Zeitschrift für Mathematik und Physik

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Z<u. Ss-^S.^o

f^arbarli College Httirars

FROM THE DEqjJEST OF

HORACE APPLETON HAVEN,
OF PORTSMOUTH, N. H.

(Glass of 104».)

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SCIENCE CENTER LIBRARY

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Zeitschrift

für

Mathematik und Physik

lieraiisgegebcD
unter der verantwortlichen Redaktion

Dr. R. Mehmke und Dr. M. Cantor.

42. Jahrgang.

Mit in den Text pfednickten Figuren und drei lithogra))hierten Tafeln.

Leipzig,

Vorlao^ von li. (J. Toubner.

• 1897.

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Druck von B. 0 Tenhneir in Dretilen.

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Inhalt.

Arithmetik iiud Aiialysis. scitc

Studien zn liaabe's Monographie über die Jacob - Bernoullisclie Funktion. Von

Louis Saalschütz 1

Zerlegung der Gleichung vierten Grades. Von Heilermann 60

lierichtigung dazu 112

Druckfehler in S. Gundeltinger-A. M. Nell's Tafeln zur Berechnung neunstelliger

Logarithmen. Von Joseph Blater 64

t'ber Beziehungen zwischen den Det<jmnnanten einer Matrix. Von W. Ahrens 65
Die Transformation und Auflösung der Gleichung fünften (irades in elementarer

Darstellung. Von W. Heymann 81, 113

Ein Mittelwertsatz für ein System von /«Integralen. Von G. Kowalewskl . 153

Über die Differentiation empirischer Funktionen. Von C. Runge 205

C'ber Zahlent^iler ganzer Funktionen. Von K. Th.Vahlen 214

{'ber einen Satz der Funktionentheorie und seine Anwendung auf isothermische

Kurvensysteme und auf einige Theorien der mathematischen Physik.

Von Holsmüller 217

Kine Determinantenformel. Von E. Schulze 313

("ber eine von Abel untersuchte Funktionalgleichung. Von Faul Stäokel . 323

Synthetische, darstellende und analytische Geometrie.

Die singulären Punkte der Flächen. Von Ernst Wölffing 14

Bemerkung zu den Bemerkungen über doppeltzentrischc Vierecke. Von Chr.

Beyel , 63

Aufgabel. Von 8. Finsterwalder 63

Zur perspektivischen Lage kollinearer ebener Felder. A'on Kilblnger . . .104

Zur Pei-spektive des Kreises. Von Kudolf Schüssler 107

Eine Aufgabe aus der Schattenlehre. Von Chr. Beyel 111

Loci of the equations /j = qp«e and ^?«qp"i/;''e. By E.W. Hyde 122

Berichtigung dazu 160

Das erweiterte Theorem von Bour. Von F. Ebner 215

l'ber Nachbargebiete im Räume. Von Faul Stäokel 275

Der kubische Kreis mit Doppelpunkt. Von Chr. Beyel 281

Cber das Problem der Winkelhalbierenden. Von A. Korselt 304

Graphisches Rechnen. Zeichenapparate.

(''her das Einstellen der dreiteiligen Fluchtpunktschiene. Von R. Mehmke . 09
Anwendung der Integralkurve zur Volumteilung. Von Ernst Brauer , . . 272
l'ber einen Mechanismus, durch den ein beliebiger Winkel in eine l)eliebige

ungerade Anzahl gleicher Teile geteilt werden kann. Von A. Korselt 276

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IV Inhalt.

Mechanik (eiDBchl. Kinematik). soito

Die kinematische Theorie der Hyperboloitlenreihun^sräder. Von Fr. SchilUng S7

Über ein Problem der Mechanik. Von A. Karl 105

Über Schraubengesch windigkeiten eines festen Körpers bei verschiedener Zahl

der Stützflächen. Von P. Somoff 133, 161

Über einen Satz der Statik. A'on K. Th. Vahlen 160

Grundzüge einer (rraplio- Ballistik auf Grund der Kruppschen Tabelle. Von

Carl Cranz 183

Beiträge zur Theorie des ebenen Gelenkvierecks. Von R. Müller .... 247
Konstruktion der Trägheitsaxen eines Dreiecks. Von Otto Kichter .... 33«

Elastizitftts- und Festigkeitslehre.

Aufgabe 2. Von C. B '280

Zum Gesetz der elastischen Dehnungen. Von K. Mehmke 327

Physik.

Über eine neue Folgerung aus der Maxwellschen Theorie der elektrischen

Erscheinungen. Von A. Soheye 157

Über einen Satz der Funktionentheorie und seine Anwendung auf iso thermische
Kurvensysteme und auf einige Theorien der mathematisclion Physik.
Von Holzmüller 217

Zur Theorie der Gleichung -^=^a'd(jp auf Grund der Kirchhoft'schen Gleich-
ung für das Huyghenssche Prinzip. Von J. Jung 278

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i-2. BuiKl. I. ii«r(*

ZEITSCimiFT

MATHEMATIK UND PEYSIK.

I>ii. iv, MEHMKI Uli äu CANTOK.

li.

VKK)LAO VON IS. ü, TKI'BNKtt.

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Studien zu Baabe*s Monographie über die Jacob -
Bemoullisohe Funktion.

Von

Prof. Dr. Loris SaalschTtz

in Königsberg in Pr.

Die nachfolgende Arbeit knüpft an das grundlegende Werk Raabe's:
„Die Jacob -Bernoullische Funktion" (Zürich 1848) an. In § 1 wird
die Reihe, von welcher Raabe ausgeht [^{x) Gleichung 1), welche ich
später mitunter die Raabe sehe Reihe nenne], in eine andere um-
geformt, welche um x = 1 herum brauchbar ist, und es wird die von
Raabe unternommene Bestimmimg ihres Grenzwertes für x^l da-
durch wesentlich verkürzt. In § 2 wird eine Gleichung des genannten
Werkes, deren rechte Seite einen bestimmten Wert besitzt, während
auf der linken Seite ein Integral von völlig unbestimmtem Werte steht,
verbessert und verallgemeinert. In § 3 endlich wird die Raabe sehe
Reihe summiert, das heisst in einen geschlossenen Ausdruck umgewandelt.

§1.

Raabe führt die Bernoullische Funktion gelegentlich der Be-
trachtung folgender Reihe, die wir mit 0(jl') bezeichnen wollen, in
die Analysis ein;

*(a;)-

a^ + 2'^a^x + S^agX^ -^ h i>"»a^a;'»-i

+ (2p+l)'"a^x^p+(2p+2)'^a^x*P'^'+(2p+S)'^a^x^P-^^+'- '+{2p+p)'^apX^P-'^

+ etc. in infin.

Darin ist m eine positive ganze Zahl; auch ;r werde als positiv
angenommen, dann kohvergiert jede der vertikalen Teilreihe^i und,

Zeitichrift f. MathemÄtik u. Phy»ik. 42. Jahrg. 1897. 1. Heft. ^.y.u^j.. .., _J (JOg IL

2 Studien zu Raabe's Monographie über die Jacob -BernouUische Funktion.

somit auch 0(jc), so lange :v ein echter Bruch ist. Wird nun, wie
es geschehen soll, den re* die Bedingung auferlegt:

2) ^»a* = 0,

1

SO hat auch lim ^{x) einen bestimmten Wert, und dieser wird, ziem-

x = l

lieh weitläufig, von Raabe abgeleitet. Wir wollen nun 0{x) oder
vielmehr xO(x) in eine nach Potenzen von Ix fortschreitende Reihe
umwandeln, welche um x = 1 herum zwischen meist engen, aber nicht
zusammenfallenden Grenzen konvergiert. Wir benutzen dabei einen
von Herrn Schlömilch bei seiner Methode, die Bernoulli sehen
Funktionen (abgekürzt: B.F.) und die auf sie bezüglichen Sätze ab-
zuleiten, ausgesprochenen Gedanken, indem wir 0(x) als DifiFerential-
quotienten darstellen. — Soll der, zunächst hypothetisch vorausgesetzte,
aber später (in § 3) wirklich hergestellte geschlossene Ausdruck,
dessen Entwickelung unter Voraussetzung von 2) und für a; < 1 die
Reihe 0(x) ergiebt, verstanden werden, so soll dafür die Bezeichnung
F(x) gebraucht werden.

Der Koeffizient von a* in (I>(x):

{/^'"+ (i> + 'k)'^xP+(2p + ky'x^P+ . . . }rc*-i
ist, mit Benutzung des Zeichens D^ für ^— :

3)

Setzen wir nun:

ö; u (t; + Ix) '

so wird nach 3):

6) ' • i;.^•4>(:r) = -i)^(FC^),=o 0 <,x <\,

Dass X bis 0 hinuntergehen darf, folgt aus der Form des Pro-
duktes: ^ I O I I

l YjT a^e'>-\-a^e^'>x-\ \-apepvxP — ^ ^

X """ ^ eP^xP — 1 '

aber die Differentialquotienten auf der rechten Seite von 6) sind für
jeden endlichen Wert von x (auch für v-=0 und über lx = 0 hin-
weg) stetig. Dies ergiebt sich (für x > 0) ohne Schwierigkeit mittelst
der Reihenentwickelungen [für U mit Rücksicht auf 2)]:

worin: "

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Google

Von Louis Saalschütz.

Pt + , = «^ + 2* + » «4 + • • • + ;)* + 1 «^ ;

0

wenn man sich der Formel:

erinnert. Wir erhalten somit F{x) als stetige Funktion, wenn wir sie
durch die Gleichung:

7) -i).iF(.r) = 7)r(r?7X==o

definieren.

Mit Benutzung von 2) folgt hieraus:

i

1

(unter Voraussetzung von wi > 0) oder endlich:

worin nun die Grössen a^^ a^, ... ^/^ — i voneinander vollkommen un-
abhängig sind. Hieraus folgt für x = l:

oder wenn ^

9) --— ^

und pv = /r gesetzt wird: _^

10. - F(l) ^ - lim 4>(a:) ^Z^"* «^^-CeTr/X^»

Der rechts stehende Differentialquotient ist der Schlömilchsche
Ausdruck für die B. F. in der Form, wie sie von Raabe eingeführt
worden ist, und soll nach dem Vorgang von Herrn Her mite durch
*^«(^) bezeichnet werden.

In der Gleichung 10) kann die Summation nach k auch bis p
ausgedehnt werden, weil S^i}) -= 0 ist, und sie giebt dann genau das
von Raabe gefundene Resultat.

Setzen wir nun:
11) Ix^Hy —ji- F{pc) = ^'(e/),

so ist nach 8):

Dijitizedby Google

Studien zu Raabe's Monograpliie über die Jacob - Bernoullische Funktion.
—''ST' d«^ + n /e*P(g+«)— 1\

1
lind somit ist der Mac-Laurinschen Reihe gemäss:

12)

1

Dies ist die gesuchte Entwiekelung und ihre Gültigkeit an die
Bedingung:

13) ^^:<Y
oder 2^ 2«

14) e P <x<eP

gebunden. Man erkennt dies entweder vermöge einer Darstellung der
rechten Seite von 7) als Summe von Produkten unendlicher Reihen,
deren langsamer konvergierende (das ist V und seine Ableitungen) von

lx = — — bis lx=^-\

P P

mit Ausschluss der Grenzen konvergent sind, oder einfacher aus der
Natur der Funktion F(u^ selbst. Dieselbe ist nämlich, wie sich in
§ 3 zeigen wird [siehe daselbst die Gleichung 31) oder die bald darauf
hervorgehobene Stelle], eine rationale gebrochene Funktion, deren

Nenner eine Potenz von ~ oder, mittelst der Substitution Ix = u,

von ist', wird sie also nach Potenzen von u entwickelt, so

konvergiert sie bis zu dem Absolutwert desjenigen ti, für welches

1 — c^", mit Ausschluss von w = 0, zum ersten Mal verschwindet, das

ist, wegen

l-c±2»''=0, bis w;=--.

P

An die Gleichung 12) knüpfen sich noch zwei Bemerkungen:

1. Nehmen wir a; < 1 an, so hat die, dann mit F(x) äquivalente, Reihe

— 1?
9(x) mit der rechten Seite von 12) die Strecke für x von c i> bis 1

(mit Ausschluss der Grenzen) als eine solche gemeinsam, auf welcher

beide Reihen konvergieren; folglich ist auch die Gleichung:

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Von Louis Saalschütz. 5

15) -xO{x)-= r^* a.{5,„(|) + S„+, (}) ^ + • • • )

richtig.

2. Setzt man a; = 1 + g, so ist:

F{1 + I) = 2^(1) + 6F'(1) + f>"(l) + • • •

und nun kann man die Koeffizienten dieser Reihe mittelst 12), deren
rechte Seite den Grieichungen 11) gemäss als tl;(lx) zu bezeichnen ist,
finden; es ist nämlich:

- [if^»)(l) + «2?^— i)(l)] = [2).>aa;)],.= 0
und hieraus:

- 2^»)(1) = [Dltl^Qx) - nDl-'tl>{lx) + n{n - 1)D;- V(?a;) T • • •

+ (- 1)— 1« . . . 2B,^{lx) + (- 1)»» . . . U(ia;)],.=„.

Mittelst der bekannten Formel*

worin Ol, Ci . . . die FakuMtenkoefBzienten sind, Ton denen

C* = l, C**_i = (Ä-l)!

sind, und der leicht beweisbaren Gleichung:

O; + nGi=l + «(« - 1)0*^," + • • .

.+ w(n - 1) . . . (m - Ä + l)Co ~*= C*"+'
ergiebt sich nunmehr:

f-i^(«)(l)= ^»)(0) - C(»+»^«-')(0) + C»+iV(»-»)(0) T- • •

+ (_ l)»-ic;+.V(0) + (- 1)- n{n - 1) . . . 1 V'CO)

wo auch bis p summiert werden darf. Der Radius des Konvergenz-
kreises ist, wie aus der Natur der Funktion hervorgeht, 2 sin - ; denn

dies ist der Modul desjenigen |, fttr welches ^ ' ^ ~ zum ersten Mal
verschwindet.

16)

* Siehe Schlömilchs Compendium der höheren Analjsis, 2. Bd. 1. Abhdlg.,
woselbst auch die Werte der Fakoltätenkoeffizienten angegeben sind. /^-^ i

..^.byLiOogle

jß Studien zu Raabe's Monographie über die Jacob -Bernoullische Funktion.

§2.
Im ersten Abschnitt der in Rede stehenden Monographie betont
Raabe wiederholentKch, er woUe den Wert der oben [Gleichung 1)]
mit <P(.r) bezeichneten Reihe an der Grenze der Konvergenz, wenn ./'
noch um unendlich wenig von der Einheit übertroifen werde, bestimmen.
Dennoch begegnet es ihm im dritten Abschnitt, dass er seine, für x= 1
selbst, vollkommen unbestimmte Reihe,

wie etwa die Reihe l'-2x + 3x'^ — 4x^± - - - für;r=l,

in ein Integral umbildet, ohne, wie es scheint, zu merken, dass dieses
auch ganz unbestimmt sein muss, wie es z. B. das in der Anwendung

auftretende *

/t;"* sin^^ + ^t; dv
6
[a.a.O.S 40 flg. Gleichungen 7) und 10)] in der That ist.

Diese ungenauen Resultate sollen im folgenden präzisiert und mit
Hilfe von 12) verallgemeinert werden. Wir setzen, wobei bis auf den
fraglichen Punkt die von Raabe benutzte Methode reproduziert wird,
ajt gleich einer periodischen Funktion, nämlich, wenn wir unter a, h
und r positive rationale Zahlen der Art verstehen, dass ra und rh
ganze Zahlen sind:

17) ak^<p(sm]( ad, cosä* fed)d'"+^;

darin soll d unendlich klein, femer 2> unendlich gross und

18) pd = 2rn

sein, sodass die Vermehrung des Index h von a* um ein Vielfaches von
p den Wert von a* ungeändert lässt. Dadurch wird:

OO X

X (p(x) =-yjk akh'^x^ ==^* ^* *"* ^"•
1 1

Jetzt liege x sehr wenig unterhalb 1, und sei:

Ix = — 6 = — QÖ,

wobei Q eine positive endliche Zahl ist; ferner sei:

IcS -= r;
dann ist:

Jdx ^ — QV, plx = — 2rnQ,

Und nun geht x Q>{x) in ein Integral über:

1 9) X <I> (.r) = j*v^ q) (sin aVy coHhv)e~^^dr.

0

Wollen wir nun die Gleichung 15) anwenden, so müssen die ajt
der Bedingung 2) genügen, das heisst es muss, mit Fortlassung des
sehr kleinen, aber nicht verschwindenden Faktors S"*: ^^ ,

^igitized by VjOOQiC

Von Loüis Saalsohütz.

2r7t

sein.

20) j (p (sin av, cos bv)dv = 0

0

Ferner ist die rechte Seite von 15):

2rn

fq)(&mav, coBbv)(2r7c)'^

wobei jetzt die Klammer unter der Bedingung

rQ<l
konvergiert, oder vermöge der Substitution
auch: v^2r7t0

fq>(sm2ra7t2, GOs2rb7tz)(2r7t)'^+'lSnt(2)-^pS,n-^i(z) + '-'\'

Ist nun also 9 eine Funktion, die der Bedingung 20) genügt, so
gilt nach 15) die Gleichung:

OD

— yV*g)(sinay, G08hv)e~^^dv = (2rjr)*"+^
0
1
21)^ xf(p{8in2ran;js, cos2rbn0)
0

0<rp
und im besonderen: -^

22)

lim fv'^tpismav, cos&i;)e"'^''dt? = — (2r;r)'"+^

1
X f<p(8m2ran2, Q0B2rbnz)Stn{ß)dz.

Dies ist die verbesserte Raab ersehe Gleichung [S. 38, Gleichungen
4) bis 6)], während 21) eine Verallgemeinerung derselben ist.

Von den a. a. 0. gegebenen Beispielen nehme ich folgende be-
sonders einfache heraus:

9p(sinat;, cosfty) = siny, r = 1

und . . , >. .

g?(smay, cosoy) = cos y, r = 1.

Beide genügen der Bedingung 20) und es gelten nun nach den
von Raabe angegebenen Formeln:

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g Studien zu Raabe'^ Monographie über die Jacob -Bemoullische Funktion.

fS,„(z) sin i2«z) dz ^ ^"^yjjT^' > SS,^+^{z)^m{2nz)dz ^ 0,

(-l)»>(2»»-f-l)!

folgende Gleichungen
(

23)

/ v^'" sin ve-^^dv = (- l)'»(2m)!
6
. fi (2m + l)(2m + 2) , (2m+l) . . . (2m + 4) , |

x>

Jy2m-isinre-?«'dt; = (— l)'»-i(2m — .1)!

(2*

2w (2m)...(2ffl + 2.) 3 , (2w) . . . (2?n + 4) 5

(>

3!

P^

5!

^P^T

■)•

24)

fv"«co8ve-9'dv = (—l)'"{2m)\

x| — j — Q - Q H Q ^....y

30

Jj;2m-icos ve-^'^dv = (— l)'»(2m — 1)!

0

r 2m(2w + l) . (2m)...(2m + 8)^^.^

und im besonderen:

0<p<l.

25)

lim /\;2"'sin«;e-?''dt; = (— l)"'(2m)!

aa

lim fv'^'^—^sinve-'^^dv = 0, etc.

Man kann diese vier Integrale auch direkt behandeln und erhält
dann die Resultate in geschlossenen Ausdrücken. Diese, sowie die
rechten Seiten der Gleichungen 23) und 24) gehen bei der Substitution

p = tga

beziehungsweise in folgende trigonometrische Ausdrücke über:

(— l)*»(2w)! cos»«+iacos(2w + l)a,

(— l)m-i(2wt — 1)! co8*'"asin2ma;

(-l)«(2w)! cos2"» + iasin(2w + l)a,

(— l)'~(2m — 1)! cos*''*« cos2ma.

In dieser Form gelten die Gleichungen 23) und 24), der Stetigkeit

beider Seiten wegen, für jedes a zwischen Null und _ mit Einschluss

Digitized by VjOOQiC

Von Louis Saalschutz.

9

beider Grenzen, wenn für die untere (Null) das Zeichen lim, wie in
25) geschehen, gebraucht wird.

Schliesslich möge bemerkt werden, dass diejenigen Resultate in
Raabe's Buch, welche durch Elimination der linken Seite von 22)
entstehen, wieder richtig sind.

§3.

Wir gehen jetzt an die Aufgabe, die Funktion F(x) in geschlossener
fertiger Form darzustellen. Allerdings hat Raabe schon angegeben,
wie man zu einem solchen Ausdruck gelangen könnte,* doch ist dies
Verfahren rekursiv und verlangt überdies, um überflüssige Faktoren
fortzuschaffen, die Division von Zähler und Nenner des auf den Nenner
(1 — xP)^"^^ gebrachten Ausdrucks durch (1 — or)^+^.

Man könnte aber in Ermangelung eines besseren Weges folgender-
. massen verfahren. Nach 8) ist:

oder da, wenn Ix ^ u

gesetzt wird, die Differentiationen nach ti statt nach v ausgeführt
werden dürfen, und daher schon vor der Differentiation v = 0 gesetzt
werden darf:

27)

1

28)

Führt man jetzt die Bezeichnungen

«1 + «2 H \-^p

ein, so ist:

a

Op _ 1 = a^, — 1

* Bezeichnet man (Raabe a. a. 0. S. 4 und 10):

also insbesondere y ^i«^i_«^i_l j-^^d — i
und F{x) für m = 0, 1, . . . w mit bez. Yq, Y", , . . . Ym, so ist:

^0

r,-

l—XP

und

^'» = Ä +(«)'*^fe' + c»)«^'-' T-^^ + •

+ (^)fn - 1 i)»»

1 — ajp ' ^ 1 — aj/>

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Google

10 Studien zu Baabe's Monographie über die Jacob - BemoulliBclie Funktion.
29) - ,r F(.c) =2* «* + >i>« (r+-.. + e««+-.":.-+e(.--^)'

0

worin die Grössen «j, «g, ... ap_i voneinander ebenso vollkomm eu
unabhängig sind, wie die w,, a^, . . . ap_i voneinander.
Benutzt man jetzt die Entwickelung:

deren Koeffizienten ich an anderer Stelle* angegeben habe, so kann
man die rechte Seite von 29) nach den Formeln für höhere Diiferential-
quotienten, insbesondere mit Hilfe der Gleichimg, worin der Nenner
von 29) als Funktion von ii mit z bezeichnet ist:

Dt(z-^) = - (^ + ^^-(e"+ 2*e^«+ 3*(r^« + . . • +{p - lye^p-')^)

+ --%— We« + 2'Mle''^ + 3*itf^e3« + . . .)
qp.. .

+ (- l)*-^'y^\"^'(3/Je«+ 2*3/56^«+ 3''J/5e3'' + . . .)

ausführen, und erhält dann, nachdem e^ durch ,r ersetzt und

mit // bezeichnet worden ist, nach einigen Zusammenziehungen
schliesslich:

0 .

- - ?'- ^ { ^no^ + 1)- - '(2* + »» + 1)

+ Ml 2{k + 2)"- 8(2* + 2m + 2)x
31) { + ^n 3(A- + 3)" - '(21c + 3m + 3)«« + • •

+ ^ ^ { Miik + 1)" - "(S/c + m + 1)

+ Ml 2*(k + 2)« - »(3Ä + 2»j + 2).c

+ Ml 3*(fc + 3)'»-='(3t + 3»»+3)a;*+- •

q:...

+ (- 1)" E"i-i -^ { ^^^r(«- + 1)- '[('» + 1) /.• + (»' + 1)]

+ il/J'g'n^' + 2)- » [(»» + 1) /c + 2(»J + 1)] jr. ■ + •••} ,

worin sämtliche Klammem soweit fortzusetzen sind, bis sie von selbst
abbrechen und die letzten beiden Zeilen folgende einfachere Form
annehmen:

* Schriften der i)hysik.-Okon. Gesellschaft zu König«berg in Pr. , 36. Jahrg. (1895)
S. 07 Hg. - - Bei M/ ist r natürlich auch Index.

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Von Louis Saalschütz. 1]

+ 3/;;:(p.. 1) [>wO) - 1)]- .t:™(p-i)- 1}.

Wir gelangen jedoch mit Hilfe eines von mir a. a. 0. (S. 73) auf-
gestellten^ sogleich anzugebenden Satzes sehr leicht zu einem über-
sichtlicheren Resultat. Wir entnehmen nur noch der Gleichung 31)
zum Vergleich mit dem Folgenden die Thatsache (wobei zunächst
beiderseits die Division durch x ausgeführt zu denken ist):

F(x) lässt sich rational durch eine gebrochene Funktion
darstellen^ deren Nenner y™ + ^ ist, und deren Zähler, da k bis
2> — 2 wächst, vom {m + 1) (p - 1) — 2^'^° Grade ist.

Der erwähnte Satz lautet:

Wenn die Entwickelungskoeffizienten 3/,^ =- 1, M[, M^, . . . Hr. _^^
der Funktion (1 + x + • - -+ xP~^y beziehungsweise mit den Gliedern
einer arithmetischen Reihe r — 1*®" oder geringeren Grades und diese
Produkte wieder mit den bis auf die Bedingung, dass ihre Summe
Xull sei, beliebigen und sich immer in gleicher Reihenfolge wieder-
holenden Zahlen h^^ h^, ... hp multipliziert werden, wobei in der letzten
Wiederkehr der Zahlenreihe fcj, h^, . . . hp dieselbe nicht vollständig ver-
wendet zu sein braucht, so ist die Summe all dieser Produkte (aus
je drei Faktoren) Null.

Wir multiplizieren nun die Raabe'sche Reihe [Gleichung 1)] mit
(\ + x+ h xJ>-^Y^\ das ist mit

^^^^. 1 + itf p + \;. + i>/- + ',;■« + . . . + 3/r4^,V + «,

32) (m + l)(/>-l)-2 = 5

gesetzt ist, und suchen den Koeffizienten von x^, Ist i^ > ä + 2, so
wird x^ nur von dem Teile

üp{v — s — \Y x''- '-' + af,j^^{v — sYx^-'-"^ H

+ a^{v + lyx'
der Raab ersehen Reihe geliefert werden, wobei a^, ... a^ die be-
treflPenden, der Zahlenreihe a^, a^, ... üp, a^, «g, . . . angehörigen Zahlen
sind. Der Koeffizient selbst ist aber:

also, dem angegebenen Satze gemäss, da die Grössen a, der Gleichung 2)
wegen, der in ihm gestellten Bedingung genügen, gleich Null. Auch
der Koeffizient von .r'^~^ ist noch Null, denn er lässt sich:

a,{s + 2)™ + a,_y 3/?+' (*■ + !)"' + ... + a,MT^^ 1"*+ a, HCtt <»'"

schreiben. Es sind also nur die Koeffizienten von xP bis ;/' von Null
verschieden, was mit dem früheren Resultat übereinstimmt. Bezeichnen
wir nunmehr den Koeffizienten von x^ mit J./,, so ist:

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12 Studien zu Raabe's Monographie Aber die Jacob -Bemoullische Funktion.

wir erhalten aber, wenn (Xa der Koeffizient von (s + 1)"«' in der
Raab eschen Reihe ist:

A = a^s + 1)'"+ «a-x -a^i""^' s'»+ • • • + «1 Jlf,'""*'' l"

oder, da die gleichweit von der Mitte entfernten M^"^^ und Mr+i—h
einander gleich sind:

A, = a,M^+' 1™ + a,ili,''+^2'» + • • • + a„MT^^is + 1)»

34) j A, = a, JC+'l"» + (»,MrH+i'2'"+ a,M,"'^,'3-',
A, = a^üC+l'l"' + a,Mr^^2-",

Ordnen wir diese nach a^y a^, ... Op— i, wobei üp nach 2) durch
— a^ — »2 »j»— 1 zu ersetzen ist, so findet noch eine interessante

Beziehung statt. Wir suchen nämlich die Koeffizienten von ötit(fc<^j

und Op—jb in Jji beziehentlich -4,— * auf. Der erstere ist (mit Fortlassung
des oberen Index):

derjenige von «p— * in ^,— »:

Ji*+p-.jfc+iO> - ky- J/a+j, +!!>'»+ JlfA+8p-ib+i(2jp - lYT ' ' •
oder, wegen der bereits erwähnten Gleichheit von 3It und Mt^i — ^:

Die Reihe 35) schliesst mit demjenigen M, dessen Index so nahe
wie möglich 5 + 2 liegt, die Reihe 36) mit demjenigen 31, dessen
Index so nahe wie möglich der 0 liegt. Ist nun m ungerade, so ist

Q? — A)*" = — (Ä — py^ etc.

und die Differenz der Koeffizienten 35) und 36) wird:

sodass der unterschied zweier aufeinander folgender Indices sowohl,
wie auch Basen zum Exponenten m abwechselnd p — k und k ist. Setzen
wir nun in den dem angeführten Satz eigentümlichen Zahlen ftjb = 1,
6p = — 1 oder allgemeiner:

bt = l, tp-jt+* = — 1

und die anderen p — 2 Zahlen gleich Null, so sieht man, dass die
obige Summe 37) verschwindet, das heisst: Der Koeffizient von «* im

.,__, Google

Von Loüis Saalschütz. 13

Faktor von a* ist gleich dem Koeffizienten von a^~* im Faktor von
a^ — *; oder:

Liest man die Koeffizienten im Faktor von a* vom An-
fang zum Ende und im Faktor von a^_* in entgegengesetzter
Richtung^ so erhält man dieselbe Zahlenreihe.

Ist m gerade, so tritt nur der Unterschied ein, dass man dem
Faktor von (ip — h das entgegengesetzte Zeichen des Faktors von a* vor-
setzen muss. Mittelst dieser Beziehungen wird die Rechnung etwa
auf die Hälfte reduziert.

Aus den letzten Gleichungen 34) ersieht man, dass der Faktor

von ak mit a;*""^ beginnt (^>f)' ^^^ ebenso, dass der Faktor von

Up^k Diit a;^""*""^ beginnt; daher schliesst der Faktor von a* mit
^«— i»+t+i^ sodass überhaupt jeder Faktor aus s — p + 3 = w(|? — 1)
Gliedern besteht.

Ist p gerade =- 2n, so beginnt der Faktor von ap^a^ mit ä?**~^

2"

und schliesst mit a?*"'"+^. Die Koeffizienten der gleich weit von der
Mitte abstehenden Glieder sind bei ungeradem m gleich, bei geradem
7n entgegengesetzt gleich; im ersteren Falle giebt es ein einzelnes
Mittelglied.

Um mit einem einfachen Beispiele zu schliessen, sei l? = 3,
m = 4; dann ist:

- a,(a;»+ 5«'- 66x^-n9x^+ 110a;'

+ 165a;' +a;«- 16a;)).
'Dezember 1895.

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Die singulären Punkte der Flächen.

Von

Dr. Ekxät Wölffing,

Privatdozeiit in Stuttgart.

Zu den noch wenig entwickelten Gebieten der Geometrie gehört
die Lehre von den singulären Punkten der Flächen. Wohl existieren
Monographien von Rohn* über die biplanaren und uniplanaren Knoten-
punkte und von Körte weg** über die sogenannten Faltenpunkte:
wohl haben Salmon*** und Cayley"J^ bei ihren Untersuchungen über
Reziprokalflächen die Plücker sehen Zahlen für den Raum zu ver-
allgemeinem gesucht und bei dieser Gelegenheit mehrere höhere
Singularitäten eingeführt; insbesondere aber hat Zeuthen++ die letz-
teren mit grosser Sorgfalt untersucht und beschrieben. Woran es aber
vor allem noch fehlt, das ist eine praktisch brauchbare und zuverlässige
Methode, um ohne Herstellung eines Modells die gestaltlichen Ver-
hältnisse einer algebraischen Fläche, deren Gleichung gegeben ist, in
der Nähe eines singulären Punktes zu studieren und damit den letzteren
erst wirklich als geometrisches Gebilde kennen zu lernen. In Anbetracht
des grossen Vorteils, welchen das New ton sehe Parallelogramm bei der
Untersuchung der ebenen Kurven gewährt ++^, ist es zu verwundern,
dass anscheinend noch von keiner Seite der Versuch gemacht wurde,
dasselbe auf den Raum zu übertragen. Dass dieser Gedanke ausführbar
ist und wirklich zu einer allgemeinen Flächendiskussionsmethode
führt, die auch in komplizierteren Fällen nicht versagt, gedenke ich
in vorliegender Abhandlung zu zeigen. Durch Übertragung der Newton-
schen Konstruktion auf den Raum gewinnt man zunächst einen
polyedralen Zug (analytisches Polyeder), der sodann auf eine Ebene
abgebildet wird (analytisches Netz). Dieses Netz erweist sich als
wertvollstes Hilfsmittel für die weitere Forschung. Es dient zur Unter-

* Math. Aim. 22 S. 124.

** Wiener Ak. Ber. Math. Nat. Gl. 98 IIa S. 1154.
*** Transactioiis Royal J. Ac. vol. 23 S. 461.
t Papers IV S. 21; VI H. 338, 677, 600.
tt Math. Ann. 10 S. 446.
ttt Vergl. Beuachle, Praxis der Kurvendiskiission. Stuttgart 1886.

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Die singulare!! Punkte der Flächen. Von Dr. Ernst Wölkfino. 15

suchung der Flächenkurven durch den singulären Punkt, zur Er-
mittelung der Durchdringungskurve zweier Flächen und fuhrt
zuletzt im Verein mit der bildlichen Darstellung des singulären
Flächenpunktes vermittelst einer durchsichtigen Kugel zu einer
Methode, durch welche man sich von der Gestalt der Fläche in der
Xähe des singulären Punktes und von deren Anschluss an die
Näherungs- und Hilfsflächen eine Vorstellung machen kann. Erst auf
Grund einer solchen allgemeinen Untersuchungsmethode dürfte es mög-
lich sein, zu einer genaueren Kenntnis der Flächensingularitäten zu
gelangen. In einem zweiten Teile dieser Abhandlung gedenke ich diese
Methode auf die Untersuchung solcher Singularitäten anzuwenden,
welche auf mehrfachen Flächenkurven liegen. Hiermit wird eine
kritische Revision der in den oben angeführten Abhandlungen ü])er
Reziprokalflächen besprochenen Singularitäten verbunden sein.

8 1.
Das analytisohe Polyeder.

Will man das Newtonsche Parallelogramm (Cramersches Drei-
eck) in den Raum übertragen, so hat man jedem Term der Flächen-
gleichung Cx^y^z^ den Punkt (i.hyV in einem rechtwinkligen Koordi-
natensysteme zuzuordnen. Dann zieht mjm jede Verbindungsebene von
drei oder mehr Punkten, welche den Koordinatenursprung von allen
nicht auf ihr liegenden Punkten des Systems trennt. Alle diese Ebenen
bilden einen in dem Oktanten der positiven x, y, z sich erstreckenden
polyedralen Zug, den ich analytisches Polyeder nennen will. Die
Terme der Flächengleichung, welche den auf dem Polyeder ge-
legenen Punkten entsprechen, sind die „niedrigsten Glieder" der-
selben. Die betreffenden Punkte liegen teils auf den Kanten und
Flächen des Polyeders, teils bilden sie die Ecken desselben; die zu-
gehörigen Terme sollen hiemach als Zwischen terme und Eckte rme
unterschieden werden. Die Flächen des Polyeders sind drei- oder
mehreckig, durch Parallelverschiebung können sie soweit dem Ursprünge
genähert werden, dass auf jede Koordinatenebene wenigstens eine Ecke
fällt, während die Axen frei bleiben können. Die Terme der Flächen-
gleichung, welche den Punkten einer Polyederfläche entsprechen, geben
unter Weglassung etwaiger Potenzen von ./•, //, z als Faktoren für sich
gleich Null gesetzt eine trinomische oder polynomische Näherungs-
fläche. Alle Näherungsflächen zusammen sind massgebend für den
Verlauf der Fläche; aber keineswegs entsprechen den einzelnen Näherungs-
flächen verschiedene Zweige der Fläche, wie man dies nach der Ana-
logie beim Cramerschen Dreieck erwarten sollte. Sollen durch den
Flächenpunkt mehrere Flächenmäntel gehen, die sich in Doppelkurven
durchdringen müssten, so ist eine Reihe von Bedingungen erforderlich,
in welche sämtliche Glieder der Flächengleichung, nicht nur die

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16 Die ßingulären Punkte der Flächen.

niedrigsten, eingehen. Im allge]!Qeinen besitzt daher die Fläche im
singulären Punkte nur einen Mantel, der sich den einzelnen Näherungs-
äächen in verschiedenen Teilen seines Verlaufs anschliesst. Über die
Art und Weise, wie die Fläche von einer Näherungsfläche zur anderen
übergeht, geben die Hilfs flächen Aufschluss, deren Gleichung man
erhält, indem man die Tenne, deren zugehörige Punkte alle je auf
einer Kante des Polyeders liegen, ebenfalls unter Weglassung von
Faktoren, welche Potenzen von x, y, z sind, för sich gleich Null setzt.
Die Hilfsflächen sind immer binomische Flächen oder Produkte von
solchen und bieten somit eine Analogie dar zu den binomischen Hilfs-
kurven, welche in der ebenen Geometrie das Gram ersehe Dreieck an
die Hand giebt. Jede binomische Hüfsfläche vermittelt den Zusammen-
hang zwischen den zwei Näherungsflächen, deren zugehörige Polyeder-
flächen an die der Hilfsfläche zugehörige Polyederkante stossen. Bei-
spiel: Die Fläche 0 = a;y + ic'+ y^+ ^' schliesst sich der Näherungs-
fläche 0 ^ xy + y^'\' z^ in der Nähe der Ebene x == 0, der Näherungs-
fläche 0 = xy + x^+ z^ in der Nähe der Ebene y = 0 an; über ihren
Übergang von einer zur anderen giebt die Hilfsfläche 0 ^ xy ■\' z^
Aufschluss.

Um zu ermitteln, welche Teile der Näherungs- imd Hilfsfläclien
für die Untersuchung der Fläche massgebend sind, ist es erforderlich,
die durch den singulären Punkt hindurchgehenden Flächenkurven zu
betrachten.

§2.
Die Flächenktirven in einem singulären Punkte.

Eine Raumkurve durch den Ursprung sei durch die Entwickelung

{x=-X^+"\
gegeben: 1 2/ = ^ai* -| 1 . Dabei kann der Parameter e so gewählt

1 z^vsr-] J

werden, dass eine der Reihen mit dem ersten Gliede abbricht. Einer
der Koeffizienten A, fi, 1/ kann gleich Eins angenommen werden. Die
Anfangsexponenten a, /3, y nenne ich mit Björling* Indices der
Raumkurve. Soll die letztere auf der in § 1 besprochenen Fläche
liegen, so muss durch Einsetzen von x, y, z in die Gleichung derselben
ein identisch verschwindender Ausdruck in b entstehen. Ist b^ der in
B niedrigste Term, der beim Einsetzen entsteht, so tritt entweder

a) ein Term b^ auf; dann muss aber einer der Koeffizienten
A, /x, 1/ verschwinden, «, /3, y können also nicht Indices einer
Plächenkurve sein.

Oder es treten

b) zwei Terme b^ auf (oder mehrere, deren zugehörige System -
punkte alle auf einer Genaden liegen). Die Summe ihrer

* „Über Raumkurvensingularitaten". Arch. für Math. u. Phys. II. Reibe,
Band 8, S. 83.

• Digitizedby VjOOQIC

Von Dr. Ernst Wölpfiso.

17

also :

Koeffizienten gleich Null gesetzt liefert eine Gleichung zwischen
A, fi, 1/; es liegen also unendlich viele Raumkurven von den
Indices a, /J, y auf der Fläche. Ebenso ist es, wenn
v) drei oder mehr Terme £? (deren zugehörige Punkte nicht auf
einer Geraden liegen) auftreten. Es seien in letzterem Falle
Jify^s^, Jf^if^y ic*"//*'V drei solcher Terme. Die zugehörigen
Punkte liegen auf einer Polyeder fläche. Denn es ist

p = a« + <^/3 + cy - <*'« + &'/J + cV = rt"a + &"i3 + c'V,

a h c 1
a' V c' 1

aißiyi-Q

t" //' c" 1

Die Ebene E der drei Punkte (ci, />, c), (a', b', c'), (a", h", c') hat
den Ursprungsabstand d -=

ya' + ß-^ + f-

also ist a --

dVa^+ß'+y*

a

h

c

a'

h'

t> i

a"

b"

c"

b

c

1

V

e

1

y

c"

1

Es sei j^"*\f'''"z^*' ein vierter Term, der beim Einsetzen «v' liefert.

a'" 6'" c"' 0
a h c \

Dann ist 4,'= ^«"'« + fe'"/3 + r^'y =

(n'«*+T+y*'; a' U c' 1 1
I a" &" c" 1 I
Eine durch (a"', //", c'") parallel zu E gelegte Ebene £" hat den

1 a h c \

Ursprungsabstand rf'== .

|/«^ + p. + y«|

1

/>"

, also Q':Q = cV:(i.

Ist p'> p, so ist (/'> (/; daher müssen sich (a, fc, c)(a', />', ^'')(^"; '>"; <'')
auf einer Polyederfläche beflnden und auf dieser liegt jeder weitere
Punkt {a^^, ¥^y c^^), der beim Einsetzen c^ liefert.

Weil aber aus (a, b, c), {a\ V, c'), (((!', V^, c") das Verhältnis der
Indices a: ß : y eindeutig berechnet werden kann, so entspricht jeder
Polyederfläche eine Schar von Flächenkurven von konstanten Indices,
zwischen deren Anfangskoeftizienten eine Gleichung besteht. Die In-
dices verhalten sich wie die Stellungskoordinaten der Polyederfläche.

Im Falle b) mögen zwei Terme xfy^sf und x^'tf^z'^ den niedersten
Grad b^ ergeben, so ist:

Q^aa + bß + cy--^ a!a + Vß + c'y.

Legt man durch die Pimkte {abc) und (a^Vd) eine Ebene E mit
den Stellungskoordinaten a : ß : y, so ist dieselbe:

Zeitfchrift f. Mathematik n. Physik. -12. Jahrg. Isy7. 1. Heft. g

Google

18 I^ie singularen Punkte der Flächen.

ax -h ßy + y^ = cta + hß -\- cy == a'a + h'ß + cy = q;
ihr Ursprunesabstand ist d = , ^ Durch einen nicht auf der

Geraden («, i, ^), (a', ft', (?') liegenden Punkt {ii\ V\ c"\ für den also
«"« + V^ß + <^W ^- 9^> Qf legt man eine Ebene E' parallel zu Ji', so
ist deren Ursprungsabstand (J'= _-=z also rf' > rf. Daraus folgt,

dass man durch (cihc), (a!Vc') eine Ebene legen kann, die alle nicht
auf dieser Geraden befindlichen Systempunkte vom Ursprünge trennt.
Daher muss die Gerade der Oberfläche des analytischen Polyeders
angehören; sie kann keine Diagonale, sondern sie muss eine Kante
desselben sein. Aber die Gleichung

aa + hß + cy = a'a + h'ß + c'y
ist zur Bestimmung der Indices a, ß, y nicht mehr hinreichend. Das
Verhältnis derselben besitzt also unendlich viele Werte, welche beim
Einsetzen die Terme xf^\f^ und x^'if'z' als niederste Glieder ergeben.
Jedem Indicessystem entspricht eine durch die Polyederkarte (rf, />, r),
{ii\ //, r') gelegten Ebene mit den Stellungskoordinaten a, /3, y. Aber
nicht jede Ebene durch die Kante ist hierzu brauchbar, sondern nur
diejenigen, welche alle nicht in die Kante fallenden Systempunkte vom
Ursprünge trennen. Dieselben sollen die zur betreffenden Kante ge-
hörigen uneigentlichen Polyederflächen heissen, wogegen die wirk-
lich die Begi-enzung des Polyeders bildenden Ebenen eigentliche
Polyederflächen genannt werden mögen. Man erhält alle zur Kante ge-
hörigen uneigentlichen Polyederflächen durch Drehung einer der an die
Kante anstossenden eigentlichen Polyederflächen in die Lage der anderen,
wobei der Ursprung nicht passiert wird. Liegt in einer Koordinaten-
ebene nicht eine Fläche, sondern nur eine Kante des Polyeders, so kann
man die an letztere anstossende Polyederfläche um die Kante bis in die
Lage der Koordinatenebene drehen. Da bei weiterer Drehung keine un-
eigentlichen Polyederflächen mehr entstehen, die Koordinatenebene viel-
mehr die Reihe der letzteren beschliesst, so kann man dieselbe, ohne dass
sie eine Fläche des Polyeders ist, den eigentlichen Polyederflächen bei-
zählen. Liegt auf einer Koordinatenaxe kein Systempunkt — die ent-
sprechende Axe ist dann Gerade der Fläche — , so projiziere man
sämtliche Systempunkte vom unendlich fernen Punkte dieser Axe auf
die gegenüberliegende Koordinatenebene. Von dem daselbst entstehenden
Punktsysteme bestimme man das analytische Polygon nach der Cramer-
schen Regel und verbinde jede Seite desselben durch eine Ebene mit
dem genannten unendlich fernen Punkte. Diese Ebenen, welche je
Kanten des Polyeders enthalten, mögen Grenzflächen des Polyeders
heissen. Auch sie sollen den eigentlichen Polyederflächen beigezählt
werden, weil bei Drehung der anstossenden Polyederfläche um die
Kante über die Grenzfläche hinaus keine imeigentlichen Polyedei-flächen
mehr erzeugt werden.

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Von Dr. Ernst Wölfpino. ] 9

§3.

Das analytiBOhe Netz.

Wie gezeigt wurde, verhalten sich die Indices oder Anfangs-
exponenten der Fläehenkurven wie die Stellungskoordinaten der eigent-
lichen oder uneigentlichen Polyederflächen, es ist also für dieselben
nur die Stellung dieser Ebenen, nicht ihr Ursprungsabstand massgebend.
Es kann daher das ganze System dieser Ebenen leichter ttl)eraichtlich
gemacht werden zunächst durch Abbildung auf eine Kugel. Als Bild-
punkt einer Ebene «.r + ßy + yz -^ q dient der im ersten Oktanten
gelegene Berührungspunkt einer parallel zu ihr an eine Kugel mit
Mittelpunkt im Ursprünge und mit dem Radius Eins gelegten Tangential-
ebene, also der Punkt

, « ^ ß . y _ V

Diesen Punkt bildet mau weiter ab auf die Tangentialebene £ =- 1 durch
Projektion vom Mittelpunkte aus und wenn man in dieser Ebene eine
neue j- und //-Axe, parallel zur ./;- und //-Axe in der Ebene ^ = 0,

annimmt, so sind die Koordinaten des Bildpunktes .t==-; y = -.

Also verhalten sich die homogenen Koordinaten des Bild-
punktes in der Ebene ^ = 1 wie die Stellungskoordinaten der
abzubildenden Ebene. Nun bilden sich aber auf der Kugel alle
zu einer Kante gehörigen uneigentlichen Polyederflächen ab auf einem
Grosskreisbogen zwischen den Bildpunkten der beiden an die Kante»
anstossenden eigentlichen Polyederflächen. Die auf der Kugel durch
Abbildung sämtlicher Polyederflächen entstehende netzförmige Figur
von Punkten, die durch Grosskreisbögen verbunden sind, projiziert sich
auf die Ebene ^ = 1 als eine ebenfalls netzförmige Figur, bestehend
aus Punkten, verbunden durch gerade Linien, die Projektionen jener
firosskreisbögen. Diese Figur nenne ich analytisches Netz. Die
Punkte heissen Ecken des Netzes; sie sind die Bildpunkte der eigent-
lichen Polyederflächen. Von ihnen gehen Gerade aus, Linien des
Xetzes; jede ist die Abbildung einer Polyederkante und jeder ihrer
Punkte ist die Abbildung einer durch die Kante gehenden uneigent-
liehen Polyederfläche. Die Zahl der von einer Ecke ausgehenden
Linien ist gleich der Zahl der Seiten der entsprechenden eigentlichen
Polyederfläche. Die Ecken und die Punkte der Linien (Linien-
punkte) sollen zusammen Netzpunkte heissen. Die von den Linien
des Netzes eingeschlossenen, ebenen polygonalen Flächenräume heissen
Maschen des Netzes; sie entsprechen den Ecken des Polyeders und
sind daher den Ecktermen der Flächengleichung zugeordnet. Nur die
letzteren werden durch die Maschen zur Darstellung gebracht; die auf
den Kanten und Flächen des Polyeders liegenden Zwischenterme sind
bei den Linien und Ecken des Netzes hinzu zu denken. Die Maschen

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20

Die Singular en Punkte der Flächen.

Fig. 1.

Z

->A

haben so viele Ecken, als Polyederflächen an die betreflfende Polyeder-
ecke anstossen. Das Netz beschränkt sich auf den Quadranten der
positiven x und //; als Randlinien treten die y-Axe, die f -Axe und die
unendlich ferne Gerade auf. Da auch die Koordinatenebenen den eigent-
lichen Polyederflächen beigezählt wurden, treten im Netze im allgemeinen
als Abbildungen derselben folgende Fundamentalpunkte auf:

der unendlich ferne Punkt der x-Axe, mit A bezeichnet, als

Bildpunkt der Ebene .r =- 0,
der unendlich ferne Punkt der ?/-Axe, mit Ji bezeichnet, als

Bildpunkt der Ebene y = 0,
der ürspx'ung, mit ^' bezeichnet, als Bildpunkt der Ebene ^ = 0.

Die durch die Funda-
mentalpunkte gehenden
Netzlinien mögen E c k -
linien heissen. Die Grenz-
flächen des Polyeders
werden abgebildet durch
Grenzpunkte des Netzes,
die auf den Randlinien
gelegen sind, z. B. Punkt r
in Figur 1.

Nach ihrem Verhalten
gegenüber den Funda-
mentalpunkten teile ich die
Maschen in drei Gruppen:
Vollmaschen haben keinen Fundamentalpunkt als Ecke, z. B.

ab c den in Figur 3.
Eckmaschen haben einen Fundamentalpunkt als Ecke, z. B.

abcCa in Figur 2.
Randmaschen haben zwei Fundamentalpunkte zu Ecken und
daher eine vollständige Randlinie als Begrenzung, z. B.
hcABh in Figur 2.
Die Eckterme der Vollmaschen enthalten alle drei Veränderliche,
diejenigen der Eckmaschen zwei, diejenigen der Randmaschen nur eine.
Für die Untersuchung der Flächen sind noch einige andere Punkte,
Linien und Flächen des Netzes von Bedeutung, vor allem der Zentral-
punkt D mit den homogenen Koordinaten 1:1:1; derselbe giebt zu
einer weiteren Einteilung der Maschen in vier Blassen Anlass:

Zentralmaschen umschliessen den Zentralpunkt, z.B. abcdea

in Figur 3.
Lateralmaschen haben den Zentralpunkt auf einer Linie

(Zentrallinie), z. B. a'Vc'CUi in Figur 2.
Radialmaschen haben den Zentralpunkt als Ecke, z. B.
VddCV in Figur 3.

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Von Dr. Ernst Wölffing.

21

Fig. 2.

Nebenmaschen haben den Zentralpunkt ausserhalb, z. B.
hcABb in Figur 2.
Die Maschen der drei ersten Klassen könnte man Hauptmaschen
nennen; ein Netz besitzt immer entweder eine Zentralmasche oder zwei
Lateralmaschen, oder drei oder mehr Radialmaschen; daneben kann es be-
liebig viele Nebenmaschen enthalten. Während die Lage des Zentralpunktes
über das Tangentialgebilde (§ 5) entscheidet, besitzen für das Verhalten
der binomischen Hilfsflächen (§ 7) die drei Einheitspunkte eine gewisse
Wichtigkeit; es sind dies
die auf Randlinien ge-
legenen Punkte

^=(0, 1, 1),

F=(l, 0, 1),

^ = (1, 1,0);
Einheitslinien mögen

die Verbindungslinien
A I), BD und CD des Zen-
tralpunktes mit den Fun-
damentalpunkten heissen ;
als Einheitsdreiecke
bezeichne ich die Dreiecke
BCD, CAI), ABB, als
Einheits Vierecke die

Vierecke AFBG,
BCrBE, CEBF.

Ist die Gleichung
einer Fläche gegeben, welche durch den Ursprung hindurchgeht,
so kann man jederzeit das analytische Netz derselben entwerfen. Man
zeichnet (in einer per-
spektivischen Figur) das q
analytische Polyeder und
bestimmt die Stellungs=
koordinaten der einzelnen
Polyederflächen. Hiermit
sind die homogenen Ko-
ordinaten der Netzecken
gefunden; die letzteren

werden alsdann den
Kanten des Polyeders ent-
sprechend durch gerade
Linien verbunden. Wie
oben jede (eigentliche und
uneigentliehe) Polyeder-
fläche, so liefert jetzt jeder Netzpunkt (das heisst jede Ecke und jeder
Linienpunkt) eine Schar von Flächenkurven mit bestimmten Anfangs-

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22 I^ie singulären Punkte der Flächen.

exponenten.* Dieselbe berührt respektive die x, y, z-Axe, je nachdem
der Xetzpunkt im Einheitsdreieck BCD, CAI), ABC liegt; sie be-
rührt respektive die Ebenen x = 0, y = 0, z =- 0, wenn der Netzpunkt
respektive auf der Einheitslinie AD^ JST), VI) liegt; sie hat endlich
die Ebene a' = 0, t/ = 0, ^ = 0 zur Schmiegungsebene, je nachdem der
Netzpunkt sich im 'Einheitsvierecke AFBG, BUDE, ('El)F befindet.
Zusatz: Damit eine aus Ecken, Linien und Maschen bestehende
netzförmige Figur wirklich als analytisches Netz einer Fläche gedeutet
werden kann, muss sie vor allem folgenden zwei Bedingungen genügen:

a) Es dürfen sich nicht zwei Linien schneiden (ohne dass der
Kreuzungspunkt als Ecke aufgefasst wird).

b) Keine Masche darf einen einspringenden (oder auch nur flachen)
Winkel besitzen.

Sind diese Bedingungen erfüllt, so kann zwar aus den durch die
Ecken des Netzes bestimmten Ebenen ein Polyeder gebildet werden;
es fragt sich aber noch, ob dieses die durch die Linien und Maschen
des Netzes geforderten Kanten und Ecken besitzen kann. Jedenfalls
ist jede Polyederfläche nur hinsichtlich ihrer Stellung bestimmt.

Zerfällt eine Fläche in das Produkt zweier Teilflächen, so besteht
ihr Netz aus den aufeinander gelegten Netzen der Teilflächen, wobei
Kreuzungen von Linien derselben als neue Eckpunkte einzuführen sind.

§4.
Die Durohdringongskurve zweier Flächen.

Eine erste Anwendung des analytischen Netzes ist die Lösung
folgender Aufgabe: Gegeben zwei Flächen, welche durch den Ursprung
gehen, gesucht die Zweige ihrer Durchdringungskurve daselbst. Zur
Ermittelung der Anfangsexponenten dieser Zweige ergiebt sich nämlich
sofort folgendes graphische Verfahren: Soll eine Raumkurve beiden
Flächen angehören, so muss der durch ihre Indices bestimmte Punkt
im Netze beider Flächen vorkommen; man erhält diese Punkte als ge-
meinsame Netzpunkte (Netzschnittpunkte), wenn man die beiden
Netze aufeinander legt, sodass die Fundamentalpunkte beider zusammen-
fallen.

Dabei sind aber drei Fälle zu unterscheiden:

a) Eine Ecke des einen Netzes fällt auf eine solche des anderen,
das heisst es ist im einen Polyeder eine eigentliche Fläche zu
einer solchen des anderen parallel.

b) Eine Ecke des einen Netzes fiillt auf eine Linie des anderen,
das heisst es ist eine eigentliche Fläche des einen Polyeders zu
einer uneigentlichen des anderen parallel.

* Dabei liefern die Grenzpunkte Scharen von Fläch enkurven, die nicht
durch den Ursprung gehen.

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Von Dr. Ebnst Wölffikg. 23

c) Eine Linie des einen Netzes schneidet eine Linie des anderen,
das heisst es ist eine uneigentliche Fläche des einen Polyeders
einer solchen des anderen parallel.

Es kann aber auch vorkommen, dass Linien der beiden Netze ganz
oder teilweise zusammenfallen. Als Netzschnittpunkte sind hierbei nur
die an den Endpunkten des zusammenfallenden Linienstückes befindlichen
Ecken anzusehen.

Es ist leicht zu sehen, dass immer mindestens ein Netzschnitt-
punkt existiert, wenn keine Grenzpunkte vorhanden sind. Zunächst
kann ein Netz ohne Grenzpunkte nicht in zwei völlig getrennte Linien-
züge zerfallen; also muss man von jeder Ecke aus auf den Linien des
Netzes fortschreitend jeden Fufidamentalpunkt erreichen können. Ferner
hat jedes Netz ohne Grenzpunkte mindestens eine Ecke. Dann fällt
eine Ecke des ersten Netzes entweder in eine Ecke oder auf eine Linie
des zweiten (in welchem Falle bereits ein Netzschnittpunkt vorliegt)
oder in eine Masche desselben. Diese ist im günstigsten Falle eine
Randmasche, sodass die erwähnte Ecke mit zwei Fundamentalpunkten
verbunden sein kann, ohne dass der betreflfende Linienzug die Be-
grenzungslinien der Masche schneidet. Aber der dritte Fundamental-
punkt kann von der Ecke aus nur durch einen Linienzug erreicht
werden, der entweder eine Ecke der Masche passiert oder eine Linie
derselben kreuzt, womit der Satz bewiesen ist.

Jeder Netzschnittpunkt (a, ß,y) liefert einen oder mehrere Zweige
der Durchdringungskurve.

Die ersten Glieder der Kurvenentwickelung sind nun:

Zur Bestimmung der Koeffizienten nimmt man aus jeder Flächen-
gleichung die Eckterme der an den Netzschnittpunkt stosseuden Maschen
unter Beifügung der dazwischen liegenden Zwischenterme und setzt
dieselben je für sich gleich Null. Durch Einsetzen der Werte von
i'jy,2 ergeben sich zwei Gleichungen (Koeffizientengleichungen)
zur Bestimmung von Xifiiv. Einer dieser Koeffizienten (etwa v) kann
gleich Eins gesetzt werden. Man macht dann die Koeffizientengleichungen
durch Einführung der homogenisierenden Veränderlichen n in A und (i
homogen. Bei der Lösung der Koeffizientengleichungen, die man als
Gleichungen von Kurven (Koeffizientenkurven) in homogenen Ko-
ordinaten ly ^,n deuten kann, ist folgendes zu beachten.

Die in die Ecken des Koordinatendreiecks fallenden Schnittpunkte
bleiben ausser Betracht; auch werden die Koordiuatenaxen weggelassen,
wenn sie etwa als Bestandteile der Koeffizientenkurven auftreten.

Bei den übrig bleibenden Lösungen ist für den Fall, dass der
Indei y, dessen Koeffizient v =^\ gesetzt wurde, grösser als Eins ist, der

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24 I^ie singularen Punkte der Flächen.

Parameter B==yz nicht eindeutig, sondern y- deutig bestimmt. Also
führen je y -Wertesysteme für A, (i, n nur auf einen Raumkurvenzweig,
weil sich je y Entwickelungen nur in der Wahl des Parameters unter-
scheiden.

Werden diese beiden umstände berücksichtigt, so ist die Zahl der
Lösungen der Koeffizientengleichungen von der Wahl des gleich Eins zu
setzenden Koeffizienten unabhängig; zweckmässig ist es nach dem Vor-
stehenden hierzu denjenigen zu wählen, zu welchem der kleinste Index
gehört. Den Parameter £ = f^ behält man auch für die höheren
Glieder der Reihen bei, sodass sich die Reihe für z auf z = b^ be-
schränkt. Die Terme der Flächengleichung, welche auf die zweiten
Glieder der Reihen für x und y Einfluss haben, findet man, indem
man die zu (a, /5, y) gehörende eigentliche oder uneigentliche Polyeder-
fläche vom Ursprünge weg parallel mit sich verschiebt, bis sie wieder
durch einen oder mehrere auf der Oberfläche des Polyeders oder in
seinem Innern gelegene Systempunkte geht. Die zugehörigen Terme
treten zu den Termen der Koeffizientengleichungen hinzu, um die
zweiten Glieder von x und y zu liefern.

Infolge besonderer Werte der Koeffizienten der Flächengleichungen
treten oft bei Lösung der Koeffizientengleichungen eigentümliche
Schwierigkeiten auf Es kann ein Schnittpunkt der Koeffizientenkurven
auf eine Koordinatenaxe fallen, wodurch sich einer der Indices er-
höht; es können aber auch die Koeffizientenkurven ganz oder in einem
Teile ihres Verlaufes zusammenfallen. Dann sind ihre Gleichungen
zur Berechnung der Koeffizienten nicht mehr ausreichend. Die Ursache
dieser Erscheinung ist, dass die beiden Flächengleichungen auf die
Form gebracht werden können: /'=gD^ + ^ = 0 und f = ^^'+ ^'= 0.
Man schafft die störende Funktion (p weg, indem man bildet:

Die Fläche /"= 0 schneidet /^= 0 in den Kurven Hr l!l und ( ^^ J!)-

Man berechnet daher die Zweige von |' ,_ | und lässt, um diejenigen

if = 01 . ' "^ ( /= Ol

von j^f^ ^1 zu bekommen, die Zweige von { '^xf weg, wenn ^

nicht eine Konstante, sondern eine Funktion ist.

Tritt ein Schnittpunkt der Koeffizientenkurven w-fach zählend auf,
so sind im allgemeinen nicht a, /5, y, sondern mtt,mß,my die Indices
des zugehörigen Raumkurvenzweiges, doch können unter Umständen
auch ?«- Zweige mit Indices «, /3, y in höherer Berührung auftreten.

Als Beispiel werde die Durehdringungskurve der Flächen

A:i^ + Bxy + (\rz + Z)^^= 0
und

Ex + Fy + Gz = 0

ermittelt.

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Von Dr. Ebnst Wölffino. 25

Das Netz der ersten Fläche, in Figur 1 ausgezogen, hat die Ecken
(t = (1, 1, 1), 6 = (2, 1, 1), den Grenzpunkt c = (3, 0, 1) und die Maschen
CaBr(.r^)i Cah(C(.rijy^ BahJi{xz)', cABhc{z^). Das Netz der zweiten
Hiiche, in Figur 2 quergestrichelt, hat die Ecke r(' = (1, 1, 1) und die
Maschen Jia'CJ8(x); ^a'fM(//); Aü'BA{z).

Netzschnittpunkte: Es liegt Ecke h auf Linie r(M: Ecke a auf Ecke a\

Erster Zweig: |y = ,u« H (es wurde A = 1 gesetzt und mit /

I j? = !/£ H

homogen gemacht). Koeffizientengleichungen:

{BV^ + CVv + Bv^=-0\

Die Lösung | A hleibt weg; die beiden anderen Lösungen be-

ziehen sich nur auf eine Entwiekelung, alsor

Zweiter Zweig: _ ,

X — fr s

Z = VB+ '

Koeftizientengleichungen: AI + B^i + Cv =- 0 (Faktor l bleibt weg)

FA+ F^ + Crv^O
also:

_ VE-AG AV-BE

•^ "" ^^ ^ " BG-(F^ "^ * *' ' ^ BG-CF^'^ ' ' '

Die Berechnung der Durchdringungskurve ermöglicht auch die
Lösung folgender wichtigen Aufgabe:

Betrachtet man eine Fläche /'(r, t/, z^f) = 0 von einem beliebigen
Punkte (S, ij; t, t) aus, so besitzt das Bild derselben eine Umrisslinie,
nämlich die Berührungskurve des von (S, i?, 6, t) an die Fläche zu
legenden Berührungskegels. Durch diese Kurve geht aber auch die
erste Polarfläche des Punktes (g, )j, g, r) in Bezug auf die Fläche /'=-- 0,
also die Fläche:

p ^f ti_^f ^i^f yA^f\ n

Hat /*= 0 im Ursprünge einen zwei- oder mehrfachen Punkt, so
geht dnrch denselben auch P = 0, gleichviel, wo der Punkt (S, rjy g, t)
gelegen ist. Dann geht also eine Umrisslinie der Fläche, die Durch-
dringungskurve von /* = 0 und P ■--- 0, durch den Ursprung und deren
Zweige können nach dem eben geschilderten Verfahren ermittelt werden.
Zu diesem Zwecke muss man auf das Netz der Fläche das Netz der
Polarfläche eines beliebigen Punktes in Beziehung auf dieselbe legen;
ich nenne das letztere Polar netz der Fläche.

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26

Die siDgulären Punkte der Flächen.

Beispiel: ümrisslinie der Flächen

f =xt/-' x^z - JC-' - f - 32;sf^ == 0

vom Punkte (|, i^, g, 0) gesehen. Das Netz, in Figur 2 ausgezogen, hat
die Ecken a = (1, 2, 2); /j = (8, 11, 6); c =-- (3, 1, 1) und die Masehen
CahcC(xi/)', BahBix'zy, CaBCix'^y, CrÄC(tf'^)i BhcAB{z% Die
Polarfläche des Punktes (5,^,^,0) in Bezug auf /'=0 ist:

p = g(2/a- 3.r«^ - ox^) + ri{2xtj - by^) + g(- x"- 160;^*) = 0.
Das Polarnetz, in Figur 2 quergestrichelt, hat die Ecken
a'= (1,2,1), V=(3,5,2), r'=(2,2,l)
und die Maschen
Ca'Vc'C(xy), CcUC{y^), Ca'BC(x^), Ba!VB{j^'z), BVc'AB{z'),

Netzschnittpunkte :

1. Ecke a auf Linie a! 0 liefert:

.r = £

2. Kreuzung der Linien hB und a'V im Punkte (4, 7, 3) giebt:
.f ^ 2f4>+---

3£A

F4*'+-

^ = £"

3. Kreuzung der Linien hc und c'C im Punkte (5, 5, 3) giebt:

2|7i;aH--

Diese drei Zweige besitzt also die Umrisslinie der Fläche (siehe
Fig. 4).

§5.

Das Tangentialgebilde.

Es ist nun erforderlich den Begriff, „singulärer Punkt einer Fläche*'
genau zu definieren. Ein gewöhnlicher Punkt besitzt bekanntlich
folgende Eigenschaften:

a) Eine beliebige Gerade durch ihn schneidet die Fläche in einem
Punkte.

b) Es giebt speziell unendlich viele Geraden (Tangenten) durch
den Punkt, die die Fläche in zwei zusammenfallenden Punkten
schneiden; dieselben liegen in einer Ebene (Tangentialebene).

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Von Dr. Ernst Wölpfino.

27

c) In der Tangentialebene giebt es zwei Tangenten, welche die
Fläche in drei zusammenfallenden Punkten schneiden (Haupt-
tangenten).
Jeder Punkt, der nicht alle diese drei Eigenschaften besitzt, möge
ein singulärer Punkt genannt werden. Schneidet eine beliebige Gerade
durch einen solchen die Fläche nicht in einem, sondern in v Punkten,
so heisst der Flächenpunkt ein i/-facher. Alsdann liegen die in v + X
oder mehr Punkten schneidenden Geraden auf einem Kegel f*'"' Ordnung,
mit Spitze im singulären Punkte, den ich als Tangentialgebilde be-
zeichne. Derselbe kann ganz oder teilweise in Ebenen zerfallen und
reduziert sich im Falle des einfachen Flachenpunktes auf die Tangential-
ebene. Liegt der Flächeu-
punkt im Koordinaten-
ursprunge, so ergiebt sich
die Gleichung des Kegels

durch Nullsetzen der
Tangentialglieder, das
heisst der Glieder der

Flächengleichung von
niedrigster, also i/*®"^ Ge-

FiK. 4

samtdimension in

//;

Das Tangentialgebilde
ist diejenige Fläche, der
sich die gegebene Fläche
um so inniger anschliesst,
je mehr man sich dem

Flächenpunkte nähert.
Dasselbe wird durch den

Zentralpunkt bestimmt
und je nach der Lage desselben im Netz sind drei Fälle möglich:

L Netz mit Zentralmasche. Ein Tangentialglied. Tangentialgebilde
zerfallt in Koordinatenebenen.

a) Triplanarer Typus: Zentralmasche ist Vollmasche; Tangential-
gebilde besteht aus allen drei Koordinatenebenen (Fig. 3).

b) Biplanarer Typus: Zentralmasche ist Eekmasche; Tangential-
gebilde besteht aus zwei Koordinaten ebenen (Fig. 2).

c) Uniplanarer Typus: Zentralmasche ist Randmasche; Tangential-
gebilde beschränkt sich auf eine Koordinatenebene.

IL Netz mit zwei Lateralmaschen. Zwei Tangentialglieder. Tan-
gentialgebilde besteht aus einem binomischen Kegel, zu dem noch
Koordinatenebenen hinzutreten, wenn die Lateralmaschen nicht an die
Fundamentalpunkte stossen. Der Kegel zerfällt in Ebenen, wenn die
Zentrallinie oder ihre Verlängerung durch einen Einheitspunkt hin-
durchgeht.

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28 I^ie singulären Punkte der Flächen.

III. Netz mit drei oder mehr Radialmaschen. Drei oder mehr
Tangentialglieder. Das Tangentialgebilde ist ein trinomischer oder
polynomischer Kegel, zu dem Koordinatenebenen hinzutreten können,
wenn die Radialmaschen nicht an die Fundamentalpunkte stossen.

Aus dieser Zusammenstellung geht hervor, dass immer die Haupt-
maschen die Eckterme der Tangentialglieder liefern. ^

§6.

Bildliche Darstellung einer Fräche in der Nähe

eines singulären Punktes.

Zur Herstellung einer perspektivischen, die Gestalt der Fläche in
der Nähe eines singulären Punktes darstellenden Zeichnung hat sich
folgendes Verfahren als praktisch bewährt:

Man beschreibt um den singulären Punkt eine sehr kleine durch-
sichtige Kugel; dieselbe schneidet die Fläche in einer sphärischen
Kurve, die ich Kugelkurve nennen will. Die Kugelkurve drängt
sich an die Spur des Tangentialgebildes umso näher heran, je kleiner
die Kugel angenommen wird.* Die Fläche selbst möge als undurch-
sichtig angenommen werden.

Alsdann nimmt man den ausserhalb der Kugel befindlichen Teil
der Fläche weg und bildet die ganze Figur durch Projektion auf
die Ebene y = 0 ab und zwar von einem unendlich fernen Punkte aus
(Parallelprojektion), wobei es zweckmässig ist, § : ij : J; = 1 : 3 : 1 zu
setzen.

Zur Veranschaulichung der Kugel dienen drei Grosskreise, näm-
lich ihre Schnitte mit den Koordinatenebenen. Die Grosskreise x =-. o
und ^ == 0 bilden sich auf der Ebene y = 0 als Ellipsen vom Halbaxen-
verhältnisse 1:3 ab. Der Grosskreis ?/ = 0 möge mit dem Umriss der
Kugel, der eigentlich eine Ellipse wäre, verwechselt werden, wodurch
das Bild an Einfachheit und Klarheit bedeutend gewinnt. Wird die
Kugel in dieser Weise angedeutet, so ist es nicht schwer, die Kugel-
kurve als sphärische Kurve zu sehen und sich demgemäss von der
Gestalt der Fläche im Räume eine Vorstellung zu machen.

Um die Kugelkurve zu zeichnen, liegt es am nächsten, nach dem
Vorgange von Mob ins** sphärische Koordinaten auf der Kugel ein-
zuführen. Die Gleichung einer sphärischen Kurve ist dann identisch
mit der Gleichung des dieselbe vom Ursprünge aus projizierenden
Kegels. Man erhält also die Gleichung der Kugelkiirve durch Elimi-
nation von t aus der Flächengleichung f (.r, ?/, ^, ^) = 0 und der
Kugelgleichung a'* -f //^ + ^* — ^* ^* — 0 in der Form:

f {q'X, QU, QZ,yx^ + f+ z^) =^ i).

* Vergl. Rohn, Math. Ann. 22, S. 128.
"** Grundformen der Linien III. Ordnung. Ges. Werke II, S. 115.

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Von Dr. Ernst Wölffino. 29

Aber man muss sich jetzt wohl hüten, diese Gleichung durch
Wegschaffung des Wurzelzeichens rational zu machen; denn hierdurch
käme neben der Kugelkurve auch ihre Gegenkurve* herein.

Man muss sich daher bei der Diskussion der Kugelkurve (die man
auch auf eine Tangentialebene der Kugel projizieren könnte) an die
irrationale Form ihrer Gleichung halten.

In einfacheren Fällen, insbesondere bei Näherungs- und Hilfs-
flächen, genügt für die Zeichnung der Kugelkurve folgendes Verfahren:
Man zeichne die Spur des Tangentialgebildes auf der Kugel und be-
stimme feraer die Schnittpunkte der Kugelkurve mit den Koordinaten-
ebenen. Diese Punkte liegen auf den drei Grosskreisen; man erhält sie
durch Nullsetzen je einer Veränderlichen in der Flächengleichung; sie
mögen Hauptpunkte heissen. Die Zahl der auf der Begrenzung
eines Kugeloktanten gelegenen Hauptpunkte muss eine gerade sein.
Ausserdem lassen sich auch die Schnittpunkte mit den Medianebenen

/y±^ = 0; z±x = 0] j:±y = 0

leicht ermitteln. Auch die Schnittpunkte der Kugelkurve mit dem
Tangentialgebilde, soweit dieses nicht aus Koordinatenebenen besteht,
sind nach § 4 imschwer zu berechnen.

Tritt ein w-fach zählender Teil des Tangentialgebildes auf, so wird
dessen Spur von n Zweigen der Kugelkurve begleitet, die aber paar-
weise ganz oder in einem Teile ihres Verlaufes imaginär sein können.
Daher ist die Spur immer wenigstens von einem Zweige begleitet,
wenn n ungerade ist, während sie ganz frei oder teilweise ganz frei
sein kann, wenn n gerade ist.

Mehrfache Punkte kann die Kugelkurve nur besitzen, wenn mehr-
fache Kurven durch den singulären Punkt hindurchgehen. Den ümriss
der Kugel berührt die Kugelkurve, wo sie ihn trifft.

Die Kugelkurve ist aber zur bildlichen Darstellung der Fläche
nur dann ausreichend, wenn der singulare Punkt ein einfacher ist.
Bei einem mehrfachen Punkte treten, wie in § 4 bereits bemerkt wurde,
eine oder mehrere Umrisslinien auf. Ihre Berechnung wurde in
§ 4 angegeben. Die Zweige der Umrisslinien gehen vom Kugelmittel-
punkt aus und laufen bis zur Kugelkurve, wo sie, dieselbe berührend,
ihr Ende finden. Die Umrisslinien bilden daher eine Kontrolle bei
der Zeichnung der Kugelkurve und geben insbesondere über scheinbare
Doppelpunkte derselben, Oyale, die ausserhalb der Koordinatenebenen
liegen u. s. f. Aufschluss.**

• Möbius a. a. 0. S. 97.

•• Grenzpunkte auf der Randlinie B(\ CA, AB zeigen, dass die x-, y-,
j-Axe der Fläche angehört. Die singulare Natur dieser Flächeugeraden ermittelt
man vermittelst des in § 2 erwähnten, von den Spuren der Grenzflächen ge-
bildeten Polygons.

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30 I^ie fiingulären Punkte der Flachen.

§7.
Die NäheruixgB- tmd HilfsfLäohen.

Einer Näherungsfläche gehört eine Polyederfläche, im Netze also
eine Ecke, einer Hilfsfläche eine Polyederkante, also auch eine Nefcz-
linie an. Das Netz einer Hilfsfläche beschränkt sich auf eine gerade
Linie (die Verlängerung der zugehörigen Netzlinie), welche von einem
Grenzpunkte zu einem anderen oder zu einem Fundamentalpunkte ver-
läuft. Jeder Punkt dieser Geraden bestimmt ein Indicessystem; zu
jedem dieser Systeme gehört eine Schar von Raumkurven auf der
Hilfsfläche. Im Netze der gegebenen Fläche kommt aber die zur Hilfs-
fläche gehörige Gerade nur zum Teile vor (soweit sie eben Netzlinie
ist); daher tritt von den unendlich vielen Raumkarvenscharen der
Hilfsfläche nur ein Teil in Beziehung zu Kurven auf der Fläche.
Diese Beziehung besteht darin, dass die Kurvenscharen auf der Hilfs-
fläche und auf der gegebenen Fläche in den Exponenten und Koeffi-
zienten der ersten Glieder übereinstimmen. In diesem Sinne ist
derjenige Teil der Hilfsfläche, auf welchem die erwähnten Kurven -
scharen (massgebende Kurvenscharen) liegen, für die gegebene
Fläche massgebend. Die Fläche schliesst sich der Hilfsfläche in der
Nähe der Ebene ^r* =- 0; // = 0; ^ = 0 an, wenn die zugehörige Netz-
linie die Einheitslinie AI)y BD, T/) kreuzt; ferner in der Nähe der
^*-; ?/■? ^-Axe, wenn die Netzlinie im Einheitsdreieck liCD, CAD,
ABD verläuft. Geht die Netzlinie durch den Zentralpunkt, so
schliesst sich die Hilfslinie der Fläche in einem von den Koordinaten-
ebenen entfernten Teile an.

Das Netz einer Näherungsfläche feesteht aus einem Eckpunkte; von
demselben laufen Gerade (die Verlängerungen der anstossenden Netz-
linien) nach Grenz- oder Fundamentalpunkten. Jedem Netzpunkte der
Näherungsfläche entspricht allerdings eine Schar von Raumkurven auf
derselben. Aber jeder Linienpunkt des Netzes gehört zugleich dem
Netze einer Hilfsfläche an; die von einem solchen gelieferten Kurven
stimmen in den ersten Gliedern mit auf den Hilfsflächen liegenden
überein, und deren Einfluss wurde bereits erörtert. Etwas Neues
liefert nur der Eckpunkt des Netzes, nämlich eine massgebende
Schar von Raumkurven, die nur auf der Näherungsfläche existiert und
ebenfalls mit einer Schar von Flächenkurven gleiche erste Glieder be-
sitzt. Der massgebende Teil der Näherungsfläche liegt wieder in der
Nähe der Ebene x = 0; ?/ = 0; ^ == 0, wenn die Netzecke auf der Ein-
heitslinie AD, BD, CD liegt; fem er in der Nähe der x-, y-, ;2:-Axe,
wenn die Netzecke ins Einheitsdreieck BCD, CAD, ABD fällt; end-
lich entfernt von den Koordinatenebenen, wenn die Netzecke der
Zentralpunkt selbst ist.

Aus dieser Betrachtung ergiebt sich ein bemerkenswerter Unter-
schied zwischen den Näherungs- imd Hilfsflächen hinsichtlich ihres

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Von Dr. Ebnst Wölffinq. 31

Einflusses auf das Verhalten der Fläche. Die Hilfsflächen enthalten
je unendlich viele massgebende Scharen von ßaumkurven, sind also
selbst im allgemeinen in einem grösseren Teile ihres Verlaufes mass-
gebend Der Einfluss der Näherungsflächen mit je nur einer mass-
gebenden Schar von Raumkurven auf das Verhalten der Fläche kon-
zentriert sich auf einen räumlich beschränkten Teil der Fläche, ist
aber gerade darum umso augenfälliger.

Während bei den trinomischen und polynomischen Näherungsflächen
eine unabsehbar grosse Zahl verschiedener Typen auftritt, lässt sich
für die binomischen Hilfsflächen folgende Einteilung aufstellen.

Die binomische Hilfsfläche sei x^=^\fz^ (wo -i'^xjjZ beliebig ver-
ttiuschbar sind).
A) Kein Exponent ist Null. Zwei Grenzpunkte. Rand- und Eckmasche.

I- « < /S + ^'. üniplanarer Typus. Eine Tangentialebene. Zentral-
rand- und Nebeneckmasche.

1. « < ^ < y. Alle Einheitspunkte auf der Begrenzung der
Zentralmasche. Die Tangentialebene wird von der Hilfsfläche
in zwei torsalen* Geraden berührt und fallt mit der Tangential-
ebene längs derselben zusammen, z. B. x = xj^z^.

2. a = ß <y. Zwei Einheitspunkte auf der Begrenzung der
Zentralmasche, der dritte ist Grenzpunkt. Die Tangential-
ebene wird von der Hilfsfläche in einer torsalen Geraden
berührt, längs deren sie Tangentialebene ist und in einer
skrolaren* Geraden geschnitten, z. B. x = yz^.

i. ß <a < y. Zwei Einheitspunkte in der Begrenzung der
Zentralmasche, der dritte in derjenigen der Nebenmasche.
Die Tangentialebene wird von der Hilfsfläche in einer torsalen
Geraden berührt, längs deren sie Tangentialebene ist und in
einer anderen torsalen Geraden geschnitten, längs deren sie
nicht Tangentialebene ist, z. B. x^=yz^,

4. ß ^ a =^ y. Zwei Einheitspunkte sind Grenzpunkte, der dritte
liegt in der Begrenzung der Zentralmasche. Die Tangential-
ebene wird von der Hilfsfläche in zwei skrolaren Geraden
geschnitten, z. B. x = y0.

5. j3 < a = y. Ein Einheitspunkt auf der Begrenzung der Zentral-
masche, einer auf der der Nebenmasche, der dritte ist Grenz-
punkt. Die Tangentialebene wird von der Hilfsfläche in einer
skrolaren Geraden und in einer torsalen, längs der sie nicht
Tangentialebene ist, geschnitten, z. B. x^ = yz^.

G. j3 <[ y < a. Ein Einheitspunkt auf der Begrenzung der Zentral-
masche, zwei auf der der Nebenmasche. Die Tangentialebene
wird von der Hilfsfläche in zwei torsalen Geraden geschnitten,
längs deren sie nicht Tangentialebene ist z. B. x^ = y^z^.

* Vergl. Salmon-Fiedler, Analyt.Geom. d. Raumes II., 3. Aufl. S.872(Anm,).

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32 Die singulare!! Punkte der Flächen.

IL a = ß + y. Konischer Typus. Hilfsflliche ist ein Kegel. Eine
Lateralrand- und eine Lateraleckmasche. Zwei Einheitspunkte
auf der Begrenzung der ersteren, einer auf derjenigen der
letzteren, z. B. x^ = yz.
III a> ß + y. Biplanarer Typus. Zwei Tangentialebenen. Eine
Zentraleck- und eine Nebenrandmasche. Zwei Einheitspunkte
auf der Begienzung der ersteren, einer auf derjenigen der
letzteren, z. B. x^=^ yz,
B) Ein Exponent y = 0. Nur ein Grenzpunkt. Netzlinie ist Eck-
linie. Cylindrischer Typus. Die Fläche ist ein Cylinder. Zwei
Randmaschen.

1. a < /?. Zentral- und Nebenmasche, z. B. x == ?/^.

2. a = /J. Zwei Lateralmaschen. Der Cylinder zerfällt in Ebenen,
z. B. x^ = ?/*.

Je nachdem a, /3, y gerade oder ungerade sind, ergeben sich (aus-
schliesslich der zerfallenden) 35 gestaltlich verschiedene Spezies von
binomischen Hilfsflächen.

§8.
UnterBUOhung einer Fläche in der Nähe eines sing^ulären Punktes.

Jede Fläche durch den Urspi*ung, deren niederste Glieder nicht
für sich gleich Null gesetzt die Gleichung einer binomischen Hilfs-
fläche oder einer polynomischen Näherungsfläche liefern, besitzt ein
Polygon mit mehreren Flächen und Kanten, also auch ein Netz mit
Ecken und Linien und schliesst sich daher an eine Anzahl von Näherungs-
flächen und Hilfsflächen au. In komplizierteren Fällen ist zu ihrer
bildlichen Darstellung das in § 6 gegebene Verfahren zur Zeichnung
der Kugelkurve nicht mehr ausreichend. Aber die letztere kann nun-
mehr aus Näherungsbögen zusammengesetzt werden, welche von
den Näherungs- und Hilfsflächen an die Hand gegeben werden. Man
zeichnet nach § 6 die Bilder aller Näherungsflächen (a, 6, f' . . .) und
aller Hilfsflächen {ah, de,. . .), welche die Ecken und Linien des Netzes
liefern. In diesen Figuren verdickt* man sämtliche Bögen (Näherungs-
bögen) der Kugelkurve, welche man gemäss § 7 als massgebend er-
kennt. Die Näherungsbögen der Näherungsflächen werden nun in die
Hauptfigur eingetragen und durch Kurvenbögen, die den Näherungs-
bögen der Hilfsflächen entsprechen, verbunden; so erhält man den
genähei-ten Verlauf der Kugelkurve der Fläche. Man kann dann diese
Kurve natürlich durch Konstruktion einzelner Punkte genauer erhalten,
um bei der Verbindung der Näherungsbögen systematisch zu verfahren,
kann man eine Gerade (ein Lineal) um den Zentralpunkt des Netzes
im Sinne des Uhrzeigers drehen; man führt dann jede Verbindung

♦ Vergl. das Verfahren bei Reuse hie, Praxis der Kurvendiskussion. Stutt-
gart 1886, S. 4 flg.

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Von Dr. Ernst Wölkfixg.

33

mittelst eines Hilfsflächenbogens aus, während die Gerade die zu-
gehörige Netzlinie passiert. Geht die Gerade in der Anfangslage durch
den Punkt L\ so erhält man den Verlauf der Kugelkurve zuerst in
der Nähe der Ebene r = 0, dann geht man weiter vorbei an der
//-Axe, der Ebene o; = 0, der 5'-Axe, der Ebene y = 0, der a;-Axe
zurück zur Ebene z = 0. Damit hat man die ganze Kugelkurve um-
laufen. (Beispiel: In Figur 5 werden so der Reihe nach die Verbindungen
cdj de, eüy ah, hc ausgeführt.) Praktisch ist dieses Verfahren bei
Zentralmaschen. Bei Lateralmaschen müssen ausserdem die Näherungs-
bögen der den Endpunkten der Zentrallinie entsprechenden Näherungs-
flächen durch die vom Tangentialkegel gelieferten Näherungsbögen
verbunden werden. Bei Radialmaschen existieren drei oder mehrere
Hilf skegelflächen , welche

die Verbindung der vom *^*^ *

Tangentialkegel gelieferten
Näherungsbögen mit den
übrigen Teilen der Kugel-
kurve herstellen. Durch
dieses Verfahren werden
die einzelnen Teile der
Kugelkurve den Näher-
ungs- und Hilfsflächen zu-
geordnet; sie sind daher in
den Figuren mit a, />. . . be-
zeichnet. Und zwar gehört
zu jeder Näherimgs- und
Hilfsfläche, also auch zu
jeder Ecke und Linie des
Netzes, ein Teil der Kugel-
kurve oder mehrere solche.

Freilich kann es auch vorkommen, dass der massgebende Teil
einer Näherungs- oder Hilfsfläche imaginär wird. So zertällt in
dem Beispiele x^t/ ~ x^ißz^ + x^ z^ + y^z^ - z'"" - x^^ - .v" = 0 die
Kugelkurve wegen der imaginären Hilfsflächen //* z'^ + ^^® ---= ^^ und
:f}z^+\f^=-0 in zwei völlig getrennte Teile, von denen der eine
sich dem Kegel xy — z^^O, der andere den Ebenen x = 0 und // = 0
anschliesst.

Die Hauptpunkte der Kugelkurve werden durch diejenigen Hilfs-
flächen geliefert, welche den Ecklinien des Netzes entsprechen. Dabei
ist es praktisch, die betrefienden Teile der Kugelkurve derjenigen
Xäherungsfläche zuzuordnen, deren zugehörige Ecke den Endpunkt
der betreffenden Ecklinie bildet.

Ergiebt femer ein Schnittpunkt des Netzes und des Polarnetzes
der in eine Ecke oder auf eine Linie des Netzes fällt, eine ümriss-
linie der Fläche, so berührt diese die Kugelkurve innerhalb des

Zeitschrift f. Mathematik u. Phyaik. 4i. Jabrg. 1H97. 1. Heft. «.gitized by VjOOQlC

34 I^ie singuläxen Punkte der Flächen.

Näherungsbogens, welchen die zur Ecke oder Linie gehörige Näherungs-
oder Hilfsfläche geliefert hat.

Im allgemeinen reichen, wie bei ebenen Kurven, so auch bei
Flächen die vom analytischen Polyeder gelieferten Näherungs- und
Hilfsflächen, also auch die niedrigsten Glieder der Flächengleichung,
von denen diese abhängen, aus, um die Gestalt der Fläche im Ur-
sprünge zu bestimmen. Eine Ausnahme tritt aber ein (analog wie
bei ebenen Kurven), wenn Hilfs- oder Näherungsflächen mehrfach
zählend vorkommen. Alsdann müssen zur Bestimmung der Flächen-
gestalt höhere Glieder, eventuell auch im Innern des Polygons gelegene,
beigezogen werden. In gestaltlicher Beziehung sei nur bemerkt, dass
die mehrfach zählenden Näherungsbogen durch Beiziehung höherer
Glieder in mehrere einfache Näherungsbogen umgewandelt werden,
und dass manchmal ein doppelt (oder 2 w- fach) zählender Näherungs-
bogen in einem Teile seines Verlaufes ungültig wird, indem die zwei
nebeneinander herlaufenden, durch Umwandlung entstandenen Näherungs-
bogen, eine bestimmte Fläche berührend, ineinander übergehen (sich
gewissermassen miteinander verzweigen). Näher kann hier auf diesen
Gegenstand nicht eingegangen werden.

Beispiele:

1. Untersuchung der Fläche

xif- x^z — ar" - \f - 32/^= 0.

Das Netz, Figur 2, und die Umrisslinien sind bereits in § 4 an-
gegeben worden. Tangentialgebilde ist ;/-v^.

Näherungsflächen :
a^\ß —x^z — X* =0 (bei der x-Axe),

h = xip' — x^z — 32^^= 0 (bei der ^-Axe in der Nähe der Ebene y = 0),
c = xf - y^ - 325"'^= () (bei der Ebene x =- 0).
Hilfsflächen :

aC = i/ — a;* =0 (Hauptpunkte auf ^ =- 0),
aB = z + x^ =0 (Hauptpunkte auf y =-()),
ah =^y^ — x^z = 0 (bei der Ebene ?/=-(>);
h'B - .r» -f 32^^ = 0 (Hauptpunkte auf y = 0),

hc «= xy^^ 32^^=- 0 (bei der ;2'-Axe mit Annäherung an

^ = 0),

cÄ = y' + 32 r"^ = 0 (Hauptpunkte auf x == 0),

cC = x — y^ =0 (Hauptpunkte auf z = 0).

Von den UmrissUnien (siehe § 4) gehört die erste der Näherungs-
fläche ö, die zweite der Hilfsfläche hB, die dritte der Hilfsfläche hc
an. Die Gestalt der Fläche zeigt Figur 4.

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Von Dr. Ebnst Wölfping.

35

2. Untersuchung der Fläche:

xyz + xhj^ - 2/* + "^'^'^ + -2^* + jc^ - 0.
Das Netz, in Figur 3 ausgezogen, hat die Ecken:

«=-(3,8,4), h = {2,3,0), c = (l,1.2), d^ (2,1,1), e = (1,2,1)
die Zentralmasche ahcdea{xyz) und die Nebenmaschen

ChcC(xY), CcdAC{y'), BaeB(j'.z^), BedAB{s'), BahCB{x^).
Tangentialgebilde ist xyz.
Näherungsflächen :

a = yz +z^ +^*=0 (x-Axe mit Annäherung an 2/ -= 0),

h = yz -f ^-^'4-0;*= 0 (x-Axe mit Annäherung an ^r = ())

c = xz +x^y — y^=-0 (bei der Ebene z = 0),

d = xyz-y^ +^4=0 (bei x=0),

e -= xy +xz^ + z^=0 (bei y = 0).
Hilfsflächen:

aB= ^ + x'*= 0 (Hauptpunkte auf y =- <»),
ah = yz-\' a:*= 0 (bei der a*-Axe),
bC^y^+ x»= 0 (Hauptpunkte auf ^ = Ü),
hc =5 +.'7/= 0 (bei der x-Axe mit Annäherung an ^ = 0),
cC = X* — y^ == 0 (Hauptpunkte auf z =^0),
cd <= xz— y^= 0 (bei der y-Axe),
dÄ= y^ — z^= 0 (Hauptpunkte auf x = 0),
de =^ xy-\- ^^ = 0 (bei der 5-Axe),
eB= X + z = 0 (Hauptpunkte auf y =- 0),
ea = y -^ z^=0 (bei der x-Axe mit Annäherung an y = 0).
Polarfläche vom Punkte (g, ly, g, 0) in Bezug auf die Fläche:
Ußz + zxy^ + z'+ bz') + n(^^ + zx'y - Alf) + l{xy + ^xz^ + 4z») = 0.
Das Polametz, in Figur 3 quergestrichelt, hat die Ecken:
a'=. (1, 1, 1), &'= (1, 3, 3), c'= (2, 1, 2), d'= (2, 2, 1),
die Radialmaschen:

CVa!cC{xy), Bd'a'VBixz) und .4c'a r/'^(yz)
und die Nebenmaschen:

AdCAif), Bd'AB{z'), CVBC{x^).
Umrisslinien:

a) Kreuzung von ah und «'6' im Punkte (1,2,2) giebt:

i X = €

und

X = B

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36

Die ßingalären Punkte. Von Dr. Ernst Wölffixg.

Sie gehören dem Näherungsbogen ah an.

b) Kreuzung von cd mit a'c im Punkte (3, 2, 3) giebt:

X

z

-]/:

=-l/i.+...

Dieselbe gehört dem Bogen cd an.

c) Kreuzung von de mit cüd^ im Punkte (3,3, 2) giebt:

Sie gehört zum Bogen de.

Die Gestalt der Fläche giebt Figur 5.

Weitere Beispiele sind:

a;j/«+ ;r«^« + y*+ x'^-^-z^- 0 j die Kugelkurve besteht je aus einen
x'^yz + xz^ + y V - \(^ ^ z^''^^^] Zug.

X + .'^'^ + ii?/ + y — ^ = 0 I die Kugelkurve besteht je aus zwei
x^y + x^yz + i«^^ + y^z^+'^y^ = 0 j Zügen.

^^2y«^ + .'/;?/ ^* + x^y + ^ j2 + xy^z — .2:^ + ^^^ + ?/.^* — y^^ ^ < ^
die Kugelkurve besteht aus di-ei Zügen und l>esitzt in der Nähe der
y-Axe eigentümliche Ausbiegungen.

* Hier wurde 1/ = — e' (nicht 2/ = 8*) gesetzt, um imaginäre Werte des Para-
meters zu vermeiden.

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Die kinematisohe Theorie der Hyperbololden-
reibiingsräder.*

Von

Dr. Fr. Schilling,

PriTatdozont an der Technischen Hochschule zu Aachen.

Hierzu Tafel I und II.

Einleitung.

Hyperboloidenreibungsräder, deren kinematische Theorie den In-
halt dieser Arbeit bildet, sind ihrer Gestalt nach entsprechende Seg-
mente zweier einschaliger Rotationshyperboloide, die zu einander wind-
schiefe Axen besitzen und sich längs einer Erzeugenden berühren.
Gemäss dieser Eigenschaft können solche Räder, materiell ausgeführt,
dazu dienen, die Umdrehung um die eine ihrer festgelagerten Axen
auf die andere zu übertragen. Hyperboloidenpaare der genannten
Art treten uns in der Kinematik noch in anderer Bedeutung ent-
gegen. Sie stellen auch die Axoide für die gegenseitige Bewegung
zweier Körper dar, die um zwei windschiefe, Axen mit unveränderlichem
Verhältnisse der Winkelgeschwindigkeiten rotieren, und bilden als solche
die Grundköi-per für Hyperboloidenzahnräder. Dass diese beiden Ver-
wendungsarten solcher Hyperboloide in der That wohl zu unterscheiden
sind, werden wir am besten klar machen können, wenn wir zunächst
von dem speziellen Falle sprechen, in dem die Axen einander parallel
sind beziehungsweise sich schneiden. Dann gehen die Hyperboloide,
mögen sie Reibungsräder liefern sollen oder als Axoide gelten, in
zwei Kreiscylinder beziehungsweise zwei Rotationskegel mit derselben
Spitze über, die sich wieder längs einer Erzeugenden berühren. Für
sie gelten die folgenden drei Sätze:

1. Sind irgend zwei entsprechende Segmente der Cylinder beziehungs-
weise Kegel als Reibungsräder ausgebildet, so ändert sich das Verhältnis
der Winkelgeschwindigkeit des einen Rades zu der des anderen nicht,
mag jenes oder dieses das treibende sein.

2. Das Verhältnis der Winkelgeschwindigkeiten bleibt gleichfalls
ungeändert, welcher Stelle der Cylinder beziehungsweise Kegel diese
Segmente auch angehören mögen.

• Die vorliegende Arbeit ist die weitere Ausführung des Vortrages, den ich
am 4. März 1896 zum Zwecke meiner Habilitation an der Kgl. Technischen Hoch-
schule zu Aachen gehalten habe.

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38 I^ie kinematische Theorie der Hyperboloid enreibungsrader.

3. Das Verhältnis der Winkelgeschwindigkeiten der Cylinder-
beziehungsweise Kegelreibungsräder ist identisch mit demjenigen der
Zahnräder, deren Grundkörper die gleichen Cylinder oder Kegel sind.

Man sollte meinen, dass diese Sätze auch in dem allgemeinen
Falle windschiefer Axen ihre Gültigkeit behielten. Dies findet jedoch
keineswegs statt. Das Verhältnis der Winkelgeschwindigkeiten hyper-
boloidischer Reibungsräder ändert vielmehr seinen Wert, einmal wenn
man an Stelle des einen Rades das andere als das treibende wählt,
sodann auch je näher oder weiter entfernt von den Kehlkreisen der
Hyperboloide die Segmente ausgewählt werden. Hiermit ist zugleich
auch das Bestehen des dritten Satzes nicht mehr verträglich. Dieser
Unterschied ist bisher in den Lehrbüchern der Kinematik oder tech-
nischen Mechanik nicht bemerkt worden; ja es finden sich dort bei ge-
legentlicher Erwähnung hyperboloidischer Reibungsräder ungenaue oder
gar unrichtige Angaben * Es ist das Hauptziel der vorliegenden Arbeit,
die soeben ausgesprochenen Behauptungen zu beweisen und als positives
Resultat insbesondere den Ausdruck für das Verhältnis der Winkel-
geschwindigkeiten hyperboloidischer Reibungsräder aufzustellen, freilich
unter der sich als notwendig erweisenden Beschränkung auf sehr dünne
Räder.

TVas die in den ersten Paragraphen durchgeführten geometrischen
Untersuchungen meiner Arbeit betrifft, so war es zunächst nötig, eine
neue Einführung der Hyperboloidenpaare zu geben; denn diejenige,
welche sich in den bisherigen Darstellungen findet, erweist sich für
unseren Zweck nicht brauchbar, da sie von vornherein die Verwendung
der Hyperboloide als Axoide im Auge hat. An diese Einführung schliesst
sich eine eingehende Untersuchung der besonderen geometrischen Eigen-
schaften, welche die verschiedenen Fälle der Hyperboloidenpaare dar-
bieten. Insbesondere habe ich es mir angelegen sein lassen, genaue
Begriffisbestimmungen zu geben. Da die bezüglichen Abschnitte in
den Lehrbüchern oder Monographieen*^' in dieser Hinsicht viel zu knapp

* Ich nenne hier: Weisbach -Herrmann, Lehrbuch der Ingenieur- und
Maschinenmechanik. III. Teil, I.Abt.; S. 405 u. 400. Braunschweig 1876; Grashof,
Theoretische Maschinenlehre, II. Band, S. 81 und 88. Leipzig 1877. — Au
diesen Stellen wird ausdrücklich den Hyperboloidenreibungsrädem dasselbe
Verhältnis der Winkelgeschwindigkeiten zugesprochen, welches Hyperboloiden-
zahnräder besitzen, die dem gleichen Hyperboloidenpaare angehören, was keint^s-
wegs richtig ist. (Übrigens findet sich an der letztgenannten Stelle des Werkes
von Grashof auch insofern ein Irrtum, als in dem fraglichen Falle, für den die
Gleichung co sin qp = w' sin 9' gilt, sich die Hyperboloide gar nicht als Elementen-
flächen ergeben, sondern wie im allgemeinen Falle als Evolventenflächen be-
stimmter Schraubenlinien, wie wir hier nicht weiter ausführen wollen.)

** Als Litteratur sei erwähnt: Weisbach-Herrmann, I.e. §46 u.§86; Gras-
hof,l.c.§24 — 26;MacCord,Kinematics,Nr.l51— 170. New-Torkl893. Hier finden
sich besonders gut ausgeführte Figuren, während die Betrachtungen des Textos
weniger übersichtlich sind. Tessari, Sopra la costruzione degli ingranaggi ad assi
nonconcorrenti. Annali del R. M u s e 0 Industriale Italiano. Separatabdr.Torinol871.

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Von Dr. Fe. Schilling. 39

gehalten und nicht frei von Ungenauigkeiten* sind — es steht auch
stets die Bedeutung der Hyperboloide als Axoide im Vordergrunde — ,
so kommen sie kaum neben meiner ausführlichen Untersuchung in
Betracht, die gewiss vieles Neue bringt. Eine selbständige und voll-
standige Behandlung hyperboloidischer Reibungsräder ist meines Wissens
überhaupt nirgends gegeben worden. Soll ich noch eine Einzelheit speziell
herausgreifen, so will ich den Fall der sich berührenden Hyperboloide er-
wähnen, in dem sie sich ausserdem in zwei reellen Erzeugenden durch-
dringen, eine Möglichkeit, die an und für sich bekannt ist. Hier tritt
jedoch die bisher nicht berührte Frage in den Vordergrund, ob trotz des
reellen Durchdringens der Flächen entsprechende Segmente sich als
Reibungsräder verwenden lassen. Wir werden sehen, dass dies in der
That unter Beobachtung gewisser Bedingungen geschehen kann, die
angegeben werden.

Wo sich eine Beziehung zu den Resultaten verwandter Gebiete zeigt,
habe ich nicht unterlassen auf letztere in einer Anmerkimg hinzuweisen.
Ich habe mich bemüht, die Untersuchung mit elementaren und
anschaulichen Mitteln durchzuführen; hierzu erwiesen sich besonders
zweckmässig einfache Methoden der darstellenden Geometrie. Der
Gegenstand selbst dürfte, hoflfe ich, in gleicher Weise dem Mathe-
matiker wie dem Techniker Interesse bieten.

§1.

Ableitung der Grundformel l^'Q^^S^'^Sß*
Wir denken, es seien uns irgendwie zwei einschalige Rotations-
hyperboloide mit den Axen a und b gegeben, die sich längs der Er-
zeugenden c berühren.** Da die gemeinsamen Normalen beider Flächen
die drei Geraden a, h und c schneiden, und zwar letztere unter rechtem
Winkel, so bilden sie ein hyperbolisches Paraboloid. Weil femer die
Gerade c alle Erzeugende der anderen Schar rechtwinklig schneidet,
80 muss sie zugleich eine Scheitelerzeugende des Paraboloids sein.
Denn anderenfalls würde c, an den beiden Symmetrieebenen des Para-

* Z. B. wird bei Weisbach -Herrmann S. 283 erwS^hnt, „dass die Axoide
sich Ton aussen berühren, solange die Erzeugungslinie mit den Axen spitze
Winkel bildet." Hiermit vergleiche man meine Ausführungen auf S. 46, die
zeigen, dass im dritten Hauptfalle diese Behauptung nicht zutrifft.

** Die sich längs einer Erzeugenden berührenden einschaligen Rotations-
h jperboloide , sowie ihre speziellen Fälle, sind keineswegs die einzigen Rotations-
flächen, deren Segmente durch Reibungskräfte die Umdrehung einer Axe a auf
^äne zu ihr im aUgemeinen windschiefe Axe h zu übertragen geeignet sind. Man
vergleiche Rohn und Pappe ritz, Lehrbuch der darstellenden Geometrie, BandU,
S. 44 flg., Leipzig 1896. Dort ist das allgemeine Gesetz angegeben, nach dem
sich beliebige Rotationsflächen bestimmen lassen, die sich längs einer Kurve be-
rühren, sowie ein komplizierteres Beispiel, besonders nach der zeichnerischen
Seite, besprochen. Erwähnt sei hier jedoch, dass im Falle paralleler oder sich

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40 Die kinematische Theorie der Hyperboloid enreibungsräder.

boloids wiederholt gespiegelt , noch drei weitere Erzeugende geben,
welche die gleiche Eigenschaft besässen, sodass diese vier Erzeugenden
zusammen ein Viereck geben würden, in dem jede Seite auf den
benachbarten senkrecht steht, das heisst ein ebenes Viereck, was
nicht möglich ist. Das Paraboloid ist daher ein solches, dessen
Scheitelerzeugende aufeinander senkrecht stehen. Da auch die zweite
Scheitelerzeugende alle Erzeugenden der anderen Schar rechtwinklig
schneidet, so gewinnen wir den Satz:

Die Berührungserzeugende c muss die Gerade des kürzesten
Abstandes der Axen a und h treffen, welche die zweite Scheitel-
erzeugende ist. Diese als notwendig erkannte Bedingung erweist sich
jetzt umgekehrt zugleich auch als hinreichend. Wir können in der
That von einem beliebigen hyperbolischen Paraboloid aus-
gehen, dessen Scheitelerzeugende sich rechtwinklig schnei-
den, die eine von ihnen als Berührungserzeugende c wählen,
irgend zwei andere Erzeugende derselben Schar als Axen a
und h^ und wir sind sicher, dass die Rotation der Geraden c
um a und h zwei sich längs c, berührende Hyperboloide liefert.
Hierbei mögen zwei Fälle unterschieden sein, die sich ergeben, je nach-
dem die Axen a und h auf verschiedenen Seiten oder auf derselben
Seite der Scheitelerzeugenden ausgewählt werden.

In Figur 2 (Tafel H) sei eine solche Konfiguration der drei Geraden
a, h und c im Grund- und Aufriss dargestellt. Ihre Lage gegen die
Tafeln ist so gewählt, dass die Gerade d des kürzesten Abstandes von
rt, h und (• senkrecht zur ersten Tafel steht und demnach die Schnitt-
punkte Ay B und r in erster Projektion zusammenfallen.

Wir wollen fernerhin stets voraussetzen, dass die erste Projektion
der unteren Axe, die wir mit a bezeichnen, um einen spitzen (beziehungs-
weise rechten) Winkel y im positiven Sinne* um A' gedreht werden
muss, bis sie zum ersten Male mit der ersten Projektion der oberen
Axe h zusammenfällt. Falls diese Annahme für zwei gegebene Axen
a und h nicht erfüllt ist, haben wir an ihrer Statt ihr Spiegelbild zu

schneidender Axen, etwa der Geraden PB und QJR der Figur 1 (Tafel II), jede be-
liebige Gerade PQ ihrer Ebene durch ihre Rotation um die Axen zwei sich längs
derselben berührende Kegel (beziehungsweise Cy linder) liefert. Nur wenn die letzt-
genannte Gerade den Axen gleichfalls parallel ist beziehungsweise durch ihren Schnitt-
punkt geht, sind die Cy linder oder Kegel Grenzfälle unserer allgemeinen Hyper-
laoloidenpaare. Zu den Hyperboloidenpaaren und ihren speziellenPäUen,
die wir im Texte betrachten, sind daher noch die soeben erwähnten
Fälle hinzuzunehmen, um alle Paare von Rotationsflächen zu um-
fassen, die sich längs einer Geraden berühren. (Abgesehen ist hier indes
von dem ausgearteten Falle, dass man für parallele Axen als Berührungserzeugende
eine beliebige, sie rechtwinklig kreuzende Gerade wählt, deren Rotation um jede
Axe das doppelt zu denkende Äussere eines Kreises liefern würde.)

* Der positive Drehungssinn soll dem Gange des Uhrzeigers entgpgen-
gesetzt sein.

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Von Dr. Fh. Schilling. 41

wählen. Jene beeinträchtigt daher die Allgemeinheit unserer Betrachtung
nicht. In der Figur sind die Geraden a- und V in Rücksicht auf
spätere Verwendung (S. 52) mit Pfeilspitzen versehen der Art, dass die
hierdurch ausgezeichneten Richtungen den spitzen (beziehungsweise
rechten) Winkel y bilden.* Sodann werden folgende Bezeichnungen
eingeführt: ^ ► ►

« = <):(«','••), /5==<):(c',i') und y = <):(«',?/)

mit der Relation: a + ß = yy

sowie: p=A^r^\ q ^ C" B" und s - A'' li"

mit der Relation: 2> + 7 =-- •*?•

Hier bezeichnet «, wie durch den hinzugefügten Pfeil näher au-
sgedeutet sein soll, den Winkel, durch den man die Gerade a' im
l)Ositiven Sinne um Ä^ drehen muss, bis sie zum ersten Male mit c'
zusammenfällt, ß den Winkel, durch den man die Gerade c* drehen
muss, bis sie zum ersten Male mit 1/ zusammenfällt, und zwar im
positiven oder negativen Sinne, je nachdem rr' den Winkel y oder seine
Nebenwinkel durchschneidet. Als positiv sei auf der Geraden d die
Richtung von A nach B gewählt. Die Strecke p z. B. ist daher positiv
oder negativ, je nachdem C" oberhalb oder unterhalb ^4" liegt.

Es sei jetzt noch eine beliebige Erzeugende des hyperbolischen
Paraboloids hinzugefügt, welche die Geraden a^ h und r entsprechend
in den Punkten P, Qy R schneiden möge. Da sie die horizontal ge-
legene Gerade r unter rechtem Winkel schneidet, ist auch in der

Projektion <):P'J?M' gleich ^- Dann gilt:

P'B':R'(/==tga:tgß, P^R': E' (/ == F^li" : It" (/' ^ A"("' : C' B'\

Also ist: A'U'":CUr=tga:igß

oder

1) i>:2 = tga:tgj5.

Das Verhältnis der Abschnitte, in welche die Berührungs-
erzeugende r den kürzesten Abstand der Axen a und h teilt,
ist gleich dem Verhältnisse der Tangenten der Winkel, unter
denen sie die Axen kreuzt.

Diese Gleichung bleibt bestehen, auch in Rücksicht auf die Vor-
zeichenbestimmung der einzelnen Grössen, wie man auch immer neben
der Scheitelerzeugenden c eines geeigneten hyperbolischen Paraboloids
die Axen a und h aus den Erzeugenden derselben Schar auswählen
mag. Man überzeugt sich hiervon am einfachsten, indem man in
Figur 2 die Axen a und h unverändert, aber r' mit dem Punkte IV
sich um A' drehen lässt. Für jede Lage von r' sind durch R' auch
die Punkte P', Q' und 2^", V^ S" bestimmt und damit auch die zweite

* Natürlich könnte man an Stelle des so ausgezeichneten Winkels auch
seinen Scheitelwinkel wählen.

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42 1^16 kinematische Theorie der Hyperboloidenreibungsräder.

Projektion c". Hierbei wird man schon zur Unterscheidung der drei
Fälle geftihrt, die am Schlüsse des nächsten Paragraphen durch ihre
Ungleichungen umgrenzt sind.

§2.

Die verschiedenen mögliclien Lagen der Berührungserzeugenden

für gegebene Axen.

Sind zwei der Geraden a,h,c gegeben, so bleiben für die dritte
noch einfach unendlich viele Lagen möglich, entsprechend der ana-
lytischen Thatsache, dass zwischen den Grössen py q, cc, ß nur eine
Bedingungsgleichung besteht. Wir wissen bereits, wenn ausser c noch
eine der Axen gegeben ist, so ist die andere auf einem bestimmten
hyperbolischen Paraboloid gelegen.

Jetzt seien beide Axen a und h gegeben — und zwar in
allgemeiner Lage, indem wir die Betrachtung der speziellen Lagen uns
für den § 6 aufsparen — , welche Lagen vermag dann die Be-
rührungserzeugende c anzunehmen? Wir haben diese Frage be-
reits am Schlüsse des vorigen Paragraphen gestreift; ihre anschau-
liche Beantwortung wird uns durch nähere Diskussion der Gleichung
/} : (2' = tg a : tg /3 geliefert.

Wir führen ein Cylinderkoordinatensystem z, r, <)C q) ein. Als
^-Axe sei die Gerade des kürzesten Abstandes Ali von a und 6 ge-
wählt, als ihr Nullpunkt der Mittelpunkt des letzteren, als ihre positive
Richtung, wie oben, die von A nach B. Ferner sei 9 = 0 diejenige
durch die ^-Axe begrenzte Halbebene, welche einen der spitzen Winkel
halbiert, unter dem sich die Axen a und h kreuzen. In demjenigen
Drehungssinne sei g? positiv gerechnet, der sich dem Gange des Ulir-
zeigers entgegengesetzt erweist, wenn man von B nach A blickt. Ein
beliebiger Punkt S des Raumes ist dann durch die Länge r seines
Lotes auf die ^^-Axe, die Koordinate z des Fusspunktes, sowie den
Winkel g?, den die Halbebene durch S und z mit der Halbebene 9? =- 0
bildet, bestimmt und demgemäss eine beliebige Lage der auf A 13
senkrechten Geraden e durch ein solches Wertepaar Zj tp. Auch in
Rücksicht auf die Vorzeichen gelten stets die folgenden Beziehungen:

und

v = -l-^ h q- ^o-^

« = 2+(r, ^ = i-9.

oder

Setzt man diese Werte in die Gleichung 1) ein, so ergiebt sich:

w+-)'(;--)='8(i+'f)^'«(i-'>)

.<

2) z --= -T—. sin 2 w.

^ 2 8in y ^

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Von Dr. Fr. Schilling, 43

Führt man die Schnittgeraden der Ebene z = 0 mit den Halb-
ebenen <p = 0 und g> = g; als positive .r- und //- Koordinate naxe ein, so

ffilt: • V -c

o sm <p == , *^ ; cos Qp = ,— -- y

und unsere letzte Gleichung lässt sich überführen in:

2')

.ri/

2 sin y x'' -f- 1/*

Damit man alle Lagen der Berührungserzeugenden c erhält, muss
(jp alle Werte des durch folgende Ungleichung bestimmten Intervalles

durchlaufen. Für jeden Wert qp giebt die Gleichung 2) eindeutig die zu-
gehörige Koordinate des Schnittpunktes C von r mit der ^-Axe an, während
umgekehrt zu jedem Werte z des Intervalles, das durch folgende Ungleich-
ung gegeben ist: -y <; ;^ < +

2 ein y J^ ' 2 sin y

zwei reelle Werte g? (beziehungsweise ein solcher in den Grenzen) in
dem flir diese Grösse angegebenen Intervalle gehören.

Um indes eine anschaulichere Vorstellung von der durch die
Gleichung 2) definierten Fläche zu bekommen, denke man um die
Ä-Axe den Cylinder mit dem Radius l gelegt und seine Schnittkurve
mit der Fläche auf eine Ebene abgewickelt. Deutet man g) und z als
rechtwinklige Koordinaten dieser Ebene, so stellt die Gleichung 2)
unmittelbar die Gleichung der abgewickelten Kurve dar, Figur 3 (Tafel II).
Sie ist eine sogenannte „Sinusoide" das heisst eine periodische Kurve,
die aus der gewöhnlichen Sinuslinie z -= sin (p durch Affinität entsteht,
wobei die g?-Axe Affinitätsaxe ist und die Richtung der Affinitäts-

Ä 3ff

strahlen auf dieser senkrecht steht. Für ff = j bezw. (und für die
analogen Werte) erreicht die Kurve ihr Maximum bezw. Minimum

■~ 2 sm y
Ist dieselbe jetzt umgekehrt auf den Einheitscylinder aufgewickelt,
wie es Figur 4 (Tafel II) im Grund- und Aufriss zeigt, so geben die
von allen Punkten der Kurve ausgehenden zur ^-Axe senkrechten
Geraden das gewünschte Bild unserer Fläche. Wir fassen unser Re-
sultat in den Satz zusammen: Die Gesamtheit aller möglichen
Lagen der Berührungserzeugenden r für gegebene Axen er-
füllt eine geradlinige Fläche dritter Ordnung [gemäss der
Gleichung 2')], die sich längs eines Stückes der ^-Axe selbst
durchdringt, das „Cylindroid von Cayley."*

* Man vergleiche Ball, The theory of screws, Dublin 1876, pag. 16, ins-
besondere auch das Titelbild. Dort ergiebt sich dieselbe Fläche als Ort der
Aie einer unendlich kleinen Schraubenbewegung, welche die Resultante zweier
beliebiger unendlich kleiner Drehungen um zw^ei feste Axen n und h darstellt.
In der Anmerkung daselbst ist insbesondere der Name „Cylindroid" für diese

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44 I^ie kinematische Theorie der Hyperboloidenreibungsräder.

Der Schnittpunkt C wird je zweimal in den Punkt A bezw. Jß
hineinfallen, für (p = — ^ und | + |' bezw. g? = + | und f — |- Für
w = — ^ bezw. + I ist die Gerade e mit n bezw. 7; zusammengefallen,
während sie für 9 = | + | l^^zw. ^ — |^ die Axe h bezw. a recht-
winklig kreuzt. Diese letztgenannten Lagtn der Geraden c sind als
gestrichelte Durchmesser cj und c/ im Grundrisse der Figur 4 (Tafel II)
hinzugefügt. Ausser diesen speziellen Lagen der Geraden c haben wir
die drei Hauptfälle zu unterscheiden, die sich ergeben, je nach-
dem die erste Projektion c:

►

I. den Winkel (a', 6') oder

II. den Winkel {h\ c/) bezw. (c,', a'),

in. den Winkel (c/, c,') durchschneidet.

Im ersten und dritten Falle liegt der Punkt C innerhalb der
Strecke AB, im zweiten Falle ausserhalb derselben, entweder ober-
halb B oder unterhalb A, was keinen wesentlichen Unterschied aus-
macht. Analytisch sind die drei Fälle durch folgende Ungleichungen
charakterisiert:

I. Fall: 0 <a<y und zugleich y > /J > 0,

II. Fall: y < a < 1- und zugleich 0 < — /3 < |^ — y,

oder: -^^ + y < cc < 7t und zugleich ^< — /3<3r — y,

III. Fall: 1" < « < 1^ + y und zugleich ^ — }'< — /J<2*

§3.

Diskussion der verschiedenen Arten zusammengehöriger

Hyperboloide.

Welche Besonderheiten werden jetzt in den im letzten Paragraphen
angegebenen Fällen die verschiedenen Hyperboloide beziehungsweise
ihre Ausartungen darbieten, die durch Rotation der Beriihrungs-
erzeugenden c um die Axen a und h entstehen?

Was zunächst die dort angegebenen speziellen Lagen der
Geraden c betrifft, so ergeben sich unmittelbar die folgenden Sätze:

Ist die Gerade e mit der Axe a (bezw. h) zusammengefallen

(füry = — I bezw. + -| j; so ist das eine Hyperboloid in diese

Fläche auf Grund einer von Cayley gegebenen projektiven Erzeugungsweise
erklärt, die indes nicht so anschaulich ist, als die von uns oben besprochene.
Letztere liegt auch dem Fadenmodell dieser Fläche zu Grunde, welches Herr
H. Wiener im Verlage von L. Brill in Darmstadt hat erscheinen lassen. — Das
Cylindroid findet sich zuerst beschrieben bei Plücker, Neue Geometrie des
Raumes, S. 97, Leipzig 1868. •

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Von Dr. Fb. Schilling. 45

Axe selbst ausgeartet, die zugleich eine Erzeugende des an-
deren nicht singulären Hyperboloids bildet.

Schneidet dagegen die Gerade c die Axe a (bezw. }>) nur
imPunkte.4(bezw. /^), ohne mit ihr zusammenzufallen, istalso

so ist das Hyperboloid der Axe a (bezw. 6) in einen Rotations-
kegel mit der Winkelöffnung 2(~— -yj> dasjenige der Axe h

(bezw. d) dagegen in das doppelt zu denkende Äussere eines

Kreises ausgeartet, welches den Kegel längs v, berührt.

Letzterer liegt daher mit seinen beiden Hälften auf verschiedenen

Seiten der Ebene des Kreises. Ein solcher Fall, für 9? = ?- + |^; sei

im Grund- und Aufrisse, wobei die zweite Tafel senkrecht zur Axe /;
gewählt ist, durch Figur 5 (Tafel H) veranschaulicht.

In jedem der drei am Schlüsse des vorigen Paragraphen unter-
schiedenen Hauptfälle ist keines der beiden Hyperboloide ausgeartet.
Doch tritt jetzt die Frage in den Vordergrund, ob sie, abgesehen
von der Berührungserzeugenden, noch sonst reelle Punkte
gemeinsam haben oder nicht. Von vornherein ist klar, wenn
überhaupt die Flächen sich noch reell durchdringen, so muss dies
notwendig in zwei Erzeugenden derjenigen Schar geschehen, der
die Berührungserzeugende nicht angehört. Denn die durch einen be-
liebigen, etwa noch vorhandenen gemeinsamen Punkt gehende Er-
zeugende des einen Hyperboloids, welche die Berührungserzeugende
schneidet, hat auch mit dem anderen Hyperboloid drei Punkte gemein-
sam — von denen zwei freilich unendlich nahe liegen — , muss dem-
nach auch ihm als Erzeugende angehören.

Nun denken wir durch einen beliebigen Raumpunkt 0 Parallele zu
sämtlichen Erzeugenden beider Hyperboloide, sowie zu ihren Axen gelegt.
Dann entstehen zwei Rotationskegel, die sich gleichfalls längs einer
Erzeugenden berühren. Es gilt der Satz: Stets dann und nur dann
werden die beiden Hyperboloide sich noch in zwei reellen
Erzeugenden schneiden, wenn das Gleiche für die Rotations-
kegel statt hat.*

Dass die Rotationskegel sich noch in zwei Erzeugenden durch-
dringen, falls es die Hyperboloide thun, ist ja sofort klar. Umgekehrt
bedingt eine Schnitterzeugende der Kegel auf jedem Hyperboloid eine
Erzeugende derselben Richtung in derjenigen Schar, der die Be-
rührungserzeugende nicht angehört. Beide müssen identisch sein, da
die Tangentialebenen ihres Schnittpunktes mit der Berührungserzeugenden

* Dieser Satz findet sich kurz angegeben bei Fiedler, Lehrbuch der darstellen-
den Geometrie Bd. II, S. 302, Nr. 11, Leipzig 1885, und in weiterer Ausführung bei
Bohn 1^. Papperitz, Lehrbuch d. darstellenden Geometrie, Bd. II, S.49, Leipzig 1896,
sowie bei De la Gournerie, Trait^ deGäomötrie descriptive, Art. 764, Paris 1880.

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46 l^ie kinematische Theorie der Hyperboloidenreibungsräder.

zusammenfallen. In Figur 6, I, II, III, (siehe Tafel II), ist für die
drei Hauptfalle der gemeinsame Meridianschnitt beider Kegel dar-
gestellt, der eine Symmetrieebene der räumlichen Figur ist. Unter
Bezugnahme auf die am Schlüsse des § 2 aufgestellten Ungleichungen
überzeugt man sich leicht, dass stets im Falle I beziehungsweise II
der eine Meridianschnitt völlig ausserhalb beziehungsweise völlig inner-
halb des anderen gelegen ist, im Falle III dagegen jeder Meridianschnitt
zum Teil innerhalb, zum Teil ausserhalb des anderen. Diese Beziehung
lässt sofort den Satz erkennen:

Im dritten Hauptfalle, und nur in diesem, durchdringen
sich die Kegel und also auch die Hyperboloide noch in zwei
reellen Erzeugenden.

Da die beiden Hyperboloide durch eine halbe Umdrehung um die
Gerade d des kürzesten Abstandes der Axen in sich selbst übergehen,
so liegen die beiden Schnitterzeugenden symmetrisch zur Geraden rf,
das heisst ihre Schnittpunkte aS'i und S^ mit der Berührungserzeugenden
sind vom Punkte (• gleichweit entfernt.

Im ersten Hauptfalle liegt jedes der beiden Hyperboloide
ganz ausserhalb des anderen; sie berühren sich mit ihren
Aussenseiten.*

Im zweiten Hauptfalle liegt das Hyperboloid mit klei-
nerem Kehlkreis — für y < a < ,, ist es das Hyperboloid mit der
Axe h, für ^, + y < a < jr das mit der Axe a — völlig innerhalb

des anderen, jenes berührt daher mit seiner Aussenseite
dieses an der Innenseite.

Im dritten Hauptfalle dagegen berühren sich beide Hyper-
boloide längs der Strecke Si S^ mit ihren Innenseiten, längs
des übrigen Teiles der Berührungserzeugenden mit ihren
Aussenseiten. Denn der dem Berührungspunkte C diametral gegen-
überliegende Punkt C'i des Kehlkreises des einen Hyperboloids liegt
stets ausserhalb des anderen; zwischen (\ und C befindet sich auf
jeder Hälfte des Kehlkreises ein Punkt I\ beziehungsweise 1\ der
einen oder anderen Schnitterzeugenden, sodass also der den Punkt C
enthaltende Teil T,, 2\ jedes Kehlkreises notwendig innerhalb des
anderen Hyperboloids liegt

Beispiele der drei Hauptfälle geben im Grund- und Aufrisse die
Figuren I, II, III der Tafel L** Die erste Projektion der Berührungs-

* Als Aussenseite des Hyperboloids ist diejenige bezeichnet, welche der
Axe nicht zugewandt ist.

*• Wegen der Konstruktion der Figuren sehe man den § 7 dieser Arbeit. —
Immerhin dürften die Hyperboloide des dritten Falles in ihrem ganzen Verlaufe
ohne ein räumliches Modell nur schwer zu überblicken sein. Ein solches und
zwar ein Fadenmodell, welches die Verhältnisse deutlich zur Anschauung bringt,
habe ich für die Sammlung für darstellende Geometrie an der Technischeii Hoch>
schule zu Aachen anfertigen lassen.

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Von Dr. Fr. Schilling. 47

erzeugenden ist die eine Asymptote der Umrisshyperbeln des Ginind-
risses. Nur im dritten Hauptfalle haben letztere gemeinsame Tangenten,
eben die ersten Projektionen der Schnitterzeugenden s^ und s^. Die
Nebenaxen der Umrisshyperbeln sind, abgesehen vom Vorzeichen, gleich
2pctga und 2q ctg/3. Auf Grund der Gleichung 1) ergiebt sich daher
der Satz: Die Meridianhyperbeln der Hyperboloide haben
gleiche Xebeiiaxen. Hieraus folgt dann noch weiter, dass die beiden
Hyperboloide in den Punkten der Kehlkreise dasselbe Gaussische
Krümmungsmass besitzen *

§4.
Geometrische Eigenschaften entsprechender Segmente der Hyper-
boloide in Bücksicht auf ihre Verwendung als Beibungsräder.

Ein solcher Teil des Raumes sei als inneres beziehungsweise
äusseres Segment des einzelnen Hyperboloids bezeichnet, der durch
zwei zur Axe senkrechte Ebenen aus dem Inneren beziehungsweise
Ausseren des letzteren ausgeschnitten wird. Ein äusseres Segment
möge indes stets durch eine hinreichend grosse, koaxiale Cylinderfläche
abgeschnitten und nach aussen begrenzt sein. „Entsprechende" Seg-
mente beider Hyperboloide sollen dieselbe Strecke der Berührungs-
erzeugenden besitzen. Denken wir diese Segmente irgendwie materiell
hergestellt, so werden sie uns die Reibungsräder liefern, deren Eigen-
art in den einzelnen Fällen wir im folgende^ näher betrachten wollen.
Während wir das Rad eines inneren Segmentes unmittelbar um seine

* Es sei gestattet, auch die analytische Lösung einiger der im Texte be-
rührten Fragen einzuflechten. Dieselbe verdanke ich im wesentlichen einer freund-
lichen Mitteilung des Herrn Fr. Schur, wie ich überhaupt aus seinen Vorlesungen
über darstellende Geometrie an der Technischen Hochschule zu Aachen die An-
regung zu dieser Arbeit geschöpft habe.

Wir wählen als J-Axe eines neuen rechtwinkligen Koordinatensystems die
Gerade des kürzesten Abstandes AB — ihre positive Richtung sei die von A
nach B — , als £-Axe die Berührungserzeugende v, als Yj-Axe die zu beiden
senkrechte Gerade, wobei die positive Richtung der J-Axe in jene der t^-Axe
durch eine dem Uhrzeigergange entgegengesetzte Drehung, von der positiven
Seite der J-Axe aus betrachtet, übergehen möge. Die Gleichungen der beiden
Hyperboloide lauten alsdann:

1) i?'(l~tg*a) + 2a72tg«-hJH2fi> = 0,

2) »?*(l-tg»P)>-26i?tg^-f-t»-2t2 = 0,

wo die Grössen 2>, q,oc,ß^ auch hinsichtlich ihres Vorzeichens, die im § 1 definierte
Bedeutung haben. Offenbar werden die Erzeugenden der zweiten Schar mit Hilfe
des Parameters X entsprechend dargestellt durch die Gleichungspaare:
1') t = ^^

i?(l-tg»a)-h2Stg«4-^« + 2iO-=0,
2') J = X^

T,(l-tg«ß)-2jtg^-mj-2fi)=0.

Die für den gleichen Wert l definierten drei Ebenen schneiden sich stets in
einem Punkte der S-Axe, wie man auf Grund der Relation p:q = tga :tgß leicht

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48 I^i® kinematische Theorie der Hyperboloidenreibungsräder.

in festen Lagern ruhende Axe sich drehen lassen können, werden \^ir
das Rad eines äusseren Segmentes etwa in einer festliegenden
cylindrisehen Führung laufend zu denken haben, wie es im Meridian-
schnitte durch Figur 7 (Tafel 11) dargestellt ist.

Im ersten Hauptfalle (Figur I der Tafel I) lassen sieh nur ent-
sprechende innere Segmente als Reibungsräder ausfahren. Im zweiten
Hauptfalle (Figur II der Tafel I) dagegen haben wir bei dem Hyper-
boloid mit kleinerem Kehlkreise ein inneres, bei dem mit grösserem
Kehlkreise ein äusseres Segment zu wählen. Im übrigen kann die
den entsprechenden Segmenten gemeinsame Strecke der Berührungs-
erzeugenden beliebig gross sein. Im dritten Haupt falle (Figur III
der Tafel I) endlich hat man die entsprechenden Segmente der Hyper-
boloide jedenfalls so auszuwählen, dass ihnen nicht gleiche Strecken
der Schnitterzeugenden angehören. Legt man durch irgend einen
Punkt P der Berührungserzeugenden c Parallelebenen zu den Kelil-
kreisebenen der Hyperboloide, so trefifen diese jede Schnitterzeugende s^
beziehungsweise s^ in zwei Punkten, die auf verschiedenen Seiten ihres
Schnittpunktes S^ beziehungsweise S^ liegen. Die Berührungserzeugende
liegt nämlich im spitzen Winkel der genannten Parallelebenen, eine Parallele
durch P zur einen oder anderen Schnitterzeugenden dagegen im stumpfen
Winkel, da das Analoge der Fall ist, wenn man als Punkt P gerade
den Punkt C wählt. Man macht sich diese Beziehung am besten am
Grundrisse der Figur III der Tafel I klar unter Berücksichtigung der

zeigt. Sollen sie sich aber in derselben Geraden schneiden, so muss eine lineare
Relation zwischen ihnen bestehen, das heisst die beiden unteren Gleichungen 1')
und 2') müssen nach Multiplikation ihrer beiden Seiten mit ctg a beziehungsweise
ctg p und nachheriger Addition bis auf einen Faktor die obere Gleichung ergeben.
Als Bedingung hierfür findet man:

X.= (^_?f^ -ctgcQ + Ctgp-ctgP)

A • <• 1.4. ctga + ctgj3

oder vereinfacht u i. 4. o ^

X*==tgo:tg|?— 1.

Setzt man wieder «=^+9^» ß^^^^'i öi^> so kommt schliesslich:

X«= cosy

sin'qp — cos*^
Der Parameter l wird daher reell sein, wenn 8in'qp> cos*-^ ist; diese Be-

dingung ist aber identisch mit unserem geometrisch gefundenen Resultate.

Die Länge der Strecken S^ C=^iC=\^ welche im dritten Hauptfalle durch
die Schnitterzeugenden auf der Berührungserzeugenden abgeschnitten werden, ist
gleich der Koordinate g in der zweiten Gleichung 1') , wenn man in ihr i^ = f = 0
setzt und dem Parameter X den soeben bestimmten Wert giebt. Es wird dann:

,^AV^(tgatgp^l).p«
' tg^a tg«a

oder unter Berücksichtigung der Relation jp : </ = tg a : tg ^

/o*=i'S'(l-ctgactgP).
Man vergleiche S. 61 dieser Arbeit, woselbst die gleiche Relation auf geo-
metrischem Wege gefunden wird.

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Von Dr. Fb. Schilling. 49

Thatsache, dass die ersten Projektionen der Sehnitterzeugenden gemein-
same Tangenten an die Umrisshyperbeln sind. Stets dann und nur
dann werden daher entsprechende Segmente der Hyperboloide
nicht gleiche Strecken der Schnitterzeugenden besitzen,
wenn das ihnen gemeinsame Stück der Berührungserzeugenden
entweder ganz innerhalb oder ganz ausserhalb der Strecke
•S'i .S'j (wobei die Punkte S^ und ^'g gleichzeitig zum Inneren und Ausseren
der Strecke S^S^ hinzugerechnet seien) gelegen ist. Dies ist die
einzige Bedingung, die den Segmenten aufzuerlegen ist. Man hat
zwei innere Segmente zu wählen, wenn sie dem Äusseren der
Strecke S^S.^y dagegen zwei äussere Segmente, wenn sie der
Strecke Äj/Sg selbst angehören sollen. Denn in letzterem Falle
werden sich die ihnen angehörenden Zonen der Hyperboloidflächen
wie zwei Ringe einer Kette durchschlingen. Die Figur 8 (Tafel H)
stellt, genau dem Aufriss in Figur HI der Tafel I entsprechend, solche
den Kehlkreis in der Mitte enthaltende Zonen der Hyperboloide dar.
Wir fügen im folgenden noch einige geometrische Hilfsbetrachtungen
hinzu, die sogleich im nächsten Paragraphen ihre Anwendung finden.

1. Der Abstand /« bezw. r^ eines beliebigen Punktes P der Be-
rulirungserzeugenden von der Axe a bezw. h wird durch den Ausdruck
gegeben: ^^ _ \/p^'+Tihi^a, bezw. n - V(f+ l' sin^^/S,

wo / die Strecke PC bezeichnet.

2, Um den Neigungswinkel x« der Berührungserzeugenden c gegen
die durch P gehende Meridianebene des Hyperboloids mit der Axe a
zu bestimmen, ist in der im Zweitafelsysteme gezeichneten Figur 9
(Tafel H) die Meridianebene des Punktes 6' als erste Projektionsebene,
die Axe a als trennende Axe Xi^ 2 der ersten und zweiten Projektions-
ebene gewählt. Senkrecht zu letzteren mit den Axen iCi, 3 und X2,s
ist noch eine dritte Tafel benutzt und in bekannter Weise seitlich
umgelegt. Die durch den Punkt P gehende Meridianebene hat ihre
erste und zweite Spur in der Axe a;i, 2, ihre dritte Spur ist Cg. Man
ßlle von C das Lot auf die Meridianebene von P, seine wahre Grösse
wird durch C^^Fq gegeben. Es ist jetzt:

r V An • ! ' , A ' . ^'"^'0 i'"^'x /Hin«

tf^t^^AC^sm ilf=p sm i^ und sm 1/; — ^,„2 = ,.^ — —;r-

Folglich ist: .„ ^ _ CJ^\ _ P • sj»«

sinx«- -^ --^.^-

oder: sin a

sm Xa =

|/i + (l)W«

Analog ergiebt sich für den Neigungswinkel yc,j der Berührungs-
erzeugenden c mit der durch P gehenden Meridianebene des Hyper-
boloids h\ . sin (3

sm Kf, =

Zeitaehrift f. Mathematik 11. Plij-sik. 42. Jahr^. 1897. 1. Heft. [^gitized by CjOOQiC

50 f^iß kinematische Theorie der Hyperboloid enreibungBrüder.

Indem wir noch festsetzen, dass gerade derjenige Winkel mit x«
beziehungsweise xt, bezeichnet sein soll, der für lim l --= 0 kontinuierlich
in den Winkel a beziehungsweise ß übergeht, haben wir in obigen Aus-
drücken den Wurzelzeichen stets ein positives Vorzeichen zu geben. Die
geometrische Anschauung sowohl, wie die obigen Formeln zeigen, dass
für lim l == 00 der Winkel x« beziehungsweise x^ sich dem Werte 0 oder ± tt

nähert, je nachdem a , beziehungsweise ß | kleiner oder grösser als — ist.

3. Wir denken ferner die Tangenten an die durch P gehenden Parallel -
kreise beider Hyperboloide gezogen. Der AVinkel x zwischen denselben ist
gleich dem der beiden Meridianebenen des Punktes 1\ Dieser aber hat
den Wert x« + ^b- Denn diese Relation stimmt in den drei Hauptfallen
zunächst für Z = 0, folglich gilt sie allgemein, da an Stelle von x,, + x*
nur dann ± (x« — x^) treten könnte, wenn fiir irgend einen endlichen
Wert von l entweder x« oder x^ verschwinden würde, was nicht der
Fall ist. Der Grenzbedingung 0 < ? < oo entsprechend gilt im ersten
und zweiten Hauptfalle: y > x > 0, im dritten Hauptfalle: y < x < ä.

4. Kann die Tangente in einem Punkte P der Berührungserzeugenden
an den Parallelkreis des einen Hyperboloids, etwa desjenigen mit der
Axe a, die Axe h des anderen schneiden?

Wenn dies der Fall wäre, müsste jene zugleich Tangente an den
durch F gehenden Meridian des Hyperboloids mit der Axe h sein.
Beide Hyperboloide hätten dann notwendig noch eine zweite Erzeugende
gemeinsam, nämlich das Spiegelbild der Geraden c in Bezug auf die
Tangente in der gemeinsamen Tangentialebene. Der Punkt P könnte
daher nur einer der Punkte Sj und S^ der Hyperboloide des dritten
Hauptfalles sein. Umgekehrt überzeugt man sich leicht, dass in der
That die Tangente im Punkte /S\ oder ^'2 ^.n den Parallelkreis
des einen Hyperboloids stets die Axe des anderen schneidet.*

Für die Punkte /S, und S, ist daher der Winkel x gleich -- Es gilt

demnach: • s ■ • « t

sm'xa + sm*X6 «= 1,

oder nach 2): sin»« __J^1 ,

indem wir wieder die spezielle Bezeichnung Iq für l setzen. Die ein-
fache Umrechnung ergiebt der Reihe nach:

Pl + g' _ 1

i>«(l + ctg«a) + ?,« ^ 3*(l + ctg«p) + Z,» ^'

^o' + h'(j>' ctg^ a + q' ctg«^) == p'- q\l - ctg^ a ctg« ß),

oder in Rücksicht auf die Fundamentalbeziehung ^)ctga =- (Zctg/3:

* Die Oesamtheit der Tangenten an die Parallelkreise des Hyperboloids mit
der Axe a (oder b) in allen Punkten der Berührungserzeugendeu bildet ein hyper-
bolisches Paraboloid. Nur im dritten Hauptfalle wird dieses von der
Axe h '^oder a> in zwei reellen Punkten geschnitten.

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Von Dr. Fb. ScnnxiNo. 51

(^0* + ?> « et« « ctg ßy = i>« q\

dasheisst: Z,* = ^^(1 - ctgactg^),

wie wir bereits in der Anmerkung S. 48 fanden.

§5.
Das Verhältnis der Winkelgeschwindigkeiten und der gegen-
seitige Drehlingssinn der Hyperboloidenreibmigsräder.

Es sei jetzt irgend ein Paar entsprechender Hyperboloidenreibungs-
räder, die wir kurz durch ihre Axen a und b bezeichnen wollen, ge-
geben. Wir denken sie mit einem gewissen Drucke gegeneinander
gepresst, so dass sie sich infolge ihrer Deformation in einem schmalen
Flrichenstreifen längs der Geraden c berühren. Das Rad a sei als
treibendes Rad durch äussere Einwirkung in gleichmässige
Umdrehung versetzt.

Welches Verhältnis der Winkelgeschwindigkeiten und
welchen Drehungssinn werden nun beide Räder darbieten?
Wir wollen uns darauf beschränken, die Räder als unendlich dünn,
die ihnen gemeinsame Strecke der Berührungserzeugenden
al.s unendlich klein vorauszusetzen.*

Die auf das anfangs in Ruhe befindliche Rad b wirkende
Reibungskraft, welche von der Bewegung des Rades a herrührt, wird
so lange eine Winkelbeschleunigung des Rades b hervorrufen**, als von
den beiden Komponenten der relativen Bewegung*** des Rades a
gegen das Rad b an der Berührungsstelle, welche als Richtungen die
Tangenten an den Parallelkreis und die Meridianlinie des Rades b be-
sitzen, diejenige in der Richtung der Tangente an den Parallelkreis
nicht verschwindet. Mit anderen Worten : Das Rad b wird seine
Geschwindigkeit (während der Zeit des sogenannten „Anlaufens'')
so lange steigern, bis es — was erfahrungsgemäss sehr bald eintritt
— eine solche Endgeschwindigkeit erlangt hat, dass das
Berührungselement des Rades a sich relativ zu dem des

* Bei Rädern endlicher Dicke würde die Beantwortung der aufgeworfenen
Fragen vor allem die Kenntnis von der Verteilung der Reibungski-aft in den einzelnen
Punkten der Berührungastrecke fordern , worüber sich indes ohne willkürliche An-
nahmen nichts aussagen lässt, so dass unsere Beschränkung sich berechtigt erweist.
*• Hierbei ist vorausgesetzt, dass die beschleunigende Komponente der
Reibungskraft den auf die Berührungsstelle reduzierten Widerstand gegen die
Bewegung des Rades b an Grösse übertrifft, weil sonst eine Bewegung überhaupt
nicht eintreten würde.

*** Die momentane relative Bewegung des Berührungselcmentes des Rades a
ist identisch mit der absoluten Bewegung, die dadurch hervorgeht, dass mau dem
Elemente des Rades a ausser seiner eigenen Geschwindigkeit noch eine zweite
Geschwindigkeit erteilt, nämlich diejenge, welche der des Berührungselementes
des Rades h gleich und entgegengesetzt gerichtet ist.

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52 I^i<* kiiiematiHche Theorie der Hyperboloidenreibiingsrader.

Rades h in der Richtung der Meridianlinie des letzteren
bewegt*

Es seien mit Va und r^ die Lineargeschwindigkeiten des Be-
rührungselementes der Rlider, mit «« und (Of, ihre Winkelgeschwindig-
keiten bezeichnet; r^ und lOf, mögen überdies gerade die End werte
der Geschwindigkeiten sein, die uns allein interessieren. Es gilt
zunächst '«= «a-'a, f\^ (Ob.n, wo ra und n die Abstände des Be-
rührungspunktes von den Axen a und h l)ezeichnen. Das Resultat
der obigen Betrachtung drückt sich dann, wenn wir vorerst vom Vor-
zeichen absehen, in der Gleichung aus: Vt,= Va- (^osx, wo x der in
der Hilfsbetrachtung 3 des vorigen Paragraphen definierte Winkel ist.
Denn diese Gleichung ist der analytische Ausdruck dafür, dass die
Resultante der Geschwindigkeiten r« und — n die Richtung der Tangente
an den Meridian schnitt des Rades b besitzt. Hieraus folgt durch Ein-
setzung: „^ ,^

— = - • cos X.

Diese Gleichung beantwortet den ersten Teil unserer Seite 51 auf-
geworfenen Frage; sie bestimmt das Verhältnis der Winkel-
geschwindigkeiten der Räder. Wir sehen, dasselbe ist eine
Funktion der Grösse Z, da r«? ^'6 und x von l abhängen. Das Ver-
hältnis der Winkelgeschwindigkeiten ändert seineu Wert
mit der Stelle der Berührungserzeugenden, der die Reibungs-
räder angehören.

Was den gegenseitigen Drehungssinn der Räder betrifiPt,
so wollen wir diejenige Drehung jedes Hyperboloids als positiv an-
sehen, welche von der in Figur 2 (Tafel I) durch eine Pfeilspitze aus-
gezeichneten Richtung der Axe aus gesehen dem Uhrzeigergange
entgegengesetzt ist. Zunächst seien jetzt in jedem der drei Hauptfälle
die Kehlkreisräder betrachtet. In der für alle drei Fälle gemeinsam
giltigen Figur 10 (Tafel II), deren Ebene die Tangentialebene des
Punktes (' ist, bezeichnen a^ und h^ die Tangenten an die Meridiane.
Durch VF und (JQ seien die Lineargeschwindigkeiten Va und x>i, der
Grösse und Richtung nach dargestellt; die Resultante von r^ und — v^
muss die Richtung der Tangente \ besitzen. Indem man beachtet,
dass der Pnnkt C im ersten und dritten Hauptfalle innerhalb, im
zweiten ausserhalb der Strecke AB gelegen ist, ergiebt sich leicht die
Richtigkeit der hinsichtlich des Vorzeichens erweiterten Formel:

— =- (— ly • y-. • cos r,

(Oa ^ '^ \q\ '^

wo im ersten, zweiten oder dritten Hauptfalle e beziehungsweise gleich 1,
2 oder 3 zu setzen ist und p , q die absoluten Werte der Grössen p, q
bezeichnen. Wir behaupten, dass in allen drei Fällen die analoge Formel:

* Ganz iibiiliche Verhältnisse bietet das Rädchen eines Polarplanimeters dar,
das auf der Zeichenebene zugleich gleitet und rollt.

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Von Dr. Fr. Schillikg. 53

3) f?* = (- 1). . r:^ cos X

jetzt flir beliebige Räder giltig ist. Der Beweis folgt unmittelbar aus
unseren Hilfsbetraehtungen 3 und 4 im vorigen Paragraphen. Im

ersten und zweiten Hauptfalle muss das Vorzeichen von ' stets

dasselbe sein, welcher Stelle der Berilhrungserzeugenden auch die Räder
angehören. Im dritten Hauptfalle dagegen muss das Vorzeichen ein
verschiedenes sein, je nachdem die Räder zu dem Inneren oder dem
Ausseren der Strecke ^^S.^ gehören^ da, wie wir sahen, gerade in
den Punkten *S, und S^ die Tangente an den Parallelkreis des einen
Hyperboloids die Axe des anderen schneidet. Diese Verhältnisse
werden in unserer Formel durch das Vorzeichen von cos x in der That
richtig dargestellt.

Ausführlich lautet unsere Formel in Rücksicht auf die Hilfs-
betrachtungen 1 und 2 des vorigen Paragraphen:

3')

^ = (- !)• • y^±]^^ " . r±i/i - v:' ■:-!-,■- • i/i - - .S" ■

siu a ^ sin ^

sin'p

|/l + (j^)«Bin«« |/l + (J^*8in'p

Hier gilt das obere Vorzeichen im ersten und zweiten, das untere
im dritten Hauptfalle; fiir sämtliche Wurzeln sind die positiven Werte
zu wählen. Unser Resultat lautet in Worten:

Erteilen wir dem Rade a eine positive Umdrehung, so
wird das Rad h im ersten Hauptfalle stets eine negative,
im zweiten eine positive Umdrehung ausführen, welcher
Stelle der Berührungserzeugenden die beiden Räder auch an-
gehören mögen; im dritten Hauptfalle dagegen eine negative
oder eine positive Umdrehung, je nachdem die Räder dem
Inneren oder dem Ausseren der Strecke fi^S^ angehören.
(Positiv und negativ ist überall zu vertauschen, wenn wir dem Rade n
eine negative Umdrehung erteilen.) Das Verhalten der Reibungsräder
im dritten Hauptfalle erweist sich also besonders überraschend.

Wir haben bisher immer angenommen, dass das Rad a das
treibende ist. Wenn wir statt dessen das Rad h als das treibende
wählen, so haben wir in der Formel (3') die Indices a und b und die
Grössen ;;, q sowie er, ß miteinander zu vertauschen. Ersichtlich er-
halten wir dann allgemein einen anderen Wert für das Verhältnis *•

Das Verhältnis der Winkelgeschwindigkeiten nimmt daher
einen verschiedenen Wert an, je nachdem wir bei demselben
Räderpaare das eine oder das andere Rad als das treibende
ansehen.

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cos y

54 I^iö kinematische Theorie der Hyperboloidenreibungsrader.

Für die im Anfange des § 3 aufgestellten Übergangsfälle
spezialisiert sich unser Resultat folgendem! assen. Es wird das Ver-
hältnis -* , wenn wieder das Rad a als das treibende gewählt ist,

a) für g) = -- |(a = 0) gleich 0.

b) fiir 9 = + J^ (a = y) gleich oo .

c) für <p = ^- + l(a - I) gleich ^

d) für ^==^ + ^« = 1+,) gleich ^?^J.

Besonders zu beachten ist, dass nur im letzten Falle ^^ noch vod

l abhängig bleibt.

Für lim i = oo geht die Formel 3) der vorigen Seite für alle Fälle

^^er in: ^^ si^^

lim =- —qJ

das heisst: /=»**'« ®^°P

Je weiter von den Kehlkreisen entfernt die Räder ge-
wählt werden, um so mehr nähert sich das Verhältnis ihrer

Winkelgeschwindigkeiten dem einfachen Werte ^•

Zusatz:

Dasselbe Winkelgeschwindigkeitsverhältnis — .— ^ kommt zweien

sich längs einer Erzeugenden berührenden Hyperboloiden zu, wenn wir
diese als Axoide oder Grundkörper hyperboloidischer Zahnräder an-
sehen. Ohne dass wir im einzelnen auf diese Verhältnisse eingehen,*
sei es gestattet, den hier obwaltenden Unterschied mit wenigen Worten
zu beleuchten. Bei Zahnrädern sind es nicht Reibungskräfte, sondern
Druckkräfte, welche die Bewegung von einem Rade auf das andere
übertragen, so dass von vornherein ganz andere Verhältnisse zur
Geltung kommen. Obwohl daher im Grenzfalle** die Hyperboloide
selbst als „ Elementenflächen '^ (die allgemein zur Begrenzung der Zähne
geeignete Flächen sind) sich ergeben können, besitzen doch, wie wir
gesehen haben, beliebige aus ihnen ausgeschnittene Räder, da diese
dann als Reibungsräder wirken, nicht das Winkelgeschwindigkeits-
verhältnis ;— I der Axoide.

Um den hier vorliegenden Gegensatz besonders anschaulich zu ül)er-
blicken, wollen wir ein einfacheres Beispiel heranziehen, das analoge
Verhältnisse darbietet. Wir denken, wie Figur 11 (Tafel H) in schiefer

* Zur iiilheren Orieutieniug sei z. B. auf die I)arst<'llung in Weisbiicli-
Herrmann, Lehrbuch der Ingenieur- und MiischinennKH'hanik, III. Teil, 1. M-
teilung, Braunschweig 1876, § 46 (S. 228 flg.^ und § 86 (^S. 418 flg.) verwienen.

** Wie z. B, in Grashof, Theoretische Maschinenlehre, Band II, Leipzig 1}<77,
§ 25 S. 81 gezeigt ist.

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Von Dr. Fe. Schilling. 55

Parallelperspektive zeigt^ auf einem beliebig langen Parallelstreifen in
gleicbem Abstände von einander und in schräger Richtung schmale,
senkrechte Streifchen angebracht, die den Zähnen eines Rades ent-
sprechen. Zwei derartige, genau gleiche Parallelstreifen a und b („Zahn-
stangen'^) mögen dann mit zugekehrten Zähnen aufeinander gelegt
sein (Figur 12, Tafel II). Ferner soll, etwa durch prismatische Füh-
rungen, dafür gesorgt sein, dass jeder Streifen sich nur in der Richtung
seiner ihn begrenzenden Parallelgeraden bewegen kann. Wird dann
der Streifen a in der Richtung des hinzugefügten Pfeiles, also von
links nach rechts, bewegt, so wird durch den Eingriff der Zähne der
Streifen h sich nach unten bewegen. Dieses Verhältnis wird bestehen
bleiben, wenn wir auch die Zähne beliebig klein denken, so dass sie
fast unsichtbar sind. Werden dagegen zwei Parallelstreifen ohne
Zähne in genau derselben Lage mit einem gewissen Drucke aufein-
ander gepresst (Figur 13, Tafel II) und wieder der Streifen a von links
nach rechts bewegt, so wird der Streifen h jetzt sich nach oben be-
wegen. Dieses Beispiel, bei dem wir nicht länger verweilen wollen,
möge man am besten vergleichen mit zwei hyperbolischen Zahnrädern
beziehungsweise Reibungsrädem des dritten Hauptfalles, deren zu-
gehörige Hyperboloidenzonen den Kehlkreis in ihrer Mitte enthalten
(vergl. Figur 8, Tafel II).

Die spezieUen FäUe y = ^ ? y ^0 und s = 0.

Jetzt gilt es für die zu Anfang des § 2 ausgeschlossenen be-
.sonderen Lagen der Axen a und h unsere bisherigen Betrachtungen zu
spezialisieren.*

1. Ist der Winkel y der beiden Axen gleich -> so geht die
(xleichung 2) über in:

2*) z --- ^•sin29),

oder ^ _ ^- . cos 2ß.

Die hierdurch dargestellte Fläche dritter Ordnung unterscheidet
sich in ihrer Gestalt nicht von jener des allgemeinen Falles, nur ist
die Axe a bezw. h jetzt ihre tiefste bezw. höchste Erzeugende, wenn
man die xr-Axe wieder vertikal annimmt. Der Punkt (' ist dement-
sprechend für jeden Wert a oder q) niemals ausserhalb der Strecke AB
gelegen.

Fällt die BerQhrungserzeugende c mit einer der Axen a oder h
selbst zusammen, so ist das eine Hyperboloid in das doppelt zu denkende

* Die trivialen Grenzfalle, daas entweder beide Axen zusammengefallen
sind, oder aber eine von ihnen ins Unendliche gerückt ist, seien hier nur er-
wähnt.

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56 r^ie kinematische Theorie der Hypevboloidenreibuugsräder.

Äussere eines Kreises, das andere in eine Tangente desselben ausgeartet,
ein Grenzfall, von dem wir weiterhin absehen wollen. Da im all-
gemeinen Falle die beiden durch denselben JPunkt (' gehenden Be-
rührungserzeugenden entgegengesetzt gleichen Werten ß entsprechen,
also zu den Ebenen (a, T) und (/;, C) symmetrisch liegen, so folgt
unmittelbar, dass ihre Rotation um die Axen a und h dasselbe Hyper-
boloidenpaar liefert. Die beiden Hyperboloide berühren sich
stets in zwei Erzeugenden. (Figur 14, Tafel II.) Nur dann sind
entsprechende Segmente der Hyperboloide — und zwar stets
innere — als Reibungsräder verwendbar, wenn die ihnen
gemeinsame Strecke der Berührungserzeugenden nicht den
Punkt C- im Inneren enthält. Das in derselben Weise wie im § ö

bestimmte Verhältnis *"* der Winkelgeschwindigkeiten wird durch den
Ausdnick gegeben :

0)6 Vi^' + ^'^''^i"^^'^

»+/»sin»j5'

l/l jf^'^sin*« \ / -i ^i^siii*p sin« sin^

alle Wurzelzeichen sind mit positivem Vorzeichen zu nehmen, es gilt
das obere beziehungsweise untere Zeichen in der Klammer, je nach-
dem die den Rädern zugehörige Berührungserzeugende (\ oder c^
einem positiven oder negativen Werte ß entspricht. Das Verhältnis
der Winkelgeschwindigkeiten ist negativ oder positiv, je
nachdem ß positiv oder negativ ist.

2.1m Grenzfalle y^^^f das' heisst bei paralleler Lage
der Axen, giebt uns wieder am besten die Gleichung 2) Auskunft.

Für g; ^ 0 oder - wird z völlig unbestimmt, für alle übrigen Werte

von (f dagegen unendlich gross. Unsere Fläche dritter Ordnung ist
daher in die unendlich ferne Ebene, die für unseren Zweck nicht
weiter in Betracht kommt, und in zwei sich längs der Geraden
Ali rechtwinklig schneidende Ebenen zerfallen, deren eine die Axen a
und h enthält. Dem Werte g? = 0 entspricht der gewöhnliche
Fall zweier Cylinder, die sich äusserlich oder innerlich
längs einer Erzeugenden berühren. J^ür das Verhältnis der
Winkelgeschwindigkeiten gilt die von l unabhängige Formel:

Für (f = - dagegen sind die beiden Hyperboloide in jedem Falle

in das doppelt zu denkende Äussere zweier sich berührender Kreise
ausgeartet. Wenn C innerhalb AB liegt, haben dieselben überdies
noch zwei Tangenten gemeinsam, die den Schnitterzeugenden s^ und
s, des dritten Hauptfalles des § 3 entsprechen.

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Von Dr. Fb. Schilling. 57

3. Wenn endlich 5 = 0 ist, das heisst die Axen a und h
sich schneiden, so zerfällt die Gleichung 2') in x^+if^O und
r -= 0. Der reelle Teil der Fläche dritter Ordnung besteht also aus
<ler r-Axe, die nicht weiter für uns in Betracht kommt, und der Ebene der
Axen a und h. In letzterer kann die Berührungserzeugende c zunächst
mit einer der Axen a, h selbst oder mit einer ihrer Senkrechten q, c^ zu-
sammen fallen (Figur 15, Tafel II). Von den durch ihre Rotation um die
Axen a und h entstehenden Flächen ist dann stets die eine entweder in
die Axe a oder h selbst oder in die zu einer von ihnen senkrechte Ebene
ausgeartet, während die andere einen Kegel darstellt. Ausser diesen
speziellen Lagen haben wir wieder die drei Hauptfalle zu unter-
scheiden, dass die Gerade c in einem der Winkelräume I, II oder III
liegt. In diesen Fällen entstehen durch Rotation der Geraden c um
die Axen stets zwei Kegel (Doppelkegel). Im ersten und dritten
Hauptfalle berühren sich dieselben mit ihren Aussenseiten,
im zweiten Hauptfalle berührt der grössere Kegel mit
seiner Innenseite den kleineren an der Aussenseite. Die
Kegel des dritten Hauptfalles haben indes noch zwei Schnitt-
erzeugende gemeinsam, dementsprechend sind nur dann entsprechende
Segmente als Reibungsmder verwendbar, wenn die ihnen gemeinsame
Strecke der Berührungserzeugenden den Schnittpunkt der Axen nicht
im Inneren enthält. Den beiden Kegeln gemeinsamen Meridianschnitt
der drei Hauptfälle geben die Figuren 6, I, H, III (Tafel II). Das
Verhältnis der Winkelgeschwindigkeiten wird, auch in Rücksicht auf

das Vorzeichen, durch den Ausdruck - - = — -. — % geffeben, der wieder
von ( unabhängig ist.

Ist insbesondere noch y= ^, so werden die beiden Kegel

sich stets doppelt berühren. Die den Reibungsrädern angehörende
Strecke der einen oder anderen Berührungserzeugenden darf den Schnitt-
punkt der Axen nicht im Inneren enthalten.

§7.

Die seiohnerische Darstellung der drei allgemeinen Hauptfalle.

Die Darstellung der beiden Hyperboloide im Zweitafelsysteme
I Figuren I, H, III, Tafel I) lässt bei zweckmässiger Anordnung ihre
symmetrische Lage in Bezug auf die Gerade .1 li klar hervortreten; sie
besitzt daher vor der (orthogonalen) axonometrischen Darstellung
(Figur IV, Tafel I) zweifellos den Vorzug grösserer Anschaulichkeit.
Immerhin dürfte auch die letztere als eine gute Übungsaufgabe der
axonometrischen Methode einer näheren Betrachtung wert sein. Wir

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58 r)ie kinematische Theorie der Hyperboloidenreibiingsräder.

wollen im folgenden uns auf die Angabe der wesentlichen Punkte be-
schränken, die bei der Konstruktion zu beachten sind*

Gegeben seien stets die Axen a und h und der Punkt C, Bei
der Darstellung im Zweitafelsysteme wird man das Gebilde gegen die
beiden Tafeln wie in Figur 2 (Tafel II) so anordnen, dass die Gerade A B
auf der ersten Tafel senkrecht steht. Bei der axonometrischen Darstellung,
die wir zunächst näher betrachten wollen, sei als z-Axe die Gerade
ABy als X'Axe die Axe a gewählt; XYZ sei das Spurendreieck
der Zeichenebene (Figur KJ, Tafel II). Man klappe die x 2* -Ebene um
XZ in die Zeichenebene um; es wird dann .4*r* = ;> und C*Ii'^= q.
Ebenso werde auch die a; //-Ebene um XY in die Zeichenebene um-
gelegt. Es gilt jetzt ^zunächst die Projektion unseres Gebildes auf die
:?;//- Ebene in der ümklappung zu zeichnen. Diese Konstruktion ver-
läuft genau wie jene in der Grundrissebene bei der Darstellung im
Zweitafelsysteme; nur stimmt der positive Drehungssinn infolge der
Umlegung mit dem Gange des Uhrzeigers überein. Wir werden unsere
weitere Betrachtung, die dann auch für die Zeichnung des Grundrisses
im Zweitafelsysteme gültig ist, an Figur IG (Tafel II) anknüpfen. Um
einen beliebigen Punkt E^ der umgelegten Projektion r^ der Berührungs-
erzeugenden c auf die a;t/-Ebene zu finden, beachte man, dass, wie in

Figur 2 (Tafel II), einmal <)C PqEqAq= —y sodann:
Polio' RoQo-P'^l-PoS:SA,

ist, wo RqS \h^ sei. Nimmt man daher Pq beliebig an, so ist durch
diese Beziehungen Rq zweideutig bestimmt, wie es sein muss. Die
weitere Konsti-uktion in der umgelegten .r//- Ebene bietet keine Schwierig-
keit, da einmal Cq die eine Asymptote für beide Umrisshyperbeln ist,
anderseits die Halbaxen derselben durch p und q gegeben sind. Die
Hyperboloide selbst seien beiderseits durch zu ihrer Axe senk-
rechte Ebenen begrenzt, deren Schnitte wir als Grundkreise bezeichnen
wollen. In Figur 16 (Tafel II) führt der Punkt K^ zu zwei Hyper-
boloiden des ersten Hauptfalles (Figur IV, Tafel 1), der Punkt (R^)
zu solchen des dritten Hauptfalles. Letzteres ist in Figur 17 (Tafel II)
weiter ausgeführt. Im dritten Hauptfalle hat man ja noch die Schnitt-
erzeugenden zu zeichnen, deren Projektionen gemeinsame Tangenten
HK beziehungsweise H^K^ an die Umrisshyperbeln sind. Es besteht
die Proportion: ^j^jj^ . ^ j^j ^^ ^ HJ:JK.

Nun ist jedes dieser Dreiecke bezüglich gleich demjenigen, welch(»s
durch die Asymptoten und die Scheiteltangente der zugehörigen

* Ausführlich wird dieso Konstruktion behandelt bei De la Gournerie
1. c. Art.. 729 788, sowie hei Rohn und Papperitz 1. c. Art. 661. Meine Angaben
im Texte erheben nicht den Anspruch, irgendwie Neues zu geben, wenn auch
vielleicht hier und da eine kleine Vereinfachung erzielt sein mag.

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Von Dr. Fb. Schilling. 59

Hyperbel begrenzt wird. Und da beide Hyperbeln dieselbe imaginäre
Axe haben, so verhält sich schliesslich:

HJ.JK==q:p.

Diese Gleichung liefert die Richtung der parallelen Tangenten HK
und flj-Ki und damit diese selbst.

Um jetzt die axonometrische Projektion selbst beziehungsweise
den Aufriss der Hjrperboloide zu zeichnen, beachte man noch folgende
Sätze. Die Axe a beziehungsweise h (oder ihre zweite Projektion) ergiebt
allemal die Symmetrielinie ihres Hyperboloids. In ihr liegen die kleinen
iVxen der die Grundkreise darstellenden Ellipsen; deren grosse Axen
sind gleich den Durchmessern der Kreise. Da noch die Schnittpunkte
der Ellipsen mit der Geraden c bekannt sind, so lassen sich diese un-
mittelbar zeichnen. Gehört zu dem einen oder anderen Hyperboloid dann
eine Umrissellipse, wie z, B. zu dem Hyperboloid mit der Axe h im
Aufrisse der Figur I der Tafel I, so ist ihre gi-osse Axe gleich dem
bekannten Durchmesser des Kehlkreises. Sie ist vollends bestimmt bei
axonometrischer Darstellung 'durch die eine Tangente bildende Be-
rührungserzeugende (', bei der Darstellung im Zweitafelsysteme durch die
vertikalen Tangenten der Umrisshyperbel des Grundrisses, welche dann
zugleich die Tangenten in den Endpunkten der kleinen Axe sind. Die
reelle Axe einer etwa vorkommenden Umrisshyperbel der axono-
metrischen Projektion beziehungsweise des Aufrisses aber ist ebenfalls
gleich dem Durchmesser des Kehlkreises. Die Asymptoten ferner sind die
Tangenten an die Ellipse, welche einen der Grundkreise des zugehörigen
Asymptotenkegels darstellt. Letztere ist ihrerseits zu der den ent-
sprechenden Grundkreis des Hyper})oloids darstellenden Ellipse ähnlich
und ahnlich gelegen, und ihre grosse Axe ist gleich einer Sehne des
letztgenannten Grundkreises im Abstände des Kehlkreisradius vom
Mittelpunkte. Zugleich findet man die Berflhrungspunkte der Uniriss-
hyperbel mit jeder Grundellipse des Hyperboloids als Schnitt der
letzteren mit derjenigen Parallelen, die man zu ihrer grossen Axe
durch die bekannten Berührungspunkte der die Asymptoten darstellen-
den Tangenten an die entsprechende Grundellipse des Asymptotenkegels
legt. Schliesslich mag man noch in beliebiger Zahl Erzeugende» }>eider
Hyperboloide hinzufügen. Dies g€»schieht am zweckmässigsten, indem
man jedes Hyperboloid in seitlicher Ansicht darstellt und die hier
leicht einzuzeichnenden Erzeugenden dann überträgt, wie es z. B. in
der umgelegten ./e/- Ebene der Figur IV (Tafel I) ausgeführt ist.

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60

Kleiiiprp Mitteilungen

2)

3)

Zerleguup der Gleichnn^ vierten Grades.

Von Dr. Heilermann in Goclo8})erj?.

Um die allgemeine Gleichung vierten Grades

1) F = n,r^ + 4 h.r^ + hcr^ + 4(f .r + c = 0

in zwei quadratische Gleichungen zu zerlegen, nehme man an, dass die
Summe F zunächst in eine sehr allgemeine leicht zerlegbare Form ver-
wandelt worden sei, nämlich in:

F^m{ax'+ 2ßx + yf + 2;<«x'*+ 2ßx + y){cc,x'+ 2ft.r + y,)'
+ (a,j''^+2ß,x + y,y.

Demnach müssen die neun neuen Koeffizienten m, n^ p^ a etc. folgenden
fiinf Bedingungen genügen:

ma^ -\- 2«««! -\-pcti^=- Oy m(xß-^n{ciß^ -^ ß^i) +jf>aift = ^7

w/ + 2»yyi+i?yi* = ^, ^^ß7 + ^^iß7i+yßi)+Pßi7i='^7
m(ay + 2ß^) + n(ay, + ya, + 4/3 ft) +^(«1^1 + 2/5,«) = 3c.

Um die letzte Bedingung den vorangehenden ähnlicher zu gestalten,
setze man an ihre Stelle die zwei Gleichungen:

3*) mß^+2nßß,+pßi^=-c-'X, may + n(ayi+ya,)+pa,y,--c + 2l,

in denen vorläufig X eine unbekannte Zahl bezeichnet.

Dann kann man diese Bedingungen in folgende Gruppen zu je dreien

ordnen: | ^(„^^ _^ ,,^j ^ ^^(^,^^ + »«) - a = 0,

ß(ma + na^) + ßiipcc^ + na) — ?> = 0,
y{)na + ««i) + n {pcii + na) — (c + 2A) =- 0;
a{mß + wft) + a,{pß, + nß) ~ ?y = 0,
ß{mß + nß,) + ß,{pß, + nß) - (c - ^) =- 0,
y{mß + nß,) + y,{pß, + 7iß) - d == 0,
a{my + ny^ + a,{py, + ny) — (c + 2k) = 0,
/?(my + ny,) + ßiipyi + ^^y) - (? = 0,
y(wy + *?yi) + y, (py, + ny,) - r = 0.

Wenn man danach aus diesen Gruppen die zweigliedrigen Summen
nia -\- na,^ pa,-^ na etc. eliminiert, so erhält man eine neue Gruppe von
drei Gleichungen, nämlich:

<ßyi - rßi) + Ky«i - «yJ +{c+2k){aß, - ßa,) = o,

4) h{ßy, - yß,) + (r^l){ya, - ay,) + d{aß, ~ ßa,) =^ 0,

(r + 2A)(/3yi - yß,) + r?(ya, - ory,) + c{aß, - /3aJ ^ 0.

Da in diesen Gleichungen nur die zwei Verhältnisse von den Ver-
bindungen der neuen Koeffizienten als Unbekannte anzusehen sind, so
können die drei Gleichungen nur unter der Bedingung nebeneinander be-
stehen, wenn die Determinante aus ihren Koeffizienten Null ist. Also
muss die bisher unbekannt« Zahl A der Gleichung:

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6)

Kleinere Mitteilungen. 61

a h C + 2A I

b c — k d i=0,
oder r+2A d e

5) 4k^—{(i(' — ib(1 + 3c^)k + arc + 2hr(I - ad^- b^e — c^=^0
<¥enüge leisten und kann daher drei verschiedene Werte annehmen.

Nachdem durch diese Gleichung, die unter dem Namen der kubischen
Resolvente bekannt ist, die Hilfsgrösse >l ermittelt ist, erhält man für die
Diskriminante der Gleichung 2) folgende Werte aus den Gleichungen 3):
j_ ^ b*-ac + al _ d^-ce + ek _ (c + 2X)»-«e
'' '''^'- («ft-p«,)' ^ ißy^-yß^r ~ (ycc,-ay,y

^ (c-X){c-\-2k)-bd _ b€-cd-2dX ad-bc-Uk

(«ft-(3ai)(Pyi-yai) " (pyi-yPi)(yai-ayi) ~ (yai-«yi)(aft-(3ai)
Wenn diese Grösse der Kürze wegen mit I) bezeichnet, so ist:
mF -= [{ma + na^y^+ 2(niß + nß,)x + my + ny,]'- Jj{a,:r^+ 2ß,j' + y,y,
und daher zerfällt die Gleichung 1) in die quadratischen Gleichungen:
(ma + //«i - a^y7))x^ + 2{mß + wft - ftl/i>:;r

+ my + ny^ — yy^B = 0,
{,nu + ;/«! + «y/j)^« + 2(wi/J + nß^ + ftl//>)ü
+ my + ny^ + y^J) = 0.
Multipliziert man die erste von diesen beiden Gleichungen mit

' ^-^ — ^-^ — j die andere mit — — — >

m m

so wird das erste Glied in beiden rational, und sie gehen über in:

7)

' + ^{b-^yb^ - av + ak)% + 0 + 2A +|/(c + 2A)*- ae^{).
Das Produkt beider ist:
r, f ' == (ax« + 2 5r + r + 2 A)« - (2 x^b^^ - äc + « il + }/(c + 2A)«-~iJ7>)^ -^ 0.
Wenn man aber in den Gleichungen 7) aus den mittleren Gliedern
die Wurzeln durch entsprechende Multiplikationen wegschafft, so erhält man:
^\ I (Z> + yi^av + a))x'' + 2(6- - 'C)x + rZ - ^d^ - cc + ek = 0,

1 (5 -Yb^- ac + «X).r« + 2{c-k)x + d + Yd^-ce + ck-^0
und als deren Produkt:

(c-A)F=(6ar«+ 2(6- A)u +fO*-(^-*- V^'- «^' + n^-Vd^-cc - cky.
In gleicher Weise lassen sich auch aus dem absoluten Gliede der
Gleichungen 7) die Wurzeln entfernen; dadurch erscheinen sie in der Form:
10) ((c + 2A~|/(c+2A)*-ac)a:H2(^ + }/(?-- ce+"^)^ + e-=0,
\(c + 2k +y(r + 2ky-^ae)x^+ 2(d- yd^~^^e + ck)x + c = 0,
und ihr Produkt ist:

^F= [(c+2k)x^+ 2dx + c]«-(.r«y(c+2A)*-f/c-2a-l/rf2-ce+cA)'=0.
Aus jedem dieser drei Paare von Gleichungen erhält man die beiden
anderen^ wenn man die Wurzelgrössen aus einem Gliede durch die geeignete
Multiplikation entfernt und dabei die obigen Werte 6) beachtet.

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62 Kleinere Mitteilungen.

In der vorstehenden Umformung imd Zerlegung ist ausser anderen auch
diejenige enthalten, die ich im Progranam der Realschule zu Trier 1855 mit-
geteilt habe. Setzt man nämlich a = «^ «= 1 , y = |3*, y^ = /J^*, so ist nach 2):

F^m{x + ßy+2n{x + ßy^{x + ß,y+p(x + ß,)\
und daraus folgt wie oben:

mF^[7n{x + ßy+n{x + ß,yy^{n^-mp)(x + ß,y.
Daher kann die Gleichung F = 0 ersetzt werden durch die qua-
dratischen Gleichungen:

(,n + n +yD)x^+ 2{mß + nß^-^ßyi))x + miS«+ «ft«+ jSi^Y^^ 0,
{m + n -yf))x^+ 2{mß + 7iß^^ßyD)x + w/?«+ ^'ft*- ft*-/^^ 0;
und diese gehen ebenso, wie die Gleichungen 7), in eines der dort folgenden
Paare über, wenn man den ersten, zweiten oder dritten Koeffizienten rational
macht. Nach diesen Umformungen ist die Auflösung der Gleichung 1) zweck-
mässig folgende.

Bezeichnet man ihre Wurzeln mit x^^ iCj, arg, x^ und die der kubischen
Resolvente mit A|, Ag, ilg, so ist nach den Gleichungen 8):

^1+^2 = — „i^—V^^ — ^c + ^^i)^

^3 + ^4 - --(?> -f !/?>•- ar + aAj,
^•i + .^3 =- - l (P - )//>«-^ir+aO,
^'2 + ^'4 - - 1 0^ + K?>'-^'^+<'0,

^'l + ^4 =- — ^. 0* — V^^—<f(' + «0»
^2 + ^8 -^ - I 0^ + V^'- " ^' + ^'^3)-

Wenn man diese Werte paarweise verbindet, so entsteht:

^1 + .T^ — -'^3 — a:^ = -jj- • V^)* — rt r + ^ A^,

a'i — x^ +x^— x^ = -^-yh^ — nc -f flf A^,
4

^1 - «2 ~ ^8 + a:^ = -jj- •)/?>*- ^'^ + '^^s»
und daraus erhält man durch Addition und Subtraktion als Werte der Wurzeln :

x^ = -^- {-h + yi^ — a c + a A, — y'h^ — uc + ak^- Yh^-ac + ak^) ,
^3^ i {-l^-Vb'^~^(+f^i + Vh'-ac + a'x,^yb^-ac + al,),
x^ - ^- (- h -|/&* - « r -f « A, -)/?>'- «^ + «^2 +1/^* -^ flf c + a A3).

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Kleinere Mitteilungen. 63

In dem Produkte aus diesen vier Werten ist neben rationalen Gliedern
auch ]/a* — ac+nXi- |/fc* — a c + « ^ * Vl>* — « c + a k^ enthalten , daher muss
aach dieses rational sein; die Rechnung ergiebt:
i/i« I •> 1/ 2 I — r i/i's I 1 2h^ — Sähe -\- a^d

Das Entsprechende gilt wegen der Gleichung 10) , wenn man die reziproken
AN'erte von den obigen Werten als ihre Wurzeln auffasst, auch von dem
entsprechenden Produkte, nämlich von
^/üi ; — r i/72 I r i/^i r r 2d*— Scde 4-h^e

Bemerknug zu den Beinerkmigeu über doppelt -
zentrische Vierecke.*

Von Dr. Chr. Beyel in Zürich.

Herr Dr, Holzmüller macht mich darauf aufmerksam, dass in der
erwähnten kleineren Mitteilung Zeile 10 von oben der Satz: „weil im Kreis-
viereck. . ." als Begründung nicht genügt.** Ich teile daher noch mit, dass
mich ein anderer Gedanke zu der ganzen Überlegung führte. Durch die
Konstruktion der Linien (/, s wird der Strahlenbüschel zweiter Ordnung q
den Linien .<; eindeutig zugeordnet. In dieser Zuordnung entsprechen sich
die Gegenseiten //, /«; e, /' des Vierecks ABCl) vertauschbar. Also ist die
Korrespondenz involutorisch. s muss q vertausch bar entsprechen und J^
berühren. Ich suchte damals — und suche also auch jetzt noch einen ein-
fachen, rein geometrischen Beweis, der nicht wie der obige Gedanke eine
Untersuchung der erwähnten Korrespondenz voraussetzt.

Sind die Kreise eT"*, TJ* konzentrisch, so springt die Richtigkeit der
Sätze sofort in die Augen.

Aufgabe 1.***

Von 8. Finsterv^ralder in München.

Das Netz eines Kugelballons besteht aus einer sehr grossen Anzahl

(96 und mehr auf dem Umfange) rhombischer Maschen mit Winkeln von

GO^ und 120®, deren kurze Diagonalen nach Parallelkreisen und deren lange

nach Meridianen angeordnet sind. Ihre Dimensionen wachsen regelmässig vom

♦ Veigl. Band 40 S. 372 dieser Zeitschrift.

•* Was Poncelet(traitä I, No. 566) zum Beweise beibringt, ist weitläufig und
scheint mir nicht zwingend zu sein. Dr. Holzmüller giebt im dritten Teile
seines methodischen Lehrbuches der Elementar -Mathematik (B. G. Teubner 1895)
S. 11 und 12 einen gerechneten Beweis und macht mich auf einen Beweis von
Dr. Junker (Schulprogramm, Crefeldl892) auftnerksam.

*** Wir beabsichtigen, versuchsweise von jetzt an derartige aus der Praxis
stammende Aufgaben in der Zeitschrift zu bringen und empfehlen dieselben den
Mathematikern zur Lösung. D. Red. ^^ ^

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64

Kleinere Mitteilungen.

oberen Ventilringe bis zum Äquator. Das Netz reicht in dieser Form etwas
unter den Äquator. Die Figur desselben ist demnach genähert durcli zwei
Scharen von Kugelloxodromen gebildet, die sich unter einem Winkel von
60® schneiden.

Ein solches, für einen Ballon von bestimmtem Radius konstruiertes
Netz soll nun für einen grösseren Kugelballon, oder auch für einen BaUon
von anders geformtem Meridian benützt werden. Welche Figur bildet dann
das Netz? Bis zu welchem Kugelradius lässt sich dasselbe noch verwenden?
Welche Erscheinung tritt auf, wenn der Radius grösser wird? Welche
Form hat das Netz in dem speziellen Falle eines unendlich grossen Radius,
wenn also das Netz symmetrisch im Kreise herum in eine Ebene aus-
gebreitet wird?

Druckfehler in S. Gundelflnger-A. M. NelFs Tafeln
znr Berechnnng nennstelliger Logarithmen.

(Darmstadt 1891, A. Bergsträsser.)

Gefunden von Joseph Blater in Baden-Baden.

Corrigenda zu Tafel I i;Seit€ 2 — 37).

Seite:

j Loga-
rithmen:

1

' Statt:

Soll
stehen :

Seit<*:

Loga-
rithmen :

' Statt:

Soll
stehen :

4

1574

; 7428

4728

22

6002

5991

5991

6

2360

2093

2003

24

6824

9108

9018

6

i 2502

838

828

26

7264

6886

5836

8

2662

00670

0670

31

8216

0431

0431

8

2693

480

380

31

8256

9984

9684

10

1 3024

1587

1787

32

8704

8882

8882

12

' 8532

0795

0695

32

8873

0382

0482

14

; 4130

0752

0052

34

9323

6842

5684

18

; 5051

6869

7369

35

9237

533

553

18

5492

1

; 0529

0529

1

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Die GGomefrie der Laae.

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lUterai^ieciie AbteUiUiir an üofrat Prof* Dn M. C'aiitor. H»

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über Beziehungen zwischen den Determinanten
einer Matrix.

Von

Dr. W. AmiENör .^ '^y ]?oy

in Antwerp^

§1-

In einer früheren Note* ist von mir die Frage untersucht worden,
unter welchen Umständen in einer Matrix von m Zeilen und n Kolonnen
(m < n) das Verschwinden einiger Determinanten m'®" Grades das aller
Determinanten dieses Grades nach sich zieht. Die vorliegende Arbeit
bezweckt nun eine Erweiterung jener, insofern als jetzt die be-
trefifende Frage nicht bloss mit Bezug auf die Determinanten des
höchst möglichen (m^^) Grades, sondern für die Determinanten be-
liebigen Grades in der Matrix behandelt werden soll.

Das damals erhaltene Resultat ist kurz folgendes: Es sei die
betrachtete Matrix:

1)

M^

»In

a^i. . . a„;

(w<w);

unter »i,»2...im| werde, wenn die i irgend welche Indices aus der
Reihe 1 . . .n sind, die aus den Kolonnen i^, i^, » . im gebildete Deter-
minante w**'" Grades verstanden. Wenn alsdann von allen l^^] Deter-
minanten m*®° Grades w — m + 1 verschwinden, d. h. also, wenn wir
in der angegebenen Bezeichnung ein Gleichungssystem von der Form:

. inn = 0

•Hm -0

2)

''11; "18

isU isi . ..^m 1 = 0

haben, wo s zur Abkürzung für n — m -f 1 gesetzt ist, so verschwinden
unter gewissen weiteren Bedingungen alle Determinanten dieses Grades.

• Diese Zeitschrift, 1895, S. 177.

ZeiUcluift f. Mathematik a. Physik. 42. Jahrg. 1897. 2. Heft.

D^itizedby Google

66 Über Beziehungen zwischen den Determinanten einer Matrix.

Der Beweis hierfür wurde geführt durch successive Anwendung des
Schlusses, dass aus dem Bestehen von zwei Gleichungen:

unter bekannter Bedingung folgt, dass jede aus irgend m dieser m + 1
Kolonnen gebildete Determinante verschwindet, was wir jetzt bezeichnen
wollen durch das Symbol:

4) I ij, ig. . . imy im+i = 0.

m

Von den Determinanten A und B, welche in m — 1 ihrer m Kolonnen
übereinstimmen,* wollen wir sagen, sie bilden zusammen die Gruppe

G(ii, ii . . . im, im+i) = (}(Ä, B),
und wollen die rein forinale Operation, welche zur Bildung dieser
Gruppe aus den beiden Determinanten Ä und B führt, kurz als Operation
G bezeichnen. Genau dieselbe Bezeichnung wenden wir an, wenn es
sich nicht nur um zwei, sondern beliebig viele solcher Determinanten
handelt, also sagen wir: die Determinanten

^0— hj *i • • • *m — 1; *»i I

5)

^1=^ \h} h • " • ^m—lj im + 1 I

bilden zusammen die Gruppe

G{Aq, A^,. ,A^~ G{i^, i, . . . in,, im + i . . . im-\-k)
und schreiben das aus den Gleichungen:

^=0, ^, = 0...^,= 0
unter der bekannten weiteren Bedingung abzuleitende, der Gleichung 4)
entsprechende Resultat in der Form:

6) I *i; ^2 • • • im, im-\-l • • • ^m+Jfc | = 0.

m

Eine solche aus h + \ Determinanten abgeleitete Gruppe wollen
wir als vom Range Tc bezeichnen, also die einfachste aus zwei Deter-
minanten hergeleitete vom Range 1.

Damit nun durch successive Anwendung dieser Operation G aus
den Determinanten des Systems 2) leicht alle Determinanten w*®° Grades
der Matrix hergeleitet werden konnten, war angenommen, dass sich
in dem System 2) eine solche Anordnung treflfen Hess, dass von
den Indices jeder Zeile in 2) gerade m — 1 in den vorhergehenden
Zeilen schon vorkommen. Nimmt man an, dass in dem obigen

• In dem allgemeinen, weiterhin zu behandelnden Falle, wo nicht alle be-
trachteten Determinanten denselben Zeilen angehören, tritt hierzn natürlich als
weitere Bedingung für eine Gruppe, dass die Zeilen beider Determinanten die-
selben sind resp. die Kolonnen, wenn m — 1 der Zeilen übereinstimmen.

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Von Dr. W. Ahbbns. 67

Schema diese Anordnung bereits getroffen ist, und ferner, dass die
neu hinzutretenden Indices in jeder Zeile an erster Stelle stehen,
so sieht man, dass alsdann in der ersten Horizontal- und der ersten
Vertikalreihe von 2) alle n Indices vorkommen.

Die Bedingung, dass in jeder Reihe des Systems 2) jedenfalls ein
neuer Index zu den früheren hinzutritt, involviert, dass, wie wir
sagen woUen, das System „unabhängig" ist, d. h., dass es nicht
möglich ist, eine der Determinanten 2) aus den anderen durch An-
wendung der Operation G herzuleiten. Eine unmittelbare Konsequenz
dieser ersten Bedingung ist alsdann, dass in dem System 2) in jeder
Zeile auch höchstens ein neuer Index hinzutritt, so dass die successive
Anwendung der Operation Cr dort überall möglich ist und alle Deter-
minanten m**° Grades liefert. Ein solches System nun von einer Matrix M
angehörenden Determinanten eines bestimmten Grades, aus dem sich
durch successive Anwendung der Operation G alle Determinanten dieses
Grades herleiten lassen, wollen wir „vollständig" und ein solches, bei
dem dies nicht möglich ist, „unvollständig" nennen.

Schliesslich muss noch bemerkt werden, dass, damit nicht bloss
die rein formale Operation G alle Determinanten liefert, sondern sich
auch das Verschwinden derselben ergiebt, bei jeder Anwendung der
Operation G die weitere Bedingung hinzutritt, dass unter den m Deter-
minanten (m — 1)***^ Grades, welche aus den dem System 5) gemein-
samen w — 1 Kolonnen gebildet werden können, wenigstens eine nicht
verschwindet.

§2.

Wir stellen uns jetzt die Frage: Wie viele Determinanten von
einem beliebigen, r^^ Grade in einer Matrix müssen mindestens ver-
schwinden, damit dies das Verschwinden aller Determinanten desselben
(irades nach sich zieht? oder, was dasselbe' ist: Welches ist die
Minimalzahl von Determinanten, welche ein vollständiges unabhängiges
System bilden können?

Die Indices der Zeilen resp. Kolonnen der vorgelegten Matrix
seien durch 1 . . . m resp. 1 . . . n bezeichnet; repräsentieren

irgend r, dieser Zeilen- und fcjj, fc^ • • • ^^ irgend r dieser Kolonnen -Indices,
so bezeichnen wir die aus den betreflFenden Zeilen und Kolonnen ge-
bildete Determinante r^^ Grades mit

I *l , Ü'27 * • • V^ f^if h^ ^ * ' kr\.

Die { ^ ) • (y ) verschiedenen Determinanten r*®^ Grades der Matrix 3/

denken wir uns in der Weise angeordnet, dass die denselben Zeilen
der Matrix M angehörenden Determinanten in derselben Horizontal-,
und die denselben Kolonnen von M angehörenden in derselben Ver-

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68 Über Beziehungen zwischen den Determinanten einer Matrix.

tikalreihe stehen, so zwar, dass unter den verschiedenen Horizontal-

und Vertikalreihen die Reihenfolge nach steigenden Indices erfolgt, so

dass z. B. für den Fall ^

m = 3, w = 4, r = 2

sich die Anordnung ergiebt:

,1,2;1,2|; 1,2;1,3 ; '1,2;1,4 ; |1,2;2,3 ; ,1,2;2,4 ; 1,2-,3,4|

!l,3;l,2i; ;i,3;l,3:; 1,3; 1,4 ; |1,3; 2,3 ; , 1,3; 2,4 ; 1,3;3,4^

2,3;1,2|; 2,3; 1,3 ; ,2,3; 1,4 ; j2,3; 2,3 ,; 2,3;2,4; 2,3;3,4.

Wir denken uns nun ein beliebiges vollständiges System, dessen
Determinanten gleichfalls in dieser Weise geordnet sein mögen; als-
dann muss es nach dem Begriflfe der Vollständigkeit möglich sein, die
bei dieser Anordnung frei bleibenden Plätze durch successive An-
wendung der Operation G auf die ursprünglichen Determinanten zu
fallen, wobei die Operation G natürlich auf Determinanten derselben
Horizontal- wie derselben Vertikalreihen anzuwenden ist. Da das
System vollständig sein soll, so müssen jedenfalls mindestens zwei
Determinanten in demselben vorkommen, welche zusammen eine Gruppe
bilden. Wendet man die Operation G auf alle eine Gruppe bildenden
Determinanten an, so erhält man, je nachdem es sich um eine Gruppe
ersten, zweiten . . . 7r^" Grades handelt:

('t')-2. er)-»; •(r)-(*+i)

neue Determinanten hinzu. Diese bilden dann wieder Gruppen mit
andepen, und so ergeben sich durch successive Anwendung der Opera-
tion G schliesslich alle j ^* j . (^\ Determinanten vom Grade r.

Um die zu Anfang dieses Paragraphen aufgeworfene Frage beant-
worten zu können, wollen wir zunächst zeigen, dass sich jedes voll-
ständige System durch ein ihm äquivalentes von besonders übersicht-
licher Bildung, seine „Normalform", ersetzen lässt, und machen zu
diesem Zwecke zunächst folgende Vorbemerkung: Die aus den Deter-
minanten A und B gebildete Gruppe G(Äy B) würde sich auch aus
irgend zwei von einander verschiedenen Determinanten der Gruppe er-
geben und wir können uns daher die Gruppe vollständig repräsentiert
denken durch irgend zwei von ihren Determinanten, können uns also
offenbar in einem System irgend zwei Determinanten, welche zusammen
eine Gruppe bilden, ersetzt denken durch irgend zwei Determinanten
dieser Gruppe, ohne dass hierdurch an dem Charakter des ganzen
Systems hinsichtlich der Vollständigkeit oder Unabhängigkeit etwas ge-
ändert wird.

Hiernach beginnen wir nun die beabsichtigte Reduktion des voll-
ständigen Systems auf die Normalform und suchen auf Grund der
eben gemachten Bemerkung zunächst die Determinanten der letzten
Horizontalreihe zu ersetzen durch solche, welche den früheren Reihen

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Von Dr. W. Ahbens. 69

angehören. Fassen wir irgend eine Determinante X der letzten Reihe ins
Auge, so können wir, wenn in derselben Vertikalreihe mit dieser bereits
eine resp. mehrere der r(nv—r) Determinanten, welche mit ihr eine
Gruppe bilden können, stehen, nach der obigen Bemerkung X ersetzen
durch eine der Determinanten, welche die Anwendung der Operation G
liefern würde, und welche notwendig einer der früheren Zeilen an-
gehört. Haben wir dagegen in der betreffenden Vertikalreihe eine
solche mit X eine Gruppe bildende Determinante ursprünglich noch
nicht, so ist es wegen der Vollständigkeit des Systems jedenfalls
möglich, durch Anwendung der Operation G eine solche herzuleiten,
und sind hierfür zwei Fälle denkbar: Entweder wird diese Herleitung
einer solchen Determinante bewerkstelligt mit Benutzung von X oder
ohne dieselbe. Im letzteren Falle erhalten wir also aus gewissen
Determinanten Äy B, C . , . des ursprünglichen Systems durch die
Operation G eine Determinante F, welche mit X eine Gruppe bildet.
Alsdann können wir nach der obigen Bemerkung X offenbar ersetzen
durch eine Determinante Z, welche der durch X und Y repräsentierten
Gruppe angehört und notwendig in einer der früheren Zeilen steht;
denn das System Ay ByC..,X ist völlig äquivalent mit AyByC,,. Z,
weil das erstere zunächst Y und dieses mit X zusammen Z, das
letztere dagegen zunächst gleichfalls Y und dieses dann mit Z zu-
sammen X liefert. Dies geht jedoch nicht mehr an, wenn die Herleitung
Ton Y nur mit Benutzung von X möglich ist; eine solche Herleitung
ist nur in folgender Weise denkbar: Da nach unserer Annahme X
in diesem Falle mit keiner Determinante derselben Vertikalreihe ver-
bunden werden kann, so kann es nur in der Weise benutzt werden,
dass es mit einer Determinante derselben Horizontalreihe zusammen
eine Gruppe liefert. Dann können wir uns X ersetzt denken durch
eine andere Determinante dieser Gruppe und das Verfahren geht
dann so weiter. Wir haben diese Determinante dann eventuell wieder
zu ersetzen durch eine solche derselben Horizontalreihe etc., schliess-
lich aber müssen wir aus dieser Horizontalreihe herausgeführt werden,
da dies Verfahren ja eben diente zur Herleitung einer einer früheren
Zeile angehörenden Determinante. So vermindert sich hierdurch also
jedenfalls die Zahl der Determinanten der letzten Horizontalreihe um
eine. Man sieht, dass es auf diese Weise gelingt, das ursprüngliche
System zu ersetzen durch ein ihm hinsichtlich der Vollständigkeit und
Tnabhängigkeit völlig äquivalentes, in dem keine Determinante der
letzten Horizontalreihe mehr vorkommt. In diesem neuen System
suchen wir nun die Determinanten der nunmehr letzten Horizontal-
reihe zu ersetzen durch solche, welche früheren Reihen angehören.
Hier ergeben sich wieder dieselben verschiedenen Fälle wie oben und
führt in jedem derselben ein dem betreffenden obigen genau analoges
Verfahren zum Ziele; in dem zuletzt betrachteten Falle ist es denkbar,
dass man benötigt ist, wieder Determinanten der vorher schon ^ajis- j

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70 Über Beziehungen zwischen den Determinanten einer Matrix.

gemerzten letzten Horizontalreihe einzuführen, doch muss die suecessive
Anwendung der Operation G ja, wie ersichtlich, wieder aus dieser
Reihe herausführen und verschwinden somit diese Determinanten
wieder aus dem System. Wir erhalten somit ein neues äquivalentes
System, in dem die beiden letzten Horizontalreihen fehlen und dies
geht offenbar so lange fort, bis wir ein System haben, in dem nur
noch Determinanten der ersten m — r + 1 Horizontalreihen vorkommen.
Würde man da nämlich auf zwei Determinanten derselben Vertikal-
reihe die Operation G anwenden, so würde man nur Determinanten
erhalten, welche späteren Horizontalreihen angehören, während bis
dahin dies offenbar stets wenigstens eine einer früheren Horizontal-
reihe angehörende Determinante liefern musste, und zwar musste auch
bis dahin, was wesentlich ist, in jeder Vertikalreihe mindestens noch
ein Platz frei sein, da nicht mehr als die ersten m — r + 1 Deter-
minanten derselben Vertikalreihe in dem System vorkommen dürfen,
wenn dasselbe unabhängig sein soll, was wir voraussetzen wollen.
Wir haben damit das Resultat gewonnen, dass jedes unabhängige
vollständige System sich ersetzen lässt durch ein ihm äquivalentes,
dessen Determinanten sämtlich den m — r + 1 ersten Horizontalreihen
angehören.

In diesem System, das ja auch vollständig ist, muss es nun
möglich sein, die einzelnen Horizontalreihen zu vervollständigen und
wir können daher mit Bezug auf diese offenbar dasselbe Verfahren
anwenden wie vorher auf die Vertikalreihen. Dabei ist zu beachten,
dass hierbei keinerlei Veranlassimg vorliegt, wieder Determinanten der
bereits ausgemerzten Horizontalreihen einzuführen. Denn zunächst
müssten schon mindestens zwei eine Gruppe bildende Determinanten
eingeführt werden, damit aus ihnen etwas Neues hergeleitet werden
könnte, sagen wir etwa die Determinanten:

und ... . . • . 7. z. z. z.'

wobei die Indices i^, ig . . . is in der Reihe 1, 2 ... r — 1 enthalten
sein mögen. Diese Determinanten können in dem vorliegenden System
aber nur gewonnen werden aus den Gruppen:

G(ly 2 . . .r — 1, i^_l, i.+g. .. v; k^, k^. ..Är-i, k)
resp. (?(1^ 2. . .r — 1, i,_,, ^+2- -in K, *2 • • ^r~i, *')•

Haben wir diese aber bereits, so können wir ja schon in einer
der ursprünglichen Reihen, etwa in

1, 2 ... r — 1, i^+i oder 1, 2 ... r — 1, ^,4.2 etc.

jede der gewünschten Kombinationen der Indices ij, ifc^ . . . Ä?r— 1, fr, *"'
herleiten, und sind somit nicht gezwungen, aus den ersten m — r + 1
Horizontalreihen herauszugehen.

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Von Dr. W. Ahkens. 71

So können wir offenbar dieses System ersetzen durch ein ihm
äquivalentes, dessen Determinanten alle den ersten w — r + 1 Ver-
tikalreihen angehören, und dieses nennen wir die „Normalform". Wir
haben also das Resultat gewonnen;

^Jed'es unabhängige vollständige System lässt sich auf
ein ihm äquivalentes reduzieren, in dem alle in derselben
Horizontal-, wie auch alle in derselben Vertikalreihe stehen-
den Determinanten eine Gruppe bilden."

§3.

Auf Grund des im vorigen Paragraphen erhaltenen Resultats ist
nun die Frage nach der Minimalzahl von Determinanten eines voll-
ständigen Systems sehr leicht zu beantworten. Denn da ein System
in der dort eingefilhrten Normalform offenbar nur dann vollständig
ist, wenn es alle den m — r + 1 ersten Horizontal- und den n — r + l
ersten Vertikalreihen angehörenden Determinanten enthält, so folgt,
dass ein vollständiges System mindestens aus

p ^ (m — r + l)(w — r + 1)
Determinanten bestehen muss. Dagegen ist es sehr wohl möglich,
dass ein System p oder mehr Determinanten enthält, ohne vollständig
oder abhängig zu sein. Fügt man einem solchen System diejenigen
Determinanten hinzu, welche erforderlich sind, um dasselbe zu einem
vollsiandigen zu machen, so erhält man ein abhängiges System.

§4.
Es entsteht nun die Frage, für welche Werte der Grössen w, n, r
ein unabhängiges System von

p = {m — r + l)(n — r -f 1)
Determinanten stets vollständig ist resp. ob solche Wertsysteme
überhaupt existieren. Wir beantworten diese Frage, indem wir um-
gekehrt zeigen, wann es unabhängige unvollständige Systeme von
p Determinanten giebt, und wann nicht. Hierfür ist folgende Be-
merkung wesentlich: Existiert für gewisse Werte der Grössen m, n, r
ein unabhängiges unvollständiges System Yonp Determinanten, so existiert
auch für w'= w + d, n'=n + d, r^r + d,

wo d eine beliebige positive ganze Zahl ist, ein unabhängiges un-
Tollständiges System von

2y==(w'-/+l)(w'-/+l)

Determinanten. Es ist nämlich p' = p und wir brauchen in dem
ursprünglichen unabhängigen unvollständigen System zu allen Kom-
binationen der Zeilen- und Kolonnen -Indices nur die d neuen Zeilen-
resp. Kolonnen -Indices hinzuzufügen, um so ein den neuen Werten w',
n', r' entsprechendes unabhängiges unvollständiges System von p' Deter-
minanten zu erhalten.

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72 Über Beziehungen zwischen den Determinanten einer Matrix.

Auf Grund dieser Vorbemerkung untersuchen wir die oben auf-
geworfene Frage nach der Existenz unabhängiger unvollständiger
Systeme von p Determinanten nur für den Fall r =f= 3, wo alsdann

l) = (m-2)(n-2)

ist, und zwar wollen wir zunächst den Fall m = 7i ins Auge fassen.

Die w Zeilen -Indices liefern y^j Kombinationen zu je drei; fögen wir

zu jeder derselben die gleiche Kombination der n = m Kolonnen-
Indices hinzu, so erhalten wir för w > 3 offenbar ein unabhäugiges

unvollständiges System von (^*| Determinanten, und da, wenn

m > 4 ist, (3) > (m - 2)^ ist,

so hat dieses System auch die gewünschte Anzahl von p Deter-
minanten. Dieses System, welches wir im folgenden kurz als System A

bezeichnen wollen, besitzt also in den T j verschiedenen Reihen bei

der Anordnung des § 2 je eine Determinante. Wir wollen nun über-
gehen zu einer Matrix von m'= w Zeilen und «'=w + l Kolonnen,
an die Stelle von p tritt dann offenbar

p^= p + m — 2.

Wollen wir nun aus dem System A ein solches von y Deter-
minanten für diesen neuen Fall herleiten, so müssen wir also noch
m — 2 Determinanten zu dem alten System hinzufügen. Dies kann
nun in folgender Weise geschehen: Es sei zunächst m > 6. Wir
wählen alsdann irgend zwei Horizontalreihen des Systems A, sagen
wir kurz: R^ und ü^, oder was dasselbe ist, irgend zwei Indices-
kombinationen zu je drei aus; dieselben enthalten zusammen sechs
verschiedene Indices resp. weniger, im letzteren Falle fügen wir so
viele andere hinzu, dass wir sechs haben, was bei der Annahme
n ^ 6 natürlich möglich ist. Alsdann setzen wir in jede dieser
beiden Reihen li^ und jB^ je drei Kombinationen dieser sechs Indices
zu je zwei Elementen, so zwar, dass die in einer Reihe stehenden
drei Kombinationen jedes der sechs Elemente nur einmal und auch
nur diejenigen kombiniert enthalten, welche in der betreffenden Kom-
bination der drei Indices noch nicht zusammen vorkommen, oder
schematisch dargestellt: Die ausgewählten Indiceskombinationen können

1. von der Form: iJ • 1 2 3

iZ,:l,2,4
sein; alsdann treffen wir folgende Anordnung:

•zu JB^: 1,4; 2,5; 3,6
zu 22,: 1,5; 2,3; 4,6.

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Von Dr. W. Ahrkns. 73

Haben wir 2.: E.:l,2,3

IJ,: 1,4,5,

SO ordnen wir an:
Haben wir »3.:
so schreiben Avir:

zu R^: 1,4; 2,5; 3,6
zu B^:l,2] 4,3; 5,6.

E,:l,2,3

22,: 4, 5, 6,

zu iJi:l;4; 2,5; 3,6

zu Ea:4,3; 5,1; 6,2.

