik  entlehnt  es  von  aussen.  Zwischen  der  Projection  auf  die 
Ebene  mit  angedeuteter  Schattengebung  und  dem  körperlichen  Vollbilde  mit 
natürlich  entstehenden  Schatten  ist  als  Drittes  das  Belief.  Von  der  Malerei 
entnimmt  es  Verkürzungen  und  Verschiebungen,  auch  einige  Schattengebung, 
Yon  der  Plastik  die  nicht  zu  yermeidende  Lichtwirkung  körperlichen  Vor- 
und  Zurttcktretens.  Es  muss  mathematische  Gesetze  des  Beliefs  geben,  es 
muss  möglich  sein,  die  Forderung  in  eine  Formel  zu  bringen,  dass  man 
einer  photographischen  Aufnahme  nachträglich  nicht  ansehen  dürfe,  ob  das 
Original  Belief  oder  Vollrund  war,  eine  Forderung,  der  Hanfst&ngers 
grosse  Photographien  Thorwaldsen 'scher  Beliefs  auf  schwarzem  Grunde 
Yollauf  gerecht  werden.  Das  muss  mathematisch  aussprechbar  sein.  Man 
hat  auch  eine  Zeit  lang  geglaubt,  in  der  sogenannten  Beliefperspectiye 
des  Bäthsels  Lösung  erkannt  zu  haben,  es  war  ein  Irrthum.  Gerade  Thor- 
waldsen's  Beliefs,  das  Muster,  an  welchem  eine  richtige  Begel  sich  be- 
wahrheiten muss,  sind  Pfuschwerke,  wenn  die  Gesetze  der  Belie^rspectiye 
auf  Bichtigkeit  Anspruch  machen  könnten.  Die  umgekehrte  Folgerung  ist 
unabweisbar  und  es  bleibt  der  darstellenden  Geometrie  die  noch  ungelöste 
Aufgabe,  mathematische  (besetze  des  Beliefs  zu  entdecken.  So  der  wesent- 
liche Inhalt  der  ungemein  anregenden  Festrede.  Cantob 


Wie  studirt  man  Mathematik  und  Physik  t  Von  einem  Lehrer  der  Mathe- 
matik. Leipzig  1885,  Bossberg'sche  Buchhandlung.  12  ^  32  S. 
Für  60  Pf.  beantwortet  die  Verlagshandlung  diese  Frage,  und  um  den 
gleichen  Preis  kann  man  erfahren,  wie  man  Jurisprudenz,  wie  neuere  Philo- 
logie und  Germanistik,  classische  Philologie  und  Geschichte,  Chemie  und 
die  beschreibenden  Naturwissenschaften  studire.  Nur  wie  man  sich  zum  Arzt 
und  wie  zum  Landwirth  bilde,  kostet  80  Pf.,  und  es  ist  eine  Preisfrage, 
womit  dieser  Unterschied  sich  begründen  lasse,  warum  gerade  auf  jenen 
beiden  Gebieten  guter  Bath  theurer  sei?  Jedenfalls  scheint  bei  unserer 
studirenden  Jugend  das  praktische  Bedürfniss  nach  Bathschlägen  über  die 
Einrichtung  des  Studiums  Yorhanden  zu  sein,  und  unzweifelhaft  wird  Zeit 
und  Mühe  gespart,  wenn  die  richtigen  Vorlesungen  in  der  richtigen  Beihen- 
folge  gehört  werden.  Für  die  Universität  Leipzig  haben  die  dortigen  Pro- 
fessoren der  Mathematik  im  M&rz  1882  die  nöthigen  Weisungen  yeröffent- 


146  Historisch -literarische  Abtheilung. 

licht,  imd  auf  diese  Weisungen  bezieht  sich  unsere  Vorlage.  Nur  schade, 
dass  die  mathematischen  Vorlesungen  anderer  deutscher  üniYersitäien  sich 
nicht  alle  dem  gleichen  Schema  einfügen,  dass  die  Mathematiker  gewöhnt 
sind,  mit  ihrem  Stoffe  frei  zu  schalten,  so  dass  der  gleiche  Name  nicht 
selten  zwei  ganz  verschiedene,  verschiedene  Namen  ziemlich  übereinstim- 
mende Vorlesungen  bezeichnen  können.  Uns  scheint  daher  am  sichersten, 
der  junge  Studirende  solle  an  irgend  einen  Lehrer  der  Hochschule,  die  er 
zu  besuchen  gedenkt,  sich  vertrauensvoll  wenden,  seine  Bitte  um  Bath  wird 
sicherlich  nie  eine  Fehlbitte  sein.  Zieht  er  aber  den  Bath  von  Alters- 
genossen vor,  was  ja  Manches  für  sich  hat,  so  wende  er  sich  an  den  mathe- 
matischen Verein  der  betreffenden  Universität.  Solche  wissenschaftliche 
Vereine  wirken  an  und  für  sich  auf's  Segenvollste  und  der  Eintritt  kann 
jedem  Neuling  nur  dringend  gerathen  werden.  Cantok 


Bibliographie 

vom  1.  Mai  bis  30.  Juni  1885. 


Periodisohe  Sohriften. 

Physikalische  Abhandlungen  der  königl.  Akademie  der  Wissenschaften  zu 
Berlin.     Aus  dem  Jahre  1884.     Berlin,  Dümmler.  17  Mk, 

Sitzungsberichte  der  kaiserl.  Akademie  der  Wissenschaften  in  Wien,  mathe- 
mat.-naturwissen8chaftl.  Classe,  Abth.  IL  90.  Bd.,  3.,  4.  u.  5.  Heft. 
Wien,  Gerold.  13  Mk. 

Publicationen  des  astrophysikalischen  Observatoriums  in  Potsdam.  Nr.  15. 
4.  Bd.  2.  Stück.    (Meteorolog.  Beobacht.)     Leipzig,  Engelmann.     7  Mk. 

Astronomisches  Jahrbuch  von  Berlin  für  das  Jahr  1887,  herausgeg.  von 
F.  TiETJEN.     Berlin ,  Dümmler.  12  Mk. 

Die  veränderlichen  Tafeln  des  astronom.  u.  chronolog.  Theils  des  k.  preuss. 
Normalkalenders  f.  1886,  herausgeg.  v.  Föbbter  u.  P.  Lbhi£A2(n.  Berlin, 
Verl.  d.  Statist.  Bureaus.  5  Mk. 

Acta  mathematica,  herausgeg.  von  G.  Mittag -Leffleb.  6.  Bd.  1.  Heft. 
Berlin,  Mayer  &  Müller.  compl.  24  Mk. 

Jahrbuch  über  die  Portschritte  der  Mathematik,  herausgeg.  von  C.  Ohrt- 
MANN.     14.  Bd.  Jahrg.  1882,  3.  Heft.     Berlin,  G.  Reimer.  6  Mk. 

Fortschritte  der  Physik  im  Jahre  1881 ,  dargestellt  von  der  physikaL  Ge- 
sellschaft in  Berlin.  37.  Jahrg. ^  redig.  v.  Nbessen.  1.  Abth.:  Allgem. 
Physik  und  Akustik.    Berlin,  G.  Reimer.  7  Mk. 


Bibliographie.  147 


Beine  Katbematik. 
Wbinnoldt,  E.,  Ueber  Functdonen,  welche  gewissen  Dififeienzengleichimgeii 

höherer  Ordnnng  genügen.     Kiel,  Lipsins  &  Tischer.       2  Mk.  40  Pf. 
Spitzeb,  S.,  Untersuchungen  im  Gebiete  linearer  Differentialgleichungen. 

3.  Heft.    Wien,  Gerold.  3  Mk. 

Gboanbaubb,  L.,  Arithmetische  Theoreme.    11.    (Akad.)   Wien,  Gerold. 

1  Mk.  80  Pf. 
Sdcomy,  0.,  üeber  zwei  universelle  Verallgemeinerungen  der  algebraischen 

Grundoperationen.     (Akad.)     Ebendas.  1  Mk.  60  Pf. 

Weiss,  E.,    Entwickelungen   zum    Lagrange'schen  BcYersionstheorem    mit 

Anwend.  auf  die  Eeppler'sche  Gleichung.     (Akad.)    Ebendas.      2  Mk. 
Sbrret,  A.,   Lehrbuch   der  Differential-   und  Integralrechnung.     Deutsch 

bearb.  y.  A.  Hasnaob:.     2.  Bd.,  2.  Hälfte.     (Differentialgleichungen.) 

Leipzig,  Teubner.  7  Mk.  20  Pf. 

Danitsch,  D.,  Gonforme  Abbildung  des  ellipt.  Paraboloids  auf  d.  Ebene. 

(Dissert.)    Jena,  Deistung.  1  Mk. 

Tattbbrth,  J.,   Die  Abbildung  des  ebenen  Ereissystems   auf   den  Baum. 

(Dissert)    Ebendas.  60  Pf. 

Wallentin,  f.,   Maturitfttsfragen   aus   der  Mathematik.    2.  Aufl.     Wien, 

Gerold.  3  Mk.  60  Pf. 

Gtsel  ,  J. ,  Ueber  die  sich  rechtwinklig  schneidenden  Normalen  einer  Fläche 

zweiten  Grades.    Schaff  hausen,  Schoch.  2  Mk. 

Thiemb  ,  H. ,  Sammlung  von  Lehrsätzen  und  Aufgaben  aus  der  Stereometrie. 

Leipzig,  Teubner.  1  Mk.  20  Pf. 

Mönnis,  A.  F.,  Gesammelte  Werke,  herausgegeben  von  der  E.  S.  Gesellsch. 

d.  Wissensch.  4  Bde.    1.  Bd.  (geometr.  Abhandl.),  redig.  y.  B.  Baltzer. 

Leipzig,  Hirzel.  ^  16  Mk. 

Bjbbknes,  A.,   Niels  Henrik  Abel.     Tableau   de  sa  yie  et  de  son  action 

scientiflque.    Paris,  Gauthier-Villars.  7  Frs. 


Angewandte  Mathematik. 

Wittstein,  Th.,  Das  mathematische  Bisico  der  Versicherungsgesellschaften 
sowie  aller  auf  dem  Spiele  des  Zufalls  beruhenden  Institute.  Hannover, 
Hahn.  4  Mk. 

Koppe,  C,  Die  Ausgleichungsrechnungen  nach  der  Methode  der  kleinsten 
Quadrate  in  der  praktischen  Geometrie.     Nordhausen,  Koppe.     6  Mk. 

KoPALLiK,  J.,  Vorlesungen  über  die  Chronologie  des  Mittelalters.  Wien, 
Gerold.  1  Mk. 

BoHNENBERaBB,  F.,  Die  Berechnung  trigonometrischer  Vermessungen  mit 
Bücksicht  auf  die  sphäroidische  Gestalt  der  Erde.  Deutsch  y.  E.  Hammer. 
Stuttgart,  Metzler.  1  Mk.  80  Pf. 


148  HistoriBch- literarische  Abiheilaog.     Bibliographie. 

Adam,  V.,  Bmchstdcke  ans  der  mathematischen  Geographie  mit  bes.  Bück- 
sicht auf  BelenchtongsverhSltiiisse.  Wien,  Bermann  &  Altmann.     1  Mk. 

Kraft,  E.,  Sammlung  von  Problemen  der  analytischen  Mechanik.  9.  n. 
10.  Lief.     Stattgart,  Metzler.  4  Mk. 

Herz,  N.,  Entwickelnng  der  störenden  Kräfte  nach  Vielfachen  der  mittleren 
Anomalie  in  independenter  Form.     (Akad.)    Wien,  Gerold.        80  Pf. 

Oertel,  K.,  Astronomische  Bestimmung  der  Polhöhen  auf  den  Punkten 
Irschenberg,  Höhensteig  u.  Kampenwand.  (Akad.)  München,  Franz.  2  Mk. 

Serpieri,  A.,  Die  mechanischen,  elektrostatischen  und  elektromagnetischen 
absoluten  Maasse,  elementar  abgehandelt  mit  Aufgaben.  Aus  dem  Ita- 
lienischen von  B.  T.  Beiohenbaoh.    Wien,  Hartleben.  3  Mk. 

Physik  und  Meteorologie. 
Dreher,  E.,  üeber  den  Begriff  der  Kraft  mit  Bücksicht  auf  das  Gesetz 

Yon  der  Erhaltung  der  Kraft.     Berlin,  Dümmler.  1  Mk. 

KiESSLiNG,  J.,    Die  D&mmerungserscheinungen   im  Jahre  1883   und  ihre 

physikalische  Erklärung.     Hamburg,  Voss.  1  Mk. 

SoHNCKE,  L.,  Der  Ursprung  der  Gewitter -Elektricität  und  der  gewöhnlichen 

atmosphärischen  Elektricitfit.     Jena,  Fischer.  1  Mk.  50  Pf. 

Sohlemüller,  W.,  Grundzüge  einer  Theorie  der  kosmischen  Atmosphären 

mit  Berücksichtigung  der  irdischen  Atmosphäre.     Pn^,  Dominicua. 

1  Mk.  20  Pf. 


Mathematisches  Abhandlnngsregister. 


1884. 

Erste  Hälfte:  1.  Januar  bis  30.  Juni. 


Abbildung. 

1.  üeber  die  isoihermische  Spiegelnng.    Holzmaller.    Grelle  XCIY,  179. 

2.  Zur  coniormen  Abbildung  der  Cyklide  auf  Rechteck  und  unbegrenzte  Ebene. 

Holzmüller.     Crelle  XCIV,  287,  842. 
8  üeber  eine  ein-dreideutige  ebene  Abbildung  einer  Fläche  dritter  Ordnung. 

S.  Kantor.    Crelle  XCV,  147. 
4.  8ur  la  repräsentation  sphärique  des  surfaces.     G.  Darbouz.     Gompt.  rend. 

XCYIt  866. 
VergL  Differentialgleichungen  91. 

AbePiohe  Tranteendenten. 
6.  On  Bome  Abelian  integrale.    H.  J.  R.  Bink.    Quart.  Joum.  math.  XIX,  347. 

6.  Ueber  einige  AbeVsche  Integrale  erster  Gattung.    H.  J.  Rink.    Zeitscbr.  Math. 

Phys.  XXIX,  272. 

7.  Sur  les  äquations  diff^rentielles  abäliennes  dans  le  cas  de  la  r^duction  du 

nombre  des  päriodes.    E.  Pioard.    Gompt.  rend.  XGV,  898. 
Vergl.  Differentialgleichungen  83. 

AnalytiLsohe  Geometrie  der  Ebene. 

8.  Sur  r^quation  intrinsäque  des  courbes.    E.  Gesaro.    Mathesis  IV,  233. 

9.  Propri^^  de  points  harmoniques.     Bast  in.     Mathesis  lY,  206.  —  Gesaro 

ibid.  207. 

10.  üeber  das  gleichseitige  Dreieck.    Em.  Hain.    Grün.  Archiv  LXIX,  44. 

11.  Üeber  das  Centrum  der  mittleren  Entfernungen  der  Schnittpunkte  einer  Geraden 

mit  drei  festen  Geraden     M.  Grein  er.    Grün.  Archiv  LXIX,  323. 

12.  Trouver,  sur  une  droite  donn^e ,  le  point  M  tel  que  le  triangle  ayant  pour 

sommets  les  projections  de  ce  point  sur  les  cöt^s  d'un  triangle  donn^ 
ABCj  seit  un  minimum.  Bastin.  Mathesis  IV,  118.  —  J.  Neub^g 
ibid.  119. 

13.  Lieu  g^omätrique  faisant  ressortir  deuz  triangles  Äquivalents.    Bastin.    Ma- 

thesis IV,  88. 

14.  Equation  entre  les  aires  de  trois  triangles  construits  sous  certaines  conditions. 

F.  Minoliti.    Mathesis  IV,  69. 
16.  Zur  Trisection  des  Winkels.    B.  Sporer.    Grün.  Archiv  LXIX.  224. 

16.  Anerkennung  einer  Priorität.    G.  Hossfeld.    Zeitschr.  Math.  Phys.  XXIX,  192. 

[Vergl.  Bd.  XXIX,  Nr.  8.] 

17.  Sur  une  courbe  du  3.  et  une  autre  du  8.  degr^.    Bastin.    Mathesis  IV,  226. 

—  Bergmans  ibid.  236. 

18.  On  the  bitan^ents  of  a  plane  quartic.    A.  Cayley.    Grelle  XCTV,  93. 

19.  Räsumä  de  differentes  recherches  sur  les  ovales  de  Descartes  et  quelques  autres 

courbes.    A.  Genocchi.    Mathesis  IV,  49. 

20.  Sur  une  courbe  dont  Tabscisse  s^exprime  en  fonction  de  Tordonnde  par  une 

quadrature.    Brocard.    Mathesis  IV,  126. 

21.  Trajectoires   orthogonales  des  courbes  Q*  =  a*log-^,    Brocard.     Mathesis 

IV,  126. 
Vergl.  GisBoide.    Gonchoide.    Elliptische  Transcendenten  134.   Kegelschnitte. 


150  Historisch -literarisohe  Abtheilung, 


AnalytUche  Geometrie  des  Saumes. 

22.  Ueber  Goordinatentransformationen  n^  Grades.    Th.  Beye.    Grelle  XGIV,  312. 

23.  On  curvilinear  coordinates.    A.  Gayley.    Quart  Journ.  math.  XIX,  1. 

24.  Zur  Polarentheorie  der  Gompleze  zweiten  Grades.  W.  Stahl.   Grelle  XGIV,  319. 

25.  üeber  Strahlensysteme  zweiter  Ordnung.    W.  Stahl.    Grelle  'XGV,  297. 

26.  Erzeugung  von  Gomplexen  ersten  und  zweiten  Grades  aus  linearen  Gongraen- 

zen.  A.  Weiler.  Zeitschr.  Math.  Phys.  XXIX,  187.  fVergl.  Bd.  XXVIII, 
Nr.  132.J  % 

27.  Bemerkungen  über  einige  Gomplexe.    A.  Weiler.   Zeitschr.  Math.  Phys.  XXIX, 

191. 

28.  Einfoche  Erzeugung  einiger  Gomplexe  zweiten  Grades.    A.  Weiler.     Grelle 

XGV,  140. 

29.  üeber  lineare  und  quadratische  Strahlencomplexe  und  Gomplexen -Gewebe. 

Th.  Beve.    GreUe  XGV,  330. 

30.  Zur  Theorie  der  Baumcurven.    G.  Hossfeld.    Zeitschr.  Math.  Phys.  XXIX,  242. 

31.  Sur  les  courbes  du  sextant.    Gruey.    Gompt.  rend.  XGVI,  240. 

32.  Sur  une  esp^ce  de  courbes  symätriques  de  la  sixi^me  classe.  G.  Grone.  Acta 

mathematica  U,  81. 
VergL  Oberflächen.    Oberflächen  zweiter  Ordnung. 

Astronomie. 

33.  Sur  P^quation  diffdrentielle  qui  donne  imm^diatement  la  Solution  du  probläme 

des  trois  corps  jusqu^aux  quantitäs  du  deuxiäme  ordre  inclusiyement. 
H.  Gyld^n,    Gompt.  rend.  XGV,  67. 

34.  Sur  un  point  de  la  thdorie  des  perturbations.  B.  Bad  au.  Gomj>t.  rend.  XGV»  117. 

35.  Sur  les  perturbations   de  Satume   dues  ä  Taction  de  Japiter.    A.  Gaillot 

Gompt.  rend.  XGVI,  626. 

36.  Tables  auxiliäres  pour  calculer  Fanomalie  vraie  des  planstes.    Gh.  V.  Zenger. 

Gompt.  rend.  XGV,  208. 

37.  Theorie  du  mouvement  diume  de  Taxe  du  monde.    Folie.    Gompt.  reud. 

XGV,  163. 

38.  Sur  le  calcul   des  yariations   säculaires   des  äl^ments  des  orbites.     0.  Gal- 

landreau.    Gompt.  rend.  XGVI,  1841. 

39.  Des  termes  ä  courte  periode  dans  le  mouvement  de  rotation  de  la  terre.    C. 

Bozö.    Gompt.  rend.  XGV,  327. 

40.  Sur  la  thäorie  du  Soleil  de  G.W.  Siemens.    Faye.    Gompt.  rend.  XGV,  612, 

1110;  XGVI,  79,  136,  292,  365.  —  Siemens  ibid.  XGV,  769,  1037:  XGVI, 
43.  —  Hirn  ibid.  XGV,  812,  1195.  —  Bey  de  Morande  ibid.  XGV,  980. 
—  J.  VioUe  ibid.  XGVI,  253. 

41.  Mdthodes  nouyelles  pour  la  dätermination  des  ascensions  droites  et  des  d^- 

naisons  absolues  des  steiles.  Loewy.  Gompt.  rend.  XGVI,  1098,  1179, 
1329,  1745,  1813. 

42.  Sur  une  maniäre  de  däterminer  Pangle  de  position  d^un  ppint  de  la  surface 

d*un  astre  ä  Taide  d'une  lunette  horizontale.    Gh.  Träpied.    Gompt 
•  rend.  XGVI,  1198. 

43.  Sur  Temploi  de  la  lunette  horizontale  pour  les  observationB  de  spectroscopie 

solaire.    ThoUon.    Gompt.  rend.  XGVI,  1200. 

44.  Sur  la  possibilit^  d*accro!tre  ^ans  une  ^ande  proportion  la  pr^cision  des  ob- 

servations   des   dcUpses  des  satelhtes  de  Jupiter.    A.  Gornu.     Gompi 
rend.  XGVI,  1609. 
VergL  £eppler*sches  Problem.    Oberflächen  342.    Beihen  417. 


Bemoulli'sohe  Zahlen. 

45.  Studien  über  die  Bemoulli'schen  und  Euler'schen  Zahlen.     J.  Worpitiky. 

Grelle  XGIV,  203.  —  Kronecker  ibid.  268. 

46.  Üeber  die  Partialbruchzerlegung  der  Functionen,  mit  besonderer  Anwendung 

auf  die  BernouUi^schen.   J .  Wo r p  i  t z k  y .   Zeitschr.  Math.  Phys.  XXTX,  45. 

Bestimmte  Integrale. 

47.  On  certain  definite  integrale  connected  with  spherical  harmonics.    P.  Frosi 

Quart.  Journ.  math.  XIX,  242. 

48.  8ur  une  classe  de  fonctions  repr^sentäes  par  des  integrales  däfiniee.  £.  Gonr- 

sat    Aota  mathematica  II,  1. 


Abhandlungsregisier.  161 

1 
49.  Snr  ViDt6grBle   rq>{x)»^{x),dx.    A.  Korkine.    Gompt.  lend.  XGYI,  326. 

60.  üeber  das  Doppelintegral.    P.  du  Bois- Raymond.    Grelle  XGIV,  273. 


61.  Sur  l68  intägraleB  doubles    Cdt  A«*^7^Y|y  =  *W-     E.  Goursat.     Gompt. 

rend.  XGVI,  1804.      '       **" 

62.  Sor  rintdgrale    rK^^^^ggjgiggiy-^^-^y      _.  0.  Gallandreau.  Gompt. 


rend.  XGVI,  1125. 


Vergl.  AnalytiBclie   Geometrie  der  Ebene  20.     Differentialgleichungen  86. 
Ellipse  122.   Elliptische  Tri  '     *         ^  "      "  -      • 

Reihen  426.    Bectification. 


SUipse  122.   Elliptische  Transcendenten.    Gammafmictionen.    Qn^rator. 


Cistoide. 

63.  Die  Gissoide  des  Diokles.    M.  Greiner.    Gnm.  Archiy  LXIX,  313. 

64.  Systeme  des  cissoi'des  et  sa  trajectoire  orthogonale.  Brocard.  Mathesis  IV,  124. 

Combinatorik. 

66.  Ein  combinatorischer  Satz.    M.  Stern.    Grelle  XGV,  102. 

o6.  Sur  lea  permutations  de  n  objets  et  sur  leur  classement.   J.  Bourget.    Gompt. 
rend.  XGV,  608. 

CompUmation. 

67.  Die  Oberfläche  der  beiden  Paraboloide.    0.  Böklen.    Grün.  Archiv  LXIX,  222. 

Gonchoide. 

68.  Sur  un  mode  de  gän^ration  des  concboltdes.  H.  Schoentjes.  Mathesis  IV,  146. 

—  Derousseau  ibid.  237.  —  M.  d'Ocagne  ibid.  237. 

69.  Snr  le  lima9on  de  Pascal.    Bastin  &  Gillet.    Mathesis  IV,  117. 

60.  Gonchoide  comme  lieu  des  points  oü  certaines  droites  touchent  des  cercles  qui 

leur  correspondent.    Brocard.    Mathesis  IV,  204. 

Cnbatnr. 

61.  Volume  limitä  par  un  plan  et  par  une  surface  engendrde  par  une  ellipse.   De- 

rousseaux  &  Keelhoff.    Mathesis  IV,  229. 

62.  Volume  limit^  dans  Fellipsoide.    Bast  in.    Mathesis  IV,  192. 

Vergl   Quadratur  403. 

B. 

Determinanten. 

63.  Sur  une  application  du  d^terminant  cyclo -symm^trique.    A.  Legoux.    Quart. 

Joum.  math.  XIX,  41.  —  A  Lodge  ibid.  267. 

64.  Sur  une  formule  de  Lagrange  däjä  g^näralisde  par  Gauchj,    Em.  Barbier. 

Gompt.  rend.  XCVl,  1846. 
66.  Ueber  einige  Determinanten^leichungen.    E.  Hunyady.    Grelle  XGIV,  171. 

66.  Ueber  einige  Determinantemdentitäten,  welche  in  der  Lehre  von  den  perspec- 

tiviscnen  Dreiecken  vorkommen.    F.  Gasparv.    Grelle  XGV,  36.    [Vergl. 
Bd.  XXVUI,  Nr.  68.] 
Vergl.  Optik  371. 

Differentialgleiehnngen. 

67.  Zur  Theorie  der  linearen  Differentialgleichungen    L.  W.  Thomä.    Grelle  XGV, 

44.    [Vergl.  Bd.  XXVUI.  Nr.  66.] 

68.  Snr  les  groupes  d'äquations  linäaires.   H.  Poincarä.   Gompt.  rend.  XGIV,  691, 

1302. 

69.  Sur  les  groupes  de  transformation  des  equations  diff^rentielles  linäaires.    E. 

Picard;    Gompt.  rend.  XGVI,  1131. 

70.  Zur   Theorie    der  totalen  linearen  Differentialgleichungen.     B.   Weinstein. 

Grün.  Archiv  LXIX,  225. 

71.  Snr  les  integrales  alg^riques  des  Equations  diff^rentielles  unfaires  d.  co^ffi- 

oients  rationnels.    L   Autonne.    Gompt.  rend.  XGVI,  66. 


152  Historisch -literarische  Abtheilung. 

72.  BeziehuDffen   zwischen  den  Fundamentalintegralen  einer  linearen  homogenen 

Dinerentialgleichnng  zweiter  Ordnung.     L.  Eönigsberger.     Mauiem. 
Annal.  XXU,  269. 

73.  Sar  une  äquation  linäaire  du  second  ordre  ä  coefficients  doublement  p^no- 

diques.    M.  Elliot.    Acta  mathematica  U,  233. 

74.  Sur  rintägration  algäbrique  d'une  classe  d*äquations  linäairee.    £.  Goursat 

Compt.  rend.  XCVI,  323. 
76.  Zur  Integration  der  Differentialgleichungen.     Wo  Id.  Hey  mann.     Zeitschr. 
Math.  Phys.  XXIX,  257. 

76.  Eigenschaften  der  algebraisch  -  logarithmischen  Integrale  linearer  nicht  homo- 

gener Differentialgleichungen.    L.  Königsberger.    Grelle  XCIV,  291. 

77.  Eigenschaften  irreductibler  Functionen.    L.  Eönigsberger.    Grelle  XCV,  171. 

78.  Ueber  einen  speciellen  Fall  der  dem  Gonnex  (1,  n)  entsprechenden  Differential- 

gleichung.   E.  Müllendorff.    Grün.  Archiv  LXIX,  113. 

79.  Üeber  Differentialgleichungen,  welche   durch  hypergeometrische  Functionen 

integrirt  werden  können.  Wo  Id.  Hey  mann.  Zeitschr.  Math.  Phys. 
XXIX,  144. 

80.  On  linear  differentiai  equations,   in  particular  that  satisfied  by  the  series 

ye  1. 2. y(yH-l). «(«  +  !)  •^  ^ 

Joum.  math.  XIX,  292. 

81.  A  method  of  expressing  any  particular  arbitrary  constant  in  the  Solution  of 

linear  differentiai  equations  in  terms  of  the  initial  conditions.  E.  J.  ßouth. 
Quart.  Joum.  math.  XIX,  262. 

82.  Sur  Tintä^ale  algdbrique  d*une  ^quation  trouväe  par  M.  AU^mt  en  forme 

irrationnelle  et  ramenäe  ä  une  forme  rationnelle.  P.  A.  Mac  Mahon. 
Gompt  rend.  XCV,  831.        ^  ^  ^ 

83.  On  the  differentiai  equation  X'^dx+Y^^dy  +  Z'^^  dg=:0.    P.  A.  Mac 

Mahon.    Quart  Joum.  math.  XIX,  168.  —  A.  Gayley  ibid.  182. 

84.  Note  on  a  differentiai  equation  due  to  Kummer.  A.  B.  Forsyth.   Quart  Joum. 

math.  XIX,  125. 

85.  Sur  la  nature  des  int^s^ales  alg^briques  de  Täquation  de  Biccati.  L.  Autonne. 

Gompt  rend.  XGVI,  1354. 

86.  Methode  pour  obtenir  la  formule  donnant  Tintägrale  gdnärale  de  IMquation 

diffdrentielle  x^^  +  Ai a?»-'  ^^^i  +  JLia;»-»  j*^-^!  -^  -■  *  +  -^y  =  /"(«) 

au  moyen  d'une  integrale  däfinie  multiple.  A  oust.  Gompt  rend.  XGVI,  775. 

87.  Ueber  die  Differentialgleichung  der  Functionen  des  elliptischen  Gylinders.    H. 

Lindemann.    Mathem.  Annal.  XXII,  117. 

88.  Gonditions  pour  que  deux  äquations  differentielles  lindaires  sans  second  membre 

aient  p  Solutions  communes.  i^quation  qui  donne  ces  Solutions.  H.  Le- 
monnier.    Gompt  rend.  XGV,  476. 

89.  Ueber   die   Integration  simultaner  partieller   Differentialgleichungen   zweiter 

Ordnung  mit  zwei  unabhän^gen  Variabein.    J.  V&lvi.    Grelle  XGV,  99. 

90.  Sur  une  äquation  linäaire  aux  dänvdes  partielles.  G.  Darboux.  Gompt  rend. 

XGV,  69. 

91.  Sur  las  äquations  aux  d^riy^es  partielles.  G.  Darboux.  Gompt.  rend. XGVI,  766. 

92.  Ueber  die  Ableitung  der  singulären  Lösungen  eines  Systems  gewöhnlicher  Dif- 

ferentialgleichungen aus  den  Differentialgleichungen  selbst.  A.  Mayer. 
Mathem.  Annal.  XXn,  368. 

9S. 

ElartidtAt 

93.  Sur  r^quilibre  du  cylindre  ^lastique.    P.  Schiff.    Gompt.  rend.  XGVI,  487. 

94.  Sur  le  choc  d'une  plaque  älastique  plane,  supposäe  indefinie  en  longnenr  et  en 

largeur,  par  un  solide  qui  vient  la  heurter  perpendiculairement  en  un  de 
ses  points  et  qui  lui  reste  uni.    J.  Boussinesq.    Gompt.  rend. XGV,  123. 

95.  £quilibre  d^^lasticite  d'un  solide  limitä  par  un  plan.  J.  Boussinesq.    Gompt 

rend.  XGV,  1052,  1149. 

96.  Du  choc  longitudinal  d'une  barre  älastique  libre  contre  une  harre  ^astique 

d^autre  matiäre  ou  d'autre  grosseur,  fix^e  au  hont  non  heurt^;  considä- 
ration  du  cas  extreme  oü  la  barre  heortante  est  tres  raide  et  tr^  oonrfee. 
De  Saint-Venant.    Gompt.  rend.  XGV,  359. 


A  bbandlnngsregister.  153 

97.  Solution,  en  termes  finis  et  simples,  du  probl^me  du  choc  longitudinal,  par 

UD  Corps  quelconque,   d*uiie  barre  elastique  fixäe  a  son  extt6mii6  non 
heurtäe.    De  Saint-Veuant.    Compt.  rend.  XCV,  428. 

98.  Sur  le  choc  lougitudinal  d'une  tage  Elastique  fixde  par  Tuue  de  ses  extrtoitäs. 

Säbert  &  Hugouiot.    Compt.  rend.  XCV,  381. 

99.  Sur  les  vibrations  longitudinales  des  barres  älastiques  dont  les  extr^mitäs  sont 

soumises  k  des  efforts  quelconquee.     Sebert   &   Hugoniot.     Compt. 
rend.  XCV,  213,  278,  338. 

100.  Sur  les  vibrations  longitudinales  des  verges  dlaBti<|ues  et  le  mouvement  d'ime 

tige  portant  ä  son  extr^mitä  une  masse  additionnelle.   Säbert&Hugo- 
niot.    Compt.  rend.  XCV,  776. 

101.  Sur  une  question  de  principe  qui  se  rapporte  ä  la  th^orie  du  choc  des  corps 

imparfaitemenl^  elastiques.    H.  Besal.    Compt.  rend.  XCV,  547. 

102.  Sur  le  choc  des  corps  impariaitement  Elastiques.    H.  Besal.    Compt.  rend. 

XCV,  578. 

103.  Du  choc  de  deux  sphäres  en  ayant  Egard  ä  leur  degrä  d'älasticitE  et  au  frotte- 

ment  ddveloppE  au  contact.    H.  Resal.    Compt.  rend.  XCV,  615. 

104.  Du  choc  de  deux  billes  posäes  sur  un  tapis  de  biilard.    H.  Besal.    Compt 

rend.  XCV,  655. 

105.  De  reffet  d'un  coup  de  queue  inclinE  sur  une  balle.   H.  Besal.   Compt  rend. 

XCV,  700. 

106.  Sur  la  thäorie  des  chocs.    H.  Besal.    Compt   rend.  XCV,  745. 

Slektridtät 

107.  Conception  rationnelle  de  la  nature  et  de  la  propagation  de  PElectricitE.    A. 

Ledieu.    Compt  rend.  XCV,  669,  753,  1026.  —  £.  Decharme  ibid.  914, 
1273. 

108.  Objections  d'ordre  mäcanique  ä  la  th^orie  actuelle  de  r^lectricitE.    A.  Le- 

dieu.   Compt  rend.  XCV,  619. 

109.  Sur  quelques  theor^mes  dMlectricitä ,  dämonträs  d'une  mani^re  inexacte  dans 

des  ouvrages  didactiques.    Tyes  Machai.    Compt.  rend.  XCV,  210. 

110.  Sur  ren)re8sion  des  grandeurs  Electriques  dans  les  sjst^mes  Electrostatiaue 

et  electromagnätique,  et  sur  les  relations  qu'on  en  ddduit.  E.  Mercadier 
&  Vaschy.    Compt  rend.  XCVI,  118,  250,  334.  —  M.  Le  vy  ibid.  248,  430. 

111.  Sur  la  throne  des  couches  doubles  älectriques  de  Mr.  Helmholtz.    Calcul  de 

la  grandeur  d'un  interralle  moläculaire.    G.  Lippmann.    Compt  rend. 
XCV,  686. 

112.  Consid^rations  th^oriques  et  pratiques  sur  les  phänomänes  de  Tinduction  Elec- 
tromagndtique.  Applications  aux  types  des  maclunes  les  plus  räpandues. 
«    *      «  '    *     ""  "        Con    '         '   """"    '"^ 


G.  Le  Goarant  de  Tromelin.    Compt  rend.  XCV,  439. 

113.  Sur  la  relation  entre  la  force  älectromotrice  d'une  machine  dynamo-älectrique 

et  sa  vitesse  de  rotation.    M.  Levy.    Compt  rend.  XCV,  832. 

114.  De  la  puissance  mäcanique  passive,  de  la  räsistance  intärieure  et  du  champ 

magn^tiques  des  rägimes  allure-intensitd;  dätermination  Electrique  de 
leurs  valeurs  effectives.    G.  Cabanellas.    Compt.  rend.  XCVI,  1651. 

115.  Transmission  du  travail  ä  grande  distance.    M.  Deprez.    Compt.  rend.  XCV, 

683;  XCVI,  192,  777,  1674.  -  M.  Levy  ibid.  XCV,  1220;  XCVI,  329.  — 
Beetz  ibid.  XCVI,  332.  —  Tresca  ibid.  XCVI,  457,  630.  —  M.  Cornu 
ibid.  XCVI,  992.  —  G.  Cabanellas  ibid.  XCVI,  1363. 

116.  Le  transport  de  la  force  par  des  batteries  d'appareik  Electriques.    J.  Moser. 

Compt.  rend.  XCVI,  779. 

117.  Nouyelles  expressions  du  travail  et  du  rendement  äconomique  des  moteors 

Electriques.    M.  Deprez.    Compt  rend.  XCV,  778. 

118.  Methode  gänärale  pour  renforcer  les  courants  t^läphoniques.     J.   Moser. 

Compt  rend.  XCVI,  433. 
VergL  Magnetismus.    Mechanik  308. 

Xllipte. 

119.  Einfache  Construction  der  Ellipse  aus  zwei  conjugirten  Durchmessern.    C.  Bo- 

denberg.   Zeitschr.  Math.  Phys.  XXIX,  225. 

120.  Triangles  dont  les  cöt^s  sont  les  tangentes  men^es  k  une  ellipse  d*un  point 

donn^e,  la  droite  menant  de  ce  point  au  centre  et  les  rayons  veoxeurs 
du  centre  aux  deux  points  oü  les  tangentes  touchent  Tellipse.  E.  Li^nard 
&  C.  Thirv.    Mathesis  IV,  93. 

121.  Thter^mee  sur  VellipBe.    Barbarin.    Mathesis  IV,  13. 

Hiat-Ut.  AbtUg.  d.  ZtiUohr.  t  M*tii.  a.  Phyt.  XXX,  4.  12 


164  Historisch -literarische  Abtheilung. 


122.  Moyenne  de  rayons  yecteurs  d'une  ellipse.    £.  Cesaro.    Mathesis  IV,  40. 

Yer^l.  Cabatur  61.    Hyperbel  256.   Normalen  388.   Quadratur  404,  406.   Bec- 
tification. 

Elliptoid. 

123.  Proprio  de  Tellipsoide.    J.  Neaberg.    Mathesis  VII,  227. 

Vergl.  Cubatur  62. 

ElliptlBohe  Transcendenten. 

124.  A  revision  of  chapters  XXIV  and  XXVI  of  Legendre's  Fonctions  Elliptiqnes 

T.  I.    A.  G.  Green hill.    Quart.  Journ.  math.  XIX,  226. 

125.  Beiträge  zur  Theorie  der  elliptischen  Functionen.   0.  Bauaenberger.  Grelle 

XCIV.  261.    [Vergl.  Bd.XXVni,  Nr.  512.] 

126.  Zur  Transiormationstheorie  der  elliptischen  Functionen.    L.  Kiepert.    Grelle 

XCV,  218.     [Vergl.  Bd.  XXV,  Nr.  350.] 

127.  On  certain  formulae  in  elliptic  functions.    J.  W.  L.  Glaisher.    Quart.  Jouni. 

math.  XIX,  22. 

128.  Expressions  for  argma  and  (argsna)^  as  definite  Integrals.  J.  W.  L.  Glaisher. 

Quart.  Journ.  math.  XIX,  71. 

129.  A  System  of  integrals  iuvolving  elliptic  functions.  J.  W.  L.  Glaisher.    Quart 

Journ.  math.  XIX,  145. 

130.  Sur  une  nouveUe  särie  dans  les  fonctions  elUptiques.  Faa  de  Bruno.   Compt. 

rend.  XGV,  22. 

131.  Algebraische  Ableitung  der  Multiplication  von  eosamu.    G.  Runge.     Grelle 

XCIV,  349. 

132.  Ableitung  des  Additionstheorems   für  elliptische  Integrale  aus  der  Theorie 

eines  Eegelschnittbüschels.     Ad.   Schumann.     Zeitschr.   Math.    Phys. 
XXIX,  65. 


133.  Sur  Tapplication  des  integrales  elUptiques  et  ultraelliptiques  ä  la  throne  des 

courbes  unicursales.    Laguerre.    Gompt  rend.  aCVI,  769. 

134.  Ueber  das  Gartesische  0?al.    E.  Haentzschel.    Grün.  Archiv  LXIX,  395. 


F. 
Faetorenfolge.  ' 

135.  Sur  le  produit  indäfini  (1— a;)(l  — a5')(l— a;*), ..    Sylvester.     Gompt.  rend. 

XGVI,  674. 
Vergl.  Gammafunctionen  182. 

Formen. 

136.  üeber  Relationen  zwischen  Glassenknzahlen  binSxer  quadratischer  Formen  von 

negativer  Determinante.     Jos.  Gierster.     Mathem.  Annal.  XXH,  190. 
[Vergfl.  Bd.  XXIX,  Nr.  130.] 

137.  Sur   certaines  formes  quadratiques  et  sur  quelques  groupes  discontinus.    £. 

Picard.    Gompt.  rend.  XC5V,  763. 

138.  Sur  les  formes  quadratiques  binaires  k  ind^terminäes  conjugu^es.  £.  Picard. 

Gompt.  rend.  XGVI,  1567. 

139.  Sur  la  rlduction  continuelle  de  certaines  formes  quadratiques.    £.  Picard. 

Gompt,  rend.  XGVI,  1779. 

140.  Bemerkungen  über  die  Aequivalentsubstitutionen  binärer  quadratischer  Formen. 

J.  Hermes.    Grelle  XGV,  165. 

141.  Sur  la  rdduction  des  formes  quadratiques  positives  temaires.    Minkowski. 

Gompt.  rend.  XCVi,  1206. 

142.  Table  des  formes  quadratiques  quatemaires  positives  reduites  dont  le  d^ter- 

minant  est  ^gai  on  infärieur  ä  20.    L.  Gnarve.    Gompt.  rend.  XGVI,  773. 

143.  Geometrischer  Beweis  der  bekanntesten  Eigenschaften  einer  binären  cubischen 

Form.    G.  Loria.    Zeitschr.  Math.  Phys.  XXIX,  245. 

144.  Ueber  abhängige  Punktsysteme  und  deren  Bedeutung  für  die  redproke  Ver- 

wandtschaft zweier  Ebenen.  Bosanes.  Grelle  XGV,  247.  [Vergl.  Bd.  XXVI, 
Nr.  822.] 

145.  Sur  la  formation  des  däterminants  irr^guliers.  Jos.  Perott  Grelle  XGV,  231 

VergL  Geometrie  (höhere)  198,  206.'    Invariantentheorie. 

Fonrier^sehe  Belhe. 

146.  Sur  la  särie  de  Pourier.    Halphen.    Gompt.  rend.  XGV,  1217. 

147.  Demonstration  simplifi^e  des  formules  de  Fourier.    P.  Gilbert   MathesiBlV, 

SuppWm.  V. 


Abhandlangsregister.  155 

148.  Üeber  die  Integration  der  trigonometriBdien  Beihe.    P.  dnBoiB-Beymond. 

Mathem.  Annal.  XXII,  260. 

FniLotion6ii. 

149.  Sur  les  transcendantes  enti^res.    H.  Poincar^.    Compt.  rend.  XCV,  28. 

150.  Sur  les  fonctions  Fnchsiennes.   H.Poincar^.    Compt.  rend.  XCV,  626 ;  XCVI, 

1486. 

151.  Sur  la  th^orie   des  fonctions  uniformeB  d'une  variable.     Mittag-Leffler. 

Compt.  rend.  XCV,  835.    [Vergl.  Bd.  XXIX,  Nr.  678.] 

152.  Sur  les  fonctions  uniformes  d'une  variable,  lides  par  une  relation  algdbriqae. 

E.  Picard.    Compt.  rend.  XCVI,  476. 

153.  Sur  la  tb^orie  des  fonctions  uniformes.  £.  Goursat.  Compt.  rend.  XCVI,  565. 

154.  Sur  les  fonctions  uniformes.    J.  Faikas.    Compt  rend.  XCVI,  1646. 

155.  Sur  les  fo\ictions  uniformes  affectdes  de  coupures  et  sur  une  classe  d'^quations 

diffärentielles  Unfaires.    Appell.    Compt.  rend.  XCVI,  1018. 

156.  Sur  les  fonctions  a  espaces  lacunaires.    H.  Poincarä.    Compt  rend.  XCVL 

1134. 

157.  Üeber  den  allgemeinen  Functionsbegriff  und  dessen  Darstellung  durcb  eine 

willkürliche  Curve.    F.  Klein.    Mathem.  Annal.  XXII,  249. 

158.  Zusammenhang   der  Hyperbeln  und  Lemniscaten  höherer  Ordnung  mit  dem 

Ausgangspunkte  der  Functionentheorie.  G.  HolzmQller.  Zeiuichr.  Math. 
Phys.  XnX,  120. 

159.  Ueber  eine  gewisse  Erweiterung  des  Cantor'schen  Satzes,  dass  Uman  =  0  und 

Ztm&A  =  0,  sofern  innerhalb  der  Grenzen  a<^<&  immer  UmiOn.sinnx 
+  bn.co8nx)  =  0  stattfindet.    C.  Neumann.    Mathem.  Annal.  XXII,  406. 

160.  Sur  le  rapport  de  la  circonf^rence  au  diam^tre  et  sur  les  logarithmes  n^p^- 

riens  des  nombres  commensurables  ou  des  irrationnelles  algäbriques.   F. 
Lindemann.    Compt.  rend.  XCV,  72. 

161.  Ueber  cyklische  Functionen.    0.  Dziobek.    Grün.  Archiv  LXIX,  265. 

162.  Die  algebraische  Transformation  der  doppelteeriodischen  Functionen.  M.  Veit- 

mann.   Zeitschr.  Math.  Phys.  XXIa,  oupplem.  73. 
168.  Ueber  die  Perioden  solcher  eindeutiger,  2n-fach  periodischer  Functionen, 
welche  im  Endlichen  überall  den  Charakter  rationaler  Functionen  be- 
sitzen und  reell  sind  far  reelle  Werthe  ihrer  n  Argumente.    Ad.  Hur- 
witz.   Crelle  XCIV,  1. 

164.  Definition  naturelle  des  param^tres  diffärentiels  des  fonctions,  et  notamment 

de  celui  du  second  ordre  ^^2-    J-  Boussinesq.    Compt.  rend.  XCV,  479. 

165.  Ueber  arithmetische  Eigenschaften  gewisser  transcendenter  Functionen.    Ad. 

Hurwitz.    Mathem.  Annal.  XXH,  211.    [Vergl.  Bd.  XXIX,  Nr.  411.J 

166.  Sur  les  fonctions  d'un  point  analvtique.    Appell.    Compt.  rend.  XCV,  624. 

167.  Relations  entre  les  rdsidus  d*une  fonction  d'un  point  anafytique  (x,y)  qui  se 

reproduit,  multipli^e  par  une  constante,  quand  le  point  (x,y)  d^crit  un 
cyclo.    Appell.    Compt.  rend.  XCV,  714. 

168.  Sur  des  fonctions  uniformes  de  deuz  points  analytiques  qui  sont  laiss^es  in- 

variables par  une  infinitä  de  transformations rationnelles.  Appell.  Compt 
rend.  XCVI,  1643. 

169.  Sur  une  classe  de  fonctions  uniformes  de  deux  variables  ind^pendantes.    E. 

Picard.    Compt  rend.  XCV,  594. 

170.  Beweis  des  Satzes«  dass  eine  einwerthige  Function  beliebig  vieler  Variabein, 

welche  überall  als  Quotient  zweier  Potenzreihen  dargesteUt  werden  kann, 
eine  rationale  Function  ihrer  Argumente  ist.  A.  Hurwitz.  Crelle  XCV,  201. 

171.  Sur  des  fonctions  de  deux  variables  indäpendantes  analogues  aux  fonctions 

modulaires.    Em.  Picard.    Acta  ma&ematica  H,  114. 

172.  Sur  les  fonctions  hypergäomätriquea  d'ordre  supärieur.   E.  Goursat.   Compt. 

rend.  XCVI,  186. 

173.  Sur  les  fonctions  hyperg^om^triques  de  deux  variables.  E.  Goursat  Compt. 

rend.  XCV,  717,  903,  1044. 

174.  Sur  les  fonctions  de  plusieurs  variables  imaginaires.     Ed.  Combescure. 

Qompt  rend.  XCVI,  235,  483. 

175.  Sur  les  fonctions  de  deux  variables.    H.  Poincar^.   Compt  rend.  XCVI,  238. 

176.  Sur  nne  classe  de  fonctions  de  deux  variables  ind^pencuuiteB.    E.  Picard. 

Compt  rend.  XCVI,  820. 

177.  Sur  une  olasse  de  fonctions  de  deux  variables  ind^pendantes.    P.  Appell 

Acta  mathematica  II,  71. 

178.  Sur  les  fonctions  de  deux  variables.    H.  Poincar^.   Acta  mathematica  H,  97. 

12* 


156  Historisch -literarische  Abtheilung. 

Vergl.  Abersche  Transoeodenten.     BemouUi'sche  Zahlen.     Bestiminte  lute- 

frale.  Differentialgleichungen*  Elliptische  Transcendenten.  Factorenfolge. 
ourier'sche  Reihe.  HyperboliBche  Functionen.  Imaginaires.  Mannicb- 
faltigkeiten.  Modulargleichungen.  Quatemionen.  Reihen.  Substitutionen. 
Thetafunctionen.    Ulteaelliptische  Transcendenten.    Zahlentheorie  474. 

Ganunafimctionen. 
17^.  Sur  la  fonction  eul^rienne.    Bourguet.    Compt.  rend.  XCVI,  1307. 

180.  Sur   les  integrales   euleriennes   et   quelques   autres  fonctions  uniformes,     i. 

Bourguet.    Acta  mathematica  II,  261. 

181.  Sur  la  fonddon  eulerienne.    L.  Bourguet.    Acta  mathematica  II,  296. 

n 

2 

182.  Pour  toute  valeur  positive  de  gf,  entiäre  ou  fractionnaire  on  a  j cos (p^"^. dtp 

^jf(2n^zmi^flp[l.    E.  Cesaro.    Mathesis  IV,  65. 
-*^^       2n(2«-2  +  3)  ' 

183.  üeber  die  transcendente  Function  Q[x)=:r(x)- P{x).    H.  Mellin.    Acta  ma- 

thematica n,  231. 


184.  Sur  Tint^grale    /  yi-af.dx.    Cl.  Servals.    Mathesis  IV,  154. 

185.  Rectification  ä  une  communication  ant^rieure  sur  les  integrales  euleriennes. 

J.  Tannery.    Compt.  rend.  XCV,  76.    [Vergl.  Bd.  XXIX,  Nr.  696.J 
Vergl.  Zahlentleorie  486. 

Geodäsie. 

186.  Observations   astronomiques  sans  mesures  d*angles.     Gh.  Ronget.     Compt 

rend.  XCV,  120.    [Vergl.  Bd.  XXIX,  Nr.  696.] 

187.  ChoiK  d'un  premier  meridien.    Faye.    Compt.  rend.  XCVI,  136.  —  De  Chan- 

courtois  ibid.  182. 
Vergl.  Hypsometrie. 

(Nometrie  (deseriptive). 

188.  üeber  einen  Fundamen  talsatz  der  constructiven  Schattentheorie.    J.  St  reis  s- 

1er.    Grün.  Archiv  LXIX,  144.  —  C.  Pelz  ibid.  437. 

189.  Angle   que   fait  le  plan   d'une   circonference   avec  le  ^lan  horizontal.    De- 

rousseau.    Mathesis  IV,  91.  —  Verstraeten  ibid.  167. 

190.  Theoreme  sur.  deux  triangles   non   situ^s  dans  un  m§me  plan.     Jexabek. 

Mathesis  IV,  116.  —  J.  Neuberg  ibid.  116. 

(Nometrie  (liöliere), 

191.  Ueber  einen  liniengeometrischen  Satz.    F.  Klein.    Mathem.  Annal.  XXn,  234. 

192.  Ueber  Reihen  harmonischer  Mittelpunkte  vom  zweiten  Grade.    Beinh.  Sla- 

wyk.    Zeitschr.  Math.  Phys.  XXIX,  Supplem.  1. 

193.  Das  Zweieckschnittsverhältniss.    A.  Thaer.    Zeitschr.  Math.  Phys.  XXIX,  183. 

194.  Ueber  Tangentenconstructionen.    Ad.  Hurwitz.    Mathem.  Annal.  XXH,  230. 

195.  Ueber  Collmeation  und  Correlation.    R.  Sturm.    Mathem.  Annal.  XXH,  569. 

196.  Courbes  avec  point  de  dedonblement.   P.  Mansion.  Mathesis  IV,  164.    [Vergl. 

Bd.  XXIX,  Nr.  430.] 

197.  Sur  une  relation  d'involution ,  concemant  une  figure  vlane  formee  de  deoi 

courbes  alg^briques,  dont  Tune  a  un  poiut  multiple  d'un  ordre  de  mol- 
tiplicite  inferieur  d'une  unite  ä  son  degre.  G.  F  cur  et.  Compt.  rend. 
XIIVI,  1213. 

198.  Ueber    conju^^irte  binäre  Formen  und  deren  geometrische  Construction.    0. 

Schlesinger.    Mathem.  Annal.  XXH,  520. 

199.  Ueber  sich  in  einem  Punkte  schneidende  coordinirte  Linien  und  über  auf  einer 

geraden  Linie  liegende  coordinirte  Punkte.  A.  Ramisch.  Grün.  Archir 
LXIX,  54. 

200.  Zur  Theorie  der  Curven   gerader  Ordnung.     Ed.   Mab  1er.     Grün.  Archiv 

LXIX,  108. 

201.  Ueber  einige  projectivische  S&tze  von  Schlömilch.    F.  Grab  erg.    Zeitschr. 

Math-Thyg.  XXIX,  368. 


Abhandlungsregister.  157 

202.  Die  Steiner'schen  Polygone.    P.  A.  Seh  oute.    Grelle  XCV,  106,  817. 

203.  Ueber   die  mit  der  Löstmg  einer  Steiner'schen  Aufgabe  zuBammenhängende 

Configuration  (128,  lös).    C.  Hossfeld.    Zeitschr.  Math.  Phys.  XXIX,  306. 

204.  Elementare  Beweise  einiger  geometrischen  Sätze.    Study.    Grelle  XCIV,  233. 

205.  Sur  un  mode  de  transformation  des  figures  dans  Tespace.   Vanäcek.   Gompt. 

rend.  XCV,  1049,  1146;  XCVI,  1714,  1773.     fVergl.  Bd.  XXIX,  Nr.  700.J 

206.  Memoire  sur  la  repr^sentation  des  homographies  binaires  par  des  points  de 

Tespace  avec  application  ä.  Tätude  des  rotations  sphäriques.    Gyp.  St^- 
^hanoB.    Mathem.  Annal.  XXII,  299. 

207.  Neue   Gonstructionen    der  Perspective  und   Photogrammetrie.     G.   Hauck. 

Grelle  XGV,  1. 

208.  Ueber  die  eindeutige  Beziehung  von  Eäumen  mittels  projectiver  Ebenenbüschel 

und  ihre  Anwendung  auf  Gonstractionsaufgaben.    F.  v.  Krieg.   Zeitschr. 
Math.  Phys.  XXIX,  Supplem.  38. 

209.  Das   ebene  Kreissystem  und  seine  Abbildung  auf  den  Raum.    J.  Thomae. 

Zeitschr.  Math.  Phys.  XXIX,  284. 

210.  Zur  Theorie  der  Raumcurven.    H.  Valentiner.    Acta  mathematica  II,  136. 

Ver^l.  Elliptische  Transcendenten  132,  133.    Formen  143,  144.    Mehrdimen- 
sionalgeometrie. 

Geometrie  (UnömatLsohe). 

211.  Kinematische  Studien.    Ant.  Suchard a.    Grün.  Archiv  LXIX,  218. 

212.  Sur  les  transformations  centrales  des  courbes  planes.  M.  d^Ocagne.  Mathesis 

IV,  73,  97. 

213.  Sur  les  propriät^s  mätriques  et  cinämatiques  d^une  sorte  de  quadrangles  con- 

juguös.    Gyp.  Stephanos.    Gompt.  rend.  XGV,  677. 

214.  Zur   Gonstruction   der    Wendepunkte.     M.   Grübler.     Zeitschr.  Math.  Phys. 

XXIX,  310. 

Geschichte  der  Mathematik. 
216.  Zur  Geometrie  der  Alten,  insbesondere  über  ein  Axiom  des  Archimedes.    0. 
Stolz.    Mathem.  Annal.  XXII,  604. 

216.  Die  arabische  Tradition  der  Elemente  Euklid's.    J.  L.  Hei  borg.    Zeitschr. 

Math.  Phys.  XXIX,  hist.-Ut.  Abth.  1. 

217.  Ueber   einige  aus  dem  Arabischen  entlehnte  Sternnamen.     A.  Wittstein. 

Zeitschr.  Math.  Phys.  XXIX,  hist.-lit  Abth.  169. 

218.  Die  Irrationalitäten  der  Rabbinen.   Ed.  Mahl  er.    Zeitschr.  Math.  Phys.  XXIX, 

bist  -lit.  Abth.  41. 

219.  Der  Tractatus   „De  quadratura  drculi*'  des  Albertus  de  Saxonia.    H.  Suter. 

Zeitschr.  Math.  Phys.  XXIX,  hist.-Ut.  Abth.  81. 

220.  Esquisse  biographique  de  Willebrord  Snell.    P.  Mansion.    Mathesis  IV,  64. 

221.  Eingabe  Johann  Kepler's  an  Kaiser  Rudolf  II.  um  Ertheilung  eines  General- 

privilegs für  den  Druck  seiner  Werke  (1606  vor  März  3).    R.  Döbner. 
Zeitschr.  Math.  Phys.  XXIX,  bist.- lit.  Abth.  174. 

222.  Discours   prononcä    ä   rinauguration   d'une   statue   de   Permat.     Mouchez. 

Gompt.  rend.  XGV,  399. 

223.  Sur  un  manuscrit  de  Format  räcemment  publik.    A.  Genocchi.     Mathesis 

IV,  106. 

224.  Le  deux-centi^me  anniversaire  de  Tinvention  du  calcul  diff^rentiel.    P.  Man- 

sion.   Mathesis  IV,  168,  177. 

225.  Gonsid^rations  g^n^rales  sur  les  mdthodes  scientifiques  et  applications  ä  la 

mdthode  a  posteriori  de  Newton  et  ä  la  möthode  a  priori  de  Leibnitz. 
E.  Ghevreul.    Gompt.  rend.  XGVI,  1621. 

226.  Sur  le  probläme   de  la  däcomposition  d^un  polygone  convexe  en  triangles. 

E.  Gatalan.    Mathesis  IV,  87. 

227.  Ueber  die  Einführung  der  complexen  Zahlen.    R.  Baltzer.    Grelle  XGIV,  87. 

228.  Sur  les  travaux  de  Frädäric  Houtman.    Veth.    Gompt.  rend.  XGV,  982. 

229.  Manuscrits  sur  la  thäorie  de  la  Lune  laiss^s  par  M.  biet.  F.  Lefort.  Gompt, 

rend.  XGVI,  1488. 

230.  FunäraiUee  de  Jos.  Liouville.    Faye.    Gompt.  rend.  XGV,  468.  ~  Laboulaye 

ibid.  469. 

231.  Notice  sur  Jos.  Liouville  f  H;  Sept.  1882.    Jamin.    Gompt.  rend.  XGVI,  873. 
282.  Sur  la  vie  et  les  travaux  de  Em,  Plantamour.  Faye.  Gompt.  rend.  XGV,  495. 

233.  Sur  les  travaux  de  M.  Roche.    F.  Tisserand.    Gompt.  rend.  XGVI,  1171. 

234.  Note  biographique  sur  H.  J.  S.  Smith  f  9.  Fävr.  1883.    G.  Jordan.    Gompt. 

rend.  XGVI,  1096. 


158  Historisch -literarische  Abtheilung. 


;-cV  .  «o;— a  ä— 6  x  —  c 


236.  Fnnäraillee  de  J.  A.  C.  Bresse  f  22.  Mai  1883.  Phillips.    Compt  rend.  XCVI, 
1618. 
YergL  Metrologie  332,  333. 

Oleidumgen. 

236.  D^monstratiou  du  thäor^me   que  toute   ^quation   alg^riqae  a  une  radne. 

Walecki.    Compt.  rend.  iCVI,  772. 

237.  Ueber  die  DarstelluDg  der  Wurzeln  der  algebraischen  Gleichungen  durch  nn- 

endliche  Reihen.    B.  Dietrich.    Grün.  Archiv  LXIX,  337. 

238.  Beitrag  zur  Lösung  yon  Gleichungen  höheren  Grades.    Th.  Sinram.    Gnm. 

Archiv  LXIX,  111.     [Verri.  Bd.  XXVÜI,  Nr.  569] 

239.  Sur  les  fonctions  du  genre  zero  et  du  genre  un.    Laguerre.    Compt  rend. 

XCV,  828.    [Vergl.  Bd.  XXIX,  Nr.  772.] 

240.  On  Mr.  Anglin*8  formula  for  the  successive  powen  of  the  root  of  an  alge- 

braical  equation.    A  Cavley.    Quart  Joum.  math.  XIX,  223. 

241.  Die   Rationalisirung  irrationaler   algebraischer   Functionen.     8.   PolewskL 

Grün.  Archiv  LXIX,  149.    [Vergl.  Bd.  XXVQI,  Nr.  676.] 

242.  üeber  Gleichungen,  deren  Discriminante  ein  Quadrat  ist    E.  Netto.    Crelle 

XCV,  287. 

243.  Zur  Theorie  der  Gleichungen  vierten  Grades.     Em.  Oekinghaas.     Gnin. 

Archiv  LXIX,  169. 

244.  Bedttction  einer  biquadratischen  Gleichung  auf  eine  cubische.  Hoppe.  Gnm. 

Archiv  LXIX,  111. 

Gelin,  Uob,  Boersch,  Collin,  Pisani.    Mathesis  IV,  213. 

246.  Conditions  de  divisibilitä  de  a:?  +  a ojp-«  y«  +  6a^-*«  y««  +  ca??-'«  y*«  +  ^  par 

(a;+v)*.    Gelin.    Mathesis  IV,  60,  165. 

247.  Identitä  de  deuz  expressions  alg^briques.    E.  Cesaro.    Mathesis  IV,  67. 

248.  Värification    de   V6ga]it6   de   deux   expressions  irrationelles.     Stuyvaerts. 

Mathesis  IV,  198. 

249.  On  the  Standard  Solutions  of  a  System  of  linear  equations.     A.  Cayley. 

Quart.  Joum.  math.  XIX,  38. 
Vergl.  Determinanten  63.    Imaginäres  262.    Eepler'sches  Problem.    Substi- 
tutionen. 


Hydrodynamik« 

250.  Sur  le  mouvement  et  la  d^formation  d'une  bulle  liquide  qui  s'äl^ve  dans  une 

masse    liquide   d'une   density   plus   grande.     U.   Resal.    Compt.   rend. 
XCVI,  822. 

251.  On  the  forces  experienced  by  a  solid  moving  in  an  infinite  mass  of  liquid. 

H.  Lamb.    Quart.  Joum.  math.  XIX,  66. 

252.  On  the  motion  of  a  liquid  in  and  about  c^linders  whose  transverse  sections 

are  the  inverse  of  confocal  elHpses  with  respect  to  their  centre.    A.  B. 
Basset.    Quart.  Joum.  math.  XtX,  190. 

253.  On  certain  physical  problems  connected  with  sui-faces  which  are  the  inverses 

of  ellipsoids  of  revolution.    A.  B.  Basse t.    Quart.  Journ.  math.  XIX,  349. 

254.  Sur  le  rapport  de  Taction  lunaire  k  Taction  solaire  dans  le  ph^nomene  des 

maräes.    Hatt    Compt  rend.  XCV,  960. 

HyperbeL 

255.  Chercher  le  Heu  des  centres  des  hyperboles  äc[uilat^res  touchant  deux  droites 

donnäes  en  deux  points   qui  sont  en  ligne  droite  avec  un  point  fixe. 
Bastin.    Mathesis  IV,  39.  —  Liänard  &  Gillet  ibid.  39. 

256.  L'ordonnde  du  point  d'intersection  d'une  ellipse  et  d*une  hyperbole  homofocale 

rencontre  les  asvmptotes  sur  la  circonf^rence  qui  a  pour  diamätre  le 
grand  axe  de  rellipse.    Eaelhoffft  Pisani.    Mathesis  FV,  208. 

HyperboliBohe  Fonetionen. 

257.  Pr^cis  de  la  th^orie  des  fonctions  hyperboliques.    P.  Mansion.   Mathesis  IV, 

5,  28,  80,  101. 

Hyperboloid. 

258.  Droites  dans  un  tätraädre  situäes  sur  un  m^me  hyperboloide.    Jamet    Ma- 

thesis IV,  190. 


Abhandlungsregister.  159 


Hypstmetrle. 
859.  Sur  la  diff^rence  des  pressions  baromätxioaes  en  deux  points  d'une  mdme  yer- 
ticale.    J.  Ja  min.    Compt.  rend.  XCVl,  395. 

I. 

Tmagliiäret. 

260.  Zur  Interpretation  der  complexen  Elemente  in  der  Geometrie.     F.  Klein. 

Mathem.  Annal.  XXII,  242. 

261.  Eine  Uebertragung  des  Paacarschen  Satzes  auf  Baumgeometrie.    F.  Klein. 

Mathem.  Annal.  XXII,  246. 

262.  Construction  der  imaginären  Wurzeln   einer  Gleichung  vierten  oder  dritten 

Grades  mittels  einer  festen  Parabel.  B.  Hoppe.  Grim.  Archiv  LXIX,  816. 
Vergl.  Zahlentheorie  475. 

InvarianteathAorie. 