Die übrigen der n Kolonnen -Indices ausser diesen sechs teilen wir
in zwei gleiche Teile (I und 11), zu welchem Zwecke wir bei ungeradem
n einen beliebigen fortlassen, schreiben diese beiden Teile unter-
einander und verbinden je zwei untereinander stehende Indices mit
einander und fügen diese Kombinationen dann der ersten der obigen
zwei Zeilen (UJ hinzu. Sodann führen wir in der Reihe II eine
cyklische Vertauschung aller Elemente aus* und verbinden dann wieder
die unter einander stehenden Indices von I und II mit einander und
fügen diese Kombinationen dann der Reihe R^ hinzu. Alsdann fügen wir
zu allen diesen Kombinationen zu je zwei Elementen in den Reihen
Ri und jRg noch den dem System Ä noch nicht angehörenden
(n + 1)**^" Kolonnen -Index hinzu, so dass wir alsdann lauter Kom-
binationen zu je drei haben; auch wenn wir hierzu noch die in der
betreffenden Reihe des Systems Ä schon vorkommende Kombination
zu drei Elementen rechnen, so haben wir in keiner der Reihen ein
Paar von Kombinationen, das in mehr als einem Index übereinstimmt,
nnd femer haben die Reihen R^ und R^ keine Kombination gemein.
Fügen wir diesen Kombinationen von Kolonnen -Indices dann die
Zeilenkombinationen der Reihen R^ und R^ des Systems Ä bei, so
erhalten wir offenbar nach Hinzuziehung der Determinanten Ä wieder
ein unabhängiges unvollständiges System B und zwar enthält dies,
wenn n gerade ist, n und wenn n ungerade ist, w — 1 Determinanten
mehr als A'^ es enthält B also jedenfalls p^ Determinanten, wie ver-
langt war. Von diesem Systeme B können wir nun durch Hinzunahme
eines weiteren Kolonnen -Index ein neues unabhängiges unvollständiges
System C von den Konstanten

w"= 7n', w"= w' + 1 , p"- P + ('>^' - 2) = p + m - 2

in genau analoger Weise herleiten, indem wir statt der Reihen R^ und
Äj zwei andere R^ und R^ nehmen und dies geht offenbar so weiter,

* Diese cyklische Vertauschung wird für w<9 zwar illusorisch, doch liefern
iü diesen Fällen die übrigen Operationen schon die erforderliche Anzahl neuer
Determinanten.

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74

Über Beziehungen zwischen den Detenninanten einer Matrix.

bis alle Reihen von A verbraucht sind. Dieser Fall wird eintreten,

wenn zum Systeme^ bereits rölT) ^®^® Kolonnen -Indices hinzu-
gefügt sind; wo durch die eckige Klammer angedeutet werden soll,
dass die nächst kleinere ganze Zahl 2U ~ • ( ^ j zu nehmen ist. Die

Anzahl dieser so neu hinzugetretenen Kolonnen -Indices ist aber,
wie man leicht sieht, ^ m für m > 5. Wir wählen nun irgend m
dieser neuen Kolonnen -Indices aus und schreiben die m Indices

von A darunter, bilden sodann alle ( j Kombinationen dieser neuen

m Indices zu je drei und verbinden jede dieser Kombinationen
von Kolonnen -Indices mit der Kombination der darunter stehenden
alten Indices und sehen letztere als Zeilen -Kombinationen an; wir er-
halten so yZ) neue Determinanten, welche wir dem zuletzt erhaltenen

unabhängigen unvollständigen System anfügen können, ohne dass dessen
Unabhängigkeit oder UnvoUständigkeit dadurch aufgehoben wird. Hier-
bei erhält dann jede Reihe offenbar eine Determinante hinzu; nehmen
wir nun wieder einen Kolonnen -Index hinzu, so können wir mit
diesem in Bezug auf die jetzt erst neu hinzugetretenen Determinanten
des letzt erhaltenen Systems dieselben Operationen vornehmen wie
beim Übergange vom System A zu B und so geht dies offenbar
immer fort.

Für m^b lasst sich im wesentlichen dieselbe Methode anwenden.

Alsdann ist jp'==p -f 3 und diese drei Determinanten, welche das
System B hier mehr als A enthalten muss, ergeben sich in folgender
Weise:

Während A das System:

1,2,3;

1,2,31

1,2,4;

1,2,4

1,2,5;

l,2,5i

.1,3,4;

1,3,4,

1,3,5;

1,3,5|

1,4,5;

1,4,5

12,3,4;

2,3,41

'2,3,5;

2,3,51

2,4,5;

2,4,5

3,4,5;

3,4,51

ist, treten für B hierzu noch die

Determinanten:

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Von Dr. W. Ahrbns. 75

1,2,3; 1,4,61
1 1,2,3; 2,5,61
|1,2,4; l,3,6j

etwa hinzu und im übrigen geht es dann so weiter, wie oben. Damit
haben wir jedenfalls folgendes Resultat gewonnen:

Wenn r > 3 und > r + 2 sind, so giebt es stets mindestens

ein unabhängiges unvollständiges System von

p = {m — r + l)(n — r + 1)
Determinanten.

Es bleiben jetzt noch die Fälle, wo von den Grössen m oder n

wenigstens eine = r^ oder r + 1 (r > 3) ist und schliesslich der Fall

r = 2.

Es sei m <^ n. Wir haben zunächst den Fall

zu betrachten; ist auch w = r, so haben wir den trivialen Fall einer
Determinante, welche för sich natürlich stets ein unabhängiges voll-
standiges System bildet.

Der Fall n = r + l, p =^ 2 liefert natürlich auch nur unabhängige
vollständige Systeme von zwei Determinanten, im Falle n = r + 2 giebt
es jedoch für r > 3 ein unabhängiges vollständiges System von j? = 3
Determinanten, nämlich folgendes:

!; 1, 2. ..r; 1,2. ..r--2, r-1, r!
|l,2...r; 1,2. ..r-2, r + 1, r + 2|
1 1, 2 ... r; 1, 2 . . . r - 4, r - 1, r, r + 1, r + 2 :,

dagegen ist für r « 3, m = 3, n = 5 jedes unabhängige System von
drei Determinanten vollständig. In den drei Determinanten des
Systems 1) konmien offenbar 3r Kombinationen der r + 2 Kolonnen
zu je r— 1 vor und zwar sind alle verschieden, es kommen also
noch nicht vor fr + 2\ ^ _ (r + 2)(r + l)r «

ein Ausdruck, der, wenn r > 3 ist, > 1 ist. Wir können also jedenfalls
noch eine in 1 ) noch nicht vorkommende Kombination von r — 1
Kolonnen -Indices auswählen; fügen wir zu diesen dann einen (r + 3)*®'*
neuen Index hinzu und bilden mit dieser Kolonnen- und Zeilen-
Kombination von 1) eine Determinante, so bildet diese mit den drei
Determinanten von 1) ein unabhängiges unvollständiges System von
p =4 Determinanten. Dies Verfahren lässt sich offenbar fortsetzen und
wir haben somit das Resultat gewonnen: Für w = r, »^r + 2, r>3
giebt es stets unabhängige unvollständige Systeme von

p = (m-r-f l)(n~r + l)
Determinanten.

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76 über Beziehungen zwischen den Determinanten einer Matrix.

Während wir für r = 3, w = 3, w = 5 bei 2? = 3 Determinanten
noch kein unabhängiges unvollständiges System haben, so tritt dies
jedoch schon bei r = 3, m = 3, w = 6, j) = 4 ein, es ist nämlich
das System:

|il,2,3-, 1,2,3|; 11,2,3; l,4,5i

^ 1 11,2,3; 2,4,6|; 1,2,3; 3,5,6|.

In diesem System kommen zwölf Kombinationen von je zwei
Kolonnen -Indices vor, es fehlen also noch drei, nämlich hier:

1,6; 2,5; 3,4.

Wählen wir eine von diesen aus und fügen zu ihr einen siebenten
Kolonnen -Index hinzu, so erhalten wir durch Hinzufügung einer
solchen Determinante zu dem System 2) ein unabhängiges unvoll-
ständiges System von j) = 5 Determinanten und dies geht oflfenbar so
fort. Wir haben damit das Resultat gewonnen: Für

w = r = 3, w > 6

existiert stets ein unabhängiges unvollständiges System von p Deter-
minanten.

Ist nun ferner m = r + 1 und zunächst m = m, so ist p == 4.
Wir können nun die r + 1 Zeilen- wie Kolonnen -Indices zu je r + 1
verschiedenen Kombinationen von je r vereinigen; bilden wir nun aus
den übereinstimmenden Kombinationen von Zeilen- und Kolonnen-
Indices Determinanten, so erhalten wir ofiFenbar ein unabhängiges un-
vollständiges System und zwar ist die Anzahl der Determinanten des-
selben = r -+- 1 , also, wenn r 5t 3 ist, ^ p. Man sieht sofort, dass
wir jetzt, um auch für grössere Werte von n unabhängige unvoll-
ständige Systeme von p Determinanten zu erhalten, diese aus dem
eben erhaltenen successive in genau analoger Weise, wie oben schon
mehrfach auseinandergesetzt, erhalten können und haben damit das
Resultat: Für ,„, = ^ + i, „:>,„, ,- > 3

giebt es stets ein unabhängiges unvollständiges System von p Deter-
minanten.

Zusammenfassend haben wir also das Kesultat gewonnen:
Für r :^ 3 existiert stets ein unabhängiges unvollständiges System
von p Determinanten, ausgenommen den trivialen Fall w = n =- r,
sowie die Fälle m == r, w = r -f 1, und den vereinzelten Fall m = r = 3,
n = 5.

§5.

In allen diesen Fällen haben wir Gewicht darauf gelegt, eine
Methode anzugeben, welche zur Bildung unvollständiger unabhängiger
Systeme von p Determinanten ohne jede Gruppe (nach der Terminologie
des § 1) führt. Es giebt nämlich auch unabhängige Systeme von p Deter-

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Von Dr. W. Ahrens. 77

minanten, welche eine ein- oder mehrmalige Anwendung der Operation G
gestatten, ohne jedoch dabei vollständig ju sein. Dies mag bei-
spielsweise an dem Falle

m = 4, M = 6, r = 3, p = 8
erläutert werden.

Während das System:

|1,2,35 l,2,3i, 1,2,3; 4,5,6i

|1,2,4; 1,2,4, 1,2,4; 3,5,6

1,3,4; 1,3,4,, ,1,3,4; 2,5,6

2,3,4; 2,3,4, 2,3,4; 1,5,6|

die Anwendung der Operation G gar nicht gestattet, ist eine ein-
malige Anwendung dieser Operation dagegen möglich bei dem System:

1,2,3; 1,2,3, 1,2,3; 1,2,5

1,2,4; 1,2,4, 1,2,4; 3,6,6;

il,3,4; 1,3,41, 1,3,4; 2,5,6

2,3,4; 2,3,4., 2,3,4; 1,5,6

eine zweimalige Anwendung der Operation G würde ermöglicht, wenn
die zweite Reihe des eben angegebenen Systems ersetzt würde durch:

;i,2,4; 1,2,4|, '1,2,4; 1,2,6
und eine dreimalige, wenn ausserdem die dritte Reihe durch:
.setzt Würde. .1>3,4; 3,4,5 1, 11,3,4; 3,4,6|
Das System:

1,2,3; 1,2,3, |1,2,3; 1,2,4, 1,2,3; 1,5,6
,1,2,4; 1,2,3|, 11,2,4; 1,2,4;, 1,2,4; 2,5,6'
1,3,4; 3, 5,6i
12,3,4; 4,5,6|

lässt sogar eine viermalige Anwendung der Operation G in Bezug auf
die ursprünglichen Determinanten und sodann noch eine zweimalige
auf die bereits derivierten zu, so dass man im ganzen 20 Deter-
minanten erhält, ohne dass das System vollständig ist.

§6.

Nunmehr wenden wir uns dem in § 4 noch unbehandelt ge-
bUebenen Falle r == 2 zu und machen zu diesem Zwecke zunächst

folgende Vorbemerkung: Die ( j Kombinationen von 2t Elementen zu

je zwei lassen sich stets in 2^ — 1 Gruppen einteilen, so dass jede

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78 Über Beziehungen zwischen den Determinanten einer Matrix.

Gruppe von t Kombinationen jedes Element ein-, aber auch nur ein-
mal enthält * ,

Wir nehmen zunächst an, m und n seien gerade, also etwa

m=^2^j n==2i/, n>m.

Alsdann denken wir uns die 7n Zeilen -Indices wie die n Kolonnen-
Indices in dem Sinne der eben angegebenen Vorbemerkung angeordnet
und verbinden dann je eine solche Gruppe von Kombinationen der
Zeilen -Indices mit je einer von Kombinationen der Kolonnen -Indices,
wodurch also jedesmal fiv Determinanten entstehen. Da dies für alle
2fi — 1 Gruppen (m<n) gemacht werden kann, so erhalten wir auf
diese Weise ein offenbar unabhängiges unvollständiges System (7))
von Determinanten, deren Anzahl

= (iv(2n - 1), also > (2/i - l)(2i/ - 1),

d. h. > ]) ist, wenn ft > 2, w > 4 ist. Dabei bleiben dann von den
2i/ — 1 Gruppen, in die die Kombinationen der Kolonnen- Indices
eingeteilt sind, noch 2v — 2f(, jede i' Kombination enthaltend, übrig.
Damit ist gezeigt, dass für gerade Werte von m und n{m, n > 4)
jedenfalls stets ein unabhängiges unvollständiges System von p Deter-
minanten existiert; ja es ist hieraus weiter sofort zu sehen, dass dies
auch noch für andere Fälle gilt.

Die Anzahl fiv(2(i — 1) von Determinanten unseres Systems ist
nämlich für |x > 3 auch noch grösser als die zu den Werten:

f w-2^ +1

n = 2v,

{m =« 2(1
w = 2i/ + l,
{m =
«=

m = 2fi + 1
2i; + l

gehörigen Werte von pj deren grösster 4^i/ ist, so dass damit
ftir alle geraden und ungeraden Werte von m, w > 6 die Frage er-
ledigt ist.

Hiemach haben wir jetzt nur noch die Fälle w = 2, 3, 5 zu unter-
suchen; in aUen anderen Fällen existierte für r = 2 ein unabhängige:^
unvollständiges System von p Determinanten. Für m = 5 können wir
die zehn Kombinationen der fünf Zeilen -Indices zu je zwei so zu
Paaren anordnen, dass in keinem Paare ein Index zweimal vorkommt,
etwa in der Weise:

* Eine einfache Lösung dieser Aufgabe findet sich bei Lucas, Räcreations
math^matiques, tome II , 1896, p. 177.

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3)

Von Dr. W. Ahrens. 79

(1,25 3,5

1,3; 4,5

1,4; 2,3

1,5; 2,4

2,5; 3,4.

Nehmen wir nun zunächst n als gerade, etwa «=2v an, so
können wir nach der oben gemachten Vorbemerkung die (Z\ Kom-
binationen der Kolonnen -Indices in 2i/ — 1 Gruppen von je v ordnen,
so zwar, dass in jeder Gruppe jeder Index gerade einmal vorkommt.
Alsdann können wir die in 3) in je einer Reihe stehenden Zeilen-
Kombinationen verbinden mit allen Kolonnen -Kombinationen je einer
solchen Gruppe, wodurch wir jedesmal 2v Determinanten, im ganzen
also deren 10 v erhalten und zwar ist dies stets möglich, wenn

2v-l>5, w^6

ist. So erhält man offenbar ein unvollständiges unabhängiges System;
die Anzahl der Determinanten desselben ist == 5w, also > p, da

l> = 4(2i;-l),

ja diese Anzahl ist auch noch grösser als der zu

m = 5, n^2v + 1

gehörige Wert von p, nämlich 8v, so dass damit auch für die un-
geraden Werte von n, welche > 7 sind, die Frage erledigt ist. Für
den noch übrig bleibenden Fall w = w = 5, p = lß erhält man ein
unabhängiges unvollständiges System von sogar 20 Determinanten,
wenn man oben in 3) aus den Kombinationen je einer Reihe vier
Determinanten bildet, indem man jede der beiden Kombinationen zwei-
mal zur Zeilen- und zweimal zur Kolonnenkombination nimmt.

Für w = 2 giebt es, wie man sofort sieht, kein unabhängiges
unvollständiges System von ^ Determinanten, ebensowenig für m == w == 3,
dagegen ist för w = 3, w = 4, jp = 6 das System:

.1,2; 1,21; 1,2; 3,4

|1,3; 1,3,; 1,3; 2,4

12,3; 1,4 ; 2,3; 2,31

unabhängig und unvollständig.

Die Fälle w = 3, w > 4 nehmen nun eine Sonderstellung ein,
insofern als hier zwar auch noch überall unabhängige unvollständige
Systeme von p Determinanten existieren, jedoch nicht mehr, wie dies
sonst stets der Fall war, solche ohne jede Gruppe, sondern nur solche
mit Gruppen. Wir nehmen zunächst an: w = 3, w = 2v. Alsdann

können wir die / j Kombinationen der n Kolonnen -Indices zu je zwei

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80 Über Beziehungen zwischen den Determinanten etc. Von Dr. W. Ahrkns.

in 2v — \ Gruppen teilen, so dass in jeder Gruppe jeder Index gerade
einmal vorkommt. Verbinden wir nun jede der drei Kombinationen
der drei Zeilen mit je einer dieser Gruppen, so erhalten wir 3v Deter-
minanten, welche offenbar ein unabhängiges unvollständiges System
bilden und zwar ohne jede Gruppe, jedoch ist die Zahl 3v <|?, welches
den Wert 2(2i/ — 1) hat, ausser für den schon besprochenen Fall v = 2,
n = 4. Wir erhalten daher für m = 3, w ^ 5 kein unabhängiges un-
vollständiges System von /; Determinanten ohne Gruppen, dagegen wohl
solche mit Gruppen, und zwar ergiebt sich für >w = 3, w = 5, p == 8
ein solches, indem wir in dem oben für w = 3, w = 4 angegebenen
Systeme von 6 Determinanten zu den beiden ersten Reihen die Kom-
bination 1, 5 etwa hinzufügen. Tritt dann noch eine sechste Kolonne
hinzu, so geht dies offenbar in derselben Weise so fort.

Man sieht somit, dass, abgesehen von den wenigen angegebenen
Fällen, nämlich:

m = M = r\ m == r, n -= r + I5 m = r = 3, n = 5;

wi = r == 2; r = 2, m = m = 3

der Schluss, dass ein unabhängiges System von p Determinanten
auch vollständig ist, nicht berechtigt ist, vielmehr in jedem einzelnen
Falle eine diesbezügliche Untersuchung stattfinden muss.

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Die Transformation und Auflösung der Oleiohung
fünften Grades in elementarer Darstellung.

Von

Dr. W. Heymann

in Chemnitz.

1. Einleitende Bemerkungen.

Die Auflösung der Gleichungen fünften Grades ist durch das
vereinte Vordringen der hervorragendsten Forscher seit Mitte dieses
Jahrhunderts derartig gefordert und zu einem gewissen Abschluss
gebracht worden, dass es beinahe gewagt erscheint, wenn dieser
Gegenstand nochmals einer Bearbeitung unterzogen wird. Aber es ist
wohl nicht zu verkennen, dass die moderne Auflösung der Gleichung
fünften Grades zur Zeit nur als gelegentliche, wenn auch tiefgehende
Anwendung höherer Prinzipien erscheint, und das ist in der trans-
zendenten Natur jener Lösung historisch wie sachlich wohl be-
gründet. Die von Jacob i überlieferten Modulargleichungen sechsten
Grades der elliptischen Funktionen wurden für Hermite, Kronecker
und Brioschi einerseits, die von Schwarz und Klein konstruierte
Ikosaedergleichung für Gordan und Klein anderseits die Quelle, aus
welcher späterhin all' die bemerkenswerten Resultate geschöpft worden
sind, welche eine „Konstruktion" jener lange gesuchten Lösung er-
möglicht haben. Das soll heissen: Die Elemente, welche die Lösung
zusammensetzen, wie z. B. das Ikosaeder, sind nicht aus der Gleichung
fünften Grades selbst gewonnen worden; man hat vielmehr diese
Hilfsmittel an die Spitze gestellt, aber ihr Ursprung liegt auf anderem
Gebiet.

Es dürfte daher wohl berechtigt sein, einer Trans formations-
theorie nachzugehen, welche aus sich selbst heraus alles erschliesst,
was zur Lösung einer Gleichung fünften Grades nötig ist, welche
dabei nur mit der Gleichung selbst operiert und nach keiner Seite
hin spezifische Voraussetzungen macht, beziehentlich fertige Resultate
von irgend welcher Seite übernimmt, abgesehen natürlich von einer
Transzendenten, wie die elliptische oder hypergeometrische Funktion,
ohne welche die Algebra hier eine definitive Lösung bewiesener-
massen nicht zu geben vermag.

Zeiteehrift f. Mathematik u. Physik. 42. Jahrg. 1897. 2. Heft. ^ r^ 1

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82 I^ie Transformation und Auflösung der Gleichung fünften Grades etc.

Eine solche Theorie soll nun folgen; sie wird der Anlage nach
durchaus elementar ausfallen. Wir werden zeigen, dass eine be-
liebige Gleichung fünften Grades auf die spezielle Resolvente

zurückgefahrt werden kann, welche fortan i^-Resolvente heissen
soll, und welche thatsächlich in unserer Darstellung eine wesentliche
Rolle spielt. Auf die besonderen Vorzüge, welche gerade diese Re-
solvente besitzt, können wir erst in den betrefiFenden Abschnitten ein-
gehen, sie zeigen sich aber dort ganz evident.

Die hier auftretenden Fragen haben wir bereits in einer firflheren
Arbeit* berührt, aber die dortigen Entwickelungen bewegen sich
infolge Anlehnung an die Gordan-Kleinsche Theorie zum Teil in
anderer Richtung und erscheinen dementsprechend nicht durchweg
selbständig. — Diese Selbständigkeit ist dagegen in der vorliegenden
Abhandlung vollkommen gewahrt; ohne Voreingenommenheit dürfte
man sie leicht erkennen. Inzwischen möchte Verfasser ausdrücklich
hervorheben, dass er nur auf Grund seiner ersten Arbeit und somit
insbesondere durch das Studium der einschlägigen Arbeiten von Gordan
und Klein zu der neuen Darstellung gelangt ist.

Manche Resultate der Ikosaedertheorie erscheinen nun geradezu
„arithmetisiert"; die elementare Algebra ist wieder in ihr Recht ein-
gesetzt. Daher wird sich die Arbeit vielleicht nicht allerorts Freunde
erwerben. — Aber es steht ja nichts im Wege, unserer Darstellung
sogleich die Theorie des Ikosaeders respektive der Modulfunktionen
anzuschliessen. Durch eine solche Behandlung wird die Gleichung
fünften Grades aus ihrer Sonderstellung herausgehoben und direkt
neben ihre Schwestern, die Gleichungen niederen Grades gestellt.
Auch bei diesen wird bei einer ersten Inangriffnahme der Aufgabe
die Lösung direkt aus der Gleichung abgeleitet, erst dann folgt eine
Diskussion, und diese Behandlungsweise lässt sich didaktisch nur zu
gut rechtfertigen.

Aber auch sonst hat die erwähnte Arithmetisierung, welche im
allgemeinen keineswegs überschätzt werden soll, gerade für die Gleich-
ung fünften Grades und vei-wandte Probleme Berechtigung, denn man
muss unbedingt verlangen, dass alle Keime der Lösung in einer
solch fundamentalen Aufgabe selbst enthalten sind. Die Fruchtbarkeit
dieses Prinzipes zeigt sich dann unter anderem auch darin, dass
unsere iy- Resolventen in allen Graden 2n + 1; n = 2, 3, . . . auftreten
und zu einer bemerkenswerten Transformation verwandter Gleichungen
Anlass geben, während die entsprechenden geometrischen Hilfsmittel

* Zeitachrifk für Mathematik und Physik, 39. Jahrgang: „Über die Auf-
lösung der Gleichungen vom fünften Grade.'' — Diese Arbeit werde in der Folge
kurz durch (A) zitiert.

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Von Dr. W. Hkymann. 83

vom siebenten Grade ab versagen. Durch diese einleitenden Bemer-
kungen dürften die nun folgenden weiteren Ausfübrungen vielleicht
hinreichend motiviert sein.

2. Die allgemeine Gleichung.
Die Auflösung der Gleichung fünften Grades

1) afi+ a^o;* + a^a?" + a^x^ + a^x + a^^O

zerfallt in zwei wesentlich getrennte Teile. Der eine besteht in der
Transformation der allgemeinen Gleichung in speziellere, welche mög-
lichst wenig Parameter enthalten. Der Vorgang ist hier ein rein
algebraischer; er fahrt zu Gleichungen mit nur einem absoluten
Parameter, welche Resolventen genannt werden. Der zweite Teil
hat alsdann die Auflösung dieser Resolventen in Angriff zu nehmen,
und dieses kann nur durch transzendente Prozesse geschehen; es
müssen hypergeometrische Reihen oder elliptische Modulfunktionen
herbeigezogen werden.

Eine erste und tiefgehende Transformation der Gleichung 1) be-
steht in der Reduktion auf die Form

2) y^+oay^+öby + c^O,

welche Hauptgleichung genannt wird. In jener Reduktion liegt
etwas Unbestimmtes, denn man kann eine unbegrenzte Anzahl von
Tschirnhaus-Transformationen angeben, die solches leisten. Die
Beseitigung des Koeffizienten von y® führt zu einer quadratischen
Gleichung, und diese belastet nun die weitere Rechnung mit einer
Quadratwurzel („accessorische Irrationalität"), welche je nach der
Transformation verschieden ausfällt, keinesfalls aber ganz vermieden
werden kann (vergl. A. 14 und 15).

Wir verfolgen diesen merkwürdigen Umstand hier nicht weiter,
weil sich unsere Betrachtungen nur auf die Hauptgleichung 2) be-
ziehen sollen, die wir von jetzt ab als gegeben voraussetzen.

8. Die Besolventen der i/.

Die Hauptgleichung selbst giebt Anlass zur Bildung einer Re-
solvente mit nur einem Parameter. Wir fragen: Wie müssen die
Koeffizienten der Gleichung 2) beschaffen sein, wenn ihre Form durch
die noch zu motivierende Substitution

ygf -~y + z
nicht geändert werden soll? Die neue Gleichung in z lautet:
(l + 5a + 56 + c)0*-5(3a + 46+ c)si^-^ b{ia + U + 2c)z^\

-6(a +4&-f2c)Ä«+5(6 + c)-8?-c J^ '
und setzen wir:

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84 I^ie Transformation und Auflösung der Gleichung fünften Grades etc.

3a + 46+ c = 0

3a + 66 + 2c = 0
so ergiebt sich ^ i

weshalb die Gleichlingen fiir y und z übergehen in
- 6c-i y^ - lOi/H 15y - 6 = 0
(1 + &c-')ifi-\Oz'+ 15^ - 6 = 0
Nun möge von jetzt ab die Bezeichnung:

y=-riiy ^==%; -6c-i = Äi, l + 6c--i = Ä2
gewählt werden, dann entsteht:
gx f «) Ä,i?,^-10V + 15i?i-~6=.0,

1 i») Ä2%'- 10^ + 15% -6=^=0.
Diese in der Form übereinstimmenden Gleichungen nennen wir
die „R^söl^®'^^®^ ^^^ 'y" Si® ^^^^ durch die Substitution:

aneinander geknüpft, und ihre Parameter genügen der Bedingung:

5) Ä, + Ä2 = l,

weshalb der eine das „Komplement" des anderen genannt werde.

Es ist gelegentlich vorteilhaft die iy durch ihre reziproken
Werte zu ersetzen. Für ly,« gr^ entstehen die „Resolventen der l^\
nämlich:

6) h = lOg» - 15g* + H\, (i - 1, 2)
wobei einfach

7) 5i+g, = l.
Bemerkenswert ist die Beziehung:

8) -||»30S?(l-&)*

durch das vollständige Quadrat auf der rechten Seite. Diese Eigen-
schaft, welche auch bei der bekannten Resolvente von Brioschi statt-
findet, weist darauf hin, dass unsere Resolventen der r^ und % durch
das Verschwinden der Invariante „B" charakterisiert sind. Man kann
deshalb die Resolvente des Ji i^ der konzisen Form:

9) Ä.= 30/[t,(l-&)]»de.

0

geben und übersieht hierdurch die Transformation mittelst

in die Resolvente der ^ auf sehr bequeme Weise, — Es würde sich
jetzt auch Gelegenheit bieten, von einer Gattung Gleichungen zu
sprechen, welche 9) als speziellen Fall in sich fasst; man brauchte
nur an Stelle des Quadrats im Integral eine n^^ Potenz zu setzen.
Wir verschieben dieses jedoch bis an den Schluss unserer Darlegungen.

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Von Dr. W. Heymanh. 85

4. Simultane Besolventen der 17.

Unter simultanen Resolventen der f} verstehen wir solche ratio-
nale Gleichungen, welchfe rj^ und ly, gleichzeitig enthalten. Der ein-
fachste Fall hierfür ist die Beziehung:

und diese giebt nun in Verbindung mit den Originalresolventen 3 a, /S)
eine unbegrenzte Anzahl von Gleichungen, welche eben die ij ge-
mischt enthalten. Im allgemeinen lässt sich eine beliebige rationale
Funktion ^ der beiden 1^ in die Form:

10) 0 = Äri,* + Bfj,^ + Dfi, + Eri^+F

bringen, worin das Glied mit rj^rj^ zufolge 4) nicht vorkommt. Denn
fiihrt man sowohl in das gegebene O als auch in die rechte Seite von 10)
den Wert von tj^ aus 4) ein, schafft die Nenner fort und bringt alle
Glieder auf eine Seite, so entsteht eine ganze Funktion des ly^, welche
identisch verschwinden muss. Aber diese Funktion lässt sich mittelst
der Resolvente 3 a) successive auf den vierten Grad herabdrücken und
kann also durch die fünf Konstanten A bis -F, welche nur linear
auftreten, thatsächlich zum Verschwinden gebracht werden. So die
Methode im allgemeinen; im speziellen kommt man meist leichter
zum Ziele, wie sogleich zu zeigen sein wird.

Wir betrachten einen Augenblick die lineare Verbindung:

11) y = i>'?i + 2^2;

in welcher p und q disponible Eonstanten sein mögen. Jener Ausdruck
genügt, weil das eine 1^ vom anderen eindeutig abhängt, einer
Gleichung ftlnften Grades, deren Koeffizienten mit drei Parametern,
nämlich p, q und h^y respektive h^ ausgestattet sein werden. Aber
diese Gleichung kommt mit einer Hauptgleichung überein, denn es
ist bei Summation von je fünf Wurzelpotenzen:

weil einzeln 2:1?, = 0, 2:%-0, Eri,^=0, Zri,* = 0
und weil ausserdem mit Rücksicht auf 4):

Hiermit rechtfertigt sich insbesondere die Substitution 4); es ist
ersichtlich, dass in selbiger eine additive Konstante zweckwidrig,
faktorielle Konstanten aber überflüssig sein würden.

Wenn wir die betreffende Hauptgleichung wirklich bilden wollen,
bedürfen wir noch der aus der fünften Potenz von y entspringenden
1,-Verbindungen: ^^.^^^ ^^s,^.^ ,^,^^,, ,^^^.,

vas offenbar auf die Berechnung von vier gewissen simultanen ly- Re-
solventen hinausläuft. Schreiben wir die Resolvente 3a) wie folgt:

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12)

86 Die Transformation und Auflösung der Gleichung fünften Grades etc.
die Gleichung 4) dagegen «

-^ = 178—1,

Vi ' '

multiplizieren sodann die entsprechenden Seiten und berücksichtigen,
dass ri^^ri^ - i?i (i?i + %) = ij^« + Vi+ Vi>

so entsteht ^^ ^^4^^ _ lOi^^ + 1,^ - 6.

Genau auf dieselbe Weise gewinnt man:

und die übrigen folgen durch Vertauschung von rj^ mit rj^ und h^
mit hg. Wir stellen nun die Resultate zusammen, wie wir sie im
nächsten Abschnitt gebrauchen:

hviVi^=- ni +10%- 6,

Ausser diesen giebt es noch eine simultane Resolvente des fünften
Grades, welche homogen sowohl in den rj ak in den h ist und sich
durch ihre symmetrische Gestalt besonders auszeichnet. Wir erhalten
selbige, wenn wir in die Resolvente 3 a) die Substitution 4) in der

Vi
einführen; es entsteht:

13) Ä,(V+ 5V% + 1Q.?,»V) - Ä,(10V%'+ 5%i?,*+ %») = 0,

und die auftretenden Binomialkoeffizienten lassen sofort erkennen, nach

welcher Richtung hier eine Erweiterung möglich sein wird.

5. Konstruktion einer Hauptgleichung.
Jene Hauptgleichung, welcher die Verbindung:

11) y-PVi+iVi

genügt, kann so erhalten werden, dass man letzteren Ausdruck in:

2) i/+5at/+5hy + c = 0

einführt und die linke Seite mittelst der Resolventen 12) auf die Form:

bringt. Da eine solche Verbindung der rj einer weiteren Reduktion
nicht mehr unterliegt, so müssen die Koeffizienten M bis B einzeln
verschwinden. Es ergiebt sich aber ohne Mühe:

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Von Dr. W. Heymann. ^ 87

N=b^{ 2\q^+ 2\p^ + aW),

P^5p{- 3h^^ + 10\p^q + Gh^pq^ + h^q^ + 2ahih^q + hW),
e = 6? (~3Ai 2^+10 Ail?<Z*+ ^\p^q+ hP^ +2ah^h^p + h\h^),
ü-6 ( A,i>'^~ 5hyq + 10h,p^q^+10h,p^q^-5h,pq^ + h,q^)

und hieraus ersieht man folgendes: Die Klammergrossen des M und
y sind nicht verschieden und fähren, gleich Null gesetzt, zur Be-
stimmung von a. Trägt man dieses a in die Klammergrössen des P
und Q ein, so werden auch diese einander gleich und fähren, gleich
Null gesetzt, zur Bestimmung von h. Endlich ergiebt die Forderung
Ä = 0 einen Ausdruck für c. Wir gelangen somit zu folgenden Aus-

1

drücken
14)

p'h-^+q'hr'--^<i>

P'hr'{p-2q)-^hf^{2p^q)^^b,

p^h-'(j,^- opq + lOq^) + q^h-^iXOp" - bpq + q^) { c,

und mittelst derselben lässt sich die zu konstruierende Hauptgleichung
(Hauptresolvente der y) ohne weiteres angeben.

6. Beduktion der Hauptgleiohung auf die Besolventen der i;.

Wir fragen jetzt, ob eine beliebig vorgelegte Hauptgleichung
auf eine ly-Resolvente zurückgeführt werden kann, das heisst, ob sich
die Transformationskoeffizienten J9, q und der Besolventenparameter A^,
respektive \ durch die Koeffizienten a, b, c ausdrücken lassen. Dieses
ist in der That möglich, und man bedarf hierzu nur einer quadra-
tischen Gleichung, deren Quadratwurzel unter allen Umstanden dieselbe
wird, also nicht der Unbestimmtheit unterliegt, welche wir in Ab-
schnitt 2 erwähnten.

Um nun die in Aussicht genommene Berechnung durchzuführen,
wende man sich an das Gleichungssystem 14) und bestimme aus den
ersten beiden Gleichungen:

^ '*! Sa(2p-q)-2h' • *2 Sa(p-2q) + 2b'

Trägt man dieses in die dritte Gleichung ein und setzt zur Ab-
kürzung:

16) p — q= Vr, p + q = s,
so entsteht:

17) 12ar + 66s-c = 0.

Verbindet man die Ausdrücke 15) mit der in Abschnitt 3 auf-
gestellten Bedingungsgleichung:

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88 I^iß Transformation und Auflösung der Gleichung fünften Grades etr.

5) Ä, + Ä2 = l,

und berücksichtigt zugleich die Beziehung 17), so gelangt man zu
einer quadratischen Gleichung för r, nämlich :

^ {a^+ahc - &8)(12r)«- (2a»c + lla«&2+ &c«)(12r)

18)

Endlich ergiebt sich aus 15) unter steter Berücksichtigung der
bereits aufgestellten Gleichungen:

ein Ausdruck, der im Vereine mit Gleichung 5) eine Berechnung der
Parameter h^ und h^ vermittelt.

Bemerken wir noch, dass die Gleichung für r auf eine Quadrat-
wurzel fahrt, deren Radikand:

20) J^lOSa^c - 135a*?>2+ 90a«6^2- 320a^»c + 256&-'^+ c",

abgesehen von einem numerischen Faktor, mit der Diskriminante
der vorgelegten Hauptgleichung zusammenfallt, und dass also jene
Quadratwurzel eine rationale Funktion der Wurzeln genannter
Gleichung 2) darstellt.

7. Die Besolventen der rj als Sonderfälle
der Hauptgleichung.

Wir haben in Abschnitt 3 die Koeffizienten einer Hauptgleichung
dahin spezialisiert, dass die iy- Resolventen in einer gewissen Normal-
form mit einem absoluten Parameter erscheinen; wir fanden ohne
Rücksicht auf die beiden Indices:

hfl^—lOri^+lbri — 6 «= 0.

Setzen wir Icrj = y^ unter Je eine unbestimmte Zahl verstanden,
so entsteht: hf _ lOfc^y« + IbJc^y - 6^^ - 0,

und vergleichen wir dies mit der Hauptgleichung:

2) ?/^ + 6ni/ + r>hy + c = (),

so haben wir

21) a = - 2¥h-\ h = U^h-\ c = - 6//'^-^

Die Elimination von k ergiebt:

22) 3^c-47>«=0,

und letztere Bedingung ist es nun, welche die Hauptgleichung tils
1] - Resolvente Charakter i siert .

Eine ?;- Resolvente besitzt sonach zwei Parameter; letztere lassen
sich aber rational auf einen einzigen absoluten Parameter h re-
duzieren. Selbiger wird gefunden, wenn man Je aus irgend zwei der
Gleichungen 21) eliminiert, und es ergiebt sich in Übereinstimmung
mit 22):

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Von W. Heymann. 89

16ft« 3c*

23)

* 27 a* 166* '

, 2b __ c

'^ - "~ 35 "" "" 26"
Die Unbestimmtheit, welche den ^ -Resolventen solchergestalt an-
haftet, wird indessen völlig beseitigt, wenn man verlangt, dass die
verbindende Substitution die ausgesucht einfache Gestalt:

4) ^l% = % + ^2

annehme; es wird dann fc = 1.

Mit Beziehung auf die vorigen beiden Abschnitte können wir
jetzt sagen: Jede Hauptgleichung 2) kann durch die Substitution:

24) y-Vv + yt

in zwei andere gespalten werden, so zwar, dass die Koeffizienten der
neuen Gleichungen ftir y^ und y^ die Bedingung 22) erfüllen und jene
Gleichungen also auf die iy- Resolventen hinauskommen.

8. Eine quadratische Transformation
der Hauptgleichung.

Zwei Hauptgleichungen mögen verwandt heissen, wenn ihre
i?-Eesolventen ein und denselben absoluten Parameter 7^^ respektive h^
besitzen. Die Substitutionen, welche jene Haupigleichungen in die
betreflFenden ij- Resolventen überführen, sind nach dem früheren:

11) y--pm + QVi und y'=i)'i?i + g'i?2,

wobei ;;, q nur von den Koeffizienten der einen, p', g' nur von jenen
der anderen Hauptgleichung abhängen. Löst man die Substitutionen
rückwärts nach 1]^ und i]^ auf, so entsteht:

Ha) rji «= my + >^?''2/' ^^^ % = wi/ + wV,

und dieses giebt in

eingetragen eine gewisse quadratische Gleichung zwischen y und y\
vermöge welcher zwei verwandte Hauptgleichuügen ineinander trans-
formiert werden können. Die hier berührte quadratische Trans-
formation ist nicht die allgemeinste ihrer Art, aber wir kommen mit
ihr aus, wenn wir unserem Programme gemäss nicht über Haupt-
gleichungen hinausgehen.

Aus den Lösungen y und y' zweier verwandter Hauptgleichungen,
welche indessen speziell sein können und nur einen Parameter zu ent-
halten brauchen (Resolventen), lässt sich stets die Lösung Y einer
allgemeinen Hauptgleichui^ zusammensetzen und zwar mittelst der
Substitution: Y=^ Py + Qt/y

denn diese reduziert sich vermöge der Ausdrücke 11) auf

wobei P, Q respektive P' Q^ disponible Konstanten sind.

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90 I^ie Transformation und Auflösung der Gleichung fünften Grades etc.

In der Auswahl der die allgemeine Hauptgleichung konstituieren-
den Resolventen herrscht daher eine gewisse Willkür, und in der
That, bei 6ordan und Klein wird die Hauptgleichung aus zwei
Resolventen zusammengesetzt, die aus den iy- Resolventen vermittelst

y-Vi+Vi und y=^ri^- ti^
hervorgehen. Jene Resolventen sind ebenda durch die Theorie des
Ikosaeders und zugehörigen Oktaeders wohl motiviert (vergl. A. 6).
Indessen kann vom Standpunkte einer blossen Transformationstheorie
aus nicht bezweifelt werden, dass die iy- Resolventen die einfacheren
Elemente sind. Denn letztere sind durch die eindeutige und sym-
metrische Substitution 4) aneinander geknüpft, während die vorigen
y, y' offenbar in dem Zusammenhange:

stehen. ,*-,-- 4, = 0

Unter den Hauptgleichungen giebt es gewisse spezielle, wie z. B.
die Bring-Jerrardsche Form, welche eine transzendente Auflösung
direkt zulassen; diese erscheinen jetzt vermöge der Transformation
ebenfalls als Resolventen der allgemeinen Hauptgleichung. Inzwischen
ist es aber nicht nötig, auf die letztere zurückzugehen; an ihre Stelle
setzen wir die iy- Resolventen, aus denen sie ja zusammengesetzt wird.
Unsere Aufgabe wird: Wie transformiert man die i; -Resolventen in
andere, welche eine transzendente Auflösung unmittelbar gestatten? —
Den historischen Vorgängen folgend skizzieren wir zuerst den Über-
gang zur Bring-Jerrardschen Form, obwohl die dann folgende
Transformation in die Ikosaedergleichung zweckmässiger ist und
den wichtigeren Teil unserer Untersuchung ausmacht.

9. Die Bring-Jerrardsohe Form. .

Wir haben es hier mit der speziellen Hauptgleichung zu thun,
in welcher a = 0 und können ohne Beeinträchtigung der Allgemeinheit
ausserdem 6 = 1 wählen, dann verbleibt:

25) y5+5y + c = 0.

Soll nun die Verbindung zwischen dieser Gleichung und den
i;- Resolventen hergestellt werden, so ist zunächst das Gleichungs-
system 14) zu berücksichtigen. Die erste der betreifenden Gleichungen
1 iPiPi*t *

. 26)' P-tifh„ q--(^fK

unter fi einen Proportionalitätsfaktor verstanden; die anderen beiden
Gleichungen gehen damit über in:

27) f»*(^^. + MJ =4'

9

28) f^K^V-fV) = ic.

54

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Von Dr. W. Hetuakn. 91

Um sonach die i;- Resolventen mittelst der Bring-Jerrardschen
Form aufzulösen, berechne man ft aus 27) und c aus 28), wobei die
h als gegeben gelten. Die ij selbst folgen aus den Beziehungen 4) und
11), das heisst aus

29) y-ÄriifK-n,fQy

4) ^i%=*^i + ^2;

wobei y jede der fünf Lösungen von 25) bedeutet, welche bekannt-
lich in Gestalt von elliptischen Funktionen oder hypergeometrischen
Reihen vierter Ordnung erscheinen. Diese Art der Auflösung ist die
älteste, aber nicht die zweckmässigste.

Da bereits gezeigt wurde, dass jede Gleichung fünften Grades in
die iy- Resolventen transformierbar ist, so haben wir hiermit auch eine
successive Transformation der allgemeinen Gleichung in die trino-
mische Form erreicht. Es sei besonders hervorgehoben, dass die
kubische Hilfsgleichung, welche niemals vermieden werden kann, bei
Verwendung von i; -Resolventen die denkbar einfachste, eine bi-
nomische wird.

Man bemerke noch, dass von jener kubischen Gleichung nur die
reelle Wurzel verwendet zu werden braucht. Berücksichtigt man
auch die beiden komplexen Wurzeln, so erlangt c drei verschiedene
Werte, und man hat demgem'ass drei Bring- Je rrardsche Formen,
welche natürlich „verwandt" sind. Bezeichnet man ihre entsprechenden
Losungen durch y, y' und y", so besteht zwischen je zwei Lösungen
die in Abschnitt 8 auseinandergesetzte quadratische Transformation;
alle drei Lösungen dagegen erfüllen, wie leicht zu sehen, die lineare
Bedingungsgleichung :

30) ^y + ^y+9V=0,

wobei (j, g^ und g^' bestimmte von \ und \, nicht aber von i^j und ri^
abhangige Konstanten bedeuten.

Was endlich die Vierdeutigkeit des ^ nach Gleichung 27) betrifft,
so hängt diese damit zusammen, dass in der trinomischen Form 25)
h = \ gesetzt wurde, was eben die Adjunktion einer vierten Wurzel
bedingt. Lassen wir 6 frei veränderlich bestehen, so können wir um-
gekehrt /t =» 1 wählen, und dann kommt jene Irrationalität zunächst
überhaupt nicht in Frage.

10. Die IkoBaedergleichung.
Unter den Hauptgleichungen fünften Grades
2) if>+bay^+bhy + c = 0

giebt es eine sehr einfache, welche schon Euler im neunten Teile
der „neuen Kommentarien der St. Petersburgischen Akademie der
Wissenschaften", vom Jahre 1764 betrachtet hat; es ist die Gleichung,
welcher einfach:

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92 I^^ Transformation und Aofl^img der Oiieichung fünften Grades etc.

genagt y^ und f&r welche sonach:

31 . öf = - y^y/, fc = yi V,, c = - jf,* - y,*)

wird Die £ bezeichnen irgend eine fonfte Wuizel der Hinheit; in-
dessen kommt f&r unseren Ansatz nor die relle Lösung:

32) .v = .Vi-y,

in Frage, und wir wollen daher weniger Ton der Eulerschen Gleicli-
img sprechen, als rielmehr von einer gewissen Identität, welche die
Gestalt einer Hauptgleichung besitzt.

Erörtern wir jetzt den Zusammenhang zwischen dieser Identität
und den ij- Resolventen. Es ist nicht zu erwarten, dass ein so trivialer
Ansatz zu einer definitiven Lösung wie im vorigen Abschnitte fahrt,
es tritt uns vielmehr ein Formenproblem der y^, y, entgegen, durch
welches eine neue und höchst charakteristische Irrationalität definiert
wird: wir gelangen zur Ikosaedergleichung.

Bei den nun folgenden Ausfuhrungen wolle man durch^ngig die
Resultate des Abschnittes 6 zu Grunde legen. Zunächst ist wegen 31):

33) a^+ahc-P=0

die einzige und wesentliche Bedingung unseres Spezialfalles. Die
Gleichung 18) liefert jetzt nur eine brauchbare Wurzel, nämlich

34) r = y*(7,j,^+y,^y:12f,
wobei

35) / = »,y,(yi»« + lly.^^y,*- %"),

und sodann ergiebt sieh nach 17):

36) s = y,»(-y.>«+39y,V+26%"):6/-.

Nun ist noch der Ausdruck 19) zu bilden, und man findet nach
gehöriger Reduktion:

wobei

38) H=- (y,«» + y^) + 228 (y.'hj^^ - y,hj,'') - AUy.'W'-

Zur Einzelbestimmung von h^ und h^ hat man die Beziehung:

5) Äx + Ä2 = l

und ausserdem, mit Rücksicht auf 37):

39) K-h,^''^^f'^'

24/"«V3/'

* Eni er setzt eine Summe an; wir haben eine Differenz gewählt, weil wir
damit genau auf die Ikosaederformen kommen, wie sie sich bei Gordan uml
Klein finden. Mit einer Summe (2/ = 2/i+y«) gelangt man zu den Ausdrücken
von Schwarz, die sich von den erstgenannten bekanntlich nur ganz unwesentlicii
unterscheiden.

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Von Dr. W. Heymann. 93

Aber die Quadratwurzel im Zähler lässt sich ausziehen und liefert:

^ \ - 10005 Cyi«y,»»+.V/V),

sodass also: ji

Man kann dieses Resultat übrigens auch direkt erhalten, wenn
man auf die Ausdrücke 15) zurückgeht und selbige vermöge 16) in r
und s schreibt; sie lauten dann

h _ _ ._9(M-y r )Vr

41)

6a(ji + syr)-8b

h I 9(<'-yF)V7

" 6a(s-3Vr)-8ft

und es wird ersichtlich, dass der Parameter h^ seinem Komplement \
konjugiert ist, das heisst, der Übergang vom einen zum anderen ist
durch einen Vorzeichenwechsel der Irrationalität j/r bedingt. Infolge-
dessen wird:

42) h^-h^=^xyV,

wobei X das r nur rational enthält; jene Differenz muss daher, ab-
gesehen von Yfy durchaus rational in y^, j/g und in der That führt die
weitere Berechnung genau zum Ausdruck 39 a), sodass der nachträg-
liche Vergleich mit 39) die wichtige Identität:

43) r«=12V'^-Ä'
abermals erschliesst.

Hiermit haben wir die drei Formen gewonnen, welche den be-
kannten Formenkreis des Ikosaeders bilden, nämlich die eigentliche
Ikosaederform /, deren Hessesche Determinante H und die
Funktionaldeterminante beider, die Form T. Dass die Formen H
und T invariantentheoretisch auf die Grundform f zurückkommen, geht
aus unserem elementaren Ansatz zunächst noch nicht hervor. Ziehen
wir aber den Differentialbegriff herbei imd fragen nach der Differential-
resolvente, das heisst nach jener linearen Differentialgleichung
zweiter Ordnung, welche die t/, und y^ zu Fundamentalintegralen be-
sitzt, so wird sich diese Angelegenheit von selbst erledigen. Vergleiche
Abschnitt 15. Das Formenproblem, welches eben dort seinen definitiven
Abschluss findet, wird darin bestehen, die y^ und y^ aus 35) und 38)
bei festgegebenen Werten von / und H zu berechnen oder, was den
Kernpunkt ausmacht, das Verhältnis der beiden y aus der sogenannten
Ikosaedergleichung 37) bei vorgelegtem ä^ respektive \ zu be-
stimmen. — Bevor wir hierzu übergehen, erörtern wir den Zusammen-
hang zwischen der Ikosaedergleichung und einigen wichtigen Resol-
venten fünften Grades, insbesondere den ly- Resolventen.

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94 öie Transformation und Auflösung der Gleichung fünften Grades etc.

U. Zurückfölirmig der ij- Besolventen
auf die Ikosaedergleichiing.

Der Zusammenliang ist sofort durch die Beziehungen:

44)

l ^1^2 "=' ^1 + % (vergL 4, 11 und 32)

hergestellt, wo ^ = ^(,+|/;:), ^^i.(,_v;r) (^ergl. 16),

speziell durch die Werte 34) und 36) auszudrücken sind. Da die
zweite Gleichung in 44) quadratisch ist, so werden sich die rj zunächst
in Form einer Quadratwurzel ergeben. Trotzdem muss das Resultat
rational werden, denn man könnte, wenn auch weniger einfach, die
Rechnung eindeutig durchführen, indem man eine der ly-Resolventen,
z. B. die von r^^ hinzuzieht und i^i ^Is gemeinsame Wurzel zweier
Gleichungen ansieht, deren Koeffizienten, abgesehen von |//, durchaus
rational in den t/,, y^ sind.

Obige Gleichungen liefern nun:

45) Jl « 1 + y«'(7y,»+y,»)±yr l _ j _ 1
wobei: '' ' Hy.-y.)Vsf ' n. ./

/y = 2y,' + 2y,'y, -~ ly.^y,^ + \0y,%^ - lOy.^y,^

Nehmen wir diese Wurzel negativ, so wird 45) durch {y^—y^
teilbar; mithin entsteht:

oder _ __

AQ\ 2^3/' 2V/3/

48) ni-- ^ \kv %-

46) , ^«..

und die neu auftretende Grösse t kommt mit einer Oktaederforni
überein, welche mit dem Ikosaeder innig verwandt ist, nämlich:

49) t ^ y,'+ 2y,^y,- 5y,V- 5.y,^t/,^- 2y,y,^+ y^\

Beachten wir, dass die Ikosaederformen /, jEf, T in keiner Weise
verändert werden, wenn y,, respektive y^ mit ±yy^b^^^ respektive ±t/2«*'
vertauscht wird, unter e die fünfte EiiJieitswurzel:

£-= e

5

verstanden, dass hingegen die Oktaederform übergeht in:

49a) i ^^= *''yi'+ ^^''y'y^- ^^^y'y^- ^^^''yiW

I -Z^s-y^yZ+^^V

und für v = 0, 1, 2, 3, 4 fünfwertig wird, dann ergiebt sich
folgendes:

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Von Dr. W. Heymamn. 95

Die Ausdrücke 48), welche von der nullten Dimension in den
II sind, vermitteln die vollständige Auflösung der iy- Resolventen, sobald
das Verhältnis der y aus der Ikosaedergleichung:

37) J7.— 4ÄA, (Ä, + Ä,= l)

berechnet ist.

Weü nach 48):

50) Vi + Vi- ViVi = - 71^^-37'

so können die 1^1 und % als Wurzeln der quadratischen Gleichung:

51) (^«-3/')i^« + 12/7?-12/ = 0,
und \y Äj mit Rücksicht auf 37) als Wurzeln von

52) Ä2_Ä + -ij=0
angesehen werden, wobei

53) J= ^^^

den sogenannten Ikosaederparameter bezeichnet. Durch die letzten
Gleichungen ist der Zusammenhang zwischen den iy- Resolventen und
der Ikosaedergleichung in sehr konziser Weise dargestellt.

12. Die Besolvente von Briosehi.

Wenn wir den Ausdruck für ri^ oder ri^ aus 48) in die betreffende
)j -Resolvente 3a) oder 3/3) eintragen, so muss eine neue Resolvente
erscheinen, deren Lösung durch 49) respektive 49a) gegeben ist. Wir
erhalten in beiden Fällen die Brioschische Normalform:

54) t'^-XOfi^+^bfH - T« 0,

welche, in den yi, y^ geschrieben, eine Identität vorstellt und als
solche eine Kontrolle liefert, dass das Vorzeichen der Quadratwurzeln
in 39) und 45) richtig gewählt wurde. Die Gleichung 54) bildete in
unserer früheren Arbeit (A. 1 und 10) den Ausgangspunkt; in der vor-
liegenden Transformationstheorie besitzt sie trotz ihrer Wichtigkeit
nur sekundäre Bedeutung.

Am bequemsten verfolgt man die Transformation an den ent-
sprechenden Integralformen (vergl. Abschnitt 3, Nr. 9), das heisst an:

K - 30/[g,(l - %,)fdi,, resp. h, = 30/[g,(l - £,)]«de„
0 0

welche die Resolventen der reziproken ri vorstellen. Setzt man:

Si = |(l-^), i^esp. g8==|(l-f V),
so entsteht: 9 «

oder: 1 -1

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96 I^iß Transformation und Auflösung der Gleichung fünften Grades etc.

3i;5- 10i;3 + 15v - 8(1 - 2\) - 0,
respektive ^^, _ ^^^^ ^ ^^ ^ _ g^^^^ - 1) ^ 0.

Nun ist aber mit Bezug auf 39 a):

1 - 2h, = 2*2 - 1 = ^

24/-« VS/
folglich haben wir in beiden Fällen:

3v^- 10i?3+ 15i? ^ = 0,

eine Gleichung, welche für ^

>/3/-

in die Brioschische Resolvente übergeht. — Die angefahrten Integrale
lassen eine schon in Abschnitt 3 erwähnte Verallgemeinerung zu.

13. Die Besolventen von Gordan und Klein.

Die betreffenden Resolventen sind gewisse Hauptgleichungen,
welche durch r = 0 und s = 0 charakterisiert werden; wir betrachten
nur die erstgenannte, die am einfachsten und von fundamentaler Be-
deutung ist (vergl. A. 6). Wenn r == 0, so wird p = q, und also geht
das System 14) über in:

a = - 2p\h,h,y\

6 = _ 3p\h,h,r\

c = ^36p\h,h,y\

sodass folgende Gleichung vorliegt:

hji^y^- 10 pY-\5phj - aGp^= 0,

welcher nach 48) den Ausdruck:

y -PiVi + %) -PV1V2 = - ^^^if
genügen muss. Trägt man weiter aus 37):

1 iT*

ein, wählt: ^

und schreibt W statt jf, so entsteht die gewünschte Resolvente:

55) W"^ + AOPW^ - bfH T^+ ir^ = 0

mit der Lösung:

56) ir= ^

Ersetzt man noch /, jEf, t durch die Ausdrücke 35), 38), 49)
und dividiert aus, so ergiebt sich die Form des „Würfels":

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57a) j

Von Dr. W. Heymann. 97

oder allgemeiner, durch die bereits beim Oktaeder benutzte Ver-
tauschung,

Dieses ist neben dem Oktaeder die einfachste fünf wert ige
Form, welche aus den y zusammengesetzt werden kann. Zwischen
den ri und W besteht die Beziehung [vei^l. 50)]:

58) i?i + »/2 == nin^ ^ -jj—^

weshalb die -q als Wurzeln der quadratischen Gleichung:

59) Hri'+UfWri - \2fW^0
angesehen werden können.

Man bemerke auch, dass die Resolvente 55), als spezielle Haupt-
gleichung aufgefasst, durch die Bedingung:

60) ac-86«=0

charakterisiert wird. Es ergiebt sich dieses sowohl aus den anfangs
für a, 6, c aufgeschriebenen Werten als auch aus der Forderung, dass
die quadratische Gleichung 18) die Lösung r = 0 besitzen soll. Wenn
auch umgekehrt infolge der Bedingung 60) nur die Lösung r = 0 in
Betracht kommen soll, so darf die Quadratwurzel, auf welche die
Gleichung 18) führt, nur mit dem Minuszeichen versehen werden (vergl.
Klein „Ikosaeder", S. 194).

Die Unterscheidung des Vorzeichens jener Wurzel führt auch sonst
zu eigentümlichen Resultaten, die hier kurz gestreift werden mögen
(vergl. A. 13). Zunächst sei an die Gordansche Auflösung der
Gleichung fünften Grades durch „doppelt binäre Formen mit zwei
Reihen unabhängiger Variabelen" erinnert. Dort können beide Wurzeln
r^ und Tg der Gleichung 18) gebraucht werden; man kann aber auch
nur eine derselben herausgreifen, womit dann eine Reihe der Variabelen
bevorzugt ist. — Wenn man dagegen die Transformationstheorie be-
tonen will, wie es unserer Darstellung durchweg entspricht, so hat
man eine Transformation der einfachsten Resolventen genau nach dem
Schema einer Hauptgleichimg wie in Abschnitt G, und zwar unter
Berücksichtigung der Zweideutigkeit des r, durchzufahren. Von
den hier in Frage kommenden Resolventen, greifen wir nur die der ri
heraus und setzen demgemäss:

&= 3Ä-S
wodurch die Hauptgleichung 2) die Gestalt:

Zeitschrift f. Mathematik n. Physik. 42. Jahrg. 1897. 2 Heft. 7

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98 Die Transformation u. Auflösung d. Gleichung etc. Von Dr. W. Heymann.

61) hri^-lOri^+lbri-6^0

erlangt. Die Gleichung 18) ergiebt jetzt:

_i _ ^^

und folglich wird nach 17):

_ 1 28 - 3Ä

62)

16 4-9Ä
Des weiteren haben wir nach 4), 11) und 16):

ViV% = ^1 + Vif

und benutzen wir zuerst die Lösung r^ sowie s^ , so finden wir mit
Hinblick auf 15) rj=^i], h^h^, das heisst, die Gleichung 61) fällt
zusammen mit der Resolvente für i^j. Ebenso würden wir durch Ver-
tauschung der Vorzeichen von j/r auf die Resolvente für i^a kommen.
Verwenden wir dagegen die Lösung r^ sowie Sg, so erhalten wir aus 19)
den Ausdruck:*

^^^^ '^^'^^- 16(16 + 9Ä)» '

welcher, mit der Bedingung:

5) Ä, + Ä, = l

verknüpft, zu den neuen Parametern fuhrt.

In den vereinigten Gleichungen 62) endlich haben wir eine qua-
dratische Transformation gewonnen, vermöge welcher eine ij-Re-
solvente 61) mit dem absoluten Parameter h in eine andere für ly, oder
1^2 verwandelt werden kann, deren absolute Parameter Ä, oder \ in der
eben geschilderten Weise von h abhängen. — Man vergleiche die Trans-
formation zwischen verwandten Gleichungen in Abschnitt 8, von welcher
obige ein Spezialfall ist.

* Substituiert man in 63):

^^ 16(a;+8)^

80 entsteht: 3(3a;-iy

''^ *^* ^^ 64(30;- 1) '

ein Wert, zu welchem Herr Klein von ganz anderer Seite her gelangt ist (vergl.
Math.Annalen XII. Bd. S.176: „Über lineare Differentialgleichungen"), und welcher
als Nr. Xn in die Schwarz-Brioschische Tabelle (Math. Annalen XI.Bd. S.401J
einzuordnen wäre.

(Sohlnss folgt.)

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Kleinere Mitteilungen. 99

Über das Einstellen der dreiteiligen Flncbtpnnktscbiene.

Von R. Mehmke in Stuttgart.

Unter den wenigen praktisch brauchbaren und in keinem Falle ver-
sagenden Hilfsmitteln, welche man hat, um nach unzugänglichen Punkten
gerade Linien zu ziehen, ist ohne Frage die dreiteilige Fluchtpunktschiene*
das einfachste. Dass die Verbreitung dieses nützlichen Werkzeuges keine
so grosse ist, als man erwarten sollte, mag wohl an einigen Vorurteilen
liegen, die gegen dasselbe zu bestehen scheinen. So wird in der „Anleitung
zur Perspektive" von Frangenheim und Posern (Handbuch der Bau-
kunde, Abteilung I, Heft 2) auf S. 380 gesagt: „. . . die dreiteilige Schiene
kann zur Benützung nicht empfohlen werden, weil das Einstellen sehr
langsam zu bewerkstelligen ist, zwei Schienen für „rechts" und „links"
notwendig sind und ausser dem Horizonte noch eine Linie gegeben sein
muss, welche nach dem Verschwindepunkte geht." Dem letzten Einwände
ist kein Gewicht beizulegen, da in manchen Fällen ein unzugänglicher Flucht-
punkt von vornherein durch zwei nach ihm gehende Linien bestimmt ist
und man sich andernfalls leicht und ohne nennenswerten Zeitaufwand
solche Linien verschaffen kann. Der mit Becht gerügte Übelstand, dass
früher eine Schiene nicht für alle Fälle ausreichte, ist von K. W. Ellers-
dorfer durch Änderung des Schlosses** und auf andere Weise -r- aller-
dings nur unter Aufgeben der geometrischen Bichtigkeit und unbedingten
Anwendbarkeit — von Schupmann*** beseitigt worden; eine von mir

* Die Erfindung derselben schreibt man gewöhnlich Streck fuss zu. Streck-
fuss giebt in seinem Lehrbuche der Perspektive, zweite Auflage, S. 64, 1874, an,
er habe die fragliche Schiene zuerst in dem Kunstblatte „Die Dioskuren'* im
Jahre 1865 bekannt gegeben, bald darauf aber das Werk „Practical geometry,
linear perspective and projection, London by Bradley 1834" kennen gelernt, in
welchem ein ähnliches Instrument beschrieben und abgebildet sei, als dessen
Erfinder John Farey genannt werde. Einer gütigen Mitteilung des Herrn
geh. Regierungsrat Prof Dr. Haue k in Berlin verdanke ich die Kenntnis der That-
sache, dass bedeutend früher dieselbe Erfindung bereits von Peter Nicholson
gemacht worden ist, dem sie 1814 die silberne Medaille der Society of Arts ein-
getragen hat. Diese Angabe ist mit einer Beschreibung und Abbildung des vom
Erfinder CentroUneal genannten Instrumentes in dessen Werk „The rudiments of
practical perspective, London 1822" enthalten. In dem Kataloge von Zeichen-
geräten der Firma W. F. Stanley in London ist (unter Nr. 2451 der Ausgabe
von 1891) „Nicholsons Gentrolinead " aufgeführt und abgebildet; dasselbe war
auch von genannter Firma zur mathematischen Ausstellung in München, Herbst 1893,
geschickt worden. Die Benennung „Fluchtpunktschieue'' rührt, wie es scheint,
von Streckfuss her.

** Mit diesem abgeänderten Schlosse versehene Schienen liefert die mathe-
matisch-mechanische Werkstätte von Eduard Preisinger in München seit 1883.

***L. Schupmann, Vereinfachung des perspektivischen Lineals, Deutsche
Bauzeitung, S. 228, 1886.

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100 Kleinere Mitteilungen.

angegebene Konstraktion ist ebenfalls von demselben frei.* Es bleibt also
nur der, schon öfters erhobene Vorwurf, dass die Einstellung auf einen
bestimmten Fluchtpunkt schwierig und zeitraubend sei, zu entkräften.
Streck fu SS giebt (a.a.O. S. 55) eine zur Einstellung dienende geometrische
Konstruktion an, bemerkt aber dazu, dass das Einstellen durch Probieren
vorzuziehen sei. In den Gebrauchsanweisungen, die seitens der Händler
den Fluchtpunktschienen beigegeben werden, ist nur vom Probieren die
Bede. Da der Erfolg eines derartigen Verfahrens unsicher ist und sehr
von der Übung und Geschicklichkeit des Einzelnen abhängt^ so können
die lautgewordenen Klagen nicht Wunder nehmen. Ich will nun eine seit
vielen Jahren von mir benützte Methode zur Einstellung der in Hede
stehenden Fluchtpunktschiene mitteilen, die ohne jede Vorbereitung und
ohne dass besondere Vorrichtungen an der Schiene vorhanden sein müssten,
in allen Fällen sicher und so schnell, als man verlangen kann, zum Ziele
führt. Femer soll gezeigt werden, wie mittelst einer Teilung, die ein jeder
auf der Zeichenschiene selbst anbringen kann, die Einstellung auf einen
unzugänglichen Fluchtpunkt, der in gegebener Richtung und Entfernung
p. j von irgend einem Punkte der Zeichnung

liegt, sich sehr rasch und bequem be-
werkstelligen lässt.

1. Der unzugängliche Punkt, auf
welchen die Schiene einzustellen ist,
möge der Schnittpunkt der beiden Ge-
raden G^ und öj sein. Nachdem ausser-
halb der Fläche, die von der Schiene
soll bestrichen werden können (jeden-
falls ausserhalb der von G^ und G^ be-
grenzten), in zwei beliebigen Punkten,
die jedoch mindestens um eine Lineal-
breite von 6rj respektive G^ entfernt sein müssen, die beiden Führungs-
stifte s^ und s^ befestigt worden sind, bringe man bei gelöster Schraube
das Instrument auf beliebige Weise "^^ in solche Lage, dass die Zeichenkante Z
(obere Kante des mittleren, auf der ZeichenflUche ruhenden Lineals) mit
Gl zusanunenföUt und die äusseren Lineale oder Leitschienen L^ und X|
sich an die Stifte lehnen (siehe Fig. 1). Hierauf stelle man durch Anziehen

* Siehe Katalog mathematischer Modelle, Apparate und Instrumente, im
Auftrage der Deutschen Mathematiker -Vereinigung herausgegeben von W. Dyck,
S. 227, München 1892. Ich bin im Jahre 1890 auf diese Konstruktion durch deu
Wunsch gefuhrt worden, eine Fluchtpunktschiene zu haben, die sowohl für rechts,
als für links liegende Fluchtpunkte anwendbar wäre, aber im Gegensatze zu
Schupmanns perspektivischen Lineal geometrisch richtig zeichnete.

** Es wird allerdings zur Beschleunigung des Verfahrens dienen, wenn man
schon anfangs der richtigen Einstellung so nahe wie möglich zu konmien suebt,
indem man in Gedanken durch die Mittelpunkte der Stifte und den, seiner Lage
nach geschätzten unzugänglichen Punkt einen Kreis zieht und den Zapfen, der
die drei Lineale verbindet, ungefähr auf diesen Kreis bringt.

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Kleinere Mitteilungen.

101

der Schraube die drei Lineale gegeneinander fest und bewege sie, ohne
die Berfihrong zwischen dem Stifte s^ und der zugehörigen Leitschiene L^
aufzugeben, bis die Zeichenkante an der Geraden G^ anliegt (siehe Fig. 2).
Wenn nicht etwa infolge eines glücklichen Zufalls die gegenseitige Stellung
der Lineale schon die richtige ist, so wird jetzt das Lineal L^ den Stift 5|
nicht mehr berühren. Man drücke nun mit einer Hand gleichzeitig auf die
Zeichenschiene und die Leitschiene X^, damit sie ihre Lage nicht ändern
können, löse dann mit der anderen Hand die Schraube, drehe die Leit-
schiene 2/j, bis sie am Stift s^ anliegt (gestrichelt gezeichnete Lage L\ in
Fig. 2), und ziehe die Schraube wieder an. Wird hierauf das Instrument

zorückbewegt, die Schiene L^ leicht gegen den Stift 5| gedrückt; und die
Zeichenkante mit Gi zur Deckung gebracht, und zeigt es sich, dass dann
auch Z/j den Stift s^ berührt, so ist die Einstellung fertig. Wenn es noch
nicht der Fall ist, so halte man mit einer Hand Z und L^ fest^ löse mit
der anderen Hand die Schraube, bringe das Lineal L^ zur Berührung mit
dem Stifte ^^(Lage L'^^ in Fig. 3 gestrichelt) und schraube wieder zu. Wenn
alsdann unter Andrücken der Leitschienen an die Führungsstifte das In-
strument bewegt wird, so fallt die Zeichenkante Z meistens schon genau
genug mit G^ zusammen. Sollte das noch nicht zutreffen, so hat man zu
verschieben, bis Z die Linie G^ deckt und L^ ^^ Berührung mit s^ kommt,
dann unter Festhalten von Z und L^ die Lage von L^ zu verbessern etc.
Es muss bewiesen werden, dass man durch Anwendung des obigen
Verfahrens unter allen umständen bei jedem Schritte der richtigen Stellung
näher kommt. Letztere wird vorhanden sein, wenn der Mittelpunkt m
des Zapfens auf dem Kreise liegt, welcher durch die Mittelpunkte der
Führungsstifte und den Schnittpunkt von G^ mit G^ gezogen werden kann.
Befindet sich nun m (siehe Fig. 4, in welcher die Stifte als Punkte, die
Lineale als blosse Linien dargestellt sind) anfangs in m^, dann in m^,

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102

Kleinere Mitteilungen.

hierauf in m, etc., bezeichnet man ferner durch p^ und p^ die Schnittpunkte
von Gl und Gr^ ^^ ^^^ genannten Kreise , so sind vermöge des angewendeten
Verfahrens die Winkel Pitn^s^ und p^m^s^ einander gleich, ebenso die
Winkel m^p^s^ und m^p^s^ als Nebenwinkel zu zwei Peripheriewinkeln
über demselben Bogen in jenem Kreise. Daher sind die Dreiecke m^p^s^
und m^p^s^ einander ähnlich, woraus die Proportion

m^p^: m^p^=^ p^s^: p^s^
folgt. Weil aber PiS2<PiS2 ist, so erhält man

m^p^ < nt^p^.

Fig. 4.

Fig. 5.

Auf ähnliche Weise lässt sich zeigen, dass

w»8jPi < ^iPi, m^p^ < m^Pi etc.
ist. Also kommt in der That der Punkt m dem Kreise, auf dem er liegen soll
unaufhörlich näher; und zwar, wie man sieht, um so schneller, je grösser j?, 5,
im Verhältnisse zu p^s^ und p^s^ im Verhältnisse zap^s^ ist, weshalb man gut
thut, die Stifte möglichst nahe bei den Geraden G^ und G^y ^^^^ möglichst
entfernt von ihrem Schnittpunkte einzustecken, und sich die Sache günstiger
gestaltet, wenn der Winkel zwischen G^ und G^ gross, als wenn er klein ißt.

Diese Methode der schrittweisen Annäherung, die grosse Ähnlichkeit mit
gewissen Methoden der Analysis (z. B. zur Auflösung numerischer Gleich-
ungen) zeigt, erweist sich auch dann als nützlich, wenn man die Ein-
stellung mit Hilfe einer geometrischen Konstruktion (etwa der von S treck -
fuss angegebenen) vorgenommen, aber aus irgend einem Grunde ein un-
genaues Ergebnis erhalten hat. Statt wieder von vom anzufangen, wird
man in solchem Falle besser durch das mitgeteilte Verfahren die vorhandene
üngenauigkeit beseitigen.

2. Nehmen wir jetzt an, dass der unzugängliche Fluchtpunkt f durch
eine einzige nach ihm laufende Gerade G sowie die Entfernung von irgend
einem Punkte o dieser Geraden gegeben sei (siehe Fig. 5). Bei der Bewegung
der richtig eingestellten Fluchtpunktschiene bleibt der Mittelpunkt m des
Drehzapfens bekanntlich auf dem durch die drei Punkte 5^, 5, und f be-

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Kleinere Mitteilungen. 103

stimmten Kreise. Schneidet letzterer die Gerade G zum zweiten Male in jp,
ist feiner q der Schnittpunkt von 8^s^ mit G^ so hat man

Da die Längen der Strecken qf '^ QO + of^ s^q und s^g bekannt sind,
beziehungsweise gemessen werden können, so lässt sich pq mit Hufe obiger
Formel berechnen, wobei in der Regel die Genauigkeit, welche der Bechen-
schieber gewährt, aasreichen wird.

Wäre an der Zeichenkante ein gewöhnlicher Massstab vorhanden,
dessen Anfangspunkt im Drehpunkte m läge, so könnte die Einstellung in
der Weise geschehen, dass man die Zeichenkante an G legte, und zwar
so, dass sich der zum berechneten Werte von pq gehörige Teilstrich des
Massstabes dem Punkte q gegenüber befände, hierauf mit einer Hand die
Zeichenkante festhielte, mit der anderen Hand die Schraube löste, die Leit-
schienen gegen die zugehörigen Leitstifte s^ und $2 lehnte und wieder be-
festigte. Wünschte man die Fluchtpunktschiene auch für unzagängliche
Punkte zu benützen, die auf der anderen Seite von q liegen, und zwar ohne
die Leitstifte versetzen zu müssen, so wäre eine Verlängerung des Mass-
stabes nach der negativen Seite über den Nullpunkt hinaus erforderlich,
es könnte aber die Verlängerung der Zeichenschiene nach jener Seite da-
durch umgangen werden, dass man den Nullpunkt des Massstabes um eine
beliebige Strecke, z. B. 100 mm, in positivem Sinne verlegte, in welchem
Falle natürlich vor der Einstellung der Punkt q der Zeichnung um den-
selben Betrag verschoben werden müsste.

Will man jedoch beim Gebrauche der Fluchtpunktschiene der Mühe
des Rechnens ganz enthoben sein, so muss man sich entschliessen, den
Entfernungen ^^g und qs^^ oder wenigstens ihrem Produkte, ein für allemal
einen festen Wert zu geben, z. B.:

Ä^g = qs^ = 300 mm.*

Es können dann im voraus für verschiedene einfache Werte der Ent-
fernung qf die Werte von pq berechnet werden, und indem man die
letzteren Werte von dem angenonuuenen Nullpunkte aus auf der Zeichen-
bmte abträgt und neben die so gefundenen Punkte die betreffenden Werte
von qf schreibt, erhält man auf der Zeichenschiene eine (ungleichmässige)
Teilung, mit deren Hilfe die Einstellung auf eine vorgeschriebene Ent-
fernung des unzugänglichen Punktes f ungemein schnell und leicht von
statten geht.

* Man wird wohl in der Regel s^«, senkrecht zu G annehmen, aber nötig
ist das offenbar nicht.

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104 Kleinere Mitteilungen.

Zur perspektivischen Lage kollinearer ebener Felder.

Von Dr. Eilbinger in Mülhausen i. Eis.

In der zweiten Abteilung, dritte Auflage, S. 20 seiner Geometrie der
Lage, zeigt Herr Reye, dass zwei koUineare ebene Felder rj und i;^, deren
unendlich ferne Geraden einander nicht entsprechen, auf zweifache Weise
in perspektivische Lage gebracht werden können. Hierbei wird bewiesen,
dass in rj zwei und nur zwei gerade Punktreihen u und v vorkommen,
welche den homologen u^ und v^ in t^^ projektivisch gleich sind. Die Ge-
raden w, V und WjL, v^ sind zu den Fluchtlinien ihrer Felder parallel. Werden
ri und 1^^ so in perspektivische Lage gebracht, dass entweder die Punkt-
reihen u und W| oder v und v^ alle ihre Punkte entsprechend gemein haben,
und ausserdem die Ebenen ri und rj^ aufeinander liegen, so haben die
beiden Felder noch einen Strahlenbüschel entsprechend gemein, woraus
dann folgt, dass in rj zwei Strahlenbüschel existieren, welche den homo-
logen in rj^ projektivisch gleich sind.

Bei der Betrachtung über die perspektivische Lage von rj und rj^ können
wir auch unabhängig von den projektivisch gleichen Punktreihen der
Felder die Existenz zweier Strahlenbüschel in rj nachweisen, welche den
homologen in ij^ projektivisch gleich sind. Zu dem Zwecke machen wir
jeden Punkt von rj zum Mittelpunkte einer rechtwinkligen Strahlen-
involution. Die Strahlen eines jeden Büschels projizieren dann auf der
unendlich fernen Geraden g^ von ri ein und dieselbe involutorische Punkt-
reihe, so dass also durch je zwei konjugierte Punkte von g^ zwei kon-
jugierte Strahlen einer jeden Strahleninvolution hindurchgehen. Ist nun g^ die
Fluchtlinie von i^j, so entspricht der involutorischen Punktreihe g^ eine
solche von g^. Da nun eine rechtwinklige Strahleninvolution keine reellen
Ordnungselemente hat, so haben also auch die Punktinvolutionen ^^ und r/j keine
reellen Ordnungselemente. Es giebt alsdann in ri^ zwei und nur zwei Punkte P^
und §,, aus welchen die Punktinvolution g^ durch eine rechtwinklige
Strahleninvolution projiziert wird. Je zwei senkrechten Strahlen der Büschel
Pj, Ci entsprechen dann in r} zwei senkrechte Strahlen des Büschels P
respektive Q^ und die Strahlenbüschel P, P^ und §, Q^^ sind somit pro-
jektivisch gleich. Hiermit ist also bewiesen, dass in tj zwei und nur zwei
Strahlenbüschel vorkommen, die den homologen von rji projektivisch gleich
sind. Die Pimkte Pj und Q^ haben gleichen Abstand von g^ und ihre Ver-
bindungsgerade steht auf g^ senkrecht (vergl. Reye, Geometrie der Lage,
L Abteilung, Auflage 3, S. 164).

Werden die ebenen Felder rj und rj^ so in perspektivische Lage ge-
bracht, dass die homologen Strahlen von P und Pj (oder Q und §,) sich
decken, so haben rj und rj^ noch die Punkte einer Geraden j) entsprechend
gemein. Da nun p zu den Fluchtlinien beider Felder parallel läuft, weil
jede die ihr entsprechende unendlich ferne Gerade in dem unendlich fernen
Punkte von 2) schneiden muss, und ferner g^ auf der Geraden P, öi(P9)

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Kleinere Mitteilungen. 105

senkrecht steht, so schneidet also auch letztere Gerade p und die Flucht-
linie h von Y} rechtwinklig. Die Geraden FQ und P^Qi sind also die
beiden homologen Geraden von rj und rj^^ welche auf ihren Fluchtlinien
senkrecht stehen. Die Fluchtlinie h geht durch den Mittelpunkt der
Strecke PQ. Zum Beweise des Letzteren bezeichnen wir den unendlich
fernen Punkt der Geraden Pj Q^ mit Si «) und ihren Schnittpunkt mit G^
durch jMj; dann sind /S^k», Pj, -3fi, Q^ vier harmonische Punkte, denen,
wenn sie dem Felde rj^ angehören sollen, die respektiven vier harmonischen
Punkte /S', P, 31«, ^ in i^ entsprechen. Da nun üf« unendlich fem liegt, so
muss Punkt 8 (der auf h liegt) die Mitte von PQ sein.

Die Gerade p enthält zwei projektivisch gleiche Punktreihen u und u^
von 7} respektive tj^. Es lässt sich nun unschwer nachweisen, dass in ri noch
eine zweite Punktreihe v vorkommt, welche der homologen v^ in tj^ pro-
jektivisch gleich ist. Gleichwie nun u und m^, so sind auch v und v^ zu
den Fluchtlinien ihrer Felder parallel; femer hat h von u denselben Ab-
stand wie von v, und es ist der Abstand von ^^ und u^ gleich dem von
ßi und v^. In dem Falle, dass bei der oben angegebeneu perspektivischen
Lage die Fluchtlinien gj^ und h zusanmienfallen, liegen die Felder t} und ri^
involutorisch.

Über ein Problem der Mechanik.

Von A. Karl in Paris.
Ist (p(ti^ v) = ■ eine zusammengesetzte Funktion von u und v

der einzigen unabhängigen Variablen f, so bekommt man vermöge der be-
kannten Formel:

der Formel

»(». ') -ß> +/■(?: - ^i/li"') o" + «•

die Gleichungen: "^ "^ •^

du yu^v J ^^ }/n\x^

das heisst, die Integration der Differentialausdrücke ^ äu^ ~o— äv reprodu-
ziert, bis auf eine Konstante, die Funktion <jp(?-*, v) selbst; solche Funktionen
sind auch diejenigen der Form: — ^- - + j_ -f • • •, wo die u und v

irgend welche differentierbare Funktionen einer unabhängigen Variablen i
bezeichnen. Ist nun allgemein:

^=^^^2:?i' wo^,,==|/(^:=-^^i^-^ö^(y^^ "^^^"^^

* *' t^Ä;

eine zusammengesetzte Funktion von den a, |9, y der einzigen unabhängigen
Variablen f, so hat man also:

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oder auch der Formel

106 ' Kleinere Mitteilangen.

Dies festgesetzt, seien Dnn die Differeiitialgleichimgen gegeben:

A)

«'yt_ ^^ 'v "**(y*^y'V __ ^ *^'
fr

Moltipliziert man die Gleichungen A) respektive mit do,, dßi^ dyi und
integriert, so bekommt man nach der bemerkenswerten Eigenschaft toh
Ui beziehungsweise der Gleichmig a):

■) t(1,")"-'^'+". tCD'- '■ + •''. 1-{%)' -"'*'•'

Ans den Gleichungen 1) folgt:

wo die A und B konstante Grössen bezeichnen; und folglich
{ dai . dßi\ f da, dpi\ . ,

und schliesslich:

2) cLi ^Qit + Qi, ßi = ait + tf/, yi =^Vit + xl

wo die ^, <T, T konstante Grössen sind.

Differentiert man die Gleichungen 2), nimmt Bücksicht auf die
Gleichungen l') und l) und differentiert die l), so bekommt man nach

Division respektive durch -^, ^, -^ die ursprünglichen Gleichungen A).

Bemerkung: Denkt man sich im Baume n -^-1 materielle Pankte
3/0, J[fj, . . . M^ mit den respektiven Massen m^^ mj . . . m^i, so kann man
bekanntlich folgende Gleichung beweisen:

^ -^ Wo3/o 0-f w, 3fj 0-\ \-n,nMnO

C/A= — — — - ,— , - --,

wo 0 irgend ein fester Punkt, K der Schwerpunkt und Zmi^^^O, Denken
wir uns jetzt die Punkte Mi projiziert auf eine feste Ebene, welche den
Punkt 0 enthält und setzen wir:

Oü:=rc«'V^S OMi = QiC^'V-'', i = 0, l,...w,
so ergiebt sich

rc^V-'^ --^^^T^ = ao9.«**°V'-f + «^ (., c^'V-» + ■ • • + a.p.e'-V"»

WO Zai = l, Kennt man also die Bahnen von Mi^ so kann man für ver-
schiedene Stellen in verschiedenen Zeitintervallen die Bahn des Schwer-
punktes K berechnen. — Setzt man:

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Kleinere Mitteilungen. 107

so bekommt man: ^ r. _l ^ /^ _j_ ^ «.2_l j- ^ s,n

Die Glieder dieses Polynoms des n^^^ Grades entsprechen offenbar den
Ecken eines bestimmten Polygons; jedem Werte von z entspricht ein
Polygon und der Schwerpunkt seiner materiellen Ecken; jedem Werte von Z
entsprechen n Polygone und ihre ähnlichen und ähnlich liegenden (homo-
thetischen) Polygone. Sind «q, a^ . . . a„ die Wurzeln des Polynoms, für
welche also der Schwerpunkt K auf 0 fällt, so hat man:

jpßwj/— 1^ jj.^^.gijpiy— 1^ das heisst r=^r^r^"rnj ff^ = (Pi+ fp%-\ \- (Pn-

Beschreibt also der Schwerpunkt K die Kreise r^c^ so hesch reibt z die
Kurven : r^r^ , . . rn = c. Den Strahlen w^=y entsprechen die Kurven

Zur Perspektive des Kreises.

Von Dr. Rudolf Sohüssler in Graz.

Der geometrische Ort der Punkte, von welchen ein Kreis h auf eine
Ebene E wieder als Kreis projiziert werden kann, ist bekanntlich eine
gleichseitige Hyperbel, welche den Kreis h in den Endpunkten eines Durch-
messers schneidet und deren Ebene auf der Schnittlinie der Kreisebene und
der Ebene E normal steht. — Sollen sich zwei in einer Ebene liegende
Kreise aus demselben Zentrum auf eine Ebene als Kreise projizieren,* so
muss das Projektionszentrum in der durch die Zentrallinie der beiden
Kreise gehenden, auf der Ebene derselben normalen Ebene liegen und ist
als Schnittpunkt zweier gleichseitiger Hyperbeln leicht zu konstruieren,
während die Bildebene E parallel zur Chordale der gegebenen Kreise sein
mnss.

Dieselbe Konstruktion leitete Herr Geheimrat Schlömilch** in sehr
einfacher Weise nach den Prinzipien der analytischen Geometrie, sowie
Herr Dr. Chr. Beyel,*** gestützt auf die involutorischen Gesetze der
KoUineation, ab.

Zu denselben Resultaten kann man auch auf elementar -geometrischem
Wege nur unter Voraussetzung der einfachsten Hilfsmittel der gewöhnlichen
Perspektive gelangen, ähnlich wie Herr Geheimrat Schlömilch die Kon-
struktion von Kegelschnitten aus fünf Punkten oder fünf Tangenten auf
die perspektivische Darstellung des Kreises zurückführt.^

* Diese Aufgabe wurde von Herrn Geheimrat Schlömilch in der Zeit-
schrift des Vereines deutscher Zeichenlehrer 1894, S. 381, gestellt.
** Zeitschrift für Mathematik und Physik, 1896, S. 67.
*** Ebendaselbst S. 255.
t Ebendaselbst, 1894, S. 117.

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108

Kleinere Mitteilungen.

1. Sucht man die wahre Grösse eines ebenen Gebildes, dessen per-
spektivisches Bild gegeben ist, so ist zu beachten, dass sich in der Bild-
spur JB* das Bild einer Geraden und deren ümlegung um E^ in die Bild-

Yig. 1. ebene schneiden,

dass die Plucht-
spur E^ die Bilder

aller unendlich
fernen Punkte der
Ebene E enthält,
^und das Bild eines

'Punktes mit dessen

Umlegung um F'
auf einer Geraden
durch (C), die üm-
legung des Pro-
j ektionszentrums
um E'^ liegen;
sucht man daher
z. B. zu dem Bilde
ftV einer Geraden
deren ümlegung
um .£^, so hat man
durch den Spnr-
punkt d der Ge-
raden zum um-
gelegten Flucht-
strahl (C)9 die
Parallele zu ziehen ;
(c) Uegt auf {C)c
etc.
2. Es fragt
sich nun:Wiemuss
man E>, E", {€)
annehmen , damit
ein gegebener Kreis
k^ das Bild eines
in E gelegenen
Kreises k ist?

Die zu 1?
parallelen Tangen-
ten in a' und 5' sind
Bilder von Tangen-
ten der Originalkurve A", welche auch zuüJ* parallel sind; daher ist a' 5' das Bild
eines Durchmessers aft, der zur ^ normal sein muss, wenn k ein Ereis sein
soll; es muss also ah' und (a)(fe) in eine Gerade normal zu jP fallen,

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Kleinere Mitteilungen.

109

ml

Wi

E"

vi

(H

iJ^l...

...El

welche auch {Cf) enthält, oder: {C) muss in dem zur jB* normalen Durch-
messer des Bildkreises liegen. — Um zu a'6' die Umlegungen zu finden, be-
nütze man zwei beliebige Gerade dcp und 6^q>^ durch ?/ und a\ welche sich
in einem Punkte c der Peripherie schneiden und erhält (l))(ci){c). Soll
die Originalkurve k ein Kreis sein, so muss '^^(p){c)(h) ein Rechter sein
und wegen des Parallelismus der Schenkel auch <(C9'(C^<;Pi. Dann liegen
{€) und c' mit q> und q>^ auf einem Kreise, dessen Mittelpunkt o auf E* liegt;
er wird gefunden, wenn man die Kreistangente in c' mit E' zum Schnitte
bringt (weil dann coq>^ und coq> gleichschenklige Dreiecke sind, wie aus der
Gleichheit der Peripherie winkel über demselben Bogen folgt) ; daher ist o c!=o(C/).

Soll die Original- Pi^ 2

kurve ein Kreis sein, ^^C)

muss dies für jeden
Punkt d der Peripherie
A' gelten, das heisst E''
muss der Ort jener
Punkte 0 sein, deren
Tangenten an Js! gleich
ihren Entfernungen von
(C) sind, oder E" muss
die Chordale zwi-
schen {Cf) und ä/ sein.*
Dies ist die notwendige
und hinreichende Be-
dingung, damit die Ori-
ginalkurve ein Kreis ist.

Ist denmach k* ge-
geben, so können wir
(Cf) beliebig wählen; E'
ist dann schon bestimmt
und wird am einfachsten
gefunden, wenn man aus
(C) an Jd die beiden
Tangenten legt und deren
Halbierungspunkte m und wi^, wo (C)m = mt' und (C)mi = wij^'j ist, ver-
bindet. JE? ist eine beliebige zu E' parallele Gerade. Wählt man dieselbe
speziell als Berührungssehne t*t\ der erwähnten Tangenten, so decken sich
Bild und Umlegung des Originalkreises.

3. Sucht man zur Umlegung eines ebenen Gebildes das perspektivische
Bild, so vertritt die Rolle von E^ die Gegenaxe ^% das ist die Umlegung um
J5? jener Geraden von E^ welche in der durch das Projektionszentrum
parallel zur Bildebene gehenden Ebene liegt. E^ ist parallel zu E^ und

(^H

i^^^

(^L

* Die Chordaleigenschaft bleibt erhalten, wenn der Radius des einen Kreises
Null wird.

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110

Kleinere Mitteihingen.

hat davon dieselbe Entfernung wie (C) von E'; die Gegenaxe E* ist der
Ort der Umlegungen jener Punkte einer Ebene, welche unendlich ferne
Bilder besitzen.

Dieselben Betrachtungen wie früher für E^ und Je gelten jetzt fori;'
und (k)^ sodass man als notwendige und hinreichende Bedingung, damit das
Bild eines Kreises, dessen Umlegung (k) gegeben ist, wieder ein Kreis
wird, erhält: E* muss die Chordale zwischen dem beliebig ge-
wählten (C) und (k) sein; jE?* wird am einfachsten gefunden, indem man
von (0) an (k) die Tangenten legt und die Halbierungspunkte fi und ^^
derselben verbindet. E* oder E* kann man beliebig parallel zu E' wählen;
Kig.s. in jedem Falle ist dann die

andere der beiden Geraden be-
stimmt.
^ Wählt man speziell E*

'*^^^ identisch E\ so fallen Büd

und Umlegung des Original-
kreises zusammen und E^ wird
zur Berühmngssehne (O(^) ^«^
p erwähnten Tangenten.

4. Sind das Bild k' und
die Umlegung (Ar) des Original-
kreises gegeben, so muss (C)
ein Ähnlichkeitspunkt derselben
sein, das heisst entweder der
Schnittpunkt der äusseren oder
inneren gemeinsamen Tangen-
ten. E' ist dann wie oben
bestimmt als Chordale von (C)
und k^'^ E' als Chordale von(0
und (k) und E'' wird die Chor-
dale von (k) und k\

6. Sollen zwei in einer
Ebene liegende Kreise k und /^i
aus demselben Zentrum auf die
Bildebene sich als Kreise k! und k\ projizieren, so muss für beide Kreise
die oben als notwendig und hinreichend angegebene Bedingung erfüllt sein,
das heisst:

E^ muss sowohl Chordale von (C) und ä;' als von (C) und k\ sein,
daher ist E* die Chordale von ä' imd k\ und dadurch eindeutig bestimmt,
wenn fc' und k\ als gegeben vorliegen. (Cj liegt auf der Zentrallinie ww,
von k* und k\ und hat von jedem Punkte der E' eine Entfernung gleich
der Potenz dieses Punktes bezüglich der beiden Kreise: pt ^ p(C). Man
erhält zwei Lösungen entsprechend den beiden Umlegungen von C xun E*
in die Bildebene. — Sowohl die Konstruktion als auch die Bedeutung von
E* ergeben, dass die Aufgabe nur dann lösbar, wenn A;' und A/^ keine

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Kleinere Mitteilungen.

111

reellen Schnittpunkte besitzen. — Ebenso muss E* sowohl Chordale von
(C) und (ä) als von (C) und (ki) sein, das heisst E' ist Chordale von (k)
und (Ä;|) und dadurch eindeutig bestimmt, wenn (k) und (k^) als gegeben
vorliegen. (C) wird in analoger Weise wie früher bestimmt; auch hier er-
hält man nur Lösungen, wenn (k) und (k^) keine reellen Schnittpunkte be-
sitzen. — E^ kann in beiden Fällen willkürlich parallel zu E' respektive
E' gewählt werden; wählt man E^ speziell so, das E^ respektive E^ die
Entfernung von (C) und E^ halbiert, so decken sich die Bilder mit den
Umlegungen der Originalkreise.

Eine Aufgabe ans der Schattenlehre.

Von Dr. Chr. Beyel in Zürich.

In den mir bekannten Lehrbüchern über Schattenkonstruktionen ver-
misse ich — abgesehen davon, dass diese Lehrbücher der Affinität, Kol-
lineation etc. zumeist sehr
behutsam aus dem Wege
gehen — einen Punkt,
der mir bei den Kon-
struktionen des Schlag-
schattens sehr wesentlich
erscheint. Es handelt
sich gewöhnlich darum,
den Schlagschatten auf
verschiedene Ebenen zu
finden. Beschränken wir
uns zunächst auf zwei
Ebenen, so fällt ein Teil
des Schattens — soweit
er sichtbar ist — auf
die eine Ebene. Ein an-
derer Teil fällt auf die
zweite Ebene. Die zwei
Schattenfiguren treffen
sich in der Schnittlinie
der Ebenen. Es empfiehlt
sich nun die Konstruk-
tion mit der Bestimmung
dieser Schnittpunkte an-
zufangen. Ich will zeigen, wie dieselben stets sehr schnell gefunden werden
können.

Wir wollen — der Einfachheit wegen — annehmen, dass die Ebenen,
auf welche der Schlagschatten fällt, Grund- und Aufrissebene seien. L sei

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112 Kleinere Mitteilungen.

der leuchtende Punkt und S sei die Kurve des Eigenschattens. Dann
legen wir eine Ebene durch L und x und konstruieren ihre Schnittpunkte
mit jS'. Die Schlagschatten dieser Punkte liegen in der x-Axe,

Die Konstruktion gestaltet sich besonders einfach, wenn — wie ge-
wöhnlich — paralleles Licht angenommen wird, und wenn die Projektionen
der Lichtrichtung mit der x-Axe Winkel von 46® bilden. Li diesem Falle
haben alle Punkte, welche gleichweit von den zwei Projektionsebenen
entfernt sind und im ersten Quadranten liegen, ihre Schlagschatten in der
aj-Axe. Der Ort dieser Punkte ist eine Ebene H durch x^ welche den
ersten Quadranten halbiert.

Jede Gerade enthält einen Punkt dieser Ebene H, Wir finden ihn,
indem wir zu einer Projektion der Geraden in Bezug auf die x-Axe die
orthogonal symmetrische Linie zeichnen. Sie trifft die andere Projektion
in dem erwähnten Punkte. Kennen wir zwei Projektionen der Selbst-
schattengrenze S^ so zeichnen wir zu einer in Bezug auf x die orthogonal
symmetrische Figur. Sie schneidet die andere Projektion in den Punkten,
deren Schatten auf x liegen. Wir wollen diese Punkte die Orenzpuukte
fOr den Schlagschatten nennen. Sie teilen 8 so, dass ein Teil von S seinen
sichtbaren Schatten auf die Grundrissebene wirft und der andere seinen
Schatten auf die Aufrissebene. Wir müssen nur den Schlagschatten von je
einem dieser zwei Teile konstruieren.

Liegt S in einer Ebene JtJ, so zeichnen wir am besten die Schnitt-
linie h dieser Ebene mit der Ebene H. Auf h liegen die Grenzpunkte.
Wir wollen zum Schlüsse zeigen, mit wie wenig Linien die Konstruktion
der Grenzpunkte für den Kugelschatten ausgeführt werden kann.

Die Ebene des Selbstschattenkreises wird durch die Spurparallelen s^s^^
welche durch den Mittelpunkt M der Kugel gehen, bestimmt (siehe vorstehende
Figur). Die orthogonal symmetrischen Linien zu s^", s^' schneiden s^', Sg" ^ ^^^
respektiven Punkten P, Q der Linie h. Ihre Umlegung (Ji) giebt die
Schnittpunkte G^ H der Geraden /* mit dem Selbstschattenkreise. Ihre
Schatten sind die Grenzpunkte des Schlagschattens.

Berichtigung.

In Heft 1 , S. 60 , Gleichung 2) muss rechts beim zweiten Faktor des zweiten
Gliedes der Exponent 2 gestrichen und beim dritten Gliede der Koeffizient p
hinzugefügt werden.

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INHALT.

3. TiiiiLn^i

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11t r> Abteltnng an HofrAt Prof. Dr. H. Cantor, üeltl*

Om^i^^trgt^ir- J5^ »n rlchton* ^ 0le Eetifli* - * ^. .

^ umiuiirciii und Potftafurtaiica uelimea Bc

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MATIIEAIATIK IM» PHYSIK.

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Louif* Xflic^rt i!i Hüllt' ti.S

H« einer TliDorl© der l*uiilitioht>ii «.^rnj^r
der Tlietafanktloiiani* tirilli
Ml Muik
iiuu^ iu die Theorie der bestimmten Iiitesn^^le.

.1 , lieber eine epecielie £laB»o Abel'Mcher Fiinktfotieii^
'^eU, H Msirk
nf Ur <t . Uober elno Funktion, woleba mn^ Unftarea

^ 'ViTo.nBen-Oleichqng lY. Ordnung Qenüg« l^ittou

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Ilrpi^fltnrinni «*

Itfirniariii, l^r I

H.
ÜHlf,
lli'tlU. fr. »• . A

iiiötriK^jLi ti K> ' I ^ j^i'Lil ,

Oiifvirril 1 ^ Kiirste Anleitung »suni Heclinon mit den (Hfunüloo*

fif^hoi») «^yÄtermoiien, gr H jt;f|i -i Miiik *Jii 1*1
llo€lihf*im. V\'i4 r»r A , KÄfl fll HisAb lUoMävri'nii»*'^ ^^l>i-y Aritlm^HHIr- iJes
^1 ' ' Miihümmed Ben Alliußein Aikarklil. ?> Ili^ft<»

llii^rhltviiu« I^r A,, üßber dl^ Diß'erentialourven der JCegelsahniUtj.

w^i •. u» li a Mttrk
II urliht' litt. l»r A , Ueber Pole und Polaren der parabolieohen Ciirven

11 J. Onhnmg, irr 1 ift/li. I Mark.
I^iitiji:«*!*, I»r P., Die Grni V " Unao der Meobaaik, Kiurt 1»<i>i '

:^ Li. •..••.►■ fit h. >J*'\'. 1 iM

f^rrifi*. i^r *f , Begriit«Bcliiiii. (,um' drr aritliuMiiijirJtL'U uai^hgiOnMnti- i turi* .

Ilnillc*k4% A , Bie HecursionsfornieLn für die Bereühnung dctr BomouHt
BL'hen und Buler'echen Za^hlea* ^r H ^vh l Mirk *jt* l*f

Mrholvlitrli« hf A , Ueber Beta- und Gammafimklionen* *j^ ' "^ '■ *■*♦''

IlritiiUi** hr A.. Einleitung lu die höhere Al^bra, ^r 6.

€itüiilliet% Pl*^t' I'r. BUidien gur Qescbic*ht© der matbeniLL.,_ _.. _:
physikaliftohou Geographie. ;^'r. S. j^eh. 12 Mark.

iiilliitlier, l^n f hf , Dio Lehre von den gewölinlloben und irumll-
gemeinerten Hyiierbel funkt ionen* ^'^r 8, ^h It Mark.

7m i.r..'.iri,,.,, .Inrrl, :J1.. Hm, l',! ,:i n,;i m .,-r-r. .I^vy. ]r,, yml AuHlaüdCr.

«« hi>m»b«Ei

rBiiäii[>esK IT« Ili i^lrkl

uu

ELEKTRODYNAMISCHEN 01MiNl)(iESKT71'

EHiENTLICHK ELEMENTARliENETZ

lull.

FRANZ KEBl^TLER,

Die Transformation und Auflösung der Gleichung
fünften jQfades in elementarer Darstellung.

Dr. W. Hey^ann

iH-Ch^mnitz.

S o h 1 u s s.

14. Auflösung der Hauptgleiohung.
Wir fanden für die Hauptgleiohung:

2)
die Zerlegung:

11)

wobei

y^ + bay^ + hhy + c == 0

y-vni + ant^

2^3?

^1 ^ - t-t;^.'

48)
Weil nach 16):

^2= +

so ergiebt die Zusammenstellung:

64)

und wird noch
56)

2/^-2.

t^-3f

W-

H

V-Sf
berücksichtigt, so erscheint der Ausdruck:

3sfW+tW[3Tf

65)

J/ = -2.

H

Hier sind für f, H, t, W die früher angegebenen Formen ein-
zutragen, während das Verhältnis y^^ : y^ der Ikosaedergleichung 37) zu
entnehmen ist; die übrigen Grössen sind in Abschnitt 6 einzusehen.
Es ist wichtig zu bemerken, dass die Irrationalität V^rf nur eine
scheinbare ist. Beachtet man nämlich einerseits die Beziehung:

Zeitechxift f. Mathematik a. Physik. 42. Jahrg. 1897. 8. Heft. ^igitized by CjOOQ IC

1 14 ^^^ Transformation und Aiiflösiing der Gleichung fünften Grades etc.

42) A,-A, = x|/r^

wo X das r nur rational enthalt, anderseits die Gleichung:

39a) /t.-A. = ^-=->

so wird: ''f'y'^

thatsächlich rational.

Bevor wir die transcendente Auflösung der Ikosaedergleichung in
Angriff nehmen, womit obige Lösungen erst ihren definitiven Ab-
sehluss finden, sei über allgemeine Gleichung fünften Grades:

1) x^ + a^x* + a^x^ + a^x^ + a^x + a^=0

folgendes bemerkt. Die Tschimhaus- Transformation, vermöge welcher
die Gleichung 1) auf eine Hauptgleichung reduziert wird, besitzt jeden-
falls die Form:

67) oc = \+b,y + hy + \y^ + \y\
wobei nun

11) .y-pni + an^

zu setzen ist. Aber das Ergebnis kann nach den Auseinandersetzungen
in Abschnitt 4) umgestaltet werden in

68) X = Afi,' + Bri,^ + Dti, + Eri, + F,

wobei die A bis F rational aus a^ bis a^ zusammengesetzt sind und
ausserdem neben der Quadratwurzel aus der üiscriminante der Gleichung 1)
die in Abschnitt 2 erwähnte accessorische Irrationalität ent-
halten. Mit a^ verschwindet gleichzeitig JP, mit a^ verschwinden A und
B^ das heisst, man kommt zur Hauptgleichung zurück (vergl. A. 14
und 15).

16. Die Differentialresolvente der Ikosaedergleiohiing.

Man frage nach der linearen Differentialgleichung (Differential-
resolvente) zweiter Ordnung, welche die Veränderlichen y^ und y, als
Fundamentalintegrale besitzt, das heisst also, nach der Differential-
gleichung, welcher die Wurzeln des Gleichungssystems:

69) fiiliyy%)-1^ und H(y,,y^)^u

genügen, unter /", H die Formen 35) und 38), unter k eine Konstante
und unter u die unabhängige Veränderliche verstanden. Es ergiebt
sich unmittelbar: ^9/ rf

du oy^

du dyy

wobei sich T als Funktionaldeterminante von f und H herausstellt
und ausgeführt mit dem Ausdruck 40) zusammenfällt.

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Von Dr. W. Hbtm ann.

115

Eine noclimalige Differentiation nach u liefert
d'y» mäT dm ii

ja.

__ jdT dyi_
du du

H'y„ (i = l,2)

du* " du du 400'

wo W die Hessesche Determinante von f wird und ausgerechnet
genau mit dem früheren H übereinstimmt, weshalb auch der Strich
wieder unterdrückt werden kann. Beachtet man die Identität:

43) r«=12Y'^-J?»

und ersetzt u durch Hj so gelangt man zur Differentialresolvente
der Ikosaedergleichung:

70)

welche y^ und y« als partikuläre Integrale besitzt.
Führt man den Ikosaederparameter

53) - ^'

0,

J =

12Y*

als neue Veränderliche ein, dann entsteht die Differentialgleichung der
hypergeometrischen Reihe:

71) 7(l_J)|i;+[y-(„ + ^ + l)J]g-«/Jy = 0,

in welcher die Elemente a^ ß, y folgende Werte haben:

und damit ist alles in wohlbekannte Bahnen geleitet.

Streifen wir auch kurz die Verallgemeinerung, welcher der obige
Ansatz fähig ist.

Es mögen f und H irgend zwei homogene rationale Funktionen
der Veränderlichen y^ und y^ vorstellen, und man setze wie oben die
beiden Gleichungen 69) an. Jedenfalls existiert jetzt eine homogene
lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung, für welche y^ und y^
zwei wesentlich verschiedene partikuläre Integrale vorstellen; es fragt
sich nur, wie f und -ff beschaffen sein müssen, damit die Koeffizienten
dieser Differentialgleichung rationale Funktionen der unabhängigen
Veränderlichen u = H werden.

Setzt man /"vom Grade n voraus, so liefert derselbe Differentiations-
prozess wie vorhin die Beziehung:

73)
wobei

74)

dt** "^ 2 du du "^ M- 1^

F =

^Vt^Vi ^y%*

G =

IL

dH

= 0,

IL

cH

^y%

Lässt man nun F mit H bis auf einen numerischen Faktor zu-
sammenfallen und berücksichtigt nur solche Fälle, in denen G^ rational

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11(5 Die Transformation und Auflösung der Gleichung fiinften Grades etc.

durch f =h und H^u ausdrückbar wird, so stellt 73) in der That
die gewünschte Differentialresolvente des vorliegenden Formen
Problems dar. Ftille der gedachten Art können aber, wie von anderer
Seite her bekannt ist, wirklich eintreten, und zwar kommen hier
dreigliedrige Identitäten von der Form:

75) G^=kH^+iir

in Frage. Da f vom 7i^^'\ H vom 2(w — 2)**", G vom 3(w — 2)**" Grade
ist, so bestimmt sich die ganze positive Zahl v durch

76) . = 1(^-^,

und es ergeben sich für w = 3, 4, 6, 12, das heisst v = 2, 3,4,5
die einzig möglichen und wirklich vorhandenen Fälle. Insbesondere
gelangt man zu den Formen der regulären Polyeder mit ihren
Resolventen und erzielt eine definitive Auflösung durch die hyper-
geometrische Reihe, deren Elemente die Werte:

haben (vergl. A. 12).

Unser Ansatz lässt sich auch auf ternäre Formen ausdehnen,
sobald das volle Formensystem durch die Originalform und drei zu-
gehörige Kovarianten abgeschlossen ist. Es erscheint zweckmässig,
das Problem dadurch zu reduzieren, dass man eine der Formen der
Null gleich setzt, eine Beschränkung, deren nachträgliche Aufhebung
möglich und besonders bemerkenswert ist. Verschwindet die Original-
fonn, so findet zwischen den drei Kovarianten eine dreigliedrige
Identität statt, genau wie bei binäroi Formen, und zwar ergiebt sich,
wenn n den Grad der Originalform bezeichnet, der Exponent v der
ersten Kovariante aus

78) V

2(4n-9)

-y

n-2

weshalb hier nur die Fälle n = 3, 4, das heisst v = 6, 7 möglich sind.
Thatsächlich erledigt man auf diese Weise die ternären kubischen
Formen ganz allgemein, dann die besondere Form:

und endlich jene ternäre biquadratische Form:

welche der linearen Substitutionsgruppe vom 168. Grade angehört.

Die Diflferentialresolventen werden entsprechend von der dritten
Ordnung, und man gewinnt, was die letzte Form angeht, sehr leicht
jene Differentialgleichung, welche Brioschi und Hurwitz unter an-
deren Gesichtspunkten in den Math. Annalen, XXVI. Bd. S. 106 und IIT
gefunden haben. — Wir wollen indessen diese abseits liegenden
Fragen hier nicht weiter verfolgen.

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Von Dr. W. Hkymann. 117

16. Die Resolventen der rj höheren Grades.

In den folgenden drei Abschnitten sollen einige Fragen erledigt
werden, die zwar nicht die Gleichungen fünften Grades, wohl aber die
Transformationstheorie, beziehentlich die i^- Resolventen im allgemeinen
betreffen.

Am Schlüsse des dritten Abschnitts haben wir bereits angedeutet,
dass man zwei in der Form völlig übereinstimmende Gleichungen .
(2w + l)*®° Grades mit einem wesentlichen Parameter durch die Integrale:

79) Ä, = xßi(l - t;)Ydti (i^l, 2)

0

definieren kann. Wir wählen x so, dass mit fc==l gleichzeitig 7^,= !
werde, mithin i

0

das heisst: (2n + l)!

n! n!
Diese allgemeinen g-Resolventen sind dann durch die Beziehung

aneinander gebunden, und ihre absoluten Parameter sind Komple-
mente, also

5) h, + h^ == 1.

Für &=^r^ gelangen wir zu den verallgemeinerten i^-Re sol-
venten, die im Falle w = 2 genau mit den betreffenden Resolventen
fllnfben Grades zusammenfallen und mittelst

4) ViV2=ni + Vi '

ineinander transformiert werden können. Die Form einer solchen
t|- Resolvente ist:

81) Ai^2'' + i+ anr+cCn-ir~' + "'+^iV + «0== 0,

wobei die a nur von n abhängen, während die w- Koeffizienten der
Potenzen tj^* bis ?y"+^ überhaupt nicht vorhanden sind.
Aus den ?^- Resolventen lässt sich vermöge

11) y=PVi+a^i

eine allgemeinere Resolvente mit drei Parametern zusammensetzen,
in welcher die Potenzen j/^" bis y^^^ fehlen, und zwar deckt sich bei
den Gleichungen fünften Grades diese Resolvente mit der Haupt-
gleichung; bei den Gleichungen höheren Grades erreicht mau eine
entsprechend allgemeine Form natürlich nicht.

Es möge noch die symmetrische homogene Resolvente Platz
finden, welcher das Verhältnis der beiden rj genügt. Sie lautet (vergl.
Xr. 13):

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82)

= 0

113 ^6 Transfonnation und Auflösung der Gleichung filnfl«n Gradefi etc.

und geht aus ini + %Y-0

hervor, falls die ersten (n + 1) Glieder mit dem Faktor h^, die letzten
(n + 1) Glieder mit den Faktor — A, versehen werden.

Auch die Resolvente von Brioschi findet hier ihr Seitenstüek.
Setzt man wie in Abschnitt 12:

83) 6^ = 1(1-«), resp. S, = i(l + »),

so entsteht: » ^

K 2.il/il - v^Ydv, reap. h, = ^f[l - v^'dv;

1 —1

aber diese beiden Gleichungen sind wegen der Bedingung 5) von-
einander nicht verschieden, sie können zusammengefasst werden in

84)

f[l - v^'dv = ^*'('-'^) = JM2^^

0

und dieses ist die betreflfende Resolvente (2w + 1)*®° Grades, in welcher
gerade Potenzen nicht vorkommen, abgesehen vom Absolutglied,
welches den wesentlichen Parameter der Gleichung bildet. Der Über-
gang zu den ij- Resolventen wird durch

85) t; = ^LzA^2-,,.

^ Vi Vi

vermittelt. — Bildet man die Ableitungen von h nach g, ij oder r, so
erhält man natürlich binomische Ausdrücke, weshalb auch die Dis-
kriminanten aller dieser speziellen Resolventen die Gestalt eines
Binom^i erlangen.

17. Besolventen der i} vom siebenten Grade.

Betrachten wir kurz den Fall n == 3. Aus 79) ergiebt sich für
gj = fljpi unmittelbar:

86) h, fj^' = 35iji» - 84i?i« +10fi,- 20,

und hieraus leitet man mittelst 4) noch die simultanen Resolvent^n:
( *,'?.*'% = 35ij,* - 49,, + f}, + 20,

87) KVi%*= Jj,*+35ij, + 5% -20,

KVtW= %'+ 4^+10% + 20

ab; andere entsprechende ergeben sich durch gleichzeitige Vertauschung
von r)i mit i}, und h^ mit h^.

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Von Dr. W. Heymakn.

119

90)

Die Resolvente in v wird nach 84):

88) 5v'- 21i;»+ 35t;»- 35t; + 16(1 - 2h,) = 0.
Bestimmen wir nun die Koeffizienten einer Gleichung:

89) y'+lay^+lby^+Tcy + d^O
derartig, dass ihr die lineare Verbindung

11) y-pni + ari2

genügt. Genau dieselben Prinzipien, welche wir bei den Gleichungen
fünften Grades (vei^l. Abschnitt 5) in Anwendung brachten, liefern hier:

p*h-^iSp - 5g) - g*hrK^p - dq) = \h,

P'K'iP*- ^M + 5«') + ^KK^P'- ^P1 + «*) = - ToC,

P*h^^(p^- 1p*q + 2\pff- 35g»)

- g«ÄrH35l>»- 2\p*q + 71,2»- f) = y,

und nimmt man die Koeffizienten a, &, c, d als gegeben an, so lassen
sich die Grössen Aj, \]Py q leicht berechnen. Aus den ersten beiden
Gleichungen ergiebt sich:

^^^ ^^^ 4a(5i;-3<?)>-66' ^^« " 4a(3p-5</) + 65'

führt man diese Werte in die letzten beiden Gleichungen ein und setzt:

16) P-q-Vr, P + q-s,

so folgt:

92) 20ar + 565-4c = 0 und lOfer + 10c5 - rf = 0,
woraus:

93) ^-ro-M-...^ ' =

2 ad—2bc
5 6'— 4rtc

Infolgedessen gehen die Ausdrücke für die absoluten Parameter
über in: ( io(s + y7y'Vr~

^ 4ta{s + 4tyr)-6b

94)

+

JLO^.s_-Vr)*'Vr
4rt(s-4Vrj

56

sie sind also einander konjugiert und führen, in die Gleichung:

5) h, + h^ = l

eingesetzt, zu jener rationalen Bedingungsgleichung zwischen
den Koeffizienten der Gleichung 89), unter welcher diese in die ly- Re-
solventen siebenten Grades transformiert werden kann. — Berücksichtigt
man die Beziehungen 11), 16) und 85), dann gelangt man zu

^s + vy'r'

95)

y=2-

womit die Gleichung 89) auf 88) reduziert ist.

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120 I^i® Transformation und Auflösung der Gleichung fünften Grades etc.

Die Auflösung der speziellen Resolventen in t? und v soll hier
nicht weiter verfolgt werden; es möge aber noch jene Resolvente
siebenten Grades mitgeteilt werden, welche unter transformations-
theoretischen Gesichtspunkten jener fünften Grades von Gordan und
Klein entspricht (vergl. Abschnitt 13). Sie wird charakterisiert durch
q=Py das heisst ihr gentigt:

96) y =p{rii + %) =i>^i'?2 = f^^.^
und ihre Form ist:

97) \ h, if - S6pY - 86i)5y« - UOp^y - 400i>' = 0,

oder einfacher, z. B. für i? = -ö ?

98) Ky' - 35y3- 28y^ - 35t/ - 50 = 0,

wobei Ä" = 1 6 //^ h^ den einzigen wesentlichen Parameter vorstellt

18. BeBolventen der 17 für die Gleichung
Bechsten Grades.

Verlangt man von der Hauptgleichung sechsten Grades:

99) y^+ 6ay^+ Gby^+6cy + rf = 0,

dass sie die wesentliche Eigenschaft einer iy- Resolvente annehmen,
das heisst, dass sie vermöge der Substitution:

in eine Gleichung derselben Form tibergehe, so bleiben nur noch
zwei Parameter willkürlich, wie denn auch eine Reduktion der Gleich-
ung sechsten Grades auf eine Resolvente mit nur einem Parameter
bisher nie erreicht worden und höchstwahrscheinlich uiimöghch ist.
Indem wir des weiteren ähnlich wie in Abschnitt 3 vorgehen und die
y, z mit ijj, 1^2 vertauschen, gelangen wir zu folgenden ij- Resolventen:

«) \m' - 10(1 + ff)fix' + 15(2 + g) r,,*

- 6(5 + (7)1?, + 10 = 0,

ß) A,,,«-10(l-sr)V+15(2-«?)V

- 6(5 -<7)i?, + 10 = 0,
wobei

101) h^^Qi + ff), h, = ^(h-g)
und

4) ^1^2=^1+^/*.

Die Grössen ff und h oder auch ff, h^, h/^ letztere jedoch mit der
Bedingung:

102) h, - h^ = //

sind die absoluten Parameter. Indem ff einfach das Vorzeichen
wechselt, verwandelt sich eine Resolvente in die andere.

Man kann sich noch die simultanen Resolventen mit ij/<?2»
Vi^%^> etc. verschaffen und sodann mittelst:

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100)

Von Dr. W. Heymann. 121

11) y-PVi + Q^%

eine neue Gleichung, die Hauptresolvente, zusammensetzen, welche
genau so allgemein ist wie 99). Wir unterlassen es, die weitere
Rechnung durchzuführen, da eine Auflösung der einen oder anderen
Resolvente zur Zeit nicht geleistet werden kann. Immerhin dürften
obige Resolventen vom Gesichtspunkte der Transformationstheorie aus
Interesse gewähren.

Um hier nur eines zu erwähnen, sei auf die Jerrard-Trans-
formation hingewiesen, vermöge welcher die reduzierte Form:

103) y«+ G6y»+ 6cy + d = 0

hergestellt wird. Verschwindet nämlich a, so ist in der Hauptgleichung
Zy^==^0] anderseits ist in der Hauptresolvente:

2:y» = p»Sfli^+ 5^277?,»= SOUy'h-^l + ff) + qVrf^l - g)l

und hier kann die Klammergrösse dadurch annulliert werden, dass
man das Verhältnis p : q aus einer rein kubischen Gleichung be-
stimmt (vergl. Abschnitt 9).

Von den simultanen Resolventen seien zwei angeführt, die
sich durch ihre Symmetrie auszeichnen und daher sofort eine Ver-
allgemeinerung auf den Grad 2n zulassen. Die eine lautet:

sie ist homogen in den iy, aber nicht homogen in den h, und sie
hängt deshalb im Gegensatz zu der entsprechenden Gleichung fünften
Grades (vergl. Abschnitt 4) von zwei Parametern ab.
Die andere hat folgende Gestalt:

105) h,ti,^ + \%^ + 3h,ri^^ + SA^ V + 6*1 ^i + 6/*^% - 20 - 0
und repräsentiert eine Kurve dritter Ordnung, welche mit der in 4)
enthaltenen Hyperbel ^^^^ _ ^^ __ ^^ = 0

•
sechs Schnittpunkte liefert, entsprechend den sechs Wurzeln der
einen oder anderen ij- Resolvente.

Bemerkenswert sind gewisse spezielle i^- Resolventen mit nur einem
Parameter, z. B. jene für g =^ ±1 oder h = ±1 u. s. f. Auf erstere
wird man gefiihrt, wenn man gleich anfangs von einer Gleichung
sechsten Grades mit a = 0 ausgeht, und aus ihnen können mittelst
der Substition 11) neue Resolventen zusammengesetzt werden, die
indessen allesamt mangels eines zweiten Parameters nur Sonderfälle
der Hauptgleichung 99) vorstellen.

104) {

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Loci of the equations p = tp'e and p = ip'fe.

By
E. W. Hyde,

Cincinnati, Ohio, ü. 8. A.

We will consider the significance of these equations in two and
three dimensional space, beginning with the former.

The letter p represents a variable point generating a locus, tp and
^ are linear point functions, e is a fixed point, and w and v are
scalar functions of x and y respectively, which are real scalar
variables.

Let e^f e^y e^ be reference points for two dimensional space, and
let US write

1) e = Wo^o + ^1^1 + ^h^i,

the m's being scalar. 9? will be defined by the equation

in which the ^^s are scalar-, so that ^

0
We will first treat the case when u = x, and afterwards consider

cases when u is such a function of x that some of its values are

imaginary.

Only *real values of x will be considered. We are then first to

discuss the equation ^

4) p -= tffe «= yj.^ne.

0

In this equation p cannot be a unit point, for this would require
2
that the condition ^pA^n = 0 should be satisfied, which would not allow

0
the Variation of x, When a: = 0, p =- e, so that the curve always
passes through e.

Di£Ferentiating 4) we have

5) g = (9>'log<p)c =2(^'nelog^).

0

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By E. W. Htoe.

123

If p were a unit point, ■— would be a point at oo oft the tangent

line to the locus, i. e. a vector || to the tangent at p, but as the tveight
as well as the position of p varies, -^ is some finite point on the
tangent line. The tangent line will therefore be

6)

dp

qfe'((p'log(p)e

A Am

« A^'A^*n^n^\o^-^' e^e^+ ^^'^»w^w^log^- • e^e^

The tangent line cuts the sides e^e,, e^e^y e^e^ of the reference
triangle in the three points

7)

dp
Pdx

dp

Pd.

Pdx

Co = ^,'n, log ^] • Ci - ^i'ih log ^

ei = ^»n,log^J.c,-yi(,»

»o^og

A

, = ^o'«»log j" • e„ - Ä^'n, log j'

^.

8)

If Up designate the unit of p, then üp = qfe^r-^pA'ny

dUp B,(e^^e,) + B,(e,-e,) + B,{e,-

0

"' dt

dt {£A'7iy

in which Bq, B^y B^ are the coefficients oi c^e^j c^Cq, e^ßj, respectively,

in equation 6). — jt^ is the velocity of |) as it generates the curve.

We will now apply these results to the determination of the
nature of the curve. In the first place the ^'s must always be
positive in order to exclude imaginary points, and we shall assume
for convenience A < A < A

which simplj arranges the curve in a certain way as regards the
reference triangle. If the m's are all positive e is inside the reference
triangle; if n^ is negative e has passed outside the triangle. In fact
the four points

e^y 2Jn€y n^e^ + n^e^ and — UqCq + ^h^i + '^hh

form a harmonic ränge, so that, if the curve be constructed with positive
values of the w's, the other cases may all be found from this. If n^
be negative draw any ray e^B, s being some vector, cutting the curve
already constructed in p, and the side e^e^ in c^^-e^e^; then the fourth
harmonic to. e^, Py e^B-e^e^ will be a point of the locus required.
The same method of course applies mtUcUis niutmidis when w^ or n^
is negative.

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124

Loci of the equations p = <p^e and ^ = <p"i/»*'«.

Gase (a) [see Fig. 1]. The n's all positive. When .^=^ — 00, A^*
and A^' become indefinitely small compared with Äf and hence p
approaches indefinitely near to e^^ which is its limiting position. When
X = 0, ;) = e. When x =^ cc, A^ becomes indefinitely larger than A^
or A^^ and hence jf) approaches coincidence with e^, This includes
the whole ränge of real values of x, so that /) never goes outside the
reference triangle, but starts from 6^ and stops at e^, By eq. 6) the

pjg.i.

tangent lines at c^ and c^ are v.^e^ and e^c.^ respectively. By eqs. 7)
the tangent line cuts e^c^ between e^ and r?^, e^e^ between c^ and r^
and e^e^ at some point not between v,^ and e^. Eq. 8) shows that the
velocity of |) approaches zero near e^, or Cj, as must evidently be the
case. The ciirve is shown in Fig. 1, e being taken as the centroid
of the triangle.

Case (fe): Wq negative. The curve will be as shown .in Fig. 1. It
has an asymptote parallel to the line joining c^ with the point where
the curve («) is cut by the line (^0+ ^i)(^i + ^o)-

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By R. W. Hyde. 125

Gase (c): n^ negative. The curve will have three fonns according
as the curve (a) cuts the line (e^ + <^i)(6i + c^) in two real, coincident,
or imaginary points. The last form is shown in Fig. 1. In the first
form the curve has two branches, and two real asymptotes parallel
to the lines joining e, with the points where the curve (d) cuts the
line (^0+ ^i)(e, + e^). The second form is parabolic, and has a double
point at infinity on the line joining e^ with the point of contact of
the curve (a) with the line (c„+ ei)(ei + ^2)-

Gase ((T): n^ negative. The curve is of similar character to the
curve (fc). It has an asymptote parallel to the line joining e^ with the
point where the curve (a) cuts the line (^i + c^)(<^i + ^o)? ^ shown in

¥\%. 1.

Let US now consider the case when ii in eq. 3) is some function of rr.
If it is such a function that u may have all values from — oo to +qo,
then the locus of p will be the same as when xi »= Xy though a part,
or the whole of the curve may be repeated two or more times. If
however u is a function some values of which are impossible, then
the locus of p will be a portion of one of the curves already dis-
cussed. Suppose for instauce, that we have

II = sin x^ or w =- sec rc, or ti = j/a^ — x^.

In the first case u cannot be greater than 1 nor less than — 1,
and hence the locus is that portion of the curves already considered
lying between the points tpe and (p~^e. In the second case u has
all values except those between — 1 and + 1 , and hence the curve
consists of two parts, one extending from Cq to (p~^e and the other
from (pe to e^. In the third case the curve only extends from g)—^e
to (p"e, If we assume

9) u = mx ±ky- (x^- a,^)(a;*- a,^) . . . (a;* ~ a«*);

then m and k can be so taken that u will be now real, now imagi-
nary, in succession, and the locus of p will consist of a series of dis-
connected portions.
For instance, if

«=-a:±jijV(a:»-l)(a:*-4)(9-a:«]

the curve will consist of three parts extending respectively from a
point very near to fp~'^e to one very near to 9?""*^, from one very
near to q>''^e to one very near to ye, and from one very near to
q>^e one very near to <p^e,

We will next consider the corresponding equation in three -dimen-
sional space, viz. 3

10) p = (p^'e^^Ä^ne,

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126 ^^^^ ^^ ^^® equationB p = (p**e and p-=qp«^«'e.

As before we treat first the case when u = x^ and have, for the
tangent at p, the line

in which l and k are to have all values from 0 to 3. Of course tenns
in which l^k will disappear, because ekejt=0. The point where the
tangent line pierees the reference plane eiC^e^ is

dp

L . /> _L A Xm Inre * . /> _J_ A Xm Arxrf • .

12) p-^ «0= A'^**ilogi;-^i + ^'M2log^.c, + ^3'^8log^-^8;

and the points where the tangent pierees the other faces of the re-
ference tetrahedron may be found from this by cyclic permutation of
the sufßxes.

If Aq<A^ <iA^<A^j the curve will start at e^, when a; = — oo,
in the direction of e^^e^y and reach Cj, when a;== oo, in the direction
of e^ßg.

As in the previous case the nature of the curve will depend on
the location of the fixed point e.y i. e. on the signs of the n's. If e
is inside the reference tetrahedron, the curve will be wholly within
this tetrahedron; and in any case p will be confined to the same region
of Space which contains e, if we understand by a region of space
the locus of all points abtained by assigning positive values to the
w's in such an expression as n^e^—n^e^ + ^^«2 + ^»^s- There are eight
such regions, and therefore eight curves, which are all harmonicaUy
related, so that, one being given, all the rest may be constructed from
it. We will designate by C the curve mentioned above for which e
is inside the tetrahedron e^Cye^e^j and will use C|„...Cj, C^,, C^^, C^j,
to designate the others, the suffix indicating which terra, or terms,
of the value of e is negative.

The curves Cq and (\ are of similar character, each having a
Single asymptote parallel, in one case, to the line joining e^,, with the
point where C pierees the plane (e© + ei)(öo+ O(^o+ ^)^ *"^^ ^^ ^^
other to the line joining e^ with the point where C pierees the plane

(^3+<^o)(^8+ßl)(^8+^2)-

The curves C^ and C\ are also of like character and have each
two asymptotes, real, coincident or imaginary, according as the
respective planes (e^ + e^ie^ + e^){e^ + e^, or (e^ + e^){e^ + e<,)(e, + e^\
eut the curve C in two real, coincident, or imaginary points.'

The curves 6^^ and 6^, are of like character, each having a
Single asymptote whose direction may be thus found. Let p^ be the
point where 6' pierees the plane (^0+ ^«)(^« + ^i)(^'i + ^a); *^®^ ^^^
asymptote to Cq^ is parallel to the MvlQ Pi^e^ei^'P^e^e^. The direction of
the asymptote of C^j niay be similarly found.

The curve 6^3 has two real, coincident, or imaginary asymptotes
according as the plane (^0+ ^i)(^i + ^8)(^5+ O ^^^^ ^^ curve C in

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By E. W. Hydk. 127

two real, coincident, or imaginary points. If these points, when real,
are p^ and j),, then the two asymptotes will be parallel to the lines

respectirely. Ä^i^-P»«««« «nd p,e,e,. p,e,e,

If we now give to u the form of eq. 9); then, as in plane space,
the curve will be made up of detached portions of the curve obtained
when u = x, each portion being a double line, because, in general,
the same value of u is found from two diflFerent values of x.

If two Ä*8 become equal in eq. 3), say A^ = A^y then the curve
reduces to a straight line, in this case

If ^= -4.J in eq. 10), that equation may be written

13) p = ^o"K«o + ^h ßj) + ^"^ + ^"ß«,

which represents a plane curve of the same kind as that of eq. 3),
starting from noCo+^i^i and ending at e^.

If u is of such form that its only real values lie between — a
aod+a, say a = asmx;

then the ends of the curve, q)~^e and q>^e, may be chosen arbitrarily,
so long as they are in the same region, as previously defined. For let

Pi = £le and pg=-£me
be two arbitrarily chosen points; then

a sin —

p^ = £le =9) ^e^(p*'€ = läA'ne^

. 8»
a sin — - f^

and p^ = Zme= q) ^ e= q)~'^e = £-^e.

Iq^A^^Uq, l^^ A^^n,, etc.

and Wq = A^'-^nQy m^ ^ A^—^n^, etc.

and A=j/^' A^yit,' etc.

Thus real values of the ^'s and ns will be found whenever the
corresponding Vs and m'a are of the same sign, i. e. when 2\ and p^
are in the same region.

Bquation p = q)^il)^e.
We will first consider the case when w = a?, and t? =» y. Let

9()=2^e*.e*|(), and tO -^B,e,-e,\0,

0 0

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128 Loci of the equations p = (p*e and j) = qp"t^''€.

s
while as before e=^w^ex: then we are to discuss the equation

0

8

14) iJ = (p'fife =^Ak'Jik^niejt,

0

This equation evidently represents a surface, since it contains two
itidependent scalar variables. If y be given any constant value 6,,
while X varies, the equation j; = ip'^^^e is of the same kind as eq. lU)
and therefore represents a eurve of the species already discussed. If
to y be assigned a series of values b^ , , ,b^ a series of such eurves
will be obtained. Similarly by assigning constant values a, . . . a^ to j,
while y varies, a second series of eurves will be obtained lying on
the surface. Since the two eurves q/hn^ve and qf^f; ne have the common
point (p^m^^ne, every curve of the System a will intersect every curve
of the System 6. Two eurves of the same System can have no common
point except the two points at which they all terminate. If the «'s
are all positive the surface will be whoUy within the reference tetrahe-
dron, while if one or more of them be negative it will be whoUy
outside the same. The surfaces in the different regions of space are
harmonically related as in the case of the eurves.

Differentiating 14) we have the two points

-^ = (^^ylog9?)e and -^ -= (q>'i^^logi^)e,

each of which is in the tangent plane to the surface at jk hence
the plane is

15) P, = (p'tl;Ve{qfilfy]og(p)c{(p'tl;9log tli)e,

which cuts the edges of the reference tetrahedron at

Pt-e^e^, Pt-e^e^ etc. .

We proceed to show that by a proper choice of values for the
^'s and Ifs equation 14) will represent a riiled surface.

Let US express y in terms of x and a new variable 0 by the equation

16) y = mx -\- z.
Then ( »

0

Let the Äs and J/s be now so taken that

then the equation of the surface becomes

17) p = ^/i?/-[2?/Woeo + B/7i,€,] + A,'B-^'[B, n,e, + -B/w/J.

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By E. W. HvDE. 129

If in 17) some constant value be assigned to Zj while x varies,
}) will move along the straight line

thus, by giving a series of values to Zj a series of straight lines will
be obtained lying whoUy in surface between the lines e^e.^ and p^e.^,
and the surface may be regarded as generated by the motion of a
straight line terminating in these edges of the reference tetrahedron.
It is therefore a ruUd, and in fact a skew surface, whoUy confined
within the reference tetrahedron when the w's are all positive, and
bounded by the four sects e^e^^, e^e^y e^e^ and c^Cq.
If, using as before the relation 16), we assume

equation 14) becomes
18) p = (A„^„'»)'2'^*''He* + (A.B.'-yii.'e,,

0

which represents a cone generated by a sect whose extremities are

2

the point e^ and the variable point ^^B'ne. Its vertex is therefore

0

at Cj and it is whoUy within the tetrahedron.

The two sets of curves obtained from the equation 2^ ^ qf^^e,
first by assigning various constant values to x and then to y, may be
arranged in three diflFerent ways as regards their terminal points.

!■* The initial and terminal points of both sets may coincide.

2°'* The two sets may have one terminal point in common, and
the other different.

3^ One set may have both of its terminals different from those
üf the other.

In any one of these cases the constants may be so taken as to
make the surface a ruled surface.

Surfaces which from their equations, written in the form

appear to be different, may in fact be identical, though the sets
of curves x =- a^, a^ . . ., y = &i, h^ - • • will be different; for it appears

from eq. 17) that, so long as the two ratios -j^ and -^remain unchanged,

the rectilinear generators of the surface will be the same, and there-
fore the surface identical no matter what values be assigned to yl^,
-B(,? -^1 Mid JSj. Changes in these last however may affect materially
the curves ^ = «i, a^? • • •; y = ^1; ^2? • • • ^^^ instance the tw^o equations

19) p == 1'. gy^o + 2»- 4ye, + 3'- 3^^^ + 4^- 2!^e^,
and

20) p = 1*. 3yeQ + 2*- 4«'^^ + 3*- Ive^ + 4*- 2*63,

Zeitschrift f. Mathematik u. Physik. 42. Jahrg. 1897. 8. Heft. 9 r. ,, C^ nnn]o

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130

Loci of the eqiiations p = (p«e and p = q> tff'e.

^^'^k^k-'X^k

Curve ihlkPi ^^ section by a horizontal tangent plane.

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By E. W. Hydk. 131

both represent the same surface, which is shown in figure 2, though
the two Systems of curves in 19) are conterminal, while tliose in 20)
terminate in e^ and e^y and in e^ and e^ respectively.

Let US designate by S the surface (ffttf^e when the w's are all
positive, by Sq the surface when w^ is negative and the other w's
positive, etc. All the surfaces will be wholly exterlor to the reference
tetrahedron except S, which is wholly interior. The surface Si,
(i' = 0, 1, 2, 3), will have an asymptotic surface of which a cone-
director will be the cone. whose Vertex is at Ck and whose directrix is
tlie section of S by the plane which bisects the three edges of the
reference tetrahedron which meet in et. The surface S^^^ will be
asymptotic to a ruled surface whose generators are parallel to those
of the skew surface whose directrices are CyCj, e^e^ and the section of
S by the plane which bisects the four edges e^e^, e^e^, (\e^ and e^e^,
The other two surfaces of this kind Sq^ and Sq^ possess similar
asymptotic properties obtained by simple interchanged of Suffixes.
If S is a ruled surfaces one of these three bisecting planes of the
tetrahedron will cut a generator from 6', so that the director surface
in this case will be of the second order.

We will consider now the more general case

p = (p^tlf^e

when u = fj^x and v = f^x. Suppose first

21) M = asina?, v = bsmy]

then all real values of n lie between a and — a, and all real values
of V between b and — ft, hence the surface is a curvilinear quadrilateral
whose Corners are at tp^ilf^e, 9?"^""*, y"'*^*^, y~*^"*e. If we write

w =- a sec Xy v = b sec y ,

we have the case just reversed, and the surface has a quadrilateral
hole through it, the boundaries being the same as before. If

tt = a sin Xy v = b sec y,

we have two triangulär strips with comers at

q,^il}^e, 9?"^*f?, 9""^*, and at q)^^—^(', tp^^^—'^Cy tp—^^t-^e^

respectively. Finally if

\ u=^mx±h ]/- (.t^-äj^o:«- a/) . . . (V- >//)

l V = m'y ± Je' )/=Ö/^ -"'/>!*) (2/^- h?)':^{i/^-b7)

the surface may be broken up into a checkerboard pattern of separate
real quadrilaterals with imaginary strips between them.

If u and V be as in eqs. 21), three corners of the quadrilateral
may be arbitrarily chosen in the same region, when the fourth will
be determined.

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132 Loci of the eqiiations p^(p**e and p^tp^'ip^e. By E. W. Hvdk.
For let 8 3 s s

. 2""^' 2'^^' ^^'' 2""

0 0 0 0

be any four points whatever, and write

a Bin - b Bin — -
a «in - b Bin — ,

asm—— 6 Bin-- ^ .^.

. »ff ^ . 3ä
asin— - ftBin— - __ ^ .^ ^

A-^B^^n^ - |[to, ^-«7^o~*Wü = ^0^
with three other similar sets of equations for the coefficients of the
other Points. Hence „^, ^. ^^^^ „ ^^^^^

SO that, if K, A, /tt are assumed v is determined by them. We find also

2 3

Reciprocal equations. If A^^^n e be a fixed line^ and U = ^n r

0 ü

be a fixed plane, then we may write the three exquations

23) L = 0"A = y^Ä'*n I e,

0

s

24) P = O^n ^y^A''n\€,

0
3

25) P=O^W'n= V^''7^ w /3,

0

which are reciprocal respectively to equations 3), 10) and 14). Eq. 23)
is that of a curve enveloped by L = pj in plane space; eq. 24) is that
of a developable surface enveloped by 7^ = If) in solid space, and eq.25i
is that of a convex or skew surface enveloped by P = ■ j^;. We shall
not discuss the properties of these envelopes, as they are easily seeii
froni those of their reciprocals already considered.

It is believed that the curves and surfaces treated in this paper
have not been hitherto discussed by Grassmann*s methods.

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über Schraubengeschwindigkeiten eines festen Körpers
bei verschiedener Zahl von Stützflächen.

Von

P. SOMOFF

in Warschau.

1. Die meisten Untersuchungen über Verschiebungen, welche einem
festen Körper möglich bleiben, wenn er sich auf feste, unbewegliche
Flachen stützt, beziehen sich auf die Bewegung desselben parallel einer
Ebene oder um einen festen Punkt. Eine systematische Betrachtung
dieser Frage findet sich zuerst, soviel mir bekannt ist, bei Reuleaux
in seiner „Theoretischen Kinematik",* als Grundlage bei der Unter-
suchung der höheren kinematischen Paare. In dem Umstände, dass in
der praktischen Kinematik die ebene Bewegung eine vorwiegende
Bedeutung hat, liegt zum Teil der Grund davon, dass auch in den
weiteren Untersuchungen,** welche Reuleaux' Betrachtungen be-
deutend vervollständigten, der allgemeinste Fall der Stützflächen, bei
welchem dem festen Körper Schraubengeschwindigkeiten möglich
bleiben, nur sehr wenig in Betracht gezogen wurde.

In dei* vorliegenden Arbeit wird ein Versuch gemacht, solclie
Schraubengeschwindigkeiten bei gegebenen Lagen von Stützflächen zu
untersuchen. Analytisch würde das eine Aufgabe über Gebietsbestim-
mungen im Räume von fünf Dimensionen sein; dabei würde aber, was
die wirkliche Verteilung von Schraubengeschwindigkeiten betrifft, alle
Anschaulichkeit, welche in solchen Fragen sehr wesentlich ist, ver-
loren gehen. Es ist daher nur eine unmittelbar geometrische Dar-
stellung dem Ziele entsprechend.

2. Wir werden nur unendlich kleine Verschiebungen oder, was
^gleichbedeutend ist, Geschwindigkeiten betrachten und dabei die
Krümmung der Stützflächen und der Flächen, welche den festen Körper
umgrenzen, ausser Acht lassen.

♦ §§ 18, 19 und 20.

** Es mögen unter anderen genannt wertlrn: Rittors haus, „Civilingenieur",
1875, S. 438; Beck, „Civilingenieur'\ 1876, S. 571; (irashof, TheoretiRche
Maschinenlehren, 1883, S. 21; Burmester, Lehrbuch der Kinematik, 1886, S. 2;

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134

über Schraubengeschwindigkeiten eines festen Körpers etc.

Indem wir mit ^) den Parameter der Schraubengescliwindigkeit,
das heisst das Verhältnis der Translationsgesehwindigkeit u längs der
Schraubenaxe l zur Winkelgeschwindigkeit co um dieselbe bezeichnen,
werden wir 2> positiv rechnen, wenn die Richtungen der beiden Ge-
schwindigkeitskomponenten zusammenfallen, wobei der Vektor o in
derjenigen Richtung auf der Schraubenaxe abgetragen werden soll, von
wo gesehen die Drehung im Sinne der Uhrzeiger zu erfolgen scheint.
Als positive Richtung der Normale w einer Stützfläche 2J in ihrem
Berührungspunkte M zur Körperfläche wollen wir die Richtung an-
nehmen, nach welcher der Körper
sich von der Stützfläche entfernen
kann. Es sei weiter d der kürzeste
Abstand zwischen n und l, stets
positiv gerechnet, und 9 der Winkel
zwischen diesen Geraden, welcher auf
folgende Weise bestimmt werden soll.
Es sei AB (Fig. 1) die kürzeste Ent-
fernung zwischen n und l und X eine
parallel zu l durch den Punkt Ä ge-
zogene Gerade; indem wir von B aus
die Ebene (w, k) betrachten, messen
wir den Winkel 9? von der positiven
Normalenrichtung bis zur ersten Be-
gegnung mit k im Sinne der Ulir-
zeigerdrehung. Somit werden die Winkel (p und 9' für zwei parallele
aber auf verschiedenen Seiten von n gelegene Schraubenaxen l und /'
einander zu zwei rechten Winkeln ergänzen (Fig. 1). Der Winkel («, o)
wird immer zwischen den positiven Richtimgen dieser Geraden gemessen
werden und kann daher entweder gleich (p oder gleich % -r- q) sein.

Eine StütEfiäohe.

3. Wenn bei irgend einer Bewegung die Fläche des festen Körpers
eine Stützfläche berührt, so haben alle Punkte der gemeinschaftlichen
Normalen beider Flächen bekanntlich die Eigenschaft, dass ihre (le
schwindigkeiten auf dieser Normalen senkrecht stehen. Wenn aber hei
der Verschiebung des festen Körpers dieser sich von der StOtzflädi«'
entfernt, so bildet die Geschwindigkeit des Berührungspunktes, un«i
daher auch aller anderen Punkte der Normalen, mit der positiven
(§ 2) Richtung dieser Normalen einen spitzen Winkel. Für jede mög-
liche Bewegung des festen Körpers muss also die Schraubengeschwin-
digkeit so beschaffen sein, dass für jeden Punkt der Normalen die
Bedingung y . cos (v, n) > 0

erfüllt werde. Wählen wir den Punkt A (Fig. 1) dazu, so finden wir leicht»
wenn wir nur das im § 2 über p und 9 Gesagte beachten, Folgendes:

Von P. SouoFF.

135

Jede Gerade des Raumes kann als Schraubenaxe dienen und die
Winkelgeschwindigkeit kann auf derselben jede der beiden entgegen-
gesetzten Richtungen haben; es muss aber dabei, wenn die Winkel-
geschwindigkeit mit der positiven Normalen einen spitzen Winkel bildet,

1)

p^dtgy,

wenn dagegen <); (w, o) > y ist,

2)

sein. Die Figuren 2, 3, 4
und 5 stellen vier ver-
schiedene Falle dar, welche
dabei eintreten können.
Die Fälle (Fig. 4 und 5)
sind mit denjenigen iden-
tisch, welche man erhalten
würde, wenn man in den
Fällen (Fig. 2 und 3) die
Schraubenaxe sich selbst
parallel auf die andere
Seite der Normalen n ge-
bracht hätte.

Es ist leicht ein-
zusehen, wie die für ^>
gegebenen Bedingungen im
Falle, dass

ist, ausarten.

Ebenso brauchen wir
nicht die einfache Frage
zu untersuchen, um welche
Aien und nach welcher
Richtung eine einfache
Drehung oder eine Trans-
lation möglich ist.

4. Die Berührung mit
einer festen Fläche ist be-
kanntlich nicht die allgemeinste Form eines Zwanges für den festen
Körper, wie es zuerst Thomson und Tait* gezeigt haben. Es ist aber
l«*icht auch für die allgemeinste Form des Zwanges die entsprechenden
Bedingungen für p aufzustellen, wenn man nur beachtet, dass bei jeder
Zwangsbedingung, welche in Form einer Gleichung zwischen den 6 kine-

• A treatise on natural philosophy, § 201.

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136 Über Schraubengeschwindigkeiten eines festen Körpers etc.

matischen Elementen gegeben ist, alle fttr den Körper möglichen
Schrauben (p) einer einzigen Schraube mit bestimmtem Parameter P
reciprok sind;* sodass (^ + p) cos <p - d sin(p = 0

ist, wo d und (p die kürzeste Entfernung und den Winkel zwischen

den zwei Schraubenaxen (2^) und (P) bedeuten. Wenn die Bedingung

für die kinematischen Elemente ausser dem Gleichheitszeichen auch

ein Ungleichheitszeichen enthält, so finden wir, das im § 2 Gesagte

beachtend, entweder p> dtsw — P

oder '^ j. , y.

p<dig(p- P,

je nachdem co mit einer bestimmten Richtung der reciproken Schrauben-
axe einen spitzen oder einen stumpfen Winkel bildet.

Die weitere Untersuchung für mehrere Zwangsbedingungen würde
sich somit wenig von unserer Betrachtung für Stützflächen unter-
scheiden, es würde aber dabei zum grossen Teil die Anschaulichkeit
verloren gehen. Zudem wird ja ein Zwang für den festen Körper in
der That immer durch eine oder mehrere Stützflächen erreicht, und
alle anderen Fälle können, wenn die Zahl der Bedingungen grösser als
eins ist, auf diesen einzigen Fall zurückgeführt werden. Wir brauchen
daher weiter den genannten allgemeinsten Fall des Zwanges nicht zu
betrachten.

Zwei Stützflächen.

5. Für die Richtung der Winkelgeschwindigkeit auf der Schrauben-
axe können hier vier verschiedene Fälle eintreten, welche wir in drei
Gruppen teilen wollen:

1. Gruppe:

3) (wi«)<v (^ß')<Y;

2. Gruppe:

4) (Wiö)<-J^ Kg')>V
oder

5) 0*1«) >v 0*i®)<f"'

3. Gruppe:

6) (^i^)>Y' Kö)>Y^

wo n^ und n^ die positiven Richtungen der Normalen zweier Stütz-
flächen in ihren Berühnmgspunkten mit dem festen Körper bezeichnen.

Die Fälle, wo die Winkelgeschwindigkeit zu einer oder zu beiden
Normalen senkrecht ist, werden wir später betrachten.

Die Punkte einer Kugelfläche, die mit beliebigem Radius be-
schrieben ist, sollen die Richtungen der Winkelgeschwindigkeit, welche

* Ball, Theoretische Mechanik starrer Hyst-eme, S. 367.

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Von P. SoMOFF.

137

dieselbe auf der Schraubenaxe bekommt , bestimmen. Diese Kugel
wollen wir Parameterkugel nennen, da die L^en der Punkte auf
derselben mit den Ungleichheiten, durch welche die Werte von p be-
grenzt werden, zusammenhängen. Zwei durch das Zentrum der Eugel
gelegte Ebenen CA^DB^ und CA^DB^ (Fig. 6), welche auf den Nor-
malen n^ und Wg senkrecht stehen, teilen die Eugelfläche in vier
Gebiete CÄ^DB^, CA^DA^, CB^DB^ und CB^DA,, welche den vier
Fällen 3), 4), 5) und 6) und zugleich den vier Paaren von Ungleichheiten:

9) i><*itg9?i, i>^*2tg9j,

10) i^^^itg^i, P<S%^e9i,

entsprechen. Das erste p^ ^

und letzte, sowie die
anderen zwei Gebiete
kann man als paar-
weise konjugiert be-
trachten, da auf je-
der Schraubenaxe zwei

entgegengerichteten

Winkelgeschwindig-
keiten solche Punkte
auf der Kugel ent-
sprechen, welche zu
zwei Gebieten desselben
Paares gehören.

Wenn die Richtung
der Winkelgeschwindig-
keit dem Gebiete 3)
angehört, so muss der
Parameter einer mög-
lichen Schraubengeschwindigkeit auf jeder dieser Richtung parallelen
Aie der Bedingung 7) genügen, er darf also nicht kleiner als jede
der beiden Grössen:

11) *ltg9>,, *2<^g9^2

sein. Wenn die Winkelgeschwindigkeit die entgegengesetzte ist, so
entspricht ihr ein Punkt des konjugierten Gebietes 6), und es besteht
die Bedingung 10), p darf also die kleinere von den Grössen 11)
nicht übersteigen.

Somit sehen wir, dass auf jeder Axe, welche den konjugierten
Gebieten 3) und 6) entspricht, Schraubengeschwindigkeiten möglich
sind; wobei der Parameter einen Wert haben muss, welcher nicht
zwischen den Grössen 11) liegt. Die Winkelgeschwindigkeit der

.,_.by Google

138 Über Schraubengeschwindigkeiten eines festen Körpers etc.

Schraubenbewegung kann auf jeder solchen Axe, je nach den Be-
dingungen 7) oder 10) beide Richtungen bekommen.

Bei jeder den Gebieten 3) und 6) entsprechenden Richtung giebt
es Axen, für welche die Grössen 11) einander gleich werden; auf
solchen Axen kann j> jeden beliebigen Wert bekommen.

Nehmen wir jetzt an, dass die Winkelgeschwindigkeit dem Ge-
biete 4) angehört; 2> »luss dann den Ungleichheiten 8) genügen, welche
dann vereinbar sind, wenn die Lage der Axe der Bedingung:

12) *itg<jPi<*2tg(3P2

genügt. Auf allen anderen Axen von derselben Richtung sind keine
Schraubengeschwindigkeiten mit gegebener Richtung der Winkel-
geschwindigkeit möglich; auf allen diesen Axen sind aber Schrauben-
geschwindigkeiten mit entgegengesetzter Winkelgeschwindigkeit mög-
lich; denn diesen Axen entsprechen die Ungleichheiten 9), welche für
alle diese Axen vereinbar sind, da die letzteren jetzt der Bedingung:

13) S,tg(p,>d^igfp,
genügen. Wir finden also:

Auf allen Axen, auf welchen einer von den Winkeln (n^o), (Hj«)
spitz und der andere stumpf ist, sind Schraubengeschwindigkeiten
möglich; die Winkelgeschwindigkeit kann aber auf jeder dieser Axen
nur eine von den beiden Richtungen haben, je nachdem die Lage der
Axe der Bedingung 12) oder 13) genügt. Auf allen diesen möglichen
Schraubenaxen muss der Wert des Parameters j) zwischen den Grössen 11)
liegen. Diese Grössen sind übrigens für verschiedene Schraubenaxen
derselben Richtung im allgemeinen verschieden.

Auf einer Schraubenaxe, für welche

14) • *itg9i = *2tg92

ist, kann p nur diesen einzigen Wert bekommen, für die Winkel-
geschwindigkeit bleiben aber dabei beide Richtungen möglich. Alle
diese Axen gehören offenbar demjenigen Komplexe zweiten Grades an,
welcher alle Schrauben enthält, die für den festen Körper möglich
sind, wenn er beständig zwei feste Flächen berührt.

Alle diesem Komplexe angehörenden Axen von derselben Richtung
liegen in einer Ebene, welche im folgenden Paragraph näher unter-
sucht werden soll, da sie im weiteren eine besondere Bedeutung hat.

6. Es sei ein System paralleler Axen gegeben, deren Richtung
den konjugierten Gebieten 4) und 5) entnommen ist. Durch die
Normalen n^ und n^ legen wir Ebenen P, P'j und P^P'^ (Fig. 7\
welche der gegebenen Axenrichtung parallel sind, und welche wir
Normalebeneu nennen wollen. Da für zwei Axen, welche auf ver-
schiedenen Seiten einer solchen Ebene liegen, dtg(p verschiedene
Zeichen hat, so ist leicht einzusehen, dass den vier von den Normal -
ebenen gebildeten Winkeln vier verschiedene Zeichenverbindungen der

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Von P. SOMOFF.

139

Grössen 11) entsprechen. Für eine Gerade l, welche im Winkel (P,Pj)
liegt, haben diese Grössen die Zeichen (+ +), für V im Winkel (P\P^)
[+-), fflr l" im Winkel (PiP'j) (-+) und fftr V" im Winkel

iP\P',)( )•

Dabei ist in der Figur 7 vorausgesetzt, dass n^ mit der gegebenen

Axenrichtung EE' einen spitzen, n^ aber einen stumpfen Winkel

bildet. Nehmen wir jetzt an, dass w auf irgend einer der gegebenen

Äjcen diese Richtung EE' hat, und daher p den Bedingungen 9)

genügt. Dann finden wir, dass für alle Axen, welche im Winkel

(Pi F\) liegen, diese

jungen erfüllt
werden und daher alle
diese Axen mögliche
Schraubenaxen sind; für
die Axen aber, welche
im Winkel (P/ P^)
liegen, sind die Un-
gleichheiten 9) nicht
vereinbar, dieser Winkel
enthält also keine mög-
lichen Schraubenaxen.
Um in den beiden an-
deren Winkeln (P^P^)
und (P\P\)y in wel-
chen die Zeichen der
beiden Grössen 1 1)
gleich sind, mögliche
Schraubenaxen zu fin-
den, ziehen wir durch
EE* eine Ebene S^g,
welche in diesen beiden
Scheitelwinkeln liegt
und sie in solche Teile
t<»ilt, dass ihre Sinus im umgekehrten Verhältnisse zu den
Tangenten der Winkeln (p^ und «pg stehen. Diese Ebene, welche
im weiteren eine wichtige Rolle spielt, wollen wir Grenzebene nennen.
Für alle Geraden der gegebenen Richtung, welche in dieser Ebene
liegen, sind die Grössen 11) gleich. Zu einer Seite dieser Ebene liegen
diejenigen Geraden, für welche die Bedingungen 12) erftlllbar sind;
alle diese Geraden, mögen sie in den Winkeln (P^P^), (P\P'^) oder
ausserhalb derselben liegen, stellen mögliche Schraubenaxen dar, wenn
nur die .Winkelgeschwindigkeit oj die angenommene Richtung JE J?' behält.

Alle Axen, welche zur anderen Seite der Grenzebene liegen,
werden mögliche Schraubenaxen, wenn für die Winkelgeschwindigkeit
die entgegengesetzte Richtung angenommen wird.

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140

Über Schraubengesch windigkeiten eines festen Körpers ete.

Wir sehen also, dass wieder alle Axen einer gegebenen Richtung
mögliche Schraubenaxen sind; sie werden nur in Bezug auf die mög-
liche Richtung der Winkelgeschwindigkeit durch die Grenzebene in
zwei Gruppen geteilt.

7. Bei grösserer Zahl von Stützflächen wird eine perspektivische,
der Figur 7 analoge Darstellung unbequem sein; wir werden daher
folgende graphische Darstellung auf einer zu dem gegebenen
System paralleler Geraden senkrechten Ebene vorziehen.

Die Winkelgeschwindigkeit werden wir als positiv bezeichnen (+ ©),
wenn sie gegen den Zuschauer gerichtet ist, wenn man also die ent-
sprechende Drehung im Sinne der Uhrzeiger sieht; im anderen Falle
schreiben wir (— cai).

Um anzugeben, wie eine Normale n zu der Zeichnungsebene ge-
neigt ist, werden wir bei der Projektion des positiven Endpunktes

der Normalen das Zeichen (+)
oder (— ) anbringen, je nachdem
die Normale mit der positiven

Winkelgeschwindigkeit einen
spitzen oder einen stumpfen Winkel
bildet.

Die Punkte der Ebene wer-
den die Lagen der gegebenen Axen
bezeichnen. Die Zeichen (-f ) und
(— ), welche in den von den Pro-
jektionen der Normalen gebildeten
Gebieten stehen, werden, der Reihe
nach von oben nach unten ge-
schrieben, die Zeichen der Grössen

^1 ^g 9u ^2 tg 9^2? • • • angeben.

Endlich werden wir das Gebiet, welches mögliche Schraubenaxen
mit positiver Winkelgeschwindigkeit bestimmt, horizontal, dasjenige
aber mit entgegengesetzter Winkelgeschwindigkeit — vertikal schraffieren.

In der Figur 8 ist auf diese Weise der im § 6 betrachtete Fall
zweier Stützflächen dargestellt. Die Spur der Grenzebene S^^y welche
wir in der Folge Grenzgerade nennen werden, ist strichpunktiert ge-
zeichnet.

Zur Bestimmung der Lage der Grenzebene und der möglichen
Schraubenaxen, welche auf der einen oder anderen Seite dieser Ebene
liegen, kann man folgende Regeln aufstellen.

a) Die Grenzgerade Sikj welche durch den Durchschnittspunkt der
Geraden Hi und % geht, liegt in demjenigen Paare der von diesen
Geraden gebildeten Scheitelwinkel, in welchen die Grössen tf,tgg),- und
^*tg9?jt gleiche Zeichen haben, das heisst (Fig. 8) in den Gebieten

("f -f ) und ( ). Dabei muss man voraussetzen, dass die Normalen

fii und Uk in der graphischen Darstellung von entgegengesetzten

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Von P. SoMOFF.

141

FiR. 9.

Zeichen begleitet werden; denn sonst verliert die Grenzebene ihre
Bedeutung.

b) Wenn der Winkel zwischen den positiven Richtungen der

Normalenprojektionen die Zeichen ( ) enthält, so liegt das Gebiet

der möglichen Schraubenaxen mit positiver Winkelgeschwindigkeit auf
derjenigen Seite der Geraden Sn, auf welcher das Ende der mit
negativem Vorzeichen versehenen Nornialenprojektion sich befindet
(— n^ in der Fig. 8); wenn aber der genannte Winkel mit den
Zeichen (-f- +) versehen ist, so liegt das Ge))iet (+ (o) auf der anderen
Seite von Sik (+ n^ in der Fig. 9).

Die Grenzebene hat eine Bedeutung auch bei der Bestimmung der
Grenzen 11) för die Werte des Parameters 2^- Es ist nämlich die
Differenz dieser Grenzen für diejenigen Schrauben gleich, welche in
einer der Grenzebene parallelen Ebene liegen; sie ist dabei der Ent-
fernung zwischen den beiden Ebenen
proportional. Die Grenzwerte selbst
sind übrigens für verschiedene Axen
derselben Ebene verschieden. In
der Figur 8 sind die Spuren einiger
solcher Ebenen durch Punktierung _^ I
angegeben.

8. Die Lage der Normal-
ebenen und der Grenzebene
hängt offenbar davon ab, welcher
Punkt Jlf der Parameterkugel (Fig. 6)
die Richtung der Winkelgeschwin-
digkeit und zugleich des Systems
paralleler Schraubenaxen bestimmt. Wenn der Punkt M auf den Grenzen
des Gebietes A^DA^C einen Umlauf macht, so ergiebt sich folgendes.
Für die Lage C dieses Punktes ist der Winkel zwischen den Normalen-
ebenen PjP'i und PgP'g (Fig. 7) dem Winkel (n^n^) gleich, die Ge-
rade EE' föUt mit der Geraden der kürzesten Entfernung zusammen
und die Lage der Grenzebene bleibt unbestimmt, da beide Grössen 11)
jetzt unendlich sind. Aber in diesem Falle kann man leicht unmittel-
bar einsehen, dass jetzt einerseits eine Translation (j) = oo) nach beiden
Richtungen, andererseits eine einfache Drehung (j) = 0) um diejenigen
Aien der gegebenen Richtung möglich ist, welche in den Scheitel-
winkeln (PiP'2) ^^^ (P\^i) liegen: im ersteren Winkel — (-f w) und
in dem zweiten — (— gj). Daher ist um alle diese Axen auch eine
Schraubengeschwindigkeit von willkürlichem Parameter möglich, wenn
nur die entsprechende Winkelgeschwindigkeit eine bestimmte Richtung
bekonuni Eine Ausnahme macht nur die Gerade EE', auf welcher
beide Richtungen der Winkelgeschwindigkeit möglich sind. Während
der Punkt M auf dem Bogen CA^ D fortschreitet, bleibt immer tg y, = 00
und die Grenzebene, wie es aus § 7 folgt, fällt mit der Ebene Pj P\

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142 Über Schraubengeschwindigkeiten eines festen Körpers etc.

zusammen. Ebenso^ wenn der Punkt M den Bogen DA^C beschreibt,
fallt die Grenzebene mit der Ebene P^P^i zusammen. Wenn dieser
Punkt sich auf einem Kreise CADBCy welcher CD zum Durchmesser
hat, bewegt, das heisst, wenn man Winkelgeschwindigkeiten, welche
einer gegebenen Ebene parallel sind, betrachtet, so beschreibt die Ge-
rade HE' (Fig. 7) ein hyperbolisches Paraboloid. Rückt der Punkt M
von C nach A, so wird <)C(Wi^i) = 0 und die Grenzebene wird den
Geraden n^ und n^ parallel. •

Bemerken wir noch -- und das wird später eine Anwendung finden —
dass, wenn der Winkel zwischen der Ebene CADBC und VA.^BB^C
oder CA^DB^C genügend klein ist, so dass das Verhältnis tgg^iitgg),
oder tgq>^:tg(pi nach seinem Zahlen werte genügend gross bleibt, die
Gerade S^^ (Fig. 8) auch einen beliebig kleinen Winkel mit der Ge-
raden (+ wj oder respektive (— 7i^) bildet. Daraus folgt, dass man
im betrachteten Falle in den konjugierten Gebieten 4) und 5) immer
solche Punkte wählen kann, dass die Grenzebene einen beliebig kleinen
Winkel mit P,P\ oder mit P^P'^ bildet.

Wenn der Punkt M auf der Parameterkugel durch die Winkel-
koordinaten s und a (Fig. 6) bestimmt wird und wir mit Vj, den
Winkel (n^n^), mit ß den Winkel zwischen den Ebenen PiP\ und
Pg P\ (oder zwischen + '^h ^"^ ~" ^h ^^^ Figur 8) und endlich mit s^
den Winkel zwischen PiP\ und der Grenzebene bezeichnen, so finden wir:

, X o I cotg6 1 /- cos'asm'v,,

C0tg5. == COtg^ H ° 1/ 1 . .p "y

® ^ or I cosasmi'jj y 8in*p

WO der Winkel ß aus der Gleichung:

cos i/jjsin^ — cos s cos a sin v,2COS/3 + sin s ^sin^/S — cos*a sin'i'jg = ^

bestimmt wird.

9. Um solche Axen aufzusuchen, um welche einfache Drehung
(p = 0) möglich ist, bemerken wir, dass för solche Richtungen der
Winkelgeschwindigkeit, welche den Bedingungen 7) entsprechen, dass
grössere von den Produkten 11) nicht positiv werden darf; keiner von
den Winkeln ip,, 9^2 darf also spitz werden. Ebenso, für die enigegen-
gesetzte Richtimg von o dürfen dieselben Produkte nicht negativ, g>,
und q>^ also nicht stumpf werden. Um die entsprechenden Gebiete
möglicher Drehaxen zu finden, ziehen wir durch n^ und n^ Ebenen,
welche einer der gegebenen, den Ungleichheiten 7) oder 10) ent-
sprechenden Richtungen parallel sind (Fig. 10). Die Winkel {PiP'*)
und P\P^), deren Schenkel die positive Richtung einer von den
Normalen und die negative Richtung der anderen enthalten, stellen
dann die gesuchten Gebiete dar. Im Falle, dass das System paralleler
Axen den Ungleichheiten 8) und 9) entspricht, liegen die möglichen
Drehungsaxen in den Winkeln, welche ebenso bestimmt werden [(P'jP*)
und (PjP'g) der Fig. 7).]

/Google

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Von P. SOMOFF.

143

Einfache Translationsgeschwindigkeiten (jp = oo) sind offenbar nach
solchen Richtungen möglich, welche auf der Parameterkugel (Fig. 6)
durch das Gebiet CÄ^DB^C bestimmt werden.

10. Es seien jetzt die Normalen n^ und n^ einander parallel.
Wir müssen hier zwei Fälle unterscheiden: den, dass die Normalen
gleichgerichtet und den, dass ihre Richtungen entgegengesetzt sind.
Im ersten Falle werden die Gebiete Ä^DBJJ und A^CB^D (Fig. 6)
zu halben Kugelflächen, und man findet dann nacli der allgemeinen
Kegel, dass um jede Axe, welche zu den beiden Normalen nicht senk-
recht ist, Schraubengeschwindigkeiten möglich sind, wenn nur p
nicht einen zwischen
den Grossen 11) liegen-
den Wert hat. Da die
anderen zwei Gebiete auf
der Parameterkugel nur
durch Punkte eines Kreises,
dessen Ebene zu den Nor-
malen n^, n, senkrecht ist,
bestimmt werden, so sind
fiir die entsprechenden
Richtungen der Schrauben-
axen die Grössen 11) un-
endlich. Wenn man be-
achtet, dass eine einfache
Drehung um diejenigen
Axen dieser Richtungen
möglich ist, welche nicht
zwischen den Normalen
durchgehen, eine Trans-
lation aber nach allen zu
den Normalen senkrechten
Richtungen möglich bleibt,

so sieht man, dass jetzt um alle zu den Normalen senkrechten, aber
nicht zwischen denselben gelegenen Axen Schraubengeschwindigkeiten
mit behebiger Parametergrösse zulässig sind. Die Winkelgeschwindig-
keit kann übrigens auf jeder dieser Axen nur eine von den beiden
Richtungen haben (Fig. 11).

Im zweiten Falle, wenn die Normalen ungleiche Richtung
haben, muss der Wert von j^) für jede Axe, welche zu den Normalen
nicht senkrecht ist, zwischen den Grössen 11) liegen, da die
Winkelgeschwindigkeit auf jeder solchen Axe mit der einen Normale
einen spitzen und mit der anderen einen stumpfen Winkel bildet.
Für die Schraubenaxen, welche auf einer Seite der beiden Normalen
liegen, ist q>^ = q>^.

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144

Tber Schrauben^oschwinclif»koit<»n eines festen Körjjers etc.

Vip.U.,

Fig. 13.

Fig. 14.

Nehmen wir an, dass für irgend eine dieser Axen die Winkel (p^,
^2 und (n^o) spitz sind (Fig. 12); dann sind um diese Axen Schrauben-
gesehwindigkeiten möglich, wenn

15) ä,tg<p,<p<ö,tg(p,

ist. Für die Möglichkeit dieser Bedingung ist es notwendig, dass *i <*«
ist. Auf diese Weise sieht man überhaupt, dass um jede Axe, welche nicht

zwischen den Normalen
liindurchgeht , Schrauben-
geschwindigkeiten mög-
lich sind-, es muss aber da-
bei: 1. der Wert von p
<*> zwischen den Grössen 11)
liegen und 2. die Winkel-
geschwindigkeit mit der-
jenigen Normalen, deren
kürzeste Entfernung von
der Schraubenaxe die
kleinere ist, einen spitzen Winkel bilden. Wenn die Schraubenaxe
zwischen den Normalen liegt (Fig. 14), so ist 91 + ^2 = ^5 ^^^ ^^^^

die Winkelgeschwindigkeit,
damit die Bedingungen 15)
erfüllt werden, mit der-
" ^ jenigen Normalen einen
spitzen Winkel bilden, für
welche der Winkel 9 stumpf
ist. — Ebenso muss für die
Axen, welche auf einer Seite
der beiden Normalen liegen,
für welche die Winkel g),
und (p^ aber stumpf sind, die
Winkelgeschwindigkeit der
entgegengesetzten Forderung genügen (Fig. 13).

Wenn eine Schraubenaxe, wieder im Falle ungleich gerichteter
paralleler Normalen, zu denselben senkrecht ist und zwischen ihnen
liegt, so bleibt der Parameter beliebig, die ent-
sprechende Drehung kann aber dann nur in
einem Sinne erfolgen (Fig. 15). Liegt die Axe
auf einer Seite der beiden Normalen, so ist auf ihr
keine Schraubengeschwindigkeit von endlichem
Parameter möglich.

Wenn die Schraubenaxe nicht zu den Nor-
malen senkrecht aber der Ebene derselben parallel
ist, so bleibt für p nur ein bestimmter Wert möglich, da die Grössen 11)
einander gleich werden; dieser Wert wird Null, es bleibt also nur eine
Drehung möglich, wenn die Axe die beiden Normalen schneidet.

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Von P. SoMOFP. 145

Eine besondere Bedeutung in Bezug auf den grössten Zwang eines
festen Körpers mit zwei Stützflächen hat der Fall, wo die entgegen-
gesetzt gerichteten Normalen auf einer Geraden liegen. Obgleich dann
wieder jede Gerade des Raumes eine mögliche Schraubenaxe darstellt,
bekommt der Parameter auf jeder Axe nur einen bestimmten Wert, da
die Grenzen desselben 11) immer einander gleich bleiben.

Drei StütEfläolieii.

11. In Bezug auf die Richtungen der Winkelgeschwindig-
keit kann man die hier eintretenden acht Fälle in vier Gruppen zerlegen,
je nachdem die Winkelgeschwindigkeit entweder mit allen drei Normalen
«1, w^, Wj, oder mit zweien, oder nur mit einer, oder endlich mit
keiner von ihnen Winkel bildet, welche einen rechten Winkel nicht
übertreffen. Diesen vier Gruppen entsprechen nach § 3 folgende acht
Systeme von Ungleichheiten:

1. Gruppe:

16)

P>Sxtg<Pi,

|)>djtg()Pj„
2. Gruppe:

|)>tf,tg9),;

17)

p>S^tg(p^,

p>djtgyg,

j)<(jstgqpj,

18)

P><^JS9i>

p<d^igq>i,

p>östg<p^,

19)

l><*ltg<)Cl,

|)>d,tgqpj,
3. Gruppe:

P^^z^fa-,

20)

P<*itg9'i,

|><(Jgtg(pj,

p>d^tg(Ps,

21)

j)<(J,tg(pi,

p>ditg<Pi,

P<^i^SVi,

22)

P>Si^S<Pi,

4. Gruppe:

p<Sstg(p^',

23) •

i><*itg9'i,

p<S^tg<pt,

P<jB^<Fr

Auf der Parameterkugel entsprechen diesen Ungleichheiten acht
Gebiete, welche durch drei Kreislinien, deren Ebenen durch das Zentrum
der Kugel gehen und zu den Normalen senkrecht sind, gebildet werden
und paarweise konjugiert sind (§ 5). In der Figur 16 entsprechen den
Bedingungen 16)... 23) folgende acht sphärische Dreiecke:

^^6'(16), BDC{\1), AEB{\«), ACF{\9i),
AEF(20), 7)C'F(21), E B D(22) unä FD F{23).
Dabei sind als konjugiert zu betrachten:

ABC und EDF, BBC und AEF,
AEB und DCF, ACE und EBB,

Zeltachrift f. Mathematik u. Physik. 42. Jahrg. 1897. 8. Heft. A^itized b GOOQIC

UG

Über Schraubengescliwiniligkeiten eines festen Köq)ers etc.

Es ist wesentlich, zu bemerken, dass jedes Paar der konjugierten
Gebiete wirklich existiert; jedes derselben kann übrigens in zwei Kreis-
bögen oder sogar nur in 2wei Punkte, die Enden eines Durchmessers der
Parameterkugel, ausarten.

12. Die Schraubengeschwindigkeiten, welche der ersten
und vierten Gruppe entsprechen, brauchen nicht ausführlicher unter-
sucht zu werden. Jede Axe, welche den konjugierten Gebieten ABC* und
EDF augehört, kann mögliche Schraubengeschwindigkeiten enthalten,
wenn der Parameter entweder nicht kleiner als jede der Grössen:

24) ^itgTi. *2^ig^2; ^s^gTs

ist oder keine derselben übersteigt.

Im ersten Falle muss die Winkelgeschwindigkeit dem Gebiete ABC
pjg lg und im zweiten Falle dem

Gebiete ED F angehören , also
die entgegengesetzte Richtung
haben. Natürlich sind die
Grenzen, ausser welchen p
bleiben muss, für verschie-
dene Axen derselben Rich-
tung verschieden.

Bei drei Stützflächen
giebt es also immer noch
solche Richtungen, dass
alle denselben entspre-
chenden Geraden mög-
liche Schraubenaxen dar-
stellen.

IS.FürdieSchrauben-
axen, welche der zweiten
und dritten Gruppe angehören, ist eine nähere Untersuchung not-
wendig. Der Parameterwert solcher Schraubenaxen liegt, wie aus den Un-
gleichheiten 17)... 22) ersichtlich ist, immer zwischen gewissen Grenzen.
Betrachten wir das Gebiet BDC und die ihnen entsprechenden Be-
dingungen 17). Damit eine Gerade, welche diesem Gebiete entnommen
ist, mögliche Schraubenaxe wird, müssen diese Bedingungen mit ein-
ander vereinbar sein. Legen wir durch die Normalen n^, w^, Wg die
der gegebenen Axenrichtung parallelen Ebenen PjP'i, P^P^y PzP\
(Fig. 17); sie schneiden sich in den derselben Richtung parallelen Geraden
J?23, -E'28; ^31; E\^, J?i2? ^'12 ^^^ teilen den ganzen Raum in sieben
Gebiete, welchen in Bezug auf das gegebene Bündel paralleler Ge-
raden, sieben verschiedene Kombinationen der Zeichen (+) und ( — )
für die Grössen 24) aus den acht überhaupt jetzt möglichen Zeichen-
verbindungen entsprechen. Diese sieben Gebiete sind in der Figur 17
perspektivisch und in der Figur 18 nach der Regel des § 7 dargestellt.

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Von P. SOMOFF«.

147

In den Gebieten (+ + — ), (H ) und (— + — ) sind die Ungleich-
heiten 17) für keine Axe vereinbar; dagegen sind sie im Gebiete ( h)

far alle Geraden vereinbar. In den übrigen Gebieten können die Be-
dingungen 17) teilweise vereinbar sein. Nämlich im Gebiete ( )

muss die mögliche Fig n.

Schraubenaxe der Be-
dingung genügen, dass
die absoluten Weiie
von 8^ tg (f^ und d^ tg (f^
grösser als d^ tg (f^
seien. Das wird nur
für diejenigen Geraden
stattfinden, welche auf
einer Seite der Grenz-
ebenen (§ 6) *Si3 und ^23
liegen. Die Spuren
dieser Ebenen, das
heisst die „Grenz-
geraden" sind in der
Figur 18 durch Strich -
Punktierung und das
Gebiet(+ cd) möglicher

Schraubengeschwin-
digkeiten mit positiver

Winkelgeschwindig-
keitsrichtung durch horizontale Schraffierung hervorgehoben. Dieses
Grebiet enthält auch einen Teil des Gebietes ( — h +).
Dieselben Grenzgeraden

Fig. 18.

^._

Si3 und *S^23 bestimmen auch
das Gebiet möglicher Schrau-
bengeschwindigkeiten mit ent-
gegengesetzter Richtung der
Winkelgeschwindigkeit (— co).
In der Figur 18 ist dieses Ge-
biet, welches den Beding-
ungen 20) entspricht, durch
vertikale Schraffierung an-
gegeben und enthält, wie
man sieht, das ganze Gebiet
(+-] — ) und zum Teil die

Gebiete (+ ), (- + -)

und (+ + +).

Auf ähnliche Weise kann man die Richtungen, welche den Un-
gleichheiten 18) und 21), oder 19) und 22) entsprechen, untersuchen.
Der Unterschied wird nur in den Zeichenverbindungen und noch darin

. 19 •jby Google

148

Über Schraubengeschwindigkeiten eines festen Körpers etc.

bestehen, dass anstatt der Ebenen S^^, S^^ jetzt respektive die Ebenen
aS^32, ^12, oder S^^y *^i3 ^^^ Hauptrolle spielen werden.

In allen Fällen, welche in der zweiten und dritten Gruppe
enthalten sind, erfüllen die möglichen Schraubenaxen einer
gegebenen Richtung den Raum zweier Scheitelwinkel, welche
von den Grenzebenen, die durch die Durchschnittsgeraden
zweier Normalebenen mit einer dritten gehen, gebildet werden.
Die anderen zwei Scheitelwinkel enthalten keine möglichen Schrauben-
axen. Bei zwei Stützflächen konnte ein solcher Fall nicht eintreten;
denn alle Geraden des Raumes konnten als Schraubenaxen dienen. Wir
sehen also, dass zur Existenz solcher Geraden, welche keine

möglichen Schrauben-
axen sein können, min-
destens drei Stützflächen
nötig sind.

Da die Richtungen der
Grenzebenen Sj^^'a.S2^(Pig. 18)
von den Verhältnissen

Fig. 19.

+ 71,,

•Ml.

tgyi:tg9>2:tgg>3
abhängen und jede dieser
Tangenten im gegebenen Ge-
biete auf der Parameterkugel
beliebig gross werden kann,
so kann die Durchschnitts-
gerade der Ebenen Ä^j, Sgg, welche in der Figur 18 durch den Punkte

dargestellt ist, jede mögliche Lage in den Gebieten ( ) und

(+ + +) annehmen. Diese Bemerkung wird später eine Anwendung finden.
In derselben Figur 18 sind durch feinere Punktierung diejenigen
den Grenzebenen parallelen Ebenen angegeben, in welchen Schrauben-
axen mit gleicher DiflFerenz zwischen den Grenzen für den Parameter-
wert liegen (§ 7).

14. Um solche Geraden aufzufinden, um welche unter anderen
Schraubenverschiebungen auch eine einfache Drehung möglich ist,
muss man in der zur gegebenen Axenrichtung senkrechten Ebene die Ge-
biete suchen, in welchen alle drei Grössen 24) den Wert Null bekommen
können. Bei den Axen der ersten und vierten Gruppe muss für die

eine Richtung der Winkelgeschwindigkeit (+ o) das Gebiet ( )

genommen werden (Fig. 19), da das grösste von den Produkten 24)
den Ungleichheiten 16) gemäss Null nicht übertreffen darf; bei der
entgegengesetzten Richtung (— w), welcher die Bedingungen 23) ent-
sprechen, gehören die Axen möglicher Drehung dem Gebiete (+ + +)
an. Wenn die Axenrichtung der zweiten und dritten Gruppe z. B. den
konjugierten Gebieten BBC und AEF auf der -Parameterkugel an-
gehört, also für die eine Richtung der Winkelgeschwindigkeit die Be-

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Von P. SoMOFF.

149

^^i

Fig. 20.

dinguugen 17) und jRir die entgegengesetzte Richtung die Bedingungen 20)
erfüllt werden, so entsprechen (Fig. 18) dem Werte p = 0 respektive

die Gebiete( h) und (+ + -).

In den betrachteten zwei
Beispielen erstrecken sich die
Uebiete, in welchen die Axen
einfacher Drehung lagen, ins
unendliche; man kann aber
solche Lagen dreier Stütznor-
malen oder auch solche Axen-
riehtungen nehmen, dass das eine
von den Gebieten (+ oj), (— co)
verschwindet und das andere
geschlossen bleibt. Um dieses
zu erreichen, bemerken wir,
dass in- der Ebene, welche zur
gegebenen Axenrichtung senkrecht ist, von den acht Zeichenverbindungen
immer nur sieben vorhanden sind; man kann dabei die Lage der Nor-
malen so nehmen, dass die ab-

+ni

¥11,

Fig. 21.

+71/,

&n.

wesende Zeichenverbindung zu
einem der zwei Gebiete mög-
licher Drehung gehört; das
andere Gebiet kommt dann in
das geschlossene Dreieck zwi-
schen den Projektionen der
drei Normalen hinein. Solche
Fälle sind in den Figuren 20,
21, 22 und 23 dargestellt; es
ist leicht einzusehen, wie die +'**^
ersten zwei Figuren aus der
Figur 19 und die anderen zwei
aus der Figur 18 entstanden sind.

Die Bestimmung der Gebiete einfacher Drehung ist übrigens der
Bestimmung möglicher Geschwindigkeitspole der ebenen Bewegung für
den Fall von drei Stützkurven ganz analog.*

Wenn das Dreieck möglicher Drehungen in den letzten vier Figuren
sich in einen Punkt verwandelt, so bleibt für die gegebene Richtung
nur eine Drehungsaxe möglich. Alle solche Axen gehören offenbar zu
einer Schar der Erzeugenden des Hyperboloides, dessen andere Schar
von Erzeugenden die drei Stütznormalen enthält.

15. Wir setzen jetzt voraus, dass zwei von den Stütznormalen
einander parallel sind. Sie mögen zuerst gleichgerichtet sein;
dann verwandeln sich die Gebiete ABC, BBC, AEF xmA EBF der
Parameterkugel (Fig. 16) in sphärische Zweiseite und die übrigen vier

* Man verizl.: Reuleaux, Theoretische Kinematik, 1876, S. 109— 112. C^ r^r^r^]r>

® ' ' ' Digitizedby VjOOQIC

150

über Schraubengeschwindigkeiten eines festen Körpers etc.

Gebiete bleiben nur als Grenzen der vorhergehenden vorhanden. Die
entsprechende Darstellung auf der Parameterkugel ist in der Figur 24
gegeben.

Bei jeder Axenrichtung, welche den konjugierten Gebieten EBCA
und EFCD angehört, sind, wie im allgemeinen Falle, Schrauben-

Fig. 2S.

Fig. 23.

Fig. 24.

geschwindigkeiten möglich, wenn nur p ausserhalb der Grenzen liegt,
welche durch das kleinste und das grösste von den Produkten 24)
bestimmt werden.

Den Gebieten EDCB und .^^CF entsprechen die Ungleichheiten
17) und 20). Von den sieben Gebieten* der Figur 18 bleiben jetzt nur

sechs übrig (Fig. 25). Es ist das Gebiet

(H ) verschwunden; aber bei einer

anderen Lage der Normalen könnte auch
ein anderes Gebiet verschwinden. Die
Grenzebenen S^^ und S^^ werden jetzt
parallel; denn das Verhältnis tg (p^ : tg q:^
im Gebiete (+ + +) ist jetzt dem Ver-

ij-^ hältnisse tg qp^ - tg «Ps ™ Gebiete ( )

gleich, da hier die Winkel q)^, tp^ die
Winkel qPj, (p^ des ersten Gebietes zu
zwei Rechten ergänzen. Die möglichen
Schraubenaxen werden also in der Figur 25
durch alle Punkte, welche nicht zwischen
den beiden Grenzgeraden /S^,, S^^ liegen,
bestimmt. Auf der einen Seite dieser Geraden befindet sich das Gebiet
(+ o), und auf der anderen Seite (— o). Für die einen Axen sind
*2 ^S 92 ^^^ ^3 ^8 9^3 d^^ Grenzen für ^>, für die anderen Axen sind
diese Grenzen d\ tg (f^ und d^ tg <3r3. Durch feinere Punktierung sind
Axen mit gleicher Parameterdifferenz angegeben.

Einfache Drehung, je nach der Richtung derselben, bleibt um die

Axen der Gebiete ( [-) oder (+ H — ) möglich; einfache Translation

kann nach solchen Richtungen erfolgen, welche auf der Parameter-
kugel (Fig. 24) durch das Gebiet EBCA bestimmt wje«len. j

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Von P. SOMOFF.

151

Nehmen wir jetzt an, dass die parallelen Normalen entgegen-
gesetzt gerichtet sind. In diesem Falle nehmen die Gebiete AE*B,
EED, DCF und ÄCF (Fig. 16) die Form von sphärischen Zweiseiten
an, die übrigen vier Gebiete aber bleiben nur als Grenzen der ersteren
bestehen. Wir werden wieder die Figur 24 im Auge behalten, nur mit
der Annahme, dass die Normale >^2 die in den Klammern angezeigte Rich-
tung hat. Dann entsprechen die konjugierten Gebiete EBCA und EFCD
den Ungleichheiten 18) und 21); die möglichen Parameterwerte bleiben
immer zwischen gewissen Grenzen eingeschlossen. Von den sieben Ge-
bieten der ebenen Darstellung bleiben wieder nur sechs vorhanden
(Fig. 26). Nur die eine von beiden Grenzebenen, S^^j behält jetzt ihre Be-
deutung, da nur die Projektionen von ti^ und Wg, und nicht von n^ und Wg,
entgegengesetzte Vorzeichen haben (§ 7). Dass die Grenzebene S.^^ allein jetzt
die möglichen Schraubenaxen von den unmöglichen abgrenzt, davon kann

man sich auf folgende Weise überzeugen. Im Gebiete ( h) sind die

Bedingungen 18) nicht vereinbar; im Gebiete ( — h +) sind nur die ersten

Fig. 25.

Fig. 2*?.

zwei dieser Bedingungen überall vereinbar, die zweite und dritte aber
nur auf der einen Seite von S^^. In den Gebieten (+ + +) und (+ -\ — )
ist d^ig(p^ < Sitgq)^, da dort q>^ = ip^ und d^ < d^ ist; daher sind die
Bedingungen 18) nur im Gebiete (+H — ) überall vereinbar, im Gebiete
(+ + +) aber sind die zweite und dritte von diesen Bedingungen nur

auf der einen Seite von Ägs vereinbar. Im Gebiete ( 1 — ) sind die

Ungleichheiten 18) überall vereinbar, im Gebiete ( ) nur die zwei

ersten, die zweite und dritte aber wieder nur auf einer Seite von S^^.
Somit bestimmt das ganze Gebiet auf der einen Seite von Ägg mögliche
Schraubengeschwindigkeiten, wenn dabei die Winkelgeschwindigkeit
positive Richtung (+ o?) hat. Mit der entgegengesetzten Richtung von co
sind überhaupt keine Schraubenaxen gegebener Richtung möglich, da die
Ungleichheiten 21) in keinem von den sechs Gebieten (Fig. 26) vereinbar
sind. — Obgleich jetzt die Ebene S^^ als Grenzebene keine Rolle spielt, so
behält sie doch ihre Bedeutung bei der Bestimmung der Grenzen für
den Parameter möglicher Schraubengeschwindigkeiten ; nämlich es dienen
als solche Grenzen entweder d^ tg (jp^ und ^2 tg (jpg oder d\tg(p^ und tfgtg^g?

.,„__, Google

152

Über Schraubengeschwindigkeiten eines festen Körpers etc.

je nach der Seite von S^^j auf welcher die Schraubenaxe liegt; der erstere
Fall tritt z. B. im Gebiete (+ H — ) und der andere im Gebiete ( — \- +) ein.
Wenn die Normalprojektionen (+Mi), (— -^2) ^^ anderer Ordnung
folgen (Fig. 27), so ist keine Schraubengeschwindigkeit mit positiver
Richtung (+«), dagegen eine solche mit entgegengesetztef Richtung
von CD möglich; die betreflFenden Schraubenaxen liegen wieder auf einer
Seite der Grenzebene /?23-

Bei der Betrachtung der konjugierten Gebiete, welche den Beding-
ungen 19) und 22) entsprechen, kommen wir zu analogen Resultaten,

wobei nur anstatt der Ebene
^'23 die Ebene S^^ als Grenze
möglicher Schraubenaxen die-
nen wird.

Wir wollen jetzt die
Grenzen der vier Gebiete
der Parameterkugel (Fig. 24)
betrachten.

Wenn die Normalen //,
und ^2 gleichgerichtet sind,
so entsprechen den Richtungen,
welche durch die Punkte des
Kreises AEDC bestimmt werden, nur unendliche Werte von d^tg(f^
und #2 tg9>2- Die Grenzebenen S^^ und S^^ (Fig. 25) fallen daher mit den
Normalebenen von n^ und fi^ zusammen. Eine der Grenzen von p wird
jetzt unendlich; im übrigen kann die weitere Untersuchung ebenso wie
im vorhergehenden Falle gemacht werden. Bei den Richtungen, welche
durch die Punkte des Kreises ^7^ CJP bestimmt werden, wird dstgcTs
unendlich; die Ebenen S^^ und S23 fallen dann mit der Normalenebene
von M3 zusammen. Es verschwindet daher das Gebiet unmöglicher
Schraubenaxen, welches zwischen diesen Ebenen gelegen war.

Nehmen wir jetzt an, dass ??i und n^ entgegengesetzt gerichtet
sind. Den Punkten des Kreises ÄECD auf der Parameterkugel (Fig. 24)
entsprechend, fallen wieder die Grenzebenen Ä^g, S^^ (Fig. 26) mit den
Normalenebenen von n^ und n^ zusammen. Da (^itg^j und S^i^cp^ un-
endlich gross geworden sind, so kann p, den Ungleichheiten 18) gemUss,

nur in den Gebieten (— + +) und ( 1 — ) endliche Werte bekommen

Ebenso in dem Falle, welchem die Figur 27 entspricht, bekommt p nur

in den Gebieten (H h) und (H ) endliche Werte.

Für die Richtungen, welche durch die Punkte des Kreises EB('¥
bestimmt werden, ist ^gtg^j unendlich; S^^ und S^^ fallen daher mit
der Normalenebene von n^ zusammen. Für|; bleibt die Bedingung

notwendig, mit der Voraussetzung, dass die dritte Stützfläche der Winkel-
geschwindigkeit (+ «) nicht hinderlich ist; das wird (Fig. 26) in den

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Von P. SoMOFF. — Kleinere Mitteilungen. 153

Gebieten (+ H — ), ( 1 — ) und ( ) erfüllt. Ahnliches finden wir

auch im Falle der Figur 27.

Die Voraussetzung, dass die Winkelgeschwindigkeit den Grenzen
der Gebiete auf der Parameterkugel (Fig. 24) entspricht, fallen lassend,
merken wir noch einen speziellen Fall zweier entgegengesetzt gerich-
teter Normalen an: wenn sie auf einer Geraden liegen. Wäre die
dritte Stützfläche nicht vorhanden, so könnte jede Gerade des Raumes
als mögliche Schraubenaxe dienen, aber nur mit einem für jede Gerade
bestimmten Werte des Parameters (§ 10). Durch die dritte Stützfläche
werden mögliche Schraul>enaxen jeder gegebenen Richtung von einer
der Grenzebenen S^^ oder /^2.t begrenzt, je nachdem die Projektion von n^
oder ft^ auf die zu dieser Richtung senkrechte Ebene das andere Vor-
zeichen als die Projektion von n^ bekommt. Im ganzen genommen
bekommt jetzt der feste Körper einen grösseren Zwang als in den vorher-
gehenden Fällen, in welchen auch nur eine von den beiden Grenz-
ebenen die KoUe spielte, aber der Parameter möglicher Axen keinen
bestimmten Wert hatte, sondern nur zwischen gewissen Grenzen lag.

(Scblnss folgt.)

Ein Mittelwertsatz fHr ein System von n Integralen.*

Von G. Eowalewski in Leipzig.

(p(t) und %l;(f) seien reelle und in dem Intervall (a . . . b) stetige
Funktionen. Zu jedem Wert t aus diesem Intervall gehört alsdann ein
bestimmter komplexer Wert «' = (p(f) + ^^{f)i dem in bekannter Weise
ein Punkt der komplexen Ebene entspricht, welcher kurz als der zu jenem
Wert t gehörige Punkt w bezeichnet werden soll. Seine recht^vinkligen
Koordinaten sind x = ^(0; 2/ = ^{0- ^^^ vermeiden den Ausdruck „Kurve"
für die Gesamtheit der Punkte w^ da man gewöhnlich unter einer Kurve
ein Gebilde versteht, das sich durch die Bewegung eines Punktes erzeugen
lässt, also an jeder Stelle eine bestimmte Richtung hat. Dies folgt aber
keineswegs schon aus der Stetigkeit der Funktionen tp und tf;, sondern
setzt ausserdem ihre Differentiirbarkeit voraus. Man kennt nun eine grosse
Anzahl von Beispielen für stetige, nichtdifferentiirbare Funktionen, und,
um anzudeuten, dass diese von dem Geltungsbereich des hier zu beweisenden
Satzes nicht ausgeschlossen sein sollen, wollen wir die Gesamtheit der
Punkte w nicht als Kurve, sondern einfach als die Punktmenge ir be-
zeichnen. Zunächst entwickeln wir einige ihrer Eigenschaften, auf die sich
der Beweis unseres Satzes stützen wird.

1. Die Punktmenge tc liegt ganz innerhalb eines endlichen Quadrates.
Wegen der Stetigkeit von q> und i/; ist es nämlich möglich, eine positive
Grösse M so äu bestimmen, dass in dem ganzen Intervall (« . . . h) die

* Vorliegende Arbeit enthält eine in einzelnen Punkten vereinfachte Dar-
stellung eines Satzes, den ich in Grelles Journal Heft 3 Band 117 veröifentlicht^be. t

.,...dby Google

154 Kleinere Mitt-eilungen.

Ungleichungen \q>(t)\ <, M, 'Tj;(f)j<3f bestehen. Daraus ist aber er
sichtlich, dass sämtliche Punkte ic innerhalb des durch die geraden Lioien

gebildeten Quadrates liegen.

2. Liegt innerhalb und ausserhalb eines geradlinigen Dreiecks ein
Punkt «', so giebt es einen solchen auch auf der Begrenzung des Dreiecks.

Die Koordinaten eines Punktes P auf der Begrenzung des Dreiecks
lassen sich ansehen als stetige Funktionen einer Variablen 5, für welche
man z. B. die längs der Begrenzung und in bestimmtem Sinne gemessene
Entfernung desselben von einer Ecke des Dreiecks wählen kann. Da ausser-
dem die Koordinaten eines Punktes w stetige Funktionen von t sind, so
folgt, dass die Distanz Pw von zwei solchen Punkten eine stetige Funktion
der Variablen s und t ist, von denen t zwischen a und i*, s zwischen 0
und /) variiert (wenn j; den Umfang des Dreiecks bedeutet). Sollte also
gegen die Behauptung der Fall Piv = 0 niemals eintreten, so müsste sich
eine positive Grösse a angeben lassen derart, dass immer Pw > a wäre
(dies ergiebt sich aus der Stetigkeit der Funktion Pw, da eine stetige
Funktion, wenn sie beliebig kleine Werte annimmt, auch den Wert Null
annehmen muss). Der Voraussetzung gemäss gehöre nun zu ^ = ^o ^^^
Punkt w innerhalb, zu t = T ein solcher ausserhalb des Dreiecks. Dann
kann man durch Einschaltung von /^, f^, . . . ^^_i das Intervall (t^...!)
in n gleiche Teile teilen und dabei n so gross wählen, dass für zwei be-
liebige aufeinander folgende Teilpunkte ^/, f;_j_i (wobei fÄ= T ist) die
Ungleichungen bestehen:

<p(h^,) - q>(t.) I < |, t/;(^,4.0 ~ ^(ti) i < ^.

Bezeichnen wir mit /t\ den zu f,- gehörigen Punkt rr, sodass also
iVi= q)(ti) + i^Qi) ist, so folgt für die Entfernung iVitOi^i von zwei auf-
einander folgenden Punkten der Reihe w*j, w^. . , w^ (dabei ist u\ der zu
T gehörige Punkt w):

Wiwfj^t<C 2 » also sicher «^,«^,4.1 < er.

Ist aber die Entfernung zweier Punkte w kleiner als a, so liegen ent-
weder beide innerhalb oder beide ausserhalb des Dreiecks. Anderenfalls wilrde
auf ihrer geraden Verbindungsstrecke ein Punkt der Begrenzung liegen, dessen
Abstand von jedem der beiden Punkte tc dann auch kleiner als a wäre, was nach
der Bestimmung von a nicht sein kann. Gehört also, wie vorausgesetzt, zu
t =- (q ein Punkt innerhalb des Dreiecks, so würde dies successiv fElr f^, ^^ . . . ^
folgen. Zu f^ =- T gehört aber nach der Voraussetzung ein Punkt tc ausser-
halb des Dreiecks.

3. ir^, «t'g, «'3 seien drei Punkte w, die nicht in gerader Linie liegen.
Wir betrachten einen Punkt A im Innern des Dreiecks n\iv^ic^. Verlängert
man, wie es in der Figur geschehen ist, zwei der Verbindungslinien Atc^^
Aiv^^ -4 «3, z. B. Aii\ und Aw^^ über A hinaus, so kaxm man sie offenbar
so weit verlängern, dass die Verbindungslinie BC ihrer Endpunkte ganz

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Kleinere Mitteilungen.

155

ausserhalb jenes Quadrates liegt, dessen Existenz unter 1) bewiesen wurde
(in der Figur ist es punktiert gezeichnet). Dann enthält B C keinen Punkt «',
da alle diese Punkte innerhalb jenes Quadrates liegen. Kun können
wir aber auf das Dreieck ABC den unter 2) bewiesenen Satz anwenden.
In der That liegt ein Punkt w (nämlich it\) innerhalb und ein Punkt w
(nämlich w^ oder auch Wt^) ausserhalb desselben. Also liegt nach jenem
Satz auch auf der Begrenzung ein Punkt w, und zwar, da. BC keinen
solchen enthält, entweder auf AB oder auf AC. Wenn wir also von w.,
und von w,^ aus geradlinig über A hinausgehen, so treffen wir sicher auf
einen Punkt /r, falls nicht A selbst ein solcher Punkt ist. Jeder Punkt im
Innern eines dm-ch drei Punkte w gebildeten Dreiecks ist also entweder
selbst ein Punkt w, oder er liegt auf der geraden Verbindungsstrecke von
zwei solchen Punkten.

Um dieses Resultat und auch die folgenden kürzer ausdrücken zu
können, fahren wir folgende Bezeichnung ein: Wir nennen w jeden Punkt,

der entweder selbst
ein Punkt w ist oder
auf der geraden Ver-
bindungsstrecke von
zwei Punkten w liegt
(man würde klso die

Punktmenge w aus der
Punktmenge w da-
durch erhalten, dass
man alle möglichen
Paare von Puakten w
verbindet. Bei einer
Kurve im eigentlichen
Sinne wären dies alle
Sehnen derselben). Mit
Hilfe dieser Bezeich-
nung können wir unser
^""^-^^ ' Resultat jetzt so aus-

sprechen: Die ganze
Fläche eines durch
drei Punkte w bestimmten Dreiecks besteht aus Punkten w (offenbar gilt dieser
Satz auch, wenn it\^ ?r^, «g in gerader Linie liegen).

4. Nimmt man n Punkte w (/r,, «'j, . . . w«), so überdecken die
aus allen möglichen Kombinationen dieser Punkte zu je dreien hervor-
gehenden Dreiecke ein gewisses Stück der Ebene, dessen Punkte somit nach
3) sämtlich Punkte ic sind.

Nun zeigt man leicht, dass X^u\ + ^w^^ • • • + XniCn unter der Vor-
aussetzung , dass Aj, , Ag , . . . , An positiv und von der Summe

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156 Kleinere Mitteilungen.

sind, ein Punkt dieses Ebenenstückes, mithin ein Punkt w ist. Der Beweis
beruht auf einem Schluss von n auf « + 1.

5. Für unsem eigentlichen Zweck brauchen wir nur noch eine Eigen-
schaft der Punktmenge w. Sind

gp(0 + trf;(0 und ip^Ö + iif'CO

zwei Punkte Wj so hat ein beliebiger Punkt auf der Verbindungsstrecke
beider die Koordinaten

wo A, 1^0 und A + X = 1. Man erhält offenbar alle Punkte ic, wenn man
iL von 0 bis 1 und /, t zwischen a und h variieren lässt. Nun sei A -\- iB
ein Punkt, von dem man weiss, dass in beliebiger Nähe von ihm Punkte /r
liegen, also eine sogenannte Häufungsstelle oder ein Grenzpunkt (nach
Georg Cantor) der Menge w. Dann nimmt also die Funktion:

\A-X<p(t) -Jq>(T)\'+ [B - itC) -li>(f)y,

welche das Quadrat der Entfernung eines Punktes lo vom Punkte A -\- iB
ausdrückt, beliebig kleine Werte, mithin als stetige Funktion der darin
auftretenden Variablen X, t^ t auch den Wert Null an. A -\- iB fällt also
mit " einem Punkte w zusammen , oder jede Häufungsstelle von w gehört
selbst zu w. Eine solche Punktmenge nennt man wohl auch eine ab-
geschlossene, und tv ist demnach eine abgeschlossene Punktmenge.

Kehren wir nach diesen Vorbereitungen zu den Funktionen g?(/), ^(/)
zurück, so ißt der Beweis des beabsichtigten Satzes ziemlich kurz zu führen.

W^r betrachten die Integrale:

V V

{t)At

Nach der Definition des Integrales ist:

n — 1 n — l

0 0

wenn /^ = «, tn= h und t^^t^ » . . fn—i in dieser Reihenfolge zwischen a und
h eingeschaltet sind. Addieren wir die mit / multiplizierte zweite Gleichung
zur ersten (i ist natürlich Y — 1 und nicht mit dem Index / zu verwechseln),
setzen ferner (p(t^) + i^(ti) =- vr.+i, //^i — ^ = A,_|.i(& — a), so ergiebt sich:

Da Ai, Ag, . . . In positiv und von der Summe A^ + Ag + ■ • • + ^«^ ^
sind, so ist nach 4) X^ii\ + AgW^ + • • • + AnW^ ein Punkt «'. Be-
achtet man ausserdem, dass sich s^ und b^ durch passende Wahl der
^, fj, . . . tn-^i und Vergrösserung von n beliebig verkleinern lassen, so

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Kleinere Mitteilungen. 157

erkennt man, dass in beliebiger Nähe des Punktes — \"_ * Punkte %v
liegen, und kann endlich nach ö) schliessen, dass——— — - selbst ein Punkt ic
ist. Unter 5) wurde femer ausgeführt, dass die Koordinaten jedes Punktes

/r durch ^yCO+'^^CO» At/;(^) + >Lip(f) ausdrückbar sind. Es ist also,
ausführlich geschrieben: 6

J,p(i)dt = (& - a)[k^{t) +~X,p (T)J,

b

ß

b

*(0rf< = (6-a)[At(0+'i*(ÖJ-

Dies ist das Residtat, auf welches wir kommen wollten. In Worten
lässt es sich so formulieren:

Sind q>{t)^ ^(f) Funktionen, von denen nur vorausgesetzt

wird, dass sie reell und in dem Intervall (a..,h) stetig sind, so

lassen sich stets zwei positive Zahlen l X von der Summe il + Jl==l,

ferner zwei Werte <, t aus dem Intervall (a . . . h) so bestimmen,

dass die obigen Gleichungen bestehen.
b

Für n Integrale 1 q>i{t)dt (i = 1, 2, . . . n) gilt ein ganz analoger Satz,

a

den wir ohne Beweis hier nur aussprechen wollen:

Sind die q>i reelle, von a bis h stetige Funktionen, so lassen
sich n positive Grössen A^, Ag, . . il„ von der Summe

ferner aus dem Intervall («...&) die Werte ^^, t^^-'-tn so be-
stimmen, dass die n Gleichungen bestehen:

b

r<Pi{t)dt = (& ~ a)[X^fpi{t,) + }^fpi{t,) + • . • + A„<p,(g] (i= 1 , 2, . . . n).

a

Über eine neue Folgerung aus der Maxwellschen Theorie
der elektrischen Erscheinungen.