263.  On  seminvariants.    A.  Cayley.    Quart.  Joum.  math.  XIX,  131.  —  P.  A.  Mac 

Mahon  ibid.  337. 

264.  Zur  Theorie  der  Combinanten.    E.  Stroh.    Mathem.  Annal.  XXII,  393. 

265.  Beduction  zweier  Co  Varianten  binärer  Formen.    E.  Stroh.    Mathem.  Annal. 

XXn,  290. 

266.  Sur  les  relations  qni  existent  entre  les  covariants  et  invariants  des  formes 

binaires.   R.  Perrin.    Compt  rend.  XCVIj  426,  479,  563,  1717,  1776,  1842. 

267.  Sur  les  relations  qui  existent  entre  les  covanants  et  les  invariants  de  carac- 

t^re  pair  d'ime  forme  binaire  du  sixiäme  ordre.  Cyp.  Stephanos.  Compt. 
rend.  XCVI,  232,  1664. 

268.  Sur  quelques  propriät^s  d'une  forme  binaire  du  huitiäme  ordre.   F.  Brioschi. 

Compt.  rend.  XCVI,  1689. 

K. 

Kegelflohnitto. 

269.  Ueber  das  gemischte  Kegelschnittbüschel.  H.  E.  M.  0.  Zimmermann.  Zeitschr. 

Math.  Phys.  XXIX,  176. 

270.  Bemerkimgen  über  perspectivische  Dreiecke  auf  einem  Kegelschnitte  und  über 

eine  specielle  ßeciprocität.    C.  Beyel.    Zeitschr.  Math.  Phys.  XXIX,  250. 

271.  Zur  Construction  der  Darchscbnittspunkte  zweier  Kegelschnitte.    F.  Tom  es. 

Grün.  Archiv  LXIX,  307. 

272.  Einige  Sätze  über  Kegelschnitte.     H.  Schroeter.     Zeitschr.  Math.  Phys. 

XXIX,  160. 

273.  Osculationstripel  am  Kegelschnitt.    K.  Zahradnik.    Grün.  Archiv  LXIX,  419. 

274.  Methode  simple  pour  d^termiuer  les  foyers  dans  les  courbes  du  second  degr^. 

G.  Dostor.    Grün.  Archiv  LXIX,  432. 

275.  l^quation  quadratique  des  droites  menäes  d'un  point  aux  intersections  d'ane 

conique  avec  une  droite.    G.  Dostor.    Grün.  Archiv  LXIX,  427. 

276.  Construction  der  ^gemeinschaftlichen  Tangenten  eines  Kreises  und  einer  Kegel- 

schnittslinie.   C.  Schirek.    Grün.  Archiv  LXIX,  408. 

277.  Conique  enveloppe  d'une  certaine  droite.     Jerabek.     Mathesis  IV,  155.  — 

Bastin  ibicL  157. 

278.  üeber  den  Ort  der  Berührungspunkte  der  Tangenten  von  einem  Punkte  an 

die  Kegelschnitte  einer  Schaar  oder  eines  Büschels.    M.  Grein  er.    Grün. 
Archiv  LXIX,  30. 

279.  Enveloppe  des  axes  des  coniques  tangentes  ä  deux  droites  donn^es  en  deux 

points  donn^s.    Pisani.    Mathesis  lY,  230. 
Vergl.  Conchoide  60.    Ellipse.    Elliptische  Transcendenten  132.    Formen  143. 
Hyperbel.    Kreis.    Parabel.    Tetraeder  450. 

Kopler'flchet  Problem. 

280.  Solution  rapide  du  probläme  de  Kepler.   Ch.  V.  Z  enger.   Compt. rend.  XCV, 
171,  207. 


.281.  Solution  du  probleme  de  Kepler  pour  des  excentricit^s  considörables.    Ch.  V. 
Z e n g  e r.    Compt.  rend.  XC V,  416. 

282.  Remarques  concernant  le  probleme  de  Kepler.     B.  Bad  au.     Compt.  rend. 

XCV,  274. 

283.  Sur  le  problöme  de  Kepler.    A.  de  Gasparis.    Compt.  rend.  XCV,  446. 


J 


160  Historisch -literarische  Abtheilung. 


Xettenbrftehe. 

284.  Sar  la  th^orie  des  fractions  continnes  pärioälques.  E.  deJonqaiäres.  Gompi 

rend.  XCVI,  568,  694,  832,  1020,  1129,  1210,  1297,  1851,  1420,  1490,  1571, 
1721. 

285.  Studien  über  Kettenbrüche.    K.  E.  Hoffmann.    Grau.  Archiv  LXIX,  205. 

Xreii. 

286.  The  triplicate- ratio  circle.    B.  Tue k er.    Quart.  Journ.  matb.  XIX,  342. 

287.  Sur  une  demi - circonfärence  partag^e  en  7  parties  Egales.    Fancbaiups  & 

Liänard.    Mathesis  IV,  41. 

288.  CIrconf(§rence  passant  par  les  projections  de  deux  Bommets  d'un  triangle  sur 

la  bissectrioe  du  troiBieme  angle.  Van  Laer  &  E.  Li^nard.  Mathesis 
IV,  67.  —  Thiry  ibid.  68. 

289.  Inscrire  a  un  cercle  aonnä  un  triangle  qui  soit  semblable  ä  un  triangle  donn^, 

et  homologique  avec  un  second  triangle  donn^,  inscrit  dans  le  rn^me 
cercle.    Gob  &  Stuyvaert.    Mathesis  IV,  197. 

290.  Sur  un  biangle  et  un  triangle  formös  par  des  arcs  de  cercle.   Weill.   Mathesis 

IV,  219. 

291.  Aire  d^une  <][uadrilat^re  curvili^ne  form^  par  des  arcs  de  circonf^rence.   Tast^. 

Mathesis  IV,  116.  —  Dethier  ibid.  116.  —  Jeräbek  &  Janecek  ibid.  115. 

292.  On   Systems   of  circles  and  bicircular  quartics.     Hom.  Cox.     Quart  Jouni. 

math.  XIX,  74. 

293.  Sur  deux  circonförences  homothäti5[ue8.  DeBocquigny  etc.  Mathesis  IV,  211. 

294.  Propri^t^  g^om^trique  d'un  certam  groupe  de  deux  syst^mes  de  circonferences 

concentriques.    Brocard.    Mathesis  IV,  219. 

295.  Construire  deux  circonfärences  tangentes  entre  elles,  tangente  chacune  k  une 

droite  donn^e  en  un  point  donn^,  et  dont  les  rajons  soient  dans  un  rap- 
port  donn^.  De  Boischevalier.  Mathesis  iV,  42.  —  Lienard  ibid. 
43.  —  Lamarle  ibid.  43. 

296.  üeber  die  Krümmung  der  Flächen.    0.  Böklen.    Zeitschr.  Math.  Phys.  XXIX, 

129.     [Vergl.  Nr.  869.J 

297.  Ueber  die  Erümmungsmittelpunkte  der  Polbahnen.    M.  Grübler.    Zeitechr. 

Math.  Phys.  XXIX,  212,  882. 
Vergl.  Oberflachen  343,  353. 


Magnetitmu. 

298.  Les  carr^s  des  forces  d'induction,  produites  par  le  Soleil  dans  les  planetes  et 

dues  ä  la  vitesse  de  rävolution  de  ces  corps,  sont,  toutes  choses  Egales 
d^ailleurs,  en  raison  inverse  des  septi^mes  puissances  des  distances  ä  Tastre. 
Induction  des  comätes  des  bolides  et  des  ätoiles  Alantes.  Qu  et.  Compi 
rend.  XCV,  614. 

299.  Les  forces  d'induction  que  le  soleil  d^veloppe  dans  le'  corps  par  sa  rotation 

varient,  toutes  choses  Egales  d*ailleurs,  en  raison  inverse  des  carräs  des 
distances.    Qu  et.    Compt.  rend.  XCV,  682. 

300.  Induction  lunaire  et  ses  p^riodes.    Qu  et.    Compt.  rend.  XCV,  722. 

301.  Sur  rinduction  terrestre  des  planstes  et,  en  particuUer,  sur  celle  de  Jupiter. 

Qu  et.     Compt.  rend.  XCV,  1165. 

302.  Action  magndtique  du  soleil  sur  la  terre  et  les  planetes;  eile  ne  produit  pas 

de  Variation  s^culaire  dans  les  grands  axes  des  orbites.  Quet.  Compt 
rend.  XCVI,  372. 

303.  Sur  les  rapports  de  Tinduction  avec  les  actions  dlectrodynamiques  et  sur  one 

loi  generale  de  Tinduction.    Quet.    Compt.  rend.  XCVI,  1849. 

Manniohfaltigkeiten. 

304.  Traduction  des  travaux  principaux  de  Mr.  Georg  Cantor  sur  la  th^orie  des 

ensembles  publiäs  autrefois  en  allemand.    Acta  mathematica  U,  305,  311, 

329,  336,  349,  381. 
306.  Sur  divers  thdoremes  de  la  theorie  des  ensembles  de  points  situds  dans  un 

espace  continu  ä  N  dimensions.    G.  Cantor.     Acta  mathematica  II,  409. 
.S06.  Quelques  th^oremes  de  la  theorie  des  ensembles  de  points.    J.  Bendixson. 

Acta  mathematica  II,  415. 


Abhandlimgsregister.  161 

Meehaaik« 
S07.  De  la  ndcesait^  d'introdaire  certaines  modifications  dans  renseignement  de  la 
m^canique,  et  d'un  bannir  certains  probl^mes ;  par  exemple,  le  moave- 
ment  du  corps   solide  des  g^om^tres.    Y.  Villarceau.     Compt.  rend. 
XCV,  1321. 

308.  StiT  une  extension  des  principes  des  aires  et  da  moavement  du  centre  de  gra- 

vitä.    M.  Lövy.    Compt.  rend.  XCV,  772,  986. 

309.  Rapport  sur  un  memoire  de  M.  Ph.  Gilbert  sur  divers  probl^mes  de  mouve* 

ment  relatif.    C.  Jordan.    Compt.  rend.  XCV,  111.    [Vergl.  Bd.  XXIX, 
Nr.  811.J 

310.  Bewegung  eines  Cylinders  im  Hohlcylinder  auf  schiefer  Ebene  unter  Berührung 

ohne  Qleitung.    R.  Hoppe.    Grün.  Archiv  LXIX,  162. 

311.  Einfache   Darstellung   der   Trägheitsmomente   von   KOrpem.     R.   Mehmke. 

Zeitschr.  Math.  Phys.  XXIX,  61. 

312.  Methode  g^närale  pour  la  Solution  des  problämes  relatifs  aux  axes  principaux 

et  aux  moments   d'inertie.     Balance  d'oscillation  pour  Tävaluation  des 
moments  d'inertie.    E.  Bras sinne.    Compt.  rend.  XCV,  337,  446. 

313.  DieTrä^heitsbahn  auf  der  Erdoberfläche.  H.  Bruns.  Mathem.  Annal.  XXII,  296. 

314.  Ueber  die  zusammengesetzte  Centripetalbeschleunigung.  M.Grübler.  Zeitschr. 

Math.  Phys.  XXIX,  313. 

315.  Proportion  des  distances  des  sommets  d*un  triangle  ä  la  r^sultante  de  trois 

forces  dirig^es  suivant  les  cöt^s.    Pisani  &Li^nard.   Mathesis  IV,  244. 

316.  On  the  ene^y  of  strain  of  an  isotropic  solid.    H.  T.  Stearn.    Quart.  Joum. 

math.  XIX,  140. 

317.  R^duction  ä  la  forme  canonique  des  ^quations  d^^quUibre  d*un  fll  flexible  et 

inextensible.    Appell.    Compt.  rend.  XCVI,  688. 

318.  Comment  se  r^partit,  entre  les  divers  points  de  sa  petite  base  d*appui,  le 

poids  d^im  corps  dur,  ä  surface  polie  et  convexe,  pos^  sur  un  sol  hori- 
zontal älastique.    J.  Boussinesq.    Compt.  rend.  äCVI,  245. 

319.  Sur  une  propri^tä  g^n<$rale  d*un  agent  dont  Taction  est  proportionnelle  au 

produit  des  quantit^s  en  prdsence  et  ä  une  puissance  qaelconque  de  la 
distance.    E.  Mercadier.    Compt  rend.  XCVI,  188. 

320.  Sur  les  solides  d'ägale  r^sistance.    H.  L^autä.    Compt.  rend.  XCV,  1219. 

321.  Theorie  de  la  räsistance  des  Stoffes  tiss^es  ä  Textension.    Tresca.    Compt. 

rend.  XCV,  1316. 

322.  Sur  les  trajectoires  des  divers  points  d^une  bielle  en  mouvement   H.  L^aut^. 

Compt.  rend.  XCVI,  689. 

323.  R^gles  pratiques  pour  la  Substitution,  k  un  arc  donn^,  de  certaines  courbes 

fermäes  engendr^es  par  les  points  d-une  bielle  en  mouvement.  H.  L^aut^. 
Compt.  rend.  XCVI,  1356,  1649. 

324.  Sur  le  poin^onnage  et  les  proues  dont  il  ddtermine  la  formation.    Tresca. 

Compt.  rend.  XCVI,  816. 

325.  Sur  un  nouveau  Systeme  de  bascule.    A.  Picart.    Compt.  rend.  XCVI,  1782. 

Vergl.  Astronomie.  Elasticität.  Elektricität.  Hydrodynamik.  Hyperboloid. 
Magnetismus.  Molekularphysik.  Optik.  Parabel  377.  Pendel.  Potential. 
Schwerpunkt.    Wärmelehre. 

Mehrdimensionalgtometrie. 

326.  Numerische  Berechnung  der  Winkel  von  vier  Dimensionen.  R.  Hoppe.  Grün. 

Archiv  LXIX,  278. 

327.  Relation  zwischen  fünf  Elementartetratopen  mit  vier  unabhängigen  Grössen. 

R.  Hoppe.    Grün.  Archiv  LXIX,  287. 

328.  Tetratop  auf  beliebiger  Basis.    R.  Hoppe.    Grün.  Archiv  LXIX,  297. 

329.  Drei  Sätze  für  Inhaltsberechnung  in  der  Mehrdimensionengeometrie.  R.  Hopp  e. 

Grün.  Archiv  LXIX,  385. 

330.  Partielles   Maximum   eines   Elementartetratops.     R.  Hoppe.     Grün.  Archiv 

LXIX,  439. 
Vergl.  Zahlentheorie  477. 

Metrologie. 
321.  Sur  la  thdorie  gdn^rale  des  unitäs.    A.  Ledieu.    Compt.  rend.  XCV,  1328; 

XCVI,  986. 
332.  Sur  deux  m^tres  en  platine  ayant  appartenu  ä.  de  Prony.    Tresca.    Compt. 

rend.  XCVI,  667. 
383.  Sur  deux  ^talons  de  Tanne  et  du  pied  de  Roi,  r^cemment  retrouv^s.   C,  Wolf. 
Compt.  rend.  XCV,  977. 


162  Historiseb- literarische  Abtheilung. 

Hittolgrtttaen. 

334.  Sar  une  snite  de  moyenneB.    J.  Neu  b erg.    Mathesis  IV,  Suppl^m.  3. 

Modulargleiehnngeii. 

335.  Ueber  Congraenzg^ppen  von  PrimzablBtafe.    J.  Gierster.    Mathem.  Anmü. 

XXn,  176.    [Vergl.  Bd.  XXVII,  Nr.  443.] 

Moleoularphytik. 

336.  La  BYnth^se  des  cienx  et  de  la  terre.    Moigno.    Compt.  rend.  XCYI,  1166. 

337.  Sur  rinfluence  de  la  qnantit^  du  ^az  dissouB  dans  un  liquide  aar  sa  tension 

Buperficielle.    S.  WroblewBki.    Compt  rend.  XCV,  284. 

Konnalen. 

338.  Zum   Normalenproblem   der  Ellipse.     C.  S  c  b  i  r  e  k.     Zeitscbr.  MatL  Pbys. 

XXIX,  239. 

339.  Quelques  tb^orämes  sur  les  normales  de  la  parabole.    Gerondal.    Mathesie 

IV,  128. 
Vergl.  Cubatur  62. 


Oberfläehen. 
340.  n  est  possible  de  tracer  sur  des  surfaces  quolconques,  domiäes  de  forme  et 

de  Position,  une  s^rie  ind^finie  de  lignes  identiques  de  |part  et  d*aatre. 

Gaspar  &  E.  Cesaro.    Mathesis  IV7  41. 
841.  Ueber  dreifach  -  orthogonale  Flächenschaaren.    Ed.  Mahl  er.    Zeitechr.  Math. 

Phys.  XXIX,  111. 

342.  Haupteigenschaften  einer  krummen  in  der  Astronomie  auftretenden  Oberfläche. 

A.  Wittstein.    Grün.  Archiv  LXIX,  196. 

343.  Ueber   die  Eigenschaften  des  Linienelementes  der  Flächen  von  constantem 

Krümmungsmaass.    J.  Weingarten.    Grelle  XCIV,  181;  XCV,  325. 

344.  Ueber  die  Curven,  welche  sich  so  oeweKen  können,  dass  sie  stets  geodätische 

Linien  der  von  ihnen  erzeugten  Flächen  bleiben.    J.  N.  Hazzidakiä. 
Grelle  XCV,  120. 

345.  Ueber  die  Classification  der  Flächen  nach  der  Verschiebbarkeit  ihrer  geodä- 

tischen Dreiecke.    H.  v.  Mangoldt.    Grelle  XCIV,  21. 

346.  Ueber    die  Flächen   mit   einem   System   sphärischer   Erümmungslinien.     H. 

Dobriner.    Grelle  XCIV,  116.  -  A.  Enneper  ibid.  329. 

347.  Sur  les  cercles  gäoddsiques.    G.  Darboux.    Compt.  rend.  XCVI,  54. 

348.  Determination  <rune  classe  particuliäre  de  surfaces  ä  lignes  de  courbure  planes 

dans  un  Systeme  et  isotbermes.   G.  Darboux.   Compt.  rend.  XCVI,  1202, 
1294. 

349.  Die  geodätische  Linie  auf  der  Ereiskegelfläche.    Em.  Gz  üb  er.    Grün.  Archiv 

LXIX,  126. 

350.  On  lines  of  striction.    G.  Larmor.    Quart.  Joum.  math.  XXIX,  381. 

351.  Ein  Beitrag  zur  Theorie  der  biplanaren  und  uniplanaren  Knotenpunkte.    K. 

Rohn.    Mathem.  Annal.  XXII,  124. 

352.  Rapport  sur  un  memoire  de  M.  de  Salvert  sur  les  ombilics  coniques.    G  Jor- 

dan.   Compt.  rend.  XCVI,  105. 

353.  Sur  les  suriaces  ä  courbure  moyenne  nulle  sur  lesquelles  on  peut  limiter  one 

Sortion  finie   de   la  surface   par  quatre  droites  situ^es  sur  la  surface. 
[.  A.  Schwarz.    Compt.  rend.  XCVl,  1011. 

354.  Die    developpable  Fläche    der    conisdien  Schraubenlinie.     Fr.   Schiff nei. 

Grün.  Archiv  LXIX,  444. 

355.  Zur   Theorie    der   Flächen,    deren  Erümmungsmittelpunktsfiächen   confocale 

Flächen  zweiten  Grades  sind.    F.  Rudio.    Grelle  XCV,  240. 
366.  Propriöt^  de  la  surface  dont  rdquation  est  F(x,y)'^f(z)^0,   F(x,y)  ^tant 
une  fonction  homogene.    E.  Cesaro  &  C.  Servais.    Mathesis  IV,  45. 

357.  Note  on  parallel  surfaces.  ThuCraig.  Grelle  XCIV,  162.  [VergL  Bd.  XXVIII, 

Nr.  688.] 

358.  Surfaces  dont  T^quation  contient  une  fonction  arbitraire.  Brocard.  MathesiB 

IV,  127. 

359.  Ueber  das  Minimum  des  Winkels  zwischen  zwei  conjugfirten  Tangenteu  auf 

positiv  gekrümmter  Fläche.    R.  Hoppe.    Grün.  Archiv  LXIX,  19. 


AbhandlxingsregiBter.  163 

860.  Sur  les  plana  tangents  et  osoulatearB  des  conrbes  ä  doable  ootubnre  efc  des 
Burfacea.  M.  N.  Vanecek.  Compi  rend.  XCVI,  1662.  [Vergl.  Bd,  XXIX, 
Nr.  703.] 

361.  Zur  Theorie  der  Flächen  dritter  Ordnung.    Fr.  Sohur.    Grelle  XCV,  207. 

862.  On  the  sixteen- nodal  quartic  sarface.    A.  Gayley.    Grelle  XGIV,  270. 

363.  üeber  gewisse  transcendente  Flächen,  welche  die  Gyklide  als  speciellen  Fall 

enthalten.    Holzmüller.    Grelle  XGIV,  239. 
Vergl.  Differentialgleichungen  91.    Krümmung  296.    Quatemionen  409. 

Oberflioh«n  iwoiter  Ordnims. 

364.  Unterscheidungszeichen  der  Flächen  zweiter  Ordnung.    A.  Thaer.    Zeitschr. 

Math.  Phys.  XXIX,  369. 
366.  Lineare  Gonstruction  einer  Fläche  zweiten  Grades  aus  neun  gegebenen  Punk- 
ten.   G.  Beyer.    Zeitschr.  Math.  Phys.  XXIX,  170. 

366.  Bemerkungen  über  die  Mittelpunkte  von  Kegelschnitten  einer  Fläche  zweiten 

Grades.    Beyel.    Zeitschr.  Math.  Phys.  XXIX,  123. 

367.  G^^ralisation   d'une   propriät^  des   surfaces   du  deuziäme   ordre.     Jamet. 

Mathesis  IV,  Suppldm.  n. 

368.  Problämes  sur  les  plans  tangents  auz  surfaces  de  r^volution  du  second  degr^. 

Songalayo.    Mathesis  IV,  166. 

369.  Ueber  die  cubisdie  Parabel  mit  Directrix.    0.  Böklen.   Zeitschr.  Math.  Phys. 

XXIX,  378.    [Vergl.  Nr.  296.J 
Vergl.  Eliipsoid.     Hyperboloid.    Sphärik.    Tetraeder  446.    Ultraelliptische 
Transcendenten  463. 

Optik. 

370.  Neue  Untersuchungen  über  die  La^e  der  Brennlinien  unendlich  dünner  copu- 

lirter  Strahlenbündel  gegen  emander  und  gegen  einen  Hauptstrahl.    L. 
Matthi essen.    Zeitschr.  Math.  Phys.  XXIX,  Supplem.  86. 

371.  Allgemeine  Formeln  zur  Bestimmung  der  Gardinalpunkte  eines  brechenden 

Systems  centrirter  sphärischer  Flächen  mittels  Kettenbruchdeterminanten 
dargestellt.    L  Matthiessen.    Zeitschr.  Math.  Phjs.  XXIX,  343. 

372.  Ueber  Länge  und  Vergrösserung,  Helligkeit  und  Gesichtsfeld  des  Kepler-, 

Bamsden-  und  Gampani- Femrohrs.     G.  Bohn.     Zeitschr.  Math.  Phys. 

XXIX,  25,  74. 
873.  Du  pouYoir  amplifiant  des  Instruments  d^Optique.    Monoyer.    Gompt.  rend. 

XGVI,  1786. 
374.  Beiträge   zur  graphischen  Dioptrik.     F.   Kessler.     Zeitschr.   Math.  Phys. 

XXIX,  66. 
376.  Ueber  Achromasie.    F.  Kessler.    Zeitschr.  Math.  Phys.  XXIX,  1. 

376.  Sur  Taction  de  Tether  intermoi^culaire  dans  la  propagation  de  la  lomi^re. 

De  Klercker.    Gompt  rend.  XGV,  688. 
Vergl.  Analytische  Geometrie  des  Baumes  31. 

P. 

Parabel. 

377.  On  the  time  of  descent  down  the  arc  of  a  vertical  parabola.  J.  W.  L.  Glaisher. 

Quart.  Joum.  math.  XIX,  141. 

378.  Parabole  enveloppe  d'un  c6t^  d'un  triangle.  Derousseau  etc.  Mathesis  IV, 

89.  —  E.  Li^nard  ibid.  91. 

379.  Propri^täs  de  la  parabole.    Gl.  Thiry.    Mathesis  IV,  286. 

380.  Une  parabole  se  ddplace  parall^lement  ä  eile  m^me  en  touchant  une  circon- 

^rence  donn^e.    Quelest  le  lieu  des  foyers?    Timmerhans.    Mathesis 
IV,  92. 
Vergl.  Imaginäres  262.    Normalen  389. 

Paraboloid. 

Vergl.  Gomplanation. 

Pendel. 

381.  Sur  le  pendule.    B.  Lipschitz.    Gompt.  rend.  XGV,  1141. 

Planimetrie, 

382.  Zur  Theilung  einer  Strecke  in  n  gleiche  Theile.     M.  Sternberg.    Grün. 

Archiv  IXIX,  216. 

383.  Synthetischer  Beweis   eines   elementar -geometrischen  Satzes,   sowie  Einiges 

über  Vertauschbarkeit  der  Elemente  anharmonischer  Gebilde.    Fr.  Hof- 
mann.   Grün*  Archiv  LXIX,  214. 


164  Historisch  -  literarische  Abtheilung. 

384.  Th^orämes  aar  trois  points  situds  en  ligne  droite.    Van  Graefschepe  &  6. 

Andrien.    Mathesis  IV,  168,  189. 

385.  Etüde  de  transversaleB.    E.  Gesaro.    Mathesis  IV,  85. 

386.  Theorie  des  medianes  antiparallMes.    Giilet.    Mathesis  IV,  193,  195.  —  Fa- 

lisse  ibid.  194,  196.  -  Sum  ibid.  193,  194.  -  Jefabek  ibid.  195.  —  Le- 
in eine  ibid.  196. 

387.  Nouvelles  propriätäs  du  triancle.    H.  ßrocard,    Mathesis  IV,  Suppl^m.  1. 

388.  Sar  les  antiparallMes  des  cdS^s  d'un  triangle.    E.  Lern  eine.    Mathesis  IV, 

201. 

389.  Th^or^mes  sur  le  triangle  rectangle.     Servais.    Mathesis  IV,  53. 

390.  Trouver  sur  les  cötös  AB,  AG  du  triangle  ABC  \e^  points  M,  N  tels  qua 

la  droite  MN  soit  parallele  ä  une  direction  donn^e,  et  que  sa  longueur 
soit  ä  la  somme  des  segments  MB^  MG  dans  un  rapport  donn^.  Jefa- 
bek.   Mathesis  IV,  89.  —  Liönard  ibid.  89. 

391.  Condition   sous  laquelle  la  moitiä  d'un  cöt^  d'un  triangle  est  moyenne  pro- 

portioneile entre  les  deux  antres  cöt^s.   Van  Laer  etc.   Mathesis  IV,  174. 

392.  Somme  constante  des  aires  de  trois  triangles  semblables  dout  deux  sont  cir 

conscrits  d'une  certaine  mani^re  au  troisi^me.  Fonchamps.  Mathesis 
IV,  66.  -  J.  Neuberg  ibid.  66. 

393.  Sur  le  point  d'intersection  des  droites  qui  joignent  les  sommets  d'un  triangle 

aux  points  oü  le  cercle  inscrit  touche  les  cöt^s  opposäs.  Vandenbroeck 
etc.    Mathesis  IV,  245. 

394.  Demonstration  de  trois  th^or^mes  ^l^mentaires.    Thiry.    Mathesis  IV,  53. 

395.  Constructions  de  triangles.    Thiry.    Mathesis  IV,  54.  —  Giilet  ibid.  55.  — 

—  Sum  ibid.  56. 

396.  Transversales  d'uue  sdrie  de  triangles.    Eiehl.    Mathesis  IV,  239. 

397.  Zu  den  Eigenschaften  des  vollständigen  Vierseits.    A.  Ehlert.    Grün.  Archiv 

LXIX,  332. 

398.  Quadrilatöre  ä  diagonales  rectangulaires.    GL  Thiry.    Mathesis  IV,  236. 

399.  Sur  le  quadrilatäre  inscrit  ä  diagonales  rectangulaires.   Gel  in  etc.    Mathesis 

IV,  243. 
Vergl.  Kreis.    Mittelgrössen.    Schwerpunkt  431. 

Potential. 

400.  Examen  de  Tanalogie  entre  les  anneaux  älectrochimiques  et  hvdrodynamiqnes 

et  les  courbes  dV=0.    Meilleur  proc^dä  de  discussion  dans  la  mäthode 
exp^rimentale.    A.  Ledieu.    Gompt.  rend.  XGVI,  98. 
Vergl.  Elektrlcität.    Mechanik  313. 

Princip  der  Homogeneität. 

401.  De  rhomogdn^it^  des  formules.    A.  Ledieu.    Gompt.  rend  XCVI,  1692,  1834:. 

Quadratur. 

402.  Sur  un  nouvel  int^grom^tre.    Abdank-Abakanowicz.    Gompt.  rend.  XGV. 

1047. 

403.  Sur  les  quadratures  et  les  cubatures  approch^es.   P.  Mansion.   Gompt.  rend. 

XGV,  324. 

404.  Inhaltsbestimmung  der  einem  Dreieck  einbeschriebenen,  umschriebenen  und 

conjugirten  Ellipsen.    M.  Greiner.    Zeitschr.  Math.  Phys.  XXIX,  222. 

405.  Aire  d'un  secteur  de  la  courbe  o^  =  a^,log  —  •    ßrocard.    Mathesis  IV,  125. 

406.  üeber  die  Verallgemeinerung  des  Pythagoräischen  Lehrsatzes  und  des  Satzes 

über  die  Lunulae  Hippokratis.  P.  Schönemann.  Zeitschr.  Math.  Phys. 
XXIX,  306. 

407.  Minimum  de  1»  somme  de  trois  triangles.    Gob  &  Roersch.    Mathesis  IV, 

241.  -  Bertrand  &  GoUin  ibid.  241.  -  Minoliti  &  Pisani  ibid   242. 

-  E.  Lemoine  ibid.  243. 

Quatemionen. 

408.  Sur  la  th^orie  des  quatemions.  Gyp.  St^phanos.  Mathem.  Annal.  XXII,  589. 

409.  Einige  Sätze  über  sbuwickelbare  Flächen,  abgeleitet  mit  Hilfe  von  Quatemio- 

nen.    Fr.  Graefe.    Qrun.  Archiv  LXIX,  1. 
Vergl.  Geometrie  (höhere)  206. 


Abhandlungsregister.  165 


410.  Ueber  IrrationalitÄt  von  Reihen.    M.  Stern.    Grelle  XCV,  197. 

411.  Sur  un  th^or^me  d'Abel.    E.  Gatalan.    Matheus  lY,  26. 

412.  Zur  Theorie  der  Potenzreihen.    0.  Stolz.    Zeitschr.  Math.  Phys.  XXIX,  127. 

[Vergl.  Bd.  XXIX,  Nr  417.] 
418.  üeber  cewisse  Reihen,  welche  in  getrennten  Converffenzgebieten  verschiedene, 

wiUkürlich  vorgeschriebene  Functionen  darstellen.     Alf.  Pringsheim. 

Mathem.  Annal.  XXII,  109. 
414.  üeber  die  Werthveränderungen  bedingt  convergenter  Reihen  und  Producte. 

Alf.  Pringsheim.    Mathem.  Annal.  XXII,  455. 
115.  Ueber  Convergenzbezirke.    R.  Dietrich.    Grün.  Archiv  LXIX,  381. 

416.  Sur  les  söries  des  polynömes.    H.  Poincar^.    Compt.  rend.  XCVI,  637. 

417.  Une  nouvelle  formule  g^n^rale  pour  le  däveloppement  de  la  fonction  pertur- 

batrice.    ß.  Bauland.  .  Compt.  rend.  XCfvI,  1286,  1641. 

418.  Sur  une  s^rie  pour  d^velopper  les  ibnctions  d'une  variable.  Halphen.  Compt 

rend.  XCV,  629. 

419.  Sur  les  söries  trigonomätriques.    H.  Poincar^.    Compt.  rend.  XCV,  766. 

420.  Sur  quelques  döveloppements  en  säries.    Stieltjes.   Compt.  rend.  XCV,  901, 

1043. 

421.  Sur  le  däveloppement  des  fonctions  en  sdries  d*autres  fonctions.   Hugoniot. 

Compt.  rend.  XCV,  907,  983.  —  P.  du  Bois-Reymond  ibid.  XCVI,  61. 
[Vergl.  Nr.  146.] 

422.  Tonte  puissance  m"  d'un  nombre  m  est  ^gale  d,  la  somme  des  m  premiers 

termes  d*une  progression  arithm^tique  commen9ant  par  1  et  ayant  pour 
raison  2(l+w+TO"+...H-m»-«).    G.  Parisano.    Mathesis  IV,  166. 

423.  Sommation  d'une  sdrie  finie.    L.  Vandenbroeck.    Mathesis  IV,  238. 

424.  Sommation  de  2^f^jak  ^tant  donn^  ao=l»  <'i=0,  at  =  (X;— l)(aft.i+at»2). 

E.  Cesaro.'   Mathesis  IV,  173. 

425.  üeber  die  Lambert*sche  Reihe.  SchlOmilch.  Zeitschr.  Math.  Phys.  XXIX,  384. 

426.  Sur  les  sommes  de  puissances  seinblables  d*unQ  suite  de  cosinus.  A.  Ra dicke. 

Mathesis  IV,  161. 

427.  Sommation  de  deuz  s^ries  trigonom^triques.    J.  Gillet.    Mathesis  IV,  46. 

428.  Une  correction  des  formules  stäräotyp^es  de  la  pr^face  de  Callet  (tirage  de 

1879).    Em.  Barbier.     Compt.  rend.  XCVI,  1648. 
Vergl.  Elliptische  Transcendenten  130.    Fourier'sche  Reihe.     Gleichungen 
237.    Wahrscheinlichkeitsrechnung  468,  469. 

Baotiflcatioa. 

429.  Sur  Tapproximation  des  integrales  d^finies  et,  en  particulier,  du  p^rim^tre  de 

reUipse.    P.  Mansion.    Mathesis  IV,  Supglem.  IV. 

430.  Ueber  den  Ellipsenquadranten.  SchlOmilch.  Zeitschr.  Math.  Phys.  XXIX,  876. 

Vergl.  Function  160. 

m. 

Sehwerpimkt. 

431.  Propriäte  du  centre  de  gravitä  d'un  triangle.    Falisse  &  Henrard.    Ma- 

thesis rV,  45. 

432.  Centre  de  gravit^  d*un  tronc  de  pyramide  triangulaire.   J.  Mister.   Mathesis 

IV,  84. 

433.  Centre  de  gravit^  du  tronc  de  prisme  triangulaire  et  du  parallälipip^de  tronqu^. 

J.  Mister.    Mathesis  IV,  121. 

Sphflrik. 

434.  Probl^mes  Bur  les  sphäres.    Barbarin.    Mathesis  FV,  217. 

435.  On  spherical  cycloidal  and  trochoical  curves.    H.  M.  Jeffery.    Quart.  Joum. 

math.  XIX,  44. 

436.  Th^orämes  de  g^om^trie  sphärique.    J.  Neuberg.    Mathesis  IV,  56. 

437.  On  the  spherical  triangle  in  elliptic  functions.   W.  W.  Johnson.  Quart.  Joum. 

math.  XTX,  185.    [Vergl.  Bd.  XXVI,  Nr.  319.J 

438.  Üeber  sphärische  Vielecke,  die  einem  Kreise  eingeschrieben  und  einem  andern 

Kreise  umgeschrieben  sind.    Stell    Zeitschr.  Math.  Phys.  XXIX,  91. 
489.  Soient  or,  ^,  y  les  ineUnaisons  des  medianes  d'un  triangle  sph^riqae  sur  las 
oötäs  oppof^.    Dämontrer  qne 


166  Historisch -literarische  Abiheilang. 

oota cotß coty 

€08-^  (cOSh  —  008C)        €08—  (C08C  —  COSO)       €08-^  (COSa  —  COsb) 

a  JL  A 

Li^nard.    Mathesis  IV,  23. 

440.  Un  triangle  sph^rique  n'est  pas  forcäment  isosc^le,  lorsque  deox  medianes 

Bont  Egales.    £.  Gelin  etc.    Matheeis  IV,  209. 

Stereometrie. 

441.  Description  du  dod^ca^dre  rdgalier  complet.     Em.  Barbier.     Compt.  rend. 

XCV,  660. 
Yergl.  Mehrdimensionalgeometrie.    Schwerpunkt  432,  433.    Tetraeder. 

SubBtitiitione&. 

442.  Gruppentheoretiache  Studien.   W.  Dyck.    Mathem.  Annal.  XXII,  70.    [Vergl. 

Bd.  XXIX,  Nr.  434.] 

443.  Sur  la  primitivit^  des  groupes.    W.  Dyck.    Compt.  rend.  XCVI,  1024. 

444.  Sm*  les  fonctions  de  sept  lettres.    F.  Brioschi.    Compt.  rend.  XCV,  665,  814, 

1254. 

T. 

TetTMder. 

445.  üeber  die  einer  algebraischen  Fläche  eingeschriebenen  regulären  Tetraeder 

mit  Berücksichtigung    der   Flächen   zweiter   Ordnung.      C.  Hossfeld. 
Zeitschr.  Math.  Phys.  XXIX,  351. 

446.  Sur  les  t^traMres  de  MObius.    P.  Mansion.    Mathesis  IV,  221. 

447.  Das  gleichseitige  Tetraeder.    Ad.  Schmidt.    Zeitschr.  Math.  Phys. XXIX,  321. 

448.  Th^or^mes  sur  le  t^traädre.    V.  Jamet.    Mathesis  IV,  68. 

449.  Si  Ton  choisit  un  point  arbitrairement  sur  chaque  ar^te  d'nn  t^tra^dre,  les 

quatre   sph^res  passant  respectivement  par  diaque  sommet  et  par  les 

Soints  situ^s  sur  les  trois  ar6tes  adjacentes  ont  un  point  commun.    J. 
[euberg.    Mathesis  IV,  16. 

450.  Lieu  du  sommet  des  tätraedres  sur  une  base  fixe,  aux  6  ar^tes  desqaels  on 

peut  inscrire  une  Sphäre.    Jamet    Mathesis  IV,  140.  —  J.  Neuberg 
ibid.  141. 
Vergl.  Hyperboloid.    * 

Thetaftmetionen. 

451.  Berechnung  der  Moduln  Bosenhain'scher  Thetafunctionen.  J.  Thomae.  Ztschr. 

Math.  Phys.  XXIX,  117. 

452.  Ueber  Thetafunctionen,   deren  Charakteristiken  aus  Dritteln  ganzer  Zahlen 

gebildet  sind.    A.  Erazer.    Mathem.  Annal.  XXH,  416. 

453.  Zur  Theorie  der  Thetafunctionen  mit  zwei  Argumenten.   F.  Caspary.  Crelle 

XCIV,  74. 

454.  üeber  die  pnncipale  Transformation  der  Thetafunctionen  mehrerer  Variabels. 

G.  FrobeniuB.    Crelle  XCV,  264. 

Trigonometrie. 

455.  La  thäorie  des  projections  en  trigonom^trie.  C.  B  er  gm  ans.  Mathesis  IV,  222. 

456.  Sur  trois  ^quations  trigonom^triques  qui  sont  une  consäquence  Tune  de  Tautre. 

Gelin.    Mathesis  IV,  47. 

457.  Sur  une  division  d'un  arc  de  cercle.    H.  Brocard.    Mathesis  FV,  86. 

458.  Rapport  du  triangle  dont  les  sommets  sont  les  sym^triques  des  sommets  d'nn 

triangle   donn^  par  rapport  aux  cöt^s  oppOB^s  ä  ce  premier  triangle. 
Bastin.    Mathesis  IV,  112.  -  Polet  ibid.  113.  ~  Cesaro  ibid.  114. 

459.  Eapport  des  cöt^s  de  deux  triangles,  des  sommets  de  Tun  ^tant  les  sym^- 

triques  des  sommets  de  Tautre  par  rapport  aux  cötäs  opposäs.  Janecek  etc. 
Mathesis  IV,  140. 

460.  Expression  for  tne  area  of  a  convex  quadrilateral  when  the  sum  of  two  op* 

posite  angles  is  given.    A.  H.  Anglin.    Quart.  Joum.  math.  XIX,  13& 
Vergl.  Gleichungen  245.    Sphärik. 

Xntraelliptlsehe  TnuueendenteiL 

461.  Zur  TraasformationBtheorie  der  hyperelliptisohen  Functionen  enter  Ordnung. 

M.  Krause.    Crelle  XCV,  256. 


Abhandlnngsregister.  ]  67 

462.  üeber  Integrale 'zweiter  Gattung.    J.  Thomae.    Grelle  XCIV,  241.    [Vergl. 

Bd.  XÄVUI,  Nr.  769.] 

463.  Geometrische  Deutung  der  Additionstheoreme  der  hyperelliptischen  Integrale 

und  Functionen  1.  Ordnung  im  System  der  coniocalen  Flächen  zweiten 
Grades.    0.  Staude.    Mathem.  Annal.  XXII,  1,  145. 
Vergl.  Elliptische  Transcendenten  133. 

Umkehnmgiproblem. 

464.  Ueber  das  ümkehrproblem  der  elliptischen  Integrale.  M.  Tichomandritzky. 

Mathem.  Annal.  XXII,  460. 


Wärmelehre. 

465.  Expressions  gändrales  de  la  temp^ratnre  absolue  et  de  la  fouction  de  Gamot 

G.  Lip]^mann.    Gompt.  rend.  XGV,  1058. 

466.  Sur  la  throne  des  machines  ä  vapeur  de  Mr.  G.  Zeuner.   G.  A.  Hirn.   Gompt. 

rend.  XCVI,  361,  413. 

467.  Sur  le  rendement  maximum  oue  peut  atteindre  un  moteur  ä  vapeur.  P.  Ghar- 

pentier.    Gompt.  rend.  aGvI,  782. 

Walursdheiiiliclikeittreolinimg. 

468.  Ueber  die  Entwicklung  reeller  Functionen  in  Reihen  mittels  der  Methode  der 

kleinsten  Quadrate.    J.  P.  Gram.    Grelle  XCIV,  41. 

469.  Determination  des  progressions  arithmätiques  dont  les  termes  ne  sont  connus 

au'approximativement.    F.  Lucas.    Gompt.  rend.  XGVI,  1026. 

470.  Einfflnrung  unvollständiger  Beobachtungen  in  die  Wahrscheinlichkeitsrechnung. 

W.  Küttner.    Zeitschr.  Math.  Phvs.  XXIX,  193. 

471.  Die  Berechnung  der  Rententafeln  aus  Sterblichkeits-  und  InvalidilAtsbeobach- 

tunken.    Helm.    Zeitschr.  Math.  Phys.  XXIX,  315. 

472.  Probabinte  de  certains  faits  arithm^tiques.    E.  Gesaro.    Mathesis  IV,  150. 


Zahlentheorie. 

473.  Formule  pour  däterminer  combien  il  jr  a  de  nombres  premiers  n^exc^dantpas 

un  nombre  donn^.    E.  de  Jonquiöres.    Gompt.  rend.  XGV,  1144;  XCvI, 
231.  -  R.  Lipschitz  ibid.  XÖV,  1344;  XCVI,  58,  114,  327. 

474.  Die  Zerlegung  der  ganzen  Grössen  eines  natürlichen  Rationalitätsbereiches  in 

ihre  irreductiblen  Factoren.     Kronecker.    Grelle  XCIV,  344.    [Vergl. 
Bd.  XXVIII,  Nr.  402.] 

475.  Sur  les  unitäs  complexes.    L.  Eronecker.    Gompt  rend.  XGVI,  93,  148,  216. 

476.  Sur  les  nombres  de  fractions  ordinaires  inegales  qu'on  peut  exprimer  en  se 

servant  de  chiffres  qui  n'excddent  pas  un  nombre  donn^.    Sylvester. 
Gompt  rend.  XGVI,  409. 

477.  Ueber  polydimensionale  Zahlenfiguren.  Th.  Harmuth.  Grün.  Archiv  LXIX,  90. 

[Vergl.  Bd.  XXVHI,  Nr.  411.] 

478.  Sur  la  fonction  F(n)  employ^e  par  Dirichlet  dans  son  memoire  sur  les  valeurs 

moyennee.    Gh.  Hermite.    Acta  mathematica  U,  299.  —  R.  Lipschitz 
ibid.  301. 

479.  Sur  l'approximation  des  sommes  de  fonctions  num^riques.  Halphen.  Gompt 

rend.  XGVI,  634. 

480.  Däcomposition  d*un  nombre  entier  N  en  ses  puissances  n^^me«  maxima.    E. 

L  e  m  0  i  n  e.    Gompt.  rend.  XGV,  719. 

481.  Note  sur  un  thdor^me  de  Legendre.    Sylvester.    Gompt  rend.  XGVI,  463. 

482.  Thäorfemes  de  partition.    Sylvester.    Gompt  rend.  XGvI,  674,  743,   1110, 

1276. 

483.  Sur  une  gen^ralisation  du  th^oräme  de  Format.    Picquet     Gompt  rend. 

XGVI,  1136,  1424.  —  Ed.  Lucas  ibid.  1300.  —  Pellet  ibid.  l?pi.  — 
S.  Kantor  ibid.  1423. 

484.  Theorems  relating  to  the  sum  of  the  unevfn  divisors  of  a  number.    J.  W.  L. 

Glaisher.    Quart.  Joum.  math.  XIX,  216. 

485.  Sur  une  question  de  divisibilitä.    A.  de  Polignac.    Gompt.  rend.  XGVI,  485. 

[Vergl.  Bd.  XXIX,  Nr.  561  u.  943.] 

486.  Sur  le  nombre  des  diviseurs  d*un  nombre  entier.    T.  Q.  Stieltjes.    Gompt. 

rend.  XGVI,  764.  -  E  C^saro  ibid.  1029. 


168  Historisch -literarische  Abtheilung.     Abhandlnngsregister. 

487.  Sar  an  thäoräme  de  Grelle.    H.  Brocard.    Matbesis  IV,  38. 

488.  Snr  quelques  th^orämes  de  divisibilitä.    BaBtin  &  E.  Lienard.   Mathesisiy, 

20.  -  Weill  ibid.  21.  -  D.  Andrä  ibid.  21. 

489.  Gombien  de  feie  leuombre  premierp  est- il  facteor  dansleproduit  1.2.3...m? 

E.  Cesaro.    Mathesis  IV,  109. 

490.  Si  p  est  Premier  Ö^*  — 2.3f'+l  est  multiple  de  p,   Servais.    Mathesis  IV,  110. 

—  Badicke  ibid.  111.   —  Cesaro  ibid.  111.  —  Barrieu  ibid.  111.- 
Realis  ibid.  112.  —  A.  Genocchi  ibid.  167. 

491.  8(2n*  - 1)  (3w*  —  1)  —  1  est  divisible  par  n,  n  n'^tant  divisible  ni  par  3,  ni  par  5. 

Vandenbroeck.    Mathesis  IV,  245.  —  Jefabek  ibid.  246. 

492.  Chiffres  ne  pouvent  servir  de  terminaison  ä  un  nombre  triangulaire.  H.  Bro- 

card.   Mathesis  IV,  70. 

493.  Sur  le  probl^me  de  la  d^composition  des  nombres  entiers  en  une  somme  de 

ciuq  carrös.    C.  Jordan.    Compt.  rend.  XCVI,  879.  —  J.  Bertrand  ibid. 
1097. 

494.  Mettre  4(a*+b^  sous  la  forme  d'une  somme  de  cinq  carräs.   Qob  &  Boersch. 

Mathesis  IV^  212. 

495.  On  the  composibons  of  a  number  as  a  sum  of  two  and  four  uneven  Squares. 

J.  W.  L.  Glaisher.    Quart.  Joum.  math.  XIX,  212. 

496.  Si  n  =  2''  et  a+6  est  somme  de  deux  carräs,  Texpression  a»~*  +  a"-*&-l-... 

.. •  +  &"'''   est  ^galement  somme  de  deux  carr^.     De  Bocquigny  & 
Edm.  van  Au  bei.    Mathesis  IV,  70. 

497.  Trouver  quatre  nombres  tels  que  le  produit  de  deux  quelconques  d^entre  eox, 

augment^  de  Tunitä,  fasse  un  carrd.  Boije  ofGennäs.  Mathesis  VI,  235. 

498.  Questions   d*arithmologie   avec   indication  des  Solutions.     De  BocquigDy. 

Mathesis  IV,  57. 
Vergl.  Formen.    Eettenbrüche.    Wahrscheinlichkeitsrechnung  472. 


Historisch-literarische  Abtheilung. 


lieber  das  quadratisohe  Beoiprooitätsgesets. 

Eine  vergleichende  Dantellaog  der  Beweise  des  Fundamentaltheoremes 

in  der  Theorie  der  quadratischen  Beste  und  der  denselben  so  Grunde 

liegenden  Prindpien. 

Von 

Oswald  Baumoart. 


Einleitung. 

Die  höhere  Arithmetik  zerf&llt  im  Wesentlichen  in  zwei  Hauptabschnitte, 
in  die  Theorie  der  Congruenzen  und  in  die  Theorie  der  homogenen  Formen. 
Einen  integrirenden  Bestandtheil  der  Congruenzenlehre  überhaupt  bildet  die 
Theorie  der  binomischen  Congruenzen,  deren  Angelpunkt  wiederum  die 
Lehre  von  den  Potenzresten  ist.  ;,Den  Schlussstein  dieser  letzterwähnten 
Theorie  aber  bilden  die  Beciprocitätsgesetze.  ^  ^)  Obwohl  nun  die  Auffindung 
dieser  Gesetze  „yojl  einfach  ausgeprägtem  Inhalt**  *)  verhfiltnissmässig  leicht 
durch  Induction  gelang,  so  war  doch  die  Begründung  derselben  mit  ganz 
gewaltigen  Schwierigkeiten  verbunden:  neue  Methoden  mussten  zu  diesem 
Zwecke  gefunden  und  von  Gebieten,  die  mit  der  Arithmetik  anscheinend  in 
gar  keinem  Zusammenhange  standen,  musste  Beweismaterial  herbeigeschafft 
werden,  und  doch  gelang  zuvörderst  nur,  die  Richtigkeit  des  quadratischen 
Gesetzes  darzuthun.  Aber  die  Principien,  die  einzelnen  der  Beweise  für 
das  quadratische  Reciprocitfttsgesetz  zu  Grunde  lagen,  waren  in  so  hohem 
Maasse  der  Verallgemeinerung  fthig,  dass  sie  auch  zur  Ableitung  der  all- 
gemeinen Gesetze  benutzt  werden  konnten. 

Im  Folgenden  soUen  nun  die  sämmtlichen  vorhandenen  Beweise  für  das 
quadratische  Beciprocittttsgesetz  zusammengestellt  und  die  ihnen  zu  Grunde 
liegenden  Principien  einer  vergleichenden  Betrachtung  unterzogen  werden. 
Der  Verfasser  glaubt,  dass  ein  solches  Beginnen  nicht  ganz  unnütz  sei,  weil 
eben  jenes  Gesetz  das  Fundamentaltheorem  der  Lehre  von  den  quadratischen 
Resten  und  Nichtresten  ist,  weil  man  femer  durch  die  Principien,  die  den 


1)  Kummer,  Berliner  Abh.  1869,  S.  19. 

2)  Gauss,  Vorwort  su  Eisenstein's  Math.  Abb.,  Berlin  1847. 

HiBt.-lit.  Abthlf .  d.  Z«itaobr.  f.  Math.  n.  Phyt.  XXX,  S.  13 


170  Historisch -literarische  Abtheilong. 


Beweisen  dafür  zu  Grande  liegen,  zu  neuen,  sehr  allgemeinen  Methoden 
gelftngt,  und  weil  endlich  durch  die  Beweise  jenes  Gesetzes  eine  förderliche 
Wechselwirkung  zwischen  bis  dahin  ziemlich  oder  ganz  isolirten  Gebieten 
der  Mathematik  eingetreten  ist.  Dazu  kommt,  dass  die  Geschichte  unseres 
Satzes  die  gleichzeitige  Greschichte  unserer  gesammten  Mathematik  im  Kleinen 
treu  wiederspiegelt. 

Auf  diesen  ebenerwShnten  eigenthümlichen  und  reizvollen  umstand 
wurde  ich  zuerst  durch  Herrn  Professor  Scheibner  hingewiesen. 

Im  ersten  Theile  sind  die  sänmitlichen  vorhandenen  Beweise,  soweit 
sie  mir  zugänglich  waren,  in  Gapitel  so  geordnet  dargestellt,  dass  die  Be- 
weise je  eines  Capitols  denselben  Grundgedanken  haben.  Innerhalb  der 
Gapitel  folgen  sich  die  Beweise  chronologisch.  Die  Principien  selbst  werden 
im  zweiten  Theile  entwickelt.  Historische  Notizen  beginnen  und  beschliessen 
die  Arbeit. 

Zur  Bequemlichkeit  des  Lesers,  und  auch  um  die  üebereinstiinmung 
oder  Verschiedenheit  der  Beweise  in  recht  helles  Licht  zu  rücken,  ist  eine 
möglichst  einheitliche  Bezeichnung  und  Darstellung  angewandt  worden.  Dass 
dabei  nicht  nur  der  Kernpunkt,  sondern  auch  das  individuelle  CreprSge 
der  einzelnen  Beweise  unangetastet  geblieben  ist,  braucht  wohl  nicht  erst 
erwähnt  zu  werden. 


Erster  Theil. 

Darstellung  der  Beweise  für  das  quadratische 
Beciprocitätsgesetz. 


I.  Capitel. 
Vorarbeiten  von  Fermat  bis  Legendre. 

Nachdem  Bachet  de  M^ziriac^)  die  Theorie  der  linearen  diophan- 
tischen  Gleichungen  zu  einem  gewissen  Abschlüsse  gebracht  hatte,  trat  an 
die  Mathematiker  die  Frage  nach  der  Auflösung  der  Gleichungen  zweiten 
Grades,  in  spede  der  binomischen  Congruenzen  zweiten  Grades  heran.  Mit 
anderen  Worten,  es  handelte  sich  um  Aufsuchung  leicht  erkennbarer  Beding- 
ungen, unter  welchen  die  Congruenz 

a!^=pfhodqy 
wenn  p  und  q  gegeben  sind,  lOsbar  ist  oder  nicht 

Es  wurden  zunächst  specieUe  Fälle  untersucht 

Aus  einem  Briefe  aus  dem  Jahre  1658  von  Fermat  an  den  Englän- 
der Eenelm  Digbj*)  geht  da  herror,  dass  bereite  Fermat  die  Beding- 

1)  Theor^mes  plaisans  et  d^eot  qui  se  fönt  par  les  nombres. 

2)  Joh.  Wallis'  Werke,  Bd.  E  8.  867. 


üeber  das  quadratische  Beciprocitätsgesetz.  17  L 

angen  kannte,  unter  welchen  +1,  2,  +3,  5  quadratische  Beste  oder 
Nichtreste  von  ungeraden  Primzahlen  q  sind;  aus  einem  1641  von  Frenicle^) 
an  Fermat  gerichteten  Schreiben  ist  femer  evident,  dass  bereits  Frenicle 
Eenntniss  hatte,  wann  —  2  quadratischer  Best  oder  Nichtrest  von  einer  Prim- 
zahl ist.  Wahrscheinlich  war  dies  aber,  wie  auch  Lagrange*)  annimmt, 
dem  Fermat  eher  bekannt  und  von  diesem  erst  aus  Frenicle  heraus- 
gefragt worden. 

All'  diese  Sfttze  sind  durch  Induction  gefunden  und  sind  ohne  Beweis 
aufgestellt.  Für  —1  wurde  der  Satz  zuerst  von  Euler')  mit  Hilfe  ver- 
wandter Beste  (residua  socia)  bewiesen;  doch  missli^ig  ihm  das  Verfahren 
für  +2.  Diese  Lücke  wurde  ausgefUllt  von  Lagrange^).  Es  ist  eine 
merkwürdige  Thatsache,  dass  Euler  der  Beweis  ftür  +2  nicht  gelang, 
merkwürdig  nftmlich  insofern,  als  er  den  Beweis  des  Gesetzes  für  +  3^)  . 
kannte.  Um  noch  über  +  5  zu  berichten,  so  war  es  wiederum  fjagrange^» 
dem  es  zuerst  gelang,  nachzuweisen,  unter  welchen  Bedingungen  diese  Zahl 
quadratischer  Best  oder  Nichtrest  einer  Primzahl  ist. 

Diese  Daten,  ohne  Einfluss  anf  die  eigentliche  DarsteUung  des  Gesetzes^ 
sind  der  Vollstftndigkeit  halber  angeführt  und  um  darzuthun,  mit  welchen 
Schwierigkeiten  die  Mathematiker  in  diesem  Falle  zu  kämpfen  gehabt  haben. 
Ist  nSmlich  auch  nicht  zu 'verkennen,  dass  die  Aufmerksamkeit  der  Mathe- 
matiker durch  die  Erfindung  der  Infinitesimalrechnung  von  der  Zahlentheorie 
wesentlich  abgelenkt  w\irde,  so  ist  es  doch  eine  bezeichnende  Thatsache, 
dass  so  einfache  Gesetze,  wie  die  eben  angeführten,  über  hundert  Jahre 
ohne  Beweis  bleiben  konnten. 

Bis  jetzt  wurden  nur  specielle  Fftlle  behandelt  Der  Erste  nun,  der 
unser  Gesetz  in  seiner  voUen  Allgemeinheit  aufzufassen  und  aufzustellen 
versuchte,  war  Euler.  und  es  gelang  ihm,  einen  bedeutenden  Schritt  vor- 
wärts zu  thun.  In  einer  ;,Observationes  circa  divisionem  quadratorum  per 
numeros  primos''^)  betitelten  Abhandlung  theilt  er  Vier  Sätze  mit,  die  das 
quadratische  Beciprocitätsgesetz  vollständig  ausmachen.     Sie  heissen: 

t  8i  divisor  prmus  fuerit  formae  4ns+(2x  +  1)*,  existente  s  numero 

primo,  tum  in  residuis  occurrent  wumeri  +s  et  — s. 
J2.  Si  divisor  primus  fuerU  formae  4ns  — (2x  +  l)',  existente  s  numero 
primo,  tum  in  residuis  occurret  numerus  +q,  at  sin  non-residuis. 


1)  Varia  opera  math.    D.  Petri  de  Fermat,  senatoris  Tolosani.    Tolosae 
(Joh.  Pech),  1679.    S.  168. 

2)  Nouv.  m^m.  de  Tac  Boyale  des  sdences  et  helles  lettres  de  Berlin.    1776. 
8.  887. 

8)  Opusc.  analyt.  1788.    Bd.  I  S.  135.    Vergl.  S.  227  dieser  Abh. 
4)  Nouv.  m^m  de  Pac.  de  Berlin  1776.    8.  849,  861. 
6)  Comment.  nov.  Petropol.,  Bd.  Vni  8.  166. 

6)  Nouv.  m^m.  de  Vac.  Boyale  etc.  1776,  8.  862. 

7)  OpoBO.  analyl  1788,  I  8.  64,  oder:  Comm.  arithm.  coUectae,  I  8.  486. 

18* 


172  EBstoriflch-literarifiche  Abtheilung. 

3,  8i  divisor  primus  fuerü  farmae  4n8  —  4z  —  1  exdudendo  omnes  oo- 
Jores  in  forma  4n8  —  (2x  +  l)*  contentos,  existentt  s  num^ero pnmo, 
tum  in  residuis  occurret  —b;  at  +8  erit  non-residuuwL 

4.  8i  divisar  primus  fuerü  farmae  4ii8  +  4z— l,  exdudendo  omnes  vo- 
lares in  forma  4n8  +  (2x  +  l)*  contentos,  existente  8  nmnero  primo, 
tum  tarn  +&  ^uam  —s  in  non-residuis  occurret. 

Wie  eine  leichte  Rechnung  zeigt,  ist  Euler  bei  Aufstellung  des  Satzee 
3  ein  Fehler  untergelaufen.  Dieses  Theorem  muss  nftmlich  in  seinem  zwei- 
ten Theile  heissen:  Ist  s  von  der  Form  4n+lj  so  ist  +s  Nichtrest 
und  —s  Best;  für  5s=4n  — 1  tritt  das  Umgekehrte  ein. 

Diese  vier  Sätze,  ebenfalls  ohne  Beweis  aufgestellt,  involviren,  wie 
schon  bemerkt  und  wie  eine  spätere  Vergleichung  ohne  Weiteres  ergeben 
wird,  das  quadratische  Beciprocitätsgesetz  vollständig.  Gauss  scheint  die 
eben  besprochene  Arbeit  Euler's  nicht  gekannt  zu  haben  und  schreibt 
daher  die  Entdeckung  unseres  Gesetzes  Legendr e^)  zu. 

Dieser  berühmte  Zahlentheoretiker  hat  allerdings  das  Verdienst,  das 
Fundamentaltheorem  zum  ersten  Male  klar  und  deutlich  in  Formeln  aus- 
gesprochen [und  zwar  1785  in  seinen  |,Bech.  d'analjse  ind^terminöe*' ')]  und 
zum  Theil  bewiesen  zu  haben.  Im  vierten  Abschnitte  seiner  ebenerwlUmten 
Arbeit,  sind  folgende  acht  Theoreme  aufgestellt,  wobei  Ä^  a  Primzahlen 
von  der  Form  4n+l>  B^  h  dagegen  solche  von  der  Form  4n+3  sind. 

•-1  b—l 

Th4(yr.    L     Si  h  ^  =      1,    ü  s'ensuü    a  «    =      1.») 

b-l  Ä-J 

„      IL     „  a  *    =-1,    „        „        b  «    =-1. 
ITT  ft>-—      1  A>—      1 

99  -*•■*•-*••  99       »  —  ^1        99  99  -^  *•• 

A— t  Ä-J 

TV  a> 1  A«c=  —  1 

99  -L    f  ,  19       «t  —  *■  t        99  99  **  =  •■■ . 

b  —  l  a— I 

99  r  *  99       ^  —  *1        W  99  "  —  1. 

a~l  b-l 

VI  b*=— 1  a*=  —  1 

B-l  b-l 

„    VII.     „  b  *    =     1,   „       „       B  «   =-1. 

B-!  b-l 

.,yiiL   „  b  «  =-1,  „     „     B  «  =    1. 

Man  sieht  hieraus,   dass  Legendre  bei  Aufstellung  seiner  Sätze  das 
Fermat'sche  Theorem  benutzt  hat.     In  der  That  folgt  aus: 
a?  =p  modq  und  p9^^  =  1  modq^ 

dass  die  Möglichkeit  der  Congruenz  a?=ip  modq  abhängig  ist  von  p  '  . 

LlJ. 
Ist   nämlich  j)  ^    =  1  modq^   so    ist  jene  Congruenz  lOsbar;   ist  dagegen 

i)  Disquis.  Arithm.  Art.  151. 

2)  Bist,  de  Tac.  Boyale  des  sciences  1785,  S.  616—617. 

3)  &  *   =  1, . ..  mu8B  eigentlich  heissen  6  '   =  1  fnoda^  ••• 


üeber  das  quadratische  Beciprocitfttsgesetz.  173 

p  ^    =^lmodq  (andere  Fälle  können  überhaupt  nicht  eintreten),  so  ist 
jene  Congruenz  nicht  lösbar. 

Znin  ersten  Male  in  der  Form,  wie  wir  den  Satz  gegenwärtig  ausspre- 
chen, ist  er  ebenfalls  von  Legendre  gegeben  worden  und  zwar  in  seinem 
„Essai  sur  la  th6orie  des  nombres^.^)     Auf  S.  186  bemerkt  da  zunftchst 

0  —  1 

Legendre:  „Cofnme  les  quantüis  analogues^  ^    se  rencotUreront  fr^quem- 
ment  dans  le  cou/rs  de  nos  recherches  naus  emjploierons  le  caraä^e  ahr^e 

I  —  j  jpottr  eocprimer  le  reste  que  donne  N  *     divisS  par  c,  reste  qui  suivant 

ce  qu'on  vient  de  voir  ne  peut  etre  que  +1  ow  —  1."     Auf  S.  214  heisst  es 
dann   weiter:  „Qtkelques  soient  les  nombres  premiers  m  et  n,  s'üs  ne  sont 

tous  deux  de  la  forme  4x  —  1,  on  aura  iaujours  {"")  =  ("");   ^  ^'*^  ^^^ 

tous  deux  de  la  forme  4x  —  1,  on  aura  (—)  =  —  (—)•     des  deux  cos  gS- 
niraux  sont  compris  dans  la  for$mde: 

m  —  I    n  — 1 


(V  m— 1    n — i /      V 

£).(_„-^-^(E).-. 


Dies  Gesetz  nennt  Legendre  das  quadratische  Beciprocitfttsgesetz  im  Unter- 
schied von  Gauss,  der  es  „Theorema  fundamentale  in  doctrina  de  residuis 
quadraticis^  bezeichnet.  150  Jahre  nachdem  die  ersten  speciellen  Fttlle  ent- 
deckt waren,  war  es  also  einem  der  bedeutendsten  Zahlentheoretiker  ge- 
lungen, das  Gesetz  in  allgemeinster  Form  und  elegantester  Fassung  auszu- 
sprechen. 

Auf  die  Art,  wie  Legendre  den  Satz  zu  beweisen  suchte,  werden 
wir  spftter  zurückzukommen  Gelegenheit  haben.  Hier  bemerken  wir  nur, 
dass  der  Nachweis  unyoUstttndig  ist;  und  eben  dieser  ünvollständigkeit  halber 
übergehen  wir  ihn  hier.*) 

Wenden  wir  die  Legen dre'sche  Bezeichnung  an,  so  haben  wir  bis 
jetzt  bemerkt: 


q  /       ^      '       '  '    \g> 

<q/\p' 


m,  (f)(l)-(-.r 


wobei  p  und  q  positive  ungerade  Primzahlen  bedeuten. 

Diese  drei  Formeln  drücken  das  quadratische  Beciprocitfttsgesetz  aus. 

In  den  zunftchst  folgenden  fünf  Abschnitten  werden  wir  nun  den  Be- 
weis hauptsftchlich  für  Formel  III)  erbringen  und  in  einem  besondem  Capitel, 


1)  A  Paris  ches  Duprat.    An  VI  (1798). 

2)  Disquis.  Aritbm.  Art.' 151,  296,  297  und  Additamenta. 


174  Historisch -literarische  Abtheilong. 


S.  227,  jydie  Ergftnzongssfttze  des  quadratischen  BedprocitStsgesetzee',  wie 
die  durch  Formel  I)  und  U)  ansgedrückten  G^esetze  heissen,  darthnn. 

Ehe  wir  dazu  übergehen,  haben  wir  noch  eine  von  Jacobi^)  an- 
gegebene Verallgemeinenmg  des  Legendr e'schen  Symbols  zu  erwtimen, 
weil  dieselbe  für  das  Rechnen  mit  jenem  Symbol  von  grosser  Wichtigkeit 

ist.  Während  nämlich  Legendre  yoranssetzt,  dass  in  ( — j  q  eine  un- 
gerade positire  Primzahl  und  a  eine  zu  derselben  relative  Primzahl  ist, 
lässt  Jacob i  für  g  =  5  auch  zusanmiengesetzte  Zahlen  zu.    In  [-^j  werden 

a  nnd  h  nur  relativ  prim  voransgesetzt ,  die  nicht  zugleich  negativ  sind  mid 
von  denen  die  letztere  nngerade  ist.  Diese  verallgemeinerten  Legendre- 
schen Symbole  werden  von  Jacobi  dnrch  die  Formeln 

i^}-my'  i^h(^)-  ("-^).=(7)(i)- 

definirt,  worin  |>,  q,  r,  ...  absolate  Primzahlen,  welche  verschieden,  aber 
aach  theilweise  oder  sämmtlich  gleich  sein  können,  bedenten. 


II.  Oapitel. 

Ganit'  Beweis  durch  vollständige  Indnotion^)  in  der  von  DirioUet^) 
gegebenen  Form  dargestellt 

1. 

Qaass  unterscheidet  bei  seinem  ersten  Beweise,  ebenso  wie  Legendre, 
acht  verschiedene  Fälle,  je  nach  der  verschiedenen  Natur  der  in  Frage  kom- 
menden Primzahlen ,  so  dass  der  eigentliche  Beweis  in  acht  Beweise  zerMi 
Die  acht  EinzelföUe  sind: 

1.  Ist  3  =  4«  +  lj  l>  =  4n  +  l  tmd  |— j  =  l,  so  ist  zu  beweisen, 
da88(l)  =  l; 

2.  ist  q  =  4tn+i,  j)  =  4n  +  3  und  ( —  )  =  1»  ^  ^ß*  ^^  beweisen, 
da88(j)  =  ]; 

3.  ist  q  =  4tn  +  l,  p  =  4n  +  l  und  (  — )  =  — 1,  so  ist  zu  beweisen, 


1)  Grelle  J.  XXX,  S.  170. 

2)  Disquis.  Arithm.  Art.  186^144. 

8)  Dirichlet,  Grelle  J.  XLYII,  S.  189. 


üeber  das  quadratische  Beciprocitätsgesetz.  175 


4.  ist  ^[  =  4^  +  1»  i>s=4»+3  und  f— j==  — 1,  so  ist  zu  beweisen, 
d«8(j)  =  -l; 

5.  ist  gf  =  4»  +  3,  p==4n  +  3  und  (— js=il,  so  ist  zu  beweisen, 
daB8*(^)  =  -l; 

6.  ist  gr=3  4»  +  3,  p  =  4n+l  ^md  (--j  =  l,  so  ist  zu  beweisen, 


d«8(l)=l; 


7.  ist  g  =  4n  +  3,  i>  =  4n  +  3  und  (— j=  — 1,  so  ist  zu  beweisen, 
dass(^)  =  l; 

8.  ist  g  =  4w  +  3,  p^=4n+l  und  ( —  j  =  —  1,  so  ist  zu  beweisen, 
da8B(l)  =  -l. 

Diese  acht  einzelnen  Sfttze  machen  also  das  Beciprocitätsgesetz')  voll- 
ständig aus ;  sie  lassen,  sich  nun  zunächst  in  die  folgenden  drei  zusammen- 
ziehen : 

I.  Ist  q  =  An+l  und  (  — J  =  l,      so  ist  zu  zeigen,  dass  (— )=      1; 
n.    „   g  =  4fi  +  l    „     (y)  =  -1»  »    »    "       "  "     (f)"""*' 

III.    „   g  =  4n  +  3    „     (-^)  =  1,       »    »    »       n  „     (~)=(-l)^- 

Im  Falle  III    ist    «=  +  /?.      Ist  nämlich   (  — j  =  — 1,    so   folgt  aus 

(^)=p  *    modq     (— j  =  +  l»  so  dass  der  Fall   f— j  =  — 1  einer  wei- 
teren Untersuchung  nicht  bedarf. 

Fassen  wir  noch  den  I.  und  III.  Fall  zusammen ,  so  redncirt  sich  unser 
Beweis  darauf,  zu  zeigen,  dass,  wenn 

I.   q  =  4n+h  4«+3  und  (~)^1,       ( j)  =  (- 1)"«~ "T"  und 
n.  (z  =  4»  +  l  n     (|-)  =  -l,    (|-)=:-l  ist. 

p  repräsentirt  dabei  eine  beliebige  ungerade  positive  Primzahl,  a  eine 
beliebige  ungerade  positive  oder  negative  Primzahl. 

Im  Folgenden  setzen  wir  nun,  was  immer  geschehen  darf,  q'>p  vor- 
aus und  nehmen  an,  das  Gesetz  gälte  ftir  alle  Primzahlen  kleiner  als  q  und 


1)  Das  Wort  „quadratisch^*  boU  vor  Best,  Nichtrest,  Beciprocitätsgesetz  fort- 
gelassen  werden,  wenn  nicht  die  Deutlichkeit  darunter  leidet. 


176  Historisch -literarische  Abtheilung. 


für  die  aus  denselben  als  Factoren  gebildeten  zusammengesetzten  Zahlen  olme 
gemeinschaftlichen  Theiler. 

2. 

Ist  /  — j  =  +  l,  so  ist  zu  zeigen,  dass  (— j==(— 1)  «    '   «     igt   Ans 

der  Voraussetzung  folgt,  dass  die  Congruenz  a^:E=zamodq  lösbar  ist  Be- 
zeichnet man  die  gerade  Wurzel  derselben  mit  e  (e<g),  so  ist  also 

1)  e«  =  «  +  /•(?. 

f  ist  hierin  eine  von  Null  verschiedene  ganze  Zahl,  weil  im  andern 
Falle  a=s6*  =  4c'  wäre;  femer  positiv,  weil  sonst  a=+P  und  p  — 6*>g 
w&re,  was  gegen  die  Voraussetzung  $>p  streitet;  und  ungerade,  weil 
/•^s=6> — a  ungerade  ist.  Femer  ist  /"^g  — 1,  denn  e  und  p  sind  kleiner 
als  3'  — 1|  woraus  5/'<ä'.gf  — 1  und  /*<?  — l  folgt  Nun  sind  in  Gleich- 
ung 1)  zwei  Fftlle  möglich. 

1.  e  und  f  sind  relativ  prim  zu   a.     Aus  (^  =  fqmodtt  ergiebt 

sich,  dass  f— j=sl  oder  /^~j  =  (-^j>  w&hrend  aus  tf^umodf  (yj^l 
folgt.     Mithin  ist 

(l)=«)=(7)<-»^"-^-<-»^'-^. 

da  nach  unserer  Voraussetzung  das   Gesetz  für  alle  Primzahlen  ^q  gilt 

Da  nun  e^inod2,  so  ist 

—  a  =  qfmodA 
oder 

-(«+l)  =  g/'-l=(Z-l  +  /--l  mod4 
und 

a*  — 1       «  —  1   a+1 

— ^  =     Q     •    Q       ist   aber    das  Product  zweier  aufeinander  folgender 

Zahlen,  folglich  gerade,  woraus 

/•-.l   «-l_g-l   «-1 

"2 2"='""2 2~  ^'^ 

resultirt,  was  zu  beweisen  war. 

2.  f  und  e  sind  durch  a  theilbar.     Ist  fsszatp  und  6  =  ac,  so 
wird 

2)  «€«=l  +  9,g, 

worin  a  und  q  relativ  prim  sind.     Zunächst  ist  nun  /—ja]  und  aus 

V  =  —  fpqmoda  folgt  (  — )=( h  so  dass  mit  Benutzung  unserer  all- 
gemeinen Voraussetzung 


üeber  das  qnadiatische  Reciprocitäisgesetz.  177 


wird.  Da  nun  e  gerade  ist,  so  ergiebt  sich  (pq^-^l  modA^  woraus  wie- 
derum folgt,  dass  fp  +  2  =  qmod4t  oder  dass   ^^^  =  ^^  mod2  ist,  so 

dass  f— J  =  (— 1)  *       *    wird,  was  zu  beweisen  war. 

3. 

Wenn    (— j  =  — 1    und    g  =  4«+l,     so    ist    darzathuu,    dass 

(  —  j  =  —  1  wird.    Gauss  beweist  zunächst  den  Satz,  dass  es  zu  g  =  4«  + 1 

stets  eine  Primzahl  p'<,q  giebt,  von  welcher  q  quadratischer  Nichtrest  ist, 
und  unterscheidet  dabei  zwei  Fälle. 

1.  g  =  8n  +  5.  Ist  q  —  2  eine  Primzahl,  so  ist,  wenn  wir  g  — 2ä=ap' 
setzen,    q  =  2  modp    und  damit  (^)  =(-,)  =  (-.  l)C(8—«)'-i]%  =-l,i) 

so  dass  ^  — 2=p'  die  verlangte  Eigenschaft  hat.  Ist  dagegen  q  —  2  zu- 
sammengesetzt, so  muss  q^2  mindestens  einen  Primfactor  von  der  Form 
8« +  3  haben.  Denn  hätte  g  — 2  nur  solche  von  der  Form  8n  +  l,  so 
wäre  3'  —  2  =  8v  —  1,  was  gegen  die  Voraussetzung  g-  =  8«  +  5  ist.  Bezeich- 
nen wir  einen  solchen  Primfactor  von  g  — 2,   der  die- Form  8« +  3  hat, 

mit  p\  so  ist  ako  q=:2  modp'  und  wiederum  |-7J  =  — 1,  so  dass  es  auch 

in  diesem  Falle  eine  Primzahl  p<q  giebt,  von  der  q  quadratischer  Nicht- 
rest ist. 

2.  $s=8n  +  l.  Wäre  in  diesem  Falle  q  quadratischer  Rest  aller  un- 
geraden Primzahlen  kleiner  als  2m  +  l  «?))  so  wäre  g,  weil  Modulo  8 
der  positiven  Einheit  congruent,  quadratischer  Best  von  jeder  Zahl,  die  nur 
aus  Factoren  kleiner  oder  gleich  2m  +  l  bestände.  Folglich  gäbe  es  Zahlen 
X;,  welche  der  Congruenz  genügten: 

li?  =  qmodM,     lf=  1.2...2i»  +  l  =  (2m+l)! 
h  selbst  wäre  relativ  prim  zu  M  und  g,  weil  sonst  M  und  q  einen  Factor 
gemeinsam    hätten,    was    nicht  möglich   ist.     Aus  jeuer  Congruenz  würde 

folgen:      ^_^ Ä>-in«  =  g-l.g-2« g-m«  modM. 

Es  ist  nun  aber 

Ä.Ä*— 1 Ä*— in*  =  Ä— in.Ä;— iti+1 ä.ä  +  1.    ..  .Tc+m 

als  Product  von  2iii  +  l  aufeinanderfolgenden  Zahlen  durch  If  theilbar,  folg- 
lich müsste 


/2\  ?:^ 

1)  Der  Nachweis  für  die  Richtigkeit  der  Formel  y-n)  =  (- 1)    ^      findet  dch 


S.  227  flgg. 


178  Eüstorisch- literarische  Abtheilung. 


N«>^«^>«tf««%i«V 


"^^  1.2...(2«i  +  l)  ""^ 

eine  ganze  Zahl  sein.     Nun  ist  aber 

(2m  +  l)!  =  [(«i  +  l)-»].[(«»+l)-(m-l)]....[(m+l)-l] 
X[(m+1)-P]  .[(«.  +  !)  +  «•]. ...[(m+l)  +  l] 
=  (m + 1)  [(m  + 1)« -«.»]....[(«.+ 1)»  - 1]. 
Setzt  man  diesen  Werth  in  3)  ein,  so  würde  sich  ergeben,  dass 
^      1  g-P  g-m» 

*     in+l*(w  +  l)«-r     '*(m  +  l)*-i»* 
eine  ganze  Zahl  sein  müsste. 

Nimmt  man  nun  fOr  m  die  grösste  ganze  Zahl  nnterhalb  f/q  an,  so 
dass  unsere  Voranssetzong  2  m  + 1  <  $  bestehen  bleibt,  so  folgt,  da  (m + 1)'<  g, 
dass  z  ein  echter  Bruch  ist.  Die  Voraussetzung  über  den  Bestcharakter  Yon  q 
ist  daher  falsch  und  man  kommt  zu  dem  Resultat:  Ist  q  eine  Primzahl  you 
der  Form  8n+l^  so  giebt  es  unterhalb  2^  +1^  also  unterhalb  q  min- 
destens eine  ungerade  Primzahl  p\  von  der  q  quadratischer  Nichirest  ist 

4. 

Es  giebt  also  für  jede  ungerade  Primzahl  qz=4tn  +  l  eine  ungerade 

Primzahl  p'<  q ,  so  dass  (—,)  =  —  ]  ist.     Nun  muss  aber  auch  ( —  j  =  —  1 
sein;    denn    wäre   (—1  =  +  !,    so    hätte   man  nach  dem  Vorhergehenden 

(— J  =  (— 1)  *    '   *    =  +  1.     Für  p   und  q  gilt  also  das  ReciprocitSts- 
itz. 

Es  war  darzuthuu,  dass  (^j  =  — 1  ist.  Da  aber  (— ,j  =  — 1  ist,  so 
kann  die  Aufgabe  dahin  modificirt  werden:  nachzuweisen,  dass 


i^y 


wird.     Nach  Voraussetzung  ist  (  — )  =  — 1,  folglich  ( —  Jä  +  1,  d.h.: 

die  Congruenz  sfi^pp  modq  ist  lösbar.    Bezeichnet  man  die  gerade  Wurzel 
mit  e«g),  so  ist 

4)  e*=pp  +  fqy 

wobei  f  eine  ungerade  ganze  Zahl,   kleiner  als  q   reprttsentirt.     Man  bat 
nun  zu  unterscheiden: 

1.  e  und  f  sind  weder  durch  p^  noch  durch  p  theilbar.    Dann 

ist   (^=pp'  modf,    mithin   (^js=l,   und  femer  e^^qffnodpp\  mithin 
f — 7j  =  1  oder  (  — .)  =  \~^) '  80  dass  sich  ergiebt 


üeber  das  quadratische  Beciprocitfttsgesetz.  179 


Da  aber  e  =  0inod2  and  ausserdem  g=l  iiiod4,  so  ist 

f=—ppmod^,   mithin   — g-'^^-^^ö — ~"~^ — '^ —  mod2. 

Die  rechte  Seite  der  vorstehenden  Congruenz  ist  aber  das  Product  zweier 
aufeinander  folgender  Zahlen,  also  gerade,  so  dass 


1 

resultirt,  w.  z.  b.  w. 

2.  e  und  f  sind  durch  p\  nicht  aber  durch  p  theilbar.  Setzt 
man  e  =  fj)',  /'='(pp\  so  wird  «*l?'=jp  +  ä'V>  worin  ip  relativ  prim  zu  jj, 
p'  und  q  ist.     Wir  erhalten  somit 

(f  )-(^)='  «^«  (f)-(f)(f)- 

Da  femer  e^pp^p^+pq^p^   so  ist  ( ^jc=3l,    also   ("^/'^V ""t-)' 

so  dass  FF 

sich  ergiebt.     Man  erhält  so  mit  Rücksicht  auf  unsere  Voraussetzung: 

Nun  ist  aber  in  i^p'=^p  +  qip   e  gerade  wegen  e  =  0mod2j  folglich  <p  = 
— J9  modA,     Demgemäss  wird 

y-l   jpp -1  ,  p  +  1   p- 
2    '      2 


SO 


dass  (-^|  =  +  1  wird,  w.  z.  b.  w. 
\ppj 


2     -     2     \      2      "^    2    1 
_         p+1  p-1         ^ 


3.  Der  Fall,  dass  e  und  ^durch  j?,  nicht  aber  durch  jj'  theil- 
bar ist,  ist  dem  vorigen  durchaus  analog. 

4.  e  und  /*  sind  durch  j>  und ^  theilbar.    Ist  e  =  spp\  f=^q>pp\ 

worin  <p  relativ  prim  ist  zu  p^  p'  und  gr. 

Daraus  folgt  zunächst  ( — ^j=r  +  l  oder  f— Js=f — -,y  Da  femer 

(— j  =  l  ist,  so  ergiebt  sich  |-=-7J  =  ( — yj( — j>  welche  Gleichung  zu 

dem  Besultat  führt:  .  ^4.1  pp'—i 

(-l^)  =  (-.l)  «    '-T- 


180  Historisch -literarische  Abtheilung. 

^  9)  JPi  V  Bfimmtlich  kleiner  als  q  sind  und  somit  unsere  allgemeine  Vor- 
anssetzong  Platz  greift.     Nun  ist  aber  e  gerade  und  g=l  mod^^  folglich 

9)  =  —  1  f»toc{4  oder  — g—  =  0  mod2y  so  dass 

\ppj 
sich  ergiebt.     Damit  ist  anch  der  zweite  Theil  des  Beweises  erledigt. 

Es  ist  aber  das  Gesetz  fCbr  p  und  q  nur  unter  der  Voraussetzung  be- 
wiesen 1  dass  es  zwei  Primzahlen  giebt,  kleiner  als  die  grösste  jener  beides, 
für  welche  das  Cresetz  schon  Oiltigkeit  hat,  und  dass,  wenn  das  Beciproci- 
tätsgesetz  für  Primzahlen  gilt,  dann  auch  das  entsprechende  Gesetz  fBr  ver- 
allgemeinerte Bestcharakteristiken  gilt. 

Was  den  ersten  Theil  der  Voraussetzung  betrifft,  so  erledigt  sich  der- 
selbe dadurch,  dass  die  beiden  kleinsten  ungeraden  Primzahlen  3  und  5 
dem  Euler 'sehen  Gesetze  gehorchen.  In  Bezug  auf  den  zweiten  Theil  der 
Voraussetzung  sei  Folgendes  bemerkt.^) 

Sind  in  ( -rr  j  P  und  Q  positive  zusammengesetzte  ungerade  Zahlen  ohne 

gemeinsamen  Theiler  und  zerlegt  man  P  und  Q  in  ihre  Primfactoren 

P'      *r  r\  t      ff 

.  ^      .  =P'P'P  ...»     ö==5'.ö'.^  ..-, 

so  wird  sein 

mhmm- 

wo  jedes  p  mit  jedem  q  zu  combiniren  ist. 

Nimmt  man  nun  an ,  das  quadratische  Beciprocitätsgesetz  gälte  für  alle 
p  und  ^,  so  erhält  man 

wo  das  Summenzeichen  alle  Combinationen  von  p  und  q  umfosst,  so  daas 

^\    2    ■    2    J~^     2    '^     2 

wird.     Aus 

B  =  nr=n{{r-l)  +  l\  =  l  +  2{r-l)modA, 

r  ungerade  vorausgesetzt,  ergiebt  sich  aber,  dass 


und  2* 


2      —  .ülrf     2 
gleichartige  Zahlen  sind.     Aus  demselben  Grunde  erhalten  wir 

^£ji.2i=i.^.«=i.i;(£ii.'-ii)  ^2, 

r.)(i)=<->^-"-^- 

Die  gemachte  Voraussetzung  ist  also  zulässig,  folglich  gilt  das  quadratische 
Beciprocitätsgesetz  in  voller  Allgemeinheit. 

1)  GauBB,  Disq.  Ar.  Art  132  and  Dirichlet,  Grelle  J.  XLVII,  S.  148. 


üeber  das  qaadratische  Beciprodtfttsgesetz.  181 

m.  CapiteL 
Beweise  durch  Bednction. 

L  Oaoss^^)  dritter  Beweis. 
1. 
Bezeichnet  q  eine  positive  Primzahl,   so  ist  1,2,  •••  ein  voU- 

stftndiges  System  incongrnenter  positiver  absolut  kleinster  Beste  Module  q ;  wäh- 
rend, a  relativ  prim  zu  q  vorausgesetzt,  a,  2a,  •••  — o    «  nur   ■  ^      "*■ 

congruente,  nicht  aber  nothwendig  positive  absolut  kleinste  Beste  Module  ^ 
liefert.  Sind  in  dieser  letzteren  Beihe  ^^,  ...  ^2  positive  absolut  kleinste, 
—  a^i  ...  —  <F^  negative  absolut  kleinste  Beste  Module  q,  so  erhellt  zunächst, 
dass   die   q   und   die   0  sämmtlich  von  einander  und  von  Null  verschieden 

sind ,  also  abgesehen  von  der  Beihenfolge  Module  q  den  Zahlen  1,  . . .     ^ 

congruent  sind. 

Wären  nämlich  zwei  Beste  ta  modq  und  sa  modq  einander  gleich,  so 

müsste  sein  /.       v        n. 

{t—s)a^(j  modq 

oder,  wenn  man  vom  Vorzeichen  der  a  absieht, 

{t+it)a  =  0  modq, 
was  beides  nicht  möglich  ist,  da  ^  und  s  von  einander  verschieden  und 
kleiner  als  ^  sind.    Man  erhält  somit 

a'^1.2''^^=(-lfnQnamodq  oder  a^  =  (^)  =  (-l)f^  modq. 

Diese  Formel  gilt  für  jedes  zu  q  relativ  prime  a,  also  auch  für  eine  von  q 
verschiedene  Primzahl  p,  so  dass  sich  das  Besultat  findet:    Sind  p  und  q 


zwei  positive  ungerade  Primzahlen,  so  ist  (^js=:(.l)M^  wenn  fi  die  An- 
zahl  der   negativen   absolut  kleinsten  Beste   in  p,  2p,  ...      ^    p  modq 

bedeutet. 

2. 
Um  die  in  dem  vorstehenden  Lemma  gefundene  Zahl  ft  weiter  zu  unter- 


—     als  grösste  in  —  enthaltene 
id  findet 


ganze  Zahl  an  und  findet 
2 


1)  Gomm.  Soc.  Gott  Vol.  XVI  S.  69,  1808,  Jan.  16  oder  Oanss*  Werke  ü,  8. 1. 


182  Historisch -literarische  Abtheilong. 

Aendert  man  in  dieser  letzteren  Summe  die  letzten         .        Glieder  nacb 
der  Formel  [p— «]  +  M^i»  — 1»  <!•  h.  nach  der  Formel 

so  ergiebt  sich  nach  Weglassung  der  Vielfachen  von  p  — l=0mod2 

-[f]-ra--[-ß3^]-.. 


! 


oder 


'im  "^^' 


Diese  Summe  besteht  aus  — ^  Gliedern ,  deren  erstes  gleich  Null  —  wenn 
man  p<g  voraussetzt  —  und  deren  letztes  nach 


n  — 1 

gleich      p     ist;  es  müssen  also  Glieder  mehrfach  vorkommen. 

Ist  nun    j —    =«  —  1    und   j  ^^ L.   =fj^   go  folgt  aus   der  Un- 
gleichheit 

•^<n<^?^p  m^r^i 

g  q  Lp  J 

Die  Anzahl  der  Glieder  in  ^^  P  welche  kleiner  als  n  sind ,  ist  daher 
—  I  Abgesehen  von  den  Grenzwerthen  0  und  ^  ist  mithin 
ö'    ""  I  —  j   ^ö  Anzahl  der  Glieder  gleich  n.     Da  femer  die  obige 

Summe      ^^      Glieder  hat,  so  ist  die  Anzahl  derselben,  welche  gleich  dem^ 

p— 1 
Grenzwerth  —5—  sind, 

^-1 


Daher  ist 


m 


üeber  das  quadratische  Beciprooitfttsgesetz.  183 

'■?(¥i-a-i;ii"iivi-[vii* 


oder 


Damit  ist  aber  das  Beciprocitätsgesetz  bewiesen. 

IL  Gauss'  fünfter  Beweis.^) 

1. 
In  der  Reihe  der  Zahlen 

I)  .  1,  2,  ...  pg-1. 

worin  p  und  q>p  zwei  Ton  einander  verschiedene  positive  ungerade  Prim- 
zahlen bedeuten  mögen,  sind  q  und  nur  q  Zahlen,  die  Modulo  p  einem 
positiven  absolut  kleinsten  Beste  fp  congruent  sind,  n&mlich 

II)  rp,   fp+p,   ...    rp  +  {q^l)p. 

Diese  Beihe  stellt  ein  vollsltodiges  Bestsjstem  Modulo  q  dar,  denn  es  ist 
offenbar  die  Differenz   zweier  Glieder  dieser  Beihe  nicht  durch  q  theilbar. 

Von  den  q  Gliedern  der  Beihe  II)  ergeben  nun,  wenn  man  sie  Modulo  q 

1 
in  drei  Theile  spaltet,      ^      Glieder  positive  absolut  kleinste  Beste  und 

—^  Glieder  negative  absolut  kleinste  Beste;  die  restirenden  sind  Vielfache 
von  q.    Man  erhält  dadurch  den  Satz: 

In  der  Beihe  1,  2,  .,.  pq^-l  giebt  h8  ^— •^—  Zahlen,  welche 
Modulo  p  und  Modulo  q  positiven  absolut  kleinsten  Besten  congruent  sind, 

n  —  1     n       1 

und  ebenfalls  ^  •  ^  Zahlen ,  welche  Modulo  p  positiven  i^solut  klein- 
sten, Modulo  q  aber  negativen  absolut  kleinsten  Besten  congruent  sind. 

2. 

Setzt  man  zur  Abkürzung: 

0-1    9         l^g-^        o   ^  Pg  +  1  «^      1 

s=l,i^,..- — - — j     b   = — ö — »•••pgf— 1, 


•  •  •    ' 

■J 

1,-1 

2 

3-1 

rp=l,2,... — 2 — j     Bp= — g — f  ...    jp  — 1, 
*'7  =  1»2,  ... — g — »     B,=  — 2~"'***     ^""^ 


2 
P  +  1 

2 
2-1 

1)  Gomm.  Soo.  Gott.  XVI  S.  69,  1818,  Febr.  10  oder  QausB*  Werke  n  S.  47. 


184  Historisch -literarische  Abtheilong. 

und  bezeichnet  man  mit  (sjrjt  die  Anzahl  der  5,  welche  Modolojp  positiTen 
absolut  kleinsten,  Module  q  aber  negativen  absolut  kleinsten  Bestmi  con- 
gruent  sind,  femer  mit  (s)Rr  die  Anzahl  der  5,  welche  Modulojp  negativen 
absolut  kleinsten  y  Module  q  aber  positiven  absolut  kleinsten  Besten  con- 
gruent  sind,  so  ergiebt  sich  zunächst 

1)  («)*r=(S)rJ?, 

wobei  das  Zeichen  (S)  in  Bezug  auf  8  dieselbe  Bedeutung  hat,  wie  (5)  in 
Bezug  auf  s.    Nach  dem  oben  abgeleiteten  Satze  ist  aber  femer 

2)'  {8)rR+{8U=^-^'^- 


Gaass  betrachtet  nun  die  Beihe 
2     '  2 


9-1, 


g+«+i,  ...  2q-l, 

P—^^ ■ g+1  P-l„     1 

Die  Anzahl  der  Qlieder  ist  — 5 —  •  ^-^ —  and  es  sind  sSmmiliche  Zahlen  s, 
die  Hodulo  q  negativen  absolut  kleinsten  Bestian  congruent  sind,  denn  die 
nftchste  Horizontalreihe  würde  mit  — ^z —  beginnen.  Gauss  trennt  jene 
^-^ —  •  ^-^ —  Zahlen  in  3  Classen. 

1.  In  die  erste  nimmt  er  die,  welche  Module  p  positiven  absolut 
kleinsten  Besten  congment  sind;  ihre  Anzahl  ist  {s)rR. 

2.  In  die  zweite  nimmt  er  die,  welche  Module  p  negativen  absolut 
kleinsten  Besten  congruent  sind;  ihre  Anzahl  ist  {s)jtR* 

3.  Die  übrig  bleibenden  haben  die  Form  prq  =  Bq  mod  q.  Bezeichnet 
man  daher  den  zum  Beste  p  und  zum  Modul  q  gehörigen  Ex- 
ponenten mit  V,  so  erhält  man  durch  diese  Eintheilung 

3)  {8U+  {s)nn  +  v  =  ^ .  -^. 

Auf  ganz  analoge  Weise  folgt  aus  der  Betrachtung  des  Systemes: 


2     '  2 


p-1. 


_  .  P  +  1  „  .  .P-f  3  9_     1 


-^— 1>  +  — 2-'    —2-P  +  —2~'   '"    ^-^-'' 


üeber  das  quadratische  Reciprocittttsgesetz. 


185 


wenn  man  den  zum  Beste  q  und  zum  Modul  p  gehörigen  Exponenten  mit 
u  bezeichnet:  .  . 

{S)Xr  +  Wrr  +  fi  =  — g g— - 

oder  mit  Rücksicht  »uf  l) 


oder 


Addirt  man  3)  und  4)  und  subtrahirt  davon  2),  so  ergiebt  sich: 

-^ 2~ 


2(s)jfÄ  +  jli  +  v: 


|[i  +  v  =  ^?-^5— .i-jj—  mo(l2,  q.e.d. 


2 


2 


in.    Eisenatein's  geometrischer  Beweis.') 
Zu  den  Axen  eines  ebenen    rechtwinkligen  Coordinatensjstems    zieht 
Eisenstein  Parallelen  in  den  Abständen  Eins  und  nennt  die  Schnittpunkte 
dieser  Geraden  Gitterpunkte. 

Dies  vorausgeschickt,   sei||nun  eine    "' 

Gerade    durch    die   Gleichung   y  srs-^x 

gegeben,  in  welcher  Gleichung  p  und  q 
wie  gewöhnlich  zwei  von  einander  ver- 
schiedene positive  ungerade  Primzahlen 
bedeuten  mögen. 
Nimmt  nun  für 


a?  =  a  =  l,2, 


2 


/ 


,/:. 


■i^ i> 


o 


y  den  Werth  5  an,  so  dass  also  5  =  ö  — 

p 

wird,  so  wird  [5]  =  \  —  \  die  Anzahl  der 

Gitterpunkte  sein,  die  auf  der  in  F(OF=  a) 
auf  der  a;-Axe  errichteten  Senkrechten 
zwischen  y  =0  und  y  ^h  liegen.  Da 
nun  nach  Gauss: 

ist,  so  folgt  unmittelbar  durch  Anschauung,   dass  v  (abgesehen  von  einem 
geraden  Summanden)  gleich  ist  der  Anzahl  der  Gitterpunkte  innerhalb  des 

Dreieckes   OAD,  wenn   OÄ  =  ^-^ — •    Ganz  analog  erhält  man  mit  Hilfe 

derselben   Gleichung ,    nur    in  der  Form   x  ^  ^y   geschrieben ,    für  fi    in 
9 


1)  Grelle  J.  XXVlIl  (1847)  S.  246. 
Hiat^llt  Abtlilg.  d.  Zeitaobr.  f.  M*th.  o.  Pbya.  XXX,  5. 


14 


186  Bistorisch- literarische  Abtheilung. 

{  — j  =  (— l)'*  eine  Zahl,  welche  (wiederum  von  einem  geraden  Summanden 

abgesehen)  gleich  ist  der  Anzahl  der  Gitterpunkte  innerhalb  OB  CD,  wenn 

noch  OB  =  — jr —  ist.     Mithin  ist  fi  +  v  Modulo  2   congruent  der  Anzahl 

der  Gitterpunkte  innerhalb  OÄBC;  denn  es  treten  keine  Punkte  doppelt  auf, 
da  diese ,  wie  sofort  evident ,  auf  der  Geraden  selbst  liegen  müssten ,  was  nicht 
möglich  ist.     Die  Anzahl  jener  Gitterpunkte  ist  aber,  wie  die  Anschanung 

lehrt,   gleich    — 3 — ^--^ — 1   womit  unser  Gesetz  abermals  seinen  Beweis 

gefunden  hat. 

IV.    Beweis  von  Genocchi.^) 
Genügen  p   und   q  wiederum   den   oft   angegebenen  Bedingungen  nnd 
setzt  man  zur  Abkürzung: 

1  '-'-^    /'»<^ 

(      ^^hq  +  hp-r      \*<^      2 
ist  ferner  K  diejenige  ganze  positive  Zahl,  für  welche 

2)  Äg  =  ij9  +  Ä'   oder   ii?<Äg<^ 

wird,  dann  wird 

3)  Ä;j9<Äg   für   Ä  =  1,  2,  ...  i, 

so  dass  ftlr  einen  vorgegebenen  Werth  h  der  Ausdruck  u,  wenn  darin  ^' 
alle  möglichen  ganzzahligen  positiven  Werthe  annimmt,  i  aber  auch  nnr 
i  positive  Werthe  hat.  Das  Nullwerden  von  u  ist  ausgeschlossen ,  was  un- 
mittelbar  aus   der  Definition   dafür   folgt.     Mit  Hilfe  von  2)    ergiebt  sich 

^®"^®^-  Äg  +  Äi)  =  (i  +  Ä;)|>  +  h\ 

woraus,  wenn  man  berücksichtigt,  dass  r  =  — ^ —  =  P — 0 1 ly  ^^^i 

sich  ableitet 
hq  +  kp>r  für   Ä  =  -^-i+l,     izl^i  +  2,    ...^ 

und  für   h  =  ^-^ i, 

wenn   in   diesem   Falle  ausserdem   noch  ä'  >  — 5 —  ist.     Denn   — ^ ' 

kann  nicht  Null  werden,  weil  sonst  hq'^r  sein  müsste,  was  nicht  mög 
lieh  ist.     Also  wird 

v,  wenn  k  die  ganzen  Zahlen  1,  2,   ...   — ^ —  durchlauft, 

P 
i  positive  Werthe  annehmen,  wenn  ä'<ö  ^^^ 

*  +  l,  wenn  ä'>^> 


1)  M^m.  courr.  et  m^m.  des  sav.  Strang.    XXV,  1852. 


üeber  das  quadratische  Beciprocitfttsgesetz.  187 

Anz.A  pos.  V  =  Anz.fc  pos.  w^) ,         ä'  <  ^  > 

Anz.jt  pos.  V  =  Anz.jt  pos.  u  +  1 ,     Ä'  >  p* 

p  — 1 
Läset  man  nun  ä  die  Werthe  von  1  bis  — ^ —  durchlaufen,  und  bezeichnet 

man  mit  ft  die  Anzahl  der  Beste  hq^  welche  Modulo  p  grösser  als  »  ^^^d, 
so  ist  also 

4)  fi  ~  Anz.A^jt  pos.  V  —  Anz.A,jt  pos.  u  mod2, 

Ist  analog  Anz.  pos.  t«'=  Anzahl  der  positiven  {kp  —  hq)  und  v  die  Anzahl 
der  Reste  hp ,  welche  Modulo  g  negative  absolut  kleinste  sind ,  so  ist  ebenso 

5)  V  =  Anz.ft,  jt  poB.  V  —  Anz./,^fc  pos.  u  mod  2 , 
woraus,  wenn  man  die  Werthe  für  u  und  u   einsetzt,  sich  ergiebt: 

Anz.A,A  pos.  {Jiq  —  hp)  —  Anz.>i,t  pos.  {Jcp  —  hq)  =  f*  +  v  inod2,  q.  e.  d. 

V.    Beweis  von  Stern.*) 
1. 
Sind  p  und  q   wie  bisher  zwei  ungerade  positive  Primzahlen,    so  gilt 
die  Congruenz:  ^ 

1)  1  .2  ...  ^^  =  (-l)«2.4  ...  p^lmodp, 

^  p  — 1 

wenn  u  die  Anzahl   der   ungeraden  Zahlen  in  der  Reihe    1,  ...  — ^^ —  ist. 

Danach  wird 

2)  .  =  ^, 

wenn  s  gleich  1  oder  —  1  ist,  je  nachdem  p  die  Form  4w+  1   oder  4w  —  1 
hat.     Ebenso  wird 

q.2^j  ...  ^v  =  '/^l  •■•  ^=(-l)'".2.4  ...  p-lmodp, 

wenn  U|  die  Anzahl  der  positiven  ungeraden  Reste  Modulo  p  in  der  Reihe 

p  —  1 
q,  2q,   ...   ^—^ —  •  q  repräsentirt,  oder 

q  2    .1.2 ^-^^q  2   (-1)«'2.4 v-lmoäp, 

woraus  ^    , 


folgt.     Daher  ergiebt  sich 

.'1 (f)  ©=*-'>"* 


t>,  —  w  —  » 


1)  Die  Bezeichnung  Anz.j^pOB.  17  ist  nach  Schering  gewählt  und  iat  zu  lesen: 
Anzahl  der  positiven  Werthe  von  v  bei  variabelem  Ä. 

2)  Göttinger  Nachrichten  1870,  S.  237.  Dieser  Beweis  ist  nicht  ganz  correct. 
Er  ist  gleichwohl  eingereiht  der  Vollständigkeit  halber  und  weil  in  ihm  ein  neuer 
fruchtbringender  Gedanke  hegt. 

14* 


188  Historisch  -  literarische  Abtheilnng. 

wenn  v  und  t;,  in  Bezug  auf  g  dieselbe  Bedeutung  haben,  wie  u  und  »^ 
in  Bezug  auf  |).  Mit  Bücksicht  auf  2)  hat  man  daher,  um  das  Reciprocliftts- 
gesetz  darzuthuu,  zu  zeigen,  dass 

w^  +  Vj  =  ^-j 1 2 —  mod  2,  wenn  p  und  q  gleichförmige  Zahlen  M, 

4)  \  oder 

u^  +  v^  =  "-T —  inod2f  wenn  p  und  g  ungleichförmige  Zahlen  sind. 

Ist  ferner  u   resp.  v    die  Anzahl  der  geraden  positiven  Beste  in 

resp.  ^  - 

p,2p,  ...  yp,     ..  -^^-2— p  wo(l  y 

so  ist  zunächst  «,  +  u'= — - — ,    v, +  1?'—  — ^—   oder  (Wi +  «',)  + (m'+ '• 

^~     2     "^     2     ■ 

Setzt  man  nun  zur  Abkürzung 

5)  Z7  =  «!  +  «;,,     G=^u  +  v\ 

so  hat  man,  um  das  Beciprocitätsgesetz  darzuthun,   mit  Rücksicht  auf  4> 

zu  zeigen,  dass 

F— 6r  =  0  «iod4,  wenn  p  und  g  gleichförmige  Zahlen, 

U*—  6r  =  1  modA^  wenn  p  und  g  ungleichförmige  Zahlen  sind, 

oder  dass 

6)  u^G=^^fnod4^) 
wird. 

2. 

Um  die  Formel  g7— g=     ^,     inod2   zu  verificiren,   bemerkt  Stern 

zunächst,  dass  nicht  derselbe  Best  r  zugleich  in  rr^  modp  und  yp  mod*, 
vorkommen  kann.  Wäre  nämlich  gleichzeitig  ag=gp  +  r  und  ap^^g'q  +  r, 
so  müsste 

sein.  .Nun  ist  aber  a'<-l»  folglich  /<^»  so  dass,  da  auch  a<~ist, 
a+g'<Cp  wird. 

Mit  Bücksicht  auf  die  Eigenschaften   von  p  und   g  folgt  daher   die 
Unmöglichkeit  der  Gleichung  7)  und  die  Bichtigkeit  der  obigen  Bemerkunt^. 

1)  Zwei  Zahlen  heissen  gleichförmig,  wenn  sie  beide  von  der  Form  4*»^-! 
oder  4n  +  3  sind,  ungleichförmig,  wenn  die  eine  von  der  Form  4n+l,  die  andere 
von  der  Form  4n  +  8  ist. 

2)  Stern  erbringt  im  Folgenden  nur  den  Nachweis,  dass  Ü-G^^^modt 

ist.    Hierauf  wurde  ich  zuerst  durch  Herrn  Prof.  Schering  aufmerksam  gemacht. 


lieber  das  quadratische  Beciprocitätsgesetz.  189 


so 


Macht  man  nun  die  Voraussetzung  q^p  und  setzt  man 

8)  aq^gp  +  r,    a<^^    r<p, 

muss  g  < — n —  sein.    Wäre  nämlich  g  =  — ^ — »  so  wftre,  da  a  fttr  dieses 

;j— l                     P  —  1           ^—1                q  —  P      y  .. 

g  gleich  — ^ —  wird ,  r  =  — ^ —  ^ s —  A*  = « — »  ^Iso  negativ,  was 

nicht  eintreten  soll.    Es  ist  also  g  <C — » —     Gleichung  7)  kann  aber  auch 
geschrieben  werden: 

oder 

9)  hp^aq  +  r\    6  =  ^  +  l<|i    r==:p  — r<g. 
Aus  7)  und  9)  resultirt  aber: 

Setzt  man  qK^p  voraus^  so  enthalten  die  beiden  Rests jsteme  xq  moäp 
und  yp  mod  q  sftmmtliche  Zahlen  p  —  1 ,  jedes   davon   die  Hälfte.  —  Die 

flf  —  1  q  ^'  p 

Anzahl  der  Reste  in  yp  mod  q  ist  — ^ — »  so  dass  in  dieser  Reihe  — s — 

Reste  grösser  als  p  vorkommen.     Sind   hierunter  &  gerade  und    U'  un- 
gerade, so  ist  also 


r+ö'=*^. 


femer  ist,  wie  sofort  evident: 


woraus 


folgt. 


ö  =  ^  +  e\    U^^+U\ 


U^G=U'+G'=^-^mod2 


VL    Beweis  von  Zeller.^) 
1. 

Nach  dem  6auss*schen Lemma  ist  (-)(  —  )  =  (—  ly*"^'»  wenn  fi  resp.  v 
die  Anzahl  der  negativen  absolut  kleinsten  Rest«  in 

1)  q,  2q,    ...  ^^-g—  qmodp 
resp. 

2)  p,  2p,  ...  L—pmadq 
bedeuten. 

Setzt  man  p<^  voraus,  so  kommen  die       ^      Reste  1,  2,  .••   I^l 
entweder  in  Reihe  1)  oder  in  Reihe  2) ,  nie  aber  in  beiden  Reihen  zugleich 

1)  Monatsber.  der  Berl.  Ak.  1872 ,  8. 846. 


190  Historisch -literarische  Ahtheilang. 

vor.  Denn  ist  hq  =  r  madp^  so  gilt  die  Gleichung  Äg  —  Äp  =  r,  woraus 
nach  der  Voraussetzung  p^g  folgt,  dass  k  eine  ganze  positive  Zahl  ist. 
Daraus  ergiebt  sich 

kp  =  —rmodq; 
mithin  erhalten  wir 


^  +  v  =  -^-^—  +Tiwöd2, 


wo  T    die  Anzahl   der  negativen  absolut  kleinsten  Beste  in   2)    bedeutet, 

2. 


n 

welche  grösser  als  ^  sind. 


Ist  nun 


kp^^rmodq  (ä<-^   «nd   |<r<|) 


und  setzt  man 


*'=l(9-l)-fc,    r  =  ^-r. 


SO  ergiebt  sich ,  dass  k'  und  r  denselben  üngleichheitsbedingungen  genfigen 
wie  k  und  r  und  dass  k'p  =  — -  /  mod  q  ist.     Das  heisst:   Im  Allgemeinen 

kommen  alle  zwischen  ^  und  -^  liegenden  negativen  absolut  kleinsten  Beste 

kp  mod  q  paarweise  vor ,  geben  also  keinen  Beitrag  zu  r ,  da  t  Exponent 
von  — 1  ist,  man  aber  Multipla  von  2  fortlassen  kann.  Ausgenommen 
sind,  wie  sofort  erhellt,  die  Fälle 

Ä;  =  0    und   Ä;  =  Ä;'f=-^^Y 

1.  Ist    zuerst    Ä;  =  0,     so    wird     k'= — ö —     ^^^    k'p  =: — ^p 

-^modfi.     Da  aber   q^p^   so  ist   dieser  Best  positiv  und 

giebt  daher  keinen  Beitrag  zu  t. 

2.  Ist  zweitens  k  =»  Ic^^  — j — ,  so  kann  nur  dann  von  einem  Beste 
die  Bede  sein,  wenn  q  von  der  Form  4«  +  l  ist, 

Ftlr  ^  =  4n  +  3  erhält  man  somit 

T  =  0  mod  2   und   ^  +  v  =  — ^—  mod  2. 

Für  g'  =  4«  + 1  wird  kp  =  — j—  p=.-^(;—p±q)  mod  q  und  man  hat 
zu  unterscheiden: 

1.  jp=l  mod 4.     Dann   giebt  kp   einen  positiven  Best:    t^i.O  mod2, 

2.  ;)  =  3  mod^.     In  diesem  Falle  muss  q  negativ  genommen  werden, 
so  dass  T  =  1  mod  2  resultirt 

Fasst  man  alle  diese  Fälle  zusammen,   so  erhält  man  unsere  bekannte 
Formel. 


üeber  das  quadratische  Beciprocittttsgesetz.  191 


Vn.  Beweis  von  Kronecker.*) 
Sind  wiederum  p  und   q  zwei  von   einander  verschiedene  positive  un- 
gerade Primzahlen,   und  definirt  man  das  Symbol  (— j  als  das  Vorzeichen 


von 


w^f'f.::::!} 


SO  ist  unmittelbar  evident,  dass 


(f){f)-(-)--'^ 

ist.     Aus 

ergiebt  sich  ferner 

Setzt  man  nun  p  =  p'  modg,  so  wird  I  —  j  =  |  — j  modq   und  daher 


wUhrend  p'^—p  modq 

»)  (f)-(f)<-"^ 

giebt.  Ist  femer  kp^i  +^h'.madq^  wo  i((' ebenfalls  einem  absolut  kleinsten 
Beetsystem  Module  q  angehören  soll,  und  bezeichnet  man  mit  r  die  posi- 
tive Grösse  h'  resp.  q—lc,  so  wird: 

oder,  wenn  man  die  Identität: 
berücksichtigt : 

[^>4t]----['-^]' 

woraus  wiederum  folgt: 

1)  Berl.  Mon.-Ber.  1876,  S.  801 


192  Qistorisch- literarische  Abtheilung. 

Aus  dieser  Formel  ergiebt  sich  die  Beziehnng 

(f)=(f)(f)- 

Wendet   man   hierauf   Formel  1)    an   und   vertauscht   dann  p   mit  ^, 
so  wird 

(^)-(^)(f)- 

Die  Formeln  2)  bis  5)  zeigen  nun ,  dass  die  in  1)  vorkommenden  Symbole 

(— j  und  (-^j  genau  denselben  Gesetzen  gehorchen,  wie  die  Legen dre- 

Jacobi*schen  Zeichen.  Sollen  sie  mit  diesen  identisch  sein,  so  mnes 
noch  werden: 

(— j  =  +  1,  wenn  p  quadratischer  Rest  von  g  ist,  und 
/_j  -~  —  1^  wenn  p  quadratischer  Nichtrest  von  g  ist. 

und  diese  Beziehungen  gelten  in  der  That.  Setzt  man,  um  dies  für  den 
ersten  Fall  darzuthun,  in  4)  j:>'  =  jp,   so  ergiebt  sich  sofort  in  Yerbindang 

mit  2)  (  — l  =  +l-     Was   den   zweiten  Fall   betrifft,   so  w&re,    wenn  es 

nur  eine  einzige  Zahl  j9  gäbe,  für  die  \f-)  =  —  1   wftre,    mit  Hilfe   von 

2)  und  4)  evident ,  dass  jeder  andere  Nichtrest  dieselbe  Bedingung  erfQllte. 
und  eine  solche  Zahl  p  giebt  es.  Fttr  g=:8n+l  hat  dies  bereits  Gauss 
in  seinem  ersten  Beweise,  wie  wir  gesehen  haben,  dargethan;  es  ertlbrigt 
also  nur  noch,  den  Nachweis  für  gf  =  8fi  +  3,  8ft  +  5,  8ft+7  oder,  was 
dasselbe  ist,  für 

9  =  —  1  f9iod4  und    g  =  5  mod% 
zu  erbringen. 

Ist   zunächst   g=  — 1  fiiod4,    so  folgt  aus  Formel  3),  wenn  man 
p  =s  2g  —  1  setzt,  umnittelbar  ( — )  =  —  !• 

Für    9  =  5mod8    und   |7  =  — ^ —    erh&lt   man    mit   Hülfe   derselben 

Formel  3)   (-^)  =  (^^^)c=(-l)"2'=-.l     und     wegen    Formel    1) 

wiederum  (— j=i  — 1. 

Nach  alledem  ist  erwiesen,  dass^  \     )  identisch  ist  mit  dem  Legendre- 
schen Symbole,  und  Formel  1)  enthalt  somit  den  Beweis  für  unseren  Satz. 


üeber  das  quadratische  Reciprocitätsgesetz.  193 


VIII.    Beweis  von  Bouniakowsky.^) 
1. 
Sind  a  und  r  (l<r<  2a— 1)  zwei  positive  ungerade  Zahlen  ohne 
gemeinsamen   Theiler    und    ist  p=s2an'{'r    eine  ungerade  Primzahl,    so 

werden  die  Zahlen  1,2,  .-.^-^ —  oder  1,  2,  ...  a»H ^ —  dargestellt 

werden  durch  das  System: 

1,  l+ö  •.  1  +  iw— Ija,  i+na. 

2,  2  +  a..  2  +  («-l)a,  2  +  na, 


1) 


+  a  ...     -g— +  (n-l)a,     —2~~'^^^' 


r-\ 
2     ' 

2 

r+1 

1 

r+1 

r+  l 
4-a  ...  — g h<«  -  l)a, 


a— 1,       a— 1+a...    a— l+(n  — l)a, 
a,  2a  ...    na. 

Bezeichnet  man  das  Product  der  Glieder  einer  Horizontalreihe  mit  dem 
Anfangsgliede  ri  mit   (ri^a),   so  dass 

(n,  a)  =  n  {n  +  a)  ^n  +  2a) . . . 
ist,  so  wird: 

2)  1.2...  :^  =  (1, a). (2, a)...(a,a). 

Da  die  Zahlen  1,  2,  ...  a  Module  a  mit  den  Zahlen 
0,  r,  ...  rg-i,   ...  a  — fj,  ...  a  — fg-i 

2  2 

zusammenfallen,  wenn 

bedeutet,  so  kann  man  2)  auch  schreiben: 


3) 


1.2  ...  ^  =  (0,a)  JTcn.ajJTla  -n.a),    A  =  l,  ...  ^- 

Bouniakowsky  betrachtet  nun  in  Bezug  auf  den  Modul  p  das  Ver- 
halten der  einzelnen  Factoren  von 

A)     (0,a);  B)     {rx,a)y  C)     (a~r;i,a). 

A)  (0,a)  =  a.2a.3a... 

Jeder  Factor  von  (0,  a)  ist  Module  p  einem  positiven  Vielfachen  (A;a)  von  a 
congruent ;    und  da    n  <  ^—^^ — »  so  ist  stets   h  <  — ^ —  • 

B)  (n,  a)=n..rz  +  a).(r2  +  2a)  .   . 


1)  Ball.  d.  St.  P^tersbourg,  Bd.  XXII  aB76). 


194  Historisch -literarische  Abtheilong. 

Bouniakowskj  nimmt  an,  ri  sei  Modulo  p  einem  negativen  Viel 
fachen  von  a  congnient,  d.h.  es  sei  rx=^ka  modp. 

Substituirt  man  den  Werth  für  ri  =  Xr—aqx^  so  wird: 
kr  —  aqi^B^kamodp^    oder,  da    r  +  2a«=i?, 
—  Äa  =  —  2ailn  —  aqx  modp   oder 
k=2Xn+qi  modp. 
Die  Annahme  über  rx  ist  also  richtig:    ri  ist,   wie   die   letzte  Gongraenz 
zeigt,  in  der  That  Modulo |?  einem  negativen  Vielfachen  (^  n)  von  a  eon- 
gruent. 

Das  Maximum  von  k  ist:  — ^ —    ^^d  das  von  q:  \ — ^ — 1«  welches 


letztere  sich  aus   rx  =  lr~'aqx  ergiebt 
a— 1 

^  2  r—  1    „  a  —  r  .  _ 

Da  nun  =  — 5 1 — k — »   so  wird ; 

a  ^  jSa 

Das  Maximum  von  h  wird  also 


(a-l)«  +  --2— =  — 2 «. 

Es  ist  also  in  rk^kamodp 
4)  n<fc<^. 

Man  kann  nun  unmittelbar  das  System  Congruenzen  aufstellen: 
rx=£-ka 

n  +  a  =  — (Ä;—  l)a 


n  +  (w— l)a  =  — (Ä  — n+l)a^   modp. 

_-  r— 1 
und  im  Falle   rx  <  — ^ — 

rx  +  na=  —  {k-'n)a 
Mit  Rücksicht  auf  4)  ergiebt  sich  so  das  Resultat:    Jeder  Factor  von 
(fji,  a)   ist  Modulo  p  congruent  —  Ä;a,   Ä< — 5 — 1  d.  h.   einem   negativen 
Vielfachen  von  a. 

C)  Ganz  analog  zeigt  man,  dass  jeder  Factor  in  {a  —  rx,  a)  Modulo p  ka, 

p-1 

Ä< — ^ — *    ^«  ^'  einem  positiven  Vielfachen  von  a  congruent. ist. 

Ist  daher  M  die  Anzahl,  der  Factoren  in  i7(ra,a),  so  wird  aus  3): 
5)  i.2...^^  =  l.a.2a,...  l^lla.^'-l)^ modp. 


üeber  das  quadratische  Beciprocitätsgesetz.  195 


Auf  der  rechten  Seite   müssen   als  Factoren  von  a   sämmtliche  Zahlen 

ü  — 1 

1,  ...  — X —   stehen,  wie  leicht  zu  übersehen  ist.     Aus  5)  folgt  weiter 


Es  ist  aber 


Jedes    (rxyd)    besteht    aus  (         -j   Factoren,  wenn  rx   i  -   l- 

Bezeichnet  man  daher  die  Anzahl  der   (rx^aj^   welche  aus  n+1  Factoren 
bestehen,  mit  m,  so  dass  m  nur  abhängig  ist  von  a  und  r,  so  erhält  man: 

also  resultirt: 

Ist  nun    q  =  2an  +ry    so  erhält  man  die  wichtige  Beziehung: 

«'         (i)(f)-(-')'^'"''- 

2. 

Sind  p  und  q<Cp  zwei  positive  ungerade  Primzahlen,  so  können  beide 
nur  durch  dieselbe  lineare  Form  ausgedrückt  werden,  so  dass  also 

jp=2a«  +  r,     ^  =  2an'+r     {a  =  r^linod2) 
ist.     Ist  nämlich 

7)  jp  =  V  +  2*a,    so  ist    a  =  \^    - 

Wäre  aber  nun 

p  =  2an  +  r,    q  =  2an+r\    so  dass   j)  — 9  =  2a(n  — n')  +  (r  — r'), 

so    müsste   r  —  r\    dessen  Maximal werth   2(a— 1)   ist,   durch   2a   theilbar 
sein,  was  nicht  möglich  ist.    Es  muss  also  r^»/  sein.    Aus  7)  folgt  aber 

(f)=(^)  -  (7)-(=f^)- 

Setzt  man  (— j  =  (— 1)   ^   =(— 1)L  ^    J    als    bekannt    voraus*),   so 
erhält  man  mit  Hilfe  von  5): 

8)    (^)(i)=(_i)^-^-{[^]+m} +^'-H'">. 

1)  Vergl.  8.  227. 


196  Historisch  -  literarische  Abtheilung. 

Es  sind  nun  zwei  Fälle  zn  unterscheiden: 
h  p^q  mod4.     Dann  wird    y  | ["^±1]  +  |^ i-±A  1  j  =  0  mod 2.    Lt 

erstens   jp  =  4|Li  +  l,    y  =  4|u'+l,    so   ist      — ^N"        T"""     =^  +  " 

und  p  —  ^  =  4  (fi  —  u')  =  2*  a.  Die  Fälle  v  =  0 ,  1 ,  2  kommen  hier  nicht 
in  Betracht,  da  a  ungerade  vorausgesetzt  ist  und  p  —  q  =  0  fnodA  ist 
Wird  aber    v>2,    so  ist   ^  —  fi\    mithin  auch    fi  +  ^'^0  mod2^    so  dass 

V  I  r^^^^l  +  T-i^  wird.      Ist    zweitens   i)=4fi+3, 

yr=4.i('  +  3,  SO  ergiebt  sich  aus  ganz  denselben  Gründen  dasselbe  Resultat 

Was  — ^ —  (w  +  n)  betrifft,  so  folgt  aus  |?  —  ^  =  2a («  —  n')  =  0  vfiodi^ 
^  1 

dass  n^n^  also  auch  «  +  n'  und  damit — ^ — \n-\-n)  gerade  Zahlen  sind. 

Man  erhält  somit: 

p    1 


C-)!?)-»-"""-'-»"^- 


IL  jj  —  7  =  2  »iwxi 4.  Es  ist  dann  p  =  4fi  +  3,  ^  =  4^'  +  l  oder 
p  =  4fi+l,  v  =  4/  +  3.  Beide  Fälle  sind  vertauschbar,  da  die  Voraus 
Setzung  P^q  nicht  mehr  nöthig  ist.  Es  genügt  daher  die  Betrachtang 
eines  Falles.     Es  sei  j9e=4/x+l,   9  =  4^'  +  3.     Es  ist  dann: 

ferner  ^ 

/;  — ^  =  2a  =  2|2(|i4  — ^')  — 1},  80  dass  ^  —  ^'^ — g— 
und 

wird.       Es  ist  also 


(7)©-<-'>^^^'"'""' 


Bedenkt  man  nun ,   dass   p  —  9  =  2a (n  —  n  )  =  2a  ist,  so  ergiebt  sich 
n  — n'=l   und  damit  n+n +  1  =  0  ntod2,  so  dass 


p-i 


Fasst    man  die  Fälle   I   und  II   zusammen,  so  ergiebt    sich  die  be- 
kannte Formel. 


tJeber  das  quadratische  Reciprocitätsgesetz.  197 


IX.  Beweis  von  Schering.^) 
Setzt  man  das  Gauss'sche  Lemma  voraus:   (— )=  (—!)'*>    und    be- 


zeichnet  mit       -  eine  der  Grössen  — »    >  •••    »    so  wird    — 

V  ^        q  q  9 

einen  Beitrag  zu  ^  liefern ,  d.  h.  kp  wird  Modulo  g  einen  negativen  absolut 

kf} 
kleinsten  Best   geben,    wenn   es   eine   ganze  Zahl  giebt,   die  zwischen  — 

kp       1  '  ^ 

und h  -5-  liegt.  Durchläuft  also  h  die  Werthe  von  1  bis  t,  wo  t  eine  belie- 

kp 
bige  ganze  Zahl  grösser  als  —  ist,  so  wird  die  Anzahl  der  positiven  Werthe 

kp       1 
des  Ausdruckes h  ~ö  ~~  ^  vermindert  um  die  Anzahl  der  positiven  Werthe 

Jen 

des  Ausdruckes h  gleich  Eins  oder  Null  sein,  je  nachdem  kp  Module^/ 

einen  negativen  oder  positiven  absolut  kleinsten  Best  giebt.     In  Zeichen: 

Anz.  pos.l  —  +  -0  —  ^1  —  Anz.  pos.l ;*)=  1,  0 

A=i  K  q        ^        }       A=i  \  q        / 

Für  fi  erhftlt  man  somit: 

(A~^  I  Anz.  pos.( h -n^  —  Ä j  —  Anz.  pos.  f h)\  mod2. 

Da  nun    | — ^ — p\'9   ^^^  Maximal werth  von  ist,   so  kann  man 


kp       1 

setzen.     Es  ist  dann,   wenn  man  noch  in  +  -0— ^   an    Stelle   von   ä, 

q        Z 

— rt h  substituirt,  was  offenbar  erlaubt  ist,  da  die  Anzahl  der  posi- 
tiven Glieder  einer  Beihe  unabhängig  von  der  Anordnung  dieser  Glieder 
ist  und  die  charakteristische  Eigenschaft  1<A<t  g6wahi*t  bleibt,  und 
man  ferner  die  einzelnen  Summenglieder  mit  der  positiven  Grösse  p  divi- 
dirt,  was  ebenfalls  gestattet  ist,  da  es  nur  auf  die  Vorzeichen  ankommt: 


1)  Gott.  Nachr.  1879,  Nr.  6  oder  Compt.  Bend.  Bd.  88,  S.  1073, 


198  HistoriBch- literarische  Abtheilung. 


14=  /.  { Anz.  pos.f — I -ö)  — Anz.  pos.  ( )[  mod2^ 


7     y 


^-1 


/'  -  2  '  '  -  2 
Bezeichnet  man  weiter  den  zum  Beste  q  und  Modul  p  gehörigen  Expo- 
nenten mit  V,  so  dass  also  (— j  =  (— 1)^  ist,  so  erhftlt  man  ganz  analog 
wie  für  ft: 

v^^,  1  Anz.  pos.  ( — h TT-)  — Anz.  pos.  ( )}  mod2- 

f^^\k=i  \p        q        2/       k=^\  ^P        y/} 

die  beiden  Congruenzen  für  ti  und  v  ergeben  nun  die  folgende: 

a+ v  =  Anz.  pos.  ( 1  + Anz.  pos.  ( )  mod2. 

A,A  \(?       PJ       h,k  \p       ql 

Die  beiden  Doppelsummen    enthalten  je   — ^ —  •  — s —   Glieder.      Da 

p  und  q  Primzahlen  sind ,   so  kann  nie Null  werden.     Es  ist  aber 

^       P 

nothwendig  dann  entweder oder positiv ,   woraus   sich    er- 

^       P  P       q 

^'®^*'  p^\      q^\ 

|i4  +  v=-    — g n —  wod2,  q.  e.  d. 


X.   Beweis   von  Petersen.^) 

Sind  p  und  y>p  zwei  von  einander  verschiedene  positive  ungerade 
Primzahlen  und  ist  2n+l  =  l,3,  5,  ...  7  —  2,  so  wählt  Petersen  m 
so,  dass  in 

1)  (2«+l)p~2m7  =  r 

r  zwischen   +  q   und  —  q   liegt  und  ungerade  ist     Ist  nun  die  Anzahl  der 

negativen  r  gleich  jn,  so  ist  offenbar    | -j  =  (  — 1)**.     Von  den  Resten  in 

1)  trennt  nun  Petersen  diejenigen,  welche  zwischen  +p  und  —  p  liegen. 
Als  Bedingung  erhält  er  hierfür  die  Gleichung:  (2n  + 1)^  —  2 m';?  =  r, 
oder  wenn  man  in  V)  pq  additiv  und  subtractiv  hinzufügt: 

2)  (jt,-2w)7-(7-2w-l)p  =  r. 
Hieraus  folgt,  dass  in  1)  r  zwischen  +p  und  —  p  liegt  für: 

p-2m=l,  3,   ...  /;-2,    also  für    m=l,2,     ..  ^^^. 

1)  Am.  Journal  of  math.  pure  and  applied  Bd.  11  (1879),  S.  286  und  Tidsskriit 
for  Math,  udgived  af  Zeuthen,  1879,  S.86. 


üeber  das  quadratische  Beciprocitfttsgesetz.  199 

Setzt  man  mm  fOr  fA,  wenn  man  p  und  q  Yertauscht,  v,  so  dass  also 
( —  )  =  (—!)*  wird,  so  sieht  man,  ergiebt  sich  v  aus  2)  in  ganz  derselben 
Weise,  wie  sich  fi  aus  1)  ergiebt. 

( — j  und  (— j  werden  also  das  gleiche  oder  das  entgegengesetzte  Vor- 
zeichen haben,  je  nachdem  die  Anzahl  der  Beste  f  zwischen  —  p  und  —q 
gerade  oder  ungerade  ist.  Für  solche  Beste  — ^<C(2w+l)p  —  2w^<— p 
ergiebt  sich  aber,  wenn  man  setzt  m  =  «  — Ä;,   p  =  ^  — 2a: 

3)  2m+l<--'ti^<2n  +  2. 

a 

Daher   ist    die   Anzahl    jener   negativen    Beste   r    gleich    der   Anzahl    der 

q       2q  a  —  1 

Brüche  — »    — »   •••  »ö,    in    denen    die    darin    enthaltene    grösste 

a         a  a 

ganze  Zahl  ungerade  ist.    Die  Summe  der  gleichweit  von  Anfang  und  Ende 

abstehenden  Brüche    ist  aber   gleich    q,    also   ungerade.       Daher    ist    die 

Summe  der  zu  diesen  Brüchen  gehörigen  ganzen  Zahlen  gerade,  sie  selbst 

sind   mithin  zugleich   gerade  oder  zugleich  ungerade. 

1)  Ist  daher   o  =  l  mod2,   so  ist    (^j=(^y 

2)  Ist  dagegen  «  =  0  motl  2,  so  ist  -^y  das  Mittelglied  in  jener 
Bruchreihe,  zu  berücksichtigen. 

Für   q=='4n+l    wird  r|-l=2«,    also  wird:   {^^=.(^y    . 

Für  q=r.4n  +  3  dagegen  ist  j—  =2w+l,  so  dass  T-W  — ^^  j 
entsteht.  ^      ,.        ,^ 

Diese   Fälle    zasammengefasst   ergeben:    I— j  =  l  — 1(— l)        '^ 
Es  war  aber  p  =  q  —  2(t,   folglich  ist: 

,,  y-~I_y-l  fp-l  q-l  A^Pjzl  y-^  ^-1  9"^ 
(«~ij-2---2— ^-^  2    ""   /■"     2       #2  2  2 


-     2 

was  zu  beweisen  war. 