Von Dr. A. Scheye in Göttingen.

Auf den Umstand, dass bis jetzt keinerlei Wirkungen des galvanischen
Stromes auf ruhende Elektrizität beobachtet worden sind, stützt bekanntlich
Clausius* seinen Einwand gegen Webers Grundgesetz der Elektro-
dynamik; er weist nämlich nach, dass dasselbe nur dann mit der erwähnten
Erfahrung in Einklang steht, wenn man die — seiner Meinung nach unwahr-

* Clausius, Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 82,
S. 89, 1Ö77.

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158 Kleinere Mitteilungen.

scheinliche — Annahme macht, dass im elektrischen Strome sich heide
Elektrizitäten, und zwar in entgegengesetztem Sinne, bewegen. Er selbst
stellt daher ein neues Grundgesetz auf, das an diesem angeblichen Mangel
nicht leidet. Demgegenüber erscheint es mir von Interesse, zu untersuchen,
was die auf ganz anderen Voraussetzungen beruhende Maxwellsche Theorie
über diesen Gegenstand aussagt.

Aus den allgemeinen Maxwellschen Gleichungen erhält man .den Fall
des stationären Stromes dadurch, dass man die Abgeleiteten der elektrischen
und magnetischen Kraftkomponenten nach der Zeit = 0 setzt. Es ergiebt
sich alsdann, dass die elektrischen Kräfte überall, im Leiter wie im Di-
elektrikum, ein Potential tp besitzen, welches die Gleichung J(p^=0 be-
friedigt. Femer erfordern die Grenzbedingungen an der Berührungsstelle
zweier beliebigen homogenen Körper^ also auch eines Leiters und eines
Dielektrikums, dass die tangentielle Komponente der elektrischen Kraft
stetig ist.* Da nun der Strom, mithin auch die elektrische Kraft an der
Berührungsfläche des Isolators und des Leiters in letzterem tangentiell Ter-
lauft und im allgemeinen von 0 verschieden ist, so folgt schon hieraus,
dass auch im Dielektrikum in der Nähe des Leiters elektrische Ki^fle
wirksam sein müssen.

Es mögen zwei aufeinander senkrechte, in der Oberfläche des Leiters
gelegene Eichtungen mit k und /li, die Normale zur Fläche mit v bezeichnet
werden, dann fordern die Grenzbedingungen, wenn sich der Index 1 auf
den Leiter, der Index 2 auf den Isolator bezieht, dass an der Berührungs-
steUe der beiden Körper stets d<p, dqp,

ist, das heisst, dass längs der Grenzfläche q>^ — q>^ einen konstanten Wert hat,
Ist nun tp^ far den Leiter bereits gefunden, so hat man, um das
elektrische Feld im Isolator zu ermitteln, noch folgende Aufgabe zu lösen:
Es ist zu bestimmen eine Funktion gpj» welche im ganzen Dielektrikttm
mit ihren Ableitungen stetig ist, der Gleichung Aq>2 = 0 genügt, an einer
bestimmten Fläche den gegebenen Wert fp^ annimmt und im Unendlichen
= 0 wird. Allerdings ist (p^ nur bis auf eine Konstante bekannt, ixnd im
allgemeinen Falle müsste zu gpg noch eine Funktion if; addiert Tverden.
welche die Gleichung z/t/; = 0 befriedigt, im Unendlichen 0 wird und an
der Grenzfläche gegen den Leiter einen konstanten Wert k hat; doch
würde dieses Glied des Potentials nur eine statische Ladung des Leiters
anzeigen, die sich dem elektrischen Strome superponiert. — Nicht berück-
sichtigt sind hierbei die Unstetigkeiten, welche bei gleichzeitiger Bertlliruni:
zweier Leiter und eines Dielektrikums auftreten; man kann jedoch leicht

* Vergl. Hertz, Wiedemanns Annalen 40, S. 690 und b^l^ 1890.

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Kleinere Mitteilungen. 159

eine Anordnung ersinnen, bei der solche Kontaktstellen nicht in Betracht
zu ziehen sind.

Die Stetigkeitsbedingungen für den Übergang vom Leiter zum Isolator
ermöglichen es, wenn das Potential für den Leiter bekannt ist, ohne weitere
Rechnung wenigstens den Wert der tangentiellen Komponente der elek-
trischen Kraft im Isolator unmittelbar am Leiter anzugeben. Es fliesse
z. B. der Strom durch eine Zelle von folgender Beschaffenheit: Die Anode
bestehe aus einem massiven Metallcy linder vom Radius n und der Hohe //,
den eine leitende Flüssigkeit umgiebt; als Kathode diene ein Hohlcy linder
aus demselben Metall, der den inneren Radius h hat, und dessen Achse
mit der des ersten Cylinders zusammenfällt. Vernachlässigt man den Wider-
stand des Metalles gegen den der Flüssigkeit, nimmt also das Potential an der
Oberfläche der Elektroden als konstant an, so ist innerhalb des flüssigen Leiters

q> = — — ^* - log ^ + const,*

wo Q den Abstand von der Achse der beiden Cy linder, (jp^ und q>^ die '
Werte des Potentials an den beiden Benihrungsflächen zwischen Metall und
Flüssigkeit bedeuten; die an diesen beiden Stellen stattfindenden Potential-
sprünge können vernachlässigt werden, da sie sich gegenseitig aufheben.
Haben die Zuleitungsdrähte nur geringen Widerstand, so kann (p^ — (p^ = E^
der elektromotorischen Kraft der Batterie, gesetzt werden, folglich:

g, _= _ \Qg ^ _j_ const,

dip E

'" 9log|

Ist h etwa = ca, wo e die Basis des natürlichen Logarithmensystems,
so ist die tangentielle Komponente der elektrischen Kraft im Isolator dicht

E

am Leiter = — Da elektrostatisches Maß zu Grunde gelegt ist, so ist

für 1 Volt — [C G^ * 6'"" ^ J zu setzen, und man erkennt leicht, dass sich

für massige Werte der elektromotorischen Kraft sehr kleine Kraftwirkungen
im Isolator ergeben. Es ist also nicht unwahrscheinlich, dass diese geringen
Kräfte bisher der Beobachtung entgangen sind und durch eine sorgfältige
experimentelle Untersuchung wirklich nachgewiesen werden können, zu der
die Anregung zu geben der Zweck dieser Darlegung ist.

• Vergl. Kirch ho ff, Vorlesungeu über ElektriziUit and Magnetismus, S. 124.

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160 Kleinere Mitteilungen.

llbep einen Satz der Statik.

Von K. TU. Vahlen in Königsberg i. Pr.

Ein räumliches Kräftesystem ist auf unendlich viele Arten entweder
auf zwei nicht in einer Ebene wirkende Kräfte oder auf ein Kräftepaar und
eine nicht in dessen Ebene wirkende Kraft zu reduzieren, unter den
ersteren Eeduktionen sind am bemerkenswertesten die auf zwei gleiche
Kräfte, unter den letzteren diejenige, bei der die Richtung der einzelnen
Kraft auf der Ebene des Kräftepaares senkrecht steht. Dass eine solche
Reduktion möglich ist, stimmt mit dem Satze überein: Eine beliebig kleine
Bewegung eines Körpers könne als Schraubenbewegung aufgefasst werden
mit aufeinander senkrechten Richtungen des Fortschreitens und der Drehung.
Hieraus erklärt sich die Bezeichnung der Geraden, in welcher jene Einzel-
kraft wirkt, als der „Hauptdrehlinie" des Kräftesystems.

Über diese Hauptdrehünie ist von Schweins* ein Satz aufgestellt worden,
den später Möbius** in einfacherer Weise bewies. Dieser Satz lautet:

Hat ein System von Kräften zwei nicht in einer Ebene
wirkende Bjräfte zu Resultanten, so wird von der Geraden, welche
diese zwei Kräfte rechtwinklig schneidet, auch die Hauptdrehliuie
des Systems rechtwinklig geschnitten.

Diese Eigenschaft der Hauptdrehlinie ergiebt sich am einfachsten und
natürlichsten, wenn man die Zurückfahrung zweier Kräfte auf ein Kräfte-
paar und eine dazu senkrechte Kraft durch eine geeignete Konstruktion
wirklich ausföhrt.

Es seien nämlich PP' und QQ' 6ie beiden Kräfte, P^ die kürzeste,
auf beiden senkrechte Verbindungslinie, B der Mittelpunkt von P'ö'* I^nrcb
PQ werde eine Ebene E senkrecht zur Ebene PQB gelegt. Zerlegt man
nun PP' und QQ' respektive in PP'\ PP'^^ und QQ'\ QQ'^\ so dass die
Kräfte PP'\ QQ'^ in der Ebene E, die Kräfte PP"\ QQ'" senkrecbt zu
ihr wirken, so bilden PP^\ QQ^^ ein Kräftepaar, während sich die Kiufte
PP'", §§'" zu einer einzigen, zur Ebene E des Kräftepaares senkrechten
zusammensetzen: die Gerade, in der diese Kraft wirkt, ist also die Haupt-
drehlinie des Systems. Dieselbe schneidet PQ rechtwinklig, wie aus der
Konstruktion hervorgeht.

* Crelies Journal Band 32, S. 227-^230.
** CreUes Journal Band 36, S. 89 90. Möbiun' Werke Band 3, S. 567 — 570.

Berichtigung.

In Figur 2, S. 130 muss an der Kurve e^p^p^^^ die Bezeichnung «p — ^tfr»^

(«tatt (f^ipve) stehen.

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HH^^^^B

^H

U«»r4»'nirlH' U'

^1

1

1

rllUttLAIti 1'

»l**r riivsfk oiit^li

1

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H lieuestiir

S erlag wn B, «. Teiibiier

18S7.

in Lt'ipzif.'. ^H

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*'* »iotlifttH, ImmenliQferetrasBe 4t", für ,h,,

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4. Heft'

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MATHEMATIK UND PeYSIK.

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Oü. R. MEHMKI

Dil M. C an TOR,

VfUlKttTF

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11 K V If

II von SU iiiini> X ilnlski» in Bcrll

-* . D igiüzed by ^ O QQl

illii-rhjirlotti'iiiitfii

Verlag von B. G.TBUbner In Leipzig.

Hettners Geographische Zeitschrift

MdubHicIi 1 Hell nii circa 60 Seit». Hglbjthrlicli V MI.

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Biiiitticfärtuer's BudihiiiitlliLDu^, Li'ip/J^.

Die Geometrie der Lage.

VortrSgo ^ -. P- r n. Th, Rt^y**, Drd/Pyofei«iMir litt iK r - rt,h1l

AM I f>l .Ufi i

rh : IJ;

iUtW

fl Jli kWi

, IT. ii ;

IJber Sohraubengesohwindigkeiten
bei versohiedener Zahl von

Von

P. SOMOFF

in Wanchau.

^15 /PQ^ -)
festen Körpe/s

Bohluss.

Flff.S9.

16. Wenn alle drei Normalen einer Ebene parallel sind,
so verwandelt sich ein Paar konjugierter Gebiete auf der Parameter-
kugel (Fig. 16, Heft 3) in Punkte; und das kann mit jedem der vier
Paare konjugierter Ge-
biete geschehen. In
den Figuren 28, 29,
30 und 31, welche
diese vier Fälle dar-
stellen, sind durch
punktierte Gerade die
Spuren der drei zu
den Normalen senk-
rechten Centralebenen
bezeichnet, und die
z^ivißchen denselben
stellenden Ungleich-
beitszeichen entspre-
chen den Bedingungen

16) 23). Die

Verteilung möglicher ^\
Scliraubenaxen ver-
scluedenerRichtungen,
^reiche den sechs
übrig gebliebenen Ge-
bieten entsprechen,
stellt nichts wesentlich neues dar; über die Schraubenaxen aber, welche
3KU den drei Normalen senkrecht sind, bemerken wir folgendes. Da
xiach den beiden Richtungen dieser Axen eine Translation möglich ist,
so sind auf allen denjenigen dieser Axen, um welche eine einfache t

Zeitichrllt f. Mathematik u. Phyiik. 48 Jahrg. 1897. 4. Heft. Di^j^tizec ^, ^_^ _ ^

162 Über Schraubengeschwindigkeiten eines festen Körpers etc.

Drehung erfolgen kann, auch Schraubengeschwindigkeiten mit will-
kürlichem Parameterwerte möglich. Die Aufsuchung solcher Axen
kommt also auf die im § 14 betrachtete Frage hinaus; der Unterschied
besteht nur darin, dass jetzt in den Figuren 19, 20, 21, 22 und 23
(siehe Heft 3): 1. die Vorzeichen (+), (— -) bei den Spuren der Normal-
ebenen wegfallen und 2. die dort bestimmten Gebiete möglicher Dreh-
ungsaxen zu Gebieten möglicher Schraubenaxen von willkörlichem Para-
meter werden. Wenn nur ein geschlossenes Gebiet (Fig. 20, 21, 22
und 23, Heft 3) vorhanden ist und sich in einen Punkt zusammen-
zieht, so bleibt nur eine Schraubenaxe mit willkürlicher Parametergrösse
möglich.

17. Es werden weiter die Normalen zu den Stützflächen ein-
ander parallel vorausgesetzt. Man muss hier zwei Fälle unter-
scheiden: wenn alle drei Normalen gleichgerichtet sind, und wenn eine
von ihnen den beiden anderen entgegengerichtet ist. Den ersten Fall
brauchen wir weiter nicht zu untersuchen, da er offenbar zu ähnlichen
Resultaten führt, wie der Fall von zwei parallelen imd gleichgerichteten
Normalen (§ 10).

Wir nehmen also weiter an, dass die eine Normale, Wj, den zwei
anderen entgegengerichtet ist. Seien QiQ^Q^ (Vig, S2) eine zu
den Normalen senkrechte Ebene, AEBF und CEDF (Fig. 33) zwei
Centralebenen der Parameterkugel, welche resp. den Normalen Wj, «j
und Wg, Wg parallel sind, und ACBD eine zu den letzteren senkrechte
Centralebene. Die Oberfläche der Parameterkugel wird somit in acht
Gebiete geteilt, welche für die Richtungen möglicher Schrauben-
axen bestimmend sein werden. Es möge zuerst die Richtung der
Winkelgeschwindigkeit dem Gebiete BEC angehören; dann liegt
in der nach § 7 gemachten ebenen Darstellung (Fig. 34) die Ge-
rade (— Wg) ausserhalb der Geraden (+ w^), (-f w^)-, und da jetzt lo
mit n^ und n^ spitze Winkel bildet, so muss p den Bedingungen 17)
genügen. Es ist leicht einzusehen, dass dieselben in allen vier Ge-
bieten der Figur 34 erfüllt werden, da überall ö^ tg g?j und d^ tg <p^
kleiner als dg tg (p^ sind. Für die entgegengesetzte Richtung der Winkel-
geschwindigkeit, welche also aus dem Gebiete DAF genommen ist
(Fig. 35), finden wir keine möglichen Schraubenaxen; denn die diesem
Falle entsprechenden Ungleichheiten werden in keinem der vier Gebiete
erfüllt. Ähnliche Resultate bekommt man auch bei der Betrachtung
der konjugierten Gebiete AED und BCF^ mit dem Unterschiede nur,
dass zur Möglichkeit der Schraubenaxen notwendig ist, dass die Rich-
tung der Winkelgeschwindigkeit dem zweiten dieser Gebiete angehört,
dieselbe also mit den Normalen n^ und n^ stumpfe Winkel bildet.

Mit den Winkelgeschwindigkeiten, welche den übrigen vier Ge-
bieten BEDy CAI, CEA nniBDF angehören, sind keine Schrauben-
geschwindigkeiten möglich. Wenn wir z. B. die Winkelgeschwindigkeits-
richtung aus dem Gebiete B^D nehmen, also die Bedingungen 17)

.^igitized by V^- ^ ^.^^^

"Von P. SoMOFP.

163

beachten, so finden wir, dass in der zu dieser Richtung senkrechten
Ebene der Figur 36 die Ungleichheiten 17) in keinem der vier Ge-
biete vereinbar sind. Ähnliches bekommt man auch für die übrigen
drei genannten Gebiete.

Alle diese Bemerkungen zusammenfassend, kann man sagen:
Wenn die drei Normalen zu den Stützebenen einander parallel
sind und die dritte von ihnen den zwei ersten entgegengerichtet ist,
so ist für die Möglichkeit

Fig. 88-

Fig. 82.

n^

5

'<7

9r

der Schraubenaxen emer
gegebenen Richtimg not-
wendig und hinreichend,
dass die durch die dritte
Normale zur gegebenen
Richtung parallel gezogene
Ebene zwischen den an-
deren zwei Normalebenen
von derselben Richtung
liegt. Auf allen dieser
Bedingung genügenden
Axen sind Schrauben-
geschwindigkeiten mög-
lich, wenn ihre Parameter zwischen gewissen, für verschiedene Axen
verschiedenen, aber im allgemeinen endlichen Grenzen liegen. Auf
allen anderen Axen sind keine Schraubengeschwindigkeiten möglich,

Fig. 85.
—71

Fig. 86.

-n,

t^i»

•^rtg

iLU

-W,

die zu den Normalen senkrechten Geraden ausgenommen, welche mög-
liche Translationsrichtungen darstellen.

Hier finden wir den einzigen Fall, wo bei drei Stützflächen solche
Richtungen existieren, dass keine Geraden dieser Richtungen als
mögliche Schraubenaxen dienen können.

In der obigen Betrachtung müssen alle den Normalen parallelen
Axen ausgeschlossen werden; denn für diese Richtung bleiben die
Normalebenen imbestimmt. Aber es ist unmittelbar ersichtlich, dass
um solche Axen nur eine einfache Drehung, und zwar nach beiden
Richtungen, möglich ist.

11*

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164 Über Schraubengeschwindigkeiten eines festen Körpers etc.

Wenn die drei parallelen Normalen in einer Ebene P
liegen und die mittlere von ihnen den zwei anderen Normalen ent-
gegengerichtet ist, so werden die Bedingungen fiir mögliche Schrauben-
axen nur bei denjenigen . Geraden erfüUt, welche der Ebene P parallel
sind; denn auf der Parameterkugel werden die Richtungen möglicher
Schraubenaxen nur durch die Punkte der Kreislinie bestimmt, deren
Ebene eine zur Ebene P parallele Centralebene ist. Auf jeder solchen
Schraubenaxe kann der Parameter nur einen bestimmten Wert haben.
Dieser Wert ist für die Axen, welche in der Ebene P selbst liegen
und zu den Normalen nicht senkrecht sind, gleich 0; sind diese Axen
ausserdem zu den Normalen senkrecht, so bleibt för sie jeder Para-
meterwert möglich. Endlich bleibt noch jede zu den Normalen senk-
rechte Translation und um jede zu denselben parallele Gerade eine ein-
fache Drehung möglich.

Die zuletzt betrachtete Lage der Normalen hat die Eigentümlich-
keit, dass dabei der feste Körper den grössten bei drei Stütz-
flächen möglichen Zwang bekommt.

In der That, bei jeder anderen Lage der Normalen existieren auf
der Parameterkugel ganze sphärische Gebiete möglicher Schrauben-
axenrichtungen und der Parameter hat auf jeder Axe nicht einen be-
stimmten Wert, sondern bleibt nur in gewisse Grenzen geschlossen,
mit Ausnahme eines am Ende des § 15 betrachteten Falles, wobei aber
für die Schraubenaxen alle Richtungen möglich bleiben.

Vier Stütsfläohen.

18. Die obige Betrachtungsweise können wir auch bei vier und
mehr Stützflächen beibehalten. Die Grenzebenen werden dabei wieder
eine wesentliche RoUe spielen.

Dem Falle von drei Stützflächen analog kann man, wenn vier Stütz-
flächen gegeben sind, die Gebiete auf der Parameterkugel in fünf Gruppen
teilen, je nachdem die Zahl der Normalen, mit welchen die Winkel-
geschwindigkeit spitze Winkel bildet, gleich 4, 3, 2, 1 oder 0 ist.

Diesen fünf Gruppen entsprechen der Reihe nach 1, 4, 6, 4, 1
Gebiete ^der Parameterkugel, nach der Zahl der Zeichenverbindungen,
welche bei den Grössen:

25) *itg9?i, *2^g92; *8tg9^3; ^4*g94

auftreten können. Nicht alle diese 16 Gebiete können aber auf der
Parameterkugel zugleich vorhanden sein; denn die vier zu den Nor-
malen senkrechten Centralebenen teilen die Kugel nur in 14 Gebiete,
der allgemeinen Formel:

26) A-*(Ä-l) + 2

gemäss, wo k die Zahl der gezogenen Ebenen und A^ die Zahl der
erhaltenen Gebiete bezeichnet.

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Von P. SoMopF. 165

Überhaupt, wenn i > 3 ist, so bleibt Äk < 2*, und dann werden
nicht für alle Zeichenverbindungen der Grössen 8tg(p entsprechende
Gebiete auf der Parameterkugel sich vorfinden. Da alle gebliebenen
Gebiete paarweise konjugiert sind, so sind auch die verschwindenden
Gebiete konjugiert.

Um zu bestimmen, welches Paar konjugierter Gebiete bei vier
Stützflächen verschwindet, betrachten wir die acht Gebiete (Fig. 16,
Heft 3), welche den drei ersten Normalen w^, w^, Wg entsprechen; dann
wird das Verschwinden zweier konjugierten Gebiete davon abhängen,
in welches der acht genannten Gebiete das positive Ende der Normalen
Wj hineinßlllt. Z. B., wenn die Richtung (+ wj im Gebiete ABC der
Pigur 16 (Heft 3) sich befindet, so wird dieses ganze Gebiet, welches
den Ungleichheiten 16) entspricht, auch den Ungleichheiten:

27) i)>#itg9i, p>S^tg(p^, i>^*stg<P3; P>^4.^S<Pa

und ebenso das ganze ihm konjugierte Gebiet EDF^ welches den Un-
gleichheiten 23) entspricht, den Ungleichheiten:

28) P<S^tg(p^, P<S^tg(p^, P<*3tg93, P^^4^S9>4

entsprechen. Dagegen werden die Bedingungen:

29) l>^*itgg?i, 2>>#2tg92, P>Ss^g(P9, P£S^tg(p^
und die ihnen entgegengesetzten Bedingungen:

30) i><*itgg)i, p<S^tg(p^, p£S^tg(Pz, P^S^^e^i

in keinem der vorhandenen Gebiete erfüllt, da diesen Ungleichheiten,
welche die Bedingungen 16) und 23) in sich schliessen, nur ein Teil
der Gebiete ABC und EDF genügen könnte. Ähnliche Betrachtungen
können auch auf die übrigen sieben Fälle angewandt werden.

19. Auf allen Geraden, welche den konjugierten Gebieten der ersten
und fünften Gruppe angehören, sind Schraubengeschwindigkeiten mög-
lich, wenn p, wie im Falle von drei Stützflächen, ausserhalb der Grenzen
liegt, welche durch das kleinste und das grösste der Produkte 25)
bestimmt werden. Diese Axen brauchen weiter nicht untersucht
zu werden; aber in Bezug auf die Frage über den grössten Zwang
des festen Körpers ist folgende Eigentümlichkeit bemerkenswert, welche
dann eintritt, wenn die Zahl der Stützflächen grösser als drei ist. Nach
dem im vorigen Paragraphen Gesagten sehen wir, dass den vier Nor-
malen solche Richtungen gegeben werden können, dass die Schrauben-
axen der ersten und fünften Gruppe ganz verschwinden; dann werden
überhaupt keine solche Schraubengeschwindigkeiten übrig bleiben,
deren Parameter ausserhalb gewisser Grenzen liegt, denn bei allen
Schraubenaxen der zweiten, dritten und vierten Gruppe bleibt jr> zwischen,
im allgemeinen, endlichen Grenzen eingeschlossen. Alles Vorhergehende
beachtend, finden wir also:

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166

t!rber Schraubengeschwindigkeiten eines festen Körpers etc.

Damit es möglich sei, durch Stützflächen, deren Nor-
malen in den Berührungspunkten mit dem festen Körper
nicht einander parallel sind, den Parameter aller mög-
lichen Schraubengeschwindigkeiten zwischen gewissen, im
allgemeinen endlichen Grenzen einzuschliessen, sind wenig-
stens vier Stützflächen nötig*

Natürlich sind die Grenzen für p, welche von d und (p abhängen, für
verschiedene Schraubenaxen verschieden.

20. Von den vier Fällen der zweiten und vierten Gruppe genügt
es, einen zu betrachten. Wir wollen voraussetzen, dass die Richtung
der Winkelgeschwindigkeit entweder mit den Normalen w^, »ig? ^
spitze und mit w^ einen stumpfen Winkel bildet oder entgegengesetzt
gerichtet ist; für jp haben wir dann resp. die Bedingungen 29) oder 30).

Die Gebiete mögUcher
Schraubenaxen werden
dann durch die Grenz-

Fig. 37.

^-n,

ebenen ä

14;

iSg^ und Sf^^

bestimmt. Nachdem die
Aufsuchimg dieser Gebiete
im Falle von zwei oder
drei Stützflächen ausführ-
lich gezeigt wurde, können
wir uns jetzt mit einer
kurzen Angabe der Re-
sultate begnügen. Auf der
zur gegebenen Richtimg
senkrechten Ebene kann
das Gebiet geschlossen
oder nicht geschlossen
sein: das wird von der
Lage der Geraden (-f wj, (+ m^), (+ Wj), (— n^ und von den Ver-
hältnissen der Grössen 25) untereinander abhängen, also auch von der
Richtung der Winkelgeschwindigkeit in den für sie bestimmten
Grenzen.

In der Figur 37 ist das Gebiet (+ o) von allen drei Geraden
^14; ^24; ^3A begrenzt, aber nicht geschlossen. Da bei der Änderung
der Winkelgeschwindigkeitsrichtung in die entgegengesetzte, die Un-
gleichheiten 29) in die Bedingungen 30) übergehen, die Zeichen der
elf Gebiete in der Ebene aber dieselben bleiben, so kann das Gebiet
(— (ö) in Bezug auf das Gebiet (-f &) auf folgende Weise bestimmt
werden: es liegt auf der anderen Seite aller drei Grenzgeraden S^^, S^^j S^.

* Im Falle paralleler Stütznormalen wird das auch bei kleinerer Zahl von
Stützflächen erreicht, nur gewisse spezielle Axenrichtungen ausgenommen (§ 10

und § 17).

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Von P. SOMOFF.

167

In der Figur 37 ist dieses Gebiet nur durch zwei dieser Geraden
S,4, S^ begrenzt.

In der Figur 38 sind die Projektionen der Normalen so genommen,
dass das Gebiet möglicher Schraubenaxen geschlossen werden kann.
Damit das wirklich erzielt werde, muss die Richtung der Winkel-
geschwindigkeit in dem für sie auf der Parameterkugel bestimmten
Gebiete gewissen er^nzenden Bedingungen genügen, welche nur kurz
für das in der Figur 38 dargestellte Beispiel angegeben werden sollen.
Die Richtung der Geraden 8^^, S^^, S^^ kann in den Grenzen der sie
enthaltenden Winkel, welche die Gerade (— wj mit (+ nj, (+ n^) und
(+ «j) bildet, geändert wer-

Fig. 88.

den und hängt von den Ver-
hältnissen:

:*4tg<p4
ab (§ 7 und § 8). Wenn z. B.
die Gerade 8^4^ schon im
voraus nach der allgemeinen
Regel gezogen ist, muss der
Schnittpunkt der Geraden /S^j
und /S34 auf diejenige Seite
von Sj4 fallen, wo das Ge-
biet, für welches

ist, sich befindet, also in der
Figur 38 auf der rechten
Seite von 824*

Das wird der Fall sein,

ist und kann unter andern er-
reicht werden, wenn a^ und

«3, d. h., wenn tgg?^: tgg?j imd tg^)^: tggjj genügend klein sind. Diese
Forderung kann immer erfüllt werden. Wenn nämlich auf der Para-
meterkugel die den Ungleichheiten 29) und 30) entsprechenden Gebiete
existieren, so kann ein Punkt des Gebietes ABC (Fig. 16, Heft 3) zur
Bestimmung der negativen Richtung der Normalen n^ genommen werden:
dann werden alle Punkte dieses Gebietes den Bedingungen 29) und
alle Punkte des Gebietes EDF den Bedingungen 30) genügen. Dann
können in diesen Gebieten für die Schraubenaxen solche Richtungen
genommen werden, welche mit n^ einen beliebig kleinen Winkel bilden,
sodass auch tg (p^ : tg (p^ und tg (p^ : tg (p^ beliebig klein werden.

Wenn mögliche Schraubenaxen von einer gegebenen Richtung
durch ein geschlossenes Gebiet (Fig. 38) bestimmt werden, so kann
die Winkelgeschwindigkeit auf denselben nur eine von den beiden

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168

tlher Schraubengeschwindigkeiten eines festen Körpers etc.

Richtungen bekommen; mit der entgegengesetzten Richtung werden
dann gar keine möglichen Schraubenaxen existieren; denn dieselben
müssten auf der entgegengesetzten Seite von allen drei Grenzebenen
^14? ^24; ^S4 ^^S^^j ^^ J^*2* unmöglich ist.

AÜes oben gesagte beachtend, finden wir: Damit alle mög-
lichen Schraubenaxen von gegebener Richtung auf der zu
ihr senkrechten Ebene durch ein geschlossenes Gebiet be-
stimmt werden, sind wenigstens vier Stützflächen nötig.
Dabei bleibt dieses Gebiet nicht nur für die gegebene Rich-
tung, sondern auch für andere, genügend nahe Richtungen

geschlossen. Der
Parameterwert liegt
für alle solche Axen
im allgemeinen
zwischen endlichen
Grenzen.

21. Um die Fälle
der dritten Gruppe zu
untersuchen, bringen
wir in Erinnerung (§ 1 3),
dass bei drei Stütz-
flächen, wenn der Para-
meter einem der Sy-
steme von Ungleich-
heiten 17), 18), 19)
oder der entgegen-
gesetzten 20), 21), 22)
genügt, die möglichen
Schraubenaxen in einem
Paare von Scheitel-
winkeln eingeschlossen
sind, welche durch zwei
Grenzebenen gebildet
werden; dabei kann die Winkelgeschwindigkeit auf den Axen des einen
Scheitelwinkels die eine Richtung und auf den Axen des anderen die
entgegengesetzte Richtung bekommen. Nehmen wir jetzt aus den
sechs Fällen der dritten Gruppe die folgenden zwei konjugierten:

31) P^*itg9?i, p>ditg(Pi, i><*8tg9>3, p<äitgq>^]

32) p£S^tg(fu JP£*2*g<P2; P>Sz^g<Pi7 i>>*4tg9^4?

und suchen zuerst, nach der Regel des § 6, das Paar von Scheitel-
winkeln, welche den Bedingungen:

33) i> ^ *i tg 9n P ^ ^8 tg g?2, jp < ^8 tg 93, oder

34) i><*itg9u P£^2^S9^29 i^^*3tgg>B.

und dann das Paar von Scheitelwinkeln, welche den Bedingungen:

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169

Fig. 40.

35) l>>*ltg9l, JP>*2tg9^2J i><*4%94;

oder

36) P<*itg9i, i><*2tg92; JP>*4tg<P4

entsprechen. Mögliche, d. h. den Ungleichheiten 31) oder 32) ge-
nügende Schraubenaxen müssen in den Gebieten liegen, welche den
Winkeln 33) und 35) oder 34) und 36) gemein sind. Solcher
Gebiete können sich entweder zwei (je mit der einen und mit der
anderen Richtung der Winkelgeschwindigkeit) oder ein (nur mit einer
von den beiden Richtungen der Winkelgeschwindigkeit) oder keines
vorfinden. Diesen Fällen
entsprechen die Figuren 39,
40, 41 und 42, wobei,
wie früher, durch hori-
zontale Schraffierung das
Gebiet (+ (o) und durch
die vertikale das Gebiet
(— o) bezeichnet ist.

Mögliche Schrauben-
axen werden dann durch
diejenigen Gebiete be-
stimmt, in welchen die
Striche von derselben,
horizontalen oder verti-
kalen Richtung zusammen-
fallen, also doppelt so
dicht sind. Eine ausführ-
liche Beschreibung ist
überflüssig, da die Be-
stimmung der Zeichen in
den von den Geraden (+ w^),
(+n,), (-n«), (-wj ge-
bildeten Gebieten und der
davon abhängenden Lage
der Grenzgeraden S^^, S^^
und S^^, ^24 analog ist, wie in den Fällen von zwei und drei Stütz-
flächen. Der Parameterwert bleibt bei den Schraubenaxen, welche den
Figuren 39, 40 und 41 entsprechen, zwischen gewissen, im all-
gemeinen, endlichen Grenzen eingeschlossen. Die Figur 42 stellt den
Fall dar, wo gar keine Schraubenaxen von gegebener Richtung mög-
lich sind. Dieses war bei drei Stützflächen nur im Falle von drei
parallelen und gehöriger Weise gelegenen Normalen möglich; man
kann also sagen: Damit im Falle von nicht einander parallelen
Stütznormalen solche Richtungen sich vorfinden, dass keine
Schraubenaxen dieser Richtungen möglich bleiben, darf die

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170

Über Schraubengeschwindigkeiten eines festen Körpers etc.

Zahl der Stützfrächen nicht kleiner als vier sein, und zwei
von den Stütznormalen müssen mit der gegebenen Richtung
spitze, zwei andere Stütznormalen stumpfe Winkel bilden.
Natürlich müssen ausserdem die Lage der Stütznormalen und die
Winkelgrössen tp^, (pz, (Pz> 9* gewissen ergänzenden Bedingungen,
welche wir weiter nicht untersuchen werden, genügen.

22. Für die Axen einer gegebenen Richtung, um welche eine ein-
fache Drehung möglich sein soll (p == 0), findet man, dass auf der
zu dieser Richtung senkrechten Ebene entweder zwei nicht geschlossene

oder ein geschlossenes Ge-

Fig. 41.

biet existieren, oder
keine Geraden der gegebenen
Richtung mögliche Drehungs-
axen sein können. Die Grenz-
ebenen fttr die Drehungs-
axen sind Normalebenen, wie
es schon oben, im § 14, für
den Fall von drei Stütz-
flächen bemerkt wurde. Ohne
darüber ausführlicher zu
sprechen, bemerken wir nur
folgendes: Wenn drei
Hij Stütznormalen gegeben
sind, so kann man die
vierte Stütznormale so
wählen, dass eine Dreh-
ung um keine von den
Axen einer gegebenen
Richtung und anderer zu
ihr genügend naherRich-
tungen möglich wird. Es
genügt, dieses nur för irgend
einen Fall zu zeigen, da in
allen anderen Fällen es auf ähnliche Weise gemacht werden kann. Es
möge die gegebene Richtung den konjugierten Gebieten der ersten und
fünften Gruppe angehören, sodass p resp. den Ungleichheiten 27) und
28) genügt. Wir entnehmen die Projektionen der ersten drei Nor-
malen n^, ti^, n^ aus der Figur 19 (Heft 3) und überlassen uns die
Wahl der vierten Normalen. Die möglichen Drehungsaxen, aufweichen
die Winkelgeschwindigkeit den Bedingungen 27) entspricht, müssen

durch das Gebiet ( ) bestimmt werden, da nur dort jp == 0

gesetzt werden kann; und ebenso der entgegengesetzten Richtung von
CO muss das Gebiet (-f + -f +) dienen. Da solche Gebiete nur zu

den Gebieten ( ) und (-f + +) der Figur 19 (Heft 3) gehören

können, so wird es von der Lage der Projektion der vierten Normalen

+Hi

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Von P. SoMorF.

171

abhängen, ob das gesuchte Gebiet wirklich existiert oder nicht. Die
Figuren 43, 44, 45 und 46 sind Wiederholungen der Figur 19 (Heft 3)
mit einer Ergänzung durch die vierte Gerade (+ n^: in der Figur 43
ist dieselbe so genommen, p^^ ^2

dass die Gebiete (+ 0)
und (— ©) der Figur 19
(Heft 3) ungeändert blei-
ben; in der Figur 44 hat
bei einem von diesen Ge-
bieten eine Abnahme statt-
gefunden; in der Figur 45
bleibt nur das eine Gebiet
(+ + + +), d. h.(- «),
vorhanden, und in der
Figur 46 sind beide Ge-
biete verschwunden. Ahn-
liches kann auch in den
Figuren 20, 21, 22 und
23 (Heft 3) mit Hilfe der
Normalenprojektion (-f wj
oder (— W4) ausgeftlhrt
werden. Und es ist immer
mögUch, durch eine ent-
sprechende Lage dieser
Geraden das vollkommene
Verschwinden beider Ge-
biete (+ cd) und (— cd) zu erreichen; denn diese Gerade teilt die ganze
Ebene in zwei Gebiete, welche die Drehungsaxen {+ co) und (— m) be-
stimmen, und kann immer

Fig. 43.

4-fl.

+n.

so gezogen werden, dass
diese Gebiete die ent-
gegengesetzten Gebiete
(— cd) und {+ cd), welche
den ersten drei Stütz-
normalen entsprachen, voll-
kommen decken.

Daraus kann man
noch nicht schliessen, dass
eine solche Lage von vier
Stütznormalen möglich sei,
bei welcher überhaupt
keine möglichen Drehungs-
axen bleiben. Übrigens werden wir unten (§ 26) sehen, dass dieses
für alle Axenrichtungen, nur eine ausgenommen, erreicht werden kann.

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172

Über Schraubengeschwindigkeiten eines festen Körpers etc.

Fig. 44.

Es möge noch daran erinnert werden^ dass bekanntlich durch vier
Stützflächen der feste Körper gezwungen werden kann, nur Drehungs-
verschiebungen zu behalten, wozu die Stütznormalen durch einen Punkt
gehen und ihre Richtungen so gewählt werden müssen, dass auf der
Parameterkugel (Fig. 16, Heft 3) das Gebiet ABC durch Hinzufögung
der vierten Normalen verschwindet.

23. Wenn zwei von den Stütznormalen w^, n^ einander parallel-
sind, können für eine gegebene Axenrichtung wieder vier Fälle ein-
treten: die HinzufQgung der
vierten Normalen kann

1. die Gebiete möglicher Schrau-
benaxen unverändert lassen^

2. das eine von denselben oder

3. beide vermindern und

4. ganz zum Verschwinden
bringen.

Der erste, zweite und vierte
dieser Fälle kann nur dann
eintreten, wenn die Grenzebenen
iSi4 und S24 den Grenzebenen S^j
und ^23 parallel werden. Dazu
braucht nicht n^ der Normalen n^ parallel zu sein: es ist nur nötig (§6),
dass die Verhältnisse tgg^jrtgg?^ und tg 92**89^4 ^^^P- den Verhält-
nissen tgqpjitgipg und tgqp^rtgqpg gleich werden, d. h., dass n^ mit
yjg 45 der gegebenen Richtung

4.^ ^^ der Schraubenaxen den-

selben Winkel wie w^
bildet.

In der Figur 47 ist
der vierte von den be-
zeichneten Fällen dar-
gestellt. Diese Figur ist
aus der Figur 25 (Heft 3)
durch die HinzufÜgung
der Geraden (— w^), wel-
che der obengenannten
Bedingung genügt, ent-
standen; diese Gerade ist
so gewählt, dass die Gebiete (-f cj) und (— o)) der Figur 25 (Heft 3)
von den Gebieten (— c?) und (+ ©), welche der Grenzgeraden S^^ ent-
sprechen, gedeckt werden. Eine ähnliche Rolle könnte auch die Grenz-
gerade )Si4 spielen, wenn nur der Schnittpunkt von (— n^ und (+ n^)
zwischen den Grenzgeraden S^^ und S^^ gelegen wäre.

24. Ahnliches findet man, wenn die vier Stütznormalen paarweise
parallel sind. Es werden folgende Bemerkungen darüber genügen.

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+71,

Von P. SOMOFF.

173

+/t.

Wenn in einem dieser Paare fiiy n^ die Normalen gleichgerichtet
sind, so wird ftlr keine Richtungen eine vollkommene Aufhebung
möglicher Schraubenaxen erzielt. Sind die Normalen n^j n^ auch gleich-
gerichtet, so ist es von selbst klar; wenn aber dieselben entgegen-
gesetzt gerichtet sind (Fig. 48), so kann man nach dem in § 10
Gesagten sehen, dass das eine von den Gebieten (+ co) und (— co),
im gegebenen Falle das Gebiet (+ c»), verschwindet. Ein vollkommenes
Verschwinden beider Ge-
biete kann erreicht werden,
wenn auch die Normalen
w^, n^ entgegengesetzt ge-
richtet sind, denn bei drei
Stütznormalen w^, n^, Wj
bleibt dann nur das eine
von den Gebieten (-f c»),
(-o)[Fig.26u.27, HeftS]
bestehen, welches jetzt
durch die Hinzufögung der
vierten Normalen von dem
Gebiete mit entgegen-
gesetzter Winkelgeschwin-
digkeit gedeckt werden kann. Solche Fälle sind in den Figuren 49
und 50, welche entsprechende Ergänzungen der Figuren 26 und 27
enthalten, dargestellt.

Um alle Richtungen, für welche keine Schraubenaxen möglich
sind, zu finden, legen wir in der Parameterkugel (Fig. 51) zwei
Zentralebenen LMNP

und LKNQ, den Ebenen ^« ^^

der Normalenpaare {n^ , n^)
und («5, wj [Fig. 52] paral-
lel. Indem man die Fi-
guren 51 und 52 mit den
Figuren 49 und 50 ver-
gleicht, findet man leicht,
dass die möglichen Rich-
tungen der Schrauben-
axen auf der Parameter-
kugel durch die sphäri-
schen einander konjugier-
ten Zweiseite

LMNQ und LKNP
bestimmt werden. Wenn

man die Normalenpaare als zwei Kräftepaare betrachtet, kann man
sagen: Die Richtungen, nach welchen keine Schraubenaxen mög-
lieh sind, werden dadurch bestimmt, dass die Projektionen der Mp-

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174

Über Schraubengeschwindigkeiten eines festen Körpers etc.

'^j+'i.

mente zweier Kräftepaare (n^, n.^ und (W3, nj auf dieselben entgegen-
gesetzt sind *

Betrachten wir noch den Fall, dass jedes Paar entgegengerichteter

Normalen auf einer Geraden liegt. Wäre nur ein Paar solcher Nor-

Flg. 48. malen gegeben, so könnte

jede Gerade des Raumes
eine Schraubengeschwin-
digkeit mit bestimmtem
Parameterwerte digfp ent-
halten; kommt ein zweites
solches Normalenpaar hin-
zu, so bleibt nur auf
denjenigen Geraden eine
Schraubengeschwindigkeit
möglich, für welche die
Grösse dtg<p in Bezug
auf jede der vier Normalen
dieselbe ist. Alle solche
Geraden von einer ge-
gebenen Richtung liegen
in einer Ebene, mit wel-
hn. eher jetzt die Grenzebenen

-nv

Fig. 50.

/Si4 , iSgs (Fig. 53) zusammen-
fallen.

Die Beschränkung för
den festen Körper ist jetzt
Äji dieselbe, als wenn er zwei
feste Flächen berührte imd
sich nicht von denselben
entfernen dürfte. In diesem
Falle bilden bekanntlich
alle Schraubenaxen, wel-
che gleichen Parameter
haben, eine Kongruenz
ersten Grades. Wir können
also auf die gezeigte Weise,
indem wir die Grenzebenen
Syj^y /Sgg und für verschie-
dene in ihnen liegende Ge-
raden die Grösse ^tgtjp
bestimmen, irgend eine, einer solchen Kongruenz angehörende Schrauben-
axe von gegebener Richtung und gegebenem Parameterwert konstruieren.

• Dieses Resultat findet offenbar seine kinetische Begründung, wenn
man beachtet, dass die normalen Widerstände der vier Stiitzflächen die Rich-
tungen der Normalen tii, «,, n^, n^ haben.

-7K

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Von P. SoMOFP.

175

Fig. 51.

25. Wenn drei von den vier Stütznormalen einander parallel sind,
können wir uns auf die Resultate des § 17 stützen. Die Begrenzung,
welche jetzt die Gebiete möglicher Schraubenazen durch die Hinzu-
fügung der vierten Normalen bekommen, können nach den schon mehrere
Male angewandten Regeln be-
stimmt werden.

Wenn alle drei parallelen
Normalen gleichgerichtet sind,
so bleiben auf allen Geraden,
aaf welchen die Winkelge-
schwindigkeit mit allen vier
Normalen nur spitze oder nur
stumpfe Winkel bildet, Schrau-
bengeschwindigkeiten möglich,
deren Parameter ausserhalb
gewisser, im allgemeinen end-
licher Grössen liegt. Bildet
aber o mit n^, n^^ n^ spitze
und mit n^ einen stumpfen
Winkel, oder umgekehrt, so
findet man für die möglichen
Schraubenazen solche Begren-
zungen, wie sie im § 15 für
den Fall, dass zwei von den
drei Stütznormalen einander
parallel und gleichgerichtet
sind, sich ergaben. Jetzt wird
also die eine von den drei
Geraden (+Wj), (+n^), (H-Wg),
nämlich die mittlere, keine
Rolle spielen (Fig. 54).

Wenn eine von den drei
parallelen Geraden den beiden
anderen entgegengerichtet ist, so
sind, dem § 17 gemäss, entweder
alle Geraden einer gegebenen
Richtimg mögliche Schrauben-
azen, wobei die Drehung nur in
einem Sinne erfolgen kann, oder
keine einzige bleibt möglich. Im
letzteren Falle fügt die vierte Normale nur eine Begrenzung hinzu, welche
sich auf die zu den drei ersten Normalen senkrechten Translationen bezieht;
im ersteren Falle dagegen wird, wie im § 15, die ganze Ebene durch eine
Grenzebene in zwei Gebiete geteilt, von welchen nur das eine die mög-
lichen Schraubenazen bestimmt. Auf diesen Fall beziehen sich die Fi-

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Fig 53.

-n,

176 Über Schraubengeschwindigkeiten eines festen Körpers etc.

guren 55 und 565 in der zweiten Figur behält nur eine von den hier mög-
lichen Grenzgeraden /Sj.,, 8^4 ihre Bedeutung. In § 17 wurde gezeigt,
welche Verschiebungen dem festen Körper möglich bleiben, weniTbei
drei Stützflächen die Normalen derselben einander parallel sind, in
einer Ebene liegen und die mittlere den beiden anderen entgegen-
gerichtet ist. Die neue Begrenzung, welche durch die Einführung der
vierten irgendwie gerichteten Normalen erreicht wird, besteht nicht

darin, dass das Gebiet mög-
^ lieber Schraubenaxen ver-

mindert wird, sondern es
bleibt von beiden Richtungen,
welche die Winkelgeschwin-
digkeit auf jeder Axe haben
'^* konnte (§ 17), nur eine Rich-
tung möglich. Das Bündel
paralleler Schraubenaxen wird
nämlich durch die drei jetzt
zusammenfallenden * Grenz-
ebenen /Sj4, S24, Äj4 in zwei
Gruppen geteilt, je nach der
einen oder anderen Richtung
der Winkelgeschwindigkeit. Die Translationsgeschwindigkeiten werden
auch nur nach einer Seite begrenzt; und nur die zu allen vier Nor-
malen senkrechten Trans-
lationen bleiben nach beiden
Richtungen möglich.

26. Es seien alle vier
Normalen einander parallel.
Wenn dieselben gleichgerich-
tet sind, findet man dasselbe,
wie im Falle von drei sol-
chen Normalen; wenn aber
eine oder zwei von den Nor-
malen den anderen entgegen-
gerichtet sind, können durch
geeignete Wahl ihrer Lage
alle Schraubengeschwindigkeiten, deren Parameter nicht Null oder un-
endlich ist, zum Verschwinden gebracht werden. Solche Lagen der
Stütznormalen werden in der Praxis oft gebraucht; wir erwähnen die-
selben nur, um zu zeigen, wie sie aus der allgemeinen hier dargestellten
Methode erhalten werden können.

In § 17 wurde bemerkt, dass im Falle von drei Stützflächen, deren
Normalen einander parallel sind, während zugleich die eine Normale

* Weil nur zur Ebene der drei ersten Normalen parallele Schraubenaxen
mö&rlich sind.

-II,

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Von P. SoMOFf.

177

den zwei anderen entgegengerichtet ist, solche Richtungen existieren,
Dach welchen keine Schraubenaxen möglich sind. Die dazu nötige
Bedingung bestand darin, dass eine von den einer gegebenen Richtung
parallelen Normalebenen, nämlich diejenige, welche die den anderen
entgegengesetzte Normale enthielt, zwischen den anderen zwei Normal-
ebenen liegen musste. Wenn vier parallele Stötznormalen gegeben
sind, von welchen die eine, n^, den drei anderen entgegengerichtet

Fig 56.

Tig 57.

%■::'

>

"<'

p^

-.1/
^

ist, kann diese Bedingung für alle Richtungen erfüllt werden: dazu ist
nur nötig, dass w^ im Inneren des dreiseitigen Prismas, welches von
den anderen drei Normalen gebildet wird, sich befindet. Dann bleiben
für den festen Körper nur zu den Normalen senkrechte Translationen
und einfache Drehungen um Axen, welche den Normalen parallel sind,
möglich, d. h. überhaupt Verschiebungen parallel einer Ebene.

Dieselbe oben ausgesprochene Bedingung kann offenbar auch er-
zielt werden, wenn zwei Normalen, Wg und w^, den zwei anderen ent-
gegengerichtet sind. Die Normalen müssen dann ein vierseitiges Prisma
ohne einspringende Winkel bilden und die gleichgerichteten Normalen-
paare müssen in den Diagonalebenen desselben liegen (Fig. 57).

Fünf und mehr Stützflächen.

27. Wenn die Zahl der Stützflächen vier übersteigt, würde eine
ausführliche Untersuchung verschiedener Fälle zum grossen Teile eine
Wiederholung des Vorhergehenden sein; denn für jede gegebene Axen-
richtung würden wieder dieselben Fälle wie früher eintreten können,
nur mit Hinzufügimg neuer Grenzebenen, welche keine wesentlich neue
Begrenzungen geben könnten, da schon bei vier Stützflächen eine voll-
kommene Tilgung möglicher Schraubenaxen von gegebener Richtung
erzielt werden kann. Wir werden daher nur einige allgemeine Bemerk-
ungen machen und zur Anwendung des Vorhergehenden einige beson-
dere Lagen der Stütznormalen betrachten.

Es seien fünf Stützflächen gegeben. Da jetzt 32 Kombinationen
der Ungleichheitszeichen für j> möglich sind, auf der Parameterkugel

ZeitMhrift f. Mathematik u. Physik. 42. Jahrg. 1897. 4. Heft. l^igitized by GOOQIC

178 Über Schraubengeschwindigkeiten eines festen Körpers etc.

aber nach der Formel 26) nur 22 Gebiete zugleich vorhanden sein
können, so werden zehn Zeichenverbindungen in den verschiedenen f&r
p möglichen Bedingungen und dementsprechend fünf Paare konjugiertei
Gebiete der Parameterkugel fehlen. Wenn man alle 32 Gebiete, wie
es bei kleinerer Zahl von Stützflächen geschah, in Gruppen ordnet,
deren Zahl jetzt sechs ist, so findet man, dass p wieder för jede
Axenrichtung zwischen gewisse Grenzen eingeschlossen werden kann,
da die erste und letzte Gruppe fehlen können. Die übrigen vier
Gruppen werden aber dann durchaus ihre Vertreter auf der Parameter-
kugel haben.

Bei vier Stützflächen konnten nur in der mittleren, dritten Gruppe
solche Richtungen existieren, dass keine ihnen parallele Gerade mög
liehe Schraubenaxen darstellte; jetzt kann man neue Grenzebenen be-
nützen und diesen Fall in jeder der übriggebliebenen Gruppen ein-
treten lassen. Wenn eine entsprechende Richtung gefunden ist, so
werden auch andere zu ihr genügend nahe Richtungen derselben For-
derung genügen. Jedenfalls werden aber ganze Systeme von Schrauben-
axen möglich bleiben; denn wenn der feste Körper fünf Flachen so
berührt, dass er sich von denselben nicht entfernen kann, so bleibt
ihm bekanntlich eine bestimmte Schraubengeschwindigkeit mögUch;
wenn aber die Flächen nur Stützflächen sind, so bleiben im allgemeinen
verschiedene Gebiete auf der Parameterkugel, welchen ganze Scharen
möglicher Schraubenaxen entsprechen. Die Aufisuchung solcher Ge-
biete könnte zum Gegenstande einer besonderen Untersuchung gemacht
werden, welche wir aber nicht weiter verfolgen wollen.

Von speziellen Lagen der fünf Stütznormalen seien folgende
erwähnt. Es mögen drei Stütznormalen in einer Ebene P liegen,
einander parallel und die mittlere den zwei anderen eni^egengerichtet
sein; die anderen zwei Normalen nehmen wir auf einer die vorige
Ebene schneidenden Geraden l und auch einander entgegengesetzt
an. Dann bleiben nur solche Schraubenaxen möglich, welche der
Ebene P parallel sind (§17) und bei einer gegebenen solchen
Richtung in einer Grenzebene liegen, welche jedesmal durch eine der
ersten drei und eine der anderen zwei Normalen bestimmt wird; der
Parameter kann auf jeder dieser Axen nur einen bestimmten Wert
bekommen (§ 10). Einfache Drehungen bleiben um solche Axen mög-
lich, welche die Gerade l schneiden und dabei entweder in der Ebene P
liegen, oder den drei ersten Normalen parallel sind. Liegt die Ge-
rade l in der Ebene P, so bleiben dem festen Körper ausser den in
der zu P jetzt senkrechten Grenzebene liegenden Schraubenaxen Dreh-
ungsaxen, welche in der Ebene P willkürlich liegen können, und noch
eine zu denselben senkrechte Translation möglicL Diese Translation
hat übrigens keine selbständige Bedeutung, da sie, mit einer der vorigen
Drehungen zusammengesetzt, wieder eine Drehung um eine der Ebene P
angehörende Axe giebt.

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Von P. SoMOFP. 179

Wenn die vierte und fünfte Normale entgegengesetzt sind, aber
nicht auf derselben Geraden liegen, so erweitert sich wieder das Ge-
biet möglicher Verschiebungen, ebenso wie bei yerschiedenen anderen
Abänderungen der Lage und der Richtung der Stütznormalen.

28. Wenn sechs Stützflächen gegeben sind, werden im ganzen
64 Zeichenverbindungen der sechs Ungleichheiten, welchen jetzt p ge-
nügen muss, möglich. Von den 64 Gebieten aber, welche dem-
entsprechend auf der Parameterkugel auftreten können, sind nur 32
zugleich möglich. Wenn man also alle 64 Gebiete, dem Vorher-
gehenden analog, in sieben Gruppen teilt, und wenn man beachtet,
dass diese Gruppen der Reihe nach 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 Gebiete
enthalten, so kann man die Richtungen der Stütznormalen so wählen,
dass alle Gebiete der ersten, zweiten, sechsten und siebenten Gruppe
und einige Gebiete aus anderen Gruppen verschwinden. Dann ist
die Zahl der Stütznormalen, mit welchen die Winkelgeschwindig-
keit spitze oder stumpfe Winkel bildet, entweder 4 und 2 oder 3
und 3 oder 2 und 4. Demgemäss werden 8 oder 9 Grenzebenen
auftreten können. Ohne weiter darauf einzugehen, bemerken wir
nur, dass durch 6 Stützflächen, nach dem im vorigen Parj^raphen
Gesagten, ein vollkommenes Verschwinden aller dem festen Körper
möglichen Verschiebungen nicht erreichbar ist. Es wäre nämlich auch
dann nicht möglich, wenn der Körper sich von fünf Stützflächen nicht
entfernen könnte; denn die dabei möglich bleibende Schrauben-
verschiebung könnte sich nach beiden Richtungen vollziehen, und eine
sechste Stützfläche könnte dann nur eine dieser Richtungen unmöglich
machen. In Wirklichkeit aber bleiben im Falle von fünf Stützflächen
ganze Scharen von Schraubenverschiebungen möglich, welche desto
weniger durch eine sechste Stützfläche getilgt werden können.

Von speziellen Lagen der sechs Stütznormalen erwähnen wir
folgende:

a) Durch vier parallele Stütznormalen kann der feste Körper ge-
zwungen werden, nur einer Ebene parallele Verschiebungen zu be-
halten (§ 26) ; andererseits werden bei zwei entgegengerichteten und
auf derselben Geraden liegenden Stütznormalen alle Drehungsaxen,
welche diese Gerade nicht schneiden, unmöglich sein (§ 10). Wenn alle
diese sechs Stütznormalen gegeben und die zwei letzteren den anderen
vier Normalen nicht parallel vorausgesetzt sind, so bleiben dem festen
Korper nur Drehungsaxen, welche den vier ersten Normalen parallel
sind und die zwei anderen schneiden, und eine zu allen sechs Nor-
malen senkrechte Translationsrichtung möglich. Diese Translation hat
übrigens keine selbständige Bedeutung, da sie zu der Ebene der mög-
liehen Drehungsaxen senkrecht ist.

b) Im § 17 wurde der Fall dreier Normalen n^, w^, n^, von denen
eine, nj, den anderen entgegengesetzt war, betrachtet. Mögliche Rich-
tungen der Winkelgeschwindigkeit wurden dort durch das Gebiet eines

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180 über Schraubengeschwindigkeiten eines festen Körpers etc.

sphärischen Zweiseits EBCFE (Fig. 33) bestimmt. Fügen wir nun
drei andere einander parallele Stütznormalen n^, n^j Wg, von welchen die
letztere den anderen zwei entgegengesetzt ist, hinzu, dann wird diesen
Normalen auf der Parameterkugel (Fig. 33) ein ähnliches Gebiet mög-
licher Winkelgeschwindigkeitsrichtungen entsprechen. Diese drei Nor-
malen können oflfenbar so genommen werden, dass die beiden Gebiete
der Parameterkugel keine Punkte gemein haben werden j dann werden
auch keine möglichen Schraubenaxen von endlichem Parameter bleiben.
Es bleibt nur eine zu allen sechs Normalen senkrechte Translation
möglich, und zwar nach beiden Richtungen.

c) In § 17 wurden mögliche Schraubenaxen unter der Voraus-
setzung betrachtet, dass drei parallele Normalen in einer Ebene liegen
und die mittlere den anderen entgegengesetzt ist; alle diese Axen waren
dieser Ebene parallel und hatten bestimmte Parameter. Wenn noch
drei andere ähnliche, aber in einer anderen Ebene gelegene Normalen
gegeben werden, so bleiben nur solche Schraubenaxen möglich, welche
den beiden Ebenen parallel sind. Sie müssen dabei in derjenigen
Grenzebene liegen, für welche die untereinander gleichen Grössen

*4tg9'4? *6^g9^B, ^etg?'«
den Grössen ^^^g^,^^ ^^^^^^^ ^^^^^^

gleich sind. Ausserdem bleibt noch eine zu allen sechs Normalen
senkrechte Translation möglich.

Wenn insbesondere W4, W5, n^ der Durchschnittslinie ihrer Ebene
mit der Ebene der Normalen n^, n,, % parallel sind, so fallt die
Grenzebene mit der letzteren Ebene zusammen; dann gehen die mög-
lichen Schraubenaxen in Drehungsaxen über.

Wenn alle sechs Normalen auf der Durchschnittslinie ihrer Ebenen
senkrecht stehen, so bleiben, ausser der dieser Geraden parallelen
Translation, Windungen um diese Gerade als Axe möglich, wobei der
Parameter dieser Windung willkürlich bleibt.

d) Es mögen die Normalen (n,, n^^ (w^, w^), (wj, n^ paarweise
auf einer Geraden liegen und entgegengesetzt sein. Die Figur 16 (Heft 3)
kann bei der Untersuchung dieses Falles benützt werden. Die dort
bezeichneten Gebiete entsprechen dem Falle von drei Stütznormalen nj,
n^y n^\, dieselben Gebiete entsprechen jetzt auch den Normalen n^^ «5, Wg,
mit dem Unterschiede aber, dass dann die Ungleichheiten für p den Un-
gleichheiten 16) . . . 23) resp. entgegengesetzt sein müssen. Damit beide
Systeme der Bedingungen für p vereinbar werden, muss man annehmen:

p^d^igq>^^S^i^(p^,

'''^^'' i^ = ^8tg(r8=<^6tg<)Pßl

und für eine mögliche Schraubenaxe müssen diese drei Grossen ein-
ander gleich werden. Das kann aber nur für eine Durchschnittslinie

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Von P. SoMOFF. 181

zweier Grenzebenen eintreten; denn jede der Grenzebenen Sjj, Sj^, /S^
enthält solche Geraden einer gegebenen Richtung, für welche zwei der
Grössen «^itg^j, «Jgtg^^j, ^stgTs einander gleich sind. Daraus folgt,
dass fär jede gegebene Richtung nur eine mögliche Schraubenaxe sich
finden wird, und auf jeder derselben wird der Parameter nur einen
bestimmten Wert haben können. Die zu der Windung gehörende
Winkelgeschwindigkeit kann auf jeder Axe beide Richtungen be-
kommen; denn jede Grenzebene gehört zugleich den beiden Gebieten:
(+ o) und (— ö) an.

In dem betrachteten Falle bleibt der feste Körper bei jeder mög-
lichen unendlich kleinen Windung mit drei Flächen, welchen die Nor-
malen t»!, n^, Hg (oder auch W4, ^5, n^) entsprechen, in Berührung.
Die gefundenen Schraubeiiaxen gehören also deni Systeme koaxialer
Hyperboloide an, durch welche alle Schraubenaxen des festen Körpers
mit drei Freiheitsgeraden bestimmt werden. Es ist hier also das
Mittel gegeben, für den festen Körper mit drei Freiheits-
graden eine Schraubenaxe von gegebener Richtung auf-
zufinden und den ihr entsprechenden Parameter zu be-
stimmen.

29. Im Falle einer ungeraden Zahl, (2n -f- 1) > 6, ron Stützflächen
können ihre Normalen so gerichtet sein, dass von den 2w -f 2 Gruppen,
in welche jetzt,, dem Vorhergehenden analog, alle Ungleichheiten für
;) zerlegt werden können, nur die zwei mittleren Gruppen, welche paar-
weise konjugierte Gebiete enthalten, übrig bleiben. Ist eine gerade
Zahl von Stützflächen, welche sechs übersteigt, gegeben, so können
die Stütznormalen so genommen werden, dass nur die eine, mittlere
Gmppe der Gebiete übrig bleibt, d. h., dass jede Winkelgeschwindigkeit
mit den Normalen ebensoviel spitze wie stumpfe Winkel bildet. Es
ist nämlich die Zahl der auf der Parameterkugel zugleich auftretenden
Gebiete für k Stützflächen:

^*«=Ä(Ä;-l)-f 2;

die Zahl der Gebiete aber, welche jede der mittleren Gruppen enthält,
wenn k = 2n + 1 ist: (2n + 1)!

-^'^^n'ljn + iy:'
Wenn m > 2, so ist 2Bk> Ai, Wenn fc =- 2w, so ist die Zahl
der Gebiete der einzigen mittleren Gruppe:

* wIn!

also Btt^ Ak^ wenn » > 3 ist.

Es möge noch einiges über die Festlegung des festen Körpers
durch Stützflächen gesagt werden. Die grösste Begrenzung, welche
der feste Körper bei sechs Stützflächen bekommt, besteht darin, dass
ihm nur eine Schraubengeschwindigkeit mit bestimmtem Parameter
frei gelassen wird, wobei aber beide Verschiebungsrichtungen möglich j

182 t^ber Schraubengeschwindigkeiten eines festen Körpers etc. Von P. Somoff,

bleiben. Im § 28, b) wurde ein solcher Fall erwähnt, wenn nämlich
der Körper nur eine zu allen sechs Normalen senkrechte Translation
(jp » od) nach beiden Richtungen erhalten konnte. Daraus folgt, dass
eine siebente Stützfläche nicht genügt, um den festen Körper unbeweg-
lich zu machen, dass aber dieses durch acht Stützflächen immer er-
reicht werden kann. Zum Schlüsse zeigen wir noch einige Beispiele
so, wie sie von unserem Standpunkte sich darstellen.

a) Durch vier Stützflächen kann der feste Körper gezwungen
werden, nur einer Ebene parallele Verschiebungen zu haben; durch
andere vier Stützflächen, deren Normalen dieser oder auch einer an-
deren zu dieser nicht senkrechten Ebene parallel sind, können alle
diese Verschiebungen verhindert werden.

b) Im § 28, b) wurden sechs Normalen so genommen, dass dem
Körper nur eine Translation parallel einer Geraden möglich bUeb.
Diese Translation kann ofienbar durch zwei neue Stützflächen getilgt
werden.

c) Mit Hilfe von vier Stützflächen, deren Normalen sich in einem
Punkte schneiden, kann man bekanntlich alle Verschiebungen, ausser
den Drehungen um diesen Punkt, dem festen Körper entziehen. Durch
andere vier Stütznormalen kann man alle diese Drehungen unmöglich
machen; denn diese Aufgabe kommt darauf hinaus eine sphärische Figur
durch sphärische Stützkurven unbeweglich zu machen.

Die vorliegende Arbeit, welche hauptsächlich ein Mittel zur Be-
stimmung und anschaulichen Darstellung möglicher Schraubenaxen
eines festen Körpers darzulegen zum Ziele hatte, erschöpft bei weitem
nicht die umfangreiche Aufgabe über die Stützflächen überhaupt, in
welcher noch mehrere Seiten, so viel es mir bekannt ist, nicht genügend
untersucht sind. Dazu gehören u. a.: der Einfluss der KrQmmung der
Stützflächen und der Oberfläche des beweglichen Körpers auf die
Möglichkeit nicht nur unendlich kleiner, sondern auch endlicher Ver-
schiebungen desselben, die Grenzen auf der Parameterkugel, in welche,
im Falle von mehr als drei Stützflächen, alle dem festen Körper un-
möglichen Richtungen der Winkelgeschwindigkeit eingeschlossen sind,
eine vollständigere Untersuchung verschiedener spezieller Lagen von
mehr als vier Stütznormalen und endlich eine systematische Unter-
suchung der Bedingungen för solche Lagen der Stütznormalen, bei
welchen dem festen Körper keine Verschiebungen möglich bleiben.

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Orundznge einer Orapho - Ballistik auf Orund
der Kruppsoben Tabelle.

Von

Prof. Dr. Carl Cranz

in Stuttgart.

Hierzu Tafel III.

Die Methoden ; welche dazu dienen, die aus irgend einem Anlass,
insbesondere bei der Anfertigung von Schusstafehi, sich darbietenden
baUistischen Aufgaben zu lösen, sind zur Zeit vorwiegend rein rech-
nerischer Natur, und vermutlich wird das rechnerische Verfahren in
der Ballistik für die nächste Zeit noch im Vordergrund des Interesses
bleiben, zumal da gerade gegenwärtig von einer grösseren Anzahl von
Ballistikem mit Erfolg daran gearbeitet wird, die Rechnungsmethoden
zugleich zu vereinfachen und zu verschärfen. Immerhin ist es nicht
unmöglich, dass sich im Laufe der Zeit innerhalb der Ballistik eine
ähnUche Wandlung vollzieht, wie dies in den eigentlich technischen
Wissenschaften zum Teil der Fall war, wo, wenigstens für gewisse
Zwecke, die graphischen Methoden mehr und mehr an Boden ge-
wonnen haben.

In der Ballistik empfiehlt sich die graphische Methode besonders für
solche Fälle, wo nicht ausschliesslich für einen einzelnen Punkt der Flug-
bahn, etwa den Aufschlagpunkt oder den Scheitel, die verschiedenen
Flugbahnelemente, d. h. die Ordinate y^ die Bahngeschwindigkeit «;,
die Flugzeit t, die Horizontalneigung 0 der Tangente gefordert werden,
sondern wo ein vergleichender Überblick über diese Elemente für eine
Reihe von Flugbahnpunkten, etwa zum Zweck der Ermittelung der
Rasanz oder des bestrichenen Raumes, zu gewinnen ist.

Im folgenden soll als ein Beitrag zur graphischen Ballistik eine
Methode entwickelt werden, welche in des Verfassers „Compendium
der theoretischen äusseren Ballistik" (B. G. Teubner 1896) nur kurz an-
gedeutet werden konnte, und welche an rechnerischen Grundlagen ent-
weder die ohne Rücksicht auf die Schwerkraft durchgeführte Lösung
des ballistischen Problems, oder einfacher die Kruppsche empirische
Tabelle zu Hilfe nimmt. Es wird sich zeigen, dass hinsichtlich des
Genauigkeitsgrads diese graphische Methode mit jeder Rechnungs-
methode sich messen kann, ja manche derselben übertrifft.

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184 Grundzüge einer Grapho- Ballistik etc.

1. Es sei gestattet, mit Rücksicht auf solche Leser, welche als
mathematische Laien mit ballistischen Aufgaben sich zu beschäftigen
haben, die Entwickelungen ausführlicher zu halten, als es unter an-
deren Umständen der Fall wäre. Zunächst möge auf die bisherige
Litteratur des Gegenstandes mit wenigen Worten eingegangen werden.

Die Methode von Poncelet,* später von Didion** hinsicht-
lich einiger Einzelheiten vereinfacht, beruht auf dem Satz von der
lebendigen Kraft; die Flugbahn 00^0^0^, . . wird stückweise aus den
Bögen OOy, 0^0^^ 0^0^ u. s. w. zusammengesetzt: Die Anfangs-
geschwindigkeit des Geschosses von der Masse m sei v^y der anfang-
liche Luftwiderstand W^, in 0^ sei die Geschwindigkeit v^; man wählt
das Kurvenelement 00^ beliebig, doch so klein, dass längs desselben
der Luftwiderstand Wq als konstant betrachtet werden kann, und hat
die Gleichung: ^.,,^. mv,^_ ™ ^^

hieraus erhält man r^, analog ergiebt sich die Geschwindigkeit i\ in
Og u. s. f. Dieser Bogen 00^ wird nun dadurch beschrieben, dass
man den Krümmungsradius Qq in 0 ermittelt: Die Komponente S^
der äusseren Kräfte, welche in 0 längs der Normale gerichtet isi^
lässt sich aus dem Geschossgewicht und der Anfangsrichtung der Be-
wegung sofort ermitteln, und anderseits ist ^o= ^ > damit kennt man

Po

()q; diese Strecke trägt man auf der Normalen in 0, also auf der zur Ab-
gangsrichtung Senkrechten in 0, nach der konkaven Seite der Flugbahn
hin ab, aus dem Endpunkt dieser Strecke als Mittelpunkt beschreibt man
mit Qq den Kreisbogen 0 0^ , dessen Länge vorhin angenommen worden
war; damit ist man zum zweiten Punkt 0^ gelangt, von welchem aus
man analog weiter bis 0^ konstruiert, wie vorhin von 0 bis 0^, u. s. w.
Während bei diesem eben skizzierten Verfahren die Flugbahn aus
mehreren Kurvenelementen, nämlich Kreisbögen, aufgebaut wird, er-
setzt Ö kinghaus*** die Flugbahn in ihrem ganzen Verlauf durch
eine Hyperbel, deren eine Asymptote vertikal liegt und deren Kon-
struktion natürlich aus der Kegelschnittlehre folgt. Unter allen Um-
ständen ist auch jede graphische Methode ein blosses Näherungsverfahren,
übereinstimmend damit, dass die analytische Lösung der Differential-
gleichungen des ballistischen Problems nicht in aller Strenge zu er-
reichen ist; im ersteren Falle liegt die Vernachlässigung vor allem
darin, dass unendlich kleine Kurvenelemente durch endlich kleine von

* Poncelet, le9ons de m^canique industrielle, Metz 1828/29, U. partie,
pag. 56.

** Didion, trait^ de balistique, Paris 1848, pag. 196 ff.
*** E. Ökinghaus, „die Hyperbel als ballistische Kurve", Archiv für die
Artillerie- und Ingenieuroffiziere des deutschen Reichs, von Jahrgang 1893 S. 241
bis 1895.

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Von Prof. Dr. Carl Cbanz.

185

beschrankter Anzahl ersetzt werden^ im zweiten Fall darin, dass für
die ballistische Linie, deren jedenfalls sehr komplizierte Gleichung und
Konstruktionsart man nicht kennt, ein Kegelschnitt substituiert wird.
Da übrigens um so mehr Daten der Erfahrung einbezogen werden,
aus je mehr endlichen Kurvenelementen verschiedener Gleichungsform
die Flugbahn aufgebaut wird, so ist das Verfahren des ersten Falles
einer höheren Steigerung der Genauigkeit fähig.

2. Das folgende Verfahren beruht auf dem Unabhängigkeitsprinzip
der Mechanik und auf der Verwendung der empirischen Tabelle von Krupp.

Es sei zunächst an die bekannten Konstruktionen der Flugbahn-
parabel im leeren Raum erinnert (Fig. 1 bis 4).

In Figur l sei OB^B^, . . die durch den Abgangspunkt 0 unter
dem wahren Abgangswinkel a gegen den Horizont gezogene Gerade;
darauf werden gleiche Strecken 0B^= B^B^= - • - abgetragen, welche
unter Zugrundelegung einer bestimmten Längeneinheit die Anfangs-

Flg.l.

Flg 8.

.•W.^A"/J^w'\v;;//^'\vw'.Aj*AvVW/;.>NVk-^W>uU

^^«- l^i 1^1 [^

0 '^•wv/tfMkwVW/^i'vWVM "/;;;.V!\V^/V-W' 'ißthci^t

1

gesehwindigkeit Vq oder einen konstanten Teil derselben, darstellen;
von £j, jpj, . , . aus werden vertikal abwärts die zugehörigen Fallhöhen

B,0,, B,0, .., in der Figur 1 folgHch 1 1^ |2^ fS^..., ab-
getragen, dann sind 00^0^,.. Punkte der Flugbahn. (In der That,
fragen wir, wo sich z. B. zwei Sekunden nach Verlassen der Mündung
das Geschoss befindet, so erhalten wir die Lage durch die Überlegung:
das Geschoss befindet sich in Wirklichkeit an demselben Ort, an
welchem es sich dann befinden würde, wenn es zuerst lediglich infolge
des Stosses der Pulvergase zwei Sekunden lang weiterginge und dann
allein der Schwerkraft ebensolange überlassen bliebe, wenn es also ge-
wissermaßen ruckweise zuerst von 0 nach B^^ dann von B^ nach Og
ginge u. s. w.)

Gleichbedeutend mit dieser Konstruktion ist, wie sich leicht zeigen
lässt, die andere (Fig. 2): Ziehe 0C\ gleich Vq in der Abgangsrichtung

und CjOi« Y> sodann O^Q gleich und parallel OC^ und
femer O^C^ gleich und parallel O^C^ und 6303 = 5

etc.

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186

Grundzüge einer Grapho- Ballistik etc.

Ebenfalls nur eine Modifikation der ursprünglichen Konstruktion
von Figur 1 ist die Sehnen -Konstruktion Figur 3: Ziehe OD^ gleich r^

in der Abgangsrichtung und DiO^ gleich ^^ sodann OOj mit Ver-
längerung um sich selbst bis D^ und D^O^ vertikal abwärts gleich
2'-~> weiter 00^ mit Verlängerung bis Dj, sodass wieder

ist, und DjOg vertikal abwärts gleich S-y ^- ^•^'

Aus der letzteren Konstruktion lässt sich endlich die folgende
besonders bequeme ableiten: Man trage wieder (Fig. 4) auf der horzion-
talen Äbscissenaxe durch den Abgangspunkt 0 die gleichen Strecken

UA-i = A.-^A^ = A^A^ = . . .
ab und ziehe durch A^y A^y,. , die Vertikalen; OE^ sei die Anfangs-
tangente der Flugbahn; mache E^ 0^ gleich ^- (falls OE^ die Anfangs-
geschwindigkeit ^0 in met/sec darstellt^ andernfalls mache E^O^ gleich

Flg. 8.

Fig. 4.

0 ^v.A' •hff^^K^y%l>n y\y\y'IHns^»9nh^'M\>IH »>(lo

\0i 1^1 L^l ^Aj

der entsprechenden Fallhöhe im ersten Zeitteilchen), verbinde 0, mit der
Mitte 3f, von O-Bj, die Verlängerung von ^/jO, schneidet die Ver-
tikale durch ^ in JE?g, mache E^O^ gleich E^O^ und ziehe M^O^, wo
M^ die Mitte von O^E^ ist, u. s. f. In diesem FaÜ ist die Flugbahn
durch die Flugbahnpunkte 0 0, OgOg. . . und die zugehörigen Flugbahn-
tangenten OM^, -^A 0,, J/gOg, M^O^ U.S.W, dargestellt; und dieses
Verfahren giebt den Vorteil an die Hand, dass man dieselbe Länge

im Zirkel behalten kann.

3. Alle diese Konstruktionen lassen nun Verallgemeinerimgen ffir
den lufterfüllten Raum zu, also für den Fall, der uns praktisch
interessiert.

Zunächst gehen wir von der ersten Konstruktion (Fig. 1) aus und
verallgemeinem dieselbe folgendermaßen: Wir denken uns die Geschoss-
bewegung in eine grössere Anzahl von kleinen gleichen Zeitteilchen A/
(in der Figur 5 ist A^ = 1 Sekunde angenommen) zerlegt, die Strecke,
die das Geschoss allein infolge des Stosses der Pulvergase in einem

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Von Prof. Dr. Carl Cranz.

187

solchen Zeitteilchen in der Richtung der Anfangstangente zurücklegen
würde^ sei auf dieser Linie vom Abgangspunkt 0 aus als

wiederholt abgetrs^en.

Femer denken wir uns das ballistische Problem ohne Rücksicht
auf die Schwere aufgestellt, unter Voraussetzung eines bestimmten
Luftwiderstandsgesetzes, dem des Chapel-V allier'schen oder des neuen
Siacci'schen Gesetzes; die betreffende Differenzengleichung liefert uns
alsdann die Geschwindigkeitsverluste At;, welche das Geschoss in den
einzelnen Zeitteilen A^ erfährt; die halben Geschwindigkeitsyerluste in
dem 1., 2., 3. . . . Zeitteilchen seien resp. 5,, s^y s^ . . .

Wo befindet sich nun das Geschoss am Schluss des ersten Zeit-
teilchens?

Das Resultat ist nach dem Unabhängigkeitsprinzip dasselbe, wie
wenn die drei Wirkungen der Pulverkraft, des Luftwiderstandes und

der Schwerkraft zeitlich nacheinander, gewissermaßen ruckweise ein-
träten: Durch die Anfangsgeschwindigkeit, welche das Geschoss der
Puherkraft verdankt, allein würde das Geschoss von 0 nach J5j ge-
trieben, durch den Luftwiderstand von B^ nach B^ (Fig- 5) um eine
Strecke gleich Sj zurückgeführt (wobei wir voraussetzen, das Zeitteil-
chen sei so klein gewählt, dass nahe genug der Luftwiderstand nur in
der Richtung B^ 0 wirke); endlich durch die Schwerkraft allein würde

es von B^ nach 0^ um eine Strecke gleich -|--A^f herabfallen; am

Schlüsse des Zeitteilchens A^^ befindet es sich sonach thatsächlich in 0^.
Ebenso ist das Geschoss nach Yerfluss des zweiten Zeitteilchens Af«
in einem Punkt Og angelangt, den wir durch die folgende Über-
legung erhalten: Li den zwei Zeitteilchen würde das Geschoss allein
infolge des Anfangsstosses von 0 nach C^ gelangen; sodann lediglich
infolge des Luftwiderstandes von G^ nach C^ zurück, nämlich zuß^t

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188 Grundzöge einer Grapho- Ballistik etc.

von Gl nach C^ parallel der Anfangstangente OB^ zurück um eine
Strecke C\C^ gleicli S-s^, dann von Cg nach C, um s^ parallel der
Richtung 0 0^, die wir als die Richtung des Luftwiderstandes im zweiten
Zeitteilchen um so genauer betrachten können, je kleiner dasselbe ist;
endlich allein infolge der Schwerkraft von Q nach 0^ vertikal abwärts,
um eine Strecke gleich

|-(3.A<.« + A<,«), oder \.2'.Lt',

wenn die Zeitteilchen gleich gewählt sind.

Dementsprechend findet sich der nächste Plugbahnpunkt O3, indem
man D^D^=^ 6s^ parallel zu OB^, D^D^=3'S2 parallel zu 00^ und
D^D^ = s^ parallel zu 0^0^ zieht und von D^ um eine Strecke BtO^

gleich -|--3*' Af^ abwärts geht u. s. w

Um zu vermeiden, dass die zu benützende Verlängerung der Linie
0 B^ 6\ Dj . . . über das Zeichenpapier hinausfällt, wird man hierbei
die zur Konstruktion Figur 2 analoge Modifikation für den lufterföllten
Raum verwenden, also durch 0^ eine Linie Oj^C\ gleich und parallel
7^2 6\ ziehen, sodann von C\ rückwärts den Polygonzug C\C\C\ kon-
gruent mit C^C^G^ zeichnen und von G\ vertikal abwärts gehen um

eine Strecke G\0^ gleich 3- |; (falls für jene Zeitteilchen Sekunden
gewählt werden), u. s. f.

4. Erheblich einfacher gestaltet sich das Verfahren, wenn man die
Konstruktion von Figur 4, für den lufterfüllten Raum verallgemeinert, an-
wendet. Hierzu ist es vor allem erforderlich, die Horizontalprojektion
der Geschossbewegung zu kennen, entweder durch Integration der
betreffenden Differentialgleichung oder aber, falls es nicht auf die Ver-
wendung eines bestimmten Luftwiderstandsgesetzes ankommt, weit ein-
facher und auch genauer durch Entnahme der betreffenden Zahlen aus
der empirischen Tabelle* von Krupp. Diese wertvolle, auf einem
gewaltigen Versuchsmaterial beruhende Tabelle giebt für alle horizon-
talen Geschwindigkeitskomponenten von 700 m/sec an abwärts ab-
steigend von Meter zu Meter bis 140 m/sec folgende Grössen: erstens
den Luftwiderstand W auf 1 qcm des Geschossquerschnitts in Kilogramm,

* Enthalten im Anhang der Schrift; „Über die Lösung der Probleme des
direkten und indirekten Schiessens", von f Generallieutenant N. Majevski,
deutsch von Hauptmann Klussmann. Berlin 1886. Mittler & Sohn 127 S. -
Neuerdings wurde die Tabelle von Krupp aufwärts bis zur Geschwindigkeit
1000 m/sec und abwärts, bis 50 m fortgesetzt: „Die Berechnung der Schusstafeln
seitens der Gussstahlfabrik Fr. Krupp, Essen, Buchdruckerei der Gussstahl-
fabrik von Fr. Krupp", S. 33 bis 81 . Da letztere Schrift nicht dem Buchhandel
übergeben ist , so hat der Verfasser nicht das Recht , diese Tabelle hier zu wieder-
holen, sondern muss auf das oben erwähnte Werk von Mayevski-Kluss-
mann verweisen; der Geschwindigkeitsbereich 140 bis 700m genügt in der That
noch immer für die Lösung der meisten Aufgaben. Eine kleine Erläuterung der
Tabelle und klare Anweisung zum Gebranch derselben aÄ der Hand mehrerer
Beispiele der Praxis hat Klussmann, S. 98 bis 102 seiner Schrift, gegeben.

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Von Prof. Dr. Carl Cranz.

189

zweitens den Weg Are in Metern, der einer Geschwindigkeitsabnahme
um 1 m entspricht, drittens die Summe lAic dieser Wege von Anfang
der Tabelle ab, viertens die Zeiten Af in Sekunden, die der Qe-
schwindigkeitsabnahme von 1 m entsprechen, und endlieh fdnftens die
Summe ZA^. Diese Zahlen beziehen sich sämtlich auf die Quer-
Schnittsbelastung 1, d. h. man hat bei der Verwendung der Tabelle in
einem speziellen Fall die betrefiTenden Zahlen ZAa; und ZA^ der
Tabelle noch mit dem Paktor ^

^1

multipliziert zu denken; hierbei ist P das Geschossgewicht in Kilo-
gramm; JR*Ä der Geschossquerschnitt in qcm; ö das Gewicht von
einem Kubikmeter Luft am Versuchstag in Kilogramm; #, dasselbe
fär den in der Ballistik meist zu Grunde gelegten mittleren Barometer-
stand 750 mm, die mittlere Temperatur 15^0. und die relative Feuchtig-
keit 50Vo> *^^ *i =" 1,206 kg; k ist der mit der Geschossform ver-
änderliche sogenannte Formkoeffizient, der für Kruppsche Geschosse
nahezu « 1 ist und der am vorteilhaftesten aus der Erfahrung be-
stimmt wird, durch Entnahme der horizontalen Komponente der An-
fangsgeschwindigkeit und Endgeschwindigkeit, die zu einer bekannten
Schussweite gehören, und zwar werden letztere Zahlen entweder
der Schusstafel für das betreffende Geschoss selbst oder wenigstens
für ein Geschoss eines möglichst ähnlichen Geschütz- oder Gewehr-
systems entnommen. Die Tabelle von Krupp liefert sodann die ge-
samte Horizontalprojektion der Geschossbewegung. (Weiterhin ver-
fahrt Krupp zur Bestimmung der Flugbahn selbst nach der in einer
gewissen Weise modifizierten Siacci sehen Methode mittelst der
Siaccischen Funktionen D, J^ Aj T; die Versuche von Krupp haben
dabei gezeigt, dass die Tabelle nicht nur für kleine Elevationen mit
rasanter Flugbahn, sondern auch für grössere Elevationen Geltung
behält.) Die mehrfach erwähnte Tabelle von Krupp ist zu umfang-
reich, um hier Platz finden zu können, ihr Anfang ist der folgende:

Vj,m

TT kg

^xm

lAarm

£^t Sek.

lA« Sek.

700

699

1,925

37

37

0,053

0,053

698

1,919

37

74

0,053

0,106

697

1,913

37

111

0,053

0,159

Damit kennt man in den successiven Punkten 0, A^^ A^, -^43...
der horizontalen Abscissenaxe durch den Abgangspunkt 0 die
Horizontalprojektionen r^ der Bahngeschwindigkeit v und die Zeiten Af^,
A/,,...^ welche die Horizontalprojektion des Geschosses erfordert, um

fj, .

von 0 nach A^ , von A^ nach A^ u. s. w. zu gelangen.

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190

Grundziijs^e einer Grapho- Ballistik etc.

Der Abgangswinkel^ also der Neigungswinkel der Anfangs-
tangente OB^ gegen den Horizont im Abgangspunkt 0, sei gegeben
gleich a.

Es lässt sich nun von 0 aus ein zweiter Flugbahnpunkt, nämlich
derjenige, dessen Projektion Ä^ ist, sogleich finden, indem man von 2?,

aus die Strecke B^O^ gleich y-A^^* vertikal abwärts abtr^. Als

Flugbahntangente in dem neuen Punkt 0 wählen wir die Verbindungs-

Pig. 6.

linie M^O^B^ der Mitte M^ von OB^ mit 0^, dann lässt sich von 0,
aus ganz analog weiter konstruieren, wie vorhin von 0 aus; die Ver-
tikale A^B^ in Ug trifift nämlich die vorhin erwähnte Jfj 0^ bezw. ihre

Verlängerung in 5^, von B^ geht man um B^O^^ — -t^t^^ vertikal

abwärts und zieht M^ 0^, wo M^ die Mitte von 0^B^\ so ist 0^ ein dritter

Flugbahnpunkt und M^ 0^ die Bahntangente in diesem Punkt 0, u. s. w

Bei diesem Verfahren stellt sich die Flugbahn als Einhüllende

ihrer Tangenten dar; und ferner kommt, wie leicht zu sehen ist, das

RA

Verfahren darauf hinaus, die Flugbahn aus ebensovielen Bögen ver-
schiedener Parabeln mit vertikaler Axe zusammenzusetzen, als man
Stücke OA^y J-i-^j; • • • *^^ ^^^ Abscissenaxe angenommen hat. In der
That, betrachten wir z. B. das erste Parabelstück zwischen 0 und 0^
(Fig. 7). Für dieses sind gegeben die beiden Punkte 0 und 0^, die
vertikale Axenrichtung, und die Tangente OjB, im ersten Punkt 0.
Soll nun Jfj 0^ die Tangente einer solchen Parabel im zweiten Punkt Oj

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Von Prof. Dr. Carl Cranz. 191

sein, so muss M^ die Mitte von 0-B^ sein. Berühren nämlich die
Seiten eines Dreiecks ABC (Fig. 8) einen Kegelschnitt in den Punkten
.4j, B^, Cj und zieht man ÄA^, J^^d CG^, so gehen letztere Ver-
bindungslinien nach dem Satz von Brianchon durch denselben
Punkt i¥, und P, JB^, N, C^ sind vier harmonische Punkte; lässt man
nun die Seite CB und damit A^^ ins Unendliche rücken, so wird der
Kegelschnitt eine Parabel; deren Axe sei vertikal; die Verbindungs-
linie MQ (Fig. 7) des Schnittpunkts Mj^ der beiden Tangenten M^ 0
und JfjOi mit der Mitte Q von 00^ wird Parabeldurchmesser, also
vertikal und parallel zu A^B^.

Zugleich sieht man, dass die Mitte P von M^ Q ein weiterer Punkt
der Parabel ist. Darin liegt ein sehr einfaches Mittel, beliebige
weitere Flugbahnpunkte zu konstruieren und die Tangente in
einem beliebigen Flugbahnpunkt zu ziehen, indem man diesem immer
näher kommt: Verbindet man nämlich M^ mit der Mitte Q von 00^
und halbiert M^Q in P, so ist P ein weiterer Punkt der Flugbahn;
die Tangente in diesem Punkt P ist die Verbindungslinie von P mit
der Mitte von OM^ u. s. f.

Es lässt sich noch fragen, in welcher Weise die Schussweite, also
das Stück der Abscissenaxe zwischen Abgangspunkt 0 und Auffallpunkt,
in Teile OA^, -^x-^if -^2 A • • zerlegt werden soll. — Naturgemäss
wird die Konstruktion um so genauer sein, je mehr Zwischenpunkte
/I^, A^j A^ . . . man annimmt; eine Grenze ist jedoch dadurch gegeben,
dass das Ziehen der Verbindungslinien M^O^, M^O^, . . , sicher genug
erfolgen muss.

Dabei kann man entweder

a) die Einteilung so treffen, dass die Zeitteilchen Af^, Af,, . . . alle
gleich werden; dies giebt den Vorteil, dass die Fallhöhen B^ 0^, B^O^y...
samtlich mit gleicher Zirkelweite abgetragen werden können, dagegen
die grössere Unbequemlichkeit, dass in der Kruppschen Tabelle inter-
poliert werden muss.

Beispiel.

Panzergranate der 40 cm -Stahlkanone der italienischen Küsten-
artillerie.

Geschosflgewicht P = 920 kg; Kaliber 22i=*40cm; Anfangs-
geschwindigkeit Vq = 550 m/sec; der Formkoeffizient X möge aus
Mangel spezieller Daten » 1 angenommen werden.

Gegeben der Abgangswinkel a = 13— •

Gesucht die Schussweite X, der Auffallwinkel a', die Flugzeit 1)
die Abscisse und Ordinate des Scheitels.

P 920

Es ist X = ^3 — - = — -j— — = 0,732. Die Zwischenzeiten A^i,

Afj... mögen etwa sämtlich je gleich zwei Sekunden, also die Fall-
hohen 2^1 Oj, B^O^y B^O^. .. unter sich gleich und rund -= 20 m ge-

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192

Grundzüge einer Grapbo - Ballistik etc.

wählt werden. Man hat dann mit Benützung der Tabelle von Krupp,
in der man von der horizontalen Komponente:

v^- cos a = 550 • cos 13 .

10

535 m

auszugehen hat, folgende Zahlenreihe:

Horizontale

ZAar, von 0 ab gezählt

Geschwindig-

in der Tabelle

multipliziert

keit Vjc

von Krupp

mit 0,7M

in- 0

535

0

0

„ Ä,

506,6

1430

1045

V ^

481

2775

2030

>f -^3

458

4053

2960

« Ä,

437

5280

3350

;» ^6

418

6450

4710

„ A

401

7560

5620

,. A

386

8650

6315

n -^

372,6

9660

7055

>; -^

360,5

10670

7780

>} -^10

350,5

11650

8500

» -^11

341,6

12620

9200

» ^18

331

13510

9880

etc.

etc

etc.

Es ist also 0^1 = 1045 m, OA^ = 2030 m, u. s. w., femer

B,0,

B,0,

•=-20m; tga-= 0,2355.

Die Konstruktion (nach Fig. 6) wurde auf Millimeterpapier im
Maßstab 1 mm => 10 m mit hartem Bleistift so genau als möglich aus-
geführt; die einzelnen Meter konnten im Resultat geschätzt, die Winkel
auf Minuten genau aufgetragen und erhalten werden.

Man setzt die Konstruktion soweit fort, bis man die horizontale
Abscissenaxe wieder erreicht hat und etwas darunter kommt; wenn
nötig, werden sodann nach der Konstruktion Figur 7 ein oder zwei
weitere Flugbahnpunkte eingeschaltet; vielfach aber, und so auch hier,
genügt proportionale Interpolation; es fand sich u. a. der Tangens
des Auffallwinkels a' zwischen

*283

1000

und

840

lööö'

durch Interpolation proportional den Entfernungen wird

a'^17«20';
zusammen ist das Resultat der graphischen Lösung:

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Von Prof. Dr. Carl Cranä. 19$

Schussweite X = 9520 m (die Schusstafel* giebt 9500 m);
AuffaUwinkel a'= 17^20' („ „ „ 17«42');

Flugzeit T = 23,0Sek.(„ „ „ 23,1 Sek.);

Abscisse des Scheitels rc, « 5100 m;
Ordinate „ „ y, « 660 m.

b) Oder aber können die Zwisehenstrecken Aa; auf der horizon-
talen Abscissenaxe, also die Abstände OÄ^^ ^i^y -^-^s, • . . unter
sich gleich gross angenommen und aus der Kruppschen Tabelle die
zugehörigen Geschwindigkeiten und Zwischenzeiten A^^, Aifg, . . . ent-
nommen werden.

Beispiel. .
Panzergranate der Kruppschen 30,5 cm-Kanone für Küsten- und
Scliiflfsartillerie** (1893 in Chicago ausgestellt).

Kaliber 2R = 30,5 cm; Geschossgewicht P = 455 kg; Anfangs-
geschwindigkeit Vq =« 550 m/sec.

Gesucht ist die Schussweite für den Abgangswinkel

« = 22^ 27', (tg« « 0,41318).
Es seien die Zwischenstrecken

OAi^AiA^^A^A^-^ ^ 1000 m

angenommen; dann findet sich für die einzelnen Flugzeiten A^^, ^t^,,..
zwischen 0 und A^^ A^ und A^ u. s. w. aus der Tabelle von Krupp
der Reihe nach:

1,77; 1,87; 1,99; 2,12; 2,25; 2,40; 2,56;

2,77; 2,89; 3,05; 3,27; 3,46; 3,66; 3,87 Sekunden;

also sind die entsprechenden Fallhöhen -|--A^^, oder die Strecken J?i 0^,
-BgOg u. s. w.:

15,3; 17,1; 19,4; 22,0; 24,8; 28,2; 32,1;

37,6; 40,9; 45,6; 52,3; 58,5; 65,7; 73,5 Meter.
Danach ist die Flugbahn nach Figur 6 mit den Zahlen

tg«=-^% OJi = ^iJ, = ...== 1000m; 0,B,^15,dm, B,0,=-n,lm

u. s w.
aufzubauen. Die Ausführung der Zeichnung im Maßstab 1 mm » 20 m
lieferte das folgende Resultat:

Schussweite X == 14250 m (die Schusstafel giebt 14000 m);

Auffallwinkel «'=34^0' („ „ „ 32^30');

Endgeschwindigkeit v^= 341 m ( „ „ „ 341 m);

Flugzeit T= 38,5 Sek.( „ „ „ 37,9 Sek.);

Scheitelabscisse x^ = 8400 m;

Scheitelordinate y, = 1970 m.

• Archiv für die Artillerie- und Ingenieuroffiziere des deutschen Reichs,
Jahrgang 1891 , S. 487 flg ; Auszug aus dem Manuele d*Artigleria.

*• Vergl. Waffenlehre von Wille, Generalmajor z. D., Berlin 1896, S. 210.

Zditichrift f. Mathematik n. Physik. 42. Jahrg. 1897. 4. Heft. 13 ^ j

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194

Grundzüge einer Grapho- Ballistik etc.

c) Endlich können die Zwischenpunkte A^y A^j A^. . der Horizontal-
projektion auch beliebig angenommen und die zugehörigen Zwischen-
zeiten A^ der Tabelle von Krupp entnommen werden. Dieses Verfahren
ist dasjenige, welches am einfachsten und mühelosesten zum Ziel
führt; man wird die Abstände OA^^ A^A^^ A^A^, , . ungefähr gleich
annehmen; doch so, dass in der Tabelle von Krupp nicht interpoliert
werden muss. Beispiele sind weiter unten durchgeführt.

Will man vermeiden, dass bei flachen Flugbahnen die einzelnen
Tangenten M^Oi, JfgOg, . . . sich unter zu kleinen Winkeln schneiden,
so vergrössert man allein den Maßstab der Ordinaten; die durch
Zeichnung erhaltene Schussweite X wird dadurch nicht geändert (denn
man hat zwei kollineare Kurvensysteme mit der Abscissenaxe als
Kollineationsaxe).

Soll femer umgangen werden, dass man die mitunter sehr kleinen
Fallhöhen B^O^, B^O^ , . , einzeln mit dem Zirkel abzustechen und

in der Zeichnung einzutragen
hat, wodurch sich Fehler sum-
mieren können, so lassen sich
auch (vergl. Fig. 9) die grösseren
Strecken B^O^, G^O^, C^O^...,
welche sämtlich von der An-
fangstangente aus gerechnet
sind, leicht berechnen und so-
dann als Ganzes eintragen.

Sind nämlich bei gleichen
Zwischenstrecken

OA^==A^A^ =.••

die Fallhöhen B^O^y B^O^, B^O^ . . . bezw. kurz mit s^, s^y Sg . . . be-
zeichnet, so ist leicht zu zeigen, dass man hat

^2 ^2 ^* ^^1 H" ^2;

Cj O3 = ÖSi + 3^2 + 53

u. s. w.
Diese Längen erhält man durch blosse Addition nach dem Schema:

a

a + b

a + b + c

a + b + c + d

a

2a + b
Sa+2b + c
4a + 36 + 2c + d
u. s. w.

a

3a + 6

5a + 3b + c

7a + 5b + 3c + d

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Von Prof. Dr. Carl Cranz.

195

Z.B. waren in dem obigen Beispiel der 30,5 cm -Kanone die Strecken
B^O^, C\0^, C^ü^y C^O^ ... der Reihe nach:

15,3; 63,2; 147,5; 273,3; 445,8; 671,4; 957,3

1313,8; 1746,9; 2267,4; 2885,8; 3615,1; 4468,5; 5461,1m.

Übrigens wird bei diesem Verfahren, abgesehen von der Mühe der
weiteren Vorberechnung, der Nachteil erzeugt, dass zur Verlängerung
der Anfangstangente OiJ, ein sehr grosses Zeichenblatt verwendet werden
muss. Es wird selten diese letztere Modifikation notwendig werden.

5. Wenigstens von theoretischem Interesse ist es, das im Vor-
hergehenden beschriebene Verfahren noch etwas zu verallgemeinern.

Es ist nicht notwendig, M^ als Mittelpunkt von 0 und JB, , M^ als
Mitte von 0^ und B^ u. s. w. anzunehmen; man kann vielmehr auch OB^y
O^B^... nach bestimmten andern Verhältnissen, die von 1:1 wenig

Pig. 10.

verschieden sind, in 3/^, M^ . , . teilen. In diesem Fall kommt die
Konstruktion darauf hinaus, die einzelnen Flugbahn strecken zwischen
^> und 0,, 0, und 0^ u. s. w. aus ebensovielen verschiedenen Hyperbel-
bögen zusammenzusetzen, welche sich in den successiven Flugbahn-
punkten 0,, Og, Oj . . . berühren, und welche sämtlich eine vertikale
Asymptote gemeinsam haben sollen (einer bekannten Eigenschaft der
ballistischen Linie zufolge):

Man betrachte zu diesem Zweck wieder die obige Figur 8; hier
werde AB zur Asymptote, es rücke also allein der Berührungspunkt C^
ins Unendliche; dann ist (Fig. 10) PB^ = NB^ und parallel der
Asymptote ABy also vertikal; zieht man also noch durch A^ die
Parallele DE zur Asymptote, so verhält sich

B,C: CD = PB^ : DA^ = B^N : DA, = B,D : B,A ^B^F: EF-,

B^F ist in unserem Falle die horizontale Abscissenaxe, auf welcher
die Punkte B, und E (in Fig. 6 z. B. mit 0 und A, bezeichnet) ge-
geben sind; falls die Lage der Asymptote, d. h. der Punkt F gegeben

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196 Grundzüge einer Grrapho- Ballistik etc.

ist, kennt man somit das Verhältnis B^C : CD, in welchem B^D zu
teilen ist, um C und damit die Tangente CA^^ in dem auf den Flug-
bahnpunkt B^ folgenden nächsten Punkt A^ zu erhalten. Kehren wir
also zu den Bezeichnungen von Figur 6 oder auch Figur 9 zurück,
so ist das Resultat folgendes: man teilt OB^ im Verhältnis OF: A^F
(F der Schnittpunkt der vertikalen gemeinschaftlichen Asymptote mit
der Abscissenaxe; der Teilpunkt sei Mi) dann ist M^ 0^ die Tangente
in Ol- Ferner teilt man O^B^ in M^ nach dem Verhältnis AiFiA^F
und zieht M^O^, so ist dies die Tangente in Og u. s. f.

Um jedoch die ItS^e der Asymptote zu finden, kann man mit
Ökinghaus die Näherungsannahme machen, die Flugbahn sei eine
einzige Hyperbel; lässt man dann den variablen Punkt A^ (Fig. 10)
mit dem Auffallpunkt W zusammenfallen, so erkennt man leicht, dass
der Punkt A der Asymptote erhalten wird, indem man im Auffall-
punkt W den spitzen Aiiffallwinkel a! an die Abscissenaxe im Sinne
wachsender Abscissen anträgt und den freien Schenkel mit der Abgangs-
linie B^D in A zum Schnitt bringt; die Vertikale durch A ist dann
die Asymptote; da meist der Punkt A über das Zeichenblatt hinausfallen
würd^, so wird man — die Richtigkeit ergiebt sich leicht aus dem
Vorhergehenden — die Entfernung B^F der Asymptote vom Abgangs-
punkt mittelst des Ausdrucks berechnen:

^ __tgV__^
tga'-tga

wobei a der Abgangs winkel, a' der Auffallwinkel, X die Schussweite ist.
Man wird sonach zunächst die frühere Methode anwenden und
einen ersten Wert X der Schussweite, sowie den Auffallwinkel c'
graphisch ermitteln und erhält mit dem eben angeführten Ausdruck
die Lage der Asymptote, also den Punkt jF; damit hat man die Ver-
hältnisse, nach denen die Strecken

OBi,OiB,,0,B,,.. in M,, M,, M, . , .

zu teilen sind; so führt man die Konstruktion nochmals aus.

Zugleich sieht man, dass in der That in diesem Verfahren eine
Verallgemeinerung des früheren liegt; nimmt man nämlich speziell die
sämtlichen Verhältnisse OM^: M^B^j O^M^: M^B^ u. s.w. unter sich
gleich und gleich 1 an, so rückt F ins Unendliche und die Hyperbel
geht in den Grenzfall der Parabel über. Bei der praktischen Ausffthrung
zeigt sich auch, dass diese Modifikation des früheren einfacheren Ver-
fahrens vielfach nur darauf hinauskäme, beim Ziehen von J/j Oj , Jf , O, . .
das Lineal etwas näher an Jf,, M^ , . , anzulegen, als an 0|, 0^ . . .

Um ein Beispiel anzuführen, so fanden wir oben bei der Krupp-
schen 30,5 cm -Kanone die Schussweite und den Auffallwinkel, daraus
wird nun die Entfernung der Mündung von der vertikalen Asymptote
02^= 39800m; somit ist das Teilungsverhältnis OM^iM^By im An-
fang der Flugbahn »39800: 38800 »0,506; dagegen am Ende der

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Von Prof. Dr. Carl Cbanz. 197

Flugbahn wird dieses Verhältnis 26800:25800 = 0,509; die Zwischen-
werte des Teilungsverhältnisses kann man durch Interpolation be-
stimmen. Auf diese Weise wurde die Flugbahn aufs neue stückweise
konstruiert; es fand sich:

Schussweit« X = 14170 m,

Scheitelabscisse x, = 8300 m,

Scheitelordinate j/, «= 1910 m,

Flugzeit T = 38,5 Sek.,

AuffaUwinkel «'= W 10'.

Also ist der Unterschied zwischen der jetzigen und der nach dem
früheren Verfahren erhaltenen Schussweite ein nur geringer. Die
Ausführung der Konstruktion für zahlreiche Beispiele der Praxis zeigte
dem Verfasser, dass die Verschärfung der Methode durch Anwendung
der Hyperbelbögen bei weitem weniger ins Gewicht fällt, als die
richtige Bestimmung des Formkoeffizienten A bei der An-
wendung der Kruppschen Tabelle.

Wie schon oben angedeutet, empfiehlt es sich am meisten, den
Faktor X empirisch zu bestimmen*: in solchen Fällen, wo hierfür nicht
geeignete Schusstafelwerte vorliegen, leisten die Tabellen von Ingalls,**
Vallier*** und von Wuich'f gute Dienste.

Mit Rücksicht auf die praktische Verwendung möge unter den
erwähnten Methoden die im Vorhergehenden als die einfachste und
bequemste bezeichnete Methode besonders hervorgehoben, für die ein-
zelnen ballistischen Aufgaben spezialisiert und durch Beispiele erläutert
werden.

ZiiBammenstellimg der graphischen Methode.

1. Aufgabe.

Gegeben sei die Anfangsgeschwindigkeit v^m, der Ab-
gangswinkel a®; ferner 6ewichtP(kg) und Querschnitt iJ^Ä(qcm)
des Geschosses, sowie dessen Formkoefficient A.

Gesucht ist die Schussweite X, der spitze Auffallwinkel a\ die
Koordinaten x^y ifs des Scheitels, die ganze Flugzeit T, die Endgeschwin-
digkeit t/ und für eine beliebige Entfernung x die Ordinate der Flug-
bahn, die Flugzeit t und der Horizontalneigungswinkel o) der Tangente.

• Vergl. das oben angeführte Werk von Mayevski-Klussmann.

*• James M. Ingallß, Captain, First Artillery: Journal of the United States
Artillery, April 1896, Nr. 2, Vol. IV, p. 191; vergl. auch den Auszug dieser Arbeit
in der Zeitschrift „Mitteilungen über Gegenstände des Artillerie- und Genie-
Wosens", Wien, Jahrgang 1896, 7. Heft, S. 411.

•** E. Vallier, chef d'escadron d' Artillerie, „balistique experimentalc",
Paris 1894, p. 10.

tNic. von Wuich, Oberst im Artilleriestab, „Lehrbuch der äusseren
Ballistik", Wien 1882, S. 122 flg. ^ j

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198 Grundzüge einer Grapho- Ballistik etc.

Man denkt sich die horizontale Schussweite (Abscissenaxe) in
mehrere annähernd gleiche Teile OA^, ^1^7 A^A^.,. geteilt und
entnimmt, nach Ausrechnung des Faktors

X =

E'n.x'4

aus der Tabelle von Krupp die zu J,, A^^ A^^ , . . gehörigen Wert^^
der horizontalen Geschwindigkeiten tv und der Flugzeiten t «= lAf;
zu den betrefifenden Zwischenzeiten A^ berechnet man die Fallliölien

^.A^2 oder die Strecken B^O^, B^O^, B^O^.,. (Fig. 6) und kon-
struiert sodann die Flugbahn vom Abgangspunkt 0 aus stückweise
wie folgt: Auf Millimeterpapier trägt man in entsprechendem möglichst
grossem Maßstab (Infanterie 1 mm = 2 m bis 5 m, Artillerie 1 mm = 5m
bis 20m) die gewählten Zwischenstrecken Aa?, also OA^^ -^1-^27 ^%-^z"'
auf und zieht unter dem Abgangswinkel « die Linie OB^, welche die

Vertikale von A^ in B^ triflFfc; mache B^ 0^ gleich der ersten Fallhöhe ^ ät\

und verbinde 0^ mit der Mitte M^ von OB^j so ist 0^ ein zweiter
Flugbahnpunkt und -3/^0^ die Tangente in diesem; ebenso mache BJ)^

gleich der zweiten Fallhöhe -|-- Af| und verbinde Og mit der Mitte JA

von O^B^y so ist 0^ der Flugbahnpunkt, dessen Projektion A^ ist, und
M^O^ die Tangente in Oj. So fahrt man fort, bis der Boden wieder
erreicht ist und geht mit der Konstruktion noch etwas darunter.

Falls es notwendig wird, erhält man weitere Flugbahnpunkte
durch die Konstruktion von Figur 7: Um z. B. zwischen 0 und 0^
Punkte einzuordnen, zieht man 00^, Mitte (?, dann ist die Mitte P
von 3/j Q ein Flugbahnpunkt und die Tangente in P ist die Verbindungs-
linie von P mit der Mitte M' von OM^, Analog lässt sich noch ein
weiterer Punkt samt seiner Tangente zwischen 0 und P einordnen
u. s. f. Vielfach genügt aber proportionale Interpolation.

Der Flugbahnscheitel und der bestrichene Raum ergeben sich auf
einem horizontal und vertikal eingeteilten Zeichenpapier ohne weiterej*.
Die Flugzeiten und die horizontalen Geschwindigkeiten Vx hat man aus
der Kruppschen Tabelle; eine Bahngeschwindigkeit v selbst erhält
man, indem man der Zeichnung den zugehörigen Neigungswinkel ca
(auf Minuten genau, und zwar direkt den Tangens von w) entnimmt,
mittelst V = Vz\ cos co.

Von besonderer Wichtigkeit für die Genauigkeit des Resultats ist
die Kenntnis des richtigen Formkoeffizienten k,

Ist die Flugbahn sehr rasant, so wird der Maßstab der Ordinaten
entsprechend grösser gewählt, als der der Abscissen; hierdurch wird
erreicht, dass die Fallhöhen B^O^y B^O^ , , . genauer abzutragen sind,
und dass die successiven Tangenten sich nicht unter zu kleinen
Winkeln in der Zeichnung schneiden.

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Von Prof. Dr. Cabl Cbanz.

199

Die Wahl der Grösse der Zwischenstrecken OA^^A^A^^A^A^,.,
geschieht derart^ dass diese zwar annähernd gleich gross sind, dass
aber in der Kruppschen Tabelle nicht interpoliert zu werden braucht;
und die Zahl dieser Zwischenstrecken (8—15) wird darnach bemessen,
dass die zu verbindenden Punkte M^ und 0,, M^ und 0^ u. s.w. nicht
so nahe liegen, dass das Ziehen der Verbindungslinien unsicher wird.

Wenn die Abnahme der Luftdichte d mit Zunahme der Höhe y mit
berücksichtigt werden soll, so kann dies in einfacher Weise dadurch ge-
schehen, dass von Punkt zu Punkt andere Worte von d, also von x benutzt
werden.

1. Beispiel.

Schwere deutsche Peldkanone 0/73, mit Schrapnel C/91 oder
Sprenggranate.

Anfangsgeschwindigkeit üy= 442 m; Abgangswinkel a = Erhebungs-
winkel löy" + Abgangsfehlerwinkel — ° = ^^Tä^' ^8" ^ Yöoo' Kaliber
2U-=8,8cm; Geschossgewicht P= 7,5kg; d = *i, A= 1,23 (aus der Schuss-

tafel bestimmt), also «= „^ — r= 0,1004; horizontale Anfangsgeschwin-

n n k ^^

digkeit : v^c^ = v^ • cos a = 442 • cos 15 -^ = 425 m.

Die Zwischenstrecken OA^, A^A^,. oder Aa; auf der horizontalen
Abscissenaxe mögen so gewählt werden, dass sie um beiläufig 500 m
fortschreiten; sonach müssen die Werte lAa; in der Kruppschen

Tabelle um beiläufig = 5000 m fortschreiten, jedoch so,

flieht interpoliert werden muss.
Tabelle zu entnehmen:

Darnach hat man folgende Zahlen der

Horizontale

In der Tabelle

Durch Multiplikation

Zugehörige

Ge-
schwindig-

von K

rupp

mit 0,100 wahre Werte
von

Fallhöhen

keit

ZAflj

lA«

IAa;m
von 0 ab

A< Sek.
von 0 ab

-f..A^.M

in 0

425

23711

36,93

0

0

0

n Ai

358

28619

49,57

491

1,264

7,8

n A^

316

33734

64,87

1002

1,530

11,5

yy ^s

287

38830

81,78

1512

1,691

14,0

yy A4

263

43858

100,07

2015

1,829

16,4

?> A-s

242

48730

119,39

2502

1,930

18,2

« A

223'

53655

140,61

2994

2,122

22,1

^' -^7

206

58750

164,40

3504

2,379

27,8

yy ^8

191

63961

190,69

4025

2,629

33,8

,, A>

179

68725

216,47

4501

2,578

32,6

n ^10

168

73624

244,74

4991

2,827

39,1

Somit ist für die Konstruktion nach Figur 6 zu nehmen: 0 J, = 491m,

O^2=1002m, 0^3 = 1512 mu.s.w.; B^O^ = l,%m, B^O^-

= 11,5m

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200 Grundzüge einer Grapho- Ballistik etc.

Die Ausführung im Maßstab 1 mm »5m auf der Abscissenaxe
und 1 mm =« 2 m auf der Ordinatenaxe ist in beiliegender Tafel III
gezeigt (bei der Vervielfältigung wurde die ursprüngliche Zeichnung
auf die Hälfte reduziert und die Millimeterlinien weggelassen).

Die Resultate der graphischen Lösung sind die folgenden:

Schussweite X = 4501 m (d. Schusstfl * giebt 4500m),

Auffallwinkel a'^ 24053] ',(tga'==|?)(„ „ „ 24^^'),

ganze Flugzeit T= 18,0 Sek. ( „ „ „ 18,1 Sek.),

horiz. Endgeschwind. = 179 m

179

also Endgeschwind, v = p =197,3 m( „ „ „ 198 m),

cos 24« 53--
2

Abscissedes Scheitels = 2600 m,
Ordinate „ „ «== 412 m.

Femer lassen sich aus der Zeichnung direkt folgende Tangenten-
Neigungswinkel G) und folgende Flughöhen y abnehmen:

In der Entfernung:

rr = 0 m o « a =- 24® 52'; (tg = 0,2732, siehe oben; y = 0),

x^491,to^ 12^38' (tg- 112:500), y = 126,0 m,

X - 1002, © == 11 ® 31 ' (tg = 102 : 500), y == 239,5 m,

X = 1512, 0) - 8<^ 45' (tg = 77 : 500), y - 329,5 m,

X - 2015, oj - 4« 55' (tg = 43 : 500), y = 388,0 m,

X = 2502, 01= 0« 52' (tg = 7,5 : 500), y == 411 m,

X -= 2994, © = - 4<^ 50' (tg = - 42,5 : 500), y = 394,5 m,

X = 3504, © = -11« 5' (tg « - 98 : 500), y = 325,5 m,

X -= 4025, © -= - 18® 0' (tg = - 162,5 : 500), y == 188,5 m,

a; = 4501, «'=-24^53' (tg-- 232 : 500),8.oben,y = ObiscrcO,2in

Zur Illustration des oben über das Einordnen weiterer Flugbahn-
punkte Gesagten ist in der Zeichnung zwischen Og und 0^ der weitere
Flugbahnpunkt P einkonstruiert; es ist Og O9 gezogen, in Q halbiert, die
Mitte von M^Q ist P.

2. Beispiel.

Leichte Feldkanone. 2 JB >= 7,85 cm; P «= 5,07 kg; X aus Mangel

p
anderer Daten = 1 genommen; so ist x == ;^j-= 0,10476; Vq= 465m.

Gegeben femer «= 13<> 35' 17". Gesucht X, «', r', T, x,y y,.

Es wird Vq • cos of =» 452,0 m; die horizontalen Zwischenstrecken
mögen wiederum so gewählt sein, dass die Abscissen um beiläufig
500 m fortschreiten. Man hat sodann aus der Tabelle von Krupp:

• Vergl. z. B. den Leitfaden für den Unterricht in der Waffenlehre auf den
königl. Kriegsschulen. Auf Veranlassung der General -Inspektion des Militär-
Erziehungs- und Büdungswesens ausgearbeitet. 8. Auflage. Berlin 1897. Verlag
von E. S. Mittler und Sohn, Anhang.

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Von Prof. Dr. Cabl Cbahe.

201

Horizon-
tale Kom-
ponenten

der
Geschwin-
digkeit

m

In der Tabelle von Ernpp

Durch Multiplikation mit 0,iMTe

1

1

m

Sek.

Diff. At

Abscigsen

X

von 0
ab

m

wahre
Zeit-
diffe-
renzen

Sek.

daza
gehörige
Fallhöhen

m

in 0

nA

.A

452
375
325
294
268
245
225
208
194

11347
16418
21663
26729
32013
37267
42353
47357
52110

20,345

32,702

47,831

64,264

83,040

103,516

125,237

148,888

172,066

0

12,357
15,129
16,433
18,776
20,476
21,721
23,151
23,678

0
531,2
1081,3
1611
2165
2714
3248
3772
4270

0

1,294

1,587

1,722

1,967

2,146

2,276

2,426

2,480

0

8,2
12,3
14,5
18,5
22,5
25,4
28,8
29,9

Somit hat man für die Konstruktion nach Figur 6 zu nehmen:

0^1 -531m, 0^3 = 1081m u. s.w.;

Bi 0, = 8,2 m, B^ 0^ = 12,3 m u. s. w.

Das Resultat wurde:
Schussweite X = 4310 m (die Schusstafel giebt für dasselbe a

X = 4300 m),
AuffaUwinkel «'= 20^ 20' (tg = 370 : 1000),

Horizontale Endgeschwindigkeit t?'x=194m,
Flugzeit r = 15,8 Sek.,

Scheitelkoordinaten i ook '

1 1/, = o2o m.

3. Beispiel.

28 cm -Haubitze. Kaliber 212=28 cm; Geschossgewicht P= 215 kg;

0,9. Abgangs-

Anfangsgeschwindigkeit Vq
Winkel a = 45*^.
Es wird

355 m; Formkoeffizient l

215

= 0,3880; Vq cos a = 251,3 m.

Die Abscissen OÄ^yüÄ^.., mögen fortschreiten um ungefähr gleich
viel, nämlich um ungef^r 1000m, also müssen die Werte I Ao; der Tabelle
von Krupp derart entnommen werden, dass sie in dieser Tabelle fort-
schreiten um ungefähr - — y d. h. 2564, jedoch so, dass nur für die

erste horizontale Geschwindigkeit in 0, aber später nicht mehr in der
Tabelle interpoliert werden muss:

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202

flrundzfige einer Grapho-BalliBtik etc.

Hori-
zontale
Ge-

in der
Tabelle

m

Diffe-
renzen

IHeao

DitTerenzen

multipliziert

mit 0,!t88;

Zeiten
in der

Diffe-
renzen

Darau.s
Fallhöhen

schwin-
digkeit

m

Absoissen

von 0 »b

m

Tabelle
Sek.

Sek.

m

iiiO

251,3

46511

_

110,39

_

_^

jj ^1

241

48973

2462

955

120,40

10,01

74

A

231

51495

4984

1934

131,09

10,69

84,3

}* -^3

221

54215

7704

2990

143,13

12,04

107

W ^4

212

56857

10346

4014

155,34

12,21

HO

yj ^5

204

59405

12894

5002

167,60

12,26

110,9

;; ^6

196

62145

15634

6065

181,30

13,70

138,5

„A

190

64336

17825

6916

192,66

11,36

95,3

« -^8

183

67073

20562

7977

207,34

14,68

159

» -^

177

69575

23064

8948

221,25

13,91

143

» -^10

171

72231

25720

9977

236,52

15,27

172

» -^n

166

74577

28066

10889

250,45

13,93

143

Somit ist

0^1 = 955 m, OJg = 1934m u.s.w.-,
5^0^ = 74 m, B^O^=84:m u.s.w.

Die Ausführung der Zeichnung im Maßstab 1 mm = 10 m gab
als Resultate:

Schussweite X = 9505 m (beobachtet wurde 9588 m; die Berech-
nung nach der Methode Siacci-Krupp giebt 9482 m),

Auffallwinkel , ^.^^ ^, /. 1280\

«'=52«0'(^tg=— j;

Horizontale Endgeschwindigkeit i;'x= 173,8 (durch Interpolation i,

178 R

also Endgeschwindigkeit in der Bahn: v'= ^J^ö = 282,3 m;

Scheitel: x, = 5010 m; y, = 2677 m.

Femer z. B. für die Entfernung x = 3000 m ist Flughöhe y = 2202 m
und Neigungswinkel der Tangente o = 24® 8' (tg -= 448 : 1000).

2. Aufgabe.

Gegeben Schussweite X, Anfangsgeschwindigkeit Vq^ so-
wie Masse und Form des Geschosses, also P, 22?, X.

Gesucht Abgangswinkel a und die übrigen ballistischen
Elemente. — Man löst wie vorhin graphisch die Aufgabe, indem man
für a probeweise einen Näherungswert «i wählt — am besten durch Ver-
gleichung der Schusstafel eines möglichst ähnlichen Gewehr- oder Ge-
schützsystems. — Dadurch erhält man eine gewisse Schussweite X„
die nicht mit der gegebenen X zusammenfallen wird. Hierauf dreht
(„schwenkt") man die konstruierte Flugbahn wie eine starre krumme

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Von Prof. Dr. Cahl Cranz. 203

Linie* um den Abgangspunkt 0, bis die Schussweite die gegebene X wird.
Den Winkel Aa, um welchen man die Flugbahn abwärts oder aufwärts
drehen musste, hat man von dem zuerst angenommenen Abgangswinkel a^
abzuziehen resp. zu diesem hinzuzufögen. Damit hat man a und wie Nr. 1
auch die übrigen ballistischen Grössen, alles bezogen auf die Linie der
wahren Schussweite als Abscissenaxe.

1. Beispiel.

Schwere Feldkanone C/TS. Gegeben r^, = 442m, X = 4300m;
ferner P = 7,5 kg; 2R = 8,8 cm; X = 1,23. Gesucht a.

Probeweise wird mit «^ = 15^52' die Flugbahn konstruiert (dies
geschah im obigen Beispiel, siehe Fig. 11 der beiliegenden Tafel); die
Schuss weite X^ wurde damit zu 4501 m gefunden; es wird nun die
Flugbahn um 0 gedreht, bis die Schuss weite 4300 m wird; man be-
schreibt also einen Kreisbogen um 0 mit Radius 0W^ = 4300, der die
schon gezeichnete Flugbahn in W triflFt und zieht OIF, so ist dies die
wahre Abscissenaxe. Der Winkel W^OW oder Aor, um welchen
dabei gedreht wurde, ergiebt sich aus

tirAa = -^; Aß « 1^23':

o 4000' L ^tß ^

dieserWinkel ist von dem vorher gewählten Abgangswinkel abzuziehen; vor-

1 0
her wurde ge wählt «j«» Erhebungswinkel 15— + konstant. Abgangsfehler-

Winkel- »also ist der richtige Erhebungswinkel für die Schuss weite 4300 m:
«15« 30'- P 23*^- 14« 07' (die Schusstafel giebt 14^^/)-

2. Beispiel.
Leichte Feldkanone. Gegeben v^ — 465 m, X «« 4000 m;
3c = 0,10476. Gesucht a, ^^

Die Konstruktion werde probeweise mit dem Erhebungswinkel 13 jg

ausgeführt (vergl. obiges Beispiel bei Nr. 1); es findet sich Xj «= 4310 m;

lOß

es muss die Flugbahn gedreht werden um Aa, wobei ^g^«""75^;
Aß— 1« 35'; also ist der Erhebungswinkel für die Schussweite 4000m:

= 13M5'-P35'«11M0' (die Schusstafel giebt n^\

3. Aufgabe.

Gegeben Schussweite X und Abgangswinkel a, femer Jp,
2R und L Gesucht Vq und die anderen Grössen.

Man wählt am einfachsten durch Vergleichung einer anderen Schuss-
tafel einen Wert von r^, der voraussichtlich dem gesuchten Vq nahe kommt;

• Über dieses sogenannte „Prinzip des Schwankens der Flugbahnen", welches
mit Rnckflicht auf den Genauigkeitsgrad der Lösung in bestimmten Grenzen in
<ler That gestattet ist imd in der Ballistik sehr viel Verwendung findet, vergleiche
u. a.: N. von Wuich, Lehrbuch der äusseren Ballistik, Wien 1882, S. 26. --
A. Mieg, königl. bayer. Major z. D., theoretische äussere Ballistik, Berlin 1884,
Verlag von Mittler & Sohn ; hier ist das Prinzip durchweg verwendet; übrigens
ist die Bemerkung S. 97, Schluss , nur mit Einschränkung richtig. ^^ j

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204 Griindzüge einer Grapho- Ballistik etc. Von Prof. Dr. Cahl Cbanz.

sodann entnimmt man von der horizontalen Geschwindigkeit v^oosa ab
die betrejBFenden Zahlen der Kruppsehen Tabelle und führt die Zeichnung
aus. Man erhält damit eine gewisse Schussweite Xj, die mit der gegebenen
nicht identisch sein wird. Fällt X^ kleiner als X aus, so wählt man einen
zweiten Wert von v^ derart, dass nachher die Schussweite grösser als X
wird; hiermit wird eine zweite Zeichnung ausgeführt, die eine zweite
Schussweite X2 liefert. Durch Interpolation proportional den Differenzen
zwischen Xj resp. Xg und X erhält man sodann die gesuchte Anfangs-
geschwindigkeit Vq. — Eine bedeutende Ersparnis der Mühe liegt darin,
dass man nicht nötig hat, die ganze Liste der Werte OA^^ A^A^.,,^ -ßiO,,
JBgOj... zweimal zu berechnen; vielmehr wird man nur die ersten Zahlen
neu aufstellen; man wird also nur das erste Intervall vergrössern oder
verkleinem, sodass die übrigen Zahlen der Tabelle, welche man der Kon-
struktion zu Grunde legt, bleiben, dagegen die horizontale Geschwindig-
keit in 0, femer die erste Zwischenstrecke ^x^ oder OA^ und die erste
Fallhöhe B^O^ eine andere wird. — (Ganz analog muss bei dem rech-
nerischen Verfahren nach der Methode von Siacci die Flugbahn zwei-
mal berechnet und sodann interpoliert werden.)

4. Aufgabe.

Gegeben Vq, a und X Gesucht Faktorx (z.B. gesuchte, wenn P
und 2B gegeben ist).

Diese wichtige Aufgabe, welche bei dem Rechnungsverfahren nach
Siacci s Methode eine zweimalige Berechnung und darauffolgende Inter-
polation erfordert, und welche nur bei Anwendung der Braccialini-
Hojel-Vallier sehen Methode mit Hilfe der sogenannten sekundären Funk-
tionen im Fall kleiner Abgangswinkel weniger Mühe verursacht, verlangt
auch hier, ganz analog dem Siacci sehen Rechnungsverfahren, eine zwei-
malige Konstruktion der Flugbahn: Man versucht — am zweckmässigsten
nach Betrachtung einer anderen verwandten Schusstafel — einen ersten
Wert von x, konstruiert die Flugbahn und erhält einen Wert X^ der Schuss-
weite; versucht sodann einen zweiten Wert x und erhält einen zweiten
Wert Xg der Schussweite; endlich wird proportional interpoliert.

Es zeigt sich so, dass das beschriebene graphische Verfahren für die
Zwecke der Praxis völlig genügt und in manchen Fällen mit wenig Mühe
zu einem übersichtlicheren Resultat führt als das rechnerische Verfahren.
Bei Lösung einer grösseren Zahl von ballistischen Aufgaben der Praxis
ergab sich dem Verfasser, dass, wenn nur der Formkoefficient k
richtig ermittelt war und in genügend grossem Maßstab genau kon-
struiert wurde, der Fehler des Resultats gegenüber der Lage des mitt-
leren Treffpunkts stets kleiner war als der mittlere Fehler eines einzelnen
Schusses, und dass wenigstens in einigen Fällen dieses graphische Ver-
fahren selbst den neusten Rechnungsmethoden an Genauigkeit überlegen
war. — Möchten die Herren Ballistiker dieser graphischen Methode, welche
keinerlei Hilfsmittel der höheren Mathematik erfordert, nähertreten.

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über die Differentiation empirisoher Funktionen.

Von

C. Runge

in Hannover.

Wenn wir die Vorgänge oder Zustände der Wirklichkeit messend
verfolgen, so zeigt es sich nicht selten, dass unsere Apparate nicht
die eigentlichen zu messenden Funktionswerte angeben, sondern Mittel-
werte. Die Apparate integrieren über ein Intervall, statt uns den
Funktionswert anzugeben und gleichen dadurch Schwankungen, die in
der Wirklichkeit vorkommen, unter Umständen so weit aus, dass sie
nicht mehr wahrgenommen werden.

Hierauf beruht es z. B., dass man bis zu den Versuchen von
Langley* die grosse üngleichmässigkeit des Windes nicht hinreichend
erkannt hatte. Die gebräuchlichen Anemometer besassen soviel Träg-
heit, dass sie nicht die augenblickliche Geschwindigkeit der Luft er-
kennen liessen, sondern einen Durchschnittswert, der auch von den
vorhergehenden Windgeschwindigkeiten beeinflusst war. Erst Langley «
baute Anemometer von sehr geringer Trägheit und verminderte so das
Intervall der Integration.

Auf demselben Grunde beruht auch z. 6. das beschränkte Trenn-
ungsvermögen optischer Apparate. Das Bild, das eine Linse von einem
leuchtenden Punkte entwirft, ist, wenn man von den Diffraktionsringen
absieht, die ihrer geringeren Intensität wegen nicht von Belang sind,
eine kleine Scheibe, deren Fläche für Licht derselben Wellenlänge der
üfihung des Lichtkegels umgekehrt proportional ist, der in einem
ihrer Punkte seine Spitze hat. Das Bild irgend eines Objektes ist
deshalb nicht getreu, sondern immer bis zu einem gewissen Grade
verwaschen, und die Intensität des Bildes an irgend einem Punkte ist
nicht proportional der Intensität des Originals an dem entsprechenden
Punkte, sondern ist ein Durchschnittswert der Intensität aller der-
jenigen Punkte des Originals, deren Scheiben den betreffenden Bild-
punkt noch enthalten.

* Langley, Le Travail intärieur du vent. Revue de Taeronautique. 1893.

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206 frber die Differentiation empirischer Funktionen.

Diese Integration der Apparate lässt sich bis zu einem gewissen
Grade durch Rechnung wieder rückgängig machen, wie in dem Folgen-
den für einen besonderen Fall gezeigt werden soll. Ich nenne in der
Überschi'ift diese Reduktion der beobachteten Integral werte „Differen-
tiation" obwohl sich der Begriff nicht ganz mit der Differentiation
deckt. Die hier gegebene Methode ist von Herrn Paschen in aus-
gedehntem Maße bei der Reduktion seiner bolometrischen Messungen
über die Strahlung erhitzter Körper verwendet worden* Von ihm
rührt die Formulierung des Problems der Reduktion seiner bolo-
metrischen Messungen her.

Wenn man das Spektrum einer Lichtquelle entwerfen will, so
verfahrt man bekanntlich so, dass man das Licht durch einen Spalt
schickt. Die Lichtstrahlen, die durch den Spalt dringen, werden durch
passende Anordnung von Linsen oder Spiegeln so gelenkt, dass sie
nach dem Passieren des zerstreuenden Apparates, mag das nun ein
Prisma, ein Prismensatz, oder ein Gitter sein, sich wieder zu einem
Spaltbilde vereinigen. Der zerstreuende Apparat bewirkt, dass die
Spaltbilder verschiedener Farben nicht an derselben Stelle entworfen
sind, sondern nunmehr zu einem Streifen ausgebreitet das Spektrum
der Lichtquelle bilden. Die Bilder des Spaltes haben nun immer eine
gewisse Breite. Selbst für einen unendlich feinen Spalt würde dies
gelten. Auch sein Bild behält eine gewisse Breite, die von der Öff-
nung des Lichtbündels und von der Wellenlänge abhängt. Es ver-
mischen sich daher die Spaltbilder nahe benachbarter Farben und das
Spektrum wird unrein, um so mehr, je breiter der Spalt gemacht
wird. Ist der Spalt nicht sehr enge, so können wir das Bild des
rechteckigen Spaltes ohne merklichen Fehler als Rechteck betrachten.
In einem unreinen Spektrum ist die Intensität an irgend einer Stelle
des Spektrums nicht proportional der Intensität der betreffenden
Farbe, sondern es ist ein Durchschnittswert der Intensitäten aller der
Farben, deren Spaltbilder die betreffende Stelle noch enthalten. Es
bezeichne x die Längsausdehnung des Spektrums von einem festen
Punkt bis zu irgend einer Stelle. An dieser Stelle liegt die Mitte des
Spaltbildes einer gewissen Farbe, von deren Wellenlänge wir sagen
wollen, dass sie dem Wert x entspricht. Das Spaltbild möge sich von

a: — — bis ^ + Y erstrecken und wir wollen annehmen, dass die Breite

des Spaltbildes a für alle Farben merklich dieselbe ist. Die Energie-
menge des Lichtes, dessen Wellenlängen dem Intervall ic bis o; + dx ent-
sprechen und das in einer gegebenen Zeit durch den Apparat geht, ist
dann im Spektrum nicht auf das Intervall u; bis o; + dx konzentriert,

sondern in dem Intervall ^ — -^ bis x + | ausgebreitet. Wir bezeich-
nen diese Energiemenge mit adE^^ wo also dE^ die Energiemenge
* F. Paschen, Über die Spektren fester Körper. Wied. Ann. 1897.

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Von C, RuNGK. 207

bedeutet, die einer Spaltbreite entspricht, für die das Spaltbild die
Breite 1 hat.

Alsdann kommt auf das Intervall x bis x + dx nur der Bruchteil
(lEs-dx. Dafür aber greifen die Spaltbilder der benachbarten Farben,

die den Werten x — " bis x + " entsprechen, über das Intervall, so

(lass wir im ganzen in dem Intervall ir bis u: + dx die Energiemenge
erhalten : a

„./i^.,.,.

Die Intensität des Spektrums an der Stelle x ist nun zu de-
finieren als die Energie des unendlich kleinen Intervalls x bis x + dx
dividiert durch dx. Mithin ist die Intensität des unreinen Spektrums
gleich a

f

dE^-^v

dx

rf. = j;(.+ 0-^(^-1).

Die Intensität des reinen Spektrums erhalten wir, wenn wir die
Spaltbildbreite unendlich klein werden lassen:

dEx
-a.

dx

Zugleich mit der Reinheit wird dann aber auch die Intensität
unendlich klein. In Wirklichkeit lässt sich die Spaltbildbreite bei
einem gegebenen Apparat nicht beliebig klein machen. Für einen
unendlich schmalen Spalt behält das Spaltbild immer noch eine end-
liche Breite. Ein absolut reines Spektrum ist eine Abstraktion, die
nicht verwirklicht werden kann.

Die Intensität des reinen Spektrums ist es, die wir suchen, wobei
es aber auf einen Proportionalitätsfaktor nicht ankommt.

Bei bolometrischen Messungen wird nun auch die Intensität des
eben betrachteten unreinen Spektrums nicht beobachtet. Man bringt
hier bekanntlich einen Metallstreifen in das Spektrum und misst die
Änderung, die sein elektrischer Widerstand durch die Bestrahlung er-
fährt. Die Messung liefert Grössen, die der Energiemenge des
Lichtes proportional sind, das auf den Metallstreifen fällt. Nun hat
aber der Metallstreifen eine gewisse Breite und wird daher die Energie
eines gewissen Intervalls des oben betrachteten unreinen Spektrums
anzeigen.

Liegt die Mitte des Bolometerstreifens bei x und ist seine Breite &,
so empföngt er in der gegebenen Zeit die Energiemenge:

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208 Über die Differentiation empirischer Funktionen.

+1

F{x) =fE{x + t, + 1) _ JE(a; + « - -1)^1;;

8

dieser Funktion werden die Ausschläge des Galvanometers proportional
und es kommt nun darauf an, durch Rechnung die Werte zu finden,

dE
die --7-^ proportinal sind.

. dE
Wird -j^ mit f{x) bezeichnet, so ergiebt sich nach der Taylor-

schen Reihe:

E(x + v + ^) = E(x) + f(x){v + ^)^y'{x){v + ^)\.--

und

jE(x + v + fjdv = E{x)h^ax)^^ + f'{x)^^\--

t

a-\-h a — h ....

wo p = ^ , q = gesetzt ist.

Analog ist:

Mithin

j'(^) = 2(/-(.)^,ii+r(-)^+...).

Für hinreichend kleine Werte von p und q ist also in erster
Annäherung: ^^^^ _ ^ ^^^ ^^^ _ ^2>) _ ^(^)^ j.

Die Wirkung auf den Bolometerstreifen wächst daher annähernd
proportional ab.

Der Unterschied zwischen dem vom Bolometer registrierten un-
reinen Spektrum F(x) und dem reinen Spektrum f(x)'ah ist in erster
Annäherung gleich .p*-q* .,;, . , a« + &'

Dieser Ausdruck giebt also ein Maß der Unreinheit an. Für eine
gegebene Wirkung auf den Bolometerstreifen erzielt man möglichste
Reinheit, wenn man das Verhältnis von a und b so wählt, dass

, a' + fe'

für einen gegebenen Wert von ab möglichst klein wird. Daraus folgt
a = 6 als gönstigstes Verhältnis. Der Bolometerstreifen muss gerade die

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Von C. Rl'noe. 209

Breite des Spaltbildes haben, wenn bei gegebenen Ausschlägen das
Spektrum möglichst rein sein soll.
Für fc = a erhalten wir nun:

F{x) = f{x)a' + fix) ^ + f^^\x) -

+

'3-4 ' ' ^*^/ 8 • 4 . 6 • 6

und es ergiebt sich die Aufgabe f{x) zu finden, wenn F(x) gegeben
ist. Man könnte zimächst daran denken, f(x) durch eine Summe von
Gliedern darzustellen, die F{x), F\x)y F\x) . . . enthalten. Durch
Differentiation erhalt man sogleich

Und wenn man die Gleichungen der Reihe nach C^ Cj Cg . . . multi-
pliziert und zu der Gleichung oben addiert, so ergiebt sich:

Fix) + C,F"{x) + C,FWix) + ■■■= ma' + f"{x) (c.a« + 3^)

+ •••

Nun würde man C\, Cj . . . durch die Rekursionsformeln zu be-
stimmen haben: „4

<:■.«*+ C^.Ä+ 37^76=0
etc.

Es ist indessen viel zweckmässiger statt der Differentialquotienten
F'{x), F^^\x), ... die Differenzen A^JF; A^-F, . . . einzuführen. Denn
man muss bedenken, dass F{x) nur empirisch, nicht analytisch ge-
geben ist, und dass daher die Differenzen leichter zu bilden sind, als
die Differentialquotienten.

In symbolischer Schreibweise hat man:

wo Df för j^ steht. Daraus folgt durch zweimalige DifiPerentiation:
D^F = (e'^ + e-«^ - 2)f(x)

-^ fix + a) + fix - a) - 2f(x)
= A'fix).
Anderseits folgt aus derselben Gleichung durch Differenzen
baden: ^22^ _ F(x + a) + F{x - a) - 2F{x)

= — ^t AY(4

Zeltgchrift f- Mathematik u. Physik. 42. Jahrg. 1897. 4. Heft. ll|igitized by VjOOQ IC

210 Über die Differentiation empirischer Funktionen.

Mitbin:

Bildet man hier von neuem die zweite Differenz, so ergiebt sich
A*J'= {^'>+ c-«^- 2yL?F

So fortfahrend beweist man allgemein die Formel:

Sollen nun die Eonstanten C,, Cj, Cj . . . so bestimmt werden, dass

F + C^t^^F + Cg A*F + f{x)a*

wird, so hat man demnach:

[(e"^+ e-«^- 2) + Ci(c»^+ c-"^- 2)»

+ C,(e»^ + e-"^ - 2)» + • • •] ^ = ^ a»
oder

(e^^+ ß-«^-- 2) + Ci(e»^+ e-»^- 2)*

C^, C2, . . . dürfen dabei nicht von D abhängen.
Führt man die Bezeichnungen:

;e? = e« + 6— - 2 = 4 @in^ I

ein, so lässt sich die Bedingung, der die Faktoren C^, C^, . . . ge-
nügen sollen, auch so ausdrücken, dass

für beliebige Werte von m und konstante Werte von C^ Q . . . erfüllt
sein soll. Mit anderen Worten, es soll, wenn

;, = 4@in^|

ist, u^ nach Potenzen von z entwickelt werden. Zu dem Ende setzen wir
Dann ist

t = ®\n~, also ^*=f
A 4

w^=4(2tr@in0'.
Daraus folgt: ., ., oar ^- ^

d^ Vl + e

(?\^^) 8

dt

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Von C. RuNOB.

211

Mithin

Nun ist:
und daher

^ = 2>.2< + Ci2*-4<«+(7,2«-6f5+---
^^ = 2»-2 + Ci2*-4-3-<*+q,2«-6.5fH-

und folglich:

(1 + <*)^ + <^ = 2*-2 + (Ci2*-4-3 + 2»-2 + 2*-2)<*

+ (Cj-2«-6-5 + Ci2*-4-3 + Ci2*-4)<*
+ (C,-2«-8-7 + Cj2«-6.5 + C,2«-6)<«^
+ •••
was fiir die gesuchten Konstanten die Rekursionsformeln ergiebt:

C,-2»»+«-2n + 2-2« + l + C„_i-2«"-2n-2n = 0,

oder

2n4-2-2n + l ""^'

c,=

1. 1

4-8

Die gesuchte Intensität f(x)a^ des reinen Spektrums ist mithin
aus der beobachteten Funktion F(x) nach der Formel zu berechnen

/•(^).a«=J'-^A*i^+i^i^A^/'.

38.22 1

-.^'F +

Flg.l.

8.7-6-5-4.3'

Wenn von den Werten von x, für die F(x) beobachtet worden
ist, je zwei aufeinanderfolgende um die Grösse a voneinander ver-
schieden sind, so ist es am bequemsten die Diffe-
renzen A*-F, A*J?', . . . einfach auszurechnen. Sind
d^gen diese Werte von F{x) nicht gegeben, so
kann man sie entweder interpolieren oder man
kann eine graphische Darstellung von F(x) be-
nutzen, um ^^F abzugreifen. Verbindet man näm-
lich die Punkte Ä, B (Fig. 1) der Kurve, deren
Abscissen x — a und x + a sind, so schneidet
diese Sehne die zu x gehörige Ordinate oder deren
Verlängerung in einem Punkte S, der von dem

betrefiFenden Pimkte C der Kurve um — ^r— absteht,

wobei der Abstand negativ zu rechnen ist, wenn der Schnittpunkt
unter dem Kurvenpunkte liegt. Um L^F zu finden, hat man L^^F als
Ordinate aufzutragen und ebenso zu verfahren und so weiter, so lange
bei der Genauigkeit der gegebenen Beobachtungen die Korrektions-
gUeder noch mit einiger Sicherheit ermittelt werden können.

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212 Über die Differentiation empirischer Funktionen.

Was die Konvergenz der Darstellung

betrifft, so fanden wir oben, dass

war. Setzt man auf beiden Seiten it an Stelle von t und dividiert
beide Seiten durch —1, so ergiebt sich:

Diese Reihe konvergiert noch fttr ^ = 1 und ergiebt fiir diesen
W ert : i . ■* 9.9.1.1

oder

4 ^^ 4.3 *^ 6 6.4.3 * ^

Unsere Entwickelung von f{x)a^ bleibt also selbst dann noch
unbedingt und gleichmässig konvergent, wenn L^F, A*F, A^F , . .
nicht stärker als die Potenzen 4, 4', 4*, . . oder Grössen, die diesen
proportional sind, wachsen sollten.

Ist z. B. von A^F an jede Differenz A^^F absolut genommen
nicht grösser als Jtf.r»

wo r ^ 4 ist, so wird der Fehler, den man begeht, wenn man sich
mit den beiden Eorrektionsgliedem

4.3 -^ ^ 6 64 3 " ^

begnügt, nicht grösser sein als

8. 7-6. 6.4.3 ^ 10.9.8.7.6.5.4.3 ^ '

das heisst nicht grösser als

4^(a«si.iVr-)'-«(. + ii' + ^l^")-
Für r = 1 z. B. ist der Fehler nicht grösser als

0,0022 M,

Jn der nebenstehenden Figur 2 ist die bolometrische Messung
eines Absorptionsstreifens der Kohlensäure dargestellt, die Herr
F. Paschen ausgeführt hat. Nach der Dicke der Gasschicht sollt«
man in der Mitte des Absorptionsstreifens die Ordinate Null erwarten.
In dem beobachteten Spektrum ist das nicht der Fall. Aber nachdem
die ersten beiden Korrektionsglieder angebracht sind, wird der Wert
der Ordinate in der That unmerklich.

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Von C. Runge.

213

Man könnte die hier behandelte Aufgabe noch in mannigfacher
Weise variieren und es liessen sich manche physikalische Messungen
anfüliren^ bei denen ebenfalls die gemessenen Funktionen Integrale
sind^ die man differentiieren muss, um die gesuchten Funktionen zu

Flg.«.

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J

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finden. Die Integrale können dabei anders gebildet sein, als das hier
behandelte. Es kann z, B. unter dem Integralzeichen ein Dämpfungs-
faktor vorkommen, so dass die weiter abliegenden Funktionswerte
weniger zum Werte des Integrals beitragen. Es möge indessen ge-
nügen, darauf hinzuweisen, dass sich solche Fälle ähnlich behandeln
lassen, wie der hier ausgeführte.

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214

Kleinere Mitteilungen.

Über Zahlenteiler ganzer Fanktionen.*

Von K. Th. Valilen in Königsberg i. Pr.

Eine ganze Funktion f(xi^. . .,fl?n) mit beliebigen Koeffizienten werde statt
nach den Potenzen nach den Faktoriellen

(:)

1 • 2 . . . ü

geordnet, also auf die Form gebracht:

2'^... ....... .-f-OM ••("")•

r = l,«,...,n

Ans den Gleichungen:

2'^.-. •'-(*•) . . . (*") = fih, h,... *.) (*'= j- 1- ■ ""')

folgt dorch Aoflösnng nach den Grössen Jl/, ...^^ die Äquivalenz der beiden
Systeme ^,, ...,-^, und f(ky..,kn) entweder aus der Bemerkung, dass die
Determinante jener in den -4/, ...^^ linearen Gleichungen in der Diagonale
nur Einsen, rechts der Diagonale nur Nullen enthalt; oder direkt, es ist
nämlich:

,.=f :,:^" "■a:)-(ty* *■'

» = l,8,...n

-(->)*■+ ■+'-A......

w.ü2'(-»'(f)(j)-2(-')'(f)(*:i) =(-»*(J)c-i)*- i-t.

Also ist auch das durch:

bei beliebigen ganzen Zahlen g definierte System Ä^-^ . . . ,-^ äquivalent jedem
der drei Systeme:

* Den wesentlichen Inhalt dieser Zeilen hatte ich am 16. Juni 1893 im Mathe-
matischen Verein zu Berlin als Beantwortung einer gestellten Frage mitgeteilt. Die
damals unterlassene Veröffentlichung hole ich jetzt nach, da der Gegenstand in-
zwischen durch Herrn Hensels Aufsatz: „Über den grössten gemeinsamen Teiler
aller Zahlen, welche durch eine ganze Funktion von n Veränderlichen darstellbar
sind" (Grelles Journal Band 116 S. 350 — 356) an Interesse gewonnen hat.

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Kleinere Mitteilungen. 215

So ergiebt sich der Satz:

Soll eine ganze Funktion /"(aJi, . . ., a?^) mit beliebigen Koeffi-
zienten für alle ganzzahligen Wertsysteme der Variablen rCj^ OJg, . . ., rc«
ganzzahlige Vielfache einer gegebenen Grösse Q ergeben, so müssen
die Koeffizienten in jeder ihrer Darstellungen:

ganzzahlige Vielfache von Q sein; der grösste gemeinsame Teiler

Äi^ ...i^

der ganzen Zahlen ^ — ergiebt sich auch als grösster gemem-

samer Teiler der ganzen Zahlen:

Q

(^i-9i\ (sca-9 \

Das erweiterte Theorem von Bour.

Von Dr. P. Ebner in Greiz i. V.

Nach dem schönen Theorem von Bour giebt es bekanntlich zweifach
unendlich viele Schraubenflächen, die auf eine vorgelegte Rotationsfläche
abwickelbar sind. Dieses Theorem ist indessen nur ein spezieller Fall
eines allgemeineren, welches zuerst von Herrn M. Levy ausgesprochen worden
ist,* und welches lautet: es giebt zweifach unendlich viele Spiralflächen,
welche auf eine vorgelegte Spiralfläche abwickelbar sind. Der Beweis dieses
Theorems lässt sich in der folgenden vereinfachten Form führen:

Es sei eine Spiralfläche gegeben, deren Quadrat des Linienelements
die charakteristische Form besitzt:**

1) ds^'^e'-'-E^du^ + dv^)

unter u und v die isometrischen Koordinaten der Fläche, unter k eine ge-
gebene Konstante, unter E eine gegebene Funktion von u verstanden.

Die Gleichung irgend einer andern allgemeinen Spiralfläche lautet nun
aber in räumlichen Polarkoordinaten:**

2) z = z^^\ r = r^e*", (p == tp^+ cv

unter fc, c Konstanten, unter Zq, r^, ip^ Funktionen von u verstanden. Soll
also die Fläche 2) auf die Fläche l) abwickelbar sein, so muss ihr Linien-
element sich auf die Form 1) bringen lassen, was für die willkürlichen
Grössen c, Zq, r^, q>Q auf die Bestimmungsgleichungen führt:

• Vergl. Compt. rend. 1878. p. 789 flg. der Note vom 18. November.

** Vergl. Darboux, Le9ons sur la thäorie g^n^rale des surfaces, Band I,
p. 109 und 110.

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3)

216 Kleinere Mitteilungen.

WO ^o"^ T ^^setzt ist, und die Accente der Differentiation nach u bezeichnen.

Für 1 + Ä;*=0, d. i. den Fall der imaginären Spiralflächen, wie wir zur
Abkürzung sagen wollen, ergiebt die Elimination von q>Q und z^ aus dem
System 3) sofort die in r^ lineare Differentialgleichung:

aus der sich r^ durch Ausfährung einer blossen Quadratur bestinmit, worauf
dann aus 3): tp^ und z^ folgen; da in 4) noch eine willkürliche Integrations-
konstante auftritt, so giebt es einfach unendlich viele, durch blosse Qua-
draturen bestimmbare imaginäre Spiralflächen, die auf die vorgelegte Fläche 1)
abwickelbar sind.

Ist dagegen: 1 + äj*> 0, so eliminiere man aus 3) q>^ und r^, worauf
man ' nach Ausführung der dazu erforderlichen Rechnung für z^ auf die
Differentialgleichung geführt wird:

5) V+V'= /•'(«),

k*E^ — E'^
wo f^(u) = Tg gesetzt ist. Das allgemeine Integral derselben ent-
halt nun ausser der willkürlich bleibenden Konstanten k noch eine willkürliche
Integrationskonstante, d. h. es giebt zweifach unendlich viele Spiralfiächen 2),
die auf die vorgelegte Spiralfläche 1) abwickelbar sind, womit das erweiterte
Theorem von Bour bewiesen ist.* Hat man Zq aus 5) bestimmt, so er-
hält man aus 3): r^ und nach Ausführung einer Quadratur auch q>Q. Die
Differentialgleichung Ö) ist nun — wie hier noch kurz bemerkt werden mag —
im allgemeinen nicht auf Quadraturen zurückführbar, wie man am leichtesten
aus ihrer durch die Substitutionen:

6 ) Zn = — ==■ t Zn *== — Trnr-:—

bewirkten transformierten Form:

') t -(' + ''){' -9)

erkennt, welche zugleich die Gleichungsform der geodätischen Linien der
Spiralflächen ist. Sie wird indessen auf Quadraturen zurückfuhrbar, wenn:

jL(iog/'(w)==^=const

m

wird, was z. B. der Fall ist fttr E = c'^''\ alle Spiralflächen, welche also
auf die Fläche mit dem Linienelementquadrat:

abwickelbar sind, können durch blosse Quadraturen bestimmt werden, welches
auch die Eonstante a sei.

* Für ^• = 0 folgt aus diesem erweiterten Theorem wieder das ursprüngliche
für die Schraubenfläclien . die selbst nur ein besonderer Fall der Spiralflüchen aiud.

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. Vcrlau vmi B. G. TBuhiter in Leipzig. ,

..*.M;.ack«5 d&utsoher Schul- Kalender

IQr das fechuljahr Ib97/»B. 47. JiU

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fTT-t: LHrt\T^Ti41*ftnd e<***"T>dim .4f 1 20.

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Die ßerediuim^^ der tilgonometriscliHi Verni^ssDnpD«

Mit Rücksichi uul' die spharuTdische Ge&Ult der Erde.
Von 4* G. F. BohiH'iiltergcT,
PeatM*IiP B<?arht'itiing <Jfr AKhan<lIung ,,Di? computandi»
E. llauimfr, Protl ti d Teetin. Hoihsrhule Stuttgart

Alle ^i*it<luii^«^ii

Je all^melne Abtei lung dieser ZQita<!hrifl sind an Ptot
B. nrltftik«*. Mltlttfirarr* f rasse 4111. für 1

Ut-tertinsche Abteilmig^ nn H* r. 91«. Cfltitor^ li . « .1 r t im r^^

QaJ^bergvtr. lö, su rioliteii- — Die Zoitsclirin ersohmnt in BAnii^n vuttj
<l Heften, ditr Preis dem Biutdee vc»n S« 0ru<>kboic«n b^trUgi 30
AUt» BuohhAndlungen und PoaiaitHtaltisi] pebiiiiäti Btf^tdUuDje«!!

"über einen Satz der Funktionektlieorie ui
Anwendung auf isothennische Kur^ioiBfiyBtomg^und
auf einige Theorien der mathematisohen Physik.

Von

Prof. Dr. HOLZMÜLLEK,

Direktor der Hagener (lewcrbesohule.

S 1. Die Linien gleicher Stromstärke und Stromriohtung
bei stationärer Elektrizitätsströmung.

Ist Z = f(z) oder U+Vi '^ f\x + yi) eine Funktion komplexen
Arguments, und ist Z^=f{z) oder

Ä(eo8 <t> + i sin 4)) = f [r (cos gp + / sin 9)]

ihr Differentialquotient, so ist bekanntlich der absolute Betrag des

seine Abweichung aber, abgesehen von der Periode 3r,

ov dir

-, , dx n , ex

9 = arctan —r-rr == -^ — arctan

ex dx

Dabei ist auch Z' eine Funktion komplexen Arguments und ge-
nügt ebenso, wie ihr reeller und auch ihr imaginärer Teil, der par-
tiellen Differentialgleichung A^e^«=0. Da nun aber auch IgZ' eine
Funktion komplexen Arguments ist, die sich schreiben lässt:

lgZ'=« lg[U(cos<t> + /sin(I)] = IgjR + lg(cos<t> + isin<t>)
= lglZ + lge*/==lgiJ + i(t>,

so müssen auch lg B und #!^fer Differentialgleichung A^i^ >= 0 genügen.

Also: ' ^ ^ ^

Der Logarithmusf des absoluten Betrags R vom Diffe-
rentialquotienten einer Funktion komplexen Arguments ge-
nügt der Differentialgleichung A^u = 0. Dasselbe gilt von
der Abweichung <t> des Differentialquotienten.

ZeiUcbxift f Mathematik u. Physik 42 Jahrg. 1897. 5. Heft. Digitiiid by GOOQIC

218 tber einen Satz der Funktionen theorie und seine Anwendung etc.

Aus diesem einfachen Satze entspringt eine Reihe von Folgerungen
für die Geometrie und die mathematische Physik. Um diese zu er-
läutern, sei an einige Elementarsätze der Funktionentheorie erinnert.

Bekanntlich gilt bei der Abbildung Z = f{£) fär je zwei einander
entsprechende Bogenelemente der Z- und jgf- Ebene die Gleichung
dS = RdSj wo R die obige Bedeutung hat. Diese Beziehung gilt an
der betreflFenden Stelle für alle Richtungen der Bogenelemente. Da-
gegen giebt die Abweichung <t) an, dass dS gegen ds um + 0, ds
gegen dS um — <t> gedreht erscheint. R giebt also ein Vergrösserungs-
verhältnis, 0 eine Drehung an.

Nun entsprechen bei jeder Abbildung Z = f{0) oder

den Parallelen X = a und Y=h der Z-Ebene zwei orthogonale Iso-
thermenscharen der ;8r- Ebene, die sich, wenn der konjugierte Ausdruck
X — Yi mit /i(a: — yi) bezeichnet wird, schreiben lassen als

f(x + yt)+f,{x-yi) f{3c + yi)-fi(x-yt) _ j^

In der Z- Ebene erhält man mit Hilfe einer arithmetischen Reihe,
^•^•- ..., -3c, -2c, -c, 0, c, 2c, 3c,...,

deren Glieder der Reihe nach für a und b eingesetzt werden, eine
quadratische Einteilung. Dieser Einteilung entspricht in der jßf- Ebene
eine solche in unendlich kleine (krummlinige) Quadrate durch die
beiden Isothermenscharen. Hat nun jedes kleine Quadrat der Z- Ebene
die Seite dS, so hat jedes entsprechende „Quadrat" der jgf- Ebene die

Seite ds=-^dSj der horizontalen Richtung von dS entspricht aber

eine Neigung — 4), der senkrechten von dS^ eine Neigung y — ^.

Also:

Die Grösse der kleinen Quadratseiten in der ;8r-Ebene ist
umgekehrt proportional dem absoluten Betrage R des Diffe-
rentialquotienten Z', ihre Neigungen aber sind gleich — <l>

bezw. -^ — <I>, wo <t> die Abweichung des Differentialquo-

tienten ist.

Um diejenigen Quadrate der j?- Ebene zu finden, die von gleicher
Grösse sind, braucht man nur R gleich einer Eonstanten k oder e^ zu
setzen. Längs jeder Kurve

« l/(lf)V(|f)'-*-,

er

wobei auch V statt U geschrieben werden kann, sind die kleinen
Quadrate der ;8:- Ebene gleich gross.

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Von Prof. Dr. Holzmülleb. 219

Will man hingegen die Stellen kennen lernen, wo die Bogen-
elemente der beiden Isothermenscliaren der jgf- Ebene parallel sind, so
hat man nur nötig, 4) gleich einer Eonstanten y zu setzen. Längs
jeder Kurve von der Gleichung

2) arctan-^ = y

sind also die Bogenelemente jeder der beiden Isothermenscharen der
iS-Ebene gleichgerichtet, ihre Tangenten demnach parallel.

Bei der Schreibweise 1*) und 2) genügen die linken Seiten beider
Kurvengleichungen der DifiFerentialgleichung A^w — 0, und da lgJB + <t>i
eine Punktion komplexen Arguments ist, handelt es sich wieder um
zwei orthogonale Isothermenscharen.

Das Gesamtresultat ist folgendes:

Jede Isothermenschar TT = a und ihre Orthogonalschar
F= 6 haben bei quadratischer Einteilung die gleichgrossen
Quadrate auf Kurven von der Gleichung:

dagegen die gleichgeneigten Quadrate auf Kurven von der
Gleichung: ^ ^

. dx T . ex n

arctan . ^r = V oder arctan ,^ = -r — y.

dx dx

Lässt man c und y die Werte der Glieder derselben arithmetischen
Reihe annehmen, so erhält man auch durch diese Kurven eine qua-
dratische Einteilung.

Geometrisch folgt daraus:

Legt man in eine Isothermenschar eine Schar berühren-
der Parallelen, so bilden die Berührungspunkte eine Kurve der
Schar2). Wählt man als Neigungen verschiedener Parallelen-
scharen die Werte der Glieder einer arithmetischen Reihe,
so erhält man eine sogenannte isothermische Einteilung.

Man kann z.B. die Reihe

ü, ± — ; ± — 7 ± — 5 • • •

wählen.

Ob man von der gewählten Isothermenschar oder ihrer
Orthogonalschar ausgeht, ist dabei gleichgiltig.

Die Schar 1) ist weniger bequem zu konstruieren.

Kennt man den Umfang % einer Kurve li =^k der Schar 1),
so ist für die entsprechende Kurve der Z-Ebene der Umfang
gleich WiJB== u^k.

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220 Über einen Satz der Funktionentheorie und seine Anwendung etc.

Beispiel. Das Ereisbüschel durch die Punkte ± 1 und die ortho-
gonale Ereisschar seien gegeben. Es wird behauptet^ dass die ^^Eurven
gleicher Abweichung^' ein Büschel gleichseitiger Hyperbeln
durch die Punkte ± 1 sind, die „Eurven gleichen Ver-
grösserungsverhältnisses'^ dagegen die zugehörige Lemnis-
katenschar bilden.

Beweis. In isothermischer Schreibweise lautet die Gleichung
der Ereisschar: p

oder *

^ = lg l/f^ipTF " ^^^«[(^ + ^y+yn - ig[(^ - 1)*+ y*])=^.

Die linke Seite giebt:

2 2 .'

Die Eurven — = c, oder pq =- — sind aber konfokale Lemnis-
katen. *« "

Das Ereisbüschel hat die Gleichung d-^ — ^^^ y^ (y^ ist der kon-
stante Peripheriewinkel), oder

V= arctan — ^ — arctan —~r = y.

Die linken Seiten ireben:
dV ^

0 -== arctan -jT^ «= arctan -^ — ^f— r = arctan— —r + arctan—^

Jx = -0-1 + -^s-

Die Eurven d-i + ^^ = y sind aber ein Büschel gleichseitiger
Hyperbeln durch ± 1. Bildet man jB mit Hilfe von

(ID'+ © *

80 erhält man dasselbe wie vorher. Vertauscht man in der Berech-
nung von <t> die Grössen V und U, so erhält man:

^1 + ^2 = 1 ~y.

Dabei war vorausgesetzt, dass eine Funktion U+Vi ^ f{x + yi)
existiert, die das Ereisbüschel und die Ereisschar in die Parallelen-
scharen der Z- Ebene verwandelt. Diese Funktion ist bekanntlich

Man findet sie aus:
U+ri = lg| + 1(^1 - ^s) = lg [f Ns(^i - ^,) + i sin (^, - ^s)]]
^ ^ p(cos&,+iBm&,) ^ .x + yi + 1

oder ^+7i = lg£±l.

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Von Prof. Dr. Holzmüllbr. 221

2
Dabei ist Z^ ^ , , , _ . • Multiplikation mit der Konjugierten

4 2

giebt B^ = — oder B, = — ; wie oben. Dazu gehört als zugeordnete

Funktion -ö*! + -^g == Y-

Bekanntlich kann man den Umfang der Lemniskaten zweiter Ord-
nung bestimmen. Will man die Kurven erhalten, die ihnen bei obiger
Abbildung in der Z- Ebene entsprechen, so schreibe man ihre Gleich-
ung in der Form:

= y{x + \ + yi){x + 1 - yi){x - 1 + yi){x - 1 -^ = J-
Aus Z=lg-^ folgt ^«^ oder x + yi ^ ^^_^^.Z_^^ zu-
gleich folgt x-yi^ e^-n^i

Setzt man dies ein, so ergiebt sich als entsprechende Kurven-
schar:

3^ ^^^ _1.

^^ e22:_2c-Vco8r+l c

Die rechte Seite ist für c = 2 oder iZ = 2 gleich 1 und dies ent-
spricht der gewöhnlichen Lemniskate. Für diesen Fall ist der Umfang
der letzten Kurve das Doppelte von dem der Lemniskate. Man er-
hält also bei solchen Abbildungen Kurvenscharen, deren
Rektifikation sich leicht erledigen lässt, sobald nur die eine
Schar rektifizierbar ist.

Die behandelten Kurven haben auch eine kartographische
Bedeutung, denn die im Beispiele besprochene Abbildungsfunktion
giebt die direkte Übertragung der Karte der östlichen Halbkugel
auf die Merkartorkarte. Es handelt sich also bei 3) um die Kurven
gleichen Kartenfaktors, d. h. konstanten Yergrösserungsverhältnisses
für die beiden Darstellungen des Globus. Die Kurven gleicher Ab-
weichung zu bestimmen, ist ein einfaches Übungsbeispiel.

Allgemein bekannt ist femer die Deutung isothermischer Kurven-
systeme für die stationäre elektrische und Wärme-Strömung.
In der Z- Ebene handle es sich um die Parallelströmung in der Rich-
tung der positiven reellen Axe, dann sind die Linien ?7= a die Linien
gleichen Potentials für die ;ef- Ebene, die Linien V= b die Stromlinien.
Bei der quadratischen Einteilung handelt es sich um konstante Potential-
differenzen, also ist das Gefälleverhältnis des Potentials um-
gekehrt proportional den Dimensionen der Quadrate, und
dasselbe gilt von der Stromgeschwindigkeit, ebenso auch
von der Stromdichte oder Stromstärke, denn die gleiche Anzahl
von Stromfaden wird bald auf einen breiteren, bald auf einen engeren
Kanal verteilt, und zwar bei gleicher Dicke d der unendlich dünnen
Platte. Folglich:

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222 Über einen Satz der Funktionentheorie und seine Anwendung etc.

Bei der stationären elektrischen Strömung sind nicht
nur die Strom- und Niveaulinien, sondern auch die Linien
gleicher Stromstärke und gleicher Stromrichtung Orthogonal-
scharen von Isothermen.

Entsprechendes gilt von der Wärmeströmung. Auf Deutungen för
andere physikalische Theorien soll unten eingegangen werden.

Am einfachsten gestaltet sich alles bei punktförmigen Elektroden
von beliebiger Anzahl bei unbegrenzter Platte. Bei einiger Kenntnis
der isothermischen Kurvenscharen und der entsprechenden Abbildungs-
funktionen lassen sich die Resultate sofort hinschreiben. Aber auch
lineare Aus- und Einströmungen lassen sich in grosser Zahl behandeln.
Zahlreiche Beispiele nebst Zeichnungen findet man in meiner Ein-
führung in die Theorie der isogonalen Verwandtschaften
(Leipzig bei B. 6. Teubner). Dort sind jedoch nur die Strom- und
Niveaulinien behandelt, nicht die der gleichen Stromstärke und Strom-
richtung. Daher sollen einige Beispiele für die letzteren unter Aus-
lassung der eigentlichen Rechnungen angegeben werden.

8 2. Einige Beispiele von Linien gleicher Stromriohtimg
und Stromstärke.

1. Bei allen Abbildungen von der Form Z=^\gis^ ist Z'=-^
also der absolute Betrag des DifiFerentialquotienten — Bei reellem n

sind die Linien gleicher Stromstärke von der Form — ==c oder r^-

d. h. konzentrische Kreise um den Nullpunkt. Die Linien gleicher
Stromrichtung ergeben sich aus dem Richtungskoeffizienten

— o. .^ • • ^ — cos(— -ö-) -f tsin(— '^),

sodass es sich um Gerade durch den Nullpunkt 0" = y^ handelt. Dies
ist von Wichtigkeit für die Geometrie der hierher gehörigen Strom-
und Niveaulinien, deren Gleichungen durch

r^cosw-ö- = c und r" sinnd- = c
gegeben sind. Diese Kurven sind als Scharen von regulären Hyperbeln
n*®' Ordnung zu betrachten. Sie spielen eine Rolle in einer grossen
Gruppe Saint Ven an t scher Torsionsprobleme.

2. Die Abbildung Z= lg [(;2f— ;2:J(;?— 4^2)] verwandelt die konfo-
kalen Lemniskaten und das Büschel gleichseitiger Hyperbeln
in die Parallelenscharen der ^- Ebene. Dabei ist

Z -

mit Hilfe des konjugierten Ausdrucks und Ausziehung der Quadrat-
Wurzel erhält man als absoluten Betrag R = -- ^; wo die Radii vec-

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Von Prof. Dr. Holzmüllee. 223

tores r^ und r^ von den Punkten z^ und z^ ausgehen, q vom Schwer-
punkte ^"T *' Aus Igö^ =lg9 — (Ig^i + lg^2) geht hervor, dass die er-
gänzende Funktion 9 — (-^i + -O'j) ist, wobei es sich um die Neigungs-
winkel der Radii vectores handelt. Die Linien gleicher Stromstärke

-^ = c und 9 — (^1 + ^i) *= y sind mehrfach in meiner Einfuhrung

abgebildet.

3. Durch Z ^ Ig [{z — Zi)(Z'-z^)(z — z^)] verwandelt man Lemnis-
katen und Hyperbeln dritter Ordnung in die Parallelscharen.
Legt man den Koordinatenanfang in den Schwerpunkt der Wurzel-
punkte, so geht das ausgerechnete Produkt über in

5«+ z{z^z^ + Z^Zq + z^z^) - z^z^z^,

denn das Glied z^{z^ + ^2 + ^s) fällt weg, da für den Schwerpunkt

^^^3^ + ^' = 0 ist. Jetzt wird

Aus lg ^ = lg Pi + lg 9i — (lg ^1 + lg ^2 + lg ^3) erkennt man, dass

{Z - z^)(z - z^){z - z,) (z - z^)(z - z^){z - Z^)

wo 5i und 5^ die Wurzelpunkte des Zählers sind. Mit Hilfe der Kon
jugierten etc. erhält man als absoluten Betrag:

=^ Irr /% -L Irr e\ Hrr «•

die Abweichung ist: (|) = (^^ + ^j) — (^^ + -^g + '^j).

Zu den Niveaulinien p^p^p^ = c und den Stromlinien -Ö*! + -^g + ^s *= y
gehören also als Linien gleicher Stärke und Richtung der Strömungen
die Kurven «, p. , , ^ ,

-^-=0 und (9i + 92)-(^i + ^2+^3)=-y,

M M ^s

die selbst Lemniskaten und Hyperbeln gebrochener Ordnung sind.
Ist das Dreieck ein regelmässiges, so wird

4. Durch Z « lg[(^ — ^i)(^ — jßTg) . . . (i? — ja?«)J verwandelt man
Lemniskaten und Hyperbeln n*®' Ordnung in Parallelenscharen.
Ihre Gleichungen sind p^p^- . . jj^ = c und ^j + dj + • • • + -ö-« = y.

Die Asymptoten der letzteren gehen durch den Schwerpunkt der
Wurzelpunkte. Wählt man diesen als Koordinatenanfang, so fällt das
zweite Glied des ausgerechneten Bruches weg (Reduktion der Gleichungen
durch Substitution). Nötig ist aber diese Verlegung nicht. Hier ist

Z — Zn

Die Vereinigung der Brüche giebt eine Funktion, die im Nenner
«*** Grades, im Zähler (n — 1)*«° Grades ist. Letzterer ist also ein
Produkt von (n — 1) Faktoren, sodass man schliesslich hat:

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224 tber einen Satz der Funktionentheorie und seine Anwendung etc.

^,_ (^-g|)(^-g,)---(^-gn-l).

daraus folgt als absoluter Betrag bezw. Abweichung, abgesehen yom
Faktors, ^ P,g,...pn-i ^

<J> = (9^1 + % + ■ • • + 9>» - 1) - (^1 + ^t + • • • + -^«N
Liegen die gegebenen Punkte regelmässig verteilt auf einem Kreise,
so wird: ^n^i

^==^7;f— ^/ <l> = (n-l)9-(^i + ^, + ---+^.).

Den Fall der Regelmässigkeit habe ich im 83. Bande des Crell-
schen Journals behandelt, den der allgemeinen Lage und die noch
folgenden im Programm 1880 der Hagener öewerbeschule. Weitere
Litteratur ist in der „Einführung" angegeben. Der erstgenannte Fall
ist wichtig für die Geometrie der Kegelflächen.

5. Die Abbildung Z=lg (^-^iK^-^«)- • • (^-^*) verwandelt die
Lemniskaten und Hyperbeln von der Ordnung — ? nämlich die Kurven:

^'^' ••!' = C, (», + », + ■• ■+»,)- (<P, + <P, + ---+(Pn) = Y
Sil Vs • • • Ic*

in Parallelenscharen. Dabei ist der DiflFerentialquotient:

n n

-^1 Z — im ,^^ Z — rjm
1 1

Man kann alles in einem einzigen Bruch vereinigen, dessen Nenner
vom 2w*®'' Grade, dessen Zähler vom (2w — 1)^'' Grade ist. Zerlegt
man auch den letzteren in Faktoren, so erhält man:

2«— 1

Z'= —^ '-

1 1

Der absolute Betrag wird von der Form:

PiPt'-'Pn-qiqf.qn '
Die Abweichung wird von der Form:

B = c und 4> = y geben die Linien gleicher Stromstärke und
Stromrichtung.

Ist die Zahl der Faktoren im Zähler und Nenner ungleich, z.B.
oben n, unten m und n> niy so folgt für den Fall gleicher Mächtigkeit

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Von Prof. Dr. Holzmüller. 225

der Ein- und Ausströmungen in allen Elektroden, dass der über-
schiessende Teil einströmender Elektrizität nach dem Unendlichen
abfliessen muss. Bei n < m muss das Fehlende aus der Unendlichkeit
heranströmen. In der Gestalt der Gleichungen wird wesentliches nicht
geändert.

6. Sind die Mächtigkeiten der Einströmungen durch die Zahlen
Vj, Vj, . . . Pn) die der Ausströmungen durch fi^, ^2 • • • f^m charakterisiert,
so muss, wenn keine Elektrizität nach dem Unendlichen abströmen
oder von dort heranströmen soll,

^1 + ''s H h Vii = fti + /I2 H 1- f*"i

sein. Diese Bedingung braucht aber nicht erfüllt zu werden, dann hat
man den allgemeinsten Fall punktförmiger Elektroden. Dabei hat man
sich bei jeder Elektrode v^, i/^ . . ., i/„, (iif (J^ - . ., fim Einzelelektroden
gleicher Mächtigkeit zu denken und erhält dann folgendes:
Die abbildende Funktion wird

Z= lg (i:zi.i!i(i:it.)!^L(£zJi):^ = y,lg(^ _ j) _ y,lg(^ _ „).
*«(.-,,)".(.-,,)^...(z-W''» 4" Zj"^^' «>

Die Niveaulinien werden von der Form:

die Stromlinien von der Form:

K^i + ^2 ^2 H 1- ^«'^« — (f^i9i + f'aV« H 1- i»'mq>n) = y-

Dabei wird ^^^ - ^ _ ^ ^

1 1

d.h., wenn man alle Brüche in einen einzigen zusammenfasst, eine
Funktion, die im Nenner vom (w + m)*«"^ Grade, im Zähler vom
fn -f »* — 1)*®° Grade, also nach entsprechender Produkterlegung von
der Form: »+m-i

Z=— i —

1 1

wird. Daraus folgt, dass der absolute Betrag von der Form:

B ! ,

n m

j- . 11

die Abweichung von der Form:

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226 Über einen Satz der Funktionentheorie und seine Anwendung etc.

''-2'' -[2^ -^2^1

wird. Durch R = c und 0 = y sind wiederum die Linien gleicher
Stromstärke und Stromrichtung gegeben.

7. Absichtlich wurden die positiven und negativen Elektroden
bisher getrennt behandelt, um die Anschauung zu erleichtem. Man
erzielt aber eine elegantere Schreibweise, wenn man diesen Unterschied
fallen lässt, und n Elektroden annimmt, die von den teils positiv, teils
negativ anzunehmenden Mächtigkeiten v^, v^, - - -^Vn sind. Man erhalt
jetzt als abbildende Funktion einfacher:

^= lg[(^ - gi)"(^ - &)'•• • • (« - 5.)*"] -^^^Si." - Ö,

1

als Niveau- und Stromlinien:

n

1
bezT^ _**

Vi^i + Vid-^+" + Vn^n=y oder ^v^^y.

1
Dabei wird der Diflferentialquotient von der Form:

yf_ ^ y _ ?pW (g-is)(g-lt,)...(g-it«,i)

2j^-t (^-ti)(^-w.--(^-f«) (^-ti)(^-w-.-(^-s«)
1

sein absoluter Betrag von der Form:

Jl = Pi g» • • g«— 1

n«

U'

die Abweichung von der Form:

« — 1

Damit sind die Linien gleicher Stromstärke und Stromrichtung
als Kurven jj _ ^^ ^ _ ^

charakterisiert.

Das bisherige Gesamtresultat ist demnach folgendes:
Für alle Fälle punktförmiger positiver und negativer
Elektroden bei unbegrenzter Platte sind nicht nur die Niveau-
und Stromlinien, sondern auch die Linien gleicher Strom-
stärke und gleicher Stromrichtung Isothermenscharen von
der Gestalt der allgemeinsten Lemniskaten und Hyperbeln
ganzer oder gebrochener Ordnung.

Von den Niveau- und Stromlinien war dies bekannt. Für die
Linien gleicher Stromrichtung und Stromstärke habe ich in der mir

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Von Prof. Dr. Holzmüller. 227

zugänglichen reichen Litteratur das angegebene Resultat bisher nicht
vorgefunden. Sollte es trotzdem schon ausgesprochen sein, so würde
ich entsprechende Mitteilungen aus dem Leserkreise dankbar entgegen-
nehmen und entsprechende Prioritätsansprüche selbstverständlich an-
erkennen.

Die Bedeutung der Lemniskaten und Hyperbeln höherer Ordnung
ist aber eine noch weiter gehende. Bei jedem Stromnetze können
nämlich die Strom- und Niveaulinien ihre Rolle vertauschen,
ohne dass dabei die Linien gleicher Stromstärke und Strom-
richtung ihre Rolle ändern.

Es handelt sich dann nämlich statt der Abbildung Z = U+ Vi
um die Abbildung Z^ = Zi ^ Ui + iVi = —V+ Vi, was die vorigen
Isothermenscharen in die um 90^ gedrehten Parallelenscharen ver-
wandelt. Die Linien gleicher Stromstärke werden jetzt durch

l/©"+(0-]/(ll)+(0-'

charakterisiert, was mit dem Früheren übereinstimmt.

Bei dieser Vertauschung treten aber an Stelle der punktförmigen
Elektroden lineare, sodass zu jedem Punktproblem ein Linear-
problem gehört.

Nun ändert sich aber nichts, wenn man längs der Stromlinien
des Punktproblems Teile der unbegrenzten Ebene ausschneidet, z. B.
eine Sichel zwischen zwei Büschelkreisen des Zweipunkt- Problems.
Trifft man also das Arrangement so, dass längs der Stromlinien ein
begrenztes, einfach zusammenhängendes Stück der Ebene ausgeschnitten
wird, und führt man dann das Vertauschungsproblem ein, so er-
hält man ein sogenanntes Randproblem und kann ohne wei-
teres aus den Gleichungen des Punktproblems die des Rand-
problems ablesen, womit man zur Lösung einer der Fundamental-
aufgaben der neueren Funktionentheorie gelangt.

An einem einfachen Beispiele soll dies erläutert werden.

Vorläufig aber sei bemerkt, dass die obigen Betrachtungen nicht
nur für Punktprobleme gelten, sondern auch für Linearprobleme. So
wird z. B. durch die Abbildung

Z = arc cos js

das Netz der konfokalen Ellipsen und Hyperbeln in das der
Parallelen verwandelt. Dabei kann man die Brennlinie als Elektrode
annehmen und die Elektrizität im Unendlichen ableiten, sodass die
konfokalen Hyperbeln Stromlinien sind*, oder man kann die beider-
seitigen Fortsetzungen der Brennlinien als positive und negative Elek-
trode betrachten, wobei die konfokalen Ellipsen Stromlinien werden.
Dabei ist 11.

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228 tiber einon Satz der Funktionentheorie und seine Anwendung etc.
Multiplikation mit dem konjugierten Ausdrucke giebt

sodass der absolute Betrag R = > die Abweichung:

^ = -■^(^1 + ^2)
ist. Demnach sind die Linien gleicher Stromstärke und StromrichtuDg
konfokale Lemniskaten mit den Brennpunkten ± 1 und das zugehörige
Hyperbelbüschel, was schon bei dem Kreisbttschel und der Kreisschar
der Fall war.

Man kann aus dieser Übereinstimmung geometrische Schlüsse
ziehen. Zu den Brennpunkten ± 1 gehört erstens die Doppelschar
konfokaler Ellipsen und Hyperbeln, sodann ein Ereisbüschel nebst Kreis-
schar. Denkt man sich beide Netze mit den Brennpunkten aufeinander-
gelegt, so herrscht längs jeder durch ±1 gehenden gleich-
seitigen Hyperbel ein konstanter Richtungsunterschied zwi-
schen den Stromlinien beider Netze, längs jeder konfokalen
Lemniskate aber ein konstantes Verhältnis in den Dimen-
sionen der kleinen Quadrate beider Netze. Auf diesen Punkt
soll später noch einmal eingegangen werden.

In der „Einführung" sind noch andere lineare Einströmungs-
fälle behandelt worden, die mit dem doppeltperiodischen Funktionen
zusammenhängen. Auch für diese kann man die Linien gleicher Strom-
stärke und Stromrichtung sofort hinschreiben. Die dort behandelten
Kurvenscharen lassen sich durch stereographische Projektion aus den
sphärischen Kegelschnitten ableiten, was ihnen ein besonderes
Interesse verleiht. Es lassen sich also entsprechende Betrachtungen
auch für die Kugeloberfläche und mittels der Ja c ob i sehen Abbildung
für die EUipsoidfläche durchführen. Nur sei darauf aufmerksam ge-
macht, dass bei einer Abbildung zwar die Strom- und Niveaulinien
wieder in solche übergehen, im allgemeinen aber nicht die Linien
gleicher Stromstärke und -Richtung. Geht nämlich Z in Z^ über, so
geht nicht Z' in Z\ über, denn es ist für Z^= Z[f(0)] der Differential-
quotient: jgi ^ ^t df{z) ^ Z^ f(z)

Zwischen Z\ und Z' besteht also ein anderer funktionaler Zu-
sammenhang als zwischen Z^ und Z,

Zur Frage der höheren Diffierentialquotienten und ihrem Zusammen-
hang mit den Krümmungsradien vergleiche man § 46 der Einführung.
Hier soll darauf nicht eingegangen werden. Dagegen sei bemerkt, dass man
jeden Aus- und Einströmungspunkt als Projektion eines unendlich langen
Drahtes betrachten kann, in dem sich ein Strom in der einen oder anderen
Richtung bewegt. Die Niveau- und Kraftflächen des Feldes geben in den
Normalschnitten die hier behandelten Kurven. Die Linien gleicher Inten-
sität und Richtung werden aus ihnen ebenso, wie oben, abgeleitet.

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Von Prof. Dr. Holzmüller.

229

8 3. Übergang von den Punkt- zu den Bandproblemen.

Liegen sämtliche Elektroden auf einer Geraden, so findet gegen
diese Linie Symmetrie des Stromnetzes statt. Liegen sie sämtlich auf
einem Kreise ^ so findet gegen diesen Reziprozität statt. Dabei muss
jedoch ein Abfliessen der Elektrizität nach dem Unendlichen und ein
Zuströmen von dorther ausgeschlossen werden, weil sonst noch ausser-
halb des Kreises eine Elektrode liegen würde. Reziprozität würde
in solchem Falle nur möglich sein, wenn der Mittelpunkt des Kreises
ebenfalls Elektrode wäre. Sollen diese Fälle ausgeschlossen werden,
so handelt es sich um die oben besprochene Beziehung:

Vi+v^+v^-\ [- v^ « 0.

Wählt man unter dieser Voraussetzung den Fall dreier punkt-
förmiger Elektroden, durch die sich stets ein Kreis legen lässt, so
gehört dieser zu den Strom-
linien und man hat ein beson-
ders einfaches Beispiel.

In nebenstehender Figur
ist des bequemen Skizzierens
halber der symmetrische Fall
gewählt, wo die Elektroden Ä^^
Aj und A^ ein gleichseitiges
Dreieck bilden und Ä^ und A^
von gleicher Mächtigkeit sind,
so dass z. B :

v,= 2,

ist. Dann gehört der Durchmesser Äy^D zu den Stromlinien. Die
abbildende Funktion ist nach dem Früheren:

der Difierentialquotient:

Z'=

^-ii

Setzt man den Zähler gleich Null und löst man die quadratische
Gleichung auf, so findet man die Wurzelpunkte x^ und x,, sodass
^ird: ^ (^^x,)(ir-x,)

(^■~ti)(^-^.)(^-f.) '

Die Linien gleichen Potentials werden nach Obigem

also Lemniskaten höherer Ordnung, deren Radii vectores von A^, J„
i) ausgehen.

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230 Über einen Satz der Funktionentheorie und seine Anwendung etc.

Die Strömungslinien werden von der Form:

2) 2dl -(*,+*,) = y,

WO die d" die Neigungswinkel der genannten Radii vectores sind.

Die Linien deicher Stromstärke werden, da R= ^* ^^ ist,

wobei Q^ und p, von den Wurzelpunkten x^ und x, des Zählers von Z'
ausgehen. Die Linien gleicher Stromrichtung endlich:

4) ^^1+ ^2- (^1+ ^2+ ^s) - Vi'

Sämtliche Gleichungen gelten zugleich für das Yertauschungs-
problem. Bei diesen handelt es sich um Elektrizitäts- oder Wärme-
strömungen, die dadurch entstehen , dass Bogen Ä^Ä^ auf konstantem
Potential oder Temperatur gehalten wird, ebenso Bogen A^Ä^ und
Bogen A^Ä^, Es fragt sich nur, wie die Potentiale zu wählen sind,
damit volle Identität erhalten bleibt. Vorher strömten von A^ doppelt
soviel Stromlinien aus, als in Al^ bezT^. A^ mündeten. Jetzt münden,
wenn Übereinstimmung herrscht, in Äj^ doppelt soviel Isothermen als
in A^ bezw. A^. Von Isotherme zu Isotherme hat man bei der
Quadrateinteilung konstanten Potentialunterschied. Die Potential-
differenz zwischen den Bogen A^A^^^bi und Ay^A^ ist also doppelt so
gross, wie die zwischen ^.1^ = 62 und A^A^^^b^ bestehende, und
auch doppelt so gross, wie die zwischen A^A^^h^ und Al^A^^\ be-
stehende. Nennt man die den Bogen tj, Jj, 63 entsprechenden Poten-
tiale oder Temperaturen f^, /^, fj, so muss demnach sein:

Wählt man z. B. für 6^ die konstante Temperatur 16VfÖr 6^ da-
gegen 0®, für 63 endlich 8®, so hat man

^,-f, = 16«, /,-^3=-8«, /3-f,= -8«,

sodass der obigen Proportion genügt ist. Abgesehen von einem kon-
stanten Faktor x^, den man nach rechts werfen kann, hat man die
Gleichungen des Problems, sobald man für v^^ Vg, v^ in die obigen
Gleichungen (^1 — fg); (^ ~" 0? (^8 ~" ^) einsetzt.

Ganz ebenso ist es, wenn man statt von 3, von n Teilbogen
ausgeht. Folglich:

Werden die aufeinanderfolgenden Bogen ij, ig? • • • ^« eines
Kreises auf konstanten Temperaturen oder Potentialen /j,
Uj'''^n gehalten, so sind die Niveaulinien von der Form:

1) *i(<i - u) + *»('* -<») + ••• + *»(<-- 0 = r,

die Stromlinien von der Form:

2) ih - '»)lgi>i + ('» - ^8)lgÄ + • • • + (<« - <i)lgP. -= c,
die Linien gleicher Stromstärke von der Form:

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Von Prof. Dr. Holzmüi-ler. 231

die Linien gleicher Stromrichtung:

4) (*i + *, + • - + *« _i) - (^1 + ^2 + • • • + ^») - Yi .

Dabei sind die Teilpunkte des Kreises die Ausgangspunkte der
Radii vectors p, die Wurzelpunkte des Zählers vom DiflFerentialquotienten
der abbildenden Funktion dagegen sind die Ausgangspunkte der q.
Diese abbildende Funktion ist (abgesehen von einem konstanten Faktor
und einer additiven Konstanten):

ihr Differentialquotient:

Z—Z^ {Z—Zt) * Z — Zm

Vereinigt man die Brüche, so wird der Zähler vom (n — l)**** Grade,
lässt sich also in (w — 1) lineare Faktoren vereinigen, sodass man hat

(Z-Z^XZ-Z^) . . . {Z^Zn)

Um für jeden Punkt des Innern den Spannungs- oder Temperatur-
wert genau anzugeben, sodass auch die Konstanten bestimmt sind,
kann man folgendermassen verfahren: Man schreibe Gleichung 1) in
der Form

Hier bedeuten die Klammem die Winkel zwischen je zwei auf-
einanderfolgenden Radii vectores p. Rückt nun der Punkt, dem sie
angehören, in das Kreiszentrum, so nehmen die Klammem die Werte
ßif ßif" ' ßn der Centri Winkel an, die zu den Kreisbogen 6^, ig ... 6,
gehören. Rückt dagegen der Punkt auf den Kreisrand, so handelt es
sich im wesentlichen um Peripheriewinkel, wobei nur ein Winkel eine
Ausnahme macht. Rückt nämlich der Punkt auf den Bogen b^, so
bleibt der diesem Bogen zugehörige Winkel {^i — d'^) eine Art von

Aussenwinkel von der Grösse ^ + ^ (denn die des zugehörigen Sehnen-
vierecks sind ^ und ^ — §)' Die übrigen Winkel werden

2 ' 2 ' ' " 2

2' 2'

Auf dem Bogen 6^ also handelt es sich um den Funktionswert:

*"" ,..+ '.^^-.>.+ ■+->■-,..

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232 Über einen Satz der Funktionentheorie und seine Anwendung etc.
Demnach ist für den Rand bei b^:

Setzt man statt y^ den allgemeinen Funktionswert ein, so erhalt
man als allgemeinen Ausdruck för die Temperatur in jedem Punkte
des Innern:

Die Probe zeigt, dass dieser Ausdruck in der That auf jedem
Bogen den vorgeschriebenen Temperaturwert annimmt. Im Kreis-
zentrum nimmt er den Wert:

. _ t,ß, + t,ß,+ -^+Ußn tJ,+t,ß,+ -. + tnßn

^^ ~ n 2^ '

^'"~ 2^

an, oder, wenn man oben unten mit r multipliziert, den Wert

^'"^ 27^ '

sodass es sich um den mittleren Randwert handelt. Der Tem-
peratur- oder Potentialwert für das Kreiszentrum ist also
der Mittelwert der gegebenen Randwerte. Dieses Resultat er-
scheint ganz naturgemäss, da der Einfluss aller Randpunkte der gleichen
Entfernung wegen für das Zentrum derselbe ist.

In der Figur handelt es sich bei den Temperaturen 16", 0®, 8®
in der Mitte in der That um 8®. Die Stromlinien enthalten eine aus-
nahmsweise gebrochene Linie EDF. Rechts von dieser Linie strömt
Wärme vom Bogen EA^ nach FAy. Links davon geschieht zweierlei,
Wärme strömt vom Bogen EA^ nach A^ D^ und ebenso strömt Wärme
von DA^ nach A^F. Die Isotherme A^D gabelt sich bei D in die
beiden Kreisbogen DA^ und DA^.

Für die Teilpunkte des Randes ist die Funktion t unstetig, denn
sie springt von den einen der gegebenen Werte plötzlich zum anderen
über. Es handelt sich dort um singulare Punkte.

Damit ist folgende Aufgabe der Potential- und Funktionen-
theorie gelöst:

Es soll eine reelle Funktion U bestimmt werden, die der

Differentialgleichung -g-j- -f -g—g- = 0 genügt und auf dem

Rande eines gegebenen Kreises bogenweise die vorgeschrie-
benen reellen Werte ^i, t2j...tj, annimmt. Die Funktion soll
im Innern des Kreises überall stetig, endlich und eindeutig
sein. Wie lautet der Funktionswert für jeden Punkt des
Kreisinnern?

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Von Prof. Dr. Holzmllle». 233

Die Auflösung ist:

TT ti (yi- y>) + h (y»- y») + • • -f tn(q>n- y^) ^ft + ^aP«+- •+^'»gn
^' = n 2^ '

oder auch j^^ A.|;^^(^^_g + ^^(^^_fc,) + ... + ^^(^^^^)] + C,
wo

2ä 2rn

ist t^ ist zugleich reeller Teil derjenigen Funktion komplexen Argu-
ments Z= U+Vi^ deren reeller Teil auf dem Rande die vorgeschrie-
benen Werte annimmt. Die ergänzende Funktion V ist nach Gleich-
ung 2) von der Form:

Ist ihr Wert für einen einzigen Punkt des Innern vorgeschrieben,
z.B. als V^f so hat man

Vi = ('» - <,) IgP'l + (/« - h) W, + ••■ + (<«- <l) Igp'n + C„

und nun kann die willkürliche Konstante G^ durch beiderseitige Sub-
traktion entfernt werden. Abgesehen von den Konstanten handelt
es sich um die Funktion komplexen Arguments, die unter 5) an-
gegeben ist.

Der Übergang zu unendlich vielen vorgeschriebenen Randwerten
kann nun auf dem gebräuchlichen Wege geschehen, der Übergang zu
anderen einfach zusammenhängenden Flächenformen durch Abbildung.

Damit ist unter Benutzung der Lemniskaten und Hyperbeln höherer
Ordnung ein synthetischer Weg zu einem grundlegenden Satz der
Funktionentheorie gegeben, der ohne weitergehende Vorkenntnisse
gangbar ist und bei der unausgesetzten Berührung mit der mathe-
matischen Physik sehr anschaulich bleibt. Ist auf diesem Wege das
Verständnis angebahnt, so wird auch die analytische Betrachtungsweise
keine Schwierigkeiten bieten.

Ich habe auf diesen Punkt schon im 33. Bande dieser Zeitschrift
im Anschluss an eine lehrreiche Arbeit des Herrn Dr. Veitmann auf-
merksam gemacht. Dort trat aber die Form der Funktion zu unvermittelt
auf, während im obigen der Begriff des Vertauschungsproblems genügte,
einem naturgemässen Übergang von dem leichten Punktprobleme zum
Randprobleme zu geben. Damit dürfte die funktionentheoretische Be-
deutung der Lemniskaten und Hyperbeln höherer Ordnung zur Genüge
klar gelegt sein.

i 4. Fhysikalisohe Bemerkungen.

Die Lemniskaten und Hyperbeln höherer Ordnung sind von mir
im 83. Bande des Crelleschen Journals und im Programm 1880 der
Hagener Gewerbeschule eingehend behandelt worden. Die bis 1882
reichende Litteratur, an der auch die Namen Darboux, Luca^s,

Zeitichrift f. Mathematik u Physik. 42. Jahrg. 1897. S.Heft. Iß^igitizecl by VjOOQIC

234 Über einen Satz der Funktionentheorie und seine Anwendung etc.

Haton de la Goupilliere beteiligt sind, ist in meiner Einführung
in die Theorie der isogonalen Verwandtschaften angegeben. Später hat
sich auch Herr Prof. Biermann im 89. Bande der Sitzungsberichte der
Wiener Akademie (Sitzung vom 10. Januar 1884) mit diesen Kurven
beschäftigt. Sie können zur Kontrolle bei Erledigung gewisser phy-
sikalischer Streitfragen benutzt werden, auf die mit einigen Worten
hingewiesen werden möge.

Bekanntlich hat Herr Professor A. Guebhard zu Paris den Ver-
such gemacht, die Linien gleichen Potentials bei stationärer Strömung
in Gestalt von Interferenzringen galvanischer Niederschläge zu veranschau-
lichen. In den Berichten der Acad^mie des Sciences, im Electri-
cien, im Journal de Physique ist im Anfang der achziger Jahre
vielfach darüber berichtet worden (für Litteratur vergl. die Einführung).
Während nun die Schönheit der Guebhardschen Farbenringe und
ihre Ähnlichkeit mit den Potentialkurven überall Erstaunen erregte,
wurde die Angelegenheit von anderer Seite kritisch behandelt Teils
wurden Messungen und Vergleichungen mit den theoretisch konstruierten
Kurven durchgeführt, teils wurden theoretische Erläuterungen für die
Guebhardschen Ringe gegeben. Wenn von einigen Seiten behauptet
wurde, durch Riemanns Theorie der Nobilischen Farbenringe sei die
Angelegenheit bereits zu Ungunsten der 'Guebhardschen Auffassung
entschieden, so ist dies nicht ohne weiteres berechtigt, da die Experi-
mente Guebhards eine abweichende Anordnung haben. Wurde
femer behauptet, die Guebhardschen Ringe seien Kurven gleicher
Stromstärke, so beruht dies, soweit es sich um Strömung in der
Platte oder in einer Flüssigkeitsschicht von geringer Höhe, also um ein
zweidimensionales Problem handeln soll, auf einem Irrtum. Die oben be-
handelten Kurven gleicher Stromstärke weichen von den Guebhardschen
Ringen derart ab, dass von einem Vergleiche gar nicht die Rede sein
kann. Im übrigen ist oben gezeigt worden, dass ein System von Linien
gleicher Stromstärke ganz verschiedenen Stromnetzen zugleich angehören
kann, z. B. das der Lemniskaten und Hyperbeln sowohl dem Probleme
des Kreisbüschels, als auch dem der konfokalen Ellipsen.

Anders ist es, wenn von einer Strömung im Räume, d.h. in der Flüssig-
keit und Platte zugleich die Rede sein soU. Die Frage aber, welchen Anteil
die Platte an der Erscheinung nimmt, und welche Rolle die Polarisation
bei der Angelegenheit spielt, ist durchaus noch nicht erledigt. Wenig-
stens hat mir im Jahre 1890 Helmholtz (gelegentlich der Berliner
Schulkonferenz) erklärt, weder die Abhandlungen der Herren H. Meyer
und W. Voigt, noch die der Herren Mach und Ditscheiner reichten
aus, die grosse Ähnlichkeit der Guebhardschen Ringe mit dem
Potentialkurven aufzuklären. Er selbst vermute einen ganz anderen
Zusammenhang und habe das Problem schon dreimal durch hervor-
ragend beanlagte Schüler im Physikalischen Institut behandeln lassen.
Leider seien jedesmal Störungen in den persönlichen Verhältnissen

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Von Prof. Dr. Holzmülle». 235

dieser Herren eingetreten, die den Abschluss der Untersuchungen ver-
eitelt hätten. Dies werden gewisse Herren, die Helmholtz näher
standen, bestätigen können. Helmholtz erklärte mir ferner, er habe
die Absicht, die Frage demnächst noch einmal aufzugreifen. — Ich
selbst enthalte mich in der Angelegenheit der Experimente jedes Ur-
teils. Sollten jedoch irgend welche Physiker die Frage der Gueb-
hardschen Ringe noch einmal bearbeiten wollen, so stehen ihnen
nach obigem zum Zweck der Kontrolle nicht nur die Gleichungen
der Niveau- und Stromlinien, sondern auch die der Linien gleicher
Stromstärke und Stromrichtung für alle Arten von punktförmiger Ein-
und Ausströmung zur Verfügung. Die Frage der linearen Einströmung
scheint nach einer Mitteilung des Herrn Margules in den Wiener
Berichten insofern Schwierigkeit zu machen, als die Annahme kon-
stanten Potentials in der Einströmungslinie gewagt erscheint. (Bericht
vom 11. Mai 1877.) Herr Haubner hat die Untersuchung der statio-
nären Strömung auch für Fälle wechselnden Leitungsvermögens an-
gebahnt. (Wiener Berichte, 12. Januar 1882.)

i 5. Zur Umkehrung der ersten Aufgabe.

Oben wurde die Aufgabe gelöst, für ein gegebenes Strömungs-
netz die Linien gleicher Stromstärke und Stromrichtung zu finden.
Man kann fragen, ob man umgekehrt zu einem gegebenen Netz
der letzteren Linien das zugehörige Strömungsnetz be-
stimmen kann. Es wird sich zeigen, dass für jeden Fall unendlich
viele Lösungen möglich sind.

1. Schon in § 1 wurde gezeigt, dass sämtliche Strömungsnetze
von der Form: ^„ ^^^ n^ = c, r- sin n ^ = q,

also von der Form der Hyperbelscharen beliebiger Ordnung ein und
dasselbe System von Isothermen die konzentrischen Kreise und ihre
Radien als Linien gleicher Stromstärke und Stromrichtung haben.
Allerdings gehört zu jedem n eine besondere Potenz von r, die den
absoluten Betrag des Differentialquotienten giebt, und ebenso erhält
für jeden Fall das zugehörige q) seinen besonderen Faktor. In den
verschiedenen Fällen handelt es sich also nicht um dieselben Individua
der Kurvenschar, aber das Gesamtsystem ist dasselbe. Man kann
daher allgemein folgenden Satz aussprechen:

Sämtliche Funktionen ^^/'(ie:), bei denen der Differential-
quotient Z^ als absoluten Betrag eine reelle Funktion

B = g>(r)

hat, geben an Stelle der Parallelenscharen X = a und Y=b
derZ-Ebene in der ;?-Ebene Strömungskurven, denen dasselbe
Netz von Linien gleicher Stromstärke und Richtung r -== c
und d =« y zugehört. Hierzu gehören z.B. alle Funktionen Z ^ z'^

16*

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236 tber einen Satz der Funktionentheorie und seine Anwendung etc.

Legt man zwei solche Netze mit den Koordinatenaxen aufeinander,
so herrselit auf jedem Kreise r = c um den Nullpunkt zwischen den
kleinen Quadraten beider Netze dasselbe Vergrösserungsverhaltnis, und
auf jeden vom Nullpunkte ausgehenden Strahle ein konstanter Rieh*
tungsunterschied der Stromlinien beider Netze, von deren Niveau-
linien ganz dasselbe gilt.

2. Ebenso kann man fragen, welche Stromnetze die kon-
fokalen Lemniskaten zweiter Ordnung mit den Brennpunkten
± 1 zu Linien gleicher Stromstärke haben. Es handelt sich um
sämtliche Funktionen Z = /*(;?), deren Differentialquotient einen ab-
soluten Betrag R = 9(^i^a) hat, wo qp reelle Funktion der betreffenden
Radii vectores ist. Bei diesen Funktionen entsprechen den Linien
X = a und Y=b zxx Z- Ebenen in den ;?- Ebenen Kurven, bei denen
das Verlangte stattfindet.

Soll es sich z. B. um JB^(rjr2)"* handeln, so gehört dazu als
Differentialquotient der abbildenden Funktion Z'= L(l+ ^)(1~^)]'"? so-
dass die Funktionen /»

Z = j[l-0Yd0

eine Gruppe der betreffenden Funktionen bilden.
Für m « — 1 erhält man

ß

dz 1, l-f^;

was auf das Kreisbüschel durch ± 1 und die zugehörige Kreisschar

fahrt. Für m = — ^ ß^^det man

A

dz

= — arccos iSy

yi-z*

was auf die konfokalen Ellipsen und Hyperbeln mit den Brennpunkten
± 1 führt. Dies waren die oben behandelten Beispiele.
Für m = 1 erhält man

J

(l-Orf^ = ^--,

3

was Kurven dritten Grades von der Gleichung:

3" + ^ + ^y^ = ^ bezw. 3 + !/ — ^^y = Ci

giebt. So kann man weiter fortfahren.

3. Soll es sich um die schon sehr allgemeinen Lemniskaten höherer
Ordnung ^ p,p,...gn-i

Ti r, . . . r«
handeln, wo die r von Punkten J^, fj, . . . g, ausgehen, die q von den

n

Wurzelpunkten des Zählers von ^—37-» so giebt:

1

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Von Prof. Dr. Holzhülleb. 237

'-[1^;

■i

eine Gruppe der verlangten Kurven durch die Funktion

-71?

V

dz.

In ähnlicher Weise kann man zu schwierigeren Fällen übergehen.
Hier jedoch soll darauf nicht näher eingegangen werden. Der Hinweis
auf die Vieldeutigkeit der Lösung bei der angenommenen Fragestellung
dürfte für die Bemerkungen des vorigen Abschnitts genügen.

i 6. Zusammenhang mit der Torsionstheorie
von Saint Venant.

In den Memoires des Savants Etrangers XIV (1856) von
Seite 234 bis 560 entwickelt Saint Venant seine berühmt gewor-
dene Theorie der Torsion von Prismen. Im 9. Kapitel von Seite 415
ab beweist er über die Krümmung der ursprünglich ebenen Quer-
schnitte einen Satz, dessen Inhalt in der hier üblichen Schreibweise
folgendermassen dargestellt werden möge.

U sei der reelle Teil einer Funktion komplexen Arguments, Vi der
zugehörige imaginäre Teil, der sich aus U bestimmen lässt als Inte-
gral der DifiFerentialgleichung :

du ^ , du
av = —

sodass

dV^-'^^dx+y^Jy = 0,

>dass r r r ^

ist. Sollen nun die durch F=c dargestellten Isothermen die
Niveaulinien für die gekrümmten Querschnitte des auf Tor-
sion beanspruchten Cjlinders darstellen, so hat man Fin die
Lösung der Differentialgleichung:

a{xdx + ydy) + [j^(f^ - lydy) = 0,
d. h. in

2) a^^-V^O

einzusetzen, um die Randkurve für das Prisma zu finden,
welches der Forderung genügen soll.

Dabei bedeutet a die Drehung für die Stablänge 1 = 1. Die Fläche
jedes gekrümmten Querschnitts gehorcht der Gleichung:

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238 Über einen Satz der Fimktionentheorie und seine Anwendung etc.

3) z = r+ c,

sodass in der That die Projektionen der Niveaulinien die Kurven-
schar V=c geben, während die Kurven U=c die Projektionen der
Steilungslinien sind, d.h. die der Linien grösster Steilheit.

Beispiel 1. Im Kapitel VI behandelt Saint Venant das Bei-
spiel des elliptischen Cylinders, auf welches man nach obigem Satze
folgendermassen gelangt. Man wähle willkürlich als U die Funktion
U= — AAxy und bestimme daraus V= 2Ä{x^ — y^)^ was die bekannten
Scharen gleichseitiger Hyperbeln zweiter Ordnung bedeutet (vergl.
Fig 28 meiner Einführung in die Theorie der isogonalen Verwandtschaft).
Einführung von V in Gleichung 2 giebt als Randkurve:

oder

sodass es sich um eine Ellipse mit den Halbaxen

y^^ n.d 5=|/-

2C

handelt. Wird ein so gestalteter elliptischer Cylinder der Torsion unter-
worfen, so nehmen die ursprünglich ebenen Querschnitte die Gestalt
der Fläche ^ _ ^^^^,_ ^,^ _ 2^r''cos2*

an, wobei von der Konstante c, die der Höhenlage des Querschnitts

entspricht, abgesehen ist. Nach Saint Venant hat die Konstante A

die Bedeutung ^ a*— fc*

-4 —

4 a«+6«**^

WO a und h die Halbaxen der Ellipse sind und a die oben angegebene
Bedeutung hat. Es ist also schliesslich die Flächengleichung:

Die Projektionen der Niveaulinien sind also:
die der Steilungslinien:

Nehmen die beiden C Werte an, die der arithmetischen Reihe

• • •. — 3c, — 2c, — c, 0, c, 2c, 3c, • • •

entsprechen, so erhält man die quadratische Einteilung der Ebene.

Die Gleichung 6) stellt ein hyperbolisches Paraboloid dar,
welches für x = ±y die Geraden ^ = 0 enthält, die aufeinander senk-
recht stehen. Für y «= 0 erhält man den parabolischen Hauptschnitt:

Von Prof. Dr. Holzmülleh. 239

1 a*-&«

fllr j: = 0 den Schnitt

4 a* + ^*

ax^.

1 a«-ft« cj

4 aH^*

Quadrantenweise hat die Fläche abwechselnd positive und negative
Ürdinateu, sodass konvex und konkav aufeinander folgen.

Nun waren die Linien, welche Quadrate gleicher Grösse der iso-
thermischen Einteilung durchlaufen, für den vorliegenden Fall nach
§ 2 konzentrische Kreise. Von der Grösse der Quadrate aber hängt
die Steilheit der Fläche 6) ab, folglich:

Errichtet man auf der Grundebene in den Punkten der
um den Nullpunkt geschlagenen Kreise Lote, so geben ihre
Durchstosspunkte mit der Fläche 6) auf dieser die Kurven
gleicher Steilheit an.

Dies folgt auch aus der bekannten Formel für die Differentiation
nach den Normalen der Niveaulinien, die auf

9) -_un.-]/(|r)V(0-B.

fuhrt, was mit den oben behandelten absoluten Betrage des DiflFerential-
quotienten Z' der Funktion Z = U+ Vi übereinstimmt.

Das Strahlenbüschel durch den Nullpunkt giebt zu an-
deren Loten Veranlassung. Diese schneiden die Fläche 6) in
Kurven, welche die Stellen miteinander verbinden, wo die
Tangenten der Steilungslinien parallele Projektionen haben.

Dabei handelt es sich um die frühere Gleichung:

du

10) arctan -jy- = 0 = y.

Die oben behandelten Linien gleicher Stromstärke und
Stromrichtung geben also für die Saint Venantschen Quer-
schnittsflächen die Linien gleicher Steilheit und gleicher
Abweichung der Steilungslinien an, deren Projektionen sich
als Isothermenscharen ergeben.

Das am Beispiele erläuterte Resultat gilt eben für alle mögliehen
Lösungen des Torsionsproblems.

[Den meisten Lesern wird die deutsche Ausgabe des bekannten
Handbuchs der theoretischen Physik von Thomson und Tait zu-
ganglicher sein, als die Memoires. Einen Auszug aus der Saint
Venantschen Arbeit findet man dort nebst Figuren von Seite 231 des
Bandes I2 ab. Auf Seite 239 befindet sich jedoch ein Druckfehler.
Auf Zeile 3 von unten muss es heissen normalen Ebene statt
parallelen Ebene in Bezug auf die Stabaxe.]

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240 t)ber einen Satz der Funktionentheorie und seine Anwendung etc.

Ist a = 6, so geht die Ellipse in einen Kreis über, für den also
Gleichung 6) die Form z = 0 annimmt, mit anderen Worten: Bei dem
Kreiscylinder bleiben die Querschnitte eben.

Beispiel 2. Geht man willkürlich von den der Gleichung A*J7= 0
gehorchenden und zusammengehörigen Ausdrücken:

11) J7=2r»J.sinwO' und F= 2r»J.coswi^

aus, so erhält man nach obigem als Randkurve für den Cylinder in
Polarkoordinaten :

12) f r^— 2r»^cos n ^ « c.

Setzt man den Exponenten w der Reihe nach gleich 1, 2, 3, 4,...,
so erhält man Randkurven 1., 2., 3., 4.,... Grades. In der Wahl der
Konstanten findet man bei den höheren Graden eine grosse Mannig-
faltigkeit, zu der Saint Venant Beispiele giebt. Über die Fläche

z = 2r"J.co8n^,

die man als hyperbolisches Paraboloid w*®' Ordnung bezeichnen
kann, ist Entsprechendes wie vorher zu sagen. Die Zahl der Geraden
durch den Nullpunkt ergiebt sich aus cos w ^ = 0, eine Gleichung, die

durch n_ 2n Zn

erfüllt wird, sodass es sich um 2w Strahlen, d. h. um n Gerade
handelt. Die Letzteren haben abwechselnd positive und negative Ordi-
naten. Für coswO-^l erhält man Hauptschnitte js = 2Är*, was
Parabeln w**' Ordnung giebt. Nach § 2 geben die Lote in den Kreisen
und ihren Radien Kurven derselben Eigenschaften auf der Fläche,
wie vorher.

Allgemeine Lösung. Die allgemeine Lösung des Torsions-
problems findet man bekanntlich, indem man von einer willkürlichen
Funktion komplexen Arguments:

13) Z^Ü+Vi==f(x + yi)

ausgeht und den konjugierten Ausdruck U— Vi =-f^{x — yi) benutzt.
Dann ist:

^^\ jj _ /'(^- + yO + /i(a?-?/0 ^

15) F= J^y±^f(^^ZliL = _ i^(^ + yi) + i^^(^ _ yO,

also

16) TT = f (rrH y') + {/"(^ + yP) ~ ^Aix - yi) = C.

Dabei giebt 16) die Randkurve an, ;? == F die gekrümmte Quer-
schnittsfläche. Der absolute Betrag des Differentialquotienten Z\
nämlich:

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Von Prof. Dr. Holzmüller. 241

i') «=)/(0+(0

giebt die Kurven B = c als Projektion der Linien gleicher Steilheit a
(tana = ü = c) auf der Fläche; seine Abweichung:

du

18) O = arctan -^

dx

giebt, gleich y gesetzt, die Projektion der Linien, welche auf der Flache
durch die Punkte gleicher Abweichung der Steilungslinien gehen.

Damit ist der Zusammenhang der Isothermen \gR = c und 0 = y
mit dem allgemeinen Torsionsproblem nachgewiesen. Sie geben die
Kurven gleicher Steilheit des gekrümmten Querschnitts und die Kurven
gleicher Abweichung der Steilungslinien an. Auf die aus den letzten
Darlegungen hervorgehende Möglichkeit der konformen Übertragung
der Resultate braucht wohl nur hingewiesen zu werden.

i 7. Versohiedene Arten von Fotentialfläohen
und Niveaufläohen.

Es handle sich wieder um stationäre elektrische oder Wärme-
Strömung in unbegrenzter Platte, z. B. bei punktförmigen Elektroden
positiver und negativer Art, ohne dass dieses gerade zur Bedingung
gemacht werden soll.

Trägt man in jedem Punkte den Wert:

1) z^ Vi lg ri + i/,lg rjj + • • • + VnlgTn

als Lot auf, so erhält man durch die Endpunkte die Gleichuug der
durch 1) dargestellten Fläche. Die rechte Seite genügt der Differential-
gleichung A*w =* 0. Der Diagrammkörper wird also durch eine so-
genannte Potentialfläche begrenzt. Die Niveaulinien sind Kurven kon-
stanten Potentials.

Errichtet man auf der Grundebene in den durch

gegebenen Kurven Lote, so treffen diese die Potentialfläche in den
oben besprochenen Kurven gleicher Steilheit. Die durch

3) arctan -4|- = y

dw

da

Tz

bestinunten Kurven, wo w die Ergänzungsfunktion:

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242 Über einen Satz der Funktionentheorie und seine Anwendung etc.

4) w; = Vi-^i + Va^, + • • • + Vn^n

zu z ist, geben die Kurven gleicher Abweichung für die Projektionen
der Steilungslinien, die durch w = y dargestellt sind.

Nimmt man nun das Vertauschungsproblem, so errichte man
überall Lote von der Länge:

5) w^ v^d'^ + v^»2 H ^■ ^«^n-

Da nun

ist, so sind jetzt in denselben Punkten, wie vorher, Lote zu errichten,

wenn man die Linien gleicher Steilheit haben will. Die Linien

gleicher Steilheit a haben also für beide Potentialflächen 1)

und 5) identische Projektionen.

Die Steilungslinien sind aber senkrecht gegeneinander gerichtet,

was mit der Gleichung:

dz dto

6) r, = arctan-|j^ = f + ^ == f + ^rctan-^

dx dx

harmoniert.

Errichtet man dagegen auf der Stromebene in jedem Punkt den
Wert:

^-^-vm^m^v^rh^n)

so erhält man die Diagrammfiäche der gleichen Stromgeschwindigkeiten
für beide Probleme.
[Bildet man dazu

so findet man die Linien gleicher Strombeschleunigung für
beide Probleme. Ob dem bei den Saint Venantschen Problemen die
Linien gleich starker Deformation entsprechen, bedarf noch einer be-
sonderen Untersuchung.]

Ähnlich würde die Errichtung von Loten

dz dw

0 = arctan -ö — = ,,- + arctan -^

dw 2 * d

z
dx dx

für beide Probleme die Diagrammfläche der Abweichungen ergeben.
Es ist jedoch besser, diese mit der Fläche

*. = -«^ = >si/ai)Mi = www

zu vergleichen, da diese beiden Flächen wieder zusammengehörige
Potentialflächen wie die vorigen sind

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Von Prof. Dr. Holzmüllkb. 243

Die Errichtung von Loten ^ = t = r würde das Diagramm der

Grössenverhältnisse für beide Probleme ergeben. Ist für irgend welche
physikalische Theorie das Errichten von Loten A3 = f(R) oder A4 == f(z)
notig, so würden auch die so entsprechenden Diagrammflächen leicht
zu untersuchen sein. Ein solcher Fall soll im folgenden Abschnitt be-
handelt werden.

8 8. Forohheimer Theorie der Grundwasserbewegung.

Herr Forchheimer hat im T.Hefte des Jahrgangs 1886 der Zeitschrift
des Architekten- und Ingenieurvereins zu Hannover eine Theorie der
Grundwasserbewegung gegeben, die auf der Annahme beruht, dass bei
stationärer Strömung über horizontaler undurchlässiger Schicht die Ge-
schwindigkeit lediglich proportional sei dem Gefällverhältnis
der Oberfläche der Grundwassereinstellung, im übrigen aber
unabhängig von der Tiefe an der entsprechenden Stelle.

Durch diese Annahme wird die Frage der Geschwindigkeit von
der dritten Dimension befreit, es wird

.U„»-_.!i-.|/(|£)V(|£)-

cn

wo X eine von der Durchlässigkeit des homogenen Erdreichs abhängige
Konstante ist, z aber die Höhe des Grundwassers über der undurch-
lässigen Schicht.

Hat nun ein normal gegen die Stromrichtung liegendes und senk-
recht stehendes Rechteck die Breite b und von der undurchlässigen
Schicht aus gerechnet die Höhe z, so passiert durch das (bis zur Ober-
fläche des Grundwassers reichende) Rechteck in der Zeiteinheit die

Wassermenge ^^

Q = xhzv = — oz-^'
^ cn

Handelt es sich z. B. um die Parallelströmung in der Richtung
der X-Axe, so folgt: ^

zdz = — -^ dx.

L' =. _ ^ 4. r

ä8 =

und

--S' + c.

ist. Dies ist die Gleichung einer Parabel, die ihre Axe in der
undurchlässigen Schicht hat. Die Integrationskonstante C^ ist gleich
XuU zu setzen, wenn man den Koordinatenanfang in den Scheitel legt.
Dann ist also 2 ^q

Für negatives x erhält man also die Quadrate der Höhen des
Grund Wasserstandes über der undurchlässigen Schicht.

/Google

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244 Über einen Satz der Funktionentheorie und seine Anwendung etc.

Denkt man sich z. B. durch einen See einen Damm gelegt^ dem (um die
Sache mathematisch zu machen) senkrechte Seitenwände gegeben wer-
den, und wird der eine Teil soweit ausgepumpt, bis schliesslich iDfolge
wachsenden Niveauunterschieds die durchsickernde Wassermasse dem
Pumpverlust ausgleicht, so ist die Form der Oberfläche des Grund-
wassers im Querschnitte des Dammes durch diejenige Parabel bestimmt,
die durch die beiderseitigen Niveaupunkte geht, und ihre Axe in der
durchlässigen Schicht hat.

[Bei der Parallelströmung der Wärme oder Elektrizität würde die
Diagrammkurve des Geschwindigkeitspotentials sein

0% '

was der Differentialgleichung A^jer = 0 genügt. Hier aber handelt es sich
um 0 =y — -r^x, wo die rechte Seite der DijBFerentialgleichungA*^' = 0

nicht genügt.]

Denkt man sich eine kreisförmige Insel im Meere, mit einer
horizontalen undurchlässigen. Untergrundsschicht und in der Mitte einen
bis dorthin reichenden Brunnenschacht mit kontinuierlichen Pump-
betriebe bei konstanter Höhe des Wasserstandes im Brunnen, wobei
also die Wasserentnahme genau durch das Nachsickem ersetzt wird,
so geht nach obiger Theorie durch jeden konzentrischen Cylinder die
Wassermasse •^ r. . «

durch einem bestimmten dieser Cylinder z. B.:

sodass, da des stationären Zustandes halber Q = Qi ist:

rz tan^i tan-O-^

5v?~ tan -9- ^ /^\

sein muss. Daraus folgt

zdz = r^ g^ tan ^^ — ;

und durch beiderseitige Integration:

- = ri^itan^ilgr+ C,

oder auch: 4. a. i ^ n

r= 2ri;e'itan'^ilgr + C,

wo C eine Integrationskonstante ist.

Bei dieser Schreibweise genügt die rechte Seite der
Differentialgleichung A^w = 0. Sie würde die Potentialfläche der
elektrischen Strömung bei einer punktförmigen Elektrode und Ein-
strömung im unendlich fernen Bereiche darstellen, sobald nur links
z statt &^ stände. Es handelt sich also hier um eine Niveaufläche:

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Von Prof. Dr. Holzmüllkr. 245

z = y2ri;ß'itan^ilgr + c,

bei der die Höhen die Quadratwurzeln von den Höhen der
Potential fläche sind. Setzt man hier den Wert von Q aus

<?i = 2riÄ;gfiXtan'9"i
ein, so ergieht sich z^ = —\ar -\- C

für eine bestimmte Stelle also

und durch Subtraktion ^

wodurch die Integrationskonstante entfernt, bezw. durch z^ ersetzt ist.
Ist z. B. z^ die Tiefe der undurchlässigen Schicht unter der Meeres-
oberfläche, r^ der zugehörige Radius der Insel, ist femer z^ der Wasser-
stand des bis zur undurchlässigen Schicht reichenden Schachtes und
sein Radius gleich r„ so ist die konstante Wasserentnahme:

Zugleich folgt allgemein aus
durch Entfernen von Q die rein geometrische Gleichung:

g* — g«' ^ Ig^ — Ign
z\ — Zt^ ~~ lgr,-lgr.

K^)

fär die den Grundwasserstand an jeder Stelle r darstellende Rotationsfläche.
Ganz allgemein lässt sich nun folgendes schliessen:
Kennt man für irgend eine Elektrizitätsströmung statio-
närer Art in ebener Platte die Potentialfläche, z. B.:

und bildet man die neue Fläche:

*^== Vilgr^ 4- Vg lg*2 + • • • + ^^2lg^«;
indem man statt der Höhen ihre Quadratwurzeln einsetzt,
so hat man die Niveaufläche des Grundwassers für das ent-
sprechende Arangement von Brunnen anlagen.

Hier mögen die v sämtlich als positiv betrachtet werden, sodass
es sich um n Brunnen von verschiedener Ergiebigkeit handelt.

Der Einströmung durch lineare Elektroden würde die Wasser-
entnahme aus Sickerschlitzen entsprechen, mögen diese nun geradlinig
oder krumm sein.

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246 t^ber einen Satz der Funktionentheorie etc. Von Prof. Dr. Holzmiillkb.

Dem Ausschneiden von Flächenstücken aus der Platte längs der
Niveaulinien entspricht die Begrenzung des Grundwasserterrains durch
einen See oder Fluss. Bei geradliniger Begrenzung würden die be-
kannten Spiegelbilder anzuwenden sein, bei mehreren Brunnen auf
kreisförmiger Insel die reziproken Spiegelbilder u. s. w.

Schlussbemerkung.

Weder über die Saint Venantsche Torsionstheorie, noch über
die Forchheimersche Theorie der Grund wasserbewegung, ebensowenig
über die der stationären Elektrizitäts- und Wärmeströmung soll
hier behauptet werden, dass sie der richtigen Sachlage entsprechen.
Sowohl diese Theorien als auch die Helmholtzsche Theorie der
Flüssigkeitsbewegungen unter Annahme der Existenz eines Geschwin-
digkeitspotentials und seine (zweidimensionale) Theorie der
freien Ausflussstrahlen sind auf die Voraussetzung gegründet, dass
die konforme Abbildung der Resultate von einem Grundfalle auf alle
anderen gestattet sei. Diese gemeinschaftliche Grundhypothese könnte
also die physikalischen Hypothesen ersetzen. Man kann auch Fragen
der Biegungsfestigkeit und der Kapillarität den Forderungen der
konformen Abbildung anbequemen, wodurch man allerdings nur an-
genäherte Resultate erzielen wird. Über den Grad der Annäherung
würde dann das Experiment in ähnlicher Weise zu entscheiden haben,
wie neuerdings Herr Prof v. Bach Versuche zur Prüfung der Theorie
von Saint Venant angestellt hat, deren Resultat ein befriedigendes
für die zu Grunde gelegten Hypothesen sein soll.

Jedenfalls erkennt man an den obigen Darlegungen, dass sich die
Methode der konformen Abbildung sehr wohl dazu eignet, in die ge-
nannten Theorien vorläufig elementar einzuführen, sogar zu
den Elementen der modernen Funktionentheorie hin, dass man leicht
Beispiele ausfindig machen kann, die das Verständnis der Theorie er-
leichtern, dass aber dabei namentlich die Lehre von den Hyperbeln
und Lemniskaten höherer Ordnung von ausserordentlichen Nutzen ist.
An den vorbereitenden Vortrag kann sich dann der höhere, rein ana-
lytische, dessen abstrakter Charakter häufig abschreckend auf den Zu-
hörer einwirkt, in leichter verständlicher Weise anschliessen. Auf
diesen Weg aufmerksam zu machen und zugleich eine Ergänzung zum
Kapitel meiner Einführung in die isogonalen Verwandtschaften zu geben,
das war die eigentliche Absicht dieser Zeilen.

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Beiträge zur Theorie des ebenen Oelenkviereeks.

Von

Dr. R. Müller,

Profeitor an der Teohmschen Hochacbule zu Braunsohweig.

Die vorliegende Mitteilung bildet einen Auszug aus einer grösseren
Arbeit mit gleichem Titel in der Festschrift, welche die technische
Hochschule zu Braunschweig aus Anlass der diesjährigen Naturforsch er-
rersammlung herausgegeben hat. Ausgehend von der Betrachtung ge-
wisser Punktketten, die in Ermangelung einer besseren Benennung
als Wende- und Ruckkehrpole höherer Ordnung bezeichnet werden,
giebt der Aufsatz eine Übersicht über alle singulären Fälle, die bei
der Momentanbewegung der Koppelebene eines Gelenkvierecks ein-
treten können. Wichtig erscheint hierbei vor allem die Untersuchung
solcher Koppellagen, bei denen ein Systempunkt eine Bahnkurve mit
sechspunktig berührender Tangente beschreibt — eine Frage, die mit
dem Problem der angenäherten Oeradführung unmittelbar zusammen-
hängt.

I. Allgemeine Sfttae über die Bewegung eines starren ebenen
Systems in seiner Ebene.

1. Die Kette der Rückkehrpole. Sind S und S' zwei unend-
lich benachbaiie Lagen eines komplan bewegten starren ebenen Systems,
% und D die zugehörigen Pole, a und a' die entsprechenden Lagen
einer beliebigen Systemgeraden, a ihre Hüllbahnkurve, so schneiden
sich die Lote von ^ und D bez. auf a und rt' im Krümmungsmittel-
punkte A der Kurve a (Fig. 1). Die Punkte ^^, C, A bestimmen den
Rückkehrkreis ^^ der Systemlage ä; auf diesem erhalten wir als
Gegenpunkt zu ^ den Rückkehrpol W^. Bezeichnen wir die unendlich
kleine Strecke $ßEl mit ds und den Winkel der beiden Systemlagen

S und S' mit rf^, so ist der Durchmesser von ip^ gleich j^- Wir

seteen im folgenden voraus, dass dieser Quotient endlich und von
Null verschieden ist.

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248

Beiträge zur Theorie des ebenen Crelenkvierecks.

Verstehen wir unter Q^ den Rückkehrpol für die Systemlage S\
so treflFen sich die Lote von V^ auf ^A und von Q^ auf DA im
Krümmungsmittelpunkte Aj der Evolute a^ von a, und dann befinden
sich die Krümmungsmittelpunkte der Evoluten aller HüUbahnkurven,
die von den Systemgeraden erzeugt werden, momentan auf einem
Kreise ^j, der über der Sehne ViQi den Peripheriewinkel dd' fasst;
wir nennen ihn den zweiten Rückkehrkreis und den zugehörigen

Fig.J.

Gegenpunkt Yj von Y^ den zweiten Rückkehrpol der Systemlage 5.
— Das Dreieck ViQiVg hat bei Qj einen rechten Winkel, bei Y2 den
Winkel dd^ und ist gleichsinnig ähnlich dem Dreieck $ßDYi.

Die Gerade A^Vg ist eine Normale der Evolute a^ von 0^, oder
der zweiten Evolute von a. Bestimmen wir für diese wieder den
Krümmungsmittelpunkt Aj, dann für ihre Evolute a^ den Krümmungs-
mittelpunkt A3 u. s. f, so gelangen wir schliesslich zu dem Satze:
Die Normalen dern-l^^'^Evoluten allerHüUbahnkurven, die von
den Systemgeraden erzeugt werden, gehen für jede System-
lage S durch einen bestimmten Punkt V«-!, den w— l*«^Rück'

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Von Dr. R. Möllk». 249

•
kehrpol der Systemlage. Die Erümmungsmittelpunkte dieser

Evoluten sind die Fusspunkte der aus dem n^"^ Rückkehr-
pole Va auf jene Normalen gefällten Lote; sie erfüllen den
n**"" Rüekkehrkreis ^„, der die Strecke V^_iV, zum Durch-
messer hat.

Der Pol 5ß und die n ersten Rückkehrpole ¥!...¥« bilden ein
Äquivalent für w + 2 unendlich benachbarte Systemlagen.

2. Formeln für die Koordinaten der Rückkehrpole. Ist
Q«_i der » — !*• Rückkehrpol der Systemlage S\ so folgt aus der
Ähnlichkeit der Dreiecke Vn_iQ„_iVn und 5ßDVi die Proportion

Wir bezeichnen nun mit |,, ij„ die rechtwinkligen Koordinaten
des Punktes V» für 5ß als Anfangspunkt und die Polbahntangente t
als 5-Axe; dabei rechnen wir die Gerade t positiv in der Richtung
von ^ nach £l und nehmen als positive ij-Axe denjenigen Teil der
Polbahnnormale n, der nach einer Drehung um 90** im Sinne der
Drehung des Systems mit der positiven Geraden t zusammenfällt.
Betrachten wir die Strecke $V^ als das geometrische Bild der kom-
plexen Grösse g, =^ 5» + «^n und verstehen unter dr, dz + d^x bez.
die Kontingenzwinkel der Polbahn bei ^ und D, so ist

+ iln^idt + ds.
Hieraus finden wir sofort V„_iQn-i und Q,_-iV,, und da

ist, 80 ergiebt sich aus der obigen Proportion zur Berechnung von
t, die Rekursionsformel:

1) ind^ = ei.-.i(rf^ + dz) - id^n-.! - ids,
oder

2) j Ud^ = in-i{d% + dz) + drin-i

l rind%^ = ??„_i(d^ + dz) — dln-i — ds.
Für den Punkt V^ ist

Betrachten wir das Bogenelement ds der Polbahn immer als kon-
stant, so folgt für den Punkt W^:

dabei bedeutet d^d^ den Zuwachs, den der Drehungswinkel dd^ erhält,
wenn das System aus der Lage S' in die folgende Lage ä" übergeht.

ZeiUehrift f. Mathematik u. Physik. 42. Jahrg. 1897. 5. Heft. 17 (^ r^r>^r^]r>

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250 Beiträge zur Theorie des ebenen Gelenkvierecks.

Wir finden femer
5)

Ss = ^4 [3d'»{d^ + dt) - d^d'tl

%= - ^,[d»\3d^^+ dd^dr + dz^ - 3rf«^«+ d^d'»]

U. 8. W.

3. Die Kette der Wendepole. Durch Umkehrung der Be-
wegung folgt unmittelbar aus den Sätzen des Art. 1: Die Normalen
der M — 1*®^ Evoluten aller Systemkurven, welche gerade Linien
umhüllen, gehen für jede Systemlage S durch einen bestimmten
Punkt — wir nennen ihn den n — 1^^ Wendepol Wn^i der System-
lage. Die Krümmungsmittelpunkte jener n — l^^ Evoluten
sind die Fusspunkte der aus dem w**^* Wendepol TF„ auf die
zugehörigen Normalen gefällten Lote; sie erfüllen den
^jten Wendekreis Wn, der die Strecke Wn---iWn zum Durch-
messer hat.

Die umgekehrte Bewegung hat W^, W^ - ^ . zu Rückkehrpolen;
sie besteht in einer Reihe von Drehungen der bisher festen Ebene um
die Winkel — dd; — (rfd + d^d) . .. und zwar um diejenigen Punkte
der Polkurve, die nacheinander mit den Punkten ^, O... der Polbahn
zusammenfallen. Nun hat die Polkurve bei $ß den Kontingenzwinkel
dd' + dt^ bezeichnen wir also mit Xn, y» die Koordinaten von F» in
Bezug auf das frühere Koordinatensystem und setzen

so erhalten wir aus Gleichung 1) durch Vertauschung von g„, dd; dt
bez. mit 0n, — dd; d%- + dt für fs^ die Rekursionsformel:

6) Zndd^ = — Zn-idt ■+- idz^^i + idSy

und die Gleichungen 2) bis 5) verwandeln sich in:
I Xnd^ = — Xr^^idt — dy^^i

^ \ynd»^-:

yn-idt + dxn^i+ ds,

8)

^1 = 0,
ds

ds

ds

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Von Dr. R. Mülleb. 251

4. Zwischen den Koordinaten der Rückkehr- und der
Wendepole besteht die einfache Beziehung:

Der Beweis ergiebt sich mittels des Schlusses von n auf n + 1
unter Benutzung der Gleichungen 1) und 6).

5. Wird die Systembewegung durch Angabe von Pol bahn und
Polkurve bestimmt und sind

da j ds

dt ^ d^+dv

bez. die Krümmungsradien dieser Kurven im Punkte ^, so gehen die
Formeln fttr die Punkte Y« und TT» über in

drjn — i

9)

10)

(p-7t)x^^pXn-l+p3t ^^^~^

{fi- n)yn^ PVn-l- P^-^^J^ - pn^

Bezeichnen wir mit ^r^, ^r^ , . . pj, Pg . . . die zugehörigen Krümmungs-
radien der aufeinander folgenden Evoluten beider Rollkurven, so ist

ds n ds ^ ^ n

und analoge Gleichungen gelten für -^y -j^- Dann werden mit Hilfe

der Gleichungen 9) und 10) die Koordinaten von V» und TT« aus-
gedrückt durch die Krümmungsradien

Ä, 3ri, n^. ,.p, Pi,i>2 .. .

6. Spezielle Fälle* J. Liegen von den n ersten Wendepolen
W^, W^.,.Wn alle Punkte mit geradem Index auf einer durch
den Pol ^ gehenden Geraden und alle Punkte mit ungeradem
Index auf einer zu dieser senkrechten Geraden, so beschreibt
der Schnittpunkt K beider Geraden — der Ballsche Punkt —
momentan eine Bahnstelle mit w -f 2 punktig berührender
Tangente, und umgekehrt. Denn in Ä^ schneiden sich gegenwärtig
alle Wendekreise von w^ bis w?^; der Punkt K kann also als eine aus-
geartete Systemkurve betrachtet werden, welche in w + 2 aufeinander
folgenden Lagen eine feste Gerade berührt.

♦ Vergl. Mehmke, über die Bewegung eines starren ebenen Systems in
seiner Ebene, diese Zeitschrift Bd. 36, S. 1 und 66.

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252 Beiträge zur Theorie des ebenen Gelenkvierecks.

TL Aus dem letzten Satze folgt unmittelbar: Wenn in der Kette
der Wendepole von W^ bis Wn alle Punkte von geradem
Index mit ?ß und alle Punkte von ungeradem Index mit \\\
zusammenfallen, so durchschreiten alle Punkte von m?i Bahn-
stellen mit w + 2 punktig berührender Tangente, mit Aus-
nahme des Pols ^ und desjenigen Punktes Ky der zugleich
auf dem ersten von w^ verschiedenen Wendekreise Wn+i liegt:
die Bahnkurve dieses Punktes hat mit der Geraden W^K
w + 3 unendlich benachbarte Punkte gemein. In diesem Falle ist:

P = -^y JTj = Ä3 = - ■ -An — 2 = yjy

femer für ^^^ . ^^ g^ ^ o, i,. = y,(1^2a

also ^^^^ _ 2 . ?ß Vi . . . ¥,.iV« =- 2 • Vn-2M'„-i.

III. Ist die Polbahn eine gerade Linie, so sind die Wende
pole die dem Punkte ?ß entsprechenden Krümmungsmittel-
punkte der Polkurve und ihrer Evoluten (Art. 5). Ist ander-
seits in irgend einer Systemlage

SO hat die Polbahn im Punkte ^ eine w + 1 punktig berührende
Tangente.

IV. Sind die beiden Rollkurven Kreise mit den Radien «
und p, so folgt aus den Gleichungen 9):

und allgemein / « \"

und analoge Formeln gelten für die Koordinaten von W^ Jf g . •
Daraus ergiebt sich eiue einfache Konstruktion der Punkte Y, und H',.

V. Sind beide Rollkurven symmetrisch in Bezug auf die
Polbahnnormale n, so liegen die sämtlichen Wende- und
Rückkehrpole auf dieser Geraden. Denn konstruieren wir zu
zwei Systemgeraden a und 6, die in Bezug auf n symmetrisch liegen, die
Krümmungsmittelpunkte A, A^ . . . B, Bj . . . der zugehörigen Hüllbain-
kurven und ihrer Evoluten, so sind die entstehenden Punktketten
symmetrisch in Bezug auf n und es schneiden sich An—iK ^^
Bn-iB, in V„

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Vlg. 2.

Von Dr. R. Mülleb. 253

7. Die Krümmungradien der Evoluten einer Hüllbahn-
kurve. Wir betrachten in der Systemlj^e S eine beliebige System-
kurve c mit den Evoluten c^^c^,.. und bezeichnen mit y, yj, ^2 • • • ^^®
zugehörige Hüllbahnkurve und deren Evoluten, mit C und f die
Krümmungsmittelpunkte von c und y auf der durch ^ gehenden Nor-
male beider Kurven, mit G^, Cg . . . fj, Tg... die entsprechenden
Krümmungsmittelpunkte von c^, Cg • • • ^i; ^s • • • (^^8- 2). In der unend-
lich benachbarten Systemlage S" kommen die Kurven c, Cj, c^ . . . nach
Cy c^i, c'j .. .; dann bestimmt die Tangente aus dem Pole Q an c\ den
Berührungspunkt von
c' und y und diesem
entsprechen auf

c 1 , c j . . . ^1 , y, . . . - ^- ^ -

bez. die Krümmungs- -^

mittelpunkte

Setzen wir

rr^^Pi..., ;//r cYd;

so bildet Q D' mit der
Tangente t' der Pol-
bahn in Q den Winkel
q + dq>j und es ist ? 0

Dabei verstehen wir unter (p denjenigen zwischen 0® und 180^
liegenden Winkel, um welchen ?ß C im Sinne der Drehung des Systems
gedreht werden muss, um mit der positiven Polbahntangente t zu-
sammenzufallen, und wir rechnen r, rj...^, (>! . . . positiv, wenn nach dieser
Drehung bez. die Strecken ^C, CCj . , . ^f, VT^ . , . zur positiven
Polbahntangente oder zur negativen Polbahnnormale parallel sind.

Bezeichnen wir die Winkel Qf^ und DC^ bez. mit dfL und (/v,

so folgt aus dem Dreieck ^JQC:

7 äs .

av = — sing?,

und da /.C5ßC'= dd- ist, so wird

, , j^ ds sin m — rdd^
d^ = dv ■— d%^ « —^

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254 Beiträge zur Theorie des ebenen Gelenkvierecks.

Dann ergiebt sich unmittelbar aus der Figur:
^^x ds . rds Bin m

^ ^ dfi ^ ds Bin (f — rdd'

^ 5^v TA d^-\-ds cos q> r(dQ-\- d$ cos q>)

^^) ^i"~5^" ~dii """ dsBimp-rdd^ '

und es gilt allgemein für n = 2, 3 . . . zur Berechnung von p, die Re-
kursionsformel:

Die Ausdrücke für (Iq, dg^ . . . enthalten noch die Diflferentiale
von r und tp. Nun folgt aus dem Dreieck ?jJDC':

dv + q) — dd- -^ q> + d(p + dt + d^t,

dq> ^ dv -^ (d^ + dt) = — sin 9 — (dd' + dt),

und es ist ferner , atf -r^f 7 7

rjav = C 2)'= — dr — dscosq),

r^dv ^C\D\'= dr^

° rfr = — ds cos 9 7 rf5 sin 9

und allgemein für n = 1 , 2 . . .

dr«_ (-l)«+i-!^rfssin<p.

Für den Fall, dass die Systembewegung durch den Pol ^ und
die Kette der Rückkehrpole V^Vj . . . bestimmt ist, finden wir aus den
Gleichungen des Art. 2:

und dann gehen die Gleichungen 11) bis 13) über in

11') p-=

rji r sin <p
r + ^1 sin 9

-;

12') Pi = r + ^^Biny (^ ^ - "»1 *=«« 9»)'

13') p„=(_l)«-i__kl i^. („ = 2,3...1

Hierbei ist:

und nach 2):

^ = |(jsin9 + cos9,),
|^ = (-l)-^f^Bin^ (n=M..)

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Von Dr. R. Müllkr. 255

Die Gleichungen 11') bis 13') dienen umgekehrt auch zur Be-
stimmung der Rückkehrpole, wenn von zwei beliebigen Systemkurven
die Hüllbahnkurven bekannt sind.

8. Die Punkte stationärer Krümmung. Tritt an die Stelle
der Kurve c ein einziger Systempunkt (7, so bestimmen die Gleich-
ungen 11') bis 13') die Krümmungsradien der zugehörigen Bahnkurve y
und ihrer Evoluten, wenn r^ = r^ = • • • = 0 gesetzt wird. Beschreibt nun
der Punkt C momentan eine Bahnstelle mit vierpunktig berührendem
Krümmungskreise, so hat der Krümmungsradius r — (> in den System-
lagen S und S' denselben Wert, d.h. es ist

drix ^

Setzen wir hier für q den Wert aus Gleichung 11') und für ^

und ^ — die vorhin gefundenen Ausdrücke, so erhalten wir

14) r (1/2 cos g? ~ Ig sin 9) + 3ij\ cos g) sin g? = 0

als Gleichung der Kreispunktkurve der Systemlage 8, d. h. des
Ortes aller Systempunkte, die momentan Bahnstellen mit stationärem
Krümmungskreise durchlaufen.

Die Kurve y hat mit ihrem Krümmungskreise in C nicht nur
vier, sondern fünf unendlich benachbarte Punkte gemein, wenn auch
der Differentialquotient der linken Seite von Gleichung 14) verschwindet;
dies führt zu der Bedingung:

[r«[58 cos 9 + (%-%) sin g?]

15) I + riyi[3iJiCos^g?+4|2Cosg)sing?+(4ijjj — Sijjsin^y]
I + Si^i^siny = 0.

Die Gleichungen 14) und 15) bestimmen im allgemeinen vier
Punkte (^, 9>); die wir als die Burmesterschen Punkte der System-
l^e S bezeichnet haben.*

Soll endlich der Punkt G in sechs unendlich benachbarten Lagen
auf einem Kreise bleiben, so erhalten wir aus 15) durch Differentiation
nach 71^ die neue Bedingung:

r* (l4sin9 — 1^4 cos 9?) + rri^

[(2|3+10fe)cos2<)p-(3i?3-16%+12iyi)cos(psin<)p+(5|3-6ysinV]
+%*[("" 21^2 + 6i?i) cos* g? + 20|gcos^g?sin9
+ (6^2 +12i7i)cos90sin*9 + 12i^siv?(p\ = 0.

* Über die Bewegung eines starren ebenen Systems durch fünf unendlich
benachbarte Lagen, diese Zeitschrift Bd. 37, S. 145; sowie Konstruktion der Bur-
mesterschen Punkte für ein ebenes Gelenkviereck, daselbst erste Mitteilung Bd. 37,
S.213, zweite Mitteilung Bd. 38, S.129,

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16)

256 Beiträge zur Theorie des ebenen Gelenkvierecks.

Die Gleichungen 11'), 14), 15), 16) dienen zur Bestimmung von
% • • • %; wenn wir vorschreiben, dass zwei Systempunkte C und D
sich in sechs unendlich benachbarten Lagen auf zwei gegebenen Kreiisen
bewegen sollen. — Die entsprechenden Gleichungen fär die Wendepole
ergeben sich aus den vorigen durch Vertauschung von r, iy,-, |, bez
mit p, yt, Xi.

9. Der Pol als Systempunkt. Die in Art. 7 abgeleiteten

Formeln gelten nicht für die Bahnkurve p desjenigen Systempunkts,

Fig 3 der in der Systemlage ^'

^^<P"" mit dem Pole % zu-

^ sammenfällt. Dieser

V bleibt beim Übergang

* von S in 5' fest und ge-

/ ^^ langt in den folgenden

<P'V \ \ Systemlagen durch

/ V " - ^ "" ^ Drehungen um die Pole

" ^ - . ^ \ / D, Ä, @ . . . bez. nach

^ ^^j4 T^ *'", ^""...; der

^,./ "- \ X ' dem Punkte 9? ent-

• ^ ^ ^ - - - ~ ^j^^^^r^ ^ sprechende Krümm-

m6 ^^'-"o=r^ t^ ^ -- ^ ^ ungsmittelpunkt von p

^ ^ "'--." ^ ^\ ist also der Schnitt-

^ " ^"~"-.><3^ "" ^ punkt 9K der Halbie

2^ " - ^ rungslinien der Winkel

";° ^D^" und $"3l?'"

(Fig. 3).

Nun ist der Kontigenzwinkel der Polbahn bei D gleich äx-^-ärx und

mithin ergiebt sich aus dem Dreieck D5R2R:

Hieraus folgt: Der mit dem Pole ^ zusammenfallende
Systempunkt beschreibt im allgemeinen eine Spitze vom
Krümmungsradius NulL Ist jedoch dd-'^dt, so hat die
Kurve p in ^ eine Schnabelspitze mit dem endlichen
Krümmungsradius: „ , ,^

^'~ 2d*»-'d*T'

In diesem Falle wird zufolge den Gleichungen 8):

i/, = 0, :r,= ^,(rf^-2rf»*);
die vorige Gleichung geht demnach über in:
17) r = -3'-'''-

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Von Dr. R. Müller.

257

Der Punkt ^ beschreibt also im allgemeinen eine
Schnabelspitze von endlicher Krümmung, wenn der zweite
Wendepol auf der Polbahntangente liegt. Befindet sich
gleichzeitig der dritte Wendepol auf der Polbahnnormale, so
wird der Krümmungsradius r unendlich gross.

Bezeichnen wir noch mit 31 den Schnittpunkt von ?ft2R und der
Halbierungslinie des Winkels ?ß'"@^"", so erhalten wir für den zu-
gehörigen Krümmungsradius r^ der Evolute p^ von p:

18) - ^'^

ti «

Beschreibt demnach der Punkt ^ eine Spitze vom
Krümmungsradius Null, so hat die Kurve p^ in ^ einen ge-
wöhnlichen Punkt vom Krümmungsradius i^. Besitzt dagegen
dieKurvepin^eineSchnabelspitze mit endlichemKrümmungs-
radius ^SK, so ist 9K ein Wendepunkt der Evolute p^ und r^ = Qo.

n. Anwendungen auf das Gelenkviereck.

10. Die Wendepole W^, W^ und der Ballsche Punkt JST für
eine beliebige Koppellage. In Figur 4 ist ABBÄ ein Gelenk-
ig. 4

_ K

Viereck mit dem festen Gliede AB und der Koppel AB. Bekanntlich
entspricht jeder Koppellage, für welche der Pol nicht unendlich fern
ist, ein endlicher Wendekreis w^] jede solche Systemlage S genügt

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258 Beiträge zur Theorie des ebenen Gelenkvierecks.

also der früher gemachten Voraussetzung, dass der Quotient ^ end-
lich und von Null verschieden sei. Bestimmen wir dann die zugehörigen
Wendepole W^, W^ . , ., so können wir leicht die Bedingungen an-
geben, denen die betrachtete Systemlage genügen muss, wenn bezüg-
lich der Momentanbewegung der Koppelebene einer der in Art. 6 be-
handelten Sonderfälle eintreten soll. Die erhaltenen Resultate können
schliesslich durch einen einfachen Grenzübergang auch auf den Fall
ausgedehnt werden, wo der Pol unendlich fem liegt.

Die Geraden A-4 und BJS schneiden sich im Pole ?ß der gezeich-
neten Koppellage. Um den ersten Wendepol TTi zu ermitteln,
bestimmen wir den Schnittpunkt § von AB und AB, ziehen 5ß® parallel
zu AB bis J. 2? und durch @ zu ^^§ eine Parallele, die AJ. und BB
bez. in J.„, Bu, schneidet. Die in J.„, B„ bez. zu A-4, BjB errichteten
Lote treffen sich in Wi,

Setzen wir;

«ß^ = Ä, L^^B-^a, L^fA'^ß, LA^^^y, L/\^^ = S,
SO folgt aus der Figur:
19) ^w,^y, = h . ""^/^f, ,•

' ^ ^ ^^ Sin a am p 8m(a — y)

Nach den in Art. 2 getroffenen Festsetzungen geht durch TTj die
positive Polbahnnormale n. Nehmen wir an, die Koppelebene drehe
sich momentan um ^ im Sinne des Uhrzeigers, so haben wir unter
positiver Polbahntangente denjenigen durch ?ß gehenden Strahl t zu
verstehen, für welchen iLn^t, im angegebenen Sinne gelesen, gleich
90® ist. Dann ist für den Punkt Ä der früher mit (p bezeichnet*
Winkel Ä^i=^a, för B Z.JS?ßt = /3; setzen wir daher:

^Ä = r, ^B = r', ^A = (), ?ßB = p^

und vertauschen in Gleichung 14) die Bezeichnungen ^i, Sg, % bez.
mit j/i, X2, y^j sowie r und q) einerseits mit q und a, anderseits mit 9'
und /J, so erhalten wir für die Koordinaten des zweiten Wendepols
W2 die Gleichungen:

Q {x^ sin a — j/g cos a) = Sj/j^sin a cos a,
Q {x^ sin ß — y^ cos /J) = 3 «/i^sin ß cos ß.
Hieraus ergiebt sich:

QQ^y^^m(a — ß) ^ — St/^^sin «sin /J(()cosjS — (i'cosa),
QQ'x2sm(a — ß) =^ — dy^^cosacosß^Qsmß — p'sina).

Nun ist aber

, sind f j sind

setzen wir also zur Abkürzung:

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20) {

Von Dr. R. Müller. 259

hsind

= m.

8in(a + d)sin(ß + d^)

SO wird: , 7 . ,.

99 = mn sin Oy

Qcosß — p'cos tt = w sin (a — ß) cos d,

9 sin /J — ^'sin a = — msm(a — ß) sin d,

und die Gleichungen für y^ und X2 gehen über in:

21)

S^jSiny C08^
y« "" sinÖ«"-^)""'

3 1/, cos a cos /? sin y sin ^
■^ sin a sin ß sin (d — y)

Der Baiische Punkt K der betrachteten Systemlage ist der
Schnittpunkt des Wendekreises w^ mit der Geraden ^ßTFg', bezeichnen
wir daher mit % den Winkel -BT^t, so ist:
oo\ j. Vi tan« tan Ä

22) ^x = ^= te5y^-

Dies fährt zu folgender Konstruktion des Punktes K: Wir er-
richten in ?ß zu ^§ ein Lot, welches die Gerade AB in 2), die Parallele
durch § zu ^B in 3)' schneidet, legen durch 2) und 2)' in beliebiger
Richtung zwei Parallelen und bestimmen deren Schnittpunkte 6 und
6' mit n (in Fig. 4 fallt 3)6 zusammen mit AB). Ziehen wir dann
egilt bis «ßB, gg'in und e'S'i'lt, so ist K der Pusspunkt des
Lotes yon W^ auf ^5'.

11. Der Punkt K beschreibt momentan eine Bahnstelle
mit fünfpunktig berührender Tangente, wenn die Gerade ITiTFs
auf ^ßTTg senkrecht steht, d. h. wenn

23) 3^2(^3 -yi) + ^2^3 =-0
ist. Setzen wir nun zur Abkürzung:

yip[3yi(cos*a — sin*a) + 4a;gCosasina + 4y2sin^a] + Sy^^sina = — I

und verstehen unter X' den Ausdruck, in welchen % sich verwandelt,
wenn wir q und a bez. mit q' und ß vertauschen, so erhalten wir aus
15) für die Koordinaten des Punktes TFj ^i® Gleichungen:
I P* [a^gcosa + (^3 - yjsin a] =^ X,

l (>'*[:z^3Cos/3 + (t/3-yJsin/3]«a:';
hieraus folgt:

Q^Q'^x^sm{a -ß) X()'*sin/3 + X^Q^sina,

j/Jsin(a — /3) = Xp'^cos/3 — S^'p^cosa.
Demnach geht Gleichung 23) über in:

%Q'^(y^cosß — x^ sin/3) — X'p^(y^cosa — aigsi^i«) — 0?
oder nach 20):

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240 j '''

UV»(y3

260 Beiträge zur Theorie des ebenen Gelenkvierecks.

3;(>'siD/3cos/J — X'()sinacosa « 0,
oder ausführlich geschrieben:

QQ'sm(a — ß)[3y^cos(a — ß) — 4^^ sin« sin /J]

+ 3^1^ sin a sin ß (q cos a — ^'cos ß) = 0.

Hierbei ist: , ^ . , ;i\ / , xi , jt\

()COsa — p'cos/J = msin(a — p)cos(a + p + o).

Setzen wir überdies für qq\ y^y y^ die früher gefundenen Werte,
so ergiebt sich:

25) cos {a — ß) sin {y + d) — sin y cos (a + /J — 5) = 0,
oder

25') 2cot* = cota + cot/3 — coty(l + cot acot/J)

als Bedingung dafür, dass in der betrachteten Lage der
Koppelebene ein gewisser Punkt K eine Bahnstelle mit fünf-
punktig berührender Tangente durchläuft. — Die Gerade W^K
hat für die Bahnkurve x des Punktes K den Charakter einer Inflexions-
tangente, die sich so innig an die Kurve anschmiegt, dass auch inner-
halb endlicher Grenzen der Punkt K sich auf dieser Geraden zu be-
wegen scheint; wir sagen deshalb, das Gelenkviereck ABBi
bewirkt eine f ünfpunktige Geradführung des Punktes K auf
der Geraden W^K, In der unmittelbaren Umgebung von K befinden
sich unendlich viele Systempunkte, deren Bahnkurven drei dicht auf-
einander folgende Wendepunkte haben und darum gleichfalls eine auf-
fällig gestreckte Gestalt besitzen.*

Fügen wir der Gleichung 25) noch die Bedingung hinzu, dass die
vier Seiten des Vierecks kBBÄ von gegebener Länge sein sollen, so
erhalten wir fünf Gleichungen zur Bestimmung der fünf Unbekannten
Ä, a, ßf y, S, Bei jedem Gelenkviereck giebt es daher Koppellagen,
in denen dasselbe eine fünfpunktige Geradführung bewirkt.

12. Sechspunktige Geradführung. Nach Art. 6 I hat die
Kurve x mit der Geraden W^K sechs unendlich benachbarte Punkte
gemein, wenn W^ W^ auf ^ W^ senkrecht steht, und wenn überdies
der Punkt W^ auf ^ W^ liegt, d. h. weim neben der Gleichung 25) noch
der Bedingung genügt wird:

Bestimmen wir x^ und f/4 mit Hilfe der Gleichung 16), so geht
nach einfacher Rechnung, die der im vorigen Artikel ausgeführten
ganz analog ist, die letzte Gleichung über in:

•Konstruktion der Burmesterschen Punkt« u. s. w., zweite Mitteilung.
Vergl. auch L. Allievi, cinematica della biella piana, Napoli 1895. Dasell'st
wird die Aufgabe der fünfpunktigen Geradfiihrung unter Beschrankung auf solclie
Koppellagen behandelt, für welche die Kreispunktkurve in irgend einer Wei^e
ausartet.

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Von Dr. R. Müllrr. 261

(12cot« cot/J — 5)[2cot* — (cota + cot/3) + coty (1 + cota cot/3)]
+ 5[(1 — cot a cot /3)(cot y + cot*) — (cot a + cot ß)
(1 — cotycotd)]=-0.
Hier verschwindet nach 25') das erste Glied, und wir erhalten
Jh.: sin(y + d-a-|8) = 0,

26) y + d^a + ß.
Dann verwandelt sich 25) in

27) sin 2y = sin 2 a + sin 2/3.

Die Gleichungen 26) und 27) bilden die notwendige und
hinreichende Bedingung dafür, dass in der betrachteten
Systemlage der Ballsche Punkt eine Bahnstelle mit sechs-
punktig berührender Tangente beschreibt. Es giebt dem-
nach Qo'öelenkvierecke, die eine sechspunktige Geradführung
bewirken. — Da jeder Punkt der Koppelebene eine Kurve sechster
Ordnung erzeugt, so ist die soeben ermittelte Geradführung von rein
theoretischem Standpunkte aus die vollkommenste, die überhaupt mit
Hilfe eines Gelenkvierecks erreicht werden kann.

13. Der geradgeführte Punkt K liegt auf der Koppel-
geraden. Aus der in Art. 10 abgeleiteten Konstruktion des Ball-
schen Punktes K ergiebt sich leicht, dass der Punkt K auf die Gerade
AB fäUt, sobald die Winkel a, ß^ y, ä der Gleichung genügen:

28) cot * = cot a cot ß cot y,
und dann geht Gleichung 22) über in

29) ;^«90^+y.

Fordern wir ausserdem, dass der Punkt K momentan eine Bahn-
stelle mit sechspunktig berührender Tangente beschreibt, so gelten
für die Koppellage AB gleichzeitig die Bedingungen 26), 27) und 28);
aus diesen folgt:

30) /S-60«-fa, y = 60«-a, <J = 3a.

Es giebt daher oo^ Gelenkvierecke, welche die sechs-
punktige Geradführung eines auf der Koppelgeraden liegen-
den Punktes bewirken.

In Figur 5 ist ein Gelenkviereck dargestellt, bei welchem die
Strecke ?ß^ und der Winkel a beliebig gewählt sind und die Winkel
ß, Yf d den letzten Gleichungen genügen. Für den zugehörigen Punkt K
ist nach 29): ^^^^^ = 90.+ ^ _ (, + ^) = 90»- ö;

fallen wir also von ^ auf AB ein Lot $ßS und ziehen durch ?ß eine
Gerade, die mit ^^ den Winkel $^3 einschliesst, so schneidet die-

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262

Beiträge zur Theorie des ebenen Gelenkvierecks.

Fig. 5.

selbe AB in K. Die Bahnkurve x ist symmetrisch in Bezug auf AB
und nur zur Hälfte gezeichnet; die sechspunktig berührende Tangente g
steht senkrecht auf ^K.

Im Dreieck -4J??ß ist jeder Winkel gleich 60^, d. h. in jeder
Systemlage, in welcher ein Punkt der Koppelgeraden eine
Bahnstelle mit sechspunktig berührender Tangente durch-
läuft, bilden die drei be-
weglichen Glieder des
Vierecks — oder deren
Verlängerungen — ein
gleichseitiges Dreieck.
Für a = 30® wird

ÄB^BB^BK,
A^ = AB =00
und wir erhalten die be-
kannte genaue Geradführ-
ung durch das gleich-
schenklige Schubkurbel-
getriebe, bei welcher sich
der Pimkt A auf der Ge-
raden BA und der Punkt IT
auf einer zu dieser senk-
rechten Geraden bewegt. Wir
schliessen hieraus , d a s s
auch im allgemeinen Fall
die Annäherung der
Kurve x an die Gerade g
umso vollkommener sein
wird, je grösser die Diffe-
renz der beiden Arme
des Gelenkvierecks ist,
wenn gleichzeitig die
Koppel und der kleinere
Arm einander nahezu
gleich sind.

Ziehen wir in Figur 5
durch ?ß die Gerade S2' $A,
so ist:

Z.JS5ßß'=180^-*-a
und ebenso

2(90
LA^2^2'LKSßA,

Diese Bemerkung dient zur Lösung der Aufgabe: Auf einer
Geraden sind drei Punkte A, JS, K gegeben. An die Strecke
AB als Koppel soll ein Gelenkviereck angeschlossen werden.

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Von Dr. R. Müller. 263

welches die sechspunktige Geradführung des Punktes K be-
wirkt (Fig. 6). Um ein solches Viereck zu bestimmen, zeichnen wir
über AB das gleichseitige Dreieck AB'^y machen

errichten in ^ zn ?ß2 das Lot 5ß3 und bestimmen den Schnitt-
punkt ^ der Geraden AB mit der Halbierungslinie des Winkels Ä^3.
Durch § ziehen wir zu ^S eine Parallele-, diese trifft ^A und ^B

Kg. 6.

bez. in A und B. Dann ist kBBA das gesuchte Viereck, und zwar
ist es gerade in derjenigen Systemlage gezeichnet, in welcher K eine
Bahnstelle mit sechspunktig berührender Tangente durchläuft. —
Halbieren wir statt des Winkels K^^ dessen Nebenwinkel durch die
Gerade ^§* und ziehen durch ihren Schnittpunkt §* mit AK eine
Parallele zu 5ß2, so entsteht das Viereck fCB*BA] die gestellte Auf-
gabe hat also zwei Lösungen.

14. Fortsetzung. In Figur 6 folgt aus dem Dreieck A^B nach
dem Satze des Menelaus:

^A $B B^ .

^ , . ^$A .BB '^$ ~^-

Dabei ist

B^ sin«

A^ 8in(60^ + a)'

setzen wir daher A-4 = a, BJB = 6, AB = c, so wird

sintf h{c — a)

31)

8in(6()"+a) a{c—b)

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264 Beiträge zur Theorie des ebenen Gelenkvierecks,

Im Dreieck B^§ ist ferner

^P , sin 60® sin 3 a

Aus den beiden letzten Gleichungen ergiebt sich durch Elimination
von a für die drei beweglichen Glieder a, b^ c die Beziehung:

(a^b^+ &«c»+ c^a»- dabc[a\b + c) + b\c + a) + c\a + 6)]

^^^ \ +16a'b^c'^0.

Bezeichnen wir noch die Länge des festen Gliedes AB mit rf, so
haben wir:

7 *Ä r»Ä / \ sin (60®+ a) / ,v sina

V ^ ^ ^ sin 3 a ^ ^ sin 3a

und hieraus folgt nach 31):

^ . j ^ a^h* + b*c^ + c'g« - abc(a + b + c)

^ Sähe

Analoge Beziehungen bestehen zwischen den Gliedern des Vierecks
A*B*jB^, nur mit dem Unterschiede, dass an Stelle von a und b die
negativen Längen der Glieder A*J-, B*B treten, weil diese Strecken
entgegengesetzte Richtung haben wie P^A, BB. Es gilt demnach über-
haupt der Satz: Hat ein Gelenkviereck die Eigenschaft, dass
ein auf der Koppel liegender Punkt eine Bahnkurve mit
sechspunktig berührender Tangente beschreibt, so genügen
die Längen seiner Glieder, mit geeigneten Vorzeichen ver-
sehen, den Gleichungen 32) und 33) — und umgekehrt.

In Figur 6 ist LA^K^30^+2a und folglich das Teilungs-
verhältnis des Punktes K in Bezug auf die Strecke AB:

^ AK ^ 8in(30H-2a)
^'"BK^ cos 2a

Aus dem Dreieck A?ßB folgt aber:

1 . j ' T- -r \ / cos 2 a

also wird:

oA\ d — a4-b

und diese Gleichung lässt sich auch umformen in:

34') l^-7^=^K-

15. Folgerungen aus den vorigen Gleichungen L Da die
Gleichungen 32) und 33) symmetrisch sind in Bezug auf a, t, c, so
folgt ohne weiteres der Satz: Bewirkt das Gelenkviereck ABjB-1
die sechspunktige Geradführung eines auf der Eoppelgeraden
liegenden Punktes Ä", so behält es diese Eigenschaft, wenn
die drei beweglichen Glieder A-4, AB, BB untereinander
beliebig vertauscht werden. Bilden wir aus dem Viereck ABB-4
zwei neue Vierecke A'B'JÖ'J.' und A"B"B"Ä\ indem wir

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Von Dr. R. Müller. 265

A'B'=A"B"=AB, K^Ä^N'Ä'^AB, B'B'- X"JS"« 82?

""^ ^'5'=B"ß"=A^

machen, so enthält jedes dieser Vierecke auf seiner Koppel einen
Punkt K' bez. K'\ der eine Bahnkurve x' bez. x" mit sechspunktig be-
rührender Tangente beschreibt. Dabei ist:

und

A" K" ^ ^ _ 1

Die Kurven x' und x" sind ähnlich zur Bahnkurve x des Punktes E.
Dies alles ergiebt sich übrigens auch unmittelbar aus dem Satze, dass,
wenn man bei einem Gelenkviereck die Koppel mit einem der Arme
vertauscht, die von den Punkten der neuen und der ursprünglichen
Koppel beschriebenen Bahnkurven einander paarweise ähnlich sind.*

II. Für a = ft geht die Gleichung 32) über in

(a - cy(a - 4c) = 0.

Die Annahme a ^ c führt nach 33) zu der unbrauchbaren Lösung
'/ = 0. Ist dagegen a «= 4c, so wird d = 3c und |li. = — 1, und wir
gelangen zu der bekannten Geradführung von Tschebischeff, bei
welcher der Punkt K in der Mitte der Koppel AB liegt. Wegen der
Gleichheit der Arme A-4 und BjB ist nach der Bemerkung in Art. 13
die hier erreichte Annäherung der Kurve x an die Gerade g verhältnis-
massig gering.

III. Der Annahme jii = 2 entspricht einerseits die in Art. 13 er-
wähnte genaue Geradführung mit a = d=Qo, 6 = — c, anderseits
folgt aus den Gleichungen des vorigen Artikels noch die Lösung
'^ = (r = 4a, rf = 3a. Diese geht aus der Tschebischeffschen Gerad-
fährung hervor, wenn wir bei dieser die Koppel mit einem Arme des
Vierecks vertauschen.

16. Alle Punkte des Wendekreises u\ — mit Ausnahme des
Pols und des Baiischen Punktes — befinden sich momentan in
Undulationspunkten ihrer Bahnkurven, wenn für die betrachtete
Systemlage der zweite Wendepol W2 mit dem Punkte ?ß identisch ist
(Art. 611). Hieraus ergeben sich folgende Fälle:

L Zufolge den Gleichungen 21) wird der Bedingung x^^y^^O
einerseits genügt durch die Annahme a = d = 90®. Dann liegt in
Figur 4 der Punkt B unendlich fem und das Gelenkviereck artet in
einen Schubkurbelmechanismus aus, bei welchem der Arm AX momentan
mit der Polbahnnormale zusammenfällt.**

* Vergl. z.B. Koenigs, le9onB de cin^matique , Paris 1897, p. 266.
•• AUievi a.a.O. S. 142.

Zeitochrift f. Mathematik u. Physik. 42. Jahrg. 1897. 6. Heft. ^%)igitized by GOOQIC

266

Beiträge zur Theorie des ebenen Gelenk\'iereck9.

IL Die Koordinaten von TTg verschwinden femer für « = y = 0,
/3 = 90^, und dann erhalten wir das in Figur 7 dargestellte Viereck,
dessen Koppel sich momentan in einer Totlage befindet nnd dabei auf
dem Arm KA senkrecht steht. Dabei sind ^ und die positive Polbahn-
tangente t bez. identisch mit A und ^A; ziehen wir also durch A zu

AB eine Parallele, welche
*'*«■'• AJS in ® schneidet, und

^^ e durch @ ein Lot auf iB,

so trifft dieses die Gerade iB
in TTj. Da auch W^ mit i
zusammenfallt, so ist der
Ball sehe Punkt K der Fuss-
punkt des Lotes von A auf
W^W^y folglich LW^AI
gleich dem Winkel, den \S\ ^^\
mit der negativen Polbahu-

tangente einschliesst, oder tan LW^AK = ^d^.

Bezeichnen wir nun die Glieder unseres Vierecks wie früher mit
a, 6, Cy d und setzen in der ersten der Gleichungen 24) 9 = a, a = 0
in der zweiten ()'= 6 + c, /3 = 90®, so folgt:

es ist also:

ifmLW^AK^

{b'+cr

Ziehen wir durch daher den Schnittpunkt % von AB und S W^ eine
Parallele zu ^B, durch B eine Parallele zu ^A und verbinden den
Schnittpunkt U beider Geraden mit Ay so ist K der Fusspunkt des
Lotes von W^ auf ^U.

In Figur 8 ist E ein beliebiger Punkt auf dem Kreise lr^
der vorigen Figur, also AE A_W^E. Der Punkt E beschreibt eine

Bahnkurve £, die in E einen Un-
dulationspunkt hat mit der Tan-
gente W^E. Machen wir

LE^^K^LEAB
und verstehen unter E^ den Schnitt-
punkt der Geraden BJS^ mit £^'1,
so ergiebt sich leicht, dass

LtKE^B^liO'^-LBEA

ist. Der Punkt E^ liegt also auf

dem Kreise, der über der Sehne AB

den Peripherie winkel BEA fasst und der bekanntlich durch die drei

Doppelpunkte der Kurve s geht. Konstruieren wir noch über A£i

und BJ?! bez. die Dreiecke fKE^A!y BE^B^ mit den Seiten Ail'««,

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Von Dr. R. Müller.

267

Fig. 8 a.

l\A!=EAy BB'^b, E^B^ =^EBj so lässt sich beweisen, dass
LB'E^A!=^ LBEA ist. Die Dreiecke ABE und A!B'E, sind also kon-
gruent; folglieh ist jfc\ ein Doppelpunkt von e. — In Figur 8 a ist die
Kurve b gezeichnet. Bringen wir die Koppel ^jB in die Lage A*B*^
die zu ^-ß symmetrisch ist in Bezug auf AB, so gelangen die Punkte
E und W^ nach E* und VF*, und dann ist W\ der erste Wendepol
und E* ein Punkt des ersten Wendekreises für die neue Sjstemlage,
also offenbar wieder ein Undulationspunkt von e mit der Tangente E*E^.
Wir erhalten somit den Satz: Wenn bei dem Gelenkviereck ABjB4
die Koppel AB in einer Totlage mit dem Arm fiiA einen
rechten Winkel bildet, so beschreibt jeder Punkt E des zu-
gehörigen Wendekreises tVj^ momentan einen Undulations-
punkt. Die Bahnkurve s des
Punktes E hat einen zweiten
Undulationspunkt E*, und die
Tangenten in beiden Punkten
schneiden sich in einem Dop-
pelpunkte E^ von £. — Ersetzen
wir den Punkt E durch den Baii-
schen Punkt K der Figur 7, so
hat die Gerade W^K fünf unend-
lich benachbarte Punkte mit der
zugehörigen Bahnkurve x gemein;
A" ist also gleichzeitig ein
Doppelpunkt der Kurve x,
weil die Tangente in K noch
durch den Doppelpunkt K^ geht,
der folglich mit K identisch ist.

17. Fortsetzung. III. In
Figur 9 ist fi^BBA ein durch-
schlagendes Gelenkviereck und AqBq eine Totlage der Koppel AB.
Zu dieser gehören bekanntlich zwei Pole ^^/^//, die Doppelpunkte
der Involution mit den Paaren A, Bq und B, Aq, und beiden entspricht
die Gerade AB als Polbahnnormale. Jeder Systempunkt E befindet
sich in der Totlage in einem „Sonderdoppelpunkte" Eq seiner Bahn-
kurve 6; diese hat ausserdem noch (Jrei „gewöhnliche" Doppelpunkte
E^jE^jE^ auf dem Kreise, der über der Sehne AB den Peripherie-
winkel BEA fasst. Liegt aber E auf dem ICreise k über dem Durch-
messer ^/^//, so vereinigen sich zwei gewöhnliche Doppelpunkte mit
dem Sonderdoppelpunkte Eq zu einem dreifachen Punkte der Kurve «.*
Im vorliegenden Falle sind die beiden Rollkurven symmetrisch in Bezug
auf die Gerade AB, die dem Pol ^/ entsprechenden Wendepole W^ TFj . . .

Ober die Doppelpunkte der Koppelcurve, diese Zeitschrift Bd. 36, S. 68.

18

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2(58 Beiträge 7aiy Theorie tles ebenen (lelenkvierecks.

liegen also sämtlich auf dieser Geraden (Art. 6, V). Bezeichnen wir
die Entfernungen der Punkte A, B, Äq, B^y W^, W^ . . . von ^/bez.
mit Q, q\ r, r\ y^, j/g . . ., so ist:

Vertauschen wir ferner in Gleichung 15) r, §,-, rji bez. mit.p, .r,^ //,
und setzen ^,= 0, 9 = 90®, so ergiebt sich:

Q^y^ -yi) + Q Vi {^!h - 3/A ) + '^y\ - o,

und eine analoge Gleichung gilt für q'\ wir erhalten demnach:

2/2

= 3 ,2(1. _i_M.

Soll daher der Punkt W^ mit ^^/^ zusammenfallen, so muss

.1=1 + 1
2/1 Q 9'

sein, oder nach 35): 211

y.^ 9'^r''

Nun sind aber ^/, *jß//, A, 2?o ^^^^ harmonische Punkte, also ist aucli

2 11

d.h. J/i = ^/^//, oder Tf^ identisch mit ^// und der Wendekreis u\
identisch mit dem Kreise Ä*. Fällt also in einer Totlage eines
durchschlagenden Gelenkvierecks der dem Punkte ^^/ ent-
sprechende Wendepol W^ zusammen mit 'iß//, so beschreiben
alle Punkte des Kreises u\ Undulationspunkte, und jeder
solche Punkt befindet sich gleichzeitig in einem dreifachen
Punkte seiner Bahnkurve.

Dieser Fall ist in Figur 9 dargestellt. Dabei sind die Punkte iv^
A, Aq beliebig angenommen, ^ri ist als der zugehörige Wendepol in
bekannter Weise konstruiert worden; B und Bq sind die vierten har-
monischen Punkte bez. zu ^/, ^/r, A^ und liß^, ^^//, A. Ein beliebiger
Punkt E des Kreises über ^/^f/ beschreibt die Bahnkurve £, die in
Eq einen dreifachen Punkt hat mit den Tangenten ^/£'o und "^riE^-
die letzte hat mit s vier unendlich benachbarte Punkte gemein. Ül)er-
dies berührt der durch A, B, Eq gehende Kreisbogen die Kurve s in
Eq und schneidet sie noch in einem Doppelpunkte, der hier ein iso-
lierter Punkt ist.

In der Systemlage, die Sßr zum Pole hat, ist dieser zugleich der
Bai Ische Punkt; seine Bahnkurve pr hat also mit der Geraden AB i»
5ß/ fünf unendlich benachbarte Punkte gemein und schneidet sie zum
sechsten Male wieder in ^^

IV. Hierher gehört endlich der früher behandelte Fall eines Ge-
lenkvierecks, dessen Koppel in einer bestimmten Lage auf den beiden

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Von Dr. R. Müllbr.

269

Armen senkrecht steht* Dann beschreibt jeder Punkt der Polbahn-
tangente, in welche hier der Kreis w^ ausartet, einen Undulationspunkt
mit Ausnahme des Baiischen Punktes K, der wiederum zugleich ein
Doppelpunkt seiner Bahnkurve ist. Sind überdies die beiden Arme
einander gleich, so ist K der Mittelpunkt der Koppelstrecke. (Fünf-
punktige Geradführung von Watt.)

Aus den letzten Darlegungen folgt weiter, dass für keine Koppel-
lage eines eigentlichen Gelenkvierecks gleichzeitig der Punkt W^ mit
^ und Wq* mit W^ zusammenfallen kann; es können also nicht alle

Flg 9.

Pi

Punkte von tv^ zugleich Bahnstellen mit fünfpunktig berührender
Tangente durchschreiten.

18. Der Pol als Systempunkt. Polkurve und Übergangs-
kurve. Nach Art. 9 beschreibt der Punkt 5ß im allgemeinen eine
Schnabelspitze mit endlichem Krümmungsradius r, wenn für die be-
trachtete Systemlage //g -= 0 ist. Nun verschwindet y« entweder, wenn
y = 0, oder wenn d == 90® ist. Im ersten Falle muss auch a (oder ß)
gleich Null sein, und dann ist 'iß identisch mit dem Punkte Ä^ der
einen Kreis um A durchläuft und sich augenblicklich in einem Umkehr-
punkte seiner Bahn befindet. Es bleibt somit nur die Bedingung Ö -- 90®,
d.h. der Systempunkt ^ beschreibt eine Schnabelspitze, wenn

* Konstruktion der Burinester sehen Punkte u.s.w., zweite Mitteilung 8.11:5,
vergl. auch Allievi S. 148.

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270

Beitrüge zur Theorie des ebenen Gelenkvierecks.

die Gerade^^ auf dem festen Gliede AB senkrecht steht (Fig. 10).
Dann ist nach Gleichung 19):

und aus 24') ergiebt sich
sin y

7 sin y

*^^ smasmpcosy

^3 = - 3yi -ii^^inT^S^ [cos(a - ^)cosy - sm(a + ß) siny],

also wird nach 17):

?/i

cos a cos ß

1 -f tau a tan ß — (tan a -f tan ß) tan y

FJg 10.

Um daher den Krümmungsmittelpunkt ÜR zu konstruieren, ziehen
wir die Geraden A2)_L ^^JA, BS)_L^B; dann ist ^S) die positive Pol-
bahntangente t. Bestim-
men wir ferner die Schnitt-
punkte 6, S, 5 von ^$
bez. mit den Geraden
AK J. ^B, sowie AS und
B^ A. AB, machen auf
$ß(J die Strecke

und ziehen durch § zu
®2) eine Parallele, so
trifft diese t in SW. Der
zugehörige Krümmungs-
kreis hat in Sß mit der
Kurve p fÖnf zusammen-
fallende Punkte gemein:
er schneidet sie folglich
noch in einem reellen
.. '^ Punkte.

Der Krümmungsradius r wird unendlich gross, wenn
_ 1 + tan« tan ß _ ]3S _
^^^ ^ t^nä + tliiß ~ ^A-f§B

ist. Der Punkt ^ hat dann wieder das Aussehen einer gewöhnlichen
Spitze der Kurve p, aber mit fünf punktig berührender Tangenten.

Berechnen wir in Figur 10 den Winkel cc aus den Seiten a, 6, c. 'I
des Gelenkvierecks, so finden wir eine Gleichung sechsten Grades für
sin a. Diese bestimmt zwölf Lagen des Armes BB, die paarweise in
Bezug auf AB symmetrisch sind, und jeder von ihnen entspricht eine
Koppellage, für welche ?ߧ senkrecht steht auf AB. Bei jedem Ge-
lenkviereck giebt es also im allgemeinen zwölf Koppellagen,
für welche der Pol eine Schnabelspitze beschreibt.

Das soeben erhaltene Resultat steht in Zusammenhang mit der
früher behandelten Frage nach der Gestaltung aller Bahnkurven, die

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Von Dr. R. Müllbr. 271

von den sämtlichen Punkten der Koppelebene beschrieben werden *
Wir haben als Übergangskurve q der bewegten Ebene den Ort der-
jenigen Systempunkte bezeichnet, welche Bahnkurven mit zwei zu-
sammenfallenden Doppelpunkten beschreiben; die Kurve q ist von der
zehnten Ordnung und hat Doppelpunkte in Ä und B und vierfache Punkte
in den imaginären Kreispunkten. Andrerseits befinden sich alle die-
jenigen Systempunkte, deren Bahnen eine Spitze enthalten, auf der
Polkurve p, einer bizirkularen Kurve achter Ordnung mit vierfachen
Punkten in Ä und B. Die Kurven p und q zerschneiden die Koppel-
ebene in eine Anzahl von Feldern in der Weise, dass alle Punkte
desselben Feldes Bahnkurven beschreiben, die in Bezug auf ihre
Doppelpunkte denselben Charakter besitzen. Nun entsteht eine Schnabel-
spitze aus der Vereinigung eines Knotenpunktes mit einer gewöhn-
lichen Spitze; demnach liegt jeder Punkt X der Koppelebene, der eine
Bahnkurve mit Schnabelspitze erzeugt, zugleich auf den beiden
Kurven p und q. Den Systempunkten auf q zu beiden Seiten von
X entsprechen Bahnkurven mit drei Doppelpunkten, von denen zwei
zu einem Selbstberührungspunkte vereinigt sind. Jeder von diesen
letzten zwei Punkten hat also für sich den Charakter eines Knoten-
punktes, und nur für die Stelle X wird einer von ihnen zur Spitze.
Wir schliessen daraus, dass wir beim Durchlaufen der Übergangskurve
in X die Polkurve nicht überschreiten, denn andernfalls würde sich
hierbei ein Knotenpunkt in einen isolierten Punkt verwandeln. Die
Kurven p und q berühren sich demnach in X. Da nun beide Kurven
von den Punkten A und B und den imaginären Kreispunkten ab-
gesehen noch 8 • 10 — 4-8 = 48 Punkte gemein haben, so ergiebt sich der
Satz: Die Übergangskurve und die Polkurve berühren sich in
den zwölf Punkten, welche Bahnkurven mit Schnabelspitze
beschreiben, und sie schneiden sich überdies noch in vier-
undzwanzig Punkten. Ein solcher Schnittpunkt beschreibt eine
Bahnkurve mit einem Selbstberührungspunkt und einer Spitze.

* Über die Doppelpunkte der Koppelkurve, diese Zeitschrift Bd. 34 S. 303
und 37-2.

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Anwendung der Integralkurve zur Volumteilung.

Von

Ern8t Brauer

in Karlsruhe.

Die zeichnerische Beschäftigung mit der Integralkurve neben dem
Studium der Differential- und Integralrechnung ist sehr geeignet, die
Schwierigkeiten überwinden zu helfen, welche dem Anfanger die Grund-
begriffe dieser Wissenschaft bereiten.

Als Übungsbeispiel hierzu eignet sich u. a. die Aufgabe, fOr ein
durch Zeichnung gegebenes Gefäss von der Form eines Rotations-
körpers den Rauminhalt zu bestimmen und durch Horizontalebenen in
eine gewisse Anzahl, z. B. zehn, gleiche Teile zu teilen.

Sind X und y die in der Figur eingeschriebenen Koordinaten eines
beliebigen Punktes A der Meridianünie, V d^s den Koordinaten ent-
sprechende Teilvolum, so ist:

1) dV^nx^dy,

Ersetzt man x^ durch das Rechteck aw, dessen Seite a fSr alle
X konstant, dessen u aber mit x veränderlich ist, so kann xn, nach der
Gleichung:

2) .^- = ^
^ X a

mittels ähnlicher Dreiecke konstruiert werden, und man erhält in der
Form:

V = 7ta I uc

3) V = 7ca I udy

0

das Volum dargestellt als Prisma von der Höhe na und einer Grund-
fläche, welche dem Integral entspricht.

Wird nun auch diese Fläche in ein Rechteck von der konstanten
Basis 6 und der mit y veränderlichen Seite v verwandelt, d. h.:

4) / u dy =- h V

0

gesetzt, wonach auch

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Von Ernst Hhaueu.

öj
so folgt aus 3) und 4):

6)

dv u
ihj ~ h'

V -=> nabv.

273

Das Teilvolum V ist hiernach, da nah konstant, mit v direkt
proportional, und, wenn zu jedem y der Wert von v bekannt ist, so
kann auch für die gleichmässig abgestuften V oder v die entsprechende
Höhe y gefunden werden.

Die Konstruktion zerfallt in die punktweise Verzeichnung der
abgeleiteten Kurve mit den Koordinaten y und ii und in die Zusammen-

setzung der Kurve (//, v) als Integralkurve zu (y, u) aus tangentialen
Elementen.

Für die erste Aufgabe dient als Grundlage Gleichung 2). Pro-
jiziert man den beliebigen Punkt A der gegebenen Kurve (x, y) auf
die X-Axe nach J?, trägt auf der F-Axe die beliebig gewählte Strecke
(i als CD auf, zieht femer durch A unter 45® die Linie AE und
durch E die Parallele zu BD, so schneidet diese auf der Horizontalen
durch A den Punkt F an als Punkt der (y, w)- Kurve; denn es folgt
aus der Ähnlichkeit der Dreiecke FixE und BCDi

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274 Anwendung der Int-ej^ral kurve zur Volurateilung.

FG:GE==BC:GD,

was mit Gleichung 2) identisch ist.

Die Konstante hj deren man für die Konstruktion der lutegral-
kurve bedarf, ist willkürlich. Sie kann sonach gleich a gesetzt werden,
was in unserer Zeichnung geschehen ist. Projiziert man F auf die
Horizontale durch D nach H und verbindet H mit C, so ist:

HD:GD^ u : b,

sonach muss das in der Horizontalen durch Ä liegende Element der
Integralkurve mit Rücksicht auf Gleichung 5) die Richtung von HC
haben. In derselben Weise bestimmt man die Tangentenrichtung der
Integralkurve für eine hinreichend grosse Zahl von Punkten der yti-Kurre
und setzt durch Ziehen von geradlinigen Elementen parallel zu den
entsprechenden CH die vollständige Kurve zusammen. Als beliebiger
Anfangspunkt hierbei ist C gewählt worden. Die Strecke JK ist der
Wert V für den ganzen Gefässinhalt. Dieser ist sonach:

Teilt man JK in zehn gleiche Teile, zieht durch die Teilpuukte
senkrechte Linien bis zur Integralkurve und durch die Schnittpunkte
horizontale Linien, so sind diese die linearen Projektionen der ge-
suchten Teilebenen.

Nach Gleichung 6) kann man natürlich auch für einen beliebigen

Wert von V die Strecke

_ V
nah

berechnen und dazu mit Hilfe der Integralkurve das entsprechende //
suchen, d.h. angeben, wie hoch die Flüssigkeit steht, wenn ihr Volum
gegeben ist.

Die Aufgabe lässt sich durch die Form der gegebenen Profilkurve
sehr variieren, mehr noch durch Neigung der Axe oder durch Auf-
geben der Rotationsform. In diesem Falle wird die Aufsuchimg der
(y?/)- Kurve, deren u den horizontalen Querschnitten proportional sein
müssen, eine viel verwickeitere Aufgabe, die am besten mit dem Plani-
meter gelöst wird.

Technische Anwendung findet die behandelte Aufgabe, abgesehen
von der Calibrierung von Messgefdssen, Büretten u. s. w. im grossen,
wenn es sich darum handelt, Wasserbehälter von mehr oder weniger
unregelmässiger Form zu füllen oder zu entleeren. Bei gleichmässigeni
Zu- oder Abfluss entsprechen die Horizontalebenen gleicher Volum-
abschnitte auch gleichen Zeitabschnitten.

Für schwimmende Gefiisse findet sich in gleicher Weise die
Tauchtiefe für gegebene Wasserverdrängung, d. h. für bestimmte Be-
lastung.

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Von Ernst Braukk. 275

Auch in der Turbinen theorie hat die Aufgabe praktische An-
wendung, sofern man die Lagen, in welche eine materielle Ebene in
einem Turbinenkanal nach gleichen Zeiten gelangt, angenähert durch
Einteilung der ganzen Kanalfülle in Abschnitte gleichen Volums be-
stimmen kann. Aus diesen Lagen lassen sich näherungsweise die
Wassergeschwindigkeiten, ferner die Beschleunigungen und danach die
Verschiedenheiten des Druckes in den einzelnen Punkten, z.B. auch die
Flachen gleichen Druckes sowie die für die Triebkraft massgebenden
Unterschiede des Druckes auf Rücken- und Brustfläche der Schaufeln
ermitteln.

Über Nachbargebiete im Ranme.

Von Paul Stäokel in Kiel.

Wenn man ein System von Gebieten auf einer Oberfläche, deren
jedes an jedes andere grenzt, und zwar immer längs einer Linie, nicht
bloss in Punkten, Nachbargebiete nennt, so entsteht die Frage, welches
die Maximalzahl der Nachbargebiete auf einer Fläche von gegebenem Ge-
schlechte ist.*

Ganz entsprechend wird man im Raum e ein System von dreifach
ausgedehnten Gebieten, deren jedes an jedes andere grenzt, und zwar
immer längs einer Fläche, nicht bloss in Punkten oder Linien, Nachbar-
gebiete nennen, und es wird abermals die Frage nach der Maximalzahl
der Xachbargebiete entstehen. Während jedoch bei zweifach ausgedehnten
Mannigfaltigkeiten diese Maximalzahl eine bestimmte, endliche Zahl ist^
lässt sich zeigen, dass man im Räume beliebig viele Nachbar-
gebiete konstruieren kann.

Um dies nachzuweisen, denke ich mir eine Ebene beliebig in n ge-
trennte Gebiete geteilt und senkrecht über diesen Gebieten Cylinder kon-
struiert, die durch eine zweite parallele Ebene begrenzt werden. Diese so
begrenzten Cylinder mögen der Reihe nach mit 1, 2, 3,..., w bezeichnet
werden. Ihre oberen Endflächen teile man in je n — 1 getrennte Gebiete,
die beim v*®" Cylinder die Nummern:

1, 2,. . ., 1/-1, v + 1,. . ., n

tragen sollen. Jetzt verbinde man diese Gebiete auf der oberen Endfläche des
yteo Cylinders durch schlauchartige Gebilde mit denjenigen Gebieten der w— 1
übrigen Cylinder, welche die Nummer v tragen. Indem man dieses Ver-

* Man vergleiche die Abhandlung: Über das Problem der Nachbar-
^^♦'biete von L. Heffter (Mathematische Annaion, Bd. 38, 1891, S. 477— 508), wo
auch die weitere Litteratur über den Gegenstand angegeben ist.

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276

Kleinere Mitteilungen.

fahren für alle Werte v = 1, 2, . . ., « durchführt und darauf achtet, dass
die Schläuche getrennt voneinander verlaufen, erhält man

2 ^('^ - 0

Verbindungsräume, in deren Mitte man immer eine Scheidewand anbringen
kann. Jeder der n Cylinder bekommt somit n — 1 Auswüchse , die zu ihm
gerechnet werden sollen, und es ergeben sich so n Gebiete im Räume,
von denen jedes mit jedem eine Grenzfläche, nämlich eine jener

\n{n-l)

Scheidewände, gemeinsam hat. Mithin
ist die Anzahl der Nachbargebiete im
Räume beliebig gross.

Will man zu einer endlichen An-
zahl von Gebieten gelangen, so mus&
man eine weitere Beschränkung hin-
zufügen. Eine solche Beschränkung
könnte etwa darin bestehen, dass die
Nachbargebiete lauter konvexe Poly-
eder sein sollen. Einer Mitteilung von
Herrn Heffter, dem ich diese Aufgabe vorlegte, entnehme ich, dass in
der Ebene vier konvexe Polygone Nachbargebiete sein können. Die ent-
sprechende Konstruktion im Räume ergiebt fünf Nachbargebiete der ver-
langten Art. Es scheint, als ob es nicht mehr giebt; jedoch ist mir ein
strenger Beweis hierfür noch nicht gelungen.

Über einen Mechanismus, dnrch den ein beliebiger Winkel

in eine beliebige ungerade Anzahl gleicher Teile geteilt

werden kann.

Von A. Korselt iu Meerane i. S.

Man nennt die Auflösung einer geometrischen Aufgabe nur dann ek
mentargeometrisch , wenn sie mit Zirkel und Lineal geschehen kann. Di^
Gründe dafür sind rein praktische. Diese Werkzeuge sind die denkbar ein
fachsten und daher genauesten und sind für den Mittel Schulunterricht
mehr als ausreichend. An sich aber kann jede Auflösung geometrisch ge-
nannt werden, die durch Modelle auf Grund geometrischer Sätze in der
Theorie absolut, in der Praxis hinlänglich genau ausgeführt werden kann.
Der Begriff „geometrische Lösung" hängt also von den Fortschritten der
praktischen Mechanik ab, und Probleme, die zur Zeit nicht elementar lös-
bar sind, können es durch Konstruktion geeigneter Instrumente werden.

Ein Beispiel ist die Vielteilung eines beliebigen Winkels, wovon di^
Dreiteilung besonders berühmt geworden ist. Nur für diesen Fall waren

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Kleinere Mitteilungen.

277

bis vor kurzem Lösungen bekannt. Sie erfordern die Konstruktion einer
nicht elementaren Kurve, sei es eines Kegelschnitts oder einer höheren
Linie. Das ist umständlich und ungenau, also ohn^ praktische Be-
deutung. Nur die in dieser Zeitschrift Bd. 38, litterarische Abteilung S. 37
beschriebene Vorrichtung von Pegrassi macht eine Ausnahme.

Neuerdings hat aber der Stadtrat Herr Dr. jur. Clauss in Meerane
einen Mechanismus zur beliebigen Ungeradteilung eines beliebigen Winkels
konstruiert und für die Drei- und Fünfteilung wirklich herstellen lassen,
«ler nach meiner Erfahrung in diesen beiden Fällen hinlänglich genau
arbeitet Der Erfinder hat ihn als Gebrauchsmuster unter der Bezeichnung
„der Clauss sehe Winkel'^ beim kaiserlichen Paten tamte angemeldet.

Das Instrument besteht aus einem in seinem Scheitel beweglichen
Winkel, zwischen dessen Schenkeln verschiebbare Verbandstücke so an-
gebracht sind, dass je zwei der-
selben stets Winkel bilden , die der
Reihe nach das Drei -, Fünf-, Sieben-
u. s. w.- fache des ersten Win-
kels sind.

Wenn man, wie in neben-
stehender Zeichnung, auf den
beiden Schenkeln eines Winkels
-1 = of gleiche Strecken ÄB^ und
AB^ je = rt abtragt und mit der-
selben Länge von den Endpunkten
aus je den anderen Schenkel des
Winkels a in C^ und C\ durch-
schneidet, so ist der Winkel a^
der letzteren Geraden gleich 3 a.
Macht man dieselbe Konstruktion
von (.\ und C^ aus, so ist

<)Z OTj = 5« U.S.W.

Der Beweis ist durch Aussen-
™kel zu führen.

In der Vorrichtung sind nun
die Punkte B^ und B^ festgelegt,
die Längen B,C,, B,C\, C\D,,
^\J\ u. s.w. dagegen verschieben
ihre Endpunkte bei einer Ver-
änderung des Winkels a von selbst
anf den Schenkeln.

Wird der Schenkel AB^ festgehalten, der andere bewegt, so be-
schreiben die Punkte M^M^^ . , . algebraische und zwar unikursale Kurven

°"^ ^'ö ^Is Parameter. Die Kurve von M^ bestimmt sich z.B. aus den

Gleichungen (A Ursprung, AB^ positive x-kxe des Koordinatensystems):

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278 Kleinere Mitteilungen.

{B,M,) _l_ = tg2<..

Schafft man hieraus vermittelst der bekannten Beziehung:
. . 4w(l-w«)

den Winkel a heraus und lässt die triviale Lösung 2/ = 0 ausser Betracht,
so erhält man als Gleichung des gesuchten Ortes:

Durch das beschriebene Instrument sind alle Dreieckskonstruktionen
aus Seiten, Höhen, Mittellinien, Badien des Umkreises, der In- und An-
kreise, aus inneren und äusseren Winkelhalbierenden lösbar. Nur die
inneren Winkelhalbierenden für sich machen eine Ausnahme (eine Mitteilung
des Verfassers hierüber wird im nächsten Hefte dieser Zeitschrift erscheinen.'.
Der praktische Zeichner (z. B. Musterzeichner oder Omamentenzeichner) wird
damit beliebige Kreisbogen teilen und so leichter Verzierungen entwerfen
können.

Zur Theorie der Gleichung - ;"? =- rr Ago ciuf Grand

der Kirchhoffschen Gleichung für das Huyghenssche

Prinzip.

Von J. Jung in Prag.

Nach dieser Gleichung giebt alle, gewisse Stetigkeitsbedingungen er-
füllende Lösungen von

in einem Raumteil T mit der Begrenzung s das Integral:

;ip(,_'-)_'!'ft;iil-i«(,_£))

Cn \ (1/ ar cn et r ^\ «//

wo P, Q bloss alle diejenigen Paare von mit t veränderlichen Wert-
verteilungen über s zu sein brauchen, bei denen

2) (^,=.0

für alle Punkte 0 ausserhalb T.

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Kleinere Mitteilungen.

279

Triflft 2) Dicht zu, dann giebt 1\ Q durch cp^ zwar auch stets eine
Lösung von 1) im ganzen Räume, aber in T nichts Neues gegenüber den
Paaren gemäss 2). — Die Werte (Pq ausserhalb T sind die stetige Fort-
setzung der inneren, falls nicht P = 0.

Dies und die weiteren Betrachtungen sind Nachbildungen der Poin-
c areschen über die Gleichung:

Ag) + k^(p = 0.

(„Mathematische Theorie des Lichtes", übersetzt von G um lieh und
Jaeger, 1894, S. 73 flg.)

Denn sind J = const. , iy = const. zwei rechtwinklige Kurvenscharen
auf s^ und ist a ein Punkt unendlich nahe dem 5 -Punkte y auf deren
Normale ausserhalb T und ß ein solcher in T, so gilt beim Überschreiten
von s:

3j

\ v^PÖriicn'' ) ß \ d^PdrjQ'dnr Ja

wo

ö:=

dt''

0^

Dabei ist 6^P=^1\ 3) ergiebt sich, wenn nach Herleitung von

— unter ^ = 0 in 3) enthalten — die Unabhängigkeit des A vom
Koordinatensystem und der Bestand von l) für cp^ beiderseits von s be-

achtet wird. -^ z. B. links in 3) bedeutet die Differentiation in der Rich-
tung parallel der Tangente an i^ = const. durch y.

4) zeigt, dass 2) nicht bloss notwendig, sondern auch hinreichend ist
zu stetiger Fortsetzbarkeit eines gegebenen P gemäss 1) in T hinein derart,
dass der Differentialquotient der Fortsetzung nach n längs s zur gegebenen
Wertverteilung Q wird. Denn beim Bestand von 2) verschwinden die
Subtrahenden links in den Gleichungen 4).

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280

Kleinere Mitteilungen.

Aufgabe 2 *

Von C. B.

Der gewölbte, einen Umdrehungskörper bildende Boden — vergl. Ab-
bildung — schliesst einen Hohlcjlinder von der Lichtweite 2(a + ^)f mit
dem er durch Nietung verbunden ist, ab. Die Meridianlinie der InnenflSche
des Bodens setzt sich zusammen: aus den zwei Kreisbögen von den Halb-
messern B bezw. r und aus einer Geraden, welche im Abstände a von der
Umdrehungsaxe liegt und den Kreisbogen vom Halbmesser r berCQirt. Die

I / /

Wandstarke des Bodens ist s. In dem Hohlcjlinder befindet sich eine
Flüssigkeit von der Pressung Pikg/qcm^ ausserhalb desselben eine solche
von der Pressung jp«, sodass der Boden einem inneren Überdruck j;,- — j)^
ausgesetzt ist.

Es wird verlangt:

1. Bestimmung der elastischen Fläche, in welche die ursprüngliche
Mittelfläche unter Einwirkung von Pi und Pa übergeht,

2. Die Ermittelung der Anstrengung des Bodens an einer beliebigen
Stelle,

3. Bestimmung des Ortes und der Grösse der stärksten Inanspraeh-
nähme, welche in dem Boden auftritt.

* Vergl. Anmerkung 3, Heft 1, S. G3 dieses Bandes.

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liiiiiiii^ürtiu'r's BiicliliaiKÜiin^. Lt^pzig.

•I« llnrlth«ni1lnnr

Die Geuuiuliic der Lage.

Vortritg« vun IVaf-I>r/rh* llfvi», tird^ Prii(pü'«cir au dtr iit

Verlag von B. G. Teubnsr in Leipzig.

•**

Hettner's Geographische Zertschrift

■ouniek 1 litlt «in circi 60 Stilen. Hilbjikrlict t MI.

Jedem Gebtldeteo wie allen Scbuleo
ABS dem Inhalt der letzten Hefte:

'eil Von Ftfll. Or. E. Die deutSGlteii BeograpliM dir U^

italmace. Vdei Dr. V. Müuh.

i! ^' : 'i (IT ilir Sckate. Dte uum Fvrscliiitgeii übfir die

Vgj iU ; .uj.i;]u. (oraltstrina. VanOr.il.URBejtbeGt

|tit»trf MHIeriiiffiieii GeagrapliUchft Neuigkeiten BKliertiaspreGliungen

llngisaiKttfi Bütliar, Atifsäfie und Rsrleo leitsflirlttenscliaii.

p. , ,.L.i rjij Probehefte gratis und franko

Väi.»fiA»fnetit» ocftrtian jll« t''aif1:inii(»rtim umJ Bur.hH^ifiJiunuwf) an.

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Fr. Hutenlieimer,

Vierte v^rbeAverte Auflage*

Mit 1Ä7 AUUiliJMnji,^rn

OCCENDORFF* Z™,'
Haiidworterliuch srt;,;;

der ixacier «issmchalten. !h'f y'^uT^'^uu '

An die Herren Hitajbeiter iitfd lieser!

Bei Beendigung des vorliegenden Bandes der „Zeitschrift für
Mathematik und Physik" empfinde ich es als eine angenehme Pflicht,
den verehrten Mitarbeitern für ihre mir so wertvolle Unterstützung
meinen aufrichtigen Dank zu sagen. Möchte mir dieselbe auch künftig
IQ gleichem Maße zu teil werden!

Als ich nach dem bedauerlichen Rücktritte des hochverdienten
Begründers dieser Zeitschrift, des Herrn Geheimrat Schlömilch, die
Leitung des ersten Teiles derselben übernahm, geschah es mit der
Absicht, der Zeitschrift allmählich eine entschiedene Richtung nach
der Seite der angewandten Mathematik zu geben. Es hatte ja bis
dahin an einem Organ für die mathematische Exekutive (um einen
Ausdruck des Herrn Klein zu gebrauchen), wie für die Anwendungen
der Mathematik im allgemeinen und auf Probleme der Technik im
besonderen gefehlt, und wenn die in den letzten Jahren mehrfach zu
Tage getretenen Bemühungen, ein solches ins Leben zu rufen, trotz
des von allen Seiten anerkannten Bedürfnisses ohne Erfolg geblieben
waren, so durfte daraus wohl die Lehre gezogen werden, dass es
besser sei, an eine bestehende Zeitschrift anzuknüpfen, als den in so
öbergrosser Zahl vorhandenen mathematischen Zeitschriften eine neue
hinzuzufügen. Es erschien aber auch „Schlömilchs Zeitschrift '^ hierzu
besonders geeignet, weil darin das numerische Rechnen, die darstellende
Geometrie mit Schattenkonstruktion und Perspektive, die Kinematik etc.
von jeher gepflegt worden sind, mithin zwar das bisherige Gebiet durch
Einbeziehung der technischen Mechanik (im weitesten Sinne) erweitert
werden musste, sonst aber in der Hauptsache nur schon Bestehendes
auszubauen und zu vertiefen war. Hierauf besonders hinzuweiseo,
wurde aus verschiedenen Gründen bis jetzt unterlassen, erscheint aber
nunmehr geboten, nachdem mehrere namhafte Techniker sowohl als
auf den bezeichneten Gebieten th'atige Mathematiker als Mitarbeiter
gewonnen sind und so die Durchführung jener Absicht als gesichert
anzusehen, auch in dem jetzt abgeschlossenen Bande bereits dieser und
jener Schritt in der angestrebten Richtung zu bemerken ist.

Es erübrigt noch, einige damit im Zusammenhang stehende be-
sondere Maßnahmen zu erwähnen. Vom nächsten Bande an sollen

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regelmässig Verzeichnisse der in technischen Zeitschriften erschienenen
Abhandlungen mit vorwiegend mathematischem oder physikalischem
Inhalte gebracht werden, wozu die Verlagsbuchhandlung mit dankens-
werter Bereitwilligkeit den nötigen Raum zur Verfügung gestellt hat.
Femer beabsichtige ich, die Leser der Zeitschrift über die neuesten
Fortschritte auf dem Gebiete der Rechen- und Zeichen -Apparate auf
dem Laufenden zu erhalten und zur Verbreitung der neueren Methoden
des graphischen Rechnens, insbesondere der Herstellung graphischer
Tafeln, nach Kräften beizutragen. Wie schon in diesem Bande
versuchsweise geschehen ist, sollen auch künftig aus der Praxis
stammende Aufgaben gestellt werden, nicht bloss um die Mathematiker
überhaupt zur Beschäftigung mit solchen anzuregen, sondern um die-
selben der Lösung entgegenzuführen, wenn letztere für die Technik ein
wirkliches Bedürfnis ist, aber besondere mathematische Kenntnisse und
Gewandtheit in der Handhabung mathematischer Werkzeuge erfordert,
also die Mitwirkung der Mathematiker von Fach wünschenswert er-
scheinen lässt.

Es versteht sich von selbst, dass bei alledem die reine Mathematik
nicht ausgeschlossen zu werden braucht und den Bedürfnissen des
Unterrichts eher in erhöhtem Maße Rechnung getragen werden kann.

Stuttgart, Ende 1897.

B. Mehmke.

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Der kubische Kreis mit Doppelpunkt.

Von

Dr. Chk. Beyel

in Zürich.

Ein Kreis wird bekanntlich durch zwei projektivische Büschel
hervorgebracht, für welche der Winkel von zwei Strahlen des einen
Büschels der Grösse und dem Sinne nach gleich dem Winkel der ent-
sprechenden Strahlen ist. Eine Verallgemeinerung dieser Erzeugungs-
weise führt zu Kurven n^^ Ordnung mit einem n — Ifachen Punkte.
Wir untersuchen unter diesen Kurven eine solche von der dritten Ord-
nung, welche als eine der einfachsten Typen einer Kurve dritter Ord-
nung betrachtet werden kann. Wir stellen diese Kurve mit Hilfe von
Zirkel und Lineal dar und leiten dabei eine Reihe von Eigenschaften
ab. Um uns bei dieser Darstellung einfach ausdrücken zu können,
woUen wir die Kurve mit K^ bezeichnen und kubischen Kreis mit
Doppelpunkt nennen. Der Gang unserer Überlegungen wird zeigen,
dass dieser Name durch manche Analogien der Kurve mit dem Kreise
gerechtfertigt wird.

Wir schicken unserer Untersuchung einige Bezeichnungen voraus,
welche oft wiederkehrende Gebilde durch ein Symbol auszudrücken
gestatten. Wir bezeichnen mit:

Sb, Sd Strahlenbüschel mit den Scheiteln JB, D. &, d seien resp.
Strahlen der Büschel.

(D), (E) seien Kreise mit den Mittelpunkten D, B.

(D) Ä sei ein Kreis durch Ä, dessen Mittelpunkt D ist.

(D) a sei ein Kreis aus D, welcher die Linie a berührt.

\A], [ÄE\, [ABC] seien Kreise durch Ä, AB, ABC,

[Aa] sei ein Kreis, der a in A berührt.

[ABb\ sei ein Kreis durch A und jB, welcher b in B berührt.

Jg sei eine Punkteinvolution auf der Geraden g.

Ja sei eine Strahleninvolution am Scheitel D.

Zeitschrift f. Mathematik u. Physik. 42. Jahrg. 1897. 6. Heft Ittigitized by GOOQIC

282

Der kubische Kreis mit Doppelpunkt.

I.

1. Wir gehen von zwei Strahlenbüscheln Sa und St, aus. Wir ordnen
die Strahlen der Büschel in der W^eise einander zu, dass je zwei
Strahlen des Büschels St, einen Winkel einschliessen, der gleichgerichtet
und doppelt so gross ist wie der Winkel der entsprechenden Strahlen
des Büschels Sj. Diese Zuordnung wird durch ein entsprechendes
Paar d, h bestimmt. Wir. beweisen, dass sich entsprechende Strahlen
beider Büschel in Punkten einer Kurve dritter Ordnung schneiden und
diese Kurve ist K^ (Fig. 1).

um den Beweis zu führen, legen wir durch den Schnittpunkt V
von d und b einen Kreis [DPh], welcher durch D geht und h in P

berührt. Wir benutzen diesen Kreis zur Konstruktion weiterer Strahlen-
paare der Büschel. Soll etwa zu d^ der entsprechende Strahl h^ ge-
funden werden, so zeichnen wir im zweiten Schnittpunkte von rfj mit
[DPb] die Tangente t Wir ziehen durch B eine Parallele zu t Diese

ist b^ weil

<):dd,.

^):ht=^^<):

bby

Suchen wir zu b^ den Strahl d^, so ziehen wir an [DPb] die
Tangenten, welche parallel b^ sind und zeichnen ihre Berührungspunkte.
Durch jeden dieser Punkte und D geht ein Strahl, welcher b^ ent-
spricht.

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Von Dr. Chr. Bky-el. 283

Aas dieser Konstruktion schliessen wir, dass jedem Strahle rf ein
Strahl h entspricht. Jedem Strahle b korrespondieren aber zwei Strahlen
von Sj. Die zwei Büschel stehen also in einer einzweideutigen Be-
ziehung. Folglich ist der Ort der Schnittpunkte entsprechender Strahlen
eine Kurve dritter Ordnung. D ist ein Doppelpunkt; B ist ein ein-
facher Punkt von K^.

2. Wir ziehen aus der Darstellung von K^ mit Hilfe von [DPb]
einige Schlüsse. Jeder Durchmesser m von [DPh] schneidet diesen
Kreis in zwei Punkten, deren Tangenten zu einander parallel sind. Der
Parallelstrahl b* durch B zu diesen Tangenten entspricht also den
zwei Strahlen d*, rf/, welche durch die Berührungspunkte der Tan-
genten gehen. Dreht sich m um den Mittelpunkt M von [DPb], so
bilden die Strahlenpaare d*dy^* eine Rechtwinkelinvolution t/^. Ihre
Paare sind durch K^ den Strahlen des Büschels S^ eindeutig zugeordnet.
Wir charakterisieren diese Zuordnung näher, indem wir sie für die
Doppelstrahlen von J^ untersuchen. Im allgemeinen entsprechen ihnen
Strahlen durch B, welche in den resp. Schnittpunkten mit den Doppel-
strahlen die Kurve K^ berühren. In unserem Falle schneiden diese Doppel-
strahlen den Kreis [DPb] in den imaginären Kreispunkten. Ziehen
wir durch B zu den Tangenten in diesen Punkten die Parallelen &*,
so gehen sie ebenfalls durch die imaginären Kreispunkte und treffen
also in diesen die entsprechenden Strahlen d*. Folglich berühren die
Geraden 6* die Kurve K^ in den imaginären Kreispunkten. Wir
schliessen daher:

Ordnen wir die Paare einer Rechtwinkelinvolution den
Strahlen eines Büschels in der Weise eindeutig zu, dass
die Doppelstrahlen der Involution aus den entsprechenden
Strahlen des Büschels die imaginären Kreispunkte schneiden,
so entsteht der kubische Kreis mit Doppelpunkt. Er ist
zirkulär und die Tangenten an K^ in den imaginären Kreis-
punkten schneiden sich in einem Punkte B der Kurve.

Wir nennen diesen ausgezeichneten Punkt B der Kurve Brennpunkt.

Wir bemerken noch, dass die Zuordnung zwischen Ja und St, durch
ein Paar der Rechtwinkelinvolution und den entsprechenden Strahl
des Büschels bestimmt wird.

3. Die bewiesenen Darstellungen von K^ führen zu weiteren Eigen-
schaften der Kurve.

Bezeichnen wir die Strecke zwischen zwei Punkten von K^, welche
— ausser B — auf einer Geraden durch B liegen, als Brennpunkt-
sehne, so folgt:

Jede Brennpunktsehne erscheint vom Doppelpunkte aus
unter rechtem Winkel.

Zwei Brennpunktsehnen, welche aufeinander senkrecht stehen,
seien zu einander konjugiert. Dann ergiebt sich aus den Winkel-
eigeuschaften, welche die Erzeugung von K^ definierten (1): ^ ^

284 ^^^ kubische Kreis mit Doppelpunkt.

Wird eine Brennpunktsehne vom Doppelpunkte D aus
durch das Rechtwinkelpaar dd^ projiziert, so muss die kon-
jugierte Sehne von D aus durch die Halbierungslinien von
dd^ projiziert werden.

Aus diesem Satze schliessen wir, dass B im allgemeinen Falle
keine Brennpunktsehne halbiert; denn läge B in der Mitte einer Brenn-
punktsehne, so müssten nach bekannten Kreiseigenschafben die End-
punkte dieser und der konjugierten Sehne mit 7) auf einem Kreise
liegen, der B zum Mittelpunkte hat. Dann ist dieser Kreis ein Teil
der Kurve K^, d. h. diese Kurve degeneriert.

In der Projektivität von Ja und St korrespondieren im allgemeinen
dem Verbindungsstrahle der Scheitel die resp. Tangenten in diesen
Scheiteln. Daraus folgt für K^:

Die Tangenten qr im Doppelpunkte von K^ stehen zu
einander senkrecht und gehen durch die zwei Punkte, welche
der zu DB senkrechte Durchmesser von \DPh] aus diesem
Kreise schneidet.

Für die Tangente s in B folgt:

DB schneidet [DPb] zum zweiten Male in einem Punkte,
dessen Tangente parallel s ist.

Nun bildet die Tangente a in D an [DPb] mit DB denselben
Winkel wie die Tangente im zweiten Schnittpunkte von DB mit dem
Kreise [DPb]. Also folgt:

Die Tangente a in D an [DPb] und die Tangente s in B
an K^ sind Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks, dessen
Basis DB ist.

Der Tangente s entspricht in der Projektivität von Jj und St, ausser
DB noch die Gerade w, welche in D zu DB senkrecht steht. Folg-
lich schneidet n aus s einen Punkt G von K^.

Der Tangente a in D an \DPb] entspricht eine Parallele durch B.
Daraus folgt:

Der reelle unendlich ferne Punkt von K^ liegt auf a.

Spezialisieren wir das Gesetz über konjugierte Brennpunktsehnen
für qr und BD, so folgt:

Die Normale ^; in B zu BD wird von den Halbierungs-
linien des Winkels qr in zwei Punkten der Kurve K^ ge-
troffen.

Der Geraden m des Büschels Sdj welche durch den Mittelpunkt M
des Kreises [DPb] geht, entspricht eine Linie /', welche zu m senk-
recht steht. Daraus schliessen wir:

Fällen wir aus B die Senkrechte auf w, so liegt ihr Fuss-
punkt F auf K^

Durch B geht — ausser b — eine zweite Tangente b * an [DPIf]-
Der Strahl des Büschels Ä/, welcher dieser Tangente entspricht, muss
durch ihren Berührungspunkt P* gehen. Folglich liegt -P* apf ^'•

Von Dr. Chb. Beyel. 285

4. Indem wir K^ aus dem Kreise [DPh] konstruierten, haben wir
angenommen, dass dieser Kreis durch einen beliebigen Punkt P von
Z' geht. Es giebt also unendlich viele Kreise, aus denen K^ in
gleicher Weise konstruiert werden kann. Alle diese Kreise haben in
D dieselbe Tangente a, weil a parallel zu der reellen Asymptote von
J' ist. Sie bilden ein Büschel von Kreisen [Da] und wir unter-
suchen nun die Beziehungen dieses Büschels zu K^,

Wir haben gesehen, dass die Tangenten durch B an [DPh] diesen
Kreis in Punkten F^ P* von K^ berühren. Verallgemeinem wir dies
für die Kreise [Da], so folgt:

Konstruieren wir aus einem Punkte B die Tangenten an
die Kreise eines Büschels [Da], so ist K^ der Ort der Be-
rührungspunkte.

Wir erhalten die Berührungspunkte, indem wir über B und den
respr Mittelpunkten M der Kreise \Dd\ die Kreise [MB'\ beschreiben.
Die Mittelpunkte aller Kreise [Da] liegen auf m. Also liegen die
Mittelpunkte der Kreise [MB'] auf einer Linie m* parallel m, welche
die Entfernung Bm halbiert. Folglich bilden die Kreise [MB] ein
Büschel, welches B und F zu Grundpunkten hat. Wir können daher
K^ auch durch zwei Kreisbüschel wie folgt ableiten:

Gegeben sei ein Kreisbüschel [Da] und ein zweites [BF],
Die Centrale des ersten Büschels stehe in F zu derjenigen
des zweiten Büschels senkrecht. Konstruieren wir einen
Kreis [BF] durch den Mittelpunkt eines Kreises [Da], so
liegen die gemeinsamen Punkte beider Kreise auf K^.

Die Berührungspunkte PP* der Tangenten, welche aus B an
einen Kreis [Da] gehen, liegen auf einem Kreise (B). Dieser steht
zum Kreise [Da] senkrecht. Wir finden daher K^ auch nach folgendem
Gesetze:

Konstruieren wir zu jedem Kreise {B) eines konzentrischen
Büschels den orthogonalen Kreis, welcher eine gegebene
Gerade a in einem gegebenen Punkte D berührt, so liegen
die Schnittpunkte dieser Kreispaare auf einer Kurve K^,
Für besondere Kreise der erwähnten Büschel ergiebt sich noch:
Der Kreis [Da\ durch B berührt in B die Kurve K». Der
Punkt B erscheint als Nullkreis der Kreise {B) und berührt
als solcher K^ dreifach u. z. in B und in den imaginären Kreis-
punkten.

5. Wir wenden uns nochmals zum Büschel der Kreise [DaJ.
Ziehen wir durch B die Tangenten an einen Kreis des Büschels, so
liegen ihre Berührungspunkte PP* (Fig. 1) auf der Polare von B in
Bezug auf den Kreis. Nach einem bekannten Satze gehen aber die
Polaren eines Punktes in Bezug auf die Kreise eines Büschels durch
einen Punkt. Dieser liegt auf s ; denn s ist die Polare von B in Bezug
auf den Kreis [DaJ5] des Büschels. Ferner liegt dieser Punkt auf

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286 ^^^ kubische Kreis mit Doppelpunkt.

der Polare von B in Bezug auf den Nullkreis D des Büschels. Diese
Polare steht in D zu BD senkrecht, d. h. sie fällt mit n zusammeu.
Folglich ist der Schnittpunkt G von n und s derjenige Punkt, durch
welchen die Polaren von B gehen. Sie bilden ein Strahlenbüschel iSj.
Zu jedem Kreise [Da\ gehört ein Strahl g des Büschels. Derselbe
steht zu der Linie senkrecht, welche B mit dem Mittelpunkte il von
[Da] verbindet. Dreht sich jetzt g um 6r, so gehört zu jeder Lage
von g eine Normale durch B, Der Ort der Schnittpunkte dieser ent-
sprechenden Geraden ist ein Kreis. G und B sind die Endpunkte
eines Durchmessers. D liegt auf dem Kreise, weil

<): GDB = 90^

Sein Mittelpunkt ist der Schnitt von s mit a, weil dieser Punkt
die Spitze des gleichschenkligen Dreiecks ist, welches BD zur Basis
hat. 7)1 berührt den Kreis, weil m J_ a. Benutzen wir [DBG] um
die Zuordnung der Linien g zu den Kreisen [Da] zu vermitteln, so
gelangen wir zu folgender allgemeinen Konstruktion von K^.

Bj G seien die Endpunkte eines Kreisdurchmessers. D sei
ein beliebiger Punkt der Peripherie und m sei die Tangente
in D. Verbinden wir irgend einen Punkt X des Kreises mit
B und G und konstruieren wir aus dem Schnittpunkte J!f von
BX mit m einen Kreis durch J), so schneidet er GX in zwei
Punkten von K^.

Dem Kreise [GDa] korrespondiert in der abgeleiteten Zuordnung
die Tangente in G an K^, Daraus folgt: Verbinden wir den
Mittelpunkt Mg des Kreises [GDa] mit B, so schneidet dies(*
Linie aus dem Kreise [DBG] einen Punkt der Geraden, welche
K^ in G berührt. Diese Tangente trifft den Kreis [GBo\
zum zweiten Male in einem Punkte von K^ (Fig. 1).

IL

6. Wir stellen der in 1. entwickelten Konstruktion von ent-
sprechenden Paaren der Büschel 8^, Sb eine neue an die Seite.

Es sei wieder db ein entsprechendes Paar, welches sich im Punkte
P von K^ schneidet (Fig. 2). Wir suchen fcj zu d^. Wir zeichnen zu
diesem Zwecke den symmetrischen Strahl rfg zu d^ in Bezug auf d
Dann ziehen wir durch P eine Parallele (/,* zu dj, welche d^ in H
treffe. Wir konstruieren den Kreis [PHB]. Er schneide d^ zum zweiten
Male in Q, Nun ist
^^^^ <KPHQ = 2^<):dd,^PBQ

Folglich ist BQ die gesuchte Linie b^ und Q liegt auf K\
Halten wir jetzt die Linie d fest, während d^ sich um D dreht,
so bestimmt jede Lage von H mit DP als Basis ein gleichschenkliges

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Von Dr. Chr. Beyel.

287

Dreieck. Die Kreise durch HPB bilden ein Büschel mit den Grund-
punkten PB, K^ entsteht also in folgender Weise:

DP sei die gemeinschaftliche Basis von gleichschenk-
ligen Dreiecken. B sei ein beliebiger Punkt, der nicht auf
DP liegt. Dann schneidet jeder Kreis des Büschels [BP],
welcher durch die Spitze jff eines Dreiecks geht, aus der Seite
DH dieses Dreiecks einen Punkt von K^.

Die Spitzen aller Dreiecke DPH liegen auf einer Geraden h,
wt4ehe in der Mitte von DP zu dieser Linie senkrecht steht, h schneidet

Fig. 2.

jeden Kreis des Büschels [BP] in zwei Punkten. Daraus ergiebt sich
folgende Darstellung von K^:

Sei h eine beliebige Gerade, zu welcher die Punkte P, D
orthogonal symmetrisch liegen, so machen wir P und einen
beliebigen Punkte, der nicht auf PZ) liegt, zu Grundpunkten
eines Kreisbüschels [BP]. Projizieren wir die Schnittpunkte
eines Kreises [BP] mit h aus D auf den Kreis, so erhalten
wir zwei Punkte von K^,

Unter den Kreisen des Büschels [BP] giebt es im allgemeinen
zwei, welche h berühren. Projizieren wir den Berührungspunkt eines
solchen Kreises aus D auf den Kreis zurück, so gelangen wir zu einem
Punkte von K^, in welchem diese Kurve von dem Kreise berührt wird.

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288 Der kubische Kreis mit Doppelpunkt.

7. Der Kreis des Büschels [BP]j welcher durch den Sclmitt-
punkt H^ von h und DP geht, führt zur Konstruktion von Tangenten
und Normalen in Punkten von JT*. Bei diesem Kreise fallen nämlicli
in P zwei benachbarte Punkte zusammen. Der Kreis berührt K^ in
P und es folgt:

Der Kreis, welcher durch B und einen beliebigen Punkt
P von K^ sowie durch die Mitte der Strecke DP geht, be-
rührt K^ in P.

Errichten wir in den Mitten Y und Z von PB und PH^ die
Senkrechten (Fig. 2), so schneiden diese sich im Mittelpunkte 0 des
Berührungskreises. Seien /3, tf die Winkel, welche die Tangente in P
resp. mit 6, d einschliesst, so ist:

ipD
sin^ PZ 4 PD

sin (5 PY ipj5 2PJ5 '

2

das heisst:

Der Sinus des Winkels, den die Tangente in P mit d
bildet, verhält sich zum Sinus des Winkels zwischen Tan-
gente und b wie der Abstand DP zum doppelten Abstände BP.

Daraus ergiebt sich folgende Tangentenkonstruktion: Wir
tragen PD von P aus in der Richtung PB auf b ab und 2PB von
P aus in der Richtung PD auf d. Wir verbinden die Endpunkte.
Dann ist die Tangente in P zu dieser Verbindungslinie parallel.

Errichten wir in B eine Senkrechte zu PB, so muss diese h m
einem Punkte N der Kurvennormalen PO schneiden; denn

PH,^2PZ und PB^2PY,

Also folgt:

Das Stück PN der Kurvennormalen in P, welches zwi-
schen P und dem Schnittpunkte N mit h liegt, wird von B
aus unter rechtem Winkel gesehen.

8. Ein Kreis des Büschels [PB] zerfällt in die imendlich ferne
Gerade und die Linie PB. Projizieren wir den Schnittpunkt A Ton
Ä imd PB aus D auf die unendlich ferne Gerade^ so erhalten wir
also den reellen unendlich fernen Punkt von K^, DA giebt folglich
die Richtung dieses Punktes an und fällt mit der oben (4) gefundenen
Linie a zusammen. Dreht sich jetzt b um B, so bleibt a fest und
A durchläuft a. Dabei ist stets AD ^ AP, Mithin kann Z' wie
folgt hervorgebracht werden:

Gegeben sei ein Punkt 2), eine Gerade a durch D und
ein beliebiger Punkt B, der nicht auf a liegt. Konstruieren
wir aus irgend einem Punkte A von a einen Kreis durch D,
so schneidet er die Linie AB in zwei Punkten von JK'.

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Von Dr. Chr. Beybl. 289

Daraus schli essen wir weiter:

Die Mitten aller Brennpunktsehnen von K^ liegen auf
der Geraden, welche den Doppelpunkt mit dem reellen un-
endlich fernen Punkte von K^ verbindet.

Einer der Kreise [PB] geht durch D. Er schneidet h in zwei
Punkten. Projizieren wir diese aus D auf den Kreis zurück, so fallen
die Projektionen mit D zusammen. Folglich berühren die Projektions-
strahlen qr die Kurve K^ in D, Wie wir auch P wählen, stets er-
halten wir dieselben Linien qr. Daraus schliessen wir umgekehrt,
dass jeder Kreis [PBD] aus den Geraden qr zwei Punkte schneidet,
deren Verbindungslinie die zu P gehörende Gerade h ist, welche in der
Mitte zwischen P und D liegt. Benutzen wir diese Eigenschaft zur
Konstruktion von P, so folgt:

Sind DB die Grundpunkte eines Kreisbüschels und qr
die Schenkel eines rechten Winkels, dessen Spitze in D liegt,
so schneidet jeder Kreis des Büschels aus q, r zwei weitere
Punkte. Zeichnen wir zu D den orthogonal symmetrischen
PunktPinBezug auf die VerbindungslinieÄdieser zweiPunkte,
so ist K^ der Ort der Punkte P.

9. Jedem Punkte P von K^ ist eine Linie // zugeordnet. Diese
Linien h sind Durchmesser der resp. Kreise [PBD] und erscheinen
also von B aus unter rechtem Winkel. Sie umhüllen daher eine
Parabel Pa, welche B zum Brennpunkte und qr zu Tangenten hat.

Weil q zvi r senkrecht steht, liegt D auf der Direktrix von P/^.
Soll K^ aus Pk abgeleitet werden, so geschieht dies also in folgender
Weise:

Wir zeichnen zu einem Punkte Z), welcher auf der Direktrix
der Parabel liegt, die orthogonal symmetrischen Punkte in
Bezug auf die Tangenten der Parabel. K^ ist Ort dieser Punkte.

Aus dieser Darstellung von K^ ergiebt sich eine andere, bei
welcher K^ als eine besondere Fusspunktkurve einer Parabel erscheint.
Ziehen wir nämlich durch jeden Punkt P von K^ eine Parallele h*
zu dem k, welches P entspricht, so umhüllen diese Linien h* eine
neue Parabel P^*, welche q und r berührt. D liegt auch auf der
Direktrix von Pa*. Also folgt:

K^ ist die Fusspunktkurve einer Parabel P** für einen
Punkt D der Direktrix dieser Parabel.

Wir ziehen aus dieser Darstellung noch einige Schlüsse. Durch
einen beliebigen Punkt X der Ebene gehen zwei Tangenten an P/*.
Fällen wir auf diese Linie aus D die Senkrechten, so liegen ihre Fuss-
punkte auf K^, Diese Fusspunkte liegen also auch auf einem Kreise,
welcher DX zu einem Durchmesser hat. Nehmen wir nun an, dass
X* ein Punkt der Parabel sei, so fallen die zwei Tangenten an P/
zusammen. Der Kreis über DX* muss K^ berühren. Allgemein
heisst dies:

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290 1^6^ kubische Kreis mit Doppelpunkt.

Konstruieren wir über D und einem Punkte X* der
Parabel P/ einen Kreis, so berührt dieser K^ in seinem
zweiten Schnittpunkte mit der Geraden, welche in X* die
Parabel tangiert.

Die Mittelpunkte N der Kreise [DX*] halbieren die Strecken
DX* und liegen also auf der ursprünglichen Parabel P^- Daraus folgt:

Alle Kreise, welche durch einen festen Punkt D auf der
Direktrix einer Parabel Pa gehen und deren Mittelpunkte
auf Ph liegen, umhüllen K^. Der Berührungspuiikt je eines

Kreises liegt orthogonal symmetrisch zu D in Bezug auf di**
Tangente der Parabel, welche im Mittelpunkte des Kreises
berührt.

III.

10. Wir entwickeln in Anknüpfung an die ursprüngliche (1) De-
finition von K^ eine weitere Konstruktion (Fig. 3). Seien wieder dK
dj)y entsprechende Paare von S^, S^,, welche sich in den resp. Punkten

P, Q von K^ schneiden, so ist <); d(\ == -^ <K ^^v ^^^ ziehen durch

B eine Gerade /, welche den Winkel 11^ halbiert.

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Von Dr. Chr. Beyel. 291

Es ist also: <); ^ = ^ ^ jj, = ,y rfrf^.

l* sei die Parallele durch P zu l. Sie schneide ?>j in L. Dann ist

<xri\ = <):dd, oder <):pdq = <kplq,

(1. h. die vier Punkte PDQL liegen auf einem Kreise. Ferner ist

<Xl*b = <XVh,.

Daraus folgt BP = BL.

Halten wir nun den Punkt P fest, während sich h^ um B dreht
so durchläuft der Punkt L einen Kreis {B) mit dem Radius BL = BP.
Mit Hilfe dieses Kreises finden wir auf irgend einer Geraden b^ durch
B zwei Punkte von X^, indem wir die Schnittpunkte LI/ von h^ mit
(B) bestimmen. Legen wir einen Kreis durch DPL und einen zweiten
<lurch DPL*j so schneidet jeder dieser Kreise aus fcj einen zweiten
Punkt, der auf K^ liegt. Alle Kreise [DP] bilden ein Büschel.
Ä*' entsteht aus diesem Büschel und deni Kreise (B) in folgender Weise:

Gegeben sei ein Kreis (B) und ein Kreisbüschel \DP]f
dessen Grundpunkt P auf (B) liegt. Durch jeden Punkt L
von (B) geht ein Kreis des Büschels. Er wird vom Durch-
messer BL des Kreises (J9) zum zweiten Male in einem Punkte
von K^ geschnitten.

Wir heben einige Kreise des Büschels [DP] hervor.

Ein Kj-eis [DP] steht im Punkte P zum Kreise (B) normal und
schneidet (B) zum zweiten Male in einem Punkte P\ dessen Tangente
durch B geht. Folglich liegt P* auf K^ und wir schliessen:

Zwei Punkte von i*, welche auf einem Kreise aus B
liegen, sind auch auf einem Kreise durch D gelegen, welcher
zum Kreise (B) senkrecht steht (4).

Konstruieren wir die zwei Kreise [DP], welche durch die zwei
Schnittpunkte der Geraden DB mit (B) gehen, so schneidet jeder
dieser Kreise aus K^ zwei in D zusammenfallende Punkte. Folglich
berühren diese Kreise die Kurve K^ in D. Ihre Tangenten sind die
Linien q, r. Weil diese Geraden zu einander senkrecht stehen, müssen
auch die zwei erwähnten Kreise zu einander rechtwinklig sein und ihre
Mittelpunkte liegen resp. auf q und r. Sie liegen ferner auf der Ge-
raden //, welche in der Mitte von PD zu PD senkrecht steht und
sind also die Schnittpunkte von h mit q und r. Durchläuft jetzt P
die Kurve K^^ so umhüllen die Linien h die Parabel Ph und es folgt:

Konstruieren wir aus den Punkten, in welchen die zwei zu
einander senkrechten Parabeltangenten q^r von einer dritten
Tangente geschnitten werden, die Kreise durch den Schnitt
der senkrechten Tangenten, so treffen sich diese Kreise zum
zweiten Male in einem Punkte von K^,

11. Ein Kreis des Büschels [DP] zerfällt in DP und die unend-
lich ferne Gerade. Schneiden wir DP zum zweiten Male mit dem

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292 ^^^ kubische Kreis mit Doppelpunkt.

Kreise (B), so geht durch diesen Schnittpunkt Ä* und B eine Linie «*,
auf welcher der reelle unendlich ferne Punkt von K^ liegt. Die
Linie a* bleibt für alle Kreise (i?) dieselbe. Wir können sie daher
zur Konstruktion von K^ benützen und haben folgendes Gesetz:

Gegeben sind zwei Punkte DB und eine Gerade a* durch
B. Verbinden wir irgend einen Punkt Ä* von a* mit D, so
schneidet der Kreis aus B durch Ä* die Verbindungslinie
zum zweiten Male in einem Punkte von K^.

Führen wir die Konstruktion für je zwei Punkte A* aus, welche
auf einem Kreise (B) liegen, so folgt:

Projizieren wir die zwei Punkte, in welchen ein Kreis (ß)
die Linie a* schneidet, auf diesen Kreis zurück, so erhalten
wir zwei Punkte von K^.

Unter den Kreisen des Büschels [DP] geht einer durch B, Er
schneide den Kreis (ß) zum zweiten Male in S, Dann fallen auf dem
Durchmesser BS des Kreises (B) in B zwei benachbarte Punkte von
Ä^^ zusammen, d. h. dieser Durchmesser s berührt in B die Kurve K\
Halten wir s fest, während S die Gerade s und P die Kurve K^ durch-
läuft, so entsteht diese in folgender Weise:

Gegeben sind zwei Punkte DB und eine Gerade s durch
B. Legen wir durch Z), B^ und einen Punkt S von s einen
Kreis, so schneidet er den Kreis {B)8 zum zweiten Male in K^.

Sei L^ der zweite Schnittpunkt von BP mit (ß), so geht durch
L^ ein Kreis des Büschels [DP]. Er trifft den Durchmesser L^P in
einem Punkte von JE"*, welcher mit ? zusammenfallt. Also berührt
dieser Kreis die Kurve Jf ® in P. Allgemein folgt daraus:

Zeichnen wir zu irgend einem Punkte P von K^ in Be-
zug aiif B den zentrisch symmetrischen Punkt ij, so geht
durch ihn, D und P, ein Kreis, welcher K^ in P berührt.

Auch aus diesem Satze lässt sich indirekt (wie bei 3) zeigen^ dass
im allgemeinen keine Brennpunktsehne durch B halbiert wird.

12. Der Durchmesser BP des Kreises (B) muss K^ in einem
dritten Punkte schneiden. Wir finden ihn, indem wir den Kreis des
Büschels [DP] konstruieren, für welchen in P zwei zusammenfallende
Punkte liegen. Dieser Kreis berührt also (B) in P. Sein Mittelpunkt
ist der Schnitt von BP mit der zu P gehörenden Linie ä, d. h. der
auf a liegende Punkt A (8). Wir haben somit wieder bewiesen, dass
ein Kreis (A) durch D die Linie BA in zwei Punkten von K^ trifft.

Konstruieren wir zu B je den vierten harmonischen in Bezug auf
ein solches Punktepaar, so können wir zeigen, dass der Ort der vierten
harmonischen Punkte ein Kreis ist. Diese Punkte liegen nämlich auf
den resp. Polaren des Punktes B in Bezug auf die Kreise (A)D, Weil
diese Kreise ein Büschel bilden, sind auch die Polaren Strahlen
eines Büschels. Jeder Geraden 6 entspricht ein Strahl des letzteren
Büschels, h ist Durchmesser eines Kreises, in Bezug auf welchen der

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Von Dr. Chr. Beyel. 293

korrespondierende Strahl Polare ist. Folglich stehen die entsprechen-
den Strahlenpaare zueinander senkrecht und erzeugen einen Kreis.
Derselbe muss — als Ort der erwähnten vierten harmonischen Punkte —
ilie Kurve K^ in B berühren und durch 2) gehen. Er wird daher in
B von s und also in D von a berührt. Es folgt daraus:

Die erste Polare von B in Bezug auf K^ ist der Kreis
[DBa],

Ist dieser Kreis bekannt, so lässt sich aus ihm K^ finden. Wir
suchen auf jeder Geraden fe, ein Punktepaar, welches von D aus unter
rechtem Winkel erscheint und durch 7?, sowie den zweiten Schnitt-
punkt X von bje mit [DBa] harmonisch getrennt wird. Ziehen wir
durch den Mittelpunkt des Kreises [DBa] eine Senkrechte zu ü^^, so
schneidet diese bekanntlich aus dem Kreise zwei Punkte, welche
durch X und B harmonisch getrennt werden. Folglich finden wir K^
auch so:

Wir gehen von einem Kreise aus. D, B seien zwei seiner
Punkte. Wir ziehen durch B eine beliebige Gerade b und
fällen auf sie die Senkrechte aus dem Mittelpunkte des
Kreises. Projizieren wir ihre Schnittpunkte mit dem Kreise
aus D auf b, so erhalten wir zwei Punkte von K^,

13. Aus der Beziehung zwischen K^ und dem Kreise [BDa] er-
geben sich noch einige Eigenschaften für die Sehnen und Tangenten
von Z*.

Schneiden zwei Gerade 6, b^ (Fig. 4)* den Kreis [BDa] zum zweiten
Male in XX^ und die Kurve K^ resp. in YZj Y^Z^, so ist

{BXYZ)^-l und {BX^Y^Z;) = -\.

Also müssen sich die Geraden YY^ und ZZ^ in einem Punkte U
von XX^ schneiden. Ferner treffen sich die Geraden YZ^ und Y^Z
in einem Punkte V von XX^. Lassen wir b mit b^ zusammenfallen.
so gehen die Sehnen in Tangenten über und es folgt:

Die Tangenten an K^ in den Endpunkten einer Brenn-
punktsehne 6 schneiden sich in einem Punkte £/i, durch
welchen auch die Tangente im zweiten Schnittpunkte von b
mit dem Kreise [BDa] geht.

Die Linien YY^, ZZ^ und YZ^, Y^Z bestimmen ein Vierseit,
für welches Y^Z^^ YZ und UV gegenüberliegende Ecken sind. Pro-
jizieren wir diese aus einem Punkte — etwa aus D — , so erhalten
wir Paare einer Involution. Nun erscheinen die Punkte YZ von D
aus unter rechtem Winkel und ebenso die Punkte Y^Z^, Folglich
sind zwei Paare der erwähnten Involution rechtwinklig. Diese ist
eine Rechtwinkelinvolution und die Punkte U, V werden ebenfalls von
D aus unter rechtem Winkel gesehen. Fällt jetzt wieder b mit b^

* Siehe S. 296.

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294 r)er kubische Kreis mit Doppelpunkt.

zusammen, so wird aus U der Schnittpunkt üt der Tangenten in Tund
Z Rn K^. V liegt in X und wir schliessen:

Der Schnittpunkt Ut der Tangenten an K^ in den End-
punkten einer Brennpunktsehne b und der zweite Schnitt-
punkt X von b mit dem Kreise [BDa] erscheinen vom
Punkte D aus unter rechtem Winkel*

Wir finden nach diesem Satze die reelle Asymptote a, von K^^
indem wir den Kreis [BDa] mit a* schneiden und im Schnitt-
punkte Xo die Tangente konstruieren. Errichten wir sodann in D die
Senkrechte zu DXa, so trifft diese die erwähnte Tangente in einem
Punkte von a, (Fig. 4).

IV.

14. Wir wenden uns zu Darstellungen von K^y bei denen diese
Kurve entweder als Schnitt einer besonderen Regelfläche oder als Pro-
jektion einer speziellen Raumkurve erscheint.

Um die Regelfläche hervorzubringen knüpfen wir an die Kon-
struktion von K^ aus den Kreisen (A) D an (8 und 12). Wir be-
zeichnen die Ebene, in welcher K^ Hegt, mit E. Dann ziehen wir in
einer Normalebene durch a zu E eine Linie ?, welche mit a einen
Winkel von 45^ bildet. In B errichten wir eine Normale ;; zu E.
Wir konstruieren nun durch einen beliebigen Punkt Ät von /, dessen
Orthogonalprojektion in Ä liege, diejenigen Transversalen 7\r^ zu ]>,
welche mit E Winkel von 45^ bilden. Die Orthogonalprojektionen
dieser Linien fallen mit AB zusammen, r^rg? liegen auf einem geraden
Kreiskegel, mit der Spitze Ai und der Axe AiA. Seine ManteUinien
schliessen mit E Winkel von 45^ ein (45® Kegel). Folglich ist seine
Basis ein Kreis aus A durch D. Die Mantellinien r^r^ des Kegeln
schneiden diesen Kreis {A)D in zwei Punkten 1", Z von K^, Konstruieren
wir jetzt aus allen Punkten Ai von l die resp. Transversalen r^r^j so
liegen diese auf einer Regelfläche dritten Grades!?^. Denn sie schneiden
/, p und den Kreis, welchen die oo ferne Ebene mit allen 45® Kegeln
gemein hat. Dieser Kreis, l und |; sind somit die Leitlinien der Regel-
fläche, l schneidet den unendlich fernen Kreis in einem Punkte. Also
ist 2 ' 2 ■ 1 • 1 - 1 --- 3 der Grad der Regelfläche.

Jt^ ist unter den Regelflächen dritten Grades dadurch ausgezeichnet,
dass die Doppelgerade / die Leitgerade p unter 45® kreuzt. Ferner
bilden alle Geraden der Regelfläche mit p Winkel von 45®. Wir be-
zeichnen daher R^ als 45® Regelfläche dritten Grades. ;) sei ihre
Axe. Dann folgt: Jede Ebene, welche zur Axe einer 45® Regel-
fläche dritten Grades senkrecht steht, schneidet diese Regel-
fläche in einem kubischen Kreise K\

* Zu jedem Punkte X des Kreises [BDa] gehört ein Punkt, üt. Der Ort
dieser Punkte ist eine zirkuläre Kurve dritter Ordnung, welche in D eine Spitze
hat. Vergl. meine Abhandlung über Kurven vierter Ordnung mit drei doppelten
Inflexionsknoten. Zeitschrift für Mathematik und Physik, Band XXX (18&5 1 S. 74

Von Dr. Ohr. Bevel.

295

15. Wir benützen die Regelfläche 7?^, um für Punkte von K^ die
Tangenten zu konstruieren (Fig. 4). Zeichnen wir in einem Punkte Y
von K^ die Tangentialebene an JB^, so berührt ihre Schnittlinie mit
E die Kurve K^ in Y. Zur Konstruktion dieser Tangentialebene
wenden wir einen bekannten Satz an, nach welchem die Tangential-
ebenen durch eine Erzeugende r^ einer Regelfläche zur Reihe der Be-
rührungspunkte projektivisch liegen. Die Projektivität wird durch drei
Punkte von r, und ihre Tangentialebenen bestimmt. Wir können
leicht drei solche Punkte mit ihren Tangentialebenen angeben. Der
eine ist der Schnitt von r^ mit p. Seine Tangentialebene schneidet E
in der Geraden BA. Ein zweiter Punkt ist der Schnitt von r^ mit ?.

Flg. 4.

Seine Tangentialebene trifl*t E in der Geraden ü Y. Ein dritter Punkt
ist der unendlich ferne Punkt von r^. Seine Tangentialebene berührt
in Y den Kreis {Ä)D und schneidet also E in einer Normalen n durch
}' zu BA, Projizieren wir die drei in r, liegenden Berührungspunkte
der erwähnten Tangentialebenen auf BA, so erhalten wir B, A und
den unendlich fernen Punkt von BA. Ihnen entsprechen- die drei
Linien YB, YD und w. Konstruieren wir in dieser projektivischen
Zuordnung zu Y die entsprechende Gerade, so berührt sie in Y die
Kurve K^, Wir können die Konstruktion so ausführen, dass wir die
drei Linien YB, YD und n mit DB schneiden. Dann entstehen auf
AB und DB perspektivische Reihen, in welchen B sich selbst ent-
spricht. -4, D ist ein korrespondierendes Paar. Dem Schnittpunkte

.,...., ^oogle

t^ j

296 I^^r kubische Kreis mit Doppelpunkt.

von n mit BD entspricht der unendlich ferne Punkt. Die Ver-
bindungslinie dieser zwei Punkte schneidet also aus AD das Per-
spektivzentrum C Durch dieses und Y geht die gesuchte Tangente
Daraus ergiebt sich folgende allgemeine Konstruktion:

Wir ziehen im Punkte Y von K^ die Normale n zu Bl]
schneiden mit derselben BD und projizieren den Schnitt-
punkt in der Richtung von BY auf a. Durch die Projektion C
geht die Tangente in Y.

16. Um K^ als Projektion einer Raumkurve zu zeichnen, gehen
wir von folgender Konstruktion aus (Fig. 5): Wir beschreiben aus der
Mitte 31 von BD einen Kreis (3/) durch B und D. Ferner legen wir
einen beliebigen Kreis [MB] durch M und B. Dann ziehen wir
durch D zwei beliebige Gerade dd^ und verbinden die Punkte, in
welchen diese Geraden den Kreis (M) zum zweiten Male schneiden,
mit M. Diese Verbindungslinien wi, m^ treflfen den Kreis [MB] je
in einem zweiten Punkte. Durch diese Schnittpunkte und B gehen
zwei Gerade b\, für welche <)^ft6i=<(rwm|. Aber <)C wwj = 2 <)C(/rfi.
Also ist <)C6&i = 2 <Xdd^. Folglich sind d, b] rf^fti entsprechende Paare
der Büschel SaS^ und schneiden sich in Punkten von K\ Wir nehmen
jetzt an, dass die Kreise (Jf) und [MB] Leitkurven von zwei Kegeln
K^K^ seien. Wir fassen D und B als Projektionen der Spitzen M^M,
der Kegel aus einem beliebigen Punkte C des Raumes" auf. Die Ver-
bindungslinie der Spitzen treflfe die Ebene der Leitkurven in M, Dann
sind die Geraden m Spuren von Ebenen, welche durch M^^, M^ gehen.
Die Geraden d, b sind Projektionen von Mantellinien der Kegel und
K^ ist das Bild der Durchdringungskurve beider Kegel. Diese ist
von der vierten Ordnung. Sie erscheint als Kurve dritter Ordnung,
weil das Projektionszentrum C als Schnitt der Mantellinien M^D und
J/gJB auf der Durchdringungskurve liegt. Wir schliessen daher:

Zwei Kegel K^K^, deren Leitkurven Kreise einer Ebene
sind, sollen so angeordnet sein, dass die Bilder D, B der
resp. Spitzen M^M^ in den Endpunkten eines Durchmessers
vom Leitkreise L^ des einen Kegels K^ liegen. Die Ver-
bindungslinie der Kegelspitzen gehe durch den Mittelpunkt Jl/
dieses Kreises. Der andere Kreis L^ gehe durch M und B.
Dann durchdringen sich beide Kegel in einer Kurve, deren
Bild auf die Ebene E die Kurve K^ ist.

17. Konstruieren wir K^ m bekannter Weise als Bild der Durch-
dringungskurve von Ky^K^, so ergeben sich dabei noch einige Schlüsse.

Der Punkt JB, welchen der Kreis {M) mit dem Kreise [MB]
ausser B noch gemeinsam hat, liegt auf K^, Schneide die Gerade M¥.
den Kreis {M) zum zweiten Male in £*, so ist BE DE*. Die«e
Geraden treffen sich aber in einem Punkte von K^. Folglich giebt
BE die reelle Asymptotenrichtung von K^ an.

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Von Dr. Chr. Beykl.

297

Eine Gerade m^ durch M schneide die Kreise (M) und [MB] resp.
in X, Y. Die Geraden B Y und D X treffen sich in einem Punkte Z
von K\ Dann muss die Tangente in Y an [MB] aus der Geraden,
welche in X den Kreis (M) berührt, einen Punkt schneiden, durch
welchen die Tangente in Z an K^ geht. Spezialisieren wir diese
Tangentenkonstruktion, indem wir an Stelle von Wj die Gerade DB
treten lassen, so folgt, dass die Tangente s in .B an [MB] die
Kurve K^ berührt. Ferner ergiebt sich, dass die Tangente n in D an
{M) aus s den Punkt 6r(3) von K^ schneidet. Tritt an Stelle von
>Wi die Linie ME, so folgt, dass die Tangente in E an [MB] aus

Fig. 5.

der Tangente in J?* an (Jtf) einen Punkt Sa schneidet, durch welchen
die reelle Asymptote as von K^ geht. Nun ist:

£iBGD^ESaE\

Also ist: BCr^ESa.

Daraus folgt EB SaCr. Durch 8a geht aber die reelle Asymptote
von K^ und ist parallel EB, P^'olglich ist SaG die Asymptote und
wir schliessen:

Die reelle Asymptote von K^ geht durch den Punkt 6r,
in welchem die Brennpunkttangente s in B die Kurve A'^
/UTO dritten Male schneidet.

Zeitschrift f. Mathematik u. Physik, lä. Jalirj,'. 1.S97. U. Hfft. 20 ^-^ j

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298 I^er kubische Kreis mit Doppelpunkt.

Oben (8.) haben wir bewiesen, dass auf einer Brennpunktsehne
zwei Punkte von K^ liegen, deren Entfernung durch a halbiert wird. Auf
der Brennpunktsehne 6* sind B und G ein solches Punktepaar. Durch
B geht a*, durch G geht as. Also folgt:

a liegt in der Mitte zwischen a* und as.

Die Linie t, welche in M den Kreis [MB'] berührt, trifft den Kreis (if)
in zwei Punkten, durch welche die Tangenten ^, r im Doppelpunkte D
gehen. Nun schliesst t mit MB denselben Winkel ein wie s. Folg-
lich muss t\\a. Die Punkte, welche t aus dem £[reise (M) schneidet,
werden durch den Mittelpunkt 31 und den unendlich fernen Punkt
harmonisch getrennt. Projizieren wir diese harmonische Gruppe aus
D, so erhalten wir die Strahlen g, r, DB und a. Daraus folgt:

Die Tangenten q, r im Doppelpunkte D werden durch DB
und a harmonisch getrennt.

18. Wir entwickeln aus den abgeleiteten Darstellungen und Eigen-
schaften von K^ eine Reihe von Konstruktionen, bei denen die Kuive
durch gegebene Elemente bestimmt wird.

Eine Kurve K^ wird in eindeutiger Weise gegeben durch:

a) 2), B und einen beliebigen Punkt. Wir konstwiieren
nach 1, 6, 10 oder 16.

b) D, B und die Richtung der reellen Asymptote. Wir
ziehen durch D die Parallele a* zur Asymptotenrichtung und
benützen Kreise {Ä)D (8.).

c) D und drei beliebige Punkte PQB, Wir suchen JS. Wir er-
richten zu diesem Zwecke in der Mitte von DQ eine Normale
und bestimmen ihre Schnittpunkte Pj, B^ mit DP, DB, Dann
legen wir einen Kreis durch PQPi und einen zweiten Kreis
durch BQB^. Beide Kreise schneiden sich in Q und dem ge-
suchten Punkte jß; denn

<Xpp,q^2<)cpdq = <):pbq
^^^ <):rb^q = 2 <):rdq = < jj-b(?.

d) D und zwei beliebige PunkteP^, sowie die Asymptoten-
richtung. Wir ziehen a und zeichnen zwei Kreise, die a in
D berühren und resp. durch P, Q gehen. Die Tangente in P
an den einen Kreis schneidet aus der Geraden, welche in (^
den anderen Kreis berührt, den Punkt B (1.).

e) D und zwei beliebige Punkte PQ^ sowie die Tangente
2) in P. Wir konstruieren wie bei c) den Kreis [PQV]]-
Ein zweiter Kreis, der jj in P berührt und durch die Mitte
von PD geht (7.) schneidet den Kreis [PQPj] in P und B.

f) D, einen beliebigen Punkt P und die Asymptote as^
Wir ziehen a und die Linie a*, welche zu as in Bezug auf B

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Von Dr. Cur, Beykl. 299

symmetrisch liegt. Dann legen wir durch P einen Kreis, der a in
1) berührt. Die Tangente in P an diesen Kreis trifft a* in B,

g) 1), G und die Asymptote as durch G. Wir ziehen a*.
B liegt auf a* und auf der Geraden, welche in D zu DG
senkrecht steht.

h) B und die Tangenten q, r im Doppelpunkte D. Wir
zeichnen den Kreis, welcher DJ5 zu einem Durchmesser hat.
Die Linien q, r treffen diesen Kreis in zwei Punkten, deren
Verbindungslinie die Asymptotenrichtung angiebt. Dann kon-
struieren wir wie bei b).

i) q, r und G. Wir ziehen DB ±_ DG und konstruieren zu DB
den vierten harmonischen Strahl a in Bezug auf q, r (17.).
Wir zeichnen as und verfahren wie bei g).

k) q^ r und zwei beliebige Punkte Q, R. Wir zeichnen die
Normalen in den Mitten von QD und BD. Sie bestimmen
mit q, r die Parabel Pa (9.).

1) 2, r und einen beliebigen Punkt P mit seiner Tan-
gente jp. Wir zeichnen einen Kreis, der j? in P berührt und
durch die Mitte von DP geht Dann errichten wir in dieser
Mitte die Senkrechte h zu DF und bestimmen ihre Schnitt-
punkte mit (/, r. Durch diese, D und P, geht ein zweiter
Kreis (8.). Beide Kreise schneiden sich in P und B.
m) (/, r und einen beliebigen Punkt P und die Asymptoten-
richtung. Wir ziehen a, zeichnen den vierten harmonischen
Strahl JBD zu a in Bezug auf q, r. Dann liegt B auf einer
Geraden, welche in P den Kreis [PDa\ berührt, und auf dem
erwähnten vierten harmonischen Strahle.

n) Qy r und die Asymptote as. Wir ziehen a, konstruieren

wieder DB als vierten harmonischen Strahl zu a in Bezug

auf qfs Dieser schneidet aus der Geraden a*, welche zu as

in Bezug auf a symmetrisch liegt, den Punkt B.

19. Vier resp. zwei Kurven K^ werden bestimmt, wenn

gegeben sind:

o) B und drei beliebige Punkte PQB, Wir suchen die mög-
lichen Lagen von D und gehen dabei von der Winkelbeziehung
aus, durch welche die Kurve definiert wurde. Dann ergiebt
sich folgende Konstruktion: Ein Kreis aus B^ welcher durch
Q geht, schneide die Geraden BP^ BE resp. in P*Pi* und
JB*üi*. Wir konstruieren die Kreise [^PP*J und [QPP^*],
sowie die Kreise [QBB*] uud [QRB^*]. Jeder der zwei ersten
Kreise schneidet jeden der zwei anderen Kreise — ausser in
Q — noch in einem Punkte. Diese vier Schnittpunkte sind
vier mögliche Lagen von D.

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300 ^6^ kubische Kreis mit Doppelpunkt.

p) B und zwei beliebige Punkte P^, sowie die Tangente];
in P. Wir konstruieren wie bei o) die zwei Kreise [P^P*J und
[P^Pj*]. Dann zeichnen wir zu P in Bezug aufJ3 den symmetri-
schen Punkt und legen durch ihn einen Kreis, der p in P berührt.
Dieser Kreis schneidet die Kreise [PQP*] und [PQPi*] ausser
in P noch je in einem Punkte. Diese zwei Schnittpunkte
können Doppelpunkte von zwei Kurven K^ sein,
q) B und zwei beliebige Punkte PQ und die Richtung
der reellen Asymptote. Wir zeichnen wieder die Kreise
[PQP*] und [P(?P,*]. Dann ziehen wir a* und bestimmen
die zwei Schnittpunkte dieser Geraden mit dem Kreise aus B
durch Q. Durch jeden dieser Punkte und Q geht eine Gerade.
Diese zwei Geraden schneiden aus den zwei Kreisen [PQP*]
und [P^Pi*l die vier möglichen Lagen der Doppelpunkte.
r) Bj ein beliebiger Punkt P und die Asymptote as. Wir
ziehen a* und zeichnen a in der Mitte von a* und as. Dann
konstruieren wir die zwei Kreise, welche BP in P berühren
und a zur gemeinsamen Tangente haben. Ihre Berührungs-
punkte mit a sind zwei Lagen von 1).
s) Bj G und ein beliebiger Punkt P. Wir beginnen die
Konstruktion wie bei o). Der Kreis aus B durch P schneide
die Gerade BG in 6r*, G^* . Dann legen wir einen Kreis
durch GPG* und einen Kreis durch GPG^*. Auf jedem
dieser Kreise kann D liegen. D liegt aber auch auf dem
Kreise, welcher BG zum Durchmesser hat. Folglich schneidet
dieser Kreis aus [GPG*] und [GPGj*] ausser G noch zwei
Punkte, welche Doppelpunkte einer Kurve K^ sein können,
t) By G und die Asymptotenrichtung. Wir ziehen a in der
Mitte zwischen B und G. Ein Kreis mit dem Durchmesser BG
schneidet a in zwei möglichen Lagen von D.
Die Konstruktionen o), p), q) versagen, wenn die zwei beliebigen
Punkte P, Q auf einem Kreise (B) liegen. Für diesen Fall bemerken
wir, dass durch P, Q und D ein Kreis geht, der in P und Q zum
Kreise (B) orthogonal steht. Der Mittelpunkt dieses Orthogonalkreises
liegt im Schnittpunkte der Geraden, welche in P und Q den Kreis (B)
berühren. Zeichnen wir nun bei o) die Schnittpunkte des Orthogonal-
kreises mit den Kreisen [QRR*} und QRR^*], so ist Q der eine
dieser Punkte. Die zwei anderen sind Lagen von 1). Im Falle p)
schneidet der Berührungskreis in P an K^ aus dem Orthogonal-
kreise [PQ\ zu (B) einen Punkt 1) aus. Im Falle q) verbinden wir P
und Q mit den Punkten, in welchen a* den Kreis (jB) trilft. Diese
vier Verbindungslinien schneiden sich paarweise auf a*; femer in P
und Q und überdies in zwei Punkten, welche mögliche Lagen von D
vorstellen.

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Von Dr. C'hh. Beyel.

VI.

301

20. Wir untersuchen schliesslich eine spezielle Form K^^ des
kubischen Kreises (Fig. 6).

Wir nehmen an, dass die Verbindungslinie c der Punkte DB den
Winkel der Tangenten q r halbiere. Dann i^ia — d. h. die vierte harmonische
Linie zu c in Bezug auf qr — senkrecht zu c. Also ist auch die
Tangente 5 in -B an Ä,^ senkrecht zu c. Nun sind c und s ent-
sprechende Strahlen der Büschel ä,/, St- Sei rf, h ein weiteres Paar,

so ist <)Zcd= -sh d.h.:

Der Winkel gj, den ein Strahl d mit c einschliesst, ist
halb so gross wie der Winkel, den der entsprechende Strahl b
mit s bildet.

Aus diesem Satze ergeben sich einige Konstruktionen von JST/.

Wir zeichnen über DB als Durchmesser einen Kreis [BDä],
h schneide diesen Kreis in Pj. Dann ist <)Cs6 = <)C BDF^. Halbieren

Flg. 6.

wir den letzteren Winkel, so ist diese Halbierungslinie die zu h ge-
hörende Linie d und trifft h in einem Punkte P von K^, Allgemein
folgt daraus:

Verbinden wir die Endpunkte 2), B eines Kreisdurch-
messers mit einem beliebigen Punkte Pj des Kreises, so

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302 ^^^ kubische Kreis mit Doppelpunkt.

schneiden die Halbierungslinien des Winkels P^DB aus PjB
zwei Punkte von JST/.

Treffe d deu Kreis [BDd\ in P^ und die Linie s in S, so ist:

^^^^ <): p^hB^\ <): PBS.

^^^"^ '^^ P,5ä = ^ <): PBS, d. h.:

Verbinden wir B und .B mit einem beliebigen Punkte P,
des Kreises [P-Da] und zeichnen wir zu s die symmetrische
Linie in Bezug auf P2P, so trifft sie PjD auf Ä,'.

Weil P^B zu DPg senkrecht steht, ist PP^ = P^S, d.h.:

Halbieren wir auf den Geraden durch D die Strecke,
welche zwischen dem Schnittpunkte mit s und dem dritten
Schnittpunkte mit K^ liegt, so ist der Ort dieser Mittel-
punkte ein Kreis über BD,

21. Fällen wir aus P die Normale auf c und sei F der Fuss-
punkt, so ist PF^PP^, weil P auf der Halbierungslinie des Winkels
P^DF liegt. Folglich muss ein Kreis aus P durch P^ die Linie c
berühren. Daraus ergiebt sich folgende Darstellung von K,^:

Sind D, B die Durchmesserendpunkte eines Kreises, so
gehen durch jeden Punkt P^ dieses Kreises zwei Kreise,
welche DP^ in P^ berühren und die Gerade DB zur Tangente
haben. Die Mittelpunkte dieser Kreise liegen auf JK'/.

Die Punkte P^ und F liegen auf einem Kreise (D), für welchen
die Geraden P^P und PF Tangenten sind. Daraus folgt allgemein:

Die Tangenten durch B an einen Kreis (/)) schneiden au^
den Geraden, welche in den Schnittpunkten von BD mit (D)
diesen Kreis berühren, vier Punkte von K,^,

Nach diesem Satze erhalten wir die Punkte von Ä'/ paarweise in
orthogonal symmetrischer Lage zu c und in Gruppen von vier Punkten,
welche ein doppelt zentrisches Kreisviereck bilden. Spezialisieren wir
diese Konstruktion für den Kreis (D)P, so folgt, dass er in B die
Kurve X,' berührt. Die Tangente in seinem zweiten Schnittpunkte
mit BD ist die reelle Asymptote as. Eine bequeme Darstellung von
Kg^ ergiebt sich auch, wenn wir diese Kurve als Bild der Durch-
dringung von zwei Kegeln zweiten Grades auffassen (16.). Die Leit-
kurven dieser Kegel sind zwei Kreise und zwar der Kreis, welcher BD
zu einem Durchmesser hat und der Kreis, für welchen B und die Mitu*
31 der Strecke BD Endpunkte eines Durchmessers sind. Eine Gera<le
durch M schneidet beide Kreise. Lidern wir diese Schnittpunkte resp.
mit D und B verbinden, erhalten wir Punkte von K„^, Wir bemerken
"noch, dass BP auf MP., senkrecht steht. Folglich lüsst sich JT/ auch
durch einen Kreis (Jf) so erzeugen:

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Von Dr. Chr. Beykl.

303

Wir ziehen einen Durchmesser m des Kreises und ver-
binden seine Schnittpunkte mit dem Endpunkte D eines
zweiten Durchmessers. Fällen wir aus dem anderen End-
punkte B dieses Durchmessers die Senkrechte auf w, so
trifft sie die erwähnten Verbindungslinien in zwei Punkten
Ton Ks^

Um die Tangente in einem Punkte P von if/ zu zeichnen, ver-
fahren wir — nach 15 — wie folgt:

Wir ziehen in P die Senkrechte zu BP, schneiden mit
(lieser DB und projizieren den Schnitt in der Richtung von
BP auf a. Durch die Projektion C geht die Tangente in P.

Wir haben uns in der vorstehenden Monographie einer besonderen
Kurve dritter Ordnung vollständig auf die graphische Darstellung dieser
Kurve beschränkt und sind allen Verallgemeinerungen, sowie allen ana-
lytischen Betrachtungen aus dem Wege gegangen. Was die Ver-
allgemeinerungen betrifft, so

lassen sich aus den ent- f*«-7.

wickelten Erzeugungen und
Eigenschaften von K^ durch
Transformation leicht Ent-
iitehungen und Eigenschaften
von allgemeinen Kurven drit-
ter Ordnung mit einem Dop-
pelpunkte herleiten. Femer
liegt es nahe, die zirkuläre
Kurve dritter Ordnung ohne
Doppelpunkt zu untersuchen,
deren Tangenten in den
imaginären Kreispunkten sich
in einem Punkte der Kurve
schneiden. Diese Kurve wäre als kubischer Kreis (ohne Doppelpunkt)
zu bezeichnen.

Die analytische Betrachtung knüpft bequem an die Kurve JT,* an,
welche eine ähnliche Form hat wie das Folium von Descartes. Machen
wir D zum Nullpunkte, a zur j/-Axe und sei DB = c; <KPDB -= (p
iFig. 7), so ist: y = xig(p die Gleichung von DP und

y = (x- c) tg (90®+ 29) die Gleichung von BP.

Eliminieren wir 9?, so ergiebt sich:

a^ — x^c + y^{x + c) — 0

sils Gleichung von K^^, Transformieren wir diese Gleichung, indem

wir die Tangenten g, r in Z) zu Axen machen, so folgt die Gleichung:

^.3 _ y3 _ ^2y ^ y^^ j^ 2cV2'Xy = 0

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L

über das Problem der Winkelhalbierenden.

Von

A. KORÖELT,

Beallebrer in Meerane i S.

Die bis jetzt behandelten elementar -geometrischen Aufgaben sind:

a) solche, welche sich durch Lineal und Zirkel, also durch Qua-
dratwurzeln losen lassen;

b) solche, deren Lösung nur durch Ausziehen höherer Wurzeb
möglich ist, z.B. das Delische Problem, die Dreiteilung eines
beliebigen Winkels;

c) solche, die überhaupt nicht auf algebraische Gleichungen
führen, z.B. die Quadratur des Kreises.

Die Aufgabe nun, die Seiten eines Dreiecks aus den inneren
Winkelhalbierenden zu bestimmen, ist von einer neuen Art, denn
sie lässt sich im allgemeinen weder mit Lineal und
Zirkel, noch mit Hilfe beliebiger Wurzelgrössen
lösen.
Das will ich jetzt zeigen. Der erste Teil dieser Behauptung, der
nur ein besonderer Fall des zweiten Teiles ist, wurde schon im ersten
Hefte der Zeitschrift für mathem. und naturw. Unterricht von Hofi
mann 1897 bewiesen. Dabei muss ich zuweilen das neue Werk:
Weber, Lehrbuch der Algebra, 2 Bde (W.) anführen.

Sind a^a^a^ die Seiten, w^w^Wq die entsprechenden innem Winkel-
halbierenden eines Dreiecks, so ist bekanntlich:

_«2^(««_+5)"-«i*]

a, (^+«2;>- «8 + ^1 -^s

1)

w,^^

also
2)
setzt man

nun:

(;?)"=

3)

^^1'

SO erhält

man:

H\ iu a„

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Von A. KoRsiäLT. 305

oder nach x^ geordnet:

5)
6)

Man findet noch:

oder:

"«'(«B V- 1) + ^« ^* V+ («»* + WW - (c«' + 2).r, - e,»J

" r

+ e,V.-V-0.
5), 7) sind Gleichungen für die Unbekannten x^x^ und baben die
^'"""^ ax,' + fca^ä + ex, + r/ = 0,

a'xj» + b'x/ + «jg + </'= 0,

rt'=0, b'=e,W-h

c = «8*^»' + (Cs* - 1)^-,* - (cj* + 2)x, - e,*,

(/= eiV+ (<■.- + 20-^3*- («»*+ 2).r,- e,',

3.

rf «= — u:.

2

3

Versteht man nun unter {mn!) den Ausdruck miJ -- m-Uy so ist
nach Salmon-Fiedler: „Vorlesungen über die Algebra der linearen
Transformationen*' S.93 die Resultante R der Gleichungen 5), 7):

^^ 1 + {hdJiaV) ~ {aV) (6 d){cd') = 0.

Hierbei ist:

(a&') = 6,V-l,

(ad) = e, V + (%' + ^e^W - («i* + 2)x, - f^,

(ad')=(f,*-l)V,

(6c') = (^* - es»c,»).r,' + (3ej^ + e,V,' + <;,« + e^^jx,*

+ (2V+'5c8V-<i*+4ft,V3'
+ (- 2 V + 3ej V - öf,* - 2c,» - 3) V
+ (- 3e,^ - 3f,»)x, - V,
(6d') = c,»x,» + (f,V,-<^» + OV + (2fgV-2«,*+f,*-2)V

K) = c, V+ (e»*+ 2c,»+ «,*«,»)av'' + (c,* V- «.*+ «5*- 1) V

/ Google

I

igitized by '

9)

306 Über das Problem der Winkelhalbierenden.

Setzt man diese Werte in 8) ein, multipliziert aus und bezeichnet
abkürzend -, mit B^, rr, mit x, a«,"*«,* mit a-mn, so erhält man
nach einer allerdings mSlisamen Rechnung:

^2?i =(1-44-1 •62)«'«

+(l-46-l-64-4-62-2-44+2-26+l-60+l-06-l-42-l-24)x«
+(- 4-64 -3-62- 15-44 + 4-60 + 6-42-10-24).r«
+(-6-46- 4-64 + 8-62-12-44-12-26 + 2-24 + 4-60

+26-42 -6-06 + 8-22- 4-40 -4-04)x'
+(-4-46 + 4-64 + 17 -44 + 14-62 + 4-06 + 21 -42

+ 30-24-4-60 + 1204- 12-40>«
+ (9- 46 + 10 -64 + 18-26 + 13-44 + 2-62 + 11 06 -4-24- 13-42

-10-60-904-18-22-9-40)a;*
+(12-46 + 4-64-21-44-14-62-12-06-30-24

-17-42- 4-60 + 4-40- 4-04)ar*
+ (-4-64 + 4-46- 8-26 -26-44 -8-62 + 12-42 -2-24 + 4-06

+ 4-60 + 6-04+ 12-22 + 6-40)x»
+ (-4.64-6-44+ 3-62+10-24 + 15-42 + 4-60)«*
+ (-l-64+l-44+4-62+l-24+2-42+l-60-2-22-l-40-l-04)/
+(1-20-1-00)1-42 = 0.

Im folgenden werden in einer Funktion f der Variabein x,ij.
zuweilen für letztere andeie Ausdrücke a, b . . . zu setzen sein; wir
wollen dies mit f(x = a, y = h, . . .) bezeichnen.

Die Gleichung 9) habe ich durch vielfache Proben bestätigt ge-
funden. Man findet z.B.:

— O" '^ = •46*«'»+ (4c«+ 18c*)««+ (10e«+ 16c*- 26e»)«'

+ (-31c*-51e*)««+ (-19e«-33e*+12e«+36)x'

+ (-16e«+35e*+63eV
+ (42e*- 18c*- 24)«»+ (4c«+ 3e*- 29eV
+ (c«-5c*-4c*+4)«-c*+c*
- (2e*«»+ 3«*«*- 4« - c-°)[2c*«« + (2c*+ Ge^x^
+ (2c*- c*- 9)«*+ (-3c*- 9e*)«»

+ (- 4c*+ 4c*+ 6)«*+ (- e*+ 5c*)« + e*-ll,
oder abgekürzt, „ „

und 9'i = 0 ist auch gerade diejenige Gleichung, welche man aus 1^
unter der Annahme ic^ = tv^, also im Falle eines gleichschenkligen
Dreiecks findet. In etwas vereinfachter Gestalt ist dies Gleichung 7)

„igitized by C^OOQIc

10)

Von A. Korbelt. 307

in meiner Bemerkung S. 82 der Hoffmannschen Zeitschrift, Jahr-
gang 1897.

Wir haben nun zu beweisen, dass die Gleichung JB^ = 0, aus
welcher sich das Verhältnis zweier Seiten durch die Winkelhalbierenden
bestimmt, nicht auflösbar ist und zerlegen den Beweis in zwei Teile.

a) JR^ ist eine unzerlegbare Funktion von x.

Jeder Faktor R^ müsste nämlich e^ und e^ enthalten. Denn wäre
ein solcher Faktor z.B. von e^ unabhängig, so müsste er in allen
Koeffizienten desjenigen Ausdrucks aufgehen, der aus R^ durch Ordnen
nach Potenzen von e^ hervorgeht. Diese Koeffizienten haben aber nur
1 als gemeinsames Maß. Ähnliches findet man für e^. Also wäre
B^ auch eine zerlegbare Funktion von e^ und e^ für beliebige Werte
von X, welche nur die Dimension von R^ in Bezug auf e^ und e^ nicht
erniedrigen, z.B. für x^h Dann ist aber:

2?^(^ = l) = 2i?2

2(8e'2^f3« + e,'e,' - 25e/^3^ + 266,%'-^ 2e,'e,' + e,' - 8e,').

") I-

7?5 müsste also zerlegbar sein. Nun beweist man wie vorhin, dass

jeder Faktor von R^ sowohl €2 als ^ enthalten muss. Also muss i?g

eine zerlegbare Funktion von €2 bleiben für jeden Wert von ej, der

(Jen Grad von 7?2 ^^ Bezug auf e^ nicht erniedrigt, z.B. für ^= /.

Dann ist aber:

12) i?,(^3 = /) « - 1?3 = - (e,6 ^ 66^/ + 262' +1).

B3 = 0 hat nur komplexe Wurzeln , jeder reelle Faktor von R^
muss geraden Grades sein. Wie man leicht sieht, hat JR3 = 0 keine
rationalen Wurzeln, R^ müsste daher, weil es sechsten Grades ist, einen
quadratischen Faktor ^2^+ ac^ + ft haben, der in zwei komplexe lineare
Faktoren zerfällt. 6 ist = ± 1 , infolge des eben angegebenen Umstandes
ist es =1. 2?3 enthält nur gerade Potenzen von «-j, dasselbe muss für
e\ + ae2 + b gelten, also ist a = 0. 7?g müsste also durch ^g^+l teil-
bar sein, was nicht geschieht. Also ist R^ unzerlegbar im Bereiche der
rationalen Zahlen und damit auch R^.

b) l?i = 0 ist durch Wurzelgrössen nicht auflösbar.
Wäre 2?i = 0 algebraisch auflösbar, so wäre es umsomehr
I R,(€2 = e,= i)=^2R,

^ \^2(2x''+Sx'+4x-\)(x^+2x'+Sx^-3x^+x'+^x+l)--0,
0<ler abgekürzt: giJ, = 2f, /^ == 0.

Da f\ = 0 als Gleichung dritten Grades auflösbar ist, so müsste
es auch ^2 = 0 sein. Wir beweisen nun, dass das Letztere nicht statt-
findet.

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308 Über das Problem der Winkelhalbierenden.

\) /g ist unzerlegbar.

/j == 0 hat nämlich keine rationalen und nur komplexe Wuraelu,
müsste also, wenn es zerlegbar wäre, einen unzerlegbaren quadra-
tischen Faktor x'+ax + b haben, der in komplexe lineare Faktoren
zerfiele. Daher und da b eine ganze in 1 aufgehende Zahl sein soll,
kann b nur -= 1 sein , also a nur entweder = 0 oder = H- 1 . Keiner
der so entstehenden Ausdrücke geht aber in f^ auf. Also ist /j un-
zerlegbar.

bg) /ä = 0 ist nicht auflösbar.

Wir hatten unter b) die Gleichung J?i = 0 als auflösbar an-
genommen und in a) und b^) die Funktionen Bj und /^ als unzerlegbar
nachgewiesen. Wir benutzen nun den Satz (W. II, S. 296):

Wenn eine unzerlegbare Gleichung, in deren Grade r^ mehr
als eine Primzahl aufgeht, durch folgeweise Adjunktion von
Wurzelgrössen in Faktoren zerfällt, so wird eine Zerfällung
in s Faktoren r*®" Grades herbeigeführt durch Adjunktion
der Wurzeln einer auflösbaren Gleichung r*®° Grades.

Darnach musste E^ entweder ein Produkt /i, 5 /i,6 von zwei Fak-
toren fünften Grades werden durch Adjunktion der Wurzeln einer
quadratischen Gleichung Pj = 0, oder ein Produkt /i, 2 • • • /6,2 aus fünf
Faktoren zweiten Grades durch Adjunktion der Wurzeln einer Gleichung
fünften Grades ^5 = 0. Diese Faktoren kann man immer so einrichten.

dass durch die Substitution e^ = e^== i kein Koeffizient unendlich oder
unbestimmt wird und nicht alle Koeffizienten eines Faktors verschwinden.
Durch diese Substitution wird dann in beiden Fällen der höchste
Koeffizient nur eines Faktors verschwinden, da i?, dadurch eine Funktion
neunten Grades wird, /i, 5/'«, 5(62= ^3 = /) ist also ein Produkt aus
einem Faktor vierten und einem fünften Grades, f\ 2 • • • /i, 2 (% = ^s =" 0
besteht aus einem Faktor ersten und vier Faktoren zweiten Grades.
Das Produkt 2/?4, in welches nach 13) B^ durch diese Substitution
übergeht, hat aber keine von diesen Formen, und da

in jedem bestimmten Rationalitätsbereich eine ganze
Funktion nur auf eine Art in unzerlegbare Faktoren
zerlegt werden kann (Kronecker, Grundzüge einer arith-
metischen Theorie der algebraischen Grössen, S. 13),
so muss jeder Faktor f\ und /j von A4 durch jede der obigen Ad-
junktionen zerfallen. Nun ist /i = 0 unzerlegbar und dritten Grades,
die Adjunktion Q^ = 0 kann also diese Gleichung nicht zerlegen, und
es bleibt nur die Adjunktion der Wurzeln einer Gleichung 95 = 0 zu
betrachten übrig.

Durch Q^{e^ = ^^ == /) = 0 muss also f\ in lineare und f^ in Faktoren
von nicht höherem als zweiten Grade zerfallen, f^ ist sechsten Grades,
und es beisteht der Satz (W.II, S.296):

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Von A. Korselt. 309

Um alle auflösbaren Gleichungen sechsten Grades in
einem Körper Q zu erhalten, adjungiere man dem Körper Sl
eine Quadratwurzel und bilde in dem erweiterten Körper
alle kubischen Gleichungen, oder man adjungiere die Wurzel
einer kubischen Gleichung und bilde in dem erweiterten
Körper alle quadratischen Gleichungen.

Daher muss q^ {r^ = Cg -- /) = 0 einen solchen unzerlegbaren Faktor
dritten Grades c^ enthalten, dass die Adjunktion der Wurzeln von
p3 = 0 die Ausdrücke f\ und f^ zerfallt. Die Gleichungen /i = 0 und
/^^ 0 müssen also äquivalent sein, d.h. eine Wurzel der einen Gleichung
ist eine rationale Funktion einer Wurzel der anderen Gleichung. Wir
dürfen daher geradezu f\-^ 0 oder eine ihr äquivalente Gleichung als
()3 - 0 annehmen.

Nehmen wir z.B. die Gleichung, die aus f\= 0 hervoi'geht,^ durch
die Substitution:

14) X ^- -~ ^-+J- oder ij = -T-S
so erhält man:

15) y'~y'+2tf + 2 = 0.

Wir benutzen nun die Begriffe der Dedekindschen Theorie der
algebraischen Zahlen, die sich in dem letzten Supplemente von
Dirichlets „Vorlesungen über die Zahlentheorie" (Braunschweig 1894)
findet. Damach sind die Wurzeln von 15) ganze algebraische Zahlen,
und wenn y^ eine derselben, so ist der Körper Q/^) dritten Grades,
und jede Zahl desselben hat die Form:

m = — ~ — -^^ ^ -f

wo a, b, c, k ganze teilerfremde Zahlen sind, deren letzte positiv ge-
nommen werden kann. Es soll nun bewiesen werden, dass

m nur dann in (//^) eine ganze algebraische Zahl ist,
wenn fc = 1 ist.

Denn die Diskriminante von 15) ist:

J) = - 200

und k kann nach der benutzten Theorie nur solche Faktoren enthalten,
deren Quadrate in D aufgehen. Also kann k nur eine der Zahlen
1, 2, 5 sein.

Ist aber ;?^(fi = 1, 2, 3) eine jede Wurzel der Gleichung:

15') ^'~]h^' + P,^-Ps-0,

so ist allgemein:

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310

über das Problem der Winkelhalbierenden.

16)

1,»

'[J(:H + u^+vz^+ M^^^) = «» + [3Mo+J)ir + (i)*x -2i))/f]r'

+ (3«*o + 2[p, V + (p\ - 2p,)w]u^+p,v'

+ (PiPi - ^P»)'ow + {p\ - 2p^p;)tv^)u

+ M»+ [pi« ■\-{p\-2piW]u\+ {PiV^+ (Pift -3i)s)nf

In unserem Falle ist:

1, j,j = 2 = -J)8, Wo =

b c

17)

Nach der Definition der ganzen algebraischen Zahlen müssen die
Koeffizienten der Potenzen von u in 16) ganze rationale Zahlen seiö,
also:

3(78 + 6- 3c = 0 (modfc),

3a*+ (2b ~ 6c)a + 26^ + 86c + Sc^^ 0(mod/c2),

(modÄ»).
Aus der ersten Kongruenz folgt:
17') 6 = 3c-3a(modÄ),

^^^^ 6 = 3c-3a + Ä6i,

und dies in die zweite eingesetzt ergiebt:

löa^-lOJcab^ + 50c* + 20kcb^ - 60ac ~ 0(modJk»),
oder da Ä nur 1, 2, 5 sein kann:

18) 15a«+60c«-60ac = 15(a~2c)«-10c«H:0(Ä«).

Ist also Ä = 2, so folgt:

a = 0, bzic (mod 2),

daher aus i?«): , ^ r^/ ^c^\

*^ 6 = 0 = c = 0(mod2),

gegen die Voraussetzung, dass a, b, c, k teilerfremd sind.
Ist aber h = 5, so folgt aus 18):

a(a + c) -0(5),

a = 0, oder a + c :h 0 (mod 5).

Beides giebt auf 17^) angewandt:

c = a = & .= 0 (5),

wiederum gegen Voraussetzung. Also ist in dem Ausdrucke m der
Nenner ä =» 1.

also entweder

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Von A. KoHSELT. 311

Es ist also (1, y^, y^^) eine „Minimalbasis'^ des Körpers (y^).
Würde nun /g durch Adjunktion der Wurzeln von 15) zerlegbar, so
könnte man setzen:

19)

= JJ[(a?H a^x) + h+(aj^x + b^)yf,+ {a^x + fco)»«*] ■

worin die Grössen ah rationale Zahlen sind. Wir beweisen noch, dass
sie ganz sein müssen.

In der That sind alle Wurzeln der Gleichung /^ «= 0 ganze Zahlen,
also muss auch jeder Faktor der rechten Seite von 19) nur ganze
algebraische Zahlen als Wurzeln haben. Nun besteht der Satz:

Sind die Koeffizienten einer algebraischen Gleichung
algebraische Zahlen und insbesondere der höchste =1, und
hat die Gleichung nur ganze algebraische Zahlen als Wurzeln,
so sind alle Koeffizienten ganze Zahlen.

Der Beweis folgt daraus, dass Summe, Differenz und Produkt
ganzer algebraischer Zahlen wieder algebraische Zahlen sind(W.ILS.491),
und dass jede ganze Funktion n*®* Grades in n lineare Faktoren zer-
legt werden kann.

Darnach, und weil (1, j/^, y^*) eine Minimalbasis des Körpers (y^i)
ist, müssen die Grössen a und h in 19) sogar ganze rationale
Zahlen sein.

Das Ausmultiplizieren der rechten Seite von 19) geschieht nach
der Formel 16), wenÄ man. darin setzt:

w = 0?* + a^x, «0 == ftj, V = (^iX + 6i, w? = a^x + \,

f^-^a?{x + a;f+iU^+a,x + \-^{a^x + \)]x\X'h(h)^

+ (36«2+ 2r,)(a; + er,) + h\ +[a^x + \- Z{a^x + hW^

A = ^'^^ (3^2+ «1 ~ 3flro)a?H [3a,» + 3(6^ - 6o)>*

+ [a\+{a, - 3flro)aa«]rc»+ \Z{b^^\)a\+ U\\x^
+ [36^+ K- ^a,)l\]x + 1\ + (h, - U^)l\ + 2r„

^0 r^r^r^r^ ganze ganzzahlige Funktionen der Grössen a, 6, x sind.
Vergleicht man aber die beiderseitigen Koeffizienten von x^ und x^j so
findet man:

2 = 3aj + «1-3(70

- 3 = a', + (oi - 3 flo) a\ (mod 2),
oder da:

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20)

312 ^'^^^ör das Problem der Winkelhalbierenden Von A. Kobselt.

0 1= «2 + ÖTi - ÖTo,

1 ee: flfg* + (aj — öo) «5 - ^ ^s (^'s + ör, - ao) ^ 0 (niod 2).

Letztere Kongruenz ist ein Widerspruch, die Gleichung 20) kann
also nicht bestehen, /g ist nicht durch Adjunktion der Wureeln von
15) zerlegbar, also Äj = 0 auch nicht algebraisch auflösbar.

Dies Ergebnis können wir auch so aussprechen:

Die Aufgabe, die Seiten eines Dreiecks aus den inneren
Winkelhalbierenden zu bestimmen, lässt sich im allgemeinen
weder mit Lineal und Zirkel noch durch Ausziehen beliebiger
Wurzeln oder durch beliebige Winkelteilungen lösen.

Damit ist die Frage des Herrn Dr. Hey mann auf S.567 der
Hotfmannschen Zeitschrift, Jahrgang 1896, ob das Qleichungensystem
des Problems der Winkelhalbierenden auflösbar sei, verneinend ent-
schieden.

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Eine Determinantenformel.

Von

Prof. Dr. E. Schulze

in Friedenau bei Berlin.

Die doppelt orthosymmetrische Determinante ist sowohl in dieser
Zeitsclirift (Zehfuss, 7. Bd.; Weihrauch, 26. Bd.) als auch in anderen
(Grelle, 73. Bd., Abhandlung von Stern) wiederholt Gegenstand der
Untersuchung gewesen. Als ihre wichtigste, auf verschiedenen Wegen
abgeleitete Formel ist gefunden worden:

1)

a„-.i a^-s'. ■ . «3 Ojj ttj
öt/i öt/i-i «3 <h

! % «1 a«

= ori-OTg-tta a„,

; «-»-1 ci^ «1 »

«1, «2; • • • ^» s^^^ ^^^ Werte der w -wertigen Grösse

wo e eine der w**" Wurzeln der Einheit ist.

In dieser Abhandlung soll gezeigt werden, dass nicht nur die doppelt
orthosymmetrische Determinante sich in obiger Weise als Produkt von
n Faktoren schreiben lässt, sondern eine Determinante von viel allge-
meinerer Form, von welcher jene nur einen ganz besonderen Fall dar-
stellt. Es ist die Determinante, welche Weierstraß in seinem an
Schwartz gerichteten Briefe (Göttinger Nachrichten 1884) mit

^fikr^aA (Ä;,|it,r = 1,2,3,. . . «)

bezeichnet hat; falls sie gleich Null ist, wird die Division zweier aus
n Einheiten gebildeten komplexen Zahlen unmöglich, und ein Produkt
kann verschwinden, ohne dass einer seiner Faktoren verschwindet.

Zunächst soll der Wert der Determinante «, den Weierstraß nur
in obiger kurzer Form angiebt, aber nicht ableitet, genauer entwickelt
werden. Machen wir betreffs der Multiplikation zweier komplexen Zahlen -

Zeitschrift f. Mathematik 11. Pliysik. 42. Jahrg. 1897. G.Heft. 21 C^ r>.r^rAr>

ttgitized by VjOOQ IC

314

Eine Determinantenformel.

die Annahme, dass die Produkte der Einheiten lineare Funktionen
von ihnen sind, dass also

^ • ^1 = «111 ^1 + «211 ^2 + «SU ^3 H ^■ ««11 ^«

^r ^2 = «112 ^1 + «212 ^ + «312 ^3 + '. ." f ^,.«*1? ^^ *•"

2)

1 ^nnn ^n

ö» * ^n "^ «1 » « ^1 I

ist, SO ergiebt sich:

a • ß =^^* ejt'^br er =^aA 6r 6;«*r ß/i. (A-, fi, r = 1,2,. . . ti).

t r

Setzen wir a - ß ^ y ^ c\e^ + ^2^2 H f" ^»^«? ^^ ^^^

und daher '^^ '^

^akhrSlkr = q, ^CtkhrBikr = r^,* * • ^Clf,br6nkr = Cn.

Fassen wir ß ^ — als unbekannte Zahl auf, so haben wir zur Bestini-
mung der Koeffizienten ft^, 6^, . . . 6« die Gleichungen:

(^^kSikl) • &i + r Va*€iifc8j52 H 1- (^^*«i*»)^>»"= ^1

(^^k^ikl) ' 61 + ^^«vt«2*8)&2 H h (^^fltA«2*»^&» = C^

(^ak£nkl)l>^ + (^akSnki\h + \- (^(X'kSnkn^K— C«.

Die Determinante dieses Gleichungensystems ist:

^^a*«l*l ^^ifc«U2 . . '^dkBlkt . .^ö*«l*ii I
^^*«2tl y(X'kS2k2 . . . ^ak^ikr • ' . ^akHkn

3) e

^dk^fikl ^ak^iaki' . '^akSfikr- . '^dkS^kn j

Hiemach hat — die Form:

a

Aus Gleichung 4) folgt, dass für « = 0 die Division unmöglich wird.

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315

Wir wollen jetzt nach Dedekindscher Auffassung (Göttinger Nach-
richten 1885) die Grössen e^,e^,...en nicht mehr als Einheiten, sondern
als n- wertige Zahlen ansehen. Die n Werte von e^ seien e^J), e^J), . . . e(j),
von e^ c^J), ^|J, . . . e(j) u. s. f.; e^*, e^^ • • . e^^ sollen zusammengehören. Dann
ist auch a eine n- wertige Grösse; ihre n Werte sind:

5)

Bringen wir Gleichung 4) in die Form 6 = a • 9, so können wir
sie in die n Gleichungen

f = «i9i,

«2^2?

Cf8 9?3 . . . £ = antpn

auflösen, d. h. a enthält a^, «^ . . . a„ als Divisoren, und daher ist:
6) € = A • or^ • «2 • «3 . . . • a„.

Es kommt nun darauf an, den Wert von X zu ermitteln. Führen
wir die Multiplikation des Produkts a^-a^. . , an aus, so erhalten wir
als ein Glied der Summe a^^ • e^^^ • e^^^ . . . e^^\

Auch die Determinante b lässt sich, da ihre Elemente Summen sind,
in eine Summe von Determinanten gleichen Grades zerlegen; dasjenige
Glied, welches von den Koeffizienten a^, a^ . . . a« keinen andern als a^
enthält, ist:

-ßk""

f2*l

£lA2 . ■ • ^Ikn
«2/12 • • • f2*n

^nk\ «n*2 • • • ^nkn

I O^k^nkl} »*«n*2> • • • (Ik^nkn

Hiernach geht Gleichung 6) in die folgende über:

' HkX «1*2 • • • «Itn
' «2*1 «2*2 • • • «2*n

a*"

und daher ist:

7)

«1*1 «1*2 . • • fli«

+ •

= A.aJ.6f.e'/).

eW + .

j = A.e(/).4«).

e(-).

«11*1 «»*2 • • • «»in

Zur Bestimmung der w- wertigen Grösse ek betrachten wir die
n Einheitsprodukte:

ß* • ^1 = «1*1 ^ + «2*1 ^2 H 1- ^«*l ^n

6*-ßj= «1*2^1 + «2*2^2 + ^■ «n*2C;,

e*-6;,= «i*„^i + «2*71^2 H \' «»*n«/i

und schreiben die Gleichungen in der Form:

*ß_i!gitized by

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316

Eine Detenninantenformel.

8)

0= 6i*2 ^1+ («2*»— 64)62 H \- SnkiCn

0= fiifcn ^1+ f2*« ('2 + \-(enkn- ek)e^.

Aus diesem Gleichungssystem folgt die Determinantengleichung:

I («1*1 — 6jt) Siki «US- • • «l*n

«8*1 («2*2— 6it)£2*8. . . £2*«

= 0.

««*1 «n*2 (ßnkn — ^k)

Die Gleichung ist in Bezug auf d- vom n**^ Grade; sie heisse:

Bekanntlich gilt für das Produkt der n Wurzeln dieser Gleichung
die Beziehung: e</) • e^) - 4») ■ • • e^») = (-l)"gn.

Anderseits finden wir, wenn wir die von ejt freien Glieder der
Determinantengleichung 8) sammeln,

«1*1 «1*2- • • «1*«

«2*1 «2*«- • • «2*«

(-!)»• 2.=

«n*l

«n*ti

Vergleichen wir diese Resultate mit Gleichung 7), so ergiebt sich
A = 1, und daher hat die Determinante 8 den Wert:

9)

s = ai'a2-crj.

*n,

wo € und «ijcr^? • • • ^» ^^® ^^^ 3) und 5) angegebenen Werte haben.

Hiermit ist der Nachweis geführt, dass nicht nur die doppelt ortho-
symmetrische Determinante, sondern eine Determinante von viel allge-
meinerer Form, eben diö Determinante f, sich als Produkt von n Fak-
toren darstellen liisst. Dass letztere die doppelt orthosymmetrische
Determinante als besonderen Fall in sich schliesst, erkennen wir, wenn
wir für das Gleichungssystem 2) die Form wählen:

1) ^r^i = ^2; 2) eie>2 = e^8, 3) e^-e^^ e^, . . .n) e^e^^^e^.

Diese n Gleichungen sind hinreichend zur Bestimmung der n Grössen

^i;^2; • • • ^»5 ^^ ^^^'

By^ = 1 und Ck = <^i*.

Man erkennt leicht, dass in diesem Falle «^^r entweder gleich 1
oder gleich 0 ist, je nachdem fc bezw. w + fi gleich oder ungleich h -f ^
ist, und dass demgemäss die Determinante £ doppelt orthosymmetriscb
wird und für sie die in der Einleitung hingeschriebene Gleichung 1) gilt.

Die Determinante s ist in ihrer allgemeinen Form 3) von ziemlich
kompliziertem Bau, und die Formel 9) liefert infolgedessen nur bei be-
sonders einfachen Annahmen brauchbare Resultate. Ausser der doppelt

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Von Prof. Dr. E. Schulze. 317

orthosymmetrischen Determinante, die wohl den einfachsten und inter-
essantesten Fall darstellt, mögen noch einige andere Determinanten, die
verhältnismässig leicht zu behandeln sind, als Beispiele für die Deter-
minante 6 geboten und die Form, welche die Gleichung 9) ftlr sie an-
nimmt, in Kürze angegeben werden.

Eine etwas allgemeinere Annahme als die, welche auf die doppelt
orthosymmetrische Determinante führt, ist die folgende:

1) e.-e^^p^e^, 2) e^e^^p^e^, 3) e^e^^- p^e^, . . .n) e^en^PnCi,

wo P|,2)2, . . . p^ beliebige reelle oder komplexe Zahlen seien. Hier ist:

e," = PrP,-p,..Pn und e,= -_L__e,».

Unsere Determinantenformel 9) nimmt hier, wie ohne Schwierig-
keit zu erkennen ist, die Form an:

%iU Un^iPn^lPn

CVn-

iPn-tVn-'lPii

<^lPlP%"'Pn

(h CtnPn

»/»

-iPn— iPn (^i

»-22>«-2jPi— lj>n. "(hPiV^" Pn

anPn

a^^lPn^l Pn- • . (^sP9P4.' • Pn

iWt Pi

«1

anPn^.^a^P,Ps"'Pn

= «1«J«8- •«»»

rta-1

— - fl. fb. W-

i'ift...P»-s

•äÄ P^ ""' ""-P",

^« a,=

^A'+'^^m^+^

"» «))»+ "" (ei'-))« und

^'-^/p^P^^

^>Pn

Vorliegende Determinante ist nur einfach orthosymmetrisch; sie
wird zur doppelt orthosymmetrischen, wenn i^^ = jjg = • = 2>n= 1 ge-
setzt wird.

Ein anderes Beispiel sei:

1) e^e^ = e^,

2) e,e^^c,,

n) e^en=^ — ^1 — ^2 — 0» ö»-

Zur Bestinmiung von ß^e^, •••0« ergeben sich die Gleichungen:

^ — ^ = 0 und ßk = Cj*,
Cj — i

e^ bedeutet diesmal eine der n+1*®** Wurzeln der Einheit, die Eins
nicht mitgerechnet. Man erhält nach einiger Umformung:

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318

Kine Determinantenfonnel.

-da

»A-»»-

■1

dn

— 1

a«-

-2. . »8 — ö^i »j— aj

»1

-«»

an-

-a«-

-1- • •C^4-»3 (h—^2

a^-a^

«1

»n

^4-0^3

a^-a^

O,-«!

»1

— an «6—^4

wo

.öo-

-Oj rtg — »1 ttj — a»

«,.

m

rf'-)-

f a,(

«- a^ajOg. . . a«.

2nir

und ej'")=c"+^ ist, z.B.:

öo a.

^2 «2 — a^
a, ~ a.

j o^ — a^ a^ — «3 , '{ß'ii—at+ ^n 0-

In einem weiteren Beispiele nehmen wir n = 27n als gerade an;
die Gleichungen, aus denen e^,e^y. . . e„ zu bestimmen sind, mögen lauten:

1) e,e, = e^, 2) e,e^ = e,

3?

2w_i) ^1 •<32m-l = e«B

2 m) 6^62«= - ßi + 26^+1.

Aus ihnen folgt: (^j._ i)2_ j ^^j e,= e*.

Die Determinantengleichung 9) erhält für diesen Fall die Gestalt:

öm+1, -(^*m+2a2;„), -(ai«.i+2aj,„.i)...-(ajH-2a«^i)

-»m+i, -(ötm+2a2;„)... -(a5-4-2a«_uj.

"^2mj "C^im-1 •

(«2

-a^n

a,n n-iJ ^U —^rn — a«-^i

(2ai + ö^m+l); »/« «2; ^l; — ^2/n — ««0.-

2a2+a«+2); (2ai+ain+i), «;„... Og,

«2«

— a-

(2a;„4-i+a2m-i), . • ■ (2ai+fl,n+i), a„, o^, a^, — a*

= K + «2 + «3 + • • • + ^m)*"- K - «2 + ^3 - a^ H «2«)".

Femer werde n=2^ als Potenz von 2 angenommen, und das
Gleichungssystem heisse:

2) e,^

3) ^3-«i = ^4-^ 4) c,* =

1) e,^=^»

9) Cg • Ci = Cie • f^g 10) ejoCi == e^g • r^ . . . 15) e^^e^ = e^^ • f^. 16) e^^^ = e,

6) ^6-^1=- ^8-^3 7) f^^i-^g-r^ 8) e«-=cj«

. ■ • M_2) <?»-ä • e^ =-- e« • ^3 *^-i) ««-
Hieraus folgt: e„^ 1 e^"= ^2-= e^'

^1 ^^ ^Äß-»

-it'i

w) e«* =-- e«.
= 1.

Durch ^1, ^2,f4,''8;-- lassen sich die übrigen Grössen 6^ ausdrücken:

e^-e.r„c.

^Tx ^1 ^4 ^Ä

e.CjC,

'8?

e-_2-- e'^r.

e-_i=-- e.fi

i^a*

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Die Determinantengleichung 9) lautet in diesem Falle:

319

»« — 1 Ctj, et»— S fit«— 2- •

et»— 8 «« — S C^Ä öt«_i . .

.a.

. a.

"'S

»4 ^3 ^2 ^1 • • öti. a«-l «11-2 öt«_3

Qfj «4 a^ «2 ... ttn-l an «j,_3 0^4-2

rZg «1 «4 «8 • • • ^»-2 ^«-3 ^» ^n-1

^l «2 ^3 ^4 • • • ^«-3 ö»_2 ««-1 «»

( «i + cii +a^+a^-{ h ««-8 + ««-8 + «n-l + ö^n)

(— «i + 0, — «3 + «4 a^-s + «*-2 — «/i-l -^ »«)

( »1 - «2 ~ ^3 + ^4 H h ^«-8 — a»~2 — »ii-l + «•)

• (— «1 — Oj + «3 + «4 «n».8 — a«-2 + «ä-1 + «n)

• ( «, + «2

«4 H ^«-« — ö^«-8 + a»-i + «»)

(— a, + «2 + «3 — «4 h a«_3 — »11-2 - ««-1 + «ii)

( a^ ~ «2 + «3 — «4 H »n^s + ai,_2 — «»-1 + »n)

(— «i — Og — «3 — «4 h «„-8 + a«-2 + »n-l + »»)•

Als letztes Beispiel wäMen wir das Gleichungssystem:

1) «1^^ = ^ 2) Cg^S = ^4 3) ^3^4 = Cg

Die Gleichungen sind dadurch charakterisiert, dass sie durch
cyklische Vertauschung von ^^,62,6^,... ineinander übergehen.
Für w == 6 ergiebt z. B. die Rechnung:

^,+fl3+«4+«5 -(«8-%) * -«2- Öt4+«5+^6-(«4-«6) ^ '■' «6+«2-^3-Ö^4+(«2+«4-2öb) /

-r «3- «4- «5 + («3+ «5- 2 a^)! a^-^a^^ »5+«6-(«r«6) ' • • • ■ Ö6+^2+^3-«4+(^+ö^4-2«i)«

-^'3+^V«5 + (ö^3-«5)' -a2 + ^^4+«5-«^6 + (^4+^6-2a3)'-- «6 -«^-»3+ «4+ (^2 "«4)«

-fV«4+«3) + (^V«5)'' ''2-^4+«5-^'6 + («4-»6)^' ■ ■ • " VÖ^+«3+^4-K-«4V'

-a3-fa4+a5-(a2-a5)/ ^2-«4-ör5+a6+(»4"«6)' ••■ «6+ «2+^3 +«4 -(«2 -«4)*'

■ 2*- [K-«^)+ K-Ö3+ «4+ «e) ^'J • [{«4- «1 ) + K- «2+ «3+ «5) *] • [(^3- «'6) + {«5-»i+ ^+ «4) «]

• [K- «5)+ K- «6+ «1+ ^%) '■] • [(«1 - ^'4) + (ö^3- «5+ 06+«2) **J • [K- «3) + («2- f^i^«5+ «1^1-

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320 EiiiG Deterininantenfonnel.

Diese Beispiele mögen genügen, um die Anwendbarkeit der Formel 9)
zu zeigen. Von den Koeffizienten c^jtr, welche durch das Gleichungs-
system 2) eingeführt sind, sind nur v? unabhängig, denn zur Bestim-
mung der n Grössen e^^e^^. , .e^ genügen n Gleichungen, z. B.:

^1^2 ^ ^112 ^1 • ^212 ^2 "i * * ' ^n\%^n

mit den ;?.- Koeffizienten £ai?^2n; • • • ^«i«' ^^^ übrigen Gleichungen
des Systems 2) müssen identisch erfüllt sein. Weil aber die Berech-
nung der abhängigen Koeffizienten e^tkr durch die n^ unabhängigen nur
bei besonders einfachen Annahmen leicht zu bewerkstelligen ist und
ausserdem zur Auffindung der Wurzeln 4^^ ß^^^; • • • «^i*^ eine Gleichung
n^^^ Grades (8) gelöst werden muss, ist die Ausnützung der Formel 9)
eine beschränkte.

Im Prinzip freilich lässt sich nicht nur die Determinante f, sondern

jede beliebige Determinante ^ ± a^^ a^^ ^ss • • • ^n« als Produkt von n
Faktoren darstellen, man muss zu diesem Zwecke die m* unabhängigen
Koeffizienten Sf^ir durch die n^ Elemente a^^, a^^, . . . a«„ der Determinante

/.d: ö^ii 0^22 •• • ^»n ™^* Hilfe der n^ Gleichungen:

a^i = a^fiii + «2 «112 H \- »n^ii«;

^21=^^1^211+^2*212 H \-(^n^2in,-" (^fik= C^i^fiki + «2fA<Ä2 H h «ü^/iti

berechnen und die erhaltenen Werte in die Gleichung 8) einsetzen, wo-
durch die Wurzeln e^^\ ej?\ . . . e["^ gefunden werden können.

Weil in den obigen n^ Gleichungen ausser den Koeffizienten f^ir
noch die Grössen a^ya^, . . ,an vorkommen, lässt sich sogar aussprechen,
dass jede Determinante auf unendlich viele Weisen als Produkt Ton
n Faktoren dargestellt werden kann, da wir über diese Grössen oder
statt ihrer über ebensoviele von den Koeffizienten £^tr beliebig ver-
fügen können.

Für w = 3 wollen wir dies durch ein Beispiel erläutern. Da a^
unbeschadet der Allgemeinheit gleich eins angenommen werden kann,
sind zwei willkürliche Annahmen erlaubt. Es sei z. B. «213 = ^313 =" 0.

Dann ist: j_ _l

e^ • 61 = f 111 61 + ^211^ + «311 ^8
(*i'€^= ^112^1 + ^212^2 + ^812^3

Aus der dritten Gleichung folgt: e^ = e^^^ und daher ist:

ßg • ^3 = %3^ 2 ^3 ' ^8 ^^ ^113 ^8 ^3 ' ^2 ^^ ^122^1 • ^222^ « %2^8'

Wählt man fi22;*222;%2 ^^^ ^^^ abhängigen Koeffizienten, so
findet man:

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Von Prof. Dr. E. Schulze.