XI.  Beweis  von  Voigt. ^) 


kp 
Bezeichnet  man   die  in  — ^  enthaltene   grösste  ganze  Zahl  mit   A  —  l, 

so  wird   kp  Modulo^  einen  negativen  absolut  kleinsten  Best  geben,   wenn 

1)  Schlömilch'8  ZeitBchrift  f.  Math.  u.  Phya.,  Bd.  XXVI,  1881,  von  Prof. 
Thomae  mitgetheilt. 


2or) 


Historisch  -  literarische  Abtheilung. 


Ä  —  —  <[  —  <C ^  o^er   (ä  —  n')^<^P<^^  is*»  ^^<^  umgekehrt  werden  zu 

solchen  Grössen  kp^  die  die  vorstehende  Ungleichheit  erfdUen,  Modulo  q  ne- 

p  — 1 

gative  absolut  kleinste  Reste  gehören.    Der  Maximalwerth  von  h  ist   — 0 — ' 


was  sich  durch  Einsetzen  des  grössten  Werthes  für  k^  der 


y-1 
2 


sein  soll, 


in   die  Ungleichheit  ergiebt.      Dividirt  man  die  Glieder  der  Ungleich  hei  tß- 

1 


Ä- 


7  <  Ä:  <  — »  Je  kann  also  bei 

P  P 


bedingungen  durch  p,  so  erhält  man 

ist,    wenn  v  die  Anzahl  der  negativen  absolut  kleinsten  Reste  Modulo  7  in 
r/-l 


gegebenem  h     - 


verschiedene  Werthe  annehmen.    Daher 


Pj  2p, 


p  bezeichnet: 


'4k]- 


L    P 


h—  -^  durchläuft  die  Werthe  von  -^  bis  — ^ — »  was  offenbar,  abgesehen 
von  der  Reihenfolge,  die  hier  aber  nicht  in  Betracht  kommt,  auch  von 
^^   ^  .  (ä=  1 , ö — )   geleistet  wird,  so  dass  man  schreiben  kann: 

'=?|[^]-[^]l=^im-[i-^]) 


oder 


rh=^ —    »    also  wo 

p      L  /' J 

»"A  <C  ^  >  wenn  hq  Modulo  p  einen  positiven, 


Setzt  man: 
80  wird 

wo 


*■*>  2"»  wenn  A^  Modulo ;ö  einen  negativen  absolut  kleinsten  Rest  giebt 


Ueber  das  quadratische  Reciprocitätsgesetz,  201 

Nun  ist  aber: 

[|-«*-r*]=-l-[<*-|_r] 

sodass  =-'»+[!-♦•*]' 

wird.    Nach  der  Definition  von  r^  ist     9"  ■"**ä    = — 5 — »  wenn  hg  Modulop 

einen  positiven,  dagegen  = — ^ 1,  wenn  hg  Module p  einen  negativen 

absolut  kleinsten  Best  giebt.     Bezeichnet  man  daher  den  zum  Beste  g  und 
Modul p  gehörigen  Exponenten  mit  ft,  so  ergiebt  sich: 


was  zu  erweisen  war. 


_p-l    ^^1 


2 (i  mod2, 


XII.  Beweis  von  Busche.^) 
1. 
Dem    eigentlichen    Beweise    des    quadratischen    Beciprocitätsgesetzes 
schickt  Busche  folgenden  schönen  Hilfssatz  voraus: 

„Nimmt  man  an,  eine  umd  dieselbe  Belation  {x,  y)  sei  giltig  für: 

1)  «=±1,  y^q\ 

2)  a;=p,  y=+l; 

3)  x^p  +  2kg,  y^q-, 

4)  x=p,  y  =  g  +  2k'p, 

worin  k  und  k'  ganze  Zahlen,  p  und  p  zwei  ganze  ungerade  Zahlen  ohne 
gemeinschaftlichen  Theiler  bedeuten,  so  gilt  die  Belation  {x^y)  allgemein 
für  zwei  beliebige  ganze  ungerade  Zahlen  ohne  gemeinsamen  Theiler/' 

Der  Beweis  dieses  eleganten  Satzes  folgt  in  einfacher  Weise  aus  dem 
Euklid  ^schen  Algorithmus : 

P       =2^1     Pi      +Pi, 
Pi       =2^2      Pi      +Ps» 


Pp^i  =  2gv     pp      +Pv+ii 

Pv      =2gv+iPv\'\  ±  1- 
Pf  Pn  Pii   •  •  •  seien  ungerade  und  \p^\  >\Pi\  >\Ps\  •  •  •*)    Nach  Voraus- 
setzung 1)  gilt    dann    die  Belation   [x,y)  für    +1,  p^+i,    folglich  nach 

1)  Inaug.-Diss.  Göttio^en  1883;  enthält  ausser  dem  hier  mitgetheüten  Beweis 
noch  verschiedene  Anwendungen  einer  neuen  Beweismethode. 

2)  \x\  bedeutet  nachKronecker  und  Weierstrass  „absoluter  Betrag  veno:**. 

Hi«t.-Ut.  Abthlg.  d.  Zeitfobr.  f.  Math.  n.  Phyi.  XXX,  5.  15 


202  Historisch -literarische  Abtheilung. 

3)  auch  für  p^  und  p^^i^  und  nach  4)  auch  für  />,  und  p^^t  n.  s.  w.. 
folglich  auch  für  p  und  p^  oder  p^  und  p,  —  Fände  man  nämlich  f&r  die 
AnfangBwerthe  x=  +  1,  y=p,4-i  die  Richtigkeit  der  Relation  fttr  p  und/>j, 
so  würde  Voraussetzung  2)  die  Giltigkeit  der  Relation  für  p^  und  p  ergeben. 
Jenen  Satz  kann  man  aber  auch  folgendermassen  aussprechen : 
„Jede  Relation  (p,  q)  zwischen  zwei  beliebigen  ungeraden  Zahlen  ohne 
gemeinschaftlichen  Theiler  p  und  g  gilt  allgemein,  sobald  sie  gilt  ftbr: 

1)    +1,  y;       2)    P,  +1; 

3)     P  +  2kq,   q-,  4)     p,  q  +  2k'q 

(A,  l!  ganze  Zahlen),  immer  die  Giltigkeit  von  (p,  9)  für  p  und  g  Toraus- 
gesetzt;  d.  h.  sie  gilt  allgemein,  sobald  die  Relationen: 

I)(±l,^);      n)(p,    +1);      m){p  +  2kq,qy,      IV)  (p,    ry  +  2A» 
immer  unter  der  Annahme  der   Giltigkeit  von  (p,  q)^   als  richtig    sich  er- 
weisen lassen.** 

Das  quadratische  Reciprocitätsgesetz  in  seiner  einfachsten  Form   spricht 
sich  in  der  Formel  aus: 

(p\(q\  Jtiizi 

\ — )\ — /^^("^^   ^      ^       {P^Q  positive  ungerade  Primzahlen). 

Um  die  AUgemeingiltigkeit  dieser  Formel  nachzuweisen ,  hat  man  da- 
her, wenn  man  die  Symmetrie  derselben  bedenkt,  zu  zeigen,  dass: 

"  (i)(f)=<-'>'^'^"'-  (-±"' 

■■)  (^)(7Tk)=<-> 

wenn 

(f)(^)-(-) 

2. 

Da   (-j=(-l)"«""^  und  ^-^j=  +  l   ist,  so  ist    die   Richtigkeit 
von  Formel  I)  ohne  Weiteres  klar. 

Um  Formel  II)   zu  verificiren,   sucht  Busche  eine  Relation   zwischen 

auf,   und  zwar  eine  Relation  zwischen  den  Gituss*schen   charakteristischen 
Zahlen,  die  zu  jenen  Symbolen  gehören.     Setzt  man: 

1)         ^  (^)-(-i)». 

so  wird  hqyJc^l^  ...  — g — j  einen  Beitrag  zu  fA  geben, 


9-1    p+229-1 


8         8 


wenn: 


üeber  das  quadratische  Beciprocit&tsgesetz. 


203 


2) 


kg^=hp  +  — ^ — +*'    oder: 


wobei  r,  r   positive  ganze  Zahlen  kleiner  als  -^  sind,      fi    soll   jetzt   ab- 


hängig gemacht  werden  von  h.      Da  der  Maximalwerth   von  k 


ist, 


so  ist  der  von  h 
9-3 


wobei  zu  bemerken  ist,  dass  h  nicht  nothwendig 


— ^       werden    muss.      Lässt   man    nun   h   die  Werthe  von    1   bis   — j^ — 

durchlaufen,   so   möge  es  für  jedes  h   (ih  Werthe   kg  geben,   so   dass  fih 
auch  definirt  werden  kann  als  die  Anzahl  der  Lösungen  k  von: 


kg  =  hp'\' 


■r,    r<j- 


Und  es  ist: 
3) 


Wenn  g<Cp7  so  wird  jua  fttr  jedes  h  grösser  als  Null,  während, 
wenn  g>p^  ji**  =  0  oder  1  wird.  Dies  ergiebt  sich  aus  der  Vergleichung 
der  Maximalwerthe  für  h  und  k,     Ist  femer  für  P=:p  +  2kg: 

9-8 


4) 


(|)  =  (-1)^»     M^yMu. 


so  ist  wiederum  Jtf&  die  Anzahl  der  Lösungen  von: 
5) 


Kq  =  hP+^^+r    oder: 


Kg  =  hP  +  P-r';     r,  r  <::-^- 

Nimmt  man   znnftchst  an  ft&  =  +l,   d.  h.  sind  die  Qleichnngen  2) 
möglich,  so  ergiebt  sich  daraus,  X  positiv  Torausgesetzt: 

{*+  A(2ä  +  1)1  q  =  hP+  "J-  +  r, 

\k  +  k{2k+2)\q  =  hP  +  P-r, 
oder  wenn  man 

6)  ir,  =  Jfc  +  A(2Ä  +  l),        ir,  =  Ä  +  i(2Ä  +  2) 

setzt: 

7) 


^,g  =  Ä/>4 


P+i 


f»-, 


Etq=hP+P-r'. 


\b* 


204  Historiflch-litenuriBche  Abtheüang. 

Hieiaas  ergiebt  sieb  aber,  dass  Gleicbung  5)  K^  —  K^+l  yerschiedeiie 
ganzzablige  Wurzebi  bat,  dass  somit 

8)  Mk  =  K^-K,  +  l  =  l  +  l  =  k  +  iik 

ist.  um  zu  zeigen,  dass  die  Mjk  Wertbe  iT  Modolo  P  sowobl  unter  sich, 
als  ancb  Yon  denen,  welcbe  ftir  ein  anderes  h  entstehen,  yerscbieden  sind, 
dazu  genügt  der  Hinweis  anf  q<  P. 

Ist  zweitens  iik  =  0,   so  giebt  es  in  dem  Intervalle  yon  hp^i ä~ 

bis  A/>  +  P  keine  dnrch  q  theilbare  Zahl ,  also  auch  nicht  in  dem  Intervalle 

von  ÄP+^y^  bis  hP+p  +  kp,   da  hP+^Y^  =  hp  +  ^^  ^    .    .    AP 

+p  +  Xp^hp+p  modq  ist.     Nun  sind  aber  yon  den  Zahlen  äPH ^— * 

...  hP+P  mindestens  l  Zahlen  durch  q  theilbar,   weil  die  Anzahl  jen^i 

— ^ —  +  lg  +  l^lq  ist;  es  giebt  aber  auch  nur  l  solcher  Multipla  von  v. 

P  +  1 
da  die  ersten      ^      Zahlen  durch  q  nicht  theilbar  sind.     Die  Gleichung: 

P+1 
Kq=^hP  +  :^+r 

hat  also  X  Wurzeln;  es  ist 

9)  Mk  =  k=k  +  iik. 
so  dass  allgemein,  wenn  man  q>p  voraussetzt, 

10)  lfA=A  +  ^A 

wird.  Daher  erh&lt  man,  da,  wie  oben  gezeigt,  jedes  h  ein  von  Null  ver- 
schiedenes Mjk  liefert: 

'■)  ^-'-i^'^. «-«'  (Mk)=(-""^(i)- 

Da  q  ungerade,  so  ist  auch 

(Mk)='-'>*^'"a)- 

Nun  ist  aber: 


(^)=(f)' 


also : 


was  zu  beweisen  war.  ^  ' 


üeber  das  quadratisobe  Beciprocitfttsgesetz.  205 


IV.  Oapitel. 
EisenBtein's  Beweis  durch  Amctionentheoretisohe  Sätze.  ^) 

1. 

Sind  p  und  g  zwei  Yon  einander  verschiedene  positive  ungerade  Prim- 
zahlen und  die  r  positive  absolut  kleinste  Beste  Modulo  q^  so  wird  sein 
pr=r  oder  ='-r'modq,  wo  die  r  wiederum  positive  absolut  kleinste  Beste 
Modulo  q  bedeuten.     Oder  es  ist 

wobei  f,  f  ganze  Zahlen  sind.    Hieraus  folgt: 

/  2rn\       .   2r'7t      ^  .  2rn 

smxp )=s%n oder   =  — ^t» 

y    q   /  q  q 

Die  in  den  vorstehenden  Gleichungen  ausgedrückte  Eigenschaft  der  Sinus- 

functionen  fCLhrt  sofort  zu  dem  Besultat: 

2rpn 


svn- 

pr=: n^--  tnodg, 

sm 

woraus  sich  wiederum  ernebt:  ^  / 

°  .  2rpn 

9-i  sm—— 

p-    nr^nrU ^fnodq, 

sin 

Q 

wo  die  Productenzeichen  sich  auf  sämmÜiche  positive  absolut  kleinste  Beste 
Modulo  q  erstrecken.  Da  die  r  mit  den  r,  abgesehen  von  der  Beihenfolge, 
identisch  sind,  so  erhält  man: 

inl        2rvn  inl     .    2Qqn 

ff  P 

2. 

Eisenstein  hat  es  nach  dem  Vorstebenden  also  im  Wesentlichen  zu 

thun  mit  Ausdrücken  von  der  Form   -: — i  wobei  i  eine  ungerade  Prim- 

smv 

zabl  ist.*)     Nimmt  man  zunächst  an,   der  Ausdruck  : sei  eine 


1)  Grelle  J.  XXIX  (1846),  p.  267. 

2)  Zur  Ableitung  der  folgenden,  sieb  auf  —. —  beziehenden  Sätze  genügt  es 
schon,  wenn  %  nur  ungerade  ist. 


206  Historisch -literarische  Abtheilung. 

ganze  Function  yon  sinv,  so  folgt  sofort,  dass  er  eine  ganze  gerade  Func- 
tion von  sinv  ist  und   dass  diese  Eigenschaft  auch  : —    zukommt. 

smv 

Bildet  man  nun    -: —  =  sin(t'-2)v.cos2v  +  cos(t'^2)v.sin2v.   so    ergiebt 

sich,  dass  — : —  ebenfalls  eine  ganze  gerade  Function  von  sinv  ist,    deren 
stnv 

si/Hit  —  2)v 

Grad  den  von  — ^-: um  zwei  Einheiten  übersteigt.    Es  ist  daher,  wenn 

smv 

man  bedenkt,  dass  — : ==3  — 4m*v,  allgemein: 

smv 

SmtV  .    t-i      ,  .  1    q      , 

—. —  =  <H^\  sm^    ^v  +  a«_8  svn^-^v  + . . . 
smv 

Eisenstein  verwandelt  nun  die  rechte  Seite  der  vorstehenden  Gleichung 

in  ein  Product.     Dazu  muss  ausser  den  Wurzeln  von  —: — »  =  0  der  Coefii- 

s%nv 

cient  at^x  bekannt  sein.     Nimmt  man  an: 

sm{i^2)v      ,    i\-T"o«    1   '  t    ^     I 
smv  ' 

so  ergiebt  sich  durch  leichte  Zwischenrechnung: 
s%nv 

.      q  3  —  1 

Ans  — : =  3  — 4sin'i;=  (— 1)  *    2^-^  siffi-^v+ ...  findet  sich  min ,  dass 

smv  ^      ^  • 

jene  Formel  fttr  --: —  in  der  That  allgemeine  Giltigkeit  hat. 

o  —  1 
Bezeichnet    man   daher  mit  t  =  t,  ,  ...  Tp-_i   die      ^^      verschiedenen 

Wurzeln  von  — : —  >  so  wird 
smv 

^=(-l/"^'2'-iJI(^«t;-T«).^) 

3. 

Mit  Bücksicht  auf  das  eben  Entwickelte  wird   daher,   wenn   man  die 

.   2rpn 

—  1                                                            ^^ —  —1 

^-Ä —  verschiedenen  Wurzeln  von  P=- ^ —  =  0  mit  J,  die      ^.      ver- 


Sin 

.  20011 
svn 


.  2Qqn 


schiedenen  Wurzeln  von  0= 7^ —  =0  mit  «  und  die  Variable  sinv  mit 

X  bezeichnet:  p 


1}  In  Eisensteines  Abh.  stehen  die  Potenzen  von  2  fälschlich  im  Nenner. 


üeber  das  quadratische  BeoiprocitStsgesetz.  207 


/>=(-!)«    2P-^n{x'-l*),     Q  =  {-1)*    2i-*  n{x*-t,»). 
Setzt  man  zur  Abkürzung  a  =  8m — ^»    ß=zsin »   so  nimmt  «,  -^-x — 

und  ßy   — jj-     verschiedene  Werthe    an;    zugleich    genügen    sie    aber   den 
Gleichungen  P  =  0  resp.  Q  =  0.     Es  ist  daher: 

In  P  ist  aber  x=i  ß  und  in  Q  a;  =  a ,  so  dass  man  erhält : 

Mit  Rücksicht  auf  Formel  A)  im  ersten  Artikel  folgt  hiernach: 

woraus  sich  ergiebt: 

\qj\pj      n{a^--ß^)''ll      a^^ß^ 
Da  nie  as=ß  werden  kann,  weil  p  und  q  Primzahlen  sind,  so  folgt,  dass 

-j— öj  stets  gleich  1  ist,  woraus  nn'"^*^*^!*^" 


oder 


p-i 9-1 


V.  Capitel. 
Beweise  durch  Sätie  ans  der  Lehre  von  der  Kreistheilimg. 

I.  Beweis  von  Gauss  (7.  Bew.)-Lebesgae  (2.  Bew.).*) 

1. 

irP-i  — 1 
Ist  Q  eine  primitive  Wurzel  der  Gleichung  = —  =  0,  wobei  p  eine 

positive  ungerade  Primzahl  bedeutet,  und  g  eine  primitive  Wurzel  Module p, 
so  kann  man  die  Wurzeln  von  = —  =  0  in  folgender  Weise  anordnen: 

1)  GauBB  (NachlaBB),  Bd.  ü  S.  233,  und  Lebesgue,  Compt.  Bend.  LI,  p.  9. 


208  Historisch -literarische  Abtheilnng. 

Q,  ^,  ^,   ...,  ^"'  und   ^,  ^^,   ...,  ^*"\ 
Setzt  man:  • 

so  heissen  ^i,  y^  ^^-^ — gliedrige  Perioden  der  „  Ereistheilungsgleichmig '* 

a-p-i  — 1 

—  =  0.     Unter  Benutzung  der  Eigenschaft  dieser  Perioden: 

und  der  Belation: 

ergiebt  sich:  ^ 

(yi-y,)'=(-i)~i'. 

Es  ist  aber: 

^1+^2  =  —  !»    sodass    ^1^2  =  — ^--^ wird. 

Die  beiden  Perioden  y^  und  y^  sind  also  Wurzeln  der  quadratischen  Gleich- 

ung  f(x)^x'+x+    ^^^y^  '  ^  =0. 

2. 
Gauss  resp.  Lebesgue  untersuchen  nun,  unter  welchen  Bedingungen 

1)  f{x)  =  Ofnodq, 

wo  q  ebenso  wie  p  eine  positive  ungerade  Primzahl  sein  soU,  reelle  ganz- 
zahlige Wurzeln  hat.  Die  Bedingung  hierfür  kann  auf  zwei  verschiedene 
Weisen  ausgedrückt  werden ,  aus  deren  Vergleichung  das  Beciprocit&tsgesetz 
sich  ergiebt. 

Aus  der  Congruenz: 

2)  f{x)=Ofnodq 

ergiebt  sich  durch  die  Substitution: 

3)  y=^2x+l 
die  folgende: 

Eni 

4)  y*2E(-l)  «   p    modq. 

SoU  also  die  Congruenz  2)  reelle  Wurzeln  haben,  so  muss  auch  4}  reelle 
Wurzeln  haben.  Umgekehrt,  ist  4)  lösbar,  so  wird  vermöge  der  Substitu- 
tion 3)  auch  2)  lösbar  sein.  Daraus  folgt,  dass  die  Congruenz  2)  möglich 
ist,  wenn  ^    . 


C-^)- 


+  1 

\        ff       / 
ist,  oder  wenn 

p*-   y~i  9—^ 
5)  (-1)  «      «  jp  «    =  1  modq 

ist.     Dagegen  hat/'(a;)  =  0  modq  keine  reellen  ganzzahligen  Wurzeln,  wenn 


üeber  das  quadratische  Beciprocitfttsgesetz.  209 


tzl  Lzi  Izil 
5«)  (-1)  «      «   i>  «    =-1   modq 

wird.     Die  Identitftt  ferner: 

a:'-*-l  =  (aj-l)(Ä-2)...(a?-«+l)     wwdg 
oder 

05«  — aj  =  ic.a5— l.x— 2.....(y  — g+1)  «nod^ 
setzt  sich  durch  die  Subsütution  x  =  y^yh   (A  =  1,  2)  in  die  folgende  um: 

^{y-yk){y-\-yh){y-'2-yh)  ■•-  (y-(?+l-yA)  modq. 
Es  ist  aber  y*  =  a?^*  +  a:^*"*"*  + . . .  +  aj^"''*'*,  woraus,  wenn 

7)  9  =  9^  modp, 

yh'i^yh-^-k  modq  oder  (y~y&)«  =  y  — y&+jfc  wod^  oder  aber  (y  — y*)' 
""  (y-'y>k)  =  y&— yA+ifc  wodg  resultirt.     Die  Congruenz  6)  giebt  daher: 

(y-y&)(y-l-yA)..-(y-^+i-yA)  =  yA-yA+*  modq, 

woraus  unmittelbar  die  folgende  Formel  entspringt: 

(y-yi)(y-y2)(s^-l-yi)(y-i-y2)-..(y-?+l-yi)(y-3+i-y2) 

Es  ist  aber  /"(y)  ^  (y — ^i) .  (y — y»)»  wonach  die  vorige  Congruenz  übergeht  in : 

8)  ny)./'(y-l) fiy-9+i)  =  {yi-yi+k)(yi-y2^k)  modq. 

Htttte  nun  f(y)  =  0  modq  reelle  ganzzahlige  Wurzeln,  so  würde 

/"(y).    ...    /"(y-^+l)  «wd^ 
ein  vollständiges  Bestsystem  darstellen  und  es  wäre  in  diesem  Falle: 

m^iif-y) ny-q+^^omodq. 

Umgekehrt,  wäre  diese  Bedingung  erfüllt,  so  wäre  auch /"(y)  =  0  und  damit 
f{x)^0  modq  in  ganzen  reellen  Zahlen  lösbar.  Mit  Bücksicht  auf  die  Con- 
gruenz 8)  kann  man  auch  so  sagen:  f{x)  hat  Module  q  reeUe  Wurzeln, 
wenn  9>  =  (yi— yi+fc)(y2--y2+it)=0  modq,  ist  dagegen  nach  demselben 
Modul  nicht  reell  und  ganzzahlig  lösbar,  wenn  9  =  (yi— yi+A)(y8— y2+fc)=^0 
modq.    Wie  sofort  evident,  kommt  es  also  auf  den  Werth  von  X;  an.   A;  war 

definirt  durch  q^g'^modp,     Ist  da  k  =  0mod2y   d.  h.   (  — j  =  l,  so  ist 

yA  =  yA+fc;   ist  dagegen  k  =  lmod2,   also   ^-^j  =  — 1,   so  ist  yA  =  yyi+i. 

Hieraus  erhellt:  f(x)  =  0  modq  hat  reelle  ganzzahlige  Wurzeln,  wenn  (  —  1=1, 

dagegen  keine,  wenn  (~j  =  — 1.  Aus  der  Vergleichung  dieses  Besultates 
mit  dem  durch  die  Formeln  5)  und  5^)  ausgedrückten  folgt  sofort  unser  Satz. 


1)  Das  Zeichen  =\=i  bedeutet  „nicht  congrueDt*^ 


210  Historisch  -  literarische  Abtheilung. 

n.   Gauss'  vierter  Beweis.*) 

1. 
Sind ,  wie  gewöhnlich ,  p  und  g  zwei  von  einander  verschiedene  positive 
mngerade  Primzahlen,  und  ist  ^ni 

?  =  cT, 

bezeichnen   ferner  Module  q  a  die  quadratischen  Reste  und  h  die  quadra 
tischen  Nichtreste,  so  ist 


B  — 1 


1) 

also 


<'(^')-^(|)'"=(f)?(^)'"-(f)?(^)"- 

Diese  letztere  Gleichung  kann  man  auch  schreiben: 

^'    <'(7)-(f)<'(F)-<'+«+''+-+^'-">(f)- 

2. 

Gauss   ermittelt   zunächst  den  Werth  für  öf  — j.*)     Mit  Hilfe   des 
Systems  identischer  Gleichungen: 

—  =  Q      », 


I 

—  Q~ 


Izi^Ll ^    1-P-'   _ _ „- * 


i70'-^':'>  =  i-<.-"-^>^  _  ^_(,_ .) 


bildet  er  die  Beihe: 

3)  ^  i-pT-i.i-g?-» 1-e 

l-p.]-e» l-p«-» 

Setzt  man  zur  Abkürzung: 

(.-l..)=^-^^''VC••••;^-/"^ 

1  — ^.i  — 9*,....i--ß^ 

1)  Snmmatio  serier.  qnarund.  sing.  Bd.  11  S  69,  oder  Gomm.  bog.  reg.  scient. 
Gott.  rec.  Vol.  I. 

2)  Die  Bezeichnung  G  ist  nach  Kronecker  (Berl.  Ber.  1880)  gew&hlt. 

3)  Die  folgenden  £ntwickelungen  gelten  auch  für  beliebige  ungerade  Zahlen. 


üeber  das  quadratische  Beciprocitätsgesetz.  211 

worin  also  q  ganz,  positiv  und  grösser  als  fi  +  1  ist,  so  ergiebt  sich,  wenn 
man  noch  beiUcksichtigt ,  dass 

(?-.l,^  +  l)  =  ()9-^-Vy-2,fi)  +  (y-2,fi  +  l). 
Wendet  man  diese  Formel  auf  3)  an,  so  erh&lt  man: 
4.  Ap.V   l)  =  (l-e«-'')-(l-<)»-»)(y-2,l)  +  (l-««-*)(sr-2,2) 

^  -(i-e'-»)(¥-2,3)+... 

Nun  ist  aber: 

(l_^,-i-»+i))(9_2,i)  =  (l-^»-«)  (5-3,1), 
daher  wird: 

/'(c,?-l)  =  (l-?»-»){l-(g-3,l)  +  (?-3,2)  +  ...} 

oder 
5)  /•(?,^-l)  =  (l-?'-^)A9,9-3). 

Da  nun  q^t^\  mod2  ist,  so  findet  sich: 

/'(?,9-l)  =  (l-?»-»)A?,ff-3), 
f(?,?-3)  =  (l-p«-*)/'(?,i?-5), 


/'(?,2)       =(l-p). 
woraus  durch  Moltiplication  resultirt: 

6)  Ap,y-l)  =  (l-«)(l-?'')(l-*»).-.(l-9'-*). 

Es  sind  a]so  für  f{Q,g-—l)  zwei  Entwickelongen  3)  and  6)  gewonnen. 
Durch  Verbindung  dieser  beiden  Besultate  entsteht: 

i+p-'+r''+-+~''~=a- ?)(!-?')  •••41-?»-»). 

Berücksichtigt  man,  dass  {(/i~*y  =  ^—**  ist  bei  ganzem  v,  so  erbSltman: 

i+P*+e«+p"+. ..  +  ?»•»-»=  (i-r»).(l-9-*) (l-p-*<'-*'). 

Multiplicirt  man  beiderseits  mit  f\  *  /  =^.^'...  p'~',  so  entsteht: 

oder,  wenn  man  in  Rechnung  zieht,   dass  die  Exponenten  auf  der  linken 

/o  — IV    /«  — 3\* 
Seite  identisch  sind  mit  \    n    )  '  \    o    )  '  "■'  *^80  Modnlo  }  ein  halbes 

Bestsystem  darstellen, 

i  +  e  +  e*+..+?^«-'^=*-9-*.e'-p-' (»J-«-r-»+*. 

Es  ist  also: 

oder  mit  Berücksichtigung  von  p"  —  p-'*  =  — (ß»—/*  — }-»  +  "): 

8)     ö(i)=(-i)»  .««-r*.e*-*-* 9»->-r»+'. 


212  Historisch- literarische  Abtheilong. 

Durch  Multiplicatioii  von  7)  und  8)  er^Llt  man: 

ö«(i)=(-i)^/'^(i-^-»)(i-p-*)...(i-9-«<.-tt) 

oder,  da  g  eine  primitive  Wurzel  von  ic^  =  l  ist, 
Hieraus  ergiebt  sich  aber: 

9)    ö(^)=±i('^)Vrund  G{^)=:  +  i(rry{tyi 

um  das  Vorzeichen  von  G  zu  bestimmen,  gehe  man  anf  OleichungT 
zurück.     Da  ^  — ^~'*  =  2i«in— ^-—  ist,  so  ergiebt  sich: 

\q/  9  9  9  9 

2«  (g  —  2)27t  « 

Die  Grössen  — >  •••  ^^^ —    sind  nun  sämmtlich  kleiner  als  2»;  ^  ist 

9  9 

eine  ungerade  Zahl  und  man  hat  zu  unterscheiden: 

1.  qs=4:n+l.     Dann  sind       ,      der  Winkelgrössen  grösser  als  «, 


so  dass  .  . .        ^-1  y— i 

G[-)=i  *  (-1)  *  c=a 

wird,  wenn  C  eine  positive  Constante  bedeutet. 
2.  9  =  4n  +  3.     In  diesem  Falle  ist  die  Anzahl  der  WinkelgrOssen. 

welche  grfisser  als  n  sind,      .     »  so  dass  sich  ergiebt: 
/i\       Vzl         l:zl 

so  dass  man  schliesslich  erhält: 

10)  G(i)  =  ,(^)Vv  und  a{fy{^)ii'^)\l 

3. 
Da  anch  p  nngerade  vorausgesetzt  war,  so  ergiebt  sich: 

Nun  ist  aber  nach  Definition: 


2m  i 

e     P9 


q         p  pq  ^' 


üeber  das  quadratische  BeciprocitStsgesetz.  213 

Wie  sofort  ersichtlich,  nimmt  lp  +  (iq  Modale pg,  p^j' Werthe  an  nnd 
stellt,  wie  sich  ans  jpU— 0  =  3'(^'— ^)  ergiebt,  Modnlo  pq  ein  voUstSn- 
diges  System  incongmenter  Beste  dar.     Es  ist  daher: 

oder  mit  Hilfe  von  Gleichung  11) 

Da  stets  das  positive  Wurzelzeichen  zu  nehmen  ist,  so  entsteht  somit: 

12)        i.o.,-o.=(|)(i)/'-i^^(^y 

woraus  sich  unmittelbar  das  Beciprocitätsgesetz  ableitet 

IIL  Gauss'  sechster  Beweis.*) 

1. 
Haben  p  und  q  ihre  gewöhnliche  Bedeutung  und  bezeichnet  man  mit 
G  die  Beihe: 

1)  G=:X"3i^+xi^±  ...  -aji^'-*, 

worin  g  eine  primitive  Wurzel  Module  p  ist,  so  folgt  aus  der  Natur  der 
polynomialen  Coefficienteu :  ff^  — (o;— a?^  +  ...)'^0  modg  oder,  da  t;  un< 
gemde  ist, 

2)  G'i-^Qg^Omodq,   wenn   C^  =  a;«-a;9i'  +  a;9i^  + ...  —  a?«^"*. 

Ist  ferner  q^gf^  modp^  so  folgt  aus  dem  System  identischer  Gleich- 
''^«^^^    q^g^  +  f,p,    qg  =  g'"^'  +  f,p,   ...  qgP'' ^gf'+P-^  +  f.p: 

3)  a;ff^~ir^+^=(l-icP)/'(a;), 

wobei  f{x)  eine  ganze  Function  von  x  ist.  Ist  W  ebenfalls  eine  ganze 
Function  von  x^  so  ergiebt  sich  somit: 

Die  Exponenten  der  in  der  Klammer  stehenden  (p  —  1)  Grössen  sind  nun 
der  Natur  von  g  gemäss  identisch  mit  den  Zahlen  1,  2,  ...  p  — 1;  und  da 
auch  die  Vorzeichen  altemiren,  so  erhält  man  für  x^'^  —  x^'^  +  •••  ^6^ 
Werth  ±^G,  Das  Vorzeichen  von  G  ist  das  von  —  (—  l)P"'*iC,  so  dass,  da  p  un- 
gerade ist,    +G  =  (— 1)P'G    folgt.     Aus    q^^gf^  modp  ergiebt  sich  aber 

^2    ^yg  ^  J  ^i^J  tnodpy  und  da  pr  *    ^—1  modp^  so  folgt: 


1)  Theorematis  fund.  in  doctrina  de  residuie  qaadrat  demonstr.  et  ampl.  novae. 
G.  Werke  Bd.  H  S.  65. 


214  Historisch  •  literarische  Abtheilnng. 


5)  (;^^(^l^G  =  {\^x^PW. 


2. 

Betrachtet  man  ferner  das  System  identischer  Gleichangen: 

so  entsteht  durch  Addition: 

wenn  man  zur  Abkürzung  ^  gleich  der  Summe  der  rechten  Seiten  der  Tor 
stehenden  Gleichungen  und  f{x^)  =  l  +  x^  +  x^^  +   •  •  +  x^^"*  setzt. 

1— j* 

Sl  ist,  wie  ohne  Weiteres  folgt,  durch  1  — a?»*,  also  auch  durch  - — 

1— I 

theilbar;   f{x^)  aber  ist,  weil  g  eine  primitive  Wurzel  zu  p  ist,   theilbar 

durch  (1  — arP),  also  auch  durch   ^j — -j--     Es  wird  also  auch  /"(ä^)  durch 
1  — «P  l  —  mr 

-z theilbar  sein,  wenn 

1  — »  , 

1  —  o;*  1  —  rc 

ist.     Es  sind  da  zwei  Fftlle  zu  unterscheiden. 

I.  X  und  p  sind  relativ  prim.     Dann  ist  yX  =  hp  +  l   für  y  und 
h  ganzzahlig  lösbar.     Demgemäss  wird 

l-x^P   1  — gP_  1  — ar^P    l~a?y^        l->a;^P   1  — g*P 

1  — «P 
woraus  sich  ergiebt,  dass  f(x*-)  durch  -= theilbar  ist. 

II.  l  und  p  sind  nicht  relativ  prim.     Dann  ist 

woraus  unmittelbar  hervorgeht,   dass  f(x^)-'P  durch   -^ theilbar  i:>l 

1  —  X 

Nach  alledem  und  mit  Rücksicht  darauf,   dass  ^^  +  1,  ^  +  1,   .   .^P~^  +  l 

in  beliebiger  Beihenfolge  die  Zahlen  2,  3,  ...  p  reprSsentiren ,  ergrebt  sieb 

^  ^  i  —  X 

oder,  wenn  Z  ein«  ganze  Function  von  x  bedeutet, 

7)  G«-(-l)  «    P  =  \-^Z. 

1  — a; 


üeber  das  quadratische  Recipiocitätsgesetz.  2t5 


Unmittelbar  aas  Formel  7)  fliesst  die  folgende: 

8)  G^-i-(_i)  8     2  p  2  =i_^r, 

1  —  X 

worin  Y  ebenfalls  eine  ganze  Function  von  x  ist. 


3. 

Mit  Hilfe  der  Formeln  3),  4),  7)  und  8)  kann  man  nun  das  Recipro- 
citStsgesetz  ableiten.     Zunächst  ergiebt  sich  aus  den  Formeln  3)  und  4): 

wenn  noch  X  eine  ganze  Function  von  x  bedeutet,  die  sich  aus  2)  definirt  als: 
Nach  Formel  8)  erhält  man  femer: 

p-\    q--\    9^1        ._^       .  ,      . 

7CX=    (-1)  *       «    p«    +^^~^Y\g^--G(\---xP)W-[^)G^ 
oder,  mit  Benutzung  von  7): 

p— I       .  ji-l    0-1    7—1 


9) 


1 /pP 

G  ist  nach  1)  vom  Grade  p  — 1.     Setzt  man  daher  CZ=r= ü'+jT,  wo 

1 — x 

U  und  T  ebenfalls  ganze  Functionen  von  x  sind,  so  wird  T  eine  ganze 
Function  von  x  sein ,  deren  Grad  kleiner  als  p  —  1  ist.  Substituirt  man  den 
Werth  fttr  CZ  in  g,  so  wird: 

worin  der  Grad  der  linken  Seite  kleiner  als  p  —  1  ist.  Z,  F,  TF"  sind  aber 
ganze  Functionen,  folglich  ist  der  Grad  der  rechten  Seite  grösser  als  p  — 1. 
Die  vorstehende  Gleichung  kann  also  nur  erfüllt  werden,  wenn  beide  Seiten 
gleich  Null  sind.    Es  ist  daher: 

^T=(-l)»   p{(-l)^       «   P«    -(^)) 

oder 

P— 1  9—1   9—1      /  ff\ 
(_1).   •  i   p  i  -^±j=0  modq, 

q.  e.  d. 


216  Historisch -literarische  Abtheilung. 

IV.  Beweis  von  Cauchy^)- Jacobi*)-Eisenstein^. 
Gauss  hat  nachgewiesen,  dass 

•)    '=(f)=(:>(7)"»-'"(7)='-'"''- 

Daraus  ergiebt  sich  ohne  Weiteres: 

-(i)-'=(i)Kf)=<->'--'''*^-a)-(i) 
"^ « (i)[»'  ( j)  - « (V)] = <- ""'  1'-  "'^■'^''^-  (7)1 

Nun  ist  aber  , 

wobei  ^  eine  primitive  Wurzel  von  xi^=^\  bedeutet;  somit  ist  auch: 

G''{i)=G{^^)+q{Ä+£'Q  +  Cy +  ...), 

worin  Ä\  B\  ...  ganze  Zahlen  sind.  Mithin  ergiebt  sich,  wenn  man  zur 
Abkürzung  setzt 

3)  X=[(-l)«       «    p^    (fjj^-l)'    '^  = 

X=^(^)vM'+-B'^  +  ..  ]    oder   =^[^  +  5^  +  . . .), 

worin  ^,  B,  ...  wiederum  ganze  Zahlen  bedeuten.  Setzt  man  nun  ftr  ^ 
der  Reihe  nach  ^^,  ...  ^^"^  ein  und  addirt  die  so  entstehenden  Gleich- 
ungen, so  erhält  man: 

4)  (p-l)X  =  ?[(p-l)A-B-C-...]. 

woraus,    da  q  eine  Primzahl  ist  und  man  unbeschadet  der  Allgemeinheir 

jt>  —  1  <  7  annehmen  kann ,  nach  3) 

r-i  vziL  "Lzl      /q\ 
(-1)  2       *    p  i    «/Xj  =  0  nwdq 

folgt.     Dies  ist  aber  unsere  bekannte  Formel. 

V.   Zweiter  Beweis  von  Eisenstein.*) 

1.  ß^ 

Ist  p  eine  positive  ungerade  Primzahl  und  durchläuft  r  ein  vollständiges 

Restsystem  Module  j?,  so  wird  ^,  (  -  )  =0,  und  ebenso  ist 

1)  Bull,  de  Fdrussac,  Xu.  Bd.  (1829)  S.  205;  Mto.  de  rinnt.  XVTII,  p.  451 

2)  Legendre,  Theorie  des  nombres,  S^^mo  ^d.  11  (1880),  p.  391. 

3)  Grelle  J.  XXVHI  (1844),  S.  41. 

4)  Grelle  J.  XXVU  (1844),  S.  322. 


üeber  das  quadratische  Beciprocitfttsgesetz.  217 


1)         ♦».={2(7)}'=«- 

Sind  nun  »i,  ...  a^,  fi  Zahlen  r,  so  folgt  sofort: 

^         *-.=2(?)  •••(?)■ 

wo  die  Sommation  über  sänuntliche  a  von  1  bis  p— 1  hin  zu  erstrecken  ist. 

Bepräsentirt  ^(ß^k)  die  Summe  ^^  \~)  "   \ ~ )  •  "^^  =  Ä,  so  erhttlt  man: 

3)  tp(;i)=  tJ;(^.0)  +  *(M,l)+  •  •  •  +t^cu,p-i)  =  0. 

Setzt  man  a|^Ä;/9j,   a^^kß^,  ...  a/ti^x/^^  nioclp,   worans  sich  ergiebt 
Za=^TcSß,  .28=^1,  so  wird: 

Ist  nun  fi  eine  gerade  Zahl,  so  erhftlt  man  ^(ju,*)  =  ^(m«1)  oder: 

mithin  nach  Formel  3) 

6)  *(M.o)+(p- 1)  *o*,  I)  =  0. 

Ist  dagegen  fi  ungerade,  so  resultirt  ^(M^k)^={—)^{fA,i)i  woraus 

folgt,  so  dass 

7)  *ca.O)  =  0 

wird.     Die  Definitionsgleichung  t^(/»,  v)  =^  ( — )  ' ' '  ( ~  ) '  -Sa  ^  v  tnodp 
kann  man  auch  schreiben: 

so  dass  sich  findet: 

*(»..v)=2{(^)*('*-i.— «»))' 

woraus  sich  im  speciellen  Falle  v  =  0  ergiebt: 

*(m,o)=2'(?)^<'*-^'— '") 

oder  mit  Benutzung  von  4): 

t(^-i,-«^)= (^)''~V(»*-i.  1). 

so  dass  

•(^.o)=2'(^)'(t)*<'-'-'> 

wird.     Für  ein  gerades  fi  ergiebt  sich  daraus: 
oder  mit  Benutzung  von  6): 

Hlst.-Ut.  Abfhlg.  d.  ZtItMhr.  f.  lUth.  u.  Fhyt.  ZXX,  6.  1^ 


oder 


218  Historisch -literarische  Abtheilang. 

8)  ^(^,fc)  =  _(^Ili^^(^_l,l),    ^  =  Omod2. 
Für  ein  ungerades  ft  erhält  man  aas  der  Becnrsionsformel : 

ti'(»«,*)=2(7)*<''-''*-^«''> 
= (i)  ^(^-1, 0)  +2(7)  ♦(f  - 1'  *-«")• 

Demnach  ergiebt  sich  nach  Formel  5): 

t(<»,*)  =  (|)'>'(f-l.O)  +  i|;(M-l,  1)2(7) 

=  (|){t>'(f*-l,0)-t(f»-l.l)j 
oder  aber  mit  Benutzung  von  6): 

9)  ^(^,Ä)  =  -(*)pt^(|ii-l,  1),     t,  =  lmod2. 

Aus  den  beiden  Formeln  8)  und  9)  resultirt,  wenn  iL  eine  ganze  Zahl 
bedeutet,  ohne  Weiteres  folgendes  System  Gleichungen: 
^(21  +  1,1)^-    p     .t(2i,l). 

^{21,1)       =-(zly^(2l-l,l), 

^(2,1)         =-(:^).if.(l.l), 
woraus  sich  durch  Mnltiplication  ableitet: 

♦(2i+i,i)  =  (-i)«'(:^)V,^(i.  1) 

oder,  da  if;(l,  1)  =  1  ist, 

10)  t,;(2A  +  l,l)  =  (-l)"^%X. 

2. 

Ist  0^  =  2^  +  1  wie  p  eine  positive  ungerade  Primzahl,  so  ist  nach  der 
eben  gefundenen  Formel: 

p-<  y~<  y-1 

11)  ^(?,i)=(-i)»  ■ «    « . 

Nach  der  Definitionsgleichung  ist  aber: 

*(?,i)=2'(7) •••(?)'  -s«^i«,odp. 

fttr  a^  =  «,  =  ...==  of^=a  nun  wird  qaT^l  modp.  Es  giebt  hiernach  in 
jener  Summe  fttr  ^{q^  1)  nur  ein  Glied,  in  welchem  die  a  gleich  sind.  Daher 
folgt  aus  11): 

/a\9  Cnl  Lzl  2z:l 

*(^,l)='^~j+^  =  (-l)  «   *  *  p  «  . 


üeber  das  quadratische  Beciprocitäisgeseiz.  219 


In  ^==^,  (  — )"•  (~l   dürfen   die  a  nicht  gleichzeitig  einander  gleich 

werden.  —  Da  g  ungerade  ist,  so  erhfilt  man  schliesslich,  wenn  man  noch 
berücksichtigt,  dass  ans 

ga  =  lmodp,    1  =  (i-)  (^)    folgt: 

12)  (_1).  •  .  p.  -(7)  =  ^- 

Schreibt  inan  die  Summe  J  in  extenso,  so  entsteht: 


■2 


18) 


im)  if) 
my-m 


Man  kann  also  d  in  eine  Reihe  von  Gruppen  zerlegen ,  so  dass  jede  Gruppe 
aus  q  einander  gleichen  Summanden  besteht.    Es  ist  daher  J^O  modq  und 

nach  12):  Pzzl.l^  ini       /«v 

(-1)  «       *   p  ^    ^(1\  modq,    q.  e.d. 

VI.  Beweis  von  Liouville.*) 
Ist  p  eine  positive  ungerade  Primzahl  und  q  eine  primitive  Wurzel  von 
rcJ»  =  l,  so  ist: 

X —  I 

woraus  für  «=1:  ^^  ^_^       ^EzJV 

p  =  (-l)»    (p-r^)* \9'    -Q      '   ) 

folgt.     Durch  Potenzirung  erhält  man  hieraus: 

P-i 

2)  p«  =(-1)«      *  0L_1_^(£)^,, 

wobei  q  eine  von  p  verschiedene  positive  ungerade  Primzahl  bedeuten  mCge. 

ngag  —  p— «9 
^^   _^     werden  nun  positiv  oder 

negativ,  je  nachdem  aq  einen  positiven  oder  negativen  absolut  kleinsten  Best 
Module  p  Ittsst.     Mit  Hilfe  des  Gauss 'sehen  Lenunas  erhält  man  demnach 

(f)=<-)^'^(i)- 

unsere  bekannte  Gleichung. 

1)  C.  E.  XXIV  (1847),  S.  677,  und  Liouville  J.  XÜ,  S.  96. 

16* 


220  Historisch -literarische  Abtheilong. 

VII.  Erster  Beweis  ?on  Lebesgue.^) 

1. 

Sind  p  und  q  von  einander  yerschiedene  positive  ungerade  Primzahlec. 
und  betrachtet  man  die  Congmenz: 

1)  x^'\-x^  +  ,,.+x^^'^a  modp, 

so  wird,  wenn  a;^,  ...  Xg  dieWerthe  1,  2,  ...  j»  — 1  mit  Wiederholung  an- 
nehmen, was  auf 

2)  (p-1)» 

verschiedene  Weise  geschehen  kann ,  auch  a  verschiedene  Werthe  annehmen; 
Module  p  möge  a  n^^-msÄ  der  Null,  n/-mal  einem  quadratiscdien  Beste 
und  n/-mal  einem  quadratischen  Nichtreste  (a  mögen  die  quadraüscbeD 
Beste,  h  die  quadratischen  Nichtreste  Module  p  darsteUen)  congruent  wer- 
den.    Dann  ist: 

3)  V+v+V  =  (p-i)«.*) 

Nimmt  man  für  a  einen  bestimmten  Werth  a^ ,  so  möge  nq^  =  n^  werden; 
da  nxm  alle  Reste  in  der  Form  ay^  enthalten  sind,  so  eigiebt  sich,  du& 
für  ein  ganz  beliebiges  a  ebenfalls  n^^  =  fi,  wird.  Ganz  dasselbe  gilt  von 
den  Nichtresten,  so  dass  man  erhttlt,  wenn  man  nq^  =  nq  setzt: 

4)  n,o  +  in,  +  n,)^  =  {p-l)>. 

Lebesgue  berechnet  nun  die  Grössen  n^^,  n^  und  Wq.     Aus  der  be- 
kannten Gauss 'sehen  Formel 

und  der  Formel  i  +  ^  +  ^.  +  ...  +  ^_.^0 

folgt: 


5)    G  =  yjQi''^Vp{-l)*     der  G-1  =  <.  +  ^*+...  =  ^p.(-l)'' . 
Dnrch  Potenzimng  erhUt  man: 

(c-i)«=v+»,2' *'+«'»  2**- 

a 

Es  ist  aber  Hq^  —  Zq^^G  und   1  +  i:p«  +  2*^*  =  0,  folglich: 

6)  2n/-.fi,-n^  +  (n^-fi',)C  =  2(C-l)«. 

Da  q  ungerade  vorausgesetzt  war,  findet  sich  (C  — 1)«  =  PC  — ^  und  somit 

7)  2n%-nj-ny=-2ö,    «,-n^«2/>, 

1)  Lioaville  J.  XH  (1847),  S.  467. 

2)  L&88t  man  für  x.  die  Werthe  0,  1,  ...  p^l  zu,  und  bezeichnet  man  die 
dann  entstehenden  n  mit  N,  so  wird  Nq^-hNq*  +  Nq^=p9,  Diese  Formel  kam 
man  ebenfalla  benutzen. 


Ueber  das  quadratische  Beoiprocitfttsgesetz.  221 


worin  P'^^p  *  (~l)  *  fnodq  und  QehI  modq  ist.  Durch  Ver- 
gleichung  von  7)  mit  4)  ergiebt  sich: 

8)  n,  =  ^-^— ^tL+P  «  (-1)   *       •     nu>d<l^') 

2. 

Die  Congruenz   a^  =  a  moeJp   hat,    wenn   sie   überhaupt   möglich   ist, 
stets  zwei,  Modulop  von  einander  verschiedene Wurzehi.  Darausgeht  hervor: 

9)  fi^  sa  2*  5g ,    wobei  S^    ganzzahlig  ist  (incl.  Null). 
Wenn  femer: 

10)  Xi*+  . . .  +  a?,*  =  a  modp 

erfüllt  wird  für  x^=Xq  =  »"^Xg,   so  ist  qXi^^a  modp  oder  f  — j  =  J. 

Ist  umgekehrt  (— j=rl,   und    setzt   man   qXi^=:a  moäp^    so   wird    1.0) 

immer  lösbar  sein  für  x^==x^=  »"^x^.  Bedenkt  man  weiter,  dass  die 
Anzahl  der  Lösungen  von  10),  die  x  nicht  gleich  vorausgesetzt,  ein  Mul- 
tiplum  von  q  ist,  da  q  eine  Primzahl  sein  soll,  so  ergiebt  sich: 


11) 


Sg=:=qR+l,     wenn   (±^=.  +  1 

(JB  ist  eine  ganze  Zahl). 


Sg^qRy  wenn  r-?-jc=  — 1 

Andererseits  war  nq^2^8qy   so  dass: 

n,:=2':^l  +  l  modq^    wenn  ( — j  =  +  l,    und 


n^  —hO  uz  l  —  1  mody,    wenn  ( — j  =  —  1    ist,  woraus 
12)  n,^l  +  (^)  modq 


P 
P^ 


<p, 

resultirt.     Aus  der  Vergleichung  dieser  Formel  mit  8)  folgt  unter  Anwen- 
dung des  Fermat'schen  Satzes  unmittelbar  unsere  Formel. 


VI.  Capital. 
Beweise  durch  S&tie  aus  der  Theorie  der  quadratischen  Formen. 

Vorbemerkung. 
*    Bekanntlich  nennt  man  den  Complez  sämmtlicher  äquivalenter  Formen 
derselben  Determinante   eine  Formendasse.  —  Sind  femer  in   der  Form 


1)  Ganz  Ähnliche  Formeln  ergeben  sich  für  n^^  n',,  JY,^,  Nqj  Ifq. 


222  Historisch -literarische  Abtheilang. 


(a,  &,  c)  a,  h  und  c  relativ  prim,  so  nennt  man  die  Form  eine  Ursprung. 
liehe  oder  primitive;  ist  der  Theiler  ö  von  a,  2&,  c  wiederum  1,  so  k 
(a,  h,  c)  eine  ursprüngliche  Form  erster  Art,  während,  wenn  0  =  2,  mu 
sie  eine  ursprüngliche  Form  zweiter  Art  nennt.  Eine  forma  a/nceps  eod 
lieh  ist  eine  solche,  bei  der  der  doppelte  mittlere  Coeföcient  {2h)  dorct 
den  ersten  theilbar  ist.  (1,  0,  —  D)  nennt  man  die  Hauptform  derDetei- 
minante  2);  die  Classe,  in  die  sie  gehört,  die  Hauptclasse.  Sind  die 
äusseren  Coefficienten  einer  Form  positiv,  so  nennt  man  die  Fonn  m 
positive. 

Sind  nun  z,  z   durch  dieselbe  quadratische  Form  darstellbar,  ist  also 

«  =  a««+26«/J  +  c/J«,    /=ay»+26ya  +  c^, 
so  wird  a?— ;ei/=2>y*,  so  dass,  wenn  jjf,  /  relativ  prim  zu  D  sind: 

(^)=+'  -"  a)=(i) 

ist.     Wir  setzen  nun  2)=>p9=:;4n+l}    wop   und  q  Primzahlen  Bind, 

voraus.     Dann  werden  (-^j*    (  — )   g&oz   bestimmte  Werthe    (Charakter 

haben.  Diese  können  verschieden  gruppirt  sein.  Wenn  J>  nur  in  zwei 
Piimzahlen  sich  zerfallen  lässt,  so  sind  die  verschiedenen  Gruppen: 

o.  1+1,  +1;    -1.  -1; 

^  I  +1,  -1;    -1,  +1. 

Ist  die  Anzahl  der  Factoren  von  2),  um  dies  der  Vollständigkeit  halber 
zu  erwähnen,  A,  so  giebt  es  2^  verschiedene  Gruppirungen  der  Vorzeichen. 

—  Nehmen  nun  die  Charaktere  (  — )  und   ( — j   für  eine  bestimmte  Fora 

von  der  Determinante  2)  =  4fi  +  l  die  Werthe  o^^  c^  an,  so  nennt  man 
den  Inbegriff  aller  ursprünglichen  Formen  von  gleicher  Determinante  und 
Art,  welche  dieselben  Charaktere  (denselben  Totalcharakter)  haben,  ein 
Geschlecht. 

Aus  1)  ergiebt  sich,  dass  jedes  Geschlecht  aus  einer  Anzahl  Fomen- 
classen  besteht.  Dasjenige  Geschlecht,  welches  die  Hauptform  und  danoit 
die  Hauptclasse  '  enthält,  nennt  man  das  Hauptgeschlecht,  unmittelbar 
evident   ist,    dass   der  Totalcharakter   des   Hauptgeschlechtes    für   i)=r/ 

=»4n+l:l,    1  ist,   weil  ja  ^ — j==l=( — j   ist. 

I.   Gauss'  zweiter  Beweis.^) 
Dieser  Beweis  beruht  auf  folgendem  Lemma:  Die  Anzahl  der  fßr  eine 
gegebene  Determinante  wirklich  existirenden  Geschlechter  ist  halb  so  givss 
als  die  Anzahl  der  möglichen  Geschlechter,  d.  h.  halb  so  gross  als  die  Anzahl 

1)  D.  A.  Art.  257.  Dirichlet,  Zahlenth. ,  Suppl.  IV.  und  X. 


üeber  das  quadratische  Beciprocitfttsgesetz.  223 

der  existireiiden  Totalcharaktere.  Der  Nachweis  der  Richtigkeit  dieses 
Satzes  soU  nicht  geftLhrt  werden,  da  zu  diesem  Zwecke  ein  grosser  Theil 
der  Theorie  der  quadratischen  Formen  zu  reproduciren  wäre. 

Gauss  schliesst  nun  in  folgender  Weise: 

I.  ( — j  =  f  — j;    p  und  q  mögen  den  oft  angeführten  Bedingungen 

genügen  und  ausserdem  sei  j»  ^  1  mod4i,     Ist  zunächst   ( —  )~^»   ^^  ^^* 

auch  ( )  ~  ^*    Bestimmt   man   nun    das  Vorzeichen   von    q  so,   dass 

+  q  =  l  fnod4:  wird,  so  ist  die  Gleichung  ±q  =  h*—'  cp  möglich.  Setzt 
man  +q^Di  so  ist  also  (p,  h,  c)  eine  ursprüngliche  Form  erster  Art 
von  der  Determinante  2)  ^  1  mod4t.  Da  nun  D  eine  Primzahl  von  der 
Form  4n  +  l  ist,  so  ist  die  Anzahl  der  angebbaren  Totalcharaktere  2. 
Es  ezistirt  also  nach  unserem  Lemma  nur  ein  Geschlecht,  das  Haupt- 
geschlecht.    Da  somit  (p,  6,  c)  stets  in  die  Form   (1,  0,  —  2>)   transfor- 

mirt  werden  kann,  so  ergiebt  sich,  da  (— j  =  1: 

(f)=+'- 

Ist  (— j  =  — 1,  so  muss  auch   ( — J  =  — 1    sein.      Wäre   nämlich 

(— j  =  +  1,  so  gäbe  es  eine  ursprüngliche  Form  erster  Art,  fe,  b,  c), 
von  der  Determinante  J>  =  p^l  mod^f  woraus  (— j  =  +  l  folgen 
würde,  was  der  Annahme   ( —  j=  — 1    widerspricht. 

II.  (  —  )=■"(  —  )j    beide  Primzahlen  sind  von  der  Form  4n  +  3. 

Gauss  betrachtet  in  diesem  Falle  Formen  von  der  Determinante  D  =  pq 
^1  mod^.  Die  Anzahl  der  angebbaren  Totalcharaktere  ist  da  gleich  4. 
Es  giebt  also  zu  2),  nach  unserem  Lemma,  höchstens  zwei  verschiedene 
Geschlechter.  Die  beiden  ursprünglichen  Formen  erster  Art:  (1,  0,  —pq) 
und  (-^  1,  0,  p^)  gehören  aber  zwei  verschiedenen  Geschlechtern,  die  erstere 
davon  dem  Hauptgeschlecht  an;  folglich  muss  die  Form  (p,  0,  —  g)  einem 
der  durch  jene  beiden  Formen  repräsentirten  Geschlechter  angehören.    Ist 

nun  (p,  0,  —  ^)   in  das  Hauptgeschlecht  zu  rechnen,    so  ist   (— j  =3  + 1, 

I y*^^»  niithin   ( — j  =  — 1,    während,    wenn    (p,  0,  —q)    zu    dem 

durch  die  Form  (—1,  O^pq)  repräsentirten  Geschlecht  gehört,   (  —  )=!—  1 
j=  — 1,   also    (— j  =  1  ist*      Damit   aber    ist    unser   Gesetz   be- 
wiesen. 


224  Historisch -literarische  Abtheilimg. 


IL  Kummer's  erster  Beweis.^) 
In  der  Peirschen  Gleichung: 
1)  t»-Du«=l 

habe  2)  die  Form  4n  + 1  *  so  dass  t  angerade  und  u  gerade  wird.  Au 
{t+l)  («- 1)  =  Dti»  ergiebt  sich: 

^  \^-l  =  2m'X»      \2hX  =  u/* 

woraus  durch  Subtraction 

3)  l  =  inH»-in'A« 

folgt.  Sind  nun  t  und  u  die  kleinsten  positiven  Werthe,  welche  Oleids- 
ung  1)  erfüllen,  so  findet  nach  2)  nur  eine  einzige  Zerfällnng  von  D  statt, 
und  das  Werthepaar  m»!,  D  =  in  oder  fn=Df  m'c=l  ist  ausgeschlossen, 
weil  X  und  l  kleiner  als  t  sein  sollen. 

Aus  l  =  mK^'-m' l^  erhfilt  man  nun  die  wichtige  Relation: 

«      fö)='-  (^)-.  (^)-'. 

wenn  p][ein  beliebiger  Factor  von  m  ist. 

Kummer  zerfällt  nun  D  auf  verschiedene  Weise  in  Primfactoren. 

I.  D  =  pp'  und  p  ==  p:^3  mod4t.  Dann  kann  Gleichung  3),  nach 
Absonderung  der  Formen  1  =ji*— pp'X*,  l  =  x*pp''— X*,  die  nach  obiger 
Annahme  ausgeschlossen  sind,  nur  die  beiden  Formen  annehmen: 

l  =  px«-/X«,    wenn    (y)=l.     (7)==-!. 

l=.p\^^pX\    wenn    {j)^h     (^)  =  -l, 

so  dass  also,  /p\  ^  /«'\ 

wenn    (^-7 j  =     1   ist,     ^^j«-l,   und 

wenn    (7)  =  -  1    ist,      (y)=  +  l    wird. 

II.  2)=app'3,  p=jii'  =  3wod4  und  g  =  linoeJ4.  Dann  kann  2) 
auf  2*=  8 -fache  Weise  in  2  Factoren  zerlegt  werden;  also  w&ren  nacb 
obiger  Annahme,  wonach  die  beiden  Falle  ♦»=!  resp.  m'=l  ausm- 
schliessen  sind,  6  Fälle  zu  unterscheiden.     Bestimmt  man  nun  p'  so,  dass 

(?:)  =  -i,.i..(i)  =  +  .,  ..a(i)>-i, 

und  schliesst  von  jenen  6  Fällen  noch  die  aus,  welche  diesen  Bedingung^ 
widersprechen,  so  bleiben  folgende  3  Fälle  ttbrig: 

1)  Abb.  der  BerL  Akad.  1861. 


Ueber  das  quadratische  Reciprociifttsgesetz.  225 

1)  1=   p  »»-p'gi»,    wenn  (|)=      1,     (^)  =      1; 

2)  1=    ,x«-;,p'i«.    wenn(j)=     1.     (4)=      L    (f)=-l; 

3)  l  =  pp'»«-    g  i»,  wenn  (j)=-l,     (7)=-!.    (f)=-l- 
Es   giebt  aber   nur    eine   Zerfällung   von  2);    und   es   findet,    wenn 

( —  j  =  +  1  ist,  nur  der  erste  der  drei  Fälle  statt;  und  wenn  ( —  j  =  —  1, 
nur  der  dritte.     Das  heisst: 

(£)„  +  ,.  „  (£).  +  ., 


wenn 


wenn 


III.    D^=^pp'qq\  p^p'^i^  mod^  und  q^q  ?Ei\  modA.   Kummer 
nimmt  an,  es  könnten  die  Zahlen  p  und  p   so  gewählt  werden,  dass 

(f)=©=-'  -  (f)=(f)=+' 

sei.  Schliesst  man  dann  Yon  den  16  Fällen ,  die  bei  der  Zerlegung  von  D 
möglich  sind,  die  aus,  welche  den  eben  gestellten  Bedingungen  wider- 
sprechen und  die  beiden  Fälle,  in  denen  m  resp.  m  gleich  1  wird,  so 
sieht  man,  kann  Gleichung  3)  nur  die  folgenden  3  Formen  haben: 

1)  l  =  p^  x»-pVA».   wenn  (4)=      1,     (4)=      1,    (-^)  =      1. 

2)  l  =  p'jx»-/»/i»,  wenn(^)=-l,    (4)=-l.    {j)  =  -^- 

3)  l  =  /»Yx«-pyA«.   wenn  (^)=      1,    (^)  =      1,     (^)  =      1. 
Wenn  nun  f-jj  z=  —  1  ist,  so  ist  nur  der  zweite  Fall  möglich,  nach 

welchem  |  —  J  =  —  1   wird,   während,    wenn    l — J  ==  +  l    ist,     entweder 

Fall  1  oder  Fall  3  eintritt;  in  beiden  Fällen  resultirt  (— j  =  + 1. 

Die  bewiesenen  drei  Theoreme,  die  sich  so  aussprechen: 
W».(4)=      1,    „(^)  =  -li    ,»n(4)  =  -l,so(^)=     1. 

.  (f)=  '•  ■  a)-  '■'  "  (f)— ■  ■  (1)=-' 


226  Historisch -literarische  Abtheilnng. 

lassen  sich  nun  sofort  in  das  bekannte  Fundamentatheorem  in  der  Tbecri^ 
der  quadratischen  Beste  und  Nichtreste  zusammenfassen. 

Es  ist  bei  diesem  Beweise  die  Voraussetzung  gemacht,  dass  eb  steu 

Primzahlen    p    von    der    Form     4n  +  3     giebt,     für     die     /  — J  =  -l 

I— j  =  +1    ist   (r  ist  eine  beliebige  positive  ungerade  Primzahl,  q  tiit 

solche  von  der  Form  4»  + 1).  Wie  aber  leicht  zu  übersehen,  ist  diw 
Voraussetzung  erfüllt,  wenn  nachgewiesen  werden  kann,  dass  es  in  einer 
unbegrenzten  arithmetischen  Reihe,  deren  erstes  Glied  und  deren  Differes: 
ganze,  relativ  prime  Zahlen  sind,  unendlich  viele  Primzahlen  giebt.  De: 
Beweis  hierfür  ist  aber  von  Dirichlet^)  erbracht  worden,  wodurch  -: 
Voraussetzung  als  richtig  nachgewiesen  ist. 

IIL  Kummer's  zweiter  Beweis.*) 

p  und  p'  seien  verschiedene  positive  Primzahlen  von  der  Form  4«+i\ 
und  q  und  q   solche  von  der  Form  4n  + 1. 

Ist  dann  erstens  r  eine  Primzahl,  welche  sich  durch  eine  binäre 
quadratische  Form  C  von  der  Determinante  —  p  darstellen  Iftsst,  so  das^ 


m 


ist,  so  wird  im  Allgemeinen  die  Classe  C7,  welcher  jene  darstellende  Form 
angehört,  die  Hauptclasse  K  nicht  sein;  wohl  aber  wird  eine  Potenz  Tft 
r  durch  E=^x^+py^  sich  darstellen  lassen,  und  der  Exponent  von  r  wir: 
eine  ungerade  Zahl  und,  ein  Theiler  der  Classenanzahl  n  der  quadiatisciieii 
Formen  von  der  Determinante  —p  sein.  Die  Classen  Ä",  C,  C\  .••  C" 
gehören  nSmlich  in  das  Hauptgescblecht  und  können  bei  hinlänglich  grossen: 
V  nicht  sämmtlich  von  einander  verschieden  sein.     Ist  nun  für  r>s: 

C^:=iC*y    so  ergiebt  sich  hieraus    C+*~'=C 
Setzt  man  r  — s  =  w  — 1,  so  ist  nun  entweder  m=^n^   also  fi^O  worf». 
oder  m      n.     Im  ersteren  Falle  erschöpfen  die  Formenclassen : 

2)  K,  (7,  C\  ...  C"-* 

das  Hauptgebchlecht  vollständig;  im  anderen  Falle  geschieht  dies  nicbt 
Ist  nun  Ceine  in  C,  ...  O*"*"',  Ä" nicht  enthaltene  Formenclasse ,  so  werden 

3)  C\  CC\  C^C\  ...  C'^-'C 

m  von  einander  und  auch  von  den  in  2)  dargestellten  verschiedene  PormeB 
sein.  Es  ist  da  wiederum  entweder  2m  =  n  oder  2m  <  n.  Im  erstarec 
Falle  ist  die  Behauptung,  wonach  nzz  0  modm  sein  soll,  erfllllt;  im  an 
deren  Falle  nicht.  Man  führt  da  wiederum  eine  neue  Formenclasse  C"-  ^^ 

1)  Abh.  der  Berl.  Akad.  1887  oder  Liouville  J.  XII.,  P.  893. 

2)  Abh.  der  Berl.  Akad   1861. 


üeber  das  quadratische  ReciprocitKtsgesetz.  227 

auch  diese  noch  nicht  genügt,  eine  folgende  n.  s.  w.  ein.  So  gelangt  man 
allgemein  zu  dem  Besnltat,  dass  m  ein  Theiler  von  n  ist.  Es  ist  jener 
Exponent  m  aber  auch  nothwendig  ungerade,  weil  es  für  — /?  als  Deter- 
minante nur  eine  forma  anceps  giebt,  und  die  übrigen  Formenclassen 
nach  (7»"-^=  C^  paarweise  vorkommen. 

Ist  nun    fn  =  2h  + 1,    so  ist   a?*+/?y*=  r^*.  r,   woraus 

(f)=> 

sich  ergiebt.     Ist  also  ( j  =  1 ,  so  ist 

Ist  zweitens  r  eine  Primzahl,  welche  sich  durch  eine  Form  von  der 
Determinante  q   darstellen  lässt,   so  dass  also  (  — j  =  l    ist,    so  wird  ganz 

so  dass  (  —  1  =  1   resultirt.     Ist  also 

B)  (r)  ""  ^'  ^^  ^^*  *^^^  (^)  '^^• 

Die  beiden  Formeln  A)  und  B)  ergeben  aber  das  Beciprocitfitsgesetz ,  da  r 

eine  beliebige  Primzahl  und  p  von  der  Form  4w  +  3,  q  von  der  Form 
4n  +  l  ist. 

VIL  Capitel. 

Die  Ergänzungssätze  des  quadratischen  Reeiprocitätsgeaetzes  und 

das  verallgemeinerte  Beciprocitätsgesetz. 

I.    Die  Ergänzungssätze. 
Wir  haben  bei  unseren  Betrachtungen  die  Annahme  gemacht,  dass  die 
Ergänzungssätze   des   quadratischen  Reciprocitätsgesetzes ,   welche  durch  die 
Formeln:  .  p-,  ^  ^^ 

'     I)  \-^)  =  (-1)  '     ^nd  II)  (^)  =  (-!)« 

ausgedrückt  werden,  schon  bewiesen  seien.  In  diesem  Abschnitte  wollen 
wir  die  Formeln  I)  und  II)  mit  Hilfe  der  Methoden,   die  in   den  vorher- 

gehenden  Capiteln   zur  Ableitung  der   Relation   /— W-j  =  (— 1)  2       2 

entwickelt  wurden,  verificiren.  Zuvörderst  bemerken  wir,  dass  Formel  I) 
eine  unmittelbare  Folge  des  Format 'sehen  Satzes  ist. 

1.  Bev7ei8  für  Formel  I)  durch  ,,verwandte  Beste  <^^)y  für  Formel  II) 
durcli  vollständige  Induotion« 

Die  lineare  Congruenz  ay^\  modp   lässt  für  relativ  prime  Zahlen 
a  und  p  nur  eine  Lösung  zu.    Ist  nun  a  ein  beliebiger  der  — ^ —  quadra- 
1)  Euler,  Opusc.  anal.  1783.  I.  S.  185.    Gauss,  D.  A.,  Art.  109. 


228  Historisch -literariBche  Abtheilung. 

tischen  Beste  nach  der  Primzahl  p  als  Modul,  so  wird  y  entweder  gleich a 
oder  Yon  a  verschieden  sein;  im  letzteren  Ealle  nennt  Eni  er  a  und  y 
verwandte  Beste  (residua  socia).  Kommt  nun  der  erste  Fall  &mal,  der 
zweite  cmal  vor,  so  ist 

d.  h.  die  Anzahl  der  quadratischen  Beste  a,  welche  der  Congraenz  ap  =  \ 
mod  p  genügen,  so  dass  a^^lmodp  wird,  ist  gerade  ftlr  pes4ii  +  ], 
dagegen  ungerade  für  p  =  4n  +  3;  in  Formeln: 

6  E^  0  mod  2 ,  wenn  p  =  4n  + 1 , 

6^1  mod2y  wenn  p  =  4n  +  3. 

1  und  p  — 1    genügen  der   Congruenz  x^:=:lfnodpj  sind  also,    da  diese 

Congruenz  nicht  mehr  als  zwei  Wurzeln  hat,  sftmmtliche  Wurzeln  derselben, 

so  dass  &<2.     1  ist  Best  aller  Primzahlen,  so  dass  sich  ergiebt: 

p  — If^ — 1  mod  p  ist  quadratischer  Best  von  p  =  4fi+l,  da 
5^0  mod  2  sein  muss,  dagegen  quadratischer  Nichtrest  von  p  =  4n  +  3. 
da  hier  &  ^^  1  mod  2  ßein  muss ,  q.  e.  d. 

Der  Nachweis  der  Bichtigkeit  der  Formel  ü)  ist  von  Gauss') 
durch  vollständige  Induction  geführt  worden.  Der  Satz  gilt  zanfichst,  wie 
Zahlenbeispiele  zeigen,   für  Primzahlen   kleiner  als  z.  B.  100.     WSre  nun 

jenseits  100  (---j  =  +li   wobei  t  zunächst  eine  Primzahl  von   der  Form 

8n  +  3  sein  möge^  so  setzt  Gauss  2  ==a^modt^  wobei  a  ungerade  und 
kleiner  als  t  sein  soll;  dann  ist  in  —  2  =  — a*+^tt,  u  von   der  Form 

8n  +  3  und  kleiner  als  ty   und  überdies   (  — )  =  +!•     Nimmt   man  nun 

an,    dass  t  jenseits   100  die  kleinste  Zahl  ist,   für  welche  f-rj^lisi, 

so    widerspricht   dem,    dass    in    (— j  =  l    u  <.t    ist,    und    man    erh&It 

demnach  i-rj  =  —  1,  wenn  ^  =  8»  +  3  ist.  Ganz  analog  ist  der  Nach- 
weis für  ^  =  8n  +  5,  7;  nur  muss  da  an  Stelle  von^2,  —2  eingeführt 
werden. 

2.  Beweis  der  Ergftmnmgss&tBe  durch  Beduotion. 

Petersen^)  legt  bei  seinem  Beweise  des  quadratischen  BeciprocitSts- 
gesetzes  Module  der  Primzahl  p  das  halbe  Bestsjstem  1,3,  5,  ...p-^ 
zu  Grunde,  lässt  also  nur  ungerade  Zahlen  kleiner  als  p  zu,  und  definirt 

(A  in  (— )=  (—1)^  als  dio  Anzahl  der  negativen  ungeraden  Beste  kleiner 

1)  Gauss,  D.  A.,  Art.  112flgg. 

2)  S.  63  der  cit  Abh.  im  Am.  J.  of  Math,  vom  Jahre  1879. 


üeber  das  quadratisohe  Beciprocitätsgesetz.  229 

Bla  p  m  q,  3q,  ...  (p  — 2)^.     Für  9  =  — 1  ergiebt  sich  sofort  fA  als  die 
Anzahl  der  negativen  ungeraden  Beste  in  —1,  —3,  ...  —  (p  — 2),  so 

dass  fi  =  — ^  wird. 

Ganz  analog  ist  in  f— j  =  (— 1)^  (i  die  Anzahl  der  negativen  nn- 
geraden  Beste  kleiner  als  p  in 

A)  2,  2.3,  2.5,  ...  2{p^2)modp. 

Da   nun   2(p'-a)  +  2a^0  fnod2   ist,    so   ergiebt   sich   z.  B.   für 

P^Sn  +  ly  f*  =  — g— =:2fi,  also  (-)=1- 

Ganz  ebenso  ist  das  Verfahren  fOr  psaSn  —  1,  8n  +  3,  8n  +  5, 
nnr  dass  in  den  beiden  ersteren  Fftllen  das  Mittelglied  der  Beihe  A)  be- 
sonders zu  beachten  ist. 

8.  Beweis  der  BrgftnBimgsformel  {—j  =  (— 1)    ^     durch  S&Uie 
ans  der  Exelstheüuag. 

Wir  hatten  gefanden  (cfr.  Cap.  IV),  dass 

woraus 

1)  2:r«=(-l  +  C)i 

folgt.     Da  nun 

ist,  so  wird  .  /tx     \ 

Die  Formeln  1)  und  2)  ergeben  aber: 

8)  ,^^,.-z^.-»±i^=>(.+(|))s, 

woraus  sich,  da  die  rechte  Seite  ja  eine  ganze  Zahl  sein  muss,  unsere 
Formel  ableitet. 

4.   Beweis  der  BrgftTiimngssfttge  mit  Hilfe  der  Theorie 
der  quadratisohen  Formen.^) 

Für  die  Determinante  2>  =  4»  + 1  =  p  ist  (—  1 ,  0,  p)  eine  ursprüng- 
liche Form  I.Art,  die  dem  Hauptgeschlecht  angehört.  Es  ist  also  ~1 
quadratischer  Best  von  p.  Wäre  nun  auch  fÜr/)e=4n  +  3,  —1  quadra- 
tischer Best,  wäre  also  —  l=&'-~cp,  so  gäbe  es  eine  Form,  ur- 
sprünglich und   1.  Art  {p,  5,  c)  von  der  Determinante  —1,   welche  den 


1)  Gauss,  D.  A,  Art.  262. 


230  EJsionsch'Uvennsebe  Abtheilimg. 


Charakter  —l  haben  mfUete,  was  nicht  möglich  ist;   folglidi  ist  —1  r,^ 
diatbelier  Niehtrest  Ton  p,  was  za  erweisen  war. 

Methodisch  yon   dem  eben  Gesagten  ist  durchaus  nidit  Terschinici 

der  Nachweis  ftkr  i  —  j  =  (—  ly    ^  ,  weshalb  er  ftbergangen  weiden  icftc. 
Bemerkt  soll  nur  noch  werden,  dasa  für: 

,  ^    and  die  Detenn.  p: 

p  ^:       7  m<h28   die  Form  (p,  &,  c;  nnd  die  Detenn.  2, 
zn  benutzen  sind. 


o  e  4fi  4- 1  <  die  Form 


IL    Das  yerallgemeinerte  Beciprocitatsgeaeta. 

Wie  wir  gesehen  haben,  wurde  das  quadratische  BeciprocitStsgesei: 
durch  die  drei  Formeln  ao^^gedrückt : 

'.rT)='-'>^'"'(D='-'>^^"'K^)eH-'"" 

Hierin  waren  p  und  g  ab  yerschiedene  positive  ungerade  Primzahlen 
▼oransgesetzt  Diese  Formeln  lassen  sich  zunächst  yerallgemeinem  fftr 
negative  Primzahlen.     In  der  That  erhSlt  man,  wenn  man  setzt 

p==i\pU     g=^ö\q\     (e,a  =  +l): 

i)(-)  =  (-i)  '  ,  ii)(i)=(_i)*, 

III)  (f)g)=    *        ■•'        *       '        '       *    •). 

Mit  Hilfe  der  Jacobi 'sehen  Verallgemeinerung  des  Legendre'schen 
Symbols  (cfr.  Cap.  I  8. 174)  und  einer  leichten  Zwischenrechnung  (cfir.  S.  IS' 
findet  man  femer,  dass  diese  drei  Formeln  auch  giltig  bleiben  für  zusammen- 
gesetzte Zahlen.  Sind  nämlich  P  und  Q  zwei  theilerfremde  ungerade  Zahlen 
und  setzt  man 

P=,|/>|,     0  =  ^101, 
so  ergiebt  sich: 


tP— I  ,ov       i*'-» 


8 
•P-1    <fß— 1   ,  • -1    6Q—\   ,  J— 1     •<?-! 


2  2 


Sind  schliesslich  P  und  Q  nicht  relativ  prim,  so  verliert  das  Symbol  (-] 

(P\  ^^^ 

-]  ist  Null. 


1)  Vergl.  auch  Busche,  Dissert.,  Gtöttingen  1889. 


üeber  das  quadratische  Beciprooitfttsgesetz.  231 

Hier  ist  auch  noch  zu  erwähnen  die  Verallgemeinerung  des  Ganss- 
schen  fi- Lemmas  von  Schering.^)  Diese  Verallgemeinerung  besteht  darin, 
dass  Schering  zeigt,   dass,   wenn  Ä  und  P  zwei  ganze  Zahlen  sind  und 

ausserdem  P  relativ  zu  2-4   ist:   (-p)  =  (— l)'*   wird,    wo  fi  die  Anzahl 

der  negativen  absolut  kleinsten  Beste  in  der  Zahlenreihe: 

Ä,  2A,  Sil,   •••  ^^^ÄmodP 

bedeutet.     In   der   zu    zweit  citirten  Abhandlung    (Act  math.   1880)    hat 
Schering  hierfür  einen  einfachen  arithmetischen  Beweis  gegeben. 

Zu  der  S ch  er ing'schen  Verallgemeinerung  des  Gauss 'sehen  Lemmas 
ist  wieder  zu  bemerken,  dass  Eronecker  in  einer  1876  in  den  Berliner 
Monatsberichten  S.  301  abgedruckten  Abhandlung  darauf  hinweist,  dass  er 
jene  Verallgemeinerung  schon  seit  1869/70  in  seinen  CoUegien  vorgetragen 
habe.  —  Gestützt  auf  jenes  verallgemeinerte  Lemma  hat  nun  Genocchi^) 
für  die  Bichtigkeit  von  Formel  III)  einen  sehr  einfachen  Beweis  er- 
bracht. Dieser  schliesst  sich  aber  dem  von  demselben  Autor  im  III.  Cap. 
Mitgetheilten  so  innig  an,  dass  wir  ihn  hier  übergehen  dürfen. 


VIIL  CapiteL 

Algorithmen  sor  Bestimmung  des  quadratischen  Rest-  oder  Hicht- 
restcharakters  einer  Zahl  in  Being  auf  eine  andere. 

Im  Folgenden  wollen  wir  einige  Arten  der  Bestinunung  des  Symbols 

l-rj  darstellen.    Es  sind  dazu  im  Wesentlichen  zwei  Methoden  angewendet 

worden.     Die   eine    gründet    sich   auf   die    direete  Anwendung   des  Beci- 

procit&tssatzes ,   die  andere  auf  die  Entwickelung  des  Bruches  -=-  in  einen 

Eettenbruch.     Bei  dieser  letzteren  Bestimmung  ist  noch  zu  unterscheiden, 

dass  (  — j   abhSngig  gemacht  worden  ist  einmal  von   den  Quotienten  und 

zweitens  von  den  Besten,  die  bei  jener  Eettenbruchentwickelung  auftreten. 
Die  erste  Methode  wird  ohne  Weiteres  aus  einem  Beispiele  klar.  Es  sei 
X  s=3  (fl^)  zu  bestimmen.     Da  ist  zunächst: 

^  =  im)  =  iUi)^  weil  365  =  lmod4, 

=  (iH)  =  (W)  =  (i¥t)  =  (Vi^)  =  (A)» 

=(¥)=(^)-.- 

(W)  =  +l. 

1)  Berliner  Monatsber.  1876,  S.  300.  —  Act.  math.  I,  1880. 

2)  Comptes  Rendus,  XC  (1880)  S.  300. 


232  Historisch -literarische  Abtheilang. 


L    Gauss'sehe  Methode  zur  Bestimmang  von  (tY 

Gauss  setzt  a  und  h  theilerfremd  und  positiT  yoraus  und  bildet  den 
Alfforithmus : 


Ist  (— j  =  (~1)  ,  so  folgt  aus  dem  System  Gleichungen: 
fi  =  V  (a,  6)  =  a'^  -  in,  {h'h'+  V)  -  q>  (5,  c),«) 


wenn  allgemein  x=    ^     ist: 

fi  =  a'h'-h'c'+cd'+  ...  ±ry-itni(&'6'+5')-n,(cV+c')±- 
...  +n^(^y+^')t» 
eine  Formel,  die  wegen  ihrer  Complicirtheit  nicht  recht  für  das  praktische 
Rechnen  geeignet  ist. 

Auf  demselben  Grundgedanken  wie  der  eben  entwickelte  Ganss'scbe 
Algorithmus  beruht  der  yon  Sylvester.')    Sylvester  setzt  in 

l 

die  Quotienten,  die  bei   Gauss  beliebig  sind,  gleich  der  nächsten  an- 

u.  s.  f.  liegenden  geraden  ganzen    Zahl,    so    dass   ^^-r  •••  sein  kson. 

Die  Beste  c  sind  dann  sämmtlich  ungerade  (und  bilden  die  chalne  impure 
Sylyester's.^)    Es  ist  dann: 

Als  Beispiel  diene:  (Vi^)*     ^^^  Algorithmus  ist: 
1901=    195    .    10    -49, 
195  =  (-49). (-4)  ~   1, 
so  dass 

<5X  =  1»     a«.i  =  49;     f;^  =  «j_|  =  — 1, 

woraus  d^^Vr)  =  —  1  resultirt. 

1)  Demonst.  et  ampl.  novae,  II.  Bd.  S.  69. 

2)  fjk  =  9(a,  5)  bedeutet  eigentlich  /^  =  9(a,  h)  tnod  2. 
8)  Compt.  Bend.  XC  (1880),  S.  1063. 

4)  Yergl.  Gegeubauer,  Wiener  Ber.  1880,  S.  931. 


üeber  das  quadratische  Heciprooiifttsgesetz.  2«S3 


IL    Algorithmen  von  Eisenstein^)  und  Lebesgue^. 

In  der  Gauss 'sehen  und  Sylvester 'sehen  Formel  spielen  die  Quo- 
tienten des  Kettenbmchs  eine  grosse  BoUe.  Die  Beste  sind  bei  Gauss 
beliebig  gerade  oder  nngerade,  positiv  oder  negativ;  bei  Sylvester  sind 
sie  sftmmtlich  ungerade,  positiv  oder  negativ. 

I.  Eisenstein  nun  Ittsst  in  seinem  Algorithmus  nur  positive  ungerade 
Reste  zu.     Er  erhält  somit: 

V   t,  =  +  1   / 

f  =gnr+€^ 

Schreibt  man  nun  neben  jede  der  so  gebildeten  Gleichungen  die  Bandzahl  1, 
wenn  der  Divisor  und  Best  von  der  Form  4fi  +  3  sind,  dagegen  die  Null; 

wenn  eine  Zahl  davon  oder  beide  die  Form  4«  +  l  haben,  so  ist:  (~  j  =  1, 

wenn  die  Summe  der  Bandzahlen  gerade,  dagegen  ist  (i)^'^»   wenn 

jene  Sunmie  ungerade  ist 

IL  Die  Algorithmen  von  Lebesgue  unterscheiden  sich  von  den 
Eisenstein'schen  dadurch,  dass  Lebesgue  nur  gerade  Beste  zulttsst.    Ist: 

a  =  6ni  +  2'"'fjC, 


so  ist  erstens:  wenn  fi  die  Anzahl  der  Gleichungen  ist,  in  denen  einem 
Divisor  8n  +  3  ein  Factor  2~'  des  Bestes  c,  d,  ...  mit  ungeradem 
Exponenten  entspricht,  und  v  die  Anzahl  der  Gleichungen,  in  denen  Di- 
vidend  und  Best  (letzterer  von  der  Potenz  der  2  befreit)   beide  von  der 

Form  4fi+3  sind:  (^  =  (-1)'*+» 

Ist  zweitens  l  die  Anzahl  der  ungeraden  Exponenten  m,  denen  Di- 
visoren von  der  Form  8n  +  3,  fA  die  Anzahl  der  ungeraden  Exponenten, 
denen  Dividenden  von  derselben  Form  entsprechen  und  endlich  v  die  An- 
zahl der  Faotoren  4  m  — 1,  denen  (nach  Weglassung  der  Factoren  2  und  e) 

Beste  von  der  Form  4fi  — 1  entsprechen,  so  ist:  f-r)  =  (— !)*+'*+•'. 

Um  die  eben  aufgestellten  Formeln  in  ihrer  Anwendung  zu  zeigen, 
fügen  wir  ein  Beispiel  von  Lebesgue  hier  an. 

1}  Grelle  Joum.  XXVn  (1844),  S.  817. 
2)  Lioav.  Joum.  XII  (1847),  S.  497. 
mit.-lit  AbfUg.  d.  Z«iUchr.  t  Math,  u  Phyi.  XXX,  6.  17 


234  Historisch -literarische  Abtheilnng. 


I.  Verfahren  von  Eisenstein.     x-= 

3785  =  2933.2-2081,  279=181.2-85 
2933  =  2081 .2  -  1229,  181  =  85  .  2  -  11 
2081  =  1229  . 2  -  377 ,  85  =  11  . 8  -  3 
1229=  377  .4-  279,   11  =  3  .4-  1 
377  =  279  .2-  181, 
wonach  (Mli)  =  l  folgt. 

II.  1.  Verfahren  von  Lebesgne: 

3785  =  2933.  1  +4.213,        _^ 
2933=  213  .13  +  4.  41,      ^_^ 
213  =   41    .  5  +  8,  "^  ~  ^' 

so  dass  ebenfalls   (^^ff )  =  1   sich  ergiebt. 
2.  Verfahren  von  Lebesgue: 

3785  =  2933  .1+852,    98  =  83 . 1  + 15; 
2933=852.3  +  377,    83  =  15.5+8; 
852  =  377  . 2  +  98,      15  =  8  . 1  +  7  ; 
377  =   98   .3+  83,      8  =  7.1+1. 
Hieraus  folgt:  A  =  0,   |i4  =  l,    v  =  l,   so  dass  (flf|f)  =  (- 1)«=  + 1  ist 
NB.   Wenn  ein  Rest  ±  2""  r^  wird ,  so  sind  die  folgenden  OperatioDen 
unnütz. 

in.  Die  Algorithmen  von  Gegenbaoer.^) 

Während  Gauss  beliebige  Beste,  Eisenstein  nur  ungerade,  Lebesgne 
nur  gerade  Beste  zulässt,  nimmt  Gegenbauer  zur  Ableitung  seiner  AI 
gorithmen  abwechselnd  gerade  und  ungerade  Beste.    Sind  a  und  h  ungerade 

und  relativ  prim,  und  a  >  2»,  so  entwickelt  Gegenbauer  in  eines 

a 

Kettenbruch,  dessen  Theilzähler  sSmmtlich  —1,  dessen  Theilnenner  gerade 

sind.     Die  Beste  sind  dann  abwechselnd  gerade   und  ungerade;  sind  ibre 

Vorzeichen  £,  so  ist  dann: 

(A)  =  (-i)M*f''''^-'+'-"'). 

Ist  nun  a  ^  -f  1  =  f  fnod  4 ,  so  wird : 

5  ist  mithin  Best  von  a,  wenn   ^  z^  c^    ,^— -^ — ^— ^  fiiod8,  und  6  ist 
Nichtrest    von    a,    wenn    ^c^  c.^_^^=4— ^^"^        fwod8.     Mit  anderen 
1)  Wiener  Ber.  1880,  S.  931. 


üeber  das  quadratische  Beciprocitätsgesetz.  235 


Worten:  f  — j  =  +  l,  wenn  die  Anzahl  der  Zeichenfolgen  in  der  Reibe 
der  f^  vermindert  um  die  Anzahl  der  Zeichen  Wechsel  congruent  0  oder 
6  mod  8   ist ;    dagegen  wird    (  —  j  =  —  1 ,    wenn  jene  Differenz    congruent 

2  oder  4  nwdS  ist.  Denn  f^h-^i  ^^*  positiv,  wenn  zwischen  f^_,  und 
£j^  Zeichenfolge,  dagegen  negativ,  wenn  zwischen  diesen  Grössen  Zeichen- 
wechsel stattfindet 

Beispiel.     Es  ist   ^  =  (-}f^)M   zu  bestimn^^n: 

-346=  913.  0  -346,  -29  =  -20.2  +  ll; 
-913  =  -346.  2  -221,  20=  11.2-2 
+  346  =  -221.  (-2)- 96  ,  -11  =-2.  6+1 
+  221  =  -  96  .(-2)+ 29; 
96  =  29  .  4  -  20. 
Die  Anzahl  der  Zeichenfolgen  ist  1,  die  der  Wechsel  5,  folglich  wird: 

Das  zweite  von  Gegenbauer  angegebene  Verfahren  zur  Bestimm 

ung  von    (-=-)  besteht   darin,    dass    er   ^>   worin  a  und  26  relativ  prim 

sind,  in  einen  Kettenbruch  entwickelt,  dessen  Theilzähler  wiederum  gleich 
—  1  y  dessen  Theilnenner  ungerade  sind ;  dann  sind  wiederum  die  Reste  ab- 
wechselnd gerade  und  ungerade.    Durch  die  vorigen  ganz  analogen  Schlüsse 

zeigt   so    Gegenbauer,    dass  (— )  =  +  l    wird,    wenn    die    Anzahl    der 

Zeichenfolgen,    vermindert   um    die   Anzahl   der   Zeichenwechsel    (bei   den 

Resten)  modS   congruent  1   oder   7   ist,    dass   dagegen   (--j  =  — 1  wird, 

wenn  jene  Differenz  congruent  3  oder  5  mod  8  ist. 

IV.  Ein  Algorithmus  von  Kronecker.*) 
Um    ( 1    zu    bestimmen ,    worin    |  fi^  |  >  |  «i  |     sein    soll ,     bildet 

Kronecker  den  Algorithmus: 

i    w.,     =2rj      w,      -»^, 


} 


=  2rj     n^      -  : 


w^_2  =  2r«_tn*-i—  1. 

Die  n  seien  sämmtlich  ungerade  und  |nit|  >  |t>jb-f  i|.     Ist  g>  die  Anzahl 
der  Folgen,  tf;  die  Anzahl  der  Wechsel  in  der  Reihe  der  Vorzeichen  der  Zahlen 
1 1   ^0»   **i »    •  •  •    +  -1^  > 

1)  Dies  Beispiel  ist  von  Gegenbauer,  dem  aber  ein  Fehler  untergelaufen 
igt.    Anstatt  96:29  steht  bei  Gegen  bau  er  96:27  u.  a.  f. 

2)  Berl.  Mon.  Ber.  1884,  S.  619. 


236 


Historisch -literarische  Abtheilang. 


aber  ^  die  Anzahl  der  Folgen  and  ^'  die  Anzahl  der  Wechsel  in  der  Reibe 
der  Module  4  genommenen  Zeichenwerthe  derselben  Zahlen,   so  ist  ( — ^| 


(=i?)=(^)- 


Dw  Algorithmus  ist: 


Beispiel 

143  =  2.105  -67 

105  =  2.   67  -29 

67  =  2.   29  +9 

29  =  2.(-2)(-9)-   7 

Dann  ist  unsere  Beihe  der  Zahlen  n: 

1,  143,  105,  67,  29.  -9,  7,  -5,  3, 
Die  Beihe  ihrer  Zahlenwerihe  Modnio  4  ist: 

1,  -1,    1,  -1,   1,   -1,  -1,   -1,   -1,  -1 
so  da«s  <)p  =  (j>'=4  und  ^^t(''=5  wird,  woraus 


-9=2.    (-2)7    +5 

7  =  2.(-l(-5)-3 

-5  =  2.   (-1)3   +1 


1. 


folgt. 


(^)- 


(SobloM  folgt.) 


Bibliographie 

vom  1.  Juli  bis  31.  August  1885, 


Periodif  ehe  Sehriften. 

Sitziuigsberichte  der  königl.  sfichs.  Gesellschaft  der  Wissenschaften,  mathe- 
matisch-physikal.  Classe.     1885,  I  nnd  II.     Leipzig,  Hirzel.      2  Mk. 

Sitzungsberichte  der  mathem^-physikal.  Classe  der  königl.  bayer.  Akademie 
der  Wissenschaften.     Jahrgang  1885,  Heft  2.    München,  Franz. 

1  Mk.  20  Pf. 

Sitzungsberichte  der  kaiserl.  Akademie  der  Wissensehaften  in  Wien,  mathe- 
mat.-naturwi8senschaftl.  Classe,  Abtheilung  II.  91.  Bd.,  1.  u.  2.  Heft. 
Wien,  Gerold.  5  Mk.  50  Pf. 

Denkschriften  der  kaiserl.  Akademie  der  Wissenschaften,  mathem.- natur- 
wissenschaftl.  Classe.     49.  Bd.     Ebendas.  38  Mk. 

Mathematische  Annalen,  herausgegeben  von  F.  Elbik  u.  A.  Mayer.  26.  Bd. 
(4  Hefte).     1.  Heft.     Leipzig,  Teubner.  compl.  20  Mk. 

Mathematisch -naturwissenschaftliche  Mittheilungen,  herausgeg.  v.  O.Böklbn. 
2.  Heft,  1885.     Tübingen,  Fues.  2  Mk. 

Astronomische  Nachrichten,  herausgeg.  von  A.  Krüoer.  112.  Bd.  Nr.  1. 
Hamburg,  Mauke  Söhne.  -  compl.  15  Mk. 

Yierte^jahrschrift  der  astronomischen  Gesellschaft,  herausgeg.  von  E.  Sohör- 
FELD  u.  H.  Sbbliger.  19.  Jahrg.  (1884),  4.  Heft.  Leipzig,  Engel- 
mann. 2  Mk. 

,  20.  Jahrg.  (1885),  1.  u.  2.  Heft.    Ebendas.  4  Mk. 

Stern -Ephemeriden  für  das  Jahr  1887.     Berlin,  Dümmler.  6  Mk. 

Nautisches  Jahrbuch  für  das  Jahr  1888,  herausgegeben  vom  Beichsamt  d.i. 
Berlin,  Hejmann.  1  Mk.  50  Pf. 

Astronomisch -geodätische  Arbeiten  in  den  Jahren  1883  und  1884,  heraus- 
gegeben vom  königl.  preuss.  geodät.  Institut   Berlin,  Friedberg  &  Mode. 

13  Mk.  50  Pf. 

Beobachtungen  der  meteorolog.  Stationen  im  Königreich  Bayern,  herausgeg» 
von  W.  y.  Bezold  u.  C.  Lang.  7.  Jahrg.  (1885),  1.  Heft.  München, 
Ackermann.  compl.  18  Mk. 

Bibliotheca  historico- naturalis,  physico-chemica  et  mathematica.  Ed.  B.  v* 
Hanstbin.  34.  Jahrg.  2.  Heft,  Juli — December  1884.  Göttingen, 
Yandenhoeck  &  Buprecht.  1  Mk.  80  Pf. 


238  Historisch -literarische  Abtheilung. 


Geschichte  der  Hafhematik  und  Physik. 
Opfert,  J.,  Die   astronomischen  Angaben  der  assyrischen  EeilinschrifleiL 

(Akad.)    Wien,  Gerold.  30  Pf. 

Henrioi,  J.,  Die  Erforschung  der  Schwere  durch  Galilei,   Huygens  ncd 

Newton.     Leipzig,  Teubner.  GO  PI 

Ofterdinger,  L.,    Joh.  Gottl.  Priedr.  y.  Bohnenberger.     Tübingen,  Pne. 

50  R. 
BÜHLMANN,  M.,   Vorträge   über   die   Geschichte   der   Mechanik.      Leipzig, 

Baumgärtner.  14  Mi 

AiiBRECHT,  G.,  Geschichte  der  Elektricität  und  ihrer  Anwendungen.     Wien 

HarÜeben.  3  Mk. 

Eeine  Xathematik. 
Herz,  N,,  Siebenstellige  Logarithmen  der  trigonometrischen  Functionen  für 

jede  Zeitsecunde.     Leipzig,  Teubner.  4  Mk. 

Stolz,  0.,  Vorlesungen  über  allgemeine  Arithmetik.     1.  Thl.:  Die  reelles 

Zahlen.    Ebendas.  8  Mk. 

Geoenbaubr,  L.,  üeber  den  grössten  gemeinschaftlichen  Divisor.     (Akad, 

Wien,  Gerold.  25  Pf. 

,  üeber  die  Divisoren  der  ganzen  Zahlen.     Ebendas.  45  Pf. 

,  Asymptotische  Gesetze  der  Zahlentheorie.     Ebendas.      2  Mk.  40  Pf. 

,  Arithmetische  Notiz.     Ebendas.  20  Pf. 

,  üeber  die  ganzen  complexen  Zahlen.     Ebendas.  25  Pf. 

SiOKENBBRGER ,  A.,  Die  Determinanten  in  genetischer  Behandlung.   Mflnchen. 

Ackermann.  1  Mk.  20  Pf. 

Mertbks  ,  P. ,  Üeber  eine  Formel  der  Determinantentheorie.    (Akad.)   Wien, 

Gerold.  •  30  Pf. 

Weiss,  E.,  Notiz  über  zwei  der  Binomialreihe  verwandte  Reihen.    Ebendas. 

20  Pf. 
WiNCKLER,  A.,  üeber  die  linearen  Differentialgleichungen  IL  Ordn.,  zwischen 

deren  partikulären  Integralen  eine  Relation  besteht.     Ebendas.     50  Pf. 
Mertens,  P.,  Zur  Theorie  der  elliptischen  Punctionen.     Ebendas.     20  Pf. 
Klein,  F.,  üeber  die  elliptischen  Normalcurven  »*"  Ordnung  und  zugehö- 
rige Modulfunctionen  n*"  Stufe.     Leipzig,  Hirzel.  1  Mk.  80  Pf 
Wiener,  H.,  Rein  geometrische  Darstellung  binärer  Pormen  durch  Punkt- 

gruppen  auf  Geraden.     Darmstadt,  Brill.  2  Mk.  50  Pf. 

BoBEK,  E.,  üeber  gewisse  eindeutige  involutorische  Transformationen  der 

Ebene.     (Akad.)    Wien,  Gerold.  70  Pf. 

MEETEN8,  F.,  üeber  die  Gleichung  des  Strahlencomplexes,  welcher  ans  allec, 

die  Kanten  des  gemeinschaftlichen  Poltetraeders  zweier  Flächen  II.  Ord- 
nung schneidenden  Geraden  besteht.     Ebendas.  20  Pf. 
Lb  Paigb,   C,    üeber   die    Hesse'sche   Fläche    der   Fläche    III.  Ordnung. 

Ebendas.  20  Pf. 


Bibliographie.  239 

Eberhard,  V.,  üeber  eine  räumliche  involutorische  Verwandtschaft  T.Gra- 
des und  ihre  Eernfläche  4.  Ordn.     (Disseri)     Breslau ,  Köhler.     1  Mk. 

Graefe,  f.,  Aufgaben  und  Lehrsätze  aus  der  analytischen  Geometrie  der 
Ebene.     Leipzig,  Teubner.  2  Mk.  40  Pf. 

Meyer,  F.,  Bein -geometrische  Beweise  einiger  fundamentalen  Kegelschnitt- 
sätze.    Tübingen,  Fues.  40  Pf. 

Petersen,  J.,  Lehrbuch  der  Stereometrie.     Kopenhagen,  Host  &  S. 

1  Mk.  60  Pf. 

,  Die  ebene  Trigonometrie  und  die  sphärischen  Grundformeln.    Ebendas. 

1  Mk.  25  Pf. 

Euclidis  opera  omnia.  Ed.  L.  Heibbrg  et  H.  Mbhgb.  Vol.  4.  Leipzig, 
Teubner.  4  Mk.  50  Pf. 

Angewandte  Mathematik. 

KoPALiK,  J.,  Vorlesungen  über  die  Chronologie  des  Mittelalters.  Wien, 
Kirsch.  1  Mk. 

Kraft,  F.,  Sammlung  von  Problemen  der  analytischen  Mechanik.  11.  Lief. 
(Schluss.)     Stuttgart,  Metzler.  2  Mk. 

Herz,  N.,  Entwickelung  der  störenden  Kräfte  nach  Vielfachen  der  mitt- 
leren Anomalie  in  independenter  Form.    (Akad.)    Wien,  Gerold.    80  Pf. 

Wittram,  Th.,  Zur  Berechnung  der  speciellen  Störungen  der  kleinen  Pla- 
neten.    (Dissert)    Dorpat,  Karow.  1  Mk.  50  Pf. 

Uakburobr,  M.;  üeber  die  Zeitdauer  des  Stosses  elastischer  Stäbe.  (Dissert.) 
Breslau,  Köhler.  1  Mk. 

Littmann  ,  0. ,  üeber  das  Verhältniss  yon  Längsdilatation  und  Quercontrac- 
tion  elastischer  Metallcylinder.     (Dissert.)     Ebendas.  1  Mk. 

Brinckmann,  0.,  üeber  die  Bewegung  eines  materiellen  Punktes  auf  einem 
Botationsparaboloid.     (Dissert.)     Jena,  Neuenhahn.  2  Mk. 

Bbnder,  E.,  üeber  stehende  Schwingungen  einer  Flüssigkeit ,  die  auf  einer 
festen  Kugel  ausgebreitet  ist     Kiel,  Lipsius  &  Tischer.  1  Mk. 

Gusindb,  0.,  üeber  den  Ausfluss  yon  Wasser  aus  kleinen  kreisförmigen 
Oeffnungen.    (Dissert.)     Breslau,  Köhler.  1  Mk. 

Mayer,  J.,  Sternkarte  mit  beweglichem  Horizont  (Lithogr.)  Hierzu  Text: 
Astrognosie.     Schaff  hausen,  Bothermel.  4  Mk. 

Krüger,  A.,  Zonenbeobachtungen  der  Sterne  zwischen  55^  und  56®  nörd- 
licher Declination ,  angestellt  zu  Helsingfors  und  Gotha.  2.  Bd.  Leipzig, 
Engelmann.  20  Mk. 

Paulus,  Gh.,   Tafeln  zur  Berechnung  der  Mondphasen.     Tübingen,  Fues. 

1  Mk.  80  Pf. 

Mahler,  E.,  Die  centralen  Sonnenfinsternisse  des  XX.  Jahrhund.  (Akad.) 
Wien,  Gerold.  2  Mk. 

,  Astronomische  Untersuchung  über  die  in  der  Bibel  erwähnte  ägyp- 
tische Finstemiss.    Ebendas.  ^  Pf« 


240  Historisch  -  literarische  Abtheiltmg.     Bibliographie. 


Lippich,  F«,  Ueber  polaristrobometrische  Methoden^  insbesondere  über  Halb- 
schattenapparate.    Ebendas.  80  Pf. 

Waltbnhofen,  A.  y.,  Die  internationalen  absoluten  Maasse,  besonders  fb 
Elektricität.    Braunschweig,  Vieweg.  2  Mk 

Physik  nnd  Meteorologie. 

WÜLLNER,  A.,  Lehrbuch  der  Experimentalphysik.  3.  Bd.:  Wärmelehre. 
4.  Aufl.     Leipzig,  Teubner.  12  Mk. 

WiEDBMANN,  0.,  Die  Lchro  von  der  Elektricität.  4.  Bd.  2.  Abth.  (Schliuä.' 
Braunschweig ,  Vieweg.  25  Mk.     compl.  108  Mk. 

CzBHMAK,  P.  u.  B.  HiEOKE,  PendelYorsuche.     (Akad.)    Wien,  Gerold. 

2  Mk.  40  Pf. 

ExKBB,  F.,  üeber  eine  neue  Methode  zur  Orössenbestinunung  der  Moleküle. 
Ebendas.  45  Pf. 

Heppebgbr,  J.  y.,  üeber  die  Verschiebung  des  Vereinigungspunktes  der 
Strahlen  beim  Durchgange  eines  Strahlenbüschels  durch  ein  Prisma. 
Ebendas.  50  Pf. 

AuLiMaER ,  E. ,  üeber  das  Verhältniss  der  Weber^schen  Theorie  der  Elektro- 
dynamik zum  Hertz^schen  Princip  der  Einheit  der  elektrischen  Eröfte. 
Ebendas.  30  Pf. 

Elbmenci&  ,  J. ,  Experimentaluntersuchung  über  die  Dielektricitätsconstanteii 
einiger  Gase  und  Dämpfe.     Ebendas.  1  Mk.  20  Pf. 

Lang,  V.  v.,  Messung  der  elektromotorischen  Kraft  des  elektrischen  Licht- 
bogens.    Ebendas.  20  Pf. 


jCatalog  37,  Mathematisch-physikalisclie  Wisaensohatten* 

1664  Nummeni*    Eulli.  n.  A,  Ah  Bibliotliftk  ditt  Vtot  Dt.  A*  Enneper  •  Güitiii, 

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lit  t?t  lütine  tptiiqiretittii«  est  1.  L.  HelUerpr,  Dr,  pbit 
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biiKluiig  mit  fL'T  tieometrie   (irr   i^üj^^t*.     Ifhtitf   »^r' 
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PlÄ<}lieii,      Für  Vor 
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GrArfc,  Dr*  Fr*»  l*rt*rci.9rjr,  Atifguben  imd  Lehrefitae  aue  der  r 

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h  Ffir    S^  un    UmTerHitritüti    und    t<.n:hui**cbflnj    fCocb&ßböliiii 

Hiiroiicli«  ^xel«  NaturforBohung  und  Naturphilonoplito,   Vortra«,  K*-*ljalt«ij 

II r Chi,  f*r  Wlllirlni,  Dotent  der  Mniheizuitik  i^i  der  Kgl  Fortst.  J  au 

urg,  fiUT  Integratioii  der  IhlTei^iitialifflelobuiig  31  dj:  -{-  x\äy^  0* 

I  .    4:    gth    n,  •*  1.  —  . 

ÜruricMt  Jallti»,  die  Di'forocbi' 

KewTon    rU-    Hrmidla^e    der   rat: 

i]  llfc.      (Beilagö    auai   J. 

i  liiiljabr  1884/Sö,)     [10 

HrriG»    ür    «%arl>crl,    A^iiiisteiit  fßr  Aätranoimt*   mid    böLert^ 

k    V,   t  ijbni^.  bou    HricVj9cbtil#^    in   Wien,    ßlebensteUlge   Li.-  lieü    dwr 

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i^  11.    [IV  u.  18-2  S,J     Ii»^x.-ö.    gell 

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dt^r  DifTt^rentifil  -  UJld  lntei^'rcvlrt*oIiimjag,  Mit  f'i  n<  1 
i  von  ÄJtc  k,   Dr.,    i 

-r  BuDd:  irte      Intt , 

u     [VIII  B,    geb.  1*.^  7.atK     i^ 

ilu»«.)    Dl  iiuo^en.     Mit  in  den  Te 

Figuren,     [VI  u  ^m  S.)    gr,  ö.    ^ei*.  ü-  **  T.'iO. 

Itehrefltzf^n  ^ 

g*liWHeiie  iVj.i 

IKrr.  ^.    kart,  a,  -#  l '^i* 

lirültft.Fr,    r>f     %tio]|]ti,   Frnfi-iRfjr  di*r  PIivaiI:   un   J 


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und  [Knainik»   h- 
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INHALT 


IUI  Ueb^r  li 

Von  A«  WiTtni»,  Conä  ntaiiu  ui  L 


U-* 


i ...   ^.^.*.j..  ..Li.,.. 


^Viii.  /^'-  -~i1e  »imüllAiieir  i 

V.  itaen  IV.    . 

XJX,  ßüddiiigiuif;«     Vuii  ttx^W  j>r.  ßstuMm»  In  üüiUirBT' 

Hiitortft^Ji -litorftrische    Abllieiltiiig  l^i^i-omlni-«   r*.,.r^r,\wi\ 

_-. ...  _-_  tri   und    d<tx   fi 
Van  OmtAMi  B4i/MnAKT 

HlbMc^gfitpInn  vnru   1.  .lul»  biB  31,  Ay^ust  tt8ftt 

I                   '  Schrift t»n  ♦,♦.,♦ 
i*.r...,,.  ,..r    dhr  MaÜaüjiitttik  tltid  Pbytit 
Ilfiii«'  MathütniLLik 


ririK*  awH  U  Q*t%»\mm  U< 


Historisch-literarische  Abtheilung. 


Ueber  das  quadratische  Reciprooitätsgesetz. 

Eine  yergleichende  Darstellang  der  Beweise  des  Fnndamentaltheoremes 

in  der  Theorie  der  quadratischen  Beste  und  der  denselben  za  Grande 

liegenden  Piincipien. 

Von 

Oswald  Baumgabt. 

(Sohluss.) 


Zweiter  Theil. 

Yergleichende  Darstellung  der  den  Beweisen  für  das  quadra- 
tische Beciprocitätsgesetz  zu  Grunde  liegenden  Principien. 


I.  Capitel. 

Gauss'  Beweis  durch  vollständige  Indnction. 

Wie  schon  im  zweiten  Capitel  des  ersten  Theiles  bemerkt  wurde,  unter- 
scheidet Gauss  bei  seinem  ersten  Beweise  acht  verschiedene  Fälle.  Dadurch 
erhält  der  Beweis  eine  solche  Ausdehnung,  dass  mau  ihn  für  nicht  recht 
geeignet  zur  Begründung  des  so  einfachen  Gesetzes  halten  könnte.  Indess 
ist  dieser  Mangel  an  Kürze  nicht  auf  die  dem  Beweise  zu  Grunde  liegen- 
den Principien  zurückzuführen,  sondern  auf  die  Bezeichnnngsweise. 

Gauss  schreibt  nämlich  pBqAu.  Stelle  von  [~)  =  +  l  und  pNq 
für  f  —  j=  — 1.  Dadurch  wird  er  gezwungen,  jene  acht  Fälle  zu  un- 
terscheiden,  was  eben  durch  Anwendung  des  Legendre 'sehen  Zeichens 
zu  vermeiden  gewesen  wäre.  In  der  Thaib  haben  wir  gesehen,  dass  sich 
durch  jene  Bezeichnung  die  acht  von  Gauss  unterschiedenen  Fälle  auf  zwei 
reduciren  lassen.     Dirichlet^)  hat  zuerst  auf  jenen  Uebelstand  des  ersten 

1)  Grelle  J.,  XLVII,  S.  139. 

Hlst.-lit.  Abthlg.  d.  Zeltsolir.  f.  Math.  n.  Pbys.  XXX,  6.  18 


242  Historisch  -  literarische  Abtheilnng. 


Gauss^schen  Beweises  hiugewieben  und  den  Beweis  unter  Anwenduug  u:. 
Legend re-Jacobi^8chen  Symboles  dargestellt.     Wir  sind  ihm  gefolgt 

Nach  dieser  Bemerkung,  die  sich  auf  das  rein  Formale  an  nnser^iL 
Beweise  bezieht ,  gehen  wir  auf  das  Wesen  desselben  näher  ein.  Der  aL 
gemeine  Eindruck  ist  da  zunächst  hohe  Befriedigung  darüber,  dass  der 
Beweis  „nirgend  das  Gebiet  der  Congruenzen  2,  Grades  verlässt*^).  All- 
anderen Beweise,  mögen  sie  sich  auch  durch  besondere  Kürze  und  ElegarL 
auszeichnen,  lassen  diese  Einfachheit  vermissen.  Gauss ^)  selbst  sagt  tol 
seinem  ersten  Beweise;  „Sed  omnes  hae  demonstrationes ,  äiamsi  resp^d^ 
rigoris  nihü  de&iderandum  rdinquere  videatdur,  e  principüs  nimis  heterogm^ 
derivatae  sunt,  prima  forsan  cxcepta  quae  tarnen  per  ratiocinia  magis  hh- 
riosa  procedit,  aperationüms  proxilioribus  premüur/' 

Das  Fundamentalprincip  nun  unseres  Beweises  kann  man  kurz  das 
Princip  der  vollständigen  Induction  nennen.  Der  Umstand  nämlich,  dasj 
das  Gesetz  gilt  für  die  beiden  kleinsten  ungeraden  Primzahlen  3  und  5 
regte  in  Gauss  den  genialen  Gedanken  an,  von  den  Zahlen  3  und  5 
successive  aufsteigend  zu  grösseren  und  grösseren  Primzahlen,  das  Ge«t: 
darzuthun. 

Dieser  Gedanke  musste  aber  formulirt  werden,  um  mathematiselie 
Deductionen  aus  ihm  möglich  zu  machen.  Dies  ist  von  Gauss  durdi 
folgenden  Schluss  geschehen:  Gilt  das  Gesetz  für  alle  Primzahlen  mit«r- 
halb  (2)  ^T^^  ^^^^  P  ^^^  P    zwei   solche  Primzahlen   kleiner  als  q^  für  die 

-^j(~)=(— 1)    2*2      jg|j^    |in(j   kann  man  daraus   die  Richtig 

keit  des  Fundamentaltheorems  für  p  und  q  (p'  und  q  sagt  dasselbe)  dar- 
thun,  so  ist  das  Gesetz  in  seiner  Allgemeinheit  bewiesen,  eben  der  Eigen- 
schaften der  Zahlen  3  und  5  halber.  Es  stellte  sich  nun  aber  der  Bewei- 
führung  ein  grosses  Hindemiss  in  den  Weg,  was  Gauss  zur  Unter- 
scheidung seiner  acht  Fälle  nöthigte.  Der  Beweisgang  hängt  nämlich  Si' 
intensiv  von  den  Eigenschaften  von  p  und  q  ab,  dass  eine  Verschiedenhei: 
dieser  Eigenschaften  verschiedene  Methoden  nöthig  machte.  Wie  schoi 
bemerkt,  kommt  man  bei  passender  Bezeichnung  nicht  auf  acht,  aber  docl 
auf  zwei  wesentlich  verschiedene  Fälle.     Diese  sind: 

I.  Sind  q  und  «  <  <2  beliebige  ungerade  Primzahlen ,  q  positiv,  a  posiÖT 
oder  negativ,  und  ist  ( —  j  =  +1 ,  so  ist  zu  zeigen,  dass  (~)(~)  =  (~V)  *    ' 

IL  Sind  (2  =  4w+l  und  p<^q  beliebige  positive  ungerade  Prim- 
zahlen und  ist  (— )  =  — 1,   so  ist  zu  zeigen,   dass  ebenfalls   ("~)'^'"^ 

1)  Creile  J.,  XLVU,  S   139. 

2)  Gauss:  Comm.  goc.  Gott.  XVI,  S.  70  oder  Gausa'  Werke  II,  S.  4. 


lieber  das  quadratische  Reciprocitätsgesetz.  243 

iät.     Die  Verificirung  der  in  I.  aufgestellten  Behauptung  war  für  Gauss 

verhSltnissmässig  leicht,  weil  die  Annahme  l  —  j  =  +  1  sofort  eine  weitere 

Handhabe  zur  Beweisführung  lieferte,  insofern  als  nämlich  die  Congruenz 
x^^  a  mod  q  möglich  war.  Die  Einführung  einer  Hilfsgrösse  f  und  die 
Benutzung  der  auf  einfache  Weise  darlegbaren  Eigenschaften  derselben 
führte  sofort  zum  Ziele.  Ist  e  die  gerade  Wurzel  unserer  Congruenz  x*  ^  a 
modq,  so  ist  jene  Hilfsgrösse  f  definirt  durch: 
A)  e^=a  +  fq. 

Die  Unterscheidung  der  beiden  Fälle  f  und  e  relativ  prim  zu  o  und 
f  und  e  theilbar  durch  a  ergiebt  auf  einfache  Weise  unter  Benutzung 
unserer  allgemeinen  Annahme  die  Richtigkeit  des  Theoremes. 

Der  zweite  Punkt  war  nun  viel  schwieriger  zu  erledigen,  und  erst 
nach  einem  Jahre  mühevollen  Nachdenkens  (am  29.  April  1796)  waren 
alle  Hindemisse  überwunden.  „Gauss  ^)  zeichnete  sich  selbst  das  Datum 
dieser  Entdeckung  auf,  wie  er  ein  Gleiches  bei  anderen  seiner  grossen 
Schöpfungen  gethan  hat/  Die  fragliche  Schwierigkeit  liegt  darin,  dass 
die  Annahme  { P\  ^      i 

sich  mathematisch  nicht  formuliren  lässt,   da  eben  die  Unmöglichkeit  von 

x^^p  modq 
nicht  durch  eine  Formel,  die  mit  dieser  Congruenz  in  unmittelbarem  Zu- 
sammenhange steht,  darstellbar  ist.  Diese  Thatsache  machte  einen  Hilfs- 
satz nöthig,  dessen  Formulirung  und  Begründung  Gauss*  ganzen  Scharf- 
sinn herausforderte.  Eronecker^)  nennt  die  Begründung  dieses  Hilfssatzes 
„eine  Kraftprobe  Gauss'schen  Geistes".  Jener  Hilfsatz  aber  heisst:  Es 
giebt  stets  eine  positive  ungerade  Primzahl  p' ^  q,  von  welcher  q  qua- 
dratischer Nichtrest  ist  Der  Vollständigkeit  halber  bemerke  ich  schon  hier, 
dass  dieser  Satz  nicht  nur  für  q  =  4n+lf  sondern  auch  dann  gilt,  wenn 
q  die  Form  4n  +  3  hat.*) 

Für  q  =  8n  +  5  ist  der  Satz  unmittelbar  evident;  anders  für  <2  =  8 »+  1 . 
Wäre  aber  in  diesem  Falle  q  quadratischer  Best  von  allen  Primzahlen 
kleiner  als  2m +  1  «  ?)»  so  müsste,  wenn  k  eine  Wurzel  von 

k^^q  modM'y     üf  =  (2f»-f  1)! 
^^®-         Ä«-l   .      Ä;«-w«=(?-l.<2-2».    ...  q-m^  modM 

sein,  d.  h.  -=— -^ j^ — 7— T~i müsste    eine   ganze   Zahl    sem. 

(Jw-r  1)  • 

Die  Unmöglichkeit  hiervon  ergiebt  das  Falsche  der  Annahme  und  zugleich, 
dass  es  stets  eine  Primzahl  p'<C2^Q  +  l  giebt,  von  welcher  q  qua- 
dratischer Nichtrest  ist. 


1)  C.  F.  Gauss.    Festrede  von  E.  Schering,  Göttingen  1877,  S.  4. 

2)  and  8)  Kronecker,  Mon.-Ber.  der  Berl.  Akad.  1876. 

18* 


244  Historisch -literansche  Abtheilung. 

Es  ist  also  (-^)=:  — 1. 

um  nun  nachzuweisen ,  dass  auch  i  —  j  =  ^  1  ist,  genügt  es  jetzt  ^ 
darzuthun,  dass 

ist.     Man  sieht,   der  Hilfssatz  war  nur  nSthig,  das  Kriterium  f— j  =  ~] 

in  ein  solches  umzuformen ,  welches  eine  weitere  mathematische  Formnlirmig 
zuliess.  Wir  fElhren  abermals  eine  Eülfsgrösse  /*ein,  die,  wenn  e  die  genuk 
Wurzel  <  q  von 

ist,  definirt  wird  durch 

B)  (^^PP+fq. 

Im  weiteren  Verlaufe  des  Beweises  kommt  es  nun  auf  das  Yerhalieii 
von  e  und  f  gegen  p  und  p'  an.  Je  nachdem  nämlich  e  und  f  relativ 
prim  zu  p  und  p\  p  oder  p\  oder  theilbar  durch  p  und  p'  sind,  macht 
sich  eine  verschiedene  Behandlungsweise  nöthig. 

Principiell  Neues  kommt  dabei  nicht  heraus. 

Der  erste  Beweis  von  Gauss  stützt  sich  also  im  Wesentlichen  aof 
Eigenschaften  von  Zahlen  f  und  f  in: 

A)  e^=a  +  fq     und 

B)  e*=PP'+/^^ 

Die  beiden  Gleichungen  sind  principiell  nicht  verschieden.  Oleichong  A; 
geht  dadurch,  dass  man  in  B)  p'=]  setzt,  aus  B)  hervor.  Der  Angel- 
punkt des  Beweises  liegt  aber  in  der  Aufstellung  dieser  Gleichungen,  d.  h. 
da  eben  A  ein  specieller  Fall  von  B  ist,  in  der  Aufstellung  der  Gleichnng  B, 
mithin  in  dem  Hilfssatze,  dass  es  stets  eine  ungerade  Primzahl 

P<(1  • 

giebt,  von  der  q  quadratischer  Nichtrest  ist. 

IL  Oapitel. 
Heber  die  Beweise  durch  Bednction. 
Im  III.  Capitel  des  ersten  Theiles  sind  zwölf  Beweise  reprodudrt.  AUe 
diese  stützen  sich  auf  ein  und   dasselbe  Lemma ,   das   wir   in   seiner  All 
gemeinheit  kurz  entwickeln  wollen.     Stellt 

ak  =  ai,    Og,  ...  gg~i     {ak<q) 

2 

ein  beliebiges  halbes  Bestsystem  Module  <2  dar,  so  wird 

QkP 

wiederum  ein  halbes  Bestsystem  Module  q  geben.  Die  pak  stehen  mit  den 
ttk  in  keiner  Beziehung,   können  also   mit  denselben  zusammenfallen  oder 

1)  Unter  Berftcksichtigmig  des  ümstandeB,  dass,  wenn  das  Beciprodt&tBgesetc 
fOr  Primzahlen  gilt,  es  auch  für  verallgemeinerte  BeBtcharakteristiken  gilt. 


üeber  das  quadratische  ReciprocitStsgesetz.  245 


von  denselben  verschieden  sein.  Wir  wollen  uns  das  versinnlichen.  Das 
Yollstftndige  Bestsystem  Modnlo  <2  wird  offenbar  dargestellt  durch  die  in  den 
beiden  Verticalreihen  enthaltenen  Zahlen: 


I. 

II. 

«1 

-«1 

«* 

-<h 

• 

• 

2 

2 

Die  Beste  pak  werden  dann  in  beiden  Verticalreihen  vorkommen  kön- 
nen, nie  aber  doppelt  in  derselben  Horizontalreihe,  weil  nie  zwei  Beste 
akP  Modulo<2  congment  sein  können.  Denn  w&re  z.  B.  ajt p  ^^  a/f  p  mod  q^ 
so  w&re  (ük " ay) p  =^  0  mod  q  oder,  da  p  und  q  Primzahlen  sein  sollen, 
ak  ^ük'  ^0  mod  q ,  was ,  da  ak  und  au'  Modulo  q  incongruent  sind ,  nicht 
möglich  ist  Kommen  nun  ii  Beste  pak  in  der  zweiten  Yerticalreihe  vor, 
so  werden  wir  erhalten: 

£-1 
n    3    /i 


oder  ^_, 


.  ay,|  ^  (— Ij^ttj,  .•.  a^i  modq 

2  2' 

p'^=(-'l)''modq   und    (i!)  =  (-l)M. 


Dies  ist  der  Hilfssatz,  auf  den  sich  sftmmtliche  Beweise  des  III.  Capitels 
stützen.  Wir  haben  so  das  ursprüngliche  Kriterium  l-j^p  ^  modq 
—  1  =  (—  !)'•.  Nur  aus  diesem  Grunde  nenne  ich  die  Beweise, 
denen  dieses  Lemma  zu  Grunde  liegt,  um  unnöthige  Weiterungen  zu  er- 
sparen, Beweise  durch  Beduction.  —  Das  Symbol  f  — |  ist  also  definirt 
durch  |— J  =  (— l)**!  wo  (t,  die  Anzahl  der  Beste  in  paj,  pog,  . . .  paq.\ 
bedeutet,  welche  mit  a|,   ...  aq-\  Modulo  q  nicht  congruent  sind. 

~~2~ 

Man  kann  nun  bei  den  Beweisen  fdr  das  quadratische  Beciprocitäts- 
gesetz  die  verschiedensten  halben  Bestsysteme  in  Anwendung  bringen,  was 
auch  geschehen  ist.  Der  Eine  benutzt  ein  halbes  positives  oder  negatives 
absolut  kleinstes  Bestsystem,  der  Andere  die  geraden  Zahlen,  wieder  ein 
Anderer  die  ungeraden  Zahlen  unterhalb  der  in  Frage  kommenden  Prim- 
zahl. Dies  ist  der  erste  Punkt,  in  dem  sich  die  Beweise  durch  Beduction 
unterscheiden. 

Wie  aber  f*  die  charakteristische  Zahl  von  p  in  Bezug  auf  q  mi^  so 
giebt  es  eine    dem   f*  ganz  analoge  Zahl  v,   welche  die  charakteristische 

zahl  von  q   in  Bezug  auf  p  ist,    so   dass   (-)  =  (--l)^     Daraus   folgt, 

daes ,  um  das  Beciprocitätsgesetz  zu  beweisen ,  man  die  Summe  (i  +  v  oder 


246  Historisch  -  literarische  Abtheilung. 


die  Differenz  fi  ~  v  zu  bestimmen  hat.  Dies  kann  in  der  Weise  geschehen, 
dass  man  fi  und  v  getrennt,  oder  gleich  ihre  Summe  resp.  Differenz  be- 
stimmt. Hieraus  ergiebt  sich  ein  zweiter  Punkt,  in  dem  jene  Beweise 
verschieden  sein  können   und  auch  in  der  That  verschieden  sind. 

Man  kann  ferner  fi  und  v  zerlegen  in  jt*  =  c  -|-  |ti',  v  =  c  +  v',  wo  c 
und  c  Constante  sind  —  in  den  meisten  Fällen  Multipla  von  2  —  ii  und 
v' dagegen  Zahlen,  „welche  die  Eigenschaft  der  Reciprocität  in  einer  leich- 
ter erkennbaren  Form  enthalten.  ^  ^)  Diese  Zerlegung  von  fi  und  v  ist  auch 
vorgenommen  worden. 

Dies  sind  die  drei  wesentlichen  Punkte,  in  denen  sich  unsere  Bewei^e 
durch  Beduction  unterscheiden.  Wir  haben  diese  Bemerkungen  zur  all- 
gemeinen Orientirung  vorausgeschickt  und  gehen  nun  zur  genaueren  Be- 
trachtung der  Beweise  über. 

Wir  beginnen  mit  Gauss'  drittem  Beweis.  Gauss  legt  demselben  ein 
halbes   positives   absolut  kleinstes  Restsystem  zu  Grunde,   also  Modnlo  der 

positiven  ungeraden  Primzahl  q  die  Zahlen  1,  2.  ...  — ^ —  Dann  ist  n 
die  Anzahl  der  negativen  absolut  kleinsten  Reste  in 

P,  2p  ...   ^-^pmodq. 
-  I    als  die  grösste  in  -  enthaltene  ganze  Zahl   und 
findet  mit  Hilfe  von  Sätzen  über  solche  Grössen     - 

Wird  p^q  vorausgesetzt ,  was  keine  Beschränkung  ist ,  da  die  Primzahlen 

p  und  q  ja  von  einander  verschieden  sein  müssen ,  so  kommen  in  £    — 

Glieder  mehrfach  vor.     Die   Bestimmung  der  Anzahl   der  Glieder,    welche 

mehrfach  vorkommen,   führt  zum  Beweise  unseres  Satzes.     Gauss    trans- 

formirt  so  den  Ausdruck  (a  =  /*(p,  ^)  in  fi  =  f(q,  p)  +  c,  wo  c  eine  angeb- 

«1      1     />      1 
bare  Constante  und  zwar  c  =  2  •  ganz.  Z. -| ^ s —  iß*- 

Aehnlich  wie  Gauss  verfährt  Voigt,  ein  früh  verstorbener  Yer- 
sichernngsbeamter  aus  Schwaben.     Er  wendet  ebenfalls  ein  halbes  positives 

absolut  kleinstes  Restsjstem  an  und  schliesst  so :   Ist     —    =  ä  —  1 ,   so 

wird  Jcp  einen  negativen  absolut  kleinsten  Best  Module  q  geben,  wenn 
{h  —  ^)  qK^Jcp^hq.  Umgekehrt  werden  zu  solchen  Zahlen  Ä,  deren  An- 
zahl übrigens     —    — q\   ist,  und  die  die  vorstehende  Ungleichheit 

erfüllen     negative  absolut  kleinste  Reste  Module  q  gehören.     Daher  wird: 
1)  Schering,  Gott.  Nachr.  1879,  S.  21. 


üeber  das  quadratische  Reciprocitätsgesetz.  247 

p-i 


^?{m-[^']^ 


Ä  =  l, 


2 


da  -o—  <ia,s  Maximum  von  h  wird.  Durch  Anwendung  von  Sätzen  über 
Grössen  [rc]  findet  sich 

aus  welcher  Congruenz  leicht  die  Legen dre'sche  Formel  fliesst. 

Der  Unterschied  des  Voigt 'sehen  Beweises  von  dem  Gauss*schen  ist 

der,  dass  Gauss  fi  umformt  in  ^^y\  —  mod2  (ä;  =  1,  •••  n  ) 
und  nun  die  Anzahl  der     —     bestimmt,  welche  denselben  Werth  h  haben; 

ilire  Anzahl  ist:      -q    —  •     Durch  Summation  über  h  von  1  bis 

P  1  P  1Q  —  1  rk 

— g—    ergiebt    sich    dann    ^  = /"  (p,  (?)  =  — g— >  — ^ f{<lyP)mod2, 

unsere  bekannte  Formel.  Voigt  dagegen  bestimmt  sofort  die  Anzahl  der 
A;p,  welche  Modulo  (2  negative  absolut  kleinste  Beste  lassen,  und  findet  die- 
selbe bei  vorgegebenem  h  gleich      —    — —  q   ,  wobei  ä  —  1  =    —    . 