*122 "" 7~ \^2 2^112 + ^812^118);

%2 '^ l (^211 ^112 + ^m ■"" ^212 ^111 "" ^811 hizh
*S11

321

*822

_■.(,

811*112

+ ^812 ^2

*8I2

ßiu)-

Aus den 9 Gleichungen:

'^'ll ^ ^111 + ^2*112 + ^3^118 ^'12 "= ^112 + ^2^122

'18

'^US

^21=^^211+^2^5

212

^32 — ^212 ' ^2^222 ' ^3^113 ^23 """ ^2 ^j

113

*811 ! ^2*312

'32-

«'312

+ ^'•2^1

322

rto« do f ,

*33

'3*^118

^Tgeben sieh für die 9 Unbekannten «2;^'37fiii; f2iuf8iu«ii2> '^2i2;«8i2;«ii3
die Werte:

ch ==

a,=

«33

^113— ^

13

WO

^112 ^" q i^li^hi ~ ^2^12^11 + ^2^*12^3 ~" ^*23^32)>

^212 ^ ^ V*21^^52 "" ^21^33 + ^3^31 ~" ^2^*12^l);

^312- 2^1^32 -^^2 «120^31);

Q --" ^21 + ^2^2 ~ ^2^11 — ^'2*^12 J

«^111

= «11 - G^ÄÄ —

*11

'83

*=112?

'2*212?

^811 "~ ^31 ■ ^*2^812-

Hiernach ist:

' «1. «.» «1. I -^ («(1) + «" e(i) + «,,) . (rW + Ja eW + «33)

«22

*82

*23

•(cf' + ""4') + «„),

"is

i^l\e^^\^^^ sind die Wurzeln der kubischen Gleichung:

I ^111 ^i hn

*112

*811

*312

0

— Cx

0,

' *113 ^' '^l

f'^\c!^\e^^^ findet man aus einer der Gleichungen:

^'l ' ^1 == ^111 • ^1 + ^211 * ^2 + ^311 • ^*18 0^^^ ^1 • ^2 = «112^1 + ^212^2 + ^312 ^13-

Beispielsweise ist:

• 7-2 11

• 10 22 2; = (1 + 2. 2 + 3). (2 + 2. J + 3). (3 +2- 4 + 3) =1120.
.-19 -26 3 I

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322 l'^ine Determinantenforniel. Von Prof. Dr. E. Schulze.

Falls

Ö^J2 = «^1 = »33 = ^;

a,

13"

0^2 === »i

'81"

ist, wird die Determinante doppelt orthosymmetrisch, und die Rechnung
ergiebt für diesen Fall:

{\/a^ + b^ + c^ — ab — ac — bc = r gesetzt).

.1 c a\ ^ ^ \ c-a ^ (c-a)(a-c + fV /

I j / a — b — r {b — a) (a — b — r) j\

\c a b. \^-c-ir^^{c^a){a-c-r)'^^y

Die Form, in welcher die doppelt orthosymmetrische Determinante
hier als Produkt auftritt, weicht von der bekannten Form, wie sie
Gleichung 1) liefert, nämlich:

a b c

b a c\

b c a — ~

c b a\

c a b

n c b\

-(f+a+t)-(c-i±i

V3

.(.-7v'3-_^„=-±üi+i)

erheblich ab.

Erstere Form wird für den Fall, dass 6 = c ist, besonders eiufacli:
es ist:

a b b

= (a + 26) (rt -b){-a + b).

a

b

h

b

b

a

h

a

b

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über eine von Abel untersuchte Funktionalgleiohung.

Von

Paul Stäckel

in Kiol.

In einer im ersten Bande von Grelles Journal veröflfentlichten Ab-
handlung* hat Abel die Aufgabe behandelt, zu untersuchen, bei
welchen Funktionen f{Xj y) der Ausdruck:

eine symmetrische Funktion der drei unabhängigen Veränderlichen
X, y, z wird, und ist zu dem eleganten Resultate gelangt, dass zu
jeder Funktion f{x^ y) der verlangten Beschaflfenheit eine Funktion
^'00 gehört, für die identisch:

ist. Nimmt man aber umgekehrt die Funktion V'W willkürlich an
und bezeichnet die inverse Funktion mit ^i(w), sodass

2) i^[^i(u)]-tt

ist, so wird durch die Gleichung:

3) /(^,y) = i^i[*(^) + Ky)]

die allgemeinste Lösung der Aufgabe gegeben, denn es ist:

fiz, f{x, y)] = ^, [H,{z) + ^(o:) + ^(y)]

eine symmetrische Funktion von x^y^z.

Gegen die Herleitung dieser Lösung lässt sich indessen mehr als
ein Einwand machen und da in den Anmerkungen, die Sylow und
Lie den gesammelten Werken Abels hinzugefügt haben, über die
betreffende Abhandlung nichts bemerkt wird, so sei es gestattet hierauf
genauer einzugehen.

•Wieder abgedruckt in den Oeuvres compl^tes, I.Ausgabe S. 1-4,
2. Ausgabe S. 61-65.

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324 Cber eine von Abel untersuchte Funktionalgleichung.

Abel bemerkt zuerst, dass infolge der Symmetrie

4) /T^,/'(^,y)]=/K/-(y,aj)]

sein muss. Wenn er aber daraus den Schluss zieht, dass notwendig

fipy y) - f{y, ^)

sein müsse, so ist zu bemerken, dass durch diese Aimahme allerdings
die Gleichung 7) erfüllt wird, dass es jedoch sehr gut noch andere
Lösungen von 4) geben könnte. Wäre z.B.:

und dieser Ausdruck genügt der Gleichung 4), so wird 4) auch durch

fi^y y) = - f(y, ^)

befriedigt.

Glücklicherweise lassen sich jedoch die folgenden Entwickelungen
Abels ohne Mühe so umgestalten, dass i^an die Gleichung:|

^■^■•- ^ '''\ f(^yy)-f(?^ry)

l'\> " '*' gär nicht zu benützen braucht. Wenn nämlich Abel behauptet, in-

folge dieser Gleichung reduzierten sich die fünf Bedingungsgleichungen
für die Symmetrie von f{z^f{xjy)'\ auf die beiden:

1 fi^^, f(^, y)] = fiy, f(^, ^)], ■" . r' . . -, ;

SO braucht man dafür nur zu s^en: Soll ^ " ' -^

fl^,n^,y)]

symmetrich in u^,y,z sein, so ist sicher notwendig, dass die beiden
Gleichungen: ^^^^ ^(^^ ^^^j ^ ^^^^ ^(^^ ^)-,^

W[^,/'(^,y)] = /Ty,/'(^,«)]

bestehen. Die erste der Gleichungen 6) ist mit der ersten der Gleicb-
ungen 5) identisch, die zweite der Gleichungen 6) enthält rechts

f{.T, z) statt f{z, x),

und dadurch wird bewirkt, dass man die Gleichungen 6) genau ebenso
behandeln kann, wie die Gleichungen 5) von Abel behandelt werden,
aber ohne die Symmetrie von /*(.r, y) in x und y benutzen zu müssen.
In der That, setzt man zur Abkürzung

7) /(^, y) - r, f(y, z) = Q, fix, z) = a,

so ergiebt sich durch Differentiation nach a*, «/, z:

8)
und hieraus folgt sofort:

dfi", t)

dt

dz

8 fix, q)

dx
d9

8?
8fiv, «)

dy

da

de

cz

da dx

df{z. t) dx ^

dx dy'

cf{x, q) dg

dg de

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Von Paul StÄckel. 325

QN (^ g de dz oq dö dt

' dy dz dx^^ dz Wx dy

Legt man der Veränderlichen z einen festen Wert Zq bei, so wird:

da dö f ^ i/v

10)

«nd aus 9) folgt: , ^^(,, ,) = q[^(^,) + ^(,)3,

WO Q eine willkürliche Funktion bedeutet. Das ist aber — von der
Bezeichnung abgesehen* — genau das Ergebnis, zu dem Abel in
seiner Gleichung 7) gelangt.

Die gesuchte Funktion f{Xjij) hat also notwendig die Gestalt:

11) fix, y) = Q[9(^) + ip{y)\
Bildet man jetzt f{Zj r), so kommt:

12) f\ßy fix, y)] = Q[9^ + q>Q{fpx + q>y%

und dieser Ausdruck muss symmetrisch in Xy y, z sein. Wenn aber
Abel hieraus folgert, dass das Argument:

(pz + ipQ[g>(x) + g>(y)]

selbst in x, y, z symmetrisch sein muss, so geht er wieder zu weit.

— und dieser Ausdruck genügt der Gleichung 11) — , so könnte jenes
Argument bei den Vertauschungen von Xj y, z sehr wohl sein Vorzeichen
ändern, ohne dass di^ Funktion sich änderte.

Aber auch wenn man hiervon absieht, lässt die Untersuchung
der Gleichung 12) zu wünschen übrig. Abel sagt nämlich, der Ver-
änderlichen z möge ein solcher Wert beigelegt werden, dass

<p(z) = 0
ist. Setzt man aber z.B.:

g>{z) = e%

so lässt sich diese Forderung nicht erfüllen, und es bleibt daher frag-
lich, ob man auf diesem Wege alle Lösungen der Aufgabe erhält.

Am einfachsten dürfte folgendes Verfahren zum Ziele führen.
Setzt man zur Abkürzung:

13) <)p(^) = S, 9>(y)-v> 9W = £

so muss die Identität bestehen:

14) Q[e + 9^(6 + v)] = Q[5 + (pQ{v + i)l

* Abel schreibt y statt Q, da er jedoch das Zeichen Y nachher in einem
andern Sinne verwendet, schien es zweckmässig, hier die Bezeichnung zu ändere. j

326 tber eine von Abel untersuchte Funktionalgleichung. Von Paul Stäckel.
Differentiiert man nach x und y, so kommt:

= Q'[| + 9Q(i? + Ö]-^9>Q(^ + tW(y)

und da

^9,Q(g + ,,) = -1-90(6 + ,?) . ^^/

ist, so muss ^ " ^

^9,Q(,+5)=i, "'• ■ •-;';•;;.;.

mithin, wenn rj + t^P gesetzt wird: ,^" .' - " y^.^

15) (pQip)^p + c '" . • ■ '

sein, wo c eine Konstante bedeutet. Das ist aber genau die Gleichung,
zu der auch Abel gelangt.

Führt man jetzt, nach dem Vorgange von Abel, statt (p(x) eine
neue Funktion tl;(x) durch die Gleichung:

16) (p(x) = tl;(x) - c
ein, so wird vermöge 15):

17) ^Ö(p)=JP,
und es ist daher:

1) tfix, y) = tl}x + tify.

Damit ist aber nachgewiesen, dass die von Abel gegebene
Lösung der Aufgabe auch die allgemeinste Lösung ist, wofern man
die Differentiierbarkeit von f{x, y) nach x und y voraussetzt.

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Zum Gesetz der elastisohen Dehnungen.

Von

K. Mehmke

in Stuttgart.

Die Grundlage der Elastizitäts- und Festigkeitslehre bildet auch in
den neuesten Darstellungen^ die ihr zu Teil geworden sind^ noch immer
der 1660 von Robert Hook e gefundene, 18 Jahre später von ihm veröflFent-
lichte Satz, dass die Kraft, mit der ein elastischer Körper die natürliche
Lage seiner Teile wieder herzustellen sucht, dem Betrage proportional
sei, um den jene Teile, einerlei ob durch Zug oder durch Druck,
daraus entfernt worden waren. Auf einen in seiner Längsrichtung ge-
zogenen oder gedrückten Stab angewendet und durch eine Gleichung aus-
gedrückt heisst dies: ^ _ ^^ ^^^^ ^ _ ^^^

wo ö die in dem Stab hervorgerufene (positive bezw. negative) Spann-
ung, £ die zugehörige (positive bezw. negative) Dehnung, i? eine filr
jedes Material konstant vorausgesetzte Grösse, den sogenannten Elastizi-
tätsmodul, a — 1 : i? den „Dehnungskoeffizienten"* bezeichnet. Das
„Hookesche Gesetz" oder, wie es auch genannt wird, das Gesetz der
Proportionalität zwischen Spannung und Dehnung, oder das lineare
Spannungs-Dehnungs- Gesetz, hat zwar zu keiner Zeit unbedingte An-
erkennung gefunden; führten doch die, namentlich von Seiten der
Ingenieure in überaus grosser Zahl angestellten Zug-, Druck- und
Biegungsversuche immer wieder — namentlich bei einzelnen für die
Technik wichtigen Stoffen, wie Gusseisen, Stein, Holz — mehr oder
minder bedeutende, auf keinen Fall zu übersehende Abweichungen vor
Augen. Nachdem aber durch die Experimente mehrerer Physiker
(Wertheim 1848, Morin 1862, Edlund 1861, 1865, Miller 1882)
das Hookesche Gesetz scheinbar bestätigt worden war, drohte es zum
Dogma zu werden; hat man es doch sogar schon als selbstverständlich
oder aus Gründen allgemeiner Art folgend hingestellt.** Und während
die Techniker dasselbe längst einer erneuten Kritik unterzogen hatten,
ist dies seitens der Physiker erst 1891 geschehen. In diesem Jahre
ist nämlich von J. 0. Thompson durch Zugversuche mit 23 m langen
Kupfer-, Stahl-, Messing- und Silberdrähten, die er unter P. Kohl-
rausch im physikalischen Institut der Universität Strassburg aus-
geführt hat, nachgewiesen worden, dass auch bei geringen Belastungen
das Proportionalitätsgesetz nur eine Annäherung an das wirkliche

* C.Bach, Elastizität und Festigkeit, § 2, I.Auflage. Stuttgart 1889.
*• Siehe z.B.: P.Auerbach in Winkelmanns Handbuch der Physik, Bd. I,
S 218, 1891.

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328 2""^ Gesetz der elastischen Dehnungen.

Elastizitätsgesetz darstellt* Thompson zeigt unter anderem, dass die
(dem spannungslosen Zustand entsprechenden) wahren Elastizitätsmoduln
bis 10 Prozent grösser sein können als die auf dem früher üblichen Wege
ermittelten, weshalb er es für notwendig hält, physikalische Kon-
stanten, die von dem Elastizitätsmodul abhängen, neu zu berechnen.
Wenn, wde oben erwähnt wurde, die Ergebnisse einiger früheren
Beobachter mit dem Hookeschen Gesetze sich scheinbar im Einklang
befinden, so erklärt dies Thompson auf sehr glaubhafte Weise da-
durch, dass jene Beobachter gewisse Fehlerquellen (Krümmungen und
Knicke in den Drähten, elastische Nachwirkung) nicht zu beseitigen
verstanden haben. Wir sehen hier den eigentümlichen Fall, dass die
Physiker eine Zeit lang den Fortschritt in der Erkenntnis der Wirk-
lichkeit gehemmt und indirekt die Entwickelung eines wichtigen
Zweiges der Ingenieurwissenschaften aufgehalten haben. Nach einem
Ausspruche, den C. Bach neuerdings gethan hat,** „gestatten die
Anforderungen, welche die Technik an den Ingenieur stellt, heute
nicht mehr — wenigstens in verschiedenen Fällen der Anwendung —
die Beziehung « = aö, welche nur für eine Minderheit von Stoffen
innerhalb gewisser Grenzen als zutreffend erscheint, ak allgemeines
Gesetz anzusehen und zur Grundlage der gesamten Elastizitäts- und
Festigkeitslehre zu machen."

Es fehlt nicht an Versuchen, an Stelle obiger Gleichung eine dem
thatsächlichen Verhalten elastischer Körper besser entsprechende zu
setzen und für die Festigkeitslehre nutzbar zu riiachen, aber keiner
scheint in weiteren Kreisen Beachtung gefunden zu haben. Nun hat
im Anfange dieses Jahres C. Bach ein allgemeines Gesetz der elasti-
schen Dehnungen veröffentlicht,*** das von einem seiner Schüler,
Herrn W. Schule, aus den Ergebnissen umfangreicher, sich über
mehr als ein Jahrzehnt erstreckender Versuche Bachs abgeleitet
worden ist. Es lautet: ^ „ ^gm.

a und m bezeichnen Konstanten, die vom Material abhängen und bei
einem und demselben Material für Druck andere Werte haben, als für
Zug. Als eine die Form andeutende Benennung dafür schlage ich
„Potenzgesetz" vor.f Der Exponent m liegt in der Regel — bei Guss-
eisen, Kupfer, Körpern aus Gement u.s.w. — zwischen 1 und 2, seltener.

♦ Joseph Osgood Thompson, über das Gesetz der elastischen Dehnung.
Wiedemanns Annalen der Physik und Chemie, Neue Folge Bd. 44, S 565 bis
576, 1891.

** C. Bach, Abhandlungen und Berichte, S. 294, Stuttgart 1897.
*** Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure, Bd. 41, S. 248 bis 262, 1897.
Übrigens ist, wie ich allerdings erst nachtHlglich bemerkt habe, das gleiche
Gesetz schon früher in Vorschlag gebracht worden, 1729 von Bülffinger uinl
1822 von Hodgkinson (siehe die später folgende Zusammenstellung).

t Vergl. A. Steinhauser, Die Lehre von der Aufstellung empirischer
Formeln, S 173, 1889.

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Von R. Mkhmke. ^^29

wie bei Leder, zwischen 0 und 1. Nur bei einer massigen Zahl der
in der Technik verwendeten Stoffe — Schmiedeisen und Stahl ge-
hören zu ihnen — nähert sich m in beträchtlichem (Inide dem Grenz-
wert 1, für den das Potenzgesetz in das Hookesche übergeht.

Das Potenzgesetz besticht durch seine Eleganz und giebt, wie
sich zeigen wird, in den wichtigen Fällen des Gusseisens und der
Körper aus Cement und Cementmörtel die Versiichsergebnisse besser
wieder, als andere empirische Formeln mit nur zwei Konstanten. Es
hat zugleich eine für die logarithmische Rechnung bequeme Gestalt
und wird sich deshalb für manche Anwendungen vermutlich sehr gut
eignen. Wenn man jedoch versucht, auch nur die Lehre von der
Biegung gerader Balken diesem Gesetz gemäss umzugestalten, stösst
man auf mathematische Schwierigkeiten. Xicht allein treten an Stelle
des statischen und des Trägheitsmomentes, mit denen man in der alten
Biegungslehre auskam, Integrale, die schon bei ganz einfachen Quer-
schnittfonnen sich nicht mittels bekannter Funktionen auswerten lassen,
es versagen auch bei diesen Litegralen, die eine Art höherer Momente
bilden, die meisten Methoden zur graphischen und mechanischen Be-
stimmung von Momenten höherer Ordnung, weil sie nur bei Momenten
mit ganzzahliger Ordnung anwendbar sind. Die Aufgabe lässt sich
zwar durch Benützung graphischer Hilfsmittel lösen, es schien mir
jedoch von Wert, zu untersuchen, ob nicht innerhalb derselben Grenzen,
zwischen denen das Potenzgesetz in guter Übereinstimmung mit den
Beobachtungen gefunden worden ist, letztere mit hinreichender Genauig-
keit durch eines der anderen früher vorgeschlagenen, dem fraglichen
Zweck sich leichter anpassenden Gesetze, insbesondere das parabolische,
dargestellt werden könnten. Indem ich mir vorbehalte, auf die Folger-
ungen für die Biegungslehre später einzugehen, beschränke ich mich
heute darauf, sämtliche mir bekannt gewordenen Formeln, durch die
man die Abhängigkeit der elastischen Dehnung von der Spannung
teils allgemein, teils bei einzelnen bestimmten Stoffen hat ausdrücken
wollen, zusammenzustellen und die Ergebnisse meiner, zur Prüfung des
Potenzgesetzes unternommenen Rechnungen, die ich zu gelegenerer Zeit
fortzusetzen gedenke, mitzuteilen.

I. Zusammenstellung der bis jetzt vorgeschlagenen empirisoheii

Formeln zur Darstellung der Abhängigkeit der elastischen

Dehnung von der Spannung.'

(Krg&nzunüren vorbehalten.) ^

Des leichteren Vergleiches wegen sind die Bezeichnungen der ver-
schiedenen Verfasser nicht immer beibehalten und ihre Gleichungen
zum Teil umgeformt worden. Wo keine Materialien genannt sind, ist
das betreffende Gesetz von seinem Urheber als für eine Vielzahl von
solchen oder allgemein giltig gedacht, und zwar, wenn die Angabe der
Art der Beanspruchung fehlt, für Zug sowohl als für Druck.

Zeitschrift f. Mathematik n. Physik. 42. Jahrg. 1897. G.Heft. 22

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330 '^^"na Gesetz <ier elastischen Dehimngfn.

c = elastische Dehnung oder Zusammendrilckimg (Stauchungl
bezogen auf die Längeneinheit; ö = Spannung bezw, Pressung, bezogen
auf die FUicheneinheit des Querschnittes; «, /?, y, a, h^ c, d, m Tom
Material (und in der Regel auch von der Art der Beanspruchung) ab-
hängige Konstanten.

1. Lineares Gesetz: s=^a(5, Hooke 1678.

2. Potenzgesetz: £ = «(T. Bülffinger 1729 (Zug). Hodg-
kinsonl822. Bach-Schüle 1897.

3. Parabolisches Gesetz: <y = a£ — ftfi^. Hodgkinson 1849
(G usseisen). H a r t i g 1893 (Gusseisen, Cement u. Cementmört^ll

4. Hyperbolische Gesetze:

a) ^ = • 1. •

Cox 1850 (Gusseiaen). Lang 1896 (Gusseisen, Steine, Mörtel).

b) a^^aö^+ba,

Wert he im 1847 (organische Gewebe).
6. Kubisch- und biquadratisch-parabolisches Gesetz:

a) 0 ^^ as + ht^+ C6^ Cox 1850 (Gusseisen).
E -=aö + ßo'+ yo\

J. 0. Thompson 1891 (Metalle, Zug).

b) (T -= a£ + 66* + C6^+ rffc^ Hodgkinson 1849 (Gusseisen).

(». Exponentialgesetze:

_i

a) o=-ce '. Riccati 1731.

])) £ — > ^ — 1 . I m b e r 1 1880 (Kautschuk ».

c) - ö = c(e*"*— 1).

Hartig 1893 (Leder, Zug; gebrannter roter Thon, Dinick).

d) s^6(a + 6c^"). Poncelet 1839 (Messing, Zug).

o) 0 =-- -^J— -e^'. Hartig 1893 (Kork, Druck).

Litteratiir und Bemerkungen zn yorstehender Zusammenstellang.

1. t Kobert Hooke, De potentia restitutiva, London 1678. Die Arl)eiMi,
deren. Titel t vorgesetzt ist, sind mir bis jetzt nicht zugänglich gewesen; üU
führe dieselben grösstenteils nach folgendem ungemein reichhaltigen Werke an:
Isaac Todhunter-Karl Pearson, A history of thc theory of elasticity aml
of the strength of materialfl frora Galilei to the present time, vol.Ll'^'i^.
vol. IT. 1893.

2« De solidorum resistentia specimen G. B. Bulffingeri, l'ommentarii Aca-
demiae Petropolitanae , t. 4, ud annum 1729, p. 164- 181. Petropoli 1735..--
Eaton Hodgkinson, On the transverse strain, and strength of materials
Memoirs of the Literary and Philosophical Society of Manchester, Second .«eiios
vol. 4, S. 226—289, London 1824 (gelesen 1822), -- G. Bach. Allgemeines Gesetz

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Von R. Mehmke. 331

der elastischen Dehnungen, Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure, Bd. 41,
S. 248 — 252, 1897.

8« t K. Hodgkinson, Report of the Commissioners appointed to inquire into
the application of iron to railway »tructures. Appendix A, p. 47—67, Lon-
don 1849. — E. Hartig, Der ElastizitÄtsniodul des geraden Stabes als Funktion
der spezifischen Beanspiiichung , Civilingenieur Bd. 39, S. 113- 138,1893. Derselbe,
Das elastische Verhalten der Mörtel und Mörtelbindematerialien, Ebenda 8.425 bis
472. - - Im Gegensatz zu Hodgkinson giebt Hartig den Koeffizienten a, & bei
Druck dieselben Werte , wie bei Zug.

4. a) Homers h am Cox, The deflection of iuiperfectly elastic beams and
the hyperbolic law of elasticity, Transactions of tJie Cambridge Philosophical
Society, vol. 9, part. 2, p. 177 190, 1851 (gelesen 1850). - (I. Lang, Der Schorn-
steinbau, Heft 2, S. 127,1896. Lang berücksichtigt auch die Temperatur; er nennt
K=(S:s das Elastizitätsmaß und setzt:

wo Ef, das Elastizitätsmaß für den spannungslosen Zustand bei 0" r bezeichnet,
c und d Erfahrungszahlen sind. Die Spannungs - Dehnungs - Formel wird dann

Föppl giebt in seiner soeben erschienenen FostigkeitHlehre (3. Bd. seiner
Vorlesungen über' technische Mechanik) auf S. 54 (unter Hinweis auf eine Ab-
Imndlung von Lang in der deutschen Bauzeitung, Jahrgang 1897, S. 54) als
„Lang sehe Formel'' die Gleichung E= I\ — ce. Er sagt, der Elastizitätsmodul
E sei von Lang anscheinend im Sinne von E ^ da'ds verstanden worden, und
leitet dementsprechend durch Integration die Gleicliung

c ° E^, — ca
ab; d«neben stellt er auch im Anschluss an die aweite mögliche Definition des
Elastizitätsmoduls, E=^6'.b^ die rileichung

a

auf (a. a. 0. S. 55, Gleichungen 26) und 27}. Die erste dieser Gleichungen stimmt
inhaltlich mit dem von Hartig bei Leder und rotem Thon gebrauchten Ex-
ponentialgesetz (7c der obigen Zusammenstellung) überein. Dass aber Lang
nicht dieses Gesetz, sondern das hyi)erpolische im Auge gehabt hat, geht daraus
hervor, dass er in der von Föppl zitierten Abhandlung in einem Beispiel als
Bild der Spannungsverteilung eine aus zwei Hyperbelbögen zusammengesetzte
Kurve angiebt und zeichnet, und es ist mir dies auch auf meine briefliche An-
frage von Herrn Lang bestätigt worden.

4« b) t G. Wer the im. Memoire sur Telasticite et la cohesion des princi-
peaux tissus du coqjs humain. Annales de Chimie, t. 21, p. 355 --414, Paris 1847.
A.W. Volkmann (f über die Elastizität der organischen Gewebe, Archiv für
Anatomie, Physiologie u. s.w, Bd. 1, S. 293 — 313, Leipzig 1859) hat gefunden,
dass bei Seidenfilden, menschlicliem Haar, Arterien, Nerven der Koefficient a
positiv ist, bei Muskeln dagegen negativ, in welchem Falle also die Spannungs-
Dehnungs- Kurve eine Ellipse wäre.

5. a) Cox a. a. 0. (siehe unter 4a). - Joseph Osgood Thompson, Über
das Gesetz der elastischen Dehnung, Wiedemanns Ainialen der Physik und Chemie,
Neue Folge Bd. 44, S. 565 — 576, 1891. b) Hodgkinson, siehe unter 3.

0. a) Jacobi Riccati. Verae et germanae virium elasticarum leges ex phaeno-
mcnis demoustratae , De Bononiensi Academia Commentarii. t. 1, p. 623 — 544,
Bononiae 1781. — b) y A Imbert, Kecherches theoriqucs et experimental^ sur

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332 '^"i^i Gesetz der elastischen Dehnungen.

l'elasticit^ du caoutchouc, Lyon 1880 (nach Hartig angeführt). ~ c) H artig in
der unter 3 angeführten Abhandhnig „ Der Ehistizitätsmodul des geraden Stabes .. .".
— d) J. V. Poncelet, Introduction ä la m^canique industrielle, physique ot
exp^rimentale , 2«*'n»e edition, p. 348. Metz 1830.

Zu den in obiger Zusamnienstellung gebrauchten Benennungen sei folgeude>
bemerkt. Nach einer aus dem Jahre 1H50 stammenden Angabe von Cox (siehe
unter 4a) trug damals schon die Voraussetzung, dass Proportionalität zwij«chen
Spannung und elastischer Dehnung bestehe, in England den Namen ,.Dr Heckes
law". Cox hat (a.a.O.) die Namen ,,parabolic law'' und .,hyperbolic law" ein-
geführt, Pearson, der Herausgeber der unter 1 erwähnten History of the theorr
of elasticity den ähnlich gebildeten ,, linear law'* für das Hookesche Gesetz
liinzugefügt. Natürlicli sind alle diese „ Gesetze*' nur Annäherungen an das noch
unbekannte (in der Überschrift dieser Mitteilung gemeinte) wahre Elastizitäts-
gesetz und es wäre deshalb gegen die Ersetzung obiger Namen durch weuijrer
hochtönende gewiss nichts einzuwenden, nur müsste dann gleichzeitig mit den
übrigen auch die Bezeiclinung ,,Hookesclies Gesetz" fallen, weil letzteres ja den
engsten Giltigkeitsbereich hat.

Es ist nicht meine Absicht, hier schon in weitere Erörterungen über die
obigen empirischen Formeln einzutreten, dieselben z. B. bezüglich ihrer Brauch-
barkeit und der Grenzen ihrer Giltigkeit zu vergleichen, vielmehr betrachte ich
diese Mitteilung nur als A^orläuferin einer Reihe weiterer, die nachfolgen Follen.
üni Ingenieuren und Mathematikern die Wiederholung längst ausgeführter Unter-
suchungen zu ersparen, scheint es mir z.B. angezeigt zu sein, die ganz in Ver-
gessenheit geratenen ält^jren Bestrebungen, Aufgaben der Festigkeitslehre ohuo
die Hookesche Annahme zu lösen, wieder ans Licht zu ziehen.

II. Beiträge zur Prüfung des Fotenzgesetzes.

Für die sämtlichen Beispiele, die C. Bach in der wiederholt an-
geführten Arbeit (Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure Jahrg. 1897)
zur Stützung des Potenzgesetzes heranzieht, habe ich aus den gegebenen
Werten von 6 und den zugehörigen beobachteten Werten von b die Kon-
stanten des in der Foim e ^ «a 4- ßa^

angenommenen parabolischen Gesetzes nach der Methode der kleinsten
Quadratsummen bestimmt, für ein Beispiel auch die Konstanten des
hyperbolischen und des kubisch -parabolischen Gesetzes. Die hiernach
berechneten Werte von e sind im folgenden mit den beobachteten und
denjenigen, die das Potenzgesetz liefert, zusammengestellt, und zwar
habe ich die letzteren (von W. Schule berechneten) Werte einfach der
Bach sehen Arbeit entnommen. In den mit f überschriebenen Spalten
stehen die Fehler (Differenzen aus den beo]){ichteten und berechneten
Werten) und am Fuss dieser Spalten die als Maß für die Brauchbar-
keit der einzelnen Formeln dienenden mittleren Fehler. Die Spann-
ungen sind in kg/qcm ausgedrückt.

Die Notwendigkeit derartiger Vergleiche, die leider sehr zeit-
raubende Rechnungen erfordern, leuchtet ein. Cox hat schon 18&'
solche angestellt (nämlich zwischen dem parabolischen und dem von
ihm vorgeschlagenen hyperbolischen Gesetz an den Ergebnissen der Zug-
und Druckversuche mit Gusseisen von Hodgkinson) und Föppl li^it
sie neuerdings (a.a.O.) für die „Schülesclie" und „Langsche'* Formel

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Von R. Mehmke.

333

(also das Potenzgesetz und das hyperbolische Gesetz nach der hier ge-
brauchten Benennung) gefordert.

1. Gusseisen, Druck.

Die « sind in 1/600 cm ausgedrückt und beziehen sich auf 75 cm Lange :
1^ ^ 1. 1 75. 600 ^,.,^.«0

X yrw:

'Xm

^ ~ 1381700 " '

parabolische Formel:

£ = 0,04601 . <s + 0,000004969

ö';

hyperbolische Formel:

^ 0,04685 . a
^ "" l - 0,0()00yi8 . ä'

kubisch -parabol. Formel:

e « 0,04385tf + 0,0*1343. a«-

0,0»5970.ö^

e heol».

f berechnet

G

Potenz- j f

parab. f hyperb. /'

kub-
par&b.

f

16G

7,60

7,59 , O.Ol

7.H7 —0.27 7.90 —0,30

7,65

- 0,05

333

15,H.S

15.1)1 1 -0,06

16,07 -0,19 16.09 -0.21

15,H9

-0,01

4i»y

2i,60

24,54 ' 0,06

24,50 0,10 24.50 0.10

24,54

0,06

iUU)

33.42

33,3h 0.04

33,25 0.17 33,23 o.V.i

33,44

- 0,02

S32

42,31

42,32 0 02

42,22 0,12 42,20 0,14

42,42

-0,0H

<rjH

51,31

51,3h — 0,07

51.47 i -0,16 51.47 - 0,16

51,31

0,00

y

[ittlere F

ehler: 0,06

0,22 0.24

0,057

Die Genauigkeit der Potenzformel ist hier auffallend gross
und ungefähr gleich derjenigen der drei Konstanten enthaltenden
kubisch -parabolischen Formel. Weil in diesem Beispiel die parabolische
und die hyperbolische Formel annähernd gleich genau sind, habe ich
letztere in den folgenden Beispielen nicht mehr berücksichtigt. Erst
nach Beendigung meiner Rechnungen lernte ich die Vergleiche von Cox
kenneu, der die hyperbolische Formel 3 bis 4 mal genauer als die para-
bolische findet. Es bedarf dieser Punkt noch der Aufklärung.

2. Gusseisen, Zug.
Messlänge 15 cm, £ in I/IOOO cm.

Poteiizformel: £ = ~/r6--,^^7i' ori,3y:..

1132^00 '

parabolische Formel:

1132700

0,01112.<T + 0,00001017- al

Spannungsstufe

103,52 — 25H.H0
10;-J.52 - 414,0H
103,52 569,30
103.52 721.64

s beob,

2,27

5.07

H.33

12.0H

Potl'IlZ-

f berechnet
/' piirab,

/■

2.22
5,07

12.08

Mittlere Fehler:

0,05

0,00

- 0.05

0,00

0,05

2.30

5.09

H.37

12,05

— 0.03

— 0.02
-O.Ol

0.03

0.041

Das parabolische und das Potenzgesetz stehen sich hier ziem-
lich gleich. ^^ ,

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334

Zum Gesetz der elastischen. Dehnungen.

3. Körper aus reinem Cement, Druck.
Es ist B ausgedrückt in 1/600 cm auf die Länge 75 cm.
Formeln:

Körner la- * ^ 1^1^ (fi,««o3 1,6715 o,062U .

Jlörper la. b - .,^^^^^ <J « , ^ - ^ <y -f- , «• <y ,

Ib:

B^

259131

\T \T\ 75. 600

-^^^•^'^^ ^===231416

^1,01.50^ e:

7,8*

1,6998 , 0,05136 «

<^H — TT^s— <^ ;

8,0

8,0*

^1,0928 , _ 1^«67JL 0,06008 ,

' 7.9 ^ 7,9* •

Körper la.

Körper Ib.

a

s berechne

t

«

f berechnet

0

beob.

g^X! /' liparab.;

f

G

beob.

Potenz- ! ^1
geset/ , f Iparab.

/■

7,H

1,67

1,66 0,01' 1,72 '

-0,05

8.0

1,70

1,683 0,017 1,751

- O.OÖI

15,7

3,52

3,54 -0.02, 3,56

-0,03

15,9

3.60

3.593 0.007 1 3.605

- O.OOy

23,5

5.56

5.53 1 0,03 1 5,48

0,08

23,9

6,60

5,610 -0,010 1 5,562

o.css

;ji,3

7,56

7,55 0,01 7,52 .

0,04

31,8

7,62

7,677 -0,057

7,621 1

- 0,001

39.2

9,59

9,68 -0,04, 9,66 |

— 0,07

39,8

9.77

9.804 - 0,034 1

9,783 '

-O.Olo

Mittlere Fehler: 0,032 1

0,074

0,040 !

O.036

Körper Va und Vb.

ff

B beob.

Poteuz-

geaetz

c berechnet
f jj parab.

' /'

7,9

1,865

1,859

1 0,006

1.927

' —0,062

15,8

3,945

3,966

- 0,020

3,976

— 0,031

23,7

6,175

6,17H

' -0,003

6,142

0.033

31,6

8.485

8,460

0,026

1 8430

0,055

39,5

10,795

10,796

' -0,001

, 10.838

— 0.04."»

Mittlere Fehler:

0,019

(»,060

DiePotenzformel giebt hier durchschnittlich die bessere Annäherung.

4. Körper aus Cementmörtel, Druck.
Federung b in 1/600 cm auf 75 cm Länge.
Formeln:

TT.. TT 1 75-600 -,„,,«, 1,3025^ , 0,04779 .

Korper IIa, b, c: ^^ ^^^^<,Mo.«., .^^„^ + _l^.^._«.;

ITT 1. 75000 -,,.... 1.5769 , 0,0764o .

„ Illa, b, c: f^- 3^5237, <^''''''S «-- ü.-^+-o., 6-

8,0

8,0*

ITT r 75-600 , ,C4,.,

1^^^^^'^^ '- 229026'^''^ ^'

1,6361

0,08239 o

— <y+ '\}-:i <y-'.

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Von R. Mehmkk.

335

Körper II

a, b, C (1

Cement, ]

ly, Sand).

a

B beoh.

Potenz-
gesetz

« berechnet
/' 1 parab.

f

«,1

1,297

1,293

' 0,004

1 1,350 1

- 0.053

1G,2

2,796

2,791

0,005

; 2,796 1

+ 0,000

24.3

4,366

4.377

-0,011

1 4,338 1

0,028

32,3

6,023

6,024

- 0,001

! 5,975 j

0,04H

40,4

7,703

7,716

-0,013

, 7.707

- 0.004

Mittlere Fehler:

0,011

i 0,044

Körper Illa, b, c (1 Cement, 3 Sand).

a

£ l)eob.

Potenz -

gesetz

B berec

i f i

hnet
parab.

/'

8,0

1,550

1,550

+ 0,000

1!

1,646

- 0,096

16,0

3.457

3,435

0,022

3,459

- 0,002

24,1

5,483

5,470

0,013

ll

5,418

0,065

32,1

7,587

7,610

1 -0,023

i|

7.530

1 0,057

40,1

9,783

9.831

! -0,048

1'

9J95

, -0,012

Mittlere Fehler:

0,034

0,075

Körper IVa, b, c (1 Cement,

4% Sand)

a

£ beob.

£ berechnet

Potenz- 1
gesetz f parab.

f

8,1

1,625

1,624 0,001 1 1,717

- 0,092

16,1

5,605

3,573 ! 0,032 j 3,600

0,005

24,2

5,7«5

5,813 -0,088

i 5,647

0,078

32,2

7,875

7.938 , -0,063

j 7,859

0,016

40,3

10,245

10,248 -0.003

, 10,235

0,010

Mittlere Fehler:

0,065

0,071

Auch hier giebt die Potenzformel die bessere Annäherung; auf-
iallend ist die absolute und relative Abnahme ihrer Genauigkeit mit
(ItT Menge des Sandzusatzes.

6. Körper aus Beton, Druck.
Fedeining e ausgedrückt in 1/600 cm auf 75 cm Länge.
Fornieln:

5-600

Körper XVIa, b, c: b - ^t^^öI'

1,15662

„ XVIIa, b, c: f =

217260
75-600

2.2237 , 0,1433 ^

367018

<,V20677^ f =

1,4415
7,9

C +

0,1294 ,

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336

Zum Gesetz der elastischen Dehnungen.
Körper XVIa, b, c.

<r

6 beoh.

Pi.tonz-
g»>aetz

£ berec

' !

h n e t
parab.

i r

7,9

2.2H7

2.263

0.024

l|

2,367

' -0,080

lo,9

5.017

5,045

- 0.028

'l

5,021

- 0,004

23,S

H,oi;^

8.066

— 0.053

l[

7,961

0,052

:U.7

11.193

11.250

- 0,057

11.1.S8

1 O.OC^

39,6

14.6H0

14,536

0.144

1!

14,702

1 -0.022

Mittlere Fehler:

0,097

0.057

Köi-per XVII a, b, c.

G

c bcob.

Püteuz-
gesetx

s berec

h n e t
parab.

/'

7,9

1,487

1.497

-0,010

1,

1,571

1 —0.0x4

15.8

3,400

3.414

, -0,014

3,400

+ 0.000

23.7

5,523

5,570

- 0,047

'

5.489

, 0.034

31,6

7,867

7,881

1 -0,014

7,836

1 0,031

39,5

10.410

10,317

0.093

1

10,441

\ -0.031

Mittlere Fehler: ' 0,062 l|
Hier ist die Poteiizformel im Nachteil.

6. Granit, Druck und Zug.

a) Druck:
Körp.I: 6 in l/600cmauf75cni; £ =

,, II: £ in 1/600 cm au/ 50 cm; s «

Körper I.

249540 '

0.05S

3,3928 O.itUl^ g

13,8 ^"^ 13.8- ^^

50-600
339750 ®

.109

1,7218
14,9

, 0,0911 ,

14,9 =

13,8

27,75

41,3

£ berechnet

Potenz- I 'I

geaety. [ / l|

parab.

Mittlere Fehler:

+ 0,00
± 0,00
— 0,0.s

0,08

3,61

7.65

12,13

-0.11

O.U

-0,01

0,16

Körper II.

G

B beol).

t berechnet

Potenz- ' - i 1

geeotz f Piirab,

f

14,9
29,7
44.6

1.77

3,85
5,97

1,77 4 0.00 l.Hl
3.79 0,06 3,81
5,96 O.Ol 5,99

- 0.04
0.04

- 0.02

Mittlere Fehler: |

0,06

0.06

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Von R. Mehmke.

33^

^) Zug: Körper UI: s in 1/1200 cm auf 50 cm;

_ 60 1200 s„ _ M983 0,2136 ,

234600 3,50 ^ 3,50» *

0

6 beob.

Potenz-
gesetz

s berechnet
f ! parab.

f

3,50

7,00

14,00

21,01

1,43

3,82

9,61

16,60

1,43

3,71

9,61

16,78

± 0,00

0,11

+ 0,00

- 0,18

1,71

3,85

9,41

16,68

-0,28

-0,03

0,20

-0,08

Mittiere Fehlen

0,15

0,25

7. Kupfer, Zug.
Federnde Ausdehnung e in 1/1000 cm auf 10 cm.

j^ , 10.1000 loqo 1,3537 ^ , 0,0219 a

Formeln: s = — .^ a'^^^, € = -^^^^ 6 + :^^^^, ö^

2084000

160,75

160,75«

Spannungsstufe

6 beob

Potenz-
gesetz

€ berec

hnet
parab. /'

160,76 ~ 321,5
160,76-482,25
160,75 - 643,0
160,75 - 803,75
160,75 — 964,6

1,40
2,89
4,89
6,96
7,53

1,40
2,87
4,39
5,94
7,53

± 0,00
0,02

+ 0,00
0,01

+ 0,00

1,42 -0,02
2,88 0,01
4.39 + 0,00
5,94 0,01
7,64 - 0,01

J

littiere I

'ehler:

0,013 1

0,014

8. Leder, Zug.
Federnde Ausdehnung £ in Millimetern auf 780,7 mm Länge.

Formeln : e

780,7

415

(J«>^

3,092

'' 3,88

6 —

0,0951

~"3,88»

Spannungsstufe

3,88 — 11,65
3,88 — 19,4
3,88 — 27,2

s beob.

5,5

10,0
14,0

s berechnet

Potenz- I l|

gesetz I /

parab.

5,6
10,1
14,1

-0,1
-0,1
-0,1

:l

5,4
10,1
14,0

0,17

0,1
-0,1
+ 0,0

0,14

Mittiere Fehlen

In den letzten Beispielen halten einander die parabolische und die
Potenzformel beinahe die Wage.

Das Ergebnis dieser Untersuchungen ist, dass bei den betrachteten
Materialien und innerhalb der angenommenen Spannungsgrenzen das
Potenzgesetz die Beziehung zwischen Spannung und elastischer Dehnung
im ganzen genauer zum Ausdruck bringt, als das parabolische. Jedoch
genügt, wie mir scheint, auch beim letzteren die Genauigkeit für etwaige

ae}*

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338 Kleinere Mitteilungen.

Anwendungen in der Festigkeitslehre. Zwei Bemerkungen sind noch zu
machen. Erstens kommen die Versuchsergebnisse von Bach durch die
obigen Näherungsgleichungen nicht voll zum Ausdruck, weil jedesmal
der Vergleich nur bis zu einer Spannung fortgeführt ist, die ungefähr
mit der höchsten, in der Technik bei dem betreffenden Material für
zulässig gehaltenen übereinstimmt. Es können z.B., worauf Bach selbst
bereits hingewiesen hat (in den schon erwähnten gesammelten Abhand-
lungen und Berichten, S. 294) die bei manchen von Bach gezeichneten
Spannungs-Dehnungs- Kurven auftretenden Wendepunkte durch das
Potenzgesetz ihre Erklärung nicht finden; allerdings, wie wir hin-
zufügen müssen, durch das parabolische, hyperbolische und manches
andere Gesetz ebenso wenig. Zweitens fehlt noch die Prüfung in der
Nähe des Nullpunkts, wozu in den Ergebnissen der mit sehr kleinen
Belastungen vorgenommenen Zugversuche J. 0. Thompsons ein vor-
zügliches Material vorhanden ist, das durch neuere Versuche Bachs,
deren Veröffentlichung bevorsteht, eine willkommene Ergänzung er-
halten wird. Die angedeuteten Lücken auszufüllen, soll in einem späteren
Aufsatze versucht werden.

Koustraktioii der Trägheitsaxen eines Dreiecks.

Von Dr. Otto Richter in Leipzig\
In der graphischen Statik wird die Hauptträgheitsellipse („Zentral-
ellipse") eines Dreiecks mit Hilfe konjugierter Durchmesser und Tangenten
ermittelt, worauf sich die Hauptträgheitsaxen als Hauptaxen der Ellipse
ergeben. Im folgenden ist die Aufgabe gelöst, die Hauptträgheitsaxen
eines Dreieckes direkt zu konstruieren. Mit Hilfe der Ellipse:

^ -I 1 = 1

worin |, i; die Hauptträgheitsaxen, und ^j, p^^ p^ die Projektionen der
Verbindungslinien des Schwerpunktes mit den Seitenmitten auf die. |-Axe,
Qii 9^2 ' ^8 ^^ ^^® V " -A-xe bedeuten , kann man auf Grund des Satzes von
C.Neumannu.Clebschdie Trägheitsaxen für einen beliebigen Punkt finden.*
Bezeichnungen für das folgende: Gegebenes Dreieck Ä^^ A^^ A^\
Schwerpunkt S] SAi= 5<(?' = 1, 2, 3); das in /S auf SA( errichtete Lot fe;
X, y zwei rechtwinklige Axen durch -S', und zwar soll x mit \^ y mit jJj
zusammenfallen; a?,-, yi Koordinaten von Ai. Dann ist x^=^ 0. Ferner sei
^1 = w, Ä-2 = r, 2/2 = ^<'- Hieraus folgt {SXi = Syi = 0)
Ä-g = — i', y, = — ?4 -«-' w.

♦ A. Clebsch, Zur Theorie der Trägheitsmomente etc., Grelles Journal Bd. 57,
und R. Mehmke, Über die Bestimmung von Trägheitsmomenten etc.» Math.
Annal. XXUI.

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Kleinere Mitteilungen.

339

Die Bedingung dafür, dass S, ?? die Hauptträgheitsaxen sind, ist2?5,i^/=0 *
oder wenn der Winkel der J-Axe mit der :r-Axe g> genannt wird:

-t;(H + 2/r)

tan 2go =

1)

Die Gerade:

X

H^ — v^ '\- nir -\- ir^

werde mit t^ bezeichnet. Dann sind ^, iy die Halbierungslinien der
von \ und f^ gebildeten Winkel. Wie t^ der Ecke Aj, so entspricht

• R. Hoppe, Das Dreieck bezogen auf die Hauptträgheitsaxen, Öoppes
Archiv Ser. 2 Bd. XII. Hieraus folgt übrigens , dass die Hauptträgheitsaxen f^iriea
Dreieckes diejenigen rechtwinkligen Axen durch den Schwerpunkt sind, für die t
ab8'\£i\^Zn^i\ ein Maximum ist. ^,y,.... ., ^_ JglC

340 Kleinere Mitteilungen.

eine Gerade t^ der Ecke A^^ und ^3.^3, sodass £, 17 auch die HalbienmgS'
linien der von Zg und ^, sowie der von Z3 und t^ gebildeten Winkel sind.
Stellt man nun (durch Eoordinatentransformation) in demselben Axensjsteme
;r, y die Gleichungen von #2 ^^^ h ^^^j so findet man:

// r(w* — V* — ?/;^

2)

3)

X (y * -f- w? *) (w + U') + w * w

y — ?• (2 M ?c' + ^' * + ^^' *)

Eällt man von Ai auf ti das Lot m^, so findet man, dass sich diese
drei Lote mi in einem Punkte trefiPen. Dieser Punkt sei 0. Er hat also
mit Beziehung auf S und irgend zwei Ecken, z.B. A^ und A^^ folgende
Eigenschaft: Verbindet man ihn mit A^^^ A^ (wj^, tJig), fällt von S auf diese
Linien die Lote {t^^ fg), und errichtet auf 5^, s^ in <S die Lote (?^, Zg), so
fallen die Halbierungslinien der von l^ und i^ gebildeten Winkel mit denen
der Geraden 2^, t^ zusammen. Welches ist der geometrische Ort eines
Punktes 0, der bei gegebenen 6', A^^ A^ diese Eigenschaft hat?

Durch ganz elementare Betrachtungen (mit Hilfe des Sehnen Viereckes
m^t^ni^t^ findet man als geometrischen Ort den Kreis, der sich durch
Spiegelung des dem Dreieck SA^Al^ umbeschriebenen Kreises
an A^A^ ergiebt. Spiegelt man also die Umkreise von SAy^A^^ SA^A^^
SA^A^ an A^A^^ -^2^37 -^s-^n so gehen die drei neuen Kreise durch
einen Punkt 0 (dies gilt selbstverständlich, auch wenn S nicht der
Schwerpunkt ist).

Man gelangt also zur folgenden Konstruktion der Hauptträgheitsaxen :

Spiegele die Umkreise der Dreiecke SAiAj^ an den zugehörigen Seiten
AiAif (es genügen zwei solche Kreise; in der Figur sind alle drei ge-
zeichnet). Der Schnittpunkt dieser Kreise sei 0. Verbinde 0 mit einer
Ecke Ai\ fälle von 8 das Lot U auf 0A<, errichte auf SAi in S das Lot f,,
halbiere die Winkel (/,-, t^\ die Halbierungslinien sind die gesuchten Axen.

In der Figur sind Bi die drei Umkreismittelpunkte, d die Mittel-
punkte der Ortskreise, Z),- die Seitenmitten. Da sich nun z.B. die Exeise
Cg, Cj in A^ und 0 treffen, so ist C^C^ das Mittellot von A^O u. s.w.
Hieraus folgt als einfachste Konstruktion diese:

Zeichne von zwei Seiten, z.B. A^A^ und A^A^^ die Mittellote.
Verbinde die Seitenmitten Dg, D, mit ^3, A^^ Schnittpunkt ^.
Errichte das Mittellot auf A^S^ das die beiden ersten Mittellote
in ^3, B^ treffe. Trage auf B^B^

D,C,^B,D,, auf B,B^
D^G^^B^D^

ab. Ziehe durch S zu CgCg, B^B^ die Parallelen (^j, Z,). Die
Halbierungslinien der Winkel dieser Linien sind die Haupt-
trägheitsaxen.

Auf viele sich hier anschliessende rein geometrische Beziehungen kann
der Kürze wegen nicht eingegangen werden; die Spezialfälle sind leicht zu
erledigen, ^^ ,

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m

^

Vertag von B. C, Tenbnsr In Leipzig.

Hettner's Geographische Zeitschrift

1

«Matlich 1 Hall m circ« GO Seilin. Kilbllkrlitk B Wli.
JBiiem Gebildeten wie aJIen Schulen

Aus dem Inhalt der letztes Hefte:

Der geiiiawärtlge Stand der Verkelirs- Das EnlMcrien mt Xurtetislititen tm
geograiiMt. VonPrDt.Dr.A.HtttnN' Uoterrtclil ii. d. nmii Lcliriilünen
In Titlilngc«. Von Dr. mm

Das Vorkoniiui in Üolites In ür oer StarniiBroer S«e. Kon Dr W, Ule.
Nalur. Vm Dr. A. v. Eltcrlein.

Kleingra Mitlellungin "' vvdi« Kdiigkeiign - Bücltirbniirecliiinymi

(Ingisandtt Sücfier •- und Karlen ZsilstlirlttmGlta»

Prospekte und Probeherie gratis und franko

Alf Dil \h FosLaiittftIkn und Bui^lidfiilluittitn m, >

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K ^ Verlag van B. G* Teubner fn Leipzig. ^

llosliaekes deutscher Schul-Kaleader

för das Schuljalir lüyh/ltU. 4S. Jnltr^ang.

«-shtri-,\MSL*aW ISitK: v. I. .lau. is'.W ii. 11», ApriMSUtl mru'Hiu

1

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Iv B., An lnir<u!iirfiiiii u, '[< ..._
W. I*« MruTtn
' H , n*tr BriciWili., . ..., . ,hrn iti^t^u ...

Stkllifli. Viifj W. Kr. Mkvkii . , .
.r»m 11. MktoUr»rM **' "" f'uiWr fas»T

Alle H€MHfMMu*'n
für dl© aUgameine Abteilung dii > ■ /t.tiHQhrift ftiud mik Prof,
ü. Wt'ltink«*. HiuttiEraH, Iramenlioler«trit3se 4^", rar üj* h:

jjtt-- -'- i,e Abteikmg «.u Hofrat Prof, Br, Jl^ t^oittar, Iffifl
Gi\ . 15 f XU ricbttrn* Die EeiUGhrift i»r»cbeliit in Bii

~. . ;« dea B:i ■"

ju YveU>

Historisch-litterarische Abteilung

clor

Zeitschrift fllr Mathematik und Physik

herauRgegebeu

unter der vorantwortlichen Redaktion

Dr. R. Mehmke und Dr. M. Cantor.

42. Jahrgang.

Leipzig,

Verlag von B. 0. Teiibuer.

1897.

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Druck vcm H. (i. TtMil»ner in Drosdon.

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Inhalt.

I. Abhandlungen. seito

Wilhelm Schrentzel. Von L. Schlehin<;er 1

Kppur öi muove. Von (1. Berthoi.I) ö

Internationaler Mathematiker- Kougress in Zürich 1897 73

Quadrat- und Kubikwurzeln bei den kriechen nacli Herous neu aufj^efundenen

MstQiyid. Von M. Cuutzk 113

Bemerkung zu S. 113. Von M. Cuktzk ohne sciteuzuhi

Uie Schlussaufgabe in Diophants Schrift über Polygonalzahlen. Von G. V^'ertheim 121
Die Quadratwurzelformel des Heron bei den Arabern und bei Regiomontau

und damit Zusammenhängendes. Von M. Cuktze 14ö

IL Rezensionen.

OeHchichte der Mathematik.

Hammer, Eulers Abhandlungen über sphärische Trigonometrie. VonM.CANrnu 36

Wangerin, Abels Abhandlung über die Binomialreihe. Von M. Cantor . . 37

Eisenlohr, Ein altbabylonischer Folderplan. Von M. Caxtor 41

V. Jacobs y Das Volk der Siebener -Zähler. Von M. Cantor 42

Buska, Das Quadrivium aus Severus Bar Sakküs Buch der Dialoge. Von

M. Caxtor 42

Heath, Apollonius of Pergii Treatise on conic sections. Von M. Cantor . . 43

Heiberg, Sereni Antinoensis Opuscula. Von M. Cax tor 44

Paye, Sur l'origine du monde. Von M. Cantor 44

Kheil, Über einige ältere Bearbeitungen des Ihichhultungs -Traktates von

Luca Pacioli. Von M. Cantor . . 40

MiUler, Henricus Grammuteus und sein Algorismus de integris. Von M. Cantor 4(5

Günther^ Jakob Ziegler. Von M. Cantor 47

Carli e Pavaro, Bibliogratia Galileiana. Von M. Castor 47

Tischer, Über die Begründung der Infinitesimalrechnung durch Newton und

Leibniz. Von M. Cantor 4S

Boyer, Le mathematicien Franc - Comtois Franvois Josepli Servois. Von

M. Cantor VJ

Giinther, Kepler und Galilei. Von M. Canior 50

Volkmann, Franz Neumann. Von M. Cantor 50

Graf, Ludwig Schläfli. ^'on M. Cantor 61

Manslon, Xotice sur Ics travaux mathematiciues de Eugene Charles Catalan.

Von M. Caxior 52

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lY Inhalt.

Seil'

Loria, II passato ed il presente delle principali teorie sfeometriclie. Von

M. Cantor 54

Schoenflies und Fockels^ Julius Plöckers gesammelte wiasenschaftliche Ab-

. bandlungen, Bd.I und II. Von W. Fr. Mkykk 6-2, -io?,

Weber, Abhandlungen von Jacobi, (»öpel, Konenhain über mehrfach periodische

Funktionen. Von R. Frk ke öl

V. öttingen, Abhandlungen über Gefrierpunktseruiedrigung und Thermometrie

von Blayden, Fahrenheit, R^aunmr, Celsius. Von B. Xebei l.')l

Dannemann, Otto von Guerickes Magdeburgische Versuche. Von B. Neuki. 13')
Schilling, Wilhelm Ol))ers, sein Leben und seine Werke, Bd.I. Von B. Xeml 157

Wislicenus, Astronomische Chronologie. Von B. Nehei 15*^

Fermat, Oeuvres T. III. Von (I. Weih heim 1"

Goldscheider, Über die (lansssche Osterfonnel. Von V. St.vckei TJ-

EucUdis Data ed. Menge. Von M.Cast(»r l'J^

Sturm, Das Delische Problem. Von M. Caxthr 1S*5

Wertheim, Die Aritlimetik des Elia Misrachi. Von M. Cantor 19J

Favaro, Tito Livio Buratini. Von M. Cantor li'fi

Dickstein, Hoene Wronski. Von M. Cantor 19"

Festschrift der Xaturforachenden Gesellschaft in Zürich. Von M. Cantor . 1?"
Fringsheim, Dan. Bemoullis Theorie der Wertbestimmung von Glücksfällen.

A'on M. Cantor 199

St&ckel, Jacobis Abhandlungen über Determinanten. Von M. Cantor . . . 19'.'

Hagen, Index operum L. Kuleri. Von F. Engel 'iW

Graf, Der Briefwechsel zwischen Jacob Steiner und Ludwig Schläfli. Von

W. Fr. Meyer iOti

PhUosophie, Didaktik.

Schröder, Vorlesungen über die Algebra der Logik. 111,1. Von J. Lüroth . 5')

Hontheim, Der logische Algorithmus. A'^on M. Meykr '^>

Simon und Kiessling, Didaktik und Methodik des Rechnen-, Mathematik-

und Physik -rnterrichtes. A'on M. Millkr n

Schmitz -Dumont, Naturphilosophie als exakte Wissenschaft. Von M Mkver l6i
V. Olivier, Was ist Raum, Zeit, Bewegung, Masse? Von M. Meyer .... 1^1

Arithmetik, Aiialysis, Ausdehnungslehre, Algebra.

Vogt, Leyons sur la resolution alg^brique des equations. Von R.Fbickk . 1^
Krause, Theorie der doppeltperiodischen Funktionen einer veränderlichen

(irösse, Bd.I. Von R. Frkkk -i'

Kntgegnung von Martin Kbalse 1-^

Sickenberger, Leitfaden der Arithmetik. Von E. Jahnkk j"

Sickenberger, Übungsbuch zur Algebra. Von K. Jahxke •>*'

Speckmann, Tber unbestimmte Gleichungen. Von K.Jaiinkk •""

Stieltjes, Essai sur la thöorie des nombres. Von E. Jahnkk '^-

Schimpf, Eine Theorie der Convergenz unendlicher Reihen. Von M. C-v^Tf»! •''

Kraft, Abriss des geometrischen Kalküls. Von K. Zinuler '•'

Meyer, Laerebog i Algebra. A'on R. Fhicke ^^^

Pascal, Teoria della funzioni ellittiche. Von R. Frickk ■ ^^^

Wirtinger, Untersuchungen ü}>er Thetafunktioneu. Von R. Feickk . . . • ^''-

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Inhalt. V

»eite

Brahy, EzarciMs m^hodiques de oaloul int^gnd. Von M. Msyait . . . .173
Hartly Übungsbuch für allgemeine Arithmetik und Algebra. Von £.Jahbks 176

Schurig; Eatechiimns der Algebra. Von E. Jabku 176

Fenkner, Arithmetische Aufgaben. Von E.Jahmks 176

SohtUJce; Vierstellige Logarithmentafel. Von £. Jabhks 177

DeBmartresy Cours d' Analyse, HI. Von W.Fb Meym 181

Grassmann, Werke Bd. 1,2. Von V. Schlegel 186

Schubert y Arithmetik und Algebra. Von M. Cantob 198

StolSy Grandzüge der Differential- und Integralrechnung, Ü. Von M. Meyek 200
Blliotty An introduction to the algebra of quantics. Von W. Fb. Meyeb . . 206

Synthetische uid analytische Geometrie.

Wolf, Taschenbuch. Von M. Cahtoe 9

fiohmidy Bas Dualitätsgesetz. Von M. Castob 9

Bberhardy Die Grundgebilde der ebenen Geometrie. Von H. Willobod . . 10
Koeni^y La g^omdtrie r^gl^ et ses applications. Von H.WiLx.aaoD. ... 16
De Saussure^ Sur la g^näration des courbe« par roulement. Von H. Willobod 18

JPöaux- Busch y Elementare Planimetrie. Von £. Jjjinkb 29

HolBmÜUer, Lehrbuch der Elementarmathematik, I (S.Auflage). Von £. Jahnkb S9
Holamüller, Lehrbuch I, Gymnasialausgabe. Von £.Jabnu ...... 177

HolzmüUer, Lehrbuch der Elementarmathematik, III. Von E. Jahb&k . . . M

Sickionbergery Stereometrie und Trigonometrie. Von E. Jahnks 29

Winter, Trigonometrie. Von E. Jahxkb 80

Winter, Stereometrie. Von E. Jahnkb 30

Hoffmann, Planimetrische Aufgaben. Von E. Jahhkk 81

Beidt, Aufgaben und Beispiele aus Trigonometrie und Stereometrie. Von

E. Jahnke 81

Welliaoh, Das 2000 jährige Problem der Trisektion des Winkels. Von M. Cantob 88
Modona e Vannini, Questioni e formole di geometria analitica. Von M. Caatob 68
Nievenglowskl, Cours de g^om^trie analytique, III. Von M. Caktos ... 68
Veroüese (Schepp), Grimdzüge der Geometrie von mehreren Dimensionen und

mehreren Arten geradliniger Einheiten. Von W. Fh. Meyiw 6.S

TCnilng, Bemerkungen über Veroneses transfinite Zahlen. Von W. Fb. Mbtbb 67

Macaulay, Geometrical conics. Von M. Mbybr 67

Itahler, Ebene Geometrie. Von M. Mbitsb 68

Mahler, Anfangsunterricht in der Planimetrie. Von E. Jahnkb 176

Lengauer, Grundlehren der ebenen Trigonometrie. Von M. Mbter .... 69
Qysel, Zur Konstruktion des Schwerpunktes einer ebenen Vielecksfläche. Von

M. Mbtbb ... 69

Bohwatt, Curveswhich are isogonal conjugate to a straight line. Von M. Mbtbb 172
Kölmel, Verschiedene Formen der Kurven dritter Ordnung, II. Von M. Mbtbb 174

Bork, Mathematische Hauptsätze für Gymnasien. Von E. Jahnkb 174

Spieker, Lehrbuch der ebenen und sphärischen Trigonometrie. Von E. .Jahnkb 176

Spieker, Lehrbuch der Stereometrie. Von E. Jahnkb 176

. 176
. 179
. 180
. 198
. 200

KÖBtler, Leitfaden der ebenen Geometrie. Von E. Jahnkb . . .
Vrolo'vv, Btoonstration de Taxiome XI d'Euclide. Von P. Stäokbl
CrivetB, Essai sur le postulat d'Euclide. Von P. Stäckel . . .
Henrici und Treutlein, Elementargeometrie, II. Von M. Cantor
Koeni^, Die geometrische Teilung des Winkels, II. Von M. Meyeb

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VI Inhalt.

Gfeodftsie. Methode der kleinsten Quadrate. Astronomie. Seite

Jordan y Handbuch der Vermessungskunde, I. Von F. Klein 26

HenkO; Über die Methode der kleinsten Quadrate. Von B. Nbbxl ... 136
Breuer, Mathematische Vorschule der Astronomie. Von B. Nebel .... 158
Fauth, Astronomische Beobachtungen und Resultate aus den Jahren 1893

und 1894. Von B. Nebel 158

Mechanik, Physik.

Annuaire du Bureau des longitudes pour 1896. Von M. Cantoe 52

Fainlev^y Le9ons sur Tint^gration des ^quations diff^rentielles dela Mdcanique.

Von M. Meyeb 70

Geloiohy Ottica. Von B.Nebel 84

Zoth, Die Projektions - Einrichtung. Von B.Nebel 84

Foinoarö (Gumlich und Jäger), Mathematische Theorie des Lichtes. Von B. Nebel 85

GruBon^ Im Reiche des Lichtes. Von B. Nebel 85

Vogel, Handbuch der Photographie, 11. Von B. Nebel 86

ChristianBen (Müller), Elemente der theoretischen Physik. Von B. Nebel . 87

V. Lommel, Lehrbuch der Experimentalphysik. Von B Nebel 88

Kollert, Katechismus der Physik. Von B. Nebel 88

Wüllner, Lehrbuch der Experimentalphysik, I. Vton B. Nbbel 88

Kayser, Lehrbuch der Physik für Studierende. Von B. Nebel 89

Heussi -Leiber, Lehrbuch der Physik für Gymnasien. Von B.Nebel ... 90
Abendroth, Leitfaden der Physik mit Einschluss der einfachsten Lehren der

mathematischen Geographie , I. Von B. Nebel 131

Bömstein, Fortschritte der Physik im Jahre 1893. Von B. Nbbbl .... 132

Budde, Physikalische Aufgaben. Von B. Nebel 132

Hera, Gesammelte Werke, III. Von B. Nebel 133

Helm, Grundzüge der mathematischen Chemie. Von B. Nebel .... 135

Ziwet, An elementary treatise on theoretical mechanics, IIu. III. Von B.Nebel 136
Karstens, Eine neue Berechnung der mittleren Tiefen der Oceane. Von B.Nebel 137

Lamb, Hydrodynamics. Von B. Nebel 137

Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Schalles in einem theoretischen Gase.

Von B. Nebel 138

De Saussure, Essai de thermodynamique graphique. Von B. Nebel . . 138
Miobalitschke, Abhandlungen über Musik. Von B. Nebel . . .... 139

Zenker, Streiflichter auf eine neue Weltanschauung. Von B. Nebel . . . . 140

Beyriob, Das System der Übergewalt. Von B. Nebel 140

Gl^ssmann, Magnetismus und Hypnotismus. Von B. Nebei 153

Martin (Maser), Teslas Untersuchungen. Von B.Nebel 153

Price, A treatise on the measurement of electrical resistance. Von B.Nebel 154

Sobück, Magnetische Beobachtungen. Von B Nebel ... 155

Sobwartze, Die Lehre von der Elektrizität und deren praktische Verwendung.

Von B.Nebel 155

Lebmann, Elektrizität und Licht. Von B.Nebel 156

Friok-Lebmann, Physikalische Technik Von B. Nebel 156

Welter, Die tiefen Temperaturen. Von B. Nebel ...... 159

Maggi, Principii della teoria matematica del movimento dei corpi. Von J.Lübotb 160

Bibliographie . Seite 89, 71, 91, 141, 18«, 20S

Mathematisches Abhandlungsregister: 1. Januar bis 30. Juni 1896 9S

I.Juli bis 31. Dezember 1896 . . . «12

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Historisch-litterarische Abteilung.

Wilhelm Sobrentzel.

Von
Prof. Ür. L. ScHLErtIXGEK

iu Herliii.

Am 26. Januar 1896 ist Dr. Wilhelm Schrentzel, ordentlicher
Lehrer an der städtischen Viktoria -(Mädchen-) Schule zu Berlin, inDavos-
Platz einem chronischen Brustübel erlegen. Mit ihm ist in jungen
Jahren ein Mathematiker hingeschieden, dessen Inauguraldissertation
„Über die Integration der DifiFerentialgleichung zweiter Ordnung der
Fuchsschen Klasse mit drei im Endlichen gelegenen singulären
Punkten", mit der er im Jahre 1893 bei der philosophischen Fakultät
der Berliner Universität promovierte, von dem ernsten Streben und
der nicht geringen Begabung des Verfassers für mathematische
Forschung Zeugnis ablegt, und tief beklagen lässt, dass es nun
Anderen überlassen bleiben muss, die schönen und originellen Unter-
suchungen, die Schrentzel in dieser Arbeit in Angriff genommen
hat, weiter zu führen.

Wir wollen kurz die Gesichtspunkte hervorheben, die Schrentzel
iu seiner Arbeit geleitet haben, und die Resultate angeben, zu denen
er gelangt ist.

Um die Bedeutung des Problems, mit welchem sich die Arbeit
befasst, deutlich hervortreten zu lassen, schicken wir folgendes voraus.

Wenn man eine homogene lineare Differentialgleichung zweiter
Ordnung der Fuchsschen Klasse mit den ö im Endlichen gelegenen
sincnilären Punkten ,. „

von dem Gliede mit der ersten Ableitung der abhängigen Variabein
befreit, so hat dieselbe bekanntlich die Form:

dx^'^ ~{x-rly{x^r,y...{x-ra-iy ^ '
wo die A^, A^y . . , A^a — 'i Konstanten bedeuten. Denkt man sich die
Differenzen:

Ki«t.-Ut. Abt. d. Zeit«clir. f. Math. u. riiyi. H. Jahrg. 1897. 1. Heft. [Jgitized by GOOQIC

2 Historisch -litterarische Abteilung.

^o> ^1? • • • ^<f—ly ^
der Wurzeln der zu den singulären Punkten

gehörigen determinierenden Fundamentalgleichungen gegeben, so be-
stimmen diese 0 -\-l Gleichungen zwischen den Aq, J.^, ... -4.2 a- 2, so
dass also abgesehen von den singulären Stellen selbst im allgemeinen
noch (T — 2 Parameter in den Koeffizienten der Differentialgleichung
unbestimmt bleiben. Nur wenn (T = 2 ist, wird die Differential-
gleichung durch Angabe der Aq, Aj, A vollkommen bestimmt, und zwar
kennt man dann unmittelbar nicht nur die Koeffizienten der Differential-
gleichung, sondern auch die Koeffizienten der Substitutionen, die ein
Fundamentalsystem erfahrt, wenn die unabhängige Variable x Umläufe
um die singulären Punkte vollzieht. Es entspricht dieser Fall be-
kanntlich der Differentialgleichung, der die Gausssche Reihe F(ayßyy,x)
Genüge leistet. — Schon der nächste Fall <? = 3, eben der, mit dem
sich Schrentzels Arbeit beschäftigt, bietet dadurch, dass bei ihm
durch Angabe der Aq, ^^,^2,^ weder die Koeffizienten der Differential-
gleichung noch die Umlaufsubstitutionen vollkommen bestimmt sind,
Veranlassung zu einer Reihe tiefer und schwieriger Probleme, die zum
grössten Teile von einer Lösung noch weit entfernt sind.

In einer im Jahre 1875 auf Anregung von Herrn Fuchs in
Göttingen verfassten Dissertation, hat Herr Seifert einen interessanten
Beitrag zur Behandlung des Falles (T = 3 geliefert, in welchem er,
Analogieen mit der Differentialgleichung der Gauss sehen Reihe ver-
folgend, sein Augenmerk hauptsächlich auf die Bestimmung jener Ura-
laufssubstitutionen richtet, aber zu keinen abschliessenden Ergebnissen
kommt.

Schrentzel geht in seiner Arbeit von einer Form der Differential-
gleichung aus, die der von Herrn Seifert benützten ähnlich, aber
allgemeiner ist als diese, von der Form nämlich:

a)

■^4 1 rc» "T-(a;_rj«"T-|

dx* ^\ X* {x — r^y {x — r^y

■^ x{x-r,){:c-r,) - ' " ' ' ^ '

wo >o=Ö angenommen wurde und fto>^;^ Konstanten bedeuten, die
mit den Wurzeldifferenzen A^, A^, A,, A der determinierenden Fundamental-
gleichungen durch die Beziehung

1) n' + ^i^ + n'- K' + ^1' + A,« + A« - 1
verknüpft sind. Macht man dann in a) die Substitution:

2) ^^c(fo(x- r^yi {x - r^y^ y,
wo die Konstanten «o; ^1; <^a durch die Formeln:

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Wilhelm Schreiitzel. 3

3) a«='-+-|;^, V=l, (x = 0,1,2)

in zweideutiger Weise bestimmt werden, so genügt y einer Diiferential-
gleichung, die Schrentzel in die Form setzt:

D) ^^D,M - r.xD^i^j) - r,xD,{ti) + r, r,T){y) --. 0,

worin

A,(3/) = ^'rfl^ + 2 («0 + a. + a,)x^l + [(«, + a, + «, - ^^ - ^ y,
A(2/) - 4S + 2 («0 + «.)x:;j; +[(.0 + «. - 1)^ - ^h] J/,

A(^) - ^*g + 2 («0+ «,)4.!; + [(«0+ «. - iy-'-f]>f,
/>(,)=x*3-i-2...;;j+[(«.-:y-Y]?/

zu nehmen ist. Diese vier Differentialausdrücke sind von der Lage
der singulären Punkte Tq, r^, r^ unabhängig.

Statt nun wie gewöhnlich die Lösung der Differentialgleichung D)
in Form einer einfachen nach Potenzen von x fortschreitenden Reihe
darzustellen, versucht Schrentzel die Differentialgleichung durch
eine Reihe von der Form:

ZU befriedigen, wo y^^n von r,, r^ unabhängige Funktionen von x be-
deuten mögen. Dank der durch die Gleichungen 3) gekennzeichneten Wahl
der Grössen a^, Oj, a^ ergiebt sich, dass die y«,,, so eingerichtet werden
können, dass die obige Entwiekelung die Differentialgleichung befriedigt
und die Form annimmt:

m n

WO die Cm,n Konstanten bedeuten, die sich durch eine Rekursionsformel
bestimmen lassen, und

5) u -= - 7 V = —

gesetzt wurde. Die Rekursionsformel für die 6^,11 versagt niemals,
wenn die Entwickelungen der Integrale der Differentialgleichung D) in
der Umgebung von a: = 0 keine Logarithmen enthalten; diese Be-
schränkung wird im folgenden festgehalten.

Nun konvergiert die Reihe 4) für unbestimmte Werte der u, r,

ist; also, wenn für «, v ihre Werte 5) genommen werden, für

s I^V<n^2; r^+^i^2\> ^i^i+^i)\'

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4 Historisch -litterarische Abteilung.

Die erste dieser Ungleichungen repräsentiert das Innere eines Kreises,
die letztere das Äussere einer Kurve vierter Ordnung in der Ebene der
komplexen Variabein x.

Die zweideutige Bestimmung der Grössen a^^ a^j a^ durch die
Gleichungen 3) bewirkt, dass sich acht verschiedene Entwickelungen 4)
ergeben. Je vier derselben, die den verschiedenen Werten

entsprechen, unterscheiden sich nur durch einen konstanten Faktor:
dagegen entsprechen bei fixierten d,, 8^, den beiden Wahlen

*o= + l und «o="-l
zwei linear unabhängige Entwickelungen, die also ein Fundamental-
system von D) bestimmen.

Der grösste Teil der Arbeit ist dem Konvergenzbeweise für die
Reihe 4) gewidmet, einzelne Details des Beweises sind, wie der Ver-
fasser bemerkt, aus dem der Fakultät vorgelegten Manuskripte bei der
Drucklegung weggelassen worden. Der Konvergenzbeweis bedient sich im
wesentlichen der Methoden von Gauss (Disquisitiones circa seriem
etc.). Zum Schlüsse bemerkt der Verfasser, dass die Reihe 4) für
unbestimmte u, v, der partiellen Differentialgleichung

+ [2(ao+ «1 + «,)««- («0+ «i) « - («0+ «*) » + «o] (« ff + ^f-]
+ [(«0 + «1 + «» - {) - tJ « «' - [(«0 + «. - 2) - 1' J «

[-[(^+..-i)- ';■]«+ [(".-i)'-¥l»-o

Genüge leistet, die durch die Substitution:

ri ^ u^v vP. (u - l)«i {v - 1)«« y, /Sj + ft - a,,

aus einer der Gleichung a) analog gebildeten partiellen Differential-
gleichung für ri hervorgeht. Man erhält diese letztere partielle Differential-
gleichung direkt aus a), wenn man a) zunächst so umformt, dass der
Koeffizient von rj nur von den Verbindungen

X X

M= — ; V = —

abhängt, und dann berücksichtigt, dass

dx^ du* ducv ' (?t?'

ist. Es ergiebt sich, dass für diese partielle Differentialgleichung den

®^^^^^^ X X k X a a a

"'0? "'i; '^iy '^y ro; rn ri

eine ähnliche Bedeutung beigelegt werden kann, wie sie den A^, ki,^)^

für die Differentialgleichung a) zukommt.

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Wilhelm Schrentzel. „Eppiir si muove.'* 5

Dem der Dissertation angefQgten Gurriculum yitae zufolge ist
Schrentzel im Jahre 1861 in Stettin geboren, studierte seit 1880 in
Berlin und bestand 1886 das Examen pro facultate docendi. Seine
Prüfungsarbeit löst in trefflicher Weise die Aufgabe, die Fälle, in
welchen die Gauss sehe Reihe F(a, ßy y, x) eine algebraische Punktion
von X definiert, mit Hilfe der Methoden aufzuzählen, die Herr Fuchs
für die Entscheidung der allgemeineren Frage, wann das allgemeine
Integral einer linearen homogenen Differentialgleichung zweiter Ordnung
mit rationalen Koeffizienten eine algebraische Funktion ist, gegeben
hat. Wahrscheinlich ist Schrentzel durch Beschäftigung mit dieser
(von Herrn Fuchs gestellten) Aufgabe auf die Studien hingelenkt
worden, deren Ergebnisse seine Dissertation enthält.

In nahen Beziehungen hat Schrentzel zu Kronecker gestanden,
dem er während acht Jahren bei der Redaktion und Drucklegung seiner
mathematischen Arbeiten behilflich war. Dem Andenken Kroneckers
hat Schrentzel auch seine Dissertation gewidmet.

Berlin, 30. Januar 1896.

„Eppur si muove."

Von

Dr. med. G. Berthou)

in Ronsdorf.

In einem beachtenswerten, übrigens in sehr gereiztem Tone ge-
schriebenen Artikel* hat bekanntlich seinerzeit E. Heis in Münster das
Unhistorische des obigen Ausspruches, welchen Galilei bei Gelegen-
heit seiner Abschwörung gethan haben soll, nachzuweisen versucht.
Auf Grund seiner Nachforschungen,** bei welchen Heis von dem
Jesuiten Dr. K. Braun unterstützt wurde, war er zu dem Resultate
gelangt, „dass der Ursprung jener historischen Lüge im verflossenen
Jahrhunderte bei unserem Nachbarvolke, den Franzosen, zu suchen
sei." Indem er ausführt, dass es ihm nicht gelungen sei, den Aus-
.spruch früher ausfindig zu machen, schreibt er: „Zum ersten Male

♦ Natur und Offenbarung. Münster 1868. Band XIV, Heft 8, S. 371-376.
** Zu den von Heis zitierten historiBchen Wörterbüchern, welche die Legende
noch nicht bringen, von Zedier (1735\ Mordri (20 Auflagen von 1673 -1759\
Barral f'17o8K ist Chaufepie's Nouveau Dictionnaire historique et critique (1750)
hinzuzufügen: die Wörterbücher von Bayle und von Marchand enthalten keinen
Artikel Galilei. ^ j

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g Historisch -litterarische Abteilung.

treffen wir in dem „Dictionaire hisforique ou histoire abregee . . . par
une societe. 7. edition Caen Leroy" im vierten Bande von 1789, bei
Gelegenheit der Abschwörung, die folgende Stelle: Au moment qu'il se
releva, agite par le remord d'avoir fait un faux serment, les yeux
baisses vers la terre, on pretend, qu'il dit en la frappant du pied,
E pur si muove." Schliesslich zeigte Heis, dass der Ex- Jesuit Feller
in der zweiten Auflage seines Dictionnaire historique (Band IV vom
Jahre 1794)* das „on pretend" einfach fortgelassen hatte.

Später wurde von P. H. Grisar nachgewiesen,** dass sich die
Legende bereits 1774 bei Fr.N.Steinacher findet, indem es bei letzterem
heisst:*** „Die Abbitte des Galilei war weder ernstlich noch stand-
haft genug; denn in dem Augenblicke, da er wieder aufstand und sein
Gewissen ihm sagte, dass er falsch geschworen habe, schlug er die
Augen nieder, stampfte mit dem Fusse und sagte; E pur si muove,
sie bewegt sich doch." Gestützt auf dieses von P. Grisar beigebrachte
Zitat aus Steinacher ist in neuester Zeit die Vermutung ausgesprochen:^
„Anscheinend eignet dieser Sage ein deutscher Ursprung." Hierbei
ist übersehen, dass Herr F. H. Reusch in scharfsinniger Weise be-
reits darauf aufmerksam gemacht hatte ,++ dass der Schlusssatz bei
Steinacher „wie eine Übersetzung des oben französisch angefahrten
Satzes klingt, vielleicht nach einer älteren Auflage des Dictionnaire."

Es handelt sich hier um das von dem Abbe Chaudon heraus-
gegebene Dictionnaire historique, dessen erste Auflage im Jahre 1766
erschienen ist, und dessen siebenter Auflage von 1789 Heis sein
Zitat entnommen hatte. Bereits die erste Auflage bringt denn auch
in der That die Legende (ohne „on pretend"): „Galilee ä Tage de
70 ans demanda pardon d'avoir soutenu une verite, & labjura les
genoux ä terre & les mains sur TEvangile comme une Absurdite'^
une Erreur & une Heresie. Au moment qu'il se releva, agite par
le remords d'avoir fait un faux serment, les yeux baisses vers la
terre, il dit en la frappant du pied: Cependant eile remue, e pur
si move."++^

Ferner wurde inzwischen auf eine Fundstelle hingewiesen, welche
weiter als das Jahr 1766 zurückreicht, indem Herr Gretschel er-

* Die zweite Auflage erschien Augsbourg et Libge 1789-1794.
** Zeitschrift für katholische Theologie. Zweiter Jahrgang. Iiinsbnick 18Tj^.
S. 124.

*** Lehrbuch der philosophischen Geschichte. Würzburg lV74. S. 336.— Aiul'
hier fehlt das „on pretend".

t S. Günther, Kepler. Galilei. Berlin 1896. S. 144, S. 217 flg., An-
merkung 197.

tt Der Prozess Galilei's und die Jesuiten. Bonn 1879. S. 334, Anmerkung i

ttt [Dom Chaudon] Nouveau Dictionnaire historique -portatif, ou Histoin'

abregee de tous les hommes qui se soiit fait un nom . . . Par une Societt* dr

Gens de Lettres. A Amsterdam, Chez Marc -Michel Eey, Libraire. 1766. t. H

p 207. — Ein Exemplar dieser seltenen Ausgabe befindet sich in meinem Besitz

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„Eppur si muove." 7

wähnt,* dass die Legende „sich anscheinend zuerst im dritten Bande
der „Querelies litteraires" von Irailh (Paris 1761) findet."

An der betreffenden Stelle,** in einem Essay, betitelt: Le Systeme
du Monde, schreibt der Canonicus Irailh:
[p. 48] „Tl [sc. Galilee] ne dut sa delirrance qu'ä la foiblesse qu'il
eut d'abjurer ses opinions & de blasphemer contre la verite.
II jura sur les saints evangiles de ne plus croire au mouve-
ment de la terre: les inquisiteurs re^urent eux-m§mes ses
sermens.(^)

(X) Aur pieds benits de la doct« assemblee,
Voyez-vous pas le pauvre Galilee
Qtii, teilt contrit, leur demande pardon,
Bien condamnt? poiir avoir eii raison.

fp. 40J Au moment, assure-t-on, qu'il fut mis en liberte,
le remords le prit. II baissa les yeux vers la terre,
& dit, en la frappant du pied: Gependant eile remue. (^)
(X) E pur si move."

Aus dem Wortlaut ergiebt sich ohne weiteres, dass Chaudon
auf Irailh fusst;*** aber ein Punkt ist wohl zu beachten. Während
der Kanonikus Irailh einfach berichtet, Galilei habe, wie man yer-
sichere, den Ausspruch gethan: „au moment, qu'iL fut mis en
liberte", bringt der Abbe Chaudon die Legende in pointiertester
Form, Galilei habe nach der Abschwörung, welche er knieend geleistet,
beim Aufstehen die Worte gesprochen. Wir sehen, wie sich hier
vor unseren Augen die Legende bildet, indem der Abbe Chaudon
den angeblichen Ausspruch Galilei's mit dem legendenhaften Zu-
sätze ausschmückt, der vor allem in neuerer Zeit den Zweifel geweckt
hat, da sämtliche Berichte über den Prozess Galilei's nichts von der
Sache melden; und zum anderen, hätte Galilei den Ausspruch gethan
unter den Umständen, wie es die Legende berichtet, „so hätte er
leicht das werden können, was er nicht geworden ist, ein Märtyrer
seiner wissenschaftlichen Überzeugungen" wie Herr Reu seh sehr
richtig bemerkt.

Soweit es sich um diese Legende handelt, bleibt demnach die
Behauptung von Heis in voller Kraft, dass die Legende französischen
Ursprunges, und der Abbe Chaudon der Urheber derselben ist, wie
denn auch in erster Linie der Abbe Chaudon, und später der Ex-

* Lexikon der Astronomie. Leipzig 188*2. S. 165. - Woher die Xotiz eut-
iioninien, ist nicht angegeben. Eine Auskunft war niclit zu erhingen.

** [Irailh, Augustin-Simon] Querelles litt^raires, ou Mdmoires Pour
s<?rvir a l'Histoire des KevohitionB de hi Rei^ublique des Lettres, depuis Homere
jusqu'a noa jours. A Paris, Chez Durand, Libraire, nw du Foin. 1761. 12°.
t. III. p. 48 8.

*** In einem dem vierten Pande von Cliaudons Dictionnaire historique an-
iTi'füf^ien Verzeichnisse der benutzten Werke werden ausdrücklich die Querelles
Jitteraires des Abbe Irailh aufgeführt. Vergl. t. IV, Catalogue etc. p. 11.

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8 Historisch -litterarigche Abteilung. „Eppur ei muove."

Jesuit Fe 11 er durch ihre historischen Wörterbücher der Legende die
allgemeinste Verbreitung verschaflFk haben *

Ist nun der so berühmt gewordene Ausspruch gleichfalls in das
R^ich der Legende zu verweisen, oder lässt er sich auf Galilei
zurückführen? Da ergiebt sich denn, dass es trotz sorgföltigster
Nachforschungen nicht gelungen ist, den Ausspruch weiter als bis
zum Jahre 1761 zurück zu verfolgen. Es liegt kein Grund vor an-
zunehmen, dass der Kanonikus Irailh, welcher den Ausspruch zuerst
durch den Druck veröffentlicht hat, die Sache erfunden habe; es li^
vielmehr die Vermutung nahe, dass er durch mündliche Tradition
davon Kenntnis erlangt hat. Da bekannt ist, mit welch' ängsthcher
Scheu sowohl Galilei selbst als auch dessen nächsten Freunde und
ergebensten Schüler es vermieden, selbst in vertrauten Briefen, die
heikle Frage der Bewegung der Erde zu berühren, so könnte es nicht
auffallend erscheinen, dass von dieser Seite eine so kompromittierende
Äusserung, falls sie wirklich gefallen wäre, nicht in die Öffentlich-
keit gelangte, sondern dass sie nur in den vertrautesten Kreisen
mündlich zirkulierte. Jedoch das späte Auftauchen des angeblichen
Ausspruches, und gerade der Umstand, dass durch den Satz für die
innerste t^Tberzeugung Galilei's, die zu verschweigen die Vorsicht ge-
bot, eine so prägnante Formel gegeben wird, lassen an dem legenden-
haften Ursprünge kaum einen Zweifel aufkommen. Wir sind demnach
nicht berechtigt, den Satz als einen Ausspruch Galilei's zu zitieren.
Nichts steht aber im Wege, das „Eppur si muove" als einen der
innersten Überzeugung Galilei 's adäquaten Satz auch femer zu ver-
wenden, wenn es gilt, im Namen der Wissenschaft Protest zu erheben
gegen jegliche klerikale Anmassung, komme diese nun von katholischer
oder von protestantischer Seite.

* Die neunte und letzte Ausgabe von Chaudons Dictiounaire hißtorique
erschien Paris 1810. ~ Fellers Dictionnaire historique wurde viermal aufgelegt,
1781, 1789, 1797 und 1818. Gegenüber der Diatribe von E. Hei s verdient

hervorgehoben zu werden, dass nicht etwa von Seiten der Freidenker, sondern
durch katholische Priester der Ausspruch zuerst verbreitet, und die legendenhafte
Ausschmückung erfunden ist.

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Rezensionen.

Taschenbnch fBr Mathematik, Geodäsie und Astronomie von Dr.R. Wolf,
Professor. Sechste, durch dessen Nachfolger, Professor A. Wolfer,
Direktor der eidgenössischen Sternwarte in Zürich, vollendete Auf-
lage. Zürich 1895. Druck und Verlag von Friedrich Schulthess.
XXIV, 388 S.

Wir haben im 22. Bande dieser Zeitschrift, Historisch -litterarische
Abteilung S. 185—186 die fünfte Auflage von 1877 unseren Lesern an-
zeigen, beziehungsweise empfehlen dürfen. Die nach Verlauf von achtzehn
Jahren nötig gewordene neue Auflage hat Herr Wolf er besorgt, der ja
auch in anderen Veröffentlichungen das Erbe seines verstorbenen Amts-
vorgängers angetreten hat. R. Wolf hatte übrigens schon umfassende Vor-
bereitungen zu dem Neudrucke getroffen, so dass es nur galt, in seinem Sinne
fortzuarbeiten und zusanunen zu drängen, denn dahin lässt Wolfs Programm
für die neue Auflage sich aussprechen. Die leisen Bemerkungen unseres
Berichtes im 22. Bande sind nicht berücksichtigt worden. Cantor.

Das Dnalitütsgesetz von Theodor Schmid. Sonderabdruck aus dem Jahres-
berichte der kaiserl. königl. Staats - Oberrealschule in Steyr für das
Schuljahr 1894—1895. 25 S.

Wenn Gergonne bei Gelegenheit seines bekannten Streites mit
Poncelet über die Erfindung des Dualitätsgesetzes ein besonderes Gewicht
darauf legte, er habe gezeigt, dass jenes Gesetz schon bei den ersten
Schritten des Studiums der Geometrie hervorgehoben werden könne, so hat
er damit den Lehrwert dualistischer Auffassung deutlicher als sein Gegner,
dem es auf Erfindung von Sätzen in erster Linie ankam, erkannt. Herr
Schmid hat nun in einer eigenen Programmabhandlung duale Sätze aus
Gebieten der Elementargeometrie zusammengestellt, welche zu verschiedenen
Zeiten aufgetreten sind, und hat gezeigt, wie sie im Unterrichte verwertet
werden können. Da überall die Quellen angegeben sind, so hat die Ab-
handlung auch Wert in geschichtlicher Beziehung. Am verhältnismässig
ausführlichsten sind die dualen Sätze der sphärischen Trigonometrie be-
handelt. Cantor.

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10 Historisch -litterarische Abteilung.

Die Grundgebilde der ebenen Geometrie. Von V. Eberhard. Erster
Band. Mit fünf Figurentafeln. Leipzig 1895. B.G.Teubner. XLVm
und 302 S. 14 Mark.

Dieses Werk, dessen erster Teil uns vorliegt, giebt die Grundlage einer
rein aus der Anschauung entwickelten Geometrie und in dieser Hinsicht
beschäftigt sich auch der erste Teil der ausfiihrlichen Vorrede (III— XXIX):
„Über die Grundlagen und Ziele der Raumlehre", der auch als Separat-
abdruck erschienen ist und von jedem Lehrer der Mathematik gelesen zu
werden verdient, mit der Frage, inwieweit die Anschauung im stände ist,
die Natur der Eaumgebilde zu erkennen.

Es wird zunächst dargelegt, wie die Grundgebilde: Fläche, Linie, Punkt
aus der Erfahrung sich ergeben, wie sie durch Abstraktions Vorgänge ent-
stehen, die sich auf die Kritik der Sinne gründen, und in dieser Bedeutung
ist auch der erste Satz der Vorrede zu verstehen, in dem es heisst: „Unsere
Erkenntnis unterscheidet vier Anschauungsformen: Den Baum, die Flache,
die Linie, den Punkt", ein Satz, der sonst wohl Widerspruch finden dürfte,
da ja Flächen, Linien und Punkte uns nicht durch die Anschauung gegeben
sind, vielmehr erst aus ihr abstrahiert werden müssen. Eingehend wird
behandelt, wie die Abstraktionen der Ebene und der Geraden aus den Er-
scheinungen der Natur in uns entstehen und welche Bedeutung ihnen zu-
kommt. Sehr beachtenswert sind die Ausführungen über die Beschreibung
der Gestaltsverhältnisse einer ganz beliebigen (endlichen) Fläche. Während
die Anschauung im stände ist, die unmittelbar oder mittelbar hervor-
tretenden Diskontinuitäten eines Gebildes zu erkennen, zeigen die durchweg
stetigen Elementarteile eines solchen keinen näher angebbaren Charakter. —
Nachdem kurz der Anteil festgestellt worden ist, welchen einerseits die An-
schauung, anderseits die Rechnung an der Entwickelung der Raumlehre
in unserem Jahrhunderte genommen hat und die Wechselwirkung beider
festgestellt ist, wird die Frage, ob die Anschauung allgemeine Kriterien
besitzt, um einen einförmigen Flächen- oder Kurventeil als einen gesetz-
mässigen zu erkennen, dahin beantwortet: Eine Fläche oder eine Linie ist
allemal dann und nur dann als ein einziges gesetzmässiges Punktkohtinaum
aufzufassen, wenn zwischen irgend einem festen Systeme einer endlichen,
wenn auch noch so grossen Zahl diskreter Elemente der Mannigfaltigkeit
und einem frei in letzterer beweglichen Punkte eine konstante anschauungs-
gemässe Abhängigkeit statthat. Freilich sind dadurch nur algebraische
Gebilde bestimmt und der Referent muss gestehen, durch die dahin gehenden
Erörterungen (S. XXIX) nicht überzeugt zu sein, dass bei Aufrechterhaltung
des vorher genannten Satzes unsere Raumanschauung durch die Vorstellungen
der transzendenten Flächen und Kurven bereichert werden kann.

Da an Stelle der Flächen und Linien (vorläufig wenigstens der
algebraischen) das System der bestimmenden Punkte gesetzt werden kann,
so stellt sich die urprüngliche Frage in der Fassung dar: Unter welchen
Bedingungen erkennt die Anschauung ein beliebiges im Räume gegebenes
Punktsystem als ein unabhängiges oder als ein abhängiges an? Eine un-

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Rezensionen. H

mittelbare Antwort lässt sieb für das einfacbste rämnliche Punktsystem,
vier Punkte in tetraedraler Lage, geben. Es besteht das durchgängig unter-
scheidende Charakteristikum für die allgemeine und die besondere Lage von
Grandelementen darin, dass die erstere bei ganz beliebigen, die letztere
aber nur bei ganz bestimmten stetigen Bewegungen jedes einzelnen Elementes
erhalten bleibt. — Von dem Tetraedralsysteme werden dann noch einige Eigen-
schaften und zugleich der Begriff von abgeleiteten Punktsystemen entwickelt.

Der zweite Teil der Vorrede enthält eine genetische Schilderung des
Gedankenganges und eine übersichtliche Zusammenstellung der hauptsäch-
lichsten Besultate des Bandes, so dass es natürlich ist, wenn sich der
Referent in seiner Darstellung des Inhaltes mit dieser mannigfach begegnet.

Nach den vorigen Ausführungen lassen sich „alle gesetzmässigen Baum-
gebilde auf sie bestimmende elementar abhängige Punktsysteme zurückführen,
und es muss sich daher die Natur jener aus der Eigenart dieser entwickeln
lassen. Die Frage nach dem Zusammenhange und den Singularitäten einer,
nach dem Durchschnittssysteme respektive der Berührung zweier und mehrerer
gegebenen Flächen oder Kurven wird an letzter Stelle durch den differenzierten
Charakter der das einzelne oder das zusammengesetzte Gebilde ersetzenden
Punktgruppe entschieden. Es wird daher die Theorie der räumlichen Punkt-
und Ebenensysteme und ihrer planaren Netze für die Lehre der doppelt
gekrümmten Flächen und Kurven, die Theorie der ebenen Punkt- und
Geradensysteme und ihrer linealen Netze für die Lehre von den ebenen
Kurven die natürliche Grundlage bilden." Und der Herr Verfasser sagt an
anderer Stelle mit Recht: Falls eine Theorie der algebraischen Flächen
rein auf dem Boden der Anschauung möglich ist, wird sie ihren Ausgang
von den räumlichen Punktsystemen nehmen.

Das uns vorliegende Werk beschäftigt sich mit der Natur der ebenen
Punktsysteme.

Um den Charakter eines ebenen Punktsystemes festzustellen, werden
zunächst die Eigenschaften eines Punktetripels zusammengestellt und zwar
sowohl die inneren oder absoluten, die, welche lediglich auf der gegen-
seitigen Lage der Punkte des Tripels beruhen, wie auch die äusseren oder
relativen, nämlich die, welche die räumliche Stellung des Tripels zu dem
Beobachter kennzeichnen. Die ersteren erstrecken sich auf die Teilung der
Ebene in Punkt- beziehentlich Strahlenkontinua und deren Beziehungen zu
einander, die zweiten auf die positive und negative Richtung in einer Ge-
raden und den positiven und negativen (links- und rechtsseitigen) Drehungs-
sinn eines Strahles in einem Büschel. Umschreitet man das Dreieck tJjtJgt'»
in der Reihenfolge seiner Ecken und liegt dabei die Dreiecksfläche links,
so bezeichnet man dieses durch die symbolische Gleichung

im entgegengesetzten Falle durch

während man für den Fall, dass die drei Punkte in gerader Linie liegen:

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12 Historisch -litterariBche Abteilung.

setzt und nennt diese Zahl + 1,-1 oder 0 die Charakteristik des Punkte-
tripels. Haben zwei Punktetripel gleiche Charakteristiken, so werden sie
isothetische Systeme genannt. Für dieselben gilt der Satz: Zwei isothetische
allgemeine Punktetripel können unter Erhaltung ihres beiderseitigen Charakters
stets stetig ineinander übergeführt werden. Der Herr Verfasser fasst nun
„in Bezug auf irgend ein vorgelegtes ebenes Punktsystem

^« = ^1 P2^ Ps^ Pa' • '
die Gesamtheit der Charakteristiken

^(PhPk,Pd- + ^i -1, 0
aller seiner Punktetripel h ö to

als das Fundament oder die erste Stufe in dem Charakter des Punkt-
systemes auf/^ Es ergeben sich da die fundamentalen Aufgaben:

1. alle diejenigen Systeme von Punktetripeln zu ermitteln, welche die
für die Gesamtheit der Tripel notwendigen und hinreichenden Be-
stimmungen enthalten,

2. aus einem solchen Fundamentalsysteme von Punktetripeln die
Charakteristiken der übrigen abzuleiten.

Vorher wird jedoch in § 2 erörtert, wie vielen einfachen Singularitäten
die in einem gegebenen Punktsysteme vorhandenen Singularitäten gleich-
wertig sind, wenn eine einfache Singularität oder einfache Bedingung die-
jenige ist, bei welcher drei Punkte ^;, p^^ pt in gerader Linie liegen, also
^iPh Pk^ ^) = 0 ist.

Da bei einer grösseren Zahl von Punkten die Charakterisierung eines

ebenen Punktsystemes durch die Charakteristiken seiner ( ) Tripel wegen

der grossen Zahl der Bedingungen sehr wenig übersichtlich wird und da-
durch dem Studium grosse Schwierigkeiten in den Weg gelegt werden, so
wird das Indexsystem oder Ortszeicbensystem eingeführt. Denken wir nns
einen Punkt pi des Systemes als Mittelpunkt eines Strahlenbüschels, gehen
von einem Strahle aus, auf dem etwa der Punkt p^^^ liegt und lassen von
hier aus einen Strahl das Strahlenbüschel links (oder rechts) herum durch-
laufen, so werden die einzelnen Punkte des Systemes in einer gewissen
Keihenfolge getrotfen, die nur für diejenigen Punkte unbestimmt ist, welche
auf einem und demselben Strahle liegen. Diese Punktefolge wird der
Index des f),- genannt und bei linksseitigem oder positivem Drehungssinn
gesetzt: <j(^^^ ._ ^(.)p(o. . . (pW. . . ^(0) . . . p(.)_ ^,

bei rechtsseitigem oder negativem Drehungssinne:

wo jede eingeklammerte Reihe eine Punktreihe bezeichnet, die auf einer
durch pi gehenden Geraden liegen. Ist der Drehungssinn ein unbestinmiter,
so wird der Index J{pi) geschrieben. Einem gegebenen Punktsysteme ent-
spricht ein unzweideutig bestimmtes Indexsystem:

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Rezensionen. 13

und dieses wird als die erste Charakteristik des gegebenen Punktsystemes
bezeichnet. Es stehen nun in einem ebenen Punktsysteme

^n = Pi, t)a,--t>n
das Charakteristikensystem der (1 Punktetripel

^1 Piy Pt'^ Pl» ♦'a» Pai ' ' Pn-2j Pn-l, Pn

und das System der n Indices

'JiVi\ ''T{P,)...'-T(p,)
in eindeutig umkehrbarer Abhängigkeit. Mittelst des Begriffes der Indices
wird dann die Aufgabe gelöst: „Die durch ein beliebig gegebenes Punkt-
system bedingte Einteilung des ebenen Strahlenfeldes in ein System ein-
ander ausschliessender Strahlenbereiche Yollstandig zu beschreiben/^ Der
Begriff des primären Strahlenbereiches ist dadurch definiert, dass „zwei
ausserhalb der fi - Punkte des Systems beliebig in der Ebene gewählte Gerade
den nämlichen oder verschiedenen Strahlenbereichen angehören, je nachdem
sie entweder ohne oder nur mittelst eines Durchganges durch einen Punkt pi
stetig ineinander überfOhrbar sind." Die Punktgruppe, die einen solchen
Strahlenbereich abgrenzt, heisst primäre Punktgruppe. Dabei findet sich
zum Schluss des § 4, dass in aUen ebenen Punktsystemen mit der gleichen
Singularität A (Zahl der entsprechenden einfachen Singularitäten) der Aus-

wo ir,n die Zahl der primären w-Ecke bezeichnet, einen von der Anzahl
und der gegenseitigen Lage der Punkte des Systemes völlig unabhängigen
invarianten Wert 4 + 2Jl hat.

Die Methode zur Bestimmung aller Primärvielecke einer gegebenen
Punktgruppe $« ergiebt die wichtige Eigenschaft, dass sämtliche Primär-
polygone von $n bereits aus w — 1 beliebigen Indices abgeleitet werden
können. Es wird dieses an einem bestimmten Beispiele erläutert, das zu-
gleich Anlass zu einer anderen allgemeinen Untersuchung giebt, deren Er-
gebnis ist, dass in einem allgemeinen Punktsysteme $„ höchstens w-Primär-
ilächen in ihren Indices übereinstinmien können. Zugleich werden weitere
Abhängigkeiten zwischen den Indices der Elemente eines Punktsystemes ab-
geleitet und im § 6 die Grundgesetze des Indexsjrstemes entwickelt, aus-
gehend von der durch die Anschauung gegebenen Beziehung

Pi I Ph Pk i + Pk\ Pi, Pi ' = ^1 t>M Pk ' + 2 A(^, pk, pi),
wo px pMf Pjf die Fläche ist, welche von einem von px ausgehenden Strahle
bei positiver Drehung von p^, nach p, beschrieben wird. Als allgemeines
wichtiges Beispiel dient die Ableitung des «**" aus gegebenen n — 1 Indices
eines Punktsystemes $».

Unter allen primären Punktgruppen sind die Fundamentaltripel fOr
das Punktsystem von grundlegender Bedeutung und sie werden daher im
§ 7 besonders eingehend behandelt. Ihre Zahl beträgt im Punktsysteme ^„

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14 Historisch -litterarißche Abteilung.

mindestens fi. Besonders wichtig ist der Satz, dass ein ebenes Punkt-
system ^a bei einer stetigen Bewegung seiner Elemente so lange einen
invarianten Charakter bewahrt, wie das System seiner primären Punktetripel
bestehen bleibt. „Die ausgezeichnete Stellung der primären Punktetripel
legt es nahe, in ihnen die notwendigen und hinreichenden Bestimmungs-
stücke für die Charakterisierung aller Punktetripel zu vermuten und unter
Angabe ihrer Charakteristiken imd Hauptpunkte die vollständige BeschreibuDg
des Punktsystemes zu versuchen." Diese Untersuchungen werden zunächst
an den verschiedenen Punktsystemen $^, ^ßg und ?ßg ausgeführt, und dann
wird in den §§ 11 — 13 allgemein bewiesen, dass ein Indexsystem durch
die Gruppe seiner vollständig definierten Fundamentaltripel unzweideutig
bestimmt ist, wobei sich eine grosse Zahl von Sätzen über Indexsysteme
ergiebt, in betreff deren wir jedoch bei der Eigenartigkeit xmd Neuheit
der Untersuchungen auf das Buch selbst verweisen müssen.

Im § 14 wird als Beispiel aus der Gesamtheit der Fundamentaltript?!
eines Systems $^ das Indexsystem desselben bestimmt.

Im Anhange behandelt der Herr Verfasser zunächst das endliche ebent
Geradensystem: ^ _ ^ ^,

das sich dem endlichen Punktsysteme

koordiniert gegenüberstellt. Es tritt dabei freilich die Schwierigkeit ein,
dass sich die Fortschreitungsrichttmg in einem Strahle bei einer Drehung
um 180® umkehrt, und es fehlt darnach zunächst ein Mittel, die Fort-
schreitungsrichtungen auf der einzelnen Geraden unterscheiden zu können.
Da diese Schwierigkeit auch nicht dadurch gehoben wird, die linksseitige
Rotation ein für allemal als Übergangsweise zu wählen, so führt der Herr
Verfasser einen Punkt J}^, der ausserhalb der n Geraden des Systems ge-
legen ist, als Grenzpol ein. Ein in positivem Sinne um p^ sich drehender
Strahl bestimmt auf einer Geraden g eine Folge von Punkten und diese
Fortschreitungsrichtung heisst die positive. Dadurch ist der Index einer
Geraden g als Aufeinanderfolge der Geraden bestimmt, welchen ein die
Gerade g in positiver Richtung durchlaufender Punkt begegnet und auch
die Definition der Charakteristik eines Geradentripels ist damit genau ge-
geben. Es lassen sich darnach die Gesetze eines endlichen Punktsystemes
ohne weiteres auf ein endliches Geradensystem übertragen. — Der letzte
Paragraph ist einer Besprechung der gemischten Grundgebilde, der aus
Punkten und Geraden zusammengesetzten gewidmet.

Hoffen wir, dass wir recht bald eine Fortsetzung des trefflichen und
klar geschriebenen Werkes begrüssen können, das uns in ganz neue Unter-
suchungen einführt, die unsere Anschauungen wesentlich bereichem, und möge
uns der Herr Verfasser später auch mit einer Anwendung auf die Theorie
der ebenen Kurven erfreuen, die dadurch von einem ganz neuen Gresichts-
punkte aus würden dargestellt werden. tt Wj^» q^/jd

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Rezenßionen. 15

La Geometrie reglee et ses Applications. Von G. Koenig. Paris 1895.
Gauthier-ViUars et Füs. 4®. 148 p.

Dieses Buch ist eine teilweise Reproduktion einer Vorlesung, welche
der Herr Verfasser 1887/88 im College de France gehalten hat und be-
absichtigt, den Leser in die analytische Geometrie der geraden Linie und
ihrer Systeme einzuführen. Es werden zwar auch, wo sich die Gelegen-
heit bietet, Sätze auf synthetischem Wege abgeleitet, doch werden dieselben
dann allemal noch analytisch bewiesen. Lifolge seiner klaren und leicht
yerstandlichen Darstellung, dem durchsichtigen Aufbau der Lehre von den
linearen Komplexen ist das Buch recht geeignet, in die analytische Geo-
metrie der geraden Linien einzufahren und eine Vorstufe für das Studium
der neueren Arbeiten auf diesem Gebiete, besonders der Herren Klein
und Lie, zu bilden.

Um ein Bild T7on der Methode des Buches zu geben, muss sich der
Referent erlauben, auch auf die einleitenden allgemein bekannten Kapitel
etwas genauer einzugehen.

L Die Koordinaten der geraden Linie. Allgemeines. S. 3 — 15.
Nach einer kurzen Einleitung über die Bedeutung der Geraden in der
Geometrie werden die Koordinaten der Geraden abgeleitet, indem dieselbe
sowohl als Ort von Punkten wie auch als Durchschnitt zweier Ebenen be-
trachtet wird. Beide Formen erweisen sich als identisch. Da die quadra-
tische Fundamentalform:

und die Polarform: . .^^ , , .

"(^,^) = 22-di-'"'-

bei einer linearen Transformation erhalten bleiben^ so kann man jetzt vom
Punktraume ganz absehen und als Grunderklärung, aus welcher sich alles
Weitere ergiebt, den Satz aufstellen: Jedem Systeme von sechs Variabein
a^i, aJg . . . ajß, die durch eine quadratische Relation ©(oj) = 0 verbunden
sind, deren Diskriminante nicht Null ist, kann man eine bestimmte Gerade
des Raumes entsprechen lassen, wobei die Gleichung w(x^ x') = 0 aus-
drückt, dass sich die Geraden x^x' schneiden. Daraus ergiebt sich dann
sogleich, dass 0?,==« Aai+ f*^» ^^ Gleichung eines Büschels ist, wenn
w(a, &) = 0 und dass, wenn a, h und c sich schneiden, a;,== Aa;+ (ihi -f vCi
die Gleichung eines Strahlenbündels oder eines Strahlenfeldes ist. Für
beide w^hlt der Herr Verfasser, da sie analjrtisch durch dieselbe Gleichung
dargestellt werden, den glücklichen Namen „hyperfaisceau", dem wir nach
dem Wissen des Referenten einen deutschen nicht gegenüberzustellen haben.
Allgemein hangt eine Gerade von vier Parametern ab imd je nach der
Zahl der Bedingungsgleichungen erhalten wir einen Komplex, eine Kon-
gruenz, eine Regelschar und eine endliche Zahl von Geraden. Als Grad
eines Komplexes wird die Zahl der Geraden bezeichnet, welche ein be-
liebiges Strahlenbüschel mit demselben gemein hat.

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Iß Hifitorisch- litterarische Abteilung.

IL Die linearen Komplexe von Geraden. S. 16—24. Die
linearen Komplexe (Strahlengewinde)* sind diejenigen, die mit einem be-
liebigen Büschel nur eine Gerade gemein haben, bei denen infolgedessen
die Bedingongsgleichung linear ist. Die Geraden, die von einem Pmikte
eines solchen Komplexes ausgehen, bilden einen Büschel und die Ebene
dieses Büschels nennt man die Polare des Punktes (Nullpunkt, Nullebene).
Die Polaren der Punkte einer Geraden schneiden sich in einer Geraden,
wobei das Doppelverhältnis der Punkte gleich dem der entsprechenden
Ebenen ist, und die beiden Geraden heissen konjugiert (Polare). Die
synthetisch gefundenen Satze werden auch analytisch abgeleitet und dabei
der aus der Kl ein sehen Invariante sich ergebende Begriff des speziellen
linearen Komplexes (Strahlengebüsch) entwickelt, bei welchem alle Gerade
eine bestimmte, die Leitgerade, schneiden.

in. Die Systeme von linearen Komplexen. S. 26 — 56. Nach
einleitenden allgemeinen Bemerkungen über Beziehungen zwischen den
Punkten einer Geraden und den durch dieselbe hindurchgelegten Ebenen,
das Chaslessche Korrespondenzprinzip, die anharmonischen und involu-
torischen Beziehungen, werden zwei lineare Komplexe {A,B) betrachtet.
Die beiden konjugierten Geraden, welche dieselben gemeinsam haben, ge-
hören zugleich allen Komplexen des Systemes kA-\- fiB an. Dieselben
gehen in den beiden Spezialkomplexen des Systemes in die Leitgeraden
über. Die Geraden, welche diese beiden konjugierten Geraden schneiden,
bilden die gemeinsame lineare Kongruenz des Systemes, deren Invariante
aufgestellt wird. Ist dieselbe gleich Null, so ist die Kongruenz singnlSr.
Ausser diesen gemeinsamen Eigenschaften des ganzen Systemes werden noch
diejenigen abgeleitet, welche den einzelnen Komplexen zukommen. Die
Pole einer durch eine Gerade der gemeinsamen Kongruenz des Systemes
A -\- kB = 0 gehenden Ebene in den Komplexen, welche den Werten
Ä* = er, /3, y, J entsprechen, bilden ein Doppelverhältnis, gleich dem Doppel-
verhältnisse der Grössen a, /3, y, ö. Nimmt man nun als zwei der Komplexe
die beiden Spezialkomplexe des Systemes, so ist der Wert des Doppel-
verhältnisses für zwei gegebene Systeme konstant, und es ergiebt sich aas
ihm der Winkel der beiden Komplexe, wobei allerdings der Begriff Axe
nicht definiert wird. Ist der Winkel ein rechter, so sind die beiden Komplexe
in Involution. — Nach Untersuchung der Systeme lA + ^B = 0 werden
die drei-, vier- und fünfgliedrigen Gruppen von Komplexen behandelt und
ihre Eigenschaften hergeleitet.

rV. Grundlehren der Geometrie des Unendlich-Kleinen in
Geradenkoordinaten. S. 57—91. Es wird von der linearen singol&ren
Kongruenz der Tangenten einer windschiefen Fläche längs einer Erzengenden
ausgegangen. Zwei benachbarte dieser Kongruenzen haben die eine Regel-

* Die Bezeichnungen in Klammern sind die bei uns gebräuchlichen uaclj
R. Sturm: „Die Gebilde ersten und zweiten Grades der Liniengeometrie in
synthetischer Behandl ung . "

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Rezensionen. 17

schar des oskulierenden Hyperboloids der Fläche gemeinsam. Die andere
Schar desselben gehört den Komplexen an, welche eine Berührung zweiter
Ordnung mit der Fläche haben, und zwar bilden dieselben ein dreigliedriges
System. Auch die Systeme von linearen Komplexen, welche eine drei-
und vierfache Berührung mit der Fläche haben, werden untersucht, sowie
das oskulierende Ebenenbüschel. Eine oskulierende Ebene und der Be-
rührungspunkt bilden ein Liesches Berührungselement. Nach einer kurzen
Besprechung von Ebenenbüseheln^ die von mehreren Parametern abhängen,
werden die einen linearen Komplex berührenden linearen Komplexe be-
handelt. Ist die dabei auftretende Kl ein sehe Invariante gleich Null, so
ist die betreffende Gerade eine singulare Gerade und die Ebenenbüschel,
die zu allen singulären Geraden gehören, umhüllen die Singularitätenfläche,
von welcher jede Regelfläche des Komplexes in einer gewissen Anzahl von
Punkten berührt wird. Es werden dann die schon länger bekannten
differentiellen Eigenschaften der linearen Kongruenzen abgeleitet, auf die
wir der mannigfachen Einzelheiten wegen hier nicht eingehen.

Y. Kleinsche Koordinaten. Anallagmatische Geometrie.
S. 92 — 146. Die Gleichungen cd(x) = 0, a;, = 0 (i eine der Zahlen 1 bis 6)
stellen bei Plückerschen Koordinaten singulare Komplexe dar, deren Leit-
gerade die Kanten eines Tetraeders sind. Aus diesen Plückerschen Koordi-
naten ergeben sich die Kl ein sehen durch Umformung. Setzt man:

= (^41 + r,,y + 0« + ^3,)* + 0-48 + r,,r _

so erhält man aus diesen Grössen x, durch allgemeine orthogonale Sub-
stitution die Kleinschen Koordinaten yj. Von diesem eigentümlichen sechs-
fach orthogonalen oder involutohschen Koordinatensysteme, welches fünfzehn
Parameter enthält, werden die Haupteigenschaften abgeleitet, die zehn
Fundamentalflächen zweiten Grades, sowie die fünfzehn Fundamentaltetraeder,
die sich dabei ergeben, genauer untersucht. Der bei der Transformation
dieser Koordinaten zuletzt abgeleitete Satz: „Wenn die Gleichungen der
linearen Transformation:

x^i = üij^Xj^ + a/giTj H f- tti^x^. (i = 1 , 2 . . . 6)

to(x) = (o(x') ergeben, so stellen sie zwischen den Geraden x und ic' eine
bomographische oder eine dualistische Beziehung her^\ ist für Herrn Klein
der Ausgangspunkt gewesen für eine sonderbare Beziehung zwischen der
Geometrie der Geraden im Räume und derjenigen der metrischen Eigen-
schaften in einem Baume von vier Dimensionen. Es giebt derselbe auch dem
Herrn Verfasser Gelegenheit auf Räume von n Dimensionen einzugehen
and dabei besonders die anallagmatischen Transformationen zu berück-
sichtigen. H WiLLOROD.

IIi»t.-llt. Abt. d. Zeitschr. f. Math. u. Phys 42 .lahrg. 1807. 1. fieft. ^qitized bv GOOQIC

18 Hist-oriach-litterariRche Abteilung.

Snr la generation des courbes par ronlement. Von Rena de Saussure.
Geneve 1895. Aubert Schuchardt. gr. 8^ 94 p. 2 Tafeln Figuren.

Eine jede ebene Kurve kann man sich durch die Bewegung eines
Punktes in der Weise erzeugt denken, dass eine mit ihm fest verbundene
Gerade auf einer Kurve rollt oder umgekehrt eine fest mit ihm verbundene
Kurve auf einer Geraden. .Beide Erzeugungsarten sind auf einfach unendlich
verschiedene Weisen möglich. Die erste Art wird eine bestimmte, wenn
die Gerade gezwungen ist, zur entstehenden Kurve stets senkrecht zu sein,
es muss dann der Punkt auf der Geraden liegen und die erzeugte Kurve
ist eine Evolvente der festen Kurve, letztere die Evolute der ersteren.
Bei der zweiten Art ist die Erzeugung nur in begrenzter Zahl möglich,
wenn die Gerade eine Basis der erzeugten Kurve sein, das heisst sie in
sämtlichen Schnittpunkten senkrecht treffen soll. Die erzeugte Kurve heisst
Rollkurve, und während man gewöhnlich die Gleichung der RoUknrve sucht,
ist hier ausserdem das inverse Problem gelöst, aus der Gleichimg der Roll-
kurve die der Erzeugenden zu bestimmen. Diese Aufgabe wird für die
Kegelschnitte eingehend behandelt, nachdem dem Rollen zweier Kurven
aufeinander und insbesondere" den cykloidischen Linien die nötige Auf-
merksamkeit gewidmet ist. Es stellt sich dabei heraus, dass beim Rollen
eines Kreises vom Radius r auf einem solchen vom Radius li auch fOr
imaginäre Werte von r eine reelle Kurve entstehen kann, nämlich wenn

*' = ö~ + Qh wo Q einen beliebigen Wert hat. Die in diesem Falle ent-
stehenden Kurven nennt der Herr Verfasser Paracykloiden.

Im zweiten Teile geht der Herr Verfasser auf den Raum über, wobei
definiert wird, dass eine Raumkurve auf einer Ebene rollt, wenn ihre
Tangentenfläche auf der Ebene rollt, sodass an Stelle der Kurve die ab-
wickelbare Flache treten kann, deren Rückkehrkante die Kurve ist. Zur
Vorbereitung des allgemeinen Falles lässt Herr Saussure eine ebene
Kurve auf einer festen ebenen Kurve so rollen, dass ihre beiden Ebenen
einen Winkel einschliessen, der sich nach einem bestinmiten Gesetze ändert
Es werden dann nacheinander behandelt das Rollen eines Cjlinders auf
einer Ebene, das eines Kegels auf einer Ebene und umgekehrt und einer
allgemeinen abwickelbaren Fläche auf einer Ebene und umgekehrt. Beim
Rollen zweier abwickelbaren Flächen, aufeinander kommen je zwei gerad-
linige Erzeugende nur dann zur Deckung, wenn die Rückkehrkanten beider
in entsprechenden Punkten gleiche erste Krümmung haben, sonst findet die
Berührung nur in einem Punkte statt. In Bezug auf den letzteren Fall
wird auf das Rollen eines Kegels auf einem Cylinder eingegangen.

H. WiLLGROD.

Le^jons sur la resolntion algebriqne des eqnations. Par H. Vogt. Avee
ime pr^face de Jules Tannery. Paris 1895 .201 p.

Herr H.Vogt, w^elcher bereits in seinen früheren selbständigen Arbeiten
mehr ^en analytischen, als den geometrischen Untersuchungen zuneigte,

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Rezensionen. 19

ist mit seinem hier vorliegenden Buche offenbar auf das richtige Feld
seiner Beanlagung gelangt. Der Herr Verfasser bietet zwar in seinen „Vor-
lesungen über die algebraische Auflösung der Gleichungen" nichts Neues;
aber die wirklich in die Tiefen des behandelten Gegenstandes eindringende
Darstellung, die reife Disposition im grossen wie im einzelnen, sowie vor
allem eine fast überall klare und präzise Ausdrucksweise machen die Lektüre
des Buches zu einer wahrhaft genussreichen. Dass auch einmal Ausnahmen
vorkommen, zeige etwa der vorletzte, mit den Worten „Toute equation
dont les coefiQcients . . ." beginnende Absatz S. 62. Der Sinn des ersten
Satzes in diesem Absätze ist überhaupt unverständlich: Die Koeffizienten
einer Gleichung bilden denselben Rationalitätsbereich, wie die symmetrischen
Funktionen der Wurzeln; dieserhalb ist die im gedachten Satze gegebene
Definition der „equations particulieres" nicht verständlich. Die weiterhin
an die Gleichungen mit rationalen Koeffizienten geknüpften Betrachtungen
sind gleichfalls nicht recht glücklich gewählt. Weit lieber möchte man hier
den gegenteiligen Satz finden, dass wenigstens für jeden Primzahlgrad
unendlich viele „affektlose" Gleichungen mit rationalen Koeffizienten existieren ;
auch im weiteren Verlaufe des Buches habe ich diesen Satz nicht gefunden.
Doch dürften derartige Stellen, in denen eine Präzisierung des Gedankenganges
wünschenswert erscheint, im vorliegenden Buche sehr selten sein; und sie kommen
gegenüber den schon genannten Vorzügen des letzteren kaum in Betracht.

Der vom Verfasser behandelte Stoff deckt sich fast vollständig mit
dem Inhalte des bekannten und geschätzten Werkes von Herrn Netto über
Substitutionentheorie; letzteres Werk ist sogar mehrfach direkt vorbildlich
gewesen. Daneben macht sich eine etwas grössere Einwirkung Krone ckers
geltend, als sie bei Netto vorliegt, so z. R. in der Theorie der Reduzibilität
der Gleichungen. Dieser Umstand ist natürlich durch die verschiedene
Entstehungszeit beider Werke begründet.

Betreffs der Anordnung des Stoffes möchte Unterzeichneter auf einen
Punkt hinweisen. Einer der Hauptsätze der Galois sehen Theorie, nämlich
derjenige über Auflöstmg der Gleichung durch Lösung einer Kette von
Resolventen (den Faktoren der Zusammensetzung der zugehörigen Gruppe
entsprechend), ist vom Verfasser erst auf der vorletzten Seite des Buches
aufgestellt. Die allgemeine Theorie der algebraisch auflösbaren Gleichungen
auf Grundlage Abel scher Sätze wird weit früher behandelt. Die letzteren
Entwickelungen müssen natürlich in dieser Form durchaus bestehen bleiben
und sind überdies vom Verfasser vorzüglich dargestellt. Dagegen ist wohl
kein Zweifel, dass ein Leser, der sich bereits im Besitze des vorgenannten
Satzes der Galoisschen Theorie befindet, weit leichter den Überblick über
die vielfältigen algebraischen Deduktionen des Ab eischen Beweises gewinnt.
Diese Bemerkung ist um so schwererwiegend, als der fragliche Satz der
Galoisschen Theorie ein fast unmittelbares Ergebnis aus den vorentwickelten
Begriffen von Gruppe und Rationalitätsbereich einer Gleichung ist.

Folgende kurze Inhaltsangabe möge die Besprechung abschliessen. Die
fünf ersten Kapitel sind den substitutionentheoretischen Grundlagen gewidmet.

.2,r_.by Google

20 Historisch -litterarische Abteilung.

Der Begriff der Pennutationsgruppen wird vorangestellt, die Untergruppen
und ihre Artunterscheidungen werden eingeführt, die Zerlegung einer Gruppe
in eine Kette jeweils ausgezeichneter Untergruppen wird besprochen, und
endlich die Einfachheit der alternierenden Gruppe fiir « > 4 bewiesen.
Weiter werden die zu den einzelnen Gruppen gehörenden rationalen und
ganzen Funktionen betrachtet. Für diese ist dann das Theorem von
Lagrange über Darstellung aller Funktionen einer Gruppe durch eine unter
ihnen fundamental; speziell kommt der Fall einer Galois sehen Funktion
zur Behandlung. Das fünfte Kapitel ist den cyklischen und metacyklisclien
Gruppen und Funktionen gewidmet. Nun wird weiter von den Begriffen
des Eationalitätsbereiches und der Beduzibilität gehandelt.

Im folgenden Teil des Werkes, welcher aus den Kapiteln VII bis XID
besteht, ist die Anwendung der vorhergehenden Entwickelungen auf die
Theorie der Gleichungen gegeben. Zuvörderst wird der Begriff der Be-
solventen und der Gruppe einer Gleichung behandelt. Im Anschlüsse an
die Besprechung der Gleichungen zweiten bis vierten Grades finden die
Untersuchungen von Lagrange ihren Platz. Es folgt sodann das Kapit«!
über die algebraisch lösbaren Gleichungen, welches wir bereits oben er-
wähnten ; und ihm schliessen sich drei Kapitel mit speziellen Untersuchungen,
nämlich über Abel sehe Gleichungen, über Kreisteilungsgleichungen und
über Galoissche Gleichungen an. Das letzte Kapitel ist wieder all-
gemeineren Auffassungen der Galois sehen Theorie gewidmet.

Robert Fricke.

Theorie der doppeltperiodischen Funktionen einer veränderlichen GrSsse.

Von Dr. Martin Krause, Professor an der technischen Hochschule in
Dresden. Leipzig, B.G.Teubner 1895. Erster Band, VIII und 328 S.

Die Besprechung des Yorliegenden neuesten Buches über doppelt-
periodische Funktionen ist deshalb ein wenig erschwert, weil nur erst die
erste Hälfte des zweibändig geplanten Werkes erschienen ist, das doch als
Ganzes beurteilt sein will. Freilich giebt der Verfasser im Vorworte zum
vorliegenden ersten Bande die im zweiten zu behandelnden Gegenstände
kurz an; derselbe soll nämlich die Anfänge der Transformationstheorie auf
neuer Gnmdlage, sowie trigonometrische Reihen und Differentialgleichungen
für die Funktionen zweiter und dritter Art behandeln. Vielleicht darf m&D
hoffen, dass die Grundlagen der Transformationstheorie, welche Herr Krause
solcherweise verspricht, neue und interessante Gesichtspunkte in diese Theorie
hineintragen. Das vorliegende Werk könnte dann vielleicht, als Ganzes
betrachtet, originell erscheinen und würde sich der sehr entwickelten Litteratur
über elliptische Funktionen als neues wertvolles Glied anreihen. Diese
Hof&iung darf jedoch nicht hindern, den allein erst zugänglichen ersten
Band fOr sich zu acceptieren und die Behandlung der in ihm zur Spraclie
konmienden Gegenstände gegen den sonstigen hierfür in Betracht kommenden
Entwickelungsstand der Theorie zu orientieren.

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Rezensionen. 21

Auf den ersten Abschnitt (Einleitung in die Funktionentheorie nach
Weierstrass) braucht nicht eingegangen zu werden, da es sich hier nur
um bekannte und längst festliegende Dinge handelt.

Im zweiten Abschnitte wird die Theorie der doppeltperiodischen Funk-
tionen auf Grundlage der gewöhnlichen ^-Funktionen behandelt. Herr Krause
wählt hier den Eingang zu seinen eigentlichen Betrachtungen in eleganter Weise
von der Theorie der „linear -periodischen Funktionen" aus. Dabei muss aller-
dings der S. 39 aufgestellte Lehrsatz, die Theorie dieser Funktionen lasse sich
auf die Theorie der multiplikativ und die der additiv periodischen Funktionen
zurückführen, beanstandet werden. Die linear -periodischen oder automorphen
Fanktionen umfassen einen viel weiteren Bereich und besitzen eine ungleich
reichhaltigere Theorie. Der fragliche Satz bezieht sich vielmehr einzig auf die-'
jenigen elementaren Funktionen, welche nur gegenüber einer einzigen Sub-
stitution und ihren Potenzen invariant sind. Im Verfolge des Überganges zu den
0" -Funktionen macht sich wiederholt der Mangel geometrischer Vorstellungen
fühlbar. Insbesondere wäre es wünschenswert gewesen , dass der Übergang von
den multiplikativ periodischen Funktionen zu den doppeltperiodischen in seiner
geometrischen Bedeutung als Abbildung eines von zwei Kreisen begrenzten
Ringes auf ein Parallelogramm erfasst wäre. Ich will bei den nächsten
Angaben das gänzliche Fehlen geometrischer Anschauungen nicht immer
wieder erwähnen (ist doch vor allem die Vorstellung des Periodenparallelo-
grammes nirgends explicit entwickelt); dagegen ist ausdrücklich zu betonen,
dass es sich hierbei nicht etwa ausschliesslich um eine Frage des Ge-
schmackes handelt. Den geometrischen Vorstellungen wohnt zum mindesten
eine weitgehende didaktische Bedeutung inne; und es hätten zumal bei
Heranziehung Rie mannscher Anschauungsweisen gewisse späterhin noch zu
nennende Grundsätze der Transformationstheorie weit klarer und weit
weniger unbestimmt ausgesprochen werden können.

Die Entwickelung des Buches nimmt nun zunächst den Fortgang,
dass die multiplikativ periodischen „Primfonktionen" in unendliche Produkte
entwickelt werden, für welche dann nach Jacobi die Umsetzung in un-
endliche Reihen dargeboten wird. Letztere werden späterhin unmittelbar
zum Ausgange für die Aufstellung der ^-Reihen. Demnächst werden die
Eigenschaften der doppelt -periodischen Funktionen aus denen der multipli-
kativ periodischen abgeleitet; die Unmöglichkeit dreifach periodischer ein-
deutiger Funktionen (dies ist die passendere Wendung an Stelle der vom
Verfasser Seite 53 flg. gewählten Ausdrucks weise) wird nach Jacobi be-
wiesen; die vier gewöhnlichen -^-Funktionen werden durch ihre Produkt-
entwickelungen und ihre Periodeneigenschaften definiert, und mit Hilfe dieser
Funktionen werden die doppelt periodischen Funktionen zweiter und dritter
Art eingeführt und näher untersucht.

Von besonderer Wichtigkeit sind die nun folgenden Entwickelungen über
^-Funktionen /?**' Ordnung und über den zugehörigen Salz Hermites von den
n linear -unabhängigen .^-Funktionen w**"^ Ordnung der einzelnen Charakteristik.
Von diesem Satze macht Herr Krause in der Transformationstheorie den aus- j

22 Historisch -litterarische Abteilung.

gedehntesten Gebrauch und benennt denselben dieserhalb schon hier als das
„Hermitesche Transformationsprinzip^^ Es handelt sich hierbei um einen Satz,
der als Spezialfall in dem allgemeinen Biemann-Hoch sehen Satze enthalten ist.
Der vom Verfasser gewählte Beweis stützt sich auf die Reihenentwickelungen
der ^-Funktionen; es ist dies der ursprüngliche Her mite sehe Gedankengang.

Es folgen nun ausgedehnte Entwickelungen über die •&- Funktionen
erster Ordnung , über die zwischen ihnen bestehenden quadratischen Relationen
und ihre Additionstheoreme auf Grundlage des Her mit eschen Satzes. Auf
der gleichen Grundlage erwachsen auch die Darstellungen der 0- Funktionen
^^tor Ordnung in denen der ersten Ordnung. Der Rest des zweiten Ab-
schnittes ist im wesentlichen der Einführung der Moduln Ä*, Ä:', der Weier-
stra SS sehen Funktionen Äl (u) und der Jacobischen Funktionen sin a»n/,
cos am?/, Jamu gewidmet, für welche eine Reihe von Fundamental-
eigenschaften entwickelt wird.

Der dritte Abschnitt „Die Transformation der elliptischen Funktionen
nebst Anwendungen" gliedert sich in folgender Weise:

1. Einführung des Transformationsproblemes und Transformation ersten
und zweiten Grades (S. 102 bis 122). Das Problem der rationalen Trans-
formation wird in allgemeiner, wenn auch nicht allgemeinster Form ent-
wickelt. Die nächsten Anwendungen beziehen sich auf die lineare und die
Landen sehe Transformation. Überall liegt der Hermitesche Satz der
funktionentheoretischen Schlussweise zu Grunde.

2. Anwendungen zur Ausgestaltung der analytischen Theorie der ellip-
tischen Funktionen (S. 122 bis 156). Es werden hier die Ableitungen der
doppeltperiodischen Funktionen nach dem Argumente u rational in sin^wM
etc. dargestellt. Die Potenzreihen für sin am w etc. werden nun eiplicite
behandelt, und nebenher wird auch der Weierstrassschen p- Funktion ge-
dacht. Es folgen weiter Differentialrelationen für die 0- Funktionen, die
Funktionen Äl{n)^ den Modul Je etc., sowie Formeln für die Berechnung
des Moduls und des Periodenverhältnisses.

3. Multiplikation der elliptischen Funktionen (S. 156 bis 173). Für die
Lösung des Multiplikationsproblemes, die Funktionen sin am n ?/, cos]«»» »«,••
rational in den ursprünglichen darzustellen, werden insgesamt fünf Methoden
angegeben. Die erste Methode gründet sich auf den Her mite sehen Säte,
während bei der zweiten eine interessante Differentialgleichung von Jacobi
zur rekurrenten Berechnung der Koeffizienten in den gewünschten Formeln
herangezogen wird. Weiterhin kommen die Teilwerte von sin am u etc. xnr
Verwendung; auch die bekannte Kiepe rtsche Determinante findet Erw&hnung.

4. Transformation höheren Grades mit Ausführungen für n = 3 iind
n = 5 (S. 174 bis 191). Vergleiche die Ausführungen unter Nr. 6.

5. Modulfunktionen, Modular- tmd Multiplikatorgleichungen (S. 191 bis
246). Um die Theorie der Hermiteschen (jp-Funktion, sowie diejenige
der Modular- und Multiplikatorgleichtmgen durchführen zu können, sendet
der Herr Verfasser eine drei Seiten füllende Besprechung des Begriffes der
Modulfdnktionen voraus. Hierbei hätte doch gesagt werden^ sollen, dass die-

.,„__, ^OOgk

Rezensionen. 23

jenigen Untergruppen Cr, zu welchen im Sinne des Verfassers Funktionen t(;(t)
gehören, einen verschwindend kleinen Bruchteil aller Untergruppen G bilden.
Dem Satze, dass geradezu nur eine endliche Zahl solcher Funktionen i^(r)
und Gruppen G in der Transformationstheorie existiert, galten nachhaltige
Bemühungen Giersters, der diesen Satz fOr Primzahltransformation wirklich
nachwies. Die allerdings nicht recht deutlich ausgesprochene Meinung des
Verfassers , es existiere eine unendliche Fülle solcher Funktionen >/; (r) (cf. S. 1 94,
zweiter sowie letzter Absatz) dürfte demnach dem Thatbestande nicht ent-
sprechen und ist jedenfalls nicht bewiesen. Die späterhin zur Geltung
kommenden Funktionen, an welche der Verfasser zu denken scheint, sind
nur in Ausnahmefallen von der Art der Funktionen t|;(r).

6. Allgemeine Ansätze zur Transformationstheorie (S. 247 bis 262).
Hier interessieren vor allem die Darlegungen S. 254: Der Herr Verfasser
entwickelt dort, was er für den eigentlichen Inhalt der Transformations-
theorie ansieht. Zuvörderst liegt das Problem vor, die transformierten
doppeltperiodischen Funktionen oder auch O- Funktionen in den ursprüng-
lichen darzustellen. Die Koeffizienten in den gewünschten rationalen Aus-
drücken sind zwar von u unabhängig, stellen aber Funktionen des Perioden-
qaotienten r vor, nämlich allgemein zu reden Nullwerte transformierter
^-Funktionen. Bei der Aufstellung der zuerst erwähnten allgemeinen Trans-
formation sgleichungen (vermöge einer Methode der Reihenentwickelungen)
stallen sich nun unendlich viele Relationen zwischen den fraglichen 0 -Null-
werten ein, und in der Aufstellung dieser Relationen in möglichst grosser
Zahl sieht Herr Krause die zweite Hauptaufgabe der Transformations-
theorie. In diesem Sinne ist die Transformationstheorie bereits bei den-
jenigen Ent Wickelungen gehandhabt, welche vorhin unter Nr. 4 rubriziert
wurden. Die Meinung des Herrn Verfassers ist jedoch, dass die an letzter
Stelle benutzten Regeln nicht ausreichen, um fär allgemeine Transformations-
grade w die formulierten Autgaben zu lösen, dass indes eine etwas weitere
Fassung des Problemes die Lösung anbahnen möchte. Die Erweiterung
soll darin bestehen, dass Transformationsgleichungen beliebiger Gestalt und
zwar nicht nur für einen, sondern für mehrere neben einander vorkommende
Repräsentanten aufgestellt werden sollen. Ihnen gehen dann auch wieder
entsprechende Relationen zwischen den 0- Nullwerten parallel. Dieser An-
satz findet fOr /f = 3 und n = b nähere Ausführung.

Weitere Beiträge zur Lösung des Transformationsproblemes im an-
gedeuteten Sinne soll der vierte Abschnitt ,,Die Theorie der doppeltperiodischen
Funktionen auf Grund der ^-Funktionen mit gebrochener Charakteristik'*
liefern. Bis auf Exponentialfaktoren handelt es sich hierbei um die

Funktionen i>o { " + ) ' ^^d damit treten im weiteren nun auch die

Teilwerte der 0- Funktionen explicit in die Untersuchung ein. Die Be-
ziehung dieser O- Funktionen mit gebrochener Charakteristik zu den früher
bereits betrachteten elliptischen Funktionen n^^' Ordnung wird betrachtet
und an den Beispielen n = 3 imd w = 6 illustriert. Es werden auf Gjnnd ,

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24 Historisch -litterarische Abteilung.

des Her mit eschen Satzes gewisse lineare Belationen zwischen den n*^ Po-
tenzen jener -O-- Funktionen mit gebrochener Charakteristik entwickelt, za-
gehörige Additionstheoreme werden aufgestellt etc. Letzten Endes werden
Anwendungen auf die Theorie der doppelt periodischen Funktionen zweiler
und dritter Art vollzogen. —

Um nun, wie schon oben in Aussicht genommen, die Darstellung des
Herrn Verfassers gegen sonst verbreitete Auffassungen der Theorie der
elliptischen Funktionen zu orientieren und mit denselben zu vergleichen, so
dürften zunächst die grosse Menge und Eleganz der analytischen Ent-
wickelungen die Störke des vorliegenden Buches ausmachen. NatOrlich sind
diese Entwickelungen grösstenteils nicht neu, doch stellen namentlich die
der Transformationstheorie in oben skizzierter Weiße entspringenden ^-
Relationen das eigene Gebiet des Herrn Verfassers dar, auf welches sich
zahlreiche Publikationen desselben und seiner Schüler beziehen.

Gegenüber analytischen Rechnungen treten funktionentheoretische Über-
legungen der Entwickelung überall stark in den Elntergrund. So ist denn
auch die funktionentheoretische Bedeutung der Beihendarstellungen vielfach
nur zu kurz angedeutet. Man vergleiche in dieser Hinsicht als ein
charakteristisches Beispiel die Art, wie S. 99 die Beihenentwickelungen für
sin amu eingeführt werden. Es bleibt hier dem Leser überlassen, die
Berechtigung der gemachten Ansätze, die Konvergenzbezirke der ent-
springenden Reihen und dergleichen aus eigener Erafb zu ergänzen.

Im übrigen ist der funktionentheoretische Standpunkt des Herrn Ver-
fassers in Ansehung der engeren Theorie der elliptischen Funktionen der-
selbe, wie er sich zum Beispiel in dem seinerzeit so ausgezeichneten Werke
von Königsberger ausspricht. Nur liegt der allerdings sehr weittragende
Unterschied vor, dass Herr Königsberger seinen Entwickelungen in aus-
gedehnter Weise die Vorstellungen Riemanns zu Grunde legt, während
diese dem Kraus eschen Buche fremd bleiben. Bei dieser Sachlage bleiben
denn auch diejenigen drei Momente, welche für die neuere Fortentwickelung
der Theorie der elliptischen Funktionen besonders folgenreich wurden (ich
meine die Weierstrasssche Theorie, die Gewinnung der Gruppentbeorie
für die gesamte Lehre von den elliptischen Funktionen und speziell der
Theorie der algebraischen Funktionen fOr die Transformation), ohne wesent-
lichen Einfluss auf das Krause sehe Buch.

Die Vorzüge der Weierstrassschen Theorie namentlich bei der Trans-
formation ersten und höheren Grades brauchen heutzutage nicht mehr ver-
teidigt zu werden. Auf der anderen Seite kann der Herr Verfasser freilich
mit Recht hervorheben, dass die Transformationsgleichungen in der Jacobi-
schen Theorie formell einfacher ausfallen. In einem Buche, in dem mehr
nur auf die formale Seite der Endresultate in der Transformationstheorie
Gewicht gelegt wird, werden demnach die Fortschritte der Weierstrass-
schen Theorie wirkungslos bleiben.

Etwas weniger zur allgemeinen Kenntnisnahme ist bislang der zweite
Gesichtspunkt gelangt, in welcher Weise die Begriffe der Gruppentheorie

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Rezensionen. 25

sowie der Eiemannschen Theorie der algebraischen Funktionen innerhalb
der Kl einschen Theorie der Modulftinktionen von fortbildender Wirkung
für die elliptischen Funktionen geworden sind. Die Gruppentheorie hat
ihre klärende Wirkung in der That auch innerhalb der Theorie der ellip-
tischen Funktionen im vollen Umfange bezeugt; und es ist nicht zweifelhaft,
dass jemand, der den wunderbaren Organismus des gruppentheoretischen
Aufbaues dieser ganzen Theorie deutlich erfasst hat, hiermit den besten
Überblick gewonnen hat, sowohl über den Gesamtumfang der Theorie, sowie
auch über das gegenseitige Verhältnis der einzelnen Teile, z. B. dasjenige
der Weierstrassschen zu den Jaoo bischen Schöpfungen. Den Einwand, die
Gruppentheorie betreffe stets nur Formalien und könne nie die Sache selbst
erschöpfen, will ich hier gleich nennen; den Vergleich mit der durch die weiter
folgenden Bemerkungen berührten Sachlage wird der Leser selber vollziehen.
In der That bleibt nun noch ein, und zwar besonders wichtiger Ge-
sichtspunkt zu besprechen. Es handelt sich um die Kram se sehe Auffassung
der Transformationstheorie; und ich gehe dabei gleich zu dem Hauptgegen-
stande, nämlich zu den oben wiederholt genannten Relationen zwischen den
Nullwerten der ^-Funktionen, welche bei Transformation und Teilung
höheren Grades w auftreten. Der Herr Verfasser stellt für die Anfangs-
werte n Relationen dieser Art von eleganten formalen Gesetzen in grosser
Zahl auf und betont oft wiederholt, es gäbe bei jedem einzelnen Grade eine
unendliche Menge weiterer ähnlicher Relationen. Zugleich kennzeichnet er
als sein eigentliches Ziel, für beliebig grosse n allgemein Transformations -
gleichungen und im besonderen ^-Relationen dieser Art zu erkennen.

Es hat nun unter anderen auch diese O- Relation betreffend die Kl ein-
sehe Theorie der Modulfonktionen ausserordentlich aufklärend gewirkt. Nach
derselben stellen alle die unendlich vielen ^-Relationen des gleichen Grades ;;
und des gleichen Systems der Theta immer nur wieder in wechselnder Ge-
stalt ein und dasselbe algebraische Gebilde beziehentlich ein und dieselbe
algebraische Korrespondenz auf einem solchen Gebilde dar. Die auf die
prinzipielle Auffassung ausgehende Untersuchung muss demnach nicht nach
den „möglichst allgemeinen" Relationen des einzelnen Falles suchen (für
welche überhaupt eine korrekte Definition schwerlich gegeben werden möchte),
sondern vielmehr nach der „einfachsten" und sieht dann in den übrigen Rela-
tionen immer kompliziertere Ausdrucksformen desselben zu Grunde liegenden
Gebildes.

Man ist es seit lange gewohnt, einen Hauptcharakter der modernen
Mathematik darin zu sehen, dass sie bestrebt ist, wo es angeht, den Ge-
danken an die Stelle der Rechnung zu setzen; man meint, die Mathematik
sei nicht dazu da, um möglichst viel, sondern um möglichst wenig zu
rechnen. Darf ich dies als eine berechtigte und anerkannte Tendenz an-
sehen, so ist weiter nicht fraglich, dass die rein rechnerischen Entwicke-
liingen zahlreicher, dasselbe Gebilde oder dieselbe Korrespondenz darstellender
Delationen in der algebraischen Theorie dieses Gebildes beziehentlich dieser
Korrespondenz ihren eigentlichen Gedankeninhalt gewinnen. Es ist freilich j

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26 Historisch -litterarißche Abteilung.

ein Anderes mit der Absicht des Verfassers, bei allgemeinen Geraden n
zur Kenntnis von Transformationsgleichungen und ^- Relationen zu gelangen.
Die explicite Kenntnis dieser Relationen ist bisher auf die niedersten Grade
eingeschränkt, und es ist dieserhalb nur zu wünschen, dass die Bemühungen
des Verfassers in dieser Richtung von Erfolg gekrönt sein möchten. Aber
das alleinige Betonen der formalen Seite des Gegenstandes, sei es im all-
gemeinen Falle, sei es bei niederen Transformationsgraden, ohne Darlegung
der inneren funktionentheoretischen Bedeutung kann nur ein Zurückbleiben
hinter der heutigen Ausbildung der Theorie genannt werden. Man kann
bei dieser Sachlage nicht, wie es wohl gelegentlich gehört wurde, von zwei
einander parallel gehenden Methoden der Herren Klein und Krause
sprechen; sondern man kann es eben nur bedauern, dass die ausgezeichnete
analytische Kraft, welche der Herr Verfasser in seinem Buche dokumentiert,
das weite und wichtige Terrain, welches für die fundamentale Auffassung
der behandelten Gegenstande von anderer Seite gewonnen wurde, sich nicht
zu eigen machte. —

Wie ich hoffe, wird der Kundige mein Bemühen, bei den vorstehenden
Erörterungen nur sachliche Rücksichten walten zu lassen, nicht verkennen.
Aber ich sehe mich leider genötigt, hier am Schlüsse noch eine persön-
liche Bemerkung anzufügen, die meinen Anteil an der Fortbildung der
Theorie der Modulfunktionen betrifft. Das im B. G. Teubnerschen Verlage
erschienene zweibändige Werk über die Modulfunktionen ist zum guten Teile
auf Grund meiner eigenen mehr als fün^Shrigen Arbeit entstanden, und
was in dieser Beziehung namentlich in der Vorrede zum ersten Bande des
genannten Werkes gesagt ist, erfreute sich damals wie noch heute des
vollen Einverständnisses meines hochverehrten Lehrers und Freundes F. Klein.
Herr Krause zitiert das fragliche Werk an verschiedenen Stellen und über-
geht meinen Namen dabei vollständig. Zu meinem Bedauern sehe ich mich
genötigt, dieses Verfahren als eine durch nichts begründete Missachtong
meiner Rechte zu charakterisieren. Robbrt Fricke.

Handbuch der Vermessungskunde. Von W. Jordan. Erster Band: Aus-
gleichungs- Rechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate.
4. Auflage. Stuttgart 1895.
Ich habe mich in letzter Zeit wiederholt imd nachdrücklich dafür aus-
gesprochen, dass die Mathematiker alle Ursache haben, sich um die An-
wendungen ihrer Wissenschaft in höherem Masse zu kümmern, als in den
letzten Jahrzehnten durchschnittlich der Fall gewesen ist; insbesondere habe
ich betont, dass beim akademischen Unterricht eine Mitberücksichtigung
der hauptsächlichen Anwendungsgebiete, wie namentlich auch der Metiioden
der mathematischen Exekutive — des Zahlenrechnens und des Zeichnens —
eine unabweisbare Forderung der Zeit ist.* Von diesem Standpunkte aus

• Vergl. verschiedene Aufsätze und Vorträge, die man am bequemsten in den
Jahrgängen 1896—1896 der Hoffmann sehen Zeitschrift ftir mathematischen etc
Unterricht beisammen findet.

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Google

Rezensionen. 27

mochte ich nicht ablehnen, als ich aufgefordert wurde, dem in neuer
Auflage erscheinenden ersten Bande des Jordan sehen Werkes einige Zeilen
der Besprechung zu widmen. Selbstverständlich kann es sich dabei in
keiner Weise darum handeln, dass ich die Bedeutung des Jord ansehen
Handbuches für die eigentlichen geodätischen Kreise darlege: Ich würde
dazu durchaus inkompetent sein; es wäre dies aber auch vollkommen über-
flüssig, insofern das Jordan sehe Werk innerhalb der Fachlitteratur längst
seine anerkannte Stellung besitzt. Mein Ziel kann einzig dieses sein, dass
ich meine engeren mathematischen Kollegen auf den Inhalt und die all-
gemeine methodologische Bedeutung der Jordan sehen Darlegungen auf-
merksam mache.

Es handelt sich bei dem vorliegenden Bande um ein in sich ab-
geschlossenes Lehrbuch der Ausgleichungsrechnung, bei welchem die Interessen
der Geodäsie in erster Linie berücksichtigt sind. Aber mit dieser unseren
Inhaltsangabe ist die Eigenart des Werkes und seine besondere Bedeutung noch
in keiner Weise bezeichnet. Dieselbe liegt darin, dass die Theorie von
Anfang an im genauen Anschlüsse an die Praxis entwickelt wird,
deren genaue Details der Verfasser als ein Meister beherrscht. Es ist
durchweg der Grundsatz bestätigt: exempla plus prosunt, quam praecepta.
Beispielsweise wird zu Anfang, wo es sich um die Ausgleichung über-
zahliger Beobachtungen linearer Funktionen irgend welcher unbekannten
handelt, der Fall zweier Unbekannter vorweg genommen und an ihm sofort
die Rechnung mit allen numerischen Einzelheiten durchgeführt, und zwar
in der Art, dass die herangezogenen Beispiele nicht willkürlich gebildet,
sondern wirklichen Beobachtnngsreihen entnommen sind. Die prinzipiellen
Auseinandersetzungen über die Berechtigung der Methode der kleinsten
Quadrate treten im ersten Kapitel überhaupt zurück, es handelt sich durch-
aus darum, den Leser zunächst zur vollen Beherrschung der in Praxi vor-
kommenden Zahlenaufgaben zu befähigen. Die so im allgemeinen gegebene
Anleitung wird dann im zweiten und dritten Kapitel noch erst nach
geodätischer Seite spezialisiert, indem jetzt unter Heranziehung voller Be-
obachtungsserien die Abweichung der Dreiecksnetze in ausführlichster Weise
zur Darstellung kommt. Nun erst, im vierten Kapitel, nimmt die Be-
trachtung mit einer ziemlich kurz gehaltenen Theorie der Fehler Wahrschein-
lichkeit eine abstraktere Wendung. Aber dieselbe wird nicht lange fest-
gehalten, vielmehr folgt im fünften (Schluss-) Kapitel noch ein historischer
Bericht über wichtigere, insbesondere in Deutschland ausgeführte geodätische
Vermessungen und die bei ihnen erreichte Genauigkeit.

Es braucht kaum gesagt zu werden, dass eine solche Darstellung
neben der sonst üblichen abstrakten auch dem reinen Mathematiker eine
Fülle der Anregungen bietet. Ich will dabei nicht einmal so sehr betonen,
dass der Leser nebenbei in das wichtige Gebiet der Geodäsie einen Einblick
erhält, als vielmehr, dass keine Disziplin geeigneter sein dürfte, in die
eigentliche Bedeutung der Ausgleichungsrechnung direkter und tiefer ein-
zufuhren, als eben die Geodäsie. Denn in ihr hat diese Rechnung ihre

.,,..., ^oogle

28 Historisch -litterarische Abteilung.

feinste und weitestgehende Ausbildung erfahren. Wenn dann weiter der
Herr Verfasser davon redet, wie sehr im Gebiete der Geodäsie durch die
systematische Ausgleichungsrechnung die wissenschaftliche Moral ge-
wonnen hat, die Ehrlichkeit den eigenen Beobachtungen gegenüber, die
Treue in der Darstellung des Erlangten und des Grades seiner Zu-
verlässigkeit, so muss dies jedem Leser einen bleibenden Eindruck hinter-
lassen. Ein Weiteres aber ist, dass der Studierende in nachdrücklichster
Weise angeleitet wird, neben dem Wissen das Können nicht zu vernach-
lässigen. In dieser Hinsicht lässt der an den Hochschulen übliche mathe-
matische Unterricht ja vielfach einen bedauernswerten Mangel erkennen.

Indem ich in solcher Weise die Vorzüge der Jordan sehen Darstellung
anerkenne, darf ich nicht verschweigen, dass ich allerdings eine freiere
und tiefer eindringende Behandlung der allgemeinen mathematischen Prin-
zipien gewünscht haben würde. Beispielsweise dürften sich manche Ent-
Wickelungen klarer und präziser geben lassen, als bei Jordan geschieht,
wenn man in allgemeiner Form über die Lehre von den Determinanten
und ihrer Bedeutung für die Auflösung linearer Gleichungen verfttgi Der
Herr Verfasser wolle dies nicht als einen persönlichen Vorwurf empfinden.
Jedes einzelne Gebiet der Mathematik hat heutzutage einen solchen ümüang
angenommen, dass eine allseitige Beherrschung desselben wohl nur durch
die Kooperation Mehrerer gelingt. Herr Jordan bezieht sich in seiner
Darstellung mit Recht immer wieder auf das Vorbild der Gaussschen
Arbeiten. Wir Theoretiker möchten bei unseren Bemühungen das Gleiche
thun. Das eben ist die grosse historische Stellung von Gauss, dass in
ihm noch verbunden war, was sich jetzt auf verschiedene Forschungs-
richtungen verteilt.

Um aus den vielen neuen Entwickelungen, die Herr Jordan giebt,
doch eine Einzelheit anzufahren, sei auf die im vierten Kapitel enthaltene
Theorie des Maximalfehlers verwiesen (welche im Anhange noch weiter
ausgeführt wird). Die Gauss sehe Funktion:

yn
die die Wahrscheinlichkeit der Fehlerverteilung ergiebt, wird hier durch
die andere ersetzt: i 3- 6... (2« + 3) 1 / f' \w-4-i

2 2-4...(2w. + 2) M\
für £ «= — M bis + J/, und Null ausserhalb dieses Intervalles. Für grosse

Werte von n stimmt diese Funktion beliebig genau mit — — • e""'* ' über-

yn

ein. Für eine gegebene Fehlerverteilung werden die beiden Konstanten
M und ;? aus dem mittleren Fehler und aus dem Mittelwerte der vierten
Potenzen des Fehlers bestimmt.

Die vierte Auflage des vorliegenden Bandes ist ziemlich viel umfang-
reicher geworden als die dritte. Sie enthält 38 Bogen gegen 24 Bogen
der dritten. Es ist dies namentlich durch die eingehenden Beispiele ver-
anlasst, die der Herr Verfasser der von ihm vor einigen Jahren ausgeffihrten

^.y.u^wJ by VjOC^. ..^

Rezensionen. 29

Hannoverschen Stadttriangnlation entnimmt. Leider ist infolge der hier-
durch gegebenen Yermehrong des ümfanges ein Kapitel weggeblieben,
welches in der dritten Auflage den Band schliesst und unter geometrischen
Gesichtspunkten besonders interessant scheint; ich meine die ,, Theorie der
Genauigkeit der geodätischen Punktbestimmung." Oerade weil das Kapitel
in der neuen Auflage fehlt, sei hier ausdrücklich auf die hübschen in ihm
enthaltenen Figuren hingewiesen, durch welche beispielsweise entschieden
wird, ob es vorteilhafter ist, einen vierten Punkt relativ zu drei gegebenen
Punkten durch Pothenotsche Bestimmung oder durch Vorwärtseinschneiden
mit drei Strahlen festzulegen. Klein.

Lehrbuch der elementaren Planimeti*ie. Von B. F^aux. Achte Auflage,
besorgt durch Fr. Busch, Paderborn 1894. Schöningh; VI und
216 S. 2,60 Mk.

Das vorliegende Lehrbuch, welches vielfach an Gymnasien Eingang
gefunden hat, verlegt den Schwerpunkt des geometrischen Unterrichtes in
das Beweisen von Lehrsätzen; die Konstruktionsaufgaben treten in den
Hintergrund. So fehlen auch die in anderen Lehrbüchern den einzelnen
Paragraphen beigefügten Konstruktionsaufgaben als Anwendung der vorher-
gehenden Lehrsätze.

Im Gegensatz zu der ersten Auflage zeigt die achte eine schärfere
Fassung der Lehrsätze, eine klarere Darstellung der Beweise und auch
sonst eine grössere Korrektheit im Ausdruck. Zu dem Anhange der ersten
Auflage, welcher auf zehn Seiten einiges aus der neueren Geometrie bringt,
ist ein zweiter Anhang getreten, behufs EinRihrung in den Koordinaten-
begriff und in die Grundlehren von den Kegelschnitten. Hier fiel dem
Beferenten die folgende Fassung auf: „Wie bekannt, nennt man eine un-
bestiminte Gleichung auch Funktion." E. Jahnke.

Methodisches Lehrbuch der Elementar-Mathematik. Von G. Holzmüller.
Erster Teil, nach Jahrgängen geordnet und bis zur Abschluss-
prüfung der Vollanstalten reichend. Zweite Doppelauflage. Leipzig 1895.
B. G. Teubner. VHI und 229 S. 2,40 Mk.

Jn der zweiten Auflage ist die Ausdrucks weise verbessert, Druckfehler
sind beseitigt und einige Einschaltungen gemacht worden, doch so, dass
die laufenden Nummern der Abschnitte und Figuren ungeändert geblieben
sind. E. Jahnke.

Leitfaden der elementaren Mathematik. Von A. Sickenberger, Dritter

Teil: Stereometrie. — Trigonometrie. München 1895. Zweite Auf-
lage. Th. Ackermann. 103 S. 1,20 Mk.

"EjS ist eine knappe und geschickte Darstellung des trigonometrischen
und stereometrischen Pensums für Gymnasien und Realschulen. Auch die
Ha-uptsatze des sphärischen Dreiecks sind hergeleitet (8. 97 — 103). Leider

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30 Historisch -litterarische Abteilung.

fehlen die Hauptsätze der Perspeküre. Auch lassen die Figuren, deren
übrigens recht wenige vorhanden sind, an Anschaulichkeit zu w&nschen
übrig. Die auf S. 70 befindliche Formulierung: „Die trigonometrischen
Funktionen lassen sich als Strecken darstellen" dürfte dem Verständnis
des Schülers nicht gerade förderlich sein. — Das Buch ist besonders des
stereometrischen Teiles wegen der Beachtung zu empfehlen. Die zweite
Auflage ist mit einer genügenden Anzahl von Übungsbeispielen ausgestattet

E. Jahnke.

Leitfaden der Arithmetik nebst Übungsbeispielen. Von A. Sickenberoer.
Sechste unveränderte Auflage. München 1895. Th. Ackermann. 196S.

Was den Rechenunterricht in der Sexta, Quinta, Quarta angeht, so
dürfte es sich kaum empfehlen, den Schülern einen Leitfaden in die Hand
zu geben; eine Aufgabensammlung wird vielmehr durchaus genügen, und
als solche wird auch der vorliegende Leitfaden ein brauchbares Hilfsmittel
abgeben. E. Jahnke.

Über unbestimmt« Oleichungen. Von G. Speckmann. Leipz. 1896 A.Koch. 11 S.

Der Verfasser will „einige einfache Lösungsformeln für die Feilsche
Gleichung und für die allgemeinere Gleichung T* — 7) CT* = m* ableiten
und bekannt geben." E. Jahnke.

Leitfaden der elementaren Mathematik. Von A. Sickenberüer. Erster Teil:
Algebra. Dritte Auflage. München 1894. Th. Ackermann. 75S. l,20Mk.

Übungsbuch zur Algebra. Von A. Sickenberoer. Erste Abteilung. Zweite
Autlage. München 1894. Th. Ackermann. 106 S. 1,20 Mk.

Die neuen Auflagen 7on Leitfaden und Übungsbuch, über welche
schon bei Gelegenheit des ersten Erscheinens referiert worden ist, unter-
scheiden sich nicht wesentlich von der ersten Auflage. E. Jahnke.

Trigonometrie. Von W. Winter. Lehrbuch und Aufgabensammlung für Schulen.
Zweite Auflage. München 1895. Th. Ackermann. 78 S. 1 Mk.

Das vorliegende Lehrbuch bringt das Wichtigste aus der ebenen and
sphärischen Trigonometrie. Das Additionstheorem wird allein aus der
Definition der trigonometrischen Funktionen heraus bewiesen. Den einzelnen
Paragraphen sind eine Menge geschickt ausgewählter Aufgaben, unter anderen
auch solche aas dem Gebiete der mathematischen Geographie und Astronomie
beigefügt. Vornehmlich der letzteren wegen sei das Buch der Beachtung
empfohlen. — Die zweite Auflage ist unverändert. e. Jahnke.

Stereometrie, Von W.Winter. Lehrbuch und Aufgabensammlung für Schulen.
Zweite Auflage. München 1895. Th. Ackermann. 116 S. 1,60 Mk.

Die Bearbeitung des stereometrischen Pensums für Schulen ist auch
heute noch eine lohnende Aufgabe; und jeder Versuch, die stereometrischen

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Rezensionen. 31

Entwickelnngen weiter zu vereinfachen^ darf sicher sein, dankharer An-
erkennung zu begegnen.

An der vorliegenden Dardtellang, welche die neuesten Lehrbücher auf
dem genannten Gebiete berücksichtigt, ist der Beweis des Cayalerischen
Prinzips für das Bautenprisma (der Herr Verfasser bedient sich noch des Aus-
drucks: Parallelepipedon) , das allgemeine Prisma und die Pyramide hervor-
zuheben, sowie die Fülle von passenden, den einzelnen Kapiteln beigefügten
Übungsaufgaben. Dagegen vermisst Referent ungern die Hauptregeln der
Perspektive. Vielleicht entschliesst sich der Herr Verfstöser, ihnen in einer
nächsten Auflage eine Stelle einzuräumen. Auch die Figuren lassen, was

Anschaulichkeit anbetrifft, noch zu wünschen übrig.

E. Jahnke.

Sammlung plaiiimetrischer Aufgaben nebst Anleitung zu deren Auf-
lösung. Von A. Hoffmann. Fünfte verbesserte Auflage von J.Plassmann.
Mit sechs lithographierten Figurentafeln. Paderborn 1895. F. Schöningh.
X und 211 S.
Verschiedentlich ist, meist innerhalb des Rahmens eines Lehrbuches
der Planimetrie, eine Anleitung zur Auflösung geometrischer Aufgaben
versucht worden. Die vorliegende Sammlung ist ein schätzenswerter Beitrag
zur Überwindung der Schwierigkeiten, welche der Unterricht in der Lösung
geometrischer Aufgaben auf geometrischem Wege darbietet. Die Anleitungen
sind zum grössten Teile allgemeiner Natur, so dass die Hilfe des Lehrers
durchaus nicht überflüssig erscheint. Die Anzahl der Aufgaben ist eine
recht beträchtliche, darunter eine grosse Zahl völlig neuer. Zu manchen
bereits bekannten Aufgaben finden sich neue Lösungen vor. Besonderes
Gewicht hat der Verfasser auf die Determination gelegt und eine reiche
Menge von Aufgaben beigebracht, deren Determination Gelegenheit bietet^
Satze der Algebra und Trigonometrie auf die Geometrie anzuwenden. Was
die Weite des planimetrischen Pensums anlangt, das der Sammlung zu
Grunde gelegt wird, so setzt der Verfasser die Kenntnis der Eigenschaften
von Pol und Polare nicht voraus.

Die Sammlung zerfallt in drei Teile. Der erste Teil umfasst alle Auf-
gaben, welche die Elemente zur Auflösung sämtlicher Aufgaben überhaupt
liefern, der zweite solche Aufgaben, welche die Anwendung der Proportionen-
lehre erfordern; und im dritten sind die Vierecksaufgaben zusammengestellt.

E. Jahnke.

Sammlung von Aufgaben und Beispielen aus der Trigonometrie und
Stereometlüe. Von F. Rbldt. Erster TeU: Trigonometrie. Vierte
Auflage. Herausgegeben von A. Much. Leipzig 1894. B. G. Teubner.
250 8. 4 Mk.
Noch vor etwa einem Jahrzehnt bot das vorliegende Buch die erste
und einzige einigermassen umfassende grössere Sammlung trigonometrischer
Aufgaben; und auch jetzt noch nimmt es, was Reichhaltigkeit und Voll-
ständigkeit anbetrifft, die erste Stelle ein.

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32 Historisch -litterarische Abteilung.

Die Aufgaben sind verschiedenen Gebieten, der Geometrie und Feld-
messkunst, der Astronomie und Geographie, der Physik und im besonderen
der Mechanik entnommen und so geordnet, dass sie den Unterricht von
Anfang an gleichsam von Stunde zu Stunde begleiten. Der Lehrer ist
daher nicht genötigt, den zur Anwendung und Einübung der einzelnen Sätze
passenden Übungsstoff erst zusammenzusuchen. So sind die trigono-
metrischen Gleichungen nicht als solche in einem einzigen Abschnitt zu-
sammengestellt, sondern nach den einzelnen trigonometrischen Lehrsätzen,
die bei ihnen zur Anwendung kommen, geordnet. Der unmittelbare Gebrauch
der Sammlung im Unterrichte wird noch durch die Beigabe der vollständig
ausgeführten numerischen Beispiele zu den Fundamentalaufgaben erhöht.

Das Buch soll auch ein Hilfsmittel zur Einfahrung in die rechnerische
Praxis bieten, daher wird der Gebrauch der Tafeln eingehender als in an-
deren Sammlungen erörtert. Weiter liefert es durch die an einzelnen Stellen
vorausgeschickten Anleitungen und Erläuterungen eine Ergänzung und Er-
weiterung der gebräuchlichen Lehrbücher. So fiel dem Referenten besonders
die geschickte Anleitung zur Auflösung trigonometrischer Gleichungen auf
S. 13 auf. Den verschiedenen Abschnitten sind noch unter der Bubrik
„Vermischte Aufgaben" Anhänge beigefägt, wo die zur Lösung föhrenden
Wege nicht schon durch den Paragraphen, in welchem sich die Aufgaben
befinden, angedeutet sind.

Die Sammlung zerfällt in drei Abschnitte: A) Goniometrie; B) Ebene
Trigonometrie; C) Sphärische Trigonometrie. Ein Anhang zu A) behandelt
ausführlich den Gebrauch der Hilfswinkel für logarithmische Rechnungen,
ein solcher zu B) giebt Aufgaben über Maxima und Minima. Li Abschnitt B)
sind noch Aufgaben und Lehrsätze aus der Tetragonometrie und Polygono-
metrie zusammengestellt. Abschnitt C) stellt die Verbindung mit der als
zweiter Band des Gesamtwerkes erschienenen Sammlung stereometrischer
Aufgaben her. — Die vierte Auflage ist fast unverändert. Die Resultate zu
sämtlichen Aufgaben sind wieder in einem besonderen Hefte zusammengestellt.

E. Jahkr£.

Essai sur la th^orie des nombres. Von J. Stieltjes. Premiers elements.
Paris 1896. Gauthier -Villars. 103 p.

Die vorliegende Abhandlung, ein Auszug aus den Annalen der Tou-
louser Akademie, ist eine der letzten Arbeiten des für die Wissenschaft zu
früh dahingeschiedenen französischen Mathematikers. Behandelt sie auch
nur die ersten Elemente der Zahlentheorie, so lässt sie doch überall eine
eigenartige Auffassung des genialen Verfassers klar hervortreten.

Folgendes ist kurz der Inhalt.

Auf ein einleitendes Kapitel über die Teilbarkeit der Zahlen folgt ein
Kapitel über die Theorie der Kongruenzen. Mit dieser ist die Theorie der
unbestimmten Gleichungen eng verknüpft. So giebt der Verfasser am
Schlüsse des zweiten Kapitels eine Diskussion der unbestimmten Gleichung:

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Bezensionen. 33

^1^1 + ^^8 + • • • + a,+ia?ji+i = w,
wo a|, a,, . . . Aji+i) ^ gegebene Zahlen tind o:^, ^2? - - * ^»+i unbekannte
bezeichnen, welche ganzzahUge Werte annehmen sollen. Es wird ein Ver-
fahren hergeleitet, um alle Lösungen dieser Gleichung und jede Lösung
nur einmal zu erhalten. Hieraus ergeben sich wichtige Hermitesche Sätze
in ausserordentlich einfacher Weise. Im besonderen wird obige Gleichung
noch ftlr den Fall w = 0 betrachtet, und nach dem Vorgange von S. Smith
der Begriff eines Fundamentalsjstems von Lösungen eingeführt. Das
einfachste Verfahren, um ein Pundamentalsystem von Lösungen zu ge-
winnen, findet sich in einer nachgelassenen Schrift Eulers vor, worauf
Jacobi in einer ebenfalls nachgelassenen Arbeit aufinerksam gemacht hat.
Das dritte Kapitel liefert eine Darstellung der Theorie der Systeme
unbestimmter linearer Gleichungen und der Systeme linearer Kongruenzen,
wie sie zuerst von S. Smith gegeben worden ist. Diese Theorie bezieht
sich auf den Fall, wo die Analogie zwischen der Theorie der Kongruenzen
und der Theorie der Gleichungen aufhört, auf den Fall nämlich, dass die
Determinante des Systems:

aii(ri + aitX2-\ h öi,m-f-naJm+n = «*i(moditf), i = l,2,...nt

zu 3£ nicht mehr prim ist. Hierbei spielt der von Sylvester eingefOhrte
Begriff der Matrize eine grundlegende Bolle.

Zunächst werden die linearen unbestinunten Gleichungen und zwar der Fall
U; »=» 0 (i = 1 , . . . m) betrachtet. Es werden Theoreme entwickelt, vermittelst
deren sich alle Lösungen und jede Lösung nur einmal ergeben. Ein System
solcher Lösungen wird auch hier Fundamentalsystem genannt.

Hiemach bestimmt der Verfasser die notwendige und hinreichende
Bedingung für die Existenz von Lösungen des obigen Gleichungssystems,
in dem Falle Ui / 0. Eine Anwendung dieser Betrachtungen auf den Fall,
dass dd

wird benutzt, um anzudeuten, wie S. Smith aus diesen Entwickelungen
einen arithmetischen Beweis der Transformationsfonnel für die vielfachen
Litegrale herleiten konnte.

Nachdem die Operation der Multiplikation zweier Matrizen definiert
worden ist, werden noch einige Probleme über Matrizen gelöst, unter anderen
das Problem, alle Matrizen von bestinmitem Typus zu fiinden, deren Deter-
minanten gegebene Werte haben.

Einer analogen Untersuchung werden die Systeme linearer Kongruenzen
unterworfen. Dem gegebenen Kongruenzensystem entspricht hier die bilineare
Form: F -^^ ^a^x^y,.

i k

Der Verfasser beschränkt sich darauf, für den Fall Ui » 0 das
folgende, von S. Smith herrührende Theorem über die Äquivalenzbeding-
nngen zweier Formen herzuleiten:

Hirt.- litt. Abt. d. Zeitschr. f. Math. u. Phy«. 12. Jahrg. 1897. I.Heft. a GoOQIC

^** ^ "^^^T" ^*' )fc =- 1, 2, . . . m),

34 Historisch -litierarische Abteilung.

Damit eine bilineare Form G in der Form F enthalten sei, ist not-
wendig nnd hinreichend, dass der Bang von G den von F nicht übersteige
und dass die Invarianten von G teilbar seien durch die entsprechenden
Invarianten von F.

Im Falle Ui ^ 0 wird auch hier die notwendige und hinreichende Be-
dingung für die Existenz von Lösungen entwickelt.

Auf die zahlreichen interessanten Anwendungen, welche Frobenius
auf die algebraische Theorie der bilinearen Formen gemacht hat, geht der
Verfasser nicht ein.

Der Verfasser giebt noch auf S. 47, 48, 103 eine Zusanmienstellung
der einschlägigen Litteratur. E. Jahnkb.

Methodisches Lehrbuch der Elementar -Mathematik. Von 0. Holzmüller.
Dritter Teil, Lehr- und Übungsstoff zur freien Auswahl für die
Prima realistischer Vollanstalten und höherer Fachschulen, nebst
Vorbereitungen auf die Hochschul - Mathematik. Leipzig 1895.
B. G. Teubner. XHI und 224 S. Mark 2,80.

Der vorliegende dritte Teil bildet den Abschluss des methodischen
Lehrbuches des Verfassers. Es soll ein Ergänzungsband sein, der „ohne
jede Systematik eine freie Auswahl methodisch bearbeiteter Oegenstftnde
aus den verschiedenen Gebieten bringt, die auf der Prima der Realgymnasien,
Ober -Realschulen und höheren Fachschulen zur Sprache kommen können.^^
unter den drei Bänden, aus welchen des Verfassers Lehrbuch besteht, ist es
zweifellos der bedeutendste, weshalb eine längere Inhaltsübersicht folgen soll.

Die erste Abteilung handelt von der Geometrie. Die aus den Sätzen
von Pascal imd Brianchon fliessenden Konstruktionen, welche nur das
Lineal erfordern, werden ausfuhrlich besprochen und auf Zentralperspektive
und Schliessungsprobleme für Tangenten -Sehnen Vierecke angewandt. Hieran
reiht sich das Schliessungsproblem der Tangenten -Sehnendreiecke, wo der
für die reine Geometrie der Lage grundlegende Satz über perspektivische
Dreiecke zur Anwendung kommt. Der Beweis des Verfiassers zeichnet
sich durch Einfachheit und Eleganz aus und wird durch Auffassen der
Figur als Zeichnung einer dreiseitigen Pyramide geführt. Die Konstruktionen
nach Pascal und Brianchon werden im weiteren als projektivische
Operationen gedeutet, welche zu der rein projekti vischen Definition der
Kegelschnitte hinleiten. Dass auch umgekehrt jede nach Pascal und
Brianchon konstruierte Kurve ein Kegelschnitt ist, wird im Anschluss an
eine Beweismethode von Herrn Schur (im Anhange des Buches) bewiesen,
um das Kapitel über die Geometrie der Lage zu einem befriedigenden
Abschluss zu bringen, zeigt der Verfasser noch, dass die kinetische
Parabeldefinition in Verbindung mit dem Satze von den gleichen Peripherie-
winkeln im Kreise durch einfache Projektion die ganze Theorie in ein^Eicber
und schulgemässer Weise liefert. Ein weiteres Kapitel behandelt das
Doppelverhältnis. Den Beschluss der ersten Abteilung bilden Übungen

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Rezensionen. 35

ans der analytischen Geometrie, welche nur den Zweck haben, auf den
Begriff des Krünunnngskreises und Erünunnngsradias vorzubereiten. Ina
übrigen tritt die analytische Geometrie in den Hintergrund.

Die zweite Abteilung ist stereometrischen Tnhalts und beginnt mit
einer Reihe schwierigerer Aufgaben, die mit dem Begriffe des Trägheits-
momentes ebener Flächen zusammenhängen. So werden Schwerpunkts-
bestimmungen für abgeschrägte Prismen und Cylinder und fOr Drehungs-
körper ausgeführt. Darauf werden die Eegelschnittsflächen und die zu-
gehörigen Körper behandelt. Die Bestimmung der Segmente, welcher die
Methode der konstanten Verkürzung bezw. Verlängerung zu Grunde gelegt
wird, gestaltet sich besonders einfach. Hieran schliessen sich einige An-
wendungen des Cayalerischen Prinzips und, im Interesse der Fachschulen,
die wichtigsten Gewölbeformen. Weiter wird der von Gauss herrührende
Fundamentalsatz der orthographischen Axonometrie auf einigen Zeilen in
elementarer Weise bewiesen und hierdurch die Einführung namentlich in
die Erystallographie und in die sphärische Trigonometrie erleichtert. End-
lich folgt noch eine einfache, zentralperspektivische Darstellung der Kugel
(vergl. des Verfassers „Einführung in das stereometrische Zeichnen'^).

Die dritte Abteilung hat die sphärische Trigonometrie zum Gegen-
stand. Die hier gegebene Darstellung weicht hinsichtlich der Berechnungen
von der üblichen nicht ab, wohl aber, wie der Verfasser betont, in der
geometrischen Darstellung, insofern auf die Zeichnung der Figuren be-
sondere Sorgfalt verwendet wird. In einem besonderen Kapitel werden noch
die Möglichkeit der Konstruktions- und Berechnungsaufgaben und die auf-
tretenden Mehrdeutigkeiten rein geometrisch untersucht. Ein weiteres
Kapitel giebt interessante Andeutungen über die sphärische Reziprozität. Am
Schluss sind noch die wesentlichen Formeln zusanunengestellt.

In der vierten Abteilung behandelt der Verfasser die algebraische
Analysis. Auf ein einleitendes Kapitel über die ganzen rationalen Funk-
tionen, wo u. a. eine einfache Herleitung der Interpolationsformel von
Lagrange sowie Anwendungen auf Geometrie und Mechanik gegeben
werden, folgt die Quadratur der gleichseitigen Hyperbel und im Anschluss
hieran die Berechnung der Expansions- und Kompressionsarbeit von Gasen
unter Zugrundelegung des Mariott eschen Gesetzes. Ein besonderes Kapitel
bringt allgemeines über die unendlichen Reihen. An dem Beispiel bedingt
konvergenter Reihen wird erläutert, dass man von den für endliche Glieder-
anzahl gültigen Gesetzen nicht ohne weiteres auf unendliche Reihen
Anwendung machen darf. Die Ausdehnung des binomischen Lehrsatzes
wird sodann für negative und gebrochene Exponenten gegeben. Als Bei-
spiele werden u. a. brauchbare Reihen für arcsint/ und — hergeleitet. Jetzt

folgt die Flächenermittelung für die Kurven y =^ x^ bei beliebigem reellen
p mit Anwendung auf die Diagrammberechnung für das Gravitationsgesetz
(p «= — 2) und für die adiabatische Arbeit bei Druckluft-, Dampf- und
Kompressionsmaschinen (j> = l,41 bezw. 1,125). Endlich konunen auch die

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36 Historisch -litfcerariBche Abteilung.

wichtigsten Beihenentwickelungen für transoendente Funktionen, so f&r den
Logarithmus, f£tr n und cyklometrische Funktionen zur Behandlung. Auch
hier bildet eine Zusammenstellung der wichtigsten Resultate den Schluss
des Abschnittes.

Die letzte Abteilung bringt die Gleichungen dritten und vierten Grades
nebst Andeutungen über Gleichungen n^^ Grades. Bezüglich der Übungs-
aufgaben sei auf die Aufgabensammlung von Herrn Lampe (Müller, Berlin)
hingewiesen.

Ein Anhang enthält eine EinfUhmng in das Gebiet der Involution,
den schon oben erwähnten Nachtrag zum Paso aisatz und eine sehr hübsche
elementare Rektifikation der Parabel, welche vom Verfasser herrührt

Diese Übersicht wird den Reichtum an Material sowohl als auch dessen
geschickte Verarbeitung erkennen lassen , wodurch es dem Verfasser in hohem
Masse gelingt, seine Absicht zu erreichen, einmal hinreichenden Stoff zur
freien Auswahl für die Prima darzubieten und zweitens auf das Studium der
Hochschule in elementarer Weise vorzubereiten, den Schüler überall auf
die Unzulänglichkeit der Elementarmathematik hinzuweisen und ihn zu
überzeugen, dass er nicht am Abschluss der Wissenschaft, sondern am
Eingange zu einer neuen Welt steht. £, Jahnke.

Zwei Abhandlungen Aber sphärische Trigonometrie. Von Leonhard
Euler. (1763 und 1779.) Aus dem Französischen und Lateinischen
übersetzt von E. Hammer. Mit sechs Figuren im Texte. Leipzig 1896.
Wilhelm Engelmann. 65 S. [Ostwalds Klassiker der exakten Wissen-
schaften Nr. 73.]

unter den fast zahllosen Abhandlungen Eulers zwei als besondeis
lesenswert zu bezeichnen, wäre ein kühnes unterfangen, und wir sind über-
zeugt, dass, wie der grössere Teil von Eulers Abhandlung über Variations-
rechnung in Nr. 46 von Ostwalds Klassiker exakter Wissenschaffcen über-
setzt ist, auch noch andere Abhandlungen aus seiner Feder Aufnahme finden
werden und müssen. Die heute uns vorliegenden yon Heim Hammer be-
arbeiteten Abhandlungen über sphärische Trigonometrie sind diejenigen, auf
welche die ganze spätere sphärische Trigonometrie sich aufgebaut hat, und
deren Bezeiohnungsweise sich so allgemein eingebürgert hat, dass die wenigsten
mehr wissen, dass man früher anders schrieb, anders schreiben konnte.
Wir erachten es deshalb als einen grundsätzlichen Fehler, dass im Drucke
das Eulersche sin A^ durch sin^ A ersetzt wurde, wenn auch der Heraus-
geber in seinem Nachworte die Änderung heryorhebt und zu entschuldigen
sucht. Auch die anderen weniger wichtigen Bezeichnungswechsel hätten
unserer Meinung nach unterbleiben sollen. Der Aufsatz von 1753 ist da-
durch merkwürdig, das in ihm, um uns eines vielleicht etwas derben Aus-
druckes zu bedienen, mit Kanonen nach Spatzen geschossen ist. Euler
leitet nämlich die ganze sphärische Trigonometrie aus dem Gredanken ab,
dass drei auf der Kugelfläche gegebene Punkte untereinander durch kürzeste

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Rezensionen. 37

Linien verbunden werden, oder anders ausgesprochen, die Trigonometrie ist
ihm ein Beispiel zur Anwendung der Yariationsreclinung. Der zweite Auf-
satz Yon 1779 dagegen gründet die sphärische Trigonometrie auf durchaus
einfache stereometrische Betrachtungen, wie sie in unseren Mittelschulen
heimisch geworden sind. Cantor.

Untersuchungen über die Reihe 1 +jx + '^-^-'^ x^+ - " (1826).

Von N. H. Abel. Herausgegeben yon A. Wangerik. Leipzig 1895.
Wilhelm Engelmann. 46 8. [Ostwalds Klassiker der exakten Wissen-
schafben Nr. 71.]

Die grosse Bedeutung des im ersten Bande von Grelles Journal er-
schienenen Aufsatzes besteht bekanntlich darin, dass Abel in ihm ein un-
übertroffenes erstes Muster der strengen analytischen Behandlung von Reihen
aufstellte, deren Variable wie deren in allgemeine Buchstaben gekleidete
Konstanten komplex sind. Abels Abhandlung l&sst sich in dieser Be-
ziehung den Gaussschen Disquisitiones circa seriem etc. an die Seite stellen,
welche gleich bahnbrechend auf dem Gebiete reeller Zahlen war. Eine
fernere Ähnlichkeit beider Arbeiten besteht darin ^ dass Gauss wie nach
ihm Abel von der Reihe ausging, nicht nach vorher allgemeiner Übung
von einer in Reihengestalt zu verwandelnden geschlossenen Funktion. Trotz-
dem Abels Werke in zwei Auflagen vorhanden sind, ist deren Verbreitung
vermöge des hohen Preises eine verhältnismässig geringe. Der Binominalaufsatz
wenigstens sollte in der Bibliothek eines jeden Mathematikers sich befinden,
und deshalb begrüssen wir seine Aufnahme in Ostwalds Sammlung.

Cantor.

Eine Theorie der Konvergenz unendlicher Reihen. Von Dr. Ernst Schimpf.
Beilage zum Jahresberichte für 1894 — 1896 des städtischen Gym-
nasiums zu Bochum. 66 S. [1896. Programm Nr. 363.]

Anknüpfend an die Arbeiten von Kummer, von Du Bois-Beymond,
von Dini, von Pringsheim, in denen die Konvergenz von Reihen mit
anschliesslich positiven Gliedern dadurch geprüft wurde, dass man eine
Vergleichsreihe von wesentlich einfacher Summe herzustellen sich angelegen
sein liess^ hat Herr Schimpf den gleichen Gedanken auch bei Reihen mit
komplexen Gliedern zur Anwendung zu bringen gesucht. Er hat, wenn
((jt das allgemeine Glied seiner Beihe bezeichnet, die etwas einschränkende
Bedingung eintreten lassen, dass ein endlicher oder unendlicher Grenzwert

des Gliederquotienten vorhanden sei. Dann ist

2'-ä*=t(«)

die Ver£^leichsreihe, und deren einzelne Glieder bilden sich mittels

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38 Historisch -litterarisclie Abteilung. Rezensionen.

Die Funktion t/;(w) wird so gewählt, dass sie mit wachsendem n der
Null zustrebt, sofern sie überhaupt einen endlichen Grenzwert besitzt; als

Mittel der Vergleichung dient -j-- Der Herr Verfasser hat bei seiner

Untersuchung einige neue Begriffe und Bezeichnungen eingeführt, welche,
wie uns scheint, zur allgemeinen Annahme empfohlen zu werden yerdienen.
Unter (<y)„ versteht er irgend eine Funktion von w, welche a zum Grenz-
wert hat, wenn w = QO wird, man könnte vielleicht sagen irgend einen
Anfangsausdruch von 6. Ist C eine von 0 verschiedene Konstante, ist ferner
a die Funktion, welcher £ak, sofern die Beihe konvergiert, als Grenze sich

n

nähert, und ist C'F(n) ein Anfangsausdruck der Differenz ^^ajfc -- a, so
heisst: o

^hjn[{^«*-«):n«)] =

die Grenz(/leidno)g der Eeihe der ajfc. Endlich ist der Quotient einer Bcihe be-
nutzt, das heisst der Ausdruck:

Wir können, ohne allzu ausführlich zu werden, nicht berichten, wie
der Herr Verfasser sich seines Reihenquotienten bedient. Das möge der
sehr lesenswerten Abhandlung selbst entnommen werden. Cantor.

Das 2000 jährige Pi'oblem der TrisekHon des Winkels. Von Ingenieur
SiGiSMüND Wblusch (Souderabdruck aus der Zeitschrift des Österr.
Ingenieur- und Architektenvereins, Nr. 3, 1896). Wien 1896. Spiel-
hagen und Schurich. 19 S.

Wir filrchten, der Herr Verfasser hat sich bei Mathematikern durch
den Titel seiner Abhandlung geschadet. Wir beeilen uns deshalb zu be-
richten, dass Herr Wellisch von der Unausführbarkeit der Winkeldreiteilung
mittels des Zirkels und des Lineals vollkommen Kenntnis hat, und dass er
nur einige Methoden mitteilt, welche unter Anwendung anderer Hilfsmittel
als der genannten, richtige Ergebnisse liefern. Unter den benutzten Kurren
ist namentlich die Kardioide zu nennen, für deren Erzeugung eine Vorrichtung
beschrieben ist. Cantob.

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Bibliographie

vom 31. Oktober bis 26. November 189G.

Periodische Schriften.

Jahrbach d. Erfindungen u. Fortschritte auf d. Gebieten d. Physik, Chemie und
ehem. Techno!., d. Astronomie u.Meteorol. Leipzig, Quandt & Händel. 6 Mk.

Veröffentlichungen des königl. preuss. meteorolog. Institutes. Ergebnisse an den
Stationen IL und III. Ordnung im Jahre 1896, zugleich deutsches meteoro-
logisches Jahrbuch für 1896. Beobachtungssjstem des Königreichs
Preussen und benachbarter Staaten. 1. Heft. Berlin, Asher & Co. 3 Mk.

Berichte, math. u. naturw., aus Ungarn. 13. Band (Januar 1895 bis Dez. 1895).
1. Hälfte. Budapest, Yerlagsbur. d. ungar. Akad. d. Wissenschaften. 4 Mk.

Q-esohiohte der Mathematik und Physik.

Haoek, Joa. G., Index operum Leonardi Euleri. Berlin, Dames. 2 Mk.

Mach, E., Die Prinzipien der Wärmelehre. Historisch -kritisch entwickelt.
Leipzig, Barth. 10 Mk.

Landesvermessung, die schweizerische, 1832 — 1864 (Geschichte der Dufour-
karte). Herausgegeben vom eidgenössischen topographischen Bureau.
Bern, Schmid, Francke & Co. 3 Mk. 35 Pf.

Ern»t, Adf., James Watt und die Grundlagen d. modernen Dampfmaschinen-
baues. Berlin, Springer. 2 Mk.

Bernhardt, Philipp Melanchthon als Mathematiker und Physiker. Neue
Ausgabe. Wittenberg (1865), Wünschmann. 1 Mk.

Beine Mathematik.

Bendt, Frz., Katechismus der Differential- und Integralrechnung. Leipzig,
Weber. ^ geb. 3 Mk.

Küpper, C, Nachtrag zu den „Ä;-gonal- Kurven". Prag, Rivnäc 20 Pf.

ßooEL, Frz., Theorie der Eulerschen Funktionen. Prag. Ebendas. 72 Pf.

Studnicka, f. J., Über Potenzdeterminanten und deren wichtigste Eigen-
schaften. Prag. Ebendaselbst. 16 Pf.

Schubert, Herm., Beispielsammlung zur Arithmetik und Algebra (Samm-
lung Göschen). Leipzig, Göschen. 80 Pf.

Sporer, Bened., Niedere Analysis (Samml. Göschen). Leipzig, Göschen. 80 Pf.

WÄL8CH, E., Über die Lam^schen Polynome zweiter Ordnung einer Form
fünfter Ordnung. Wien, Gerolds Sohn. 20 Pf.

BoLTE, F., Leitfaden fOr den Unterricht in der Planimetrie zum Gebrauche
an Navigationsschulen. Hamburg, Penser. 1 Mk. 20 Pf.

Angewandte Mathematik.

Weisbach, Jul., Lehrbuch der Ingenieur- und Maschinen - Mechanik. Fünfte
Auflage von Herrmann, Güst. 1. Teil: Lehrbuch der theoretischen
Mechanik. 2. Abdr. Braunschweig, Yieweg & Sohn. 26 Mk.

Barth, A.F.,üns.Weltsy8t. E.Beitr z.Theor.d. Weltgeschehens. Leipz.,Fock 1 Mk.

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40 HiBtoriscH- litterarische Abteilung. BibliograpHie.

Hartmann, Jons., Die Beobachtung der Mondfinsternisse. Leipzig, HirzeL 5Mk.

Mach , L. , Weitere Versuche über Projektile. Wien , Gerolds Sohn. 1 Mk. 90 Pf.

ÜNTERWBGER, JoHS., Über zwei trigonometrische Reihen fiir Sonnenflecken,
Kometen und Klimaschwankungen. Wien, Gerolds Sohn. 90 Pf.

Vermessungswesen, Das, der königl. Haupt- und Residenzstadt Dresden. Die
Triangulationen erster, zweiter, dritter Ordnung. Im Auftrage des Bats
zu Dresden bearb. v. Stadtvermessungsamt. l.Bd. Dresden, Baensch. 8Mk.

Handwörterbuch der Astronomie, herausgegeben von W. Valentiner. I.Band.
Breslau, Trewendt. 24 Mk.

Bestimmungen, grundsStzliche , f£Lr die Durchführung hydrometriscber Er-
hebungen; herausgeg. vom kaiserl. königl. hydrogr. Zentralbureau. Wien,
Braumtiller. 1 Mk. 60 Pf.

Regulativ für die hydrometrische Prüfungsanstalt des kaiserl. königl. hydro-
metrischen Zentralbureau in Wien. Wien, Braumüller. 20 Pf.

Vorschrift über die Verfassung, Sammlung und Evidenzhaltung von Sitnations-,
L&ngenprofilS' und Querprofilsplänen der Binnengewässer; herausgeg. vom
kaiserl. königl. hydrographischen Zentralbureau. Wien, BraumüUer. 2Mk.

Krell sen., 0., Hydrostatische Messinstrumente. Berlin, Springer. 3 Mk.

Kröhnke, G. H. A., Handbuch zum Abstecken von Kurven auf Eisenbahn-
und Wegelinien. 13. Auflage. Leipzig, B.G.Teubner. geb. 1 Mk. 80 Pf.

Freiberger, H., Perspektive nebst einem Anhange über Schattenkonstraktio^
und Parallelperspektive (Sammlung Göschen). Leipzig, Göschen. 80 Pf

Becker, H.^ Geometr. Zeichnen (Samml. Göschen). Leipzig, Göschen. 80 Pf.

SiNRAM, A., Kritik der Formel der Newtonschen Gravitationstheorie. Ham-
burg^ Gräfe & Sillem. 1 Mk.

Spitaler, B., Bahnbest. d. Kometen 1890 VII. Wien, Gerolds Sohn. 1 Mk. 40Pf.

Physik und Meteorologie.

WiEDEMANN,E., Das ueue phys. Inst.d.Univer8. Erlangen. Leipzig, Barth. 6Mk.
Benndorf, H., Weiterführung der Annäherungsrechnung in der Maxwellschen

Gastheorie. Wien, Gerolds Sohn. 60 Pf.

Boltzmann, L., Über die Berechung der Abweichungen der Gase vom Boyle-

Charlesschen Gesetz u. d. Dissociation derselb. Wien, Gerolds Sohn. 80 Pf.
Beetz, Alfr., Die höchste u niedrig. Temperatur. Berlin, Friedrichshagen. 10 Pf.
Klemencic, Ion., Üb. perm. Magnete a. steir. Wolf ramstahl. Wien, Gerolds S. 30 Pf.
KoLÄCEK, Frz., Üb. Berechn. d.Induktionskoeffiz.lang. Spulen. Prag,Rivnac. 72 Pf.
MüTZEL, K., Über Röntgen -Strahlen. Breslau, Preuss & Jünger. 60 Pf.

Wulf, Thdr., Über Rückstandsbildung und Oscillationen bei verschiedenen

Kondensatoren. Wien, Gerolds Sohn. 80 Pf.

Busch, Fr., 100 einfache Versuche zur Ableitung elektrischer Grundgesetze.

Münster, Aschendorff. 75. Pf.

Trabert, W., Meteorologie (Sammlung Göschen). Leipzig, Göschen. 80 Pf.
Hauke, Alfr., Über dRefractionsäquiv.d. Elemente. Wien, Gerolds 8. 80 PI
Schweiger -Lerohenfeld, A. v.. Das Buch der Experimente. Physikalische

Apparate und Versuche. Wien, Hartleben. geb. 6 Mk.

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TBA^aes*«-'^' "^M ^eteotcvi^:' rsammlimg Göschen). Leipzig, Göschen.
"^ , ^i^KR., Üb«rd^^lSS.d.Elemente. Wien, Gerolds S

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Historisch-litterarische Abteilung,

RezensioneiL

Ein altbabylonischer Felderplan nach Mitteilungen von F. Y. Scheil
herausgegeben und bearbeitet von Dr. August Eisenlohb, Professor
an der Universität Heidelberg. Leipzig 1896. J. C. Hinrichssche
Buchhandlung. 16 S.

Wir erfüllen eine angenehme Pflicht, indem wir unsere Leser auf
einen hochbedeutsamen Fund aufinerksam machen, der fUr die Geschichte
der babylonischen Feldmessung grundlegend zu werden verspricht. Es handelt
sich um einen Felderplan mit beigeschriebenen Maßzahlen, der spätestens
um 240Ö V. Chr. angefertigt wurde. Herr August Eisenlohr, der
seiner Zeit durch die vortrefEliche Übersetzung des Bechenbuches des Ahmes
den Zugang zur altägyptischen Mathematik erö&ete, hat j«tzt mit Erfolg
sich bemüht, einen entsprechenden Einblick in die babylonischen Methoden
zu gewinnen, welche mindestens 700 Jahre vor Ahmes in Übung waren.
Das letzte Wort scheint uns, scheint auch unserem gelehrten Freunde
Herrn Eisenlohr noch nicht gesprochen zu sein, aber folgende drei That-
sachen dürften heute schon als gewiss betrachtet werden können:

1. Die Babylonier waren bessere Bechner als Zeichner, denn der Plan
stimmt nur nach wesentlichen Veränderungen mit den beigeschriebenen,
unmittelbarer Messung entnommenen Zahlen.

2. Mit der Aufnahme waren zwei Feldmesser betraut, deren Namen
genannt sind; der eine begann die Messung oben und maß nach
unten^ der andere begann unten und maß nach oben, sodass den
Einzelfigaren, in welche der Plan zerfällt, zweierlei voneinander
abweichende Flächenangaben entsprechen, zwischen denen ein dritter
Beamter, eine Art von Oberbehörde, einen Mittelwert nach Art des
arithmetischen Mittels als endgiltige Flächenangabe bestimmte.

3 Wie die beiden Feldmesser im engeren Sinne zu ihren Zahlen kamen,

steht noch nicht ganz fest Höchst wahrscheinlich betrachteten sie

die Vierecke als Eechtecke^ deren Höhe nach verglichenen Maßen

der rechts und links von Feldmesser teils unmittelbar, teils mittelbar

gewonnenen Längen angenommen wurde.

Cantob.

Hiit.-Utt. Abt. d. Zeitschr. f. Math. m. Phys. 42. Jahrg. 1897. 2. Heft. 4 GoOqIp

42 Historisch -litterarische Abteilung.

Das Volk der Siebener -Zähler. EUckschltiss ans der Form der „arabischen
Ziffern" auf ihre Herkunft von Herrman von Jacobs. Berlin 1896.
Verlag der v. Jacobsschen Buchhandlung. 45 S.

Die Vermutung, welche der Verfasser in den Titelworten andeutet,
besteht darin, es hätten die Sumero-Accad, jenes turanische Volk, das mit
einem besiegten semitischen Stamme sich mischend die Eupbratländer be-
wohnte, ein Zahlensystem besessen, dessen Grundzahl die Sieben gewesen
sei. Gestützt wird diese Vermutung darauf, dass die heilige Zahl 7 in den
mannigfachsten Redewendungen vorkommt, welche nach Babylon zurück-
zudeuten scheinen, ferner auf das Vorkommen der Zahl 7 in der indischen
Sage, wo Bhodisatva im Zahlenwettkampfe je ein grösseres Längenmaß
aus 7 kleineren bestehen lässt, auf die Thatsache, dass ein Bündel von
7 runden Stäben sich tadellos zusammenbinden lässt, wenn 6 äussere Stäbe
einen ihnen gleichen umgeben, auf die Möglichkeit Zeichen, welche den
sechs ersten Gobarziffem ähneln, aus 1 bis 6 Strichen zusanmienzusetzen.
Dass die Sumero - Accad im Soss die höhere Einheit eines Sexagesimalsystems
besassen, stört Herrn v. Jacobs nicht. Diese Zusammenfassung habe man neben
dem Siebenersystem erfunden, weil 60 vielfach teilbar, 7 dagegen teilerlos
war. Von seiner grundlegenden Vermutung aus sucht alsdann der Verfe^ser
sowohl die Namen als die Zeichen der Zahlen über 7 als Zusammen-
setzungen zu erklären und noch mancherlei auf Maße und Gewichte be-
zügliche Dinge zu erörtern. Herr v. Jacobs ist weit entfernt davon, seine
Meinung für bewiesen zu halten. Er bietet sie wesentlich den Altertums-
forschem zur Prüfung mittels schon bekannter und künftig noch bekannt
werdender Fundergebnisse an, und insoweit darf man die kleine Schrift
interessant nennen. Ob freilich die Prüfung der hier vertretenen Meinung
günstig ausfallen wird? Referent kann nicht recht daran glauben. Vor
allem ist ihm ein Sexagesimalsystem , welches neben einem Siebenersystem
aus Gründen zweckmässiger Teilung urplötzlich auftaucht, ganz undenkbar.

Cantor.

Das Qaadriviam ans Severas Bar Sakkü's Buch der Dialoge. Inaugural-
Dissertation zur Erlangung der Doktorwürde der philosophischen
Fakultät der Universität Heidelberg, vorgelegt von Julius Buska
aus Bühl. Leipzig 1896. Druck von W. Drugulin. 79 S.

V

Severus Bar Sakkü, ein im Jahre 1241 verstorbener Syrer, verfasste
ein encyklopädisches Werk unter dem Titel des Buches der Dialoge, welcher
über die gewählte Gesprächsform Auskunft giebt. Herr Ruska hat vorläufig
einen Teil dieses Werkes in syrischer Sprache zum Abdruck gebracht und
hat eine von zahlreichen Anmerkungen begleitete deutsche Übersetzung bei-
gefügt. Er tritt damit in die Reihe der sehr wenig zahlreichen Gelehrten,
welche mathematisches Wissen mit der Kenntnis morgenländischer Sprachen
vereinigen, und welche dadurch das Recht, wenn nicht die Pflicht erworben
haben, orientalische Handschriften zu durchstöbern und einem weiteren

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Rezensionen. 43

Leserkreise bekannt za geben, was dort an wertvollem Stoffe sich yorfindet.
Nicht als ob wir durch diese Äusserung den Severus als einen besonders
schfttzbaren Schriftsteller bezeichnen wollten. Er war gewiss ein sehr
fleissiger Mann, er hat den Nikomachus und ähnliche Neupythagoräer,
wenn auch wahrscheinlich nicht in griechischer Sprache, doch in syrischen
oder arabischen Auszügen genau gelesen und aus dem Auszuge einen neuen
Auszug gefertigt, der von besserem Verständnisse zeugt, als was etwa
300 Jahre früher die lauteren Brüder aus ähnlichen Quellen zusammen-
schrieben; aber eigene Gedanken von irgend welcher Tragweite muss man
bei Severus nicht suchen. Dagegen ist gerade die Art seiner Schriftstellerei
ein kennzeichnendes Beispiel für eine ganze Schule, und von diesem Ge-
sichtspunkte aus wird Herrn Buskas Arbeit gewiss als eine des Dankes
werte erachtet werden müssen, welche auch verdient fortgesetzt zu werden.