Durch  Summation  über  h  erhält  er  ebenfalls  das  gewünschte  Resultat. 

Der  eben  behandelte  dritte  Beweis  von  Gauss,  obwohl  kurz  und 
elegant,  scheint  seinen  Autor  aber  noch  nicht  völlig  befriedigt  zu  haben; 
vielleicht  deshalb,  weil  darin  die  eine  Primzahl  vor  der  anderen  bevorzugt 
wird.  Derselbe  Gedanke,  der  später  zur  Einführung  der  Determinanten 
Anlass  gab,  veranlasste  wahrscheinlich  auch  Gauss,  nach  einem  neuen 
Beweise  zu  suchen,  um  also  nicht  ^i  und  v  getrennt,  sondern  sofort  deren 
Summe  Modulo  2  zu  bestimmen.  Und  Gauss  fand  seinen  fünften  Beweis, 
der  von  dem  erwähnten  Mangel  des  dritten  Beweises  frei  ist. 

Die   dem   fünften  Beweis   von   Gauss   zu  Grunde   liegenden   kleinsten 
Restsysteme   sind:    1,  2,   •••  — ^ —   ^^^    1>    2,    •••   — ^ —     Zur  Bestim- 
mung von  fi  +  V  wurde  eine  Hilfs reihe  eingeführt: 
A)  1,  2,   ...  p(2-l, 

und  die  Voraussetzung  p  <  Q  gemacht.  Die  Glieder  von  A)  haben  nun  in 
Bezug  auf  p  und  q  als  Moduln  verschiedene  Eigenschaften.  Nimmt  man 
nämlich  ein  beliebiges  Glied  aus  A)  heraus ,  so  kann  dies  Modulo  p  oder  q, 
oder  aber  Modulo  p  und  q  einem  positiven  oder  negativen  absolut  kleinsten 
Rest  geben ,  oder  ein  Vielfaches  von  p  oder  q ,  nie  aber  von  p  und  q  sein. 
Die  Benutzung  dieser  Umstände  führte  nun  zum  Beweis  des  Fundnmontal- 
theoremes. 


248  Historisch -literarische  Abtheilang. 

Ist  {8)rR  die  Anzahl  der  positiven  absolut  kleinsten  Beste  in  ^(s=1. 

•  •  •  ^-^ —  )  Modulo  p  q ,  welche  Modulo  p  positiven  absolut  kleinsten  Besten, 

Modulo  q  aber  negativen  absolut  kleinsten  Resten  congruent  sind ,  so  gelten 
die  Formeln: 

1)  {SU  =  W/fr ,    {sU + (SU  =  ^  •  -^> 

worin  8  eine  der  Zahlen  — ^ — »   * ' '  PQ  —  1  bedeutet  und  (i^)  in  derselben 

Weise  wie  (s)  zu  verstehen  ist. 

Die  ^-s —  •  -=-Ä —  Zahlen  ferner : 

^  ^  p-3. 


^9         \  g  +  l  I 


tq+B^ 

2 

sind  sämmtliche  Zahlen  s^  welche  Modulo  q  negative  absolut  kleinste  Beste 

geben,  und  enthalten  sämmtliche  Zahlen  pr,  (r,  =  1,  •••  — ^ — V   Theilt  man 

sie  Modulo  p  in  drei  Classen ,  jenachdem  sie  nach  ihm  positiven  oder  negaÜTen 
absolut  kleinsten  Besten  oder  der  Null  congruent  sind,  so  erhält  mau  die 
Formel:  _-         _^- 

2)  (s),,  +  (,)«a  +  ^^Pz_.l^, 

wobei  fA  die  Anzahl  der  pr^  ist,  welche  Modulo  q  negativen  absolut  kleinsten 
Besten  congruent  sind. 

Mit  Hilfe  der  ^  ^      •  ^  ^      Zahlen  endlich: 

leitet  man  auf  ganz  analoge  Weise,  wie  eben  durchgeführt,  die  Formelab: 

worin  v  die  Anzahl  der  qrp  ist,  welche  Modulo p  negativen  absolut  kleinsten 
Besten  congruent  sind. 

Aus  den  Formeln •!),  2),  3)  folgt  unsere  Formel: 


Die  Zahlen  ii  und  v  werden  in  diesem  Beweise  in  drei  Summanden  zer- 
fällt, auf  welche  merkwürdige  Zerlegung  besonders  hingewiesen  sei;  wir 
werden  bei  Bouniakowskj  eine  ähnliche  finden. 

Der  fünfte  Gauss'sche  Beweis  beruht  also  im  Wesentlichen  auf  der 
Eintheilung  und  Abzahlung  der  in  der  Beihe  1 ,  2 ,  ...  pq^^  enthaltenen 
Zahlen : 


üeber  das  quadratische  Beciprocitätsgesetz. 


249 


tq+Bg   und    tp+Bp 


/t    =    0,       ...P^;     r    =     0,      •••^\ 


und  auf  der  Richtigkeit    der  Formel    (s)Är  +  {S)r/i  = 


p-\  q-i 


"2^    ^^'   «'  ^* 

insofern  sehr  einfach  und  elementar,  als  ausser  der  Hilfsreihe  1,  2,  ...  pq—l 
keine  anderen  Hilfsbetrachtungen  nöthig  sind.  Ausserdem  gehen,  wie  schon 
hervorgehoben,  p  und  q  zum  Unterschiede  vom  dritten  Gauss 'sehen  Be- 
weise vollständig  gleichwerthig  in  die  Rechnung  ein. 

Der  dritte  Beweis  wurde  1808,  der  fttnfte  1818  gefanden.  30  Jahre 
später  (1847)  veröffentlichte  Eisenstein  im  Cr  eile 'sehen  Journal  seinen 
geometrischen  Beweis  des  Fundamentaltheoremes,  der  im  Grunde  genommen 
der  in  die  Sprache  der  Geometrie  übersetzte  dritte  und  fünfte  Gauss 'sehe 
Beweis  ist.     Nach  dem  Gauss'schen  fi- Lemma  ist: 

(?)  =  (-iy.=  (_l)4?]     p  =  i,...izl\ 


-2([|]  +  ['-^])-c*2resultirt. 


Eisenstein    con- 


woraus    (i^  v 

struirt    nun    in   einem  rechtwinkligen   Axensystem    eine  Gerade  yp  =  xq, 

resp. 


_         .      iCQ  yp   ,. 

Dann  ist  — =  resp.  ^—  die  w- 
P  Q. 


iC'Coordinate  des  Punktes  xy  unse- 
rer Geraden.   Wird  nun  x  =  h  resp. 


2/  =  Ä,  so  werden 


K]-[|] 


die  Anzahl  der  um  die  Einheit  von 
einander  entfernten  Punkte  (Gitter- 
punkte)   auf   den    Coordinaten    — 

kp  " 

resp.  -=-  sein.    Wie  die  Anschauung 

aber  sofort  lehrt,  ist: 


p-1       Q-1 


Den  Gauss 'sehen  Ausdrücken     —     und     —     entsprechen  also   bei 

Eisenstein  Punktreihen,   den  Summen  Xi    ~      ^^^.^    "j^      mehrere 

Punktreihen.  Der  Abzahlung  von  Zahlen  mit  bestimmten  Eigenschaften 
im  fünften  Gauss 'sehen  Beweise  entspricht  hier  die  Abzahlung  von  Punkten 
mit  Hilfe    der  Anschauung.     Den  abstrakten  Zahlbegriff   bei  Gauss  hat 


250  Historisch  -  literarische  Abtheilung. 

Eisenstein  durch  EinHihrung  des  L&ngsmaasses  versinnlicht.  Die  arithme- 
tische Transformation  endlich  im  dritten  Gauss 'sehen  Beweise  von  ^i  =  f(p.  q) 
in  (i  =  f{<l^p)  +  c  wird  hier  unmittelbar  durch  die  Anschauung  geleistet. 

1852  wurde  nun  von  Genocchi  ein  neues  Moment  geltend  gemacht, 
das  in  fruchtbringender  Weise  von  Schering  und  Kronecker  ausgebeutet 
wurde.  Um  die  Continuität  unserer  Darlegungen  nicht  zu  stören,  werdeD 
wir  darauf  später  zurückkommen. 

Wir  wenden  uns  zunächst  zu  dem  Gesichtspunkt,  der  zum  ersten  Male 
1870  in  dem  Beweise  von  Stern  zu  Tage  tritt,  und  der  auch  von  Zeller 
und  Petersen  benutzt  worden  ist.  Durch  jenes  Stern'sche  Kriterium  wird, 
wie  eben  die  Arbeiten  von  Zell  er  und  Petersen  zeigen,  der  fOnfte 
Gau  SS 'sehe  Beweis  wenn  auch  nicht  vereinfacht,  so  doch  abgekürzt.  An 
Stelle  der  Abzahlung  von  Zahlen  mit  bestimmten  Eigenschaften  Module  p 
oder  q  treten  neue  Betrachtungen. 

Das  Kriterium  Stern 's  ist  folgendes:  Setzt  man  in  den  Reiben 

I)  \q,2.q,  ...hq,  ...  ^-^qmodp 


9-1. 


und 

II)  Ip,  2.p,   ...  Ä:p,  ...   ^^pnwdq, 

z.  B.  p<Cq  und  dieselben  halben  Rests jsteme  voraus ,  so  kommt  kein  Rest 
hqmodp  in  Jcpmodq  vor;  und  umgekehrt,  ist  der  in  hq  modp  enthaltene 
grösste  Rest  p\  so  kommt  kein  Rest  kp  modq^p'  in  hqmodp  vor. 
Wohl  aber  kommt  —hqmodp  in  kpmodq  und  —  Äp<p'in  hq   vor. 

Wie  schon  S.  187  bemerkt,  bieten  die  weiteren  Ausführungen  Stern's 
principiell  nichts  Neues  und  können  daher  um  so  eher  übergangen  werden, 
als  sie  auch  nicht  ganz  correct  sind. 

Zeller  stützt  sich  auf  die  Restsysteme: 

1)  Q,  •••  ^^;     2)  p,  ...  ^g-p. 

Setzt  man  p<Q  voraus  und   lässt  man  nur  absolut  kleinste  Reste  zu,   so 

p— 1 
ist  nach  Stern   ^  +  v=   -    --(-t,   wo  t  die  Anzahl  der  Reste    in  2   be 

p  q     , 

deutet ,  die  zwischen  —  ^  und  —  ^  liegen.     Die  Bestimmung  dieser  Zahl  r 

bildet   den   Kernpunkt  des   Zeller 'sehen   Beweises.     Aus   der   Substitution 
^  =  ~ö ^»     *"  "^ — ö ^» 


wobei    hp  =  —rmodq   ist,    ist  nun   klar,   dass   die  Glieder  Äp,    welche 

p  q 

zwischen  —  j^  und  —  ^  liegen,  paarweise  vorkommen,    insofern   einem  r 

ein    —r   entspricht ^    bis    auf    die    Glieder,    welche    den    GrenzfWen    der 


Ueber  das  quadratische  Beciprocitätsgesetz.  251  . 

Substitution  entsprechen.  Ist  da,  um  diese  Ausnahmefölle  zn  erledigen,  zu- 
nächst Ä;=0,  so  wird  ifc'p ^^     9      modqy  also  x^O  mod2. 

Für  Ä;  =  Ä'=^^    folgt    sofort,    dass    z^EiO  mod2  wird    für  (2  =  3 

nwd  4 ,  während  für  q  =  4  w  +  1  sich  ergiebt  A;p^^(—  p  +  <2)  mod  q^ 
woraus  sich  verschiedene  Resultate  ergeben,  je  nachdem  q  von  der  Form 
4w  +  1  ist. 

Ganz  analog  diesem  Beweise  ist  der  von  Petersen.  Als  halbes 
Restsjstem  Modulo  q  fungiren  die  ungeraden  Zahlen:  1,  3,  5,  ...  Q  — 2,  so 
dass  fi  die  Anzahl  der  negativen  ungeraden  Beste  Modulo  q  in  p,  3p,  5p, 
...  {q  —  2^p  ist.     Setzt  man  wiederum  p<q  voraus,  so  wird 

WO  T  die  Anzahl  der  zwischen  —  p  und  —  q  liegenden  ungeraden  Beste  Mo- 
dulo q  aus  p,  3p,  ...  (q  — 2)p  ist. 

Bedeuten  nun  r  die  ungeraden  Beste  Modulo  q^  so  wird 

(2n  +  l)p-2wq  =  r,      2n  +  l  =  l,  3,  ...  q--2', 
m  ist  so  gewählt,  dass  Q>r">— (j. 

Durch   die  Substitution  m  =  n^k,  p  =  Q  — 2a  ergiebt  sich  nun,   dass 

q      2q  a  —  1 

T  die  Anzahl  der  Brüche  — »   — »  •••  q  ist,  in  denen  die  darin  ent- 

a       cc  a 

haltene  grösste  ganze  Zahl  ungerade  ist.  Es  treten  nun  wieder  Zell  er 'sehe 
Betrachtungen  auf,  nach  denen  es  auf  die  Beschaffenheit  der  Mittelglieder 
ankommt. 

Wir  kommen  nun  zu  dem  Beweise  von  Bouniakowsky.  Dieser 
Autor  bestimmt  ebenfalls  die  Summe  ft  +  v,  zerlegt  aber  fi  und  v  auf  eine 
ganz  eigenthümliche  Weise.  Zunächst  bemerkt  er,  dass  zwei  Primzahlen  in 
derselben  Linearform  enthalten  sein  müssen,  dass  also,  wenn 

p=z2an  +  r,    q=^2an  +  r   ist    (a^r^  1  fwo(i2,   l<lr<C2a— 1). 

Weiter  findet  Bouniakowsky  die  wichtige  Formel: 

0-1 


(f)= 


(-1)'  "*", 


worin  m  eine  von  a  und  r,  nicht  aber  von'n  abhängige  Zahl  ist,   so  dass 
ohne  Weiteres 

(|)  =  (-l)'i^-'-*-  folgt,    woraus    (|)  (^)  =  (_l)°-i^ '-+''»  resultirt. 

o —  j  =  (— 1)  2    "    *"  ergiebt    sich  daraus,   dass 

I  1 

Bouniakowsky  die   ~^~r=—^ — f-aw  Reste 


252  Historisch  >  literarische  Abtheilung. 

1,2,3,  ...^=    1,  1  +  a,       ...      l  +  (n-l)a,  l  +  na, 

2,  2+a,      ...     2  +  (w-l)a,         2  +  wa, 


r— 1     r  — 1  ,  r— 1  ,  ,       ,.        r  — l  . 

r  +  1     r+1  ,^  ♦•+1./       IN 


a,  2a,         ...  na 

ähnlich*   wie  Gauss  in  seinem  fünften  Beweise  es  mit  den  Zahlen  1,2,... 

^-^^ —  macht,   in  drei  Classen  trennt     In  die  erste  nimmt  er  die  Zahlen 

der  letzten  Horizontalreihe ,  in  die  zweite  die  Zahlen  derjenigen  Horizontal- 
reihen, welche  mit 

ri  —  rX  modp    (^=1,  2,  •••  ^^j 

beginnen;  endlich  in  die  dritte  die  Zahlen  der  Horizontalreihen ,  welche  mit 
a  —  ri    anfangen.      Die  Zahlen    der   ersten   und  dritten   Classe  sind  dann 

Modulo  p  positiven  Vielfachen  (<"~ö~)  ^^'^  a  congruent,  die  der  zweiten 

Classe  negativen  Vielfachen  ( <     ^  "  )  derselben  Grösse  a.     Ist  die  Aniahl 
der  Zahlen  der  zweiten  Classe  gleich  Jlf ,  so  ist  nun 

(f)=(-i)«. 

Schliesslich  findet  sich ,  dass ,  wenn  m  eine  Zahl  bedeutet ,   die  nur  Yon  d 
und  r  abhängt,  M^—^n+m  wird. 

Setzt  man  nun 

p  =  (2  +  2^a. 

HO  dass  p  und  q  Primzahlen  und  a  ungerade  ist,  so  erhält  man: 

(f)=(?)<-')--^--^(f)=(^>-»^'^' 

woraus  zunächst,  wenn  man  berücksichtigt,  dass  ( — j  =  (— 1)1  *  J»)  ist: 
resultiren.     Hiemach  aber  wird: 


1)  Bouniakowßky,  Ann.  de  St.  Pötorsbourg,  Bd.  XIV. 


üeber  das  quadratische  Beciprocitätsgesetz.  253 

Aus  diesen  Formeln  geht  zunächst  die  merkwürdige  Zerlegung  von  f*  und  i 
hervor.  Was  die  Leg endre 'sehe  Formel  betrifft,  so  erhält  man  dieselbe 
leicht  aus  der  letzten  Gleichung  durch  Unterscheidung  der  beiden  Fälle 

p^^q  modA   und   p  — 2zEgfnö(J4. 

Eine  gewisse  Aehnlichkeit  mit  dem  Beweis  von  Bouniakowsky  hat 
der  Beweis  von  Busche  insofern,  als  der  Angelpunkt  dieses  letzteren  Be- 
weises der  Nachweis  ist,  dass  (77- — : — i=(--l)  *  (  — r  Diese  Formel 
ergiebt  sich  aber  unmittelbar  aus  der  allgemeineren  von  Bouniakowskj: 
(— j(  —  j=  (—1)  *  ,  wenn  man  darin  g  =  r,  also  n=0  setzt. 

Während  sich  aber,  wie  wir  gesehen  haben,  Bouniakowskj  bei 
Ableitung  seiner  Formel  der  Abzählungsmethode  des  fünften  Gauss 'sehen 
Beweises  bedient,  schliesst  sich  Busche  den  Ausführungen  des  dritten 
Gauss'schen  Beweises  an. 

Busche  setzt,  ähnlich  wie  vor  ihm  Voigt,  wenn  (— js=(— 1)**: 

li=:^£(ik    (ä  =  1, g— j » 

wo  fiA  die  Anzahl  der  ganzzahligen  Auflösungen  h  von 

P  +  1 

bei  vorgegebenem  h  bedeutet,  und,  wenn  (         4.      )  '^  (—  ^)^' 

wo  Mk    analog  wie    fiA  die  Anzahl  der  ganzzahligen  Auflösungen  K  von 

I^q  =  Hp  +  2Xq)+r\     fl:Z^  +  Xq</<p  +  2Xq) 
darstellt.  ^  ^ 

Setzt  man  q>p  und  k  positiv  voraus,  so  ergiebt  sich 

Mh^X  +  iij,,    folglich    3f=A^+fi. 
Nimmt  man  nun  an,  das  Beciprocitätsgesetz  gelte  für  p  und  q^  d.  h.  es  sei 

(f)(i)=<-'>^-'^. 

so  ergiebt  sich 

Ausserdem  ist  ,_i  «_i 


C) 


(t)(^)-=<-"-^  ••  -±^ 


254  Historisch -literarische  Abtheilung. 

Nun  greift  ein  Yon  Busche  gefundener  Hilfssat?.  Platz.  Aus  dem  Euklid 
sehen  Algorithmus  zur  Bestimmung  des  grössten  gemeinschaftlichen  Theilen 
zweier  Zahlen  ergiebt  sich  nämlich,  dass,  wenn  sich  aus  der  Richtigkeit d^: 
Relation  {x,  y)  zwischen  zwei  ungeraden  theilerfremden  ganzen  Zahlen  -i,  \ 
die  Richtigkeit  von 

I)    (+^y),      11)    (^.±1),      ni)    {x  +  2Xy,y),      IV)    (x,y  +  2iV, 
A,  X'  als  ganze  Zahlen  vorausgesetzt,   nachweisen  lässt,    {x^y)  aUgemeiL- 
Giltigkeit  hat  für  zwei  beliebige  ungerade  theilerfremde  Zahlen. 

Die  Annahme  der  Formel  A)  hat  aber  zur  Formel  B)  geföhrt  -  < 
besteht  eo  ipso  —  ;  jene  vier  Bedingungen  sind  also  erfüllt:  das  quadratis'ii 
Reciprocitätsgesetz  gilt  allgemein. 

Es  erübrigt  noch,  die  Beweise  von  Genocchi,  Schering  und  Krci 
ecker  zu  betrachten.  Es  ist  diesen  Beweisen  —  obgleich  sie  den  mi; 
getheilten  analog  sind,  insofern  in  ihnen  ebenfalls  die  Summe  fi+v  ^ 
stimmt  wird  —  eine  besondere  Stellung  deshalb  einzuräumen,  weil  sie  - 
der  eine  mehr,  der  andere  weniger  —  eine  gewisse  functionentheoretJMl 
Bedeutung  haben. 

Wie  bereits  erwähnt,  hat  Genocchi  seinen  Beweis  1852  veröffentlicL: 
Er  betrachtet  darin  Ausdrücke  von  der  Form: 

tt  =  Äq-Ä/>,     v^hq+kp-^^^^     (q>p,   Ä<|-,    k<-^^ 

und  untersucht,  unter  welchen  Bedingungen  u  und  v  positiv  resp.  negati? 
sind.     Durch  Yergleichung  dieser  Bedingungen  findet  er,  dass 

Anz.jt  pos.  V  —  Anz.^  pos.  m  =  0  oder  1  ist     (Ä  =  1 ,  •  •  •  y 

je   nachdem  hq  einen  positiven  oder   negativen   absolut  kleinsten  Rest  M.- 

dulo  fj  giebt.     Darnach  ist: 

fi  '^E:  Anz  Ä,/,  pos.  V  —  Anz./,,<t  pos.  u  mod2 
und  analog 

V  zu  knz.h^/c  pos.  V  —  Anz.A.Ä  pos.  u  mod  2, 

wenn  u=pk  —  qh  und   i  />  _  l  r     Somit  ergiebt  sich: 

(i  +  v  ^  Anz.^^jt  pos.  u  +  Auz.h^k  pos.  u  mod2, 
unsere  bekannte  Formel  sofort  liefernd. 

Schering  führt  an  Stelle  der  Ausdrücke  u,  v  die  folgenden  ein- 

IT—  ^  ^  h        ^        V—  ^  _„    ^     —  ^  j.  ^         ^ 

Dadurch  werden  seine  Ausführungen  einfacher  als  die  Genocchi's,  la&^^Q 
auch  eine  rationellere  functionentheoretische  Behandlung  zu.     Es  wird  danc 

Anz.»  pos.  (-  +  _  -  -^)  -  Anz.*  poB.  ^_  _  -)  =  0,  1 , 


üeber  das  quadratische  ReciprocitStsgesetz.  255 


je  nachdem  hq  eiuen  positiven  oder  negativen  absolut  kleinsten  Best  Mo- 
dulo  p  giebt.     Die  weiteren  Schlüsse  sind  wie  bei  Genocchi. 

Während  Oenocchi  und  Schering  das  Gauss'sche  fi-Lemma  vor- 
aussetzen, schlägt  Kronecker  einen  andern  Weg  ein:  er  setzt  an  Stelle 
des  Gau  SS 'sehen  Lemmas  den  Hilfssatz  des  ersten  Gauss 'sehen  Beweises. 
Krone  ck  er 's  Beweis  nimmt  also  eine  Mittelstellung  ein  zwischen  dem 
ersten  Gauss 'sehen  Beweise  und  den  in  diesem  Capitel  entwickelten.  Er 
ist  von  grosser  Bedeutung ,  eben  weil  er  so  verschiedenartige  Betrachtungen 
verbindet. 

Kronecker  definirt: 

f  —  j  als  das  Vorzeichen  (Vorz.  oder  Sgn.)  von: 

Aus  dieser  Definition  für  (  -  )  folgt  aber  ohne  Weiteres  das  Beciprocitäts- 
gesete.     Aus  77  (7  -  7)  =  7  IT  0* "  j)  *"«^*'^*  "«''• 

Diese  Formel  führt  zu  den  weiteren: 

B)  (^'i)  =  (-l^"(^^),     p'=--pmodq', 

(f)-(j)(0'  (;,-)-(^)(f)- 

Diese  Formeln  A/,  B;,  C)  zeigen  aber,  dass  die  Symbole  (— j  und  ( — j 

denselben  Gesetzen  gehorchen  wie  die  L e gen dre-Jacobi 'sehen  Symbole. 
Um  die  Identität  mit  denselben  nachzuweisen,  ist  daher  nur  zu  zeigen ,  dass 

/  — j  =  -f-l  wird,   wenn  p  quadratischer  Rest  von  q  ist,  und  dass  f—j 

=  —  1   wird,  wenn  p  quadratischer  Nichtrest  von  q  ist. 

Der  erste  Fall  erledigt  sich  sofori  Was  den  zweiten  Fall  betrifft,  so 
ist  nach  A)  und  C)  zn  zeigen,  dass  es  wenigstens  eine  Zahl  p  giebt,   für 

die   (  — j  =  — 1   ist.     Und  eine  solche  Zahl  p  giebt  es  in  der  That,  wie 

bereit«  Gauss  zum  Theil  in  seinem  ersten  Beweise  gezeigt  hat;  Krön- 
ecker  bat  die  Ausführungen  Gauss'  yeryoUständigt. 


(f) 


woraoB 


256  HLitcrl&ca -literarische  Actheilnnc'. 

Ed  iind  ar^n  r^m  .Si:^!!^»  'Leäesi  Cac.iit^Li  noca  iw^  Ar^hamünngvoL 
Krotteeker'3';  za  erwShneii,  in  denen  an  hferi&er  <jekcrig«ii  haEpt>aekl:*!r: 
Zw^i^riei  geleistet  wird:  die  UmförmTOg'  der  Scaerinz'sdwa  Potesz  'r 
ein  Pnyiiiet  und  der  dir»!tÄ  Sachweid^  daäs 

Aod  der  Bemerkang,  daaa  (a  —  xj  a— x  +  i  negatiTwird,  wenn  x  rviäciü^ 
a  und  a  +  ^9  oder  a  zwischen  x  — ^  u:id  x  liegt,  ergiebt  äioii,  wenn  blat 
mit  J?/'«;  den  Beat  bezeichnet,  welcher  Teru leibt,  wenn  man  Ton  a  ü- 
Däehatgr^^te  an  a  gelegene  ganze  Zahl  abzieht: 

Vorz.  Ba  =  Vorz.   a— i  (a— i  +  ^j. 
wenn  2r=[a  +  ^]  bt  Da  nun  ^a  — i    a— i+|;  poäitiT  bleibt  fÄr  t^  l«  +  il- 
Dar  k^=^[ü  +  ^]  ist  aoägeschloäsen ,  so  erhalt  man: 

T 

Y<m,B'a)^yoTz.TJ(a-i)'a-i+i),    r>[a  +  i]. 
as  _' 

YoTz.B(qa)=Yon,J^(qa'-k)(qa''k+^) 

oder,  4  podiÜT  Toransgesetzt, 

Vorz.B(,«)=Vorz.JJ(a-|)(a-^+^J.     i=  1, ...  r>i5:i  - 

Durch  die  Sabätitntion  k=^—^ k\  welche  erlaabt  ist,  da  durch  dieselbe 

nur  die  Anordnnog  der  Factoren  anf  den  rechten  Seiten  der  Torstehenden 
Gleichungen  eine  andere  wird,  resultirt: 

Vorz.(,a)=Vorz.7J(a-|)(a+|-i-)     (*=1,...  i^)- 

Ueber  den  Werth  Ton  a  ist  nichts  yoransgesetzt  worden;  wir  setzen 
a<  — •  —  Sind  nun  ferner  p  und  Ä<-^  positive  Grössen,  so  wird: 

v.„,(^)_v..J7(M)(M-^)   (-'•■^> 

Durchläuft  femer  h  ein  halbes  positives  absolut  kleinstes  Restsjstem  Mo- 
dulo  Pt  so  ergiebt  sich:  ^ 

Mi)-«-ne-^)(M-i)  (;:;;:S} 

Schering  hatte  nun  fttr  v  in  (—\  =  (^ty  gefunden: 

1)  Berliner  Mon.-Ber.  1884,  S.  619-537  und  645-647,  oder  Grelle  Jonm. 
XCVl  8.  848  und  XCVH  S.  93. 


lieber  das  quadratische  Beciprocitfttsgesetz.  257 


S)    v^  ^,  JAnz. po8.( 1 -g-j— Anz.pos.  ( J|   tnod2 

P-l\ 
••"2* 

<2-l| 
••-2- 

Durch  Vergleichung  der  Formeln  S)  und  K)  föUt  die  Verwandtschaft  der- 
selben sofort  ins  Ange. 

Wie  wir  ferner  g^ehen  haben,  beruhte  der  Beweis  von  Kronecker 
darauf,  dass  er  mit  Hilfe  Gauss^scher  Betrachtungen  nachwies,  dass  der 
Ausdruck : 


{f)=-.JT(M) 


fÄ-1      p-^l 


1Ä  =  1, 


<?-! 


2 

mit  dem  Lege  ndre 'sehen  Symbol   identisch  sei.     Im  Juni -Heft  des  Ber- 
liner Berichts  von  1884  giebt  nun  Kroneoker  die  directe  Ableitung  jener  • 
Formel.     Nach  Gauss  (3.  Beweis,  II.  Bd.  S.  6)  ist: 

Vorz.Ä(pao)  =  (-ir.     (      /<'^'<*'    l^\'    „    )• 
^       '         \80  dass  a  =  2aQ  oder  l^zaj 
Offenbar  ist  femer:  

.(-l)''"=Vorz.J7(^-«)      (ä  =  1,...^). 

80  dass  für  ^ 

^''^  x/»       >//     ^fc  =  2*0  oder  =  l-2fce, -^<2-/ 

ist,  woraus: 

ph,  =  Ä'o Vorz.  Yli^-j)  *>odq     (fc«,  ^'o  =  L  2,  •  •  •  ^)  • 

Hieraus  aber  folgt  ohne  Weiteres:  j 

Die   Gau 8 8 'sehen  Betrachtungen    über  R{a)  haben  also  Kronecker   zu 
einer  sehr  eleganten  und  brauchbaren  Formel  für  f — j  und  zu  einemjneuen 

Beweise  des  Beciprocitätsgesetzes  geführt. 

Schliesslich   will  ich  der  Vollständigkeit  halber  noch   bemerken,   dass 
Genocchi  seine  Formel: 

^  ^  2;(Anz.  pos.  V  —  Anz.  pos.  ü)  modq 
auch  aus  dem  von  Eisenstein  her  uns  bekannten  Ausdrucke  ableitet: 

Hlit^U«.  Ablhlir.  d.  ZdtMhr.  t  Math.  u.  Phyi .  XXX,  ff.  19 


258  Historisch -literarische  Abtheünng. 

,2hn  XL  pq  pq 

8tn 

Das  Priucip  der  Bednction  ist  also  im  Laufe  der  Jahre  in  die  Ter- 
schiedensten  Formen  gegossen  worden.  Das  Merkwürdigste  aber  ist  wobl 
an  jenem  Princip,  dass  es,  wie  Kronecker  gelehrt  hat,  ersetzt  werde» 
kann  durch  das  Princip  der  Indnction. 

Wir  recapitoliren  karz: 

Eisenstein  übersetzte  die  0  a n s s 'sehe  arithmetische  Sprache  des  dritten 
and  fünften  Beweises  in  sehr  anschaulicher  Weise  in  die  der  Geometrie.  Ge- 
ne cchi  benutzte  die  im  dritten  Beweise  aufgestellten  Gesetze,  welchen  GrSssen 
[x]  gehorchen,  und  die  spSter  yon  Kronecker  in  so  helles  Licht  und  unserem 
Verständnisse  so  nahe  gerückt  wurden,  um  daraus  gewisse  —  von  Schering 
und  Kronecker  erweiterte  und  veryollstilndigte  —  functionentheoretisehe  Be- 
trachtungen zu  knüpfen.     Stern  erkannte,  dass  zwischen  den  Gliedern  der 

halben  Bestsysteme  p,  •••      ^    p  und  g,  •••      ^    q  gewisse  Beziehungen 

stattfinden,   deren  Verwerthung  den  Gauss 'sehen  fünften  Beweis  abkürzt 
Zell  er  und  spftter  Petersen  benutzten  und  vervollstftndigten  diese  Dar-' 
legungen.     Zeller  erkannte  ausserdem  durch  eine  schüne  Substitution,  dass 

^^  fl>  •"     o     Q,  oder  p,  •••      n    P  Paare  von  Gliedern  Torkommen.   Voigt 

Vereinfachte  den  dritten  Gauss 'sehen  Beweis  dadurch,  dass  er  von  Tom- 
herein  die  Anzahl  der  kp^  welche  negative  absolut  kieinste  Beste  Module^ 
geben,  durch  eine  Differenz  zweier  grösster  ganzer  Zahlen  darstellte.  Bou- 
niakowsky  zerflülte  fi  und  v  in  eigenthümlicher  Weise,  indem  er  zeigt, 
dass  für  p^2an  +  r  {a^r  =  lmod2,  l<r<2a-l) 

wird,   wobei  m  nur  von  a  und  r,  nicht  aber  von  n  abhängt,   so  dass  f&r 

"'°(?)='-"'^"""  ""■  ^«  (7)(f)=<-"'"^'""' 

Mit  Hilfe  dieser  letzteren  Formel  und  der  folgenden: 

p  =  q  +  2^a 

leitet  Bouniakowskj  die  Legendre'sche  Formel  ab.  —  Busche  end- 
lich wies  mit  Hilfe  eines  speciellen  Falles  der  Bouniakowsky 'sehen  Formel, 
die  er  durch  Gauss 'sehe  Methoden  (3.  Beweis)  ableitete,  nach,  dass  die 
Existenz  der  Formel: 


üeber  das  quadratische  Beciprocitätsgesetz.  *        259 


P-I    £-1 

2  2 


die  der  andern: 


(i)(f)='-) 


bedingt,  und  folgert  hieraus  —  da  die  Gleichung 


(f)(f)=<-'>'-'-±> 


eo  ipso   besteht  —  unter  Anwendung  seines  allgemeinen  Satzes   die  AU- 
gemeingiltigkeit  des  quadratischen  Reciprocitätsgesetzes.  « 

So  sind  jene  Gauss 'sehen  Untersuchungen,  die  im  dritten  und  fünften 
Beweise  niedergelegt  sind ,  nach  allen  Riehtungen  hin  erweitert  imd  yeryoll- 
8 tändigt  worden. 


IIL  Capital, 
üeber  Eisensteines  Beweis  dnrch  fnnotionentheoretische  S&tse. 

Stellt  r  ein  halbes  Bestsystem   dar  Modulo  q,  so  wird  auch  rp  ein 

halbes  Bestsystem  Modulo  q  repräsentiren.   Setzt  man  nun  rp^zzsrmodqj  wo 

£  =  +  1  sein  mOge,  und  /demselben  halben  Bestsystem  wie  r  angehört,  so 

wird  für  ein  beliebiges  o : 

prm       erat 

^ fnodn. 

Hieraus  ergiebt  sich  aber: 

wenn  p  eine  einfach  periodische  Function  .mit  der  Periode  o  ist. 

Setzt  man  nun  noch  voraus,  dass  die  Function  p  die  negative  Multi- 
plication  zulftsst  (ich  gebrauche  diesen  Ausdruck  „negativ^*  in  üebereinstim- 
mung  mit  dem  Ausdrucke  complexe  Mnltiplication) ,  so  erhftlt  man: 

'(^)='Kt)- 

Die  r   sollten  aber  mit  den  r,  abgesehen  von  der  Beihenfolge,  zusammen- 
fallen, so  dass  wir  bekommen: 

i7p(^)=n.J7p(T)  -  (f)=/T.-jrT^- 

Nun  erhebt  sich  die  Frage,  ob  es  eine  Function  p  von  den  angegebe- 
nen Eigenschaften  giebt»  Wie  allgemein  bekannt,  genfigt  aber  die  Sinus- 
fnnction  den  gestellten  Anforderungen,  wenn  wir  a  =  2n  setzen;  es  resul- 
tirt  somit: 

19  • 


260        '  Ebtoriflch- literarische  Abtheflimg. 


(l)=n 


.   2rpn 


.  2rn 
sm 

2rn 
Setzt  man  zur  Abkürzung  v  = »  so  haben  wir  es  also  zu  thnn  mit  Ans- 

drücken  von  der  Form:  — : • 

smv 

Die  Eigenschaften  der  Sinus -Function  (einfach  periodisch,  gestattet  die 
negative  Multiplication)  genügen  nun  voUstftndig,  um  mit  Hilfe  derselben 
das  Beciprocitätsgesetz  abzuleiten.  D.  h. :  Die  Existenz  einer  einfach  perio- 
dischen Function,  die  die  negative  Multiplication  zulSsst,  ermöglicht  den 
Beweis  des  quadratischen  Beciprocitätsgesetzes. 

Wir  gehen  der  Vollständigkeit  halber  noch  etwas  genauer  auf  den 
Eisenstein'schen  Beweis  ein,  der  noch  lange  nicht  nach  seinem  vollen 
Werthe  gewürdigt  ist,  und  der  bald  zu  den  Beweisen  durch  Beduction,  bald 
zu  denen  durch  Kreistheilung,  mit  welchen  beiden  Arten  er  ja  auch  in  gewisser 
Beziehung  steht,  gerechnet  wird. 

Da  — : eine  gerade  Function  von  sinv  von  der  Form: 

smv 

8—1 

(-1)  «    2»-»«n»-^i7  +  ... 
ist,  so  ergiebt  sich  durch  den  Schluss  von  n  auf  n+2: 

smv      ^ 

Hieraus  folgt,  wenn  wir  die  Wurzeln  von  —. —  s=  0  mit  r  bezeichnen,   dass 

ainv 

^  =  (_l)T^2'-»J7(m»t;-T«). 
svnv 

da  die  Wurzeln  doppelt  vorkommen,  d*  h.: 

(i)=Z7((-i)'-^^-/7H^-))- 
(f)=ZT((-"'^2.-.jT(*'?f-f)). 

^«»^  .   2r« 

p-1  *^"^^ 

die  a  die  — ir-  verschiedenen  Wurzeln  von  7^ =  0  und 

2  ,   2r7c 

stn 

<l 
.    2 an 

die  ß  die  ^-5—  verschiedenen  Wurzeln  von  ^ =  0  sind 

P 
and  wenn  femer  r  und  q  halbe  Bestsysteme  Module  q  resp.  Module  p  durchlaufen. 


üeber  das  quadratische  Beciprocitätsgesetz.  261 

Wie  also  in  dem  Er  o  neck  er 'sehen  Beweise  das  Princip  der  Beduction 
ersetzt  wurde  durch  das  Princip  der  Induction,  so  wird  in  dem  eben  be- 
trachteten Eisen  stein 'sehen  Beweis  jenes  Princip  der  Beduction  ersetzt 
durch  fnnctionentheoretische  Erörterungen ;  wieder  ein  Beispiel  dafür,  wie  in 
der  Zahlenlehre  die  verschiedensten  Theorien  sich  verbinden  und  durch- 
dringen. 

IV.  CapiteL 

üeber  die  Beweise  mit  Hilfe  von  8&tien  ans  der  Theorie 
der  Kreistheilnng. 

Im  y.  Capitel  des  ersten  Theiles  unserer  Arbeit  finden  sich  die  Be- 
weise, welcie  sich  auf  Sätze  aus  der  Ereistheilungslehre  stützen.  Begründet 
wurde  diese  Theorie  von  O&uss,  der  sie  fand,  als  er  nach  einem  ferneren 
Beweise  seines  Fundamentaltheoremes  suchte.  Bereits  im  Jahre  1796^) 
kündigte  er  die  Construction  des  17 -Ecks  an.  Abgesehen  nun  von  den 
epochemachenden  Sätzen  über  imaginäre  Grössen  und  Functionentheorie, 
leitete  Gauss  aus  der  Kreistheilnng  drei  (wenn  man  will  "auch  vier)  neue, 
von  einander  verschiedene  Beweise  des  Beciprocitätsgesetzes  ab. 

Zunächst  wollen  wir  das  Lemma,  auf  welches  sich  sämmtiiche  Beweise 
durch  Ejreistheilung  stützen,  kurz  entwickeln.     Ist  q  eine  primitive  Wurzel 

von  =-  «=  0,    wobei  p  eine  Primzahl  repräsentiren  mag  und  g  eine 

primitive  Wurzel  zum  Modul  p,  so  werden  sieh  sämmtiiche  Wurzeln  q  in 
zwei  Beihen  anordnen  lassen,  nämlich  in: 

^»  Q^y  Q^,  •••  (»^'"'    ^nd    p^  p^,  ...   q9^'\ 
was  gleichbedeutend  ist  mit: 

q\  P*"i  Q"*  •••    und    (?*s  ^*»,  A  ..., 
wenn  a^^  o,'  "•'    sämmtiiche  quadratische  Beste  und  bj,   &,,  ...   sämmt- 
iiche quadratische  Nichtreste  Module  p  bedeuten. 
^1  =  2;^«   und    yt=2:p* 

nennt    man    dann    Perioden    und    speciell   — ^z — gliedrige   Perioden   von 

j»      1  *\ 
:j-«      Von  grosser  Wichtigkeit  ist  nun  der  Ausdruck: 

Vi  -  Vr 
Verhältnismässig  leicht  ist  die  Bestimmung  des  Quadrates  dieser  Dif- 
ferenz; es  findet  sich: 

A)  (yi-y,)»=(-i)'^p. 


1)  Allgem.  literatnrz.  1796. 

2)  Zur  Orientirung  diene  Bachmann,  Vorlesungen  über  Ereistheilung. 


262  Historisch  -  literarische  Abtheilung. 

Sehr  schwierig  war  aber  die  Bestimmung  des  Vorzeichens  yon  y^ — ^g« 
und  erst  nach  langem,  vergeblichem  Bemühen  überwand  Gauss  alle  ent- 
gegenstehenden Schwierigkeiten.  Er  schreibt  in  Bezog  auf  die  Auffindung 
dieses  Vorzeichens  an  01b  er s  1805^):  ,, Dieser  Mangel  (d.  h.  das  Fehlen 
des  Vorzeichens)  hat  mir  alles  üebrige,  was  ich  fand,  verleidet,  und  seit 
vier  Jahren  wird  selten  eine  Woche  vergangen  sein,  wo  ich  nicht  einen 
oder  den  anderen  vergeblichen  Versuch,  diesen  Knoten  zu  lösen,  gemacht 
hätte  —  besonders  lebhaft  wieder  in  der  letzteren  Zeit.  Aber  alles  Brüten, 
alles  Suchen  ist  umsonst  gewesen,  traurig  habe  ich  jedes  Mal  die  Feder 
wieder  niederlegen  müssen.  Endlich  vor  ein  paar  Tagen  ist's  gelungen  — 
aber  nicht  meinem  mühsamen  Suchen,  sondern  bloss  durch  die  Gnade 
Gottes  möchte  ich  sagen.  Wie  der  Blitz  einschlägt,  hat  sich  das  B&thsel 
gelöst;  ich  selbst  wäre  nicht  im  Stande,  den  leitenden  Faden  zwischen  dem, 
was  ich  vorher  wusste,  dem,  womit  ich  die  letzten  Versuche  gemacht 
hatte  ~  und  dem,  wodurch  es  gelang,  nachzuweisen.  Sonderbar  erscheint 
die  Lösung  des  Bäthsels  jetzt  leichter  als  manches  Andere,  was  mich  wohl 
nicht  so  viele  Tage  aufgehalten  hat,  als  dieses  Jahre,  und  gewiss  vnrd 
Niemand,  wenn  ich  diese  Materie  einst  vortrage,  von  der  langen  Klemme, 
worin  es  mich  gesetzt  hat,  eine  Ahnung  bekommen.'' 

Genug,   Gauss  fand,  dass: 

/r-<Y     _ 
B)  yi-y,=  i^   ''   Vp. 

Beide  Formeln ,  A)  sowohl  wie  B) ,  sind  nun  zur  Darlegung  des  Beciproci- 
ttttsgesetzes  benutzt  worden. 

Wir  beschäftigen  uns  zunächst  mit  den  Beweisen,  welche  sich  auf 
Formel  B)  gründen,  und  beginnen  mit  dem  vierten  Beweis  von  Gauss, 
demjenigen^  in  welchem  jene  wichtige  Bestimmung  des  Vorzeichens  von 
(^1  —  ^2)  geleistet  worden  ist. 

Setzt  man: 

so  ist  zunächst: 

=(f)Ki)- 

Die    Summen    (oder    Thetareihen)    fi^(— )  iiad    gI—j    nennt    man 

Gau  SS 'sehe  Sunmien.  Die  Bezeichnung  G  ist  von  Kronecker  eingeführt 
worden.*) 


1)  Schering,  Festrede,  S.  13. 

2)  ßerl.  Ber.  1880. 


lieber  das  quadratische  Reciprocitätsgesetz.  263 


Die  Bestimmung  von  C*(  — )  =  (yi  — ^g)*  verursacht  nun,  wie  schon 

bemerkt,   keine  besonderen  Schwierigkeiten    und  ist  schon  von  Gauss  in 
dem   166.  Artikel  seiner  Disq.  arithm.  geleistet  worden.     Die  Hauptsache 

bestand  eben  in  der  Bestimmung  des  Vorzeichens  von  ^  (  ~  ) '     Diese  Auf- 
gabe löste  Gauss  dadurch,  dass  er  die  Reihe: 

c(|)  =  i  +  e  +  (»*+- •  +  ?<•-'>', 

wo  Q  also  eine  primitive  n^  Einheitswurzel  ist,  transformirte  in: 

c  (I)  ={9-  9-')  (<»»-  9-')  ' .  •  (?«-''  -  e-'+*). 

Dadurch,  dass  dann: 

Q  =  C08 {-tarn 

«  <l 

eingeführt  wird,  resultirt: 


^^   ,    2n      ,    6n  .    ((2-2)2« 


8(i)>(2<y 


woraus  sich  unser  Vorzeichen  ergiebt. 

Des  Näheren  auf  den  Beweis    einzugehen,    dürfte  hier  nicht  nöthig 
sein  9  da  mit  dieser  Vorzeichenbestimmung  sich  der  Beweis  erledigt.     Die 

Betrachtungen   nun^  welche   zu  jener  Transformation  .von  ^(— )  ^    das 

Product:  (^— p~*)  (^*  — ^"^)  ...  (^«"*— ^~'+*)  führen,  sind  rein  arith- 
metischer Art.^)  „La  diffictdtS",  bemerkt  Dirichlet,')  „de  se  rendre 
bien  campte  ä  quai  tient  le  succds  des  consvdirations  diliccUes  par  lesqueUes 
ViUustre  auieur  op^e  cette  mginieuse  tramfarmation  nCayant  faü  rechercher, 
8i  an  ne  pouvaU  pas  risoudre  la  mSme  question  sans  y  recotmr,  je  suis 
parvefnu  ...^  Dirichlet  bestimmte  die  Gauss  'sehen  Summen  mit 
Hilfe  bestimmter  Integrale  u^d  benutzt  den  Hilfssatz,  dass,  wenn  der 
Werth: 

J'(tt)  =  Co  +  Cj  coa \rC^cos^a f-  ••• 

bekannt  ist,  die  Werthe  der  Beihen: 

2it  .            2»27r   ,              ^         .   2«          ■     2»2«  , 
Cq  +  c.co8 \rC^eo8 !-•••    imd    c^s%n \rc^co8 h--* 

oder    c^  +  Cje«  +c^e  ^    +«8*    +»**^2$e  ^ 
sich  bestimmen  lassen. 


1)  Brief  an  Olbers. 

S)  Grelle  J.  X7I1,  8.  67  (aosMrdem  XVIII,  XX,  XXI). 


264 


Historisch  -  literarische  Abtheilnng. 


Aus  der  bekannten  Eni  er 'sehen  Formel: 


*««a-l 


ergiebt  sich: 


ß 

OD  


worans  sich  die  folgenden  Formeln  ableiten: 


D,) 


/ 


cosof,  cas2vx .  dz 


/• 


sina^.eo82vx  .dx 


—  00 

Substitoirt  man  nun 


wobei  n  eine  positive  Constante  ist,  so  wird,   wenn  man  zur  Abkürzung 
-^(«)  — ^^  Cgcossa  setzt: 


Ü 

•       0 


CO«  -5-  •  F(a)  da=:  —-=  £0,6 
o  j/n 


7ni 


«n  -ö-  •  F(o)aa  =—^£c»e 
]/n 


ini 


8 


Nimmt  man  ^(a)  als  gegeben  an,  so  lassen  sich  die  Integrale  dadurch 
answerthen,  dass  man  sie  zerlegt  in  Theilintegrale  zwischen  den  Grenzen 
—  (4ä;  +  1)«  und  (4Ä;  +  l)7r,  worin  Ä  eine  beliebige  Zahl  ist  Diese 
Integrale  zerlegt  man  wiederum  in  (4A;+1)  andere  zwischen  den  Grenzen 
(2ä— l)w  und  (2ä+1)«»  worin  h  die  Werthe  von  —  2Ä;  bis  +2Ä;  an- 
nimmt. Diese  Integrale  zwischen  den  eben  angegebenen  Grenzen  lassen  sich 
aber  bestimmen,  und  dadurch,   dass  man  h  unendlich  werden  Iftss^,   auch 


die  ursprünglichen  Integrale,   wodurch  auch  die  Summen   Zc«e 


und 


-?^ä. 


ZCgB     "        gegeben  sind. 

Unsere  Gau  SS 'sehen  Summen  sind  aber  ein  specieller  Fall  dieser  all- 
gemeinen   Summen.       Setzen    wir   c«=l,    so    erhalten    wir    unmittelbar: 

^Pcgt  "     =gI — J    —  Für  diesen  speciellen  Fall  Cg=l  ist  aber  auch 

unsere  Annahme,  dass  F{ct)  bekannt  sei,  gerechtfertigt;   es  ist  dann  näm- 
lich:  JP(«)=  1 -l-cosa+ ••• +  co5(w— l)a    nach   einer   bekannten  Formel 


üeber  das  quadratische  Beciprocitätsgesetz.  266 


gleich  4  +  i '     ^^®s    ^^^   ^^®  Schlussweise ,    die   Dirichlet 

«n-J 

zur  BestiijLmung  der  Gauss^schen  Summen  anwendet 

Ehe  wir  zu  den  C  au  eh  y 'sehen  Arbeiten  übergehen,  erwähnen  wir 
noch  die  Abhandlungen  von  Libri^),  Heine*)  und  Lebesgue^). 

Libri  beweist  in  seinem  M6moire  über  Zahlentheorie,  S.  187,  die 
Formel :  „  . '. 

und  macht  das  Vorzeichen  ebenfalls  abhängig  von: 

A^(2i)  ^    sin  —  sin —  •••  stn2(n— 2)  — 

Er  sagt  aber  nicht,  wie  er  zu  dieser  letzteren  Formel  kommt.  Die  Trans- 
formation der  Summe  in  das  vorstehende  Product  ist  aber  der  Kernpunkt 
der  ganzen  Rechnung. 

Was  die  Abhandlung  von  Heine  betrifft,  so  fasst  dieser  die  Sachlage 
vom  Standpunkte  der  Beihenentwickelung  auf,  ohne  auf  die  tiefere  Be- 
deutung dieser  Beihen  Rücksicht  zu  nehmen.  Ich  stelle  He  ine's  Worte 
hierher:  „Lässt  eine  Function  sich  nicht  bloss  direct  in  eine  nach  ihrer 
Veränderlichen  x  aufsteigende  Reihe  entwickeln,  sondern  auch  indirect,  in- 
dem man  sie  als  Product  zweier  Factoren  darstellt,  die  nach  Potenzen  der- 
selben Variabelen  fortschreiten,  so  wird  der  Quotient  einer  jeden  Potenz 
von  X  in  der  ersten  Entwickelung  als  Summe  der  ersten  Reihe  auftreten, 
welche  nach  Ausführung  der  Multiplication  der  beiden  vorerwähnten  Fac- 
toren in  dieselbe  Potenz  von  x  multiplicirt  ist. 
'  Der  Grundgedanke   endlich   der  Arbeit  von    Lebesgue    ergiebt  sich 

aus  Folgendem:  Ist 

m  =  e{e).f[g>{e)] 

und  setzt  man  zur  Abkürzung: 

q>  [q>{z)]  =  cp^{e) ;     q>  \  q>[cp{z)']  j  =  q>^{z),    . . . , 
so  ergiebt  sich: 


wenn  die  f  und  S  congruent  bleiben.     Durch  Multiplication  erhält  man: 

1)  Grelle  J.  IX,  S.  64  und  139. 

2)  Grelle  J.  IXL,  8.  288. 

3)  Liouv.  J.  V,  8.  42. 


266  Historisch  -  literarische  Abtheilang. 


Wird  nun  fttr  n  =  oo,    9"(£f)  =  a,   so  ergiebt  sich: 

/•W  =  /'(a).©W.ö(vW).e(cp«(0))...e((p«^,W). 

Mit  Hilfe  von 

m  =  fia)  Ö(ft)  .  e(q>{h))  ...   ©((p— '(ft)) 
erhält  man  somit: 

f(B)  -  f<h)  »('>)-»W">)]  •••  »['P-'W] 

Setzt  man  nun: 

so  findet  sich   dadurch,  dass  man  im  allgemeinen  Gliede  von  f{z)  an  Stelle 
von  gj  q^e  setzt  und  mit  l^qz  multiplicirt : 

woraus 
und 

e(^)  =  i-,2;,,    e[<pW]=i-Q'^,  ...  e[(p--V)]  =  i-?*--'^ 

folgt,  so  dass 

/•(jer)  =  /'(q2»if).l--<25.1-q»0 l-q»--'if   ... 

wird.     Für  q  <  1  und  «  =  oo  wird  fiq'^z)  =  /(if) :  1  —  <2«  •  1  —  ^'j»    •     nnd 
da  /•(1)  =  1,  so: 

woraus  ^  ^  i 

für  m  zz  0  tnod2  resultirt. 

Setzt  man:   q»+*f=  <j''=  1,   so  ergiebt  sich  die  Gau8S*8che  Formel: 

Wir  gehen  nun  zu  den  Cauchy 'sehen  Arbeiten  ttber.  Es  handelt 
sich  darin,  eben  wie  bei  Oauss,  darum,  das  Vorzeichen  der  fraglichen 
Quadratwurzel  zu  bestimmen.  Bereits  1817  war  dies  Cauchj  mit  Hilfb 
reciproker  Functionen  gelungen,^  und  er  hatte  die  Formel  gefunden: 


0,        { 


ab  =  n. 


1)  Mit  Hilfe  derselben  Principien  sind  von  Lebeegue  auch  Tendiiedfloe 
Formeln  Jacobi'e,  Ell.  Funct  S.  186,  bewiesen. 

2)  Bull,  de  la  soc.  philomat.  1817.  •—  Vergleiche  auch  Exerc  de^oath.  U, 
.  118.    Compt  Rend.  1840.    laouy.  J.  V,  8.  184. 


üeber  das  quadratische  Beciprocitätsgesetz.  267 

Ans  dieser  Formel  lässt  sich  die  Gauss 'sehe  Summe  bestimmen.    Setzt 

man  nämlich:  a  =  «* »,   6  =  j?*-|-  -o-*>    ^^  *   ^^^  ß  °*®^  ^^^  ^^^^ 

convergiren,  so  wird  zunächst  na  =  2/3.  Multiplicirt  man  nun  beide  Seiten 
der  Cauchy'schen  Formel   mit  tia,   so  ergiebt  sich  nach  Fortlassung  des 

OD  _ 

gemeinschaftlichen  Factors    /g-*«^a;=^    der  Werth  für  c(~)- 

Wir  haben  nun  zur  Bestimmung  des  Gauss^schen  Vorzeichens  das 
Material  vor  uns,  so  dass  wir  an  eine  Sichtung  desselben  gehen  können. 
Ein  Blick  auf  die  Gauss 'sehe  Formel  zeigt,  dass  die  Vorzeichenbestimmung 
abhängig  ist  von  der  Transformation  der  Gauss 'sehen  Summe  (oder  der 

Thetareihe)   ö(  — 1    in  das  Product: 

Jene  Transformation  aber,  „si  ing^nieuse'',  beruht  auf  rein  arithmetischen 
Betrachtungen.  Dirichlet,  durch  diesen  Umstand  veranlasst,  ging  einen 
Schritt  weiter  und  zeigte,  dass  die  Vorzeichenbestimmung  abhängig  ist  von 
den  Eigenschaften  bestimmter  Integrale.  Canchy  endlich  brachte  voll- 
ständige Klarheit  in  die  in  Bede  stehende  Angelegenheit  und  wies  nach, 
dass  das  fragliche  Vorzeichen  auftritt  bei  einer  gewissen  Transformation 
von  Thetareihen.     Seine  Formel  ist: 

Die  vorstehende  Formel  erregte,  wie  Cauchy  selbst  bemerkt,  auch 
das  Interesse  Lagrange 's,  der  sie  für  kleine  Werthe  der  Variabelen  be- 
reits kannte. 

Auch  Lebesgue  war  sich  des  ümstandes  völlig  bewusst,  dass  die 
Cauchy'sche  Formel  ihre  Basis  in  der  Theorie  der  elliptischen  Functionen 
habe;  er  weist  darauf  hin,^)  dass  die  Cauchy 'sehe  Formel  schon  Po  in  so  t 
bekannt  gewesen  sei,  und  zwar  in  der  Form: 

«  =  0,    .  .  .    00. 

Und  in  der  That,  setzt  man  «=tt-'  6*=  4ä?w*,  so  dass  ah  =  n  wird, 
so  geht  die  Formel  von  Poinsot-Lebesgue  in  die  von  Cauchy  über. 
Ist  femer   a  =  j--  =  jro?,    so  erhält  man: 


ik 


/l' 


l+2e-'"  +  2e-^'"  +  * 


l-f2e   '  +  2e     * 
eine  Relation  Jacobi's.^ 


1)  Liouv.  Journ.  V,  S.  186. 

2)  Jacobi,  Grelle  J.  111,  S.  a03. 


268  Historisch -literarische  Abtheilung. 

Der  Wichtigkeit  der  C auch 7 'sehen  Arbeit  wegen  reproduciren  wir  sie 
kurz,  und  zwar  in  Krön  eck  er 'scher  Fassung.^) 

Aus  der  mit  Hilfe  Cauchy 'scher  Principien  abgeleiteten  Formel: 

OD  * 

4:n  logu  logv  =  l 


findet  man: 


^,) 


-4^('<W»  +  2">»0' 


=  1, 


lagx.logyo=l, 
voraas  wiederum  folgt: 

Setzt  man  nun:    —logx^sz  w^'\ 1  wobei  k  und  fi  ganze  Zahlen  sein 

sollen,  und  lässt  w  nach  der  Null  convergiren,  so  entsteht: 

(tt*  tÜ^\  14*  W^  tt 

l  +  ^-Tg-l  toyy=  +YT  und  (fur)  positiv  ist: 

Mm  (^tc;)  i:^«'*  =  G  f  y^j » 
mithin  nach  JT,):  «'  n**^ 

folgt  ^  ^     v^y     VW 

Mit  Hilfe  dieser  letzteren  Formel  ist  aber  die  Transformation  einer 
0  au  SS 'sehen  Summe  in  eine  andere  geleistet;  und  mit  Hilfe  dieser  Formel 
kann  man  leicht  jenes  fragliche  Vorzeichen  bestimmen:  „Die  Bestimmong 
desselben  tritt  in  Evidenz."*)  In  der  oben  citirten  Abhandlung  geht  aber 
Kronecker  noch  einen  Schritt  weiter;  er  weist  da  auch  nach,  dasa  mit 
Hilfe  der  Oauss'schen  Summen  die  Transformation  der  Thetareihen  sich 
bewerkstelligen  Ifisst.     Es  genügt  hier,  darauf  hingewiesen  zu  haben. 

Ein  Punkt  ist  aber  noch  anzuführen:  der  Zusammenhang  der  Cauch  j- 
schen  und  Dirichlet'schen  Arbeit.  Wie  wir  sahen,  ist  Dirichlet's 
Vorzeichenbestimmung  abhängig  von  den  Formeln  D^  und  D,  und  von  der 
Substitution  D3 ,  die  Cauchy's  von  der  Substitution  Z^  und  den  Formeln 
K^  und  K^.  —  D|  und  D,  drücken  aber  die  Grenzwerthe  von  Thetareihen 
aus,  aus  denen  mit  Hilfe  der  Substitution  D3,  fdso  mit  Hilfe  einer  Trans- 

1)  Berl.  Mon..Ber.  1880,  S.  686,  854. 

2)  Eronecker,  Berl.  Mon.- Ber.  1880. 


üeber  das  quadratische  Beciprocittttsgesetz.  269 


formation  derselben  jenes  Vorzeichen  gewonnen  wird.  Dirichlet  bestimmt 
also  erst  den  Grenzwerth  einer  Thetareihe  und  transformirt  dann  dieselbe. 
C  au  oh 7  schlägt  den  umgekehrten  Weg  ein:  er  transformirt  erst  eine  Theta- 
reihe durch  die  Substitution  logx  logy  =  1  und  geht  dann  zur  Orenze 
über,  durch  welche  Operation  er  aus  K^  die  Formel  K^  erhält.  Auf  diesem 
umstand  beruht,  wie  Eronecker  bemerkt,  der  ganze  unterschied  der 
Arbeiten  von  Dirichlet  und  Cauchj. 

Wir  kommen  nun  zu  den  Beweisen,  welche  sich  direct  auf  die  Formel 

£-1 

A),  d.  h.  auf  (yi— y2)*=(— 1)  *  P  gründen.  Wir  beginnen  mit  dem 
sechsten  Beweis  von  Gauss  und  schliessen  an  denselben  den  von  Cauchy- 
Jacobi-Eisenstein  an. 

Bezeichnet  —  nach  dem  sechsten  Gauss 'sehen  Beweise  —  Q  die  Beihe 
«^  —  rr~^  +  Ä^' +  ...— a;^~*,  wobei  g  eine  primitive  Wurzel  von  p  ist, 
so  ist  zunächst 

G^  —  Gq-^O  madciy  wenn   C,  =  a;«  —  jr«i^+ ...    ist 

oder,  wenn  X  eine  ganze  Function  von  x  ist: 

1)  G9^Gg  =  qX. 

Setzt  man  femer  q^^^gf^  modpj  so  ist: 


2,  «.-(1), 


l  —  XP 


W, 


1-x 

wo  W  wiedemm  eine  ganze  Function  von  x  ist. 
Aas  dem  System  Gleichungen: 

a,»»  c -«»*+»*  +  «»*+'+»*  +  ...  + a;'' +»*  =  a;»*+ •  I  («'*-'*"'- 1 )  +  ...  I, 
t  =  0,  1,  ...  p-2 

erhBlt  man  ferner  durch  rein  algebraische  Betrachtungen:         ^ 

3)  G«-(-l)«    p=.L^Z, 

wo  Z  ebenfalls  eine  ganze  Function  von  x  ist.     Hieraus  folgt  aber: 

^Inl.lzJ  Lzi      l  —  icP 

4)  G«-i-(-l)  »       ^    p^    =T=7^' 

worin  Y  dieselbe  Eigenschaft  wie  Z,  TT,  Z  hat. 

Aus  den  Formeln  1) — 4)  ist  nun  das  Beciprocitätsgesetz  leicht  ableitbar. 

Auf  den  ersten  Blick  scheint  es,  als  ob  der  Gauss 'sehe  sechste  Beweis 
seine  Hilfsmittel  lediglich  der  Functionentheorie  entlehne ;  aber  bei  genauerer 
Betrachtung  zeigt  sich,  dass  das  G  nichts  Anderes  ist,  als  die  Differenz 

Wenn  man  nun  den  allgemeinen  Charakter  von  x  in  G  beschränkt, 
d.  h.  dem  x  specielle  Werthe  beilegt,  so  ist  zu  erwarten,  dass  sich  jener 
Gau  SS 'sehe  Beweis  vereinfachen  wird,  und  dies  ist  in  der  That  der  Fall. 
Jacobi    und  Canchy   lassen  x  eine  imaginäre  Wurzel   von  x^  =  l  sein 


270  Historisch -literarische  Abtheilnng. 

Eisenstein  setzt  geradezu  o^bs  j.  Principiell  sind  diese  drei  Beweise  unter 
einander  nnd  von  dem  Gauss 'sehen  sechsten  Beweise  nicht  yerschieden. 

Wir  haben  nun  zwei  Beweise  zu  betrachten,  welche  arithmetisdtier 
Natur  zu  sein  scheinen  und  ihre  Quelle  doch  in  der  Kreistheilung  haben.  Es 
sind  dies  Eisensteines  zweiter  und  Lebesgue's  erster  Beweis. 

Was  zunächst  den  Beweis  von  Eisenstein  betrifft,  so  beruht  dieser, 
wie  auch  schon  Lebesgue^)  bemerkt,  auf  einer  eigenthümlichen  Entwicke- 
lung  der  Potenz: 

(2(i)^)'  .=1,....-.. 

Eisenstein  setzt: 

{2e)^r={(7)-+(i)-+-+(^)''i' 

Die  eingeführten  if;- Functionen  sind  also  die  Coefficienten  der  Variabelen  in 
der  Entwicklung  jener  Potenz  nach  eben  dieser  Variabelen.  Auf  rein  arith- 
metischem Wege  werden  die  Werthe  für  i/;  bestimmt,  wodurch  als  End- 
resultat: p—I  £--i    q—i 

^(9,0=  (-1)~'~P~  (Q=  l  nu>d2) 
sich  ergiebt.     Es  ist  also 

Diese  Formel  giebt  das  Beciprocitätsgesetz ,  wenn  man  bedenkt,  dass  in 
^(9»i)  ~^/ (~)  "    V"^ )  ^^^  einmal  die  a  gleich  werden  können ^   weil 

qoi^l  modp  nur  eine  Lösung  zulässt. 