Cantob.

Apollonius of Perga Treatise on conic sections edited in modern notation
with introductions including an essay on the earlier history of the
subject by T. L. Heath, M. A. sometime feUow of Trinity College,
Cambridge. Cambridge: at the university press 1896. CLXX, 254 p.

Derselbe Verfasser hat 1885 ein Werk über Diophant herausgegeben,
welches wir damals in der Berliner Philologischen Wochenschrift vom
26. September 1885 (V. Jahrgang Nr. 39 S. 1223—1225) einer Besprech-
ung unterzogen. Bei allem Lobe, welches wir der gründlichen, mehrfach
neue Gesichtspunkte erö&enden Arbeit zu spenden hatten, mussten wir in
Bezug auf die erörterten Methoden die Frage stellen: Liest Herr Heath diese
Methoden wirklich heraus oder hinein? Wir mussten hinzufügen: Wir fürchten,
man wird das letztere in mancher Beziehung behaupten müssen. Herr Heath
hat bei Bearbeitung des Apollonius eine Anforderung selbst ausgesprochen,
welche, wenn erfüllt, einen ähnlichen Vorwurf wie 1885 unmöglich macht.
Die Bearbeitung, sagt er, soll Apollonius und nur Apollonius zum Gegen-
stand haben; nichts soll verändert werden, weder Inhalt noch Beihenfolge
der Gedanken; nichts von irgend welcher Bedeutung soll weggelassen
werden; Überschriften zu einzelnen Gruppen von Sätzen sollen den schrift-
stellerischen Plan des Apollonius deutlich hervortreten lassen. Im allgemeinen
ist Herr Heath seinem Vorhaben treu geblieben. Allerdings kommen auch
Stellen vor, z. B. S. 122—125, von welchen keine Silbe bei Apollonius
oder bei seinem alten Kommentatoren zu finden ist. Herr Heath durfte
streng genommen diese Seiten nicht zum Abdrucke bringen lassen, wenn
er die Leser nicht irreführen wollte. An eine absichtliche Täuschung ist
natürlich nicht zu denken, aber ein Widerspruch gegen die in der Vorrede
gegebene Zusage ist trotz der Klammern, welche die lange Einschaltung
einschliessen, vorhanden. Der Bearbeitung der Kegelschnitte des Apollonius
geht eine längere geschichtliche Einleitung vorher, in welcher Herr Heath
sich als überzeugten Schüler des bekannten Zeuthenschen Werkes über

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44 Historisch -litterarische Abteilung.

Kegelschnitte erklärt. Wir haben allzuoft unsere entgegengesetzte Über-
zeugung ausgesprochen, als dass wir nötig hätten, es abennals zu thun. Die
Heathsche Darstellung scheint uns einigermassen durchsichtiger als dessen
Musterwerk, und uns wenigstens traten hier deutlicher als je zuvor die fast
zahllosen unbewiesenen Behauptungen entgegen, auf welche der ganze Auf-
bau sich stützt. In diesem Sinne können wir Leser, welche noch keine
feste Meinung sich gebildet haben, auf die Heathsche Einleitung hinweisen.

Oantor.

Sereni Antinoensis Opascnla edidit et latine interpretatus est J. L. HEisERa,
Dr. phiL, Prof. Hauniensis. Leipzig 1896. B. G. Teubner. XIX, 303 p.

£s^vov ^Avttvaicag (piloa6g>ov tcbqI KvXCvdgov ro^ijg. Diese Bezeichnung
gehört der ältesten und besten Handschrift des Serenus, einem Vatikan-
kodex aus dem XII.— XIII. Jahrhundert an. Der Heimatname ist offenbar
unrichtig überliefert. Hallej verbesserte ihn in ^Avzieaemg, und seitdem
kennt die Geschichte der Mathematik einen Serenus von Antissa. Aber
Herr Heiberg hat (Biblioth. math. 1894 p. 97) darauf aufmerksam gemacht,
dass das Ethnicon von Antissa gar nicht ^Avci^asvg^ sondern ^Avxiaaaiog
lautete, dass also Halleys Vermutung keinen Nutzen gewSlhrt. Er selbst
schlug daher ^Avtivoimg vor, Serenus von Antinoeia, das heisst aus jener
ägyptischen Stadt, welche Kaiser Hadrian im Jahre 122 zu Ehren des jung-
verstorbenen Antin ous gründete. Herr Heiberg hat in der neuen Ausgabe
des Serenus, welche uns heute vorliegt, jene Namensform beibehalten, an
welche man sich hinfort wird gewöhnen müssen. Für das Zeitalter des
Serenus ist damit so viel gewonnen, dass er frühestens Zeitgenosse des
Klaudius Ptolemaeus gewesen sein kann. Seine Sprache scheint aber noch
etwa zwei Jahrhunderte tiefer herabzuweisen , und deshalb nimmt Herr Heiberg
keinen Anstand der schon von Chasles gehegten Meinung sich anzuschliessen,
Serenus habe im IV. Jahrhundert zwischen Pappus und Theon von Alexandria
geblüht. Die neue Ausgabe gehört der Bibliotheca Teubneriana an und ist
von Herrn Heiberg besorgt. Jeder Fachmann weiss, was er diesen beiden
Angaben zu entnehmen hat: Einen sorgsamen Druck bei kritisch her-
gestelltem Texte. Cantor.

Sar l'origiDe du moilde. Theories cosmogoniques des anciens et des
modernes, par H. Fayb, de Tlnstitut. Paris 1896. Gauthier -Villars
et £ls. 313 p.

Das Werk „über die Entstehung der Welt" besitzt einen doppelten
Charakter, einen geschichtlichen und einen dogmatischen. Herr Faje er*
zählt, wie man zu den verschiedensten Zeiten die Entstehung der Welt sich
dachte. Er krönt diese Erzählung durch die Darstellung seiner eigenen
Lehre von diesem Entstehen. Wir fohlen uns nicht berufeu, über den
zweiten Teil des Buches ein Urteil abzugeben. Dazu bedürfte es der viel-
seitigsten Kenntnisse in Astronomie, kosmischer Physik, Thermochemie eto.,

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Rezensionen. 45

über welche wir nicht verfügen, nnd selbst mit diesen Kenntnissen ist und
bleibt vermutlich immer Hypothese, was man äussert. Erweitertes Wissen
hat bisher häufig genug ältere Vermutungen als unmöglich beseitigt, ohne
beweisen zu können, welche Vorgänge vor Millionen von Jahren vielleicht
wirklich stattfanden. Der geschichtlichen Darstellung des Verfassers folgten
wir mit dem grössten Interesse. Herr Faye hat dabei den Weg eingeschlagen,
der zuverlässig der allein richtige ist. Er lässt die Schriftsteller selbst zu
Wort kommen. In französischen Übersetzungen fOhrt er die Schöpfangs-
geschichte der Genesis vor, die wichtigsten Stellen aus Piatos Timaeus, aus
dem Himmel des Aristoteles, aus dem Traume Scipios von Cicero, aus
Lucretius, aus Vergil, aus Ovid. Er springt dann über zu Descartes, zu
Newton, zu Kant, zu Laplace, mit welchem seine Ausführungen abschliessen.
Herr Faye knüpft an alle Äusserungen seine kritischen Bemerkungen, wie
es das Recht des Geschichtsschreibers ist, aber nirgend lässt er verkennen,
was Bericht, was bestätigende oder widerlegende eigene Meinung ist. Ein
Gedanke wird schon bei Gelegenheit der biblischen Erzählung ausgesprochen,
der uns lebhaft fesselte: Der Gedanke, dass die Schöpfungsgeschichte jedes
Religionsbuches stets als Spiegelbild der physikalischen und astronomischen
Glaubensbekenntnisse der Zeit, in welcher das Buch entstand, aufzufassen
ist. Der Religionslehrer knüpfte nur seine Glaubensvorschriften an schon
bestehende Volksmeinungen. Herr Faye geht in seinen kritischen Zusätzen
uns mehrfach zu weit. Wenn er an der Überlieferung, dass nach Meinung
der Pythagoräer in der Mitte das Feuer sei, um welches Erde und Gegen-
erde sich bewegen, die Änderung vornimmt, das Feuer könne nur die
Sonne, die Gegenerde nur der Mond sein, so scheint uns das Bestreben,
den Pythagoräem ausschliesslich vernünftige Meinungen zuschreiben zu
wollen, mehr freundlich als richtig. Wenn Newtons Kichte mitteilt, ihr
Onkel habe Descartes Schriften misswertig bei Seite geworfen, um nicht
auf jedes Blatt die Randbemerkung „unrichtig'^ schreiben zu müssen, so
dürften Herrn Fayes Zweifel ungerechtfertigt sein, selbst zugegeben, dass
Newton zu Anfang mehr Cartesianer war, als er später Wort haben wollte,
als er seiner schönen Nichte erzählte, was sie nur von ihm haben konnte.
Auch an dem Laplaceschen „Ich habe die Gotteshypothese nicht nötig ge-
habt" übt Herr Faye seine Kritik, in diesem Falle auf den Bericht Aragos
über eine Äusserung von Laplace selbst sich stützend. Laplace habe nur
gegen Newton polemisiert, welcher ein Eingreifen Gottes für notwendig er-
achtete, so oft an der grossen Weltmaschine, wenn wir so sagen dürfen.
Etwas haperte, während Laplaces weiter vorgeschrittene Analyse ein solches
Eingreifen nicht mehr brauchte, nachdem die Anfangsbewegung vorhanden
war, welche er gleichfalls voraussetzte. Besonders rühmend dürfen wir die
an manchen Stellen dichterisch schöne Sprache des Verfassers hervorheben.
Möchten doch die Schriftsteller der sogenannten schönen Litteratur inner-
halb und ausserhalb seiner Heimat an seinem Muster sich bilden.

Cantor.

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46 Historisch -litterarische Abteilung.

Über einige ältere Bearbeitnngen des Bnehhaltnngs- Traktates yon
Luca Pacioli. Ein Beitrag zur Geschichte der Bachhaitang von
Carl Peter Kheil. Prag 1896. Bonrsik & Kohout, VI, 128 S.

Wir haben in unseren Vorlesongen der Geschichte der Mathematik TI, 300
bis 301, Luca Paciuolo als denjenigen Schriftsteller bezeichnet, welcher
zwar ohne allen Zweifel die doppelte Buchhaltung nicht erfand, aber zuerst
ihre Lehre und Verbreitung sich angelegen sein Hess. Wir freuen uns,
dass Herr Eheil, ein Spezialist in der Buchhaltung, von der wir nur sehr
nebensächliche Kenntnis besitzen, ebenfalls in Pacioli (über die Becht-
schreibung wollen wir nicht streiten) den ersten Schriftsteller des Faches
anerkennt und in überaus eingehender, durch seine an Seltenheiten reiche
Bibliothek unterstützter Nachforschung zu ermitteln gewusst hat, wie die
weitere Verbreitung stattfand. Jan Ympyn und Wolffgang Schweicker sen.
sind vielleicht am lebhaftesten dabei beteiligt gewesen. Der erstere gab
in Antwerpen 1543 eine vlamische und eine französische Anleitung zur
Buchführung heraus, welche weiter ins Englische übersetzt wurde. Die
Quelle war italienisch, und wenn auch nicht Paciuolos Werk, jedenfalls eine
eng an dieses sich anlehnende Schrift eines unbekannten Verfassers, der
vielleicht Juan Paulo di Bianchi aus Perugia hiess. Schweickers „Zwi-
fach Buchhalten" ist 1549 in Nürnberg gedruckt und ist unter nachweis-
licher Benutzung des „Quademo doppio" von 1534 bearbeitet, welches selbst
von Domenico Manzoni, einem Nachahmer Paciuolos, herrührt. Unter den
vielen beiläufigen Bemerkungen, durch welche Herr Kheil sein umfang-
reiches Wissen bewährt hat, nennen wir den Nachweis, dass der Kaufinann
in Venedig, in dessen Hause Paciuolo längere Zeit lebte, nicht Bopiansi
hiess, wie man seither druckte, sondern Bompiasi. Cantor.

Henricas Orammateas und sein Algorismns de integris von Oberlehrer
Christian Friedrich Müller. Beilage zum Jahresberichte des Gym-
nasiums zu Zwickau. Ostern 1896. 33S. [1896. Progranun Nr. 558].

Nachdem die Geschichte der Mathematik seit wenigen Jahrzehnten
angefangen hat, Namen und Leistungen des Heinrich Schreiber aus Erfurt
unverdienter Vergessenheit zu entreissen, hat Herr Müller noch weiteres
Material über den tüchtigen Gelehrten beizuschaffen gewusst. Wir kennen
durch Herrn Müllers Bemühungen jetzt das Todesjahr 1525 des Grammateus;
wir wissen nun von einer lateinischen Schrift Algorithmus prapartionum
(Krakau 1514); wir erfahren, dass das deutsche Rechenbuch schon 1521
und zwar in Nürnberg gedruckt ist; wir lernen einen lateinischen 1523 in
Erfurt geschriebenen Algorismus de integris in neuem Abdruck vollständig
kennen, Herr Müller hat eine dankenswerte und erfolgreiche Arbeit an-
gewandt, deren gesicherte Ergebnisse der Geschichte angehören. Der
Algorismus de integris lehrt ungemein klar das Rechnen mit Einschluss der
Regeldetri an ganzen Zahlen. Man findet in ihm auch (S. 33) unter dem

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Rezensionen. 47

Namen Regula generalis pro soluHone quorundam exemploriim die -indische
ümkehrungsrechnung, welche Leonardo von Pisa Regula versa [Cantor,
Vorlesnngen der Geschichte der Mathematik, II, 21] genannt hat.

Cantor.

Jakob ZiegleP, ein bayerischer Geograph und Mathematiker. Von Sibq-
MUND Günther [Sonderabdruck aus den „Forschungen zur Kultur-
und Litteraturgeschichte Bayerns.'^ Herausgegeben von Karl von Bein-
hardstöttner. Buch IV (1896)]. Ansbach und Leipzig 1896. Max
Eichinger. 63 S.

Jakob Ziegler starb 1548 in Passau nahezu 80 Jahre alt. So berichtet
eine handschriftliche Bandbemerkung in dem der Münchner Bibliothek an-
gehörenden Exemplare von Zieglers Beschreibung des Heiligen Landes.
Ziegler war ein für seine Zeit sehr tüchtiger Kartenzeichner und wusste
besonders im Norden Europas, auf der skandinavischen Halbinsel gut
Bescheid. Soweit dabei astronomisches und mathematisches Wissen erforder-
lich war, mag man ihn auch einen Mathematiker nennen, eigene mathe-
matische Leistungen sind nicht auf ihn zurückzuf&hren. Oantor.

Bibliografla Galileiana (1568 — 1895) raccolta ed illustrata da A. Carli
ed A.FAVARO. Roma 1896. Pubblicazione del Ministero della Pubblica
Istruzione. VIII, 402 p.

Der von allen Freunden der Geschichte der mathematischen Wissen-
schaften stets betrauerte Fürst Boucompagni hatte Herrn Carli veranlasst, ver-
schiedene Untersuchungen und Nachforschungen in der Florentiner National-
bibliothek anzustellen. Dort entstand bei Herrn Carli der Gedanke,
einen Katalog der auf Galilei bezüglichen Handschriften, einen anderen fär
die auf Galilei bezüglichen Druckschriften anzufertigen. Inzwischen be-
gann unter Herrn Favaros Leitung der Druck der neuen Galilei -Ausgabe.
Was der Gedanke eines Einzelnen gewesen war, wurde zu einem Bestand-
teile des auf Staatskosten ins Leben tretenden Unternehmens. Heute liegt
die Bibliographie vollendet vor uns, der Handschriftenkatalog soll folgen.
Der erste Eindruck, welchen der Band auf uns machte, war der des
Schreckens, des Schreckens darüber, dass die Galileilitteratur bereits auf
über 2100 Nummern angewachsen ist, des Schreckens über den Fleiss, den
beide Herausgeber anwenden mussten, um eine solche Vollständigkeit zu
erzielen! Niemand wird es künftig wagen dürfen, an Galilei -Forschungen
heranzutreten, ohne vorher die Bibliographie zu Rate gezogen zu haben,
wer etv^a schon im gleichem Sinne gearbeitet habe. Es schadet nicht,
wenn dadurch einer oder der andere zurückgeschreckt, das, was noch zu
thun übrig ist, den berufenen Händen überlässt, welche gegenwärtig das
fast erschöpfte Feld bebauen. Cantor.

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48 Historisch -litterarische Abteilung.

Über die Begrttndang der Inflnitesimalrechnnng dnreh Newton and
Leibniz von Dr. Ernst Tischer, Oberlehrer am Nicolaigymnasiam
zu Leipzig. Wissenschaftliche Beilage zum Jahresbericht des ISicolai-
gymnasiums zu Leipzig. 46 S. [1896. Programm Nr. 551.]
Wie kommt es, fragt Herr Tischer, dass hundert Jahre nach der Ab-
handlung von 1684, in welcher Leibniz die Differentialberechnung bekannt
gemacht hat, eine Preisfrage der Berliner Akademie eine einwandfreie Be-
gründung der Lifinitesimalrechnung verlangte, dass L'Huilier mit einer
Grenzmethode, welche dem Gedanken der Newtonschen ersten und letzten
Verhaltnisse nahe konmit, den Preis davontrug, dass wieder 13 Jahre später
Lagrange das Unendlichkleine, die Grenzwerte und die Fluxionen ausdrück-
lich verwarf, und dass unsere heutige Wissenschaft wieder bald mit dem
Unendlichkleinen, bald mit Grenzwerten operiert, wie es vor 200 Jahren
der Fall war? Eine eigentliche Antwort auf die interessante Frage finden
wir auch bei Herrn Tischer nicht, und wir persönlich wundem uns darüber
nicht. So lange der Mensch das Gras nicht wachsen sieht, sondern das
Gewachsensein allein erkennt, werden die erwähnten Skrupel stets von
Zeit zu Zeit auftauchen^ ohne eine Widerlegung finden zu können. Es ist
eben, wie wir an einem anderen Orte einmal gesagt haben, die Begründung
der Infinitesimalrechnung die alte zähe Speise, an der der Mensch viel
tausend Jahre kaut, und noch kauen wird! Die Unerweislichkeit tritt und
trat von jeher dadurch hervor, dass an irgend einer Stelle ein Axiom ein-
geführt wurde. Herr Tischer hat die Aufgabe seiner hochinteressanten Pro-
grammabhandlung dahin gestellt, dass er zunächst den infinitesimalen Charakter
des antiken Exhaustionsverfahrens, wie es bei Euklid und reicher entwickelt
bei Archimed sich benutzt findet, enthüllte, eine geistvolle nachtragliche
Zusammenstellung; sofern man sie nur als solche betrachtet. Daran, dass
Euklid, dass Archimed von der modernisierten Auffassung eine Ahnung ge-
habt hätten, ist natürlich nicht zu denken, und Herr Tischer mutet
seinen Lesern eine solche Kraftprobe ihres Glaubens auch nicht zu. Dann
überspringt er zwei Jahrtausende und gelangt zu Newtons Fluxionsrechnung,
welche er darauf prüft, ob denn wirklich der strittige Gedanke des Unend-
lichkleinen in ihr vermieden sei, und eine eingehende Untersuchung der
verschiedenen Schriften Newtons lässt erkennen, dass dem keineswegs so ist
Es war nur selbstverständlich, dass Herr Tischer seine Durchmusterung von
Newtons Abhandlungen mit derjenigen verglich, welche Referent in dem
ersten Abschnitte des III. Bandes seiner Vorlesungen über Geschichte der
Mathematik angestellt hatte. Er erkannte dabei einige Unrichtigkeiten , die
wir uns zu Schulden kommen liessen, und fand nachträglich, dass Herr
Zeuthen in einem der Kopenhagener Akademie am 3. Mai 1895 eingereichten
Aufsatze Sur quelques crUiques faUes de nos jaurs ä Newton dieselben Vor-
würfe gegen uns gerichtet hatte. Wir waren durch Herrn Zeuthens Dar-
stellung bereits überzeugt, dass ein Vertrauen, welches wir sonst nie Oben,
Herr Weissenbom werde von ihm als unrichtig gerügte Beispiele buch-
stäblich aus Newton entnonmien haben, uns irre geführt hat. Wir wollen

...^.byGoogk

Rezensionen. 49

diese einmal begangene Flüchtigkeit keineswegs entschuldigen und wären
in der Vorrede, von welcher der dritte und letzte Abschnitt des Bandes
begleitet sein wird, darauf, sowie auf andere Mängel, auf die wir in-
zwischen teils von selbst, teils durch freundlichen Hinweis von Fachgenossen
aufmerksam wurden, jedenfalls zurückgekommen. Da indessen jener dritte
Abschnitt, wenn auch fortwährend in Arbeit, noch bei weitem nicht druck-
fertig ist, so benutzen wir gern die Gelegenheit, welche das Referat Ober
das Tischersche Programm uns liefert, heute schon den Irrtum einzugestehen.
Wir lieben es nicht, irgend jemand unrecht zu thun, und am allerwenigsten
einem Newton. Wir täuschten uns, als wir S. 179 unseres III. Bandes an-
gaben, Newton sei im Besitze eines Falles gewesen, in welchem das so-
genannte binomische Integral in geschlossener Form gefunden werden
könne. Er kannte, wie aus einem anderen Beispiele in demselben Briefe
vom 24. Oktober 1676, dem wir unsere Behauptung entnahmen, hervorgeht,
auch den zweiten Hauptfall. Wir täuschten uns auch, als wir S. 165 an-
nahmen (wir haben erklärt, auf welche Veranlassung hin), Newton habe
den Fehler begangen, von rc^i— ^x^yx -f xy^y— y^y = 0 auf
X* • , xy* y* _

zu schliessen; jenes Beispiel gehört Newton gar nicht an. Die Substitution
von h — X statt x betreffend, welche Newton Opusc. I, 70 für gestattet
erklärt, so geben wir zu, dass an eine Eoordinatenverlegung gedacht
werden kann, beziehungsweise an Benutzung einer Integrationskonstant«.
Newton sagt aber nicht, dass alsdann auch x in — x verwandelt werden
müsse, und dadurch erscheint die Stelle I, 70 willkürlicher als die I, 68,
von welcher Herr Tischer spricht. Endlich die Gleichungen mit mehr als
zwei Veränderlichen (Newton Opusc. I, 83) müssen wohl als totale, nicht
als partielle Differentialgleichung aufgefasst wel-den. Alsdann ist das Ver-
fahren, eine hypothetische Gleichung zwischen x und y anzusetzen, geeignet,
zur Integration zu führen; berechtigt aber ist es damit noch keineswegs.
Das sind, wie gesagt, Zusätze zu unserem m. Bande, zu deren Veröffent-
lichung Herrn Tischers Abhandlung uns die Gelegenheit bot. Dass seine
Abhandlung selbst eine hochinteressante ist, haben wir oben bereits hervor-
gehoben, und wir wiederholen es am Schlüsse, um dem Programme zahl-
reiche Leser zu verschaffen. Cantor

Le mathimaticien Franc -Comtois Fran^ois Joseph Servois ancien conser-
vateur du musee d'artillerie d'apres des documents inedits 1767—1847.
Par Jacques Boyer, professeur de sciences mathematiques et phy-
siques a Paris. Besan9on 1895. Imprimerie et lithographie Dodivers.
26 p. [Extrait des Memoii*es de la Societe d'^mulation du Doubs.]

In kurzen Zügen ist das Leben von Servois geschildert, das Leben
eines Offiziers, der an den Feldzügen der Eepublik teilnahm, das Leben
eines Lehrers, dem der mathematische Unterricht an verschiedenen militä-
rischen Anstalten anvertraut war. Herr Boyer hat das Material zu seiner

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50 Historisch -litterarische Abteilung.

Darstellung vielfach den Akten des französischen Kriegsmmisteriums ent
nommen. unter den Angaben über die wissenschaftlichen Veröffentlichiingen
von Servois vermissen wir einen Aufsatz im I. Bande (p. 337) der von
Gergonne herausgegebenen Annales de math^matiques. Dort hat Servois
das Wort Pol in die Geometrie der Kegelschnitte eingeführt, wShrend
Gergonne im lU. Bande (p. 297) derselben Zeitschrift diesem Worte das
andere Polare nachbildete. Caktor.

Kepler und Galilei von Sibgmund Günther, Professor an der technischen
Hochschule in München. Berlin 1896. Ernst Hofmann & Co. 233 S.
[22. Band der Geisteshelden herausgegeben von Anton Bettelheim.]

Die „Geistesbelden" gehören zu den Werken, welche die Wissenschaft
in das Volk hinzustragen sollen. Sie sollen deshalb nicht zu schwer ge-
schrieben sein; sie sollen so viel, als möglich den Leser fesseln; sie sollen
den in der Wissenschaft heimischen Kenner zum Mindesten nicht durch
fehlerhafte Angaben entrüsten. Es war für den Herausgeber keineswegs
leicht, Schriftsteller zu finden, welche zu solchen Darstellungen das nötige
Können mit dem nötigeren Wissen vereinigten. Dass er mit der Wahl
S. Günthers einen glücklichen Griff gethan haben werde, davon waren wir
überzeugt noch bevor wir das Bändchen aufschnitten, xmd das Lesen hat
unser günstiges Vorurteil bestätigt. Sein umfassendes geschichtliches Wissen,
seine insbesondere reiche Quellenkenntnis zum Nachschlagen von Dingen,
die allenfalls seinem kaum je imgetreuen Gedächtnisse entschlüpft sein
sollten, seine Leichtigkeit in Auffindung des richtigen Wortes zur Äusserung
seiner Gedanken eignen ihn vorzugsweise zu solchen Darstellungen wie die
der Lebensschicksale von Kepler und von Galilei. Eine wesentliche Klippe,
welche vermieden werden musste, war die einer etwas behäbigen Breite,
welcher man leicht zu nahe kommt, wenn der Gegenstand einen fortareisst
Die vom Herausgeber geforderte, von Herrn Günther eingehaltene Baum-
grenze, innerhalb deren wir doch nichts Wesentliches vermissen, zeugt dafür,
wie sehr er sich zu beschränken wusste. Wir zweifeln nicht, dass das Bänd-
chen bald zu den beliebteren der Sammlung gehören wird. Oantok.

Franz Nenmann (11. September 1798 bis 23. Mai 1895). Ein Beitrag zur
Geschichte deutscher Wissenschaft. Dem Andenken an den Altmeister
der mathematischen Physik gewidmete Blätter, unter Benutzung einer
Beule von authentischen Quellen gesammelt und herausgegeben von
P.VoLKJMANN, ordentlicher Professor an der Universität Königsberg i.Pr.
Mit einem Bildnis Franz Neumanns. Leipzig 1896. B. G. Teubner.
VII, 68 S.

Herr Volkmann hat zweimal Veranlassung gehabt, Gedächtnisreden
auf Franz Neumann zu halten. Er sprach im Sterbehaus bei der am 27. Mai
stattfindenden Beerdigung, er sprach bei der einen Monat nach dem Tode

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Rezensionen. 51

am 23. Juni ausnahmsweise veranstalteten Gedächtnisfeier in der akade-
mischen Aula. Die erste Eede war, wenn wir so unterscheiden dürfen,
persönlichen, die zweite sachlichen Inhaltes, die erste für Zuhörer aus dem
Laienstande, die zweite für solche Gelehrte, welche in Neumanns wissen-
schaftlichen Arheiten so heimisch sind, dass eine hlosse Nennung der
Stichwörter genügte, den Inhalt ins Gedächtnis zurückzurufen. Beide Beden
ergänzen einander, und Herr Yolkmann hat gewiss Becht daran gethan,
der zweiten, welche Fachgenossen hauptsächlich zu fesseln im stände ist,
die erste als Einleitung vorauszuschicken. Zwischen heiden Beden sind
persönliche Erinnerungen eingeschaltet, welche von dem ältesten Sohne
und von der Tochter des Verstorbenen herrühren. Der zweiten Bede folgen
wissenschaftliche Anmerkungen^ welchen wir eine etwas grössere Ausdehnung
gewünscht hätten. Wenn z. B. in der Bede von Prinzipien gesprochen
wird, welche von Franz Neumann herrühren, so durfte dort der Wortlaut
jener Sätze fehlen, in den Anmerkungen vermisst man aber ungern die
mathematische Formulierung. Das Verzeichnis der von Neumann gehaltenen
Vorlesungen niit der jedesmaligen Zuhörerzahl, Angaben über solche Schüler
Neumanns, welche durch ihre wissenschaftlichen Leistungen bekannt ge-
worden sind, Bemerkungen über das mathematisch -physikalische Seminar
in Königsberg sind ebensoviele dankenswerte Beigaben. Cantor.

Ludwig Schläfli (1814—1895). Zum Andenken an die Errichtung des
Grabmonumentes Schläfiis und an die Beisetzung der sterblichen
Beste Jacob Steiners, anlässlich der 100jährigen Feier des Geburts-
tages des letzteren am 18. März 1896. Von Dr. phil. J. H. Graf,
ordentlicher Professor der Mathematik an der Hochschule Bern. Mit
dem Porträt und dem Faksimile Schläflis. Bern 1896. K. J. Wyss.
86 S. [Separatabdruck aus den Mitteilungen der naturforschenden
GeseDschaft in Bern.]

Im Herbst 1843 begaben sich Dirichlet, Jacobi und Steiner nach Eom.
Keiner war des Italienischen mächtig. Da schlug Steiner vor, einen Dol-
metscher mitzunehmen und empfahl dazu einen Bekannten in Bern, für
die Welt ein Esel, aber Sprachen lerne er wie ein Kinderspiel. Er meinte
Ludwig Schläfli, und seine Ausdrucksweise, wie sie kennzeichnend für Steiner
ist, zeigt uns auch das Bild des damals 29jährigen, etwas linkischen, unter
dem Drucke äusserer Verhältnisse zurückhaltenden, nach verschiedenen
Richtungen hochbegabten Schläfli, dasselbe Bild, welches Herr Graf mit
dem Pinsel des Freundes hinzumalen verstanden hat. Der hervorragende
Gelehrte, der anregende Lehrer trägt auch hier die Züge der Unbeholfen-
heit oder mindestens allzugrosser Schüchternheit. Ihr ist es wohl zu-
zuschreiben, dass, während 70 mathematische Veröffentlichungen namhaft
gemacht werden konnten, überdies noch 303 fertige Manuskripte in Schläflis
Nachlasse aufgefunden wurden, von welchen nur etwa 20 schon gedruckt
worden zu sein scheinen. Unsere Zeit liebt es, Gesamtausgaben von

.,_.by Google

52 Historisch -litterarische Abteilung.

Werken hervorragender Mathematiker zu veranstalten. Der Umfang des
noch ungedrackten Nachlasses mahnt die Erben seiner Mannskripte doppelt
daran, auch Schläflis Schriften zn einem Sammelbande za vereinigen.

Cantob.

Notice snr les travanx math^matiqnes de Eugene -Charles Catalan par

P. Mansion, Professeur a TUniversit^ de Gand, Membre de rAcad&nie
royale de Belgique. Bruxelles 1896. F. Hayez. 62 p.

Es war im Sommer 1856. Referent befand sich in Paris. Einen Ab-
zug der im I. Bande dieser Zeitschrift abgedruckten Abhandlung über die
Einführung unserer gegenwärtigen Ziffern in Europa hatte er dem Alt-
meister geschichtlicher Forschung, dem trefflichen Michel Chasles überreicht,
und war von dem durch Herzensgüte nicht minder als durch Gelehrsamkeit
sich auszeichnenden Manne aufs wohlwoUendste empfangen worden. Chasles
war am sichersten in den Sitzungen der Akademie zu treffen, und das
gab uns die Veranlassung, jene Sitzungen regelmässig zu besuchen. Einmal
war auf den besonders dünn besetzten Bänken des Zuhörerraums ein Herr
unser Nachbar, mit welchem wir in ein Gespräch kamen, und mit welchem
zusammen wir die Akademie verliessen, noch lange Strassen hindurch plau-
dernd und Eindrücke austauschend. Jener Herr war Eugene Catalan. Im
Jahre 1880 gereichte es uns zur grossen Freude, dass Catalan, mit dem
wir damals einige Briefe wechselten, sich der 24 Jahre früher stattgehabten
Begegnung mit einem zu jener Zeit vollständig unbekannten jungen Manne
freundlich erinnerte. Das sind die persönlichen Beziehungen, deren Erwähnung
man uns zu gut halten mag^ weil sie zur Kennzeichnung von Catalans
wunderbar treuem Gedächtnisse dienen, welche uns die Notiz, über die wir
berichten, noch besonders interessant machten. Aber auch ohne solche
Kebengrönde wird der Leser sicherlich mit Vergnügen von Herrn Mansions
Ausführungen Kenntnis nehmen, welche dazu dienen sollen, Catalan den ihm
gebührenden Platz in der Geschichte der Mathematik anzuweisen. Die
Lehre von den halbregelmässigen Vielflächnern , die Lehre von den Eeihen,
von den vielfachen Integralen, von den Kugelfunktionen sind es vorzüglich,
welche er mit neuen Thatsachen bereichert hat, während zahlreiche Hand-
bücher von ihm vermutlich noch geraume Zeit in den Händen französischer
und belgischer Kandidaten des mathematischen Lehramtes sich nützlich er-
weisen werden. Cantor.

Annnaire du Bnrean des Longitndes avec des Notices scientifiques.
Paris 1896. Gauthier Villars et fils.

Die sechs Abhandlungen des Bandes von 1896 führen folgende Titel;
Pemkräfte und Wellenbewegung von A. Cornu. Fresnels optische Arbeiten
von A. Cornu. Die Anfertigung neuer magnetischer Karten von De Ber-
nardi^res. Das Mont Blanc- Observatorium von J. Janssen. Leben und
Arbeiten des Contre-Admiral Fleuriais von De Bernardi^res. Beden beim

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Rezensionen. 53

Leichenbegängnisse von Emil Bnmner von J. Janssen und F. Tisserand.
Von allgemeinstem Interesse sind die beiden ersten Abhandinngen, welche
innerlich zusammengehören, wie sie auch von dem gleichen Verfasser her-
rühren. Steht doch Fresnels Name in glänzenden Buchstaben unter den
Gelehrten, welche dem Begriffe der Fem Wirkung ein Ende zu machen sich
bestrebten, und hat doch erst seine Sicherung transversaler Lichtschwing-
ungen die Grundlage einer mathematischen Optik wirklich geschaffen.. Ob
deswegen die longitudinalen Lichtschwingungen, an welche Huygens, an
welche Euler dachte, ganz aus der Wissenschaft verschwunden sind? Ob
die Eathedenstrahlen sie wieder aufleben lassen? Diese Frage ist allzu neu,
als dass Herr Comu sie auch nur aufgeworfen hätte. Cantor.

A. Nepfi MoDONA e T. V^annini, Qnestioni e formole dl geometria analitica

(ad una e due dimensioni). Palermo 1896. Alberto Beber. II, 319 p.
Die Aufgaben, welche die beiden Herren Verfasser gesammelt haben,
entstammen verschiedenen meistens französischen, auch einigen italienischen
und englischen Quellenschriften. Die deutsche Litteratur des Faches ist
unbenutzt geblieben. Jedem Kapitel sind die wichtigsten Formeln der ana-
lytischen Geometrie der Geraden und der ebenen Kurven zweiten Grades,
welche in ihm zur Anwendung kommen, vorausgeschickt. Ihre Beweise
sollen nach dem Plane der Verfasser aus den Vorlesungen des ersten Uni-
versitätsjahres bekannt sein. Die eigentlichen Aufgaben sind aber alsdann
bald ausführlicher bald in gedrängter Kürze zur Auflösung gebracht. Man
kann keinenfalls sagen, dass die Verfasser es ihren Lesern allzuleicht ge-
macht und ihnen eigenes Nachdenken erspart hätten. Ein deutscher Student
im dritten Semester dürfte wenigstens nicht ohne einige Anstrengung das
Buch durchzuarbeiten untemehmeD, trotzdem Differentialrechnung nirgend
vorausgesetzt ist. Wir meinen damit keinen Tadel gegen das Buch aus-
zusprechen, sondern wollen nur feststellen, worauf der Leser sich gefasst
zu machen hat. Fortwährend sind in gemischter Anwendung die ver-
schiedensten Koordinatensysteme in Gebrauch, bald Punktkoordinaten, bald
Linienkoordinaten, bald projektive Koordinaten, bald Dreieckskoordinaten etc.
Anwendung von Determinanten ist gleichfalls von den ersten Seiten an
als selbstverständlich betrachtet. Wer das Buch mit der Feder in der Hand
durchzuarbeiten die Zeit hat, wird sicherlich grossen Nutzen daraus ziehen.

Cantor.

Coiirs de g^ometrie analytiqne a l'usage des eleves de la classe de Mathe-
matiques speciales et des candidats aux ^oles du Gouvernement par
B. ^lEVENQLowsKi. Tome in. G^om^trie dans Fespace avec une
note sur les transformations en g^m^trie par Emile Borel, maitre
de Conferences a la facult^ des sciences de Lille. Paris 1896. Gauthier*
Villars et fils. 672 p.
Die beiden ersten von Herrn Niewenglowski selbst verfassten Bände,

die analytische Geometrie der Ebene enthaltend, sind unseren Lesern bereits

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54 Historisch -litterarische Abteilung.

Band 4 1 , Hist. -litt. Abtlg. S. 26—28 , bestens empfohlen. Der der analytischen
Geometrie des Baumes gewidmete III. Band ist von Herrn Borel bearbeitet,
und wir können nur erklären, dass die Fortsetzung sich den frtlheren Bänden
wtirdig anschliesst, dass sie auch deren Schreibweise sich zum Muster ge-
nommen und so glücklich nachgeahmt hat, dass ohne die Namensangaben
auf dem Titelblatte niemand auf den Gedanken käme, Schriften verschie-
dener Verfasser vor sich zu haben. Etwas schwieriger als die beiden ersten
Bände ist der dritte Band immerhin, das liegt in dem Wesen seines all-
gemeinsten Gegenstandes, aber dem Standpunkte der Leser, als welche
junge Leute gedacht sind, die zur Eintrittsprüfung in die höheren Unter-
richtsanstalten wie Ecole pölytectmique und itcole normale sich vorbereiten,
ist doch Rechnung getragen, und man darf weder hoffen noch fürchten,
einer Vollständigkeit raumgeometrischer Thatsachen oder Methoden zu be-
gegnen, wie sie beispielsweise von Salmon oder von Darboux angestrebt
wurde. Herr Borel hält sich, ohne die Hilfe der Infinitesimalrechnong zn
verschmähen, in elementareren Schranken, die ihn auch von Joachimsthal-
Natani unterscheiden , den er in einfacheren Dingen bedeutend an Material-
fülle übertrifft. Die Ebene und die Oberflächen zweiter Ordnung, letztere
sowohl allgemein als in ihren einzelnen Abarten, sind mit besonderer Aus-
führlichkeit behandelt. Ein Anhang (S. 481 — 558) führt den Leser in die
Lehre von den Transformationsgruppen ein. Herr Borel steht hier, wie er
selbst erklärt, wesentlich unter dem Einflüsse Lieschers Arbeiten, zu deren
Studium er nur vorbereiten und anleiten wolle. Cantor.

Ging Loria, U passato ed il presente delle principali teorie geo-
metriche. Seconda edizione accresciuta ed interamente rifatta.
Torino 1896. Carlo Clausen. XX, 346 p.

Im Jahre 1887 erschien die erste Auflage eines anspruchslos auf-
tretenden, aber viele Ansprüche befriedigenden Werkchens, welches wir im
33. Bande dieser Zeitschrift, Hist.-litt. Abtlg. S. 194—195, unseren Lesern
warm empfehlen durften. Eine mit Zusätzen des Verfassers selbst be-
reicherte deutsche Übersetzung folgte 1888 (vergL Band. 34, Hist.- liti Abtlg.
S. 105). Heute haben wir das Vergnügen, eine zweite durchaus neue Be-
arbeitung in italienischer Sprache anzuzeigen, welche viel eher ein neues
Werk, als eine neue Auflage darstellt. Der Zweck des Buches ist freilich
derselbe geblieben. Herr Gino Loria will seine Leser in den Stand setzen,
nicht bloss die Fragen kennen zu lernen, welche sich den Geometem im
Laufe der Jahrhunderte darboten, welche insbesondere seit etwa einem Jahr-
hunderte sich in ungeahnter Weise vermehrten, sondern auch die zahlreichen
Versuche, jene Fragen zu beantworten. Kein Reisehandbuch nach Art der
Führer will das Werk sein (p. 41, Note), eher ein Fahrplan! Aber, wenn
wir bei dem Bilde des Verfassers bleiben sollen, wie viele Zwischenstationen
sind seit 1887 neu hinzugekommen, teils wirklich neu entstandene, teils
solche, auf welche die Aufrierksamkeit in höherem Grade als frfiher ge-

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Rezensionen.

55

lenkt wird! Die Brauchbarkeit eines solchen Werkes ist eine doppelte. Der
Leser kann einen Überblick über das Entstehen und Wachsen der geo-
metrischen Methoden gewinnen wollen, er kann wünschen für eine einzelne
Frage, welche ihm wichtig ist, Litteratumachweise zu erhalten. Letzterer
Zweck erfordert ein genaues Inhaltsverzeichnis, und ein solches vermissen wir
noch. Ein Namensverzeichnis, welches wir für vollständig zu halten allen Grund
haben, ist vorhanden ^ auch eine nach Kapiteln und deren Abschnitten ge-
ordnete Angabe der allgemeinsten in ihnen behandelten Gegenstände, aber
kein alphabetisches Wortverzeichnis. Wir wissen ganz genau, wie schwierig
die Herstellung eines solchen ist, aber wir wissen auch, dass Herr Loria
nicht der Mann ist, der vor einer Schwierigkeit zurückschreckt oder zurück-
zuschrecken braucht. Es hat allen Anschein, dass auch die neue Auflage
sich nicht als die letzte erweisen werde; möge Herr Loria schon heute
Hand anlegen, unseren Wunsch in der nächsten Auflage befriedigen zu
tonnen. Cantor.

Vorlesungen über die Algebra der Logik (exakte Logik). Von E. Schröder.
Dritter Band: Algebra und Logik der Relative. Erste Abteilung.
Leipzig 1896. VH! und 649.*

Wenn man eine Eeihe von natürlichen Zahlen paarweise zusammen-
stellt und untersucht, ob in einem Paare ij die Zahl i ein Teiler von j
ist, so kann man sich von diesem Verhalten eine Übersicht verschaffen,
indem man in einem Quadrat die Zeilen und Reihen mit den Zahlen be-
zeichnet und in den Schnittpunkt der Zeile i mit der Reihe j eine Eins
oder eine Null setzt, je nachdem j durch i teilbar ist oder nicht. So ent-
steht eine „Matrix", von der ein Teil so aussieht:

1

2

3

4

«

6

1

111

1

1

1

2

0

1

0

1

0

1

3

0

0

1

0

011

4

0

0

0

1

0

0

5

0

0

0

0

1

0

6

0

0

0

0 0

1

Diese Matrix nennt Charles S. Peirce, der Schöpfer der in Schröders
Buch dargestellten Theorie, ein Relativ. Allgemein kann man sagen: Wenn
ein Denkbereich aus einer endlichen Zahl von Elementen besteht, i und j

* Eine Anzeige des ersten Bandes siehe diese Zeitschrift Band 36 Seite 161.
Vom zweiten Bande des vorliegenden Werkes ist bis jetzt nur die erste Abteilung
erschienen. Wir verschieben daher dessen Anzeige bis er ganz vorliegt.

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56 Historisch -litterarische Abteilung.

irgend zwei sind^ so vergleicht man sie hinsichtlich einer bestimmten Eigen-
schaft und bildet dann, nach Analogie des Obigen, eine Matrix, indem man
in die Zelle, deren Beihe dem Individuum j und deren Zeile dem i ent-
spricht. Eins oder Null einträgt, je nachdem das Paar ij die betreffende
Eigenschaft hat oder nicht. Die so entstehende Matrix ist das zur frag-
lichen Eigenschaft gehörende Relativ.

Aus einem Relativ a lassen sich andere ableiten. Verfasser bezeichnet
mit ä und nennt das Negat von a das Relativ, welches aus a entsteht,
indem man in der Matrix alle Einer durch Nullen und umgekehrt ersetzt;
mit a, dem Konversen von a, wird das Relativ bezeichnet, welches aas
der Matrix von a durch Transposition, das heisst durch Umstürzen um die
Hauptdiagonale hervorgeht.

Zwei Relative a und b werden nach Rechengesetzen kombiniert, von
denen zwei a+b und ab vom Verfasser als identische Addition und
Multiplikation bezeichnet werden. Die entsprechenden Elemente beider Matzices
werden bei jener addiert, bei dieser multipliziert, aber nach den Gesetzen,
die ftlr die logische Addition und Multiplikation in dem sogenannten iden-
tischen Kalkül gelten, wie er von Schröder im ersten Bande seines Werkes
gelehrt worden ist. Bezeichnet man die Elemente der Matrix so, wie es
bei Determinanten üblich ist, so ist aij + bij bezw. aijbtj das Element von
a + b und ab.

Neben diesen Operationen stehen die relativen Operationen, nämHch
die relative Addition a j- &, ausgesprochen „a piu b^\ und die relative
Multiplikation a;b, gelesen „a von &". Diese Knüpfungen werden gebüdet,
indem man, ähnlich wie bei der Multiplikation der Determinanten, die
Zeilen des einen Relativs mit den Reihen des andern kombiniert Bei
a fb ist das Element gegeben durch

±±(ctih + hj) nnd bei a;b durch ^ainbnj^
h h

wo diese Produkte und Summen nach den Regeln des identischen Kalküls
auszuwerten sind.

Vier besondere Relative werden durch einfache Zeichen ausgezeichnet
Hat ein Relativ alle Elemente Null, so wird es mit 0, hat es alle Ele-
mente Eins, mit 1 bezeichnet Mit Of soll es bezeichnet werden, wenn
nur die Diagonale Nullen trägt, alle anderen Elemente aber Eins sind;
xmd l' ist das Zeichen des Relativs, in dem die Diagonalelemente die
einzigen sind, die Einer tragen. Diese vier Relative heissen Moduln.

Einige dieser Rechnungsregeln haben grosse Ähnlichkeit mit den
Regeln, die Cayley und Frobenius bei ihren Rechnungen mit Matrices
anwenden. Das Schrödersche l' ist das Frobeniussche E^ Schröders
a ist dort a\ a + b hat bei beiden dieselbe Bedeutung, a; b wird von
Frobenius mit ab bezeichnet Die anderen Operationen konunen bei
Frobenius nicht vor, bei dem die Matrices natürlich auch andere Zahlen
als 0 und 1 tragen, deren Kombinationen auch nicht nach den Regeln des
identischen Kalküls erfolgen.

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Eezensioneii. 57

Auch von der Subsumtion a^h wird gesprochen, die durch die
Subsumtionen aij =^ htj definiert ist.

Die logische Bedeutung von a; & ist die Zusammensetzung. Bezeichnet
z. B. a die Relation „i Teiler von ^*", b die Relation „i =^*mod6", so giebt
a]b darüber Auskunft, ob i Teiler einer Zahl ist, die =jmod5 ist.

Die Bildung eines Relatives braucht nicht auf einen Denkbereich mit einer
endlichen Zahl von Individuen beschränkt zu werden. Man kann unendlich
viele Individuen zulassen, einerlei ob sie abzählbar sind oder nicht, wenn
man nur Mittel hat zu entscheiden, ob ein Paar ij von Individuen die
Bedingung erfüllt, welche die Bildung des Relatives beherrscht. Freilich
hat man es dann mit Relativen zu thun, die sich nur durch ein Quadrat
von unendlich vielen Zeilen oder gar nicht graphisch darstellen lassen.
Aber auch mit solchen kann man die angegebenen Rechnungen ausführen.
Dies ist von Wichtigkeit, weil, wie Schröder zeigt, der Anzahlbegriff sich
auf Operationen mit Relativen gründen lässt, ohne dass man einen Zirkel
begeht.

Der ausführlichen Untersuchung der Rechenoperationen ist nun das
vorliegende Buch Schröders gewidmet, während die Verwendung in der
Logik für die zweite Abteilung vorbehalten ist. Die identische Addition
und Multiplikation gehorchen dem Eommutations-, dem Assoziations- und
dem Distributionsgesetz, wie die Symbole beim identischen (Klassen-) Kalkül.
Die relative Addition und Multiplikation sind zwar assoziativ, aber nicht
kommutativ, und folgen den Regeln:

a\{h + c)^a;b + a',c, a^bc^ {afb)(atc),
a;(5 j- c) =^a;5 j- c, ab\c=^a-,b-b:c.

Was die Klammem hierbei angeht, so bringt Schröder die Operationen
in die Ordnung + j- - ; das heisst identische Addition, relative Addition,
identische Multiplikation, relative Multiplikation, und stellt die Regel auf
— wie für die gewöhnlichen Rechnungen in seinem Lehrbuche der Arith-
metik und Algebra — , dass bei Deutung eines Ausdruckes immer die höhere
Operation zuerst auszuführen ist; nur die identische Multiplikation ohne
Malzeichen soll der relativen vorausgehen.

Es gelten auch die Beziehungen:

ab^ab, a -f & = 5 + 6, a]b = b\a^ a j- Z> = 6 j- 5,

afe = ö + 6, a + b =- ab, a;&«=aj-6, a fb ^ a-^b]

und wenn a =^ &, ist a =^ &, Z> =^ ä.

Ersetzt man in einer Gleichung oder einer Subsumtion zwischen Re-
lativen alle unbestimmten Relative durch ihre konverse und konvertiert
dann beide Seiten, so entsteht eine neue Formel, die zur ersten konjugiert
heisst. Indem man femer, in richtiger Weise, von beiden Formeln die
Negationen nimmt, entstehen aus ihnen neue, sodass jede Formel im all-
gemeinen drei andere liefert.

Hist. • Utt. Abt. d. Zeitschr. f. Math. u. Phys. 42. Jahrg. 1897. 2. Heft. ^ ^^ T

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58 Historisch -litterarische Abteiluog.

Speziellerer Formeln giebt es natürlich sehr viele. So ist z. B.:
1 «= a + ä, aä = 0,

0 = 0-a = 0; a = «; 0,

1 = l + a=lj-a = aj-l,

a = al=a + 0 = a; l'-= l'; a = a }• 0'= O' j- a
und andere mehr.
Manche Sätze, wie z. B. 0';0'=1, gelten nur für Denkbereiche von
mehr als zwei Individuen.

Unter den vielen von Peirce und dem Verfasser eingeführten Be-
zeichnungen wollen wir nur den Namen ausgezeichnete Belative er-
wähnen, die Schröder solchen Relativen wie l;a;l oder 0 J- a j- 0 ge-
geben hat, von denen das erste 1 ist für a ='« 0 und 0 für a = 0, während
das zweite 0 ist für a = « 1 imd 1 für a = 1 . Diese Relative , die schon von
Peirce entdeckt wurden, können in manchen Problemen vne die dis-
kontinuierlichen Faktoren der Mathematik verwendet werden.

Wie im identischen Kalkül l'asst sich jede Subsumtion a =^h in die
Form der Gleichung a& = 0 bringen und jedes System von gleichzeitigen
Gleichungen a = 0, 5 = 0,... durch eine Gleichung

a + h + C'\ =0

ersetzen. Der relative Kalkül gestattet aber nicht nur das System der
gleichzeitigen Ungleichungen a -{« 0, 5 « « 0 . . . in der Gleichung:

1; a; 1; 2>- • • = 1
zu vereinigen, sondern auch die Bedingung, dass eine oder die andere der
Gleichungen a = 0, 5 = 0... oder der Ungleichungen a «j- 0, 5 »'= 0 . . .
gelte, durch die Gleichung:

, l;a;l;6;. . = 0

beziehungsweise die -/.,.. n - -

l;(a + 5 + cH );1 = 1

auszudrücken. Es lassen sich somit alle Daten einer Aussage durch eine
einzige Gleichung repräsentieren. Enthält eine solche Gleichung F(x) = 0
das unbestimmte Relativ x und gilt sie nicht für jedes a;, so bietet sich das
Problem, sie nach x aufzulösen. Dies gelingt in manchen FaUen ohne
weiteres, in anderen ist die Möglichkeit der Lösung an eine Resultante
R = 0 geknüpft, ohne deren Erfülltsein die Lösimg nicht möglich ist Es
geht so neben jedem Auflösungsproblem eine Eliminationsaufgabe einher,
die sich ganz allgemein lösen lässt, wenigstens in Formeln, deren Aus-
arbeitung freilich meistens nicht leicht ist. Jedenfalls kann man, wenn
eine Wurzel a bekannt ist, jede Wurzel, mit Hilfe der Unbestimmten u, durch

«{1; Fi*; 1} + t*{0 j-Fwj-0}
darstellen, wobei für jedes u = x^ welches der Gleichung genügt, der Aus-
druck = X wird. Die Auffindung einer Wurzel ist aber in den meist-en

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Rezensionen. 5Ö

Fällen nicht leicht. Bei einer Suhsmntion x^ q>(x)^ die sich auch als
Gleichung y = xq>(x) schreiben lässt, findet Schröder die Auflösung mit
Hilfe von unendlichen Operationen. Setzt man nämlich X(p(x) = f(x) imd
iteriert diese Funktion, so ist der Grenzwert /**(«*) eine Lösimg der ge-
gebenen Gleichung. Mindestens gilt dies für einen Denkbereich von endlich
vielen Individuen , während bei einem unbegrenzten Denkbereich eigentüm-
liche, nicht ganz überwundene, Schwierigkeiten auftreten, die an ähnliche
in der Mathematik erinnern.

Es bietet sich offc die Aufgabe dar, ein Relativ mit den Moduln zu
verknüpfen. Um diese Rechnungen zu erleichtem, teilt der Verfasser die
Zeilen in fünf Kategorien ein, je nach der Zahl der Einer oder Nullen, die
sie tragen. Man kann aus einem Relativ dann andere ableiten, indem man
die Zeilen einer oder mehrerer Kategorien mit lauter Einem oder mit
lauter Nullen besetzt, oder die Nullen und Einer in ihnen vertauscht. Durch
diese „Zeilenabwandlung" entstehen aus einem Relativ a 255 andere, die
der Verfasser durch a, "ä und a ausdrückt. Durch eine zweckmässige Sym-
bolik lassen sich diese Operationen, die man auch auf Reihen übertragen
kann, leicht darstellen.

Im weiteren Verlaufe seines Buches behandelt der Verfasser Gleichimgen.
Zuerst die Umkehrung der elementaren Operationen; dann Gleichungen, in
denen nur zwei Symbole vorkommen, wie z. B. ic = 5c, oder a; = Ir (die
nicht lösbar ist); endlich Gleichungen mit drei Symbolen, unter welchen
die ax = x besonders schwierig ist. Alle in diesem Rahmen möglichen
Aufgaben werden vollständig erledigt.

Eine interessante Anwendung der Theorie macht Schröder auf die
Dedekindsche Lehre von den Ketten, indem er die Sätze 22—24 und
36 — 68 der Schrift Dedekinds: „Was sind und was sollen die Zahlen",
etwas verallgemeinert, durch Relativoperationen darstellt und beweist. Ein
Relativ b heisst „Kette in Bezog auf a" wenn a; 5 =^ 6 ist.

Mit den Erklärangen:

«0=1' +«00

die ÜQQ als „a- Bildkette" und a^ als „a -Kette" definieren, aber den Schluss
von n auf n + 1 schon voraussetzen, werden zuerst die genannten Sätze
durch Rechnung mit Relativen bewiesen. Um aber den Schluss von n
auf w -|- 1 zu umgehen, wird dann die a-Kette von 6, au;&, mit Dede-
kind definiert als dasjenige umfassendste Relativ, welches allen Wurzeln
der Subsumtion a;M + 6=^w gemeinsam ist; und von dieser Erklärung
aus werden nun jene Theoreme bewiesen, die in dem Satze gipfeln, dass
aus h =^c und a ; (a© 5 ^)^ =^ ^ ^® Subsumtion «o5 ^ "^ ^ ^Ig^^» von welchem
Satze die vollständige Induktion ein besonderer Fall ist. Schröder ver-
einfacht dann die Kettentheorie, indem er üq definiert als das grösste Re-
lativ, welches allen Wurzeln der Gleichung \'+ a'^u=^u gemeinsam ist.

5*

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60 Historisch -litterarische Abteilung.

Die Theorie moss hierbei durch den Satz ergänzt werden, dass aus a\b =^b
die Subsumtion ^ ^

folge. Die als das Produkt a^; & zu definierende a* Kette von h genügt
dann den D e de kind sehen Festsetzungen.

Ein Belativ, dessen Matrix die Zeile mit Einem besetzt hat, welche
dem Individuum i entspricht, sonst aber nur Nullen trägt, wird man mit
i bezeichnen können. Das Rechnen mit diesen „Ein z eile rn^' und den

verwandten Relativen i, i, i ist weiter Gegenstand von Schröders
Forschungen. Neben dieses spezielle Relativ tritt das „Ein äuge", f:j,
das einen einzigen Einer trägt in der Schnittstelle der Zeile i mit der
Reihe j. Als Ein zeiler ist x durch die Gleichung:

als Einauge durch l' j^ j l'^ :r ; 1 + 1 ;a;

vollständig charakterisiert. Die Regeln för die Rechnung mit solchen Re-
lativen werden ausführlich erörtert. Dabei zeigt sich, dass, wenn die
Individuen i und j in der Beziehung stehen, die durch ein Relativ a ge-
geben ist, zwischen den Einzeilem i, ;, dem Einauge i : ; und dem a die
Subsumtionen gelten: . , .-r ^

Ein „System" ist ein Relativ, in dem stets alle Elemente der näm-
lichen Zeile gleich sind; für ein solches Relativ ist die Gleichung a; l = a
bezeichnend« Auch ä ist dann ein System und die identische Summe, vne
das identische Produkt von zwei Systemen ist wieder ein System. Ein
System erscheint als die identische Sunmie von Einzeilem, von denen jeder
ein Element des Denkbereichs darstellt. Durch ein solches Relativ wird
also aus dem Denkbereich ein „System" von Individuen herausgehoben.

Diesen Untersuchungen folgen Studien über Eliminationsprobleme,
worin Schröder teils Arbeiten von Peirce näher erörtert und in seiner
Zeichensprache reproduziert, teils auch eigene Methoden angiebt, um die
bei Eliminationen nötigen Summen- und Produktbildungen zu erleichtem.

Das letzte, zwölfte, Kapitel des Buches ist der Theorie der Abbildung
gewidmet. Wenn man aus einem System h mit Hilfe eines Relativs a ein
neues System a; b bildet, so kann dies als a-Bild von b bezeichnet werden.
Man kann einer Abbildung vier Bedingungen, einzeln oder zusammen, auf-
legen, nämlich: Dass sie stets einen Sinn habe, nie mehrdeutig sei, dass
die durch a vermittelte Abbildung nie undeutig oder nie mehrdeutig sei.
Diese Bedingungen drücken sich beziehungsweise durch die Subsumtionen:

l'=^a;a, a;a=^l', l'=^a;a, a;a=^l'

aus. Durch Kombination dieser vier Bedingungen ergeben sich 15 Typen
von Abbildungen, die in neun Haupttypen zerfallen. Zwei Relative a! und
a" vom nämlichen Typus liefern in a'; a"; & eine Abbildung von demselben
Typus.

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Rezensionen. gj

Erfüllt ein Relativ x die erste und zweite Bedingung, so heisst es
„Punktion von — " oder „Bild von —" (im engsten Sinne des Wortes)
und wird durcb die Gleichung l'fX'=x definiert. Das Relativer, das
der dritten und vierten Bedingung genügt, heisst „Argument" oder „Ob-
jekt von — ". Eines, das die Gleichungen

X]X '^^ l'=:=x;X

erfüllt, genügt aber vier Bedingungen und heisst „Substitution". Man kann,
wie Verfasser zeigt, Relative, die die eine oder andere dieser Bedingungen
erfüllen, als Funktionen eines unbestimmten Relativs finden. Die Über-
einstimmung des hier aufgestellten Begriffs einer Substitution mit dem ge-
wöhnlichen wird eingehend dargelegt.

Zwei Systeme a und b heissen nach Cantor tmd Dedekind „gleich-
mächtig" oder „ähnlich" (a dq 5), wenn sie sich gegenseitig eindeutig
aufeinander abbilden lassen. Schröder stellt diese Aussage in mehreren
Formen dar, deren einfachste ist, dass ein Relativ is existiert, für das

b==0,a, a^7'^h, j?=^a&, 0;'z+^;0=^l*

ist. Diese Definition gestattet eine Anzahl Dedekindscher Sätze zu be-
weisen, ohne dass man nötig hat, auf die Individuen, zurückzugehen, die
die Systeme konstituieren. Die Aufgabe, die sich hieran schliesst, die Be-
dingung a zQ b durch Gleichungen auszudrücken, die nur die Symbole a
und b enthalten, lässt sich bis jetzt bloss in den einfachsten Fällen lösen, wo
die Denkbereiche wenige Individuen enthalten. Sieht man davon ab, dass die
Abbüdong gegenseitig eindeutig sein soll, so giebt die Untersuchung des
Verfassers die Subsumtion a =^ 1; & als Bedingung, und wenn diese erfüllt
ist, ist die Abbildung stets möglich. Auch die Sätze Dedekinds über
diese Abbildungsart werden vom Verfasser durch Rechnxmg bewiesen.

Der unermüdliche Fleiss und der grosse Scharfsinn, mit dem Schröder
es verstanden hat, die an sich schwierigen und durch häufigen Wechsel der
Bezeichnungen fast xmverständlichen Ideen von Peirce aus dessen Abhand-
lungen herauszuziehen und in einem lesbaren Buche darzustellen, verdient
hohe Anerkennung. Er hat auch an sehr vielen Stellen Eigenes zu der
Theorie beigetragen, um sie auszugestalten und abzurunden. Wenn man
sich die wenigen Rechnungsregeln zu eigen gemacht hat, ist es auch nicht
schwierig, die Rechnungen in dem Buche zu verfolgen, da sie meistens sehr
ausführlich gegeben sind, so dass auch der wenig Geübte sich von der
Richtigkeit überzeugen kann.

Referent ist der Ansicht, dass die Auffindung von Problemen, die
nicht ad hoc gemacht sind, sondern sich sozusagen in der Natur vorfinden,
und durch logische Rechnimg, sei es mit dem identischen oder dem Relativ-
kalkul, leichter gelöst werden können, als auf gewöhnlichem Wege,
eine Lebensfrage für diese ganze Disziplin ist. Wenn dies gelänge , so
würde ein solcher Erfolg die Theorie nicht nur den Mathematikern und
Logikern viel annehmbarer erscheinen lassen, sondern auch wesentlicl^ zu

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62 Historisch -litterarische Abteilung.

ihrer Ausgestaltung beitragen. Denn die Behandlang der Aufgaben würde
lehren, was in der Theorie als unwesentlich auszuscheiden und was weiter
zu entwickeln wäre. Vielleicht bringt die zweite Abteilung des dritten
Bandes des Scbröderschen Werkes, die hoffentlich bald erscheint, solche
Probleme. J. Lüroth.

Julius Plttckers gesammelte wissenschaftliche Abhandlungen. Im Auf-
trage der königl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen heraus-
gegeben von A. ScHOENFLiES Und Fr. Pockels. I. Mathematische
Abhandlungen. Herausgegeben von A. Sohoenflies. Leipzig 1895.
B. G. Teubner. XXXV und 620 S.

Die Georaeter werden es mit Freude begrüssen, dass sich den Klassiker-
aufigaben von Poncelet, Möbius, Steiner und Grassmann nun auch
die von Plücker zugesellt.

Denn die Leistungen P lückers beherrschen nicht nur die moderne
Geometrie, sondern auch auf manche Gebiete der Analysis haben seine
grundlegenden Ideen fruchtbar eingewirkt, es sei etwa nur an die Theorie
der partieUen Differentialgleichimgen erinnert und an die Rolle, welche der
„Wechsel des Baumelementes" daselbst spielt.

Der Inhalt des vorliegenden Bandes umfasst die mathematischen Ab-
handlungen PI Ockers; voraus geht die bekannte Gedächtnisrede von
Olebsch, während den Schluss (zirka 30 Seiten) Anmerkungen des Heraus-
gebers bilden. Die Aufgabe des letzteren war keine leichte, da die Original-
drucke an mannigfachen Druckfehlem und üngenauigkeiten leiden. Herr
Schoen flies hat eine Art Mittelweg eingeschlagen; bei geringfügigen und
äusserlichen Fehlern hat er den Text ohne weitere Angabe korrigiert, die
bedenklicheren Stellen sind je nachdem unverändert abgedruckt oder ver-
bessert, in beiden Fällen aber in den Anmerkungen einer Erörterung unter-
zogen worden.

Die Anmerkungen enthalten aber noch mehr, sie bieten eine Fülle er-
gänzender und aufklärender historischer Hinweise, ftir die der Leser nicht
dankbar genug sein kann. So hat der berühmte Streit zwischen Poncelet
und Gergonne über das Prinzip der Dualität eine eingehende Würdigung
erfahren, unter Wiedergabe der wichtigsten Original belege; vielfach wird
darauf hingewiesen, in welchem Verhältnis eine Abhandlung zu den selbst-
ständig erschienenen Schriften Plückers steht; femer wird gezeigt, vrie sich
der Gedanke der Dreieckskoordinaten fast gleichzeitig bei Bobillier,
Möbius und Plücker entwickelt hat u. s. f.

Plücker war einer der Schriftsteller, denen eine zu grosse Gedanken-
fülle nicht immer Muße lässt zu einer präzisen und einwandfreien Dar-
stellung, von einzelnen Irrtümern ganz abgesehen« So hat es sich denn
der Herausgeber ganz besondere Mühe kosten lassen, alle irgendwie
zweifelhafben Stellen zu kommentieren. In einigen Punkten wird vielleicht
der Leser, wie nicht anders zu erwarten ist, anderer Meinung sein.

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Rezensionen. 63

Referent will sich hier auf eine einzige Stelle beschränken , die ihm
besonderes Interesse darzubieten scheint.

Es handelt sich um den höheren Kontakt zweier algebraischen Flächen.
Plücker betrachtet unter anderen eine vorgelegte Fläche dritter Ordnung JF",,
und firagb nach den Bedingungen, unter denen eine unbekannte Fläche
zweiter Ordnung F^ in einem gegebenen Punkte P der F^ einen
Kontakt dritter Ordnung mit der F^ hat. Das (rechtwinklige) Koordinaten-
system wird so gelegt, das P der Anfangspunkt und die a;«/- Ebene ge-
meinsame Tangentialebene ist. Dann ergeben sich schliesslich zwei Be-
dingungsgleichungen für die Koeffizienten der JPj, die nach Plücker aus-
sagen, dass — bei ihrem Erfülltsein — zwei Gerade durch P hindurch-
gehen, die ganz auf der JPg liegen. Wenn nun der Herausgeber gegen
Plücker einwendet: „Diese beiden Gleichungen sind nicht Bedingungs-
gleichungen für die Fläche dritter Ordnung, sondern vielmehr Bedingungs-
gleichungen für die Lage des Koordinatensystemes . . .", so scheint er damit
doch Plücker Gewalt anzuthun. Denn P ist ja eben ein festgegeben ge-
dachter Punkt der F3, wie stets in der ganzen Abhandlung bei ähnlichen
Aufgaben. Hätte Plücker den weiteren Schritt gethan, und P als ge-
suchten Punkt der F^ aufgefasst, so würde er, 20 Jahre vor Salmon und
Cayley, zur Existenz der 27 Geraden der F^ gelangt sein.

W. Fb. Meyer.

(jrundzfige der Geometrie von mehperen Dimensionen und mehreren
Arten geradliniger Einheiten in elementarer Form entwickelt.

Von G. Veronese. Mit Genehmigung des Verfassers und nach einer
neuen Bearbeitung des Originals übersetzt von A.Schepp. Leipzig 1894.
B. G. Teubner. XLVI und 710 S.

Das vorliegende Werk ist eines der eingehendsten und zugleich merk-
würdigsten von den bisher über die Grundlagen der Geometrie erschienenen.
Die Vorrede, in der der Verfasser, wieder sagt, einen Rechenschaftsbericht
über seine Auffassungsmethode und Ergebnisse erstattet, umfasst 34 Seiten;
der Einleitung „über die abstrakten mathematischen Formen" ist ein gutes
Drittel des Buches gewidmet. Der Hauptstoff nimmt fast 400 Seiten ein;
er zerlegt sich in zwei Teile, von denen der erate der Reihe nach die
Gerade, die Ebene und den Raum von drei Dimensionen, der zweite den
Raum von vier und mehr Dimensionen behandelt. Ein Anhang enthält eine
wertvolle historisch -kritische Studie über die Prinzipien der Geometrie nebst
einigen weiteren Noten. Wichtiger als diese Äusserlichkeiten ist die That-
sache^ dass der Verfasser sich bemüht hat, die sämtlichen Begriffe, deren
er für den Aufbau seines Systemes benötigt, bis auf die ersten logischen
Quellen zurück zu verfolgen.

Der Verfasser tritt von vornherein der weit verbreiteten Anschauung
entgegen, als ob die abstrakten oder numerischen Mannigfaltigkeiten von
n Dimensionen mit den eigentlich sogenannten geometrischen Räumen ver-
tauscht werden dürften, und als ob man diese Räume nur mittels der

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64 Historisch -litterarische Abteilung.

Analysis sicher behandeln könne. Das Buch verfolgt gerade das Ziel, die
Geometrie der Bäume von mehr als drei Dimensionen als reine Wissenschaft
vollkommen analog derjenigen der Ebene und des gewöhnlichen Raumes zu
entwickeln, so zwar, dass die Geometrie von mehr als drei Dimensionen
von ihren Anwendungen auf den gewöhnlichen Raum unabhängig erscheint.

Um dies deutlicher zu machen, sei gleich betont, wie der Verfasser
auf konstruktivem Wege der Reihe nach die Räume von 2, 3, . . . Dimen-
sionen aus Punkt und Gerade, die ihm die einzigen unabhängigen Raum-
demente sind, aufbaut. Nachdem einmal die Begriffe von Punkt und Ge-
rade festgelegt sind, wird ein weiterer Punkt P ausserhalb der Geraden
als existierend angenommen^ und nun entsteht die Ebene, kurz gesagt, als
das Büschel von Strahlen, die P mit den Punkten der Geraden verbinden,
entsprechend der gewöhnliche Raum als Strahlbündel u. s. f.

Auf ähnliche Weise hat man in der That in neuerer Zeit eine rein
geometrische Theorie der Kurven und Flächen n**' Ordnung und ihrer Polar-
gebilde geschaffen.

Sehen wir zunächst von den Einwänden ab, die fragen, ob die anf
diese Art konstruierten Räimie wirklich die Gesamtheit aller Euklidischen
und Nicht -Euklidischen Räume erschöpfen, so lag jedenfalls für den Ver-
fasser die Hauptschwierigkeit darin, geeignete Definitionen für den Punkt
und für die Gerade, als einen gewissen Inbegriff von Punkten, aufzustellen.

Beiden Begriffen liegt der der „abstrakten mathematischen Fonn^
als allgemeines Denkschema zu Grunde: Man hat darunter die geistigen
Gegenstände zu verstehen, deren Merkmale das Ganze, die Teile, die Ord-
nung und die Art der Position sind (S. 18); der eingehendsten Diskussion
dieser Formen und ihrer Yerknüpfongen ist eben die umfassende Einleitung
gewidmet.

Mehrere Dinge der „Ordnung" nachdenken, heisst das eine nach dem
anderen denken (S. 8), die Dinge heissen dann das erste, zweite, dritte u.s. f.
Von der Position wird nur gesagt: „Wenn zwei Dinge verschieden sind,
so können wir, auch wenn sie identisch sind, von ihnen sagen, sie hatten
eine verschiedene „Position" (S. 5).

Wegen der Unbestimmtheit, die hierin für manchen noch liegen möchte,
fahren wir ein Beispiel mit den Worten des Verfassers an: „Nachdem die
Vorstellung A gesetzt ist , wiederhole ich die Vorstellung A und dann wieder
die Vorstellung A. Wenn man die während jeder Wiederholung verflossene
Zeit in Betracht zieht, so erhält man ein in dem Begriff einfacher Reihen-
folge und Ordnung nicht enthaltenes Positionsverhältnis, da die während
der ersten Wiederholung verflossene Zeit von der während der zweiten ver-
flossenen verschieden sein kann" (S. 18).

Unter „Grundelement" wird allgemein eine beliebige gegebene erste
Form, unter „Grundelementen" alle mit jener identischen Formen ver-
standen ; ihre Verschiedenheit ist dann eben durch die Position gegeben (S. 58).
Für die Geometrie ist nun das Grundelement der „Punkt". Der Begriff
des Punktes wird uns durch in Wirklichkeit ausser uns in der äusseren

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Rezensionen. 65

Umgebung existierende Gegenstände geliefert, z. B. durch das Ende eines
Fadens. Abstrahiert man von seinen physischen Eigenschaften, so erweckt
das Ende des Fadens in uns die Vorstellung von demjenigen, was wir als
Gnmdelement ansehen, oder von dem Punkt. Alle Punkte sind identisch.

Aus den Grundelementen werden nun „Systeme einer Dimension" auf-
gebaut^ denen man noch die Beschrankung auferlegen kann, „homogen"
zu sein, das ist im wesentlichen, sich in gleichartige Teile („Segmente")
zerlegen zu lassen (S. 71, 72).

Hierbei ist unter System einer Dimension die durch eine beliebige
Reihe von Elementen und die umgekehrte Reihe gegebene Form, deren
Ordnung von einem beliebigen ihrer Elemente an gegebenes Merkmal der
Form ist; jeder Teil des Systemes, der wenigstens zwei verschiedene Ele-
mente enthält, heisst Segment des Systemes.

Ist überdies ein solches homogenes System einer Dimension, von einem
gegebenen Element desselben aus, nach beiderlei Richtung identisch, so
wird es ein „in der Lage seiner Teile identisches System" genannt. Für
ein derartiges System wird schliesslich auch der Stetigkeitsbegriff eingeführt,
der ziemlich verwickelter Natur ist. Es genüge die Andeutung, dass sich
der Verfasser hierin gedanklich der bekannten Dedekindschen Schnitt-
definition anschliesst, nur dass ihm eben nicht die Gesamtheit der rationalen
Punkte zu Gebote steht und er genötigt ist, durch abstrakte Umschmelzung
von Anschauungsmomenten dafür logische Merkmale allgemeiner Art zu
substituieren.

Nach diesen Erklärungen sind wir zur Not im stände, das zu erklären,
was der Verfasser unter „Gerade" versteht: „Es giebt ein in der Position
seiner Teile identisches Punktesystem einer Dimension, welches durch zwei
seiner Punkte, die verschieden sind, bestimmt ist und stetig ist." „Dieses
System heisst gerade Linie."

Nunmehr wir bis zu diesem Fundament der Theorie vorgedrungen
sind, sei es gestattet, über die bisher aufgeführten Festsetzungen einiges
zu bemerken.

Man erkennt bald, dass der wichtigste der angeführten Begriffe der
der Position ist. Gehören Ganzes und Teile der reinen Logik an, ist die
„Ordnung" die Grundlage der Arithmetik, so soll die „Position" das
spezifisch -geometrische Element abgeben, ja man könnte geradezu im Sinne
des Verfassers die Geometrie (im unendlichen Gebiete) als Lehre von der
Position auffassen. Da sollte man erwarten, dass ein so bedeutungsvoller
Begriff scharf festgelegt wird, dass sein umfang genau abgegrenzt wird,
dass gezeigt wird, wie die Geometrie je nach der stufen weisen Ent-
wickelung dieses Begriffes verschiedene Stadien durchläuft u. s. f. Der Ver-
fasser begnügt sich aber mit einer rein negativen Definition, wonach die
Position als ein gemischtes Etwas erscheint, das bei einem geometrischen
Gebilde ausser „Ganzes, Teile und Ordnung" noch existiert, führt zur
Erläuterung nur einige wenige Beispiele an, und gebraucht je nach seinen
Zwecken den Begriff in grösserer oder geringerer Ausdehnung. Hätte der Ver-

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66 Historisch -litterarische Abteilung.

fasser ausser der Geraden (und dem Kreise) noch andere Kurven betrachtet,
so wäre er genötigt gewesen, positive Lagerungsgesetze für die Punkte be-
stimmter Kurven anzugeben; für die Gerade reicht sein Positionsbegriff
eben hin, da auch diese in negativer Weise festgelegt wird, als ein Gebilde,
dem der grösste Teil der Eigenschaften irgend einer krummen Linie nicht
zukommt.

So hat denn freilich der Verfasser den bekannten Standpunkt Euklids
überwunden (wonach die Gerade durch die überhaupt nicht definierte Gleich-
förmigkeit beziehentlich ihrer Punkte erklärt wird), aber der Leser erhält
nicht die Überzeugung der Existenz seiner „Geraden." Hier fjreift auch
ein Einwand ein, den W. Killing in einer (unten zitierten) Arbeit macht:
der Verfasser betrachte immer nur die Gerade (und entsprechend weiterhin die
Ebene u. s. f.) als solche, unabhängig von ihrer Lage im Räume; Beispiele,
die V. Helmholt z und er (Killing) gefunden hätten, zeigten aber, wie eine
Gerade oder eine Ebene für sich definierbar sei, die doch niemals Grenz-
gebilde einer nächst höheren Mannigfaltigkeit sein könne.

Da im Unendlichen der Positionsbegriff überhaupt versagt, so setzt
der Verfasser hier mit arithmetischen Hilfsmitteln ein. Diese Hilfsmittel
sind sozusagen zweischneidiger Natur; neben dem Unbegrenzten , das im
wesentlichen von denselben Gesetzen beherrscht wird, wie das Endliche
selbst, führt er als toto genere aliud das absolut oder aktual Unendliche
ein: umgekehrt, indem er von einer unbegrenzten respektive absolut -unend-
lichen Einheit ausgeht, gelangt er entsprechend zu zwei Arten von Stetigkeit,
der relativen und der absoluten.

Der Erfolg ist freilich zunächst ein weittragender: indem die gemeinten
Begriffe dem Parallelismus zu Grunde gelegt werden, wird nicht nur der
Inhalt der Geometrie ein reicherer, sondern der Verfasser ist unter anderem
nicht genötigt, mit Euklid die Lehre von den parallelen Geraden in der
(vorher festgelegten) Ebene zu studieren, vielmehr kann er den umgekehrten
Weg einschlagen und so Sätze logisch beweisen, die sonst auf die An-
schauung zurückgeführt werden. Noch mehr, der Verfasser ist z. B. im
stände, zwei Gebiete verschiedener Dimension punktweise eindeutig und
stetig aufeinander zu beziehen, während bisher die Stetigkeit hierbei preis-
gegeben werden musste.

Es wird aber wohl nur wenige Leser geben, die davon tiberzeugt,
wären, warum die C an torschen transfiniten Zahlen — die doch gerade auf
seinem Wege lagen — für den Verfasser unannehmbar gewesen seien, und
dass seine aktual unendlichen Zahlen Existenzberechtigung haben. Herr
Cantor hat sich denn auch neuerdings (Math. Ann. 46) scharf gegen den
Verfasser gewandt und ihm vorgeworfen, dass seine grundlegende Definition
der Gleichheit zweier Zahlen (S. 31) einen Zirkel enthalte, insofern sie
eben diesen Begriff bereits involviere.

Der Referent begnügt sich, da er sonst Gefahr laufen würde, selbst
ein Buch zu schreiben, mit diesen wenigen Hindeutungen, und verweist
den Leser auf das Werk selbst, auf die erwähnten Arbeiten von Killing,

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Rezensionen. 67

Cantor, sowie auf eine vortreflfliche Besprechung von Schön flies (Göttinger
Anzeiger 1895).

Trotz der Einwände, die schon gemacht sind und noch in Aussicht
stehen — die der Verfasser sicher nicht unbeantwortet lassen wird* — sei
aber doch betont, dass das vorliegende Werk, ganz abgesehen von der be-
wunderungswürdigen Systematik des Ganzen, im einzelnen soviel des Eigen-
artigen und Neuen aufweist, dass die Geometer nicht umhin können werden,
sich ernstlich damit abzufinden. Sollte es sich auch als notwendig erweisen,
einzelne Teile des kühnen Bauwerks von Herrn Yeronese umzugestalten
oder auch ganz herauszunehmen, so ist die Möglichkeit nicht ausgeschlossen,
dass trotzdem der Charakter des Ganzen, die möglichste Auflösung der
Anschauungsmomente in ihre logischen ürelemente erhalten bleibt.

Besondere Anerkennung verdient es noch, dass der Verfasser wohl
kaum eine Arbeit eines anderen Forschers, die in seine Materie irgendwie
eingreift, unbeachtet gelassen hat, und dass er dieser erdrückenden Mannig-
faltigkeit von Richtungen gegenüber stets seine Selbständigkeit wahrt.

Die Übersetzung ist eine treue, vielfach zu treue. ^, Yt. Meyer.

Bemerkungen über Veponeses transflnite Zahlen. Von W. Killing. Pro-
gramm der Akademie. Münster 1895. Bredt. 11 S.
Siehe das voraufgehende Referat. W, Fr. Meyer.

Geometricals Conics by F. S. Macaulay, M. A. Assistant Master at St. PauFs
School. At the University Press. Cambridge 1896.
Der Inhalt dieses Buches bildet eine Ableitung der Eigenschaften der
Kegelschnitte auf elementar -geometrischem Wege. Als Definition derselben
dient das konstante Verhältnis des Abstandes eines Punktes von Brenn-
punkt und Leitlinie. Der Verfasser meint, dass über die beste Anordnung
dieses Gebietes die Ansichten verschieden sind. Das ist wohl richtig, aber
gegen die hier befolgte Anordnung Hesse sich doch sehr viel einwenden.
Nachdem er zunächst eine Darstellung der Grundeigenschaften der Kegel-
schnitte gegeben hat, unterbricht er dieselbe, um eine Zusammenstellung von
Definitionen zu geben, die für den Leser zunächst unverständlich sind.
Dass sie dort unpassend sind, sieht er selbst ein, da er dem Studierenden
empfiehlt, dieselben zunächst auszulassen. Wäre es daher nicht praktischer,
diese Zusammenstellung an den Schluss des Buches zu setzen? Hierauf folgt
eine Erörterung über Maßeinheiten und über die unendlich ferne Gerade,
welche besser der Betrachtung über die Kegelschnitte hätte vorausgeschickt
werden können. Ein sich besonders häufig bemerkbar machender Fehler ist
es, dass der Verfasser zu wiederholten Malen auf Sätze Bezug nimmt, die erst
später bewiesen werden. So benutzt er z. B. Kapitel 1 den erst in Kapitel 9
bewiesenen Satz, dass der Schnitt eines geraden Kreiskegels mit einer Ebene
mit dexa auf oben angegebene Weise definierten Kegelschnitt übereinstimmt.

* Eine solche Antwort ist inzwischen in den Mathem. Annalen Bd. 47 er-
schienen, worauf alsbald eine Gegenantwort von Killing (ebenda Bd. 48) erfolgt ist.

.,„__, Google

68 Historisch -litterarißche Abteilung.

Wenig gründlich sind auch die Erörtemngen Über Stetigkeit in
Kapitel 10, in dem sich der Verfasser mit Allgemeinheiten behilft, die bei
einer strengen Beweisführung nicht verwendbar sind. So sagt er: „A Tarying
magnitude generally, but not invariably, changes sign from positive to
negative^ or negative to positive, when it passes through a zero value;
and the same happens when it passes through an infinite value '^ und be-
merkt hierzu: „It is in fact evident, indepedently of any illustration of tbe
law, that a varying magnitude must in general change sign, when it
passes through a zero value, viz. from positive to negative if decreasing,
and from negative to positive if increasing/^ Der Inhalt des Buches ist
sehr reichhaltig; um nicht zu weitläufig zu werden, so sei nur die ziem-
lich ausführliche Behandlung konfokaler Kegelschnitte erwähnt. Das letzte
Kapitel enthält die projektivischen Punktreihen und Strahlenbüschel, sovrie
die Darstellung der Kegelschnitte mit Hilfe derselben. Eine grosse Anzahl
von Aufgaben bietet reichen Stoff zu Übungen dar. f^^x Meyer.

Ebene Geometrie von 6. Mahler, Professor der Mathematik am Gym-
nasium in Ulm. Mit 115 zweifarbigen Figuren. Stuttgart 1895.
G. J. Göschensche Verlagshandlung.

Das vorliegende Werk enthält die wichtigsten Sätze des behandelten
Gebietes. Von den meisten anderen Lehrbüchern unterscheidet es sich
durch die zum Beweise verwandten Hilfsmittel, Drehung eines Teiles der
Figur um eine Axe oder einen Punkt und die damit zusanunenhängenden
Begriffe der axialen und zentralen Symmetrie. Ob der Schüler sich leicht
mit diesen vertraut machen wird, lässt sich nur durch längere Versuche
entscheiden. Schon ein Blick auf die Figuren bei den Kongruenzsatzen
zeigt, dass hier Schwierigkeiten zu überwinden sind. Allerdings werden
dieselben durch die praktische Ausführung der Figuren verringert, da die
Hilfslinien rot eingezeichnet sind und sich hierdurch deutlich von den an-
deren abheben. Auch eine hinreichende Anzahl von Übungsbeispielen ist
vorhanden; vielleicht wäre es wünschenswerter, dass manches aus dem
Übungsstoff in den eigentlichen Lehrteil herübergenomraen wird, wo man
es bei den meisten anderen Lehrbüchern zu finden gewohnt ist.

Max Meyer.

Der logische Algorithmus in seinem Wesen, in seiner Anwendung nnd
in seiner philosophischen Bedeutung. Von Joseph Hontheim, S. J.
Berlin 1895. Verlag von Felix L. Dames.

Der Zweck dieser kleinen Schrift ist, die Grundzüge desjenigen Ge-
bietes auseinander zu setzen, welches sonst unter dem Namen „Algebra
der Logik" oder „Logischer Kalkül" bekannt ist. Dieser Zweig der Wissen-
schaft macht es sich zur Aufgabe, die logischen Operationen auf ein rech-
nerisches Schema zurückzuführen. Der Verfasser giebt nun keine erschöpfende

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Rezensionen. g9

Darstellung des ganzen Gebietes, bereichert dasselbe aber durch mancherlei
beachtenswerte Vereinfachungen. Die Darstellung ist im allgemeinen über-
sichtlich, wenn auch manche Beweise etwas kurz ausgefallen sind. Wohl-
thuend wirkt besonders die Mässigung, mit welcher der Verfasser die Be-
deutung des Gegenstandes beurteilt. Mit Recht hebt er hervor, dass der
„Logische Algorithmus^' nicht die gewöhnliche Logik verdrängen, sondern
sich derselben Dur als Hilfsmittel nutzbar machen soll. Da die deutsche
Litteratur über dieses Gebiet nicht allzu reichlich und es nicht jedermanns
Sache ist, ein so umfangreiches Werk wie das von Schröder durchzuarbeiten,
so kann man das Erscheinen dieser Abhandlung nur willkommen heissen.

Max Meyer.

Die Orundlehren der ebenen [Trigonometrie. Ein Leitfaden för den
Unterricht mit Übungsaufgaben von Jos. Lengaubr, Professor am
königl. alten Gymnasium zu Würzburg. Kempten 1895. Verlag der
Jos. Köselschen Buchhandlung.

Dieses Lehrbuch der Trigonometrie ist mit Rücksicht auf die Lehr-
pläne der bayerischen Gymnasien entstanden. Infolgedessen hat sich der
Verfasser nur auf das für diesen Zweck Notwendige beschränkt; wohin-
gegen die Übungsaufgaben eine reichliche Auswahl darbieten. Die Dar-
stellung ist klar und dem Verständnis des Schülers aogemessen. Was die
Anordnung des Lehrstoffes betrifft, so werden im ersten Abschnitt die
trigonometrischen Funktionen spitzer Winkel erläutert, dem sich im
zweiten die Trigonometrie des rechtwinkligen Dreiecks anschliesst. Der
dritte Abschnitt behandelt die Goniometrie, der vierte die Trigonometrie des
schiefwinkligen Dreiecks. Max Meyer.

Znr Konstruktion des Schwerpunktes einer ebenen Vielecksfläche.

Beilage zum Jahresberichte des Gymnasiums Schaffhausen für 1894/95.
Von Dr. Julius Gysel, Direktor des Gymnasiums. Schaffhausen,
Buchdruckerei von BoUi & Böcherer.

Zieht man in einem Dreieck durch die Ecken Parallele zu den gegen-
überliegenden Seiten, so entsteht ein dem ursprünglichen ähnliches Dreieck,
und die Verbindungslinien der Ecken desselben mit entsprechenden Dreiecks-
ecken schneiden sich im Schwerpunkt. Diese Konstruktion lässt sich ohne
Anwendung des Zirkels mit Hilfe des Lineals und Winkeldreieckes aus-
fahren. Herr Edmond Henry hat eine mit denselben Hilfsmitteln aus-
fahrbare Konstruktion far das Viereck geliefert, und Verfasser vorliegender
Abhandlung steUt sich die Aufgabe, eine derartige Konstruktion för ein
beliebiges Vieleck zu finden. Er giebt für dieselbe drei Lösungen, von
denen die dritte ®^® Kombination der ersten und zweiten ist.

Max Meyer.

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70 Historisch -litterarische Abteilung. Bibliographie.

Le^ons snr rint^gration des ^qnations difKrentielles de la Micaniqne

et applications par P. Painlev^, Maitre de Conferences a la faculte

des Sciences de Paris. Paris 1895. Librairie scientifiqne A. Hermann.

Der Verfasser hat sich zur Aufgabe gemacht, die Integrationsmeihoden

von Lagrange, Poisson, Hamilton, Jacobi etc. in Bezug auf die in

der Mechanik gebräuchlichen Gleichungen auseinander zu setzen. Den

Mittelpunkt der Entwickelungen bilden die Gleichungen von Lagrange in

der Form: d ( d_T_\ __^T ^^

und besonders werden die Integrationsmethoden von Jacobi behandelt.
Gelegentlich werden auch die Untersuchungen neuerer Forscher, wie z. B.
eine Arbeit des Herrn Staeckel berücksichtigt und auch auf die Unter-
suchungen des Herrn Lie wird die Aufinerksamkeit gelenkt. Wie schon
aus dieser Inhaltsangabe hervorgeht, ist das Werk kein eigentliches Lehr-
buch der Mechanik, sondern es setzt im Gegenteil bei dem Leser eine
sichere Kenntnis der mechanischen Grundlagen voraus, denn die kurze
Behandlung einiger Sätze der Mechanik in den ersten Lektionen kann nur
als Repetition dienen. Wenn der Studierende über die notwendigen Vor-
kenntnisse verfügt, so wird ihm die Durcharbeitung dieses Werkes gewiss
von grossem Nutzen sein, besonders da zu den einzelnen Sätzen zahlreiche
und interessante Beispiele gegeben werden. Störend machen sich nur die vielen
Druckfehler bemerkbar. Max Meyer.

Bibliographie

vom 26. November 1896 bis 28. Januar 1897.

FeriodiBChe Sohriften.

Denkschriften der kaiserl. Akademie der Wissenschaften. Mathem.-natarw.
Klasse. 63. Band. Wien, Gerolds Sohn. geb. M. 78.

Mitteilungen aus d. mech. - tech. Laborator. d. kgl. techn. Hochsch. München. Gegr. v.
J.Bauschinger. N.F.Hsg.v.AuG.FöppL. 24.H. Münch., Ackermann. M. 12.

Arbeiten, astronom.- geodätische. Veröffentlichung der königl. bayer. Kommission
für die internationale Erdmessung. 1. Heft. München, Franz. M. 7.

Beobachtungen, deutsche überseeische meteorologische. Gesammelt u. herausgeg.
von d. deutschen Seewarte. VII. Heft. Hamburg, Friederichsen & Co. M. 7.

Fortschritte, die, der Physik im Jahre 1895. Dargestellt von der physikal.
Gesellsch. zu Berlin, öl. Jahrg., S.Abt. Braunschw.,Vieweg&Sohn. M. 25.

Sitzungsberichte, Münch. Mathem. Klasse. 1896. 2.Hft. München, Franz. M. 1. 20.

Sitzungsberichte, Wiener. Mathem. -naturw. Klasse 1. Abteil. 105. Band.
5. — 7. Heft. Wien, Gerolds Sohn. ' M. 5. 50.

Bulletin de l'academie imperiale des sciences de St. Petersbourg. 5. serie,
t. V, Nr. 1 — 3. Leipzig, Voss' Sort. in Kommission. a M. 2. 50.

Fortschritte der Physik im Jahre 1895. Dargestellt von der physikal. Ge-
sellschaft zu Berlin. 51. Jahrg., 2. Abt. Braunschweig, Vieweg & Sohn,
2. Physik des Äthers. Redigiert von Bich. Börnstein. M. 30.

Jäger, G., Wetter- u.Mondkalender für 1897. 3. Jahrg. Stuttgart, Kohlhammer.

Cc^i M.— .30.

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Bibliographie . 7 1

Geschichte der Mathematik und Physik.
PoGGENDORFp's Handwörterbuch zur Geschichte der exakten Wissenschaften.
3. Band, 2.-6. Lieferung. Leipzig, Barth. a M. 3.

Beine Mathematik.

Zimmermann, Lud w., Rechentafeln. Gr. Ausgabe. Lieben werda, Reiss. geb.M. 6.

, Tafeln für die Teilung der Dreiecke, Vierecke und Polygone. 2. Aufl.

Lieben werda, Reiss. geb. M. 4.

, Die gemeinen oder Briggischen Logarithmen der natürlichen Zahlen

1 — 10009 auf vier Dezimalstellen, nebst einer Produktentafel, einer
Quadrattafel, einer Tafel z. Berechnung d. B[athete u. Hypotenuse u. z. Be-
stimmung d. Wurzeln aus quadr. Gleichungen. Liebenwerda^ Reiss. M. — . 50.

Carda, Karl, Elementare Bestimmung d. Punkttransformationen d. Raumes,
welche alle Flächeninhalte invariant lassen. Wien, Gerolds Sohn. M.— . 10.

Kroger, M., Die Planimetrie in ausführlicher Darstellung und mit besond.
Berücksichtigung neuerer Theorien. Nebst einem Anhang über Kegel-
schnitte. Hamburg, Meissner. M. 8.

LöwENBERG, Geg., Lehrbuch d. Mathematik. Zum Selbststudium und für den
Unterricht in Prima der höheren Lehranstalten, vermittelnd den Über-
gang vom Schulpensum z. Universitätsstudium. Leipzig, Amd. M.4. 50.

Muller 'Bertgssa, J. Aug., Anleitung zum Rechnen mit dem logarithm.
Rechenschieber. 2. Aufl. Zürich, Raustein. M. 1.80.

Traub, K., Berechnung der Radien der acht Berührungskreise beim Apollo-
nischen Problem. Lahr, Schauenburg. M.— . 50.

Steiner, Jac., Systematische Entwickelung der Abhängigkeit geometrischer
Gestalten von einander. Herausgeg. von A. J. vonOettingen. Zwei Teile
(Ostw. Klass. Nr. 82 u. 83). Leipzig, Engelmann. 1. Teil : M. 2 , 2. Teil : 2. 40.

Lieber, H., und v. Lühmann, F., Leitfaden d. Elementar -Mathematik. 1. u 3.T.
1 . Planimetrie. Einführ, in d. Trigonometr., Körperberechn. 1 2. Aufi M. 1 . 50.
S.Erweiterung d.Planimetr., eb. Trigonometr., Stereometr., sphär. Trigono-
metrie, Grundl.v.d. Koordin. u. Kegelschn. 8. Aufl. Berlin, Simion. M. 1. 80.

Daublebsky v. Stbrneck, R., Zur additiven Erzeugung der ganzen Zahlen.
Wien, Gerolds Sohn. M. — . 50.

Fricke, Rob., Hauptsätze d. Differential- u. Integralrechn. , als Leitf. z. Gebrauch
b. Vorlesungen zusammengestellt. I.Teil. Braun8chw.,Vieweg&Sohn. M. 2.

Gundelfinger, S., Taf z. Berechn. d. reellen Wurzeln sämtl. trinom. Gleichungen.
Hinzugef. sind 4 stell. Additions-, Subtrakt.- u. Briggische Logarithm., sowie
eine Literpolationstaf . f . a. Diff. unt. Hundert. Leipzig, B. G.Teubner. M. 1. 40.

Mertens, f., Üb. die Transcendenz d. Zahlen e u. n. Wien, Gerolds Sohn. M.— . 40.

Schlesinger, Ludw., Handbuch der Theorie d. linearen Differentialgleichungen.
2. Band, I.Teil. Leipzig, B. G. Teubner. M. 18.

Serret , J. - A. , Lehrbuch d. Different . - u. Integralrechn. Deutsch bearb. von Axel
HARNACK.2.Aufl v.G.BoHLMANN. 1. Bd. Different. Leipz,B.G.Teubner M.IO.

GiRNDT, Mart., Raumlehre für Baugewerkschulen und verwandte gewerbliche
LehranstaltcD. 2. Teil: Körperlehre. Leipzig, B. G. Teubner. Kart. M.l.

Angewandte Mathematik.
Hesky, Carl, Einf. Objekte des Bau- u. Maschinenfaches, Vorlagen für das angew.
geometr. Zeichnen. 3. Aufl. 'in 4 Lfg.) 1. Lfg. Wien, Gräser. M. 6. 26.

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72 Historisch -litterarische Abteilung. Bibliographie.

HiLLEBRAKD, Carl, Über den EinfluBs der Elastizität auf die Schwankungen

der Polhöhe. Wien, Gerolds Sohn. M.1.60.

Makdl, Jul., Darstellung d. scheinbaren Beleuchtung krummer Flächen (direkte

Konstruktion der Isophengen). Wien, Gerolds Sohn. M. 1.

Gauss, F. G., Die Teilung d. Grundstücke insb. unt. Zugrlg. rechtw.Koord. Nebst

4 stell, logar. u. trigon . Taf . u. e. Quadratt. 3 . Aufl. Berlin , v. Decker, geb. M. 6 .
Gysin, J , Peripheriew.-Taf. in a. Teilung (Sexagesimal-Teilg.) z. Absl v. Eisenb.-

u. Strassenkurven f. Bogenlängen von 1—900 m und 1 — 100 cm von Radius

50bis Rad. 10,000. 2.(Tit.-)Aufl. Liestal (1886), Gebr. Lüdin. gebM.2.30.
, Tafeln z. Abstecken von Eisenb.- u. Strassenk. in neuer Teilg. (Zentesimal-

Teilung). 2. (Tit. -) Aufl. Liestal (1885), Gebr. Lüdin. geb. M. 4. 60.
Jbntzen, Ed., Flächen- u. Körperberechn. nebst vielen Beisp. z.prakt. Gebranch

für Bau- und Maschinentechniker 2. Aufl. Weimar, Vogt. M. 2. 25.
Hasenoehrl, Fritz, Ein mechanisch. Poljcjkel als Analogen der Indnktions-

wirkungen beliebig vieler Kreisströme. Wien, Gerolds Sohn. M.— . 40.
Resultats, les, de la triangul. de la Suisse. Publication du bureau topogr. fi^d^ral.

l.livr. Canton de Geneve 1896. Beni, Schmid & Francke. M. 2.

Rosenmund, M. , Unters, üb. d. Anwend. des photogrammetr. Verfahrens f. topogr.

Aufiiahm. Ber. a. d. eidg. topogr. Bureau. Bern, Schmid & Francke. M. 1. 60.
Oehler, E., Graphische Tafeln zur Querschnittbestimmung von Holz- und

Eisenkonstruktionen. Strassburg, Heinrich. geb. M. 3

Physik und Meteorologie.

LoDGE, Oliver J., Neueste Ansch. üb. Elektrizität. Übers, v. Anna v. Helhholtz

u. Estelle du Bois-Reymond. Hrsg.d.R.WACHSMUTH. Leipzig, Barth. M. 10.
Kerntler, Frz., Die elektrodynamischen Grundgesetze und das eigentliche

Elementargesetz. Budapest 11, Selbstverlag. M. 2.

Ziegler, Jul., u. König, Walt., Das Klima von Frankf. a.M. Das.Könitzer. M.6.
Polis, P., Über wissensch. Ballonfahrten u. deren Bedeut. f. d. Phys d. Atmosph.

Vortr. Hrsg. V d.naturw. Ges. Aachen. Aachen, Meteor. Stat. I. Ord. M. 1. 40.
Jäger, Gust., Zur Theorie d. Zustandsgi. d. Gase. Wien, Gerolds Sohn. M. — . 50.
Heluholtz, H., Theorie d. Luftschwingungen i. Rohren m. offenen Enden (1859).

Hrsg. V. A. Wangerin (Ostwalds Klassik. Nr. 80). Leipzig, Engelmann. M. 2.
Faraday, Mich., Experim.- Unters, üb. Elektr. (Aus den Philos.Transact. f. 1832.)

Hrsg. v.A.J.OBTTiNGEN.(Ostw.Klass. Nr. 81.) Leipzig, Engelmann. M 1.60.
Falb, Rud., Neue Wetterprognosen und Kalender der kritischen Tage für 1897.

Januar bis Juni. Berlin, Steinitz. M. 1.

FÖPPL, A., Die Geom. d. Wirbelf eider. In Anlehn, an d. Buch d.Verf. über d. Maxw.

Theorie der Elektr. u zu dessen Ergänzung. Leipzig, B. G.Teubner. M. 3. 60.
Indra, Alois, Über d. Bestimmung d. Temperatur einer veränderl. Wärmequelle

in einer bestimmt gegebenen Zeit. Wien, Gerolds Sohn. M.— . 40.

Keller, H., Üb d Urstoff u. seine Energie. 1. Teil. Leipzig, B. G .Teubner. M. 2
Korn, Arth., Theorie d. Gravit. u d. elektr. Ersch, auf Grundl. d Hydrod. 2 Aufl.

2.Tl.Theor.d.elektr.Ersch. l.Abschn.Ponder.Wirk. Berl.,Düinmler.M.2. 50.
Müller, P. A., Über die Temperatur und Verdunstung der Schneeoberfläche und

die Feuchtigkeit in ihrer Nahe. Leipzig, Voss. M. 2.

Neudrucke von Schriften und Karten über Meteorol. u. Erdmagnetismus. Hrsg.

von G. Hellmann. Kr. 7—9. Berlin, Asher & Co. a M. 8.

Wild , H. , Verbess. Konstrukt. magn. Unifilar - Theodolithe Leipzig , Voss. M. 1 1 .

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Historisch-litterarische Abteilung.

Internationaler Mathematiker-Eongress
in Zürich 1897.

Wie bekannt sein wird, ist die Frage eines internationalen Mathe-
matiker-Kongresses seit längerer Zeit Gegenstand lebhafter Verhand-
lungen seitens der Fachgenossen. Im Hinblick auf die Erfolge, welche
durch internationale Verständigung auf andern Wissensgebieten erzielt
worden sind, wurde die Wünschbarkeit einer internationalen Vereinigung
auch der Mathematiker von allen, die sich mit der Frage beschäftigen,
einmütig betont. Nachdem auf Grund mannigfacher mündlicher und
schriftlicher Korrespondenzen das Projekt eine festere Gestalt an-
zunehmen begonnen hatte und auch die Ortsfrage wiederholt in Er-
wägung gezogen worden war, wurde es allgemein als zweckmässig
bezeichnet, dass der erste Versuch von einem Lande ausgehen möchte,
das durch seine Lage, seine Verhältnisse und durch seine Tradition
zur Anbahnung internationaler Beziehungen besonders geeignet sei.
So richteten sich denn bald die Blicke nach der Schweiz und ins-
besondere nach Zürich.

Obwohl sich die Züricher Mathematiker keineswegs die Schwierig-
keit des Unternehmens verhehlten, glaubten sie doch, im Interesse der
Sache die Anregungen, die ihnen von den verschiedensten Seiten her
zugegangen waren, nicht von der Hand weisen zu dürfen. Sie erklärten
sich daher gerne bereit, die erforderlichen Vorbereitungen zur Ein-
berufung eines internationalen Mathematiker -Kongresses zu übernehmen
und, soweit es an ihnen liege, das Unternehmen nach Kräften zu
fordern. Mathematiker anderer Nationen schlössen sich ihnen an, und
so trat das unterzeichnete internationale Komitee zusammen, mit der
Aufgabe, für das Jahr 1897 in Zürich eine Zusammenkunft
der Mathematiker aller Länder der Erde zu veranstalten.

Der Kongress, an welchem teilzunehmen alle Mathematiker von
dem Komitee ergebenst eingeladen werden, soU in Zürich am 9., 10.
und 11. August 1897 in den Räumen des eidgenössischen Polytechnikums

Hist.-Utt. Abt. d. Zeitschr. f. Math. u. Phys. 42. Jahrg. 1897. 8. Heft. Q

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74 Historisch -litterarische Abteilung.

stattfinden. Das Komitee wird nicht verfehlen, rechtzeitig das genauere
Arbeitsprogramm vorzulegen und sich alsdann die Zusage zur Beteilig-
ung an dem Kongresse zu erbitten. Immerhin darf schon jetzt darauf
hingewiesen werden, dass naturgemäss die wissenschaftlichen und die
geschäftlichen Verhandlungen sich vorzugsweise um solche Fragen
gruppieren werden, die ein allgemeineres Interesse besitzen und denen
eine prinzipielle Bedeutung innewohnt.

Die Bedeutung wissenschaftlicher Kongresse beruht aber nicht
minder auch auf der Pflege persönlicher Beziehungen. Das Lokal-
komitee wird es sich angelegen sein lassen, auch dieser Seite des zu
veranstaltenden Kongresses seine Aufmerksamkeit zuzuwenden und
durch Entwerfung eines bescheidenen Festprogrammes Rechnung zu
tragen.

Mögen die Erwartungen, welche sich an diese erste internationale
Mathematikervereinigung knüpfen, in Erfüllung gehen! Möge eine
zahlreiche Beteiligung die wissenschaftlichen und persönlichen Bezieh-
ungen der Fachgenossen fordern im Interesse gemeinsamer Arbeit und
des Fortschrittes der mathematischen Wissenschaft!

H. Bleuler, Präsident des Schweiz. Schulrates, Zürich.
H. Burkhardt, Prof. an der Universität Zürich. L. Gremona, Prof. in
Rom. G. Dumas, Assistent am eidg.Polytechnikom Zürich. J.Franel,
Prof. am eidg. Polytechnikum Zürich. C. F. Geiser, Prof. am eidg. Poly-
technikum Zürich. A. Co. Greenhill, Prof. in Woolwich A. Hersog,
Direktor des eidg. Polytechnikums Zürich. G.W. Hül, Prof. in West-
Nyack (U.S.A.). A.Hurwitz, Prof. am eidg. Polytechnikum Zürich.
P. mein, Prof. in Göttingen. A.Markoff, Prof. in Petersburg. F. Hertens,
Prof. in Wien. H. Minkowski, Prof. am eidg. Polytechnikum Zürich.
G.Mittag-Leffler, Prof. in Stockholm. G. Oltramare, Prof. in Gent
H. Foinoar^, Prof. in Paris. J. Bebstein, Assistent am eidg. Poly-
technikum Zürich. F. Bndio, Prof. am eidg. Polytechnikum Zürich.
E. Vondermühll, Prof. in Basel. F. H.Weber, Prof. am eidg. Poly-
technikum Zürich.

(Korrespondenzen in Angelegenheiten des Kongresses sind an Prof. Geiser,
Küsnacht- Zürich zu richten.)

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Rezensionen.

Abriss des geometrischen Kalküls. Nach den Werken Grassmanns be-
arbeitet von Ferd. Kraft, Privatdozent an der Universität Zürich.
Leipzig 1893. B. G. Teubner. XII und 255 S.

Die Einleitung (16 S.) entwickelt im Anschluss an Grassmanns Ä^
hauptsächlich die wichtigsten Sätze aus der „allgemeinen Formenlehre '\
die sich damit befasst, die Gesetze aufzustellen, die allen mathematischen
Operationen oder gewissen Klassen derselben gemeinsam sind.

Das erste Kapitel (46 S.) behandelt die geometrische Addition der
Vektoren und die Summation der Punktgrössen. Die Auffassung der Zu-
sammensetzung von Vektoren als Addition derselben wird hierbei in bekannter
Weise motiviert; nicht so bei den Punktgrössen. Denn ein Satz wie „Weil
Gleiches zu Gleichem addiert Gleiches giebt, so wird die Summe der Punkt-
grössen eines Punktvereins eine gewisse Punktgrösse sein" (S. 36) kann
doch höchstens als argumentum ad hominem gelten, ist übrigens nicht
richtig, wenn die Summe der Gewichte der Punktgrössen Null ist (der Ver-
fasser unterscheidet sonst zwischen Punktgrössen und Strecken). Es hätte
sich auch hier bei dieser fundamentalen Angelegenheit des § 8 empfohlen,
auf die leitenden Gedanken Grassmanns (^i §94— 96) zurückzugehen, damit
dem Leser Einführungen wie Ä = Ä + B — B nicht bloss als formale Kunst-
griffe erscheinen. Es folgen einige einfache Anwendungen, z. B. die Be-
stimmung eines Polygons ungerader Seitenanzahl aus den Mittelpunkten der
Seiten, der Satz von Desargues über Perspektive Dreiecke, harmonische
Teilung der Diagonalen eines vollständigen Vierseits.

Das zweite Kapitel (7 S.) behandelt in engem Anschluss an die ein-
fachsten Teile des betreffenden Abschnitts in Schlegels „System der
ßaumlehre, I." die Anwendung der imaginären Einheit als Drehungsfaktor
in der Ebene.

Das dritte Kapitel (30 S.) entwickelt die Theorie der äusseren Pro-
dukte, sowohl von Strecken als von Punkten nebst einigen Anwendungen
(z. B. Gleichungen der Geraden und der Ebene in der einfachsten Form,
Beweis des Satzes, dass die Mittelpunkte der drei Diagonalen eines voll-
standigen Vierseits in einer Geraden liegen).

Im vierten Kapitel (129 S.) wird der Begriff der Ergänzung eingeführt
und der des inneren Produktes als des (äusseren) Produktes eines Faktors

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76 Historisch -litterarische Abteilung.

in die Ergänzung des zweiten. Alle damit zusammenhängenden Rechnungen
werden gesondert für Strecken und Punktgrössen und für die Systeme der
verschiedenen Stufen durchgeführt und Anwendungen eingeflochten (Kreis-
gleichung, Beweis des Satzes von Euler über drei merkwürdige Punkte
des Dreiecks in gerader Linie, die Grundformeln der sphärischen Trigono-
metrie). Die Theorie der gemischten Produkte wird soweit entwickelt, um
damit die projektive Erzeugung der Kurven zweiter Ordnung und zweiter
Klasse, der Regelflächen zweiter Ordnung und den Satz von Pascal be-
handeln zu können. Die Reduktion von Linienteilen (Kräften) auf ver-
schiedene einfachste Formen wird durchgeführt. Schliesslich werden die
einfachsten Determinantensätze aus der Theorie der Multiplikation der aus
n Einheiten gebildeten Zahlen abgeleitet.

Das letzte Kapitel (27 S.) behandelt anhangsweise die Elemente der
Quatemionenlehre, anfänglich den Ideen Grassmanns folgend („Der Ort
der Hamiltonschen Quatemionen in der Ausdehnungslehre", Math. Ann. Xu),
später auch mit Benützung der Werke Hamiltons.

Manche Stellen lassen auf flüchtige Stilisierung schliessen, so auf S. 74
der Satz: „Besteht zwischen ihnen (zwei Spatheckflächen) die Gleichung
ajS==wy^, dann fragt es sich, unter welchen Verhältnissen diese Gleich-
ung richtig ist"; femer der gesperrt gedruckte Satz auf S. 46. Ln § 7,
letzter Absatz, wird der Ausdruck „Abweichung eines Punktes B von einem
Punkte ui" gebraucht, ohne vorher definiert worden zu sein.

Es kommen aber auch mehrere wirkliche Fehler vor, von denen wir
einige Proben zur Charakterisierung des Buches mitteilen müssen: Auf 8. 42
oben wird irrtümlich behauptet, dass von drei Grössen ersten Grades, zwischen
denen eine Zahlbeziehung besteht, zwei Strecken sein können, die dritte
geltendes Gewicht haben kann. Ein ähnlicher Fehler findet sich am Schluss
des folgenden § 10. — Die Ableitung der Gleichung 3) auf S. 129 ist
^anz unbefriedigend; der Verfasser hätte nach seiner Methode ebensogut
die Gleichung 1) links mit e^ statt mit e^ multiplizieren können und dann
die Forderung b^b = 0 bekommen. Für die gemischten Produkte, die hier
auftreten, gilt eben nicht mehr das associative Gesetz. — Auf S. 140 wird
aus den Gleichungen:

(« - 18) i (y - i) = 0,
(|S'-«')l(y-«) = o

geschlossen, dass die Strecken a — ß und ß* — o! parallel sind, was auf die
Behauptung hinauskommt, dass zwei Strecken im Raum parallel sind, wenn
sie auf derselben dritten senkrecht stehn(!). In der That ist der folgende
Satz: „Die Kanten der Pyramide über den Fusspunkten der Höhenstrecken
sind parallel zu den gegenüberliegenden Kanten des Tetraeders" sogar für
die in Rede stehenden speziellen Tetraeder falsch, deren Höhen sich in
einem Punktö schneiden.

Der Verfasser hat also keinen Graud gehabt, durch den selbstgefälligen
Ton der Vorrede, in der manche benützten Quellen zwar nebenher genannt

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Rezensionen. 77

aber nicht als solche bezeichnet sind, die Erwartungen der Leser höher zu
spannen und ihre Kritik herauszufordern. Z. 6. sagt er: „An diesen Grund-
riss sollen sich in Bälde kleinere Lehrbücher für die höhere Geometrie und
die theoretische Mechanik fügen, . . . denn erst dann kann die Tragweite
der Schöpfung Grassmanns in weiteren Kreisen in richtiger Weise erfasst
werden." Auch wenn der Verfasser billigen Anforderungen an Korrektheit
genügt hätte (um von Forderungen positiver Vorzüge nicht zu reden), so
käme er doch als alleiniger Apostel Grassmanns zu spät Dies zeigt
nicht nur das lange Litteratur -Verzeichnis, das Schlegel vor kurzem in
dieser Zeitschrift veröffentlicht hat („Die Grassmannsche Ausdehnungs-
lehre"), sondern auch der umstand, dass die Ausdehnungslehre und ver-
wandte Gebiete nicht nur von den berufsmässigen Vertretern der Mathematik,
sondern auch von Physikern gekannt und gewürdigt werden (siehe Föppls
Einführung in die Maxwellsche Theorie der Elektrizität) und zwar in
weiterem Umfange, als sie durch Krafts Buch geboten werden, das ja die
Infinitesimalgeometrie der Ausdehnungslehre nicht mehr behandelt.

Konrad Zindler.

Didaktik und Methodik des Rechnen-, Mathematik- und Physik -Unter-
richts* von Dr. Max Simon, Professor am Lyceum in Strassburg und
Dr. J. KiESSLiNG, Professor an der Gelehrtenschule des Johanneums
in Hamburg. Sonderausgabe aus Dr. A. Baumeisters „Handbuch der
Erziehungs- und Unterrichtslehre für höhere Schulen." München 1896.
C. H. Becksche Verlagsbuchhandlung (Oskar Beck).

Das Werk besteht aus zwei voneinander völlig unabhängigen Teilen:
der erste umfangreichere Teil (128 S.), bearbeitet von dem zuerst genannten,
durch seine Elemente der Arithmetik und Geometrie wohlbekannten Ver-
fasser, handelt vom Unterricht in Rechnen und Mathematik, der zweite
Teil (7.3 S.) ist dem Unterricht in Physik gewidmet. Es liegt in der Natur
der behandelten Gegenstände, dass der Leser in manchen Punkten eine von
den entwickelten Ansichten bald mehr, bald weniger abweichende, in Einzel-
heiten auch wohl die gerade entgegengesetzte Ansicht hat, doch wird
man im allgemeinen den beiden Herren Verfassern beistimmen. „Die Dar-
stellung beansprucht keineswegs Vorschriften aufzustellen, wie es gemacht
werden soll, sondern sucht nur zu zeigen, wie es gemacht werden kann,
und in einzelnen Fällen, wie es trotz langjähriger Tradition nicht gemacht
werden darf" (H. Teil S. 3). Das ganze aus reicher Erfahrung und gründ-
lichem Studium hervorgegangene Werk bietet in didaktischer und methodi-
scher Hinsicht viele Anregung und Belehrung, dazu eine reiche Fülle von
Litteraturangaben, so dass jeder Anfänger in unserem Lehrfache das Buch
gründlich studieren sollte, vielleicht würde die Lektüre desselben auch

• So der Titel; die sprachlich richtige Form: „Didaktik und Methodik des
Unterrichts in Rechnen, Mathematik und Physik" findet sich auf der letzten
Seite des Buches.

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78 Historisch -litterarißche Abteilung.

manchem älteren Lehrer von Nutzen sein, und einige Kapitel mehr all-
gemeineren Inhaltes dürften auch für den Kichtmathematiker Interesse
haben. Als ich das Buch gelesen hatte, kam mir folgende Stelle aus
A. W. Hof mann s trefflicher „Einleitung in die moderne Chemie" in den
Sinn: „Es führen der Wege viele in ein unbekanntes Land, und die lang-
gestreckte Grenze kann an zahllosen Punkten überschritten werden. Allein
nicht alle Strassen sind gleichgebahnt, nicht alle Übergänge mit derselben
Leichtigkeit zu bewerkstelligen. Von dem Führer, der uns begleitet, er-
warten wir, dass er uns kurze und sichere Wege zeige, auf denen wir
nebenbei des Anziehenden sehen, des Nützlichen lernen." Ja, als ein solcher
weges- und landeskundiger Führer wird sich das vortreffliche, inhaltsreiche
Buch gewiss erweisen, das wohl verdiente, Kapitel für Kapitel besprochen
zu werden, wie es ursprünglich beabsichtigt war, doch dazu wäre ein Viel-
faches des hier zur Verfügung stehenden Eaumes nötig gewesen. Es muss
sich daher diese Besprechung darauf beschränken, nur ganz wenige Punkt«
herauszugreifen, um daran einige Bemerkungen anzuschliessen.

Im dritten Kapitel, „der Rechenunt^rricht", sagt der Verfasser (S.44),
dass die Bezeichnung entgegengesetzte Grössen richtiger ist als negative.
Die dafür gebrachte Begründung wird nicht jeder Leser anerkennen. Die
negativen Zahlen bilden den Gegensatz zu den positiven, aber auch um-
gekehrt; jede der beiden Klassen von Zahlen ist der andern entgegen-
gesetzt. Daher ist die bis jetzt gebräuchliche Bezeichnung mindestens so
zutreffend wie die vom Verfasser bevorzugte.

Im sechsten Kapitel heisst es (S. 72): ,, Übrigens ist die geometrische
Anschauung keineswegs rein räumliche, die Zeit spielt mit hinein, schon um
die Figur aufzufassen (zu durchlaufen) brauchen wir Zeit." Wenn wir auch
Zeit brauchen, um eine Figur aufzufassen, so hat doch die Zeit mit der
fertigen geometrischen Anschauung nichts zu thun. Hiermit sei verglichen,
was Herr Simon S. 39 sagt: „Was die Zeit betrifft, so brauchen wir zum
Zählen allerdings Zeit, aber sehr richtig sagt Michaelis: (über Kants
Zahlbegriff, Charlottenschule, Berlin 1884)" „„Sowenig die Nadel, die das
Kleid genäht hat, ein Teil des fertigen Gewandes ist, ebensowenig ist die
Zeit, die zum Zählen gehört, ein Element des fertigen Zahlbegriffes.'*"

So wichtig auch der Grenzbegriff ist, so wird derselbe doch an manchen
Stellen zu stark betont, z. B. im Abschnitt über den Winkel, dem wohl
nur wenige Leser zustimmen werden. Mag auch der Weg, auf welchem
Herr Simon die Schüler in den Winkel einführen will, an sich recht schön
erscheinen, so werden doch wohl nur wenige die angegebene Definition
aufnehmen: „Der Winkel wird demzufolge definiert als die Grenze des
Kreissektors bei fortwährend und über jedes Maß wachsendem Radius"
(S. 83). Der Verfasser schreibt selbst seiner Auffassung den Vorzug zu,
dass sie die beiden Hauptanschauungen: die Bertrand sehe (Flächengrösse)
und die Tribantsche (Drehungsgrösse) vereinige (— natürlich — , weil dies
schon vorher in den Kreis hineingelegt wurde). Der Kreissektor ist nun
aber eine ringsum geschlossene Figur; zu ihm gehört der Kreisbogen genaa

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Rezensionen. 79

so gut wie die beiden Radien, es mnss der Bogen ebenso scharf angeschaut
und klar anfgefasst werden wie die Radien. Daher lässt sich der Winkel
auch nicht durch den Kreissektor definieren.

Bezüglich der Differentialrechnung heisst es S. 108: „Will der Lehrer
Differentialrechnung treiben, so hindere man ihn nicht, vorausgesetzt, dass
er das Notwendige absolviert hat." Wenn mit „dem Notwendigen" alles
das bezeichnet wird, was der Verfasser angegeben hat, und wenn unter
„absolvieren" verstanden wird, dass das Angegebene gründlich durch-
gearbeitet, also nicht bloss einmal besprochen wird, so wird es wohl zur
Differentialrechnung wenig kommen, und das ist auch nicht zu bedauern.
Um von der Differentialrechnung ein Stück in solchem Umfang und solcher
Tiefe durchzunehmen, dass wirklich die Bezeichnung Differentialrechnung
berechtigt ist, bedarf es so vieler Stunden, als wohl nie dafür zur Ver-
fügung stehen. Schon an sich scheint mir das Pensum, wie es Herr Simon
skizziert, reichlich bemessen zu sein, und wohl nur bei einem sogenannten
guten Jahrgang wird man alles in gehöriger Tiefe verarbeiten können, vor-
ausgesetzt, dass sich der Lehrer mit der ganzen Klasse beschäftigt und nicht
bloss mit einigen wenigen, die sich besonders für mathematische Dinge
interessieren.

Von den trefflichen Ausführungen des zweiten der Physik gewidmeten
Teiles sei besonders hervorgehoben, was der Verfasser über Lehrapparat
(Ausarbeitung eines Experimentierbuches), dogmatische Behau dlungsweise,
Stellung der Hypothese im Unterricht und das Verhältnis des physikalischen
zum mathematischen Unterricht sagt. Dagegen dürfte die S. 16 mitgeteilte,
auf drei Semester berechnete StoffauswaM für die Unterstufe nach dem
Vorschlage von Born er wohl zum Widerspruch reizen. Dieselbe enthält
viel zu viel und steht mehrfach den vom Verfasser selbst aufgestellten
oder gebilligten Grundsätzen entgegen. In elf Stunden soll z. B. aus der
Wärmelehre durchgenommen werden: „Ausdehnung, Thermometer, unregel-
mässige Ausdehnung des Wassers, Schmelzen und Erstarren, Auflösen
(Krystallbildung) , Verdxmsten, Verdampfen, Verdichten, Abhängigkeit des
Siedepunktes vom Druck. Dampfstrahlpumpe, Dampfmaschine (Gaskraft-
maschine).— Wärmeleitung, Wärmestrahlung (Nachweis, dass dunkle Würme-
strahlen dieselben Gesetze befolgen wie die Lichtstrahlen. Abhängigkeit der
Absorption von der Oberfläche). — Quellen der Wärme (Reibung, Zusanmien-
drücken von Gasen)." Selbst, wenn der Lehrer alles genau vorbereitet und
jede Minute ausnützt, dürfte es sehr schwer fallen, wenn nicht unmöglich
sein, das alles in elf Stunden „in ausreichender Weise zu erledigen", wie dies
S. 17 hingestellt wird.

Das letzte Kapitel enthält „ Bemerkungen zu den einzelnen Erscheinungs-
gebieten." Dieselben beziehen sich nach dem Ausspruch des Verfassers auf
solche Punkte, deren Erledigung beim Unterricht dem Verständnis Schwierig-
keiten mannigfaltigster Art bereitet, oder deren landläufige Behandlungsweise
sich als unzweckmässig erwiesen hat. Gerade durch diese Bemerkungen
hat sich der Verfasser, der teils eigene, teils fremde, in Zeitschriften zer-

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80 Historisch -litterarische Abteilung.

streute Ansichten bringt, ein grosses Verdienst erworben, woran auch dann
nichts geändert wird, wenn sich dieser oder jener Leser in wenigen Einzel-
heiten zum Widerspruch veranlasst sieht, Müller.

Ad. Meyer, Laerebog i Algebra. Kjebenhavn 1895. Lehmann & Stages
Forlag.

Das vorliegende Buch hat als ein in dänischer Sprache geschriebenes
elementares Lehrbuch der Algebra für den deutschen Studierenden kein
direktes Interesse; es erscheint demnach hier nur eine kurze Angabe der
Stellung und des Umfangs des Buches angezeigt.

Der Herr Verfasser hat sein Buch für den vorbereitenden mathemati-
schen Unterricht an den polytechnischen Lehranstalten bestimmt. Dem-
entsprechend wird ein tieferes Eingehen auf Stetigkeit und Grenzbegriff ge-
mieden, in der Gleichungstheorie bleiben die modernen gruppentheoreti-
schen Entwickelungen natürlich ganz ausserhalb, und auch der arithmetische
Abschnitt bringt nur die ersten Elemente. Solche Stellen, an denen der
Verfasser dem Bestreben nach tiefer gehender Begründung nachgegeben
hat, sind durch kleineren Druck kenntlich gemacht. In letzterer Hinsicht
finden wir eine an die C an torschen Methoden sich anlehnende Theorie der
irrationalen Zahlen, eine genauere Theorie der Potenzen mit irrationalen
Exponenten; auch zahlreiche Entwickelungen des algebraischen Teils, so
die Theoreme von Budan und Sturm, Entwickelungen über Interpolations-
rechnung, über Eliminationstheorie u. s. w. sind in der genannten Art als
für das erste Studium nicht in Betracht kommend gekennzeichnet.

Der ganze Stoff ist in drei Abschnitte angeordnet. Beim ersten passt
indessen die Überschrift (Lehre von den irrationalen Grössen) nicht recht;
denn hier werden auch ein paar Grundbegriffe, die Funktionen betreffend,
entwickelt, die ersten Grundsätze über Logarithmen werden gegeben, und
ein kurzer Abriss über Eentenrechnung wird dargeboten. Die Überschrift
des zweiten Abschnitts (Lehre von den Gleichungen) trifft besser. Übrigens
ist befremdend, dass gegenüber den reichlichen Ausführungen über binomische
Gleichungen, sowie Gleichungen höheren Grades mit mehreren Unbekannten
nirgends der direkten Auflösungsmethoden der Gleichungen dritten und
vierten Grades gedacht wird. Der dritte Abschnitt hat überhaupt keine
gemeinsame Überschrift. Derselbe ist den Elementen der Zahlentheorie
gewidmet; vorausgeschickt werden einige Bemerkungen über arithmetische
und geometrische Beihen.

Die Darstellung erscheint im einzelnen klar angeordnet, und das Buch
ist für das einfuhrende Studium wohl geeignet. Fricke.

E. Pascal, Teoria delle ftinzioni ellittiche. Milano 1896. U, Hoepli.
Preis 1,50 Lire.

Dieses Buch ist aus Vorlesungen hervorgegangen, welche der Herr
Verfasser an der Universität zu Pavia im Laufe der beiden verflossenen

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Rezensionen. 31

Jahre gehalten hat. Es handelt sich im wesentlicheti um eine Theorie der
doppeltperiodischen Funktionen, wobei als Eingang der Weg gewählt wird,
welchen Jacob! in seiner „Theorie der elliptischen Funktionen, aus den
Eigenschaften der O- Reihen abgeleitete^ eröfihet hat. Dementsprechend steht
die Behandlung der ^-Funktionen und der Jacobischen Funktionen sn^
cn^ dn Yoran. Doch werden im Anschluss hieran die Weierstrassschen
Funktionen c(u)^ p{^)^ P'M ^^ gleicher Ausführlichkeit behandelt. Herr
Pascal ist als Kenner der modernen Funktionentheorie und namentlich
ihrer invariantentheoretischen Seite bestens bekannt. Diese Richtung
kommt auch im vorliegenden Buche mehrfach zum Ausdruck, namentlich in
den letzten Kapiteln, welche von den elliptischen Integralen und von der
invariantentheoretischen Darstellung der Funktionen (T, p, etc. unter Zugrunde-
legung einer allgemeinen binären biquadratischen Form handeln. Übrigens
nehmen sich diese beiden Kapitel im Vergleich zu den vier ersten (über
die Funktionen '&, sn, . . . <T, jp, . . .) mehr nur als ein Anhang aus. Das
algebraische Fundament der Theorie tritt überall zurück, Rie mann sehe
Vorstellungen werden nicht entwickelt, was natürlich einen weit grösseren
Raum beansprucht haben würde. Sachlich liegen die Entwickelungen lange
fest, nur dass vielleicht hier und da infolge der gewählten Disposition eine
geringe Abweichung von dem sonst Herkömmlichen geboten schien. So
macht der Herr Verfasser beim Übergang von der Funktion ^^ zu <J Ge-
brauch von den Nullwerten auch der zweiten und dritten Ableitungen der
<Ö^- Funktionen, der durch D symbolisch bezeichnete invariante Prozess wird
transcendent definiert (gegenüber der algebraischen Definition Halphens)
und dergleichen mehr. Innerhalb der gesteckten Grenzen bringt der Ver-
fasser in knapper präziser Darstellung stets das Wesentlichste des Gegen-
standes. Die äussere Form des Buches ist rühmenswert; es ist in Taschen-
format klar und übersichtlich gedruckt und hat einen Umfang von 27 Seiten.

Frickb.

C. 6. J. Jacobi, Über die vierfach periodischen Funktionen zweier
Variabein (1834).

A. Göpel, Entwurf einer Theorie der Abelschen Transcendenten erster
Ordnung (1847).

G. Rosenhain, Abhandlung Ober die Funktionen zweier Variablen mit
vier Perioden (1851). Herausgegeben unter Nr. 64, 67, 65 in der
Ostwaldschen Sanunlung der Klassiker der exakten Wissenschaften
von H. Weber, übersetzt aus dem Lateinischen bez. Französischen
durch A. Witting. Leipzig 1895. Engelmann.

Den bisher in die Ostwaldsche Sammlung aufgenommenen mathe-
matischen Untersuchungen reihen sich nun auch die drei berühmten in der
Überschrift genannten Abhandlungen an, welche dem klassischen Schatze
der Funktionentheorie angehören. Handelt es sich doch hier um drei
epochemachende Arbeiten in der Begründung der vor — Ri e m an n sehen Theorie j

82 Historisch -litterarische Abteilung.

der Abelscheu Funktionen. Die Herren Weber und Witting haben in
dankenswerter Umsicht die Kenausgaben der fraglichen drei Abhandlungen
besorgt, und zumal hat ersterer durch eine Eeihe wertvoller Anmerkungen
den Text ergänzt und erläutert. So ist der J ac ob i sehen Abhandlung eine
längere Note über die neuere Geschichte der Frage nach den mehr- als —
doppeltperiodischen Funktionen einer Variabeln angefügt. Biemann hat
in dieser Frage besonders aufklärend gewirkt; neben ihm ist es namentlich
Casorati, welcher dem Gegenstande mehrere Untersuchungen widmete.
Der zweiten Abhandlung sind auch die biographischen Mitteilungen Jacobis
und Grelles über die interessante Persönlichkeit Göpels angefügt.

Die Fortführung des Ostwaldschen Unternehmens auch für die Mathe-
matik wird man gewiss allerseits lebhaft begrüssen. Fricke.

als homogene Punkt-

W. Wirtinger, Untersnchnngen Ober Thetafaiiktionen. Leipzig 1895.
B. G. Teubner.

Die vorliegende Arbeit des Herrn Wirtinger, welche von der philo-
sophischen Fakultät der Universität in Göttingen durch Erteilung des Benecke-
Preises ausgezeichnet wurde, bedeutet einen wesentlichen Fortschritt in der
Theorie der allgemeinen O- Funktionen von p Variabelen. Es handelt sich
um zwei getrennte Untersuchungen, von denen die erste dem allgemeinen
Falle gilt, während die zweite einer besonderen Klasse von Thetafunktionen
gewidmet ist. Im ersten Teile (die allgemeine Untersuchung) steht eine
^-dimensionale algebraische Mannigfaltigkeit Mp der Ordnung 2''""*.p! im
Räume von (2^—1) Dimensionen im Centrum der Untersuchung. Dieses
Gebilde 3Ip gewinnt man dadurch, dass man 2'' linear -unabhängige Theta-
funktionen zweiter Ordnung der Charakteristik

koordinaten eines Raumes von (2'*— 1) Dimensionen ansetzt. Das einzelne
Wertsystem der p Variabein i\ , t*2 , • . • *> der Thetafunktionen liefert dann
einen bestimmten Punkt des Raumes, und letzterer Punkt beschreibt bei
beliebig variabel gedachten Vj, . . ., Vp die Mannigfaltigkeit Mp. Dem ein-
zelnen Punkte des Gebildes Mp korrespondieren unendlich viele Wertsjsteme
rj,...,t'p; denn wir können, ohne die Verhältnisse der Theta zu ändern,
das System i'j, . . ., Vp um ein beliebiges System simultaner Perioden ändern,
sowie andererseits beliebige Zeichenwechsel der Argumente vornehmen, da
es sich um gerade Thetafunktionen handelt. Für p = 2 ist M^ die Kum-
m ersehe Fläche im Räume i?3, und wir kommen auf die bekannte Bor-
chardtsche Darstellung der Kummerschen Fläche durch Thetafunktionen
zweier Variabein zurück; man kann somit sagen, dass es sich hier nm
eine Verallgemeinerung des Borchardtschen Ansatzes auf beliebige p
handelt. Auf den Fall i? = 2 ist neuestens Humbert mit grosser Aus-
führlichkeit eingegangen; es werden insbesondere die auf der Kummerschen
Fläche gelegenen Kurven und zugehörigen besonderen ^-Funktionen naher
untersucht. Der von Wirtinger behandelte allgemeine Fall bot natürlich

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Rezensionen. 83

weit grössere Schwierigkeiten und konnte demnach nicht so weit in die
Einzelheiten verfolgt werden. Schon bei der ßestimmong der Ordnung der
Mannigfaltigkeit Mp und des Geschlechts der Schnittkurven, welche durch
{P ""1) Gleichungen gegebener Grade dargestellt werden, sind Hilbertsche
Prinzipien über Moduln und deren charakteristische Funktionen heranzuziehen.
Auch bei der algebraischen Darstellung der Mannigfaltigkeit Mp werden
jene Prinzipien fundamental. Es zeigt sich, dass keine Mannigfaltigkeiten
zweiten Grades bei allgemeinen Moduln t,* durch Mp gelegt werden können.
Mannigfaltigkeiten dritten Grades kommen zwar für j? > 2 vor. Dagegen
sind die Belationen vierten Grades zweckmässiger; durch diese wird das
Gebilde Mp in der That rein dargestellt. Durch Untersuchungen dieser
Art fördert Herr Wirtinger die Theorie des Gebildes Mp soweit, dass
diese Mannigfaltigkeit „in Zukunft als algebraisch bekannt anzusehen und
ein Problem als theoretisch gelöst zu betrachten ist, falls es gelingt, das-
selbe algebraisch auf der Mp zu formulieren." Als eine erste Anwendung
folgt nunmehr eine schöne Theorie der auf der Mannigfaltigkeit Mp ge-
legenen algebraischen Kurven, welche durch {p — 1) Gleichungen der Grade
«1, . . ., «p__i ausgeschnitten werden. Hierdurch entspringt im Einzelfalle
ein algebraisches Gebilde mit einer unabhängigen Variabein, für welches
doch wenigstens das Geschlecht p^ hier angegeben werden soll:

f>— 1 p — 1

1=1 ,=1

Hier bietet sich nun weiter die Aufgabe dar, die Theta der Mp mit
den Biemannschen Theta sowie überhaupt der Eiemannschen Theorie
der fraglichen algebraischen Gebilde ausführlich in Beziehung zu setzen;
dieser Aufgabe ist der Schluss des ersten Teiles gewidmet. Die Ergebnisse,
betreffend den Übergang von den Biemannschen Theta zu den allgemeinen
vermöge Ausübung einer bestimmten Transformation und Abspaltung ge-
wisser Faktoren dürften dabei als die wichtigsten anzusehen sein.

Die SpezialentwickeluDgen des zweiten Teils haben insbesondere den Zweck,
die allgemeinen Ergebnisse über die Beziehung der Biemannschen Theta
zu den allgemeinen an aussichtsreichen Einzelfällen weiter zu verfolgen.

Es werden hier Flächen herangezogen, welche durch Übereinander-
lageruog und zweckentsprechende Verzweigung aus n kongruenten Bie-
mannschen Flächen aufgebaut sind. Ist p^ das Geschlecht der einzelnen
dieser Flächen, n dasjenige der entspringenden Gesamtfläche und 2A; die
Anzahl der Verzweigungspunkte, so ist:

2«~2-= 2Ä;-f «(2i>-2).

Hier führt nun (in Übereinstimmung mit den allgemeinen Ergebnissen
des ersten Teils) eine Transformation n**** Grades die Biemannschen Theta
der grossen Fläche in Gestalten über, bei welchen sie in die Biemann-
schen Theta von p! Variabelen der kleinen Fläche, sowie in weitere Theta
von (jt — p') Variabelen zerfallen. Letztere können für w = 2, 7c < 3 all-

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g4 Hiatoriscli -litterarische Abteilung.

gemeinere als Bie mann sehe Theta sein. Die Fortführung der Entwickelnng
bezieht sich auf den Fall « =» 2, Ä; = 0, für welchen der genannte Ansatz
eine allseitige Untersuchung findet. Fricke.

Manuali Hoepli. Ottica del professore Eugenio Gelcich. Con 217 incisioni.
Ulrico Hoepli, editore-libraio della real casa Milano 1895. —
576 Seiten. Preis 6 Lire.

Im grossen und ganzen weicht die Behandlung des Stoffes von der
üblichen nicht ab. Von den fünf Abschnitten, in welche das Buch zerfallt^
sind die drei ersten und überwiegend grössten der eigentlichen Lehre des
Lichts gewidmet, nämlich der erste der Dioptrik, Eatoptrik und Dispersion,
der zweite den optischen Instrumenten und der dritte der Interferenz und
Polarisation. Während der vierte die optischen Phänomene der Atmosphäre
zum Gegenstand hat, so sind in dem fünften verschiedene wichtige Notizen
über die Optik enthalten, wie z. B. über die Geschwindigkeit des Lichts
und dergleichen mehr. Zum Verständnis des Buches werden keine grösseren
Anforderungen an Mathematik gestellt, es genügen die Kenntnisse unserer
Gymnasien. — Während sich über den Druck nur Gutes sagen lässt, so
kann dies bezüglich der Figuren leider nicht geschehen. Die schematischen
Figuren sind nicht einheitlich durchgeführt, die meisten bestehen ans
schwarzen Strichen auf weissem Grund, während einige wieder weisse
Striche auf schwarzem Grund aufweisen, z.B. Fig. 32, 168, 169, 170; die
einen umrahmt, die anderen nicht (Fig. 179 und 180); auch die Strichdicke
variiert sehr stark, vergleiche Fig. 168 und 204. Dabei sind die Striche
vielfach nicht rein. Die perspektivischen Abbildungen sind in den meisten
Fällen nicht mustergiltig, vielfach undeutlich und häufig auch zu klein.
Diese Mängel dürften bei einer Neuauflage wohl zu berücksichtigen sein. —
Am Schluss des Werkes ist ein Verzeichnis von Werken über Optik an-
geführt, worin Deutschland gut vertreten ist. ß, Nbbbi,.

Die Projektions-Einriclltllllg und besondere Versuchsanordnungen für physi-
kalische, chemische, mikroskopische und physiologische Demonstrationen
am Grazer physiologischen Institute; als Leitfaden bei Anlagen und
Versuchen beschrieben von Oskar Zoth. Mit 25 Abbildungen im Texte
und 6 Tafeln. Wien. Pest. Leipzig. A. Hartlebens Verlag. — 88 Seiten.

Das Werkchen giebt in Bild und Wort eingehenden Aufschluss über
die Projektionseinrichtungen an dem Grazer physiologischen Institute, so
dass sich jeder, der nicht, wie der Elektrotechniker und Physiker, mit
derlei Dingen vertraut ist, ergiebigen Bat holen kann, was aus den Spezial-
werken für Elektrotechnik und Physik für den Nichtfachmann nur mit
grossen Schwierigkeiten verbunden ist. Die Mitteilung der Kostenübeischläge
bewahrt jeden vor empfindlichen Täuschungen. g, Nebeu

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Rezensionen. 85

Mathematisclie Theorie des Lichtes. Vorlesungen gehalten von H. Poin-
CAB^. Bedigiert von J. Blondin. Autorisierte deutsche Ausgabe von
E. QuMLiCH und W. Jäqer. Mit 35 in den Text gedruckten Figuren.
Berlin 1894. Verlag von Julius Springer. — 295 Seiten. Preis
10 Mark.

Wir danken es den Herren Übersetzern, dass sie dieses verdienstvolle
Werk von Poincari dem deutschen Publikum zugänglicher gemacht haben.
Lange hat der Kampf zwischen den Erfindern und deren Anhänger über
die Richtigkeit der von ihnen aufgestellten Theorien des Lichtes gedauert,
der indirekt von grossem Nutzen für die Optik selbst war. Noch ist nicht
endgiltig die Entscheidung zwischen der Theorie von Fresnel und Neu-
mann gefallen, da die experimentellen Untersuchungen neue Schwierig-
keiten und infolgedessen neue Einwände heraufbeschwören. Es ist daher
für alle, welche sich für die Fragen interessieren, von grossem Wert, statt
die Theorien mühsam aus den Originalwerken erst heraussuchen zu müssen,
dieselben in Kürze gegenübergestellt zu besitzen. Poincari versteht es
vorzüglich, sich von dem Bann der optischen Theorien völlig frei zu machen,
und dieselben als das zu kennzeichnen, was sie in Wirklichkeit sind. Da-
durch beherrscht er dieselben imd steht über ihnen. Ein solches Beherrschen
der verschiedenen Theorien wirkt sehr anregend, weshalb das Buch den
jungen Physikern aufs wärmste zum Studium empfohlen wird, sobald sie
mit den Gesetzen der Optik hinreichend vertraut sind.

Das Ergebnis, welches die Prüfung mehrerer Theorien nebeneinander
hinsichtlich einer guten Erklärung der Beobachtungen ergiebt, besteht in der
Einordntmg aller dieser Theorien in zwei Gruppen, von denen die eine die
Elastizität des Mediums als konstant vorausgesetzt wird, wie dies bei
Fresnel der Fall ist, während bei der anderen die Dichte des Äthers un-
veränderlich ist. Der Vertreter der letzteren ist Neumann. Möge das
Buch die Anregung zu neuen experimentellen Beweisen für die eine oder
die andere Theorie geben; denn nur auf diesem Wege kommen wir dem
Ziele näher! B. Nebel.

Im Reiche des Lichtes. Sonnen, Zodiakallichte, Kometen, Dänmierungs-
licht- Pyramiden nach den ältesten ägyptischen Quellen. Von Her-
mann Gruson. Zweite gänzlich umgearbeitete Auflage. Mit 67 Figuren
und 8 Tafeln, zum Teil in farbiger Ausführung. Braunschweig 1895.
Verlag von George Westermann. — . 263 Seiten. Preis 8 Mark.

Die meisten der bisherigen Theorien über die Natur der Sonne und
der auf ihr beobachteten Veränderungen lassen den Zusammenhang mit Vor-
gängen auf unserer Erde vermissen, tragen daher den Stempel der Unwahr-
scheinlichkeit an sich und müssen in Ermangelung eines Besseren eben
hingenommen werden als Produkte der Studierstube. Die vorliegende Theorie
ist dem Gebiete der Praxis entsprungen, indem der Verfasser, als Besitzer
der grössten Eisengiesserei der Welt, durch sorgfältiges Beobachten und ziel-

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86 Historisch -litterarische Abteilung.

bewusste Versuche eine Basis geschaffen hat, auf die er aufbanen kann,
so dass seine Anschauungen nicht als leere Phantasiegebilde in der Luft
schweben. Den Eundamentalversuch stellte er mit einer eisernen Flasche
an, die der Schweisstemperatur von circa 1500 Grad ausgesetzt wurde.
Durch die Wärme wurde die Luft verdünnt, sodass nach Eintritt des Gleich-
gewichtszustandes eine Mischung von Luft und Wärme der äusseren Atmosphäre
das Gleichgewicht hielt. Im vorliegenden Versuch ergaben die Messungen,
dass der Flascheninhalt aus \i^ Luft und % Wärme bestand. Daraus folgt,
je höher die Temperatur ist, um so weniger wird Luft vorhanden sein.
Infolge der ungeheueren Temperatur auf der Sonne wird das Luft- bezw.
Gasquantum so verschwiadend klein sein, dass die die Sonne umgebende,
zunächst gelegene Schicht als Vacuum aufgefasst werden kann, an welche sich
eine an Dichte zunehmende Gasschicht anschliesst, die nach dem Äther
relativ steil abfällt. Das granulierte Aussehen der Sonnenoberfläche, sowie
das Auftreten der Sonnenflecke werden auf Erscheinungen zurückführt, die
sich im Kleinen auch beim geschmolzenen Eisen beobachten lassen. Infolge
der die Sonne umgebenden Lichtbrechungsspbäre müssen die Flecken dnnkel
erscheinen. Da die Sonnenmaterie fortwährend in Bewegung begriffen ist,
indem die Teile an der Oberfläche von dem Äquator nach den Polen hin
abfliessen und von da nach dem Sonnencentrum zurückkehren, so folgt,
dass die Entstehung der Sonnenwärme nicht auf Verbrennungsprozessen,
sondern nur auf Reibung und Stoss infolge der verschiedenen Geschwindig-
keit der Teile auf ihrer Bahn beruhen kann. In enger Beziehung damit
steht auch die Erklärung der Sonnenfackeln und Pro tuberanzen. Nach
Aufstellung der Theorie über die Sonnenstrahlung erklärt sich leicht das
Flimmern der Fixsterne, sowie die Sonnenkorona. Ein besonderes Kapitel
wird den Kometen gewidmet, dessen Schweif auf ungezwungene Weise mit
Hilfe der Theorie über die Strahlung erklärt wird; auch das rätselhafte Auf-
leuchten und Verschwinden der Sterne wird als eine natürliche Folge
dieser Theorie hingestellt. Die letzte Abteilung ist dem Tierkreislicht vor-
behalten, welches der Verfasser in seinen schönsten Erscheinungen am l(il
selbst beobachtet hat. Seine Entstehung wird auf die Reflexion der Sonnen-
strahlen an der Atmosphäre zurückgeführt; es ist denmach eine Dämmerungs-
erscheinung, deren Zustandekommen gewissen Bedingungen unterliegt, auf
welche der Verfasser näher aufmerksam macht. Mit grosser Befriedigung
und Spannung folgt man den einfachen Auseinandersetzungen. Jedem Natur-
freund wird daher das treffliche Buch . bestens empfohlen. ß^ Nebel.

Handbuch der Photographie. Von Prof. Dr. H. W.Vogel. Vier Teile, ent-
haltend die photographische Chemie, Optik, Praxis und Kunstlehre.
II. Teil: Das Licht im Dienste der Photographie und die neuesten
Fortschritte der photographischen Optik. Vierte, gänzlich um-
gearbeitete, verbesserte und vermehrte Auflage. Berlin 1894. Ver-

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Rezensionen. 87

lag von Robert Oppenheim (Gustav Schmidt). 367 Seiten. Preis
9 Mark.

Von den beiden Teilen, in welche die photograpbische Optik getrennt
wurde, ist der zweite Teil, die Linsenkunde, durch Dr. Hugo Schröder
vor dem jetzt vorliegenden ersten Teil, die allgemeinen Eigenschaften des
Lichtes, herausgegeben worden. Verfasser geht aus von dem Lambert-
schen Gesetzen über die Lichtstärke und deren Messung mittels der opti-
schen Photometer und erläutert die dabei verwendeten optischen Licht-
einheiten. Die dadurch erzielten Resultate sind aber nur för das Auge
richtig und geben in photographischer Hinsicht zu den grössten Täuschungen
Anlass, weshalb besondere photographische Photometer und Lichteinheiten
hergestellt werden mussten. Nach der Untersuchung über die chemische
Helligkeit des Tages- und Sonnenlichtes werden die künstlichen Lichtquellen
för die Zwecke der Photographie geprüft, womit im engen Zusammenhang
das Studiimi der Reflexion steht. Bei der Betrachtung über die Zusanmien-
setzung des Lichtes und der chemischen Wirkungen der verschiedenen
Farben wurde damit die Geschichte der farbenempfindlichen Verfahren ein-
geleitet. Die Photographie in natürlichen Farben erschien lange als ein
unerreichtes Ziel; nach den ersten glücklichen Ergebnissen wurde von allen
Seiten tüchtig an dem weiteren Ausbau gearbeitet, so dass man mit den
heutigen Resultaten schon sehr zufrieden sein kann. Dieser wichtigen Er-
rungenschaft ist natürlich ein grösserer Teil dieses Buches gewidmet. Den
Anhang bildet eine gemeinverständliche Darstellung der Grundzüge der
photographischen Optik, damit auch der Laie auf dem Gebiete der Optik
in populärer Weise über die wichtigsten Grundsätze der photographischen
Linsenkonstruktion aufgeklärt wird. Dieser Teil ist in betreff seines In-
haltes nicht wesentlich verschieden von den entsprechenden Kapiteln in der
früheren Auflage. — In dem Schlusskapitel werden mehrere neue Objektiv-
konstruktionen beschrieben, die nach Herausgabe des Sehr öd ersehen Teiles
aufgekommen sind; denn die Entwickelung der Photographie ist zur Zeit
ganz enorm. Erinnert sei nur an die seit dem Druck dieses Bandes auf-
gekommene Photographie in Lebensgrösse mittels Blitzlichts durchDr. Fetzer
in München und die Entdeckung der Röntgen sehen Lichtstrahlen, welche
einen ungeheueren Einfluss auf die Photographie ausüben werden.

Das Verständnis des Buches wird auch dem I^ichtfachmann durch die
zahlreichen Figuren wesentlich erleichtert, so dass dieses Werk für jeden
ein treflflicher Ratgeber sein wird. B. Nebel!

Elemente der theoretischen Physik. Von C. Christiansen. Deutsch
herausgegeben von Job. Müller. Mit einem Vorwort von E. Wiede-
MANN. Mit 143 Figuren im Text. Leipzig 1894. Verlag von Johann
Ambrosius Barth (Arthur Meiner). — 458 Seiten. Preis 10 Mark.

Das vorliegende Werk ist dazu bestimmt, den angehenden Physiker in
die mathematische Physik einzuführen. Ausgehend von der allgemeinen

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88 Historiflch -litterarische Abteilung.

Bewegungslehre, dem freien Fall, der Wurfbewegung etc. wird übergegangen
zur Elastizitätstheorie. An die Abschnitte über das Gleichgewicht und die
Bewegung flüssiger Körper reihen sich notwendig diejenigen über innere
Reibung und über Kapillarität an. Die Behandlung des Lichts und der
Wärme folgt erst nach den Kapiteln über Elektrizität und Magnetismus.
Am besten eignet sich das Buch zum gleichzeitigen Studium neben den
Vorlesungen über Experimentalphysik, damit der junge Physiker möglichst
bald mit dem mathematischen Gewand der Physik vertraut wird, was bisher
nicht immer der Fall war. Es sei daher dieses Werk bestens empfohlen.

B. Nebel.

Lehrbuch der Experimentalphysik. Von E.tomLommel. Mit 430 Figuren
im Text. Zweite Auflage. Leipzig 1895. Verlag von Johann Am-
brosius Barth (Arthur Meiner). — 550 Seiten. Preis 6,40 Mark ge-
heftet und 7,20 Mark gebunden.

Wie rasch sich dieses Lehrbuch der Experimentalphysik eingebürgert
hat, dafür spricht die Thatsache, dass schon nach Jahresfrist eine Neu-
auflage erforderlich war. Im grossen und ganzen sind nur geringe Änder-
ungen gegenüber der ersten Auflage vorgenommen worden, die sieh teils
auf ausgesprochene Wünsche, teüs auf notwendige Ergänzungen beziehen.
Wie wir vermuten, konnten unsere früher geäusserten Wünsche bei der
inzwischen rasch erfolgten zweiten Herausgabe nicht mehr berücksichtigt
werden. Um Fühlung mit der Praxis zu haben, ist die geschichtliche Ent-
wickelung bis auf die heute am häufigsten gebrauchten Apparate und Mess-
instrumente auszudehnen, wodurch die Brauchbarkeit des Buches nach dem
Verlassen der Hochschule an Wert nicht einbüsst. ß^ Nebel.

Katechismns der Physik. Von Julius Kollert. Fünfte verbesserte und
vermehrte Auflage. Mit 273 in den Text gedruckten Abbildungen.
Leipzig 1895. Verlag von J. J. Weber. — 485 Seiten, Preis 4,50 Mark.

Verfasser war bei der Bearbeitung dieser Auflage bestrebt, früher ge-
rügte Mängel zu beseitigen und den Inhalt, den Fortschritten der Wissen-
schaft entsprechend, zu ergänzen. Die Anordnung des Stoffes ist übersicht-
lich. Jedem, mit einer Nummer versehenen Abschnitt ist das Stichwort in
fettem Druck vorangestellt, so dass man sich in kürzester Zeit orientieren
kann. Das Buch eignet sich vorzüglich zur Vorbereitung für Examina, da
es in knapper Weise einen äusserst reichhaltigen Stoff bietet, dem auch
das Wesentliche der Elektrotechnik einverleibt ist. Der Vervollkommnung
der Figuren dtlrfte der Verfasser immer noch seine Aufmerksamkeit schenken^
vergl. z. B. die Tangentenbussole, Fig. 222. b. Nebel.

Lehrbuch der Experimentalphysik. Von Adolph Wüllneb. Erster Band.
Allgemeine Physik und Akustik. Fünfte vielfach umgearbeitete und

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Rezensionen. g9

verbesserte Auflage. Mit 321 in den Text gedruckten Abbildungen
und Figuren. Leipzig 1895. Verlag von B. G. Teubner. 1000 Seiten.

Wenn auch infolge der weiteren überraschenden Entwickelung der Physik
bezüglich der Einteilung des Stoffes Änderungen angezeigt waren, wie z.B. die
Voranstellung der Elektrizität vor die Optik, so hat doch im Charakter des
Buches ein Wechsel nicht stattgefunden. Von grossem Wert sind die ein-
gehenden Zusammenstellungen der Errungenschaften durch die Experimental-
physik, wodurch dieses Werk zu einem wichtigen Ratgeber für den Forscher
wird, zumal die Hinweise auf die Litteratur bis in die neueste Zeit vor-
handen sind. Neben den neueren Theorien sind auch die früher entwickelten
angeführt, sobald die letzteren durch neuere Versuche ihre Bestätigung er-
fahren haben. Dies gab Veranlassung z. B. zur Besprechung der Boltz-
mann sehen Theorie der inneren Reibung der festen Körper, auch wurde
an Stelle der Meyer sehen Theorie der Gasdiffusion die Stefan sehe ge-
setzt. Erwähnt seien auch die Arbeiten von van't Hoff, welche den Aus-
gangspunkt für zahllose Arbeiten auf dem Gebiet der physikalischen Chemie
gebildet haben. Dem Plan nach soll der vierte und letzte Band dieses Lehr-
buches am Ende des Jahres 1896 erscheinen. Mögen der in Aussicht ge-
nommenen raschen Herausgabe der weiteren Bände keine Hindernisse ent-
gegenstehen, da die grossen Erfolge der Physik in den letzten Jahren in
zusammenhängender und übersichtlicher Form besser geeignet sind, den
heranwachsenden Physiker zu neuen Arbeiten anzuregen. ß^ Nebel.

Lehrbuch der Physik für Studierende. Von H. Kayser. Zweite verbesserte
Auflage. Mit 334 in den Text gedruckten Abbildungen. Stutt-
gart 1894. Verlag von Ferdinand Enke. -— 564 Seiten.

Die zweite Auflage ist voluminöser geworden, was auf das neue Ge-
wand zurückzuführen ist, indem ein besserer Druck die äussere Ausstattung
wesentlich gehoben hat. Der Inhalt selbst hat dagegen nennenswerte
Änderungen nicht erfahren. — Schon die Thatsache, dass in relativ kurzer
Zeit eine Neuauflage erforderlich war, spricht dafür, dass die Behandlung
des Stoffes im grossen und ganzen Anklang gefunden hat. Auch wir
können demselben unsere Anerkennung nicht versagen. — Indessen würden
wir den Wert des Buches noch dadurch zu erhöhen suchen, dass wir das
Einzelne noch mehr ausfeilten, eine Arbeit, die von dem jährlich den Stoff
behandelnden Lehrer spielend geleistet wird. Ist zwischen zwei Beispielen
zu wählen, so ist doch dasjenige vorzuziehen, welches noch einen anderen
Zweck mit verbindet. Dieser weitere Zweck sollte die Brücke zum prakti-
schen Leben sein. Der Physiker von Fach besitzt in kurzer Zeit mehrere
Werke der Physik, dies trifft aber bei dem Mediziner, Naturwissenschaftler,
Ingenieur, Maschinenbauer, Architekten nicht zu. Diese werden nur ein
Physikbuch sich anschaffen und dasselbe nach der Examenszeit nicht mehr
hervorholen, wenn es über die nunmehr herantretenden Fragen des Lebens
keinen Aufschluss zu geben vermag. Als Beispiel möchten wir die Tabelle (S. 4 11) t

Hist. - litt. Abt. d. ZeitBchr. f. Math. u. Phys. 42. Jahrg. 1897 . S.Heft. -.vj.u^w.. .., ^_- ^ g

90

Historisch -litterarische Abteilang.

anführen, welche eine Idee von den üblichen Helligkeiten za geben bat.
Talglichter sind in Städten kaum mehr zu finden. Die Wachslichter be-
schränken sich auf die fürstlichen Kronleuchter, dagegen fehlt der praktische
Zusammenhang zwischen der deutschen Paraffinnormalkerze mit der Spermaceti-
kerze, der Amylacetatlampe etc. Wir würden folgende Tabelle z.B. vorschlagen:

Spermacetikerze =» 1 .
Gasflamme Schnittbrenner . . .
Bundbrenner . . .

Deutsch e Norm.- Paraffinkerze
Stearinlicht . .
Spermacetikerze
Amylacetatlampe
Carcellampe . .
Platineinheit

1

. . .1 . . .

1

1

... ^

...j...

1

1 •••

... 1

1

i

Glühlampe .
Bogenlampe

Bei dem Bun senschen Photometer wäre die Notiz von Wert, dass
das Fettfleckpapier wegen seiner Veränderlichkeit neuerdings durch den
Lummer-Brodhunschen Glaswürfel mit Vorteil ersetzt wird.

Vermisst wird z. B. auch die Einteilung der Dynamomaschinen ; denn
selbst ein junger Physiker muss wissen, dass die im Laboratorium befind-
lichen Accumulatoren nur mit Nebenschlussmaschinen zu laden sind. Wo
findet sich die Erklärung des Vorganges bei dem Gas- resp. Spiritusglüh-
licht? Die alte Döbereiner Lampe würde sie geben.

Solche Dinge gleichen Goldkömem, indem sie auch nach der Studien-
zeit belehrend wirken und das Buch vor der das Nutzlose einhüllenden
Staubdecke bewahren.

Enttäuschungen werden dann beim Eintritt in das praktische Leben
vermieden, die sonst unausbleiblich sind, da der junge Mann sieht, dass
die Physik in der Praxis mit ganz anderen Apparaten arbeitet, während
er in seinem Buch nur veraltete Methoden beschrieben findet ohne Hinweis
auf das Neue.

Unser Standpunkt ist: Nicht erweitem, sondern ausfeilen. B.Nebel.

Lehrbuch der Physik illr Gymnasien, Realgymnasien, Oberrealsehnlen
und andere höhere Bildnngsanstalten. Von Jacob Heussi. Sechste
Auflage, neu bearbeitet von A. Leiber. Mit 422 in den Text ge-
druckten Abbildungen. Braunschweig 1894. Verlag von Otto Salle.
— 503 Seiten. Preis 6 Mark.

Die Neuauflage verdankt ihre Entstehung teils den neuen preussischen
Lehrpl&nen, teils den wichtigen Fortschrittßn auf dem Gebiete der Physik.
Die Mechanik der festen Körper hat teilweise eine (Jm&nderung des Stoffes
erfahren, das Prinzip von der Erhaltung der Energie wurde seiner Wichtig-
keit wegen schärfer hervorgehoben^ weshalb auch die Einführung des ab-
soluten Maßsystems erforderlich war. Die bisher an verschiedenen Stellen
zerstreute Wellenlehre wurde, wie dies auch bei anderen Physikbfichem
üblich ist, mit Rücksicht auf ihre Wichtigkeit in der Akustik, Wärme,
Optik und neuerdings auch Elektrizitätslehre in einem /besonderen Ab-

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Rezensionen. Bibliographie. 91

schnitte einheitlich behandelt. Die schwierigeren Teile der Optik, Polari-
sation und Doppelbrechung haben eine Umarbeitung erfahren. Die mechani-
sche Wärmetheorie ist ihrer iundamentalen Bedeutung wegen mehr be-
rücksichtigt worden. Dasselbe gilt bezüglich der Einführung des Potentials
in die Elektrizitätslehre, welch letztere infolge der ungeheueren Fortschritte
eine völlige Neubearbeitung erfahren hat. Als neu hinzugekommen sind die
Abschnitte über Meteorologie und über die mathematische Geographie zu
bezeichnen.

Was den Inhalt des Buches betrifft, so dürfte sich eine weitere Sich-
tung des Stoffes empfehlen, z. B. könnte auf Seite 425 der in grossem Druck
vorhandene Abschnitt „Hare wickelte . . .*^ ohne Schaden gestrichen und
dafür die Meidinger- und Leclanch^- Elemente wegen ihrer grossen Ver-
breitung von dem unterordnenden kleinen Druck befreit werden. Ein
Physikbuch für Mittelschulen soll die Schüler zunächst über die Vorgänge
im täglichen Leben, z.B. Gasglühlicht etc. aufklären, dagegen allen imnötigen
Ballast vermeiden. Das tiefere Eingehen sei den relativ wenigen Schülern
vorbehalten, welche die Physik auf der Hochschule noch einmal hören.

Das heutige Leben erfordert praktische Männer und keine Dilettanten.

B. Nebel.

Bibliographie

vom 28. Januar bis 13. Mai 1897.

Feriodisolie Sohriften.

Arbeiten, die astronom.- geodätischen, des k. u. k. militär-geograph. Listitutes
in Wien. (Publikationen f. d. internationale Erdmessung.) VlIL Bd. Das
Präzisionsnivellement in der österr.- Ungar. Monarchie. II. Westlicher Teil.
Herausg. vom k. und k. militär-geograph. Institute. Wien , Lechner. M. 16.

Publications de Tobservatoire central Nicolas sous la direction de 0. Backlund.
Seriell, Vol. II. St. Petersbourg. Leipzig, Voss. — II. Nyr^n, M,, Ob-
servations faites au cercle verticale. M. 48. •

Veröffentlichungen des k. astronom. Recheninstituts zu Berlin. Nr. 4. 4. Bau-
SOHINGER, J., Genäherte Oppositions-Ephenaeriden von 62 kleinen Planeten
für 1897, Januar bis August. Unter Mitwirkung von A. Berberich und
P. Neügebaubr herausgegeben. Berlin, Diimmler. M. 1. 20.

Abhandlungen der k. sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften. 40. Bd.
(Mathem.-phys. Klasse, 23. Bd.) Leipzig, Hirzel. M. 29.

Annalen der Physik und Chemie. Sachregister zu Bd. 1—50(1877—1893).
Leipzig, Barth. M. 7.

Arbeiten, astronom., d. k. k. Gradmessungsbureau. 8. Bd. Breiten-, Azimut- und
Winkelbestimmungen. Publikationen für die internationale Erdmessung.
Wien und Prag, Tempsky. M. 16.

Ergebnisse d. meteorol. Beobachtungen an den Landesstationen in Bosnien und
der Hercegovina im Jahre 1896. Herausgegeben von der bosnisch-
hercegovin. Landesregierung. Wien, Hof- u. Staatsdruckerei. M>12. j

^jßitized by VjOOQiC

92 Historisch -litterarische Abteilung.

Eortschritte, die, der Physik im Jahre 1890. Dargestellt von der physikaL
Gesellschaft zu Berlin 46. Jahrg. 2. Physik d. Äthers. Redigiert von
RiCH. BöRNSTEiN. Braunschweig, Vieweg & Sohn. M. 3.

Anzeiger der kaiserl. Akademie der Wissenschaften. Mathem.-naturw. Klasse.
Jahrg. 1897. Wien, Gerolds Sohn. M.3.

Schriften der physikalisch - ökonomischen Gesellschaft zu Königsberg in Fr.
37. Jahrg. 1896. Königsberg, Koch. M.6.

Abhandlungen d.k.sächs.meteorol. Institutes. 2. Heft. Schreiber, Paul, Bei-
träge zur meteorol. Hydrologie der Elbe. Leipzig, Felix. M. 2.

Arbeiten, die astronom.-geod., des k. u. k. militär-geograph. Institutes in
Wien. Publikationen für die intern. Erdmessnng. IX. Bd. Trigonometr.
Arbeiten. 5. Die Beobachtungen im Dreiecknetze in l^ieder- und Ober-
Österreich und in den angrenzenden Teilen von Mähren, Ungarn und
Steiermark. Wien, Lechner. M. 16-

Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik. Hrsg. von Emil Lampe.
25. Bd. Jahrg. 1893 u. 1894. 3.(Schluss-)Heft. Berlin, Reimer. M. 19.

Jahrbuch, deutsches meteorol., f. 1895. Meteorol. Station I.Ord. in Aachen. Hrsg.
im Auftrage d. Stadtverw. von P. Polis. I. Jahrg. Aachen, Müller. M. 7.

Jahrbuch der Astronomie und Geophysik. Herausgeg. von Herm. J. Klein.
7. Jahrg. 1896. Leipzig, Mayer. M. 7.

Fortschritte der Physik im Jahre 189 1. Dargestellt von der physik. Gesellschaft
zu Berlin. 47. Jahrg. I.Abt. Physik der Materie. Red. von Rich. Börn-
STEiK. Braunschweig, Vieweg & Sohn. M. 18.

Berichte d. sächs. Ges. d.Wiss. Math.-phys.Kl. 1896. IV-VL Leipzig, Hirzel. aM. 1.

Sitzungsberichte, Münch., Mathem.Kl. 1896. 3. Heft. München, Franz. M 1. 20.

Viertel] ahrsschrift d.astr. Gesellsch. 31. Jahrg.3.Hefb. Leipzig, Engelmann. M.2.

Gesohiohte der Mathematik und Physik.

ViLLicus, Frz., Die Geschichte der Rechenkunst vom Altertume bis zum
XVin. Jahrh. 3. Aufl. Wien, Gerolds Sohn. M.3.20.

PoGOENDORFFS Handwörterbuch zur Geschichte der exakten Wissenschaften.
3. Bd., 7. Lieferung. Leipzig, Barth. M. 3.

Lampe, Emil, Karl Weierstrass, Gedächtnisrede. Leipzig, Ebendas. M. — . 60.

Beine Mathematik.

FuRTWÄNOLER, Phpf., Zut Theorie d, in Linearfaktoren zerlegb., ganzzahligen
temüren cub. Formen (Diss.). Göttingen , Vandenhoeck & Ruprecht. M. 1 . 60.

Hessens, LüDW. Otto, Gesammelte Werke. Hi-sg.von d.mathem.-physikal Klasse
der k. bayer. Akademie der Wissenschaften. München, Franz. M. 24.

GiLLMER, M., Elemente d. Algebra oderprakt.Anleitungz rationellen Erlernung
d. Auflösens d. Gleichungen vom 1 .— 3 . Grade. Ilmenau , Schröter, geb . M. 6 .

BoBEK, Karl, Einleitung in die projekt. Geometrie d. Ebene. Nach d. Vorträgen d.
Hm.C.KüpPBR bearbeitet. 2. wohlf. Ausgabe. Leipzig, B.G.Teubner. M. 2.

Kiepert, Ludw., Grundriss der Differential- und Integralrechnung. II. Teil.
Intralrechnung. 6. Aufl. des gleichnamigen Leitfadens von weil. Dr. Max
Steoehamn. Hannover, Hei wing. M. 11.50.

Tabelle der wichtigsten Formeln aus d. Integralrechn. Ebend. ML — . 60.

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Bibliograptiie. 93

Schubert, Herm., FünMellige Tafeln und Gegentafeln fQr logarithmisches und
trigonometrisches Bechnen. Leipzig, B. G. Teubner. geb. M. 4.

Henselin, Adf., Rechentafel, enthaltend das grosse Einmaleins bis 999 mal 999,
nebst einer Kreisberechnungstabelle. Berlin, Eisner. geb. M. 6.

BoLYAi DE BoLYA, WoLFG., Tcutamen inventutem studiosam in elementa math.
purae elementaris ac sublimioris methodo intuitiva evidentiaque huic pro-
pria introducendi, cum appendice triplici. Ed. IL Tom.L Conspectus arith-
meticae generalis. Mandato academiae scientiarum hungaricae suis atnota-
tionibus adiectis ediderunt Jul. König et Maur.Rethy. Budapestini (Berlin,
Friedländer & Sohn). geb. M. 40.

Junker, Fr., Die symmetr. Funktionen d.gemeinsch.Yariablenpaare tero. Formen.
Tafeln d.tem.synmietr. Funkt. v. Gewicht 1—6. Wien, GeroldsSohn. M. ö. 80.

Herrmann, OsK., Über algebr. Kurven, die sich beliebig eng an gegebene Kurven-
polygone anschliessen. Leipzig, Hinrichs Verlag. M. 1.

EiEM, J., Rechentabellen für Multiplikation und Division. Basel, Schweiz.
Verlagsdruckerei. M. 10.

Fricke, Ron., Hauptsätze der Differential- und Integralrechnung. 2. Teil.
Braunschweig, Vieweg & Sohn. M. 1. 50;

Krause, Aug., über Fuchs'sche Differentialgleichnungen vierten Grades.
Berlin, Mayer & Müller. M. 2.

Angewandte Mathematik.

Dietze, E., Graphische Tafeln zur Bestimmung des Umfangswiderstandes und
Zahndruckes bei Rädern. 2. (Titel-) Aufl. Leipzig (1876), Ruhl. M. 1. 50.

Völlers, B., Die Bestimmung der Normalprofile eiserner I- Träger mittels
logorith. und graph. Tabellen. Gotha, Gläser. M. 3.

Silber, O.H.P., Praktische Schattenkonstruktionen U.Perspektiven, Isometrio,
Dachdnrchdringungen und Dachausmittlungen. Berlin, Frantz. M. 12.

KiRCHHOFP, GusT., Vorlesungen über mathem. Physik. 1. Bd. Mechanik.
4. Aufl. Herausg. von Dr. W. Wien. Leipzig, B. G. Teubner. M. 13.

HeyNjRud., Hauptsätze d. Perspektive. 2.wohlf.Ausg. Leipzig(188ö),Felix. M. 5

Witt , G., Der Planet Saturn (aus „ Himmel u. Erde "). Berlin , Pätel. M. — . 80.

Handwörterbuch der Astronomie. 6— 8 Lfg. Breslau, Trewendt. aM.3. 60.

Königsberger, Leo, Über verborgene Bewegung imd unvollständige Pro-
bleme. Berlin, Reimer. M. 1.

Krümmel, Otto, Üb. Gezeitenwellen. Rektoratsrede. Kiel, Universitätsb. M. 1 . 40.

Örter, mittlere, von 622 Sternen und scheinbare örter von 460 Sternen,
nebst Reduktionstafeln für das Jahr 1899 und einem Anhang, enthalt,
mittlere Örter von 303 südl. Sternen für 1899. Berlin, Dümmler. M. 6.

BoLTZMANN, LuDW., Üb. c. mechau. Satz Poincares. Wien, Gerolds Sohn. M — . 30.

Braxjn, Carl, Die Gravitations- Konstante, die Masse und mittlere Dichte der
Erde nach einerneuen experim. Bestimmung. Wien, Gerolds Sohn. M. 5. 60.

Müller, O., Hilfstafeln f. praktische Messkunde, nebst logarithm. trigonometr.
Tafeln. Zürich, Schulthess. M.2.40.

Seil WARZSCHILD, K., Die Foincare'sche Theorie d. Gleichgewichts einer homo-
genen rotierenden Flüssigkeitsniasse. München, Franz. M. 5.

Debo, Ludw., Die Lage der neutralen Schichte bei gebogenen Körpern und
die Druckverteilung im Mauerwerke bei excentrischer Belastung.
Hannover, Schmorl & v. Seefeld Nachf. M. 1. 80.

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94 Historisch -litterarische Abteilung Bibliographie.

Beau, Otto, Die Berechnung der Sonnen- und Mondfinstemisse, Für den
Selbstunterricht entwickelt. Programm. Sorau, Zeidler. M — . 75.

ir. Teil. Tafeln und Rechnungsergebnisse. Ebendaselbst. M. — . 75.

Kutter, W. R., Bewegung des Wassers in Kanälen und Flüssen. 2. Aufl.
2. Abdr. Berlin, Parey. geb.M.7.

Holzmüller, Gust., Die Ingenieurmathematik in elem. Behandlung. l.Teil,
enthält die stat. Momente u. Schwerpunktslagen, die Trägheits- u. Centri-
fugalmomente f. die wichtigsten Querschnittformen u. Körper d. technischen
Mechanik in rechn. u. graph. Behandlung. Leipzig, B.G. Teubner. geb.M.5.

Schulte, A., Wirkungsweise des Wassers im Laufrade der Turbinen. Berlin,
Siemens. M —.80.

Thaa, Geg. Ritter v., Anleitung z. Gebrauche d. logarithm. Rechenschiebers für
die Zwecke des Tecknikers. Wien, Hof- und Staatsdruckerei. M. — .80.

LuDBNDORPP, Hans, Die Jupiter- Störungen der kleinen Planeten vom Hecuba-
Typus. Dissertation. Berlin, Mayer & Müller. M.2.

Physik und Meteorologie.

Weinhold, Adf., F., Vorschule der Experimentalphysik. 4. Aufl. Leipzig,
Quandt & Händel. M. 10.

Grätz, L., Die Elektrizität und ihre Anwendungen. 6. Aufl. Stuttgart^
Engelhom. M. 7.

Kohlrausch, Frdr, Statistik der Löslichkeit einer Gruppe von Salzen im
Wasser bei mittlerer Temperatur. Berlin, Reimer. M. — 50.

Planck, Max, Üb. irreversible Strahlungsvorg. 1. Mittig. Berlin, Reimer. M. — 50.

Warburg, E., Über die Verzögerung bei der Funkenentladung. Berlin,
Reimer. M. — 50.

LoHSE, 0., Untersuchung des violetten Teils einiger linienreicher Metall-
spektra. Berlin, Reimer. M. 1.

Zenger, K. W., Die Meteorologie der Sonne und das^Wetter im Jahre 1887,
zugleich Wetterprognose f. d. Jahr 1897. Prag, Rivnac. M. 1.44.

Hasenoehrl, Fritz, Über den Temperaturcoeffizienten der Dielektrizitäts-
konstante in festen Isolatoren. Wien, Gerolds Sohn. M. — .40.

Lampa, Ant., Über die Brechungsquotienten einiger Substanzen für sehrknne
elektrische Wellen. 2. Mittig. Wien, Gerolds Sohn. M -.20.

ExNER, Frz. und Haschek, E.^ Über die ultravioletten Funkenspektra der
Elemente. VL Mittig. Wien, Gerolds Sohn. M.-.40.

TuMLiRZ, 0., Die Abweichung des gesättigten Wasserdampfes vom Mariotte-
Gay-Lussac'schen Gesetze. Wien, Gerolds Sohn. M. — .30.

Wind, C. H., Über den dem Liouvilleschen Satze entsprechenden Satz der
Gastheorie, Wien, Gerolds Sohn. M.— .40.

Kahlbaum, Geo. W. A., Studien über Dampfspannkraffcmessungen. In Ge-
meinschaft mit C. G. v. WiRKNER und anderen Mitarbeitern. IL Abtlg.
I.Hälfte. Basel, Schwabe. M.8.

Kapp, Gisbert, Elektrische Wechselströme. Deutsche Ausgabe von Herm.
Kaufmann 2. Aufl. Leipzig, Leiner. M 2.

Bezold, Wilh. V., Zur Theorie des Erdmagnetismus. Berlin, Reimer. M. 2.

Langbein, H., Calorimetrische Heizwertbestünmung. Weimar, Stoinert. M. 1-

Biscan, Wilh., Die elektrischen Messinstrumente. Leipzig, Leiner. M.3.

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Mathematisches Abhandlungsregister.

1896.

Erste Hälfte: 1. Januar bis 30. Juni.

A.

Abelsohe Transoendenten.

1. Siir les fonctions ab<$liennes. H. Poincarr^. Compt. Rend. CXX, 239.

2. Sur une surface du sixieme ordre lide aiix fonctions abeliennes de genre trois.

G. Hurabert. Compt. Rend. CXX, 365, 425.

Absolute Geometrie.

3. Sur la g^omötrie non Enclidienne. Dauge. Mathesis, Ser. 2, VI, 7. — P. Mansion

ibid. 12.

4. Premiers principes de metag^omötrie P. Mansion. Mathesis, Ser. 2, VI,

Supplement.

5. La g^om^irie non enclidienne a%'ant Lobatchefsky. P. Mansion. Mathesis,

Ser.2, VI, Supplement.

Abz&hlende Geometrie.

6. Über die Ordnung der Enveloppe solcher ebenen Kurvenreihen , deren Individuen

sich in Gruppen von je w ordnen lassen, welche den Punkten einer
Geraden i)rojektiv sind. 0. Zimmermann. Crelle CXVI, 10.

AnaJytisehe Geometrie der Ebene.

7. Remarques sur les courbes d^finies par une ^quation differentielle du premier

ordre. Em. Picard. Compt. Rend. CXX, 522.

8. Constnüre un triangle dont les bissectrices sont donnees. Barbarin. Mathesis,

Ser. 2, VI, 143.

9. Propriet^^ de la lemniscate. Droz-Farny etc. Mathesis, S^r. 2,VI,49.

10. Propriet^s de la stropho'ide. Droz-Farny, Gillet, Klompers, Retali.

Mathesis, S^r. 2, VI, 97.

11. Sur une serie de limo9ons de Pascal. Droz-Farny, Klompers, Retali,

Verdeyen, Colart. Mathesis, Ser. 2, VI, 100.

12. Lieu de certains points de ddpai-t de trois tangentes ä une parabole scmi-

cubique. J. Gillet. Mathesis, Ser. 2, VI, 183.
Vergl. Ellipse. Kegelschnitt«. Kreis. Parabel.

AnaJytisohe Geometrie des Baumes.

13. Compte Rendu de la Geometrie reglde de G. Koenigs. A. Demoulin. Mathesis,

ser. 2, VI, Supplement.

14. On certain general properties of point transformations. J. Brill. Quart. Joum.

math. XXVII, 356.

15. Sur les droites de contact des courbes gauches et sur une famille de courbes

gauches. J. Andrade. Compt. Rend. CXXII, 1110.

16. Sur les courbes algebriques a torsion constante et sur les surfaces minima

algebriques inscrites dans une sphere. E. Cos s erat. Compt. Rend.
CXX, 1262.

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96 Historisch -litterarische Abteilung.

17. On twisted quartics of the second species. A. R. Forsyth. Quart. Journ.

math. XXVn, 247.

18. Sur deux figures correspondentes dana deux plans, dont Tune reste la pro-

jection gauche de l'autre tandis qu'un des plans toume. Hacken.
Mathesis, S^r. 2, VI, 187.
Vergl. Oberflächen. Oberflächen zweiter Ordnung.

Astronomie.

19. Sur rint^gration de T^quation diffdrentielle du rayon vecteur d'un certain

groupe des petites planstes. 0. Backlund. Compt. Rend. CXXII, 1103.

20. Sur un proc^dö de verification, api>licable un calcul des series de la Mecanique

Celeste. Poincarr^. Compt. R^nd. CXX, 57.

21. Sur le döveloppement approchd de la fonction perturbatrice. N. Coculesco.

Compt. Rend. CXX, 32.

22. Sur la valeur approchee des coefficienta des termes d'ordre ^leve dans le

d^veloppement de la partie principale de la fonction perturbatrice.
Adr. F^raud. Compt. Rend. CXXII, 871.

23. Sur le d^veloppement approchä de la fonction perturbatrice dans le cas des

in^galit^s d'ordre elevö. M. Hamy. Compt. Rend. CXXÜ, 980.

24. The motion of a satellite about a spheroidal planet. F. W. Dyson. Quart.

Journ. math. XXVII, 50.

25. Addition ä la thdorie du mouvement de Satume par Le Venier et rectification

des tables. A. Gaillot. Compt. Rend. CXX, 26.

26. Sur les lacunes dans la zone des petite's planetes. 0. Call andre au. Compt.

Rend. CXX, 585. [Vergl. Bd. XL, Nr. 327.]
Vergl. Chronologie.

Ausdehnungslehre.

27. Anwendung der Grassmann'schen Methoden auf die Theorie der Kurven und

Flächen zweiten Grades. Emil Müller. Crelle CXV, 234.
Vergl. Geschichte der Mathematik 185.

B.

Bestimmte Integrale.

28. Sulla definizione di integrale. G. As coli. Annali mat. Serie 2, XXIII, 67. -

G. Peano ibid. 153.

29. Sommation des series ä Taide des integrales definies. M. Petrovitch. Corapt.

Rend. CXX, 819.

30. Sur un mode de decomposition des integrales definies en dl^ments simple?.

M. Petrovitch. Compt. Rend. CXXÜ, 27.

31. Sur rint^gration des äquations lindaires a Taide des intc^grales definies.

L. Schlesinger. Compt. Rend. CXX, 1396.

32. Evaluation of two definite Integrals. A. R. Forsyth. Quart. Journ. math.

XX Vn, 216.

a.

33. Ddmontrer Tintdgrale fj/fes^ 2n» +^4 (a*— 6^^+ fe* dx== -^{a^-^b^

0 4V'2

E. Fauquembergue. Mathesis, Sdr. 2, VI, 22.
Vergl. Difl"erentialgleichungen 65. Gammafunctionen. Variationsrechniuip

C.

Chronologie.

34. Ableitung der Gauss'schen Formel zur Bestimmung des jüdischen Osterfestes.

M. Hamburger. Crelle CXVI, 90.

35. Sur la formation du calendrier. A. Auric. Compt. Rend. CXXI, 804. -

Flamant ibid. CXXH, 24.

Combinatorik.

36. Sur les s^quences des pennutations circulaires. D($s. Andre?. Compt. Rend

CXX, 714.

37. Relation entre des nombres combinationes. Stuyvaert. Mathesis, Ser. 2, VI, 256.

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Abhandlungeregister. 97

Determinanten.

38. Siir le convergence des ddterminants d'ordre infini et des fractions continues.

H. V. Koch. Compt. Rend. CXX, 144.

39. Sur leg dependances mutuelles des determinante potentiels. De Jon qu 16 res.

Compt. Rend. CXX, 408, 580. (Vergl. Nr. 415.)
Vergl. Diiferentialgleichungen 62.

Differentialgleichungen .

40. Sur rintegration des ^quations diiF^rentielles ordinaires. Alf. Guldberg.

Compt. Rend. CXXI, 49.

41. Sur Tapplication aux equations difFerentielles de mäthodes analogues ä Celles

de Galois. J. Drach. Compt. Rend. CXX, 73.

42. Sur l'ext^nsion des id<$es de Galois k la thdorie des equations diffdrentielles.

tm. Picard. Compt. Rend. XXI, 789.

43. Zur Theorie der Differentialgleichungen, die Fimdaraentalauflösungen besitzen.

A. Guldberg. Crelle CXV, 111.

44. Sur une classe d'^quations dont TinttSgrale g^n^rale est uniforme. £m. Picard.

Compt. Rend. CXX, 402.

45. Verallgemeinerung eines Satzes von den algebraischen Integralen der Differential-

gleichungen. L. Königsberger. Crelle CXV, 23.

46. Untersuchung und asymptotische Darstellung der Integrale gewisser Differential-

gleichungen, bei grossen reellen Werten des Arguments. Ad. Kneser.
Crelle CXVI, 178.

47. Sur une application de la mäthode de M. Darboux. Beudon. Compt. Rend.

CXX, 902.

48. Sur les invariants int^graux. G. Koenigs. Compt. Rend. CXXII, 25.

49. Sur certaines classes d'equations de Laplace ä invariants ^gaux. A. Thybant.

Compt. Rend. CXXII, 834.

50. Zur Theorie der algebraischen Differentialgleichungen erst-er Ordnung. G.Wal 1 e n-

berg. Crelle CXVI, 1.

51. Sur les äquations differentielles ordinaires du premier ordre. A. Korkine.

Compt. Rend. CXXU, 1183. — P. Painleve ibid. 1319.

52. Sur Tequation diff^rentielle binome du premier ordre M. Petrovitch. Comi)t.

R«nd. XXI, 632.

53. Sur une ^quation diff'erentielle du premier ordre. M. Petrovitch. Compt.

Rend. CXXÜ, 1261.

54. Sur r^quation de Lam^. G. Floquet. Compt. R<jnd. CXXI, 805.

d*U

55. On the Solution of Lamd's equation -=-^ = U[n(n-{'l)pi(-hB] inünitc tcrmn

when 2n is an odd number. L. Crawford. Quart. Journ. math. XXVII, 93.

56. Sur les invariants ponctuels de l'equation ditferentielle ordinaire du second

ordre. Tresse. Compt. Rend. CXX, 429.

57. Sur une Equation difterentielle du second ordre non lineaire et ä coefficients

doublement pdriodique. H. Gylddn. Compt. Rend. CXXII, 160, 586.

58. Sur les systemes en involution d'equations du second ordre. E. Goursat.

Compt. R€nd. CXXII, 1258.

59. Ü))er lineare Differentialgleichungen mit mehrwertigen algebraischen Koeffi-

cienten. L.W. Thomd. Crelle CXV, 33, 119,

60. Sur les dquations lineaires et la mdthode de Laplace. E Goursat. Compt.

Rend. CXXII, 169.

61. Über gemeinsame Vielfache linearer Differentialausdnicke und lineare Diffe-

rentialgleichungen derselben Klasse, L. Heffter. Crelle CXVI, 157.

62. Über den Zusammenhang zwischen den Fundamentaldeterminanten einer linearen

Differentialgleichung w^or Ordnung und ihrer n Adjungierten. E. Grün-
feld. Crelle CXV, 328.

63. Zur Theorie der linearen homogenen Differentialgleichungen. A. Gutzmer.

CreUe CXV, 79.

64. Über die bei den linearen homogenen Differentialgleichungen auftretende

Fundamentalgleichung. M. Hamburger. Crelle CXV, 343.

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98 Historisch -litterarische Abteilung.

65. Über die Integration linearer homogener Differentialgleichungen durch Qua-

draturen. L. Schlesinger. Grelle CXVI, 97.

66. Sur les equations differentielles Unfaires homogenes dont Tintegrale generale

est uniforme. G. Floquet. Compt. Rend. CXXI, 676.

67. Sur la thdorie du Systeme des ^quations diff(5rentielles. A. J. Stodolkievitz.

Compt. Rend. CXX, 86, 596, 826.

68. Sur rint^gration du Systeme des äquations differentielles. A. J. Stodolkievitz.

Compt. R^nd. CXX, 1037.

69. Application des invariants intdgraux ä la reduction au type canonique dun

Systeme quelconque d^öquations diffc^rentielles. G. Koenigs. Compt.
Rend. CXXI, 876.

70. Zur Integration derjenigen Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung,

deren Koefficienten unabhängige , unbestimmte Funktionen der unabhän-
gigen Veränderlichen sind. G. Bohlmann. Crelle CXV, 89. [Vergl. M
XLI, Nr. 83.]

71. Sui sistemi sinmietrici di equazioni a derivate parziali C. Somigliana. Annali

mat. Serie 2, XXII, 143.

72. Sur certains syst^mes d'^quations aux d^riv^es partielles. J. Beudon, Compt.

Rend. CXX, 304.

73. Sur Textension de la m^thode de Cauchy aux syst^mes d'^quations aux därivef^

partielles d'ordre quelconque. J. Beudon. Compt. Rend. CXXI, 808.

74. Extension du th^or^me de Cauchy aux syst^mes les plus g^n^raux d'equation?

aux d^riv^es partielles. E. Delassus. Compt. Rend. CXXII, 772.
76. Über die Reihenentwickelung der Integrale eines Systems von Differential-
gleichungen in der Umgebung gewisser singulärer Stellen. J. Horn.
Crelle CXVI, 265.

76. Sur les ^quations aux ddriv^es partielles ä coefficienta constant« et les fonctions

non analytiques. fim. Borel. Compt. Rend. CXXI, 983.

77. Sur un probläme relatif ä la ddtermination des integrales d'une ^quation aux

deriv^es partielles. E. Goursat. Compt. Rend CXXI, 671.

78. Sur la th^orie des ^quations aux d^riv^es partielles. Wlad. de Tannenberp.

Compt. Rend. CXX, 674.

79. Sur les ^quations unfaires aux d^riv^es partielles, fim. Borel. Compt. Rend.

CXX, 677.

80. Sur une classe ^tendue d'^quations lin^aires aux deriväes partielles dont tout«?

les integrales sont analytiques. Em. Picard. Compt. Rend. CXXI, 12.

81. Sur les equations Unfaires aux derivt^es partielles. Et. Delassus. Compt.

R^nd. CXXI, 46.

82. Sur une classe d'^quations Unfaires aux d6n\6e9 partielles. H. v. Koch. Compt

Rend. CXXI, 617.

83. Suir equazioni lineari alle derivate parziali del 2® ordine (tipo ellittico^ e

sopra una classificazione dei sistemi di linee ortogonali che si possono
tracciare sopra una superficie. P. Burgatt i. Annali mat. Serie 2,
XXIII, 226.

84. Sur la m^thode de M. Darboux pour l'int^gration des equations aux derivtK??

partielles du second ordre. E. Goursat. Compt. Rend. CXX, 542.
86. Sur la th(5orie des Equations aux d^rivees partielles du second ordre. E. G oursat.
Compt. Rend. CXX, 712.

86. Sur rintegration des equations aux deriv^es i)art.ielles lin^aires et du second

ordre ä caract^ristiques imaginaires. Le Roy. Compt. Rend. CXXII, 367.

87. Sur les Equations aux d^riv^es partielles du second ordre a caract^ristique^

imaginaires. Em. Picard. Compt. Rend. CXXII, 417.
Vergl. Astronomie 19. Bestimmte Integrale 31. Elasticität 102. Mechanik.

Differenzenreohnung.

88. Un contributo alla teoria delle forme lineari alle differenze. Etto. Borto-

lotti. Annali mat. Serie 2. XXIII, 309.

Dreiecksgeometrie.

89. La bibliographie de la g^ometrie du triangle. E. Vigarie. Mathesis, Ser. 2,^.

Supplement.

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Abhandlungsregister. 99

90. Le point de Lemoine et une lettre de Gerono ä Quetelet publice dans la

Correspondance math^matique' et physique. Mathesis, Sör. 2, VI, 255.

91. Sur les points milieux des hauteurs d'un triangle. Droz-Farny. Mathesis,

S^r. 2,VI,177.

92. Theoreme sur Torthocentre. Poort, Delahaye, Fairon, J. Jonesco,

Mathesis, Ser.2,VI, 123. — Colart, Barisien, Cristescu, DeNobele,
D^prez ibid. 124.

93. Centre de transversales angulaires Egales. G. Brocard. Mathesis, Sdr. 2,VI,

217. — J. Neuberg ibid. 221.

94. Sur trois droites mendes ä Faide d'un triangle et qui concourent en un meine

point. Soons, J. Neuberg. Mathesis, Sdr. 2, VI,67.

95. Sur les triangles k la fois semblables et homologiques. V. Jerabek. Mathesis,

S^r.2,VI,81.

96. Sur certains triangles. E. N. Barisien. Mathesis, S^r. 2, VI, 38 60.

97. Propri^t^s d'un triangle sur deux des cöt^s duquel on construit ext^rieurcment

des losanges. Ddprez etc. Mathesis, S^r. 2, VI,237.

98. Propridt^s du cercle circonscrit k un triangle en corabinaison avec le cercle

inscrit dans le triangle dont les sommets sont les milieux dos cöt^s du

Eremier. Droz-Farny, D^prez, B. Jonesco, Klompers. Mathesis,
^r. 2, VI, 260. — Critescu ibid. 261.

ElastiBität.

99. On Chree's problem of the rotating elastic ellipsoid. D. Edwarde s. Quart.

Joum. math. XXVII, 81.

100. The equilibrium of un isotropic elastic solid ellipsoid under the action of normal

surface forces of the second degree, and bodily forces derived from a
Potential of the second degree. C. Chree. Quart. Joum. math. XXVII, 338.

101. Deformazione di una sfera isotropa. Hob. Marc olongo. Annali mat. Serie 2,

xxm.ui.

102. Suir integrazione delle equazioni deir equilibrio elastico. Gius. Lauricella.

Annali mat. Serie 2, XXIII, 287.

103. Sur requilibre d'un corps älastique. H. Poincare. Compt. Rend. CXXII, 154.

Elektrizität.

104. Le Systeme du monde electrodynamique. Ch.V. Zenger. Compt. Rend. CXXI, 386.

105. Sur la m^thode de Neumann et le probleme de Dirichlet. H. Poincar^.

Compt. Rend. CXX, 347.

106. Sur la loi de transmission de l'^nergie entre la source et le conducteur, dans

le cas d'im courant permanent. Vaschy. Compt. Rend. CXX , 80.

107. Sur la nature du courant de d^placement de Maxwell. Vaschy. Compt.

Rend. CXX, 256.

108. Solution g^n^rale des equations de Maxwell pour un milieu absorbant homogene

et isotrope. Birkeland. Compt. Rend. CXX, 1046.

109. Sur le potentiel d'une surface electrisee. J. Andrade. Compt. Rend. CXX, 605.

Ellipse.

110. Sur les cordes qui joignent dans une ellipse les extremitt's de deux diametres

conjugues. J. J o n e s c o. Mathesis , S^r. 2, VI, 139.

111. Lieu de la projection d'un foyer d'une ellipse sur les normales a Tellipse.

Cl. Servais. Mathesis, Ser. 2, VI, 136.

112. Propriet(58 de Tellipse circonscrite i\ un triangle donn^ et ayant pour centre

son centre degravite. J. Jonesco. Mathesis, Ser. 2, VI, 23. — Cl. Servais
ibid. 25.

113. Sur la podaire de Fellipse. Jerabek. Mathesis, S(?r. 2, VI, 15.

114. Sur les points tels que deux normales abaissees sur une ellipse donnee soient

rectangulaires entre elles. Cl. Servais. Mathesis, Ser. 2, VI, 135.

115. Sur deux ellipses concentriques et homothdtiques. Cl. Servais. Mathesis,

Sdr. 2,VI,137.

116. G^n^ration d'une ellipse et d'une hyperbole confocalcs a une ellipse donnee.

Li^nard, D^prez. Mathesis, Ser. 2, VI, 262.

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100 Historisch -litterarische Abteilung.

117. Sur les circonf^rences ayant le centre sur une ellipse et jpour rayon lerayon du

cercle osculateur de Tellipse. Kulhoff. Mathesis, S^r. 2, VI, 73.
Vergl. Gleichungen 200.

Elliptische TranBoendenten.

118. La trasformazione , d'ordine pari, delle fanzioni ellittiche. Fr. Brioschi.

Annali mat. Serie 2, XXII, 313.

119. Nuove formole nella moltiplicazione e nella trasformazione delle funzioni

ellittiche. Fr. Brioschi. Annali mat. Serie 2, XXÜI, 73.

120. Sür requivalence des six formes diif^rentes d'expression des quadratures de

diffärentielles algöbriques r^ductibles aux integrales elliptiques. F. de
Salvert. Compt. Rend. CXX, 1034.

121. Sur deux formules connexes concernant les fonctions complfet^s de troisi^me

espece, relatives ä des modules compldmentaires. F. de Salvert. Compt.
llend. CXX, 1208.

122. Sur Taddition des arguments dans les fractions päriodiques du second ordre.

G. Fontenä. Compt. Rend. CXXU, 172.

123. ßulle funzioni a ellittiche pari. E. Pascal. Annali mat. Serie 2, XXIÜ, 181.

Vergl. Differentialgleichungen 57.

F.
Formen.

124. Über Fundamentalsysteme und bilineare Formen. G. Landsberg. Crello

CXVI, 331.
125 Dimostrazione algebrica del teorema di Weierstrass sulle forme bilineari
Ben. Calb. Annali mat. Serie 2, XXIÜ, 159.

126. On the arithmetical theory of conjugate binary quadratic forms. G. B. Matliew?

Quart.. Joum. math. XXVII, 230.

127. Über indefinite ternäre quadratische Formen. A. Meyer. Crelle CXV, 150.

CXVI, 307. [Vergl. Bd. XLI, Nr. 73.]

128. Sur le nombre des classes de formes quadratiques de ddterminant negatif.

M. Lerch. Compt. Rend. CXXi; 878.
Vergl. Differenzenrechnung.

Funktionen.

129. über einen neuen Fundamentalsatz in der Theorie der algebraischen Funk-

tionen einer Variabelii. K. Hensel. Crelle CXV, 254.

130. Zur Theorie der algebraischen Funktionen. L. Baur. Crelle CXVI, 167.

131. Abgekürzte algebraische Division bei quadratischem imd höherem Dirisor.

C. Reuschle. Zeitschr. Math. Phys. XLI, 93. [Vergl. Nr. 153.]

132. Sur les fonctions enti^res. Desaint. Compt. Rend. CXX, 548.

138. Demonstration ^^lementairo d'un thöordme de Mr. Picard sur les fonction?
entiöres. Em. BoreL Compt. Rend. CXXII, 1046. — fim. Picard ibid.
1048. — Hadamard ibid. 1257.

134. SurlespolynömesdeBemoulli. Sonin. Crelle CXVI, 133, 147. — Ch. He rmite

ibid. 139.

135. Sur les fonctions uniformes definies par Tinversion de differentielles totales

P. Painlevd. Compt. Rend. CXXII, 660.

136. Sur rinversion des systemes de differentielles totales. P. Painlevä. Compt.

Rend. CXXII, 769.

137. Sur une propriöt^ des fonctions m^romorphes. Em. Borel. Compt.R'end.CXX,303.

138. Sur les z^ros de la fonction (;(,s) de Riemann. Hadamard. Compt. Eend.

CXXII, 1470.

139. Sur les fonctions de deux variables reelles et sur la notion de fonction arbi-

traire. ftm. Borel. Compt. Rend. CXXI, 811.

140. Sur les groupes d'op^rations. Levavasseur. Compt. Rend. CXXü, 180, 516, 711.

141. Funktionalgleichun^en mit drei von einander unabhängigen Veränderlichen.

M. Cantor. Zeitschr. Math. Phys. XLI, 161.

142. Sur les äquations fonctionelles. Leau. Compt. Rend. CXX, 427.

Vergl. Abellsche Transcendenten. Bestimmte Integrale. Combinatorik. Deter-
minanten. Differentialgleichungen. Differenzenrechnung. Elliptische Trans-
cendenten. Formen. Gammafunktionen. Greometrie (höhere). Gleichungen.

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Abhandlungsregister. 101

Hyperelliptische Funktionen. Interpolation. Invariantenthorie. Ketten-
brüche. Mannigfaltigkeiten. Maxima und Minima. Quaternionen. Reihen.
Substitutionen. Symmetrische Funktionen. Thetafunktionen. Transforma-
tionsgruppen. Variationsrechnung.

G.

Gammafunktionen.

143. Sur la fonction log TiVi). Ch. Hermite. Grelle CXV, 201.

Geometrie (höhere).
U4. Introduzione alla geometria sopra un ente algebrico semplicemente infinito.
Cor. Segre. Annali mat. Serie 2, XXII, 42.

145. Über die endlichen Gruppen von Korrelationen. S.Kantor. Grelle GXVI, 171.

146. La geometria delle serie lineari sopra una curva piana secondo il metodo

geoetrico. E. Bertini. Annali mat. Serie 2, XXII, 1.

147. Sur les faisceaux r^guliers et les ^quilat^res d'ordire n. P. Serret. Gompt.

Rend. GXXI, 372.

148. Proprii^t^ de deux faisceaux homographiques Je quatre rayons. Gl. Servals.

. Mathesis, S^r. 2, VI, 26.

149. Girconfärence passant par deux faisceaux homographiques de maniere que

deux rayons homologues quelconques la rencontrent en des points en
involution. Gl. Servals. Mathesis, S^r. 2, VI, 134.

150. Zur Maßbestimmung in den einförmigen (irundgebilden. K. Doehlemann.

Zeitschr. Math. Phys. XLI, 266.

151. Sur les hyperboles equilatöres d'ordre quelconque. P. Serret. Gompt. Kend.

GXXI, 340.

152. Sur les ^quilateres comprises dans les equations

2«— 2 a»— 1

1 1

P. Serret. Gompt. Rend. GXXI, 438.

153. Geometrische Bedeutung der Partialbruchzerlegung. G. Reuschle. Zeitschr.

Math. Phys. XLI, 103. I Vergl. Nr. 131. [

154. Th^or^mes sur la spirale d'Archimede publies par Ghasles dans la Gorrespon-

dance math^matique et physique. Mathesis, Ser. 2, VI, 112.

155. fttude de la courbe aux trois foyers faite par Hachette dans la Gorres^jon-

dance math^matique et physique. Mathesis, Ser. 2, VI, 112.

156. Sur un quadrilat^re connexe sur les cötes duquel on a construit des triangles

isosceles. Droz-Farny. Mathesis, Ser. 2, VI, 181.