Der  Beweis  von  Lebesgue  ist  nach  Bachmann')  von  dem  Eisen- 
stein'sehen    nur    dadurch   verschieden,    dass    Lebesgue    an    Stelle    von 

l^j  ( — j^^f     die  Potenz  \2x^''\^  anwendet.     Dann  wird: 

{x  +  ix^  +  ,..+x<P'- ^^y  =  Wo'  -h  ng ^x^  +  Viq^iji', 
worin  a  die  quadratischen  Beste,  h  die  quadratischen  Nichtreste  Module  q 
bedeuten  und 

«0  die  Anzahl  der  Lösungen  von  «?,*+• +^g*^0  modp^ 

n^    „        „         „         „  „    V+- •■  +  V  =  «  ♦»»^^P 

und  n\  „         „         „         „  „     a;j*+...-f rc^^^fe  moä'g  ist. 

Die  Bestimmung  der  n  ergiebt  das  Beciprocitätsgesetz. 
In  dem  siebenten  Gauss 'sehen  Beweise,   der,   wie  wir  später  sehen 
werden,  eigentlich  der  dritte  ist,  tritt  ein  neuer  Gesichtspunkt  zu  den  bis- 

herigen  hinzu.     Durch  Anwendung  der  Formel  (yi— yj)*=»  (— 1)  *    p  und 


1)  Liouville  J.  V. 

2)  Vorlesungen  Über  Ereistheilang. 


üeber  das  qnadratisofae  Reciprooitäisgesetz.  271 

der  Relation  ]+^i+S^a  =  0  ergiebt  sich  nämlich,  dass  y^  and  ^^  Wurzeln 
der  quadratischen  Gleichung 


A)  ^+x+^-^-J^'   P^O 


sind,  welche  durch  die  Substitution  ^  =  2^  +  1  übergeht  in  die  folgende: 

B)  y«=(-l)^p  =  G». 

Man  verwandelt  die  Gleichung  B)  oder  A)  in  Congruenz  Module  q.  Die 
Möglichkeit  oder  Unmöglichkeit  derselben  kann  auf  doppelte  Weise  bestimmt 
werden  und  die  Yergleichung  der  beiden  Relationen  erglebt  unsere  bekannte 
Formel. 

Der  Beweis  endlich  von  Liouville  nimmt  unter  den  in  diesem  Capitel 
analysirten  Beweisen  eine  ähnliche  Stellung  ein,  wie  der  von  Eronecker 
unter  den  Beweisen  durch  Reduction;  Liouville  umgeht  das  Princip  der 

Ereistheilung   und  führt  dafClr  das  Princip  der  Reduction  ein.    Aus  =- 

X  —  1 

=»  («-^*)(ä-^*),  . .  •  (05—^^^"*^)  —  ^  ist  primitive  Wurzel  von  =-  =0  — 

erhält  er,  wenn  er  o?  =  1  setzt  und  die  beiden  Seiten  der  Gleichung  auf  die 
— 7z —    Potenz  erhebt: 

V 


oder 

Durch  Einführung  des  Gauss'schen  Lemmas  folgt  aber  unsere  Formel,  wenn 

^— — ^irr-)=  +  l  wird,  je  nachdem  ag  einen 

positiven  oder  negativen  absolut  kleinsten  Rest  Module  q  giebt.  Obgleich  also 
die  Beweise  durch  „Ereistheilung"  nicht  so  zahlreich  sind,  wie  die  durch 
„Reduction*',  so  ist  doch  auch  das  Princip  der  Ereistheilung,  wie  wir 
geselyn,  in  die  verschiedensten  Formen  gegossen  worden.  —  (Geradezu  be- 
deutende Arbeiten  sind  die  von  Dirichlet  und  Cauchy,  in  denen  das 
berühmte  Vorzeichen  von  y^  —  y^  bestimmt  wird. 

Zum  ersten  Male  —  wir  kommen  darauf  in  den  Schlussbemerkungen 
zurück  —  ist  der  Beweis  von  Gauss  mit  Hilfe  der  Periodencongruenzen 
geliefert  worden:  die  Möglichkeit,  die  Lösbarkeit  oder  ünlösbarkeit  der 

Congruenz  y'^  (•— 1)  ^  p  woäq^  auf  zweifache  Weise  auszudrücken,  führte 
zum  Ziele.  1811  veröffentlichte  er  femer  seine  berühmte  „Summatio  qua- 
rund.  serier.  sing.  etc.*S  welche  den  vierten  Beweis  enth&lt,  der  sich  stützt 


272  i Historisch -literarische  Abtheilnng. 


auf  G (^j  =  (— )  G (— )  =  T— ^  {yi-y%)\  1818  bereits  den  sechsten  Be- 
weis, der  nicht  von  y^  — y^,  sondern  von  (^i— ^g)*  abhängt.  Jacobi, 
Canchj  und  Eisenstein  vereinfachten  diese  letzteren  Darlegungen  da- 
durch, dass  sie  der  bei  Gauss  beliebigen  Yariabelen  x  specielle  Werthe 
beilegten.  —  Liouville  führte  an  Stelle  des  „Princips  der  Kreistheilung** 
das  ,,Princip  der  Beduction''  ein  und  zeigte  dadurch  wiederum,  wie  innig 
die  verschiedenen  Zweige  der  Zahlentheorie  unter  einander  verwandt  sind. 
Eisenstein  und  später  Lebesgue  weisen  nach ,  dass  die  Coefficienten  in 

der  Entwickelung  von  I^V  ^ — ja;l|     resp.  \Ex^y^  (A  =  l  ...p— 1)  nach 

X  gewisse  zahlentheoretische  Eigenschaften  haben,  welche  zur  Herleitong 
des  Reciprocitätsgesetzes  geeignet  sind. 

In  der  genialen  Summatio  Gauss'  jedoch,  welche  die  so  schwierige 

7/ — ^^ 

Bestimmung  des  Vorzeichens  der  Quadratwurzel  in  ^1—^2=  +  ^  (—1)  *  P 
gab,  war  noch  ein  dunkler  Punkt  insofern,  als  jene  Bestimmung,  unter 
arithmetischen  Operationen  verdeckt,  nicht  die  klare  Quelle  erkennen  lässt, 
aus  der  sie  fliesst.  Mannigfache  Versuche  wurden  gemacht,  diese  Quelle 
zu  finden.  Dirichlet  gelang  ein  bedeutender  Schritt  vorwärts,  doch  scheint 
er  selbst  die  Wichtigkeit  und  Tragweite  seiner  Arbeit  noch  nicht  völlig 
erkannt  zu  haben.  Cauchy  gebührt  das  Verdienst,  uns  gelehrt  zu  haben, 
dass  das  Vorzeichen  jener  Wurzel  bei  der  Transformation  von  Thetareihen 
„in  Evidenz  tritt"  —  wie  sich  Er 0 necker  ausgedrückt,  welcher  in  licht- 
voller, eleganter  Weise  die  Dir  ichle  tischen  und  Cauchy 'sehen  Abhand- 
lungen bespricht.  Die  Thatsache  aber,  dass  jenes  Vorzeichen  von  ^i  —  ^g  =  ^ 
seinen  Ursprung  hat  in  der  Theorie  der  Thetareihen,  ist  wieder  ein  Beleg 
dafür,  dass  die  höhere  Arithmetik  mit  den  verschiedenartigsten  Gebieten  der 
Mathematik  in  Connex  steht. 


V.  Capitel. 

lieber  die  Beweise,  welche  sieh  auf  Sätse  ans  der  Theorie 

der  quadratischen  Formen  stützen.  ^ 

1.  Anlangend  den  Beweis  von  Gauss,  so  ist  dessen  Hauptnerv,  wie 
Kummer^)  sagt,  die  Thatsache,  dass  die  Anzahl  der  wirklich  vorhan- 
denen Genera  höchstens  halb  so  gross  ist,  als  die  Anzahl  der  angebbaren. 
Gauss  zeigt  nun,  dass,  wenn  das  R«ciprocitätsgesetz  nicht  statt  hätte,  jene 
Anzahl  der  wirklich  existirenden  Geschlechter  grösser  sein  müsste,  als  die 
Hälfte  der  Anzahl  der  angebbaren.  —  Gauss  unterscheidet  bei  seinem  Be- 
weise vier  verschiedene  Fälle,  die  sich  aber  bei  passender  Bezeichnung,  wie 


1)  Abhandl.  d.  Berl.  Akad.  1869. 


üeber  das  quadratische  Beciprocitötsgesetz.  273 


Dirichlet*)   gezeigt  hat,  auf  zwei  reduciren  lassen.     Wir  sind  auch  hier 
dem  Vorgange  Dirichlet's  gefolgt. 

2.  Der  erste  Beweis  von  Kummer  femer  beruht  im  Wesentlichen  auf 
Eigenschaften  der  PelTschen  Gleichung  ^*  — i)M*=l,  woraus  die  folgende 
Gleichung  sich  ableitet: 

K)  l  =  mx«"-mX«      lo'^"'^' 

'  l  2xAs=u. 

Diese  Gleichung  liefert  die  Belationen: 


"T         (^)-(=^)='- 


Zur  Ableitung  des  Gesetzes  iSsst  nun  Kummer  D  verschiedene  Werthe  an- 
nehmen. Sind  p  und  p'  Primzahlen  von  der  Form  4n  +  3,  q  und  q'  solche 
von  der  Form  An+l^  so  setzt  Kummer: 

I)  D  =  pp\  II)  D=pp'q,  III)  D=pp'qq. 
Im  ersten  Falle  kann  D  auf  4,  im  zweiten  auf  8,  im  dritten  auf  16  ver- 
schiedene  Weisen  in  zwei  Factoren  zerfällt  werden.  Kummer  schliesst  nun 
zunächst  die  Fälle  der  Zerlegung  aus,  in  denen  m  resp.  m'  gleich  Eins 
werden,  so  dass  2  resp.  6  resp.  14  Zerlegungen  von  D  restiren.  Nun 
nimmt  er  an  im  zweiten  Falle,  p'  sei  so  wählbar,  dass 

sei,  im  dritten  Falle,  p  und  p'  seien  so  wählbar,  dass 

(1)=©=-.  (i)=(f)=- 

seien.  Die  Zulässigkeit  dieser  Annahme  ist  aber  von  Dirichlet  nach- 
gewiesen worden,  wie  bereits  bemerkt  wurde. 

Der  zweite  Beweis  von  Kummer  gründet  sich  auf  das  Lemma,  dass, 
wenn  eine  Primzahl  r  darstellbar  ist  durch  eine  quadratische  Form  von  der 
positiven  oder  negativen  Determinante  Q  ^  1  ino(24,  welche  die  Hauptform 
nicht  ist,  es  stets  eine  ungerade  Potenz  von  r  giebt,  welche  durch  die 
Hauptform  darstellbar  ist.     In  Zeichen: 

Hieraus  erhält  man  durch  Unterscheidung  von 

q  =  — p^  1  modAy     q=  +  p^l  modA 
und  dadurch,  dass  man  r  gleich  4n-fl,  An +  '6  setzt,  das  Beciprocitäts- 


1)  Dirichlet,  Vorlesungen  über  Zahlentheorie. 


Hist.-lit.  Abthlg.  d.  Zeitsclir.  t  Math.  u.  Phyi.  XXX,  6.  20 


'214: 


Öistoriscii  -  literarische  Abtheilung. 


Schlussbemerkungen. 

Im  Folgenden  wollen  wir  noch  einige  historische  Anmerkongen  machen 
über  die  im  ersten  Abschnitt  zusammengestellten  Beweise. 

Die  chronologische  Reihenfolge  derselben  ist  nachstehende.  (Dabei  be- 
deutet: J  Beweis  durch  Jnduction,  B  Beweis  durch  Reduction,  K  Beweis 
durch  Kreistheilung,  FjTä  Beweis  durch  Functionen theorie,  JP  Beweis  dnrch 
Formenlehre.) 


I. 

II. 

III. 

IV. 
V. 

VI. 
VII. 
VIII. 


IX. 

X. 

XI. 

XII. 


1.  Beweis  v.  Gauss 

2.  Beweis  v.  Gauss 
7.  und  8.  Beweis  v. 

Gauss  (Lebesgue) 

3.  Beweis  v.  Gauss 

4.  Beweis  v.  Gauss 

5.  Beweis  v.  Gauss 

6.  Beweis  v.  Gauss 
Beweis  v.  Cauchy 
Bew.v.Jacobi(VIII) 

1.  Beweis  v.  Eisen* 
stein  (VIII) 

2.  Bew.  V.  Eisenstein 

3.  Bew.  V.  Eisenstein 

4.  Bew.  V.  Eisenstein 
Beweis  v.  Liouville 


/ 

1796 

XIII. 

F 

1801 

XIV. 

E 

? 

R 

1808 

XV.  1 

K 

1811 

XVI. 

R 

1818 

XVII. 

K 

1818 

XVIII. 

K 

1829 

XIX. 

K 

1830 

XX. 

K 

1844 

XXI. 

K 

1844 

XXII. 

R 

1844 

XXIII. 

FTh 

1845 

XXIV. 

K 

1847 

XXV. 

1.  Bew.  V.  Lebesgue 
Beweis  v.  Genocchi 

2.  Bew.  y.  Lebesgue 

(III) 

1 .  Beweis  v.  Kummer 

2.  Beweis  v.  Kummer 
Beweis  v.  Stern 
Beweis  v.  Zeller 
Beweis  v.  Kronecker 
Beweis  v.  Bounia- 

kowskj 
Beweis  v.  Schering 
Beweis  v.  Petersen 
Beweis  v.  Voigt 
Beweis  v.  Busche 
Beweis  v.  Pepin^) 


1847 
1852 

1860 
1861 
1861 
1870 
1872 
1876 

1876 
1879 
1879 
1880 
1883 


Die  im  I.  Capitel  des  ersten  Abschnittes  gegebene  Einleitung  tLberhebt 
mich  hier  der  Mühe,  auf  die  Streitfrage,  die  Priorität  der  Aufstellung  des 
BeciprocitStsgesetzes  betreffend,  einzugehen.  Bemerken  will  ich  nur  noch, 
dass  sich  Legendre  in  einem  Briefe  an  Jacobi^)  darüber  beschwert, 
dass  Gauss  ftLr  sich  die  Auffindung  des  Beciprocitätsgesetzes  in  Ansprach 
nähme.^)  Wie  wir  aber  gesehen  haben,  war  weder  Gauss  noch  Legendre 
der  Entdecker  jenes  Gesetzes;  vielmehr  gebührt  Euler  dieses  Verdienst. 

In  Bezug   auf  die   chronologische  Reihenfolge   der  Gauss 'sehen  Be- 
weise  halte   ich  einige  Bemerkungen   für  geboten.      Kronecker^)   nimmt 
an,  dass  die  Beweise  in  der  folgenden  Reihenfolge  entstanden  sind: 
1.,  2.,  4.,  6.,  3.,  5. 

1)  Atti  della  Acc.  Pontif.  dei  Nuovi  Lincei,  XXXI,  war  mir  leider  nicht  zugänglich. 

2)  Grelle  LXXX,  S.  217,  oder  Jacobi's  Werke  IT,  S.  161. 
8)  Disqu.  arithm.,  Art.  161. 

4)  Berl.  Mon.-Ber.  1876,  S.  272. 


üeber  das  quadratische  Beciprocittttsgesetz.  275 


Dagegen  ist  Mancherlei  einzuhalten.  Die  von  Oauss  in  den  Disqu.  Arithm. 
versprochenen  „Duas  alias  demonstrationes*'  sind  nicht  der  vierte  nnd  sechste, 
wie  Eronecker  annimmt,  sondern  zwei  Beweise,  die  gar  nicht  bei  Leb- 
zeiten Gauss'  gedruckt  worden  sind.  Sie  befinden  sich  im  Nachlass.^). 
Der  eine  ist  der  mitgetheilte  siebente  Beweis,  der  andere  (der  achte)  ist 
diesem  so  ähnlich ,  dass  er  nicht  als  selbständiger  Beweis  aufgezählt  worden 
ist.  Gauss^)  sagt  ßelbst  von  dem  siebenten  Beweis:  „Haec  igUur  est 
tertia  theorematis  fundamentälis  eap.  IV  completa  demonstratio.*'  Weiter 
nennt  er  in  der  Anzeige  seiner ;,  Theorematis  arith.  dem.  nov.''^)  den  dritten 
Beweis  (den  ersten  durch  Beduction)  den  fünften  Beweis ,  so  dass  die  Reihen- 
folge sich  so  gestaltet: 

1.,  2..  7.  (8.),  3.,  4.,  5.,  6. 

Wahrscheinlich  hat  Gauss  den  siebenten  und  achten  Beweis  nicht  ver- 
öffentlicht, weil  er  die  Fortsetzung  der  Disquisitiones  beabsichtigte.  Und 
in  der  That  würde  die  Lehre  von  den  Periodencongruenzen  (Kreistheilung), 
auf  die  sich  der  siebente  und  achte  Beweis  stützt,  einen  Theil  dieser  Fort- 
setzung ausgemacht  haben.  So  kam  es,  dass  nach  ziemlich  60  Jahren 
Lebesgue  denselben  Beweis,  den  schon  Gauss  kannte,  von  Neuem  fand.^) 

Noch  zu  erwähnen  ist  die  Priorität  des  Beweises  von  Cauchy  gegen- 
über den  Beweisen  von  J a c o b i  und  Eisenstein.  Alle  drei  Autoren  sind 
selbständig  zu  ihren  Beweisen  gekommen,  denn  der  Vorwurf  Jacobi's*), 
Eisenstein^)  habe  seinen  Beweis  uus  Jacobi's  Vorlesungen  entnommen, 
ist  durch  die  Entgegnung  Eisensteines'')  als  widerlegt  anzusehen. 

Zium  ersten  Male  ist  der  Beweis  von  Cauchy -Jacobi -Eisen- 
stein 1829  im  Septemberheft  des  Bulletin  de  F6rns8ac  (niath.  Abth.)  ab- 
gedruckt. Jacobi  hat  seine  Arbeit  Legondre  mitgetheilt,  der  sie  in 
die  1830  erschienene  dritte  Auflage  seiner  Theorie  des  nombres  aufgenom- 
men hat.  Legendre  sagt  von  diesem  Jacob i'schen  Beweise^]:  „C'est  la 
plus  simple  entre  toutes  les  ddmonstrations  connues  de  cette  proposition  fon- 
damentäle,^     Im  üebrigen  erwähnt  Legendre  Jacobi  auch  nicht. 

Schauen  wir  nochmals  auf  unsere  Beweise  zurück,  so  sehen  wir,  liegen 
die  Principien  derselben  keimend  schon  in  den  Gauss 'sehen  Beweisen. 
Es  muss  unsere   höchste  Bewunderung  erregen,    wenn   wir  uns  vergegen- 


1)  Gauss*  Werke  11,  S.  233. 

2)  Gauss'  Werke  II,  S.  234. 

3)  Gauss'  Werke  II,  S.  161. 

4)  Aus  dem  Vorstehenden  geht  auch  hervor,  warum  gewisse  Beweise  in  der 
Tabelle  S.  274  keine  Nummern  haben. 

6)  Grelle  J.  XXX,  S.  172.  • 

6)  Grelle  J.  XXVIII,  S.  41. 

7)  Grelle  J.  XXXV. 

8)  Table  des  matiäres,  S.  XIII. 

20» 


276  Historisch -literarische  Abtheilung. 

wärtigen,  was  Gaass  in  20  Jahren  in  der  Arithmetik  allein  geleistet  hat. 
Die  verschiedensten  Gebiete  der  Mathematik  sehen  wir  durch  ihn  yerbnnden : 
ungeahnte  Wege,  man  denke  nnr  an  die  Ereistheilnng,  hat  er  auf  diesem 
Felde  aufgefunden ,  gebahnt  und  geebnet;  Brücken  über  Abgründe  ge- 
schlagen ,  welche  yerschiedene  mathematische  Disciplinen  so  schroff  trennten, 
dass  yor  ihm  Niemand  an  eine  Verbindung  der  getrennten  Theile  denken 
mochte ,  noch  konnte.  Und  der  unermüdliche  Pionier,  fand  treffliche  Nach- 
folger. Zunächst  wurde  sein  sechster,  der  Zeit  nach  letzter  Beweis  fast  zu 
gleicher  Zeit  von  Cauchj,  Jacobi  und  Eisenstein  vereinfacht. 
50  Jahre  kaum  nach  dem  Erscheinen  des  ersten  Beweises  war  auch  der 
dritte  und  fünfte  Beweis  in  eleganter  geometrischer  Fassung  dem  Publikum 
vorgelegt,  war  das  Princip  der  Ereistheilung  in  eine  andere  Form  gegossen 
und  hatte  das  Princip  der  Reduction  eine  bedeutende  functionentheoretische 
Erweiterung  erfahren,  so  dass  das  quadratische,  cubische  und  biquadratische 
Gesetz  aus  einer  Quelle  floss.  Dies  alles  that  einer,  Eisenstein.  — 
1847  zeigte  Liouville  die  Verwandtschaft  der  Beweise  durch  Beduction 
und  Ereistheilung ;  in  demselben  Jahre  fand  Lebesgue  einen  dem  Eisen - 
stein 'sehen  ähnlichen  Beweis  durch  Ereistheilung,  10  Jahre  später  den 
unbekannten  siebenten  Gauss'schen  Beweis.  1852  machte  Genocchi  das 
Legendre'sche  Symbol  (von  Jacobi  mittlerweile  bedeutend  verall- 
gemeinert) abhängig  von  der  Differenz  der  Vorzeichen  gewisser  algebrai- 
scher Summen. 

Bis  jetzt  hatten  die  Mathematiker,  mit  Ausnahme  Eisensteines,  nur 
den  Beweis  für  die  quadratische  Beciprocitätsformel  erbracht.  Da  ver- 
öffentlichte Eummer  1861  zwei  Beweise  des  quadratischen  Gesetzes,  die 
sich  verallgemeinern  Hessen  für  «*•  Potenzreste.  Mit  Hilfe  der  Theorie  der 
Formen  gelang  die  grosse  That.  Eummer 's  Arbeit  bedeutet  einen  Mark- 
stein in  der  Entwickelung  der  Zahlentheorie. 

Eine  zehnjährige  Pause  trat  ein:  das  Interesse  an  dem  Beciprocitäts- 
gesetz  schien  erkaltet  zu  sein ;  da  kam  in  den  siebziger  Jahren  ein  grosser 
Aufschwung.  Sieben  Beweise  sind  in  dieser  Schrift  mitgetheilt,  die  in 
einem  Jahrzehnt  (von  1870  — 1880)  entstanden  sind.  Merkwürdigerweise 
liegt  sämmtlichen  sieben  Beweisen  das  Princip  der  Beduction  zu  Grunde. 
Wollte  man  vielleicht  ans  (tiesem  das  allgemeine  Gesetz  herleiten?  Stern 
geht  auf  den  fünften  Gauss 'sehen  Beweis  zurück  und  findet  eine  wichtige 
Verwandtschaft  zwischen  den  Gliedern  der  halben  Bestsysteme  akPfnodq, 

hkqmodp  /ä;=1,  ...  5=-g— »    äs=  1,  ...  ^-g— j.     Zeller  und  Petersen 

vervollständigten  diese  Darlegungen.  Bouniakowskj  findet  eine  merk?rür- 
dige  Zerlegung  der  Zahl  fi  resp^  v.  Schering  weist  nach,  dass  das  f&  in 
leicht  angebbarer  Weise  von  den  Vorzeichen  gewisser  algebraischer  Ausdrücke 
abhängt,  die  ähnlich  denen  Genocchi's  gebaut  sind.  Eronecker,  der 
schon  1876  die  Vertauschbarkeit  des  Princips  der  Induction  mit  dem  der 


Ueber  das  quadratische  Redprocitätsgesetz.  277 


Bedactdon  gelehrt  hatte,   stellte  das  Symbol  (— j  als  das  Vorzeichen  eines 

Productes  dar,  dessen  Factoren  Genocchi-Schering'sche  Ansdrtlcke  sind, 
und  zeigt  auch  femer,  wie  Gauss 'sehe  Betrachtungen  über  Grössen  [a], 
von  denen  der  dritte  Gauss 'sehe  Beweis  abhängt,  zu  der  höchst  eleganten 
Formel 

(f)-v-J7(M)[-'.-^-='.-'-ii] 

leiten.    Voigt  benutzte  die  Methode    des  dritten  Gauss'schen  Beweises, 

macht  aber  den  Beweis  des  Beciprocitätsgesetzes  abhängig  von  der  Anzahl 

der  Zahlen  h  in:  ^ 

Jcp^hq  +  r,    r>| 

bei  vorgegebenem  Je.  Busche  endlich  yereinfachte  den  Bouniakowskj- 
schen  Beweis  durch  Anwendung  eines  sehr  eleganten  Hilfssatzes,  nach 
welchem  das  ReciprocitStsgesetz  allgemein  gilt,  wenn  es  für  specielle  Fälle 
sich  erweisen  iSsst. 

Zum  Schlüsse  sei  nochmals  erwähnt,   dass  es  Cauchj  gelang,  das 

t/         ^^ 
aus  der  „Summatio**  her  berühmte  Vorzeichen  von   1/  (— 1)  ^  P  aus  der 

Transformation  von  Thetareihen  herzuleiten. 


Recensionen. 


Bemerkungen  zur  Recenaion  des  Herrn  Professor  Kurz 

über  folgende  Schriften: 

Wetbauch,  Theorie  elastischer  Körper»  1884; 

,  Aufgaben  znr  Theorie  elastischer  Körper»  1885; 

— ,  Das  Princip  von  der  Erhaltnng  der  Energie  seit  Bobert  Meyer,  1885. 

Herr  Kurz  beginnt  mit  der  Behauptung,  ich  habe  mich  mit  seiner 
Absicht,  die  Besprechung  der  „Theorie"  bis  zum  Erscheinen  der  j^Auf- 
gaben"  zu  verschieben,  brieflich  einverstanden  erklSrt.  Da  hierbei 
zu  meiner  Ueberraschung  auf  eine  vom  Recensenten  eingeleitete  Privatcorre- 
spondenz  Bezug  genommen  ist,  so  wird  auch  mir  gestattet  sein,  bei  Rich- 
tigstellung des  Sachverhalts  davon  Gebrauch  zu  machen.  Herr  Professor 
Kurz  schrieb  mir  am  17.  December  1884: 

;,Wie  ich  mit  Freuden  die  Frage  des  Herrn  Professors  Cantor 
bejahte,  ob  ich  eine  Besprechung  Ihrer  Theorie  elastischer  Körper  über- 
nehmen wollte,  so  wuchsen  die  Sorgen  beim  Durchlesen  derselben,  ob  ich 
der  übernommenen  Aufgabe  gewachsen  sei.  Ich  hatte  anfänglich  geglaubt, 
im  August,  den  ich  grösstentheils  hier  (in  Augsburg)  verbrachte,  die 
Durchlesung  vollenden  zu  können;  aber  erst  im  October  und  bis  jetzt  habe 
ich  dieselbe  nothdürftig  neben  meinen  anderen  Obliegenheiten  zn  Ende 
gebracht,  wobei  mich  auch  noch  eine  diphtheritische  Anwandlung  unter- 
brach. 

So  fasste  ich  denn  seit  einiger  Zeit  den  Entschluss,  Sie  um  einige 
Notizen  und  Winke  angehen  zu  wollen  über  diejenigen  Punkte,  welche 
Sie  zu  einer  gerechten  Würdigung  Ihres  Buches  als  besonders  gehörig 
betrachten,  und  glaube,  dass  ich  mit  solcher  Unterstützung  bis  Neujahr 
meiner  Aufgabe  mich  entledigen  könnte,  so  dass  die  Besprechung  noch 
im  ersten  Hefte  des  nächsten  Jahres  erschiene.  ** 

Ich  beschränkte  meine  Antwort  auf  einige  (in  der  Becension  zum  Theil 
wiedergegebene)  allgemeine  Bemerkungen  über  fragliche  Arbeit,  wies  auf 
die  bereits  erschienenen  Becensionen  hin  und  stellte  meinerseits  Herrn  Kurz 
anheim ,  die  Besprechung  bis  zum  Erscheinen  der  Aufgaben  hinauszuschieben. 
Von  dieser  Anhehngabe  hat  Herr  Professor  Kurz  laut  Schreiben  vom 
24.  December  1884  Grebrauch  gemacht. 

Bezüglich  der  Schwierigkeit  des  Studiums  will  ich  mit  dem  Recensenten 
nicht  streiten,  über  solche  Dinge  pflegen  die  Meinungen  verschieden  zu  sein. 


Eecensionen.  279 

Im  Gegensatze  zu  Herrn  Kurz  findet  Herr  Professor  Günther- Ansbach, 
dass  massige  Kenntnisse  in  der  Infinitesimalrechnung  zum  Verständnisse  hin- 
reichen. Uebrigens  giebt  Herr  Kurz  zu,  dass  die  „Theorie^  dem  Studium 
weniger  Schwierigkeiten  als  andere  Werke  ähnlicher  Art  bereite. 

Die  Bemerkung  des  Recensenten,  dass  in  §  1  die  bekannte  Beschleu- 
nigung „specifische  Massenkraft ^  genannt  sei,  ist  unrichtig.  Herr  Kurz 
hat  übersehen,  dass  auch  Oberfiächenkräfte  Beschleunigungen  erzeugen 
können  (vergl.  GrashoTs  Hydraulik,  1874,  S.  4;  Kirchhofes  Mechanik, 
1877,  Vorlesung  11;  Weyrauch's  Theorie  elastischer  Körper,  1884,  S.  4, 
25  u.  8.  w.). 

Herr  Professor  Kurz  bemerkt  ferner,  dass  in  §  2  „der  elastischen 
Nachwirkung  mit  acht  Zeilen  gedacht  sei*^  Bekanntlich  hat  jener  Begriff 
bei  der  allgemeinen  Behandlung  elastischer  Körper  vorläufig  überhaupt  noch 
keine  Verwendung  gefunden  (vergl.  die  einschlagenden  Werke  von  Lam^, 
Beer,  Clebsch,  Saint-Venant,  Grashof,  Winkler,  Kirchhoff, 
Klein,  Castigliano  u.  s.  w.),  so  dass  auch  die  acht  Zeilen  noch  fehlen 
konnten. 

In  §  5  soll  „schon  Manches  dem  mündlichen  Unterricht  oder  sonst 
zuviel  dem  Privatverständnisse  des  Studenten  (im  dritten  Semester)  über- 
lassen*' sein.  Hierzu  sei  bemerkt,  dass  die  Theorie  weder  in  erster  Linie 
für  Studenten,  noch  gar  für  solche  im  dritten  Semester  bestimmt  ist.  Das 
Wesentliche  liegt  in  dem  der  Sache  oder  Darstellung  nach  Neuen ,  wie  an- 
dere Becensionen  (von  Grashof,  Bitter,  Wittmann)  auch  anerkannt 
haben.  Wäre  Übrigens  selbst  bezüglich  der  Studenten  im  dritten  Semester 
die  Bemerkung  des  Herrn  Kurz  richtig,  was  ich  bestreite,  so  würde  sie 
dadurch  an  Gewicht  verlieren,  dass  die  in  §  6  behandelten  „ Drehungen'* 
neben  den  ,, Gleitungen''  vollständig  entbehrlich  sind  und  thatsächlich  in 
obigen  Schriften  keine  Verwendung  gefunden  haben. 

Die  Besprechung  der  „Aufgaben**  beschränkt  sich  auf  einige  Bemer- 
kungen zum  Inhaltsverzeichnisse.  Wenn  es  dabei  heisst,  dass  zu  jeder  Auf- 
gabe die  Nummer  des  Paragraphen  angegeben  sei,  welcher  zur  Lösung  nach- 
geschlagen werden  soll ,  so  ist  das  wieder  nicht  ganz  richtig.  Ich  habe  nur 
angeführt,  nach  welchem  Paragraphen  die  betreffende  Aufgabe  eingeschaltet 
gedacht  war,  ohne  dass  die  gegebene  Reihenfolge  eingehalten  zu  werden 
braucht 

Was  Herr  Professor  Kurz  schliesslich  in  Bezug  auf  die  dritte  obiger 
Schriften  aussagt,  beruht  auf  einer  Verwechselung.  Ich  soll  nach  Robert 
Mayer  Fallkraft,  Bewegung  (!),  Wärme  (!),  Magnetismus  etc.  als  Kraft- 
formen aufführen,  wogegen  Herr  Kurz,  welcher  vorstehende  Ausrufungs- 
zeichen anbringt,  Kraft  nur  als  Masse  mal  Beschleunigung  gelten  lassen 
will.  In  Wahrheit  handelt  es  sich  an  der  betreffenden  Stelle  um  eine  Inhalts- 
angabe von  Schriften  Robert  Mayer's,  welche  noch  dazu  durch  folgende 
Worte  eingeleitet  ist:   „Will  man  die  Frage  (nach  der  Priorität  May  er 's) 


280  Historisch -literarische  Abtheilung. 

prüfen,  so  ist  zu  beachten,  dass  Mayer  mit  Anderen  Kraft  nennt,  was 
man  heate,  einen  Ausdruck  Thomas  Toung's  adoptirend,  als  Energid 
bezeichnet/'  Da  im  ganzen  übrigen  Verlaufe  der  Schrift  (ausserhalb  3) 
der  May  er 'sehe  und  Helmholtz'sche  „Begriff  Eraff  Energie  oder  Ar- 
beitsfähigkeit genannt  ist,  so  erscheint  kaum  begreiflich,  wie  die  Verwechse- 
lung bestehen  bleiben  konnte. 

Der  Unterzeichnete  bedauert,  die  Geduld  der  Leser  etwas  lange  in 
Anspruch  genommen  zu  haben.  Allein  es  konnte  ihm  nicht  gleicbgiltig 
sein,  an  hervorragender  Stelle  über  drei  seiner  Schriften,  welche  das  Be- 
sultat  anstrengender  Arbeit  bilden,  ohne  jedes  Eingehen  auf  den  wesent- 
lichen Inhalt  in  einer  Weise  abgeurtheilt  zu  sehen,  welche  mindestens  der 
nöthigen  Vorsicht  ermangelte. 

Stuttgart,  August  1885.  J.  J.  Weyrauch. 


Bibliotheca  mafhematioa,  herausgegeben  von  Gustaf  Enestböm.  1884. 
Stockholm,  F.  &  G.  Beyer.  Berlin,  Mayer  &  Müller.  Paris,  A.  Her- 
mann« 
Eine  neue  Zeitschrift,  welche  in  vierteljährlichen  Heften  erscheint  und 
deren  erster  Jahrgang  62  je  zweispaltige  Seiten  umfasst  Die  Zeitschrift 
ersetzt  alles  Das,  was  wir  durch  unsere  jedem  Hefte  dieser  Zeitschrift  bei- 
gegebenen Bibliographien  und  durch  unsere  beiden  alljährlich  erscheinenden 
Abhandlungsregister  unseren  Lesern  zu  bieten  wünschen.  Ein  wesentlicher 
unterschied  besteht  nur  darin,  dass  Herr  Eneström  Bücher  und  Abhand- 
lungen gemischt,  und  zwar  nach  der  alphabetischen  Beihenfolge  der  Namen 
der  Verfasser  angiebi  Ausserdem  findet  sich  in  jedem  Hefte  eine  recht 
dankenswerthe  geschichtliche  Notiz  aus  der  Feder  des  Herausgebers:  1.  No- 
tice sur  un  memoire  de  Chr.  Goldbach,  relatif  ä  la  sommation  des  s^ries, 
publi6  4  Stockholm  en  1718;  2.  Notice  sur  un  nouvelle  6dition  de  Dio- 
fantos,  pr^par^e  par  M.  PaulTannery;  3.  Notice  sur  les  versions  latines 
des  616ments  d'Euclide,  publi6es  en  Sudde;  4.  Notice  sur  les  premidres  tables 
de  logarithmes  publi6es  en  Suöde.  Cantor 


Saggio  dl  Tavole  dei  logaritmi  qnadratici  del  Conte  Aktoniko  di  P&ajc- 
PERO.  TJdine  1885,  G.  B.  Doretti  e  Soci.  IX,  53  pag. 
Unter  dem  quadratischen  Logarithmus  der  absoluten  Zahl  N,  oder  unter 
Lq.N=x  versteht  Herr  Prampero  diejenige  Zahl,  welche  der  Gleichung 
N=z{a)^  genügt,  wo  a>]  aber  sonst  beliebig  gewählt  wird.  Soll  nun 
die  i^^*  Potenz  oder  die  E^^  Wurzel  aus  N  gesucht  werden ,  so  ist  offenbar 

im    ersterenl Falle   ^*=a*-**,  und  sofern  JE7=2»  (oder  y=i^)'   ^»t 


BibIiog|«phie.  281 

auch    2^«=(«)>''-»'  =  (o)*"^''   oder  L,.{N^)  =  x+y  =  L,.N+^^-     Im 

zweiten  Falle  ist  f^N'=u^'    =(«)»"*•«'=  (o)«*"'  oder  L,.(^N)  =  x-y 

=  Lq,N'-  =-^-^'     Man  hat  also  nur  den  von  der  Zahl  E  abhängigen  Qno- 

looJE  Mä — 

tienten  =-^  zu  berechnen,  um  zu  jeder  Zahl  JV  sowohl  Lq.N^  als  Lg,yN 

durch  eine  einfache  Addition  beziehungsweise  Subtraction  zu  erhalten.  Bei 
j&=2  ist  jener  Quotient  offenbar  1,  bei  E^zS  ist  er  1,584962,  bei  E=4 
ist  er  2  u.  s.  w.  Mithin  Xg.(jy«)  =  i,.2V'+l,  L,.{}/N)==Lg.N-l] 
Lg.{N^)  =  Lg.N+l,bS4962,  i^. (J/2^)  =  2/,. JV- 1,584962  u.  s.w.  Lohnt 
dieser  Yortheil  die  Berechnung  einer  Tabelle  der  quadratischen  Logarith- 
men, mittels  deren  man,  unter  Anwendung  der  nOthigen  Interpolationen, 
zu  jeder  Zahl  den  quadratischen  Logarithmus,  zu  jedem  quadratischen  Lo- 
garithmus die  zugehörige  Zahl  finden  kann?  Der  Verfasser  hat  diese  Frage 
offenbar  bejaht  und  derartige  Tafeln  hergestellt,  welche  in  höchst  eleganter 
Ausstattung  durch  den  Druck  vervielfftltigt  wurden.  Cantor 


Bibliographie 

vom  1.  September  bis  31.  October  1885. 


Periodisolie  SohrifteiL 

Sitzungsberichte  der  mathem.-physikal.  Classe  der  königl.  bajer.  Akademie 
der  Wissenschaften.     Jahrgang  1885,  S.Heft.     München,  Franz. 

1  Mk.  20  Pf. 

Sitzungsberichte  der  kaiserl.  Akademie  der  Wissensehaften  in  Wien,  mathe- 
mat.- naturwissenschaftl.  Classe,  Abtheil.  II.  91.  Bd.,  3.  Heft.  Wien, 
Gerold.  10  Mk. 

Publicationen  des  astrophysikalischen  Observatoriums  in  Potsdam.  Nr.  16. 
Leipzig,  Engelmann.  4  Mk. 

,  4.  Bd.  1.  Thl.,  herausgeg.  von  C.  VoGHii.    Ebendas.  17  Mk. 

Jahrbücher  der  königL  ungar.  Centralanstalt  für  Meteorologie  und  Erdmagne- 
tismus, herausgeg.  von  G.  Schenzl.  13.  Bd.  Jahrg.  1883.  Budapest, 
Kilian.  10  Mk. 

Beobachtungen  im  astrophysikalischen  Observatorium  zu  0-Gyalla,  heraus- 
geg. von  N.  v.KoNKOLY.   7.  Bd.  Jahrg.  1884.    Halle,  Schmidt.    10 Mk. 


282  Historisch -literarische  Abtheilung. 

Journal  für  reine  und  angewandte  Mathematik.    (Grelle.)    Herausgeg.  von 

L.  Eronecker    und   K.  Weierstrass.     99.  Bd.    i.  Heft    Berlin,   6. 

Beimer.  compl.  12  Mk. 

Acta  mathematica ,    herausgegeben  von   Mittag  -  Leffler.     7.  Bd.  1.  HefL 

Berlin,  Mayer  &  Müller.  compl.  12  Mk. 

Tageblatt  der  58.  Versammlung  deutscher  Naturforscher  und  Aerzte  in  Strass- 

burg.     1885.     Strassburg,  Trübner.  8  Mk. 

Oeschidite  der  Mafhematik  nnd  Physik. 

Marie,  M.,   Histoire  des  sciences  mathfematiques  et  physiques.     Vol.  VII. 
Paris,  Gau thier -Villars.  6  fr. 

Reine  Mathematik. 
Prtm,  f.,  Neue  Theorie  der  ultraelliptischen  Functionen.    2.  Ausg.    Berlin, 

Mayer  &  Müller.  3  Mk.  60  Pf. 

Hermitb,  Ch.,   Sur  quelques  applications  des  fonctions  elliptiques.     Paris, 

Gauthier -Villars.  7  fr.  50  c 

Bbau,  0.,   Analytische  Untersuchungen  über  trigonometrische  Reihen   nnd 

Pourier*sche  Integrale.     2.  Aufl.     Halle,  Nebert.  5  Mk.  50  Pf. 

Caücht,  A.  ,  Algebraische  Analysis ,  deutsch  herausgegeben  von  Itziosohn. 

Berlin,  Springer.  9  Mk. 

Gegenbauer,  L.,  Zur  Theorie  der  Determinanten  höheren  Ranges.    (Akad.) 

Wien,  Gerold.  60  Pf. 
,  Zur  Theorie  der  aus  den  vierten  Einheits wurzeln  gebildeten  complexen 

Zahlen.     Ebendas.  1  Mk.  70  Pf. 
,   üeber  die  Darstellung  der  ganzen  Zahlen  durch  binäre  quadratische 

Formen  mit  negativer  Discriminante.     Ebendas.  50  Pf. 

Gbigenmüller  ,  R. ,   Elemente  der  höheren  Mathematik.     II,  Differential- 
rechnung.    Mittweida,  polytechn.  Buchhdlg.  2  Mk. 
Mertens,  f.,  Einfa>che  Bestimmung  des  Potentials  eines  homogenen  Ellip- 

soids.     (Akad.)     Wien,  Gerold.  15  Pf. 

Herz,  N.,   Entwickelung  der  Differentialquotienten  der  geocentrischen  Co- 

ordinaten    nach    zwei    geocentrischen    Distanzen    in    elliptischer  Bahn. 

Ebendas.  60  Pf. 

Schubert,  H.,  System  der  Arithmetik  u.  Algebra.  Potsdam,  Stein.   1  Mk.  80 Pf. 
FuNOKE,  H.,  Die   analytische   und  die  projectivische  Geometrie  der  Ebene. 

Ebendas.  1  Mk.  40  Pf. 

Spieeer,  Th.,  Lehrbuch  der  ebenen  und  sphärischen  Trigonometrie.  Ebendas. 

1  Mk.  40  Pf. 
Pelz,  C.  ,*  Bemerkung  zur  Axenbestimmung  der  Kegelflftchen  zweiten  Grades. 

(Akad.)    Wien,  Gerold.  60  Pf. 

KiLLiKO,  W.,  Die  Nicht -Euklidischen  Raumformen  in  analytischer  Behand- 
lung.    Leipzig,  Teubner.  6  Mk.  80  Pf. 


Bibliographie.  283 


Angewandte  Matbematik. 

FiMaEB ,  J. ,  Elemente  der  reinen  Mechanik.     5.  Lief.     Wien ,  Holder. 

3  Mk.  20  Pf. 
Oppenheim,  S.  ,  üeber  die  Botation  nnd  Pr&cession  eines  flüssigen  Sphäroids. 

(Akad.)     Wien,  Gerold.  50  Pf. 

EuTTBB ,  W. ,  Die  Bewegung  des  Wassers  in  Kanälen  und  Flüssen.    Berlin, 

Parey.  7  Mk. 

Jobdan,  W.,    Gmndzüge    der  astronomischen  Zeit-  und  Ortsbestimmung. 

Berlin,  Springer.  10  Mk. 

Hebz,  K,  Bahnbestimmung  des  Planeten  E[riemhild  (242).    (Akad.)   Wien, 

Gerold.  35  Pf. 

Oppenheim,  S.,  Bahnbestimmung  des  Kometen  VIII,  1881.  Ebendas.  50  Pf. 
Bbedichin,  Th.,  B^vision  des  valeurs  num^riques  de  la  force  r6pulsive. 

Leipzig,  Voss.  1  Mk.  20  Pf. 

Stbüyb,  0.,  Tabulae  quantitatum  Besselianarum  pro  annis  1885  ad  1889 

computatae.     Ebendas.  2  Mk. 

Physik  und  Meteorologie. 

Ketteler  ,  E. ,  Theoretische  Optik ,  gegründet  auf  das  Bessel  -  Sellmeier^sche 
Princip.     Braunschweig,  Vieweg.  14  Mk. 

Heppebgeb,  J.  y.,  üeber  Krümmungsvermögen  und  Dispersion  von  Pris- 
men.    (Akad.)     Wien,  Gerold.  80  Pf. 

Mach,  E.  u.  J.  Abbes.  Einige  Versuche  über  totale  Reflexion  und  ano- 
male Dispersion.     Ebendas.  30  Pf. 

Chbyallier  et  Müntz,  Probldmes  de physique.  Paris,  Gauthier -Villars.   6  fr. 


Mathematisclies  Abhandlnngsregister. 


1884. 
Zweite  Hälfte:  1.  Juli  bis  31.  December. 


Abbildnag. 

499.  Geometrische  Coustraction  der  Abbildang  des  Ereisringes  auf  ein  Bechteck. 

E.  Study.    Grelle  XCVn,  13. 

500.  On  the  orthomorphosis  of  the  circle  into  the  parabola.     Gayley.    Quart 

Joam.  math.  aX,  213. 

AboPsche  Transeendenten. 

501.  Sor  la  th^orie  des  integrales  ab^ennes.    E.  Gonrsat.    Compt.  rend.  XCTU, 

1281. 

502.  üeber  die  Rednction  einer  bestimmten  Classe  AbeVscber  Intemle  3.  Ranges 

anf  elliptische  Integrale.    S.  Eowalevski.    Acta  math.IV,  893. 

Akustik. 

503.  Ueber  Lissajou^sche  Curven.    Himstedt.    Gran.  Archiv  LXX,  337. 

Analytisehe  Goouetrie  der  Eben«. 

504.  Goordono^es  parallMes  et  coordonn^es  axiales.  M.  d'Ocagne.   N.  ann.  math. 

XLni,  410,  456,  516,  545. 

505.  Sur  un  mode  de  d^termination  des  coorbes  planes.    M.  d'Ocagne.    N.  ann. 

math.  XLn,  189;  XLIII,  49.    [Vergl.  Bd.  XXVHI,  Nr.  419.] 

506.  Sar  un  Systeme  particnlier  de  coordonnäes  curvilignes.    E.Hab  ich.  N.  ann. 

math.  XLni,  353. 

507.  Emploi,  dans  la  gäomätrie  trilin^aire,  des  coordonn^es  des  points  drcalaires. 

H.  Faure.   1n.  ann.  math.  XLIII^  140. 

508.  Ueber  ein  Guryographon.    E.  Pirani.    Grnn.  Archiv  LXXI,  113. 

509.  Beziehung  zweier  Geraden  in  der  Ebene  anf  einander.    £.  Hain.    Gran.  Ar- 

chiv LXXI,  94. 

510.  Zur  Polaritätstheorie  des  Dreiseits.    E.  Hain.    Grün.  Archiv  LXXI,  220. 

511.  Eigenschaften  der  Punkte  mit  reciproken  Dreieckscoordinaten  und  deren  An- 

wendung auf  das  Dreieck.    M.  Grein  er.    Grün.  Archiv  LXXI,  130. 

512.  Die  n*  und  n  +  1-Theilung  des  Winkels  und  Kreises.    A.  van  der  Gr inten. 

Gran.  Archiv  LXX,  393. 

513.  Die  Sectionscurven.    E.  Oekinghaus.    Grün.  Archiv  LXXI,  87. 

514.  Trouver  les  trajectoires  orthogonales  d*une  droite  de  longueur  constante  entre 

deux  axes  rectangulaires.  £.  Fauauembergue.  N.  ann.  math.  XLÜI,  438. 

515.  Engendrement  de  deux  courbes  parallMes.     M.  d*Ocagne.     N.  ann.  math. 

XLU,  425. 

516.  Ueber  eine  gewisse  Curve  des  dritten  Grades.  O.Hermes.   Grelle  XCVH,  177. 

517.  Eigenschaften  der  Lemniskate  und  ihre  Anwendung  anf  kubische  Gleichnngen, 

parabolische  Bewegungen  und  bipolare  Anziehungen.    E.  Oekinghaus. 
Grün  Archiv  LXX,  113. 

518.  Propri^t^s  d'une  coürbe  de  poursuite.    E.  G^saro.    N.  aon.  math.  XLU,  96. 

519.  Quelques  propriät^s  d'une  classe  de  courbes  spirales.    Laquiäre.    N. 

math.  XLn,  118. 
YergL  Akustik.    Ellipse.    Hyperbel.    Kegelschnitte.    Kreis.    ParabeL 


Abhandlungsregister«  285 


AnalTtitche  Oeometrie  des  Bäumet. 
520.  Eine  Curve  ans  einer  Beziehung  zwischen  den  Winkeln,  welche  die  Tangente, 
Hauptnormale  und  Binormale  mit  festen  Geraden  bilden,  zu  bestimmen. 
R.  Hoppe.    Grün.  Archiv  LXXI,  46. 

621.  Th^or^mesurles  sarfaces  d^veloppables.  £.  Gesaro.  N.ann.math.XLU,  129,266. 

622.  Sur  Tangle  des  lits  oblique  et  normal  de  la  vis  Saint- Gilles.    E.  Lebon. 

N.  ann.  math.  XLHI,  40. 
Yergl.  Ellipsoid.    Hyperboloid.    Oberflächen.    Oberflächen  zweiter  Ordnung. 
Paraboloid. 

Astronomie. 
528.  Neue  Methode  zur  Berechnung  der  Ezcentricität  bei  astronomischen  Instru- 
menten und  Uhren.    F.  C.  Lukas.    Grün.  Archiv  LXX,  268. 

624.  Sur  une  dämonstration  nouvelle  du  th^or^me  de  Lambert.    N.  Joukovsky. 

N.  ann.  math.  XLHI,  90.  —  E.  Catalan  ibid.  506. 

625.  Sur  une  formule  de  Hansen.    F.  Tisserand.    Compt.  rend.  XCVH,  815,  880. 

-P.  Appell  ibid.  1036. -B.  Radau  ibid  1130,  1275.-0.  Callandreau 
ibid.  1187. 

526.  Sur  le  calcul  des  perturbations.    A.  de  Gasparis.    Compt.  rend.  XCVIl,  738. 

527.  Sur  un  d^veloppement  particulier  de  la  fonction  pertnrbatrice.  0.  Backlund. 

Compt.  rend.  XCVII,  1470.  —  R.  Radau  ibid.  1548. 

528.  Sur  quel(][ues  mäthodes  pour  la  d^termination  des  positions  des  etoiles  circom- 

polaires.    0.  Callandreau.    Compt.  rend.  aCVJI,  561. 

529.  pistance  de  la  terre  ä  la  lune.    C.  Bertrand.    N.  ann.  math.  XLUI,  126. 

530.  Etant  donn^es  les  dürres  des  quatre  saisons  de  Tannde  astronomique,  trouver 

Tezcentricit^   de  Torbite  de  la  terre.     E.  Fauquembergue.    N.  ann. 
math.  XLH,  413. 
Vergl.  Chronologie.    Mechanik  771,  772. 


Bemonlli'sohe  ZaUen. 

531.  BeitriLge  zu  der  Kenntniss  der  BemouUrschen  Zahlen.  A.  Lipschitz.   Grelle 

XCVI,  1. 
VergL  Reihen  852. 

Bestimmte  Integrale. 

532.  Dämonstration  du  thäoräme  de  Cauchy.    E.  Goursat.    Acta  math.  IV,  197. 
583.  Sur  une  mäthode  capable  de  fournir  une  valeur  approchäe  de  Tintägrale 

rF[x)dx,    G.  Gourier.    Compt.  reud.  XCVH,  79. 

534.  Sur  une  valeur  approchöe  de  Tintägrale  /  qp(a;).e-*.da?.  R.  Radau.  Compt. 

rend.  XCVD,  157.  JT 

535.  Sur  Fevaluation  approchäe  des  integrales.    Stieltjes.    Compt.  rend.  XCVH, 

740,  798. 

536.  Sur  une  classe  d^intägrales  doubles.   E.  Goursat   Acta  math.  V,  97.    [Vergl. 

Nr.  48.] 
Vergl.  Gammafunctionen. 

C. 

Chronologie. 

537.  Changements  produits  sur  la  duräe  de  Tannäe  julienne  par  les  variations  des 

quantitäs  dont  dopend  cette  duräe.    A.  Gaillot.    Compt.  rend.  XCVII, 
151,  564.  —  E.  J.  Stone  ibid.  484. 
Vergl.  Astronomie  530. 

Gombinatorik. 

538.  Die  Umkehrung  des  Grundgedankens  von  Hindenburg's  combinatorischer  Ana- 

lysis.    F.  Roth.    Grün.  Archiv  LXX,  427. 

539.  Sur  les  permutations   de  n  objets  «t  sur   leur  classement.     J.  Bourget* 

N.  ann.  math.  XLII,  433. 

540.  Sur  le  nombre  des  permutations  de  n  ^l^ments  qui  präsentent  s  s^quences. 

Das.  Andrd.    Compt.  rend.  XCVH,  1356. 

541.  Eine  combinatorische  Definition  der  Zahl  e.    Th.  Sanio.    Grün.  Archiv  LXX, 

224;  LXXI,  105.  —  Lampe  ibid.  LXX,  439.  —  P.  Seelhoff  ibid.  LXXI, 
97,  102.  —  J.  Hermes  ibid.  LXXI,  103. 
VergL  Differentialquotient  564.    Wahrscheinlichkeitsrechnung. 


286  Historisch  •literarische  Abtheilnng. 

Gylinderftmetionon. 

542.  Bessers  fnnctions  of  the  second  order.    C.  Y.  Coates.    Qaart.  Jonrn.  math. 

XX,  250. 

Doteminanton. 

543.  G^näralisation  da  th^or^me  de  Jacobi  aar  les  d^terminantspartiels  da  Bysteme 

adjoint.    Em.  Barbier.    Compt  rend.  XCVIl,  82.    [Vergl.  Nr.  64.] 

Differeiitialgleiohimgen. 

544.  Ueber  Projectivität  and  partielle  Differentialgleichungen  in  der  Geometrie. 

Th.  Sanio.    Grün.  Archiv  LXXI,  225. 

545.  Sur    les   maltiplicatears   des   ^quations   diffärentielles  Unfaires.     Halphen. 

Compt.  rend.  XCVII,  1408,  1641. 

546.  Sur  un  moyen  de  d^terminer  le  facteur  d'int^grabilit^.    W.  Maximovitch. 

Compt.  rend.  XCVll,  1544. 

547.  üeber  die  Irredactibiiität  der  linearen  Differentialgleichungen.    L.  Königs* 

berger.    Crelle  XCVI,  123. 

548.  Ueberaicht  über  die  Thomä'schen  Abhandlungen  über  lineare  Differential- 

gleichungen in  Crelle  LXXIV  bis  XCV.  L.  W.  Thomö.   Crelle  XCVI,  185. 

549.  Sur  rintägration  alg^brique  des  äquations  unfaires.    H.  Poincarä.    Comptw 

rend.  XCVII,  984,  1189. 

550.  Sar  certaines  äquations  diffäreDtielles  Unfaires.  A.  Steen.  Acta  math.  III,  277. 

551.  Sur  an  cas  particnlier  de  r^solution  des  ^quations  diff^rentielles  lin^aires  a 

coefficients  constants.    M.  d*Ocagne.    N.  ann.  math.  XLIII,  138. 

552.  Sur   une   classe   d'äquations   Lnäaires  du   qaatriäme   ordre.     £.   Goarsat 

Compt.  rend.  XCVII,  81, 

553.  Sur  quelques  ^quations  Unfaires   du  quatri^me  ordre.    Halphen.    Compt. 

rend.  XCVII,  247. 

554.  On  differential  equations  which  belong  to  the  class -I ^  +  . . .  =  0, 

wbere    ü»^{afh,c,d,e,.,,){Xyl)\     R.  Russell.     Quart.  Joum.  math. 
XX,  179. 

555.  On  the  differential  equation  -r==:  +  --=^  +  — ==  +  77=  =  0,  where  ü»  =  (a,  h, 

Vü^     VTh     VTh     VTT^       ' 
c,d,  eXx,-l)K    R.  Russell.    Quart  Joum.  math.  XX,  265. 

556.  Sur  une  Equation  diff^rentielle  du  second  ordre.    De  Sparre.    Acta  math. 

UI,  105,  889. 

557.  Integrer  rdquation  a;(l-a;)y"-(l-2«)y'+(l-3a?  +  a;«)y  = -ä*(1-x)*.    F. 

Borletti.    N.  ann.  math.  XLII,  426. 

558.  Integration  von  y^^=:.xy'—y.    S.  Spitzer.    Grün.  Archiv  LXXI,  90. 

559.  De  tintägration  d'une  classe  de  systämes  d'äquations  simoltanäes,  linäaires  et 

du   Premier   ordre.     Ibach.     N.  ann.  math.  XLIII,   172.  —    F.  Tardy 
ibid.  257.  —  J.  Juhel-Rönoy  ibid.  262.  —  E.  Catalan  ibid.  263. 

560.  Sur  une  transformation  des  äquations  aux  däriv^es  partielles  du  second  ordre, 

ä  deux  variables  iudäpendantes,   et  sur  quelques  int^grations  qm  s^en 
döduisent.    R.  Liouville.    Compt.  rend.  XCVlI,  836,  1122. 

561.  Sur  riat^gration  d'une  certaine  classe  d'äquations  diffdrentielles  partielles  da 

second  ordre  ä  deux  variables  indäpendantes.    A.  Picart.    Compt.  rend. 
XCVII,  305. 

562.  Integration  einiger  partieller  Differentialgleichungen  zweiter  Ordnung.    J. 

V4lyi.    Grün.  Archiv  LXX,  219;  LXXI,  109. 

563.  Sur  les  äquations  linäaires  aux  däriv^es  partielles,  ä  deux  variables  ind^pen- 

dantes,  du  deuxi^me  et  du  troisiäme  ordre.    A  Picart.    N.  ann.  math. 
XLU,  34. 
Vergl.  Functionen.    Invariantentheorie  711.    Potential. 

Bifferentialqaotienten. 

564.  Grundzüge  zu  einer  combinatorischen  Darstellung  der  höheren  Differential- 

guotienten  zusammengesetzter  Functionen.     J.  Völlers.     Grün.  Archiv 
XXI,  64. 

565.  Sur  le  calcul  des  d^riv^es  ä  indices  quelconques.    H.  Laurent.    N.  ann. 

math.  XLIII,  240. 
Vergl  Taylor's  Reihe. 


Abhandlungsregister.  287 

SU 
Elastieitat 
666.  Sar  la  loi  de  r^partition  des  tensions  dans  une  lame  ^lastique  de  forme  pri- 
mitive arbitraire,  enroulde  Bur  an  cylindre  de  section  droite  qaelcouque, 
lorsque  le  gliseement  est  uniforme.   H.  L  ^ a u t  ä.    Compt.  reud.  aCVII,  894. 

567.  Eäfiezion  des  däplacements  ^lastiques.    X.  Eretz.    Compt.  rend.  XCVII,  476. 

Elektridtät. 

568.  Sur  les  couches  de  uiveaa  ^lectromagn^tiqaes.    £.  Beltrami.    Acta  math. 

111,  141. 

569.  Actions  ^lectrodynamiqaes  renfermant  des  fonctions  arbitraires:  hrpotli^ses 

qui  däterminent  ces  fonctions.    P.  Le  Cordier.    Compt.  rend.  XCVil,  39. 

570.  Sur  un  nouveau  th^or^me  d'älectricit^  djnamique.    L.  Th^venin.    Compt. 

reud.  XCVII,  159. 

571.  Sur  Tappücation  de  la  m^thode  d'Ampäre  k  T^tablissement  de  la  loi  Flamen- 

taire  de  Tinduction  älectriqne  par  däplacement.  Quet.  Compt.  rend. 
XCVII,  36. 

572.  Sur  Tapplication  de  la  m^tbode  d*Amp^re  ä.  la  recbercbe  de  la  loi  ^l^men- 

taire  de  Tinduction  ^lectrique  par  vaiiation  d'intensitä.  Quet.  Compt. 
rend.  XCVII,  450. 

573.  Lois  de  Tinduction  due  ä  la  Variation  de  Tintensitä  dans  des  courante  de  formes 

diverses.    Courant  circulaire.    Quet.    Compt.  rend.  XCVII,  639. 

574.  Sur  rinduction  due  k  la  Variation  d'intensit^  du  courant  ^lectrique  dans  un 

circuit  plan  et  dans  un  sol^uoide  cylindrique.  Deus  lois  analogues  ä 
Celles  de  Biot  et  Savart.    Quet     Compt.  rend.  XCVII,  704. 

575.  Sur  rinduction   produite   par  la  Variation  d^intensitä  du  courant  ^ectrique 

dans  un  sol^noide  sph^rique.    Quet.    Compt.  rend.  XCVII,  800. 

576.  Sur  la  force  d'induction  qui  est  due  ä  ia  Variation  d'intensitä  dans  le  courant 

älectrique  d'un  multiplicateur  ä  spirale  plate  et  pur  la  comparaison  de 
cette  force  avec  celle  ^u'exerce  ä.  de  graudes  distances  un  soleno'ide  sph^- 
rique  ou  un  soleil  ficüf  sol^nol'dal.    Quet.    Compt  rend.  XCVII,  908. 

577.  Sur  le  potentiel  de  la  force  d'induction  due  ä  un  solänoide  fermä,  dont  le 

courant  varie  d'intensit^.  Analogie  avec  un  th^or^me  d'^lectromagnä- 
tisme.    Expärience  de  Fälici.    Quet.    Compt.  rend.  XCII,  992. 

578.  Sur  la  force  d'induction  produite  au  loin  par  un  systäme  qaelconque  de  petits 

courants  ^iectriques  plans  dont  Tintensit^  varie.  Sol^noide  spherique 
äquivalent.    Quet.    Compt.  rend.  XCVII,  1199. 

579.  Däterminer  la  räsistance  intärieure  inerte  d*un  Systeme  älectrique  <]^aelconque, 

malgrä  les  actions  perturbatrices  de  ses  forces  älectromotrices  mtärieures, 
inconnaes  comme  nombre,  si^ges  et  grandeurs.  G.  Cabanellas.  Compt. 
rend.  XCVII,  311. 

580.  Sur  la  mesure  des  dififärences  de  potentiel,  au  moyen  du  galvanom^tre.    L. 

Thö  venin.    Compt.  rend.  XCVII,  453. 

581.  Sur  la  mesure  des  differences  de  potentiel  et  des  räsistances  entre  älectrodes. 

G.  Cabanellas.    Compt.  rend.  XCVII,  575. 

582.  Loi  älectrique  de  conservation  de  Tänergie  sous  toutes  formes,  ä  Tenträe  et 

ä  la  sortie  des  systämes  matäriels  ouelconques  franchis  älectriquement. 
G.  Cabanellas.    Compt.  rend.  XCVII,  666. 

583.  Formules  donnant  la  räsistance  älectrique  du  circuit  employä  dans  Täclairage 

Edison.    G.  Guärouit.    Compt.  rend.  XCVII,  1363. 

EUmination. 

584.  Sur  la  tbäorie  de  Tälimination.    H.  Laurent.    N.  ann.  math  XLII,  145. 

585.  Sur  une  mätbode  d'älimination.    L.  Saltel.    N.  ann.  math.  XLII,  554. 

586.  Sur  un  probläme  de  la  thäorie  d^älimination.    C.  Stäphanos.    Compt  rend. 

XCVII,  1050,  1290. 

Ellipse. 

587.  Der  Krümmungsradius  der  Ellipse.    F.  V&lyi.    Grün.  Archiv  LXXI,  107. 

588.  Sur  un  thäor^me  de  Mr.  Chasles.    M.  d*Ocagne.    N.  ann.  math.  XLII,  515. 

589.  Note  de  g6om6ine  infimtäsimale.    Genty.    N.  ann.  math.  XLII,  237.  —  M. 

d*Ocagne  ibid.  871. 

590.  Equations  d'une  ellipse  et  d'une  hyperbole,  les  asymptotes  de  Tune  ätant  deux 

diam^tres  conjuguäs  de  Tantre.    N.  Goffart.    I^.  ann.  math.  XL III,  541. 

591.  Ellipse  tangente  a  une  droite  donnäe  en  un  point  donnä.    Moret-Blanc. 

N.  ann.  math.  XLIII,  350. 


288  Historisch -literarische  Ahtheilung. 

592.  Propri^t^  de  rellipse  accompagn^e  de  sa  d^velopp^e.  J.  Ghambon.   N.  ann. 

math.  XLII,  477. 

593.  Sar  deux  eilipses  concentriques.    Lez.    N.  aun.  math.  XLII,  825. 

Vergl.  Hyperbel  702,  703. 

EUipsoid. 

594.  On  doDoe  un  ellipsoYde  et  un  point  A,  on  mhne  par  ce  point  nne  secante  va- 

riable D:  seit  Di  la  d reite  coDJiiga^e  de  1)  par  rapport  k  rellipsoide. 
Trouver  le  lien  de  la  projection  M du  point  A  sur  la  droite  Di.  Moret- 
Blanc.    N.  ann.  math.  XLII,  376. 

595.  Probleme  sur  Tellipaolde.    Gh.  B risse.    K  ann.  math.  XLIII,  823. 

ElliptUeho  Trantoendenten. 

596.  Gomplex  multiplication  of  elliptic  functions.     G.  H.  Stuart.    Quart.  Joum. 

math.  XX,  18,  221. 

597.  Sur  la  transformation  des  fonctions  elliptiqnes.  M.  Krause.  Acta  math.  III,  93. 

598.  Sur  un  point  de  la  th^orie  des  fonctions  elliptiques.    B.  ,Lip8chitz.    Gompt. 

rend.  XCVII,  1411.  —  Hermite  ibid.  1414. 