157. Engendrement d'une conchoide. Klompers. Mathesis, S(5r. 2, VI, 267. —

Barisien ibid. 259.

158. Die geometrischen Konstruktionen 3. und 4. Grades, ausgeführt mittels der

geraden Linie und einer festen Kurve dritter Ordnung. Fr. London.
Zeitschr. Math. Phys. XLI, 129.

159. Sur les courbes de quatriöme classe. G. Humbert. Gompt. Rend. GXX, 863.

Vergl. Absolute Geometrie. Abzählende Geometrie. Mehrdimensionale Geo-
metrie. Schliessungsaufgaben. Singularitäten.

Gesohlohte der Mathematik.

160. Extraction des racines carrees dans la Grece antique. V. V. Bobynin.

Zeitschr. Math. Phys. XLI, Hist. litter. Abtlg. 193

161. Esquisse de l'histoire du calcul fractionnaire. V.V. Bobynin. Biblioth.

math. 1896, 97.

162. Sur rinscription astronomique de Keskinto. P. T an n er y. Gompt. Rend. GXX, 363.

163. Geometrie mit konstanter Zirkelöffnung im Altertum. M. Kutta. Biblioth.

math. 1896, 16.

164. Nochmals der Jakobsstab. H. Suter. Biblioth. math. 1896, 13. [Vergl.

Bd. XLI, Nr. 106.]
166. Über die im Mittelalter zur Feldmessung benutzten Instrumente. M. Curtze.

Biblioth. math. 1896, 66. ^ j

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102 Historisch -litterarische Abteilung.

166. Johannes Anglicus und sein Quadrat. A. Steinschneider. Biblioth. math.

1896, 102.

167. Über die sogenannte Hegel Ta Yen in Europa. M. Curtze. Zeitscbr. Math.

Phys. XLI, Hist.Jitter. Abtlg. 81.

168. Zur Geschichte der Übersetzungen der Klementa im Mittelalter. M. Curtze.

Biblioth. math. 1896, 1.

169. Über Johann von Gemunden. M. Curtze. Biblioth. math. 1896, 4.

170. Die Mathematik bei den Juden. M. Steinschneider. Biblioth. math. 189ß.

33, 77, 109. iVergl. Bd. XLI, Nr. 108.1

171. Le commeutaire cle Jakob Ziegler sur la „Saphea'' de Zakali. ü. Eneström

Biblioth. math. 1896, 53.

172. Beitrag zur Geschichte der prosthaphäretischen Methode in der TrigonometnV

A. V. Braunmühl. Biblioth. math. 1896, 105.

173. Das Problem der kürzesten Dämmerung.' K. Zelbr. Zeitschr. Math. Phv^.

XLI, Eist, litter. Abtlg. 121, 158.

174. Ein Beitrag zur Geschichte der Physik im 14. Jahrhundert. M. Curtze

Biblioth. math. 1896, 48.

175. Sur la plus ancienne s^rie fran9ai8e d'observations thermometriques et meteoro-

logiques. Maze. fompt. Rend. CXX, 731.

176. Sur le premier thermometre ä mercure. Maze. Compt. Rend. CXX ,.732.

177. Sur le premier thermometre ä alcool utilis^ a Paris. Maze Compt. Rentl.

CXXI, 230.

178. Das Geburtsjahr von Johannes Hudde. J. Korteweg. Zeitschr. Math. Phvs

XLI, Bist, litter. Abtlg. 22.

179. Vandermonde's Vornamen. H. Simon. Zeitschr. Math. Phys. XLI, Hist. Htt»'r

Abtlg. 83.

180. Paolo Ruffini e i primordii della teoria dei gruppi H. Burkhard t. (E. Pascal.

Annali mat. Serie 2, XXII, 175. [Vergl. Bd. XXXVIH, Nr. 107.]

181. La traduction fran9aise de 1805 des Disquisitiones arithmetique de üaus>.

De Jonquiferes. Compt. Rend. CXXII, 829, 857.

182. Note bibHographique sur les femmes dans les sciences exactes. G. Eneström

Biblioth. math. 1896, 73. [Vergl. Bd. XLI, Nr. 101.]

183. Sur les d(?couvertes matht^matiques de Wronski. S. Dickstein. Biblioth.

math. 1896, 5. [Vergl. Bd. XL, Nr. 125. j

184. Riemaun e la sua importanza nello sviluppo della matematica moderna.

F. Klein (E. Pascal). Annali mat. Serie 2, XXm, 209.

185. Die Grassmann'sche Ausdehnungslehre. V. Schlegel. Zeitschr. Math. Phvs.

XLI, Hist. litter. Abtlg. 1, 41.

186. Nachruf auf A. Cayley (16. VIII. 1821—26. L 1895), L. Schäfli (15. I. 1814-

20. m. 1895), J. Dienger (5. XI. 1818 — 27. XL 1894). L. Fuchs. Crell»»
CXV, 349.

187. Notice sur A. Cayley. Ch. Herraite. Compt. Rend. CXX, 235.

188. Sur les travaux de Franz Neumann, f 23. V. 1895. J. Bertrand. Compt

Rend. CXX, 1189.

189. Notice sur les travaux de John Russell Hind, f 23. XII. 1895. F. Tisserand

Compt. Rend. CXXII, 17.

190. Ntoologue de Joseph Graindorge ^^9. VIIL 1843 — 23. L 1896). Mathesis,

S^r. 2,VI,48.

191. Zum Andenken an Ludwig Ofterdinger (18. V. 1810- 10. IV. 1896). H. Küuss-

berg. Biblioth. math. 1896, 50.
Vergl. Absolute Geometrie 5. Bestimmte Integrale 28. Dreiecksgeometrie 90
Geometrie (höhere) 164, 155. Kegelschnitte 217. Singularitäten 357.
Tetraeder.

Gleichungen.

192. Über den Eisenstein'schen Satz von der Irreduktibilität algebraischer Gleich-

ungen. L. Königsberger. Crelle CXV, 53.

193. Sur les racines multiples des ^quations. F. Brios chi. Compt. Rend. CXXI, 582.

194. Transformations de Pt^quation aj4«_i=o et cons^quences gi^ometriques qu'ou

peut en tirer. Stuyvaert. Mathesis, Ser. 2, VI, 229.

195. x* — bp^x-\-Sq'*=0 n'a pas de racine entiere, p ätant un nombre pair et«/

un nombre dift*<$rent dez^ro. E. Fauquembergue. Matjiesig, S^r. 2,n.30.

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Abhandhingsregister. 103

196. Didaktische Bemerkungen zur kubischen Crleichung. W. Hey mann. Zeitschr.

Math. Phys. XLI, 58, 326.

197. Probleme d'algebre tire de la Correspondance mathematique et physique.

Mathesis, S4r. 2, VI, 201.

198. Sur les raciues communea a plusieurs ^quations. W. Dyck. Compt. Rend.

CXX, 34. [Vergl. Bd. XL, Nr. 478.

199. Zur Theorie der Resultanten. E. Netto. Crelle CXVI, 33.

200. Elimination de deux inconnuea entre trois ^quations dont deux du troisieme

et une du second degre. E. Fauquembergue. Mathesis, S^r. 2, VI, 278.

201. Deux ^quations dont une cubique a au moins une racine reelle incommen-

ßurable quand Tautre a une racine entifere. E. Fauquembergue.
Mathesis, Sär. 2, VI, 54.

202. Sur les racines de certaines ^quations dtSpendantes entre elles. E. Fauquem-

l}ergue. Mathesis, S^r. 2, VI, 140.

203. Sur les machines algebriques. Leon. Torres. Compt. Rend. CXXI, 245.

204. Abaque de T^quation des mar^es diumes et semi-diumes. M. d'Ocagne.

Compt. Rend. CXXII, 298
Vergl. Geschichte der Mathematik 180. Symmetrische Funktionen.

H.

Hydrodynamik.

205. Recherches sur la houUe de mer. J. Boussinesq. Compt. Rend. CXX, 1240,

1310, 1381. CXXI, 15, 85.

206. Sur la pression int^rieure et le viriel des forces interieures dans les fluides.

E. H. Amagat. Compt. Rend. CXX, 489.

207. Theorie de Tecoulement tourbillonant et tumultueux. J. Boussinesq. Compt.

Rend. CXXII, 1289, 1369, 1446, 1517.

208. On elliptic cylindrical vortices, A. E. H. Love. Quart. Joum. math. XXVIl, 89.

209. On the small oscillations of the fii-st order of KirchhofTs elliptic vortex

cylinder. P. H. Co well. Quart. Joum. math. XXVII, 227.

210. Calcul des traiectoires fluides. P. E. Touche. Compt. Rend. CXXI, 157.

211. Die Wasserwellen. Kurz. Zeitschr. Math. Phys. XLI, 111.

212. Quelques consid^rations sur la construction des grands barrages, M. Levy.

Compt. Rend. CXXI, 288.

213. Expression de la charge supportee par l'arbre d'une turbine hydraulique en

marche. Th^or^me relatif a Teffet dynamique de Teau sur les aubages.
B. de Fontviolant. Compt, Rend. CXXI, 687.
Vergl. Nautik.

Hyperelliptische Funküoiien.

214. Relations difF^rentielles entre les päriodes des fonctions hyperelliptiques ^=2.

F. Brioschi. Crelle CXVI, 326.

I.

Interpolation.

215. Ein Analogon zu den Euler'schen Intei-polationsformeln. E. Netto. Zeitschr.

Math. Phys. XLI, 107.

Invariantentheorie.

216. Sur certains invariants relatifs au groupe de Hesse. Bou langer. Compt.

Rend. CXXII, 178.
Vergl. Differentialgleichungen 48, 49, 56, 69. Oberflächen 282.

K.

EegelBchnitte.

217. Discussion de T^quatiou gen(5rale du second degre publice par Ampere dans

la Correspondence mathematique et physique. Mathesis, S^r. 2, VI, 253.

218. Sur une propri^t^ focale des coniques k centre. Stuy%'aert. Mathesis,

S^r. 2, VI, 129.

219. Sur les coniques qui se touchent en deux points donn^s. V. Jefabek.

Mathesis, S^r. 2, VI, 37.

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104 Historisch -litterarische Abteilung.

220. Über Kreise , welche einen Kegelschnitt doppelt berühren. B. S p o r e r. Zeitschr.

Math. Phys.XLI, 200.

221. Sur les triangles equilatäraux inscrits ä une couique. E. N. Barisien.

Mathesis, S<^r. 2, VI, 14 — Droz-Parny ibid. 107.

222. Quadrilatere circonscrit a une conique et dont deux cöt^s sout parallele^

R. Buysens. Mathesis, S^r. 2, VI, 260.

223. Droites men^es par quatre points d'une conique a centre, tels que les normal»^>

ä la courbe en ces points soient concourantes. Buisseret. Mathesis^.
Ser. 2, VI, 207. — Barisien, Deprez, Droz-Farny ibid. 208.

224. Conique sur laquelle se trouvent les 6 points de rencontre des cöt^s non

homologues de deux triangles. Droz-Farny. Mathesis, Ö^r. 2, VI, 95. -
J. Neuberg ibid. 96. — Bastin, Deprez ibid. 97.
226. Sur un Systeme de coniques. J. Neuberg. Mathesis, Ser. 2, VI, 164.
Vergl. Ausdehnungslehre. Ellipse. Kreis. Parabel.

Eettenbrüohe.

226. Über Näherungswerte und Kettenbrüche. K. Th. Vahlen. Grelle CXV, 221.

227. Relations entre la fonction Besselienne de 1'« espece et une fraction contiiiue

J. H. Graf. Annali mat. S^rie 2, XXIlt, 45.
Vergl. Determinanten 38.

Kinematik.

228. Beitrag zur kinematischen Theorie der Gelenkmechanismen. Joh. Kleiber.

Zeitschr. Math. Phys. XLI, 177, 283, 281.

229. Sur un mode de description de la ligne droite au moven de tiges articulee'^

R. Bricard. Compt. R^nd. CXX, 69.

230. Toute surface alg(5brique peut etre diente par Ic moyen d'un Systeme arti-

cul^. G. Koenigs. Compt. Rend. CXX, 861.

231. Toute conditiou alg^brique imposee au mouvement d'un corps est realisal)le

par le moyen d'un Systeme articul^. G. Koenigs. Compt. R«nd. CXX, 981.

232. Sur le mouvement d'une figure plane dans son i^lan. A. Pellet. Compt

Rend. CXX, 1204

233. Sur le d^placement d'un triödre trirectangle autour de son sommet, la positiou

de ce tri^dre dependant de deux paramHres. M. Fouche. Coiupt.
Rend. XXII, 763.

Kreis.

234. Le cercles de Chasles. Droz-Farny. Mathesis, Ser. 2, VI, 193. — E.K. Bari-

sien ibid. 266. [Vergl. Bd. XLI, Nr. 147.]
236. Sur les cercles radicaux. J. J. Dur an Loriga. Mathesis, S($r. 2, VI, 105.

236. Enveloppe de Taxe radicale d'un cercle fixe avec un cercle mobile dont le

centre parcourt une circonfereuce donnee; extension dans Tespace.
Tzitzeica. Mathesis, S^r. 2, VI, 70.

237. Generation de deux circonfereuces ayaut pour centre de similitude un poiiit

donne. J. Neuberg. Mathesis, Ser. 2, VI, 83.
Vergl. Dreiecksgeometrie 98. Elli^jse 117.

M.

MagnetlBmuB.

238. Kraftwirkung eines Magnets auf einen anderen. Kurz. Zeitschr. Math.

Phys. XLI, 167.

239. Potentielle Energie eines Magnets. Kurz. Zeitschr. Math. Phys. XLI, 16y

240. Potential einer magnetischen Kugel. Kurz. Zeitschr. Math. Phys. XLI, 171

241. Die magnetische Induktion. Kurz. Zeitschr. Math. Phys. XLI, 175.

242. Solanoid, Ring- und Kugelspirale. Kurz. Zeitschr. Math. Phys. XLI, 226.

Mannigfaltigkeiten.

243. Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre. J. Thomae. Zeitschr. Math. PIiT«

XLI, 231.

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Abhandlungsregistei*. 105

Maxima und Minima.

244. On donne deux points Ä^ B et une droite d non situöa dans un meme plan.

Trouver sur la droite un point X dont la sonune des distances XÄ-^XB
aux points donn^s soit un minimum. Soons etc. Mathesis, S^r. 2,VI, 28.

Mechanik.

245. On a theorem of Jacobi in dynamics. A. C. Dixon. Quart. Journ. math.

XXVn, 362.

246. Sur rint^gration de Täquation diff^rentielle de Hamilton. P. Stäckel. Compt.

Rend. CXXI, 489. [Vergl. Bd. XL, Nr. 528. J

247. Une propriät^ des mouvements sur une surface. Hadamard. Compt. Rend.

CXXn, 983.

248. Condition d'immobilit^ d'un disque sous l'action de trois forces tangentielles.

J. Jonesco, Strymeersch, Klompers, Mandart. Mathesis, S^r. 2,
VI, 274.

249. Sur les forces de Tespace et les conditions d'equilibre d'une classe de systfemes

döformable. B. Mayor. Compt. Rend. CXXII, 1185.

250. Sur une classe de Solutions p^riodiques dans un cas particulier du probl^me

des trois corps. J. Perchat et J. Mascart. Compt Rend. CXX, 906.

251. Sur IMquilibre d'une enveloppe ellipsoidale. L. Lecornu. Compt. Rend.

CXXn, 218.

252. Studien über die Bewegungsvorgänge in der Umgebung instabiler Gleich-

gewichtslagen. A. Kneser. Crelle CXV, 808.

253. Sur Tentretien du mouvement du pendule sans perturbations. G. Lix)pmann.

Compt. B«nd. CXXII, 104.

254. Sur les Solutions pdriodiques du probl^me du mouvement d'un corps pesant

quelconque, suspendu par un de ses points. G. Koenigs. Compt.
Rend. CXXII, 1048.

255. Sopra due moti di Poinsot concordanti. Rob. Marcolongo. Annali mat.

Serie 2, XXII, 157.
266. Sur la rotation des solides. R. Liouville. Compt. Rend. CXX, 903.

257. A propos d'une conununication de Mr. R. Liouville sur la rotation des solides.

N. Jourkovsky. Compt. Rend. CXXÜ, 915.

258. Sur la rotation des solides et le principe de Maxwell. R. Liouville. Compt.

Rend. CXXU, 1050.

259. Sur la rotation d'un corps variable. L. Picart. Compt. Rend. CXXII, 1264.

260. Sülle rotazioni permanent! stabili di un sistema in cui sussistono moti intern!

stazionarii. V. Volterra. Annal! mat. Serie 2, XXin, 269.

261. Sur la Penetration d'un projectile dans les semi- fluides et les solides. H. Resal.

Compt. Rend. CXX, 397.

262. Sur le mouvement des projectiles dans l'air. Chapel. Compt. Rend. CXX, 677.

263. Sur la d^finition gänärale du frottement. P. Painlev^. Compt. Rend. CXX, 696,

264. Sur les lois du frottement de glissement. P. Painlev^. Compt. Rend. CXXI, 112.

265. Sur un mode nouveau de r^gulation des moteurs. L. Lecornu. Compt.

Rend. CXXII, 1188, 1322. — H. L^autd ibid. 1191.

266. Sur la forme de l'intrados des voütes en anse de panier. H. Resal. Compt.

Rend. CXX, 352.

267. Axo'ides de deux lignes planes. R Resal. Compt. Rend. CXX, 483.

268. Une propri^tö g^nörale des axoi'des. A. Mannheim. Compt. Rend. CXX, 671.

269. Sur les variations de l'ecrouissage des mötaux. F au ri e. Compt. Rend. CXX, 1407.

270. Sur les deformations permanentes et la rupture des corps solides. Compt.

Rend. CXXI, 343.

271. Sur les poutres droites continues solidaires avec leurs piliers. Eug. Laye.

Compt. Rend. CXX, 253.

272. Resistance des poutres droites ä traväes solidaires sur appuis eiastiques.

P. Toulon. Compt. Rend. CXXI, 872. CXXH, 304.

273. Sur des abaques des efforts tranchants et des moments de flexion d^veloppes

dans les poutres ä une trav^e par les surcharges du Reglement du
29. Vni. 1891 sur les ponts mötalliques. Marc. Duplaix. Compt. Rend.
CXXn, 128.

274. Marche et course en flexion. Comte & Regnaul t. Compt. Rend. CXXIL 401.

Hiat. - litt. Abt. d. Zeitschr. f. Math. u. Phys. 42. Jahrg. 1897. 8. Heft. ^^..,^^^ by VjOOQ IC

106 Historisch -litterarische Abteilung.

275. Du röle des membres post^rieura dans la locomotion du cheval. Le Hello.

Compt. Rend. CXXII, 1357.

276. Mesure du travail depense dans Temploi de la bicjclette. Bouny. Compt.

Kend. CXXH, 1391, 1528. — Marey ibid. 1395.
Vergl. Astronomie. Elastizität. Elektrizität. Hydrodynamik. Kinematik.
Magnetismus. Optik. Wärmelehre.

Mehrdimensionale Geometrie.

277. Sur Temploi d'une quatriöme dimension. De la Rive. Compt. Rend. CXX, 983.

278. Sur une g^n^ralisation de la formule de Faire du triangle sph^rique. H. Stouf f,

Compt. Rend. CXXH, 303.

X.

Nautik.

279. Theorie du tangage sur une mer houlease. A. Kril off. Compt. Rend. CXXII , 183.

280. fttude de la stabilit^ des navires par la m^thode des petits modeles.

J. Leflaive. Compt. Rend. CXXII, 704.

O.

Oberfl&ohen.

281. Sur la theorie des surfaces et des groupes alg($briques. fim. Picard. Compt.

Rend. CXX, 658.

282. Sur deux invariants noaveaux dans la theorie gdndrale des surfaces alge-

briques. fim. Picard. Compt. Rend. CXXII, 101.

283. Eine neue Formel für die mittlere Krümmung und das Krümmungsmaß einer

Fläche. V. Kommerell. Zeitschr. Math. Phys. XLI, 123.

284. Sur les lignes de courbure. Th. Craig. Compt. Rend. CXX, 672.

286. Sur les surfaces dont les lignes de courbure forment un r^ssau a invariants
tangentiels egaux. A, Thybaut. Compt. Rend. CXXI, 519.

286. Sur les surfaces ä lignes de courbure sph^riques. E. Blutel. Compt. R«ncl.

CXXn, 301.

287. Sur les courbes trac^es sur une surface et dont le Sphäre osculatrice est

tangente en chaque point ä la surface. E. Cosserat. Compt. Rend.
CXXI, 43.

288. Sur les lignes asymptotiques. E. Goursat. Compt. Rend. CXXH, 693.

289. On the continuous deformation of surfaces. D. B. Mair. Quart. Joum. math.

xxvn, 1.

290. Sur la deformation des surfaces. P. Adam. Compt. Rend. CXXI, 551.

291. Zur simultanen Transformation quadratischer Diftereutialformen. J. Knob-

lauch. Crelle CXV, 185.

292. Sur les transformations biuniformes des surfaces alg^briques. P. Painleve.

Compt. Rend. CXXII, 874.

293. Di alcune superficie che ammettono un sistema di linee eguali e un secondo

sistema di linee eguali, o simili. Grem. Pirondini. Annali mat.
Serie 2, XX HI, 93.

294. Sur le roulement de deux surfaces Tune sur l'autre. E. Cosserat. Compt.

R«nd. CXXI, 936.

295. Sur un Systeme triple ortogonal. P. Adam. Compt. Rend. CXXI, 812. —

E. Goursat ibid. 888. — J. Bertrand ibid. 921.

296. Konstruktion der Schmiegungsebenen der Schnittkurve zweier Kegel. A. Beck.

Zeitschr. Math. Phys. XLI, 221.

297. On geodesic torsion. G B. Mathews. Quart. Joum. math. XXVII, 145.

298. Simmetria ortogonale rispetto a una superficie di revoluzione. Gem. Piron-

dini. Anuali mat. Serie 2, XXII, 213.

299. Sulla costruzione della superficie del 3* ordine individuata da 19 punti.

M. Panne 11 i. Annali mat. Serie 2, XXII, 237.

300. Über Isogonalflachen. L. Heffter. Crelle CXV, 1.

301. Über Modellierung von Isogonalflächen. L. Heffter. Zeitschr. Math. Phvs.

XLI, 168.

302. Propri^te nouvelle de la surface de Tonde. A. Mannheim. Compt. Reud.

CXXII, 708.

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Abhandlungsregister. 107

303. Sur les surfaccs aspidales. A. Mannheim. Compt. Rend. GXXII, 1396.

Vergl. Aber sehe Transcendenten 2. Differentialgleichungen 83. Kinematik 230.
Mechanik. Singularitäten. Transformationsgruppen.

Oberfl&ohen zweiter Ordnung.

304. Über die Konstruktion der Fläche zweiten Grades aus 9 gegebenen Punkten.

H. Liebmann. Zeitschr. Math. Phys.XLI, 120. — Joh. Kleiber ibid. 228.
Vergl. Ausdchnungslehre.

Optik.

305. Examples of the characteristic function. A.K.Hermann. Quai*t. Journ. math.

XXVII, 191.

306. Principe d'Huygens dans les corps isotropes. E. C arvall o. Compt. Rend.

CXX, 88. [Vergl. Bd. XL, Nr. 603.]

307. Sur le spectre cannelä. H. Poincarö. Compt. Rend. CXX, 757. — A. Schuster

ibid. 987.

308. Les rayons cathodiques et les vibrations longitudinales de l'ether. H. Poin-

care. Compt. Rend. CXXI, 792. CXXU, 76, 520, 990. - G. Jaumann
ibid. CXXII, 74, 517, 988.

309. Sur la caustique d'un arc de courbe r^flt^chissant les rayons ^mis par un point

lumineux. A. Cornu. Compt. Rend. CXXII, 1455.

310. Sur Tentrainement des ondes lumineuses par la mati^re en mouvement.

G. Foussereau. Compt, Rend. CXX, 85.

311. Sur le passage de la lumifere a travers une lame mince dans le cas de la

reflexion totale. Ch. Fabry. Compt. Rend. CXX, 314.

312. Ab8oq>tion de la lumiere dans les cristaux uniaxes. G. Moreau. Compt.

Rend. CXX, 602.

313. Sur Tabsorption de la lumiere i)ar les milieux dou^s du pouvoir rotatoire.

E. Carvallo. Compt. Rend. CXXII, 985.

314. Sur la dispersion rotatoire anomale des milieux absorbants cristallises.

G. Moreau. Compt. Rend. CXX, 258.

315. liecherches spectrales sur la rotation et les mouvements des planetes.

H. De sl andres. Comi)t. Rend. CXX, 417. - H. Poincare ibid. 420.

P.

FarabeL

316. Le Probleme de la duplication du curbe au moyen d'une parabole. G. de

Longchamps. Mathesis, Ser. 2, VI, 245.

317. Sur les paraboles ayant un diamötre commun et touchant une droite donnt'e

au bout de ce diamötre. Stuyvaert. Mathesis, S^r. 2, VI, 92.

318. Paraboles touchant une droite donnäe en un point donn^, leur directrices

passant par un point donnä. Droz-Farny, Däprez, Buisseret,
Gob. Mathesis, Ser. 2, VI, 50. -— Deprez, J. Jonesco ibid. 51.

319. Parabole lieu des points tels que, si Ton mäue les trois normales ä une

parabole donn^e, le cercle passant par les seconds points de rencontre
des normales avec la parabole ait son centre sur Taxe de la parabole.
Bastin, Cristescu, J. Jonesco. Mathesis, S^r. 2, VI, 26.

320. Sur les normales de deux points ä. une parabole donnde. Cristescu, Bari-

ßien, J. Jonesco. Mathesis, S^r. 2, "VI, 180.

321. Propri^t^ du triangle dont les sommets sont les pieds des normales abaissees

d'un point sur une parabole et du second triangle formd par les tan-
gentes en ces trois points. Cristesco. Mathesis, Ser. 2, VI, 332. —
Droz Farny, H. Brocard ibid. 234. — Däprez ibid. 236.

322. Parabole lieu de la protection du centre d'osculation d'une parabole sur la

droite qui Joint le foyer au point d'osculation. Ddprez. Mathesis,
Sär. 2, VI, 188.

323. Parabole lieu du centre du cercle circonscrit ä un triangle dont les sommets

se trouvent sur une autre parabole. GiUet etc. Mathesis, S<^r. 2, VI.
98. — Cristescu etc. ibid. 99.

324. Thdoremes sur une parabole et un cercle. Schonte, Bast in, Ddprez,

Droz-Farny, Verdeyen, J. Jonesco, V. Cristescu. Mathesis,

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108 Historisch -litterarische Abteilung.

S^r. 2, VI, 116. — Cl. Servais ibid. 120. — Klompers, Buisseret,
Buysens, Colart, Polak, B. Jonesco, Ratali ibid. 122.
326. Cordes d'une parabole qui en enveloppent une autre. Cristesco. Mathesis,
S^r. 2, Vi, 275.
Vergl. Quadratur 839.

Planimetrie.

326. Zur Übertragung der Rechnungsarten auf die Greometrie, insbesondere über

die Möglichkeit der Multiplikation von Strecken mit Strecken. H. Voll-
precht. Zeitschr. Math. Phys. XLI, 276.

327. Sur une nouvelle d^monstration du postulatum d'Euclide. P. Mansion

Mathesis, S^r. 2, VI, 109. — M. Frolov ibid. 225.

328. A rigorously euclidean demonstration of the theory of parallel straight lines

to be introduced immediately after Eucl. I, 26. Thos. CuUovin.
Quart. Journ. math. XXVII, 188, 226. — A. E. H. Love ibid. 363.

329. Sur le problfeme de mener par un point 0 situ^ dans Tangle GAB une

transversale MN formant un triangle MAN d'aire donn^e, probleme
trait^ dans la Correspondance math^matique et physique. Mathesis,
Sär. 2, VI, 200.

330. Un triangle est isosc^le s'il a deux bissectrices int^rieures Egales. G. Tarry.

Mathesis, S^r. 2, VI, 41.

331. La base BC d'un triangle -4.BC est divis^e harmoniquement aux points D,E;

quellesvaleurs prend J.2)*-i-J.^*? Klompers. Mathesis, S^r. 2, VI, 189.

332. Propriötäs d'un triangle sur les cöt^s duquel on a construit exterieurement

des carr^s. Droz-Farny etc. Mathesis, Sdr 2, VI, 49.

333. Construire un pseudocarr^, connaissant les longueurs de trois cöt^s. Klom-

pers, Colart. Mathesis, S^r. 2, VI, 62. — Droz-Farny, J. Jonesco
ibid. 63. — Ddprez ibid. 76.

334. Pseudocarr^ construit au moyen d*un autre. Droz-Farny. Mathesis, Ser. 2,

VI, 94. — Döprez, J. Jonesco ibid. 95.
336. Sur une transversale d'un parall^logramme donn^ qu'on fait tourner autour
d'un point fixe. Hacken, Klompers, Poort. Mathesis, Sdr. 2,VI,69.

336. Sur les projections d'un point sur les cötds d'un quadrilat^re. Colart.

Ddprez, Klompers. Mathesis, S^r. 2, VI, 209.

337. Sur un Systeme de quadrilat^res. Klompers, Droz-Farny. Mathesis,

St^r. 2, VI, 190.
Vergl. Dreiecksgeometrie. Kreis.

Quadratur.

338. Aire des paraboles d*ordre sup^rieur. H. Schonte. Compt. Rend. CXXIT,

1118. -- D. J. Korteweg ibid. 1399. G. Mannoury ibid. 1399.

339. Sur Taire d'une partie de la parabole. Mendeleef. Compt. Rend. XXI, 421.

340. Aires et volumes relatifs a la chainette. C. E.Was teels. Mathesis, S^r. 2^ VI, 241.

341. P^rimetre et aire de la podaire d'une cardioYde et le sa developp^e. Fairen.

Mathesis, S^r. 2, VI, 186.
Vergl. Mehrdimensionale Geometrie 278.

Quatemionen.

342. Zur Theorie der Vektoren und Quatemionen. Beez. Zeitschr. Math. Phvs.

XLI, 35, 6.^

Keohnen.

343. Sur la d^finition de la multiplication. Laisant et Lemoine. Mathesis«,

Ser. 2, VI, 85.
Vergl. Geschichte der Mathematik 161. Planimetrie 326. WurzelausziehuDjr
Zinseszins.

lEteihen.

344. Sur la divergence des st^ries de la m^canique Celeste. H. Poincare. Coropt.

Rend. CXXII, 497, 557.

345. Sur la sommation des series divergentes. £ m. B o r e 1. Compt. Rend. CXXI , 1 ! 25

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Abhandlungsregister. \()Q

346. Sur la g^neralisation de la notion de limite et sur Textension aux s^ries

divergentes sommables du th^oröme d'Abel 8ur les s^ries enti^res.
fim. Borel. Compt. Rend. CXXII, 73.

347. Applications de la thäorie des söries devergentes sommables. fim. Borel.

Compt. Rend. CXXII, 805.

348. Sur le thäoreme de Taylor transform^. N. U. Bougaief. Compt. Rend.

XCCI, 1127.

349. Sur le thdor^me de Taylor avec Tapproximation du troisi^me degr^. N. Bou-

gaief. Compt. Rend. CXXII, 369.

350. Sur le d^veloppement des fonctions en s^rie ordonnee suivant les puissances

du sinus et du cosinus de la variable. F. GomesTeixeira. Grelle CXVI, 14.

351. Sur une suite r^currente. J. Neuberg. Mathesis, S^r. 2, VI, 88.

352. Sur une extension du th^oreme de Laurent. Ch. Hermite. Crelle CXVI, 85.

353. Über einige unendliche Produkte und Reihen. 0. SchlÖmilch. Zeitschr.

Math. Phys. XLI, 127.

354. Products and series involving prime numbers only. J. W. L. Glaisher.

Quart. Joum. math. XXVII, 270.
356. On Hamilton's numbers. G. B. Mathews. Quart. Journ. math. XXVII, 184. —
J. C. Glashan ibid. 242.
Vergl. Astronomie 20, 21, 22, 23. Bestimmte Integrale 29. Differential-
gleichungen 75. Funktionen 134. Symmetrische Funktionen. Wurzel-
ausziehung 408.

Sohliessungsaufgabe.

356. Über Steiner'sche Kugelketten. K. Th. Vahlen. Zeitschr. Math. Phys. XLI, 158.

Singularit&ten.

357. Memoire de Michel Reiss date de 1832 et publie dans la Correspondance mathe-

matique et physique sur des propri^t^s des courbes algebriques. Mathesis,
Sdr. 2, VI, 42

358. Über Singularitäten ebener algebraischer Kurven. W. Köstlin. Zeitschr.

Math. Phys. XLI, 1.

359. Über die doppelpunktige Focalkurve. R. M ü 1 1 e r. Zeitschr. Math. Phys. XLI, 62.

360. Über die Doppelpunkte der algebraischen Curven. H. Oppenheimer. Zeitschr.

Math. Phys. XLI, 305.

361. Über die ebenen Kurven vierter Ordnung vom Geschlechte eins. H. Lieb-

mann. Zeitschr. Math. Phys. XLI, 86.

362. Sur une question concemant les points singuliers des courbes gauches alge-

briques. G. B. Guccia. Compt. Rend. CXX, 816.

363. Über einige Arten singuUlrer Punkt« von Raumkurven. A. Med er. Crelle

CXVI, 50, 247.

364. Sur les Varietes unicursales ä deux dimensions. L. Au tonne. Compt. Rend.

CXXI, 673.

365. Sur les variet^s unicursales a trois dimensions. L. Autonne. Compt. Rend.

CXXI, 881, 1129.

366. Sur les points double« d'un faisceau de surfaces algebriques. G.B. Guccia.

Compt. Rend. CXX, 896.

Sph&rik.

367. Eine neue Ableitung der harmonischen Eigenschaften des Vierecks. A.W.

Veiten. Zeitschr. Math. Phys. XLI, 332.

368. On the nine -points circle of a spherical triangle. A. Caylev. Quart. Joum.

math. XX VII, 35.

369. Dans deux triangles spheriques ayant leurs cötes propoi-tionnels los angles du

Slus petit triangle sont moindres que ceux de Tautre. P. Mansion.
[athesis, S^r. 2, VI, 114.

370. On a little- circle spherical triangle. E. C. Hudson. Quart. Joum. math.

XXVn, 378.
VergL Kreis 236. Trigonometrie 397.

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110 Historisch - litterarische Abteilunfr.

Bubstitatdonen.

371. Complemento alle cicerche sulle forme quaternarie quadratiche e sui ^ipju

poliedrici. L. Bianchi. Annali mat. Serie 2, XXUI, 1. [Vergl. Bd. XL.
Nr. 247.]

372. Sur les substitutions. Zochios. Compt. Rend. CXX, 766.

373. Sur la th^orie des substitutions ^changeables. Demeczky. Compt.Rend.CXX, 39.

374. Sur un mode de formation de certains groupes primitifs. £dm. Maillet.

Quart. Journ. math. XXVII, 119.

375. Application de la th^orie des substitutions k celle des carrt^s magiqueg.

Edm. Maillet. Quart. Journ. math. XXVII, 182.

376. Sur les types de groupes de substitutions dont l'ordre ^gale le degn-,

R. Levavasseur. Compt. Rend. CXX, 822, 899, 1206. CXXI, 238.

377. Sur une catdgorie de groupes de substitutions associös aux groupes dont

Tordre egale le degrd. R. Levavasseur. Compt. Rend. CXX, 1206.

378. Sur les groupes d'op^rations. R. Levavasseur. Compt. Rend. CXXIl,

180, 616, 711.

379. Sur les substitutions rdguliferes non Unfaires. Au tonne. Compt. Rend.

CXXn, 1048.

380. Intransitive Substitution groups of 10 letters. Geo. A. Miller. Quart. Journ.

math. XXVII, 99.

381. Sur les groupes de substitutions. A. Miller. Compt. Rend. CXXII, 370.

382. List of the transitive Substitution groups of 10 and of 11 lett<?rs. F. N. CoIp.

Quart. Journ. math. XXVII, 39.

383. On the 60 icosahedral substitutions. A. C ay 1 ey. Quart. Journ. math. XXVII, i36.

Symmetrisohe Funktionen.

384. Die elementaren symmetrischen Funktionen und die Potenzsuramen einer

oder mehrerer Reihen von Veränderlichen. Fr. Junker. Zeitschr. Math.
Phys. XLI, 199.

T.
^ Tetraeder.

385. Ilistorique des Problemes d'Est^ve et de Bruno sur le tetraMre extrait de la

Correspondance mathdmatique et physiqne. Mathesis, St$r. 2, VI, 18.
Vergl. Zahlentheorie 424.

Thetafunktionen.

386. Über eine Darstellung der Richtungscosinus zweier orthogonalen Koordinaten-

systeme durch Thetafunktionen zweier Argumente, welche die Lösunfj
mehrerer Probleme der Mechanik als Spezialfälle umfasst. Fr. Kötter.
Crelle CXVI, 213. ^

Transformationsgxuppen.

387. Sur la det^rmination des ^quations des groupes Continus finis. E. Vessiot.

Compt. Rend. CXX, 77.

388. Sur certains groupes algdbriques. E. Cartan. Compt. Rend. CXX, 544.

389. I gruppi continui proiettivi semplicemente infiniti nello spazio ordinario

G. Pittarelli. Annali mat. Serie 2, XXII, 61.

390. Sur les surfaces algdbriques admettant un groupe continu de transformation'j

birationelles en elles meme. G. Castelnuovo et F. Enriques. Compt.
Rend. CXXI, 242. — P. Painlevö ibid. 318.

391. Sur les groupes parametres dans la th^orie des substitutions. Ed. Maillet.

Annali mat. Serie 2, XXIII, 199.

392. Sur un groupe continu de transformations avec 28 parametres qu'on rencontre

dans la thdorie de la deformation des surfaces. P. Stäckel. Compt.
Rend. CXXI, 396.
Vergl. Geschichte der Mathematik 180.

Trigonometrie.

i A ^ COS 3ß •

893. Sur la formale approximative x = sinx- — . P. Mansion. Mathesis,

^^ 9 + 6COSJC

Ser. 2, VI, 84.

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Abhandlungsregister. Hl

394. Cber algebraische Beziehungen an einem symmetrischen Kreisscchseck.

M. Stern. Zeitschr. Matii. Phys. XLI, 272.

395. Trois droites se rencontrant en un point. Bast in, D^prez. Mathesis,

S^r. 2, VI, 125.

396. Resoudre un Systeme de deux t^quations trigonometriques. Hacken, B. Jonesco.

D^prez, Mandart. Mathesis, S^r. 2, VI, 277.

397. Der Resultantenbegriff in der sphärischen Trigonometrie. Franz Meyer.

Grelle CXV, 209.
Vergl. Geschichte der Mathematik 172. Zahlentheorie 487.

V.

Variationsreohnung.

398. Sur les probl^mes de variations qui correspondent aux droites de Tespace.

G. Koenigs. Compt. Itend. CXXI, 1122.

399. Sur les probl^mes de variations relatifs aux integrales doubles. G. Koenigs.

Compt. Rend. GXXII, 126.

W.
Wärmelehre.

400. Sur le probl^me de Fourier. E. Le Roy. Compt. Rend. CXX, 179, 599.

401. Sur la th^orie des gaz. J. Bertrand. Compt. R«nd. CXXII, 963, 1083, 1174,

1314. — Bolzmann ibid. 1173, 1314.
4U'2. Die Elastizitätskoefficienten und die Wellenbewegungserscheinungen als Funk-
tionen der Molekula'tgewichte und spezifischen Wärme. 0. Förster.
Zeitschr. Math. Phys. XLI, 258.

403. Erwärmung flüssiger und fester Körper durch Druck. Kurz. Zeitschr. Math.

Phys. XLI, 113.

404. Adiabatische Ausdehnung realer Gase. Kurz. Zeitschr. Math. Phys. XLI, 117.

Wahrsoheinliohkeitsreohniing:.

406. Sur une application de la thdorie de la probabilit^ des erreurs aux nivelle-
ments de haute pr^cision. M. d*Ocagne. Compt. Rend. CXX, 717.

406. Sur la m^thode des moindres carr^s. J. Andrade. Compt. Rend. CXXII , 1400.

WurzelatuBziehnng:.

407. Sur les valeurs principales des radicaux. De Tilly. Mathesis, Ser. 2,VI, 5.

[Vergl. Bd. XLI, Nr. 240.]

408. Nouvelle m^thode pour extraire les racines des nombres. M. V. Prada.

Compt Rend. CXXI, 635.
Vergl. Geschichte der Mathematik 160.

Z.

Zahlentheorie.

409. Elementarer Beweis des Satzes, dass in jeder unbegrenzten arithmetischen

Progression my-\-l unendlich viele Primzahlen vorkommen. E. Wen dt.
Crelle CXV, 85.

410. Nouveaux theorömes d'arithm^tique. P. Pepin. Compt. Rend. CXX, 1254.

[Vergl Bd. XL, Nr. 667.]

411. Du meilleur Systeme de num^ration et de poids et mesures. E. Gelin.

Mathesis, S^r. 2, VI, 161.

412. Über den grössten gemeinsamen Teiler aller Zahlen, welche durch eine

ganze Funktion von n Veränderlichen darstellbar sind. K. Hensel.
Crelle CXVI, 350.

413. Sur le cas g^n^ral de la division des nombres entiers. M. Stuyvaert.

Mathesis, Sär. 2, VI, 21.

414. Sur le moindre multiple. Stuyvaert. Mathesis, S^r 2, VI, 198, 229.

415. Demonstration d'un th^oröme sur les nombres entiers. De Jonqui^res.

Compt. Rend. CXX, 634. [Vergl. Nr. 39.]
410. Sur une question d'algfebre qui a des Kens avec le demier thäorenie de

Fermat. De Jonqui^res. Compt. Rend. CXX, H39, 1236.
417. Quelques propri^t^s des racines primitives des nombres premiers. De Jon-

qui^res. Compt. Rend. CXXII, 1451.

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112 Historisch -litterariscbe Abteilung. Abliandlungsregister.

418. Quelques propri^tes des racines secondaires des nombres premiers. De Jon-

qui^res. Compt. Rend. CXXII, 1613.

419. On tbe reduction of Kroneckers modular Systems. H. Hancock. Quart.

Journ. niath. XXVII, 147.

420. Dj^monstration d'un th^oreme de Tch^ychef. A. Markoff. Compt. Rend.

CXX, 1032.

421. Cyclic numbei-s. L. E. Dickson. Quart. Journ. math. XXVH, 366.

422. Sur quelques th^orfemes de Tarithmologie. N. Bougaief. Compt. Rend. CXX, 432.

423. Sur les fractions d^cimales p^riodiques mixt«s. N. Socolof. Matheais,

S^r. 2, VI, 132.

424. Rationale Tetraeder. K. Schwering. Crelle CXV, 301.

425. Un nombre parfait impair (s'il en existe) est le somme de deux carres.

Stuyvaert. Mathesis, S^r. 2, VI, 132.

426. Pour quelles valeurs de n la somme des carres des n premiers triangulaires

divisäe par le somme des n premiers triangulaires est eile an carre
parfait? E. Fauquembergue. Mathesis, Ser. 2, VI, 101.

427. Decomposition de (a'-i-5*)* en somme de trois ou de quatre carrös. Sooni

Miathesis, S^r. 2, VI, 27. — E. Fauquembergue ibid. 274.

428. Nombres triangulaires qui, augmentäs d'une unite deviement des carres.

E. Fauquembergue. Mathesis, S^r. 2, VI, 28.

.«.V c 11 ' X- w(«4-l)(wH-2)(n-f-3) , T^ Ti 1. xr ^x.

429. Sur Tequation ■— ^ ^\ ^ -=p^. E. Fauquembergue. Mathesis,

Sär. 2, VI, 76.

430. Sur les racines de ic'-l-2=y*. E. Fauquembergue. Mathesis, S^r. 2, VI, 191.

431. Sur r^quation v*-\-x*-\-y^=2 z\ la forme des valeurs de i', ar, y etant dQpnee.

E. Fauquembergue. Mathesis, S^r. 2, VI, 210, 212.

432. Fable des nombres triangulaires. Arnaudeau. Compt. Rend. CXX, 248. -

Bouquet de la Grye ibid. 976.

433. Sommes de quatre et de trois triangulaires. J. J o n e s c o. Mathesis , Ser. 2, VI, 134.

434. La somme des puissances semblables des x premiers nombres, augmenK^*

en diminuäe de Tunit^, est divisible par x-\-2. E. Fauquembergue
Mathesis, Sdr. 2, VI, 127.

r^^-^-l

435. Sur la cougruence ^qr{modp). D. Mirimanoff. Crelle CXV, 295

436. Probl^mes d'arithmologie. E. (lelin. Mathesis, S^r. 2, VI, Supplement.

437. Sur les Solutions enti^res .r^ . .o;«, Xj . . . x«, ^• de Tequation rc^ acrtg-+Jrj

arctg- + . •+.'r«arctg- = ^''*^. C.Storner. Compt.Rend.CXXn,175,225
Xg 'An 4

438. Sur l'equation - ■ z=--\-z. Stuyvaert. Mathesis", S^r. 2, VI, 131.

Vergl. Chronologie 34. Formen. Geschichte der Mathematik 167, l^i
Kettenbriiche 226. Reihen 354. Substitutionen 375.

Zinseszins.

439. Sur le calcul des annuites viageres. E. Fagnart. Mathesis, Sör. 2, VI, W

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Historisch-litterarische Abteilung.

Quadrat- und Kubikwurzeln bei den Griechen
nach Heron'8 neu aufgefundenen MetQixa.

Von

Maximilian Curtze

in Thorn.

Es sind wohl kaum über irgend eine strittige Frage des griechi-
schen Altertums eine grössere Zahl Vermutungen aufgestellt worden
als über die Art, wie die Griechen Wurzeln aus Nichtquadratzahlen
ausgewertet haben. Da, wo man die Erläuterung des Verfahrens zu
finden erwarten durfte, im Kommentare des Eutokios zu der xvTikov
^ivQi^öig des Archimedes, steht nur der Hinweis, dass man das
Verfahren bei Theon und Heron nachlesen könne* Da bis jetzt
die MexQLxa des Heron, in welchen die Anleitung stehen sollte, für
verloren galten, so blieb nur der Kommentar Theon 's zum Almagest
übrig, in welchem ja unser heutiges Verfahren, auf 60teilige Bruche
angewendet, beschrieben ist. Wie dasselbe nach dem griechischen
Muster auf die Rechnung mit Stammbrüchen zu übertragen ist, hat
neuerdings Bobynin gezeigt.** Damit ist aber immerhin noch nicht
das Verfahren Heron 's aufgedeckt. Nun sind aber durch Herrn Wirk-
lichen Geheimen Ober -Regierungsrat Dr. R. Schöne zu Berlin im
Kodex Nr. 1 der Serailbibliothek zu Konstantinopel die drei Bücher
MezQixd Heron's wieder aufgefunden worden, und wird der Text
derselben, herausgegeben von dem Sohne des Entdeckers, Herrn
Dr. Hermann Schöne, nebst einer deutschen Übersetzung erscheinen.
Als mir vor einigen Wochen Einblick in die vortreflFlich erhaltene
und vorzüglich geschriebene Pergamenthandschrift, die dem Schrift-

• Archimedis opera omnia ed. Heiberg, vol. III, p. 270: onoas Sh dsi avveyyvg
xrfV dvvcefiivfiv nXevgav xov So^ivta dgi&iibv evQBCvy eCgrizai fuhv '^Hgcavi iv rotj;
ftsrQMotg, stgriTat Ö^ üanntp %u\ Geotvi xal irigoig nXeioaiv i^rjyoviiivoig trjv fteydXrjv
avvza^iv rov Klavdiov ntoXsfiaiov. aats ovÖlv rjfucg xgrj nfgl tovxov iqxBtv i^hv
toCs ffiXofiad'saiv i^ iyLshoav dvaXiyead'ai,

•• V. V. Bobynin, Extractton des racines carrdes dans Ja Gi-ece Antique
i^Zeitschrift für Mathematik und Physik, Hist.- litt. Abt. 1896, 6. Heft, S. 193 — 211).

Hiit -litt. Abt d, Zeittchr. f. Math. u. Phyi. 42. Jahrg. 1897. 4. Heft. iHgitized by Cj O O Q IC

114 Historisch -litterarische Abteilung.

Charakter nach im 10. Jahrhundert entstanden sein wird, gestattet
wurde, war mir die Stelle des Eutokios nicht gegenwärtig*, durch
den Aufsatz Bobynin's darauf wieder aufmerksam geworden, wendete
ich mich sofort an Herrn Geheimenrat Dr. Schöne mit der Bitte, den
Text der MetQixi daraufhin nachsehen lassen zu wollen, ob die durch
Eutokios versprochene Stelle sich wirklich in demselben finde, und,
wenn dies in der That der Fall sei, durch VeröflFentlichung des be-
treffenden Abschnittes noch vor Herausgabe des Ganzen fflr eine so
wichtige historisch -mathematische Streitfrage einen hoffentlich end-
giltigen Abschluss herbeizuführen. Die daraufhin vorgenommene Teites-
durchsicht ergab nun wirklich den gewünschten Nachweis, sie ergab
aber noch mehr: die Amveisung, methodiscih dm angenäherten Wert
von Kubiktvurzdn aus Nichtkuh'ikzahlen zu finden ^ also, wenn man von
der bekannten Pappustelle absieht,* ein vollständiges Novum Herr
Dr. Hermann Schöne hatte die grosse Güte, mir die betreffenden
Abschnitte aus dem 1. und dem 3. Buche jenes Werkes im Original-
wortlaute mit seinen kritischen Bemerkungen versehen mitzuteilen; es
wurde mir dabei aber gleichzeitig auch die Erlaubnis erteilt, dieselben
noch vor der Herausgabe des vollständigen Textes der MsiQVxa ver-
öffentlichen zu dürfen, und so ist in hochherziger Weise, in einer Art,
die zu erhoffen ich ja nie Grund hatte, meinem oben erwähnten Wunsche
Kechnung getragen worden. Auch an dieser Stelle meinem tief-
gefühltesten Danke für diese grosse Güte Ausdruck zu geben, ist mir
zugleich Bedürfnis und angenehme Pflicht.

Zunächst lasse ich hier den Text der Anweisung, Quadratwurzeln
näherungsweise zu finden, folgen, und werde dann daran einige weitere
erläuternde Bemerkungen knüpfen. Nochmals wiederhole ich, dass
sowohl die Textrezension als die kritischen Bemerkungen von Herrn
Dr. Hermann Schöne in Berlin stammen. Die Schreibweise der
Handschrift ist sowohl bei den ganzen Zahlen als auch bei den Brüchen
beibehalten, und nur die offenbaren Irrtümer sind berichtigt.

Codex Constantinopolitamis ^^ heisst zu deutsch:

palatii veteris 1, foL 70": Da nun 720 eine rationale

1 ijtsl oiv at ^ ^rixiv nXevQ^v ^^^^^' ^^^^^ ^^^^"^^^ ^^ fi^t"" "^^

, , ^ , X * / <lie Wurzel mit kleinster Differenz

ovx ixovöL, Iri^oiLB^a iLBxadiafpoQov j^^ folgender Weise. Da das 720 am

ilaxiöxov ri]v nXavQav oifrog- inal nächsten kommende Quadrat 729

6 0vvByylifiiv Tc5 ^ zBXQayGyvog ^^^ ^^^ Seite 27 ist, so teile 720

6 iöxiv b ^^ xal nkevQccv ixsi xbv durch 27; es entsteht 26- Dazu

x£, (idQiöov xag ^x slg xov ieg- yi- addiere 27, es ergiebt sich 53-^:

yvsxai xs xal xgixa ovo, ^goö^sg davon die Hälfte giebt262-j: also

* Pappi Alexandrini collectionis quae supersunt ed. Fr. Hultsch. Voll,
Berolinil876, p. 33.

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Quadrat- und Kubikwurzeln bei den Griechen etc. 115

rag xf. yiyvetai vy xgCxa dvo, rov- is* die nächste Wurzel aus 720

x(ov to iifiiöv yiyvstaixsLy'' i0xai gleich 26 g- -g- Denn 26 ^^ g- mit

10 aga xov ^x ^ xXsvqcc iyyiöxa sich selbst multipliziert giebt

xa xsLy. ra yccQ TcsLy iq> iocvxa 720^» so dass der Unterschied

, , , , \ ^ nur — der Einheit betragt. Wollen

liovaöog iötl [lOQiov As. iav dh ^^

- , , » ,w / wir aber, dass der Unterschied in

ßovAC}(LS^a iv slaööovi (ioqCc^ ^

.. - 1'.- ' jt ^ / ö. ' noch kleineren Teilen als — sich

15 xov AS xriv Oiaq>0Qixv yiyvaövaiy 36

ivxl xov ^ xdioiuv xä vvv ^^gä^^^ «^ «^^^^'^ ^^^ ^ stelle

BhQB%ivxaVx7cal k's. xal xavxa von 729 die jetzt gefundenen 720 3^,

xoLT^öavxeg BVQr^^ofLBv noll^ und indem wir dieses thun^ finden

ikaxxov A's xriv öia^ogav yiyvo- ^'^^ ^"^^ ^^^ Unterschied um vieles

20 /i^t/ijt/. geringer wird als ~.

^' 917 xT]v die Hb. — 3. reo die Hs. — 11 zu Anfang t« wohl als Dittographie
zu tilgen. — 12, 13, 16, 17 Tk, dagegen 19 X'<s die Hs.

Im Obigen liegt offenbar die Formel verborgen (dabei bedeutet
c\j nahezu gleich):

l/l.vi(«' + -^) = a"ete.
Schreibt man dieselbe entwickelt so:

yl = i/ä«-±l^|(« + ^)^a±A

so sieht man, dass in der Heron'schen Formel die von allen Forschem
als den Griechen bekannt vorausgesetzte Annäherung

enthalten ist. Obwohl diese Form des Resultates von Heron nicht
ausdrücklich erwähnt wird, so ergiebt sich doch aus den bis jetzt
veröffentlichten Texten ohne Zweifel, dass sie ihm bekannt ge-
wesen ist. Denn, wenn er ]/63 = 8 — jr setzt {koma ^y- xovxcdv xs-

xgaycovixfi jcXsvqu yiyvaxai ri nagä is", ed. Hultsch, p. 163, 9— 10),
so muss er sicherlich diesen Wert durch die zweite Form gefunden

haben, da die Anwendung der ersten Form sie als 7— ergiebt. Das

doppelte Vorzeichen entspricht dem övvsyyiicov des Textes, da bald das
grössere bald das kleinere Quadrat die grössere Annäherung ergiebt.
Speziell das Beispiel Heron 's )/720 ergiebt nach der zweiten Form des
Ausdruckes:

%Wdby Google

1361

780 '

116 Historisch - litterarische Abteilung.

>/27^ir9"= 27 - ^ = 27 - i = 26|,

aber gerade aus diesem Beispiele ist klar^ dass selbst bei so nahe
liegender Anwendung der zweiten Form der obigen Regel doch die
erste gewählt wurde. Sie ergiebt hier die Wurzel sofort in der ge-
wünschten Form von Stammbrüchen zu 26^— Dass das als nächstes

zu wählende Quadrat nicht jedesmal das einer ganzen Zahl zu sein
brauchte^ liegt in der Bemerkung am Ende der Anweisung, man solle,

um grössere Annäherung zu finden, mit dem gefundenen Werte 26 -j
so weiter verfahren, wie vorher mit 27. So ist es z B. klar, dass
]/3 näher an 2 als an 1 liegen muss, und eine kurze Überlegung
zeigt, dass 1^3 fv — eine gar nicht schlechte Annäherung ist; aus ihr
folgt aber: 1/3 cv3 ifi + l^i == ??,

der Wert Heron's; und weiter:

^ 2 \lö ^ 26/

der eine Wert des Archimedes.

Dieselbe Methode, wie die des Heron, finden wir in den beiden
Briefen des Nicolaus Rhabdas auseinandergesetzt, welche Paul
Tanuery 1886 herausgab,* mit dem einzigen Unterschiede, da^
Rhabdas die erste Annäherung nach der zweiten Form der aus der
Heron'schen Anleitung folgenden Formel sucht. Er hat also nicht
gesehen, dass seine zweite Annäherung sich genau so finden lassen
würde wie seine erste. Dass, sobald Brüche in Frage kommen, das
Heron'sche Verfahren bequemer ist als die abgeleitete Form, ist offen-
bar. Dieselbe Methode finden wir später in der Summu des Luca
Paciuolo, wir finden sie bei Cataldi, wir finden sie bei Cardan und
Tartaglia und, wissenschaftlich begründet, als die von Günther so-
genannte zweite Methode B uz enge ig er 's.** Diese Methode, weldie
von Günther a.a.O. als versteckter Kettenbruchalgorithmus aufgedeckt
ist, ist also sicher den alten Griechen bekannt gewesen, und es lassen
sich mit demselben alle von Tannery*** als echt Heronisch be-
zeichneten Wurzeln mit Leichtigkeit ableiten. So ist z. B.:

* Notice 8ur les deux lettres arithmetiques de Nicolas Ehabdas (Text grec ti
traduction) par M. Paul Tannery. Paris 1886. p. 40 — 41 und 68 — 76.

** Man sehe darüber: Dr. S. Günther, Die quadratischen IrrationahWen
der Alten und deren Entwickelungsmethoden (Abhandlungen zur Geschichte dtr
Mathematik, Heft 4, S. 1—134) §11, S. 76— 79 und §13, S. 83 — 87.

*** P. Tannery, Varithmetique des Grecs dam H^ron d*Alexandrie (Memoire*
de la Soci^te des sciences phys. et. nat. de Bordeaux. 2« S4t. T. IV).

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Quadrat- und Kubikwurzeln bei den Griechen etc. 117

j/444i cv i(20 + 22|) = 2\\ <v l(2li + 2ll) = 2lit ex, 2ll;
K345Öcv.i(58 + 58g) = 584<v58|;
1/135 ~i(ll| + l4) = llg;
V/63ÖÖ - i(T9| + 79^) = 79g;

/I575'^|(39| + 39i^) = 39|
V/2T6cv|(l4| + 14l)==14|

|/885g.i(29j + 29S-:) = 29i?;

v35
'öl'

^33'

Dass die Archimedischen Quadratwurzeln nicht nach dieser Methode
entwickelt sein können, ist schon längst erkannt. Ob folgende Er-
wägung nicht beachtenswert sein dürfte, möchte ich anheimstellen.

Richtet man z. B. in , r ~ \i

1/1373943 g

einfach die gemischte Zahl ein, und zieht dann, nur die Ganzen der
Wurzel berücksichtigend, aus Zähler und Nenner die Wurzel, so entsteht

9377 1 1 / 1

--- == 1112-^'^ ebensolches -Verfahren mit y 5472132^^ giebt ohne

weiteres ~j- = 2339 j- Multipliziert man in ^^349450 den Radikand
mit 64, so ist die ganze Wurzel 4729, was durch 8 dividiert 591 —

8

liefert, den ausser von Bobynin sonst nie gefundenen Archimedischen
Wert. Ein gleiches Verfahren auf ]/3380929 angewendet giebt, nach

20227 9

Erweiterung mit 11*, =-= 1838—^ wobei man, da Archimedes

eine zu grosse Wurzel verlangt, freilich das nächst grössere Quadrat
benutzen muss. Im ganzen Mittelalter findet man für die näherungs-
weise Quadratwurzelberechnung stets die Anwendung der Formel:

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11g Historisch -litterarische Abteilung.

t^

angeordnet, wobei ausdrucklich gesagt wird, es sollen nur aus dem
neuen Radikanden die Ganzen ausgezogen werden und der Rest weg-
gelassen. Auch solle man sich nicht scheuen, wenn das nächste
Quadrat nur um weniges grösser sei, dieses zu nehmen. Ob eben
diese Anweisung nicht gleichfalls aus dem Altertume stammt, möchte
ich der Erwägung anheimgeben. Sie giebt auch alle sonstigen Archi-
medischen Wurzelwerte direkt ohne jede Zwischenrechnung, sie hefert
aber auch die beiden von Tannery* als nicht direkt ausgewertet be-
zeichneten Heron'schen Wurzeln 1/2460— und 1/615^7 sofort zu

10120 .^81 j 10120 «,41

Ich komme zum zweiten Abschnitte der MevQixd Heron's, der
Kubikwurzelausziehung. Zunächst der Text desselben.

Codex Constantinopditanus palatii veteris 1, fol 108^,

1 mg dl dst Xaßstv täv o uovd- ^'^ *^®^ ^® Kubikwurzel aus

^ ^ 100 Einheiten zu finden ist, wollen

dcov xvßixrp; nlsvQav, vvv igoviiev, ^j^. j^^^t sagen.

Idßs rov lyyiöta xvßov rov Nimm die beiden 100 am

~ ' ^ ?-^«Ä'ii^ - > ^» nächsten kommenden Kubi, den

p rov TS vnBQßalAovta xal xov „ , , , . • j

, grösseren und klemeren; es sma

b iUBCnovra- S0ti dl o qxs xal 6 dies 125 und 64; und auch, um wie-

Id'xal 00a iihv tmsQßdlXst, (lovd- viel der erste grösser ist, d. i. 25,

dsg ^6' 06a dl iXXUjtii, ^lovadsg ^^^ ^«^ ^^^^1^1 ^^r andere kleiner,
T— % , X — , * , T— d. i. 36. Dann multipliziere 36

Xs^xal 7co^0ov xa einl ra As- ^^ g. ^^ ^^^^^^ jg^^ j^^^ ^^

yiyvsrat gn- xal tä Q^yiyvBxai loo addiert, giebt 280, <unddiYi-

10 0n' ^xal naQaßaXs ra p« nagä ta diere 180 durch 280 ,> so entsteht

0% •y yCyvtxai ^ iS, nQ60ßaXs xfj —* Füge dies zu der Wurzel des

[xccxa] xov iXa00ovog xvßov TcXevQa^ kleinel-en Kubus hinzu, das ist zu

xovtiaxi xp d. ylyvBxav (lovadsg d 4^ go entsteht 4-^- So gross ist

xal & id. XO0OVXW laxai r^ xäv q jj^ Kubikwurzel aus 100 Einheiten

16 (lOvadcDv xvßix'^TtXsvQa (hg iyyL0xa. so genau als möglich.

1. TOf die Hs. — 8. xal beginnt fol. 108». — 10—11. <xal...äi^ ist er-
gänzt. — 12. xara ist von späterer Hand getilgt. — 13. ro von erster Hand.
m hat eine spätere Hand übergeschrieben. — Zeile 10 hat eine jüngere Hand nach •«
das Zeichen •/. beigeschrieben ; dieses Zeichen ist am Rande wiederholt und dazc
geschrieben; */. xal naQaßeßl'qad'a tavza nuga xct gn* Diese offenbar auf Konjelrtür

* Tannery, a.a.O., S. 22 des Separatabzuges.

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Quadrat- und Kubikwurzeln bei den Griechen etc. 119

beruhende Ergänzung der im Texte bemerkbaren Lücke trifft jedoch im Ausdruck
nicht das Richtige. Heron gebraucht nämlich nagaßdellBiv naga für „dividieren
durch"; so sagt er z. B. wenige Zeilen vor dem ausgehobenen Abschnitt: t«
Q%s inl xbv d' yfyvsrai tp- nagdßaXe nagoc xbv S' yCyvhxai q und ähnlich öfter
in den Mi-cgitLa. Mithin ist nach cn auf Zeile 10 einzuschieben: ^%al nagaßnXB za
qn naga ra an-y. Nunmehr erklärt sich auch die Entstehung der Lücke aufs
einfachste: offenbar ist das Auge des Schreibers von dem ersten an der Vorlage
auf das zweite abgeirrt, und auf diese Weise sind die dazwischen stehenden
Worte verloren gegangen.

Wenn in dem obigen Abschnitte 5 die Kubikwurzel aus 125 sein
sollte, so würde die Bestimmung der Differenz 25 vollständig über-
flüssig sein; es kann daher 5 nur die Quadratwurzel aus 25 bedeuten
sollen. In der obigen Anweisung liegt dann folgende Regel verborgen:

A ^ p^ — a =- q^ + b]

^ A + bVa ^ A + iA-q'^yp'-A
3 9

Die gefundene Wurzel ylOO ==4— ist merkwürdig genau. Ihre
dritte Potenz ist gleich 226 l

In Stammbrüche nach Heron's sonstiger Art umgesetzt ist
4n = 41 = 4,6428571,
während f lÖÖ = 4,6415888 . . . ist. 4^ | wäre = 4,66 und 4^ j = 4,625,
sodass 4i-=- wirklich dem wahren Werte näher kommt als irgend ein

2 7

in Stammbrüchen ausgedrückter Nachbarwert *

Wie Heron auf dieses Verfahren gekommen ist, dürfte kaum zu
ergründen sein. Bei anderen Zahlen giebt es meist einen bei weitem
ungenaueren Wert. Von Interesse war es, für ySOO dasselbe zu prüfen,
da bekanntlich das Verhältnis: ^ iVsöö

dasjenige der babylonischen zur hellenischen Elle darstellt, welches
die Griechen zu y annahmen.** Nun ist:

300 = 7»- 43 = 6»+ 84,
also a -= 43, 7> = 84. Es ist aber:

l/43 = i(6 + 7i)=6^,

also

• Hieraufmachte mich mein verehrter Freund, Herr Hofrat Cantor, aufmerksam.
•• Man sehe: S. Günther, AtUile Näherungsmethoden im Lichte moderner
Mathematik (Abhandhingen der Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften. Neue
Folge, 9. Band) S. 40 des Sonderabzuges.

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120 Historisch -litterarische Abteilung. Quadrat- u.Kubikwiirzeln b. d. Griechen etc
6.|/ä= 6^.84 «553;

es folgt also: Ai;7^?r^. /.ß^S nnia n nsL

^ yöOO ^ 6ggg -= 6,648 • • ^ 6,65.

Das Verhältnis 6,65 : 6 ist aber so nahe gleich 10 : 9, dass diese
Verwechselung unbedenklich angenommen werden darf. Unmöglich
wäre also diese Berechnung der y^300 auf dem Heron'schen Wege nicht

Während so das Problem der Heron'schen Berechnung der Quadrat-
wurzeln aus Nichtquadratzahlen praktisch und theoretisch längst be-
kannt und vielfach geübt ist, und jedenfalls viel schneller als das gewöhn-
liche Verfahren ohne Hilfe der Logarithmen zu sehr genauen Werten
führt, auch bei weitem schneller als das Verfahren durch die gewöhnüchen
Kettenbrüche, giebt die Anweisung unseres Verfassers zur Bestimmung
der Kubikwurzeln ein neues Problem auf: Wie ist Heron auf diesen
eigentümlichen Weg gelangt? Dass derselbe nicht nur für f'lOO einen
annehmbaren Wert liefert, habe ich oben dargethan. Wo ist der
Oedipus, der dies Rätsel löst?

Thorn, 22. Januar 1897.

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Die Schlussaufgabe in Diophants Schrift
über Polygonalzahlen.

Von

G. Wertheim.

In der Einleitung zu seiner Schrift über PolygonalzaUen giebt
Diophant in ganz bestimmter Weise an, was er in der Schrift zu
behandeln gedenkt. Er will nach Herleitung der erforderlichen Hilfs-
sätze beweisen^ dass man immer eine Quadratzahl erhält^ wenn man
das 8 fache einer Polygonalzahl mit der um 2 verminderten Anzahl
der Ecken multipliziert und zum Produkt das Quadrat der um 4 ver-
minderten Anzahl der Ecken addiert. Vermittelst dieses Satzes will
er dann zeigen, wie man aus der Seite und der Zahl der Ecken die
zugehörige Polygonalzahl^ und wie man umgekehrt, wenn die Polygonal-
zahl und die Zahl der Ecken gegeben sind, die zugehörige Seite
findet.

Nachdem er alles dieses in völlig zufriedenstellender Weise ge-
leistet hat, beginnt er eine Aufgabe, die zwar nicht ausdrücklich in
der Einleitung angekündigt worden ist, aber doch so nahe liegt, dass
ein Mathematiker bei Behandlung des Gegenstandes wohl kaum umhin
konnte, sie in Angriff zu nehmen. Er will bestimmen: „auf wie
viele Arten eine gegebene Zahl Polygonalzahl sein könne"
Wäre die Lösung dieser Aufgabe beendet, so würde sie sicherlich von
niemand für einen fremden Zusatz zum Diophant erklärt worden
sein; denn in der Darstellung unterscheidet sie sich in nichts von dem
Vorhergehenden. Aber die Lösung bricht in der Mitte ab, eine Er-
gänzung schien schwierig, und da war es ein naheliegendes Mittel, die
Aufgabe abzuthun, dass man sie überhaupt für unecht erklärte. So
radikal sind freilich nicht alle Schriftsteller verfahren, die sich mit
der Sache beschäftigt haben.

Bachet (S. 26) sagt in seinem Zusatz zu dem Bruchstück bloss,
„dass vieles fehle, was er nicht erraten könne, und dass ihm das Ziel
Diophants nicht hinlänglich klar sei.'' Er giebt dann den Gang der
Lösung, soweit sie vorliegt, kurz und klar wieder und behandelt
(S. 38) die Aufgabe selbständig in einer Weise, die mit dem fta^ch-

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9^**

122 Historisch -litterarische Abteilung.

stück in keinem Zusammenbang steht und hier um so eher über-
gangen werden kann, als sie von Nesselmann in seiner „Algebra
der Griechen" (S. 469) allgemein dargestellt worden ist.

Fermat äussert sich über die Aufgabe folgendermaßen: „Die
Frage, die mich beschäftigt hat, ohne dass ich bis jetzt eine Lösung
habe finden können, ist die letzte in Diophants Schrift über Poly-
gonalzahlen: Zu bestimmen, auf wie viele Arten eine gegebene Zahl
Polygonalzahl sein könne.

Da der Text Diophants korrumpiert ist, so können wir seine
Methode nicht erraten. Sachets Methode gefallt mir nicht und ist
für grosse Zahlen zu schwierig. Ich habe freilich eine bessere ge-
funden, aber sie befriedigt mich noch nicht.^'

Im Anschluss hieran, fahrt er fort, müsse man die Lösung der
Aufgabe suchen:

„Eine Zahl zu finden, welche auf so viele und nicht auf mehr
Arten, als verlangt wird, Polygonalzahl sei, und von den Zahlen, die
dieses leisten, die kleinste anzugeben." — Oeuvres de Fermat^ 11,
S. 435.

Über das Bruchstück selbst sagt Nesselmann: „Wie Diophant
die Aufgabe gelöst habe, lässt sich aus dem Bruchstück nicht ent-
nehmen; wenigstens ist es mir nicht gelungen, in dem Vorhandenen
einen sicheren Fingerzeig auf das verloren gegangene Ziel des Weges
zu entdecken."

Ihm schliesst sich Caixtor an (Vorlesungen über Geschichte der
Mathematik, Bd. I, S. 455). Nachdem er den Wortlaut der Aufgabe
gegeben und den Sinn derselben erläutert hat, bemerkt er: „Leider
ist die Antwort auf diese Frage nicht so verstandlich wie die Frage
selbst. Sie bricht in der Mitte ab, ohne dass es bisher gelungen
wäre, das Bruckstück dem Sinne entsprechend zu er^nzen."

Dagegen sagt Otto Schulz auf S. 619 seiner Diophant-Über-
setzung: „Das Bruchstück hat ganz das Ansehen eines fremdartigen
Zusatzes, der ohne Beeinträchtigung des Ganzen weggelassen werden
könnte", imd Herr Paul Tannery nennt es S. 477 des ersten Bandes
seiner Diophant- Ausgabe „einen misslungenen Versuch eines Kommen-
tators."

Ich werde jetzt im folgenden zu zeigen versuchen, dass man
ohne Künstelei und nur mit Anwendung von Sätzen und Operationen,
die Diophant zweifellos geläufig waren, die in dem Bruchstück be-
gonnene Lösung der Aufgabe zu Ende fahren kann. Damit glaube
ich dann den Beweis erbracht zu haben, dass die Aufgabe wirklich
zu der Schrift über Polygonalzahlen, wie sie Diophant abgefasst
hat, gehört, und dass vielleicht nur die Länge und die Schwierigkeit
der Lösung dem Abschreiber die Hoffnung geraubt haben, sich durch-
zuarbeiten, sodass er mitten in der Arbeit entmutigt den Griffel
niederlegte.

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Die Schlussaufgabe in Diophants Schrift über Polygonalzahlen. 123

Diophant wendet in seiner Schrift über Polygonalzahlen die
lineare Methode Euklids an, nach welcher Zahlen durch Linien dar-
gestellt und die geforderten Operationen an diesen Linien ausgeführt
werden. Die Vorsicht erheischt es, diese Methode auch hier bei-
zubehalten; denn dadurch werden unzulässige Schlüsse am leichtesten
vermieden. Doch soll zur Erleichterung des Verständnisses die moderne
Bezeichnung neben die alte gestellt werden.

Es soll also bestimmt werden, auf wie viele Arten die gegebene
Zahl aß Polygonalzahl sein könne. Es wird a^^l, ßy^Yjabl der
Ecken, das ist a, sd = Sy ^2 angenommen. Dann ist nach dem der
Lösung zu Grunde gelegten Satze:

&

P

und

j, 1 1 j

a Q ri

1) S-aß'ßd + ßs'^tv'-
Da nun

8aß'ßd:^4a^'ßd

+ 4(aß + ßd-)ßd

4a^ß6^2ßd'd6

ist, so erhält man, wenn man

4(a/J + /3^) = dx
setzt,

2) 2'ßö'dB + ÖX'ßd + ß6^

Es ist aber

also

3) ßd*+8i'+Sx-ßd=^tv*-

Weiter ist
ßd*+dxßd = ßdßx,

also

4) di' + ßdßx'=tv*-

Nun sei A die Mitte von dx,
dX^Xx
ßX = ßd + 8X.

8P(o-2) + (o-4)»

= [2 + (2n-l)(o-2)]*.

8P(a-2) = 4(a-2)

+ 4(P + P-l)(a-2)
4(o - 2) - 2(a - 2)2

= 4(2P-1)

2(a-2)2+4(2P-l)(a-2)+(a-4)*
= [2+(2n-l)(a-2)f.

2(a -2)2 + (a-4)''= (a-2)*+ 2»,

(a-2)«+2»+4(2P-l)(a-2)
= [2 + (2»-l)(a-2)]«

(o-2)»+4(2P-l)(a-2)
= (a-2)[4(2P-l) + a-2],

2»+(»-2)[4(2P-l) + a-2J
= [2 + (2n-l)(a-2)]».

also

= 2(2P-1)

= a-2 + 2(2P-l).

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124 Historisch -litterarische Abteilung.

Dann giebt die Anwendung der Formel

x(x+y)=(.+fy-(fy:

ßdßx = ßl'-dl* I

I (o-2)[4(2P-l) + o-2]
I ^[a-2 + 2(2P-l)]»

-[2(2P-1)]».
i 2»+[a-2 + 2(2P-l)]»
■ _[2(2P-1)]»

= [2 + (2«-l)(o-2)]'
[o-2 + 2(2P-l)]*
' _[2 + (2n-l)(a-2)P

= [2(2P-l)]*-2*.
Nun ist nach der Formel x^ ^ (x + 2){x - 2) + 2*:

dX*=sX.YX + yd^, i [2(2P-l)]«=4P(4P-4) + 2'

und da yd = 8s ist, so erhalten wir

7) /SA*- tn' I

Es ist also

5) dt'+ßX'-dH^

oder

6) ßl*-W

= (JA»- de*.

= «A-yA.

Wir machen jetzt
tli = /JA.
Da sich nun leicht
sk==sö + SX = 2a» + ^dx

= 2a* + 2(a/S + ß») = 4a/3
und

yA = dA — 2a* ■=4/3*

ergiebt, so folgt

8) gft»-gij«=16a/3-/3*.

[o-2 + 2(2P-l)J'
_[2 + (2«-l)(a-2)]'
= 4P(4P-4)

= a-2 + 2(2P-l).
«A-4P

yA = 4(P-l)

[o-2 + 2(2P-l)]*
_[2 + (2M-l)(a-2)l-
= 16P(P-1).

g/t» - gij* = 2 • gij • ijft + ij/i»,

Nun ist
folglich

wir erhalten somit

j 2[2+(2«-l)(a-2)][2(2P-2)

- 2(a-2)(n-l)] + [2(2P-2)

-2(c-2)(«-l)l*= 16P(P-1).

Diese Gleichung lehrt, dass ij(i eine gerade Zahl, also ijfi* durch
4 teilbar ist.

9) 2-gij-i?(t + )jfi»=16a/J/3*

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Die Schiassaufgabe in Diophants Schrift Aber Folygonalzahlen.
Wir nehmen an, v sei die Mitte von i2f>; also

125

iiv = vp. I = 2(P- 1) - (a - 2)(n - 1).

So weit reicht das Bruchstück, um die Lösung zu beenden,
dividiere ich die Gleichung 9) durch 4 und erhalte

l2 + (2n-l)(a-2)]x

10) gij-ijv + ijv*=4a/3-/3*,

oder

11) gv-ijv = 4a/J/J'9'.

[2(P-l)-(a-2)(«-l)]
+ [2(P-l)-(o-2)(n-l)r
= 4P(P-1),

[2P+n(a-2)J[2(P-l)

- (a - 2)(n - 1)J = 4 P(P- 1).

Wird jetzt gp = 2a/J und qo = tjv, also r}a = qv angenommen,
so ei^ebt sich

gff = gp — pff = 2aß — pff,
Sv = Sc + pv ■= 2«/} + 9v,
ijv = ()tf= 2a/3 — gtf,
und die Gleichiug 11) geht fiber in

12) (2aß + Qv)(2ttß - ia)
= 4ttßßd-

oder
lS)4aß^-2((ß(i<f-Qv)

—Qv • 5ff=4a/J*-4a/J • ad:

Es muss also

14) 2«/J(gö-()i') + ()vgo

= 4«/Ja*,

oder

15) 2ajJ(2a* + pv-gff)

sein. Nun ist aber

= 2 + (a - 2)(n - 1),

= 2P+«(o-2),

= 2(P-l)-(a-2j(n-l),

( [2P+w(a-2)J X

[2P-2-(a-2)(»-l)]
= 4P(P-1).

4P*-2Z^[(a-2)(w-l)+2-M(a-2)]
-n{a - 2)((a-2)(w-l) + 2]
= 4P»-4P.

2 P[{a - 2)(w - 1) + 2 - «(a - 2)]
+ «(a-2)[(a-2)(n-l)+2]
= 4P,

2P(a-2)

= w(a-2)[(a-2)(«-l) + 2]

pv = Sv - gp = S/t - v/t - gp = gft - 2 i?/t - Sp
^ßl-^f)H-2aß^ßS + ^Sx- ^7,(1 - 2aß
= ßd + 2uß + 2ß»-^ri(i - 2a/J = ßd + 2ß» - ^ij/t

und i

6<T = gp — pff = 2ttß — jfjn,

also

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126 Historisch -litterariache Abteilung,

Qv-^a^ ßd. + 2ßd- - 2a/3 - /Jd - 2«^
und

QV-t(5+ 2a&^ßd,

Weiter ergiebt sich
Qv^ßd+ 2ß^ -lri(i==ßS+ 2ß^-^ßk+^tn

^ßd + 2ß^-^ßd-^Sk + ^tri-=^ß8 + 2ß» - |(JA + |gi,
^^ßS + 2ß^-{aß + ß^) + ^tri-=lßS + ß»-aß+^tv

Nach dem Satze IX (^S. 310 meiner Übersetzung) ist aber
tri^ßd(2n-l)+2,
iri + ßd^ßd'2n + 2
"^^^ tri + ßd-2a^^ßd'2n,

Qv ^ ßo-n.
Die Gleichung 15) geht somit über in

(2P(a-2) = (a-2)»x
16) 2aß'ßd^ß8ni6, \ ^ ' ^

oder

17) 2aß^n'l0.

\ [(a-2)(n-l) + 2L
2P=^n[(a-2)(n-l)+2]

Es muss also das Doppelte einer Polygonalzahl durch die Seite
teilbar sein, und der Quotient ist das um 2 vermehrte Produkt aus
der um 1 verminderten Seite in die um 2 verminderte Zahl der Ecken.

Dieser Quotient gtf ist bei den Dreieckzahlen gleich der um 1 ver-
grösserten Seite (n + 1), also grösser als die Seite. Da derselbe nun um
w — 1 wächst, wenn die Zahl der Ecken um 1 zunimmt, so ist er immer
grösser als die Seite; wir werden daher mit Hilfe von 17) auf folgende
Weise finden, wie oft eine gegebene Zahl aß Polygonalzahl sein kann:

Wir zerlegen das Doppelte der gegebenen Zahl, also 2a/J, auf
alle möglichen Arten in je zwei ungleiche Faktoren, wobei die Zer-
legung \'2aß ausgeschlossen bleibt. Den kleineren Faktor nehmen
wir als Seite (w) an, den grösseren als gtf. Darauf vermindern wir
den grösseren Faktor um 2 und dividieren den Rest durch die um l
verringerte Seite (w — 1). Wenn diese Division aufgeht, so ist die be-
trachtete Zerlegung brauchbar, und der Quotient, vermehrt um 2,
ist gleich der Zahl der Ecken (a). Geht aber die Division nicht auf,
so ist die betrachtete Zerlegung unbrauchbar. Eine Zahl aß ist also
so oft Polygonalzahl, als es brauchbare Zerlegungen der Zahl 2 aß
in je zwei ungleiche Faktoren giebt.

Eine brauchbare Zerlegung ist immer vorhanden, nämlich die in
2 und a/3; diese liefert das selbstverständliche Resultat, dass aß die
zweite (a/J) -Eckzahl ist.

Frankfurt a. M., Februar 1897.

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Rezensionen.

Entgegnung.

In diesem Bande dieser Zeitschrift befindet sich eine Besprechung des
ersten Bandes meines Werkes über doppeltperiodische Funktionen seitens
des Herrn Fricke. In derselben werden mir Absichten untergelegt, die ich,
wie ans der Einleitung zu dem Werke hervorgeht, gar nicht gehabt habe
und auf Grund derselben werden eine Reihe von Einwendungen gegen
meine Darstellung gemacht. Ich greife die folgenden heraus:

1. Fehlen der Weierstrassschen Funktionen,

2. Zurücktreten der funktionentheoretischen Überlegungen
gegenüber analytischen Rechnungen,

3. Fehlen geometrischer Betrachtungen.

Daneben benutzt Herr Fricke die Oelegenheit, um die Bedeutung der
Theorie der Modulfunktionen für die Transformationstheorie klarzulegen.
Da ein jeder Autor beanspruchen darf, nach seinen Absichten beurteilt zu
werden, so bin ich in dem Vorworte zum zweiten Bande ausführlicher
auf die genannten Dinge eingegangen. Ich würde mich hiermit begnügt
haben, wenn nicht einerseits der Leserkreis dieser Zeitschrift ein anderer wie
der meines Werkes wäre und, wenn es sich nicht um Fragen handelte, die von
allgemeinerBedeutung sind — insbesondere um die Frage, ob in der Mathematik
in grossen Fragen nur ein überlegener Standpunkt vorhanden ist, von dem
aus alle anderen zu verwerfen sind.

Unter solchen Umständen erlaube ich mir mit liebenswürdiger Er-
laubnis der Redaktion einen Teil der Einleitung zum zweiten Bande hier
nochmals abdrucken zu lassen.

„Der zweite Band meines Werkes über doppeltperiodische Funktionen,
welcher hiermit der Öffentlichkeit übergeben wird, zerfallt in drei Teile,
von denen der erste die Anfange der Transformationstheorie auf der Grund-
lage von Additionstheoremen zwischen Thetafunktionen mit verschiedenen
Moduln, der zweite die Entwickelung der doppeltperiodischen Funktionen,
insbesondere zweiter und dritter Art in trigonometrische Reihen, der dritte
endlich die mannigfaltigen Dififerentialgleichungen behandelt, denen die
Funktionen zweiter Art Genüge leisten. Diese Theorien sind wohl bisher
in keinem Werk vereinigt worden. Ursprünglich war es meine Absicht,
dieselben allein mit denjenigen zu veröffentlichen, die sich im vierten Ab-

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128 Historisch -litterarische Abteilung.

schnitt und einigen Paragraphen der vorangehenden Abschnitte des ersten
Bandes befinden. Durch die Nator des behandelten Gegenstandes sah ich
mich aber veranlasst, von meinem ursprünglichen Plane abzugehen und die
schon vielfach bebandelten elliptischen Funktionen mit in den Kreis der
Betrachtungen hineinzuziehen. Der Zusammenhang zwischen den gewöhn-
lichen elliptischen Funktionen und den Funktionen zweiter und dritter Art
ist nämlich ein so enger, dass die gesonderte Betrachtung der letzteren
eines natürlichen Bahmens, sowie eines einheitlichen Gesichtspunktes ent-
behren würde und zu mannigfachen Übelständen geführt hätte. Wie ich
aber schon in der Vorrede zum ersten Bande bemerkt habe und nochmals
ausdrücklich hervorheben möchte, ist es keineswegs meine Absicht gewesen,
eine alles umfassende Theorie der elliptischen Funktionen zu geben. Es
sind im wesentlichen nur diejenigen allgemeinen und bekannten Unter-
suchungen hineingezogen worden, welche die Grundlage und die Gesichts-
punkte für das ganze Werk abgeben und zum Yerständms der Theorie
der Funktionen zweiter und dritter Art notwendig sind — diese letzteren
bilden den eigentlichen Schwerpunkt meines Werkes.

Ich habe nun, nachdem im ersten Bande auf funktionentheoretische
Grundlage hin die Thetafunktionen sich als Elementarfunktionen ergeben
hatten, die weiteren Betrachtungen im Wesentlichen auf dem Her mite-
schen Transformationsprinzip aufgebaut. Zu dieser Darstellung bin ich
nach genauer Vergleichung der verschiedenen in der Theorie der periodischen
Funktionen üblichen Methoden als der einfachsten und durchsichtigsten ge-
langt. Zwar ist es nicht zu verkennen, dass mit ihr gewisse Übelstände ver-
bunden sind. Die Darstellung hat mehrfach etwas scheinbar ZuflQliges, es ist
nicht immer ersichtlich, warum gerade der oder jener Ansatz gemacht
wird, daneben entspricht sie nicht der historischen Entwickelung. In der
That ist in der Mehrzahl der Falle das Prinzip erst angewandt worden,
nachdem die betreffenden Formeln auf anderem Wege schon gefunden waren.
Diese Übelstände aber — wenn die letztere Thatsache überhaupt als ein
solcher bezeichnet werden darf — werden auf der andern Seite durch ge-
wisse Vorteile bedeutend überwogen, die der von mir eingeschlagene Weg
darbietet.

In dem Hermit eschen Transformationsprinzip konzentriert sich that-
sächlich der überwiegende Teil der Theorie der doppeltperiodischen Funktionen,
und findet in ihm seinen klarsten, einfachsten und allgemeinsten Ausdruck.
Durch eine Modifikation der Fragestellung ergeben sich aus ihm der Beihe
nach die einzelnen Sätze der Theorie in systematischer und folgerichtiger
Weise.

In dieser meiner Auffassungsweise liegt es u. a. begründet, dass ich
von der Einführung der Weierstrassschen Funktionen abgesehen habe.
Die a- Funktionen folgen nicht gleich den ^-Funktionen dem Transformations-
prinzip — ihre ausführliche gesonderte Betrachtung würde mich auch nach
anderer Bichtung hin von dem vorgesetzten Ziele abgelenkt haben. £s
möge bei dieser Gelegenheit auf eine Bemerkung von Herrn Scheibner

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Rezensionen. 129

(Sitzungsbericht der Leipziger Oesellschaft der Wissenschaften 1888 S. 276)
über das Verhältnis der a- Funktionen zu den 0- Funktionen hingewiesen
werden, die den richtigen Gesichtspunkt für die Yergleichung derselben
geben dürfte:

„Es ist ja an sich leicht erklärlich, dass das Studium der Sigma-
fonktionen, deren Einführung in die Analjsis durch Weierstrass in so
vielen Beziehungen sich als wichtig und fruchtbar erwiesen, seit dasselbe
den Mathematikern in grösseren Kreisen zugänglich geworden und ihr
Interesse in Anspruch genommen hat, eine Zeit lang auf Kosten der länger
bekannten Jacobi-Abelschen Thetafunktionen in den Yordergnmd getreten
ist. Im umgekehrten Falle würde es sich vermutlich gerade umgekehrt
verhalten haben, während wir doch froh sein dürfen, dass ftlr die Er-
fordernisse der Theorie wie der Praxis dem Mathematiker nach doppelter
Bichtang so interessante Funktionen zu Gebote stehen/'

Um zur Hauptsache zurückzukommen: Der eigentümliche und im ganzen
einheitliche Gang meines Werkes bringt es mit sich, dass in demselben nur
die ^-Funktionen, nicht aber die a- Funktionen berücksichtigt sind. Ebenso
erklärt sich aus dem einheitlichen Gange meiner Darstellung das Fehlen
mancherlei weitergehender funktionentheoretischer Sätze. An Stelle jener
Sätze tritt eben das genannte Transformationsprinzip als das eigentlich
Primäre, und jene Sätze konmien im wesentlichen nur so weit und nur in
solcher Ausdehnung in Betracht, als sie sich aus diesem Prinzip als
Folgerungen ergeben. Allerdings können dabei Rechnungen nicht ver-
mieden werden. Wenn man heutzutage hin und wieder die Rechnung als
„unmodern" bezeichnet und womöglich allen Arbeiten einen und denselben
„modernen" Zuschnitt aufdrängen möchte, so scheint mir das doch einiger-
maßen unbillig.

Dass man im allgemeinen, wo es angeht, beschwerliche Rechnungen
gern vermeiden wird, versteht sich wohl von selber und bedarf also kaum
noch der Erwähnung. Oder hätten vielleicht die Mathematiker früherer
Jahrhunderte oder Jahrtausende hierüber anders gedacht?

Aber häufig, namentlich beim Hineingehen in neue, noch unerforschte
Gebiete oder auch bei der Eröffnung neuer Wege in schon bekannten Ge-
bieten werden Falle eintreten, in denen man die Rechnung nicht entbehren
kann. Auch ist zu beachten, dass nicht zu weit getriebene Rechnungen
manches anziehende Moment und eine gewisse pädagogische Kraft besitzen,
die durch blosses Angeben von Ideen nicht erreicht wird, und dass über-
haupt die Rechnung stets mit einer gewissen Notwendigkeit in Funktion
treten wird, sobald es sich darum handelt, die Grösse und Mannigfaltigkeit
eines Gedankens oder eines Prinzips nach allen Seiten hin klar zu legen.
Endlich erklärt sich aus dem einheitlichen Gange meines Werkes z. B.
auch das Fehlen geometrischer Betrachtungen. Wenn ich auch, als Dozent
einer technischen Hochschule, ausserordentlich geneigt bin, den geo-
metrischen Betrachtungen die allergrösste Bedeutung beizulegen und meine
hiesigen Vorlesungen über höhere Analysis auf durchaus geometrischer

Hist.-Uit. Abt. d. Zeltschr. f. Math. u. PhyB. 42. Jahrg. 1897. 4. Heft. 10 h b GoOQIc

130 Historisch -litterarische Abteilung.

Grundlage aufbaue, so folgt hieraus doch noch keineswegs die Notwendig-
keit, in allen Teilen der so weit verzweigten Mathematik und unter allen
umständen stets das Geometrische zu bevorzugen. Vielmehr wird nach
meiner Ansicht die Analjsis auch in ihrer reinen Form neben der Geometrie
stets ihre volle Berechtigung behalten. Die Vermischung geometrischer
und analytischer Methoden, wie sie z. B. in den Arbeiten des Herrn F. Klein
anzutreffen ist, wird vielfach zweckmässig sein. Sie als allgemeine und
obligatorische Norm hinstellen zu wollen — daran wird doch wohl niemand
denken.

Nach diesen allgemeinen Bemerkungen sei es mir gestattet, auf den
ersten Abschnitt des zweiten hier vorliegenden Bandes etwas näher ein-
zugehen. Der Zweck desselben ist es, die Anfänge einer TransfomUitions-
theorie auf der Grundlage von Additionstheoremen zwischen Thetafunktionen
mit verschiedenen Moduln in elementarer Weise zu entwickeln. Ich lege
hierbei das Hauptgewicht auf das Prinzip selber, nicht aber auf seine hier
vorliegende Dux'chführung, die noch sehr der Ergänzung und Erweiterung
bedarf. Der Ausgangspunkt für meine Anschauungsweise ist in meinen
Arbeiten über die hyperelliptischen Funktionen gelegen. Ich versuchte
dort die Methoden, wie sie f%Lr die elliptischen Funktionen maßgebend
waren, auf die hyperelliptischen erster Ordnung zu übertragen, um eine
Transformationstheorie derselben zu erhalten. Es gelang mir, die ver-
schiedenen Arten von Transformationsgleichungen zu definieren und ihre
Haupteigenschaften zu entwickeln — meine Versuche dagegen nach jenen
früheren Methoden, Transformationsgleichungen wirklich zu bilden, stiessen
auf die grössten Schwierigkeiten und führten mich zu keinem bemerkens-
werten Resultate. So sah ich mich denn veranlasst, für die elliptischen
Funktionen nach neuen Methoden zu suchen, nach solchen, die sich leicht
übertragen Hessen. Ein Teil der hierbei gefondenen Besultate findet sich
im ersten Bande dieses Werkes angegeben, insbesondere in den §§ 59,
60, 61, 75 etc. Die Übertragimg derselben auf die hypereUiptischen
Funktionen ermöglichte die Darstellung von Transformationsgleichungen in
besonders einfachen Fällen. Ich musste mich aber bald davon überzeugen,
dass auch diese Methoden keine weitreichenden und befriedigenden seien —
so interessant die einzelnen gewonnenen Besultate auch an sich waren ~,
und kam auf diesem Wege im Anschluss an die bekannten Schröterschen
Arbeiten zu der Aufstellung meiner Additionstheoreme und zu der An-
schauungsweise, die in dem vorliegenden zweiten Bande dargelegt wird.
Bei derselben ist das eigentliche Ziel: die wirkliche Aufstellung von Trans-
formationsgleichungen und damit diejenige Aufgabe, welche als das eigent-
liche Transformationsproblem zu bezeichnen ist und seit längerer Zeit die
Kräfte einer Reihe von Mathematikern in Anspruch genommen hat.

Als charakterisch sind bei dem von mir eingeschlagenen Wege folgende
Punkte hervorzuheben.

Erstens können die Transformationsgleichungen, die sich für die
elliptischen Funktionen ergeben, ohne Schwierigkeit auf die hyperellipti-

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Rezensionen. 131

sehen übertragen werden. Man kommt dabei zu einer Fülle von Trans-
formationsgleichangen, die auf anderem Wege nur schwer dürften herzu-
stellen sein.

Zweitens wird die allgemeine Transformationstheorie in enge Ver-
bindung gebracht mit der speziellen Transformationstheorie, nämlich mit
der Entwickelung der Eonstantenrelationen. Ich habe es stets als unnatür-
lich empfunden, dass die Modular- und Multiplikatorbeziehungen in fremd-
artiger Weise, unter Heranziehung völlig neuer Prinzipien, und auf ganz
anderem Wege als die gewöhnlichen Thetarelationen abgeleitet werden, ob-
gleich sie doch im Grunde genommen nichts anderes als Thetarelationen
sind, nur bezogen auf spezielle Werte der Argumente. Es erschien mir
daher höchst wünschenswert, diese Eonstantenrelationen durch Spezialisierung
der Argumente aus allgemeinen Thetarelationen abzuleiten, sie also dem
Her mit eschen Prinzip unterzuordnen und zu zeigen, dass auch für die
spezielle Theorie das letztere von grösstem Nutzen ist.

Mit den soeben entwickelten Anschauungen befinde ich mich im Wider-
sprach mit den Anschauungen, wie sie in einer neuerdings erschienenen
Besprechung des ersten Bandes dieses Werkes von Herrn Ericke enthalten
sind. Legt dieselbe einerseits von einer in der Mathematik ungewöhnlichen
Wertschätzung der eigenen Anschauungen des Herrn Ericke Zeugnis ab,
so ist es anderseits doch zweifellos, dass die in derselben vertretenen An-
sichten von einer grösseren Anzahl von Mathematikern geteilt werden, als
deren Wortführer Herr Ericke anzusehen ist. Unter solchen Umständen
habe ich geglaubt, mich hier in der Einleitung über meine Anschau-
ungen etwas ausführlicher aussprechen zu müssen, als es sonst wohl ge-
schehen wäre.« ^^^ ^^^^^

Leitfiiden der Physik mit Einschlnss der einfachsten Lehren der mathe-
matischen Geo^aphie nach der Lehr- und Prüfungsordnung von
1893 für Gymnasien. Von William Abekdroth. L Band. Eursus
der Unter- und Obersekunda. Zweite Auflage. Mit 155 Holzschnitten.
Verlag 1895. Verlag von S. Hirzel. — 222 Seiten. Preis 3,60 Mark.

Die neu aufgestellten Lehrpläne waren, wie in vielen anderen Fällen,
so auch hier die Veranlassung zur Umarbeitung der vor zehn Jahren er-
schienenen ersten Auflage. Nach der sächsischen Studienordnung sind die
Grundbegriffe der Chemie mit denen der Mineralogie zu verbinden und in
Obertertia zu behandeln. Aus diesem Grunde konnte der früher erforder-
liche Abschnitt über Chemie zum Fortfall kommen. Li betreff der Meteoro-
logie wurden nur die physikalischen Grundgesetze zahlreicher atmosphärischer
Vorgänge an den betreffenden Stellen hervorgehoben, sodass die Folgerungen
bieraus, sowie das durch die Statistik bearbeitete Material der physischen
Geographie zugewiesen werden mussten. — Neben der rein äusserlichen
Ursache zur Herausgabe einer Neuauflage tritt noch der innere, wesent-

IQ^ --

J

gle

132 Historisch -litterarische Abteilung.

lichere Grand hinzu, dass die Physik infolge der bedeutenden Fortschritte
in den letzten Jahren in einem ganz anderen Zusammenhang vorgetragen
werden muss. Dies macht sich schon in dem ersten Unterricht geltend,
indem die enorme Wichtigkeit des Prinzips von der Erhaltung der Energie
schärfer hervorzuheben ist. Eine Folge davon ist die EinfOhrang des
absoluten Maßsystems, das nicht früh genug dem Schüler beigebracht
werden kann.

Femer ist der Versuch gemacht worden, den Begriff des Potentials
verständlich zu machen, damit die Elektrizitatslehre in präziserer Fassung
durchgenommen werden kann. — Da der Verfasser nach seinem Vorwort
bestrebt ist, dem Schüler über dasjenige, was im täglichen Leben auf Schritt
und Tritt ihm begegnet, Aufschluss zu geben, wie Bogenlicht, Glühlicht,
Dynamomaschinen, Telephon, Mikrophon etc., so wird es auch angezeigt
sein, die in alten Physikbüchem vorhandene, allmählich aber wieder aas-
gemerzte Döbereiner Lampe aufzunehmen, welche das Fundament för das
heute wichtige Gas- bezw. Spiritusglühlicht bildet.

In Figur 83 Seite 129 ist die Verbindung der Drahtenden mit der Zink-
und Eupferplatte nicht derart, dass der Apparat in der gezeichneten Lage
sch?dmmt, vielmehr wird ein Neigen zur Seite stattfinden.

Die Ausstattung des Buches ist recht gut, insbesondere tragen die
fettgedruckten Stichwörter wesentlich zur Übersicht bei. q, Nebel.

Die Foptschpitte dep Physik im Jahpe 1893. Dargestellt von der Physi-
kalischen Gesellschaft zu Berlin. 49. Jahrgang. Erste Abteilung.
Enthaltend: Physik der Materie. Redigiert von Richard Börkstein.
Braunschweig 1895. Verlag von Friedrich Vieweg & Sohn. — 562 Seiten.
Preis 20 Mark.

Mit Freuden begrüssen wir diesen neuen Band der Fortschritte der
Physik, welche für den praktisch arbeitenden Physiker und Chemiker von
ungeheuerem Werte ist. Der energischen Thatkraft der neuen Redaktion
ist es gelungen, dieses Sammelwerk derart zu fördern, dass es gleichen
Schritt mit dem laufenden Jahrgang hält. Die Lücke infolge einer früheren
Stockung vermindert sich zusehends dank der Umsicht von Redaktion und
Verleger, so dass in kurzem ein zasammenhängendes Werk vorliegt, welches
der Physik auch ausserhalb Deutschlands zum grössten Vorteil gereicht

B. Nebel.

Physikaliscbe Aufgaben fBp die obepen Klassen bSbepep Lehpanstalten.

Aus den bei Entlassungsprüfungen gestellten Aufgaben aus-
gewählt und mit Hinzufügong der Lösungen zu einem Übungsbuche
vereinigt von Wilhelm Budde. Zweite, unter Berücksichtigong
der neuen Prüfungsordnungen abgeänderte und v^o^ehrte Auflage.

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Rezensionen. 133

Braunschweig 1894. Verlag von Friedrich Vieweg& Sohn. 149 Seiten.
Preis Mark 2. 50.

Bei der Heraasgabe dieser zweiten Auflage wurden die neuen Prüfiings-
ordnungen fOr die Beallehranstalten vom Jahre 1892 berücksichtigt. Infolge
der Einführung des absoluten Maßsystems wurden die früheren Maße in
der Elektrizitätslehre überflüssig, es musste daher auf diesem Gebiete eine
gründliche Umarbeitung stattfinden. Wenige Aufgaben wurden durch andere
ersetzt, dagegen kamen yiele neue hinzu, sodass deren Zahl von solchen
mit Lösungen und von solchen, die Abhandlungen, Beschreibungen etc. be-
treffen, von 170 auf 563 gestiegen ist. Schon bei der Besprechung der
ersten Auflage haben wir auf den ausserordentlichen Nutzen eines solchen
Buches hingewiesen, das dem Schüler als Prüfstein dient, ob er das
Abiturientenexamen in der Physik mit Erfolg bestehen kann oder nicht.
Das Buch sei daher allen zur Einführung empfohlen, die das Studium der
Physik ernst und nicht als Unterhaltungsgegenstand betreiben wollen.

B. Nebel.

Oesammelte Werke von IHeinrich Hertz. Band 3. Die Prinzipien der
Mechanik in neuem Zusanunenhange dargestellt. Herausgegeben von,
Ph. Lenard. Mit einem Vorworte von H. von Helmholtz. Leipzig 1894.
Verlag von Johann Ambrosius Barth (Arthur Meiner). 312 Seiten.
Preis geheftet 9 Mark — gebunden Mark 10.15.

Auch dieses letzte Werk von Hertz, welches als dritter Band der ge-
sammelten Werke erscheint und die Prinzipien der Mechanik in neuem
Zusammenhange darstellt, giebt ein beredtes Zeugnis, welch' ungeheurer
Verlust der Wissenschaft durch das allzu frühe Hinscheiden dieses genialen
Mannes zu teil geworden ist. Kein geringerer als Helmholtz, der frühere
Lehrer des noch jungen Gelehrten, fühlte sich veranlasst, das Vorwort zu
diesem gleichsam nachgeborenen Buche zu schreiben, ein Vorwort, wie es
wohl einzig in seiner Art dastehen dürfte. Es enthält ein Stück Qeschichte
der Physik, indem der Stand derselben bis zum Beginn der Hertz sehen
Thätigkeit klar gekennzeichnet wird. Dann folgt die Schilderung, an welchen
Punkten Hertz die Arbeit aufgenommen, und in welch' grossartiger
und scharfsinniger Weise er durch das Experiment die Entscheidung zwischen
den herrschenden Theorien gegeben hat. Dieses Vorwort ist ein herrliches
Denkmal, welches der Meister seinem bedeutendsten Schüler gesetzt hat.
Ergreifend ist dabei auch der Schmerz des Meisters, dessen Hoffnung und
Freude, den Erben seiner wissenschaftlichen Thätigkeit in dem so talent-
vollen Manne gefunden zu haben, entgegen dem natürlichen Lauf der Dinge
durch das Schicksal grausam zerstört worden sind. — Hertz giebt in seiner
ausgedehnten Einleitung mit grossem Scharfsinn die Gründe an, welche ihn
veranlasst haben, die Prinzipien der Mechanik von einem Gesichtspunkt
aus zu behandeln; er gestattet uns dabei einen Einblick in seine geistige
Werkstätte, wie er das vorgesteckte Ziel auf dreifache Weise für erreichbar

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134 Historisch -lifcterarische Abteilung.

hielt. Wir erfahren dabei, welche Gründe für und wider ihn bestimmt
haben, die beiden ersten Geistesbilder aufzugeben und seine ganze Kraft
der Durchführung des dritten Bildes zu widmen. Bei diesem wird von nnr
drei unabhängigen Grundvorstellungen , der Zeit, des Baumes und der Masse
ausgegangen. Ein vierter Begriff, wie derjenige der Kraft oder der Energie,
der den beiden ersten Bildern noch eigen war, kommt als selbständige
Grundvorstellung nicht mehr in Betracht. Indessen erfordert die Mannig-
faltigkeit der uns umgebenden Erscheinungen, dass noch eine Hypothese
aufgestellt wird, damit sich alle Bewegungen der Körper auf einfache mid
durchsichtige Regeln zurückführen lassen. Dies lässt sich dadurch erreichen,
dass die sichtbare Welt durch den unsichtbaren Teil ergänzt wird, am
ein abgerundetes, in sich geschlossenes, gesetzmässiges Weltbild zu erhalten.
Dieses verborgene Etwas, was sich ak Kraft und Energie zu erkennen
giebt, kann wiederum als Bewegung und Masse aufgefasst werden, und
zwar als solche, welche sich von der sichtbaren an sich nicht unterscheidet,
sondern nur in Bezug auf uns und auf unsere gewöhnlichen Mittel der
Wahrnehmung. In diesem Hinzudenken einer unsichtbaren Bewegung tmd
Masse liegt die Hertz sehe Hypothese, welche ihn befähigt, dem ganzen
Weltall den Charakter des einheitlich Gesetzmässigen zu verleihen. Die Be-
griffe Kraft und Energie sind dann nichts weiter als eine Wirkung von
Masse und Bewegung, welche beide aber nicht immer als grobsinnlich auf-
zufassen sind. — Der Inhalt selbst, welcher den Aufbau der Mechanik nach
diesem neuen Gesichtspunkt behandelt, zerfällt in zwei Bücher, deren erstes
die Geometrie und Kinematik der materiellen Systeme behandelt, wobei die
Überlegungen sich nicht auf die Erfahrung stützen. Das zweite Buch, die
Mechanik der materiellen Systeme, betrachtet unter Zeiten, Bäumen, Massen,
Zeichen für Gegenstände der äusseren Erfahrung, die aber mit den Grössen
des ersten Buches hinsichtlich ihrer Eigenschaften nicht im Widerspruch
stehen. — Besonders hervorzuheben ist, dass dieses Werk zur Zeit nicht
als Einführung in die Mechanik für die studierende Jugend benützt werden
kann, sondern dass es ftlr denjenigen bestimmt ist, welcher die bisherigen
Anschauungen der Mechanik vollständig beherrscht; ihn soll es anregen, die
gestellten Probleme auf Grund dieser neuen Basis zu lösen, und dadurch
dieser zur Entscheidung ihrer Berechtigung oder Nichtberechtigung za ver-
helfen. Leider ist dem Erbauer dieses Fundaments die Errichtung des
darauf ruhenden Gebäudes nicht vergönnt gewesen, er, der der berofendste
gewesen wäre^ in kürzester Zeit die Entscheidung selbst herbeizuführen.
Hertz, der vermöge seines scharfen Geistes, verstand , den Schleier
der Natur zu lüften, durfte nicht weiter vorrücken; denn das Schicksal
trat ihn entgegen mit der unabänderlichen Lösung: Alles bleibt Stückwerk

^^^^^^°- B. Nebel.

Die Gesetze der Überkaltnng nnd Gefrierpnnktserniedrigang. Zwei
Abhandlungen von Sir Charles Blaoden (1788). Herausgegeben
von A. J. VON Öttinoen. (Ostwald's Klassiker der exakten Wissen-

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Rezensionen. 135

Schäften, Nr. 66.) Leipzig 1894. Verlag von Wilhelm Engelmann.
49 Seiten. Preis 80 Pfg.

Abhandlangen fiber Thermometrie von Fahrenheit, RMnmnr, Celsius
(1724, 1730—1733, 1742). Herausgegeben von A. J. von Öttingen.
(Ostwald's Klassiker der exakten Wissenschaften, Nr. 57.) Leipzig 1894.
Verlag von Wilhelm Engelmann. 140 Seiten. Preis Mark 2. 40.

Otto von Guericke's Neue „Magdeburigische'' Versuche fiber den leeren
Raum (1672). Mit 15 Textfignren. Aus dem Lateinischen und mit
Anmerkungen herausgegeben von Friedrich D annemann. (Ostwald's
Klassiker der exakten Wissenschaften, Nr. 59.) Leipzig 1894. Verlag
von Wilhelm Engelmann. 116 Seiten. Preis Mark 2.—.

Auch bei diesen drei weiteren Bändchen sind am Schluss Anmerkungen
hinzugefi&gt worden, welche über Stellen im Text, bezw. über angeführte
Personennamen näheren Aufschluss geben. Im Übrigen können wir auf
frühere Besprechungen verweisen. — Hinsichtlich Nr. 56 sei besonders darauf
aufmerksam gemacht, dass das landläufig genannte Celsiusthermometer nicht
mit der von Celsius getroffenen Einteilung übereinstimmt; denn sein Null-
punkt bezw. Siedepunkt stimmt mit unserem Siedepunkt bezw. Nullpunkt

^^«'^"°- B. Nebel.

Grnndzttge der mathematischen Chemie. Energetik der chemischen Er-
scheinungen. Von Georg Helm. Mit 17 Figuren im Text. Leipzig 1894.
Verlag von Wilhelm Engelmann 138 Seiten. Preis Mark 3.—.

Wiederholt wurde bei der Betrachtung der Physik und Chemie in
theoretischer Hinsicht der grosse Nutzen hervorgehoben, welcher der ersteren
durch die Anwendung der Mathematik zu teil wurde. Durch die zahl-
reichen, äusserst wichtigen Arbeiten der letzten Jahre auf dem Grenzgebiet
der beiden Wissenschaften, nämlich der physikalischen Chemie, ist auch die
Mathematik endlich zu ihrem Becht gelangt. Zunächst können wir deren
Erfolge in der Chemie selbst als erst im Anfangsstadium stehend bezeichnen,
zumal die Mehrzahl aller Chemiker einen horror vor allem Rechnen, ge-
schweige denn vor der höheren Mathematik hat. Wie aber das Energie-
prinzip das Fundament der heutigen Physik bildet, so muss es auch das-
jenige der Chemie sein. Es ist daher ein verdienstvolles Unternehmen des
Verfassers, dieses Prinzip auch auf die chemischen Vorgänge zur Anwendung
zu bringen. Im ersten Teil wird das Wesen des Energieprinzipes auseinander-
gesetzt und auf die verschiedenen Formen der Energie hingewiesen. Einige
Beispiele dienen zur weiteren Erläuterung. Der zweite Teil, die Entropie
betitelt, enthält im wesentlichen einen Auszug der mechanischen Wärme-
theorie, dem die Beziehungen zwischen Wärme und elektrischer Energie als
Anhang beigefügt sind. Die chemische Intensität^ wie der Titel des dritten
Teiles lautet, umfasst auch die Errungenschaften der physikalischen Chemie,
die wesentlich durch van't Hoff, Arrhenius, Nernst, Ostwald und

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136 Historisch -litterarische Abteilung.

andere gefördert worden ist. Der vierte, letzte und kürzeste Teil des
Baches hat die Stufe der Mannigfaltigkeit oder Freiheit der chemischen
Erscheinungen zum Gegenstand; es ist dies eigentlich der erste Schritt in
die Chemie selbst. Ausgehend von der Phasenregel und dem Oleichgewicht
der Phasen gelangte man noch zu einer kurzen Betrachtung der chemischen
Reaktionen, die von mehreren Parametern abhängen. Das kleine Bach
eignet sich sehr gut, den jungen Chemiker auch zur mathematischen Be-
handlung seiner Wissenschaft anzuregen.

Das international festgesetzte und auch angenommene elektrische Strom-
maß lautet Ampdre und nicht Amper. Man muss diese nachtraglich von
einem deutschen Physiker eingeführte Kürzung schon deshalb zurückweisen,
weil die beiden Worte im deutschen ganz verschieden ausgesprochen werden.
Mit demselben Recht könnte man auch Om statt Ohm und Wat statt Watt
schreiben. Auch hier zeigt sich der von den fremden Nationen so oft
schon gerügte Fehler der Deutschen, dass jeder etwas besonderes will und
sich dadurch gegen das allgemeine Interesse auflehnt. Eine Nation kann
nicht gross auftreten, wenn sie den Fehler der Kleinlichkeit nicht ablegt.

B. Nebel.

Über die Methode der kleinsten Quadrat«. Von Richard Henke. Zweite
unveränderte Auflage. Nebst Zusätzen. Leipzig 1894. Verlag von
B. G. Teubner. 77 Seiten.

Diese zweite Auflage ist ein ungeftnderter Abdruck der im Jahre 1868
als Doktordissertation erschienenen Schrift. Verfasser hat absichtlich Än-
derungen unterlassen, damit der ursprüngliche Charakter nicht gestört wird
Der erste Teil umfasst eine Darstellung und Kritik der verschiedenen Be-
gründungsweisen der Methode der kleinsten Quadrate, während in den beiden
anderen eine allgemeine Auffiassung der Methode der kleinsten Quadrate
gegeben und begründet wird.

Als neu hat der Verfasser zwei Zusätze beigefügt, nämlich die Methode
der kleinsten Quadrate und das Qausssche Fehlergesetz, sowie weitere
litterarische Bemerkungen über Begründung und Bedeutung der Methode
der kleinsten Quadrate. Die vorliegende Schrift trägt wesentlich dazu bei,
die theoretischen Fundamente der in der Praxis allgemein verbreiteten
Methode der ' kleinsten Quadrate auf ihre Festigkeit zu prüfen und durch
eine allgemeinere Auffassung zu stützen. Der letzte Zusatz zeigt, wie
emsig auch auf diesem Qebiet seit dem Erscheinen der ersten Auflage, die
nicht in den Buchhandel gekommen war, gearbeitet worden ist.

B. Nebel.

An elementary treatise on theoretical mechanics by Alexander Ziwet.

Part II: Introduction to dynamics; statics. 1893. 183 Seiten. Preis 8. 6.

Part ni: Kinetics. 1894. 236 Seiten. Preis 8/6. New -York und

London. Verlag von Macmillan and Co.
Der zweite Band wurde gleichzeitig mit dem ersten besprochen, wes-
halb hier nur darauf verwiesen wird. Der dritte Band führt den Titel:

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Rezensionen. 137

Einetics. Die erste Hälfte desselben beschränkt sich auf die Kinetik
eines Teilchens, während der Best diejenige eines starren Körpers umfasst
und die wichtigsten Prinzipien der Kinetik eines Systems einer ein-
gehenden Diskussion unterzieht. Zwischen dem Text eingestreut finden sich
Aufgaben, deren Lösungen am Schluss des Buches zusammengestellt sind.
Der Charakter des vorliegenden Bandes ist mit demjenigen der beiden
früheren übereinstimmend. In dieser Beziehung sei auf die frühere Be-
sprechung verwiesen. Die äussere Ausstattung ist sehr sorgfältig und
könnte manchem Verleger in Deutschland zum Vorbild dienen, g Nebel

Eine neue Berechnung der mittleren Tiefen der Oceane nebst einer ver-
gleichenden Kritik der verschiedenen Berechnungsmethoden. Von
der philosophischen Fakultät der Christian -Albrecht -Universität in
Kiel mit dem neuschassischen Preise gekrönte Schrift. Von Karl
Karstens. Kiel und Leipzig 1894. Verlag von Lipsius und Tischer.
32 Seiten und 27 Tabellen. Preis 2 Mark.

In dem ersten Abschnitt findet sich eine Zusammenstellung der bisher
vorgenommenen Ermittelungen der mittleren Meerestiefen, die hinsichtlich
der benützten Methoden für die Berechnung in dem zweiten Abschnitt einer
näheren Kritik unterzogen werden. Von den drei in Frage konmienden
Methoden: 1. Der planimetrischen , d. h. derjenigen, welche von der Areal-
vermessung der Tiefenstufen ausgehen. 2. Der Profilmethode. 3. Der Felder-
methode wird die letztere der neuen Berechnung zu Grunde gelegt, weil
sie nicht nur das sicherste Resultat für alle gut ausgeloteten Meere liefert,
sondern auch den äusserst wichtigen Vorteil besitzt, jederzeit Nachträge und
Änderungen zu gestatten, ohne eine Wiederholung der ganzen Arbeit zu
veranlassen. In deftn dritten Abschnitt und den dazu gehörigen Tabellen
sind die Berechnungen, die sich auf die einzelnen Meere beziehen, zusammen-
gestellt. Als Resultat aus sämtlichen Berechnungen ergiebt sich als
mittlere Meerestiefe nach Karstens 3,496 km, eine Zahl, welche mit den
besten der früheren Arbeiten hinreichend übereinstimmt. Für Geographen
und Seeleute ist das Büchlein von grossem Wert. -g jq-gg^L

Hydpodynamics. By Horace Lamb. Cambridge 1895. At the üniversity
press. 604 Seiten. Preis 20/.

Ln Grunde genommen ist dieses Buch als die zweite Auflage des im
Jahre 1879 unter dem Titel: Treatise on the matbematical theory of the
motion of fluids erschienenen Werkes, welches auch ins Deutsche übersetzt
worden war, anzusehen. Indessen wurde dasselbe in solcher Weise durch
Änderungen und Erweiterungen umgestaltet, dass sich der Verfasser auch
veranlasst sah, den Titel zu ändern.

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138 Historisch -litterarische Abteilung.

Trotz der Vermehrung des Inhalts hat der Verfasser solche lange ana-
lytische Untersuchungen ausgeschlossen, deren Resultate sich nicht inter-
pretieren lassen und war bei der Auswahl bemtlht, dem physikalischen
Interesse möglichst Rechnung zu tragen, wobei auch die eigenen, diese
Wissenschaft fördernden Arbeiten des Verfassers erwähnt seien. In historischer
Hinsicht war der Verfasser bestrebt, den einzelnen Arbeiten den wahren
Automamen beizufügen. Es würde zu weit führen, wenn noch auf den
reichhaltigen Inhalt näher eingegangen werden sollte; aufmerksam sei nur
darauf gemacht, dass z. B. das Kapitel über Zählflüssigkeit eine ausgedehnte
Bearbeitung erfahren hat. Dem inneren Gehalt entspricht auch vollkommen
die äussere Ausstattung, sodass dieses Werk überall willkommen sein wird.

B. Nebel.

Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Schalles in einem theoretischen
Gase. Bearbeitet auf Grund der dynamischen Gastheorie. Verlag
von RDominicus (Th. Gruss). Prag 1894. 12 Seiten. Preis 60 Pfg.

Ausgehend von der Definition eines theoretischen Gases und der Hecht-
fertigung über die Einführung eines solchen, in Wirklichkeit nicht vor-
handenen Gases in die Physik stellt der Verfasser die Vorwürfe zusammen,
welche man auf Grund wirklicher Beobachtungen der dynamischen Gas-
theorie von Erönig und Glausius machen muss. Da sich aber in den Schlnss-
folgerungen Fehler nicht nachweisen lassen, so muss in der grundlegenden
Annahme der Irrtum zu suchen sein. Der Verfasser setzt daher an Stelle
der Krönig-Clausiusschen Annahme, wonach ein Drittel aller Moleküle
sich in je einer der drei Hauptaxen des einschliessenden Würfels bewege
und zwar senkrecht gegen die Begrenzungsebene mit der vollen Molekular-
geschwindigkeit die folgende: „In derselben Zeit, in welcher ein Sechstel
der MolküleJ gegen eine Grenzwand wirkt, wird auch gegen jede andere
Grenzwand je ein Sechstel derselben wirken, jedoch nicht mit der vollen
Molekulargeschwindigkeit senkrecht zur Grenzwand, sondern unter der noch
nicht angetasteten Bedingung, dass alle Auftrefincttungen möglich sind.^^
Dazu kommt: „Zwei Körper sind nur dann gleich warm, wenn die Arbeit
der in der Zeiteinheit beiderseits an die Flächeneinheit der Grenzwand ge-
langenden Moleküle gleich gross ist.'^ Auf Grund dieser Annahmen führt
der Verfasser die Betrachtungen über die Fortpflanzung des Schalles in
theoretischen Gasen durch und gelangt zu dem Eesultat, dass dieselben
mit den Erscheinungen bei permanenten Gasen sowohl im Wesen als auch
den Zahlwerten nach so vollkommen als möglich übereinstimmen.

B. Nebel.

Essai de thermodynamique gi*aphiqne par Ben^ de Saussure. Extrait des
Archives des Sciences physiques et naturelles. 3. Folge. Band 31.
Mai 1894. Genf 1894. Verlag von Aubert-Schuchardt. 42 Seiten.

Setzt man voraus, dass ein Körper stets das gleiche Gewicht behalt,
so lässt sich der Zustand desselben in jedem Augenblick durch zwei £le-

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Rezensionen. 139

mente, nämlich die lebendige Kraft und die Dauer der Periode der Be-
wegung, bestimmen. Auf diese Weise hat Clausius gezeigt, wie man die
Fundamentalprobleme der Thermodynamik auf die reine Mechanik zurück-
führen kann. Ein ähnlicher Vorgang spielt sich auch in der Vibrations-
theorie ab^ bei welcher es sich um die Feststellung des inneren Zustandes
eines Körpers handelt, wenn seine Teile dem Einfluss der Wärme ausgesetzt
sind. Es muss dabei die Natur der periodischen Bewegung der einzelnen
Teile genau präzisiert werden, und dies ist ebenfalls durch zwei gegebene
Grössen möglich, nämlich durch die Amplitude und durch die Dauer der
Periode der Vibrations- Bewegung. Verfasser geht von diesen zwei Grössen
als Koordinaten aus und stellt die Beziehung derselben mit der charakteristi-
schen Oberflächengleichung: F(P, F, T) = 0 her, worin P gleich der Druck,
F dem Volumen, T der absoluten Temperatur des Körpers entsprechen.
Die weiteren mathematischen Untersuchungen führen zu dem interessanten
Resultat, dass sich die gleichen JP(P, F, T) «= 0 durch drei Gleichungen
zwischen den Grössen P, F, T und zwei Bilfskoordinaten <Z> und S aus-
drücken lässt, welche direkt von der Amplitude und der Dauer der Periode
der Vibrations -Bewegung abhängen. Auf diese Weise erhält man eine viel
vollständigere charakteristische Funktion, weil sie den Wert jeder der zwei
spezifischen Wärmen getrennt liefert und somit in jedem Augenblick den
Zustand der Vibrations -Bewegung als Funktion der gegebenen experimentellen
Grössen ermitteln lässt. — Es ist dies ein sehr interessanter Beitrag zur
Behandlung der Thermodynamik auf graphischem Weg. -g j^gß^ii

Cber eine räumliche Darstellung der Tonreihe nnd deren Ausnutzung
in einem Apparate als Lehrmittel im musiktheoretischen Unter-
pichte. Von Anton Michalitschke. Separatabdruck der „Öster-
reichischen Mittelschule". 5. Jahrgang. 2. Heft. 1891. 15 Seiten.

Eine räumliche Darstellung der Tonreihe und die Ausnutzung derselben
in einem Apparat als Lehrmittel im Musikunterricht. Von Anton
Michalitschke. Sonderabdruck aus „Lotos^^ 1892. Neue Folge.
12. Band. 14 Seiten.

Ein Monochord mit spiralförmigem Stege zur Darstellung der pjiiha-
goräischen, der physikalischen und der gleichschwebend tem-
perierten Tonintervalle. Von Anton Michalitschke. Sonderabdruck
aus „Lotos^^ 1894. Neue Folge. 14. Band. 56 Seiten und eine
Figurentafel.

Der Inhalt der beiden ersten Schriftchen ist im wesentlichen derselbe,
indem darin gezeigt wird, auf welche Weise sich die Tonreihen als eine
logarithmische Spirallinie darstellen lassen. Die dritte Abhandlung benützt
die beiden ersten als die theoretische Grundlage und wiederholt kurz den
wesentlichen Teil derselben. Diese Darstellung der Tonreiben als logarith-
mische Spirallinie giebt die Veranlassung zum Bau eines Monochords mit

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140 Historiscli- litterarische Abteilung.

spiralförmigem Stege, welcher durch ein anf einer Holzscheibe befestigtes^
in Spiralform aufgewickeltes Messingband dargestellt wird. Die gespannte,
unveränderliche Saite selbst bildet den Badinsvektor, dessen Länge dnrcb
die Drehung der den Steg tragenden Scheibe bestimmt wird. Im weiteren
werden die Untersuchungen mitgeteilt, die an diesem neuen Monochord mit
dem Quint- Tonsystem und den verschiedenen Tonleitern angestellt worden
sind. Die beigefügte Pigurentafel dient zur Erläuterung der erlangten Er-

ß^^^^s««' B. Nebel.

Streiflichter auf eine neue Weltanschannng in Bezug auf die Beleneh-
tnng, ErwSrmnng und Bewohnbarkeit der HimmelskSrper. Eine
astrophysisch- metaphysische Hypothese über das innere Walten der
Natur und die sich daraus ergebenden Konsequenzen auf die Ethik
und Religion nebst einer Plauderei über die Möglichkeit eines „Welt-
unterganges" von Wilhelm Zenker. Siebente (lOOO) erweiterte
Auflage mit einer Reihe offiziell wissenschaftlicher Zustinmiimgeii.
Braunschweig 1895. CA. Schwetschke und Sohn. 88 Seiten. Preis IMark.

Der grossartige vielverdprechende Titel dieses Büchleins ist wohl die
Ursache, dass es schon die 7. Auflage erleben durfte, denn der Inhalt
bleibt hinter allen Erwartungen zurück. 43 Seiten hindurch werden die
bestehenden Ansichten in abfälliger Weise besprochen, die auf Grund streng
logischer Schlüsse mit Hilfe der Spektralanalyse zu Stande gekommen nnd
zur Zeit allgemein anerkannte Anschauungen werden kurz abgefertigt durch
Bezweifelung der Resultate, weil der greifbare Beweis fehle; — ein billiges
Vergnügen. Die Spannung auf die Ansicht des Verfassers wird jäh zer-
stört darch die ganz willkürliche, in den Folgerungen logisch zusammen-
hanglose Annahme, dass die Sonne als grösserer und gewaltigerer Körper
positiv auf die kleine, sich ihr negativ stellende Erde wirkt, wodurch der
entstehende elektrische Strom in der Erdatmosphäre sich in Wärme umsetzt,
während derselbe Strom sich in der Sonnenatmosphäre in Licht verwandelt
Grund, weil wir Menschen uns, wenn auch auf andere Weise elektrisch
unser Dasein erhellen und behaglich machen können. Als Motto bei der
Ansicht über den Weltuntergang diente wohl der Spruch: „Wasch' mir den
Pelz, mach' ihn aber nicht nass.'^ Das Ganze kennzeichnet sich als ein
nutzloses, leeres Geschwätz. p Nebel

Das System der Übergewalt oder das analytisch -synthetische Ppiniip
der Natur. Ein Beitrag zur Weltäther-, Stoff- und Kraftlehre und
zur Lösung naturphilosophisch -kosmischer Probleme in elf Haupt-
thesen von Konrad Beyrich. Mit sieben Figuren. Berlin 1895.
Verlag von Robert Oppenheim (Gust. Schmidt). 160 S. Preis Mk. 3. 60.

Das Buch hat einen ausschliesslich philosophischen Charakter, wes-
halb seine Besprechung eigentlich den philosophischen Fachzeitschriften vor-
behalten sein sollte. Sein naturwissenschaftlicher Inhalt hat aber auch

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Rezensionen. Bibliographie. 141

far alle Freunde der Naturwissenschaft Interesse. Der von der Physik
hypothetisch eingeführte Äther wird verallgemeinert und hat demnach als
Weltather eine äusserst wichtige BoUe nicht nur in der gesamten
Physik, sondern auch in der Chemie, Mineralogie, Astronomie, Medizin,
Meteorologie, Mechanik, Physiologie etc. Auf Grund dieser Anschauung
wird nachzuweisen gesucht, dass es kein absolutes Nichts giebt, also auch
kein leerer Baum existieren kann. g Nebel.

Bibliographie

vom 13. Mai bis 19. August 1897.

Feriodische Sohriften.

Jahresbericht der deutschen Mathematiker -Vereinigung. 4. Bd. 1894—1895.
Berlin, Beimer. 4. Enthaltend die Chronik der Vereinigung für die
Jahre 1894 und 1895, kurze Berichte über die auf den Versammlungen
in Wien und Lübeck geh. Vorträge, sowie einen ausführlichen Bericht über
die Theorie der algebraischen Zahlkörper, von Dav. Hilbert. Heraus-
gegeben im Auftrage des Vorstandes v. A. Wanderin und A. Gützmer. M. 1 6.

Veröflfentlichungen des königl. preuss. meteorologischen Instituts. Heraas-
gegeben durch dessen Dir. Wilh. v. Bezold, Ergebnisse der Beobach-
tungen an den Stationen II. und UI. Ordnung im Jahre 1896, zugleich
deutsches meteorolog. Jahrbuch fürl896. Beobachtungssystem des König-
reichs Preussen und benachb. Staaten. 2. Heft. Berlin, A^sher & Co. M. 3.

Dasselbe. Ergebnisse der meteorolog. Beobachtungen in Potsdam im

Jahre 1895. Ebenda. M. 8.

Jahrbuch, deutsches meteorologisches. Jahrg. 1895. Meteorol. Beobachtungen in
Württemberg im Jahre 1895. Mitteilungen der mit dem königl. statist.
Landesamt verbünd, meteorol. Zentralstation. Bearbeitet von Dr. L. Meyer
unter Mitwirkung von Prof. Dr. Mack. Stuttgart, Metzler. M. 4. 60.

Berichte, mathem. und naturw., aus Ungarn. 13. Bd. 2. Hälfte. Budapest,
Verlagsbureau der Ungar. Akademie der Wissenschaften. M. 4.

Fortschritte , die , d. Physik im Jahre 1891. Dargest. von d. physikal. Gesellschaft
zu Berlin. 47. Jahrg. 3. Abt. Braunschweig, Vie weg & Sohn. 3. Kosmische
PhysiK. Bed. von Bich. Assmann. M. 25.

Jahresbericht der deutschen Mathematiker -Vereinigung. 5. Bd. 1896. I.Heft.
Enthaltend die Chronik der Vereinigung für die Jahre 1896, sowie kurze
Berichte über die auf der Versammlung in Frankfiart a. M. geh. Vorträge.
Herausg. von A. Wangerin u. A. Gutzmer. Leipzig^ B. G. Teubner. M. 2. 80.

Veröffentlichungen des königl. preuss. meteorol. Instituts. Ergebnisse d. magnet.
Beobachtungen im Jahre 1894. 2. Heft. Berlin, Asher & Co. M.3. 50.

Dasselbe im Jahre 1895. 2. Heft. Ebenda. M. 3. 50.

Dasselbe. Ergebnisse der Niederschlags - Beobachtungen im Jahre 1894.

Ebenda. M. 10.

Berichte der sftchs. Gesellsch. derWissensch. Mathem. -physik. Klasse. 1897.
I. und n. Leipzig, Hirzel. a M. 1.

Nachrichten von der königl. Gesellsch. der Wissensch. zu Göttingen. Mathem.-

physik. Klasse, nebst geschäftl. Mitteil, 1897. Göttingen, Horstmaun. M. 5..QTp

142 Historisch -litterariBche Abteilung.

Sitzangsberichte, Münchner. Mathem. Klasse. 1896. 4. Heft. München, Franz.

M.1.20.

Wiener. Mathem. -naturw. Klasse. I.Abteilung. 105. Bd. 8.— 10. Heft.

Wien, Gerolds Sohn. M 5.

Beobachtung des Tifliser physik. Observatoriums im Jahre 1895 (russisch
und deutsch). Tiflis. (St. Petersburg, Eggers & Co.) M. 10.

Jahresbericht des Zentralbureaus für Meteorologie und Hydrographie im
Grossherzogtum Baden, mit den Ergebnissen der meteorolog. Beobach-
tungen und der Wasserstandsaufzeichnungen am Rhein und an seinen
grösseren Nebenflüssen für das Jahr 1896. Mit einem Anhang betr. die
Hochwasserkatastrophe vom März 1896. Karlsruhe, Braun. M.6.

Publikation der astronom. Gesellsch. XXI. Gylden, Hugo, Hilfstafeln zur Be-
rechnung der Hauptungleichheiten in den absoluten Bewegungstheorien
der kleinen Planeten. Unter Mitwirkung von Dr. Oppenheim heraus-
gegeben. Leipzig, Engelmann. M. 30.

Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik. Herausgegeben von Emil
Lampe. 26.Bd. Jahrg. 1895 (in SHeften). I.Heft. Berlin, Eeimer M.13. 50.

Mitteilungen der mathematischen Gesellschaft in Hamburg. 3. Bd. 7. Heft.
Leipzig, B. G. Teubner. M. 1.

Beobachtungsergebnisse d. königl. Sternwarte zu Berlin. 7. Heft. Marcuse, Abf.,
Photographische Bestimmungen der Polhöhe. Berlin, Dümmler. M.3.

Ghesohiohte der Mathematik und Physik.

Obenrauch, Perd. Jos., Geschichte der darstellenden und projektiven Geo-
metrie. Brunn , C. Winiker. M. 9.
Bois- Betmond, Emil du, Hermann von Helmholtz. Gedächtnisrede. Leipzig,
Veit & Co. M.2.
Goldbeck, Ernst, Die Gravitationshypothese bei Galilei und Borelli. Pro-
gramm. Berlin, Gärtner. M. 1.
Mach, Ernst, Die Mechanik in ihrer Entwickelung historisch -kritisch dar-
gestellt (internationale wissenschaftl. Bibliothek, Bd. 59). 3. Aufl. Leipzig,
Brockhaus. M. 8.
Abhandl. der kaiserl. Leopoldin. -Carolinischen deutschen Akademie der Natur-
forscher, 71. Bd. Nr. 1—3.
1. Braunmühl, A. v., Beiträge z. Geschichte d. Trigonometrie Leipzig,
Engelmann. M. 1.50.

2. Nasslr Eddin Tüsi und Eegimontan. Ebenda M.2.

3. KuTTA, W. M., Zur Geschichte d. Geometrie mit konstanter Zirkel-

öffhung. Ebenda. M.2.50.

PoaaENDORFF's Handwörterbuch zur Geschichte der exakten Wissenschaften,

3. Bd. 8. und 9; Lieferung. Leipzig, Barth. a M.3.

Beine Mathematik.

PucHBERGER, Eman., Eine allgemeinere Integration der Differentialgleich-
ungen. V. (Supp.-) Heft. Wien, Gerolds Sohn. M. 1.60.

BuRKiiARDT, Heinr., Funktioneutheoretische Yorlesungeu. l.Th. Einführung
in die Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Yer&nder*
liehen. Leipzig, Veit & Co. r^ T ^' ^'

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Bibliographie. 143

Richter, Otto, Die Bertlhrungskegelsclmitte d. ebenen Kurven vierter Ordnung
mit zwei Doppelpunkten. Progr. Leipzig /Heinrichs' Sortiment. M. 1 20.

Bioler, U., Ein Beitr. Z.Theorie d.arithm Reihen. Aarau, Sauerländer & Co. M.l.

Produktentafel, kleine. Herausgegeben von der trigonometrische Abteilung
der königl. preuss. Landesaufiiahme. Berlin, Mittler & Sohn. M. — .15.

Taschentafel, 4 stellige , logarithm. Hrsg. von der trigonom Abteilung d. königl.
preuss. Landesaufnahme. Ebenda. M. — . 30.

Weltzien, Carl, Üb.Produkte u. Potenzen V.Determinanten (od. üb. Komposition
von linearen Substitutionen). Programm. Berlin, Gärtner. M. 1.

Becker, E., Logarithm.- trigonom. Handbuch auf f&nf Dezimalen. 2. Ausg.
Leipzig, Tauchnitz. M. 1.20.

Frischauf, Johs., Vorlesungen über Kreis- und Kugel -Punktionenreihen.
Leipzig, B. G. Teubner. M. 2.

Isenkrahe, C, Das Verfahren der Punktions Wiederholung, seine geometr. Ver-
anschaulichung u. algebr. Anwendung. Leipzig, B. G. Teubner. M. 2. 80.

Sturm, Ch., Lehrbuch der Analysis (Cours d' Analyse). Übers, von Privatdozent
Dr. Thdr. Gross. l.Bd. Berlin, Fischers technol. Verlag. M. 7. 50.

Schmidt, H.C., Zahlenbuch, Produkte aller Zahlen bis 1000 mal 1000. Ent-
worfen von C. Cario. Aschersleben, Bennewitz. geb. M.l 0.

Tengler, Frz.. Konstruktion d. konjug. Durchmesser resp. Axen eines Kegelschn.,
der einem gegeb. polar rezipr. ist. Progr. Klagenfurt, v. Kleinmayr. M. 1.

Krause, Mart., Theorie d. doppeltperiod. Funktionen einer veränderl. Grösse.
2. (Schluss-)Bd. Leipzig, B. G. Teubner. M. 12.

Kronecker's, Leop., Werke. Hrsg. von K. Hensel. 2. Bd Ebenda. M. 36.

Angewandte Mathematikc

Spitzer, Sim , Tabellen f.d. Zinseszinsen- u. Rentenrechn. m. Anwendung ders. auf

Berechn. von Anlehen , Konstruktion von Amortisationsplänen u. s. w. 4. Aufl.

Wien, Gerolds Sohn. M.15.

Keck ,WiLH.,VortrSge üb. Mechanik als Grundl. f. d Maschinenw. II. Tl. Mechanik

elastisch -fester und flüssiger Körper. Hannover, Helwing. M. 12.

Lemke , H. , Über die Mars - u. Jupiterstörungen der kl . Planeten vom Hebe - Typus.

Dissertation. Berlin, Mayer & Müller. M. 2.

Hollefreund, Karl, Anwendungen des Gauss'schen Prinzipes vom kleinsten

Zwange. Programm. Berlin, Gärtner. M. 1.

ScHWARZHASN, Max, Bcziproke Krystallformen und rezipr. Krystallprojektionen.

Leipzig, Hirzel M. 3.

SiNRAM, A., Fragmente zum kosm. Bewegungsgesetz (Incitationstheorie) u. zur

Mechanik des Himmels. Hamburg, Gräfe & Sillem. M. 1.

Goldschmidt, LuDW., Die Wahrscheinlichkeitsrechnung. Versuch einer Kritik.

Hamburg, Voss. M. 7.

Handwörterbuch der Astronomie. 9. Lieferg. Breslau, Trewendt. M. 3. 60.
Jordan, W., Handbuch d. Vermessungskunde. 2. Bd. Feld- u. Landmessung.

5. Aufl. (in 2 Lieferg ). 1. Lieferung. Stuttgart, Metzler. M. 8.

Zehnder, L., Die Mechanik des Weltalls in ihren Grundzügen dargestellt.

Freiburg i. B., Mohr. M. 3.
Ergebnisse, die, der Triangulation der Schweiz. Hrsg. d. d. topogr. Bureau.
Eisultati della triangulatione della Svizzera 2. u 3. Lieferung, Bern,

Schmid & Francke. a M. 4.

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144 Historisch -litterarische Abteilung. Bibliographie.

Reinhardt, Kahl, Steuerungstabellen für Dampfmaschinen. Berlin, Springer.

geb.M.6.

Klein, F. und Sommerfeld, A., Über die Theorie des Kreisels. 1. Heft.

Die kinemat. und kinet. Grundlagen der Theorie. Leipzig, B. G.Teubner.

M. 5. 60.

Physik und Meteorologie.

Heinrich, Ergebnisse der meteorol. Beobachtungen, angestellt auf der land;

wirtschaftlichen Versuchsstation zu Rostock im Jahre 1896. Güstrow,

Opitz & Co. * M.-.5a

Albrecht, Gust., Die Elektrizität. Heilbronn, Schröder & Co. geb. M. 2.
Wallenstein, Ign. G., Lehrbuch der Elektrizität und des Magnetismus. Mit

besonderer Berücksichtigung der neueren Anschauungen über elektrische

Energieverhältnisse und unter Darstellung der den Anwendungen in

der Elektrotechnik zu Grunde liegenden Prinzipien. Stuttgart, Enke. M. 8.
Planck, Max, Vorlesungen üb. Thermodynamik. Leipzig, Veit & Co. kartM.7.5ö.
Tyndall, John, Der Schall. Nach der 6. engl. Auflage des Originals bearb. von

A. V. Helmholtz u. Cl. Wiedehanm. 3 . Aufl. Braunschw.,Vieweg & Sohn. M. 10.
Servus, Herm., Neue Grundlagen der Meteorologie. Berlin, Gärtner. Ml.
Lüders, J., Über den Kreisprozess der Gasmaschine. 11. Kritische Würdigung

der Abhandlung: Beiträge z. Theorie d.Gasmaschine von Prof. Dr. A Slaby.

Aachen, Mayer. M. 1.20.

Ebert, H., Magnetische Kraftfelder. Die Erscheinungen des Magnetismus,

Elektiromagnetismus und der Induktion, dargestellt auf Grund des

Eraftlinienbegriffes. 2. Teil. Leipzig, Barth. M. 10.

Eerber, Arth., Beiträge zur Dioptrik. 3. Heft. Leipzig, Fock. M. — . 50.

Cohn, Emil, Elektrische Ströme. 10 Vorträge über die physikal. Grundlagen

der Starkstromtechnik. Leipzig, Hirzel. M. 3.60.

Hartl, Heinr. , Meteorlog. u. magnet. Beobachtungen in Griechenland. 2. Bericht.

(Aus: „Mitteilungen des k. und k. militär-geograph. Instituts'*.) Wien,

Lechnen Sortiment. M.l.

Farad AY, Mich., Experimental- Untersuchungen über Elektrizität. (Aus den

Philosoph. Transact.) Herausgeg. von A. J. v. Öttingen. III. bis V. Reihe.

(1833). (Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften Nr. 86). Leipzig,

Engelmann. M 1 . 60.

Das3elbe.VI.bisVin.Eeihe(l834).(Ostw.Klass.Nr. 87.) Ebenda. M.2.60.

Cellier, Li^ON, Leitungs vermögen der schwarzen Kohle für Wärme und

Elektrizität (Dissertation). Zürich, Speidel. M.3.

Müller -Poüillbts, Lehrbuch d. Physik u. d. Meteorologie. 9. Aufl. von Prof.

Dr. Leop. Pfaundler unt. Mitwirk, des Prof. Dr. Otto Lummer (in 3 Bdn.).

2. Bd. 1 . Abt. 3. (Schluss -) Lieferg. Braunschweig , Vieweg & Sohn. M. 9. 50.
Weiler , W. , Wörterbuch der Elektrizität und des Magnetismus (in ca. 1 6 Heften).

I.Heft. Leipzig, Schäfer. M.-.75.

Anleitung zur Messung und Aui^eichnung der Niederschläge. Herausg.vomkönigl

pröuss. meteorol. Institut. 3. Aufl. Berlin, Asher & Co. M —.60.

Januschke, Hans, Das Prinzip der Erhaltung der Energie und seine Anwendung

in der Naturlehre. Ein Hilfsbuch für den höheren Unterricht. Leipzig,

B. G. Teubner. geb. M. 12.

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TcLfel III.

— I —

1.

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Bemerkung zu Seite 113 dieses Heftes.

Durch Vermitteluiig des Herrn Dr. H. Schöne lässt mich Herr
Geheimerat Dr. Diels darauf aufmerksam machen, dass die Stelle
über Quadratwurzelausziehung bei den Griechen schon im
1. Hefte 1894 dieser Zeitschrift S. 13—15 unter dem Titel ver-
öffentlicht ist: Un fragment des Metriques de Heron. Von Paul
Tannery in Paris. Der doi*t aus einer anonymen Abhandlung im
Manuscrit 2390 der Nationalbibliothek zu. Paris edierte Text
weicht nur in unwesentlichen Stücken von dem in diesem Hefte
gegebenen ab. Seine Lesart tavtu statt tavva am Schlüsse des
Passus dürfte aber jedenfalls den Vorzug verdienen. Die Kubik-
wurzelausziehung bleibt aber ein Novum.

Thorn, 17. September 1897. M. Curtze.

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Historisch-litterarische Abteilung.

Die Quadratwurzelformel des Heron bei den Arabern
und bei Regiomontan und damit Zusammenhängendes.

Von

Maximilian Cürtze

in Thorn.

Der Cod^x Vindohonensis Pcäatinus No, 5203 (Phil. 387) dürfte eine
höchst interessante Handschrift darstellen. Sie ist nämlich, wie mich
eine Vergleichung mit den eigenhändigen Briefen des Regiomontan
in der Stadtbibliothek zu Nürnberg unzweifelhaft gelehrt hat, von
diesem Meister des XV. Jahrhunderts geschrieben worden. Randglossen,
welche Schoners Handschrift zeigen, beweisen, dass sie einst von
ihm, wenn nicht besessen, doch eingehend durchgearbeitet ist; und
wenn nun in dieser Handschrift sowohl die y,T}ieoricae plandarum'^
Peurbachs enthalten sind: „anno domini 1454^^ Wienne in Collegio
Civium finite penultima niensis Äugusti" genau mit der Regiomontan-
schen Ausgabe* bis auf die Figuren stimmend; wenn dann weiter
darin die von Schoner** herausgegebenen Abhandlungen Regiomon-
tans beziehungsweise Peurbachs „De tabida s^imis et diordarum" und
y.Tractatus sinimm et ckordanim^^y letztere, wie in der Ausgabe ohne
die Tafel selbst, enthalten sind, ebenfalls bis auf die Figuren genau

* Die Ausgabe Regiomontans ist ohne jede Seitenzahl und ohne jede
andere Notiz. Sie umfasst 20 Blatt, welche in zwei Quinionen gedruckt sind.
Anfang (Blatt l',Z. 1-4): THEORICAE NOVAE PLANETARVM GEORGII
PVRBACHII ASTRONOMI CELEBRATISSIMI | DE SOLE | Sol habet tref
orbes a fe inuiceaa omniquaq| diuiCos | u. s. w. — Schluss (Blatt 20 ▼ Z. 36 — 39):
Hunc motum fequü | tur omnes fph^r^ inferiores in motibus Cuis ita ut refpectu
hui' ecliptic^ mo | bilis ßnt auges deferentium & declinatÖnes earum semp
inuariabiles; ! FINIS. — Die Seite hat 45 Zeilen.

** Tradatus G. Peurbachii super propositiones Ptoleniaei de sinibus et
chordis. Item compositio tabularum sinuum per Joannem de Regiomonte
Adiectae sunt et Tabulae sinuum duplices per eundem Regiomontanum. Omnia
nunc primum in utiUtatem Astronomie studiosorum impressa. Xorimbergae apud
Joh. Petrejum 1641. Fol. -Wiederholt in der Santbechschen Ausgabe der
Trigonometrie Regiomontans, Basileae s.a. (1561) S. 131— 146. ^^ ^

Hijt.-Utt. Abt. d. ZeitBchr. f. Math. u. Phya 42. Jahrg. 1897. S.Heft. ^f igitized by VjOOglC

146 Historisch -litterarische Abteilung.

übereinstimmend, wenn endlich der ,, Algorithmus demopistratus^ des
Jordan US darin sieh findet, welchen Schoner gleichfalls, wie er
selbst sagt, ans einer Wiener Handschrift, welche Ton RegiomontaD
geschrieben war, edierte*, so dürfen wir wohl in dem Torliegenden
Manuskripte dieses Schonersche erblicken. Leider war es mir der Eng-
herzigkeit der Verwaltung der Bibliothek des Eönigl. Gymnasiums zu
Thom halber unmöglich, die mir aus Wien und Krakau gesendeten
Handschriften Yollständig ausnutzen zu können. Es wurde mir nur
gestattet, der ich diese Bibliothek 18 Jahre selbst yerwaltet hatte,
wöchentlich darin vier, sage vier Stunden zu arbeiten. Erst im letzten
Augenblicke hat ein Machtwort des Herrn Kultusministers, an welchen
ich mich beschwerdeführend gewendet hatte, darin Wandel geschaffen,
und habe ich wenigstens die wichtigste Handschrift, den Kommentar
des An-Nairizi zu den zehn ersten Büchern des Eukleides in der Über-
setzung Gerhards von Cremona, vollständig abschreiben können.**
Folgende mit sehr flüchtiger Schrift gemachte Notizen unserer Hand-
schrift aber haben Beziehung zu der in der Überschrift genannten
Formel und den von mir gegebenen Erläuterungen, und möchte ich
sie deshalb hier als eine nicht uninteressante Ergänzung ebenfalls b^
kannt geben.

1. (Blatt 168'): Radicem de 10 in integris non habes nisi 3. Si
viciniorem velis, 3 in se duc, fiunt 9, deficit 1, quod divide per dupluni

radicis in integris, scilicet 6. Est ergo prima radix vicina 3-- Si se-

cundam viciniorem velis, duc hanc primam in se, fiunt 10^. Id super-

1 ... . . 1

habundat in ^- Nunc du pla primam radicem vicinam, scilicet 3^; fiunt

6-^-- Hoc multiplica per 36, fit 228, divisor. Hunc iterum multipliea

per -) exeunt 38; außer 1, manent 37, numerator. Est ergo secunda

... 37 1

vicina radix 3—- Quam si in se ducis, exeunt lOgjögj* Si iterum
viciniorem cupis, multiplica 51984 per duplum radicis secunde

vicme, scilicet per 6 -^; fiunt 328776. Quod iterum multiplica

" 37

per fractionem aput radicem, scilicet -- -; fiunt 53354. Ab hoc

1 minue, et fit tercia radix vicina 3 et „^,-.-' Hec si in se ducis,

^ o2o77o

provenient iO^-^-,^,,,,^^,^-

* Seite 4 der Vorrede sagt Schoner: Incidi miper in libellum . . . exarafum
mnx. et doctiss. viri Kegiomontani divina manu, qiiem in Vienfmi quapin»
hihliotkeca audio asser rar i hoc titulo: Algorithmus demonstratus incerti autoris, nndf
siisjHCor hoc exemplum f'uisse descriptum,

** Das arabische Original der sechs ersten Bücher geben Besthorn undHei-
berg arabisch und lateinisch heraus.

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Die Quadratwurzelformel des Heron bei den Arabern etc.

147

10
3

10

10^

1051984

1 108093658176

3|

3 228

» 63353
328776

quadrata
radices

Sic de 12 integris radix yicinior est 3; in fractionibus prima vi-

1 1 ... 13 .

cinior est 3^- Hec in se fit 12—- Secunda vicinior est 3^^. hec in
se fit 12irx7- Tercia vicina est 3;rrrr-

8 4

8t

8Ä

8 ^
41616

quadrata

2 4

4

^T

gl69

204

radices

Dass wir es hier mit der Heronschen Formel zu thun haben,
ergiebt sich aus folgenden Betrachtungen. Begiomontan findet zunächst:

das Quadrat davon ist:

In allen Ton ihm benutzten Beispielen ist 2^ = 1. Nun lässt er
folgendes ausführen: Er multipliziert 2a H — mit 4a^ und erhält
dadurch als Nenner seines neuen Bruches 8a*+ 4a6. Dies multipliziert
er wieder mit -r— und subtrahiert von dem Produkte &* bei ihm 1,

und erhält so als Zähler seines neuen Bruches 4a*6 + V.
Wurzelwert ist also:

Der neue

Heron lässt dagegen folgendes ausführen.* Mit seinem ersten
Näherungswerte a + -— dividiert er in die gegebene Zahl; so erhält er:

2a»+'^" '
Dazu addiert er den gefundenen Näherungswert und nimmt von
der Summe die Hälfte als zweiten Näherungswert, und erhält so:

Das ist aber die Formel Regiomontans. Letzterer hat seine
Kenntnis dieser Formel jedenfalls aus arabischer Quelle erhalten.
Denn Alkasädi giebt genau seine Anweisung.** Es ist daher gar nicht

* Vergleiche meinen Aufsatz in Heft 4 dieses Jahrgangs, S. 113—120.
*• Günther, Die Quadratischen Irrationalitäten der Alten und ihre Ent-
wickelungamethoden. (Abhandl. zur Gesch. der Mathem. IV) S. 45.

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148 HjBtorisch-litterarißche Abteilung.

nötig, wie Günther annimmt,* dass Alkasädi seine Formel durch
Aufwickelung des Eettenbruchs:

gefunden hat. Auch der Zweifel, welchen derselbe Gelehrte ausspricht,**
es hätten die Griechen gefundene Näherungswerte nicht wieder bei
Wiederholung derselben Näherungsrechnung benutzt, ist hinfallig:
Heron hat so gethan und, seinem Vorbilde folgend, Regiomontan.
Von Interesse dürfte wohl die schulgemässe Anordnung der gefundenen

Resultate sein, sowie bei "^8 die beiden Formen 2j und Sj statt 3

und 9, welche es ermöglichen, auch in diesem Falle die befolgte
Methode zur Anwendung zu bringen. An derselben Stelle hat aber
Regiomontan auch die Formel aufgestellt und bewiesen, von welcher
ich annahm, dass Archimedes bei seinen Quadratwurzeln Gebrauch
gemacht habe.*** Ich meine die Formeln:

Auch diese beiden Abschnitte erlaube ich mir mitzuteilen. Ohne
den Beweis der Richtigkeit findet man sie in fast allen mittelalter-
lichen Anweisungen zum Rechnen.

2. (Blatt 167'): Radix minutie vulgaris quadrata propinqua, si
ipsa minutia non sit quadrata, sie precipitur inveniri. Prepone numeri
alium quemcumque, qui quanto maior erit, tanto precisiorem habebis
radicem. Quem multiplica per denominatorem minutie date, et pro-
ductum constitue denominatorem radicis inveniende. Postea numerum
prepositum multiplica in se quadrate, et productum in denominatorem
minutie proposite, et quod exit, duc in numeratorem eiusdem minutie.
Tocius radicem quadratam viciniorem pone pro numeratore radicis.

Bacio. Sit minutia proposita a • &, numerus prepositus c. Ex c
in b fiat e, quem ponemus denominatorem radicis. Ex e in se fiat ff.
Ex c in se et producto post hoc in b fiat l] ex a in 2 fiat f: dico
primo minutiam f- g esse eandem cum minutia a • b data. Igitur, cum
radix // fit e, extrahatur etiam radix de /, que sit ch habebitur radix
de minor minutie ab date.

10 i ; , : ;3oo

0 e

I i 3 : i 30

f

I 600 I 1 900

A.a.O., S.68.

A.a.O., S. 88 am SchluBse der Anmerkung.

Vergleiche meinen oben erwähnten Aufsatz in Heft 4 1897.

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Die Quadratwurzelformel des Heron bei den Arabern etc. 149

Quod autem minutia f-g sit eadem cum minutia a-h, sie declaratur.
Ex a in ? fit /* ex ypothesi, sed ex 6 in l fit Qy ut probabo: igitur
fg minutia est eadem cum minutia ah. Sed quod ex 6 in Z fiat g^
SIC ostenditur."^) Nam ex c numero in 6 alium fit e, in quam e ducitur
tercius, scilicet e, et fit ^f: igitur g est equale ei, quod producitur
altero duorum c et & multiplicato in tociens multiplicem reliqui, quot
sunt unitates in tercio, scilicet e, l autem est tociens multiplex ad c,
quot sunt unitates in e^ quia ex t; in o et post in h fit /, quod tantum
est, sicut c in 6 et productum iterum in c multiplicatum: habes igitur
propositum.

Eadem racio foret, si numerum prepositum diviserimus in numera-
torem, et productum constituerimus numeratorem radicis. Deinde
numerum prepositum in se et postea in numeratorem numeri dati et
deinde in denominatorem, et producti radicem constituemus denomi-
natorem radicis. Sic extrahere poteris radices vicinas artificialiter
quotcumque unitates in numeratore aut denominatore ad placitum con-
stituendo.

t) Vel. sie. Ex c in se et postea in b tantum est, sicut ex c in b et postea
in c. Igitur, ex c in 5 quia fit e, ex c in e fiet L Igitur Z ad e sicut e ad &,
ergo e in se tantum facit, siut b in l: igitur & in 2 producit g.

3. Radix minutie vulgaris cubica propiuqua, si ipsa non sit cubica,
sie precipitur inveniri. Prepone quodyis numerum, qui, quanto maior
erit, tanto precisiorem habebis radicem. Quam multiplica per denomi-
natorem date minutie, productum constituens denominatorem radicis.
Deinde numerum prepositum duc in se cubice, et quod provenit, in
denominatorem minutie, et quod proyenit, iterum in denominatorem
minutie, et ultimum productum in numeratorem, et tocius radix cubica
propinqua constituatur numerator radicis.

Bodo. Sit minutia proposita a-ft, numerus prepositus e. Ex c in
b fiat ß; ex e in se cubice fiat g] c autem in se cubice et post in b,
et productum in b faciet ?, in quod a ductum faciet f: dico, quod
minutia f-g sit equalis vel eadem cum minutia a^b. Ideo radix cubica
de g sit e^ sit et d radix cubica de f: erit de minutia radix cubica
vicina minutie date Si probatur, |168'*| quod ex 6 in ? fiat ^r, habe-
bitur intentum. e in se faciat w; quia igitur ex c in se cubice et
deinde in b et iterum in b tantum fit, sicut ex c in 6 et deinde in c
et postea in 6 et ultimo in c, ergo c in se cubice et deinde productum
iu b et iterum productum in b tantum facit sicut c in e et pro-
ductum in b et ultimum productum in e, Sed c in e et productum in
b tantum facit sicut e in id, quod fit ex c in &, hoc est tantum facit
sicut c in se: ergo quod fit ex cubo ipsius c in quadratum ipsius b,
est equale ei, quod fit ex c in quadratum ipsius e. Igitur ex c in m
fit 2; sed ex o in & fit e, ergo l ad tn sicut e ad b, Igitur, quod fit
ex b in Z, est equale ei, quod fit ex e in m. Sed ex e in m fit ^:
igitur ex & in ! fit ^, quod fuit probandum.

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150 Historisch -litterarische Abteilung.

10. ^

130

c

1-

b

12

l

9000

1

1
1

1 o

f

e

1

m

1 J

' i OAAA

900

9

. löOOÜ

-: 27000

Similis racio esset, si numerum prepositum diviserimus in numera-
torem et productum constituemus numeratorem radicis. Deinde nume-
rum prepositum in se cubice, et cubum in quadratum numeratoris
fractiouis date et productum in denominatorem, et proTenientis radicem
cubicam viciniorem poneres denominatorem. Sic poteris igitur radices
artificialiter extrahere, quidque placet pro numeratore yel denominatore
ponendo.

Ausser den oben erwähnten Formebi kennt also Regiomontan
auch noch folgende anderen:

i/o, _ ac , 1/ ^ ac

Die yiÖ spielt bekanntlich bei den Indem als Näherungswert von
Ä eine wichtige Rolle. Wir finden diesen Wert z.B. in der oben er-
wähnten Arbeit Peurbachs TradcUus sinuum et chordarum angeführt.
Von anderen Beziehungen der Linien am Kreise wird sonst stets
unter Angabe der indischen Quelle im Mittelalter die Seite des regu-
lären Siebenecks . im Kreise als Hälfte der Seite des regulären Dreiecks
bezeichnet. Auch zu dieser Bemerkung findet sich in unserer Hand-
schrift eine Notiz des Regiomontan, welche fast gleichlautend auch
bei Jordanus sich erhalten hat. Da sie zugleich eine Näherungs-
rechnung für die Seiten aller regulärer Vielecke darzustellen behauptet,
so lasse ich sie ebenfalls hier folgen, und gebe in Anmerkung die
Stelle des Jordanus, welche ihr entspricht.*

4. (Blatt 128'): Philosophi Indorum artem communem et subtilem
tradiderunt, qua potuerimus invenire, quantum sit cuiuslibet figure

* „Hec est questio Indorum dicens de inscriptione cuiusvis figurarum equa-
lium laterum cadentis in circulo, et plunmimi quidem positionis Indorum non
est nisi credulitas sola absque demonstratione et in eo propinqiiitas , inter quam «jr
veritatem non est quantitas sensibilis, et hec est operatio, quam nunc dicam.
Duc medietatem diametri in se semper, demum quod aggregatur duc in 18 semper
et semper serva aggregatum. Deinde prohice ex numero laterum figure, cuius
qnantitatem vis extrahere, unum laterum eins semel semper, et accipe medietAt^^m
^us, quod remanet, et duc eam in numerum laterum figure et adiunge ad illiitL
quod aggregatum est, tria semper, et quod egredietur est quadratum lateri*
Quando ergo sie operatus fueris, super quod exigitur demonstratio, exibit ad
hunc numerum. Et scias , qüod ipsi ponunt latus eptagoni cadentis in circulo por
equalitatem medietatis- lateris trianguli cadentis in eo, et non est in manibu>
eorum super illud demonstratio plus quam inventio: intelligite ergo etc.

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Die Quadratwurzelformel des Heron bei den Arabern etc. 151

poligonie equilatere circulo inscripte latus^ et inter artem illorum et
Ptolomei non est differentia nisi in latere decagoni. Et est ingenium
istorum istud. Multiplica quadratum dyametri circuli per 4 et dimi-
dium^ productum serra. Deinde auffer unum a numero laterum talis
figure^ et reliquum multiplica per medietatem numeri laterum quesite
figure et adde 3, et per ipsum, quod provenit, divide servatum, et
exeuntis radix erit latus talis figure poligonie equilatere. TJt posita
djametro 60 partium more Sarrazenorum erit quadratum eins 3600,
quod multiplicatum per 4 cum dimidio est 16200; serva. Deinde si
volo reperire latus trigoni, auffero 1 a lateribus, manent duo; que

multiplico per ~; erunt 3; quibus addo 3, sunt 6; per que divido ser-

vatum, et provenit 2700, quorum radix quadrata est latus trigoni
posita dyametro 60 pedum. Item volo reperire latus eptagoni. A 7

demo 1, remanent 6; que multiplico per — ? provement 21; quibus

addo 3, sunt 24; per que divido servatum, provenient 675, quorum
latus est latus eptagoni, et sie de aliis.

Die sich hieraus ergebende Formel der Inder zur Auffindung einer
beliebigen regulären Polygonseite ist also die folgende:

s = - ' - ^^ ^**

ü

Für w = 3; 4; 6 ergeben sich daraus die genau richtigen Formeln:
53 = r.j/3; 54=rl/2; Se = r.

Für §7 aber erhält man ö^1/3, das heisst genau die Hälfte der
Dreieckseite, und damit ist die Entstehung dieses Näherungswertes
wohl klargelegt. Es ist ja auch 675 = — r — Während sich zunächst
die Frage aufdrängt, woher haben die Inder den Faktor 4~ her-
genommen, kommt die viel wichtigere hinzu, auf welchem Wege Re-
giomontan zur Kenntnis der obigen Formel gelangt sein wird. Dass
er Jordanus de tria^igidis gekannt hat, ist möglich, jedoch ist die
\ Darstellung bei diesen abweichend: es bleibt wohl die einfachste Ant-
wort, er habe sie in Italien aus arabischer Überlieferung kennen ge-
lernt, vielleicht gleichzeitig mit der Formel Heron-Alkasädi für die
Quadratwurzelausziehung. Regiomontan kannte aber auch die falschen
Inhaltsformeln für die regulären Polygone, welche eigentlich die
Polygonalzahlen geben, die aber im ganzen Mittelalter von den Gro-
matikern an stets für die oder neben den wirklichen Werten gebraucht
wurden. Er ist sich aber ihrer Unrichtigkeit bewusst und beweist
dieselbe in einem konkreten Falle. Die betrefi'ende Notiz lautet:

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152 Hißtoriscli- litterarische Abteilung.

5. (Blatt 131'): Pentagoni equilateri aream reperire. Duc unum
latus in se et productum in temarium, et a summa unum latus auffe-
ratur; residui medietas est area quesita.

Exagoni autem lateris unius quadratum ducatur quater et a summa
latus unum bis aufferatur^ et residui medietas est ipsa area. Eptagoni
vero quadratum lateris unius ducatur quinquies^ et a summa ipsum
latus unum ter dematur^ et remanentis medietas est^ quod queritur:
et sie in aliis secundum naturalem ordinem numerorum.

Advei-te, quod hec rationes debiles sunt in geometria. Veritat«m
enim certitudinis eins habent tantum in arismetricis^ ut dicit Boetius
de trigono hisopleuro, quod unum latus per se multiplicatur, et pro-
ducto quantitas unius lateris adiungatur^ et summe medietas erit area
talis trigoni, quod tantum certitudinem habet in arismetricis de numero
triangulari, nisi velles etiam capere pedes non quadratos superficiales,
sed partes pedum pro integris. Patet, quod non sic^ de exagono.
Ponamus enim exagonum equilaterum circulo inscriptum. Hie resolu-
bilis est in sex trigonos equilateros ductis lineis a centro circuli
ad omnes angulos exagoni. Inveniemus igitur quantitatem unius trigoni
talis. Pono, quod latus unum sit 4 pedum, tunc medietas unius erit
duorum. Erit igitur kathetus talis trigoni radix de 12, que ducta
per 2 erit radix de 48, et tanta est area unius sex triangulorum. Et
erit area exagoni talis 41 fere. Secundum autem modum Boetii ex-
agonus talis esset 28 pedum tantum.

Man siebt, Regiomontan ftlhrt hier genau die nämlichen Gründe
für die Unrichtigkeit an, wie sie in dem bekannten Briefe öerberts
an Adelbold enthalten sind.*

Zum Schlüsse noch die Bemerkung, dass die Behauptung Dr.Nagls,**
dass erst mit dem Anfange des XVI. Jahrhunderts die Form X für
vier durch die jetzt gebräuchliche 4 verdrängt sei, nur für Deutsch-
land, und auch für dieses nur teilweise, richtig ist. Regiomontan
schreibt z. B. nie anders als 4, und habe ich in in Süddeutschland ge-
schriebenen und auf italienische Beziehungen hinweisenden Hand-
schriften sehr häufig die letztere Form und fast nie die erstere gefunden.
Das bleibt freilich richtig: Der Gebrauch der Form X hört mit dem
XVI. Jahrhundert absolut auf. Handschriften mit dieser Form müssen
also spätestens im XV. Jahrhundert entstanden sein. Der umgekehrte
Schluss aber ist unrichtig.

* Vergleiche die Ausgabe in den Oeuwes de Gerbert ed.Ollerisp. 477—478.
♦♦ Dr. A. Nag], Über eine Algortsmusschn'ft des XU, Jahrhunderts (Zeit-
schrift für Mathematik, 34., Hist.-litt. Abt.) S. 134 — 136.

Thorn, I.Juli 1897.

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Rezensionen.

Magnetismns nnd Hypnotismns. (Elektrotechnische Bihliothek. Band 35.
Zweite Auflage.) Eine Darstellung dieses Gebietes mit besonderer
Berücksichtigung der Beziehungen zwischen dem mineralischen Magne-
tismus , dem sogenannten tierischen Magnetismus und dem Hypnotismus.
Von G. W. Gessmann. Mit 53 Abbildungen und 19 Tafeln. Zweite
revidierte und ergänzte Auflage. Wien, Pest, Leipzig 1895. A. Hart-
lebens Verlag. 205 Seiten. Preis Mk. 3.

Dem in drei Hauptstücke eingeteilten Buche geht eine orientierende
Einleitung voraus, in welcher die Wandlung des Hypnotismus hervorgehoben
wird, welche dieser seit dem Auftreten Hansens durchgemacht hat. In
dem ersten Hauptstück wird der Einfluss des mineralischen Magnetismus
auf den menschlichen Körper besprochen, was den Anlass zu einem ge-
schichtlichen Überblick giebt. In dem zweiten Hauptstück wird zunächst
die Frage: „Wer ist hypnotisierbar?" gelöst, und sodann erläutert, wes-
halb die sogenannten Hypnoskope, d.h. diejenigen Instrumente, welche die
leicht zu hypnotisierenden Individuen ermitteln lassen, nicht in allen Fällen
mit Sicherheit zu gebrauchen sind. Nach Mitteilung der verschiedenen
Methoden, um Hypnotismus zu erzeugen, wird eine Einteilung der Hypnose
hinsichtlich der verschiedenartigen Erscheinungen aufgestellt. Das dritte
Hauptstück konunt bei der Beobachtung der Bewegungserscheinungen zu
dem Schluss, dass im wesentlichen drei verschiedene Zustände zu unter-
scheiden sind. Sodann werden die Beobachtungen erwähnt, die durch den
hypnotischen Zustand an den fünf Sinnen wahrgenommen worden sind.
Den Schluss bilden die äusserst rätselhaften Phänomene des Somnambulis-
mus. — Das Buch hat das reiche Material der Beobachtungen auf diesem
wunderbaren Gebiete des Hypnotismus systematisch geordnet ^ wobei nament-
lich die Wahrnehmungen solcher Personen eingehend angeführt sind, welche
dem ärztlichen Berufe angehören. Auf diese Weise ist der Schein des
Schwindelhaften femgehalten. Das Buch mag jedem, der sich für den
Hypnotismus interessiert, bestens empfohlen sein, zumal durch die Angabe
der Litteratur das Quellenstudium erleichtert wird. -g [j^ebel

Nicola Teslas Untersnchnngeii über Mehrphasenströme und aber Wechsel-
ströme hoher Spannung und Frequenz. Mit besonderer Berück- *
sichtigung seinör Arbeiten auf den Gebieten der Mehrphasenstrom-
motoren und der Hochspannungsbelenchtung, zusammengestellt von
Thomas Commerford Martin. Autorisierte deutsche Ausgabe von

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154 Historisch -litterarisclie Abteilung.

H. Maser. Mit 313 Abbüdungen. Halle 1895. Verlag von Wilhelm
EJaapp. 608 Seiten.

Seitdem die ganz eigenartigen Liebt- und sonstigen Erscbeinungen
Teslas, welche ihre Entstehung Wechselströmen von hoher Spannung und
hoher Frequenz verdanken, in Deutschland bekannt und nachgemacht worden
sind, ist auch von deutscher Seite aus den Arbeiten dieses genialen Mannes
ein reges Interesse entgegengebracht worden. Seine Ideen bilden das Funda-
ment, auf welchem eine wesentliche Vereinfachung der praktischen Elektro-
technik in Zukunft aufgebaut werden wird. Der Wechselstrom, welcher
ursprünglich der Bogenlichtbeleuchtung den Eingang verschafft hat, spater
aber gänzlich vernachlässigt worden ist, ist nun wieder zur Herrschaft ge-
langt. — Jeder Elektrotechniker hat daher ein grosses Interesse, die ge-
samte Thätigkeit Teslas, wie sie in dem vorliegenden Buche geschildert ist,
eingehend studieren zu können; denn diese Arbeiten bilden die Basis für
die künftige Entwickelung der Elektrotechnik. Durch die eigentümliche
Wahrnehmung, dass die Ströme hoher Frequenz dem menschlichen Körper
keineswegs schädlich sind, während diejenigen niederer Frequenz direkt das
Leben gefährden, wird auch das Interesse des Physikers^ des Mediziners
und insbesondere des Physiologen geweckt. Das Buch zerfallt in drei Ab-
schnitte. Der erste behandelt in 24 Kapiteln die Mehrphasenströme und
ihre Verwendung in der Elektrotechnik, wobei die Eigentümlichkeiten der
einzelnen Motoren je nach ihrer Konstruktion erläutert werden. In dem
zweiten Abschnitt werden die drei Vorträge mitgeteilt, welche Tesla über
die von ihm entdeckten Erscheinungen bei Strömen von hoher Frequenz
und hoher Spannung gehalten hat. Der dritte Abschnitt umfasst ver-
schiedene sonstige Erfindungen und Schriften Teslas. Als Anhang ist der
vierte Abschnitt zu betrachten, welcher Teslas erste Phasenmotoren und
seinen mechanischen und elektrischen Oscillator zum Gegenstand hat. Das
Buch sei namentlich denjenigen bestens empfohlen, welche auf diesem Ge-
biet forschend weiter zu arbeiten beabsichtigen. Dem Inhalt und Druck des
Buches entsprechend möge der Verleger bei einer Neuauflage der Her-
stellung sorgfältigerer Figuren seine Aufmerksamkeit zuwenden; denn das
jetzige Machwerk ist dieses Buches keineswegs würdig. -g ^Jebel

A treatise on the measurement of electrical resistance by William Arthcr
Price. Oxford 1894. At the Clarendon press. 199 Seiten. Preis 14;.

Wie die Gewichtsbestimmung in der Chemie, die Winkelbestimmung
in der Geodäsie eine Hauptrolle spielt, so ist bei den elektrischen Messungen
die Widerstandsbestimmung die wichtigste. Längeres Arbeiten auf diesem
Gebiete veranlasste den Verfasser, eine systematische Zusammenstellung
der gebräuchlichen Widerstandsmeßmethoden herauszugeben, wobei jedesmal
angegeben wird, unter welchen Umständen der eine oder der andere Apparat
vorzuziehen ist. Dabei ist auch darauf hingewiesen, wie sehr sich die

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Rezensionen. 155

elektrische Widerstandsbestiininnng der reinsten Metalle za thermometrischen
Zwecken eignet, da die Angaben bis zu dem absoluten Nullpunkt der
Temperatur reichen. Bei einem solchen Spezialwerk wäre es doch wünschens-
wert gewesen, wenn der Verfasser die Litteratur vollständiger benützt hätte,
insbesondere vermissen wir die Durchsicht der deutschen Litteratur, in
welcher sich die Arbeiten von Frölich, HeinrichWeber, der Physikalisch-
technischen Eeichsanstalt u. s. w. befinden. Die wenigen deutschen Forscher-
namen verdankt der Verfasser zum Teil dem Umstand, dass die betreffenden
Herren entweder in England Vorträge hielten, z.B. Lindeck über Manganin,
oder in englischen Zeitschriften publizierten. Der internationale Charakter
der Wissenschaft wird auf die oben angegebene Weise nicht gewahrt. Li
Deutschland wird sehr daraufgesehen, dass neben der einheimischen Litteratur
auch die fremde gebührend berücksichtigt wird. ^ Nebel

Magnetische Beobachtungen an der deutschen Bucht der Nordsee, an-
gestellt im Jahre 1894 von A. Schuck, Hamburg, und Elemente
des Erdmagnetismus an festen Stationen Europas in den Jahren
1885, 1890 und 1893 von A. Schuck. HamUtirg 1896. Selbst-
verlag des Verfassers. 22 Seiten.

Die Beobachtungen an der deutschen Bucht der Nordsee hat Verfasser mit
Unterstützung zahlreicher Hamburger Firmen ausgeführt. Den zweiten Teil
bildet eine Zusammenstellung der sogenannten Elemente des Erdmagnetis-
mus nach neueren Beobachtungen an festen Stationen Europas. Der Zweck
dieser Beobachtungen hat wesentlich nautischen Charakter. ^ Nebel

Die Lehre von der Elektrizität und deren praktische Verwendung.

Von Th. Schwartzb. Mit 153 in den Text gedruckten Abbildungen.
Leipzig 1895. Verlag von J.J.Weber. 548 Seiten. Preis Mk. 10.

Durch die bahnbrechenden experimentellen Arbeiten von Hertz hat
die elektro - magnetische Lichttheorie sich allenthalben Bahn gebrochen,
weshalb ein jeder das Gefühl hat, dass künftighin die Darstellungsweise in
der Physik eine wesentliche Änderung gegenüber der bisherigen erfahren
müsse. Der Verfasser hat in dem vorliegenden Werk einen Versuch ge-
macht, die bisherigen Anschauungen in eine neue umzugestalten. Dieses
Übergangswerk geht zunächst von den dem absoluten Maßsystem zu Grunde
liegenden Grössen, der Masse, der Länge und der Zeit aus und zeigt, in
welcher Form die physikalischen Grössen auftreten, wenn man nur eine
Grösse, die Kraft, als Ausgangspunkt der daraus abzuleitenden physikalischen
Maße aufstellt. Um über das Neue und Ungewohnte dieser Behandlungs-
weise leichter hinwegzukommen, behandelt der Verfasser zunächst die
allgemeinen physikalischen Grundprinzipien und geht erst dann zu den
elektrischen und magnetischen Vorgängen über. Die dritte Abteilung
„Elektrotechnisches^^ umfaßt die elektrischen Meßmethoden nebst den dazu
gehörigen Instrumenten. — Je mehr Mitarbeiter bei dieser Umwälzung

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156 Historisch -Ktterarische Abteiluiig.

gewonnen werden, van so kürzer wird das immer onangenehme Übergangs-
stadinm werden. Es ist daher der Verbreitung dieses Bnches Vorschub zn
leisten. — Namen sind nicht zu verdeutschen, auch kann man es nicht
„offiziell" nennen, wenn jemand seine Liebhaberei, Amper statt Ampere
zu setzen, entgegen einer internationalen Verständigung bei seinen Unter-
gebenen einföhrt. Was würde denn der Verfasser sagen, wenn in englischen
Werken „Om" statt „Ohm", in französischen „Wat" statt „Watt" stunde,
d. h. wenn jeder sein Steckenpferd reiten wollte? Übrigens käme man mit
der weiteren Verdeutschung auch auf recht zweideutige Ausdrücke, z. B. das
verdeutschte, abgekürzte Coulomb. Im Interesse der Allgemeinheit hat sich
jeder der international angenommenen Bezeichnungen zu bedienen und auf
seine Lokalwünsche Verzicht zu leisten. B. Nebel.

Elektrizität und Licht. Einführung in die messende Elektrizitatslehre xmd
Photometrie. Von 0. Lehmann. Mit 220 Holzstichen und 3 Tafeln.
Braunschweig 1895. Verlag von Friedrich Vieweg & Sohn.
390 Seiten. Preis 7 M.

Der physikalische Unterricht wird erst fruchtbringend, wenn auch die
quantitative Behandlung des Stoffes zu ihrem Recht kommt. Dies ist der
Grund, weshalb von vielen die Experimentalphysik in wesentlich anderer
Art, als dies firüher der Fall war, vorgetragen wird. In der Mechanik
war auch früher die quantitative Seite hervorgetreten, sobald aber die Lehre
vom Magnetismus und der £lektrizii»t an die Reihe kam, trat sie nur noch
rudimentär auf. Mit Einführung des absoluten Maßsystems war der erste
Schritt zur Besserung angebahnt. Der Zweck dieses Buches ist, den Schüler
schon frühzeitig mit den elektrischen und magnetischen Messungen vertraut
zu machen, wobei alles Überflüssige hin weggelassen worden ist, und nur
die praktische Nutzanwendung ausschlaggebend war. Das Buch verdankt
seine Entstehung der Herausgabe der sechsten Auflage von Fricks physi-
kalischer Technik durch den Verfasser, in welcher es auch teilweise zum
Abdruck kam. Daß sich der Verfasser streng an die in der Praxis als
bewährt gefundenen Apparate hält, giebt sich speziell in der Photometrie
deutlich zu erkennen zum Unterschied gegenüber einigen neueren Lehr-
büchern der Physik, in welchen die Verfasser sich von ihren Jugend-
erinnerungen nicht trennen können und dabei die heutige Photometrie, wie
sie in der Praxis gehandhabt wird, ganz übergehen. Das Buch wird sich
infolgedessen rasch einbürgern und kann nur bestens empfohlen werden.
— Bei einer Neuauflage möchte die Verlagsbuchhandlung durch eine andere
Wahl des Papieres das Durchschlagen des Drucks von der Rückseite ver-
meiden. .^ . B. Nebel.

Dr. J. Fricks Physikalische Technik speziell Anleitung zur Ausführung
physikalischer Demonstrationen und zur Herstellung von physikali-
schen Demonstrationsapparaten mit möglichst einfachen Mitteln.
Sechste, umgearbeitete und vermehrte Auflage. Von Otto Lehmakk.

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Rezensionen. 157

In zwei Bänden* Zweiter Band. Mit 1016 eingedrackten Holz-
stichen oad 3 Tafeln. Braunschweig 1895. Verlag von Friedrich
Vieweg & Sohn. 1054 Seiten. Preis 20 M.
Mit diesem zweiten Band ist ein Werk zum Abschloss gekommen,
welches für Lehrer xmd Schüler an Hoch- und Mittelschulen von unge-
heurem Werte ist. Die Physik ist kein Unterhaltungsmittel mehr, sondern
eine Wissenschaft, deren jüngstes Kind, die Elektrotechnik, den Nutzen in
Mark und Pfennig auszurechnen gestattet. Will man die Physik richtig
erfassen, so genügt es nicht, sich Experimente vormachen zu lassen, sondern
selbst Hand anzulegen; erst dann lernt man, mit welchen Schwierigkeiten
das Gelingen eines Experimentes verbunden ist, und von welchen Kleinig-
keiten sein Zustandekonmien abhängt. Die praktische Thätigkeit lehrt alle
Einzelheiten, selbst die unscheinbarsten, zu berücksichtigen, schärft somit
die Geistesarbeit in angeregter Weise, da Einseitigkeit vollkonmien aus-
geschlossen ist. Diese Neubearbeitung von Fricks Physikalischer Technik
hätte von niemand besser durchgeführt werden können, als von dem in
allen praktischen Arbeiten durchaus erfahrenen Verfasser. Es ist eine wahre
Freude, nach diesem Buche zu arbeiten, weil es in seiner beratenden
Weise alle Umstände sorgfältig berücksichtigt, damit der Experimentator
Herr der Situation und unabhängig von dem Zufall wird. Alles, was sich
nicht bewährt hat und was heute nicht mehr im Gebrauch ist, ist als über-
flüssiger Ballast ausgeschieden. — Der reiche Inhalt dieses zweiten Bandes
umfasst die Elektrizität, den Magnetismus, die Optik und die Akustik. Das
Buch empfiehlt sich von selbst und wird dies durch seine weite Verbreitung
beweisen. Die Verlagsbuchhandlung möge bei einer Neuauflage berück-
sichtigen, dass das Durchschlagen des Druckes von der Rückseite vermieden
wird, und dass ein Teil der Figuren auf ihre Reinheit geprüft wird.

B. Nebel.

Wilhelm Olbeps, sein Leben und seine Werke, Im Auftrage der Nach-
kommen herausgegeben von C. Schillinq. Erster Band: Gesammelte
Werke. Mit dem Bildnis Wilhelm Olbers'. Berlin 1894. Verlag
von Julius Springer. 704 Seiten. Preis 16 M.
Es ist ein schöner Zug unserer auch in der Wissenschaft hastig dahin-
eilenden Zeit, dass sie sich ihrer grossen Bahnbrecher mit Stolz erinnert
und bestrebt ist, durch Herausgabe ihrer, zum Teil sehr zerstreuten Werke
den heutigen Forschem das Quellenstudium zu erleichtem. Nach dem Er-
scheinen der Werke von Faradaj, Gauss, Wilhelm Weber, Ohm ist
es mit Freuden zu begrüssen, dass die Nachkommen Olbers auch dessen
Werke gesammelt der Nachwelt überliefern. Olbers' Verdienst auf dem
Gebiete der Astronomie war namentlich für B es sei von bahnbrechender
Natur. Gleichzeitig wird jeder Leser den Eindruck erhalten, dass Olbers
eine ganz bedeutende Arbeitskraft besass, um sich neben seinem ärztlichen
Beruf so erfolgreich dem gestirnten Himmel widmen zu können. — Der
vorliegende erste Band des auf drei Bände berechneten Werkes enthält

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158 Historisch -litterarische Abteilung.

01b ers' Thätigkeit als Astronom. Der zweite Band soll den Briefwechsel
zwischen Gauss und 01b er s bringen, soweit er zur Entwickelnng der
Wissenschaft beiträgt, während der dritte Band durch die Yeröffentlichnng
zahlreicher Briefe zwischen Olbers und seinen Zeitgenossen ein getreues
Bild von Olbers und seinem wissenschaftlichen, sowie privaten Leben geben
soll. Sowohl Astronomen als auch Freunde der Astronomie werden sicherlich
mit grossem Interesse der Herausgabe dieses Werkes folgen, da es in vieler
Hinsicht von grossem Nutzen ist. -d iIebet

Astronomisclie Chronologie. Ein Hilfsbuch für Historiker, Archäologen
und Astronomen. Von Walter F. Wislicbnus. Leipzig 1895. Verlag
von B. G. Teubner. 163 Seiten.

In erster Linie ist das vorliegende Buch für Historiker und Archäologen
bestimmt, sodann soll es aber auch dem Astronomen als ein weiteres Hilfs-
mittel dienen. Um nun dem Nichtastronomen den Gebrauch desselben zu
erleichtem, werden in dem ersten Teil die astronomischen Grundbegriffe
erläutert, die zum Verständnis der in dem zweiten Teil enthaltenen Be-
rechnungsmethoden erforderlich sind. Diese letzteren sind in übersichtlicher
Weise zusammengestellt und deren Handhabung an praktischen Beispielen
durchgeführt, wodurch die Benützung ungemein erleichtert wird. Alle,
welche auf diesem Grenzgebiet der Astronomie, Geschichtsforschung und
Altertumskunde arbeiten, werden dieses Hilfsbuch mit Freuden begrüssen,
da es die oft zeitraubende Thätigkeit wesentlich abzukürzen vermag. Die
äussere Ausstattung des Buches lässt nichts zu wünschen übrig.

B. Nebel.

Mathematisclie Vorschnle der Atronomie in Bezug auf die scheinbare
Bewegung des Fixstemhimmels. Eine pädagogische Skizze. Mit
18 Figuren auf 3 Tafeln. Von Ad albert Breuer. Wien 1896.
Im Selbstverlage des Verfassers. 24 Seiten. Preis 60 Kr. — 1 M.

Vorliegendes Büchelchen enthält eine Studie des Verfassers, wie er
glaubt, dass die mathematische Astronomie in den Mittelschulen behandelt
werden soll. Zunächst sagt er selbst, dass der Stoff dasjenige Unterrichts-
maß weit überschreite, welches daselbst innegehalten werden soll, indessen
beabsichtige er zunächst, den Lehrer mit seiner Idee der Behandlung vertraut
zu machen. Die Vorteile der von dem Verfasser angegebenen Methode sollen
darin beruhen, dass sie von der sphärischen Trigonometrie vollständig un-
abhängig ist und doch dieselben mathematischen Formeln wie die letztere
liefert. Ob diese Methode vorteilhaft ist, wird wohl vielfach bezweifelt
werden, natürlich ist sie jedenfalls nicht. g^ Nebel.

Astronomische Beobachtnngen und Resultate ans den Jahren 1893
nnd 1894. Neue Beiträge zur Begründung einer modernen Seleno*
graphie und Selenologie, gesammelt auf seiner Privatsternwarte zu

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Eezensionen. 159

Kaiflerslautern von Phil. Fauth. II. Mit einem Atlas, enthaltend
25 topographische Spezialkarten des Mondes in Lichtdruck. Leipzig
1895. Verlag von Johann Ambrosius Barth (Arthur Meiner).
66 Seiten 4®. Preis 15 M.

Die unter erschwerenden Umständen mit grossem Fleiss hergestellten
Mondkarten sind in grösserem Maßstab durchgeführt, als dies zur Zeit der
Fall ist. Verfasser war bestrebt, alle Einzelheiten, die er beobachten konnte,
aufzunehmen, um den Wert der Karten hinsichtlich der Beurteilung etwaiger
Veränderungen auf dem Mond zu erhöhen. Wenn auch zunächst ein scharfer
Gegner die vermeintlichen Früchte einer emsigen Thätigkeit als wertlos
bezeichnet, so wirkt das nicht gerade erhebend, gleichwohl wird der Erfolg
nicht ausbleiben, sofern das Streben, das wirklich Beobachtete der Wahrheit
gemäss festzuhalten, nicht erlahmt. Um das Unterlaufen von Irrtümern
auszuschliessen, würde sich die Annäherung an vorurteilslose Männer der
Astronomie empfehlen. Die Polemik macht erbittert und stört die Gemüts-
ruhe, welche bei scharfen Beobachtungen unerlässlich ist. Schon die Ge-
winnung eines anerkannt tüchtigen Verlegers muss doch ermunternd wirken.

B. Nebel.

Die tiefen Temperaturen, ihre künstliche Erzeugung, ihre Einwirkung auf
Tiere, Pflanzen, Mikroorganismen, chemische Prozesse, physikalische
Vorgänge etc., sowie ihre Anwendung in der Industrie. Nach den
neuesten Untersuchungen bearbeitet für Chemiker, Physiker, Medi-
ziner, Bakteriologen, Lehrer der Naturwissenschaften, sowie für
sämtliche Interessenten der Kälteindustrie. Von Adolf Welter.
Crefeld 1895. Verlag von J. Greven. 84 Seiten.

Die vorliegende, Professor Pictet gewidmete Brochüre verdankt ihre
Entstehung zwei Vorträgen des Verfassers. Ausgehend von den Methoden
und den Instrumenten zur Messung tiefer Temperaturen werden die drei
Arten der künstlichen Erzeugung tiefer Temperaturen eingehend behandelt,
nämlich durch Auflösen fester Körper, durch freiwillige Verdampftmg von
Flüssigkeiten und durch Expansion gasförmiger Körper. Ungemein inter-
essant sind die Versuche, welche grösstenteils von Pictet und seinem
Berliner Laboratorium herrühren. Bei — 126® hört z. B. jede chemische
Reaktion auf; auch in physikalischer Hinsicht ist der Einfluss tiefer Tem-
peraturen sehr bemerkenswert, so zeigen die Metalle wider Erwarten eine
viel grössere Zähigkeit und Festigkeit. Den Schluss bilden die Unter-
suchungen bei Tieren und Pflanzen, die namentlich bei den kaltblütigen
Tieren schon äusserlich sehr frappant sind, während bei den warmblütigen
sogar Heilversuche festgestellt worden. — Wegen der knappen , inhaltsreichen
Darstellung wird diese Brochüre für jeden Freund der naturwissenschaft-
lichen Forschung, der die Litteratur nicht selbst verfolgen kann, ebenso
wertvoll sein, wie für den auf diesem Gebiet arbeitenden Gelehrten wegen
der zahlreichen Litteraturhinweise. -g ^«35,»

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IgO Historisch -litterarische Abteilung.

Maggi. Principii della ieoria matematica del moTimento dei corpi.
Corso di meccanica razionale. Milano. Stoepli. 1896. XIu.503. 8".

Das vorliegende Lehrbuch der Mechanik ist besonders ausgezeichnet
durch eine originelle und sehr sorgfältige Behandlung der Grundbegriffe der
Mechanik, die Referent deshalb zunächst etwas ausführlicher darlegen möchte.

Statt wie gewöhnlich mit dem materiellen Punkt und den Kräften
zwischen materiellen Punkten zu beginnen, stellt Maggi an die Spitze
Hypothesen über die materiellen Figuren. Materielle Figuren sind begrenzte,
mit Materie erfiillte Teile des Baums, die hypothetisch mit denjenigen
Eigenschaften begabt sind, die wir den homogen mit Masse erfüllten Körpern
zuschreiben. Um sie aufzuzählen, wollen wir als mittlere Beschleuni-

i/'^

gung einer materiellen Figur den Vector — j qäx definieren, wo % das Volum

der Figur, dx ein Volumelement, q die Beschleunigung in einem Punkte
dieses Elements ist, und das Integral sich über die ganze Figur erstreckt
Es sollen dann folgende Gesetze gelten:

1) Sind F^ und F^ zwei materielle Figuren, (»^ und ^3 die mittleren Be-
schleunigungen, wenn die beiden Figuren miteinander isoliert sind^ so
ist für jede Zeit Pi = — (Zis^j» wo g^ eine von der Zeit unabhängige
positive Konstante sein soll, die nur von den beiden Figuren abhängt.

2) Hat man drei materielle Figuren, JF\, i^gi -^s» liefern F^ und F^ isoliert
die Konstante ^^j, F^ und F^ isoliert die Konstante g^gs» so liefern F^
und F^ isoliert die Konstante ^is/jgs- Biese Eigenschaft erlaubt jeder
materiellen Figur eine bestimmte, mit der Zeit nicht veränderliche
Masse beizulegen, und, wenn w^, m^ die Massen von F^ und F^ sind,
die Eigenschaft 1) zu schreiben wi^ ^^ = — m^ q^,

3) Hat eine materielle Figur F mit andern JF\, F^ . . , der Reihe nach
isoliert die mittleren Beschleunigungen ^j, ^^j • • • so hat sie die mittlere
Beschleunigung (>i + (>2 + * "1 wenp sie mit allen isoliert ist

4) Jeder Teil einer materiellen Figur ist wieder eine materielle Figur.
Aus diesen Annahmen folgt, dass die Masse dem Volumen einer

materiellen Figur proportional ist, womit sich der Begriff der Dichte ergiebt.
Die Begriffe der mittleren Beschleunigung und der Masse sind leicht aus-
zudehnen auf Systeme von materiellen Figuren und dabei zeigt sich, dass
die Eigenschaften 2) und 3) für solche Systeme ebenfalls gelten, selbst wenn
deren Glieder verschiedene Dichten haben.

Nun wird die Annahme gemacht, dass die natürlichen Körper sich
verhalten entweder wie ein System von materiellen Figuren, oder wie die
Grenze, der sich ein solches System nähert, wenn die einzelnen Figuren
unendlich klein werden. Nach dem früheren kann man dann von der
mittleren Beschleunigung eines natürlichen Körpers sprechen, von seiner
Masse, und von der Dichte in einem seiner Punkte. Das Parallelogramm-
gesetz wird ergänzt durch die Annahme, dass, wenn zwei miteinander
isolierte natürliche Körper sich in ihrem natürlichen Zustande befindec.

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Rezensionen. 161

oder mit mehreren physikalischen Agentien beladen sind (Schwere, Elek-
trizität u. s. w.) , die mittlere Beschleunigung eines jeden Körpers sich be-
rechnet als die Summe der mittleren Beschleunigungen, welche die natür-
lichen Zustände oder diese Agentien einzeln hervorbringen würden.

Ist nun in einem Punkte eines Körpers q die Beschleunigung, k die
Dichte, so heisst der Vektor Icq in entgegengesetzter Richtung genommen,
also — A;p, die spezifische Trägheitskraft im betreffenden Punkte und

j qlcdz die bewegende Kraft des Körpers. Für die bewegenden Kräfte

von zwei isolierten Körpern ergiebt sich aus den Hypothesen und Theoremen
das Gesetz, dass sie entgegengesetzt gleich sind; und bei einem Körper,
der mit mehreren andern isoliert ist, folgt für die bewegende Kraft das
Parallelogrammgesetz.

Sind zwei Körper, die sich im natürlichen oder einem bestimmten
physikalischen Zustand beßnden, isoliert, ist die bewegende Kraft des einen
durch den Vektor r gegeben , und sind w, w' die beiden Massen , so nähert

sich, wie als Postulat angenommen wird, —7 einer bestimmten Grenze ^,

wenn die beiden Körper sich auf ihre Schwerpunkte zusammenziehen. Lässt
man diesen Punkten die beliebigen Massen fi, ^ entsprechen, so heisst [iii! q
die Elementarkraft, welche dem gegebenen physikalischen Agens zu-
kommt und an einem der gegebenen Punkte wirkt. Die bewegende Kraft
eines Körpers, der mit einem oder mehreren andern isoliert ist, drückt sich

dann durch ein Integral von der Form / IxBdx aus, das sich über den

Körper erstreckt. Der Vektor 11^ der die beschleunigende Kraft in
einem Punkte heisst, erscheint selbst als die Summe von zwei Integralen
von Elementarkräften, von denen das eine sich auf den Körper selbst, das
andere auf die übrigen Körper bezieht. Die Bewegungsgleichungen für
einen einzelnen Punkt eines Körpers lassen sich dann aufstellen. Als zweites
Postulat für die Elementarkraft wird angenommen, dass sie eine symmetrische
Funktion der beiden Punkte ist, zwischen denen sie wirkt, und dass sie in
die Richtung der Verbindungslinie fällt. Damit ergeben sich die sechs
Bewegungsgleichungen, die aussagen, dass die Trägheits widerstände den
äusseren Kräften das Gleichgewicht halten würden, wenn der Körper starr
wäre. Der Ausdruck materieller Punkt kommt nur hier und da als eine
Abkürzung vor, die nirgend wesentlich ist.

Wenn man um einen Punkt eines Körpers hemm ein unendlich kleines
Stück herausschneidet, und dann die beschleunigende ICraft berechnet, die
der übrige Körper auf jenen Punkt ausübt, bei Annahme einer bestimmten
Elementarkraft, so ist die so berechnete Kraft die innere beschleunigende
Grenzkraft, die jener Elementarkraft entspricht. Diese so definierte Kraft
liefert bei jeder starren Bewegung des Körpers die Arbeit Null. Die im
Innern eines Körpers herrschenden Drucke werden dann, genau wie in
Kirchhoffs Mechanik, eingeführt durch die Bedingung, dass, für jeden

Hist.-Utt. Abt. d. Zoitscbr. f. Math. u. Pbys. 42. Jahrg. 181)7. 5. Heft. 12 , , C^ OOCtIp

162 Historisch -litterarische Abteilung.

Teil des Körpers, die auf seine Oberfläche wirkenden Drucke, die inneren
Grenzkräfte und die Trägheitskräfte sich das Oleichgewicht halten sollen,
wenn der betrachtete Teil als starr angesehen wird.

Hiermit haben wir gezeigt, wie Maggi die Schwierigkeiten behandelt,
die in den Grundbegriffen der Mechanik liegen. Die Strenge und Klarheit,
die damit erreicht ist, hat freilich den pädagogischen Nachteil, dass man
eine Eeihe von trockenen Ausführungen durchmachen muss, bevor man im
stände ist, einfache Aufgaben der Natur zu behandeln. Das Maggi sehe
Buch dürfte sich hiemach mehr für solche Studierende eignen, die einen
weniger strengen Kursus der Mechanik schon absolviert haben.

Die Ausführungen der Theorie in Kinematik und Dynamik sind nicht
wesentlich von denen anderer Lehrbücher, besonders von denen in Kirch-
hoffs Mechanik, verschieden. Nach einer kurzen mathematischen Einleitung
wird auf etwa 100 Seiten die Kinematik mit den Unterabteilungen: Ver-
rückungen (ohne Beziehung auf die Zeit), Bewegung (mit Bücksicht auf die
Zeit), Geschwindigkeit, Beschleunigung behandelt. Die übrigen 340 Seiten
sind der Dynamik gewidmet, deren erster Teil die Kapitel Masse und Kraft,
allgemeine Eigenschaften der Bewegung, Schwere enthält, während der
zweite die freien festen Körper, die Druckkräfte, die gefesselten festen
Körper und die veränderlichen Körper betrachtet. Wie man sieht, bezieht
sich der Hauptteil des Buches auf die festen Körper; doch sind die Grund-
gleichungen der Hydrodynamik und Elastizitätstheorie aufgestellt und auf
eine Reihe von Aufgaben angewendet.

Die sehr sorgfältige und präzise Darstellung ist naturgemäss ziemlich
ausführlich, und dementsprechend ist die Zahl der behandelten speziellen
Aufgaben nicht so gross wie in anderen Lehrbüchern. Hervorzuheben
ist noch die Aufmerksamkeit auf die Dimensionen der eingeführten Be-
griffe und dann vor allem eine Strenge der mathematischen Behandlung,
wie ich sie bis jetzt in keinem Lehrbuche gefunden habe. Die Aus-
stattung des Buches nach Druck und Papier ist sehr gut. j L|VpQ-^

Naturphilosophie als exakte Wissenschaft. Mit besonderer Berücksich-
tigung der mathematischen Physik. Von 0. Schmitz -Dumont, Mit
vier Figurentafeln. Verlag von Duncker & Humblot. Leipzig 1895.
Preis Mk. 12.

Wie schon aus dem Titel hervorgeht, behandelt dieses Werk nur zum
Teil mathematische Gebiete. Seine Entstehung verdankt es allerdings
geometrischen Betrachtungen, nämlich einer erkenntnistheoretischen Prüfung
der Axiome. Was dasselbe von allen anderen Werken über diesen Gegen-
stand unterscheiden soll, ist die Behauptung, dass der Verfasser ohne jede
Hypothesenbildung nicht nur in der Mathematik, sondern auch auf allen
anderen Gebieten auskommen will, sodass z. B. der gewöhnlichen Mechanik
eine logische Mechanik gegenübergestellt wird.

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Rezensionen. X63

Der erste erkenntnistheoretisclie Abschnitt ist Topik der Begriffe be-
nannt „Darunter wird eine solche eindeutige Bestimmung aller im weiteren
vorkommenden Begriffe verstanden, dass hinsichtlich der Bedeutung eines
jeden einzelnen derselben ebensowenig eine Frage übrig bleibt, wie hin-
sichtlich aller Verhältnisse zwischen ihnen. Es wird hiermit für das all-
gemeine Begriffsgebiet die Aufgabe gestellt, welche beispielsweise für räum-
liche Gestaltungen durch die Grundbestimmungen der Geometrie als gelöst
betrachtet werden kann. Sowie durch diese aus wenigen Bausteinen ein
geschlossenes System aufgeführt wird, in welchem ein jedes raumliche Ge-
bilde jedem anderen gegenüber bestimmt dasteht, so soll die Topik das
Gleiche für das allgemeine Wissensgebiet leisten." Als Ausgangspunkt soll
ein möglichst unbezweifelbarer Satz an die Spitze des Systems gestellt
werden. Derselbe lautet: „Aussagen werden gemacht", oder „Es wird ge-
sprochen". Hieraus wird geschlossen, dass allgemein eine formale Gliederung
nach Subjekt und Objekt stattfinden muss. Diese Gliederung wird in den
nächsten Abschnitten, in welchen einige Grundbegriffe der Erkenntnistheorie
erklärt werden, durchzuführen versucht, so wird die Empfindung beispiels-
weise subjektiv als Gefühl, objektiv als Sinneseindruck bezeichnet. Das
Denken ist die Thätigkeit, welche die Anordnung zwischen Subjekt und
Objekt herstellt und die dem Empfinden eine Form giebt.

Auf dem logischen Gebiet ist das bestimmende Prinzip der Gegensatz.
Das Setzen eines Begriffes erfordert gleichzeitig das Unterscheiden von
allen übrigen. Es werden nun zwei Arten von Gegensatz unterschieden,
der ausschliessende und der totale. Der ausschliessende tritt dann ein,
wenn ein Begriff nur in zwei Unterbegriffe zerfällt: „Wenn die beiden
Glieder des ausschliessenden Gegensatzes die weitere spezifische Be-
stimmung erhalten, dass sie durch Verbindung ihren beiderseitigen Inhalt
aufheben, so wird ihr Verhältnis zu einander der aufhebende, volle, totale
Gegensatz genannt." Dieser Begriff wird auch auf solche Fälle übertragen,
in welcher der Gegensatz nicht ein rein logischer ist, sondern das gegen-
seitige Aufheben nur durch die Erfahrung gegeben wird. Nach aus-
schliessenden und totalen Gegensätzen soll die ganze Gliederung der Logik
erfolgen. Das Mittel zur . Erweiterung des Materials der Begriffe ist die
logische Synthese, d.h. die Verbindung mehrerer Begriffe zu einem neuen
und zwar werden hier zwei Formen unterschieden, die formale und die
materiale Synthese. Die formale Synthese besteht in einer einfachen An-
einanderfiigung der einzelnen Begriffe, wobei diese aber ihre Selbständigkeit
bebalten. Ein Beispiel hierfür bietet die Beschreibung eines Körpers durch
Aufzählung seiner Eigenschaften. Die materiale Synthese ist die Ver-
bindung zweier Begriffe zu einem vollständig neuen; auf welche Art eine
solche Verbindung zu stände konmit und was für verschiedene Formen
hierbei möglich sind, wird für ganz gleichgültig erklärt, weshalb auch eine
Untersuchung über die verschiedenen Urteilsformen für überflüssig gehalten
wird. Der Wert dieser Aufstellungen wird bei Besprechung des mathe-
matischen Teiles zur Erscheinung kommen.

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164 Historisch -litterarische Abteilung.

Die materiale Synthese wird durch die Formel A^ (a-h)^ die formale
durch Ä= (a -\- h) bezeichnet, wobei die Klammem zum Zeichen der Syn-
these dienen. Diese Zeichen sind deshalb gewählt, weil der formalen Syn-
these in der Mathematik die Addition, der materialen die Multiplikation
entsprechen soll. Aus diesen Formeln sollen die elementaren Begriffe des
Denkens abgeleitet werden und zwar ist das erste Paar, welches hieraus
erhalten wird „Verschiedenheit — Dieselbigkeit." Der Synthese wird die
Analyse oder Beziehungssetzung gegenübergestellt, und diese entweder durch

die Form: ^ , -, A

a "= A — b oder a = ,

0

bezeichnet. Die abgeleiteten Kategorien, von denen je zwei unter einem
Oberbegriff stehen, sind folgende:

Oberbegriffe: i Ünterbegriffe :

1. Reiner Denkakt, Setzung ~ Beziehung,

2. Vergleichung, Gleiches — Ungleiches,

3. Zahl, Einzelnes — Vieles ,

4. Maß, Teil — Ganzes,

5. Gegenstand. Inhalt — Form.

Auf diesen logischen Prinzipien soll nunmehr die gesamte Mathematik
gegründet werden. Zunächst wird die mathematische Analysis behandelt.
Ihren Ausgangspunkt bildet der Grössenbegriff. Die Grösse wird definiert als
ein Ganzes von vielen gleichen Teilen. Es stecken in diesem Begriff die
Kategorien: „Dieselbigkeit, Teilheit, Ganzheit, Vielheit/' „Wird bei der
Grösse von der qualitativen Bestimmung (Dieselbigkeit der gleichen Teile)
abstrahiert, so ist jeder Teil ganz abstrakt als Einzelheit gesetzt (Einheit
der Arithmetiker) und eine Vielheit solcher Einzelnen bildet die natürliche
oder ganze Zahl." Die Sicherheit der Rechnungsoperationen beruht daranf,
dass in denselben die logische Thatigkeit — die Bildung formaler und
materialer Synthese — mit dem Zahl- resp. Grössenbegriff verbunden wird.
„Die Vorzeichen sind Symbole für die Bildungsart der Synthese — Analyse,
ob vorwärts oder rückwärts +, — für die formale, X, : für die materiale
Sjnthese." Dementsprechend will der Verfasser auch nichts von negativen
und irrationalen Grössen wissen. Es handelt sich nur um Operations-
zeichen, welche eine Anweisung geben, gewisse Thätigkeiten an den Grössen-
dingen auszuüben. Überhaupt soll der Grössenbegriff nicht zur einzigen
Grundlage der Mathematik genommen werden, um den logischen Schwierig-
keiten, welche sich z.B. bei der Betrachtung imaginärer Potenzen ergeben,
zu entgehen.

Neben der quantitativen auf Grössenbegriffen beruhenden soll eine
qualitative Analyse eingeführt werden, welche auf der materialen Synthese
beruht. Die Wahl des Grössenbegriffes als Grundlage ergiebt sich, wie der
Verfasser selbst zugiebt, aus der Bestimmtheit der dadurch erhaltenen De-
finitionen; es wird also darauf ankommen, ob es gelingen wird, für die
qualitative Betrachtungsweise dieselbe Bestimmtheit zu erlangen. Hierza

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RozenHionen. 165

soll der Verhältnisbegriff dienen, und eine Zahl als Verhältnis zu der Ein-
heit definiert werden. Um auf diese Weise die Multiplikation unabhängig
von der Addition abzuleiten, sagt er: „iP = 3-5 heisst: eine x genannte Be-
stimmung soll gefunden werden, welche in sich die Eigenschaften der 3
und der 5 vereinigt." Eine solche Zahl zu finden ist aber in Wirklich-
keit nicht möglich, denn was ist mit dem unbestimmten Worte die Eigen-
schaften der 3 gesagt. Es giebt ausser 3 keine Zahl, welche alle Eigen-
schaften der 3 in sich vereinigt. Was der Verfasser meint, ist ja leicht
zu verstehen, die Zahl soll durch 3 und durch 5 und eben nur durch diese
beiden teilbar sein. Diese Teilbarkeit soll durch den Verhältnisbegriff definiert
werden, wobei aber der allgemein -logische Begriff Verhältnis = Beziehung mit
dem mathematischen Verhältnis = Quotient verwechselt wird. Die Vieldeutig-
keit eines Wortes hat also hier zu einem Irrtum Veranlassung gegeben. Es
ist dies um so wunderbarer, als der Verfasser selbst oft vor solchen Fehlem
warnt, die durch den Gebrauch von vieldeutigen Worten entstehen. Als
Berechtigung für diese Betrachtungsweise wird auch darauf hingewiesen,
dass ohne dieselbe physikalische Formeln, in denen verschiedenartige
rirössen sich in einer Gleichung befinden, nicht verständlich wären; in
Wirklichkeit handelt es sich auch hier nur um Vergleichungen von Zahlen-
grössen. Auf diese qualitative Analyse und das derselben zu Grunde lie-
gende Schema soll auch die Potenzierung und deren Umkehrung zurück-
geführt werden. Die Allgemeinform A = (^-Z^) geht in die Spezialform
^ = a* über und liefert als solche die drei Bestimmungen ^ « a* als

Potenzausdruck, a ^=y A als Wurzel, ?> = log ^ als Logarithmus. Weil in
dem logischen Schema nur zwei Operationen vorhanden sind, darum soll
die Potenzierung nur] eine eigentliche Umkehrung die Radizierung be-
sitzen. Das Logarithmieren ist keine Rechenoperation, sondern der Loga-
rithmus ist nur eine Stellziffer. Dieser Irrtum rührt von der gewählten
Symbolik her. Es wird durch diese eine Verwechslung der logischen
Analyse und der Umkehrung einer mathematischen Rechnungsart herbei-
geführt. Die logische Analyse zerlegt ein Zusammengesetztes in seine ein-
zelnen Bestandteile, die umgekehrte Rechnungsart ist dagegen eine neue
Synthese; es soll eben zwischen den Ausdrücken A und h eine Verbindung
hergestellt werden, die bestimmten Anforderungen entspricht, und es liegt
gar kein Grund vor, die eine der beiden möglichen Verbindungen zu be-
vorzugen.

Für die imaginäre Grösse will der Verfasser eine neue Ableitungs-
weise geben, weil, wie er sagt, die Grössenlehre den Ausdruck J^ — 1 in
keiner Weise verständlich machen kann. Die logische Berechtigung der
Einführung der imaginären Grösse kann hier ununtersucht bleiben, es
kommt nur darauf an, ob der Verfasser an Stelle des von ihm Verworfenen
etwas Besseres zu bieten vermag. Er geht von dem Begriff des Gegen-
satzes aus und zwar soll dieser Begriff mit dem anderen Begriff Gradreihe
verbunden werden. Es soll eine Abstufung zwischen dem totalen Gegensatz;

.,„__, Joogle

106 Historiscli- litterarische Abteilung.

im - m'

der Aufhebung jenes Gegensatzes gebildet werden und als Gesetz der Ab-
stufung dieses Gegensatzes wird die natürliche Zahlenreihe gewählt, sodass
die eingeschobenen Glieder die Form:

fö)^' m

erhalten. Man kann unmöglich behaupten, dass auf diese Weise eine klare
und brauchbare Definition der imaginären Grösse gegeben ist. Sehr be-
quem macht sich der Verfasser das Problem der Gleichungen. Er erklart
es einfach für sinnlos, von Gleichungen ohne Wurzeln zu reden, und darin
liegt der logische Beweis, dass jede Gleichung eine Wurzel hat. Selbst
wenn man sich auf diesen Standpunkt stellt, bleibt es doch ein berech-
tigtes Verlangen des Mathematikers, zu wissen, ob eine Gleichung, die in
einem bestimmten Problem auftritt, zu den sogenannten sinnlosen oder
vemünfbigen gehört, und weil man dieses aus dem logischen Beweise nicht
ersehen kann, so macht derselbe die mathematischen Wurzelbeweise keines-
wegs überflüssig. Eingehender werden die Gleichungen von der Form
x^^= B behandelt. Zur Kennzeichnung des Verfahrens wollen wir den Be-
weis, dass diese Gleichung m Wurzeln hat, etwas ausführlicher angeben.
„Das X muss eine Bedeutung der Form a + hi haben, wenn jenes eine
Gleichung sein soll; also x -= a -{- hi^ kürzer ic ± a = 0, ist das elementare
Glied, aus dem jedwede andere x enthaltende Gleichung hervorgehen muss.
Sodann muss das rc"' aus x durch irgend welche Operationen entstanden
gedacht werden können, anderenfalls würde dem x^ jede mögliche Bedeut-
samkeit abgesprochen werden müssen. Es giebt nun keine andere Mög-
lichkeit, das x"* aus x zu erzeugen, als durch w- fache Multiplikation des
X mit sich selbst. Demnach besteht jede Gleichung der Form a;"* = B oder
a:'" — ^ == 0 aus m Faktoren der Form a? ± or, in welchen x überall die-
selbe Bedeutung hat, während der Wert von a in jedem Faktor ein an-
derer sein kann; denn diese Verschiedenheit der Werte von a verhindert
ja nicht, dass schliesslich ein ./"' zu stände kommt."

Ebenso wird von diesem Standpunkte aus die Entwickelbarkeit jeder
Funktion leicht bewiesen, denn andere Funktionen werden einfach für
sinnlos erklärt. Bei der Ableitung der Differentialrechnung soll die Ein-
führung von unendlich kleinen Grössen vermieden werden. Dieselbe soll
vielmehr aus einem allgemeinen Prinzip hergeleitet werden. „Eine jede
algebraische Form, sei sie nun entstanden durch Verbindung sogenannter
Grössen mit Vorzeichen oder trete sie auf in weiteren Kombinationen als
Summe, Differenz, Produkt, Quotient, Potenz oder sonstiges funktionales
Verhältnis, giebt ausser ihrem möglichen quantitativen Werte als Zahl
oder benannte Grösse auch eine spezifische Eigenschaft dieser Form an.
Die systematische Auffindung und Klassifizierung dieser qualitativen Ver-
schiedenheiten ist die eigentliche Aufgabe der Rechnung mit veränderlichen

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Rezensionen. 167

Grössen, die von der Infinitesimalmethode unbewusst verfolgt wird." „Es
handelt sich also darum, die gegenseitig bedingte Yeränderong von y
tmd X in den gewohnten Symbolen der Analysis so darzustellen, dass ihr
Verhältnis zu einander als eine spezifische Eigenschaft, Charakter des Ge-
bildes -4, erscheine, und zwar in einer Form, die dem Algorithmus an-
gepasst werden kann, sodass jene Eigenschaften zu benannten Grössen,
Anzahlen von Einheiten bestimmter Qualität werden, als welche sie auch
der quantitativen Vergleichung zugänglich sind." Die Ableitung wird nun
nicht allgemein gegeben, sondern die Form y = «"* zu Grunde gelegt und
zur Verdeutlichung die entsprechende Kurve zu Hilfe genommen. Diese
Gleichung soll nicht wie gewöhnlich die Kurve darstellen, sondern das von
der Kurve und den Koordinaten begrenzte Flächenstück.

Bei dem Versuche, den Differentialquotienten abzuleiten, konunt der
Verfasser auf die schon besprochene qualitative Analyse zurück. Wie
schon gesagt, ist es ihm nicht gelungen, den Begriff des Quotienten un-
abhängig von dem Grössenbegriff zu definieren. Dasselbe trifft auch in
Bezug auf den Differentialquotienten zu. Zur Erklärung dieser qualitativen
Betrachtungsweise werden Eigenschaften der Kurve herangezogen, ohne dass
aber eine strenge Ableitung derselben, unabhängig von Grössenbegriffen,
gegeben wird. In der Integralrechnung soll die Auffassung des Integrals
als eine Summe von unendlich vielen Gliedern vermieden werden. Es wird
hervorgehoben, dass die Gleichung y = f(x) selbst ein Flächenstück dar-
stellt, daraus geht aber noch nicht hervor, weshalb rf(x)dx den Inhalt
der Kurve y = f(x) darstellt.

„In der Geometrie soll gezeigt werden, dass der Eaumbegriff und die
Grundbegriffe für Konstruktionen im Räume nicht nominal, sondern sach-
lich (den Inhalt der Begriffe darlegend) definiert werden können, sodass .
die wesentlichen Bestimmungen der Geometrie ebensogut wie die der Ana-
lysis aus dem einen allem Denken zu Grunde liegenden Satze ableitbar
werden." Zunächst wird eine logische Definition des Begriffs Richtung ge-
geben. Als Gegensatz zu dem Begriff „diskret" wird der des „stetigen"
aufgestellt, welcher aus der Empfindung besonders aus dem zeitlichen Ver-
lauf der Vorstellungen abgeleitet wird. „Eine beliebige Anzahl in dis-
korsiver Reihe zusammengestellter Setzungen (a, 6, c, r? , . .) heisst Punkt-
reihe, wenn sie diskret, Linienreihe, wenn sie stetig gedacht werden
soll," wobei es fraglich ist, wie man mit dem Vorhergehenden eine kon-
tinuierliche Reihe vereinbaren kann. „Sind die Beziehungen zwischen allen
aufeinander folgenden Elementen einander gleich, a :h = b : c = c : d . , .,
dann sind auch die Beziehungen a : & = a : c == « : rf, denn die Grösse des
Intervalls hat keinen Einfluss auf die Art der Beziehung, weil Grösse und
Beziehung qualitativ verschiedene Begriffe sind. Diesen Fall, dass ein
tmd dieselbe Beziehungsart alle Elemente der Reihe verbindet, benennt man
gerade Reihe resp. gerade Linie." Die anfangs aufgestellte Behauptung ist
insofern unklar, weil keine Definition der Beziehung gegeben wird, die
unabhängig von der Grösse des Intervalls sein soll, was doch nicht bei

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168 Historisch -litterarische Abteilung.

jeder Beziehung der Fall ist, und ausserdem ist dieselbe nicht im stände,
eine Vorstellung der geraden Linie zu geben. Es werden nunmehr die
von einem Punkt ausgehenden Richtungen untersucht, welche mit einer
gegebenen den gleichen Richtungsunterschied haben. Es soU hierbei von
der Raumanschauung ganz abgesehen werden und die Eigenschaften rein
logisch aus dem Begriff einer Vielheit von Reihen mit gemeinsamen Aus-
gangspunkt entwickelt werden. Die Raumanschauung soll nur zur Ver-
deutlichung zu Hilfe genommen werden; . das ist aber immerhin gefthrlicb,
wenn eben geometrische Sätze unabhängig von derselben abgeleitet werden
sollen. Der Richtungsunterschied, welchen die verschiedenen Linien zu

der gegebenen haben, wird entsprechend der neuen Definition der imaginären
1

Grösse mit (—1)" bezeichnet. Der Verfasser beweist nun, dass der

Unterschied zweier solcher Richtungen nicht grösser als ( — 1)" sein kann
und zwar auf folgende Weise: ,,-4« : Aß kann nie grösser werden als

(~l) ", denn dies Verhältnis muss der Bedingung:

Aa : Aa = Aa : Aß ^ (— l)""

genügen, d.h. in Bezug auf Aa die Summe ( — l)** geben", und hieraus
wird geschlossen, „dass zu jedem Richtungsunterschiede eine unbegrenzte
Anzahl von verschiedenen Richtungen denkbar ist, die geometrisch dar-
gestellt Kegelflächen bilden, deren gemeinsame Spitze in A liegt; dass
demnach alle denkmöglichen Richtungen von einem gemeinsamen Ausgangs-
punkte bestimmt werden durch Linien, welche die Punkte einer Kugelfläcbe
mit deren Zentrum verbinden." Man sieht, welch' hervorragenden Anteil
die Anschauung bei dieser Beweisführung hat. Es sollen nunmehr eine
Reihe von geometrischen Axiomen aus den Definitionen abgeleitet werden.

1. „Die gerade Linie, die Bezeichnung einer Vielheit von Setzungen,
deren Beziehungsart konstant bleibt, weshalb es die kürzeste sein soll." —
Welcher logische Zusammenhang besteht zwischen konstanter Beziehung und
kürzester Strecke?

2. „Die Ebene, d. h. das Gebilde, bestimmt durch den unmittelbaren
tJbergang einer Richtung in die andere, sodass drei beliebige Richtungen

Aa^ Aß^ Ay stets der Bedingung genügen -j-| +4 = -7—."

3. „Die geschlossene Figur, d. h. vollständige Begrenzung eines Be-
reiches von Setzungen durch Linien. Eine solche Begrenzung ist nur
möglich, wenn die begrenzenden Linien alle in der Ebene vorhandenen
Richtungsunterschiede durchlaufen; deshalb besteht eine Figur mindestens
aus drei geraden Linien, mit einer inneren Winkelsumme gleich deni
Richtungsunterschiede des Totalgegensatzes. Dies ist der Beweis von der
Summe der Dreieckswinkel = 2ii*, der nicht einmal des Parallelenbegriös
bedarf." Selbst wenn man diesen Argumentationen beistimmen würde, so

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liezensionen. 169

würde doch höchstens daraus folgen, dass die Winke Isnmme mindestens

2Jl ist; es wäre aber nicht ausgeschlossen, dass sie Alt oder ein anderes

beliebiges Vielfaches von 2/i* sei.

4. „Der Raum, d. h. die allseitige unbeschränkte Ausgedehntheit."

Dieser Raum ist nicht eine beliebige ausgedehnte Mannigfaltigkeit, sondern

„durch die Einführung des Totalgegensatzes sind die Richtungsreihen als

eine spezifisch gestaltete Art solcher Mannigfaltigkeiten bestimmt. Diese

spezifische Art der Beziehungen zwischen den Einzel Setzungen unserer

Mannigfaltigkeit hat zur Folge, dass in ihr nur drei Richtungen zu einander

1^

den Richtungsunterschied (— l) ^ haben können, der Raum also in einem
Punkte nur drei zu einander senkrechte Linien zulässt."

Sehr charakteristisch für die Ableitung geometrischer Sätze aus den
logischen Grundprinzipien ist der Beweis von der Ausdrückbark eit eines
Flächeninhalts durch das Produkt zweier Längen. „Da das Gebilde F ein
einheitliches sein muss, nicht aus verschiedenartigen Teilen zusammengesetzt
ist — in welchem Falle es der Bildungsweise (ß-b) widersprechend eine
formale Synthese wäre — so muss an jeder Stelle von F sowohl die Be-
stimmung (i wie die von b anzutreffen sein; an jeder von einem Punkte
des a bestimmten F muss das ganze &, und an jedem von einem Punkte
des b bestimmten F das ganze a vorhanden sein. F ist demnach ein
Flächenintegral."

Die Absicht des Verfassers besteht darin, „den Raum, nicht wie bisher,
als ein Gegebenes hinzunehmen, etwa wie ein Ding der Erfahrung, sondern
als eindeutigen Begriff allseitiger Ausdehnung festzustellen," und hieraus
seine Eigenschaften abzuleiten. Das Vorstehende wird wohl zur Genüge
die Vergeblichkeit dieses Versuches gezeigt haben, übrigens versteht es
sich bei dieser Anschauungsweise von selbst, dass für metamathematische
Spekulationen kein Raum ist.

Dasselbe Prinzip wie in der Geometrie wird auch in der Mechanik
verfolgt, auch sie soll auf rein logischer Grundlage aufgebaut werden ohne
Zuhilfenahme von Hypothesen. Deshalb kann sich der Verfasser nicht mit
der Annahme verschiedener aus der Erfahrung entstandener Kräfte einver-
standen erklären, noch weniger damit, dass man Axiome über dieselben
aufstellt, wie z. B. das Kräfteparallelogramm. Sätze wie das Trägheitsgesetz
und derjenige von der Erhaltung der Kraft sollen nicht aus der Erfahrung
stammen, sondern werden als Denknotwendigkeit hingestellt. Der Kraft-
be^ff selbst wird aus der unmittelbar im Bewusstsein gegebenen Willens-
kraft abgeleitet und zunächst die Berechtigung bestritten, diesen Begriff auf
tote Körper zu übertragen. Um die Mechanik zu einer ebenso rein deduk-
tiven Disziplin wie die Geometrie zu gestalten, dürfen keine Elemente
eingeführt werden, die nicht ebenso eindeutig bestimmt werden können wie
die der Geometrie. Nicht Stoffe und Kräfte, sondern Zeit und Masse sind
dafür am geeignetsten. Zur Erreichung einer vollständigen mathematischen
Bestimmtheit ist die Zugrundelegung eines Systems von Punkten erforderlich.

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170 Historisch -litterarische Abteilung.

Die Aufgabe der logischen Mechanik besteht dariii, jeden Punkt des Systems
mit jedem anderen in ftinktionale Verbindung zu setzen. Wenn überhaupt
ein Kausalzusammenhang stattfinden soll, so muss die Anzahl der Punkte
konstant sein, woraus dann allerdings ohne hinreichenden Grund geschlossen
wird, dass auch die Summe aller auftretenden Veränderungen konstant
sein muss.

„Alles was im Punktsystem geschehen kann, sind Veränderungen der
Bewegungszustände und der Lage seiner Punkte." Zur Ableitung der
Gesetze wird von einem System von zwei Punkten ausgegangen. Es soll
rein logisch eine Beziehung zwischen der Geschwindigkeit und der Ent-
fernung abgeleitet werden. Dafür, dass man die Leistung der Geschwindig-
keit ==y* setzt, wird folgendes angegeben: „Die doppelte Geschwindigkeit
durchmisst die doppelte Baumstrecke in der gleichen Zeit der ein&chen
Geschwindigkeit, leistet das Doppelte in Bezug auf Ortsveränderung. Ge-
schwindigkeiten sind aber nicht allein zu vergleichen nach dem, was sie
thun, sondern wie sie es thun. Dasselbe Pensum in der halben Zeit voll-
endet ist eine doppelte Leistung. Die doppelte Strecke mit der doppelten
Geschwindigkeit zurückgelegt ist demnach die vierfache Leistung." Die
zweite Leistung der Geschwindigkeit folgt logisch aus der ersten; es ist
deshalb kein Grund vorhanden, dieselbe bei der Aufstellung eines Maßes

besonders zu berücksichtigen. Auch die Begründung dafür, dass — als

Maß der Gestaltsveränderung angenommen wird, ist nicht unbedingt über-
zeugend. „Bei der arithmetischen Auswertung der Gestalt, Bestimmung
der Bedeutung einer Gestalt im mechanischen System nach einer Baum-
streckeneinheit, hat man zu beachten, dass eine solche feste Streckeneinheit
in jedem System eine andere Bedeutung hat, wenn die Gestalt sich um
diese konstante Grösse ändert. In dem System (a, &, 10) bewirkt die
Veränderung 1 eine Veränderung der Gestalt um ein Zehntel, im System
(ö, 6, 5) die gleich grosse Streckeneinheit eine solche um ein Fünftel."
Gemäss der vorerwähnten Behauptung, dass die Summe aller Veränderungen
konstant ist, wird nun hieraus die Formel abgeleitet:

die nach dem vorher Gesagten nicht als bewiesen betrachtet werden kann.
Die Einführung von Kräften kann der Verfasser nicht entbehren. Aus der

Formel K = — f- v^ wird geschlossen, dass, wenn die Geschwindigkeit

grösser wird, auch die Entfernung sich vergrössert, also die Kräfte ab-
stossend wirken. Am schärfsten kommt die Ansicht des Verfassers in
folgendem Ausspruch zur Erscheinung. „Die Aufstellung der Bewegungs-
gleichungen ist eine Konstruktion des Denkens, und zwar die einzig mögliche
zur Herstellung einer allgemeinen Norm, die tauglich ist, Bewegungs-
erscheinungen zu vergleichen, zu messen, allgemein zu beurteilen. Wir
haben keine Furcht, dass je einmal eine Erfahrung gemacht werde, welche
nicht dieser logischen Norm sich anbequemt."

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Rezensionen. 171

Auf der hier entwickelten Grundlage soll nun eine Theorie der ge-
samten Physik aufgebaut werden. Wenn dieselbe, wie aus dem Vorher-
gehenden folgt, nicht den Ansprach der absoluten Gewissheit erheben darf,
sondern sich mit dem Titel der von dem Verfasser so sehr verabscheuten
Hypothese begnügen muss, so wurde sie ja darum noch nichts von ihrem
Werte verlieren. Näher auf dieselbe einzugehen unterlassen wir deshalb,
weil es an einer genügend mathematischen Beweisführung fehlt. Wenn sich
nach dem Wunsche des Verfassers noch Generationen von Mathematikern
mit der Ausarbeitung der Einzelheiten beschäftigen sollen, so müssen zu-
nächst die Grundlagen unzweifelhaft festgelegt werden.

Der übrige Teil des Buches ist der Erörterung rein philosophischer
Fragen gewidmet und fällt deshalb nicht in den Rahmen dieser Zeitschrift.

Max Meyer.

Was ist Raam, Zeit, Bewegung, Masse? Was ist die Erseheinnngs-
welt? Von Julius von Olivier, Verlag von Louis Finsterlin.
München 1895.

Die Einleitung der Arbeit bildet eine Bemerkung über die richtige
Auslegimg von Gleichungen, in welcher mit Recht hervorgehoben wird, dass
bei allen Gleichungen zwischen ungleichartigen Grössen es sich nur um die
Vergleichung von Zahlengrössen handelt. Hierauf folgt eine Darstellung
einiger Sätze der Mechanik, welche die Wirkung der Anziehungskraft zur
Grundlage nimmt. Den Ausgang bildet die Anziehung zweier Atome, welche
als Anziehungselement bezeichnet wird. Wenn auch diese Abhandlung
populär gehalten sein soll, und man daher an die Strenge der Beweise
nicht zu grosse Anforderungen stellen darf, so hätten doch fehlerhafte und
direkt irreführende Ausdrucksweisen vermieden werden können. So bemerkt
der Verfasser: „Die Geschwindigkeit steht zur lebendigen Kraft in einem
ähnlichen Verhältnisse wie eine Linie zu einem Körper." Es folgen Be-
trachtungen über die Bewegung der Planeten, Weltentstehung und Welt-
untergang, bei denen der Phantasie grosser Spielraum gegeben ist. Nach
einigen Bemerkungen über die Wirkung des Äthers und über das Prinzip
von der Erhaltung der Kraft wird nun versucht, von den im Titel ange-
gebenen Begriffen Erklärungen zu geben. In erster Linie steht der Begriff
der Bewegung, seine Erklärung lautet: „Jede Veränderung der Kraft, in
welcher Form sie auch auftreten mag, heisst Bewegung." Als eine wirk-
liche Definition kann man das wohl kaum bezeichnen, denn eine solche ist
ohne Zuhilfenahme der Raumvorstellungen nicht zu geben. Hiermit hängt
auch die von dem Verfasser gegebene Umformung des Beharrungsgesetzes
zusammen. „Stehen die Kräfte, welche auf einen Körper wirken, fort-
laufend im Gleichgewicht, so verharrt er in dem Zustande, in welchem er
sich befindet; ist er in Ruhe, bleibt er in Ruhe, ist er in fortschreitender
Bewegung, so ist diese geradlinig gleichförmig." „Das Wort Zeit vertritt
die Stelle des unhandlichen Ausdrucks ,^das Fortschreiten der Bewegungen."
Die Raumvorstellung wird in richtiger Weise in ihre zwei Grundelemente ,

Digitizec ^y ^^ ^ 3QiQ

172 Historisch -litterarische Abteihing.

zerlegt, in Entfernung und Richtung. Von der Entfernung wird aber im
Grunde genommen weiter nichts gesagt, als dass sie eine Teil Vorstellung
der Kraft ist. Ebenso wird der Richtungsunterschied als Form der Wirkung
mehrerer Kräfte definiert. Der Begriff der freien Kraft wird als Grund-
begriff hingestellt. „Sie ist ununterbrochen bestrebt, sich selbst zu ver-
kleinern, die Intensität der Kraft auf Kosten der Wegstrecke zu steigem
und die steigende Intensität dieser Veränderung auf die beiden Atome zu
übertragen.'^ Ebenso wird die Masse als Quantität der Anziehungskraft
erklärt. Das Atom ist ein Kraftzentrum ^ also jedenfalls als Punkt auf-
zufassen, trotzdem wird gelegentlich gesagt, dass das Körperatom grösser
ist als das Ätheratom. Man sieht also, dass die Definitionen nicht zu streng
aufgestellt sind.

Nachdem bis hier versucht wurde, alle Erscheinungen auf die Kraft
zurückzuführen, wird sodann darauf hingewiesen, dass Realität nur dem
Weltganzen zukomme und dass die vorhin betrachteten Begriffe als Teil-
vorstellungen keine selbständige Existenz besitzen. Im letzten Abschnitt
^vird auseinandergesetzt, dass die menschliche Erkenntnis nur auf die Er-
scheinungswelt beschränkt ist. Der Verfasser verwirft jede Art von Meta-
physik und hebt hervor, welches Unheil derartige metaphysische Vor-
stellungen in Form von religiösen Dogmen angestiftet haben. Mit einer
Aufforderung, die Moral einzig auf das Wohl der Menschheit zu begründen,
schliegst die kleine Schrift. j^^^ Meyer

A Geoinetrical Tpeatment of Curves which are Isogonal Conjngate To
A Straight Line With Respect To A Triangle. In Two Parts.
Part First. By I. J. Schwatt, Ph. D. üniversity of Pennsylvania.
Leach, Shewell And Sauborn. Boston, New -York, Chicago.

Zieht man von dem Eckpunkt eines Dreiecks zwei Linien, welche mit
der von demselben ausgehenden Winkelhalbierungslinie gleiche Winkel bilden,
so werden diese als isogonal konjugiert bezeichnet. Verbindet man einen
Punkt mit den Eckpunkten des Dreiecks und construiert die zu diesen
Linien konjugierten Strahlen, so schneiden dieselben sich in dem zu ersterem
konjugierten Punkte. Die zu einer geraden Linie konjugierten Punkte
bilden, da sie die Durchschnitte zweier projektivischer Strahlenbüschel siu«l.
einen Kegelschnitt. Die den umschriebenen Kreisen entsprechenden Punkt«*
liegen im [Jnendlichen und daraus ergiebt sich, dass die der geraden Linie
entsprechende Kurve eine Hyperbel, Parabel oder Ellipse sein muss, je
nachdem die Linie den Kreis schneidet, ihn berührt oder mit ihm keinen
Punkt gemeinsam hat. Alle diejenigen Hyperbeln, die einem Durchmesser
konjugiert sind, sind gleichseitig. Unter den gleichseitigen Hyperbeln unter-
wirft der Verfasser diejenige einer besonderen Betrachtung, deren koiyugiertt*
Linie durch den Punkt geht, dessen Abstände von den Seiten sich wie die
Seiten selbst verhalten, und zwar geht diese Untersuchung darauf ans,
Punkte aufzufinden, die auf der Hyperbel liegen. Zunächst geht diese

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Rezensionen. 173

Hyperbel, wie jede einer Geraden konjugierte Kurve, durch die Eckpunkte
des Dreiecks; von den ferner auf derselben bestimmten Punkten mögen hier
noch der Schwerpunkt und der Durchschnittspunkt der Höhen erwähnt
werden. Der Mittelpunkt der Hyperbel liegt auf dem Feuerbachschen
Kreise und die Asymptoten sind die Linien, welche die Fusspunkte der
Lote von den Endpunkten des zugehörigen Durchmessers auf die Dreiecks-
seiten verbinden.

Unter den Ellipsen betrachtet der Verfasser diejenigen, die der Polare
desjenigen Punktes in Bezug auf den umschriebenen Kreis konjugiert ist,
dessen Abstände von den Seiten sich wie diese selbst verhalten. Wenn
man die Schwerpunktstransversalen über die Mittelpunkte der Seiten ver-
längert und auf dieser Verlängerung die Stücke bis zum Schwerpunkte
abträgt, so erhält man drei Punkte, die auf der Ellipse liegen. Hieraus
folgt, dass der Schwerpunkt des Dreiecks der Mittelpunkt der Ellipse ist.
Auch in Bezug auf den vierten Punkt, den die Ellipse mit dem Kreise
gemeinschaftlich hat, werden einige Eigenschaften abgeleitet. Die Axen
der Ellipse sind parallel den Asymptoten der im ersten Abschnitt behan-
delten Hyperbel. Den Rest des Buches nehmen Betrachtungen über die
Eigenschaften des Dreiecks ein, die im nächsten Hefte zur Ableitung weiterer
Eigenschaften der Ellipse benutzt werden sollen. Dieses soll ausserdem
die Parabel und einige Kurven höherer Ordnung behandeln. -^^^ Meyer

Kxercices Methodiques de Calcnl Integral. Par M. Ed. Brahy. Docteur
en Sciences Physiques et Mathematiques , Conducteur Honoraire des
Mines, Ancien Professeur d'Athinee. Paris. Gauthier -Villars et fils.
1895.

Der Zweck dieses Buches ist, dem Schüler methodisch geordnete
Übungen in der Integralrechnung darzubieten. Es schliesst sich an des-
selben Verfassers Werk über die Diffejfentialrechnung an. In diesem Fall
ist die Erreichung des Zweckes indessen schwieriger, weil die Integral-
rechnung nicht viel allgemeine Methoden besitzt. Im Anfang jedes Kapitels
werden zunächst die für dasselbe notwendigen Lehrsätze kurz zusammen-
gestellt, daran schliessen sich einige ausführlich durchgerechnete Exempel,
auf welche sodann die eigentlichen Übungen folgen. Diesen sind überall
tlie Kesultate beigefügt und bei schwierigeren Aufgaben auch Andeutungen
zu ihrer Lösung gegeben. Im ersten Kapitel werden zunächst die ein-
fachsten Beispiele von Integrationen durch ümkehrung aus der Differential-
rechnung bekannter Ausdrücke gegeben; darauf folgen Integrationen durch
einfache Transformationen. Das dritte Kapitel bringt die partielle Inte-
gration, Kapitel 4 die Integration rationaler Funktionen. Hierbei ist
vom methodischen Gesichtspunkt auffällig, dass der Verfasser die Zerlegung
der Partialbrüche schon bei der Differentialrechnung behandelt hat, wo sie
doch eigentlich keine rechte Verwendung findet. Die nächsten Kapitel
bringen die bestimmten Integrale, die Inhaltsberechnung von Kurven und

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174 Historisch -litterarisclie Abteilung.

Flächen. Auch aus dem Gebiet der Differentialgleichungen werden einzelne
leicht verständliche Fälle behandelt. Den Schluss des Ganzen bildet die
Integration durch Reihen. ^ Meyer.

Ableitung der verschiedenen Formen der Kurven dritter Ordnung

durch Projektion und Klassifikation derselben. II. (Die Kurven vom
Geschlechte Null) von Professor Dr. Friedrich Kölhel. Beilage
zum Programm des Realprogymnasiums Mosbach für das Schul-
jahr 1894/95. Druck von C. Wagner, Mosbach.

Die dieser Abhandlung zu Grunde liegende Methode haben wir schon
bei Besprechung des ersten Heftes auseinandergesetzt. In dem vorliegenden
Hefte wird ganz in derselben Weise verfahren. Auch hier muss sich der
Leser mit einer Aufzählung von Resultaten begnügen, ohne eine Ableitung
derselben zu finden. ^^^ ^^^^^

H. Bork, Mathematische Hauptsätze für Gymnasien. Zweiter Teil.
Pensum des Oberg^innasiums (bis zur Reifeprüfung). Leipzig 1896.
Dürr. 235 S. Mk. 2.40.

Dem vor Jahresfrist erschienenen ersten Teile dieses Buches, welcher das
mathematische Pensum des üntergymnasiums umfasst, folgt dieser ab-
schliessende zweite Teil mit dem Pensum des Obergymnasiums, welcher auch
für Eealgymnasien als geeigneter Leitfaden hingestellt wird.

Das Buch behandelt in fünf Abschnitten Planimetrie, Arithmetik,
die Trigonometrie, die Stereometrie und schliesst mit einer Einleitung in
die analytische Geometrie der Ebene.

Die Planimetrie enthält Hauptsätze aus der sogenannten neueren Geo-
metrie, wie sie sich schon in den bekannteren Lehrbüchern vorfinden.

In dem einleitenden Kapitel der Arithmetik scheint dem Referenten
nicht genügend scharf hervorgehoben, was Definition und was Gegenstand
des Beweises ist. So spricht der Verfasser von einem Lehrsatze a?= 1.
Der zweite Abschnitt bringt den Moi vre sehen Satz, den binomischen Lehr-
satz für gebrochene Exponenten und Gleichungen von höherem als dem
zweiten Grade. Dagegen vermisst Referent ein Kapitel über die — beim
praktischen Rechnen doch vornehmlich zur Anwendung kommende — numerische
Auflösung von Gleichungen. .

Der trigononometrische Abschnitt schliesst mit der Pothenotschen
Aufgabe. Was die Additionstheoreme angeht, so werden sie in bekannter
Weise unter Benutzung des P toi emäi sehen Lehrsatzes hergeleitet. Referent
hat schon mehrfach Veranlassung genommen, diesen schwerfälligen Weg,
der den identischen Charakter jener Formeln verdeckt, als ungeeignet
zu kennzeichnen.

Der vierte Abschnitt muss als wohlgelungen bezeichnet werden. Das
Prinzip des Cavaleri wird da, wo es benutzt wird, auch bewiesen. Hervor-

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Rezensionen, 175

gehoben zu werden verdient: femer die Betrachtung über Vielflache sowie
die Korrektheit der stereometrischen Figuren.

Das Buch soll als einziges Schulbuch fär den mathematischen Unter-
richt den Schülern in die Hände gegeben werden. Nach der Ansicht des
Verfassers ist eine gedruckte Aufgabensammlung entbehrlich. Demgemäss
sind nur die ,, Fundamental -Aufgaben" in das Lehrbuch aufgenommen.

E. Jahnke.

H. Hartl, Übnngsbnch für den Unterricht in der allgemeinen Arith-
metik nnd Algebra an Werkmeisterschulen, Baugewerkenschulen
und verwandten Lehranstalten. Ausgabe für Deutschland. Leipzig
und Wien 1896. F. Deuticke. 160 S.

Diese Aufgabensammlung, welche dem lehrplanmässigen Umfange des
Algebraunterrichts an Werkmeister- und Baugewerkenschulen entsprechen
soll, unterscheidet sich von den bekannten Sammlungen nur durch den
geringeren äusseren Umfang. Von den praktischen Beispielen, auf welche
besonderes Gewicht gelegt wird, sind wenige neu.

Ein Anhang enthält die Eesultate zu den Aufgaben, ^ Jahnke

Th. Spieker, Lehrbuch der ebenen und sphärischen Trigonometrie mit

Übungsaufgaben und einer kurzen Einleitung in die sphärische
Astronomie für höhere Lehranstalten, Dritte verbesserte Auflage.
Potsdam 1895. A.Stein. 156 S.
Die dritte Auflage dieses vortreflFlichen Lehrbuches unterscheidet sich
von der vorhergehenden einmal dadurch, dass das an sich schon reichliche
Übungsmaterial um einiges vermehrt worden ist, zweitens durch einen An-
hang, wo die wichtigsten Begriffe und Ausdrücke der sphärischen Astronomie
erklärt werden. E. Jahnke.

R. Schurig, Katechismas der Algebra. 4. Auflage. Leipzig 1895. J.Weber.
236 S. Mk. 3.
Der Herausgeber der neuen Auflage hat die rein katechetische Form
der früheren Auflagen fallen lassen und in der vorliegenden eine recht
brauchbare Darstellung des algebraischen Pensums, das bis zur Gleichung
dritten Grades bezw. bis zur Zinseszinsrechnung reicht, geliefert. Ganz be-
sonders dürfte sich der Katechismus zum Selbststudium eignen.

E. Jahnkb.

H. Feukner, Arithmetische Aufgaben. Unter besonderer Berücksichtigung
von Anwendungen aus dem Gebiete der Geometrie, Physik und
Chemie. Pensum der Obersekunda der neunstufigen Anstalten.
2. Auflage. Braunschweig 1895. 0. Salle. Mk. 1.

Es ist ein auf Grund der preussischen Lehrpläne vom Januar 1892
etwas umgearbeiteter Auszug aus der 1. Auflage, welche an dieser Stelle
schon ihi-e Besprechung gefunden hat. E. Jahnke^

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176 Historisch -litterarißche Abteilung.

G. Mahler, Leitfaden ffip den Anfangsnnteppiclit in der Planimetrie

an Gymnasien, Lyceen, Lateinschulen und verwandten Anstalten.
Stuttgart 1895. P. Neff. 73 S.

„Der Leitfaden besteht aus zwei Kursen; der erste (Lehre von den
Winkeln und Parallelen) enthält das Pensum der fünften, der zweite (Kon-
gruenz der Dreiecke. Lehre vom Viereck) das Pensum der sechsten Klasse
eines württembergischen Gynmasiums. Der Umfang eines jeden Kursus
ist so bemessen, dass er in etwa 33 Stunden (33 Wochen zu einer Stunde)
durchgearbeitet werden kann," jj Jahnke

H. KösTLEu, Leitfaden der ebenen Geometrie für höhere Lehranstalten.
1. Heft. Kongruenz. 4. Auflage Halle 1895. L. Nebert. 66 S.
Mk. 1. 25.

Der vorliegende erste Teil des aus drei Heften bestehenden Leitfadens
der Geometne enthält den Lehr- und Übungsstoflf für die Quarta und Unter-
tertia an Gymnasium und Realgymnasium, bietet aber weder in Form
noch in Anordnung bemerkenswert Neues. ^ Jvhnke

Th. Spieker, Lehrbuch der Stereometrie mit Übungsaufgaben für höhere
Lehranstalten. Potsdam 1895. A. Stein. 108 S.

Die vorliegende Bearbeitung des stereometrischen Pensums bietet reichen
Stoff in knapper Form.

So handelt der fünfte Abschnitt ausser von dem Volumen der Kugel
und ihrer Teile von den Figuren auf der Kugelfläche. Ein sechster Ab
schnitt bringt das Wichtigste über die Wechselschnitte des Cylinders und
Kegels. In Abschnitt VII werden die Polyeder berechnet, wobei sich der
Verfasser auf ein rechtwinkliges Axenkreuz stützt. Der Anhang giebt eint
kurze Anleitung für die Auffindung der Maxima und Minima, erläutert an
einigen stereometrischen Beispielen.

Für die Übungen der Schüler sind femer ausser den üblichen arith-
metisch-geometrischen Berechnungsaufgaben von Körpern und Oberflächen
stereometrische Konstruktions- und Beweisaufgaben herangezogen. Für beide
dieser Übungsfelder ist in den Anhängen ausreichendes Material beigegeben.

Bei der Vergleichung der Volumina der einfachen Körper giebt der
Verfasser der Cavali er i sehen Methode den Vorzug.

Was den Beweis anbetrifft, welchen der Verfasser für den Eul er schon
Polyedersatz vorträgt, so würde Referent jenem anderen, weit kürzeren deij
Vorzug geben, welcher von der Betrachtung ausgeht, Mass sich jedes Polyeder
aus lauter Tetraedern zusammensetzen lässt.

Zmn Schluss sei noch die Richtigkeit und Anschaulichkeit der Figuren

horvorffehoben. « t

^ E, Jahnke.

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Rezenaionen. 177

A. ScHüLKE, Vierstellige Logarithmentafeln nebst mathematischen, physi-
kaiischen und astronomischen Tabellen. Leipzig 1895. B. G. Teubner.
18 Seiten.
Die vorliegende Tafel soll hauptsächlich den Bedürfhissen des Unter-
richts Rechnung tragen. Demgemäss „sind die Logarithmen auf 4 Stellen
angegeben; der Grad ist dezimal geteilt; die Proportionalteile und Differenzen
sind überall fortgelassen, weil die Angabe derselben leicht zu mechanischem
Bechnen fuhrt. Die trigonometrischen Funktionen sind auf 3 bis 5 Stellen
angegeben." Den Anforderungen der Hygiene hat der Verfasser besondere
Aufmerksamkeit zugewendet. So sind die am meisten gebrauchten Werte
— die Zinsfaktoren, die Logarithmen der Zahlen und der trigonometrischen
Funktionen — nacheinander auf sechs Seiten streng systematisch geordnet.

E. Jahnke.

G. HoLKMüLLEu, Methodisches Lehrbuch der Elementarmathematik.

Gymnasialausgabe. Erster Teil, im Anschluss an die preussischen
Lehrpläne von 1892 nach Jahrgängen geordnet und bis zur Ab-
schlussprüfung der Untersekunda reichend. Leipzig 1896. B.G. Teubner.
228 Seiten.
Es ist eine besondere, für Gymnasien berechnete Ausgabe des metho-
dischen Lehrbuches der Elementarmathematik, worüber an dieser Stelle
bereits referiert worden ist. -g j^buke

Oeuvres de Fermat, publiees par les soins de MM. Paul Tannery et
Charles Henry. Tome III. Paris 1896. Gauthier-Villai-s et fils.

Im dritten Bande, dem umfangreichsten von allen, giebt uns Paul
Tannery zunächst (S. 1—274) eine französische Übersetzung der lateinisch
geschriebenen Abhandlungen Fermats und der Observationes in Diophantum.
Daran schliesst sich (S. 277—321) die Übersetzung derjenigen Briefe und
Bruchstücke von Briefen aus Fermats Briefwechsel (Bd. II der neuen
Ausgabe), die in einer anderen als der französischen Sprache abgefasst sind.

Diese Übersetzung war mit erheblichen Schwierigkeiten verbunden, da
es darauf ankam, sich dem Text möglichst genau anzuschliessen, ohne doch
durch allzu sklavisches Festhalten der alten Symbole und Ausdrücke das
Verständnis zu erschweren und diejenigen, welche wegen ungenügender
Kenntnis des Lateinischen zur Übersetzung greifen, abzuschi'ecken. Wie
Tannery in der Vorrede darlegt, würde er persönlich es vorgezogen haben,
die Übersetzung neben den Text zu stellen, aber die mit der Ausgabe
betraute Eonunission hat beschlossen, die Übersetzung gesondert zu geben,
und dadurch ist das Studixmi der Korrespondenz Fermats den auf die
Übersetzung Angewiesenen recht unbequem gemacht; sie müssen nicht selten,
um einen Brief zu lesen, den zweiten und den dritten Band benutzen.

Das grösste Verdienst hat sich Tannery jedenfalls durch die Über-
setzung der unter dem Titel „Doctrinae analyticae inventum novum^^ in
der 1670 von Samuel Fermat besorgten Diophant -Ausgabe abgedruckten

Hi»t.-litt. Abt. d. Zeitschr. f. Math. u. Phyi. 48. JgUrg. 1897. b. Heft. ^3—- -> ^^ ^^'^^

178 Historisch-litt-erarische Abteilunj^f.

ArVeit des Jesuitenpaters Jacob us de Billy erworben. In dieser Arbeit
entwickelt Billy die Theorie der sogenannten doppelten und dreifachen
Gleichungen, und zwar auf Gnind von brieflichen Mitteilungen Fermat?.
Von diesen Briefen ist leidfr nur ein einziger (No. CII, Bd. II, S. 436) er-
halten, den Billy Bd III, S. 352 benuti^^t. Da nur die Grundgedanken des
Inventum novum von Fermat gegeben sied, das Werk selbst aber in der
Fassung, wie es vorliegt, von einem weit weniger bedeutenden Mathematiker
herrührt, so war eine dun haus freie, nur den Inhalt klar wiedergebende
Übersetzung am Platze, die Arbeit des Übersetzens also eine ^eit leichtere.
Dafür waren aber eine ganze Reihe dem Billy, nicht Fermat zur Last
fallende Fehler zu berichtigen, lesp. anzugeben, und dieser Mühe hat sich
Tannery mit solchem Erfolge unterzogen, dass auch diejenigen, denen die
Origitalaibeit sprachlich keine Schwierigkeit lereiten würde, bester thun
werden, sich an Tannerys Übersetzung (S. 323 — 398) zu halten.

Der Schluss des Bandes (S. 399 — 602) enthält die französische Über-
setzung der englisch und der lateinisch geschriebenen Briefe des Commercium
epistolicum von John Wallis; in betreff der französisch abge^assttn vird
wieder auf den zweiten Band verwiesen. Dieser Briefwechsel war durch
die bekannlen von Fermat im Jahre 1657 an die fremden, besonders die
englischen Mathematiker gerichteten wissenschaftlichen Herausforderungen
veranlasst. An dem Streit, der auch einen nationalen Hintergrund hatte,
waren ausser Fermat und de Frenicle auf der einen, Lord Brouncker
und John Wallis auf der anderen Seite auch Franziscus Schooten und
Th. White beteiligt. Die Parteien korrespondierten nicht direkt mitein-
ander, sondern sandten ihre Briefe zur Mitteilung an die Gegner dem in
Paris wohnenden englischen Edelmann Kenelm Digby. Es sind im ganzen
47 Briefe von teilweise sehr grossem Umfang. Dieselben wurden 1658
von Wallis veröffentlicht; einen zweiten Abdruck enthält der zweite Band der
Werke von Wallis (1693). In dem Briefe XLIV (an Digby) hattt»
Wallis gewissermaßen das Fazit der Korrespondenz gezogen und dabei
vielleicht allzu selbstbewusst sich als Sieger hingestellt. Während des
Druckes erhielt er ein anerkennendes Schreiben Fermats, und nun rühmt
er seinerseits die Bedeutung des Gegnei-s. So scheint alles unter gegen-
seitigen freundlichen Verbeugungen der Kämpfer zu enden; aber eine wahr-
scheinlich von de Frenicle verfasste, jedenfalls von demselben angeregte
anonyme Entgegnung auf das Commercium, die sehr selten ist, und die
Tannery im Original und in Übersetzung giebt, lässt erkennen, dass doch
noch ein Stachel zurückgeblieben ist, dass die höflichen, anerkennenden
Worte einfach Phrasen sind. In dieser Entgegnung wird zunächst auf das
unstatthafte einer Veröffentlichung von Briefen ohne Erlaubnis, ja sogar
ohne Wissen der Schreiber hingewiesen. Nur die Liebe zum Vaterland und der
Wunsch, den Kuhm desselben zu verbreiten, entschuldige ein solches Vor-
gehen. Übrigens sei, so wird dann im einzelnen dargelegt, dieser Zweck
nur unvollkommen erreicht und der Sieg der Engländer recht zweifelhaft.

G. Wrrthbim.

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Rezensionen. 1 79

Fkolow, Michael, Demonstration de Taxiome XI d*Eno1ide. Paris 1896.
Gauthier -Villars et fils. 22 S. und 1 Tafel.

Da der Verfasser ausdrücklich erklärt, dass er nur för Leser schreibt,
„die nicht von den nicht -euklidischen Ideen angesteckt sind", so will ich
mich einmal auf seinen Standpunkt stellen und fragen, ob denn wirklich
„die Ordnung der Theoreme", die er vorschlägt, „die Grundlagen, auf
denen die elementare Geometrie beruht, unangreifbar macht/'

Frolows Beweis lässt sich so darstellen. Man konstruiere über einer
beliebigen Grundlinie AC ein Dreieck ABC mit den Winkeln:

BAC^cpK^O^ und ^(7^- 90»-g)

und nach der an'leren Seite von AC ei.i Dreieck ADC mit den Winkeln:

ACT) --= q> und CAB - 90^- <^.

In dem Viereck ABC D sind dann die Gegenseiten gleich, und die
Winkel hei A und C sind Rechte. Könnte man beweisen, dass auch einer
der beiden einander gleichen Winkel bei B und /) ein Rechter ist, so wäre
die Existe-jz eines Rechteckes und damit bekanntlich auch das elfte Eukli-
dische Axiom dargethan. Diesen Nachweis versucht Frolow apagogisch
zu führen, indem er zeigt, dass die Annahmen, der Winkel bei B sei
spitz oder stumpf, beide auf einen Widerspruch führen. Es wird genügen,
den Beweis für einen spitzen Winkel bei B zu analysieren.

Man verlängere BC beliebig bis 6', AI) beliehig bis T und mache in
der Figur SB AT fol^^ende Konstruktion. Von -4 fälle man auf BS das
Lot AB^^ von B^ auf AT das Lot B^A^^ von Ay^ auf BS das Lot A^B^
u. s.w. Es ergeben sich so auf AT der Reihe nach die Punkte:

-^1) -^») -^8? • • • -^.i*

Liegt nun der Punkt 1> zwisjben den Punkten A^ und -^«.f i, so lässt
sich in aller Strenge beweisen, dass der Winkel ADC notwendig stumpf
i t, während doch die Winkel bei B und I) einander gleich sein müssen.
Die Annahme, der Winkel bei B sei spitz, f ihrt mitiiin auf einen Wider-
spruch.

Es ist leicht zu erkennen,, welches „implicite Postulat" in dieser
Deduktion enthalten ist. Der Punkt 7> soll notwendig zwischen den Punkten
A ^ und -4.,_j_i liegen oder, mit anderen Worten, jene Konstruktion von
Loten soll schliesslich über jeden Punkt J> auf A T hinausführen , der vor
dem etwa vorhandenen Schnittpunkte von A T und BS liegt. Dass diese
Behauptung keineswegs selbstverständlich ist und im Gegenteil eines Be-
weises bedarf, zeigt folgende einfache Betrachtung. Man nehme zwei sich
nicht schneidende Gerade im Räume und führe bei ihnen die entsprechende
Konstruktion aus, föUe also von einem Punkte A der ersten Geraden das
Lot AB^ auf die zweite Gerade, von B^ das Lot B^A^ auf die erste u. s.w.

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180 Historisch -litterariache Abteilang.

Man beweist dann ohne Mühe, dass die Lote ÄnB^-^-i bei fortgesetzter
Konstruktion dem gemeinschaftlichen Lote FQ der beiden Geraden beliebig
nahe kommen, und hieraus folgt, dass in diesem Falle die Punkte
^4^, ^2, . . . A/i, . . . sämtlich auf der endlichen Strecke ÄP liegen. Man
kommt also niemals über den Punkt P hinaus.

Warum ist es in der Ebene anders? Wer darauf antwortet: Weil
es sich um zwei gerade Linien in der Ebene handelt, der hat die Ver-
pflichtung zu zeigen, dass diese Eigenschaft der Ebene eine logische Folge
der Definition der Ebene ist. Dass ein solcher Nachweis unmöglich ist, das
bewiesen zu haben ist ein Verdienst der von dem Verfasser als Skeptiker und
Sophisten bezeichneten Nichteuklider, deren Schriften ihm zu gründlicheren]
Studium empfohlen seien.

Historisch möge noch bemerkt werden, dass jene Behauptung in be-
treff des Punktes D bereits von Malezieu (Elemen. de Geometrie. Paris 1715)
und von Karsten (Mathesis theoretica elementaris atque subHmior, Rostock
und Greifswald 1760) zum Beweise für das elfte Axiom benutzt worden
ist, und dass schon Klügel (Conatuum praecipuorum theorema parallelarom
demonstrandi recensio. Dissertation. Göttingen 1763, § VII und § VM)
die Unzulässigkeit dieses Verfahrens in durchaus zutreffender Weise dar-
gethan hat. Stäckel,

Crivetz, Theodore, Essai sur le postnlat d'Evclide. Bukarest 1895.
8«. 40 S.

Während die Überzeugung von der Unmöglichkeit der algebraischen
Quadratur des Zirkels bereits in weitere Kreise gedrungen zu sein scheint,
vergeht kein Jahr, ohne dass das Parallelenaxiom neue Opfer erfordert:
es wäre dringend zu wünschen, dass der oft nicht geringe Fleiss und
Scharfsinn, den diese der Natur der Sache nach vergeblichen Versuche
zeigen, nützlicheren Gegenständen zugewandt würde.

Um zu beweisen, dass die Annahme: die Summe der Winkel des
Dreiecks sei kleiner als zwei Rechte auf einen Widerspruch führe, ent-
wickelt der geometrisch nicht unbegabte Verfasser eine Reihe von Folgerungen,
ungefähr in der Art, wie das Saccheri (1733) und Lambert (1766i
gethan haben; von der umfangreichen Litteratur über den Gegenstand
scheint er übrigend nur das Lehrbuch von Rouche et Gomberousse zu
kennen. Seine Beweise sind zwar umständlich, aber richtig, — bis auf den
Beweis des letzten, entscheidenden Theorems. Hier wird ohne jede Be-
gründung behauptet: Zieht man durch einen Punkt F ausserhalb einer
Geraden AB irgend eine Gerade FL^^ so lässt sie sich stets als Tangente
an eine der zu AB äquidistanten Linien auffassen. Damit ist man fireüich
auf einen Widerspruch gekommen, aber jene Annahme über die Winkel-
summe ist daran unschuldig. ^ ..

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Rezensionen. 181

H. Dbmartres. Cours d' Analyse. Redigi par M. E. Lemaire. Troisieme
Partie. Equations differentielles et aux Derivees Partielles. Paris,
A. Hermann. 166 p.

Über die beiden vorangegangenen Hefte des Lehrbuches von Demartres
ist in dieser Zeitschrift Bd. 40 p. 93 berichtet worden. Das vorliegende
dritte und letzte Heft enthält eine Einleitung in die Theorie der gewöhn-
lichen und partiellen Differentialgleichungen, sowie der Variationsrechnung.

Gemäss der praktischen Tendenz des ganzen Werkes legt der Verfasser
die einzelnen Integrationstheorien dar, wie sie die ältere Schule entwickelt
hat, wenn er auch hier und da neuere Fortschritte (Transformationsgruppen
u. a.) streift. Die französischen Autoren treten stark in den Vordergrund.

Von allgemeinen Existenzbeweisen findet man wenig; umsomehr ist
auf geometrische Anwendungen und Illustrationen Bedacht genommen
worden. Der Anhang über Variationsrechnung geht über die ersten Ele-
mente nicht hinaus. Im ganzen erfüllt das Werk seinen Zweck, als Leit-
faden für Vorlesungen zu dienen. ^ p Meyer

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Bibliographie

vom 19. August bis 14. Oktober 1897.

PeriodiBChe Schriften.

Fortschritte, die, der Physik im Jahre 1891. Dargestellt von der physi-
kalischen Gesellschaft zu Berlin. 47. Jahrgang. 2. Ahteilnng. Physik
des Äthers. Redigiert von Bichard Börnstein. Brannschweig.
Vieweg & Sohn. M. 3Ö.

- - Dasselbe im Jahre 18J6. 52 Jahrgang 1. Abteilung. Physik der
Materie. Redigiert von Richard Börnstein. Ebenda. M.20.

Jahrbuch, deutsches meteorologisches, für 1896. Ergebnisse der meteoro-
logischen Beobachtungen an der Station I. Ordnung Aachen und
deren Nebenstati ;nen im Jahre 1896. Herausgegeben von Dir P. Polis.
n. Jahrgang. Karlsruhe, Braun. , M.5.

Publikationen des astrophysikalischen Observatoriums zu Potsdam. Nr. 36.
XL Bds. 3. Stück. Wilsing, J., Untersuchungen über die Parallelaxe
und die Eigenbewegung von 61 Cygni nach photographischen Auf-
nahmen. Leipzig, Enjelmann. M.4.

Vierteljahrsschrift der astronomischen Gesellschaft. 32. Jahrgang 1. und

2. Heft. Leipzig, Engelmann. aM.2.
Veröffentlichungen des königlich preussischen meteorologischen Instituts

Herausgegeben durch Dir. Wilh. von Bezold. Ergebnisse der Beobach-
tungen an den Stationen zweiter und dritter Ordnung im Jahre 1893,
Zugleich deutsches meteorologisches Jahrbuch für 1893. Beobachtung«
System des Königreichs Preussen und benachbarter Staaten Berlin,
Asher&Co. M.9.

Dasselbe. Ergebnisse der Gewitterbeobacht mgen in den Jahren 1892,
1893, 1894. Ebenda. M.3.

Geschichte der Mathematik und Physik.

Poggendorffs Handwörterbuch zur Geschichte der exakten WissenschafteD.

3. Band. 10. und 11. Lieferung. Leipzig, Barth aM.3.
Haentschel, C, Über di's verschiedenen Grundlegungen in der Trigono-
metrie. Eine historisch -kritische Studie. Leipzig, Dürr. M.— . 40

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Bibliographie. 133

Keine Mathematik.

Opus palatinum. Sinus- und Cosinus -Tafeln von 10" zu 10". Heraus-
gegeben von Professor Dr. W. Jordan. Hannover, Hahn. M. 7.

Molke, Roman, Über diejenigen Sätze Jacob Steiners, welche sich auf die
durch einen Punkt gehenden Transversalen einer Kurve n^^' Ordnung
beziehen. Dissertation. Breslau, Schletter. M. 1 .

Pyrkosch, Rhold, Über Ponceletsche Ireiecke, besonders solche, welche
konfokalen Kegelschnitten ein- und umgeschrieben sind. Dissertation.
Preslau, Schletter. M.—. 80.

RoTHE, RuD., Untersuchungen über die Theorie der isothermen Flächen.
Dissertation. Berlin , Mayer & Müller. M. 2.

Klein, F., Ausgewählte Kapitel der Zahlentheorie. I. und II. Vorlesung.
I. Gehalten im Wintersemester 1895/96. Ausgearbeitet von A. Sommer-
feld. II. Gehalten im Sommersemester 1896. Ausgearbeitet von
A.Sommerfeld und Th.Furtwänqler. Göttingen. (Leipzig, B.G.Teubner.)

M.14.50.

DiRicHLBTS, G. Lejeune, Werke. Herausgegeben auf Veranlassung der könig-
lich preussischen Akademie der Wissenschaften von L. Kronbcker.
Fortgesetzt von L. Fuchs. 2. (Schluss-) Band. Berlin, Reimer. M. 18.

ScHEFFLEK, Herm., Vermischtc mathematische Schriften; enthaltend:

1. Zusätze zur Theorie der Gleichungen.

2. Die quadratische Zerfällung der Zahlen.

3. Die Phönixzahlen.

Braun schweig, Wagner. M. 2.

Sacils, J., Lehrbuch der ebenen Elementargeometrie (Planimetrie). 8. Teil:

Die Anwendung der Ähnlichkeit auf die Lehre vom Kreis. Bearbeitet

nach System Kleyrr. Stuttgart, Maier. M. 5.

Angewandte Mathematik.

Landestriangulation, die königlich preussische. Hauptdreiecke. 9. Teil.

A) Die rheinisch -hessische Dreieckskette.

B) Das Basisnetz bei Bonn.

C) Das niederrheinische Dreiecksnetz.

Gemessen und bearbeitet von der trigonometrischen Abteilung der
Landesaufnahme. Berlin, Mittler & Sohn. Kart. M. 16.

SciiuBiBBR, 0., Die konforme Doppelprojektion der trigonometrischen Ab-
teilung der königlich preussischen Landesaufnahme. Formeln und
Tafeln. Herausgegeben von der trigonometrischen Abteilung der Landes-
aufnahme. Berlin, Mittler & Sohn. Kart. M. 3.

WiLCZYNSKi, E. J., Hydrodynamische Untersuchungen mit Anwendungen auf
die Theorie der Sonnenrotation. Dissei-tation. Berlin, Mayer & Müller.

M.2.

Gi'jMBEL, L., Das Stabilitätsproblem des ?chiifsbaues. Berlin, Siemens.

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dbyCjÖOglc

[^4 Historisch -lilterarische Abteilung. Bibliographie.

Dreiecksnetz, das schweizerische (der internationalen Erdmessung). Heraus-
gegeben von der schweizerischen geodätischen Kommission. 7.Bani
Messerschmitt, J. B., Relative Schwerebestimmungen. I.Teil. Zürich,
Fäsi & Beer. M. 10.

\'^eröffentlichung des königlich preussischen geodätischen Institutes. Kühnen, Fii.,
Die Neumessung der Grandlinien bei Strehlen, Berlin und Bonn,
ausgeführt durch das geodätische Institut. Unter Mitwirkung von
R. Schumann bearbeitet. Berlin, Stankiewicz. M.9.

BoLTZMANN, LuDW., Vorlesungcn über die Prinzipe der Mechanik. (In drei
Teilen.) I. Teil enthält die Prinzipe, bei denen nicht Ausdrücke nach
der Zeit integriert werden, welche Variationen der Koordinaten oder
ihrer Ableitungen nach der Zeit enthalten. Leipzig, Barth. M. 6.

Physik und Meteorologie.

Meyn, Ricu., Die absoluten mechanischen, kalorischen, magnetischen, elektru-
dynamischen und Licht -Maßeinheiten, nebst deren Ableitungen, wich-
tigsten Beziehungen und Meßmethoden, mit einem Anhang nicht-
metrischer Maße. Braunschweig, Vieweg & Sohn. M.l.

Thomson, J. J., Elemente der mathematischen Theorie der ElektrizitSt und
des Magnetismus. Deutsche Ausgabe von Professor Gust. Wertheim.
Braunschweig, Vieweg & Sohn. M.8.

Miller, Andr., Das magnetische Kraftfeld eines bipolaren Stabes. Pro-
gramm. München, Kellerer. M. 1.

Drude, P., Über Femewirkungen (Referat). [Beilage zu den Annalen der
Physik und Chemie, neue Folge, 62. Band.] Leipzig, Barth. M.l

Wakbukg, Emil, Lehrbuch der Experimentalphysik für Studierende. 3. Äui-
lage. Freiburg i. B., Mohr. M. 7, geb. M. 8.

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Historisch-litterarische Abteilung.

Rezensionen.

Hi^rmann (irassmaiins Gesammelte mathematische nnd physikalische
Werke. Auf Veranlassung der mathematisch -physikalischen Klasse
der königl. sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften und unter Mit-
wirkung der Herren: Jacob Lüroth, Eduard Study, Justus Qrass-
MANN, Hermann Grassmann der Jüngere, Georg Schefpers heraus-
gegeben von Friedrich Engel. I. Band. H. Teil. Die Ausdehnungs-
lehre von 1862. Leipzig 1896, B. G. Teubner. VIR und 512 S. 8®.
Mk. 16.

Der erste Halbband der Gesamtausgabe von Grassmanns mathe-
matischen und physikalischen Werken ist gelegentiich einer historischen
Studie über diese Werke im zweiten Hefte des 41. Bandes dieser Zeitschrift
besprochen worden. Der vorliegende zweite Halbband, der programmmässig
die „Ausdehnungslehre von 1862" bringt, ist ein Jahr später erschienen,
als in der Vorrede zum ersten in Aussicht genommen war. Diese Ver-
zögerung wird jeder begreifen, der die Schwierigkeiten kennt, welche ge-
rade dieses Werk Grassmanns schon dem Verständnis bereitet, geschweige
der kritischen Durcharbeitung, wie sie beim Neuerscheinen eines in der
Originalausgabe nur in engen Kreisen bekannt gewordenen Werkes* am
Platze war. Man kann aber die Verzögerung auch nicht bedauern, wenn
man sieht, welche Eülle gewissenhaftester und exaktester Arbeit an diesem
Werke von den Herausgebern geleistet worden ist, und wie diese Arbeit
den Erfolg gehabt hat, dasselbe auch vom Standpunkte modernster Kritik
aus inhaltlich als das bewundernswerte Kunstwerk anzuerkennen, als welches
es bisher den Wenigen galt, denen die Originalausgabe näher bekannt
war. — Beteiligt haben sich hierbei die Herren Engel und H. Grass -
mann der Jüngere zunächst durch allseitige Revision des Textes und, wo
es nötig schien, durch kleine redaktionelle Änderungen, die, wie im ersten
Halbbande, überall als solche erkennbar gemacht und in einem besonderen
Verzeichnis den ursprünglichen Lesarten gegenübergestellt sind. Dasselbe
gilt von einigen, die Umstellung von Paragraphen, Hinzufügung erklärender
Zusätze und Fortlassung einer nicht verständlichen Anmerkung betreffenden

♦ Dasselbe war nur in 300 Exemplaren, beiläufig auf Grassmanus eigne
Kosten, gedruckt worden. ^^ ,

Higt.-Utt. Abt. d. ZeitBchr. f. Math. u. Phys. 42. Jahrg. 1897. 6. Heft. f^itized by VjOOQ IC

186 Historisch -litterarische Abteilung.

Änderungen. Zu dieser Arbeit lieferte eine Eeihe von Bemerkungen des
Herrn Study einen wertvollen Beitrag. Während so durch Gestaltung des
Textes für das unmittelbare Verständnis jede zweckmässig scheinende Hilfe
geleistet ist, haben die Herren Herausgeber, in tieferer Erfassung ihrer
Aufgabe , dem Werke einen nicht weniger als 100 Seiten umfassenden An-
hang hinzugefügt, der in der Form von Anmerkungen kritischer und er-
klärender Natur sich mit der in dem Werke niedergelegten Theorie
selbst beschäftigt, Dunkelheiten des Textes aufklärt, Andeutungen aus-
führt, kleine Lücken ausfüllt, naheliegende wichtige Folgerungen zieht,
kleine Versehen richtig stellt, Mängel in Beweisen beseitigt, auch hier und
da den Zusammenhang oder die Identität Grassmann scher Sätze mit
später anderweitig gefundenen Resultaten feststellt. Diese Anmerkungen
liefern nicht nur einen überaus wertvollen und willkommenen Beitrag zum
Verständnis des ganzen Werkes und seiner Einzelheiten, sondern geben
auch implizite Aufschlüsse über die hervorragende Kraft und Bedeutung
der spezifisch Grass mann sehen Methoden, indem sie vielfach, wenn auch
unabsichtlich, an dem Maßstabe dieser Methoden und der durch sie erzielten
Resultate die herkönmilichen Schulmethoden messen. — Verschiedentlich er-
föhrt das Grass mann sehe System durch diese Anmerkungen eine inhalt-
liche Bereicherung, an anderen Stellen ergeben sich von selbst Anregungen
zur weiteren Ausgestaltung desselben. In dieser Hinsicht mögen einige
wichtigere Ergebnisse im folgenden besonders hervorgehoben werden.

Die Frage, unter welcher Bedingung in einem Hauptgebiete w**' Stufe
eine Grösse A von m^' Stufe (1 < m < w — 1) einfach ist, hat Grass -
mann in der A^ nicht beantwortet. Hier nun wird das Kriterium ge-
geben, dass A mit jeder einfachen Grösse (n — m -{- 2)*®' Stufe multipliziert
eine einfache Grösse zweiter Stufe liefern muss. — Der Begriff der Zuröck-
leitung, für den die geometrischen Anwendungen in der A^ fehlen (und
den infolgedessen Hagen in seiner „Synopsis der höheren Mathematik" als
dunkel bezeichnet), wird in geometrischem Gewände ausführlich diskutiert^
wobei sitih unter Beziehung der kombinatorischen Multiplikation auf den
Baum als Gebiet vierter Stufe acht Fälle der Zurückleitung ergeben. —
Auch den beiden Grass mann sehen Auflösungsmethoden von n linearen
Gleichungen werden für den FaU w = 3 geometrische Deutungen gegeben. —
Der Begriff „allseitig normal" wird erläutert und in seiner Bedeutung klar
gestellt durch Hinzufügung einiger Sätze, von denen der wichtigste aus-
sagt, dass, wenn zwei Gebiete allseitig zu einander normal sind, jede
Grösse des einen Gebiets zu jeder Grösse des andern normal ist. — Bei
den Sätzen, welche Grössen erster Stufe im Hauptgebiete w*®' Stufe betreffen,
wird bemerkt, dass eine Eeihe derselben noch richtig bleibt, wenn man sie
durch Grössen (n -— l)^®' Stufe ersetzt. Dies konmit für n = 4 auf die
Vertauschung von Punkt- mit Ebenen -Koordinaten hinaus.— Einen grösseren
Kaum beansprucht die Anwendung und spezielle Durchführung der all-
gemeinen Theorie der geometrischen Verwandtschaften auf die Kollineation
des Baumes« Es ergeben sich dabei je nach dem Auftreten einfacher oder

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Rezensionen. 137

mehrfacher Hauptzahlen und der Stufenzahl der zugehörigen Hauptgebiete
äusserst einfach dieselben 13 Fälle, zu welchen v. Staudt von einem an-
deren Prinzip aus in seinen „Beiträgen zur Geometrie der Lage" gelangt
ist. — Als ein Mangel der Ag wird bezeichnet, dass Grassmann Zahl-
beziehungen zwischen den Einheitsprodukten und den ursprünglichen Ein-
heiten von der Betrachtung ausschliesst, und dadurch auch gewisse Systeme
höherer komplexer Zahlen, deren zuerst von Hamilton aufgestellte Theorie
neuerdings weiter entwickelt worden ist. Nach dieser Richtung würde also
ein weiterer Ausbau des Systems angezeigt erscheinen, falls jenen komplexen
Zahlen eine hinlängliche Wichtigkeit und Anwendungsfähigkeit beizulegen
ist. Denn man sollte bei solchen Verallgemeinerungen immer bedenken,
dass die Möglichkeit von Anwendungen auf Geometrie und Mechanik für
rein analytische Forschungen ein nicht zu unterschätzendes Kriterium des
Wertes bildet, dessen Beachtung die Forschung davor bewahren wird, sich
mit ihren Theorien und Resultaten ins uferlose und schliesslich Abstruse
zu verlieren. So wäre es denn immerhin möglich, dass sich hier in der
Beschränkung der Meister gezeigt hätte. Auch darf man nicht vergessen,
dass Grassmann bei aller Allgemeinheit seiner Begriffe und Methoden
doch in erster Linie ein Forschungswerkzeug für Geometrie und Mechanik
schaffen wollte. — Auf eine Erweiterung des Systems weist femer der
Umstand hin, dass Grassmann nur lineale Produktbildungen aus zwei,
nicht solche aus drei Faktoren untersucht. Nach dieser Richtung sind
(S. 400) interessante Andeutungen gegeben. Derartige Erweiterungen werden
besonders wertvoll sein, wenn sie Anwendungen auf solche Gebiete zulassen,
die sich etwa den Originalmethoden Grassmanns als unzugänglich er-
weisen sollten.

Hinsichtlich der Tragweite und Anwendungsfähigkeit jedes einzelnen
Begriffs der Ausdehnungslehre über das im Text gegebene hinaus finden
sich in Grassmanns eignen Anmerkungen mehrfache Andeutungen. Die
genauere PrüAing derselben zeigt in ihren Resultaten recht deutlich, wie
sehr es der Ausdehnungslehre zum Vorteil gereicht hat^ dass Grassmann
bei der Durchbildung ihrer Methoden der natürlichen Führung folgte,
welche die geometrischen Gesichtspunkte ihm darboten, dass er aber keine
seiner allgemeinen, an sich betrachtet analytischen Methoden auf solche
spezielle Gegenstände anwandte, die ihrer Natur nach dieser Methode fem
lagen, und dass er es unterliess, im Interesse solcher Anwendungen sich
mit seinen Methoden durch Anpassung derselben an ungeeignete Gegen-
stände in Künsteleien zu verlieren, wie das in besonders lehrreicher Weise
auf S. 436 zu erkennen ist (Anmerkung zu Nr. 337).

Unter denjenigen Bemerkungen, welche den Zusanmienhang der A2
mit neueren Forschungen betreffen, sind die folgenden von besonderem
Interesse. Die einfache lineale Änderung ist gleichbedeutend mit einer
linearen homogenen Transformation von der Determinante 1, die 00^ homo-
genen Transformationen dieser Form bilden eine eingliedrige Gruppe im
Lieschen Sinne. Die zirkuläre Änderung ist, wie die lineale, mit einer

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138 Historisch -literarische Abteihing.

linearen homogenen Substitution von besonderer Form gleichbedeutend, die
selbe ist orthogonal und hat die Determinante + 1, je nachdem die zirkn-
läre Änderung positiv oder negativ ist. Im ersten Falle bildet der Inbegriff
aller <c^ Transformationen eine eingliedrige Gruppe im Lieschen Sinne,
im zweiten Falle bildet er keine Gruppe, wohl aber bilden beide Trans-
formationen zusammen eine nicht -kontinuierliche Gruppe. — Der Übergang
von den Grössen eines Hauptgebietes zu den Ergänzungen gehört vom
Standpunkte der projektiven Geometrie zu den dualistischen Transformationen,
und zwar zu den speziellen Reziprozitäten, die man als Polarsystem be-
zeichnet. — Dass der Übergang von einem Normalsystem zu einem anderen
numerisch gleichen einer reellen orthogonalen Substitution entspricht, wurde
schon in des Referenten „Raumlehre" II, Nr. 63 hervorgehoben, ebenso
(1. c. S. 129— 134), dass die Ausdehnungslehre für verschiedene Beweise
des Multiplikationstheorems der Determinanten die kürzeste Form liefert.
Auch ist an derselben Stelle (S. 5— 12 und 250—256) bereits ausfuhrlich
dargelegt, wie sehr die Theorie der Cayley sehen Maßbestimmung an
Einfachheit gewinnt, wenn man sie mit Hilfe der in der A, Nr. 151— 215
eingeführten Begriöe entwickelt. — Dass dieser Abschnitt gleichzeitig die
von Riemann entdeckte nichteuklidische Geometrie in sich schliesst, hat
Lie gezeigt, während Study ihn als Beitrag zur Invariantentheorie der
Gruppe aller Drehungen um einen Funkt auffasst. Dagegen scheint die
ebenfalls in den,, Anmerkungen'^ hervorgehobene Übereinstimmung des Grass-
mann sehen (vom Referenten auf n Dimensionen ausgedehnten) Eckensinos
mit dem gleichnamigen von v. Stand t aufgestellten Begriffe bisher noch nicht
beachtet worden zu sein. — Eine ausführliche Analyse knüpft sich an den
Satz 391 der A2, betreffend das Verschwinden des Ausdrucks [QCr c,] (durch
Einsetzen von w Grössen erster Stufe q. . .c^, während Q eine spezielle Form
des Quotienten darstellt), dessen weitere Bedentung von Grassmann zwar
erkannt, aber nur in einer Anmerkung durch einige Hinweise angedeutet
wurde. In diesem Satze liegt die Lösung der Aufgaben, die quadratische
Form ZcijttXyXp durch eine reelle lineare homogene Substitution von der
Determinante 1 auf eine Summe von n Quadraten zurückzufiüiren, femer
eine quadratische Form Za^jXyXj durch eine reelle Substitution, bei der
die Form 2xy^ invariant bleibt, auf eine Summe von Quadraten zurück-
zuführen, sodann die Hauptaxen der oo^ Mannigfaltigkeiten zweiten Grades
2axj XxXj ^ const. des B„ zu bestimmen. Er schliesst in sich das Sylvester-
sche Trägheitsgesetz der quadratischen Formen und führt dadurch direkt
zu dem Sturm sehen Satze über die Wurzeln algebraischer Gleichungen.
Hier, wie in so vielen anderen Fällen, zeigt sich recht deutlich, wie die
Ausdehnungslehre berufen ist, das durch geflissentliche Verschmähung geo-
metrischer Hilfsmittel seitens der modernen Analysis xmd analytischer Hilfs-
mittel seitens der synthetischen Geometrie zum Schaden beider Zweige der
Mathematik gelöste Band wieder zu knüpfen, und zwar nicht künstlich,
wie durch die ältere analytische Geometrie, sondern in einfachster, nator-
gemässer Form.

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Rezensionen. 189

Bis hierher hewegen sich die Studien der Hei-ansgeber auf solchen Ge-
bieten der Aj, die schon früher vielfache Beachtung, Anwendung und
Würdigung gefanden hatten. Dagegen harrten die Schlusskapitel des
Werkes über Differentialrechnung,* unendliche Reihen und Integralrechnung
noch der Durchforschung, und es war darüber im allgemeinen nur be-
kannt, was Lie (irren wir nicht, noch im Anschluss an direkten Meinungs-
austausch mit Grassmann) in dem von den Math. Annalen (Bd. 14) ge-
gebenen Nekrologe Grassmanns (und anderweitig) über die Bedeutung
dieses Teiles der A2 für das Ff äff sehe Problem ausgesprochen hatte. Die
eingehende Untersuchung, welche auch dieser Teil der Ag samt seiner Be-
deutung für das ebengenannte Problem jetzt erfahren hat, führt zu folgen-
der Charakterisierung der letzteren: Grassmanns Verdienst besteht zu-
nächst darin, dass er die Tnvariantentheorie einer beliebigen Pf äff sehen
Gleichung bis zu einem gewissen Grade vollständig entwickelt hat ... Er
hat die Kriterien angegeben, an denen man erkennen kann, auf welche der
beiden möglichen Normalformen eine vorgelegte Pf äff sehe Gleichung ge-
bracht werden kann. Auch die Frage, unter welcher Bedingung die Normal-
form, auf die der Pfaffsche Ausdruck ZH^iJXfj, gebracht werden konnte,
auf einen Ausdruck mit n Differentialen, aber nur 2n— 1 Veränderlichen
zurückführbar ist,* wird von Grassmann beantwortet, und es fehlt nur
noch die Ausführung einer letzten, erst von C leb seh erkannten Verein-
fachung. Aber auch ohne diese „bleibt das, was Grass mann für die
Invariantentheorie eines Pf äff sehen Ausdrucks geleistet hat, höchst be-
achtenswert .... und gerade in Bezug auf die Richtigkeit und Vollständigkeit
der (oben erwähnten) Kriterien steht Clebsch wesentlich hinter Grassmann
zurück." Dagegen hat Grassmann hinsichtlich der Aufstellung der Normalform
einer vorgelegten Pf äff sehen Gleichung nur gezeigt, dass sie durch Integration
einer Reihe gewöhnlicher Differentialgleichungen geleistet werden kann, nicht
aber untersucht, ob sich die Ordnung der erforderlichen Integrationen redu-
zieren lässt, eine von Clebsch und Natani aufgenommene, aber erst
später zum Abschluss gebrachte Frage. Nebenbei wird rühmend hervor-
gehoben, was Grassmann hierbei für die Theorie gewisser mit dem
Pf äff sehen Problem zusammenhängender Gleichungssysteme geleistet hat.
Endlich wird auch am Schlüsse des ganzen Anhanges der „Symbolik"
Grassmanns gedacht, die ihn ja auch za diesen „eine seiner schönsten
Leistungen" bildenden analytischen Resultaten geführt hat. Es >vird an-
erkannt, dass dieselbe „der Jacobi-Cayley sehen vollständig ebenbürtig,
ja sogar insofern überlegen ist, als die Grassmannschen Symbole inmier
unmittelbar an den Pf äff sehen Ausdruck erinnern, aus dem sie gebildet
sind, während das Symbol (l, 2, . . . 2w) als solches gar keine Beziehung
zum Pf äff sehen Problem erkennen lässt. Deshalb ist auch die Grass-
mannsche Symbolik ohne weiteres auf Systeme von Pf äff sehen Gleichungen

* abgesehen von der Anwendung auf Funktional - , Hessesche Determinanten
und weitere Bildungen der neueren Algebra in des Referenten „Raumlehre" II, S. 145 flg. j

X90 Historisch- litterarische Abteilung.

anwendbar, was bei der Jacobi-Cayley sehen nicht der Fall ist" ~
Vorzüge dieser Art sind es gerade, welche überhaupt die vom Referenten
von Anfang an betonte Überlegenheit der Grassmann sehen OperationeD
über jede andere konkurrierende Symbolik begründen. Dass auch in diesem
Abschnitt der A^ einige Einschränkungen sowie Verbesserungen nötig ge-
worden sind, welche letztere zum Teil die heute geforderte Strenge der Be-
gründung betreffen, wird in den „Vorbemerkungen '^ mit Recht als ein auf
den allgemeinen Standpunkt der damaligen mathematischen Forschung zunick-
zuführender, den Wert des Ganzen aber nicht im mindesten verringernder
Umstand bezeichnet. I9icht unerwähnt darf bleiben, dass der ganze das
Pf äff sehe Problem betreffende Abschnitt noch eine besondere Darstellung
in der Sprache der gewöhnlichen Analysis erfahren hat, wodurch die Be-
deutung dieser Leistung Grassmanns auch solchen Mathematikern ver-
ständlich gemacht wird, die sich von seiner Symbolik fernhalten wollen.
Mit dem vorliegenden Halbbande ist das Gebäude der Ausdehnungs-
lehre, wie Grassmann es schuf, im wesentlichen vollendet. In den folgen-
den Bänden wird es sich nur noch um Erweiterungen und Anwendungen
dieses Systemes handeln. Was den Zusammenhang desselben mit der
anderweitigen mathematischen Litteratur betrifft, so geben, wie schon oben
bemerkt, die „Anmerkungen^^ mehrfache Auskunft über Punkte, in denen
die Grassmann sehe Forschung sich mit neueren, unabhängig von ihr ent-
wickelten Theorien und Resultaten, namentlich der Transformationstheorie,
berührt. Diese Bemerkungen können natürlich nur als Proben des an
dieser Stelle vom Referenten bereits dargelegten viel grösseren Reichtoms
derartiger Beziehungen angesehen werden, dessen vollständige Berücksichtigung
allerdings den Rahmen der ganzen Publikation überschritten hätte. Ebenso
ist, abgesehen von zwei oder drei Zitaten, nichts erwähnt, woraus anf
eine Beeinflussung der späteren mathematischen Forschung durch die Aus
dehnungslehre geschlossen werden kann. Auch derartige Zusätze in nur
annähernder Vollständigkeit zu verlangen, wäre unbillig, und wir erwähnen
diesen Umstand nur, weil bei dem bisher streng retrospektiven Charakter
des historischen Beiwerks dieser Publikation gerade jene vereinzelten Zitate,
verbunden mit der S. VII ausgesprochenen Hoffnung, dass die A^ in Zu-
kunft mehr wirken werde als bisher, bei dem nicht orientierten Leser vor-
läufig eine unrichtige Meinung von der bisherigen Wirkung des Werkes er-
wecken können. — Auch wir schliessen uns der obigen Hoffnung an, nach-
dem in der vorliegenden Ausgabe der Aj alles Wünschenswerte geschehen
ist, ihr Studium zu erleichtem. Freilich, wer die Mühe scheut, sich Übung
in der Handhabung der Grass mann sehen Rechnungsoperationen anzueignen,
und gewissermassen rechnerisch „umzulernen", für den wird es bequemer
sein, in den gewohnten Geleisen mit Umwegen weiter zu arbeiten. Dass
aber derartige Schwierigkeiten bei gutem Willen überwunden werden
können, beweisen die Erfolge der viel unbequemer zu handhabenden Quater-
nionen im Auslande, beweist die auch in Deutschland beständig wachsende
Zahl jüngerer Mathematiker, die mit Grass mannschen Methoden arbeiten.

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Rezensionen. 191

Das Gesamtorteil, welches der Herausgeber Herr Engel in den „Vor-
bemerkangen'' über die A^ aaf 6nmd seines eingehenden Stadiums derselben
unter den Gesichtspunkten der neuesten mathematischen Forschung fallt,
lautet: „Gegenüber der ersten Ausdehnungslehre (von 1844) bezeichnet die
zweite einen sehr wesentlichen Fortschritt, der sich nicht nur in der
grösseren Mannigfaltigkeit des Inhalts bemerklich macht, sondern nament-
lich auch in dem ganzen Aufbau. Die Ausdehnungslehre von 1844, so
geistreich sie auch ist, steht doch auf keiner ganz sicheren Grundlage; die
Grundbegriffe, von denen Grassmann darin ausgeht, sind so allgemein
und daher so inhaltlos, dass sie zum Aufbau eines wirklichen Systems nicht
genügen, und Grassmann muss, um zu einem solchen zu gelangen^ später
stillschweigend in seine Gnmdbegriffe viel mehr hineinlegen, als die ur-
sprünglich von ihm aufgestellten Erklärongen besagen. Ganz anders in
der zweiten Ausdehnungslehre. Hier verzichtet Grassmann von vornherein
darauf, sein System unabhängig von der Analysis zu entwickeln. Indem er aus
der Elementarmathematik das Eechnen mit unbenannten und benannten Zahlen
voraussetzt, stellt er den Begriff der extensiven GrOsse auf und entwickelt
sein ganzes System aus diesem Begriffe auf Grund einer Reihe von Defi-
nitionen über die Verknüpfung der extensiven Grössen mit den Zahlgrössen
und untereinander. Auf diese Weise begründet er die Sätze der ersten
Ausdehnungslehre ganz von neuem und völlig einwandfrei und erweitert zu-
gleich das Gebiet für die Anwendbarkeit seines Kalküls ganz ausserordent-
lich. — Man kann über die Zweckmässigkeit und über die Vorteile des
Rechnens mit extensiven Grössen verschiedener Meinung sein; niemand aber
wird leugnen können, dass die Wissenschaft der extensiven Grösse, wie sie
Grass mann in seiner zweiten Ausdehnangslehre entwickelt hat, ein
kunstvoll und folgerichtig aufgeführtes Gebäude bildet, das keine Lücken
zeigt . . . Unrichtigkeiten und Versehen finden sich eine ganze Reihe,
aber sie sind alle von untergeordneter Bedeutung und betreffen niemals den
Kern des Ganzen: sie alle sind zur Genüge dadurch erklärt, dass Grass -
mann bei der anstrengenden Thätigkeit seines Berufes nicht die Zeit fand,
jede kleine Einzelheit, jede Verweisung auf frühere Sätze und dergleichen
noch einmal genau nachzuprüfen. In Kleinigkeiten konnte er irren, das
Ganze übersah und beherrschte er vollständig. Man kann in dieser Hinsicht
auch auf Grassmann die Worte anwenden, die Les sing in seinem Laokoon
über Winkelmann sagt: Es ist kein geringes Lob, nur solche Fehler be-
gangen zu haben, die ein jeder hätte vermeiden können." — Dieses Urteil
ehrt in gleichem Maße, wie den Schöpfer des Werkes, auch den Heraus-
geber, der die bei seinem heterogenen Studienkreise doppelt anzuerkennende
Mühe nicht scheute, durch alle Schwierigkeiten bis zu derjenigen geistigen Be-
wältigung des Werkes durchzudringen, als deren Frucht wir obiges Urteil anzu-
sehen haben.

Nachträge zur Besprechung des ersten Teils.

1. Nach einer gefälligen Mitteilung des Herrn Killing sind in den
Weierstraßschen Vorlesungen (nach 1867) die Hinweisungen auf die

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192 Historisch -litterarische Abteilung.

Aasdehnungslehre, speziell auf den Gebrauch des äusseren und des inneren
Produktes in der Theorie der Bewegung eines starren Körpers und in der
Kreislehre, umfangreicher gewesen, als die Darstellung des Textes ver-
muten lässt. Auch hatten die Bemerkungen des Herrn Weierstraß hin-
sichtlich des Verhältnisses der algebraischen Analjsis zur Theorie der
mehrfachen Einheiten nicht sowohl den Zweck^ die Berechtigung der letzteren
anzufechten, als die Möglichkeit eines von diesen Einheiten völlig unab-
hängigen Aufbaues der ersteren darzuthun, während im übrigen die Vor-
teile der letzteren gelegentlich ausdrücklich hervorgehoben wurden.

2. Die Herren Molenbroek (Haag) und Kimura (New-Haven)
haben im Jahre 1895 die Gründung einer internationalen Gesellschaft zar
Eörderung der Vektorentheorie (Quatemionen und Ausdehnungslehre) angeregt.
Im Auslande ist dieser Plan beifällig begrüsst worden, z.B. von Peano
in der „Riv. Mat." V, 169 (1895) und von Macfarlane in der „Science"
III, 99 (1896). Die in Lübeck abgehaltene Jahresversammlung der „Deut-
schen Mathematiker -Vereinigung" sprach demgegenüber ihre Bedenken
gegen die Stiftung eines derartigen Vereins aus, „der lediglich den
Zweck habe, einen sehr eng begrenzten Teil des mathematischen
Wissens zu fördern."

3. Eine Sammlung von Vorlesungen, welche in erster Linie bestimmt
sind. Studierende an technischen Hochschulen in weniger zugängliche
wichtige Kapitel der höheren Mathematik einzufuhren, und neben der
Theorie auch Anwendungen auf Physik und Technik bieten, ist unter dem
Titel „Higher Mathematics, A text-book for classical and engineering
Colleges, ed. by Merriman (Lehigh University) and Woodward (Columbia
College)" 1896 bei John Wiley & Sons, New-York und Chapman & Hall,
London erschienen. In dieser Sammlung ist „Grassmanns Space Analysis*^'
durch eine Arbeit von E. W. Hyde, „Vector Analysis and Quatemions"
durch eine solche von A. Macfarlane vertreten.

4. Vorlesungen über die Ausdehnungslehre hielt Dr. K Zindler im
Sommer 1893 an der Universität in Graz, Winter 1894/95 desgleichen

i^ ^i^"- V. Schlegel.

GoLDscHEiDER, Franz, Über die Gansssche OsterformeL Programm.

Berlin 1896.
Der Verfasser, der sich bereits durch eine Programmabhandlung über
das Reziprozitätsgesetz der achten Potenzreste (Berlin, 1889) vorteilhaft be-
kannt gemacht hat, giebt in der vorliegenden Arbeit mehr als der Titel
verspricht. Er beginnt mit einer sehr klar geschriebenen Übersicht über
die geschichtliche Entwickelmig der Bestimmungen über das Osterfest, wie
sie in solcher Vollständigkeit noch nicht gegeben worden ist. Diese Be-
stimmungen waren anfangs sehr umständlich und in den verschiedenen
Ländern sehr verschieden, bis zur Zeit Karls des Grossen die alexandrinische
Osterberechnung durchdrang, die noch gegenwärtig in der griechischen Kirche
in unveränderter Geltung ist. Ihr liegen die beiden nur angenähert

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Rezensionen. 193

richtigen Annahmen zu Grunde, dass das Jahr 365 V^ Tage hat und dass
235 Mondmonate gleich 19 Sonnenjahren sind. Im Laufe der Zeit zeigte
sich, dass das so berechnete Osterfest sowohl vom wirklichen Frühlings-
anfange als vom Vollmonde sich entfernte, und das war ein Hauptgrund
für die Kalenderverbesserung, die Papst Gregor XIII im Jahre 1582 zu stände
brachte. In kunstvoller Weise versuchte eine Konmiission von Gelehrten,
anter denen in erster Linie der bekannte Mathematiker Glavius S. J. zu
nennen ist, diesem Übelstande abzuhelfen, ohne jedoch einen vollkommenen
Ausgleich zu finden. Die Einfuhrung des neuen Kalenders stiess bekannt-
lich auf grosse Schwierigkeiten, und zwar war es gerade die neue Be-
rechnung des Osterfestes, die vielfach Anstoss erregte. Die evangelischen
Staaten Deutschlands nahmen zwar, wesentlich auf Veranlassung von
Leibniz, im Jahre 1700 den neuen Kalender an, machten jedoch den Vor-
behalt, dass die Berechnung des Osterfestes nicht nach der zyklischen
Ilechnung, sondern astronomisch erfolgen sollte, wobei sie sich sonderbarer
Weise auf die Bestimmungen des Concils von Nicaea beriefen. Erst
Friedrich dem Grossen gelang es im Jahre 1775, die volle Annahme des
Gregorianischen Kalenders fQr das ganze Deutschland durchzusetzen.

Die Berechnung des Osterfestes war eine sehr umständliche Operation,
sie erforderte die Kenntnisse einer Reihe von Tabellen, welche die Sonntags-
buchstaben, den Sonnenzirkel, die goldenen Zahlen, die Epakten u. s. w.
enthielten. Es war deshalb ein wesentlicher Fortschritt, als Gauss im
Jahre 1800 eine einfache Formel angab, die es gestattete, direkt aus der
Jahreszahl für die Zeit von 1700 bis 1899 das Datum des Ostersonntages
zu berechnen. Gauss gab ferner eine allgemein gültige Formel, in der
zwei Hilfszahlen, M und N auftreten, die für jedes Jahrhundert besonders
zu berechnen sind, ebenfalls nach einer einfachen Formel. Alle diese
Formeln werden von Goldscheider sorgfältig bewiesen.

Jene Hilfsformel hatte Gauss, durch ein fehlerhaftes chronologisches
Buch veranlasst, nicht richtig angesetzt, in ihr ist die Zahl p nicht als
[k: 3], sondern als [(8 fc+ 13): 25] zu definieren, was freilich bis zum
Jahre 4200 keinen Unterschied macht. Eine Berichtigung seiner Formel
hat Gauss selbst 1816 veröffentlicht (Zeitschrift für Astronomie und
verwandte Wissenschaften, herausgegeben von B. v. Linden au und J. G.
F. Bohnenberger. Bd. I. S. 158). „Diese Berichtigung ist dem
Herausgeber von Gauss' Werken entgangen; man liest daher im
Bd. VI im Text die Zahl p definiert als [h : 3], dazu aber die Anmerkung,
dass bei Gauss sich die handschriftliche Bemerkung findet: i? wird be-
stimmt als Quotient bei der Division von 8 A* + 13 durch 25, ohne dass
in den Bemerkungen des Herren Schering irgend eine Andeutung über
den hiemach recht unklaren Sachverhalt zu finden ist.'* Auffallend ist
auch, dass Bd. VI S. 79 bei der Ausnahme I die Jahre 1609, 1989, S.85
dagegen die Jahre 1609, 1981 angegeben sind; Gauss ist an diesem Irrtum
unschuldig.

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194 HistoriBcli-litterariBche Abteilung.

Dem vorliegenden interessanten Programm soll noch ein zweites folgen,
in dem der Verfasser eine Reihe von Fragen als Anwendung der Ganss-
schen Formel behandelt. „Die verwickelte Gestalt unseres Kalenders",
sagt er, „giebt in der That Veranlassung zu einer fast unübersehbaren
Menge von Aufgaben; das ist freilich auch der einzige Lichtpunkt darin."
Femer soll über das Schicksal der Gauss sehen Formel berichtet werden,
die anfangs keineswegs die gebührende Beachtung fand; mussten doch im
Jahre 1805 die in Berlin gedruckten Kalender wieder eingezogen werden,
weil die Verfertiger, darunter der Astronom Bode, das Osterfest falsch
angesetzt hatten. Wir sehen diesem zweiten Teile mit Spannung entgegen.

Stäckel.

Enclidis Data cum commentario Marini et scholiis antiquis edidit Henricus
Menge. Leipzig 1896. B. G. Teubner. LXII, 336 p. [Euclidis Opera
omnia Vol. VI.]

Gestützt auf Handschriften, deren älteste im zehnten Jahrhundert entstand,
und auf mehrfache Ausgaben und Übersetzungen hat nunmehr Herr Menge
die Daten Euklids dessen von Herrn Heiberg veröffentlichten Elementen und
optischen Schriften nachfolgen lassen. Wie die Elemente in zwei Lesarten
vorhanden sind, einer von Theon von Alexandria herrührenden und einer
vortheonischen, so ist es auch den Daten ergangen, und es gehörte zu
der Aufgabe des Herausgebers, den euklidischen Text von den theonischen
Veränderungen , die bereits in einer bologneser Handschrift des elften Jalir-
hunderts sich kenntlich machen, zu unterscheiden. Wie weit dieser tex-
kritischen Aufgabe genügt ist, müssen Philologen entscheiden, mathematische
Gründe H. Menges Auswahl anzuzweifeln haben wir nicht Theon hat, wie
Herr Menge zeigt, bei seiner Ausgabe ganz andere Zwecke verfolgt, als sie
gegenwärtig als selbstverständlich gelten. Es war ihm viel weniger daran
gelegen, mit Hilfe der besten Handschriften, die zu beschaffen waren, den
echten Wortlaut Euklids herzustellen, als alexandrinischen Zeitgenossen,
welche für Mathematik sich interessierten, den Inhalt der Daten wie vorher
der Elemente zu übermitteln , bei den Elementen erläuternd und erweiternd,
bei den Daten äusserste Kürze anstrebend. Pappus hatte sich ein Jahr-
hundert vor Theon eingehend mit den Daten beschäftigt. Von einer Be-
schäftigung mit den Daten nach Theon wissen wir durch Proklas, durch
dessen Schüler Marinus, der eine gleichfalls von Herrn Menge herausgegebene
Einleitung in die Daten (denn das ist seine Abhandlung weit eher als ein
Kommentar zu den Daten) verfasste, durch Eutokius, durch Olympiodor.
Wir wissen auch , dass die Daten im zehnten Jahrhunderte zu den Arabern ge-
langten und einen Abschnitt ihrer mittleren Bücher bildeten. Herr Menge
erzählt dann in seiner Einleitung weiter von den Ausgaben und Über-
setzungen der Daten seit Georg Valla. Alle diese Vorarbeiten wurden zur
Herstellung der neuen Ausgabe dienstbar gemacht, wie wir schon oben
gesagt haben. ^^^^^^

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Rezensionen. 195

Das Delische Problem von Prof. Aubros Sturm (Fortsetzimg). Linz 1896.
Verlag des k. ]c. Gymnasiums Seitenstetten. S. 57—97.
Wir haben Bd. 41 Histor. litter. Abtlg. S. 76 — 77 über die erste Ab-
teilung dieser Arbeit berichtet. Es ist uns eine angenehme Pflicht, unsere
Leser heute mit der zweiten Abteilung bekannt zu machen, welche das
Delische Problem in der Alexandrischen Periode behandelt. Wir werden
allerdings so wenig wie bei der ersten Abteilung des ganzen im allgemeinen
bekannten Inhaltes gedenken, sondern wie damals uns auf Einzelheiten be-
schranken. Herr Sturm bespricht die Frage nach der sprachlichen Echtheit
des Briefes und des Epigranuns des Eratosthenes und bejaht sie. Er be-
tont dabei, dass' schon in jenem Briefe von der Notwendigkeit bei Her-
stellung von Kriegsmaschinen die Würfelverdoppelung leisten zu können
die Bede sei, sodass das praktische Bedürfnis und nicht die theoretische
Schönheit der Aufgabe in den Vordergrund tritt. Noch wichtiger ist die
Bemerkung, dass diejenigen Lösungen des Delischen Problems, welche man
Heron und Philo zuzuschreiben pflegt, ursprünglich von Apollonius her-
rühren, der durch einen Kreis und eine Hyperbel das Gleiche erzielt haben
dürfte, was spätere durch Bewegungsgeometrie sich verschafften. Die gleiche
Ansicht hat Montucla ausgesprochen, Keimer 1798 (De cubi duplicatione
pag. 128 — 129) nicht ganz verworfen. Wir geben zu, dass Eutokios und
Philoponos gewichtige Gewährsmänner dafür sind, dass man die bewegungs-
geometrische Lösung Herons bis auf Apollonius hinauf datiere; wahr ist
auch, dass Pappus von einer Analyse der Aufgäbe durch Apollonius
miitels Kcgolsclimlte gesprochen hat. Die Restitution dieser Analyse unter
Anwendung einer Hyperbel, wie Montucla und Herr Sturm sie für wahr-
scheinlich halten, beruht dagegen auf keinerlei alten Angabe und hat nur
den Wert einer Vermutung, Beiläufig bemerken wir, dass sich hier bei
Herrn Sturm S. 73, Zeile 1 ein Druckfehler eingeschlichen hat. Die dortige
Proportion muss heissen: a : y ^ x : h, Herr Sturm widmet einen ganzen
Paragraphen der von Pappus überlieferten und am Anfange seines dritten Buches
getadelten näherungs weisen Würfelverdoppelung. Mit Herrn S. Günther
nimmt er an, jenes an sich unrichtige Verfahren habe in wiederholter An-
wendung zu brauchbaren Werten geführt. Ohne solches in Abrede zu
stellen, bemerken wir nur, dass von einer Wiederholung des Verfahrens
nirgend die Bede ist. Dass wir aber mit dem Verfasser des diesjährigen
Programmes nicht immer übereinstimmen, thut dem Werte der Abhandlung
als solcher keinen Abbruch, und wir können sie gleich der vorhergehenden
unseren Fachgenossen nur dringend empfehlen. Cantoii,

Die Arithmetik des Ella Misrachi. Ein Beitrag zur Geschichte der
Mathematik von Gustav Wertheim, Professor an der Realschule
der israelitischen Gemeinde zu Frankfurt a. M. Zweite verbesserte Aus-
gabe. Braunschweig 1896. Friedrich Vieweg und Sohn. 68 S.
Aus der Programmabhandlung von 1893, welche wir Bd. 39 Histor.

litter. Abtlg. S. 16 — 17 unseren Lesern empfehlen durften, ist ein Bändchen

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196 Historisch -litterarische Abteilung.

geworden, welches mit gutem Bechte sich als. verbessert« Ausgabe be-
zeichnet. Herr Wertheim hat noch mehr, als es in j§nem Programme statt-
fand, die 1534 erstmalig gedruckte Schrift mit zu Lebzeiten ihres Ver-
fassers Vorhandenem verglichen. Er hat Paciuolo, Chuquet, Widmann von
Eger, Christoff Eudolff durchstöbert, um Ähnlichkeiten mit Misrachi zu
entdecken, und er hat so sicher zu stellen gewusst, dass um 1500 ge-
wisse Kenntnisse, gewisse Aufgaben in ganz Europa vom äussersten Osten
zum äussersten Westen bekannt gewesen sind, die überall vorkommen und
in dieser Allgemeinheit der Verbreitung nicht als Beweis dienen können,
dass ein später lebender A einen Vorgänger B gekannt haben muss^ weil
er sein Wissen ebensogut einem C, 1) u. s. w. entlehnt haben kann. Herr
Wertheim hat femer die Induktionen, deren Misrachi sich bediente, um ge-
wisse Eeihen zu summieren, auf ihre Eichtigkeit geprüft und dadurch eine
Anzahl von interessanten Sätzen gewonnen, welche künftig der Mittelschule
als willkommene Beispiele dienen können. Neu sind endlich manche An-
merkungen, unter denen wir die auf S. 16 hervorheben, dass im Talmud
(Aboda Sara 9b) die Teilbarkeitsregel für 7 sich finde, nach welcher der
liest einer Zahl für den Divisor 7 ermittelt werde, wenn man vor der

Division jedes Hundert durch 2 ersetze.

Cantor.

Intorno alla vita ed ai lavori di Tito Livio Bnratiui, fisico Agordino
del secolo XYII. Studi e ricerche di Antonio Favaro. Venezia 1896.
Estratto dalle Memorie del R. Instituto Veneto di scienze, lettere
ed arti. Volume XXV, Nr. 8, 140 p.

Die Frage, wer Tito Livio Buratini von Agorda sei, und wodurch
er sich einer ihm gewidmeten Sonderuntersuchung würdig gemacht habe,
ist eine vollberechtigte. Hat doch erst Herr Favaro diesen Gelehrten
wieder entdeckt, dessen Verdienste durchaus in Vergessenheit geraten
waren. Buratini ist zwischen 1610 und 1620 geboren, 1682 gestorben.
Er hat 1639 einen mehrjährigen Aufenthalt in Egypten genonmien, lebte
später in Polen, wo er eine Stellung einnahm, welche man etwa die eines
Münzdirektors nennen kann, und der er das polnische Bürgerrecht, den
Adelstand, den Reichtum verdankte, die ihm aber auch Anklagen und
Feindschaften zuzog. Buratini hat wahrscheinlich unabhängig von Shnlichen
Gedanken, welche by Huyghens und in England zu Tag traten, seit 1645
und besonders in seiner Misura nnivcrsaU von 1675 die Länge des
Sekundenpendels als allgemeine Maßeinheit, als mciro catoUvo, empfohlen.
Er hat eine Flugmaschine erfunden. Er hat vor dem 4. Juli 1665 die
Venusfiecken beobachtet, deren Entdeckung ihm angehört. Er hat mit
hydraulischen wie mit mikrometrischen Arbeiten sich erfolgreich beschäftigt.
Man darf daher durchaus damit einverstanden sein, dass Buratini der ihm
gebührende Platz in der Geschichte der Wissenschaften wieder eingeräumt

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Rezensionen. 197

werde, kein Platz unter den Grössen ersten Ranges, aber immerhin unter
den Männern, die sich nach mehr als nur einer Richtung hin verdient
gemacht haben. p

Hoeiie Wroiiski. Jego zycie i prace napisal S. Dickstein. Z portretem
wronskiego i podobniza jego pisma. W Krakowie nakladem Akademii
umiejetnosci. 1896.
Herr Dickstein hat seit 1892 zahlreiche sich aneinander anschliessende
Aufsätze veröffentlicht, in welchen er die Leser mit den Leistungen Wronskis
bekannt machte. Der erste dieser in französischer Sprache in Eneströms
Bibliotheca mathematica erschienenen Aufsätze begann mit der Erklärung,
Herr Dickstein wolle keine Biographie Wronskis schreiben. Der Verfasser
scheint inzwischen anderer Meinung geworden zu sein, denn der 368 Seiten
starke Band, welcher uns vorliegt, düi-fte eine Lebensgeschichte und
Würdigung Wronskis enthalten. Wir drUcken uns so vorsichtig aus,' weil
uns die polnische Sprache, in welcher der Band abgefasst ist, durchaus
fremd ist. Da uns indessen kein Mitarbeiter unserer Zeitschrift bekannt
ist, der jene Sprache beherrschte, so sahen wir uns lieber zu einer einfachen
Anzeige, dass ein solches Werk vorhanden sei, veranlasst, als dass wir
ganz darüber geschwiegen hätten. C\ntor

Festschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich 1746—1896. Den
Teilnehmern der in Zürich vom 2. bis 5. August 1896 tagenden
79. Jahresversammlung der Schweizerischen Naturforschenden Ge-
sellschaft gewidmet. In zwei Teilen. L mit 6 Tafeln, 274 S.
II. mit 14 Tafeln, 598 S. Zürich 1896. Druck von Zürcher und
Furrer.
Die in Zürich wohnenden Mathematiker und Naturforscher hatten in
kurzem Zwischenräume zwei Gedenktage zu begehen, welchen sie je eine
Festschrift widmeten. Im Jahre 1894 [vergl. diese Zeitschrift Bd. 40, Histor.
litter. Abtlg. S. 139 — 140] feierte die Gesellschaft ehemaliger Studierender
der Eidgenössischen polytechnischen Schule ihr 25 jähriges Bestehen, im
Jahre 1896 durfte die naturforschende Gesellschaft in Zürich auf ein
160 jähriges Bestehen zurückblicken. Zwei Bände stattlichen Umfangs haben
dieser Feier ihr Dasein zu verdanken, ein erster geschichtlicher Band, ein
zweiter mit Abhandlungen des verschiedensten Inhaltes aus der Feder
gegenwärtiger und ehemaliger Mitglieder. Wir nennen die Überschriften der in
dem zweiten Bande enthaltenen acht mathematischen Beiträge: Elwin Bruno
Christoffel, Die Konvergenz der Jacobischen d- Reihe mit den Moduln
Riemanns. Jerorae Franel, Sur la fonction | (t) de Riemann et son
application a l'arithmetique. Georg Frobenius, Zur Theorie der Schaaren
bilinearer Formen. Carl Friedrich Geiser, Das räumliche Sechseck
und die Kummersche Fläche. Adolf Hurwitz, Über die Kettenbrüche,
deren Teilnenner arithmetische Reihen bilden. Theodor Reye, Beweis

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198 Historisch -litterarieche Abteilung.

einiger Sätze von Chasles über konfokale Kegelschnitte. Ferdinand Rudio,
Zur Theorie der Strahlensysteme, deren Brennflächen sich aus Flächen
zweiten Grades zusammensetzen. Heinrich Weber, Darstellung der
Fresnelschen Wellenfläche durch elliptische Funktionen. Als Verfasser des
ersten Bandes, der die Geschichte der naturforschenden Gesellschaft erzählt,
nennt sich eine dreiköpfige Druckschriftenkommission, gebildet ans den
Herren Albert Heim, Arnold Lang, Ferdinand Rudio; wir glauben
kaum irre zu gehen, wenn wir dem zuletztgenannten den Löwenanteil an
der schönen Arbeit zuschreiben, welche in dem engen Rahmen der Ge-
schichte einer einzelnen Gesellschaft Wissenswtirdiges über Unterrichts-
Verhältnisse und über die Entwickelung der Wissenschaften in und auch
ausserhalb der Schweiz seit anderthalb Jahrhunderten mitteilt. Die Aus-
stattung beider Bände ist eine vorzügliche. Man merkt ihr deutlich an,
dass ausserordentliche Mittel zur Herstellung der Festschrift in reicher Weise
zur Verfügung standen. Castor.

Lehrbuch der Elementargeometrie von J. Hbnrici, Professor am Gymna-
sium zu Heidelberg, und P. Treütlein, Direktor des Realgymna-
siums zu Karlsruhe. IT. Teil. Abbildung in verändertem Maße.
Berechnung der Grössen der ebenen Geometrie. 2. Auflage mit 188 Fi-
guren in Holzschnitt imd einem Kärtchen. Leipzig 1897. B. G. TeubB)Br.
IX, 248 S.
Der 1882 erschienenen, Bd. 28 dieser Zeitschrift Histor. litter. Abtlg.
S. 68 — 69 angezeigten ersten Ausgabe ist nun die zweite gefolgt, nachdem
schon 1891 eine zweite Auflage des ersten Bandes nötig geworden. Der
Gang hat sich nicht geändert, wie es bei einem Schulbuche mehr als bei
irgend einem anderen Werke sich als unerlässlich erweist. Im einzelnen
mögen da und dort kleine Feilstriche dem Benutzer des Buches bemerkbar
werden. Neu und solchen Lehrern, welche das Bändchen ihrem Unter-
richte zu Grunde legen wollen, gewiss willkommen ist eine in dem Vor-
wort gegebene Gebrauchsanweisung, welche der Meinung entgegentritt, als
dächten sich die Verfasser, man müsse das Buch genau in der beim Druck ein-
gehaltenen Reihenfolge durchnehmen, und welche entsprechende Vorschläge
macht, wie man es in dieser Beziehung beim erstmaligen und beim wieder-
holten Durchnehmen zu halten habe. Cantor

Arithmetik und Algebra von Dr. Hermann Schubert, Professor an der

Gelehrtenschule des Johanneums in Hamburg. Beispielsammlung

zur Arithmetik und Algebra. Leipzig 1896. G.J.Göschen.

171 S. und 134 S.

Das bekannte und in dieser Zeitschrift erstmalig im 28. und 29.

Bande besprochene Elementarwerk Schuberts ist nunmehr in neu stilisierter

Fassung in die Sammlung Göschen übergegangen. Alles, was wir früher

zum Lobe des Buches sagten, bleibt noch heute bestehen. n.^.^^„

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Uezensionen . 1 99

Die Ornndlage der modernen Wertlehre: Daniel Bernoulli, Ver-
sach einer neuen Theorie der Wertbestinunong von Glücksfallen
(Specimen TJieorie novae de Mensura Sortis) aus dem Lateinischen
übersetzt und mit Erläuterungen versehen von Prof. Dr. Alfred
Pringsheim, mit einer Einleitung von Dr. Ludwig Fick. Leipzig 1896
bei Duncker & Humblot. 60 Seiten. [Brentano und Leser, Samm-
lung älterer xmd neuerer Staats wissen schaftlicher Schriften des In-
und Auslandes Nr. 9.]
Das sogenannte Petersburger Problem, welches seinen Namen daher
entnahm, dass die massgebende Arbeit Daniel Bernoullis in den Ver-
öffentlichungen der Petersburger Akademie erschien, ist jedem Mathematiker,
der nur einiges Interesse für Wahrscheinlichkeitsrechnimg besitzt, zur Genüge
bekannt. Weniger bekannt dürfte Bernoullis Abhandlung selbst sein, und
eine mit Anmerkungen versehene Übersetzung von Herrn Pringsheim füllt
hier eine Lücke in glücklicher Weise aus. Keiner unserer Leser würde
sich wundem, wenn der Abdruck in Ostwalds Klassikern der exakten
Wissenschaften erfolgt wäre. Zufällig, möchten wir sagen, ist das nicht
geschehen. Die Herausgeber einer staatswissenschaftlichen Sammlung haben
sich der Abhandlung früher erinnert, in welcher die valeur morale die
erste Berücksichtigung fand, und diesem Umstände ist es zuzuschreiben,
dass Herr Fick eine nationalökonomische Einleitung vorausschickte, welche
dem Mathematiker erst recht erwünscht ist, da sie ihm die Möglichkeit
gewährt, sich rasch und leicht einen Einblick in die moderne Wertlehre
zu verschaffen. Cantor.

C. G. J. Jacobi, Über die Bildnng und die Eigenschaften der Deter-
minanten (De formatione et proprietatibus Determinantium) nnd
über die Fnnktionaldeterminant^^n (De determinantibus functio-
nalibus). 1841. Herausgegeben von P. Stäckel. 73imd72S. Leipzig
1896. Wilhelm Engelmann. [Ostwalds Klassiker der exakten Wissen-
schaften Nr. 77 und 78.]
Ausser den beiden in der Überscl&rift genannten Abhandlimgen hat
Jacobi noch eine dritte: De fundionibus alternantibus earumgue divisionc
pc}' productwm e differcntüs rlementorum conflatum verfasst. Alle drei
fanden ihren Abdruck 1841 im 22. Bande von Grelles Journal, alle drei
sind von Herrn Stäckel jetzt übersetzt. Wir sagen alle drei, denn auch
die Abhandlung von den alternierenden Funktionen ist neben der über die
Bildung und die Eigenschaften der Determinanten in Heft 77 des Sammel-
wei'kes aufgenommen. Man kann diese Aufsätze als die der Zeit nach
älteste zusammenhängende Darstellung der Determinantenlehre bezeichnen,
wenn auch einzelnen Sätzen derselben ein weit höheres Alter zukommt.
Man kann im Einverständnisse mit dem Herausgeber auch heute neben und
vielleicht vor zahlreichen Lehrbüchern der Determinantenlehre Jacobis licht-
volle Darstellung besonders solchen Mathematikern zum Lesen anempfehlen,
die mit dem Gebrauche der Determinanten schon vertrauter sind. Q^jj,i.Qjg^

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200 Historisch -litterarische Abteilung.

(irnndzttge der Differential- und Integralrechnung von Dr. Otto Stolz,
ord. Professor an der Universität zu Innsbruck. Zweiter Teil:
Complexe Veränderliche und Funktionen. Mit 33 Figuren im Teit.
Druck und Verlag von B. G. Teubner, Leipzig 1896.

Das vorliegende Buch wird durch dieselben Vorzüge charakterisiert,
die wir schon bei der Besprechung des ersten Teiles hervorgehoben haben,
weshalb wir uns auf eine Inhaltsangabe beschränken können. Die beiden
ersten Abschnitte behandeln die Differentialrechnung und zwar nach den
Methoden von Lag ränge und Cauchy. Im dritten Abschnitt folgt die
Integration der einfachsten analytischen Funktionen. Besonders eingehend
ist die Behandlung der rationalen Funktionen von x und der Quadratwurzel
einer Funktion zweiten Grades von x mit Hilfe der Methode von Weier-
straß. Der vierte Abschnitt bringt die Theorie der bestimmten Integrale,
der letzte den Cauchy sehen Integralsatz und einige Anwendungen desselben.
Ein Anhang erörtert die Rektifikation der ebenen Kurven.

Max Meyer.

Die geometrische Teilung des Winkels von Max Koenig, Regierungs-
baumeister. Zweites Heft. Mit 11 Abbildungen auf einer litho-
graphischen Tafel. Verlag von Georg Siemens, Berlin 1896.

Im Anfang bemerkt der Verfasser, dass die im ersten Hefte aus-
einandergesetzte Methode nur ein Näherungsverfahren sein soll. Es wäre
jedenfalls praktischer gewesen, wenn er dies von vornherein betont hätte:
nach seiner Darstellung musste man aber annehmen, dass er einen strengen
Beweis liefern wollte. Im vorliegenden Hefte soll nun die mathematisch
genaue Teilung eines Winkels in drei Teile mit Hilfe von Kreisen und
geraden Linien gegeben werden ; in Wirklichkeit handelt es sich auch hier nor
um eine Annäherungsmethode. Der Verfasser bringt zwar einen sehr um-
ständlichen Beweis, der nur den einen Fehler hat, dass der letzte ent-
scheidende Punkt nicht bewiesen wird. Bis der Verfasser dieses nachgeholt
hat, können wir wohl auf eine Darstellung des Verfahrens verzichten.

Max Meyer.

Index oper4iin Leonardi Euleri confeetus a Johanne G. Hagen S. J.,
Director speculae astronomicae CoUegii Georgiopolitani Washington
D. C. Berolini 1896. FeUx Dames. VIH und 80 S. gr. 8".
Mk. 2. —

Vor fast fünfzig Jahren dachte die Petersburger Akademie ernstlich
daran, eine Gesamtausgabe der Werke Eulers zu veranstalten; leider
schreckte sie aber schliesslich doch vor den Kosten zurück und begnügte sich
daher mit der Heransgabe der „Commentationes arithmeticae coUectae^*
und der „Opera postuma'^ in je zwei Bänden (1849 und 1862). Das
Scheitern des ursprünglichen Planes kann man nur aufrichtig beklagen,
denn eine solche Gesamtausgabe würde geradezu ein vollständiges Archiv

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Rezensionen. 201

der Mathematik vom Anfange des achtzehnten Jahrhtmderts bis zu Eulers
Tode sein; was die Mathematiker dieser acht Jahrzehnte wnssten und
konnten, das findet sich ja nahezu alles bei Euler, und noch heutzutage
lassen sich die Spuren der modernsten mathematischen Theorien meistens
bis auf Euler zurückverfolgen, was in vielen Fällen nicht einmal bekannt
ist. Mit Freuden muss man daher das Erscheinen eines Schriftchens be-
grüssen, das den ausgesprochenen Zweck hat, einer zukünftigen Gesamtaus-
gabe vorzuarbeiten, und wenn man auch als Deutscher wünschen muss,
dass das etwaige Zustandekommen einer solchen Ausgabe einem deutschen
Mäcen zu danken sein möge und nicht einem amerikanischen, wie der Ver-
fasser hofft, so wird man ihm doch für die Anregung dankbar sein, die er
durch sein Schriftchen gegeben hat, und wird schliesslich froh sein, wenn sie
Erfolg hat, wo es auch sei.

Wenn im Einzelnen an dem Hagen sehen Index Manches auszusetzen
ist^ so darf man sich darüber nicht wundern, denn eine Gesamtausgabe
der Werke Eulers ist ein so riesenhaftes unternehmen, dass selbst der
Plan dazu — und ein solcher Plan soll der Index sein — nicht gleich
auf den ersten Anlauf vollkommen ausfallen kann. Die Ausstellungen, die
ich im Folgenden machen werde, entspringen nur meinem Wunsche, im
Sinne der Anregung zu wirken, die Hagen gegeben hat.

Bei der überaus grossen Zahl der Eul ersehen Schriften und bei dem
gewaltigen Umfange, den eine Gesamtausgabe haben wird — Fuß hat
seinerzeit schätzungsweise 25 Quartbände von je 640 Seiten angenommen —
ist eine geschickte und übersichtliche Anordnung geradezu eine Lebens-
frage. An den so schön ausgestatteten Sammlungen der Werke Cayleys
und namentlich Cauchys sieht man nur zu deutlich, wie ungemein die
Anordnung nach der Zeitfolge der einzelnen Schriften die Benutzbarkeit
einer solchen Ausgabe beeinträchtigt und den Wert der Sammlung verringert.
Hagen hat die Eulerschen Schriften sachlich geordnet — die einzige brauch-
bare Anordnung, die auch von Fuß in seiner bekannten „ Correspondance de
quelques celebres geomitres du XVIII ^™* siicle" (Petersburg 1843) gewählt
worden war. Er unterscheidet vier Serien: Opera mathematica, Opera physica,
Opera astronomica und Opera varii argumenti, von denen jede in eine ganze
Anzahl von Abteilungen zerfällt, innerhalb deren die Abhandlungen chrono-
logisch geordnet sind.

Die Abteilungen jeder Serie hätten für sich numeriert werden sollen.

Femer enthalten einzelne dieser Abteilungen je 34, 37, 40, 41, 42,
44, ja sogar 52 Abhandlungen, die Abteilungen hätten also kleiner ge-
macht werden sollen. Überhaupt scheint mir auch die Einteilung, die
Fuß in der Correspondance befolgt, in mancher Beziehung vor der von
Hagen angenommenen den Vorzug zu verdienen und es wäre vielleicht
besser gewesen, wenn Hagen die Fußsche Einteilung im Wesentlichen
beibehalten und nur die Einteilung noch weiter getrieben hätte. Die Über-
schriften der einzelnen Abteilungen sind bei Hagen öfters nicht bezeichnend
geaug. Was sind das für farblose Überschriften: Series in genere, Series

Bist.- litt. AU. d. Zeitichr. f. Math. u. Phyg. 43. Jahrg. 1897. 6. Heft. 15

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202 Historisch -litterarische Abteihing.

in specie, Series particnlares, Calculus integralis in genere und in specie u. s. w. 1
Warum sind die Abhandlungen über Wahrscheinlichkeit unter die Opera
varii argumenti verwiesen? Der Verfasser legt selbst ein Hauptgewicht
auf die leichte Auffindbarkeit jeder Abhandlung und doch habe ich
mehrere schneller in dem Fuß sehen Verzeichnisse gefunden, als in dem
Hagenschen Index. Eine, die Nr. 789 „Solutio problematis ad geometriam
Situs pertinentis'', habe ich überhaupt erst gefunden, als ich die von
Hagen mitgeteilte Vergleichung seiner Numerierung mit der der „Corre-
spondance" zu Hilfe nahm; unter den Tractatus philosophici hätte ich sie
nimmer gesucht.

Es hätte die Brauchbarkeit des Index sehr erhöht, wenn bei jedem
selbständigen Werke die Anzahl der Seiten angegeben worden wäre, die es
enthält, und bei jeder Abhandlung nicht bloss die erste, sondern auch die
letzte Seite des Bandes, in dem sie steht. Auch die Anzahl der zugehörigen
Figuren hätte angegeben werden sollen. Bei mehrbändigen Werken ver-
misst man eine Angabe über die Jahre des Erscheinens der einzelnen Bände.
Bei den drei Bänden der ersten Ausgabe des „Calculus integralis*' (Nr. 7
bei Hagen) steht 1768 — 70 und sie sind allerdings 1768, 1769, 1770 er-
schienen; die drei Bände der „Lettres a une princesse" (Nr. 773) stanmien
aus den Jahren 1768, 1768 und 1772, es erweckt daher eine ganz falsche
Vorstellung, wenn da steht: 1768—72.

Zweckmässig wäre es auch gewesen, wenn die „Opuscula varii argu-
menti" und die „Opuscula analytica" unter den. „Opera separata" mit auf-
geführt worden wären, unter Angabe der Nummern der darin enthaltenen
Abhandlungen. Ich habe mir diese Nummern aufgeschrieben; bei den Op.
var. arg. sind es folgende:

Bd. I enthält: Nr. 472, 711, 628, 731, 790, 791;
Bd. II „ : Nr. 616, 24, 193, 324;
Bd. III „ : Nr. 679, 250, 503;
bei den Op. anal, dagegen:

Bd. I: Nr. 168, 127, 37,^181, 38, 105, 69, 39, 16, 70, 40,

128, 129 und '
Bd. II: Nr. 17, 377, 378, 379, 95, 71, 183, 184, 341, 185,
130, 131, 41, 783, 784.

Übrigens wäre ich mehr dafür, die „Opera separata" in die einzelnen
Abteilungen einzuordnen, statt sie, wie Hagen gethan hat, an die Spitze
jeder Serie zu stellen.

Erwünscht wäre auch eine Zusammenstellung der Nummern des
Hagenschen Index, die in den „ Commentationes arithmeticae coUectae" und
in den „Opera postuma" enthalten sind.

Schade ist es, dass bei den einzelnen Bänden der Akademieschrifben
stets nur der laufende Jahrgang angegeben ist, nicht aber das Er-
scheinungsjahr. Das giebt häufig zu Miss Verständnissen Anlass. Zum Bei-
spiel sind die beiden Abhandlungen, in denen Euler seinen berühmten Satz
über die Polyeder aufstellt imd beweist, in den Novi Commentarii Petro-

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Rezensionen. 203

politani tomos IV, ad annum 1752 et 1753 enthalten, dieser Band ist
aber erst 1758 erschienen.

Von den 796 Titeln, die der Index enthält^ habe ich 150 mit den
Originalen verglichen und dabei Folgendes zn bemerken gefunden:

Der Titel von Nr. 1 lautet: „. . . bey der Kay serlichen Academie der
Wissenschafften". Nr. 2 ist nicht 1771 erschienen, sondern 1770. Bei
Nr. 5 sollte es heissen: „Impensis Academiae Imperialis Scientiarum Petro-
politanae 1755", denn Berlin ist bloss der Druckort und steht nicht auf
dem Titelblatt. Ähnliches gilt von Nr. 684. Bei Nr. 165 steht im
Originale „quarumdam" nicht „quarundam^^ und bei Nr. 156 „des puissances"
nicht „de". Bei Nr. 209 und 210 muss es heissen: „des plus grands et
plus petits" und bei Nr. 210 überdies: „Elemens de la trigonometrie
sphiro^dique"; bei Nr. 247 „constituant" nicht „constituunt". Nr. 297
steht nicht in den „N. C. Petr.", sondern in den „C. Petr.". Der Titel von
Nr. 399 lautet: „Nova methodus innumerabiles . . . reducendi ad aequationes
differentiales primi gradus". Bei Nr. 421 hätte unterm Text bemerkt
werden sollen, dass die „Editio nova" von 1790 durch Hinzufügung der
Abhandlungen Nr. 447, 448, 523, 524, 526, 527 vermehrt ist. Bei
Nr. 472 und 711 hätte bemerkt werden sollen, dass diese Abhandlungen
auf dem Titelblatte des ersten Bandes der Opuscula varii argumenti unter
etwas anderem Titel erscheinen: „Solutio Problematis Mechanici de Motu
Corporum Tubis Mobiübus Inclusorum" und „Nova(e) Tabulae Astronomicae
Motuum Solis ac Lunae". Der Titel von Nr. 540 lautet: „Inquisitio
physica in causam fluxus ac refluxus maris". Bei Nr. 591 fehlt „utcunque"
vor „elastica" und das Komma gehört vor „quam". Die Bemerkung zu
Nr. 686 unterm Texte gehört in den Text. Nr. 748 scheint auch separat
erschienen zn sein, wenigstens besitze ich davon ein Exemplar, das noch
einen besonderen Titel hat: „Recherches sur les in^galites de Jupiter et de
Satume. Par M. Leonard Euler etc. A Paris, Chez Pancoucke 1769".
Der Titel von Nr. 769 lautet: „. . . über den Unterscheid des Wieder-
standes der Luft in schnellen und langsamen Bewegungen". Bei Nr. 771
muss es „complette" heissen. Bei Nr. 784 ist die Seitenzahl 330 falsch,
die Abhandlung steht in den Opusc. anal. Bd. II, S. 331 — 346; die falsche
Jahreszahl stammt wahrscheinlich von einem Druckfehler in dem Inhalts-
verzeichnisse der Opuscula analyüca, denn da steht 230 statt 331.

Friedrich Engel.

J. Plücker. Oesammelte Wissenschaftliche Abhandlnngen. Im Auftrag
der königl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen heraus-
gegeben von A. ScHOENFLiES uud Fr. Pockels. Zweiter Band.
Physikalische Abhandlungen. Herausgegeben von Fr. Puckels.
Leipzig , B. G. Teubner. 834 Seiten.

Dem ersten Bande der Plück ersehen Abhandlungen (vergl. diese
Zeitschrift Bd. 42) ist rasch der zweite (und letzte) gefolgt, der sämtliche

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204 Historisch -litterarisehe AbteiluDg.

Schriften physikalischen Inhalts (mit Ausnahme weniger, die jetzt kein
Interesse mehr darbieten) enthält. Der Herausgeber hat diese Arbeiten in
drei Gruppen zusammengefasst; die erste bezieht sich auf das magnetische
Verhalten der Krystalle, der Flüssigkeiten und Gase, die zweite auf die
Lichterscheinungen in den G ei ssl ersehen Eöbren, während die Abhand-
lungen der letzten (und kleiasten) Gruppe sehr verschiedenen 'Gegenstanden
angehören. Die vielfachen üngenauigkeiten des Originaldrucks sind mit
grösster Sorgfalt verbessert worden. Wo dagegen sachliche Bedenken
vorlagen, hat der Herausgeber aufklärende Anmerkungen in Perm eines
Anhanges hinzugefügt, der ca. 20 Seiten einnimmt. Da die physikalischen
Leistungen Plückers in der Biographie von C leb seh nur kurz berührt
worden sind, hat sich Herr Riecke der Mühe unterzogen, eine eingehendere
Würdigung Plückers in dieser Eichtung zu geben, die als Einleitung den
vorliegenden Band erö&et.

Erst 1847 — nach längerer mathematischer Thätigkeit — erschien
die erste physikalische Arbeit Plückers, die letzte 1865. Seine Leistungen
werden treffend charakterisiert mit den Worten: „Sobald aber Plücker dem
neuen Gebiete sich zuwendet, erweist er sich auf ihm nicht minder frucht-
bar, als auf dem der Mathematik; er ist unermüdlich neue Versuche zu
ersinnen, neue Stoffe dem Versuche zu unterwerfen, er entdeckt eine Beihe
merkwürdiger und wichtiger Thatsachen und eröffnet der physikalischen
Forschung neue Wege." Indessen wird zugleich betont, dass seine Maß-
bestimmungen der erforderlichen Genauigkeit und daher oft der Vergleich-
barkeit und allgemeinen Giltigkeit entbehren.

Von besonderem Interesse ist es zu sehen, wie Plücker verschiedent-
lich über seine Versuche hinaus zu weiten Spekulationen veranlasst wird,
wie er aber stets, wenn er sich von deren ünhaltbarkeit überzeugt hat,
dies offen anerkennt.

Während Plücker bei seinen Arbeiten über den Magnetismus mit
anderen Physikern (Faraday, W. Thomson, W. Weber) vielfach zu-
sammentrifft, hat er, ohne von anderen beeinflusst und gestört zu werden,
das Gebiet der elektrischen Entladungen in verdünnten Gasen neuerschlossen.
„Die hierher gehörenden Arbeiten Plückers dürfen umsomehr hervorgehoben
werden, als sie nicht immer die ihnen gebührende Anerkennung gefunden
haben". Er hat die „Geisslerschen Röhren" zuerst eingeführt und mit
grossem Erfolge (Einwirkung eines Magnetes, Spektralanalyse) verwendet;
er ist sogar bis zu der durch Kathodenstrahlen erregten Fluorescenz vor-
gedrungen, und hat dadurch die späteren Entdeckungen von Hittorf,
Crookes u. a. vorbereitet, während ihm die Existenz der Kathodenstrahlen
selbst verborgen blieb.

Die Fachgenossen sind der königl. Gesellschaft der Wissenschaften zu
Göttingen für diese schöne und korrekte Ausgabe der Plückerschen Ab-
handlungen zu besonderem Danke verpflichtet. W F M

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Rezensionen. 205

£. B. Elliott. An Introdnction to the Algebra of Qnanties. Oxford.
Clarendon Press. 1895. Xllf. 423 Seiten.

Die vierte Auflage des bekannten Salmon sehen Werkes „Modem
Higher Algebra*' erschien 1885; der wesentlichste Bestandteil davon, die
projective Invariantentheorie, hat seitdem solche eingreifende Umänderungen
und Bereicherungen erfahren, dass Herr Elliott sicher einem allgemeinen
Bedürfniss englischer Studenten der Mathematik entgegengekommen ist^ wenn
er über den fraglichen Gegenstand ein selbständiges Werk herausgegeben
hat. Mehrjährige Vorlesungen über Formentheorie veranlassten ihn vor
allem der pädagogischen Seite der Sache näher zu treten, und so will denn
das Buch in erster Linie ein praktischer Wegweiser sein; es will in an-
gemessener Ausführlichkeit und unter Darlegung vollständiger Beweise die
Grundlagen der Theorie zu einem abgerundeten Ganzen gestalten.

So hat sich der Verfasser, vielleicht öfters gegen seinen Willen, zu
einer wesentlichen Beschränkung des Stoffes verstanden , und da ist es nicht
zu verwundem, wenn er sich von englischen Eücksichten leiten liess, und
die Leistungen englischer Mathematiker — Boole, Cayley, Sylvester,
Hammond, Mac-Mahon — fast ausschliesslich berücksichtigte. Es er-
scheint fast als seltsame Ausnahme, wenn der Hilbertsche Beweis fiir die
Endlichkeit eines (binären) Formensystems vorgetragen wird.

Dagegen ist die durch Aronhold, Clebsch, Gordan zu so hoher
Blüte gelangte deutsche Symbolik prinzipiell ausgeschlossen worden — der
Verfasser behauptet, eine kürzere Darstellung ihrer Prinzipien in etwa zwei
bis drei Kapiteln würde doch ihren Zweck verfehlt haben — ; die funda-
mentale Auffassung der Invarianten und Seminvarianten als Invarianten
projektiver Gruppen, sowie der invarianten Differentiationsprozesse als zu-
gehöriger Differentialinvarianten ist nicht einmal erwähnt (der Name Lie's
kommt überhaupt nicht vor); die wichtige Theorie der Combinanten ist nur
stiefoiütterlich behandelt worden.

Aber auch in solchen Gebieten, die mit einer gewissen Vorliebe ge-
pflegt werden, wie z. B. in denen der Seminvarianten und Perpeteranten, wird
man manches zu den Grundlagen gehörige vermissen.

Auf der anderen Seite hat das Buch unleugbar grosse Vorzüge. Es
wird immer von den einfachsten Fällen ausgegangen und diese werden
durch eine ansehnliche Reihe sorgfältig ausgewählter Beispiele illustriert,
sodass dem Leser die Elemente der Theorie in Fleisch und Blut übergehen,
ehe er sich an Verallgemeiaerangen wagt; auf eine klare und korrekte Be-
weigführung ist grosser Fleiss verwendet worden. Trotzdem die Namen
der Autoren bei allen wichtigen Sätzen erwähnt werden, erhebt der Ver-
fasser hierin durchaus nicht den Anspruch auf Unfehlbarkeit, und weiter-
strebende Leser, die die historische Entwickelnng des Gegenstandes nament-
lich in den letzten Jahrzehnten eingehender kennen zu lernen "wünschen,
werden mit Recht auf den Bericht des Referenten hingewiesen.

Um nunmehr in Kürze auf den Inhalt des Werkes zu kommen, der sich
auf 16 Kapitel verteilt, so werden sogleich in den ersten drei Kapiteln die ^

_„..., ^oogle

206 Historisch -litterarische Abteilung.

wesentlichsten Grandeigenschaften der binären In- und Kovarianten ent-
wickelt. Sodann werden^ im Anschlnss an Boole, die Begiifie der Kogre-
dienz und Kontragredienz und die Cayleysche Hyperdeterminanien-Sjmbolik
eingeführt. Als Gegenstück dient die reale Darstellung der binar-invarianten
Bildungen als Funktionen der Wurzeln, und von hier aus werden die
charakteristischen partiellen linearen Differentialgleichungen („Annihilatorcn")
gebildet, von denen ein Teil genügt, um die Seminvarianten festzulegen.
Die Seminvarianten werden nach Sylvester einer genaueren Unter-
suchung unterzogen, insbesondere die zugehörigen charakteristischen An-
zahlen (z. B. der linear unabhängigen unter ihnen von vorgegebenen
Gradzahlen u. s. w.). Die tiefergreifenden Forschungen von Capelli und
Deruyts hätten hier wohl Erwähnung verdient. Die Darstellung der
Eigenschaften der „Erzeugenden Funktionen** (für Seminvarianten, In-
varianten u. s. w.) ist dankenswert.

Der „Endlichkeitsbeweis** ist schon oben erwähnt.

Die Mac-Mahon-Cayleysche Behandlung der Seminvarianten, welche
sie den symmetrischen Funktionen (unter Voraussetzung einer Binärform von
unbegrenzt hoher Ordnung) unterordnet, wird ausführlich genug verarbeitet.

Wesentlich nach älterem Muster wird die Theorie der kanonischen
Formen beschrieben, sie leistet gute Dienste bei der Aufstellung der vollen
Systeme einer binären Form fünfter (und, kürzer, auch sechster) Ordnung,
sowie einiger Simultansysteme. Für die Berücksichtigung der hierbei herr-
schenden identischen Relationen (Syzygien) sind neuere Beitrage von
Hammond benutzt worden.

Den Schluss bildet eine Einleitung in die Theorie der temären Formen,
die vermöge Entwicklung nach Potenzen je einer Yariabeln binären Mitteln
zugänglich gemacht werden, wie es neuerdings von verschiedenen Seiten
her geschehen ist.

Die geometrischen Anwendungen sind nur in ihren Grundzügen be-
rücksichtigt.

Alles in allem bietet das Werk auch für einen nicht- englischen Leser
eine Fülle des Anregenden, und ist als willkommene Ergänzung zu den
sonstigen Lehrbücher anzusehen. W Fp M

J. H. Graf. Der Briefwechsel zwischen Jacob Steiner und Ludwig
Schlftfli. Festgabe der Bemischen Naturforschenden Gesellschaft an
die Zürcherische Naturforschende Gesellschaft anlässlich der Feier
des 150 -jährigen Bestehens der Letzteren. Bern 1896. J. Wyss.

264 S.

Diejenigen, welche sich für die Entwicklung der neueren Geometrie
interessieren, werden Herrn Graf Dank wissen, dass er den im Nachlasse
Steiners vorgefundenen „Briefwechsel" herausgegeben bat Treten auch
bei der Lektüre dieser merkwürdigen Briefe manche Gharaktereigentümlieh-

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Rezensionen. 207

keiten der beiden grossen Forscher zu Tage, die einen persönlichen An-
hänger derselben enttäuschen mögen — die Geschichte der Wissenschaft
kann dabei doch nur gewinnen. Wenn sich beispielsweise nunmehr heraus-
stellt, dass Steiner, als er die berühmte Abhandlung über Flächen dritter
Ordnung veröffentlichte, die vorgängigen Entdeckungen der Engländer (über
das „Pentaeder" u s. w.) im wesentlichen sehr wohl gekannt hat — ohne
doch ihrer irgendwie Erwähnung zu thun — , so kann das nur zu gerechterer
Abwägung der gegenseitigen Prioritätsansprüche dienen, ohne dass den
Leistungen Steiners dadurch nennenswerter Abbruch geschieht.

Der Briefwechsel zwischen Steiner und Schläfli erstreckt sich trotz
seines ungemein reichen Inhalts nur über etwa sieben Jahre (1850 — 1856);
er wird veranlasst (abgesehen von der weiter zurückreichenden persönlichen
Bekanntschaft) durch einen Brief Steiner 's an den gemeinschaftlichen
Freund Ris in Bern im Jahre 1848. Steiner lässt hierin Schläfli, der
damals noch in bedrängten Umständen in Thun lebte, einige schwierige
Aufgaben über die Configuration der Doppeltangenten der Kurven vierten
Grades, sowie über Polaren von (algebraischen) Kurven vorlegen.

Die Antwort Schläflis, mit der der nähere Verkehr zwischen beiden
Geometem erst beginnt, erfolgt erst über zwei Jahre später (Dez. 1850).
Schläfli löst die ihm gestellten Aufgaben nicht, wie denn überhaupt im
Anfange die Briefe einen einseitigen Charakter tragen, vielmehr berichtet
er über seine eigenen umfassenden Untersuchungen (insbesondere über
Elimination und über die Theorie der Räume von n Dimensionen) und will
hierüber das Urteil Steiners einholen, der seinerseits wiederum eine direkte
Antwort mit dem Hinweise umgeht, er verstände von den fraglichen Dingen
zu wenig.

Allmählich aber, und dies hängt eng damit zusammen, dass die Stellung
Schläflis in Bern sich hebt — wozu Steiner sein redliches Teil bei-
trägt ~ erwärmt sich Schläfli für die St ein er sehen Gedankengänge und
es währt nicht lange, so wird er geradezu ein unentbehrlicher Mitarbeiter
des alternden Meisters, indem er mit seinen überlegenen, systematischen,
algebraischen Methoden immer da eingreift, wo die geometrische Anschauung
und Divination des anderen den Problemen nicht mehr gewachsen ist.
Referent kann sich nicht versagen, eine diesbezügliche Stelle anzuführen,
die zugleich von dem urwüchsigen Humor Steiners Zeugnis ablegt. Als
Steiner bei der Untersuchung einer gewissen Raumkurve zwölfter Ordnung
nicht recht vorwärts kommen kann, schreibt er an den Freund (Seite 61)
„Liege ich auch wie ein Halbtodter im Schneegestöber — so fasse ich
meinen treuen, starken Bernhardiner beim Schwanz und er wird mich aus
der dustern Kluft herausreissen".

Die Fragen, die zwischen beiden Forschern diskutiert werden, stellen
einen wesentlichen Teil der allgemeinen Theorie der algebraischen Kurven
und Flächen dar; sie greifen so tief ein, dass sie auch heute noch nicht
sämtlich gelöst sind. Wenn trotzdem diese Theorie seither einen solchen Auf-
schwung genommen hat, so liegt der Grund darin, dass sich die Geometrie

_,_.., )gle

208 Historisch -litterarische Abteilung. Bibliographie.

Begriffe nnd Sätze ans der algebraischen Fanktionentheorie (z. B. den so-
genannten Restsatz) zu eigen gemacht hat, die es ihr ermöglichen, grosse
Klassen von Erscheinungen unter einem Gesichtspunkt zusammenzufassen,
die damals an jeder Kurve und Fl&che einzeln studiert werden mussten.
Insofern ist Steiner eigentlich eine tragische Figur; er ist der letzte grosse
Trager einer Epoche, in der individuelle geometrische Beanlagung noch
souverän fremde Methoden verachten konnte.

Der Verkehr zwischen Steiner und Schläfli geriet, wie fast voraus-
zusehen war, ins Stocken aus Anlass einer Prioritätsfrage bezüglich der
Eigenschaften einer speziellen Hypocycloide. yn^ p Meyer

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Bibliographie

vom 14 Oktober bis 25. November 1897.

Periodische Schriften.

Abhandlungen der königlich sächsischen Gesellschaft; der Wissenschaften.
Mathematisch -physikalische Klasse. 24. Bd. Nr. I. Leipzig, Hirzel.

M.3.
Fortschritte der Physik. Herausgegeben von der physikalischen Gesellschaft .
zu Berlin. Namenregister nebst einem Sach- Ergänzungsregister zu
Bd. XXI (1865) bis XLHI (1887), bearbeitet von B. Schwalbe.
I.Hälfte. Berlin, Beimer. M. 30.

Fortschritte, die, der Physik im Jahr 1896. Dargestellt von der physika-
lischen Gesellschaft zu Berlin. 52. Jahrgang. 3. Abt. Kosmische
Physik. Bedigiert von Richard Assmann. Braunschweig, Vieweg& Sohn.

M.21.

Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik. Begründet von Carl Ohrt-

MANN, herausgegeben von Emil Lampe. 26. Bd. Jahrgang 1895. 2. Heft.

Berlin, Reimer. M. 6. 40.

Beine Mathematik.

Fricke, Rob., und Klein, Fel., Vorlesungen über die Theorie der auto-
morphen Funktionen. 1. Bd. Die gruppentheoretischen Grundlagen.
Leipzig, B. G. Teubner. M. 22.

Müller, Carl Adf., Multiplikationstabellen, auch für Divisonen anwend-
bar. Karlsruhe, Braun. geb. M. 3.

Bravais, A., Abhandlung über die Systeme von regelmässig auf einer
Ebene oder im Raum verteilten Punkten (1848). Übersetzt und
herausgegeben von C. und E. Blasius (Ostwalds Klassiker Nr. 90).
Leipzig, Engelmann. M. 2.

Dirichlet, G. Lejeunb, Untersuchungen über verschiedene Anwendungen
der Infinitesimalanalysis auf die Zahlentheorie (1839—1840). Deutsch
herausgegeben von R. Haussner (Ostwalds Klassiker Nr. 91). Ebenda.

M.2.

Schultz, E., Vierstellige mathematische Tabellen (Ausgabe A) für gewerb-
liche Lehranstalten. 2. Auflage. Essen, Bädeker. geb. M. 1. 20.

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210 Historisch -litterarißche Abteilung.

Angewandte Mathematik.

Fechner, Gust. Thdr., Kollektivmaßlehre. Im Auftrag der königlich säch-
sischen Gesellschaft der Wissenschaften herausgegeben von Gottl.
Friedr. Lipps. Leipzig, Engelmann. M. U.

Jordan, W., Handbuch der Vermessungskunde. 2. Bd., Feld- und Land-
messung. 5. Auflage. 2. Lieferung. Stuttgart, Metzler. M. 8. 20.

Krauss, Fritz, Graphische Kalorimetrie der Dampfmaschinen. Berlin,
Springer. M. 2.

ScHWARTZE, Thdr., Neue Elementar -Mechanik für technische Lehranstalten
und zum Selbstunterricht. Braunschweig, Vieweg & Sohn. M. 4. 80.

GiRNDT, Mart., Raumlehre für Baugewerkschulen und verwandte gewerb-
liche Lehranstalten. 1. Teil. Lehre von den ebenen Figuren. Mit
227 der Baupraxis entlehnten Aufgaben. Leipzig, B. G. Teubner.

kart. M.2.40.
Kleiber, Max, Das projektive Zeichnen. 60 (zum Teil farbige) Vorlage-
blätter mit begleitendem Text. 2. Auflage. Stuttgart, Effenberger.

In Mappe M. 12.
Sohlotke, J., Lehrbuch der darstellenden Geometrie. 1. Teil. Spezielle dar-
stellende Geometrie. 3. Auflage. Dresden, Kühtmann. M. 3. 60.

SiNRAM, A., Fragmente II zum kosmischen Bewegungsgesetz (Incitations-
Theorie) und zur Mechanik des Himmels. Hamburg, Gräfe & Sillem.

M.-.40

Stichtenoth, Alb., Untersuchung über die Bahn des Kometen 1822 I\\
Leipzig, Engelmann. M.4.

Grossmann, Ludw., Die Mathematik: im Dienste der Nationalökonomie unter
Kücksichtnahme auf die praktische Handhabung der Disziplinen der
Finanz wissen Schaft und Versicherungstechnik. 9. Lieferung. Wien,
Selbstverlag. M. 5.

MosH AMMER, Karl, Hydromechanik. Wien, Deuticke. M. 2.

Person, Benj., Tabellen zur Bestimmung der Trägheitsmomente symmetrischer
und unsymmetrischer beliebig zusammengesetzer Querschnitte. Zürich,
Speidel. M. 2.

HuBER, Ph., Katechismus der Mechanik (Webers illustrierte Katechismen
Nr. 70). 6. Auflage. Neu bearbeitet von Walth. Lange. Leipzig,
Weber. geb. M 3. 50.

Lange, Walth., Katechismus der Statik mit gesonderter Berücksichtigung
der zeichnerischen und rechnerischen Methoden (Webers illustrierte
Kathechismen Nr. 165). Ebenda. M.4.

CoHN, Berth., Über die Gausssche Methode, aus den Beobachtungen dreier
gleichen Stemhöhen die Höhe, Zeit und Polhöhe zu finden imd prak-
tische Hilfsmittel zu ihrer Anwendung. Dissertation. Strassburg.
Singer. M. 4.

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Bibliographie. 211

Physik und Meteorologie.

Engelmann, Th. W., Tafeln und Tabellen zur Darstellung der Ergebnisse
spektroskopiscber und spektropbotometrischer Beobachtungen. Leipzig,
Engelmann. M. 1. 80.

HoMi^N, Thdr., Der tägliche Wärmeumsatz im Boden imd die Wärme-
strahlung zwischen Himmel und Erde. (Aus: Acta societatis scientiarum
fennicae). Leipzig, Engelmann. M. 10.

Jägek, Gust., Die Lösung der Mondfrage. Stuttgart, Kohlhammer. M. 2.

VioLLE, J., Lehrbuch der Physik. Deutsch von E. Gumlich, W.Jäger,
St. Lindeck. 2. Teil. Akustik und Optik. 2. Bd. Geometrische Optik.
Berlin, Springer. M. 8.

WüLLNER, Adph., Lehrbuch der Experimentalphysik. 5. Auflage. 3. Bd.
Die Lehre vom Magnetismus und von der Elektrizität mit einer Ein-
leitung der Grundzüge der Lehre vom Potential. Leipzig, B. G. Teubner.

M.18.

Erneckb, Erich, Über elektrische Wellen und ihre Anwendung zur Demon-
stration der Telegraphie ohne Draht nach Marconi. Experimental-
vortrag. Berlin, Gärtner. M. — . 80.

LoMMEL, E.V., Lehrbuch der Experimentalphysik. Leipzig, Barth. M.6. 40.

Ernst, Chr., Eine Theorie des elektrischen Stromes auf Grund des Energie-
prinzipes. München, Lüneburg. M. 2.

LoüGUiNiNE, W., Beschreibung der Hauptmethoden, welche bei der Be-
stimmung der Verbrennungswärme üblich sind. Berlin, Friedländer
und Sohn. M. 10.

Schollmeyer, G., Was muss der Gebildete von der Elektrizität wissen?
Gemeinverständliche Belehrung über die Kraft der Zukunft. 6. Auf-
lage. Neuwied, Heuser. M. 1.50.

Thompson, Silvanus P., Elementare Vorlesungen über Elektrizität und
Magnetismus. Deutsch auf Grund der neuesten Auflage des Originals
von A. HiMSTBDT. 2. Auflage. Tübingen, Laupp. M. 7.

Gratz, L., Kurzer Abriss der Elektrizität. Stuttgart, Engelhom. geb. M. 3.

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Mathematisclies AbhandliingsregisteL

1806.

Zweite Hälfte: 1. Juli bis 31. Dezember.

A.

Abbildung.

440. Konforme Abbildung der inneren Fläche eines Kreises in die innere Fläche

eines regulären Vielecks. Ulr. Bigler. Grün. Archiv 2. R. XIV, 360.

441. Sur la repräsentation de la surface cubique g^n^rale sur nn plan. F. Du-

mont. N. ann. math. Ser. 8, XV, 318.

442. über diejenige punktweise eindeutige Beziehung zweier Flächenstücke auf-

einander, bei welcher jeder geodätischen Linie des einen eine Linie
konstanter geodätischer Krümmung des anderen entspricht. F. Busse.
Berl. Akad. Ber. 1896 \ 651.

443. Sur la construction des cartes g^ographiques. D. A. Grave. Journ. Math.

Sär. 5, II, 317.

Abelsche Transoendenten.

444. Remarques diverses sur les fouctions abeliennes. H. Poincare. Journ.

Math. S^r. 6, I, 219.

445. Sur une surface du sixieme ordre liee aux fonctions abeliennes de genre 3.

G. Humbert. Journ. Math. Ser. 5, II, 263.

Absolute Geometrie.

446. Zwei Sätze der nicht -euklidischen Geometrie. Max Simon. Math. Annal.

XLVm, 607.

Analytische Geometrie der Ebene.

447. fttude analytique sur la symt^trie. S. Mangeot. N. ann. math. Ser. 3,

XV, 403.

448. Th^oremes sur les podaires. Duporcq. N. ann. math. S^r. 3, XV, 341.

449. Sur les döveloppöes successives. G. Tzitzeica. N. ann. math. S^r. 3, XV, 247.
460. Sur les courbes de direction. P. Appell. N. ann. math. S^r. 3, XV, 491.

451. Propri^t^ de deux caustiques r^ciproques par rapport ä une courbe donnec,

Duporcq. N. ann. math. S^r. 3, XV, 339.

452. Über das eigentliche Oval. Arm. Wittstein. Grün. Archiv 2. R. XIV, 109, 441.

453. Cartesian ovals. A. C. Dixou. Quart. Journ. math. XXVIII, 375.

454. Propriete de la lemniscate. Ern. Foucart. N. ann. math. Ser. 3, XV, 98.

455. Cercle tangent ä une lemniscate et ayant son centre sur une hyperbole

^quilatere. Ern. Foucart. N. ann. math. Ser. 3, XV, 148.

456. Lieu des points milieux des cordes d'un lima9on de Pascal qui sont \Ties

du point double r^el sous un angle droit. E. N. Barisien. N. ann. math.
Sär. 3, XV, 294.

457. Propridt^s des cardioides. Ern. Foucart. N. ann math. Sdr. 3, XV, 145.

458. Über die Kurven, deren Bogen der Tangente des Leitstrahlwinkels ]in>-

portional ist, und die damit verwandten Kurvenscharen. Aug. Velde
Grün. Archiv 2. R. XIV, 200.
Vergl. Ellipse. Geometrie (höhere). Hyperbel. Kegelschnitte. Kreis. Parabel

Analytische Geometrie des Baumes.

459. Sur les courbes alg^briques ä torsion constante. Eug. Fabry. Compt. Rend

CXXIII, 865.

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A bhandlimgfiregist er . 2 1 3

460. A geometrical locus. G. B. Mathews. Quart, Journ. math. XXVIII, 190.

461. Quelques propriätäs des biquartiques gauches. E. Duporcq. N. ann. math.

Ser. 3, XV, 266.

462. Sur un cas remarquable de la projection gauche. G. Fönten^. N. ann. math.

Sär. 3,XV, 369.
Vergl. Geometrie (höhere). Hyperbel. Oberflächen. Oberflächen zweiter
Ordnung.

Astronomie.

463. Sur les expression approchees des termes d'ordre ^lev^ dans le developpement

de la fonction perturbatrice. N. Coculesco. Journ. Math. S^r. 6, 1, 369.
404. Sur le developpement approch(5 de la fonction perturbatrice dans le cas des
in(5galites d'ordre 61evä. M. Hamy. Journ. Math. S^r. 5, II, 381.

465. Sur la di^sagregation des com^tes. 0. Callandreau. Compt.Rend.CXXIlI, 663.

466. Sur Textension que Ton peut donner au th^or^me de Poisson, relatif a

rinvariabilit^ des grands axes. H. Andoyer. Compt.'Rend. CXXIIl, 790.

AuBdehnungBlehre.

467. Über das gemischte Produkt. Em. Müller. Math. Annal. XL VIII, 589.

B.

Besümmte Integrale.

468. Sur la definition de l'int^grale definie. M Pouche. N. ann. math. Ser. 3,

XV, 207. — C. Burali-Forti ibid. 495.

469. Une lecon sur la möthode de quadrature de Gauss. L. Raffy. N. ann. math.

Ser. 3, XV, 249.

470. Sur un theor^me de Kronecker. G. Koenigs. Journ. Math. Ser. 5, II, 41.

471. Über eine Art von simultaner Darstellung bestimmter Integrale. G. Kowa-

lewski. Crelle,CXVII,267.

472. Über ein discontinuierliches Integral. E. Gabler. Math. Annal. XL VIII, 37.

473. Sur les integrales de Fresnel. V. Jamet.' N. ann. math. 3, XV, 372. -

Eug. Fabry ibid. 504.

474. Sur r^galite ^in[f(3c) — f{oy]=ff'{z)logZ(iZy f{e) designant un polynöme

entier en z et Tintegrale ^tant prise dans le sens positif le long d'un
contour ferme simple entourant Torigine. Audibert. N. ann. math S<5r.3,
XV, 343.
Vergl. Quadratur.

C.
Combinatorlk.

475. Sur les permutations quasi -alternees. D^s. Andr^. Journ. Math. S^r. 6, 1,316.

D.

Differentialgleichungen.

476. Sur les ^quations diiferentielles ordinaires du premier ordre. A. Korkine.

Compt. Rend. CXXIIl, 38, 139. — P. Painlevd ibid. 88 (vergl. Nr. 51).

477. Sur les Iquations diiferentielles ordinaires du premier ordre. A. Korkine.

Math. Annal. XLVIII, 317.

478. Sur l'extension des id^es de Galois ä la thäorie des equations difi'erentielles.

Em. Picard. Math. Annal. XLVII, 155. [Vergl. Bd. XLI, Nr. 305.]

479. Sur une application de la throne des groupes Continus ä l'etude des points

singuliers des äquations difft^rentielles lineaires. F. Marotte. Compt.
Rend. CXXIIL 867, 933.

480. Zur Theorie der adjungierten Differentialgleichung. P. Günther. Grelle,

LXVII, 168.

481. über die Beschaffenheit der Differentialgleichungen der n Adjungierten, die

zu einer linearen Differentialgleichung n^er Ordnung gehören. E. Grün-
feld. Crelle, CXVn, 273.

482. Neue Beweise für die Konvergenz der Reihen, welche bei der Integration

linearer Differentialgleichungen in der Umgebung der einfachsten singu-
lären Stellen auftreten. Ad. Kneser. Math. Annal. XLVII, 408. C^rsr\a]c>

214 HistoriHch- litterarische Abteilung.

483. Untersuchung und asymptotische Darstellung gewisser linearer Differential-

gleichungen bei grossen reellen Werten des Arguments. Ad.Kneser. Crelle,
CXVU , 72 (vergl. Nr. 46).

484. Über eine Klasse linearer homogener Differentialgleichungen. L. Fuch>.

Berl. Akad. Ber. 1896', 753.

485. Zur Theorie der Eulerschen Transformierten einer homogenen linearen

Differentialgleichung der Fuchsschen Klasse. L. Schlesinger. Crelle,
CXVU , 148 (vergl. Nr. 65).

486. t'ber die Reihenentwickelung der Integrale eines Systems von Differential-

gleichungen in der Umgebung gewisser singulärer Stellen. J. Hörn.
Crelle CXVII, 104, 264 (vergl. Nr. 76).

487. Sur une serie relative ä la theorie des equations diff^rentielles lineaires ii

coefficients periodiques. A. Liapounoff. Compt. R«nd. CXXIII, 1248.

488. Sur les r<$sidus des fonctions definies par les equations differentielleä.

M. Petrovitch. Math. Annal. XLYIII, 76.

489. Über eine Anwendung d. Theorie d. linearen Dift'erentialgleichunffen auf lineare

Differentialgleichungen zweiter Ordnung. L.W. Thome. Crefie, CXVII, 1^:*.

490. Sur Tequation de Lame. Andr. Markoff. Math. Annal. XLVII, 598.

491. Integration de x^ ~ —2x , +n*x*y = 0. Maillard. N. ann. math. Ser. :».

XV, 141. ^'^ ^^

492. On Singular solutions of ditt'erential equations of the first order. Miss Mad-

dison. Quart. Joum.math.XXVllI, 311.

493. Sur la th(5orie des equations aux d^rivees partielles du second ordre. E. Gour-

s a t. Compt. Rend . CXXIII , 680.

494. Sur les Equations lineaires aux d^rivees partielles du second ordre a deux

variables. E. Cotton. Compt. Rend. CXXIII, 936.

495. Sur une äquation lineaire aux d^rinäes partielles du second ordre. J. Le Roui.

Compt. Rend. CXXni, 1062.

496. SuUe equazioni a derivate partiali del second' ordine a tre variabili indi-

pendenti. G.Vivanti. Math. Annal. XLVIII, 474.

497. Die Charakteristiken der partiellen Differentialgleichungen in drei Variabein

E.V.Weber. Math. AnnaL XLVII, 229.

498. Sur l'int^gration des Equations aux däriv^es partielles simultan^es. E. v.W^eber.

Compt. Rend. CXXin, 292. ^tf ^»^

499. Integration der Differentialgleichung -^ -f :— ^ = k^f für elliptische und para-

bolische Koordinaten. J.H.Hartenstein. Grün. Archiv 2. R. XIV, 1 70.

500. Sur les systemes algebriques et leurs relations avec certains systt»me>

d't^quations aux däriväes partielles. Et. Delassus. Compt. Rend. CXXIII,
646 (vergl. Nr. 74).

601. Sur les transformations des systemes differentiels. Et. Delassus. Compt.

Rend. CXXIH, 1246.

602. Sur la d^termination des integrales d'une equation aux d^riv^es partielle-

par ses valeurs sur un contour ferme. Em. Picard. Joum. Math. Ser. r..
n, 296.
508. Sur une suite d'dquations lineaires aux ddrivees partielles provenant de h
th^orie des surfaceK. T. Craig. Compt. Rend. CXXHI, 634.

504. Sur les surfaces ä lignes de courbure isomätriques. T. Craig. Compt. Ren«l

CXXm, 794.
Vergl. Geschichte der Mathematik 578. Mechanik, Oberflächen.

Bifferentialquotieiit.

505. Sur une differentielle exacte. L. Au tonne. N. ann. math. S*§r. 3, XV, 232

506. Sur la ddriv^e des fonctions interpolees. E. M. L^meray. N. ann. mail

Ser.3, XV, 326.

E.
Elastlaitftt.

507. Sur r<$quilibre d'^lasticit^ d'un corps tournant. L. Lecornu. Compt, Reiiil

CXXIII, 96.

508. Sur le problöme des membranes vibrant€s. Le Roy. Compt. Rend. CXXIH, 12o:i

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Abhandlungsregiater. 215

Elektrizität.

509. Remarques sur une expe^rience de M. Birkelaml. H. Poincar^. Compt.

R^nd. CXXni, 530.

510. Sur la tension lougitudinale des rayons cathodiques. Colard. Compt. Rend.

CXXm, 1057.

511. Sur quelques erreurs admises comme värites en ^lectromagn^tisme. Vaschy.

Compt. Rend. CXXIII , 1059.

512. Mt5thodes de calcul en ^lectromagnätisme. Vaschy. Compt. Rend. CXXIII, 1261.

Ellipse.

513. Sur les ellipses concentriques. E. Duporcq. N. ann. math. Sär. 3, XV, 566.

514. Ellipse lieu du centr^ du cercle des ueuf points d'un triangle variable.

H. Brocard. N. ann. math. S^r. 3, XV, 390.

515. Ellipse lieu des positions successives des centres de courbure d'une ^picy-

cloide roulant sur une droite. A. Mannheim. N. ann. math. Ser. 3, XV, 245.

516. Hypocycloide a quatre rebroussements enveloppe des cordes d'une ellij^se sous

Tangle d'anormalie excentrique relatif ä leurs points de ddpart. Audi-
bert. N. ann. math. S^r. 3, XV, 576.

Elliptisohe Transcendenten.

517. Vier Briefe von Arthur Cayley über elliptische Modulfunktionen. Math.

Annal.XLVn,l.

518. Bemerkungen zu Cayleys Briefen. H.Weber. Math. Anual. XLVII, 6.

519. Sur une formale fondamentale de Kronecker. J. Franel. Math. Aunal.

XLVIII, 595.

520. Expression des composantes de Fattraction d'un ellipsoide homogene sur

un point ext^rieur au moyen des fonctions @ et {. E. Mathy. Journ.
Math. Ser. 5,11,305.

521. Das Additionstheorem der Funktion /j(<0. P. Stack el. Math. Annal. XLVII, 404.
ri22. Über die Transformation der elliptischen Funktionen. Fr. Beer. Grün. Archiv

2. R. XIV, 113.
ö"23. Sur une application des fonctions elliptiques. X. Stouff. N. ann. math. Sur. 3,
XV, 262.
Vergl. Funktionen 533. Thetafunktionen.

F.

Formen.

524. Über die cogredienten Transformationen der bilinearen Formen. G. Frobe-

nius. Berl. Akad. Ber. 1896\ 7.

525. über vertauschbare Matrizen. G. Frobenius. Berl. Akad. Ber. 1896 \ 601.

526. Zur Theorie der adjungierten Substitutionen. Gust. Rados. Math. Annal.

XLVIII, 417.

527. Sur la division algebrique appliqu^e aux polynomes homogenes. H. Andoyer.

Journ. Math. S^r. 5, 1, 61.
628. Sur les formes quadratiques d^finies ä inddtermin^es conjuguees de M. Hermite.

Alfr, Loewy. Compt. Rend. CXXIII, 168. — L. Fuchs ibid. 289.
529. Zur Theorie der linearen Substitutionen. Alfr. Loewy. Math. Annal.

XLVIII, 97.
5.*J0. Keduction simultanee de deux formes quadratiques de trois variables a des

formes canoniques. Application a Tetude d'un Systeme de deux coniques.

H. Vogt. N. ann. math. Ser. 3, XV, 441.
Vergl. Substitutionen.

Funktionen.

5*il. Sur l'ext-ension aux fonctions enti(ires d'une proprietd importaute des ploy-
nomes. Em. Borel. Compt. Rend. CXXIII, 556.

5:^2. Über Riemannsche Flächen mit beschränkt veränderlichen Verzweigungs-
punkten. P. Hoyer. Math. Annal. XLVII, 47.

5.^^. Über die Parameterbestimmung von Punkten auf Kurven zweiter und dritter
Ordnung. Eine geometrische Einleitung in die Theorien der logarith-
mischen und elliptischen Funktionen. C. Juel. Math. Annal. XLVII, 72.

534. Über Riemannsche Formenscharen auf einem beliebigen algebraischen Ge-
bilde. E.Ritter. Math. Annal. XLVII, 157. ^ j

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216 Historisch -litterarische Abteilung.

585. Beitrag zur Theorie der rationalen Funktionen. Eman. Beke. Math. Annal

XL\TI, 441.
530. Über die Mittelwerte der Funktionen einer reellen Variabein. L. Maurer.

Math. Annal. XLVU , 263.

537. Über eine besondere Klasse von Funktionen einer reellen Veranderlicheij.

E. Study. Math. Annal. XL VII, 298.

538. Über die Reduction algebraischer Systeme auf die kanonische Form. K. Henkel.

Crelle,CXVII,129.

539. Über die Fundamentalteiler algebraischer Gattlingsbereiche. K, Hensel

Crelle,CXVII,333.

540. Über die Elementarteiler zweier Gattungen, von denen die einen unter der

anderen enthalten ist. K. Hensel. Grelle, CXVTI, 346.

641. Über die Darstellung der Integrale erster Gattung durch ein Fundamental-
system. K. Hensel. Grelle GXVIJ, 29 (vergl. Nr. 129}.

512. Über kanonische Systeme algebraischer Funktionen einer Veränderlichei:.
die einem Gattuugsbereich dritter oder vierter Ordnung angehören
K. Fischer. Grelle, CXVH, 1 (vergl. Nr. 129).

543. Sur une classe de fonctions transcendentes. Em. Picard. Gompt. Keml
GXXm, 1035.

644. Gonceming transcendentallv transcendental functions. El. Hast. Mo ort

Math. Annal. XLVIU, 49.

645. Intomo ad alcune osservazioni sui segmenti infiniti e infinitesimi attuali

G. Veronese. Math. Annal. XL VII, 423 (vergl. Bd. XLI Nr. 479).

646. Über transfinite Zahlen. W. Killing. Math. Annal. XL VIH, 425.

547. Sur quelques proprietes des ensembles d'eusembles et leurs applicataous a U

limite d'un ensemble variable. G. Burali-Forti. Math. Annal. XL VH, 20

548. Über die hypergeometrische Funktion mit einem Nebenpunkt. E. Kitt^r

Math. Annal. XLVni,l.

549. Sur la fonction f («). Ha;damard. Gompt. Rend. CXXIII, 93 (vergL Nr. 13^ .
660. Über die Isotimen und Isophasen der Funktion f(x) = {x-\-l){x — l)(x~t

Ulr. Bigler. Gnin. Archiv 2. R. XIV, 337.
561. Sur le nombre des päriodes d'une fonction uniforme. A. Astor. N. ann. math

S^r.8,XV,227.
652. Sur la convergence des substitutions uniformes. E. M. L^merav. Gomj-t

Rend. CXXm, 793.
563. Über Funktionen zweier reeller Variabein. 0. Biermann. Math. Anna"..

XLVm, 393.
554. über Fuchssche Funktionen zweier Variabein. S. Kempinski. Math. Annul.

XLVn, 673.
565. Über die Wertschwankungen der harmonischen Funktionen zweier reellen

Veränderlichen und der Funktionen eines komplexen Arg^umeute-

F. Schottky. Grelle, GXVH, 225.

666. Partialbruchzerlegung rationaler Funktionen eines algebraischen Gebildt-?
zweier Veränderlichen. P. Hoy er. Math. Annal. XL VII, 113.
Vergl. Abelsche Transcendenten. Ausdehnungslehre. Bestimmte Integral'
Gombinatorik. Differentialgleichungen. Differentialquotienten. fellii -
tische Transcendenten. Formen. Gleichungen. Kettenbrache. Maxim?
und Minima. Potential. Reihen. Substitutionen. ThetÄfunktiontr
Zahlentheorien.

G.
Gtood&sie.

557. Sur une nouvelle methode de M. Jäderin pour les mesures de base. Bass.it

Gompt. Rend. GXXHI, 165.

558. Sur Terreur de räfraction dans le nivellement g^om^trique. Gh. L allem au'

Gompt. Rend. GXXIU, 222, 297.

559. Sur la stabilite des piquets employ(?s comme rep^res provisoires dan> '.»>

nivellements de pr^cision. Gh. Lall eman d. Gompt. Rend. GXXIU, 457,

Geometrie (deseriptive).

560. Über den Polkeschen Satz. Fr. Schur. Grelle, GXVIL^4. ,

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Abhan dlungsregister. 217

Geometrie (höhere).

561. Sur une geomätrie de l'espace r6gU. R. de Saussure. Compt. Rend. CXXIII

784 rvergl. Nr. 634).

562. Zur projeKtiven Geometrie. M. Pasch. Math. Annal.XLVÜI, 111.

563. Sur une double serie recurrente de points toujours homocycliques et de

cercles toujours en coUiiieation attachc^s aux polygoues d'ordre J?, 4, 5 . . .
r^sultant de v droites ind^pendantes , employees successivement dans uu
ordre donn^. P. Serret. Compt. Reud. CXXIII , 396.

564. Sur une ciasse de propositions aualogues au theor^me Miquel - Cliftord , et

sur les propri^tes qui en r^sultent pour les polygones de 5, 6, 7, 11, 12

cötäs, circonscrits a rhyi)Ocyclolfde de module --• P. Serret. Compt.
Rend. CXXIII, 416. ^

565. Sur l'emploi d'un cercle fixe, d^rive d'un groupe quelconque de 7 tan-

gantes d'une conique, pour d^finir, a priori, le cercle däriv^ de 7 droites
quelcouques. P. S e r r e t. Compt. Reud. CXXIII , 442.

566. Deteimination des poiuts d'inflexion dans le d^^eloppement de la section

plane d'un cone. F. Balitrand. N. aun. math. S^r. 8, XV, 65 [vergl.
Bd. XL, Nr. 459].

567. über eine merkwürdige Kreisfigur. W. Godt. Math. Annal. XLVII, 564.

568. Sur la transfomiatiou homographique des proprietes ni^triques des figures

planes. G. Brocard. N. ann. math. S(5r. 3, XV, 426.

569. Note on adjoint curves. Miss C. A. Scott. Quart. Journ. math. XXVIII, 377.

570. Projektive Erzeugung der Kurven w*«' Ordnung C»*. C.Küpper. Math.

Annal. XLVIII, 401.

571. Die Konfiguration (12^, I63) und die zugehörigen Gruppen von 2304 Kollinea-

tionen und CoiTclationeu. Jul. Fedor. Math. Annal. XLVII, 375.

572. Über eine einfache Gruppe von 360 ebenen Kollineationen. A. Wim an.

Math. Annal. XLVII, 531.
ö73. Über die Diskontinuität gewisser KoUiueationsgruppen. Rob. Fricke. Math.
Annal. XLVII, 557.

574. Sur le th^oreme de Salmon. E. Goursat. N ann. math. S($r. 3, XV, 20.

575. Sur une quartique unicursale. A. Droz-Farny. N. ann. math. Ser. 3, XV, 485.

Vergl. Kegelschnitte. Kinematik.

Geschichte der Mathematik.

576. Altbabylonische Maße und Gewichte. G. Reisner. Berl. Akad. Ber. 1896', 417.

577. Die geometrische Konstruktion als Existenzbeweis in der antiken Geometrie.

H. G. Zeuthen. Math. Annal. XLVII, 222.

578. L'oeuvre geomdtrique de Sophus Lie. Fei. Klein. N. ann. math. Ser. 3, XV, 1.

579. Gustav Ferdinand Mehler (13 XIL 1835-13. VIL 1896). Mart. Krause. Math.

Annal. XLVm, 608.

580. Henry Resal (27.L 1828 -22. VIII. 1896). C. Jordan. Journ. Math. Ser. 5,11,

453. — M. Levy ibid. 455. Compt. Rend. CXXIII, 435.

581. H. L.Fizeau (24.IX.1819-18.IX.1896). A. Coruu. Compt. Rend. CXXIII, 471.

582. Felix Tisserand (1845-20.X.1896). A. Cornu. Compt. Rend. CXXIII, 623.

583. Hugo Gylden (29. V. 1841 - 9. XL 1896). 0. Callendreau. Compt. Rend

CXXm, 771.

584. KariWeierstraß (31.x. 1815-19. IL 1897). L.Fuchs. Crelle CXVÜ , 357.

Gleichungen.

585. Über die Irreduktibilitüt ganzzahliger ganzer Funktionen. E. Netto. Math.

Annal. XLVm, 81.

586. Sur les fonctions entieres. H.Laurent. N. ann. math. St^r. 3, XV, 23.

587. Sur les conditions sous les quelles une ^quatiou n admet que des raciiies
a partie reelle negative. A. Hurwitz. N. ann. math. Ser. 3, XV, 108

[vergl. Bd.XLI, Nr. 420].
th ■ ■ ' •

588. Zur Theorie der Resultanten. K Netto. Crelle CXVH, 57 (vergl. Nr. 199).

589. Bezirke der drei Wurzelformen der Gleichung vierten Grades. R. Hoppe.

Gruu. Archiv 2. R. XIV, 398.

590. Sur requation Jacobienue du sixieme degre. Brioschi. Quart. Journ. math.

XXVIH, 382. ^ ,

Hiat-litt. Abt. d. Zeitschr. f. Math. u. Phy». 42. Jabrg. Itsy7. Ö.Heft. Ji^itized by VjOOglC

218 Historisch -litterarische Abteilung.

591. Siir les racines de l'^quation x^a^. E. M. Lämeray. N. ann. math. Ser. 3.

XV, 548.

592. Sur les ^quations repräsentables par trois systämes lineaires de points cot^s.

M. d'Ocagne. Compt. Rend.CXXIII, 988.

593. Sur Vemploi des systemes reguliers de points cotäs dans la repr^sentation

des ^quations. M. d'Ocagne. Compt. Rend. CXXIII, 1254.
Vergl. Differentialgleichungen 500.

Hydrodyaamik«

594. Lois gänerales du regime uniforme dans les lits ä grande section. J. Bou6-

8 i n e s q. Compt. R^nd. CXXIII , 7 (vergl. Nr. 207).

595. Du regime uniforme dans les canaux rectangulaires lar^es et dans les tuyaux

ou canaux ä section circulaire ou demi-circulaire. J. Boussinesq.
Compt. Rend. CXXm, 77.

596. Lois de deuxiöme approximation du r^j^ime uniforme, dans les tuyaux

circulaires et dans les canaux di^mi-circulaires. J. Boussinesq. Compt,
Rend.CXXm, 141.

597. Sur requilibre et les mouvements des mers. H. Poincar^. Joum. Math.

Sär. 5, II, 57, 217.

598. Sur le mouvement d'un solide dans un liquide ind^fini. R. Liouville. Compt.

R^nd.CXXm, 874.

599. Sur le mouvement d'un solide dans un liquide ind^fini. W. Stekloff. Compt.

Rend CXXm, 1252.

600. On the stability of a frictionless liquid. Theory of critical planes. A. B. Basse t.

Math. Annal. XL VIII, 89.

601. Note on the form of the energy integral in the motion of an incompressible

fluid. J. Brill. Quart. Joum. math. XXVm, 186.
Vergl. Nautik.

Hyperbel.

602. Elementare Bestimmung der Lage der gleichseitigen Hyperbel im Kegel.

0. D. E. Wey er. Grün. Archiv 2. R. XIV, 139.

603. Deux triangles orthocentriques inscrits ä une hyperbole ^qnilat^re. E. N.Bari -

sien. N. ann. math. Ser. 3, XV, 295.

604. Propri^t^ d'un triangle quelconque inscrit dans une hyperbole ^quilaten\

H. Brocard. N. ann. math. Ser. 3, XV, 388.

605. Points dans lesquels une hyperbole equilat^re est coupiSe par un cercle

ayant pour centre un point de Thyperbole. Em. Foucart. N. ann
math. Ser. 3, XV, 146.

606. Propri^tä"de 3 points dans lesquels une hyperbole est coup^e par une cir-

conference ayant pour centre un point de Fhyperbole et passant par li
symetrique de ce point. A.Mannheim. N. ann. math. Ser. 3, XV.
290. — Cl. Servais ibid. 379.
Vergl. Analytische Geometrie der Ebene 455.

K.

Eegelsohnitte.

607. Zur Theorie des Kegelschnittbüschels. A.Wim ann. Grün. Archiv 2, K

XIV, 149.

608. Propriet<5 d'un faisceau de coniques. A. Droz-Farny. N. ann. math. Ser. 3.

XV, 486.

609. Propridt^ des coniques passant par deux points fixes et tangent€s a une

droite donnee en un point donne. A. Droz-Farny. N. ann. math. Ser. 3.
XV, 439.

610. Zum Pythagoräischen Lehrsatz. K. Zaradnik. Grün. Archiv 2. R. XIV, 105.

611. Sur la perspective des arcades. A. Boulanger. N. ann. math. Sdr 3, XV, 376.

612. Sur les segments de coniques limites ä une normale. M. d'Ocagne. N. ann.

math. Ser. 3, XV, 215, 281.
013. Propriett^ du triangle foime par les tangentes menäes d'un point a une coniquo
et par la polaire de ce poiut. A. Droz-Farny. N. ann. math. Ser. 3,XV,1jO

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Abhandlungsregister. 219

C14. On consid^re tous les cercles tangents en un m§me point ä une conique
donn^e. Lieu du pole de la seconde corde d'intersection du cercle et
de la conique par rapport ä la conique. A. Mannheim. E. N.Bari -
s i e n. N. ann. math. S^r, 3, XV, 292.
Vergl. Ellipse. Formen 630. Hyperbel. Kreis. Parabel.

Eettenbrüohe.

Gl 5. Nouvelles applications des fractions continues. Andr. Markoff. Math.
Annal.XLVn, 679.

616. Sur une repr^sentation g^om^trique du d^veloppement en fraction continue

ordinaire. Fei. Klein. N. ann. math. S^r. 3, XV, 327.

Kinematik.

617. Sur un ddplacement remarquable. R. Bricard. Compt. Rend. CXXIII , 989.

618. Un plan se d^place en restant tangent a une surface; pour une quelconque

de ses positions sa caract^ristique passe par le point oü il touclie cette
surface. Raym. S^e. N. ann. math. S^r. 3, XV, 173.

Kreis.

619. Dreizehn Auflösungen des Malfattischen Problems. C. Davids. Grün. Archiv

2. R.XrV, 276 [vergl. Bd. XLI, Nr. 1761.

620. Si 3 cercles sont inscrits ä un triangle, les quatriömes tangentes communes

qu'ils admettent, pris deux a deux, foiment un triangle homologique
du Premier. A. Droz-Farny. N. ann. math. S^r. 3, XV, 160.

621. Droite engendr^e au moyen d'une circonfärence fixe et d'une circonference

variable. A. Droz-Farny. N. ann. math. S^r. 3, XV, 434.

622. Enveloppe de Taxe radical d'un cercle fixe et d'un cercle variable tangent

a deux cercles donn^s. E. N. Barisieu. N. ann. math. Ser. 3, XV, 677 -
X. Antomari ibid. 682.
Vergl. Abbildung 440. Ellipse 614.

Krümmung.

623. Sur des centres de courbure successifs. La Gdocine. N. ann. math. S^r. 3,

XV, 636.

624. Sur le rayon du cercle osculatun d'une courbo quelconque comme limite

d'un certain quotient. G. Tzitz^ica. N. ann. math. Ser. 3, XV, 198.
626. Le th^or^me de Gauss sur la courbure. A. Colinon. N. ann. math. Ser. 3,
XV, 63.

626. Die Amslerschen Flilchensätze im Gebiete affin veränderlicher Systeme und

auf den Flächen konstanter Gaussscher Krümmung. Joh. Kleiber.
Grün. Archiv 2. R. XIV, 405.

627. Biegung mit Erhaltung der Hauptkrümmungsradien. J. Hazzidakis. Crelle

CXVII, 42.
Vergl. Analytische Geometrie des Raumes 459. Ellipse 616. Parabel 681.

W.

Maxima und Minima.
C28. ^i x^ y, z sont trois nombres positifs et x-\-y-{-z = l il s'en suit
(l-x){l-y){l-z)<:sxyz.
Galluc ci. N. ann. math. S^r. 3, XV, 96.

Mechanik.

629. Über die Prinzipien der Mechanik. L. Königsberger. Berl. Akad. Ber. 1896*,

899,1173.

630. Über das Prinzip der kleinsten Aktion und das Hamiltonsche Prinzip.

Mor. Rethy. Math. Annal.XLVUI, 614.

631. Sur les Solutions pdriodiques et le principe de moindre action. H. Poincare.

Compt. Rend. CXXm, 916.

632. Beiträge zu Riemanns Integrationsmethode für hyperbolische Differential-

gleichungen und deren Anwendung auf Schwingungsprobleme. W. Wir-
tin g e r. Math. Annal. XLVEI .366. (^ ]

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220 Historisch -litterarische Abteilung.

633. Sur les intteales quadratiques des ^quations de la dynamique. G. de Pirrt».

Compt. Kend. CXXIII, 1054. — Appell ibid. 1067.

634. Sur une m^canique r^gl^e. R. de S aus sur e. Compt. Rend. CXXIII, 796

[vergl. Nr. 561].
636. Sur les transformations des equations de la dynamique. P. Painleve. Compt.
Rend. CXXÜI, 392.

636. Sur les singularit^s des Equations de la dynamique. P. Painlev^. Compt.

R«nd. CXXni, 636.

637. Sur les singularites des Equations de la dynamique et sur le probleme dos

trois Corps. P. Painlev^. Compt. Rend. CXXIII, 871.

638. Sur une forme nouvelle des Equations du probleme des trois corps. H. Poin-

card. Compt. Rend. CXXm, 1031.

639. Sur la m^thode de Bruns (probleme des trois corps). H. Poincare. Compt.

Rend. CXXIII, 1224.

640. Sur le probleme des trois coq>s. D. Grave. N. ann. math. Ser. 3, XV, 537.

641. Remarque sur les problemes de forces centrales. Em. Borel. N. ann. math.

Sdr. 3, XV, 236.

642. Recherches analytiques sur un cas de rotation d'un solide pesaut autour

d'un point fixe. P. A. Nekrassoff. Math. Annal. XLVn, 446.

643. Sur le d^placement de Taxe de rotation d'un corps solide dont une partie

est rendue momentanement mobile par rapport au reste de la ma.<»se.
Edm. & M. Pouche. Compt. Rend. CXXIII. 93.

644. Sur l'emploi des equations de Lagrange dans la theorie du choc et des per-

cussions. P. Appell. Joum. Math. Ser. 5, II, 6.
646. Sur une proposition de mecanique. F. Siacci. Compt. Rend. CXXIII, 395.

646. Sur une question de mecanique. Astor. N. ann. math. S^r. 8, XV, 33, 377.

647. Sur le mouvement d'un corps grave de revolution suspendu par un point de

son axe (der Kreisel). Fe 1. Klein. N. ann. math. Ser. 3, XV, 218.

648. Qu a dynamical top. G.P.Walker. Quart. Journ. math.XXVIII, 175.

649. Kquations du mouvement d'un point matäriel sur une surface qaand on tient

compte du frottement. W. de Tannenberg. N. ann. math. Ser. 3,
XV, 201.

650. Über ebene einfache Fachwerke. Friedr. Schur. Math. Annal. XLMII, 142.
661. Sur la rt^sistance des ponts sous le passage de convois periodiques, notam-

ment de ceux qui ont dte prevus par le r^glement du 29 Aöut 1891.
Marc. Duplaix. Compt. Rend. CXXIII, 740.

652. Sur la Photographie des bruits du coeur. A. de Holowinski. Compt. Rend.

CXXUI, 162.
Vergl. Astronomie. Elastizität. Elektrizität. Elliptische Transcendent^n 520.
Hydrodynamik. Molekularphysik. Optik. Potential. Wärmelehre.

Molekularphysik.

653. Sur quelques particularit^s des courbes de solubilite. H. Le Chatelier.

Compt. Rend. CXXIII, 593.

654. Sur l'entropie moleculaire. G. Darzens. Compt. Rend. CXXIII, 940.

655. Sur le repartition des deformations dans les m^taux soumis ä des efforts>.

G. Charpy. Compt. Rend. CXXIII, 225, 488, 876. — L. Hartmann ibid.
444, 639.
Vergl. Wärmelehre.

Nautik.

656. Sur la stabilit^ de l'equilibre des corps flottants. P. Duhem. Joum. Math.

Ser. 5, I, 91.

657. Sur la stabilite d'un navire qui porte du lest liquide. P. Ddhem. Joum.

Math. Ser. 5, n, 23.

658. Sur la stabilitij de l'equilibre des corps flottants. E. Guyon. Journ. Math.

Ser. 5,11,21.

659. Etüde thäorique sur la plong^e des sous-marins. Leflaine. Compt. Rend.

CXXni, 860.

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Abhandlungsregister. 221

Oberflftohen.

660. Sur la deformation des surfaces. Guichard. Joum. Math. Ser. 5, II, 123.
G61. Sur la deformation des surfaces. P. Stäckel. Compt. Kend. CXXIII, 677

662. Sur quelques recents resultats dans la thäorie des surfaces alg^briques.

(jT. Castelnuovo et F. Enriques. Math. Annal.XLVIII, 241.

663. Über quadratische Transformationen und rationale Flächen mit Kegelschnitt-

scharen. Th. Heye. Math. Annal.XLVIII, 113.

664. Sur une classe de surfaces isothermiques d^pendant de deux fonctions arbi-

traires. A. Thybaut. Compt. Rend. CXXIII, 295 (vergl. Nr. 49).

665. Über Differentialgleichungen von Rotations- und Regelflächen. Ed. Dolezal.

Grün. Archiv 2. R. XIV, 1.

666. Abwickelbare Schraubenfläche. R.Hoppe. Grün. Archiv 2. R. XIV, 332.

667. Zur Theorie der Spiralflächen. Ebner. Grün. Archiv. 2. R. XIV, 241.

668. Sur le paraboloi'de des 8 droites et les nappes de d^velopp^es de surfaces.

A. Mannheim. Compt. Rend. CXXIII, 983.
069. Determination d'une surface du troisi^me ordre generale i)ar sa hessienne.
F. Dumont. N. ann. math. S^r. 3, XV, 312.

670. Sur un cone circulaire et un conoYde du quatri^me ordre. Pier. Delix.

N. ann. math. S^r. 3, XV, 556.
Vergl. Abbildung. Abelsche Transcendenten. Differentialgleichungen 503. 504.
Funktionen. Krümmung 625. 626. 627.

Oberflächen zweiter Ordnung.

671. Ein Beitrag zur Theorie der Flächen zweiten Grades. St. Glaser. Grün.

Archiv 2. R. XIV, 156 [vergl. Bd. XLI, Nr. 155].

672. Sur la determination , en un point d'une surface du second ordre, des axes

de rindicatrice et des centres de courbure principaux. A. Mannheim.
Joum. Math. S^r. 6, II, 51.

673. Gleichseitig hyperbolischer Schnitt der Fläche zweiten Grades. R. Hoppe.

Grün. Archiv 2 R. XIV, 436.

674. Sur l'intersection de deux quadriques. H. Andoyer. N. ann. math. Ser. 3,

XV, 153.

Optik.
075. Mathematische Theorie der Ditfraction. A.Sommerfeld. Mathem. Annal.
XLVU, 317.

676. Theorie der Reflexion und Brechung transversaler Kugelwellen mit Anwendung

auf die Reflexion und Brechung des Lichtes. P. Jaerisch. Grelle,
CXVII, 291.

P.

Parabel.

677. Relation entre les angles sous lesquels une normale ä une parabole coupe

Taxe de cette parabole et la parabole meme dans son second point de
rencontre avec celle-ci. Em. Foucart. N. ann. math. S^r. 3, Xv, 147.

078. Cercle passant par le sommet d'une parabole et par les deux points dans

lesquels eile est coupde par une corde focale. A. Droz-Farny. N. ann.
math. Ser. 3, XV, 196.

079. Propri^t^ du cercle decrit sur une corde focale comme diametre. A. Droz-

Farny. N. ann. math. Ser. 3, XV, 197, 438.
680. Sur les cordes normales de la parabole. M. d'Ocagne. N. ann. math. Sdr. 3,

XV, 274. — Cl. Servais ibid. 378. — M. ibid. 432.
081. Propri^te du cercle osculateur de la parabole. M. d'Ocagne. N. ann. math.

S^r. 3, XV, 380.

Planimetrie.

682. Construction du polygone regulier de 17 cötes au moyen du seul compas.

L. Gerard. Math. Annal. XLVIII, 390.

Potential.

683. Sur le probleme de Dirichlet et les fonctions harmoniques fondamentales

attach^es a une surface ferm^e. Le Roy, Compt. Rend. CXXIII , 986. j

222 Historißch- litterarische Abteilung.

Quadratur.

684. De l'aire plane balayee par un vecteur variable. Em. Duporcq. Joiini.

Math. S^r. 5,1, 443.

B.

Beihen.

685. Fondements de la th^orie des s^ries divergentes somraables. Em. Borol.

Joum. Math. S^r. ö, 11, 103 [vergl. Nr. 345, 346, 347].

686. Sur la r^gion de sommabilitä d'un developpement de Taylor. Em. Borel.

Compt. Rend. CXXIII, 548.

687. Sur les B^ries de Taylor. Em. Borel. Compt. Rend. CXXIII, 1051.

688. Sur les series de Taylor admettant leur cercle de convergence comme coupure.

Em. Borel. Joum. Math. Sör. 5, II, 441.

689. Über Vereinfachungen in der elementaren Theorie der analytischen Funktionen.

Alfr. Priugsheim. Math. Annal. XLVU, 121.

690. über Multiplikation und Nichtversch>vinden Dirichletscher Reihen. F. M e r t e u <.

Grelle, CXVÜ, 169.

691. Sur la formule sommatoire d'Euler. J. Franel. Math. Annal. XL VII, 433.

692. Quelques exemples de series doublement p(?riodiques. P. Appell. N. ann.

math. S^r. 3, XV, 126.

693. Über die Gaussischeu Summen. Fr. Mertens. Berl. Akad. Ber. 1896 ^ 217.

694. Sur les sommes de Gauss. P. de Signier. Compt. Rend. CXXIII, 166.

695. Products and series involving prime numbers only. J.W. L. Gleisher. Quart.

Journ. math. XXVIII, 1 (vergl. Nr. 354;.

696. Sur le dövelloppement de a?* en s^rie ordonn^e suivant les puissances du

sinus de la variable. F. GomesTeixeira. N. ann. math. B6r. 3, XV, 270.

697. Un Probleme sur les series. M. Petrovitch. N. ann. math. Ser. 8, XV, 58.

Vergl. Astronomie 464. Differentialgleichungen 482. 486. 487. Funktionen 531.

Rektifikation.

698. Quelques proprietds des arcs des courbes alg^briques planes ou ganche?».

G. Humbert. Joum. Math. Ser. 6, 1, 181.

699. Einige durch den Ausdruck des Bogens bestimmte Kurven. R. Hoppe. Grün.

Archiv 2.'R. XIV, 328.

Sph&rik.

700. Sur l'aire du quadrilatere sph^rique in.scrit. H. Brocard. N. ann. math.

Ser. 3, XV, 284.

Stereometrie.

701. Sur une question de geom^trie relative aux polyMres. H. Bricard. N. ann.

math. S^r. 3, XV, 331.

Substitutionen.

702. Expose d'une theorie nouvelle des substitutions lineaires. E. Laurent. X.

ann. math. Ser. 3, XV, 345.

703. Sur les isomorphes holo^driques et transitifs des groupes synim^triques ou

altemäs. Ed. Mail 1 et. Joum. Math. S^r. 5, I, 5.

704. Nouvelles recherches sur la limite de transitivitö des groupes qui ne con-

tiennent pas le groupe alterne. C. Jordan. Joum. Math. Ser. 5,1, 35.

705. The regulär Substitution groups, whose order is less than 48. G.A.Miller.

Quart. Journ. math. :3&VIII, 82.

706. List of transitive Substitution «rroups of degree twelve. U. A. Miller.

Quart. Joum. math. XXVIÜ, 193.

707. Sur les groupes de Substitution. G. A. Miller. Compt. Rend. CXXHI, 91, 204.

708. Zur Tlieorie der endlichen Gruppen von birationalen Transformationen in der

Ebene. A. Wiman. Math. Annal. XLVIII, 195.
Vergl. Formen. Funktionen 552.

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Abhandlungsregister. 223

T.

Thetafunktioiien.

709. Utoarque sur la formule thäta de Jacobi. A. Gutzmer. N. ann. math. Sdr. 3,

XV, 365.

710. Über ein allgemeines aus Thetafiinktionen von zwei Argumenten gebildetes

Orthogonalsyst«m und seine Verwendung in der Mechanik. E. Jahnke.
Berl. Akad. Ber. 1896*, 1023.

V.

Variationsrechniing.

711. Begründung der Lagrangeschen Multiplikatorenmethode in der Variations-

rechnung durch Vergleich derselben mit einer neuen Methode, welche
zu den nämlichen Lösungen führt. B. Turksma. Math. Annal.XLVII, 33.

W.

Wärmelehre.

712. Recherches sur la d^pendance entre le rayonnement d'un corps et la nature

du milieu environant. Smoluchowski de Smolan. Compt. Rend.
CXXin, 230.

713. Influence de la pression dans les changements d'^tat d'un corps A. Pon-

s 0 1. Compt. Rend. CXXIII , 696.

714. Tension de vapeur d'un corps comprim^ par un gaz qu'il dissout. Tension

de vapeur d'une Solution en g^n^ral. A. P o n s o t. Compt. Rend. CXXIII , 648.

715. Sur une loi relative a la vapeur d'eau. Rate au. Con^t. Rend. CXXIII, 808.

716. Sur une machine thermique. Delsol. Compt. Rend. CXXDI, 1256.

Z.
Zahlentheorie.

717. Ausgewählt« Kapitel der Zahlenlehre (autographiertes Vorlesungsheft).

FeL Klein. Math. AnnaL XLVIII, 662.

718. Über Beziehungen zwischen den Primidealen eines algebraischen Körj^ers

und den Substitutionen seiner Gruppe. G. Frobenius. Berl. Akad.
Ber. 1896 \ 689.

719. Über Gruppencharakter. G. Frobenius. Berl. Akad. Ber. 1896*, 985.

720. Über die Primfaktoran der Gruppendeterminante. G. Frobenius. Berl.

Akad. Ber. 1896«, 1343.

721. Über Zahlengruppen in algebraischen Körpern. H.Weber, Math. Annal.

XLVIII, 433.

722. Über Gruppen, deren sämtliche Teiler Normalteiler sind. R. Dedekind.

Math. Annal. XLVIII, 648.

723. Über das Fundamentalsystem und die Discriminante der Gattungen alge-

braischer Zahlen, welche aus Wurzelgrössen gebildet sind. G. Lands-
b e r g. Crelle , CX Vn ,140.

724. Sur les propri^t^s des nombres eutiers qui sont d^rivees de Tintuition de

Fespace. H. Minkowski. N. ann. math. Sdr. 3, XV, 393 [vergl. Bd. XLI
Nr. 567J.

725. Au sujet d'une precedente communication , relative ä quelques propriät^s

des racines primitives et des racines secondaires des nombres premiers.
De Jonquiöres. Compt. Rend. CXXIH, 374 [vergl. Nr. 417, 418].

726. Au sujet des nombres premiers dont un nombre quelconque donnö ne pent

6tre racine primitive. De Jouquiörs. Compt Rend. CXXIII, 405.

727. Sur les fractions d^cimalos periodiques. C. E. Bickmore. N. ann. math.

Ser. 3, XV, 222.

728. Anzahl der Zerlegungen einer ganzen rationalen Zahl in Summanden.

J. Hermes. Math. Annal. XL VII, 281 [vergl. Bd. XLI, Nr. 579].

729. Factorisation of numbers. F.W.Lawrence. Quart. Journ. math. XX.VUI, 285.

730. Dber die Faktoren der Zahlen. G. Speckmann Grün. Archiv 2. R. XIV, 441.

731. Sur les nombres part'aits. C. Bouret. N. ann. math. S<5r. 3, XV, 297.

732. Sur les lois de r^ciprocite. X. Stouff. Compt. K^jnd. CXXÜI, 486. ^r-^ j

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Z'-

224 Historisch -litterarische Abteihing. Abhandlungsregister.

733. Gent5ralisation de formule de Wilson. Lognon. N. ann. math. S^r. 3, XV, 503.

734. Quelques extensions de thäorfeme de Fermat sur les nombres polvgones.

Ed. Maillet. Journ. Math. S^r. 5, II, 363.

735. Potenzkongruenzen. 6. Öpeckmann. Urun. Archiv 2. K XIV, 112 [vergl.

Bd.XLI,Nr.267].

736. Über die Auflösung der Kongruenz ä*:. a(modp). G. Speckmann. Gnm,

Archiv 2. R. XIV, 445.

737. Formes lindaires des diviseurs de a;* + ^. P. Pepin. Compt. Rend. CXXID,

683, 737.

738. Solution de IMquation X* + 35r* = ^*. P. Pepin. Journ. Math. S^r. 5,

1, 861.

739. Ober unbestimmte Gleichungen o;*«» Grades. G. Sr)eckmann. Grün. Archiv

2. R. XIV, 443.

740. Nombres triangulaires dont les carrea sont de meme triangulaires. H. Bro-

card. N. ann. math. S^r. 3, XV, 93.

741. Groupes de cinq impairs consecutifs dont quatre sont des nombres premiers.

H. Brocard. N. ann. math. St^r. 3, XV, 889.

742. Trouver 3 nombres en progression g^om^trique tels que chacun d'eux,

augment<§ d'une unitd donne un carr^. H. Brocard. N. ann. math.
Sdr. 3, XV, 288.

743. Über die Schubertsche Lösung eines Bachetschcn Problems. E. Busche.

Math. Annal. XL VII, 106.
Vergl. Formen. Reihen 695.

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