599.  On  the  quantities  K,  E,  J,  G,  K\  JET,  J',  G'  in  elliptic  functdons.    J.  W.  L. 

Glaisher.    Quart.  Joum.  math.  XX,  313. 

600.  Elliptische  Integraifunctionen  und  ihre  geometrische,  analytische  und  dyna- 

mische Bedeutung.    E.  Oekinghaus.    Grün.  Archiv  LXXI,  337. 

601.  Beiträge  zur  Theorie  der  elliptischen  Functionen.  H.  Schroeter.  Acta  math. 

V,  206. 

602.  Beiträge  zur  Anwendung  der  Dreitheilung  der  elliptischen  Functionen  auf  die 

Tneorie  der  Wendepunkte  einer  Gurve  driuer  Ordnung.  L.  Heinze. 
Grün.  Archiv  LXX,  1. 

603.  Sur  Tusage  des  produits  infinis  dans  la  th^orie  des  fonctions  elliptiqnes.     Gh. 

Hermite.    Acta  math.  IV,  198.  —  E.  Lipschitz  ibid.  194. 
Yergl.  AbePsche^Transcendeuten  502.    Sphärik  865.    Zahlentheorie  904. 

F. 
Faotorenfolge. 

604.  Darstellung  der  Zahl  e  als  unendliches  Product.    J.  Hermes.    Grün.  Archiv 

LXXT,  103. 

605.  Dämonstration  älämentaire  de  la  formule  de  Stirling.    E.  Gesaro.    N.  ann. 

math.  XLII,  43. 
Yergl.  Elliptische  Transcendenten  603.    Gammafunctionen  631,  632. 

Hormon« 

606.  Sur  la  formation  des  däterminants  irräguliers.    Jos.  Perott.    Grelle  XGVI, 

327.    [Vergl.  Nr.  145.J 

607.  Sur   les  formes  binaires  indäfinies  ä  indäterminäes  conjuguäes.    E.  Picard 

Gompt.  rend.  XGVII,  745. 

608.  Sur  les  formes  quadratiques  temaires  indäfinies  ä  indäterminäes  conjuguäes  et 

sur  les  groupes  discontinus  correspondants.  E.  Picard.  Gompt.  rend. 
XCVII,  845.  *-  *- 

609.  Sur  la  räproduction  des  formes.    H.  Poincarä.    Gompt  rend.  XCVII,  949. 

Vergl.  Invariantentheorie. 

FmotionoB. 

610.  Ueber  Tiefgrössen  mit  gebrochenem  Iudex.  P.  Lindner.  Grün.  Archiv  LXX,  96. 

611.  Ueber  die  einer  beliebigen  Differentialgleichung  erster  Ordnung  angehörigen 

selbstständi^en  Transcendenten.    L.  Eönigsb erger.    Acta  math.  UI,  1. 

612.  Ueber  die  Grundlageu  der  Theorie  der  Jacobi*8chen  Functionen.    G.  Frobe- 

nius.    Grelle  XCVII,  16,  188. 

613.  Allgemeine  Untersuchungen  über  Bectification  der  Gurven.    L.  Scheeffer. 

Acta  math.  V,  49. 

614.  Zur  Theorie  der  stetigen  Functionen  einer  reellen  Vei&nderlichen.  L.  Scheef- 

fer.   Acta  math.  V,  183,  279. 

615.  Beweis  und  Erweiterung  eines  algebraisch -functionentheoretischen  Satzes  des 

Herrn  Weierstrass.    M.  Nöther.    Grelle  XCVU,  224. 

616.  Ueber  den  Zusammenhang  der  Werthe  einer  algebraischen  Function.  G.  Rnns e. 

Grelle  XCVH,  337. 

617.  Demonstration  nouvelle  du  th^oreme  de  Laurent.   G.  Mittag*Leffler.   Acta 

math.  IV,  80. 


Abhandlungsregister.  289 

618.  Beweis  des  Laurent'schen  Satzes.    L.  Scheeffer.    Acta  tnath.  IV,  375. 

619.  Sar  les  groupes  KLeinäena.    H.  Poincar^    Acta  math.  III,  49. 

620.  Snr  les  groapes  des  äqaations  Unfaires.    H.  Poincarä.    Acta  math.  lY,  201. 

621.  Sar  les  fonctions  zätafuchsiennes.    H.  Poincarä.    Acta  math.  V,  209. 

622.  Sar  les  formes  qaadratiques  ternaires  indäfinies  ä  ind^termin^es  comugu^es 

et  sar  les  fonctions   hyperfachsiennes   correspondantes.     Em.  Picard. 
Acta  math.  V,  121.     [Vergl.  Bd.  XXIX,  Nr.  169.J 

623.  Sar  la  repr^sentation  aualjtique  des  fonctions  monogenes  aniformes  d*une 

yariabie  ind^pendante.    G.  Mittag-Leffler.    Acta  math.  lY,  1. 

624.  D^composition  en  äl^ments  simples  des  fonctions  donblement  päriodiques  de 

troisiäme  espäce.    Appell.    Gompt.  rend.  XGVII,  1419. 
626.  Sar  le  genre  d'ane  relation  alg^briqae  entre  deaz  fonctions  aniformes  d'an  point 
analytigae  {x,y).    E.  Goarsat.    Gompt.  rend.  XCVII»  1048. 

626.  Representation  aes  fonctions  d^ane  oa  de  plasieurs  variables,  entre  de  cer- 

taines  limites  de  ces  variables,  par  des  series.  A.  Picart.  N.  ann.  math. 
XLII,  109. 

627.  Sar  les  fonctions  de  deax  variables  indäpendantes,  restant  invariables  par  les 

substitations  d'an  groape  discontina.    E.  Picard.    Compt.  rend.  ACYn, 
1045. 

628.  Sur  an  th^or^me  de  Biemann  relatif  aax  fonctions  de  n  variables  ind^pen- 

dantes  admettant  2n  syst^mes  de  p^riodes.  H.  Poincarä  &  E.  Picard. 
Compt.  rend.  XCVII,  1284. 
Yergl.  Abbildung.  AbePsche  Transcendenten.  Bemoalli'sche  Zahlen.  Be- 
stimmte Integrale.  Cylinderfunctionen.  Differentialgleichungen.  Diffe- 
rentialqaotienten.  Elliptische  Transcendenten.  Factorenfolge.  Gamma- 
fuDctionen.  Integration  (anbestimmte).  Eettenbrüche.  Potential.  Qaater- 
nionen.  Reihen.  Bectification.  Taylor's  Reihe.  Thetafunctionen.  Ultra- ' 
elliptische  Transcendenten.    Umkehnmgsproblem.    Yariationsrechnung. 

«. 

GainmaAmetion6&. 

629.  Zur  Theorie  der  Functionen  r{z),  P{z),  Q{$).  L.  Scheeffer.  CrelleXCYII,  230. 

630.  Eine  Verallgemeinerung  der  Gleichung  Fi! -f  x),r(\ -«)  =  -.   — .  H.  Melli n. 

Acta  math.  III,  102.  e     v        /      v        /     ^^^^ 

631.  Ueber  gewisse  durch  die  Gammafunction  ausdrückbare  unendliche  Producte. 

H.  Mellin.    Acta  math.  HI,  322. 

632.  [^n*=8.t.Ji.l|.f^...     L.  B.    N,  ann.  math.  XLII,  429. 

Vergl.  Factorenfolge  605. 

Geodäsie. 

633.  Proposition  sur  une  qnestion  de  mäcaniqne  relative  ä  la  figure  de  la  terre. 

E.  Brassinne.    Compt.  rend.  XCVII,  637.    [Yergl.  Nr.  693.] 

Geometrie  (abiählendo). 

634.  Sur  les  pentaädres  complets  inscrits  ä  une  surface  cubique.    H.  G.  Zeuthen. 

Acta  math.  Y,  203. 

635.  Einige  Anzahlen  für  Eegelflächen.    H.  Erey.    Acta  math.  Y,  83. 

Geometrie  (deseriptive}. 

636.  Sur  la  ponctaation.    J.  Caron.    N.  ann.  math.  XLTI,  161. 

637.  Zur  perspectivischen  Projectiou.    E.  Hain.    Grün.  Archiv  LXX,  281. 

688.  Beleuchtungsconstructionen  für  Flächen,  deren  zu  einer  Axe  normale  Schnitte 
ähnlich  und  ähnlichliegend  sind,  bei  orthogonaler  und  bei  perspectivi- 
scher  Darstellung.    J.  Bazala.    Grün.  Archiv  LXXI,  266. 

639.  Cbnstruction  des  points  doubles  en  projection  dans  Tintersection  de  deuz  sur- 

faces  du  second  degr^.    L.  Lefevre.    N.  ann.  math.  XLIII,  5. 

640.  Construction  des  taugentes  au  point  double  de  la  section  du  tore  par  son 

plan  tangent.    Doucet.    N.  ann.  math.  XLIII,  430. 

Geometrie  (htthere). 

641.  Theorie  der  trilinearen  Yerwandtschaft  ebener  Systeme.    G.  Hauck.    Grelle 

XCVII,  261.     [Vergl.  Nr.  207.] 

642.  Mehrfache  CoUineation  von  zwei  Dreiecken.    J.  Y&lyi.    Gran.  Archiv  LXX, 

105.  --  R.  Hoppe  ibid.  834. 

Hist.-Ut.  Abthlg.  d.  ZeiUohr.  f.  Math.  u.  Phy«.  XZX,  6.  21 


290  Historiscli- literarische  Abtheilung. 

643.  Sur  les  anticaustiques  par  räflexion  de  la  parabole,  les  rayona  incidents  ätant 

paralleles.    Laguerre.     N.  ann.  matn.  XLII,  16. 

644.  Sar  quelques  proprilt^s  des  cycles.    Laguerre.    N.  ann.  math.  XLII,  65. 

645.  Sur  les  courbes  de  directions  de  la  troisi^me  classe.    Laguerre.    N.  ann. 

math.  XLU,  97. 

646.  Sur  la  transformation  par  semi-droites  rdciproques.    M.  d^Ocagne.    N.  ann. 

math.  XLn,  249. 

647.  Semi-droites  r^ciproques  parallMes  a  Taxe  de  transformation.    M.  d*Ocagne. 

N.  ann.  math.  XLIII,  23. 

648.  Sur  les   quadrilateres  oui  ont  leurs  six  sommets  sur  une  cubique.    Weill. 

N.  ann.  math.  XLIIl,  401. 

649.  Sur  les  cubiques  gauches  passaut  par  sinq  points  donn^s.  G.  Koenigs.  N.  ann. 

math.  XllI,  301;  XLIII,  47. 

650.  Sur  quelques  courbes  enveloppes.    Weill.    N.  ann.  math.  XLIH,  376. 

651.  Recherche  d'une  courbe  plaue  poss^dant  un  lieu  g^ometrique  de  poles  princi- 

paux  d*iuversion.     G.  Fouret.    N.  ann.  math.  XLII,  259. 

652.  Sur   un   mode  de  g^näration  des  ovales  de  Descartes  propos^  par  Chaslea. 

M.  d*Ocagne.    Compt.  rend.  XCVII,  1424. 

653.  On  plane  curves  of  the  fourth  class  wlth  a  triple  and  a  single  focus.    H.  M. 

Je  ff  er  y.    Quart.  Joum.  math.  XX,  273. 

654.  Das    Strahlensystem    vierter   Ordnung    zweiter  Classe.     W.   Stahl.     CreUe 

XCVII,  146. 

655.  Das  allgemeine  räumliche  Kullsystem  zweiten  Grades.  Ad.  Ameseder.   Grelle 

XCVII,  62. 
Vergl.  Differentialgleichungen  544.    Elliptische  Transcendenten  602.   Gleich- 
ungen  680,'  681.     Kegelschnitte.     Maxima  und   Minima.     Oberflächen. 
Oberflächen  zweiter  Ordnung.    Singularitäten. 

Geometrie  (kinematische). 

656.  .Thäoräme  de  cin^matiqne.    E.  Dewulf.    N.  ann.  math.  XLII,  297. 

657.  Sur  une  question  de  cinämatique.     L.  Jacob.    N.  ann.  math.  XLIII,  29. 

658.  Sur  Tenveloppe  de  certaines  droites  variables.    M.  d'Ocagne.    N.  ann.  math. 

XLII,  262. 

659.  Dans  quels  cas  certaines  surfaces  sont-elles  ddveloppables?    E.  Cesaro.    N. 

ann.  math.  XLIII,  434. 

Geometrie  (der  Lage). 

660.  Zur  Theorie   der  Baumcurven  vierter   Ordnung  erster   Art.     Milinowski. 

CreUe  XCVII,  277. 

661.  Beitrag  zur  Geometrie  der  Lage.    L.  Klug.    Grün.  Archiv  LXX,  446. 

662.  Zwei  Sätze  über  Linienschnitte.    Fr.  Hofmann.    Grün.  Archiv  LXX,  443. 

Geschichte  dir  Mathematik. 

663.  Geschichte  der  Factorentafeln.    P.  Seelhoff.    Grün.  Archiv  LXX,  413. 

664.  Mort  de  Mr.  Maillard   de   la  Gournerie   f  ^&-  Jnin  1883.     E.   Blanchard. 

Compt.  rend.  XCVII,  5.  —  J.  Bertrand  ibid.  6. 

665.  Mort  de   Victor   Puiseux  f   9.  Sept.  1883.     E.  Blanchard.     Compt.  rend. 

XCVn,  655.  —  J.  Bertrand  ibid.  655. 

666.  Mort  de  J.  A.  F.  Plateau  f  15.  Sept.  1883.    Faye.    Compt.  rend.  XCVII,  687. 

667.  Mort  de  Louis  Breguet  f  26.  Oct.  1883.    E.  Blanchard.   Compt.  rend.  XCVII, 

927.  —  Janssen  ibid.  967.  —  Clouö  ibid.  971. 

668.  Mort  dTvon  Villarceau  f  23.D^c.  1883.   E.  Blanchard.    Compt.  rend.  XCVII, 

1453.  —  Perrier  ibid.  1454.  —  Faye  ibid.  1459.  —  Tisserand  ibid.  1460. 

Gleichungen. 

669.  Demonstration  nouvelle  du  th^oreme  fondamental  de  la  th^orie  des  equations 

algdbriques.    H.  Dutordoir.     Compt.  rend.  XCVII,  742. 

670.  Demonstration  du  thdoreme  de  d'Älemuert.  Walecki.  N.  ann.  math.  XLII,  241. 

671.  Sur   le   calcul   des   fonctions   sym^triques   des   racines  d'une  äquation.     Ch. 

Biehler.    N.  ann.  math.  XLIII,  218. 

672.  A  new  theorem  in  Symmetrie  iünctions.    P.  A.  Mac  Mahon.    Quart.  Joum. 

math.  XX,  365. 

673.  Note  on  Sylvester's  canonical  form  of  binary  quantics  of  the  degree  2n  — 1. 

W.  Booth.    Quart.  Joum.  math.  XX,  270. 

674.  On  the  trinomial  unilateral  quadratic  equation  in  matrices  of  the  second  Order. 

J.  J.  Sylvester.    Quart.  Joum.  math.  XX,  305. 

675.  Sur  la  rhgle  des  eignes.    H.  Poincarä.    Compt.  rend.  XCVII,  1418. 


i 


Abhandlungsregisier.  291 


676.  Sur  la  r^duction  des  ^qnations.    A.  E.  Pellet.    Compt.  rend.  XCVII,  85. 

677.  Sur  la  traDsformatioD  des  ^quations.  Ch.  Biehler.    N.  ann.  math.  XLlIf,  209. 

678.  Probleme  sur  les  aignilles  da  cadrau  d'nne  montre.    Moret-Blanc.   N.  ann. 

math.  XLK,  623.  —  G.  A.  Laisant  ibid.  XLIII,  383. 

679.  Quelques  formules   relatives   ä.  T^quation  compläte  du  troisi^me  degr^.    C. 

Margerie.    K  ann.  math.  XLIII,  32. 

680.  Geometrische  Untersuchungen  über  kubische  und  höhere  Curven  und  Gleich- 

ungen.   E.  Oekinghaus.    Grün.  Archiv  LXX,  370. 

681.  Mechanisch -graphische  Lösung   der  kubischen  und   biquadratischen  Gleich- 

ungen.   C.  Bartl.    Grün.  Archiv  LXXI,  1. 

682.  Sur  le  discriminant  de  Täquation  du  quatriäme  degrä.  Weill.  N.  ann.  math. 

XLII,  265. 

683.  Trigonometrische   Auflösung   biquadratischer   Gleichungen   in   geometrischer 

Darstellung.    E.  Oekinghaus.     Grün.  Archiv  LXX,  133. 

684.  Equation  aux  carr^s  des  difif^rences  de  T^quation  g^n^rale  du  quatriäme  degrä. 

Fore stier.    N.  ann.  math.  XLII,  209. 

685.  Däcomposition  d'un  certain  polynöme  du  quatri^me  degr^  en   deux  facteurs 

du  second  degr^.  N.  Goffart.  N.  ann.  math.  XLIII,  442.  —  H.  Pla- 
menevskj  ibid.  630. 

686.  Sur  la  Substitution  x=  — — ^  dans  une  äquation  de  degrä  pair  2  m,  pouvant 

se  partager  en  tn  groupes  de  deux  racines  x^,  x^  satisfaisant  ä  la  rela- 
tion  axtX2  +  b{Xi-^X2)  +  c  =  0.  E.  Fauquembergue.  N.  ann.  math. 
XLIII,  386. 

687.  Sur  quelques  points  de  la  th^orie  des  äquations  numäriques.    E.  Laguerre. 

Acta  math.  IV,  97. 

688.  Sur  Tapproximation  des  racines  des  ^quations  alg^briques.    Laguerre.    N. 

ann.  math.  XLIII,  113. 

689.  Calcul  k  — —  pr^s  des  racioes  incommensurables  d'une  ^quaiion  numärique 

dont  toutes  les  racines  sont  reelles.  C.  Margerie.  N. ann. math. XLIII,  33. 

690.  Die  Auflösung  dreigliedriger  Gleichungen  nach  Gauss.    A.  M.  Neil.    Gran. 

Archiv  LXXl,  311. 

691.  Resolution    de   deux   ^quations   du  4®  degrd  ayant  deux  racines  communes. 

N.  ann.  math.  XLIII,  348. 

692.  üeber  lineare  Gleichungen.    C.  Prediger.    Gruu.  Archiv  LXX,  319. 

Vergl.  Analytische  Geometrie  der  Ebene  617.    Elimination.    Reihen  852. 

Hydrodynamik. 

693.  Application  d'une  proposition  de  m^caniqne  ä  un  probläme  relatif  k  la  figure 

delaterre.    E.  Bras sinne.    Compt  rend.  XC VII,  1137.    [Vergl.  Nr.  633.J 

694.  Recherches  hydrodynamiques.    C.  A.  Bjerknes.    Acta  math.  IV,  121, 
696.  On  hydro-kinetic  symmetry.    J.  Larmor.    Quart.  Joum.  math.  XX,  261. 

696.  Des  vitesses  que  prennent,  dans  Tint^rieur  d'un  vase,  les  divers  ^läments  d'un 

liquide  pendant  son  ^coulement  par  un  orifice  inferieur,  et  des  moyens 
simples  qui  peuvent  §tre  employds  pour  d^terminer  trös  approximative- 
ment  les  restes  num^riques  de  sdries  doubles  neu  convergentes.  De 
Saint-Venaut  &  Flamant.    Compt.  rend.  XCVII,  1027,  1106. 

697.  On  the  motion  of  spherical  and  ellipsoidal  bodies  in  fluid  media.    E.  Pear- 

son.    Quart.  Joum.  math.  XX,  60,  184. 

698.  On  the  motion  of  a  liquid  in  and  about  certain  quartic  and  other  cylinders. 

A.  B.  Basset.    Quart.  Journ.  math.  XX,  234. 

Hyperbel. 

699.  Propri^t^s  de  Thyperbole.  C.  Chateau.  N.  ann.  math.  XLII,  133.  —  L.  Chau- 

chat  ibid.  136. 

700.  Trouver  le  lieu  des  foyers  d'une  hyperbole  dont  on  connait  un  sommet  et  une 

asymptote.   Sequestre.  N.  ann.  math.  XLIII,  318.  —  Gerono  ibid.  319. 

701.  Lieu  geomdtrique  du  point  d'intersection  d'une  asymptote  de  Thyperbole  avec 

une  directrice,  le  foyer  correspondant  d^crivant  une  ligne  droite  donnäe. 
H.  Cartier.    N.  ann.  math.  XLII,  420.  —  Gerono  ibid.  421. 

702.  Sur  une  hyperbole  tangente  aux  axes  d'une  ellipse,  les  asymptotes  de  Thyper- 

bole  etant  tangentes  a  Tellipse.  Juhel-Ränoy.  N.  ann.  math.  XLIII,  392. 


292  Historisch  -  literarische  Abtheilung. 


703.  Hjperbole  lieu  des  points  de  contact  de  tontes  les  ellipses  confocales  arec  des 

droites  parallMes  ä  une  direction   donn^e.     Goffart.     N.  ann.  maÜL 
XLII,  363. 

704.  L'angle  de  deax  hjperboles  ^quilat^res  concentriqnes  est  double  de  Tangle 

de  leurs  asjmptotes.    Giat.    N.  ann.  math.  XLU,  832. 
Vergl.  Ellipse  690.    Hyperboloid. 

Hyperboloid. 
706.  Anwendung  der  Eigenschaften  des  einmanteligen  Rotationshyperboloides  zor 
Lösung   einiger  Aufgaben  über   die  Hyperbel.    W.  J.  Hübner.     Gnin. 
Archiv  LXX,  436. 


Integration  (nabectimmte). 

706.  Valeur  d*une  integrale  contenant  la  racine  carrde  d*un  polynöme  du  degr^  n. 

Ch.  Chabanel.    N.  ann.  math.  XLH,  378. 

707.  Valeur   de  deux  integrales  contenant  la  racine  carr^e  du  polynöme  na?"— > 

+  (w-l)iC»-«4-...4-2a?  +  l.    Rebuffel.    N.  ann.  math.  XLn,  374. 

Interpolation. 

708.  Einfache  Methode,  beim  Interpoliren  die  zweiten  Differenzen  in  Rechnung  zu 

ziehen.    Neil.    Grün.  Archiv  LXX,  302. 

Invariantentlieorie. 

709.  On  a  theorem  relating  to  semiinvariants.  Cayley.  Quart  Journ.  math.  XX,  212. 

710.  Operations  in  the  theory  of  semiinvariants.  P.  A.  MacMahon.  Quart  Jonzn. 

math.  XX,  362. 

711.  Snr  les  invariants  des  dquations  diff^rentielles  unfaires  du  quatriäme  ordre. 

G.  H.  Halphen.    Acta  math.  Hl,  325. 

712.  Sur  le  Systeme  complet  des  combinants  de  deux  formes  binaires  biquadra- 

tiques.    C.  Stephane s.    Compt.  rend.  XCYn,  27. 
Vergl,  Formen. 


Kegelschnitte. 

718.  Üeber  die  Bestimmung  der  Unterscheidungscharaktere  für  die  Eeffelschnitte, 
wenn  die  Gleich nu gen  derselben  in  trimetrischen  Liniencoor£naten  ge- 
geben sind.    A.  Ehlert.    Grün.  Archiv  LXXI,  61. 

714.  Zur  elementargeometrischen  Eegelschnittslehre.  E.  Lauermann.  Grün. 
Archiv  LXXI,  126. 

716.  Sur  les  triangles  conjugu^s  k  une  conique  et  sur  les  t^tra^dres  conjugu^  ä 
une  quadrique.    Humbert.    N.  ann.  math.  XLU,  167. 

716.  Eine  Verallgemeinerung  der  Sätze  von  Pascal  und  Brianchon  und  das  Pro- 

blem von  Castillon.    B.  Sporer.    Grün.  Archiv  LXXI,  333. 

717.  Dämonstration  et  consäquences  du  thäor^me  que  deux  coniques  quelconques 

sont  polaires  räciproques.    G.  Tarry.    N.  ann.  math.  XLHI,  270. 

718.  Räciprocitä  du  centre  d*une  conique  et  d'un  point  d'iin  triangle  inseiit.    J* 

Richard.    N.  ann.  math.  XLIII,  490. 

719.  Relations  entre  les  distances  d'un  fo^er  d*une  conique  &  qnatre  points  ou  ä 

quatre  tangentee.    X.  Antomari.    N.  ann.  math.  XLU,  193,  337,  386. 

720.  Lieu  des  sommets  de  triangles  circon&crits  äune  conique  donnäe.    H.  Fanre. 

N.  ann.  math.  XLHI,  144.    [Vergl.  Bd.  XXVIl,  Nr.  68.J 

721.  Perspectivische  Dreiecke,  die  einem  Aegelschnitte  einbeschrieben  sind.  L.Elug. 

Grün.  Archiv  LXXI,  292.    [Vergl.  Nr  661. J 

722.  Cercle  inscrit  d'un  trians'le  dont  les  sommets  sont  les  foyers  d'une  conique 

donnäe  et  un  point  donnä  de  la  meme  conique.   N.  ann.  math.  XLOI,  449. 

723.  Quadrilatäres  inscrits  dans  une  conique  le  point  de  concours  des  diagooalee 

ätant  fixe.    M.  d'Ocagne.    N.  ann.  math.  XLQI,  628. 

724.  Sur  la  condition  pour  qu*un  polygone  seit  inscrit  et  circonscrit  k  deux  coniques. 

WeilL    N.  ann.  math.  XLIII,  128. 
726.  Propriätä  des  tan^entes  ä  une  comc[ue8  menäes  de  deux  points  situ^  sur  Taxe 

des  X  et  äquidistants  de  Torigine.    Moret-Blanc.    N.  ann.  math.  XLH, 

622.  —  Barisien  ibid.  XLEI,  441. 
726.  Conique  engendräe  par  le  point  d'intersection  de  deux  tangentea  k  une  conique 

donnäe.    L.  Eien.    N.  ann.  math.  XLH,  611. 


Abhandlnogsregister.  293 


727.  Propri^t^  d'une  coniqae  et  de  deux  taiigentes.    N.  Goffart.    N.  ann.  math. 

XLJI,  376. 

728.  En  cbaque  point  d'aoe  coniqae  on  mäne  un  diamätre  et  la  normale.  Troaver 

le  lieu  de  l'interBection  du  diam^tre  et  de  la  tangente  ä  Tautre  ezträmitä 
de  la  corde  normale.    Moret-Blanc.    N.  ann.  math.  XLU,  471. 

729.  Bestimmung   der  OBCulationakreiee  der  Kegelschnitte  mit  Hilfe  von  Eigen- 

schaften der  Sehnen,  welche  ein  Eegelscnnitt  mit  seinen  Osculationskreisen 
gemein  hat.    Jos.  Zimmermann.    Gran.  Archiv  LXX,  30. 

730.  Ueber  die  Mittelponkte  der  Sehnen,  welche  ein  Kegelschnitt  mit  seinen  Oscu- 

lationskreisen gemein  hat   Jos.  Zimmermann.   Grnn.  Archiv  LXX,  88. 

731.  Goniqaes  passant  par  les  points  d'intersection  de  denx  circonferences  et  tan- 

gentes  ä.  toutes  les  deux.   A.  Hilaire.   N.  ann.  math.  XLU,  504.    [Yergl. 
d.  XXVm,  Nr.  618.] 

732.  Cordes  paralleles  aux  tangentes  men^es  d*un  point  k  une  coniqae.  N.  Goffart. 

N.  ann.  math.  XLIII,  492. 

733.  Propriätä  des  segments  d'une  droite  passant  par  deax  coniques  homoth^tiqnes 

et  leur  säcante  commane.    £.  Fanquembergue.    N.  ann.  math.  XLII, 
3i4. 

734.  Sur  les   coniqnes   qoi  coapent  ä  angle  droit  ane  coniqae  donn^e.     Weill. 

N.  ann.  math.  XLIII,  320. 
736.  Thäor^mes  sur  trois  coniques  d*an  faisceau  Unfaire.    WeilL    N.  ann.  math. 
XLUI,  19. 

736.  üeber  einige  Eigenschaften  einer  besonderen  Kegelschnittschaar.  C.  Hossfeld. 

Gran.  Archiv  LXX,  263. 

737.  Einige  Sätze  über  das  Viereck  and  Kegelschnittbüschel.    L.  Klug.    Gran. 

Archiv  LXXL  304. 
Vergl.  Ellipse.    Hyperbel.    Kreis.    Parabel. 

Kettenbrftohe. 

738.  Sur  an  d^veloppement  en  fraction  continae.    L.  Fuchs.    Acta  math.  iV,  89. 

—  Ch.  Her  mite  ibid.  91. 
Vergl.  Optik  813. 

Xr«U. 

739.  Relation  entre  les  distances  deux  ä  deux  de  quatre  points  da  cercle  ou  de 

cinq  points  d'une  Sphäre.    H.  Faure.    N.  ann.  math.  XLIII,  196. 

740.  Propri^tä  des  deux  droites  de  Simson.  N.  Goffart.  N.  ann.  math.  XLIII,  397. 

741.  Cercle  enveloppd  par  une  droite.    CoJin.    N.  ann.  math.  XLU,  248. 

742.  Sur  le  cercle  qui  a  pour  diamätre  une  corde  d^une  coniqae  ä  centre.   Weill. 

N.  ann.  math.  XLUI,  136.  —  Juhel-Bänov  ibid   336. 

743.  Sar  la  circonfärence  des  neuf  points.    E.  Catalan.    N.  ann.  math.  XLII,  82. 

744.  Nouveau  point  situ^  sur  le  cercle  des  neuf  points.  V.  de  Sträkalof.  N.  ann. 

math.  XLU,  326. 
746.  Sar  deux  cercles  tangents  entre  eux  et  touchant  chacnn  one  de  deux  droites 
fixes.    Moret-Blanc.    N.  ann.  math.  XLHI,  642. 

746.  Sur  les  cercles  tangents  ä  trois  cercles  et  les  sphäree  tangentes  ä  trois  ou  ä 

quatre  sphäres.    A.Pellet.    N.  ann.  math.  XLUI,  316. 

747.  Recherche  des  cercles  coupant  trois  cercles  donnäs  sous  des  angles  dätermin^s. 

E.  M.  Laquiäre.    N.  ann.  math.  XLII,  272,  348. 

748.  A  group  of  circles.    B.  Tucker.    Quart.  Joum.  math.  XX,  57. 

M. 

Magnetismus. 

749.  Comparaison  des  hypothäses  des  fluides  magn^tiques  et  des  courants  molä- 

culaires.    P.  Le  Cordier.    Compt.  rend.  XCVII,  478. 

760.  Sur  Tinduction.    P.  Le  Cordier.    Compt.  rend.  XCVU,  626. 

Mannidkfaltigkeiten. 

761.  De  la  puissance  des  ensembles  pariaits  de  points.    G.  Cantor.    Acta  math. 

IV,  381. 

762.  Beweis  eines  Satzes  aas  der  Mannichfaltigkeitslehre.    E.  Phragmdn.    Acta 

math.  V,  47. 

Mtzima  and  Minima. 

763.  Bemerkungen  und  Zusätze  zu  Steiner'a  Aufsätzen  über  Maximum  und  Minimom, 

B.  Sturm,    Crelle  XCVI,  36. 


294  Historisch -literarische  Abtheilung. 

754.  üeber   das  Minimum   des  Inhalts  eines  Vierecks  bei  gegebenen  Seiten.    E. 

Lampe.    Grelle  XCVI,  78. 

755.  Würfel   und  reguläres  Tetraeder  als  Maximum  und  Minimum.     R.  Sturm. 

Grelle  XGVh,  1. 

756.  üeber  den  Punkt  kleinster  Entfemungssumme  von  gegebenen  Punkten.    R. 

Sturm.    Grelle  XCVÜ,  49. 
Vergl.  Stereometrie  870. 

Mechanik. 

757.  Le  nouveau  programme  d'admission  ä  Täcole  polytechnique  relatif  ä  la  meca- 

nique.    N.  ann.  math.  XLIII,  497. 
768.  Principien   der  Statik  monocjklischer  Systeme.     H.  v.  Helmholtz.     Grelle 
XCVII,  111,  317.  —  Kronecker  ibid.  141. 

759.  Gleichgewicht  eines  über  eine  Fläche  gespannten  Fadens  mit  Berücksichtigung 

der  Reibung.    F.  August.    Grün.  Archiv  LXX,  225. 

760.  Application  de  ia  statique  au  caicul  de  divers  ^läments  d*un  triangle.    A.  de 

Saint-Germain.    N.  ann.  math.  XLIII,  37. 

761.  Einfacher  Beweis  der  Existenz  eines  Mittelpunktes  paralleler  Kräfte.  R.  Hoppe. 

Grün.  Archiv  LXXI,  111. 

762.  Sur  un  nouveau  cas  intägrable  du  probleme  de  T^lastique  et  Tune  de  ses 

applications.    M.  Lövy.    Gompt.  rend.  XGVII,  694. 

763.  Resistance  d'un  anneau  ä  la  flexion.    J.  Boussinesq.    Gompt.  rend.  XGVII, 

843,  111.  —  M.  Levy  ibid.  979. 

764.  Sur  le  mouvement  d'un  point  pesant.    A.  de  Saint-Germain.   N.  ann.  math. 

XLn,  542. 

765.  A  general  theorem  concerning  the  motion  of  a  solid  body.    J.  W.  Warren. 

Quart.  Joum.  math.  XX,  13. 

766.  Bewegung  eines  schweren  Punktes   auf  einem  Rotationsparaboloid.    Züge. 

Grün.  Archiv  LXX,  58. 

767.  Horizontal  rotirende  Kette.    R.  Hoppe.    Grün.  Archiv  LXX,  90. 

768.  Sur  le  mouvement  d'une  charge  roulante,  le  long  d'une  barre  ^lastique  hori- 

zontale appuy^e  k  ses  deux  bouts  et  dont  la  masse  est  beaucoup  plus 
petite  que  la  sienne.    J.  Boussinesq.    Gompt.  rend.  XGVH,  897. 

769.  Remarques  relatives  au  probleme  des  deux  chaines.   H.  Resal.    Gompt.  rend. 

XGVn,  1289. 

770.  Sur  la  th^orie  des  tautochrones.    H.  Resal.    N.  ann.  math.  XLH,  481. 

771.  Sur  certaines  Solutions  particuli^res  du  probleme  des  trois  corps.    H.  Poin- 

carö.    Gompt.  rend.  XGVII,  251. 

772.  Sur  la  forme  des  expressions  des  distances  mutuelles,  dans  le  probleme  des 

trois  corps.    A,  Lindstedt.     Gompt  rend.  XGVH,  1276,  135.S. 

773.  Moment  der  gegenseitigen  Anziehung  der  begrenzten  Schenkel  eines  Winkels. 

R.  Hoi)pe.     Grün.  Archiv  LXX,  336. 

774.  Sur  les  droites  qui  ont  des  moments  doun^s  par  rapport  ä  des  droites  fixes. 

G.  Segre.    Grelle  XGVII,  96. 

775.  Les  moments  d'inertie  polaires  du  triangle  par  rapport  ä  ses  points  remar- 

quables.    G.  Dostor.    N.  ann.  math.  XLU,  469. 

776.  Resistance  vive  ou  dynamique  des  solides.    Representation  graphique  des  lois 

du  choc  longitudinal,  subi  ä,  une  de  ses  extrdmit^s  par  une  tige  ou  barre 
prismatique  assujettie  k  Textreraitä  opposee.  De  Saint-Veuant  &  Fla- 
mant.     Gompt.  rend.  XGVH,  127,  214,  281,  444. 

777.  Du  choc  longitudinal  d'une  barre  prismatique,  fix^e  ä  un  beut  et  heurt^e  ä 

Tautre.    J.  Boussinesq.     Gompt.  rend.  XGVII,  154. 

778.  Sur  les  deformations  gäorndtriques  determindes  par  recrasement  d'un  parall^l- 

epip^de  rectangle  avec  allongement  dans  une  seule  direction.  Tresca. 
Gompt.  rend.  XGVH,  928. 

779.  Etüde  sur  les  däformations  et  le  developpemeut  de  chaleur  produits  dans  le 

forgeage  par  des  pannes  arrondies.    Tresca.    Gompt.  rend.  XCVU,  515. 

780.  Die  Gochleo'ide.     G.  Falkenberg.    Grün.  Archiv  LXX,  259. 

781.  Nouvelle  remarque  sur  le  Systeme  Peaucellier.    M.  d'Ocagne.   N.  ann.  math. 

XLHI,  199.    [Vergl.  Bd.  XXVII,  Nr.  175  u.  Bd.  XXVUI,  Nr.  654.] 

782.  Gonsidörations  thöoriques  sur  les  flotteurs  remorqu^s  en  divergence.    E.  de 

Jonquieres.     Gompt.  rend.  XGVII,  1175. 
783   Sur  une  bascule,  nouveau  Systeme  de  romaine  ä  curseur  automatique.     A. 

Picart.    Gompt.  rend.  XGVII,  86,  252.     [Vergl.  Nr.  325.] 
784.  Sur  le  ricochet  des  projectiles  sphäriques  ä  la  surmce  de  l'eau.     E.  de  Jon- 

quiferes.     Gompt.  rend.  XGVH,  1278. 


Abhandlungsregister.  295 


786.  Sur  le  fouctionnement  d'une  turbine.    M.  Deprez.    Compt.  rend.  XCVn,  697. 
YergX.  Akustik.     Analytische   Geometrie   der  Ebene   508,   517.    Elasticität. 
Elektricität.    Geodäsie.    Hydrodynamik.    Magnetisnuis.    Optik.    Pendel. 
Schwerpunkt.    Wärmelehre. 

Mehrdimentiottale  Geometrie. 
786.  Ausdehnung  einiger  elementarer  Sätze  über  das  ebene  Dreieck  auf  Räume  von 
beliebig  vielen  Dimensionen.    B.  Mehmke.    Grün.  Archiv  LXX,  210. 


O. 

Oberflächen. 

787.  Sur  la  g^n^ration  des  surfaces.  J.  S.  &  M.  N.  Vanecek.    Compt.  rend.  XCVII, 

1478,  1548. 

788.  Sur  les   surfaces  da  troisiöme  ordre.     C.  Le  Paige.     Compt.  rend.  XCVII, 

34,  158. 

789.  Sur  les  surfaces  du  troisiäme  ordre.    C.  Le  Paige.    Acta  math.  IIF,  181. 

790.  Nouvelles  recherches  sur  les  surfaces  du  troisifeme  ordre.   C.Le  Paige.   Acta 

math.  V,  195. 

791.  Lineare  Coustractionen  zur  Erzeugung  der  kubischen  Fläche.    H.  Schroeter. 

Grelle  XCVI,  282. 

792.  Sur  un  faisceau  de  surfaces  d'ordre  quelconque.    A.  Legoux.    N.  ann.  math, 

XLII,  233;  XLIII,  161. 

793.  üeber  Canalflächen.    R.  Hoppe.     Grün.  Archiv  LXXT,  280. 

794.  Sur  la  surface  des  ondes.     G.  Darboux.    Compt.  rend.  XCVII,  1039,  1133. 

795.  Sur   une  famille  de  surfaces  däveloppables  passant  par  une  courbe  gauche 

donnäe.    L.  Lävy.     Compt.  rend.  XCVII,  986. 

796.  Sur  la  construction  des  plans  tangents  d'une  surface  de  r^volution  qui  passent 

par  une  droite  donn^e.    Rouquet.    N.  ann.  math.  XLIII,  194. 

797.  Sur   une   famille   de   surfaces  algebriques;    consid^rations    sur    des   surfaces 

orthogonales  et  homofocales.    A.  Legoux.    Quart.  Joum.  math.  XX,  1. 

798.  Sur  les  Systeme»  triples  de  surfaces  orthogonales.     Doucet.    N.  ann.  math. 

Xmi,  315. 

799.  Sur  röquation  aux  däriv^es  partielles  du  troisi^me  ordre  des  systämes  ortho- 

gonaux.    G.  Darboux.    Acta  math.  IV,  93. 

800.  Sur  les  cercles  göod^siques.    G.  Ossian  Bonnet.    Compt.  rend.  XCVII,  1360. 

801.  Sur  le  Systeme  de  coordonnäes  polaires  g^od^siques.    G.  Ossian  Bonnet. 

Compt.  rend.  XCVII,  1422. 

802.  Sur  les  diverses  courbures  des  lignes  qu'on  peut  tracer  sur  une  surface.  Issoly. 

N.  ann.  math.  XLUI,  522. 

803.  Krümmungslinien  in  den  Nabelpunkten  von  Flächen.    R.  Hoppe.    Grün.  Ar- 

chiv LXX,  289. 

804.  üeber  die  Krümmung  der  Flächen.    0.  Böklen.    Grelle  XCVI,  162. 

805.  Sur  les  surfaces  dont  la  courbure  totale  est  conatante.  G.  Darboux.  Compt. 

rend.  XCVÜ,  848. 

806.  Sur  les  surfaces  ä  courbure  constante.    G.  Darboux.    Compt.  rend.  XCVH, 

892,  946. 

807.  Zur   Theorie   der   Flächen   gerader  Ordnung.     Ed.   Mahler.     Grün.  Archiv 

LXX,  313. 

808.  üeber    die   Singularitätenflächen    quadratischer   Strahlencomplexe    und    ihre 

Haupttangentencurven.    Th.  Reye.    Grelle  XCVII,  242. 
Vergl.  Geometrie  (abzählende). 

Oberflächen  zweiter  Ordnung. 

809.  Theorie  des  surfaces  du  second  ordre  en  coordonndes  obliques.    S.  Gundel- 

finger.    N.  ann.  math.  XLUI,  7.     [Vergl.  Bd.  XXVUl,  Nr.  694.J 

810.  Sur  le  complexe  formö  par  les  axes  d'uue  surface  du  second  ordre.    G.  Koe- 

nigs.    N.  ann.  math.  XLII,  267. 

811.  Sur  l'intersection  de  deux  quadriques  r^gläes.     E.  Lebon.     N.  ann.  math. 

XLII,  47. 

812.  üeber  die  Durchdringung  gleichseitiger  Rotationshyperboloide  von  parallelen 

Axen.    W.  Fiedler.    Acta  math.  V,  331. 
Vergl.  EUipsoid.    Geometrie  (descriptive)  639.    Hyperboloid.    Kegelschnitte 
715.    Paraboloid.    Sphärik. 


296  HistoriBch-literarifldie  Abtheilnng. 


Optik. 

813.  Formales  g^o^ralet  des  •ystömes  dioptiiquet  centr^.  Honojer.  Compt.  zeuL 

XCVlI,  88. 
81-L  Ueber  optüche  Strahlensjsteme.    M.  Blasendorff.    Grelle  XCVIL  171. 
816.  Ueber  die  Lage  der  Brennlinien  einet  unendlich  dünnen  Strshlenböadek  g*e^at 

einander  nnd  gegen  einen  Hauipürtzahl    L.  Hatthiessen.    Acta  miktn. 

IV,  177. 

816.  Constmction  g^m^triqne  des  caiutiqaes  par  reflezion.    LaqaierCL    X.  aan. 

math.  XLU,  74. 

817.  Bfickblick  aaf  eine  Schattenfläche  von  Laplace.    A.  Wittstein.    Grvn.  Ar- 

chiv LXX,  239. 

818.  Zn  einem  An&atze  von  Dr.  E.  Haiss.    A.  Wange rin.     Gran.  ArcfaiT  T.W. 

111.    [Vergl.  Bd.  XXVU,  Nr  204J 

819.  Vitesse  des  ondes.    BaTleigh.    Comnt.  rend.  XCVn,  567.  —  Guy  ibid.  1476. 

820.  Sar  la  dispHersion  delalnmi^re.  C.  E.  ae  Klercker.  Compt  rend.  XCVIL  I'.'T. 

821.  Determination  des  oonstantes  optiqQes  d*nn  distal  biräfringent  ä  wae  axe.    L. 

L^v  Y.    Compt.  rend.  XCVlJ,  1296. 
Vergl.  Geometrie  (descriptiTe)  638.    Geometrie  (höhere)  643. 


Parabsl. 

822.  Propriäte  des  normales  ä  one  parabole.   N.  Goffart  N.  ann.  math.  XLIL  331. 

823.  Sor  les  trois  normales  men^es  d*an  point  ä  nne  parabole.    A.  Chambeaa. 

N.  ann.  math.  XLLI,  600. 

824.  Sar  iea  trois  cercles  oscalateurs  d'une  parabole  oai  toachent  one  tangente  a 

cette  conrbe.    Ch.  B risse.    N.  ann.  math.  XlIII,  388. 
826.  Contoar  polygonal  inscrit  dans  une  parabole.    Horet-BIanc.    N.  ann.  math. 
XLU,  322. 

826.  Propri^te  d*nne  parabole  ayant  one  certaine  droite  poor  directrioe  et  un  oer- 

tain  point  pour  sommet.    E.  Barisien.    N.  ann.  math.  XLU,  415. 

827.  Constroire  one  parabole  tangente  ä  une  circonförence  donn^e,  connaisaant  Taxe 

et  le  paramätre  de  la  parabole.    Moret-Blanc.    N.  ann.  math  XLIII, 
894. 

828.  Paraboles  tangentes  ä  la  fois  deuz  droites  rectangulaires  et  un  cercle  tangent 

ä  ces  deux  droites.    £.  Barisien.    N.  ann.  math.  XLIII,  635. 

829.  Thäoräme  sur  deux  paraboles.    L.  Clement.    N.  ann.  math.  XLIII,  487. 

Vergl.  Geometrie  (höhere)  643. 

Fsraboloid. 
880.  Sur  les  Hgnes  de  courbure  du  paraboloide  ^quilatäre.  P.  Barbarin.   N.  ann. 
math.  XLni,  97. 

Fsndal. 

831.  Eiofaches  Pendel  im  Baume  bei  Anziehung  von  einem  Punkte  in  endlicher 

Entfernung.    B.  Hoppe.    Grün.  Archiv  LXX,  406. 

832.  Osdllationen  eines  Bifilarpendels.    B.  Hoppe.  -  Grün.  Archiv  LXX,  188. 

Planimetrie. 

888.  The  symmedian  -  point  azis  of  an  associated  system  of  triangles.    B.  Tncker. 

Quart.  Joum.  math.  XX,  167. 
834.  Sur  la  symMiane.    M.  d'Ocagne.    N.  ann.  math.  XLH,  460;  XLHI,  26. 
836.  Sur  las  propriät^s  segmentaires  du  triangle.    M.  d'Ocagne.    N.  ann.  math. 

XLII,  497.  —  De  Saint-Germain  ibid.  XLUf,  802. 

836.  Propriäte   du   centre   du  cercle  circonscrit  a  un  triangle  en  ranport  avec  le 

foint  d'intersection   des  trois  hauteurs.     E.  Lemoine.     Is.  ann.  math. 
LII,  626. 

837.  Point  d'intersection  de  trois  droites.    M.  Baclot.    N.  ann  math.  XLII,  478. 

838.  Th^oräme  sur  le  triangle  rectangie.    Goffart.    N.  ann.  math.  XLII,  627. 

889.  Sind  in  einem  geradlinigen  Dreieck  zwei  Winkelhalbirende  gleich,  so  liegen 

die  halbirten  Winkel  an  der  Grundlinie  eines  gleichschenkligen  Dreiecks. 
P.  Seelhoff.    Grün.  Archiv  LXX,  223. 

840.  Aufgabe  über  das  gleichschenklige  Dreieck.  H.  Simon.    Grün.  ArchiT  LXXI, 

222.    [Vergl.  Bd.  XXVIII,  Kr.  337.J 

841.  Trouver  les  cöt^s  d*un  triangle,  la  somme  de  leurs  cubes  ätant  donnäe  et  sup- 

posant  qu^ils  soient  multiples  du  rayon  du  cercle  inscrit.    K.  ann.  matn. 
XLHT,  444. 


Abhandlungsregister.  297 

842.  Inhalt  einen  Parallelogramms,  dessen  Seiten  Verbindungslinien  der  Eckpunkte 

eines  Rechtecks   mit  gewissen  Punkten  seiner  Seiten  sind.     Schnell. 
Grün.  Archiv  LXX,  197. 

843.  De  quelques  propriät^s  d*une  famille  de  poljgones  que  Ton  peut  former  aveo 

un  polygone  donn^.    L.  F.  Ibach.    N.  ann.  math.  XLII,  226. 
Vergl.  Kreis. 

Potential. 

844.  Sur  les  fonctions  ds  trois  Tariables  reelles  satisfaisant  ä  T^quation  ^F^O, 

P.  Appell.    Acta  math.  IV,  313. 
Vergl.  Elektricität. 

Qnatemionen. 
846.  Sur  les  quantit^s  formant  un  groupe  de  nonions  analogues  aus  quaternions 
de  Hamilton.    J.  Sylvester.    Compt.  rend.  XCVII,  1336. 


Reihen. 

846.  Sur  les  s^ries  trigonomätriques.   H.  Poincarä.    Compt.  rend.  XGVII,  1471. 

847.  Sur  la  s^rie  de  Lam^.    Moret-Blanc.    N.  ann.  math.  XLIII,  533. 

848.  Theorie  ^Mmentaire  des  s^ries  r^currentes.     M.  d^Ocagne.    N.  ann.  math. 

XLHI,  66 

849.  Sur  quelques  ddveloppements  de  sinnx  et  de  cosnx.    E.  Catalan.    N.  ann. 

math.  XLU,  629. 

860.  Sur   la  formule   hu'^  =  ^»^  -  A  .  ju',  +  ^L^ .  Ju"^  -  ,^*f'  .  du}J  + . . . 

2  l.z  1. 16.3.4  <* 

J.  C.  Malmst en.    Acta  math.  V,  1. 

861.  Sur  un  algorithme  alg^brique.    M.  d*Ooagne.    N.  ann.  math.  XLVU,  220. 

862.  Algorithme  isobarique     £.  Cesaro.    N.  ann.  math.  XLIII,  561. 

863.  Sur  une  communication  de  M.  Tchäbychew  au  conffräs  de  Clermont-Ferrand 

en  Aoüt  1876.    £.  Cesaro.    N.  ann.  math.  XLIII,  613. 
Vergl.  Astronomie  627.    Functionen  626. 

Bectifloation. 

864.  Note  sur  Timpossibilit^  de  la  nuadrature  du  cercle.    E.  Bouchä.    N.  ann. 

math  XLII,  6.    [Vergl.  Bd.  XXIX,  Nr.  411  u.  689.] 
Vergl.  Functionen  613. 

Sehwerpuikt. 
866.  Distances  du  centre   de  gravit^  aux  points  remarquables  du  triangle.     G. 
Dostor.    N.  ann.  math.  XLII,  368. 

866.  Ueber  die  Lage  des  Schwerpunktes  im  Viereck.  StoU.  Grün.  Archiv  LXXI,  334. 

867.  Sur   le   centre   de  gravite   d*un  t^traMre.     Moret-Blanc.     N.  ann.  math. 

XLlil.  484. 

Singularitäten. 

868.  Sur  la  construction  d'uue  courbe  algäbrique  autour  d*un  de  ses  points.    Ch. 

.  Biehler.    N.  ann.  math.  XLII,  364,  397.    [Vergl.  Bd.  XXVII,  Nr.  261.] 

869.  Sur  la  construction  des  courbes  dont  Täquation  est  donn^e  en  coordonnies 

polaires.    Ch.  Biehler.    N.  ann.  math.  XLIII,  367. 

860.  Gän^ralisation  d*un  thäor^me  relatif  aus  points  d*inflezion  des  cubiques  planes. 

A.  Legoux.    N.  ann.  math.  XLII,  77. 

861.  Sur  les   courbes  unicursales  du  quatri^me  ordre,  dont  on  connait  les  trois 

^  points  doubles  et  cinq  points.    A.  Astor.    N.  ann.  math.  XLIII,  181. 

862.  Sur  la  courbe  du  quatri^me  degrä  ä  deux  points  doubles.   Humbert.  Compt. 

rend.  XCVÜ,  1287. 

863.  Sur  les  courbes  de  genre  un.  Humbert.  Compt.  rend.XCVH,  989, 1042,  1136. 

Vergl.  Elliptische  Transcendenten  602.  Geometrie  (descriptive)  639,  640.  Ober- 
flächen 808. 

Sphärik. 

864.  Differential   equations   of  spherical   trigonometry.     J.  W.  Warren.     Quart. 

Journ.  math.  XX,  170. 
866.  A  transformation  in  elliptic  Integrals  and  its  application  to  spherical  trigo- 
nometry.    R.  Russell.    Quart.  Journ.  math.  XX,  378. 

21* 


298  Historisch- literarische  Abtheilang. 


866.  Ein  Problem  über  berührende  Kugeln.    B.  Hoppe.    Gran.  Archiv  LXXI,  148. 

867.  Thäor^me  sur  trois  cordes  d'une  Sphäre  passant  par  nn  mSme  point  int^riear. 

H.  Faure.    N.  ann.  math.  XLlIl,  684. 

868.  Sphäre  passant  par  les  pieds  de  quafare  normales  ä  un  paraboloide  elliptiqae 

partant  d^un  möme  point.    Fönten^.    N.  ann.  math.  XLQI,  423. 
Vergl.  Kreis  746. 

Stereometrie. 

869.  Sur  Texistence  de  certains  polyädree.    E.  Gesaro.    N.  ann.  math.  XLII,  46. 

870.  Sur  certaines  pluB  courtes  oistances  dans  uu  t^traädre.   H.  Brocard.  N.  ann. 

math.  XLIII,  631. 

871.  Angle  compris  entre  deuz  facea  laterales  d'une  pyramide  iL  base  carr^e.    J. 

Richard.    N.  ann.  math.  XLIJI,  493. 

Sabstitntionen. 

872.  Quelques  propri^täs  ^lämentaires  des   groupes  plusieurs  fois  transitifs.     E. 

Cesaro.    N.  ann.  math.  XLIII,  471. 

873.  Sur  les  groupes  d'ordre  fini,  contenus  dans  le  groupe  des  substitutions  qua- 

dratiques  homogänes  ä  trois  variables.     L.  Antenne.     Compt  rend. 
XCVÖ,  667. 

T. 

Taylor't  Beihe. 

874.  Sur  le  thöoräme  f{x-\-h)-f{x)^h,f{x-¥Bh),     J.  Peans.     N.  ann.  math. 

XLni,  45,  252.  —  C.  Jordan  ibid.  47.  —  Ph.  Gilbert  ibid.  163,  475. 

ThetaAmetionen. 
876.  Zur  Transformation   der  Thetafunctionen.     Ferd.   Müller.     Grün.   Archiv 
LXXI,  161. 

876.  Verallgemeinerung  einer  Relation  der  Jacobi'schen  Functionen.    R.  Hoppe. 

Grün.  Archiv  LXX,  400. 

877.  Ein  neuer  Beweis  für  die  Riemann*sche  Thetaformel.    F.  Prym.    Acta  math. 

UI,  201. 

878.  Ableitung  einer  allgemeinen  Thetaformel.    F.  Prym.    Acta  math.  111,  216. 

879.  Ueber  die  Verallgemeinerung  der  Riemann'schen  Thetaformel.    A.  Krazer  & 

F.  Prym.    Acta  math.  UI,  240. 

880.  üeber  Gruppen  von  Thetacharakteristiken.    G.  Frobenius.  Grelle  XCVI,  80. 

881.  üeber  Thetafunctionen  mehrerer  Variabein.  G.  Frobenius.  Grelle  XCVI,  100. 

882.  Ableitung  des  Weierstrass'schen  Fundamentaltheorems  für  die  Sigmafunction 

mehrerer  Argumente  aus  den  Kronecker'schen  Relationen  für  Subdetcr- 
minanten  symmetrischer  Systeme.    F.  Gaspary.    Grelle  XGVI,  182. 
888.  Zur  Theorie  der  Thetafunctionen  mehrerer  Argumente.    F.  Gaspary.    Grelle 
XC\ri,  324. 

884.  Ueber   das  Additionstheorem   der  Thetafunctionen   mehrerer  Argumente.    F. 

Gaspary.    Grelle  XGVÜ,  166. 

Trigonometrie. 

885.  Sur  quelques  identitäs  trigotiom^triques.    G.  Fouret   N.  ann.  math.  XLU,  262. 

886.  Note  de  trigonomdtrie  el^mentaire.    N.  Goffart.    N.  ann.  math.  XLIII,  104. 

887.  Propri^tä  de  tout  point  int^rieur  ä  un  triangle.    N.  Goffart.    N.  ann.  math. 

XLUI,  443. 

888.  Diviser  un  triangle  par  des  perpendiculaires  tir^es  d'un  point  int^rieur  sur  lee 

cöt^s  en  trois  quadrilatäres  Äquivalents.  Laser.  N.  ann  math.  XLIII,  382. 

889.  Gondition  sous  laquelle  un  triangle  se  trouve  isoscäle.    N  Goffart.    N.  ann. 

math.  XLII,  521. 

890.  Ein  Dreieck  zu  construireu  aus  einem  Winkel,  der  Winkelhalbirenden  und  der 

durch  die  Winkelspitze  gehenden  Mittellinie.    P.  Seelhoff.   Grün.  Arch. 
LXXI,  97. 

891.  Galculer  un  triangle  connaissant  deux  cöt^s  et  sachaut  qu'il  est  äquivalent  an 

triangle  equilatäral  construit  sur  le  troisiäme  c6tä.    Moret-Blanc.    N. 
ann.  math.  XLII,  466. 

892.  Sur  un  triangle  et  quadrilat^re  äquivalente.    Moret-Blauc.    N.  ann  maih. 

XLIII,  494. 

893.  Galcul  de  Tangle  entre  le  diami^tre  d'un  cercle  passant  par  un  point  donnä 

et  une  säcante  passant  par  le  mäme  point.     Moret-Blanc.     N.  ann. 
math    XLII,  464. 
Vergl.  Gleichungen  633.   .Sphärik. 


Abhandlungsregister.  299 

€. 
ültraellipüsohe  Transeendenten. 

894.  Zar  Theorie   der  Transformation  byperelliptischer  Functionen  zweier  Argu- 

mente.   WiltheisB.    Grelle  XCVl,  17. 

895.  Sur  le   multiplicateur  des  fonctions  hyperelliptiques  de  premier  ordre.    M. 

Krause.    Acta  math.ni,  283. 

896.  Sur  la  transformation  des  fonctions  hyperelliptiques  du  premier  ordre.    M. 

Krause.    Acta  matb.  III,  153. 

ümkehrungtproblem. 

897.  Sur  la  g^n^ralisation  d'une  formule  d*Abel.   N.  Sonine.  Acta  matb.  IV,  171. 

V. 

YariationBreehnimg. 

898.  Theorie  nouvelle  du  calcul'des  variations.  A.  Picart.  N.  ann.  matb  XLII,  49. 


WAnnelehre. 

899.  Sur   la  mesure   des   chaleurs   sp^cifiques   et   des   conductibilit^s.     Morisot. 

Compt.  rend.  XCVII,  1426. 

900.  Mode  de  räpartition  de  la  chaleur  d^velopp^e  par  Taction  du  forgeage.  T  res  ca. 

Compt.  rend,  XCVU,  222. 
Vergl.  Mechanik  779. 

Wahncheifilichkeitoreohniing. 

901.  Probabilit^  pour  qu*une  permutation  donnde  de  n  lettres  soit  une  permutation 

alternde.    Dös.  Andrä.    Compt.  rend.  XCVll,  983. 

902.  Sur  une  question  de  probabllitö  gäomdtrique.    E.  Lemoine.    N.  ann.  matb. 

XLDI,  118. 

903.  Üne  question  de  rentes  viagäres.    L.  Lindelöf.    Acta  math.  III,  97. 

Zahlentheorie. 

904.  Sur  quelques  consäquences  arithmätiques  des  formules  de  la  thöorie  des  fonc- 

tions elliptiques.    Ch.  Hermite.    Acta  math.  V,  297. 
906.  Beweise   des  Reciprocitätsgesetzes   für   die   quadratischen  Reste.     L.  Kron- 
ecker.    Grelle  XCVI,  348;  XCVII,  93. 

906.  On  the  fonction  r(n).    J.  W.  L.  Glaisher.    Quart.  Joum.  math.  XX,  97. 

907.  Propriätös  d'une  fonction  arithmätique.   E.  Gesaro.   N.  ann.  math.  XLUI,  431. 

908.  Sur  un  thöor^me  de  Liouville  relativ  auz  nombres  de  classes  de  formes  qua- 

dratiques.    Stieltjes.    Compt.  rend.  XCVII,  1368,  1415. 

909.  Sur   la  fonction   f(n)   qui   dönonce  le   nombre   des   Solutions   de   Täquation 

w  =  a;«  +  y*.    Stieltjes.    Compt.  rend.  XCVII,  889. 

910.  Nombre  total  des  solutions  enti^res  d^un  certain  Systeme  d^öquations.     N. 

Goffart.    N.  ann.  math.  XLIIl,  589. 

911.  Nombre  des  solutions  enti^res  (non  negatives)  des  äquations  A;  +  2^  =  n-l, 

2ic4-3t/  =  n  — 3,   3a:-f-4y  =  n  — 6   etc.    E.  Cesaro    N.  ann.  math.  XLÜ, 
380.  ,   • 

912.  Evolution  complöte,  en  nombres  entiers,  de  IMquation  gänörale  du  second 

degrö,  homogäne  et  contenant  un  nombre  quelconque  d'inconnues.    Des- 
boves.    N.  ann.  math.  XLIII,  226. 
(1/24.1)*»"-*  j.  (1/2  — l)*"""^ 

913.  Le  nombre  ^ ^ est  la  somme  des  carrös  de  deux  nombres 

2^'2 
entiers.    £.  Fauquembergue.    N.  ann.  math.  XLII,  470. 

914.  a,  h,  n  ötant  des  nombres  entiers  etn>l,  la  quantitä 

2^g«H-6« 
est  la  somme  de  deux  carr^s  et  aussi  la  somme  de  trois  carr^s.    E.  Ca- 
talan.    N.  ann.  math.  XLIII,  342. 

915.  Tout  nombre  dont  le  carr^  se  compose  des  carr^s  de  deux  nombres  entiers 

cons^cutifs  est  ägal  ä  la  somme  des  carr^s  de  trois  nombres  entiers  dont 
deux,  au  moins,  sont  cons^cutifs.    Romero.    N.  ann  math.  XLII,  329. 


300  Historisch -literarische  Abtheilang.     Abhandlnngsregister. 


916.  a,  X,  y  dtant  des  nombres  entiers  cbaqne  valeur  de  x  qui  yärifie  T^qnation 

(a*  +  l)a;*  =  y*  + 1,  en  dehors  de  x  =  \  et  de  a:  =  4  a*  + 1,  est  la  somme  de 
trois  carräs.    E.  Fauqnembergue.    N.  ann.  math.  XLIIf,  345. 

917.  La  somme  des  puiBsances  4n  de  denz  nombres  entiers  in^gaux  est  une  somme 

de  quatre  carr^s,  dont  deux  sont  ägaux  entre  eox.  E.  Catalan.   N.  ann. 
math.  XLni,  847. 

918.  On  the  representations  of  a  number  as  the  snm  of  four  uneven  Squares,  and 

as  the  sum  of  two  even  and  two  uneven  Squares.    J.  W.  L.  Qlaisher 
Quart.  Joum.  math.  XX,  80. 

919.  Sur  la  ddcoraposition  d*un  nombre  en  cinq  carr^s.    Stieltjes.    Compt.  rend. 

XCVU,  981. 

920.  Räsoudre  en  nombres  entiers  V^quation  a;*  +  y'  =  tt*  +  t7*  +  l.    E.  F  au  quem- 

bergue.    N.  ann.  math.  XLIII,  346. 

921.  Sur  quelques  ^quations  iud^termin^es.    S.  B^alis.    N.  ann.  math.  XLII,  289, 

494,  535;  XLUI,  305. 

922.  Insolubilitä   de   T^quation   i/'  =  xc*  + (^  +  1)'  en   nombres  entiers  k  moins  de 

a?  =  0.     A.  Fauqnembergue.    N.  ann.  math.  XLII,  430.  —  P.  D.  ibid. 
XLUI,  301. 

923.  Trouver  les  Solutions  enti^res  de  T^quation  x^  +  x^  +  x-\-\^vK     E.  Fau- 

quembergue.    N.  ann.  math.  XLni,  588. 

924.  Involubilit^  de  Täquation 

(2  +  K3r+*  +  (2-f^3)*'+*  =  A[(i+^2)««^+'_(l-;/2)**+*] 

en  nombres  entiers  autres  que  rc  =  y  =  0.    E.  Fauqnembergue.  N.  ann. 
math.  XLII,  372. 
985.  Propriätä  de  la  somme  des  Sa^««*  puissances  des  nombres  1,  2,  ...  p  —  l  en 
prenant  pour  p  nn  nombre  premier  >3.    Moret-Blano.   N.  ann.  math. 
XLIII,  395. 

926.  On   the  divisors  of  nnmbers  and  products  of  factors.    8.  Roberts.    Quart. 

Joum.  math.  XX,  370. 

927.  Somme  de  produits  des  nombres  premiers  ä  .N  et  non  sup^rieurs  ä  ce  nombre. 

Moret-Blanc    N.  ann.  math.  XLIII,  483. 

928.  Congruence  de  deux  produits  par  rapport  k  un  module  premier.    Ch.  Cha- 

banel.    N.  ann.  math.  XLII,  427. 

929.  Zu  Euler*s  Recursionsformel  für  die  Divisorensummen.    Chr.  Zeller.    Acta 

math.  IV,  415. 

930.  Thäoräme  sur  les  quotients  des  diyisions  d'un  nombre  donn^  par  les  nombres 

moindres  consecutifs.    Ch.  Chabanel.    N.  ann.  math.  XLII,  474 

931.  Demonstration  d'un  th^oräme   de  Format.     A.  Genocchi.     N.  auu.  math. 

XLII,  306. 

932.  Befreundete  Zahlen.    F.  Seelhoff.    Grün.  Archiv  LXX,  75. 

Yergl.  Formen.    Geschichte  der  Mathematik  663.    Reihen  852. 


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